Triángulos no rectángulos: ley de cosenos Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la . ¿A qué distancia del puerto está el barco? Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado) , o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado) . En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos. Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos , que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático. Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras , que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo A B C se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice A en el origen, el lado c dibujado a lo largo del eje x , y el vértice C situado en algún punto ( x , y ) en el plano, como se ilustra en la . Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica. Podemos dejar caer una perpendicular desde C al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que cos θ = x (adyacente) b (hipotenusa) y sen θ = y (opuesto) b (hipotenusa) En términos de θ , x = b cos θ y y = b sen θ . El punto ( x , y ) situado en C tiene coordenadas ( b cos θ , b sen θ ) . Al utilizar el lado ( x - c ) como cateto de un triángulo rectángulo, además de y como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa a con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, a 2 = ( x - c ) 2 + y 2 = ( b cos θ − c ) 2 + ( b sen θ ) 2 Sustituya ( b cos θ ) para x y ( b sen θ ) para y . = ( b 2 cos 2 θ - 2 b c cos θ + c 2 ) + b 2 sen 2 θ Expanda el cuadrado perfecto . = b 2 cos 2 θ + b 2 sen 2 θ + c 2 - 2 b c cos θ Agrupe los términos al destacar que cos 2 θ + sen 2 θ = 1. = b 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) + c 2 - 2 b c cos θ Factorice b 2 . a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos θ La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar. Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema. Ley de cosenos La ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. En los triángulos etiquetados como en la , con ángulos α , β , y γ , y los lados opuestos correspondientes a , b , y c , respectivamente, la ley de cosenos se da en tres ecuaciones. a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ Para resolver la medida que falta de un lado, se necesita la medida correspondiente del ángulo opuesto. Al momento de resolver un ángulo, se necesita la medida correspondiente del lado opuesto. Podemos utilizar otra versión de la ley de cosenos para resolver un ángulo. cos α = b 2 + c 2 - a 2 2 b c cos β = a 2 + c 2 - b 2 2 a c cos γ = a 2 + b 2 - c 2 2 a b Cómo Dados dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), hallar las medidas del lado y los ángulos restantes de un triángulo. Dibuje el triángulo. Identifique las medidas de los lados y ángulos conocidos. Utilice las variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos. Aplique la ley de cosenos para medir la longitud del lado o ángulo desconocido. Aplique la ley de senos o cosenos para hallar la medida de un segundo ángulo. Calcule la medida del ángulo restante. Hallar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo LAL Halle el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la . En primer lugar, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Esta disposición se clasifica como LAL y suministra los datos necesarios para aplicar la ley de cosenos. Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado por resolver es el lado b , ya que conocemos la medida del ángulo opuesto β . b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β b 2 = 10 2 + 12 2 - 2 ( 10 ) ( 12 ) cos ( 30 ∘ ) Sustituya las medidas por las cantidades conocidas . b 2 = 100 + 144 − 240 ( 3 2 ) Evalúe el coseno y empiece a simplificar . b 2 = 244 − 120 3 b = 244 − 120 3 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . b ≈ 6,013 Ya que estamos resolviendo una longitud, utilizamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que sabemos la longitud b , podemos utilizar la ley de senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Al resolver el ángulo α , tenemos sen α a = sen β b sen α 10 = sen ( 30° ) 6,013 sen α = 10 sen ( 30° ) 6,013 Multiplique ambos lados de la ecuación por 10 . α = sen − 1 ( 10 sen ( 30° ) 6,013 ) Halle el seno inverso de 10 sen ( 30° ) 6,013 . α ≈ 56,3° La otra posibilidad para α sería α = 180° – 56,3° ≈ 123,7°. En el diagrama original, α es adyacente al lado más largo, por lo que α es un ángulo agudo y, por lo tanto, 123,7° no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la ley de cosenos , llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para ángulos entre 0° y 180°. Al proceder con α ≈ 56,3° , podemos entonces hallar el tercer ángulo del triángulo. γ = 180° − 30° − 56,3° ≈ 93,7° El conjunto completo de ángulos y lados es α ≈ 56,3° a = 10 β = 30° b ≈ 6,013 γ ≈ 93,7° c = 12 Ejercicio Halle el lado y los ángulos que faltan en el triángulo dado: α = 30° , b = 12 , c = 24. a ≈ 14,9 , β ≈ 23,8° , γ ≈ 126,2° . Resolver un ángulo de un triángulo LLL Halle el ángulo α para el triángulo dado si el lado a = 20 , el lado b = 25 , y el lado c = 18. Para este ejemplo no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo con la ley de cosenos. Para resolver el ángulo α , tenemos a 2 = b 2 + c 2 −2 b c cos α 20 2 = 25 2 + 18 2 −2 ( 25 ) ( 18 ) cos α Sustituya las medidas pertinentes . 400 = 625 + 324 − 900 cos α Simplifique en cada paso . 400 = 949 − 900 cos α -549 = -900 cos α Aísle el coseno α . -549 -900 = cos α 0,61 ≈ cos α cos −1 ( 0,61 ) ≈ α Halle el coseno inverso . α ≈ 52,4° Vea el . Análisis Dado que el coseno inverso puede arrojar cualquier ángulo entre 0 y 180 grados, no habrá ninguna ambigüedad con este método. Ejercicio Dados a = 5 , b = 7 , y c = 10 , halle los ángulos que faltan. α ≈ 27,7° , β ≈ 40,5° , γ ≈ 111,8° Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos. Usar la ley de cosenos para resolver un problema de comunicaciones En muchos teléfonos móviles con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal GPS. Esto se consigue mediante un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias de dos puntos conocidos. Supongamos que hay dos torres de telefonía móvil dentro del rango de un teléfono móvil. Las dos torres están situadas a 6.000 pies de distancia a lo largo de una autopista recta, que va de este a oeste, y el teléfono móvil está al norte de la autopista. Basándose en el retardo de la señal, se puede determinar que la señal está a 5.050 pies de la primera torre y a 2.420 pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono móvil al norte y al este de la primera torre, y ubique a qué distancia se encuentra de la autopista. Para simplificar, empezamos por dibujar un diagrama similar al de la y etiquetar nuestra información dada. Utilizando la ley de cosenos, podemos resolver el ángulo θ . Recuerde que en la ley de cosenos se utiliza el cuadrado de un lado para hallar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, supongamos que a = 2.420 , b = 5.050 , y c = 6.000. Por lo tanto, θ corresponde al lado opuesto a = 2.420. a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos θ ( 2 , 420 ) 2 = ( 5.050 ) 2 + ( 6.000 ) 2 - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) cos θ ( 2.420 ) 2 - ( 5.050 ) 2 - ( 6 , 000 ) 2 = - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) cos θ ( 2.420 ) 2 - ( 5.050 ) 2 - ( 6.000 ) 2 - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) = cos θ cos θ ≈ 0,9183 θ ≈ cos - 1 ( 0,9183 ) θ ≈ 23,3 ° Para responder las preguntas acerca de la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la autopista, deje caer una perpendicular desde la posición del teléfono móvil, como en la . Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque para este problema solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre. Con el ángulo θ = 23,3° y las identidades trigonométricas básicas, podemos hallar las soluciones. Así, cos ( 23,3° ) = x 5.050 x = 5.050 cos ( 23,3° ) x ≈ 4.638,15 pies sen ( 23,3° ) = y 5.050 y = 5.050 sen ( 23,3° ) y ≈ 1.997,5 pies El teléfono celular se encuentra aproximadamente a 4.638 pies al este, a 1.998 pies al norte de la primera torre, y a 1.998 pies de la autopista. Calcular la distancia recorrida mediante un triángulo LAL Volviendo a nuestro problema al principio de esta sección, supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la . El barco viró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no rectángulo es el ángulo complementario, 180° − 20° = 160° . Con esto, podemos utilizar la ley de cosenos para hallar el lado que falta en el triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto. x 2 = 8 2 + 10 2 - 2 ( 8 ) ( 10 ) cos ( 160° ) x 2 = 314,35 x = 314,35 x ≈ 17,7 millas El barco está a unas 17,7 millas del puerto. Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados. Fórmula de Herón La fórmula de Herón sirve para determinar el área de los triángulos oblicuos cuyos lados a , b , y c son conocidas. Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) donde s = ( a + b + c ) 2 es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro. Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo dado Calcule el área del triángulo en la con la fórmula de Herón. En primer lugar, calculamos s . s = ( a + b + c ) 2 s = ( 10 + 15 + 7 ) 2 = 16 Entonces aplicamos la fórmula. Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) Área = 16 ( 16 − 10 ) ( 16 − 15 ) ( 16 − 7 ) Área ≈ 29,4 El área es de aproximadamente 29,4 unidades cuadradas. Ejercicio Utilice la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo con lados de longitudes a = 29,7 pies , b = 42,3 pies , y c = 38,4 pies . Área = 552 pies cuadrados Aplicar la fórmula de Herón a un problema del mundo real Un promotor de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio de estudios para artistas en un solar triangular delimitado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. La fachada a lo largo de la calle Rush es de aproximadamente 62,4 metros, a lo largo de la avenida Wabash es de aproximadamente 43,5 metros, y a lo largo de la calle Pearson es de aproximadamente 34,1 metros. ¿De cuántos metros cuadrados dispone el promotor? Vea la para una vista de la propiedad de la ciudad. Halle la medida para s , que es la mitad del perímetro. s = ( 62,4 + 43,5 + 34,1 ) 2 s = 70 m Aplique la fórmula de Herón. Área = 70 ( 70 − 62,4 ) ( 70 − 43,5 ) ( 70 − 34,1 ) Área = 506.118,2 Área ≈ 711,4 El promotor tiene unos 711,4 metros cuadrados. Ejercicio Calcule el área de un triángulo dado a = 4,38 pies , b = 3,79 pies, y c = 5,22 pies . unos 8,15 pies cuadrados Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la ley de cosenos. Ley de cosenos Ley de cosenos: Aplicaciones Ley de cosenos: Aplicaciones 2 Ecuaciones clave Ley de cosenos a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b c o s γ fórmula de Herón Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) donde s = ( a + b + c ) 2 Conceptos clave La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos. El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el y el . La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el y el . La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Si busca un lado que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos? dos lados y el ángulo opuesto al lado que falta. Si busca un ángulo que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos? Explique qué representa s en la fórmula de Herón. s es el semiperímetro, que es la mitad del perímetro del triángulo. Explique la relación entre el teorema de Pitágoras y la ley de cosenos. ¿Cuándo hay que utilizar la ley de cosenos en lugar del teorema de Pitágoras? La ley de cosenos debe utilizarse para cualquier triángulo oblicuo (no rectángulo). Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana. γ = 41,2° , a = 2,49 , b = 3,13 α = 120° , b = 6 , c = 7 11,3 β = 58,7° , a = 10,6 , c = 15,7 γ = 115° , a = 18 , b = 23 34,7 α = 119° , a = 26 , b = 14 γ = 113° , b = 10 , c = 32 26,7 β = 67° , a = 49 , b = 38 α = 43,1° , a = 184,2 , b = 242,8 257,4 α = 36,6° , a = 186,2 , b = 242,2 β = 50° , a = 105 , b = 45 no es posible En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana. a = 42 , b = 19 , c = 30 ; halle el ángulo A . a = 14 , b = 13 , c = 20 ; halle el ángulo C . 95,5° a = 16 , b = 31 , c = 20 ; halle el ángulo B . a = 13 , b = 22 , c = 28 ; halle el ángulo A . 26,9° a = 108 , b = 132 , c = 160 ; halle el ángulo C . En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana. A = 35° , b = 8 , c = 11 B ≈ 45,9° , C ≈ 99,1° , a ≈ 6,4 B = 88° , a = 4,4 , c = 5,2 C = 121° , a = 21 , b = 37 A ≈ 20,6° , B ≈ 38,4° , c ≈ 51,1 a = 13 , b = 11 , c = 15 a = 3,1 , b = 3,5 , c = 5 A ≈ 37,8° , B ≈ 43,8 , C ≈ 98,4° a = 51 , b = 25 , c = 29 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana. Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 18 pulgadas, 21 pulgadas y 32 pulgadas. Redondee a la décima más cercana. 177,56 in 2 Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 26 cm y 37 cm. Redondee a la décima más cercana. a = 1 2 m , b = 1 3 m , c = 1 4 m 0,04 m 2 a = 12,4 pies , b = 13,7 pies , c = 20,2 pies a = 1,6 yardas , b = 2,6 yardas , c = 4,1 yardas 0,91 yardas 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x . Redondee a la décima más cercana. 3,0 29,1 0,5 En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo A . 70,7° 77,4° Calcule la medida de cada ángulo en el triángulo que se indica en la . Redondee a la décima más cercana. En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana. 25,0 9,3 En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana. 43,52 1,41 0,14 Extensiones Un paralelogramo tiene lados de longitud 16 unidades y 10 unidades. La diagonal más corta es de 12 unidades. Calcule la medida de la diagonal más larga. Los lados de un paralelogramo son 11 pies y 17 pies. La diagonal más larga es de 22 pies. Calcule la longitud de la diagonal más corta. 18,3 Los lados de un paralelogramo miden 28 centímetros y 40 centímetros. La medida del ángulo mayor es 100°. Calcule la longitud de la diagonal más corta. Un octógono regular está inscrito en un círculo con un radio de 8 pulgadas. (Vea la ). Halle el perímetro del octógono. 48,98 Un pentágono regular está inscrito en un círculo de radio de 12 cm. (Vea la ). Halle el perímetro del pentágono. Redondee a la décima de centímetro más cercana. En los siguientes ejercicios, supongamos que x 2 = 25 + 36 − 60 cos ( 52 ) representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo. Dibuje el triángulo. Mida la longitud del tercer lado. En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. 7,62 85,1 Aplicaciones en el mundo real Un topógrafo ha tomado las medidas indicadas en la . Mida la distancia a través del lago. Redondee las respuestas a la décima más cercana. Un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la (no a escala). Calcule la distancia entre las dos ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana. 24,0 km Un avión vuela 220 millas con un rumbo de 40°, y luego vuela 180 millas con un rumbo de 170°. ¿A qué distancia está el avión de su punto de partida y con qué rumbo? Redondee las respuestas a la décima más cercana. Una torre de 113 pies está situada en una colina con una inclinación de 34° respecto a la horizontal, como se muestra en la . Se fijará un cable de sujeción en la parte superior de la torre y se anclará en un punto situado a 98 pies de la base de la torre. Halle la longitud del cable necesario. 99,9 pies Dos barcos zarpan del puerto al mismo tiempo. Un barco viaja a una velocidad de 18 millas por hora con un rumbo de 320°. El otro barco viaja a una velocidad de 22 millas por hora con un rumbo de 194°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 10 horas de viaje. El gráfico en la representa dos barcos que zarpan al mismo tiempo del mismo muelle. El primer barco viaja a 18 millas por hora con un rumbo de 327° y el segundo barco viaja a 4 millas por hora con un rumbo de 60°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 2 horas. 37,3 millas Una piscina triangular mide 40 pies por un lado y 65 pies por el otro. Estos lados forman un ángulo que mide 50°. ¿Qué longitud tiene el tercer lado (redondeando a la décima más cercana)? Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos. A continuación, realiza una corrección de rumbo, dirigiéndose 10° a la derecha de su rumbo original, y vuela 2 horas en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 680 millas por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su posición inicial? 2.371 millas Los Ángeles está a 1.744 millas de Chicago, Chicago está a 714 millas de Nueva York y Nueva York está a 2.451 millas de Los Ángeles. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y halle los ángulos del triángulo. Filadelfia está a 140 millas de Washington D.C., Washington D.C. está a 442 millas de Boston y Boston está a 315 millas de Filadelfia. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y encuentra los ángulos del triángulo. Dos aviones salen del mismo aeropuerto a la vez. Uno vuela a 20° al este del norte a 500 millas por hora. El segundo vuela a 30° al este del sur a 600 millas por hora. ¿A qué distancia están los aviones después de 2 horas? Dos aviones despegan en direcciones diferentes. Uno viaja a 300 mph hacia el oeste y el otro viaja 25° al norte del oeste a 420 mph. Después de 90 minutos, ¿a qué distancia están, suponiendo que vuelan a la misma altitud? 292,4 millas Un paralelogramo tiene lados de longitud 15,4 unidades y 9,8 unidades. Su área es de 72,9 unidades cuadradas. Calcule la medida de la diagonal más larga. Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 4,5 cm, 7,9 cm, 9,4 cm y 12,9 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 117°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero? 65,4 cm 2 Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 5,7 cm, 7,2 cm, 9,4 cm y 12,8 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 106°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero? Calcule el área de una parcela triangular que mide 30 pies en un lado y 42 pies en otro; el ángulo incluido mide 132°. Redondee al pie cuadrado más cercano. 468 pies 2 Calcule el área de una parcela triangular que mide 110 pies en un lado y 250 pies en otro; el ángulo incluido mide 85°. Redondee al pie cuadrado más cercano. Ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido Teorema generalizado de Pitágoras extensión de la ley de cosenos; relaciona los lados de un triángulo oblicuo y se utiliza para los triángulos LAL y LLL

Matemáticas


Coordenadas polares A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la ). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas. Trazar puntos mediante coordenadas polares Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares ( x , y ) en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares , que son puntos marcados ( r , θ ) y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas. La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada r es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo θ , medido en radianes, indica la dirección de r . Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de θ , y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud r en dirección a θ . Aunque midamos θ primero y luego r , el punto polar se escribe primero con la coordenada r . Por ejemplo, para trazar el punto ( 2 , π 4 ) , nos trasladaríamos π 4 unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la . Trazar un punto en la cuadrícula polar Trace el punto ( 3 , π 2 ) en la cuadrícula de coordenadas polares. El ángulo π 2 se encuentra al hacer un barrido en sentido contrario a las agujas del reloj a 90° del eje polar. El punto se sitúa a una longitud de 3 unidades del polo en la dirección π 2 , como se muestra en la . Ejercicio Trace el punto ( 2 , π 3 ) en la cuadrícula polar . Trazar un punto en el sistema de coordenadas polares con componente negativa Trace el punto ( – 2 , π 6 ) en la cuadrícula de coordenadas polares. Sabemos que π 6 se localiza en el primer cuadrante. Sin embargo, r = -2. Podemos acercarnos a trazar un punto con coordenada r negativa de dos maneras: Trace el punto ( 2 , π 6 ) al mover π 6 en el sentido contrario a las agujas del reloj y al extender un segmento rectilíneo dirigido 2 unidades en el primer cuadrante. A continuación, vuelva a trazar el segmento rectilíneo dirigido a través del polo, y continúe 2 unidades en el tercer cuadrante. Desplace π 6 en el sentido contrario a las agujas del reloj, y dibuje el segmento rectilíneo dirigido desde el polo 2 unidades en la dirección negativa, en el tercer cuadrante. Vea la (a). Compare esto con el gráfico de la coordenada polar ( 2 , π 6 ) que se muestra en la (b). Ejercicio Trace los puntos ( 3 , - π 6 ) y ( 2 , 9 π 4 ) en la misma cuadrícula polar. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares Cuando se da un conjunto de coordenadas polares , quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares . Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables x , y , r , y θ . cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la . Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en cos θ como el lado adyacente sobre la hipotenusa y sen θ como el lado opuesto sobre la hipotenusa. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares Para convertir las coordenadas polares ( r , θ ) a coordenadas rectangulares ( x , y ) , supongamos que cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ Cómo Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares. Dada la coordenada polar ( r , θ ) , escriba x = r cos θ y y = r sen θ . Evalúe cos θ y sen θ . Multiplique cos θ entre r para hallar la coordenada de la x de la forma rectangular. Multiplique sen θ entre r para hallar la coordenada de l a y de la forma rectangular. Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares Escriba las coordenadas polares ( 3 , π 2 ) como coordenadas rectangulares. Utilice las relaciones equivalentes. x = r cos θ x = 3 cos π 2 = 0 y = r sen θ y = 3 sen π 2 = 3 Las coordenadas rectangulares son ( 0 , 3 ) . Vea la . Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares Escriba las coordenadas polares ( – 2 , 0 ) como coordenadas rectangulares. Vea la . Al escribir las coordenadas polares como rectangulares, tenemos x = r cos θ x = −2 cos ( 0 ) = –2 y = r sen θ y = –2 sen ( 0 ) = 0 Las coordenadas rectangulares también son ( – 2 , 0 ) . Ejercicio Escriba las coordenadas polares ( - 1 , 2 π 3 ) como coordenadas rectangulares. ( x , y ) = ( 1 2 , - 3 2 ) Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares , utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar. Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la . cos θ = x r x = r cos θ sen θ = y r o y = r sen θ r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x Escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares Convierta las coordenadas rectangulares ( 3 , 3 ) a coordenadas polares. Vemos que el punto original ( 3 , 3 ) está en el primer cuadrante. Para hallar θ , utilice la fórmula tan θ = y x . Esto da tan θ = 3 3 tan θ = 1 θ = tan –1 ( 1 ) θ = π 4 Para hallar r , sustituimos los valores de x como y en la fórmula r = x 2 + y 2 . Sabemos que r debe ser positivo, ya que π 4 está en el primer cuadrante. Así, r = 3 2 + 3 2 r = 9 + 9 r = 18 = 3 2 Así que, r = 3 2 y θ = π 4 , lo que nos da el punto polar ( 3 2 , π 4 ) . Vea la . Análisis Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán iguales a nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos ( - 3 2 , 5 π 4 ) y ( 3 2 , - 7 π 4 ) coincidirán con la solución original de ( 3 2 , π 4 ) . El punto ( - 3 2 , 5 π 4 ) indica un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj por π , que está justo enfrente de π 4 . El radio se expresa como − 3 2 . Sin embargo, el ángulo 5 π 4 se sitúa en el tercer cuadrante y, dado que r es negativo, extendemos el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta, en el primer cuadrante. Este es el mismo punto que ( 3 2 , π 4 ) . El punto ( 3 2 , - 7 π 4 ) es un movimiento más en el sentido de las agujas del reloj por − 7 π 4 , a partir de π 4 . El radio, 3 2 , es el mismo. Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación. Cómo Dada una ecuación en forma polar, grafíquela con una calculadora gráfica. Cambie el MODO a POL , que representa la forma polar. Pulse el botón Y= para que aparezca una pantalla que permite introducir seis ecuaciones r 1 , r 2 , . . . , r 6 . Introduzca la ecuación polar, ajustada a r . Pulse GRAPH . Escribir una ecuación cartesiana en forma polar Escriba la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 9 en forma polar. El objetivo es eliminar la x como y de la ecuación e introducir r y θ . Lo ideal sería escribir la ecuación r en función de θ . Para obtener la forma polar, utilizaremos las relaciones entre ( x , y ) y ( r , θ ) . Dado que x = r cos θ y y = r sen θ , podemos sustituir y resolver r . ( r cos θ ) 2 + ( r sen θ ) 2 = 9 r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = 9 r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) = 9 r 2 ( 1 ) = 9 Sustituya a cos 2 θ + sen 2 θ = 1. r = ± 3 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . Así, x 2 + y 2 = 9 , r = 3 , y r = - 3 debería generar el mismo gráfico. Vea el . (a) Forma cartesiana x 2 + y 2 = 9 (b) Forma polar r = 3 Para graficar un círculo en forma rectangular, primero debemos resolver y . x 2 + y 2 = 9 y 2 = 9 - x 2 y = ± 9 - x 2 Observe que se trata de dos funciones distintas, ya que un círculo no supera la prueba de la línea vertical. Por lo tanto, tenemos que introducir en la calculadora las raíces cuadradas positivas y negativas por separado, como dos ecuaciones de la forma Y 1 = 9 - x 2 y Y 2 = - 9 - x 2 . Pulse GRAPH. Reescribir una ecuación cartesiana como ecuación polar Reescribir la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 6 y como una ecuación polar. Esta ecuación es similar a la del ejemplo anterior, pero requiere diferentes pasos para convertir la ecuación. Podemos seguir los mismos procedimientos que ya hemos aprendido y hacer las siguientes sustituciones: r 2 = 6 y Uso x 2 + y 2 = r 2 . r 2 = 6 r sen θ Sustituya y = r sen θ . r 2 - 6 r sen θ = 0 Iguale a 0 . r ( r − 6 sen θ ) = 0 Factorice y resuelva . r = 0 Rechazamos r = 0 , ya que solo representa un punto, ( 0 , 0 ) . r = 6 sen θ Por lo tanto, las ecuaciones x 2 + y 2 = 6 y y r = 6 sen θ debería darnos el mismo gráfico. Vea la . (a) Forma cartesiana x 2 + y 2 = 6 y (b) forma polar r = 6 sen θ La ecuación cartesiana o rectangular se traza en la cuadrícula rectangular, y la ecuación polar se traza en la cuadrícula polar. Claramente, los gráficos son idénticos. Reescribir una ecuación cartesiana en forma polar Reescribir la ecuación cartesiana y = 3 x + 2 como una ecuación polar. Utilizaremos las relaciones x = r cos θ y y = r sen θ . y = 3 x + 2 r sen θ = 3 r cos θ + 2 r sen θ - 3 r cos θ = 2 r ( sen θ - 3 cos θ ) = 2 Aísle r . r = 2 sen θ - 3 cos θ Resuelva para r . Ejercicio Reescribir la ecuación cartesiana y 2 = 3 - x 2 en forma polar. r = 3 Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos. Graficar una ecuación polar al convertirla en una ecuación rectangular Convierta la ecuación polar r = 2 s θ en una ecuación rectangular, y dibuje su correspondiente gráfico. La conversión es r = 2 s θ r = 2 cos θ r cos θ = 2 x = 2 Observe que la ecuación r = 2 s θ dibujada en la cuadrícula polar es claramente la misma que la línea vertical x = 2 dibujada en la cuadrícula rectangular (vea la ). Así como x = c es la forma estándar para una línea vertical en forma rectangular, r = c sec θ es la forma estándar para una línea vertical en forma polar. (a) Cuadrícula polar (b) Sistema de coordenadas rectangulares Una explicación similar demostraría que el gráfico de la función r = 2 csc θ será la línea horizontal y = 2. De hecho, r = c csc θ es la forma estándar de una línea horizontal en forma polar, correspondiente a la forma rectangular y = c . Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana Reescriba la ecuación polar r = 3 1 - 2 cos θ como una ecuación cartesiana. El objetivo es eliminar la θ y r , e introducir la x como y . Despejamos la fracción y luego utilizamos la sustitución. Para sustituir r con la x como y , debemos utilizar la expresión x 2 + y 2 = r 2 . r = 3 1 2 cos θ r ( 1 2 ( x r ) ) = 3 r 2 x = 3 Uso cos θ = x r t i elimine θ r 2 x = 3 r = 3 + 2 x Aísle r r 2 = ( 3 + 2 x ) 2 Lleve al cuadrado ambos lados x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 Uso x 2 + y 2 = r 2 La ecuación cartesiana es x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 . Sin embargo, para graficarlo, especialmente con una calculadora gráfica o un programa computarizado, queremos aislar y . x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 - x 2 y = ± ( 3 + 2 x ) 2 - x 2 Cuando toda nuestra ecuación se haya cambiado de r y θ a la x como y , podemos parar, a no ser que se nos pida que resolvamos y o simplificar. Vea la . La forma de "reloj de arena" en el gráfico se denomina hipérbola . Las hipérbolas tienen muchas características y aplicaciones geométricas interesantes, que investigaremos más a fondo en Geometría Analítica . Análisis En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación puede expandirse y la ecuación simplificarse aún más, como se indica arriba. Sin embargo, la ecuación no puede escribirse como una sola función en forma cartesiana. Podemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para ello, podemos empezar con la ecuación inicial. x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 x 2 + y 2 ( 3 + 2 x ) 2 = 0 x 2 + y 2 ( 9 + 12 x + 4 x 2 ) = 0 x 2 + y 2 9 12 x 4 x 2 = 0 3 x 2 12 x + y 2 = 9 Multiplique esto por 1 3 x 2 + 12 x y 2 = 9 3 ( x 2 + 4 x + ) y 2 = 9 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) y 2 = 9 + 12 O r g a n i c e los términos para completar el unidades para x 3 ( x + 2 ) 2 y 2 = 3 ( x + 2 ) 2 y 2 3 = 1 Ejercicio Reescriba la ecuación polar r = 2 sen θ en forma cartesiana. x 2 + y 2 = 2 y o, en la forma estándar para un círculo, x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana Reescriba la ecuación polar r = sen ( 2 θ ) en forma cartesiana. r = sen ( 2 θ ) Utilice la identidad de ángulo doble para el seno . r = 2 sen θ cos θ Uso cos θ = x r y sen θ = y r . r = 2 ( x r ) ( y r ) Simplifique . r = 2 x y r 2 Multiplique ambos lados por r 2 . r 3 = 2 x y ( x 2 + y 2 ) 3 = 2 x y Dado que x 2 + y 2 = r 2 , r = x 2 + y 2 . Esta ecuación también se escribe como ( x 2 + y 2 ) 3 2 = 2 x y o x 2 + y 2 = ( 2 x y ) 2 3 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las coordenadas polares. Introducción a las coordenadas polares Comparación de coordenadas polares y rectangulares Ecuaciones clave Fórmulas de conversión cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x Conceptos clave La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen. Para trazar un punto en la forma ( r , θ ) , θ > 0 , se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de θ , y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de r en dirección a θ . Si θ es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de r en dirección a θ . Vea el . Si los valores de r es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a θ . Vea el . Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas x = r cos θ y y = r sen θ . Vea el y el . Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas cos θ = x r , sen θ = y r , tan θ = y x , y r = x 2 + y 2 . Vea el . La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el , el y el . El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿En qué se diferencian las coordenadas polares de las rectangulares? En las coordenadas polares, el punto en el plano depende del ángulo respecto al eje positivo x y de la distancia desde el origen, mientras que en las coordenadas cartesianas, el punto representa las distancias horizontal y vertical desde el origen. Por cada punto en el plano de las coordenadas hay una representación, pero por cada punto en el plano polar hay infinitas representaciones. ¿En qué se diferencian los ejes polares de los ejes de x y de y en el plano cartesiano? Explique cómo se grafican las coordenadas polares. Determine θ para el punto y luego mueva r unidades del polo para trazar el punto. Si los valores de r es negativo, mueva r unidades desde el polo en la dirección opuesta, pero a lo largo del mismo ángulo. El punto es una distancia de r desde el origen en un ángulo de θ desde el eje polar. ¿Cómo son los puntos ( 3 , π 2 ) y ( - 3 , π 2 ) ? Explique por qué los puntos ( - 3 , π 2 ) y ( 3 , - π 2 ) son los mismos. El punto ( - 3 , π 2 ) tiene un ángulo positivo, pero un radio negativo, y se traza al desplazarse a un ángulo de π 2 y luego se mueve 3 unidades en la dirección negativa. Esto coloca el punto 3 unidades por debajo del eje negativo de y . El punto ( 3 , - π 2 ) tiene un ángulo negativo y un radio positivo y se traza al moverlo primero a un ángulo de − π 2 y luego al moverlo 3 unidades hacia abajo, que es la dirección positiva para un ángulo negativo. El punto también está a 3 unidades del eje negativo y . Algebraicos En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine θ para el punto. ( 7 , 7 π 6 ) ( 5 , π ) ( - 5 , 0 ) ( 6 , - π 4 ) ( - 3 , π 6 ) ( - 3 3 2 , - 3 2 ) ( 4 , 7 π 4 ) En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con r > 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado. ( 4 , 2 ) ( 2 5 , 0,464 ) ( - 4 , 6 ) ( 3 , −5 ) ( 34 , 5,253 ) ( –10 , -13 ) ( 8 , 8 ) ( 8 2 , π 4 ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar. x = 3 y = 4 r = 4 csc θ y = 4 x 2 y = 2 x 4 r = s e n θ 2 c o s 4 θ 3 x 2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2 = 3 x r = 3 cos θ x 2 - y 2 = x x 2 - y 2 = 3 y r = 3 sen θ cos ( 2 θ ) x 2 + y 2 = 9 x 2 = 9 y r = 9 sen θ cos 2 θ y 2 = 9 x 9 x y = 1 r = 1 9 cos θ sen θ En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada. r = 3 sen θ r = 4 cos θ x 2 + y 2 = 4 x o ( x - 2 ) 2 4 + y 2 4 = 1 ; círculo r = 4 sen θ + 7 cos θ r = 6 cos θ + 3 sen θ 3 y + x = 6 ; línea r = 2 s θ r = 3 csc θ y = 3 ; línea r = r cos θ + 2 r 2 = 4 sec θ csc θ x y = 4 ; hipérbola r = 4 r 2 = 4 x 2 + y 2 = 4 ; círculo r = 1 4 cos θ - 3 sen θ r = 3 cos θ − 5 sen θ x - 5 y = 3 ; línea Gráficos En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto. ( 3 , 3 π 4 ) ( 5 , π ) En los siguientes ejercicios, trace los puntos. ( – 2 , π 3 ) ( - 1 , - π 2 ) ( 3,5 , 7 π 4 ) ( - 4 , π 3 ) ( 5 , π 2 ) ( 4 , - 5 π 4 ) ( 3 , 5 π 6 ) ( − 1,5 , 7 π 6 ) ( – 2 , π 4 ) ( 1 , 3 π 2 ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar. 5 x - y = 6 r = 6 5 cos θ - sen θ 2 x + 7 y = - 3 x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 r = 2 sen θ ( x + 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 13 x = 2 r = 2 cos θ x 2 + y 2 = 5 y x 2 + y 2 = 3 x r = 3 cos θ En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular. r = 6 r = – 4 x 2 + y 2 = 16 θ = - 2 π 3 θ = π 4 y = x r = sec θ r = −10 sen θ x 2 + ( y + 5 ) 2 = 25 r = 3 cos θ En tecnología Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( 2 , - π 5 ) . Redondee a la milésima más cercana. ( 1,618 , − 1,176 ) Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( - 3 , 3 π 7 ) . Redondee a la milésima más cercana. Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( − 7 , 8 ) en grados. Redondee a la milésima más cercana. ( 10,630 , 131,186° ) Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( 3 , - 4 ) en grados. Redondee a la centésima más cercana. Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( – 2 , 0 ) en radianes. Redondee a la centésima más cercana. ( 2 , 3,14 ) i r ( 2 , π ) Extensiones Describa el gráfico de r = a sec θ ; a > 0 . Describa el gráfico de r = a sec θ ; a < 0 . Línea vertical con a unidades a la izquierda del eje y . Describa el gráfico de r = a csc θ ; a > 0 . Describa el gráfico de r = a csc θ ; a < 0 . Línea horizontal con a unidades por debajo del eje x . ¿Qué ecuaciones polares darán una línea oblicua? En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar. r < 4 0 ≤ θ ≤ π 4 θ = π 4 , r ≥ 2 θ = π 4 , r ≥ −3 0 ≤ θ ≤ π 3 , r < 2 − π 6 < θ ≤ π 3 , - 3 < r < 2 eje polar en la cuadrícula polar, el equivalente al eje positivo x en la cuadrícula rectangular coordenadas polares en la cuadrícula polar, las coordenadas de un punto marcado como ( r , θ ) , donde θ indica el ángulo de rotación con respecto al eje polar y r representa el radio o la distancia del punto desde el polo en la dirección de θ polo el origen de la cuadrícula polar

Matemáticas


Coordenadas polares: gráficos Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la . Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares , representadas como ( r , θ ) . Interpretamos r como la distancia al Sol y θ como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares. Los planetas siguen trayectorias elípticas mientras orbitan alrededor del Sol (créditos: modificación del trabajo de la NASA/Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL]-Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]). Probar la simetría de las ecuaciones polares Al igual que una ecuación rectangular como y = x 2 describe la relación entre x y y en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre r y θ en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas ( r , θ ) indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de θ , y extiende un rayo desde el polo (origen) de r unidades en la dirección de θ . Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico. La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de r ) para determinar el gráfico de una ecuación polar. En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea θ = π 2 (eje y ). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 2 sen θ ; r = 2 sen θ − r = 2 sen ( - θ ) Sustituya ( r , θ ) con ( - r , - θ ) . − r = –2 sen θ La identidad: sen ( - θ ) = - sen θ . r = 2 sen θ Multiplique ambos lados por −1. Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea θ = π 2 . En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje x ). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( r , - θ ) o ( - r , π - θ ) para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 1 - 2 cos θ . r = 1 - 2 cos θ r = 1 - 2 cos ( - θ ) Sustituya ( r , θ ) con ( r , - θ ) . r = 1 - 2 cos θ Identidad par/impar El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar. En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( - r , θ ) para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 2 sen ( 3 θ ). r = 2 sen ( 3 θ ) - r = 2 sen ( 3 θ ) La ecuación no ha superado la prueba de simetría , pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta. Pruebas de simetría Una ecuación polar describe una curva en la cuadrícula polar. El gráfico de la ecuación polar se evalúa para tres tipos de simetría, como se indica la . (a) Un gráfico es simétrico respecto a la línea θ = π 2 (eje y ) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) produce una ecuación equivalente. (b) Un gráfico es simétrico con respecto al eje polar (eje x ) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( r , - θ ) o ( - r , π– θ ) produce una ecuación equivalente. (c) Un gráfico es simétrico con respecto al polo (origen) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( - r , θ ) produce una ecuación equivalente. Cómo Dada una ecuación polar, pruebe la simetría. Sustituya la combinación adecuada de componentes para ( r , θ ) : ( - r , - θ ) para la simetría θ = π 2 ; ( r , - θ ) para la simetría del eje polar y ( - r , θ ) para la simetría con respecto al polo. Si las ecuaciones resultantes son equivalentes en una o más de las pruebas, el gráfico produce la simetría esperada. Probar la simetría de una ecuación polar Pruebe la ecuación r = 2 sen θ para la simetría. Comprobación para cada uno de los tres tipos de simetría. 1) Sustituir ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) produce el mismo resultado. Por lo tanto, el gráfico es simétrico con respecto a la línea θ = π 2 . - r = 2 sen ( - θ ) - r = –2 sen θ Identidad par-impar r = 2 sen θ Multiplique por −1 Aprobado 2) La sustitución de θ con - θ no produce la misma ecuación. Por lo tanto, el gráfico no pasa la prueba y puede o no ser simétrico con respecto al eje polar. r = 2 sen ( - θ ) r = –2 sen θ Identidad par-impar r = –2 sen θ ≠ 2 sen θ Fallido 3) La sustitución de r con la – r cambia la ecuación y no pasa la prueba. El gráfico puede o no ser simétrico con respecto al polo. - r = 2 sen θ r = –2 sen θ ≠ 2 sen θ Fallido Análisis Utilizando una calculadora gráfica podemos ver que la ecuación r = 2 sen θ es un círculo centrado en ( 0 , 1 ) con radio r = 1 y es efectivamente simétrica a la línea θ = π 2 . También podemos ver que el gráfico no es simétrico con el eje polar ni el polo. Vea la . Ejercicio Pruebe la simetría de la ecuación: r = - 2 cos θ . La ecuación no supera la prueba de simetría con respecto a la línea θ = π 2 y con respecto al polo. Pasa la prueba de simetría del eje polar. Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de x y y . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores θ y r . Introducimos valores de θ en una ecuación polar y calculamos r . Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de θ y r significa que se necesitarán menos cálculos. Hallar ceros y máximos Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de θ que resultan en r = 0 . Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para x . Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca r = 0 , y resuelva para θ . Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de θ en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que r = 5 cos θ ; la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando θ = 0 , por lo que nuestra ecuación polar es 5 cos θ , y el valor θ = 0 producirá el máximo | r | . Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando θ = π 2 , y si nuestra ecuación polar es r = 5 sen θ , el valor θ = π 2 producirá el máximo | r | . Podemos hallar información adicional calculando los valores de r cuando θ = 0 . Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar. Hallar los ceros y los valores máximos de una ecuación polar Utilizando la ecuación del , halle los ceros y el máximo | r | y, si es necesario, las intersecciones del eje polar de r = 2 sen θ . Para hallar los ceros, establezca r igual a cero y resuelva para θ . 2 sen θ = 0 sen θ = 0 θ = sen − 1 0 θ = n π donde n es un número entero Sustituya cualquiera de los valores θ en la ecuación. Utilizaremos 0, r = 2 sen ( 0 ) r = 0 Los puntos ( 0 , 0 ) y ( 0 , ± n π ) son los ceros de la ecuación. Todos coinciden, por lo que solo se ve un punto en el gráfico. Este punto es también la única intersección del eje polar. Para hallar el valor máximo de la ecuación, observe el valor máximo de la función trigonométrica sen θ , que se produce cuando θ = π 2 ± 2 k π lo que da como resultado sen ( π 2 ) = 1. Sustituya π 2 por θ. r = 2 sen ( π 2 ) r = 2 ( 1 ) r = 2 Análisis El punto ( 2 , π 2 ) será el valor máximo del gráfico. Vamos a trazar algunos puntos más para verificar el gráfico de un círculo. Vea la y la . θ r = 2 sen θ r 0 r = 2 sen ( 0 ) = 0 0 π 6 r = 2 sen ( π 6 ) = 1 1 π 3 r = 2 sen ( π 3 ) ≈ 1,73 1,73 π 2 r = 2 sen ( π 2 ) = 2 2 2 π 3 r = 2 sen ( 2 π 3 ) ≈ 1,73 1,73 5 π 6 r = 2 sen ( 5 π 6 ) = 1 1 π r = 2 sen ( π ) = 0 0 Ejercicio Sin convertir a coordenadas cartesianas, pruebe la simetría de la ecuación dada y halle los ceros y valores máximos de | r | : r = 3 cos θ . Las pruebas revelarán la simetría alrededor del eje polar. El cero es ( 0 , π 2 ) , y el valor máximo es ( 3 , 0 ) . Investigar sobre círculos Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares. Existen cinco curvas polares clásicas : cardioides , caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes . Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones. Fórmulas para la ecuación de un círculo Algunas de las fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por r = a cos θ y r = a sen θ , donde a es el diámetro de la circunferencia o la distancia desde el polo hasta el punto más alejado del círculo. El radio es | a | 2 , o la mitad del diámetro. Para r = a cos θ , el centro es ( a 2 , 0 ) . Para r = a sen θ , el centro es ( a 2 , π 2 ) . La muestra los gráficos de estos cuatro círculos. Dibujar el gráfico de una ecuación polar para un círculo Dibuje el gráfico de r = 4 cos θ . En primer lugar, al comprobar la simetría de la ecuación, nos damos cuenta de que el gráfico es simétrico respecto al eje polar. Luego, hallamos los ceros y el máximo | r | por r = 4 cos θ . Primero, establezca r = 0 , y resuelva para θ . Por lo tanto, se produce un cero en θ = π 2 ± k π . Un punto clave para trazar es ( 0 ,   π 2 ) . Para hallar el valor máximo de r , observe que el valor máximo de la función coseno es 1 cuando θ = 0 ± 2 k π . Sustituya θ = 0 en la ecuación: r = 4 cos θ r = 4 cos ( 0 ) r = 4 ( 1 ) = 4 El valor máximo de la ecuación es 4. Un punto clave para trazar es ( 4 , 0 ) . Dado que r = 4 cos θ es simétrica con respecto al eje polar, solo tenemos que calcular los valores r para θ en el intervalo [ 0 , π ] . Los puntos del cuadrante superior se pueden reflejar en el cuadrante inferior. Haga una tabla de valores similar a la . El gráfico se muestra en la . θ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π r 4 3,46 2,83 2 0 −2 -2,83 -3,46 -4 Investigar las cardioides Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola. Fórmulas para una cardioide Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y a b = 1. El gráfico de la cardioide pasa por el polo, como podemos ver en la . Cómo Dada la ecuación polar de una cardioide, dibuje su gráfico. Compruebe la ecuación de los tres tipos de simetría. Halle los ceros. Establezca r = 0 . Halle el valor máximo de la ecuación según el valor máximo de la expresión trigonométrica. Haga una tabla de valores para r y θ . Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de una cardioide Dibuje el gráfico de r = 2 + 2 cos θ . Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que el gráfico de esta ecuación será simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallamos los ceros y los máximos. Si establecemos que r = 0 , tenemos θ = π + 2 k π . El cero de la ecuación se encuentra en ( 0 , π ) . El gráfico pasa por este punto. El valor máximo de r = 2 + 2 cos θ se produce cuando cos θ es un máximo, lo que se da cuando cos θ = 1 o cuando θ = 0 . Sustituya θ = 0 en la ecuación y resuelva para r . r = 2 + 2 cos ( 0 ) r = 2 + 2 ( 1 ) = 4 El punto ( 4 , 0 ) es el valor máximo del gráfico. Comprobamos que la ecuación polar es simétrica con respecto al eje polar, pero como se extiende a los cuatro cuadrantes, necesitamos trazar los valores sobre el intervalo [ 0 , π ] . La parte superior del gráfico se refleja entonces sobre el eje polar. A continuación, hacemos una tabla de valores, como en la , y luego trazamos los puntos y dibujamos el gráfico. Vea la . θ 0 π 4 π 2 2 π 3 π r 4 3,41 2 1 0 Investigar sobre caracoles de Pascal La palabra limaçon significa "caracol" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo , a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando 1 < a b < 2 y caracoles de Pascal convexos cuando a b ≥ 2. Fórmulas para los caracoles de Pascal de un lazo Las fórmulas que producen el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo con hoyuelos están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y 1< a b < 2. Los cuatro gráficos se muestran en la . Caracoles de Pascal con hoyuelos Cómo Dada una ecuación polar para un caracol de Pascal de un lazo, dibuje el gráfico. Pruebe la simetría de la ecuación. Recuerde que el hecho de no superar la prueba de simetría no significa que la forma no presente simetría. A menudo, la simetría puede revelarse al trazar los puntos. Halle los ceros. Halle los valores máximos según la expresión trigonométrica. Haga una tabla. Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo Represente gráficamente la ecuación r = 4 - 3 sen θ . Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que no supera las tres pruebas de simetría, lo que significa que el gráfico puede o no presentar simetría, por lo que no podemos utilizar la simetría para ayudarnos a graficarla. Sin embargo, esta ecuación tiene un gráfico que muestra claramente la simetría con respecto a la línea θ = π 2 , pero no supera las tres pruebas de simetría. Una calculadora gráfica ilustrará inmediatamente la cualidad de reflexión del gráfico. Luego, hallamos los ceros y el máximo, y trazamos los puntos de reflexión para verificar cualquier simetría. Si establecemos que r = 0 da como resultado que θ es indefinido. ¿Qué significa esto? ¿Cómo podría θ ser indefinido? El ángulo θ es indefinido para cualquier valor de sen θ > 1. Por lo tanto, θ es indefinido porque no hay ningún valor de θ para los cuales sen θ > 1. En consecuencia, el gráfico no pasa por el polo. Quizás el gráfico sí cruza el eje polar, pero no en el polo. Podemos investigar otras intersecciones al calcular r cuando θ = 0 . r ( 0 ) = 4 - 3 sen ( 0 ) r = 4 - 3 ⋅ 0 = 4 Por lo tanto, hay al menos una intersección del eje polar en ( 4 , 0 ) . Luego, como el valor máximo de la función seno es 1 cuando θ = π 2 , sustituiremos θ = π 2 en la ecuación y resolvemos para r . Por lo tanto, r = 1. Haga una tabla de las coordenadas similar a la θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π 7 π 6 4 π 3 3 π 2 5 π 3 11 π 6 2 π r 4 2,5 1,4 1 1,4 2,5 4 5,5 6,6 7 6,6 5,5 4 El gráfico se muestra en la . Caracol de Pascal de un lazo Análisis Este es un ejemplo de una curva para la que la elaboración de una tabla de valores es fundamental para producir un gráfico preciso. Las pruebas de simetría fallan; el cero es indefinido. Aunque puede ser evidente que una ecuación que incluya sen θ es probablemente simétrica con respecto a la línea θ = π 2 , evaluar más puntos ayuda a verificar que el gráfico es correcto. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 3 - 2 cos θ . Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno , recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer (1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing . Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal , Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió. Fórmulas para caracoles de Pascal de lazo interno Las fórmulas que generan los caracoles de Pascal de lazo interno están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y a < b . El gráfico del caracol de Pascal de lazo interno pasa por el polo dos veces: una para el lazo externo y otra para el lazo interno. Vea los gráficos en la . Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de lazo interno Dibuje el gráfico de r = 2 + 5 cos θ . Al probar la simetría, hallamos que el gráfico de la ecuación es simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallar los ceros revela que cuando r = 0 , θ = 1,98. El máximo | r | se halla cuando cos θ = 1 o cuando θ = 0 . Por lo tanto, el máximo se encuentra en el punto (7, 0). Aunque hayamos calculado la simetría, el cero y el máximo, el trazado de más puntos ayudará a definir la forma, y entonces surgirá un patrón. Vea la . θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π 7 π 6 4 π 3 3 π 2 5 π 3 11 π 6 2 π r 7 6,3 4,5 2 -0,5 −2,3 −3 −2,3 -0,5 2 4,5 6,3 7 Como era de esperar, los valores comienzan a repetirse después de θ = π . El gráfico se muestra en la . Caracol de Pascal de lazo interno Investigar las lemniscatas La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito ∞ o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición. Fórmulas para lemniscata Las fórmulas que generan el gráfico de una lemniscata están dadas por r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ donde a ≠ 0 . La fórmula r 2 = a 2 sen 2 θ es simétrica con respecto al polo. La fórmula r 2 = a 2 cos 2 θ es simétrica con respecto al polo, la línea θ = π 2 y el eje polar. Vea los gráficos en la . Dibujar el gráfico de una lemniscata Dibuje el gráfico de r 2 = 4 cos 2 θ . La ecuación presenta simetría respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar y el polo. Hallemos los ceros. Ya debería ser rutinario, pero abordaremos esta ecuación de forma un poco diferente haciendo la sustitución u = 2 θ . 0 = 4 cos 2 θ 0 = 4 cos u 0 = cos u cos − 1 0 = π 2 u = π 2 Sustituya 2 θ de nuevo para u . 2 θ = π 2 θ = π 4 Por lo tanto, el punto ( 0 , π 4 ) es un cero de la ecuación. Ahora vamos a hallar el valor máximo. Dado que el máximo de cos u = 1 cuando u = 0 , el máximo de cos 2 θ = 1 cuando 2 θ = 0 . Por lo tanto, r 2 = 4 cos ( 0 ) r 2 = 4 ( 1 ) = 4 r = ± 4 ± 2 Tenemos un máximo en (2, 0). Dado que este gráfico es simétrico con respecto al polo, la línea θ = π 2 , y el eje polar, solo necesitamos trazar puntos en el primer cuadrante. Haga una tabla similar a la . θ 0 π 6 π 4 r ± 2 ± 2 0 Trace los puntos en el gráfico, como el que se muestra en la . Lemniscata Análisis Al hacer una sustitución como u = 2 θ es una práctica habitual en matemáticas porque puede simplificar los cálculos. Sin embargo, no debemos olvidar sustituir el término de sustitución por el término original al final y, luego, resolver la incógnita. Es posible que algunos de los puntos de este gráfico no aparezcan utilizando la función Trace de la calculadora gráfica TI-84, y que la tabla de la calculadora muestre un error para estos mismos puntos de r . Esto se debe a que no hay raíces cuadradas reales para estos valores de θ . En otras palabras, los correspondientes valores r de 4 cos ( 2 θ ) son números complejos porque hay un número negativo bajo el radical. Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea) El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón. Curva rosa polar Las fórmulas que generan el gráfico de una curva rosa polar están dadas por r = a cos n θ y r = a sen n θ donde a ≠ 0 . Si n es par, la curva tiene 2 n pétalos. Si los valores de n es impar, la curva tiene n pétalos. Vea la . Dibujar el gráfico de una curva rosa polar ( n par) Dibuje el gráfico de r = 2 cos 4 θ . Al comprobar la simetría, hallamos de nuevo que las pruebas de simetría no cuentan toda la historia. El gráfico no solo es simétrico con respecto al eje polar, sino también con respecto a la línea θ = π 2 y al polo. Ahora, hallaremos los ceros. Primero, haga la sustitución de u = 4 θ . 0 = 2 cos 4 θ 0 = cos 4 θ 0 = cos u cos − 1 0 = u u = π 2 4 θ = π 2 θ = π 8 El cero es θ = π 8 . El punto ( 0 , π 8 ) está en la curva. Luego, hallamos el máximo | r | . Sabemos que el valor máximo de cos u = 1 cuando θ = 0 . Por lo tanto, r = 2 cos ( 4 ⋅ 0 ) r = 2 cos ( 0 ) r = 2 ( 1 ) = 2 El punto ( 2 , 0 ) está en la curva. El gráfico de la curva rosa polar tiene propiedades únicas, que se revelan en la . θ 0 π 8 π 4 3 π 8 π 2 5 π 8 3 π 4 r 2 0 −2 0 2 0 −2 A medida que r = 0 cuando θ = π 8 , tiene sentido dividir los valores de la tabla entre π 8 unidades. Surge un patrón definido. Mire el rango de valores r : 2, 0, –2, 0, 2, 0, –2 y así sucesivamente. Esto representa el desarrollo de la curva un pétalo a la vez. A partir de r = 0 , cada pétalo se extiende una distancia de r = 2 , y luego vuelve a cero 2 n veces para un total de ocho pétalos. Vea el gráfico en la . Curva rosa polar, n par Análisis Cuando se dibujan estas curvas, lo mejor es trazar los puntos en orden, como en la . Esto nos permite ver cómo el gráfico alcanza un máximo (la punta de un pétalo), hace una vuelta cruzando el polo, alcanza el máximo opuesto y vuelve a hacer una vuelta hacia el polo. La acción es continua hasta que se dibujan todos los pétalos. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 4 sen ( 2 θ ) . El gráfico es una curva rosa polar, n par Dibujar el gráfico de una curva rosa polar ( n impar) Dibuje el gráfico de r = 2 sen ( 5 θ ) . El gráfico de la ecuación muestra simetría con respecto a la línea θ = π 2 . A continuación, halle los ceros y el máximo. Queremos hacer la sustitución de u = 5 θ . 0 = 2 sen ( 5 θ ) 0 = sen u sen − 1 0 = 0 u = 0 5 θ = 0 θ = 0 El valor máximo se calcula en el ángulo donde sen θ es un máximo. Por lo tanto, r = 2 sen ( 5 ⋅ π 2 ) r = 2 ( 1 ) = 2 Por lo tanto, el valor máximo de la ecuación polar es 2. Esta es la longitud de cada pétalo. Como la curva de n impar produce el mismo número de pétalos que n , habrá cinco pétalos en el gráfico. Vea la . Curva rosa polar, n impar Cree una tabla de valores similar a la . θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π r 0 1 -1,73 2 -1,73 1 0 Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 3 cos ( 3 θ ). Curva rosa polar, n impar Investigar sobre la espiral de Arquímedes La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica. Espiral de Arquímedes La fórmula que genera el gráfico de la espiral de Arquímedes está dada por r = θ por θ ≥ 0 . A medida que θ aumenta, r aumenta a una tasa constante en una trayectoria en espiral cada vez más amplia e interminable. Vea la . Cómo Dada una espiral de Arquímedes sobre [ 0 , 2 π ] , dibuje el gráfico. Haga una tabla de valores para r y θ sobre el dominio dado. Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de una espiral de Arquímedes Dibuje el gráfico de r = θ en [ 0 , 2 π ] . Dado que r es igual a θ , el gráfico de la espiral de Arquímedes comienza en el polo en el punto (0, 0). Aunque el gráfico insinúa una simetría, no existe una simetría formal con respecto a la superación de las pruebas de simetría. Además, no hay un valor máximo, a menos que el dominio esté restringido. Cree una tabla como la . θ π 4 π 2 π 3 π 2 7 π 4 2 π r 0,785 1,57 3,14 4,71 5,50 6,28 Observe que los valores r son solo la forma decimal del ángulo medido en radianes. Podemos verlos en un gráfico en la . espiral de Arquímedes Análisis El dominio de esta curva polar es [ 0 , 2 π ] . Sin embargo, en general, el dominio de esta función es ( - ∞ , ∞ ) . Graficar la ecuación de la espiral de Arquímedes es bastante sencillo, aunque la imagen hace pensar que sería complejo. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = − θ en el intervalo [ 0 , 4 π ] . Resumen de curvas En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La y la resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de coordenadas polares. Graficar ecuaciones polares parte 1 Graficar ecuaciones polares parte 2 Animación: Los gráficos de las ecuaciones polares Graficar ecuaciones polares en la TI-84 Conceptos clave Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar, o el polo. Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el . Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para θ y r . El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor θ que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica. Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer r = 0 y resolver θ . Vea el . Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por r = a cos θ y r = a sen θ . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ , por a > 0 , b > 0 , y a b = 1. Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ por 1 < a b < 2. Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ por a > 0 , b > 0 , y a < b . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ , donde a ≠ 0 . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por r = a cos n θ y r = a sen n θ , donde a ≠ 0 ; si n es par, hay 2 n pétalos, y si n es impar, hay n pétalos. Vea el y el . La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por r = θ . θ ≥ 0 . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa los tres tipos de simetría en los gráficos polares y compárelos con la simetría del plano cartesiano. La simetría respecto al eje polar es similar a la simetría alrededor del eje x , la simetría con respecto al polo es similar a la simetría con respecto al origen y la simetría con respecto a la línea θ = π 2 es similar a la simetría alrededor del eje y . ¿Cuál de los tres tipos de simetrías de los gráficos polares corresponde a las simetrías con respecto al eje x , al eje y y al origen? ¿Cuáles son los pasos que se deben seguir para hacer gráficos de ecuaciones polares? Comprobar la simetría, hallar ceros, intersecciones y máximos, hacer una tabla de valores. Decidir el tipo general de gráfico, cardioide, caracol de Pascal, lemniscata, etc., y luego trazar los puntos en θ = 0 , π 2 , π y 3 π 2 , y dibujar el gráfico. Describa las formas de los gráficos de cardioides, caracol de Pascal y lemniscatas. ¿Qué parte de la ecuación determina la forma del gráfico de una ecuación polar? La forma del gráfico polar está determinada por la inclusión o no de un seno, un coseno y unas constantes en la ecuación. Gráficos En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación. r = 5 cos 3 θ r = 3 - 3 cos θ simétrica con respecto al eje polar r = 3 + 2 sen θ r = 3 sen 2 θ simétrica con respecto al eje polar, simétrica con respecto a la línea θ = π 2 , simétrica con respecto al polo r = 4 r = 2 θ sin simetría r = 4 cos θ 2 r = 2 θ sin simetría r = 3 1 - cos 2 θ r = 5 sen 2 θ simétrica con respecto al polo En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma. r = 3 cos θ r = 4 sen θ círculo r = 2 + 2 cos θ r = 2 - 2 cos θ cardioide r = 5 - 5 sen θ r = 3 + 3 sen θ cardioide r = 3 + 2 sen θ r = 7 + 4 sen θ caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos r = 4 + 3 cos θ r = 5 + 4 cos θ caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos r = 10 + 9 cos θ r = 1 + 3 sen θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r = 2 + 5 sen θ r = 5 + 7 sen θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r = 2 + 4 cos θ r = 5 + 6 cos θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r 2 = 36 cos ( 2 θ ) r 2 = 10 cos ( 2 θ ) lemniscata r 2 = 4 sen ( 2 θ ) r 2 = 10 sen ( 2 θ ) lemniscata r = 3 sen ( 2 θ ) r = 3 cos ( 2 θ ) curva rosa polar r = 5 sen ( 3 θ ) r = 4 sen ( 4 θ ) curva rosa polar r = 4 sen ( 5 θ ) r = − θ espiral de Arquímedes r = 2 θ r = - 3 θ espiral de Arquímedes En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar. r = 1 θ r = 1 θ r = 2 sen θ tan θ , una cisoide r = 2 1 - sen 2 θ , una hipopoda r = 5 + cos ( 4 θ ) r = 2 - sen ( 2 θ ) r = θ 2 r = θ + 1 r = θ sen θ r = θ cos θ En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de [ 0 , 4 π ] y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos. r = θ , r = − θ r = θ , r = θ + sen θ Ambos son espirales, pero no iguales. r = sen θ + θ , r = sen θ - θ r = 2 sen ( θ 2 ) , r = θ sen ( θ 2 ) Ambos gráficos son curvas con 2 lazos. La ecuación con un coeficiente de θ tiene dos lazos a la izquierda, la ecuación con un coeficiente de 2 tiene dos lazos al lado. Grafíquelos de 0 a 4 π para obtener una mejor imagen. r = sen ( cos ( 3 θ ) ) r = sen ( 3 θ ) En una herramienta gráfica, grafique r = sen ( 16 5 θ ) en [ 0 , 4 π ] , [ 0 , 8 π ] , [ 0 , 12 π ] y [ 0 , 16 π ] . Describa el efecto de aumentar la anchura del dominio. Cuando se aumenta la anchura del dominio, se ven más pétalos de la flor. En una herramienta gráfica, grafique y dibuje r = sen θ + ( sen ( 5 2 θ ) ) 3 en [ 0 , 4 π ] . En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 sen ( 3 θ ) r 2 = 2 sen ( 3 θ ) r 3 = sen ( 3 θ ) Los gráficos son curvas rosa polar de tres pétalos. Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor será la distancia de la curva al polo. En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 + 3 cos θ r 2 = 2 + 2 cos θ r 3 = 1 + cos θ En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 θ r 2 = 2 θ r 3 = θ Los gráficos son espirales. Cuanto más pequeño sea el coeficiente, más estrecha será la espiral. Extensiones En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección. r 1 = 3 + 2 sen θ , r 2 = 2 r 1 = 6 - 4 cos θ , r 2 = 4 ( 4 , π 3 ) , ( 4 , 5 π 3 ) r 1 = 1 + sen θ , r 2 = 3 sen θ r 1 = 1 + cos θ , r 2 = 3 cos θ ( 3 2 , π 3 ) , ( 3 2 , 5 π 3 ) r 1 = cos ( 2 θ ) , r 2 = sen ( 2 θ ) r 1 = sen 2 ( 2 θ ) , r 2 = 1 - cos ( 4 θ ) ( 0 , π 2 ) , ( 0 , π ) , ( 0 , 3 π 2 ) , ( 0 , 2 π ) r 1 = 3 , r 2 = 2 sen ( θ ) r 1 2 = sen θ , r 2 2 = cos θ ( 8 4 2 , π 4 ) , ( 8 4 2 , 5 π 4 ) y en θ = 3 π 4 , 7 π 4 dado que r está elevada al cuadrado r 1 = 1 + cos θ , r 2 = 1 - sen θ espiral de Arquímedes una curva polar dada por r = θ . Cuando se multiplica por una constante, la ecuación aparece como r = a θ . Dado que r = θ , la curva continúa ampliándose en una trayectoria en espiral sobre el dominio. cardioide miembro de la familia de las curvas de caracoles de Pascal, llamada así por su parecido con un corazón; su ecuación está dada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ , donde a b = 1 caracol de Pascal convexo un tipo de caracol de Pascal de un lazo representado por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que a b ≥ 2 caracol de Pascal con hoyuelos un tipo de caracol de Pascal de un lazo representado por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que 1 < a b < 2 caracol de Pascal de lazo interno una curva polar similar a la cardioide, pero con un lazo interno; pasa dos veces por el polo; representada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a < b lemniscata una curva polar parecida al número 8 y dada por la ecuación r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ , a ≠ 0 caracol de Pascal de un lazo una curva polar representada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que a > 0 , b > 0 , y a b > 1 ; puede tener hoyuelos o ser convexa; no pasa por el polo ecuación polar una ecuación que describe una curva en la cuadrícula polar. curva rosa polar una ecuación polar parecida a una flor, dada por las ecuaciones r = a cos n θ y r = a sen n θ ; cuando n es par tiene 2 n pétalos, y la curva es muy simétrica; cuando n es impar tiene n pétalos.

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Forma polar de los números complejos "Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras , Descartes , De Moivre, Euler , Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia. La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos . En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre. Graficar números complejos en el plano complejo. Trazar un número complejo a + b i es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, a , y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, b i . Cómo Dado un número complejo a + b i , trácelo en el plano complejo. Marque el eje horizontal como eje real y el eje vertical como eje imaginario. Trace el punto en el plano complejo moviendo las unidades de las unidades en la dirección horizontal y las unidades de las unidades b en la dirección vertical. Trazar un número complejo en el plano complejo Trace el número complejo 2 - 3 i en el plano complejo . Desde el origen, muévase dos unidades en la dirección horizontal positiva y tres unidades en la dirección vertical negativa. Vea la . Ejercicio Trace el punto 1 + 5 i en el plano complejo. Hallar el valor absoluto de un número complejo El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud , o | z | . Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de c = 2 + 4 i , en la , muestra | z | . Valor absoluto de un número complejo Dado z = x + y i , un número complejo, el valor absoluto de c se define como | z | = x 2 + y 2 Es la distancia del origen al punto ( x , y ) . Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde 0, mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen, ( 0 , 0 ) . Hallar el valor absoluto de un número complejo con un radical Halle el valor absoluto de c = 5 − i . Con la fórmula tenemos | z | = x 2 + y 2 | z | = ( 5 ) 2 + ( - 1 ) 2 | z | = 5 + 1 | z | = 6 Vea la . Ejercicio Halle el valor absoluto del número complejo c = 12 − 5 i . 13 Hallar el valor absoluto de un número complejo Dados z = 3 - 4 i , halle | z | . Con la fórmula tenemos | z | = x 2 + y 2 | z | = ( 3 ) 2 + ( - 4 ) 2 | z | = 9 + 16 | z | = 25 | z | = 5 El valor absoluto c es 5. Vea la . Ejercicio Dados z = 1 - 7 i , halle | z | . | z | = 50 = 5 2 Escribir números complejos en forma polar La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo θ y su distancia desde el origen r . Dado un número complejo en forma rectangular expresado como c = x + y i , utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica: x = r cos θ y = r sen θ r = x 2 + y 2 Revisamos estas relaciones en la . Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto ( x , y ) . El módulo, entonces, es el mismo que r , el radio en forma polar. Usamos θ para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos c = x + y i c = r cos θ + ( r sen θ ) i c = r ( cos θ + i sen θ ) una etiqueta de nota general Forma polar de un número complejo Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión: x = r cos θ y = r sen θ r = x 2 + y 2 Al hacer una sustitución directa, tenemos c = x + y i c = ( r cos θ ) + i ( r sen θ ) z = r ( cos θ + i sen θ ) donde r es el módulo y θ es el argumento . A menudo utilizamos la abreviatura r cis θ para representar r ( cos θ + i sen θ ) . Expresión de un número complejo mediante coordenadas polares Exprese el número complejo 4 i mediante coordenadas polares. En el plano complejo, el número c = 4 i es lo mismo que c = 0 + 4 i . Al escribirlo en forma polar, tenemos que calcular r primero. r = x 2 + y 2 r = 0 2 + 4 2 r = 16 r = 4 A continuación, examinamos x . Si x = r cos θ , y x = 0 , entonces θ = π 2 . En coordenadas polares, el número complejo c = 0 + 4 i se puede escribir como c = 4 ( cos ( π 2 ) + i sen ( π 2 ) ) o 4 cis ( π 2 ) . Vea la . Ejercicio Exprese c = 3 i como r cis θ en forma polar. z = 3 ( cos ( π 2 ) + i sen ( π 2 ) ) Hallar la forma polar de un número complejo Halle la forma polar de − 4 + 4 i . Primero, halle el valor de r . r = x 2 + y 2 r = ( - 4 ) 2 + ( 4 2 ) r = 32 r = 4 2 Halle el ángulo θ mediante la fórmula: cos θ = x r cos θ = – 4 4 2 cos θ = - 1 2 θ = cos − 1 ( - 1 2 ) = 3 π 4 Así, la solución es 4 2 cis ( 3 π 4 ) . Ejercicio Escriba c = 3 + i en forma polar. z = 2 ( cos ( π 6 ) + i sen ( π 6 ) ) Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que c = r ( cos θ + i sen θ ) , primero evalúe las funciones trigonométricas cos θ y sen θ . Entonces, multiplique por r . Conversión de la forma polar a la rectangular Convierta el número complejo dado de la forma polar a la rectangular: z = 12 ( cos ( π 6 ) + i sen ( π 6 ) ) Para comenzar evaluamos las expresiones trigonométricas. cos ( π 6 ) = 3 2 y sen ( π 6 ) = 1 2 Después de la sustitución, el número complejo es c = 12 ( 3 2 + 1 2 i ) Aplicamos la propiedad distributiva: c = 12 ( 3 2 + 1 2 i ) = ( 12 ) 3 2 + ( 12 ) 1 2 i = 6 3 + 6 i La forma rectangular del punto dado en forma compleja es 6 3 + 6 i . Hallar la forma rectangular de un número complejo Halle la forma rectangular del número complejo dado r = 13 y tan θ = 5 12 . Si tan θ = 5 12 , y tan θ = y x , primero determinamos r = x 2 + y 2 = 12 2 + 5 2 = 13 . Hallamos entonces que cos θ = x r y sen θ = y r . c = 13 ( cos θ + i sen θ ) = 13 ( 12 13 + 5 13 i ) = 12 + 5 i La forma rectangular del número dado en forma compleja es 12 + 5 i . Ejercicio Convierta el número complejo en forma rectangular: c = 4 ( cos 11 π 6 + i sen 11 π 6 ) z = 2 3 - 2 i Hallar productos de números complejos en forma polar Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos. Productos de números complejos en forma polar Si los valores de c 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sen θ 1 ) y z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , entonces el producto de estos números se da como: c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sen ( θ 1 + θ 2 ) ] c 1 z 2 = r 1 r 2 cis ( θ 1 + θ 2 ) Observe que el producto exige multiplicar los módulos y sumar los ángulos. Hallar el producto de dos números complejos en forma polar Halle el producto de c 1 z 2 , dado que c 1 = 4 ( cos ( 80° ) + i sen ( 80° ) ) y z 2 = 2 ( cos ( 145° ) + i sen ( 145° ) ) . Siga la fórmula c 1 z 2 = 4 ⋅ 2 [ cos ( 80° + 145° ) + i sen ( 80° + 145° ) ] c 1 z 2 = 8 [ cos ( 225° ) + i sen ( 225° ) ] c 1 z 2 = 8 [ cos ( 5 π 4 ) + i sen ( 5 π 4 ) ] c 1 z 2 = 8 [ - 2 2 + i ( – 2 2 ) ] c 1 z 2 = – 4 2 - 4 i 2 Hallar cocientes de números complejos en forma polar El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos. Cocientes de números complejos en forma polar Si los valores de c 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sen θ 1 ) y z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , entonces el cociente de estos números es c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 - θ 2 ) + i sen ( θ 1 - θ 2 ) ] , z 2 ≠ 0 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis ( θ 1 - θ 2 ) , z 2 ≠ 0 Observe que los módulos se dividen y los ángulos se restan. Cómo Dados dos números complejos en forma polar, calcule el cociente. Divida r 1 r 2 . Halle θ 1 - θ 2 . Sustituya los resultados en la fórmula: c = r ( cos θ + i sen θ ) . Sustituya r con r 1 r 2 , y sustituya θ con θ 1 - θ 2 . Calcule las nuevas expresiones trigonométricas y multiplique por r . Hallar el cociente de dos números complejos Halle el cociente de c 1 = 2 ( cos ( 213° ) + i sen ( 213° ) ) y z 2 = 4 ( cos ( 33° ) + i sen ( 33° ) ) . Con la fórmula tenemos c 1 z 2 = 2 4 [ cos ( 213° − 33° ) + i sen ( 213° − 33° ) ] c 1 z 2 = 1 2 [ cos ( 180° ) + i sen ( 180° ) ] c 1 z 2 = 1 2 [ - 1 + 0 i ] c 1 z 2 = - 1 2 + 0 i c 1 z 2 = - 1 2 Ejercicio Halle el producto y el cociente de c 1 = 2 3 ( cos ( 150° ) + i sen ( 150° ) ) y z 2 = 2 ( cos ( 30° ) + i sen ( 30° ) ) . z 1 z 2 = – 4 3 ; c 1 z 2 = - 3 2 + 3 2 i Hallar potencias de números complejos en forma polar El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre . Establece que, para un número entero positivo n , c n se calcula elevando el módulo a enésimo potencia y multiplicando el argumento por n . Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas. Teorema de Moivre Si los valores de z = r ( cos θ + i sen θ ) es un número complejo, entonces c n = r n [ cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ] c n = r n cis ( n θ ) donde n es un número entero positivo. Evaluación de una expresión mediante el teorema de Moivre Evalúe la expresión ( 1 + i ) 5 mediante el teorema de Moivre. Como el teorema de Moivre se aplica a números complejos escritos en forma polar, debemos escribir primero ( 1 + i ) en forma polar. Hallemos r . r = x 2 + y 2 r = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 r = 2 Luego calculamos θ . Si utilizamos la fórmula tan θ = y x da como resultado tan θ = 1 1 tan θ = 1 θ = π 4 Use el teorema de Moivre para evaluar la expresión. ( a + b i ) n = r n [ cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ] ( 1 + i ) 5 = ( 2 ) 5 [ cos ( 5 ⋅ π 4 ) + i sen ( 5 ⋅ π 4 ) ] ( 1 + i ) 5 = 4 2 [ cos ( 5 π 4 ) + i sen ( 5 π 4 ) ] ( 1 + i ) 5 = 4 2 [ - 2 2 + i ( – 2 2 ) ] ( 1 + i ) 5 = – 4 - 4 i Hallar raíces de números complejos en forma polar Para hallar la raíz enésima de un número complejo en forma polar, usamos el n enésimo o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar raíces enésimas de números complejos en forma polar. Una etiqueta de nota general El teorema de raíz a la n Para calcular la raíz enésima de un número complejo en forma polar, use la fórmula dada c 1 n = r 1 n [ cos ( θ n + 2 k π n ) + i sen ( θ n + 2 k π n ) ] donde k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1. Añadimos 2 k π n con θ n para obtener las raíces periódicas. Hallar la raíz enésima de un número complejo Evaluar las raíces cúbicas de c = 8 ( cos ( 2 π 3 ) + i sen ( 2 π 3 ) ) . Tenemos c 1 3 = 8 1 3 [ cos ( 2 π 3 3 + 2 k π 3 ) + i sen ( 2 π 3 3 + 2 k π 3 ) ] c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 2 k π 3 ) + i sen ( 2 π 9 + 2 k π 3 ) ] Habrá tres raíces: k = 0 , 1 , 2. Cuando k = 0 , tenemos c 1 3 = 2 ( cos ( 2 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 ) ) Cuando k = 1 , tenemos c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 6 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 + 6 π 9 ) ] Sume 2 ( 1 ) π 3 a cada ángulo. c 1 3 = 2 ( cos ( 8 π 9 ) + i sen ( 8 π 9 ) ) Cuando k = 2 , tenemos c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 12 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 + 12 π 9 ) ] Sume 2 ( 2 ) π 3 a cada ángulo. c 1 3 = 2 ( cos ( 14 π 9 ) + i sen ( 14 π 9 ) ) Recuerde hallar el denominador común para simplificar las fracciones en situaciones como esta. Para k = 1 , la simplificación del ángulo es 2 π 3 3 + 2 ( 1 ) π 3 = 2 π 3 ( 1 3 ) + 2 ( 1 ) π 3 ( 3 3 ) = 2 π 9 + 6 π 9 = 8 π 9 Ejercicio Halle las cuatro raíces cuartas de 16 ( cos ( 120° ) + i sen ( 120° ) ) . z 0 = 2 ( cos ( 30° ) + i sen ( 30° ) ) z 1 = 2 ( cos ( 120° ) + i sen ( 120° ) ) z 2 = 2 ( cos ( 210° ) + i sen ( 210° ) ) c 3 = 2 ( cos ( 300° ) + i sen ( 300° ) ) Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar formas polares de números complejos. El producto y el cociente de números complejos en forma trigonométrica Teorema de Moivre Conceptos clave Números complejos de la forma a + b i se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario . Vea el . El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto: | z | = a 2 + b 2 . Vea el y el . Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas x = r cos θ , y = r sen θ , y r = x 2 + y 2 . Entonces, z = r ( cos θ + i sen θ ) . Vea el y el . Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por r . Vea el y el . Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el . Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el . Para calcular la potencia de un número complejo c n , eleve r a la potencia n , y multiplique θ entre n . Vea el . Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el . Ejercicios de la sección Verbal Un número complejo es a + b i . Explique cada parte. a es la parte real, b es la parte imaginaria y i = - 1 ¿Qué representa el valor absoluto de un número complejo? ¿Cómo se convierte un número complejo en forma polar? La forma polar convierte las partes real e imaginaria del número complejo en forma polar usando x = r cos θ y y = r sen θ . ¿Cómo se calcula el producto de dos números complejos? ¿Qué es el teorema de Moivre y para qué sirve? c n = r n ( cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ) Se usa para simplificar la forma polar cuando un número ha sido elevado a una potencia. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado. 5 +  3 i − 7 +  i 5 2 - 3 - 3 i 2 - 6 i 38 2 i 2,2 − 3,1 i 14,45 En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar. 2 + 2 i 8 − 4 i 4 5 cis ( 333,4° ) - 1 2 – 1 2  i 3 + i 2 cis ( π 6 ) 3 i En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular. z = 7 cis ( π 6 ) 7 3 2 + i 7 2 z = 2 cis ( π 3 ) z = 4 cis ( 7 π 6 ) - 2 3 - 2 i z = 7 cis ( 25° ) z = 3 cis ( 240° ) − 1,5 − i 3 3 2 z = 2 cis ( 100° ) En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 en forma polar. z 1 = 2 3 cis ( 116° ) ; c 2 = 2 cis ( 82° ) 4 3 cis ( 198° ) z 1 = 2 cis ( 205° ) ; c 2 = 2 2 cis ( 118° ) z 1 = 3 cis ( 120° ) ; c 2 = 1 4 cis ( 60° ) 3 4 cis ( 180° ) z 1 = 3 cis ( π 4 ) ; c 2 = 5 cis ( π 6 ) z 1 = 5 cis ( 5 π 8 ) ; c 2 = 15 cis ( π 12 ) 5 3 cis ( 17 π 24 ) z 1 = 4 cis ( π 2 ) ; c 2 = 2 cis ( π 4 ) En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 en forma polar. z 1 = 21 cis ( 135° ) ; c 2 = 3 cis ( 65° ) 7 cis ( 70° ) z 1 = 2 cis ( 90° ) ; c 2 = 2 cis ( 60° ) z 1 = 15 cis ( 120° ) ; c 2 = 3 cis ( 40° ) 5 cis ( 80° ) z 1 = 6 cis ( π 3 ) ; c 2 = 2 cis ( π 4 ) z 1 = 5 2 cis ( π ) ; c 2 = 2 cis ( 2 π 3 ) 5 cis ( π 3 ) z 1 = 2 cis ( 3 π 5 ) ; c 2 = 3 cis ( π 4 ) En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar. Calcule c 3 cuando z = 5 cis ( 45° ) . 125 cis ( 135° ) Calcule z 4 cuando z = 2 cis ( 70° ) . Calcule z 2 cuando z = 3 cis ( 120° ) . 9 cis ( 240° ) Calcule z 2 cuando z = 4 cis ( π 4 ) . Calcule z 4 cuando z = cis ( 3 π 16 ) . cis ( 3 π 4 ) Calcule c 3 cuando z = 3 cis ( 5 π 3 ) . En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz. Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 27 cis ( 240° ) . 3 cis ( 80° ) , 3 cis ( 200° ) , 3 cis ( 320° ) Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 16 cis ( 100° ) . Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 32 cis ( 2 π 3 ) . 2 4 3 cis ( 2 π 9 ) , 2 4 3 cis ( 8 π 9 ) , 2 4 3 cis ( 14 π 9 ) Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 32 cis ( π ) . Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 8 cis ( 7 π 4 ) . 2 2 cis ( 7 π 8 ) , 2 2 cis ( 15 π 8 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo. 2 + 4 i - 3 - 3 i 5 - 4 i - 1 - 5 i 3 + 2 i 2 i - 4 6 - 2 i - 2 + i 1 - 4 i En tecnología En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana. Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 5 + 5 i a la forma polar. Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 3 - 2 i a la forma polar. 3,61 e − 0,59 i Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar − 3 - 8 i a la forma polar. Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 4 cis ( 120° ) a la forma rectangular. - 2 + 3,46 i Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 2 cis ( 45° ) a la forma rectangular. Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 5 cis ( 210° ) a la forma rectangular. − 4,33 − 2,50 i argumento el ángulo asociado a un número complejo; el ángulo entre la línea del origen al punto y el eje real positivo Teorema de Moivre fórmula utilizada para calcular la enésimo potencia o raíces enésimas de un número complejo; afirma que, para un número entero positivo n , c n se calcula elevando el módulo a enésimo potencia y multiplicando los ángulos por n módulo el valor absoluto de un número complejo o la distancia del origen al punto ( x , y ) ; también llamado la amplitud forma polar de un número complejo un número complejo expresado en términos de un ángulo θ y su distancia desde el origen r ; se puede calcular mediante fórmulas de conversión x = r cos θ , y = r sen θ , y r = x 2 + y 2

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