Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas En un problema de prueba de hipótesis , puede ver palabras como "el nivel de significación es del 1 %". El "1 %" es el α preconcebido o preestablecido. El estadístico que establece la prueba de hipótesis selecciona el valor de α que va a utilizar antes de recoger los datos de la muestra. Si no se indica ningún nivel de significación, una norma común que se utiliza es α = 0,05. Cuando se calcula el valor p y se dibuja el cuadro, el valor p es el área de la cola izquierda, de la cola derecha o dividida por igual entre las dos colas. Por esta razón, llamamos a la prueba de hipótesis de la izquierda, de la derecha o de dos colas. La hipótesis alternativa , H a , le indica si la prueba es de cola izquierda, derecha o doble. Es la clave para realizar la prueba adecuada. H a nunca tiene un símbolo que contenga un signo igual. Pensar en el significado del valor p : Un analista de datos (y cualquier otra persona) debería confiar más en que ha tomado la decisión correcta de rechazar la hipótesis nula con un valor p menor (por ejemplo, 0,001 frente a 0,04), incluso si se utiliza el nivel 0,05 para el alfa. Del mismo modo, para un valor p mayor, como 0,4, frente a un valor p de 0,056 (alfa = 0,05 es menor que cualquiera de los dos números), el analista de datos debería confiar más en que tomó la decisión correcta al no rechazar la hipótesis nula. Esto hace que el analista de datos haga uso de su discernimiento en lugar de aplicar reglas sin sentido. Los siguientes ejemplos ilustran una prueba de cola izquierda, derecha y de dos colas. H o : μ = 5, H a : μ < 5 Prueba de una media poblacional única. H a le indica que la prueba es de cola izquierda. La imagen del valor p es la siguiente: Ejercicio H 0 : μ = 10, H a : μ < 10 Supongamos que el valor p es 0,0935. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . H 0 : p ≤ 0,2 H a : p > 0,2 Se trata de una prueba de una sola proporción de población. H a le indica que la prueba es de cola derecha . La imagen del valor p es la siguiente: Ejercicio H 0 : μ ≤ 1, H a : μ > 1 Supongamos que el valor p es 0,1243. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . H 0 : p = 50 H a : p ≠ 50 Se trata de una prueba de la media de una sola población. H a le indica que la prueba es de dos colas . La imagen del valor p es la siguiente. Ejercicio H 0 : p = 0,5, H a : p ≠ 0,5 Supongamos que el valor p es 0,2564. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . Ejemplos de pruebas de hipótesis completas Cuando Jeffrey tenía ocho años estableció un tiempo medio de 16,43 segundos al nadar las 25 yardas en estilo libre, con una desviación típica de 0,8 segundos . Su padre, Frank, pensó que Jeffrey podría nadar más rápido las 25 yardas en estilo libre si utilizaba gafas para nadar. Frank le compró a Jeffrey un nuevo par de gafas para nadar costosas y cronometró 15 veces que nadó las 25 yardas en estilo libre . En las 15 veces, el tiempo medio de Jeffrey fue de 16 segundos. Frank pensó que las gafas para nadar ayudaron a Jeffrey a nadar más rápido que los 16,43 segundos. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que los tiempos de natación de las 25 yardas en estilo libre son normales. Establezca la prueba de la hipótesis: Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional . H 0 : μ = 16,43 H a : μ < 16,43 Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo debiera ser inferior a 16,43 segundos. El “<” indica que es de cola izquierda. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = el tiempo medio para nadar las 25 yardas de estilo libre. Distribución para la prueba: X ¯ es normal (se conoce la desviación típica de la población: σ = 0,8) X ¯ ~ N ( μ , σ X n ) Por lo tanto, X ¯ ~ N ( 16,43 , 0,8 15 ) μ = 16,43 procede de H 0 y no de los datos. σ = 0,8, y n = 15. Calcule el valor p con la distribución normal para una media: valor p = P ( x ¯ < 16) = 0,0187 donde la media de la muestra en el problema se da como 16. valor p = 0,0187 (se denomina nivel de significación real ). El valor p es el área a la izquierda de la media de la muestra se da como 16. Gráfico: μ = 16,43 proviene de H 0 . Nuestra hipótesis es μ = 16,43. Interpretación del valor p : Si H 0 es cierta , hay una probabilidad de 0,0187 (1,87 %) de que la media de tiempo de Jeffrey para nadar las 25 yardas estilo libre sea de 16 segundos o menos. Dado que una probabilidad del 1,87 % es pequeña, es poco probable que el tiempo medio de 16 segundos o menos haya ocurrido aleatoriamente. Es un evento poco común. Compare α y el valor p : α = 0,05 valor p = 0,0187 α > valor p Tome una decisión: Dado que α > valor p , se rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ = 16,43. En otras palabras, no cree que Jeffrey nade las 25 yardas estilo libre en 16,43 segundos, sino más rápido con las nuevas gafas. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, concluimos que Jeffrey nada más rápido con las nuevas gafas. Los datos de la muestra indican que hay pruebas suficientes de que la media de tiempo de Jeffrey para nadar las 25 yardas en estilo libre es inferior a 16,43 segundos. El valor p se calcula fácilmente. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 1:Z-Test . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Flecha abajo e introduzca 16,43 para μ 0 (hipótesis nula), 0,8 para σ , 16 para la media muestral y 15 para n . Flecha abajo a μ : (hipótesis alternativa) y flecha arriba a < μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,0187), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra. μ < 16,43 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = –2,08 (estadístico de prueba) y p = 0,0187 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Cuando la calculadora hace una prueba Z , el Prueba z halle el valor p con un cálculo de probabilidad normal mediante el teorema del límite central : P ( x ¯ < 16 ) = 2.° DISTR normcdf ( – 10 ^ 99 , 16 , 16,43 , 0,8 / 15 ) . Los errores tipo I y tipo II para este problema son los siguientes: El error tipo I consiste en concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en 16,43 segundos (rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error de tipo II consiste en que no hay pruebas para concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, sí nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa). Ejercicio La distancia media de lanzamiento de un balón de fútbol para Marco, un mariscal de campo de primer año de escuela secundaria, es de 40 yardas, con una desviación típica de dos yardas. El entrenador del equipo le dice a Marco que ajuste su agarre para conseguir más distancia. El entrenador registra las distancias de 20 lanzamientos. En los 20 lanzamientos, la distancia media de Marco fue de 45 yardas. El entrenador pensó que el agarre diferente ayudó a Marco a lanzar más allá de las 40 yardas. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que las distancias de lanzamiento de los balones son normales. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Pulse 1: prueba Z. Flecha hacia STATS y pulse ENTER. Flecha abajo e introduzca 40 para μ 0 (hipótesis nula), 2 para σ , 45 para la media muestral y 20 para n . Flecha hacia abajo hasta μ : (hipótesis alternativa) y establézcala como <, ≠, o >. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. La calculadora no solamente calcula el valor p , sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra. Seleccione <, ≠, o > para la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha a Draw (Dibujar) (en vez de Calculate [calcular]). Pulse ENTER. Aparece un gráfico sombreado con el estadístico de prueba y el valor p . Cuando utilice Draw (Dibujar) verifique que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y que los gráficos estén apagados. Nota histórica ( ) La forma tradicional de comparar las dos probabilidades, α y el valor p , consiste en comparar el valor crítico (puntuación z de α ) con el estadístico de prueba (puntuación z de los datos). El estadístico de prueba calculado para el valor p es de –2,08. (A partir del teorema del límite central, la fórmula del estadístico de prueba es z = x ¯ – μ X ( σ X n ) . Para este problema, x ¯ = 16, μ X = 16,43 a partir de la hipótesis nula es, σ X = 0,8 y n = 15.) Puede calcular el valor crítico para α = 0,05 en la tabla normal (vea 15. Tablas en el Índice). La puntuación z para un área a la izquierda igual a 0,05 está a medio camino entre –1,65 y –1,64 (0,05 está a medio camino entre 0,0505 y 0,0495). La puntuación z es de –1,645. Dado que –1,645 > –2,08 (lo que demuestra que α > valor p ), rechaza H 0 . Tradicionalmente, la decisión de rechazar o no rechazar se hacía de esta manera. Hoy en día, la comparación de las dos probabilidades α y el valor p es muy común. En este problema, el valor p , 0,0187 es considerablemente menor que α , 0,05. Puede estar seguro de su decisión de rechazo. El gráfico muestra α , el valor p , así como el estadístico de prueba y el valor crítico. Un entrenador de fútbol universitario registra que el peso medio que sus jugadores pueden levantar pesas es de 275 libras , con una desviación típica de 55 libras . Tres de sus jugadores pensaron que el peso medio era superior a esa cantidad. Preguntaron a 30 de sus compañeros de equipo por su elevación máxima estimada en el ejercicio de levantamiento de pesas. Los datos oscilaban entre las 205 libras y las 385 libras. Los pesos reales diferentes fueron (las frecuencias están entre paréntesis) 205(3) 215(3) 225(1) 241(2) 252(2) 265(2) 275(2) 313(2) 316(5) 338(2) 341(1) 345(2) 368(2) 385(1) . Realice una prueba de hipótesis a un nivel de significación del 2,5 % para determinar si la media del levantamiento de pesas es superior a 275 libras . Establezca la prueba de la hipótesis: Ya que el problema es sobre un peso medio, se trata de una prueba de una sola media poblacional . H 0 : μ = 275 H a : μ > 275 Esta es una prueba de cola derecha. Calcule la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = el peso medio, en libras, levantado por los futbolistas. Distribución para la prueba: Es normal porque σ es conocido. X ¯ ~ N ( 275 , 55 30 ) x ¯ = 286,2 libras (a partir de los datos). σ = 55 libras (Utilice siempre σ si lo conoce). Asumimos que μ = 275 libras, a no ser que nuestros datos nos muestren lo contrario. Calcule el valor p con la distribución normal para una media y con la media de la muestra como entrada (vea el G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+ para utilizar los datos como entrada): valor p = P ( x ¯ > 286,2 ) = 0,1323 . Interpretación del valor p : Si H 0 es verdadera, entonces hay una probabilidad de 0,1331 (13,23 %) de que los futbolistas levanten un peso medio de 286,2 libras o más. Dado que una probabilidad del 13,23 % es lo suficientemente grande, un levantamiento de peso medio de 286,2 libras o más no es un evento poco común. Compare α y el valor p : α = 0,025 valor p = 0,1323 Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 2,5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el verdadero peso medio levantado sea superior a 275 libras. El valor p se calcula fácilmente. Ponga los datos y las frecuencias en listas. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 1:Z-Test . Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca 275 para μ 0 , 55 para σ , el nombre de la lista donde pone los datos y el nombre de la lista donde pone las frecuencias. Flecha abajo hasta μ: y flecha arriba hasta > μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,1331, un poco diferente del cálculo anterior. En este utilizamos la media de la muestra redondeada a un decimal en lugar de los datos), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra, la media de la muestra y la desviación típica de la muestra. μ > 275 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = 1,112 (estadístico de prueba) y p = 0,1331 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Los estudiantes de estadística creen que la puntuación media en el primer examen de estadística es de 65. Un instructor de Estadística cree que la puntuación media es superior a 65. Tome una muestra de diez estudiantes de Estadística y obtiene las puntuaciones 65 65 70 67 66 63 63 68 72 71 . Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Se supone que los datos proceden de una distribución normal. Establezca la prueba de la hipótesis: El nivel de significación del 5 % significa que α = 0,05. Se trata de una prueba de la media de una sola población . H 0 : μ = 65 H a : μ > 65 Ya que el instructor cree que la puntuación promedio es más alta, utiliza un ">". El ">" significa que la prueba es de cola derecha. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = puntuación promedio en la primera prueba de Estadística. Distribución para la prueba: Si lee el problema con atención, se dará cuenta de que no se da la desviación típica de la población . Solamente se dan n = 10 valores de datos de muestra. Observe también que los datos proceden de una distribución normal. Esto significa que la distribución para la prueba es una t de Student. Utilice t df . En consecuencia, la distribución para la prueba es t 9 donde n = 10 and df = 10 - 1 = 9. Calcule el valor p con la distribución t de Student: valor p = P ( x ¯ > 67) = 0,0396 donde la media y la desviación típica de la muestra se calculan como 67 y 3,1972 a partir de los datos. Interpretación del valor p : Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,0396 (3,96 %) de que la media de la muestra sea igual o superior a 65. Compare α y el valor p : Dado que α = 0,05 y el valor p = 0,0396. α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , se rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ = 65. En otras palabras, cree que la puntuación promedio de los exámenes es superior a 65. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra aportan suficientes pruebas de que la puntuación media (promedio) de la prueba es superior a 65, tal y como piensa el instructor de Matemáticas. El valor p se calcula fácilmente. Ponga los datos en una lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 2:T-Test . Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca 65 para μ 0 , el nombre de la lista donde se ponen los datos, y 1 para Frec: . Flecha hacia abajo, hasta μ : y flecha hacia arriba, hasta > μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,0396), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación t ) para la media de la muestra, la media de la muestra y la desviación típica de la muestra. μ > 65 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con t = 1,9781 (estadístico de prueba) y p = 0,0396 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Ejercicio Se cree que el precio de las acciones de una determinada compañía crecerá a un ritmo de 5 dólares por semana con una desviación típica de 1 dólar. Un inversor cree que las acciones no crecerán tan rápido. Las variaciones en el precio de las acciones se registran durante diez semanas y son las siguientes: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1 y 2 dólares. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Plantee las hipótesis nula y alternativa, halle el valor p , exponga su conclusión e identifique los errores de tipo I y tipo II. Joon cree que el 50 % de las novias primerizas en Estados Unidos son más jóvenes que sus novios. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 50 % . Joon toma muestras de 100 novias primerizas y 53 responden que son más jóvenes que sus novios. Para la prueba de la hipótesis, utilice un nivel de significación del 1 %. Establezca la prueba de la hipótesis: El nivel de significación del 1 % indica que α = 0,01. Se trata de una prueba de una sola proporción de población . H 0 : p = 0,50 H a : p ≠ 0,50 Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas. Calcule la distribución necesaria: Variable aleatoria: P′ = el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios. Distribución para la prueba: el problema no contiene ninguna mención a la media. La información se da en términos de porcentajes. Utilice la distribución para P′ , la proporción estimada. P ′ ~ N ( valor , valor ⋅ q n ) Por lo tanto, P ′ ~ N ( 0,5 , 0,5 ⋅ 0,5 100 ) donde p = 0,50, q = 1− p = 0,50 y n = 100 Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones: valor p = P (p′ < 0,47 o p′ > 0,53) = 0,5485 donde x = 53, p′ = x n = 53 100 = 0,53. Interpretación del valor p : Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,5485 (54,85 %) de que la proporción muestral (estimada) valor ' sea igual o superior a 0,53 O igual o inferior a 0,47 (vea el gráfico en la ). μ = p = 0,50 proviene de H 0 , la hipótesis nula. p′ = 0,53. Dado que la curva es simétrica y la prueba es de dos colas, la p′ de la cola izquierda es igual a 0,50 - 0,03 = 0,47, donde μ = p = 0,50. (0,03 es la diferencia entre 0,53 y 0,50). Compare α y el valor p : Dado que α = 0,01 y el valor p = 0,5485. α < valor p . Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no muestran pruebas suficientes de que el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios sea diferente del 50 %. El valor p se calcula fácilmente. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 5:1-PropZTest . Introduzca 0,5 para p 0 , 53 para x y 100 para n . Desplace la flecha hacia abajo hasta Prop y la flecha hacia no es igual a p 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora calcula el valor p (p = 0,5485) y el estadístico de prueba (puntuación z ). Prop diferente a 0,5 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = 0,6 (estadístico de prueba) y p = 0,5485 (valor p ). Cuando utilice Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Los errores tipo I y II son los siguientes: El error tipo I consiste en concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error tipo II es que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios difiere del 50 % cuando, de hecho, la proporción sí difiere del 50 %. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa). Ejercicio Un maestro cree que el 85 % de los estudiantes de la clase querrán ir de excursión al zoológico local. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 85 %. El maestro hace un muestreo de 50 estudiantes y 39 responden que querrían ir al zoológico. Para la prueba de hipótesis utilice un nivel de significación del 1 %. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Supongamos que un grupo de consumidores presume que la proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles es del 30 %. Una compañía de telefonía móvil tiene razones para creer que la proporción no es del 30 %. Antes de iniciar una gran campaña publicitaria realizan una prueba de hipótesis. Su personal de mercadeo realiza una encuesta en 150 hogares con el resultado de que 43 de ellos tienen tres teléfonos móviles. a. El valor que determina el valor p es p′ . Calcule p′ . b. ¿Cuál es el acierto de este problema? c. ¿Cuál es el nivel de significación? d. Dibuje el gráfico de este problema. Dibuje el eje horizontal. Marque y sombree adecuadamente. Calcule el valor p . e. Tome una decisión. _____________(rechazar o no rechazar) H 0 porque____________. Establezca la prueba de la hipótesis: H 0 : p = 0,30 H a : p ≠ 0,30 Determine la distribución necesaria: La variable aleatoria es P′ = proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles. La distribución para la prueba de hipótesis es P ' ~ N ( 0,30 , ( 0,30 ) ⋅ ( 0,70 ) 150 ) a. p′ = x n donde x es el número de aciertos y n es el número total de la muestra. x = 43, n = 150 p′ = 43 150 b. Un acierto es tener tres teléfonos móviles en un hogar. c. El nivel de significación es el α preestablecido. Ya que no se da α , se supone que α = 0,05. d. valor p = 0,7216 e. Suponiendo que α = 0,05, α < valor p . La decisión es no rechazar H 0 porque no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles no sea del 30 %. Ejercicio Los expertos en mercadeo creen que el 92 % de los adultos de Estados Unidos tienen un teléfono móvil. Un fabricante de teléfonos móviles cree que esa cifra es en realidad inferior. Se encuestó a 200 adultos estadounidenses, de los cuales 174 declararon tener teléfonos móviles. Utilice un nivel de significación del 5 %. Plantee la hipótesis nula y la alternativa, calcule el valor p , plantee su conclusión e identifique los errores tipo I y tipo II. El siguiente ejemplo es un poema escrito por una estudiante de Estadística llamada Nicole Hart. La solución del problema sigue al poema. Observe que la prueba de hipótesis es para una única proporción poblacional. Esto significa que las hipótesis nula y alternativa utilizan el parámetro p . La distribución para la prueba es normal. La proporción estimada p′ es la proporción de pulgas matadas respecto al total de pulgas encontradas en Fido. Esta es una información de muestra. El problema da una α prestablecida = 0,01, para comparar, y un cálculo del intervalo de confianza del 95 %. El poema es ingenioso y humorístico, así que disfrútelo Mi perro tiene muchas pulgas, No salen con facilidad. En cuanto al champú, he probado muchos tipos Incluso uno llamado Bubble Hype, que solo mataba el 25 % de las pulgas, Desgraciadamente, no me gustó. He usado todo tipo de jabón, Ya había perdido la esperanza Hasta que un día vi Un anuncio que me dejó asombrada. Un champú utilizado para perros Llamado GOOD ENOUGH to Clean a Hog (Lo bastante bueno para matar a un cerdo). Garantizado para matar más pulgas. Le di a Fido un baño Después de hacer las cuentas La cantidad de pulgas ¡Comenzó a bajar por 3! Antes de su champú conté 42. Al final de su baño, volví a contar El champú había matado 17 pulgas. Así que ahora estaba complacida. Ahora es el momento de divertirse Dado el nivel de significación 0,01, Debe ayudarme a averiguar ¿Usar el nuevo champú o prescindir de este? Establezca la prueba de la hipótesis: H 0 : p ≤ 0,25 H a : p > 0,25 Determine la distribución necesaria: En palabras, indique CLARAMENTE qué representa su variable aleatoria X ¯ o P′ representa. P′ = La proporción de pulgas que elimina el nuevo champú Indique la distribución que se utilizará para la prueba. Normal: N ( 0,25 , ( 0,25 ) ( 1 – 0,25 ) 42 ) Estadístico de prueba: z = 2,3163 Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones: valor p = 0,0103 En una o dos frases completas, explique qué significa el valor p para este problema. Si la hipótesis nula es verdadera (la proporción es 0,25), entonces hay una probabilidad de 0,0103 de que la proporción muestral (estimada) sea 0,4048 ( 17 42 ) o más. Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Compare α y el valor p : Indique la decisión correcta ("rechazar" o "no rechazar" la hipótesis nula), la razón para ello y escriba una conclusión adecuada, en frases completas. alfa decisión motivo de la decisión 0,01 No rechazar H 0 α < valor p . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no indican pruebas suficientes de que el porcentaje de pulgas que elimina el nuevo champú sea superior al 25 %. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media o la proporción verdaderas. Incluya un esquema del gráfico de la situación. Etiquete la estimación puntual y los límites inferior y superior del intervalo de confianza. Intervalo de confianza: (0,26,0,55) Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción poblacional p de pulgas que son eliminadas por el nuevo champú está entre el 26 % y el 55 %. Nota: El resultado de esta prueba no es muy definitivo, ya que el valor p está muy cerca de alfa. En realidad, probablemente se harían más pruebas y se bañaría otra vez al perro después de que las pulgas hayan tenido la oportunidad de volver. El Instituto Nacional de Normas y Tecnología proporciona datos exactos sobre las propiedades de conductividad de los materiales. A continuación se muestran las mediciones de conductividad de 11 piezas seleccionadas al azar de un tipo de vidrio en particular. 1,11; 1,07; 1,11; 1,07; 1,12; 1,08; 0,98; 0,98; 1,02; 0,95; 0,95. ¿Hay pruebas convincentes de que la conductividad promedio de este tipo de vidrio sea superior a uno? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que la población es normal. Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística. Plantee la pregunta : Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Plan : estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida. Por lo tanto, tenemos que utilizar una distribución t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal. Haga los cálculos : Introduciremos los datos de la muestra en la TI-83 de la siguiente manera. Plantee las conclusiones : Dado que el valor p ( p = 0,036) es inferior a nuestro valor alfa, rechazaremos la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno. En un estudio de 420.019 usuarios de teléfonos móviles, 172 de los sujetos desarrollaron cáncer cerebral. Pruebe la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles desarrollaron cáncer cerebral a una tasa mayor que la de los no usuarios de teléfonos móviles (la tasa de cáncer cerebral para los no usuarios de teléfonos móviles es del 0,0340 %). Dado que se trata de un asunto crítico utilice un nivel de significación de 0,005. Explique por qué el nivel de significación debe ser tan bajo en términos de un error tipo I. Seguiremos el proceso de cuatro pasos. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán H 0 : p ≤ 0,00034 H a : p > 0,00034 Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np = 420.019(0,00034) = 142,8, nq = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de acierto p = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población. Los resultados de TI asociados son Dado que el valor p = 0,0073 es mayor que nuestro valor alfa = 0,005, no podemos rechazar la nulidad. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que no hay pruebas suficientes para respaldar la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles tienen mayores tasas de cáncer cerebral. Según el censo de EE. UU. hay aproximadamente 268.608.618 residentes de 12 años o más. Las estadísticas de la Red Nacional de Violación, Maltrato e Incesto indican que cada año se producen un promedio de 207.754 violaciones (de hombres y mujeres) a personas de 12 años o más. Esto se traduce en un porcentaje de agresiones sexuales del 0,078 %. En el condado de Daviess, KY, se denunciaron 11 violaciones para una población de 37.937 habitantes. Realice una prueba de hipótesis adecuada para determinar si existe una diferencia estadísticamente significativa entre el porcentaje local de agresiones sexuales y el porcentaje nacional de agresiones sexuales. Utilice un nivel de significación de 0,01. Seguiremos el plan de cuatro pasos. Tenemos que comprobar si la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, KY es significativamente diferente del promedio nacional. Ya que se trata de proporciones, utilizaremos la prueba z de una proporción. Las hipótesis de la prueba serán: H 0 : p = 0,00078 H a : p ≠ 0,00078 Las siguientes capturas de pantalla muestran el resumen estadístico de la prueba de hipótesis. Dado que el valor p , p = 0,00063, es inferior al nivel alfa de 0,01, los datos de la muestra indican que debemos rechazar la hipótesis nula. En conclusión, los datos de la muestra apoyan la afirmación de que la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, Kentucky, es diferente de la proporción nacional promedio. Repaso del capítulo La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera Determine H 0 y H a . Recuerde que son contradictorios. Determine la variable aleatoria. Determine la distribución para la prueba. Dibuje un gráfico, calcule el estadístico de la prueba y utilícelo para calcular el valor p . (La puntuación z y la puntuación t son ejemplos de estadísticos de prueba). Compare el α prestablecido con el valor p , tome una decisión (rechazar o no rechazar H 0 ) y escriba una conclusión clara con frases en inglés. Observe que al realizar la prueba de hipótesis, se utiliza α y no β . β es necesaria para determinar el tamaño de la muestra de los datos que se utiliza en el cálculo del valor p . Recuerde que la cantidad 1 - β recibe el nombre de potencia de la prueba . Es deseable una alta potencia. Si la potencia es demasiado baja, los estadísticos suelen aumentar el tamaño de la muestra al mantener igual el α . Si la potencia es baja, es posible que no se rechace la hipótesis nula cuando debería hacerlo. Supongamos que H 0 : μ = 9 y H a : μ < 9. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que H 0 : μ ≤ 6 y H a : μ > 6. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que H 0 : p = 0,25 y H a : p ≠ 0,25. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Dibuje el gráfico general de una prueba de cola izquierda. Dibuje el gráfico de una prueba de dos colas. La etiqueta de una botella de agua indica que contiene 16 onzas líquidas de agua. Usted cree que es menos que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Su amigo afirma que su puntuación media en el golf es de 63. Quiere demostrar que es más que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola derecha En una báscula de baño se señala que puede identificar correctamente cualquier peso dentro de una libra. Usted cree que no puede ser tan precisa. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Lanza una moneda y anota si sale cara o cruz. Sabe que la probabilidad de salir cara es del 50 %, pero cree que es menor para esta moneda en particular. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola izquierda ¿Sabe qué tipo de prueba debe utilizar si la hipótesis alternativa tiene un símbolo de diferente (≠)? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es, al menos, 18. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es como máximo 12. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es igual a 88. La hipótesis alternativa afirma que la media es diferente a 88. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Tarea para la casa En cada uno de los problemas, utilice una hoja de soluciones para comprobar la hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota: Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente. (Sin embargo, en general, primero hay que demostrar ese supuesto). Una marca particular de neumáticos afirma que su neumático de lujo recorre un promedio de 50.000 millas antes de necesitar reemplazo. Por estudios anteriores de este neumático, se sabe que la desviación típica es de 8.000. Se realiza una encuesta entre los propietarios de ese diseño de neumático. De los 28 neumáticos revisados la vida media fue de 46.500 millas con una desviación típica de 9.800 millas. Utilizando alfa = 0,05, ¿los datos son altamente incoherentes con la afirmación? H 0 : μ ≥ 50.000 H a : μ < 50.000 Supongamos que X ¯ = la vida promedio de unos neumáticos de marca. distribución normal z = –2,315 valor p = 0,0103 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que la vida media de los neumáticos sea inferior a 50.000 millas. (43.537, 49.463) De una generación a otra, la edad media en que los fumadores empiezan a fumar varía. Sin embargo, la desviación típica de esa edad se mantiene constante en torno a los 2,1 años. Se hizo una encuesta a 40 fumadores de esta generación para comprobar si la edad media de inicio es de, al menos, 19 años. La media muestral fue de 18,1 con una desviación típica de la muestra de 1,3. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 5 %? El costo de un diario varía de una ciudad a otra. Sin embargo, la variación entre los precios se mantiene estable con una desviación típica de 20 centavos. Se realizó un estudio para comprobar la afirmación de que el costo medio de un diario es de 1,00 dólar. Doce costos dan un costo medio de 95 centavos con una desviación típica de 18 centavos. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 1 %? H 0 : μ = $1,00 H a : μ ≠ $1,00 Supongamos que X ¯ = el costo promedio de un diario. distribución normal z = –0,866 valor p = 0,3865 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,01 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,01. Conclusión: hay pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el costo medio de los diarios es de 1 dólar. El costo medio podría ser de 1 dólar. ($0,84, $1,06) Un artículo de The Mercury News de San José afirmaba que los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan un promedio de 4,5 años en graduarse. Supongamos que cree que el tiempo medio es mayor. Usted realiza una encuesta a 49 estudiantes y obtiene una media muestral de 5,1 con una desviación típica de la muestra de 1,2. ¿Los datos apoyan su afirmación al nivel del 1 %? Se cree que el número medio de días por permiso de enfermedad que toma un empleado al año es de unos diez. Los miembros de un departamento de personal no creen en esta cifra. Encuestan al azar a ocho empleados. El número de días por permiso de enfermedad que tomaron el año pasado es el siguiente: 12; 4; 15; 3; 11; 8; 6; 8. Supongamos que x = el número de días por permiso de enfermedad que tomaron durante el año pasado. ¿El equipo de personal debería creer que la media es diez? H 0 : μ = 10 H a : μ ≠ 10 Supongamos que X ¯ la media de días por permiso de enfermedad que un empleado toma al año. Distribución t de Student t = –1,12 valor p = 0,300 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: a un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de días por permiso de enfermedad no es diez. (4,9443, 11,806) En 1955, la revista Life informó que la joven de 25 años, madre de tres hijos, trabajaba un promedio de 80 horas semanales. Recientemente, muchos grupos han estudiado si el movimiento feminista ha provocado o no un aumento de la semana laboral promedio de las mujeres (combinación de empleo y trabajo en casa). Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la semana laboral media ha aumentado. Se encuestaron 81 mujeres con los siguientes resultados. La media muestral fue de 83; la desviación típica de la muestra fue de diez. ¿Parece que la semana laboral media ha aumentado para las mujeres al nivel del 5 %? Su instructora de estadística afirma que el 60 % de los estudiantes que asisten a su clase de Estadística Elemental pasan por la vida sintiéndose más enriquecidos. Por algún motivo que ella no puede entender la mayoría de las personas no le cree. Usted decide comprobarlo por su cuenta. Hace una encuesta al azar a 64 de sus antiguos estudiantes de Estadística Elemental y descubre que 34 se sienten más enriquecidos como consecuencia de su clase. Ahora, ¿qué cree? H 0 : p ≥ 0,6 H a : p < 0,6 Supongamos que P′ = la proporción de estudiantes que se sienten más enriquecidos como consecuencia de cursar Estadística Elemental. normal para una sola proporción 1,12 valor p = 0,1308 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 60 % de sus estudiantes se sienten más enriquecidos. Intervalo de confianza: (0,409, 0,654) El intervalo de confianza “más 4” es (0,411, 0,648) Un anuncio de Nissan Motor Corporation decía: “El coeficiente intelectual del hombre promedio es 107. El coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es 4. Entonces, ¿por qué el hombre no puede pescar truchas marrones?”. Supongamos que cree que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es superior a cuatro. Ha capturado 12 truchas marrones. Un psicólogo especializado en peces determina el coeficiente intelectual de la siguiente manera: 5; 4; 7; 3; 6; 4; 5; 3; 6; 3; 8; 5. Realice una prueba de hipótesis de su creencia. Consulte el ejercicio 9.119 . Realice una prueba de hipótesis para ver si su decisión y conclusión cambiarían si su creencia fuera que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no es cuatro. H 0 : μ = 4 H a : μ ≠ 4 Supongamos que X ¯ el coeficiente intelectual en promedio de un conjunto de truchas marrones. distribución t de Student de dos colas t = 1,95 valor p = 0,076 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no sea de cuatro. (3.8865,5.9468) Según un artículo de Newsweek , el cociente natural de niñas y niños es de 100:105. En China, el cociente de natalidad es 100: 114 (46,7 % niñas). Supongamos que no cree en las cifras que se dan a conocer sobre el porcentaje de niñas nacidas en China. Realiza un estudio. En este estudio, cuenta el número de niñas y niños nacidos en 150 nacimientos recientes elegidos al azar. De los 150 han nacido 60 niñas y 90 niños. Basándose en su estudio, ¿cree que el porcentaje de niñas nacidas en China es del 46,7? Un sondeo realizado para Newsweek reveló que el 13 % de los estadounidenses ha visto o percibido la presencia de un ángel. Un contingente tiene dudas sobre que el porcentaje sea realmente tan alto. Realiza su propia encuesta. De los 76 estadounidenses encuestados, solo dos habían visto o sentido la presencia de un ángel. Como resultado de la encuesta del contingente, ¿está usted de acuerdo con el sondeo de Newsweek ? En oraciones completas, indique también tres justificaciones por las que los dos sondeos podrían dar resultados diferentes. H 0 : p ≥ 0,13 H a : p < 0,13 Supongamos que P′ = la proporción de estadounidenses que han visto o percibido ángeles. normal para una sola proporción -2,688 valor p = 0,0036 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estadounidenses que han visto o sentido un ángel es inferior al 13 %. (0, 0,0623). El intervalo de confianza “más 4” es (0,0022, 0,0978) Se cree que la semana laboral media de los ingenieros de una compañía emergente es de unas 60 horas. Un ingeniero recién contratado espera que sea más corto. Pregunta a diez amigos ingenieros de compañías emergentes por la duración de sus semanas de trabajo medias. Con base en los resultados siguientes, ¿debe contar con que la semana laboral media sea inferior a 60 horas? Datos (duración de la semana laboral media): 70; 45; 55; 60; 65; 55; 55; 60; 50; 55. Utilice los datos de "tiempo de vuelta" con la vuelta 4 (ver C - CONJUNTOS DE DATOS ) para probar la afirmación de que Terri termina la vuelta 4, en promedio, en menos de 129 segundos. Utilice las veinte carreras dadas. H 0 : μ ≥ 129 H a : μ < 129 Supongamos que X ¯ = el tiempo promedio en segundos en que Terri termina la vuelta 4. Distribución t de Student t = 1,209 0,8792 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de Terri es inferior a 129 segundos. (128,63, 130,37) Utilice los datos de la "Oferta Pública Inicial" (vea C - CONJUNTOS DE DATOS ) para comprobar la afirmación de que el precio medio de la oferta fue de 18 dólares por acción. No utilice todos los datos. Utilice su generador de números aleatorios para encuestar al azar 15 precios. Nota: Las siguientes preguntas las escribieron antiguos estudiantes. ¡Son problemas excelentes! "Reunión familiar asiática", de Chau Nguyen Cada dos años se celebra. Nos reunimos todos los de diferentes ciudades. En mi honesta opinión No es la típica reunión familiar. Ni cuarenta, ni cincuenta, ni sesenta ¡Sino setenta compañeros! Los niños jugaban, gritaban y vociferaban En un momento están contentos y en otro hacen pucheros. Los adolescentes miraban, miraban fijamente y comparaban Desde su aspecto hasta su vestimenta. Los hombres hablaban de sus negocios Que ganan más, pero nunca menos. El dinero es siempre su tema Y siempre se habla de más proyectos nuevos. Las mujeres se cansan de todas las charlas Se dirigen a la cocina para poner los manteles individuales. Algunos se sentaban y otros se ponían de pie Comían y hablaban con los platos en las manos. Luego vienen los juegos y las canciones Y de repente, ¡todo el mundo se lleva bien! Con todas esas risas, es triste decir que Que siempre termina de la misma manera. Se abrazan, se besan y se despiden ¡Y entonces todos se ponen a llorar! Yo digo que el 60 por ciento lloró Pero mi madre contó 35 personas este año. Dijo que los niños y los hombres siempre tendrán su orgullo Así que nunca los veremos llorar. No creo que tenga razón Así que, ¿podría probar este problema para saber si lo objeta? H 0 : p = 0,60 H a : p < 0,60 Sea P′ = la proporción de familiares que derraman lágrimas en un reencuentro. normal para una sola proporción -1,71 0,0438 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de familiares que lloran en una reunión es inferior a 0,60. Sin embargo, la prueba es débil porque el valor p y el alfa están bastante cerca, por lo que habría que hacer otras pruebas. Estamos seguros en un 95 % de que entre el 38,29 % y el 61,71 % de los familiares llorarán en una reunión familiar. (0,3829, 0,6171). El intervalo de confianza "más 4" (vea el capítulo 8) es (0,3861, 0,6139). Observe que aquí la prueba 1 – PropZTest de "muestra grande" proporciona el valor p aproximado de 0,0438. Siempre que un valor p basado en una aproximación normal se acerque al nivel de significación, deberá calcularse el valor p exacto con base en probabilidades binomiales, siempre que sea posible. Esto va más allá del ámbito de aplicación de este curso. "El problema con los ángeles", de Cyndy Dowling Aunque este problema es totalmente mío El catalizador vino de la revista Time. En la portada de la revista encontré El reino de los ángeles hace cosquillas en mi mente. En el interior, el 69 % me pareció que En los ángeles, los estadounidenses sí creen. Entonces, llegó el momento de estar a la altura. A noventa y cinco estudiantes de escuela secundaria y universitarios sí les pregunté. Veo a todos como un solo grupo Muestreo aleatorio para obtener la primicia. Así que le pedí a cada uno que fuera honesto. "¿Cree en los ángeles?" ¡Dígame, hágalo! Hipótesis de partida Creo totalmente en mi corazón Que la proporción que dijo que sí Sería igual en esta prueba. ¡Sorpresa! Llegaron setenta y tres De la muestra de noventa y cinco. Ahora su trabajo acaba de empezar Resuelva este problema y diviértase. "Hacer burbujas", de Sondra Prull Estudiar las estadísticas me puso tensa Tenía que encontrar alguna defensa sana. Algún juego ligero y sencillo para animarme Para desvanecer mi ansiedad por las matemáticas. Hacer burbujas me eleva Lleva mis problemas al cielo. ¡POP! Se van, con todo mi estrés La terapia de burbujas es lo mejor. La etiqueta decía que cada vez que soplaba El número promedio de burbujas sería de al menos 22. Soplé y soplé y me di cuenta que A partir de 64 soplos, ¡todos son redondos! Pero el número de burbujas en 64 soplos Esto lo sé, es muy variado. 20 por soplo se convirtió en la media Se desviaron por 6 y no por 16. Al contar burbujas, seguro que me relajé Pero ahora le doy su tarea. ¿22 era una suposición razonable? ¡Busque la respuesta y pase esta prueba! H 0 : μ ≥ 22 H a : μ < 22 Supongamos que X ¯ = la media de burbujas por soplo. Distribución t de Student -2,667 valor p = 0,00486 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que el número de la media de burbujas por soplo es inferior a 22. (18,501, 21,499) "La pena de los dálmatas", de Kathy Sparling Un codicioso criador de perros llamado Spreckles Crio cachorros con numerosas pecas Los dálmatas que buscaba Tenían manchas sobre manchas Cuantas más manchas, pensó, más dinero. Sus competidores no estaban de acuerdo En que las pecas aumenten la tarifa. Dijeron: "Las manchas son bastante agradables Pero no afectan al precio Hay que criar para mejorar el pedigrí". Los criadores decidieron probar Esta estrategia fue un movimiento equivocado. Criar solo para las manchas Causaría estragos, pensaron. Su teoría quieren refutarla. Le propusieron un concurso a Spreckles Compararon los precios de los perros con pecas. En los registros buscaron Ciento un cachorros: Los dálmatas que más dinero han obtenido. Le pidieron al Sr. Spreckles que nombrara Un recuento promedio de manchas que reclamaría Para traer grandes cantidades de dinero. Dijo Spreckles, "Bueno, Es por el ciento uno que apunto". Dijo un estadístico aficionado Que quería ayudar en esta misión. "Veintiuno para la muestra La desviación típica es amplia: Examinaron ciento un Dálmatas que alcanzaron una buena suma. Contaron cada mancha, Marca, peca y punto Y se ha contabilizado cada una de ellas. En lugar de ciento un manchas Tienen un promedio de noventa y seis puntos ¿Pueden contener la obsesión de Spreckles por las pecas basado en todos los datos de los perros que tienen? "¡Macarrones con queso, por favor!" de Nedda Misherghi y Rachelle Hall Como estudiante pobre y hambriento no tengo mucho dinero para gastar ni siquiera para las necesidades más básicas. Así que mi alimento básico favorito y principal son los macarrones con queso. Tiene un gran sabor y un bajo costo y valor nutricional. Un día, mientras me sentaba a determinar el sentido de la vida, tuve un gran antojo de este, oh, tan importante, alimento de mi vida. Así que bajé a Greatway para comprar una caja de macarrones con queso, ¡pero era TAN caro! ¡¡¡2,02 dólares!!! ¿Pueden creerlo? Me hizo detenerme y pensar. El mundo está cambiando rápidamente. Había pensado que el costo de la media de una caja (del tamaño normal, no de un paquete supergigante de valor familiar) era como mucho de 1 dólar, pero ahora no estaba tan seguro. Sin embargo, estaba decidido a averiguarlo. Fui a 53 de las tiendas de comestibles más cercanas y comprobé los precios de los macarrones con queso. Aquí están los datos que escribí en mi cuaderno: Precio por caja de Mac and Cheese: 5 tiendas a 2,02 dólares 15 tiendas a 0,25 dólares 3 tiendas a 1,29 dólares 6 tiendas a 0,35 dólares 4 tiendas a 2,27 dólares 7 tiendas a 1,50 dólares 5 tiendas a 1,89 dólares 8 tiendas a 0,75. Pude ver que el costo variaba, pero tuve que sentarme para averiguar si tenía razón o no. Si resulta que este apetitoso plato cuesta como mucho un dólar, entonces haré una gran fiesta con queso en nuestro próximo laboratorio de estadística, con suficientes macarrones con queso para mí solo (después de todo, como pobre estudiante hambriento no se puede esperar que alimente a nuestra clase de animales) H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Supongamos que X ¯ = el coste medio en dólares de los macarrones con queso en una determinada ciudad. Distribución t de Student t = 0,340 valor p = 0,36756 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: el costo de la media podría ser de un dólar, o menos. Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el precio de la media de una caja de macarrones con queso es superior a 1 dólar. (0,8291, 1,241) "William Shakespeare: La tragedia de Hamlet, príncipe de Dinamarca", de Jacqueline Ghodsi LOS PERSONAJES (por orden de aparición): HAMLET, príncipe de Dinamarca y estudiante de Estadística POLONIO, tutor de Hamlet HORACIO, amigo de Hamlet y compañero de estudios Escena: la gran biblioteca del castillo, en la que Hamlet toma sus lecciones Acto I (El día es hermoso, pero el rostro de Hamlet está nublado. Se pasea por la gran sala. Su tutor, Polonio, reprende a Hamlet en relación con la experiencia reciente de este. Horacio está sentado en la mesa grande a la derecha del escenario) POLONIO: Mi señor, ¡cómo no puedes admitir que has visto un fantasma! No es más que un producto de su imaginación HAMLET: Siento discrepar; sé con certeza que cinco y setenta en cien de nosotros, condenados a los azotes y desprecios del tiempo como estamos, hemos contemplado un espíritu de salud, o un duende maldito, sean sus intenciones perversas o caritativas. POLONIO: Si insistes en tu miserable visión, déjame invertir tu tiempo; sé fiel a tu trabajo y háblame a través de la razón de las hipótesis nulas y alternativas (se dirige a Horacio). ¿Acaso no dijo el propio Hamlet: "Qué obra es el hombre, qué noble de razón, qué infinito de facultades? Entonces, que no persista esta tontería. Ve, Horacio, haz una encuesta de tres y sesenta y descubre cuál es la verdadera proporción. Por mi parte, nunca sucumbiré a esta fantasía, sino que considero al hombre desprovisto de toda razón en caso de que se cumpla tu propuesta de al menos cinco y setenta entre cien. HORACIO (a Hamlet): ¿Qué debemos hacer, mi Señor? HAMLET: Ve a tu propósito, Horacio. HORACIO: ¿Con qué fin, mi Señor? HAMLET: Que debes enseñarme. Pero permíteme que te conjure por los derechos de nuestra confraternidad, por la consonancia de nuestra juventud, pero por la obligación de nuestro amor siempre conservado, que seas ecuánime y directo conmigo, tenga o no tenga razón. (Horacio sale, seguido de Polonio, y dejan a Hamlet reflexionando solo). Acto II (Al día siguiente, Hamlet espera ansiosamente la presencia de su amigo, Horacio. Polonio entra y coloca algunos libros sobre la mesa justo un momento antes de que entre Horacio) POLONIO: Entonces, Horacio, ¿qué es lo que revelaste en tus deliberaciones? HORACIO: En una encuesta aleatoria, para la que tú mismo me enviaste, descubrí que uno y cuarenta creen fervientemente que los espíritus de los muertos caminan con nosotros. Ante mi Dios, no podría creer esto, sin el testimonio sensible y verdadero de mis propios ojos. POLONIO: No des ninguna voz a tus propios pensamientos, Horacio (Polonio se vuelve hacia Hamlet). Pero mire lo que le encargo, mi Señor. Vamos Horacio, vayamos juntos, pues esta no es nuestra prueba (Horacio y Polonio se van juntos). HAMLET: Rechazar o no rechazar, esa es la cuestión: si es más noble para la mente sufrir las adversidades de las estadísticas escandalosas, o tomar las armas contra un mar de datos y, oponiéndose, acabar con ellos (Hamlet atiende con resignación su tarea). (Cae el telón) "Sin título", de Stephen Chen A menudo me he preguntado cómo se lanza y se vende el software al público. Irónicamente, trabajo para una compañía que vende productos con problemas conocidos. Por desgracia, la mayoría de los problemas son difíciles de crear, lo que hace que sean difíciles de solucionar. Suelo utilizar el programa de pruebas X, que prueba el producto, para intentar crear un problema específico. Cuando se ejecuta el programa de prueba para que se produzca un error, la probabilidad de generar un error es del 1 %. Así que, armado con este conocimiento, escribí un nuevo programa de prueba Y que generará el mismo error que crea el programa de prueba X, pero con más frecuencia. Para saber si mi programa de prueba es mejor que el original, y así poder convencer a la dirección de que tengo razón, he ejecutado mi programa de prueba para saber con qué frecuencia puedo generar el mismo error. Cuando ejecuté mi programa de prueba 50 veces, generé el error dos veces. Aunque esto no parezca mucho mejor, creo que puedo convencer a la dirección de que utilice mi programa de pruebas en lugar del programa de pruebas original. ¿Estoy en lo cierto? H 0 : p = 0,01 H a : p > 0,01 Sea P′ = la proporción de errores generados Normal para una sola proporción 2,13 0,0165 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: al nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de errores generados es superior al 0,01. Intervalo de confianza: (0, 0,094). El intervalo de confianza "más 4" es (0,004, 0,144). "Nombres de niñas japonesas" de Kumi Furuichi Antes era muy típico que los nombres de las niñas japonesas terminaran con "ko" (la tendencia podría haber comenzado alrededor de la generación de mis abuelas y su punto álgido podría haber sido alrededor de la generación de mi madre). "Ko" significa "niña" en caracteres chinos. Los padres nombran a sus hijas con "ko" unido a otros caracteres chinos que tienen el significado que quieren que tengan sus hijas, como Sachiko, niña feliz, Yoshiko, niña buena, Yasuko, niña sana, etc. Sin embargo, recientemente me he dado cuenta de que solo dos de mis nueve amigas japonesas de esta escuela tienen nombres que terminan en "ko" Cada vez más, los padres parecen haberse vuelto creativos, modernizados y, a veces, occidentalizados a la hora de poner nombres a sus hijos. Tengo la sensación de que, mientras que el 70 % o más de la generación de mi madre tendría nombres con "ko" al final, la proporción ha disminuido entre mis compañeras. Anoté todos los nombres de mis amigas, excompañeras de clase, compañeras de trabajo y conocidas japonesas que podía recordar. Los siguientes son los nombres. (Algunos son repetidos.) Compruebe si la proporción ha disminuido para esta generación. Ai, Akemi, Akiko, Ayumi, Chiaki, Chie, Eiko, Eri, Eriko, Fumiko, Harumi, Hitomi, Hiroko, Hiroko, Hidemi, Hisako, Hinako, Izumi, Izumi, Junko, Junko, Kana, Kanako, Kanayo, Kayo, Kayoko, Kazumi, Keiko, Keiko, Kei, Kumi, Kumiko, Kyoko, Kyoko, Madoka, Maho, Mai, Maiko, Maki, Miki, Miki, Mikiko, Mina, Minako, Miyako, Momoko, Nana, Naoko, Naoko, Naoko, Noriko, Rieko, Rika, Rika, Rumiko, Rei, Reiko, Reiko, Sachiko, Sachiko, Sachiyo, Saki, Sayaka, Sayoko, Sayuri, Seiko, Shiho, Shizuka, Sumiko, Takako, Takako, Tomoe, Tomoe, Tomoko, Touko, Yasuko, Yasuko, Yasuyo, Yoko, Yoko, Yoko, Yoshiko, Yoshiko, Yoshiko, Yuka, Yuki, Yuki, Yukiko, Yuko, Yuko. "El deseo de Phillip", de Suzanne Osorio A mi sobrino le gusta jugar Perseguir a las chicas le alegra el día. Le preguntó a su madre Si le parece bien Hacerse un piercing en la oreja. Ella exclamó: "¡De ninguna manera!" Que te hagas un agujero en la oreja No es lo que quiero para ti, querido. Argumentó muy bien su punto de vista Lo dice incluso mi amigo macho, Mel Se lo hizo. Todo es solo por diversión. Vamos, por favor, mamá, por favor, qué demonios. De nuevo Phillip se quejó con su madre Dice que la mitad de sus amigos (incluidos sus hermanos) Se perforan las orejas Y no tienen miedo Quiere ser como los demás. Ella dijo: "Creo que es mucho menos. Debemos hacer una prueba de hipótesis. Y si tienes razón No me voy a resistir. Pero, si no, entonces mantengo mi postura". Procedimos a llamar a cincuenta chicos Para determinar de quién era la predicción correcta. Diecinueve de los cincuenta Dijeron que hacerse un piercing era estupendo Y que compraban aros de vez en cuando. Luego están los otros treinta y uno Quienes dijeron que nunca se lo harían. Así que ahora este poema está terminado. ¿Sus esperanzas se disminuirán? ¿O mi sobrino se divertirá? H 0 : p = 0,50 H a : p < 0,50 Sea P′ = la proporción de amigos que tiene una oreja perforada. normal para una sola proporción -1,70 valor p = 0,0448 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. (Sin embargo, están muy cerca). Conclusión: hay pruebas suficientes para respaldar la afirmación de que menos del 50 % de sus amigos tienen orejas perforadas. Intervalo de confianza: (0,245, 0,515): el intervalo de confianza "más 4" es (0,259, 0,519). "El derrotado", de Mark Salangsang Érase una vez, en una mañana triste En la clase de Estadística estaba débil y cansado. Reflexionaba sobre las tareas de anoche Cuyas respuestas estaban ahora en la pizarra Esto lo hice y nada más. Mientras yo asentía casi durmiendo la siesta De repente, se oyó un golpeteo. Como alguien que rapea suavemente, Golpeaba mi cabeza mientras ronco. Dijo el maestro: "No duermas más". “En cada clase te quedas dormido”. El maestro dijo, su voz era profunda. "Así que un recuento que he empezado a llevar De todas las clases en las que duermes la siesta y roncas. El porcentaje es de cuarenta y cuatro". "Mi estimado maestro debo confesar, Si bien dormir es lo que mejor hago. El porcentaje, creo, debe ser menor Un porcentaje inferior a cuarenta y cuatro" Esto lo he dicho y nada más. "Ya veremos", dijo y se alejó. Y cincuenta clases desde ese día Contó hasta el mes de mayo Las clases en las que dormía la siesta y roncaba. El número que calculó fue veinticuatro. Con un nivel de significación de 0,05 Por favor, dígame si todavía estoy vivo. ¿Acaso mis calificaciones cayeron en picada? ¿Bajaron mucho? A usted le imploro. Toastmasters International cita un informe de Gallop Poll que indica que el 40 % de los estadounidenses temen hablar en público. Una estudiante cree que menos del 40 % de los estudiantes de su escuela temen hablar en público. Encuesta aleatoriamente a 361 compañeros de clase y descubre que 135 dicen que temen hablar en público. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje en su escuela es inferior al 40 %. H 0 : p = 0,40 H a : p < 0,40 Sea P′ = la proporción de compañeros que temen hablar en público. normal para una sola proporción -1,01 valor p = 0,1563 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes que respalden la afirmación de que menos del 40 % de los estudiantes de la escuela temen hablar en público. Intervalo de confianza: (0,3241, 0,4240): el intervalo de confianza "más 4" es (0,3257, 0,4250). El sesenta y ocho por ciento de los cursos en línea de colegios comunitarios de todo el país fueron impartidos por profesores a tiempo completo. Para comprobar si el 68 % también representa el porcentaje de California de profesores a tiempo completo que imparten clases en línea se seleccionó al azar el Long Beach City College (LBCC) de California para realizar una comparación. Ese mismo año, 34 de los 44 cursos en línea que ofrecía el LBCC los impartieron profesores a tiempo completo. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el 68 % es representativo de California. NOTA: Para obtener resultados más precisos, utilice más colegios comunitarios de California y los datos del año pasado. Según un artículo de Bloomberg Businessweek , la tasa de fumadores adultos más reciente de la ciudad de Nueva York es del 14 %. Supongamos que se hace una encuesta para determinar la tasa de este año. Nueve de los 70 residentes de la ciudad de Nueva York elegidos al azar responden que fuman. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la tasa sigue siendo del 14 % o si ha disminuido. H 0 : p = 0,14 H a : p < 0,14 Supongamos que P′ = la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman. normal para una sola proporción -0,2756 valor p = 0,3914 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman es inferior al 0,14. Intervalo de confianza: (0,0502, 0,2070): El intervalo de confianza “más 4” (consulte el capítulo 8) es (0,0676, 0,2297). La edad media de los estudiantes del De Anza College en un trimestre anterior era de 26,6 años. Un instructor cree que la edad media de los estudiantes en línea es mayor de 26,6 años. Encuesta al azar a 56 estudiantes en línea y halla que la media muestral es de 29,4 con una desviación típica de 2,1. Realice una prueba de hipótesis. Los enfermeros registrados ganan un salario promedio anual de 69.110 dólares. Para ese mismo año, se realizó una encuesta a 41 enfermeros registrados de California para determinar si el salario anual es superior a 69.110 dólares para los enfermeros de California. El promedio muestral fue de 71.121 dólares, con una desviación típica de la muestra de 7.489 dólares. Realice una prueba de hipótesis. H 0 : μ = 69.110 H a : μ > 69.110 Supongamos que X ¯ = el salario medio en dólares de los enfermeros registrados de California. Distribución t de Student t = 1,719 valor p : 0,0466 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario medio de los enfermeros registrados de California supera los 69.110 dólares. ($68.757, $73.485) La Leche League International informa que la edad media de destete de un niño de la lactancia materna es de cuatro a cinco años en todo el mundo. En Estados Unidos, la mayoría de las madres lactantes destetan a sus hijos mucho antes. Supongamos que se realiza una encuesta aleatoria a 21 madres de EE. UU. que han destetado recientemente a sus hijos. La edad media de destete fue de nueve meses (3/4 de año) con una desviación típica de 4 meses. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la edad media de destete en EE. UU. es inferior a los cuatro años. En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? Después de realizar la prueba, su decisión y conclusión son: Rechazar H 0 : hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. Rechazar H 0 : Hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. c Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. A un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es: No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de Evergreen Valley College (EVC) que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es superior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es de, al menos, el 20 %. Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. A un nivel de significación de a = 0,05, ¿cuál es la conclusión correcta? Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,75 Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,75 c Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes. Indique la hipótesis nula y la alternativa. Indique el valor p . Indique alfa. ¿Cuál es su decisión? Escriba una conclusión. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema. Según el sitio web del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, en 2011, al menos, el 18 % de los estudiantes de secundaria han fumado un cigarrillo. Una clase de Introducción a la estadística en el condado de Davies, Kentucky llevó a cabo una prueba de hipótesis en la escuela secundaria local (una ciudad de tamaño demográfico medio, de aproximadamente 1.200 estudiantes) para determinar si el porcentaje de la escuela secundaria local era menor. Se eligieron al azar ciento cincuenta estudiantes y se les encuestó. De los 150 estudiantes encuestados, 82 han fumado. Utilice un nivel de significación de 0,05 y, mediante las pruebas estadísticas adecuadas, realice una prueba de hipótesis y exponga las conclusiones. Una encuesta reciente del New York Times Almanac indica que el 48,8 % de las familias poseen acciones. Un corredor de acciones quería determinar si esta encuesta podía ser válida. Consultó a una muestra aleatoria de 250 familias y descubrió que 142 poseían algún tipo de acciones. A un nivel de significación del 0,05, ¿puede considerarse que la encuesta es precisa? H 0 : p = 0,488 H a : p ≠ 0,488 valor p = 0,0114 alfa = 0,05 rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que el 48,8 % de las familias poseen acciones. La encuesta no parece ser precisa. El error del conductor puede figurar como la causa de aproximadamente el 54 % de todos los accidentes automovilísticos mortales, según la Asociación Americana del Automóvil (AAA). Se examinan treinta accidentes mortales seleccionados al azar y se determina que 14 fueron causados por un error del conductor. Utilizando α = 0,05, ¿la proporción de la AAA es exacta? El Departamento de Energía de Estados Unidos informó que el 51,7 % de los hogares se calentaban con gas natural. En una muestra aleatoria de 221 hogares de Kentucky se comprobó que 115 se calentaban con gas natural. ¿La evidencia apoya la afirmación de Kentucky en el nivel α = 0,05 en Kentucky? ¿Los resultados son aplicables en todo el país? ¿Por qué? H 0 : p = 0,517 H a : p ≠ 0,517 valor p = 0,9203. alfa = 0,05. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares de Kentucky que se calientan con gas natural es de 0,517. Sin embargo, no podemos generalizar este resultado para toda la nación. Primero, la población de la muestra es solo el estado de Kentucky. Segundo, es razonable suponer que los hogares de los extremos norte y sur tendrán un uso extremadamente alto y bajo, respectivamente. Tendríamos que ampliar nuestra base muestral para incluir estas posibilidades si quisiéramos generalizar esta afirmación para toda la nación. En cuanto a los estadounidenses que utilizan servicios de las bibliotecas, la Asociación Americana de Bibliotecas afirma que, como máximo, el 67 % de los usuarios piden libros en préstamo. La directora de la biblioteca de Owensboro, Kentucky cree que esto no es cierto, así que pidió a una clase de Estadística de un instituto universitario local que realizara una encuesta. La clase seleccionó al azar 100 usuarios y descubrió que 82 pidieron libros prestados. ¿La clase demostró que el porcentaje era mayor en Owensboro, Kentucky? Utilice el nivel de significación α = 0,01. ¿Cuál es la posible proporción de usuarios que piden prestados libros de la Biblioteca de Owensboro? Weather Underground informó de que la cantidad media de lluvias en verano para el noreste de EE. UU. es de, al menos, 11,52 pulgadas. Se seleccionan aleatoriamente diez ciudades del noreste y se calcula que la cantidad media de lluvia es de 7,42 pulgadas con una desviación típica de 1,3 pulgadas. Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que el promedio de las lluvias fue inferior al promedio comunicado? ¿Y si α = 0,01? Supongamos que la cantidad de lluvia de verano sigue una distribución normal. H 0 : µ ≥ 11,52 H a : µ < 11,52 valor p = 0,000002 que es casi 0. alfa = 0,05. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que la cantidad promedio de lluvia en verano en el noreste de EE. UU. es inferior a 11,52 pulgadas, en promedio. Llegaríamos a la misma conclusión si alfa fuera del 1 % porque el valor p es casi 0. Una encuesta publicada en el New York Times Almanac revela que el tiempo medio de desplazamiento (en un sentido) es de 25,4 minutos en las 15 principales ciudades de EE. UU. La cámara de comercio de Austin, TX considera que el tiempo de desplazamiento de Austin es menor y quiere dar a conocer este hecho. La media de 25 viajeros seleccionados al azar es de 22,1 minutos, con una desviación típica de 5,3 minutos. Al nivel α = 0,10, ¿el viaje al trabajo de Austin, TX es significativamente menor que la media del tiempo de viaje de las 15 ciudades más grandes de EE. UU.? Un informe de Gallup Poll reveló que una mujer visita a su médico, en promedio, como máximo 5,8 veces al año. Una muestra aleatoria de 20 mujeres da como resultado estos totales de visitas anuales 3 2 1 3 7 2 9 4 6 6 8 0 5 6 4 2 1 3 4 1 Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que la media muestral es superior a 5,8 visitas al año? H 0 : µ ≤ 5,8 H a : µ > 5,8 valor p = 0,9987 alfa = 0,05 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que una mujer visita a su médico, en promedio, más de 5,8 veces al año. Según el New York Times Almanac , el tamaño medio de las familias en EE. UU. es de 3,18. Una muestra de una clase de Matemáticas de un instituto universitario dio como resultado los siguientes tamaños de familia: 5 4 5 4 4 3 6 4 3 3 5 5 6 3 3 2 7 4 5 2 2 2 3 2 Al nivel α = 0,05, ¿el tamaño medio de las familias de la clase es mayor que el promedio nacional? ¿Sigue siendo válido el resultado del New York Times Almanac? ¿Por qué? El grupo académico de estudiantes de un campus de un instituto universitario afirma que los estudiantes de primer año estudian, al menos, 2,5 horas al día en promedio. Una clase de Introducción a la estadística era escéptica. La clase tomó una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año y halló una media de tiempo de estudio de 137 minutos con una desviación típica de 45 minutos. Al nivel α = 0,01, ¿la afirmación del grupo académico de estudiantes es correcta? H 0 : µ ≥ 150 H a : µ < 150 valor p = 0,0622 alfa = 0,01 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 1 % no hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de primer año estudian menos de 2,5 horas al día en promedio. La afirmación del grupo académico de estudiantes parece ser correcta. Referencias Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC. Datos de Bloomberg Businessweek . Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html. Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman. Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html. Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm. Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013) Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/. Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1. Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013). Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013). “Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf. Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013). Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013). Teorema del límite central Dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y la desviación típica conocida σ. Estamos muestreando con un tamaño n y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ , y la suma de la muestra, Σ X . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) y Σ X ~ N ( n μ , n σ ) . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales y la distribución de las sumas muestrales se aproximarán a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media de la población, y la media de las sumas muestrales será igual a n veces la media de la población. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media.

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Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante seleccionará las distribuciones adecuadas para utilizar en cada caso. El estudiante realizará pruebas de hipótesis e interpretará los resultados. Encuesta de televisión En una encuesta reciente, se afirma que los estadounidenses ven televisión un promedio de cuatro horas al día. Supongamos que σ = 2. Utilizando su clase como muestra, realice una prueba de hipótesis para determinar si el promedio de los estudiantes de su escuela es inferior. H 0 : _____________ H a : _____________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = ______________________ La distribución que se va a usar para la prueba es _______________________. Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y márquelo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta lingüística Alrededor del 42,3 % de los californianos y el 19,6 % de todos los estadounidenses mayores de cinco años hablan un idioma distinto del inglés en casa. Utilizando su clase como muestra, realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje de estudiantes de su escuela que hablan un idioma distinto del inglés en casa es diferente del 42,3 %. H 0 : ___________ H a : ___________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = _______________ La distribución a utilizar para la prueba es ________________ Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta sobre pantalones vaqueros Supongamos que los adultos jóvenes tienen un promedio de tres pares de vaqueros. Encueste a ocho personas de su clase para determinar si el promedio es superior a tres. Supongamos que la población es normal. H 0 : _____________ H a : _____________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = ______________________ La distribución que se va a usar para la prueba es _______________________. Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa.

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Introducción Si quiere probar una afirmación que involucra dos grupos (los tipos de desayunos que se consumen al este y al oeste del río Misisipi) puede utilizar una técnica ligeramente diferente al realizar una prueba de hipótesis (créditos: Chloe Lim). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Clasificar las pruebas de hipótesis por tipo. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos medias poblacionales, conocidas las desviaciones típicas de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos medias poblacionales, desconocidas las desviaciones típicas de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos proporciones de población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas. Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años. Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones. Ha aprendido a realizar pruebas de hipótesis sobre medias y proporciones únicas. En este capítulo se ampliará la información. Comparará dos medias o dos proporciones entre sí. El procedimiento general sigue siendo el mismo, pero ampliado. Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes . Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban utilizando grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población. NOTA Este capítulo se basa en una calculadora o una computadora para calcular los grados de libertad, los estadísticos de prueba y los valores p . Se incluyen las instrucciones para la TI-83+ y la TI-84, así como las fórmulas de los estadísticos de prueba. Cuando se utiliza una calculadora TI-83+ o TI-84, no es necesario separar dos medias poblacionales, grupos independientes o varianzas poblacionales desconocidas en tamaños de muestra grandes y pequeños. Sin embargo, la mayoría de los softwares de estadística tienen la capacidad de diferenciar estas pruebas. Este capítulo trata de las siguientes pruebas de hipótesis: Grupos independientes (las muestras son independientes) Prueba de dos medias poblacionales. Prueba de dos proporciones poblacionales. Muestras coincidentes o emparejadas (las muestras son dependientes) Prueba de las dos proporciones de la población mediante la prueba de una media poblacional de diferencias.

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