Diagramas de Venn Diagramas de Venn Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes del idioma en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión. Los diagramas de Venn deben su nombre a su inventor, John Venn, profesor de matemáticas en Cambridge y ministro anglicano. Su trabajo principal se llevó a cabo a finales de la década de 1870 y dio lugar a toda una rama de las matemáticas y a una nueva forma de abordar los problemas de lógica. Desarrollaremos las reglas de probabilidad que acabamos de abarcar utilizando esta poderosa forma de demostrar los postulados de la probabilidad, que incluye la regla de la adición, la regla de la multiplicación, la regla del complemento, la independencia y la probabilidad condicional. Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A interseca a B = A ∩ B = {6} y A unión B = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. . El diagrama de Venn es el siguiente: La muestra la relación más básica entre estos números. En primer lugar, los números están en grupos llamados conjuntos; conjunto A y conjunto B. Algunos números están en ambos conjuntos; decimos que en el conjunto A ∩ en el conjunto B. La palabra “y” significa inclusivo, es decir, que tiene las características tanto de A como de B, o en este caso, que forma parte tanto de A como de B. Esta condición se llama INTERSECCIÓN de los dos conjuntos. Todos los miembros que forman parte de ambos conjuntos constituyen la intersección de los dos conjuntos. La intersección se escribe como A ∩ B donde ∩ es el símbolo matemático de la intersección. La afirmación A ∩ B se lee como "A interseca B". Puede recordarlo pensando en la intersección de dos calles. También están los números que forman un grupo que, para ser miembro, el número debe estar en uno u otro grupo. El número no tiene que estar en AMBOS grupos, sino solamente en uno de los dos. Estos números se llaman la UNIÓN de los dos conjuntos y en este caso son los números 1-5 (de A exclusivamente), 7-9 (del conjunto B exclusivamente) y también el 6, que está en ambos conjuntos A y B. El símbolo de la UNIÓN es ∪ , por lo tanto A ∪ B = los números 1-9, pero excluye los números 10, 11 y 12. Los valores 10, 11 y 12 forman parte del universo, pero no están en ninguno de los dos conjuntos. Traducir la palabra “Y” al símbolo lógico matemático ∩ , intersección, y la palabra "O" al símbolo matemático ∪ , la unión, proporciona una forma muy precisa de discutir los temas de la probabilidad y la lógica. La terminología general de las tres áreas del diagrama de Venn en la se muestra en la . Ejercicio Supongamos que un experimento tiene los resultados negro, blanco, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento C = {verde, azul, morado} y el evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces C ∩ P = {azul} y C ∪ P = {verde, azul, morado, rojo, amarillo} . Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = { TT , TH } y B = { TT , HT }. Por lo tanto, A ∩ B = {TT} . A ∪ B = {TH, TT, HT} . El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = { HH , HT , TH , TT }. El resultado HH no es NI A NI B . El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Usted lanza un dado imparcial de seis lados. Supongamos que A = se obtiene un número primo de puntos. Supongamos que B = se obtiene un número impar de puntos. Entonces A = {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, A ∩ B = {3, 5} . A ∪ B = {1, 2, 3, 5} . El espacio muestral para lanzar un dado imparcial es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O. El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–. Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–. P ( O ) = ___________ P ( R ) = ___________ P ( O ∩ R ) = ___________ P ( O ∪ R ) = ____________ En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo. a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–. El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial. Si se selecciona un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P ( C ) = 0,40 la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P ( PT ) = 0,50 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial P ( C ∩ PT ) = 0,05 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. P ( C | P T ) = P ( C ∩ P T ) P ( P T ) = 0,05 0,50 = 0,1 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club o trabaje a tiempo parcial P ( C ∪ PT ) = P ( C ) + P ( PT ) – P ( C ∩ PT ) = 0,40 + 0,50 – 0,05 = 0,85 Para resolver el tuvimos que recurrir al concepto de probabilidad condicional de la sección anterior. Allí utilizamos diagramas de árbol para seguir los cambios en las probabilidades, porque el espacio muestral cambiaba a medida que dibujábamos sin reemplazo. En resumen, la probabilidad condicional es la posibilidad de que algo ocurra dado que algún otro evento ya ha ocurrido. Dicho de otro modo, la probabilidad de que algo ocurra condicionada a la situación de que otra cosa también sea cierta. En el la probabilidad P ( C | PT ) es la probabilidad condicional de que el estudiante extraído al azar sea socio del club, condicionada al hecho de que el estudiante también trabaje a tiempo parcial. Esto nos permite ver la relación entre los diagramas de Venn y los postulados de probabilidad. Ejercicio El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica tiene un segundo empleo, el 25 % tiene un cónyuge que también trabaja, el 5 % tiene un segundo empleo y un cónyuge que también trabaja. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que W = trabaja en un segundo empleo y S = el cónyuge también trabaja. Ejercicio En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es de 0,6, y la de que compre un libro que no es de ficción es de 0,4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es de 0,2. Dibuje un diagrama de Venn que represente la situación. Halle la probabilidad de que el cliente compre una novela o un libro que no sea de ficción. En el diagrama de Venn describa con una oración completa la zona de solapamiento. Supongamos que algunos clientes solo compran discos compactos. Dibuje un óvalo en su diagrama de Venn que represente este evento. a. y d. En el siguiente diagrama de Venn, el óvalo azul representa a los clientes que compran una novela, el óvalo rojo a los que compran productos que no son de ficción y el óvalo amarillo a los que compran discos compactos. b. P (novela o no ficción) = P (Azul ∪ Rojo) = P (Azul) + P (Rojo) - P (Azul ∩ Rojo) = 0,6 + 0,4 - 0,2 = 0,8. c. La zona de superposición del óvalo azul y el óvalo rojo representa a los clientes que compran tanto una novela como un libro que no sea de ficción. Se observa un conjunto de 20 perros pastores alemanes. 12 son machos, 8 son hembras, 10 tienen alguna coloración marrón y 5 tienen algunas secciones blancas de pelaje. Responda lo siguiente utilizando los diagramas de Venn. Dibuje un diagrama de Venn que muestre simplemente los conjuntos de perros machos y hembras. El siguiente diagrama de Venn demuestra la situación de eventos mutuamente excluyentes en la que los resultados son eventos independientes. Si un perro no puede ser a la vez macho y hembra, entonces no hay intersección. Ser macho excluye ser hembra y ser hembra excluye ser macho: en este caso, el sexo característico es, por tanto, mutuamente excluyente. Un diagrama de Venn muestra esto como dos conjuntos sin intersección. Se dice que la intersección es el conjunto nulo utilizando el símbolo matemático ∅. Dibuje un segundo diagrama de Venn que ilustre que 10 de los perros machos tienen coloración marrón. El siguiente diagrama de Venn muestra la superposición entre macho y marrón en el que se coloca el número 10. Esto representa Macho ∩ Marrón : macho y marrón. Es la intersección de estas dos características. La unión de macho y marrón, entonces es simplemente las dos áreas circuladas menos la superposición. En términos adecuados, Macho ∪ Marrón = Macho + Marrón – Macho ∩ Marrón nos dará el número de perros en la unión de estos dos conjuntos. Si no restáramos la intersección, habríamos contado dos veces algunos de los perros. Ahora dibuje una situación que represente un escenario en el que la región no sombreada represente "Sin pelaje blanco y hembra", o pelaje blanco′ ∩ Hembra. El primo arriba de “pelaje" indica “sin pelaje blanco”. El primo por encima de un conjunto significa que no está en ese conjunto, por ejemplo A ′ significa que no A . A veces, la notación utilizada es una línea por encima de la letra. Por ejemplo, A ¯ = A ′ . La regla de la suma de probabilidades Antes conocimos la regla de la adición, pero sin la ayuda de los diagramas de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a visualizar el proceso de recuento inherente al cálculo de la probabilidad. Para reafirmar la regla de la suma de probabilidades: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Recuerde que la probabilidad es simplemente la proporción de los objetos que nos interesan en relación con el número total de objetos. Por eso podemos ver la utilidad de los diagramas de Venn. El muestra cómo podemos utilizar los diagramas de Venn para contar el número de perros en la unión de marrón y macho recordándonos que hay que restar la intersección de marrón y macho. Podemos ver el efecto de esto directamente en las probabilidades en la regla de adición. Tomemos una muestra de 50 estudiantes que están en una clase de estadística. 20 son de primer año y 30 de segundo. 15 estudiantes obtienen una "B" en el curso, y 5 estudiantes obtienen una "B" y son de primer año. Halle la probabilidad de seleccionar un estudiante que obtenga una "B" o que sea de primer año. Estamos traduciendo la palabra O el símbolo matemático de la regla de adición, que es la unión de los dos conjuntos. Sabemos que hay 50 estudiantes en nuestra muestra, por lo que conocemos el denominador de nuestra fracción para darnos la probabilidad. Solo tenemos que hallar el número de estudiantes que cumplen las características que nos interesan, es decir, cualquier estudiante de primer año y cualquier estudiante que haya obtenido una calificación de "B". Con la regla de adición de la probabilidad, podemos pasar directamente a las probabilidades. Supongamos que "A" = el número de estudiantes de primer año y "B" = la calificación de "B". A continuación, podemos ver el proceso para utilizar los diagramas de Venn para resolver esto. La P ( A ) = 20 50 = 0,40 , P ( B ) = 15 50 = 0,30 y P ( A ∩ B ) = 5 50 = 0,10 . Por lo tanto, P ( A ∩ B ) = 0,40 + 0,30 – 0,10 = 0,60 . Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, como en el ejemplo en el que diagramamos los perros macho y hembra, la regla de adición se simplifica a solo P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – 0 . Esto es cierto porque, como vimos antes, la unión de eventos mutuamente excluyentes es el conjunto nulo, ∅. Los siguientes diagramas lo demuestran. La regla de la multiplicación de la probabilidad Reformulando la regla de multiplicación de la probabilidad utilizando la notación de los diagramas de Venn, tenemos: P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) ⋅ P ( B ) La regla de la multiplicación puede modificarse con un poco de álgebra en la siguiente regla condicional. A continuación, se pueden utilizar diagramas de Venn para demostrar el proceso. La regla condicional: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Utilizando los mismos datos del de arriba, halle la probabilidad de que alguien obtenga una "B" si es un "novato". P ( A | B ) = 0,10 0,30 = 1 3 La regla de multiplicación también debe modificarse si los dos eventos son independientes. Los eventos independientes se definen como una situación en la que la probabilidad condicional es simplemente la probabilidad del evento de interés. Formalmente, la independencia de los eventos se define como P ( A | B ) = P ( A ) o P ( B | A ) = P ( B ) . Al lanzar monedas, el resultado de la segunda tirada es independiente del resultado de la primera; las monedas no tienen memoria. La regla de multiplicación de la probabilidad para eventos independientes pasa a ser: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) Una forma fácil de recordar esto es considerar lo que queremos decir con la palabra "y". Vemos que la regla de multiplicación ha traducido la palabra "y" a la notación Venn para intersección. Por lo tanto, el resultado debe cumplir las dos condiciones de primer año y nota de "B" en el ejemplo anterior. Es más difícil, menos probable, cumplir dos condiciones que una sola o alguna otra. Podemos intentar ver la lógica de la regla de la multiplicación de la probabilidad debido a que las fracciones multiplicadas entre sí se hacen más pequeñas. El desarrollo de las reglas de la probabilidad con el uso de los diagramas de Venn puede mostrarse como una ayuda al querer calcular probabilidades a partir de datos dispuestos en una tabla de contingencia. La es de una muestra de 200 personas a las que se les preguntó por su nivel de estudios. Las columnas representan la educación más alta que completaron y las filas separan a los individuos por hombres y mujeres. Menos de un grado de escuela secundaria Graduado de la escuela secundaria Algunos años de educación universitaria Graduado universitario Total Hombres 5 15 40 60 120 Mujeres 8 12 30 30 80 Total 13 27 70 90 200 Ahora, podemos utilizar esta tabla para responder a preguntas de probabilidad. Los siguientes ejemplos están diseñados para ayudar a entender el formato anterior, al tiempo que conectan los conocimientos con los diagramas de Venn y las reglas de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya terminado la universidad y sea mujer? Se trata de una tarea sencilla que consiste en hallar el valor en el que se cruzan las dos características en la tabla y, a continuación, aplicar el postulado de la probabilidad, que establece que la probabilidad de un evento es la proporción de resultados que coinciden con el evento en el que estamos interesados como proporción de todos los resultados posibles totales. P ( graduado universitario ∩ mujer ) = 30 200 = 0,15 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una mujer o a alguien que haya terminado la universidad? Esta tarea implica el uso de la regla de la suma para resolver esta probabilidad. P ( graduado universitario ∪ Mujer ) = P (F ) + P ( CG )- P ( F ∩ CG ) P ( graduado universitario ∪ mujer ) = 80 200 + 90 200 – 30 200 = 140 200 = 0,70 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un graduado de secundaria si solo seleccionamos del grupo de hombres? Aquí debemos utilizar la regla de la probabilidad condicional (la regla de la multiplicación modificada) para resolver esta probabilidad. P ( Graduación escuela secundaria | Hombre = P ( Graduado de escuela secundaria ∩ Hombres ) P ( Hombres ) = ( 15 200 ) ( 120 200 ) = 15 120 = 0,125 ¿Podemos concluir que el nivel de educación alcanzado por estas 200 personas es independiente del sexo de la persona? Hay dos maneras de abordar esta prueba. El primer método trata de comprobar si la intersección de dos eventos es igual al producto de los eventos por separado recordando que si dos eventos son independientes entonces P ( A )* P ( B ) = P ( A ∩ B ). Para simplificar, podemos utilizar los valores calculados anteriormente. ¿P(Graduado universitario) ∩ Mujer) = P(Graduado universitario) ⋅ P(M)? 30 200 ≠ 90 200 ⋅ 80 200 porque 0,15 ≠ 0,18. Por lo tanto, aquí el sexo y la educación no son independientes. El segundo método consiste en comprobar si la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A . De nuevo, para simplificar, podemos utilizar un valor ya calculado anteriormente. ¿P(Graduado de escuela secundaria | Hombre) = P(Graduado de escuela secundaria)? 15 120 ≠ 27 200 porque 0,125 ≠ 0,135. Por lo tanto, de nuevo el sexo y la educación no son independientes. Repaso del capítulo Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S o universo de los objetos de interés junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan grupos de eventos llamados conjuntos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar la ∪ de eventos, la ∩ de eventos, y el complemento de un evento y para entender las probabilidades condicionales. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar una Intersección de dos eventos, una Unión de dos eventos o un Complemento de un evento. Un sistema de diagramas de Venn también puede ayudar a entender las probabilidades condicionales. Los diagramas de Venn conectan el cerebro y los ojos haciendo coincidir la aritmética literal con una imagen. Es importante señalar que se necesita más de un diagrama de Venn para resolver las fórmulas de reglas de probabilidad introducidas en la Sección 3.3 . Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos. Sexo Autodidacta Estudió en la escuela Instrucción privada Total Mujeres 12 38 22 72 Hombres 19 24 15 58 Total 31 62 37 130 Calcule P (el músico es una mujer). Halle P (el músico es un hombre ∩ tuvo instrucción privada). P (el músico es un hombre ∩ tuvo instrucción privada) = 15 130 = 3 26 = 0,12 Halle P (el músico es una mujer ∪ es autodidacta). ¿Los eventos “ser una mujer música” y “aprender música en la escuela” son eventos mutuamente excluyentes? Los eventos no son mutuamente excluyentes. Es posible ser una mujer música que aprendió música en la escuela. La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba dé un resultado de cáncer cuando el hombre no lo tiene) es de 0,51. Supongamos que: C = un hombre desarrolla un cáncer en su vida; P = el hombre tiene, al menos, un falso positivo. Construya un diagrama de árbol de la situación. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la New England Journal of Medicine , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla con los datos proporcionados. Hábito de fumar por grupo étnico Nivel de hábito de fumar Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos TOTALES 1-10 11-20 21-30 31 o más TOTALES Supongamos que se selecciona al azar una persona del estudio. Calcule la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos al día. 35.065 100.450 Calcule la probabilidad de que la persona sea latina. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano Y que fume de 21 a 30 cigarrillos al día”. Además, encuentra la probabilidad. Elegir a una persona del estudio que sea japonés americano Y que fume entre 21 y 30 cigarrillos al día significa que la persona tiene que cumplir ambos criterios: ser japonés americano y fumar entre 21 y 30 cigarrillos. El espacio muestral debe incluir a todas las personas del estudio. La probabilidad es 4.715 100.450 . En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano ∪ fuma de 21 a 30 cigarrillos al día" Además, encuentra la probabilidad. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano | esa persona fuma de 21 a 30 cigarrillos al día" Además, encuentra la probabilidad. Elegir una persona del estudio que sea japonés americano dado que fuma entre 21 y 30 cigarrillos al día, significa que la persona debe cumplir ambos criterios y el espacio muestral se reduce a los que fuman entre 21 y 30 cigarrillos al día. La probabilidad es 4715 15.273 . Demostrar que el hábito de fumar/día y la etnia son eventos dependientes. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas. Supongamos que toma al azar dos cartas, una a la vez, con reemplazo . Supongamos que G 1 = la primera carta es verde Supongamos que G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Halle P ( G 1 ∩ G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Halle P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. P ( GG ) = ( 5 8 ) ( 5 8 ) = 25 64 P (al menos una verde) = P ( GG ) + P ( GY ) + P ( YG ) = 25 64 + 15 64 + 15 64 = 55 64 P ( G | G ) = 5 8 Sí, son independientes porque la primera carta se vuelve a colocar en la bolsa antes de que se extraiga la segunda; la composición de las cartas en la bolsa sigue siendo la misma desde la primera hasta la segunda extracción. Supongamos que saca al azar dos cartas, una a la vez, sin reemplazo . G 1 = la primera carta es verde G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Halle P ( G 1 ∩ G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Halle P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más. Complete lo siguiente. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Calcule P (el conductor es una mujer). Calcule P (conductor de 65 años o más | la conductora es mujer). Calcule P (conductor de 65 años o más ∩ mujer). En palabras, explique la diferencia entre las probabilidades de la parte c y la parte d. Calcule P (el conductor tiene 65 años o más). ¿Ser mayor de 65 años y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes? ¿Cómo lo sabe? <20 20–64 >64 Totales Mujer 0,0244 0,3954 0,0661 0,486 Hombres 0,0259 0,4186 0,0695 0,514 Totales 0,0503 0,8140 0,1356 1 P ( F ) = 0,486 P (>64 | F ) = 0,1361 P (>64 y F ) = P ( F ) P (>64| F ) = (0,486)(0,1361) = 0,0661 P (>64 | F ) es el porcentaje de conductoras de 65 años o más y P (>64 ∩ F ) es el porcentaje de conductores que son mujeres y tienen 65 años o más. P (> 64 ) = P (>64 ∩ F ) + P (>64 ∩ M ) = 0,1356 No, ser mujer y tener 65 años o más no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo P(>64 ∩ F ) = 0,0661. Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 10.000 conductores con licencia en EE. UU. ¿Cuántos espera que sean hombres? Utilizando la tabla o el diagrama de árbol, construya una tabla de contingencia de sexo versus grupo de edad. Utilizando la tabla de contingencia, calcule la probabilidad de que, del grupo de 20 a 64 años, un conductor seleccionado al azar sea mujer. Aproximadamente el 86,5 % de los estadounidenses se desplazan al trabajo en automóvil, camioneta o van. De ese grupo, el 84,6 % conduce solo y el 15,4 % lo hace en automóvil compartido. Aproximadamente el 3,9 % va a pie al trabajo y el 5,3 % utiliza el transporte público. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Incluya una rama para todos los demás modos de transporte al trabajo. Suponiendo que los que caminan van solos, ¿qué porcentaje de todos los que van al trabajo los hacen solos? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántas personas se desplazan solas al trabajo? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántos espera que conduzcan un automóvil compartido? Automóvil, camión o furgoneta Caminar Transporte público Otros Totales Solo 0,7318 Acompañado 0,1332 Totales 0,8650 0,0390 0,0530 0,0430 1 Si asumimos que todos los caminantes están solos y que ninguno de los otros dos grupos se traslada solo (lo cual es un gran supuesto) tenemos: P (solos) = 0,7318 + 0,0390 = 0,7708. Haciendo las mismas suposiciones que en (b) tenemos: (0,7708)(1.000) = 771 (0,1332)(1.000) = 133 Cuando se introdujo la moneda de euro en 2002, dos profesores de Matemáticas hicieron que sus estudiantes de Estadística comprobaran si la moneda belga de un euro era una moneda imparcial. Hicieron girar la moneda en vez de lanzarla y descubrieron que de 250 giros, 140 mostraron una cara (evento H ) mientras que 110 mostraron una cruz (evento T ). Sobre esta base, afirmaron que no es una moneda imparcial. A partir de los datos dados, halle P ( H ) y P ( T ). Utilice un árbol para hallar las probabilidades de cada resultado posible para el experimento de lanzar la moneda dos veces. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara en dos lanzamientos de la moneda. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener, al menos, una cara. Tarea para la casa Utilice la información de la para responder los próximos ocho ejercicios. La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección. Se presenta a la reelección: Partido Demócrata Partido Republicano Otros Total Noviembre de 2014 20 13 0 Noviembre de 2016 10 24 0 Total ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar tenga una afiliación de “otro”? 0 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador elegido al azar se presente a la reelección en noviembre de 2016? ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea demócrata y se presente a la reelección en noviembre de 2016? 10 67 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea republicano o se presente a la reelección en noviembre de 2014? Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. Dado que el senador seleccionado al azar se presenta a la reelección en noviembre de 2016, ¿cuál es la probabilidad de que este senador sea demócrata? 10 34 Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el senador se presente a la reelección en noviembre de 2014, sabiendo que este senador es republicano? Los eventos “republicano” y “se presenta a la reelección en 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. d Los eventos “otro” y “se presenta a la reelección en noviembre de 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. La da el número de participantes en la reciente Encuesta Nacional de Salud que habían sido tratados por cáncer en los 12 meses anteriores. Los resultados se clasifican por edad, raza (blanca o negra) y sexo. Nos interesan las posibles relaciones entre la edad, la raza y el sexo. Supongamos que los suicidas son nuestra población. Raza y sexo 15-24 25-40 41-65 Más de 65 años TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 9.129 Negro, hombre 142 194 384 824 Negro, mujer 131 290 486 1.061 Todos los demás TOTALES 2.792 5.279 9.354 21.081 No incluya “todos los demás” para las partes f y g. Rellene la columna correspondiente al tratamiento del cáncer para personas mayores de 65 años. Rellene la fila de todas las demás razas. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea una mujer negra. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea negra. Halle la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar sea hombre. De las personas mayores de 65 años, calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco o negro. Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 156 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 278 517 721 156 1.672 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 8.395 21.081 ≈ 0,3982 1.061 21.081 ≈ 0,0503 1.885 21.081 ≈ 0,0894 9.219 21.081 ≈ 0,4373 1.595 3.656 ≈ 0,4363 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón TOTAL DE BATAZOS IMPARABLES Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 TOTAL 8.471 1.577 583 1.720 12.351 Calcule P (Babe Ruth hizo el batazo imparable). 1518 2873 2873 12351 583 12351 4189 12351 Calcule P (Ty Cobb hizo el batazo imparable|el batazo imparable fue un jonrón). 4189 12351 114 1720 1720 4189 114 12351 b La identifica un grupo de niños por uno de los cuatro colores de cabello, y por el tipo de cabello. Tipo de cabello Marrón Rubio Negro Rojo Totales Ondulado 20 15 3 43 Liso 80 15 12 Totales 20 215 Rellene la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño o rubio? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello rojo, dado que tiene el cabello liso? Si B es el evento en el que un niño tenga el cabello castaño, calcule la probabilidad del complemento de B . En palabras, ¿qué representa el complemento de B ? En un año anterior, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilaron en la siguiente tabla. N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 > 290 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Calcule la probabilidad de que el número de su camiseta sea del 1 al 33. Calcule la probabilidad de que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa esté entre el 1 y el 33 Y que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33 O que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33, DADO que pesa como máximo 210 libras. 26 106 33 106 21 106 ( 26 106 ) + ( 33 106 ) - ( 21 106 ) = ( 38 106 ) 21 33 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas ( R ), cuatro amarillas ( Y ) y cinco azules ( B ). Para la moneda, P ( H ) = 2 3 y P ( T ) = 1 3 donde H es cara y T es cruz. Calcule P (lanzando una cara en la moneda Y una cuenta roja) 2 3 5 15 6 36 5 36 Calcule P (cuenta azul). 15 36 10 36 10 12 6 36 a Una caja de galletas contiene tres de chocolate y siete de mantequilla. Miguel elige al azar una galleta y se la come. Luego selecciona al azar otra galleta y se la come (¿cuántas galletas ha tomado?). Dibuje el árbol que representa las posibilidades de las selecciones de galletas. Escriba las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. ¿Las probabilidades del sabor de la SEGUNDA galleta que elige Miguel es independientes de su primera selección? Explique. Para cada trayectoria completa a través del árbol, escriba el evento que representa y calcule las probabilidades. Supongamos que S es el evento en el que las dos galletas seleccionadas sean del mismo sabor. Calcule P ( S ). Supongamos que T es el evento en el que las galletas seleccionadas sean de distinto sabor. Calcule P ( T ) por dos métodos diferentes: utilizando la regla del complemento y utilizando las ramas del árbol. Sus respuestas deberían ser las mismas con ambos métodos. Supongamos que U es el evento en el que la segunda galleta seleccionada sea una galleta de mantequilla. Calcule P ( U ). Diagrama de Venn la representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de círculos u óvalos que muestran sus intersecciones

Matemáticas


Introducción Puede utilizar probabilidad y variables aleatorias discretas para calcular la probabilidad de que un rayo llegue al suelo cinco veces durante una tormenta de media hora (créditos: Leszek Leszczynski). Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %? Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio histórico es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico? Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar, es decir, la variable aleatoria solo puede tomar valores de números enteros. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento, a menudo llamado ensayo. Notación de la variable aleatoria La letra mayúscula X denota una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria, entonces X se escribe con palabras y x se da como un número. Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT ; THH ; HTH ; HHT ; HTT ; THT ; TTH ; HHH . Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores como números enteros que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta. Funciones de densidad de probabilidad (pdf) para una variable aleatoria Una función de densidad de probabilidad o función de distribución de probabilidad tiene dos características: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno. Una función de densidad de probabilidad es una fórmula matemática que calcula las probabilidades de determinados tipos de eventos, lo que hemos llamado experimentos. La función de densidad de probabilidad (probability density function, pdf) es como una receta mágica, en parte porque la misma fórmula suele describir tipos de eventos muy diferentes. Por ejemplo, la pdf binomial calculará las probabilidades de lanzar monedas, de las preguntas de respuesta afirmativa o negativa en un examen, de las opiniones de los votantes en una encuesta de opinión a favor o en contra, en definitiva, de cualquier evento binario. Otras funciones de densidad de probabilidad proporcionarán probabilidades para el tiempo que falta para que una pieza falle, cuándo llegará un cliente a la cabina de peaje de la autopista, el número de llamadas que llegan a una central telefónica, la tasa de crecimiento de una bacteria, etc. Existen familias enteras de funciones de densidad de probabilidad que se utilizan en una gran variedad de aplicaciones, como la medicina, los negocios y las finanzas, la física y la ingeniería, entre otras. Para nuestro propósito aquí nos concentraremos en solo algunas funciones de densidad de probabilidad mientras desarrollamos las herramientas de la estadística inferencial. Fórmulas de recuento y fórmula combinatoria Recordemos que la probabilidad del evento A, P(A), es simplemente el número de formas en que el experimento dará como resultado A, en relación con el número total de resultados posibles del experimento. Como ecuación esto es: P ( A ) = número de formas de obtener A Número total de resultados posibles Cuando observamos el espacio muestral para lanzar 3 monedas, podemos escribir fácilmente el espacio muestral completo y, por lo tanto, podemos contar fácilmente el número de eventos que cumplen nuestro resultado deseado, por ejemplo, x = 1 , donde X es la variable aleatoria definida como el número de caras. A medida que tenemos un mayor número de elementos en el espacio muestral, como una baraja completa de 52 cartas, la posibilidad de escribir el espacio muestral se vuelve imposible. Vemos que las probabilidades no son más que contar los eventos de cada grupo que nos interesa y dividirlos por el número de elementos del universo, o espacio muestral. Esto es bastante fácil si contamos los estudiantes de segundo año de una clase de Estadística, pero en casos más complicados enumerar todos los posibles resultados puede llevarnos toda la vida. Hay, por ejemplo, 36 resultados posibles al lanzar solo dos dados de seis caras en los que la variable aleatoria es la suma del número de puntos de las caras que miran hacia arriba. Si hubiera cuatro dados, el número total de resultados posibles sería de 1.296. Hay más de 2,5 MILLONES de posibles manos de póker de 5 cartas en una baraja estándar de 52 cartas. Evidentemente, llevar la cuenta de todas estas posibilidades y contarlas para llegar a una única probabilidad sería, en el mejor de los casos, tedioso. Una alternativa a la enumeración del espacio muestral completo y al recuento del número de elementos que nos interesan, es saltarse el paso de enumerar el espacio muestral, y simplemente calcular el número de elementos que contiene y hacer la división correspondiente. Si buscamos una probabilidad, realmente no necesitamos ver todos y cada uno de los elementos del espacio muestral, solo necesitamos saber cuántos elementos hay. Las fórmulas de recuento se inventaron precisamente para eso. Nos indican el número de subconjuntos desordenados de un determinado tamaño que se pueden crear a partir de un conjunto de elementos únicos. Por desordenado se entiende que, por ejemplo, al repartir las cartas, no importa si tienes {as, as, as, as, rey} o {rey, as, as, as, as} o {as, rey, as, as, as} y así sucesivamente. Cada uno de estos subconjuntos es el mismo porque cada uno tiene 4 ases y un rey. Fórmula combinatoria n x = n C x = n ! x ! ( n – x ) ! Es la fórmula que indica el número de subconjuntos desordenados únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n elementos únicos. La fórmula se lee "n combinatoria x". A veces se lee como "n elegir x". El signo de exclamación "!" se llama factorial y nos dice que hay que tomar todos los números desde el 1 hasta el número que precede al ! y multiplicarlos juntos, por lo que 4! es 1-2-3-4=24. Por definición 0! = 1. La fórmula se denomina fórmula combinatoria. También se llama coeficiente binomial, por razones que se aclararán en breve. Aunque este concepto matemático se comprendió mucho antes de 1653, se atribuye a Blaise Pascal el mayor mérito por la demostración que publicó en ese año. Además, desarrolló un método generalizado de cálculo de los valores de las combinatorias que conocemos como el Triángulo de Pascal. Pascal fue uno de los genios de una época de extraordinarios avances intelectuales que incluyó la obra de Galileo, René Descartes, Isaac Newton, William Shakespeare y el perfeccionamiento del método científico, la propia razón de ser del tema de este texto. Vamos a encontrar por las malas el número total de combinaciones de los cuatro ases de una baraja de cartas si las tomamos de dos en dos. El espacio muestral sería: S={Picas, Corazón),(Picas, Diamante),(Picas, Tréboles), (Diamante, Tréboles),(Corazón, Diamante),(Corazón, Tréboles)} Hay 6 combinaciones; formalmente, seis subconjuntos desordenados únicos de tamaño 2 que se pueden crear a partir de 4 elementos únicos. Para utilizar la fórmula combinatoria resolveríamos la fórmula de la siguiente manera: 4 2 = 4 ! ( 4 – 2 ) ! 2 ! = 4 · 3 · 2 · 1 2 · 1 · 2 · 1 = 6 Si quisiéramos saber el número de manos únicas de póquer de 5 cartas que se pueden crear a partir de un mazo de 52 cartas, simplemente calcularíamos: 52 5 donde 52 es el número total de elementos únicos de los que estamos sacando y 5 es el grupo de tamaño en el que los estamos poniendo. Con la fórmula combinatoria podemos contar el número de elementos de un espacio muestral sin tener que escribir cada uno de ellos, lo que realmente es el trabajo de toda una vida para solo el número de 5 manos de cartas de una baraja de 52. Ahora podemos aplicar esta herramienta a una función de densidad de probabilidad muy importante, la distribución hipergeométrica. Recuerde que una función de densidad de probabilidad calcula las probabilidades por nosotros. Simplemente ponemos los números adecuados en la fórmula y obtenemos la probabilidad de eventos específicos. Sin embargo, para que estas fórmulas funcionen deben aplicarse solo a los casos para los que fueron diseñadas. Repaso del capítulo Las características de una distribución de probabilidad o función de densidad (PDF) son las siguientes: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive ( inclusive significa incluir el cero y el uno). La suma de las probabilidades es uno. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 0,10 5 0,10 6 0,05 P ( x = 4) = _______ P ( x ≥ 5) = _______ 0,10 + 0,05 = 0,15 ¿Cuánto tiempo en promedio espera que un nuevo empleado permanezca en la compañía? ¿A cuánto asciende la columna “ P ( x )”? 1 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad. x P ( x ) 1 0,15 2 0,35 3 0,40 4 0,10 Defina la variable aleatoria X . ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda más de un lote? P ( x > 1) = _______ 0,35 + 0,40 + 0,10 = 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? P ( x = 1) = _______ En promedio, ¿cuántos lotes debe hacer el panadero? 1(0,15) + 2(0,35) + 3(0,40) + 4(0,10) = 0,15 + 0,70 + 1,20 + 0,40 = 2,45 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. Defina la variable aleatoria X . Construya una tabla de distribución de probabilidades para los datos. x P ( x ) 0 0,03 1 0,04 2 0,08 3 0,85 Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es uno. ¿Cuál es la otra característica? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo. Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de eventos en los que Javier es voluntario cada mes. ¿Qué valores toma x ? Construir una tabla de PDF. x P ( x ) 0 0,05 1 0,05 2 0,10 3 0,20 4 0,25 5 0,35 Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en menos de tres eventos al mes. P ( x < 3) = _______ Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en, al menos, un evento cada mes. P ( x > 0) = _______ 1 – 0,05 = 0,95 Variable aleatoria (RV) una característica de interés en una población que se estudia; la notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,...; la notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x, y , z . Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3,.... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Podemos saber qué valor específico x toma la variable aleatoria X solo después de realizar el experimento. Función de distribución de probabilidad (PDF) una descripción matemática de una variable aleatoria ( RV ) discreta, dada en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Distribución hipergeométrica La función de densidad de probabilidad más sencilla es la hipergeométrica. Es la más básica porque se crea combinando nuestro conocimiento de las probabilidades a partir de los diagramas de Venn, las reglas de adición y multiplicación y la fórmula de recuento combinatorio. Para hallar el número de formas de obtener 2 ases de los cuatro que hay en la baraja, calculamos: 4 2 = 4 ! 2 ! ( 4 – 2 ) ! = 6 Y si no nos importara qué más tenemos en la mano para las otras tres cartas calcularíamos: 48 3 = 48 ! 3 ! 45 ! = 17.296 Uniendo todo esto, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos ases en una mano de póquer de 5 cartas como: 4 2 48 3 52 5 = 0,0399 Esta solución es en realidad la distribución de probabilidad conocida como hipergeométrica. La fórmula generalizada es: h ( x ) = A x N – A n – x N n donde x = el número que nos interesa procedente del grupo con A objetos. h(x) es la probabilidad de x aciertos, en n intentos, cuando los aciertos A (ases en este caso) están en una población que contiene N elementos. La distribución hipergeométrica es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta porque no hay posibilidad de éxito parcial, es decir, no puede haber manos de póquer con 2 1/2 ases. Dicho de otro modo, una variable aleatoria discreta tiene que ser un número entero, o que se pueda contar, solamente. Esta distribución de probabilidad funciona en los casos en que la probabilidad de éxito cambia con cada extracción de cartas. Otra forma de decir esto es que los eventos NO son independientes. Al utilizar una baraja de cartas, estamos haciendo un muestreo SIN reemplazo. Si volvemos a poner cada carta después de haberla sacado, la distribución hipergeométrica sería una pdf inadecuada. Para que el hipergeométrico funcione, la población debe ser divisible en dos y solo dos subconjuntos independientes (ases y no ases en nuestro ejemplo). La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. el experimento debe tener probabilidades cambiantes de éxito con cada experimento (el hecho de que las cartas no sean reemplazadas después de la extracción en nuestro ejemplo hace que esto sea cierto en este caso). Otra forma de decir esto es que se muestrea sin reemplazo y, por lo tanto, cada selección no es independiente. la variable aleatoria debe ser discreta, en lugar de continua. Un plato de caramelos contiene 30 gominolas y 20 pastillas de goma. Se eligen diez caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los 10 sean pastillas de goma? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Dado que la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de elegir gominolas, el grupo de interés (primer grupo A en la fórmula) son las gominolas. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 30. El tamaño del segundo grupo es de 20. El tamaño de la muestra es de 10 (gominolas o pastillas de goma). Supongamos que X = el número de pastillas de goma en la muestra de 10. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 10. a. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente? b. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad hipergeométrica escrita para resolver este problema? c. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de extraer del plato 5 pastillas de goma en 10 intentos?" a. P ( x = 5 ) b. P ( x = 5 ) = ( 5 30 ) ( 5 20 ) ( 10 50 ) c. P ( x = 5 ) = 0,215 Ejercicio Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra? El grupo de interés son las fichas de letras vocales. El tamaño del grupo de interés es de 44. El tamaño de la muestra es de siete. Repaso del capítulo La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n objetos únicos para ayudarnos a calcular las probabilidades. La fórmula combinatoria es n x = n C x = n ! x ! ( n – x ) ! Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. h ( x ) = A x N – A n – x N n . Revisión de la fórmula h ( x ) = A x N – A n – x N n Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de especialidades en Negocios en la muestra. ¿Qué valores toma X ? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 TAREA PARA LA CASA Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? Calcule la desviación típica. X = el número de páginas que anuncian calzado 0, 1, 2, 3, ..., 20 3,03 1,5197 Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes? Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes. Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes. Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo? X = el número de Patriots elegidos 0, 1, 2, 3, 4 Sin reemplazo Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón? ¿Cuál es el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el otro grupo? Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X ? La pregunta de probabilidad es P (_______). Calcule la probabilidad en cuestión. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Experimento hipergeométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Probabilidad hipergeométrica una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por: Un número fijo de ensayos. La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro. Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos.

Matemáticas


Distribución binomial Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las grabaciones musicales en CD. Fórmula binomial b ( x ) = n x p x q n – x donde b(x) es la probabilidad de X aciertos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER ENSAYO es p. Y, por supuesto, q=(1-p) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo. Ahora podemos ver por qué la fórmula combinatoria se llama también coeficiente binomial, ya que vuelve a aparecer aquí en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Lanzar una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento no depende de lo que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. (En este momento hay que señalar que utilizar p para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de la población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto se utiliza θ (pronunciado theta) en lugar de p y así es como debe ser. Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación típica que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial vienen dadas por las fórmulas: μ = np σ = n p q Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. La distribución binomial se considera, pues, de la familia de las distribuciones de probabilidad de un parámetro. En resumen, sabemos todo lo que hay que saber sobre la binomial una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo. En la teoría de la probabilidad, en determinadas circunstancias, una distribución de probabilidad puede utilizarse para aproximar otra. Decimos que una es la distribución límite de la otra. Si hay que extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, podemos utilizar la binomial, aunque no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo se viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos utilizar la binomial para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si extraemos menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula de la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al extraer un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de un sorteo a otro de forma significativa. Imagine que saca una carta no de una baraja de 52 cartas, sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de sacar un as, por ejemplo, no cambia la probabilidad condicional de lo que ocurre en una segunda extracción de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 que hay ahora para sacar. Esta capacidad de utilizar una distribución de probabilidad para estimar otras será muy valiosa para nosotros más adelante. Hay tres características de un experimento binomial Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos. La variable aleatoria, x , número de aciertos, es discreta. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, y q la probabilidad de fracaso en un ensayo cualquiera. p + q = 1. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Piense en esto como una extracción CON reemplazo. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto ( p = 0,6) y su probabilidad de fallo ( q = 0,4) siguen siendo las mismas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial . La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media, μ , y la varianza, σ 2 , de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ 2 = npq . La desviación típica, σ , es entonces σ = n p q . Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli. Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P ( x = 15). Ejercicio Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Calcule la P(X=12) utilizando la pdf binomial. P ( x = 12) Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. P ( x > 10) Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar. a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo. a. fracaso b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X ? b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo c. ¿Qué valores toma x ? c. 0, 1, 2, …, 50 d. ¿Qué es un “fallo” en palabras? d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo. La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50 e. Si p + q = 1, ¿qué es q ? e. q = 0,30 f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P ( x ____ 40)? f. mayor o igual que (≥) La pregunta de probabilidad es P ( x ≥ 40). Ejercicio El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial. Se trata de un problema binomial porque solo hay un éxito o un fracaso, y hay un número determinado de ensayos. La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Ejercicio Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que DeAndre anote con 60 de estos tiros. Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros. X ~ B (80, 0,613) Media = np = 80(0,613) = 49,04 Desviación típica = n p q = 80 ( 0,613 ) ( 0,387 ) ≈ 4,3564 P ( x = 60)= 0,0036 P ( x > 50) = 1 - P ( x ≤ 50) = 1 - 0,6282 = 0,3718 Referencias “Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015). “Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013). “NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013). Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011 . Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np , y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = n p q . La fórmula de la función de densidad de probabilidad binomial es P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) Revisión de la fórmula X ~ B ( n , p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p . X = el número de aciertos en n ensayos independientes n = el número de ensayos independientes X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media de X es μ = np . La desviación típica de X es σ = n p q . P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) donde P(X) es la probabilidad de X éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER OTRO ENSAYO es p. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = número de respuestas afirmativas X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). x P ( x ) En promedio ( μ ), ¿cuántos esperaría que respondieran afirmativamente? 5,7 ¿Cuál es la desviación típica ( σ )? ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? 0,4151 ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? TAREA PARA LA CASA Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, ... 25 Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 0,0165 En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es . En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. X = el número de DVD que alquila un cliente de Video to Go 0,12 0,11 0,77 Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades? Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes. Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos. El número esperado de victorias para ese mes es: 1,67 12 382 1043 4,43 d. 4,43 Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes? 0,1476 0,2336 0,7664 0,8903 ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes? 0,3694 0,5266 0,4734 0,2305 c Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas. Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas. X = número de preguntas contestadas correctamente X ~ B ( 32, 1 3 ) Nos interesa que MÁS DEL 75 % de las 32 preguntas sean correctas. El 75 % de 32 es 24. Queremos hallar P ( x > 24). El evento “más de 24” es el complemento de “menos de o igual a 24”. P ( x > 24) = 0 La probabilidad de acertar más del 75 % de las 32 preguntas cuando se estima al azar es muy pequeña y prácticamente cero. Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno? Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno. ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente. Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos? Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos. ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa. X = el número de institutos universitarios y universidades que ofrecen cursos en línea. 0, 1, 2, …, 13 X ~ B (13, 0,96) 12,48 0,0135 P ( x = 12) = 0,3186 P ( x = 13) = 0,5882. Más probabilidades de obtener 13. Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación? Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente. En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal? Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente. X = el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal 0, 1, 2, 3,... 25 X ~ B (25, 0,40) 10 0,0442 La probabilidad de que los 25 no utilicen el florete es casi cero. Por lo tanto, sería muy sorprendente. Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años? Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto. Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces. X = el número de auditorías en un periodo de 20 años 0, 1, 2, …, 20 X ~ B (20, 0,02) 0,4 0,6676 0,0071 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos? ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué? ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos? Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Enumere los valores que puede adoptar Y . Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades. Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador. Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador. Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa. X = el número de coincidencias 0, 1, 2, 3 En dólares: −1, 1, 2, 3 1 2 La respuesta es −0,0787. Usted pierde unos ocho céntimos, en promedio, por juego. La casa tiene la ventaja. Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas. Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir? X ~ B (15, 0,281) Media = μ = np = 15(0,281) = 4,215 Desviación típica = σ = n p q = 15 ( 0,281 ) ( 0,719 ) = 1,7409 P ( x > 5)=1 - 0,7754 = 0,2246 P ( x = 3) = 0,1927 P ( x = 4) = 0,2259 Es más probable que cuatro personas sepan leer y escribir que tres. Experimento binomial un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Ensayos de Bernoulli un experimento con las siguientes características: Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo). Distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n − x .

Matemáticas