Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción Las rampas para ciclistas avanzados tienen una inclinación más pronunciada que las destinadas a los principiantes. Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la ) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser θ de manera que tan θ = 5 3 . El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta. Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde α = β . La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma, sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β Supongamos que α = β = θ , entonces tenemos sen ( θ + θ ) = sen θ cos θ + cos θ sen θ sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma, cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β , y suponiendo que α = β = θ , tenemos cos ( θ + θ ) = cos θ cos θ - sen θ sen θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es: cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = ( 1 - sen 2 θ ) - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ La segunda interpretación es: cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = cos 2 θ − ( 1 - cos 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir α = β = θ en la fórmula de la suma da tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( θ + θ ) = tan θ + tan θ 1 - tan θ tan θ tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas del ángulo doble Las fórmulas del ángulo doble se resumen como sigue: sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Cómo Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra, utilizar las fórmulas del doble ángulo para hallar el valor exacto. Dibuje un triángulo que refleje la información dada. Determine la fórmula correcta del doble ángulo. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo. Simplifique. Usar una fórmula de ángulo doble para hallar el valor exacto de la tangente Dado que tan θ = - 3 4 y θ está en el cuadrante II, calcule lo siguiente: Ⓐ sen ( 2 θ ) Ⓑ cos ( 2 θ ) Ⓒ tan ( 2 θ ) Si dibujamos un triángulo que refleje la información dada, hallamos los valores necesarios para resolver los problemas en la imagen. Se nos da tan θ = - 3 4 , de manera que θ está en el cuadrante II. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, y porque θ está en el segundo cuadrante, el lado adyacente está en el eje x y es negativo. Utilice el teorema de Pitágoras para medir la longitud de la hipotenusa: (−4 ) 2 + ( 3 ) 2 = c 2 16 + 9 = c 2 25 = c 2 c = 5 Ahora podemos dibujar un triángulo similar al que se muestra en la . Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula del ángulo doble del seno. sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ Nos damos cuenta de que tenemos que hallar sen θ y cos θ . Con base en la , vemos que la hipotenusa es igual a 5, por lo que sen θ = 3 5 , y cos θ = – 4 5 . Sustituya estos valores en la ecuación y simplifique. Por lo tanto, sen ( 2 θ ) = 2 ( 3 5 ) ( - 4 5 ) = − 24 25 Ⓑ Escriba la fórmula del ángulo doble para el coseno. cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ De nuevo, sustituya los valores del seno y del coseno en la ecuación y simplifique. cos ( 2 θ ) = ( - 4 5 ) 2 - ( 3 5 ) 2 = 16 25 − 9 25 = 7 25 Ⓒ Escriba la fórmula del ángulo doble para la tangente. tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ En esta fórmula, necesitamos la tangente, que nos dieron como tan θ = - 3 4 . Sustituya este valor en la ecuación y simplifique. tan ( 2 θ ) = 2 ( - 3 4 ) 1 - ( - 3 4 ) 2 = - 3 2 1 - 9 16 = - 3 2 ( 16 7 ) = − 24 7 Ejercicio Dados sen α = 5 8 , con la θ en el cuadrante I, halle cos ( 2 α ) . cos ( 2 α ) = 7 32 Usar la fórmula del ángulo doble para el coseno sin valores exactos Utilice la fórmula del ángulo doble del coseno para escribir cos ( 6 x ) en términos de cos ( 3 x ) . cos ( 6 x ) = cos ( 2 ( 3 x + 3 x ) ) = cos 2 ( 3 x ) - sen 2 ( 3 x ) = 2 cos 2 ( 3 x ) - 1 Análisis Este ejemplo ilustra que podemos utilizar la fórmula del ángulo doble sin tener valores exactos. Enfatiza que el patrón es lo que necesitamos recordar y que las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la función trigonométrica. Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado. Usar las fórmulas del ángulo doble para establecer una identidad Establezca la siguiente identidad con fórmulas de ángulo doble: 1 + sen ( 2 θ ) = ( sen θ + cos θ ) 2 Trabajaremos en el lado derecho del signo de igualdad y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado izquierdo. ( sen θ + cos θ ) 2 = sen 2 θ + 2 sen θ cos θ + cos 2 θ = ( sen 2 θ + cos 2 θ ) + 2 sen θ cos θ = 1 + 2 sen θ cos θ = 1 + sen ( 2 θ ) Análisis Este proceso no es complicado, siempre que recordemos la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 donde a = sen θ y b = cos θ . Parte del éxito en las matemáticas es la capacidad de reconocer patrones. Aunque los términos o símbolos pueden cambiar, el álgebra sigue siendo coherente. Ejercicio Establezca la identidad: cos 4 θ - sen 4 θ = cos ( 2 θ ) . cos 4 θ - sen 4 θ = ( cos 2 θ + sen 2 θ ) ( cos 2 θ - sen 2 θ ) = cos ( 2 θ ) Verificar una identidad de ángulo doble para la tangente Verifique la identidad: tan ( 2 θ ) = 2 cot θ – tan θ En este caso, trabajaremos con el lado izquierdo de la ecuación y simplificaremos o reescribiremos hasta que sea igual al lado derecho de la ecuación. tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmula del ángulo doble = 2 tan θ ( 1 tan θ ) ( 1 - tan 2 θ ) ( 1 tan θ ) Multiplique por un término que dé como resultado el numerador deseado . = 2 1 tan θ – tan 2 θ tan θ = 2 cot θ – tan θ Utilice la identidad recíproca para 1 tan θ . Análisis Este es un caso en el que el lado más complicado de la ecuación inicial aparecía a la derecha, pero elegimos trabajar el lado izquierdo. Sin embargo, si hubiéramos elegido el lado izquierdo para reescribir, habríamos estado trabajando hacia atrás para llegar a la equivalencia. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar 2 tan θ 1 - tan 2 θ = 2 cot θ – tan θ Trabajemos en el lado derecho. 2 cot θ – tan θ = 2 1 tan θ – tan θ ( tan θ tan θ ) = 2 tan θ 1 tan θ ( tan θ ) - tan θ ( tan θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Cuando se utilizan las identidades para simplificar o resolver una ecuación trigonométrica, hay varias vías para llegar al resultado deseado. No hay ninguna regla establecida sobre qué lado debería manipularse. Sin embargo, deberíamos empezar con las directrices expuestas anteriormente. Ejercicio Verifique la identidad: cos ( 2 θ ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ . cos ( 2 θ ) cos θ = ( cos 2 θ - sen 2 θ ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción , las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble. Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ . Resuelva para sen 2 θ : cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ 2 sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 A continuación, utilizamos la fórmula cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1. Resuelva para cos 2 θ : cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 1 + cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ 1 + cos ( 2 θ ) 2 = cos 2 θ La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno: tan 2 θ = sen 2 θ cos 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 1 + cos ( 2 θ ) 2 Sustituya las fórmulas de reducción. = ( 1 - cos ( 2 θ ) 2 ) ( 2 1 + cos ( 2 θ ) ) = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas de reducción Las fórmulas de reducción se resumen como sigue: sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Escribir una expresión equivalente que no contenga potencias mayores que 1 Escriba una expresión equivalente para cos 4 x que no implique ninguna potencia de seno o coseno mayor que 1. Aplicaremos dos veces la fórmula de reducción del coseno. cos 4 x = ( cos 2 x ) 2 = ( 1 + cos ( 2 x ) 2 ) 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 1 4 ( 1 + 2 cos ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) ) = 1 4 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 4 ( 1 + cos 2 ( 2 x ) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 1 4 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 8 + 1 8 cos ( 4 x ) = 3 8 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 8 cos ( 4 x ) Análisis La solución se encuentra al utilizar dos veces la fórmula de reducción, como se ha señalado, así como la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra. Usar las fórmulas de reducción de potencia para demostrar una identidad Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar sen 3 ( 2 x ) = [ 1 2 sen ( 2 x ) ] [ 1 - cos ( 4 x ) ] Trabajaremos en la simplificación del lado izquierdo de la ecuación: sen 3 ( 2 x ) = [ sen ( 2 x ) ] [ sen 2 ( 2 x ) ] = sen ( 2 x ) [ 1 - cos ( 4 x ) 2 ] Sustituya la fórmula de reducción de potencia . = sen ( 2 x ) ( 1 2 ) [ 1 - cos ( 4 x ) ] = 1 2 [ sen ( 2 x ) ] [ 1 - cos ( 4 x ) ] Análisis Tenga en cuenta que en este ejemplo, hemos sustituido 1 - cos ( 4 x ) 2 por sen 2 ( 2 x ) . La fórmula establece sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 Supongamos que θ = 2 x , por lo que 2 θ = 4 x . Ejercicio Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar que 10 cos 4 x = 15 4 + 5 cos ( 2 x ) + 5 4 cos ( 4 x ) . 10 cos 4 x = 10 cos 4 x = 10 ( cos 2 x ) 2 = 10 [ 1 + cos ( 2 x ) 2 ] 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 10 4 [ 1 + 2 cos ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) ] = 10 4 + 10 2 cos ( 2 x ) + 10 4 ( 1 + cos 2 ( 2 x ) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 10 4 + 10 2 cos ( 2 x ) + 10 8 + 10 8 cos ( 4 x ) = 30 8 + 5 cos ( 2 x ) + 10 8 cos ( 4 x ) = 15 4 + 5 cos ( 2 x ) + 5 4 cos ( 4 x ) Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad , que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos θ con la α 2 , la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para sen ( α 2 ) . Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo ± Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que α 2 termina. La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue: sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 sen 2 ( α 2 ) = 1 - cos ( 2 ⋅ α 2 ) 2 = 1 - cos α 2 sen ( α 2 ) = ± 1 - cos α 2 Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 cos 2 ( α 2 ) = 1 + cos ( 2 ⋅ α 2 ) 2 = 1 + cos α 2 cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 Para la identidad tangente, tenemos tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) tan 2 ( α 2 ) = 1 - cos ( 2 ⋅ α 2 ) 1 + cos ( 2 ⋅ α 2 ) = 1 - cos α 1 + cos α tan ( α 2 ) = ± 1 - cos α 1 + cos α Fórmulas del ángulo medio Las fórmulas del ángulo medio son las siguientes: sen ( α 2 ) = ± 1 - cos α 2 cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 tan ( α 2 ) = ± 1 - cos α 1 + cos α = sen α 1 + cos α = 1 - cos α sen α Usar una fórmula del ángulo medio para calcular el valor exacto de una función seno Halle sen ( 15 ∘ ) con una fórmula del ángulo medio. Dado que 15 ∘ = 30 ∘ 2 , utilizamos la fórmula del ángulo medio para el seno: sen 30 ∘ 2 = 1 - cos 30 ∘ 2 = 1 - 3 2 2 = 2 - 3 2 2 = 2 - 3 4 = 2 - 3 2 Análisis Observe que hemos utilizado únicamente la raíz positiva porque sen ( 15 i ) es positivo. Cómo Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, calcular los valores exactos de las funciones trigonométricas de la mitad del ángulo. Dibuje un triángulo que represente la información dada. Determine la fórmula correcta del ángulo medio. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo. Simplifique. Calcular valores exactos con identidades de ángulo medio Dado que tan α = 8 15 y α se encuentra en el cuadrante III, calcule el valor exacto de lo siguiente: Ⓐ sen ( α 2 ) Ⓑ cos ( α 2 ) Ⓒ tan ( α 2 ) Con la información dada podemos dibujar el triángulo que aparece en la . Con el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa es 17. Por lo tanto, podemos calcular sen α = - 8 17 y cos α = - 15 17 . Ⓐ Antes de empezar, debemos recordar que, si α está en el cuadrante III, entonces 180° < α < 270° , por lo que 180° 2 < α 2 < 270° 2 . Esto significa que el lado del terminal de α 2 está en el cuadrante II, ya que 90° < α 2 < 135° . Para hallar sen α 2 , comenzamos por escribir la fórmula del ángulo medio para el seno. Luego sustituimos el valor del coseno que determinamos del triángulo en la y simplificamos. sen α 2 = ± 1 - cos α 2 = ± 1 - ( − 15 17 ) 2 = ± 32 17 2 = ± 32 17 ⋅ 1 2 = ± 16 17 = ± 4 17 = 4 17 17 Elegimos el valor positivo de sen α 2 porque el ángulo termina en el cuadrante II y el seno es positivo en el cuadrante II. Ⓑ Para hallar cos α 2 , escribimos la fórmula del ángulo medio para el coseno, sustituimos el valor del coseno que hallamos del triángulo en la , y simplificamos. cos α 2 = ± 1 + cos α 2 = ± 1 + ( − 15 17 ) 2 = ± 2 17 2 = ± 2 17 ⋅ 1 2 = ± 1 17 = − 17 17 Elegimos el valor negativo de cos α 2 porque el ángulo está en el cuadrante II y porque el coseno es negativo en el cuadrante II. Ⓒ Para hallar tan α 2 , escribimos la fórmula del ángulo medio para la tangente. De nuevo, sustituimos el valor del coseno que hemos hallamos del triángulo en la y simplificamos. tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α = ± 1 - ( − 15 17 ) 1 + ( − 15 17 ) = ± 32 17 2 17 = ± 32 2 = - 16 = – 4 Elegimos el valor negativo de tan α 2 porque α 2 se halla en el cuadrante II, y la tangente es negativa en el cuadrante II. Ejercicio Dado que sen α = – 4 5 y α se halla en el cuadrante IV, calcule el valor exacto de cos ( α 2 ) . - 2 5 Hallar la medida de un ángulo medio Ahora, volvemos al problema planteado al principio de la sección. Se construye una rampa para bicicletas de alta competición en un ángulo de θ formado por la rampa y el suelo. Se va a construir otra rampa con la mitad de pendiente para la competición de principiantes. Si los valores de tan θ = 5 3 para la competición de nivel superior, ¿cuál es la medida del ángulo para la competición de principiantes? Dado que el ángulo para la competición de principiantes mide la mitad de la inclinación del ángulo para la competición de nivel superior, y tan θ = 5 3 para la competición de nivel superior, podemos hallar cos θ del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras para que podamos utilizar las identidades de ángulo medio. Vea la . 3 2 + 5 2 = 34 c = 34 Vemos que cos θ = 3 34 = 3 34 34 . Podemos utilizar la fórmula del ángulo medio para la tangente tan θ 2 = 1 - cos θ 1 + cos θ . Dado que tan θ está en el primer cuadrante, así que es tan θ 2 . Así, tan θ 2 = 1 - 3 34 34 1 + 3 34 34 = 34 − 3 34 34 34 + 3 34 34 = 34 − 3 34 34 + 3 34 ≈ 0,57 Podemos tomar la tangente inversa para hallar el ángulo: tan - 1 ( 0,57 ) ≈ 29,7 ∘ . Así que el ángulo de la rampa para la competición de principiantes es ≈ 29,7 ∘ . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción. Identidades del ángulo doble Identidades del ángulo medio Ecuaciones clave Fórmulas de ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas de la reducción sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas del ángulo medio sen α 2 = ± 1 - cos α 2 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α = sen α 1 + cos α = 1 - cos α sen α Conceptos clave Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el , el , el y el . Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el y el . Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo determinar las identidades de reducción a partir de la identidad del ángulo doble cos ( 2 x ) = cos 2 x - sen 2 x . Utilice las identidades pitagóricas y aísle el término del cuadrado. Explique cómo determinar la fórmula del ángulo doble para tan ( 2 x ) con las fórmulas de ángulo doble para cos ( 2 x ) y sen ( 2 x ) . Podemos determinar la fórmula del ángulo medio para tan ( x 2 ) = 1 - cos x 1 + cos x al dividir la fórmula para sen ( x 2 ) entre cos ( x 2 ) . Explique cómo determinar dos fórmulas para tan ( x 2 ) que no impliquen ninguna raíz cuadrada. 1 - cos x sen x , sen x 1 + cos x , al multiplicar la parte superior e inferior por 1 - cos x y 1 + cos x , respectivamente. Con respecto a la fórmula de ángulo medio que se suministró en el ejercicio anterior para tan ( x 2 ) , explique por qué la división entre 0 no es relevante. (Pista: examine los valores de cos x necesarios para que el denominador sea 0). Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen ( 2 x ) , b) cos ( 2 x ) , y c) tan ( 2 x ) sin resolver para x . Si los valores de sen x = 1 8 , y x está en el cuadrante I. a) 3 7 32 b) 31 32 c) 3 7 31 Si los valores de cos x = 2 3 , y x está en el cuadrante I. Si los valores de cos x = - 1 2 , y x está en el cuadrante III. a) 3 2 b) − 1 2 c) − 3 Si tan x = - 8 , y x está en el cuadrante IV. En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas. cos ( 2 θ ) = 3 5 y 90 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ cos θ = - 2 5 5 , sen θ = 5 5 , tan θ = - 1 2 , csc θ = 5 , sec θ = - 5 2 , cot θ = - 2 cos ( 2 θ ) = 1 2 y 180 ∘ ≤ θ ≤ 270 ∘ En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica. 2 sen ( π 4 ) 2 cos ( π 4 ) 2 sen ( π 2 ) 4 sen ( π 8 ) cos ( π 8 ) En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio. sen ( π 8 ) 2 - 2 2 cos ( − 11 π 12 ) sen ( 11 π 12 ) 2 - 3 2 cos ( 7 π 8 ) tan ( 5 π 12 ) 2 + 3 tan ( - 3 π 12 ) tan ( - 3 π 8 ) - 1 - 2 En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen ( x 2 ) , b) cos ( x 2 ) , y c) tan ( x 2 ) sin resolver para x , cuando 0 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ Si tan x = – 4 3 , y x está en el cuadrante IV. Si los valores de sen x = − 12 13 , y x está en el cuadrante III. a) 3 13 13 b) − 2 13 13 c) − 3 2 Si los valores de csc x = 7 , y x está en el cuadrante II. Si los valores de sec x = – 4 , y x está en el cuadrante II. a) 10 4 b) 6 4 c) 15 3 En los siguientes ejercicios, utilice la para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados. Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ). Halle sen ( 2 α ) , cos ( 2 α ) , y tan ( 2 α ). 120 169 , – 119 169 , – 120 119 Halle sen ( θ 2 ) , cos ( θ 2 ) , y tan ( θ 2 ) . Halle sen ( α 2 ) , cos ( α 2 ) , y tan ( α 2 ) . 2 13 13 , 3 13 13 , 2 3 En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe. cos 2 ( 28 ∘ ) - sen 2 ( 28 ∘ ) 2 cos 2 ( 37 ∘ ) - 1 cos ( 74 ∘ ) 1 - 2 sen 2 ( 17 ∘ ) cos 2 ( 9 x ) - sen 2 ( 9 x ) cos ( 18 x ) 4 sen ( 8 x ) cos ( 8 x ) 6 sen ( 5 x ) cos ( 5 x ) 3 sen ( 10 x ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada. ( sen t − cos t ) 2 = 1 - sen ( 2 t ) sen ( 2 x ) = - 2 sen ( - x ) cos ( - x ) - 2 sen ( - x ) cos ( - x ) = - 2 ( - sen ( x ) cos ( x ) ) = sen ( 2 x ) cot x - tan x = 2 cot ( 2 x ) 1 + cos ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) tan 2 θ = tan θ sen ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) tan 2 θ = 2 sen ( θ ) cos ( θ ) 1 + cos 2 θ - sen 2 θ tan 2 θ = 2 sen ( θ ) cos ( θ ) 2 cos 2 θ tan 2 θ = sen ( θ ) cos θ tan 2 θ = tan θ tan 2 θ = tan 3 θ En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1. cos 2 ( 5 x ) cos 2 ( 6 x ) 1 + cos ( 12 x ) 2 sen 4 ( 8 x ) sen 4 ( 3 x ) 3 + cos ( 12 x ) - 4 cos ( 6 x ) 8 cos 2 x sen 4 x cos 4 x sen 2 x 2 + cos ( 2 x ) - 2 cos ( 4 x ) - cos ( 6 x ) 32 tan 2 x sen 2 x En tecnología En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente. tan 4 x 3 + cos ( 4 x ) - 4 cos ( 2 x ) 3 + cos ( 4 x ) + 4 cos ( 2 x ) sen 2 ( 2 x ) sen 2 x cos 2 x 1 - cos ( 4 x ) 8 tan 2 x sen x tan 4 x cos 2 x 3 + cos ( 4 x ) - 4 cos ( 2 x ) 4 ( cos ( 2 x ) + 1 ) cos 2 x sen ( 2 x ) cos 2 ( 2 x ) sen x ( 1 + cos ( 4 x ) ) sen x 2 tan 2 ( x 2 ) sen x En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de sen x o cos x , y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones. sen ( 4 x ) 4 sen x cos x ( cos 2 x - sen 2 x ) cos ( 4 x ) Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades. sen ( 2 x ) = 2 tan x 1 + tan 2 x 2 tan x 1 + tan 2 x = 2 sen x cos x 1 + sen 2 x cos 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = 2 sen x cos x . cos 2 x 1 = 2 sen x cos x = sen ( 2 x ) cos ( 2 α ) = 1 - tan 2 α 1 + tan 2 α tan ( 2 x ) = 2 sen x cos x 2 cos 2 x – 1 2 sen x cos x 2 cos 2 x – 1 = sen ( 2 x ) cos ( 2 x ) = tan ( 2 x ) ( sen 2 x – 1 ) 2 = cos ( 2 x ) + sen 4 x sen ( 3 x ) = 3 sen x cos 2 x - sen 3 x sen ( x + 2 x ) = sen x cos ( 2 x ) + sen ( 2 x ) cos x = sen x ( cos 2 x - sen 2 x ) + 2 sen x cos x cos x = sen x cos 2 x - sen 3 x + 2 sen x cos 2 x = 3 sen x cos 2 x - sen 3 x cos ( 3 x ) = cos 3 x - 3 sen 2 x cos x 1 + cos ( 2 t ) sen ( 2 t ) - cos t = 2 cos t 2 sen t - 1 1 + cos ( 2 t ) sen ( 2 t ) - cos t = 1 + 2 cos 2 t - 1 2 sen t cos t − cos t = 2 cos 2 t cos t ( 2 sen t - 1 ) = 2 cos t 2 sen t - 1 sen ( 16 x ) = 16 sen x cos x cos ( 2 x ) cos ( 4 x ) cos ( 8 x ) cos ( 16 x ) = ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) + sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) + sen ( 8 x ) ) = = ( cos ( 8 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos ( 8 x ) + sen ( 8 x ) ) = cos 2 ( 8 x ) - sen 2 ( 8 x ) = cos ( 16 x ) fórmulas del ángulo doble identidades derivadas de las fórmulas de suma de seno, coseno y tangente en las que los ángulos son iguales fórmulas del ángulo medio identidades derivadas de las fórmulas de la reducción y utilizadas para determinar los valores del ángulo medio de las funciones trigonométricas fórmulas de la reducción identidades derivadas de las fórmulas del ángulo doble y utilizadas para reducir la potencia de una función trigonométrica

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Fórmulas de suma a producto y de producto a suma La banda de música de la UCLA (créditos: Eric Chan, Flickr). Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras. Expresar el producto como suma Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma , que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno. Expresar productos como sumas para el coseno Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno . Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos: cos α cos β + sen α sen β = cos ( α - β ) + cos α cos β − sen α sen β = cos ( α + β ) ________________________________ 2 cos α cos β = cos ( α - β ) + cos ( α + β ) A continuación, dividimos entre 2 para aislar el producto de los cosenos: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] Cómo Dado un producto de cosenos, expresarlo como una suma. Escriba la fórmula del producto de cosenos. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Escribir el producto como una suma con la fórmula producto a suma para el coseno Escriba el siguiente producto de cosenos como una suma: 2 cos ( 7 x 2 ) cos 3 x 2 . Comenzamos por escribir la fórmula del producto de cosenos: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] Podemos entonces sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar. 2 cos ( 7 x 2 ) cos ( 3 x 2 ) = ( 2 ) ( 1 2 ) [ cos ( 7 x 2 - 3 x 2 ) + cos ( 7 x 2 + 3 x 2 ) ] = [ cos ( 4 x 2 ) + cos ( 10 x 2 ) ] = cos 2 x + cos 5 x Ejercicio Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como suma o diferencia: cos ( 2 θ ) cos ( 4 θ ) . 1 2 ( cos 6 θ + cos 2 θ ) Expresar el producto del seno y el coseno como suma A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno . Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos: sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β + sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β _________________________________________ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno: sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] Escribir el producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno Exprese el siguiente producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno y ningún producto sen ( 4 θ ) cos ( 2 θ ) . Escriba la fórmula del producto del seno y el coseno. A continuación, sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique. sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen ( 4 θ ) cos ( 2 θ ) = 1 2 [ sen ( 4 θ + 2 θ ) + sen ( 4 θ - 2 θ ) ] = 1 2 [ sen ( 6 θ ) + sen ( 2 θ ) ] Ejercicio Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como una suma: sen ( x + y ) cos ( x - y ) . 1 2 ( sen 2 x + sen 2 y ) Expresar el producto del seno en términos de coseno Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno: cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β − cos ( α + β ) = - ( cos α cos β − sen α sen β ) ____________________________________________________ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) = 2 sen α sen β Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno: sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma. Las fórmulas de producto a suma Las fórmulas de producto a suma son las siguientes: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Expresar el producto como suma o diferencia Escriba cos ( 3 θ ) cos ( 5 θ ) como suma o diferencia. Tenemos el producto del coseno, así que empezamos por escribir la fórmula relacionada. Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos. cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] cos ( 3 θ ) cos ( 5 θ ) = 1 2 [ cos ( 3 θ − 5 θ ) + cos ( 3 θ + 5 θ ) ] = 1 2 [ cos ( 2 θ ) + cos ( 8 θ ) ] Utilizamos la identidad par-impar . Ejercicio Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar cos 11 π 12 cos π 12 . - 2 - 3 4 Expresar suma como producto Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno . Supongamos que u + v 2 = α y u - v 2 = β . Entonces, α + β = u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 = u α - β = u + v 2 - u - v 2 = 2 v 2 = v Así, al sustituir α y β en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos: sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen ( u + v 2 ) cos ( u - v 2 ) = 1 2 [ sen u + sen v ] Sustituya por ( α + β ) y ( α - β ) 2 sen ( u + v 2 ) cos ( u - v 2 ) = sen u + sen v]. Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar. Fórmulas de suma a producto Las fórmulas de suma a producto son las siguientes: sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Escribir la diferencia de senos como producto Escriba la siguiente expresión de diferencia de senos como producto: sen ( 4 θ ) - sen ( 2 θ ) . Comenzamos por escribir la fórmula de la diferencia de senos. sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) Sustituya los valores en la fórmula y simplifique. sen ( 4 θ ) - sen ( 2 θ ) = 2 sen ( 4 θ - 2 θ 2 ) cos ( 4 θ + 2 θ 2 ) = 2 sen ( 2 θ 2 ) cos ( 6 θ 2 ) = 2 sen θ cos ( 3 θ ) Ejercicio Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como producto: sen ( 3 θ ) + sen ( θ ) . 2 sen ( 2 θ ) cos ( θ ) Evaluar mediante la fórmula de suma a producto Evalúe cos ( 15 ∘ ) - cos ( 75 ∘ ) . Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de cosenos. cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos. cos ( 15 ∘ ) - cos ( 75 ∘ ) = - 2 sen ( 15 ∘ + 75 ∘ 2 ) sen ( 15 ∘ − 75 ∘ 2 ) = - 2 sen ( 45 ∘ ) sen ( − 30 ∘ ) = - 2 ( 2 2 ) ( - 1 2 ) = 2 2 Probar una identidad Pruebe la identidad: cos ( 4 t ) - cos ( 2 t ) sen ( 4 t ) + sen ( 2 t ) = - tan t Empezaremos por el lado izquierdo, el más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho. cos ( 4 t ) - cos ( 2 t ) sen ( 4 t ) + sen ( 2 t ) = - 2 sen ( 4 t + 2 t 2 ) sen ( 4 t - 2 t 2 ) 2 sen ( 4 t + 2 t 2 ) cos ( 4 t - 2 t 2 ) = - 2 sen ( 3 t ) sen t 2 sen ( 3 t ) cos t = - 2 sen ( 3 t ) sen t 2 sen ( 3 t ) cos t = - sen t cos t = - tan t Análisis Recordemos que la verificación de las identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando comprobamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacemos sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro. Verificar la identidad mediante fórmulas de ángulo doble e identidades recíprocas Verifique la identidad csc 2 θ - 2 = cos ( 2 θ ) sen 2 θ . Para verificar esta ecuación, reunimos varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula del doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y lo reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo. cos ( 2 θ ) sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ - 2 sen 2 θ sen 2 θ = csc 2 θ - 2 Ejercicio Verifique la identidad tan θ cot θ - cos 2 θ = sen 2 θ . tan θ cot θ - cos 2 θ = ( sen θ cos θ ) ( cos θ sen θ ) - cos 2 θ = 1 - cos 2 θ = sen 2 θ Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de producto a suma y suma a producto. Identidades de suma a producto Identidades de suma a producto y producto a suma Ecuaciones clave Fórmulas de producto a suma cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Fórmulas de suma a producto sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Conceptos clave A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el , el y el . También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución. Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el . Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el . Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Empezando por la fórmula de producto a suma sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] , explique cómo determinar la fórmula para cos α sen β . Sustituya α en coseno y β en seno y evalúe. Explique dos métodos distintos de cálculo cos ( 195° ) cos ( 105° ) , uno de los cuales utiliza el producto a suma. ¿Qué método es más fácil? Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de suma a producto y dé un ejemplo. Las respuestas variarán. Hay algunas ecuaciones que implican la suma de dos expresiones trigonométricas y que, al convertirlas en producto, son más fáciles de resolver. Por ejemplo: sen ( 3 x ) + sen x cos x = 1. Al convertir el numerador en un producto, la ecuación se convierte en: 2 sen ( 2 x ) cos x cos x = 1 Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de producto a suma, y dé un ejemplo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia. 16 sen ( 16 x ) sen ( 11 x ) 8 ( cos ( 5 x ) - cos ( 27 x ) ) 20 cos ( 36 t ) cos ( 6 t ) 2 sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) sen ( 2 x ) + sen ( 8 x ) 10 cos ( 5 x ) sen ( 10 x ) sen ( - x ) sen ( 5 x ) 1 2 ( cos ( 6 x ) - cos ( 4 x ) ) sen ( 3 x ) cos ( 5 x ) En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto. cos ( 6 t ) + cos ( 4 t ) 2 cos ( 5 t ) cos t sen ( 3 x ) + sen ( 7 x ) cos ( 7 x ) + cos ( − 7 x ) 2 cos ( 7 x ) sen ( 3 x ) - sen ( - 3 x ) cos ( 3 x ) + cos ( 9 x ) 2 cos ( 6 x ) cos ( 3 x ) sen h − sen ( 3 h ) En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones. cos ( 45° ) cos ( 15° ) 1 4 ( 1 + 3 ) cos ( 45° ) sen ( 15° ) sen ( −345° ) sen ( −15° ) 1 4 ( 3 - 2 ) sen ( 195° ) cos ( 15° ) sen ( −45° ) sen ( −15° ) 1 4 ( 3 - 1 ) En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno. cos ( 23° ) sen ( 17° ) 2 sen ( 100° ) sen ( 20° ) cos ( 80° ) - cos ( 120° ) 2 sen ( −100° ) sen ( −20° ) sen ( 213° ) cos ( 8° ) 1 2 ( sen ( 221° ) + sen ( 205° ) ) 2 cos ( 56° ) cos ( 47° ) En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno. sen ( 76° ) + sen ( 14° ) 2 cos ( 31° ) cos ( 58° ) - cos ( 12° ) sen ( 101° ) - sen ( 32° ) 2 cos ( 66,5 ° ) sen ( 34,5 ° ) cos ( 100° ) + cos ( 200° ) sen ( −1° ) + sen ( −2° ) 2 sen ( −1,5° ) cos ( 0,5° ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. cos ( a + b ) cos ( a - b ) = 1 - tan a tan b 1 + tan a tan b 4 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) = 2 sen ( 7 x ) - 2 sen x 2 sen ( 7 x ) - 2 sen x = 2 sen ( 4 x + 3 x ) - 2 sen ( 4 x - 3 x ) = 2 ( sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) - 2 ( sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) - sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) = 2 sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + 2 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) - 2 sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + 2 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) = 4 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) 6 cos ( 8 x ) sen ( 2 x ) sen ( − 6 x ) = −3 sen ( 10 x ) csc ( 6 x ) + 3 sen x + sen ( 3 x ) = 4 sen x cos 2 x sen x + sen ( 3 x ) = 2 sen ( 4 x 2 ) cos ( – 2 x 2 ) = 2 sen ( 2 x ) cos x = 2 ( 2 sen x cos x ) cos x = 4 sen x cos 2 x 2 ( cos 3 x - cos x sen 2 x ) = cos ( 3 x ) + cos x 2 tan x cos ( 3 x ) = sec x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) 2 tan x cos ( 3 x ) = 2 sen x cos ( 3 x ) cos x = 2 ( 0,5 ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) ) cos x = 1 cos x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) = sec x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) cos ( a + b ) + cos ( a - b ) = 2 cos a cos b Numéricos En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales. cos ( 58 ∘ ) + cos ( 12 ∘ ) 2 cos ( 35 ∘ ) cos ( 23 ∘ ) , 1 0,5081 sen ( 2 ∘ ) - sen ( 3 ∘ ) cos ( 44 ∘ ) - cos ( 22 ∘ ) - 2 sen ( 33 ∘ ) sen ( 11 ∘ ) , − 0,2078 cos ( 176 ∘ ) sen ( 9 ∘ ) sen ( − 14 ∘ ) sen ( 85 ∘ ) 1 2 ( cos ( 99 ∘ ) - cos ( 71 ∘ ) ) , − 0,2410 En tecnología En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora. 2 sen ( 2 x ) sen ( 3 x ) = cos x - cos ( 5 x ) cos ( 10 θ ) + cos ( 6 θ ) cos ( 6 θ ) - cos ( 10 θ ) = cot ( 2 θ ) cot ( 8 θ ) Es una identidad. sen ( 3 x ) - sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) = tan x 2 cos ( 2 x ) cos x + sen ( 2 x ) sen x = 2 sen x No es una identidad, sino 2 cos 3 x . sen ( 2 x ) + sen ( 4 x ) sen ( 2 x ) - sen ( 4 x ) = - tan ( 3 x ) cot x En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas. sen ( 9 t ) - sen ( 3 t ) cos ( 9 t ) + cos ( 3 t ) tan ( 3 t ) 2 sen ( 8 x ) cos ( 6 x ) - sen ( 2 x ) sen ( 3 x ) - sen x sen x 2 cos ( 2 x ) cos ( 5 x ) + cos ( 3 x ) sen ( 5 x ) + sen ( 3 x ) sen x cos ( 15 x ) - cos x sen ( 15 x ) - sen ( 14 x ) Extensiones En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto. sen x - sen y = 2 sen ( x - y 2 ) cos ( x + y 2 ) cos x + cos y = 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x - y 2 ) Comience con cos x + cos y . Haga una sustitución; supongamos que x = α + β y supongamos que y = α - β , por lo que cos x + cos y se convierte en cos ( α + β ) + cos ( α - β ) = cos α cos β − sen α sen β + cos α cos β + sen α sen β = 2 cos α cos β Dado que x = α + β y y = α - β , podemos resolver para α y β en términos de x y de y , sustituir por 2 cos α cos β y obtener 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x - y 2 ) . En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. sen ( 6 x ) + sen ( 4 x ) sen ( 6 x ) - sen ( 4 x ) = tan ( 5 x ) cot x cos ( 3 x ) + cos x cos ( 3 x ) - cos x = - cot ( 2 x ) cot x cos ( 3 x ) + cos x cos ( 3 x ) - cos x = 2 cos ( 2 x ) cos x - 2 sen ( 2 x ) sen x = - cot ( 2 x ) cot x cos ( 6 y ) + cos ( 8 y ) sen ( 6 y ) - sen ( 4 y ) = cot y cos ( 7 y ) sec ( 5 y ) cos ( 2 y ) - cos ( 4 y ) sen ( 2 y ) + sen ( 4 y ) = tan y cos ( 2 y ) - cos ( 4 y ) sen ( 2 y ) + sen ( 4 y ) = - 2 sen ( 3 y ) sen ( − y ) 2 sen ( 3 y ) cos y = 2 sen ( 3 y ) sen ( y ) 2 sen ( 3 y ) cos y = tan y sen ( 10 x ) - sen ( 2 x ) cos ( 10 x ) + cos ( 2 x ) = tan ( 4 x ) cos x - cos ( 3 x ) = 4 sen 2 x cos x cos x - cos ( 3 x ) = - 2 sen ( 2 x ) sen ( - x ) = 2 ( 2 sen x cos x ) sen x = 4 sen 2 x cos x ( cos ( 2 x ) - cos ( 4 x ) ) 2 + ( sen ( 4 x ) + sen ( 2 x ) ) 2 = 4 sen 2 ( 3 x ) tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t tan ( π 4 - t ) = tan ( π 4 ) - tan t 1 + tan ( π 4 ) tan ( t ) = 1 - tan t 1 + tan t fórmula de producto a suma identidad trigonométrica que permite escribir el producto de funciones trigonométricas como la suma o diferencia de funciones trigonométricas fórmula de suma a producto identidad trigonométrica que permite, mediante sustitución, escribir la suma de funciones trigonométricas como el producto de funciones trigonométricas

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Resolver ecuaciones trigonométricas Pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna (créditos: Oisin Mulvihill) Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes , que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos semejantes. En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides. Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es 2 π . En otras palabras, cada 2 π unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar 2 π k , donde k es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es 2 π : sen θ = sen ( θ ± 2 k π ) Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores. Resolver una ecuación trigonométrica lineal con la función coseno Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación cos θ = 1 2 . A partir del círculo unitario , sabemos que cos θ = 1 2 θ = π 3 , 5 π 3 Estas son las soluciones en el intervalo [ 0 , 2 π ] . Todas las soluciones posibles vienen dadas por π 3 ± 2 k π y 5 π 3 ± 2 k π donde k es un número entero. Resolver una ecuación lineal con la función seno Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación sen t = 1 2 . Resolver para todos los valores posibles de t significa que las soluciones incluyen ángulos más allá del periodo de 2 π . A partir de la , podemos ver que las soluciones son π 6 y 5 π 6 . No obstante, el problema pide todos los valores posibles que resuelven la ecuación. Por lo tanto, la respuesta es π 6 ± 2 π k y 5 π 6 ± 2 π k donde k es un número entero. Cómo Dada una ecuación trigonométrica, resolverla con el álgebra . Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización. Sustituya la expresión trigonométrica con una sola variable, como x o u . Resuelva la ecuación del mismo modo que se resolvería una ecuación algebraica. Sustituya de nuevo la expresión trigonométrica por la variable en las expresiones resultantes. Resuelva el ángulo. Resolver la ecuación trigonométrica en forma lineal Resuelva la ecuación exactamente: 2 cos θ - 3 = - 5 , 0 ≤ θ < 2 π . Utilice técnicas algebraicas para resolver la ecuación. 2 cos θ - 3 = - 5 2 cos θ = - 2 cos θ = - 1 θ = π Ejercicio Resuelva exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo [ 0 , 2 π ) : 2 sen x + 1 = 0 . x = 7 π 6 , 11 π 6 Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la ). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es π , no 2 π . Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de π 2 , a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio. Resolver un problema con una sola función trigonométrica Resuelva el problema con exactitud: 2 sen 2 θ - 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Ya que este problema no se factoriza fácilmente, lo resolveremos con la propiedad de la raíz cuadrada. En primer lugar, utilizamos el álgebra para aislar sen θ . Entonces determinaremos los ángulos. 2 sen 2 θ - 1 = 0 2 sen 2 θ = 1 sen 2 θ = 1 2 sen 2 θ = ± 1 2 sen θ = ± 1 2 = ± 2 2 θ = π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 Resolver una ecuación trigonométrica con cosecante Resuelva exactamente la siguiente ecuación: csc θ = - 2 , 0 ≤ θ < 4 π . Queremos que todos los valores de θ para los cuales csc θ = - 2 en el intervalo 0 ≤ θ < 4 π . csc θ = - 2 1 sen θ = - 2 sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 , 19 π 6 , 23 π 6 Análisis Dado que sen θ = - 1 2 , observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante. Resolver una ecuación con tangente Resuelva la ecuación exactamente: tan ( θ − π 2 ) = 1 , 0 ≤ θ < 2 π . Recordemos que la función tangente tiene un periodo de π . En el intervalo [ 0 , π ) , y en el ángulo de π 4 , la tangente tiene un valor de 1. Sin embargo, el ángulo que queremos es ( θ − π 2 ) . Por lo tanto, si tan ( π 4 ) = 1 , entonces θ − π 2 = π 4 θ = 3 π 4 ± k π En el intervalo [ 0 , 2 π ) , tenemos dos soluciones: 3 π 4 y 3 π 4 + π = 7 π 4 Ejercicio Halle todas las soluciones para tan x = 3 . π 3 ± π k Identificar todas las soluciones de la ecuación que implica la tangente Identifique todas las soluciones exactas de la ecuación 2 ( tan x + 3 ) = 5 + tan x , 0 ≤ x < 2 π . Podemos resolver esta ecuación solamente con el álgebra. Aísle la expresión tan x a la izquierda del signo de igualdad. 2 ( tan x ) + 2 ( 3 ) = 5 + tan x 2 tan x + 6 = 5 + tan x 2 tan x - tan x = 5 − 6 tan x = - 1 Hay dos ángulos en el círculo unitario que tienen un valor tangente de −1 : θ = 3 π 4 y θ = 7 π 4 . Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado. Usar la calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica el seno Utilice una calculadora para resolver la ecuación sen θ = 0,8 , donde θ está en radianes. Asegúrese de que el modo esté ajustado a radianes. Para hallar θ , utilice la función del seno inverso. En la mayoría de las calculadoras, tendrá que pulsar el botón 2ND y luego el botón SIN para que aparezca la función sen − 1 . Lo que se muestra en la pantalla es sen − 1 ( . La calculadora está lista para la entrada dentro del paréntesis. Para este problema, introducimos sen − 1 ( 0,8 ) , y pulsamos ENTER. Por lo tanto, a cuatro decimales, sen − 1 ( 0,8 ) ≈ 0,9273 La solución es 0,9273 ± 2 π k La medida del ángulo en grados es: θ ≈ 53,1 ∘ θ ≈ 180 ∘ − 53,1 ∘ ≈ 126,9 ∘ Análisis Tenga en cuenta que la calculadora solo arrojará un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función seno, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene al utilizar π - θ . Usar una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica la secante Utilice una calculadora para resolver la ecuación sec θ = -4 , dando su respuesta en radianes. Podemos empezar con algo de álgebra. sec θ = – 4 1 cos θ = – 4 cos θ = - 1 4 Compruebe que el MODO esté en radianes. Ahora, utilice la función coseno inversa. cos − 1 ( - 1 4 ) ≈ 1,8235 θ ≈ 1,8235 + 2 π k Dado que π 2 ≈ 1,57 y π ≈ 3,14 , 1,8235 está entre estos dos números, por lo que θ ≈ 1 0,8235 está en el cuadrante II. El coseno también es negativo en el cuadrante III. Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o II para la función coseno, ya que ese es el rango del coseno inverso. Vea la . Por lo tanto, también necesitamos hallar la medida del ángulo en el cuadrante III. En el cuadrante III, el ángulo de referencia es θ ' ≈ π - 1 0,8235 ≈ 1 0,3181 . La otra solución del cuadrante III es π + 1 0,3181 ≈ 4 0,4597 . Las soluciones son 1,8235 ± 2 π k y 4,4597 ± 2 π k . Ejercicio Resuelva cos θ = − 0,2. θ ≈ 1,7722 ± 2 π k y θ ≈ 4,5110 ± 2 π k Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como x o u . Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática Resuelva la ecuación exactamente: cos 2 θ + 3 cos θ - 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Comenzamos por utilizar la sustitución y reemplazar cos θ con la x . No es necesario utilizar la sustitución, pero puede hacer que el problema sea más fácil de resolver visualmente. Supongamos que cos θ = x . Tenemos x 2 + 3 x – 1 = 0 La ecuación no se puede factorizar, por lo que utilizaremos la fórmula cuadrática x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a . x = - 3 ± ( 3 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 = - 3 ± 13 2 Sustituya x con la cos θ , y resolvemos. Por lo tanto, cos θ = - 3 ± 13 2 θ = cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) Observe que solo se utiliza el signo +. Esto se debe a que obtenemos un error cuando resolvemos θ = cos − 1 ( - 3 − 13 2 ) en una calculadora, ya que el dominio de la función coseno inversa es [ - 1 , 1 ] . Sin embargo, existe una segunda solución: cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) ≈ 1,26 Este lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante I. Debido a que el coseno también es positivo en el cuadrante IV, la segunda solución es 2 π − cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) ≈ 5,02 Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática mediante factorización Resuelva la ecuación exactamente: 2 sen 2 θ − 5 sen θ + 3 = 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Usando la agrupación, esta cuadrática puede factorizarse. Alternativamente, hacer la sustitución real, sen θ = u , o imaginarla, ya que factorizamos: 2 sen 2 θ − 5 sen θ + 3 = 0 ( 2 sen θ - 3 ) ( sen θ - 1 ) = 0 Ahora, lleve cada factor igual a cero. 2 sen θ - 3 = 0 2 sen θ = 3 sen θ = 3 2 sen θ - 1 = 0 sen θ = 1 Luego, resuelva para θ : sen θ ≠ 3 2 , ya que el rango de la función seno es [ −1 , 1 ] . Sin embargo, el que sen θ = 1 , dando la solución π 2 . Análisis Asegúrese de comprobar todas las soluciones en el dominio dado, ya que algunos factores no tienen solución. Ejercicio Resuelva sen 2 θ = 2 cos θ + 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π . [Pista: Haga una sustitución para expresar la ecuación solo en términos de coseno]. cos θ = - 1 , θ = π Resolver una ecuación trigonométrica mediante el álgebra Resuelva exactamente: 2 sen 2 θ + sen θ = 0 ; 0 ≤ θ < 2 π Este problema debería parecerle familiar, ya que es similar a una cuadrática. Supongamos que sen θ = x . La ecuación se convierte en 2 x 2 + x = 0 . Comenzamos por la factorización: 2 x 2 + x = 0 x ( 2 x + 1 ) = 0 Lleve cada factor igual a cero. x = 0 ( 2 x + 1 ) = 0 x = - 1 2 A continuación, sustituya de nuevo en la ecuación la expresión original sen θ por x . Así, sen θ = 0 θ = 0 , π sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 Las soluciones dentro del dominio 0 ≤ θ < 2 π son 0 , π , 7 π 6 , 11 π 6 . Si preferimos no sustituir, podemos resolver la ecuación al seguir el mismo patrón de factorización y llevar cada factor igual a cero. 2 sen 2 θ + sen θ = 0 sen θ ( 2 sen θ + 1 ) = 0 sen θ = 0 θ = 0 , π 2 sen θ + 1 = 0 2 sen θ = - 1 sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 Análisis Podemos ver las soluciones en el gráfico en la . En el intervalo 0 ≤ θ < 2 π , el gráfico cruza el eje x cuatro veces, en las soluciones señaladas. Observe que las ecuaciones trigonométricas que tienen forma cuadrática pueden dar hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con las ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor de seno positivo arrojarán dos ángulos que darían lugar a ese valor. También podemos verificar las soluciones en el círculo unitario en la . Resolver una ecuación trigonométrica cuadrática en forma Resuelva la ecuación cuadrática en forma exacta: 2 sen 2 θ - 3 sen θ + 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Podemos factorizar mediante la agrupación. Los valores de solución de θ se hallan en el círculo unitario: ( 2 sen θ - 1 ) ( sen θ - 1 ) = 0 2 sen θ - 1 = 0 sen θ = 1 2 θ = π 6 , 5 π 6 sen θ = 1 θ = π 2 Ejercicio Resuelva la ecuación cuadrática 2 cos 2 θ + cos θ = 0 . π 2 , 2 π 3 , 4 π 3 , 3 π 2 Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación. Utilizar las identidades para resolver una ecuación Utilice las identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica sobre el intervalo 0 ≤ x < 2 π . cos x cos ( 2 x ) + sen x sen ( 2 x ) = 3 2 Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la fórmula de la diferencia del coseno. cos x cos ( 2 x ) + sen x sen ( 2 x ) = 3 2 cos ( x - 2 x ) = 3 2 Fórmula de la diferencia del coseno cos ( - x ) = 3 2 Utilice la identidad de ángulo negativo . cos x = 3 2 A partir del círculo unitario en la , vemos que cos x = 3 2 cuando x = π 6 , 11 π 6 . Resolver la ecuación mediante una fórmula de doble ángulo Resuelva la ecuación con exactitud mediante una fórmula de doble ángulo: cos ( 2 θ ) = cos θ . Tenemos tres opciones de expresiones para sustituir el doble ángulo del coseno. Ya que es más sencillo resolver una función trigonométrica a la vez, elegiremos la identidad de doble ángulo que involucra solo el coseno: cos ( 2 θ ) = cos θ 2 cos 2 θ - 1 = cos θ 2 cos 2 θ - cos θ - 1 = 0 ( 2 cos θ + 1 ) ( cos θ - 1 ) = 0 2 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 2 cos θ - 1 = 0 cos θ = 1 Por lo tanto, si cos θ = - 1 2 , entonces θ = 2 π 3 ± 2 π k y θ = 4 π 3 ± 2 π k ; si cos θ = 1 , entonces θ = 0 ± 2 π k . Resolver una ecuación mediante el empleo de una identidad Resuelva la ecuación exactamente con una identidad: 3 cos θ + 3 = 2 sen 2 θ , 0 ≤ θ < 2 π . Si reescribimos el lado derecho, podemos escribir la ecuación en términos de coseno: 3 cos θ + 3 = 2 sen 2 θ 3 cos θ + 3 = 2 ( 1 - cos 2 θ ) 3 cos θ + 3 = 2 - 2 cos 2 θ 2 cos 2 θ + 3 cos θ + 1 = 0 ( 2 cos θ + 1 ) ( cos θ + 1 ) = 0 2 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 2 θ = 2 π 3 , 4 π 3 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 θ = π Nuestras soluciones son 2 π 3 , 4 π 3 , π . Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo sen ( 2 x ) o cos ( 3 x ) . Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que y = sen ( 2 x ) es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función y = sen x . En un intervalo de 2 π , podemos graficar dos periodos de y = sen ( 2 x ) , frente a un ciclo de y = sen x . Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a sen ( 2 x ) = 0 en comparación con sen x = 0 . Esta información nos ayudará a resolver la ecuación. Resolver una ecuación trigonométrica de ángulos múltiples Resuelva exactamente cos ( 2 x ) = 1 2 en [ 0 , 2 π ) . Podemos ver que esta es la ecuación estándar con un múltiplo de un ángulo. Si los valores de cos ( α ) = 1 2 , sabemos que α está en los cuadrantes I y IV. Mientras que θ = cos − 1 1 2 solo arrojará soluciones en los cuadrantes I y II, reconocemos que las soluciones de la ecuación cos θ = 1 2 estará en los cuadrantes I y IV. Por lo tanto, los ángulos posibles son θ = π 3 y θ = 5 π 3 . Así que, 2 x = π 3 o 2 x = 5 π 3 , lo que significa que x = π 6 o x = 5 π 6 . ¿Tiene esto sentido? Sí, porque cos ( 2 ( π 6 ) ) = cos ( π 3 ) = 1 2 . ¿Hay otras respuestas posibles? Volvamos a nuestro primer paso. En el cuadrante I, 2 x = π 3 , por lo que x = π 6 como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo: 2 x = π 3 + 2 π = π 3 + 6 π 3 = 7 π 3 por lo que x = 7 π 6 . Una rotación más produce 2 x = π 3 + 4 π = π 3 + 12 π 3 = 13 π 3 x = 13 π 6 > 2 π , por lo que este valor para x es mayor que 2 π , por lo que no es una solución en [ 0 , 2 π ) . En el cuadrante IV, 2 x = 5 π 3 , por lo que x = 5 π 6 como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo: 2 x = 5 π 3 + 2 π = 5 π 3 + 6 π 3 = 11 π 3 por lo que x = 11 π 6 . Una rotación más produce 2 x = 5 π 3 + 4 π = 5 π 3 + 12 π 3 = 17 π 3 x = 17 π 6 > 2 π , por lo que este valor para x es mayor que 2 π , por lo que no es una solución en [ 0 , 2 π ) . Nuestras soluciones son π 6 , 5 π 6 , 7 π 6 , y 11 π 6 . Observe que, siempre que resolvemos un problema en forma de sen ( n x ) = c , debemos rodear el círculo unitario n veces. Resolver problemas de triángulos rectángulos Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras . Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2 , y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación. Usar el teorema de Pitágoras para modelar una ecuación Utilice el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos rectángulos para modelar una ecuación que se ajuste al problema. Uno de los cables que ancla el centro de la rueda de la fortuna del London Eye al suelo necesita reemplazo. El centro de la rueda está a 69,5 metros del suelo, y el segundo anclaje en el suelo está a 23 metros de su base ¿Qué longitud tiene el cable, aproximadamente, y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la rueda de la fortuna)? Vea la . Con la información dada, podemos dibujar un triángulo rectángulo. Podemos determinar la longitud del cable con el teorema de Pitágoras. a 2 + b 2 = c 2 ( 23 ) 2 + ( 69,5 ) 2 ≈ 5359 5359 ≈ 73,2 m El ángulo de elevación es θ , formado por el segundo anclaje en el suelo y el cable que llega al centro de la rueda. Podemos utilizar la función tangente para hallar su medida. Redondee a dos decimales. tan θ = 69,5 23 tan - 1 ( 69,5 23 ) ≈ 1,2522 ≈ 71,69 ∘ El ángulo de elevación es aproximadamente 71,7 ∘ , y la longitud del cable es de 73,2 metros. Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto Las normas de seguridad de la Administración de Seguridad y Salud Ocupacional (Occupational Safety and Health Administration, OSHA) exigen que la base de una escalera se sitúe a 1 pie de la pared por cada 4 pies de longitud de la escalera. Halle el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que toca la pared. Para cualquier longitud de la escalera, la base debe estar a una distancia de la pared igual a la cuarta parte de la longitud de la escalera. Por equivalencia, si la base de la escalera está a " a" pies de la pared, la longitud de la escalera será de 4 a pies. Vea la . El lado adyacente a θ es a y la hipotenusa es 4 a . Así, cos θ = a 4 a = 1 4 cos − 1 ( 1 4 ) ≈ 75,5 ∘ La elevación de la escalera forma un ángulo de 75,5 ∘ con el suelo. La altura a la que la escalera toca la pared se puede calcular con el teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = ( 4 a ) 2 b 2 = ( 4 a ) 2 - a 2 b 2 = 16 a 2 - a 2 b 2 = 15 a 2 b = 15 a Así, la escalera toca la pared a 15 a pies del suelo. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de ecuaciones trigonométricas. Resolver ecuaciones trigonométricas I Resolver ecuaciones trigonométricas II Resolver ecuaciones trigonométricas III Resolver ecuaciones trigonométricas IV Resolver ecuaciones trigonométricas V Resolver ecuaciones trigonométricas VI Conceptos clave A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos utilizar técnicas algebraicas al igual que lo hacemos para resolver ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, la forma cuadrática o una expresión que se preste a la sustitución. Vea el , el y el . Las ecuaciones que implican una sola función trigonométrica pueden resolverse o verificarse con el círculo unitario. Vea el , el , el y el . También podemos resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora gráfica. Vea el y el . Muchas ecuaciones tienen forma cuadrática. Podemos utilizar la sustitución para que la ecuación parezca más sencilla, y luego utilizar las mismas técnicas que utilizamos para resolver una cuadrática algebraica: la factorización, la fórmula cuadrática, etc. Vea el , el , el y el . Igualmente, podemos utilizar las identidades para resolver la ecuación trigonométrica. Vea el , el y el . Podemos utilizar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple, que es la compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y comprobar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Vea el . Las situaciones en el mundo real se pueden modelar y resolver con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Habrá siempre soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas? Si no es así, describa una ecuación que no tenga solución. Explique por qué sí o por qué no. No siempre habrá soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas. Para un ejemplo básico, cos ( x ) = −5. Cuando se resuelve una ecuación trigonométrica en la que interviene más de una función trigonométrica, ¿queremos siempre intentar reescribir la ecuación para que se exprese en términos de una sola función trigonométrica? ¿Por qué sí o por qué no? Cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas lineales en términos solo de seno o coseno, ¿cómo sabemos si habrá soluciones? Si la función seno o coseno tiene un coeficiente de uno, aísle el término a un lado del signo de igualdad. Si el número al que se iguala tiene un valor absoluto menor o igual que uno, la ecuación tiene solución, en caso contrario, no. Si el seno o el coseno no tienen un coeficiente igual a uno, aísle el término, pero divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal. Entonces, si el número al que se iguala tiene un valor absoluto mayor que uno, la ecuación no tiene solución. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo 0 ≤ θ < 2 π . 2 sen θ = - 2 2 sen θ = 3 π 3 , 2 π 3 2 cos θ = 1 2 cos θ = - 2 3 π 4 , 5 π 4 tan θ = –1 tan x = 1 π 4 , 5 π 4 cot x + 1 = 0 4 sen 2 x - 2 = 0 π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 csc 2 x - 4 = 0 En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en [ 0 , 2 π ) . 2 cos θ = 2 π 4 , 7 π 4 2 cos θ = –1 2 sen θ = –1 7 π 6 , 11 π 6 2 sen θ = - 3 2 sen ( 3 θ ) = 1 π 18 , 5 π 18 , 13 π 18 , 17 π 18 , 25 π 18 , 29 π 18 2 sen ( 2 θ ) = 3 2 cos ( 3 θ ) = - 2 3 π 12 , 5 π 12 , 11 π 12 , 13 π 12 , 19 π 12 , 21 π 12 cos ( 2 θ ) = - 3 2 2 sen ( π θ ) = 1 1 6 , 5 6 , 13 6 , 17 6 , 25 6 , 29 6 , 37 6 2 cos ( π 5 θ ) = 3 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en [ 0 , 2 π ) . sec ( x ) sen ( x ) - 2 sen ( x ) = 0 0 , π 3 , π , 5 π 3 tan ( x ) - 2 sen ( x ) tan ( x ) = 0 2 cos 2 t + cos ( t ) = 1 π 3 , π , 5 π 3 2 tan 2 ( t ) = 3 sec ( t ) 2 sen ( x ) cos ( x ) - sen ( x ) + 2 cos ( x ) - 1 = 0 π 3 , 3 π 2 , 5 π 3 cos 2 θ = 1 2 sec 2 x = 1 0 , π tan 2 ( x ) = - 1 + 2 tan ( - x ) 8 sen 2 ( x ) + 6 sen ( x ) + 1 = 0 π − sen − 1 ( - 1 4 ) , 7 π 6 , 11 π 6 , 2 π + sen − 1 ( - 1 4 ) tan 5 ( x ) = tan ( x ) En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo [ 0 , 2 π ) . sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) - cos ( 3 x ) sen ( 6 x ) = -0,9 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , π 3 - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 2 π 3 + 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , π - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 4 π 3 + 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 5 π 3 - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) sen ( 6 x ) cos ( 11 x ) - cos ( 6 x ) sen ( 11 x ) = -0,1 cos ( 2 x ) cos x + sen ( 2 x ) sen x = 1 0 6 sen ( 2 t ) + 9 sen t = 0 9 cos ( 2 θ ) = 9 cos 2 θ − 4 θ = sen 1 2 3 , π sen 1 2 3 , π + sen 1 2 3 , 2 π sen 1 2 3 sen ( 2 t ) = cos t cos ( 2 t ) = sen t 3 π 2 , π 6 , 5 π 6 cos ( 6 x ) - cos ( 3 x ) = 0 En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables. tan 2 x - 3 tan x = 0 0 , π 3 , π , 4 π 3 sen 2 x + sen x - 2 = 0 sen 2 x - 2 sen x - 4 = 0 No hay soluciones. 5 cos 2 x + 3 cos x – 1 = 0 3 cos 2 x - 2 cos x - 2 = 0 cos − 1 ( 1 3 ( 1 - 7 ) ) , 2 π − cos − 1 ( 1 3 ( 1 - 7 ) ) 5 sen 2 x + 2 sen x – 1 = 0 tan 2 x + 5 tan x – 1 = 0 tan - 1 ( 1 2 ( 29 − 5 ) ) , π + tan - 1 ( 1 2 ( − 29 − 5 ) ) , π + tan - 1 ( 1 2 ( 29 − 5 ) ) , 2 π + tan - 1 ( 1 2 ( − 29 − 5 ) ) cot 2 x = - cot x − tan 2 x - tan x - 2 = 0 No hay soluciones. En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas. sen 2 x - cos 2 x - sen x = 0 sen 2 x + cos 2 x = 0 No hay soluciones. sen ( 2 x ) - sen x = 0 cos ( 2 x ) - cos x = 0 0 , 2 π 3 , 4 π 3 2 tan x 2 − sec 2 x - sen 2 x = cos 2 x 1 - cos ( 2 x ) = 1 + cos ( 2 x ) π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 sec 2 x = 7 10 sen x cos x = 6 cos x sen − 1 ( 3 5 ) , π 2 , π − sen − 1 ( 3 5 ) , 3 π 2 −3 sen t = 15 cos t sen t 4 cos 2 x - 4 = 15 cos x cos − 1 ( - 1 4 ) , 2 π − cos − 1 ( - 1 4 ) 8 sen 2 x + 6 sen x + 1 = 0 8 cos 2 θ = 3 - 2 cos θ π 3 , cos − 1 ( - 3 4 ) , 2 π − cos − 1 ( - 3 4 ) , 5 π 3 6 cos 2 x + 7 sen x - 8 = 0 12 sen 2 t + cos t − 6 = 0 cos − 1 ( 3 4 ) , cos − 1 ( – 2 3 ) , 2 π − cos − 1 ( – 2 3 ) , 2 π − cos − 1 ( 3 4 ) tan x = 3 sen x cos 3 t = cos t 0 , π 2 , π , 3 π 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros. 6 sen 2 x - 5 sen x + 1 = 0 8 cos 2 x - 2 cos x – 1 = 0 π 3 , cos −1 ( - 1 4 ) , 2 π − cos −1 ( - 1 4 ) , 5 π 3 100 tan 2 x + 20 tan x - 3 = 0 2 cos 2 x - cos x + 15 = 0 No hay soluciones. 20 sen 2 x - 27 sen x + 7 = 0 2 tan 2 x + 7 tan x + 6 = 0 π + tan –1 ( −2 ) , π + tan –1 ( - 3 2 ) , 2 π + tan –1 ( −2 ) , 2 π + tan –1 ( - 3 2 ) 130 tan 2 x + 69 tan x − 130 = 0 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales. sen x = 0,27 2 π k + 0,2734 , 2 π k + 2,8682 sen x = -0,55 tan x = -0,34 π k − 0,3277 cos x = 0,71 En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Redondee a cuatro decimales. tan 2 x + 3 tan x - 3 = 0 0,6694 , 1,8287 , 3,8110 , 4,9703 6 tan 2 x + 13 tan x = −6 tan 2 x − sec x = 1 1,0472 , 3,1416 , 5,2360 sen 2 x - 2 cos 2 x = 0 2 tan 2 x + 9 tan x - 6 = 0 0,5326 , 1,7648 , 3,6742 , 4,9064 4 sen 2 x + sen ( 2 x ) sec x - 3 = 0 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo [ 0 , 2 π ) . csc 2 x - 3 csc x - 4 = 0 sen − 1 ( 1 4 ) , π − sen − 1 ( 1 4 ) , 3 π 2 sen 2 x - cos 2 x – 1 = 0 sen 2 x ( 1 - sen 2 x ) + cos 2 x ( 1 - sen 2 x ) = 0 π 2 , 3 π 2 3 sec 2 x + 2 + sen 2 x - tan 2 x + cos 2 x = 0 sen 2 x – 1 + 2 cos ( 2 x ) - cos 2 x = 1 No hay soluciones. tan 2 x – 1 - sec 3 x cos x = 0 sen ( 2 x ) sec 2 x = 0 0 , π 2 , π , 3 π 2 sen ( 2 x ) 2 csc 2 x = 0 2 cos 2 x - sen 2 x - cos x - 5 = 0 No hay soluciones. 1 sec 2 x + 2 + sen 2 x + 4 cos 2 x = 4 Aplicaciones en el mundo real Un avión tiene gasolina suficiente únicamente para volar hasta una ciudad situada a 200 millas al noreste de su ubicación actual. Si el piloto sabe que la ciudad está a 25 millas al norte, ¿a cuántos grados al norte del este debe volar el avión? 7,2 ∘ Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 4 pies, y la rampa tiene 15 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo? Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 2 pies, y la rampa tiene 20 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo? 5,7 ∘ Una mujer observa el lanzamiento de un cohete a 11 millas de altitud. Si está de pie a 4 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo mira hacia arriba desde la horizontal? Una astronauta se encuentra en un cohete lanzado a 15 millas de altitud. Si un hombre está de pie a 2 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo ella lo mira a él desde la horizontal? (Pista: esto recibe el nombre de ángulo de depresión). 82,4 ∘ Una mujer está de pie a 8 metros de un edificio de 10 metros de altura. ¿En qué ángulo mira hacia la parte superior del edificio? Un hombre está de pie a 10 metros de un edificio de 6 metros de altura. Alguien lo mira desde la parte superior del edificio. ¿En qué ángulo lo mira esta persona? 31,0 ∘ Un edificio de 20 pies de altura proyecta una sombra de 55 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? Un edificio de 90 pies de altura proyecta una sombra de 2 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? 88,7 ∘ Un reflector en el suelo a 3 metros de un hombre de 2 metros de altura proyecta una sombra de 6 metros en una pared situada a 6 metros de él. ¿En qué ángulo está la luz? Un reflector en el suelo a 3 pies de una mujer de 5 pies de alto proyecta una sombra de 15 pies de alto en una pared situada a 6 pies de ella. ¿En qué ángulo está la luz? 59,0 ∘ En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana. Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 6 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared? Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 5 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared? 36,9 ∘ Una escalera de 23 pies está colocada junto a una casa. Si la escalera resbala a 7 pies de la casa cuando no hay suficiente tracción, ¿qué ángulo debe formar la escalera con el suelo para no resbalar?

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