Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos Intuitivamente, sabemos lo que es un límite . Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in. https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es. Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites. Comprender la notación de límites Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 ... se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función f ( x ) = L , entonces a medida que la entrada x se acerca cada vez más a a , la coordenada y de salida se acerca cada vez más a L . Decimos que la salida "se acerca a" L . La proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada x se acerca a a , el valor de salida f ( x ) se acerca a L . La salida (coordenada y ) se acerca a L a medida que la entrada (coordenada x ) se acerca a a . Escribimos la ecuación de un límite como lím x → a f ( x ) = L . Esta notación indica que a medida que x se acerca a a tanto desde la izquierda de x = a y desde la derecha de x = a , el valor de salida se acerca a L . Considere la función f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x - 7 . Podemos factorizar la función como se muestra. f ( x ) = ( x - 7 ) ( x + 1 ) x - 7 Anule los factores similares en el numerador y el denominador. f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 Simplifique. Observe que x no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición, x ≠ 7 , para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la . Como el 7 no está permitido como entrada, no hay ningún punto en x = 7. Lo que sucede en x = 7 es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a x = 7 a cada lado. La notación lím x → 7 f ( x ) = 8 indica que a medida que la entrada x se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7. ¿Qué sucede en x = 7 ? Cuando x = 7 , no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como f ( 7 ) no existe. Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7. Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando f ( x ) no está definida en x = a . Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que x se acerca a a , aunque la salida en x = a no existe. El límite de una función Una cantidad L es el límite de una función f ( x ) cuando x se acerca a a si, a medida que los valores de entrada de x se acercan a a (pero no son iguales a a ) , los valores de salida correspondientes de f ( x ) se acercan a L . Observe que el valor del límite no se ve afectado por el valor de salida de f ( x ) en a . Ambos a y L deben ser números reales. Lo escribimos como lím x → a f ( x ) = L Entender el límite de una función Para el siguiente límite, defina a , f ( x ) , y L . lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11 Primero, reconocemos la notación de un límite. Si el límite existe, a medida que x se acerca a a , escribimos lím x → a f ( x ) = L . Se nos da lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11. Esto significa que a = 2 , f ( x ) = 3 x + 5 , y L = 11. Análisis Recordemos que y = 3 x + 5 es una línea sin interrupciones. A medida que los valores de entrada se acerquen a 2, los valores de salida se acercarán a 11. Esto se puede expresar con la ecuación lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11 , lo que significa que a medida que x se acerca a 2 (pero no es exactamente 2), la salida de la función f ( x ) = 3 x + 5 se acerca todo lo que queramos a 3 ( 2 ) + 5 , u 11, que es el límite L , al tomar valores de x suficientemente cerca de 2 pero no en x = 2. Ejercicio Para el siguiente límite, defina a , f ( x ) , y L . lím x → 5 ( 2 x 2 - 4 ) = 46 a = 5 , f ( x ) = 2 x 2 - 4 , y L = 46. Comprender los límites izquierdo y derecho Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La muestra los valores de f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 como se han descrito anteriormente y se han representado en la . Los valores descritos como "desde la izquierda" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la son 6,9 , 6,99 , y 6,999. Las salidas correspondientes son 7,9 , 7,99 , y 7,999. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 a medida que x se acerca a 7. Los valores descritos como "desde la derecha" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la son 7,1 , 7,01 , y 7,001. Las salidas correspondientes son 8,1 , 8,01 , y 8,001. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 a medida que x se acerca a 7. La muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de x dentro del intervalo 6,9 < x < 7,1 para producir un valor de salida de f ( x ) dentro del intervalo 7,9 < f ( x ) < 8,1. También vemos que podemos obtener valores de salida de f ( x ) sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados. La proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de f ( x ) , observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a L = 8 a medida que x se acerca a 7 por la izquierda y a medida que x se acerca a 7 por la derecha. Para indicar el límite izquierdo, escribimos lím x → 7 − f ( x ) = 8. Para indicar el límite derecho, escribimos lím x → 7 + f ( x ) = 8. Los límites izquierdo y derecho son los mismos para esta función. Límites izquierdo y derecho El límite izquierdo de una función f ( x ) cuando x se acerca a a desde la izquierda es igual a L , denotado por lím x → a − f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a de manera que x < a y x ≠ a . El límite derecho de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a desde la derecha, es igual a L , denotado por lím x → a + f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a pero mayores que a . Ambos a y L son números reales. Comprender los límites laterales En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que x se acerca a a son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función f ( x ) tiene un límites laterales a medida que x se acerca a a . Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe. Los límites laterales de la función a medida que x se acerca a a El límite de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a , es igual a L , es decir, lím x → a f ( x ) = L si y solo si lím x → a − f ( x ) = lím x → a + f ( x ) . En otras palabras, el límite izquierdo de una función f ( x ) cuando x se acerca a a es igual al límite derecho de la misma función a medida que x se acerca a a . Si existe tal límite, nos referimos al límite como límites laterales. En caso contrario, diremos que el límite no existe. Hallar un límite utilizando un gráfico Para determinar visualmente si existe un límite a medida que x se acerca a a , observamos el gráfico de la función cuando x está muy cerca de x = a . En la observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de a . Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de x = a , pero cerca de x = a . Aquí es donde x < a . Vemos que las salidas se acercan a algún número real L por lo que hay un límite izquierdo. Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de x = a , pero cerca de x = a . Aquí es donde x > a . Vemos que las salidas se acercan a algún número real L , por lo que hay un límite derecho. Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la , entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un "límite", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado. Por último, podemos buscar un valor de salida para la función f ( x ) cuando el valor de entrada x es igual a a . El par de coordenadas del punto sería ( a , f ( a ) ) . Si ese punto existe, entonces f ( a ) tiene un valor. Si el punto no existe, como en la , entonces decimos que f ( a ) no existe. Cómo Dada una función f ( x ) , utilice un gráfico para hallar los límites y el valor de una función a medida que x se acerca a a . Examine el gráfico para determinar si existe un límite izquierdo. Examine el gráfico para determinar si existe un límite derecho. Si los dos límites de un lado existen y son iguales, entonces hay límites laterales, lo que normalmente llamamos "límite". Si hay un punto en x = a , entonces f ( a ) es el valor de la función correspondiente. Hallar un límite utilizando un gráfico Determine los siguientes límites y el valor de la función f como se muestra en la . lím x → 2 – f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) f ( 2 ) Determine los siguientes límites y el valor de la función f como se muestra en la . lím x → 2 – f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) f ( 2 ) Si miramos la : lím x → 2 – f ( x ) = 8 ; cuando x < 2 , pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 + f ( x ) = 3 ; cuando x > 2 , pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 3. lím x → 2 f ( x ) no existe porque lím x → 2 – f ( x ) ≠ lím x → 2 + f ( x ) ; los límites izquierdo y derecho no son iguales. f ( 2 ) = 3 porque el gráfico de la función f pasa por el punto ( 2 , f ( 2 ) ) o ( 2 , 3 ) . Si miramos la : lím x → 2 – f ( x ) = 8 ; cuando x < 2 pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 + f ( x ) = 8 ; cuando x > 2 pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 f ( x ) = 8 porque lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) = 8 ; los límites izquierdo y derecho son iguales. f ( 2 ) = 4 porque el gráfico de la función f pasa por el punto ( 2 , f ( 2 ) ) o ( 2 , 4 ) . Ejercicio Utilizando el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra en la , estime los siguientes límites. lím x → 0 f ( x ) lím x → 0 + f ( x ) lím x → 0 f ( x ) lím x → 2 f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) lím x → 4 f ( x ) lím x → 4 + f ( x ) lím x → 4 f ( x ) a. 0; b. 2; c. no existe; d. − 2 ; e. 0; f. no existe; g. 4; h. 4; i. 4 Hallar un límite utilizando una tabla La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de x se acercan a a de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite L . Veamos un ejemplo con la siguiente función: lím x → 5 ( x 3 − 125 x - 5 ) Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a x = 5. Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la . Los valores de la tabla muestran que cuando x > 5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando x > 5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75. Dado que lím x → 5 − f ( x ) = 75 = lím x → 5 + f ( x ) , entonces lím x → 5 f ( x ) = 75. Recuerde que f ( 5 ) no existe. Cómo Dada una función f , utilice una tabla para hallar el límite a medida que x se acerca a a y el valor de f ( a ) , si existe. Elija varios valores de entrada que se acerquen a a tanto desde la izquierda como desde la derecha. Anótelos en una tabla. Evalúe la función en cada valor de entrada. Anótelos en la tabla. Determine si los valores de la tabla indican un límite izquierdo y un límite derecho. Si los límites izquierdo y derecho existen y son iguales, hay límites laterales. Sustituya x con la a para calcular el valor de f ( a ) . Hallar un límite utilizando una tabla Estime numéricamente el límite de la siguiente expresión mediante una tabla de valores a ambos lados del límite. lím x → 0 ( 5 sen ( x ) 3 x ) Podemos estimar el valor de un límite, si existe, evaluando la función en valores cercanos a x = 0, No podemos hallar un valor de la función para x = 0 directamente porque el resultado tendría un denominador igual a 0, y por lo tanto sería indefinido. f ( x ) = 5 sen ( x ) 3 x Para crear la elegimos varios valores de entrada cercanos a x = 0 , con la mitad de ellos menores que x = 0 y la mitad de ellos mayores que x = 0, Tenga en cuenta que tenemos que estar seguros de que estamos utilizando el modo radián. Evaluamos la función en cada valor de entrada para completar la tabla. Los valores de la tabla indican que cuando x < 0 pero acercándose a 0, la salida correspondiente se acerca a 5 3 . Cuando x > 0 pero acercándose a 0, la salida correspondiente también se acerca a 5 3 . Dado que lím x → 0 − f ( x ) = 5 3 = lím x → 0 + f ( x ) , entonces lím x → 0 f ( x ) = 5 3 . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible comprobar nuestra respuesta utilizando una herramienta gráfica? Sí. Anteriormente utilizamos una tabla para hallar un límite de 75 para la función f ( x ) = x 3 − 125 x - 5 a medida que x se acerca a 5. Para comprobarlo, graficamos la función en una ventana de visualización como se muestra en la . Una comprobación gráfica muestra que ambas ramas del gráfico de la función se acercan a la salida 75 a medida que x se acerca a 5. Además, podemos utilizar la función de "trace" de una calculadora gráfica. Al acercarse a x = 5 podemos observar numéricamente que las salidas correspondientes se acercan a 75. Ejercicio Estime numéricamente el límite de la siguiente función mediante una tabla: lím x → 0 ( 20 sen ( x ) 4 x ) lím x → 0 ( 20 sen ( x ) 4 x ) = 5 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay un método para determinar un límite mejor que el otro? No. Ambos métodos tienen ventajas. Los gráficos permiten una inspección rápida. Las tablas se pueden usar cuando no se dispone de herramientas gráficas, y se pueden calcular con una precisión mayor que la que podría verse a simple vista inspeccionando un gráfico. Usar una herramienta gráfica para determinar un límite Con el uso de una herramienta gráfica, si es posible, determine los límites izquierdo y derecho de la siguiente función a medida que x se acerca a 0. Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. f ( x ) = 3 sen ( π x ) Podemos utilizar una herramienta gráfica para investigar el comportamiento del gráfico cerca de x = 0, Centrándonos alrededor de x = 0 , elegimos dos ventanas de visualización de manera que la segunda se amplíe más cerca de x = 0 que la primera. El resultado se parecería a la para [ - 2 , 2 ] entre [ − 3 , 3 ] . El resultado se parecería a la para [ -0,1 , 0,1 ] entre [ −3 , 3 ] . Incluso más cerca de cero, somos aún menos capaces de distinguir cualquier límite. Cuanto más nos acerquemos a 0, mayores serán las oscilaciones de los valores de salida. Ese no es el comportamiento de una función con límite izquierdo o derecho. Y si no hay límite izquierdo ni derecho, ciertamente no hay límite para la función f ( x ) cuando x se acerca a 0. Escribimos lím x → 0 - ( 3 sen ( π x ) ) no existe . lím x → 0 + ( 3 sen ( π x ) ) no existe . lím x → 0 ( 3 sen ( π x ) ) no existe . Ejercicio Estime numéricamente el siguiente límite lím x → 0 ( sen ( 2 x ) ) . no existe Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el cálculo de límites. Introducción a los límites Definición formal de un límite Conceptos clave Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor L a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad a . Vea el . Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma lím x → a f ( x ) = L , que indica que a medida que x se acerca a a , tanto desde la izquierda de x = a y desde la derecha de x = a , el valor de salida se acerca a L . Una función tiene un límite izquierdo si f ( x ) se acerca a L a medida que x se acerca a a donde x < a . Una función tiene un límite derecho si f ( x ) se acerca a L a medida que x se acerca a a donde x > a . Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales. Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función. Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada y cerca de x = a desde la izquierda y desde la derecha. Vea el . Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a a desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el . También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la diferencia entre un valor en x = a y el límite a medida que x se acerca a a . El valor de la función, la salida, en x = a es f ( a ) . Cuando el lím x → a f ( x ) se toma, los valores de x se acercan infinitamente a a pero nunca son iguales a a . A medida que los valores de x se acercan a a desde la izquierda y desde la derecha, el límite es el valor al que se acerca la función. Explique por qué decimos que una función no tiene límite a medida que x se acerca a a si, a medida que x se acerca a a , el límite izquierdo no es igual al límite derecho. Gráficos En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función f proporcionado en la . lím x → - 2 – f ( x ) -4 lím x → - 2 + f ( x ) lím x → - 2 f ( x ) -4 f ( −2 ) lím x → 1 - f ( x ) 2 lím x → 1 + f ( x ) lím x → 1 f ( x ) no existe f ( 1 ) lím x → 4 − f ( x ) 4 lím x → 4 + f ( x ) lím x → 4 f ( x ) no existe f ( 4 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados. lím x → 0 − f ( x ) = 2 , lím x → 0 + f ( x ) = – 3 , lím x → 2 f ( x ) = 2 , f ( 0 ) = 4 , f ( 2 ) = – 1 , f ( – 3 ) no existe . Las respuestas variarán. lím x → 2 – f ( x ) = 0 , lím x → 2 + = – 2 , lím x → 0 f ( x ) = 3 , f ( 2 ) = 5 , f ( 0 ) Las respuestas variarán. lím x → 2 – f ( x ) = 2 , lím x → 2 + f ( x ) = - 3 , lím x → 0 f ( x ) = 5 , f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 0 Las respuestas variarán. lím x → 3 − f ( x ) = 0 , lím x → 3 + f ( x ) = 5 , lím x → 5 f ( x ) = 0 , f ( 5 ) = 4 , f ( 3 ) no existe . Las respuestas variarán. lím x → 4 f ( x ) = 6 , lím x → 6 + f ( x ) = - 1 , lím x → 0 f ( x ) = 5 , f ( 4 ) = 6 , f ( 2 ) = 6 Las respuestas variarán. lím x → − 3 f ( x ) = 2 , lím x → 1 + f ( x ) = - 2 , lím x → 3 f ( x ) = – 4 , f ( – 3 ) = 0 , f ( 0 ) = 0 Las respuestas variarán. lím x → π f ( x ) = π 2 , lím x → – π f ( x ) = π 2 , lím x → 1 – f ( x ) = 0 , f ( π ) = 2 , f ( 0 ) no existe . Las respuestas variarán. En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que x se acerca a 0. f ( x ) = ( 1 + x ) 1 x g ( x ) = ( 1 + x ) 2 x 7,38906 h ( x ) = ( 1 + x ) 3 x i ( x ) = ( 1 + x ) 4 x 54,59815 j ( x ) = ( 1 + x ) 5 x Basándose en el patrón que ha observado en los ejercicios anteriores, haga una conjetura sobre el límite de f ( x ) = ( 1 + x ) 6 x , g ( x ) = ( 1 + x ) 7 x , y h ( x ) = ( 1 + x ) n x . e 6 ≈ 403,428794 , e 7 ≈ 1.096,633158 , e n En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. ( x ) = { | x | - 1 , si x ≠ 1 x 3 , si x = 1 a = 1 ( x ) = { 1 x + 1 , si x = - 2 ( x + 1 ) 2 , si x ≠ − 2 a = - 2 lím x → - 2 f ( x ) = 1 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en x = a . En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de x = a . Redondee las respuestas a dos decimales. f ( x ) = x 2 - 4 x 16 - x 2 ; a = 4 f ( x ) = x 2 - x - 6 x 2 - 9 ; a = 3 lím x → 3 ( x 2 - x - 6 x 2 - 9 ) = 5 6 ≈ 0,83 f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x 2 – 7 x ; a = 7 f ( x ) = x 2 - 1 x 2 – 3 x + 2 ; a = 1 lím x → 1 ( x 2 – 1 x 2 - 3 x + 2 ) = - 2,00 f ( x ) = 1 - x 2 x 2 - 3 x + 2 ; a = 1 f ( x ) = 10 – 10 x 2 x 2 - 3 x + 2 ; a = 1 lím x → 1 ( 10 – 10 x 2 x 2 - 3 x + 2 ) = 20,00 f ( x ) = x 6 x 2 - 5 x - 6 ; a = 3 2 f ( x ) = x 4 x 2 + 4 x + 1 ; a = - 1 2 lím x → - 1 2 ( x 4 x 2 + 4 x + 1 ) no existe. Los valores de la función disminuyen sin límite a medida que x se acerca a –0,5 desde la izquierda o desde la derecha. f ( x ) = 2 x - 4 ; a = 4 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que x se acerca al valor dado. lím x → 0 7 tan x 3 x lím x → 0 7 tan x 3 x = 7 3 lím x → 4 x 2 x - 4 lím x → 0 2 sen x 4 tan x En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. lím x → 0 e e 1 x lím x → 0 e e - 1 x 2 lím x → 0 e e - 1 x 2 = 1,0 lím x → 0 | x | x lím x → - 1 | x + 1 | x + 1 lím x → - 1 − | x + 1 | x + 1 = - ( x + 1 ) ( x + 1 ) = - 1 y lím x → - 1 + | x + 1 | x + 1 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = 1 ; ya que el límite derecho no es igual al límite izquierdo, lím x → - 1 | x + 1 | x + 1 no existe. lím x → 5 | x - 5 | 5 - x lím x → - 1 1 ( x + 1 ) 2 lím x → - 1 1 ( x + 1 ) 2 no existe. La función aumenta sin límite a medida que x se acerca a − 1 desde cualquier lado. lím x → 1 1 ( x – 1 ) 3 lím x → 0 5 1 - e 2 x lím x → 0 5 1 - e 2 x no existe. Los valores de la función se acercan a 5 por la izquierda y se acercan a 0 por la derecha. Utilice pruebas numéricas y gráficos para comparar y contrastar los límites de dos funciones cuyas fórmulas parecen similares: f ( x ) = | 1 - x x | y g ( x ) = | 1 + x x | a medida que x se acerca a 0. Utilice una herramienta gráfica, si es posible, para determinar los límites izquierdo y derecho de las funciones f ( x ) y g ( x ) cuando x se acerca a 0. Si las funciones tienen un límite a medida que x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. Extensiones Según la teoría de la relatividad, la masa m de una partícula depende de su velocidad v . Es decir, m = m i 1 - ( v 2 / c 2 ) donde m i es la masa cuando la partícula está en reposo y c es la velocidad de la luz. Halle el límite de la masa, m , a medida que v se acerca a c − . Mediante el examen de los postulados y la comprensión de la física relativista, a medida que v → c , m → ∞ . Lleve esto un paso más allá de la solución, lím v → c − m = lím v → c − m i 1 - ( v 2 / c 2 ) = ∞ Permita que la velocidad de la luz, c , sea igual a 1,0. Si la masa, m , es 1, ¿qué ocurre con m a medida que v → c ? Utilizando los valores que aparecen en la , haga una conjetura sobre cuál es la masa a medida que v se acerca a 1,00. v m 0,5 1,15 0,9 2,29 0,95 3,20 0,99 7,09 0,999 22,36 0,99999 223,61 límite izquierdo el límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca a a desde la izquierda, denotado como lím x → a − f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a de manera que x < a y x ≠ a . Ambos a y L son números reales. límite cuando existe, el valor, L , al que la salida de una función f ( x ) se acerca a medida que la entrada x se acerca cada vez más a a pero no es igual a a . El valor de la salida, f ( x ) , puede acercarse tanto a L como decidamos hacerlo utilizando los valores de entrada de x suficientemente cerca de x = a , pero no necesariamente en x = a . Ambos a y L son números reales, y L se denota lím x → a f ( x ) = L . límite derecho el límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca a a desde la derecha, denotado como lím x → a + f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a donde x > a , y x ≠ a . Ambos a y L son números reales. límites laterales el límite de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a , es igual a L , es decir, lím x → a f ( x ) = L si y solo si lím x → a − f ( x ) = lím x → a + f ( x ) .

Matemáticas


Hallar los límites: propiedades de los límites Considere la función racional f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x - 7 La función se puede factorizar de la siguiente manera: f ( x ) = ( x - 7 ) ( x + 1 ) x - 7 , que nos da f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7. ¿Esto significa que la función f es lo mismo que la función g ( x ) = x + 1 ? La respuesta es no. La función f no tiene x = 7 en su dominio, pero g sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de f ( x ) en x = 7 , como se muestra en la y no hay tal agujero en el gráfico de g ( x ) , como se muestra en la . El gráfico de la función f contiene una interrupción en x = 7 y por lo tanto no es continuo en x = 7. El gráfico de la función g es continuo. Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que x se acerca a 7? No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que x se acerca a a , lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a x = a . La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando x es igual a a . Mire de nuevo la y la . Observe que en ambos gráficos, a medida que x se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que lím x → 7 f ( x ) = lím x → 7 g ( x ) . Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de x = a , no en x = a . En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición. Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites , lo cual es una colección de teoremas para hallar límites. Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples. Propiedades de los límites Supongamos que a , k , A , y B representan números reales, y f y g son funciones, de manera que lím x → a f ( x ) = A y lím x → a g ( x ) = B . Para los límites que existen y son finitos, las propiedades de los límites se resumen en la Constante k lím x → a k = k Constante por una función lím x → a [ k ⋅ f ( x ) ] = k lím x → a f ( x ) = k A Suma de funciones lím x → a [ f ( x ) + g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = A + B Diferencia de funciones lím x → a [ f ( x ) - g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) - lím x → a g ( x ) = A - B Producto de funciones lím x → a [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) ⋅ lím x → a g ( x ) = A ⋅ B Cociente de funciones lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = A B , B ≠ 0 Función elevada a un exponente lím x → a [ f ( x ) ] n = [ lím x → a f ( x ) ] n = A n , donde n es un número entero positivo raíz enésima de una función, donde n es un número entero positivo lím x → a f ( x ) n = lím x → a [ f ( x ) ] n = A n Función polinómica lím x → a p ( x ) = p ( a ) Evaluar el límite de una función de forma algebraica Evalúe lím x → 3 ( 2 x + 5 ) . lím x → 3 ( 2 x + 5 ) = lím x → 3 ( 2 x ) + lím x → 3 ( 5 ) Propiedad de la suma de funciones = 2 lím x → 3 ( x ) + lím x → 3 ( 5 ) Constante por una propiedad de la función = 2 ( 3 ) + 5 Evalúe = 11 Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → − 12 ( – 2 x + 2 ) . 26 Hallar el límite de un polinomio No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que x se acerca a a equivale a evaluar simplemente la función para a . Cómo Dada una función que contiene un polinomio, halle su límite. Utilice las propiedades de los límites para descomponer el polinomio en términos individuales. Halle los límites de los términos individuales. Sume los límites. Alternativamente, evalúe la función para a . Evaluar el límite de una función de forma algebraica Evalúe lím x → 3 ( 5 x 2 ) . lím x → 3 ( 5 x 2 ) = 5 lím x → 3 ( x 2 ) Constante por una propiedad de la función = 5 ( 3 2 ) Función elevada a una propiedad de exponente = 45 Ejercicio Evalúe lím x → 4 ( x 3 - 5 ) . 59 Evaluar el límite de un polinomio de forma algebraica Evalúe lím x → 5 ( 2 x 3 - 3 x + 1 ) . lím x → 5 ( 2 x 3 - 3 x + 1 ) = lím x → 5 ( 2 x 3 ) - lím x → 5 ( 3 x ) + lím x → 5 ( 1 ) Suma de funciones = 2 lím x → 5 ( x 3 ) - 3 lím x → 5 ( x ) + lím x → 5 ( 1 ) Constante por una función = 2 ( 5 3 ) - 3 ( 5 ) + 1 Función elevada a un exponente = 236 Evalúe Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → - 1 ( x 4 - 4 x 3 + 5 ) . 10 Hallar el límite de una potencia o una raíz Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores. Evaluar el límite de una potencia Evalúe lím x → 2 ( 3 x + 1 ) 5 . Tomaremos el límite de la función a medida cuando x se acerca a 2 y elevaremos el resultado a la 5.ª potencia. lím x → 2 ( 3 x + 1 ) 5 = ( lím x → 2 ( 3 x + 1 ) ) 5 = ( 3 ( 2 ) + 1 ) 5 = 7 5 = 16.807 Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → − 4 ( 10 x + 36 ) 3 . − 64 PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si no podemos aplicar directamente las propiedades de un límite, por ejemplo en lím x → 2 ( x 2 + 6 x + 8 x - 2 ) , ¿podemos aún determinar el límite de la función a medida que x se acerca a a ? Sí. Algunas funciones se pueden reordenar algebraicamente de modo que se pueda evaluar el límite de una forma equivalente simplificada de la función. Hallar el límite de un cociente Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Cómo Dado el límite de una función en forma de cociente, utilice la factorización para evaluarla. Factorice completamente el numerador y el denominador. Simplifique dividiendo los factores comunes al numerador y al denominador. Evalúe el límite resultante, y recuerde utilizar el dominio correcto. Evaluar el límite de un cociente mediante factorización Evalúe lím x → 2 ( x 2 - 6 x + 8 x - 2 ) . Factorice cuando sea posible, y simplifique. lím x → 2 ( x 2 - 6 x + 8 x - 2 ) = lím x → 2 ( ( x - 2 ) ( x - 4 ) x - 2 ) Factorice el numerador . = lím x → 2 ( ( x - 2 ) ( x - 4 ) x - 2 ) Anule los factores comunes . = lím x → 2 ( x - 4 ) Evalúe . = 2 - 4 = - 2 Análisis Cuando el límite de una función racional no se puede evaluar directamente, las formas factorizadas del numerador y del denominador se pueden simplificar a un resultado que puede ser evaluado. Observe que la función f ( x ) = x 2 - 6 x + 8 x - 2 es equivalente a la función f ( x ) = x - 4 , x ≠ 2. Observe que el límite existe aunque la función no esté definida en x = 2 . Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → 7 ( x 2 − 11 x + 28 7 - x ) . - 3 Evaluar el límite de un cociente hallando el mínimo común denominador Evalúe lím x → 5 ( 1 x – 1 5 x - 5 ) . Halle el mínimo común denominador para los denominadores de los dos términos del numerador y convierta ambas fracciones para que tengan el mínimo común denominador como denominador. Análisis Cuando se determina el límite de una función racional que tiene términos sumados o restados en el numerador o en el denominador, el primer paso es hallar el denominador común de los términos sumados o restados; luego, convertir ambos términos para que tengan ese denominador o simplificar la función racional multiplicando numerador y denominador por el mínimo común denominador. Luego compruebe si el numerador y el denominador resultantes tienen algún factor común. Ejercicio Evalúe lím x → − 5 ( 1 5 + 1 x 10 + 2 x ) . - 1 50 Cómo Dado un límite de una función que contiene una raíz, utilice un conjugado para evaluar. Si el cociente dado no está en forma indeterminada ( 0 0 ) evalúe directamente. En caso contrario, reescriba la suma (o diferencia) de dos cocientes como un único cociente, utilizando el mínimo común denominador . Si el numerador incluye una raíz, racionalice el numerador; multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. Recordemos que a ± b son conjugados. Simplifique. Evalúe el límite resultante. Evaluar un límite que contiene una raíz mediante un conjugado Evalúe lím x → 0 ( 25 - x - 5 x ) . lím x → 0 ( 25 - x - 5 x ) = lím x → 0 ( ( 25 - x - 5 ) x ⋅ ( 25 - x + 5 ) ( 25 - x + 5 ) ) Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado . = lím x → 0 ( ( 25 - x ) − 25 x ( 25 - x + 5 ) ) Multiplique: ( 25 - x - 5 ) ⋅ ( 25 - x + 5 ) = ( 25 - x ) − 25. = lím x → 0 ( - x x ( 25 - x + 5 ) ) Combine términos similares . = lím x → 0 ( - x x ( 25 - x + 5 ) ) Simplifique − x x = − 1. = - 1 25 − 0 + 5 Evalúe . = - 1 5 + 5 = - 1 10 Análisis Al determinar un límite de una función con una raíz como uno de los dos términos en los que no podemos evaluar directamente, piense en multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los términos. Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím h → 0 ( 16 − h − 4 h ) . - 1 8 Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización Evalúe lím x → 4 ( 4 - x x - 2 ) . lím x → 4 ( 4 - x x - 2 ) = lím x → 4 ( ( 2 + x ) ( 2 - x ) x - 2 ) Factorice. = lím x → 4 ( ( 2 + x ) ( 2 - x ) - ( 2 - x ) ) Factorice −1 fuera del denominador . Simplifique . = lím x → 4 - ( 2 + x ) Evalúe . = - ( 2 + 4 ) = – 4 Análisis Multiplicar por un conjugado ampliaría el numerador; busque en cambio factores en el numerador. El cuatro es un cuadrado perfecto por lo que el numerador tiene la forma a 2 - b 2 y se puede factorizar como ( a + b ) ( a - b ) . Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → 3 ( x - 3 x - 3 ) . 2 3 Cómo Dado un cociente con valores absolutos, evalúe su límite. Intente factorizar o calcular el mínimo común denominador. Si no se puede hallar el límite , elija varios valores cercanos y a ambos lados de la entrada donde la función es indefinida. Utilice las pruebas numéricas para calcular los límites de ambos lados. Evaluar el límite de un cociente con valores absolutos Evalúe lím x → 7 | x - 7 | x - 7 . La función es indefinida en x = 7 , así que probaremos valores cercanos a 7 por la izquierda y por la derecha. Límite por la izquierda: | 6,9 − 7 | 6,9 − 7 = | 6,99 − 7 | 6,99 − 7 = | 6,999 − 7 | 6,999 − 7 = - 1 Límite por la derecha: | 7,1 − 7 | 7,1 − 7 = | 7,01 − 7 | 7,01 − 7 = | 7,001 − 7 | 7,001 − 7 = 1 Como los límites izquierdo y derecho no son iguales, no hay límite. Ejercicio Evalúe lím x → 6 + 6 - x | x - 6 | . −1 Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las propiedades de los límites. Determinar un límite de forma analítica Conceptos clave Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el . El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el y el . El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el . El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función. Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el . Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el . Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el . Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el . Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Dé un ejemplo de un tipo de función f cuyo límite, a medida que x se acerca a a , es f ( a ) . Si f es una función polinómica, el límite de una función polinómica a medida que x se acerca a a siempre será f ( a ) . Cuando se utiliza la sustitución directa para evaluar el límite de una función racional a medida que x se acerca a a y el resultado es f ( a ) = 0 0 , ¿esto significa que el límite de f no existe? ¿Qué significa decir el límite de f ( x ) , a medida que x se acerca a c , es indefinido? Puede significar (1) que los valores de la función aumentan o disminuyen sin límite a medida que x se acerca a c , o (2) los límites izquierdo y derecho no son iguales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente. lím x → 0 ( 3 ) lím x → 2 ( - 5 x x 2 – 1 ) − 10 3 lím x → 2 ( x 2 - 5 x + 6 x + 2 ) lím x → 3 ( x 2 - 9 x - 3 ) 6 lím x → - 1 ( x 2 - 2 x - 3 x + 1 ) lím x → 3 2 ( 6 x 2 - 17 x + 12 2 x - 3 ) 1 2 lím x → − 7 2 ( 8 x 2 + 18 x − 35 2 x + 7 ) lím x → 3 ( x 2 - 9 x - 5 x + 6 ) 6 lím x → − 3 ( − 7 x 4 − 21 x 3 - 12 x 4 + 108 x 2 ) lím x → 3 ( x 2 + 2 x - 3 x - 3 ) no existe lím h → 0 ( ( 3 + h ) 3 − 27 h ) lím h → 0 ( ( 2 − h ) 3 - 8 h ) − 12 lím h → 0 ( ( h + 3 ) 2 - 9 h ) lím h → 0 ( 5 − h − 5 h ) - 5 10 lím x → 0 ( 3 - x - 3 x ) lím x → 9 ( x 2 − 81 3 - x ) − 108 lím x → 1 ( x – x 2 1 - x ) lím x → 0 ( x 1 + 2 x – 1 ) 1 lím x → 1 2 ( x 2 – 1 4 2 x – 1 ) lím x → 4 ( x 3 − 64 x 2 - 16 ) 6 lím x → 2 - ( | x - 2 | x - 2 ) lím x → 2 + ( | x - 2 | x - 2 ) 1 lím x → 2 ( | x - 2 | x - 2 ) lím x → 4 - ( | x - 4 | 4 - x ) 1 lím x → 4 + ( | x - 4 | 4 - x ) lím x → 4 ( | x - 4 | 4 - x ) no existe lím x → 2 ( − 8 + 6 x – x 2 x - 2 ) Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites: lím x → c f ( x ) = 3 , lím x → c g ( x ) = 5 . lím x → c [ 2 f ( x ) + g ( x ) ] 6 + 5 lím x → c [ 3 f ( x ) + g ( x ) ] lím x → c f ( x ) g ( x ) 3 5 En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites. lím x → 2 cos ( π x ) lím x → 2 sen ( π x ) 0 lím x → 2 sen ( π x ) f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 + f ( x ) - 3 f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 − f ( x ) f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 f ( x ) no existe; el límite derecho no es el mismo que el límite izquierdo. lím x → 4 x + 5 - 3 x - 4 lím x → 2 + ( 2 x − [ x ] ) 2 lím x → 2 x + 7 - 3 x 2 - x - 2 lím x → 3 + x 2 x 2 - 9 El límite no existe; el límite se acerca al infinito. En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio f ( x + h ) - f ( x ) h . f ( x ) = x + 1 f ( x ) = 2 x 2 – 1 4 x + 2 h f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 f ( x ) = x 2 + 4 x − 100 2 x + h + 4 f ( x ) = 3 x 2 + 1 f ( x ) = cos ( x ) cos ( x + h ) - cos ( x ) h f ( x ) = 2 x 3 - 4 x f ( x ) = 1 x - 1 x ( x + h ) f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = x - 1 x + h + x Gráficos Halle una ecuación que se pueda representar por la . Halle una ecuación que se pueda representar por la . f ( x ) = x 2 + 5 x + 6 x + 3 En los siguientes ejercicios, consulte la . ¿Cuál es el límite derecho de la función a medida que x se acerca a 0? ¿Cuál es el límite izquierdo de la función a medida que x se acerca a 0? no existe Aplicaciones en el mundo real La función de posición s ( t ) = - 16 t 2 + 144 t da la posición de un proyectil como una función de tiempo. Halle la velocidad media (tasa media de cambio) en el intervalo [ 1 , 2 ] . La altura de un proyectil está dada por s ( t ) = − 64 t 2 + 192 t Halle la tasa media de cambio de la altura de t = 1 segundo a t = 1,5 segundos. 52 La cantidad de dinero en una cuenta después de t años calculada continuamente a un interés del 4,25 % está dada por la fórmula A = A 0 e 0,0425 t , donde A 0 es la cantidad inicial invertida. Halle la tasa media de cambio del saldo de la cuenta de t = 1 año a t = 2 años si la cantidad inicial invertida es de 1.000,00 dólares. propiedades de los límites una colección de teoremas para hallar los límites de las funciones mediante la realización de operaciones matemáticas en los límites

Matemáticas


Continuidad Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta 118 ∘ F y bajar solo rápidamente a 95 ∘ F . La muestra la función T , donde la salida de T ( x ) es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada x es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano. La temperatura como una función de tiempo forma una función continua. Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones. Determinar si una función es continua en un número Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la indica que a las 2 a. m. la temperatura era 96 ∘ F . A las 2 p. m. , la temperatura había subido a 116 ∘ F, y para las 4 p. m. era de 118 ∘ F . En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m. , la temperatura exterior debió ser exactamente 110,5 ∘ F . De hecho, cualquier temperatura entre 96 ∘ F y 118 ∘ F se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre 96 ∘ F y 118 ∘ F se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio, Mire de nuevo la . No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua . La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua. Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función D , donde D ( x ) es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por x número de horas. Vea la . Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares. Las tarifas de estacionamiento forman una función discontinua. Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada . Esta función es un ejemplo. Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua . La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua. Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función y = f ( x ) representada en la como ejemplo. Condición 1 Según la condición 1, la función f ( a ) definida en x = a debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en x = a como en la . Condición 2 Según la condición 2, en x = a el límite, escrito lím x → a f ( x ) , debe existir. Esto significa que en x = a el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de f en la se acerca a x = a desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y . Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en x = a . Condición 3 Según la condición 3, la coordenada y coordenadas en x = a rellena el agujero en el gráfico de f . Esto se escribe lím x → a f ( x ) = f ( a ) . El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la , por lo que la función es continua, ya que x = a . Se cumplen las tres condiciones. La función es continua en x = a . De la a la se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en x = a y la condición o condiciones que fallan. Se cumple la condición 2. Las condiciones 1 y 3 fallan. Se cumplen las condiciones 1 y 2. La condición 3 falla. Se cumple la condición 1. Las condiciones 2 y 3 fallan. Las condiciones 1, 2 y 3 fallan. Definición de continuidad Una función f ( x ) es continua en x = a siempre que se cumplan las tres condiciones siguientes: Condición 1: f ( a ) . Condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) Si una función f ( x ) no es continua en x = a , la función es discontinua en x = a . Identificar una discontinuidad de salto La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico "salta" en x = a . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto. Como ejemplo, mire el gráfico de la función y = f ( x ) en la . Observe como x se acerca a a cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha. Gráfico de una función con una discontinuidad de salto. Discontinuidad de salto Una función f ( x ) tiene una discontinuidad de salto en x = a si los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales: lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) . Identificar discontinuidad removible Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función y = f ( x ) representada por el gráfico en la . La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en x = a . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada x = a y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en x = a . Gráfico de la función f con una discontinuidad removible en x = a . Discontinuidad removible Una función f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = a si el límite, lím x → a f ( x ) , existe, pero ya sea que f ( a ) no existe o f ( a ) , el valor de la función en x = a no es igual al límite, f ( a ) ≠ lím x → a f ( x ) . Identificar discontinuidades Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible. Ⓐ f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 Ⓑ g ( x ) = { x + 1 , x < 2 - x , x ≥ 2 Ⓐ Observe que la función está definida en todas partes excepto en x = 5. Así, f ( 5 ) no existe, la condición 2 no se cumple. Dado que se cumple la condición 1, el límite cuando x se acerca a 5 es 8, y la condición 2 no se cumple. Esto significa que hay una discontinuidad removible en x = 5. Ⓑ La condición 2 se cumple porque g ( 2 ) = − 2. Observe que la función es una función definida por partes , y para cada parte, la función está definida en todas partes de su dominio. Examinemos la condición 1 determinando los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 2. Límite por la izquierda: lím x → 2 - ( x + 1 ) = 2 + 1 = 3. El límite izquierdo existe. Límite por la derecha: lím x → 2 + ( - x ) = − 2. El límite derecho existe. Pero lím x → 2 – f ( x ) ≠ lím x → 2 + f ( x ) . Así que, lím x → 2 f ( x ) no existe y la condición 2 falla: No hay ninguna discontinuidad removible. Sin embargo, como los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales, se cumplen las condiciones para una discontinuidad de salto en x = 2. Ejercicio Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible. Ⓐ f ( x ) = x 2 - 6 x x - 6 Ⓑ g ( x ) = { x , 0 ≤ x < 4 2 x , x ≥ 4 Ⓐ discontinuidad removible en x = 6 ; Ⓑ discontinuidad de salto en x = 4 Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de f ( x ) cuando x se acerca a a es el mismo que el valor de f ( x ) cuando x = a . Así que lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales. Ejemplos de funciones continuas Las siguientes funciones son continuas en todas partes: Funciones polinómicas Ej.: f ( x ) = x 4 - 9 x 2 Funciones exponenciales Ej.: f ( x ) = 4 x + 2 - 5 Funciones de seno Ej.: f ( x ) = sen ( 2 x ) - 4 Funciones de coseno Ej.: f ( x ) = - cos ( x + π 3 ) Las siguientes funciones son continuas en todos los lugares en los que están definidas en su dominio: Funciones logarítmicas Ej.: f ( x ) = 2 ln ( x ) , x > 0 Funciones tangentes Ej.: f ( x ) = tan ( x ) + 2 , x ≠ π 2 + k π , k es un número entero Funciones racionales Ej.: f ( x ) = x 2 - 25 x - 7 , x ≠ 7 Cómo Dada una función f ( x ) , determine si la función es continua en x = a . Compruebe la condición 1: f ( a ) . Compruebe la condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Compruebe la condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x = a . Si no se cumple alguna de las condiciones, la función no es continua en x = a . Determinar si una función definida por partes es continua en un número dado Determine si la función f ( x ) = { 4 x , x ≤ 3 8 + x , x > 3 es continua en Ⓐ x = 3 Ⓑ x = 8 3 Para determinar si la función f es continua en x = a , determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = a . Ⓐ Condición 1: ¿Existe f ( a ) ? f ( 3 ) = 4 ( 3 ) = 12 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: ¿Existe el lím x → 3 f ( x ) ? A la izquierda de x = 3 , f ( x ) = 4 x ; a la derecha de x = 3 , f ( x ) = 8 + x . Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 1. Límite por la izquierda: lím x → 3 − f ( x ) = lím x → 3 - 4 ( 3 ) = 12 Límite por la derecha: lím x → 3 + f ( x ) = lím x → 3 + ( 8 + x ) = 8 + 3 = 11 Dado que lím x → 3 − f ( x ) ≠ lím x → 3 + f ( x ) , lím x → 3 f ( x ) no existe. ⇒ La condición 2 no se cumple . No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en x = 3. Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en x = 3 , la función f ( x ) no es continua en x = 3. Ⓑ x = 8 3 Condición 1: ¿Existe f ( 8 3 ) ? f ( 8 3 ) = 4 ( 8 3 ) = 32 3 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: ¿Existe el lím x → 8 3 f ( x ) ? A la izquierda de x = 8 3 , f ( x ) = 4 x ; a la derecha de x = 8 3 , f ( x ) = 8 + x . Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 8 3 . Límite por la izquierda: lím x → 8 3 − f ( x ) = lím x → 8 3 - 4 ( 8 3 ) = 32 3 Límite por la derecha: lím x → 8 3 + f ( x ) = lím x → 8 3 + ( 8 + x ) = 8 + 8 3 = 32 3 Dado que lím x → 8 3 f ( x ) existe, ⇒ Se cumple la condición 2 . Condición 3: ¿Es f ( 8 3 ) = lím x → 8 3 f ( x ) ? f ( 32 3 ) = 32 3 = lím x → 8 3 f ( x ) ⇒ Se cumple la condición 3 . Dado que se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = 8 3 , la función f ( x ) es continua en x = 8 3 . Ejercicio Determine si la función f ( x ) = { 1 x , x ≤ 2 9 x − 11,5 , x > 2 es continua en x = 2. No. La función no es continua en x = 2 porque el límite izquierdo es 1 2 y el límite derecho es 6 . 5 . Determinar si una función racional es continua en un número dado Determine si la función f ( x ) = x 2 - 25 x - 5 es continua en x = 5. Para determinar si la función f es continua en x = 5 , determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = 5. Condición 1: f ( 5 ) no existe . ⇒ La condición 1 no se cumple . No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en x = 5. Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en x = 5 , la función f no es continua en x = 5. Análisis Vea la . Observe que para la condición 2 tenemos lím x → 5 x 2 - 25 x - 5 = lím x → 3 ( x - 5 ) ( x + 5 ) x - 5 = lím x → 5 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 ⇒ Se cumple la condición 2 . A x = 5 , existe una discontinuidad removible. Vea la . Ejercicio Determine si la función f ( x ) = 9 - x 2 x 2 - 3 x es continua en x = 3. En caso contrario, indique el tipo de discontinuidad. No, la función no es continua en x = 3. Existe una discontinuidad removible en x = 3. Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen. Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes. Cómo Dada una función definida por partes, determinar si es continua en los puntos límite. Para cada punto límite a de la función definida por partes, determine los límites izquierdo y derecho cuando x se acerca a a , así como el valor de la función en a . Compruebe cada condición para cada valor para determinar si se cumplen las tres condiciones. Determine si cada valor satisface la condición 1: f ( a ) . Determine si cada valor satisface la condición 2: lím x → a f ( x ) . Determine si cada valor satisface la condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x = a . Si falla alguna de las condiciones, la función no es continua en x = a . Determinar los valores de entrada para los cuales una función definida por partes es discontinua Determine si la función f es discontinua para cualquier número real. f ( x ) = { x + 1 , x < 2 3 , 2 ≤ x < 4 x 2 − 11 , x ≥ 4 La función definida por partes está definida por tres funciones, todas ellas polinómicas, f ( x ) = x + 1 sobre x < 2 , f ( x ) = 3 sobre 2 ≤ x < 4 , y f ( x ) = x 2 - 5 sobre x ≥ 4. Las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Las discontinuidades estarían en los puntos límite, x = 2 y x = 4. A x = 2 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 1: f ( 2 ) = 3 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de x = 2 , lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) ? Límite por la izquierda: lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 - ( x + 1 ) = 2 + 1 = 3 Límite por la derecha: lím x → 2 + f ( x ) = lím x → 2 + 3 = 3 Dado que 3 = 3 , lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) ⇒ Se cumple la condición 2 . Condición 3: lím x → 2 f ( x ) = 3 = f ( 2 ) ⇒ Se cumple la condición 3 . Dado que las tres condiciones se cumplen en x = 2 , la función f ( x ) es continua en x = 2. A x = 4 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de x = 4 , lím x → 4 − f ( x ) = lím x → 4 + f ( x ) ? Límite por la izquierda: lím x → 4 − f ( x ) = lím x → 4 - 3 = 3 Límite por la derecha: lím x → 4 + f ( x ) = lím x → 4 + ( x 2 − 11 ) = 4 2 − 11 = 5 Dado que 3 ≠ 5 , lím x → 4 − f ( x ) ≠ lím x → 4 + f ( x ) , por lo que lím x → 4 f ( x ) no existe. ⇒ La condición 2 no se cumple . Dado que una de las tres condiciones no se cumple en x = 4 , la función f ( x ) es discontinuo en x = 4. Análisis Vea la . A x = 4 , existe una discontinuidad de salto. Observe que la función es continua en x = 2. El gráfico es continuo en x = 2 pero muestra una discontinuidad de salto en x = 4. Ejercicio Determine dónde la función f ( x ) = { π x 4 , x < 2 π x , 2 ≤ x ≤ 6 2 π x , x > 6 es discontinua. x = 6 Cómo determinar si una función es continua Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua. Cómo Dada una función definida por partes, determine si es continua. Determine si cada función componente de la función definida por partes es continua. Si hay discontinuidades, ¿se producen dentro del dominio donde se aplica esa función componente? Para cada punto límite x = a de la función definida por partes, determine si se cumple cada una de las tres condiciones. Determinar si una función definida por partes es continua Determine si la siguiente función es continua. Si no es así, indique la ubicación y el tipo de cada discontinuidad. f ( x ) = { sen ( x ) , x < 0 x 3 , x > 0 Las dos funciones que componen esta función definida por partes son f ( x ) = sen ( x ) sobre x < 0 y f ( x ) = x 3 sobre x > 0 . La función de seno y todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Cualquier discontinuidad se produciría en el punto límite, A x = 0 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 1: f ( 0 ) no existe . ⇒ La condición 1 no se cumple . Dado que las tres condiciones no se cumplen en x = 0 , la función f ( x ) es discontinuo en x = 0 . Análisis Vea la . Existe una discontinuidad removible en x = 0 ; lím x → 0 f ( x ) = 0 , por lo tanto el límite existe y es finito, pero f ( a ) no existe. La función tiene una discontinuidad removible en 0. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con continuidad. Continuidad en un punto Continuidad en un punto: Comprobación de conceptos Conceptos clave Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones. Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua. Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones: Condición 1: f ( a ) . Condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico "salte". Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el . Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el y el . Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Indique con sus propias palabras lo que significa para una función f ser continua en x = c . Informalmente, si una función es continua en x = c , entonces no hay interrupción en el gráfico de la función en f ( c ) , y f ( c ) está definida. Indique con sus propias palabras lo que significa que una función sea continua en el intervalo ( a , b ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine por qué la función f es discontinua en un punto determinado a en el gráfico. Indique cuál condición falla. f ( x ) = ln | x + 3 | , a = - 3 discontinua en a = - 3 ; f ( - 3 ) no existe f ( x ) = ln | 5 x - 2 | , a = 2 5 f ( x ) = x 2 - 16 x + 4 , a = – 4 discontinuidad removible en a = – 4 ; f ( - 4 ) no está definida f ( x ) = x 2 - 16 x x , a = 0 f ( x ) = { x , x ≠ 3 2 x , x = 3 a = 3 Discontinua en a = 3 ; lím x → 3 f ( x ) = 3 , pero f ( 3 ) = 6 , lo cual no es igual al límite. f ( x ) = { 5 , x ≠ 0 3 , x = 0 a = 0 f ( x ) = { 1 2 - x , x ≠ 2 3 , x = 2 a = 2 lím x → 2 f ( x ) no existe. f ( x ) = { 1 x + 6 , x = − 6 x 2 , x ≠ − 6 a = − 6 f ( x ) = { 3 + x , x < 1 x , x = 1 x 2 , x > 1 a = 1 lím x → 1 - f ( x ) = 4 ; lím x → 1 + f ( x ) = 1 . Por lo tanto, lím x → 1 f ( x ) no existe. f ( x ) = { 3 - x , x < 1 x , x = 1 2 x 2 , x > 1 a = 1 f ( x ) = { 3 + 2 x , x < 1 x , x = 1 - x 2 , x > 1 a = 1 lím x → 1 - f ( x ) = 5 ≠ lím x → 1 + f ( x ) = - 1 . Por lo tanto, lím x → 1 f ( x ) no existe. f ( x ) = { x 2 , x < − 2 2 x + 1 , x = - 2 x 3 , x > − 2 a = - 2 f ( x ) = { x 2 - 9 x + 3 , x < − 3 x - 9 , x = - 3 1 x , x > − 3 a = - 3 lím x → − 3 − f ( x ) = − 6 , lím x → − 3 + f ( x ) = - 1 3 Por lo tanto, lím x → − 3 f ( x ) no existe. f ( x ) = { x 2 - 9 x + 3 , x < − 3 x - 9 , x = - 3 - 6 , x > − 3 a = 3 f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 , a = 2 f ( 2 ) no está definido. f ( x ) = 25 - x 2 x 2 - 10 x + 25 , a = 5 f ( x ) = x 3 - 9 x x 2 + 11 x + 24 , a = - 3 f ( - 3 ) no está definido. f ( x ) = x 3 − 27 x 2 - 3 x , a = 3 f ( x ) = x | x | , a = 0 f ( 0 ) no está definido. f ( x ) = 2 | x + 2 | x + 2 , a = - 2 En los siguientes ejercicios, determine si la función dada f es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es. f ( x ) = x 3 - 2 x - 15 Continua en ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 f ( x ) = 2 ⋅ 3 x + 4 Continua en ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = -sen ( 3 x ) f ( x ) = | x - 2 | x 2 - 2 x Discontinua en x = 0 y x = 2 f ( x ) = tan ( x ) + 2 f ( x ) = 2 x + 5 x Discontinua en x = 0 f ( x ) = log 2 ( x ) f ( x ) = ln x 2 Continua en ( 0 , ∞ ) f ( x ) = e 2 x f ( x ) = x - 4 Continua en [ 4 , ∞ ) f ( x ) = sec ( x ) - 3 . f ( x ) = x 2 + sen ( x ) Continua en ( - ∞ , ∞ ) . Determine los valores de b y c de manera tal que la siguiente función sea continua en toda la línea de los números reales. f ( x ) = { x + 1 , 1 < x < 3 x 2 + b x + c , | x - 2 | ≥ 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, consulte la . Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de a , determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en x = a y cuáles no. x = - 3 1, pero no 2 ni 3 x = 2 x = 4 1 y 2, pero no 3 En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función f ( x ) = sen ( 12 π x ) como en la . Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad. ¿Cuáles condiciones de continuidad fallan en el punto de discontinuidad? Evalúe f ( 0 ) . f ( 0 ) es indefinida. Resuelva para x si f ( x ) = 0 . ¿Cuál es el dominio de f ( x ) ? ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la . ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Qué condición de continuidad se viola en estos puntos? A x = - 1 , el límite no existe. A x = 1 , f ( 1 ) no existe. A x = 2 , parece ser una asíntota vertical, y el límite no existe. Considere la función mostrada en la . ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Cuáles condiciones de continuidad se han violado? Construya una función que pase por el origen con una pendiente constante de 1, con discontinuidades removibles en x = - 7 y x = 1. x 3 + 6 x 2 - 7 x ( x + 7 ) ( x – 1 ) La función f ( x ) = x 3 - 1 x – 1 se representa gráficamente en la . Parece ser continua en el intervalo [ − 3 , 3 ] , pero hay un valor x en ese intervalo en el cual la función es discontinua. Determine el valor de la x en el que la función es discontinua, y explique la dificultad de utilizar la tecnología al considerar la continuidad de una función al examinar su gráfico. Calcule el límite lím x → 1 f ( x ) y determine si la siguiente función es continua en x = 1 : f x = { x 2 + 4 x ≠ 1 2 x = 1 La función es discontinua en x = 1 porque el límite cuando x se acerca a 1 es 5 y f ( 1 ) = 2. El gráfico de f ( x ) = sen ( 2 x ) x se muestra en la . ¿La función f ( x ) continua en x = 0 ? ¿Por qué sí o por qué no? función continua una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico función discontinua una función que no es continua en x = a discontinuidad de salto un punto de discontinuidad en una función f ( x ) en x = a donde existen los límites izquierdo y derecho, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) discontinuidad removible un punto de discontinuidad en una función f ( x ) donde la función es discontinua, pero se puede redefinir para hacerla continua

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