Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, el decaimiento radiactivo y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploraremos la integración con funciones exponenciales y logarítmicas. Integrales de funciones exponenciales La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial y = e x , es su propia derivada y su propia integral. Regla: integrales de funciones exponenciales Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas. ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Hallar una antiderivada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e − x . Utilice la sustitución, estableciendo u = − x , y luego d u = −1 d x . Multiplique la ecuación du por -1, por lo que ahora tiene − d u = d x . Entonces, ∫ e – x d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x + C . Halle la antiderivada de la función mediante la sustitución: x 2 e −2 x 3 . ∫ x 2 e −2 x 3 d x = − 1 6 e −2 x 3 + C Pista Supongamos que u es igual al exponente de e . Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar el exponente en e de la misma manera que tratamos los exponentes en las expresiones polinómicas. No podemos utilizar la regla de la potencia para el exponente en e . Esto puede ser especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos verificar que estemos utilizando las reglas correctas en las funciones que estamos integrando. Raíz cuadrada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e x 1 + e x . Primero reescriba el problema utilizando un exponente racional: ∫ e x 1 + e x d x = ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x . Utilizando la sustitución, elija u = 1 + e x . Entonces, d u = e x d x . Tenemos ( ) ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x = ∫ u 1 / 2 d u . Entonces ∫ u 1 / 2 d u = u 3 / 2 3 / 2 + C = 2 3 u 3 / 2 + C = 2 3 ( 1 + e x ) 3 / 2 + C . El gráfico muestra una función exponencial por la raíz cuadrada de una función exponencial. Encuentre la antiderivada de e x ( 3 e x − 2 ) 2 . ∫ e x ( 3 e x − 2 ) 2 d x = 1 9 ( 3 e x − 2 ) 3 Pista Supongamos que u = 3 e x − 2 u = 3 e x − 2 . Uso de la sustitución con una función exponencial Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x . Aquí optamos por dejar que u sea igual a la expresión en el exponente sobre e . Supongamos que u = 2 x 3 y d u = 6 x 2 d x . . De nuevo, du se desvía por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de 3 x 2 , no de 6 x 2 . Multiplique ambos lados de la ecuación por 1 2 para que el integrando en u sea igual al integrando en x . Por lo tanto, ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x = 1 2 ∫ e u d u . Integre la expresión en u y luego sustituya la expresión original en x de nuevo en la integral de u : 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C = 1 2 e 2 x 3 + C . Evalúe la integral indefinida ∫ 2 x 3 e x 4 d x . ∫ 2 x 3 e x 4 d x = 1 2 e x 4 Pista Supongamos que u = x 4 . Como se mencionó al principio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número e se asocia a menudo con el crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en las secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación empresarial común. Una función precio-demanda nos indica la relación entre la cantidad de la demanda de un producto y el precio del mismo. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos indica la rapidez con la que cambia el precio a un nivel de producción determinado. Las empresas utilizan estas funciones para determinar la elasticidad del precio de la demanda y para determinar si el cambio en los niveles de producción sería rentable. Hallar una ecuación precio-demanda Halle la ecuación precio-demanda para una marca concreta de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de 50 tubos por semana a 2,35 dólares el tubo, dado que la función marginal precio-demanda, p ′ ( x ) , para un número x de tubos por semana, se da como p ' ( x ) = −0,015 e −0,01 x . Si la cadena de supermercados vende 100 tubos a la semana, ¿qué precio debe fijar? Para hallar la ecuación precio-demanda, se integra la función marginal precio-demanda. Primero halle la antiderivada y luego observe los detalles. Por lo tanto, p ( x ) = ∫ −0,015 e −0,01 x d x = −0,015 ∫ e −0,01 x d x . Utilizando la sustitución, supongamos que u = −0,01 x y d u = −0,01 d x . Luego, divida ambos lados de la ecuación du por -0,01. Esto da −0,015 −0,01 ∫ e u d u = 1,5 ∫ e u d u = 1,5 e u + C = 1,5 e −0,01 x + C . El siguiente paso es resolver C . Sabemos que cuando el precio es de 2,35 dólares por tubo, la demanda es de 50 tubos por semana. Esto significa que p ( 50 ) = 1,5 e −0,01 ( 50 ) + C = 2,35 . Ahora, solo hay que resolver para C : C = 2,35 − 1,5 e −0,5 = 2,35 − 0,91 = 1,44 . Por lo tanto, p ( x ) = 1,5 e −0,01 x + 1,44 . Si el supermercado vende 100 tubos de pasta de dientes a la semana, el precio sería p ( 100 ) = 1,5 e −0,01 ( 100 ) + 1,44 = 1,5 e −1 + 1,44 ≈ 1,99 . El supermercado debería cobrar 1,99 dólares por tubo si vende 100 tubos a la semana. Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial Evalúe la integral definida ∫ 1 2 e 1 − x d x . De nuevo, la sustitución es el método a utilizar. Supongamos que u = 1 − x , así que d u = −1 d x o − d u = d x . Entonces ∫ e 1 − x d x = − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración. Si utilizamos la ecuación u = 1 − x , tenemos u = 1 − ( 1 ) = 0 u = 1 − ( 2 ) = −1 . La integral se convierte entonces en ∫ 1 2 e 1 − x d x = − ∫ 0 −1 e u d u = ∫ −1 0 e u d u = e u | −1 0 = e 0 − ( e −1 ) = − e −1 + 1 Vea el . El área indicada se puede calcular evaluando una integral definida mediante una sustitución. Evalúe ∫ 0 2 e 2 x d x . 1 2 ∫ 0 4 e u d u = 1 2 ( e 4 − 1 ) Pista Supongamos que u = 2 x . Crecimiento de las bacterias en un cultivo Supongamos que la tasa de crecimiento de las bacterias en una placa de Petri viene dada por q ( t ) = 3 t , donde t está expresado en horas y q ( t ) en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con 10.000 bacterias, halle una función Q ( t ) que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier tiempo t . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 2 horas? Tenemos Q ( t ) = ∫ 3 t d t = 3 t ln 3 + C . Entonces, en t = 0 tenemos Q ( 0 ) = 10 = 1 ln 3 + C , por lo que C ≈ 9,090 y obtenemos Q ( t ) = 3 t ln 3 + 9,090 . En el tiempo t = 2 , tenemos Q ( 2 ) = 3 2 ln 3 + 9,090 = 17,282 . Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en la placa. A partir del , supongamos que las bacterias crecen a una tasa de q ( t ) = 2 t . Supongamos que el cultivo aún comienza con 10.000 bacterias. Halle Q ( t ) . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas? Q ( t ) = 2 t ln 2 + 8,557 . Hay 20.099 bacterias en la placa después de 3 horas. Pista Utilice el procedimiento del para resolver el problema. Crecimiento de la población de moscas de la fruta Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de g ( t ) = 2 e 0,02 t , de moscas al día. Si la población inicial de moscas de la fruta es de 100 individuos, ¿cuántas moscas hay en la población después de 10 días? Supongamos que G ( t ) representa el número de moscas en la población en el tiempo t . Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos G ( 10 ) = G ( 0 ) + ∫ 0 10 2 e 0,02 t d t = 100 + [ 2 0,02 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + [ 100 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + 100 e 0,2 − 100 ≈ 122 . Pasados 10 días hay 122 moscas en la población. Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por g ( t ) = e 0,01 t , y la población inicial es de 100 moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de 15 días? Hay 116. Pista Utilice el proceso del para resolver el problema. Evaluación de una integral definida mediante la sustitución Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x . Este problema requiere reescribirse para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescriba el exponente en e como una potencia de x , luego lleve la x 2 en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x = ∫ 1 2 e x −1 x −2 d x . Supongamos que u = x −1 , es el exponente en e . Entonces d u = − x −2 d x – d u = x −2 d x . Llevando el signo negativo fuera del signo de la integral, el problema ahora se lee − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración: u = ( 1 ) −1 = 1 u = ( 2 ) −1 = 1 2 . Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que debemos multiplicar por -1 e intercambiar los límites. Por lo tanto, − ∫ 1 1 / 2 e u d u = ∫ 1 / 2 1 e u d u = e u | 1 / 2 1 = e − e 1 / 2 = e − e . Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x . ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x = 1 8 [ e 4 − e ] Pista Supongamos que u = 4 x −2 . Integrales con funciones logarítmicas Integrar funciones de la forma f ( x ) = x −1 dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como f ( x ) = ln x y f ( x ) = log a x , también se incluyen en la regla. Regla: fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que implican funciones logarítmicas. ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C Encontrar una antiderivada que implique ln x Halle la antiderivada de la función 3 x − 10 . Primero factorice el 3 fuera del símbolo de la integral. Entonces utilice la regla u −1 . Por lo tanto, ∫ 3 x − 10 d x = 3 ∫ 1 x − 10 d x = 3 ∫ d u u = 3 ln | u | + C = 3 ln | x − 10 | + C , x ≠ 10 . Vea el . El dominio de esta función es x ≠ 10 . Encuentre la antiderivada de 1 x + 2 . ln | x + 2 | + C Pista Siga el patrón del para resolver el problema. Encontrar una antiderivada de una función racional Encuentre la antiderivada de 2 x 3 + 3 x x 4 + 3 x 2 . Esto se puede reescribir como ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x . Utilice la sustitución. Supongamos que u = x 4 + 3 x 2 , entonces d u = 4 x 3 + 6 x . Modifique du mediante la factorización del 2. Por lo tanto, d u = ( 4 x 3 + 6 x ) d x = 2 ( 2 x 3 + 3 x ) d x 1 2 d u = ( 2 x 3 + 3 x ) d x . Reescriba el integrando en u : ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x = 1 2 ∫ u −1 d u . Entonces tenemos 1 2 ∫ u −1 d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 4 + 3 x 2 | + C . Hallar una antiderivada de una función logarítmica Halle la antiderivada de la función logarítmica log 2 x . Siga el formato de la fórmula que aparece en la regla sobre fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. Con base en este formato, tenemos ∫ log 2 x d x = x ln 2 ( ln x – 1 ) + C . Encuentre la antiderivada de log 3 x . x ln 3 ( ln x – 1 ) + C Pista Siga el y consulte la regla sobre las fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. El es una integral definida de una función trigonométrica. Con las funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de avanzar. Hallar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración sin problemas. Evaluación de una integral definida Calcule la integral definida de ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x d x . Necesitamos la sustitución para evaluar este problema. Supongamos que u = 1 + cos x , , así que d u = − sen x d x . Reescriba la integral en términos de u , cambiando también los límites de integración. Por lo tanto, u = 1 + cos ( 0 ) = 2 u = 1 + cos ( π 2 ) = 1 . Entonces ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x = − ∫ 2 1 u −1 d u = ∫ 1 2 u −1 d u = ln | u | | 1 2 = [ ln 2 − ln 1 ] = ln 2. Conceptos clave Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente las que implican crecimiento y decaimiento. La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que implican funciones exponenciales o logaritmos. Ecuaciones clave Integrales de funciones exponenciales ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida. ∫ e 2 x d x ∫ e −3 x d x −1 3 e −3 x + C ∫ 2 x d x ∫ 3 − x d x − 3 − x ln 3 + C ∫ 1 2 x d x ∫ 2 x d x ln ( x 2 ) + C ∫ 1 x 2 d x ∫ 1 x d x 2 x + C En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ ln x x d x ∫ d x x ( ln x ) 2 − 1 ln x + C ∫ d x x ln x ( x > 1 ) grandes. ∫ d x x ln x ln ( ln x ) grandes. ln ( ln ( ln x ) ) + C ∫ tan θ d θ ∫ cos x – x sen x x cos x d x ln ( x cos x ) + C ∫ ln ( sen x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x − 1 2 ( ln ( cos ( x ) ) ) 2 + C ∫ x e – x 2 d x ∫ x 2 e – x 3 d x − e – x 3 3 + C ∫ e sen x cos x d x ∫ e tan x sec 2 x d x e tan x + C ∫ e ln x d x x ∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t t + C En los siguientes ejercicios, verifique por diferenciación que ∫ ln x d x = x ( ln x – 1 ) + C , entonces utilice los cambios de variables apropiados para calcular la integral. ∫ x ln x d x ( Pista : ∫ x ln x d x = 1 2 ∫ x ln ( x 2 ) d x ; x>0) ∫ x 2 ln( x 2 ) d x 2 9 x 3 ( ln ( x 3 ) − 1 ) + C ∫ ln x x 2 d x ( Pista : Establezca u = 1 x . ). grandes. ∫ ln x x d x ( Pista : Establezca u = x . ). grandes. 2 x ( ln x − 2 ) + C Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = 1 t a partir de t = 1 a e x y evalúe la integral. Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = e t entre t = 0 y t = ln x , y evalúe la integral. ∫ 0 ln x e t d t = e t | 0 ln x = e ln x − e 0 = x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos. ∫ tan ( 2 x ) d x ∫ sen ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x – 1 3 ln sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) +C ∫ x sen ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x ∫ x csc ( x 2 ) d x − 1 2 ln | csc ( x 2 ) + cot ( x 2 ) | + C ∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( csc x ) cot x d x − 1 2 ( ln ( csc x ) ) 2 + C ∫ e x − e – x e x + e – x d x En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida. ∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x 1 3 ln ( 26 7 ) grandes. ∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 3 sen x − cos x sen x + cos x d x ln ( 3 − 1 ) grandes. ∫ π / 6 π / 2 csc x d x ∫ π / 4 π / 3 cot x d x 1 2 ln 3 2 En los siguientes ejercicios, integre utilizando la sustitución indicada. ∫ x x − 100 d x ; u = x − 100 ∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1 y − 2 ln | y + 1 | + C ∫ 1 − x 2 3 x – x 3 d x ; u = 3 x – x 3 ∫ sen x + cos x sen x − cos x d x ; u = sen x − cos x ln | sen x − cos x | + C ∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x ∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x − 1 3 ( 1 − ( ln x ) 2 ) 3 / 2 + C En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del extremo derecho sobrestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R 50 y resuelva el área exacta. [T] y = e x en [ 0 , 1 ] [T] y = e – x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: e − 1 e , R 50 = 0,6258 . Como f es decreciente, la estimación del punto extremo derecho subestima el área. [T] y = ln ( x ) en [ 1 , 2 ] [T] y = x + 1 x 2 + 2 x + 6 en [ 0 , 1 ] Solución exacta: 2 ln ( 3 ) − ln ( 6 ) 2 , R 50 = 0,2033 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área. [T] y = 2 x en [ −1 , 0 ] [T] y = − 2 − x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: − 1 ln ( 4 ) , R 50 = −0,7164 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor). En los siguientes ejercicios, f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b . Halle el área bajo el gráfico de f ( x ) entre los valores dados a y b mediante la integración. f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 11 2 ln 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4 1 ln ( 65 , 536 ) Halle el área bajo el gráfico de la función f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = 5 . Calcule la integral de f ( x ) = x e – x 2 y calcule el menor valor de N tal que el área debajo del gráfico f ( x ) = x e – x 2 entre x = N y x = N + 1 es, como máximo, de 0,01. ∫ N N + 1 x e – x 2 d x = 1 2 ( e − N 2 − e − ( N + 1 ) 2 ) . La cantidad es inferior a 0,01 cuando N = 2 . Halle el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo el gráfico de f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = N . Demuestre que ∫ a b d t t = ∫ 1 / b 1 / a d t t cuando 0 < a ≤ b . ∫ a b d x x = ln ( b ) − ln ( a ) = ln ( 1 a ) − ln ( 1 b ) = ∫ 1 / b 1 / a d x x Supongamos que f ( x ) > 0 para toda x y que f y g son diferenciables. Utilice la identidad f g = e g ln f y la regla de la cadena para encontrar la derivada de f g . Utilice el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de h ( x ) = x x ( 1 + ln x ) y evalúe ∫ 2 3 x x ( 1 + ln x ) d x . 23 Demuestre que si c > 0 , entonces la integral de 1 / x de ac a bc ( 0 < a < b ) es la misma que la integral de 1 / x de a a b . Los siguientes ejercicios pretenden derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural partiendo de la definición ln ( x ) = ∫ 1 x d t t , utilizando las propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones. Utilice la identidad ln ( x ) = ∫ 1 x d t t para derivar la identidad ln ( 1 x ) = − ln x . Podemos suponer que x > 1 , por lo que 1 x < 1 . Entonces, ∫ 1 1 / x d t t . Ahora haga la sustitución u = 1 t , así que d u = − d t t 2 y d u u = − d t t , y cambie los puntos finales: ∫ 1 1 / x d t t = − ∫ 1 x d u u = − ln x . Utilice un cambio de variable en la integral ∫ 1 x y 1 t d t para demostrar que ln x y = ln x + ln y para x , y > 0 . Utilice la identidad ln x = ∫ 1 x d t t para demostrar que ln ( x ) es una función creciente de x en [ 0 , ∞ ) , y utilice los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de ln ( x ) es ( − ∞ , ∞ ) . Sin más suposiciones, concluya que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Las respuestas variarán. Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln ( x ) , pero tenga en cuenta que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Use la identidad ln x y = ln x + ln y para deducir que E ( a + b ) = E ( a ) E ( b ) para cualquier número real a , b . Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln x , pero tenga en cuenta que ln x tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Demuestre que E ' ( t ) = E ( t ) . x = E ( ln ( x ) ) . Entonces, 1 = E ' ( ln x ) x o x = E ' ( ln x ) . Dado que cualquier número t se puede escribir t = ln x para alguna x , y para tal t tenemos x = E ( t ) , luego se deduce que para cualquier t , E ' ( t ) = E ( t ) . La integral de seno, definida como S ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para grandes x . Demuestre que para k ≥ 1 , | S ( 2 π k ) − S ( 2 π ( k + 1 ) ) | ≤ 1 k ( 2 k + 1 ) π . ( Pista : sen ( t + π ) = − sen t ). [T] La distribución normal en probabilidad viene dada por p ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde σ es la desviación típica y μ es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, p s , corresponde a μ = 0 y σ = 1 . Calcule las estimaciones del punto extremo correcto R 10 y R 100 de ∫ –1 1 1 2 π e – x 2 / 2 d x . R 10 = 0,6811 , R 100 = 0,6827 [T] Calcule las estimaciones del punto extremo derecho R 50 y R 100 de ∫ −3 5 1 2 2 π e − ( x – 1 ) 2 / 8 .

Matemáticas


Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos que en Funciones y gráficos las funciones trigonométricas no son biunívocas, a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con las inversas de funciones trigonométricas, siempre hay que tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas , desarrollamos fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas que se desarrollaron allí generan directamente fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno. Regla: fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas Las siguientes fórmulas de integración generan funciones trigonométricas inversas. Supongamos que a > 0 : ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u | a | + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 | a | sec −1 | u | a + C (carbono 14). Prueba Supongamos que y = sen −1 x a . Entonces a sen y = x . Ahora utilicemos la diferenciación implícita. Obtenemos d d x ( a sen y ) = d d x ( x ) a cos y d y d x = 1 d y d x = 1 a cos y . Para − π 2 ≤ y ≤ π 2 , cos y ≥ 0 . Así, aplicando la identidad pitagórica sen 2 y + cos 2 y = 1 , tenemos cos y = 1 – sen 2 y . Esto da 1 a cos y = 1 a 1 − sen 2 y = 1 a 2 − a 2 sen 2 y = 1 a 2 − x 2 . Entonces para − a ≤ x ≤ a , y generalizando a u , tenemos ∫ 1 a 2 − u 2 d u = sen −1 ( u a ) + C . □ Evaluación de una integral definida mediante funciones trigonométricas inversas Evalúe la integral definida ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 . Podemos ir directamente a la fórmula de la antiderivada en la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, y luego evaluar la integral definida. Tenemos ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 = sen −1 x | 0 1 2 = sen −1 1 2 − sen −1 0 = π 6 − 0 = π 6 . Halle la antiderivada de ∫ d x 1 − 16 x 2 . 1 4 sen −1 ( 4 x ) + C Pista Sustituya u = 4 x Encontrar una antiderivada que implique una función trigonométrica inversa Evalúe la integral ∫ d x 4 − 9 x 2 . Sustituya u = 3 x . Entonces d u = 3 d x y tenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 . Aplicando la fórmula con a = 2 , obtenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 = 1 3 sen −1 ( u 2 ) + C = 1 3 sen −1 ( 3 x 2 ) + C . Halle la integral indefinida utilizando una función trigonométrica inversa y la sustitución de ∫ d x 9 − x 2 . sen −1 ( x 3 ) + C Pista Use la fórmula de la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 . El formato del problema coincide con la fórmula de seno inverso. Por lo tanto, ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 = sen −1 u | 0 3 / 2 = [ sen −1 ( 3 2 ) ] − [ sen −1 ( 0 ) ] = π 3 . Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa. Encontrar una antiderivada que implique la función tangente inversa Encontrar una antiderivada de ∫ 1 1 + 4 x 2 d x . Comparando este problema con las fórmulas indicadas en la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula de tan −1 u + C . Así que utilizamos la sustitución, suponiendo que u = 2 x , entonces d u = 2 d x y 1 / 2 d u = d x . Entonces, tenemos 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 x ) + C . Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ d x 25 + 4 x 2 . 1 10 tan –1 ( 2 x 5 ) + C Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Aplicación de las fórmulas de integración Encuentre la antiderivada de ∫ 1 9 + x 2 d x . Aplique la fórmula con a = 3 . Entonces, ∫ d x 9 + x 2 = 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C . Halle la antiderivada de ∫ d x 16 + x 2 . 1 4 tan –1 ( x 4 ) + C Pista Siga los pasos del . Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 . Utilice la fórmula de la tangente inversa. Tenemos ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 = tan −1 x | 3 / 3 3 = [ tan –1 ( 3 ) ] − [ tan –1 ( 3 3 ) ] = π 6 . Evalúe la integral definida ∫ 0 2 d x 4 + x 2 . π 8 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Conceptos clave Las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Utilice las fórmulas indicadas en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas para que coincidan con el formato correcto y haga las modificaciones necesarias para resolver el problema. A menudo es necesario hacer sustituciones para poner el integrando en la forma correcta. Ecuaciones clave Integrales que producen funciones trigonométricas inversas ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 ( u a ) + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan –1 ( u a ) + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 ( u a ) + C En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa. ∫ 0 3 / 2 d x 1 − x 2 sen −1 x | 0 3 / 2 = π 3 ∫ −1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 2 ∫ 3 1 d x 1 + x 2 tan −1 x | 3 1 = − π 12 ∫ 1 / 3 3 d x 1 + x 2 ∫ 2 3 2 d x | x | x 2 – 1 sec −1 x | 1 2 = π 4 ∫ 2 2 d x | x | x 2 – 1 En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida, utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ d x 9 − x 2 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ d x 1 − 16 x 2 ∫ d x 9 + x 2 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C ∫ d x 25 + 16 x 2 ∫ d x | x | x 2 − 9 1 3 sec −1 ( x 3 ) + C ∫ d x | x | 4 x 2 − 16 Explique la relación − cos −1 t + C = ∫ d t 1 − t 2 = sen −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que cos −1 t = − sen −1 t ? cos ( π 2 − θ ) = sen θ . Así que, sen −1 t = π 2 − cos −1 t . Se diferencian por una constante. Explique la relación sec −1 t + C = ∫ d t | t | t 2 – 1 = − csc −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que sec −1 t = − csc −1 t ? Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ 1 2 d t 1 − t 2 . 1 − t 2 no se define como un número real cuando t > 1 . Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ –1 1 d t | t | t 2 – 1 . En los siguientes ejercicios, resuelva la antiderivada ∫ f de f con C = 0 , luego use una calculadora para graficar f y la antiderivada en el intervalo dado [ a , b ] . Identifique un valor de C tal que sumando C a la antiderivada se recupere la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 9 − x 2 d x en [ −3 , 3 ] La antiderivada es sen −1 ( x 3 ) + C . Si tomamos C = π 2 recupera la integral definida. [T] ∫ 9 9 + x 2 d x en [ −6 , 6 ] [T] ∫ cos x 4 + sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada es 1 2 tan –1 ( sen x 2 ) + C . Si tomamos C = 1 2 tan –1 ( sen ( 6 ) 2 ) recupera la integral definida. [T] ∫ e x 1 + e 2 x d x en [ −6 , 6 ] En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ sen −1 t d t 1 − t 2 1 2 ( sen −1 t ) 2 + C ∫ d t sen −1 t 1 − t 2 ∫ tan –1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t 1 4 ( tan –1 ( 2 t ) ) 2 ∫ t tan –1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t ∫ sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 − 4 d t 1 4 ( sec −1 ( t 2 ) 2 ) + C ∫ t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 − 1 d t En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la antiderivada ∫ f con la C = 0 en el intervalo dado [ a , b ] . Aproxime un valor de C , si es posible, tal que sumando C a la antiderivada se obtenga el mismo valor que la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 x x 2 − 4 d x en [ 2 , 6 ] La antiderivada es 1 2 sec −1 ( x 2 ) + C . Si tomamos C = 0 se recupera la integral definida en [ 2 , 6 ] . [T] ∫ 1 ( 2 x + 2 ) x d x en [ 0 , 6 ] [T] ∫ ( sen x + x cos x ) 1 + x 2 sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada general es tan –1 ( x sen x ) + C . Si tomamos C = − tan –1 ( 6 sen ( 6 ) ) recupera la integral definida. [T] ∫ 2 e −2 x 1 − e −4 x d x en [ 0 , 2 ] [T] ∫ 1 x + x ln 2 x en [ 0 , 2 ] La antiderivada general es tan –1 ( ln x ) + C . Si tomamos C = π 2 = tan −1 ∞ recupera la integral definida. [T] ∫ sen −1 x 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] En los siguientes ejercicios, calcule cada integral utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ e t 1 − e 2 t d t sen −1 ( e t ) + C ∫ e t 1 + e 2 t d t ∫ d t t 1 − ln 2 t sen −1 ( ln t ) + C ∫ d t t ( 1 + ln 2 t ) grandes. ∫ cos −1 ( 2 t ) 1 − 4 t 2 d t − 1 4 ( cos −1 ( 2 t ) ) 2 + C ∫ e t cos −1 ( e t ) 1 − e 2 t d t En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida. ∫ 0 1 / 2 tan ( sen −1 t ) 1 − t 2 d t 1 2 ln ( 4 3 ) grandes. ∫ 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 − t 2 d t ∫ 0 1 / 2 sen ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t 1 − 2 5 ∫ 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t Para A > 0 , calcule I ( A ) = ∫ − A A d t 1 + t 2 y evalúe lím a → ∞ I ( A ) , el área bajo el gráfico de 1 1 + t 2 en [ − ∞ , ∞ ] . 2 tan –1 ( A ) → π cuando A → ∞ Para 1 < B < ∞ , calcule I ( B ) = ∫ 1 B d t t t 2 – 1 y evalúe lím B → ∞ I ( B ) , el área bajo el gráfico de 1 t t 2 – 1 en [ 1 , ∞ ) . Utilice la sustitución u = 2 cot x y la identidad 1 + cot 2 x = csc 2 x para evaluar ∫ d x 1 + cos 2 x . ( Pista: Multiplique la parte superior e inferior del integrando por csc 2 x . ). Usando la pista, el uno tiene ∫ csc 2 x csc 2 x + cot 2 x d x = ∫ csc 2 x 1 + 2 cot 2 x d x . Establezca u = 2 cot x . Entonces, d u = − 2 csc 2 x y la integral es − 1 2 ∫ d u 1 + u 2 = − 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 cot x ) + C . Si el uno utiliza la identidad tan −1 s + tan –1 ( 1 s ) = π 2 , entonces esto también se puede escribir 1 2 tan –1 ( tan x 2 ) + C . [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = 2 x 2 – 1 y g ( x ) = ( 1 + 4 x 2 ) −3 / 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. 47. [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = x 2 – 1 y g ( x ) = ( x 2 + 1 ) 1 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. x ≈ ± 1,7321 . La estimación del punto extremo izquierdo con N = 100 es 4,781 y estos decimales persisten en N = 500 . Utilice el siguiente gráfico para demostrar que ∫ 0 x 1 − t 2 d t = 1 2 x 1 − x 2 + 1 2 sen −1 x . Ejercicios de repaso del capítulo Verdadero o falso. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que todas las funciones f y g son continuas en sus dominios. Si los valores de f ( x ) > 0 , f ′ ( x ) > 0 para todo x , entonces la regla de la derecha subestima la integral ∫ a b f ( x ) . Utilice un gráfico para justificar su respuesta. Falso ∫ a b f ( x ) 2 d x = ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x Si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [ a , b ] , entonces ∫ a b f ( x ) ≤ ∫ a b g ( x ) . Verdadero Toda función continua tiene una antiderivada. Evalúe las sumas de Riemann L 4 y R 4 en las siguientes funciones en el intervalo especificado. Compare su respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o utilice una calculadora para definir la respuesta. y = 3 x 2 − 2 x + 1 en [ −1 , 1 ] L 4 = 5,25 , R 4 = 3,25 , respuesta exacta: 4 y = ln ( x 2 + 1 ) en [ 0 , e ] y = x 2 sen x en [ 0 , π ] L 4 = 5,364 , R 4 = 5,364 , respuesta exacta: 5,870 y = x + 1 x en [ 1 , 4 ] Evalúe las siguientes integrales. ∫ –1 1 ( x 3 − 2 x 2 + 4 x ) d x − 4 3 ∫ 0 4 3 t 1 + 6 t 2 d t ∫ π / 3 π / 2 2 sec ( 2 θ ) tan ( 2 θ ) d θ 1 ∫ 0 π / 4 e cos 2 x sen x cos x d x Calcule la antiderivada. ∫ d x ( x + 4 ) 3 − 1 2 ( x + 4 ) 2 + C ∫ x ln ( x 2 ) d x ∫ 4 x 2 1 − x 6 d x 4 3 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ e 2 x 1 + e 4 x d x Halle la derivada. d d t ∫ 0 t sen x 1 + x 2 d x sen t 1 + t 2 d d x ∫ 1 x 3 4 − t 2 d t d d x ∫ 1 ln ( x ) ( 4 t + e t ) d t 4 ln x x + 1 d d x ∫ 0 cos x e t 2 d t Los siguientes problemas consideran el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora Año Variación en 5 años ($) 1980 0 1985 −5.468.750 1990 − 755.495 1995 –73.005 2000 –29.768 2005 –918 2010 –177 Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es de 12 dólares, halle el costo medio por gigabyte de RAM en 1980. $6.328.113 El costo promedio por gigabyte de RAM puede aproximarse mediante la función C ( t ) = 8 , 500 , 000 ( 0,65 ) t , donde t se mide en años desde 1980 y C es el costo en dólares. Halle el costo promedio por gigabyte de memoria RAM entre 1980 y 2010. Halle el costo promedio de 1GB de RAM entre 2005 y 2010. $73,36 La velocidad de la bala de un rifle puede aproximarse por v ( t ) = 6.400 t 2 − 6.505 t + 2.686 , donde t es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad durante el primer medio segundo después del disparo 0 ≤ t ≤ 0,5 . ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en 0,5 segundos? ¿Cuál es la velocidad media de la bala durante el primer medio segundo? 19117 12 ft/s , o 1593 ft/s

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Introducción La presa Hoover es uno de los lugares emblemáticos de Estados Unidos, y proporciona riego y energía hidroeléctrica a millones de personas en el suroeste del país (créditos: modificación de la obra de Lynn Betts, Wikimedia). La presa Hoover es una maravilla de la ingeniería. Cuando el lago Mead, el embalse que hay detrás de la presa, está lleno, la presa soporta una gran fuerza. Sin embargo, los niveles de agua del lago varían considerablemente como consecuencia de las sequías y de las distintas demandas de agua. Más adelante en este capítulo utilizaremos las integrales definidas para calcular la fuerza que soporta la presa cuando el embalse está lleno, y examinaremos cómo los cambios en el nivel del agua afectan a esa fuerza (vea el ). La fuerza hidrostática es solo una de las muchas aplicaciones de las integrales definidas que exploramos en este capítulo. Desde las aplicaciones geométricas como área superficial y volumen, aplicaciones físicas como masa y trabajo, hasta los modelos de crecimiento y decaimiento, las integrales definidas son una herramienta poderosa para ayudarnos a comprender y modelar el mundo que nos rodea.

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Áreas entre curvas En Introducción a la integración , desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliaremos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezaremos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x , empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, se estudian los casos en los que los gráficos de las funciones se intersecan. Por último, consideraremos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de y . Área de una región entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] de manera que f ( x ) ≥ g ( x ) sobre [ a , b ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. El área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , en el intervalo [ a , b ] . Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximaremos el área entre los gráficos de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] , y en cada intervalo [ x i − 1 , x i ] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g ( x i * ) al f ( x i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando x i * se selecciona para ser el punto extremo izquierdo del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. Utilice esta calculadora para saber más sobre las áreas entre dos curvas. (a)Podemos aproximar el área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra. La altura de cada rectángulo individual es f ( x i * ) − g ( x i * ) y la anchura de cada rectángulo es Δ x . Al sumar las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por A ≈ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ y obtenemos A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 1 Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x + 4 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − x 2 en el intervalo [ 1 , 4 ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Se muestra una región entre dos curvas en la que una de ellas es siempre mayor que la otra. Tenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ 1 4 [ ( x + 4 ) − ( 3 − x 2 ) ] d x = ∫ 1 4 [ 3 x 2 + 1 ] d x = [ 3 x 2 4 + x ] | 1 4 = ( 16 − 7 4 ) = 57 4 . El área de la región es 57 4 al cuadrado 2 . Si los valores de R es la región delimitada por los gráficos de las funciones f ( x ) = x 2 + 5 y g ( x ) = x + 1 2 en el intervalo [ 1 , 5 ] , calcule el área de la región R . 12 unidades 2 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico de la función forma el límite superior y cuál el límite inferior, luego siga el proceso utilizado en el . En el , definimos el intervalo de interés como parte del planteamiento del problema. Sin embargo, frecuentemente queremos definir nuestro intervalo de interés con base en el punto de intersección de los gráficos de las dos funciones. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 2 Si los valores de R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 9 − ( x / 2 ) 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 6 − x , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Este gráfico muestra la región por debajo del gráfico de f ( x ) y por encima del gráfico de g ( x ) . Primero tenemos que calcular dónde se intersecan los gráficos de las funciones. Si establecemos que f ( x ) = g ( x ) , obtenemos f ( x ) = g ( x ) 9 − ( x 2 ) 2 = 6 − x 9 − x 2 4 = 6 − x 36 − x 2 = 24 − 4 x x 2 − 4 x − 12 = 0 ( x − 6 ) ( x + 2 ) = 0, Los gráficos de las funciones se intersecan cuando x = 6 o x = –2 , por lo que queremos integrar desde −2 al 6 . Dado que f ( x ) ≥ g ( x ) por −2 ≤ x ≤ 6 , obtenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 9 − ( x 2 ) 2 − ( 6 − x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 3 − x 2 4 + x ] d x = [ 3 x – x 3 12 + x 2 2 ] | −2 6 = 64 3 . El área de la región es 64 / 3 unidades 2 . Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x 4 , calcule el área de la región R . 3 10 unidad 2 Pista Utilice el proceso del . Áreas de las regiones compuestas Hasta ahora, hemos requerido f ( x ) ≥ g ( x ) a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto. Hallar el área de una región entre curvas que se cruzan Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denota la región entre los gráficos de f ( x ) y g ( x ) , y está limitado a la izquierda y a la derecha por las rectas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x . En la práctica, la aplicación de este teorema nos obliga a descomponer el intervalo [ a , b ] y evaluar varias integrales, dependiendo de cuál de los valores de la función es mayor en una parte determinada del intervalo. Estudiaremos este proceso en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región limitada por funciones que se cruzan Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ 0 , π ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. La región entre dos curvas puede dividirse en dos subregiones. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = π / 4 . Para x ∈ [ 0 , π / 4 ] , cos x ≥ sen x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = cos x − sen x . Por otro lado, para x ∈ [ π / 4 , π ] , sen x ≥ cos x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = sen x − cos x . Entonces A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x = ∫ 0 π | sen x − cos x | d x = ∫ 0 π / 4 ( cos x − sen x ) d x + ∫ π / 4 π ( sen x − cos x ) d x = [ sen x + cos x ] | 0 π / 4 + [ − cos x − sen x ] | π / 4 π = ( 2 – 1 ) + ( 1 + 2 ) = 2 2 . El área de la región es 2 2 unidades 2 . Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ π / 2 , 2 π ] , calcule el área de la región R . 2 + 2 2 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = ( 5 π ) / 4 . Hallar el área de una región compleja Consideremos la región representada en la . Calcule el área de R . Se necesitan dos integrales para calcular el área de esta región. Al igual que con el , tenemos que dividir el intervalo en dos partes. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = 1 (establezca f ( x ) = g ( x ) y resolver para x ), así que evaluamos dos integrales separadas: una en el intervalo [ 0 , 1 ] y uno en el intervalo [ 1 , 2 ] . En el intervalo [ 0 , 1 ] , la región está limitada arriba por f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x , por lo que tenemos A 1 = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 . En el intervalo [ 1 , 2 ] , la región está limitada arriba por g ( x ) = 2 − x y abajo por el eje x −eje, por lo que tenemos A 2 = ∫ 1 2 ( 2 − x ) d x = [ 2 x – x 2 2 ] | 1 2 = 1 2 . Sumando estas áreas, obtenemos A = A 1 + A 2 = 1 3 + 1 2 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Considere la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R . 5 3 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = 1 . Regiones definidas con respecto a y En el , tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de y , en vez de como funciones de x ? Revise la . Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función y = f ( x ) = x 2 . Podríamos resolver esto con la misma facilidad para x y representar la curva mediante la función x = v ( y ) = y . (Observe que x = − y es también una representación válida de la función y = f ( x ) = x 2 en función de y . (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función y = g ( x ) = 2 − x , , pero también podría representarse con la función x = u ( y ) = 2 − y . Cuando los gráficos se representan como funciones de y , vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a y , necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración. Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas sobre un intervalo [ c , d ] de manera que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. Podemos encontrar el área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) . Esta vez, vamos a dividir el intervalo en el eje y y utilizar rectángulos horizontales para aproximar el área entre las funciones. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que Q = { y i } es una partición regular de [ c , d ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto y i * ∈ [ y i − 1 , y i ] , entonces en cada intervalo [ y i − 1 , y i ] construya un rectángulo que se extienda horizontalmente desde v ( y i * ) al u ( y i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando y i * se selecciona para ser el punto extremo inferior del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. (a) Aproximación del área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico. La altura de cada rectángulo individual es Δ y y la anchura de cada rectángulo es u ( y i * ) − v ( y i * ) . Por lo tanto, el área entre las curvas es aproximadamente A ≈ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ , obteniendo A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas tales que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Supongamos que R denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , y arriba y abajo por las rectas y = d y y = c , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Integrar con respecto a y Volvamos a visitar el , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la . Calcule el área de R integrando con respecto a y . La zona de la región R puede calcularse mediante una integral solo cuando las curvas se tratan como funciones de y . Primero debemos expresar los gráficos como funciones de y . Como vimos al principio de esta sección, la curva de la izquierda puede representarse por la función x = v ( y ) = y , y la curva de la derecha puede representarse por la función x = u ( y ) = 2 − y . Ahora tenemos que determinar los límites de integración. La región está limitada abajo por el eje x , por lo que el límite inferior de integración es y = 0 . El límite superior de la integración está determinado por el punto de intersección de los dos gráficos, que es el punto ( 1 , 1 ) , por lo que el límite superior de integración es y = 1 . Por lo tanto, tenemos [ c , d ] = [ 0 , 1 ] . Calculando el área de la región, obtenemos A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y = ∫ 0 1 [ ( 2 − y ) − y ] d y = [ 2 y – y 2 2 − 2 3 y 3 / 2 ] | 0 1 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Volvamos a revisar el punto de control asociado al , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R integrando con respecto a y . 5 3 unidades 2 Pista Siga el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Al igual que las integrales definidas pueden utilizarse para encontrar el área bajo una curva, también pueden utilizarse para encontrar el área entre dos curvas. Para encontrar el área entre dos curvas definidas por funciones, integre la diferencia de las funciones. Si los gráficos de las funciones se intersecan, o si la región es compleja, utilice el valor absoluto de la diferencia de las funciones. En este caso, puede ser necesario evaluar dos o más integrales y sumar los resultados para encontrar el área de la región. A veces puede ser más fácil integrar con respecto a y para encontrar el área. Los principios son los mismos independientemente de la variable que se utilice como variable de integración. Ecuaciones clave Área entre dos curvas, integrando en el eje x A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x Área entre dos curvas, integrando en el eje y A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas de la figura dada integrando sobre el eje x . y = x 2 − 3 y y = 1 32 3 y = x 2 y y = 3 x + 4 En los siguientes ejercicios, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, y luego determine el área integrando sobre el eje x . Tenga en cuenta que tendrá que resolver dos integrales. y = x 3 y y = x 2 + x 13 12 y = cos θ y y = 0,5 , para 0 ≤ θ ≤ π En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas integrando sobre el eje y . x = y 2 y x = 9 36 y = x y x = y 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x . y = x 2 y y = − x 2 + 18 x 243 unidades cuadradas y = 1 x , y = 1 x 2 , y x = 3 y = cos x como y = cos 2 x sobre x = [ − π , π ] 4 y = e x , y = e 2 x – 1 , y x = 0 y = e x , y = e – x , x = −1 y x = 1 2 ( e − 1 ) 2 e y = e , y = e x , y y = e – x y = | x | y y = x 2 1 3 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar toda su superficie. y = sen ( π x ) , y = 2 x , y x > 0 y = 12 − x , y = x , y y = 1 34 3 y = sen x como y = cos x en x = [ − π , π ] y = x 3 y y = x 2 − 2 x en x = [ −1 , 1 ] 5 2 y = x 2 + 9 y y = 10 + 2 x en x = [ −1 , 3 ] y = x 3 + 3 x como y = 4 x 1 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el y . x = y 3 y x = 3 y − 2 x = 2 y y x = y 3 − y 9 2 x = −3 + y 2 y x = y – y 2 y 2 = x y x = y + 2 9 2 x = | y | y 2 x = − y 2 + 2 x = sen y , x = cos ( 2 y ) , y = π / 2 , y y = − π / 2 3 3 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x o el eje y , lo que le parezca más conveniente. x = y 4 y x = y 5 y = x e x , y = e x , x = 0 , y x = 1 e −2 y = x 6 y y = x 4 x = y 3 + 2 y 2 + 1 y x = − y 2 + 1 27 4 y = | x | y y = x 2 – 1 y = 4 − 3 x y y = 1 x 4 3 − ln ( 3 ) grandes. y = sen x , x = − π / 6 , x = π / 6 , y y = cos 3 x y = x 2 − 3 x + 2 y y = x 3 − 2 x 2 − x + 2 1 2 y = 2 cos 3 ( 3 x ) , y = −1 , x = π 4 , y x = − π 4 y + y 3 = x y 2 y = x 1 2 y = 1 − x 2 y y = x 2 – 1 y = cos −1 x , y = sen −1 x , x = −1 , y x = 1 −2 ( 2 − π ) En los siguientes ejercicios, halle el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determinar el área aproximada de la región. [T] x = e y y y = x − 2 [T] y = x 2 y y = 1 − x 2 1,067 [T] y = 3 x 2 + 8 x + 9 y 3 y = x + 24 [T] x = 4 − y 2 y y 2 = 1 + x 2 0,852 [T] x 2 = y 3 y x = 3 y [T] y = sen 3 x + 2 , y = tan x , x = −1,5 , y x = 1,5 7,523 [T] y = 1 − x 2 y y 2 = x 2 [T] y = 1 − x 2 y y = x 2 + 2 x + 1 3 π − 4 12 [T] x = 4 − y 2 y x = 1 + 3 y + y 2 [T] y = cos x , y = e x , x = − π , y x = 0 1,429 El mayor triángulo con base en el eje x que encaja dentro de la mitad superior del círculo de la unidad y 2 + x 2 = 1 viene dada por y = 1 + x como y = 1 − x . Vea la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo? Una fábrica que vende teléfonos celulares tiene una función de costo marginal C ( x ) = 0,01 x 2 − 3 x + 229 , donde x representa el número de teléfonos celulares, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 429 − 2 x . Halle el área entre los gráficos de estas curvas y x = 0 . ¿Qué representa esta zona? $ 33.333,33 de beneficio total en 200 teléfonos celulares vendidos Un parque de atracciones tiene una función de costo marginal C ( x ) = 1.000 e – x + 5 , donde x representa el número de entradas vendidas, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 60 − 0,1 x . Halle el beneficio total que se produce al vender 550 entradas. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = 1 − cos ( ( π t ) / 2 ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = ( 1 / 2 ) tan –1 ( t / 4 ) , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Halle el área entre las curvas del tiempo t = 0 la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Qué representa? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. 3,263 mi representa qué tan lejos está la liebre de la tortuga. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = ( 1 / 2 ) − ( 1 / 2 ) cos ( 2 π t ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = t , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en 1 hora, ¿quién ganó la carrera y por qué diferencia? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. En los siguientes ejercicios, halle el área entre las curvas integrando con respecto a x y luego con respecto a y . ¿Es un método más fácil que el otro? ¿Obtiene la misma respuesta? y = x 2 + 2 x + 1 y y = − x 2 − 3 x + 4 343 24 y = x 4 y x = y 5 x = y 2 − 2 y x = 2 y 4 3 En los siguientes ejercicios, resuelva utilizando el cálculo y luego compruebe su respuesta con la geometría. Determine las ecuaciones de los lados del cuadrado que toca la circunferencia unitaria por sus cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Halle el área entre el perímetro de este cuadrado y el círculo unitario. ¿Hay alguna otra forma de resolver esto sin usar el cálculo? Halla el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de y = 2 x + 1 , y = 1 − 2 x como y = − 3 5 , como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna manera de resolver esto sin usar el cálculo? π − 32 25

Matemáticas


Determinar los volúmenes mediante el corte En la sección anterior, utilizamos las integrales definidas para hallar el área entre dos curvas. En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para hallar los volúmenes de los sólidos tridimensionales. Consideraremos tres enfoques —rebanadas, discos y arandelas— para hallar estos volúmenes en función de las características del sólido. El volumen y el método de las rebanadas Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura V = l w h . Las fórmulas del volumen de una esfera ( V = 4 3 π r 3 ) , un cono ( V = 1 3 π r 2 h ) , y una pirámide ( V = 1 3 A h ) también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración. También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una barra de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para hablar de los cilindros en ese contexto más general, antes tenemos que definir algunos términos. Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. Se define un cilindro como cualquier sólido que se genera trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la es un ejemplo de cilindro con base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro basta con multiplicar el área de la sección transversal por la altura del cilindro: V = A . h . En el caso de un cilindro circular recto (como una lata de sopa), esto se convierte en V = π r 2 h . Cada sección transversal de un cilindro concreto es idéntica a las demás. Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), puede que no tengamos una fórmula para su volumen. En ese caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen de ese sólido. Para ello, rebanamos el sólido, estimamos el volumen de cada rebanada y luego sumamos esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben ser todas paralelas entre sí, y cuando las juntamos todas, deberíamos obtener el sólido completo. Consideremos, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la , que se extiende a lo largo del eje x . Sólido con una sección transversal variable. Queremos dividir S en rodajas perpendiculares al eje x . Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber ocasiones en las que queramos cortar el sólido en alguna otra dirección, por ejemplo, en cortes perpendiculares al eje y . La elección de cómo cortar el sólido es muy importante. Si nos equivocamos, los cálculos pueden ser bastante complicados. Más adelante en este capítulo, examinaremos algunas de estas situaciones en detalle y veremos cómo elegir la dirección para cortar el sólido. Sin embargo, a efectos de esta sección, utilizamos cortes perpendiculares al eje x . Ya que el área de la sección transversal no es constante, suponemos que A ( x ) representa el área de la sección transversal en el punto x . Ahora supongamos que P = { x 0 , x 1 … , X n } es una partición regular de [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que S i representan la porción de S que se extiende desde x i − 1 para x i . La siguiente figura muestra el sólido cortado con n n = 3 . El sólido S se dividió en tres cortes perpendiculares al eje x . Por último, para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que x i * es un punto arbitrario en [ x i − 1 , x i ] . Entonces el volumen de la rebanada S i se puede estimar mediante V ( S i ) ≈ A ( x i * ) Δ x . Sumando estas aproximaciones, vemos que el volumen de todo el sólido S puede aproximarse por V ( S ) ≈ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x . A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como n → ∞ . Entonces tenemos V ( S ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x = ∫ a b A ( x ) d x . La técnica que acabamos de describir se llama método de las rebanadas . Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia. Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del mismo. A menudo es útil hacer un dibujo si no lo tiene. Determine una fórmula para el área de la sección transversal. Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen. Recordemos que en esta sección suponemos que los cortes son perpendiculares al eje x . Por lo tanto, la fórmula del área está en términos de x y los límites de integración se encuentran en el eje x . Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas mostrada aquí es válida independientemente de cómo decidamos cortar el sólido. Derivación de la fórmula del volumen de una pirámide Sabemos por la geometría que la fórmula del volumen de una pirámide es V = 1 3 A h . Si la pirámide tiene una base cuadrada, esto se convierte en V = 1 3 a 2 h , donde a indica la longitud de un lado de la base. Utilicemos el método de las rebanadas para derivar esta fórmula. Queremos aplicar ese método a una pirámide de base cuadrada. Para establecer la integral, considere la pirámide mostrada en la , orientada a lo largo del eje x . (a) Una pirámide de base cuadrada está orientada a lo largo del eje x . (b) Hay una vista bidimensional de la pirámide desde un lado. Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadradas (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados de la sección transversal. Al observar la (b), y usando una proporción, ya que son triángulos similares, tenemos s a = x h o s = a x h . Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados del corte transversal es A ( x ) = s 2 = ( a x h ) 2 ( paso 2 ) . Entonces encontramos el volumen de la pirámide integrando desde 0 para h (paso 3 ) : V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h ( a x h ) 2 d x = a 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x = [ a 2 h 2 ( 1 3 x 3 ) ] | 0 h = 1 3 a 2 h . Esta es la fórmula que buscábamos. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula V = 1 3 π r 2 h para el volumen de un cono circular. Pista Utilice triángulos similares, como en la . Sólidos de revolución Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución , como se muestra en la siguiente figura. (a) Esta es la región que gira alrededor del eje x . (b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, forma un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución. Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, como las piezas de máquinas producidas por un torno. Dedicaremos el resto de esta sección a estudiar este tipo de sólidos. El siguiente ejemplo utiliza el método de las rebanadas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Utilice una calculadora de integrales en línea para saber más. Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficos de f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 , x = 1 , y x = 4 , y con rotación alrededor del eje x . Utilizando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática sobre el intervalo [ 1 , 4 ] como se muestra en la siguiente figura. Una región utilizada para producir un sólido de revolución. A continuación, gire la región alrededor del eje x , como se muestra en la siguiente figura. Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región en la alrededor del x . Como el sólido se formó al girar la región alrededor del eje x −eje, las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por f ( x ) . Utilice la fórmula del área del círculo: A ( x ) = π r 2 = π [ f ( x ) ] 2 = π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 (paso 2) . El volumen, entonces, es (paso 3) V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 d x = π ∫ 1 4 ( x 4 − 8 x 3 + 26 x 2 − 40 x + 25 ) d x = π ( x 5 5 − 2 x 4 + 26 x 3 3 − 20 x 2 + 25 x ) | 1 4 = 78 5 π . El volumen es 78 π / 5 . Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región comprendida entre el gráfico de la función f ( x ) = 1 / x y el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] alrededor del eje x . Vea la siguiente figura. π 2 Pista Utilice la estrategia de resolución de problemas presentada anteriormente y siga el para ayudarse con el paso 2. El método del disco Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función f ( x ) = ( x – 1 ) 2 + 1 y la intersección en x en el intervalo [ −1 , 3 ] alrededor del eje x . El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del x . (c) La región bajo la curva gira en torno del x , dando como resultado (d) el sólido de revolución. Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen al desarrollar el método de las rebanadas. Sabemos que V = ∫ a b A ( x ) d x . La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla. Regla: el método del disco Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x −eje, a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x . El volumen del sólido que hemos estudiado ( ) viene dado por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ –1 3 π [ ( x – 1 ) 2 + 1 ] 2 d x = π ∫ –1 3 [ ( x – 1 ) 4 + 2 ( x – 1 ) 2 + 1 ] d x = π [ 1 5 ( x – 1 ) 5 + 2 3 ( x – 1 ) 3 + x ] | −1 3 = π [ ( 32 5 + 16 3 + 3 ) − ( − 32 5 − 16 3 − 1 ) ] = 412 π 15 al cuadrado 3 . Veamos algunos ejemplos. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1 Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = x y el eje x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de la función y del sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La función f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Tenemos V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 4 π [ x ] 2 d x = π ∫ 1 4 x d x = π 2 x 2 | 1 4 = 15 π 2 . El volumen es ( 15 π ) / 2 unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor del eje x . 8 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Hasta ahora, todos nuestros ejemplos se referían a regiones que giraban en torno al eje x −eje, pero podemos generar un sólido de revolución haciendo girar una región plana alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución que se ha generado girando una región alrededor del eje y . La mecánica del método de los discos es casi la misma que cuando el eje x es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de y y también integramos con respecto a y . Esto se resume en la siguiente regla. Regla: método de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y −eje, abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y . El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 2 Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de g ( y ) = 4 − y y la intersección en y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . Utilice el método de los discos para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor del eje y . La muestra la función y un disco representativo que puede utilizarse para estimar el volumen. Observe que como estamos girando la función alrededor del eje y −eje, los discos son horizontales en vez de verticales. (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función g ( y ) = 4 − y y la intersección en y . (b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del eje y . La región que debe girar y el sólido completo de revolución se representan en la siguiente figura. (a) La región a la izquierda de la función g ( y ) = 4 − y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del eje y . Para encontrar el volumen, integramos con respecto a y . Obtenemos V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y = ∫ 0 4 π [ 4 − y ] 2 d y = π ∫ 0 4 ( 4 − y ) d y = π [ 4 y – y 2 2 ] | 0 4 = 8 π . El volumen es 8 π unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de g ( y ) = y y la intersección en y en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje y . 21 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de arandelas Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje x o y . Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, consideremos la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 en el intervalo [ 1 , 4 ] . Cuando esta región gira en torno al eje x −eje, el resultado es un sólido con una cavidad en el centro, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje x . (c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido de revolución resultante. El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso, A ( x ) = π ( x ) 2 − π ( 1 ) 2 = π ( x – 1 ) . Entonces el volumen del sólido es V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x – 1 ) d x = π [ x 2 2 − x ] | 1 4 = 9 2 π al cuadrado 3 . Generalizando este proceso se obtiene el método de las arandelas . Regla: el método de las arandelas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas y no negativas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x . Utilizar el método de las arandelas Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor del eje x se genera un sólido de revolución con una cavidad en el centro. Tenemos V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x = π ∫ 1 4 [ x 2 − ( 1 x ) 2 ] d x = π [ x 3 3 + 1 x ] | 1 4 = 81 π 4 al cuadrado 3 . Halle el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada por los gráficos de f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] alrededor del eje x . 10 π 3 unidades 3 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico forma el límite superior y qué gráfico forma el límite inferior, y luego utilice el procedimiento del . Al igual que con el método de los discos, también podemos aplicar el método de las arandelas a los sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del eje y . En este caso, se aplica la siguiente regla. Regla: el método de las arandelas para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas y no negativas tales que v ( y ) ≤ u ( y ) por y ∈ [ c , d ] . Supongamos que Q denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ ( u ( y ) ) 2 − ( v ( y ) ) 2 ] d y . En vez de ver un ejemplo del método de las arandelas con el eje y como eje de revolución, consideramos ahora un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar cómo describir el área de la sección transversal del volumen. El método de las arandelas con un eje de revolución diferente Halle el volumen del sólido de revolución fque se forma al girar la región delimitada arriba por f ( x ) = 4 − x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor de la línea y = –2 . El gráfico de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor de la línea y = −2 se obtiene un sólido de revolución con un agujero cilíndrico en su centro. No podemos aplicar la fórmula del volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, aún sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Si observamos el gráfico de la función, vemos que el radio del círculo exterior viene dado por f ( x ) + 2 , que se simplifica a f ( x ) + 2 = ( 4 − x ) + 2 = 6 − x . El radio del círculo interior es g ( x ) = 2 . Por lo tanto, tenemos V = ∫ 0 4 π [ ( 6 − x ) 2 − ( 2 ) 2 ] d x = π ∫ 0 4 ( x 2 − 12 x + 32 ) d x = π [ x 3 3 − 6 x 2 + 32 x ] | 0 4 = 160 π 3 al cuadrado 3 . Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x + 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 3 ] alrededor de la línea y = −1 . 60 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Conceptos clave Las integrales definidas pueden utilizarse para hallar los volúmenes de los sólidos. Utilizando el método de las rebanadas, podemos encontrar un volumen integrando el área de la sección transversal. En los sólidos de revolución, los cortes de volumen suelen ser discos y las secciones transversales son círculos. El método de los discos consiste en aplicar el método de las rebanadas en el caso particular de que las secciones transversales sean círculos, y en utilizar la fórmula del área de un círculo. Si un sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, los cortes de volumen son arandelas. Con el método de las arandelas, el área del círculo interior se resta del área del círculo exterior antes de integrarlo. Ecuaciones clave Método de los discos a lo largo del eje x V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x Método de los discos a lo largo del eje y V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y Método de las arandelas V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x Deduzca la fórmula del volumen de una esfera utilizando el método de las rebanadas. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un cono. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un tetraedro de lado a . Utilice el método de los discos para obtener la fórmula del volumen de un cilindro trapezoidal. Explique cuándo utilizaría el método de los discos en vez del método de las arandelas. ¿Cuándo son intercambiables? En los siguientes ejercicios, dibuje una rebanada típica y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas para el volumen dado. Pirámide con altura de 6 unidades y base cuadrada de lado de 2 unidades, como la que se muestra aquí. 8 unidades 3 Una pirámide con altura de 4 unidades y base rectangular con longitud de 2 unidades y anchura de 3 unidades, como se muestra aquí. Tetraedro con un lado de la base de 4 unidades, como se ve aquí. 32 3 2 unidades 3 Pirámide con altura de 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 y 8 unidades, como se ve aquí. Un cono de radio r y altura h tiene un cono de radio más pequeño r / 2 y altura h / 2 retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se denomina tronco . 7 24 π r 2 h unidades 3 En los siguientes ejercicios, dibuje un contorno del sólido y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas. La base es un círculo de radio a . Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados. La base es un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 0 , 1 ) . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 24 unidades 3 La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 en el primer cuadrante. Los cortes perpendiculares al plano xy y paralelos al eje y son cuadrados. La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 y por encima del plano x . Las rebanadas perpendiculares al eje y son cuadradas. 2 unidades 3 La base es la región delimitada por y = x 2 y y = 9 . Las rodajas perpendiculares al eje x son triángulos isósceles rectos. La intersección de uno de estos cortes con la base es el cateto del triángulo. La base es el área entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 240 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de los discos para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . x + y = 8 , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , y y = 0 4096 π 5 unidades 3 y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 y = x 4 , x = 0 , y y = 1 8 π 9 unidades 3 y = x , x = 0 , x = 4 , y y = 0 y = sen x , y = cos x , y x = 0 π 2 unidades 3 y = 1 x , x = 2 , y y = 3 x 2 − y 2 = 9 y x + y = 9 , y = 0 y x = 0 207 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = 4 − 1 2 x , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 4 π 5 unidades 3 y = 3 x 2 , x = 0 , y y = 3 y = 4 − x 2 , y = 0 , y x = 0 16 π 3 unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 3 x = sec ( y ) y y = π 4 , y = 0 y x = 0 π unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 2 y = 4 − x , y = x , y x = 0 16 π 3 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , y x = 5 y = x 2 y y = x + 2 72 π 5 unidades 3 x 2 = y 3 y x 3 = y 2 y = 4 − x 2 y y = 2 − x 108 π 5 unidades 3 [T] y = cos x , y = e – x , x = 0 , y x = 1,2927 y = x y y = x 2 3 π 10 unidades 3 y = sen x , y = 5 sen x , x = 0 y x = π y = 1 + x 2 y y = 4 − x 2 2 6 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de las arandelas para hallar el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = x , x = 4 , y y = 0 y = x + 2 , y = 2 x – 1 , y x = 0 9 π unidades 3 y = x 3 y y = x 3 x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , y y = ln ( 2 ) π 20 ( 75 − 4 ln 5 ( 2 ) ) unidades 3 x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , y y = 3 Los envases de yogur pueden tener forma de tronco. Gire la línea y = 1 m x alrededor del eje y para hallar el volumen entre y = a y y = b . m 2 π 3 ( b 3 − a 3 ) unidades 3 Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje x para aproximar el volumen de un balón de fútbol, como se ve aquí. Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje y para aproximar el volumen de un balón de fútbol. 4 a 2 b π 3 unidades 3 Una mejor aproximación al volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje x de x = 0 hasta x = π . ¿Cuál es el volumen de esta aproximación del balón de fútbol, como se ve aquí? ¿Cuál es el volumen del pastel en forma de anillo que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje y de x = 0 hasta x = π ? 2 π 2 unidades 3 En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido descrito. La base es la región entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. La base es la región delimitada por la elipse genérica ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. 2 a b 2 π 3 unidades 3 Perfore un agujero de radio a por el eje de un cono recto y a través de la base de radio b , como se ve aquí. Halle el volumen común a dos esferas de radio r con centros que tienen 2 h de separación, como se muestra aquí. π 12 ( r + h ) 2 ( 6 r − h ) unidades 3 Halle el volumen de un casquete esférico de altura h y radio r donde h < r , como se ve aquí. Halle el volumen de una esfera de radio R con un casquete de altura h retirado de la parte superior, como se ve aquí. π 3 ( h + R ) ( h − 2 R ) 2 unidades 3 sección transversal la intersección de un plano y un objeto sólido método de los discos caso especial del método de las rebanadas utilizado con sólidos de revolución cuando los cortes son discos método de las rebanadas método de cálculo del volumen de un sólido que consiste en cortarlo en rebanadas, calcular el volumen de cada una y luego sumar los volúmenes para obtener un estimado del volumen total; a medida que el número de rebanadas llega al infinito, esta estimación se convierte en una integral que da el valor exacto del volumen sólido de revolución sólido generado al girar una región en un plano alrededor de una línea en ese plano método de las arandelas caso especial del método de las rebanadas que se utiliza con sólidos de revolución cuando los cortes son arandelas

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