Gráficos de las funciones seno y coseno La luz puede separarse en colores debido a sus propiedades ondulatorias (créditos: "wonderferret"/ Flickr) La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris. Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas , hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno. Graficar funciones seno y coseno Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno . Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario. x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π sen ( x ) 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la . La función seno Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y π , que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre π y 2 π , que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la . Trazar los valores de la función seno Ahora echemos un vistazo a la función coseno . Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario. x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π cos ( x ) 1 3 2 2 2 1 2 0 − 1 2 − 2 2 − 3 2 - 1 Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la . La función coseno Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo [ - 1 , 1 ] . En ambos gráficos, la forma se repite después de 2 π , lo que significa que las funciones son periódicas con un período de 2 π . La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal , P , da como resultado una función igual a la función original f ( x + P ) = f ( x ) para todos los valores de x en el dominio de f . Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo P > 0 , que es el periodo de la función. La muestra varios periodos de las funciones seno y coseno. Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la , la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque sen ( - x ) = - sen x . Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico. Simetría impar de la función seno La muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y . De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que cos ( - x ) = cos x . Simetría par de la función coseno Una etiqueta de nota general Características de las funciones seno y coseno Las funciones seno y coseno tienen varias características distintas: Son funciones periódicas con un período de 2 π . El dominio de cada función es ( - ∞ , ∞ ) y el rango es [ - 1 , 1 ] . El gráfico de y = sen x es simétrico respecto al origen, porque es una función impar. El gráfico de y = cos x es simétrico respecto del eje de y , porque es una función par. Investigar funciones sinusoidales Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal . Las formas generales de las funciones sinusoidales son: y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D Determinar el periodo de las funciones sinusoidales Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo. En la fórmula general, B se relaciona con el periodo por P = 2 π | B | . Si | B | > 1 , entonces el periodo es menor que 2 π y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si | B | < 1 , entonces el periodo es mayor que 2 π y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, f ( x ) = sen ( x ), B = 1, por lo que el periodo es 2 π , que ya conocíamos. Si los valores de f ( x ) = sen ( 2 x ) , entonces B = 2, por lo que el periodo es π y el gráfico se comprime. Si los valores de f ( x ) = sen ( x 2 ) , entonces B = 1 2 , por lo que el periodo es 4 π y el gráfico se estira. Observe en la cómo el periodo se relaciona indirectamente con | B | . Una etiqueta de nota general Periodo de las funciones sinusoidales Supongamos que C = 0 y D = 0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas y = A sen ( B x ) y = A cos ( B x ) El periodo es 2 π | B | . Identificar el periodo de una función seno o coseno Determine el periodo de la función f ( x ) = sen ( π 6 x ) . Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x ) . En la ecuación dada, B = π 6 , por lo que el periodo será P = 2 π | B | = 2 π π 6 = 2 π ⋅ 6 π = 12 Elemento Ejercicio Determine el periodo de la función g ( x ) = cos ( x 3 ) . 6 π Determinar la amplitud Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable B se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable A por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud , o mayor distancia desde el reposo. A representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto | A | es la amplitud. El máximo local será una distancia | A | por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea y = D ; porque D = 0 en este caso, la línea media, es el eje x . Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de | A | > 1 , la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de f ( x ) = 4 sen x es el doble de la amplitud de f ( x ) = 2 sen x . Si | A | < 1 , la función se comprime. La compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes. Una etiqueta de nota general Amplitud de las funciones sinusoidales Supongamos que C = 0 y D = 0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas y = A sen ( B x ) y y = A cos ( B x ) La amplitud es | A | , que es la altura vertical desde la línea media . Además, observe en el ejemplo que | A | = amplitud = 1 2 | máximo − mínimo | Identificar la amplitud de la función seno o coseno ¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f ( x ) = -4 sen ( x ) ? ¿La función se estira o se comprime verticalmente? Comencemos por comparar la función con la forma simplificada y = A sen ( B x ) . En la función dada, A = -4 , por lo que la amplitud es | A | = | -4 | = 4. La función se estira. Análisis El valor negativo de A resulta en una reflexión a través del eje x de la función seno , como se muestra en la . Elemento Ejercicio ¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f ( x ) = 1 2 sen ( x ) ? ¿La función se estira o se comprime verticalmente? 1 2 comprimida Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x Ahora, que entendemos cómo A y B se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables C y D . Recordemos la forma general: y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D i y = A sen ( B ( x − C B ) ) + D y y = A cos ( B ( x − C B ) ) + D El valor C B para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase , o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno . Si los valores de C > 0 , el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de C < 0 , el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de | C | , más se desplazará el gráfico. La muestra que el gráfico de f ( x ) = sen ( x - π ) se desplaza hacia la derecha en π unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de f ( x ) = sen ( x - π 4 ) , que se desplaza hacia la derecha en π 4 unidades. Mientras que C se refiere al desplazamiento horizontal, D indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la . La función y = cos ( x ) + D tiene su línea media en y = D . Cualquier valor de D distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La compara f ( x ) = sen ( x ) con la f ( x ) = sen ( x ) + 2 , que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico. Una etiqueta de nota general Variaciones de las funciones seno y coseno Dada una ecuación de la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D o f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D , C B es el desplazamiento de fase y D es el desplazamiento vertical . Identificar el desplazamiento de fase de una función Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f ( x ) = sen ( x + π 6 ) − 2. Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x − C ) + D . En la ecuación dada, observe que B = 1 y C = - π 6 . Así que el desplazamiento de fase es C B = - π 6 1 = - π 6 o π 6 unidades a la izquierda. Análisis Debemos prestar atención al signo de la ecuación para la forma general de una función sinusoidal. La ecuación muestra un signo menos antes de C . Por lo tanto f ( x ) = sen ( x + π 6 ) - 2 puede reescribirse como f ( x ) = sen ( x - ( - π 6 ) ) − 2. Si el valor de C es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda. Elemento Ejercicio Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f ( x ) = 3 cos ( x - π 2 ) . π 2 ; derecha Identificar el desplazamiento vertical de una función Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f ( x ) = cos ( x ) − 3, Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A cos ( B x − C ) + D . En la ecuación dada, D = −3 por lo que el desplazamiento es de 3 unidades hacia abajo. Elemento Ejercicio Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f ( x ) = 3 sen ( x ) + 2. 2 unidades hacia arriba Elemento Cómo Dada una función sinusoidal de la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D , identificar la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. Determine la amplitud como | A | . Determine el periodo como P = 2 π | B | . Determine el desplazamiento de fase como C B . Determine la línea media como y = D . Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y = 3 sen ( 2 x ) + 1. Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x − C ) + D . A = 3 , por lo que la amplitud es | A | = 3. Luego, B = 2 , por lo que el periodo es P = 2 π | B | = 2 π 2 = π . No se ha sumado ninguna constante dentro de los paréntesis, por lo que C = 0 y el desplazamiento de fase es C B = 0 2 = 0 . Finalmente, D = 1 , por lo que la línea media es y = 1. Análisis Al inspeccionar el gráfico, podemos determinar que el periodo es π , la línea media es y = 1 , y la amplitud es de 3. Vea la . Elemento Ejercicio Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y = 1 2 cos ( x 3 − π 3 ) . línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 1 2 ; periodo: P = 2 π | B | = 6 π ; desplazamiento de fase: C B = π Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico Determine la fórmula de la función coseno en la . Para determinar la ecuación, tenemos que identificar cada valor en la forma general de una función sinusoidal. y = A sen ( B x − C ) + D y = A cos ( B x − C ) + D El gráfico podría representar una función seno o coseno desplazada o reflejada. Cuando x = 0 , el gráfico tiene un punto extremo, ( 0 , 0 ) . Dado que la función coseno tiene un punto extremo para x = 0 , escribamos nuestra ecuación en términos de función coseno. Empecemos por la línea media. Vemos que el gráfico sube y baja una distancia igual por encima y por debajo de y = 0,5. Este valor, que es la línea media, es D en la ecuación, por lo que D = 0,5. La mayor distancia por encima y por debajo de la línea media es la amplitud. Los máximos están 0,5 unidades por encima de la línea media y los mínimos están 0,5 unidades por debajo. Así que | A | = 0,5. Otra forma en la que podríamos haber determinado la amplitud es al reconocer que la diferencia entre la altura de los máximos y mínimos locales es 1, por lo que | A | = 1 2 = 0,5. Además, el gráfico se refleja alrededor del eje x , de manera que A = − 0,5. El gráfico no se estira ni se comprime horizontalmente, por lo que B = 1; y el gráfico no se desplaza horizontalmente, por lo que C = 0 . Si lo agrupamos todo, g ( x ) = − 0,5 cos ( x ) + 0,5 Elemento Ejercicio Determine la fórmula de la función seno en la . f ( x ) = sen ( x ) + 2 Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico Determine la ecuación de la función sinusoidal en la . Con el valor más alto en 1 y el más bajo en −5 , la línea media estará a medio camino entre en -2. Así que D = –2. La distancia desde la línea media hasta el valor más alto o más bajo da una amplitud de | A | = 3. El periodo del gráfico es 6, que puede medirse desde el pico en x = 1 hasta el siguiente pico en x = 7 , o de la distancia entre los puntos más bajos. Por lo tanto, P = 2 π | B | = 6. Si utilizamos el valor positivo para B , hallamos que B = 2 π P = 2 π 6 = π 3 Hasta ahora, nuestra ecuación es y = 3 sen ( π 3 x − C ) - 2 o y = 3 cos ( π 3 x − C ) − 2. Para la forma y el desplazamiento, tenemos más de una opción. Podríamos escribirlo como cualquiera de los siguientes: un coseno desplazado a la derecha un coseno negativo desplazado a la izquierda un seno desplazado a la izquierda un seno negativo desplazado a la derecha Aunque cualquiera de ellos sería correcto, los desplazamientos del coseno son más fáciles de trabajar que los del seno en este caso porque implican valores enteros. Así que nuestra función se convierte en y = 3 cos ( π 3 x - π 3 ) - 2 o y = - 3 cos ( π 3 x + 2 π 3 ) - 2 De nuevo, estas funciones son equivalentes, por lo que ambas dan lugar al mismo gráfico. Elemento Ejercicio Escriba una fórmula para la función graficada en la . dos posibilidades: y = 4 sen ( π 5 x - π 5 ) + 4 o y = – 4 sen ( π 5 x + 4 π 5 ) + 4 Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones. En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D , supondremos que C = 0 y D = 0 y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos. Elemento Cómo Dada la función y = A sen ( B x ) , dibujar su gráfico. Identifique la amplitud, | A | . Identifique el periodo, P = 2 π | B | . Empiece en el origen, donde la función aumenta hacia la derecha si A es positivo o decreciente si A es negativo. A x = π 2 | B | hay un máximo local para A > 0 o un mínimo para A < 0 , con la y = A . La curva vuelve al eje x en x = π | B | . Hay un mínimo local para A > 0 (máximo para A < 0 ) en x = 3 π 2 | B | con la y = – A . La curva regresa al eje x en x = 2 π | B | . Graficar una función e identificar la amplitud y el periodo Dibuje un gráfico de f ( x ) = - 2 sen ( π x 2 ) . Comencemos por comparar la ecuación con la forma y = A sen ( B x ) . Paso 1. Podemos ver en la ecuación que A = - 2 , por lo que la amplitud es de 2. | A | = 2 Paso 2. La ecuación muestra que B = π 2 , por lo que el periodo es P = 2 π π 2 = 2 π ⋅ 2 π = 4 Paso 3. Dado a que A es negativo, el gráfico desciende a medida que nos desplazamos a la derecha del origen. Pasos 4 a 7. Las intersecciones en x están al principio de un periodo, x = 0 , los puntos medios horizontales están en x = 2 y al final de un periodo en x = 4. Los puntos del trimestre incluyen el mínimo en x = 1 y el máximo en x = 3. Se producirá un mínimo local en 2 unidades por debajo de la línea media, en x = 1 , y se producirá un máximo local en 2 unidades por encima de la línea media, a x = 3. La muestra el gráfico de la función. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de g ( x ) = − 0,8 cos ( 2 x ) . Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 0,8 ; periodo: P = 2 π | B | = π ; desplazamiento de fase: C B = 0 o ninguna de las anteriores Elemento Cómo Dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibujar su gráfico. Exprese la función en la forma general y = A sen ( B x − C ) + D o y = A cos ( B x − C ) + D . Identifique la amplitud, | A | . Identifique el periodo, P = 2 π | B | . Identifique el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de f ( x ) = A sen ( B x ) desplazado a la derecha o a la izquierda en C B y hacia arriba o hacia abajo en D . Graficar una sinusoide transformada Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 sen ( π 4 x - π 4 ) . Paso 1. La función ya está escrita de forma general: f ( x ) = 3 sen ( π 4 x - π 4 ) . Este gráfico tendrá la forma de una función seno , comenzando en la línea media y aumentando hacia la derecha. Paso 2. | A | = | 3 | = 3. La amplitud es de 3. Paso 3. Dado que | B | = | π 4 | = π 4 , determinamos el período de la siguiente manera. P = 2 π | B | = 2 π π 4 = 2 π ⋅ 4 π = 8 El período es de 8. Paso 4. Dado que C = π 4 , el desplazamiento de fase es C B = π 4 π 4 = 1. El desplazamiento de fase es de 1 unidad. Paso 5. La muestra el gráfico de la función. Una sinusoide comprimida horizontalmente, estirada verticalmente y desplazada horizontalmente. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de g ( x ) = - 2 cos ( π 3 x + π 6 ) . Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 2 ; periodo: P = 2 π | B | = 6 ; desplazamiento de fase: C B = - 1 2 Identificar las propiedades de una función sinusoidal Dados y = - 2 cos ( π 2 x + π ) + 3 , determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. A continuación, grafique la función. Empiece por comparar la ecuación con la forma general y siga los pasos indicados en el . y = A cos ( B x − C ) + D Paso 1. La función ya está escrita de forma general. Paso 2. Dado que A = - 2 , la amplitud es | A | = 2. Paso 3. | B | = π 2 , por lo que el periodo es P = 2 π | B | = 2 π π 2 = 2 π ⋅ 2 π = 4. El período es de 4. Paso 4. C = - π , por lo que calculamos el desplazamiento de fase como C B = - π , π 2 = - π ⋅ 2 π = − 2. El desplazamiento de fase es − 2. Paso 5. D = 3 , por lo que la línea media es y = 3 , y el desplazamiento vertical es en 3 unidades hacia arriba. Dado que A es negativo, el gráfico de la función coseno se ha reflejado alrededor del eje x . La muestra un ciclo del gráfico de la función. Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno . Hallar la componente vertical del movimiento circular Un punto gira alrededor de un círculo de radio 3 centrado en el origen. Dibuje un gráfico de la coordenada de la y del punto como función del ángulo de rotación. Recordemos que, para un punto en un círculo de radio r , la coordenada de la y del punto es y = r sen ( x ) , por lo que en este caso, obtenemos la ecuación y ( x ) = 3 sen ( x ) . La constante 3 provoca un estiramiento vertical de los valores de y de la función por un factor de 3, que podemos ver en el gráfico en la . Análisis Obsérvese que el periodo de la función sigue siendo 2 π ; al recorrer el círculo, volvemos al punto ( 3 , 0 ) para x = 2 π , 4 π , 6 π , ... Porque las salidas del gráfico oscilarán ahora entre – 3 y 3 , la amplitud de la onda sinusoidal es 3. Elemento Ejercicio ¿Cuál es la amplitud de la función f ( x ) = 7 cos ( x ) ? Dibuje un gráfico de esta función. 7 Hallar la componente vertical del movimiento circular Un círculo con un radio de 3 pies se monta con su centro a 4 pies del suelo. El punto más cercano al suelo está marcado como P , como se muestra en la . Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto P al girar el círculo; a continuación, halle una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación. Al dibujar la altura, observamos que comenzará a 1 pie sobre el suelo, luego aumentará hasta 7 pies sobre el suelo y continuará oscilando 3 pies por encima y por debajo del valor central de 4 pies, como se muestra en la . Aunque podríamos utilizar una transformación de la función seno o coseno, empezamos por buscar las características que harían que una función fuera más fácil de utilizar que la otra. Utilizaremos una función coseno porque comienza en el valor más alto o más bajo, mientras que la función seno comienza en el valor medio. Un coseno estándar comienza en el valor más alto, y este gráfico comienza en el valor más bajo, por lo que necesitamos incorporar una reflexión vertical. En segundo lugar, vemos que el gráfico oscila 3 por encima y por debajo del centro, mientras que un coseno básico tiene una amplitud de 1, por lo que este gráfico se ha estirado verticalmente en 3, como en el último ejemplo. Finalmente, para desplazar el centro del círculo hasta una altura de 4, el gráfico se ha desplazado verticalmente hacia arriba en 4 unidades. Si agrupamos estas transformaciones, hallamos que y = - 3 cos ( x ) + 4 Elemento Ejercicio Se fija un peso a un resorte, que luego se cuelga de una tabla, como se muestra en la . Al oscilar el resorte hacia arriba y hacia abajo, la posición y del peso en relación con el tablero oscila entre -1 pulgadas (en el tiempo x = 0 ) con –7 pulgadas (en el tiempo x = π ) debajo del tablero. Supongamos que la posición de y se da como una función sinusoidal de x . Dibuje un gráfico de la función y luego halle una función coseno que dé la posición y en términos de x . y = 3 cos ( x ) - 4 Determinar la altura de un pasajero en una rueda de la fortuna El London Eye es una enorme rueda de la fortuna de 135 metros de diámetro (443 pies). Efectúa una rotación cada 30 minutos. Los pasajeros suben desde una plataforma a 2 metros del suelo. Exprese la altura de un pasajero sobre el suelo como función del tiempo en minutos. Con un diámetro de 135 m, la rueda de la fortuna tiene un radio de 67,5 m. La altura oscilará con una amplitud de 67,5 m por encima y por debajo del centro. Los pasajeros suben a 2 m sobre el nivel del suelo, por lo que el centro de la rueda de la fortuna deberá situarse a 67,5 + 2 = 69,5 m sobre el nivel del suelo. La línea media de la oscilación estará a 69,5 m. La rueda de fortuna tarda 30 minutos en completar una revolución, por lo que la altura oscilará con un período de 30 minutos. Por último, dado que el pasajero sube al punto más bajo, la altura comenzará en el valor más pequeño y aumentará, siguiendo la forma de una curva coseno, reflejada verticalmente. Amplitud: 67,5; por lo que A = 67,5 Línea media 69,5; por lo que D = 69,5 Periodo: 30, por lo que B = 2 π 30 = π 15 Forma: -cos ( t ) Una ecuación para la altura del pasajero sería y = − 67,5 cos ( π 15 t ) + 69,5 donde t está en minutos, mientras que y se mide en metros. Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones seno y coseno. Amplitud y período del seno y del coseno Traslación del seno y del coseno Graficar transformaciones seno y coseno Graficar la función seno Ecuaciones clave Funciones sinusoidales f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D Conceptos clave Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de 2 π . La función sen x es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función cos x es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y . El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno. En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es P = 2 π | B | . Vea el . En la fórmula general de una función sinusoidal, | A | representa la amplitud. Si los valores de | A | > 1 , la función se estira, mientras que si | A | < 1 , la función se comprime. Vea el . El valor C B en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el . El valor D en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el . Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el . La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el y el . Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el y el . Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el . Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones periódicas? Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que f ( x + P ) = f ( x ) para un determinado P . Esto significa que los valores de la función se repiten para cada P unidades en el eje x . ¿Cómo se compara el gráfico de y = sen x con el gráfico de y = cos x ? Explique cómo podría trasladar horizontalmente el gráfico de y = sen x para obtener y = cos x . Para la ecuación A cos ( B x + C ) + D , ¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo lo afectan? El valor absoluto de la constante A (amplitud) aumenta el alcance total y la constante D (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente. ¿Cómo se relaciona el rango de una función seno trasladada con la ecuación y = A sen ( B x + C ) + D ? ¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir el gráfico de f ( t ) = sen t ? En el punto en el que el lado terminal de t interseca el círculo unitario, se puede determinar que el sen t es igual a la coordenada de la y del punto. Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x > 0 . Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario. f ( x ) = 2 sen x f ( x ) = 2 3 cos x amplitud: 2 3 ; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 2 3 se produce en x = 0 ; mínimo: y = - 2 3 se produce en x = π ; para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en 2 π f ( x ) = - 3 sen x f ( x ) = 4 sen x amplitud: 4; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; máximo y = 4 se produce en x = π 2 ; mínimo: y = – 4 se produce en x = 3 π 2 ; un periodo completo ocurre desde x = 0 hasta x = 2 π f ( x ) = 2 cos x f ( x ) = cos ( 2 x ) amplitud: 1; periodo: π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 1 se produce en x = π ; mínimo: y = - 1 se produce en x = π 2 ; un periodo completo se grafica desde x = 0 hasta x = π f ( x ) = 2 sen ( 1 2 x ) f ( x ) = 4 cos ( π x ) amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y = 0 ; máximo: y = 4 se produce en x = 0 ; mínimo: y = – 4 se produce en x = 1 f ( x ) = 3 cos ( 6 5 x ) y = 3 sen ( 8 ( x + 4 ) ) + 5 amplitud: 3; periodo: π 4 ; línea media: y = 5 ; máximo: y = 8 se produce en x = 0,12 ; mínimo: y = 2 se produce en x = 0,516 ; desplazamiento horizontal: − 4 ; traslación vertical 5; se produce un periodo de x = 0 hasta x = π 4 y = 2 sen ( 3 x − 21 ) + 4 y = 5 sen ( 5 x + 20 ) - 2 amplitud: 5; periodo: 2 π 5 ; línea media: y = −2 ; máximo: y = 3 se produce en x = 0,08 ; mínimo: y = −7 se produce en x = 0,71; desplazamiento de fase: -4 ; traslación vertical: −2; un periodo completo puede graficarse en x = 0 hasta x = 2 π 5 En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por x = 0 . Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x > 0 . Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario. f ( t ) = 2 sen ( t − 5 π 6 ) f ( t ) = - cos ( t + π 3 ) + 1 amplitud: 1; periodo: 2 π ; línea media: y = 1 ; máximo: y = 2 se produce en x = 2,09 ; máximo: y = 2 se produce en t = 2,09 ; mínimo: y = 0 se produce en t = 5,24 ; desplazamiento de fase: − π 3 ; traslación vertical: 1; un periodo completo es de t = 0 a t = 2 π f ( t ) = 4 cos ( 2 ( t + π 4 ) ) - 3 f ( t ) = - sen ( 1 2 t + 5 π 3 ) amplitud: 1; periodo: 4 π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 1 se produce en t = 11,52 ; mínimo: y = - 1 se produce en t = 5,24 ; desplazamiento de fase: − 10 π 3 ; desplazamiento vertical: 0 f ( x ) = 4 sen ( π 2 ( x - 3 ) ) + 7 Determine la amplitud, la línea media, el periodo y una ecuación que implique la función seno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; línea media: y = - 3 ; periodo: 4; ecuación: f ( x ) = 2 sen ( π 2 x ) - 3 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; periodo: 5; línea media: y = 3 ; ecuación: f ( x ) = - 2 cos ( 2 π 5 x ) + 3 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en . amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y = 0 ; ecuación: f ( x ) = – 4 cos ( π ( x - π 2 ) ) Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y = 1 ; ecuación: f ( x ) = 2 cos ( π x ) + 1 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = sen x . En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 0 . 0 , π En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 1 2 . Evalúe f ( π 2 ) . sen ( π 2 ) = 1 En [ 0 , 2 π ) , f ( x ) = 2 2 . Calcule todos los valores de x . En [ 0 , 2 π ), ¿el valor o los valores máximos de la función se producen en qué valor o valores de x ? π 2 En [ 0 , 2 π ), ¿en qué valores de x se producen los valores mínimos de la función? Demuestre que f ( - x ) = - f ( x ) . Esto significa que f ( x ) = sen x es una función impar y posee simetría con respecto a ________________. f ( x ) = sen x es simétrico. En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = cos x . En [ 0 , 2 π ), resuelva la ecuación f ( x ) = cos x = 0 . En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 1 2 . π 3 , 5 π 3 En [ 0 , 2 π ), halle las intersecciones en x de f ( x ) = cos x . En [ 0 , 2 π ), halle los valores de x en los que la función tiene un valor máximo o mínimo. Máximo: 1 en x = 0 ; mínimo: -1 a las x = π En [ 0 , 2 π ), resuelva la ecuación f ( x ) = 3 2 . En tecnología Grafique h ( x ) = x + sen x en [ 0 , 2 π ] . Explique por qué el gráfico aparece como lo hace. Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada h ( x ) = x + sen x también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de y = x + 1 y y = x 1 porque el seno oscila entre -1 y 1. Grafique h ( x ) = x + sen x en [ − 100 , 100 ] . ¿El gráfico apareció como se predijo en el ejercicio anterior? Grafique f ( x ) = x sen x en [ 0 , 2 π ] y explique cómo varía el gráfico de f ( x ) = sen x . No hay amplitud porque la función no está acotada. Grafique f ( x ) = x sen x en la ventana [ −10 , 10 ] y explique lo que muestra el gráfico. Grafique f ( x ) = sen x x en la ventana [ −5 π , 5 π ] y explique lo que muestra el gráfico. El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que | x | aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en y = 0 . Aplicaciones en el mundo real Una rueda de la fortuna tiene 25 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. La función h ( t ) da la altura de una persona en metros sobre el suelo t minutos después de que la rueda de la fortuna comience a girar. Ⓐ Halle la amplitud, la línea media y el periodo de h ( t ) . Ⓑ Halle una fórmula para la función de altura h ( t ) . Ⓒ ¿A qué altura se encuentra una persona después de 5 minutos? amplitud la altura vertical de una función; la constante A que aparece en la definición de una función sinusoidal línea media la línea horizontal y = D , donde D aparece en la forma general de una función sinusoidal función periódica una función f ( x ) que satisface f ( x + P ) = f ( x ) para una constante específica P y cualquier valor de x desplazamiento de fase el desplazamiento horizontal de la función básica seno o coseno; la constante C B función sinusoidal cualquier función que se exprese en la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D o f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D

Matemáticas


Gráficos de las otras funciones trigonométricas Sabemos que la función tangente puede utilizarse para calcular distancias, como la altura de un edificio, de una montaña o de un asta de bandera. Sin embargo, ¿qué pasa si queremos medir repeticiones de la distancia? Imagine, por ejemplo, un camión de bomberos estacionado junto a un almacén. La luz giratoria del camión recorría la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente puede utilizarse para calcular aproximadamente esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz de luz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, se extiende eternamente. El gráfico de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas. Analizar el gráfico de y = tan x Comenzaremos con el gráfico de la función tangente , al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que tan x = sen x cos x El periodo de la función tangente es π porque el gráfico se repite en intervalos de k π donde k es una constante. Si graficamos la función tangente en − π 2 con π 2 , podemos ver el comportamiento del gráfico en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten. Podemos determinar si la tangente es una función par o impar mediante la definición de tangente. tan ( - x ) = sen ( - x ) cos ( - x ) Definición de tangente . = - sen x cos x El seno es una función impar, el coseno es par . = - sen x cos x El cociente de una función par e impar es impar . = - tan x Definición de tangente . Por lo tanto, la tangente es una función impar. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se indica en la . x − π 2 − π 3 − π 4 − π 6 0 π 6 π 4 π 3 π 2 tan ( x ) indefinida - 3 -1 - 3 3 0 3 3 1 3 indefinida Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero tenemos que determinar cómo se comporta el gráfico donde es indefinido. Si nos fijamos más en los valores cuando π 3 < x < π 2 , podemos utilizar una tabla para determinar una tendencia. Dado que π 3 ≈ 1,05 y π 2 ≈ 1,57 , evaluaremos x en las medidas del radián 1,05 < x < 1,57 como se muestra en la . x 1,3 1,5 1,55 1,56 tan x 3,6 14,1 48,1 92,6 A medida que x se aproxima a π 2 , las salidas de la función aumentan cada vez más. Dado que y = tan x es una función impar, vemos la correspondiente tabla de valores negativos en la . x -1,3 -1,5 -1,55 -1,56 tan x -3,6 -14,1 -48,1 -92,6 Podemos ver que, a medida que x se acerca a − π 2 , las salidas son cada vez menores. Recuerde que hay algunos valores de x para los cuales cos x = 0 . Por ejemplo, cos ( π 2 ) = 0 y cos ( 3 π 2 ) = 0 . En estos valores, la función tangente es indefinida, por lo que el gráfico de y = tan x tiene discontinuidades en x = π 2 y 3 π 2 . En estos valores, el gráfico de la tangente tiene asíntotas verticales. La representa el gráfico de y = tan x . La tangente es positiva desde 0 hasta π 2 y de π con 3 π 2 , correspondientes a los cuadrantes I y III del círculo unitario. Gráfico de la función tangente Graficar las variaciones de y = tan x Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general. y = A tan ( B x ) Podemos identificar el estiramiento y la compresión horizontal y vertical con los valores de A y B . El estiramiento horizontal se determina normalmente a partir del periodo del gráfico. En el caso de los gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar el estiramiento vertical con un punto del gráfico. Ddao que no hay valores máximos ni mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como en el caso de las funciones seno y coseno. En su lugar, utilizaremos la expresión factor de estiramiento/compresión cuando nos refiramos a la constante A . Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Atan (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es P = π | B | . El dominio son todos los números reales x , donde x ≠ π 2 | B | + π | B | k de manera que k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π 2 | B | + π | B | k , donde k es un número entero. y = A tan ( B x ) es una función impar. Graficar el período de una función tangente estirada o comprimida Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las propiedades de la función tangente para trazar rápidamente el gráfico de cualquier función tangente estirada o comprimida de la forma f ( x ) = A tan ( B x ) . Nos centramos en un único periodo de la función que incluye el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función, si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es entonces el intervalo ( − P 2 , P 2 ) y el gráfico tiene asíntotas verticales en ± P 2 donde P = π B . En ( - π 2 , π 2 ) , el gráfico saldrá de la asíntota izquierda en x = - π 2 , pasará por el origen y seguirá aumentando a medida que se acerque a la asíntota de la derecha en x = π 2 . Para que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también tenemos que establecer la escala vertical al evaluar realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos utilizar f ( P 4 ) = A tan ( B P 4 ) = A tan ( B π 4 B ) = A porque tan ( π 4 ) = 1. Elemento Cómo Dada la función f ( x ) = A tan ( B x ) , graficar un periodo. Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique B y determine el periodo, P = π | B | . Dibuje las asíntotas verticales en x = - P 2 y x = P 2 . Para A B > 0 , el gráfico se aproxima a la asíntota izquierda en los valores de salida negativos y a la asíntota derecha en los valores de salida positivos (al revés para A B < 0 ). Trace puntos de referencia en ( P 4 , A ) , ( 0 , 0 ) , y ( − P 4 ,− A ) , y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Trazar una tangente comprimida Dibuje un gráfico de un periodo de la función y = 0,5 tan ( π 2 x ) . En primer lugar, identificamos A y B . Dado que A = 0,5 y B = π 2 , podemos hallar el factor de estiramiento/compresión y el periodo. El periodo es π π 2 = 2 , por lo que las asíntotas están en x = ± 1. A un cuarto de periodo del origen, tenemos f ( 0,5 ) = 0,5 tan ( 0,5 π 2 ) = 0,5 tan ( π 4 ) = 0,5 Esto significa que la curva debe pasar por los puntos ( 0,5 , 0,5 ) , ( 0 , 0 ) , y ( − 0,5 , -0,5 ) . El único punto de inflexión está en el origen. La muestra el gráfico de un periodo de la función. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 tan ( π 6 x ) . Graficar un periodo de una función tangente desplazada Ahora, que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, añadiremos un desplazamiento vertical u horizontal (o de fase). En este caso, añadimos C y D a la forma general de la función tangente. f ( x ) = A tan ( B x − C ) + D El gráfico de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica tan x de varias maneras: Características del gráfico de y = Atan (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A tan ( B x C ) + D es una función impar porque es el cociente de funciones pares e impares (seno y coseno respectivamente). Elemento Cómo Dada la función y = A tan ( B x − C ) + D , dibujar el gráfico de un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A tan ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión , | A | . Identifique B y determine el periodo, P = π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) desplazado a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. Trace tres puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar un periodo de una función tangente desplazada Grafique un periodo de la función y = −2 tan ( π x + π ) −1. Paso 1. La función ya está escrita en la forma y = A tan ( B x − C ) + D . Paso 2. A = –2 , por lo que el factor de estiramiento es | A | = 2. Paso 3. B = π , por lo que el periodo es P = π | B | = π π = 1. Paso 4. C = - π , por lo que el desplazamiento de fase C B = - π π = −1. Pasos 5-7. Las asíntotas están en x = - 3 2 y x = - 1 2 y los tres puntos de referencia recomendados son ( -1,25 , 1 ) , ( −1, −1 ) , y ( −0,75; −3 ) . El gráfico se muestra en la . Análisis Observe que se trata de una función decreciente porque A < 0 . Elemento Ejercicio ¿Qué aspecto tendría el gráfico del si hiciéramos A = 2 en vez de −2 ? Se reflejaría a través de la línea y = - 1 , para convertirse en una función creciente. Elemento Cómo Dado el gráfico de una función tangente, identificar el estiramiento horizontal y vertical. Halle el periodo P a partir del espacio entre asíntotas verticales sucesivas o intersecciones en x . Escriba f ( x ) = A tan ( π P x ) . Determine un punto conveniente ( x , f ( x ) ) en el gráfico dado y utilícelo para determinar A . Identificar el gráfico de una tangente estirada Halle una fórmula para la función graficada en la . Función tangente estirada El gráfico tiene la forma de una función tangente. Paso 1. Un ciclo se extiende de -4 a 4, por lo que el periodo es P = 8. Dado que P = π | B | , tenemos B = π P = π 8 . Paso 2. La ecuación deberá tener la forma f ( x ) = A tan ( π 8 x ) . Paso 3. Para hallar el estiramiento vertical A , podemos utilizar el punto ( 2 , 2 ) . 2 = A tan ( π 8 ⋅ 2 ) = A tan ( π 4 ) Dado que tan ( π 4 ) = 1 , A = 2. Esta función tendría una fórmula f ( x ) = 2 tan ( π 8 x ) . Elemento Ejercicio Hale una fórmula para la función en la . g ( x ) = 4 tan ( 2 x ) Analizar los gráficos de y = sec x y de y = cscx La secante fue definida por la identidad recíproca sec x = 1 cos x . Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en π 2 , 3 π 2 , etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto. Podemos graficar y = sec x al observar el gráfico de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja punteada para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función coseno disminuye, el de la función secante aumenta. Donde el gráfico de la función coseno aumenta, el de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante es indefinida. El gráfico de la secante tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde el gráfico del coseno cruza el eje x ; esto lo mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que impliquen la secante y la cosecante. Observe que, debido a que el coseno es una función par, la secante también lo es. Eso es, sec ( - x ) = sec x . Gráfico de la función secante, f ( x ) = sec x = 1 cos x Al igual que en el caso de la función tangente, volveremos a referirnos a la constante | A | como el factor de estiramiento, no la amplitud. Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Asec (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. El rango es ( - ∞ , − | A | ] ∪ [ | A | , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A sec ( B x ) es una función par porque el coseno es una función par. Al igual que la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca csc x = 1 sen x . Observe que la función es indefinida cuando el seno es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 0 , π , etc. Dedo que el seno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la cosecante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto. Podemos graficar y = csc x al observar el gráfico de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función seno disminuye, el gráfico de la función cosecante aumenta. Donde el gráfico de la función seno aumenta, el gráfico de la función cosecante disminuye. El gráfico de la cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde el gráfico del seno cruza el eje x ; los mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas. Observe que, debido a que el seno es una función impar, la función cosecante también lo es. Eso es, csc ( - x ) = -csc x . El gráfico de la cosecante, que se muestra en la , es similar al gráfico de la secante. El gráfico de la función cosecante, f ( x ) = csc x = 1 sen x Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acsc (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , − | A | ] ∪ [ | A | , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π | B | k , donde k es un número entero. y = A csc ( B x ) es una función impar porque el seno es una función impar. Graficar las variaciones de y = sec x y de y= csc x En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes. y = A sec ( B x − C ) + D y = A csc ( B x − C ) + D una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Asec (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. El rango es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A sec ( B x C ) + D es una función par porque el coseno es una función par. una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acsc (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. No hay amplitud. y = A csc ( B x C ) + D es una función impar porque el seno es una función impar. Elemento Cómo Dada una función de la forma y = A sec ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A sec ( B x ) . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, P = 2 π | B | . Dibuje el gráfico de y = A cos ( B x ) . Utilice la relación recíproca entre y = cos x y y = sec x para dibujar el gráfico de y = A sec ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Trace dos puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una variación de la función secante Grafique un periodo de f ( x ) = 2,5 sec ( 0,4 x ) . Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, y = A sec ( B x ) . Paso 2. A = 2,5 por lo que el factor de estiramiento es 2 0,5 . Paso 3. B = 0,4 por lo que P = 2 π 0,4 = 5 π . El periodo es 5 π unidades. Paso 4. Dibuje el gráfico de la función g ( x ) = 2,5 cos ( 0,4 x ) . Paso 5. Utilice la relación recíproca de las funciones coseno y secante para dibujar la función cosecante. Pasos 6-7. Trace dos asíntotas en x = 1,25 π y x = 3,75 π . Podemos utilizar dos puntos de referencia, el mínimo local en ( 0 , 2,5 ) y el máximo local en ( 2,5 π , -2,5 ) . La muestra el gráfico. Elemento Ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = − 2,5 sec ( 0,4 x ) . Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque A es negativo. Elemento Preguntas y respuestas ¿El desplazamiento vertical y el estiramiento/compresión afectan el rango de la secante? Sí. El rango de f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Elemento Cómo Dada una función de la forma f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A sec ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, 2 π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A sec ( B x ) , pero desplazándolo hacia la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. Graficar una variación de la función secante Grafique un periodo de y = 4 sec ( π 3 x - π 2 ) + 1. Paso 1. Exprese la función dada en la forma y = 4 sec ( π 3 x - π 2 ) + 1. Paso 2. El factor de estiramiento/compresión es | A | = 4. Paso 3. El periodo es 2 π | B | = 2 π π 3 = 2 π 1 ⋅ 3 π = 6 Paso 4. El desplazamiento de fase es C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π = 1,5 Paso 5. Dibuje el gráfico de y = A sec ( B x ) , pero desplazándolo a la derecha por C B = 1,5 y hacia arriba por D = 6. Paso 6. Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = 0 , x = 3 , y x = 6. Hay un mínimo local en ( 1,5 , 5 ) y un máximo local en ( 4,5 , - 3 ) . La muestra el gráfico. Elemento Ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = − 6 sec ( 4 x + 2 ) − 8. Elemento Preguntas y respuestas El dominio de csc x se dio para ser todo x tal que x ≠ k π para cualquier número entero k . ¿El dominio de y = A csc ( B x − C ) + D sería x ≠ C + k π B ? Sí. Los puntos excluidos del dominio siguen las asíntotas verticales. Sus ubicaciones muestran el desplazamiento horizontal y la compresión o expansión que implica la transformación a la entrada de la función original. Elemento Cómo Dada una función de la forma y = A csc ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A csc ( B x ) . | A | . Identifique B y determine el periodo, P = 2 π | B | . Dibuje el gráfico de y = A sen ( B x ) . Utilice la relación recíproca entre y = sen x y y = csc x para dibujar el gráfico de y = A csc ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Trace dos puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una variación de la función cosecante Grafique un periodo de f ( x ) = −3 csc ( 4 x ) . Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, y = A csc ( B x ) . Paso 2. | A | = | - 3 | = 3 , por lo que el factor de estiramiento es 3. Paso 3. B = 4 , así que P = 2 π 4 = π 2 . El periodo es π 2 unidades. Paso 4. Dibuje el gráfico de la función g ( x ) = −3 sen ( 4 x ) . Paso 5. Utilice la relación recíproca de las funciones seno y cosecante para dibujar la función cosecante . Pasos 6-7. Trace tres asíntotas en x = 0 , x = π 4 , y x = π 2 . Podemos utilizar dos puntos de referencia, el máximo local en ( π 8 , −3 ) y el mínimo local en ( 3 π 8 , 3 ) . La muestra el gráfico. elemento ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = 0,5 csc ( 2 x ) . elemento cómo Dada una función de la forma f ( x ) = A csc ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A csc ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, 2 π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A csc ( B x ) pero desplazándolo a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. Graficar una cosecante estirada verticalmente, comprimida horizontalmente y desplazada verticalmente Dibuje un gráfico de y = 2 csc ( π 2 x ) + 1. ¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función? Paso 1. Exprese la función dada en la forma y = 2 csc ( π 2 x ) + 1. Paso 2. Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | = 2. Paso 3. El periodo es 2 π | B | = 2 π π 2 = 2 π 1 ⋅ 2 π = 4. Paso 4. El desplazamiento de fase es 0 π 2 = 0 . Paso 5. Dibuje el gráfico de y = A csc ( B x ) , pero desplazándolo hacia arriba D = 1. Paso 6. Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = 0 , x = 2 , x = 4. El gráfico de esta función se muestra en la . Función cosecante transformada Análisis Las asíntotas verticales que se muestran en el gráfico marcan un periodo de la función, mientras que los extremos locales en este intervalo se muestran con puntos. Observe cómo el gráfico de la cosecante transformada se relaciona con el gráfico de f ( x ) = 2 sen ( π 2 x ) + 1 , que se muestra como la onda punteada de color naranja. elemento ejercicio Dado el gráfico de f ( x ) = 2 cos ( π 2 x ) + 1 que se muestra en la , dibujar el gráfico de g ( x ) = 2 sec ( π 2 x ) + 1 en los mismos ejes. Analizar el gráfico de y = cot x La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente . La cotangente se define por la identidad recíproca cot x = 1 tan x . Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 0 , π , etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales. Podemos graficar y = cot x al observar el gráfico de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . Donde el gráfico de la función tangente disminuye, el gráfico de la función cotangente aumenta. Donde el gráfico de la función tangente aumenta, el gráfico de la función cotangente disminuye. El gráfico de la cotangente tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde tan x = 0 ; los mostramos en el siguiente gráfico con líneas discontinuas. Dado que la cotangente es la recíproca de la tangente, cot x tiene asíntotas verticales en todos los valores de x donde tan x = 0 , y cot x = 0 en todos los valores de x donde tan x tiene sus asíntotas verticales. La función cotangente una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acot (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es P = π | B | . El dominio es x ≠ π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π | B | k , donde k es un número entero. y = A cot ( B x ) es una función impar. Graficar las variaciones de y = cot x Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente. y = A cot ( B x − C ) + D una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acot (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. No hay amplitud. y = A cot ( B x ) es una función impar porque es el cociente de funciones pares e impares (coseno y seno, respectivamente). elemento cómo Dada una función cotangente modificada de la forma f ( x ) = A cot ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x ) . Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique el periodo, P = π | B | . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) . Trace dos puntos de referencia cualesquiera. Utilice la relación recíproca entre la tangente y la cotangente para dibujar el gráfico de y = A cot ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Graficar variaciones de la función cotangente Determine el factor de estiramiento, el período y el desplazamiento de fase de y = 3 cot ( 4 x ) , y, a continuación, dibuje un gráfico. Paso 1. Expresar la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x ) da como resultado f ( x ) = 3 cot ( 4 x ) . Paso 2. El factor de estiramiento es | A | = 3. Paso 3. El periodo es P = π 4 . Paso 4. Dibuje el gráfico de y = 3 tan ( 4 x ) . Paso 5. Trace dos puntos de referencia. Dos de estos puntos son ( π 16 , 3 ) y ( 3 π 16 , −3 ) . Paso 6. Utilice la relación recíproca para dibujar y = 3 cot ( 4 x ) . Paso 7. Dibuje las asíntotas, x = 0 , x = π 4 . El gráfico azul en la muestra y = 3 tan ( 4 x ) y el gráfico verde muestra y = 3 cot ( 4 x ) . elemento cómo Dada una función cotangente modificada de la forma f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique el periodo, P = π | B | . Identifique el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) desplazado a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. Trace tres puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una cotangente modificada Dibuje un gráfico de un periodo de la función f ( x ) = 4 cot ( π 8 x - π 2 ) − 2. Paso 1. La función ya está escrita en la forma general f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D . Paso 2. A = 4 , por lo que el factor de estiramiento es 4. Paso 3. B = π 8 , por lo que el periodo es P = π | B | = π π 8 = 8. Paso 4. C = π 2 , por lo que el desplazamiento de fase C B = π 2 π 8 = 4. Paso 5. Dibujamos f ( x ) = 4 tan ( π 8 x - π 2 ) − 2. Pasos 6-7. Tres puntos que podemos utilizar para guiar el gráfico son ( 6 , 2 ) , ( 8 , - 2 ) , y ( 10 , − 6 ) . Utilizamos la relación recíproca de la tangente y la cotangente para dibujar f ( x ) = 4 cot ( π 8 x - π 2 ) − 2. Paso 8. Las asíntotas verticales son x = 4 y x = 12. El gráfico se muestra en la . Período de una función cotangente modificada Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente . Usar las funciones trigonométricas para resolver situaciones del mundo real Supongamos que la función y = 5 tan ( π 4 t ) marca la distancia en el movimiento de un haz de luz desde la parte superior de un automóvil de policía a través de una pared donde t es el tiempo en segundos y y es la distancia en pies desde un punto en la pared directamente frente al automóvil de policía. Ⓐ Halle e interprete el factor de estiramiento y el periodo. Ⓑ Grafique en el intervalo [ 0 , 5 ] . Ⓒ Evalúe f ( 1 ) y comente el valor de la función en esa entrada. Ⓐ Sabemos por la forma general de y = A tan ( B t ) que | A | es el factor de estiramiento y π B es el periodo. Vemos que el factor de estiramiento es 5. Esto significa que el haz de luz se habrá desplazado 5 pies después de la mitad del periodo. El periodo es π π 4 = π 1 ⋅ 4 π = 4. Esto significa que cada 4 segundos, el haz de luz recorre la pared. La distancia desde el punto frente al automóvil de policía aumenta a medida que este se acerca. Ⓑ Para graficar la función, dibujamos una asíntota en t = 2 y utilizamos el factor de estiramiento y el periodo. Vea la Ⓒ periodo: f ( 1 ) = 5 tan ( π 4 ( 1 ) ) = 5 ( 1 ) = 5 ; después de 1 segundo, el haz de luz se ha movido 5 pies desde el punto frente al automóvil de policía. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los gráficos de otras funciones trigonométricas. Graficar la tangente Graficar la cosecante y la secante Graficar la cotangente Ecuaciones clave Función tangente desplazada, comprimida o estirada y = A tan ( B x − C ) + D Función secante desplazada, comprimida o estirada y = A sec ( B x − C ) + D Función cosecante desplazada, comprimida o estirada y = A csc ( B x − C ) + D Función cotangente desplazada, comprimida o estirada y = A cot ( B x − C ) + D Conceptos clave La función tangente tiene periodo π . f ( x ) = A tan ( B x − C ) + D es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el , el y el . La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de 2 π . f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el . f ( x ) = A csc ( B x − C ) + D da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el . La función cotangente tiene periodo π y asíntotas verticales en 0 , ± π , ±2, 2 π , ... El rango de la cotangente es ( - ∞ , ∞ ) , y la función es decreciente en cada punto de su rango. La cotangente es cero en ± π 2 , ±3,... 3 π 2 , ... f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo se puede utilizar el gráfico de la función seno para graficar y = csc x . Dado que y = csc x es la función recíproca de y = sen x , se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de y = sen x para obtener las coordenadas de la y de y = csc x . Las intersecciones en x del gráfico y = sen x son las asíntotas verticales del gráfico de y = csc x . ¿Cómo puede el gráfico de y = cos x utilizarse para construir el gráfico de y = sec x ? Explique por qué el periodo de tan x es igual a π . Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que tan ( x + π ) = tan x . ¿Por qué no hay intersecciones en el gráfico de y = csc x ? ¿Cómo el periodo de y = csc x se compara con el periodo de y = sen x ? El periodo es el mismo: 2 π . Algebraicos En los siguientes ejercicios, coteje cada función trigonométrica con uno de los siguientes gráficos. f ( x ) = tan x f ( x ) = sec x IV f ( x ) = csc x f ( x ) = cot x III En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones. f ( x ) = 2 tan ( 4 x − 32 ) h ( x ) = 2 sec ( π 4 ( x + 1 ) ) periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda m ( x ) = 6 csc ( π 3 x + π ) Si tan x = − 1,5 , calcule tan ( - x ) . 1,5 Si los valores de sec x = 2 , calcule sec ( - x ) . Si los valores de csc x = - 5 , calcule csc ( - x ) . 5 Si los valores de x sen x = 2 , halle ( - x ) sen ( - x ) . En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión de forma que el argumento x es positivo. cot ( - x ) cos ( - x ) + sen ( - x ) − cot x cos x - sen x cos ( - x ) + tan ( - x ) sen ( - x ) Gráficos En los siguientes ejercicios, trace dos periodos del gráfico de cada una de las siguientes funciones. Identifique el factor de estiramiento, el período y las asíntotas. f ( x ) = 2 tan ( 4 x − 32 ) factor de estiramiento: 2; periodo: π 4 ; asíntotas: x = 1 4 ( π 2 + π k ) + 8 , donde k es un número entero h ( x ) = 2 sec ( π 4 ( x + 1 ) ) m ( x ) = 6 csc ( π 3 x + π ) factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas x = 3 k , donde k es un número entero j ( x ) = tan ( π 2 x ) p ( x ) = tan ( x - π 2 ) factor de estiramiento: 1; periodo: π ; asíntotas: x = π k , donde k es un número entero f ( x ) = 4 tan ( x ) f ( x ) = tan ( x + π 4 ) Factor de estiramiento: 1; periodo: π ; asíntotas: x = π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = π tan ( π x - π ) − π f ( x ) = 2 csc ( x ) factor de estiramiento: 2; periodo: 2 π ; asíntotas: x = π k , donde k es un número entero f ( x ) = - 1 4 csc ( x ) f ( x ) = 4 sec ( 3 x ) factor de estiramiento: 4; periodo: 2 π 3 ; asíntotas: x = π 6 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = - 3 cot ( 2 x ) f ( x ) = 7 sec ( 5 x ) factor de estiramiento: 7; punto 2 π 5 ; asíntotas: x = π 10 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = 9 10 csc ( π x ) f ( x ) = 2 csc ( x + π 4 ) - 1 factor de estiramiento: 2; periodo: 2 π ; asíntotas: x = - π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = − sec ( x - π 3 ) - 2 f ( x ) = 7 5 csc ( x - π 4 ) factor de estiramiento: 7 5 ; periodo: 2 π ; asíntotas: x = π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = 5 ( cot ( x + π 2 ) - 3 ) En los siguientes ejercicios, halle y grafique dos periodos de la función periódica con el factor de estiramiento dado, | A | , periodo, y desplazamiento de fase. Una curva tangente, A = 1 , periodo de π 3 ; y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( π 4 , 2 ) y = tan ( 3 ( x - π 4 ) ) + 2 Una curva tangente, A = –2 , periodo de π 4 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( - π 4 , –2 ) En los siguientes ejercicios, halle una ecuación para el gráfico de cada función. f ( x ) = csc ( 2 x ) f ( x ) = csc ( 4 x ) f ( x ) = 2 csc x f ( x ) = 1 2 tan ( 100 π x ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: La mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón de cosecante; por lo tanto, tendrá que introducir csc x cuando 1 sen x . f ( x ) = | csc ( x ) | f ( x ) = | cot ( x ) | f ( x ) = 2 csc ( x ) f ( x ) = csc ( x ) sec ( x ) Grafique f ( x ) = 1 + sec 2 ( x ) - tan 2 ( x ) . ¿Cuál es la función que se muestra en el gráfico? f ( x ) = sec ( 0,001 x ) f ( x ) = cot ( 100 π x ) f ( x ) = sen 2 x + cos 2 x Aplicaciones en el mundo real La función f ( x ) = 20 tan ( π 10 x ) marca la distancia en el movimiento de un haz de luz de un automóvil de policía por una pared para el tiempo x , en segundos, y la distancia f ( x ) , en pies. Ⓐ Grafique en el intervalo [ 0 , 5 ] . Ⓑ Halle e interprete el factor de estiramiento, el periodo y la asíntota. Ⓒ Evalúe f ( 1 ) y f ( 2,5 ) y comente los valores de la función en esas entradas. De pie a la orilla de un lago, un pescador divisa un barco a lo lejos, a su izquierda. Supongamos que x , medido en radianes, es el ángulo formado por la línea de visión del barco y una línea con rumbo norte desde su posición. Supongamos que el norte es 0 y x se mide en negativo hacia la izquierda y en positivo hacia la derecha. (Vea la ). El barco viaja desde el oeste hasta el este y, sin tener en cuenta la curvatura de la Tierra, la distancia d ( x ) , en kilómetros, desde el pescador hasta el barco viene dada por la función d ( x ) = 1,5 sec ( x ) . Ⓐ ¿Cuál es un dominio razonable para d ( x ) ? Ⓑ Grafique d ( x ) en este dominio. Ⓒ Halle y razone el significado de cualquier asíntota vertical en el gráfico de d ( x ) . Ⓓ Calcule e interprete d ( - π 3 ) . Redondee al segundo decimal. Ⓔ Calcule e interprete d ( π 6 ) . Redondee al segundo decimal. Ⓕ ¿Cuál es la distancia mínima entre el pescador y el barco? ¿Cuándo ocurre esto? Ⓐ ( - π 2 , π 2 ) ; Ⓑ Ⓒ x = - π 2 y x = π 2 ; la distancia crece sin límites a medida que | x | se aproxima a π 2 , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo; Ⓓ 3; cuando x = - π 3 , el barco está a 3 km; Ⓔ 1,73; cuando x = π 6 , el barco está a unos 1,73 km; Ⓕ 1,5 km; cuando x = 0 Un telémetro láser se fija en un cometa que se aproxima a la Tierra. La distancia g ( x ) , en kilómetros, del cometa después de x días, para x en el intervalo de 0 a 30 días, viene dada por g ( x ) = 250.000 csc ( π 30 x ) . Ⓐ Grafique g ( x ) en el intervalo [ 0 , 30 ] . Ⓑ Evalúe g ( 5 ) e interprete la información. Ⓒ ¿Cuál es la distancia mínima entre el cometa y la Tierra? ¿Cuándo ocurre esto? ¿A qué constante de la ecuación corresponde? Ⓓ Halle y comente el significado de cualquier asíntota vertical. Una cámara de video enfoca un cohete en una plataforma de lanzamiento a 2 millas de la cámara. El ángulo de elevación desde el suelo hasta el cohete después de x segundos es π 120 x . Ⓐ Escriba una función que exprese la altitud h ( x ) , en millas, del cohete sobre el suelo después de x segundos. Deje de lado la curvatura de la Tierra. Ⓑ Grafique h ( x ) en el intervalo ( 0 , 60 ) . Ⓒ Evalúe e interprete los valores h ( 0 ) y h ( 30 ) . Ⓓ ¿Qué ocurre con los valores de h ( x ) cuando x se acerca a los 60 segundos? Interprete el significado de esto en términos del problema. Ⓐ h ( x ) = 2 tan ( π 120 x ) ; Ⓑ Ⓒ h ( 0 ) = 0 : después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo h ( 30 ) = 2 : después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura; Ⓓ A medida que x se acerca a los 60 segundos, los valores de h ( x ) aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.

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