Las leyes de los límites En la sección anterior evaluamos los límites al observar los gráficos o construir una tabla de valores. En esta sección, estableceremos y aprendemos a aplicar las leyes para calcular los límites. En el proyecto estudiantil que se halla al final de esta sección tiene la oportunidad de aplicar estas leyes de los límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Comenzaremos por reafirmar dos resultados útiles de los límites de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de los límites, sirven de base para calcular muchos límites. Evaluación de los límites con las leyes de los límites Las dos primeras leyes de los límites se expusieron en y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas. Resultados del límite básico Para cualquier número real a y cualquier constante c , lím x → a x = a lím x → a c = c Evaluación de un límite básico Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando . lím x → 2 x lím x → 2 5 El límite de x a medida que x se acerca a a es a : lím x → 2 x = 2 . El límite de una constante es esa constante: lím x → 2 5 = 5 . Ahora veremos las leyes de los límites , que son las propiedades individuales de los límites. Aquí se omiten las pruebas de que estas leyes son válidas. Leyes de los límites Supongamos que f ( x ) y g ( x ) se define para todos los x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a . Supongamos que L y M son números reales tales que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M . Sea c una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones es válida: Ley de suma para los límites : lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = L + M Ley de la diferencia para los límites : lím x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) − lím x → a g ( x ) = L − M Ley del múltiplo constante para los límites lím x → a c f ( x ) = c . lím x → a f ( x ) = c L Ley de productos para los límites lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) . lím x → a g ( x ) = L . M Ley del cociente para los límites lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = L M por M ≠ 0 Ley de la potencia para los límites lím x → a ( f ( x ) ) n = ( lím x → a f ( x ) ) n = L n para cada número entero positivo n . Ley de la raíz para los límites lím x → a f ( x ) n = lím x → a f ( x ) n = L n para todo L si n es impar y para L ≥ 0 si n es par y f ( x ) ≥ 0 . Ahora practicaremos la aplicación de estas leyes de los límites para evaluar un límite. Evaluación de un límite mediante las leyes de los límites Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → −3 ( 4 x + 2 ) . Apliquemos las leyes de los límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos su funcionamiento. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en cada aplicación de una ley límite, deben existir nuevos límites para que esa ley se aplique. lím x → −3 ( 4 x + 2 ) = lím x → −3 4 x + lím x → −3 2 Aplique la ley de la suma. = 4 . lím x → −3 x + lím x → −3 2 Aplique la ley del múltiplo constante. = 4 . ( −3 ) + 2 = −10 . Aplique los resultados del límite básico y simplifique. Utilizar repetidamente las leyes de los límites Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → 2 2 x 2 − 3 x + 1 x 3 + 4 . Para hallar este límite, tenemos que aplicar las leyes de los límites varias veces. Una vez más, debemos tener en cuenta que al reescribir el límite en términos de otros límites, cada nuevo límite debe existir para que se aplique la ley de los límites. lím x → 2 2 x 2 − 3 x + 1 x 3 + 4 = lím x → 2 ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) lím x → 2 ( x 3 + 4 ) Aplique la ley del cociente, asegurándose de que ( 2 ) 3 + 4 ≠ 0 = 2 . lím x → 2 x 2 − 3 . lím x → 2 x + lím x → 2 1 lím x → 2 x 3 + lím x → 2 4 Aplique la ley de la suma y la ley del múltiplo constante. = 2 . ( lím x → 2 x ) 2 − 3 . lím x → 2 x + lím x → 2 1 ( lím x → 2 x ) 3 + lím x → 2 4 Aplique la ley de la potencia. = 2 ( 4 ) − 3 ( 2 ) + 1 ( 2 ) 3 + 4 = 1 4 . Aplique las leyes básicas de los límites y simplifique. Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → 6 ( 2 x – 1 ) x + 4 . En cada paso, indique la ley de los límites aplicada. 11 10 Pista Comience aplicando la ley del producto. Límites de funciones polinómicas y racionales A estas alturas ya se habrá dado cuenta de que en cada uno de los ejemplos anteriores, se dio este caso: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Esto no siempre es así, pero lo es para todos los polinomios en cualquier elección de a y para todas las funciones racionales en todos los valores de a para los que está definida la función racional. Límites de funciones polinómicas y racionales Supongamos que p ( x ) como q ( x ) son funciones polinómicas. Supongamos que a es un número real. Entonces, lím x → a p ( x ) = p ( a ) grandes. lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) cuando q ( a ) ≠ 0 . Para ver que este teorema se cumple, consideremos el polinomio p ( x ) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 . Aplicando las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia, obtenemos lím x → a p ( x ) = lím x → a ( c n x n + c n – 1 x n – 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 ) = c n ( lím x → a x ) n + c n – 1 ( lím x → a x ) n – 1 + ⋯ + c 1 ( lím x → a x ) + lím x → a c 0 = c n a n + c n – 1 a n – 1 + ⋯ + c 1 a + c 0 = p ( a ) . Ahora se deduce de la ley del cociente que si p ( x ) como q ( x ) son polinomios para los que q ( a ) ≠ 0 , entonces lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) . El aplica este resultado. Evaluación de un límite de una función racional Evalúe los términos lím x → 3 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 . Como 3 está en el dominio de la función racional f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 , podemos calcular el límite sustituyendo 3 por la x en la función. Por lo tanto, lím x → 3 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 = 10 19 . Evalúe lím x → −2 ( 3 x 3 − 2 x + 7 ) . −13; Pista Utilice la Técnicas adicionales de evaluación de límites Como vimos, podemos evaluar fácilmente los límites de los polinomios y los límites de algunas funciones racionales (pero no todas) por sustitución directa. Sin embargo, como vimos en la sección introductoria sobre los límites, es en efecto posible que lím x → a f ( x ) exista cuando f ( a ) es indefinida. La siguiente observación nos permite evaluar muchos límites de este tipo: Si para toda x ≠ a , f ( x ) = g ( x ) en algún intervalo abierto que contenga a , entonces lím x → a f ( x ) = lím x → a g ( x ) . Para entender mejor esta idea, considere el límite lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 . La función f ( x ) = x 2 – 1 x – 1 = ( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 y la función g ( x ) = x + 1 son idénticas para todos los valores de x ≠ 1 . Los gráficos de estas dos funciones se muestran en la . Los gráficos de f ( x ) y g ( x ) son idénticos para todas las x ≠ 1 . Sus límites en 1 son iguales. Vemos que lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 = lím x → 1 ( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = lím x → 1 ( x + 1 ) = 2 . El límite tiene la forma lím x → a f ( x ) g ( x ) , donde lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 . (En este caso, decimos que f ( x ) / g ( x ) tiene la forma indeterminada 0 / 0 ). La siguiente estrategia de resolución de problemas ofrece un esquema general para evaluar este tipo de límites. Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando f ( x ) / g ( x ) tiene la forma indeterminada 0/0 En primer lugar, nos aseguraremos de que nuestra función tiene la forma adecuada y no puede ser evaluada inmediatamente utilizando las leyes de los límites. Entonces tenemos que hallar una función que sea igual a h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) para todo x ≠ a en algún intervalo que contenga a . Para ello, es posible que tengamos que probar uno o varios de los siguientes pasos Si los valores de f ( x ) y g ( x ) son polinomios, debemos factorizar cada función y cancelar los factores comunes. Si el numerador o el denominador tienen una diferencia que implica una raíz cuadrada, debemos intentar multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión que incluye a la raíz cuadrada. Si los valores de f ( x ) / g ( x ) es una fracción compleja, empezamos por simplificarla. Por último, aplicamos las leyes de los límites. Los siguientes ejemplos demuestran el uso de esta estrategia de resolución de problemas. El ilustra la técnica de factor y cancelación; el muestra la multiplicación por un conjugado. En el , vemos la simplificación de una fracción compleja. Evaluación de un límite mediante factorización y cancelación Evalúe lím x → 3 x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 . Paso 1. La función f ( x ) = x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 es indefinida para x = 3 . De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos 0 / 0 , que es indefinida. Factorizar y cancelar es una buena estrategia: lím x → 3 x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 = lím x → 3 x ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( 2 x + 1 ) Paso 2. Para todos x ≠ 3 , x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 = x 2 x + 1 . Por lo tanto, lím x → 3 x ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( 2 x + 1 ) = lím x → 3 x 2 x + 1 . Paso 3. Evalúe utilizando las leyes de los límites: lím x → 3 x 2 x + 1 = 3 7 . Evalúe lím x → −3 x 2 + 4 x + 3 x 2 − 9 . 1 3 Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . Evaluar un límite multiplicando por un conjugado Evalúe lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 . Paso 1. x + 2 – 1 x + 1 tiene la forma 0 / 0 en -1. Empecemos por multiplicar por x + 2 + 1 , el conjugado de x + 2 – 1 , en el numerador y el denominador: lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 = lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 . x + 2 + 1 x + 2 + 1 . Paso 2. A continuación, multiplicamos el numerador. No multiplicamos el denominador porque esperamos que ( x + 1 ) en el denominador se anule al final: = lím x → −1 x + 1 ( x + 1 ) ( x + 2 + 1 ) . Paso 3. Entonces lo cancelamos: = lím x → −1 1 x + 2 + 1 . Paso 4. Por último, aplicamos las leyes de los límites: lím x → −1 1 x + 2 + 1 = 1 2 . Evalúe lím x → 5 x – 1 − 2 x − 5 . 1 4 Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . Evaluación de un límite mediante la simplificación de una fracción compleja Evalúe lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 . Paso 1. 1 x + 1 − 1 2 x – 1 tiene la forma 0 / 0 en 1. Simplificamos la fracción algebraica multiplicando por 2 ( x + 1 ) / 2 ( x + 1 ) : lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 = lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 . 2 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) . Paso 2. A continuación, multiplicamos por los numeradores. No multiplique los denominadores porque necesitamos cancelar el factor ( x – 1 ) : = lím x → 1 2 − ( x + 1 ) 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 3. A continuación, simplificamos el numerador: = lím x → 1 − x + 1 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 4. Ahora factorizamos -1 en el numerador: = lím x → 1 − ( x – 1 ) 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 5. Entonces, cancelamos los factores comunes de ( x – 1 ) : = lím x → 1 −1 2 ( x + 1 ) . Paso 6. Por último, evaluamos mediante las leyes de los límites: lím x → 1 −1 2 ( x + 1 ) = − 1 4 . Evalúe lím x → −3 1 x + 2 + 1 x + 3 . −1; Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . El no se ajusta perfectamente a ninguno de los patrones establecidos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, con un poco de creatividad, podemos seguir utilizando estas mismas técnicas. Evaluación de un límite cuando no se aplican las leyes de los límites Evalúe lím x → 0 ( 1 x + 5 x ( x − 5 ) ) . Tanto 1 / x y 5 / x ( x − 5 ) no tienen un límite en cero. Como ninguna de las dos funciones tiene un límite en cero, no podemos aplicar la ley de suma para los límites y debemos utilizar una estrategia diferente. En este caso, encontramos el límite realizando la suma y luego aplicando una de nuestras estrategias anteriores. Observe que 1 x + 5 x ( x − 5 ) = x − 5 + 5 x ( x − 5 ) = x x ( x − 5 ) . Por lo tanto, lím x → 0 ( 1 x + 5 x ( x − 5 ) ) = lím x → 0 x x ( x − 5 ) = lím x → 0 1 x − 5 = − 1 5 . Evalúe lím x → 3 ( 1 x − 3 − 4 x 2 − 2 x − 3 ) . 1 4 Pista Utilice la misma técnica que el . No olvide el factor x 2 − 2 x − 3 antes de obtener un denominador común. Volvamos ahora a los límites unilaterales. Unas sencillas modificaciones en las leyes de los límites nos permiten aplicarlas a los límites unilaterales. Por ejemplo, para aplicar las leyes de los límites a un límite de la forma lím x → a − h ( x ) , necesitamos la función h ( x ) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma ( b , a ) ; para un límite de la forma lím x → a + h ( x ) , necesitamos la función h ( x ) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma ( a , c ) . El ilustra este punto. Evaluación de un límite unilateral mediante las leyes de los límites Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. lím x → 3 − x − 3 lím x → 3 + x − 3 La ilustra la función f ( x ) = x − 3 y nos ayuda a comprender estos límites. El gráfico muestra la función f ( x ) = x − 3 . La función f ( x ) = x − 3 se define en el intervalo [ 3 , + ∞ ) . Como esta función no está definida a la izquierda de 3, no podemos aplicar las leyes de los límites para calcular lím x → 3 − x − 3 . De hecho, ya que f ( x ) = x − 3 es indefinida a la izquierda de 3, lím x → 3 − x − 3 no existe. Dado que f ( x ) = x − 3 se define a la derecha de 3, las leyes de los límites sí se aplican a lím x → 3 + x − 3 . Aplicando estas leyes de los límites obtenemos lím x → 3 + x − 3 = 0 . En el observamos los límites unilaterales de una función definida a trozos y los utilizamos para sacar una conclusión sobre un límite bilateral de la misma función. Evaluación de un límite bilateral utilizando las leyes de los límites Para f ( x ) = { 4 x − 3 si x < 2 ( x − 3 ) 2 si x ≥ 2 , evalúe cada uno de los límites siguientes: lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) La ilustra la función f ( x ) y nos ayuda a comprender estos límites. Este gráfico muestra una función f ( x ) . Dado que f ( x ) = 4 x − 3 para todas las x en ( − ∞ , 2 ) , sustituya f ( x ) en el límite con 4 x − 3 y aplique las leyes de los límites: lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 − ( 4 x − 3 ) = 5 . Dado que f ( x ) = ( x − 3 ) 2 para todas las x en ( 2 , + ∞ ) , sustituya f ( x ) en el límite con ( x − 3 ) 2 y aplique las leyes de los límites: lím x → 2 + f ( x ) = lím x → 2 + ( x − 3 ) 2 = 1 . Dado que lím x → 2 – f ( x ) = 5 y lím x → 2 + f ( x ) = 1 , concluimos que lím x → 2 f ( x ) no existe. Grafique f ( x ) = { − x − 2 si x < − 1 2 si x = –1 x 3 si x > − 1 y evalúe lím x → −1 − f ( x ) . lím x → −1 − f ( x ) = –1 Pista Use el método del para evaluar el límite. Ahora nos centramos en la evaluación de un límite de la forma lím x → a f ( x ) g ( x ) , donde lím x → a f ( x ) = K , donde K ≠ 0 y lím x → a g ( x ) = 0 . Es decir, f ( x ) / g ( x ) tiene la forma K / 0 , K ≠ 0 en a . Evaluación de un límite de la forma K / 0 , K ≠ 0 Utilizar las leyes de los límites Evalúe lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x . Paso 1. Después de sustituir en x = 2 , vemos que este límite tiene la forma −1 / 0 . Es decir, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, el numerador se acerca a -1; y el denominador se acerca a 0. En consecuencia, la magnitud de x − 3 x ( x − 2 ) se convierte en infinito. Para tener una mejor idea de cuál es el límite, tenemos que factorizar el denominador: lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x = lím x → 2 − x − 3 x ( x − 2 ) . Paso 2. Dado que x − 2 es la única parte del denominador que es cero cuando se sustituye por 2, entonces separamos 1 / ( x − 2 ) del resto de la función: = lím x → 2 − x − 3 x . 1 x − 2 . Paso 3. lím x → 2 − x − 3 x = − 1 2 y lím x → 2 – 1 x − 2 = − ∞ . Por lo tanto, el producto de ( x − 3 ) / x y 1 / ( x − 2 ) tiene un límite de +∞: lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x = + ∞ . Evalúe lím x → 1 x + 2 ( x – 1 ) 2 . +∞ Pista Utilice los métodos del . El teorema del emparedado Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguiente teorema, llamado teorema del emparedado , resulta muy útil para establecer los límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular los límites "comprimiendo" una función, con un límite en un punto desconocido a entre dos funciones que tienen un límite común conocido en a . La ilustra esta idea. El teorema del emparedado se aplica cuando f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) y lím x → a f ( x ) = lím x → a h ( x ) . El teorema del emparedado Supongamos que f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) se define para todos los x ≠ a sobre un intervalo abierto que contiene a . Si f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a y lím x → a f ( x ) = L = lím x → a h ( x ) donde L es un número real, entonces lím x → a g ( x ) = L . Aplicación del teorema del emparedado Aplique el teorema del emparedado para evaluar lím x → 0 x cos x . Dado que −1 ≤ cos x ≤ 1 para toda x , tenemos − | x | ≤ x cos x ≤ | x | . Dado que lím x → 0 ( − | x | ) = 0 = lím x → 0 | x | , del teorema del emparedado, obtenemos lím x → 0 x cos x = 0 . Los gráficos de f ( x ) = − | x | , g ( x ) = x cos x , y h ( x ) = | x | se muestran en la . Los gráficos de f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) se muestran alrededor del punto x = 0 . Utilice el teorema del emparedado para evaluar lím x → 0 x 2 sen 1 x . 0 Pista Utilice el hecho de que − x 2 ≤ x 2 sen ( 1 / x ) ≤ x 2 para ayudarlo a hallar dos funciones tales que x 2 sen ( 1 / x ) se comprima entre ellas. Ahora utilizamos el teorema del emparedado para abordar varios límites muy importantes. Aunque esta discusión es algo larga, estos límites resultan muy valiosos para el desarrollo del material tanto en la siguiente sección como en el siguiente capítulo. El primero de estos límites es lím θ → 0 sen θ . Tenga en cuenta el círculo unitario que se muestra en la . Allí vemos que sen θ es la coordenada y en el círculo unitario y corresponde al segmento de línea mostrado en azul. La medida del radián del ángulo θ es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. Por lo tanto, vemos que para 0 < θ < π 2 , 0 < sen θ < θ . La función seno se muestra como una línea en el círculo unitario. Dado que lím θ → 0 + 0 = 0 y lím θ → 0 + θ = 0 , utilizando el teorema del emparedado concluimos que lím θ → 0 + sen θ = 0 . Para ver que lím θ → 0 − sen θ = 0 igualmente, observe que para − π 2 < θ < 0 , 0 < − θ < π 2 y por lo tanto, 0 < sen ( − θ ) < − θ . En consecuencia, 0 < − sen θ < − θ . Se deduce que 0 > sen θ > θ . Una aplicación del teorema del emparedado produce el límite deseado. Por lo tanto, dado que lím θ → 0 + sen θ = 0 y lím θ → 0 − sen θ = 0 , lím θ → 0 sen θ = 0 . A continuación, utilizando la identidad cos θ = 1 − sen 2 θ para − π 2 < θ < π 2 , vemos que lím θ → 0 cos θ = lím θ → 0 1 − sen 2 θ = 1 . A continuación veremos un límite que juega un papel importante en capítulos posteriores, a saber, lím θ → 0 sen θ θ . Para evaluar este límite, utilizamos el círculo unitario en la . Note que esta figura añade un triángulo más a la . Vemos que la longitud del lado opuesto al ángulo θ en este nuevo triángulo es tan θ . Así, vemos que para 0 < θ < π 2 , sen θ < θ < tan θ . Las funciones seno y tangente se muestran como líneas en el círculo unitario. Al dividir entre sen θ en todas las partes de la inecuación obtenemos 1 < θ sen θ < 1 cos θ . De manera equivalente, tenemos 1 > sen θ θ > cos θ . Dado que lím θ → 0 + 1 = 1 = lím θ → 0 + cos θ , concluimos que lím θ → 0 + sen θ θ = 1 . Aplicando una manipulación similar a la utilizada para demostrar que lím θ → 0 − sen θ = 0 , podemos demostrar que lím θ → 0 − sen θ θ = 1 . Por lo tanto, lím θ → 0 sen θ θ = 1 . En el utilizamos este límite para establecer lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 . Este límite también resulta útil en capítulos posteriores. Evaluación de un límite trigonométrico importante Evalúe lím θ → 0 1 − cos θ θ . En el primer paso, multiplicamos por el conjugado para poder utilizar una identidad trigonométrica a fin de convertir el coseno del numerador en un seno: lím θ → 0 1 − cos θ θ = lím θ → 0 1 − cos θ θ . 1 + cos θ 1 + cos θ = lím θ → 0 1 − cos 2 θ θ ( 1 + cos θ ) = lím θ → 0 sen 2 θ θ ( 1 + cos θ ) = lím θ → 0 sen θ θ . sen θ 1 + cos θ = 1 . 0 2 = 0 . Por lo tanto, lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 . Evalúe lím θ → 0 1 − cos θ sen θ . 0 Pista Multiplique el numerador y el denominador por 1 + cos θ . Derivación de la fórmula del área de un círculo Algunas de las fórmulas geométricas que hoy damos por sentadas se obtuvieron por primera vez mediante métodos que anticiparon algunos de los métodos del cálculo. El matemático griego Arquímedes (ca. 287-212; a.C.) fue especialmente ingenioso, ya que utilizó polígonos inscritos en círculos para aproximar el área del círculo a medida que aumentaba el número de lados del polígono. Nunca se le ocurrió la idea de un límite, pero podemos utilizar esta idea para ver lo que sus construcciones geométricas podrían haber predicho sobre el límite. Podemos estimar el área de un círculo calculando el área de un polígono regular inscrito. Piense que el polígono regular está formado por n triángulos. Tomando el límite a medida que el ángulo del vértice de estos triángulos llega a cero, se puede obtener el área del círculo. Para comprobarlo, realice los siguientes pasos: Exprese la altura h y la base b del triángulo isósceles en la en términos de θ y r . Utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1, exprese el área del triángulo isósceles en términos de θ y r . (Sustituya ( 1 / 2 ) sen θ por sen ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) en su expresión) Si un polígono regular de n lados está inscrito en una circunferencia de radio r , halle una relación entre θ y n . Resuelva esto para n . Tenga en cuenta que hay 2 radianes π en un círculo (utilice radianes, no grados). Halle una expresión para el área del polígono de n lados en términos de r y θ . Para hallar una fórmula para el área del círculo, halle el límite de la expresión en el paso 4 a medida que θ llega a cero. ( Pista: lím θ → 0 ( sen θ ) θ = 1 ). La técnica de estimación de áreas de regiones mediante el uso de polígonos se revisa en Introducción a la integración . Conceptos clave Las leyes de los límites nos permiten evaluar los límites de las funciones sin tener que pasar cada vez por los procesos paso a paso. Para polinomios y funciones racionales, lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Se puede evaluar el límite de una función factorizando y cancelando, multiplicando por un conjugado o simplificando una fracción compleja. El teorema del emparedado permite hallar el límite de una función si esta es siempre mayor que una función y menor que otra función con límites conocidos. Ecuaciones clave Resultados del límite básico lím x → a x = a lím x → a c = c Límites importantes lím θ → 0 sen θ = 0 lím θ → 0 cos θ = 1 lím θ → 0 sen θ θ = 1 lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 En los siguientes ejercicios, utilice las leyes de los límites para evaluar cada uno. Justifique cada paso indicando la(s) ley(es) de los límites correspondiente(s). lím x → 0 ( 4 x 2 − 2 x + 3 ) Utilice la ley del múltiplo constante y la ley de la diferencia: lím x → 0 ( 4 x 2 − 2 x + 3 ) = 4 lím x → 0 x 2 − 2 lím x → 0 x + lím x → 0 3 = 3 lím x → 1 x 3 + 3 x 2 + 5 4 − 7 x lím x → −2 x 2 − 6 x + 3 Utilice la ley de la raíz lím x → −2 x 2 − 6 x + 3 = lím x → −2 ( x 2 − 6 x + 3 ) = 19 lím x → −1 ( 9 x + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite. lím x → 7 x 2 49 lím x → −2 ( 4 x 2 – 1 ) grandes. lím x → 0 1 1 + sen x 1 lím x → 2 e 2 x – x 2 lím x → 1 2 − 7 x x + 6 − 5 7 lím x → 3 ln e 3 x En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada 0 / 0 . Luego evalúe el límite. lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 = 16 − 16 4 − 4 = 0 0 ; entonces, lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 = lím x → 4 ( x + 4 ) ( x − 4 ) x − 4 = 8 lím x → 2 x − 2 x 2 − 2 x lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 = 18 − 18 12 − 12 = 0 0 ; entonces, lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 = lím x → 6 3 ( x − 6 ) 2 ( x − 6 ) = 3 2 lím h → 0 ( 1 + h ) 2 – 1 h lím t → 9 t − 9 t − 3 lím x → 9 t − 9 t − 3 = 9 − 9 3 − 3 = 0 0 ; entonces, lím t → 9 t − 9 t − 3 = lím t → 9 t − 9 t − 3 t + 3 t + 3 = lím t → 9 ( t + 3 ) = 6 lím h → 0 1 a + h − 1 a h , donde a es una constante de valor real diferente a cero. lím θ → π sen θ tan θ lím θ → π sen θ tan θ = sen π tan π = 0 0 ; entonces, lím θ → π sen θ tan θ = lím θ → π sen θ sen θ cos θ = lím θ → π cos θ = –1 lím x → 1 x 3 − 1 x 2 – 1 lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 = 1 2 + 3 2 − 2 1 − 1 = 0 0 ; entonces, lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 = lím x → 1 / 2 ( 2 x – 1 ) ( x + 2 ) 2 x – 1 = 5 2 lím x → −3 x + 4 − 1 x + 3 En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. A continuación, utilice el método del para simplificar la función y ayudar a determinar el límite. lím x → −2 − 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 −∞ lím x → −2 + 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 lím x → 1 − 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 −∞ lím x → 1 + 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 En los siguientes ejercicios, suponga que lím x → 6 f ( x ) = 4 , lím x → 6 g ( x ) = 9 , y lím x → 6 h ( x ) = 6 . Utilice estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada uno. lím x → 6 2 f ( x ) g ( x ) grandes. lím x → 6 2 f ( x ) g ( x ) = 2 lím x → 6 f ( x ) lím x → 6 g ( x ) = 72 lím x → 6 g ( x ) − 1 f ( x ) grandes. lím x → 6 ( f ( x ) + 1 3 g ( x ) ) grandes. lím x → 6 ( f ( x ) + 1 3 g ( x ) ) = lím x → 6 f ( x ) + 1 3 lím x → 6 g ( x ) = 7 lím x → 6 ( h ( x ) ) 3 2 lím x → 6 g ( x ) − f ( x ) grandes. lím x → 6 g ( x ) − f ( x ) = lím x → 6 g ( x ) − lím x → 6 f ( x ) = 5 lím x → 6 x . h ( x ) grandes. lím x → 6 [ ( x + 1 ) . f ( x ) ] lím x → 6 [ ( x + 1 ) f ( x ) ] = ( lím x → 6 ( x + 1 ) ) ( lím x → 6 f ( x ) ) = 28 lím x → 6 ( f ( x ) . g ( x ) − h ( x ) ) [T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida a trozos y estudie el gráfico para evaluar los límites dados. f ( x ) = { x 2 , x ≤ 3 x + 4 , x > 3 lím x → 3 − f ( x ) grandes. lím x → 3 + f ( x ) a. 9; b. 7 g ( x ) = { x 3 − 1 , x ≤ 0 1 , x > 0 lím x → 0 − g ( x ) grandes. lím x → 0 + g ( x ) h ( x ) = { x 2 − 2 x + 1 , x < 2 3 − x , x ≥ 2 lím x → 2 − h ( x ) grandes. lím x → 2 + h ( x ) a. 1; b. 1 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos y las leyes de los límites para evaluar cada límite. lím x → −3 + ( f ( x ) + g ( x ) ) grandes. lím x → −3 − ( f ( x ) − 3 g ( x ) ) grandes. lím x → −3 − ( f ( x ) − 3 g ( x ) ) = lím x → −3 − f ( x ) − 3 lím x → −3 − g ( x ) = 0 + 6 = 6 lím x → 0 f ( x ) g ( x ) 3 lím x → −5 2 + g ( x ) f ( x ) grandes. lím x → −5 2 + g ( x ) f ( x ) = 2 + ( lím x → −5 g ( x ) ) lím x → −5 f ( x ) = 2 + 0 2 = 1 lím x → 1 ( f ( x ) ) 2 lím x → 1 f ( x ) − g ( x ) 3 lím x → 1 f ( x ) − g ( x ) 3 = lím x → 1 f ( x ) − lím x → 1 g ( x ) 3 = 2 + 5 3 = 7 3 lím x → −7 ( x . g ( x ) ) grandes. lím x → −9 [ x . f ( x ) + 2 . g ( x ) ] lím x → −9 ( x f ( x ) + 2 g ( x ) ) = ( lím x → −9 x ) ( lím x → −9 f ( x ) ) + 2 lím x → −9 ( g ( x ) ) = ( −9 ) ( 6 ) + 2 ( 4 ) = −46 En los siguientes problemas, evalúe el límite utilizando el teorema del emparedado. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) si es posible. [T] ¿Verdadero o falso? Si los valores de 2 x – 1 ≤ g ( x ) ≤ x 2 − 2 x + 3 , entonces lím x → 2 g ( x ) = 0 . [T] lím θ → 0 θ 2 cos ( 1 θ ) El límite es cero lím x → 0 f ( x ) , donde f ( x ) = { 0 , x racional x 2 , x irracional [T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia r en el vacío se rige por la ley de Coulomb: E ( r ) = q 4 π ε 0 r 2 , donde E representa la magnitud del campo eléctrico, q es la carga de la partícula, r es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y 1 4 π ε 0 es la constante de Coulomb: 8,988 × 10 9 N . m 2 / C 2 . Utilice una calculadora gráfica para graficar E ( r ) dado que la carga de la partícula es q = 10 −10 . Evalúe lím r → 0 + E ( r ) . ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa por la derecha? a. b. ∞. Al acercarse a la partícula q la magnitud del campo eléctrico se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa. [T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen: ρ = m / V . Utilice una calculadora para representar el volumen en función de la densidad ( V = m / ρ ) , suponiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg ( m = 8 ). Evalúe lím ρ → 0 + V ( ρ ) y explique el significado físico. ley del múltiplo constante para los límites la ley límite lím x → a c f ( x ) = c . lím x → a f ( x ) = c L ley de la diferencia para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) − lím x → a g ( x ) = L − M leyes de los límites las propiedades individuales de los límites; para cada una de las leyes individuales, supongamos que f ( x ) y g ( x ) se define para todos los x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a ; supongamos que L y M son números reales de modo que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M ; supongamos que c es una constante ley de la potencia para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) ) n = ( lím x → a f ( x ) ) n = L n para cada número entero positivo n ley de productos para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) . lím x → a g ( x ) = L . M ley del cociente para los límites la ley límite lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = L M por M ≠ 0 ley de la raíz para los límites la ley límite lím x → a f ( x ) n = lím x → a f ( x ) n = L n para todo L si n es impar y para L ≥ 0 si n es par teorema del emparedado establece que si f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todo x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a y lím x → a f ( x ) = L = lím x → a h ( x ) donde L es un número real, entonces lím x → a g ( x ) = L ley de suma para los límites la ley de los límites lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = L + M

Matemáticas


Continuidad Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficos se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se denominan continuas . Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en el gráfico, pero satisfacen esta propiedad en los intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura. Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando lo que significa que una función tenga continuidad en un punto . Intuitivamente, una función es continua en un punto determinado si no hay ruptura en su gráfico en ese punto. Continuidad en un punto Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan estos fallos. Nuestra primera función de interés se muestra en la . Vemos que el gráfico de f ( x ) tiene un agujero en a . De hecho, f ( a ) es indefinida. Como mínimo, para que f ( x ) sea continua en a , necesitamos la siguiente condición: i. f ( a ) está definida. La función f ( x ) no es continua en a porque f ( a ) es indefinida. Sin embargo, como vemos en la , esta condición no es suficiente para garantizar la continuidad en el punto a . Aunque f ( a ) está definida, la función tiene una brecha en a . En este ejemplo, la brecha existe porque lím x → a f ( x ) no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en a, , a saber, ii. lím x → a f ( x ) existe. La función f ( x ) no es continua en a porque lím x → a f ( x ) no existe. Sin embargo, como vemos en la , estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface las dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a . Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista: iii. lím x → a f ( x ) = f ( a ) . La función f ( x ) no es continua en a porque lím x → a f ( x ) ≠ f ( a ) . Ahora reunamos nuestra lista de condiciones y formemos una definición de continuidad en un punto. Definición Una función f ( x ) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: f ( a ) está definida lím x → a f ( x ) existe lím x → a f ( x ) = f ( a ) Una función es discontinua en un punto a si no es continua en a . El siguiente procedimiento se puede utilizar para analizar la continuidad de una función en un punto utilizando esta definición. Estrategia para la resolución de problemas: Determinación de la continuidad en un punto Compruebe si f ( a ) está definida. Si los valores de f ( a ) es indefinida, no necesitamos ir más allá. La función no es continua en a . Si los valores de f ( a ) está definida, continúe con el paso 2. Calcule lím x → a f ( x ) . Es posible que en algunos casos tengamos que hacer esto calculando primero lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) . Si lím x → a f ( x ) no existe (es decir, no es un número real), entonces la función no es continua en a y el problema está resuelto. Si los valores de lím x → a f ( x ) existe, entonces continúe con el paso 3. Compare f ( a ) y lím x → a f ( x ) . Si lím x → a f ( x ) ≠ f ( a ) , entonces la función no es continua en a . Si los valores de lím x → a f ( x ) = f ( a ) , entonces la función es continua en a . Los tres ejemplos siguientes muestran cómo aplicar esta definición para determinar si una función es continua en un punto dado. Ilustran situaciones en las que cada una de las condiciones de continuidad de la definición tiene éxito o falla. Determinación de la continuidad en un punto, condición 1 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) es continua en x = 2 . Justifique la conclusión. Empecemos por intentar calcular f ( 2 ) . Podemos ver que f ( 2 ) = 0 / 0 , que es indefinida. Por lo tanto, f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 es discontinua en 2 porque f ( 2 ) es indefinida. El gráfico de f ( x ) se muestra en la . La función f ( x ) es discontinua en 2 porque f ( 2 ) es indefinida. Determinación de la continuidad en un punto, condición 2 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { − x 2 + 4 si x ≤ 3 4 x − 8 si x > 3 es continua en x = 3 . Justifique la conclusión. Empecemos por intentar calcular f ( 3 ) . f ( 3 ) = − ( 3 2 ) + 4 = −5 . Así, f ( 3 ) está definida. A continuación, calculamos lím x → 3 f ( x ) . Para ello, debemos calcular lím x → 3 − f ( x ) y lím x → 3 + f ( x ) : lím x → 3 − f ( x ) = − ( 3 2 ) + 4 = −5 y lím x → 3 + f ( x ) = 4 ( 3 ) − 8 = 4 . Por lo tanto, lím x → 3 f ( x ) no existe. Así, f ( x ) no es continua en 3. El gráfico de f ( x ) se muestra en la . La función f ( x ) no es continua en 3 porque lím x → 3 f ( x ) no existe. Determinación de la continuidad en un punto, condición 3 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { sen x x si x ≠ 0 1 si x = 0 es continua en x = 0 . En primer lugar, observe que f ( 0 ) = 1 . Luego, lím x → 0 f ( x ) = lím x → 0 sen x x = 1 . Por último, compare f ( 0 ) y lím x → 1 f ( x ) . Vemos que f ( 0 ) = 1 = lím x → 0 f ( x ) . Dado que se cumplen las tres condiciones de la definición de continuidad, f ( x ) es continua en x = 0 . Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { 2 x + 1 si x < 1 2 si x = 1 − x + 4 si x > 1 es continua en x = 1 . Si la función no es continua en 1, indique la condición de continuidad en un punto que no se cumple. f no es continua en 1 porque f ( 1 ) = 2 ≠ 3 = lím x → 1 f ( x ) . Pista Verifique cada condición de la definición. Aplicando la definición de continuidad y los teoremas previamente establecidos sobre la evaluación de límites, podemos enunciar el siguiente teorema. Continuidad de polinomios y funciones racionales Los polinomios y las funciones racionales son continuos en todos los puntos de sus dominios. Prueba Anteriormente, demostramos que si p ( x ) como q ( x ) son polinomios, lím x → a p ( x ) = p ( a ) para cada polinomio p ( x ) y lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) siempre y cuando q ( a ) ≠ 0 . Por lo tanto, los polinomios y las funciones racionales son continuos en sus dominios. □ Ahora aplicamos para determinar los puntos en los que una función racional dada es continua. Continuidad de una función racional ¿Para qué valores de x es f ( x ) = x + 1 x − 5 es continua? La función racional f ( x ) = x + 1 x − 5 es continua para cualquier valor de x excepto x = 5 . ¿Para qué valores de x es f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 2 es continua? f ( x ) es continua en todo número real. Pista Utilice la Tipos de discontinuidades Como hemos visto en el y el , las discontinuidades adquieren diferentes aspectos. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es aquella para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es aquella no infinita en la que las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es la que se halla en una asíntota vertical. La ilustra las diferencias de estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, hay que tener en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías. Las discontinuidades se clasifican como (a) removibles, (b) de salto, o (c) infinitas. Estas tres discontinuidades se definen formalmente como sigue: Definición Si f ( x ) es discontinua en a , entonces f tiene una discontinuidad removible en un si lím x → a f ( x ) . (Nota: Cuando afirmamos que lím x → a f ( x ) existe, queremos decir que lím x → a f ( x ) = L , donde L es un número real). f tiene una discontinuidad de salto en a si lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) . (Nota: Cuando afirmamos que lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, queremos decir que ambos son de valor real y que ninguno toma los valores ±∞). f tiene una discontinuidad infinita en a si lím x → a − f ( x ) = ± ∞ o lím x → a + f ( x ) = ± ∞ . Clasificar una discontinuidad En el , demostramos que f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 es discontinuo en x = 2 . Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito. Para clasificar la discontinuidad en 2 debemos evaluar lím x → 2 f ( x ) : lím x → 2 f ( x ) = lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 = lím x → 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) = 4 . Como f es discontinua en 2 y lím x → 2 f ( x ) existe, f tiene una discontinuidad removible en x = 2 . Clasificar una discontinuidad En el , demostramos que f ( x ) = { − x 2 + 4 si x ≤ 3 4 x − 8 si x > 3 es discontinuo en x = 3 . Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito. Anteriormente, demostramos que f es discontinua en 3 porque lím x → 3 f ( x ) no existe. Sin embargo, como lím x → 3 − f ( x ) = −5 y lím x → 3 + f ( x ) = 4 ambos existen, concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto en 3. Clasificar una discontinuidad Determine si f ( x ) = x + 2 x + 1 es continua en -1. Si la función es discontinua en -1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita. El valor de la función f ( –1 ) es indefinida. Por lo tanto, la función no es continua en -1. Para determinar el tipo de discontinuidad, debemos determinar el límite en -1. Vemos que lím x → −1 − x + 2 x + 1 = − ∞ y lím x → −1 + x + 2 x + 1 = + ∞ . Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad infinita en -1. Para f ( x ) = { x 2 si x ≠ 1 3 si x = 1 , decida si f es continua en 1. Si f no es continua en 1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita. Discontinua en 1; removible Pista Siga los pasos en . Si la función es discontinua en 1, vea lím x → 1 f ( x ) y utilice la definición para determinar el tipo de discontinuidad. Continuidad en un intervalo Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendamos esa idea a la continuidad en un intervalo . Mientras desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en mente la idea intuitiva de que una función es continua en un intervalo si podemos usar un lápiz para trazar la función entre dos puntos cualesquiera del intervalo sin levantar el lápiz del papel. Como preparación para definir la continuidad en un intervalo, empecemos por ver la definición de lo que significa que una función sea continua por la derecha o por la izquierda en un punto. Continuidad por la derecha y por la izquierda Una función f ( x ) se dice que es continua por la derecha en a si lím x → a + f ( x ) = f ( a ) . Una función f ( x ) se dice que es continua por la izquierda en a si lím x → a − f ( x ) = f ( a ) . Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Una función f ( x ) es continua en un intervalo cerrado de la forma [ a , b ] si es continua en cada punto de ( a , b ) y es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b . De manera similar, una función f ( x ) es continua en un intervalo de la forma ( a , b ] si es continua en ( a , b ) y es continua por la izquierda en b . La continuidad en otros tipos de intervalos se define de forma similar. Exigir que lím x → a + f ( x ) = f ( a ) y lím x → b − f ( x ) = f ( b ) asegura que podemos trazar el gráfico de la función desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) sin levantar el lápiz. Si, por ejemplo, lím x → a + f ( x ) ≠ f ( a ) , tendríamos que levantar el lápiz para saltar desde f ( a ) al gráfico del resto de la función en ( a , b ] . Continuidad en un intervalo Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = x – 1 x 2 + 2 x es continuo. Dado que f ( x ) = x – 1 x 2 + 2 x es una función racional, es continua en todos los puntos de su dominio. El dominio de f ( x ) . es el conjunto ( − ∞ , –2 ) ∪ ( –2 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Por lo tanto, f ( x ) . es continua en cada uno de los intervalos ( − ∞ , –2 ) , ( –2 , 0 ) , y ( 0 , + ∞ ) . Continuidad en un intervalo Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = 4 − x 2 es continuo. A partir de las leyes de los límites, sabemos que lím x → a 4 − x 2 = 4 − a 2 para todos los valores de a en ( –2 , 2 ) . También sabemos que lím x → −2 + 4 − x 2 = 0 existe y lím x → 2 − 4 − x 2 = 0 . Por lo tanto, f ( x ) es continua en el intervalo [ −2 , 2 ] . Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = x + 3 es continuo. [ −3 , + ∞ ) Pista Utilice como guía para resolver. El nos permite ampliar nuestra capacidad de calcular los límites. En particular, este teorema nos permite demostrar en definitiva que las funciones trigonométricas son continuas sobre sus dominios. Teorema de la función compuesta Si los valores de f ( x ) es continua en L y lím x → a g ( x ) = L , entonces lím x → a f ( g ( x ) ) = f ( lím x → a g ( x ) ) = f ( L ) . Antes de pasar al , recordemos que en la sección de leyes de los límites, mostramos lím x → 0 cos x = 1 = cos ( 0 ) . En consecuencia, sabemos que f ( x ) = cos x es continua en 0. En el vemos cómo combinar este resultado con el teorema de la función compuesta. Límite de una función coseno compuesta Evalúe lím x → π / 2 cos ( x − π 2 ) . La función dada es un compuesto de cos x y x − π 2 . Dado que lím x → π / 2 ( x − π 2 ) = 0 y cos x es continua en 0, podemos aplicar el teorema de la función compuesta. Por lo tanto, lím x → π / 2 cos ( x − π 2 ) = cos ( lím x → π / 2 ( x − π 2 ) ) = cos ( 0 ) = 1 . Evalúe lím x → π sen ( x − π ) . 0 Pista f ( x ) = sen x es continua en 0. Utilice como guía. La prueba del siguiente teorema utiliza el teorema de la función compuesta así como la continuidad de f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el punto 0 para demostrar que las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios. Continuidad de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios. Prueba Comenzamos demostrando que cos x es continua en todo número real. Para ello, debemos demostrar que lím x → a cos x = cos a para todos los valores de a . lím x → a cos x = lím x → a cos ( ( x – a ) + a ) reescriba x = x – a + a = lím x → a ( cos ( x – a ) cos a − sen ( x – a ) sen a ) aplique la identidad del coseno a través de la suma de dos ángulos = cos ( lím x → a ( x – a ) ) cos a − sen ( lím x → a ( x – a ) ) sen a lím x → a ( x – a ) = 0 , y sen x y cos x son continuos en 0 = cos ( 0 ) cos a − sen ( 0 ) sen a evalúe cos(0) y sen(0) y simplifique = 1 . cos a − 0 . sen a = cos a . La prueba de que sen x es continua en todo número real es análoga. Puesto que el resto de las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de sen x y cos x , su continuidad se desprende de la ley del límite del cociente. □ Como puede ver, el teorema de la función compuesta es muy valioso para demostrar la continuidad de las funciones trigonométricas. A medida que avanzamos en el estudio del cálculo, volveremos a ver este teorema muchas veces. El teorema del valor intermedio Funciones continuas sobre intervalos de la forma [ a , b ] , donde a y b son números reales y presentan muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio del cálculo, nos encontraremos con muchos teoremas poderosos relativos a dichas funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio . El teorema del valor intermedio Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado [ a , b ] . Si z es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces hay un número c en [ a , b ] que satisface f ( c ) = z en la . Hay un número c ∈ [ a , b ] que satisface f ( c ) = z . Aplicación del teorema del valor intermedio Demuestre que f ( x ) = x − cos x tiene al menos un cero. Dado que f ( x ) = x − cos x es continua en ( − ∞ , + ∞ ) , es continua en cualquier intervalo cerrado de la forma [ a , b ] . Si puede hallar un intervalo [ a , b ] de manera que f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, puede utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que debe haber un número real c en ( a , b ) que satisface f ( c ) = 0 . Tenga en cuenta que f ( 0 ) = 0 − cos ( 0 ) = −1 < 0 y f ( π 2 ) = π 2 − cos π 2 = π 2 > 0 . Utilizando el teorema del valor intermedio podemos ver que debe haber un número real c en [ 0 , π / 2 ] que satisface f ( c ) = 0 . Por lo tanto, f ( x ) = x − cos x tiene al menos un cero. ¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio? Si los valores de f ( x ) es continua en [ 0 , 2 ] , f ( 0 ) > 0 y f ( 2 ) > 0 , ¿podemos utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que f ( x ) no tiene ceros en el intervalo [ 0 , 2 ]? Explique. No. El teorema del valor intermedio solo nos permite concluir que podemos encontrar un valor entre f ( 0 ) y f ( 2 ) ; no nos permite concluir que no podemos encontrar otros valores. Para ver esto más claramente, considere la función f ( x ) = ( x – 1 ) 2 . Este satisface f ( 0 ) = 1 > 0 , f ( 2 ) = 1 > 0 , y f ( 1 ) = 0 . ¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio? Para f ( x ) = 1 / x , f ( –1 ) = −1 < 0 y f ( 1 ) = 1 > 0 . ¿Podemos concluir que f ( x ) tiene un cero en el intervalo [ −1 , 1 ] ? No. La función no es continua sobre [ −1 , 1 ] . El teorema del valor intermedio no se aplica aquí. Demuestre que f ( x ) = x 3 − x 2 − 3 x + 1 tiene un cero en el intervalo [ 0 , 1 ] . f ( 0 ) = 1 > 0 , f ( 1 ) = −2 < 0 ; f ( x ) es continua en [ 0 , 1 ] . Debe tener un cero en este intervalo. Pista Halle f ( 0 ) y f ( 1 ) . Aplique el teorema del valor intermedio. Conceptos clave Para que una función sea continua en un punto, debe estar definida en ese punto, su límite debe existir en este y el valor de la función en ese punto debe ser igual al valor del límite en el mismo. Las discontinuidades pueden clasificarse como removibles, de salto o infinitas. Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Es continua en un intervalo cerrado si es continua en cada punto de su interior y es continua en sus puntos finales. El teorema de la función compuesta dice: Si los valores de f ( x ) es continua en L y lím x → a g ( x ) = L , entonces lím x → a f ( g ( x ) ) = f ( lím x → a g ( x ) ) = f ( L ) . El teorema del valor intermedio garantiza que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función toma todos los valores entre los valores de sus extremos. En los siguientes ejercicios, determine el punto o puntos en los que cada función es discontinua, si los hay. Clasifique cualquier discontinuidad como de salto, removible, infinita u otra. f ( x ) = 1 x La función está definida para toda x en el intervalo ( 0 , ∞ ) . f ( x ) = 2 x 2 + 1 f ( x ) = x x 2 − x Discontinuidad removible en x = 0 ; discontinuidad infinita en x = 1 g ( t ) = t −1 + 1 f ( x ) = 5 e x − 2 Discontinuidad infinita en x = ln 2 f ( x ) = | x − 2 | x − 2 H ( x ) = tan 2 x Discontinuidades infinitas en x = ( 2 k + 1 ) π 4 , por k = 0 , ±1, 1 , ±2, 2 , ±3,... 3 ,… f ( t ) = t + 3 t 2 + 5 t + 6 En los siguientes ejercicios, decida si la función es continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿de qué tipo de discontinuidad se trata? f ( x ) 2 x 2 − 5 x + 3 x – 1 en x = 1 No. Es una discontinuidad removible. h ( θ ) = sen θ − cos θ tan θ en θ = π g ( u ) = { 6 u 2 + u − 2 2 u − 1 si u ≠ 1 2 7 2 si u = 1 2 , a las u = 1 2 Sí. Es continuo. f ( y ) = sen ( π y ) tan ( π y ) , a las y = 1 f ( x ) = { x 2 − e x si x < 0 x – 1 si x ≥ 0 , a las x = 0 Sí. Es continuo. f ( x ) = { x sen ( x ) si x ≤ π x tan ( x ) si x > π , a las x = π En los siguientes ejercicios, halle el valor o valores de k que hacen que cada función sea continua en el intervalo dado. f ( x ) = { 3 x + 2 , x < k 2 x − 3 , k ≤ x ≤ 8 k = −5 f ( θ ) = { sen θ , 0 ≤ θ < π 2 cos ( θ + k ) , π 2 ≤ θ ≤ π f ( x ) = { x 2 + 3 x + 2 x + 2 , x ≠ − 2 k , x = –2 k = –1 f ( x ) = { e k x , 0 ≤ x < 4 x + 3 , 4 ≤ x ≤ 8 f ( x ) = { k x , 0 ≤ x ≤ 3 x + 1 , 3 < x ≤ 10 k = 16 3 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio (TVI). Supongamos que h ( x ) = { 3 x 2 − 4 , x ≤ 2 5 + 4 x , x > 2 En el intervalo [ 0 , 4 ] , no hay ningún valor de x tal que h ( x ) = 10 , aunque h ( 0 ) < 10 y h ( 4 ) > 10 . Explique por qué esto no contradice el TVI. Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene en cada tiempo t una función de posición s ( t ) , que es continua. Supongamos que s ( 2 ) = 5 y s ( 5 ) = 2 . Otra partícula se mueve de manera que su posición viene dada por h ( t ) = s ( t ) − t . Explique por qué debe haber un valor c para 2 < c < 5 de manera que h ( c ) = 0 . Dado que tanto s como y = t son continuas en todas partes, entonces h ( t ) = s ( t ) − t es continua en todas partes y, en particular, es continua en el intervalo cerrado [ 2 , 5 ] . También, h ( 2 ) = 3 > 0 y h ( 5 ) = −3 < 0 . Por lo tanto, según el TVI, hay un valor x = c de manera que h ( c ) = 0 . [T] Utilice el enunciado “el coseno de t es igual a t al cubo”. Escriba una ecuación matemática del enunciado. Demuestre que la ecuación de la parte a. tiene al menos una solución real. Utilice una calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una solución. Aplicar el TVI para determinar si 2 x = x 3 tiene una solución en uno de los intervalos [ 1,25 , 1,375 ] o [ 1,375 , 1,5 ] . Explique brevemente su respuesta para cada intervalo. La función f ( x ) = 2 x – x 3 es continua en el intervalo [ 1,25 , 1,375 ] y tiene signos opuestos en los extremos. Consideremos el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra en el siguiente gráfico. Halle todos los valores para los que la función es discontinua. Para cada valor de la parte a., indique por qué no se aplica la definición formal de continuidad. Clasifique cada discontinuidad como de salto, removible o infinita. Supongamos que f ( x ) = { 3 x , x > 1 x 3 , x < 1 . Dibuje el gráfico de f . ¿Es posible encontrar un valor k tal que f ( 1 ) = k , que hace que f ( x ) continua para todos los números reales? Explique brevemente. a. b. No es posible redefinir f ( 1 ) ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto. Supongamos que f ( x ) = x 4 − 1 x 2 – 1 para x ≠ − 1 , 1 . Dibuje el gráfico de f . ¿Es posible encontrar valores k 1 y k 2 de manera que f ( –1 ) = k 1 y f ( 1 ) = k 2 , y eso hace a f ( x ) continua para todos los números reales? Explique brevemente. Dibuje el gráfico de la función y = f ( x ) con las propiedades i. hasta la vi. El dominio de f es ( − ∞ , + ∞ ) . f tiene una discontinuidad infinita en x = −6 . f ( −6 ) = 3 lím x → −3 − f ( x ) = lím x → −3 + f ( x ) = 2 f ( −3 ) = 3 f es continua por la izquierda pero no por la derecha en x = 3 . lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ y lím x → + ∞ f ( x ) = + ∞ Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo Dibuje el gráfico de la función y = f ( x ) con las propiedades i. hasta la iv. El dominio de f es [ 0 , 5 ] . lím x → 1 + f ( x ) y lím x → 1 − f ( x ) existen y son iguales. f ( x ) es continua por la izquierda pero no es continua en x = 2 , y continua por la derecha pero no es continua en x = 3 . f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = 1 , una discontinuidad de salto en x = 2 , y se mantienen los siguientes límites lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ y lím x → 3 + f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, supongamos que y = f ( x ) está definida para toda x . En cada descripción, dibuje un gráfico con la propiedad indicada. Discontinua en x = 1 con la lím x → −1 f ( x ) = –1 y lím x → 2 f ( x ) = 4 Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo Discontinua en x = 2 pero continua en otras partes con lím x → 0 f ( x ) = 1 2 Determine si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifique su respuesta con una explicación o un contraejemplo. f ( t ) = 2 e t − e − t es continua en todas partes. Falso. Es continua a lo largo de ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) . Si los límites izquierdo y derecho de f ( x ) cuando x → a existen y son iguales, entonces f no puede ser discontinua en x = a . Si una función no es continua en un punto, entonces no está definida en ese punto. Falso. Considere que f ( x ) = { x si x ≠ 0 4 si x = 0 . Según el TVI, cos x − sen x – x = 2 tiene una solución en el intervalo [ −1 , 1 ] . Si f ( x ) es continua, de manera que f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces f ( x ) = 0 tiene exactamente una solución en [ a , b ] . Falso. El TVI solo dice que al menos hay una solución; no garantiza que haya exactamente una. Considere que f ( x ) = cos ( x ) sobre [ − π , 2 π ] . La función f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 x 2 – 1 es continua en el intervalo [ 0 , 3 ] . Si f ( x ) es continua en todas partes y f ( a ) , f ( b ) > 0 , entonces no hay raíz de f ( x ) en el intervalo [ a , b ] . Falso. ¡El TVI no funciona a la inversa! Considere que ( x – 1 ) 2 en el intervalo [ −2 , 2 ] . [T] Los siguientes problemas toman en cuenta la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Viene dada por la ecuación F ( r ) = k e | q 1 q 2 | r 2 , donde k e es la constante de Coulomb, q i son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y r es la distancia entre las dos partículas. Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de cierto valor umbral r = R , aproximamos F a cero. Explique el razonamiento físico de esta suposición. ¿Cuál es la ecuación de fuerza? Evalúe la fuerza F utilizando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, suponiendo que dos protones con una magnitud de carga de 1,6022 × 10 −19 culombios (C) , y la constante de Coulomb k e = 8,988 × 10 9 Nm 2 / C 2 están a 1 m de distancia. Además, suponga que R < 1 m . ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación? ¿Existe algún valor finito de R para el que este sistema siga siendo continuo en R ? En vez de hacer que la fuerza sea 0 en R , dejamos que la fuerza sea 10 −20 para r ≥ R . Supongamos dos protones, que tienen una magnitud de carga 1,6022 × 10 −19 C , y la constante de Coulomb k e = 8,988 × 10 9 Nm 2 / C 2 . ¿Existe un valor R que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, hállelo. R = 0,0001519 m Recuerde la discusión sobre las naves espaciales del inicio del capítulo. Los siguientes problemas analizan el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por F ( d ) = − m k / d 2 , donde m es la masa del cohete, d es la distancia del cohete al centro de la Tierra y k es una constante. [T] Determine el valor y las unidades de k dado que la masa del cohete es de 3 millones de kg. ( Pista : La distancia del centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km). [T] A partir de cierta distancia D , el efecto gravitatorio de la Tierra se hace bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza mediante F ( d ) = { − m k d 2 si d < D 10.000 si d ≥ D . Usando el valor de k del ejercicio anterior, calcule la condición necesaria D tal que la función de fuerza permanezca continua. D = 345.826 km A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D en la que el cohete pierde parte de su masa, puesto que ya no necesita el exceso de combustible almacenado. Podemos escribir esta función como F ( d ) = { − m 1 k d 2 si d < D − m 2 k d 2 si d ≥ D . ¿Existe un valor D tal que esta función sea continua, suponiendo m 1 ≠ m 2 ? Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todas partes f ( θ ) = sen θ Para todos los valores de a , f ( a ) está definida, lím θ → a f ( θ ) existe, y lím θ → a f ( θ ) = f ( a ) . Por lo tanto, f ( θ ) es continua en todas partes. g ( x ) = | x | ¿Dónde es f ( x ) = { 0 si x es irracional 1 si x es racional es continua? En ninguna parte continuidad en un punto una función f ( x ) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: (1) f ( a ) está definida, (2) lím x → a f ( x ) existe y (3) lím x → a f ( x ) = f ( a ) continuidad por la izquierda una función es continua por la izquierda en b si lím x → b − f ( x ) = f ( b ) continuidad por la derecha una función es continua por la derecha en a si lím x → a + f ( x ) = f ( a ) continuidad en un intervalo función que puede ser trazada con un lápiz sin levantarlo del papel; es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo; una función f ( x ) es continua en un intervalo cerrado de la forma [ a , b ] si es continua en cada punto de ( a , b ) , y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b discontinuidad en un punto una función es discontinua en un punto o tiene una discontinuidad en un punto si no es continua en el punto discontinuidad infinita se produce una discontinuidad infinita en un punto a si lím x → a − f ( x ) = ± ∞ o lím x → a + f ( x ) = ± ∞ Teorema del valor intermedio supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado [ a , b ] ; si z es un número real cualquiera entre f ( a ) y f ( b ) , entonces hay un número c en [ a , b ] que satisface f ( c ) = z discontinuidad de salto se produce una discontinuidad de salto en un punto a si lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) discontinuidad removible se produce una discontinuidad removible en un punto a si f ( x ) es discontinua en a , pero lím x → a f ( x ) existe

Matemáticas


La definición precisa de un límite Hasta ahora ya ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debería tener una intuición muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede hallarlo. En esta sección, convertiremos esa idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de sus estudios de cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo para conciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre las puertas a una mejor comprensión del cálculo. Cuantificar la cercanía Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntos a y b en una línea numérica viene dada por | a − b | . La afirmación | f ( x ) − L | < ε puede interpretarse como: La distancia entre f ( x ) y L es menor que ε. La afirmación 0 < | x – a | < δ puede interpretarse como x ≠ a y la distancia entre x y a es menor que δ. También es importante observar las siguientes equivalencias de valor absoluto: La afirmación | f ( x ) − L | < ε equivale a la afirmación L − ε < f ( x ) < L + ε . La afirmación 0 < | x – a | < δ equivale a la afirmación a − δ < x < a + δ y x ≠ a . Con estas aclaraciones, podemos enunciar la definición épsilon-delta del límite formal. Definición Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a sobre un intervalo abierto que contiene a . Supongamos que L es un número real. Entonces lím x → a f ( x ) = L si, para cada ε > 0 , existe un δ > 0 , tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí mismo implica algo llamado cuantificador universal (para cada ε > 0 ), hay un cuantificador existencial (existe un δ > 0 ), y, por último, una declaración condicional (si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε ). Echemos un vistazo a la , que desglosa la definición y traduce cada parte. Explicación de la definición épsilon-delta del límite Definición Explicación 1 Por cada ε > 0 , 1 Para cada distancia positiva ε de L , 2. existe un δ > 0 , 2. Hay una distancia positiva δ de a , 3. tal que 3. tal que 4. si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . 4. si x está más cerca que δ de a y x ≠ a , entonces f ( x ) está más cerca que ε de L . Podemos entender mejor esta definición si la observamos geométricamente. La muestra los posibles valores de δ para varias opciones de ε > 0 para una función determinada f ( x ) , un número a , y un límite L en a . Obsérvese que a medida que elegimos valores menores de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos hallar un δ lo suficientemente pequeño de manera que si hemos elegido un valor de x dentro de δ de a , entonces el valor de f ( x ) está dentro de ε del límite L . Estos gráficos muestran los posibles valores de δ , dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε . Visite la siguiente miniaplicación para experimentar con la búsqueda de valores de δ para determinados valores de ε : La definición épsilon-delta de límites El muestra cómo se puede utilizar esta definición para demostrar una afirmación sobre el límite de una función específica en un valor determinado. Probar una afirmación sobre el límite de una función específica Compruebe que lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . Supongamos que ε > 0 . La primera parte de la definición comienza "Para cada ε > 0 “. Esto significa que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos "Supongamos que ε > 0 ,” señalamos nuestra intención de hacerlo. Elija δ = ε 2 . La definición continúa con "existe un δ > 0 . " La frase "existe" en un enunciado matemático es siempre una señal para la búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir a buscar δ . Entonces, ¿de dónde vino exactamente δ = ε / 2 ? Hay dos enfoques básicos para rastrear a δ . Un método es totalmente algebraico y el otro es geométrico. Comenzamos abordando el problema desde un punto de vista algebraico. Ya que en última instancia queremos | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε , comenzamos manipulando esta expresión: | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε equivale a | 2 x − 2 | < ε , que a su vez equivale a | 2 | | x – 1 | < ε . Por último, esto equivale a | x – 1 | < ε / 2 . Así, parece que δ = ε / 2 es apropiado. También podemos hallar δ mediante métodos geométricos. La demuestra cómo se hace. Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente. Supongamos que 0 < | x – 1 | < δ . Cuando δ , nuestro objetivo es demostrar que si 0 < | x – 1 | < δ , entonces | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε . Para demostrar cualquier afirmación de la forma "Si esto, entonces aquello", empezamos por suponer "esto" e intentar conseguir "aquello". Por lo tanto, | ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | propiedad del valor absoluto = | 2 ( x – 1 ) | = | 2 | | x – 1 | | 2 | = 2 = 2 | x – 1 | < 2 . δ aquí es donde usamos la suposición de que 0 < | x – 1 | < δ = 2 . ε 2 = ε aquí es donde usamos nuestra elección de δ = ε / 2 Análisis En esta parte de la prueba, comenzamos con | ( 2 x + 1 ) − 3 | y utilizamos nuestra suposición 0 < | x – 1 | < δ en una parte clave de la cadena de desigualdades para conseguir | ( 2 x + 1 ) − 3 | sea inferior a ε . Con la misma facilidad podríamos haber manipulado la supuesta desigualdad 0 < | x – 1 | < δ para llegar a | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε de la siguiente forma: 0 < | x – 1 | < δ ⇒ | x – 1 | < δ ⇒ − δ < x – 1 < δ ⇒ − ε 2 < x – 1 < ε 2 ⇒ − ε < 2 x − 2 < ε ⇒ − ε < 2 x − 2 < ε ⇒ | 2 x − 2 | < ε ⇒ | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε . Por lo tanto, lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . (Una vez completada la prueba, expresamos lo que hemos conseguido) Después de eliminar todas las observaciones, aquí está la versión final de la prueba: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε / 2 . Supongamos que 0 < | x – 1 | < δ . Por lo tanto, | ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | = | 2 ( x – 1 ) | = | 2 | | x – 1 | = 2 | x – 1 | < 2 . δ = 2 . ε 2 = ε . Por lo tanto, lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en el . Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que lím x → a f ( x ) = L para una función específica f ( x ) Comencemos la prueba con la siguiente afirmación: Supongamos que ε > 0 . A continuación, tenemos que obtener un valor para δ . Después de haberlo obtenido, hacemos la siguiente afirmación, rellenando el espacio en blanco con nuestra elección de δ : Elija δ = _______. El siguiente enunciado de la prueba debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a ): Suponga que 0 < | x – a | < δ . A continuación, con base en esta suposición, tenemos que demostrar que | f ( x ) − L | < ε , donde f ( x ) y L son nuestra función f ( x ) y nuestro límite L . En algún momento, necesitamos utilizar 0 < | x – a | < δ . Concluimos nuestra prueba con la afirmación: Por lo tanto, lím x → a f ( x ) = L . Probar una afirmación sobre un límite Complete la prueba de que lím x → −1 ( 4 x + 1 ) = −3 al rellenar los espacios en blanco. Supongamos que _____. Elija δ = _______. Supongamos que 0 < | x − _______ | < δ . Así, | ________ − ________ | = _____________________________________ ε . Comenzamos llenando los espacios en blanco en los que la definición especifica las opciones. Por lo tanto, tenemos Supongamos que ε > 0 . Elija δ = _______. Supongamos que 0 < | x − ( –1 ) | < δ . (o, de forma equivalente, 0 < | x + 1 | < δ ). Así, | ( 4 x + 1 ) − ( −3 ) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ _______ ε . Al centrarnos en la última línea de la prueba, notamos que deberíamos elegir δ = ε 4 . Ahora completamos la redacción final de la prueba: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε 4 . Supongamos que 0 < | x − ( –1 ) | < δ (o, de forma equivalente, 0 < | x + 1 | < δ ). Así, | ( 4 x + 1 ) − ( −3 ) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ = 4 ( ε / 4 ) = ε . Complete la prueba de que lím x → 2 ( 3 x − 2 ) = 4 al rellenar los espacios en blanco. Supongamos que _______. Elija δ = _______ . Supongamos que 0 < | x − ____ | < ____ . Por lo tanto, | _______ − ____ | = ______________________________ ε . Por lo tanto, lím x → 2 ( 3 x − 2 ) = 4 . Supongamos que ε > 0 ; elija δ = ε 3 ; asuma que 0 < | x − 2 | < δ . Así, | ( 3 x − 2 ) − 4 | = | 3 x − 6 | = | 3 | . | x − 2 | < 3 . δ = 3 . ( ε / 3 ) = ε . Por lo tanto, lím x → 2 3 x − 2 = 4 . Pista Siga el esquema de la estrategia de resolución de problemas que elaboramos en su totalidad en . En el y el , las pruebas eran bastante sencillas, ya que las funciones con las que trabajábamos eran lineales. En el , vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal. Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico) Compruebe que lím x → 2 x 2 = 4. Supongamos que ε > 0 . La primera parte de la definición comienza "Para cada ε > 0 ,” por lo que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos "Supongamos que ε > 0 ,” señalamos nuestra intención de hacerlo. Sin perder la generalidad, asuma que ε ≤ 4 . Surgen dos preguntas: ¿Por qué queremos ε ≤ 4 y ¿por qué está bien hacer esa suposición? En respuesta a la primera pregunta: Más adelante, en el proceso de resolución de δ , descubriremos que δ implica la cantidad 4 − ε . En consecuencia, necesitamos ε ≤ 4 . En respuesta a la segunda pregunta: Si podemos hallar δ > 0 que "funciona" para ε ≤ 4 , entonces "funcionará" para cualquier ε > 4 también. Tenga en cuenta que, aunque siempre está bien poner un límite superior a ε , nunca se debe poner un límite inferior (distinto de cero) a ε . Elija δ = min { 2 − 4 − ε , 4 + ε − 2 } . La muestra cómo hemos hecho esta elección de δ . Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente para un ε dado para la prueba en el . Debemos mostrar: Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | x 2 − 4 | < ε , por lo que debemos empezar por asumir 0 < | x − 2 | < δ . No necesitamos realmente 0 < | x − 2 | (en otras palabras, x ≠ 2 ) para esta prueba. Dado que 0 < | x − 2 | < δ ⇒ | x − 2 | < δ , está bien para colocar 0 < | x − 2 | . | x − 2 | < δ . Por lo tanto, − δ < x − 2 < δ . Recordemos que δ = min { 2 − 4 − ε , 4 + ε − 2 } . Por lo tanto, δ ≤ 2 − 4 − ε y en consecuencia − ( 2 − 4 − ε ) ≤ − δ . También utilizamos δ ≤ 4 + ε − 2 aquí. En este punto podríamos preguntarnos: ¿Por qué sustituimos 2 − 4 − ε por δ en el lado izquierdo de la desigualdad y 4 + ε − 2 en el lado derecho de la desigualdad? Si nos fijamos en la , vemos que 2 − 4 − ε corresponde a la distancia a la izquierda de 2 en el eje x y 4 + ε − 2 corresponde a la distancia de la derecha. Por lo tanto, − ( 2 − 4 − ε ) ≤ − δ < x − 2 < δ ≤ 4 + ε − 2 . Simplificamos la expresión de la izquierda: −2 + 4 − ε < x − 2 < 4 + ε − 2 . Entonces, sumamos 2 a todas las partes de la desigualdad: 4 − ε < x < 4 + ε . Cuadramos todas las partes de la desigualdad. Está bien hacerlo, ya que todas las partes de la desigualdad son positivas: 4 − ε < x 2 < 4 + ε . Restamos 4 a todas las partes de la desigualdad: − ε < x 2 − 4 < ε . Por último, | x 2 − 4 | < ε . Por lo tanto, lím x → 2 x 2 = 4 . Halle δ correspondiente a ε > 0 para probar que lím x → 9 x = 3 . Elija δ = min { 9 − ( 3 − ε ) 2 , ( 3 + ε ) 2 − 9 } . Pista Dibuje un gráfico similar al que aparece en el . El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función toma un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, el conocimiento de la definición formal del límite que proporciona este método es inestimable. Sin embargo, también podemos abordar las pruebas de límites desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico no solo puede proporcionarnos una visión adicional de la definición, sino que también puede resultar más sencillo. Además, el enfoque algebraico es la principal herramienta utilizada en las pruebas de las afirmaciones sobre los límites. Para el , adoptamos un enfoque puramente algebraico. Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico) Compruebe que lím x → −1 ( x 2 − 2 x + 3 ) = 6 . Utilicemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = min { 1 , ε / 5 } . Esta elección de δ puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo echando un vistazo a nuestra desigualdad final deseada: | ( x 2 − 2 x + 3 ) − 6 | < ε . Esta desigualdad equivale a | x + 1 | . | x − 3 | < ε . En este punto, la tentación de elegir simplemente δ = ε x − 3 es muy fuerte. Lamentablemente, nuestra elección de δ debe depender únicamente de ε y de ninguna otra variable. Si podemos sustituir | x − 3 | por un valor numérico, podremos resolver el problema. Este es el lugar donde si asumimos δ ≤ 1 entra en juego. La elección de δ ≤ 1 aquí es arbitraria. Podríamos haber utilizado fácilmente cualquier otro número positivo. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora bien, ya que δ ≤ 1 y | x + 1 | < δ ≤ 1 , podemos demostrar que | x − 3 | < 5 . En consecuencia, | x + 1 | . | x − 3 | < | x + 1 | . 5 . En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos δ ≤ ε / 5 . Así, elegimos δ = min { 1 , ε / 5 } . Supongamos que 0 < | x + 1 | < δ . Por lo tanto, | x + 1 | < 1 y | x + 1 | < ε 5 . Dado que | x + 1 | < 1 , podemos concluir que −1 < x + 1 < 1 . Así, restando 4 a todas las partes de la desigualdad, obtenemos −5 < x − 3 < − 1 . En consecuencia, | x − 3 | < 5 . Esto nos da | ( x 2 − 2 x + 3 ) − 6 | = | x + 1 | . | x − 3 | < ε 5 . 5 = ε . Por lo tanto, lím x → −1 ( x 2 − 2 x + 3 ) = 6 . Complete la prueba de que lím x → 1 x 2 = 1 . Supongamos que ε > 0 ; elija δ = min { 1 , ε / 3 } ; asuma que 0 < | x – 1 | < δ . Dado que | x – 1 | < 1 , podemos concluir que −1 < x – 1 < 1 . Por lo tanto, 1 < x + 1 < 3 . Por lo tanto, | x + 1 | < 3 . | x 2 – 1 | = | x – 1 | . | x + 1 | < ε / 3 . 3 = ε Pista Utilice como guía. Verás que, en general, cuanto más compleja sea una función, es más probable que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para demostrar afirmaciones sobre los límites. Prueba de las leyes de los límites Ahora demostraremos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límites. La desigualdad del triángulo se utiliza en un punto clave de la prueba, así que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto. Definición La desigualdad del triángulo establece que si a y b son cualquier número real, entonces | a + b | ≤ | a | + | b | . Prueba Demostramos la siguiente ley de los límites: Si los valores de lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M , entonces lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M . Supongamos que ε > 0 . Elija δ 1 > 0 de modo que si 0 < | x – a | < δ 1 , entonces | f ( x ) − L | < ε / 2 . Elija δ 2 > 0 de modo que si 0 < | x – a | < δ 2 , entonces | g ( x ) − M | < ε / 2 . Elija δ = min { δ 1 , δ 2 } . Supongamos que 0 < | x – a | < δ . Por lo tanto, 0 < | x – a | < δ 1 y 0 < | x – a | < δ 2 . Por lo tanto, | ( f ( x ) + g ( x ) ) − ( L + M ) | = | ( f ( x ) − L ) + ( g ( x ) − M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε . □ Ahora exploraremos el significado de la inexistencia de un límite. El límite lím x → a f ( x ) no existe si no hay ningún número real L para el que lím x → a f ( x ) = L . Así, para todos los números reales L , lím x → a f ( x ) ≠ L . Para entender lo que esto significa, examinamos cada parte de la definición de lím x → a f ( x ) = L junto con su opuesto. Una explicación de la definición se halla en la . Explicación de la definición de lím x → a f ( x ) = L y su opuesto Definición Opuesto 1 Por cada ε > 0 , 1 Existe ε > 0 para que 2. existe un δ > 0 , para que 2. por cada δ > 0 , 3. si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . 3. Existe una x que satisface 0 < | x – a | < δ por lo que | f ( x ) − L | ≥ ε . Por último, podemos afirmar lo que significa que un límite no exista. El límite lím x → a f ( x ) no existe si para cada número real L , existe un número real ε > 0 de manera que para todos los δ > 0 , hay una x que satisface 0 < | x – a | < δ , por lo que | f ( x ) − L | ≥ ε . Apliquemos esto en el para demostrar que un límite no existe. Demostrar la inexistencia de un límite Demuestre que lím x → 0 | x | x no existe. El gráfico de f ( x ) = | x | / x aquí se muestra: Supongamos que L es un candidato a límite. Elija ε = 1 / 2 . Supongamos que δ > 0 . O bien L ≥ 0 o L < 0 . Si L ≥ 0 , entonces supongamos que x = − δ / 2 . Por lo tanto, | x − 0 | = | − δ 2 − 0 | = δ 2 < δ y | | − δ 2 | − δ 2 − L | = | −1 − L | = L + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . Por otro lado, si L < 0 , entonces supongamos que x = δ / 2 . Por lo tanto, | x − 0 | = | δ 2 − 0 | = δ 2 < δ y | | δ 2 | δ 2 − L | = | 1 − L | = | L | + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . Así, para cualquier valor de L , lím x → 0 | x | x ≠ L . Límites unilaterales e infinitos De la misma manera que primero adquirimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora volvemos a examinar los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites por la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones respecto a la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad 0 < x – a < δ sustituye a 0 < | x – a | < δ , que asegura que solo consideramos los valores de x que son mayores que (a la derecha de) a . Del mismo modo, en la definición del límite por la izquierda, la desigualdad − δ < x – a < 0 sustituye a 0 < | x – a | < δ , que garantiza que solo consideremos los valores de x que son menores que (a la izquierda de) a . Definición Límite por la derecha: Supongamos que f ( x ) se define sobre un intervalo abierto de la forma ( a , b ) donde a < b . Entonces, lím x → a + f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si 0 < x – a < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . Límite por la izquierda: Supongamos que f ( x ) se define sobre un intervalo abierto de la forma ( b , c ) donde b < c . Entonces, lím x → a − f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si − δ < x – a < 0 , entonces | f ( x ) − L | < ε . Probar una declaración sobre un límite por la derecha Compruebe que lím x → 4 + x − 4 = 0 . Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε 2 . Como en última instancia queremos | x − 4 − 0 | < ε , manipulamos esta desigualdad para obtener x − 4 < ε o, de forma equivalente, 0 < x − 4 < ε 2 , que da δ = ε 2 una elección clara. También podemos determinar δ geométricamente, como se muestra en la . Este gráfico muestra cómo encontramos δ para la prueba en el . Supongamos que 0 < x − 4 < δ . Por lo tanto, 0 < x − 4 < ε 2 . Por lo tanto, 0 < x − 4 < ε . Finalmente, | x − 4 − 0 | < ε . Por lo tanto, lím x → 4 + x − 4 = 0 . Halle δ correspondiente a ε para demostrar que lím x → 1 − 1 − x = 0 . δ = ε 2 Pista Dibuje el gráfico y utiliza el como guía de resolución. Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de varios tipos de límites en definiciones formales rigurosas, persiguiendo una definición formal de los límites infinitos. Para tener lím x → a f ( x ) = + ∞ , queremos que los valores de la función f ( x ) se hagan cada vez más grandes a medida que x se acerca a a . En lugar del requisito de que | f ( x ) − L | < ε para un ε arbitrariamente pequeño cuando 0 < | x – a | < δ para un delta lo bastante pequeño δ , queremos f ( x ) > M para un M positivo arbitrariamente grande cuando 0 < | x – a | < δ para un delta lo bastante pequeño δ . La ilustra esta idea mostrando el valor de δ para valores sucesivamente mayores de M . Estos gráficos representan los valores de δ para que M demuestre que lím x → a f ( x ) = + ∞ . Definición Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Entonces, tenemos un límite infinito lím x → a f ( x ) = + ∞ si para cada M > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces f ( x ) > M . Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Entonces, tenemos un límite infinito negativo lím x → a f ( x ) = − ∞ si para cada M > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces f ( x ) < − M . Conceptos clave La noción intuitiva de un límite puede convertirse en una definición matemática rigurosa conocida como la definición épsilon-delta del límite . La definición épsilon-delta puede utilizarse para demostrar afirmaciones sobre los límites. La definición épsilon-delta de un límite puede modificarse para definir límites unilaterales. En los siguientes ejercicios, escriba la definición adecuada de ε − δ para cada uno de los enunciados dados. lím x → a f ( x ) = N lím t → b g ( t ) = M Por cada ε > 0 , existe un δ > 0 , de modo que si 0 < | t − b | < δ , entonces | g ( t ) − M | < ε lím x → c h ( x ) = L lím x → a φ ( x ) = A Por cada ε > 0 , existe un δ > 0 , de modo que si 0 < | x – a | < δ , entonces | φ ( x ) – A | < ε El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 2 f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ > 0 que satisfaga cada afirmación. Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < 1 . Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < 0,5 . δ ≤ 0,25 El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 3 f ( x ) = −1 . En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ > 0 que satisfaga cada afirmación. Si los valores de 0 < | x − 3 | < δ , entonces | f ( x ) + 1 | < 1 . Si los valores de 0 < | x − 3 | < δ , entonces | f ( x ) + 1 | < 2 . δ ≤ 2 El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 3 f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, para cada valor de ε , halle un valor de δ > 0 de tal manera que la definición precisa de límite se cumpla. ε = 1,5 ε = 3 δ ≤ 1 [T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar un número δ para que las afirmaciones se cumplan. | sen ( 2 x ) − 1 2 | < 0,1 , siempre que | x − π 12 | < δ | x − 4 – 2 | < 0,1 , siempre que | x − 8 | < δ δ < 0,3900 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites dados. lím x → 2 ( 5 x + 8 ) = 18 lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 = 6 Supongamos que δ = ε . Si 0 < | x − 3 | < ε , entonces | x + 3 − 6 | = | x − 3 | < ε . lím x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 = 5 lím x → 0 x 4 = 0 Supongamos que δ = ε 4 . Si 0 < | x | < ε 4 , entonces | x 4 | = x 4 < ε . lím x → 2 ( x 2 + 2 x ) = 8 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites unilaterales dados. lím x → 5 − 5 − x = 0 Supongamos que δ = ε 2 . Si 5 − ε 2 < x < 5 , entonces | 5 − x | = 5 − x < ε . lím x → 0 + f ( x ) = –2 , donde f ( x ) = { 8 x − 3 , si x < 0 4 x − 2 , si x ≥ 0 . lím x → 1 − f ( x ) = 3 , donde f ( x ) = { 5 x − 2 , si x < 1 7 x – 1 , si x ≥ 1 . Supongamos que δ = ε / 5 . Si 1 − ε / 5 < x < 1 , entonces | f ( x ) − 3 | = 5 x − 5 < ε . En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites infinitos dados. lím x → 0 1 x 2 = ∞ lím x → −1 3 ( x + 1 ) 2 = ∞ Supongamos que δ = 3 M . Si 0 < | x + 1 | < 3 M , entonces f ( x ) = 3 ( x + 1 ) 2 > M . lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 2 = − ∞ Un ingeniero utiliza una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de 144 cm 2 . Si hay una tolerancia de error máxima en el área de 8 cm 2 , ¿con qué precisión debe cortar el lado, suponiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con δ , ε , a , y L ? 0,328 cm, ε = 8 , δ = 0,33 , a = 12 , L = 144 Utilice la definición precisa de límite para demostrar que el siguiente límite no existe lím x → 1 | x – 1 | x – 1 . Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que lím x → 0 f ( x ) no existe, dado que f ( x ) es la función techo. ( Pista : Pruebe cualquier δ < 1 ). Las respuestas pueden variar. Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que lím x → 0 f ( x ) no existe: f ( x ) = { 1 si x es racional 0 si x es irracional . ( Pista : Piense que siempre puedes elegir un número racional 0 < r < d , pero | f ( r ) − 0 | = 1 ). Utilizando definiciones precisas de los límites, determine lím x → 0 f ( x ) por f ( x ) = { x si x es racional 0 si x es irracional . ( Pista : Divida en dos casos, x racional y x irracional) 0 Utilizando la función del ejercicio anterior, use la definición precisa de límites para demostrar que lím x → a f ( x ) no existe para a ≠ 0 . En los siguientes ejercicios, supongamos que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M ambos existen. Utilice la definición precisa de límites para demostrar las siguientes leyes de los límites: lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M f ( x ) − g ( x ) = f ( x ) + ( –1 ) g ( x ) grandes. lím x → a [ c f ( x ) ] = c L para cualquier constante real c (Pista : Consideremos dos casos: c = 0 y c ≠ 0 ). lím x → a [ f ( x ) g ( x ) ] = L M . ( Sugerencia : | f ( x ) g ( x ) − L M | = | f ( x ) g ( x ) − f ( x ) M + f ( x ) M − L M | ≤ | f ( x ) | | g ( x ) − M | + | M | | f ( x ) − L | ). Las respuestas pueden variar. Ejercicios de repaso del capítulo Verdadero o falso . En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Una función tiene que ser continua en x = a si el lím x → a f ( x ) . Puede utilizar la regla de cociente para evaluar lím x → 0 sen x x . Falso Si hay una asíntota vertical en x = a para la función f ( x ) , entonces f es indefinida en el punto x = a . Si lím x → a f ( x ) no existe, entonces f es indefinida en el punto x = a . Falso. Es posible una discontinuidad removible. Utilizando el gráfico, halle cada límite o explique por qué no existe el límite. lím x → −1 f ( x ) grandes. lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, evalúe el límite algebraicamente o explique por qué el límite no existe. lím x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 5 lím x → 0 3 x 2 − 2 x + 4 lím x → 3 x 3 − 2 x 2 – 1 3 x − 2 8 / 7 lím x → π / 2 cot x cos x lím x → −5 x 2 + 25 x + 5 DNE lím x → 2 3 x 2 − 2 x − 8 x 2 − 4 lím x → 1 x 2 – 1 x 3 − 1 2 / 3 lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 lím x → 4 4 − x x − 2 −4; lím x → 4 1 x − 2 Utilice el teorema del emparedado en los siguientes ejercicios para demostrar el límite. lím x → 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0 Dado que −1 ≤ cos ( 2 π x ) ≤ 1 , entonces − x 2 ≤ x 2 cos ( 2 π x ) ≤ x 2 . Dado que lím x → 0 x 2 = 0 = lím x → 0 − x 2 , se deduce que lím x → 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0 . lím x → 0 x 3 sen ( π x ) = 0 Determine el dominio tal que la función f ( x ) = x − 2 + x e x sea continua en su dominio. [ 2 , ∞ ] En los siguientes ejercicios, determine el valor de c tal que la función siga siendo continua. Dibuje la función resultante para asegurarse de que es continua. f ( x ) = { x 2 + 1 , x > c 2 x , x ≤ c f ( x ) = { x + 1 , x > − 1 x 2 + c , x ≤ − 1 c = –1 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar el límite. lím x → 1 ( 8 x + 16 ) = 24 lím x → 0 x 3 = 0 δ = ε 3 Se lanza una pelota al aire y su posición vertical viene dada por x ( t ) = −4,9 t 2 + 25 t + 5 . Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 s después del lanzamiento. Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento según la función x ( t ) = t 2 − 2 t + 4 , donde x se mide en metros y t se mide en segundos. Halle la velocidad media durante el periodo t = [ 0 , 2 ] . 0 m / sec A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea en t = 2 comprobando la velocidad media dentro de t = 0,01 sec . definición epsilon-delta del límite lím x → a f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε desigualdad triangular si a y b son números reales cualesquiera, entonces | a + b | ≤ | a | + | b |

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Introducción El Hennessey Venom GT puede pasar de 0 a 200 mph en 14,51 segundos (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr). El Hennessey Venom GT es uno de los automóviles más rápidos del mundo. En 2014, alcanzó una velocidad récord de 270,49 mph. Puede pasar de 0 a 200 mph en 14,51 segundos. Las técnicas de este capítulo se pueden usar para calcular la aceleración que el Venom alcanza en esta hazaña (vea el ). El cálculo de la velocidad y sus cambios son aplicaciones importantes del cálculo, pero en realidad van mucho más allá. El cálculo es importante en todas las ramas de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería, y es fundamental para el análisis en los negocios y también en la salud. En este capítulo, exploraremos una de las principales herramientas del cálculo, la derivada, y mostraremos las formas prácticas de calcular derivadas. También aplicaremos estas reglas a una serie de funciones en este capítulo para luego explorar las aplicaciones de estas técnicas.

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