Círculo unitario: funciones seno y coseno El Singapore Flyer era la rueda de la fortuna más alta del mundo, hasta ser superada por el High Roller de Las Vegas y el Ain Dubai de Dubai (créditos: "Vibin JK"/Flickr) ¿Busca emociones? Entonces considere un paseo en el Ain Dubai, la rueda de la fortuna más alta del mundo. Ubicada en Dubai, la ciudad más poblada y el centro financiero y turístico de los Emiratos Árabes Unidos, la rueda de la fortuna se eleva a 820 pies, unas 1,5 décimas de milla. Descrita como una rueda de observación, los pasajeros disfrutan de unas vistas espectaculares del Burj Khalifa (el edificio más alto del mundo) y de Palm Jumeirah (un archipiélago construido por el hombre que alberga más de 10.000 personas y 20 complejos turísticos) mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, tenemos que definir primero el tipo de círculo y, a continuación, situar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos hablar del movimiento circular en términos de los pares de coordenadas. Hallar los valores de la función para el seno y el coseno Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la . El ángulo (en radianes) que t interseca forma un arco de longitud s . Si utilizamos la fórmula s = r t , y en el entendido de que r = 1 , vemos que, para un círculo unitario , s = t . Recordemos que los ejes de la x y de la y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Marcamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barrería un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes se denominan I, II, III y IV. Para cualquier ángulo t , podemos marcar la intersección del lado terminal y el círculo unitario por sus coordenadas, ( x , y ) . Las coordenadas de la x como y serán las salidas de las funciones trigonométricas f ( t ) = cos t y f ( t ) = sen t , respectivamente. Esto significa que x = cos t y y = sen t . Círculo unitario donde el ángulo central es t radianes Círculo unitario Un círculo unitario tiene un centro en ( 0 , 0 ) y radio 1 . En un círculo unitario, la longitud del arco intersecado es igual a la medida del radián del ángulo central t . Supongamos que ( x , y ) es el punto final en el círculo unitario de un arco de longitud de arco s . El punto ( x , y ) de este punto pueden describirse como funciones del ángulo. Definir las funciones seno y coseno Ahora, que tenemos marcado nuestro círculo unitario, podemos aprender cómo las coordenadas ( x , y ) se relacionan con la longitud del arco y el ángulo . La función seno relaciona un número real t con la coordenada de la y en el punto donde el ángulo correspondiente interseca el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo t es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t . En la , el seno es igual a y . Al igual que en todas las funciones, la función seno tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada de la y en el punto correspondiente en el círculo unitario. La función coseno de un ángulo t equivale al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t . En la , el coseno es igual a x . En el entendido de que el seno y el coseno son funciones, no es necesario escribirlas siempre con paréntesis: sen t es lo mismo que sen ( t ) y cos t es lo mismo que cos ( t ) . Igualmente, cos 2 t es una notación abreviada de uso común para ( cos ( t ) ) 2 . Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación abreviada. En caso de duda, utilice los paréntesis adicionales cuando introduzca los cálculos en una calculadora o una computadora. funciones seno y coseno Si los valores de t es un número real y un punto ( x , y ) en el círculo unitario corresponde a un ángulo de t , entonces cos t = x sen t = y Cómo Dado un punto P ( x , y ) en el círculo unitario correspondiente a un ángulo de t , hallar el seno y el coseno. El seno de t es igual a la coordenada de la y en el punto P : sen t = y . El coseno de t es igual a la coordenada de la x en el punto P : cos t = x . Hallar los valores de la función para el seno y el coseno El punto P es un punto en el círculo unitario que corresponde a un ángulo de t , como se muestra en la . Halle el cos ( t ) y sen ( t ) . Sabemos que cos t es la coordenada de la x en el punto correspondiente del círculo unitario y sen t es la coordenada de la y en el punto correspondiente del círculo unitario. Así que: x = cos t = 1 2 y = sen t = 3 2 Ejercicio Un cierto ángulo t corresponde a un punto en el círculo unitario en ( – 2 2 , 2 2 ) como se muestra en la . Halle cos t y sen t . cos ( t ) = - 2 2 , sen ( t ) = 2 2 Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje En los ángulos cuadrangulares, el punto correspondiente en el círculo unitario cae en el eje x o en el eje y . En ese caso, podemos calcular fácilmente el coseno y el seno a partir de los valores de x como y . Calcular el seno y el coseno a lo largo de un eje Halle cos ( 90° ) y sen ( 90° ) . Cuando movemos 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario desde el eje positivo x , nos lleva a la parte superior del círculo, donde las coordenadas ( x , y ) son (0, 1), como se muestra en la . Con nuestras definiciones de coseno y seno, x = cos t = cos ( 90° ) = 0 y = sen t = sen ( 90° ) = 1 El coseno de 90° es 0; el seno de 90° es 1. Ejercicio Hallar el coseno y el seno del ángulo π . cos ( π ) = - 1 , sen ( π ) = 0 La identidad pitagórica Ahora que podemos definir el seno y el coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación del círculo unitario es x 2 + y 2 = 1. Dado que x = cos t y y = sen t , podemos sustituir por x como y para obtener cos 2 t + sen 2 t = 1. Esta ecuación, cos 2 t + sen 2 t = 1 , se conoce como la identidad pitagórica . Vea la . Podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, y viceversa. Sin embargo, ya que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos conocer más acerca del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde se encuentra el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta. identidad pitagórica La identidad pitagórica afirma que, para cualquier número real t , cos 2 t + sen 2 t = 1 Cómo Dado el seno de algún ángulo t y su ubicación en el cuadrante, hallar el coseno de t . Sustituya el valor conocido de sen ( t ) en la identidad pitagórica. Resuelva para cos ( t ) . Elija la solución con el signo adecuado para los valores de x en el cuadrante donde se encuentra t . Hallar el coseno a partir de un seno o el seno a partir de un coseno Si los valores de sen ( t ) = 3 7 y t está en el segundo cuadrante, halle cos ( t ) . Si dejamos caer una línea vertical desde el punto del círculo unitario correspondiente a t , creamos un triángulo rectángulo, a partir del cual podemos ver que la identidad pitagórica es simplemente un caso del teorema de Pitágoras. Vea el . Sustituyendo el valor conocido del seno en la identidad pitagórica, cos 2 ( t ) + sen 2 ( t ) = 1 cos 2 ( t ) + 9 49 = 1 cos 2 ( t ) = 40 49 cos ( t ) = ± 40 49 = ± 40 7 = ± 2 10 7 Dado que el ángulo está en el segundo cuadrante, sabemos que el valor de x es un número real negativo, por lo que el coseno también es negativo. Así que cos ( t ) = - 2 10 7 Ejercicio Si los valores de cos ( t ) = 24 25 y t está en el cuarto cuadrante, halle sen ( t ) . sen ( t ) = - 7 25 Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos. Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45° En primer lugar, examinaremos los ángulos de 45° o π 4 , como se muestra en la . Un triángulo de 45° – 45° – 90° es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales. A t = π 4 , que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular . Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea y = x . Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea y = x tiene lados x como y ( y = x ) , y un radio = 1. Vea la . A partir del teorema de Pitágoras obtenemos x 2 + y 2 = 1 Al sustituir y = x , obtenemos x 2 + x 2 = 1 Al combinar términos similares obtenemos 2 x 2 = 1 Asimismo, al resolver para x , obtenemos x 2 = 1 2 x = ± 1 2 En el cuadrante I, x = 1 2 . En t = π 4 o 45 grados, ( x , y ) = ( x , x ) = ( 1 2 , 1 2 ) x = 1 2 , y = 1 2 cos t = 1 2 , sen t = 1 2 Si entonces racionalizamos los denominadores, obtenemos cos t = 1 2 2 2 = 2 2 sen t = 1 2 2 2 = 2 2 Por lo tanto, las coordenadas ( x , y ) de un punto en un círculo de radio 1 en un ángulo de 45° son ( 2 2 , 2 2 ) . Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de 30° , o π 6 . En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de 30° , y otro lado en un ángulo de −30° , como se muestra en la . Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán 60° , como se muestra en la . Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud 2 y , y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que r = 2 y o y = 1 2 r . Dado que sen t = y , sen ( π 6 ) = 1 2 r Además, ya que r = 1 en nuestro círculo unitario , sen ( π 6 ) = 1 2 ( 1 ) = 1 2 Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno. cos 2 π 6 + sen 2 ( π 6 ) = 1 cos 2 ( π 6 ) + ( 1 2 ) 2 = 1 cos 2 ( π 6 ) = 3 4 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . cos ( π 6 ) = ± 3 ± 4 = 3 2 Dado que y es positivo, elija la raíz positiva . Las coordenadas ( x , y ) para el punto en un círculo con radio 1 en un ángulo de 30° son ( 3 2 , 1 2 ) . En t = π 3 (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, B A D , como se muestra en la . El ángulo A tiene medida 60° . En el punto B , dibujamos un ángulo A B C con medida de 60° . Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180° , por lo que la medida del ángulo C también es 60° . Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero A B C tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1. La medida del ángulo A B D es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo A B C es de 60°. B D es la bisectriz perpendicular de A C , por lo que corta A C por la mitad. Esto significa que A D es 1 2 del radio, o 1 2 . Observe que A D es la coordenada de la x en el punto B , que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo B A D con hipotenusa de 1 y lado x de longitud 1 2 . A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos x 2 + y 2 = 1 Sustituyendo x = 1 2 , obtenemos ( 1 2 ) 2 + y 2 = 1 Resuelva para y , obtenemos 1 4 + y 2 = 1 y 2 = 1 - 1 4 y 2 = 3 4 y = ± 3 2 Dado que t = π 3 tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos y = 3 2 , el valor positivo. A t = π 3 (60°), las coordenadas ( x , y ) para el punto en un círculo con radio 1 en un ángulo de 60° son ( 1 2 , 3 2 ) , para que hallemos el seno y el coseno. ( x , y ) = ( 1 2 , 3 2 ) x = 1 2 , y = 3 2 cos t = 1 2 , sen t = 3 2 Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La resume estos valores. Ángulo 0 π 6 , o 30 π 4 , o 45° π 3 , o 60° π 2 , o 90° Coseno 1 3 2 2 2 1 2 0 Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 La muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno Para hallar el coseno y el seno de otros ángulos que no sean los ángulos especiales , recurrimos a la computadora o a la calculadora. Tenga en cuenta : La mayoría de las calculadoras pueden ponerse en modo "grados" o "radianes", lo que le indica las unidades del valor de entrada. Cuando evaluamos cos ( 30 ) en la calculadora, esta lo evaluará como el coseno de 30 grados si está en modo "grados", o el coseno de 30 radianes si está en modo "radianes". Cómo Dado un ángulo en radianes, utilizar una calculadora gráfica para hallar el coseno. Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián. Pulse la tecla COS. Introduzca el valor del radián del ángulo y pulse la tecla de cierre de paréntesis ")". Pulse ENTER. Usar la calculadora gráfica para hallar el seno y el coseno Evalúe cos ( 5 π 3 ) con la calculadora gráfica o la computadora. Pulse las siguientes teclas: COS ( 5 × π ÷ 3 ) ENTER cos ( 5 π 3 ) = 0,5 Análisis Podemos hallar el coseno o el seno de un ángulo en grados directamente en la calculadora en modo "grados". En el caso de las calculadoras o los programas informáticos que solo utilizan el modo "radianes", podemos hallar el seno de 20° , por ejemplo, al incluir el factor de conversión a radianes como parte de la entrada: SIN ( 20 × π ÷ 180 ) ENTER Ejercicio Evalúe sen ( π 3 ) . aproximadamente 0,866025403 Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que 2 π pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de x , y , y r , no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x , y puede ser cualquier número real. ¿Cuál es el rango de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de su salida? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario , como se muestra en la . Los límites de la coordenada de la x son [ −1 , 1 ] . Los límites de la coordenada de la y también son [ −1 , 1 ] . Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es [ −1 , 1 ] . Hallar ángulos de referencia Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y , pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo. Asimismo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x , pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor del seno será el opuesto al valor del seno del ángulo original. Como se muestra en la , el ángulo α tiene el mismo valor del seno que el ángulo t ; los valores del coseno son opuestos. El ángulo β tiene el mismo valor del coseno que el ángulo t ; los valores del seno son opuestos. sen ( t ) = sen ( α ) y cos ( t ) = - cos ( α ) sen ( t ) = - sen ( β ) y cos ( t ) = cos ( β ) Recordemos que el ángulo de referencia es el ángulo agudo, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. El ángulo de referencia es siempre un ángulo entre 0 y 90° , o 0 y π 2 radianes. Como podemos observar en la , para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I. Cómo Dado un ángulo entre 0 y 2 π , hallar su ángulo de referencia. Un ángulo en el primer cuadrante es su propio ángulo de referencia. Para un ángulo en el segundo o tercer cuadrante, el ángulo de referencia es | π − t | o | 180° −t | . Para un ángulo en el cuarto cuadrante, el ángulo de referencia es 2 π − t o 360° −t . Si un ángulo es menor que 0 o mayor que 2 π , sume o reste 2 π tantas veces como sea necesario para hallar un ángulo equivalente entre 0 y 2 π . Hallar el ángulo de referencia Calcule el ángulo de referencia de 225° como se muestra en la . Debido a que 225° está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es | ( 180° −225° ) | = | − 45° | = 45° Ejercicio Calcule el ángulo de referencia de 5 π 3 . π 3 Usar ángulos de referencia Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo . Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas ( x , y ) para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo. Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas Podemos hallar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y del seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de y en ese cuadrante. Usar ángulos de referencia para hallar el coseno y el seno Los ángulos tienen coseno y seno con el mismo valor absoluto que el coseno y seno de sus ángulos de referencia. El signo (positivo o negativo) se puede determinar a partir del cuadrante del ángulo. Cómo Dado un ángulo en posición estándar, hallar el ángulo de referencia, y el coseno y el seno del ángulo original. Mida el ángulo entre el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Ese es el ángulo de referencia. Determine los valores del coseno y del seno del ángulo de referencia. Otorgue al coseno el mismo signo que los valores de x en el cuadrante del ángulo original. Otorgue al seno el mismo signo que los valores de y en el cuadrante del ángulo original. Usar ángulos de referencia para hallar el seno y el coseno Ⓐ Con un ángulo de referencia, halle el valor exacto de cos ( 150° ) y sen ( 150° ) . Ⓑ Con el ángulo de referencia, calcule cos 5 π 4 y sen 5 π 4 . Ⓐ 150° se encuentra en el segundo cuadrante. El ángulo que forma con el eje x es de 180° - 150° = 30°, por lo que el ángulo de referencia es de 30°. Esto nos indica que 150° tiene los mismos valores de seno y coseno que 30°, excepto el signo. Sabemos que cos ( 30° ) = 3 2 y sen ( 30° ) = 1 2 . Dado que 150° está en el segundo cuadrante, la coordenada de la x del punto del círculo es negativa, por lo que el valor del coseno es negativo. La coordenada de la y es positiva, por lo que el valor del seno es positivo. cos ( 150° ) = - 3 2 y sen ( 150° ) = 1 2 Ⓑ 5 π 4 está en el tercer cuadrante. Su ángulo de referencia es 5 π 4 − π = π 4 . El coseno y el seno de π 4 son ambos 2 2 . En el tercer cuadrante, ambos x como y son negativos, por lo que: cos 5 π 4 = - 2 2 y sen 5 π 4 = - 2 2 Ejercicio Ⓐ Utilice el ángulo de referencia de 315° para calcular cos ( 315° ) y sen ( 315° ) . Ⓑ Utilice el ángulo de referencia de − π 6 para calcular cos ( - π 6 ) y sen ( - π 6 ) . Ⓐ cos ( 315 ° ) = 2 2 , sen ( 315 ° ) = – 2 2 Ⓑ cos ( - π 6 ) = 3 2 , sen ( - π 6 ) = - 1 2 Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas Ahora que hemos aprendido a calcular los valores del coseno y del seno para los ángulos especiales del primer cuadrante, podemos utilizar la simetría y los ángulos de referencia para completar los valores del coseno y del seno en el resto de los ángulos especiales del círculo unitario. Se muestran en la . Tómese su tiempo para aprender las coordenadas ( x , y ) de todos los ángulos mayores en el primer cuadrante. Ángulos especiales y coordenadas de los puntos correspondientes del círculo unitario Además de aprender los valores de los ángulos especiales, podemos utilizar los ángulos de referencia para hallar coordenadas ( x , y ) en cualquier punto del círculo unitario, con lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades x = cos t y = sen t Primero, hallamos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. A continuación, tomamos los valores del seno y del coseno del ángulo de referencia y les atribuimos los signos correspondientes a los valores de y y de x del cuadrante. Cómo Dado el ángulo de un punto de un círculo y su radio, hallar las coordenadas ( x , y ) del punto. Halle el ángulo de referencia al medir el ángulo más pequeño con respecto al eje x . Halle el coseno y el seno del ángulo de referencia. Determine los signos adecuados para la x como y en el cuadrante dado. Usar el círculo unitario para hallar coordenadas Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de 7 π 6 . Sabemos que el ángulo 7 π 6 está en el tercer cuadrante. En primer lugar, hallaremos el ángulo de referencia al medir el ángulo al eje x . Para hallar el ángulo de referencia de un ángulo cuyo lado terminal está en el cuadrante III, calculamos la diferencia del ángulo y π . 7 π 6 − π = π 6 A continuación, hallaremos el coseno y el seno del ángulo de referencia: cos ( π 6 ) = 3 2 sen ( π 6 ) = 1 2 Debemos determinar los signos adecuados para la x y la y en el cuadrante dado. Dado que nuestro ángulo original está en el tercer cuadrante, donde los valores tanto de la x como y son negativos, tanto el coseno como el seno son negativos. cos ( 7 π 6 ) = - 3 2 sen ( 7 π 6 ) = - 1 2 Ahora podemos calcular las coordenadas ( x , y ) por medio de las identidades x = cos θ y y = sen θ . Las coordenadas del punto son ( - 3 2 , - 1 2 ) en el círculo de la unidad. Ejercicio Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de 5 π 3 . ( 1 2 , - 3 2 ) Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones seno y coseno. Funciones trigonométricas con el círculo unitario Seno y coseno a partir del círculo unitario Seno y coseno a partir del círculo unitario y múltiplos de Pi divididos entre seis Seno y coseno del círculo unitario y múltiplos de Pi divididos entre cuatro Funciones trigonométricas con ángulos de referencia Ecuaciones clave Coseno cos t = x Seno sen t = y identidad pitagórica cos 2 t + sen 2 t = 1 Conceptos clave La búsqueda de los valores de las funciones del seno y del coseno comienza al dibujar un circulo unitario, centrado en el origen y con un radio de 1 unidad. Utilizando el círculo unitario, el seno de un ángulo t es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t mientras que el coseno de un ángulo t es igual al valor x del punto final. Vea el . Los valores del seno y del coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente del círculo unitario cae sobre un eje. Vea el . Cuando se conoce el seno o el coseno, podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el otro. La identidad pitagórica también sirve para determinar el seno y coseno de ángulos especiales. Vea el . Las calculadoras y los programas de gráficos son útiles para hallar el seno y el coseno si se conoce el procedimiento adecuado para introducir la información. Vea el . El dominio de las funciones seno y coseno son todos los números reales. El rango de las funciones seno y coseno es [ - 1 , 1 ] . El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia. Los signos del seno y del coseno se determinan a partir de los valores de x y de y en el cuadrante del ángulo original. El ángulo de referencia es el ángulo de tamaño, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Vea el . Los ángulos de referencia pueden utilizarse para hallar el seno y el coseno del ángulo original. Vea el . Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en un círculo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa el círculo unitario. El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen. ¿Qué representan las coordenadas de la x y de la y de los puntos en el círculo unitario? Comente sobre la diferencia entre un ángulo coterminal y un ángulo de referencia. Los ángulos coterminales comparten el mismo lado terminal. Un ángulo de referencia es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Explique en qué se diferencia el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante del coseno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario. Explique en qué se diferencia el seno de un ángulo en el segundo cuadrante del seno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario. Los valores del seno son iguales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice el signo dado de las funciones seno y coseno para hallar el cuadrante en el que se asienta el punto terminal determinado por t . sen ( t ) < 0 y cos ( t ) < 0 sen ( t ) > 0 y cos ( t ) > 0 I sen ( t ) > 0 y cos ( t ) < 0 sen ( t ) < 0 y cos ( t ) > 0 IV En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada función trigonométrica. sen π 2 sen π 3 3 2 cos π 2 cos π 3 1 2 sen π 4 cos π 4 2 2 sen π 6 sen π 0 sen 3 π 2 cos π −1 cos 0 cos π 6 3 2 sen 0 Numéricos En los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado. 240° 60° − 170° 100° 80° − 315° 135° 45° 5 π 4 2 π 3 π 3 5 π 6 − 11 π 3 π 3 − 7 π 4 − π 8 π 8 En los siguientes ejercicios, halle el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno y coseno de cada ángulo. Si el ángulo no es uno de los ángulos especiales del círculo unitario, utilice la calculadora y redondee a tres decimales. 225° 300° 60° , cuadrante IV, sen ( 300° ) = - 3 2 , cos ( 300° ) = 1 2 320° 135° 45° , cuadrante II, sen ( 135° ) = 2 2 , cos ( 135° ) = - 2 2 210° 120° 60° , cuadrante II, sen ( 120° ) = 3 2 , cos ( 120° ) = - 1 2 250° 150° 30° , cuadrante II, sen ( 150° ) = 1 2 , cos ( 150° ) = - 3 2 5 π 4 7 π 6 π 6 , Cuadrante III, sen ( 7 π 6 ) = - 1 2 , cos ( 7 π 6 ) = - 3 2 5 π 3 3 π 4 π 4 , cuadrante II, sen ( 3 π 4 ) = 2 2 , cos ( 4 π 3 ) = - 2 2 4 π 3 2 π 3 π 3 , cuadrante II, sen ( 2 π 3 ) = 3 2 , cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 5 π 6 7 π 4 π 4 , cuadrante IV, sen ( 7 π 4 ) = - 2 2 , cos ( 7 π 4 ) = 2 2 En los siguientes ejercicios, halle el valor solicitado. Si los valores de cos ( t ) = 1 7 y t está en el 4. o cuadrante, halle sen ( t ) . Si los valores de cos ( t ) = 2 9 y t está en el 1. o cuadrante, halle sen ( t ) . 77 9 Si los valores de sen ( t ) = 3 8 y t está en el 2. o cuadrante, halle cos ( t ) . Si los valores de sen ( t ) = - 1 4 y t está en el 3. o cuadrante, halle cos ( t ) . − 15 4 Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 15 correspondiente a un ángulo de 220° . Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 20 correspondiente a un ángulo de 120° . ( − 10 , 10 3 ) Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 8 correspondiente a un ángulo de 7 π 4 . Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 16 correspondiente a un ángulo de 5 π 9 . ( – 2,778 , 15,757 ) Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el punto dado en el circulo unitario para hallar el valor del seno y el coseno de t . sen t = 1 2 , cos t = - 3 2 sen t = - 2 2 , cos t = - 2 2 sen t = 3 2 , cos t = - 1 2 sen t = - 2 2 , cos t = 2 2 sen t = 0 , cos t = - 1 sen t = − 0,596 , cos t = 0,803 sen t = 1 2 , cos t = 3 2 sen t = - 1 2 , cos t = 3 2 sen t = 0,761 , cos t = − 0,649 sen t = 1 , cos t = 0 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar. sen 5 π 9 cos 5 π 9 -0,1736 sen π 10 cos π 10 0,9511 sen 3 π 4 cos 3 π 4 -0,7071 sen 98° cos 98° -0,1392 cos 310° sen 310° -0,7660 Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe. sen ( 11 π 3 ) cos ( - 5 π 6 ) sen ( 3 π 4 ) cos ( 5 π 3 ) 2 4 sen ( - 4 π 3 ) cos ( π 2 ) sen ( − 9 π 4 ) cos ( - π 6 ) − 6 4 sen ( π 6 ) cos ( - π 3 ) sen ( 7 π 4 ) cos ( – 2 π 3 ) 2 4 cos ( 5 π 6 ) cos ( 2 π 3 ) cos ( - π 3 ) cos ( π 4 ) 2 4 sen ( - 5 π 4 ) sen ( 11 π 6 ) sen ( π ) sen ( π 6 ) 0 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un niño se sube a un carrusel que tarda un minuto en dar una vuelta. El niño entra en el punto ( 0 , 1 ) , es decir, en la posición hacia el norte. Supongamos que el carrusel gira en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 45 segundos? ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 90 segundos? ( 0 , – 1 ) ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 125 segundos? ¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas ( 0,707 , –0,707 ) si el viaje dura 6 minutos? (Son varias las respuestas). 37,5 segundos, 97,5 segundos, 157,5 segundos, 217,5 segundos, 277,5 segundos, 337,5 segundos ¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas ( -0,866 , -0,5 ) si el viaje dura 6 minutos? función coseno el valor de x del punto del círculo unitario correspondiente a un ángulo determinado identidad pitagórica corolario del teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado del coseno de un ángulo dado más el cuadrado del seno de ese ángulo es igual a 1 función seno el valor de y del punto del círculo unitario correspondiente a un ángulo determinado círculo unitario un círculo con centro en ( 0 , 0 ) y radio 1.

Matemáticas


Las otras funciones trigonométricas Una rampa para sillas de ruedas que cumpla las normas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente sea 1 12 o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa un cociente, por lo que esto significa que por cada 1 pulgada de subida, la rampa deberá tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos, independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntas forman el conjunto de las seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes. Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto ( x , y ) correspondiente a un ángulo de t , como se muestra en la . Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas ( x , y ) para hallar las otras funciones. La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y , y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la , la tangente del ángulo t es igual a y x , x ≠0. Debido a que el valor de y es igual al seno de t , y el valor de x es igual al coseno de t , la tangente del ángulo t también puede definirse como sen t cos t , cos t ≠ 0 . La función tangente se abrevia como tan . Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido. La función secante es la recíproca de la función coseno. En la , la secante del ángulo t es igual a 1 cos t = 1 x , x ≠ 0 . La función secante se abrevia como sec . La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la , la cotangente del ángulo t es igual a cos t sen t = x y , y ≠ 0 . La función cotangente se abrevia como cot . La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la , la cosecante del ángulo t es igual a 1 sen t = 1 y , y ≠ 0 . La función cosecante se abrevia como csc . Funciones tangente, secante, cosecante y cotangente Si los valores de t es un número real y ( x , y ) es un punto donde el lado terminal de un ángulo de t radianes interseca el círculo unitario, entonces tan t = y x , x ≠ 0 sec t = 1 x , x ≠ 0 csc t = 1 y , y ≠ 0 cot t = x y , y ≠ 0 Hallar funciones trigonométricas a partir de un punto en el círculo unitario El punto ( - 3 2 , 1 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la . Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . Ya que sabemos que las coordenadas ( x , y ) del punto del círculo unitario indicado por el ángulo t , podemos utilizar esas coordenadas para determinar las seis funciones: sen t = y = 1 2 cos t = x = - 3 2 tan t = y x = 1 2 - 3 2 = 1 2 ( – 2 3 ) = - 1 3 = - 3 3 sec t = 1 x = 1 - 3 2 = - 2 3 = - 2 3 3 csc t = 1 y = 1 1 2 = 2 cot t = x y = - 3 2 1 2 = - 3 2 ( 2 1 ) = - 3 Ejercicio El punto ( 2 2 , - 2 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la . Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . sen t = - 2 2 , cos t = 2 2 , tan t = - 1 , sec t = 2 , csc t = - 2 , cot t = - 1 Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t cuando t = π 6 . Anteriormente hemos utilizado las propiedades de los triángulos equiláteros para demostrar que sen π 6 = 1 2 y cos π 6 = 3 2 . Podemos utilizar estos valores y las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente como funciones del seno y del coseno para calcular los valores restantes de la función. tan π 6 = sen π 6 cos π 6 = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 sec π 6 = 1 cos π 6 = 1 3 2 = 2 3 = 2 3 3 csc π 6 = 1 sen π 6 = 1 1 2 = 2 cot π 6 = cos π 6 sen π 6 = 3 2 1 2 = 3 Ejercicio Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t cuando t = π 3 . sen π 3 = 3 2 , cos π 3 = 1 2 , tan π 3 = 3 , sec π 3 = 2 , csc π 3 = 2 3 3 , cot π 3 = 3 3 Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer x igual al coseno, así como y igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la . Ángulo 0 π 6 , o 30°. π 4 , o 45°. π 3 , o 60°. π 2 , o 90°. Coseno 1 3 2 2 2 1 2 0 Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 Tangente 0 3 3 1 3 Indefinida Secante 1 2 3 3 2 2 Indefinida Cosecante Indefinida 2 2 2 3 3 1 Cotangente Indefinida 3 1 3 3 0 Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante. Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es " A ", “ a ll” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, " S mart”, solo el s eno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, " T rig”, solo la t angente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, " C lass,” (clase) solo el c oseno y su función recíproca, la secante, son positivos. Cómo Dado un ángulo que no está en el primer cuadrante, utilizar los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas. Mida el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Este es el ángulo de referencia. Evalúe la función en el ángulo de referencia. Observe el cuadrante donde se encuentra el lado terminal del ángulo original. Con base en el cuadrante, determine si la salida es positiva o negativa. Usar ángulos de referencia para hallar funciones trigonométricas Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de − 5 π 6 . El ángulo entre el lado terminal de este ángulo y el eje x es π 6 , por lo que ese es el ángulo de referencia. Dado que − 5 π 6 está en el tercer cuadrante, donde tanto x como y son negativos, el coseno, el seno, la secante y la cosecante serán negativos, mientras que la tangente y la cotangente serán positivas. cos ( - 5 π 6 ) = - 3 2 , sen ( - 5 π 6 ) = - 1 2 , tan ( - 5 π 6 ) = 3 3 sec ( - 5 π 6 ) = - 2 3 3 , csc ( - 5 π 6 ) = - 2 , cot ( - 5 π 6 ) = 3 Ejercicio Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de − 7 π 4 . sen ( − 7 π 4 ) = 2 2 , cos ( − 7 π 4 ) = 2 2 , tan ( − 7 π 4 ) = 1 , sec ( − 7 π 4 ) = 2 , csc ( − 7 π 4 ) = 2 , cot ( − 7 π 4 ) = 1 Usar funciones trigonométricas pares e impares Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto. Considere la función f ( x ) = x 2 , que se muestra en la . El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y . A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: ( 4 ) 2 = ( –4 ) 2 , ( −5 ) 2 = ( 5 ) 2 , y así sucesivamente. Así que f ( x ) = x 2 es una función par , una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que f ( - x ) = f ( x ) . La función f ( x ) = x 2 es una función par. Consideremos ahora la función f ( x ) = x 3 , que se muestra en la . El gráfico no es simétrico con respecto al eje y . A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que f ( x ) = x 3 es una función impar , una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que f ( - x ) = - f ( x ) . La función f ( x ) = x 3 es una función impar. Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la . El seno del ángulo positivo es y . El seno del ángulo negativo es - y . La función seno , entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la . sen t = y sen ( − t ) = - y sen t ≠ sen ( − t ) cos t = x cos ( − t ) = x cos t = cos ( − t ) tan ( t ) = y x tan ( − t ) = - y x tan t ≠ tan ( − t ) sec t = 1 x sec ( − t ) = 1 x sec t = sec ( − t ) csc t = 1 y csc ( − t ) = 1 - y csc t ≠ csc ( − t ) cot t = x y cot ( − t ) = x - y cot t ≠ cot ( − t ) Funciones trigonométricas pares e impares La función par es aquella en la que f ( - x ) = f ( x ) . Una función impar es aquella en la que f ( - x ) = - f ( x ) . El coseno y la secante son pares: cos ( − t ) = cos t sec ( − t ) = sec t El seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares: sen ( − t ) = - sen t tan ( − t ) = - tan t csc ( − t ) = - csc t cot ( − t ) = - cot t Usar las propiedades pares e impares de las funciones trigonométricas Si la secante del ángulo t es 2, ¿cuál es la secante de − t ? La secante es una función par. La secante de un ángulo es igual a la secante de su opuesto. Por lo tanto, si la secante del ángulo t es 2, la secante de − t también será 2. Ejercicio Si la cotangente del ángulo t es 3 , ¿cuál es la cotangente de − t ? - 3 Reconocer y utilizar las identidades fundamentales Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno. Identidades fundamentales Podemos derivar algunas identidades útiles de las seis funciones trigonométricas. Las otras cuatro funciones trigonométricas pueden relacionarse con las funciones seno y coseno por medio de estas relaciones básicas: tan t = sen t cos t sec t = 1 cos t csc t = 1 sen t cot t = 1 tan t = cos t sen t Usar identidades para evaluar funciones trigonométricas Ⓐ Dados sen ( 45° ) = 2 2 , cos ( 45° ) = 2 2 , evaluar tan ( 45° ) . Ⓑ Dados sen ( 5 π 6 ) = 1 2 , cos ( 5 π 6 ) = - 3 2 , evalúe sec ( 5 π 6 ) . Ya que conocemos los valores del seno y del coseno de estos ángulos, podemos utilizar las identidades para evaluar las demás funciones. Ⓐ tan ( 45° ) = sen ( 45° ) cos ( 45° ) = 2 2 2 2 = 1 Ⓑ sec ( 5 π 6 ) = 1 cos ( 5 π 6 ) = 1 - 3 2 = - 2 3 = - 2 3 3 Ejercicio Evalúe csc ( 7 π 6 ) . - 2 Usar identidades para simplificar expresiones trigonométricas Simplifique sec t tan t . Podemos simplificar esto al reescribir ambas funciones en términos de seno y coseno. sec t tan t = 1 cos t sen t cos t Para dividir las funciones, multiplicamos por el recíproco . = 1 cos t cos t sen t Dividimos los cosenos . = 1 sen t Simplificamos y utilizamos la identidad . = csc t Al demostrar que sec t tan t puede simplificarse a csc t , hemos establecido, de hecho, una nueva identidad. sec t tan t = csc t Ejercicio Simplifique ( tan t ) ( cos t ) . sen t Formas alternativas de la identidad pitagórica Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica , cos 2 t + sen 2 t = 1. Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre cos 2 t : cos 2 t cos 2 t + sen 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t 1 + tan 2 t = sec 2 t La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre sen 2 t : cos 2 t sen 2 t + sen 2 t sen 2 t = 1 sen 2 t cot 2 t + 1 = csc 2 t Formas alternativas de la identidad pitagórica 1 + tan 2 t = sec 2 t cot 2 t + 1 = csc 2 t Usar identidades para relacionar funciones trigonométricas Si los valores de cos ( t ) = 12 13 y t está en el cuadrante IV, como se indica en la , halle los valores de las otras cinco funciones trigonométricas. Podemos hallar el seno mediante la identidad pitagórica, cos 2 t + sen 2 t = 1 , y las funciones restantes al relacionarlas con el seno y el coseno. ( 12 13 ) 2 + sen 2 t = 1 sen 2 t = 1 - ( 12 13 ) 2 sen 2 t = 1 − 144 169 sen 2 t = 25 169 sen t = ± 25 169 sen t = ± 25 169 sen t = ± 5 13 El signo del seno depende de los valores de y en el cuadrante donde se encuentra el ángulo. Dado que el ángulo está en el cuadrante IV, donde los valores de y son negativos, su seno es negativo, − 5 13 . El resto de las funciones puede calcularse mediante identidades que las relacionen con el seno y el coseno. tan t = sen t cos t = - 5 13 12 13 = - 5 12 sec t = 1 cos t = 1 12 13 = 13 12 csc t = 1 sen t = 1 - 5 13 = - 13 5 cot t = 1 tan t = 1 - 5 12 = − 12 5 Ejercicio Si los valores de sec ( t ) = − 17 8 y 0 < t < π , halle los valores de las otras cinco funciones. cos t = - 8 17 , sen t = 15 17 , tan t = - 15 8 csc t = 17 15 , cot t = - 8 15 Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica . Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o 2 π , dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas. Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de x representa el tiempo de duración, medido en años, y f ( x ) representa el número de días en el mes de febrero, entonces f ( x + 4 ) = f ( x ) . Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días. Periodo de una función El periodo P de una función repetitiva f es el número que representa el intervalo tal que f ( x + P ) = f ( x ) para cualquier valor de x . El periodo de las funciones coseno, seno, secante y cosecante es 2 π . El periodo de las funciones tangente y cotangente es π . Hallar los valores de las funciones trigonométricas Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t con base en la . sen t = y = - 3 2 cos t = x = - 1 2 tan t = sen t cos t = - 3 2 – 1 2 = 3 sec t = 1 cos t = 1 - 1 2 = - 2 csc t = 1 sen t = 1 - 3 2 = - 2 3 3 cot t = 1 tan t = 1 3 = 3 3 Ejercicio Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t con base en la sen t = - 1 , cos t = 0 , tan t = Indefinida sec t = Indefinido, csc t = - 1 , cot t = 0 Hallar el valor de las funciones trigonométricas Si los valores de sen ( t ) = - 3 2 y cos ( t ) = 1 2 , calcule sec ( t ) , csc ( t ) , tan ( t ) , cot ( t ) . sec t = 1 cos t = 1 1 2 = 2 csc t = 1 sen t = 1 - 3 2 - 2 3 3 tan t = sen t cos t = - 3 2 1 2 = - 3 cot t = 1 tan t = 1 - 3 = - 3 3 Ejercicio Si los valores de sen ( t ) = 2 2 y cos ( t ) = 2 2 , calcule sec ( t ) , csc ( t ) , tan ( t ) , y cot ( t ) . sec t = 2 , csc t = 2 , tan t = 1 , cot t = 1 Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo. Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente. Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión π 180 para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de 30° , podríamos pulsar (en una calculadora científica): 1 30 × π 180 COS o (en una calculadora gráfica): 1 cos ( 30 π 180 ) Cómo Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una calculadora científica para hallar la cosecante. Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián. Ingrese: 1 / Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis. Presione la tecla SIN (SEN). Pulse la tecla =. Cómo Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una herramienta gráfica o calculadora gráfica para hallar la cosecante. Si la herramienta gráfica tiene modo de grados y modo de radianes, configúrela al modo de radianes. Ingrese: 1 / Presione la tecla SIN (SEN). Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis. Pulse la tecla ENTER. Evaluar la cosecante mediante la tecnología Evalúe la cosecante de 5 π 7 . En una calculadora científica, introduzca la información de la siguiente manera: 1 / ( 5 × π / 7 ) SIN = csc ( 5 π 7 ) ≈ 1,279 Ejercicio Evalúe la cotangente de − π 8 . ≈ − 2,414 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con otras funciones trigonométricas. Determinar los valores de la función trigonométrica Más ejemplos de determinación de funciones trigonométricas Identidades pitagóricas Funciones trigonométricas en la calculadora Ecuaciones clave Función tangente tan t = sen t cos t Función secante sec t = 1 cos t Función cosecante csc t = 1 sen t Función cotangente cot t = 1 tan t = cos t sen t Conceptos clave La tangente de un ángulo es el cociente del valor de y con el valor de x del punto correspondiente en el círculo unitario. La secante, la cotangente y la cosecante son recíprocas de otras funciones. La secante es la recíproca de la función coseno, la cotangente es la recíproca de la función tangente y la cosecante es la recíproca de la función seno. Las seis funciones trigonométricas se determinan a partir de un punto en el círculo unitario. Vea el . Las funciones trigonométricas también se determinan a partir de un ángulo. Vea el . Las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante se determinan con ángulos de referencia. Vea el . Se dice que una función es par si f ( - x ) = f ( x ) e impar si f ( - x ) = - f ( x ) . El coseno y la secante son pares; el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares. Las propiedades pares e impares se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el . La identidad pitagórica permite hallar el coseno a partir del seno o el seno a partir del coseno. Las identidades se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el y el . Las identidades fundamentales, como la identidad pitagórica, pueden manipularse algebraicamente para producir nuevas identidades. Vea el . Las funciones trigonométricas se repiten a intervalos regulares. El periodo P de una función repetitiva f es el intervalo más pequeño, tal que f ( x + P ) = f ( x ) para cualquier valor de x . Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales se determinan mediante un análisis matemático. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, podemos utilizar una calculadora o un programa informático. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En un intervalo de [ 0 , 2 π ) , ¿los valores del seno y del coseno de una medición de radián pueden ser iguales? Si es así, ¿dónde? Sí, cuando el ángulo de referencia es π 4 y el lado terminal del ángulo está en los cuadrantes I y III. Así, en x = π 4 , 5 π 4 , los valores del seno y del coseno son iguales. ¿Cuál sería la estimación del coseno de π grados? Explique su razonamiento. Para cualquier ángulo del cuadrante II, si conociera el seno del ángulo, ¿cómo podría determinar el coseno? Sustituya el seno del ángulo por y en el teorema de Pitágoras x 2 + y 2 = 1. Resuelva para x y tome la solución negativa. Describa la función secante. La tangente y la cotangente tienen un período de π . ¿Qué nos dice esto sobre la salida de estas funciones? Las salidas de la tangente y la cotangente se repetirán cada π unidades. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión. tan π 6 sec π 6 2 3 3 csc π 6 cot π 6 3 tan π 4 sec π 4 2 csc π 4 cot π 4 1 tan π 3 sec π 3 2 csc π 3 cot π 3 3 3 En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión. tan 5 π 6 sec 7 π 6 - 2 3 3 csc 11 π 6 cot 13 π 6 3 tan 7 π 4 sec 3 π 4 - 2 csc 5 π 4 cot 11 π 4 −1 tan 8 π 3 sec 4 π 3 −2 csc 2 π 3 cot 5 π 3 - 3 3 tan 225° sec 300° 2 csc 150° cot 240° 3 3 tan 330° sec 120° −2 csc 210° cot 315° −1 Si los valores de sen t = 3 4 , y t están en el cuadrante II, halle cos t , sec t , csc t , tan t , cot t . Si los valores de cos t = - 1 3 , y t están en el cuadrante III, halle sen t , sec t , csc t , tan t , cot t . Si los valores de sen t = - 2 2 3 , sec t = - 3 , csc t = - 3 2 4 , tan t = 2 2 , cot t = 2 4 Si tan t = 12 5 , y 0 ≤ t < π 2 , calcule sen t , cos t , sec t , csc t , y cot t . Si los valores de sen t = 3 2 y cos t = 1 2 , calcule sec t , csc t , tan t , y cot t . sec t = 2 , csc t = 2 3 3 , tan t = 3 , cot t = 3 3 Si los valores de sen 40° ≈ 0,643 y cos 40° ≈ 0,766 calcule sec 40° , csc 40° , tan 40° y cot y 40° . Si los valores de sen t = 2 2 , ¿cuál es el sen ( − t ) ? - 2 2 Si los valores de cos t = 1 2 , ¿cuál es el cos ( − t ) ? Si los valores de sec t = 3,1 , ¿cuál es el sec ( − t ) ? 3,1 Si los valores de csc t = 0,34 , ¿cuál es el csc ( − t ) ? Si tan t = − 1,4 , ¿cuál es la tan ( − t ) ? 1,4 Si los valores de cot t = 9,23 , ¿cuál es la cot ( − t ) ? Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el ángulo en el círculo unitario para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas. sen t = 2 2 , cos t = 2 2 , tan t = 1 , cot t = 1 , sec t = 2 , csc t = 2 sen t = - 3 2 , cos t = - 1 2 , tan t = 3 , cot t = 3 3 , sec t = - 2 , csc t = - 2 3 3 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar. csc 5 π 9 cot 4 π 7 –0,228 sec π 10 tan 5 π 8 –2,414 sec 3 π 4 csc π 4 1,414 tan 98° cot 33° 1,540 cot 140° sec 310° 1,556 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para evaluar la expresión. Si los valores de tan ( t ) ≈ 2,7 , y sen ( t ) ≈ 0,94 , calcule cos ( t ) . Si tan ( t ) ≈ 1.3 , y cos ( t ) ≈ 0,61 , calcule sen ( t ) . sen ( t ) ≈ 0,79 Si los valores de csc ( t ) ≈ 3,2 , y cos ( t ) ≈ 0,95 , calcule tan ( t ) . Si los valores de cot ( t ) ≈ 0,58 , y cos ( t ) ≈ 0,5 , calcule csc ( t ) . csc t ≈ 1,16 Determine si la función f ( x ) = 2 sen x cos x es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función f ( x ) = 3 sen 2 x cos x + sec x es par, impar o ninguna de las dos. números Determine si la función f ( x ) = sen x - 2 cos 2 x es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función f ( x ) = csc 2 x + sec x es par, impar o ninguna de las dos. números En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para simplificar la expresión. csc t tan t sec t csc t sen t cos t = tan t Aplicaciones en el mundo real La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h = 15 cos ( 1 600 d ) , donde h representa las horas de luz solar y d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 11 de febrero, el 42. º día del año. Indique el periodo de la función. La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h = 16 cos ( 1 500 d ) , donde h representa las horas de luz solar y d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 24 de septiembre, el 267. º día del año. Indique el periodo de la función. 13,77 horas, periodo: 1.000 π La ecuación P = 20 sen ( 2 π t ) + 100 modela la presión arterial, P , donde t representa el tiempo en segundos. (a) Halle la presión arterial después de 15 segundos. (b) ¿Cuál es la sístole y la diástole? La altura de un pistón, h , en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y = 2 cos x + 6 , donde x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55° . 7,73 pulgadas La altura de un pistón, h , en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y = 2 cos x + 5 , donde x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55° . cosecante el recíproco de la función seno: en el círculo unitario, csc t = 1 y , y ≠ 0 cotangente el recíproco de la función tangente: en el círculo unitario, cot t = x y , y ≠ 0 identidades enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen periodo el intervalo más corto P de una función repetitiva f tal que f ( x + P ) = f ( x ) secante el recíproco de la función coseno: en el círculo unitario, sec t = 1 x , x ≠ 0 tangente el cociente del seno y el coseno: en el círculo unitario, tan t = y x , x ≠ 0

Matemáticas


Trigonometría de triángulos rectángulos Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo: cos t = x sen t = y En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos . Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas . En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de t es su valor en t radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto ( x , y ) al eje x , tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud y y cuyo lado horizontal tiene una longitud x . Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo. Sabemos que cos t = x 1 = x Asimismo, sabemos que sen t = y 1 = y Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas ( x , y ) . Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de x , llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado t . (Adyacente significa “junto a”). En lugar de y , llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo t . Finalmente, en lugar de 1 , llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la . Los lados de un triángulo rectángulo en relación con el ángulo t . Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de t , sen ( t ) = opuesto hipotenusa cos ( t ) = adyacente hipotenusa tan ( t ) = opuesto adyacente Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de " S eno es o puesto sobre la h ipotenusa, C oseno es a dyacente sobre la h ipotenusa, T angente es o puesto sobre el a dyacente”. Cómo Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, hallar el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo. Halle el seno como el cociente del lado opuesto a la hipotenusa. Halle el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa. Halle la tangente como el cociente del lado opuesto al lado adyacente. Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo Dado el triángulo que figura en la , calcule el valor de cos α . El lado adyacente al ángulo es 15, y la hipotenusa del triángulo es 17, por lo que cos ( α ) = adyacente hipotenusa = 15 17 Ejercicio Dado el triángulo que se muestra en la , calcular el valor de sen t . 7 25 Relacionar los ángulos y sus funciones Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la . El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa. El lado adyacente a un ángulo es opuesto al otro. Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente. Cómo Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evaluar las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos. Si es necesario, dibuje el triángulo rectángulo y marque el ángulo suministrado. Identifique el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Halle la función requerida: el seno como el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa la tangente como el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente el secante como el cociente entre la hipotenusa y el lado adyacente el cosecante como el cociente entre la hipotenusa y el lado opuesto la cotangente como el cociente entre el lado adyacente y el lado opuesto Evaluar funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar Con el triángulo que aparece en la , evalúe sen α , cos α , tan α , sec α , csc α , y cot α . sen α = opuesto α hipotenusa = 4 5 cos α = junto a α hipotenusa = 3 5 tan α = opuesto α junto a α = 4 3 sec α = hipotenusa junto a α = 5 3 csc α = hipotenusa opuesto α = 5 4 cot α = junto a α opuesto α = 3 4 Ejercicio Con el triángulo que aparece en la , evalúe sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . s i t t = 33 65 , cos t = 56 65 , t a n t = 33 56 , sec t = 65 56 , csc t = 65 33 , cot t = 56 33 Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de 30° , 60° , y 45° , sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre 0° y 90º . Supongamos que tenemos un triángulo de 30° , 60° , 9 0° , que también puede describirse como un triángulo de π 6 , π 3 , π 2 . Los lados tienen longitudes en la relación s , 3 s , 2 s . Los lados de un triángulo de 45° , 45° , 90° , que también puede describirse como un triángulo de π 4 , π 4 , π 2 , tienen longitudes en la relación s , s , 2 s . Estas relaciones se muestran en la . Longitudes laterales de los triángulos especiales A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales. Cómo Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evaluar con las longitudes laterales. Utilice las longitudes laterales que figuran en la para el ángulo especial que desea evaluar. Utilice el cociente de longitudes laterales, adecuado a la función que desea evaluar. Evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales con las longitudes laterales Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 3 , con las longitudes laterales. sen ( π 3 ) = opp hyp = 3 s 2 s = 3 2 cos ( π 3 ) = adj hyp = s 2 s = 1 2 tan ( π 3 ) = opp adj = 3 s s = 3 sec ( π 3 ) = hyp adj = 2 s s = 2 csc ( π 3 ) = hyp opp = 2 s 3 s = 2 3 = 2 3 3 cot ( π 3 ) = adj opp = s 3 s = 1 3 = 3 3 Ejercicio Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 4 , con las longitudes laterales. sen ( π 4 ) = 1 2 , cos ( π 4 ) = 1 2 , tan ( π 4 ) = 1 , sec ( π 4 ) = 2 , c s c ( π 4 ) = 2 , cot ( π 4 ) = 1 Usar la cofunción igual de los complementos Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de π 6 y π 3 , vemos que el seno de π 3 , a saber 3 2 , es también el coseno de π 6 , mientras que el seno de π 6 , a saber 1 2 , es también el coseno de π 3 . sen π 3 = cos π 6 = 3 s 2 s = 3 2 sen π 6 = cos π 3 = s 2 s = 1 2 Vea la El seno de π 3 es igual al coseno de π 6 y viceversa. Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la , el lado opuesto al ángulo de π 3 es también el lado adyacente a π 6 , por lo que sen ( π 3 ) y cos ( π 6 ) son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados, 3 s y 2 s . De la misma manera, cos ( π 3 ) y sen ( π 6 ) también son la misma proporción con los mismos dos lados, s y 2 s . La interrelación entre el seno y el coseno de π 6 y π 3 también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman π , y el ángulo rectángulo es π 2 , los dos ángulos restantes también deberán sumar π 2 . Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen π 2 ; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción : Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la . Identidad de la cofunción de seno y coseno de ángulos complementarios Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de π 12 es igual al coseno de 5 π 12 , y que el seno de 5 π 12 es igual al coseno de π 12 . También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo t , cos t = 5 13 , entonces sen ( π 2 - t ) = 5 13 también. Identidades de la cofunción Las identidades de la cofunción en radianes figuran en la . cos t = sen ( π 2 - t ) sen t = cos ( π 2 - t ) tan t = cot ( π 2 - t ) cot t = tan ( π 2 - t ) sec t = csc ( π 2 - t ) csc t = sec ( π 2 - t ) Cómo Dados el seno y el coseno de un ángulo, halle el seno o coseno de su complemento. Para determinar el seno del ángulo complementario, halle el coseno del ángulo original. Para determinar el coseno del ángulo complementario, halle el seno del ángulo original. Usar las identidades de la cofunción Si los valores de sen t = 5 12 , calcule cos ( π 2 - t ) . Según las identidades de la cofunción para el seno y el coseno, sen t = cos ( π 2 - t ) . Así que cos ( π 2 - t ) = 5 12 . Ejercicio Si los valores de csc ( π 6 ) = 2 , calcule sec ( π 3 ) . 2 Usar las funciones trigonométricas En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados. Cómo Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, hallar los lados restantes. Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado de la incógnita como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador. Escriba una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual al cociente de los lados correspondientes. Utilizando el valor de la función trigonométrica y la longitud lateral conocida, resuelva la longitud lateral que falta. Hallar las longitudes de los lados que faltan por medio de los cocientes trigonométricos Halle los lados de la incógnita del triángulo en la . Conocemos el ángulo y el lado opuesto, así que podemos usar la tangente para dar con el lado adyacente. tan ( 30° ) = 7 a Reordenamos para resolver a . a = 7 tan ( 30° ) ≈ 12,1 Podemos utilizar el seno para hallar la hipotenusa. sen ( 30° ) = 7 c De nuevo, reordenamos para resolver c . c = 7 sen ( 30° ) ≈ 14 Ejercicio Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de π 3 e hipotenusa de 20. Halle los lados y el ángulo de la incógnita del triángulo. adyacente = 10 ; opuesto = 10 3 ; el ángulo que falta es π 6 Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la . Cómo Dado un objeto alto, medir su altura indirectamente. Haga un esquema de la situación del problema para tener en cuenta la información conocida y desconocida. Establezca una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto en el que la parte superior del objeto sea claramente visible. En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mida el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal. Escriba una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión. Resuelva la ecuación para la altura desconocida. Medir una distancia de manera indirecta Para calcular la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto situado a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57° entre una línea de visión hacia la copa del árbol y el suelo, como se muestra en la . Calcule la altura del árbol. Sabemos que el ángulo de elevación es 57° y el lado adyacente es de 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida. La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Por lo tanto, plantearemos nuestra información en términos de la tangente de 57° , supongamos que h es la altura desconocida. tan θ = opuesto adyacente tan ( 57° ) = h 30 Resuelva para h . h = 30 tan ( 57° ) Multiplique . h ≈ 46,2 Utilice la calculadora . El árbol tiene aproximadamente 46 pies de altura. Ejercicio ¿Qué longitud se necesita en una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies del suelo si la escalera se apoya en el edificio formando un ángulo de 5 π 12 con el suelo? Redondee al pie más cercano. Unos 52 pies Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la trigonometría de triángulos rectángulos. Hallar funciones trigonométricas en la calculadora Hallar funciones trigonométricas con un triángulo rectángulo Relacionar las funciones trigonométricas con los lados de un triángulo rectángulo Determinar seis funciones trigonométricas a partir de un triángulo Determinar la longitud del lado del triángulo rectángulo Ecuaciones clave Identidades de la cofunción cos t = sen ( π 2 - t ) sen t = cos ( π 2 - t ) tan t = cot ( π 2 - t ) cot t = tan ( π 2 - t ) sec t = csc ( π 2 - t ) csc t = sec ( π 2 - t ) Conceptos clave Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el . Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el . Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el . Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el . Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas. Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el . La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles. La altura o distancia desconocida se determina al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En el triángulo rectángulo dado, marque el lado adyacente, el lado opuesto y la hipotenusa para el ángulo indicado. Cuando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 se coloca en el círculo unitario, ¿qué lados del triángulo corresponden a las coordenadas de la x y de la y ? ¿La tangente de un ángulo compara qué lados del triángulo rectángulo? La tangente de un ángulo es el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente. ¿Cuál es la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Explique la identidad de la cofunción. Por ejemplo, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento; el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios. cos ( 34° ) = sen ( __° ) cos ( π 3 ) = sen (___) π 6 csc ( 21° ) = sec ( ___° ) tan ( π 4 ) = cot ( __ ) π 4 En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado a es el ángulo opuesto A , el lado b es el ángulo opuesto B , y el lado c es la hipotenusa. cos B = 4 5 , a = 10 sen B = 1 2 , a = 20 b = 20 3 3 , c = 40 3 3 tan A = 5 12 , b = 6 tan A = 100 , b = 100 a = 10 . 000 , c = 10 , 000,5 sen B = 1 3 , a = 2 a = 5 , ∡ A = 60 ∘ b = 5 3 3 , c = 10 3 3 c = 12 , ∡ A = 45 ∘ Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica del ángulo A . sen A 5 29 29 cos A tan A 5 2 csc A sec A 29 2 cot A En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica de ángulo A . sen A 5 41 41 cos A tan A 5 4 csc A sec A 41 4 cot A En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado. c = 14 , b = 7 3 a = 15 , b = 15 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales. b = 9,9970 , c = 12,2041 a = 2,0838 , b = 11,8177 b = 15 , ∡ B = 15 ∘ a = 55,9808 , c = 57,9555 c = 200 , ∡ B = 5 ∘ c = 50 , ∡ B = 21 ∘ a = 46,6790 , b = 17,9184 a = 30 , ∡ A = 27 ∘ b = 3,5 , ∡ A = 78 ∘ a = 16,4662 , c = 16,8341 Extensiones Halle x . Halle x . 188,3159 Halle x . Halle x . 200,6737 Una torre de radio está situada a 400 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es 36° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 23° . ¿Qué altura tiene la torre? Una torre de radio se encuentra a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es 43° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 31° . ¿Qué altura tiene la torre? 498,3471 pies Un monumento de 200 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima del monumento es 15° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 2° . ¿A qué distancia está la persona del monumento? Un monumento de 400 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación a la parte superior del monumento es 18° , y que el ángulo de depresión hasta la base del monumento es 3° . ¿A qué distancia está la persona del monumento? 1.060,09 pies Hay una antena en lo alto de un edificio. Desde una ubicación a 300 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en 40° . Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior de la antena se mide en 43° . Halle la altura de la antena. Hay un pararrayos en el techo de un edificio. Desde una ubicación a 500 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en 36° . Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior del pararrayos se mide en 38° . Halle la altura del pararrayos. 27,372 pies Aplicaciones en el mundo real Una escalera de 33 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es 80° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? Una escalera de 23 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es 80° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? 22,6506 pies El ángulo de elevación al techo de un edificio en Nueva York es de 9 grados desde el suelo a una distancia de 1 milla desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. El ángulo de elevación al techo de un edificio en Seattle es de 2 grados desde el suelo a una distancia de 2 millas desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. 368,7633 pies Suponiendo que una secuoya gigante de 370 pies de altura crece verticalmente, si camino a cierta distancia del árbol y mido el ángulo de elevación hasta la copa del árbol en 60° , ¿a qué distancia de la base del árbol estoy? Ejercicios de repaso Ángulos En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en grados. π 4 45° - 5 π 3 En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en radianes. -210° − 7 π 6 180° Halle la longitud de un arco en un círculo de radio 7 metros subtendido por el ángulo central de 85°. 10,385 metros Halle el área del sector de un círculo con un diámetro de 32 pies y un ángulo de 3 π 5 radianes. En los siguientes ejercicios, halle el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con el ángulo dado. 420° 60° − 80° En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 2 π en radianes, que es coterminal con el ángulo dado. − 20 π 11 2 π 11 14 π 5 En los siguientes ejercicios, dibuje el ángulo proporcionado en posición estándar en el plano cartesiano. -210° 75° 5 π 4 − π 3 Halle la velocidad lineal de un punto en el ecuador de la Tierra si la Tierra tiene un radio de 3.960 millas y gira sobre su eje cada 24 horas. Exprese la respuesta en millas por hora. 1.036,73 millas por hora La rueda de automóvil con un diámetro de 18 pulgadas gira a una magnitud de 10 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la velocidad del automóvil en millas por hora? Círculo unitario: funciones seno y coseno Halle el valor exacto de sen π 3 . 3 2 Halle el valor exacto de cos π 4 . Halle el valor exacto de cos π . -1 Indique el ángulo de referencia para 300° . Indique el ángulo de referencia para 3 π 4 . π 4 Calcule el coseno de 330° . Calcule el seno de 5 π 4 . - 2 2 Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Las otras funciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión dada. cos π 6 tan π 4 1 csc π 3 sec π 4 2 En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión dada. sec 11 π 3 sec 315° 2 Si los valores de sec ( t ) = − 2,5 , ¿cuál es el sec ( − t ) ? Si tan ( t ) = − 0,6 , ¿cuál es la tan ( − t ) ? 0,6 Si los valores de tan ( t ) = 1 3 , calcule tan ( t – π ) . Si los valores de cos ( t ) = 2 2 , calcule sen ( t + 2 π ) . Hay dos soluciones posibles. 2 2 o − 2 2 ¿Qué funciones trigonométricas son pares? ¿Qué funciones trigonométricas son impares? seno, cosecante, tangente, cotangente Trigonometría de triángulos rectángulos En los siguientes ejercicios, utilice las longitudes laterales para evaluar. cos π 4 cot π 3 3 3 tan π 6 cos ( π 2 ) = sen ( __° ) 0 csc ( 18 ° ) = sec ( __° ) En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para medir las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo. cos B = 3 5 , a = 6 b = 8 , c = 10 tan A = 5 9 , b = 6 En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica. sen A 11 157 157 tan B En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado. a = 4 , b = 4 Una escalera de 15 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo que forma con el suelo es 70° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? 14,0954 pies El ángulo de elevación al techo de un edificio en Baltimore es de 4 grados desde el suelo a una distancia de 1 milla desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. Prueba de práctica Convierta 5 π 6 radianes a grados. 150° Convierta −620° a radianes. Halle la longitud de un arco circular con radio de 12 centímetros subtendido por el ángulo central de 30° . 6,283 centímetros Halle el área del sector con radio de 8 pies y un ángulo de 5 π 4 radianes. Calcule el ángulo entre 0° y 360° que sea coterminal con 375° . 15° Halle el ángulo entre 0 y 2 π en radianes que es coterminal con − 4 π 7 . Dibuje el ángulo 315° en posición estándar en el plano cartesiano. Dibuje el ángulo − π 6 en posición estándar en el plano cartesiano. Una feria tiene una rueda de la fortuna de 80 pies de diámetro. El tiempo que tarda en dar una vuelta es de 75 segundos. ¿Cuál es la velocidad lineal en pies por segundo de un punto de la rueda de la fortuna? ¿Cuál es la velocidad angular en radianes por segundo? 3,351 pies por segundo, 2 π 75 radianes por segundo Halle el valor exacto de sen π 6 . Calcule el seno de 240° . - 3 2 Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Halle el valor exacto de cot π 4 . Halle el valor exacto de tan π 3 . 3 Utilice los ángulos de referencia para evaluar csc 7 π 4 . Utilice los ángulos de referencia para evaluar tan 210 ° . 3 3 Si los valores de csc t = 1,68 , ¿cuál es el csc ( − t ) ? Si los valores de cos t = 3 2 , calcule cos ( t - 2 π ) . 3 2 ¿Qué funciones trigonométricas son pares? Halle el ángulo que falta: cos ( π 6 ) = sen ( ___ ) π 3 Halle los lados que faltan en el triángulo A B C : sen B = 3 4 , c = 12 Halle los lados que faltan en el triángulo. a = 9 2 , b = 9 3 2 El ángulo de elevación al techo de un edificio en Chicago es de 9 grados desde el suelo a una distancia de 2.000 pies desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. lado adyacente en un triángulo rectángulo, el lado entre un ángulo dado y el ángulo recto ángulo de depresión el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador, suponiendo que el objeto esté situado más abajo que el observador ángulo de elevación el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador, suponiendo que el objeto esté situado a mayor altura que el observador lado opuesto en un triángulo rectángulo, el lado más distante de un ángulo dado hipotenusa el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo rectángulo

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Introducción El amanecer colorea el cielo de la zona de conservación de Olare Motorgi, que limita con la Reserva Nacional de Masai Mara en Kenia. (créditos: Modificación de "KenyaLive_Day_#02" por Make it Kenya/flickr) El sol ha desempeñado un papel fundamental en muchas religiones. La antigua cultura egipcia representaba al dios del sol, Ra (a veces escrito como Re), realizando un viaje diario en dos partes, una de ellas en el cielo (día) y la otra en el inframundo (noche). Surya, el dios hindú del sol, traza un camino similar a través del cielo en un carro tirado por siete caballos. Aunque sus orígenes y narrativas asociadas son bastante diferentes, tanto Ra como Surya son deidades primarias y se les considera creadores y preservadores de la vida. En muchas culturas indígenas, el sol es fundamental para la práctica espiritual y religiosa, pero no siempre es una deidad. La Danza del Sol, que realizan de forma diferente muchas tribus indígenas estadounidenses, era una ceremonia que generalmente rendía homenaje al sol y, en muchos casos, ponía a prueba o expresaba la fuerza de la tribu. Como uno de los fenómenos naturales más prominentes y con su estrecha asociación a dar vida, el sol era un tema obvio de reverencia. Además, su regularidad, incluso en la antigüedad, lo convirtió en el principal determinante del tiempo. Cada día, el sol sale por el este, se aproxima a una altura máxima respecto al ecuador celeste y se pone por el oeste. El ecuador celeste es una línea imaginaria que divide el universo visible en dos mitades, del mismo modo que el ecuador de la Tierra es una línea imaginaria que divide el planeta en dos mitades. La trayectoria exacta que parece seguir el sol depende de la ubicación exacta en la Tierra, pero cada lugar observa un patrón predecible a lo largo del tiempo. El patrón de movimiento del sol a lo largo de un año es una función periódica. Crear una representación visual de una función periódica en forma de gráfico nos permite analizar las propiedades de la función. En este capítulo, investigaremos los gráficos del seno, el coseno y otras funciones trigonométricas.

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