Notación sigma y cálculo de la media aritmética Fórmula de la media de la población μ = 1 N ∑ i = 1 N x i Fórmula de la media muestral x – = 1 n ∑ i = 1 n x i Esta unidad está aquí para recordarle el material que una vez estudió y en su momento dijo: “¡Estoy seguro de que nunca necesitaré esto!”. Estas son las fórmulas de la media poblacional y de la media muestral. La letra griega μ es el símbolo de la media poblacional y x – es el símbolo de la media muestral. Ambas fórmulas tienen un símbolo matemático que nos indica cómo hacer los cálculos. Se llama notación Sigma porque el símbolo es la letra griega mayúscula sigma: Σ. Como todos los símbolos matemáticos nos dice lo que hay que hacer: igual que el signo más nos dice que hay que sumar y la x nos dice que hay que multiplicar. Se denominan operadores matemáticos. El símbolo Σ nos dice que hay que añadir una lista específica de números. Supongamos que tenemos una muestra de animales del refugio de animales local y nos interesa su edad promedio. Si enumeramos cada valor, u observación, en una columna, se puede dar a cada uno un número de índice. El primer número será el número 1 y el segundo el número 2 y así sucesivamente. Animal Edad 1 9 2 1 3 8,5 4 10,5 5 10 6 8,5 7 12 8 8 9 1 10 9,5 Cada observación representa un animal concreto de la muestra. Purr es el animal número uno y es un gato de 9 años, Toto es el animal número 2 y es un cachorro de 1 año y así sucesivamente. Para calcular la media, la fórmula nos dice que debemos sumar todos estos números, las edades en este caso, y luego dividir la suma entre 10, el número total de animales de la muestra. El animal número uno, el gato Purr, se designa como X 1 , el animal número 2, Toto, se designa como X 2 y así sucesivamente hasta Dundee que es el animal número 10 y se designa como X 10 . La i de la fórmula nos indica cuál de las observaciones hay que sumar. En este caso es de X 1 a X 10 que son todos. Sabemos cuáles hay que añadir por la notación de indexación, la i = 1 y la n o N mayúscula de la población. Para este ejemplo la notación de indexación sería i = 1 y por tratarse de una muestra utilizamos una n pequeña en la parte superior del Σ que sería 10. La desviación típica requiere el mismo operador matemático, por lo que sería útil recordar este conocimiento de su pasado. La suma de las edades es de 78 y, dividiendo entre 10, la edad media de la muestra es de 7,8 años. Un grupo de 10 niños están en una búsqueda del tesoro para encontrar rocas de diferentes colores. Los resultados se muestran en la . La columna de la derecha muestra el número de colores de las piedras que tiene cada niño. ¿Cuál es el número medio de piedras? Niño Colores de las piedras 1 5 2 5 3 6 4 2 5 4 6 3 7 7 8 2 9 1 10 10 Se mide a un grupo de niños para determinar la estatura promedio del grupo. Los resultados se encuentran en la . ¿Cuál es la estatura media del grupo con una precisión de una centésima de pulgada? Niño Estatura en pulgadas Adam 45,21 Betty 39,45 Charlie 43,78 Donna 48,76 Earl 37,39 Fran 39,90 George 45,56 Heather 46,24 39,48 in. Una persona compara los precios de cinco automóviles. Los resultados están en la . ¿Cuál es el precio medio de los automóviles que la persona ha considerado? Precio $20.987 $22.008 $19.998 $23.433 $21.444 $21.574 Un servicio de protección al cliente ha obtenido 8 bolsas de caramelos que supuestamente contienen 16 onzas de caramelos cada una. Los caramelos se pesan para determinar si el peso promedio es al menos las 16 onzas declaradas. Los resultados figuran en la . ¿Cuál es el peso medio de una bolsa de caramelos en la muestra? Peso en onzas 15,65 16,09 16,01 15,99 16,02 16,00 15,98 16,08 15,98 onzas Un maestro registra las notas de una clase de 70, 72, 79, 81, 82, 82, 83, 90 y 95. ¿Cuál es la media de estas notas? 81,56 Se hace una encuesta a una familia para ver la media del número de horas al día que el televisor está encendido. Los resultados, empezando por el domingo, son 6, 3, 2, 3, 1, 3 y 7 horas. ¿Cuál es el número promedio de horas que la familia ha tenido la televisión encendida, redondeando al número entero más cercano? 4 horas Una ciudad recibió las siguientes precipitaciones en un año reciente. ¿Cuál es el número medio de pulgadas de lluvia que recibe la ciudad mensualmente, con una precisión de una centésima de pulgada? Utilice . Mes Precipitaciones en pulgadas Enero 2,21 Febrero 3,12 Marzo 4,11 Abril 2,09 May 0,99 Junio 1,08 Julio 2,99 Agosto 0,08 Septiembre 0,52 Octubre 1,89 Noviembre 2,00 Diciembre 3,06 2,01 pulgadas Un equipo de fútbol anotó los siguientes puntos en sus primeros 8 partidos de la nueva temporada. Empezando por el juego 1 y en orden los resultados son 14, 14, 24, 21, 7, 0, 38 y 28. ¿Cuál es el número medio de puntos que el equipo anotó en estos ocho partidos? 18,25 Tarea para la casa Se elige una muestra de 10 precios de una población de 100 artículos similares. Los valores obtenidos de la muestra, y los valores para la población, figuran en la y en la respectivamente. ¿La media de la muestra está a menos de 1 dólar de la media de la población? ¿Cuál es la diferencia entre las medias de la muestra y de la población? Precios de la muestra $21 $23 $21 $24 $22 $22 $25 $21 $20 $24 Precios de la población Frecuencia $20 20 $21 35 $22 15 $23 10 $24 18 $25 2 Sí La muestra es 0,5 más alta. Al principio del curso escolar se realiza una prueba estandarizada a diez personas, cuyos resultados se recogen en la . Al final del año se volvió a examinar a las mismas personas. ¿Cuál es la mejora promedio? ¿Importa si se restan las medias o si se restan los valores individuales? Estudiante Puntuación inicial Puntuación final 1 1.100 1.120 2 980 1.030 3 1.200 1.208 4 998 1.000 5 893 948 6 1.015 1.030 7 1.217 1.224 8 1.232 1.245 9 967 988 10 988 997 20 No Una clase pequeña de 7 estudiantes tiene una nota media de 82 en un examen. Si seis de las notas son 80, 82,86, 90, 90 y 95, ¿cuál es la otra nota? 51 Una clase de 20 estudiantes tiene una nota media de 80 en un examen. Diecinueve de los estudiantes tienen una nota media entre 79 y 82, ambas inclusive. ¿Cuál es la nota más baja posible de otro estudiante? ¿Cuál es la nota más alta posible de otro estudiante? 42 99 Si la media de 20 precios es de 10,39 dólares, y se muestrean 5 de los artículos con una media de 10,99 dólares, ¿cuál es la media de los otros 15 precios? $10,19

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Media geométrica La media (aritmética), la mediana y la moda son medidas del "centro" de los datos, la "media". Todos intentan, a su manera, medir el punto "común" dentro de los datos, el que es "normal". En el caso de la media aritmética esto se resuelve encontrando el valor del que todos los puntos están a igual distancia lineal. Podemos imaginar que todos los valores de los datos se combinan mediante la adición y luego se distribuyen a cada punto de datos en cantidades iguales. La suma de todos los valores es lo que se redistribuye en cantidades iguales de manera que la suma total sigue siendo la misma. La media geométrica no redistribuye la suma de los valores, sino el producto de multiplicar todos los valores individuales y luego redistribuirlos en porciones iguales de manera que el producto total siga siendo el mismo. Esto se desprende de la fórmula de la media geométrica, x ~ : (Se dice “x tilde”) x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n donde π es otro operador matemático, que nos dice que hay que multiplicar todos los números x i de la misma manera que la sigma griega mayúscula nos dice que sumemos todos los números x i . Recuerde que un exponente fraccionario pide la raíz enésima del número por lo que un exponente de 1/3 es la raíz cúbica del número. La media geométrica responde a la pregunta "si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para conseguir el mismo producto?”. La media geométrica recibe su nombre del hecho de que cuando se redistribuye de esta manera los lados forman una forma geométrica en la que todos tienen la misma longitud. Para verlo, tomemos el ejemplo de los números 10, 51,2 y 8. La media geométrica es el producto de multiplicar estos tres números entre sí (4.096) y sacar la raíz cúbica porque son tres los números entre los que hay que repartir este producto. Por tanto, la media geométrica de estos tres números es 16. Esto describe un cubo de 16x16x16 y tiene un volumen de 4.096 unidades. La media geométrica es relevante en Economía y Finanzas para tratar el crecimiento: el crecimiento de los mercados, de la inversión, de la población y de otras variables cuyo crecimiento interesa. Imagine que nuestra caja de 4096 unidades (quizás dólares) es el valor de una inversión al cabo de tres años y que los rendimientos de la inversión en porcentajes fueron los tres números de nuestro ejemplo. La media geométrica nos proporcionará la respuesta a la pregunta de cuál es la tasa promedio de rendimiento: 16 por ciento. La media aritmética de estas tres cifras es del 23,6 %. La razón de esta diferencia, 16 frente a 23,6, es que la media aritmética es aditiva y, por lo tanto, no tiene en cuenta el interés sobre el interés, el interés compuesto, implícito en el proceso de crecimiento de la inversión. La misma situación se plantea cuando se pregunta por la tasa promedio de crecimiento de una población o de las ventas o de la penetración en el mercado, etc., conociendo las tasas anuales de crecimiento. La fórmula de la tasa de rendimiento media geométrica, o de cualquier otra tasa de crecimiento, es: r s = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n − 1 Al manipular la fórmula de la media geométrica también se puede calcular la tasa promedio de crecimiento entre dos periodos conociendo solo el valor inicial a 0 y el valor final a n y el número de periodos, n . La siguiente fórmula proporciona esta información: ( a n a 0 ) 1 n = x ~ Por último, observamos que la fórmula de la media geométrica requiere que todos los números sean positivos, mayores que cero. La razón, por supuesto, es que la raíz de un número negativo no está definida para su uso fuera de la teoría matemática. Sin embargo, hay formas de evitar este problema. En el caso de las tasas de rendimiento y otros problemas de crecimiento simples, podemos convertir los valores negativos en valores equivalentes positivos significativos. Imagine que los rendimientos anuales de los últimos tres años son del +12 %, –8 % y +2 %. El uso de los multiplicadores decimales equivalentes a 1,12, 0,92 y 1,02 nos permite calcular una media geométrica de 1,0167. Al restar 1 a este valor se obtiene la media geométrica de +1,67 % como tasa neta de crecimiento de la población (o rendimiento financiero). De este ejemplo se desprende que la media geométrica nos proporciona esta fórmula para calcular la tasa de rendimiento geométrica (media) de una serie de tasas de rendimiento anuales: r s = x ~ - 1 donde r s es la tasa promedio de rendimiento y x ~ es la media geométrica de los rendimientos durante un cierto número de periodos. Tenga en cuenta que la duración de cada periodo debe ser la misma. Como regla general, hay que convertir los valores porcentuales en su equivalente decimal multiplicador. Es importante reconocer que cuando se trata de porcentajes, la media geométrica de los valores porcentuales no es igual a la media geométrica de los equivalentes del multiplicador decimal y es la media geométrica del multiplicador decimal la que es relevante. Revisión de la fórmula La media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 5, 10, 20 10 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 9,000, 15,00, 21,00 14,15 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 7,0, 10,0, 39,2 14 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 17,00, 10,00, 19,00 14,78 ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 1,0, 2,0, 1,5 44 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,80, 2,0, 5,0 100 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,90, 1,1, 1,2 6 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 4,2, 4,3, 4,5 33 % Tarea para la casa Una inversión pasa de 10.000 a 22.000 dólares en cinco años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento? 17 % Una inversión inicial de 20.000 dólares crece a un ritmo del 9 % durante cinco años. ¿Cuál es su valor final? $30.772,48 Un cultivo contiene 1300 bacterias. Las bacterias crecen hasta 2.000 en 10 horas. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias por hora, con una precisión de una décima de porcentaje? 4,4 % Una inversión de 3.000 dólares crece a un ritmo del 5 % durante un año, y luego a un ritmo del 8 % durante tres años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento con una precisión de una centésima? 7,24 % Una inversión de 10.000 dólares se reduce a 9.500 dólares en cuatro años. ¿Cuál es la rentabilidad promedio anual, con una precisión de una centésima? –1,27 %

Introducción a la estadística empresarial

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Distorsión y media, mediana y moda Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10 Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo. El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana. El histograma de los datos: 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 que se muestra en la no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. Podemos medir formalmente la distorsión de una distribución del mismo modo que podemos medir matemáticamente el peso del centro de los datos o su "velocidad" general. La fórmula matemática de la distorsión es a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 . Cuanto mayor sea la desviación con respecto a cero, mayor será el grado de distorsión. Si la distorsión es negativa, la distribución está distorsionada a la izquierda, como en la . Una medida positiva de la distorsión indica distorsionada a la derecha, como en la . La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más. El histograma de los datos: 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10 mostrados en la , tampoco es simétrico. Es con distorsión a la derecha . La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor . De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión. Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media. Al igual que con la media, la mediana y la moda, y como veremos en breve, la varianza, existen fórmulas matemáticas que nos dan medidas precisas de estas características de la distribución de los datos. Volviendo a mirar la fórmula de la distorsión, vemos que se trata de una relación entre la media de los datos y las observaciones individuales al cubo. a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 donde s es la desviación típica muestral de los datos, X i , y x ¯ es la media aritmética y n es el tamaño de la muestra. Formalmente, la media aritmética se conoce como el primer momento de la distribución. El segundo momento que veremos es la varianza, y la distorsión es el tercer momento. La varianza mide las diferencias al cuadrado de los datos respecto a la media y la distorsión mide las diferencias al cubo de los datos respecto a la media. Mientras que una varianza nunca puede ser un número negativo, la medida de distorsión sí puede y así es como determinamos si los datos están distorsionados la derecha o a la izquierda. La distorsión de una distribución normal es cero, y cualquier dato simétrico debería tener una distorsión cercana a cero. Los valores negativos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la izquierda y los valores positivos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la derecha. Por izquierda distorsionada, queremos decir que la cola izquierda es larga en relación con la cola derecha. Del mismo modo, la derecha distorsionada significa que la cola derecha es larga en relación con la cola izquierda. La distorsión caracteriza el grado de asimetría de una distribución en torno a su media. Mientras que la media y la desviación típica son magnitudes dimensionales (por eso tomaremos la raíz cuadrada de la varianza) es decir, tienen las mismas unidades que las magnitudes medidas X i , la distorsión se define convencionalmente de forma que sea adimensional . Es un número puro que caracteriza únicamente la forma de la distribución. Un valor positivo de distorsión significa una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia un X más positiva y un valor negativo significa una distribución cuya cola se extiende hacia X más negativa. Una medida cero de distorsión indicará una distribución simétrica. La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores. Repaso del capítulo Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones. Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la . Revisión de la fórmula Fórmula para la distorsión: a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 Fórmula del coeficiente de variación C V = s x ¯ · 100 condicionado a x ¯ ≠ 0 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha. 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 Los datos son simétricos. La mediana es 3 y la media es 2,85. Están cerca, y la moda se encuentra cerca del centro de los datos, por lo que los datos son simétricos. 16 17 19 22 22 22 22 22 23 87 87 87 87 87 88 89 89 90 91 Los datos están distorsionados a la derecha. La mediana es de 87,5 y la media de 88,2. Aunque están cerca, la moda se encuentra a la izquierda del centro de los datos, y hay muchos más casos de 87 que de cualquier otro número, por lo que los datos están distorsionados a la derecha. Cuando los datos están distorsionados a la izquierda, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana están cerca o son iguales. ¿Qué palabra describe una distribución que tiene dos modas? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la derecha porque luce desplazada hacia la derecha. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media es de 4,1 y es ligeramente superior a la mediana, que es de cuatro. Describa la forma de esta distribución. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. La moda y la mediana son iguales. En este caso, las dos son cinco. ¿La media y la mediana son exactamente iguales en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la izquierda porque luce desplazada hacia la izquierda. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media y la mediana son seis. La media y la mediana de los datos son iguales. 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 ¿Los datos son perfectamente simétricos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la mayor, la media, la moda o la mediana del conjunto de datos? 11 11 12 12 12 12 13 15 17 22 22 22 La moda es 12, la mediana es 12,5 y la media es 15,1. La media es la mayor. ¿Cuál es menor, la media, la moda y la mediana del conjunto de datos? 56 56 56 58 59 60 62 64 64 65 67 De las tres medidas, ¿cuál tiende a reflejar más la distorsión: la media, la moda o la mediana? ¿Por qué? La media tiende a reflejar más la distorsión porque es la más afectada por los valores atípicos. En una distribución perfectamente simétrica, ¿cuándo la moda sería diferente de la media y la mediana? Tarea para la casa La edad media de la población de EE. UU. en 1980 era de 30,0 años. En 1991, la edad media era de 33,1 años. ¿Qué significa que la edad media aumente? Dé dos razones por las que la edad media podría aumentar. Para que la edad media aumente, ¿el número real de niños es menor en 1991 que en 1980? ¿Por qué sí o por qué no?

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Medidas de la dispersión de los datos Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media. La desviación típica proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media. La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación. Supongamos que estamos estudiando el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B . El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A , la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B , la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos. Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B . En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio. Cálculo de la desviación típica Si x es un número, la diferencia " x menos la media" se denomina su deviación . En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ . Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – x – . El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ . Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – x – para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ 2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s 2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones. Formalmente, la varianza es el segundo momento de la distribución o el primer momento alrededor de la media. Recuerde que la media es el primer momento de la distribución. Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N , el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre n – 1 , uno menos que el número de elementos de la muestra. Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x – ) 2 n – 1 o s = Σ f ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ( ∑ i = 1 n x 2 ) – n x – 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra menos 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ f ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ i = 1 N x i 2 N – μ 2 Para la desviación típica de la población el denominador es N , el número de elementos de la población. En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres. Dos observaciones importantes sobre la varianza y la desviación típica: las desviaciones se miden a partir de la media y las desviaciones se elevan al cuadrado. En principio, las desviaciones podrían medirse desde cualquier punto, sin embargo, nuestro interés es la medición desde el peso central de los datos, lo que es el valor "normal" o más habitual de la observación. Más adelante trataremos de medir lo “inusual" de una observación o de una media muestral y, por tanto, necesitamos una medida a partir de la media. La segunda observación es que las desviaciones son al cuadrado. Esto tiene dos efectos: primero, hace que las desviaciones sean todas positivas y segundo, cambia las unidades de medida de la media y de las observaciones originales. Si los datos son pesos, la media se mide en libras, pero la varianza se mide en libras al cuadrado. Una de las razones para utilizar la desviación típica es volver a las unidades de medida originales tomando la raíz cuadrada de la varianza. Además, cuando las desviaciones se elevan al cuadrado su valor aumenta en gran medida. Por ejemplo, una desviación de 10 de la media al cuadrado es 100, pero una desviación de 100 de la media es 10.000. Lo que hace esto es dar un gran peso a los valores atípicos al calcular la varianza. Tipos de variabilidad en las muestras Cuando se trata de estudiar una población, a menudo se utiliza una muestra, ya sea por conveniencia o porque no es posible acceder a toda la población. La variabilidad es el término utilizado para describir las diferencias que pueden darse en estos resultados. Los tipos de variabilidad más comunes son los siguientes: Variabilidad de observación o de medición Variabilidad natural Variabilidad inducida Variabilidad de la muestra He aquí algunos ejemplos para describir cada tipo de variabilidad. Ejemplo 1: Variabilidad de la medición La variabilidad de la medición se produce cuando hay diferencias en los instrumentos utilizados para medir o en las personas que utilizan esos instrumentos. Si recopilamos datos sobre el tiempo que tarda una pelota en caer desde una altura haciendo que los estudiantes midan el tiempo de la caída con un cronómetro, podemos experimentar una variabilidad en la medición si los dos cronómetros utilizados son de diferentes fabricantes: Por ejemplo, un cronómetro mide al segundo más cercano, mientras que el otro mide a la décima de segundo más cercana. También podemos experimentar la variabilidad de las mediciones porque dos personas diferentes recopilan los datos. Sus tiempos de reacción al pulsar el botón del cronómetro pueden ser diferentes, por lo que los resultados variarán en consecuencia. Las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de las mediciones. Ejemplo 2: Variabilidad natural La variabilidad natural surge de las diferencias que se producen de forma natural porque los miembros de una población difieren entre sí. Por ejemplo, si tenemos dos plantas de maíz idénticas y las exponemos a la misma cantidad de agua y luz solar, pueden crecer a ritmos diferentes simplemente porque son dos plantas de maíz diferentes. La diferencia de resultados puede explicarse por la variabilidad natural. Ejemplo 3: Variabilidad inducida La variabilidad inducida es la contrapartida de la variabilidad natural; se produce porque hemos inducido artificialmente un elemento de variación (que, por definición, no estaba presente de forma natural): Por ejemplo, asignamos personas a dos grupos diferentes para estudiar la memoria, e inducimos una variable en un grupo limitando la cantidad de sueño que tienen. La diferencia de resultados puede verse afectada por la variabilidad inducida. Ejemplo 4: Variabilidad de la muestra La variabilidad de la muestra se produce cuando se toman varias muestras aleatorias de la misma población. Por ejemplo, si se realizan cuatro encuestas a 50 personas seleccionadas al azar de una población determinada, las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de la muestra. En una clase de quinto grado la maestra estaba interesada en la edad promedio y la desviación típica de la muestra de las edades de sus estudiantes. Los siguientes datos son las edades de una MUESTRA de n = 20 estudiantes de quinto grado. Las edades están redondeadas al medio año más cercano: 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; x – = 9 + 9 ,5(2) + 10(4) + 10 ,5(4) + 11(6) + 11 ,5(3) 20 = 10,525 La edad promedio es de 10,53 años, redondeada a dos cifras. La varianza se puede calcular mediante una tabla. A continuación se calcula la desviación típica tomando la raíz cuadrada de la varianza. Explicaremos las partes de la tabla después de calcular s . Datos Frec. Desviaciones Desviaciones 2 (Frec.)(Desviaciones 2 ) x f ( x – x – ) ( x – x – ) 2 ( f )( x – x – ) 2 9 1 9 – 10,525 = –1,525 (–1,525) 2 = 2,325625 1 × 2,325625 = 2,325625 9,5 2 9,5 – 10,525 = –1,025 (–1,025) 2 = 1,050625 2 × 1,050625 = 2,101250 10 4 10 – 10,525 = –0,525 (–0,525) 2 = 0,275625 4 × 0,275625 = 1,1025 10,5 4 10,5 – 10,525 = –0,025 (–0,025) 2 = 0,000625 4 × 0,000625 = 0,0025 11 6 11 – 10,525 = 0,475 (0,475) 2 = 0,225625 6 × 0,225625 = 1,35375 11,5 3 11,5 – 10,525 = 0,975 (0,975) 2 = 0,950625 3 × 0,950625 = 2,851875 El total es 9,7375 La varianza de la muestra, s 2 , es igual a la suma de la última columna (9,7375) dividida entre el número total de valores de datos menos uno (20 – 1): s 2 = 9,7375 20 – 1 = 0,5125 La desviación típica de la muestra s es igual a la raíz cuadrada de la varianza de la muestra: s = 0,5125 = 0,715891 , que se redondea a dos decimales, s = 0,72. Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado. Al elevar al cuadrado las desviaciones, estamos penalizando en extremo las observaciones que se alejan de la media; estas observaciones tienen mayor peso en los cálculos de la varianza. Más adelante veremos que la varianza (desviación típica) desempeña un papel fundamental para determinar nuestras conclusiones en la estadística inferencial. Podemos empezar ahora utilizando la desviación típica como medida de lo "inusual": "¿Cómo te fue en el examen?" "¡Fantástico! Dos desviaciones típicas por encima de la media". Esto, como veremos, es una nota de examen excepcionalmente buena. La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos. Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra , se divide entre el tamaño de la muestra menos uno ( n – 1). ¿Por qué no dividir entre n ? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Esta estimación nos obliga a utilizar una cifra estimada de la media de la población en lugar de la media real de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre ( n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población. La desviación típica, s o σ , es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes. Utilice los siguientes datos (calificaciones del primer examen) de la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean: 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Cree un gráfico que contenga los datos, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas con tres decimales. Calcule lo siguiente con un decimal: La media muestral La desviación típica de la muestra La mediana El primer cuartil El tercer cuartil IQR Vea la La media muestral = 73,5 La desviación típica de la muestra = 17,9 La mediana = 73 El primer cuartil = 61 El tercer cuartil = 90 IQR = 90 – 61 = 29 Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 33 1 0,032 0,032 42 1 0,032 0,064 49 2 0,065 0,129 53 1 0,032 0,161 55 2 0,065 0,226 61 1 0,032 0,258 63 1 0,032 0,29 67 1 0,032 0,322 68 2 0,065 0,387 69 2 0,065 0,452 72 1 0,032 0,484 73 1 0,032 0,516 74 1 0,032 0,548 78 1 0,032 0,580 80 1 0,032 0,612 83 1 0,032 0,644 88 3 0,097 0,741 90 1 0,032 0,773 92 1 0,032 0,805 94 4 0,129 0,934 96 1 0,032 0,966 100 1 0,032 0,998 (¿Por qué este valor no es 1? RESPUESTA: Redondeo) Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula Tabla de media de la frecuencia = ∑ f m ∑ f donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo. Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media. Calcule la desviación típica de los datos en la . Clase Frecuencia, f Punto medio, m f · m f ( m – x – ) 2 0–2 1 1 1 · 1 = 1 1 ( 1 – 6,88 ) 2 = 34,57 3–5 6 4 6 · 4 = 24 6 ( 4 – 6,88 ) 2 = 49,77 6-8 10 7 10 · 7 = 70 10 ( 7 – 6,88 ) 2 = 0,14 9-11 7 10 7 · 10 = 70 7 ( 10 – 6,88 ) 2 = 68,14 12-14 0 13 0 · 13 = 0 0 ( 13 – 6,88 ) 2 = 0 n = 24 x – = 165 24 = 6,88 s 2 = 152,62 24 – 1 = 6,64 Para este conjunto de datos, tenemos la media, x – = 6,88 y la desviación típica, s x = 2,58. Esto significa que se espera que un valor de datos seleccionado al azar se aleje 2,58 unidades de la media. Si observamos la primera clase, vemos que el punto medio de la clase es igual a uno. Esto supone casi tres desviaciones típicas de la media. La fórmula para calcular la desviación típica no es complicada, s x = Σ ( m – x – ) 2 f n – 1 donde s x = desviación típica de la muestra, x – = media muestral, los cálculos son tediosos. Por lo general, lo mejor es utilizar la tecnología para realizar los cálculos. Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa. Para cada valor de los datos x, calcule a cuántas desviaciones típicas de su media se encuentra el valor. Utilice la fórmula: x = media + (n.º de STDEV)(de STandard DEViation o desviación típica); resuelva para n.º de STDEV. n.º d e S T D E V = x – media desviación típica Compare los resultados de este cálculo. N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z ”; podemos utilizar el símbolo z . En símbolos, las fórmulas se convierten en: Muestra x = x – + zs z = x – x – s Población x = μ + zσ z = x – μ σ Dos estudiantes, John y Ali, de diferentes escuelas secundarias, querían averiguar quién tenía el mejor GPA en comparación con su escuela. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con su escuela? Estudiante GPA GPA media escolar Desviación típica escolar John 2,85 3,0 0,7 Ali 77 80 10 Para cada estudiante, determine cuántas desviaciones típicas (n.º de STDEV) se aleja su GPA del promedio, para su escuela. Preste mucha atención a los signos al comparar e interpretar la respuesta. z = N.º de STDEV = valor – media desviación típica = x – μ σ Para John, z = n.º d e S T D E V = 2,85 – 3,0 0,7 = – 0,21 Para Ali, z = n.º d e S T D E V = 77 – 80 10 = – 0,3 John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela porque su GPA está 0,21 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela mientras que el GPA de Ali está 0,3 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela. La puntuación z de John, de –0,21, es mayor que la puntuación z de Ali, de –0,3. Para el GPA, los valores más altos son mejores, por lo que concluimos que John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela. Ejercicio Dos nadadoras, Angie y Beth, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el tiempo más rápido en los 50 metros libres en comparación con su equipo. ¿Qué nadadora tuvo el mejor tiempo en comparación con su equipo? Nadadora Tiempo (segundos) Tiempo medio del equipo Desviación típica del equipo Angie 26,2 27,2 0,8 Beth 27,3 30,1 1,4 Para Angie: z = 26 0,2 – 27 0,2 0 0,8 = -1,25 Para Beth: z = 27 0,3 – 30 0,1 1. 4 = -2 Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos. Para CUALQUIER conjunto de datos, no importa cuál sea la distribución de los datos: Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla de Chebyshev. Para los datos que tienen una distribución normal, que examinaremos en detalle más adelante: Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla empírica. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores. Coeficiente de variación Otra forma útil de comparar distribuciones, además de las simples comparaciones de medias o desviaciones típicas, es ajustar las diferencias en la escala de los datos que se miden. Sencillamente, una gran variación en los datos con una media grande es diferente a la misma variación en los datos con una media pequeña. Para ajustar la escala de los datos subyacentes se ha desarrollado el coeficiente de variación (CV). Matemáticamente, el: C V = s x ¯ * 100 condicionado a x ¯ ≠ 0, donde s es la desviación típica de los datos y x ¯ es la media. Podemos ver que esto mide la variabilidad de los datos subyacentes como un porcentaje del valor medio; el peso central del conjunto de datos. Esta medida es útil para comparar el riesgo cuando se justifica un ajuste debido a las diferencias de escala de dos conjuntos de datos. En efecto, la escala se cambia a escala común, diferencias porcentuales, y permite la comparación directa de las dos o más magnitudes de variación de diferentes conjuntos de datos. Referencias Datos de Microsoft Bookshelf. King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos. s = ∑  ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ∑  e ( x – x – ) 2 n – 1 es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ , y la fórmula σ = ∑  ( x – μ ) 2 N o σ = ∑  e ( x – μ ) 2 N . Revisión de la fórmula s x = ∑ e m 2 n – x – 2 donde s x = desviación típica de la muestra x – = media muestral Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x – ) 2 n – 1 o s = Σ e ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ( ∑ i = 1 n x 2 ) – n x – 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra – 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ e ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ i = 1 N x i 2 N – μ 2 Para la desviación típica de la población, el denominador es N , el número de elementos de la población. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios : Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150 Utilice una calculadora gráfica o una computadora para hallar la desviación típica y redondee a la décima más cercana. s = 34,5 Calcule el valor que está una desviación típica por debajo de la media. Dos jugadores de béisbol, Fredo y Karl, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo. ¿Cuál jugador de béisbol tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo? Jugador de béisbol Promedio de bateo Promedio de bateo del equipo Desviación típica del equipo Fredo 0,158 0,166 0,012 Karl 0,177 0,189 0,015 Para Fredo: z = 0,158 – 0,166 0,012 = -0,67 Para Karl: z = 0,177 – 0,189 0,015 = -0,8 La puntuación z de Fredo, de –0,67, es mayor que la puntuación z de Karl, de –0,8. Para el promedio de bateo, los valores más altos son mejores, por lo que Fredo tiene un mejor promedio de bateo en comparación con su equipo. Utilice la para hallar el valor que tiene tres desviaciones típicas: a por encima de la media b por debajo de la media Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 . Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 193157,45 30 – 79,5 2 = 10,88 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 380945,3 101 – 60,94 2 = 7,62 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 440051,5 86 – 70,66 2 = 11,14 Tarea para la casa Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005. μ = 1.000 FTES mediana = 1.014 FTES σ = 474 FTES primer cuartil = 528,5 FTES tercer cuartil = 1.447,5 FTES n = 29 años Se toma una muestra de 11 años. ¿Cuántos se espera que tengan un FTES de 1.014 o más? Explique cómo ha determinado su respuesta. El valor de la mediana es el valor medio en la lista ordenada de valores de datos. El valor mediano de un conjunto de 11 será el 6.º número en orden. Seis años tendrán totales iguales o inferiores a la mediana. El 75 % de todos los años tiene un FTES: en o por debajo de: _____ en o por encima de: _____ La desviación típica de la población = _____ 474 FTES ¿Qué porcentaje de FTES fue de 528,5 a 1.447,5? ¿Cómo lo sabe? ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? ¿Qué representa el IQR ? 919 ¿A cuántas desviaciones típicas de la media está la mediana? Información adicional: La población FTES para 2005-2006 hasta 2010-2011 se dio en un informe actualizado. Los datos se presentan aquí. Año 2005-2006 2006-2007 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 Total de FTES 1.585 1.690 1.735 1.935 2.021 1.890 Calcule la media, la mediana, la desviación típica, el primer cuartil, el tercer cuartil y el IQR . Redondee a un decimal. media = 1.809,3 mediana = 1.812,5 desviación típica = 151,2 primer cuartil = 1.690 tercer cuartil = 1.935 IQR = 245 Compare el IQR de los FTES de 1976-1977 a 2004-2005 con el IQR de los FTES de 2005-2006 a 2010-2011. ¿Por qué cree que los IQR son tan diferentes? Pista: Piense en el número de años que abarca cada periodo y en lo que ocurrió con la educación superior durante esos periodos. Tres estudiantes solicitaban el ingreso en la misma escuela de posgrado. Venían de escuelas con sistemas de calificación diferentes. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con otros estudiantes de su escuela? Explique cómo ha determinado su respuesta. Estudiante GPA GPA de la escuela Desviación típica de la escuela Thuy 2,7 3,2 0,8 Vichet 87 75 20 Kamala 8,6 8 0,4 Una escuela de música presupuestó la compra de tres instrumentos musicales. Planean comprar un piano que cuesta 3.000 dólares, una guitarra que cuesta 550 dólares y una batería que cuesta 600 dólares. El costo medio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. El costo medio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. El costo medio de la batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? ¿Qué costo es el más elevado en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? Justifique su respuesta. En el caso de los pianos, el costo está 0,4 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. En el caso de las guitarras, el costo está 0,25 desviaciones típicas POR ENCIMA de la media. En el caso de la batería, el costo está 1,0 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. De los tres, la batería es el instrumento que menos cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. La guitarra es la que más cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. Una clase de escuela primaria corrió una milla con una media de 11 minutos y una desviación típica de tres minutos. Rachel, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. Una clase de escuela secundaria júnior corrió una milla con una media de nueve minutos y una desviación típica de dos minutos. Kenji, un estudiante de la clase, corrió 1 milla en 8,5 minutos. Una clase de escuela secundaria corrió una milla con una media de siete minutos y una desviación típica de cuatro minutos. Nedda, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. ¿Por qué se considera a Kenji mejor corredor que Nedda, a pesar de que esta corría más rápido que él? ¿Quién es el corredor más rápido con respecto a su clase? Explique por qué. Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en la tabla 14 . Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? ¿Cuál es la desviación típica de las tasas de obesidad indicadas? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cuán “inusual” es la tasa de obesidad de Estados Unidos en comparación con la tasa promedio? Explique. x – = 23,32 Utilizando la TI 83/84, obtenemos una desviación típica de: s x = 12,95. La tasa de obesidad de Estados Unidos es un 10,58 % superior a la tasa promedio de obesidad. Dado que la desviación típica es 12,95, vemos que 23,32 + 12,95 = 36,27 es el porcentaje de obesidad que está a una desviación típica de la media. La tasa de obesidad de Estados Unidos es ligeramente inferior a una desviación típica de la media. Por lo tanto, podemos suponer que Estados Unidos, aunque tenga un 34 % de obesos, no tiene un porcentaje inusualmente alto de personas obesas. La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuáles intervalos podrían considerarse inusuales? Explique. Resúmalo todo Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Calcule la media muestral x – . Calcule la desviación típica aproximada de la muestra, s . 1,48 1,12 Se preguntó a cuarenta estudiantes seleccionados al azar el número de pares de zapatillas que tenían. Supongamos que X = el número de pares de zapatillas que tienen. Los resultados son los siguientes: X Frecuencia 1 2 2 5 3 8 4 12 5 12 6 0 7 1 Calcule la media muestral x – Calcule la desviación típica de la muestra, s Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Calcule el primer cuartil. Calcule la mediana. Calcule el tercer cuartil. ¿Qué porcentaje de estudiantes tenía al menos cinco pares? Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 90 . Construya un gráfico de líneas de los datos Construya un diagrama de tallo de los datos A continuación se muestran los pesos publicados (en libras) de todos los miembros del equipo de los San Francisco 49ers de un año anterior. 177; 205; 210; 210; 232; 205; 185; 185; 178; 210; 206; 212; 184; 174; 185; 242; 188; 212; 215; 247; 241; 223; 220; 260; 245; 259; 278; 270; 280; 295; 275; 285; 290; 272; 273; 280; 285; 286; 200; 215; 185; 230; 250; 241; 190; 260; 250; 302; 265; 290; 276; 228; 265 Organice los datos de menor a mayor valor. Calcule la mediana. Calcule el primer cuartil. Calcule el tercer cuartil. El 50 % de los pesos son de _______ a _______. Si nuestra población fueran todos los jugadores de fútbol americano profesionales, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Si nuestra población incluyera a todos los miembros del equipo que alguna vez jugaron con los San Francisco 49ers, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Supongamos que la población fuera los 49ers de San Francisco. Calcule: la media de la población, μ . la desviación típica de la población, σ . el peso que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Cuando Steve Young, mariscal de campo, jugaba fútbol americano pesaba 205 libras. ¿Cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media estaba? Ese mismo año, el peso medio de los Dallas Cowboys era de 240,08 libras con una desviación típica de 44,38 libras. Emmit Smith pesó 209 libras. Con respecto a su equipo, ¿quién era más liviano, Smith o Young? ¿Cómo determinó su respuesta? 174; 177; 178; 184; 185; 185; 185; 185; 188; 190; 200; 205; 205; 206; 210; 210; 210; 212; 212; 215; 215; 220; 223; 228; 230; 232; 241; 241; 242; 245; 247; 250; 250; 259; 260; 260; 265; 265; 270; 272; 273; 275; 276; 278; 280; 280; 285; 285; 286; 290; 290; 295; 302 241 205,5 272,5 205,5, 272,5 muestra población 236,34 37,50 161,34 0,84 de desviación típica por debajo de la media Young Cien maestros asistieron a un seminario sobre resolución de problemas matemáticos. Se midieron las actitudes de una muestra representativa de 12 de los maestros antes y después del seminario. Un número positivo para el cambio de actitud indica que la actitud del maestro hacia las Matemáticas se volvió más positiva. Las 12 calificaciones de los cambios son las siguientes: 3 8 -1 2 0 5 -3 1 -1 6 5 -2 ¿Cuál es la puntuación media del cambio? ¿Cuál es la desviación típica de esta población? ¿Cuál es la calificación media de los cambios? Calcule la calificación de cambio que está 2,2 desviaciones típicas por debajo de la media. Consulte la y determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explique su solución a cada parte con oraciones completas. Las medianas de ambos gráficos son iguales. No podemos determinar si alguna de las medias de ambos gráficos es diferente. La desviación típica del gráfico b es mayor que la desviación típica del gráfico a. No podemos determinar si alguno de los terceros cuartiles de ambos gráficos es diferente. Verdadero Verdadero Verdadero Falso En un número reciente de la revista IEEE Spectrum , se anunciaron 84 conferencias de ingeniería. Cuatro conferencias duraron dos días. Treinta y seis duraron tres días. Dieciocho dudaron cuatro días. Diecinueve dudaron cinco días. Cuatro duraron seis días. Una duró siete días. Una duró ocho días. Una duró nueve días. Supongamos que X = la duración (en días) de una conferencia de ingeniería. Organice los datos en un gráfico. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Calcule el percentil 65 . Calcule el percentil 10 . El 50 % del centro de las conferencias duran entre _______ y _______. Calcule la media muestral de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la desviación típica de la muestra de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la moda. Si estuviera planificando una conferencia de ingeniería, ¿qué elegiría como su duración: la media, la mediana o la moda? Explique por qué tomó esa decisión. Dé dos razones por las que piense que la duración de las conferencias de ingeniería parece ser de tres a cinco días. Una encuesta sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6414; 1550; 2109; 9350; 21828; 4300; 5944; 5722; 2825; 2044; 5481; 5200; 5853; 2750; 10012; 6357; 27000; 9414; 7681; 3200; 17500; 9200; 7380; 18314; 6557; 13713; 17768; 7493; 2771; 2861; 1263; 7285; 28165; 5080; 11622 Organice los datos en un gráfico con cinco intervalos de igual ancho. Identifique las dos columnas “inscripción” y “frecuencia”. Construya un histograma de los datos. Si tuviera que construir un nuevo colegio comunitario, ¿qué información sería más valiosa: la moda o la media? Calcule la media muestral. Calcule la desviación típica de la muestra. Una escuela con una matrícula de 8.000 estudiantes, ¿a cuántas desviaciones típicas de la media se refiere? Inscripción Frecuencia 1.000-5.000 10 5.000-10.000 16 10.000-15.000 3 150.00-20.000 3 20.000-25.000 1 25.000-30.000 2 Compruebe la solución del estudiante. moda 8628,74 6943,88 -0,09 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio. x Frecuencia 0 3 1 12 2 33 3 28 4 11 5 9 6 4 El percentil 80 es _____ 5 80 3 4 El número que está 1,5 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media es aproximadamente _____ 0,7 4,8 -2,8 No se puede determinar a Supongamos que una editorial realiza una encuesta en la que pregunta a consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados se resumen en la . N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice una prueba numérica adecuada que incluya el IQR para identificar valores atípicos, si los hay, y exponga claramente su conclusión. Si un valor de los datos se identifica como un valor atípico, ¿qué hay que hacer con él? ¿Hay algún valor de los datos que se aleje más de dos desviaciones típicas de la media? En algunas situaciones, los estadísticos pueden utilizar este criterio para identificar valores de datos que son inusuales, en comparación con los demás valores de datos (observe que este criterio es más apropiado para utilizarlo con datos en forma de montículo y simétricos, que con datos distorsionados). ¿Las partes a y c de este problema dan la misma respuesta? Examine la forma de los datos. ¿Qué parte, a o c, de esta pregunta da un resultado más apropiado para estos datos? Según la forma de los datos, ¿cuál es la medida de centro más adecuada para estos datos: media, mediana o moda? Desviación típica número igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media, o el cuadrado de la desviación típica; para un conjunto de datos, una desviación puede representarse como x – x – donde x es un valor de los datos y x – es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.

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Introducción Las lluvias de meteoros son poco comunes, pero se puede calcular la probabilidad de que se produzcan (créditos: Navicore/flickr). A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo. Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático.

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Terminología La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito . Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento. El producto de un experimento se llama resultado . El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = { H , T } donde H = cara y T = cruz son los resultados. Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P ( A ). La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P ( A ) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P ( A ) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P ( A ) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara). Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara ( H ) que de que salga cruz ( T ). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta. Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es { HH , TH , HT , TT } donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición { HT , TH }, por lo que P ( A ) = 2 4 = 0,5. Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P ( E ) = 2 6 . Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general, 2 6 de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente 2 6 . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de 2 6 a medida que el número de repeticiones aumenta. Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números , que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado). Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados . Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables. " ∪ ” Evento: La Unión Un resultado es en el caso A ∪ B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B . Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista. " ∩ ” Evento: La intersección Un resultado es en el caso A ∩ B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A ∩ B = {4, 5}. El complemento del evento A se denomina A′ (léase “ A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A . Observe que P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P ( A ) = 4 6 , P ( A′ ) = 2 6 y P ( A ) + P ( A′ ) = 4 6 + 2 6 = 1 La probabilidad condicional de A dada B se escribe P ( A | B ). P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral . Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B . La fórmula para calcular P ( A | B ) es P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) donde P ( B ) es mayor que cero. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P ( A | B ), contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S ). Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados. P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = ( el número de resultados que son 2 o 3 o par en S ) 6 ( el número de resultados que son pares en S ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 Posibilidad Las probabilidades de un evento presentan la probabilidad como un cociente entre el éxito y el fracaso. Esto es común en varios formatos de juego. Matemáticamente, la posibilidad de un evento se define como: P ( A ) 1 – P ( A ) donde P ( A ) es la probabilidad de éxito y, por supuesto, 1 − P ( A ) es la probabilidad de fracaso. La posibilidad se expresa siempre como "numerador a denominador", por ejemplo: 2 a 1. En este caso, la probabilidad de ganar es el doble de la de perder; por ende, la probabilidad de ganar es de 0,66. Un 0,60 en la probabilidad de ganar generaría la posibilidad a favor de ganar de 3 a 2. Aunque el cálculo de la posibilidad pudiera servir en los locales de juegos de azar para determinar el monto del pago, es inútil para entender ni la probabilidad ni la teoría estadística. Entender la terminología y los símbolos Es importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay. El espacio muestral S son los números enteros a partir de uno y menores de 20. S = _____________________________ Supongamos que el evento A = los números pares y el evento B = los números mayores de 13. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A ∩ B = ____________________, A O B = ________________ P ( A ∩ B ) = _________, P ( A ∪ B ) = _____________ A′ = _____________, P ( A′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ) = 9 19 , P ( B ) = 6 19 A ∩ B = {14,16,18}, A O B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ∩ B ) = 3 19 , P ( A ∪ B ) = 12 19 A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P ( A′ ) = 10 19 P ( A ) + P ( A′ ) = 1 ( 9 19 + 10 19 = 1) P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 3 6 , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) = 3 9 , No Ejercicio El espacio muestral S son todos los pares ordenados de dos números enteros, el primero de uno a tres y el segundo de uno a cuatro (ejemplo: (1, 4)). S = _____________________________ Supongamos que el evento A = la suma es par y el evento B = el primer número es primo. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A ∩ B = ____________________, A ∪ B = ________________ P ( A ∩ B ) = _________, P ( A ∪ B ) = _____________ B′ = _____________, P ( B′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} A = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)} B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 2 3 A ∩ B = {(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)} A ∪ B = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} P ( A ∩ B ) = 1 3 , P ( A ∪ B ) = 5 6 B′ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)}, P ( B′ ) = 1 3 P ( B ) + P ( B′ ) = 1 P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 1 2 , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 2 3 , No. Se lanza un dado imparcial de seis lados. Describa el espacio muestral S , identifique cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcule su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen). Evento T = el resultado es dos. Evento A = el resultado es un número par. Evento B = el resultado es inferior a cuatro. El complemento de A . A | B B | A A ∩ B A ∪ B A ∪ B′ Evento N = el resultado es un número primo. Evento I = el resultado es siete. T = {2}, P ( T ) = 1 6 A = {2, 4, 6}, P ( A ) = 1 2 B = {1, 2, 3}, P ( B ) = 1 2 A′ = {1, 3, 5}, P ( A′ ) = 1 2 A | B = {2}, P ( A | B ) = 1 3 B | A = {2}, P ( B | A ) = 1 3 A ∩ B = {2}, P ( A ∩ B ) = 1 6 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}, P ( A ∪ B ) = 5 6 A ∪ B′ = {2, 4, 5, 6}, P (A ∪ B′ ) = 2 3 N = {2, 3, 5}, P ( N ) = 1 2 Un dado de seis lados no tiene siete puntos. P (7) = 0. La describe la distribución de una muestra aleatoria S de 100 personas, organizada por sexo y por si son diestras o zurdas. Diestro Zurdo Hombres 43 9 Mujeres 44 4 Denotamos los eventos M = el sujeto es hombre, F = el sujeto es mujer, R = el sujeto es diestro, L = el sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades: P ( M ) P ( F ) P ( R ) P ( L ) P ( M ∩ R ) P ( F ∩ L ) P ( M ∪ F ) P ( M ∪ R ) P ( F ∪ L ) P ( M' ) P ( R | M ) P ( F | L ) P ( L | F ) P ( M ) = 0,52 P ( F ) = 0,48 P ( R ) = 0,87 P ( L ) = 0,13 P ( M ∩ R ) = 0,43 P ( F ∩ L ) = 0,04 P ( M ∪ F ) = 1 P ( M ∪ R ) = 0,96 P ( F ∪ L ) = 0,57 P ( M' ) = 0,48 P ( R | M ) = 0,8269 (redondeado a cuatro decimales) P ( F | L ) = 0,3077 (redondeado a cuatro decimales) P ( L | F ) = 0,0833 Referencias “Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive. Revisión de la fórmula A y B son eventos P ( S ) = 1 donde S es el espacio muestral 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) En una determinada clase de un instituto universitario hay estudiantes hombres y mujeres. Algunos estudiantes tienen el cabello largo y otros tienen el cabello corto. Escriba los símbolos de las probabilidades de los eventos de las partes de la a a la j (tenga en cuenta que aquí no puede hallar respuestas numéricas. Todavía no se le ha dado suficiente información para hallar ningún valor de probabilidad; concéntrese en entender los símbolos). Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que M es el evento en el que un estudiante es hombre. Supongamos que S es el evento en el que un estudiante tiene el cabello corto. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante no tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre o tenga el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea una mujer y tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre, dado que el estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo, dado que el estudiante es hombre. De todas las estudiantes mujeres, la probabilidad de que una estudiante tenga el cabello corto. De todos los estudiantes con cabello largo, la probabilidad de que un estudiante sea mujer. La probabilidad de que un estudiante sea mujer o tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea un hombre con el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea mujer. P ( L′ ) = P ( S ) P ( M ∪ S ) P ( F ∩ L ) P ( M | L ) P ( L | M ) P ( S | F ) P ( F | L ) P ( F ∪ L ) P ( M ∩ S ) P ( F ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti. Calcule P ( H ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 15 42 = 5 14 = 0,36 Calcule P ( F ). Calcule P ( C ). P ( C ) = 5 42 = 0,12 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla. Calcule P ( B ). Calcule P ( G ). P ( G ) = 20 150 = 2 15 = 0,13 Calcule P ( P ). Calcule P ( R ). P ( R ) = 22 150 = 11 75 = 0,15 Calcule P ( Y ). Calcule P ( O ). P ( O ) = 150 – 22 – 38 – 20 – 28 – 26 150 = 16 150 = 8 75 = 0,11 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur. Calcule P ( A ). Calcule P ( E ). P ( E ) = 47 194 = 0,24 Calcule P ( F ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 23 194 = 0,12 Calcule P ( O ). Calcule P ( S ). P ( S ) = 12 194 = 6 97 = 0,06 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta roja en un mazo estándar de 52 cartas? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol en un mazo estándar de 52 cartas? 13 52 = 1 4 = 0,25 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? 3 6 = 1 2 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área. Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo. Si cae en Y , se lleva el premio mayor. Calcule P ( Y ). Si cae en rojo, no recibe premio. ¿Qué es P ( R )? P ( R ) = 4 8 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador no sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un jardinero o un gran bateador. P ( O ∪ H ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo y no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un gran bateador, dado que el jugador es un jugador de campo. P ( H | I ) Escriba los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jugador de campo, dado que el jugador es un gran bateador. Escriba los símbolos para la probabilidad de que, de todos los jardineros, un jugador no sea un gran bateador. P ( N | O ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que, de todos los grandes bateadores, un jugador sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo o no sea un gran bateador. P ( I ∪ N ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jardinero y sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo. P ( I ) ¿Cómo se denomina el conjunto de todos los resultados posibles? ¿Qué es la probabilidad condicional? La probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro. En una estantería caben 12 libros. Ocho son de ficción y el resto no lo son. Cada uno es un libro diferente con un título único. Los libros de ficción están numerados del uno al ocho. Los libros que no son de ficción están numerados del uno al cuatro. Seleccione al azar un libro. Supongamos que F = evento en el que el libro es de ficción Supongamos que N = evento en el que el libro no es de ficción ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la suma de las probabilidades de un evento y su complemento? 1 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres. ¿Qué significa P ( E | M ) en palabras? ¿Qué significa P ( E ∪ M ) en palabras? la probabilidad de caer en un número par o en un múltiplo de tres Tarea para la casa El gráfico de la muestra el tamaño de la muestra y los porcentajes de personas de diferentes grupos de edad y sexo que fueron consultadas sobre su aprobación de las acciones del alcalde Ford en el cargo. El número total de la muestra de todos los grupos de edad es de 1.045. Defina tres eventos en el gráfico. Describa con palabras lo que significa la entrada 40. Describa con palabras el complemento de la entrada de la pregunta 2. Describa con palabras lo que significa la entrada 30. De los hombres y las mujeres, ¿qué porcentaje son hombres? De las mujeres, ¿qué porcentaje desaprueba al alcalde Ford? De todos los grupos de edad, ¿qué porcentaje aprueba al alcalde Ford? Calcule P (Aprueba | Hombre). De los grupos de edad, ¿qué porcentaje tiene más de 44 años? Calcule P (Aprueba | Edad < 35). Explique qué es incorrecto en las siguientes afirmaciones. Utilice oraciones completas. Si hay un 60 % de probabilidad de lluvia el sábado y un 70 % de probabilidad de lluvia el domingo, entonces hay un 130 % de probabilidad de lluvia durante el fin de semana. La probabilidad de que un jugador de béisbol batee un jonrón es mayor que la probabilidad de que haga un batazo imparable. No se puede calcular la probabilidad conjunta conociendo la probabilidad de que se produzcan ambos eventos, que no está en la información dada; las probabilidades deben multiplicarse, no sumarse; y la probabilidad nunca es superior al 100 % Un jonrón, por definición, es un batazo imparable exitoso, así que debe tener, al menos, tantos batazos imparables exitosos como jonrones. Probabilidad condicional la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido Igual de probable cada resultado de un experimento tiene la misma probabilidad Evento un subconjunto del conjunto de todos los resultados de un experimento; el conjunto de todos los resultados de un experimento se denomina espacio muestral y se suele denotar por una S . Un evento es un subconjunto arbitrario en S . Puede contener un resultado, dos resultados, ningún resultado (subconjunto vacío), todo el espacio muestral y similares. Las anotaciones estándar para los eventos son letras mayúsculas como A , B , C , etc. Experimento una actividad planificada y realizada en condiciones controladas Resultado un producto particular de un experimento Probabilidad un número entre cero y uno, inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico; el fundamento de la estadística viene dado por los siguientes 3 axiomas (por A. N. Kolmogorov, década de los años 30 del siglo XX): Supongamos que S es el espacio muestral y A y B son dos eventos en S . Entonces 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B). P ( S ) = 1 Espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento La intersección: el evento ∩ un resultado es en el caso A ∩ B si el resultado está en ambos A ∩ B al mismo tiempo. Complemento del evento el complemento del evento A consiste en todos los resultados que NO están en A . La probabilidad condicional de que A | B P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. La Unión: el evento ∪ un resultado es en el caso A ∪ B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B .

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