Antiderivadas En este punto ya hemos visto cómo calcular las derivadas de muchas funciones y se nos presentó una variedad de sus aplicaciones. Ahora haremos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función f , ¿cómo encontramos una función con la derivada f y por qué nos interesa esa función? Responderemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función f es una función con una derivada f . ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinaremos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro análisis del movimiento rectilíneo en Derivadas , demostramos que dada una función de posición s ( t ) de un objeto, entonces su función de velocidad v ( t ) es la derivada de s ( t ) −es decir, v ( t ) = s ′ ( t ) . Además, la aceleración a ( t ) es la derivada de la velocidad v ( t ) −es decir, a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) . Supongamos ahora que nos dan una función de aceleración a , pero no la función de velocidad v o la función de posición s . Dado que a ( t ) = v ′ ( t ) , determinar la función de velocidad nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de aceleración. Luego, dado que v ( t ) = s ′ ( t ) , determinar la función de posición nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es solo un caso en el que surge la necesidad de las antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veremos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinaremos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Más adelante en el texto ( Introducción a técnicas de integración ) examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. El inverso de la diferenciación En este punto ya sabemos cómo encontrar las derivadas de varias funciones. Ahora nos preguntamos lo contrario. Dada una función f , ¿cómo podemos encontrar una función con derivada f ? Si podemos encontrar una función F con derivada f , llamamos F como antiderivada de f . Definición Una función F es una antiderivada de la función f si F ′ ( x ) = f ( x ) para todos los x en el dominio de f . Considere la función f ( x ) = 2 x . Ya que conocemos la regla de la potencia de la diferenciación, concluimos que F ( x ) = x 2 es una antiderivada de f dado que F ′ ( x ) = 2 x . ¿Existen otras antiderivadas de f ? Sí, ya que la derivada de cualquier constante C es cero, x 2 + C es también una antiderivada de 2 x . Por lo tanto, x 2 + 5 y x 2 − 2 también son antiderivadas. ¿Hay otras que no sean de la forma x 2 + C para alguna constante C ? No. Del corolario 2 del teorema del valor medio, sabemos que si F y G son funciones diferenciables tales que F ′ ( x ) = G ′ ( x ) , entonces F ( x ) − G ( x ) = C para alguna constante C . Este hecho nos lleva al siguiente teorema de importancia. Forma general de una antiderivada Supongamos que F es una antiderivada de f en un intervalo I . Entonces, para cada constante C , la función F ( x ) + C es también una antiderivada de f en I ; si G es una antiderivada de f en I , hay una constante C para la cual G ( x ) = F ( x ) + C en I . En otras palabras, la forma más general de la antiderivada de f en I ¿es F ( x ) + C . Usamos este hecho y nuestro conocimiento de las derivadas para hallar todas las antiderivadas de varias funciones. Encontrar antiderivadas Para cada una de las siguientes funciones, halle todas las antiderivadas. f ( x ) = 3 x 2 f ( x ) = 1 x f ( x ) = cos x f ( x ) = e x Porque d d x ( x 3 ) = 3 x 2 entonces F ( x ) = x 3 es una antiderivada de 3 x 2 . Por lo tanto, toda antiderivada de 3 x 2 es de la forma x 3 + C para alguna constante C , y toda función de la forma x 3 + C es una antiderivada de 3 x 2 . Supongamos que f ( x ) = ln | x | . Para x > 0 , f ( x ) = ln ( x ) y d d x ( ln x ) = 1 x . Para x < 0 , f ( x ) = ln ( − x ) y d d x ( ln ( − x ) ) = − 1 − x = 1 x . Por lo tanto, d d x ( ln | x | ) = 1 x . Por lo tanto, F ( x ) = ln | x | es una antiderivada de 1 x . Por lo tanto, toda antiderivada de 1 x es de la forma ln | x | + C para alguna constante C y toda función de la forma ln | x | + C es una antiderivada de 1 x . Tenemos d d x ( sen x ) = cos x , así que F ( x ) = sen x es una antiderivada de cos x . Por lo tanto, toda antiderivada de cos x es de la forma sen x + C para alguna constante C y toda función de la forma sen x + C es una antiderivada de cos x . Dado que d d x ( e x ) = e x , entonces F ( x ) = e x es una antiderivada de e x . Por lo tanto, toda antiderivada de e x es de la forma e x + C para alguna constante C y toda función de la forma e x + C es una antiderivada de e x . Calcule todas las antiderivadas de f ( x ) = sen x . − cos x + C Pista ¿Qué función tiene una derivada de sen x ? Integrales indefinidas A continuación veremos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinaremos algunas de sus propiedades, las cuales nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función f , utilizamos la notación f ′ ( x ) o d f d x para denotar la derivada de f . Aquí presentamos la notación para las antiderivadas. Si los valores de F es una antiderivada de f , decimos que F ( x ) + C es la antiderivada más general de f y escribimos ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . El símbolo ∫ se llama signo integral , y ∫ f ( x ) d x se denomina integral indefinida de f . Definición Dada una función f , la integral indefinida de f , denotada ∫ f ( x ) d x , es la antiderivada más general de f . Si F es una antiderivada de f , entonces ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . La expresión f ( x ) se denomina integrando y la variable x es la variable de integración . Dada la terminología presentada en esta definición, el acto de encontrar las antiderivadas de una función f se denomina normalmente integración f . Para una función f y una antiderivada F , las funciones F ( x ) + C , donde C es un número real cualquiera, se suele denominar familia de antiderivadas de f . Por ejemplo, ya que x 2 es una antiderivada de 2 x y cualquier antiderivada de 2 x es de la forma x 2 + C , escribimos ∫ 2 x d x = x 2 + C . La colección de todas las funciones de la forma x 2 + C , donde C es un número real cualquiera, se conoce como la familia de antiderivadas de 2 x . La muestra un gráfico de esta familia de antiderivadas. La familia de antiderivadas de 2 x consiste en todas las funciones de la forma x 2 + C , donde C es un número real cualquiera. En algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se deduce directamente de las propiedades de las derivadas. Por ejemplo, para n ≠ − 1 , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , que viene directamente de d d x ( x n + 1 n + 1 ) = ( n + 1 ) x n n + 1 = x n . Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales . Regla de la potencia para integrales Para n ≠ − 1 , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas de varias funciones comunes. En el Apéndice B figura una lista más completa. Fórmulas de integración Fórmula de diferenciación Integral Indefinida d d x ( k ) = 0 ∫ k d x = ∫ k x 0 d x = k x + C d d x ( x n ) = n x n – 1 ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C por n ≠ − 1 d d x ( ln | x | ) = 1 x ∫ 1 x d x = ln | x | + C d d x ( e x ) = e x ∫ e x d x = e x + C d d x ( sen x ) = cos x ∫ cos x d x = sen x + C d d x ( cos x ) = − sen x ∫ sen x d x = − cos x + C d d x ( tan x ) = sec 2 x ∫ sec 2 x d x = tan x + C d d x ( csc x ) = − csc x cot x ∫ csc x cot x d x = − csc x + C d d x ( sec x ) = sec x tan x ∫ sec x tan x d x = sec x + C d d x ( cot x ) = − csc 2 x ∫ csc 2 x d x = − cot x + C d d x ( sen −1 x ) = 1 1 − x 2 ∫ 1 1 − x 2 = sen −1 x + C d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 ∫ 1 1 + x 2 d x = tan −1 x + C d d x ( sec −1 | x | ) = 1 x x 2 – 1 ∫ 1 x x 2 – 1 d x = sec −1 | x | + C A partir de la definición de integral indefinida de f , sabemos que ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C si y solo si F es una antiderivada de f . Por lo tanto, al afirmar que ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C es importante verificar si esta afirmación es correcta comprobando que F ′ ( x ) = f ( x ) . Verificación de una integral indefinida Cada uno de los siguientes enunciados es de la forma ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . Compruebe que cada afirmación es correcta demostrando que F ′ ( x ) = f ( x ) . ∫ ( x + e x ) d x = x 2 2 + e x + C ∫ x e x d x = x e x − e x + C (carbono 14). Dado que d d x ( x 2 2 + e x + C ) = x + e x , la afirmación ∫ ( x + e x ) d x = x 2 2 + e x + C es correcta. Observe que estamos verificando una integral indefinida para una suma. Además, x 2 2 y e x son antiderivadas de x y e x , respectivamente, y la suma de las antiderivadas es una antiderivada de la suma. Volveremos a hablar de este hecho más adelante en esta sección. Utilizando la regla del producto, vemos que d d x ( x e x − e x + C ) = e x + x e x − e x = x e x . Por lo tanto, la afirmación ∫ x e x d x = x e x − e x + C es correcto. Note que estamos verificando una integral indefinida para un producto. La antiderivada x e x − e x no es un producto de las antiderivadas. Además, el producto de las antiderivadas, x 2 e x / 2 no es una antiderivada de x e x ya que d d x ( x 2 e x 2 ) = x e x + x 2 e x 2 ≠ x e x . En general, el producto de las antiderivadas no es la antiderivada de un producto. Verifique que ∫ x cos x d x = x sen x + cos x + C . d d x ( x sen x + cos x + C ) = sen x + x cos x − sen x = x cos x Pista Calcule d d x ( x sen x + cos x + C ) . En la , enumeramos las integrales indefinidas de muchas funciones elementales. Pasemos ahora a evaluar integrales indefinidas para funciones más complicadas. Por ejemplo, considere hallar la antiderivada de la suma f + g . En el a. demostramos que una antiderivada de la suma x + e x viene dada por la suma ( x 2 2 ) + e x es decir, la antiderivada de una suma viene dada por una suma de antiderivadas. Este resultado no es específico de este ejemplo. En general, si F y G son antiderivadas de cualquier función f y g , respectivamente, entonces d d x ( F ( x ) + G ( x ) ) = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Por lo tanto, F ( x ) + G ( x ) es una antiderivada de f ( x ) + g ( x ) y tenemos ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = F ( x ) + G ( x ) + C . De la misma manera, ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x = F ( x ) − G ( x ) + C . Además, consideremos la tarea de encontrar una antiderivada de k f ( x ) , donde k es un número real cualquiera. Dado que d d x ( k f ( x ) ) = k d d x F ( x ) = k f ′ ( x ) para cualquier número real k , concluimos que ∫ k f ( x ) d x = k F ( x ) + C . Estas propiedades se resumen a continuación. Propiedades de las integrales indefinidas Supongamos que F y G son antiderivadas de f y g , respectivamente y supongamos que k es cualquier número real. Sumas y diferencias ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = F ( x ) ± G ( x ) + C Múltiples constantes ∫ k f ( x ) d x = k F ( x ) + C A partir de este teorema, podemos evaluar cualquier integral que implique una suma, diferencia o múltiplo constante de funciones con antiderivadas conocidas. La evaluación de integrales que implican productos, cocientes o composiciones es más complicada (vea el b., que involucra la antiderivada de un producto). En la Introducción a la integración veremos y trataremos las integrales que involucran estas funciones más complicadas. En el siguiente ejemplo, examinaremos cómo utilizar este teorema para calcular las integrales indefinidas de varias funciones. Evaluación de integrales indefinidas Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas: ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x ∫ x 2 + 4 x 3 x d x ∫ 4 1 + x 2 d x ∫ tan x cos x d x Utilizando las , podemos integrar cada uno de los cuatro términos del integrando por separado. Obtenemos ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x = ∫ 5 x 3 d x − ∫ 7 x 2 d x + ∫ 3 x d x + ∫ 4 d x . A partir de la segunda parte de las , cada coeficiente puede escribirse delante del signo de la integral, lo que da ∫ 5 x 3 d x − ∫ 7 x 2 d x + ∫ 3 x d x + ∫ 4 d x = 5 ∫ x 3 d x − 7 ∫ x 2 d x + 3 ∫ x d x + 4 ∫ 1 d x . Utilizando la regla de la potencia para las integrales, concluimos que ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x = 5 4 x 4 − 7 3 x 3 + 3 2 x 2 + 4 x + C . Reescriba el integrando como x 2 + 4 x 3 x = x 2 x + 4 x 3 x . Entonces, integre cada uno de estos términos por separado para evaluar la integral. Utilizando la regla de la potencia, tenemos ∫ ( x + 4 x 2 / 3 ) d x = ∫ x d x + 4 ∫ x −2 / 3 d x = 1 2 x 2 + 4 1 ( −2 3 ) + 1 x ( −2 / 3 ) + 1 + C = 1 2 x 2 + 12 x 1 / 3 + C . Utilizando las , escriba la integral como 4 ∫ 1 1 + x 2 d x . Entonces, utilice el hecho de que tan –1 ( x ) es una antiderivada de 1 ( 1 + x 2 ) para concluir que ∫ 4 1 + x 2 d x = 4 tan –1 ( x ) + C . Reescriba el integrando como tan x cos x = sen x cos x cos x = sen x . Por lo tanto, ∫ tan x cos x = ∫ sen x = − cos x + C . Evalúe ∫ ( 4 x 3 − 5 x 2 + x − 7 ) d x . x 4 − 5 3 x 3 + 1 2 x 2 − 7 x + C Pista Integre cada término del integrando por separado, haciendo uso de la regla de la potencia. Problemas de valor inicial Más adelante veremos las técnicas para integrar una gran variedad de funciones que implican productos, cocientes y composiciones. A continuación, nos ocuparemos de un uso común de las antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: la resolución de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o varias de sus derivadas. La ecuación d y d x = f ( x ) es un ejemplo sencillo de ecuación diferencial. Resolver esta ecuación significa encontrar una función y con una derivada f . Por lo tanto, las soluciones de la son las antiderivadas de f . Si F es una antiderivada de f , toda función de la forma y = F ( x ) + C es una solución de esa ecuación diferencial. Por ejemplo, las soluciones de d y d x = 6 x 2 vienen dadas por y = ∫ 6 x 2 d x = 2 x 3 + C . A veces nos interesa determinar si una curva de solución particular pasa por un punto determinado ( x 0 , y 0 ) −es decir, y ( x 0 ) = y 0 . El problema de encontrar una función y que satisfaga una ecuación diferencial d y d x = f ( x ) con la condición adicional y ( x 0 ) = y 0 es un ejemplo de problema de valor inicial . La condición y ( x 0 ) = y 0 se conoce como condición inicial . Por ejemplo, al buscar una función y que satisfaga la ecuación diferencial d y d x = 6 x 2 y la condición inicial y ( 1 ) = 5 es un ejemplo de problema de valor inicial. Dado que las soluciones de la ecuación diferencial son y = 2 x 3 + C , para encontrar una función y que también satisfaga la condición inicial, necesitamos encontrar C de manera que y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 3 + C = 5 . De esta ecuación, vemos que C = 3 , y concluimos que y = 2 x 3 + 3 es la solución de este problema de valor inicial como se muestra en el siguiente gráfico. Se muestran algunas de las curvas de solución de la ecuación diferencial d y d x = 6 x 2 . La función y = 2 x 3 + 3 satisface la ecuación diferencial y la condición inicial y ( 1 ) = 5 . Resolución de un problema de valor inicial Resuelva el problema de valor inicial d y d x = sen x , y ( 0 ) = 5 . Primero tenemos que resolver la ecuación diferencial. Si los valores de d y d x = sen x , entonces y = ∫ sen ( x ) d x = − cos x + C . A continuación tenemos que buscar una solución y que satisfaga la condición inicial. La condición inicial y ( 0 ) = 5 significa que necesitamos una constante C de manera que − cos x + C = 5 . Por lo tanto, C = 5 + cos ( 0 ) = 6 . La solución del problema de valor inicial es y = − cos x + 6 . Resuelva el problema de valor inicial d y d x = 3 x −2 , y ( 1 ) = 2 . y = − 3 x + 5 Pista Calcule todas las antiderivadas de f ( x ) = 3 x −2 . Los problemas de valor inicial surgen en muchas aplicaciones. A continuación consideraremos un problema en el que un conductor usa los frenos en un automóvil. Nos interesa saber cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse. Recordemos que la función de velocidad v ( t ) es la derivada de una función de posición s ( t ) , y la aceleración a ( t ) es la derivada de la función de velocidad. En los ejemplos anteriores del texto, pudimos calcular la velocidad a partir de la posición y luego la aceleración a partir de la velocidad. En el siguiente ejemplo trabajaremos de manera inversa. Dada una función de aceleración, calcularemos la función de velocidad. A continuación, utilizaremos la función de velocidad para determinar la función de posición. Auto en desaceleración Un auto viaja a la velocidad de 88 ft/s ( 60 mph) cuando se aplican los frenos. El automóvil comienza a desacelerar a una velocidad constante de 15 ft/s 2 . ¿Cuántos segundos pasan antes de que el auto se detenga? ¿Qué distancia recorre el auto en ese tiempo? Primero introducimos las variables para este problema. Supongamos que t es el tiempo (en segundos) después de aplicar los frenos por primera vez. Supongamos que a ( t ) es la aceleración del automóvil (en pies por segundos al cuadrado) en el tiempo t . Supongamos que v ( t ) es la velocidad del auto (en pies por segundo) en el tiempo t . Supongamos que s ( t ) es la posición del auto (en pies) más allá del punto donde se aplican los frenos en el momento t . El auto se desplaza a una velocidad de 88 ft/s . Por lo tanto, la velocidad inicial es v ( 0 ) = 88 ft/s. Como el auto está desacelerando, la aceleración es a ( t ) = −15 ft/s 2 . La aceleración es la derivada de la velocidad, v ′ ( t ) = –15 . Por lo tanto, tenemos un problema de valor inicial que resolver: v ′ ( t ) = −15 , v ( 0 ) = 88 . Integrando, encontramos que v ( t ) = −15 t + C . Dado que v ( 0 ) = 88 , C = 88 . Así, la función de velocidad es v ( t ) = −15 t + 88 . Para encontrar el tiempo que tarda el auto en detenerse, tenemos que encontrar el tiempo t tal que la velocidad sea cero. Resolver −15 t + 88 = 0 , obtenemos t = 88 15 seg. Para encontrar la distancia que recorre el auto durante este tiempo, tenemos que encontrar su posición después de 88 15 seg. Sabemos que la velocidad v ( t ) es la derivada de la posición s ( t ) . Considere que la posición inicial es s ( 0 ) = 0 . Por lo tanto, tenemos que resolver el problema de valor inicial s ′ ( t ) = −15 t + 88 , s ( 0 ) = 0 . Integrando, tenemos s ( t ) = − 15 2 t 2 + 88 t + C . Dado que s ( 0 ) = 0 , la constante es C = 0 . Por lo tanto, la función de posición es s ( t ) = − 15 2 t 2 + 88 t . Después de t = 88 15 segundos, la posición es s ( 88 15 ) ≈ 258,133 pies. Supongamos que el auto se desplaza a la velocidad de 44 ft/s. ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá el auto? 2,93 sec , 64,5 pies Pista v ( t ) = −15 t + 44 . Conceptos clave Si los valores de F es una antiderivada de f , entonces toda antiderivada de f es de la forma F ( x ) + C para alguna constante C . Resolución del problema de valor inicial d y d x = f ( x ) , y ( x 0 ) = y 0 nos exige encontrar primero el conjunto de antiderivadas de f y luego buscar la antiderivada específica que también satisface la condición inicial. En los siguientes ejercicios, demuestre que F ( x ) son antiderivadas de f ( x ) . F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ′ ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4 F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x ) grandes. F ′ ( x ) = 2 x e x + x 2 e x F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sen x F ( x ) = e x , f ( x ) = e x F ′ ( x ) = e x En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función. f ( x ) = 1 x 2 + x f ( x ) = e x − 3 x 2 + sen x F ( x ) = e x – x 3 − cos ( x ) + C f ( x ) = e x + 3 x – x 2 f ( x ) = x – 1 + 4 sen ( 2 x ) grandes. F ( x ) = x 2 2 − x − 2 cos ( 2 x ) + C En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada F ( x ) de cada función f ( x ) . f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5 f ( x ) = x + 12 x 2 F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C f ( x ) = 1 x f ( x ) = ( x ) 3 F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3 F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C f ( x ) = 2 sen ( x ) + sen ( 2 x ) grandes. f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1 F ( x ) = x + tan ( x ) + C f ( x ) = sen x cos x f ( x ) = sen 2 ( x ) cos ( x ) grandes. F ( x ) = 1 3 sen 3 ( x ) + C f ( x ) = 0 f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2 F ( x ) = − 1 2 cot ( x ) − 1 x + C f ( x ) = csc x cot x + 3 x f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x F ( x ) = − sec x − 4 csc x + C f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x ) grandes. f ( x ) = 1 2 e −4 x + sen x F ( x ) = − 1 8 e −4 x − cos x + C En los siguientes ejercicios, evalúe la integral. ∫ ( –1 ) d x ∫ sen x d x − cos x + C ∫ ( 4 x + x ) d x ∫ 3 x 2 + 2 x 2 d x 3 x − 2 x + C ∫ ( sec x tan x + 4 x ) d x ∫ ( 4 x + x 4 ) d x 8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C ∫ ( x −1 / 3 − x 2 / 3 ) d x ∫ 14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x 14 x − 2 x – 1 2 x 2 + C ∫ ( e x + e – x ) d x En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de valor inicial. f ′ ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1 f ( x ) = − 1 2 x 2 + 3 2 f ′ ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2 f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2 f ( x ) = sen x + tan x + 1 f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0 f ( x ) = − 1 6 x 3 − 2 x + 13 6 En los siguientes ejercicios, halle dos posibles funciones f dadas las derivadas de segundo o tercer orden. f ″ ( x ) = x 2 + 2 f ″ ( x ) = e – x Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f ( x ) = e – x f ″ ( x ) = 1 + x f ‴ ( x ) = cos x Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f ( x ) = − sen x f ‴ ( x ) = 8 e −2 x − sen x Un auto va a una velocidad de 40 mph cuando se aplican los frenos. El auto decelera a una velocidad constante de 10 pies/seg 2 . ¿Cuánto tiempo falta para que el auto se detenga? 5,867 s En el problema anterior, calcule la distancia que recorre el auto en el tiempo que tarda en detenerse. Está entrando en la autopista, acelerando a una velocidad constante de 12 pies/seg 2 . ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la velocidad de incorporación a 60 mph? 7,333 s Según el problema anterior, ¿qué distancia recorre el auto para alcanzar la velocidad de incorporación? Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en 8 segundos cuando va a 75 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce. 13,75 ft/s 2 Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en menos de 450 ft cuando va a 60 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce. En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función, suponiendo F ( 0 ) = 0 . [T] f ( x ) = x 2 + 2 F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x [T] f ( x ) = 4 x – x [T] f ( x ) = sen x + 2 x F ( x ) = x 2 − cos x + 1 [T] f ( x ) = e x [T] f ( x ) = 1 ( x + 1 ) 2 F ( x ) = − 1 ( x + 1 ) + 1 [T] f ( x ) = e −2 x + 3 x 2 En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Demuestre que es verdadera o halle un contraejemplo si es falsa. Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces 2 f ( x ) es la antiderivada de 2 v ( x ) . Verdadero Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces f ( 2 x ) es la antiderivada de v ( 2 x ) . Si f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces f ( x ) + 1 es la antiderivada de v ( x ) + 1 . Falso Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces ( f ( x ) ) 2 es la antiderivada de ( v ( x ) ) 2 . Ejercicios de repaso del capítulo ¿ Verdadero o falso ? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que f ( x ) es continua y diferenciable a menos que se indique lo contrario. Si los valores de f ( –1 ) = –6 y f ( 1 ) = 2 , entonces existe al menos un punto x ∈ [ −1 , 1 ] de manera que f ′ ( x ) = 4 . Verdadero, según el teorema del valor medio Si los valores de f ′ ( c ) = 0 , hay un máximo o un mínimo en x = c . Existe una función tal que f ( x ) < 0 , f ′ ( x ) > 0 , y f ″ ( x ) < 0 . (Se acepta una "prueba" gráfica para esta respuesta). Verdadero Existe una función tal que hay tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor x = a . Dado el gráfico de f ′ , determine dónde f es creciente o decreciente. Creciente: ( –2 , 0 ) ∪ ( 4 , ∞ ) , decreciente: ( − ∞ , –2 ) ∪ ( 0 , 4 ) El gráfico de f se indica a continuación. Dibuje f ′ . Halle la aproximación lineal L ( x ) a y = x 2 + tan ( π x ) cerca de x = 1 4 . L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x – 1 4 ) Halle la diferencial de y = x 2 − 5 x − 6 y evalúe para x = 2 con la d x = 0,1 . Halle los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado. f ( x ) = x + sen 2 ( x ) en [ 0 , π ] Punto crítico: x = 3 π 4 , mínimo absoluto: x = 0 , máximo absoluto: x = π f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 6 en [ −3 , 3 ] Determine en qué intervalos las siguientes funciones son crecientes, decrecientes, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo. x ( t ) = 3 t 4 − 8 t 3 − 18 t 2 Creciente: ( –1 , 0 ) ∪ ( 3 , ∞ ) , decreciente: ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 0 , 3 ) , cóncavo hacia arriba: ( − ∞ , 1 3 ( 2 − 13 ) ) ∪ ( 1 3 ( 2 + 13 ) , ∞ ) , cóncava hacia abajo: ( 1 3 ( 2 − 13 ) , 1 3 ( 2 + 13 ) ) grandes. y = x + sen ( π x ) grandes. g ( x ) = x – x Creciente: ( 1 4 , ∞ ) , decreciente: ( 0 , 1 4 ) , cóncavo hacia arriba: ( 0 , ∞ ) , cóncava hacia abajo: en ninguna parte f ( θ ) = sen ( 3 θ ) Evalúe los siguientes límites. lím x → ∞ 3 x x 2 + 1 x 4 − 1 3 lím x → ∞ cos ( 1 x ) grandes. lím x → 1 x – 1 sen ( π x ) grandes. − 1 π lím x → ∞ ( 3 x ) 1 / x Utilice el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida. y = x 3 + 1 , x 0 = 0,5 x 1 = −1 , x 2 = –1 y = 1 x + 1 = 1 2 , x 0 = 0 Halle las antiderivadas F ( x ) de las siguientes funciones. g ( x ) = x – 1 x 2 F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C f ( x ) = 2 x + 6 cos x , F ( π ) = π 2 + 2 Grafique las siguientes funciones a mano. Asegúrese de marcar los puntos de inflexión, los puntos críticos, los ceros y las asíntotas. y = 1 x ( x + 1 ) 2 Puntos de inflexión: ninguno; puntos críticos: x = − 1 3 ; ceros: ninguno; asíntotas verticales: x = −1 , x = 0 ; asíntota horizontal: y = 0 y = x − 4 − x 2 Se compacta un auto en un sólido rectangular. El volumen disminuye a una tasa de 2 m 3 /s. La longitud y la anchura del compactador son cuadradas, pero la altura no tiene la misma longitud que la anchura. Si las paredes de longitud y anchura se mueven una hacia la otra a una velocidad de 0,25 m/s, halle la velocidad a la que cambia la altura cuando la longitud y la anchura son 2 m y la altura es 1,5 m. La altura disminuye a una tasa de 0,125 m/s Se lanza un cohete al espacio; su energía cinética viene dada por K ( t ) = ( 1 2 ) m ( t ) v ( t ) 2 , donde K es la energía cinética en julios, m es la masa del cohete en kilogramos, y v es la velocidad del cohete en metros/segundo. Supongamos que la velocidad aumenta a una tasa de 15 m/s 2 y la masa disminuye a una tasa de 10 kg/s porque el combustible se está consumiendo. ¿A qué velocidad cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es 2000 kg y la velocidad es 5.000 m/s? Indique su respuesta en megajulios por segundo (MJ/s), lo que equivale a 10 6 J/s. El famoso problema de Regiomontano para la maximización de ángulos fue propuesto durante el siglo XV. Un cuadro está colgado en una pared con la parte inferior del cuadro a una distancia de a ft sobre el nivel de los ojos, y la parte superior b ft sobre el nivel de los ojos. ¿Qué distancia x (en pies) desde la pared debe situarse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por el cuadro, θ ? x = a b pies Una compañía aérea vende boletos de Tokio a Detroit por $ 1200 . Hay 500 asientos disponibles y un vuelo corriente reserva 350 asientos. Por cada $ 10 de disminución del precio, la aerolínea nota que se venden cinco asientos adicionales. ¿Cuál debería ser el precio del boleto para maximizar el beneficio? ¿Cuántos pasajeros habría a bordo? antiderivada una función F de manera que F ′ ( x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f es una antiderivada de f integral indefinida la antiderivada más usual de f ( x ) es la integral indefinida de f ; utilizamos la notación ∫ f ( x ) d x para denotar la integral indefinida de f problema de valor inicial problema que requiere encontrar una función y que satisfaga la ecuación diferencial d y d x = f ( x ) junto con la condición inicial y ( x 0 ) = y 0

Matemáticas


Introducción La navegación sobre hielo es un deporte de invierno muy popular en algunas zonas del norte de Estados Unidos y Europa (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Los botes deslizadores sobre hielo son una visión habitual en los lagos de Wisconsin y Minnesota los fines de semana de invierno. Estos botes son similares a los de vela, pero están equipados con patines y están diseñados para deslizarse sobre el hielo, en vez de sobre el agua. Pueden desplazarse muy rápidamente, y muchos entusiastas de la navegación sobre hielo se sienten atraídos por este deporte debido a la velocidad. Los mejores navegadores de estas embarcaciones pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Si sabemos a qué velocidad se mueve un bote deslizador sobre hielo, podemos utilizar la integración para determinar la distancia que recorre. Volveremos a tratar esta cuestión más adelante en el capítulo (consulte el ). Determinar la distancia a partir de la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de la integración. De hecho, las integrales se utilizan en una gran variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, comenzaremos presentando la teoría detrás de la integración y utilizaremos las integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollaremos el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la diferenciación y la integración. A continuación, estudiaremos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.

Matemáticas


Aproximación de áreas A Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma. Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Estas áreas se suman para hacer una aproximación del área de la región curva. En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f ( x ) , y el eje x en un intervalo cerrado [ a , b ] . Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva. Empecemos por introducir algunas notaciones para facilitar los cálculos. A continuación, consideraremos el caso en el que f ( x ) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, atenuaremos algunas de estas restricciones y desarrollaremos técnicas que se aplican en casos más generales. Notación sigma (notación de sumatoria) Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria ). La letra mayúscula griega Σ , sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 . Probablemente omitiríamos la escritura de un par de términos y escribiríamos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20 , que es mejor, pero sigue siendo engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como ∑ i = 1 20 i , que es mucho más compacta. Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma ∑ i = 1 n a i donde a i describe los términos a añadir, y la i se denomina índice . Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n . Por ejemplo, una expresión como ∑ i = 2 7 s i se interpreta como s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 + s 7 . Tenga en cuenta que el índice solo se utiliza para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no entra en el cálculo de la suma en sí. Por lo tanto, el índice se denomina variable ficticia . Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan i , j , k , m y n para los índices. Probemos un par de ejemplos de uso de la notación sigma. Uso de la notación sigma Escriba en notación sigma y evalúe la suma de términos 3 i por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Escriba la suma en notación sigma 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 . Escriba ∑ i = 1 5 3 i = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 = 363. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Utilizando la notación sigma, esta suma puede escribirse como ∑ i = 1 5 1 i 2 . Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos 2 i para i = 3 , 4 , 5 , 6 . ∑ i = 3 6 2 i = 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 = 120 Pista Utilice los pasos de resolución en la como guía. Las propiedades asociadas al proceso de suma se dan en la siguiente regla. Regla: propiedades de la notación sigma Supongamos que a 1 , a 2 ,…, a n y b 1 , b 2 ,…, b n representan dos secuencias de términos y supongamos c una constante. Las siguientes propiedades se cumplen para todos los enteros positivos n y para los enteros m , con 1 ≤ m ≤ n . ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Prueba Demostramos aquí las propiedades 2. y 3., y dejamos la demostración de las demás propiedades para los Ejercicios. 2. Tenemos ∑ i = 1 n c a i = c a 1 + c a 2 + c a 3 + ⋯ + c a n = c ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) = c ∑ i = 1 n a i . 3. Tenemos ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) + ( a 3 + b 3 ) + ⋯ + ( a n + b n ) = ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) + ( b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i . □ Unas cuantas fórmulas más para las funciones más frecuentes simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente regla: sumas y potencias de números enteros , y las utilizamos en el siguiente conjunto de ejemplos. Regla: sumas de potencias de números enteros La suma de n números enteros viene dada por ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . La suma de enteros consecutivos al cuadrado viene dada por ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . La suma de enteros consecutivos elevada al cubo viene dada por ∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . Evaluación mediante la notación sigma Escriba utilizando la notación sigma y evalúe: La suma de los términos ( i − 3 ) 2 por i = 1 , 2 ,…, 200 . La suma de los términos ( i 3 − i 2 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicando ( i − 3 ) 2 , podemos descomponer la expresión en tres términos ∑ i = 1 200 ( i − 3 ) 2 = ∑ i = 1 200 ( i 2 − 6 i + 9 ) = ∑ i = 1 200 i 2 – ∑ i = 1 200 6 i + ∑ i = 1 200 9 = ∑ i = 1 200 i 2 − 6 ∑ i = 1 200 i + ∑ i = 1 200 9 = 200 ( 200 + 1 ) ( 400 + 1 ) 6 − 6 [ 200 ( 200 + 1 ) 2 ] + 9 ( 200 ) = 2686700 − 120.600 + 1800 = 2567900 Utilice la propiedad iv de la notación sigma y las reglas de la suma de términos al cuadrado y las de la suma de términos al cubo ∑ i = 1 6 ( i 3 − i 2 ) = ∑ i = 1 6 i 3 − ∑ i = 1 6 i 2 = 6 2 ( 6 + 1 ) 2 4 − 6 ( 6 + 1 ) ( 2 ( 6 ) + 1 ) 6 = 1764 4 − 546 6 = 350 Halle la suma de los valores de 4 + 3 i por i = 1 , 2 ,…, 100 . 15.550 Pista Utilice las propiedades de la notación sigma para resolver el problema. Hallar la suma de los valores de la función Halle la suma de los valores de f ( x ) = x 3 sobre los enteros 1 , 2 , 3 ,…, 10 . Con la fórmula tenemos ∑ i = 1 10 i 3 = ( 10 ) 2 ( 10 + 1 ) 2 4 = 100 ( 121 ) 4 = 3025. Evalúe la suma indicada por la notación ∑ k = 1 20 ( 2 k + 1 ) . 440 Pista Utilice la regla de la suma de potencias de números enteros. Aproximación del área Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Queremos aproximar el área A delimitada por f ( x ) arriba, el eje abajo, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha ( ). El área (región sombreada) delimitada por la curva f ( x ) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha. ¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera. Comenzamos dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos de anchos iguales, b – a n . Lo hacemos seleccionando puntos igualmente espaciados x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n con la x 0 = a , x n = b , y x i − x i − 1 = b – a n por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Denotamos la anchura de cada subintervalo con la notación Δ x , por lo que Δ x = b – a n y x i = x 0 + i Δ x por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Esta noción de dividir un intervalo [ a , b ] en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia en la aproximación del área bajo una curva, así que vamos a definir alguna terminología relevante. Definición Un conjunto de puntos P = { x i } por i = 0 , 1 , 2 ,…, n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b , que divide el intervalo [ a , b ] en subintervalos de la forma [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] ,…, [ x n – 1 , x n ] se llama una partición de [ a , b ] . Si todos los subintervalos tienen la misma anchura, el conjunto de puntos forma una partición regular del intervalo [ a , b ] . Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación examinamos dos métodos: aproximación en el punto del extremo izquierdo y la aproximación en el punto del extremo derecho. Regla: aproximación del extremo izquierdo En cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] (para i = 1 , 2 , 3 ,…, n ) , construya un rectángulo con anchura Δ x y altura igual a f ( x i − 1 ) , que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es f ( x i − 1 ) Δ x . Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A ( ). Utilizamos la notación L n para denotar que se trata de una aproximación del punto del extremo izquierdo de A utilizando n subintervalos. A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x En la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la izquierda de cada subintervalo. El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del punto del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo. Regla: aproximación del extremo derecho Construir un rectángulo en cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] , solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f ( x i ) en el punto del extremo derecho del subintervalo. Entonces, el área de cada rectángulo es f ( x i ) Δ x y la aproximación para A está dada por A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x . La notación R n indica que se trata de una aproximación en el punto del extremo derecho de A ( ). En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo. Nótese que la aproximación del punto del extremo derecho difiere de la aproximación del punto del extremo izquierdo en la . Los gráficos de la representan la curva f ( x ) = x 2 2 . En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [ 0 , 3 ] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5. Así, Δ x = 0,5 . A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al x i − 1 , punto del extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f ( x i − 1 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Los intervalos son [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] , [ 2 , 2,5 ] , [ 2,5 , 3 ] . Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura. Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f ( x ) y el eje x . Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo. Por lo tanto, A ≈ L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i − 1 ) Δ x = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x = f ( 0 ) 0,5 + f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 = ( 0 ) 0,5 + ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 = 3,4375. Métodos de aproximación del área bajo una curva utilizando (a) los puntos extremos de la izquierda y (b) los puntos extremos de la derecha. En la (b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a x i de manera que x i es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f ( x i ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicamos cada f ( x i ) por Δ x para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas. Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) . Por lo tanto, A ≈ R 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i ) Δ x = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x + f ( x 6 ) Δ x = f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 + f ( 3 ) 0,5 = ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 + ( 4,5 ) 0,5 = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 = 5,6875. Aproximación del área bajo una curva Utilice las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; utilice n = 4 . En primer lugar, divida el intervalo [ 0 , 2 ] en n subintervalos iguales. Utilizando n = 4 , Δ x = ( 2 − 0 ) 4 = 0,5 . Esta es la anchura de cada rectángulo. Los intervalos [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] se muestran en la . Utilizando una aproximación al punto del extremo izquierdo, las alturas son f ( 0 ) = 0 , f ( 0,5 ) = 0,25 , f ( 1 ) = 1 , f ( 1,5 ) = 2,25 . Entonces, L 4 = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x = 0 ( 0,5 ) + 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) = 1,75. El gráfico muestra la aproximación de los puntos del extremo izquierdo del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del punto del extremo derecho se muestra en la . Los intervalos son los mismos, Δ x = 0,5 , pero ahora se utiliza el punto del extremo derecho para calcular la altura de los rectángulos. Tenemos R 4 = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x = 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) + 4 ( 0,5 ) = 3,75. El gráfico muestra la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del extremo izquierdo es 1,75; la aproximación del extremo derecho es 3,75. Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f ( x ) = 1 x en [ 1 , 2 ] ; utilice n = 4 . Aproxime el área utilizando ambos métodos. La aproximación del extremo izquierdo es de 0,7595. La aproximación del punto final derecho es 0,6345. Pista Siga la estrategia de resolución en la paso a paso. Al observar la y los gráficos en el , podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más fino, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión. Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar n , primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos. A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva. La muestra el área de la región bajo la curva f ( x ) = ( x – 1 ) 3 + 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n = 4 . La anchura de cada rectángulo es Δ x = 2 − 0 4 = 1 2 . El área se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos, o L 4 = f ( 0 ) ( 0,5 ) + f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) 0,5 = 7,5. Con una aproximación al extremo izquierdo y dividiendo la región de a a b en cuatro intervalos iguales, el área bajo la curva es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos. La muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n = 8 . Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es L 8 = f ( 0 ) ( 0,25 ) + f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) = 7,75. La región bajo la curva se divide en áreas rectangulares n = 8 de igual anchura para una aproximación al extremo izquierdo. El gráfico en la muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es L 32 = f ( 0 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 1,9375 ) ( 0,0625 ) = 7,9375. En este caso, se inscriben 32 rectángulos bajo la curva para una aproximación al punto del extremo izquierdo. Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho. Una aproximación al extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos ( ), produce un área R 4 = f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) ( 0,5 ) + f ( 2 ) ( 0,5 ) = 8,5. Ahora dividimos el área bajo la curva en cuatro subintervalos iguales para una aproximación al punto del extremo derecho. Dividiendo la región en el intervalo [ 0 , 2 ] en ocho rectángulos da como resultado Δ x = 2 − 0 8 = 0,25 . El gráfico se muestra en la . El área es R 8 = f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) + f ( 2 ) ( 0,25 ) = 8,25. Aquí utilizamos la aproximación del punto del extremo derecho para un área dividida en ocho subintervalos iguales. Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n = 32 se acerca al área real ( ). El área es aproximadamente R 32 = f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,1875 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 2 ) ( 0,0625 ) = 8,0625. La región se divide en 32 subintervalos iguales para una aproximación al extremo derecho. Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta. Además, a medida que aumenta n , tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas. La muestra una comparación numérica de los métodos del punto del extremo izquierdo y del derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva son cada vez mejores a medida que n se hace más grande es muy importante, y exploraremos esa idea con más detalle. Valores convergentes de las aproximaciones de los puntos del extremo izquierdo y derecho cuando n aumenta. Los valores de n Área aproximada L n Área aproximada R n n = 4 7,5 8,5 n = 8 7,75 8,25 n = 32 7,94 8,06 Formulación de sumas de Riemann Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [ x i − 1 , x i ] . En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto x i del subintervalo [ x i − 1 , x i ] , y usamos f ( x i * ) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, que desarrolló la idea. Definición Supongamos que f ( x ) se define en un intervalo cerrado [ a , b ] y que P sea una partición regular de [ a , b ] . Sea Δ x la anchura de cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] y para cada i , supongamos que x i * es cualquier punto en [ x i − 1 , x i ] . Una suma de Riemann se define para f ( x ) como ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n . Ahora estamos preparados para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann. Definición Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa en un intervalo [ a , b ] , y supongamos que ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x es una suma de Riemann para f ( x ) . Entonces, el área bajo la curva y = f ( x ) sobre [ a , b ] viene dada por A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann. Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f ( x ) a medida que x llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo Secuencias y series ; pero por ahora podemos asumir que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también se pueden usar para calcular límites de sumas. En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de { x i * } . Afortunadamente, esto no ocurre. Aunque la prueba está fuera del alcance de este texto, se puede demostrar que si f ( x ) es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , entonces lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único (es decir, no depende de la opción de { x i * } ). En breve veremos algunos ejemplos, pero antes dediquemos un momento para hablar de algunas opciones específicas para { x i * } . Aunque cualquier opción para { x i * } nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimación) o demasiado baja (subestimación). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para { x i * } a fin de garantizar un resultado u otro. Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir { x i * } tal que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [ x i − 1 , x i ] . En otras palabras, elegimos { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor máximo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Si seleccionamos { x i * } de esta manera, entonces la suma de Riemann ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x se denomina suma superior . Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor mínimo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior . Observe que si f ( x ) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo [ a , b ] , entonces los valores máximos y mínimos de la función se encuentran en los puntos de los extremos de los subintervalos, por lo que las sumas superiores e inferiores son iguales a las aproximaciones de los puntos de los extremos izquierdo y derecho. Hallar sumas inferiores y superiores Halle una suma inferior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 subintervalos. Con n = 4 en el intervalo [ 1 , 2 ] , Δ x = 1 4 . Podemos enumerar los intervalos como [ 1 , 1,25 ] , [ 1,25 , 1,5 ] , [ 1,5 , 1,75 ] , [ 1,75 , 2 ] . Ya que la función es decreciente en el intervalo [ 1 , 2 ] , la muestra que se obtiene una suma inferior utilizando los puntos del extremo derecho. El gráfico de f ( x ) = 10 − x 2 se establece para una aproximación del punto del extremo derecho del área limitada por la curva y el eje x en [ 1 , 2 ] , y muestra una suma inferior. La suma de Riemann es ∑ k = 1 4 ( 10 − x 2 ) ( 0,25 ) = 0,25 [ 10 − ( 1,25 ) 2 + 10 − ( 1,5 ) 2 + 10 − ( 1,75 ) 2 + 10 − ( 2 ) 2 ] = 0,25 [ 8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6 ] = 7,28. La superficie de 7,28 es una suma inferior y una subestimación. Halle una suma superior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 . Dibuje la aproximación. Suma superior = 8,0313 . Pista f ( x ) es decreciente en [ 1 , 2 ] , para que los valores máximos de la función se produzcan en los extremos izquierdos de los subintervalos. Halle sumas inferiores y superiores para f ( x ) = sen x Halle una suma inferior para f ( x ) = sen x en el intervalo [ a , b ] = [ 0 , π 2 ] ; supongamos que n = 6 . Veamos primero el gráfico en la para tener una mejor idea del área de interés. El gráfico de y = sen x se divide en seis regiones: Δ x = π / 2 6 = π 12 . Los intervalos son [ 0 , π 12 ] , [ π 12 , π 6 ] , [ π 6 , π 4 ] , [ π 4 , π 3 ] , [ π 3 , 5 π 12 ] , y [ 5 π 12 , π 2 ] . Observe que f ( x ) = sen x es creciente en el intervalo [ 0 , π 2 ] , por lo que una aproximación al extremo izquierdo nos da la suma inferior. Una aproximación al extremo izquierdo es la suma de Riemann ∑ i = 0 5 sen x i ( π 12 ) . Tenemos A ≈ sen ( 0 ) ( π 12 ) + sen ( π 12 ) ( π 12 ) + sen ( π 6 ) ( π 12 ) + sen ( π 4 ) ( π 12 ) + sen ( π 3 ) ( π 12 ) + sen ( 5 π 12 ) ( π 12 ) = 0,863. Al utilizar la función f ( x ) = sen x en el intervalo [ 0 , π 2 ] , halle una suma superior; supongamos que n = 6 . A ≈ 1,125 Pista Siga los pasos del . Conceptos clave El uso de la notación sigma (notación de sumatoria) de la forma ∑ i = 1 n a i es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta. Para una función continua definida en un intervalo [ a , b ] , el proceso de dividir el intervalo en n partes iguales, extender un rectángulo en el gráfico de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos y luego sumar las áreas da una aproximación del área de esa región. La anchura de cada rectángulo es Δ x = b – a n . La suma de Riemann es una expresión de la forma ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , y puede utilizarse para estimar el área bajo la curva y = f ( x ) . Las aproximaciones del punto de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de { x i * } se eligen entre los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente. Las sumas de Riemann permiten una gran flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos { x i * } en la que se evalúa la función, a menudo con el objetivo de obtener una suma inferior o una suma superior. Ecuaciones clave Propiedades de la notación sigma ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Sumas de potencias de números enteros ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 Aproximación del punto del extremo izquierdo A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x Aproximación del punto del extremo derecho A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales. ∑ i = 1 10 i y ∑ k = 1 10 k ∑ i = 1 10 i y ∑ i = 6 15 ( i − 5 ) grandes. ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ j = 0 9 ( j + 1 ) j ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ k = 1 10 ( k 2 − k ) a. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. b. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. c. Son iguales sustituyendo j = i − 1 . d. Son iguales; la primera suma factoriza los términos de la segunda. En los siguientes ejercicios, utilice las reglas de las sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas. ∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i 2 385 − 30 = 355 Supongamos que ∑ i = 1 100 a i = 15 y ∑ i = 1 100 b i = −12 . En los siguientes ejercicios, calcule las sumas. ∑ i = 1 100 ( a i + b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( a i − b i ) grandes. 15 − ( −12 ) = 27 ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) grandes. 5 ( 15 ) + 4 ( −12 ) = 27 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de la suma y las fórmulas para reescribir y evaluar las sumas. ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) grandes. ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) grandes. ∑ j = 1 50 j 2 − 2 ∑ j = 1 50 j = ( 50 ) ( 51 ) ( 101 ) 6 − 2 ( 50 ) ( 51 ) 2 = 40 ,  375 ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) grandes. ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] 4 ∑ k = 1 25 k 2 − 100 ∑ k = 1 25 k = 4 ( 25 ) ( 26 ) ( 51 ) 6 − 50 ( 25 ) ( 26 ) = −10 ,  400 Supongamos que L n denota la suma del punto del extremo izquierdo utilizando n subintervalos y que R n denotan la suma correspondiente del punto del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas a la izquierda y a la derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado. L 4 para f ( x ) = 1 x – 1 sobre [ 2 , 3 ] R 4 para g ( x ) = cos ( π x ) sobre [ 0 , 1 ] R 4 = −0,25 L 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 = 0,372 R 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 = 2,20 R 4 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 = 0,6875 Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = ( 2 − | x | ) sobre [ −2 , 2 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = ( 3 − | 3 − x | ) sobre [ 0 , 6 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . L 6 = 9,000 = R 6 . El gráfico de f es un triángulo de área 9. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] y compare sus valores. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = 9 − ( x − 3 ) 2 en [ 0 , 6 ] y compare sus valores. L 6 = 13,12899 = R 6 . Son iguales. Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe. L 30 para f ( x ) = x 2 en [ 1 , 2 ] L 10 para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] L 10 = 4 10 ∑ i = 1 10 4 − ( −2 + 4 ( i − 1 ) 10 ) 2 R 20 para f ( x ) = sen x en [ 0 , π ] R 100 para ln x en [ 1 , e ] R 100 = e − 1 100 ∑ i = 1 100 ln ( 1 + ( e − 1 ) i 100 ) En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿El área bajo la curva en el intervalo dado se aproxima mejor mediante la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, coloque "ninguno". [T] L 100 y R 100 para y = x 2 − 3 x + 1 en el intervalo [ −1 , 1 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] R 100 = 0,33835 , L 100 = 0,32835 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. [T] L 50 y R 50 para y = x + 1 x 2 – 1 en el intervalo [ 2 , 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 3 en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = −0,02 , R 100 = 0,02 . La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, una aproximación al extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones de los puntos finales izquierdo y derecho. [T] L 50 y R 50 para y = tan ( x ) en el intervalo [ 0 , π 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = e 2 x en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = 3,555 , R 100 = 3,670 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. Sea t j el tiempo que tardó Tejay van Garteren en recorrer la etapa j del Tour de Francia en 2014. Si hubiera un total de 21 etapas, interprete ∑ j = 1 21 t j . Supongamos que r j denota la precipitación total en Portland en el día j del año en 2009. Interprete ∑ j = 1 31 r j . La suma representa las precipitaciones acumuladas en enero de 2009. Supongamos que d j denotan las horas de luz y δ j el aumento de las horas de luz desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, en el día j del año. Interprete d 1 + ∑ j = 2 365 δ j . Para ponerse en forma, Joe recibe un nuevo par de zapatillas para correr. Si Joe corre 1 mi cada día en la semana 1 y añade 1 10 mi a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total de los zapatos de Joe después de 25 semanas? El kilometraje total es 7 × ∑ i = 1 25 ( 1 + ( i − 1 ) 10 ) = 7 × 25 + 7 10 × 12 × 25 = 385 mi . La siguiente tabla ofrece valores aproximados de la tasa promedio anual del aumento del dióxido de carbono (CO 2 ) en la atmósfera por cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Calcule el aumento total del CO 2 atmosférico entre 1964 y 2013. Aumento anual promedio del CO 2 atmosférico, 1964-2013 Década Ppm/año 1964-1973 1,07 1974-1983 1,34 1984-1993 1,40 1994-2003 1,87 2004-2013 2,07 Fuente : http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/. La siguiente tabla indica el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas a lo largo de 20 años a partir de un año determinado. Calcule el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010. Aumentos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870-1990 Año de inicio Cambio en 20 años 1870 0,3 1890 1,5 1910 0,2 1930 2,8 1950 0,7 1970 1,1 1990 1,5 Fuente : http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1 Sume los números para obtener un aumento neto de 8,1 in. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio del galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 era de 2,60 dólares, ¿cuál era el precio promedio de un galón de gasolina en 1950? Aumentos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Año de inicio Cambio en 10 años 1950 0,03 1960 0,05 1970 0,86 1980 –0,03 1990 0,29 2000 1,12 Fuente : http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf. La siguiente tabla indica el porcentaje de crecimiento de la población estadounidense a partir de julio del año indicado. Si la población de Estados Unidos era de 281.421.906 habitantes en julio de 2000, calcule la población de Estados Unidos en julio de 2010. Crecimiento porcentual anual de la población estadounidense, 2000-2009 Año % de cambio/año 2000 1,12 2001 0,99 2002 0,93 2003 0,86 2004 0,93 2005 0,93 2006 0,97 2007 0,96 2008 0,95 2009 0,88 Fuente : http://www.census.gov/popest/data. ( Pista: Para obtener la población en julio de 2001, multiplique la población en julio de 2000 por 1,0112 para obtener 284.573.831). 309.389.957 En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L 8 . L 8 = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24 L 8 = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44 [T] Utiliza un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , por N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] . [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 1 + x 2 en [ −1 , 1 ] . L 10 ≈ 1,7604 , L 30 ≈ 1,7625 , L 50 ≈ 1,76265 [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = sen 2 x en [ 0 , 2 π ] . Compara estas estimaciones con π . En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas que puede hallar mediante la geometría? [T] y = cos ( π x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] R 1 = −1 , L 1 = 1 , R 10 = −0,1 , L 10 = 0,1 , L 100 = 0,01 , y R 100 = −0,1 . Por simetría del gráfico, el área exacta es cero. [T] y = 3 x + 2 en el intervalo [ 3 , 5 ] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . [T] y = x 4 − 5 x 2 + 4 en el intervalo [ −2 , 2 ] , que tiene un área exacta de 32 15 R 1 = 0 , L 1 = 0 , R 10 = 2,4499 , L 10 = 2,4499 , R 100 = 2,1365 , L 100 = 2,1365 [T] y = ln x en el intervalo [ 1 , 2 ] , que tiene un área exacta de 2 ln ( 2 ) − 1 Explique por qué, si f ( a ) ≥ 0 y f es creciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite inferior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] bajo uno de los rectángulos de la suma del punto del extremo izquierdo, entonces el área del rectángulo que contribuye a la estimación del punto del extremo izquierdo es f ( c ) ( d − c ) . Pero, f ( c ) ≤ f ( x ) por c ≤ x ≤ d , por lo que el área bajo el gráfico de f entre c y d es f ( c ) ( d − c ) más el área por debajo del gráfico de f pero por encima del segmento de línea horizontal a la altura f ( c ) , que es positivo. Como esto se cumple en cada intervalo de suma del extremo izquierdo, se deduce que la suma de Riemann izquierda es menor o igual que el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Explique por qué, si f ( b ) ≥ 0 y f es decreciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite superior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Demuestre que, en general, R N − L N = ( b – a ) × f ( b ) − f ( a ) N . L N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i − 1 N ) = b – a N ∑ i = 0 N − 1 f ( a + ( b – a ) i N ) y R N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i N ) . La suma de la izquierda tiene un término correspondiente a i = 0 y la suma de la derecha tiene un término correspondiente a i = N . En R N − L N , cualquier término correspondiente a i = 1 , 2 ,…, N − 1 aparece una vez con el signo más y otra con el signo menos, por lo que cada uno de estos términos se anula y uno queda R N − L N = b – a N ( f ( a + ( b – a ) ) N N ) − ( f ( a ) + ( b – a ) 0 N ) = b – a N ( f ( b ) − f ( a ) ) . Explique por qué, si f es creciente en [ a , b ] , el error entre L N o R N y el área A bajo el gráfico de f es como máximo ( b – a ) f ( b ) − f ( a ) N . Para cada uno de los tres gráficos: Obtenga un límite inferior L ( A ) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva. Obtener un límite superior U ( A ) para el área añadiendo a L ( A ) las áreas B ( A ) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva . Gráfico 1: a. L ( A ) = 0 , B ( A ) = 20 ; b. U ( A ) = 20 . Gráfico 2: a. L ( A ) = 9 ; b. B ( A ) = 11 , U ( A ) = 20 . Gráfico 3: a. L ( A ) = 11,0 ; b. B ( A ) = 4,5 , U ( A ) = 15,5 . En el ejercicio anterior, explique por qué L ( A ) no se hace más pequeño mientras U ( A ) no se hace más grande al subdividir los cuadrados en cuatro casillas de áreas iguales. Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen ( 2 π n ) . La base del triángulo exterior es B = cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) y la altura es H = B sen ( 2 π n ) . Utiliza esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π . Supongamos que A es el área del círculo unitario. El círculo encierra n triángulos congruentes de área sen ( 2 π n ) 2 , por lo que n 2 sen ( 2 π n ) ≤ A . De la misma manera, el círculo está contenido en n triángulos congruentes de área B H 2 = 1 2 ( cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) ) sen ( 2 π n ) , por lo que A ≤ n 2 sen ( 2 π n ) ( cos ( π n ) ) + sen ( π n ) tan ( π n ) . A medida que n → ∞ , n 2 sen ( 2 π n ) = π sen ( 2 π n ) ( 2 π n ) → π , por lo que concluimos π ≤ A . Además, como n → ∞ , cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) → 1 , por lo que también tenemos A ≤ π . Por el teorema del emparedado para los límites, concluimos que A = π . aproximación del punto del extremo izquierdo aproximación del área bajo una curva que se calcula utilizando el punto del extremo izquierdo de cada subintervalo para calcular la altura de los lados verticales de cada rectángulo suma inferior suma obtenida utilizando el valor mínimo de f ( x ) en cada subintervalo partición conjunto de puntos que divide un intervalo en subintervalos partición regular partición en la que los subintervalos tienen todos el mismo ancho suma de Riemann estimación del área bajo la curva de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x aproximación del punto del extremo derecho aproximación del punto del extremo derecho es una aproximación del área de los rectángulos bajo una curva utilizando el punto del extremo derecho de cada subintervalo para construir los lados verticales de cada rectángulo notación sigma (también, notación de sumatoria ) la letra griega sigma (Σ) indica la suma de los valores; los valores del índice por encima y por debajo de la sigma indican dónde empezar la suma y dónde terminarla suma superior suma obtenida utilizando el valor máximo de f ( x ) en cada subintervalo

Matemáticas