Predicción Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final . Examinamos el diagrama de dispersión y mostramos que el coeficiente de correlación es significativo. Hallamos la ecuación de la línea de mejor ajuste para la calificación del examen final como una función de la calificación del tercer examen. Ahora podemos utilizar la línea de regresión por mínimos cuadrados para la predicción. Suponga que quiere estimar, o predecir, la calificación media del examen final de los estudiantes de Estadística que obtuvieron 73 en el tercer examen. Las calificaciones del examen (valores x ) oscilan entre 65 y 75. Dado que 73 está entre los valores de x 65 y 75 , sustituya x = 73 en la ecuación. Entonces: y ^ = – 173,51 + 4,83 ( 73 ) = 179,08 Predecimos que los estudiantes de Estadística que obtienen una calificación de 73 en el tercer examen obtendrán una calificación de 179,08 en el examen final, en promedio. Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final . a. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 66 en el tercer examen? b. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 90 en el tercer examen? a. 145,27 b. Los valores de x en los datos están entre 65 y 75. Noventa está fuera del dominio de los valores de x observados en los datos (variable independiente), por lo que no se puede predecir de forma fiable la calificación del examen final de este estudiante. (Aunque es posible introducir 90 en la ecuación para la x y calcular el valor correspondiente de la y , el valor de la y que se obtiene no será fiable). Para entender realmente lo poco fiable que puede ser la predicción fuera de los valores de la x que se observan en los datos, haga la sustitución x = 90 en la ecuación. y ^ = -173,51 + 4,83 ( 90 ) = 261,19 Se prevé que la calificación del examen final sea de 261,19. La mayor calificación del examen final puede ser 200. Nota El proceso de predicción dentro de los valores de la x que se observan en los datos se denomina interpolación . El proceso de predicción fuera de los valores de la x que se observan en los datos se denomina extrapolación . Ejercicio Se recopilan datos sobre la relación entre el número de horas semanales de práctica de un instrumento musical y las puntuaciones en un examen de Matemáticas. La línea de mejor ajuste es la siguiente: ŷ = 72,5 + 2,8 x ¿Cuál predeciría que sería la puntuación en un examen de Matemáticas de un estudiante que practica un instrumento musical durante cinco horas a la semana? Referencias Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.html Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud. Repaso del capítulo Después de determinar la presencia de un fuerte coeficiente de correlación y calcular la línea de mejor ajuste, puede utilizar la línea de regresión de mínimos cuadrados para hacer predicciones sobre sus datos. Utilice la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un minorista de productos electrónicos utilizó la regresión para hallar un modelo sencillo que prediga el crecimiento de las ventas en el primer trimestre del nuevo año (de enero a marzo). El modelo es válido para 90 días, donde x es el día. El modelo puede escribirse como sigue: ŷ = 101,32 + 2,48 x donde ŷ está en miles de dólares. ¿Cuál es la previsión de ventas para el día 60? $250.120 ¿Cuál es la previsión de ventas para el día 90? Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios . Una compañía de jardinería es contratada para cortar el césped de varios inmuebles grandes. El área total combinado de los inmuebles es de 1.345 acres. El ritmo al que una persona puede cortar el césped es el siguiente: ŷ = 1350 - 1,2 x donde x es el número de horas y ŷ representa el número de acres que quedan por cortarles el césped. ¿Cuántos acres quedarán por cortarles el césped después de 20 horas de trabajo? 1.326 acres ¿Cuántos acres quedarán por cortarles el césped después de 100 horas de trabajo? ¿Cuántas horas se necesitan para cortar todo el césped? (¿Cuándo es ŷ = 0?) 1.125 horas, o cuando x = 1.125 La contiene datos reales de las dos primeras décadas de notificación de casos de gripe. Solo adultos y adolescentes, Estados Unidos Año N.º casos de gripe diagnosticados N.º muertes por gripe Antes de 1981 91 29 1981 319 121 1982 1.170 453 1983 3.076 1.482 1984 6.240 3.466 1985 11.776 6.878 1986 19.032 11.987 1987 28.564 16.162 1988 35.447 20.868 1989 42.674 27.591 1990 48.634 31.335 1991 59.660 36.560 1992 78.530 41.055 1993 78.834 44.730 1994 71.874 49.095 1995 68.505 49.456 1996 59.347 38.510 1997 47.149 20.736 1998 38.393 19.005 1999 25.174 18.454 2000 25.522 17.347 2001 25.643 17.402 2002 26.464 16.371 Total 802.118 489.093 Grafique el "año" frente al "N.º de casos diagnosticados de gripe" (trace el diagrama de dispersión). No incluya datos anteriores a 1981. Realice una regresión lineal. ¿Cuál es la ecuación lineal? Redondee al número natural más cercano. Compruebe la solución del estudiante. Halle el coeficiente de correlación. r = ________ Resuelva. Cuando x = 1985, ŷ = _____ Cuando x = 1990, ŷ =_____ Cuando x = 1970, ŷ =______ ¿Por qué no tiene sentido esta respuesta? Cuando x = 1985, ŷ = 25,52 Cuando x = 1990, ŷ = 34.275 Cuando x = 1970, ŷ = -725 ¿Por qué no tiene sentido esta respuesta? El rango de valores de x fue de 1981 a 2002; el año 1970 no está en este rango. La ecuación de regresión no se aplica, porque la predicción para el año 1970 es una extrapolación, que requiere otro proceso. Además, una cifra negativa no tiene sentido en este contexto, en el que estamos prediciendo los casos diagnosticados de gripe. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.? Además, la correlación r = 0,4526. Si se compara r con el valor de los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra, porque r > 0,423, r es significativa, y se podría pensar que la línea podría utilizarse para la predicción. Pero el diagrama de dispersión indica lo contrario. Trace los dos puntos dados en el siguiente gráfico. Luego, conecte los dos puntos para formar la línea de regresión. Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación: ŷ= ____________ y ^ = -3.448.225 + 1750 x Dibuje a mano una curva suave en el gráfico que muestre el flujo de los datos. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Hasta 1993 se produjo un aumento de los casos diagnosticados de gripe. Desde 1993 hasta 2002, el número de casos diagnosticados de gripe disminuyó cada año. No es apropiado utilizar una línea de regresión lineal para ajustar los datos. ¿Cree que lo mejor es un ajuste lineal? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.? Dado que no existe ninguna asociación lineal entre el año y el número de casos diagnosticados de gripe, no es apropiado calcular un coeficiente de correlación lineal. Cuando existe una asociación lineal y conviene calcular una correlación, no podemos decir que una variable "causa" la otra. Gráfico "año" frente a "N.º casos diagnosticados de gripe" No incluya los anteriores a 1981. Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Los datos anteriores a 1981 no deberían incluirse. ¿Por qué? Escriba la ecuación lineal, redondeando a cuatro decimales: No sabemos si los datos anteriores a 1981 se recogieron en un solo año. Así que no tenemos un valor de la x exacto para esta cifra. Ecuación de regresión: ŷ (N.º casos de gripe) = -3.448.225 + 1749,777 (año) Coeficientes Intersección -3.448.225 X Variable 1 1.749,777 Halle el coeficiente de correlación. correlación = _____ Tarea para la casa Recientemente, el número anual de muertes de conductores por cada 100.000 para los grupos etarios seleccionados fue el siguiente: Edad Número de muertes de conductores por cada 100.000 16–19 38 20–24 36 25–34 24 35–54 20 55–74 18 75+ 28 Por cada grupo etario, elija el punto medio del intervalo para el valor de la x . (En el grupo de más de 75 años, utilice 80). Utilizando "edades" como variable independiente y "Número de muertes de conductores por cada 100.000" como variable dependiente, haga un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste). Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Prediga el número de muertes para las edades de 40 y 60 años. Con base en los datos suministrados, ¿existe una relación lineal entre la edad de un conductor y la tasa de mortalidad de los conductores? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Edad Número de muertes de conductores por cada 100.000 16–19 38 20–24 36 25–34 24 35–54 20 55–74 18 75+ 28 Compruebe la solución del estudiante. ŷ = 35,5818045 - 0,19182491 x r = –0,57874 Para cuatro df y alfa = 0,05, el LinRegTTest da un valor p = 0,2288, por lo que no rechazamos la hipótesis nula; no hay ninguna relación lineal significativa entre las muertes y la edad. Utilizando la tabla de valores críticos para el coeficiente de correlación, con cuatro df , el valor crítico es 0,811. El coeficiente de correlación r = -0,57874 no es inferior a -0,811, por lo que no rechazamos la hipótesis nula. No existe ninguna relación lineal entre las dos variables, como lo demuestra un valor p superior a 0,05. La señala la expectativa de vida de alguien nacido en Estados Unidos en determinados años. Año de nacimiento Expectativa de vida 1930 59,7 1940 62,9 1950 70,2 1965 69,7 1973 71,4 1982 74,5 1987 75 1992 75,7 2010 78,7 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los pares ordenados. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule la expectativa de vida para alguien nacido en 1950 y para otro nacido en 1982. ¿Por qué las respuestas a la parte e no coinciden con los valores de la que corresponden a esos años? Utilice los dos puntos de la parte e para trazar la línea de mínimos cuadrados en su gráfico de la parte b. Según los datos, ¿existe una relación lineal entre el año de nacimiento y la expectativa de vida? ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilizando la línea de mínimos cuadrados, calcule la expectativa de vida estimada para alguien nacido en 1850. ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El valor máximo de descuento de la tarjeta Entertainment® para la sección "Alta Cocina", décima edición, para varias páginas se da en la Número de página Valor máximo ($) 4 16 14 19 25 15 32 17 43 19 57 15 72 16 85 15 90 17 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los pares ordenados. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule los valores máximos para los restaurantes de las páginas 10 y 70. ¿Parece que los restaurantes que dan el máximo valor se colocan al principio de la sección "Alta Cocina"? ¿Cómo ha llegado a su respuesta? Supongamos que hay 200 páginas de restaurantes. ¿Cuál estima que es el valor máximo de un restaurante de la página 200? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para la página 200? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Nos preguntamos si los mejores descuentos aparecen antes en el libro, así que seleccionamos la página como X y el descuento como Y . Compruebe la solución del estudiante. ŷ = 17,21757 - 0,01412 x r = –0,2752 Para siete df y alfa = 0,05, utilizando la función LinRegTTest, el valor p = 0,4736 por lo que no lo rechazamos; no hay ninguna relación lineal significativa entre la página y el descuento. Utilizando la tabla de valores críticos para el coeficiente de correlación, con siete df , el valor crítico es 0,666. El coeficiente de correlación xi = -0,2752 no es inferior a 0,666 por lo que no lo rechazamos. No hay ninguna correlación lineal significativa, por lo que parece que no hay relación entre la página y el monto del descuento. A medida que se aumenta una página, el descuento disminuye en 0,01412 La da los tiempos de las medallas de oro de todos los demás Juegos Olímpicos de Verano para los 100 metros libres femeninos (natación). Año Tiempo (segundos) 1912 82,2 1924 72,4 1932 66,8 1952 66,8 1960 61,2 1968 60,0 1976 55,65 1984 55,92 1992 54,64 2000 53,8 2008 53,1 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativa la disminución de los tiempos? Calcule el tiempo estimado de la medalla de oro de 1932. Calcule el tiempo estimado para 1984. ¿Por qué las respuestas de la parte f son diferentes de los valores de la tabla? ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el tiempo de la medalla de oro de los próximos Juegos Olímpicos de Verano. ¿Cree que su respuesta es razonable? ¿Por qué sí o por qué no? Estado N.º de letras en el nombre Año de entrada en la Unión Rango para entrar en la Unión Superficie (millas cuadradas) Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 Nos interesa saber si el número de letras del nombre de un estado depende o no del año en que ingresó en la Unión. Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Qué implica esto sobre la importancia de la relación? Calcule el número aproximado de letras (al número entero más cercano) que tendría un estado si entrara en la Unión en 1900. Calcule el número aproximado de letras que tendría un estado si entrara en la Unión en 1940. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el número de letras que tendría un nuevo estado que entrara en la Unión este año. ¿Se puede utilizar la línea de mínimos cuadrados para predecirlo? ¿Por qué sí o por qué no? El año es la variable independiente o x ; el número de letras es la variable dependiente o y . Compruebe la solución del estudiante. no ŷ = 47,03 - 0,0216 x –0,4280 El valor r indica que no existe ninguna correlación significativa entre el año en que el estado entró en la unión y el número de letras del nombre. No, la relación no parece ser lineal; la correlación es despreciable.

Matemáticas


Valores atípicos En algunos conjuntos de datos, hay valores (puntos de datos observados) , llamados valores atípicos . Los valores atípicos son puntos de datos observados que se alejan de la línea de mínimos cuadrados. Tienen grandes "errores", donde el "error" o residual es la distancia vertical de la línea al punto. Los valores atípicos deben examinarse de cerca. A veces, por una u otra razón, no deben incluirse en el análisis de los datos. Es posible que un valor atípico sea el resultado de datos erróneos. Otras veces, un valor atípico puede contener información valiosa sobre la población estudiada y debe seguir incluyéndose en los datos. La clave está en examinar cuidadosamente las causas de que un punto de datos sea un valor atípico. Además de los valores atípicos, una muestra puede contener uno o varios puntos que se denominan puntos influyentes . Se trata de puntos de datos observados que están alejados de los demás en la dirección horizontal. Estos puntos pueden tener un gran efecto en la pendiente de la línea de regresión. Para empezar a identificar un punto influyente, puede eliminarlo del conjunto de datos y ver si la pendiente de la línea de regresión cambia significativamente. Se pueden utilizar computadoras y muchas calculadoras para identificar los valores atípicos de los datos. Los resultados de computadoras del análisis de regresión identifican tanto los valores atípicos como los puntos influyentes para que pueda examinarlos. Identificar los valores atípicos Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico. Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste. La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores. Podemos hacerlo visualmente en el diagrama de dispersión al dibujar un par de líneas adicionales que estén dos desviaciones típicas por encima y por debajo de la línea de mejor ajuste. Todos los puntos de datos que se encuentren fuera de este par de líneas adicionales se marcan como posibles valores atípicos. Alternativamente, podemos hacerlo numéricamente, al calcular cada residual y compararlo con el doble de la desviación típica. En la TI-83, 83+ u 84+, el enfoque gráfico es más fácil. En primer lugar se muestra el procedimiento gráfico, seguido de los cálculos numéricos. Por lo general, solo tendrá que utilizar uno de estos métodos. En el ejemplo del tercer examen o examen final , se puede determinar si hay un valor atípico o no. Si hay un valor atípico, como ejercicio, elimínelo y ajuste los datos restantes a una nueva línea. En este ejemplo, la nueva línea debería ajustarse mejor a los datos restantes. Esto significa que el SSE debería ser menor y el coeficiente de correlación debería estar más cerca de 1 o –1. Identificación gráfica de los valores atípicos Con las calculadoras gráficas TI-83, 83+ u 84+ es fácil identificar los valores atípicos de forma gráfica y visual. Si midiéramos la distancia vertical de cualquier punto de datos al punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera igual a 2 s o más, entonces consideraríamos que el punto de datos está "demasiado lejos" de la línea de mejor ajuste. Tenemos que calcular y graficar las líneas que están dos desviaciones típicas por debajo y por encima de la línea de regresión. Los puntos que estén fuera de estas dos líneas son valores atípicos. Llamaremos a estas líneas Y2 y Y3: Al igual que hicimos con la ecuación de la línea de regresión y el coeficiente de correlación, utilizaremos la tecnología para calcular esta desviación típica. Utilizando la función LinRegTTest con estos datos, desplácese por las pantallas de salida hasta hallar s = 16,412 . Línea Y2 = -173,5 + 4,83 x -2(16,4) y línea Y3 = -173,5 + 4,83 x + 2(16,4) donde ŷ = -173,5 + 4,83 x es la línea de mejor ajuste. Y2 y Y3 tienen la misma pendiente que la línea de mejor ajuste. Grafique el diagrama de dispersión con la línea de mejor ajuste en la ecuación Y1, luego introduzca las dos líneas adicionales como Y2 y Y3 en el editor de ecuaciones "Y=" y pulse ZOOM 9. Encontrará que el único punto de datos que no está entre las líneas Y2 y Y3 es el punto x = 65, y = 175. En la pantalla de la calculadora está apenas fuera de estas líneas. El valor atípico es el estudiante que obtuvo una calificación de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; este punto está a más de dos desviaciones típicas lejos de la línea de mejor ajuste. A veces, un punto está tan cerca de las líneas utilizadas para marcar los valores atípicos en el gráfico que es difícil saber si el punto está entre las líneas o fuera de ellas. En una computadora, ampliar el gráfico puede ayudar; en la pantalla de una calculadora pequeña, el zoom puede hacer que el gráfico sea más claro. Tenga en cuenta que, cuando el gráfico no ofrece una imagen suficientemente clara, puede utilizar las comparaciones numéricas para identificar los valores atípicos. Ejercicio Identifique el posible valor atípico en el diagrama de dispersión. La desviación típica de los residuales o errores es de aproximadamente 8,6. Identificación numérica de los valores atípicos En la , las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores ŷ predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: ŷ = -173,5 + 4,83 x . Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor y observado - valor y predicho = y - ŷ . s es la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε donde n = el número total de puntos de datos. Si se calcula cada residual, se eleva al cuadrado y se suman los resultados, se obtiene la suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE). La desviación típica de los residuales se calcula a partir de la SSE como: s = S S E n – 2 Nota Dividimos entre ( n - 2) porque el modelo de regresión implica dos estimaciones. En vez de calcular el valor de s nosotros mismos, podemos calcular s con la computadora o la calculadora. Para este ejemplo, la función de la calculadora LinRegTTest calculó s = 16,4 como la desviación típica de los residuales 35 -17 16 -6 -19 9 3 -1 -10 -9 -1 . x y ŷ y - ŷ 65 175 140 175 – 140 = 35 67 133 150 133 – 150= -17 71 185 169 185 – 169 = 16 71 163 169 163 – 169 = -6 66 126 145 126 – 145 = -19 75 198 189 198 – 189 = 9 67 153 150 153 – 150 = 3 70 163 164 163 – 164 = -1 71 159 169 159 – 169 = -10 69 151 160 151 – 160 = -9 69 159 160 159 – 160 = -1 Buscamos todos los puntos de datos cuyo residual sea mayor que 2 s = 2(16,4) = 32,8 o menor que –32.8. Compare estos valores con los residuales de la cuarta columna de la tabla. El único dato de este tipo es el del estudiante que tuvo una nota de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; el residual de este estudiante es 35. ¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste? Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje. Calcule una nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación con los diez puntos restantes: En las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+, elimine el valor atípico de L1 y L2. Con la función LinRegTTest, la nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son: ŷ = –355,19 + 7,39 x y r = 0,9121 La nueva línea con r = 0,9121 es una correlación más fuerte que la original ( r = 0,6631) porque r = 0,9121 está más cerca de uno. Esto significa que la nueva línea se ajusta mejor a los diez valores de datos restantes. La línea puede predecir mejor la puntuación del examen final, dada la puntuación del tercer examen. Identificación numérica de valores atípicos: Calcular s y buscar valores atípicos manualmente Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente. Primero, eleve al cuadrado cada | y - ŷ | Las potencias al cuadrado son: 35 2 17 2 16 2 6 2 19 2 9 2 3 2 1 2 10 2 9 2 1 2 A continuación, añada (sume) todos los términos | y - ŷ | al cuadrado mediante la fórmula: Σ i = 1 11 ( | y i – y ^ i | ) 2 = Σ i = 1 11 ε i 2 (Recordemos que y i – ŷ i = ε i ). = 35 2 + 17 2 + 16 2 + 6 2 + 19 2 + 9 2 + 3 2 + 1 2 + 10 2 + 9 2 + 1 2 = 2440 = SSE . El resultado, SSE , es la suma de errores al cuadrado. A continuación, calcule s , la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε , donde n = el número total de puntos de datos. El cálculo es s = SSE n – 2 . Para el problema del tercer examen o examen final: s = 2440 11 – 2 = 16,47 . A continuación, multiplique s por 2: (2)(16,47) = 32,94 32,94 está 2 desviaciones típicas lejos de la media de los valores y - ŷ . Si midiéramos la distancia vertical desde cualquier punto de datos hasta el punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera de al menos 2 s , entonces consideraríamos que el punto de datos está "demasiado lejos" de la línea de mejor ajuste. A ese punto lo llamamos un potencial valor atípico . Para el ejemplo, si alguno de los valores de y – ŷ | es al menos 32,94, el punto de datos correspondiente ( x , y ) es un posible valor atípico. Para el problema del tercer examen o examen final, todos los | y – ŷ | son menores que 31,29, excepto el primero que es 35. 35 > 31,29 Es decir, | y – ŷ | ≥ (2)(s) El punto que corresponde a | y – ŷ | = 35 es (65, 175). Por lo tanto, el punto de datos (65, 175) es un potencial valor atípico. Para este ejemplo, lo borraremos. (Recuerde que no siempre eliminamos un valor atípico). Nota Cuando se eliminan los valores atípicos, el investigador debería dejar constancia de que se han eliminado los datos y por qué, o bien debería proporcionar los resultados con y sin los datos eliminados. Si los datos son erróneos y se conocen los valores correctos (por ejemplo, el estudiante uno obtuvo realmente una puntuación de 70 en lugar de 65), se puede realizar esta corrección en los datos. El siguiente paso es calcular una nueva línea de mejor ajuste con los diez puntos restantes. La nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son: ŷ = –355,19 + 7,39 x y r = 0,9121 Con esta nueva línea de mejor ajuste (basada en los diez puntos de datos restantes en el ejemplo del tercer examen o examen final ), ¿qué esperaría recibir en el examen final un estudiante que obtiene 73 en el tercer examen? ¿Es lo mismo que la predicción realizada con la línea original? Con la nueva línea de mejor ajuste, ŷ = -355,19 + 7,39(73) = 184,28. Un estudiante que haya obtenido 73 puntos en el tercer examen esperaría obtener 184 puntos en el examen final. La línea original predecía ŷ = -173,51 + 4,83(73) = 179,08 por lo que la predicción utilizando la nueva línea con el valor atípico eliminado difiere de la predicción original. Ejercicio Los puntos de datos para el gráfico del ejemplo del tercer examen o examen final son los siguientes: (1, 5), (2, 7), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (4, 13), (5, 18), (6, 19), (7, 12) y (7, 21). Elimine el valor atípico y vuelva a calcular la línea de mejor ajuste. Calcule el valor de ŷ cuando x = 10. El índice de precios al consumidor (IPC) mide la variación promedio en el tiempo de los precios que pagan los consumidores urbanos por los bienes y servicios de consumo. El IPC afecta a casi todos los estadounidenses debido a las múltiples formas en que se utiliza. Uno de sus mayores usos es como medida de la inflación. Al suministrar información sobre la evolución de los precios en la economía nacional al gobierno, las empresas y los trabajadores, el IPC permite tomar decisiones económicas. El Presidente, el Congreso y la Junta de la Reserva Federal utilizan las tendencias del IPC para formular políticas monetarias y fiscales. En la siguiente tabla, x es el año y y es el IPC. Datos x y x y 1915 10,1 1969 36,7 1926 17,7 1975 49,3 1935 13,7 1979 72,6 1940 14,7 1980 82,4 1947 24,1 1986 109,6 1952 26,5 1991 130,7 1964 31,0 1999 166,6 Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Escriba la ecuación en la forma ŷ = a + bx . Dibuje la línea en el diagrama de dispersión. Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? ¿Cuál es el IPC promedio del año 1990? Vea la . ŷ = -3204 + 1,662 x es la ecuación de la línea de mejor ajuste. r = 0,8694 El número de puntos de datos es n = 14. Utilice los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra que aparecen al final del Capítulo 12. n - 2 = 12. El valor crítico correspondiente es 0,532. Dado que 0,8694 > 0,532, r es significativo. ŷ = -3204 + 1,662(1990) = 103,4 IPC Con la función LinRegTTest de la calculadora hallamos que s = 25,4 ; al graficar las líneas Y2 = –3.204 + 1,662X – 2(25,4) y Y3 = –204 + 1,662X + 2(25,4) se observa que ningún valor de los datos está fuera de esas líneas, por lo cual se identifica que no hay valores atípicos. (Observe que el año 1999 estaba muy cerca de la línea superior, pero todavía dentro de ella). Nota En el ejemplo, observe el patrón de los puntos en comparación con la línea. Aunque el coeficiente de correlación es significativo, el patrón del diagrama de dispersión indica que una curva sería el modelo más apropiado que una línea. En este ejemplo, un estadístico preferiría utilizar otros métodos para ajustar una curva a estos datos, en lugar de modelar los datos con la línea que hemos hallado. Además de realizar los cálculos, siempre es importante observar el diagrama de dispersión para decidir si un modelo lineal es adecuado. Si le interesa ver más años de datos, visite la página web del IPC de la Oficina de Estadísticas Laborales ftp://ftp.bls.gov/pub/special.requests/cpi/cpiai.txt; nuestros datos están tomados de la columna titulada "Annual Avg." (tercera columna de la derecha). Por ejemplo, podría añadir más años de datos actuales. Sume los años más recientes: 2004: IPC = 188,9; 2008: IPC = 215,3; 2011: IPC = 224,9. Vea cómo incide en el modelo. (Compruebe: ŷ = -4436 + 2,295 x ; r = 0,9018. ¿Es r significativo? ¿Se ha mejorado el ajuste con la adición de los nuevos puntos)? Ejercicio El siguiente cuadro muestra el desarrollo económico medido en renta per cápita RPC. Año Producto Interno Bruto (PIB) Año Producto Interno Bruto (PIB) 1870 340 1920 1050 1880 499 1930 1170 1890 592 1940 1364 1900 757 1950 1836 1910 927 1960 2132 ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? Dibuje un diagrama de dispersión. Utilice la regresión para hallar la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. Interprete la importancia del coeficiente de correlación. ¿Existe una relación lineal entre las variables? Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. ¿Cuál es la pendiente de la ecuación de regresión? ¿Qué significa? Utilice la línea de mejor ajuste para estimar la RPC para el año 1900, para el año 2000. Determine si hay valores atípicos. Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra Grados de libertad: n - 2 Valores críticos: (+ y -) 1 0,997 2 0,950 3 0,878 4 0,811 5 0,754 6 0,707 7 0,666 8 0,632 9 0,602 10 0,576 11 0,555 12 0,532 13 0,514 14 0,497 15 0,482 16 0,468 17 0,456 18 0,444 19 0,433 20 0,423 21 0,413 22 0,404 23 0,396 24 0,388 25 0,381 26 0,374 27 0,367 28 0,361 29 0,355 30 0,349 40 0,304 50 0,273 60 0,250 70 0,232 80 0,217 90 0,205 100 0,195 Referencias Datos de la Comisión de Medios y Arbitrios de la Cámara de Representantes, el Departamento de Salud y Servicios Humanos. Datos de Microsoft Bookshelf. Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales. Datos del Manual de Médico, 1990. Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales. Repaso del capítulo Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones: Introduzca las siguientes ecuaciones en la TI 83, 83+, 84, 84+: y 1 = a + b x y 2 = a + b x + 2 s y 3 = a + b x – 2 s donde s es la desviación típica de los residuales Si algún punto está por encima de y 2 o por debajo de y 3 , se considera un valor atípico. Utilice los residuales y compare sus valores absolutos con 2 s , donde s es la desviación típica. Si el valor absoluto de cualquier residual es mayor o igual a 2 s , el punto correspondiente es un valor atípico. Nota: La función de la calculadora LinRegTTest (STATS TESTS LinRegTTest) calcula s . Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69. ¿Parece haber algún valor atípico? Sí, parece que hay un valor atípico en (6, 58). Se elimina un punto y se vuelve a calcular la línea de mejor ajuste. El nuevo coeficiente de correlación es de 0,98. ¿El punto luce como un valor atípico? ¿Por qué? ¿Qué efecto tuvo el posible valor atípico en la línea de mejor ajuste? El posible valor atípico aplanó la pendiente de la línea de mejor ajuste porque estaba por debajo del conjunto de datos. Hizo que la línea de mejor ajuste fuera menos precisa como predictor de los datos. ¿Confía más o menos en la capacidad de predicción de la nueva línea de mejor ajuste? La suma de errores al cuadrado para un conjunto de datos de 18 números es 49. ¿Cuál es la desviación típica? s = 1,75 La desviación típica de la suma de errores al cuadrado de un conjunto de datos es de 9,8. ¿Cuál es el límite de la distancia vertical a la que puede estar un punto de la línea de mejor ajuste para considerarlo un valor atípico? Tarea para la casa La altura (de la acera al tejado) de los edificios altos más notables de Estados Unidos se compara con el número de pisos del edificio (empezando por el nivel de la calle). Altura (en pies) Pisos 1.050 57 428 28 362 26 529 40 790 60 401 22 380 38 1.454 110 1.127 100 700 46 Utilizando "pisos" como variable independiente y "altura" como variable dependiente, haga un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Halle las alturas estimadas para 32 pisos y para 94 pisos. Según los datos de la , ¿existe una relación lineal entre el número de pisos de los edificios altos y su altura? ¿Existen valores atípicos en los datos? En caso afirmativo, ¿qué puntos? ¿Cuál es la altura estimada de un edificio de seis pisos? ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa de la altura? Explique por qué sí o por qué no. Con base en la línea de mínimos cuadrados, se predice que añadir un piso más añadirá aproximadamente cuántos pies a un edificio? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Los ornitólogos, científicos que estudian las aves, marcan a los gavilanes en 13 colonias diferentes para estudiar su población. Recogen datos sobre el porcentaje de nuevos gavilanes en cada colonia y el porcentaje de los que han regresado de la migración. Porcentaje de retorno: 74; 66; 81; 52; 73; 62; 52; 45; 62; 46; 60; 46; 38 Porcentaje nuevo: 5; 6; 8; 11; 12; 15; 16; 17; 18; 18; 19; 20; 20 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. Un ecologista quiere predecir cuántos pájaros se unirán a otra colonia de gavilanes a la que han regresado el 70 % de los adultos del año anterior. ¿Cuál es la predicción? a. y b. Compruebe la solución del estudiante. c. La pendiente de la línea de regresión es –0,3031 con una intersección en y de 31,93. En el contexto, la intersección en y indica que, cuando no haya gavilanes que regresen, habrá casi un 32 % de gavilanes nuevos. Esto no tiene sentido, ya que si no hay aves que regresen, entonces el nuevo porcentaje tendría que ser del 100 % (este es un ejemplo de por qué no extrapolamos). La pendiente nos indica que, por cada incremento porcentual de aves que regresan, el porcentaje de aves nuevas en la colonia disminuye en un 30,3 %. d. Si examinamos r2, vemos que solo el 57,52 % de la variación en el porcentaje de aves nuevas se explica por el modelo y el coeficiente de correlación, r = -,7584 solo indica una correlación algo fuerte entre los porcentajes de retorno y los nuevos. e. El par ordenado (66, 6) genera el mayor residuo de 6,0. Esto significa que cuando el porcentaje de retorno observado es del 66 %, nuestro nuevo porcentaje observado, el 6 %, es casi un 6 % menos que el nuevo valor predicho del 11,98 %. Si eliminamos este par de datos, solo vemos una pendiente ajustada de -0,2789 y un intersección ajustada de 30,9816. En otras palabras, aunque este dato genera el mayor residual, no es un valor atípico, ni el par de datos es un punto influyente. f. Si hay un 70 % de aves que regresan, esperaríamos ver y = -,2789(70) + 30,9816 = 0,114 o 11,4 % de aves nuevas en la colonia. La siguiente tabla muestra datos sobre el consumo promedio de café per cápita y la tasa de cardiopatías en una muestra aleatoria de 10 países. Consumo anual de café en litros 2,5 3,9 2,9 2,4 2,9 0,8 9,1 2,7 0,8 0,7 Muerte por cardiopatías 221 167 131 191 220 297 71 172 211 300 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. ¿Proporcionan los datos pruebas convincentes de que existe una relación lineal entre la cantidad de café consumido y la tasa de mortalidad por cardiopatías? Lleve a cabo una prueba adecuada con un nivel de significación de 0,05 como ayuda para responder esta pregunta. La siguiente tabla consiste en el tiempo de un estudiante atleta (en minutos) para nadar 2000 yardas y la frecuencia cardíaca (latidos por minuto) después de nadar en una muestra aleatoria de 10 días: Tiempo de natación Ritmo cardíaco 34,12 144 35,72 152 34,72 124 34,05 140 34,13 152 35,73 146 36,17 128 35,57 136 35,37 144 35,57 148 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Tenemos una pendiente de –1,4946 con una intersección en y de 193,88. La pendiente, en contexto, indica que, por cada minuto adicional que se añada al tiempo de natación, la frecuencia cardíaca disminuirá en 1,5 latidos por minuto. Si el estudiante no está nadando en absoluto, la intersección en y indica que su frecuencia cardíaca será de 193,88 latidos por minuto. Mientras que la pendiente tiene sentido (cuanto más tiempo se tarda en nadar 2.000 metros, menos esfuerzo hace el corazón), la intersección en y no tiene sentido. Si el atleta no está nadando (descansando), su frecuencia cardíaca debe ser muy baja. Dado que solo el 1,5 % de la variación de la frecuencia cardíaca se explica mediante esta ecuación de regresión, debemos concluir que esta asociación no se explica con una relación lineal. El punto (34,72, 124) genera el mayor residuo de -11,82. Esto significa que nuestra frecuencia cardíaca observada es casi 12 latidos menos que nuestra frecuencia prevista de 136 latidos por minuto. Cuando se elimina este punto, la pendiente se convierte en –2,953 y la intersección en y cambia a 247,1616. Aunque la asociación lineal sigue siendo muy débil, vemos que el par de datos eliminado puede considerarse un punto influyente en el sentido de que la intersección en y adquiere mayor significado. Un investigador estudia si la población influye en la tasa de homicidios. Utiliza datos demográficos de Detroit, MI, para comparar las tasas de homicidio y el número de habitantes que son hombres blancos. Tamaño de la población Tasa de homicidios por cada 100.000 habitantes 558.724 8,6 538.584 8,9 519.171 8,52 500.457 8,89 482.418 13,07 465.029 14,57 448.267 21,36 432.109 28,03 416.533 31,49 401.518 37,39 387.046 46,26 373.095 47,24 359.647 52,33 Utilice su calculadora para construir un diagrama de dispersión de los datos. ¿Cuál debería ser la variable independiente? ¿Por qué? Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión. Comente el significado de lo siguiente en su contexto. La pendiente de la ecuación de regresión La intersección en y de la ecuación de regresión La correlación r El coeficiente de determinación r2. ¿Aportan los datos pruebas convincentes de que exista una relación lineal entre el tamaño de la población y la tasa de homicidios? Lleve a cabo una prueba adecuada con un nivel de significación de 0,05 como ayuda para responder esta pregunta. Escuela Salario a mitad de carrera (en miles) Matrícula anual Princeton 137 28.540 Harvey Mudd 135 40.133 CalTech 127 39.900 Academia Naval de EE. UU. 122 0 West Point 120 0 MIT 118 42.050 Universidad de Lehigh 118 43.220 NYU-Poly 117 39.565 Babson College 117 40.400 Stanford 114 54.506 Utilice los datos para determinar la ecuación de la línea de regresión lineal con los valores atípicos eliminados. ¿Existe una correlación lineal para el conjunto de datos con los valores atípicos eliminados? Justifique su respuesta. Si eliminamos las dos academias de servicio (la matrícula es de 0,00 dólares), construimos una nueva ecuación de regresión de y = -0,0009x + 160 con un coeficiente de correlación de 0,71397 y un coeficiente de determinación de 0,50976. Esto nos permite afirmar que existe una asociación lineal bastante fuerte entre los costos de matrícula y los salarios si se eliminan las academias de servicio del conjunto de datos. Resúmalo todo. El promedio de los integrantes de una familia que asistió a la universidad durante varios años se indica en la . Año Número de integrantes de la familia que asisten a la universidad 1969 4,0 1973 3,6 1975 3,2 1979 3,0 1983 3,0 1988 3,0 1991 2,9 Utilizando "año" como variable independiente y "número de integrantes de la familia que asisten a la universidad" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Elija dos años entre 1969 y 1991 y calcule aproximadamente el número de integrantes de la familia que asisten a la universidad. Según los datos de la , ¿existe una relación lineal entre el año y el número promedio de integrantes de la familia que toman educación universitaria? Utilizando la línea de mínimos cuadrados, estime el número de integrantes de la familia que asisten a la universidad para 1960 y 1995. ¿Da la línea de mínimos cuadrados una estimación precisa para esos años? Explique por qué sí o por qué no. ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es el número promedio estimado de integrantes de la familia que toman educación universitaria para 1986? ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El porcentaje de trabajadoras asalariadas que cobran tarifas por hora se indica en la para los años 1979 a 1992. Año Porcentaje de trabajadoras que cobran tarifas por hora 1979 61,2 1980 60,7 1981 61,3 1982 61,3 1983 61,8 1984 61,7 1985 61,8 1986 62,0 1987 62,7 1990 62,8 1992 62,9 Utilizando el "año" como variable independiente y "porcentaje" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule los porcentajes estimados para 1991 y 1988. Según los datos, ¿existe una relación lineal entre el año y el porcentaje de mujeres asalariadas que cobran tarifas por hora? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es el porcentaje estimado para el año 2050? ¿Da la línea de mínimos cuadrados una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Compruebe la solución del estudiante. sí ŷ = -266,8863+0,1656x 0,9448; Sí 62,8233; 62,3265 sí no; (1987, 62,7) 72,5937; no pendiente = 0,1656. A medida que el año se incrementa en uno, el porcentaje de trabajadoras que cobran una tarifa por hora tiende a aumentar en 0,1656. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El costo de un detergente líquido líder en el mercado en diferentes tamaños se indica en la . Tamaño (onzas) Costo (dólares) Costo por onza 16 3,99 32 4,99 64 5,99 200 10,99 Utilizando "tamaño" como variable independiente y "costo" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Si el detergente para la ropa se vendiera en un tamaño de 40 onzas, calcule el costo estimado. Si el detergente para la ropa se vendiera en un tamaño de 90 onzas, calcule el costo estimado. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos dados? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para predecir lo que costaría un tamaño de 300 onzas de detergente para la ropa? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Complete la para el costo por onza de los diferentes tamaños. Utilizando el "tamaño" como variable independiente y el "costo por onza" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Si el detergente se vendiera en un tamaño de 40 onzas, calcule el costo estimado por onza. Si el detergente se vendiera en un tamaño de 90 onzas, calcule el costo estimado por onza. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para predecir lo que costaría por onza un tamaño de 300 onzas de detergente? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Tamaño (onzas) Costo (dólares) centavos / onza 16 3,99 24,94 32 4,99 15,59 64 5,99 9,36 200 10,99 5,50 Compruebe la solución del estudiante. Existe una relación lineal para los tamaños 16 a 64, pero esa tendencia lineal no continúa hasta el tamaño de 200 onzas. ŷ = 20,2368 - 0,0819x r = -0,8086 40-oz: 16,96 centavos / onza 90-oz: 12,87 centavos / onza La relación no es lineal; la línea de mínimos cuadrados no es apropiada. no hay valores atípicos No, estaría extrapolando. El tamaño de 300 onzas está fuera del rango de x . pendiente = -0,08194; por cada onza adicional de tamaño, el costo por onza disminuye en 0,082 centavos. Según un folleto de un representante de la compañía de seguros Prudential, los costos aproximados de los honorarios e impuestos sucesorios para determinados patrimonios netos gravables son los siguientes: Patrimonio neto gravable (dólares) Tasas e impuestos sucesorios aproximados (dólares) 600.000 30.000 750.000 92.500 1.000.000 203.000 1.500.000 438.000 2.000.000 688.000 2.500.000 1.037.000 3.000.000 1.350.000 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule el costo total estimado para un próximo patrimonio gravable de 1.000.000 de dólares. Calcule el costo para 2.500.000 dólares. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? Con base en estos resultados, ¿cuáles serían los honorarios e impuestos sucesorios para un patrimonio sin ningún activo? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Los siguientes son los precios de venta anunciados de televisores a color en Anderson's. Tamaño (pulgadas) Precio de venta (dólares) 9 147 20 197 27 297 31 447 35 1177 40 2177 60 2497 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule el precio estimado de venta de un televisor de 32 pulgadas. Calcule el costo de un televisor de 50 pulgadas. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El tamaño es x , la variable independiente, el precio es y , la variable dependiente. Compruebe la solución del estudiante. La relación no parece ser lineal. ŷ = -745,252 + 54,75569 x r = 0,8944, sí es significativo 32 pulgadas: 1006,93 dólares, 50 pulgadas: 1992,53 dólares No, la relación no parece ser lineal. Sin embargo, r es significativo. no, el televisor de 60 pulgadas Por cada pulgada adicional, el precio aumenta en 54,76 dólares La muestra la estatura promedio de los niños estadounidenses en 1990. Edad (años) Altura (cm) nacimiento 50,8 2 83,8 3 91,4 5 106,6 7 119,3 10 137,1 14 157,5 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule la altura promedio estimada para un niño de un año. Calcule la altura promedio estimada para un niño de once años. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar la altura promedio de un hombre de sesenta y dos años. ¿Cree que su respuesta es razonable? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Estado N.º de letras en el nombre Año de entrada en la Unión Clasificación de entrada a la Unión Superficie (millas cuadradas) Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 Nos interesa saber si existe una relación entre la clasificación de un estado y su área. ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cómo cree que será el diagrama de dispersión? Haga un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Qué implica esto sobre la importancia de la relación? Calcule las áreas estimadas para Alabama y Colorado. ¿Están cerca de las áreas reales? Utilice los dos puntos de la parte f para trazar la línea de mínimos cuadrados en su gráfico de la parte b. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Hay valores atípicos? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el área de un nuevo estado que entra en la Unión. ¿Se puede utilizar la línea de mínimos cuadrados para predecirla? ¿Por qué sí o por qué no? Elimine "Hawái" y sustituya por "Alaska". Alaska es el cuadragésimo noveno estado, con un área de 656.424 millas cuadradas. Calcule la nueva línea de mínimos cuadrados. Calcule el área estimada para Alabama. ¿Está más cerca del área real con esta nueva línea de mínimos cuadrados o con la anterior que incluía a Hawái? ¿Por qué cree que es así? ¿Cree que, en general, los estados más nuevos son más grandes que los originales? Supongamos que la clasificación es la variable independiente y el área la variable dependiente. Compruebe la solución del estudiante. Parece haber una relación lineal, con un valor atípico. ŷ (área) = 24177,06 + 1010,478 x r = 0,50047, r no es significativa por lo que no hay relación entre las variables. Alabama: 46407,576 Colorado: 62575,224 La estimación de Alabama está más cerca que la de Colorado. Si se elimina el valor atípico, existe una relación lineal. Hay un caso atípico (Hawái). clasificación 51: 75711,4; no Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 ŷ = -87065,3 + 7828,532x Alabama: 85.162,404; la estimación anterior estaba más cerca. Alaska es un caso atípico. sí, con la excepción de Hawái. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos

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Regresión (distancia desde la escuela) Regresión (distancia desde la escuela) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Utilice ocho integrantes de su clase para la muestra. Recopile datos bivariados (la distancia a la que vive alguien desde la escuela, el costo de los suministros para el trimestre en curso). Rellene la tabla. Distancia desde la escuela Costo de los suministros este trimestre ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Gráfico de "distancia" vs. "costo". Trace los puntos en el gráfico. Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal y redondee a cuatro decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: ŷ = ______ ¿La correlación es significativa? ¿Por qué sí o por qué no? (Responda con una a tres frases completas). Responda en relación con las siguientes situaciones: Para alguien que vive a ocho millas del campus, prediga el costo total de los suministros este trimestre: Para alguien que vive a ochenta millas del campus, prediga el costo total de los suministros este trimestre: Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Dibuje la línea de regresión. Preguntas para el debate Responda a cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué? ¿Qué implica la correlación en torno a la relación entre la distancia y el costo? ¿Hay valores atípicos? Si es así, ¿cuál punto es un valor atípico? ¿El valor atípico se debe eliminar si es que existe? ¿Por qué sí o por qué no?

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Regresión (costo de los libros de texto) Regresión (costo de los libros de texto) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Haga una encuesta sobre diez libros de texto. Recopile datos bivariados (número de páginas del libro de texto, costo). Rellene la tabla. Número de páginas Costo del libro de texto ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Gráfico "páginas" en función del "costo". Trace los puntos en el gráfico en Analice los datos . Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal y redondee a cuatro decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: y = ______ ¿La correlación es significativa? ¿Por qué sí o por qué no? (Responda con frases completas). Responda las siguientes situaciones: De un libro de texto de 400 páginas, prediga el costo. De un libro de texto de 600 páginas, prediga el costo. Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Dibuje la línea de regresión. Preguntas para el debate Responda a cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué? ¿Qué implica esta correlación sobre la relación entre el número de páginas y el costo? ¿Hay valores atípicos? En caso afirmativo, ¿qué punto o puntos son atípicos? ¿El valor atípico se debe eliminar si es que existe? ¿Por qué sí o por qué no?

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Regresión (eficiencia del combustible) Regresión (eficiencia del combustible) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Busque una fuente de confianza que proporcione información sobre la eficiencia total del combustible (en millas por galón) y el peso (en libras) de los nuevos modelos de automóviles con transmisión automática. Utilizaremos estos datos para determinar la relación, si es que la hay, entre la eficiencia del combustible de un automóvil y su peso. Con su generador de números aleatorios, seleccione al azar 20 automóviles de la lista y anote su peso y eficiencia de combustible en la . Peso Eficiencia de combustible ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Haga a mano un diagrama de dispersión del "peso" frente a la "eficiencia de combustible". Trace los puntos en papel cuadriculado. Identifique ambos ejes con palabras. Lleve a escala ambos ejes con precisión. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal, redondeando a 4 decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: ŷ = ______ Obtenga el gráfico de la línea de regresión en su calculadora. Dibuje la línea de regresión en los mismos ejes que el diagrama de dispersión. Preguntas para el debate ¿La correlación es significativa? Explique en frases completas cómo lo ha determinado. ¿La relación es positiva o negativa? Explique cómo puede saberlo y qué significa esto en términos de peso y eficiencia de combustible. En una o dos frases completas, ¿cuál es la interpretación práctica de la pendiente de la línea de mínimos cuadrados en términos de eficiencia de combustible y peso? Para un automóvil que pesa 4.000 libras, prediga su eficiencia de combustible. Incluya las unidades. ¿Podemos predecir la eficiencia de combustible de un automóvil que pesa 10.000 libras utilizando la línea de mínimos cuadrados? Explique por qué sí o por qué no. Responda cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica esta correlación sobre la relación entre la eficiencia de combustible y el peso de un automóvil? ¿Es esto lo que esperaba? ¿Hay valores atípicos? Si es así, ¿cuál punto es un valor atípico?

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Introducción El ANOVA de una vía se utiliza para medir la información de varios grupos. Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Interpretar la distribución de probabilidad F a medida que cambia el número de grupos y el tamaño de la muestra. Debatir sobre dos usos de la distribución F : ANOVA de una vía y la prueba de dos varianzas. Realizar e interpretar el ANOVA de una vía. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis de dos varianzas. Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos. Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado "análisis de la varianza" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F , utilizada para el ANOVA de una vía, y la prueba de dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. Estudiará este tema con mucho más detalle en futuros cursos de Estadística. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.

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ANOVA de una vía El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas) . El factor es una variable categórica. La respuesta es una variable numérica. Hipótesis nula y alternativa La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k : H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = ... = μ k H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 , ..., μ k no son iguales. Es decir, μ i ≠ μ j para algún i ≠ j . Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones. Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde). (a) H 0 es verdadero. Todas las medias son iguales; las diferencias se deben a la variación aleatoria. (b) H 0 no es verdadero. Todas las medias no son iguales; las diferencias son demasiado grandes para deberse a una variación aleatoria. Repaso del capítulo El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son? Escriba un supuesto. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Escriba otro supuesto. Escriba un tercer supuesto. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Escriba un cuarto supuesto. Escriba el supuesto final. La respuesta es un valor numérico. Indique la hipótesis nula para el ANOVA de una vía si hay cuatro grupos. Indique la hipótesis alternativa para el ANOVA de una vía si hay tres grupos. H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 no son iguales. ¿Cuándo se utiliza el ANOVA? Tarea para la casa Se han probado tres rutas de tráfico diferentes para el tiempo medio de conducción. Las entradas de la son los tiempos de conducción en minutos en las tres rutas diferentes. Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 30 27 16 32 29 41 27 28 22 35 36 31 Indique la SS entre , la SS dentro y el estadístico F . SS entre = 26 SS dentro = 441 F = 0,2653 Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Plantee las hipótesis. H 0 : ____________ H a : ____________ Análisis de varianza también denominado ANOVA, es un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no. El método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . ANOVA de una vía un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no; el método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. hay una variable independiente y una variable dependiente. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media; el cuadrado de la desviación típica. Para un conjunto de datos, una desviación se puede representar como x – x ¯ donde x es un valor de los datos y x ¯ es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.

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La distribución F y el cociente F La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se llama distribución F , en honor al estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador. Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F 4, 10 . Nota La distribución F se deriva de la distribución t de Student. Los valores de la distribución F son los cuadrados de los valores correspondientes de la distribución t . El ANOVA de una vía amplía la prueba t para comparar más de dos grupos. El alcance de esa derivación está más allá del nivel de este curso. Es preferible utilizar el ANOVA cuando hay más de dos grupos en lugar de realizar pruebas t por pares porque la realización de pruebas múltiples introduce la probabilidad de cometer un error de tipo 1. Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza. Varianza entre muestras : Una estimación de σ 2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada. Varianza dentro de las muestras : Una estimación de σ 2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada. SS entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras SS dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar. Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza de la muestra y la desviación típica de la muestra en Estadística Descriptiva . MS significa “ media cuadrática “ (mean square, MS). MS entre es la varianza entre grupos y MS dentro es la varianza dentro de los grupos. Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática k = el número de grupos diferentes n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑ n j ) x = un valor: ∑ x = ∑ s j Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑ x 2 Variabilidad entre grupos: SS total = ∑ x 2 – ( ∑ x 2 ) n Suma total de cuadrados: ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras: SS entre = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: S S dentro = S S total – S S entre df de diferentes grupos ( df para el numerador): df = k – 1 Ecuación para los errores dentro de las muestras ( df para el denominador): df dentro = n – k Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS entre = S S entre d e entre Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS dentro = S S dentro d e dentro MS entre y MS dentro se pueden escribir como sigue: M S entre = S S entre d e entre = S S entre k – 1 M S w i t h i n = S S w i t h i n d e w i t h i n = S S w i t h i n n – k La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS dentro . La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS entre como MS dentro deberían estimar el mismo valor. Nota La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales. El cociente F o estadístico F F = M S entre M S dentro Si MS entre y MS dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H 0 es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS entre será generalmente mayor que MS dentro . Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS dentro sea mayor en una muestra determinada. Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como: Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño F = n ⋅ s x ¯ 2 s 2 combinada donde... n = el tamaño de la muestra df numerador = k – 1 df denominador = n – k s 2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) s x ¯ 2 = la varianza de las medias muestrales Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares. Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) SS (factor) k – 1 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) F = MS (Factor)/ MS (Error) Error SS (error) n – k MS (error) = SS (error)/( n – k ) Total SS (total) n – 1 Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Plan 1: n 1 = 4 Plan 2: n 2 = 3 Plan 3: n 3 = 3 5 3,5 8 4,5 7 4 4 3,5 3 4,5 s 1 = 16,5, s 2 =15, s 3 = 15,5 A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis. S S ( b e t w e e n ) = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n = s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 – ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10 donde n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 3 y n = n 1 + n 2 + n 3 = 10 = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 – ( 16,5 + 15 + 15,5 ) 2 10 S S ( b e t w e e n ) = 2,2458 S ( t o t a l ) = ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n = ( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 ) – ( 5 + 4,5 + 4 + 3 + 3,5 + 7 + 4,5 + 8 + 4 + 3,5 ) 2 10 = 244 – 47 2 10 = 244 – 220,9 S S ( t o t a l ) = 23,1 S S ( w i t h i n ) = S S ( t o t a l ) – S S ( b e t w e e n ) = 23,1 – 2,2458 S S ( w i t h i n ) = 20,8542 Tabla de ANOVA de una vía: Las fórmulas para SS (total), SS (factor) = SS (entre) y SS (error) = SS (dentro) como se ha mostrado anteriormente. La misma información es proporcionada por la función de prueba de hipótesis de la calculadora TI ANOVA en STAT TESTS (la sintaxis es ANOVA(L1, L2, L3) donde L1, L2, L3 tienen los datos del Plan 1, Plan 2, Plan 3 respectivamente). Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) SS (factor) = SS (entre) = 2,2458 k – 1 = 3 grupos – 1 = 2 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) = 2,2458/2 = 1,1229 F = MS (Factor)/ MS (Error) = 1,1229/2,9792 = 0,3769 Error SS (error) = SS = 20,8542 n – k = 10 datos totales – 3 grupos = 7 MS (error) = SS (error)/( n – k ) = 20,8542/7 = 2,9792 Total SS (total) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1 n – 1 = 10 datos totales – 1 = 9 Ejercicio Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos suelo desnudo cubierta de suelo comercial plástico negro paja compost Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas: Desnudo: n 1 = 3 Cubierta del suelo: n 2 = 3 Plástico: n 3 = 3 Paja: n 4 = 3 Compost: n 5 = 3 2.625 5.348 6.583 7.285 6.277 2.997 5.682 8.560 6.897 7.818 4.915 5.482 3.830 9.230 8.677 Cree la tabla ANOVA de una vía. La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H 0 . Notación La notación para la distribución F es F ~ F df ( num ), df ( denom ) donde df ( num ) = df entre y df ( denom ) = df dentro La media de la distribución F es μ = d e ( d e n o m ) d e ( d e n o m ) – 2 Referencias Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante) Repaso del capítulo El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA. Revisión de la fórmula S S entre = ∑  [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑  s j ) 2 n S S total = ∑  x 2 – ( ∑  x ) 2 n S S dentro = S S total – S S entre df entre = df ( num ) = k – 1 df dentro = df(denom) = n – k MS entre = S S entre d e entre MS dentro = S S dentro d e dentro F = M S entre M S dentro Cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño: F = n s x ¯ 2 s 2 p o o l e d Media de la distribución F : µ = d e ( n u m ) d e ( d e n o m ) – 2 donde: k = el número de grupos n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados x = un valor (una observación) de los datos s x ¯ 2 = la varianza de las medias muestrales s 2 p o o l e d = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 216 202 170 198 213 165 240 284 182 187 228 197 176 210 201 ¿Cuál es el factor de la suma de cuadrados? 4.939,2 ¿Cuál es el error de la suma de los cuadrados? ¿Cuál es la df del numerador? 2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es el factor de la media cuadrática? 2.469,6 ¿Cuál es el error cuadrático medio? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,7416 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las entradas de la tabla son los goles por partido de los diferentes equipos. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 1 2 0 3 2 3 1 4 0 2 1 4 3 4 0 3 2 4 0 2 ¿Cuál es SS entre ? ¿Cuál es la df del numerador? 3 ¿Cuál es MS entre ? ¿Cuál es SS dentro ? 13,2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es MS dentro ? 0,825 ¿Cuál es el estadístico F ? A juzgar por el estadístico F , ¿cree que es probable o improbable que se rechace la hipótesis nula? Dado que el ANOVA de una vía siempre tiene cola derecha, un estadístico F alto corresponde a un valor p bajo, por lo que es probable que rechacemos la hipótesis nula. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Hα : Al menos dos de las medias de grupo µ 1 , µ 2 , …, µ 5 no son iguales. grados de libertad – numerador: df ( num ) = _________ grados de libertad – denominador: df ( denom ) = ________ df ( denom ) = 15 estadístico F = ________

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