Secuencias aritméticas Objetivos de aprendizaje Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1) Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2) Objetivo 1: Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1) La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. La diferencia entre términos consecutivos, d , y se denomina diferencia común , para n mayor o igual a dos. d = a n a n − 1 Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común. Ⓐ 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , … Ⓑ 4 , 9 , 12 , 17 , 20 , 25 , … Para determinar si la secuencia es aritmética, calculamos la diferencia de los términos consecutivos indicados. Ⓐ Calcule la diferencia de los términos consecutivos. 5 , 9 , 13 , 17 21 , 25 , … 9 − 5 13 − 9 17 − 13 21 − 17 25 – 21 4 4 4 4 4 La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 4 . Ⓑ Calcule la diferencia de los términos consecutivos. 4 , 9 , 12 , 17 20 , 25 , … 9 - 4 12 − 9 17 − 12 20 − 17 25 − 20 2 3 5 3 5 La secuencia no es aritmética, ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas. No hay ninguna diferencia común. La práctica hace la perfección Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común. -4, 4, 2, 10, 8, 16, … Calcule la diferencia de términos consecutivos. -3, -1, 1, 3, 5, 7, … Calcule la diferencia de términos consecutivos. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 5 y la diferencia común es d = −6 . Empezamos con el primer término y sumamos la diferencia común. Luego, sumamos la diferencia común a ese resultado para obtener el siguiente término, y así sucesivamente. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 5 5 + ( −6 ) −1 + ( −6 ) −7 + ( −6 ) -13 + ( −6 ) −1 −7 -13 −19 La secuencia es 5 , –1 , –7 , -13 , −19 , … La práctica hace la perfección Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es –4 y la diferencia común es d = 7 . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 -4 La secuencia es: ________________________________________ Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2) En la sección pasada hallamos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos hallar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética. Escribamos los primeros términos de una secuencia donde el primer término es a 1 y la diferencia común es d . A continuación, buscaremos un patrón. Al buscar un patrón vemos que cada término comienza con a 1 . El primer término suma 0 d a a 1 , el segundo término suma 1 d , el tercer término suma 2 d , el cuarto término suma 3 d y el quinto término suma 4 d . El número de d que se sumaron a a 1 es uno menos que el número del término. Tenemos entonces la fórmula del término general de una secuencia aritmética. Término general (enésimo término) de una secuencia aritmética El término general de una secuencia aritmética con primer término a 1 y diferencia común d es a n = a 1 + ( n − 1 ) d Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética. Ⓐ Halle el vigésimo primer término de una secuencia donde el primer término es tres y la diferencia común es ocho. Ⓑ Halle el undécimo término de una secuencia en la que el tercer término es 19 y la diferencia común es cinco. Indique la fórmula del término general. Ⓐ Para hallar el 21.er término, utilice la fórmula con a 1 = 3 , d = 8 y n = 21 a n = a 1 + ( n − 1 ) d Sustituya a 21 = 3 + ( 21 1 ) ( 8 ) Simplifique a 21 = 3 + ( 20 ) ( 8 ) a 21 = 3 + 160 a 21 = 163 Ⓑ Primero calculemos a 1 . Utilice la fórmula con a 3 = 19 , d = 5 y n n = 3 . Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 3 = a 1 + ( 3 1 ) ( 5 ) 19 = a 1 + ( 2 ) ( 5 ) 19 = a 1 + 10 a 1 = 9 Para hallar el 11.º término, utilice la fórmula con a 3 = 9 , d = 5 y n = 11 Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 11 = 9 + ( 11 1 ) ( 5 ) a 11 = 9 + ( 10 ) ( 5 ) a 11 = 59 Para hallar el término general, sustituya a = 9 y d = 5 en la fórmula. a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 11 = 9 + ( 11 1 ) ( 5 ) a 11 = 9 + ( 10 ) ( 5 ) a 11 = 59 La práctica hace la perfección Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética. Halle el decimosexto término de una secuencia donde el primer término es 11 y la diferencia común es -6. a n = a 1 + ( n – 1 ) d Halle el decimonoveno término de una secuencia en la que el 5.º término es 1 y la diferencia común es -4. Indique la fórmula del término general. Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año. Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión. Hallar diferencias comunes Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400. La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente. Secuencia aritmética La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esta constante se denomina la diferencia común . Si los valores de a 1 es el primer término de una secuencia aritmética y d es la diferencia común, la secuencia será: { a n } = { a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d , a 1 + 3 d , ... } Hallar diferencias comunes ¿Cada secuencia es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. Ⓐ { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ... } Ⓑ { − 3 , 1 , 5 , 9 , 13 , ... } Reste cada término del término siguiente para determinar si existe una diferencia común. Ⓐ La secuencia no es aritmética porque no hay diferencia común. Ⓑ La secuencia es aritmética porque hay una diferencia común. La diferencia común es 4. Análisis El gráfico de cada una de estas secuencias se muestra en la . Podemos ver en los gráficos que, aunque ambas secuencias muestran crecimiento, a no es lineal mientras que b es lineal. Las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante, por lo que sus gráficos serán siempre puntos sobre una línea. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si nos dicen que una secuencia es aritmética, ¿tenemos que restar cada término del siguiente para calcular la diferencia común? No. Si sabemos que la secuencia es aritmética, podemos elegir un término cualquiera de la secuencia y restarlo del término siguiente para calcular la diferencia común. Ejercicio ¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. { 18 , 16 , 14 , 12 , 10 , … } La secuencia es aritmética. La diferencia común es – 2. Ejercicio ¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , … } La secuencia no es aritmética porque 3 - 1 ≠ 6 − 3, Escribir términos de secuencias aritméticas Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de n y d en la siguiente fórmula. a n = a 1 + ( n – 1 ) d Dado el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética, halle los primeros términos. Sume la diferencia común al primer término para hallar el segundo término. Sume la diferencia común al segundo término para hallar el tercer término. Continúe hasta identificar todos los términos deseados. Escriba los términos separados por comas entre corchetes. Escribir términos de secuencias aritméticas Escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 = 17 y d = - 3 . Sumar − 3 es lo mismo que restar 3. Empezando por el primer término, reste 3 a cada término para hallar el siguiente. Los cinco primeros términos son { 17 , 14 , 11 , 8 , 5 } Análisis Como era de esperar, el gráfico de la secuencia consiste en puntos sobre una línea, como se muestra en la . Ejercicio Enumere los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 = 1 y d = 5 . { 1 , 6 , 11 , 16 , 21 } Dado cualquier primer término y cualquier otro término de una secuencia aritmética, halle un término dado. Sustituya los valores dados por a 1 , a n , n en la fórmula a n = a 1 + ( n – 1 ) d para resolver para d . Halle un término dado sustituyendo los valores apropiados de a 1 , n , y d en la fórmula a n = a 1 + ( n – 1 ) d . Escribir términos de secuencias aritméticas Dados a 1 = 8 y a 4 = 14 , calcule a 5 . La secuencia se puede escribir en términos del término inicial 8 y de la diferencia común d . { 8 , 8 + d , 8 + 2 d , 8 + 3 d } Sabemos que el cuarto término es igual a 14 y que tiene la forma a 1 + 3 d = 8 + 3 d . Podemos calcular la diferencia común d . a n = a 1 + ( n – 1 ) d a 4 = a 1 + 3 d a 4 = 8 + 3 d Escriba el cuarto término de la secuencia en términos de a 1 y d . 14 = 8 + 3 d Sustituya 14 para a 4 . d = 2 Resolver la diferencia común . Halle el quinto término sumando la diferencia común al cuarto término. a 5 = a 4 + 2 = 16 Análisis Observe que la diferencia común se suma al primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercero, tres veces para hallar el cuarto, y así sucesivamente. El décimo término se podría hallar al sumar la diferencia común al primer término nueve veces o mediante la ecuación a n = a 1 + ( n – 1 ) d . Ejercicio Dados a 3 = 7 y a 5 = 17 , calcule a 2 . a 2 = 2 Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva . La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término. a n = a n – 1 + d n ≥ 2 Fórmula recursiva para una secuencia aritmética La fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común d es: a n = a n – 1 + d n ≥ 2 Dada una secuencia aritmética, escriba su fórmula recursiva. Reste cualquier término del término siguiente para hallar la diferencia común. Indique el término inicial y sustituya la diferencia común en la fórmula recursiva de las secuencias aritméticas. Escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética . { − 18 , - 7 , 4 , 15 , 26 , … } El primer término está dado como -18 . La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. d = −7 − ( -18 ) = 11 Sustituya el término inicial y la diferencia común en la fórmula recursiva de las secuencias aritméticas. a 1 = − 18 a n = a n – 1 + 11 , para n ≥ 2 Análisis Vemos que la diferencia común es la pendiente de la línea que se forma cuando graficamos los términos de la secuencia, como se muestra en la . El patrón de crecimiento de la secuencia muestra la diferencia constante de 11 unidades. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Tenemos que restar el primer término del segundo para calcular la diferencia común? No. Podemos restar cualquier término de la secuencia al término siguiente. Sin embargo, lo más habitual es restar el primer término del segundo porque suele ser el método más sencillo para calcular la diferencia común. Ejercicio Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética. { 25 , 37 , 49 , 61 , … } a 1 = 25 a n = a n – 1 + 12 , para n ≥ 2 Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical. a n = a 1 + d ( n – 1 ) Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia. La diferencia común es − 50 , por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de − 50 . Para calcular la intersección en y , restamos − 50 a partir de 200 : 200 − ( − 50 ) = 200 + 50 = 250 . También puede calcular la intersección y al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la . Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es y = m x + b . Cuando se trata de secuencias, utilizamos a n en vez de y y n en vez de x . Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por m y b en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir − 50 para la pendiente y 250 para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación: a n = - 50 n + 250 No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es a n = 200 − 50 ( n – 1 ) , que se simplifica en a n = - 50 n + 250. Fórmula explícita para una secuencia aritmética Una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética está dada por a n = a 1 + d ( n – 1 ) Dados los primeros términos de una secuencia aritmética, escriba una fórmula explícita. Halle la diferencia común, a 2 - a 1 . Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Escribir la fórmula explícita del enésimo término de una secuencia aritmética Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética. { 2 , 12 , 22 , 32 , 42 , … } La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. d = a 2 - a 1 = 12 – 2 = 10 La diferencia común es 10. Sustituya la diferencia común y el primer término de la secuencia en la fórmula y simplifique. a n = 2 + 10 ( n – 1 ) a n = 10 n − 8 Análisis El gráfico de esta secuencia, representado en la , muestra una pendiente de 10 y una intersección vertical de − 8 . Ejercicio Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia aritmética. { 50 , 47 , 44 , 41 , … } a n = 53 − 3 n Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia. Cómo Dados los tres primeros términos y el último término de una secuencia aritmética finita, halle el número total de términos. Halle la diferencia común d . Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Sustituya el último término por a n y resuelva para n . Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita . { 8 , 1 , -6 , ... , -41 } La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. 1 - 8 = - 7 La diferencia común es − 7 . Sustituya la diferencia común y el término inicial de la secuencia en la fórmula del enésimo término y simplifique. a n = a 1 + d ( n – 1 ) a n = 8 + ( − 7 ) ( n – 1 ) a n = 15 − 7 n Sustituya − 41 por a n y resuelva para n − 41 = 15 − 7 n 8 = n Hay ocho términos en la secuencia. Ejercicio Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita. { 6 , 11 , 16 , ... , 56 } Hay 11 términos en la secuencia. Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula: a n = a 0 + d n Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas Un niño de cinco años recibe una asignación de 1 dólar a la semana. Sus padres le prometen un aumento anual de 2 dólares a la semana. Ⓐ Escriba una fórmula para la asignación semanal del niño en un año determinado. Ⓑ ¿Cuál será la asignación del niño cuando tenga 16 años? Ⓐ La situación se puede modelar mediante una secuencia aritmética con un término inicial de 1 y una diferencia común de 2. Supongamos que A sea la cantidad de la asignación y n sea el número de años después de los 5 años. Utilizando la fórmula explícita modificada para una secuencia aritmética obtenemos: A n = 1 + 2 n Ⓑ Podemos calcular el número de años desde los 5 años mediante la resta. 16 - 5 = 11 Buscamos la asignación del niño después de 11 años. Sustituya 11 en la fórmula para hallar la asignación del niño a los 16 años. A 11 = 1 + 2 ( 11 ) = 23 La asignación del niño a los 16 años será de 23 dólares por semana. Ejercicio Una mujer decide salir a correr 10 minutos todos los días de esta semana y planea aumentar el tiempo de su carrera diaria en 4 minutos cada semana. Escriba una fórmula para el tiempo de su carrera después de n semanas. ¿Cuánto durará su carrera diaria dentro de 8 semanas? La fórmula es T n = 10 + 4 n , y le llevará 42 minutos. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias aritméticas. Secuencias aritméticas Ecuaciones clave fórmula recursiva para el enésimo término de una secuencia aritmética a n = a n – 1 + d , n ≥ 2 fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética a n = a 1 + d ( n – 1 ) Conceptos clave Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante. La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común. La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el . Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el y el . Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común d viene dada por a n = a n – 1 + d , n ≥ 2. Vea el . Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común d viene dada por a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Vea el . Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el . En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por a n = a 0 + d n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una secuencia aritmética? Una secuencia en la que cada término sucesivo de la secuencia aumenta (o disminuye) en un valor constante. ¿Cómo se halla la diferencia común de una secuencia aritmética? ¿Cómo se determina si una secuencia es aritmética? Hallamos si la diferencia entre todos los términos consecutivos es la misma. Esto es lo mismo que decir que la secuencia tiene una diferencia común. ¿Cuáles son las principales diferencias entre utilizar una fórmula recursiva y utilizar una fórmula explícita para describir una secuencia aritmética? Describa en qué se parecen las funciones lineales y las secuencias aritméticas. ¿En qué se diferencian? Tanto las secuencias aritméticas como las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Son diferentes porque sus dominios no son los mismos, las funciones lineales se definen para todos los números reales y las secuencias aritméticas se definen para los números naturales o un subconjunto de los números naturales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada. { 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... } { 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... } La diferencia común es 1 2 En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común. { 11,4 , 9,3 , 7,2 , 5,1 , 3 , ... } { 4 , 16 , 64 , 256 , 1.024 , ... } La secuencia no es aritmética porque 16 − 4 ≠ 64 − 16. En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común. a 1 = −25 , d = −9 a 1 = 0 , d = 2 3 0 , 2 3 , 4 3 , 2 , 8 3 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos. a 1 = 17 , a 7 = − 31 a 13 = − 60 , a 33 = − 160 0 , - 5 , - 10 , − 15 , − 20 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común. El primer término es 3, la diferencia común es 4, halle el 5.º término. El primer término es 4, la diferencia común es 5, halle el 4.º término. a 4 = 19 El primer término es 5, la diferencia común es 6, halle el 8.º término. El primer término es 6, la diferencia común es 7, halle el 6.º término. a 6 = 41 El primer término es 7, la diferencia común es 8, halle el 7.º término. En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 6 = 12 y a 14 = 28. a 1 = 2 Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 7 = 21 y a 15 = 42. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 8 = 40 y a 23 = 115. a 1 = 5 Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 9 = 54 y a 17 = 102. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 11 = 11 y a 21 = 16. a 1 = 6 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética. a 1 = 33 y a 7 = − 15. Halle a 4 . a 3 = − 17,1 y a 10 = − 15,7 Halle a 21 . a 21 = − 13,5 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética. a 1 = 39 ; a n = a n – 1 - 3 a 1 = − 19 ; a n = a n – 1 − 1,4 − 19 , − 20,4 , − 21,8 , − 23,2 , − 24,6 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética. a = { 40 , 60 , 80 , ... } a = { 17 , 26 , 35 , ... } a 1 = 17 ; a n = a n – 1 + 9 n ≥ 2 a = { - 1 , 2 , 5 , ... } a = { 12 , 17 , 22 , ... } a 1 = 12 ; a n = a n – 1 + 5 n ≥ 2 a = { − 15 , - 7 , 1 , ... } a = { 8,9 , 10,3 , 11,7 , ... } a 1 = 8,9 ; a n = a n – 1 + 1,4 n ≥ 2 a = { − 0,52 , − 1,02 , − 1,52 , ... } a = { 1 5 , 9 20 , 7 10 , ... } a 1 = 1 5 ; a n = a n – 1 + 1 4 n ≥ 2 a = { - 1 2 , - 5 4 , - 2 , ... } a = { 1 6 , − 11 12 , - 2 , ... } 1 = 1 6 ; a n = a n – 1 − 13 12 n ≥ 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado. a = { 7 , 4 , 1 , ... } ; Halle el 17.º término. a = { 4 , 11 , 18 , ... } ; Halle el 14.º término. a 1 = 4 ; a n = a n – 1 + 7 ; a 14 = 95 a = { 2 , 6 , 10 , ... } ; Halle el 12.º término. En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética. a n = 24 − 4 n Los cinco primeros términos: 20 , 16 , 12 , 8 , 4. a n = 1 2 n – 1 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética. a = { 3 , 5 , 7 , ... } a n = 1 + 2 n a = { 32 , 24 , 16 , ... } a = { - 5 , 95 , 195 , ... } a n = − 105 + 100 n a = { -17 , –217 , –417 , ... } a = { 1,8 , 3,6 , 5,4 , ... } a n = 1,8 n a = { −18,1 , -16,2 , -14,3 , ... } a = { 15,8 , 18,5 , 21,2 , ... } a n = 13,1 + 2,7 n a = { 1 3 , - 4 3 , −3 , ... } a = { 0 , 1 3 , 2 3 , ... } a n = 1 3 n – 1 3 a = { - 5 , - 10 3 , - 5 3 , … } En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada. a = { 3 , - 4 , − 11 , ... , - 60 } Hay 10 términos en la secuencia. a = { 1,2 , 1,4 , 1,6 , ... , 3,8 } a = { 1 2 , 2 , 7 2 , ... , 8 } Hay 6 términos en la secuencia. Gráficos En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética. El gráfico no representa una secuencia aritmética. En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética. a 1 = 0 , d = 4 a 1 = 9 ; a n = a n – 1 - 10 a n = − 12 + 5 n En tecnología En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética a n n = 3 n – 2 utilizando una calculadora gráfica: Presione [MODE] Seleccione SEQ en la cuarta línea Seleccione DOT en la quinta línea Presione [ENTER] Presione [Y=] n Mín. es el primer número de conteo de la secuencia. Establezca n Mín. = 1 u ( n ) es el patrón de la secuencia. Establezca u ( n ) = 3 n – 2 u ( n Mín.) es el primer número de la secuencia. Establezca u ( n Mín.) = 1 Presione [2ND] y luego [WINDOW] para ir a TBLSET Establezca TblStart = 1 Establezca Δ Tbl = 1 Configure Indpnt: Auto y Depend: Auto Presione [2ND] y luego [GRAPH] para ir a TABLE ¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u ( n ) ? 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 Utilice la flecha de desplazamiento hacia abajo para ir a n = 50. ¿Qué valor se da para u ( n ) ? Presione [WINDOW] . Establezca n Mín. = 1 , n Máx. = 5 , x Mín. = 0 , x Máx. = 6 , y Mín. = - 1 y y Máx. = 14. A continuación, presione [GRAPH] . Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora. En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética a n = 1 2 n + 5 utilizando una calculadora gráfica. ¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u ( n ) en la función TABLE? Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora. Asegúrese de ajustar la configuración de WINDOW según sea necesario. Extensiones Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 4.º términos sean 9. Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 10.º términos sean 206. Las respuestas variarán. Ejemplos: a n = 20,6 n y a n = 2 + 20,4 n. Halle el 5.º término de la secuencia aritmética { 9 b , 5 b , b , … } . Halle el 11.º término de la secuencia aritmética { 3 a - 2 b , a + 2 b , - a + 6 b … } . a 11 = − 17 a + 38 b ¿En qué término la secuencia { 5,4 , 14,5 , 23,6 , ... } supera 151? ¿En qué término la secuencia { 17 3 , 31 6 , 14 3 , ... } comienza a tener valores negativos? La secuencia comienza a tener valores negativos en el 13.º término, a 13 = - 1 3 ¿Para qué términos la secuencia aritmética finita { 5 2 , 19 8 , 9 4 , ... , 1 8 } tienen valores enteros? Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula recursiva. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 31. º término. Las respuestas variarán. Compruebe que la secuencia es aritmética. Ejemplo: Fórmula recursiva: a 1 = 3 , a n = a n – 1 − 3. Primeros 4 términos: 3 , 0 , - 3 , − 6 a 31 = − 87 Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula explícita. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 28.º término. secuencia aritmética una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante diferencia común la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera de una secuencia aritmética

Matemáticas


Secuencias geométricas Objetivos de aprendizaje Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1). Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica (AI 12.3.2). Objetivo 1: Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1) Se denomina secuencia geométrica si el cociente entre términos consecutivos es siempre igual. El cociente entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es r , el cociente común , donde n es mayor o igual a dos. r = a n a n − 1 Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común. Ⓐ 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , … Ⓑ −2 , 6 , –12 , 36 , -72 , 216 , … Para determinar si la secuencia es geométrica, hallamos la razón de los términos consecutivos indicados. Ⓐ Halle la razón de los términos consecutivos. 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , … 8 4 16 8 32 16 64 32 128 64 2 2 2 2 2 La secuencia es geométrica. La razón común es r = 2 . Ⓑ Halle la razón de los términos consecutivos. −2 , 6 , –12 , 36 , -72 , 216 , … 6 −2 −12 6 36 −12 -72 36 216 -72 −3 −2 −3 −2 −3 La secuencia no es geométrica. No hay una razón común. La práctica hace la perfección Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común. −150 , −30 , −15 , −5 , – 5 2 , … Halle la razón de los términos consecutivos. 8, 4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , … Halle la razón de los términos consecutivos. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 3 y el cociente común es r = –2 . Empezamos por el primer término y lo multiplicamos por la razón común. Luego, multiplicamos ese resultado por la razón común para obtener el siguiente término, y así sucesivamente. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 3 · ( −2 ) −6 · ( −2 ) 12 · ( −2 ) −24 · ( −2 ) −6 12 −24 48 La secuencia es 3 , –6 , 12 , −24 , 48 , … La práctica hace la perfección Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 7 y la razón común es r = 3 . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 7 La secuencia es: ________________________________________ Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una sucesión geométrica (AI 12.3.2) Hallemos la fórmula del término general de una secuencia geométrica. Escribamos los primeros términos de la secuencia donde el primer término es a 1 y la razón común es r . A continuación, buscaremos un patrón. Término general (enésimo término) de una secuencia geométrica El término general de una secuencia geométrica con primer término a 1 y la razón común r es a n = a 1 r n − 1 Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Ⓐ Halle el decimotercer término de una secuencia en la que el primer término es 81 y la razón común es r=1/3. Ⓑ Halle el noveno término de la secuencia 6, 18, 54, 162, 486, 1458, ... Luego, halle el término general de la secuencia. Ⓐ Halle el decimotercer término de una secuencia en la que el primer término es 81 y la razón común es r=1/3. Para dar con el decimotercer término, utilice la fórmula con a 1 = 81 , r = 1 / 3 a n d n = 13 a n = a 1 r n − 1 Sustituya a 13 = 81 ( 1 3 ) 13 1 Simplifique a 13 = 81 ( 1 3 ) 13 1 a 13 = 81 ( 1 3 ) 12 a 13 = 1 729 Ⓑ Halle el noveno término de la secuencia 6, 18, 54, 162, 486, 1458, ... Luego, halle el término general de la secuencia. Determinemos en primer lugar a 1 y la razón común r La primer término es 6 , así que a 1 = 6 La razón es : 18 6 = 54 18 = 162 54 = 482 162 = 1458 486 = 3 Para hallar el 9.º término, utilice la fórmula con a 1 = 6 , r = 3 y n = 9. Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 r n − 1 a 9 = 6 ( 3 ) 9 1 a 9 = 6 ( 3 ) 8 a 9 = 39366 Para hallar el término general, sustituya a 1 = 6 y r = 3 en la fórmula a n = a 1 r n − 1 a n = 6 ( 3 ) n − 1 La práctica hace la perfección Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Halle el decimosexto término de una secuencia donde el primer término es 11 y la razón común es –6. Halle el 10.º término de la secuencia 9, 18, 36, 72, 144, 288, .... Luego, dé la fórmula del término general. Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de cualquier hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La siguiente tabla muestra la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo al principio de cada hora. Tiempo t Dosis restante después del tiempo t 1 30 mg 2 27 mg 3 24,3 mg 4 21,87 mg 5 19,68 mg Ⓐ Halle la razón de los términos consecutivos. ¿Es una secuencia geométrica? Ⓑ Halle una fórmula para el término general de esta secuencia. Ⓒ ¿Qué cantidad de medicamento queda al comienzo de la hora 7? ¿De la hora 12? ¿De la hora 24? Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera. Hallar razones comunes Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común . La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente. Definición de secuencia geométrica La secuencia geométrica es aquella en la que cualquier término dividido entre el anterior es una constante. Esta constante se denomina cociente común de la secuencia. La razón común se puede calcular al dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Si los valores de a 1 es el término inicial de una secuencia geométrica y r es la razón común, la secuencia será { a 1 , a 1 r , a 1 r 2 , a 1 r 3 , ... } . Cómo Dado un conjunto de números, determine si representan una secuencia geométrica. Divida cada término entre el término anterior. Compare los cocientes. Si son iguales, existe una razón común y la secuencia es geométrica. Hallar razones comunes ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. Ⓐ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ... Ⓑ 48 , 12 , 4 , 2 , ... Divida cada término entre el término anterior para determinar si existe una razón común. Ⓐ 2 1 = 2 4 2 = 2 8 4 = 2 16 8 = 2 La secuencia es geométrica porque hay una razón común. La razón común es de 2. Ⓑ 12 48 = 1 4 4 12 = 1 3 2 4 = 1 2 La secuencia no es geométrica porque no hay una razón común. Análisis El gráfico de cada secuencia se muestra en la . A partir de los gráficos parece que tanto (a) como (b) tienen la forma del gráfico de una función exponencial en esta ventana de visualización. Sin embargo, sabemos que (a) es geométrico y, por tanto, esta interpretación es válida, pero (b) no lo es. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si le dicen que una secuencia es geométrica, ¿tiene que dividir cada término entre el anterior para calcular la razón común? No. Si sabe que la secuencia es geométrica, puede elegir un término cualquiera de la secuencia y dividirlo entre el término anterior para hallar la razón común. Ejercicio ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. 5 , 10 , 15 , 20 , ... La secuencia no es geométrica porque 10 5 ≠ 15 10 . Ejercicio ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. 100 , 20 , 4 , 4 5 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es 1 5 . Escribir términos de secuencias geométricas Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es a 1 = - 2 y la razón común es r = 4, podemos hallar los términos posteriores multiplicando − 2 ⋅ 4 para obtener − 8 y luego multiplicar el resultado − 8 ⋅ 4 para obtener − 32 y así sucesivamente. a 1 = - 2 a 2 = ( – 2 ⋅ 4 ) = - 8 a 3 = ( − 8 ⋅ 4 ) = − 32 a 4 = ( − 32 ⋅ 4 ) = − 128 Los cuatro primeros términos son { -2 , –8 , -32 , -128 } . Cómo Dado el primer término y el factor común, halle los cuatro primeros términos de una sucesión geométrica. Multiplique el término inicial, a 1 , por la razón común para hallar el siguiente término, a 2 . Repita el proceso, utilizando a n = a 2 para calcular a 3 y luego a 3 para calcular a 4, hasta que se hayan identificado los cuatro términos. Escriba los términos separados por comas entre corchetes. Escribir los términos de una secuencia geométrica Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 = 5 y r = –2. Multiplique a 1 entre − 2 para calcular a 2 . Repita el proceso, utilizando a 2 para calcular a 3 , y así sucesivamente. a 1 = 5 a 2 = - 2 a 1 = − 10 a 3 = - 2 a 2 = 20 a 4 = - 2 a 3 = - 40 Los cuatro primeros términos son { 5 , -10 , 20 , –40 } . Ejercicio Enumere los cinco primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 = 18 y r = 1 3 . { 18 , 6 , 2 , 2 3 , 2 9 } Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial. Fórmula recursiva para una secuencia geométrica La fórmula recursiva de una secuencia geométrica con razón común r y primer término a 1 es a n = r a n – 1 , n ≥ 2 Cómo Dados los primeros términos de una secuencia geométrica, escriba su fórmula recursiva. Indique el término inicial. Halle la razón común dividiendo un término cualquiera entre el término anterior. Sustituya la razón común en la fórmula recursiva de una secuencia geométrica. Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica. { 6 , 9 , 13,5 , 20,25 , ... } El primer término se da como 6. La razón común se puede calcular dividiendo el segundo término entre el primero. r = 9 6 = 1,5 Sustituya la razón común en la fórmula recursiva de las secuencias geométricas y defina a 1 . a n = r a n – 1 a n = 1,5 a n – 1 para n ≥ 2 a 1 = 6 Análisis La secuencia de puntos de datos sigue un patrón exponencial. La razón común es también la base de una función exponencial, como se muestra en la . ¿Tenemos que dividir el segundo término entre el primero para hallar la razón común? No. Podemos dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Sin embargo, lo más habitual es dividir el segundo término entre el primero porque suele ser el método más sencillo para hallar la razón común. Ejercicio Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica. { 2 , 4 3 , 8 9 , 16 27 , ... } a 1 = 2 a n = 2 3 a n – 1 para n ≥ 2 Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares. a n = a 1 r n – 1 Veamos la secuencia { 18 , 36 , 72 , 144 , 288 , ... } . Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es a n = 18 · 2 n – 1 El gráfico de la secuencia se muestra en la . Fórmula explícita para una secuencia geométrica El n término de una secuencia geométrica viene dado por la fórmula explícita : a n = a 1 r n – 1 Escribir términos de secuencias geométricas mediante la fórmula explícita Dada una secuencia geométrica con a 1 = 3 y a 4 = 24 , calcule a 2 . La secuencia puede escribirse en términos del término inicial y de la razón común r . 3 , 3 r , 3 r 2 , 3 r 3 , ... Halle la razón común utilizando el cuarto término dado. a n = a 1 r n – 1 a 4 = 3 r 3 Escriba el cuarto término de la secuencia en términos de α 1 y r 24 = 3 r 3 Sustituya 24 para a 4 8 = r 3 Divida r = 2 Resuelva para obtener la razón común Halle el segundo término multiplicando el primer término por la razón común. a 2 = 2 a 1 = 2 ( 3 ) = 6 Análisis La razón común se multiplica por el primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercer término, tres veces para hallar el cuarto término, y así sucesivamente. El décimo término podría hallarse multiplicando el primer término por la razón común nueve veces o multiplicando por la razón común elevada a la novena potencia. Ejercicio Dada una secuencia geométrica con a 2 = 4 y a 3 = 32 , calcule a 6 . a 6 = 16 , 384 Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia geométrica Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la siguiente secuencia geométrica. { 2 , 10 , 50 , 250 , ... } El primer término es 2. La razón común se puede calcular al dividir el segundo término entre el primero. 10 2 = 5 La razón común es 5. Sustituya la razón común y el primer término de la secuencia en la fórmula. a n = a 1 r ( n – 1 ) a n = 2 ⋅ 5 n – 1 El gráfico de esta secuencia en la muestra un patrón exponencial. Ejercicio Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia geométrica. { -1 , 3 , -9 , 27 , ... } a n = - ( - 3 ) n – 1 Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula: a n = a 0 r n Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas En 2013, el número de estudiantes de una escuela pequeña es de 284. Se calcula que la población estudiantil aumentará un 4 % cada año. Ⓐ Escriba una fórmula para la población estudiantil. Ⓑ Estime la población estudiantil en 2020. Ⓐ La situación puede modelarse mediante una secuencia geométrica con un término inicial de 284. La población estudiantil será el 104 % del año anterior, por lo que la razón común es de 1,04. Supongamos que P es la población estudiantil y n es el número de años después de 2013. Utilizando la fórmula explícita de una secuencia geométrica obtenemos P n = 284 ⋅ 1,04 n Ⓑ Podemos calcular el número de años desde 2013 mediante la resta. 2020 − 2013 = 7 Buscamos la población después de 7 años. Podemos sustituir 7 por n para estimar la población en 2020. P 7 = 284 ⋅ 1,04 7 ≈ 374 La población estudiantil será de unos 374 estudiantes en 2020. Ejercicio Una empresa pone en marcha un nuevo sitio web. Inicialmente el número de visitas es de 293 debido al factor curiosidad. La empresa estima que el número de visitas aumentará un 2,6 % por semana. Ⓐ Escriba una fórmula para el número de visitas. Ⓑ Calcule el número de visitas para dentro de 5 semanas. Ⓐ P n = 293 ⋅ 1,026 a n Ⓑ El número de visitas será de unas 333. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las secuencias geométricas. Secuencias geométricas Determinar el tipo de secuencia Hallar la fórmula de una secuencia Ecuaciones clave fórmula recursiva para n t h término de una secuencia geométrica a n = r a n – 1 , n ≥ 2 fórmula explícita para n t h término de una secuencia geométrica a n = a 1 r n – 1 Conceptos clave Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante. La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común. La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el . Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el y el . Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común r viene dada por a n = r a n – 1 para n ≥ 2 . Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el . Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común r viene dada por a n = a 1 r n – 1 . Vea el . En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por a n = a 0 r n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una secuencia geométrica? Una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante. ¿Cómo se calcula la razón común de una secuencia geométrica? ¿Cuál es el procedimiento para determinar si una secuencia es geométrica? Dividir cada término de una secuencia entre el término anterior. Si los cocientes resultantes son iguales, la secuencia es geométrica. ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una secuencia geométrica? Describa en qué se parecen las funciones exponenciales y las secuencias geométricas. ¿En qué se diferencian? Tanto las secuencias geométricas como las funciones exponenciales tienen una razón constante. Sin embargo, sus dominios no son los mismos. Las funciones exponenciales se definen para todos los números reales, y las secuencias geométricas se definen solo para los enteros positivos. Otra diferencia es que la base de una secuencia geométrica (la razón común) puede ser negativa, pero la base de una función exponencial debe ser positiva. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica. 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ... − 0,125 , 0,25 , − 0,5 , 1 , - 2 , ... La razón común es − 2 - 2 , - 1 2 , - 1 8 , - 1 32 , - 1 128 , ... En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común. − 6 , − 12 , − 24 , − 48 , − 96 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de 2. 5 , 5,2 , 5,4 , 5,6 , 5,8 , ... - 1 , 1 2 , - 1 4 , 1 8 , - 1 16 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de − 1 2 . 6 , 8 , 11 , 15 , 20 , ... 0,8 , 4 , 20 , 100 , 500 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de 5. En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común. a 1 = 8 , r = 0,3 a 1 = 5 , r = 1 5 5 , 1 , 1 5 , 1 25 , 1 125 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera. a 7 = 64 , a 10 = 512 a 6 = 25 , a 8 = 6,25 800 , 400 , 200 , 100 , 50 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común. El primer término es 2, y la razón común es de 3. Halle el 5.º término. El primer término es 16 y la razón común es de − 1 3 . Halle el 4.º término. a 4 = - 16 27 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos. a n = { - 1 , 2 , - 4 , 8 , ... } . Halle a 12 . a n = { − 2 , 2 3 , - 2 9 , 2 27 , ... } . Halle a 7 . a 7 = - 2 729 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica. a 1 = − 486 , a n = - 1 3 a n – 1 a 1 = 7 , a n = 0,2 a n – 1 7 , 1,4 , 0,28 , 0,056 , 0,0112 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica. a n = { - 1 , 5 , − 25 , 125 , ... } a n = { − 32 , − 16 , − 8 , - 4 , ... } a = 1 - 32 , a n = 1 2 a n – 1 a n = { 14 , 56 , 224 , 896 , ... } a n = { 10 , - 3 , 0,9 , − 0,27 , ... } a 1 = 10 , a n = – 0,3 a n – 1 a n = { 0,61 , 1,83 , 5,49 , 16,47 , ... } a n = { 3 5 , 1 10 , 1 60 , 1 360 , ... } a 1 = 3 5 , a n = 1 6 a n – 1 a n = { − 2 , 4 3 , − 8 9 , 16 27 , ... } a n = { 1 512 , - 1 128 , 1 32 , - 1 8 , ... } a 1 = 1 512 , a n = – 4 a n – 1 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica. a n = – 4 ⋅ 5 n – 1 a n = 12 ⋅ ( - 1 2 ) n – 1 12 , − 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica. a n = { − 2 , - 4 , − 8 , − 16 , ... } a n = { 1 , 3 , 9 , 27 , ... } a n n = 3 n – 1 a n = { − 4 , − 12 , − 36 , − 108 , ... } a n = { 0,8 , - 4 , 20 , − 100 , ... } a n = 0,8 ⋅ ( - 5 ) n – 1 a n = { − 1,25 , - 5 , − 20 , − 80 , ... } a n = { - 1 , - 4 5 , − 16 25 , − 64 125 , ... } a n = - ( 4 5 ) n – 1 a n = { 2 , 1 3 , 1 18 , 1 108 , ... } a n = { 3 , - 1 , 1 3 , - 1 9 , ... } a n n = 3 ⋅ ( - 1 3 ) n – 1 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada. Supongamos que a 1 = 4 , a n = - 3 a n – 1 . Halle a 8 . Supongamos que a n = - ( - 1 3 ) n – 1 . Halle a 12 . a 12 = 1 177 , 147 En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada. a n = { - 1 , 3 , − 9 , ... , 2187 } a n = { 2 , 1 , 1 2 , ... , 1 1.024 } Hay 12 términos en la secuencia. Gráficos En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica. El gráfico no representa una secuencia geométrica. En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica. a 1 = 1 , r = 1 2 a 1 = 3 , a n = 2 a n – 1 a n = 27 ⋅ 0,3 n – 1 Extensiones Utilice fórmulas recursivas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 3.º términos son 200. Las respuestas variarán. Ejemplos: a 1 = 800 , a n = 0,5 a n – 1 y a 1 = 12,5 , a n = 4 a n – 1 Utilice fórmulas explícitas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 7.º términos son 1.024. Halle el 5.º término de la secuencia geométrica { b , 4 b , 16 b , ... } . a 5 = 256 b Halle el 7. º término de la secuencia geométrica { 64 a ( − b ) , 32 a ( - 3 b ) , 16 a ( − 9 b ) , ... } . ¿En qué término la secuencia { 10 , 12 , 14,4 , 17,28 , ... } supera el 100 ? La secuencia supera el 100 en el 14.º término, a 14 ≈ 107. ¿En qué término la secuencia { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } comienza a tener valores enteros? ¿Para cuál término la secuencia geométrica a n = − 36 ( 2 3 ) n – 1 tiene el primer valor no entero? a 4 = − 32 3 es el primer valor no entero Utilice la fórmula recursiva para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número entero. Muestre los cuatro primeros términos, y luego halle el 10.º término. Utilice la fórmula explícita para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número decimal entre 0 y 1. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 8.º término. Las respuestas variarán. Ejemplo: Fórmula explícita con una razón común decimal: a n = 400 ⋅ 0,5 n – 1 ; Primeros 4 términos: 400 , 200 , 100 , 50 ; a 8 = 3,125 ¿Es posible que una secuencia sea a la vez aritmética y geométrica? Si es así, dé un ejemplo. razón común la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera de una secuencia geométrica secuencia geométrica una secuencia en la que la razón entre un término y un término anterior es una constante

Matemáticas


Series y sus notaciones Objetivos de aprendizaje Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5) Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3) Objetivo 1: Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5) Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, 1 + 6 + 11+ 16 + 21 + 26 + 31 es la suma de los siete primeros términos de la secuencia aritmética con término general, a n = 5 n 4 . Escribimos una serie utilizando la notación de sumatoria . Para escribir esa sumatoria, tenemos que dar con el término general de nuestra secuencia y la sumatoria se verá así: Para la serie 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + .... la notación de sumatoria es ∑ n = 1 7 5 n 4 Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma. Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 n : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Busque un patrón en los términos. Términos: 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 Los numeradores son todos uno. Los denominadores son los números de conteo del 1 al 5. Patrón: 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 Los términos generales son: 1 n La suma en notación de sumatoria es: ∑ n = 1 5 1 n La práctica hace la perfección Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma. Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243 Objetivo 2: Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3) Suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética La suma, S n , de los primeros n términos de una secuencia aritmética es S n = n 2 ( a 1 + a n ) donde a 1 es el primer término y a n es el enésimo término. Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. Ⓐ Calcule la suma de los 30 primeros términos de la secuencia aritmética: 0 0 0 0 0 Ⓑ Calcule la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n 5 . Ⓒ Calcule la suma ∑ i = 1 30 ( 6 i 4 ) Ⓐ Para calcular la suma de los 30 primeros términos, utilizamos la fórmula S n = n 2 ( a 1 + a n ) . Sabemos que a 1 = 7 , d = 3 , a n d n = 30 pero tenemos que hallar a 30 . Para hallar el 30.º término, utilice la fórmula con a 1 = 7 , d = 3 a n d n = 30 . a n = a 1 + ( n − 1 ) d Sustituya a 30 = 7 + ( 30 1 ) ( 3 ) Simplifique a 30 = 7 + ( 29 ) ( 8 ) a 30 = 7 + 232 a 30 = 239 Para hallar S 30 utilice la fórmula con a 1 = 7 , a 30 = 239 a n d n = 30 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 30 = 30 2 ( 7 + 239 ) S 30 = 15 ( 246 ) S 30 = 3690 Ⓑ Para la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n 5 . Debemos hallar a 1 y a 50 y sustituir en la fórmula. Calcule a 1 a n = 2 n 5 a 1 = 2 ( 1 ) 5 a 1 = 3 Calcule a 50 a n = 2 n 5 a 50 = 2 ( 50 ) 5 a 50 = 95 Luego calcule S 50 , utilice la fórmula con a 1 = 3 , a 50 = 95 y n = 50 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 50 = 50 2 ( 3 + 95 ) S 50 = 25 ( 92 ) S 50 = 2.300 Ⓒ ∑ i = 1 30 ( 6 i 4 ) significa calcular la suma de los 30 primeros términos de la secuencia cuyo término general es 6 i 4 . Debemos hallar a 1 y a 30 y sustituir en la fórmula. Calcule a 1 a i = 6 i 4 a 1 = 6 ( 1 ) 4 a 1 = 2 Calcule a 30 a i = 6 i 4 a 30 = 6 ( 30 ) 4 a 30 = 176 Luego calcule S 30 , utilice la fórmula con a 1 = 2 , a 30 = 176 a n d n = 30 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 30 = 30 2 ( 2 + 176 ) S 30 = 15 ( 178 ) S 30 = 2630 La práctica hace la perfección Calcule la suma de los 30 primeros términos de la secuencia aritmética: 16, 10, 4, –2, –8, … Calcule la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n + 7 . Calcule la suma: ∑ i = 1 30 ( 7 i 5 ) Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos. Usar la notación de sumatoria Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie . Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente. 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... La suma parcial a la n de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación S n representa la suma parcial. S 1 = 3 S 2 = 3 + 7 = 10 S 3 = 3 + 7 + 11 = 21 S 4 = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma , Σ , para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria . El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria , que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria , es el número utilizado para generar el último término de una serie. Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie a k = 2 k para k = 1 hasta k = 5. Podemos empezar con la sustitución de los términos de k y enumerar los términos de esta serie. a 1 = 2 ( 1 ) = 2 a 2 = 2 ( 2 ) = 4 a 3 = 2 ( 3 ) = 6 a 4 = 2 ( 4 ) = 8 a 5 = 2 ( 5 ) = 10 Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos: ∑ k = 1 5 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 Notación de sumatoria La suma de los primeros n términos de una serie se puede expresar en notación de sumatoria de la siguiente forma: ∑ k = 1 n a k Esta notación nos dice que hay que calcular la suma de a k a partir de k = 1 con k = n . k se denomina índice de sumatoria , 1 es el límite inferior de sumatoria y n es el límite superior de sumatoria . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El límite inferior de sumatoria tiene que ser 1? No. El límite inferior de sumatoria puede ser cualquier número, pero con frecuencia se utiliza el 1. Veremos ejemplos con límites inferiores de sumatoria distintos de 1. Cómo Dada la notación de sumatoria de una serie, evalúe el valor. Identifique el límite inferior de sumatoria. Identifique el límite superior de sumatoria. Sustituya cada valor de k del límite inferior al superior en la fórmula. Sume para obtener la suma. Usar la notación de sumatoria Evalúe ∑ k = 3 7 k 2 . Según la notación, el límite inferior de sumatoria es 3 y el límite superior es 7. Así que tenemos que calcular la suma de k 2 a partir de k = 3 con k = 7. Hallamos los términos de la serie al sustituir k = 3 , 4 , 5 , 6 , y 7 en la función k 2 . Sumamos los términos para calcular la suma. ∑ k = 3 7 k 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135 Ejercicio Evalúe ∑ k = 2 5 ( 3 k – 1 ) . 38 Usar la fórmula de la serie aritmética Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común , d . La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética . Podemos escribir la suma de los primeros n términos de una serie aritmética como: S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ... + ( a n – d ) + a n . También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como S n = a n + ( a n – d ) + ( a n – 2 d ) + ... + ( a 1 + d ) + a 1 . Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros n términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros n términos de cualquier serie aritmética. S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ... + ( a n – d ) + a n + S n = a n + ( a n – d ) + ( a n – 2 d ) + ... + ( a 1 + d ) + a 1 2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ... + ( a 1 + a n ) Debido a que hay n términos en la serie, podemos simplificar esta suma a 2 S n = n ( a 1 + a n ) . Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética. S n = n ( a 1 + a n ) 2 Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética. Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética. La fórmula de la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética es S n = n ( a 1 + a n ) 2 Cómo Dados los términos de una serie aritmética, calcule la suma de los primeros n términos. Identifique a 1 y a n . Determine n . Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula S n = n ( a 1 + a n ) 2 . Simplifique para hallar S n . Hallar los primeros n términos de una serie aritmética Calcule la suma de cada serie aritmética. Ⓐ 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 Ⓑ 20 + 15 + 10 +…+ −50 Ⓒ ∑ k = 1 12 3 k - 8 Ⓐ Se nos da a 1 = 5 y a n = 32. Cuente el número de términos de la secuencia para hallar n = 10. Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 10 = 10 ( 5 + 32 ) 2 = 185 Ⓑ Se nos da a 1 = 20 y a n = − 50. Utilice la fórmula del término general de una secuencia aritmética para hallar n . a n = a 1 + ( n – 1 ) d − 50 = 20 + ( n – 1 ) ( - 5 ) − 70 = ( n – 1 ) ( - 5 ) 14 = n – 1 15 = n Sustituya los valores de a 1 , a n , n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 15 = 15 ( 20 − 50 ) 2 = − 225 Ⓒ Para hallar a 1 , sustituya k = 1 en la fórmula explícita dada. a k = 3 k - 8 a 1 = 3 ( 1 ) - 8 = - 5 Se nos da que n = 12. Para hallar a 12 , sustituya k = 12 en la fórmula explícita dada. a k = 3 k - 8 a 12 = 3 ( 12 ) - 8 = 28 Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 12 = 12 ( - 5 + 28 ) 2 = 138 Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética. Ejercicio 1 0,4 + 1 0,6 + 1 0,8 + 2 0,0 + 2 0,2 + 2 0,4 + 2 0,6 + 2 0,8 + 3 0,0 + 3 0,2 + 3 0,4 26 0,4 Ejercicio 13 + 21 + 29 + … + 69 328 Ejercicio ∑ k = 1 10 5 − 6 k − 280 Resolver problemas de aplicación con serie aritmética El domingo después de una cirugía menor, una mujer es capaz de caminar media milla. Cada domingo, camina un cuarto de milla más. Después de 8 semanas, ¿cuál será el número total de millas que habrá caminado? Este problema se puede modelar mediante una serie aritmética con a 1 = 1 2 y d = 1 4 . Buscamos el número total de millas caminadas después de 8 semanas, por lo que sabemos que n = 8 , y buscamos S 8 . Para hallar a 8 , podemos utilizar la fórmula explícita de una secuencia aritmética. a n = a 1 + d ( n – 1 ) a 8 = 1 2 + 1 4 ( 8 - 1 ) = 9 4 Ahora podemos utilizar la fórmula de la serie aritmética. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 8 = 8 ( 1 2 + 9 4 ) 2 = 11 Habrá caminado un total de 11 millas. Ejercicio Un hombre gana 100 dólares en la primera semana de junio. Cada semana gana 12,50 dólares más que la semana anterior. Después de 12 semanas, ¿cuánto ha ganado? $ 2.025 Usar la fórmula de la serie geométrica Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica . Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común , r . Podemos escribir la suma de los primeros n términos de una serie geométrica como S n = a 1 + r a 1 + r 2 a 1 + ... + r n – 1 a 1 . Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por r . r S n = r a 1 + r 2 a 1 + r 3 a 1 + ... + r n a 1 Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original. S n = a 1 + r a 1 + r 2 a 1 + ... + r n – 1 a 1 - r S n = - ( r a 1 + r 2 a 1 + r 3 a 1 + ... + r n a 1 ) ( 1 - r ) S n = a 1 - r n a 1 Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para S n , divida ambos lados entre ( 1 - r ) . S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r r ≠ 1 Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética. Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. La fórmula de la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica se representa como S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r r ≠ 1 Cómo Dada una serie geométrica, calcule la suma de los primeros n términos. Identifique a 1 , r , y n . Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula S n = a 1 ( 1 – r n ) 1 – r . Simplifique para hallar S n . Hallar los primeros n términos de una serie geométrica Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica. Ⓐ S 11 para la serie 8 + –4 + 2 + … Ⓑ ∑  k = 1 6 3 ⋅ 2 k Ⓐ a 1 = 8 , y se nos da que n = 11. Podemos hallar r al dividir el segundo término de la serie entre el primero. r = – 4 8 = - 1 2 Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 11 = 8 ( 1 - ( - 1 2 ) 11 ) 1 - ( - 1 2 ) ≈ 5,336 Ⓑ Calcule a 1 sustituyendo k = 1 en la fórmula explícita dada. a 1 = 3 ⋅ 2 1 = 6 De la fórmula explícita dada podemos ver que r = 2. El límite superior de sumatoria es 6, por lo que n = 6. Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 6 = 6 ( 1 - 2 6 ) 1 - 2 = 378 Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica. Ejercicio S 20 para la serie 1.000 + 500 + 250 + … ≈ 2 , 000,00 Ejercicio ∑ k = 1 8 3 k 9.840 Resolver un problema de aplicación con una serie geométrica En un nuevo trabajo, el salario inicial de un empleado es de 26.750 dólares. Recibe un aumento anual del 1,6 %. Calcule sus ganancias totales al cabo de 5 años. El problema se puede representar mediante una serie geométrica con a 1 = 26.750 ; n = 5 ; y r = 1.016. Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique para calcular la cantidad total ganada al cabo de 5 años. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 5 = 26.750 ( 1 − 1.016 5 ) 1 − 1.016 ≈ 138.099,03 Al cabo de 5 años habrá ganado un total de 138.099,03 dólares. Ejercicio En un nuevo trabajo, el salario inicial de una empleada es de 32.100 dólares. Recibe un aumento anual del 2 %. ¿Cuánto habrá ganado al cabo de 8 años? $ 275.513,31 Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros n . Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es 2 + 4 + 6 + 8 + ... Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como ∑ k = 1 ∞ 2 k , donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge . Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0. 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 + ... La razón común r = 0 ,2 . A medida que n se hace muy grande, los valores de r n se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con − 1 < r < 1 se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando − 1 < r < 1. Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida La suma de una serie infinita está definida si la serie es geométrica y − 1 < r < 1. Cómo Dados los primeros términos de una serie infinita, determine si la suma de la serie existe. Calcule la razón entre el segundo término y el primero. Calcule la razón entre el tercer término y el segundo. Continúe este proceso para asegurarse de que la razón entre un término y el anterior es constante en todo momento. Si es así, la serie es geométrica. Si una razón común, r , se calculó en el paso 3, compruebe si − 1 < r < 1 . Si es así, la suma está definida. Si no es así, la suma no está definida. Determinar si la suma de una serie infinita está definida Determine si la suma de cada serie infinita está definida. Ⓐ 12 + 8 + 4 + … Ⓑ 3 4 + 1 2 + 1 3 + ... Ⓒ ∑ k = 1 ∞ 27 ⋅ ( 1 3 ) k Ⓓ ∑ k = 1 ∞ 5 k Ⓐ La razón entre el segundo término y el primero es 2 3 , que no es lo mismo que la razón entre el tercer término y el segundo, 1 2 . La serie no es geométrica. Ⓑ La razón entre el segundo término y el primero es la misma que la razón entre el tercer término y el segundo. La serie es geométrica con una razón común de 2 3 . La suma de la serie infinita está definida. Ⓒ La fórmula dada es exponencial con una base de 1 3 ; la serie es geométrica con una razón común de 1 3 . La suma de la serie infinita está definida. Ⓓ La fórmula dada no es exponencial; la serie no es geométrica porque los términos son crecientes, por lo que no puede producir una suma finita. Determine si la suma de la serie infinita está definida. Ejercicio 1 3 + 1 2 + 3 4 + 9 8 + ... La suma no está definida. Ejercicio 24 + ( −12 ) + 6 + ( −3 ) + ... La suma de las series infinitas está definida. Ejercicio ∑ k = 1 ∞ 15 ⋅ ( – 0,3 ) k La suma de la serie infinita está definida. Calcular sumas de series infinitas Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r Examinaremos una serie infinita con r = 1 2 . ¿Qué pasa con r n a medida que n aumenta? ( 1 2 ) 2 = 1 4 ( 1 2 ) 3 = 1 8 ( 1 2 ) 4 = 1 16 El valor de r n disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de n ? ( 1 2 ) 10 = 1 1 , 024 ( 1 2 ) 20 = 1 1 , 048 , 576 ( 1 2 ) 30 = 1 1 , 073 , 741 , 824 A medida que n se hace muy grande, r n se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que n aumenta sin límites, r n se acerca a 0. A medida que r n se acerca a 0, 1 - r n se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a a 1 . Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita. Fórmula de la suma de una serie geométrica infinita La fórmula de la suma de una serie geométrica infinita con −1 < r < 1 es S = a 1 1 - r Cómo Dada una serie geométrica infinita, calcule su suma. Identifique a 1 y r . Confirme que – 1 < r < 1. Sustituya los valores de a 1 y r en la fórmula, S = a 1 1 - r . Simplifique para hallar S . Calcular la suma de una serie geométrica infinita Calcule la suma, si existe, para lo siguiente: Ⓐ 10 + 9 + 8 + 7 + … Ⓑ 248,6 + 99,44 + 39,776 + … Ⓒ ∑ k = 1 ∞ 4 , 374 ⋅ ( – 1 3 ) k – 1 Ⓓ ∑ k = 1 ∞ 1 9 ⋅ ( 4 3 ) k Ⓐ No hay una razón constante; la serie no es geométrica. Ⓑ Hay una razón constante; la serie es geométrica. a 1 = 248,6 y r = 99,44 248,6 = 0,4 , por lo que la suma existe. Sustituya a 1 = 248,6 y r = 0,4 en la fórmula y simplifique para calcular la suma: S = a 1 1 - r S = 248,6 1 − 0,4 = 414, 3 ¯ Ⓒ La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica con r = – 1 3 . Halle a 1 sustituyendo k = 1 en la fórmula explícita dada: a 1 = 4 , 374 ⋅ ( – 1 3 ) 1 – 1 = 4 , 374 Sustituya a 1 = 4 , 374 y r = - 1 3 en la fórmula y simplifique para calcular la suma: S = a 1 1 - r S = 4 , 374 1 - ( - 1 3 ) = 3 , 280,5 Ⓓ La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica, pero r > 1. La suma no existe. Hallar una fracción equivalente para un decimal repetido Halle una fracción equivalente para el decimal repetido 0, 3 ¯ Nos fijamos en la repetición del decimal 0, 3 ¯ = 0,333... por lo que podemos reescribir el decimal repetido como una suma de términos. 0, 3 ¯ = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... Para identificar un patrón, reescribimos la suma y observamos que vemos el primer término multiplicado por 0,1 en el segundo término, y el segundo término multiplicado por 0,1 en el tercer término. Observe el patrón; multiplicamos cada término consecutivo por una razón común de 0,1 empezando por el primer término de 0,3. Así que, al sustituir en nuestra fórmula para una suma geométrica infinita, tenemos S n = a 1 1 - r = 0,3 1 − 0,1 = 0,3 0,9 = 1 3 . Calcule la suma, si existe. Ejercicio 2 + 2 3 + 2 9 + ... 3 Ejercicio ∑ k = 1 ∞ 0,76 k + 1 La serie no es geométrica. Ejercicio ∑ k = 1 ∞ ( - 3 8 ) k - 3 11 Solución para problemas de anualidades Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses. Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con a 1 = 50 y r = 100,5 % = 1,005. Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos. Podemos calcular el valor de la anualidad después de n depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que n = 72. Podemos sustituir a 1 = 50 , r = 1,005 , y n = 72 en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años. S 72 = 50 ( 1 − 1,005 72 ) 1 − 1,005 ≈ 4.320,44 Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de 72(50) = $3.600 . Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario. Cómo Dado un depósito inicial y una tasa de interés, calcule el valor de una anualidad. Determine a 1 , el valor del depósito inicial. Determine n , el número de depósitos. Determine r . Divida la tasa de interés anual entre el número de veces al año que se componen los intereses. Sume 1 a esta cantidad para hallar r . Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica, S n = a 1 ( 1 – r n ) 1 – r . Simplifique para hallar S n , el valor de la anualidad después de n depósitos. Resolver un problema de anualidades Al principio de cada mes se depositan 100 dólares en un fondo universitario durante 10 años. El fondo gana el 9 % de interés anual calculado mensualmente y se paga a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta justo después del último depósito? El valor del depósito inicial es de 100 dólares, por lo que a 1 = 100. En total se realizan 120 depósitos mensuales durante los 10 años, por lo que n = 120. Para hallar r , divida la tasa de interés anual entre 12 para calcular la tasa de interés mensual y añada 1 para representar el nuevo depósito mensual. r = 1 + 0,09 12 = 1,0075 Sustituya a 1 = 100 , r = 1,0075 , y n = 120 en la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica y simplifique para calcular el valor de la anualidad. S 120 = 100 ( 1 − 1,0075 120 ) 1 − 1,0075 ≈ 19.351,43 Por lo que la cuenta tiene 19.351,43 dólares después de hacer el último depósito. Ejercicio Al principio de cada mes, se depositan 200 dólares en un fondo de jubilación. El fondo gana un interés anual del 6 % calculado mensualmente y se ingresa en la cuenta a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta si se hacen depósitos durante 10 años? $ 32.775,87 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las series. Serie aritmética Serie geométrica Notación de sumatoria Ecuaciones clave suma de los primeros n términos de una serie aritmética S n = n ( a 1 + a n ) 2 suma de los primeros n términos de una serie geométrica S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r , r ≠ 1 suma de una serie geométrica infinita con – 1 < r < 1 S n = a 1 1 - r , r ≠ 1 Conceptos clave La suma de los términos de una secuencia se llama serie. Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el . La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. La suma de los primeros n términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el . La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. La suma de los primeros n términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el . La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con -1 < r < 1. Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el , el y el . Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una suma parcial a la n enésimo ? Una suma parcial a la n enésimo es la suma de los primeros n de una secuencia. ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una serie aritmética? ¿Qué es una serie geométrica? Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. ¿En qué se diferencia calcular la suma de una serie geométrica infinita de calcular la suma parcial a la n enésimo ? ¿Qué es una anualidad? Una anualidad es una serie de pagos regulares iguales que ganan un interés compuesto constante. Algebraicos En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria. La suma de términos m 2 + 3 m a partir de m = 1 con m = 5 La suma de n = 0 a n = 4 de 5 n ∑ n = 0 4 5 n La suma de 6 k − 5 a partir de k = - 2 con k = 1 La suma que resulta de sumar el número 4 cinco veces ∑ k = 1 5 4 En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria. 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 10 + 18 + 26 + … + 162 ∑ k = 1 20 8 k + 2 1 2 + 1 + 3 2 + 2 + … + 4 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de cada secuencia aritmética. 3 2 + 2 + 5 2 + 3 + 7 2 S 5 = 5 ( 3 2 + 7 2 ) 2 19 + 25 + 31 + … + 73 3,2 + 3,4 + 3,6 + … + 5,6 S 13 = 13 ( 3,2 + 5,6 ) 2 En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 8 + 4 + 2 + … + 0,125 ∑ k = 1 7 8 ⋅ 0,5 k - 1 - 1 6 + 1 12 − 1 24 + … + 1 768 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada. 9 + 3 + 1 + 1 3 + 1 9 S 5 = 9 ( 1 - ( 1 3 ) 5 ) 1 - 1 3 = 121 9 ≈ 13,44 ∑ n = 1 9 5 ⋅ 2 n – 1 ∑ a = 1 11 64 ⋅ 0,2 a - 1 S 11 = 64 ( 1 − 0,2 11 ) 1 − 0,2 = 781 , 249 , 984 9 , 765 , 625 ≈ 80 En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo. 12 + 18 + 24 + 30 + ... 2 + 1,6 + 1,28 + 1,024 + ... La serie está definida. S = 2 1 - 0,8 ∑ m = 1 ∞ 4 m - 1 ∑  ∞ k = 1 - ( - 1 2 ) k - 1 La serie está definida. S = - 1 1 - ( - 1 2 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior. Grafique la secuencia aritmética que muestra un año de depósitos de Javier. Grafique la serie aritmética que muestra las sumas mensuales de un año de los depósitos de Javier. En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 ) k . Grafique las 7 primeras sumas parciales de la serie. ¿A qué número S n parece acercarse en el gráfico? Calcule la suma para explicar por qué esto tiene sentido. Ejemplo de respuesta: El gráfico de S n parece acercarse al 1. Esto tiene sentido porque ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 ) k es una serie geométrica infinita definida con S = 1 2 1 – ( 1 2 ) = 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada. ∑ a = 1 14 a ∑ n = 1 6 n ( n – 2 ) 49 ∑ k = 1 17 k 2 ∑ k = 1 7 2 k 254 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética para calcular la suma. − 1,7 + − 0,4 + 0,9 + 2,2 + 3,5 + 4,8 6 + 15 2 + 9 + 21 2 + 12 + 27 2 + 15 S 7 = 147 2 - 1 + 3 + 7 + ... + 31 ∑ k = 1 11 ( k 2 – 1 2 ) S 11 = 55 2 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial. S 6 para la serie − 2 - 10 − 50 − 250 S 7 para la serie 0,4 − 2 + 10 − 50... S 7 = 5208,4 ∑ k = 1 9 2 k - 1 ∑ n = 1 10 - 2 ⋅ ( 1 2 ) n – 1 S 10 = − 1.023 256 En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas. 4 + 2 + 1 + 1 2 ... - 1 - 1 4 - 1 16 − 1 64 ... S = – 4 3 ∑  ∞ k = 1 3 ⋅ ( 1 4 ) k - 1 ∑ n = 1 ∞ 4,6 ⋅ 0,5 n – 1 S = 9,2 En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés. Cantidad del depósito: $ 50 ; depósitos totales: 60 ; tasa de interés: 5 % , calculado mensualmente Cantidad del depósito: $ 150 ; depósitos totales: 24 ; tasa de interés: 3 % , calculado mensualmente $ 3.705,42 Cantidad del depósito: $ 450 ; depósitos totales: 60 ; tasa de interés: 4,5 % , calculado trimestralmente Cantidad del depósito: $ 100 ; depósitos totales: 120 ; tasa de interés: 10 % , calculado semestralmente $ 695.823,97 Extensiones La suma de términos 50 − k 2 a partir de k = x hasta 7 es 115. ¿Qué es x ? Escriba una fórmula explícita para a k de forma que ∑ k = 0 6 a k = 189. Supongamos que se trata de una serie aritmética. a k = 30 − k Calcule el menor valor de n de forma que ∑ k = 1 n ( 3 k – 5 ) > 100. ¿Cuántos términos hay que añadir para que la serie − 1 - 3 - 5 − 7 .... tenga una suma inferior a − 75 ? 9 términos Escriba 0, 65 ¯ como una serie geométrica infinita utilizando la notación de sumatoria. Luego, utilice la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica infinita para convertir 0, 65 ¯ a una fracción. La suma de una serie geométrica infinita es cinco veces el valor del primer término. ¿Cuál es la razón común de la serie? r = 4 5 Para conseguir los mejores tipos de préstamo disponibles, la familia Coleman quiere ahorrar suficiente dinero para dar un 20 % de inicial para una casa de 160.000 dólares. Planean hacer depósitos mensuales de 125 dólares en una cuenta de inversión que ofrece un 8,5 % de interés anual calculado semestralmente. ¿Tendrán los Coleman lo suficiente para un 20 % de pago inicial después de cinco años de ahorro? ¿Cuánto dinero habrán ahorrado? Karl tiene dos años para ahorrar $ 10 . 000 para comprar un auto usado cuando se gradúe. Al dólar más cercano, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos mensuales si invierte en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 4,2 % que se calcula mensualmente? 400 dólares al mes Aplicaciones en el mundo real Keisha ideó un plan de estudio de una semana para prepararse para los finales. El primer día, tiene previsto estudiar durante 1 hora, y cada día sucesivo aumentará su tiempo de estudio en 30 minutos. ¿Cuántas horas habrá estudiado Keisha después de una semana? Una roca rodó por una montaña y se movió 6 pies en el primer segundo. Cada segundo sucesivo su distancia aumentaba en 8 pies. ¿Qué distancia recorrió la roca después de 10 segundos? 420 pies Un científico coloca 50 células en una placa de Petri. Cada hora la población aumenta un 1,5 % . ¿Cuál será el recuento de células después de 1 día? Un péndulo recorre una distancia de 3 pies en su primera oscilación. En cada oscilación sucesiva recorre 3 4 de la distancia de la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el péndulo cuando deja de oscilar? 12 pies Rachael deposita cada año 1.500 dólares en un fondo de pensiones. El fondo gana el 8,2 % de interés anual calculado mensualmente. Si abrió su cuenta a los 19 años, ¿cuánto tendrá a los 55? ¿Qué parte de esa cantidad serán los intereses ganados? anualidad una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales serie aritmética la suma de los términos de una secuencia aritmética divergir se dice que una serie diverge si la suma no es un número real serie geométrica la suma de los términos de una secuencia geométrica índice de sumatoria en notación de sumatoria, la variable utilizada en la fórmula explícita de los términos de una serie y escrita debajo del sigma con el límite inferior de la sumatoria serie infinita la suma de los términos de una secuencia infinita límite inferior de sumatoria el número utilizado en la fórmula explícita para calcular el primer término de una serie suma parcial a la n la suma de los primeros n términos de una secuencia serie la suma de los términos de una secuencia notación de sumatoria una notación para series que utiliza la letra griega sigma; incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie límite superior de sumatoria el número utilizado en la fórmula explícita para calcular el último término de una serie

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