La media de una población utilizando la distribución t de Student En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza. William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student . El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Student". Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de como máximo 30. Con las calculadoras gráficas y las computadoras, la práctica actual es utilizar la distribución t de Student siempre que se utilice s como estimación de σ . Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población que tiene una distribución aproximadamente normal con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t = x ¯ – μ ( s n ) , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad . La puntuación t t iene la misma interpretación que la puntuación z . Mide cuán lejos está x ¯ es de su media μ . Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente. Los grados de libertad , n – 1 , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra s . En el H - TABLAS , utilizamos n desviaciones ( x – x ¯ valores ) para calcular s . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras n – 1 desviaciones. Las otras n – 1 desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número n - 1 los grados de libertad (df). Propiedades de la distribución t de Student El gráfico de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica con respecto a cero. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ . El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si tiene forma de campana (normal), la hipótesis se cumple y no es necesario discutirla. Se supone que el muestreo es aleatorio, pero ese es un supuesto completamente distinto de la normalidad. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. Las TI-83,83+ y 84+ tienen una función tcdf para calcular la probabilidad para valores dados de t . La gramática del comando tcdf es tcdf (límite inferior, límite superior, grados de libertad). Sin embargo, para los intervalos de confianza, necesitamos utilizar la probabilidad inversa para calcular el valor de t cuando conocemos la probabilidad. Para la TI-84+ puede utilizar el comando invT del menú DISTRibution. El comando invT funciona de forma similar al invnorm. El comando invT requiere dos entradas: invT (área a la izquierda, grados de libertad). La salida es la puntuación t que corresponde al área que especificamos. Las TI-83 y 83+ no tienen el comando invT (la TI-89 tiene un comando T inverso). También se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). (la TI-86 no tiene un programa o comando invT, por lo que si está utilizando esa calculadora, deberá utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student) Al utilizar una tabla t , tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Una tabla t de Student (vea el H - TABLAS ) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La mesa es muy limitada. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. La notación para la distribución t de Student (utilizando T como variable aleatoria) es: T ~ t df donde df = n – 1. Por ejemplo, si tenemos una muestra de tamaño n = 20 elementos, entonces calculamos los grados de libertad como df = n - 1 = 20 - 1 = 19 y escribimos la distribución como T ~ t 19 . Si no se conoce la desviación típica de la población , el límite de error para una media poblacional es: E B M = ( t α 2 ) ( s n ) , t σ 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , utilizar df = n - 1 grados de libertad, y s = desviación típica de la muestra. El formato del intervalo de confianza es: ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) . Para calcular directamente el intervalo de confianza: Pulse STAT. Flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo a 8:TInterval y pulse ENTER (o simplemente pulse 8). Supongamos que se hace un estudio sobre la acupuntura para determinar su eficacia para aliviar el dolor. Se miden los índices sensoriales de 15 sujetos con los resultados dados. Utilice los datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 95 % para la tasa sensorial media de la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. La solución se muestra paso a paso y se usan las calculadoras TI-83, 83+ u 84+. 8,6 9,4 7,9 6,8 8,3 7,3 9,2 9,6 8,7 11,4 10,3 5,4 8,1 5,5 6,9 La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83+ y TI-84. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 8,2267 s = 1,6722 n = 15 df = 15 - 1 = 14 CL por lo que α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 t α 2 = t 0,025 El área a la derecha de t 0,025 es 0,025, y el área a la izquierda de t 0,025 es 1 - 0,025 = 0,975 t α 2 = t 0,025 = 2,14 utilizando invT(.975,14) en la calculadora TI-84+. E B M = ( t α 2 ) ( s n ) E B M = ( 2,14 ) ( 1,6722 15 ) = 0,924 x ¯ - EBM = 8,2267 - 0,9240 = 7,3 x ¯ + EBM = 8,2267 + 0,9240 = 9,15 El intervalo de confianza del 95 % es (7,30, 9,15). Estimamos, con un 95 % de confianza, que la verdadera tasa sensorial media de la población está entre 7,30 y 9,15. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo y pulse ENTER (o simplemente puede pulsar 8 ). Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Lista e introduzca el nombre de la lista en la que puso los datos. Debería haber un 1 después de Frecuencia . Desplace la flecha hacia abajo C-level e introduzca 0,95 Presione la flecha abajo hacia Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza del 95 % es (7,3006, 9,1527) Nota Al calcular el límite de error, también se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student para calcular el valor de t . La tabla ofrece puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y a los grados de libertad (fila); la puntuación t se encuentra donde la fila y la columna se cruzan en la tabla. Ejercicio Usted hace un estudio sobre la hipnoterapia para determinar su eficacia a la hora de aumentar el número de horas de sueño de los sujetos cada noche. Se miden las horas de sueño de 12 sujetos con los siguientes resultados. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media de horas dormidas para la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. 8,2; 9,1; 7,7; 8,6; 6,9; 11,2; 10,1; 9,9; 8,9; 9,2; 7,5; 10,5 El proyecto Human Toxome Project (HTP) trabaja para comprender el alcance de la contaminación industrial en el cuerpo humano. Las sustancias químicas industriales pueden entrar en el cuerpo a través de la contaminación o como ingredientes de productos de consumo. En octubre de 2008, los científicos de HTP analizaron muestras de sangre del cordón umbilical de 20 recién nacidos en Estados Unidos. La sangre del cordón umbilical del grupo "en útero/recién nacido" se analizó en busca de 430 compuestos industriales, contaminantes y otras sustancias químicas, entre ellas las relacionadas con la toxicidad del cerebro y el sistema nervioso, la toxicidad del sistema inmunitario y la toxicidad reproductiva y los problemas de fertilidad. Los efectos de algunas sustancias químicas sobre el cerebro y el sistema nervioso son motivo de preocupación para la salud. La muestra cuántas de las sustancias químicas seleccionadas se encontraron en la sangre del cordón umbilical de cada bebé. 79 145 147 160 116 100 159 151 156 126 137 83 156 94 121 144 123 114 139 99 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para el número de la media de sustancias químicas industriales específicas que se encuentran en la sangre de un bebé. A partir de la muestra, se puede calcular x ¯ = 127,45 y s = 25,965. Hay 20 bebés en la muestra, por lo que n = 20, y df = 20 – 1 = 19. Se le pide que calcule un intervalo de confianza del 90 %: CL = 0,90, por lo que α = 1 - CL = 1 - 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05, t α 2 = t 0,05 Por definición, el área a la derecha de t 0,05 es 0,05 y, por tanto, el área a la izquierda de t 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para calcular que t 0,05 = 1,729. E B M = t α 2 ( s n ) = 1,729 ( 25,965 20 ) ≈ 10,038 x ¯ - EBM = 127,45 - 10,038 = 117,412 x ¯ + EBM = 127,45 + 10,038 = 137,488 Estimamos, con un 90 % de confianza, que el número de la media de todas las sustancias químicas industriales específicas encontradas en la sangre del cordón umbilical en los Estados Unidos está entre 117,412 y 137,488. Introduzca los datos en forma de lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo y pulse ENTER (o simplemente puede pulsar 8 ). Vaya a Data y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Lista e introduzca el nombre de la lista en la que puso los datos. Desplace la flecha hacia abajo hasta Frecuencia e introduzca 1. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-level e ingrese 0,90 Flecha abajo hacia Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza del 90 % es (117,41, 137,49). Ejercicio Se pidió a una muestra aleatoria de estudiantes de estadística que estimaran el número total de horas que pasan viendo televisión en una semana promedio. Las respuestas se registran en la . Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 98 % para el número medio de horas que los estudiantes de estadística pasarán viendo televisión en una semana. 0 3 1 20 9 5 10 1 10 4 14 2 4 4 5 Referencias “America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013). Datos de Microsoft Bookshelf . Datos de http://www.businessweek.com/. Datos de http://www.forbes.com/. “Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013). “Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ , de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s , como estimación de σ . La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ , pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula: t = x ¯ – μ s n La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con EBM = ( t α 2 ) s n donde t α 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar t α 2 para una α determinada. Revisión de la fórmula s = la desviación típica de los valores de la muestra. t = x ¯ – μ s n es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra T ~ t df es la variable aleatoria, T , tiene una distribución t de Student con df grados de libertad E B M = t α 2 s n = el límite de error para la media de la población cuando la desviación típica de la población es desconocida t α 2 es la puntuación t en la distribución t de Student con un área a la derecha igual a α 2 La forma general de un intervalo de confianza para una media única, desviación típica de la población desconocida, t de Student viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual – EBM , estimación puntual + EBM ) = ( x ¯ – t s n , x ¯ + t s n ) Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas. Identifique lo siguiente: x ¯ =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. X es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de que lo llamen para examinarlo. X ¯ es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de emergencias. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (1,3808, 1,6192) EBM = 0,12 Explique con oraciones completas qué significa el intervalo de confianza (confidence interval, CI). Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. Identifique lo siguiente: x ¯ =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ x ¯ = 151 s x = 32 n = 108 n – 1 = 107 Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. X ¯ es el número medio de horas que se dedican a ver la televisión al mes en una muestra de 108 estadounidenses. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de horas dedicadas a ver televisión al mes. (a) Indique el intervalo de confianza, (b) dibuje el gráfico y (c) calcule el límite de error. CI: (142,92, 159,08) EBM = 8,08 ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional. X Frec. 1 1 2 7 3 18 4 7 5 6 Calcule lo siguiente: x ¯ =______ s x =______ n =______ 3,26 1,02 39 Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Cuál es el x ¯ estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. t 38 Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales. ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,025 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es _____. (2,93, 3,59) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que el número medio real de colores de las banderas nacionales está entre 2,93 y 3,59 colores. Utilizando el mismo x ¯ , s x , y el nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 39. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? El límite de error sería EBM = 0,245. Este límite de error disminuye porque a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media real. Utilizando el mismo x ¯ , s x , y n = 39, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? Tarea para la casa En seis bolsas de “The Flintstones® Real Fruit Snacks” había cinco bocadillos Bam-Bam. El número total de bocadillos en las seis bolsas era de 68. Queremos calcular un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección Calcule p ′. Construya un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam por bolsa. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Cree que seis paquetes de bocadillos de fruta aportan suficientes datos para obtener resultados precisos? ¿Por qué sí o por qué no? Una encuesta aleatoria sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6.414; 1.550; 2.109; 9.350; 21.828; 4.300; 5.944; 5.722; 2.825; 2.044; 5.481; 5.200; 5.853; 2.750; 10.012; 6.357; 27.000; 9.414; 7.681; 3.200; 17.500; 9.200; 7.380; 18.314; 6.557; 13.713; 17.768; 7.493; 2.771; 2.861; 1.263; 7.285; 28.165; 5.080; 11.622. Supongamos que la población subyacente es normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de inscripción en los colegios comunitarios de Estados Unidos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué ocurriría con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestaran 500 colegios comunitarios? ¿Por qué? 8629 6944 35 34 t 34 CI: (6244, 11.014) EB = 2385 Se hará más pequeño Supongamos que una comisión estudia si hay o no pérdida de tiempo en nuestro sistema judicial. Se interesa por la cantidad media de tiempo que las personas pierden en el juzgado a la espera de que los llamen para ser jurado. El comité encuestó de forma aleatoria a 81 personas que habían prestado servicio como jurado recientemente. El tiempo de espera de las medias muestrales fue de ocho horas, con una desviación típica de la muestra de cuatro horas. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de tiempo perdido. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en una oración completa qué significa el intervalo de confianza. Una compañía farmacéutica fabrica tranquilizantes. Se supone que la distribución del tiempo que duran es aproximadamente normal. Los investigadores de un hospital utilizaron el fármaco en una muestra aleatoria de nueve pacientes. El periodo efectivo del tranquilizante para cada paciente (en horas) fue el siguiente: 2,7; 2,8; 3,0; 2,3; 2,3; 2,2; 2,8; 2,1; y 2,4. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de tiempo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué significa tener el “95 % de confianza” en este problema? x ¯ = 2,51 s x = 0,318 n = 9 n – 1 = 8 la duración efectiva de un tranquilizante la duración media efectiva de los tranquilizantes de una muestra de nueve pacientes Tenemos que utilizar una distribución t de Student, porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (2,27, 2,76) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,25 Si tomáramos una muestra de muchos grupos de nueve pacientes, el 95 % de las muestras contendrían la verdadera duración media de la población. Supongamos que se hace una encuesta a 14 niños que están aprendiendo a montar en bicicleta para determinar cuánto tiempo han tenido que utilizar las ruedas de entrenamiento. Se reveló que las utilizaron un promedio de seis meses con una desviación típica de la muestra de tres meses. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de la duración del tiempo de uso de las ruedas de entrenamiento. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? La Comisión Federal de Elecciones (Federal Election Commission, FEC) recopila información sobre los aportes y los desembolsos de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Un Comité de Acción Política (Political Action Committee, PAC) es un comité formado para recaudar dinero para candidatos y campañas. Un PAC de Liderazgo es un PAC formado por un político federal (senador o representante) para recaudar dinero para ayudar a las campañas de otros candidatos. La FEC presentó información financiera de 556 PAC de Liderazgo que operaron durante el ciclo electoral 2011-2012. La siguiente tabla muestra los ingresos totales durante este ciclo para una selección aleatoria de 30 PAC de Liderazgo. $46.500,00 $0 $40.966,50 $105.887,20 $5.175,00 $29.050,00 $19.500,00 $181.557,20 $31.500,00 $149.970,80 $2.555.363,20 $12.025,00 $409.000,00 $60.521,70 $18.000,00 $61.810,20 $76.530,80 $119.459,20 $0 $63.520,00 $6.500,00 $502.578,00 $705.061,10 $708.258,90 $135.810,00 $2.000,00 $2.000,00 $0 $1.287.933,80 $219.148,30 x ¯ = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 96 % para la cantidad media de dinero recaudado por todos los PAC de liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012. Use la distribución t de Student. x ¯ = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Observe que no se nos da la desviación típica de la población, solo la desviación típica de la muestra. Hay 30 medidas en la muestra, por lo que n = 30, y df = 30 – 1 = 29 CL = 0,96, por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,96 = 0,04 α 2 = 0,02 t α 2 = t 0,02 = 2,150 E B M = t α 2 ( s n ) = 2,150 ( 521 , 130,41 30 ) ~ $ 204 , 561,66 x ¯ – EBM = $251.854,23 – $204.561,66 = $47.292,57 x ¯ + EBM = $251.854,23 + $204.561,66 = $456.415,89 Estimamos con un 96 % de confianza que la cantidad media de dinero recaudada por todos los PAC de Liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012 está entre 47.292,57 y 456.415,89 dólares. Solución alternativa Introduzca los datos en forma de lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo . Pulse ENTER . Vaya a Data y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca el nombre de la lista donde se almacenan los datos. Enter Frecuencia : 1 Enter C-Level : 0,96 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse Enter . El intervalo de confianza del 96 % es (47.262 dólares, 456.447 dólares). La diferencia entre las soluciones se debe a las diferencias de redondeo. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de, al menos, 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. En la se muestran las edades de directores generales corporativos de una muestra aleatoria de estas compañías. 48 58 51 61 56 59 74 63 53 50 59 60 60 57 46 55 63 57 47 55 57 43 61 62 49 67 67 55 55 49 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para la edad media de los directores generales de estas pequeñas compañías principales. Use la distribución t de Student. Los asientos desocupados en los vuelos hacen que las aerolíneas pierdan ingresos. Supongamos que una gran compañía aérea quiere estimar su número medio de asientos desocupados por vuelo durante el año pasado. Para ello, se seleccionan al azar los registros de 225 vuelos y se anota el número de asientos no ocupados de cada uno de los vuelos de la muestra. La media muestral es de 11,6 asientos y la desviación típica de la muestra es de 4,1 asientos. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la media poblacional del número de asientos desocupados por vuelo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. x ¯ = 11,6 s x = 4,1 n = 225 n – 1 = 224 X es el número de asientos no ocupados en un solo vuelo. X ¯ es el número medio de asientos no ocupados de una muestra de 225 vuelos. Usaremos una distribución t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (11,12 , 12,08) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,48 En una muestra reciente de 84 costos de venta de automóviles usados, la media muestral fue de 6.425 dólares con una desviación típica de 3.156 dólares. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el costo de la media poblacional de un auto usado. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 95 %” para este estudio. Se seleccionaron al azar seis marcas nacionales diferentes de galletas de chocolate en el supermercado. Los gramos de grasa por porción son los siguientes: 8; 8; 10; 7; 9; 9. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media de la población de gramos de grasa por porción de galletas de chocolate que se venden en los supermercados. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si se quería un límite de error menor manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué se debería haber cambiado en el estudio antes de realizarlo? Va a la tienda y registra los gramos de grasa por porción de seis marcas de galletas de chocolate. Calcule la media. ¿La media está dentro del intervalo que ha calculado en la parte a? ¿Esperaba que estuviese? ¿Por qué sí o por qué no? CI: (7,64 , 9,36) EBM : 0,86 La muestra debería haber aumentado. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Se realizó un estudio sobre el número medio de céntimos de descuento que ofrecen los cupones, se revisó al azar un cupón por página de las secciones de cupones del número más reciente de The Mercury News de San José. Se recopilaron los siguientes datos: 20¢; 75¢; 50¢; 65¢; 30¢; 55¢; 40¢; 40¢; 30¢; 55¢; $1,50; 40¢; 65¢; 40¢. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional del valor de los cupones. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si se toman muchas muestras aleatorias con un tamaño de 14, ¿qué porcentaje de los intervalos de confianza construidos debe contener la media poblacional de los cupones? Explique por qué. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera media poblacional de la cantidad de gaseosa servida. (12,42, 14,18) (12,32, 14,29) (12,50, 14,10) Imposible de determinar b ¿Cuál es el límite de error? 0,87 1,98 0,99 1,74 Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que pueden variar libremente Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población Distribución t de Student investigado y presentado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student; las principales características de la variable aleatoria (RV) son: Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Sin embargo, tiene más dispersión y es más plana en el vértice que la distribución normal. Se acerca a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una "familia" de distribuciones t: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad que es uno menos que el número de elementos de datos.

Matemáticas


Una proporción de la población Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03). Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales. El procedimiento para calcular el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes. ¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial . (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n , p ) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción, tome X , la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n , el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (lea "P primo") es esa proporción, P ′ = X n (a veces, la variable aleatoria se denota como P ^ , que se lee “estimador de P”). Cuando n es grande y p no se acerca a cero o a uno, podemos utilizar la distribución normal para aproximar la binomial. X ~ N ( n p , n p q ) Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación típica por n , obtenemos una distribución normal de proporciones con P′ , llamada proporción estimada, como variable aleatoria (recordemos que una proporción es el número de aciertos dividido por n ). X n = P ′ ~ N ( n p n , n p q n ) Uso del álgebra para simplificar: n p q n = p q n P′ sigue una distribución normal para las proporciones : X n = P ′ ~ N ( n p n , n p q n ) El intervalo de confianza tiene la forma ( p′ - EBP , p′ + EBP ). EBP es el límite de error para la proporción. p′ = x n p′ = la proporción estimada de aciertos ( p′ es una estimación puntual de p , la proporción verdadera). x = el número de aciertos n = el tamaño de la muestra El límite de error para una proporción es E B P = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) donde q′ = 1 - p′ Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la "desviación típica apropiada" es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación típica de la población, la desviación típica adecuada que utilizamos es σ n . Para una proporción, la desviación típica adecuada es p q n . Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos p ′ q ′ n como la desviación típica, en lugar de p q n . En la fórmula del límite de error, las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de aciertos, y q′ es la proporción estimada de fallos. El intervalo de confianza solo puede utilizarse si el número de aciertos np′ y el número de fallos nq′ son ambos superiores a cinco. Nota Para la distribución normal de proporciones, la fórmula de la puntuación z es la siguiente Si P ′ ~ N ( valor , p q n ) entonces la fórmula de la puntuación z es z = p ′ – p p q n Supongamos que se contrata a una compañía de estudios de mercado para que estime el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuestan quinientos residentes adultos seleccionados al azar en esta ciudad para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas encuestadas, 421 respondieron que sí: tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84. Supongamos que X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos móviles. X es binomial. X ~ B ( 500 , 421 500 ) . Para calcular el intervalo de confianza, debe calcular p′ , q′ y EBP . n = 500 x = número de aciertos = 421 p ′ = x n = 421 500 = 0,842 p′ = 0,842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población. q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158 Como CL = 0,95, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 ( α 2 ) = 0,025. Entonces z α 2 = z 0,025 = 1,96 Utilice el comando invNorm(0,975, 0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para calcular z 0,025 . Recuerde que el área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 0,975. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar. E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,96 ) ( 0,842 ) ( 0,158 ) 500 = 0,032 p ' – E B P = 0,842 – 0,032 = 0,81 p ′ + E B P = 0,842 + 0,032 = 0,874 El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es ( p′ - EBP , p′ + EBP ) = (0,810, 0,874). Interpretación Estimamos con el 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles. Explicación del nivel de confianza del 95 %: El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contendrían el valor real de la proporción de población de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta x e introduzca 421. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e introduzca 500. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-Level e introduzca 0,95. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (0,81003, 0,87397). Ejercicio Supongamos que se encuestan 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declararon que tienen una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que tienen tabletas. Para un proyecto de clase, un estudiante de Ciencias Políticas de una gran universidad quiere calcular el porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes. Hace una encuesta entre 500 estudiantes y descubre que 300 están registrados como votantes. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes, e interprete el intervalo de confianza. La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84. x = 300 y n = 500 p ′ = x n = 300 500 = 0,600 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,600 = 0,400 Como CL = 0,90, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,90 = 0,10 ( α 2 ) = 0,05 z α 2 = z 0,05 = 1,645 Utilice el comando invNorm(0,95,0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para hallar z 0,05 . Recuerde que el área a la derecha de z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z 0,05 es 0,95. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora, o una tabla de probabilidad normal estándar. E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,645 ) ( 0,60 ) ( 0,40 ) 500 = 0,036 p ′ – E B P = 0,60 – 0,036 = 0,564 p ′ + E B P = 0,60 + 0,036 = 0,636 El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es ( p′ - EBP , p′ + EBP ) = (0,564, 0,636). Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes que están registrados como votantes está entre el 56,4 % y el 63,6 %. Redacción alternativa: Estimamos con un 90 % de confianza que entre el 56,4 % y el 63,6 % de TODOS los estudiantes están registrados como votantes. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor verdadero del porcentaje de población de estudiantes que están registrados como votantes. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta x e introduzca 300. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e introduzca 500. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-Level e introduzca 0,90. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (0,564; 0,636). Ejercicio Un estudiante hace un sondeo en su escuela para ver si los estudiantes del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación relativa a los uniformes escolares. Hace una encuesta entre 600 estudiantes y halla que 480 están en contra de la nueva legislación. a. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación e interprete el intervalo de confianza. b. En una muestra de 300 estudiantes, el 68 % dijo que tenían un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que tienen un iPod y un teléfono inteligente. Intervalo de confianza "más cuatro" para p En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea. Afortunadamente, existe un sencillo ajuste que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son aciertos y dos son fallos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de aciertos es x + 2. Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90 % y el tamaño de la muestra es de al menos diez. Se preguntó a una muestra aleatoria de 25 estudiantes de estadística: "¿Ha fumado un cigarrillo en la última semana?" Seis estudiantes declararon haber fumado en la última semana. Utilice el método "más cuatro" para calcular un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman. Seis de los 25 estudiantes declararon haber fumado en la última semana, por lo que x = 6 y n = 25. Como estamos utilizando el método "más cuatro", utilizaremos x = 6 + 2 = 8 y n = 25 + 4 = 29. p ′ = x n = 8 29 ≈ 0,276 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,276 = 0,724 Como CL = 0,95, sabemos que α = 1 - 0,95 = 0,05 y α 2 = 0,025. z 0,025 = 1,96 E P B = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,96 ) 0,276 ( 0,724 ) 29 ≈ 0,163 p′ - EPB = 0,276 - 0,163 = 0,113 p′ + EPB = 0,276 + 0,163 = 0,439 Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman cigarrillos está entre 0,113 y 0,439. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Desplace la flecha hacia abajo a A:1-PropZint. Pulse ENTER Recordatorio Recuerde que el método más cuatro supone cuatro ensayos adicionales: dos aciertos y dos fallos. No es necesario cambiar el proceso de cálculo del intervalo de confianza; basta con actualizar los valores de x y n para reflejar estos ensayos adicionales. Desplace la flecha hacia abajo a la x e introduce el ocho. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e ingrese 29. Desplace la flecha hacia abajo al nivel C e introduzca 0,95. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (0,113; 0,439) Ejercicio De una muestra aleatoria de 65 estudiantes de primer año de la Universidad Estatal, 31 estudiantes han declarado una especialidad. Utilice el método "más cuatro" para calcular un intervalo de confianza del 96 % para la verdadera proporción de estudiantes de primer año de la Universidad Estatal que han declarado una especialidad. El Berkman Center for Internet & Society de Harvard ha realizado recientemente un estudio en el que se analizan los hábitos de gestión de la privacidad de los usuarios adolescentes de internet. En un grupo de 50 adolescentes, 13 declararon tener más de 500 amigos en Facebook. Utilice el método del "más cuatro" para calcular un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adolescentes que declararían tener más de 500 amigos en Facebook. Utilizando "más cuatro", tenemos x = 13 + 2 = 15 y n = 50 + 4 = 54. p ' = 15 54 ≈ 0,278 q ' = 1 – p ' = 1 – 0,241 = 0,722 Como CL = 0,90, sabemos que α = 1 - 0,90 = 0,10 y α 2 = 0,05. z 0,05 = 1,645 E P B = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) = ( 1,645 ) ( ( 0,278 ) ( 0,722 ) 54 ) ≈ 0,100 p′ - EPB = 0,278 - 0,100 = 0,178 p′ + EPB = 0,278 + 0,100 = 0,378 Estamos seguros en un 90 % de que entre el 17,8 % y el 37,8 % de todos los adolescentes declaran tener más de 500 amigos en Facebook. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta x e ingrese 15. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e ingrese 54. Desplace la flecha hacia abajo al nivel C e introduzca 0,90. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (0,178; 0,378). Ejercicio El estudio del Centro Berkman al que se hace referencia en el habló con adolescentes en grupos de discusión más pequeños, pero también entrevistó a otros adolescentes por teléfono. Al finalizar el estudio, 588 adolescentes habían respondido a la pregunta sobre sus amigos de Facebook, y 159 dijeron que tenían más de 500 amigos. Utilice el método de "más cuatro" para hallar un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adolescentes que declararían tener más de 500 amigos en Facebook basándose en esta muestra más amplia. Compare los resultados con los del . Cálculo del tamaño de la muestra n Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra. La fórmula del límite de error para una proporción de población es E B P = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) Al resolver n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra. n = ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) E B P 2 Supongamos que una compañía de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes de más de 50 años que utilizan mensajería de texto en sus teléfonos móviles. ¿Cuántos clientes de más de 50 años debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles? A partir del problema, sabemos que EBP = 0,03 (3 %=0,03) y z α 2 z 0,05 = 1,645 porque el nivel de confianza es del 90 %. Sin embargo, para hallar n , necesitamos conocer la proporción (muestra) estimada p ′. Recuerde que q ′ = 1 – p ′. Pero, aun no conocemos p ′. Como multiplicamos p ′ y q ′ juntos, hacemos que ambos sean iguales a 0,5 porque p ′ q ′ = (0,5)(0,5) = 0,25 da como resultado el mayor producto posible. (Pruebe otros productos: (0,6)(0,4) = 0,24; (0,3)(0,7) = 0,21; (0,2)(0,8) = 0,16 y así sucesivamente). El mayor producto posible nos da el mayor n . Esto nos da una muestra lo suficientemente grande como para que podamos tener el 90 % de confianza de que estamos dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población. Para calcular el tamaño de la muestra n , utilice la fórmula y haga las sustituciones. n = z 2 p ′ q ′ E B P 2 da como resultado n = 1,645 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,03 2 = 751,7 Redondee la respuesta al valor inmediatamente superior. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos móviles de más de 50 años para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de todos los clientes de más de 50 años que utilizan mensajes de texto en sus teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que una compañía de mercadeo en internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada está dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes? Referencias Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013). Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013). “52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento. Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n , donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′ . Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula: (límite inferior, límite superior) = ( p ′ – E B P , p ′ + E B P ) = ( p ′ – z p ′ q ′ n , p ′ + z p ′ q ′ n ) El método "más cuatro" para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción de la población cuando se calcula la desviación típica de la distribución de muestreo. Imaginemos simplemente cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son aciertos y dos son fallos. Calcule p ′ = x + 2 n + 4 , y proceder a calcular el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes. Revisión de la fórmula p′ = x / n donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p ′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población. q ′ = 1 – p ′ p ′ ~ N ( valor , p q n ) La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí. EBP = el límite de error para una proporción = z α 2 p ′ q ′ n Intervalo de confianza para una proporción: (límite inferior, límite superior) = ( p ′ – E B P , p ′ + E B P ) = ( p ′ – z p ′ q ′ n , p ′ + z p ′ q ′ n ) n = z α 2 2 p ′ q ′ E B P 2 proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción de la población con confianza 1 - α y margen de error EBP . Utilice la distribución normal para una proporción de población única p ′ = x n E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n p ′ + q ′ = 1 El intervalo de confianza tiene el formato ( p′ – EBP , p′ + EBP ). x ¯ es una estimación puntual de μ p′ es una estimación puntual de ρ s es una estimación puntual de σ Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 90 % de confianza en que la proporción de población se estima con un margen del 0,05? Si más adelante se determinara que es importante tener más de un 90 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que hay que encuestar? ¿Por qué? El tamaño de la muestra necesaria aumentaría. A medida que aumenta el nivel de confianza, α disminuye y z ( a 2 ) aumenta. Para mantener el mismo límite de error, es necesario aumentar el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Identifique lo siguiente: x = ______ n = ______ p′ = ______ Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras. X es el número de “aciertos” en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. P ′ es el porcentaje de hogares de la muestra en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,5321, 0,6679) EBM : 0,0679 Enumere dos dificultades que podría tener la compañía para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizara por correo electrónico. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. X es el número de “aciertos” en los que un ejecutivo prefiere una camioneta. P ′ es el porcentaje de ejecutivos de la muestra que prefieren una camioneta. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 %. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,19432, 0,33068) EBM : 0,0707 Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo indicado en la encuesta es de ±2 %. Explique qué significa el ±2 %. El error de muestreo significa que la media real puede estar un 2 % por encima o por debajo de la media muestral. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante. Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. P ′ es la proporción de votantes de la muestra que dijeron que la economía es el asunto más importante en las próximas elecciones. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 %, e indique el intervalo de confianza y el límite de error. CI: (0,62735, 0,67265) EBM : 0,02265 ¿Qué ocurriría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población. ¿Qué se cuenta? El número de niñas entre 8 y 12 años en la clase de iniciación al patinaje sobre hielo de los lunes a las 5 p. m. Defina la variable aleatoria X en palabras. Calcule lo siguiente: x = _______ n = _______ p ′ = _______ x = 64 n = 80 p ′ = 0,8 Indique la distribución estimada de X . X ~________ Defina una nueva variable aleatoria P ′. ¿Qué estima p ′? p Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. Indique la distribución estimada de P ′. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que comienzan las clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet. P ′ ~ N ( 0,8 , ( 0,8 ) ( 0,2 ) 80 ) . (0,72171, 0,87829). ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,04 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 92 % es _______. (0,72; 0,88) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Con el 92 % de confianza estimamos que la proporción de niñas de 8 a 12 años que asisten a una clase de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet se sitúa entre el 72 % y el 88 %. Utilizando la misma p ′ y el mismo nivel de confianza, supongamos que n se aumenta a 100. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando la misma p ′ y n = 80, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98 %? ¿Por qué? El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantienen constantes, a medida que el nivel de confianza aumenta, el área debajo de la curva correspondiente al nivel de confianza se hace más grande, lo que crea un intervalo más amplio y, por tanto, un error mayor. Si se disminuye el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)? Tarea para la casa Las compañías de seguros están interesadas en conocer el porcentaje de conductores que siempre se abrochan el cinturón antes de manejar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de la población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 95 % de confianza en que la proporción de la población se estima con un margen del 0,03? Si más adelante se determinara que es importante tener más del 95 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría eso el número mínimo que habría que encuestar? ¿Por qué? 1.068 Sería necesario aumentar el tamaño de la muestra, ya que el valor crítico aumenta a medida que lo hace el nivel de confianza. Supongamos que las compañías de seguros hicieran una encuesta. Encuestaron al azar 400 conductores y descubrieron que 320 afirmaban que siempre se abrochaban el cinturón. Nos interesa la proporción de conductores que afirman abrocharse siempre el cinturón. x = __________ n = __________ p ′ = __________ Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población que afirma que siempre se abrocha el cinturón Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si esta encuesta se realizara por teléfono, enumere tres dificultades que podrían tener las compañías para obtener resultados aleatorios. Según una reciente encuesta realizada a 1.200 personas, el 61 % consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Nos interesa la proporción de población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. X = el número de personas que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable; P ′ = la proporción de personas de una muestra que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. N ( 0,61 , ( 0,61 ) ( 0,39 ) 1.200 ) CI: (0,59, 0,63) Compruebe la solución del estudiante EBM : 0,02 Recientemente apareció un artículo sobre citas y matrimonios interraciales en el Washington Post. . De los 1.709 adultos seleccionados al azar, 315 se identificaron como latinos, 323 como negros, 254 como asiáticos y 779 como blancos. En esta encuesta, el 86 % de las personas negras afirmaron que acogerían a una persona blanca en su familia. Entre los asiáticos, el 77 % acogería a una persona blanca en su familia, el 71 % a un latino y el 66 % a una persona negra. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de adultos negros que acogerían a una persona blanca en su familia. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Consulte la información en el . Construya tres intervalos de confianza del 95 %. porcentaje de todos los asiáticos que acogerían a una persona blanca en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a un latino en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a una persona negra en su familia. Aunque las tres estimaciones puntuales son diferentes, ¿hay superposición en alguno de los intervalos de confianza? ¿Cuál? Para los intervalos donde hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? Para los intervalos donde no hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? (0,72, 0,82) (0,65, 0,76) (0,60, 0,72) Sí, en los intervalos (0,72, 0,82) y (0,65, 0,76) hay superposición, y en los intervalos (0,65, 0,76) y (0,60, 0,72) hay superposición. Podemos decir que no parece haber una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca en sus familias y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona latina en sus familias. Podemos decir que hay una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona negra. La Universidad de Stanford realizó un estudio sobre si correr es saludable para hombres y mujeres mayores de 50 años. Durante los primeros ocho años del estudio, el 1,5 % de los 451 miembros de la 50-Plus Fitness Association murieron. Nos interesa la proporción de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 97 % para la proporción poblacional de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 97 %” para este estudio. Un sondeo telefónico realizado a 1.000 estadounidenses adultos se publicó en un número de la Revista Time. . Una de las preguntas que se hicieron fue: “¿Cuál es el principal problema del país?”. El veinte por ciento respondió que era la “delincuencia”. Nos interesa la proporción de población de los estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. X = el número de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema; P′ = la proporción de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Como estamos estimando una proporción, dado que P′ = 0,2 y n = 1.000, la distribución que debemos utilizar es N ( 0,2 , ( 0,2 ) ( 0,8 ) 1.000 ) . CI: (0,18, 0,22) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,02 Una forma de reducir el error de muestreo es aumentar el tamaño de la muestra. El “± 3 %” indicado representa el límite máximo de error. Esto significa que los que hacen el estudio informan de un error máximo del 3 %. Así, estiman que el porcentaje de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema se sitúa entre el 18 % y el 22 %. Consulte el . Otra de las preguntas del sondeo era “¿[Cuánto le preocupa] la calidad de la educación en nuestras escuelas?”. El sesenta y tres por ciento respondió que “mucho”. Nos interesa la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado. Una estimación puntual de la verdadera proporción de la población es: 0,90 1,27 0,79 400 c Un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población es _______. (0,761, 0,820) (0,125, 0,188) (0,755, 0,826) (0,130, 0,183) El límite de error es aproximadamente _____. 1,581 0,791 0,059 0,030 d Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no. Calcule el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 90 % para la verdadera proporción de población de los hogares de la comunidad del sur de California que cumplen, al menos, las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos. (0,2975, 0,3796) (0,6270, 0,6959) (0,3041, 0,3730) (0,6204, 0,7025) La estimación puntual de la proporción de viviendas que no cumplen las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos es ______. 0,6614 0,3386 173 338 a El 23 de mayo de 2013, Gallup informó de que, de las 1.005 personas encuestadas, el 76 % de los trabajadores estadounidenses cree que seguirá trabajando más allá de la edad de jubilación. El nivel de confianza de este estudio fue del 95 % con un margen de error del ±3 %. Determine la proporción estimada de la muestra. Determine el tamaño de la muestra. Identifique CL y α . Calcule el límite de error basándose en la información proporcionada. Compare el límite de error de la parte d con el margen de error informado por Gallup. Explique las diferencias entre los valores. Cree un intervalo de confianza para los resultados de este estudio. Un periodista está cubriendo la publicación de este estudio para una emisora de noticias local. ¿Cómo debe explicar el intervalo de confianza a su público? El 13 de mayo de 2013, Rasmussen Reports realizó una encuesta nacional a 1.000 adultos. Concluyó con el 95 % de confianza que entre el 49 % y el 55 % de los estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen el proceso de la educación superior. Calcule la estimación puntual y el límite de error para este intervalo de confianza. ¿Podemos concluir (con el 95 % de confianza) que más de la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? Utilice la estimación puntual de la parte a y n = 1.000 para calcular un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen la educación superior. ¿Podemos concluir (con el 75 % de confianza) que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? p′ = (0 0,55 + 0 0,49) 2 = 0,52; EBP = 0,55 – 0,52 = 0,03 No, el intervalo de confianza incluye valores menores de 0,50 o iguales. Es posible que menos de la mitad de la población lo crea. CL = 0,75, por lo que α = 1 – 0,75 = 0,25 y α 2 = 0,125 z α 2 = 1,150 . (el área a la derecha de esta z es 0,125, por lo que el área a la izquierda es 1 – 0,125 = 0,875) E B P = ( 1,150 ) 0,52 ( 0,48 ) 1 , 000 ≈ 0,018 ( p ′ – EBP , p ′ + EBP ) = (0,52 – 0,018, 0,52 + 0,018) = (0,502, 0,538) Solución alternativa STAT TESTS A: 1-PropZinterval con x = (0,52)(1.000), n = 1.000, CL = 0,75. La respuesta es (0,502, 0,538) Sí; este intervalo no cae por debajo de 0,50, por lo que podemos concluir que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes colegios universitarios corrompen la educación, pero lo hacemos con el 75 % de confianza solamente. Public Policy Polling realizó recientemente una encuesta en la que se le preguntó a adultos de EE. UU. sobre sus preferencias musicales. Cuando se les preguntó, 80 de los 571 participantes admitieron que habían descargado música ilegalmente. Cree un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera proporción de adultos estadounidenses que han descargado música ilegalmente. Esta encuesta se realizó mediante entrevistas telefónicas automatizadas los días 6 y 7 de mayo de 2013. El límite de error de la encuesta compensa el error de muestreo, o la variabilidad natural entre muestras. Enumere algunos factores que podrían afectar al resultado de la encuesta y que no están cubiertos por el margen de error. Sin realizar ningún cálculo, describa cómo cambiaría el intervalo de confianza si el nivel de confianza cambiara del 99 % al 90 %. Tiene previsto realizar una encuesta en el campus de su instituto universitario para conocer la conciencia política de los estudiantes. Quiere estimar la verdadera proporción de estudiantes de su campus que votaron en las elecciones presidenciales de 2012, con el 95 % de confianza y un margen de error no superior al cinco por ciento. ¿A cuántos estudiantes debe entrevistar? CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 z α 2 = 1,96. Utilice p′ = q′ = 0,5. n = z α 2 2 p ′ q ′ E B P 2 = 1,96 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,05 2 = 384,16 Necesita entrevistar al menos a 385 estudiantes para estimar la proporción con un 5 % de confianza del 95 %. En una reciente encuesta de Zogby International, nueve de los 48 encuestados calificaron de "probable" o "muy probable" la posibilidad de un atentado terrorista en su comunidad. Utilice el método "más cuatro" para crear un intervalo de confianza del 97 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que un ataque terrorista en su comunidad es probable o muy probable. Explica qué significa este intervalo de confianza en el contexto del problema. Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = n x p x q n – x . Proporción del límite de error de la población (EBP) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la proporción estimada (a partir de la muestra) de aciertos.

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Intervalo de confianza (costos de hogares) Intervalo de confianza (costos de hogares) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará el intervalo de confianza del 90 % para el costo medio de una vivienda en la zona en la que se encuentra esta escuela. El estudiante interpretará los intervalos de confianza. El estudiante determinará los efectos de las condiciones cambiantes en el intervalo de confianza. Recopilación de datos Consulte la sección inmobiliaria de su periódico local. Registre los precios de venta de 35 viviendas seleccionadas al azar que han sido puestas en venta recientemente en el condado. Nota Muchos periódicos los publican solo un día a la semana. Además, supondremos que las viviendas se ponen a la venta de forma aleatoria. Rellene la tabla: __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Describa los datos Calcule lo siguiente: x ¯ = _____ s x = _____ n = _____ En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . Indique la distribución estimada a utilizar. Utilice tanto palabras como símbolos. Calcule el intervalo de confianza Calcule el intervalo de confianza y el límite de error. Intervalo de confianza: _____ Límite de error: _____ ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? α = _____ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 = _____ Rellene los espacios en blanco del gráfico con el área de cada sección. A continuación, rellene la línea numérica con los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media de la muestra. Algunos estudiantes piensan que un intervalo de confianza del 90 % contiene el 90 % de los datos. Utilice la lista de datos de la primera página y cuente cuántos de los valores de los datos se encuentran dentro del intervalo de confianza. ¿Qué porcentaje es este? ¿Este porcentaje se acerca al 90 %? Explique por qué este porcentaje debe o no acercarse al 90 %. Describa el intervalo de confianza En dos o tres frases completas, explique qué significa un intervalo de confianza (en general), como si estuviera hablando con alguien que no ha cursado estadística. En una o dos oraciones completas, explique qué significa este intervalo de confianza para este estudio en particular. Utilice los datos para construir intervalos de confianza Utilizando la información dada, construya un intervalo de confianza para cada nivel de confianza dado. Nivel de confianza EBM/límite de error Intervalo de confianza 50 % 80 % 95 % 99 % ¿Qué ocurre con el EBM a medida que aumenta el nivel de confianza? ¿El ancho del intervalo de confianza aumenta o disminuye? Explique por qué ocurre esto.

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Intervalo de confianza (lugar de nacimiento) Intervalo de confianza (lugar de nacimiento) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará el intervalo de confianza del 90 % de la proporción de estudiantes de esta escuela que han nacido en este estado. El estudiante interpretará los intervalos de confianza. El estudiante determinará los efectos de las condiciones cambiantes en el intervalo de confianza. Recopilación de datos Haga una encuesta a los estudiantes de su clase, preguntándoles si han nacido en este estado. Supongamos que X = el número de personas que han nacido en este estado n = ____________ x = ____________ En palabras, defina la variable aleatoria P′ . Indique la distribución estimada a utilizar. Hallar el intervalo de confianza y el límite de error Calcule el intervalo de confianza y el límite de error. Intervalo de confianza: _____ Límite de error: _____ ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? α = _____ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 = _____ Rellene los espacios en blanco del gráfico con el área de cada sección. A continuación, rellene la recta numérica con los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Describa el intervalo de confianza En dos o tres frases completas, explique qué significa un intervalo de confianza (en general), como si estuviera hablando con alguien que no ha cursado estadística. En una o dos oraciones completas, explique qué significa este intervalo de confianza para este estudio en particular. Construya un intervalo de confianza para cada nivel de confianza dado. Nivel de confianza EBP/límite de error Intervalo de confianza 50 % 80 % 95 % 99 % ¿Qué ocurre con el EBP a medida que aumenta el nivel de confianza? ¿El ancho del intervalo de confianza aumenta o disminuye? Explique por qué ocurre esto.

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Intervalo de confianza (altura de las mujeres) Intervalo de confianza (altura de las mujeres) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará un intervalo de confianza del 90 % utilizando los datos dados. El estudiante determinará la relación entre el nivel de confianza y el porcentaje de intervalos construidos que contienen la media poblacional. Dada: Estatura de 100 mujeres (en pulgadas) 59,4 71,6 69,3 65,0 62,9 66,5 61,7 55,2 67,5 67,2 63,8 62,9 63,0 63,9 68,7 65,5 61,9 69,6 58,7 63,4 61,8 60,6 69,8 60,0 64,9 66,1 66,8 60,6 65,6 63,8 61,3 59,2 64,1 59,3 64,9 62,4 63,5 60,9 63,3 66,3 61,5 64,3 62,9 60,6 63,8 58,8 64,9 65,7 62,5 70,9 62,9 63,1 62,2 58,7 64,7 66,0 60,5 64,7 65,4 60,2 65,0 64,1 61,1 65,3 64,6 59,2 61,4 62,0 63,5 61,4 65,5 62,3 65,5 64,7 58,8 66,1 64,9 66,9 57,9 69,8 58,5 63,4 69,2 65,9 62,2 60,0 58,1 62,5 62,4 59,1 66,4 61,2 60,4 58,7 66,7 67,5 63,2 56,6 67,7 62,5 La enumera las estaturas de 100 mujeres. Utilice un generador de números aleatorios para seleccionar diez valores de datos aleatorios. Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Supongamos que se sabe que la desviación típica de la población es de 3,3 pulgadas. Con estos valores, construya un intervalo de confianza del 90 % para su muestra de diez valores. Escriba el intervalo de confianza que obtuvo en el primer espacio de la . Ahora escriba su intervalo de confianza en la pizarra. Mientras los demás miembros de la clase escriben sus intervalos de confianza en la pizarra, cópielos en la . Intervalos de confianza del 90 % __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Preguntas para el debate La media real de la población para las 100 estaturas dadas en la es μ = 63,4. Utilizando el listado de clase de los intervalos de confianza, cuente cuántos de ellos contienen la media poblacional μ ; es decir, para cuántos intervalos el valor de μ se encuentra entre los puntos extremos del intervalo de confianza Divida este número por el número total de intervalos de confianza generados por la clase para determinar el porcentaje de intervalos de confianza que contiene la media μ . Escriba este porcentaje aquí: _____________. El porcentaje de intervalos de confianza que contienen la media poblacional μ , ¿se acerca al 90 %? Supongamos que hemos generado 100 intervalos de confianza. ¿Qué cree que pasaría con el porcentaje de intervalos de confianza que contienen la media de la población? Cuando construimos un intervalo de confianza del 90 %, decimos que tenemos un 90 % de confianza en que la verdadera media de la población se encuentra dentro del intervalo de confianza. Utilizando oraciones completas, explique lo que queremos decir con esta frase. Algunos estudiantes piensan que un intervalo de confianza del 90 % contiene el 90 % de los datos. Use la lista de datos dada (las estaturas de las mujeres) y cuente cuántos de los valores de los datos se encuentran dentro del intervalo de confianza que ha generado a partir de dichos datos. ¿Cuántos de los 100 valores de los datos se encuentran dentro de su intervalo de confianza? ¿Qué porcentaje es este? ¿Este porcentaje se acerca al 90 %? Explique por qué no tiene sentido contar los valores de los datos que se encuentran en un intervalo de confianza. Piense en la variable aleatoria que se utiliza en el problema. Supongamos que obtiene las estaturas de diez mujeres y calcula un intervalo de confianza a partir de esta información. Sin conocer la media de la población μ , ¿tendría alguna forma de saber con certeza si su intervalo contiene realmente el valor de μ ? Explique.

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Introducción Puede utilizar una prueba de hipótesis para decidir si la afirmación de un criador de perros de que todos los dálmatas tienen 35 manchas es estadísticamente correcta. (créditos: Robert Neff). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Diferenciar los errores tipo I y de tipo II. Describir las pruebas de hipótesis en general y en la práctica. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una media poblacional única, conocida la desviación típica de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una media poblacional única, desconocida la desviación típica de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una proporción de población única. Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre un parámetro. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año. Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis” . Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula. En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas. La prueba de hipótesis consiste en dos hipótesis o afirmaciones contradictorias, una decisión basada en los datos y una conclusión. Para realizar una prueba de hipótesis, un estadístico: Establecerá dos hipótesis contradictorias. Recogerá los datos de la muestra (en los problemas de tareas para la casa, se le darán los datos o las estadísticas resumidas). Determinará la distribución correcta para realizar la prueba de hipótesis. Analizará los datos de la muestra realizando los cálculos que, en última instancia, le permitirán rechazar o no la hipótesis nula. Tomará una decisión y escribirá una conclusión significativa. Nota Haga copias de las hojas de solución especiales correspondientes para realizar los problemas de tarea para la casa de prueba de hipótesis de este capítulo y de capítulos posteriores. Consulte el Apéndice E . Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de El nivel de confianza deseado. Información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación típica conocida). La muestra y su tamaño. Prueba de hipótesis a partir de las pruebas de la muestra, un procedimiento para determinar si la hipótesis planteada es una afirmación razonable y no se debe rechazar, o es irrazonable y se debe rechazar.

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