Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Esto es lo que hicimos en el arriba. La estimación puntual de la desviación típica, s, se sustituyó en la fórmula del intervalo de confianza para la desviación típica de la población. En este caso hay 80 observaciones muy por encima de las 30 sugeridas para eliminar cualquier sesgo de una muestra pequeña. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza. William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student . El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de "Un estudiante". Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de un máximo de 30 observaciones. Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t = x – – μ ( s n ) , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad . La puntuación t tiene la misma interpretación que la puntuación z . Mide la distancia en unidades de desviación típica x – es de su media μ . Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente. Los grados de libertad , n – 1 , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra s . Recuerde que cuando calculamos por primera vez una desviación típica de la muestra, dividimos la suma de las desviaciones al cuadrado por n – 1, pero utilizamos n desviaciones ( x – x – valores ) para calcular s . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras n – 1 desviaciones. Las otras n – 1 desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número n – 1 los grados de libertad (degrees of freedom, df) en reconocimiento de que uno se pierde en los cálculos. El efecto de la pérdida de un grado de libertad es que el valor t aumenta y el intervalo de confianza aumenta su anchura. Propiedades de la distribución t de Student La gráfica de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar y a infinitos grados de libertad es la distribución normal. Puede confirmarlo leyendo la línea inferior a infinitos grados de libertad para un nivel de confianza conocido, por ejemplo, en la columna 0,05, nivel de confianza del 95 %, encontramos el valor t de 1,96 a infinitos grados de libertad. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica respecto a cero, de nuevo como la distribución normal estándar. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ . Esta suposición proviene del teorema del límite central porque las observaciones individuales en este caso son las x ¯ de la distribución muestral. El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si es normal, se cumple el supuesto y no es necesario discutirlo. Se utiliza una tabla de probabilidad para la distribución t de Student para calcular los valores t en varios niveles de confianza comúnmente utilizados. La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). Al utilizar una tabla t , tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Observe que en la parte inferior de la tabla aparecerá el valor t para infinitos grados de libertad. Matemáticamente, a medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. Puede encontrar los valores Z conocidos buscando en la columna alfa correspondiente y leyendo el valor en la última fila. Una tabla t de Student (vea el A - CUADROS ESTADÍSTICOS ) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La distribución t de Student tiene una de las propiedades más deseables de la normal: es simétrica. Lo que hace la distribución t de Student es extender el eje horizontal, de modo que se necesita un mayor número de desviaciones típicas para capturar la misma cantidad de probabilidad. En realidad, hay un número infinito de distribuciones t de Student, una para cada ajuste del tamaño de la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t de Student se parece cada vez más a la distribución normal. Cuando el tamaño de la muestra llega a 30, la distribución normal suele sustituirse por la t de Student porque son muy parecidas. Esta relación entre la distribución t de Student y la distribución normal se muestra en la . Este es otro ejemplo de una distribución que limita a otra, en este caso la distribución normal es la distribución que limita a la t de Student cuando los grados de libertad en la t de Student se acercan a infinito. Esta conclusión proviene directamente de la derivación de la distribución t de Student realizada por el Sr. Gosset. Reconoció que el problema consistía en tener pocas observaciones y no estimar la desviación típica de la población. Sustituía la desviación típica de la muestra y obtenía resultados volátiles. Por lo tanto, creó la distribución t de Student como una relación entre la distribución normal y la distribución chi-cuadrado. La distribución chi-cuadrado es a su vez un cociente de dos varianzas, en este caso la varianza de la muestra y la varianza de la población desconocida. La distribución t de Student, por tanto, está ligada a la distribución normal, pero tiene grados de libertad que provienen de los de la distribución chi-cuadrado. La solución algebraica demuestra este resultado. Desarrollo de la distribución t de Student: t = z χ 2 v donde z es la variable normal estándar y χ 2 es la distribución chi-cuadrado con v grados de libertad. Sustituya los valores y simplifique: t = ( x ¯ – μ ) σ s 2 ( n – 1 ) σ 2 ( n – 1 ) = ( x ¯ – μ ) σ s 2 σ 2 = ( x ¯ – μ ) σ s σ = x ¯ – μ s n t = s n Hay que replantear la fórmula de un intervalo de confianza para la media para los casos en que el tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, σ: x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Aquí la estimación puntual de la desviación típica de la población, s ha sido sustituida por la desviación típica de la población, σ, y t ν ,α ha sido sustituida por Z α . La letra griega ν (pronunciada niu) se coloca en la fórmula general en reconocimiento de que hay muchas distribuciones de Student t v , una para cada tamaño de muestra. ν es el símbolo de los grados de libertad de la distribución y depende del tamaño de la muestra. A menudo se utiliza “df” para abreviar los grados de libertad. Para este tipo de problema, los grados de libertad son ν = n-1, donde n es el tamaño de la muestra. Para buscar una probabilidad en la tabla t de Student tenemos que conocer los grados de libertad del problema. El beneficio por acción (earnings per share, EPS) promedio de 10 acciones industriales seleccionadas al azar entre las que se cotizan en el Dow-Jones Industrial Average (DJIA) resultó ser X – = 1,85 con una desviación típica de s=0,395. Calcule un intervalo de confianza del 99 % para el EPS promedio de todas las empresas industriales que cotizan en el DJIA. x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Para ayudar a visualizar el proceso de cálculo de un intervalo de confianza, dibujamos la distribución apropiada para el problema. En este caso es la t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población y la muestra es pequeña, menos de 30. Para hallar el valor t adecuado se necesitan dos datos, el nivel de confianza deseado y los grados de libertad. La pregunta pedía un nivel de confianza del 99 %. En el gráfico esto se muestra donde (1-α), el nivel de confianza, está en el área no sombreada. Las colas, por tanto, tienen 0,005 de probabilidad cada una, α/2. Los grados de libertad para este tipo de problema son n-1= 9. En la tabla t de Student, en la fila marcada como 9 y en la columna marcada como 0,005, se halla el número de desviaciones típicas para capturar el 99 % de la probabilidad, 3,2498. A continuación, se colocan en el gráfico recordando que la t de Student es simétrica y que, por lo tanto, el valor t está tanto del lado más como del lado menos de la media. Al insertar estos valores en la fórmula se obtiene el resultado. Estos valores pueden colocarse en el gráfico para ver la relación entre la distribución de las medias muestrales, X – y la distribución t de Student. μ = X – ± t α/2,df=n-1 s n = 1,851 ± 3,2498 0,395 10 = 1,8551 ± 0,406 1,445 ≤ μ ≤ 2,257 La conclusión formal es la siguiente: Con un nivel de confianza del 99 %, el EPS promedio de todas las industrias que figuran en el DJIA es de 1,44 dólares a 2,26 dólares. Ejercicio Usted hace un estudio sobre la hipnoterapia para determinar su eficacia a la hora de aumentar el número de horas de sueño de los sujetos cada noche. Se miden las horas de sueño de 12 sujetos con los siguientes resultados. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media de horas dormidas para la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. 8,2; 9,1; 7,7; 8,6; 6,9; 11,2; 10,1; 9,9; 8,9; 9,2; 7,5; 10,5 (8,1634, 9,8032) Referencias “America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013). Datos de Microsoft Bookshelf . Datos de http://www.businessweek.com/. Datos de http://www.forbes.com/. “Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013). “Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ , de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s , como estimación de σ . La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ , pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula: t = x – – μ s n La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con x – ± ( t α 2 ) s n donde t α 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar t α 2 para una α determinada. Revisión de la fórmula s = la desviación típica de los valores de la muestra. t = x – – μ s n es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra T ~ t df es la variable aleatoria, T , tiene una distribución t de Student con df grados de libertad La forma general de un intervalo de confianza para una media única, una desviación típica de la población desconocida y un tamaño de muestra inferior a 30 t de Student viene dada por x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas. Identifique lo siguiente: x – =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. X es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de que lo llamen para examinarlo. X – es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de emergencias. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (1,3808, 1,6192) EBM = 0,12 Explique con oraciones completas qué significa el intervalo de confianza (confidence interval, CI). Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. Identifique lo siguiente: x – =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ x – = 151 s x = 32 n = 108 n – 1 = 107 Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. X – es el número medio de horas que se dedican a ver la televisión al mes en una muestra de 108 estadounidenses. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de horas dedicadas a ver televisión al mes. (a) Indique el intervalo de confianza, (b) dibuje el gráfico y (c) calcule el límite de error. CI: (142,92, 159,08) EBM = 8,08 ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional. X Frec. 1 1 2 7 3 18 4 7 5 6 Calcule lo siguiente: x – =______ s x =______ n =______ 3,26 1,02 39 Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Cuál es el x – estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. t 38 Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales. ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,025 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es _____. (2,93, 3,59) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que el número medio real de colores de las banderas nacionales está entre 2,93 y 3,59 colores. Utilizando el mismo x – , s x , y el nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 39. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? El límite de error sería EBM = 0,245. Este límite de error disminuye porque a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media real. Utilizando el mismo x – , s x , y n = 39, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? Tarea para la casa En seis bolsas de “The Flintstones® Real Fruit Snacks” había cinco bocadillos Bam-Bam. El número total de bocadillos en las seis bolsas era de 68. Queremos calcular un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección Calcule p ′. Construya un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam por bolsa. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Cree que seis paquetes de bocadillos de fruta aportan suficientes datos para obtener resultados precisos? ¿Por qué sí o por qué no? Una encuesta aleatoria sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6.414; 1.550; 2.109; 9.350; 21.828; 4.300; 5.944; 5.722; 2.825; 2.044; 5.481; 5.200; 5.853; 2.750; 10.012; 6.357; 27.000; 9.414; 7.681; 3.200; 17.500; 9.200; 7.380; 18.314; 6.557; 13.713; 17.768; 7.493; 2.771; 2.861; 1.263; 7.285; 28.165; 5.080; 11.622. Supongamos que la población subyacente es normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de inscripción en los colegios comunitarios de Estados Unidos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué ocurriría con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestaran 500 colegios comunitarios? ¿Por qué? 8629 6944 35 34 t 34 CI: (6244, 11.014) Se hará más pequeño Supongamos que una comisión estudia si hay o no pérdida de tiempo en nuestro sistema judicial. Se interesa por la cantidad media de tiempo que las personas pierden en el juzgado a la espera de que los llamen para ser jurado. El comité encuestó de forma aleatoria a 81 personas que habían prestado servicio como jurado recientemente. El tiempo de espera de las medias muestrales fue de ocho horas, con una desviación típica de la muestra de cuatro horas. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de tiempo perdido. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique en una oración completa qué significa el intervalo de confianza. Una compañía farmacéutica fabrica tranquilizantes. Se supone que la distribución del tiempo que duran es aproximadamente normal. Los investigadores de un hospital utilizaron el fármaco en una muestra aleatoria de nueve pacientes. El periodo efectivo del tranquilizante para cada paciente (en horas) fue el siguiente: 2,7; 2,8; 3,0; 2,3; 2,3; 2,2; 2,8; 2,1; y 2,4. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de tiempo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué significa tener el “95 % de confianza” en este problema? x – = 2,51 s x = 0,318 n = 9 n – 1 = 8 la duración efectiva de un tranquilizante la duración media efectiva de los tranquilizantes de una muestra de nueve pacientes Tenemos que utilizar una distribución t de Student, porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (2,27, 2,76) Compruebe la solución del estudiante. Si tomáramos una muestra de muchos grupos de nueve pacientes, el 95 % de las muestras contendrían la verdadera duración media de la población. Supongamos que se hace una encuesta a 14 niños que están aprendiendo a montar en bicicleta para determinar cuánto tiempo han tenido que utilizar las ruedas de entrenamiento. Se reveló que las utilizaron un promedio de seis meses con una desviación típica de la muestra de tres meses. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de la duración del tiempo de uso de las ruedas de entrenamiento. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? La Comisión Federal de Elecciones (Federal Election Commission, FEC) recopila información sobre los aportes y los desembolsos de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Un Comité de Acción Política (Political Action Committee, PAC) es un comité formado para recaudar dinero para candidatos y campañas. Un PAC de Liderazgo es un PAC formado por un político federal (senador o representante) para recaudar dinero para ayudar a las campañas de otros candidatos. La FEC presentó información financiera de 556 PAC de Liderazgo que operaron durante el ciclo electoral 2011-2012. La siguiente tabla muestra los ingresos totales durante este ciclo para una selección aleatoria de 30 PAC de Liderazgo. $46.500,00 $0 $40.966,50 $105.887,20 $5.175,00 $29.050,00 $19.500,00 $181.557,20 $31.500,00 $149.970,80 $2.555.363,20 $12.025,00 $409.000,00 $60.521,70 $18.000,00 $61.810,20 $76.530,80 $119.459,20 $0 $63.520,00 $6.500,00 $502.578,00 $705.061,10 $708.258,90 $135.810,00 $2.000,00 $2.000,00 $0 $1.287.933,80 $219.148,30 x – = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 95 % para la cantidad media de dinero recaudado por todos los PAC de liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012. Use la distribución t de Student. x – = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Observe que no se nos da la desviación típica de la población, solo la desviación típica de la muestra. Hay 30 medidas en la muestra, por lo que n = 30, y df = 30 – 1 = 29 CL = 0,96, por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,96 = 0,04 α 2 = 0,02 t α 2 = t 0,02 = 2,150 E B M = t α 2 ( s n ) = 2,150 ( 521 , 130,41 30 ) ~ $ 204 , 561,66 x – – EBM = $251.854,23 – $204.561,66 = $47.292,57 x – + EBM = $251.854,23 + $204.561,66 = $456.415,89 Estimamos con un 96 % de confianza que la cantidad media de dinero recaudada por todos los PAC de Liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012 está entre 47.292,57 y 456.415,89 dólares. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de, al menos, 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. En la se muestran las edades de directores generales corporativos de una muestra aleatoria de estas compañías. 48 58 51 61 56 59 74 63 53 50 59 60 60 57 46 55 63 57 47 55 57 43 61 62 49 67 67 55 55 49 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para la edad media de los directores generales de estas pequeñas compañías principales. Use la distribución t de Student. Los asientos desocupados en los vuelos hacen que las aerolíneas pierdan ingresos. Supongamos que una gran compañía aérea quiere estimar su número medio de asientos desocupados por vuelo durante el año pasado. Para ello, se seleccionan al azar los registros de 225 vuelos y se anota el número de asientos no ocupados de cada uno de los vuelos de la muestra. La media muestral es de 11,6 asientos y la desviación típica de la muestra es de 4,1 asientos. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la media poblacional del número de asientos desocupados por vuelo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. x – = 11,6 s x = 4,1 n = 225 n – 1 = 224 X es el número de asientos no ocupados en un solo vuelo. X – es el número medio de asientos no ocupados de una muestra de 225 vuelos. Usaremos una distribución t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (11,12 , 12,08) Compruebe la solución del estudiante. En una muestra reciente de 84 costos de venta de automóviles usados, la media muestral fue de 6.425 dólares con una desviación típica de 3.156 dólares. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Defina la variable aleatoria X – en palabras. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el costo de la media poblacional de un auto usado. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 95 %” para este estudio. Se seleccionaron al azar seis marcas nacionales diferentes de galletas de chocolate en el supermercado. Los gramos de grasa por porción son los siguientes: 8; 8; 10; 7; 9; 9. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media de la población de gramos de grasa por porción de galletas de chocolate que se venden en los supermercados. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si se quería un límite de error menor manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué se debería haber cambiado en el estudio antes de realizarlo? Va a la tienda y registra los gramos de grasa por porción de seis marcas de galletas de chocolate. Calcule la media. ¿La media está dentro del intervalo que ha calculado en la parte a? ¿Esperaba que estuviese? ¿Por qué sí o por qué no? CI: (7,64 , 9,36) La muestra debería haber aumentado. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Se realizó un estudio sobre el número medio de céntimos de descuento que ofrecen los cupones, se revisó al azar un cupón por página de las secciones de cupones del número más reciente de The Mercury News de San José. Se recopilaron los siguientes datos: 20¢; 75¢; 50¢; 65¢; 30¢; 55¢; 40¢; 40¢; 30¢; 55¢; $1,50; 40¢; 65¢; 40¢. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional del valor de los cupones. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si se toman muchas muestras aleatorias con un tamaño de 14, ¿qué porcentaje de los intervalos de confianza construidos debe contener la media poblacional de los cupones? Explique por qué. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera media poblacional de la cantidad de gaseosa servida. (12,42, 14,18) (12,32, 14,29) (12,50, 14,10) Imposible de determinar b Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que pueden variar libremente Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población Distribución t de Student investigada y reportada por William S. Gossett en 1908 y publicada bajo el seudónimo de Student; las principales características de esta variable aleatoria (RV) son: Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Se acerca a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una "familia" de distribuciones t: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad, que depende de la aplicación para la que se utiliza la distribución t.

Matemáticas


Un intervalo de confianza para una proporción de población Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43. Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales. El procedimiento para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son un poco diferentes, aunque conceptualmente idénticas. Aunque las fórmulas son diferentes, se basan en el mismo fundamento matemático que nos proporciona el teorema central del límite. Por ello, veremos el mismo formato básico utilizando los mismos tres datos: el valor muestral del parámetro en cuestión, la desviación típica de la distribución muestral correspondiente y el número de desviaciones típicas que necesitamos para tener la confianza en nuestra estimación que deseamos. ¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente tiene una variable aleatoria binaria y, por tanto, es una distribución binomial . (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n , p ) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción de la muestra, tome X , la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n , el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (léase "P prima") es la proporción de la muestra, P ′ = X n (a veces, la variable aleatoria se denota como P ^ , que se lee “estimador de P”). p′ = la proporción estimada de éxitos o la proporción muestral de éxitos (p′ es una estimación puntual de p , la verdadera proporción poblacional, y, por tanto, q es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo). x = número de aciertos en la muestra n = el tamaño de la muestra La fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población sigue el mismo formato que el de la estimación de una media de la población. Recordando la distribución de muestreo para la proporción del Capítulo 7 , se encontró que la desviación típica es: σ p' = p ( 1 – p ) n Por lo tanto, el intervalo de confianza para una proporción poblacional se convierte en p = p ′ ± [ Z ( a 2 ) p ′ ( 1 – p ′ ) n ] Z ( a 2 ) se fija en función del grado de confianza que deseemos y p ′ ( 1 – p ′ ) n es la desviación típica de la distribución muestral. Las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Recuerde que a medida que p se aleja de 0,5 la distribución binomial se vuelve menos simétrica. Como estamos estimando la binomial con la distribución normal simétrica, cuanto más se aleje de la simetría la binomial, menos confianza tendremos en la estimación. Esta conclusión puede demostrarse mediante el siguiente análisis. Las proporciones se basan en la distribución de probabilidad binomial. Los posibles resultados son binarios, "éxito" o "fracaso". Esto da lugar a una proporción, es decir, el porcentaje de los resultados que son "éxitos". Se demostró que la distribución binomial podía entenderse completamente si solo conocíamos la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, llamada p. Se encontró que la media y la desviación típica de la binomial eran: μ = np σ = np q También se demostró que la binomial podía ser estimada por la distribución normal si TANTO np COMO nq eran mayores que 5. A partir de la discusión anterior, se encontró que la fórmula de estandarización para la distribución binomial es: Z = p' – p ( p q n ) que no es más que un replanteamiento de la fórmula general de normalización con las sustituciones adecuadas para μ y σ del binomio. Podemos utilizar la distribución normal estándar, la razón por la que Z está en la ecuación, porque la distribución normal es la distribución limitante de la binomial. Este es otro ejemplo del teorema del límite central. Ya hemos visto que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. Recordemos la extensa discusión del Capítulo 7 sobre la distribución muestral de las proporciones y las conclusiones del teorema del límite central. Ahora podemos manipular esta fórmula de la misma manera que hicimos para calcular los intervalos de confianza para una media, pero para calcular el intervalo de confianza para el parámetro poblacional binomial, p. p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Donde p′ = x/n, la estimación puntual de p tomada de la muestra. Observe que p′ sustituyó a p en la fórmula. Esto se debe a que no conocemos p, de hecho, esto es justo lo que estamos tratando de estimar. Lamentablemente, no existe un factor de corrección para los casos en los que el tamaño de la muestra es pequeño, por lo que np′ y nq' deben ser siempre superiores a 5 para desarrollar una estimación de intervalo para p. Supongamos que se contrata a una compañía de estudios de mercado para que estime el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuestan quinientos residentes adultos seleccionados al azar en esta ciudad para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas incluidas en la muestra, 421 respondieron que sí: tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. La solución paso a paso. Supongamos que X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos móviles. X es binomial: la variable aleatoria es binaria, la gente o tiene un teléfono móvil o no lo tiene. Para calcular el intervalo de confianza, debemos hallar p′ , q′ . n = 500 x = número de aciertos en la muestra = 421 p ′ = x n = 421 500 = 0,842 p′ = 0,842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población. q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158 Como el nivel de confianza solicitado es CL = 0,95, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 ( α 2 ) = 0,025. Entonces z α 2 = z 0,025 = 1,96 Esto se puede calcular utilizando la tabla de probabilidad normal estándar del A - CUADROS ESTADÍSTICOS . Esto también se puede encontrar en la tabla t de los estudiantes en la columna de 0,025 y en infinitos grados de libertad porque en infinitos grados de libertad la distribución t de los estudiantes se convierte en la distribución normal estándar, Z. El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Sustituyendo los valores anteriores encontramos que el intervalo de confianza es: 0,810 ≤ p ≤ 0,874 Interpretación Estimamos con el 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles. Explicación del nivel de confianza del 95 % El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contendrían el valor real de la proporción de población de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que se encuestan 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declararon que tienen una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que tienen tabletas. (0,3315, 0,4525) La Escuela de Adiestramiento Canino de Dundee tiene una proporción mayor que el promedio de clientes que compiten en eventos profesionales. Se construye un intervalo de confianza para la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales de 150 escuelas de adiestramiento diferentes. El límite inferior se determina en 0,08 y el superior en 0,16. Determine el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo de la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales. Comenzamos con la fórmula de un intervalo de confianza para una proporción porque la variable aleatoria es binaria; el cliente compite en eventos caninos profesionales o no lo hace. p = p ′ ± [ Z ( a 2 ) p ′ ( 1 – p ′ ) n ] A continuación, calculamos la proporción de la muestra: p ′ = 0,08 + 0,16 2 = 0,12 El ± que compone el intervalo de confianza es, pues, 0,04; 0,12 + 0,04 = 0,16 y 0,12 - 0,04 = 0,08, los límites del intervalo de confianza. Por último, resolvemos para Z . [ Z ⋅ 0,12 ( 1 – 0,12 ) 150 ] = 0,04 , por lo que Z = 1,51 Y luego buscamos la probabilidad para 1,51 desviaciones típicas en la tabla normal estándar. p ( Z = 1,51 ) = 0,4345 , p ( Z ) ⋅ 2 = 0,8690 o 86,90 % . Un responsable financiero de una compañía quiere estimar el porcentaje de cuentas por cobrar que llevan más de 30 días de retraso. Analiza 500 cuentas y descubre que 300 tienen más de 30 días de retraso. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de cuentas por cobrar con más de 30 días de retraso, e interprete el intervalo de confianza. La solución paso a paso: x = 300 y n = 500 p ′ = x n = 300 500 = 0,600 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,600 = 0,400 Dado que el nivel de confianza = 0,90, entonces α = 1 - nivel de confianza = (1 - 0,90) = 0,10 ( α 2 ) = 0,05 Z α 2 = Z 0,05 = 1,645 Este valor Z se puede hallar utilizando una tabla de probabilidad normal. También se puede utilizar la tabla t de Student entrando en la tabla en la columna de 0,05 y leyendo en la línea de infinitos grados de libertad. La distribución t es la distribución normal con infinitos grados de libertad. Se trata de un truco práctico que hay que recordar para calcular los valores Z de los niveles de confianza más utilizados. Utilizamos esta fórmula para un intervalo de confianza para una proporción: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Sustituyendo los valores de arriba encontramos que el intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional binomial es 0,564 ≤ p ≤ 0,636 Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que el porcentaje real de todas las cuentas por cobrar con 30 días de retraso está entre el 56,4 % y el 63,6 %. Redacción alternativa: Estimamos, con un 90 % de confianza, que entre el 56,4 % y el 63,6 % de TODAS las cuentas tienen un retraso de 30 días. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor real del porcentaje de la población de cuentas por cobrar que tienen un retraso de 30 días. Ejercicio Un estudiante hace un sondeo en su escuela para ver si los estudiantes del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación relativa a los uniformes escolares. Hace una encuesta entre 600 estudiantes y halla que 480 están en contra de la nueva legislación. a. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación e interprete el intervalo de confianza. (0,7731, 0,8269); estimamos con un 90 % de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes del distrito que están en contra de la nueva legislación está entre el 77,31 % y el 82,69 %. b. En una muestra de 300 estudiantes, el 68 % dijo que tenían un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que tienen un iPod y un teléfono inteligente. Solución El 68 % de los estudiantes posee un iPod y un teléfono inteligente. p ′ = 0,68 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,68 = 0,32 Como CL = 0,97, sabemos que α = 1 - 0,97 = 0,03 y α 2 = 0,015. El área a la izquierda de z 0,015 es 0,015, y el área a la derecha de z 0,015 es 1 - 0,015 = 0,985. Utilizar la función InvNorm(.985,0,1) de las calculadoras TI 83, 83+ u 84+, z 0,015 = 2,17 E P B = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = 2,17 0,68 ( 0,32 ) 300 ≈ 0,0584 p′ - EPB = 0,68 - 0,0584 = 0,0584 p ′ + EPB = 0,68 + 0,0584 = 0,0584 Estamos seguros en un 97 % de que la verdadera proporción de todos los estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente está entre 0,6216 y 0,7384. Referencias Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. 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Repaso del capítulo Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento. Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n , donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′ . Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Revisión de la fórmula p′= x n donde x representa el número de aciertos en una muestra y n representa el tamaño de la muestra. La variable p ′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población. q ′ = 1 – p ′ La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí. El intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población que viene dado por la fórmula: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n n = Z α 2 2 p ′ q ′ e 2 proporciona el número de observaciones necesarias en la muestra para estimar la proporción poblacional, p , con confianza 1 - α y margen de error e . Donde e = la diferencia aceptable entre la proporción real de la población y la proporción de la muestra. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 90 % de confianza en que la proporción de población se estima con un margen del 0,05? Si más adelante se determinara que es importante tener más de un 90 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que hay que encuestar? ¿Por qué? El tamaño de la muestra necesaria aumentaría. A medida que aumenta el nivel de confianza, α disminuye y z ( a 2 ) aumenta. Para mantener el mismo límite de error, es necesario aumentar el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Identifique lo siguiente: x = ______ n = ______ p′ = ______ Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras. X es el número de “aciertos” en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. P ′ es el porcentaje de hogares de la muestra en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,5321, 0,6679) EBM : 0,0679 Enumere dos dificultades que podría tener la compañía para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizara por correo electrónico. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. X es el número de “aciertos” en los que un ejecutivo prefiere una camioneta. P ′ es el porcentaje de ejecutivos de la muestra que prefieren una camioneta. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 %. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,19432, 0,33068) Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo indicado en la encuesta es de ±2 %. Explique qué significa el ±2 %. El error de muestreo significa que la media real puede estar un 2 % por encima o por debajo de la media muestral. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante. Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. P ′ es la proporción de votantes de la muestra que dijeron que la economía es el asunto más importante en las próximas elecciones. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 %, e indique el intervalo de confianza y el límite de error. CI: (0,62735, 0,67265) EBM : 0,02265 ¿Qué ocurriría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población. ¿Qué se cuenta? El número de niñas entre 8 y 12 años en la clase de iniciación al patinaje sobre hielo de los lunes a las 5 p. m. Defina la variable aleatoria X en palabras. Calcule lo siguiente: x = _______ n = _______ p ′ = _______ x = 64 n = 80 p ′ = 0,8 Indique la distribución estimada de X . X ~________ Defina una nueva variable aleatoria P ′. ¿Qué estima p ′? p Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. Indique la distribución estimada de P ′. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que comienzan las clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet. P ′ ~ N ( 0,8 , ( 0,8 ) ( 0,2 ) 80 ) . (0,72171, 0,87829). ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,04 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 92 % es _______. (0,72; 0,88) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Con el 92 % de confianza estimamos que la proporción de niñas de 8 a 12 años que asisten a una clase de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet se sitúa entre el 72 % y el 88 %. Utilizando la misma p ′ y el mismo nivel de confianza, supongamos que n se aumenta a 100. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando la misma p ′ y n = 80, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98 %? ¿Por qué? El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantienen constantes, a medida que el nivel de confianza aumenta, el área debajo de la curva correspondiente al nivel de confianza se hace más grande, lo que crea un intervalo más amplio y, por tanto, un error mayor. Si se disminuye el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)? Tarea para la casa Las compañías de seguros están interesadas en conocer el porcentaje de conductores que siempre se abrochan el cinturón antes de manejar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de la población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 95 % de confianza en que la proporción de la población se estima con un margen del 0,03? Si más adelante se determinara que es importante tener más del 95 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría eso el número mínimo que habría que encuestar? ¿Por qué? 1.068 Sería necesario aumentar el tamaño de la muestra, ya que el valor crítico aumenta a medida que lo hace el nivel de confianza. Supongamos que las compañías de seguros hicieran una encuesta. Encuestaron al azar 400 conductores y descubrieron que 320 afirmaban que siempre se abrochaban el cinturón. Nos interesa la proporción de conductores que afirman abrocharse siempre el cinturón. x = __________ n = __________ p ′ = __________ Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población que afirma que siempre se abrocha el cinturón Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si esta encuesta se realizara por teléfono, enumere tres dificultades que podrían tener las compañías para obtener resultados aleatorios. Según una reciente encuesta realizada a 1.200 personas, el 61 % consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Nos interesa la proporción de población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. X = el número de personas que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable; P ′ = la proporción de personas de una muestra que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. N ( 0,61 , ( 0,61 ) ( 0,39 ) 1.200 ) CI: (0,59, 0,63) Compruebe la solución del estudiante Recientemente apareció un artículo sobre citas y matrimonios interraciales en el Washington Post. . De los 1.709 adultos seleccionados al azar, 315 se identificaron como latinos, 323 como negros, 254 como asiáticos y 779 como blancos. En esta encuesta, el 86 % de los negros afirmaron que acogerían a una persona blanca en su familia. Entre los asiáticos, el 77 % acogería a una persona blanca en su familia, el 71 % a un latino y el 66 % a una persona negra. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de adultos negros que acogerían a una persona blanca en su familia. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Consulte la información en el . Construya tres intervalos de confianza del 95 %. porcentaje de todos los asiáticos que acogerían a una persona blanca en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a un latino en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a una persona negra en su familia. Aunque las tres estimaciones puntuales son diferentes, ¿hay superposición en alguno de los intervalos de confianza? ¿Cuál? Para los intervalos donde hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? Para los intervalos donde no hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? (0,72, 0,82) (0,65, 0,76) (0,60, 0,72) Sí, en los intervalos (0,72, 0,82) y (0,65, 0,76) hay superposición, y en los intervalos (0,65, 0,76) y (0,60, 0,72) hay superposición. Podemos decir que no parece haber una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca en sus familias y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona latina en sus familias. Podemos decir que hay una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona negra. La Universidad de Stanford realizó un estudio sobre si correr es saludable para hombres y mujeres mayores de 50 años. Durante los primeros ocho años del estudio, el 1,5 % de los 451 miembros de la 50-Plus Fitness Association murieron. Nos interesa la proporción de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 97 % para la proporción poblacional de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 97 %” para este estudio. Un sondeo telefónico realizado a 1.000 estadounidenses adultos se publicó en un número de la Revista Time. . Una de las preguntas que se hicieron fue: “¿Cuál es el principal problema del país?”. El veinte por ciento respondió que era la “delincuencia”. Nos interesa la proporción de población de los estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. X = el número de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema; P′ = la proporción de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Como estamos estimando una proporción, dado que P′ = 0,2 y n = 1.000, la distribución que debemos utilizar es N ( 0,2 , ( 0,2 ) ( 0,8 ) 1.000 ) . CI: (0,18, 0,22) Compruebe la solución del estudiante. Una forma de reducir el error de muestreo es aumentar el tamaño de la muestra. El “± 3 %” indicado representa el límite máximo de error. Esto significa que los que hacen el estudio informan de un error máximo del 3 %. Así, estiman que el porcentaje de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema se sitúa entre el 18 % y el 22 %. Consulte el . Otra de las preguntas del sondeo era “¿[Cuánto le preocupa] la calidad de la educación en nuestras escuelas?”. El sesenta y tres por ciento respondió que “mucho”. Nos interesa la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado. Una estimación puntual de la verdadera proporción de la población es: 0,90 1,27 0,79 400 c Un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población es _______. (0,761, 0,820) (0,125, 0,188) (0,755, 0,826) (0,130, 0,183) Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no. Calcule el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 90 % para la verdadera proporción de población de los hogares de la comunidad del sur de California que cumplen, al menos, las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos. (0,2975, 0,3796) (0,6270, 0,6959) (0,3041, 0,3730) (0,6204, 0,7025) La estimación puntual de la proporción de viviendas que no cumplen las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos es ______. 0,6614 0,3386 173 338 a El 23 de mayo de 2013, Gallup informó de que, de las 1.005 personas encuestadas, el 76 % de los trabajadores estadounidenses cree que seguirá trabajando más allá de la edad de jubilación. El nivel de confianza de este estudio fue del 95 % con un margen de error del ±3 %. Determine la proporción estimada de la muestra. Determine el tamaño de la muestra. Identifique CL y α . Calcule el límite de error basándose en la información proporcionada. Compare el límite de error de la parte d con el margen de error informado por Gallup. Explique las diferencias entre los valores. Cree un intervalo de confianza para los resultados de este estudio. Un periodista está cubriendo la publicación de este estudio para una emisora de noticias local. ¿Cómo debe explicar el intervalo de confianza a su público? El 13 de mayo de 2013, Rasmussen Reports realizó una encuesta nacional a 1.000 adultos. Concluyó con el 95 % de confianza que entre el 49 % y el 55 % de los estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen el proceso de la educación superior. Calcule la estimación puntual y el límite de error para este intervalo de confianza. ¿Podemos concluir (con el 95 % de confianza) que más de la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? Utilice la estimación puntual de la parte a y n = 1.000 para calcular un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen la educación superior. ¿Podemos concluir (con el 75 % de confianza) que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? p′ = (0 0,55 + 0 0,49) 2 = 0,52; EBP = 0,55 – 0,52 = 0,03 No, el intervalo de confianza incluye valores menores de 0,50 o iguales. Es posible que menos de la mitad de la población lo crea. CL = 0,75, por lo que α = 1 – 0,75 = 0,25 y α 2 = 0,125 z α 2 = 1,150 . (el área a la derecha de esta z es 0,125, por lo que el área a la izquierda es 1 – 0,125 = 0,875) E B P = ( 1,150 ) 0,52 ( 0,48 ) 1 , 000 ≈ 0,018 ( p ′ – EBP , p ′ + EBP ) = (0,52 – 0,018, 0,52 + 0,018) = (0,502, 0,538) Sí; este intervalo no cae por debajo de 0,50, por lo que podemos concluir que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes colegios universitarios corrompen la educación, pero lo hacemos con el 75 % de confianza solamente. Public Policy Polling realizó recientemente una encuesta en la que se le preguntó a adultos de EE. UU. sobre sus preferencias musicales. Cuando se les preguntó, 80 de los 571 participantes admitieron que habían descargado música ilegalmente. Cree un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera proporción de adultos estadounidenses que han descargado música ilegalmente. Esta encuesta se realizó mediante entrevistas telefónicas automatizadas los días 6 y 7 de mayo de 2013. El límite de error de la encuesta compensa el error de muestreo, o la variabilidad natural entre muestras. Enumere algunos factores que podrían afectar al resultado de la encuesta y que no están cubiertos por el margen de error. Sin realizar ningún cálculo, describa cómo cambiaría el intervalo de confianza si el nivel de confianza cambiara del 99 % al 90 %. Tiene previsto realizar una encuesta en el campus de su instituto universitario para conocer la conciencia política de los estudiantes. Quiere estimar la verdadera proporción de estudiantes de su campus que votaron en las elecciones presidenciales de 2012, con el 95 % de confianza y un margen de error no superior al cinco por ciento. ¿A cuántos estudiantes debe entrevistar? Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = n x p x q n – x . Proporción del límite de error de la población (EBP) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la proporción estimada (a partir de la muestra) de aciertos.

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias Variables aleatorias continuas Normalmente no tenemos control sobre el tamaño de la muestra de un conjunto de datos. Sin embargo, si podemos fijar el tamaño de la muestra, como en los casos en los que realizamos una encuesta, es muy útil saber cuál debe ser su tamaño para proporcionar la máxima información. El muestreo puede ser muy costoso, tanto en tiempo como en producto. Las simples encuestas telefónicas cuestan aproximadamente 30 dólares cada una, por ejemplo, y algunos muestreos requieren la destrucción del producto. Si volvemos a nuestra fórmula de normalización de la distribución muestral para las medias, podemos ver que es posible resolverla para n. Si hacemos esto tenemos ( X – – μ ) en el denominador. n = Z α 2 σ 2 ( X – – μ ) 2 = Z α 2 σ 2 e 2 Como aún no hemos tomado una muestra, no conocemos ninguna de las variables de la fórmula, excepto que podemos establecer Z α al nivel de confianza que deseamos, tal como hicimos al determinar los intervalos de confianza. Si establecemos un error aceptable predeterminado, o tolerancia, para la diferencia entre X – y μ, denominado e en la fórmula, estamos mucho más lejos en la resolución del tamaño de la muestra n. Todavía no conocemos la desviación típica de la población, σ. En la práctica, se suele hacer una encuesta previa que permite afinar el cuestionario y que da una desviación típica de la muestra que se puede utilizar. En otros casos, se puede utilizar la información previa de otras encuestas para σ en la fórmula. Aunque es rudimentario, este método para determinar el tamaño de la muestra puede ayudar a reducir los costos de forma significativa. Serán los datos reales recogidos los que determinen las inferencias sobre la población, por lo que conviene ser cauteloso con el tamaño de la muestra exigiendo altos niveles de confianza y pequeños errores de muestreo. Variables aleatorias binarias Lo que se hizo en los casos en los que se buscaba la media de una distribución también se puede hacer cuando se hace un muestreo para determinar el parámetro poblacional p de las proporciones. La manipulación de la fórmula de normalización de las proporciones da como resultado: n = Z α 2 pq e 2 donde e = (p′-p), y es el error de muestreo aceptable, o tolerancia, para esta aplicación. Esto se medirá en puntos porcentuales. En este caso el propio objeto de nuestra búsqueda está en la fórmula, p, y por supuesto q porque q =1-p. Este resultado se produce porque la distribución binomial es una distribución de un parámetro. Si conocemos p entonces conocemos la media y la desviación típica. Por lo tanto, p aparece en la desviación típica de la distribución muestral que es de donde sacamos esta fórmula. Si en un exceso de precaución sustituimos p por 0,5, extraeremos el mayor tamaño de muestra necesario que proporcione el nivel de confianza especificado por Zα y la tolerancia que hemos seleccionado. Esto es cierto porque de todas las combinaciones de dos fracciones que suman uno, el mayor múltiplo es cuando cada una es 0,5. Sin ninguna otra información sobre el parámetro poblacional p, esta es la práctica habitual. Esto puede dar lugar a un sobremuestreo, pero ciertamente no a un submuestreo, por lo que se trata de un enfoque prudente. Existe un interesante equilibrio entre el nivel de confianza y el tamaño de la muestra que aparece aquí cuando se considera el costo del muestreo. La muestra el tamaño de la muestra apropiado para diferentes niveles de confianza y diferentes niveles de error aceptable, o tolerancia. Tamaño de la muestra requerido (90 %) Tamaño de la muestra requerido (95 %) Nivel de tolerancia 1691 2401 2% 752 1067 3% 271 384 5% 68 96 10% Esta tabla está diseñada para mostrar el tamaño máximo de la muestra requerido en diferentes niveles de confianza dado un supuesto p= 0,5 y q=0,5 como se comentó anteriormente. El error aceptable, denominado tolerancia en la tabla, se mide en valores más o menos de la proporción real. Por ejemplo, un error aceptable del 5 % significa que, si la proporción de la muestra es del 26 %, la conclusión sería que la proporción real de la población está entre el 21 % y el 31 % con un nivel de confianza del 90 % si se hubiera tomado una muestra de 271 personas. Asimismo, si el error aceptable se fijara en el 2 %, la proporción de la población se situaría entre el 24 % y el 28 % con un nivel de confianza del 90 %, pero exigiría aumentar el tamaño de la muestra de 271 a 1691. Si quisiéramos un mayor nivel de confianza, necesitaríamos una muestra de mayor tamaño. Pasar de un nivel de confianza del 90 % a un nivel del 95 % con una tolerancia de más o menos el 5 % requiere cambiar el tamaño de la muestra de 271 a 384. Un tamaño de muestra muy común que suele aparecer en las encuestas políticas es de 384. Con los resultados de las encuestas se suele decir que los resultados son buenos con un nivel de "exactitud" de más o menos el 5 %. Supongamos que una compañía de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes de más de 50 años que utilizan mensajería de texto en sus teléfonos móviles. ¿Cuántos clientes de más de 50 años debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles? A partir del problema, sabemos que el error aceptable, e , es de 0,03 (3 %=0,03) y z α 2 z 0,05 = 1.645 porque el nivel de confianza es del 90 %. El error aceptable, e , es la diferencia entre la proporción poblacional real p , y la proporción muestral que esperamos obtener de la muestra. Sin embargo, para hallar n , necesitamos conocer la proporción (muestra) estimada p ′. Recuerde que q ′ = 1 – p ′. Pero, aun no conocemos p ′. Como multiplicamos p ′ y q ′ juntos, hacemos que ambos sean iguales a 0,5 porque p ′ q ′ = (0,5)(0,5) = 0,25 da como resultado el mayor producto posible. (Pruebe otros productos: (0,6)(0,4) = 0,24; (0,3)(0,7) = 0,21; (0,2)(0,8) = 0,16 y así sucesivamente). El mayor producto posible nos da el mayor n . Esto nos da una muestra lo suficientemente grande como para que podamos tener el 90 % de confianza de que estamos dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población. Para calcular el tamaño de la muestra n , utilice la fórmula y haga las sustituciones. n = z 2 p ′ q ′ e 2 da como resultado n = 1,645 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,03 2 = 751,7 Redondee la respuesta al valor inmediatamente superior. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos móviles de más de 50 años para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de todos los clientes de más de 50 años que utilizan mensajes de texto en sus teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que una compañía de mercadeo en internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada está dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes? 271 clientes deben ser encuestados. Consulte la sección de propiedad inmobiliaria de su localidad. Repaso del capítulo A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula del intervalo de confianza correspondiente para n a fin de descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo: n = Z α 2 σ 2 ( x – – μ ) 2 Si la variable aleatoria es binaria, la fórmula para el tamaño de muestra adecuado a fin de que se mantenga un nivel de confianza determinado con un nivel de tolerancia específico viene dada por n = Z α 2 pq e 2 Revisión de la fórmula n = Z 2 σ 2 ( x – – μ ) 2 = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra (n ) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado para una variable aleatoria continua n = Z α 2 pq e 2 = la fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra si la variable aleatoria es binaria Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras. Identifique lo siguiente: x – = _____ σ = _____ n = _____ 244 15 50 En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? N ( 244 , 15 50 ) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de la población de elefantes recién nacidos. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el intervalo de confianza obtenido si se pesan 500 elefantes recién nacidos en vez de 50? ¿Por qué? A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menos variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal. Identifique lo siguiente: x – = _____ σ = _____ n = _____ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . X es el tiempo en minutos que se tarda en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. X – es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para rellenar los formularios. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (7,9441; 8,4559) Si el censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si el censo realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara solo a 50 personas en vez de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? El nivel de confianza disminuiría porque la disminución de n hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que a igual límite de error, el nivel de confianza disminuye. Supongamos que el censo necesita tener un 98 % de confianza en la duración media de la población. ¿El censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras. Identifique lo siguiente: x – = ______ σ = ______ n = ______ x – = 2,2 σ = 0,2 n = 20 Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X – . X – es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. EBM = 0,07 CI: (2,1264; 2,2736) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza en el es mayor que en el . El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar la cantidad de área que se calcula para la distribución normal. Por lo tanto, un nivel de confianza mayor genera áreas e intervalos más amplios. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo en el . ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el límite de error siguiera siendo el mismo? El nivel de confianza aumentaría. ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el nivel de confianza siguiera siendo el mismo? Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College. x – = _____ 30,4 n = _____ ________ = 15 σ En palabras, defina la variable aleatoria X – . ¿Cuál es el x – estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. normal Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios . ¿Cuánta superficie hay en ambas cruces (combinadas)? α =________ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 =________ 0,025 Identifique las siguientes especificaciones límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es: __________________. (24,52;36,28) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College está entre 24,52 y 36,28. Utilizando las mismas media, desviación típica y nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 25. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando las mismas media, desviación típica y tamaño de la muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? El límite de error para la media disminuiría porque a medida que el nivel de confianza (Confidence Level, CL) disminuye, se necesita menos área debajo de la curva normal (lo que se traduce en un intervalo más pequeño) para capturar la verdadera media de la población. Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,60. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,650. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 2.185 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 96 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 5 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,70. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 1 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,50. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 6.765 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 94 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,65. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,45. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 595 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,3. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Tarea para la casa Se sabe que la desviación típica de las alturas entre los distintos grupos étnicos es de tres pulgadas aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de los hombres suecos. Se encuestaron cuarenta y ocho hombres suecos. La media muestral es de 71 pulgadas. La desviación típica de la muestra es de 2,8 pulgadas. x – =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de la población de hombres suecos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué pasará con el nivel de confianza obtenido si se encuestan 1.000 hombres suecos en vez de 48? ¿Por qué? 71 2,8 48 X es la altura de un hombre sueco y x _ es la altura media de una muestra de 48 hombres suecos. Normal. Conocemos la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es superior a 30. CI: (70,151, 71,85) El intervalo de confianza disminuirá en tamaño porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población. Los anuncios de las 84 próximas conferencias de ingeniería se eligieron al azar de una pila de revistas IEEE Spectrum. La duración media de las conferencias fue de 3,94 días, con una desviación típica de 1,28 días. Supongamos que la población subyacente es normal. En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de las conferencias de ingeniería Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Supongamos que una compañía de contabilidad hace un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta al azar a 100 personas. La media muestral es de 23,6 horas. Existe una desviación típica conocida de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal. x – =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para completar los formularios de impuestos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si la compañía quisiera aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si la compañía realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara 49 personas solamente, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? Supongamos que la compañía decide que necesita tener, al menos, el 96 % de confianza de la media de la población que se tarda una hora. ¿Cómo cambiaría el número de personas que la compañía encuesta? ¿Por qué? x – = 23,6 σ = 7 n = 100 X es el tiempo necesario para rellenar un formulario de impuestos individual. X – es el tiempo medio para rellenar los formularios de impuestos de una muestra de 100 clientes. N ( 23,6 , 7 100 ) porque conocemos sigma. (22,228; 24,972) Tendrá que cambiar el tamaño de la muestra. La compañía debe determinar cuál debe ser el nivel de confianza y, a continuación, aplicar la fórmula del límite de error para determinar el tamaño de la muestra necesario. El nivel de confianza aumentaría como consecuencia de un intervalo mayor. Muestras de menor tamaño generan mayor variabilidad. Para capturar la verdadera media de la población necesitamos un intervalo mayor. Según la fórmula del límite de error, la compañía necesita encuestar 206 personas. Dado que aumentamos el nivel de confianza, tenemos que aumentar nuestro límite de error o el tamaño de la muestra. Se seleccionó una muestra de 16 bolsas pequeñas de caramelos de la misma marca. Supongamos que la distribución poblacional de los pesos de las bolsas es normal. Luego se registró el peso de cada bolsa. El peso medio fue de dos onzas, con una desviación típica de 0,12 onzas. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,1 onzas. x – =________ σ =________ s x =________ Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de los caramelos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Construya un intervalo de confianza del 98 % para el peso medio poblacional de los caramelos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza de la parte f es mayor que el de la parte e. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo de la parte f. El director de un campamento está interesado en el número medio de cartas que envía cada niño durante su sesión de campamento. Se conoce que la desviación típica de la población es de 2,5. Se realiza una encuesta entre 20 campistas. La media muestral es de 7,9, con una desviación típica de la muestra de 2,8. x – =________ σ =________ n =________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional del número de cartas que los campistas envían a casa Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué ocurrirá con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestan 500 campistas? ¿Por qué? 7,9 2,5 20 X es el número de cartas que un solo campista enviará a casa. X – es el número medio de cartas enviadas a casa de una muestra de 20 campistas. N 7,9 ( 2,5 20 ) CI: (6,98; 8,82) El límite de error y el intervalo de confianza disminuirán. ¿Qué significa el término “90 % de confianza” cuando se construye un intervalo de confianza para una media? Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de las muestras producirían el mismo intervalo de confianza. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían la media muestral. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían el verdadero valor de la media poblacional. Si tomáramos muestras repetidas, la media muestral sería igual a la media de la población en el 90 % de las muestras aproximadamente. La Comisión Federal de Elecciones recopila información sobre los aportes y los desembolsos para la campaña de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Durante la temporada de campaña de 2012, hubo 1.619 candidatos a la Cámara de Representantes en Estados Unidos que recibieron aportes de particulares. La muestra el total de ingresos procedentes de particulares para una selección aleatoria de 40 candidatos a la Cámara de Representantes, redondeado a los 100 dólares más cercanos. La desviación típica de estos datos a la centena más cercana es σ = 909.200 dólares. $3.600 $1.243.900 $10.900 $385.200 $581.500 $7.400 $2.900 $400 $3.714.500 $632.500 $391.000 $467.400 $56.800 $5.800 $405.200 $733.200 $8.000 $468.700 $75.200 $41.000 $13.300 $9.500 $953.800 $1.113.500 $1.109.300 $353.900 $986.100 $88.600 $378.200 $13.200 $3.800 $745.100 $5.800 $3.072.100 $1.626.700 $512.900 $2.309.200 $6.600 $202.400 $15.800 Calcule la estimación puntual de la media de la población. Use el 95 % de confianza y calcule el límite de error. Cree un intervalo de confianza del 95 % para la media de los aportes individuales totales. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. x – = $568.873 CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 z α 2 = 1,96 EBM = z 0,025 σ n = 1,96 909200 40 = $281.764 x – – EBM = 568.873 – 281.764 = 287.109 x – + EBM = 568.873 + 281.764 = 850.637 Estimamos con el 95 % de confianza que la media de los aportes que recibieron los candidatos a la Cámara de Representantes de parte de todas las personas está entre 287.109 dólares y 850.637 dólares. La Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense (American Community Survey, ACS), que forma parte de la Oficina del Censo de Estados Unidos, realiza un censo anual similar al que se hace cada diez años, pero con un porcentaje de participantes menor. La encuesta más reciente estima, con el 90 % de confianza, que los ingresos medios de los hogares en EE. UU. se sitúa entre 69.720 y 69.922 dólares. Calcule la estimación puntual de los ingresos medios de los hogares de EE. UU. y su límite de error. La estatura promedio de los hombres adultos jóvenes tiene una distribución normal, con una desviación típica de 2,5 pulgadas. Quiere estimar la altura media de los estudiantes de su instituto universitario o universidad con un margen de una pulgada, con el 93 % de confianza. ¿Cuántos estudiantes hombres hay que medir? Si se cambia el intervalo de confianza a una probabilidad más alta, ¿se produciría un tamaño mínimo de la muestra más bajo o más alto? Más alto Si la tolerancia se reduce a la mitad, ¿cómo afectaría esto al tamaño mínimo de la muestra? Aumentaría hasta cuatro veces el valor anterior. Si se reduce el valor de p , ¿se reduciría necesariamente el tamaño de la muestra necesaria? No, no podría afectar si cambiara a 1 - p , por ejemplo. Si se acerca a 0,5, el tamaño mínimo de la muestra aumentaría. ¿Es aceptable utilizar un tamaño de muestra mayor que el calculado por z 2 p q e 2 ? Sí Una compañía tiene una cadena de montaje en la que el 97,42 % de los productos fabricados son aceptables. Entonces, una pieza crítica se rompió. Después de las reparaciones se decidió ver si el número de productos defectuosos fabricados seguía siendo lo suficientemente cercano a la calidad de producción de siempre. Se seleccionaron muestras de 500 piezas al azar, y se comprobó que la tasa de defectos era del 0,025 % ¿Es este tamaño de muestra adecuado para afirmar que la compañía está comprobando dentro del intervalo de confianza del 90 %? ¿Y dentro del intervalo de confianza del 95 %? No No

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