Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables Objetivos de aprendizaje Graficar una parábola (IA 11.2.1) Graficar un círculo (IA 11.1.4) Objetivo 1: Graficar una parábola (IA 11.2.1) Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola. Propiedades de las parábolas Parábolas verticales Forma general y = a x 2 + b x + c Forma estándar y = a ( x - h ) 2 + k Orientación a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo Eje de simetría x = - b 2 a x = h Vértice Sustituya x = - b 2 a y resolver para y . ( h , k ) intersección en y Supongamos que x = 0 Supongamos que x = 0 intersección en x Supongamos que y = 0 Supongamos que y = 0 Gráficos de parábolas Graficar parábolas mediante propiedades. Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en y. Halle el punto simétrico a la intersección y a través del eje de simetría. Halle las intersecciones en x. Grafique la parábola. Grafique la parábola y = – x 2 + 4 x 3 Forma estándar y = – x 2 + 4 x 3 a = 1 , b = 4 , c = 3 Paso 1 Dado que a = 1 la parábola se abre hacia abajo Paso 2 El eje de simetría viene dado por x = b 2 a , x = 4 2 ( 1 ) = 2 El eje de simetría es x = 2 Paso 3 El vértice está en la línea x = 2 Sustituyamos x = 2 en y = – x 2 + 4 x 3 y = ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) 3 y = 4 + 8 3 y = 1 El vértice es el punto (2, 1) Paso 4 Para hallar la intersección en y, sustituya x = 0 en y = – x 2 + 4 x 3 y = ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) 3 y = 3 La intersección y es el punto (0, –3) y está a 2 unidades a la izquierda del vértice. El punto simétrico está 2 unidades a la derecha del vértice y es (4, –3) Paso 5 Para hallar las intersecciones en x, sustituya y = 0 en y = – x 2 + 4 x 3 y resolver para x 0 = – x 2 + 4 x 3 0 = ( x 2 4 x + 3 ) 0 = x 2 4 x + 3 0 = ( x 3 ) ( x 1 ) x = 3 i r x = 1 Las intersecciones en x son (3, 0) y (1, 0) Paso 6 Represente gráficamente la parábola Eje de simetría x = 2 Vértice: (2,1) intersección en y: (0, –3), punto simétrico: (4, –3) intersecciones en x: (3, 0) y (1, 0) La práctica hace la perfección Grafique la parábola y = 2 x 2 + 4 x + 6 Objetivo 2: Graficar un círculo (IA 11.1.4) Cualquier ecuación de la forma ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio. A continuación, podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangulares utilizando el centro y el radio. Grafique un círculo Ⓐ Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 Ⓑ Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 Ⓐ Utilice la forma estándar de la ecuación de un círculo. Identifique el centro (h, k) y el radio r. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 ( x ( 3 ) ) 2 + ( y ( 4 ) ) 2 = 2 2 Centro: (–3, –4) Radio: 2 Grafique el círculo Ⓑ Tenemos que reescribir esta forma general en forma estándar para encontrar el centro y el radio. Paso 1 Agrupe los términos x y y. Reúna las constantes del lado derecho. x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 x 2 6 x + y 2 8 y = 9 Paso 2 Complete los cuadrados x 2 6 x + ( 6 2 ) 2 + y 2 8 y + ( 8 2 ) 2 = 9 + ( 6 2 ) 2 + ( 8 2 ) 2 x 2 6 x + 9 + y 2 8 y + 16 = 9 + 9 + 16 Paso 3 Reescriba como cuadrados binomiales. ( x 3 ) 2 + ( y 4 ) 2 = 16 Paso 4 Identifique el centro y el radio. En el centro: (3, 4) Radio: 4 Paso 5 Grafique el círculo. La práctica hace la perfección Grafique un círculo. Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 25 Utilice la forma estándar de la ecuación de un círculo. Identifique el centro, ( h , k ) y el radio, r . Grafique el círculo Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 + 12 x 14 y + 21 = 0 Paso 1 Agrupe los términos x y y. Reúna las constantes del lado derecho. Paso 2 Complete los cuadrados ________________________________________ Paso 3 Reescriba como cuadrados binomiales. ________________________________________ Paso 4 Identifique el centro y el radio. Centro: ________ Radio: ________ Paso 5 Grafique el círculo. El cometa Halley ( ) orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales. El cometa Halley (créditos: “NASA Blueshift”/Flickr). En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales. Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma A x + B y + C = 0, Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados. Intersección de una parábola y una línea Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de una parábola y una línea La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra una parábola y una línea. No hay solución. La línea nunca intersecará la parábola. Una solución. La línea es tangente a la parábola y la interseca exactamente en un punto. Dos soluciones. La línea cruza por el interior de la parábola y la interseca en dos puntos. Cómo Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y una parábola, halle la solución. Resuelva la ecuación lineal para una de las variables. Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación de la parábola. Resuelva para la variable restante. Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea Resuelva el sistema de ecuaciones. x - y = −1 y = x 2 + 1 Resuelva la primera ecuación para x y luego sustituya la expresión resultante en la segunda ecuación. x - y = –1 x = y −1 Resuelva para x . y = x 2 + 1 y = ( y −1 ) 2 + 1 Sustituya la expresión por x . Expanda la ecuación e iguálela a cero. y = ( y −1 ) 2 + 1 = ( y 2 −2 y + 1 ) + 1 = y 2 −2 y + 2 0 = y 2 −3 y + 2 = ( y −2 ) ( y −1 ) Resuelva para y da como resultado y = 2 y y = 1. A continuación, sustituya cada valor por y en la primera ecuación para resolver x . Sustituya siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas. x - y = –1 x - ( 2 ) = –1 x = 1 x - ( 1 ) = –1 x = 0 Las soluciones son ( 1 , 2 ) y ( 0 , 1 ) , que puede verificarse sustituyendo estos ( x , y ) en las dos ecuaciones originales. Vea la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podríamos haber sustituido los valores de y en la segunda ecuación para resolver x en el ? Sí, pero debido a que x se eleva al cuadrado en la segunda ecuación, esto podría darnos soluciones extrañas para x . Para y = 1 y = x 2 + 1 1 = x 2 + 1 x 2 = 0 x = ± 0 = 0 Esto nos da el mismo valor que en la solución. Para y = 2 y = x 2 + 1 2 = x 2 + 1 x 2 = 1 x = ± 1 = ± 1 Tenga en cuenta que −1 es una solución extraña. Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones dado por sustitución. 3 x y = -2 2 x 2 y = 0 ( - 1 2 , 1 2 ) y ( 2 , 8 ) Intersección de un círculo y una línea Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una línea La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una línea. No hay solución. La línea no interseca el círculo. Una solución. La línea es tangente al círculo y la interseca exactamente en un punto. Dos soluciones. La línea cruza el círculo y la interseca en dos puntos. Cómo Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y un círculo, halle la solución. Resuelva la ecuación lineal para una de las variables. Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación del círculo. Resuelva para la variable restante. Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones. Hallar la intersección de un círculo y una línea por sustitución Halle la intersección del círculo y la línea dados por sustitución. x 2 + y 2 = 5 y = 3 x −5 Una de las ecuaciones ya ha sido resuelta para y . Sustituiremos y = 3 x −5 en la ecuación del círculo. x 2 + ( 3 x −5 ) 2 = 5 x 2 + 9 x 2 −30 x + 25 = 5 10 x 2 −30 x + 20 = 0 Ahora, factorizamos y resolvemos para x . 10 ( x 2 - 3 x + 2 ) = 0 10 ( x - 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = 2 x = 1 Sustituya los dos valores de x en la ecuación lineal original para resolver y . y = 3 ( 2 ) −5 = 1 y = 3 ( 1 ) −5 = –2 La línea interseca el círculo en ( 2 , 1 ) y ( 1 , –2 ) , que puede verificarse sustituyendo estos ( x , y ) en las dos ecuaciones originales. Vea la . Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. x 2 + y 2 = 10 x 3 y = -10 ( –1 , 3 ) Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una elipse La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una elipse . No hay solución. El círculo y la elipse no se intersecan. Una forma está dentro de la otra o el círculo y la elipse están a una distancia de la otra. Una solución. El círculo y la elipse son tangentes entre sí y se intersecan exactamente en un punto. Dos soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en dos puntos. Tres soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en tres puntos. Cuatro soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. x 2 + y 2 = 26 ( 1 ) 3 x 2 + 25 y 2 = 100 ( 2 ) Comencemos multiplicando la ecuación (1) por −3 , y sumamos este resultado a la ecuación (2). ( - 3 ) ( x 2 + y 2 ) = ( - 3 ) ( 26 ) - 3 x 2 - 3 y 2 = − 78 3 x 2 + 25 y 2 = 100 22 y 2 = 22 Después de sumar las dos ecuaciones, resolvemos para y . y 2 = 1 y = ± 1 = ± 1 Sustituya y = ± 1 en una de las ecuaciones y resolvemos para x . x 2 + ( 1 ) 2 = 26 x 2 + 1 = 26 x 2 = 25 x = ± 25 = ± 5 x 2 + ( –1 ) 2 = 26 x 2 + 1 = 26 x 2 = 25 = ± 5 Hay cuatro soluciones: ( 5 , 1 ) , ( −5 , 1 ) , ( 5 , –1 ) , y ( −5 , –1 ) . Vea la . Ejercicio Halle el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones no lineales dado. 4 x 2 + y 2 = 13 x 2 + y 2 = 10 { ( 1 , 3 ) , ( 1 , −3 ) , ( –1 , 3 ) , ( –1 , −3 ) } Graficar una inecuación no lineal Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación . Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal. Recordemos que cuando la inecuación es mayor que, y > a , o menos que, y < a , el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a, y ≥ a , o menor que o igual a, y ≤ a , el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la . (a) un ejemplo de y > a ; (b) un ejemplo de y ≥ a ; (c) un ejemplo de y < a ; (d) un ejemplo de y ≤ a Cómo Dada una inecuación delimitada por una parábola, dibuje un gráfico. Grafique la parábola como si fuera una ecuación. Este es el límite de la región que es el conjunto de soluciones. Si el límite está incluido en la región (el operador es ≤ o ≥ ), la parábola se grafica como una línea sólida. Si el límite no está incluido en la región (el operador es < o >), la parábola se grafica como una línea discontinua. Compruebe un punto en una de las regiones para determinar si satisface el enunciado de la inecuación. Si el enunciado es verdadero, el conjunto solución es la región que incluye el punto. Si el enunciado es falso, el conjunto de soluciones es la región al otro lado de la línea límite. Sombree la región que representa el conjunto de soluciones. Graficar una inecuación para una parábola Represente gráficamente la inecuación y > x 2 + 1. Primero, grafique la ecuación correspondiente y = x 2 + 1. Dado que y > x 2 + 1 tiene un símbolo mayor que, dibujamos el gráfico con una línea discontinua. A continuación, elegimos puntos para probar tanto dentro como fuera de la parábola. Probemos los puntos ( 0 , 2 ) y ( 2 , 0 ) . Un punto está claramente dentro de la parábola y el otro punto está claramente fuera. y > x 2 + 1 2 > ( 0 ) 2 + 1 2 > 1 Verdadero 0 > ( 2 ) 2 + 1 0 > 5 Falso El gráfico se muestra en la . Podemos ver que el conjunto de soluciones consiste en todos los puntos dentro de la parábola, pero no en el gráfico en sí. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible . Cómo Dado un sistema de inecuaciones no lineales, dibuje un gráfico. Halle los puntos de intersección y resuelva el correspondiente sistema de ecuaciones no lineales. Grafique las ecuaciones no lineales. Halle las regiones sombreadas de cada inecuación. Identifique la región factible como la intersección de las regiones sombreadas de cada inecuación o el conjunto de puntos comunes a cada inecuación. Graficar un sistema de inecuaciones Grafique el sistema de inecuaciones dado. x 2 - y ≤ 0 2 x 2 + y ≤ 12 Estas dos ecuaciones son claramente parábolas. Podemos hallar los puntos de intersección mediante el proceso de eliminación: Sume ambas ecuaciones y la variable y será eliminada. Entonces, resolvemos para x . x 2 - y = 0 2 x 2 + y = 12 ____________ 3 x 2 = 12 x 2 = 4 x = ± 2 Sustituya los valores de x en una de las ecuaciones y resuelva para y . x 2 - y = 0 ( 2 ) 2 - y = 0 4 - y = 0 y = 4 ( −2 ) 2 - y = 0 4 - y = 0 y = 4 Los dos puntos de intersección son ( 2 , 4 ) y ( –2 , 4 ) . Tome en cuenta que las ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma. x 2 - y ≤ 0 x 2 ≤ y y ≥ x 2 2 x 2 + y ≤ 12 y ≤ −2 x 2 + 12 Grafique cada inecuación. Vea la . La región factible es la región entre las dos ecuaciones delimitadas por 2 x 2 + y ≤ 12 en la parte superior y x 2 - y ≤ 0 en la parte inferior. Ejercicio Grafique el sistema de inecuaciones dado. y ≥ x 2 – 1 x - y ≥ − 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las ecuaciones no lineales. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación Conceptos clave Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el . Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el . Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo: (1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el . Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el . Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique si un sistema de dos ecuaciones no lineales puede tener exactamente dos soluciones. ¿Y exactamente tres? Si no, explique por qué no. En caso afirmativo, ponga un ejemplo de dicho sistema en forma de gráfico y explique por qué su elección da dos o tres respuestas. Un sistema no lineal podría ser representativo de dos círculos que se superponen y se intersecan en dos lugares, por lo tanto, dos soluciones. Un sistema no lineal podría ser representativo de una parábola y un círculo, donde el vértice de la parábola se encuentra con el círculo y las ramas también se intersecan con el círculo, por lo tanto, tres soluciones. Al representar gráficamente una inecuación, explique por qué solo necesitamos comprobar un punto para determinar si toda una región es la solución Al graficar un sistema de inecuaciones, ¿habrá siempre una región factible? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo de un gráfico de inecuaciones que no tenga una región factible. ¿Por qué no tiene una región factible? No es necesario que haya una región factible. Consideremos un sistema delimitado por dos líneas paralelas. Una inecuación representa la región por encima de la línea superior; la otra representa la región por debajo de la línea inferior. En este caso, ningún punto del plano está ubicado en ambas regiones; por lo tanto, no hay ninguna región factible. Si grafica una función de ingresos y una función de costo, explique cómo determinar en qué regiones hay ganancias. Si realiza su análisis de equilibrio y hay más de una solución, explique cómo determinaría qué valores x son ganancias y cuáles no. Elija cualquier número entre cada solución y conéctelo a C ( x ) y R ( x ) . Si C ( x ) < R ( x ) , entonces hay ganancias. Algebraicos En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución. x + y = 4 x 2 + y 2 = 9 y = x −3 x 2 + y 2 = 9 ( 0 , −3 ) , ( 3 , 0 ) y = x x 2 + y 2 = 9 y = - x x 2 + y 2 = 9 ( - 3 2 2 , 3 2 2 ) , ( 3 2 2 , - 3 2 2 ) x = 2 x 2 - y 2 = 9 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación. 4 x 2 −9 y 2 = 36 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ( −3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) x 2 + y 2 = 25 x 2 - y 2 = 1 2 x 2 + 4 y 2 = 4 2 x 2 -4 y 2 = 25 x −10 ( 1 4 , − 62 8 ) , ( 1 4 , 62 8 ) y 2 - x 2 = 9 3 x 2 + 2 y 2 = 8 x 2 + y 2 + 1 16 = 2.500 y = 2 x 2 ( − 398 4 , 199 4 ) , ( 398 4 , 199 4 ) En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales. −2 x 2 + y = −5 6 x - y = 9 - x 2 + y = 2 - x + y = 2 ( 0 , 2 ) , ( 1 , 3 ) x 2 + y 2 = 1 y = 20 x 2 −1 x 2 + y 2 = 1 y = - x 2 ( - 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1 - 5 ) ) , ( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1 - 5 ) ) 2 x 3 - x 2 = y y = 1 2 - x 9 x 2 + 25 y 2 = 225 ( x −6 ) 2 + y 2 = 1 ( 5 , 0 ) x 4 - x 2 = y x 2 + y = 0 2 x 3 - x 2 = y x 2 + y = 0 ( 0 , 0 ) En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal. x 2 + y 2 = 9 y = 3 - x 2 x 2 - y 2 = 9 x = 3 ( 3 , 0 ) x 2 - y 2 = 9 y = 3 x 2 - y 2 = 9 x - y = 0 No existen soluciones - x 2 + y = 2 -4 x + y = –1 - x 2 + y = 2 2 y = - x No existen soluciones x 2 + y 2 = 25 x 2 - y 2 = 36 x 2 + y 2 = 1 y 2 = x 2 ( – 2 2 , - 2 2 ) , ( – 2 2 , 2 2 ) , ( 2 2 , - 2 2 ) , ( 2 2 , 2 2 ) 16 x 2 −9 y 2 + 144 = 0 y 2 + x 2 = 16 3 x 2 - y 2 = 12 ( x −1 ) 2 + y 2 = 1 ( 2 , 0 ) 3 x 2 - y 2 = 12 ( x −1 ) 2 + y 2 = 4 3 x 2 - y 2 = 12 x 2 + y 2 = 16 ( − 7 , −3 ) , ( − 7 , 3 ) , ( 7 , −3 ) , ( 7 , 3 ) x 2 - y 2 - 6 x - 4 y - 11 = 0 - x 2 + y 2 = 5 x 2 + y 2 −6 y = 7 x 2 + y = 1 ( - 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 − 73 ) ) , ( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 − 73 ) ) x 2 + y 2 = 6 x y = 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. x 2 + y < 9 x 2 + y 2 < 4 En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección. x 2 + y < 1 y > 2 x x 2 + y < −5 y > 5 x + 10 x 2 + y 2 < 25 3 x 2 - y 2 > 12 x 2 - y 2 > -4 x 2 + y 2 < 12 x 2 + 3 y 2 > 16 3 x 2 - y 2 < 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. y ≥ e x y ≤ ln ( x ) + 5 y ≤ − log ( x ) y ≤ e x En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables. 4 x 2 + 1 y 2 = 24 5 x 2 - 2 y 2 + 4 = 0 6 x 2 – 1 y 2 = 8 1 x 2 - 6 y 2 = 1 8 ( −2 70 383 , −2 35 29 ) , ( −2 70 383 , 2 35 29 ) , ( 2 70 383 , −2 35 29 ) , ( 2 70 383 , 2 35 29 ) x 2 - x y + y 2 −2 = 0 x + 3 y = 4 x 2 - x y −2 y 2 −6 = 0 x 2 + y 2 = 1 No existe ninguna solución x 2 + 4 x y −2 y 2 −6 = 0 x = y + 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta. x y < 1 y > x x = 0 , y > 0 y 0 < x < 1 , x < y < 1 x x 2 + y < 3 y > 2 x Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas. Dos números suman 300. Un número es el doble del cuadrado del otro. ¿Cuáles son los números? 12.288 Los cuadrados de dos números suman 360. El segundo número es la mitad del valor del primer número al cuadrado. ¿Cuáles son los números? Una compañía de computadoras portátiles ha descubierto sus funciones de costos e ingresos para cada día: C ( x ) = 3 x 2 −10 x + 200 y R ( x ) = –2 x 2 + 100 x + 50. Si quieren obtener ganancias, ¿cuál es el rango de computadoras portátiles por día que deberían producir? Redondee al número más cercano que genere ganancias. De 2 a 20 computadoras Una compañía de telefonía móvil tiene las siguientes funciones de costos e ingresos: C ( x ) = 8 x 2 –600 x + 21.500 y R ( x ) = −3 x 2 + 480 x . ¿Cuál es el rango de teléfonos móviles que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondee al número más cercano que genere ganancias. región factible la solución de un sistema de inecuaciones no lineales que es la región del gráfico donde se intersecan las regiones sombreadas de cada inecuación inecuación no lineal una inecuación que contiene una expresión no lineal sistema de ecuaciones no lineales un sistema de ecuaciones que contiene, al menos, una ecuación de grado mayor que uno sistema de inecuaciones no lineales un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal

Matemáticas


Fracciones parciales Objetivos de aprendizaje Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3) Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4) Objetivo 1: Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3) Una expresión racional es una expresión de la forma p q donde p y q son polinomios y q ≠ 0 . 2 7 , 5 y 7 x z 2 , x + 1 x + 2 , a n d 2 x 2 + 5 x 7 x 2 9 son ejemplos de expresiones racionales. Halle el mínimo común denominador de los siguientes racionales: 2 3 , 5 12 , a n d 1 18 Para hallar el mínimo común denominador de las fracciones, factorizamos 3, 12 y 18 en primos y alineamos los primos comunes en columnas. Luego "bajamos" un primo de cada columna. Por último, multiplicamos los factores para hallar el mínimo común denominador. 3 = 3 18 = 2 * 3 * 3 12 = 2 * 2 * 3 L C D = 2 * 2 * 3 * 3 L C D = 36 La práctica hace la perfección Calcule el mínimo común denominador de los siguientes racionales: 1 5 , 2 7 , y 2 75 Para hallar el mínimo común denominador de expresiones racionales, seguiremos el mismo proceso: Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. Halle el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales: x + 1 x + 3 y 2 x 2 9 Paso 1. Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible x + 3 = ( x + 3 ) x 2 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) Paso 2. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. x + 3 = ( x + 3 ) x 2 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) mínimo común denominador = ( x + 3 ) ( x 3 ) Paso 3. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. El mínimo común denominador es ( x + 3 ) ( x 3 ) Halle el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales: 1 3 , 3 x x 2 + 6 x + 9 y x + 1 x 2 9 Paso 1. Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible ________________________________________ Paso 2. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. ________________________________________ Paso 3. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. ________________________________________ Objetivo 2: Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4) Resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación Escriba ambas ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. Asegúrese de que los coeficientes de una variable sean opuestos. Decida cuál variable va a eliminar. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Resuelva para la variable restante. Sustituya la solución del paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelva para la otra variable. Escriba la solución como un par ordenado. Compruebe que el par ordenado es una solución de las dos ecuaciones originales. Resuelva el sistema de ecuaciones por eliminación. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, elimínelos. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 Paso 2 Eliminemos y 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 → Multiplique por 3 9 x + 3 y = 15 2 x 3 y = 7 Paso 3 9 x + 3 y = 15 2 x 3 y = 7 11 x = 22 Paso 4 11 x = 22 x = 2 Paso 5 Use el valor de la variable hallada en el paso 2 para calcular la segunda variable. Sustituyamos x = 2 en 3 x + y = 5 3 ( 2 ) + y = 5 6 + y = 5 y = 1 Paso 6 Escriba la solución como un par ordenado: (2, –1) Paso 7 Compruebe la solución en las ecuaciones originales. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 3 ( 2 ) 1 = 5 ( 2 ) 3 ( 1 ) = 7 6 1 = 5 4 + 3 = 7 5 = 5 7 = 7 Resuelva el sistema de ecuaciones por eliminación. 4 x 3 y = 9 7 x + 2 y = 6 Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, elimínelos. ________________________________________ Paso 2 Asegúrese de que los coeficientes de una variable son opuestos. ________________________________________ Paso 3 Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. ________________________________________ Paso 4 Resuelva para la variable restante. ________________________________________ Paso 5 Sustituya la solución del paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego, resuelva para la otra variable. ________________________________________ Paso 6 Escriba la solución como un par ordenado: ________ Paso 7 Compruebe que el par ordenado es una solución de ambas ecuaciones originales. ________________________________________ Descomposición parcial de fracciones Cuando sumamos expresiones racionales con denominadores distintos como 5 x 3 y 2 x x 2 , primero tenemos que hallar el mínimo común denominador, luego reescribir cada fracción con el denominador común y finalmente sumar los dos numeradores. Calcule la suma de las dos expresiones racionales. 5 x 3 y 2 x x 2 Calcule el mínimo común denominador de ( x 3 ) y ( x 2 ) Mínimo común denominador = ________________ Reescriba cada racional como una expresión racional equivalente con el mínimo común denominador 5 x 3 + 2 x x 2 5 ( x 2 ) ( x 3 ) ( x 2 ) + 2 x ( ) ( x 2 ) ( x 3 ) 5 x 10 ( x 3 ) ( x 2 ) + 2 x 2 6 x ( x 2 ) ( x 3 ) Sume los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común 5 x 10 + 2 x 2 6 x ( x 3 ) ( x 2 ) 2 x 2 11 x 10 ( x 3 ) ( x 2 ) Ahora queremos hacer lo contrario. Dada una expresión racional como 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) queremos reescribirla como una suma de dos expresiones racionales más simples A ( x + 4 ) y B ( x + 6 ) . Nuestra meta es hallar los valores de A y B de manera que 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 Calcule el mínimo común denominador de los denominadores 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 L C D i s ( x + ) ( x + 6 ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. Distribuya y anule términos similares ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 ( x + 4 ) ( x + 6 ) + B x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 16 = A ( x + 6 ) + B ( x + 4 ) En el lado derecho, ampliamos y reunimos los términos con términos similares 5 x + 16 = A ( x + 6 ) + B ( x + 4 ) 5 x + 16 = A x + 6 A + B x + B 5 x + 16 = ( A + B ) x + ( 6 A + 4 B ) Comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará un sistema de dos ecuaciones con dos variables 5 x + 16 = ( A + B ) x + ( 6 A + 4 B ) A + B = 5 6 A + 4 B = 16 Utilice el método de eliminación para hallar los valores de A y B. Reescriba la expresión racional original como la suma de dos expresiones racionales con denominadores distintos En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales. Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional. Descomponer P ( x ) Q ( x ) donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones , que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial . Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones: 2 x −3 + −1 x + 2 Primero tendríamos que hallar un denominador común, ( x + 2 ) ( x −3 ) . A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos. 2 x - 3 ( x + 2 x + 2 ) + − 1 x + 2 ( x - 3 x - 3 ) = 2 x + 4 - x + 3 ( x + 2 ) ( x - 3 ) = x + 7 x 2 - x - 6 La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones. x + 7 x 2 - x −6 Suma simplificada = 2 x −3 + −1 x + 2 Descomposición parcial de fracciones Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador. Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de x 2 - x −6 son ( x −3 ) ( x + 2 ) , los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones. Una etiqueta de nota general Descomposición parcial de fracciones P ( x ) Q ( x ) donde Q ( x ) tiene factores lineales no repetidos La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) cuando Q ( x ) tiene factores lineales no repetidos y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) es P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a 1 x + b 1 ) + A 2 ( a 2 x + b 2 ) + A 3 ( a 3 x + b 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n ( a n x + b n ) . Elemento Cómo Dada una expresión racional con factores lineales distintos en el denominador, descompóngala. Utilice una variable para los numeradores originales, normalmente A , B , o C , dependiendo del número de factores, y coloque cada variable sobre un único factor. A efectos de esta definición, utilizamos A n para cada numerador P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a 1 x + b 1 ) + A 2 ( a 2 x + b 2 ) + ⋯ + A n ( a n x + b n ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomposición de una función racional con factores lineales distintos Descomponer la expresión racional dada con factores lineales distintos. 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) Separaremos los factores del denominador y daremos a cada numerador una marca simbólica, como A , B , o C . 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = A ( x + 2 ) + B ( x −1 ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones: ( x + 2 ) ( x −1 ) [ 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) ] = ( x + 2 ) ( x −1 ) [ A ( x + 2 ) ] + ( x + 2 ) ( x −1 ) [ B ( x −1 ) ] La ecuación resultante es 3 x = A ( x −1 ) + B ( x + 2 ) Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. 3 x = A x − A + B x + 2 B 3 x = ( A + B ) x − A + 2 B Establezca un sistema de ecuaciones asociando los coeficientes correspondientes. 3 = A + B 0 = - A + 2 B Sume las dos ecuaciones y resuelva para B . 3 = A + B 0 = - A + 2 B ¯ 3 = 0 + 3 B 1 = B Sustituya B = 1 en una de las ecuaciones originales del sistema. 3 = A + 1 2 = A Así, la descomposición parcial de fracciones es 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = 2 ( x + 2 ) + 1 ( x −1 ) Otro método que se utiliza para resolver A o B es considerando la ecuación que resulta al eliminar las fracciones y sustituir un valor por x que hará que el término A o el término B sea igual a 0. Supongamos que x = 1 , el término A se convierte en 0 y podemos simplemente resolver para B . 3 x = A ( x – 1 ) + B ( x + 2 ) 3 ( 1 ) = A [ ( 1 ) - 1 ] + B [ ( 1 ) + 2 ] 3 = 0 + 3 B 1 = B A continuación, sustituya B = 1 en la ecuación y resolvemos para A , o haga que el término B sea 0 sustituyendo x = −2 en la ecuación. 3 x = A ( x – 1 ) + B ( x + 2 ) 3 ( – 2 ) = A [ ( – 2 ) - 1 ] + B [ ( – 2 ) + 2 ] − 6 = - 3 A + 0 - 6 - 3 = A 2 = A Obtenemos los mismos valores para A y B utilizando cualquiera de los dos métodos, por lo tanto, las descomposiciones son las mismas al utilizar cualquiera de los dos métodos. 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = 2 ( x + 2 ) + 1 ( x −1 ) Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones de fracciones parciales. Se conoce como el método de Heaviside , llamado así por Charles Heaviside, pionero en el estudio de la electrónica. Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la siguiente expresión. x ( x −3 ) ( x −2 ) 3 x −3 − 2 x −2 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) donde Q(x) tiene factores lineales repetidos Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes. Una etiqueta de nota general Descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) donde Q ( x ) tiene factores lineales repetidos La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) , cuando Q ( x ) tiene un factor lineal repetido que ocurre n veces y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) , es P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a x + b ) + A 2 ( a x + b ) 2 + A 3 ( a x + b ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n ( a x + b ) n Escriba las potencias del denominador en orden creciente. Elemento Cómo Dada una expresión racional con factores lineales repetidos, descompóngala. Utilice una variable como A , B , o C para los numeradores y considere que los denominadores tienen potencias crecientes. P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a x + b ) + A 2 ( a x + b ) 2 + . . . + A n ( a x + b ) n Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomponer con factores lineales repetidos Descomponga la expresión racional dada con factores lineales repetidos. − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x Los factores del denominador son x ( x −2 ) 2 . Para tener en cuenta el factor repetido de ( x −2 ) , la descomposición incluirá tres denominadores x , ( x −2 ) , y ( x −2 ) 2 . Así, − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x = A x + B ( x −2 ) + C ( x −2 ) 2 A continuación, multiplicamos ambos lados por el denominador común. x ( x −2 ) 2 [ − x 2 + 2 x + 4 x ( x −2 ) 2 ] = [ A x + B ( x −2 ) + C ( x −2 ) 2 ] x ( x −2 ) 2 - x 2 + 2 x + 4 = A ( x −2 ) 2 + B x ( x −2 ) + C x En el lado derecho de la ecuación, ampliamos y reunimos términos similares. − x 2 + 2 x + 4 = A ( x 2 - 4 x + 4 ) + B ( x 2 - 2 x ) + C x = A x 2 - 4 A x + 4 A + B x 2 - 2 B x + C x = ( A + B ) x 2 + ( - 4 A − 2 B + C ) x + 4 A A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará el sistema de ecuaciones en tres variables: − x 2 + 2 x + 4 = ( A + B ) x 2 + ( -4 A −2 B + C ) x + 4 A A + B = −1 (1) -4 A −2 B + C = 2 (2) 4 A = 4 (3) Al resolver para A , tenemos 4 A = 4 A = 1 Sustituya A = 1 en la ecuación (1). A + B = −1 ( 1 ) + B = −1 B = –2 Entonces, para resolver C , sustituya los valores de A y B en la ecuación (2). -4 A −2 B + C = 2 -4 ( 1 ) −2 ( −2 ) + C = 2 -4 + 4 + C = 2 C = 2 Por lo tanto, − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x = 1 x - 2 ( x −2 ) + 2 ( x −2 ) 2 Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con factores lineales repetidos. 6 x −11 ( x −1 ) 2 6 x −1 - 5 ( x −1 ) 2 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) , donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores A , B , o C que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como A x + B , B x + C , etc. Una etiqueta de nota general Descomposición de P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreductible no repetido La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) de manera que Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) se escribe como P ( x ) Q ( x ) = A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a n x 2 + b n x + c n ) La descomposición puede contener más expresiones racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente A , B , C , y así sucesivamente. Elemento Cómo Dada una expresión racional en la que los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles, descompóngala. Utilice variables como A , B , o C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x + B 1 , A 2 x + B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador. P ( x ) Q ( x ) = A a x + b + A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a n x 2 + b n x + c n ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido Halle una descomposición parcial de fracciones de la expresión dada. 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto, 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) = A ( x + 3 ) + B x + C ( x 2 + x + 2 ) Seguimos los mismos pasos que en los problemas anteriores. Primero, despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común. ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) [ 8 x 2 + 12 x - 20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) ] = [ A ( x + 3 ) + B x + C ( x 2 + x + 2 ) ] ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) 8 x 2 + 12 x - 20 = A ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) Tome en cuenta que podríamos resolver fácilmente para A al elegir un valor para x que hará que el término B x + C sea igual a 0. Supongamos que x = −3 y sustitúyalo en la ecuación. 8 x 2 + 12 x - 20 = A ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) 8 ( - 3 ) 2 + 12 ( - 3 ) − 20 = A ( ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) + 2 ) + ( B ( - 3 ) + C ) ( ( - 3 ) + 3 ) 16 = 8 A A = 2 Ahora que conocemos el valor de A , sustitúyalo de nuevo en la ecuación. A continuación, amplíe el lado derecho y reúna términos similares. 8 x 2 + 12 x -20 = 2 ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) 8 x 2 + 12 x -20 = 2 x 2 + 2 x + 4 + B x 2 + 3 B + C x + 3 C 8 x 2 + 12 x -20 = ( 2 + B ) x 2 + ( 2 + 3 B + C ) x + ( 4 + 3 C ) Si los coeficientes de los términos del lado derecho son iguales a los coeficientes de los términos del lado izquierdo, se obtiene el sistema de ecuaciones. 2 + B = 8 (1) 2 + 3 B + C = 12 (2) 4 + 3 C = -20 (3) Resuelva para B utilizando la ecuación (1) y resuelva para C utilizando la ecuación (3). 2 + B = 8 (1) B = 6 4 + 3 C = -20 (3) 3 C = −24 C = −8 De esta forma, la descomposición parcial de fracciones de la expresión es 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) = 2 ( x + 3 ) + 6 x −8 ( x 2 + x + 2 ) Elemento Preguntas y respuestas ¿Podríamos haber establecido un sistema de ecuaciones para resolver el ? Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver para A primero. La expansión de la derecha sería: 8 x 2 + 12 x -20 = A x 2 + A x + 2 A + B x 2 + 3 B + C x + 3 C 8 x 2 + 12 x -20 = ( A + B ) x 2 + ( A + 3 B + C ) x + ( 2 A + 3 C ) Así que el sistema de ecuaciones sería: A + B = 8 A + 3 B + C = 12 2 A + 3 C = -20 Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetido. 5 x 2 −6 x + 7 ( x −1 ) ( x 2 + 1 ) 3 x −1 + 2 x -4 x 2 + 1 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes. Una etiqueta de nota general Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) , cuando Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) , es P ( x ) ( a x 2 + b x + c ) n = A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + A 3 x + B 3 ( a x 2 + b x + c ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a x 2 + b x + c ) n Escriba los denominadores en potencias crecientes. Elemento Cómo Dada una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido, descompóngala. Utilice variables como A , B , o C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x + B 1 , A 2 x + B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como P ( x ) Q ( x ) = A a x + b + A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + ⋯ + A n + B n ( a x 2 + b x + c ) n Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomponer una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador Descomponga la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 Los factores del denominador son x , ( x 2 + 1 ) , y ( x 2 + 1 ) 2 . Recordemos que, cuando un factor del denominador es un cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe ser de la forma lineal A x + B . Así que vamos a empezar la descomposición. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = A x + B x + C ( x 2 + 1 ) + D x + E ( x 2 + 1 ) 2 Eliminamos los denominadores al multiplicar cada término por x ( x 2 + 1 ) 2 . Así, x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = A ( x 2 + 1 ) 2 + ( B x + C ) ( x ) ( x 2 + 1 ) + ( D x + E ) ( x ) Amplíe el lado derecho. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = A ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) + B x 4 + B x 2 + C x 3 + C x + D x 2 + E x = A x 4 + 2 A x 2 + A + B x 4 + B x 2 + C x 3 + C x + D x 2 + E x Ahora recopilaremos términos similares. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = ( A + B ) x 4 + ( C ) x 3 + ( 2 A + B + D ) x 2 + ( C + E ) x + A Establezca el sistema de ecuaciones haciendo coincidir los coeficientes correspondientes a cada lado del signo de igual. A + B = 1 C = 1 2 A + B + D = 1 C + E = −1 A = 1 A partir de este punto podemos utilizar la sustitución. Sustituya A = 1 en la primera ecuación. 1 + B = 1 B = 0 Sustituya A = 1 y B = 0 en la tercera ecuación. 2 ( 1 ) + 0 + D = 1 D = –1 Sustituya C = 1 en la cuarta ecuación. 1 + E = −1 E = –2 Ahora hemos resuelto todas las incógnitas del lado derecho del signo de igual. Tenemos A = 1 , B = 0 , C = 1 , D = −1 , y E = -2. Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera: x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = 1 x + 1 ( x 2 + 1 ) - x + 2 ( x 2 + 1 ) 2 Marca de función ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido. x 3 -4 x 2 + 9 x −5 ( x 2 −2 x + 3 ) 2 x −2 x 2 −2 x + 3 + 2 x + 1 ( x 2 −2 x + 3 ) 2 Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar fracciones parciales. Descomposición parcial de fracciones Descomposición parcial de fracciones con factores lineales repetidos Descomposición parcial de fracciones con factores lineales y cuadráticos Conceptos clave Descomponer P ( x ) Q ( x ) al escribir las fracciones parciales como A a 1 x + b 1 + B a 2 x + b 2 . Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el . La descomposición de P ( x ) Q ( x ) con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el . La descomposición de P ( x ) Q ( x ) con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en A x + B x + C ( a x 2 + b x + c ) . Vea el . En la descomposición de P ( x ) Q ( x ) , donde Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como A x + B ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + ⋯ + A n x + B n ( a x 2 + b x + c ) n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Se puede descomponer cualquier cociente de polinomios en al menos dos fracciones parciales? Si es así, explique por qué, y si no es así, dé un ejemplo de dicha fracción No, un cociente de polinomios solo se puede descomponer si el denominador se puede factorizar. Por ejemplo, 1 x 2 + 1 no se puede descomponer porque el denominador no se puede factorizar. ¿Puede explicar por qué la descomposición parcial de fracciones es única? (Pista: Piense en ello como un sistema de ecuaciones). ¿Puede explicar cómo verificar gráficamente una descomposición parcial de fracciones? Haga un gráfico de ambos lados y asegúrese de que son iguales. No está seguro de haber descompuesto correctamente la fracción parcial. Explique cómo podría comprobar su respuesta. Una vez que tiene un sistema de ecuaciones generado por la descomposición parcial de fracciones, ¿puede explicar otro método para resolverlo? Por ejemplo, si tuviera 7 x + 13 3 x 2 + 8 x + 15 = A x + 1 + B 3 x + 5 , finalmente simplificamos a 7 x + 13 = A ( 3 x + 5 ) + B ( x + 1 ) . Explique cómo podría elegir inteligentemente un valor x que elimine A o B y resuelva para A y B . Si elegimos x = −1 , entonces el término B desaparece, dejándonos saber inmediatamente que A = 3. También podríamos introducir x = - 5 3 , lo que nos da un valor B de -2. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos. 5 x + 16 x 2 + 10 x + 24 3 x −79 x 2 −5 x −24 8 x + 3 - 5 x −8 - x −24 x 2 −2 x −24 10 x + 47 x 2 + 7 x + 10 1 x + 5 + 9 x + 2 x 6 x 2 + 25 x + 25 32 x −11 20 x 2 -13 x + 2 3 5 x −2 + 4 4 x −1 x + 1 x 2 + 7 x + 10 5 x x 2 −9 5 2 ( x + 3 ) + 5 2 ( x −3 ) 10 x x 2 −25 6 x x 2 -4 3 x + 2 + 3 x −2 2 x −3 x 2 −6 x + 5 4 x −1 x 2 - x −6 9 5 ( x + 2 ) + 11 5 ( x −3 ) 4 x + 3 x 2 + 8 x + 15 3 x −1 x 2 −5 x + 6 8 x −3 − 5 x −2 En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos. −5 x −19 ( x + 4 ) 2 x ( x −2 ) 2 1 x −2 + 2 ( x −2 ) 2 7 x + 14 ( x + 3 ) 2 −24 x −27 ( 4 x + 5 ) 2 − 6 4 x + 5 + 3 ( 4 x + 5 ) 2 −24 x −27 ( 6 x −7 ) 2 5 - x ( x −7 ) 2 - 1 x −7 − 2 ( x −7 ) 2 5 x + 14 2 x 2 + 12 x + 18 5 x 2 + 20 x + 8 2 x ( x + 1 ) 2 4 x - 3 2 ( x + 1 ) + 7 2 ( x + 1 ) 2 4 x 2 + 55 x + 25 5 x ( 3 x + 5 ) 2 54 x 3 + 127 x 2 + 80 x + 16 2 x 2 ( 3 x + 2 ) 2 4 x + 2 x 2 - 3 3 x + 2 + 7 2 ( 3 x + 2 ) 2 x 3 −5 x 2 + 12 x + 144 x 2 ( x 2 + 12 x + 36 ) En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo. 4 x 2 + 6 x + 11 ( x + 2 ) ( x 2 + x + 3 ) x + 1 x 2 + x + 3 + 3 x + 2 4 x 2 + 9 x + 23 ( x −1 ) ( x 2 + 6 x + 11 ) −2 x 2 + 10 x + 4 ( x −1 ) ( x 2 + 3 x + 8 ) 4 −3 x x 2 + 3 x + 8 + 1 x −1 x 2 + 3 x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 5 x −2 ) 4 x 2 + 17 x −1 ( x + 3 ) ( x 2 + 6 x + 1 ) 2 x −1 x 2 + 6 x + 1 + 2 x + 3 4 x 2 ( x + 5 ) ( x 2 + 7 x −5 ) 4 x 2 + 5 x + 3 x 3 −1 1 x 2 + x + 1 + 4 x −1 −5 x 2 + 18 x -4 x 3 + 8 3 x 2 −7 x + 33 x 3 + 27 2 x 2 −3 x + 9 + 3 x + 3 x 2 + 2 x + 40 x 3 -125 4 x 2 + 4 x + 12 8 x 3 −27 - 1 4 x 2 + 6 x + 9 + 1 2 x −3 -50 x 2 + 5 x −3 125 x 3 −1 −2 x 3 −30 x 2 + 36 x + 216 x 4 + 216 x 1 x + 1 x + 6 - 4 x x 2 −6 x + 36 En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible. 3 x 3 + 2 x 2 + 14 x + 15 ( x 2 + 4 ) 2 x 3 + 6 x 2 + 5 x + 9 ( x 2 + 1 ) 2 x + 6 x 2 + 1 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) 2 x 3 - x 2 + x −1 ( x 2 −3 ) 2 x 2 + 5 x + 5 ( x + 2 ) 2 x + 1 x + 2 + 2 x + 3 ( x + 2 ) 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x ( x 2 + 2 x + 9 ) 2 x 2 + 25 ( x 2 + 3 x + 25 ) 2 1 x 2 + 3 x + 25 − 3 x ( x 2 + 3 x + 25 ) 2 2 x 3 + 11 x 2 + 7 x + 70 ( 2 x 2 + x + 14 ) 2 5 x + 2 x ( x 2 + 4 ) 2 1 8 x – x 8 ( x 2 + 4 ) + 10 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2 x 4 + x 3 + 8 x 2 + 6 x + 36 x ( x 2 + 6 ) 2 2 x −9 ( x 2 - x ) 2 − 16 x - 9 x 2 + 16 x −1 - 7 ( x −1 ) 2 5 x 3 −2 x + 1 ( x 2 + 2 x ) 2 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial. x 2 + 4 ( x + 1 ) 3 1 x + 1 - 2 ( x + 1 ) 2 + 5 ( x + 1 ) 3 x 3 -4 x 2 + 5 x + 4 ( x −2 ) 3 En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial. 7 x + 8 + 5 x −2 − x −1 x 2 −6 x −16 5 x −2 − 3 10 ( x + 2 ) + 7 x + 8 - 7 10 ( x −8 ) 1 x -4 - 3 x + 6 - 2 x + 7 x 2 + 2 x −24 2 x x 2 −16 − 1 −2 x x 2 + 6 x + 8 - x −5 x 2 -4 x - 5 4 x - 5 2 ( x + 2 ) + 11 2 ( x + 4 ) + 5 4 ( x + 4 ) fracciones parciales las fracciones individuales que componen la suma o la diferencia de una expresión racional antes de combinarlas en una expresión racional simplificada descomposición parcial de fracciones el proceso de devolver una expresión racional simplificada a su forma original, una suma o diferencia de expresiones racionales más simples

Matemáticas


Matrices y operaciones con matrices Objetivos de aprendizaje Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1) Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar Objetivo 1: Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1) Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión m×n. Cada número de la matriz se llama elemento o entrada de la matriz. La matriz de la izquierda de abajo tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene orden 2×3. Decimos que es una matriz 2 por 3. Utilizaremos una matriz para representar sistemas de ecuaciones. Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes. Una línea vertical sustituye los signos de igual . Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones. Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada Ⓐ 3 x y = 1 2 y = 2 x + 5 Ⓑ 4 x + 3 y = 2 x 2 y 3 z = 7 2 x y + 2 z = 6 Ⓐ Primero, reescribimos la segunda ecuación en forma estándar 3 x y = 1 2 x + 2 y = 5 A continuación, escribimos la matriz aumentada 3 x y = 1 2 x + 2 y = 5 ⇒ [ 3 −1 −2 2 | −1 5 ] x y Ⓑ Cada ecuación tiene una forma estándar Escriba la matriz aumentada 4 x + 3 y = 2 x 2 y 3 z = 7 2 x y + 2 z = 6 ⇒ [ 4 3 0 1 −2 −3 2 −1 2 | −2 7 −6 ] x y z La práctica hace la perfección Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada 2 x 5 y = 3 4 x = 3 y 1 4 x + 3 y 2 z = 3 2 x + y 3 z = 4 – x 4 y + 5 z = 2 Objetivo 2: Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes. Para ello, las entradas deben corresponder . Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones . Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3, pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán su correspondiente entrada en la otra matriz. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar. Ⓐ Sume las dos matrices A = a b c d B = e f g h Ⓑ Reste las dos matrices A = 2 4 5 3 B = 6 9 7 8 Ⓒ Multiplique la matriz A = 2 4 5 3 por 5. Ⓐ A + B = a b c d + e f g h = a + e b + f c + g d + h Ⓑ A B = 2 4 5 3 6 9 7 8 = 2 6 4 9 5 7 3 8 = 4 13 2 5 Ⓒ 5 A = 5 ( 2 ) 5 ( 4 ) 5 ( 5 ) 5 ( 3 ) = 10 20 25 15 La práctica hace la perfección Realice las operaciones indicadas Sume las dos matrices A = l m n p B = q r s t Reste las dos matrices A = 3 2 1 0 B = – 5 4 1 5 Multiplique la matriz A = 2 4 5 3 por –2 Calcule 2 A + 3 B cuando A = 1 6 4 8 y B = 1 5 3 1 (Créditos: "SD Dirk", Flickr). Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La muestra las necesidades de ambos equipos. Wildcats Mud Cats Porterías 6 10 Pelotas 30 24 Camisetas 14 20 Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento. Hallar la suma y la diferencia de dos matrices Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz , que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada , a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas A , B , y C se muestran a continuación. A = [ 1 2 3 4 ] , B = [ 1 2 7 0 −5 6 7 8 2 ] , C = [ −1 0 3 3 2 1 ] Descripción de matrices A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones: m × n indicando m filas y n columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz A identificada como a i j , buscamos la entrada en la fila i , columna j . En la matriz A , que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es a 23 . A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones n × n , lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz 3 × 3 La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada. Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones 1 × n . [ a 11 a 12 a 13 ] Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones m × 1. [ a 11 a 21 a 31 ] Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas. Matrices Una matriz es un conjunto rectangular de números que se suele nombrar con una letra mayúscula A , B , C , y así sucesivamente. Cada entrada de una matriz se denomina a i j , de manera que i representa la fila y j representa la columna. Las matrices suelen denominarse por sus dimensiones m × n indicando m filas y n columnas. Hallar las dimensiones de la matriz dada y localizar las entradas Matriz dada A : Ⓐ ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz A ? Ⓑ ¿Cuáles son las entradas en a 31 y a 22 ? A = [ 2 1 0 2 4 7 3 1 - 2 ] Ⓐ Las dimensiones son 3 × 3 porque hay tres filas y tres columnas. Ⓑ Entrada a 31 es el número de la fila 3, columna 1, que es el 3. La entrada a 22 es el número de la fila 2, columna 2, que es el 4. Recuerde que primero va la fila y luego la columna. Suma y resta de matrices Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes. Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones . Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3 , pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz. Suma y resta de matrices Dadas las matrices A y B de dimensiones similares, la suma y la resta de A y B producirá la matriz C o la matriz D de la misma dimensión. A + B = C tal que a i j + b i j = c i j A - B = D tal que a i j − b i j = d i j La suma de matrices es conmutativa. A + B = B + A También es asociativa. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Calcular la suma de matrices Calcule la suma de A y B , dado A = [ a b c d ] y B = [ e f g h ] Sume las entradas correspondientes. A + B = [ a b c d ] + [ e f g h ] = [ a + e b + f c + g d + h ] Sumar la matriz A y la matriz B Calcule la suma de A y B . A = [ 4 1 3 2 ] y B = [ 5 9 0 7 ] Sume las entradas correspondientes. Sume la entrada en la fila 1, columna 1, a 11 , de la matriz A a la entrada de la fila 1, columna 1, b 11 , de B . Continúe el patrón hasta que se hayan sumado todas las entradas. A + B = [ 4 1 3 2 ] + [ 5 9 0 7 ] = [ 4 + 5 1 + 9 3 + 0 2 + 7 ] = [ 9 10 3 9 ] Calcular la diferencia de dos matrices Calcule la diferencia de A y B . A = [ −2 3 0 1 ] y B = [ 8 1 5 4 ] Restamos las entradas correspondientes de cada matriz. A - B = [ - 2 3 0 1 ] - [ 8 1 5 4 ] = [ - 2 - 8 3 - 1 0 − 5 1 - 4 ] = [ − 10 2 - 5 - 3 ] Calcular la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3 Dados A y B : Ⓐ Calcule la suma. Ⓑ Calcule la diferencia. A = [ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ] y B = [ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ] Ⓐ Sume las entradas correspondientes. A + B = [ 2 - 10 - 2 14 12 10 4 – 2 2 ] + [ 6 10 - 2 0 − 12 - 4 − 5 2 - 2 ] = [ 2 + 6 - 10 + 10 - 2 - 2 14 + 0 12 − 12 10 – 4 4 − 5 - 2 + 2 2 - 2 ] = [ 8 0 - 4 14 0 6 - 1 0 0 ] Ⓑ Reste las entradas correspondientes. A - B = [ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ] - [ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ] = [ 2 - 6 −10 - 10 −2 + 2 14 − 0 12 + 12 10 + 4 4 + 5 −2 - 2 2 + 2 ] = [ -4 -20 0 14 24 14 9 -4 4 ] Ejercicio Sume la matriz A y la matriz B . A = [ 2 6 1 0 1 −3 ] y B = [ 3 −2 1 5 -4 3 ] A + B = [ 2 1 1 6    0 −3 ] + [ 3 1 -4 −2 5 3 ] = [ 2 + 3 1 + 1 1 + ( –4 ) 6 + ( −2 ) 0 + 5 −3 + 3 ] = [ 5 2 −3 4 5 0 ] Hallar múltiplos escalares de una matriz Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar. Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la . Laboratorio A Laboratorio B Computadoras 15 27 Mesas de computadora 16 34 Sillas 16 34 Al convertir los datos en una matriz, tenemos C 2013 = [ 15 16 16 27 34 34 ] Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz C por 0,15. ( 0,15 ) C 2013 = [ ( 0,15 ) 15 ( 0,15 ) 16 ( 0,15 ) 16 ( 0,15 ) 27 ( 0,15 ) 34 ( 0,15 ) 34 ] = [ 2,25 2,4 2,4 4,05 5,1 5,1 ] Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es [ 3 3 3 5 6 6 ] Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario. [ 15 16 16 27 34 34 ] + [ 3 3 3 5 6 6 ] = [ 18 19 19 32 40 40 ] Esto significa que C 2014 = [ 18 19 19 32 40 40 ] Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas. Multiplicación escalar La multiplicación escalar consiste en hallar el producto de una constante por cada entrada de la matriz. Dado A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] el múltiplo escalar c A es c A = c [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = [ c a 11 c a 12 c a 21 c a 22 ] La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices A , B , y C con escalares a y b , a ( A + B ) = a A + a B ( a + b ) A = a A + b A Multiplicar la matriz por un escalar Multiplique la matriz A por el escalar 3. A = [ 8 1 5 4 ] Multiplique cada entrada en A por el escalar 3. 3 A = 3 [ 8 1 5 4 ] = [ 3 ⋅ 8 3 ⋅ 1 3 ⋅ 5 3 ⋅ 4 ] = [ 24 3 15 12 ] Ejercicio Matriz dada B , halle −2 B donde B = [ 4 1 3 2 ] −2 B = [ −8 −2 −6 -4 ] Calcular la suma de múltiplos escalares Calcule la suma 3 A + 2 B . A = [ 1 −2 0 0 −1 2 4 3 −6 ] y B = [ −1 2 1 0 −3 2 0 1 -4 ] En primer lugar, calcule 3 A , entonces 2 B . 3 A = [ 3 ⋅ 1 3 ( −2 ) 3 ⋅ 0 3 ⋅ 0 3 ( –1 ) 3 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 3 3 ( −6 ) ] = [ 3 −6 0 0 −3 6 12 9 -18 ] 2 B = [ 2 ( –1 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 ( −3 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 0 2 ⋅ 1 2 ( –4 ) ] = [ −2 4 2 0 −6 4 0 2 −8 ] Ahora, sume 3 A + 2 B . 3 A + 2 B = [ 3 −6 0 0 −3 6 12 9 -18 ] + [ −2 4 2 0 −6 4 0 2 −8 ] = [ 3 - 2 −6 + 4 0 + 2 0 + 0 −3 − 6 6 + 4 12 + 0 9 + 2 -18 −8 ] = [ 1 −2 2 0 −9 10 12 11 − 26 ] Calcular la multiplicación de dos matrices Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de A es una matriz m × r y B es una matriz r × n , entonces la matriz producto A B es una matriz m × n . Por ejemplo, el producto A B es posible porque el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B . Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido. Multiplicamos las entradas de A con entradas de B de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales. Para obtener las entradas de la fila i de A B , multiplicamos las entradas de la fila i de A por columna j en B y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices A y B , donde las dimensiones de A son 2 × 3 y las dimensiones de B son 3 × 3 , el producto de A B será una matriz 2 × 3 . A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] y B = [ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ] Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto A B . Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de A B , multiplique la primera fila de A por la primera columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 11 b 21 b 31 ] = a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de A B , multiplique la primera fila de A por la segunda columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 12 b 22 b 32 ] = a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de A B , multiplique la primera fila de A por la tercera columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 13 b 23 b 33 ] = a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de A B . En otras palabras, la fila 2 de A por la columna 1 de B ; fila 2 de A por la columna 2 de B ; fila 2 de A por la columna 3 de B . Cuando se haya culminado, la matriz producto será A B = [ a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 a 21 ⋅ b 11 + a 22 ⋅ b 21 + a 23 ⋅ b 31 a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 a 21 ⋅ b 12 + a 22 ⋅ b 22 + a 23 ⋅ b 32 a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 a 21 ⋅ b 13 + a 22 ⋅ b 23 + a 23 ⋅ b 33 ] Propiedades de la multiplicación de matrices Para las matrices A , B , y C las siguientes propiedades se mantienen. La multiplicación de matrices es asociativa: ( A B ) C = A ( B C ) . La multiplicación de matrices es distributiva: C ( A + B ) = C A + C B , ( A + B ) C = A C + B C . Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Multiplicación de dos matrices Multiplique la matriz A y la matriz B . A = [ 1 2 3 4 ] y B = [ 5 6 7 8 ] Primero, comprobamos las dimensiones de las matrices. La matriz A tiene dimensiones 2 × 2 y la matriz B tiene dimensiones 2 × 2. Las dimensiones interiores son las mismas por lo que podemos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones 2 × 2. Realizamos las operaciones descritas anteriormente. Multiplicación de dos matrices Dados A y B : Ⓐ Calcule A B . Ⓑ Calcule B A . A = [ −1 2 3 4 0 5 ] y B = [ 5 -4 2 −1 0 3 ] Ⓐ Como las dimensiones de A son 2 × 3 y las dimensiones de B son 3 × 2 , estas matrices pueden multiplicarse entre sí porque el número de columnas de A coincide con el número de filas de B . El producto resultante será una matriz 2 × 2 , el número de filas de A por el número de columnas de B . A B = [ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 − 4 0 2 3 ] = [ −1 ( 5 ) + 2 ( –4 ) + 3 ( 2 ) −1 ( –1 ) + 2 ( 0 ) + 3 ( 3 ) 4 ( 5 ) + 0 ( –4 ) + 5 ( 2 ) 4 ( –1 ) + 0 ( 0 ) + 5 ( 3 ) ] = [ −7 10 30 11 ] Ⓑ Las dimensiones de B son 3 × 2 y las dimensiones de A son 2 × 3. Las dimensiones interiores coinciden, por lo que el producto está definido y será una matriz 3 × 3 . B A = [ 5 −1 -4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] = [ 5 ( –1 ) + −1 ( 4 ) 5 ( 2 ) + −1 ( 0 ) 5 ( 3 ) + −1 ( 5 ) -4 ( –1 ) + 0 ( 4 ) -4 ( 2 ) + 0 ( 0 ) -4 ( 3 ) + 0 ( 5 ) 2 ( –1 ) + 3 ( 4 ) 2 ( 2 ) + 3 ( 0 ) 2 ( 3 ) + 3 ( 5 ) ] = [ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] Análisis Tenga en cuenta que los productos A B y B A no son iguales. A B = [ −7 10 30 11 ] ≠ [ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] = B A Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible que se defina AB pero no BA ? Sí, consideremos una matriz A de dimensión 3 × 4 y la matriz B con dimensión 4 × 2. Para el producto AB las dimensiones interiores son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA las dimensiones interiores son 2 y 3 por lo que el producto no está definido. Usar matrices en problemas del mundo real Volvamos al problema presentado al principio de esta sección. Tenemos la , que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol. Wildcats Mud Cats Porterías 6 10 Pelotas 30 24 Camisetas 14 20 También se nos facilitan los precios de los equipos, como se indica en la . Meta 300 dólares Balón 10 dólares Camiseta 30 dólares Convertiremos los datos en matrices. Así, la matriz de necesidades de equipamiento se escribe como E = [ 6 30 14 10 24 20 ] La matriz de costos se escribe como C = [ 300 10 30 ] Realizamos una multiplicación de matrices para obtener los costos de los equipos C E = [ 300 10 30 ] [ 6 10 30 24 14 20 ] = [ 300 ( 6 ) + 10 ( 30 ) + 30 ( 14 ) 300 ( 10 ) + 10 ( 24 ) + 30 ( 20 ) ] = [ 2.520 3.840 ] El costo total del equipamiento de los Wildcats es de 2.520 dólares y el de los Mud Cats de 3.840 dólares. Cómo Dada una operación de matrices, evalúe utilizando una calculadora. Guarde cada matriz como una variable de matriz. [ A ] , [ B ] , [ C ] , ... Introduzca la operación en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario. Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error. Usar una calculadora para realizar operaciones con matrices Calcule A B − C dado A = [ −15 25 32 41 −7 −28 10 34 −2 ] , B = [ 45 21 -37 −24 52 19 6 −48 −31 ] , y C = [ -100 -89 −98 25 -56 74 –67 42 -75 ] . En la página de matrices de la calculadora, introducimos la matriz A arriba como la variable de la matriz [ A ] , B arriba como la variable de la matriz [ B ] , y la matriz C arriba como la variable de la matriz [ C ] . En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y llamamos a cada variable de la matriz según sea necesario. [ A ] [ B ] - [ C ] La calculadora nos da la siguiente matriz. [ − 983 − 462 136 1 , 820 1 , 897 − 856 − 311 2 , 032 413 ] Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las matrices y las operaciones con matrices. Dimensiones de una matriz Suma y resta de matrices Operaciones con matrices Multiplicación de matrices Conceptos clave Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas. Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de 3 × 2 matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el . Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el , el , el y el . La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el . La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el . La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. La multiplicación de dos matrices, A y B , se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de A por cada entrada de la columna 1 de B ; y multiplicar cada entrada de la fila 1 de A por cada entrada en las columnas 2 de B , y así sucesivamente. Vea el y el . Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el . Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Podemos sumar dos matrices cualesquiera? Si es así, explique por qué; si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices que no puedan sumarse. No, deben tener las mismas dimensiones. Un ejemplo sería el de dos matrices de diferentes dimensiones. No se pueden sumar las dos matrices siguientes porque la primera es una matriz 2 × 2 y la segunda es una matriz 2 × 3 . [ 1 2 3 4 ] + [ 6 5 4 3 2 1 ] no tiene suma. ¿Podemos multiplicar cualquier matriz de columnas por cualquier matriz de filas? Explique por qué sí o por qué no. ¿Se pueden definir los productos A B y B A ? Si es así, explique cómo; si no, explique por qué. Sí, si las dimensiones de A son m × n y las dimensiones de B son n × m , ambos productos se definirán. ¿Dos matrices del mismo tamaño se pueden multiplicar? Si es así, explique por qué, y si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices del mismo tamaño que no se puedan multiplicar juntas. ¿La multiplicación de matrices es conmutativa? Es decir, ¿es A B = B A ? Si es así, demuestre por qué lo es. Si no, explique por qué no lo es. No necesariamente. Para hallar A B , multiplicamos la primera fila de A por la primera columna de B para obtener la primera entrada de A B . Para calcular B A , multiplicamos la primera fila de B por la primera columna de A para obtener la primera entrada de B A . Por lo tanto, si estos no son iguales, entonces la multiplicación de matrices no es conmutativa. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida. A = [ 1 3 0 7 ] , B = [ 2 14 22 6 ] , C = [ 1 5 8 92 12 6 ] , D = [ 10 14 7 2 5 61 ] , E = [ 6 12 14 5 ] , F = [ 0 9 78 17 15 4 ] A + B C + D [ 11 19 15 94 17 67 ] A + C B − E [ -4 2 8 1 ] C + F D − B No identificado; las dimensiones no coinciden En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar. A = [ 4 6 13 12 ] , B = [ 3 9 21 12 0 64 ] , C = [ 16 3 7 18 90 5 3 29 ] , D = [ 18 12 13 8 14 6 7 4 21 ] 5 A 3 B [ 9 27 63 36 0 192 ] −2 B -4 C [ -64 −12 −28 -72 −360 -20 −12 −116 ] 1 2 C 100 D [ 1 , 800 1 , 200 1 , 300 800 1 , 400 600 700 400 2 , 100 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación. A = [ −1 5 3 2 ] , B = [ 3 6 4 −8 0 12 ] , C = [ 4 10 −2 6 5 9 ] , D = [ 2 −3 12 9 3 1 0 8 −10 ] A B B C [ 20 102 28 28 ] C A B D [ 60 41 2 −16 120 −216 ] D C C B [ −68 24 136 -54 −12 64 -57 30 128 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. A = [ 2 −5 6 7 ] , B = [ −9 6 -4 2 ] , C = [ 0 9 7 1 ] , D = [ −8 7 −5 4 3 2 0 9 2 ] , E = [ 4 5 3 7 −6 −5 1 0 9 ] A + B − C 4 A + 5 D Es indefinido; las dimensiones no coinciden. 2 C + B 3 D + 4 E [ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ] C -0,5 D 100 D −10 E [ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 = A ⋅ A ) A = [ −10 20 5 25 ] , B = [ 40 10 -20 30 ] , C = [ −1 0 0 −1 1 0 ] A B B A [ −350 1 , 050 350 350 ] C A B C Es Indefinido; las dimensiones interiores no coinciden. A 2 B 2 [ 1 , 400 700 −1 , 400 700 ] C 2 B 2 A 2 [ 332 , 500 927 , 500 −227 , 500 87 , 500 ] A 2 B 2 ( A B ) 2 [ 490 , 000 0 0 490 , 000 ] ( B A ) 2 En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 = A ⋅ A ) A = [ 1 0 2 3 ] , B = [ −2 3 4 −1 1 −5 ] , C = [ 0,5 0,1 1 0,2 -0,5 0,3 ] , D = [ 1 0 −1 −6 7 5 4 2 1 ] A B [ −2 3 4 −7 9 −7 ] B A B D [ -4 29 21 −27 −3 1 ] D C D 2 [ −3 −2 −2 −28 59 46 -4 16 7 ] A 2 D 3 [ 1 -18 −9 −198 505 369 -72 126 91 ] ( A B ) C A ( B C ) [ 0 1,6 9 −1 ] En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución. A = [ −2 0 9 1 8 −3 0,5 4 5 ] , B = [ 0,5 3 0 -4 1 6 8 7 2 ] , C = [ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ] A B B A [ 2 24 -4,5 12 32 −9 −8 64 61 ] C A B C [ 0,5 3 0,5 2 1 2 10 7 10 ] A B C Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada. B = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] B 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B 3 B 4 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B 5 Utilizando las preguntas anteriores, halle una fórmula para B n . Pruebe la fórmula para B 201 y B 202 , utilizando una calculadora. B n = { [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , n par, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] , n impar . columna un conjunto de números alineados verticalmente en una matriz entrada un elemento, coeficiente o constante de una matriz matriz un conjunto rectangular de números fila un conjunto de números alineados horizontalmente en una matriz múltiplo escalar una entrada de una matriz que ha sido multiplicada por un escalar

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