ANOVA de una vía El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas) . El factor es una variable categórica. La respuesta es una variable numérica. Hipótesis nula y alternativa La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k : H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = ... μ k H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 , . . . , μ k no son iguales. Eso es, μ i ≠ μ j para algunos i ≠ j . Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones. Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde). (a) H 0 es verdadero. Todas las medias son iguales; las diferencias se deben a la variación aleatoria. (b) H 0 no es verdadero. Todas las medias no son iguales; las diferencias son demasiado grandes para deberse a una variación aleatoria. Repaso del capítulo El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son? Escriba un supuesto. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Escriba otro supuesto. Escriba un tercer supuesto. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Escriba un cuarto supuesto. Tarea para la casa Se han probado tres rutas de tráfico diferentes para el tiempo medio de conducción. Las entradas de la son los tiempos de conducción en minutos en las tres rutas diferentes. Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 30 27 16 32 29 41 27 28 22 35 36 31 Indique la SS entre , la SS dentro y el estadístico F . SS entre = 26 SS dentro = 441 F = 0,2653 Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x – = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Plantee las hipótesis. H 0 : ____________ H a : ____________ Análisis de varianza también denominado ANOVA, es un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no. El método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. hay una variable independiente y una variable dependiente. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . ANOVA de una vía un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no; el método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media; el cuadrado de la desviación típica. Para un conjunto de datos, una desviación se puede representar como x – x – donde x es un valor de los datos y x – es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.

Matemáticas


La distribución F y el cociente F La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución F , inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador. Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F 4, 10 . Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza. Varianza entre muestras : Una estimación de σ 2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada. Varianza dentro de las muestras : Una estimación de σ 2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada. SS entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras SS dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar. Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA . MS significa “ media cuadrática “ (mean square, MS). MS entre es la varianza entre grupos y MS dentro es la varianza dentro de los grupos. Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática k = el número de grupos diferentes n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑ n j ) x = un valor: ∑ x = ∑ s j Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑ x 2 Variabilidad entre grupos: SS total = ∑ x 2 – ( ∑ x 2 ) n Suma total de cuadrados: ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras: SS entre = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: S S dentro = S S total – S S entre df de diferentes grupos ( df para el numerador): df = k – 1 Ecuación para los errores dentro de las muestras ( df para el denominador): df dentro = n – k Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS entre = S S entre d e entre Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS dentro = S S dentro d e dentro MS entre y MS dentro se pueden escribir como sigue: M S entre = S S entre d e entre = S S entre k – 1 M S w i t h i n = S S w i t h i n d e w i t h i n = S S w i t h i n n – k La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS dentro . La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS entre como MS dentro deberían estimar el mismo valor. Nota La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales. El cociente F o estadístico F F = M S entre M S dentro Si MS entre y MS dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H 0 es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS entre será generalmente mayor que MS dentro . Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS dentro sea mayor en una muestra determinada. Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como: Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño F = n ⋅ s x – 2 s 2 combinada donde... n = el tamaño de la muestra df numerador = k – 1 df denominador = n – k s 2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) s x – 2 = la varianza de las medias muestrales Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares. Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) SS (factor) k – 1 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) F = MS (Factor)/ MS (Error) Error SS (error) n – k MS (error) = SS (error)/( n – k ) Total SS (total) n – 1 Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Plan 1: n 1 = 4 Plan 2: n 2 = 3 Plan 3: n 3 = 3 5 3,5 8 4,5 7 4 4 3,5 3 4,5 s 1 = 16,5, s 2 =15, s 3 = 15,5 A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis. S S ( entre ) = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n = s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 – ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10 donde n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 3 y n = n 1 + n 2 + n 3 = 10 = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 – ( 16,5 + 15 + 15,5 ) 2 10 S S ( entre ) = 2,2458 S ( t o t a l ) = ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n = ( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 ) – ( 5 + 4,5 + 4 + 3 + 3,5 + 7 + 4,5 + 8 + 4 + 3,5 ) 2 10 = 244 – 47 2 10 = 244 – 220,9 S S ( t o t a l ) = 23,1 S S ( dentro ) = S S ( t o t a l ) – S S ( entre ) = 23,1 – 2,2458 S S ( dentro ) = 20,8542 Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) SS (factor) = SS (entre) = 2,2458 k – 1 = 3 grupos – 1 = 2 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) = 2,2458/2 = 1,1229 F = MS (Factor)/ MS (Error) = 1,1229/2,9792 = 0,3769 Error SS (error) = SS = 20,8542 n – k = 10 datos totales – 3 grupos = 7 MS (error) = SS (error)/( n – k ) = 20,8542/7 = 2,9792 Total SS (total) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1 n – 1 = 10 datos totales – 1 = 9 Ejercicio Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos suelo desnudo cubierta de suelo comercial plástico negro paja compost Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas: Desnudo: n 1 = 3 Cubierta del suelo: n 2 = 3 Plástico: n 3 = 3 Paja: n 4 = 3 Compost: n 5 = 3 2.625 5.348 6.583 7.285 6.277 2.997 5.682 8.560 6.897 7.818 4.915 5.482 3.830 9.230 8.677 Cree la tabla ANOVA de una vía. Introduzca los datos en las listas L1, L2, L3, L4 y L5. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo a ANOVA. Pulse ENTER e introduzca L1, L2, L3, L4, L5). Pulse ENTER. La tabla se completó con los resultados de la calculadora. Tabla de ANOVA de una vía: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36 , 648 , 561 4 = 9 , 162 , 140 9 , 162 , 140 2 , 044 , 672,6 = 4,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20 , 446 , 726 10 = 2 , 044 , 672,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H 0 . Volvamos al ejercicio de los tomates bola en la sección INTÉNTELO 12.2 . Las medias de los rendimientos de los tomates en las cinco condiciones de cubierta están representadas por μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 , μ 5 . Realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si todas las medias son iguales o al menos una es diferente. Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia en los rendimientos medios entre los cinco grupos contra la hipótesis alternativa de que, al menos, una media es diferente del resto. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36.648.561 4 = 9.162.140 9.162.140 2.044.672 0,6 = 4 0,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20.446.726 10 = 2.044.672 0,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 Distribución para la prueba: F 4, 10 df ( num ) = 5 – 1 = 4 df ( denom ) = 15 – 5 = 10 Estadístico de prueba: F = 4,4810 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 4,481) = 0,0248. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,0248 Tome una decisión: Dado que α > valor p , no podemos aceptar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 % tenemos pruebas razonablemente sólidas de que las diferencias en los rendimientos medios de las plantas de tomate de corte cultivadas en diferentes condiciones de cubierta de suelo es poco probable que se deban únicamente al azar. Podemos concluir que, al menos, algunas de las cubiertas produjeron diferentes rendimientos medios. Ejercicio El SARM, o Staphylococcus aureus resistente a la meticilina , puede causar una grave infección bacteriana en pacientes del hospital. La muestra varios recuentos de colonias de diferentes pacientes que pueden o no tener SARM. Los datos de la tabla se representan en la . Conc. = 0,6 Conc. = 0,8 Conc. = 1,0 Conc. = 1,2 Conc. = 1,4 9 16 22 30 27 66 93 147 199 168 98 82 120 148 132 Gráfico de los datos para las diferentes concentraciones: Compruebe si el número medio de colonias es igual o es diferente. Construya la tabla de ANOVA, calcule el valor p y exponga su conclusión. Utilice un nivel de significación del 5 %. Aunque hay diferencias en los márgenes entre los grupos (consulte la ), no parecen ser tan grandes como para preocupar. Comprobamos la igualdad del número medio de colonias: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : μ i ≠ μ j algún i ≠ j Los resultados de la tabla ANOVA de una vía se muestran en la . Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 10.233 5 – 1 = 4 10.233 4 = 2.558 0,25 2.558 0,25 4.194 0,9 = 0 0,6099 Error (dentro) 41.949 15 – 5 = 10 Total 52.182 15 – 1 = 14 41.949 10 = 4.194 0,9 Distribución para la prueba: F 4, 10 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 0,6099) = 0,6649. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,669, α > valor p Tome una decisión: Dado que α > valor p , no rechazamos H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes a partir de estos datos de que los diferentes niveles de triptona causen una diferencia significativa en el número medio de colonias bacterianas. Cuatro hermandades de mujeres tomaron una muestra aleatoria de hermanas en relación con su media de calificaciones para el último trimestre. Los resultados se muestran en la . Media de notas de las cuatro hermandades Hermandad 1 Hermandad 2 Hermandad 3 Hermandad 4 2,17 2,63 2,63 3,79 1,85 1,77 3,78 3,45 2,83 3,25 4,00 3,08 1,69 1,86 2,55 2,26 3,33 2,21 2,45 3,18 Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿existe una diferencia en las notas medias entre las hermandades? Supongamos que μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son las medias poblacionales de las hermandades de mujeres. Recuerde que la hipótesis nula afirma que los grupos de hermandades de mujeres proceden de la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de hermandades de mujeres proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Observe que los cuatro tamaños de muestra son cinco cada uno. Nota Este es un ejemplo de diseño equilibrado , ya que cada factor (es decir, la hermandad) tiene el mismo número de observaciones. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : No todas las medias μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son iguales. Distribución para la prueba: F 3,16 donde k = 4 grupos y n = 20 muestras en total df ( num )= k – 1 = 4 – 1 = 3 df ( denom ) = n – k = 20 – 4 = 16 Calcule el estadístico de prueba: F = 2,23 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 2,23) = 0,1241 Compare α y el valor p : α = 0,01 valor p = 0,1241 α < valor p Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las notas medias de las hermandades de mujeres. Ejercicio Cuatro equipos deportivos tomaron una muestra aleatoria de jugadores en relación con su GPA del año pasado. Los resultados se muestran en la . Promedio general de los cuatro equipos deportivos Baloncesto Béisbol Hockey Lacrosse 3,6 2,1 4,0 2,0 2,9 2,6 2,0 3,6 2,5 3,9 2,6 3,9 3,3 3,1 3,2 2,7 3,8 3,4 3,2 2,5 Use un nivel de significación del 5 % y determine si existe una diferencia en el GPA entre los equipos. Con un valor p de 0,9271, no rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia entre el promedio general de los equipos deportivos. Una clase de cuarto grado está estudiando el ambiente. Una de las tareas consiste en cultivar plantas de judías en diferentes suelos. Tommy eligió cultivar sus plantas de judías en la tierra que encontró fuera de su aula mezclada con pelusa de secadora. Tara decidió cultivar sus plantas de judías en tierra para macetas comprada en el vivero local. Nick decidió cultivar sus plantas de judías en la tierra del jardín de su madre. No se utilizó ningún producto químico en las plantas, solo agua. Se cultivaron en el interior del aula junto a un gran ventanal. Cada niño cultivó cinco plantas. Al final del periodo de crecimiento se midió cada planta y se obtuvieron los datos (en pulgadas) que están en la . Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick 24 25 23 21 31 27 23 23 22 30 20 30 23 28 20 ¿Parece que los tres medios en los que se cultivaron las plantas de judías producen la misma altura media? Pruebe con un nivel de significación del 3 %. Esta vez, realizaremos los cálculos que conducen al estadístico F' . Observe que cada grupo tiene el mismo número de plantas, por lo que utilizaremos la fórmula F' = n ⋅ s x – 2 s 2 combinada . Primero, calcule la media muestral y la varianza de cada grupo. Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick Media muestral 24,2 25,4 24,4 Varianza de la muestra 11,7 18,3 16,3 Luego, calcule la varianza de las medias de los tres grupos (calcule la varianza de 24,2, 25,4 y 24,4). Varianza de las medias de los grupos = 0,413 = s x – 2 Entonces MS entre = n s x – 2 = (5)(0,413) donde n = 5 es el tamaño de la muestra (número de plantas que cultivó cada niño). Calcule la media de las tres varianzas de la muestra (calcule la media de 11,7, 18,3 y 16,3). Media de las varianzas de la muestra = 15,433 = s 2 combinada Entonces MS dentro = s 2 combinado = 15,433. El estadístico F (o cociente F ) es F = M S entre M S dentro = n s x – 2 s 2 p o o l e d = ( 5 ) ( 0,413 ) 15,433 = 0,134 Los dfs para el numerador = el número de grupos – 1 = 3 – 1 = 2. El dfs para el denominador = el número total de muestras – el número de grupos = 15 – 3 = 12 La distribución de la prueba es F 2, 12 y el estadístico F es F = 0,134 El valor p es P ( F > 0,134) = 0,8759. Decisión: Como α = 0,03 y el valor p = 0,8759, no se puede rechazar H 0 . (¿Por qué?) Conclusión: Con un nivel de significación del 3 %, a partir de los datos de la muestra, las pruebas no son suficientes para concluir que las alturas medias de las plantas de judías son diferentes. Notación La notación para la distribución F es F ~ F df ( num ), df ( denom ) donde df ( num ) = df entre y df ( denom ) = df dentro La media de la distribución F es μ = d e ( n u m ) d e ( d e n o m ) – 2 Referencias Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante) Repaso del capítulo El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA. Revisión de la fórmula S S entre = ∑  [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑  s j ) 2 n S S total = ∑  x 2 – ( ∑  x ) 2 n S S dentro = S S total – S S entre df entre = df ( num ) = k – 1 df dentro = df(denom) = n – k MS entre = S S entre d e entre MS dentro = S S dentro d e dentro F = M S entre M S dentro k = el número de grupos n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados x = un valor (una observación) de los datos s x – 2 = la varianza de las medias muestrales s 2 p o o l e d = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 216 202 170 198 213 165 240 284 182 187 228 197 176 210 201 ¿Cuál es el factor de la suma de cuadrados? 4.939,2 ¿Cuál es el error de la suma de los cuadrados? ¿Cuál es la df del numerador? 2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es el factor de la media cuadrática? 2.469,6 ¿Cuál es el error cuadrático medio? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,7416 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las datos en la son los goles por partido de los diferentes equipos. Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 1 2 0 3 2 3 1 4 0 2 1 4 3 4 0 3 2 4 0 2 ¿Cuál es SS entre ? ¿Cuál es la df del numerador? 3 ¿Cuál es MS entre ? ¿Cuál es SS dentro ? 13,2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es MS dentro ? 0,825 ¿Cuál es el estadístico F ? A juzgar por el estadístico F , ¿cree que es probable o improbable que se rechace la hipótesis nula? Dado que una prueba ANOVA de una vía siempre tiene cola derecha, una estadística F alta corresponde a un valor p bajo, por lo que es probable que no aceptemos la hipótesis nula. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x – = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Hα : Al menos dos de las medias de grupo µ 1 , µ 2 , …, µ 5 no son iguales. grados de libertad – numerador: df ( num ) = _________ grados de libertad – denominador: df ( denom ) = ________ df ( denom ) = 15 estadístico F = ________

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Datos sobre la distribución F Estos son algunos datos sobre la distribución F . La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha. Hay una curva diferente para cada conjunto de grados de libertad. El estadístico F es mayor o igual a cero. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se aproxima a la normal, como puede verse en las dos figuras siguientes. La figura (b), con más grados de libertad, se acerca a la distribución normal mucho más, pero recuerde que la F no puede ser nunca menor que cero, por lo que la distribución no tiene una cola que llegue hasta el infinito por la izquierda, como ocurre con la distribución normal. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo. Referencias Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118. “MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012. Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association , 268, 1578-1580. Repaso del capítulo El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F . Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 12.3 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Siempre mire sus datos! ¿Qué valores puede tener un estadístico F ? ¿Qué ocurre con las curvas a medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador? Las curvas se aproximan a la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 36 32 48 38 41 42 35 50 44 39 51 38 39 46 40 ¿Cuál es el df(num) ? ¿Cuál es el df(denom) ? diez ¿Cuáles son los factores de la suma de los cuadrados y de las medias cuadráticas? ¿Cuáles son la suma de los cuadrados y los errores de la media cuadrática? SS = 237,33; MS = 23,73 ¿Cuál es el estadístico F ? ¿Cuál es el valor p ? 0,1614 Al nivel de significación del 5 %, ¿hay una diferencia en la altura media de los saltos entre los equipos? Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la Grupo A Grupo B Grupo C 101 151 101 108 149 109 98 160 198 107 112 186 111 126 160 ¿Cuál es el df(num) ? dos ¿Cuál es el df(denom) ? ¿Cuáles son la SS entre y la MS entre ? SS = 5.700,4; MS = 2.850,2 ¿Cuáles son la SS dentro y la MS dentro ? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,6101 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 10 %, ¿las puntuaciones entre los distintos grupos son diferentes? Sí, hay pruebas suficientes para demostrar que las calificaciones entre los grupos son estadísticamente significativas al nivel del 10 %. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Introduzca los datos en su calculadora o computadora. valor p = ______ Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ α = 0,01 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta las suyas con la fórmula B y Javier con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Use un nivel de significación del 10 % y pruebe la hipótesis de que las tres fórmulas producen el mismo aumento de peso medio. Peso de las ratas de laboratorio de los estudiantes Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 H 0 : µ L = µ T = µ J H a : al menos dos de las medias son diferentes df ( num ) = 2; df ( denom ) = 12 Distribución F 0,67 0,5305 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las medias son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados están en la . Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que las tres medias de las millas de desplazamiento son iguales. Clase trabajadora Profesionales (ingresos medios) Profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. Decoración del hogar Noticias Salud Computación 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que los cuatro tipos de revistas tienen la misma extensión media. Elimine un tipo de revista que ahora considere que tiene una extensión media diferente a las demás. Vuelva a realizar la prueba de hipótesis para probar que las tres medias restantes son estadísticamente iguales. Use una nueva hoja de soluciones. Según esta prueba, ¿las extensiones medias de las tres revistas restantes son estadísticamente iguales? H a : µ c = µ n = µ h Al menos dos de las revistas tienen extensiones medias diferentes. df ( num ) = 2, df ( denom ) = 12 Distribución F F = 15,28 valor p = 0,001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las longitudes medias de las revistas son diferentes. Un investigador quiere saber si los tiempos medios (en minutos) que las personas ven su canal de noticias favorito son iguales. Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. CNN FOX Local 45 15 72 12 43 37 18 68 56 38 50 60 23 31 51 35 22 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Las medias de los exámenes finales son iguales para todos los tipos de clases de Estadística? La muestra las calificaciones de los exámenes finales de varias clases seleccionadas al azar que utilizaron los diferentes tipos de entrega. En línea Híbrido En persona 72 83 80 84 73 78 77 84 84 80 81 81 81 86 79 82 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ o = μ h = μ f Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 13 F 2,13 0,64 0,5437 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Las calificaciones medias de la entrega de las distintas clases no son diferentes. ¿El número medio de veces al mes que una persona come fuera es el mismo para personas blancas, negras, hispanas y asiáticas? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Blancos Negros Hispanos Asiático 6 4 7 8 8 1 3 3 2 5 5 5 4 2 4 1 6 6 7 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Los números medios de visitantes diarios a una estación de esquí son iguales para los tres tipos de condiciones de nieve? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. En polvo De máquina Comprimida 1.210 2.107 2.846 1.080 1.149 1.638 1.537 862 2.019 941 1.870 1.178 1.528 2.233 1.382 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ p = μ m = μ h Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 12 F 2,12 3,13 0,0807 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que el número medio de visitantes diarios sea diferente. Sanjay hizo aviones de papel idénticos con tres pesos diferentes de papel: ligero, medio y pesado. Hizo cuatro aviones con cada uno de los pesos y los lanzó él mismo por la habitación. Aquí están las distancias (en metros) que volaron sus aviones. Tipo de papel/Ensayo Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Pesado 5,1 metros 3,1 metros 4,7 metros 5,3 metros Medio 4 metros 3,5 metros 4,5 metros 6,1 metros Ligero 3,1 metros 3,3 metros 2,1 metros 1,9 metros Observe los datos del gráfico. Observe la dispersión de los datos para cada grupo (ligero, medio y pesado). ¿Parece razonable suponer una distribución normal con la misma varianza para cada grupo? Sí o no. ¿Por qué es un diseño equilibrado? Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra para cada grupo. ¿El peso del papel influye en la distancia que recorrerá el avión? Use un nivel de significación del 1 %. Complete la prueba utilizando el método mostrado en el ejemplo de la planta de judías en el . varianza de las medias de los grupos __________ MS entre = ___________ media de las tres varianzas de la muestra ___________ MS dentro = _____________ estadístico F = ____________ df(num) = __________, df(denom) = ___________ número de grupos _______ número de observaciones _______ valor p = __________ ( P ( F > _______) = __________) Grafique el valor p . decisión: _______________________ conclusión: _______________________________________________________________ El dicloro difenil tricloroetano (DDT) es un pesticida cuyo uso se ha prohibido en Estados Unidos y en la mayoría de las zonas del mundo. Es bastante eficaz, pero persiste en el medio ambiente y, con el tiempo, se considera perjudicial para los organismos superiores. Se cree que las cáscaras de los huevos de las águilas y otras aves rapaces son más finas y propensas a romperse en el nido debido a la ingestión de DDT en la cadena alimentaria de las aves. Se realizó un experimento sobre el número de huevos (fecundidad) puestos por las hembras de la mosca de la fruta. Hay tres grupos de moscas. Un grupo fue criado para ser resistente al DDT (el grupo RS). Otro fue criado para ser especialmente susceptible al DDT (SS). Por último, había una línea de control de moscas de la fruta no seleccionadas o típicas (NS). Aquí están los datos: RS SS NS RS SS NS 12,8 38,4 35,4 22,4 23,1 22,6 21,6 32,9 27,4 27,5 29,4 40,4 14,8 48,5 19,3 20,3 16 34,4 23,1 20,9 41,8 38,7 20,1 30,4 34,6 11,6 20,3 26,4 23,3 14,9 19,7 22,3 37,6 23,7 22,9 51,8 22,6 30,2 36,9 26,1 22,5 33,8 29,6 33,4 37,3 29,5 15,1 37,9 16,4 26,7 28,2 38,6 31 29,5 20,3 39 23,4 44,4 16,9 42,4 29,3 12,8 33,7 23,2 16,1 36,6 14,9 14,6 29,2 23,6 10,8 47,4 27,3 12,2 41,7 Los valores son el número promedio de huevos puestos diariamente por cada una de las 75 moscas (25 en cada grupo) durante los primeros 14 días de su vida. Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿son diferentes las tasas medias de selección de huevos para las tres cepas de mosca de la fruta? Si es así, ¿de qué manera? Específicamente, los investigadores estaban interesados en saber si las cepas criadas selectivamente eran diferentes de la línea no seleccionada, y si las dos líneas seleccionadas eran diferentes entre sí. A continuación se muestra un gráfico de los tres grupos: Los datos parecen normalmente distribuidos en el gráfico y una dispersión similar. No parece haber ningún valor atípico grave, por lo que podemos seguir con nuestros cálculos de ANOVA, para ver si tenemos buenas pruebas de una diferencia entre los tres grupos. H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 ; H a : µ i ≠ ; algunos i ≠ j Defina μ 1 , μ 2 , μ 3 , como la media poblacional del número de huevos puestos por los tres grupos de moscas de la fruta. estadístico F = 8,6657; valor p = 0,0004 Decisión: como el valor p es inferior al nivel de significación de 0,01, rechazamos la hipótesis nula. Conclusión: tenemos buenas pruebas de que el número promedio de huevos puestos durante los primeros 14 días de vida de estas tres cepas de moscas de la fruta son diferentes. Curiosamente, si se realiza una prueba t de dos muestras para comparar los grupos RS y NS, son significativamente diferentes ( p = 0,0013). Asimismo, SS y NS son significativamente diferentes ( p = 0,0006). Sin embargo, los dos grupos seleccionados, RS y SS, no son significativamente diferentes ( p = 0,5176). Por lo tanto, parece que tenemos buenas pruebas de que la selección para la resistencia o para la susceptibilidad implica una tasa reducida de producción de huevos (para estas cepas específicas) en comparación con las moscas que no fueron seleccionadas para la resistencia o la susceptibilidad al DDT. Aquí, la selección genética ha implicado aparentemente una pérdida de fecundidad. Los datos que se muestran son las temperaturas corporales registradas de 130 sujetos estimadas a partir de histogramas disponibles. Tradicionalmente se nos enseña que la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 °F. Esto no es del todo correcto para todos. ¿Las temperaturas medias son diferentes entre los cuatro grupos? Calcule los intervalos de confianza del 95 % para la temperatura corporal media en cada grupo y comente los intervalos de confianza. FL FH ML MH FL FH ML MH 96,4 96,8 96,3 96,9 98,4 98,6 98,1 98,6 96,7 97,7 96,7 97 98,7 98,6 98,1 98,6 97,2 97,8 97,1 97,1 98,7 98,6 98,2 98,7 97,2 97,9 97,2 97,1 98,7 98,7 98,2 98,8 97,4 98 97,3 97,4 98,7 98,7 98,2 98,8 97,6 98 97,4 97,5 98,8 98,8 98,2 98,8 97,7 98 97,4 97,6 98,8 98,8 98,3 98,9 97,8 98 97,4 97,7 98,8 98,8 98,4 99 97,8 98,1 97,5 97,8 98,8 98,9 98,4 99 97,9 98,3 97,6 97,9 99,2 99 98,5 99 97,9 98,3 97,6 98 99,3 99 98,5 99,2 98 98,3 97,8 98 99,1 98,6 99,5 98,2 98,4 97,8 98 99,1 98,6 98,2 98,4 97,8 98,3 99,2 98,7 98,2 98,4 97,9 98,4 99,4 99,1 98,2 98,4 98 98,4 99,9 99,3 98,2 98,5 98 98,6 100 99,4 98,2 98,6 98 98,6 100,8

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Introducción La regresión lineal y la correlación pueden ayudarlo a determinar si el salario de un mecánico de automóviles está relacionado con su experiencia laboral (créditos: Joshua Rothhaas). Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es? En otro ejemplo, sus ingresos pueden estar determinados por su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad, o su sexo o color. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora. Estos ejemplos pueden o no estar vinculados con un modelo, lo que significa que alguna teoría sugirió que existe una relación. Este vínculo entre causa y efecto, a menudo denominado modelo, es la base del método científico y constituye el núcleo de la forma en que determinamos lo que creemos sobre el funcionamiento del mundo. El empezar con una teoría y desarrollar un modelo de la relación teórica debería dar como resultado una predicción, lo que hemos llamado antes una hipótesis. Ahora la hipótesis se refiere a un conjunto completo de relaciones. Por ejemplo, en economía el modelo de elección del consumidor se basa en supuestos relativos al comportamiento humano: el deseo de maximizar algo llamado utilidad, el conocimiento de los beneficios de un producto sobre otro, lo que gusta y no gusta, denominados generalmente preferencias, etc. Estos se combinan para darnos la curva de demanda. De ello se desprende la predicción de que, a medida que los precios suben, la cantidad demandada disminuye. La economía dispone de modelos sobre la relación entre los precios que se cobran por los bienes y la estructura de mercado en la que opera la empresa, monopolio versus competencia, por ejemplo. Los modelos de quiénes serían los más elegidos para un puesto de trabajo, las repercusiones de los cambios en la política de la Reserva Federal y el crecimiento de la economía, y un largo etcétera. Los modelos no son exclusivos de la economía, incluso dentro de las ciencias sociales. En la ciencias políticas, por ejemplo, existen modelos que predicen el comportamiento de los burócratas ante diversos cambios de circunstancias, basados en suposiciones sobre los objetivos de los burócratas. Existen modelos de comportamiento político que abordan la toma de decisiones estratégicas tanto en las relaciones internacionales como en la política interior. Las llamadas ciencias duras son, por supuesto, el origen del método científico, ya que a lo largo de los siglos intentaron explicar el confuso mundo que nos rodea. Algunos de los primeros modelos hoy nos hacen reír; la generación espontánea de la vida, por ejemplo. Estos primeros modelos se ven hoy como poco más que los mitos fundacionales que desarrollamos para poner algo de orden en lo que parecía un caos. La base de toda construcción de modelos es la afirmación, quizá arrogante, de que sabemos qué ha causado el resultado que vemos. Esto se plasma en el simple enunciado matemático de la forma funcional que y = f(x). La respuesta, Y, está causada por el estímulo, X. Todo modelo acabará llegando a este lugar final y será aquí donde la teoría vivirá o morirá. ¿Apoyarán los datos esta hipótesis? Si es así, está bien, creeremos esta versión del mundo hasta que una teoría mejor venga a sustituirla. Este es el proceso por el que pasamos de la Tierra plana a la Tierra redonda, del sistema solar centrado en la Tierra al sistema solar centrado en el sol, y así sucesivamente. El método científico no confirma una teoría para siempre: no demuestra la "verdad". Todas las teorías están sujetas a revisión y pueden revocarse. Estas son las lecciones que aprendimos cuando elaboramos por primera vez el concepto de la prueba de hipótesis al principio de este libro. Al comenzar esta sección, estos conceptos merecen ser revisados porque la herramienta que desarrollaremos aquí es la piedra angular del método científico y lo que está en juego es mayor. Las teorías completas se elevarán o caerán gracias a esta herramienta estadística; la regresión y las versiones más avanzadas se llaman econometría. En este capítulo comenzaremos con la correlación, la investigación de las relaciones entre variables que pueden o no estar fundadas en un modelo de causa y efecto. Las variables simplemente se mueven en la misma dirección o dirección contraria. Es decir, no se mueven al azar. La correlación proporciona una medida del grado en que esto es verdadero. A partir de ahí, desarrollamos una herramienta para medir las relaciones de causa y efecto: el análisis de regresión. Podremos formular modelos y pruebas para determinar si son estadísticamente sólidas. Si se comprueba que es así, podemos utilizarlas para hacer predicciones: si por política cambiáramos el valor de esta variable, ¿qué pasaría con esta otra? Si impusiéramos un impuesto a la gasolina de 50 céntimos por galón, ¿cómo incidiría eso en las emisiones de carbono, en las ventas de Hummers/Híbridos, en el empleo del transporte público, etc.? La capacidad de dar respuesta a este tipo de preguntas es el valor de la regresión como herramienta que nos permite entender nuestro mundo y tomar decisiones políticas meditadas.

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El coeficiente de correlación r Al comenzar esta sección, observamos que el tipo de datos con los que vamos a trabajar ha cambiado. Tal vez no se note, pero todos los datos que hemos estado utilizando son para una sola variable. Puede ser de dos muestras, pero sigue siendo una variable univariante. El tipo de datos descrito en los ejemplos anteriores y para cualquier modelo de causa y efecto son datos bivariados ; "bi" para dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes , es decir, muchas variables. Para nuestro trabajo, podemos clasificar los datos en tres grandes categorías: de series temporales, de sección transversal y de panel. Aprendimos sobre los dos primeros al inicio. Los datos de series temporales miden una única unidad de observación a medida que pasa el tiempo, por ejemplo, una persona, una compañía o un país. Lo que se mide serán al menos dos características, por ejemplo, los ingresos de la persona, la cantidad de un determinado bien que compra y el precio que ha pagado. Se trataría de tres informaciones en un tiempo, digamos 1985. Si siguiéramos a esa persona a lo largo del tiempo, tendríamos esos mismos datos para 1985, 1986, 1987, etc. Esto constituiría un conjunto de datos de series temporales. Si hiciéramos esto durante 10 años, tendríamos 30 datos sobre los hábitos de consumo de este bien por parte de esta persona durante la última década y conoceríamos sus ingresos y el precio que ha pagado. Un segundo tipo de conjunto de datos es el de los datos transversales. En este caso, la variación no es a través del tiempo para una sola unidad de observación, sino a través de las unidades de observación durante un punto en el tiempo. Para un tiempo determinado, reuniríamos el precio pagado, la cantidad comprada y los ingresos de muchas personas por separado. Un tercer tipo de conjunto de datos son los datos de panel. Aquí se sigue un panel de unidades de observación a lo largo del tiempo. Si retomamos el ejemplo anterior, podríamos seguir a 500 personas, la unidad de observación, a lo largo del tiempo, diez años, y así observar sus ingresos, el precio pagado y la cantidad del bien adquirido. Si tuviéramos 500 personas y datos durante diez años sobre el precio, los ingresos y la cantidad comprada, tendríamos 15.000 datos. Este tipo de conjuntos de datos son muy costosos de construir y mantener. Sin embargo, proporcionan una enorme cantidad de información que puede utilizarse para responder preguntas muy importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el efecto en la tasa de participación laboral de las mujeres a medida que su familia de origen, la madre y el padre, envejecen? ¿O existen efectos diferenciales en los resultados de salud, dependiendo de la edad a la que una persona empezó a fumar? Solo los datos de panel pueden dar respuesta a estas y otras cuestiones relacionadas, ya que debemos seguir a varias personas en el transcurso del tiempo. Sin embargo, el trabajo que realizamos aquí no será del todo apropiado para conjuntos de datos como estos. Partiendo de un conjunto de datos con dos variables independientes, nos preguntamos: ¿están relacionadas? Una forma de responder visualmente a esta pregunta es crear un gráfica de dispersión de los datos. Antes no podíamos hacerlo cuando hacíamos estadística descriptiva porque esos datos eran univariantes. Ahora tenemos datos bivariados, por lo que podemos trazar en dos dimensiones. Las tres dimensiones son posibles en un trozo de papel plano, pero resultan muy difíciles de conceptualizar por completo. Por supuesto, no se pueden representar gráficamente más de tres dimensiones, aunque las relaciones pueden medirse matemáticamente. Para dotar de precisión matemática a la medición de lo que vemos, utilizamos el coeficiente de correlación. La correlación nos dice algo sobre el movimiento conjunto de dos variables, pero nada sobre el motivo de este movimiento. Formalmente, en el análisis de correlación supone que las dos variables analizadas son independientes . Esto significa que ninguna de los dos provoca el movimiento de la otra. Además, significa que ninguna de las dos variables depende de la otra, ni de ninguna otra. Incluso con estas limitaciones, el análisis de correlación puede arrojar algunos resultados interesantes. El coeficiente de correlación, ρ (se pronuncia ro), es la estadística matemática para una población que nos proporciona una medida de la fuerza de una relación lineal entre las dos variables. Para una muestra de datos, la estadística r, desarrollada por Karl Pearson a principios de los 1900, es una estimación de la correlación de la población y se define matemáticamente como: r = 1 n – 1 Σ ( X 1 i – X – 1 ) ( X 2 i – X – 2 ) s x 1 s x 2 O r = Σ X 1 i X 2 i – n X – 1 – X – 2 ( Σ X 1 2 i – n X – 1 2 ) ( Σ X 2 2 i – n X – 2 2 ) donde s x1 y s x2 son las desviaciones típicas de las dos variables independientes X 1 y X 2 , X – 1 y X – 2 son las medias muestrales de las dos variables, y X 1i y X 2i son las observaciones individuales de X 1 y X 2 . El coeficiente de correlación r oscila entre -1 y 1. La segunda fórmula equivalente se utiliza a menudo porque puede ser más fácil de calcular. Aunque estas fórmulas parezcan espeluznantes, en realidad no son más que el cociente de la covarianza entre las dos variables y el producto de sus dos desviaciones típicas. Es decir, es una medida de las varianzas relativas. En la práctica, todos los análisis de regresión y correlación se realizarán mediante softwares diseñados para estos fines. Cualquier cosa que supere tal vez media docena de observaciones crea inmensos problemas computacionales. Por ello, la correlación y, más aun, la regresión, no fueron herramientas de investigación muy utilizadas hasta la llegada de las "máquinas de computación". En la actualidad, la potencia de cómputo necesaria para analizar los datos mediante paquetes de regresión se considera casi trivial en comparación con la de hace una década. Para visualizar cualquier relación lineal que pueda existir, vea el trazado de un diagrama de dispersión de los datos estandarizados. La presenta varios diagramas de dispersión y el valor calculado de r. Observe en los paneles (a) y (b) que los datos tienden generalmente a moverse juntos, (a) hacia arriba y (b) hacia abajo. El panel (a) es un ejemplo de correlación positiva y el panel (b) es un ejemplo de correlación o relación negativa. El signo del coeficiente de correlación nos indica si la relación es positiva o negativa (inversa). Si todos los valores de X 1 y X 2 se encuentran en una línea recta, el coeficiente de correlación será 1 o -1, dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa, y cuanto más se acerque a uno o a uno negativo, más fuerte será la relación entre las dos variables. RECUERDE SIEMPRE QUE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN NO NOS INDICA LA PENDIENTE. Recuerde que lo único que nos señala el coeficiente de correlación es si los datos están o no relacionados linealmente. En el panel (d) las variables tienen obviamente algún tipo de relación muy específica entre sí, pero el coeficiente de correlación es cero, lo que indica que no existe ninguna relación lineal . Si se sospecha que existe una relación lineal entre X 1 y X 2 , entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal. Lo que nos dice el VALOR de r : El valor de r está siempre entre –1 y +1: –1 ≤ r ≤ 1. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre X 1 y X 2 . Los valores de r cercanos a –1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre X 1 y X 2 . Si r = 0, no hay ninguna relación lineal entre X 1 y X 2 (no hay correlación lineal) . Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta: CUALQUIER línea recta sin importar la pendiente. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir. Lo que nos dice el SIGNO de r Un valor positivo de r significa que, cuando X 1 aumenta, X 2 tiende a aumentar y cuando X 1 disminuye, X 2 tiende a disminuir (correlación positiva) . Un valor negativo de r significa que, cuando X 1 aumenta, X 2 tiende a disminuir y cuando X 1 disminuye, X 2 tiende a aumentar (correlación negativa) . Nota Una fuerte correlación no sugiere que X 1 cause X 2 o que X 2 cause X 1 . Decimos que “la correlación no implica causalidad”. Para tener un coeficiente de correlación entre los rasgos A y B, es necesario tener: un grupo de sujetos, algunos de los cuales poseen características del rasgo A, el restante posee las del rasgo B medidas del rasgo A en un grupo de sujetos y del rasgo B en otro grupo dos grupos de sujetos, uno que podría clasificarse como A o no A, y el otro como B o no B dos grupos de sujetos, uno que podría clasificarse como A o no A, y el otro como B o no B d Defina el coeficiente de correlación y dé un ejemplo único de su uso. Una medida del grado en que la variación de una variable está relacionada con la variación de otra u otras variables. El coeficiente de correlación más utilizado indica el grado en que la variación de una variable se describe mediante una relación de línea recta con otra variable. Supongamos que se dispone de información muestral sobre el ingreso familiar y los años de escolaridad del cabeza de familia. Un coeficiente de correlación = 0 indicaría que no hay ninguna asociación lineal entre estas dos variables. Una correlación de 1 indicaría una asociación lineal perfecta (en la que toda la variación del ingreso familiar podría estar asociada a la escolarización y viceversa). Si la correlación entre la edad de un automóvil y el dinero gastado en reparaciones es de +0,90 El 81 % de la variación del dinero gastado en reparaciones se explica por la edad del automóvil El 81 % del dinero gastado en reparaciones no se explica por la edad del automóvil El 90 % del dinero que se gasta en reparaciones se explica por la edad del automóvil Ninguna de las anteriores a. El 81 % de la variación del dinero gastado en reparaciones se explica por la edad del automóvil Supongamos que el promedio general de calificaciones del instituto universitario y la parte verbal de una prueba de coeficiente intelectual tienen una correlación de 0,40. ¿Qué porcentaje de la varianza tienen ambas en común? 20 16 40 80 b. 16 ¿Verdadero o falso? Si es falso, explique por qué: El coeficiente de determinación puede tener valores entre -1 y +1. El coeficiente de determinación es r··2 con 0 ≤ r··2 ≤ 1, ya que -1 ≤ r ≤ 1. Verdadero o falso: Siempre que se calcula r a partir de una muestra, el valor que obtenemos es solo una estimación del verdadero coeficiente de correlación que obtendríamos si lo calculáramos para toda la población. Verdadero Bajo un "diagrama de dispersión" se anota que el coeficiente de correlación es de 0,10. ¿Qué significa esto? más y menos el 10 % de la media incluye alrededor del 68 % de los casos una décima parte de la varianza de una variable se comparte con la otra variable una décima parte de una variable es causada por la otra variable en una escala de -1 a +1, el grado de relación lineal entre las dos variables es de +0,10 d. en una escala de -1 a +1, el grado de relación lineal entre las dos variables es +0,10 Se sabe que el coeficiente de correlación de la X y de la Y es cero. Entonces podemos concluir que: la X y la Y tienen distribuciones estándar las varianzas de la X y de la Y son iguales no existe ninguna relación entre la X y la Y no existe ninguna relación lineal entre la X y la Y ninguno de estos d. no existe ninguna relación lineal entre la X y la Y ¿Cuál cree que es el valor del coeficiente de correlación para el par de variables: "número de horas de trabajo" y "número de unidades de trabajo realizadas"? Aproximadamente 0,9 Aproximadamente 0,4 Aproximadamente 0,0 Aproximadamente -0,4 Aproximadamente -0,9 Aproximadamente 0,9 En un grupo determinado, la correlación entre la estatura en pies y el peso en libras es de +0,68. ¿Cuál de las siguientes opciones alteraría el valor de r? la altura se expresa en centímetros. el peso se expresa en kilogramos. ambos afectarán a r. ninguno de los cambios anteriores afectará a r. d. ninguno de los cambios anteriores afectará a r. Bivariante dos variables están presentes en el modelo, donde una es la "causa" o variable independiente y la otra es el "efecto" de la variable dependiente. Multivariante sistema o modelo en el que se utiliza más de una variable independiente para predecir un resultado. Solo puede haber una variable dependiente, aunque no hay límite en el número de variables independientes. R – Coeficiente de correlación un número entre −1 y 1 que representa la fuerza y la dirección de la relación entre la "X" y la "Y". El valor de " r " será igual a 1 o −1 solo si todos los puntos trazados forman una línea perfectamente recta. Lineal modelo que toma los datos y los convierte en una ecuación de línea recta.

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Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación El coeficiente de correlación, r , nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre X 1 y X 2 . Los datos de la muestra se utilizan para calcular r , el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r , es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido) r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra) La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo". Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre X 1 y X 2 porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre X 1 y X 2 . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”. Realización de la prueba de hipótesis Hipótesis nula: H 0 : ρ = 0 Hipótesis alternativa: H a : ρ ≠ 0 Lo que significan las hipótesis en palabras Hipótesis nula H 0 : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY una relación lineal significativa (correlación) entre X 1 y X 2 en la población. Hipótesis alternativa H a : El coeficiente de correlación de la población es significativamente diferente de cero. Existe una relación lineal significativa (correlación) entre X 1 y X 2 en la población. Llegar a una conclusión Hay dos métodos para tomar la decisión sobre la hipótesis. El estadístico de prueba para comprobar esta hipótesis es: t c = r ( 1 – r 2 ) ( n – 2 ) O t c = r n – 2 1 – r 2 Donde la segunda fórmula es una forma equivalente al estadístico de prueba, n es el tamaño de la muestra y los grados de libertad son n-2. Se trata de la estadística t y funciona de la misma manera que otras pruebas t. Calcule el valor t y compárelo con el valor crítico de la tabla t con los grados de libertad adecuados y el nivel de confianza que desee mantener. Si el valor calculado está en la cola, entonces no se puede aceptar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre estas dos variables aleatorias independientes. Si el valor t calculado NO está en la cola, entonces no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre las dos variables. Una forma rápida de comprobar las correlaciones es la relación entre el tamaño de la muestra y la correlación. Si: | r | ≥ 2 n entonces esto implica que la correlación entre las dos variables demuestra que existe una relación lineal y es estadísticamente significativa a un nivel de significación aproximado de 0,05. Como indica la fórmula, existe una relación inversa entre el tamaño de la muestra y la correlación necesaria para la significación de una relación lineal. Con solo 10 observaciones, la correlación requerida para la significación es de 0,6325, para 30 observaciones la correlación requerida para la significación disminuye a 0,3651 y a 100 observaciones el nivel requerido es solo de 0,2000. Las correlaciones sirven para visualizar los datos, pero no se utilizan adecuadamente para "explicar" una relación entre dos variables. Tal vez no haya una estadística más mal utilizada que el coeficiente de correlación. Citar correlaciones entre las condiciones de salud y todo lo demás, desde el lugar de residencia hasta el color de los ojos, tiene el efecto de implicar una relación de causa y efecto. Esto no se logra con un coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación es, por supuesto, inocente de esta mala interpretación. El analista tiene el deber de utilizar una estadística diseñada para comprobar las relaciones de causa y efecto y comunicar solo esos resultados si pretende hacer tal afirmación. El problema es que pasar esta prueba más rigurosa es difícil, por lo que los "investigadores" perezosos o inescrupulosos recurren a las correlaciones cuando no pueden presentar sus argumentos de forma legítima. Defina la prueba t de un coeficiente de regresión y dé un ejemplo único de su uso. Definición: La prueba t se obtiene al dividir el coeficiente de regresión entre el error estándar y comparar el resultado con los valores críticos de la t de Student con los df del error. Proporciona una prueba de la afirmación de que β i = 0 cuando se han incluido todas las demás variables en el modelo de regresión correspondiente. Ejemplo: Supongamos que se sospecha que 4 variables influyen en alguna respuesta. Supongamos que los resultados de la adaptación Y i = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + β 4 X 4 i + e i incluyen: Variable Coeficiente de regresión Error estándar del coeficiente regular 0,5 1 -3 0,4 2 +2 0,02 3 +1 0,6 4 -0,5 la t calculada para las variables 1, 2 y 3 sería de 5 o más en valor absoluto, mientras que la de la variable 4 sería inferior a 1. Para la mayoría de los niveles de significación, la hipótesis β 1 = 0 sería rechazada. No obstante, fíjese que esto es para el caso en que X 2 , X 3 y X 4 se han incluido en la regresión. Para la mayoría de los niveles de significación, la hipótesis β 4 = 0 se continuaría (se mantendría) para el caso en que X 1 , X 2 y X 3 están en la regresión. A menudo, este patrón de resultados ocasionará el cálculo de otra regresión que incluya solo X 1 , X 2 , X 3 , y el examen de los cocientes t producidos para ese caso. La correlación entre las puntuaciones en una prueba de neurosis y las puntuaciones en una prueba de ansiedad es alta y positiva; por lo tanto, la ansiedad causa neurosis. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación alta en la otra. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación baja en la otra. no se puede hacer ninguna predicción significativa de una prueba a la otra. c. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación baja en la otra.

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Ecuaciones lineales La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma y = a + bx donde a y b son números constantes. La variable x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Otra forma de pensar en esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La variable X es la causa y la variable Y es el efecto hipotético. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente. Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales. y = 3 + 2x y = -0,01 + 1,2x El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta . Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación. Grafique la ecuación y = –1 + 2 x . Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? No, el gráfico no es una línea recta; por lo tanto, no es una ecuación lineal. Aaron's Word Processing Service (AWPS) se encarga del procesamiento de textos. La tarifa de los servicios es de 32 dólares por hora, más un cargo único de 31,50 dólares. El costo total para un cliente depende del número de horas que se tarda en realizar el trabajo. Calcule la ecuación que expresa el costo total en términos del número de horas necesarias para completar el trabajo. Supongamos que x = el número de horas que se necesita para realizar el trabajo. Supongamos que y = el costo total para el cliente. Los 31,50 dólares son un costo fijo. Si se tarda x horas en completar el trabajo, entonces (32)( x ) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es: y = 31,50 + 32 x Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal Para la ecuación lineal y = a + bx , b = pendiente y a = intersección en y . De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a ) donde la línea cruza el eje y . Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es dy / dx = b donde podemos leer la expresión matemática como "el cambio en y ( dy ) que resulta de un cambio en x ( dx ) = b * dx ". Tres posibles gráficos de y = a + bx . (a) Si b > 0, la línea tiene pendiente ascendente hacia la derecha. (b) Si b = 0, la línea es horizontal. (c) Si b < 0, la línea tiene pendiente descendente hacia la derecha. Svetlana da clases particulares para ganar dinero adicional para sus estudios superiores. Por cada sesión de tutoría cobra una cuota única de 25 dólares más 15 dólares por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión de tutoría es y = 25 + 15 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La variable independiente ( x ) es el número de horas que Svetlana da sesiones de tutoría. La variable dependiente ( y ) es la cantidad, en dólares, que gana Svetlana por cada sesión. La intersección en y es 25 ( a = 25). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 15 ( b = 15). En cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora de tutoría. ¿Verdadero o falso? Si es falso, corríjalo: Supongamos un intervalo de confianza del 95 % para la pendiente β de la línea recta de regresión de Y sobre X viene dado por -3,5 < β < -0,5. Entonces una prueba de dos lados de la hipótesis H 0 : β = -1 provocaría el rechazo de H 0 al nivel de significación del 1 %. Falso. Dado que H 0 : β = -1 no se rechazaría a α = 0,05 , no se rechazaría a α = 0,01 . Verdadero o falso: Es más seguro interpretar los coeficientes de correlación como medidas de asociación y no de causalidad debido a la posibilidad de correlación espuria. Verdadero Nos interesa hallar la relación lineal entre el número de miniaplicaciones compradas de una vez y el coste por miniaplicación. Se han obtenido los siguientes datos: X: Número de miniaplicaciones compradas – 1, 3, 6, 10, 15 Y: Coste por miniaplicación (en dólares) – 55, 52, 46, 32, 25 Supongamos que la línea de regresión es y ^ = -2,5 x + 60 . Calculamos el precio promedio por miniaplicación si se compran 30 y observamos alguno de los siguientes elementos: y ^ = 15 dólares ; obviamente, estamos equivocados; la predicción y ^ es en realidad, +15 dólares. y ^ = 15 dólares , lo que parece razonable, a juzgar por los datos. y ^ = -15 dólares , lo cual es un sinsentido evidente. La línea de regresión debe ser incorrecta. y ^ = -15 dólares , lo cual es un sinsentido evidente. Esto nos recuerda que predecir la Y fuera del rango de valores de la X en nuestros datos es una práctica muy mala. d Comente brevemente la distinción entre correlación y causalidad. Algunas variables parecen estar relacionadas, de modo que conocer el estado de una de ellas nos permite predecir el estado de la otra. Esta relación puede medirse y se llama correlación. Sin embargo, una alta correlación entre dos variables no demuestra en absoluto que exista una relación de causa-efecto entre sí. Es muy posible que un tercer factor haga que ambas variables varíen juntas. Verdadero o falso: Si r se acerca a + o -1, diremos que hay una fuerte correlación, en el entendido tácito de que nos referimos a una relación lineal y nada más. Verdadero Repaso del capítulo El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma y = mx + b , donde m y b son constantes, x es la variable independiente y es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma y = a + bx , donde a y b son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx , la constante b , llamada coeficiente, representa la pendiente . La constante a se denomina intersección en y . La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ) , en promedio. La intersección en y se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Y - la variable dependiente además, el uso de la letra "y" representa valores reales, mientras que y ^ representa los valores previstos o estimados. Los valores predichos se obtienen al introducir los valores "x" observados en un modelo lineal. X - la variable independiente a veces se denominará variable "predictora", porque estos valores se midieron para determinar los posibles resultados que se podían predecir. a es el símbolo de la intersección en y a veces se escribe como b 0 , porque al escribir el modelo lineal teórico β 0 se utiliza para representar un coeficiente para una población. b es el símbolo de la pendiente la palabra coeficiente se utilizará regularmente para la pendiente, porque es un número que siempre estará junto a la letra "x" Se escribirá como b 1 cuando se utiliza una muestra, y β 1 se utilizará con una población o al escribir el modelo lineal teórico.

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