Gráficos de funciones lineales Dos compañías telefónicas de la competencia ofrecen diferentes planes de pago. Los dos planes cobran la misma tarifa por minuto de larga distancia, pero cobran una tarifa plana mensual diferente. Un consumidor quiere determinar si los dos planes costarán alguna vez la misma cantidad para un número determinado de minutos de larga distancia utilizados. El costo total de cada plan de pago puede representarse mediante una función lineal. Para resolver el problema, tendremos que comparar las funciones. En esta sección, consideraremos los métodos de comparación de funciones mediante gráficos. Gráficos de funciones lineales En Funciones lineales , vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características. Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y , así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad f ( x ) = x . Graficar una función mediante el trazado de puntos Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función, f ( x ) = 2 x , podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto ( 1 , 2 ) . Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto ( 2 , 4 ) . A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error. Cómo Dada una función lineal, dibuje un gráfico trazando puntos. Elija un mínimo de dos valores de entrada. Evalúe la función en cada valor de entrada. Utilice los valores de salida resultantes para identificar los pares de coordenadas. Trace los pares de coordenadas en una cuadrícula. Dibuje una línea que pase por los puntos. Graficar mediante el trazado de puntos Grafique f ( x ) = - 2 3 x + 5 mediante el trazado de puntos. Comience por elegir los valores de entrada. Esta función incluye una fracción con un denominador de 3, así que elijamos múltiplos de 3 como valores de entrada. Elegiremos 0, 3 y 6. Evalúe la función en cada valor de entrada y utilice el valor de salida para identificar los pares de coordenadas. x = 0 f ( 0 ) = - 2 3 ( 0 ) + 5 = 5 ⇒ ( 0 , 5 ) x = 3 f ( 3 ) = - 2 3 ( 3 ) + 5 = 3 ⇒ ( 3 , 3 ) x = 6 f ( 6 ) = - 2 3 ( 6 ) + 5 = 1 ⇒ ( 6 , 1 ) Trace los pares de coordenadas y dibuje una línea que pase por los puntos. La representa el gráfico de la función f ( x ) = - 2 3 x + 5. El gráfico de la función lineal f ( x ) = - 2 3 x + 5. Análisis El gráfico de la función es una línea como se espera para una función lineal. Además, el gráfico tiene una inclinación hacia abajo, lo que indica una pendiente negativa. Esto también se espera de la tasa de cambio constante negativa en la ecuación de la función. Ejercicio Grafique f ( x ) = - 3 4 x + 6 mediante el trazado de puntos. Graficar una función mediante la intersección en y , además de la pendiente Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y , que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en y , podemos establecer x = 0 en la ecuación. La otra característica de la función lineal es su pendiente m , que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales . Consideremos la función siguiente. f ( x ) = 1 2 x + 1 La pendiente es 1 2 . Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando x = 0 . El gráfico cruza el eje y en ( 0 , 1 ) . Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y . Podemos empezar a graficar al trazar el punto ( 0 , 1 ) Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido, m = subida recorrido . De nuestro ejemplo, tenemos m = 1 2 , lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y ( 0 , 1 ) , podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la . Interpretación gráfica de una función lineal En la ecuación f ( x ) = m x + b b es la intersección en y del gráfico e indica el punto ( 0 , b ) en el que el gráfico cruza el eje y . m es la pendiente de la línea e indica el desplazamiento vertical (subida) y horizontal (recorrido) entre cada par de puntos sucesivos. Recordemos la fórmula de la pendiente: m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en y ? Sí. Todas las funciones lineales cruzan el eje y, por lo que tienen intersecciones en y. (Nota: La línea vertical paralela al eje y no tiene intersección en y, pero no es una función ). Cómo Dada la ecuación de una función lineal, graficar la función mediante la intersección en y , además de la pendiente. Evalúe la función en un valor de entrada de cero para hallar la intersección en y . Identifique la pendiente como la tasa de cambio del valor de entrada. Trace el punto representado por la intersección en y . Utilice subida recorrido para determinar al menos dos puntos más en la línea. Trace la línea que pasa por los puntos. Graficar mediante la intersección en y , además de la pendiente Grafique f ( x ) = - 2 3 x + 5 mediante la intersección en y , además de la pendiente. Evalúe la función en x = 0 para hallar la intersección en y . El valor de salida cuando x = 0 es 5, por lo que el gráfico cruzará el eje y en ( 0 , 5 ) . Según la ecuación de la función, la pendiente de la línea es − 2 3 . Esto nos dice que, por cada disminución vertical de la "subida" de – 2 unidades, el "recorrido" aumenta en 3 unidades en la dirección horizontal. Ahora podemos graficar la función al trazar primero la intersección en y en el gráfico en la . A partir del valor inicial ( 0 , 5 ) nos movemos hacia abajo 2 unidades y hacia la derecha 3 unidades. Podemos extender la línea a la izquierda y a la derecha repitiendo, y luego dibujar una línea a través de los puntos. Análisis El gráfico se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha, lo que significa que tiene una pendiente negativa, como era de esperar. Ejercicio Halle un punto en el gráfico que hemos dibujado en el que tenga un valor de x negativo. Las posibles respuestas son: ( - 3 , 7 ) , ( − 6 , 9 ) , o ( − 9 , 11 ) . Graficar una función mediante transformaciones Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad f ( x ) = x . Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión. Estiramiento o compresión vertical En la ecuación f ( x ) = m x , el plano m actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando m es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la al multiplicar la ecuación de f ( x ) = x por m estira el gráfico de f por un factor de m unidades si m > 1 y comprime el gráfico de f por un factor de m unidades si 0 < m < 1. Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de m , mayor será la pendiente. Estiramiento y compresión vertical, y reflexión en la función f ( x ) = x . Desplazamiento vertical En f ( x ) = m x + b , el plano b actúa como el desplazamiento vertical , al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la que la adición de un valor de b a la ecuación de f ( x ) = x desplaza el gráfico de f un total de b unidades hacia arriba si b es positivo y | b | unidades hacia abajo si b es negativo. Este gráfico ilustra los desplazamientos verticales de la función f ( x ) = x . El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método. Cómo Dada la ecuación de una función lineal, utilizar las transformaciones para graficar la función lineal en la forma f ( x ) = m x + b . Grafique f ( x ) = x . Estire o comprima verticalmente el gráfico por un factor m . Desplace el gráfico hacia arriba o hacia abajo b unidades. Graficar mediante el empleo de transformaciones Grafique f ( x ) = 1 2 x - 3 utilizando transformaciones. La ecuación de la función muestra que m = 1 2 por lo que la función de identidad se comprime verticalmente por 1 2 . La ecuación de la función también muestra que b = −3 por lo que la función de identidad se desplaza verticalmente hacia abajo 3 unidades. En primer lugar, grafique la función identidad, y muestre la compresión vertical como en la . La función, y = x , comprimida por un factor de 1 2 . A continuación, muestre el desplazamiento vertical como en la . La función y = 1 2 x , se ha desplazado hacia abajo 3 unidades. Ejercicio Grafique f ( x ) = 4 + 2 x , utilizando transformaciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , ¿podríamos haber dibujado el gráfico invirtiendo el orden de las transformaciones? No. El orden de las transformaciones sigue el orden de las operaciones. Cuando la función se evalúa en una entrada determinada, la salida correspondiente se calcula siguiendo el orden de las operaciones. Por eso realizamos primero la compresión. Por ejemplo, siguiendo el orden: supongamos que la entrada sea 2. f (2) = 1 2 (2) − 3 = 1 - 3 = - 2 Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta Recuerde que en Funciones lineales , escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la . Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto ( 0 , 4 ) así que esta es la intersección y . Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto ( – 2 , 0 ) . Para llegar desde este punto hasta la intersección en y , debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser m = subida recorrido = 4 2 = 2 Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene y = 2 x + 4 Cómo Dado el gráfico de una función lineal, hallar la ecuación que describe la función. Identifique la intersección en y de una ecuación. Elija dos puntos para determinar la pendiente. Sustituya la intersección en y , además de la pendiente en la forma pendiente-intersección de una línea. Relacionar las funciones lineales con sus gráficos Relacione cada ecuación de las funciones lineales con una de las líneas en la . Ⓐ f ( x ) = 2 x + 3 Ⓑ g ( x ) = 2 x - 3 Ⓒ h ( x ) = - 2 x + 3 Ⓓ j ( x ) = 1 2 x + 3 Analice la información de cada función. Ⓐ Esta función tiene una pendiente de 2 y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Podemos utilizar dos puntos para hallar la pendiente o podemos compararla con las otras funciones enumeradas. La función g tiene la misma pendiente, pero una intersección en y diferente. Las líneas I y III tienen la misma inclinación porque tienen la misma pendiente. La línea III no pasa por ( 0 , 3 ) por lo que f deberá representarse con la línea I. Ⓑ Esta función también tiene una pendiente de 2, pero una intersección en y de − 3. Deberá pasar por el punto ( 0 , - 3 ) e inclinarse hacia arriba de izquierda a derecha. Debe representarse por la línea III. Ⓒ Esta función tiene una pendiente de -2 y una intersección en y de 3. Esta es la única función que se indica con una pendiente negativa, de allí que deba representarse con la línea IV porque se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha. Ⓓ Esta función tiene una pendiente de 1 2 y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Las líneas I y II pasan por ( 0 , 3 ) , pero la pendiente de j es menor que la pendiente de f por lo que la línea de j deberá ser más plana. Esta función está representada por la línea II. Ahora podemos volver a etiquetar las líneas como en la . Hallar la intersección en x de una línea Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y . Una función también puede tener una intersección en x , que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x . En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero. Para hallar la intersección en x , se establece una función f ( x ) igual a cero y se resuelve para el valor de x . Por ejemplo, considere la función indicada. f ( x ) = 3 x - 6 Iguale la función a 0 y resuelva para x . 0 = 3 x - 6 6 = 3 x 2 = x x = 2 El gráfico de la función cruza el eje x en el punto ( 2 , 0 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en x ? No. Sin embargo, las funciones lineales de la forma y = c , donde c es un número real distinto a cero, son los únicos ejemplos de funciones lineales sin intersección en x. Por ejemplo, y = 5 es una línea horizontal 5 unidades por encima del eje x. Esta función no tiene intersecciones en x, como se muestra en la . intersección en x La intersección en x de la función es el valor de x cuando f ( x ) = 0, Se puede resolver mediante la ecuación 0 = m x + b . Hallar una intersección en x Calcule la intersección en x de f ( x ) = 1 2 x − 3, Iguale la función a cero para resolver x . 0 = 1 2 x - 3 3 = 1 2 x 6 = x x = 6 El gráfico cruza el eje x en el punto ( 6 , 0 ) . Análisis El gráfico de la función se muestra en la . Observamos que la intersección en x es ( 6 , 0 ) como esperábamos. El gráfico de la función lineal f ( x ) = 1 2 x − 3, Ejercicio Calcule la intersección en x de f ( x ) = 1 4 x − 4. ( 16 , 0 ) Describir líneas horizontales y verticales Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y . En la , vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos m = 0, 0 en la ecuación f ( x ) = m x + b , la ecuación se simplifica a f ( x ) = b . En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función f ( x ) = 2. Una línea horizontal que representa la función f ( x ) = 2. Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x . Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida. Observe que una línea vertical, como la que aparece en la , tiene una intersección en x , pero no tiene intersección en y , a menos que sea la línea x = 0 . Este gráfico representa la línea x = 2. La línea vertical, x = 2 , que no representa una función. Líneas horizontales y verticales Las líneas pueden ser horizontales o verticales. Una línea horizontal se define por una ecuación de la forma f ( x ) = b . Una línea vertical se define por una ecuación de la forma x = a . Escribir la ecuación de una línea horizontal Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la . Para cualquier valor de x , el valor de y es − 4 , por lo que la ecuación es y = − 4. Escribir la ecuación de una línea vertical Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la . El valor constante de x es 7 , por lo que la ecuación es x = 7. Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares Las dos líneas en la son líneas paralelas : nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y . Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea. Líneas paralelas. Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas. f ( x ) = - 2 x + 6 f ( x ) = - 2 x - 4 } son paralelas f ( x ) = 3 x + 2 f ( x ) = 2 x + 2 } no son paralelas A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la son perpendiculares. Líneas perpendiculares. Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si m 1 y m 2 son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1. m 1 m 2 = - 1 Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es 1 8 , y el recíproco de 1 8 es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo. Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares. f ( x ) = 1 4 x + 2 recíproco negativo de 1 4 es -4 f ( x ) = – 4 x + 3 recíproco negativo de − 4 es 1 4 El producto de las pendientes es -1. − 4 ( 1 4 ) = - 1 Líneas paralelas y perpendiculares Dos líneas son paralelas si no se intersecan. Las pendientes de las líneas son las mismas. f ( x ) = m 1 x + b 1 y g ( x ) = m 2 x + b 2 son paralelas si m 1 = m 2 . Si y solo si b 1 = b 2 y m 1 = m 2 , decimos que las líneas coinciden. Las líneas coincidentes son la misma línea. Dos líneas son perpendiculares si se intersecan en ángulos rectos. f ( x ) = m 1 x + b 1 y g ( x ) = m 2 x + b 2 son perpendiculares si m 1 m 2 = - 1 , y así m 2 = - 1 m 1 . Identificar líneas paralelas y perpendiculares Dadas las funciones siguientes, identifique las funciones cuyos gráficos sean un par de líneas paralelas y un par de líneas perpendiculares. f ( x ) = 2 x + 3 h ( x ) = - 2 x + 2 g ( x ) = 1 2 x - 4 j ( x ) = 2 x - 6 Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Ya que las funciones f ( x ) = 2 x + 3 y j ( x ) = 2 x - 6 tienen cada una de estas una pendiente de 2, representan líneas paralelas. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas. Dado que -2 y 1 2 son recíprocos negativos, las ecuaciones, g ( x ) = 1 2 x - 4 y h ( x ) = - 2 x + 2 representan líneas perpendiculares. Análisis Un gráfico de las líneas se muestra en la . El gráfico muestra que las líneas f ( x ) = 2 x + 3 y j ( x ) = 2 x – 6 son paralelas, y las líneas g ( x ) = 1 2 x – 4 y h ( x ) = - 2 x + 2 son perpendiculares. Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada. Escribir ecuaciones de líneas paralelas Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación. f ( x ) = 3 x + 1 Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es ( 0 , 1 ) . Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a f ( x ) . Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a f ( x ) . g ( x ) = 3 x + 6 h ( x ) = 3 x + 1 p ( x ) = 3 x + 2 3 Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a f y pasa por el punto ( 1 , 7 ) . Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para b dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 7 = 3 ( x – 1 ) y - 7 = 3 x - 3 y = 3 x + 4 Así que g ( x ) = 3 x + 4 es paralela a f ( x ) = 3 x + 1 y pasa por el punto ( 1 , 7 ) . Cómo Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea paralela a la línea dada que pase por el punto dado. Calcule la pendiente de la función. Sustituya los valores dados en la ecuación general de punto-pendiente o en la ecuación pendiente-intersección de una línea. Simplifique. Hallar una línea paralela a una línea dada Halle una línea paralela al gráfico de f ( x ) = 3 x + 6 que pasa por el punto ( 3 , 0 ) . La pendiente de la línea dada es 3. Si elegimos la forma pendiente-intersección, podemos sustituir m = 3 , x = 3 , y f ( x ) = 0 en la forma pendiente-intersección para hallar la intersección en y . g ( x ) = 3 x + b 0 = 3 ( 3 ) + b b = – 9 La línea paralela a f ( x ) que pasa por ( 3 , 0 ) es g ( x ) = 3 x − 9. Análisis Podemos confirmar que las dos líneas son paralelas al representarlas gráficamente. La muestra que las dos líneas nunca se intersecan. Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función: f ( x ) = 2 x + 4 La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es − 1 2 . Cualquier función con una pendiente de − 1 2 será perpendicular a f ( x ) . Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a f ( x ) . g ( x ) = - 1 2 x + 4 h ( x ) = - 1 2 x + 2 p ( x ) = - 1 2 x – 1 2 Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a f ( x ) y pasa por el punto ( 4 , 0 ) . Ya sabemos que la pendiente es − 1 2 . Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para b . g ( x ) = m x + b 0 = - 1 2 ( 4 ) + b 0 = - 2 + b 2 = b b = 2 La ecuación de la función con pendiente de − 1 2 y una intersección en y de 2 es g ( x ) = - 1 2 x + 2. Así que g ( x ) = - 1 2 x + 2 es perpendicular a f ( x ) = 2 x + 4 y pasa por el punto ( 4 , 0 ) . Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Una línea horizontal tiene una pendiente de cero y una línea vertical tiene una pendiente indefinida. Estas dos líneas son perpendiculares, pero el producto de sus pendientes no es -1. ¿No contradice este hecho la definición de líneas perpendiculares? No. Para dos funciones lineales perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Sin embargo, una línea vertical no es una función, por lo que la definición no se contradice. Cómo Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea perpendicular a la línea dada. Calcule la pendiente de la función. Determine el recíproco negativo de la pendiente. Sustituya la nueva pendiente y los valores de x y y a partir del par de coordenadas facilitado en g ( x ) = m x + b . Resuelva para b . Escriba la ecuación de la línea. Hallar la ecuación de una línea perpendicular Halle la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 3 x + 3 que pasa por el punto ( 3 , 0 ) . La línea original tiene pendiente m = 3 , por lo que la pendiente de la línea perpendicular será su recíproco negativo o − 1 3 . Con esta pendiente y el punto dado, podemos hallar la ecuación de la línea. g ( x ) = – 1 3 x + b 0 = – 1 3 ( 3 ) + b 1 = b b = 1 La línea perpendicular a f ( x ) que pasa por ( 3 , 0 ) es g ( x ) = - 1 3 x + 1. Análisis El gráfico de las dos líneas se muestra en la a continuación. Ejercicio Dada la función h ( x ) = 2 x - 4 , escribir una ecuación para la línea que pasa por ( 0 , 0 ) que es Ⓐ paralela a h ( x ) Ⓑ perpendicular a h ( x ) Ⓐ f ( x ) = 2 x Ⓑ g ( x ) = - 1 2 x Cómo Dados dos puntos de una línea y un tercer punto, escribir la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos. Calcule el recíproco negativo de la pendiente. Utilice la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para escribir la ecuación al sustituir los valores conocidos. Simplifique. Hallar la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pasa por un punto Una línea pasa por los puntos ( – 2 , 6 ) y ( 4 , 5 ) . Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto ( 4 , 5 ) . A partir de los dos puntos de la línea dada, podemos calcular su pendiente. m 1 = 5 − 6 4 - ( – 2 ) = - 1 6 = - 1 6 Calcule el recíproco negativo de la pendiente. m 2 = - 1 - 1 6 = - 1 ( − 6 1 ) = 6 Podemos entonces resolver la intersección en y de la línea que pasa por el punto ( 4 , 5 ) . g ( x ) = 6 x + b 5 = 6 ( 4 ) + b 5 = 24 + b − 19 = b b = −19 La ecuación de la línea que es perpendicular a la que pasa por los dos puntos dados y también por el punto ( 4 , 5 ) es y = 6 x − 19 Ejercicio Una línea pasa por los puntos, ( –2 , −15 ) y ( 2, −3 ) . Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto, ( 6 , 4 ) . y = – 1 3 x + 6 Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema. Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que f ( x ) = g ( x ) . En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación. Hallar un punto de intersección algebraicamente Halle el punto de intersección de las líneas h ( t ) = 3 t - 4 y j ( t ) = 5 − t . Establezca h ( t ) = j ( t ) . 3 t - 4 = 5 − t 4 t = 9 t = 9 4 Esto nos indica que las líneas se intersecan cuando la entrada es 9 4 . A continuación, podemos hallar el valor de salida del punto de intersección al evaluar cualquiera de las dos funciones en esta entrada. j ( 9 4 ) = 5 − 9 4 = 11 4 Estas líneas se intersecan en el punto ( 9 4 , 11 4 ) . Análisis Si observamos la , este resultado luce razonable. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si se nos pidiera hallar el punto de intersección de dos líneas paralelas distintas, ¿algo en el proceso de solución debería alertarnos de que no hay soluciones? Sí. Tras igualar las dos ecuaciones, el resultado sería la contradicción "0 = número real distinto de cero". Ejercicio Observe el gráfico en la e identifique lo siguiente para la función j ( t ) : Ⓐ intersección en y Ⓑ intersección en x Ⓒ pendiente Ⓓ ¿Es j ( t ) paralela o perpendicular a h ( t ) (o ninguna de las dos)? Ⓔ ¿Es j ( t ) una función creciente o decreciente (o ninguna de las dos)? Ⓕ Describa la transformación para j ( t ) de la función de la caja de herramientas de identidad f ( x ) = x . Ⓐ ( 0 , 5 ) Ⓑ ( 5 , 0 ) Ⓒ Pendiente -1 Ⓓ Ni paralela ni perpendicular Ⓔ Función decreciente Ⓕ Dada la función de identidad, realice una vuelta vertical (sobre el eje de t ) y un desplazamiento hacia arriba de 5 unidades. Hallar el punto de equilibrio Una empresa vende cascos deportivos. La empresa incurre en un costo fijo único de 250.000 dólares. La producción de cada casco cuesta 120 dólares y se vende por 140 dólares. Ⓐ Halle la función de costo, C , para producir x cascos, en dólares. Ⓑ Halle la función de ingresos, R , a partir de las ventas de x cascos, en dólares. Ⓒ Halle el punto de equilibrio, el punto de intersección de los dos gráficos C y R . Ⓐ La función de costo en la suma del costo fijo, 125.000 dólares, y el costo variable, 120 dólares por casco. C ( x ) = 120 x + 250.000 Ⓑ La función de ingresos es el total de ingresos por la venta de x cascos, R ( x ) = 140 x . Ⓒ El punto de equilibrio es el punto de intersección en el gráfico de las funciones de costo e ingresos. Para hallar la coordenada de la x del par de coordenadas del punto de intersección, hay que igualar las dos ecuaciones y resolver x . C ( x ) = R ( x ) 250.000 + 120 x = 140 x 250.000 = 20 x 12.500 = x x = 12.500 Para hallar y , evalúe la función de ingresos o la de costo en 12.500. R ( x ) = 140 ( 12 , 500 ) = $ 1.750.000 El punto de equilibrio es ( 12.500, 1.750.000 ) . Análisis Esto significa que, si la empresa vende 12.500 cascos, alcanza el punto de equilibrio; tanto las ventas como los costos incurridos equivalen a 1,75 millones de dólares. Vea la Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones lineales. Hallar la entrada de la función a partir de la salida y el gráfico Graficar funciones mediante tablas Conceptos clave Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y , además de la pendiente. Vea el y el . Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el . La intersección en y , además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea. La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x . Vea el y el . Las líneas horizontales se escriben en la forma, f ( x ) = b . Vea el . Las líneas verticales se escriben en la forma, x = b . Vea el . Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el . Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación f ( x ) = m x + b , y utilizando el b resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el . Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el y el . Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para x . El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x . Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Si los gráficos de dos funciones lineales son paralelos, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y . Las pendientes son iguales; las intersecciones en y no lo son. Si los gráficos de dos funciones lineales son perpendiculares, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y . Si una línea horizontal tiene la ecuación f ( x ) = a y una línea vertical tiene la ecuación x = a , ¿cuál es el punto de intersección? Explique por qué lo que ha encontrado es el punto de intersección. El punto de intersección es ( a , a ) . Esto se debe a que, para la línea horizontal, todas las coordenadas de la y son a y para la línea vertical, todas las coordenadas de la x son a . El punto de intersección tendrá estas dos características. Explique cómo hallar una línea paralela a una función lineal que pase por un punto dado. Explique cómo hallar una línea perpendicular a una función lineal que pase por un punto dado. En primer lugar, halle la pendiente de la función lineal. A continuación, tome el recíproco negativo de la pendiente; esta es la pendiente de la línea perpendicular. Sustituya la pendiente de la línea perpendicular y la coordenada del punto dado en la ecuación y = m x + b y resuelva para b . Entonces, escriba la ecuación de la línea en la forma y = m x + b al sustituir en m y b . Algebraicos En los siguientes ejercicios determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: 4 x - 7 y = 10 7 x + 4 y = 1 3 y + x = 12 − y = 8 x + 1 ni paralela ni perpendicular 3 y + 4 x = 12 − 6 y = 8 x + 1 6 x - 9 y = 10 3 x + 2 y = 1 perpendicular y = 2 3 x + 1 3 x + 2 y = 1 y = 3 4 x + 1 - 3 x + 4 y = 1 paralela En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de cada ecuación. f ( x ) = - x + 2 g ( x ) = 2 x + 4 ( – 2 , 0 ) ; ( 0 , 4 ) h ( x ) = 3 x - 5 k ( x ) = - 5 x + 1 ( 1 5 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) - 2 x + 5 y = 20 7 x + 2 y = 56 ( 8 , 0 ) ; ( 0 , 28 ) En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de cada par de líneas que se dan a continuación para calcular las pendientes de la línea 1 y la línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( 0 , 6 ) y ( 3 , −24 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , 19 ) y ( 8 , −71 ) Línea 1: Pasa por ( –8 , −55 ) y ( 10 , 89 ) Línea 2: Pasa por ( 9 , -44 ) y ( 4 , −14 ) Línea 1 : m = 8 Línea 2 : m = – 6 Ninguna de las dos Línea 1: Pasa por ( 2 , 3 ) y ( 4 , - 1 ) Línea 2: Pasa por ( 6 , 3 ) y ( 8 , 5 ) Línea 1: Pasa por ( 1 , 7 ) y ( 5 , 5 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , −3 ) y ( 1 , 1 ) Línea 1 : m = – 1 2 Línea 2 : m = 2 Perpendiculares Línea 1: Pasa por ( 0 , 5 ) y ( 3 , 3 ) Línea 2: Pasa por ( 1 , −5 ) y ( 3 , –2 ) Línea 1: Pasa por ( 2 , 5 ) y ( 5 , –1 ) Línea 2: Pasa por ( −3 , 7 ) y ( 3 , −5 ) Línea 1 : m = – 2 Línea 2 : m = – 2 Paralelo Escriba la ecuación de una línea paralela a f ( x ) = - 5 x - 3 y que pasa por el punto ( 2 , – 12 ) . Escriba la ecuación de una línea paralela a g ( x ) = 3 x – 1 y que pasa por el punto ( 4 , 9 ) . g ( x ) = 3 x - 3 Escriba la ecuación de una línea perpendicular a h ( t ) = - 2 t + 4 y que pasa por el punto ( 4 , – 1 ) . Escriba la ecuación de una línea perpendicular a p ( t ) = 3 t + 4 y que pasa por el punto ( 3 , 1 ) . p ( t ) = - 1 3 t + 2 Halle el punto en el que la línea f ( x ) = - 2 x – 1 cruza la línea g ( x ) = - x . Halle el punto en el que la línea f ( x ) = 2 x + 5 cruza la línea g ( x ) = - 3 x − 5. ( – 2 , 1 ) Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f ( x ) = – 4 5 x + 274 25 cruza la línea h ( x ) = 9 4 x + 73 10 . Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f ( x ) = 7 4 x + 457 60 cruza la línea g ( x ) = 4 3 x + 31 5 . ( − 17 5 , 5 3 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación lineal dada con su gráfico en la . f ( x ) = - x – 1 f ( x ) = - 2 x – 1 F f ( x ) = - 1 2 x – 1 f ( x ) = 2 C f ( x ) = 2 + x f ( x ) = 3 x + 2 A En los siguientes ejercicios, dibuje una línea con las características dadas. Una intersección en x de ( – 4 , 0 ) y la intersección y de ( 0 , -2 ) Una intersección en x de ( – 2 , 0 ) y la intersección y de ( 0 , 4 ) Una intersección en y de ( 0 , 7 ) y pendiente − 3 2 Una intersección en y de ( 0 , 3 ) y pendiente 2 5 Pasando por los puntos ( – 6 , -2 ) y ( 6 , -6 ) Pasando por los puntos ( – 3 , -4 ) y ( 3 , 0 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada ecuación. f ( x ) = - 2 x – 1 g ( x ) = - 3 x + 2 h ( x ) = 1 3 x + 2 k ( x ) = 2 3 x - 3 f ( t ) = 3 + 2 t p ( t ) = - 2 + 3 t x = 3 x = - 2 r ( x ) = 4 q ( x ) = 3 4 x = - 9 y + 36 x 3 - y 4 = 1 3 x - 5 y = 15 3 x = 15 3 y = 12 Si los valores de g ( x ) es la transformación de f ( x ) = x después de una compresión vertical en 3 4 , un desplazamiento hacia la derecha en 2, y un desplazamiento hacia abajo en 4 Ⓐ Escriba una ecuación para g ( x ) . Ⓑ ¿Cuál es la pendiente de esta línea? Ⓒ Calcule la intersección en y de esta línea. Ⓐ g ( x ) = 0,75 x − 5,5 Ⓑ 0,75 Ⓒ ( 0 , − 5,5 ) Si los valores de g ( x ) es la transformación de f ( x ) = x después de una compresión vertical en 1 3 , un desplazamiento hacia la izquierda en 1, y un desplazamiento hacia arriba en 3 Ⓐ Escriba una ecuación para g ( x ) . Ⓑ ¿Cuál es la pendiente de esta línea? Ⓒ Calcule la intersección en y de esta línea. En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico. y = 3 x = - 3 En los siguientes ejercicios, halle el punto de intersección de cada par de líneas, si existe. Si no existe, indique que no hay punto de intersección. y = 3 4 x + 1 - 3 x + 4 y = 12 no hay punto de intersección 2 x - 3 y = 12 5 y + x = 30 2 x = y - 3 y + 4 x = 15 ( 2 , 7 ) x - 2 y + 2 = 3 x - y = 3 5 x + 3 y = − 65 x - y = - 5 ( – 10 , –5 ) Extensiones Halle la ecuación de la línea paralela a la línea g ( x ) = − 0, 01 x + 2 0,01 a través del punto ( 1 , 2 ) . Halle la ecuación de la línea perpendicular a la línea g ( x ) = − 0, 01 x +2 0,01 a través del punto ( 1 , 2 ) . y = 100 x − 98 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = − 0, 1 x +200 y g ( x ) = 20 x + 0,1. Halle el punto de intersección de las líneas f y g . ¿Dónde es f ( x ) mayor que g ( x ) ? ¿Dónde es g ( x ) mayor que f ( x ) ? x < 1999 201 x > 1999 201 Aplicaciones en el mundo real Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 30 dólares al día y 0,18 dólares por milla. Plan B: 50 dólares al día, con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos. Plan A: 20 dólares al mes y 1 dólar por cada cien mensajes de texto. Plan B: 50 dólares al mes con mensajes de texto ilimitados y gratuitos. ¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? Menos de 3.000 mensajes de texto. Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos. Plan A: 15 dólares al mes y 2 dólares por cada 300 mensajes de texto. Plan B: 25 dólares al mes y 0,50 dólares por cada 100 mensajes de texto. ¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? línea horizontal una línea definida por f ( x ) = b , donde b es un número real. La pendiente de una línea horizontal es 0. líneas paralelas dos o más líneas con la misma pendiente líneas perpendiculares dos líneas que se intersecan en ángulo recto y tienen pendientes que son recíprocas negativas línea vertical una línea definida por x = a , donde a es un número real. La pendiente de una línea vertical es indefinida. intersección en x el punto en el gráfico de una función lineal cuando el valor de salida es 0; el punto en el que el gráfico cruza el eje horizontal

Matemáticas


Modelado con funciones lineales (Créditos: EEK Photography/Flickr) Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal . Identificar los pasos para modelar y resolver problemas Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante , solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente: Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas. Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial. Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar. A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema. Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función. Resuelva o evalúe la función con la fórmula. Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático. Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario. Construir modelos lineales Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades. Salida: M , dinero restante, en dólares Entrada: t , tiempo, en semanas Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: M ( t ) También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio. Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de M . Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente. Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana. La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal M ( t ) = m t + b . Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado. Para calcular la intersección en x llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada. 0 = - 400 t + 3.500 t = 3.500 400 = 8,75 Las intersecciones en x es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas. Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en x , a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es: 0 ≤ t ≤ 8,75. En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal. Utilizar una intersección dada para construir un modelo Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en y , que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en y , la intersección en x puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en y es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal. f ( x ) = m x + b = − 250 x + 1.000 Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para x para hallar la intersección en x . 0 = − 250 x + 1.000 1.000 = 250 x 4 = x x = 4 Las intersecciones en x es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en x es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo. Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada. Cómo Dado un problema verbal que incluya dos pares de valores de entrada y salida, utilizar la función lineal para resolver un problema. Identifique los valores de entrada y salida. Convierta los datos en dos pares de coordenadas. Calcule la pendiente. Escriba el modelo lineal. Utilice el modelo para hacer una predicción al evaluar la función en un determinado valor de x . Utilice el modelo para identificar un valor de x que resulte en un determinado valor de y . Responda la pregunta planteada. Usar un modelo lineal para investigar la población de una ciudad La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2004 la población era de 6.200 habitantes. En 2009 la población había crecido hasta los 8.100 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Ⓐ Prediga la población en 2013. Ⓑ Identifique el año en el que la población alcanzará los 15.000 habitantes. Las dos cantidades que cambian son el tamaño de la población y el tiempo. Aunque podríamos utilizar el valor real del año como cantidad de entrada, hacerlo así tiende a llevar a ecuaciones muy engorrosas, porque la intersección en y correspondería al año 0, ¡hace más de 2.000 años! Para que el cálculo sea más llevadero, definiremos nuestra entrada como el número de años desde 2004: Entrada: t , años desde 2004 Salida: P ( t ) , la población de la ciudad Para predecir la población en 2013 ( t = 9 ), necesitaríamos primero una ecuación para la población. Del mismo modo, para determinar cuándo la población alcanzaría los 15.000 habitantes, tendríamos que resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15.000. Para escribir una ecuación, necesitamos el valor inicial y la tasa de cambio o la pendiente. Para determinar la tasa de cambio, utilizaremos el cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. m = cambio en la salida cambio en la entrada El problema nos da dos pares de entrada-salida. Convirtiéndolos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a t = 0 , lo que da el punto ( 0 , 6200 ) . Observe que mediante nuestra elección inteligente de la definición de la variable, nos hemos "dado" la intersección en y de la función. El año 2009 correspondería a t = 5, lo que da el punto ( 5 , 8100 ) . Los dos pares de coordenadas son: ( 0 , 6200 ) y ( 5 , 8100 ) . Recordemos que anteriormente en el capítulo nos topamos con ejemplos en los que se nos proporcionaban dos puntos. Podemos utilizar estos valores para calcular la pendiente. m = 8.100 − 6.200 5 − 0 = 1.900 5 = 380 personas al año Ya conocemos la intersección en y de la línea, por lo que podemos escribir inmediatamente la ecuación: P ( t ) = 380 t + 6.200 Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en t = 9. P ( 9 ) = 380 ( 9 ) + 6.200 = 9.620 Si la tendencia se mantiene, nuestro modelo prevé una población de 9.620 habitantes en 2013. Para saber cuándo la población alcanzará los 15.000 habitantes, podemos establecer P ( t ) = 15.000 y resolver para t . 15.000 = 380 t + 6.200 8.800 = 380 t t ≈ 23,158 Nuestro modelo predice que la población alcanzará los 15.000 habitantes en poco más de 23 años después de 2004, es decir, alrededor del año 2027. Ejercicio Una empresa vende rosquillas. Tienen un costo fijo de 25.000 dólares por concepto de alquiler, seguro y otros gastos. El costo de producción de cada rosquilla es de 0,25 dólares. Ⓐ Escriba un modelo lineal para representar el costo C de la empresa como función de x , es el número de rosquillas que se producen. Ⓑ Halle e interprete la intersección en y . Ⓐ C ( x ) = 0,25 x + 25 , 000 Ⓑ La intersección en y es ( 0 , 25 , 000 ) . Aunque la empresa no produzca ni una sola rosquilla, sigue teniendo un costo de 25.000 dólares. Ejercicio La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2008, la población era de 28.200 habitantes. En 2012, la población era de 36.800 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Ⓐ Prediga la población en 2014. Ⓑ Identifique el año en que la población alcanzará los 54.000 habitantes. Ⓐ 41.100 Ⓑ 2020 Utilizar un diagrama para modelar un problema En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura. Usar un diagrama para modelar la distancia recorrida Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este, a 4 millas por hora, mientras que Emanuel camina hacia el sur, a 3 millas por hora. Se comunican con una radio bidireccional que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar dejarán de estar en contacto a través de la radio? En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta al afirmar que dejarán de tener contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a plantear una nueva pregunta: "¿Cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?”. En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y la posición. Sin embargo, en última instancia, necesitamos saber cuánto tiempo tardarán en estar a 2 millas de distancia. Vemos que el tiempo será nuestra variable de entrada, así que definiremos nuestras variables de entrada y salida. Entrada: t , tiempo en horas. Salida: A ( t ) , distancia en millas, y E ( t ) , distancia en millas Ya que no es obvio cómo definir nuestra variable de salida, empezaremos por hacer un dibujo como en la . Valor inicial: ambos comienzan en la misma intersección, así que cuando t = 0 , la distancia recorrida por cada persona también debería ser 0. Por lo tanto, el valor inicial de cada uno es 0. Tasa de cambio: Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son ambas tasas de cambio. La pendiente para A es 4 y la pendiente para E es 3. Con esos valores podemos escribir fórmulas para la distancia que ha caminado cada persona. A ( t ) = 4 t E ( t ) = 3 t Para este problema, las distancias desde el punto de partida son importantes. Para anotarlos, podemos definir un sistema de coordenadas al identificar el "punto de partida" en la intersección en la que ambos comenzaron. Entonces podemos utilizar la variable, A , que hemos introducido anteriormente, para representar la posición de Anna y definirla como una medida desde el punto de partida en dirección hacia el este. Asimismo, podemos utilizar la variable E , para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección hacia el sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas, hemos especificado tanto el punto de partida de la medida como su dirección. Podemos entonces definir una tercera variable, D , para que sea la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en el diagrama suele ser útil, como podemos apreciar en la . Recordemos que necesitamos saber el tiempo que tarda D , la distancia entre ellos, para que sea igual a 2 millas. Observe que, para cualquier entrada dada t , las salidas A ( t ) , E ( t ) , y D ( t ) representan las distancias. La nos muestra que podemos utilizar el teorema de Pitágoras porque hemos dibujado un ángulo recto. Con el teorema de Pitágoras obtenemos D ( t ) 2 = A ( t ) 2 + E ( t ) 2 = ( 4 t ) 2 + ( 3 t ) 2 = 16 t 2 + 9 t 2 = 25 t 2 D ( t ) = ± 25 t 2 Resuelva para D ( t ) con la raíz cuadrada = ± 5 | t | En este escenario solo consideramos valores positivos de t , por lo que nuestra distancia D ( t ) siempre será positiva. Podemos simplificar esta respuesta a D ( t ) = 5 t . Esto significa que la distancia entre Anna y Emanuel es también una función lineal. Dado que D es una función lineal, ahora podemos responder la pregunta de cuándo la distancia entre ellos será de 2 millas. Estableceremos la salida D ( t ) = 2 y resolvemos para t . D ( t ) = 2 5 t = 2 t = 2 5 = 0,4 Saldrán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Debería dibujar diagramas cuando me dan información con base en una forma geométrica? Sí. Haga un croquis de la cifra y marque las cantidades y las incógnitas en este. Usar un diagrama para modelar la distancia entre ciudades Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough hasta Agritown, a 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino, esta carretera se une a otra, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough está situada a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough? En este caso valdría la pena hacer un dibujo de la situación. Vea la . A continuación, sería útil introducir un sistema de coordenadas. Aunque podríamos situar el origen en cualquier lugar, situarlo en Westborough luce conveniente. Esto sitúa a Agritown en las coordenadas ( 3 0 , 1 0 ) , y a Eastborough en ( 2 0 , 0 ) . Usando este punto junto con el origen, podemos calcular la pendiente de la línea de Westborough a Agritown: m = 10 − 0 30 - 0 = 1 3 La ecuación de la carretera de Westborough a Agritown sería: W ( x ) = 1 3 x A partir de esto, podemos determinar que la carretera perpendicular a Eastborough tendrá la pendiente m = – 3. Debido a que la ciudad de Eastborough está en el punto (20, 0), podemos hallar la ecuación: E ( x ) = - 3 x + b 0 = - 3 ( 20 ) + b Sustituir en (20, 0) b = 60 E ( x ) = - 3 x + 60 Ahora podemos hallar las coordenadas del cruce de las carreteras al dar con la intersección de estas líneas. Igualarlas, 1 3 x = - 3 x + 60 10 3 x = 60 10 x = 180 x = 18 Sustituir esto de nuevo en W ( x ) y = W ( 18 ) = 1 3 ( 18 ) = 6 Las carreteras se cruzan en el punto (18, 6). Con la fórmula de la distancia, ahora podemos hallar la distancia desde Westborough hasta el cruce distancia = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 = ( 18 − 0 ) 2 + ( 6 - 0 ) 2 ≈ 18,974 millas Análisis Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que los gráficos de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones en el mundo real que hablan de mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre los puntos de referencia. Ejercicio Hay una carretera recta que va de la ciudad de Timpson a Ashburn 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, la carretera se cruza con una segunda vía, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Garrison. Si la ciudad de Garrison está situada a 22 millas directamente al este de la ciudad de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Timpson? 21,57 millas Construir sistemas de modelos lineales Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales . Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la . Cómo Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escribir el sistema de ecuaciones e identificar la solución. Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal. Identifique la pendiente y la intersección en y de cada modelo lineal. Halle la solución al igualar las dos funciones lineales y resolver para x , o halle el punto de intersección en un gráfico. Construir un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones Jamal está eligiendo entre dos empresas de alquiler de camiones. La primera, Keep on Trucking, Inc., cobra una cuota inicial de 20 dólares y luego 59 céntimos por milla. La segunda, Move It Your Way, cobra una cuota inicial de 16 dólares y luego 63 céntimos por milla. Tarifas obtenidas el 2 de agosto de 2010 de http://www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/ . ¿Cuándo será Keep on Trucking, Inc. la mejor opción para Jamal? Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y el número de millas recorridas. Dado que tenemos que considerar dos empresas, definiremos dos funciones. Entrada d , distancia recorrida en millas. Salidas K ( d ) : costo, en dólares, del alquiler de Keep on Trucking M ( d ) costo, en dólares, del alquiler en Move It Your Way. Valor inicial Anticipo: K ( 0 ) = 2 0 y M ( 0 ) = 16 Tasa de cambio K ( d ) = $ 0, 59 /milla y P ( d ) = $ 0, 63 /milla La función lineal es de la forma f ( x ) = m x + b . Con las tasas de cambio y los cobros iniciales podemos escribir las ecuaciones K ( d ) = 0,59 d + 20 M ( d ) = 0,63 d + 16 Con estas ecuaciones podemos determinar cuándo Keep on Trucking, Inc. será la mejor opción. Ya que lo único que tenemos para tomar esa decisión son los costos, buscamos cuándo Move It Your Way, costará menos o cuándo K ( d ) < M ( d ) . El camino de la solución nos llevará a dar con las ecuaciones de las dos funciones, hallar la intersección y luego ver dónde la función K ( d ) es menor. Estos gráficos se encuentran en la , con K ( d ) en azul. Para hallar la intersección, igualamos las ecuaciones y resolvemos: K ( d ) = M ( d ) 0,59 d + 20 = 0,63 d + 16 4 = 0,04 d 100 = d d = 100 Esto nos indica que el costo de las dos compañías será el mismo si se recorren 100 millas. Ya sea al observar el gráfico o al notar que K ( d ) crece a un ritmo más lento, podemos concluir que Keep on Trucking, Inc. será el precio más barato cuando se recorran más de 100 millas, es decir: d > 100. Media Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con los modelos de funciones lineales. Interpretación de una función lineal Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y . Vea el . Dibuje un diagrama, si procede. Vea el y el . Compruebe si la respuesta es razonable. Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y . La intersección en x se halla al establecer y = 0 , que iguala la expresión m x + b a 0. El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el . Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea. Verbales Explique cómo encontrar la variable de entrada en un problema matemático que utiliza una función lineal. Determine la variable independiente. Es la variable de la que depende la salida. Explique cómo hallar la variable de salida en un problema matemático que utiliza una función lineal. Explique cómo interpretar el valor inicial en un problema matemático que utiliza una función lineal. Para determinar el valor inicial, halle la salida cuando la entrada sea igual a cero. Explique cómo determinar la pendiente en un problema matemático que utiliza una función lineal. Algebraicos Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje y , la línea x = 3 , la línea f ( x ) = 1 + 2 x , y la línea paralela a f ( x ) pasando por ( 2 , 7 ) . 6 unidades cuadradas Halle el área de un triángulo delimitado por el eje x , la línea f ( x ) = 12 – 1 3 x , y la línea perpendicular a f ( x ) que pasa por el origen. Halle el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 9 – 6 7 x , y la línea perpendicular a f ( x ) que pasa por el origen. 20,012 unidades cuadradas Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje x , la línea g ( x ) = 2 , la línea f ( x ) = 3 x , y la línea paralela a f ( x ) pasando por ( 6 , 1 ) . En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Prediga la población en 2016. 2.300 Identifique el año en el que la población llegará a 0. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Prediga la población en 2016. 64,170 Identifique el año en que la población alcanzará los 75.000 habitantes. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años. Halle la función lineal que modela la población de la ciudad P en función del año, t , donde t es el número de años transcurridos desde el inicio del modelo. P ( t ) = 75.000 + 2.500 t Halle un dominio y un rango razonables para la función P . Si se grafica la función P , halle e interprete las intersecciones en x y en y . (-30, 0) Treinta años antes del inicio de este modelo, la ciudad no tenía habitantes. (0, 75.000) Inicialmente, la ciudad tenía una población de 75.000 habitantes. Si la función P , halle e interprete la pendiente de la función. ¿Cuándo se llegará a los 100.000? Diez años después del inicio del modelo. ¿Cuál es la salida en el año 12 desde el inicio del modelo? En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año. Halle la función lineal que modele el peso del bebé W en función de su edad, en meses, t . W ( t ) = 0, 5 t + 7 . 5 Halle un dominio y un rango razonables para la función W . Si se grafica la función W , halle e interprete las intersecciones en x y en y . ( − 15 , 0 ) : La intersección en x no es un conjunto de datos plausible para este modelo porque significa que el bebé pesaba 0 libras a los 15 meses antes de nacer ( 0 , 7 . 5 ) : El bebé pesaba 7,5 libras al nacer. Si se representa gráficamente la función W , halle e interpreta la pendiente de la función. ¿Cuándo pesó el bebé 10,4 libras? A la edad de 5,8 meses. ¿Cuál es la salida cuando la entrada es 6,2? Interprete su respuesta. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . C ( t ) = 12 , 025 − 205 t Halle un dominio y un rango razonables para la función C . Si se grafica la función C , halle e interprete las intersecciones en x y en y . (58,7, 0) : En aproximadamente 59 años, el número de personas afectadas por el resfriado común sería 0 (0,12,025) : Inicialmente había 12.025 personas afectadas por el resfriado común. Si se grafica la función C , halle e interprete la pendiente de la función. ¿Cuándo llegará la salida a 0? 2064 ¿En qué año el número de personas será de 9.700? Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t, donde t representa el número de años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de t , el número de años desde 1980. y = - 2 t +180 Halle e interprete la intersección en y . Halle e interprete la intersección en x . En 2070, el beneficio de la empresa será cero. Halle e interprete la pendiente. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t , donde t representa el número de años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de t , el número de años desde 1980. y = 30 t − 300 Halle e interprete la intersección en y . Halle e interprete la intersección en x . (10, 0) en 1990, el beneficio fue cero. Halle e interprete la pendiente. Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Misisipi Hawái 1950 $25.200 $74.400 2000 $71.400 $272.700 ¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda? Hawái Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Misisipi en 2010? Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de las viviendas en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda). Durante el año 1933 En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Indiana Alabama 1950 $37.700 $27.100 2000 $94.300 $85.100 ¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda? Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Indiana en 2010? $105.620 Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de la vivienda en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda). Aplicaciones en el mundo real En 2004, la población escolar era de 1.001 estudiantes. En 2008 la población había crecido hasta los 1.697 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2008? Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.001 a 1.697 estudiantes? Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000? Ⓔ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después del año 2000. Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población escolar en 2011. Ⓐ 696 estudiantes Ⓑ 4 años Ⓒ 174 estudiantes al año Ⓓ 305 estudiantes Ⓔ P ( t ) = 305 + 174 t Ⓕ 2.219 estudiantes En 2003, la población de una ciudad era de 1.431 habitantes. En 2007 la población había crecido hasta los 2.134 habitantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2003 y el año 2007? Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.431 a 2.134 habitantes? Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000? Ⓔ Halle una ecuación para la población, P de la ciudad t años después del año 2000. Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población de la ciudad en 2014. Una compañía telefónica tiene un plan mensual de telefonía móvil en el que el cliente paga una cuota mensual fija y luego una determinada cantidad de dinero por minuto utilizado para las llamadas de voz y video. Si un cliente utiliza 410 minutos, el costo mensual será de 71,50 dólares. Si el cliente utiliza 720 minutos, el costo mensual será de 118 dólares. Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de telefonía móvil en función de x , el número de minutos mensuales utilizados. Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación. Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 687 minutos. Ⓐ C ( x ) = 0,15 x + 10 Ⓑ La tarifa plana mensual es de 10 dólares y hay una tarifa adicional de 0,15 dólares por cada minuto adicional utilizado. Ⓒ $113,05 Una compañía telefónica tiene un plan mensual de datos para teléfonos móviles en el que el cliente paga una cuota mensual fija de 10 dólares y luego una determinada cantidad de dinero por megabyte (MB) de datos utilizados en el teléfono. Si el cliente utiliza 20 MB, el costo mensual será de 11,20 dólares. Si el cliente utiliza 130 MB, el costo mensual será de 17,80 dólares. Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de datos en función de x , el número de MB utilizados. Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación. Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 250 MB. En 1991, la población de alces en un parque se midió en 4.360 ejemplares. En 1999, la población se elevó a 5.880 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente. Ⓐ Halle una fórmula para la población de alces, P desde 1990. Ⓑ ¿Cuál es la previsión de su modelo con respecto a la población de alces en 2003? Ⓐ P ( t ) = 190 t + 4360 Ⓑ 6.640 alces En 2003, la población de búhos en un parque se midió en 340. En 2007, la población se volvió a medir y eran 285 búhos. La población cambia linealmente. Supongamos que la entrada sean los años desde 1990. Ⓐ Halle una fórmula para la población de búhos, P. Supongamos que la entrada sean los años desde 2003. Ⓑ ¿Cuál es la población de búhos que su modelo predice para 2012? La Reserva Federal de Helio tenía unos 16.000 millones de pies cúbicos de helio en 2010 y se está agotando en unos 2.100 millones de pies cúbicos cada año. Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas federales de helio, R, en términos de t, el número de años desde 2010. Ⓑ En 2015, ¿cuáles serán las reservas de helio? Ⓒ Si el ritmo de agotamiento no cambia, ¿en qué año se agotará la Reserva Federal de Helio? Ⓐ R ( t ) = 16 − 2,1 t Ⓑ 5.5000 millones de pies cúbicos Ⓒ Durante el año 2017 Supongamos que las reservas mundiales de petróleo en 2014 son de 1,8 mil millones de barriles. Si, en promedio, las reservas totales disminuyen en 25.000 millones de barriles de petróleo cada año: Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas de petróleo, R, en términos de t, el número de años desde ahora. Ⓑ Dentro de siete años, ¿cuáles serán las reservas de petróleo? Ⓒ Si el ritmo de disminución de las reservas es constante, ¿cuándo se agotarán las reservas mundiales de petróleo? Está eligiendo entre dos planes diferentes de telefonía móvil de prepago. El primero cobra una tarifa de 26 céntimos por minuto. El segundo cobra una cuota mensual de 19,95 dólares más 11 céntimos por minuto. ¿Cuántos minutos tendría que utilizar en un mes para que el segundo plan sea preferible? Más de 133 minutos Está eligiendo entre dos empresas diferentes de lavado de ventanas. La primera cobra 5 dólares por cada ventana. La segunda cobra una tarifa base de 40 dólares más 3 dólares por cada ventana. ¿Cuántas ventanas necesitaría tener para que la segunda empresa sea preferible? Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de joyas, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 17.000 dólares al año con una comisión del 12 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 5 % de las ventas que realice. ¿Cuántas joyas tendría que vender para que la opción A devengue mayores ingresos? Más de 42.857,14 dólares en joyas. Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 14.000 dólares al año con una comisión del 10 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 19.000 dólares al año con una comisión del 4 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos? Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 12 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 26.000 dólares al año con una comisión del 3 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos? $66.666,67 Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 10.000 dólares al año con una comisión del 9 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 4 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?

Matemáticas