Media o valor esperado y desviación típica El valor esperado suele denominarse media o promedio "a largo plazo". Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio. Se lanza una moneda y se anota el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara? Si lanza una moneda dos veces, ¿la probabilidad le dice que estos lanzamientos darán como resultado una cara y una cruz? Puede lanzar una moneda diez veces y registrar nueve caras. Como aprendió en el 3 - TEMAS DE PROBABILIDAD , la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Ofrece información sobre lo que cabe esperar a largo plazo. ¡Para demostrarlo, Karl Pearson lanzó una vez una moneda justa 24.000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cara 12.012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la ley de los grandes números . La ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se aproxima a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más) . Al evaluar los resultados a largo plazo de los experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado del “promedio". Este “promedio a largo plazo” se conoce como la media o valor esperado del experimento y se denota con la letra griega μ . En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio. NOTA Para hallar el valor esperado o promedio a largo plazo, μ , basta con multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad y sumar los productos. Un equipo de fútbol masculino juega al fútbol en cero, en uno o en dos días a la semana. La probabilidad de que jueguen cero días es de 0,2, la de que jueguen un día es de 0,5 y la de que jueguen dos días es de 0,3. Calcule el promedio a largo plazo o el valor esperado, μ , del número de días por semana que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para resolver el problema, primero dejemos la variable aleatoria X = el número de días que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol por semana. X toma los valores 0, 1, 2 Construya una tabla PDF añadiendo una columna x * P ( x ). En esta columna, multiplicará cada valor de x por su probabilidad. Tabla de valores esperados Esta tabla se denomina tabla de valores esperados. La tabla le ayuda a calcular el valor esperado o promedio a largo plazo. x P ( x ) x * P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 Añada la última columna x * P ( x ) para hallar las intersecciones en el promedio a largo plazo o el valor esperado: (0)(0,2) + (1)(0,5) + (2)(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1. El valor esperado es 1,1. El equipo de fútbol masculino tendría, en promedio, que jugar al fútbol 1,1 días por semana. El número 1,1 es el promedio a largo plazo o el valor esperado si el equipo de fútbol masculino juega al fútbol semana tras semana. Decimos que μ = 1,1. Calcule el valor esperado del número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. El valor esperado es el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. Calcule también la desviación típica de la variable. Se espera que un recién nacido despierte a su madre después de la medianoche 2,1 veces a la semana, en promedio. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 P ( x = 0) = 2 50 (0) ( 2 50 ) = 0 (0 – 2,1) 2 ⋅ 0,04 = 0,1764 1 P ( x = 1) = ( 11 50 ) (1) ( 11 50 ) = 11 50 (1 – 2,1) 2 ⋅ 0,22 = 0,2662 2 P ( x = 2) = 23 50 (2) ( 23 50 ) = 46 50 (2 – 2,1) 2 ⋅ 0,46 = 0,0046 3 P ( x = 3) = 9 50 (3) ( 9 50 ) = 27 50 (3 – 2,1) 2 ⋅ 0,18 = 0,1458 4 P ( x = 4) = 4 50 (4) ( 4 50 ) = 16 50 (4 – 2,1) 2 ⋅ 0,08 = 0,2888 5 P ( x = 5) = 1 50 (5) ( 1 50 ) = 5 50 (5 – 2,1) 2 ⋅ 0,02 = 0,1682 Sume los valores de la tercera columna de la tabla para hallar el valor esperado de X : μ = Valor esperado = 105 50 = 2,1 Utilice μ para completar la tabla. La cuarta columna de esta tabla le proporcionará los valores que necesita para calcular la desviación típica. Para cada valor x , multiplique el cuadrado de su desviación por su probabilidad. (Cada desviación tiene el formato x – μ ). Añada los valores en la cuarta columna de la tabla: 0,1764 + 0,2662 + 0,0046 + 0,1458 + 0,2888 + 0,1682 = 1,05 La desviación típica de X es la raíz cuadrada de esta suma: σ = 1,05 ≈ 1,0247 La media, μ , de una función de probabilidad discreta es el valor esperado. μ = ∑ ( x ∙ P x ) La desviación típica, Σ, de la PDF es la raíz cuadrada de la varianza. σ = ∑ [ x – μ 2 ∙ Ρ x ] Cuando todos los resultados de la distribución de probabilidad son igualmente probables, estas fórmulas coinciden con la media y la desviación típica del conjunto de resultados posibles. Ejercicio Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. ¿Cuál es el valor esperado? x P ( x ) 0 P ( x = 0) = 4 50 1 P ( x = 1) = 8 50 2 P ( x = 2) = 16 50 3 P ( x = 3) = 14 50 4 P ( x = 4) = 6 50 5 P ( x = 5) = 2 50 Suponga que juega a un juego de azar en el que se eligen cinco números entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Una computadora selecciona al azar cinco números del cero al nueve con reemplazo. Usted paga 2 dólares para jugar y podría ganar 100.000 dólares si acierta los cinco números en orden (recupera sus 2 dólares más 100.000 dólares). A largo plazo, ¿cuál es el ganancia que espera obtener del juego? Para resolver este problema, establezca una tabla de valor esperado para la cantidad de dinero que puede ganar. Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana. Los valores de x no son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como le interesa su ganancia (o pérdida), los valores de x son 100.000 dólares y –2 dólares. Para ganar, debe acertar los cinco números, en orden. La probabilidad de elegir un número correcto es 1 10 porque hay diez números. Puede elegir un número más de una vez. La probabilidad de elegir los cinco números correctamente y en orden es ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) = ( 1 ) ( 10 – 5 ) = 0,00001. Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 0,00001 y la de perder es 1 – 0,00001 = 0,99999. La tabla de valores esperados es la siguiente: Sume la última columna. –1,99998 + 1 = –0,99998 x P ( x ) x * P ( x ) Pérdidas -2 0,99999 (-2)(0,99999) = -1,99998 Ganancias 100.000 0,00001 (100000)(0,00001) = 1 Dado que -0,99998 es aproximadamente -1, esperaría, en promedio, perder aproximadamente $1 por cada juego que juegue. Sin embargo, cada vez que juega, pierde 2 dólares o gana 100.000 dólares. Un dólar es el promedio o la PÉRDIDA esperada por partida después de jugar este juego una y otra vez. Ejercicio Está jugando a un juego de azar en el que se extraen cuatro cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Adivine el palo de cada carta antes de que se extraiga. Las cartas se sustituyen en la baraja en cada sorteo. Paga un dólar para jugar. Si adivina el palo correcto todas las veces, le devuelven el dinero y 256 dólares. ¿Cuál es el ganancia que espera obtener del juego a largo plazo? Supongamos que juega una partida con una moneda sesgada. Se juega cada partida lanzando la moneda una vez. P (caras) = 2 3 y P (cruz) = 1 3 . Si lanza una cara, paga 6 dólares. Si lanza una cruz, gana 10 dólares. Si juega muchas veces a este juego, ¿saldrá ganando? a. Defina una variable aleatoria X . b. Rellene la siguiente tabla de valores esperados. x ____ ____ GANA 10 1 3 ____ PIERDE ____ ____ –12 3 c. ¿Cuál es el valor esperado, μ ? ¿Usted sale ganando? a. X = monto de la ganancia b. x P ( x ) xP ( x ) GANA 10 1 3 10 3 PIERDE -6 2 3 –12 3 c. Sume la última columna de la tabla. El valor esperado μ = – 2 3 . Pierde, en promedio, aproximadamente 67 céntimos cada vez que juega, por lo que no sale ganando. Ejercicio Supongamos que juega un juego con una ruleta. Se juega cada partida haciendo girar la ruleta una vez. P (rojo) = 2 5 , P (azul) = 2 5 , y P (verde) = 1 5 . Si cae en rojo, paga 10 dólares. Si cae en azul, no paga ni gana nada. Si cae en verde, gana 10 dólares. Rellene la siguiente tabla de valores esperados. x P ( x ) Rojo – 20 5 Azul 2 5 Verde 10 Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones típicas. Para calcular la desviación típica (σ ) de una distribución de probabilidad, halle cada desviación de su valor esperado, elévela al cuadrado, multiplíquela por su probabilidad, sume los productos y calcule la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, observe la tabla del número de días por semana que un equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para calcular la desviación típica, sume las entradas de la columna marcada como ( x – μ ) 2 P ( x ) y calcule la raíz cuadrada. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 (0 – 1,1) 2 (0,2) = 0,242 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 (1 – 1,1) 2 (0,5) = 0,005 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 (2 – 1,1) 2 (0,3) = 0,243 Sume la última columna de la tabla. 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. La desviación típica es la raíz cuadrada de 0,49, es decir, σ = 0,49 = 0,7 Generalmente, para las distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular μ y σ para reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, existen fórmulas abreviadas para calcular μ y σ . Lance un dado justo de seis caras dos veces. Supongamos que X = el número de caras que muestran un número par. Construya una tabla como la y calcule la media μ y la desviación típica σ de X . Lanzar dos veces un dado justo de seis caras tiene el mismo espacio muestral que lanzar dos dados justos de seis caras. El espacio muestral tiene 36 resultados: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Utilice el espacio muestral para completar la siguiente tabla: Cálculo de μ y σ . x P ( x ) x P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 9 36 0 (0 – 1) 2 ⋅ 9 36 = 9 36 1 18 36 18 36 (1 – 1) 2 ⋅ 18 36 = 0 2 9 36 18 36 (1 – 1) 2 ⋅ 9 36 = 9 36 Sume los valores de la tercera columna para hallar el valor esperado: μ = 36 36 = 1. Utilice este valor para completar la cuarta columna. Sume los valores de la cuarta columna y calcule la raíz cuadrada de la suma: σ = 18 36 ≈ 0.7071. El 11 de mayo de 2013 a las 09:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Irán era de aproximadamente el 21,42 %. Suponga que hace una apuesta a que se producirá un terremoto moderado en Irán durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 50 dólares. Si pierde la apuesta, paga 20 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. P (ganar) = P (se producirá un terremoto moderado) = 21,42 % P (pérdida) = P ( no se producirá un terremoto moderado) = 100 % - 21,42 % Si apuesta muchas veces, ¿saldrá ganando? Explique su respuesta en una frase completa utilizando números. ¿Cuál es la desviación típica de X ? Construya una tabla similar a la y la para ayudarse a responder a estas preguntas. x P(x) x (Px) ( x – μ ) 2 P ( x ) gana 50 0,2142 10,71 [50 – (-5,006)] 2 (0,2142) = 648,0964 pérdida -20 0,7858 -15,716 [-20 – (-5,006)] 2 (0,7858) = 176,6636 Media = Valor esperado = 10,71 + (-15,716) = -5,006. Si hace esta apuesta muchas veces en las mismas condiciones, su resultado a largo plazo será una pérdida promedio de 5,01 dólares por apuesta. Desviación típica = 648,0964 + 176,6636 ≈ 28,7186 Ejercicio El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Japón era de aproximadamente 1,08 %. Al igual que en el , se apuesta por que se produzca un terremoto moderado en Japón durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 100 dólares. Si pierde la apuesta, paga 10 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. Calcule la media y la desviación típica de X . Algunas de las funciones de probabilidad discreta más comunes son la binomial, la geométrica, la hipergeométrica y la de Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren la geométrica, la hipergeométrica y la Poisson. Su instructor le hará saber si desea cubrir estas distribuciones. Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Intente adaptar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas que facilitan la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características le permite distinguir entre las diferentes distribuciones. Referencias Catálogo de clases en la Universidad Estatal de Florida. Disponible en línea en https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El valor esperado, o media, de una variable aleatoria discreta predice los resultados a largo plazo de un experimento estadístico que se ha repetido muchas veces. La desviación típica de una distribución de probabilidad se utiliza para medir la variabilidad de los posibles resultados. Revisión de la fórmula Media o valor esperado: μ = ∑  x ∈ X x P ( x ) Desviación típica: σ = ∑  x ∈ X ( x – μ ) 2 P ( x ) Complete la tabla de valores esperados. x P ( x ) x * P ( x ) 0 0,2 1 0,2 2 0,4 3 0,2 Halle el valor esperado en la tabla de valores esperados. x P ( x ) x * P ( x ) 2 0,1 2(0,1) = 0,2 4 0,3 4(0,3) = 1,2 6 0,4 6(0,4) = 2,4 8 0,2 8(0,2) = 1,6 0,2 + 1,2 + 2,4 + 1,6 = 5,4 Calcule la desviación típica. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 2 0,1 2(0,1) = 0,2 (2–5,4) 2 (0,1) = 1,156 4 0,3 4(0,3) = 1,2 (4–5,4) 2 (0,3) = 0,588 6 0,4 6(0,4) = 2,4 (6–5,4) 2 (0,4) = 0,144 8 0,2 8(0,2) = 1,6 (8–5,4) 2 (0,2) = 1,352 Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,15 0,15 2 0,25 0,50 3 0,30 0,90 4 0,20 0,80 5 0,15 0,75 Los valores de P ( x ) no suman uno. Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,15 0,15 2 0,25 0,40 3 0,25 0,65 4 0,20 0,85 5 0,15 1 Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un profesor de física quiere saber qué porcentaje de los estudiantes de Física dedicarán los próximos años a la investigación de posgrado. Tiene la siguiente distribución de probabilidad. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,35 2 0,20 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de años que un licenciado en física dedicará a la investigación de posgrado. Defina P ( x ) o la probabilidad de x . Halle la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante cuatro años. P ( x = 4) = _______ 1 – 0,35 – 0,20 – 0,15 – 0,10 – 0,05 = 0,15 Calcule la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante un máximo de tres años. P ( x ≤ 3) = _______ En promedio, ¿cuántos años espera que un estudiante de física pase haciendo investigación de posgrado? 1(0,35) + 2(0,20) + 3(0,15) + 4(0,15) + 5(0,10) + 6(0,05) = 0,35 + 0,40 + 0,45 + 0,60 + 0,50 + 0,30 = 2,6 años Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: A una profesora de ballet le interesa saber qué porcentaje de la clase de cada año continuará en el siguiente, para poder planificar qué clases ofrecer. A lo largo de los años, ha establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un estudiante estudiará ballet con la maestra. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un estudiante estudie ballet x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,10 2 0,05 3 0,10 4 5 0,30 6 0,20 7 0,10 Defina la variable aleatoria X en palabras. X es el número de años que un estudiante estudia ballet con la maestra. P ( x = 4) = _______ P ( x < 4) = _______ 0,10 + 0,05 + 0,10 = 0,25 En promedio, ¿cuántos años espera que un niño estudie ballet con esta maestra? ¿Qué suma la columna " P ( x )" y por qué? La suma de las probabilidades suma uno porque es una distribución de probabilidad. ¿Qué suma la columna " x * P ( x )" y por qué? Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Cuál es el valor esperado del juego? – 2 ( 40 52 ) + 30 ( 12 52 ) = – 1,54 + 6,92 = 5,38 Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Debe jugar el juego? TAREA PARA LA CASA Un grupo de teatro organiza una recaudación de fondos. Vende 100 boletos de rifa a 5 dólares cada uno. Supongamos que usted compra cuatro entradas. El premio consiste en dos pases para un espectáculo de Broadway, por un valor total de 150 dólares. ¿Qué le interesa aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Construya una PDF. Si esta recaudación de fondos se repite a menudo y siempre se compran cuatro boletos, ¿cuál sería el promedio de ganancias esperada por rifa? El juego consiste en seleccionar una carta de una baraja normal de 52 cartas y lanzar una moneda. La moneda es justa y tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz. Si la carta es de figura y la moneda sale cara, gana 6 dólares. Si la carta es de figura y la moneda cae en cruz, gana 2 dólares. Si la carta no es de figura, pierde 2 dólares, sin importar lo que muestre la moneda. Calcule el valor esperado para este juego (ganancia o pérdida neta esperada). Explique lo que indican sus cálculos sobre sus ganancias y pérdidas promedio a largo plazo en este juego. ¿Debe jugar a este juego para ganar dinero? La variable de interés es X , es decir, la ganancia o pérdida, en dólares. Las cartas de figura sota, reina y rey. Hay (3)(4) = 12 cartas de figura y 52 - 12 = 40 cartas que no son de figura. Primero tenemos que construir la distribución de probabilidad para X . Utilizamos los eventos de la tarjeta y la moneda para determinar la probabilidad de cada resultado, pero utilizamos el valor monetario de X para determinar el valor esperado. Evento con cartas X ganancia o pérdida neta P ( X ) Carta de figura y cara 6 ( 12 52 ) ( 1 2 ) = ( 6 52 ) Carta de figura y cruz 2 ( 12 52 ) ( 1 2 ) = ( 6 52 ) (No es una carta de figura) y (H o T) -2 ( 40 52 ) ( 1 ) = ( 40 52 ) Valor esperado = ( 6 ) ( 6 52 ) + ( 2 ) ( 6 52 ) + ( – 2 ) ( 40 52 ) = – 32 52 Valor esperado = -0,62 dólares, redondeados al céntimo más cercano Si juega a este juego repetidamente, durante una larga serie de partidas, esperaría perder 62 céntimos por partida, en promedio. No debe jugar a este juego para ganar dinero porque el valor esperado indica una pérdida promedio esperada. Compra un billete de lotería que cuesta 10 dólares. Solo hay 100 boletos a la venta en esta lotería. Hay un premio de 500 dólares, dos premios de 100 dólares y cuatro premios de 25 dólares. Calcule su ganancia o pérdida esperada. Complete la PDF y responda las preguntas. x P ( x ) x P ( x ) 0 0,3 1 0,2 2 3 0,4 Calcule la probabilidad de que x = 2. Calcule el valor esperado. 0,1 1,6 Suponga que le ofrecen el siguiente "trato" Lance un dado. Si saca un seis, gana 10 dólares. Si saca un cuatro o un cinco, gana 5 dólares. Si saca un uno, dos o tres, paga 6 dólares. ¿Qué le interesa en última instancia (el valor de la tirada o el dinero que gana)? Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Construya una PDF. A lo largo de este juego, ¿cuál es el promedio de ganancias que espera obtener por partida? Con base en los valores numéricos, ¿debería aceptar el trato? Explique su decisión con frases completas. Un inversionista de capital de riesgo, dispuesto a invertir 1.000.000 de dólares, tiene tres inversiones para elegir. La primera inversión, una compañía de software, tiene un 10 % de posibilidades de devolver 5.000.000 de dólares de ganancia, un 30 % de posibilidades de devolver 1.000.000 de dólares de ganancia y un 60 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La segunda compañía, una compañía de hardware, tiene un 20 % de posibilidades de obtener 3.000.000 de dólares de ganancia, un 40 % de posibilidades de obtener 1.000.000 de dólares de ganancia y un 40 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La tercera compañía, una compañía de biotecnología, tiene un 10 % de posibilidades de obtener 6.000.000 de dólares de ganancia, un 70 % de no obtener ganancias ni pérdidas y un 20 % de perder el millón de dólares. Construya una PDF para cada inversión. Calcule el valor esperado para cada inversión. ¿Cuál es la inversión más segura? ¿Por qué cree que es así? ¿Cuál es la inversión más arriesgada? ¿Por qué cree que es así? ¿Qué inversión tiene la mayor rentabilidad esperada, en promedio? Compañía de software x P ( x ) 5.000.000 0,10 1.000.000 0,30 –1.000.000 0,60 Compañía de hardware x P ( x ) 3.000.000 0,20 1.000.000 0,40 –1,000,00 0,40 Empresa de biotecnología x P ( x ) 6,00,000 0,10 0 0,70 –1.000.000 0,20 $200.000; $600.000; $400.000 La tercera inversión porque tiene la menor probabilidad de pérdida La primera inversión porque tiene la mayor probabilidad de pérdida La segunda inversión Supongamos que 20.000 adultos casados de Estados Unidos son encuestados al azar sobre el número de hijos que tienen. Los resultados se recopilan y se utilizan como probabilidades teóricas. Supongamos que X = el número de hijos que tienen las personas casadas. x P ( x ) x P ( x ) 0 0,10 1 0,20 2 0,30 3 4 0,10 5 0,05 6 (o más) 0,05 Calcule la probabilidad de que un adulto casado tenga tres hijos. En palabras, ¿qué representa el valor esperado en este ejemplo? Calcule el valor esperado. ¿Es más probable que un adulto casado tenga de dos a tres hijos o de cuatro a seis? ¿Cómo lo sabe? Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener un título de licenciado en ciencias (Bachelor of Science, B.S.) se da en la . x P ( x ) 3 0,05 4 0,40 5 0,30 6 0,15 7 0,10 En promedio, ¿cuántos años cree que tarda una persona en obtener una licenciatura en Ciencias? 4,85 años Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. En la siguiente tabla se da la distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go. En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. Otra tienda, Entertainment Headquarters, alquila DVD y videojuegos. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en esta tienda es la siguiente. También tienen un límite de cinco DVD por cliente. x P ( x ) 0 0,35 1 0,25 2 0,20 3 0,10 4 0,05 5 0,05 ¿En qué tienda es mayor el número esperado de DVD alquilados por cliente? Si Video to Go calcula que tendrá 300 clientes la próxima semana, ¿cuántos DVD espera alquilar la próxima semana? Responda en forma de frase. Si Video to Go espera 300 clientes la próxima semana, y Entertainment HQ proyecta que tendrá 420 clientes, ¿en qué tienda es mayor el número esperado de alquileres de DVD para la próxima semana? Explique. ¿Cuál de los dos videoclubs experimenta más variación en el número de alquileres de DVD por cliente? ¿Cómo lo sabe? Un “amigo” le ofrece el siguiente “trato”. Por una tarifa de 10 dólares, puede elegir un sobre de una caja que contiene 100 sobres aparentemente idénticos. Sin embargo, cada sobre contiene un cupón para un regalo. Diez de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 6 dólares. Ochenta de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 8 dólares. Seis de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 12 dólares. Cuatro de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 40 dólares. Según la ganancia o la pérdida financiera a largo plazo, ¿debería jugar el juego? Sí, espero ganar dinero. No, espero perder dinero. No importa. Espero llegar a un punto de equilibrio. b La Universidad Estatal de Florida tiene 14 clases de Estadística programadas para su trimestre de verano 2013. Una clase tiene cupos para 30 estudiantes, ocho clases tienen cupos para 60 estudiantes, una clase tiene cupos para 70 estudiantes y cuatro clases tienen cupos para 100 estudiantes. ¿Cuál es el tamaño promedio de las clases, suponiendo que cada una de ellas esté llena? Hay cupos para 980 estudiantes. Supongamos que el cupo de cada clase está completo y seleccionamos un estudiante de Estadística al azar. Supongamos que la variable aleatoria X igual al tamaño de la clase del estudiante. Definir la PDF para X . Calcule la media de X . Calcule la desviación típica de X . En una lotería, hay 250 premios de 5 dólares, 50 premios de 25 dólares y diez premios de 100 dólares. Suponiendo que se emitan y vendan 10.000 billetes, ¿cuál es el precio justo que se debe cobrar para alcanzar el equilibrio? Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana con un billete. La siguiente tabla muestra la PDF para X . x P ( x ) 0 0,969 5 250 10.000 = 0,025 25 50 10.000 = 0,005 100 10 10.000 = 0,001 Calcule el valor esperado de X . 0(0,969) + 5(0,025) + 25(0,005) + 100(0,001) = 0,35 El precio justo de un billete es de 0,35 dólares. Cualquier precio superior a 0,35 dólares permitirá a la lotería recaudar dinero. Valor esperado promedio aritmético esperado cuando un experimento se repite muchas veces; también se denomina media. Notaciones: μ . En una variable aleatoria discreta (RV) con función de distribución de probabilidad P ( x ), la definición también puede escribirse en la forma μ = ∑ x P ( x ). Media número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es 'promedio' El término "media" es una forma abreviada de "media aritmética" Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todo valores en la muestra Número de valores en la muestra y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todo valores en la población Número de valores en la población . Media de una distribución de probabilidad el promedio a largo plazo de muchos ensayos de un experimento estadístico Desviación típica de una distribución de probabilidad número que mide la distancia de los resultados de un experimento estadístico con respecto a la media de la distribución σ = ∑ [ x – μ 2 ∙ Ρ x ] La ley de los grandes números A medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la probabilidad de frecuencia relativa se aproxima a cero.

Matemáticas


Distribución binomial El experimento binomial tiene tres características. Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p denota la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fracaso en un ensayo. p + q = 1. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de Estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto ( p = 0,6) y su probabilidad de fallo ( q = 0,4) siguen siendo las mismas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial . La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media, μ , y la varianza, σ 2 , de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ 2 = npq . La desviación típica, σ , es entonces σ = n p q . Cualquier experimento que tenga las características dos y tres y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que, a finales de 1600, los estudió ampliamente). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli. En el Colegio ABC, la tasa de abandono de un curso de Física elemental es del 30 % en cualquier trimestre. Esto implica que, en cualquier trimestre, el 70 % de los estudiantes permanecen en la clase durante todo el trimestre. Un “acierto" podría definirse como un individuo que se retira. La variable aleatoria X = el número de estudiantes que se retiran de la clase de Física elemental seleccionada al azar. Ejercicio El consejo estatal de salud está preocupado por la cantidad de fruta disponible en los almuerzos escolares. El 48 % de las escuelas del estado ofrecen fruta en sus almuerzos todos los días. Esto implica que el 52 % no lo hace. ¿Qué sería un “acierto" en este caso? Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P ( x = 15). Ejercicio Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Ejercicio Se lanza un dado justo de seis caras diez veces. Cada tirada es independiente. Quiere calcular la probabilidad de sacar un uno más de tres veces. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar. a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo. b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X ? c. ¿Qué valores toma x ? d. ¿Qué es un “fallo” en palabras? e. Si p + q = 1, ¿qué es q ? f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P ( x ____ 40)? a. fallo b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo c. 0, 1, 2, …, 50 d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo. La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50 e. q = 0,30 f. mayor o igual que (≥) La pregunta de probabilidad es P ( x ≥ 40). Ejercicio El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial. Notación para el binomio: B = Función de distribución de la probabilidad binomial X ~ B ( n , p ) Léase esto como " X es una variable aleatoria con una distribución binomial". Los parámetros son n y p ; n = número de ensayos, p = probabilidad de acierto en cada ensayo. Se ha afirmado que alrededor del 41 % de los trabajadores adultos tienen un diploma de secundaria, pero no siguen ningún tipo de educación. Si se seleccionan al azar 20 trabajadores adultos, halle la probabilidad de que como máximo 12 de ellos tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación. ¿Cuántos trabajadores adultos espera que tengan un título de secundaria, pero que no sigan estudiando? Supongamos que X = el número de trabajadores que tienen un diploma de secundaria, pero que no siguen ningún tipo de educación. X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 donde n = 20, p = 0,41 y q = 1 - 0,41 = 0,59. X ~ B (20, 0,41) Halle P ( x ≤ 12). P ( x ≤ 12) = 0,9738. (calculadora o computadora) Vaya a 2 nd DISTR. La sintaxis de las instrucciones es la siguiente: Para calcular ( x = valor): binompdf( n , p , número) si se omite "número", el resultado es la tabla de probabilidad binomial. Para calcular P ( x ≤ valor): binomcdf( n , p , número) si se omite "número", el resultado es la tabla de probabilidad binomial acumulada. Para este problema: una vez que esté en 2 nd DISTR, use la flecha hacia abajo hasta binomcdf. Pulse ENTER. Introduzca 20,0.41,12). El resultado es P (x ≤ 12) = 0,9738. NOTA Si quiere hallar P ( x = 12), utilice la pdf (binompdf). Si quiere hallar P ( x > 12), utilice 1 - binomcdf(20; 0,41;12). La probabilidad de que como máximo 12 trabajadores tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación es de 0,9738. El gráfico de X ~ B (20, 0,41) es el siguiente: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de trabajadores que solo tienen un diploma de secundaria. El número de trabajadores adultos que se espera que tengan un diploma de secundaria, pero que no sigan ningún tipo de educación es la media, μ = np = (20)(0,41) = 8,2. La fórmula de la varianza es σ 2 = npq . La desviación típica es σ = n p q . σ = ( 20 ) ( 0,41 ) ( 0,59 ) = 2.20. Ejercicio Alrededor del 32 % de los estudiantes participan en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Si se seleccionan 30 estudiantes al azar, calcule la probabilidad de que como máximo 14 de ellos participen en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. El catálogo de suministros de arte Jerry's Artarama del 2013 tiene 560 páginas. Ocho de las páginas incluyen artistas reconocidos. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 100 páginas. Supongamos que X = el número de páginas en las que aparecen artistas reconocidos. ¿Qué valores toma x ? ¿Cuál es la distribución de probabilidad? Calcule las siguientes probabilidades la probabilidad de que dos páginas presenten artistas reconocidos la probabilidad de que como máximo seis páginas presenten artistas reconocidos la probabilidad de que en más de tres páginas aparezcan artistas reconocidos. Con las fórmulas, calcule la (i) media y la (ii) desviación típica. x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 X ~ B ( 100 , 8 560 ) P ( x = 2) = binompdf ( 100 , 8 560 , 2 ) = 0,2466 P ( x ≤ 6) = binomcdf ( 100 , 8 560 , 6 ) = 0,9994 P ( x > 3) = 1 - P ( x ≤ 3) = 1 - binomcdf ( 100 , 8 560 , 3 ) = 1 – 0,9443 = 0,0557 Media = np = (100) ( 8 560 ) = 800 560 ≈ 1,4286 Desviación típica = n p q = ( 100 ) ( 8 560 ) ( 552 560 ) ≈ 1,1867 Ejercicio Según una encuesta de Gallup, el 60 % de los adultos estadounidenses prefieren ahorrar a gastar. Supongamos que X = el número de adultos estadounidenses de una muestra aleatoria de 50 que prefieren ahorrar a gastar. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Utilice su calculadora para hallar las siguientes probabilidades la probabilidad de que 25 adultos de la muestra prefieran ahorrar a gastar la probabilidad de que como máximo 20 adultos prefieran ahorrar la probabilidad de que más de 30 adultos prefieran ahorrar Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 200 personas. Supongamos que X = el número de personas que desarrollarán cáncer de páncreas. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Utilice su calculadora para hallar la probabilidad de que como máximo ocho personas desarrollen cáncer de páncreas ¿Es más probable que cinco o seis personas desarrollen un cáncer de páncreas? Justifique su respuesta numéricamente. Ejercicio Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Utilice su calculadora para hallar la probabilidad de que DeAndre marque con 60 de estos tiros. Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros. El siguiente ejemplo ilustra un problema que no es binomial. Viola la condición de independencia. El Colegio ABC cuenta con un comité consultivo de estudiantes formado por diez miembros del personal y seis estudiantes. El comité desea elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es la probabilidad de que el presidente y el registrador sean ambos estudiantes? Los nombres de todos los miembros de la comisión se introducen en una urna y se extraen dos nombres sin reemplazo . El primer nombre extraído determina el presidente y el segundo el registrador. Hay dos ensayos. Sin embargo, los ensayos no son independientes porque el resultado del primer ensayo afecta al resultado del segundo. La probabilidad de que un estudiante salga en la primera extracción es 6 16 . La probabilidad de que un estudiante salga en la segunda extracción es 5 15 , cuando en la primera extracción se selecciona a un estudiante. La probabilidad es 6 15 , cuando en la primera extracción se selecciona a un miembro del personal. La probabilidad de sacar el nombre de un estudiante cambia en cada uno de los ensayos y, por tanto, viola la condición de independencia. Ejercicio Un equipo de lacrosse elige un capitán. Los nombres de todos los mayores se meten en un sombrero y los tres primeros que se extraigan serán los capitanes. Los nombres no se reemplazan una vez extraídos (una persona no puede ser dos capitanes). Quiere ver si los capitanes juegan todos en la misma posición. Indique si se trata de una probabilidad binomial o no y explique por qué. Referencias “Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015). “Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013). “NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013). Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011 . Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np , y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = n p q . Revisión de la fórmula X ~ B ( n , p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p . X = el número de aciertos en n ensayos independientes n = el número de ensayos independientes X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media de X es μ = np . La desviación típica de X es σ = n p q . Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = número de respuestas afirmativas X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). x P ( x ) En promedio ( μ ), ¿cuántos esperaría que respondieran afirmativamente? 5,7 ¿Cuál es la desviación típica ( σ )? ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? 0,4151 ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? TAREA PARA LA CASA Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, ... 25 Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 0,0165 En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es . En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. X = el número de DVD que alquila un cliente de Video to Go 0,12 0,11 0,77 Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades? Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes. Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos. El número esperado de victorias para ese mes es: 1,67 12 382 1043 4,43 d. 4,43 Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes? 0,1476 0,2336 0,7664 0,8903 ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes? 0,3694 0,5266 0,4734 0,2305 c Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas. Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas. X = número de preguntas contestadas correctamente X ~ B ( 32, 1 3 ) Nos interesa que MÁS DEL 75 % de las 32 preguntas sean correctas. El 75 % de 32 es 24. Queremos hallar P ( x > 24). El evento “más de 24” es el complemento de “menos de o igual a 24”. Con el menú de distribución de su calculadora: 1 - binomcdf ( 32, 1 3 , 24 ) P ( x > 24) = 0 La probabilidad de acertar más del 75 % de las 32 preguntas cuando se estima al azar es muy pequeña y prácticamente cero. Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno? Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno. ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente. Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos? Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos. ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa. X = el número de institutos universitarios y universidades que ofrecen cursos en línea. 0, 1, 2, …, 13 X ~ B (13, 0,96) 12,48 0,0135 P ( x = 12) = 0,3186 P ( x = 13) = 0,5882. Más probabilidades de obtener 13. Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación? Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente. En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal? Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente. X = el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal 0, 1, 2, 3,... 25 X ~ B (25, 0,40) 10 0,0442 La probabilidad de que los 25 no utilicen el florete es casi cero. Por lo tanto, sería muy sorprendente. Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años? Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto. Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces. X = el número de auditorías en un periodo de 20 años 0, 1, 2, …, 20 X ~ B (20, 0,02) 0,4 0,6676 0,0071 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos? ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué? ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos? Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Enumere los valores que puede adoptar Y . Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades. Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador. Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador. Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa. X = el número de coincidencias 0, 1, 2, 3 X ~ B ( 3 , 1 6 ) En dólares: −1, 1, 2, 3 1 2 Multiplique cada valor Y por la probabilidad X correspondiente de la tabla de PDF. La respuesta es −0,0787. Usted pierde unos ocho céntimos, en promedio, por juego. La casa tiene la ventaja. Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X . Utilice su calculadora para calcular la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas. Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir? X ~ B (15, 0,281) Media = μ = np = 15(0,281) = 4,215 Desviación típica = σ = n p q = 15 ( 0,281 ) ( 0,719 ) = 1,7409 P ( x > 5) = 1 - P ( x ≤ 5) = 1 - binomcdf(15, 0,281, 5) = 1 - 0,7754 = 0,2246 P ( x = 3) = binompdf(15, 0,281, 3) = 0,1927 P ( x = 4) = binompdf(15, 0,281, 4) = 0,2259 Es más probable que cuatro personas sepan leer y escribir que tres. Experimento binomial un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Ensayos de Bernoulli un experimento con las siguientes características: Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo). Distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n − x .

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Distribución geométrica Hay tres características principales de un experimento geométrico. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) = 0,0804 X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P ( x = 5). Ejercicio Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X ? Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P ( x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”). Ejercicio Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente? Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas? Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de acierto sigue siendo la misma cada vez que le pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante). a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí. b. ¿Qué valores toma X ? c. ¿Qué son p y q ? d. La pregunta de probabilidad es P (_______). a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí. b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes) c. p = 0,55; q = 0,45 d. P ( x = 4) Ejercicio Tiene que hallar una tienda que tenga una tinta especial para impresoras. Sabe que de las tiendas que tienen tinta para impresoras, el 10 % tiene la tinta especial. Llame al azar a cada tienda hasta que una tenga la tinta que necesita. ¿Qué son p y q ? Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica X ~ G ( p ) Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica” . El parámetro es p ; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo. Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso? Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto. X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02) Calcule P ( x = 7). P ( x = 7) = 0,0177. Hallar la probabilidad de que x = 7, Introduzca 2 nd , DISTR Desplácese hacia abajo y seleccione geometpdf( Pulse ENTER Introduzca 0,02, 7); pulse ENTER para ver el resultado: P ( x = 7) = 0,0177 Para hallar la probabilidad de que x ≤ 7, siga las mismas instrucciones EXCEPTO que seleccione E:geometcdf(como la función de distribución. La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177. El gráfico de X ~ G(0,02) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de componentes informáticos probados. El número de componentes que se espera probar hasta hallar el primero defectuoso es la media, μ = 50 . La fórmula de la media es μ = 1 p = 1 0,02 = 50 La fórmula de la varianza es σ 2 = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0,02 ) ( 1 0,02 – 1 ) = 2.450 La desviación típica es σ = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0, 02 ) ( 1 0, 02 – 1 ) = 49,5 Ejercicio La probabilidad de que haya una varilla de acero defectuosa es de 0,01. Las varillas de acero se seleccionan al azar. Halle la probabilidad de que el primer defecto se produzca en la novena varilla de acero. Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta hasta que una dice que tiene cáncer de páncreas. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) o X ~ G (0,0128). ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a diez personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . P ( x = 10) = geometpdf(0,0128, 10) = 0,0114 P ( x = 20) = geometpdf(0,0128, 20) = 0,01 Media = μ = 1 p = 1 0,0128 = 78 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,0128 0,0128 2 ≈ 77,6234 Ejercicio La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en Afganistán es del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres afganas a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Referencias “Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay tres características de un experimento geométrico: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo son iguales para cada ensayo. En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G ( p ) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo. La media de la distribución geométrica X ~ G ( p ) es μ = 1 p y la desviación típica es σ ( 1 – p ) p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Revisión de la fórmula X ~ G( p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p . X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto X toma los valores x = 1, 2, 3, ... p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media es μ = 1 p . La desviación típica es σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de estudiantes de primer año seleccionados del estudio hasta que uno respondió “sí” a que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 1,2,… Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6. x P ( x ) 1 2 3 4 5 6 En promedio ( μ ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”? 1,4 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año? TAREA PARA LA CASA Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil? Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios. Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios. Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón? Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas. Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas. X = el número de adultos en Estados Unidos encuestados hasta que uno dice que verá el supertazón. X ~ G (0,40) 2,5 0,0187 0,2304 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas? Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella? ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado? X = el número de páginas que anuncian calzado X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 X ~ B (20, 29 192 ) 3,02 No 0,9997 X = el número de páginas que debemos inspeccionar hasta hallar una que anuncie calzado. X ~ G ( 29 192 ) 0,3881 6,6207 páginas Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado. p = probabilidad de acierto (se produce el evento F ) q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce) Escriba la descripción de la variable aleatoria X . ¿Cuáles son los valores que puede asumir X ? Calcule los valores de p y q . Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo. Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2 y 3 El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”. ”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH. Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas? Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X . Según un reciente sondeo de Pew Research, el 75 % de los mileniales (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social. Describa la distribución de X . Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas? X ~ G (0,25) Media = μ = 1 p = 1 0,25 = 4 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0 0,25 0,25 2 ≈ 3,4641 P ( x = 10) = geometpdf(0,25, 10) = 0,0188 P ( x = 20) = geometpdf(0,25, 20) = 0,0011 P ( x ≤ 5) = geometcdf(0,25, 5) = 0,7627 Distribución geométrica una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. Notación: X ~ G ( p ). La media es μ = 1 p y la desviación típica es σ = 1 p ( 1 p – 1 ) . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P ( X = x ) = p (1 - p )x - 1 . Experimento geométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo no cambian de un ensayo a otro.

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Distribución hipergeométrica Hay cinco características de un experimento hipergeométrico. Se toman muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Se toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Por ejemplo, quiere elegir un equipo de softball entre un grupo combinado de 11 hombres y 13 mujeres. El equipo está formado por diez jugadores. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. En el ejemplo del sóftbol, la probabilidad de elegir primero a una mujer es 13 24 . La probabilidad de elegir a un hombre en segundo lugar es 11 23 si se eligió a una mujer primero. Es 10 23 si se eligió a un hombre primero. La probabilidad de la segunda elección depende de lo que haya ocurrido en la primera. No se trata de ensayos de Bernoulli. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica . La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. Un plato de caramelos contiene 100 gominolas y 80 chicles. Se eligen 50 caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 35 de los 50 sean chicles? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Como la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de seleccionar un chicle, el grupo de interés (primer grupo) es el de los chicles. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 80. El tamaño del segundo grupo es de 100. El tamaño de la muestra es de 50 (gominolas o chicles). Supongamos que X = el número de chicles en la muestra de 50. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 50. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente? P ( x = 35) Ejercicio Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra? Supongamos que se sabe que un envío de 100 reproductores de DVD tiene diez reproductores defectuosos. Un inspector elige al azar 12 para la inspección. Le interesa determinar la probabilidad de que, entre los 12 reproductores de DVD, a lo sumo dos estén defectuosos. Los dos grupos son los 90 reproductores de DVD no defectuosos y los 10 reproductores de DVD defectuosos. El grupo de interés (primer grupo) es el grupo defectuoso porque la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de que haya como máximo dos reproductores de DVD defectuosos. El tamaño de la muestra es de 12 reproductores de DVD. (Pueden estar o no defectuosos.). Supongamos que X = el número de reproductores de DVD defectuosos en la muestra de 12. X toma los valores 0, 1, 2, ..., 10. X no puede tomar los valores 11 o 12. El tamaño de la muestra es de 12, pero solo hay 10 reproductores de DVD defectuosos. Escriba el enunciado de la probabilidad matemáticamente. P ( x ≤ 2) Ejercicio Una caja de huevos contiene 144 huevos. Se sabe que una caja en particular tiene 12 huevos rotos. Un inspector elige al azar 15 para la inspección. Quiere saber la probabilidad de que, entre los 15, a lo sumo tres estén agrietados. ¿Qué es X y qué valores adquiere? Usted es el presidente de una organización de eventos especiales en el campus. Necesita un comité de siete estudiantes para planificar una fiesta de cumpleaños especial para el presidente del instituto universitario. Su organización está formada por 18 mujeres y 15 hombres. Le interesa el número de hombres en su comité. Si los miembros del comité se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su comité tenga más de cuatro hombres? Se trata de un problema hipergeométrico porque se está eligiendo el comité entre dos grupos (hombres y mujeres). a. ¿Está eligiendo con o sin reemplazo? b. ¿Cuál es el grupo de interés? c. ¿Cuántos hay en el grupo de interés? d. ¿Cuántos hay en el otro grupo? e. Supongamos que X = _________ en el comité. ¿Qué valores toma X ? f. La pregunta de probabilidad es P (_______). a. sin b. los hombres c. 15 hombres d. 18 mujeres e. Supongamos que X = el número de hombres del comité. x = 0, 1, 2, ..., 7 f. P ( x > 4) Ejercicio Una paleta tiene 200 cartones de leche. De los 200 cartones, se sabe que diez de ellos se filtraron y no se pueden vender. Un empleado de almacén elige al azar 18 para su inspección. Quiere saber la probabilidad de que entre los 18, no haya más de dos cartones con fugas. Dé cinco razones por las que este es un problema hipergeométrico. Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica X ~ H ( r , b , n ) Léala como " X es una variable aleatoria con una distribución hipergeométrica". Los parámetros son r , b y n ; r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, n = el tamaño de la muestra elegida. El comité escolar se elegirá al azar entre seis hombres y cinco mujeres. Si el comité está formado por cuatro miembros elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean hombres? ¿Cuántos hombres espera que haya en el comité? Supongamos que X = el número de hombres del comité de cuatro. Los hombres son el grupo de interés (primer grupo). X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, donde r = 6 , b = 5 y n = 4 . X ~ H (6, 5, 4) Calcule P ( x = 2). P ( x = 2) = 0,4545 (calculadora o computadora) NOTA Actualmente, la TI-83+ y la TI-84 no tienen funciones de probabilidad hipergeométrica. Hay varios paquetes informáticos, como Microsoft Excel, que lo hacen. La probabilidad de que haya dos hombres en el comité es de aproximadamente 0,45. El gráfico de X ~ H (6, 5, 4) es: El eje y contiene la probabilidad de X , donde X = el número de hombres en el comité. Es de esperar que haya m = 2,18 (unos dos) hombres en el comité. La fórmula de la media es μ = n r r + b = ( 4 ) ( 6 ) 6 + 5 = 2,18 Ejercicio Se elegirá un equipo de baloncesto intramuros al azar entre 15 chicos y 12 chicas. El equipo tiene diez plazas. Quiere saber la probabilidad de que ocho de los jugadores sean chicos. ¿Cuál es el grupo de interés y la muestra? Repaso del capítulo Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. No se trata de ensayos de Bernoulli. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. La distribución de X se denota como X ~ H ( r , b , n ), donde r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, y n = el tamaño de la muestra elegida. Se deduce que n ≤ r + b . La media de X es μ = n r r + b y la desviación típica es σ = r b n ( r + b – n ) ( r + b ) 2 ( r + b – 1) . Revisión de la fórmula X ~ H ( r , b , n ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo y n = el tamaño de la muestra elegida. X = el número de elementos del grupo de interés que están en la muestra elegida, y X puede tomar los valores x = 0, 1, ..., hasta el tamaño del grupo de interés. (El valor mínimo de X puede ser mayor que cero en algunos casos) n ≤ r + b La media de X viene dada por la fórmula μ = n r r + b y la desviación típica es = r b n ( r + b – n ) ( r + b ) 2 ( r + b – 1) . Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de especialidades en Negocios en la muestra. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Calcule la desviación típica. Por término medio( μ ), ¿cuántos esperaría que fueran estudiantes de negocios? 6,26 TAREA PARA LA CASA Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? Calcule la desviación típica. X = el número de páginas que anuncian calzado 0, 1, 2, 3, ..., 20 X ~ H (29, 163, 20); r = 29, b = 163, n = 20 3,03 1,5197 Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes? Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes. Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes. Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo? X = el número de Patriots elegidos 0, 1, 2, 3, 4 X ~ H (4, 8, 9) Sin reemplazo Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón? ¿Cuál es el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el otro grupo? Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X ? La pregunta de probabilidad es P (_______). Calcule la probabilidad en cuestión. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Experimento hipergeométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. No se trata de ensayos de Bernoulli. Probabilidad hipergeométrica una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por: Un número fijo de ensayos. La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro. Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos. Notación: X ~ H ( r , b , n ), donde r = el número de elementos en el grupo de interés, b = el número de elementos en el grupo que no es de interés, y n = el número de elementos elegidos.

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