Momentos y centros de masa En esta sección, analizaremos los centros de masa (también llamados centroides , bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de un punto de equilibrio. Muchos hemos visto a artistas que hacen girar un plato en la punta de un palo e intentan mantener varios de ellos girando sin caerse. Si observamos un plato simple (sin girarlo), hay un punto ideal en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si ponemos el palo en cualquier otro lugar que no sea ese punto ideal, el plato no se equilibra y se cae al suelo. (Por eso los artistas los hacen girar: el giro ayuda a que los platos no se caigan aunque el palo no esté exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto ideal se denomina centro de masa de la placa . En esta sección, primero examinaremos esos conceptos en un contexto unidimensional, y luego ampliaremos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de las regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizaremos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus. Centro de masa y momentos Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la (a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas m 1 y m 2 a las distancias d 1 y d 2 del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la (b). (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas sobre la varilla. El ejemplo más común en la vida real de un sistema de este tipo es el balancín de un parque infantil, con niños de distinto peso sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el más pesado se hunde y el más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas de la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si m 1 d 1 = m 2 d 2 . En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (los niños) con respecto al punto de apoyo. Sin embargo, lo que realmente nos interesa son los sistemas en los que no se permite el movimiento de las masas, y en su lugar equilibramos el sistema moviendo el punto de apoyo. Supongamos que tenemos dos masas puntuales, m 1 y m 2 , situadas en una línea numérica en los puntos x 1 y x 2 , respectivamente ( ). El centro de masa, x – , es el punto donde se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema se equilibre. El centro de masa x – es el punto de equilibrio del sistema. Por lo tanto, tenemos m 1 | x – − x 1 | = m 2 | x 2 − x – | m 1 ( x – − x 1 ) = m 2 ( x 2 − x – ) m 1 x – − m 1 x 1 = m 2 x 2 − m 2 x – x – ( m 1 + m 2 ) = m 1 x 1 + m 2 x 2 x – = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 . La expresión en el numerador, m 1 x 1 + m 2 x 2 , se denomina primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo se prescinde de la palabra primero y se denomina simplemente momento del sistema. La expresión en el denominador, m 1 + m 2 , es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que se podría concentrar la masa total del sistema sin cambiar el momento. Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si n masas, m 1 , m 2 ,… , m n , se colocan en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente, entonces el centro de masa del sistema viene dado por x – = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i . Centro de masa de objetos en una línea Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces, el momento del sistema con respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i y el centro de masa del sistema viene dado por x – = M m . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Encontrar el centro de masa de los objetos a lo largo de una línea Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 30 kg, colocado en x 1 = −2 m m 2 = 5 kg, colocado en x 2 = 3 m m 3 = 10 kg, colocado en x 3 = 6 m m 4 = 15 kg, colocado en x 4 = −3 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. En primer lugar, tenemos que calcular el momento del sistema: M = ∑ i = 1 4 m i x i = −60 + 15 + 60 − 45 = −30. Ahora, para encontrar el centro de masa, necesitamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 4 m i = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . Entonces tenemos x – = M m = −30 60 = − 1 2 . El centro de masa se encuentra a 1/2 m a la izquierda del origen. Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 12 kg, colocado en x 1 = −4 m m 2 = 12 kg, colocado en x 2 = 4 m m 3 = 30 kg, colocado en x 3 = 2 m m 4 = 6 kg, colocado en x 4 = −6 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. M = 24 , x – = 2 5 m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Supongamos que m 1 es una masa puntual situada en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Entonces el momento M x de la masa con respecto al eje x viene dado por M x = m 1 y 1 . Del mismo modo, el momento M y con respecto al eje y viene dado por M y = m 1 x 1 . Observe que la coordenada x del punto se utiliza para calcular el momento con respecto al eje y , y viceversa. La razón es que la coordenada x da la distancia de la masa puntual al eje y , en tanto que la coordenada y da la distancia al eje x (vea la siguiente figura). La masa puntual m 1 se encuentra en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Si tenemos varias masas puntuales en el plano xy , podemos utilizar los momentos respecto a los ejes x y y para calcular las coordenadas x y y del centro de masa del sistema. Centro de masa de objetos en un plano Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en el plano xy en los puntos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,… , ( x n , y n ) , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces los momentos M x y M y del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, vienen dados por M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i . Además, las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) del sistema son x – = M y m y y – = M x m . El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema. Encontrar el centro de masa de los objetos en un plano Supongamos que tres masas puntuales se colocan en el plano xy de la siguiente manera (supongamos que las coordenadas están dadas en metros): m 1 = 2 kg, colocado en ( –1 , 3 ) , m 2 = 6 kg, colocado en ( 1 , 1 ) , m 3 = 4 kg, colocado en ( 2 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. Primero calculamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 3 m i = 2 + 6 + 4 = 12 kg . A continuación, hallamos los momentos con respecto a los ejes x y y : M y = ∑ i = 1 3 m i x i = −2 + 6 + 8 = 12 , M x = ∑ i = 1 3 m i y i = 6 + 6 − 8 = 4. Entonces tenemos x – = M y m = 12 12 = 1 y y – = M x m = 4 12 = 1 3 . El centro de masa del sistema es ( 1 , 1 / 3 ) , en metros. Supongamos que tres masas puntuales se colocan en una línea numérica de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas se dan en metros): m 1 = 5 kg, colocado en ( –2 , −3 ) , m 2 = 3 kg, colocado en ( 2 , 3 ) , m 3 = 2 kg, colocado en ( −3 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. ( –1 , –1 ) m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Centro de masa de las placas finas Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina . A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante. Las láminas suelen representarse mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de dicha región se denomina centroide . Como supusimos que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina solo depende de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Consideraremos primero una lámina con forma de rectángulo. Recordemos que el centro de masa de una lámina es el punto de equilibrio de la misma. En un rectángulo, ese punto es el centro horizontal y vertical del rectángulo. En base a este entendimiento, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se cruzan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría , y se afirma aquí sin pruebas. El principio de simetría Si una región R es simétrica respecto a una línea l , entonces el centroide de R se encuentra en l . Pasemos a las láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina limitada por encima por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la siguiente figura. Una región en el plano que representa una lámina. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina necesitamos encontrar la masa total de esta, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Como ya hemos hecho muchas veces, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo [ a , b ] y construyendo rectángulos. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Recordemos que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo [ x i − 1 , x i ] como nuestra x i * . En este caso, queremos x i * para ser la coordenada x del centroide de nuestros rectángulos. Así, para i = 1 , 2 ,… , n , seleccionamos x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que x i * es el punto medio del intervalo. Eso es, x i * = ( x i − 1 + x i ) / 2 . Ahora, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un rectángulo de altura f ( x i * ) sobre [ x i − 1 , x i ] . El centro de masa de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) , como se muestra en la siguiente figura. Un rectángulo representativo de la lámina. A continuación, tenemos que encontrar la masa total del rectángulo. Supongamos que ρ representa la densidad de la lámina (nótese que ρ es una constante). En este caso, ρ se expresa en términos de masa por unidad de superficie. Así, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por ρ . Entonces, la masa del rectángulo viene dada por ρ f ( x i * ) Δ x . Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener m ≈ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ da la masa exacta de la lámina: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b f ( x ) d x . A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje x . Volviendo al rectángulo representativo, recordemos que su centro de masa es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) . Recordemos también si tratamos el rectángulo como si fuera una masa puntual situada en el centro de masa no cambia el momento. Así, el momento del rectángulo con respecto al eje x viene dado por la masa del rectángulo, ρ f ( x i * ) Δ x , multiplicado por la distancia desde centro de masa al eje x : ( f ( x i * ) ) / 2 . Por lo tanto, el momento con respecto al eje x del rectángulo es ρ ( [ f ( x i * ) ] 2 / 2 ) Δ x . Al sumar los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina respecto al eje x es M x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ f ( x i * ) ] 2 2 Δ x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x . Derivamos el momento con respecto al eje y de forma similar, observando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje y es x i * . Entonces el momento de la lámina con respecto al eje y viene dado por M y = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ x i * f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Hallamos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener x – = M y / m y y – = M x / m . Si observamos detenidamente las expresiones de M x , M y , y m , observamos que la constante ρ se cancela cuando x – y y – se calculan. Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Centro de masa de una placa delgada en el plano xy Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b f ( x ) d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para hallar el centro de masa de una lámina. Hallar el centro de masa de una lámina Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Encontrar el centro de masa de una lámina. Como solo se nos pide el centroide de la región, y no la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad ρ eventualmente se cancela de los cálculos. Por lo tanto, por razones de conveniencia, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ 0 4 x d x = 2 3 x 3 / 2 | 0 4 = 2 3 [ 8 − 0 ] = 16 3 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = ∫ 0 4 x 2 d x = 1 4 x 2 | 0 4 = 4 y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x = ∫ 0 4 x x d x = ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 2 5 [ 32 − 0 ] = 64 5 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = 64 / 5 16 / 3 = 64 5 . 3 16 = 12 5 y y – = M x m = 4 16 / 3 = 4 . 3 16 = 3 4 . El centroide de la región es ( 12 / 5 , 3 / 4 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 3 / 2 , 6 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos adaptar este enfoque para encontrar también los centroides de regiones más complejas. Supongamos que nuestra región está limitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , como antes, pero ahora, en vez de que el límite inferior de la región sea el eje x , supondremos que la región está limitada por debajo por el gráfico de una segunda función continua, g ( x ) , como se muestra en la siguiente figura. Una región entre dos funciones. De nuevo, dividimos el intervalo [ a , b ] y construimos rectángulos. En la siguiente figura se muestra un rectángulo representativo. Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones. Observe que el centroide de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 ) . No vamos a repasar todos los detalles de la formulación de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje y , la altura de cada rectángulo viene dada por f ( x i * ) − g ( x i * ) , lo que nos dirige a la expresión f ( x ) − g ( x ) en los integrandos. En el desarrollo de la fórmula del momento con respecto al eje x , el momento de cada rectángulo se halla al multiplicar el área del rectángulo, ρ [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x , por la distancia del centroide al eje x , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 , que da ρ ( 1 / 2 ) { [ f ( x i * ) ] 2 − [ g ( x i * ) ] 2 } Δ x . Al resumir estas conclusiones, llegamos al siguiente teorema. Centro de masa de una lámina delimitada por dos funciones Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el gráfico de la función continua g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . Ilustramos este teorema con el siguiente ejemplo. Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x – 1 . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Hale el centroide de una región entre dos curvas. Los gráficos de las funciones se cruzan en ( –2 , −3 ) y ( 1 , 0 ) , por lo que integramos de -2 a 1. Una vez más, por comodidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 [ 1 − x 2 − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 ( 2 − x 2 − x ) d x = [ 2 x – 1 3 x 3 − 1 2 x 2 ] | −2 1 = [ 2 – 1 3 − 1 2 ] − [ −4 + 8 3 − 2 ] = 9 2 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( ( 1 − x 2 ) 2 − ( x – 1 ) 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( x 4 − 3 x 2 + 2 x ) d x = 1 2 [ x 5 5 − x 3 + x 2 ] | −2 1 = − 27 10 y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 x [ ( 1 − x 2 ) − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 x [ 2 − x 2 − x ] d x = ∫ –2 1 ( 2 x – x 4 − x 2 ) d x = [ x 2 − x 5 5 − x 3 3 ] | −2 1 = − 9 4 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = − 9 4 . 2 9 = − 1 2 y y – = M x m = − 27 10 . 2 9 = − 3 5 . El centroide de la región es ( − ( 1 / 2 ) , − ( 3 / 5 ) ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 6 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − 2 x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 1 , 13 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El principio de simetría El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo. Encontrar el centroide de una región simétrica Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Podemos utilizar el principio de simetría para encontrar el centroide de una región simétrica. La región es simétrica con respecto al eje y . Por lo tanto, la coordenada x del centroide es cero. Solo tenemos que calcular y – . Una vez más, para mayor facilidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, calculamos la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ −2 2 ( 4 − x 2 ) d x = [ 4 x – x 3 3 ] | −2 2 = 32 3 . A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos M x : M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 [ 4 − x 2 ] 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 ( 16 − 8 x 2 + x 4 ) d x = 1 2 [ x 5 5 − 8 x 3 3 + 16 x ] | −2 2 = 256 15 . Entonces tenemos y – = M x m = 256 15 . 3 32 = 8 5 . El centroide de la región es ( 0 , 8 / 5 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 0 , 2 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón El Skywalk del Gran Cañón se abrió al público el 28 de marzo de 2007. Esta maravilla de la ingeniería es una plataforma de observación en forma de herradura suspendida a 4.000 ft sobre el río Colorado, en el borde oeste del Gran Cañón. Su suelo de cristal permite unas vistas impresionantes del cañón (vea la siguiente figura). El Skywalk del Gran Cañón ofrece magníficas vistas del cañón (créditos: 10da_ralta, Wikimedia Commons). El Skywalk es un diseño en voladizo, lo que significa que la plataforma de observación se extiende sobre el borde del cañón, sin ningún medio de apoyo visible por debajo. A pesar de la falta de postes o puntales de apoyo visibles, las estructuras en voladizo están diseñadas para ser muy estables y el Skywalk no es una excepción. La plataforma de observación está firmemente sujeta a postes de apoyo que se extienden 46 pies de profundidad en el lecho de roca. La estructura se construyó para resistir vientos de 100 mph y un terremoto de 8,0 de magnitud en un radio de 50 mi, y es capaz de soportar más de 70.000.000 lb. Un factor que afecta a la estabilidad del Skywalk es el centro de gravedad de la estructura. Calculemos el centro de gravedad del Skywalk y examinemos cómo cambia el centro de gravedad cuando los turistas salen a la plataforma de observación. La plataforma de observación tiene forma de U. Las patas de la U tienen 10 ft de ancho y comienzan en tierra, bajo el centro de visitantes, a 48 ft del borde del cañón. La plataforma se extiende 70 ft sobre el borde del cañón. Para calcular el centro de masa de la estructura, la tratamos como una lámina y utilizamos una región bidimensional en el plano xy para representar la plataforma. Comenzamos dividiendo la región en tres subregiones para poder considerar cada una de ellas por separado. La primera región, denotada R 1 , consiste en la parte curva de la U. Modelamos R 1 como un anillo semicircular, con un radio interior de 25 pies y un radio exterior de 35 pies, centrado en el origen (vea la siguiente figura). Modelamos el Skywalk con tres subregiones. Las patas de la plataforma, que se extienden 35 ft entre R 1 y la pared del cañón comprenden la segunda subregión, R 2 . Por último, los extremos de las patas, que se extienden 48 ft por debajo del centro de visitantes, comprenden la tercera subregión, R 3 . Suponga que la densidad de la lámina es constante y asuma que el peso total de la plataforma es de 1.200.000 lb (sin incluir el peso del centro de visitantes; lo consideraremos más adelante). Utilice la sustitución en g = 32 ft/s 2 . Calcule el área de cada una de las tres subregiones. Observe que las áreas de las regiones R 2 y R 3 deben incluir solo las zonas de las piernas, no el espacio abierto entre ellas. Redondee las respuestas al pie cuadrado más cercano. Determine la masa asociada a cada una de las tres subregiones. Calcule el centro de masa de cada una de las tres subregiones. Ahora, considere cada una de las tres subregiones como una masa puntual situada en el centro de masa de la subregión correspondiente. Utilizando esta representación, calcule el centro de masa de toda la plataforma. Supongamos que el centro de visitantes pesa 2.200.000 lb, con un centro de masa correspondiente al centro de masa de R 3 . Considerando el centro de visitantes como una masa puntual, recalcule el centro de masa del sistema. ¿Cómo cambia el centro de masa? Aunque el Skywalk se construyó para limitar el número de personas en la plataforma de observación a 120, la plataforma es capaz de soportar hasta 800 personas de 200 libras cada una. Si se permitiera la entrada de las 800 personas en el andén y todas se dirigieran al extremo más alejado del mismo, ¿cómo se vería afectado el centro de gravedad del sistema? (Incluya el centro de visitantes en los cálculos y represente las personas mediante una masa puntual situada en el borde más alejado de la plataforma, a 70 ft de la pared del cañón). Teorema de Pappus Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen , que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen). Teorema de Pappus para el volumen Sea R una región del plano y sea l una línea del plano que no interseca a R . Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor de l es igual al área de R multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de R. Prueba Podemos demostrar el caso en el que la región está limitada por el gráfico de una función f ( x ) y abajo por el gráfico de una función g ( x ) en un intervalo [ a , b ] , y cuyo eje de revolución es el eje y . En este caso, el área de la región es A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Como el eje de rotación es el eje y , la distancia recorrida por el centroide de la región depende solo de la coordenada x del centroide, x – , que es x – = M y m , donde m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Entonces, d = 2 π ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y así d . A = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Sin embargo, si utilizamos el método de las capas cilíndricas, tenemos V = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Así que, V = d . A y la prueba está completa. □ Uso del teorema de Pappus para el volumen Sea R un círculo de radio 2 con centro en ( 4 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . La región y el toro se representan en la siguiente figura. Determinación del volumen de un toro utilizando el teorema de Pappus. (a) Una región circular R en el plano; (b) el toro generado al girar R alrededor del eje y . La región R es un círculo de radio 2, por lo que el área de R es A = 4 π unidades 2 . Por el principio de simetría, el centroide de R es el centro del círculo. El centroide se desplaza alrededor del eje y en una trayectoria circular de radio 4, por lo que el centroide se desplaza d = 8 π . Entonces, el volumen del toro es A . d = 32 π 2 unidades 3 . Sea R un círculo de radio 1 con centro en ( 3 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . 6 π 2 unidades 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Matemáticamente, el centro de masa de un sistema es el punto en el que podría concentrarse la masa total del sistema sin cambiar el momento. En términos generales, el centro de masa puede considerarse el punto de equilibrio del sistema. Para masas puntuales distribuidas a lo largo de una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen es M = ∑ i = 1 n m i x i . En lo concerniente a las masas puntuales distribuidas en un plano, los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i , respectivamente. Para una lámina limitada por encima por una función f ( x ) , los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas x y y del centro de masa se pueden hallar dividiendo los momentos alrededor de los ejes y y x , respectivamente, entre la masa total. El principio de simetría dice que si una región es simétrica con respecto a una línea, entonces el centroide de la región se encuentra en la línea. El teorema de Pappus para el volumen dice que si se hace girar una región alrededor de un eje externo, el volumen del sólido resultante es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región. Ecuaciones clave Masa de una lámina m = ρ ∫ a b f ( x ) d x Momentos de una lámina M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x Centro de masa de una lámina x – = M y m y y – = M x m En los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa para el conjunto de masas dadas. m 1 = 2 en x 1 = 1 y m 2 = 4 en x 2 = 2 m 1 = 1 en x 1 = –1 y m 2 = 3 en x 2 = 2 5 4 m = 3 en x = 0 , 1 , 2 , 6 Masas unitarias en ( x , y ) = ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) grandes. ( 2 3 , 2 3 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 4 a las ( 0 , 1 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 3 a las ( 2 , 2 ) grandes. ( 7 4 , 3 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa x – . ρ = 1 para x ∈ ( –1 , 3 ) grandes. ρ = x 2 por x ∈ ( 0 , L ) grandes. 3 L 4 ρ = 1 para x ∈ ( 0 , 1 ) y ρ = 2 por x ∈ ( 1 , 2 ) grandes. ρ = sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 ρ = cos x para x ∈ ( 0 , π 2 ) grandes. ρ = e x para x ∈ ( 0 , 2 ) grandes. e 2 + 1 e 2 – 1 ρ = x 3 + x e – x para x ∈ ( 0 , 1 ) grandes. ρ = x sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 − 4 π ρ = x para x ∈ ( 1 , 4 ) grandes. ρ = ln x para x ∈ ( 1 , e ) grandes. 1 4 ( 1 + e 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. ρ = 7 en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ρ = 3 en el triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) grandes. ( a 3 , b 3 ) grandes. ρ = 2 para la región delimitada por y = cos ( x ) , y = − cos ( x ) , x = − π 2 , y x = π 2 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región y luego calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] La región delimitada por y = cos ( 2 x ) , x = − π 4 , y x = π 4 ( 0 , π 8 ) [T] La región entre y = 2 x 2 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 [T] La región entre y = 5 4 x 2 y y = 5 ( 0 , 3 ) [T] La región entre y = x , y = ln ( x ) , x = 1 , y x = 4 [T] La región delimitada por y = 0 , x 2 4 + y 2 9 = 1 ( 0 , 4 π ) [T] La región delimitada por y = 0 , x = 0 , y x 2 4 + y 2 9 = 1 [T] La región delimitada por y = x 2 y y = x 4 en el primer cuadrante ( 5 8 , 1 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Pappus para determinar el volumen de la forma. Si giramos y = m x alrededor del eje x entre x = 0 y x = 1 Si giramos y = m x alrededor del eje y entre x = 0 y x = 1 2 m π 3 Un cono recto creado al girar un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cono? Un cilindro recto creado al girar un rectángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , ( 0 , b ) , y ( a , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cilindro? π a 2 b Una esfera creada al girar un semicírculo de radio a alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de una esfera? En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región delimitada por la curva. Halle el área M y el centroide ( x – , y – ) para las formas dadas. Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] Cuarto de círculo: y = 1 − x 2 , y = 0 , y x = 0 ( 4 3 π , 4 3 π ) [T] Triángulo: y = x , y = 2 − x , y y = 0 [T] Lente: y = x 2 y y = x ( 1 2 , 2 5 ) [T] Anillo: y 2 + x 2 = 1 y y 2 + x 2 = 4 [T] Medio anillo: y 2 + x 2 = 1 , y 2 + x 2 = 4 , y y = 0 ( 0 , 28 9 π ) Halle el centro de masa generalizado en la franja entre y = x a y y = x b con la a > b . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Halle el centro de masa generalizado entre y = a 2 − x 2 , x = 0 , y y = 0 . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Centro de masa: ( a 6 , 4 a 2 5 ) , volumen: 2 π a 4 9 Halle el centro de masa generalizado entre y = b sen ( a x ) , x = 0 , y x = π a . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Utilice el teorema de Pappus para hallar el volumen de un toro (que se muestra aquí). Supongamos que un disco de radio a se sitúa con el extremo izquierdo del círculo en x = b , b > 0 , y gira en torno al eje y . Volumen: 2 π 2 a 2 ( b + a ) Halle el centro de masa ( x – , y – ) para un cable fino a lo largo del semicírculo y = 1 − x 2 con masa unitaria. ( Pista: Utilice el teorema de Pappus) centro de masa punto en el que la masa total del sistema podría concentrarse sin cambiar el momento centroide el centroide de una región es el centro geométrico de la región; las láminas se representan a menudo por regiones en el plano; si la lámina tiene una densidad constante, el centro de masa de la lámina depende solo de la forma de la región plana correspondiente; en este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región representativa lámina lámina fina de material; las láminas son lo suficientemente finas para que, a efectos matemáticos, puedan tratarse como si fueran bidimensionales momento si se disponen n masas en una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i ; si, en cambio, consideramos una región en el plano, limitada por encima por una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] , entonces los momentos de la región con respecto a los ejes x y y vienen dados por M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x , respectivamente principio de simetría este principio establece que si una región R es simétrica respecto a una línea l , el centroide de R se encuentra en l teorema de Pappus para el volumen teorema que afirma que el volumen de un sólido de revolución formado al girar una región alrededor de un eje externo es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región

Matemáticas


Integrales, funciones exponenciales y logaritmos En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección. Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e , ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número e , y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base. El logaritmo natural como integral Recordemos la regla de la potencia para las integrales: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 . Está claro que esto no funciona cuando n = −1 , ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con ∫ 1 x d x ? Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que ∫ 1 x 1 t d t es una antiderivada de 1 / x . Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición. Definición Para x > 0 , defina la función logarítmica natural por ln x = ∫ 1 x 1 t d t . Para x > 1 , esto es solo el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 a x . Para x < 1 , tenemos ∫ 1 x 1 t d t = − ∫ x 1 1 t d t , por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de x para 1 (vea la siguiente figura). (a) Cuando x > 1 , el logaritmo natural es el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 para x . (b) Cuando x < 1 , el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de x al 1 . Observe que ln 1 = 0 . Además, la función y = 1 / t > 0 por x > 0 . Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que ln x aumenta para x > 0 . Propiedades del logaritmo natural Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo. Derivada del logaritmo natural Para x > 0 , la derivada del logaritmo natural viene dada por d d x ln x = 1 x . Corolario de la derivada del logaritmo natural La función ln x es diferenciable; por lo tanto, es continua. Un gráfico de ln x se muestra en la . Observe que es continua en todo su dominio de ( 0 , ∞ ) . El gráfico de f ( x ) = ln x muestra que es una función continua. Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) grandes. d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 En ambos casos tenemos que aplicar la regla de la cadena. d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) = 15 x 2 5 x 3 − 2 d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 = 2 ( ln ( 3 x ) ) . 3 3 x = 2 ( ln ( 3 x ) ) x Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 2 x 2 + x ) grandes. d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 d d x ln ( 2 x 2 + x ) = 4 x + 1 2 x 2 + x d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 = 6 ln ( x 3 ) x Pista Aplique la fórmula de diferenciación que acabamos de proporcionar y utilice la regla de la cadena si es necesario. Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función ln | x | , podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir x < 0 . Entonces ( d / ( d x ) ) ln | x | = 1 / x . Esto da lugar a la conocida fórmula de integración. Integral de (1/ u ) du El logaritmo natural es la antiderivada de la función f ( u ) = 1 / u : ∫ 1 u d u = ln | u | + C . Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales Calcule la integral ∫ x x 2 + 4 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = x 2 + 4 . Entonces d u = 2 x d x y tenemos ∫ x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 2 + 4 | + C = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + C . Calcule la integral ∫ x 2 x 3 + 6 d x . ∫ x 2 x 3 + 6 d x = 1 3 ln | x 3 + 6 | + C Pista Aplique la fórmula de integración proporcionada anteriormente y utilice la sustitución u si es necesario. Aunque hemos llamado a nuestra función "logaritmo", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí. Propiedades del logaritmo natural Si los valores de a , b > 0 y r es un número racional, entonces ln 1 = 0 ln ( a b ) = ln a + ln b ln ( a b ) = ln a − ln b ln ( a r ) = r ln a Prueba i. Por definición, ln 1 = ∫ 1 1 1 t d t = 0 . ii. Tenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t . Use la sustitución u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u = t / a . Entonces d u = ( 1 / a ) d t . Además, cuando t = a , u = 1 , y cuando t = a b , u = b . Así que obtenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b a t . 1 a d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ 1 b 1 u d u = ln a + ln b . iv. Tenga en cuenta que d d x ln ( x r ) = r x r − 1 x r = r x . Además, d d x ( r ln x ) = r x . Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos ln ( x r ) = r ln x + C para alguna constante C . Si tomamos x = 1 , obtenemos ln ( 1 r ) = r ln ( 1 ) + C 0 = r ( 0 ) + C C = 0 . Así que ln ( x r ) = r ln x y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de r más adelante en esta sección. La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio. □ Uso de las propiedades de los logaritmos Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) . Tenemos ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) = ln ( 3 2 ) − 2 ln 3 + ln ( 3 −1 ) = 2 ln 3 − 2 ln 3 − ln 3 = − ln 3 . Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 8 − ln 2 − ln ( 1 4 ) . 4 ln 2 Pista Aplique las propiedades de los logaritmos. Definición del número e Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número e . Definición El número e se define como el número real tal que ln e = 1 . Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva y = 1 / t entre t = 1 y t = e ¿es 1 ( ). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. ( Pista : Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que ln x es creciente para demostrar su unicidad). El área bajo la curva de 1 al e es igual a uno. El número e puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin ). Su valor aproximado viene dado por e ≈ 2,71828182846 . La función exponencial Ahora nos centraremos en la función e x . Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por exp x . Entonces, exp ( ln x ) = x para x > 0 y ln ( exp x ) = x para todo x . La siguiente figura muestra los gráficos de exp x y ln x . Los gráficos de ln x y exp x . Nuestra hipótesis es que exp x = e x . Para valores racionales de x , esto es fácil de mostrar. Si los valores de x es racional, entonces tenemos ln ( e x ) = x ln e = x . Así, cuando x es racional, e x = exp x . Para valores irracionales de x , simplemente definimos e x como función inversa de ln x . Definición Para cualquier número real x , defina y = e x para ser el número para el que ln y = ln ( e x ) = x . Entonces tenemos e x = exp ( x ) para todo x , y por lo tanto e ln x = x para x > 0 y ln ( e x ) = x para todos los x . Propiedades de la función exponencial Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e , debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función e x . Propiedades de la función exponencial Si los valores de p y q son números reales cualquiera y r es un número racional, entonces e p e q = e p + q e p e q = e p − q ( e p ) r = e p r Prueba Observe que si p y q son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si p o q son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de e x y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos ln ( e p e q ) = ln ( e p ) + ln ( e q ) = p + q = ln ( e p + q ) . Dado que ln x es biunívoca, entonces e p e q = e p + q . □ Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r , y lo haremos al final de la sección. También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función y = e x . Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que y = e x . Entonces ln y = x d d x ln y = d d x x 1 y d y d x = 1 d y d x = y . Así, vemos d d x e x = e x como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración ∫ e x d x = e x + C . Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe las siguientes derivadas: d d t e 3 t e t 2 d d x e 3 x 2 Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario. d d t e 3 t e t 2 = d d t e 3 t + t 2 = e 3 t + t 2 ( 3 + 2 t ) grandes. d d x e 3 x 2 = e 3 x 2 6 x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( e x 2 e 5 x ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 d d x ( e x 2 e 5 x ) = e x 2 − 5 x ( 2 x − 5 ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 = 6 e 6 t Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y la regla de la cadena cuando sea necesario. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe la siguiente integral ∫ 2 x e – x 2 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = − x 2 . Entonces d u = –2 x d x , y tenemos ∫ 2 x e – x 2 d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x 2 + C . Evalúe la siguiente integral ∫ 4 e 3 x d x . ∫ 4 e 3 x d x = – 4 3 e −3 x + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Funciones logarítmicas y exponenciales generales Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a e . Las funciones exponenciales son funciones de la forma f ( x ) = a x . Tenga en cuenta que, a menos que a = e , todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función f ( x ) = a x en términos de la función exponencial e x . A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a e como funciones inversas de funciones exponenciales. Definición para cualquier a > 0 , y para cualquier número real x , defina y = a x de la siguiente forma: y = a x = e x ln a . Ahora, a x se define rigurosamente para todos los valores de x . Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de r . Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera. Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para a x . Tenemos d d x a x = d d x e x ln a = e x ln a ln a = a x ln a . La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente. Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x a x = a x ln a y ∫ a x d x = 1 ln a a x + C . Si los valores de a ≠ 1 , entonces la función a x es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por log a x . Entonces, y = log a x si y solo si x = a y . Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que y = log a x . Entonces, x = a y . Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos ln x = ln ( a y ) ln x = y ln a y = ln x ln a log a x = ln x ln a . Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base a . De nuevo, supongamos y = log a x . Entonces, d y d x = d d x ( log a x ) = d d x ( ln x ln a ) = ( 1 ln a ) d d x ( ln x ) = 1 ln a . 1 x = 1 x ln a . Derivadas de funciones logarítmicas generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x log a x = 1 x ln a . Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales Evalúe las siguientes derivadas: d d t ( 4 t . 2 t 2 ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) Tenemos que aplicar la regla de la cadena según sea necesario. d d t ( 4 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t + t 2 ) = 2 2 t + t 2 ln ( 2 ) ( 2 + 2 t ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) = 1 ( 7 x 2 + 4 ) ( ln 8 ) ( 14 x ) Evalúe las siguientes derivadas: d d t 4 t 4 d d x log 3 ( x 2 + 1 ) d d t 4 t 4 = 4 t 4 ( ln 4 ) ( 4 t 3 ) grandes. d d x log 3 ( x 2 + 1 ) = x ( ln 3 ) ( x 2 + 1 ) Pista Utilice las fórmulas y aplique la regla de la cadena cuando sea necesario. Integración de funciones exponenciales generales Evalúe la siguiente integral ∫ 3 2 3 x d x . Utilice la sustitución en u y supongamos que u = −3 x . Entonces d u = −3 d x y tenemos ∫ 3 2 3 x d x = ∫ 3 . 2 −3 x d x = − ∫ 2 u d u = − 1 ln 2 2 u + C = − 1 ln 2 2 −3 x + C . Evalúe la siguiente integral ∫ x 2 2 x 3 d x . ∫ x 2 2 x 3 d x = 1 3 ln 2 2 x 3 + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Conceptos clave El manejo anterior de los logaritmos y las funciones exponenciales no definía las funciones de forma precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de forma matemáticamente rigurosa. La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral. La función e x se define entonces como la inversa del logaritmo natural. Las funciones exponenciales generales se definen en términos de e x , y las correspondientes funciones inversas son logaritmos generales. Las propiedades conocidas de los logaritmos y los exponentes siguen siendo válidas en este contexto más riguroso. Ecuaciones clave Función logarítmica natural ln x = ∫ 1 x 1 t d t Z Función exponencial y = e x ln y = ln ( e x ) = x Z Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y d x . y = ln ( 2 x ) grandes. 1 x y = ln ( 2 x + 1 ) grandes. y = 1 ln x − 1 x ( ln x ) 2 En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida. ∫ d t 3 t ∫ d x 1 + x ln ( x + 1 ) + C Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y / d x . (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta). [T] y = ln ( x ) x [T] y = x ln ( x ) grandes. ln ( x ) + 1 [T] y = log 10 x [T] y = ln ( sen x ) grandes. cot ( x ) [T] y = ln ( ln x ) [T] y = 7 ln ( 4 x ) grandes. 7 x [T] y = ln ( ( 4 x ) 7 ) [T] y = ln ( tan x ) grandes. csc ( x ) sec x [T] y = ln ( tan ( 3 x ) ) [T] y = ln ( cos 2 x ) grandes. −2 tan x En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida. ∫ 0 1 d x 3 + x ∫ 0 1 d t 3 + 2 t 1 2 ln ( 5 3 ) grandes. ∫ 0 2 x d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1 2 – 1 2 ln ( 5 ) grandes. ∫ 2 e d x x ln x ∫ 2 e d x x ( ln x ) 2 1 ln ( 2 ) − 1 ∫ cos x d x sen x ∫ 0 π / 4 tan x d x 1 2 ln ( 2 ) grandes. ∫ cot ( 3 x ) d x ∫ ( ln x ) 2 d x x 1 3 ( ln x ) 3 En los siguientes ejercicios, calcule d y / d x diferenciando ln y . y = x 2 + 1 y = x 2 + 1 x 2 – 1 2 x 3 x 2 + 1 x 2 – 1 y = e sen x y = x −1 / x x −2 − ( 1 / x ) ( ln x – 1 ) grandes. y = e ( e x ) grandes. y = x e e x e − 1 y = x ( e x ) grandes. y = x x 3 x 6 1 y = x −1 / ln x y = e − ln x − 1 x 2 En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método. ∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t ∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x π − ln ( 2 ) grandes. d d x ∫ x 1 d t t d d x ∫ x x 2 d t t 1 x d d x ln ( sec x + tan x ) En los siguientes ejercicios, utilice la función ln x . Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora. Halle el área de la región encerrada por x = 1 y y = 5 arriba y = ln x . e 5 − 6 al cuadrado 2 [T] Calcule la longitud de arco de ln x de x = 1 a x = 2 . Halle el área entre ln x y el eje x de x = 1 para x = 2 . ln ( 4 ) − 1 al cuadrado 2 Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde x = 1 para x = 2 alrededor del eje x , como se muestra aquí. [T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de x = 1 a x = 2 alrededor del eje x . 2,8656 Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora. Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por x = 2 y y = 2 arriba y = 1 / x . [T] Calcule la longitud de arco de y = 1 / x de x = 1 para x = 4 . 3,1502 Halle el área bajo y = 1 / x y por encima del eje x de x = 1 para x = 4 . En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas. d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x – a x + a ) = 2 a ( x 2 − a 2 ) grandes. d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2 d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2 ∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C

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Crecimiento y decaimiento exponencial Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones. Modelo de crecimiento exponencial Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k es una constante positiva, denominada constante de crecimiento . Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos y ′ = k y 0 e k t = k y . Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales . Regla: modelo de crecimiento exponencial Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, denominada constante de crecimiento . El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La y la representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 y una constante de crecimiento de 0,02 . Observe que después de apenas 2 horas ( 120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original! Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias. Crecimiento exponencial de una población bacteriana Tiempo (min) Tamaño de la población (n.º de bacterias) 10 244 20 298 30 364 40 445 50 544 60 664 70 811 80 991 90 1.210 100 1.478 110 1.805 120 2.205 Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando. Crecimiento de la población Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función f ( t ) = 200 e 0,02 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 5 horas ( 300 minutos)? ¿Cuándo alcanza la población 100.000 bacterias? Tenemos f ( t ) = 200 e 0,02 t . Entonces f ( 300 ) = 200 e 0,02 ( 300 ) ≈ 80686 . Hay 80686 bacterias en la población después de 5 horas. Para saber cuándo la población alcanza 100.000 bacterias, resolvemos la ecuación 100.000 = 200 e 0,02 t 500 = e 0,02 t ln 500 = 0,02 t t = ln 500 0,02 ≈ 310,73. La población alcanza 100.000 bacterias después de 310,73 minutos. Consideremos una población de bacterias que crece según la función f ( t ) = 500 e 0,05 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población 100 millones de bacterias? Hay 81377396 bacterias en la población después de 4 horas. La población alcanza 100 millones de bacterias después de 244,12 minutos. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto . El interés que no se capitaliza se denomina interés simple . El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente 1 año). Así que, si ponemos $ 1.000 en una cuenta de ahorros ganando el 2 % de interés simple anual, entonces al final del año tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 ) = $ 1.020 . El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada 6 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 6 meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $ 1.000 , sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 2 ) 2 = $ 1020,10 . Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada 4 meses, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 3 ) 3 = $ 1020,13 , y si el interés se capitaliza diariamente ( 365 veces al año), tenemos $ 1020,20 . Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de t años tendremos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t . Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número e puede expresarse como un límite: e = lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m . Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma ( 1 + 1 / m ) . Supongamos que n = 0,02 m . Tenga en cuenta que como n → ∞ , m → ∞ también. Entonces obtenemos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t = 1.000 lím m → ∞ ( 1 + 0,02 0,02 m ) 0,02 m t = 1.000 [ lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m ] 0,02 t . Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número e . Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de t años viene dado por 1.000 e 0,02 t . Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $ P gana intereses a una tasa de r % , capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de t años es Saldo = P e r t . Interés compuesto A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga 5 % interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $ 1 millón cuando se jubile a la edad de 65 ? ¿Y si más bien pudiera ganar 6 % interés anual capitalizado continuamente? Tenemos 1.000.000 = P e 0,05 ( 40 ) P = 135.335,28. Debe invertir $ 135.335,28 a las 5 % interés. Si en cambio puede ganar 6 % , entonces la ecuación se convierte en 1.000.000 = P e 0,06 ( 40 ) P = 90.717,95. En este caso, solo necesita invertir $ 90.717,95 . Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al 5 % . El hecho de que el interés se capitalice de forma continua magnifica en gran medida el efecto del 1 % de aumento de la tasa de interés. Supongamos que en vez de invertir a la edad de 25 , el estudiante espera hasta la edad de 35 . ¿Cuánto tendría que invertir al 5 % ? A 6 % ? A 5 % interés, debe invertir $ 223130.16 . A 6 % interés, debe invertir $ 165298.89 . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de 100 a 200 que el que tarda para crecer de 10.000 al 20.000 bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos 2 y 0 = y 0 e k t 2 = e k t ln 2 = k t t = ln 2 k . Definición Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por Tiempo de duplicación = ln 2 k . Uso del tiempo de duplicación Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1.000 peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance 10.000 . ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario? Sabemos que la población de peces tarda 6 meses para duplicar su número. Así, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos 6 = ( ln 2 ) / k . Entonces, k = ( ln 2 ) / 6 . Así, la población viene dada por y = 500 e ( ( ln 2 ) / 6 ) t . Para saber cuándo la población alcanza 10.000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación: 10.000 = 500 e ( ln 2 / 6 ) t 20 = e ( ln 2 / 6 ) t ln 20 = ( ln 2 6 ) t t = 6 ( ln 20 ) ln 2 ≈ 25,93. Los amigos del dueño tienen que esperar 25,93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque. Supongamos que se necesita 9 meses para que la población de peces en el alcance 1.000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario? 38,90 meses Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Modelo de decrecimiento exponencial Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva k , tenemos y = y 0 e − k t . Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos y ′ = − k y 0 e − k t = − k y . Regla: modelo de decrecimiento exponencial Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo y = y 0 e − k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, llamada constante de decrecimiento . La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial. Ejemplo de decrecimiento exponencial. Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si T representa la temperatura del objeto y T a representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces T ′ = − k ( T − T a ) . Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional T a . Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que y ( t ) = T ( t ) − T a . Entonces y ′ ( t ) = T ′ ( t ) − 0 = T ′ ( t ) , y nuestra ecuación se convierte en y ′ = − k y . Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto, y = y 0 e − k t , y vemos que T − T a = ( T 0 − T a ) e − k t T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a donde T 0 representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo. Ley de enfriamiento de Newton Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre 155 ° F y 175 ° F . Supongamos que el café se vierte a una temperatura de 200 ° F , y después de 2 minutos en una habitación a 70 ° F el café se enfría a 180 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. Tenemos T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a 180 = ( 200 − 70 ) e − k ( 2 ) + 70 110 = 130 e −2 k 11 13 = e −2 k ln 11 13 = −2 k ln 11 − ln 13 = −2 k k = ln 13 − ln 11 2 . Entonces, el modelo es T = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 . El café alcanza 175 ° F cuando 175 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 105 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 21 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 21 26 = ln 11 − ln 13 2 t ln 21 − ln 26 = ln 11 − ln 13 2 t t = 2 ( ln 21 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 2,56. El café puede servirse alrededor de 2,5 minutos después de ser vertido. El café alcanza 155 ° F en 155 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 85 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 17 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 17 − ln 26 = ( ln 11 − ln 13 2 ) t t = 2 ( ln 17 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 5,09. El café está demasiado frío para ser servido cerca de 5 minutos después de ser vertido. Supongamos que la habitación está más cálida ( 75 ° F ) y, después de 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. El café se enfría lo suficiente como para servirlo alrededor de 3,5 minutos después de ser vertido. El café está demasiado frío para servir cerca de 7 minutos después de ser vertido. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos y 0 2 = y 0 e − k t 1 2 = e − k t − ln 2 = − k t t = ln 2 k . Nota : Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo. Definición Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por Semivida = ln 2 k . Datación por radiocarbono Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono El carbono- 14 decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del carbono- 14 es, aproximadamente, 5730 años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono- 14 original al nuevo y no radiactivo nitrógeno 14 . Si tenemos 100 g carbono- 14 hoy, cuánto quedará en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 10 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Tenemos 5730 = ln 2 k k = ln 2 5730 . Entonces, el modelo dice y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t . En 50 años, tenemos y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) ( 50 ) ≈ 99,40 . Por lo tanto, en 50 años, 99,40 g de carbono- 14 permanecerán. Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver 10 = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t 1 10 = e − ( ln 2 / 5730 ) t t ≈ 19.035. El artefacto tiene aproximadamente 19.000 años. Si tenemos 100 g de carbono- 14 , ¿cuánto queda después de t años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 20 g de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Un total de 94,13 g de carbono. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave El crecimiento y el decrecimiento exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales. Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t . En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, y ′ = k y . Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por ( ln 2 ) / k . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por ( ln 2 ) / k . ¿ Verdadero o falso ? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta. El tiempo de duplicación para y = e c t ¿es ( ln ( 2 ) ) / ( ln ( c ) ) . Si invierte $ 500 , a una tasa de interés anual de 3 % obtiene más dinero en el primer año que a 2,5 % de interés continuo. Verdadero Si deja una tetera a 100 ° C a temperatura ambiente ( 25 ° C ) y una olla idéntica en el refrigerador ( 5 ° C ) , con la k = 0,02 , el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable ( 70 ° C ) en más de 5 minutos antes que el té a temperatura ambiente. Dada una vida media de t años, la constante k por y = e k t se calcula mediante k = ln ( 1 / 2 ) / t . Falso; k = ln ( 2 ) t En los siguientes ejercicios, utilice y = y 0 e k t . Si un cultivo de bacterias se duplica en 3 horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por 10 ? Si las bacterias se multiplican por 10 en 10 horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por 100 ? 20 horas ¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. Si una reliquia contiene el 90 % de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente 2000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. No. La reliquia tiene aproximadamente 871 años. La población de El Cairo creció de 5 millones a 10 millones en 20 años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de 8 millones de dólares. Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a 1 % y 1,4 % al año, respectivamente. A partir de 8 millones (Nueva York) y 6 millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones? 71,92 años Supongamos que el valor de $ 1 en yenes japoneses disminuye en 2 % por año. A partir de $ 1 = ¥ 250 , ¿cuándo serán $ 1 = ¥ 1 ? El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de 40 % de la población recuerda un nuevo producto después de 3 días, ¿cuánto tiempo el 20 % lo recordará? 5 días 6 horas 27 minutos Si los valores de y = 1.000 a las t = 3 y y = 3.000 a las t = 4 , ¿cuál era y 0 en t = 0 ? Si y = 100 a las t = 4 en tanto que y = 10 a las t = 8 , ¿cuándo es y = 1 ? 12 Si un banco ofrece un interés anual de 7,5 % o un interés continuo de 7,25 % , ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual? ¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de 9 % ? 8,618 % Si deposita $ 5.000 al 8 % interés anual, en cuántos años se puede retirar $ 500 (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero? Usted está tratando de ahorrar $ 50 000 en 20 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al 10 % , ¿cuál es el monto de la inversión inicial? $ 6766,76 Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de 165 ° F . Después de 10 minutos de reposo del pavo en un apartamento a 70 ° F su temperatura alcanza 155 ° F . ¿Cuál es la temperatura del pavo 20 minutos después de sacarlo del horno? Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de 1 ° F . Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de 44 ° F . Revisa sus verduras 2 horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a 12 ° F . Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan 33 ° F . 9 horas 13 minutos Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea ( 146 millones de años a 65 millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un 0,000001 % de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo? El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24.000 años. Si los valores de 1 barril que contiene 10 kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10 g de plutonio-239? 239.179 años En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas. Años desde 1950 Población (millones) 0 2.556 10 3.039 20 3.706 30 4.453 40 5.279 50 6.083 60 6.849 Fuente : http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 2.686 e 0,01604 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? P ′ ( t ) = 43 e 0,01604 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? [T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza 10 mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro. La población alcanza 10 mil millones de personas en 2027 . En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX. Años desde 1850 Población (miles) 0 21,00 10 56,80 20 149,5 30 234,0 Fuente : http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 35,26 e 0,06407 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo? P ′ ( t ) = 2,259 e 0,06407 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? tiempo de duplicación si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dado por ( ln 2 ) / k decrecimiento exponencial los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t crecimiento exponencial los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t semivida si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que dicha cantidad tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por ( ln 2 ) / k

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Cálculo de las funciones hiperbólicas En Introducción a funciones y gráficos se presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección veremos las fórmulas de diferenciación e integración de las funciones hiperbólicas y sus inversas. Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como senoh x = e x − e – x 2 y cosh x = e x + e – x 2 . Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de senoh x y cosh x . Los gráficos de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas. Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si se observa senoh x tenemos d d x ( senoh x ) = d d x ( e x − e – x 2 ) = 1 2 [ d d x ( e x ) − d d x ( e – x ) ] = 1 2 [ e x + e – x ] = cosh x . De la misma manera, ( d / d x ) cosh x = senoh x . Resumimos las fórmulas de diferenciación de las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh x cosh x cosh x senoh x tanh x sech 2 x coth x − csch 2 x sech x − sech x tanh x csch x − csch x coth x Comparemos las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: ( d / d x ) sen x = cos x y ( d / d x ) senoh x = cosh x . Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en el signo: ( d / d x ) cos x = − sen x , pero ( d / d x ) cosh x = senoh x . A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar. Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales. ∫ senoh u d u = cosh u + C ∫ csch 2 u d u = − coth u + C ∫ cosh u d u = senoh u + C ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C ∫ sech 2 u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Diferenciación de funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh ( x 2 ) ) grandes. d d x ( cosh x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos d d x ( senoh ( x 2 ) ) = cosh ( x 2 ) . 2 x d d x ( cosh x ) 2 = 2 cosh x senoh x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) = ( sech 2 ( x 2 + 3 x ) ) ( 2 x + 3 ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) = d d x ( senoh x ) −2 = −2 ( senoh x ) −3 cosh x Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes integrales: ∫ x cosh ( x 2 ) d x ∫ tanh x d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = x 2 . Entonces, d u = 2 x d x y ∫ x cosh ( x 2 ) d x = ∫ 1 2 cosh u d u = 1 2 senoh u + C = 1 2 senoh ( x 2 ) + C . Supongamos que u = cosh x . Entonces, d u = senoh x d x y ∫ tanh x d x = ∫ senoh x cosh x d x = ∫ 1 u d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C . Observe que cosh x > 0 para todo x , por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener ∫ tanh x d x = ln ( cosh x ) + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ senoh 3 x cosh x d x ∫ sech 2 ( 3 x ) d x ∫ senoh 3 x cosh x d x = senoh 4 x 4 + C ∫ sech 2 ( 3 x ) d x = tanh ( 3 x ) 3 + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u si es necesario. Cálculo de funciones hiperbólicas inversas Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla. Dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas Función Dominio Rango senoh −1 x ( − ∞ , ∞ ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. cosh −1 x [ 1 , ∞ ) grandes. [ 0 , ∞ ) grandes. tanh −1 x ( –1 , 1 ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. coth −1 x ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. sech −1 x ( 0 , 1 ] [ 0 , ∞ ) grandes. csch −1 x ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Los gráficos de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Para calcular las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos y = senoh −1 x senoh y = x d d x senoh y = d d x x cosh y d y d x = 1 . Recordemos que cosh 2 y − senoh 2 y = 1 , por lo que cosh y = 1 + senoh 2 y . Entonces, d y d x = 1 cosh y = 1 1 + senoh 2 y = 1 1 + x 2 . Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de forma similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh −1 x 1 1 + x 2 cosh −1 x 1 x 2 – 1 tanh −1 x 1 1 − x 2 coth −1 x 1 1 − x 2 sech −1 x −1 x 1 − x 2 csch −1 x −1 | x | 1 + x 2 Observe que las derivadas de tanh −1 x y coth −1 x son los mismos. Así, cuando integramos 1 / ( 1 − x 2 ) , tenemos que seleccionar la antiderivada adecuada en función del dominio de las funciones y de los valores de x . Las fórmulas de integración que involucran a las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera. ∫ 1 1 + u 2 d u = senoh −1 u + C ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − sech −1 | u | + C ∫ 1 u 2 – 1 d u = cosh −1 u + C ∫ 1 u 1 + u 2 d u = − csch −1 | u | + C ∫ 1 1 − u 2 d u = { tanh −1 u + C si | u | < 1 coth −1 u + C si | u | > 1 Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) grandes. d d x ( tanh −1 x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) = 1 3 1 + x 2 9 = 1 9 + x 2 d d x ( tanh −1 x ) 2 = 2 ( tanh −1 x ) 1 − x 2 Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) grandes. d d x ( coth −1 x ) 3 d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) = 3 9 x 2 – 1 d d x ( coth −1 x ) 3 = 3 ( coth −1 x ) 2 1 − x 2 Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 4 x 2 – 1 d x ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = 2 x . Entonces, d u = 2 d x y tenemos ∫ 1 4 x 2 – 1 d x = ∫ 1 2 u 2 – 1 d u = 1 2 cosh −1 u + C = 1 2 cosh −1 ( 2 x ) + C . Supongamos que u = 3 x . Entonces, d u = 3 d x y obtenemos ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − 1 2 sech −1 | u | + C = − 1 2 sech −1 | 3 x | + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 x 2 − 4 d x , x > 2 ∫ 1 1 − e 2 x d x ∫ 1 x 2 − 4 d x = cosh −1 ( x 2 ) + C ∫ 1 1 − e 2 x d x = − sech −1 ( e x ) + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u según sea necesario. Aplicaciones Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes . Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria . Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes. Las cadenas entre estos postes adoptan la forma de una catenaria (créditos: modificación del trabajo de OKFoundryCompany, Flickr). Las funciones hiperbólicas pueden utilizarse para modelar catenarias. En concreto, las funciones de la forma y = a cosh ( x / a ) son catenarias. La muestra el gráfico de y = 2 cosh ( x / 2 ) . Una función coseno hiperbólico tiene la forma de una catenaria. Uso de una catenaria para calcular la longitud de un cable Supongamos que un cable colgante tiene la forma 10 cosh ( x / 10 ) por −15 ≤ x ≤ 15 , donde x se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies). Recuerde de la sección 2.4 que la fórmula de la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Tenemos f ( x ) = 10 cosh ( x / 10 ) , por lo que f ′ ( x ) = senoh ( x / 10 ) . Entonces Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x . Recordemos que 1 + senoh 2 x = cosh 2 x , por lo que tenemos Longitud de arco = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x = ∫ −15 15 cosh ( x 10 ) d x = 10 senoh ( x 10 ) | −15 15 = 10 [ senoh ( 3 2 ) − senoh ( − 3 2 ) ] = 20 senoh ( 3 2 ) ≈ 42,586 pies . Supongamos que un cable colgante tiene la forma 15 cosh ( x / 15 ) por −20 ≤ x ≤ 20 . Determine la longitud del cable (en pies). 52,95 pies Pista Utilice el procedimiento del ejemplo anterior. Conceptos clave Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales. La diferenciación término a término permite obtener fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Estas fórmulas de diferenciación dan lugar, a su vez, a fórmulas de integración. Con las restricciones de rango adecuadas, todas las funciones hiperbólicas tienen inversas. La diferenciación implícita da lugar a fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas, que a su vez dan lugar a fórmulas de integración. Las aplicaciones físicas más comunes de las funciones hiperbólicas son los cálculos con catenarias. [T] Halle expresiones para cosh x + senoh x y cosh x − senoh x . Utilice una calculadora para representar gráficamente estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta. e x y e – x A partir de las definiciones de cosh ( x ) y senoh ( x ) , calcule sus antiderivadas. Demuestre que cosh ( x ) y senoh ( x ) satisfacen y ″ = y . Las respuestas pueden variar Utilice la regla del cociente para verificar que tanh ( x ) ′ = sech 2 ( x ) . Derive cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) = cosh ( 2 x ) de la definición. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para senoh ( 2 x ) . Pruebe que senoh ( x + y ) = senoh ( x ) cosh ( y ) + cosh ( x ) senoh ( y ) cambiando la expresión a exponenciales. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para cosh ( x + y ) . En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones y gráfico dados junto con la función para garantizar que su respuesta sea correcta. [T] cosh ( 3 x + 1 ) grandes. 3 senoh ( 3 x + 1 ) [T] senoh ( x 2 ) [T] 1 cosh ( x ) grandes. − tanh ( x ) sech ( x ) [T] senoh ( ln ( x ) ) [T] cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) grandes. 4 cosh ( x ) senoh ( x ) [T] cosh 2 ( x ) − senoh 2 ( x ) [T] tanh ( x 2 + 1 ) grandes. x sech 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 [T] 1 + tanh ( x ) 1 − tanh ( x ) [T] senoh 6 ( x ) grandes. 6 senoh 5 ( x ) cosh ( x ) [T] ln ( sech ( x ) + tanh ( x ) ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones dadas. cosh ( 2 x + 1 ) grandes. 1 2 senoh ( 2 x + 1 ) + C tanh ( 3 x + 2 ) grandes. x cosh ( x 2 ) grandes. 1 2 senoh 2 ( x 2 ) + C 3 x 3 tanh ( x 4 ) grandes. cosh 2 ( x ) senoh ( x ) grandes. 1 3 cosh 3 ( x ) + C tanh 2 ( x ) sech 2 ( x ) grandes. senoh ( x ) 1 + cosh ( x ) grandes. ln ( 1 + cosh ( x ) ) + C coth ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) + C ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones. tanh −1 ( 4 x ) grandes. 4 1 − 16 x 2 senoh −1 ( x 2 ) grandes. senoh −1 ( cosh ( x ) ) grandes. senoh ( x ) cosh 2 ( x ) + 1 cosh −1 ( x 3 ) grandes. tanh −1 ( cos ( x ) ) grandes. − csc ( x ) grandes. e senoh −1 ( x ) grandes. ln ( tanh −1 ( x ) ) grandes. − 1 ( x 2 – 1 ) tanh −1 ( x ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones. ∫ d x 4 − x 2 ∫ d x a 2 − x 2 1 a tanh −1 ( x a ) + C ∫ d x x 2 + 1 ∫ x d x x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ − d x x 1 − x 2 ∫ e x e 2 x – 1 cosh −1 ( e x ) + C ∫ − 2 x x 4 − 1 En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece a la ecuación d v / d t = g − v 2 . Demuestre que v ( t ) = g tanh ( ( g ) t ) satisface esta ecuación. Las respuestas pueden variar Derive la expresión anterior para v ( t ) integrando d v g − v 2 = d t . [T] Estime la caída de un cuerpo en 12 segundos calculando el área bajo la curva de v ( t ) . 37,30 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un cable que cuelga por su propio peso tiene una pendiente S = d y / d x que satisface d S / d x = c 1 + S 2 . La constante c es la relación entre la densidad del cable y la tensión. Demuestre que S = senoh ( c x ) satisface esta ecuación. Integre d y / d x = senoh ( c x ) para calcular la altura del cable y ( x ) si y ( 0 ) = 1 / c . y = 1 c cosh ( c x ) Haga un dibujo del cable y determine hasta qué punto se hunde en x = 0 . En los siguientes ejercicios, resuelva cada problema. [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen 2 m de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 2 cosh ( x / 2 ) − 1 . Calcule la pendiente de la catenaria en el poste de la valla de la izquierda. −0,521095 [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen cuatro metros de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 4 cosh ( x / 4 ) − 3 . Calcule la longitud total de la catenaria (longitud de arco). [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por y = 10 cosh ( x / 10 ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Qué observa? 10 Una línea telefónica es una catenaria descrita por y = a cosh ( x / a ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Confirma esto su respuesta a la pregunta anterior? Demuestre la fórmula de la derivada de y = senoh −1 ( x ) diferenciando x = senoh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = cosh −1 ( x ) diferenciando x = cosh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = sech −1 ( x ) diferenciando x = sech ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Compruebe que ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n = cosh ( n x ) + senoh ( n x ) . Demuestre la expresión para senoh −1 ( x ) . Multiplique x = senoh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y + e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Demuestre la expresión para cosh −1 ( x ) . Multiplique x = cosh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y − e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La cantidad de trabajo para bombear el agua de un cilindro medio lleno es la mitad de la cantidad de trabajo para bombear el agua del cilindro lleno. Falso Si la fuerza es constante, la cantidad de trabajo para mover un objeto de x = a a x = b ¿es F ( b – a ) . El método de disco puede utilizarse en cualquier situación en la que el método de las arandelas sirva para calcular el volumen de un sólido de revolución. Falso Si la semivida del seaborgio- 266 ¿es 360 ms, entonces k = ( ln ( 2 ) ) / 360 . En los siguientes ejercicios, utilice el método solicitado para determinar el volumen del sólido. El volumen que tiene como base la elipse x 2 / 4 + y 2 / 9 = 1 y secciones transversales de un triángulo equilátero perpendicular al eje y . Utilice el método de rebanadas. 32 3 y = x 2 − x , de x = 1 para x = 4 , girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas x = y 2 y x = 3 y girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas 162 π 5 x = 2 y 2 − y 3 , x = 0 , y y = 0 girado alrededor del eje x mediante capas cilíndricas En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región, el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje x , y el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje y . Utilice el método que le parezca más adecuado. y = x 3 , x = 0 , y = 0 , y x = 2 a. 4 , b. 128 π 7 , c. 64 π 5 y = x 2 − x y x = 0 [T] y = ln ( x ) + 2 y y = x a. 1,949 , b. 21,952 , c. 17,099 y = x 2 y y = x y = 5 + x , y = x 2 , x = 0 , y x = 1 a. 31 6 , b. 452 π 15 , c. 31 π 6 Por debajo de x 2 + y 2 = 1 y por encima de y = 1 − x Encuentre la masa de ρ = e – x en un disco centrado en el origen con radio 4 . 245,282 Halle el centro de masa para ρ = tan 2 x sobre x ∈ ( − π 4 , π 4 ) . Calcule la masa y el centro de masa de ρ = 1 en la región delimitada por y = x 5 y la intersección y = x . Masa: 1 2 , centro de masa: ( 18 35 , 9 22 ) En los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de arco solicitadas. La longitud de x por y = cosh ( x ) de x = 0 a x = 2 . La longitud de y para x = 3 − y a partir de y = 0 al y = 4 17 + 1 8 ln ( 33 + 8 17 ) En los siguientes ejercicios, calcule el área superficial y el volumen cuando las curvas dadas giran alrededor del eje especificado. La forma creada al girar la región entre y = 4 + x , y = 3 − x , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del eje y . El altavoz creado por al girar y = 1 / x de x = 1 a x = 4 alrededor del eje x . Volumen: 3 π 4 , área superficial: π ( 2 − senoh −1 ( 1 ) + senoh −1 ( 16 ) − 257 16 ) Para este ejercicio, consideremos la presa Karun-3 en Irán. Su forma puede aproximarse a la de un triángulo isósceles invertido que atraviesa el río, con una altura de 205 m y un ancho (en la parte superior de la presa) de 388 m. Supongamos que la profundidad actual del agua es de 180 m. La densidad del agua es de 1.000 kg/m 3 . Calcule la fuerza total sobre la pared de la presa. Usted es un investigador de la escena del crimen que intenta determinar la hora de la muerte de una víctima. Es mediodía y hace 45 ° F afuera y la temperatura del cuerpo es 78 ° F . Sabe que la constante de enfriamiento es k = 0,00824 ° F/min . ¿Cuándo murió la víctima, suponiendo que la temperatura de un ser humano es 98 ° F ? 11:02 a.m. En el siguiente ejercicio, considere la caída de la bolsa en 1929 en Estados Unidos. La tabla muestra el promedio industrial del Dow Jones por año hasta la caída. Años después de 1920 Valor ($) 1 63,90 3 100 5 110 7 160 9 381,17 Fuente: http://stockcharts.com/freecharts/historical/djia19201940.html [T] La curva exponencial que mejor se ajusta a estos datos viene dada por y = 40,71 + 1,224 x . ¿Por qué cree que las ganancias del mercado fueron insostenibles? Utilice las derivadas primera y segunda para justificar su respuesta. ¿Cuál sería la predicción de este modelo para el promedio industrial de Dow Jones en 2014 ? En los siguientes ejercicios, considera la catenoide, el único sólido de revolución que tiene una superficie mínima, o curvatura promedio de cero. Una catenoide en la naturaleza puede encontrarse al estirar el jabón entre dos anillos. Calcule el volumen de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 para x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x , como se muestra aquí. π ( 1 + senoh ( 1 ) cosh ( 1 ) ) Calcule el área superficial de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 a x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x . catenaria una curva con la forma de la función y = a cosh ( x / a ) es una catenaria; un cable de densidad uniforme suspendido entre dos soportes adopta la forma de una catenaria

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Introducción Una cuidadosa planificación de las señales de tráfico puede evitar o reducir el número de accidentes en las intersecciones más concurridas (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr). En una ciudad grande se producen accidentes a una tasa promedio de uno cada tres meses en una intersección especialmente concurrida. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de ocho meses sin accidentes es fruto de la casualidad? Exploraremos esta pregunta más adelante en este capítulo y veremos que la integración es una parte esencial para determinar la respuesta (vea el ). En el capítulo anterior vimos lo importante que puede ser la integración para todo tipo de temas: desde el cálculo de volúmenes hasta las tasas de flujo, y desde el uso de una función de velocidad para determinar una posición hasta la ubicación de centros de masa. No es de extrañar, pues, que sea importante conocer las técnicas para hallar antiderivadas (o integrales indefinidas) para todo aquel que las utilice. Ya hemos hablado de algunas fórmulas básicas de integración y del método de integración por sustitución. En este capítulo estudiamos algunas técnicas adicionales, incluidas algunas formas de aproximar integrales definidas cuando las técnicas normales no funcionan.

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