Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas Las dos muestras independientes son simples muestras aleatorias de dos poblaciones distintas. Para las dos poblaciones distintas si los tamaños de las muestras son pequeños, las distribuciones son importantes (deben ser normales) si los tamaños de las muestras son grandes, las distribuciones no son importantes (no tienen por qué ser normales) NOTA La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin Welch desarrolló la fórmula de los grados de libertad. La comparación de dos medias poblacionales es muy común. La diferencia entre las dos muestras depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. Para tener en cuenta la variación, tomamos la diferencia de las medias de la muestra, X ¯ 1 – X ¯ 2 , y dividimos entre el error estándar para normalizar la diferencia. El resultado es un estadístico de prueba de puntuación t. Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar , de la diferencia de las medias muestrales , X ¯ 1 – X ¯ 2 . El error estándar es: ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación t ) se calcula como sigue: ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 donde: s 1 y s 2 , las desviaciones típicas de la muestra, son estimaciones de σ 1 y σ 2 , respectivamente. σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas desconocidas de la población. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. El número de grados de libertad ( df ) requiere un cálculo algo complicado. Sin embargo, la computadora o la calculadora lo calculan fácilmente. Los df no son siempre un número entero. El estadístico de prueba calculado anteriormente se determina aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera: Grados de libertad d e = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 - 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 Cuando los tamaños de las muestras n 1 y n 2 son cinco o más, la aproximación t de Student es bastante apropiada. Observe que las varianzas muestrales ( s 1 ) 2 y ( s 2 ) 2 no están agrupadas. (Si se plantea la cuestión, no agrupe las varianzas). NOTA No es necesario calcularlo a mano. La calculadora o la computadoras lo harán fácilmente. Grupos independientes Se cree que el promedio de tiempo que los niños y niñas de entre siete y once años practican deportes cada día es la misma. Se hace un estudio y se recopilan datos, lo que da como resultado los datos en la . Cada población tiene una distribución normal. Tamaño de la muestra Promedio de horas de práctica deportiva al día Desviación típica de la muestra Niñas 9 2 0,866 Niños 16 3,2 1,00 ¿Hay diferencia en la media de tiempo que los niños y las niñas de 7 a 11 años practican deportes cada día? Prueba al nivel de significación del 5%. No se conocen las desviaciones típicas de la población. Sea g el subíndice de las niñas y b el de los niños. Entonces, μ g es la media poblacional de las chicas y μ b es la de los niños. Se trata de una prueba de dos grupos independientes y dos medias poblacionales . Variable aleatoria : X ¯ g – X ¯ b = diferencia en la media muestral de tiempo que las niñas y los niños practican deportes cada día. H 0 : μ g = μ b H 0 : μ g – μ b = 0 H a : μ g ≠ μ b H a : μ g – μ b ≠ 0 Las palabras “igual que” le dicen que H 0 tiene un “=”. Ya que no hay otras palabras que indiquen H a , asumamos que dice: "es diferente". Esta es una prueba de dos colas. Distribución para la prueba: Utilice t df donde df se calcula con la fórmula df para grupos independientes, dos medias poblacionales. Con el empleo de la calculadora, los df son aproximadamente 18,8462. No agrupe las varianzas. Calcule el valor p con la distribución t de Student: valor p = 0,0054 Gráfico: s g = 0,866 s b = 1 Así que, x ¯ g – x ¯ b = 2 – 3.2 = –1.2 La mitad del valor p es inferior a -1,2 y la otra mitad es superior a 1,2. Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ g = μ b . Las medias son diferentes. Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 4:2-SampTTest . Flecha hacia STATS y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e ingrese 2 para la primera media muestral, 0,866 para Sx1, 9 para n1, 3,2 para la segunda media muestral, 1 para Sx2, y 16 para n2. Flecha hacia abajo a μ1: y flecha a no es igual a μ2. Pulse ENTER . Flecha hacia abajo a Pooled: y No . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,0054, los dfs son aproximadamente 18,8462 y el estadístico de prueba es -3,14. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate (Calcular) ejecute Draw (Dibujar). Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra indican que hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas que las niñas y los niños de siete a once años practican deportes al día es diferente (la media de horas que los niños de siete a once años practican deportes al día es mayor que el de las niñas practican O la media de horas que las niñas de siete a once años practican deportes al día es mayor que el de los niños). Ejercicio En la se indican dos muestras. Ambas tienen distribuciones normales. Se cree que las medias de las dos poblaciones son las mismas. ¿Hay alguna diferencia en las medias? Prueba al nivel de significación del 5 %. Tamaño de la muestra Media muestral Desviación típica de la muestra Población A 25 5 1 Población B 16 4,7 1,2 NOTA Cuando la suma de los tamaños de las muestras es mayor que 30 ( n 1 + n 2 > 30), se puede utilizar la distribución normal para calcular aproximadamente la t de Student. Un grupo comunitario realiza un estudio en dos institutos universitarios vecinos para determinar cuál de ellos gradúa a los estudiantes con más clases de Matemáticas. La universidad A toma una muestra de 11 graduados. Su promedio es de cuatro clases de Matemáticas con desviación típica de 1,5. La universidad B toma una muestra de nueve graduados. Su promedio es de 3,5 clases de Matemáticas con desviación típica de una clase de Matemáticas. El grupo comunitario cree que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario A ha tomado más clases de Matemáticas, en promedio. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Responda las siguientes preguntas: a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? a. dos medias b. ¿Las desviaciones típicas de las poblaciones son conocidas o desconocidas? b. desconocidas c. ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? c. t de Student. d. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. X ¯ A – X ¯ B e. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. e H o : μ A ≤ μ B H a : μ A > μ B f. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. derecha g. ¿Cuál es el valor p ? g. 0,1928 h. ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? h. No rechazar. i. Conclusión: i. Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario A haya tomado más clases de Matemáticas, en promedio, que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario B. Ejercicio Se realiza un estudio para determinar si la compañía A retiene a sus trabajadores más tiempo que la compañía B. La compañía A toma una muestra de 15 trabajadores, y su tiempo promedio en la compañía es de cinco años con desviación típica de 1,2. La compañía B cuenta con una muestra de 20 trabajadores, cuyo promedio de antigüedad en la compañía es de 4,5 años con desviación típica de 0,8. Las poblaciones se distribuyen normalmente. ¿Se conocen las desviaciones típicas de la población? Realice una prueba de hipótesis apropiada. A un nivel de significación del 5 %, ¿cuál es su conclusión? Un profesor de una gran universidad comunitaria quería determinar si existe una diferencia en las medias de las puntuaciones de los exámenes finales entre los estudiantes que tomaron su curso de estadística en línea y los que tomaron la clase presencial. Creía que la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea sería inferior a la de la clase presencial. ¿Estaba en lo correcto el profesor? Las 30 puntuaciones de los exámenes finales de cada grupo, seleccionadas al azar, figuran en la y la . Clase en línea 67,6 41,2 85,3 55,9 82,4 91,2 73,5 94,1 64,7 64,7 70,6 38,2 61,8 88,2 70,6 58,8 91,2 73,5 82,4 35,5 94,1 88,2 64,7 55,9 88,2 97,1 85,3 61,8 79,4 79,4 Clase presencial 77,9 95,3 81,2 74,1 98,8 88,2 85,9 92,9 87,1 88,2 69,4 57,6 69,4 67,1 97,6 85,9 88,2 91,8 78,8 71,8 98,8 61,2 92,9 90,6 97,6 100 95,3 83,5 92,9 89,4 ¿Es la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea inferior a la media de clase presencial? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Responda a las siguientes preguntas: ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? ¿Las desviaciones típicas de la población son conocidas o desconocidas? ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. ¿Esta prueba es a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, ______ (es/no es) evidencia suficiente para concluir que ______. (Vea la conclusión en el , y escriba la suya de forma similar). Primero ponga los datos de cada grupo en dos listas (como L1 y L2). Pulse STAT. Flecha hacia TESTS y pulse 4:2SampTTest. Asegúrese de que Data (Datos) esté resaltado y pulse ENTER. Flecha hacia abajo; introduzca L1 para la primera lista y L2 para la segunda. Desplace la flecha hacia abajo hasta μ 1 : y la flecha hacia < μ 2 (menos que). Pulse ENTER. Flecha hacia abajo a Pooled: No. Pulse ENTER. Flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular); pulse ENTER. Nota: ¡No mezcle la información del Grupo 1 y del Grupo 2! dos medias desconocido t de Student. X ¯ 1 – X ¯ 2 H 0 : μ 1 = μ 2 Hipótesis nula: las medias de las puntuaciones de los exámenes finales son iguales para las clases de estadística en línea y presenciales. H a : μ 1 < μ 2 Hipótesis alternativa: la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea es menor que la de la clase presencial. cola izquierda valor p = 0,0011 Rechace la hipótesis nula. El profesor estaba en lo correcto. Las pruebas revelan que la media de las puntuaciones de los exámenes finales de la clase en línea es inferior a la de la clase presencial. Al nivel de significación del 5 % , a partir de los datos de la muestra, hay (hay/no hay) pruebas suficientes para concluir que la media de las puntuaciones de los exámenes finales de la clase en línea es menor que la de la clase presencial. Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto con base en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande. Tamaños de los efectos de los criterios de Cohen Tamaño del efecto d Pequeño 0,2 Mediano 0,5 Grande 0,8 La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 - 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Calcule la d de Cohen para el . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. μ 1 = 4 s 1 = 1.5 n 1 = 11 μ 2 = 3.5 s 2 = 1 n 2 = 9 d = 0.384 El efecto es pequeño porque 0,384 está entre el valor de Cohen de 0,2 para un tamaño de efecto pequeño y 0,5 para un tamaño de efecto mediano. El tamaño de las diferencias de las medias de las dos universidades es pequeño, lo que indica que no hay ninguna diferencia significativa entre estas. Calcule la d de Cohen para el . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. d = 0,834; grande, porque 0,834 es mayor que el 0,8 de Cohen para un tamaño de efecto grande. El tamaño de las diferencias entre las medias de las puntuaciones de los exámenes finales de los estudiantes en línea y los estudiantes en la clase presencial es grande, lo que indica una diferencia significativa. Ejercicio El alfa ponderado es una medida del rendimiento ajustado al riesgo de las acciones durante un periodo de un año. Un alfa ponderado positivo alto significa una acción cuyo precio ha subido, mientras que un alfa ponderado positivo pequeño indica un precio de la acción sin cambios durante el periodo. El alfa ponderado se utiliza para identificar compañías con fuertes tendencias al alza o a la baja. El alfa ponderado de los 30 principales títulos valores de los bancos del noreste y del oeste identificados por el Nasdaq el 24 de mayo de 2013 figura en la y la , respectivamente. Noreste 94,2 75,2 69,6 52,0 48,0 41,9 36,4 33,4 31,5 27,6 77,3 71,9 67,5 50,6 46,2 38,4 35,2 33,0 28,7 26,5 76,3 71,7 56,3 48,7 43,2 37,6 33,7 31,8 28,5 26,0 Oeste 126,0 70,6 65,2 51,4 45,5 37,0 33,0 29,6 23,7 22,6 116,1 70,6 58,2 51,2 43,2 36,0 31,4 28,7 23,5 21,6 78,2 68,2 55,6 50,3 39,0 34,1 31,0 25,3 23,4 21,5 ¿Existe alguna diferencia en el alfa ponderado de los 30 principales títulos valores de los bancos del noreste y del oeste? Pruebe a un nivel de significación del 5 %. Responda las siguientes preguntas: ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? ¿Las desviaciones típicas de la población son conocidas o desconocidas? ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. ¿Esta prueba es a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, ______ (es/no es) evidencia suficiente para concluir que ______. Calcule la d de Cohen e interprétela. Referencias Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com Datos de Microsoft Bookshelf . Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013). “Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013). “Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013). “Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013). “Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población. Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = la diferencia de las medias muestrales Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar). Repaso de la fórmula Error estándar: SE = ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Estadístico de prueba (puntuación t ): t = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Grados de libertad: d e = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 donde: s 1 y s 2 son las desviaciones típicas de la muestra, n 1 y n 2 son los tamaños de la muestra. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para: medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se cree que el 70 % de los hombres aprueban el examen de conducir en el primer intento, comparado con el 65 % de las mujeres. Nos interesa saber si las proporciones son realmente iguales. dos proporciones Se prueba un nuevo detergente para la ropa en consumidores. Nos interesa la proporción de consumidores que prefieren la nueva marca sobre el competidor principal. Se realiza un experimento para comprobarlo. Un nuevo tratamiento para parabrisas pretende repeler el agua con mayor eficacia. Se prueban diez parabrisas simulando lluvia sin el nuevo tratamiento. A continuación, se tratan los mismos parabrisas y se repite el experimento. Se realiza una prueba de hipótesis. muestras coincidentes o emparejadas La desviación típica conocida del salario de todos los profesionales de nivel intermedio en el sector financiero es de 11.000 dólares. La compañía A y la compañía B pertenecen al sector financiero. Supongamos que se toman muestras de profesionales de nivel intermedio en las compañías A y B. El salario en la media muestral de los profesionales de nivel intermedio en la compañía A es de 80.000 dólares. El salario medio de la muestra para los profesionales de nivel intermedio en la compañía B es de 96.000 dólares. Las gerencias de las compañías A y B quieren saber si la remuneración de sus profesionales de nivel intermedio es diferente, en promedio. El trabajador promedio en Alemania cuenta con ocho semanas de vacaciones remuneradas. media sencilla Según un anuncio de televisión, el 80 % de los dentistas coinciden en que la pasta de dientes Ultrafresh es la mejor en el mercado. Se cree que el promedio de calificación en un ensayo en inglés en un sistema escolar concreto es más alto en las mujeres que en los hombres. La muestra aleatoria de 31 mujeres obtuvo una puntuación media de 82 con desviación típica de tres, mientras que la muestra aleatoria de 25 hombres obtuvo una puntuación media de 76 con desviación típica de cuatro. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas El promedio de bateo de la liga es de 0,280 con desviación típica conocida de 0,06. Los Rattlers y los Vikingos pertenecen a la liga. El promedio de bateo de una muestra de ocho jugadores de los Rattlers es de 0,210, mientras que el de los Vikingos es de 0,260. Hay 24 jugadores en el equipo de los Rattlers y 19 en el de los Vikingos. ¿Es el promedio de bateo de los Rattlers y de los Vikingos estadísticamente diferente? En una muestra aleatoria de 100 bosques en Estados Unidos, 56 eran de coníferas o contenían coníferas. En una muestra aleatoria de 80 bosques en México, 40 eran de coníferas o contenían coníferas. ¿La proporción de coníferas en Estados Unidos es estadísticamente mayor que en México? dos proporciones Se dice que un nuevo medicamento mejora el sueño. Se elige a ocho personas al azar y se les suministra el medicamento. Se registraron las horas medias de sueño de cada persona antes y después de comenzar la medicación. Se cree que los adolescentes duermen más que los adultos en promedio. Se realiza un experimento para comprobarlo. Una muestra de 16 adolescentes tiene una media de 8,9 horas de sueño con desviación típica de 1,2. Una muestra de 12 adultos tiene una media de 6,9 horas de sueño con una desviación típica de 0,6. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Los atletas universitarios practican un promedio de cinco veces a la semana. Una muestra de 12 programas de posgrado en el estado de la escuela A tiene una matrícula media de 64.000 dólares con desviación típica de 8.000 dólares. En la escuela B, una muestra de 16 programas de posgrado en el estado tiene una media de 80.000 dólares con desviación típica de 6.000 dólares. En promedio, ¿son diferentes las matrículas medias? medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Se ofrece a los consumidores un nuevo amplificador de alcance de wifi. Un investigador prueba el alcance nativo de 12 enrutadores diferentes en las mismas condiciones. Los rangos se registran. A continuación, el investigador utiliza el nuevo amplificador de alcance de wifi y registra los nuevos alcances. ¿El nuevo amplificador de alcance de wifi funciona mejor? El director de un escuela secundaria afirma que el 30 % de los estudiantes atletas van en automóvil a la escuela, comparado con el 4% de los que no son atletas. En una muestra de 20 estudiantes atletas, el 45 % va en automóvil a la escuela. En una muestra de 35 estudiantes que no son atletas, el 6 % va en automóvil a la escuela. ¿Es mayor el porcentaje de estudiantes atletas que se desplazan en automóvil a la escuela que el de los estudiantes que no son atletas? dos proporciones Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. ¿Las desviaciones típicas son conocidas o desconocidas? ¿Cuál es la variable aleatoria? La variable aleatoria es la diferencia entre las cantidades medias de azúcar de las dos bebidas gaseosas. ¿Es una prueba de una o dos colas? Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? medias Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : __________ H a : __________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? dos colas En símbolos, ¿cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? En palabras, defina la variable aleatoria de interés para esta prueba. la diferencia entre la duración media de la vida de personas blancas y personas que no son blancas ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el . Se trata de una comparación de dos medias poblacionales con desviaciones típicas poblacionales desconocidas. Calcule el estadístico de la prueba y el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Etiquete el eje horizontal. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): Rechace la hipótesis nula. valor p < 0,05 No hay pruebas suficientes al nivel de significación del 5 % para respaldar la afirmación de que la esperanza de vida en la década de 1900 es diferente entre los blancos y los no blancos. ¿Parece que las medias son iguales? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el apéndice E . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro, se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. NOTA Si utiliza la distribución t de Student para un problema de tarea en lo que sigue, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente. (Sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar esa suposición). Se cree que el número medio de cursos de inglés que toman en un periodo de dos años los estudiantes universitarios hombres y mujeres es aproximadamente el mismo. Se realiza un experimento y se recopilan datos de 29 hombres y 16 mujeres. Los hombres tomaron tres cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 0,8. Las mujeres tomaron cuatro cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 1,0. ¿Son las medias estadísticamente iguales? Un estudiante de una universidad de cuatro años afirma que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años en Estados Unidos. Se realizan dos encuestas. De los 35 institutos universitarios de dos años encuestados la media de matriculación era de 5.068, con desviación típica de 4.777. De los 35 institutos universitarios de cuatro años encuestados, la media de matriculación era de 5.466, con desviación típica de 8.191. Subíndices: 1: colegios universitarios de dos años; 2: universidades de cuatro años H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de matriculación en los institutos universitarios de dos años y en las universidades de cuatro años. t de Student estadístico de prueba: –0,2480 valor p : 0,4019 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechazar. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años. En la fiesta del 11. º cumpleaños de Rachel se cronometró el tiempo (en segundos) que ocho niñas podían aguantar la respiración en posición relajada. Tras un descanso de dos minutos, se cronometraron mientras saltaban. Las niñas pensaron que la diferencia media entre sus tiempos de salto y de relajación sería cero. Compruebe su hipótesis. Tiempo de relajación (segundos) Tiempo de salto (segundos) 26 21 47 40 30 28 22 21 23 25 45 43 37 35 29 32 Se cree que la media de los salarios iniciales de los graduados universitarios con títulos de Ingeniería Mecánica y de Ingeniería Eléctrica es aproximadamente igual. Una oficina de contratación cree que el salario medio de los ingenieros mecánicos es en realidad más bajo que el de los ingenieros eléctricos. La oficina de contratación encuesta aleatoriamente a 50 ingenieros mecánicos de y a 60 ingenieros eléctricos de nivel inicial. Sus salarios medios fueron de 46.100 dólares y 46.700 dólares, respectivamente. Sus desviaciones típicas fueron de 3.450 dólares y 4.210 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si está de acuerdo en que el salario medio inicial de los ingenieros mecánicos es inferior al de los ingenieros eléctricos. Subíndices: 1: ingeniería mecánica; 2: ingeniería eléctrica H 0 : µ 1 ≥ µ 2 H a : µ 1 < µ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos y los ingenieros eléctricos. t 108 estadístico de prueba: t = –0,82 valor p : 0,2061 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos es inferior a la de los ingenieros eléctricos. Compañías de mercadeo han recopilado datos que implican que las adolescentes utilizan más tonos de llamada en sus teléfonos móviles que sus pares masculinos. En un estudio particular de 40 adolescentes elegidos al azar (20 de cada sexo) con teléfonos móviles, el número medio de tonos de llamada para las chicas era de 3,2 con desviación típica de 1,5. La media de los chicos fue de 1,7 con desviación típica de 0,8. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son aproximadamente iguales o si la media de las chicas es mayor que la de los chicos. Utilice la información de C - CONJUNTOS DE DATOS para responder los cuatro ejercicios siguientes. Con solo los datos de la vuelta 1, realice una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es el mismo que en los entrenamientos. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 20,32 estadístico de prueba: –4,70 valor p : 0,0001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. Repita la prueba del Ejercicio 10.83 , pero esta vez utilice los datos de la vuelta 5. Repita la prueba del Ejercicio 10.83 , pero esta vez combine los datos de las vueltas 1 y 5. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 40,94 estadístico de prueba: –5,08 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. En dos o tres oraciones completas, explique detalladamente cómo podría utilizar los datos sobre Terri Vogel para responder la siguiente pregunta. “¿Terri Vogel conduce más rápido en las carreras que en los entrenamientos?” Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales. Oeste Este Los Ángeles 9 DC United 9 FC Dallas 3 Chicago 8 Chivas USA 4 Columbus 7 Real Salt Lake 3 Nueva Inglaterra 6 Colorado 4 MetroStars 5 San José 4 Kansas City 3 Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes. La distribución exacta para la prueba de hipótesis es: la distribución normal la distribución t de Student la distribución uniforme la distribución exponencial Si el nivel de significación es 0,05, la conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen más goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No se puede determinar. c Supongamos que un instructor de estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron de 75,86 y 16,91. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. La conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes nocturnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes diurnos. No hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes diurnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes nocturnos. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los nocturnos en el examen 2. Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Elijah quiere saber si los costos de los libros de texto son diferentes para las distintas carreras. Selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Sociología ofrecidos en un popular sitio web. El precio medio de su muestra es de 74,64 dólares, con una desviación típica de 49,36 dólares. A continuación, selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Matemáticas y Ciencias del mismo sitio. El precio medio de esta muestra es de 111,56 dólares, con una desviación típica de 66,90 dólares. ¿El precio medio de un libro de texto de Sociología es inferior al de un libro de Matemáticas o Ciencias? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Ejercicio: dos medias muestrales independientes, desviaciones típicas poblacionales desconocidas. μ 1 = el precio medio de un libro de texto de Sociología en el sitio seleccionado. μ 2 = el precio medio de un libro de texto de Matemáticas/Ciencias en el sitio seleccionado. Variable aleatoria: X 1 ¯ – X 1 ¯ = la diferencia en el precio medio de los libros de texto de la muestra entre los libros de texto de Sociología y los de Matemáticas y Ciencias. Hipótesis: H 0 : μ 1 – μ 2 = 0 , H a : μ 1 – μ 2 < μ 2 que puede expresarse como H 0 s : μ 1 – μ 2 , Ha μ 1 < μ 2 . Distribución para la prueba: Utilice la sustitución en t d e ; porque cada muestra tiene más de 30 observaciones, d e = n 1 + n 2 – 2 = 33 + 33 – 2 = 64 . Estime el valor crítico en la tabla t utilizando los grados de libertad disponibles más próximos, 60. El valor crítico, 2,660, se halla en la columna de 0,0005. Calcule el estadístico de prueba: t c = ( X ¯ 1 – X ¯ 2 ) – 0 s 1 2 n 2 + s 2 2 n 2 = ( 74 . 64 – 111 . 56 ) – 0 49 . 36 2 33 + 66 . 90 2 33 = – 2 . 55 . Utilizando una calculadora con t c = – 2 . 55 y d e = 64 , el valor p de cola izquierda: Decisión: Rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, hay suficientes pruebas para concluir que el precio medio de los libros de texto de Sociología es inferior al precio medio de los libros de texto de Matemáticas/Ciencias. Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Es interesante saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. El grupo de la dieta en polvo tuvo una media de pérdida de peso de 42 libras con desviación típica de 12 libras. El grupo de la dieta líquida tuvo una media de pérdida de peso de 45 libras con desviación típica de 14 libras. Supongamos que una instructora de Estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron 75,86 y 16,91, respectivamente. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. Otra hipótesis adecuada para la prueba de hipótesis es: μ día > μ noche μ día < μ noche μ día = μ noche μ día ≠ μ noche d Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que varían libremente. Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Variable (variable aleatoria) característica de interés en una población estudiada. La notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,... La notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x , y , z ,... Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3, ... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello, entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Solo podemos saber qué valor concreto toma x de la variable aleatoria X después de realizar el experimento.

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Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas Aunque esta situación no es probable (conocer las desviaciones típicas de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra la prueba de hipótesis para medias independientes, conociendo las desviaciones típicas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es X 1 ¯ – X 2 ¯ . La distribución normal tiene el siguiente formato: La distribución normal es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ~ N [ μ 1 – μ 2 , ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 ] La desviación típica es: ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación z ) es: z = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera . Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la . Cera Muestra del número medio de meses que dura la cera del suelo Desviación típica de la población 1 3 0,33 2 2,9 0,36 ¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2 ? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas. Variable aleatoria : X ¯ 1 – X ¯ 2 = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2 , en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Utilizando la fórmula, la distribución es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ~ N ( 0 , 0,33 2 20 + 0,36 2 20 ) Como μ 1 ≤ μ 2 entonces μ 1 - μ 2 ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1799 Gráfico: X ¯ 1 – X ¯ 2 = 3 – 2,9 = 0,1 Compare α y el valor p : α = 0,05 y valor p = 0,1799. Por lo tanto, α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2. Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 3:2-SampZTest . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0,33 para sigma1, 0,36 para sigma2, 3 para la primera media muestral, 20 para n1, 2,9 para la segunda media muestral, y 20 para n2. Desplace la flecha hacia abajo hasta μ 1: y la flecha hacia > μ 2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,1799 y el estadístico de prueba es 0,9157. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar . Ejercicio Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Motor Número de media de RPM de la muestra Desviación típica de la población 1 1.500 50 2 1.600 60 Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años. ¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos. H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H 0 : µ 1 – µ 2 ≤ 0 H a : µ 1 > µ 2 H a : µ 1 – µ 2 > 0 Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: la distribución es la aproximación normal a la t de Student para medias, grupos independientes. Utilizando la fórmula, la distribución es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ∼ N [ 0 , ( 9,55 ) 2 30 + ( 10,17 ) 2 30 ] Como µ 1 ≤ µ 2 , µ 1 - µ 2 ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero. (Calcular el valor p utilizando la distribución normal da un valor p = 0,4955) Gráfico: Compare α y el valor p : α = 0,05 y valor p = 0,4955. Por lo tanto, α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos. Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013). “Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013). Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013). “State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013). “Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características: Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = la diferencia de las medias Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Distribución normal: X ¯ 1 – X ¯ 2 ∼ N [ μ 1 – μ 2 , ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 ] . Generalmente µ 1 – µ 2 = 0. Estadístico de prueba (puntuación z ): z = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Generalmente µ 1 - µ 2 = 0. donde: σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas poblacionales conocidas. n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida. Lanzador Muestra de la velocidad media de los lanzamientos (mph) Desviación típica de la población Wesley 86 3 Rodríguez 91 7 ¿Cuál es la variable aleatoria? La diferencia en las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de los dos lanzadores Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico de prueba? -2,46 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Al nivel de significación del 1 %, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay datos suficientes para concluir que la velocidad media de la pelota rápida de Rodríguez es más rápida que la de Wesley. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas. Grupo de plantas Muestra de la altura media de las plantas (pulgadas) Desviación típica de la población Con alimento 16 2,5 Sin alimento 14 1,5 ¿La desviación típica de la población es conocida o desconocida? Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = comida, 2 = sin comida H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 ¿Cuál es el valor p ? Dibuje el gráfico del valor p . Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente. Muestra de las temperaturas medias de fusión (°F) Desviación típica de la población Aleación gamma 800 95 Aleación zeta 900 105 Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = gamma, 2 = zeta H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 ¿Se trata de una prueba a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? 0,0062 Dibuje el gráfico del valor p . Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula. Los datos apoyan que el punto de fusión de la aleación zeta es diferente del punto de fusión de la aleación gamma. Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar ese supuesto). Se hace un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse, en promedio, que los estudiantes inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. Supongamos que, a partir de años de investigación, se sabe que las desviaciones típicas de la población son 1,5811 años y 1 año, respectivamente. Se recopilan los siguientes datos. Los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardaron un promedio de 4,5 años, con una desviación típica de 0,8. Los estudiantes de universidades privadas tardaron un promedio de 4,1 años, con una desviación típica de 0,3. Los padres de los adolescentes se quejan a menudo de que el seguro de automóvil cuesta más, en promedio, para los hombres que para las mujeres. Un grupo de padres preocupados examina una muestra aleatoria de facturas de seguros. El costo medio anual para 36 adolescentes hombres fue de 679 dólares. Para 23 adolescentes mujeres fueron 559 dólares. De los años anteriores, se sabe que la desviación típica de la población para cada grupo es de 180 dólares. Determine si cree que el costo medio del seguro de automóvil para los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes mujeres. Subíndices: 1 = hombres, 2 = mujeres H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H a : µ 1 > µ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de los costos de los seguros de automóviles de hombres y mujeres. normal estadístico de prueba: z = 2,50 valor p : 0,0062 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el costo medio del seguro de automóvil de los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes. Un grupo de estudiantes que van a transferirse se preguntaba si gastarían la misma cantidad media en textos y materiales cada año en su universidad de cuatro años que en su colegio comunitario. Realizaron una encuesta aleatoria a 54 estudiantes de su colegio comunitario y a 66 estudiantes de su universidad de cuatro años local. Las medias muestrales fueron 947 y 1.011 dólares, respectivamente. Se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 254 y 87 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son estadísticamente iguales. Algunos fabricantes afirman que los vehículos tipo sedán no híbridos tienen una media de millas por galón (mpg) inferior a los híbridos. Supongamos que los consumidores prueban 21 sedanes híbridos y obtienen una media de 31 mpg con una desviación típica de siete mpg. Treinta y un sedanes no híbridos obtienen una media de 22 mpg con una desviación típica de cuatro mpg. Supongamos que se sabe que las desviaciones típicas de la población son seis y tres, respectivamente. Haga una prueba de hipótesis para evaluar la afirmación del fabricante. Subíndices: 1 = sedanes no híbridos, 2 = sedanes híbridos H 0 : µ 1 ≥ µ 2 H a : µ 1 < µ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de millas por galón de los sedanes no híbridos y los sedanes híbridos. normal estadístico de prueba: 6,36 valor p : 0 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la media de millas por galón de los sedanes no híbridos es inferior a la de los híbridos. Un aficionado al béisbol quería saber si existe una diferencia entre el número de partidos jugados en una Serie Mundial cuando la Liga Americana gana la serie versus cuando la Liga Nacional gana la serie. Desde 1922 hasta 2012, la desviación típica de la población de los partidos ganados por la Liga Americana fue de 1,14, y la de los partidos ganados por la Liga Nacional fue de 1,11. De los 19 partidos de las Series Mundiales seleccionados al azar que ganó la Liga Americana, la media de partidos ganados fue de 5,76. La media de los 17 partidos seleccionados al azar que ganó la Liga Nacional fue de 5,42. Realice una prueba de hipótesis. Una de las preguntas de un estudio sobre la satisfacción conyugal de las parejas con dos carreras era valorar la afirmación: “Estoy satisfecho con la forma en que dividimos las responsabilidades del cuidado de los hijos”. Las valoraciones iban del uno (muy de acuerdo) al cinco (muy en desacuerdo). La contiene diez de las respuestas emparejadas de esposos y esposas. Realice una prueba de hipótesis para ver si la diferencia media en el nivel de satisfacción de los esposos versus el de las esposas es negativo (lo que significa que, dentro de la pareja, el esposo es más feliz que la esposa). Puntuación de la esposa 2 2 3 3 4 2 1 1 2 4 Puntuación del esposo 2 2 1 3 2 1 1 1 2 4 H 0 : µ d = 0 H a : µ d < 0 La variable aleatoria X d es la diferencia promedio entre el nivel de satisfacción del esposo y de la esposa. t 9 estadístico de prueba: t = –1,86 valor p : 0,0479 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula, pero realiza otra prueba. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Se trata de una prueba débil porque alfa y el valor p están cerca. Sin embargo, no hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media es negativa.

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Comparación de dos proporciones de población independientes Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características: Las dos muestras independientes son muestras aleatorias simples que son independientes. El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras. La literatura creciente establece que la población debe ser al menos diez o veinte veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y se obtengan resultados incorrectos. La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar. Una prueba de hipótesis puede ayudar a determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las proporciones de la población. La diferencia de dos proporciones sigue una distribución normal aproximada. En general, la hipótesis nula afirma que las dos proporciones son iguales. Es decir, H 0 : p A = p B . Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p c . La proporción combinada se calcula de la siguiente manera: p c = x A + x B n A + n B La distribución de las diferencias es: P ′ A – P ′ B ~ N [ 0 , p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) ] El estadístico de prueba (puntuación z ) es: z = ( p ′ A – p ′ B ) – ( p A – p B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) Se prueban dos tipos de medicamentos para la urticaria con el fin de determinar si existe una diferencia en las proporciones de las reacciones de los pacientes adultos. Veinte de una muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento A seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomarla. Doce de otra muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento B seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomar la medicación. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. El problema pide una diferencia de proporciones, por lo que es una prueba de dos proporciones. Supongamos que A y B sean los subíndices del medicamento A y el medicamento B, respectivamente. Entonces p A y p B son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: P′ A - P′ B = diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos a los medicamentos A y B. H 0 : p A = p B p A – p B = 0 H a : p A ≠ p B p A – p B ≠ 0 Las palabras “es una diferencia” le indican que la prueba es de dos colas. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones poblacionales binomiales, la distribución es normal: p c = x A + x B n A + n B = 20 + 12 200 + 200 = 0,08 1 – p c = 0,92 P ′ A – P ′ B ~ N [ 0 , ( 0,08 ) ( 0,92 ) ( 1 200 + 1 200 ) ] P′ A - P′ B sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1404. Proporción estimada para el grupo A: p ′ A = x A n A = 20 200 = 0,1 Proporción estimada para el grupo B: p ′ B = x B n B = 12 200 = 0,06 Gráfico: P′ A – P′ B = 0,1 – 0,06 = 0,04. La mitad del valor p es inferior a –0,04, y la otra mitad es superior a 0,04. Compare α y el valor p : α = 0,01 y el valor p = 0,1404. α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no rechaza H 0 . Conclusión: A un nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos al medicamento A y al medicamento B . Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest . Desplace la flecha hacia abajo y pulse ENTER 20 para x1, 200 para n1, 12 para x2, y 200 para n2. Desplace la flecha hacia abajo p1 : y la flecha hacia diferente a p2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,1404 y el estadístico de prueba es 1,47. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar . Ejercicio Se están probando dos tipos de válvulas para determinar si hay una diferencia en las tolerancias de presión. Quince de una muestra aleatoria de 100 de la válvula A se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Seis de una muestra aleatoria de 100 de la válvula B se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se realizó un estudio de investigación sobre las diferencias de género en el "sexteo" El investigador cree que la proporción de chicas implicadas en el "sexteo" es menor que la de chicos. Los datos recogidos en la primavera de 2010 entre una muestra aleatoria de estudiantes de secundaria y preparatoria en un gran distrito escolar del sur de Estados Unidos se resumen en la . ¿La proporción de chicas que envían mensajes con contenido sexual (sexts) es menor que la de chicos que "sextean"? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Hombres Mujeres Envío de "mensajes con contenido sexual" 183 156 Número total de encuestados 2.231 2.169 Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que M y F sean los subíndices para los hombres y las mujeres. Entonces p M y p F son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: p′ F - p′ M = diferencia en las proporciones de hombres y mujeres que enviaron "mensajes con contenido sexual" H 0 : p F = p M H 0 : p F – p M = 0 H a : p F < p M H a : p F – p M < 0 Las palabras "menos que" indican que la prueba es de cola izquierda. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones de población, la distribución es normal: p c = x F + x M n F + n M = 156 + 183 2.169 + 2.231 = 0 0,077 1 – p c = 0,923 Por lo tanto, p ′ F – p ′ M ∼ N ( 0 , ( 0,077 ) ( 0,923 ) ( 1 2.169 + 1 2.231 ) ) p′ F - p′ M sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: Valor p = 0,1045 Proporción estimada para las mujeres: 0,0719 Proporción estimada para los hombres: 0,082 Gráfico: Decisión: Dado que α < valor p , no rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de chicas que envían "mensajes con contenido sexual" sea menor que la proporción de chicos que envían estos mensajes. Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 156 para x1, 2169 para n1, 183 para x2 y 2231 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a menos de p2. Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor p es P = 0,1045 y el estadístico de prueba es z = –1,256. Los investigadores realizaron un estudio sobre el uso de los teléfonos inteligentes entre los adultos. Una compañía de telefonía móvil afirma que los teléfonos inteligentes iPhone son más populares entre los blancos (no hispanos) que entre los afroamericanos. Los resultados de la encuesta indican que de los 232 propietarios de teléfonos móviles afroamericanos incluidos en la muestra aleatoria, el 5 % tiene un iPhone. De los 1.343 propietarios de teléfonos móviles blancos incluidos en la muestra aleatoria, el 10 % tiene un iPhone. Prueba al nivel de significación del 5 %. ¿Es mayor la proporción de propietarios de iPhone blancos que la de afroamericanos? Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que W y A sean los subíndices de los blancos y los afroamericanos. Entonces p W y p A son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: p′ W - p′ A = diferencia en las proporciones de usuarios blancos y afroamericanos de telefonos celulares que tienen iPhones. H 0 : p W = p A H 0 : p W – p A = 0 H a : p W > p A H a : p W – p A > 0 Las palabras "más popular" indican que la prueba es de cola derecha. Distribución para la prueba: la distribución es aproximadamente normal: p c = x W + x A n W + n A = 134 + 12 1343 + 232 = 0,0927 1 – p c = 0,9073 Por lo tanto, p ′ W – p ′ A ∽ N ( 0 , ( 0,0927 ) ( 0,9073 ) ( 1 1343 + 1 232 ) ) p ′ W – p ′ A sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,0077 Proporción estimada para el grupo A: 0,10 Proporción estimada para el grupo B: 0,05 Gráfico: Decisión: Dado que α > valor p , rechace el H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de teléfonos móviles blancos utilizan iPhones que los afroamericanos. TI-83+ y TI-84: Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 135 para x1, 1343 para n1, 12 para x2 y 232 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a mayor de p2. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor P es P = 0,0092 y el estadístico de prueba es Z = 2,33. Ejercicio Un grupo de ciudadanos preocupados quería saber si la proporción de violaciones en Texas era diferente en 2011 que en 2010. Su investigación mostró que de los 113.231 delitos violentos en Texas en 2010, 7.622 de ellos fueron violaciones. En 2011, 7.439 de los 104.873 delitos violentos pertenecían a la categoría de violación. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Responda las siguientes preguntas: a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? b. ¿Qué distribución usa para realizar la prueba? c. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba la hipótesis nula y alternativa en símbolos. e. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. ¿Cuál es el valor p ? g. ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? h. En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, (hay/no hay) ______ pruebas suficientes para concluir que ____________. Referencias Datos de Educational Resources , catálogo de diciembre. Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994. “State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013). “West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes Variable aleatoria: p ^ A – p ^ B = diferencia entre las dos proporciones estimadas Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Proporción combinada: pc = x F + x M n F + n M Distribución de las diferencias: p ′ A – p ′ B ∼ N [ 0 , p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) ] donde la hipótesis nula es H 0 : p A = p B o H 0 : p A – p B = 0. Estadístico de prueba (puntuación z ): z = ( p ′ A – p ′ B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde la hipótesis nula es H 0 : p A = p B o H 0 : p A − p B = 0. donde p′ A y p′ B son las proporciones de la muestra, p A y p B son las proporciones de la población, P c es la proporción combinada, y n A y n B son los tamaños de las muestras. Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS 2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS 1 . ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? ¿Cuál es la variable aleatoria? P ′ OS1 – P ′ OS2 = diferencia en las proporciones de teléfonos que tuvieron fallos del sistema durante las primeras ocho horas de funcionamiento con OS 1 y OS 2 . Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el valor p ? 0,1018 ¿Qué puede concluir sobre los dos sistemas operativos? Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? proporciones Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : _________ H a : _________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Cómo lo sabe? cola derecha ¿Cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. La variable aleatoria es la diferencia de proporciones (porcentajes) de las poblaciones que son de dos o más razas en Nevada y Dakota del Norte. ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el Ejercicio 10.56 . El tamaño de nuestras muestras es muy superior a cinco, por lo que utilizamos la distribución normal para dos proporciones para esta prueba de hipótesis. Calcule el estadístico de prueba. Dibuje un gráfico de la situación. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): rechaza la hipótesis nula. valor p < alfa Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la proporción (porcentaje) de la población que es de dos o más razas en Nevada es estadísticamente mayor que la de Dakota del Norte. ¿Parece que la proporción de nevadenses de dos o más razas es mayor que la de los habitantes de Dakota del Norte? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (Sin embargo, en general, primero hay que demostrar ese supuesto). Una reciente encuesta sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre estudiantes locales de último año de escuela secundaria en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 estudiantes de último año de escuela secundaria locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. Localmente, 65 estudiantes de último año de escuela secundaria declararon haber consumido drogas o alcohol durante el mes anterior, mientras que el número nacional fue de 60. Nos interesa saber si las proporciones de mujeres víctimas de suicidio entre 15 y 24 años son iguales para las razas blanca y negra en Estados Unidos. Elegimos al azar un año, 1992, para comparar las razas. El número de suicidios estimado en Estados Unidos en 1992 para mujeres blancas es de 4.930. Quinientos ochenta tenían entre 15 y 24 años. La estimación para las mujeres negras es de 330. Cuarenta tenían entre 15 y 24 años. Supondremos que las mujeres víctimas de suicidio sean nuestra población. H 0 : P W = P B H a : P W ≠ P B La variable aleatoria es la diferencia en las proporciones de víctimas de suicidio blancas y negras, de 15 a 24 años. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –0,1944 valor p : 0,8458 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de mujeres blancas y negras víctimas de suicidio, de entre 15 y 24 años, sean diferentes. Elizabeth Mjelde, profesora de Historia del Arte, estaba interesada en saber si el valor de la fórmula del número áureo, ( dimensión mayor + menor mayor dimensión ) era el mismo en la exposición del Whitney para las obras de 1900 a 1919 que para las de 1920 a 1942. Se muestrearon treinta y siete obras tempranas, con una media de 1,74 con una desviación típica de 0,11. Se muestrearon sesenta y cinco obras finales, con una media de 1,746 con una desviación típica de 0,1064. ¿Cree que hay una diferencia significativa en el cálculo del número áureo? Se eligió al azar un año reciente desde 1985 hasta el presente. En ese año, había 2.051 estudiantes hispanos en el Cabrillo College de un total de 12.328 estudiantes. En el Lake Tahoe College, había 321 estudiantes hispanos de un total de 2.441 estudiantes. En general, ¿cree que el porcentaje de estudiantes hispanos en los dos institutos universitarios es básicamente igual o diferente? Subíndices: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La variable aleatoria es la diferencia entre las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y el Lake Tahoe College. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 4,29 valor p : 0,00002 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y en el Lake Tahoe College son diferentes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada. “2011” subíndice: grupo 2011. “2010” subíndice: grupo 2010 Esto es: una prueba de dos proporciones una prueba de dos medias independientes una prueba de una sola media una prueba de pares coincidentes. Una hipótesis nula adecuada es: p 2011 ≤ p 2010 p 2011 ≥ p 2010 μ 2011 ≤ μ 2010 p 2011 > p 2010 a El valor p es de 0,0022. Con un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es Hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es menor que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. No hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es más que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. No hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es menor que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. Hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es más que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. Unos investigadores hicieron un estudio para averiguar si existe una diferencia en el uso de lectores de libros electrónicos por parte de distintos grupos de edad. Los participantes seleccionados al azar se dividieron en dos grupos de edad. En el grupo de 16 a 29 años, el 7 % de los 628 encuestados utilizan lectores de libros electrónicos, así como el 11 % de los 2.309 participantes de 30 años o más Prueba: dos proporciones de muestras independientes. Variable aleatoria: p ′ 1 – p ′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos es diferente para los usuarios de 16 a 29 años que para los de 30 o más. Gráfico: de dos colas valor p : 0,0033 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos de 16 a 29 años es diferente de la proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos de 30 años o más. Se seleccionaron aleatoriamente adultos de 18 años o más para una encuesta sobre obesidad. Se considera que los adultos son obesos si su índice de masa corporal (IMC) es de al menos 30. Los investigadores querían determinar si la proporción de mujeres obesas en el sur es menor que la proporción de hombres del sur que son obesos. Los resultados se muestran en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Número de personas obesas Tamaño de la muestra Hombres 42.769 155.525 Mujeres 67.169 248.775 Dos usuarios de computadoras estaban hablando sobre tabletas. La proporción de personas de 16 a 29 años que utilizan tabletas es mayor que la de las personas de 30 años o más. La detalla el número de propietarios de tabletas para cada grupo de edad. Pruebe al nivel de significación del 1 %. de 16 a 29 años 30 años o más Tienen una tableta 69 231 Tamaño de la muestra 628 2.309 Prueba: dos proporciones de muestras independientes Variable aleatoria: p′ 1 − p′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 > p 2 La proporción de propietarios de tabletas es mayor entre 16 y 29 años que entre 30 y más. Gráfico: cola derecha valor p : 0,2354 Decisión: No rechace la H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 1 % a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de tabletas tenga entre 16 y 29 años que 30 años o más. Un grupo de amigos debatía sobre si hay más hombres que usan teléfonos inteligentes que mujeres. Consultaron un estudio de investigación sobre el uso de teléfonos inteligentes entre adultos. Los resultados de la encuesta indican que de los 973 hombres incluidos en la muestra aleatoria, 379 utilizan teléfonos inteligentes. En el caso de las mujeres, 404 de las 1.304 incluidas en la muestra aleatoria utilizan teléfonos inteligentes. Prueba al nivel de significación del 5 %. Mientras su esposo se pasaba 2½ horas eligiendo nuevos altavoces, una estadística decidió determinar si el porcentaje de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que el porcentaje de mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. La población eran los compradores del sábado por la tarde. De los 67 hombres, 24 dijeron que disfrutaban de la actividad. Ocho de las 24 mujeres encuestadas afirmaron que disfrutaban de la actividad. Interprete los resultados de la encuesta. Subíndices: 1: hombres; 2: mujeres H 0 : p 1 ≤ p 2 H a : p 1 > p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 0,22 valor p : 0,4133 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que la de mujeres. Nos interesa saber si los softwares educativos para niños cuestan menos, en promedio, que los de entretenimiento para niños. Se eligieron al azar treinta y seis títulos de software educativo de un catálogo. El costo medio fue de 31,14 dólares, con una desviación típica de 4,69 dólares. Se eligieron al azar treinta y cinco títulos de software de entretenimiento del mismo catálogo. El costo medio fue de 33,86 dólares, con una desviación típica de 10,87 dólares. Decida si el software educativo para niños cuesta menos, en promedio, que el software de entretenimiento para niños. Joan Nguyen afirmó recientemente que la proporción de hombres en edad universitaria con al menos una oreja perforada es tan alta como la proporción de mujeres universitarias. Hizo una encuesta en sus clases. De los 107 hombres, 20 tenían, al menos, una oreja perforada. De las 92 mujeres, 47 tenían, al menos, una oreja perforada. ¿Cree que la proporción de hombres ha alcanzado a la de mujeres? H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que tienen, al menos, una oreja perforada. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –4,82 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de hombres y mujeres con, al menos, una oreja perforada son diferentes. Utilice los conjuntos de datos que se encuentran en el C - CONJUNTOS DE DATOS para responder este ejercicio. ¿La proporción de vueltas en la carrera que Terri completa más lento que 130 segundos es menor que la proporción de vueltas de práctica que completa más lento que 135 segundos? “¿Desayunar o no desayunar?”, por Richard Ayore En la sociedad estadounidense, los cumpleaños son uno de esos días que todo el mundo espera con ilusión. Personas de diferentes edades y grupos de compañeros se reúnen para celebrar los cumpleaños: 18, 20, etc. Durante este tiempo, uno mira hacia atrás para ver lo que ha conseguido durante el año pasado y también se centra en el futuro para ver lo que está por venir. Si, por casualidad, me invitan a una de estas fiestas, mi experiencia es siempre diferente. En vez de bailar con mis amigos mientras la música retumba, me dejo llevar por los recuerdos de mi familia en Kenia. Recuerdo los buenos momentos que pasé con mis hermanos y mi hermana mientras llevábamos a cabo nuestra rutina diaria. Recuerdo que todas las mañanas íbamos a la shamba (huerto) a desherbar nuestros cultivos. Recuerdo que un día discutí con mi hermano por qué siempre se quedaba atrás para reunirse con nosotros una hora más tarde. En su defensa, dijo que prefería esperar a desayunar antes de venir a desherbar. Dijo: “¡Por eso siempre trabajo más horas que ustedes!”. Así que, para demostrar que estaba equivocado o que tenía razón, decidimos probarlo. Un día fuimos a trabajar como de costumbre sin desayunar, y registramos el tiempo que podíamos trabajar antes de cansarnos y parar. Al día siguiente, todos desayunamos antes de ir a trabajar. Registramos el tiempo que trabajamos de nuevo antes de cansarnos y parar. Nos interesa saber el aumento medio del tiempo de trabajo. Aunque no estoy seguro, mi hermano insistió en que fueron más de dos horas. Use los datos de la y resuelva nuestro problema. Horas de trabajo con desayuno Horas de trabajo sin desayuno 8 6 7 5 9 5 5 4 9 7 8 7 10 7 7 5 6 6 9 5 H 0 : µ d = 0 H a : µ d > 0 La variable aleatoria X d es la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna. t 9 estadístico de prueba: 4,8963 valor p : 0,0004 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna ha aumentado. Proporción combinada estimación del valor común de p 1 y p 2 .

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