Principios de conteo Objetivos de aprendizaje Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. Objetivo 1: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. En la teoría de la probabilidad, el resultado es un posible resultado de un experimento o prueba. En la teoría de la probabilidad, un evento es un conjunto de resultados de un experimento. Los eventos inconexos no pueden ocurrir al mismo tiempo. En otras palabras, son mutuamente excluyentes . El principio de adición El principio de adición establece que si un evento puede ocurrir de A maneras (A resultados) y un segundo evento puede ocurrir de B maneras (B resultados) y ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo (A y B inconexos), entonces hay A + B maneras (A + B resultados) para que ocurra el primer evento o el segundo. El principio de adición se aplica cuando hacemos una sola selección . Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Ⓐ Se colocan siete canicas rojas y cinco verdes en una bolsa. ¿Cuántas canicas hay para elegir? Ⓑ Supongamos que el conjunto A = {-5,-3,-1,2,3,4,5,6}. ¿De cuántas maneras se puede elegir un número negativo o par de A? Ⓒ Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre 2 computadoras de escritorio y 3 portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora? Ⓐ Hay 7 formas de escoger una canica roja y 5 formas de escoger una canica verde, y no podemos escoger una roja y una verde al mismo tiempo. Por lo tanto, hay 7 + 5 = 12 maneras de escoger una canica. Ⓑ Hay 3 números negativos en A y 3 números pares en A y los números pares no son negativos. Por lo tanto, hay 3 + 3 = 6 maneras de elegir un número negativo o un número par de A. Ⓒ Hay 2 opciones para una computadora de escritorio y 3 para un portátil, y el estudiante busca comprar una computadora. Por lo tanto, no puede elegir ambas. Teniendo en cuenta lo anterior, hay 2 + 3 = 5 opciones totales de computadora. La práctica hace la perfección Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Se colocan diez canicas rojas y seis verdes en una bolsa. ¿Cuántas canicas hay para elegir? Supongamos que el conjunto A = {-5,-3,-1,2,3,4,5,6}. ¿Cuántas maneras hay de elegir un número positivo o impar de A? Un niño está decidiendo la merienda para la tarde. Está decidiendo entre 5 papas fritas diferentes, 3 frutas diferentes y 2 vegetales diferentes. ¿Cuál es el número total de opciones de merienda? Objetivo 2: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. El principio de multiplicación El principio de multiplicación establece que si un evento puede ocurrir de A maneras (A resultados) y un segundo evento puede ocurrir de B maneras (B resultados) después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en A ⋅ B maneras. Esto también se conoce como el principio fundamental de conteo. El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección . Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. Ⓐ Diane empacó 2 faldas, 3 blusas y 2 suéteres para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada conjunto y decidir si se pone el suéter. Utilice el principio de multiplicación para hallar el número total de conjuntos posibles. Ⓑ Un restaurante ofrece un especial de almuerzo que incluye una entrada, un plato principal y una bebida. Hay 3 tipos de entradas, 4 opciones de platos principales y 5 opciones de bebidas. Halle el número total de especiales para el almuerzo posibles. Ⓒ El próximo semestre usted va a tomar una clase de Ciencias, una de Matemáticas, una de Historia y una de Inglés. Según el horario tiene 4 clases diferentes de ciencias, 3 clases diferentes de matemáticas, 2 clases diferentes de historia y 3 clases diferentes de inglés para elegir. Suponiendo que no haya conflictos de horario, ¿cuántas selecciones diferentes de cuatro cursos puede hacer? Ⓓ ¿Cuántas placas formadas por 2 letras seguidas de 4 dígitos son posibles? Ⓐ Hay 2 resultados para las faldas, 3 resultados para las blusas y 2 resultados para los suéteres. Entonces, el número total de conjuntos posibles es: 2 ⏟ · 3 ⏟ · 2 ⏟ = 12 Faldas Blusas Suéteres Ⓑ Hay 3 resultados para las entradas, 4 resultados para el plato principal y 5 resultados para las bebidas. El número total de especiales para el almuerzo es: 3 ⏟ · 4 ⏟ · 5 ⏟ = 60 Entradas Plato principal Bebidas Ⓒ Hay 4 resultados para la clase de Ciencias, 3 resultados para la clase de Matemáticas, 2 resultados para la clase de Historia y 3 resultados para la clase de Inglés. El número total de selecciones de las 4 asignaturas es: 4 ⏟ · 3 ⏟ · 2 ⏟ · 3 ⏟ = 72 Ciencias Matemáticas Inglés Historia Ⓓ Hay 26 resultados para la 1.ª letra, 26 resultados para la segunda letra, 10 resultados para el primer dígito, 10 resultados para el segundo dígito, 10 resultados para el tercer dígito y 10 resultados para el 4.º dígito. El número de placas es: 26 ⏟ · 26 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ = 6 , 760 , 000 1 .ª letra 2 .ª letra 1 er dígito 2 .º dígito 3 er dígito 4 .º dígito La práctica hace la perfección Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. ¿Cuántas cadenas de dos letras, la primera letra del conjunto A y la segunda del conjunto B, se pueden formar a partir de los conjuntos A = {b, c, d} y B = {a, e, i, o, u}? Si tiene tres tipos de carne para hacer un sándwich (pavo, rosbif y jamón) y dos tipos de pan (de trigo y de centeno), ¿cuántos sándwiches diferentes con un solo tipo de carne se pueden hacer? El próximo semestre usted va a tomar una clase de Ciencias, una de Matemáticas, una de Historia y una de Inglés. Según el horario tiene 4 clases diferentes de ciencias, 3 clases diferentes de matemáticas, 2 clases diferentes de historia y 3 clases diferentes de inglés para elegir. Suponiendo que no haya conflictos de horario, ¿cuántas selecciones diferentes de cuatro cursos puede hacer? En Missouri, las placas tienen 3 letras y 3 números. ¿Cuántas placas formadas por 3 letras seguidas de 3 dígitos son posibles? Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto! Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas. Utilizar el principio de adición La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la . El principio de adición Según el principio de adición , si un evento puede ocurrir de m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras. Utilizar el principio de adición En el menú de la cena hay 2 opciones de plato principal vegetariano y 5 de carne. ¿Cuál es el número total de opciones de plato principal? Podemos sumar el número de opciones vegetarianas al número de opciones de carne para hallar el número total de opciones de platos principales. Hay 7 opciones en total. Ejercicio Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre 3 computadoras de escritorio y 4 portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora? 7 Utilización del principio de multiplicación El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la . Las opciones posibles son: sopa, pollo, pastel sopa, pollo, pudín sopa, pescado, pastel sopa, pescado, pudín sopa, filete, pastel sopa, filete, pudín ensalada, pollo, pastel ensalada, pollo, pudín ensalada, pescado, pastel ensalada, pescado, pudín ensalada, filete, pastel ensalada, filete, pudín También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación. También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación. N.º de de opciones de entradas × N.º de de opciones de platos principales × N.º de de opciones de postres 2 × 3 × 2 = 12 El principio de multiplicación Según el principio de multiplicación , si un evento puede ocurrir de m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras. Esto también se conoce como el principio fundamental de conteo . Utilización del principio de multiplicación Diane empacó 2 faldas, 4 blusas y un suéter para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada conjunto y decidir si se pone el suéter. Utilice el principio de multiplicación para hallar el número total de conjuntos posibles. Para hallar el número total de conjuntos, calcule el producto del número de opciones de falda, el número de opciones de blusa y el número de opciones de suéter. Hay 16 conjuntos posibles. Ejercicio Un restaurante ofrece un desayuno especial que incluye un sándwich de desayuno, una guarnición y una bebida. Hay 3 tipos de sándwiches de desayuno, 4 opciones de guarniciones y 5 opciones de bebidas. Calcule el número total de desayunos especiales posibles. Hay 60 desayunos especiales posibles. Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación . Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared. Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea. Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea. Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto. Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros. Cómo Dadas. n opciones distintas, determine cuántas permutaciones hay. Determine cuántas opciones hay para la primera situación. Determine cuántas opciones quedan para la segunda situación. Continúe hasta que todos los espacios estén llenos. Multiplique los números juntos. Hallar el número de permutaciones mediante el principio de multiplicación En una competencia de natación, nueve nadadores participan en una carrera. Ⓐ ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero? Ⓑ ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero si un nadador llamado Ariel gana el primer puesto? (Supongamos que solo hay un participante llamado Ariel). Ⓒ ¿De cuántas maneras se pueden alinear los nueve nadadores para una foto? Ⓐ Dibuje líneas para cada lugar. Hay 9 opciones para el primer lugar. Una vez que alguien ha ganado el primer lugar, hay 8 opciones restantes para el segundo lugar. Una vez ganados el primer y el segundo puesto, quedan 7 opciones para el tercer lugar. Multiplique para hallar que hay 504 maneras en que los nadadores se pueden ubicar. Ⓑ Dibuje líneas para describir cada lugar. Sabemos que Ariel debe ganar el primer lugar, así que solo hay 1 opción para el primer lugar. Quedan 8 opciones para el segundo puesto y 7 para el tercero. Multiplique para hallar que hay 56 maneras en que los nadadores se pueden ubicar si Ariel gana el primer lugar. Ⓒ Dibuje líneas para describir cada lugar de la foto. Hay 9 opciones para el primer lugar, luego 8 para el segundo, 7 para el tercero, 6 para el cuarto, y así sucesivamente hasta que solo quede 1 persona para el último puesto. Hay 362.880 permutaciones posibles para que los nadadores se alineen. Análisis Observe que en la parte c, hallaremos que hay 9! maneras de que 9 personas se alineen. El número de permutaciones de n objetos distintos siempre puede ser calculado por n ! . Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente. Ejercicio ¿De cuántas maneras puede alinearse la familia para el retrato? 120 Ejercicio ¿De cuántas maneras el fotógrafo puede alinear a 3 miembros de la familia? 60 Ejercicio ¿De cuántas maneras se puede alinear la familia para el retrato si los padres deben situarse en cada extremo? 12 Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de n objetos y queremos elegir r objetos del conjunto en orden, escribimos P ( n , r ) . Otra forma de escribir esto es n P r , una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular P ( n , r ) , comenzamos por hallar n ! , el número de maneras de alinear todos los n objetos. A continuación, dividimos entre ( n – r ) ! para anular los elementos ( n – r ) que no deseamos alinear. Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es 6 × 5 × 4 = 120. Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado. 6 ! 3 ! = 6 · 5 · 4 · 3 ! 3 ! = 6 · 5 · 4 = 120 Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente. P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los n objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre ( n - n ) ! o 0 ! , que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de n objetos tomados n a la vez es n ! 1 o simplemente n ! . Fórmula para permutaciones de n objetos distintos Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto en orden es P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! Cómo Dado un problema de palabras, evalúe las posibles permutaciones. Identifique n a partir de la información dada. Identifique r a partir de la información dada. Sustituya n y r en la fórmula con los valores dados. Evalúe. Calcular el número de permutaciones mediante la fórmula Una profesora está creando un examen de 9 preguntas a partir de un banco de pruebas de 12 preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar y ordenar las preguntas? Sustituya n = 12 y r = 9 en la fórmula de permutación y simplifique. P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! P ( 12 , 9 ) = 12 ! ( 12 − 9 ) ! = 12 ! 3 ! = 79.833.600 ¡Hay 79.833.600 permutaciones posibles de preguntas de examen! Análisis También podemos utilizar una calculadora para hallar permutaciones. Para este problema, introducimos 12, pulsamos la función n P r , introducimos 9 y luego pulsamos el signo de igual. La función n P r se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podríamos resolver el utilizando el principio de multiplicación? Sí. Podríamos multiplicar 1 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 0 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 para hallar la misma respuesta . Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente. Ejercicio ¿De cuántas maneras se pueden alinear los 7 actores? P ( 7 , 7 ) = 5 , 040 Ejercicio ¿De cuántas maneras se puede elegir la alineación de 5 de los 7 actores? P ( 7 , 5 ) = 2 , 520 Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones . Una selección de r objetos de un conjunto de n objetos en los que no importa el orden se puede escribir como C ( n , r ) . Al igual que con las permutaciones, C ( n , r ) también puede escribirse como n C r . En este caso, la fórmula general es la siguiente. C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 3 ! = 3 · 2 · 1 = 6 maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 24 6 , o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Fórmula para combinaciones de n objetos distintos Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto es C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! Cómo Dado un número de opciones, determine el número posible de combinaciones. Identifique n a partir de la información dada. Identifique r a partir de la información dada. Sustituya n y r en la fórmula con los valores dados. Evalúe. Calcular el número de combinaciones utilizando la fórmula Un restaurante de comida rápida ofrece cinco opciones de guarniciones. Su comida viene con dos guarniciones. Ⓐ ¿De cuántas maneras puede seleccionar sus guarniciones? Ⓑ ¿De cuántas maneras puede seleccionar 3 guarniciones? Ⓐ Queremos elegir 2 guarniciones de entre 5 opciones. C ( 5 , 2 ) = 5 ! 2 ! ( 5 - 2 ) ! = 10 Ⓑ Queremos elegir 3 guarniciones de entre 5 opciones. C ( 5 , 3 ) = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! = 10 Análisis También podemos utilizar una calculadora gráfica para hallar combinaciones. Introduzca 5 y presione n C r , introduzca 3 y luego presione el signo de igual. La función n C r , se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es una coincidencia que las partes (a) y (b) del tengan las mismas respuestas? No. Cuando elegimos r objetos entre n objetos, no estamos eligiendo ( n – r ) objetos. Por lo tanto, C ( n , r ) = C ( n , n – r ) . Ejercicio Una heladería ofrece 10 sabores de helado. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 sabores para un banana split? C ( 10 , 3 ) = 120 Hallar el número de subconjuntos de un conjunto Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente r objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles? Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay C ( 5 , 0 ) = 1 maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay C ( 5 , 1 ) = 5 maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos C ( 5 , 0 ) + C ( 5 , 1 ) + C ( 5 , 2 ) + C ( 5 , 3 ) + C ( 5 , 4 ) + C ( 5 , 5 ) = 32 Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a 2 5 . Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los n objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho n elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de 2 · 2 · 2 · … · 2 posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir "no" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir "sí" cada vez. Fórmula del número de subconjuntos de un conjunto Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene 2 n subconjuntos. Hallar el número de subconjuntos de un conjunto Un restaurante ofrece mantequilla, queso, cebolla de verdeo y crema agria como aderezos para una papa al horno. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pedir una papa? Buscamos el número de subconjuntos de un conjunto con 4 objetos. Sustituya n = 4 en la fórmula. 2 n = 2 4 = 16 Hay 16 maneras posibles de pedir una papa. Ejercicio Una barra de helados en una boda tiene 6 ingredientes para elegir. Se puede elegir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántos helados diferentes son posibles? 64 helados Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría 12 ! maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las 12 ! permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente. n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay 4 ! maneras de ordenar las estrellas y 3 ! maneras de ordenar las lunas. 12 ! 4 ! 3 ! = 3.326.400 Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas. Fórmula para hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Si hay n elementos de un conjunto y r 1 son iguales, r 2 son iguales, r 3 son iguales, y así hasta r k , el número de permutaciones se puede calcular mediante n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra DISTINCT. Hay 8 letras. Tanto I como T se repiten 2 veces. Sustituya n = 8 , r 1 = 2 , y r 2 = 2 en la fórmula. 8 ! 2 ! 2 ! = 10.080 Hay 10.080 organizaciones. Ejercicio Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra CARRIER. 840 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar combinaciones y permutaciones. Combinaciones Permutaciones Ecuaciones clave número de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! número de combinaciones de n objetos distintos tomados r a la vez C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! número de permutaciones de n objetos no distintos n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! Conceptos clave Si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras. Vea el . Si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras. Vea el . Una permutación es una ordenación de n objetos. Si tenemos un conjunto de n objetos y queremos elegir r objetos del conjunto en orden, escribimos P ( n , r ) . Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de P ( n , r ) . Vea el y el . Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación. Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto es C ( n , r ) y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el . Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene 2 n subconjuntos. Vea el . Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En los siguientes ejercicios, suponga que hay n maneras en las que un evento A puede ocurrir, m maneras en las que un evento B puede ocurrir, y que A y B no se superponen. Utilice el principio de adición del conteo para explicar de cuántas maneras el evento A o B pueden ocurrir. Hay m + n maneras para que ocurra tanto el evento A como el evento B . Utilice el principio de multiplicación de conteo para explicar de cuántas maneras el evento A y B pueden ocurrir. Responda las siguientes preguntas. Ante dos eventos distintos, ¿cómo sabemos si debemos aplicar el principio de adición o el de multiplicación al calcular los posibles resultados? ¿Qué conjunciones pueden ayudar a determinar qué operaciones hay que utilizar? El principio de adición se aplica para determinar el total de resultados posibles de cualquiera de los dos eventos. El principio de multiplicación se aplica para determinar el total de resultados posibles de que se produzcan ambos eventos. La palabra "o" suele implicar un problema de adición. La palabra "y" suele implicar un problema de multiplicación. Describa cómo la permutación de n objetos difiere de la permutación de elegir r objetos de un conjunto de n objetos. Incluya cómo se calcula cada una de ellas. ¿Cómo se denomina el ordenamiento que selecciona r objetos de un conjunto de n objetos cuando el orden de los r objetos no es importante? ¿Cuál es la fórmula para calcular el número de resultados posibles para este tipo de ordenamiento? Una combinación; C ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! r ! Numéricos En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos. Supongamos que el conjunto A = { - 5 , - 3 , - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . ¿De cuántas maneras se puede elegir un número negativo o par de A? Supongamos que el conjunto B = { − 23 , − 16 , - 7 , - 2 , 20 , 36 , 48 , 72 } . ¿De cuántas maneras se puede elegir un número positivo o impar de A ? 4 + 2 = 6 ¿De cuántas maneras se puede elegir un as rojo o un trébol de una baraja de cartas estándar? ¿De cuántas maneras se puede elegir un color de pintura entre 5 tonos de verde, 4 tonos de azul o 7 tonos de amarillo? 5 + 4 + 7 = 16 ¿Cuántos resultados son posibles al lanzar un par de monedas? ¿Cuántos resultados son posibles al lanzar una moneda y un dado de 6 caras? 2 × 6 = 12 ¿Cuántas cadenas de dos letras —con la primera letra A y la segunda letra B — se pueden formar a partir de los conjuntos A = { b , c , d } y B = { a , e , i , i , u } ? ¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números se pueden repetir? 10 3 = 1.000 ¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números no se pueden repetir? En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión. P ( 5 , 2 ) P ( 5 , 2 ) = 20 P ( 8 , 4 ) P ( 3 , 3 ) P ( 3 , 3 ) = 6 P ( 9 , 6 ) P ( 11 , 5 ) P ( 11 , 5 ) = 55 , 440 C ( 8 , 5 ) C ( 12 , 4 ) C ( 12 , 4 ) = 495 C ( 26 , 3 ) C ( 7 , 6 ) C ( 7 , 6 ) = 7 C ( 10 , 3 ) En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } 2 10 = 1.024 { a , b , c , … , c } Un conjunto que contiene 5 números distintos, 4 letras distintas y 3 símbolos distintos 2 12 = 4096 El conjunto de números pares del 2 al 28 El conjunto de números de dos dígitos entre 1 y 100 que contienen el dígito 0 2 9 = 512 En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones. Las letras de la palabra "juggernaut" Las letras de la palabra "academia" 8 ! 3 ! = 6720 Las letras de la palabra "academia" que comienzan y terminan en "a" Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, $, %, %, % 12 ! 3 ! 2 ! 3 ! 4 ! Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, %, %, % que comienzan y terminan con "%" Extensiones El conjunto, S se compone de 900.000.000 números naturales, cada uno de los cuales tiene el mismo número de dígitos. ¿Cuántos dígitos tiene un número de S ? ( Pista: utilice el hecho de que un número natural no puede comenzar con el dígito 0). 9 El número de subconjuntos de 5 elementos de un conjunto que contiene n elementos es igual al número de subconjuntos de 6 elementos del mismo conjunto. ¿Cuál es el valor de n ? ( Pista: el orden en que se eligen los elementos para los subconjuntos no es importante). ¿Puede C ( n , r ) siempre igualar a P ( n , r ) ? Explique. Sí, para los casos triviales r = 0 y r = 1. Si r = 0 , entonces C ( n , r ) = P ( n , r ) = 1 . Si r = 1 , entonces r = 1 , C ( n , r ) = P ( n , r ) = n . Supongamos que un conjunto A tiene 2.048 subconjuntos. ¿Cuántos objetos distintos contiene A ? ¿Cuántas ordenaciones se pueden hacer con las letras de la palabra "mountains" si todas las vocales deben formar una cadena? 6 ! 2 ! × 4 ! = 8640 Aplicaciones en el mundo real Una familia compuesta por 2 padres y 3 hijos debe posar para una foto con 2 miembros de la familia en la parte delantera y 3 en la trasera. Ⓐ ¿Cuántas ordenaciones son posibles sin restricciones? Ⓑ ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben sentarse delante? Ⓒ ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben estar uno al lado del otro? Una compañía de telefonía móvil ofrece 6 paquetes de voz y 8 de datos diferentes. De ellos, 3 paquetes incluyen tanto voz como datos. ¿De cuántas maneras se puede elegir la voz o los datos, pero no ambos? 6 - 3 + 8 - 3 = 8 En las carreras de caballos, se produce una "trifecta" cuando un apostante gana seleccionando a los tres primeros clasificados en el orden exacto (1. er lugar, 2.º lugar y 3. er lugar). ¿Cuántas trifectas diferentes son posibles si hay 14 caballos en una carrera? Una compañía de venta de camisetas al por mayor ofrece tallas pequeñas, medianas, grandes y extragrandes en algodón orgánico o no orgánico y colores blanco, negro, gris, azul y rojo. ¿Cuántas camisetas diferentes hay para elegir? 4 × 2 × 5 = 40 Héctor quiere publicar anuncios en vallas publicitarias por todo el condado para su nuevo negocio. ¿De cuántas maneras Héctor puede elegir 15 vecindarios para anunciarse si hay 30 vecindarios en el condado? Una tienda de arte tiene 4 marcas de rotuladores de 12 colores diferentes y 3 tipos de tinta. ¿Cuántos rotuladores hay para elegir? 4 × 12 × 3 = 144 ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 3 estudiantes de primer año y 4 de tercer año a partir de un grupo de 8 estudiantes de primer año y 11 de tercer año? ¿De cuántas maneras un entrenador de béisbol puede organizar el orden de 9 bateadores si hay 15 jugadores en el equipo? P ( 15 , 9 ) = 1 , 816 , 214 , 400 Un director de orquesta necesita 5 violonchelistas y 5 violinistas para tocar en un evento diplomático. Para ello, clasifica a los 10 chelistas y a los 16 violinistas de la orquesta por orden de habilidad musical. ¿Cuál es la proporción entre la clasificación total de violonchelistas posible y la clasificación total de violinistas posible? Una tienda de motocicletas tiene 10 choppers, 6 bobbers y 5 café racers: diferentes tipos de motocicletas de época. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 3 choppers, 5 bobbers y 2 café racers para una exhibición de fin de semana? C ( 10 , 3 ) × C ( 6 , 5 ) × C ( 5 , 2 ) = 7 , 200 Una tienda de patinetas dispone de 10 tipos de tablas, 3 tipos de trucks y 4 tipos de ruedas. ¿Cuántas patinetas diferentes se pueden construir? Just-For-Kicks Sneaker Company ofrece un servicio de personalización en línea. ¿De cuántas maneras se puede diseñar un par de zapatos deportivos personalizados de Just-For-Kicks si un cliente puede elegir desde un zapato básico hasta 11 opciones personalizables? 2 11 = 2.048 Un autolavado ofrece los siguientes servicios opcionales al lavado básico: cera de capa transparente, pulido de triple espuma, lavado de carrocería inferior, inhibidor de óxido, abrillantador de ruedas, ambientador y champú para interiores. ¿Cuántos lavodas son posibles si se puede añadir cualquier número de opciones al lavado básico? Suni compró 20 plantas para colocarlas en el borde de su jardín. ¿Cuántos arreglos distintos puede hacer si las plantas están compuestas por 6 tulipanes, 6 rosas y 8 margaritas? 20 ! 6 ! 6 ! 8 ! = 116 , 396 , 280 ¿De cuántas maneras únicas se puede disponer una ristra de luces de Navidad con 9 bombillas rojas, 10 verdes, 6 blancas y 12 doradas? Principio de adición si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras combinación una selección de objetos en la que no importa el orden principio fundamental de conteo si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras; también conocido como el principio de multiplicación principio de multiplicación si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras; también conocido como el principio fundamental de conteo permutación una selección de objetos en la que el orden es importante

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Teorema del binomio Objetivos de aprendizaje Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1) Objetivo 1: Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1) El triángulo de Pascal nos ayuda a calcular los coeficientes de los términos en la expansión de un binomio. Para hallar los coeficientes de los términos, escribimos de nuevo nuestra expansión centrándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes. La matriz de la derecha se llama triángulo de Pascal . Observe que en cada expansión las potencias de a en cada término disminuyen de n a 0, y las potencias de b aumentan de 0 a n . Observe que cada número de la matriz es la suma de los dos números más cercanos de la fila anterior. Podemos hallar la siguiente fila empezando y terminando con uno y luego se suman dos números adyacentes. Para calcular los coeficientes de la expansión del binomio ( a + b ) n , vaya a la fila que tiene el valor n como segunda entrada. Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( x + y ) 6 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 6. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de x que disminuye de 6 a 0, y la potencia de y que aumenta de 0 a 6. Expansión binomial de ( x + y ) 6 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( x + 3 ) 5 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 5. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de x que disminuye de 5 a 0, y la potencia de 3 que aumenta de 0 a 5. Expansión binomial de ( x + 3 ) 5 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( 3 x 2 ) 4 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 4. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de (3x) que disminuye de 4 a 0, y la potencia de (–2) que aumenta de 0 a 4. Expansión binomial de ( 3 x 2 ) 4 . La práctica hace la perfección Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( a + b ) 4 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( y + 3 ) 5 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( 2 x 5 ) 3 . Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular ( x + y ) n sin multiplicar el binomio por sí mismo n veces. Identificación de coeficientes binomiales En la sección Principios de conteo , estudiamos las combinaciones . En el atajo para calcular ( x + y ) n , necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación ( n r ) en vez de C ( n , r ) , pero se puede calcular de la misma manera. Así que ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! La combinación ( n r ) se llama coeficiente binomial . Un ejemplo de coeficiente binomial es ( 5 2 ) = C ( 5 , 2 ) = 10. Coeficientes binomiales Si los valores de n y r son enteros mayores que o iguales a 0 con n ≥ r , entonces el coeficiente binomial es ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Un coeficiente binomial es siempre un número natural? Sí. Al igual que el número de combinaciones debe ser siempre un número natural, el coeficiente binomial será siempre un número natural. Calcular coeficientes binomiales Calcule cada coeficiente binomial. Ⓐ ( 5 3 ) Ⓑ ( 9 2 ) Ⓒ ( 9 7 ) Utilice la fórmula para calcular cada coeficiente binomial. También puede utilizar la función n C r en su calculadora. ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! Ⓐ ( 5 3 ) = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ! 3 ! 2 ! = 10 Ⓑ ( 9 2 ) = 9 ! 2 ! ( 9 − 2 ) ! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ! 2 ! 7 ! = 36 Ⓒ ( 9 7 ) = 9 ! 7 ! ( 9 - 7 ) ! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ! 7 ! 2 ! = 36 Análisis Observe que hemos obtenido el mismo resultado para las partes (b) y (c). Si observa detenidamente la solución de estas dos partes, verá que acaba con los mismos dos factoriales en el denominador, pero el orden se invierte, igual que con las combinaciones. ( n r ) = ( n n – r ) Ejercicio Calcule cada coeficiente binomial. Ⓐ ( 7 3 ) Ⓑ ( 11 4 ) Ⓐ 35 Ⓑ 330 Usar el teorema del binomio Cuando expandimos ( x + y ) n multiplicando, el resultado se llama expansión binomial , e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ( x + y ) 52 , podríamos multiplicar ( x + y ) por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas. ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de x disminuye y el exponente de y aumenta. La suma de los dos exponentes es n para cada término. A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón: ( n 0 ) , ( n 1 ) , ( n 2 ) , ... , ( n n ) . Estos patrones nos llevan al teorema del binomio , que se puede usar para expandir cualquier binomio. ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k = x n + ( n 1 ) x n – 1 y + ( n 2 ) x n – 2 y 2 + ... + ( n n – 1 ) x y n – 1 + y n Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, x + y , a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4. ( x + y ) 1 = x + y ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 ¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio ( x + y ) 5 ? Vea la , que ilustra lo siguiente: Hay n + 1 términos en la expansión de ( x + y ) n . El grado (o suma de los exponentes) de cada término es n . Las potencias en x comienzan con n y disminuyen a 0. Las potencias en y comienzan con 0 y aumentan hasta n . Los coeficientes son simétricos. Para determinar la expansión en ( x + y ) 5 , vemos que n = 5 , por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de x , el patrón es el siguiente: Introduzca x 5 , y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en x por 1 hasta que x 0 = 1 se alcance. Introduzca y 0 = 1 , y luego aumente el exponente en y por 1 hasta que y 5 se alcance. x 5 , x 4 y , x 3 y 2 , x 2 y 3 , x y 4 , y 5 La siguiente expansión sería ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 . ¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal , se muestra en la . Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad. Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3. a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume 1 + 1 para hallar el número del medio, el 2. En la enésima fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores. Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general. El teorema del binomio El teorema del binomio es una fórmula que se puede utilizar para expandir cualquier binomio. ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k = x n + ( n 1 ) x n – 1 y + ( n 2 ) x n – 2 y 2 + ... + ( n n – 1 ) x y n – 1 + y n Cómo Dado un binomio, escríbalo en forma expandida. Determine el valor de la n según el exponente. Evalúe los términos k = 0 hasta k = n utilizando la fórmula del teorema del binomio. Simplifique. Expandir un binomio Escriba en forma expandida. Ⓐ ( x + y ) 5 Ⓑ ( 3 x - y ) 4 Ⓐ Sustituya n = 5 en la fórmula. Evalúe los términos k = 0 hasta k = 5 . Simplifique. ( x + y ) 5 = ( 5 0 ) x 5 y 0 + ( 5 1 ) x 4 y 1 + ( 5 2 ) x 3 y 2 + ( 5 3 ) x 2 y 3 + ( 5 4 ) x 1 y 4 + ( 5 5 ) x 0 y 5 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 Ⓑ Sustituya n = 4 en la fórmula. Evalúe los términos k = 0 hasta k = 4 . Observe que 3 x está en el lugar que ocupaba x y que – y está en el lugar que ocupaba y . Así que los sustituimos. Simplifique. ( 3 x - y ) 4 = ( 4 0 ) ( 3 x ) 4 ( − y ) 0 + ( 4 1 ) ( 3 x ) 3 ( − y ) 1 + ( 4 2 ) ( 3 x ) 2 ( − y ) 2 + ( 4 3 ) ( 3 x ) 1 ( − y ) 3 + ( 4 4 ) ( 3 x ) 0 ( − y ) 4 ( 3 x - y ) 4 = 81 x 4 − 108 x 3 y + 54 x 2 y 2 - 12 x y 3 + y 4 Análisis Observe los signos alternos de la parte b. Esto sucede porque ( − y ) elevado a potencias impares es negativo, pero ( − y ) elevado a potencias pares es positivo. Esto ocurrirá siempre que el binomio contenga un signo de resta. Ejercicio Escriba en forma expandida. Ⓐ ( x - y ) 5 Ⓑ ( 2 x + 5 y ) 3 Ⓐ x 5 - 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 - 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 - y 5 Ⓑ 8 x 3 + 60 x 2 y + 150 x y 2 + 125 y 3 Usar el teorema del binomio para hallar un solo término Expandir un binomio con un exponente alto como ( x + 2 y ) 16 puede ser un proceso largo. A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico. Observe el patrón de coeficientes en la expansión de ( x + y ) 5 . ( x + y ) 5 = x 5 + ( 5 1 ) x 4 y + ( 5 2 ) x 3 y 2 + ( 5 3 ) x 2 y 3 + ( 5 4 ) x y 4 + y 5 El segundo término es ( 5 1 ) x 4 y . El tercer término es ( 5 2 ) x 3 y 2 . Podemos generalizar este resultado. ( n r ) x n – r y r El enésimo término (r + 1) de una expansión binomial El ( r + 1 ) enésimo término de la expansión binomial de ( x + y ) n es: ( n r ) x n – r y r Cómo Dado un binomio, escriba un término específico sin expandirlo completamente. Determine el valor de la n según el exponente. Determine ( r + 1 ) . Determine r . Sustituya r en la fórmula del ( r + 1 ) enésimo término de la expansión binomial. Escribir un término dado de una expansión binomial Hale el décimo término de ( x + 2 y ) 16 sin expandir completamente el binomio. Dado que buscamos el décimo término, r + 1 = 10 , utilizaremos r = 9 en nuestros cálculos. ( n r ) x n – r y r ( 16 9 ) x 16 - 9 ( 2 y ) 9 = 5 , 857 , 280 x 7 y 9 Ejercicio Halle el sexto término de ( 3 x - y ) 9 sin expandir completamente el binomio. − 10 , 206 x 4 y 5 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la expansión binomial. El teorema del binomio Ejemplo de teorema del binomio Ecuaciones clave Teorema del binomio ( x + y ) n = ∑ k – 0 n ( n k ) x n - k y k ( r + 1 ) ené simo término de una expansión binomial ( n r ) x n – r y r Conceptos clave ( n r ) se llama coeficiente binomial y es igual a C ( n , r ) . Vea el . El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el . Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es un coeficiente binomial y cómo se calcula? Un coeficiente binomial es una forma alternativa de denotar la combinación C ( n , r ). Se define como ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! . ¿Qué papel desempeñan los coeficientes binomiales en una expansión binomial? ¿Están limitados a algún tipo de número? ¿Qué es el teorema del binomio y para qué sirve? El teorema del binomio se define como ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k y se puede usar para expandir cualquier binomio. ¿Cuándo es una ventaja utilizar el teorema del binomio? Explique. Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial. ( 6 2 ) 15 ( 5 3 ) ( 7 4 ) 35 ( 9 7 ) ( 10 9 ) 10 ( 25 11 ) ( 17 6 ) 12.376 ( 200 199 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio. ( 4 a - b ) 3 64 a 3 − 48 a 2 b + 12 a b 2 - b 3 ( 5 a + 2 ) 3 ( 3 a + 2 b ) 3 27 a 3 + 54 a 2 b + 36 a b 2 + 8 b 3 ( 2 x + 3 y ) 4 ( 4 x + 2 y ) 5 1.024 x 5 + 2.560 x 4 y + 2.560 x 3 y 2 + 1280 x 2 y 3 + 320 x y 4 + 32 y 5 ( 3 x - 2 y ) 4 ( 4 x - 3 y ) 5 1.024 x 5 − 3840 x 4 y + 5760 x 3 y 2 − 4320 x 2 y 3 + 1620 x y 4 − 243 y 5 ( 1 x + 3 y ) 5 ( x – 1 + 2 y - 1 ) 4 1 x 4 + 8 x 3 y + 24 x 2 y 2 + 32 x y 3 + 16 y 4 ( x - y ) 5 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio. ( a + b ) 17 a 17 + 17 a 16 b + 136 a 15 b 2 ( x – 1 ) 18 ( a - 2 b ) 15 a 15 − 30 a 14 b + 420 a 13 b 2 ( x - 2 y ) 8 ( 3 a + b ) 20 3 , 486 , 784 , 401 a 20 + 23 , 245 , 229 , 340 a 19 b + 73 , 609 , 892 , 910 a 18 b 2 ( 2 a + 4 b ) 7 ( x 3 - y ) 8 x 24 − 8 x 21 y + 28 x 18 y En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio. El cuarto término de ( 2 x - 3 y ) 4 El cuarto término de ( 3 x - 2 y ) 5 − 720 x 2 y 3 El tercer término de ( 6 x - 3 y ) 7 El octavo término de ( 7 + 5 y ) 14 220 , 812 , 466 , 875 , 000 y 7 El séptimo término de ( a + b ) 11 El quinto término de ( x - y ) 7 35 x 3 y 4 El décimo término de ( x – 1 ) 12 El noveno término de ( a - 3 b 2 ) 11 1 , 082 , 565 a 3 b 16 El cuarto término de ( x 3 - 1 2 ) 10 El octavo término de ( y 2 + 2 x ) 9 1152 y 2 x 7 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio f ( x ) = ( x + 3 ) 4 . Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes. Calcule y grafique f 1 ( x ) , de manera que f 1 ( x ) sea el primer término de la expansión. Calcule y grafique f 2 ( x ) , de manera que f 2 ( x ) sea la suma de los dos primeros términos de la expansión. f 2 ( x ) = x 4 + 12 x 3 Calcule y grafique f 3 ( x ) , de manera que f 3 ( x ) sea la suma de los tres primeros términos de la expansión. Calcule y grafique f 4 ( x ) , de manera que f 4 ( x ) sea la suma de los cuatro primeros términos de la expansión. f 4 ( x ) = x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x Calcule y grafique f 5 ( x ) , de manera que f 5 ( x ) sea la suma de los cinco primeros términos de la expansión. Extensiones En la expansión de ( 5 x + 3 y ) n , cada término tiene la forma ( n k ) a n – k b k , donde k toma sucesivamente el valor 0 , 1 , 2 , ... , n . Si ( n k ) = ( 7 2 ) , ¿cuál es el término correspondiente? 590 , 625 x 5 y 2 En la expansión de ( a + b ) n , ¿el coeficiente de a n - k b k es el mismo que el coeficiente de cuál otro término? Considere la expansión de ( x + b ) 40 . ¿Cuál es el exponente de b en el plano k enésimo término? k - 1 Halle ( n k - 1 ) + ( n k ) y escriba la respuesta como un coeficiente binomial en la forma ( n k ) . Pruébelo. Pista: Utilice el hecho de que para cualquier número entero p , de manera que p ≥ 1 , p ! = p ( p - 1 ) ! . ¿Qué expresión no se puede expandir utilizando el teorema del binomio? Explique. ( x 2 - 2 x + 1 ) ( a + 4 a − 5 ) 8 ( x 3 + 2 y 2 - z ) 5 ( 3 x 2 - 2 y 3 ) 12 La expresión ( x 3 + 2 y 2 - z ) 5 no se puede expandir utilizando el teorema del binomio porque no se puede reescribir como un binomio. coeficiente binomial el número de maneras de elegir r objetos de entre n objetos donde el orden no importa; equivalente a C ( n , r ) , denotado ( n r ) expansión binomial el resultado de expandir ( x + y ) n mediante multiplicación teorema del binomio una fórmula que se puede usar para expandir cualquier binomio

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Probabilidad Objetivos de aprendizaje Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas. Objetivo 1: Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas. Muchos acontecimientos de la vida son intrínsecamente inciertos: ¿va a nevar mañana? ¿Voy a sacar una ‘A’ en este curso? Ninguna de estas preguntas puede responderse con certeza. Sin embargo, diríamos que algunas son improbables y otras más probables. La probabilidad de un evento es una descripción de la probabilidad de que un evento ocurra. La probabilidad es un número entre 0 y 1 (es decir, entre el 0 % y el 100 %), donde las probabilidades más cercanas al 100 % son muy probables, y las más cercanas al 0 % son muy improbables. La probabilidad del 0 % significa que el suceso es imposible, y la probabilidad del 100 % significa que el evento ocurrirá con seguridad. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Se define por su espacio muestral, los sucesos dentro del espacio muestral y las probabilidades asociadas a cada evento. El espacio muestral S de un modelo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para lanzar un dado es el conjunto 1,2,3,4,5,6. Esta notación se denomina notación de lista . El suceso A es un subconjunto del espacio muestral S. Por ejemplo, el suceso: "Sacar un número par", es el subconjunto 2,4,6. Para calcular la probabilidad de un evento, dividimos el número de resultados posibles del evento entre el número de resultados posibles del espacio muestral. P ( resultado ) = Número de maneras en que ese resultado puede ocurrir Número total de resultados Es importante señalar que para utilizar esta fórmula, todos los resultados deben tener la misma probabilidad de ocurrir . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par con un dado estándar es: P ( números pares ) = 3 números pares 6 números totales = 3 6 = 1 2 Probabilidad básica (introducción simple a los espacios muestrales). Lanzar una moneda: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el espacio muestral de lanzar una moneda. Ⓑ Calcule la probabilidad de que “la moneda salga cara”. Lanzar un dado: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento “lanzar un número impar”. Ⓑ Calcule la probabilidad de “lanzar un número impar”. Sacar una carta: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento “sacar un as”. Ⓑ Calcule la probabilidad de “sacar un as”. Lanzar una moneda: Ⓐ Cuando se lanza una moneda, hay dos resultados. El espacio muestral es: Cara, cruz. Ⓑ Solo hay un resultado para que en la moneda salga cara, por lo que P (sale cara) = 12. Lanzar un dado: Ⓐ Cuando se lanza un dado, hay seis resultados. El evento "lanzar un número impar" tiene tres resultados. El evento en notación de conjuntos es: 1, 3, 5. Ⓑ P (lanzar un número impar) = 36 = 12. Sacar una carta: Ⓐ Cuando saca una carta, hay 52 resultados. El evento "sacar un as" tiene cuatro resultados. El evento en notación de conjuntos es: as de corazones, as de diamantes, as de tréboles y as de picas. Ⓑ P (sacar un as) = 452 = 113. La práctica hace la perfección Girar un dial: Ⓐ Describa el espacio muestral en notación de conjuntos. Ⓑ Calcule la probabilidad de que el “dial se detenga en una rebanada amarilla”. Ⓒ Calcule la probabilidad de que el "dial se detenga en una rebanada roja". Ⓓ Calcule la probabilidad de que el "dial se detenga en una rebanada azul". Dibuje un diagrama que muestre el espacio muestral de una baraja estándar de 52 cartas. Empiece por distinguir entre las cartas rojas y las negras y muestre el número de cada una. Luego, muestre los palos: diamantes, corazones, tréboles y picas. Debajo de esto haga una lista del número o de la cara de la carta que aparece en cada palo. Utilice su diagrama como ayuda para hallar lo siguiente. Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento "sacar un rey". Ⓑ Calcule la probabilidad de "sacar un rey". Ⓒ Describa en notación de conjuntos el evento "sacar un trébol". Ⓓ Calcule la probabilidad de "sacar un trébol". Ⓔ Calcule la probabilidad de "sacar un seis rojo". Ⓕ Calcule la probabilidad de "sacar una reina negra". Un ejemplo de "modelo de espagueti", el cual se puede usar para predecir las posibles trayectorias de una tormenta tropical. La figura es solo a título ilustrativo y no representa ninguna tormenta en particular. Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la . Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones. Construir modelos de probabilidades Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento , o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados , de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad . La probabilidad de un evento p es un número que siempre satisface 0 ≤ p ≤ 1 , donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la . Resultado Probabilidad Ganar la rifa 1 % Perder la rifa 99 % La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %. Cómo Dado un evento de probabilidad en el que cada evento es igualmente posible, construya un modelo de probabilidades. Identifique cada resultado. Determine el número total de resultados posibles. Compare cada resultado con el número total de resultados posibles. Construir un modelo de probabilidades Construya un modelo de probabilidades para lanzar un único dado imparcial, siendo el evento el número que aparece en el dado. Comience haciendo una lista de todos los posibles resultados del experimento. Los posibles resultados son los números que se pueden lanzar: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Hay seis resultados posibles que conforman el espacio muestral. Asigne probabilidades a cada resultado en el espacio muestral determinando una relación entre el resultado y el número de resultados posibles. Hay uno de cada uno de los seis números en el cubo, y no hay ninguna razón para pensar que una cara en particular tenga más probabilidades de aparecer que cualquier otra, por lo que la probabilidad de lanzar cualquier número es 1 6 . Resultado Lanzamiento del 1 Lanzamiento del 2 Lanzamiento del 3 Lanzamiento del 4 Lanzamiento del 5 Lanzamiento del 6 Probabilidad 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay que expresar siempre las probabilidades en forma de fracciones? No. Las probabilidades se pueden expresar como fracciones, decimales o porcentajes. La probabilidad debe ser siempre un número entre 0 y 1, incluso 0 y 1. Ejercicio Construya un modelo de probabilidades para lanzar una moneda justa. Resultado Probabilidad Cara 1 2 Cruz 1 2 Calcular probabilidades de resultados igualmente probables Supongamos que S es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de S . Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en S . Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento "sacar un número menor que o igual a 4". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en S , por lo que la probabilidad del evento es 4 6 = 2 3 . Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables La probabilidad de un evento E en un experimento con espacio muestral S con resultados igualmente probables está dada por P ( E ) = número de elementos en E número de elementos en S = n ( E ) n ( S ) E es un subconjunto de S , por lo que siempre es cierto que 0 ≤ P ( E ) ≤ 1. Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables Se lanza un cubo numérico de seis caras. Calcule la probabilidad de lanzar un número impar. El evento "lanzar un número impar" contiene tres resultados. Hay 6 resultados igualmente probables en el espacio muestral. Divida para calcular la probabilidad del evento. P ( E ) = 3 6 = 1 2 Ejercicio Se lanza un cubo numérico. Calcule la probabilidad de lanzar un número mayor que 2. 2 3 Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos E y F , escrita como E ∪ F , es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos. P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) Supongamos que se hace girar la ruleta de la . Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a b . Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es 3 6 = 1 2 . Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una b . Así que la probabilidad de girar a b es 2 6 = 1 3 . Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y b dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a b , tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y b . 1 2 + 1 3 - 1 6 = 2 3 La probabilidad de girar a anaranjado o a b es 2 3 . Probabilidad de la unión de dos eventos La probabilidad de la unión de dos eventos E y F (escrita como E ∪ F ) es igual a la suma de la probabilidad de E y la probabilidad de F menos la probabilidad de que E y F ocurran juntos ( lo cual se llama la intersección de E y F y se escribe como E ∩ F ). P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o un 7. Una baraja estándar contiene el mismo número de corazones, diamantes, tréboles y picas. Así que la probabilidad de sacar un corazón es 1 4 . Hay cuatro 7 en una baraja estándar, y hay un total de 52 cartas. Así que la probabilidad de sacar un 7 es 1 13 . La única carta de la baraja que es a la vez un corazón y un 7 es el 7 de corazones, por lo que la probabilidad de sacar tanto un corazón como un 7 es 1 52 . Sustituya P ( H ) = 1 4 , P ( 7 ) = 1 13 , y P ( H ∩ 7 ) = 1 52 en la fórmula. P ( E ∪  F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩  F ) = 1 4 + 1 13 - 1 52 = 4 13 La probabilidad de sacar un corazón o un 7 es 4 13 . Ejercicio Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar una carta roja o un as. 7 13 Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la , pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a d . No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una d , por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de E y F es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es 3 6 = 1 2 y la probabilidad de girar a d es 1 6 . Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a d simplemente al sumar las dos probabilidades. P ( E ∪  F ) = P ( E ) + P ( F ) = 1 2 + 1 6 = 2 3 La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a d es 2 3 . Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes La probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes E y F viene dada por P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) Cómo Dado un conjunto de eventos, calcule la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes. Determine el número total de resultados del primer evento. Calcule la probabilidad del primer evento. Determine el número total de resultados del segundo evento. Calcule la probabilidad del segundo evento. Sume las probabilidades. Calcular la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o una pica. Los eventos "sacar un corazón" y "sacar una pica" son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. La probabilidad de sacar un corazón es 1 4 , y la probabilidad de sacar una pica también es 1 4 , por lo que la probabilidad de sacar un corazón o una pica es 1 4 + 1 4 = 1 2 Ejercicio Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un as o un rey. 2 13 Usar la regla del complemento para calcular probabilidades Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento E , denotado E ′ , es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en E . Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento W es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento W es que el caballo pierda la carrera. Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1. P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es 1 9 , la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente 1 - 1 9 = 8 9 La regla del complemento La probabilidad de que se produzca el complemento de un evento está dada por P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) Usar la regla del complemento para calcular probabilidades Se lanzan dos cubos numéricos de seis caras. Ⓐ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea menor que o igual a 3. Ⓑ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3. El primer paso es identificar el espacio muestral, que consiste en todos los resultados posibles. Hay dos cubos numéricos, y cada cubo numérico tiene seis resultados posibles. Utilizando el principio de multiplicación, hallamos que hay 6 × 6 , o 36 resultados posibles totales. Así, por ejemplo, el 1-1 representa un 1 sacado en cada cubo numérico. 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de lanzar una suma de 3 o menos. Esto incluiría los siguientes resultados: 1-1, 1-2 y 2-1. Así que solo hay tres maneras de sacar una suma de 3 o menos. La probabilidad es 3 36 = 1 12 Ⓑ En vez de enumerar todas las posibilidades, podemos utilizar la regla del complemento. Como ya hemos calculado la probabilidad del complemento de este evento, podemos simplemente restar esa probabilidad de 1 para calcular la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3. P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) = 1 - 1 12 = 11 12 Ejercicio Se lanzan dos cubos numéricos. Utilice la regla del complemento para calcular la probabilidad de que la suma sea menor que 10. 5 6 Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños. Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay C ( 5 , 2 ) maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay C ( 8 , 2 ) maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es: maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos maneras de seleccionar 2 teléfonos = C ( 5 , 2 ) C ( 8 , 2 ) = 10 28 = 5 14 Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo Un niño selecciona al azar 5 juguetes de una caja que contiene 3 conejos, 5 perros y 6 osos. Ⓐ Calcule la probabilidad de que solo se elijan osos. Ⓑ Calcule la probabilidad de que se elijan 2 osos y 3 perros. Ⓒ Calcule la probabilidad de que, al menos, se elijan 2 perros. Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de elegir solo osos y el número total de maneras posibles de seleccionar 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay C ( 6 , 5 ) maneras de elegir 5 osos. Hay 14 juguetes, por lo que hay C ( 14 , 5 ) maneras de elegir 5 juguetes cualesquiera. C ( 6 , 5 ) C ( 14 , 5 ) = 6 2.002 = 3 1.001 Ⓑ Tenemos que contar el número de maneras de elegir 2 osos y 3 perros y el número total de maneras posibles de elegir 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay C ( 6 , 2 ) maneras de elegir 2 osos. Hay 5 perros, así que hay C ( 5 , 3 ) maneras de elegir 3 perros. Como estamos eligiendo tanto osos como perros al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay C ( 6 , 2 ) ⋅ C ( 5 , 3 ) maneras de elegir 2 osos y 3 perros. Podemos utilizar este resultado para calcular la probabilidad. C ( 6 , 2 ) C ( 5 , 3 ) C ( 14 , 5 ) = 15 ⋅ 10 2.002 = 75 1.001 Ⓒ A menudo es más fácil resolver los problemas de "al menos" utilizando la regla del complemento. Empezaremos por calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros. Si se eligen menos de 2 perros, entonces o bien no se puede elegir ningún perro, o bien se puede elegir 1 perro. Cuando no se eligen perros, los 5 juguetes provienen de los 9 juguetes que no son perros. Hay C ( 9 , 5 ) maneras de elegir juguetes de los 9 juguetes que no son perros. Dado que hay 14 juguetes, hay C ( 14 , 5 ) maneras de elegir los 5 juguetes de entre todos los juguetes. C ( 9 , 5 ) C ( 14 , 5 ) = 63 1.001 Si se elige 1 perro, entonces 4 juguetes deben proceder de los 9 juguetes que no son perros, y 1 debe proceder de los 5 perros. Como estamos eligiendo tanto perros como otros juguetes al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay C ( 5 , 1 ) ⋅ C ( 9 , 4 ) maneras de elegir 1 perro y 1 otro juguete. C ( 5 , 1 ) C ( 9 , 4 ) C ( 14 , 5 ) = 5 ⋅ 126 2.002 = 315 1.001 Dado que estos sucesos no ocurrirían juntos y, por tanto, son mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades para calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros. 63 1.001 + 315 1.001 = 378 1.001 A continuación, restamos esa probabilidad de 1 para hallar la probabilidad de que se elijan, al menos, 2 perros. 1 − 378 1.001 = 623 1.001 Ejercicio Un niño selecciona al azar 3 bolas de chicle de un recipiente que contiene 4 bolas de chicle moradas, 8 amarillas y 2 verdes. Ⓐ Calcule la probabilidad de que las 3 bolas de chicle seleccionadas sean moradas. Ⓑ Calcule la probabilidad de que no se seleccione ninguna bola de chicle amarilla. Ⓒ Calcule la probabilidad de que se seleccione, al menos, 1 bola de chicle amarilla. a . 1 91 ; b . 5 91 ; c . 86 91 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la probabilidad. Introducción a la probabilidad Determinar la probabilidad Ecuaciones clave probabilidad de un suceso con resultados igualmente probables P ( E ) = n ( E ) n ( S ) probabilidad de la unión de dos eventos P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) probabilidad del complemento de un evento P ( E ' ) = 1 – P ( E ) Conceptos clave La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro. Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el . Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el . Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el . Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el . La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el . En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué término se utiliza para expresar la posibilidad de que se produzca un evento? ¿Hay restricciones en sus valores? Si es así, ¿cuáles son? Si no es así, explique. probabilidad; la probabilidad de un evento se restringe a valores entre 0 y 1 , incluso 0 y 1. ¿Qué es un espacio muestral? ¿Qué es un experimento? Un experimento es una actividad con un resultado observable. ¿Cuál es la diferencia entre eventos y resultados? Dé un ejemplo de ambos utilizando el espacio muestral de lanzar una moneda 50 veces. La unión de dos conjuntos se define como un conjunto de elementos que están presentes en, al menos, uno de los conjuntos. ¿En qué se parece esto a la definición utilizada para la unión de dos eventos de un modelo de probabilidades? ¿En qué se diferencia? La probabilidad de que se produzca la unión de dos eventos es un número que describe la posibilidad de que se produzca, al menos, uno de los eventos de un modelo de probabilidades. En una unión de conjuntos A y B y una unión de eventos A y B , la unión incluye A o B o ambos. La diferencia es que una unión de conjuntos da como resultado otro conjunto, mientras que la unión de eventos es una probabilidad, por lo que siempre es un valor numérico entre 0 y 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la para calcular las probabilidades indicadas. Cae en rojo Cae en una vocal 1 2 . No cae en azul Cae en morado o en una vocal 5 8 . Cae en azul o en una vocal Cae en verde o en azul 1 2 . Cae en amarillo o en una consonante No cae en amarillo ni en una consonante 3 8 . En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas. ¿Cuál es el espacio muestral? Calcule la probabilidad de lanzar dos caras. 1 4 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente una cruz. Calcule la probabilidad de lanzar, al menos, una cruz. 3 4 . En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas. ¿Cuál es el espacio muestral? Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras. 3 8 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente tres caras. Calcule la probabilidad de lanzar cuatro caras o cuatro cruces. 1 8 . Calcule la probabilidad de lanzar todas cruces. Calcule la probabilidad de lanzar no todas cruces. 15 16 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras o, al menos, dos cruces. Calcule la probabilidad de lanzar dos caras o tres caras. 5 8 . En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de 52 cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente: Un trébol Un dos 1 13 . Seis o siete Seis rojo 1 26 . Un as o un diamante Una carta que no sea as 12 13 . Un corazón o una carta que no sea jota En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados. Construya una tabla que muestre el espacio muestral de los resultados y las sumas. 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) 2 (1, 2) 3 (1, 3) 4 (1, 4) 5 (1, 5) 6 (1, 6) 7 2 (2, 1) 3 (2, 2) 4 (2, 3) 5 (2, 4) 6 (2, 5) 7 (2, 6) 8 3 (3, 1) 4 (3, 2) 5 (3, 3) 6 (3, 4) 7 (3, 5) 8 (3, 6) 9 4 (4, 1) 5 (4, 2) 6 (4, 3) 7 (4, 4) 8 (4, 5) 9 (4, 6) 10 5 (5, 1) 6 (5, 2) 7 (5, 3) 8 (5, 4) 9 (5, 5) 10 (5, 6) 11 6 (6, 1) 7 (6, 2) 8 (6, 3) 9 (6, 4) 10 (6, 5) 11 (6, 6) 12 Calcule la probabilidad de sacar una suma de 3. Calcule la probabilidad de sacar, al menos, un cuatro o una suma de 8. 5 12 . Calcule la probabilidad de sacar una suma impar menor que 9. Calcule la probabilidad de sacar una suma mayor que o igual a 15. 0 . Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que 15. Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que 6 o mayor que 9. 4 9 . Calcule la probabilidad de sacar una suma entre 6 y 9 , , inclusive. Calcule la probabilidad de sacar una suma de 5 ni 6. 1 4 . Calcule la probabilidad de sacar cualquier suma que no sea 5 ni 6. En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente: Una cara en la moneda o un trébol 5 8 Una cruz en la moneda o un as rojo Una cara en la moneda o una carta con cara 8 13 No hay ases En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene 12 azules, 6 marrones, 10 anaranjados, 8 amarillos, 8 rojos y 4 M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M. ¿Cuál es la probabilidad de obtener todos los M&M azules? C ( 12 , 5 ) C ( 48 , 5 ) = 1 2.162 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 M&M azules? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 M&M azules? C ( 12 , 3 ) C ( 36 , 2 ) C ( 48 , 5 ) = 175 2.162 ¿Cuál es la probabilidad de no obtener M&M marrones? Extensiones Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de 20 números de los números del 1 al 80. Después de que el jugador haga sus selecciones, 20 números ganadores se seleccionan al azar entre los números del 1 al 80. Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente 3 , 4 , o 5 de los 20 números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana). ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 3 números ganadores? C ( 20 , 3 ) C ( 60 , 17 ) C ( 80 , 20 ) ≈ 12,49 % ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 4 números ganadores? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione los 5 números ganadores? C ( 20 , 5 ) C ( 60 , 15 ) C ( 80 , 20 ) ≈ 23,33 % ¿Cuál es el porcentaje de posibilidades de ganar? ¿Qué tan menor es la probabilidad de que un jugador seleccione 3 números ganadores comparada a la probabilidad de que seleccione 4 o 5 números ganadores? 20,50 + 23,33 − 12,49 = 31,34 % Aplicaciones en el mundo real Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años). Oficina del Censo de Estados Unidos. http://www.census.gov Si conoce a un ciudadano estadounidense, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que esa persona sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente uno sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). C ( 40.000.000 , 1 ) C ( 277.000.000 , 4 ) C ( 317.000.000 , 5 ) = 36,78 % Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que tres sean de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que cuatro sean de edad avanzada? (Redondee a la milésima de porcentaje más cercana). C ( 40.000.000 , 4 ) C ( 277.000.000 , 1 ) C ( 317.000.000 , 5 ) = 0,11 % Se prevé que en 2030 uno de cada cinco ciudadanos estadounidenses será de edad avanzada. ¿Cuántas más posibilidades habrá de conocer a una persona de edad avanzada en ese momento? ¿Qué cambios políticos prevé si se cumplen estas estadísticas? Ejercicios de repaso del capítulo Secuencias y su notación Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva a 1 = 2 , a n = a n – 1 + n . 2 , 4 , 7 , 11 Evalúe 6 ! ( 5 - 3 ) ! 3 ! . Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = 10 n + 3. 13 , 103 , 1.003 , 10.003 Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = n ! n ( n + 1 ) . Secuencias aritméticas ¿Es la secuencia 4 7 , 47 21 , 82 21 , 39 7 , ... aritmética? Si es así, halle la diferencia común. La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 5 3 . ¿Es la secuencia 2 , 4 , 8 , 16 , ... aritmética? Si es así, halle la diferencia común. Una secuencia aritmética tiene el primer término a 1 = 18 y la diferencia común d = − 8. ¿Cuáles son los cinco primeros términos? 18 , 10 , 2 , − 6 , − 14 Una secuencia aritmética tiene términos a 3 = 11,7 y a 8 = − 14,6. ¿Cuál es el primer término? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética − 20 , - 10 , 0 , 10 ,… a 1 = − 20 , a n = a n – 1 + 10 Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética 0 , - 1 2 , - 1 , - 3 2 , … , y luego calcule el 31. º término. Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética 7 8 , 29 24 , 37 24 , 15 8 , … a n = 1 3 n + 13 24 ¿Cuántos términos hay en la secuencia aritmética finita 12 , 20 , 28 , … , 172 ? Secuencias geométricas Calcule la razón común de la secuencia geométrica 2,5 , 5 , 10 , 20 , … r = 2 ¿La secuencia 4, 16, 28, 40 ... es geométrica? Si es así, calcule la razón común. Si no es así, explique por qué. Una secuencia geométrica tiene términos a 7 = 16 , 384 y a 9 = 262 , 144 . ¿Cuáles son los cinco primeros términos? 4, 16, 64, 256, 1.024 Una secuencia geométrica tiene el primer término a 1 = - 3 y razón común r = 1 2 . ¿Cuál es el 8.º término? ¿Cuáles son los cinco primeros términos de la secuencia geométrica a 1 = 3 , a n = 4 ⋅ a n – 1 ? 3 , 12 , 48 , 192 , 768 Escriba una fórmula recursiva para la secuencia geométrica 1 , 1 3 , 1 9 , 1 27 , … Escriba una fórmula explícita para la secuencia geométrica − 1 5 , - 1 15 , - 1 45 , - 1 135 , … a n = - 1 5 ⋅ ( 1 3 ) n – 1 Cuántos términos hay en la secuencia geométrica finita − 5 , - 5 3 , - 5 9 , … , - 5 59 , 049 ? Las series y su notación Utilice la notación sumatoria para escribir la suma de términos 1 2 m + 5 a partir de m = 0, 0 con m = 5. ∑ m = 0, 0 5 ( 1 2 m + 5 ) . Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma que resulta de sumar el número 13 veinte veces. Utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética para hallar la suma de los once primeros términos de la serie aritmética 2,5, 4, 5,5, ... . S 11 = 110 Una escalera tiene 15 peldaños cónicos, cuyas longitudes aumentan por una diferencia común. El primer peldaño mide 5 pulgadas y el último 20 pulgadas de largo. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los peldaños? Use la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular S 9 para la serie 12 , 6 , 3 , 3 2 , … S 9 ≈ 23,95 Las cuotas de los tres primeros años de afiliación a un club de caza se indican en la . Si las cuotas siguen aumentando al mismo ritmo, ¿cuál será el costo total de los diez primeros años de afiliación? Año Cuotas de afiliación 1 $ 1.500 2 $ 1.950 3 $ 2.535 Calcule la suma de la serie geométrica infinita ∑ k = 1 ∞ 45 ⋅ ( - 1 3 ) k - 1 . S = 135 4 Una pelota tiene una razón de rebote de 3 5 la altura del rebote anterior. Escriba una serie que represente la distancia total recorrida por la pelota, suponiendo que se dejó caer inicialmente desde una altura de 5 pies. ¿Cuál es la distancia total? ( Pista : la distancia total que recorre la pelota en cada rebote es la suma de las alturas de la subida y la bajada). Alejandro deposita 80 dólares de sus ingresos mensuales en una anualidad que gana un interés anual del 6,25 %, calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado después de 5 años? 5.617,61 dólares. Los gemelos Hoa y Binh abrieron cuentas de jubilación cuando cumplieron 21 años. Hoa deposita 4.800,00 dólares cada año, ganando un 5,5 % de interés anual, calculado mensualmente. Binh deposita 3.600,00 dólares cada año, ganando un 8,5 % de interés anual, calculado mensualmente. Qué gemelo ganará más intereses al momento en que tengan 55 años? ¿Cuánto más? Principios de conteo ¿Cuántas maneras hay de elegir un número del conjunto { − 10 , − 6 , 4 , 10 , 12 , 18 , 24 , 32 } que es divisible entre 4 o 6 ? 6 En un grupo de 20 músicos, 12 tocan el piano, 7 tocan la trompeta y 2 tocan tanto el piano como la trompeta. ¿Cuántos músicos tocan el piano o la trompeta? ¿De cuántas maneras se puede construir un código de 4 dígitos si los números se pueden repetir? 10 4 = 10 . 000 Una paleta de pinturas de acuarela tiene 3 tonos de verde, 3 tonos de azul, 2 tonos de rojo, 2 tonos de amarillo y 1 tono de negro. ¿De cuántas maneras se puede elegir un tono de cada color? Calcule P ( 18 , 4 ) . P ( 18 , 4 ) = 73 , 440 En un grupo de 5 del primer año, 10 del segundo año, 3 del tercer año, y 2 estudiantes del cuarto año, ¿de cuántas maneras se puede elegir al presidente, al vicepresidente y al tesorero? Calcule C ( 15 , 6 ) . C ( 15 , 6 ) = 5005 Una cafetería tiene 7 tostados guatemaltecos, 4 cubanos y 10 costarricenses. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 2 tostados guatemaltecos, 2 cubanos y 3 costarricenses para una degustación de café? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto { 1 , 3 , 5 , … , 99 } ? 2 50 = 1,13 × 10 15 Un spa cobra una tarifa básica por día que incluye el uso del sauna, de la piscina y de las duchas. Por un costo suplementario, los visitantes pueden elegir entre los siguientes servicios adicionales: masaje, exfoliación corporal, manicura, pedicura, tratamiento facial y afeitado con cuchilla. ¿De cuántas maneras se puede pedir servicios adicionales en el spa? ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar la palabra DEADWOOD? 8 ! 3 ! 2 ! = 3360 ¿Cuántas reorganizaciones distintas de las letras de la palabra DEADWOOD hay si la palabra debe comenzar y terminar con la letra D? Teorema del binomio Evalúe el coeficiente binomial ( 23 8 ) . 490 , 314 Utilice el teorema del binomio para expandir ( 3 x + 1 2 y ) 6 . Utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de ( 2 a + b ) 17 . 131 , 072 a 17 + 1 , 114 , 112 a 16 b + 4 , 456 , 448 a 15 b 2 Halle el cuarto término de ( 3 a 2 - 2 b ) 11 sin expandir completamente el binomio. Probabilidad En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados. Construya una tabla que muestre el espacio muestral. 1 2 3 4 5 6 1 1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6 2 2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6 3 3;1 3;2 3;3 3;4 3;5 3;6 4 4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6 5 5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6 6 6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6 ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un 2 ? ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un par? 1 6 ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un 2 o resulte en un par? ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya un 2 o resulte en un par? 5 9 ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un 5 o un 6? ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya ni un 5 ni un 6? 4 9 En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana). ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que todos los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que, al menos, uno de los niños que asisten a la fiesta prefiera leche? 1 - C ( 350 , 8 ) C ( 500 , 8 ) ≈ 94,4 % ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran leche? C ( 150 , 3 ) C ( 350 , 5 ) C ( 500 , 8 ) ≈ 25,6 % Prueba de práctica Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva a = – 14 , a n = 2 + a n – 1 2 . − 14 , − 6 , - 2 , 0 Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = n 2 – n – 1 n ! . ¿Es la secuencia 0,3 , 1,2 , 2,1 , 3 , … aritmética? Si es así, halle la diferencia común. La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 0,9. Una secuencia aritmética tiene el primer término a 1 = – 4 y la diferencia común d = – 4 3 . ¿Cuál es el 6.º término? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética − 2 , - 7 2 , - 5 , − 13 2 , … y luego halle el 22.º término. a 1 = - 2 , a n = a n – 1 - 3 2 ; a 22 = − 67 2 Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética 15,6 , 15 , 14,4 , 13,8 , … y luego halle el 32.º término. ¿Es la secuencia − 2 , - 1 , - 1 2 , - 1 4 , … geométrica? Si es así, halle la razón común. Si no es así, explique por qué. La secuencia es geométrica. La razón común es r = 1 2 . ¿Cuál es el 11.º término de la secuencia geométrica − 1,5 , - 3 , − 6 , − 12 , … ? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia geométrica 1 , - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , … a 1 = 1 , a n = - 1 2 ⋅ a n – 1 Escriba una fórmula explícita para la secuencia geométrica 4 , - 4 3 , 4 9 , - 4 27 , … Utilice la notación sumatoria para escribir la suma de términos 3 k 2 - 5 6 k a partir de k = - 3 con k = 15. ∑ k = - 3 15 ( 3 k 2 - 5 6 k ) Un estadio de béisbol comunitario tiene 10 asientos en la primera fila, 13 en la segunda, 16 en la tercera, y así sucesivamente. Hay 56 filas en total. ¿Cuál es el aforo del estadio? Utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular ∑ k = 1 7 − 0,2 ⋅ ( - 5 ) k - 1 . S 7 = − 2.604,2 Calcule la suma de la serie geométrica infinita ∑ k = 1 ∞ 1 3 ⋅ ( - 1 5 ) k - 1 . Ramla deposita cada año 3.600 dólares en un fondo de jubilación. El fondo gana un 7,5 % de interés anual, compuesto mensualmente. Si abrió su cuenta a los 20 años, ¿cuánto tendrá a los 55? ¿Qué parte de esa cantidad era ganancia de intereses? Total en la cuenta: $ 140 , 355,75 ; Intereses ganados: $ 14 , 355,75 En una competencia de 50 bailarines de salón profesionales, 22 participan en la competencia de fox-trot, 18 en la de tango y 6 en ambas. ¿Cuántos bailarines participan en las competencias de fox-trot o tango? El comprador de un sedán nuevo puede encargar el auto a su gusto y tiene para elegir entre 5 colores exteriores diferentes, 3 colores interiores distintos, 2 sistemas de sonido, 3 diseños de motor y una transmisión manual o automática. ¿Cuántas opciones tiene el comprador? 5 × 3 × 2 × 3 × 2 = 180 Para asignar las primas anuales, un gerente debe elegir a sus cuatro mejores empleados y clasificarlos del primero al cuarto. ¿De cuántas maneras puede crear la lista de los "cuatro mejores" entre los 32 empleados? Un grupo musical tiene que elegir 3 canciones para tocar en la Guerra de Bandas anual. ¿De cuántas maneras pueden elegir su set si tienen 15 canciones para escoger? C ( 15 , 3 ) = 455 Una tienda de yogur helado de autoservicio tiene 8 ingredientes de dulces y 4 de fruta para elegir. ¿De cuántas maneras se pueden agregar ingredientes a un yogur helado? ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar la palabra EVANESCENCE si el anagrama debe terminar con la letra E? 10 ! 2 ! 3 ! 2 ! = 151 , 200 Utilice el teorema del binomio para expandir ( 3 2 x – 1 2 y ) 5 . Halle el séptimo término de ( x 2 – 1 2 ) 13 sin expandir completamente el binomio. 429 x 14 16 En los siguientes ejercicios, utilice la ruleta de la . Construya un modelo de probabilidades que muestre cada resultado posible y su probabilidad asociada (Utilice la primera letra para los colores). ¿Cuál es la probabilidad de caer en un número impar? 4 7 ¿Cuál es la probabilidad de caer en el azul? ¿Cuál es la probabilidad de caer en el azul o en un número impar? 5 7 ¿Cuál es la probabilidad de caer en algo que no sea el azul ni un número impar? Un bol de dulces contiene 16 caramelos de menta, 14 de mantequilla y 10 de fresa. Supongamos que una persona toma un puñado de 7 caramelos. ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 sean de mantequilla? (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana). C ( 14 , 3 ) C ( 26 , 4 ) C ( 40 , 7 ) ≈ 29,2 % complemento de un evento el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento E evento cualquier subconjunto de un espacio muestral experimento una actividad con un resultado observable eventos mutuamente excluyentes eventos que no tienen resultados en común resultados los posibles resultados de un experimento probabilidad un número del 0 al 1 que indica la posibilidad de un evento modelo de probabilidades una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento unión de dos eventos el evento que se produce si se produce uno o ambos eventos

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Introducción La corredora holandesa Sifan Hassan pasa por delante de sus competidoras principales en su camino hacia la victoria. La holandesa oriunda de Etiopía Sifan Hassan ha dominado las carreras de distancia durante varios años. Fue la primera en ganar las carreras de 1.500 y 10.000 metros en un campeonato mundial. Durante los Juegos Olímpicos de Tokio, se unió a la única corredora en la historia al obtener una medalla en la rara vez intentada distancia del triple: ganó la medalla de oro en los 5.000 y 10.000 metros y el bronce en los 1.500. El estilo característico de Hassan es permanecer en la retaguardia durante gran parte de la carrera, para luego avanzar en las últimas vueltas. Hassan no corre a su máxima velocidad a cada instante. ¿Cómo podemos entonces calcular su velocidad en un instante dado? En este capítulo hallaremos la respuesta a esta y muchas otras preguntas semejantes.

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