Distribución geométrica La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso, el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso, en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) = 0,0804 X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P ( x = 5). Ejercicio Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X ? 1, 2, 3, 4, … n . Puede continuar indefinidamente. Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P ( x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”). Ejercicio Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente? P ( x ≥ 10) Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas? Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de éxito es aproximadamente la misma cada vez que pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante). a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí. a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí b. ¿Qué valores toma X ? b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes) c. ¿Qué son p y q ? c. p = 0,55; q = 0,45 d. La pregunta de probabilidad es P (_______). d. P ( x = 4) Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica X ~ G ( p ) Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica” . El parámetro es p ; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo. La pdf geométrica nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de acierto requiera x número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de acierto p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p , entonces la probabilidad de que el ensayo x ésimo (de x ensayos) sea el primer acierto es: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p para x = 1, 2, 3, .... El valor esperado de X, la media de esta distribución, es 1/p. Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta obtener el primer acierto incluido en el recuento el ensayo que resulta en acierto. La forma anterior de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer acierto. El número de ensayos incluye el que es un acierto: x = todos los ensayos, incluido el que es un acierto. Esto se puede ver en la composición de la fórmula. Si X = número de ensayos incluido el acierto, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso, (1-p), por el número de fracasos, es decir, X-1. Por el contrario, la siguiente forma de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de fallos hasta el primer éxito: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x p para x = 0, 1, 2, 3, .... En este caso el ensayo que es un éxito no se cuenta como un ensayo en la fórmula: x = número de fracasos. El valor esperado, la media, de esta distribución es μ = ( 1 – p ) p . Esto nos indica cuántos fracasos debemos esperar antes de tener un acierto. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica. Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso? Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto. X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02) Calcule P ( x = 7). Respuesta: P ( x = 7) = (1 – 0,02) 7-1 × 0,02 = 0,0177. La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177. El gráfico de X ~ G(0,02) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de componentes informáticos probados. Observe que las probabilidades disminuyen en un incremento común. Este incremento es la misma proporción entre cada número y se llama progresión geométrica y de ahí el nombre de esta función de densidad de probabilidad. El número de componentes que se espera probar hasta encontrar el primer componente defectuoso es la media, μ = 50 . La fórmula de la media de la variable aleatoria definida como el número de fallos hasta el primer acierto es μ = 1 p = 1 0,02 = 50 Vea el para un ejemplo en el que la variable aleatoria geométrica se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. El valor esperado de esta fórmula para la geométrica será diferente de esta versión de la distribución. La fórmula de la varianza es σ 2 = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0,02 ) ( 1 0,02 – 1 ) = 2.450 La desviación típica es σ = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0, 02 ) ( 1 0, 02 – 1 ) = 49,5 El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas. La variable aleatoria X , en este caso, incluye solo el número de ensayos que fueron un fracaso y no cuenta el ensayo que fue un acierto para hallar una persona que tuviera la enfermedad. La fórmula adecuada para esta variable aleatoria es la segunda presentada anteriormente. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) o X ~ G (0,0128). ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a 9 personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? Esto es preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que pregunte a 9 personas sin acierto y la décima persona sea un acierto? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . P ( x = 9) = (1 – 0,0128) 9 · 0,0128 = 0,0114 P ( x = 20) = (1 – 0,0128) 19 · 0,0128 =0,01 Media = μ = ( 1 – p ) p = ( 1 – 0,0128 ) 0,0128 = 77,12 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,0128 0,0128 2 ≈ 77,62 Ejercicio La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en las Colonias Unidas de la Independencia era del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres? X ~ G (0,12) P ( x = 5) = 0,0720 P ( x = 10) = 0,0380 Un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 0,320. Esta es la probabilidad general de que consiga un batazo imparable cada vez que esté al bate. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga su primer batazo imparable en el tercer chance al bate? P ( x =3) = (1-0,32) 3-1 × 0,32 = 0,1480 En este caso, la secuencia es de fracaso, acierto, fracaso. ¿Cuántos turnos de bateo espera que necesite el bateador antes de conseguir un batazo imparable? μ = 1 p = 1 0,320 = 3,125 ≈ 3 Es simplemente el valor esperado de los aciertos y, por tanto, la media de la distribución. Hay un 80 % de posibilidades de que un perro dálmata tenga 13 manchas negras. Vas a una exposición canina y cuentas las manchas de los dálmatas. ¿Cuál es la probabilidad de que revise las manchas de 3 perros antes de encontrar uno que tenga 13 manchas negras? P ( x =3) = (1 – 0,80) 3 × 0,80 = 0,0064 Referencias “Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay tres características de un experimento geométrico: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo son iguales para cada ensayo. En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G ( p ) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo. La media de la distribución geométrica X ~ G ( p ) es μ = 1 / p donde x = número de ensayos hasta el primer acierto de la fórmula P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p donde el número de pruebas es hasta el primer acierto incluido. Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es: P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La forma más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Revisión de la fórmula P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x – 1 X ~ G( p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p . X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto X toma los valores x = 1, 2, 3, ... p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media es μ = 1 p . La desviación típica es σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de estudiantes de primer año seleccionados del estudio hasta que uno respondió “sí” a que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 1,2,… Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6. x P ( x ) 1 2 3 4 5 6 En promedio ( μ ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”? 1,4 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año? TAREA PARA LA CASA Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil? Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios. Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios. Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón? Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas. Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas. X = el número de adultos en Estados Unidos encuestados hasta que uno dice que verá el supertazón. X ~ G (0,40) 2,5 0,0187 0,2304 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas? Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella? ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado? X = el número de páginas que anuncian calzado X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 X ~ B (20, 29 192 ) 3,02 No 0,9997 X = el número de páginas que debemos inspeccionar hasta hallar una que anuncie calzado. X ~ G ( 29 192 ) 0,3881 6,6207 páginas Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado. p = probabilidad de acierto (se produce el evento F ) q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce) Escriba la descripción de la variable aleatoria X . ¿Cuáles son los valores que puede asumir X ? Calcule los valores de p y q . Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo. Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2 y 3 El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”. ”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH. Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas? Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X . Según una reciente encuesta de Pew Research, el 75 % de los millenials (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social. Describa la distribución de X . Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas? X ~ G (0,25) Media = μ = 1 p = 1 0,25 = 4 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0 0,25 0,25 2 ≈ 3,4641 P ( x = 10) = 0,0188 P ( x = 20) = 0,0011 P ( x ≤ 5) = 0,7627 Distribución geométrica una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. La media es μ = 1 p y la desviación típica es σ = 1 p ( 1 p – 1 ) . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P ( X = x ) = p (1 – p ) x – 1 donde se quiere conocer la probabilidad para el número de ensayos hasta el primer acierto: el x-ésimo ensayo es el primer acierto Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La manera más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Experimento geométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo no cambian de un ensayo a otro.

Matemáticas


Distribución de Poisson Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson. Hay dos características principales de un experimento de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad. P ( x < 5) Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión? Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión. a. ¿Cuál es el intervalo de interés? a. una emisión medida en minutos b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión? b. 2 c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X ? c. Sea X = el número de veces que el reportero de noticias dice “ah" durante una emisión. x = 0, 1, 2, 3, ... d. La pregunta de probabilidad es P (______). d. P ( x > 2) Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson X ~ P ( μ ) Se lee como “ X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ ); μ (o λ ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X ) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial. En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos. El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos? Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 hora) x = 0, 1, 2, 3, ... Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema. X ~ P (0,75) Calcule P ( x > 1). P (x > 1) = 0,1734 La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734. El gráfico de X ~ P (0,75) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de llamadas durante 15 minutos. Según una encuesta, un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos al día. Sea X = el número de correos electrónicos que recibe un profesor al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (7). La media es de 7 correos electrónicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la desviación típica? P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 7 2 e -7 2! = 0,022 P ( x ≤ 2 ) = 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! = 0,029 Desviación típica = σ = μ = 7 ≈ 2,65 Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora? Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es 41,5 24 ≈ 1,7292. P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 1,729 2 e -1,729 2! = 0,265 P ( x > 2 ) = 1 – P ( x ≤ 2 ) = 1 – [ 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! ] = 0,250 El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja. Mediante la distribución binomial: P ( x = 10 ) = 200! 10! ( 200 – 10 ) ! × 0,0102 10 × 0,9898 190 = 0,000039 Mediante la distribución de Poisson: Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04 P ( x = 10 ) = μ x e –μ x! = 2,04 10 e -2,04 10! = 0,000045 Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0. Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np , la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq , la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial. A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal. Una encuesta realizada a 500 estudiantes de último curso de la Price Business School arroja los siguientes datos. El 75 % empieza a trabajar directamente después de graduarse. El 15 % continúa para hacer su Maestría en Administración de Empresas (Master of Business Administration, MBA). El 9 % se queda para obtener un título en una asignatura secundaria en otro programa. El 1 % continúa en una Maestría en Finanzas. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 estudiantes de último año vayan a la escuela de posgrado para hacer una Maestría en Finanzas? Esto es claramente un problema de distribución de probabilidad binomial. Las opciones son binarias cuando definimos los resultados como "Escuela de Postgrado en Finanzas" frente a "todas las demás opciones". La variable aleatoria es discreta y los eventos son, podríamos suponer, independientes. Resolviendo como un problema binomial, tenemos: Solución binomial n · p = 500 · 0,01 = 5 = µ P ( 0 ) = 500 ! 0 ! ( 500 – 0 ) ! 0,01 0 ( 1 – 0,01 ) 500 – 0 = 0,00657 P ( 1 ) = 500 ! 1 ! ( 500 – 1 ) ! 0,01 1 ( 1 – 0,01 ) 500 – 1 = 0,03318 P ( 2 ) = 500 ! 2 ! ( 500 – 2 ) ! 0,01 2 ( 1 – 0,01 ) 500 – 2 = 0,08363 Sumando los 3 = 0,12339 1 – 0,12339 = 0,87661 Aproximación de Poisson n · p = 500 · 0,01 = 5 = μ n · p · ( 1 – p ) = 500 · 0,01 · ( 0,99 ) ≈ 5 = σ 2 = μ P ( X ) = e −np ( n p ) x x ! = { P ( 0 ) = e −5 · 5 0 0 ! } + { P ( 1 ) = e −5 · 5 1 1 ! } + { P ( 2 ) = e −5 · 5 2 2 ! } 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1247 1 – 0,1247 = 0,8753 Una aproximación de 1 milésima es sin duda una aproximación aceptable. Referencias “ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 6 de febrero de 2019). Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013). “Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013). “How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volume is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,01) y el número de ensayos es "grande" (mayor o igual a 25). También se sugieren otras reglas generales por parte de diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que n aumenta y p se acerca a cero. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X) es la probabilidad de éxitos, μ (pronunciado mi) es el número esperado de éxitos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de éxitos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Revisión de la fórmula X ~ P ( μ ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ... Se suele dar la media μ o λ . La varianza es σ 2 = μ , y la desviación típica es σ = μ . Cuando se utiliza P ( μ ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo. P ( x ) = μ x e – μ x ! Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X . ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, … ¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día? ¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día. 0,0485 ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas? 0,0214 ¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos de motor al día. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, ... Para los valores dados de la variable aleatoria X , rellene las probabilidades correspondientes. ¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. No ¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. TAREA PARA LA CASA La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía. Calcule la media y la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía? Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía? ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía? X ~ P (5,5); μ = 5,5; σ = 5,5 ≈ 2,3452 P (x ≤ 6) ≈ 0,6860 Hay un 15,7 % de probabilidad de que el personal jurídico reciba más llamadas de las que puede atender. P ( x > 8) = 1 - P (x ≤ 8) ≈ 1 - 0,8944 = 0,1056 La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora. Calcule la media y la desviación típica de X . Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora? Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson. Supongamos que X = el número de bombillas defectuosas en una cadena. Mediante la distribución de Poisson: μ = np = 100(0,03) = 3 X ~ P (3) P (x ≤ 4) ≈ 0,8153 Mediante la distribución binomial: X ~ B (100, 0,03) P (x ≤ 4) = 0,8179 La aproximación de Poisson es muy buena: la diferencia entre las probabilidades es de solo 0,0026. El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas. El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas. X = el número de hijos de una española 0, 1, 2, 3,... 0,2299 0,5679 0,4321 Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca: Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Demuestre la distribución de X . X ~ _______ Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año. La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional? Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional. Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional. A medida que aumenta n , ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas. X = el número de galletas de la fortuna que tienen suerte adicional 0, 1, 2, 3,... 144 4,32 0,0124 o 0,0133 0,6300 o 0,6264 A medida que n aumenta, las probabilidades se acercan. Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Dada la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas se espera que sufran anorexia? Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia. Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Utilice una distribución de Poisson para responder a las siguientes preguntas. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos se espera que se hayan auditado? Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado. Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados. X = número de personas auditadas en un año 0, 1, 2, ..., 100 2 0,1353 0,3233 Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel? Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles? Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué? X = el número de trozos de cáscara en un pastel 0, 1, 2, 3,... 1,5 0,2231 0,0001 Sí Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. En palabras, la variable aleatoria X = _________________ el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan. Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana. 0,5000 0,9329 0,0378 0,0671 d Distribución de probabilidad de Poisson una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos. Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. La media es μ = np . La desviación típica es σ = μ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r ensayos es P ( x ) = μ x e – μ x ! . La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es "grande" y p es "pequeño" (una regla general es que np debe ser mayor o igual a 25 y p debe ser menor o igual a 0,01).

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Introducción Las alturas de estas plantas de rábano son variables aleatorias continuas. (créditos: Rev Stan). Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI, la duración de una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, la duración de un chip de computadora, las tasas de rendimiento de una inversión y las puntuaciones de la selectividad son solo algunos ejemplos. El campo de la fiabilidad depende de una variedad de variables aleatorias continuas, al igual que todos los ámbitos del análisis de riesgos. Nota Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante.

Matemáticas


Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. Ya conocimos este concepto cuando desarrollamos las frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2 . El área relativa para un rango de valores era la probabilidad de extraer al azar una observación en ese grupo. De nuevo con la distribución de Poisson del Capítulo 4 , el gráfico del Ejemplo 4.14 utilizó cajas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo poco estrictos porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene anchura. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria x, deliberadamente no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es el área. La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf ). Utilizamos el símbolo f ( x ) para representar la curva. f ( x ) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f ( x ) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa ( cdf ). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulada es la integral de la pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral de la pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo la pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, la certeza. Por tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés. Los resultados se miden, no se cuentan. Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno. La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x . P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d . P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x , a la derecha de c y a la izquierda de d . P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero. P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área. Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, el cálculo integral es necesario para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera. En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones. El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis. El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro. El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA. Consideremos la función f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive. f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20. El área entre f ( x ) = 1 20 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 1 20 . ÁREA = 20 ( 1 20 ) = 1 Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 0 < x < 2. ÁREA = ( 2 – 0 ) ( 1 20 ) = 0,1 ( 2 – 0 ) = 2 = base de un rectángulo Recordatorio área de un rectángulo = (base)(altura). El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P (0 < x < 2) = P ( x < 2) = 0,1. Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 4 < x < 15. ÁREA = ( 15 – 4 ) ( 1 20 ) = 0,55 ( 15 – 4 ) = 11 = la base de un rectángulo El área corresponde a la probabilidad P (4 < x < 15) = 0,55. Supongamos que queremos hallar P ( x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P ( x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) = 0 P ( X ≤ x ), que también se puede escribir como P ( X < x ) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P ( X > x ). La cdf da el “área a la izquierda” y P ( X > x ) da el “área a la derecha”. Calculamos P ( X > x ) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Identifique el gráfico con f ( x ) y x . Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y . f ( x ) = 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20. Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo. P ( 2,3 < x < 12,7 ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,7 – 2,3 ) ( 1 20 ) = 0,52 Ejercicio Consideremos la función f ( x ) = 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f ( x ) y calcule P (2,5 < x < 7,5). P (2,5 < x < 7,5) = 0,625 Repaso del capítulo La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f ( x ) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f ( x ) es uno. El área debajo del gráfico de f ( x ) y entre los valores a y b da la probabilidad P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P ( X ≤ x ). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x . Revisión de la fórmula Función de densidad de probabilidad (pdf) f ( x ): f ( x ) ≥ 0 El área total debajo de la curva f ( x ) es uno. Función de distribución acumulativa (cdf): P ( X ≤ x ) ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución uniforme ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución normal ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) P (6 < x < 7) Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 15. ¿Qué es P ( x > 15)? ¿Cuál es el área debajo de f ( x ) si la función es una función de densidad de probabilidad continua? uno Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 10. ¿Qué es P ( x = 7)? Una función de probabilidad continua se restringe a la parte comprendida entre x = 0 y 7. ¿Qué es P ( x = 10)? cero f ( x ) para una función de probabilidad continua es 1 5 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 5. ¿Qué es P ( x < 0)? f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 12 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 12. ¿Qué es P (0 < x < 12)? uno Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. 0,625 Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 3 y la función se restringe a 1 ≤ x ≤ 4. Describa P ( x > 3 2 ) . La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f ( x ) = 1 3 . Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos? ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos? Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué? La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada. Distribución uniforme variable aleatoria (RV) continua que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b ; a menudo se denomina distribución rectangular porque el gráfico de la pdf tiene la forma de un rectángulo. La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . Distribución exponencial variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital. La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 – e – m x o P ( X ≤ x ) = 1 – e – 1 μ x .

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La distribución uniforme La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos. El enunciado matemático de la distribución uniforme es f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x . Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 Ejercicio Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b . Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica. 1 12 4 10 4 14 11 7 11 4 13 2 4 6 3 10 0 12 6 9 10 5 13 4 10 14 12 11 6 10 11 0 11 13 2 a es cero; b es 14; X ~ U (0, 14); μ = 7 pasajeros; σ = 4,04 pasajeros La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos? a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U (0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 15 – 0 = 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15. Calcule P ( x < 12,5). Dibuje un gráfico. P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,5 – 0 ) ( 1 15 ) = 0,8333 La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333. b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ , y la desviación típica, σ . b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos. σ = ( b – a ) 2 12 = ( 15 – 0 ) 2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos. c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces? NOTA Esto pide calcular el percentil 90 . c. Calcule el percentil 90 . Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90 . P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( k – 0 ) ( 1 15 ) 0,90 = ( k ) ( 1 15 ) k = ( 0,90 ) ( 15 ) = 13,5 El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos. Ejercicio La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive. Calcule a y b y describa lo que representan. Escriba la distribución. Calcule la media y la desviación típica. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas? a es 447, y b es 521. a es la duración mínima de los partidos de un equipo para la temporada 2011, y b es la duración máxima de los partidos de un equipo para la temporada 2011. X ~ U (447, 521). μ = 484, y σ = 21,36 P (480 < x < 500) = 0,2703 Repaso del capítulo Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b , entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b ). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U ( a , b ). La media de X es μ = a + b 2 . La desviación típica de X es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . X es continua. La probabilidad de P ( c < X < d ) se puede hallar calculando el área bajo f ( x ), entre c y d . Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura. Revisión de la fórmula X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b ). a = X más pequeño; b = X más grande X ~ U (a, b) La media es μ = a + b 2 La desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 Función de densidad de probabilidad: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ X ≤ b Área a la izquierda de x : P ( X < x ) = ( x – a ) ( 1 b – a ) Área a la derecha de x : P ( X > x ) = ( b – x ) ( 1 b – a ) Área entre c y d : P ( c < x < d ) = (base)(altura) = ( d – c ) ( 1 b – a ) pdf: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b cdf: P ( X ≤ x ) = x – a b – a media µ = a + b 2 desviación típica σ = ( b – a ) 2 12 P ( c < X < d ) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Referencias McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995. Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas. 1,5 2,4 3,6 2,6 1,6 2,4 2,0 3,5 2,5 1,8 2,4 2,5 3,5 4,0 2,6 1,6 2,2 1,8 3,8 2,5 1,5 2,8 1,8 4,5 1,9 1,9 3,1 1,6 La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302. La distribución se puede escribir como X ~ U (1,5, 4,5). ¿Qué tipo de distribución es esta? En esta distribución, los resultados son igualmente probables. ¿Qué significa esto? Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5. ¿Cuál es la altura de f ( x ) para la distribución de probabilidad continua? ¿Cuáles son las limitaciones para los valores de x ? 1,5 ≤ x ≤ 4,5 Gráfico de P (2 < x < 3). ¿Qué es P (2 < x < 3)? 0,3333 ¿Qué es P (x < 3,5 | x < 4)? ¿Qué es P ( x = 1,5)? cero Calcule la probabilidad de que una casa seleccionada al azar tenga más de 3.000 pies cuadrados dado que ya se sabe que la casa tiene más de 2.000 pies cuadrados. 0,6 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U (0, 12). ¿Qué es a ? ¿Qué representa? ¿Qué es b ? ¿Qué representa? b es 12, y representa el valor más alto de x . ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuál es la media teórica? seis ¿Cuál es la desviación típica teórica? Dibuje el gráfico de la distribución para P ( x > 9). Calcule P ( x > 9). Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años. ¿Qué se mide aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal ¿Los datos son discretos o continuos? El intervalo de valores de x es ______. de 0,5 a 9,5 La distribución de X es ______. Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive. Grafique la distribución de probabilidad. Dibuje el gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los siguientes valores: El valor más bajo para x – : _______ El valor más alto para x – : _______ Altura del rectángulo: _______ Identifique para el eje x (en palabras): _______ Identifique para el eje y (en palabras): _______ Calcule la edad promedio de los automóviles en el estacionamiento. μ = 5 Calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4) = _______ Considerando solo los automóviles de menos de 7,5 años, calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico, sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4 | x < 7,5) = _______ Compruebe la solución del estudiante. 3,5 7 ¿Qué ha cambiado en los dos problemas anteriores para que las soluciones sean diferentes? Calcule el tercer cuartil de edades de los automóviles en el estacionamiento. Esto significa que tendrá que hallar el valor tal que 3 4 , o el 75 %, de los automóviles tienen como máximo (menos o igual) esa edad. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,75. El tercer cuartil es _______ Compruebe la solución del estudiante. k = 7,25 7,25 Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Los nacimientos se distribuyen de manera aproximadamente uniforme entre las 52 semanas del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de uno a 53 (repartición de 52 semanas). Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que comienza la semana 19. Es decir, calcule P ( x = 19) = _________ P (2 < x < 31) = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40. P (12 < x | x < 28) = _________ Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme. Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ P (3,5 < x < 7,25) = _________ P ( x > 5,67) P ( x > 5 | x > 3) = _________ Compruebe la solución del estudiante. e ( x ) = 1 8 donde 1 ≤ x ≤ 9 cinco 2,3 15 32 333 800 2 3 Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa de pérdida de peso en vivo en el Hospital de Santa Elena, las personas que siguen su programa pierden entre 6 y 15 libras al mes hasta acercarse a su peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes. Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes. P (7 < x < 13 | x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Un vagón de metro de la Red Line llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme. Defina la variable aleatoria. X = _______ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _______ μ = _______ σ = _______ Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto. Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja. Grafique la distribución de probabilidad. e ( x ) = 1 8 donde 0 ≤ x ≤ 8 cuatro 2,31 1 8 1 8 La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años. Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)? cero dos tres cuatro d ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos? 0,125 0,25 0,5 0,75 b El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f ( x ) = 1 20 donde x va de 25 a 45 minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________ Grafique la distribución de probabilidad. La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua). μ = ________ σ = ________ Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. P (25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares. Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares. La función de densidad de probabilidad de X es 1 25 – 16 = 1 9 . P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3 . P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3 . Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21 | x > 18). Puede responderla de dos maneras: Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 ( 25 – 18 ) = 1 7 Entonces, P ( x > 21 | x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) = 4/7. Utilice la fórmula: P ( x > 21 | x > 18) = P ( x > 21 ∩ x > 18 ) P ( x > 18 ) = P ( x > 21 ) P ( x > 18 ) = ( 25 – 21 ) ( 25 – 18 ) = 4 7 . Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme. Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos. El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día. Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día. P ( X > 650) = 700 – 650 700 – 300 = 50 400 = 1 8 = 0,125. P (400 < X < 650) = 650 – 400 700 – 300 = 250 400 = 0,625 Probabilidad condicional la probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro.

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