Ecuaciones lineales de primer orden Previamente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de v 0 ft/s, entonces se plantea un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de t segundos viene dada por d v d t = −32 , v ( 0 ) = v 0 . Este modelo supone que la única fuerza que actúa sobre la pelota es la gravedad. Ahora añadimos al problema la posibilidad de que la resistencia del aire actúe sobre la pelota. La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto se eleva, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente ( ). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es igual numéricamente a alguna constante k veces v . Para objetos más grandes (p. ej., del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a v 1,5 , o v 0,9 , o alguna otra potencia de v . Fuerzas que actúan sobre una pelota de béisbol en movimiento: la gravedad actúa en dirección descendente y la resistencia del aire actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Trabajaremos con la aproximación lineal para la resistencia del aire. Si asumimos k > 0 , entonces la expresión para la fuerza F A debido a la resistencia del aire está dada por F A = − k v . Por tanto, la suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto es igual a la suma de la fuerza gravitatoria y la fuerza debida a la resistencia del aire. Esto, a su vez, es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración en el tiempo t (segunda ley de Newton). Esto nos da la ecuación diferencial m d v d t = − k v − m g . Por último, imponemos una condición inicial v ( 0 ) = v 0 , donde v 0 es la velocidad inicial medida en metros por segundo. Esto hace que g = 9,8 m/s 2 . El problema de valor inicial se convierta en m d v d t = − k v − m g , v ( 0 ) = v 0 . La ecuación diferencial de este problema de valor inicial es un ejemplo de ecuación diferencial lineal de primer orden (recuerde que una ecuación diferencial es de primer orden si la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es 1 ) En esta sección, estudiamos las ecuaciones lineales de primer orden y examinamos un método para hallar una solución general a este tipo de ecuaciones, así como para resolver problemas de valor inicial que las involucran. Definición Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si se puede escribir de la forma a ( x ) y ′ + b ( x ) y = c ( x ) , donde a ( x ) , b ( x ) , y c ( x ) son funciones arbitrarias de x . Recuerde que la función desconocida y depende de la variable x ; es decir, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son ( 3 x 2 − 4 ) y ′ + ( x − 3 ) y = sen x ( sen x ) y ′ − ( cos x ) y = cot x 4 x y ′ + ( 3 ln x ) y = x 3 − 4 x . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden son ( y ′ ) 4 − ( y ′ ) 3 = ( 3 x − 2 ) ( y + 4 ) 4 y ′ + 3 y 3 = 4 x − 5 ( y ′ ) 2 = sen y + cos x . Estas ecuaciones son no lineales debido a términos como ( y ′ ) 4 , y 3 , etc. Debido a estos términos, es imposible poner estas ecuaciones en la misma forma que la . Forma estándar Considere la ecuación diferencial ( 3 x 2 − 4 ) y ′ + ( x − 3 ) y = sen x . Nuestro objetivo principal en esta sección es derivar un método de solución para ecuaciones de esta forma. Es útil que el coeficiente de y ′ sea igual a 1 . Para ello, dividimos ambos lados entre 3 x 2 − 4 . y ′ + ( x − 3 3 x 2 − 4 ) y = sen x 3 x 2 − 4 Esto se llama la forma estándar de la ecuación diferencial. La utilizaremos más adelante cuando hallemos la solución de una ecuación diferencial lineal general de primer orden. Volviendo a la , podemos dividir ambos lados de la ecuación entre a ( x ) . Esto nos lleva a la ecuación y ′ + b ( x ) a ( x ) y = c ( x ) a ( x ) . Ahora defina p ( x ) = b ( x ) a ( x ) como q ( x ) = c ( x ) a ( x ) . Entonces la se convierte en y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . Podemos escribir cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden en esta forma, y esto se conoce como la forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden. Escribir ecuaciones lineales de primer orden en forma estándar Escriba cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma estándar. Identifique p ( x ) como q ( x ) para cada ecuación. y ′ = 3 x − 4 y 3 x y ′ 4 y − 3 = 2 (aquí x ≠ 0 ) grandes. y = 3 y ′ − 4 x 2 + 5 Añadir 4 y a ambos lados: y ′ + 4 y = 3 x . En esta ecuación, p ( x ) = 4 y q ( x ) = 3 x . Multiplique ambos lados por 4 y − 3 , y luego reste 8 y de cada lado: 3 x y ′ 4 y − 3 = 2 3 x y ′ = 2 ( 4 y − 3 ) 3 x y ′ = 8 y − 6 3 x y ′ − 8 y = −6 . Finalmente, divida ambos lados entre 3 x para que el coeficiente de y ′ sea igual a 1 : y ′ − 8 3 x y = − 2 x . Esto se permite porque en el planteamiento original de este problema asumimos que x ≠ 0 . (Si x = 0 entonces la ecuación original se convierte en 0 = 2 , lo que es claramente una afirmación falsa). En esta ecuación, p ( x ) = − 8 3 x y q ( x ) = − 2 3 x . Reste y de cada lado y sume 4 x 2 − 5 : 3 y ′ − y = 4 x 2 − 5 . A continuación, divida ambos lados entre 3 : y ′ − 1 3 y = 4 3 x 2 − 5 3 . En esta ecuación, p ( x ) = − 1 3 y q ( x ) = 4 3 x 2 − 5 3 . Escriba la ecuación ( x + 3 ) y ′ 2 x − 3 y − 4 = 5 en forma estándar e identifique p ( x ) como q ( x ) . y ′ + 15 x + 3 y = 10 x − 20 x + 3 ; p ( x ) = 15 x + 3 y q ( x ) = 10 x − 20 x + 3 Pista Multiplique ambos lados por el denominador común, y luego reúna todos los términos que impliquen y en un lado. Factores de integración Ahora desarrollamos una técnica de solución para cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Comenzamos con la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden: y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . El primer término del lado izquierdo de la es la derivada de la función desconocida, y el segundo término es el producto de una función conocida por la función desconocida. Esto recuerda en cierto modo a la regla del producto de la sección Reglas de diferenciación . Si multiplicamos la por una función aún por determinar μ ( x ) , entonces la ecuación se convierte en μ ( x ) y ′ + μ ( x ) p ( x ) y = μ ( x ) q ( x ) . El lado izquierdo de la se puede igualar perfectamente a la regla del producto: d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Si se iguala término a término, se obtiene y = f ( x ) , g ( x ) = μ ( x ) , y g ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) . Tomando la derivada de g ( x ) = μ ( x ) e igualándola al lado derecho de g ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) nos lleva a μ ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) . Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden para μ ( x ) . Sabemos que p ( x ) porque aparece en la ecuación diferencial que estamos resolviendo. Separando las variables e integrando se obtiene μ ′ ( x ) μ ( x ) = p ( x ) ∫ μ ′ ( x ) μ ( x ) d x = ∫ p ( x ) d x ln | μ ( x ) | = ∫ p ( x ) d x + C e ln | μ ( x ) | = e ∫ p ( x ) d x + C | μ ( x ) | = C 1 e ∫ p ( x ) d x μ ( x ) = C 2 e ∫ p ( x ) d x . Aquí C 2 puede ser una constante arbitraria (positiva o negativa). Esto nos lleva a un método general para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primero multiplicamos ambos lados de la por el factor de integración μ ( x ) . Esto da μ ( x ) y ′ + μ ( x ) p ( x ) y = μ ( x ) q ( x ) . El lado izquierdo de la se puede reescribir como d d x ( μ ( x ) y ) . d d x ( μ ( x ) y ) = μ ( x ) q ( x ) . A continuación, integre ambos lados de la con respecto a x . ∫ d d x ( μ ( x ) y ) d x = ∫ μ ( x ) q ( x ) d x μ ( x ) y = ∫ μ ( x ) q ( x ) d x . Divida ambos lados de la entre μ ( x ) : y = 1 μ ( x ) [ ∫ μ ( x ) q ( x ) d x + C ] . Dado que μ ( x ) se calculó previamente, ya hemos terminado. Una nota importante sobre la constante de integración C : Puede parecer que somos incoherentes en el uso de la constante de integración. Sin embargo, la integral que implica p ( x ) es necesaria para hallar un factor de integración para la . Solo se necesita un factor de integración para resolver la ecuación; por lo tanto, es seguro asignar un valor para C para esta integral. Elegimos C = 0 . Cuando calculamos la integral dentro de los paréntesis en la , es necesario mantener nuestras opciones abiertas para el valor de la constante de integración, porque nuestro objetivo es hallar una familia general de soluciones a la . Este factor de integración garantiza precisamente eso. Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden Escriba la ecuación en forma estándar e identifique p ( x ) como q ( x ) . Calcule el factor de integración μ ( x ) = e ∫ p ( x ) d x . Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) . Integre ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 3 , y divida ambos lados entre μ ( x ) . Si hay una condición inicial, determine el valor de C . Resolución de una ecuación lineal de primer orden Halle una solución general para la ecuación diferencial x y ′ + 3 y = 4 x 2 − 3 x . Asuma que x > 0 . Para escribir esta ecuación diferencial en forma estándar, divida ambos lados entre x : y ′ + 3 x y = 4 x − 3 . Por lo tanto p ( x ) = 3 x y q ( x ) = 4 x − 3 . El factor de integración es μ ( x ) = e ∫ ( 3 / x ) d x = e 3 ln x = x 3 . Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) nos da x 3 y ′ + x 3 ( 3 x ) y = x 3 ( 4 x − 3 ) x 3 y ′ + 3 x 2 y = 4 x 4 − 3 x 3 d d x ( x 3 y ) = 4 x 4 − 3 x 3 . Integre ambos lados de la ecuación. ∫ d d x ( x 3 y ) d x = ∫ 4 x 4 − 3 x 3 d x x 3 y = 4 x 5 5 − 3 x 4 4 + C y = 4 x 2 5 − 3 x 4 + C x −3 . No hay valor inicial, por lo que el problema está completo. Análisis Habrá notado la condición que se impuso a la ecuación diferencial; es decir, x > 0 . Para cualquier valor distinto de cero de C , la solución general no está definida en x = 0 . Además, cuando x < 0 , el factor de integración cambia. El factor de integración viene dado por la como f ( x ) = e ∫ p ( x ) d x . Para esta p ( x ) obtenemos e ∫ p ( x ) d x = e ∫ ( 3 / x ) d x = e 3 ln | x | = | x | 3 , dado que x < 0 . El comportamiento de la solución general cambia en x = 0 en gran medida por el hecho de que p ( x ) no se define allí. Halle la solución general de la ecuación diferencial ( x − 2 ) y ′ + y = 3 x 2 + 2 x . Asuma que x > 2 . y = x 3 + x 2 + C x − 2 Pista Utilice el método descrito en la estrategia de resolución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Ahora utilizamos la misma estrategia para hallar la solución a un problema de valor inicial. Un problema de valor inicial lineal de primer orden Resuelva el problema de valor inicial y ′ + 3 y = 2 x – 1 , y ( 0 ) = 3 . Esta ecuación diferencial ya está en forma estándar con p ( x ) = 3 y q ( x ) = 2 x – 1 . El factor de integración es μ ( x ) = e ∫ 3 d x = e 3 x . Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) da e 3 x y ′ + 3 e 3 x y = ( 2 x – 1 ) e 3 x d d x [ y e 3 x ] = ( 2 x – 1 ) e 3 x . Integre ambos lados de la ecuación: ∫ d d x [ y e 3 x ] d x = ∫ ( 2 x – 1 ) e 3 x d x y e 3 x = e 3 x 3 ( 2 x – 1 ) − ∫ 2 3 e 3 x d x y e 3 x = e 3 x ( 2 x – 1 ) 3 − 2 e 3 x 9 + C y = 2 x – 1 3 − 2 9 + C e −3 x y = 2 x 3 − 5 9 + C e −3 x . Ahora sustituya x = 0 y y = 3 en la solución general y resuelva para C : y = 2 3 x − 5 9 + C e −3 x 3 = 2 3 ( 0 ) − 5 9 + C e −3 ( 0 ) 3 = − 5 9 + C C = 32 9 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es y = 2 3 x − 5 9 + 32 9 e −3 x . Resuelva el problema de valor inicial y ′ − 2 y = 4 x + 3 y ( 0 ) = –2 . y = – 2 x – 5 2 + 1 2 e 2 x Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Estudiamos dos aplicaciones diferentes de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La primera tiene que ver con la resistencia del aire en relación con los objetos que suben o bajan; la segunda, con un circuito eléctrico. Hay muchas otras aplicaciones, pero la mayoría se resuelve de forma similar. Caída libre con resistencia del aire Al principio de esta sección hablamos de la resistencia del aire. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar este concepto para una pelota en movimiento vertical. Hay otros factores que pueden afectar a la fuerza de resistencia del aire, como el tamaño y la forma del objeto, pero los ignoramos aquí. Una pelota con resistencia del aire Una pelota de ráquetbol es golpeada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 2 m/s. La masa de una pelota de ráquetbol es aproximadamente 0,0427 kg. La resistencia del aire actúa sobre la pelota con una fuerza igual numéricamente a 0,5 v , donde v representa la velocidad de la pelota en el tiempo t . Calcule la velocidad de la pelota en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? Si la pelota se golpea desde una altura inicial de 1 metro, ¿qué altura alcanzará? La masa m = 0,0427 kg , k = 0,5 , y g = 9,8 m/s 2 . La velocidad inicial es v 0 = 2 m/s. Por lo tanto, el problema de valor inicial es 0,0427 d v d t = −0,5 v − 0,0427 ( 9,8 ) , v 0 = 2 . Dividiendo la ecuación diferencial entre 0,0427 da d v d t = −11,7096 v − 9,8 , v 0 = 2 . La ecuación diferencial es lineal. Usar la estrategia de resolución de problemas para ecuaciones diferenciales lineales: Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como d v d t + 11,7096 v = −9,8 . Esto da p ( t ) = 11,7096 y q ( t ) = −9,8 Paso 2. El factor de integración es μ ( t ) = e ∫ 11,7096 d t = e 11,7096 t . Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por μ ( t ) : e 11,7096 t d v d t + 11,7096 v e 11,7096 t = −9,8 e 11,7096 t d d t [ v e 11,7096 t ] = −9,8 e 11,7096 t . Paso 4. Integre ambos lados: ∫ d d t [ v e 11,7096 t ] d t = ∫ −9,8 e 11,7096 t d t v e 11,7096 t = −9,8 11,7096 e 11,7096 t + C v ( t ) = −0,8369 + C e −11,7096 t . Paso 5. Resuelva para C utilizando la condición inicial v 0 = v ( 0 ) = 2 : v ( t ) = −0,8369 + C e −11,7096 t v ( 0 ) = −0,8369 + C e −11,7096 ( 0 ) 2 = −0,8369 + C C = 2,8369. Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es v ( t ) = 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 . La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad es igual a cero. La razón es que cuando la velocidad es positiva, está subiendo, y cuando es negativa, está bajando. Por lo tanto, cuando es cero, no está subiendo ni bajando, y está en su altura máxima: 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 = 0 2,8369 e −11,7096 t = 0,8369 e −11,7096 t = 0,8369 2,8369 ≈ 0,295 ln e −11,7096 t = ln 0,295 ≈ − 1,221 −11,7096 t = −1,221 t ≈ 0,104. Por lo tanto, se necesita aproximadamente 0,104 segundos para alcanzar la altura máxima. Para hallar la altura de la pelota en función del tiempo, se utiliza el hecho de que la derivada de la posición es la velocidad, es decir, si h ( t ) representa la altura en el tiempo t , entonces h ′ ( t ) = v ( t ) . Porque conocemos v ( t ) y la altura inicial, podemos formar un problema de valor inicial: h ′ ( t ) = 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 , h ( 0 ) = 1 . Integrando ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a t da ∫ h ′ ( t ) d t = ∫ 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 d t h ( t ) = − 2,8369 11,7096 e −11,7096 t − 0,8369 t + C h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + C . Resuelva para C utilizando la condición inicial: h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + C h ( 0 ) = −0,2423 e −11,7096 ( 0 ) − 0,8369 ( 0 ) + C 1 = −0,2423 + C C = 1,2423. Por lo tanto h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + 1,2423 . Después de 0,104 segundos, la altura está dada por h ( 0,104 ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + 1,2423 ≈ 1,0836 metros. El peso de un centavo es 2,5 gramos (Casa de la Moneda de Estados Unidos, “Coin Specifications”, consultado el 9 de abril de 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications) y la plataforma de observación superior del Empire State Building es de 369 metros sobre la calle. Como el centavo es un objeto pequeño y relativamente liso, la resistencia del aire que actúa sobre este es en realidad bastante pequeña. Suponemos que la resistencia del aire es igual numéricamente a 0,0025 v . Además, el centavo se deja caer sin que se le aplique una velocidad inicial. Plantee un problema de valor inicial que represente el centavo que cae. Resuelva el problema para v ( t ) . Cuál es la velocidad límite del centavo (es decir, calcule el límite de la velocidad a medida que t se acerca al infinito)? d v d t = − v − 9,8 v ( 0 ) = 0 v ( t ) = 9,8 ( e − t − 1 ) grandes. lím t → ∞ v ( t ) = lím t → ∞ ( 9,8 ( e − t − 1 ) ) = −9,8 m/s ≈ − 21,922 mph Pista Plantee la ecuación diferencial de la misma manera que . Recuerde convertir de gramos a kilogramos. Circuitos eléctricos Una fuente de fuerza electromotriz (p. ej., una batería o un generador) produce un flujo de corriente en un circuito cerrado, y esta corriente produce una caída de voltaje en cada resistor, inductor y condensador del circuito. La ley de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en los resistores, inductores y condensadores es igual a la fuerza electromotriz total en un circuito cerrado. Tenemos los tres resultados siguientes: La caída de voltaje a través de una resistencia está dada por E R = R i , donde R es una constante de proporcionalidad llamada resistencia, y i es la corriente. La caída de voltaje en un inductor está dada por E L = L i ′ , donde L es una constante de proporcionalidad llamada inductancia , y i denota de nuevo la corriente. La caída de voltaje en un condensador está dada por E C = 1 C q , donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacidad , y q es la carga instantánea del condensador. La relación entre i y q es i = q ′ . Utilizamos unidades de voltios ( V ) para medir el voltaje E , amperios ( A ) para medir la corriente i , culombios ( C ) para medir la carga q , ohmios ( Ω ) para medir la resistencia R , henrios ( H ) para medir la inductancia L , y faradios ( F ) para medir la capacidad C . Considere el circuito en la . Un circuito eléctrico típico, que contiene un generador de tensión ( V S ) , condensador ( C ) , inductor ( L ) , y el resistor ( R ) . Aplicando la ley de ley de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, suponemos que E denota la fuerza electromotriz suministrada por el generador de voltaje. Entonces E L + E R + E C = E . Sustituyendo las expresiones para E L , E R , y E C en esta ecuación, obtenemos L i ′ + R i + 1 C q = E . Si no hay ningún condensador en el circuito, la ecuación se convierte en L i ′ + R i = E . Se trata de una ecuación diferencial de primer orden en i . El circuito se denomina un circuito L R . A continuación, supongamos que no hay ningún inductor en el circuito, pero sí un condensador y un resistor, por lo que L = 0 , R ≠ 0 , y C ≠ 0 . Entonces la puede reescribirse como R q ′ + 1 C q = E , que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Esto se denomina circuito RC . En cualquier caso, podemos plantear y resolver un problema de valores iniciales. Calcular la corriente en un circuito eléctrico RL Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E = 50 sen 20 t V , un resistor de 5 Ω , y un inductor de 0,4 H . Si la corriente inicial es 0 , calcule la corriente en el momento t > 0 . Tenemos un resistor y un inductor en el circuito, por lo que utilizamos la . La caída de voltaje a través del resistor está dada por E R = R i = 5 i . La caída de voltaje en el inductor está dada por E L = L i ′ = 0,4 i ′ . La fuerza electromotriz se convierte en el lado derecho de la . Por lo tanto, la se convierte en 0,4 i ′ + 5 i = 50 sen 20 t . Dividiendo ambos lados entre 0,4 da la ecuación i ′ + 12,5 i = 125 sen 20 t . Como la corriente inicial es 0, este resultado da una condición inicial de i ( 0 ) = 0 . Podemos resolver este problema de valor inicial utilizando la estrategia de cinco pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como i ′ + 12,5 i = 125 sen 20 t . Esto da p ( t ) = 12,5 y q ( t ) = 125 sen 20 t . Paso 2. El factor de integración es μ ( t ) = e ∫ 12,5 d t = e 12,5 t . Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por μ ( t ) : e 12,5 t i ′ + 12,5 e 12,5 t i = 125 e 12,5 t sen 20 t d d t [ i e 12,5 t ] = 125 e 12,5 t sen 20 t . Paso 4. Integre ambos lados: ∫ d d t [ i e 12,5 t ] d t = ∫ 125 e 12,5 t sen 20 t d t i e 12,5 t = ( 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 ) e 12,5 t + C i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + C e −12,5 t . Paso 5. Resuelva para C utilizando la condición inicial v ( 0 ) = 2 : i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + C e −12,5 t i ( 0 ) = 250 sen 20 ( 0 ) − 400 cos 20 ( 0 ) 89 + C e −12,5 ( 0 ) 0 = − 400 89 + C C = 400 89 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t + 400 e −12,5 t 89 = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + 400 e −12,5 t 89 . El primer término puede reescribirse como una función coseno simple. Primero, multiplique por y divida entre 250 2 + 400 2 = 50 89 : 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 = 50 89 89 ( 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 50 89 ) = − 50 89 89 ( 8 cos 20 t 89 − 5 sen 20 t 89 ) . A continuación, defina φ para que sea un ángulo agudo tal que cos φ = 8 89 . Entonces sen φ = 5 89 y − 50 89 89 ( 8 cos 20 t 89 − 5 sen 20 t 89 ) = − 50 89 89 ( cos φ cos 20 t − sen φ sen 20 t ) = − 50 89 89 cos ( 20 t + φ ) . Por lo tanto, la solución puede escribirse como i ( t ) = − 50 89 89 cos ( 20 t + φ ) + 400 e −12,5 t 89 . El segundo término se denomina término de atenuación , porque desaparece rápidamente a medida que t aumenta. El desplazamiento de fase está dado por φ , y la amplitud de la corriente en estado estacionario está dada por 50 89 89 . El gráfico de esta solución aparece en la : Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E = 20 sen 5 t V, un condensador con capacidad 0,02 F , y un resistor de 8 Ω . Si la carga inicial es 4 C , calcule la carga en el tiempo t > 0 . Problema de valor inicial: 8 q ′ + 1 0,02 q = 20 sen 5 t , q ( 0 ) = 4 q ( t ) = 10 sen 5 t − 8 cos 5 t + 172 e −6,25 t 41 Pista Utilice para un circuito R C para plantear un problema de valor inicial. Conceptos clave Cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . Podemos utilizar una estrategia de resolución de problemas en cinco pasos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede o no incluir un valor inicial. Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden incluyen determinar el movimiento de un objeto que se eleva o cae con resistencia del aire y calcular la corriente en un circuito eléctrico. Ecuaciones clave forma estándar y ′ + p ( x ) y = q ( x ) factor de integración μ ( x ) = e ∫ p ( x ) d x ¿Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales? Explique su razonamiento. d y d x = x 2 y + sen x d y d t = t y Sí d y d t + y 2 = x y ′ = x 3 + e x Sí y ′ = y + e y Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar. y ′ = x 3 y + sen x y ′ − x 3 y = sen x y ′ + 3 y − ln x = 0 − x y ′ = ( 3 x + 2 ) y + x e x y ′ + ( 3 x + 2 ) x y = − e x d y d t = 4 y + t y + tan t d y d t = y x ( x + 1 ) grandes. d y d t − y x ( x + 1 ) = 0 ¿Cuáles son los factores de integración de las siguientes ecuaciones diferenciales? y ′ = x y + 3 y ′ + e x y = sen x e x y ′ = x ln ( x ) y + 3 x d y d x = tanh ( x ) y + 1 − ln ( cosh x ) grandes. d y d t + 3 t y = e t y Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando factores de integración. y ′ = 3 y + 2 y = C e 3 x − 2 3 y ′ = 2 y − x 2 x y ′ = 3 y − 6 x 2 y = C x 3 + 6 x 2 ( x + 2 ) y ′ = 3 x + y y ′ = 3 x + x y y = C e x 2 / 2 − 3 x y ′ = x + y sen ( x ) y ′ = y + 2 x y = C tan ( x 2 ) − 2 x + 4 tan ( x 2 ) ln ( sen ( x 2 ) ) grandes. y ′ = y + e x x y ′ = 3 y + x 2 y = C x 3 − x 2 y ′ + ln x = y x Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Utilice su calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Hay ciertas condiciones iniciales que cambian el comportamiento de la solución? [T] ( x + 2 ) y ′ = 2 y − 1 y = C ( x + 2 ) 2 + 1 2 [T] y ′ = 3 e t / 3 − 2 y [T] x y ′ + y 2 = sen ( 3 t ) grandes. y = C x + 2 sen ( 3 t ) [T] x y ′ = 2 cos x x − 3 y [T] ( x + 1 ) y ′ = 3 y + x 2 + 2 x + 1 y = C ( x + 1 ) 3 − x 2 − 2 x – 1 [T] sen ( x ) y ′ + cos ( x ) y = 2 x [T] x 2 + 1 y ′ = y + 2 y = C e senoh −1 x − 2 [T] x 3 y ′ + 2 x 2 y = x + 1 Resuelva los siguientes problemas de valor inicial utilizando factores de integración. y ′ + y = x , y ( 0 ) = 3 y = x + 4 e x – 1 y ′ = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0 x y ′ = y − 3 x 3 , y ( 1 ) = 0 y = − 3 x 2 ( x 2 – 1 ) grandes. x 2 y ′ = x y − ln x , y ( 1 ) = 1 ( 1 + x 2 ) y ′ = y − 1 , y ( 0 ) = 0 y = 1 − e tan −1 x x y ′ = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5 ( 2 + x ) y ′ = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0 y = ( x + 2 ) ln ( x + 2 2 ) grandes. y ′ = x y + 2 x e x , y ( 0 ) = 2 x y ′ = y + 2 x , y ( 0 ) = 1 y = 2 e 2 x − 2 x − 2 x – 1 y ′ = 2 y + x e x , y ( 0 ) = –1 Un objeto de masa m que cae puede alcanzar la velocidad límite cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con la constante de proporcionalidad k . Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad si la velocidad inicial es 0 . v ( t ) = g m k ( 1 − e − k t / m ) Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? ( Pista: Examine el comportamiento límite; ¿la velocidad se acerca a un valor?) [T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.000 metros si la masa es 100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,8 m/s 2 la constante de proporcionalidad es 4 ? 40,451 segundos Una forma más precisa de describir la velocidad límite es que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, con una constante de proporcionalidad k . Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad. Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? ( Pista: Examine el comportamiento límite: ¿la velocidad se aproxima a un valor?) g m k [T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.000 metros si la masa es 100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,8 m/s 2 y la constante de proporcionalidad es 4 ? ¿Se tarda más o menos tiempo que su estimación inicial? Para los siguientes problemas, determine cómo el parámetro a afecta a la solución. Resuelva la ecuación genérica y ′ = a x + y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? y = C e x – a ( x + 1 ) Resuelva la ecuación genérica y ′ = a y + x . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? Resuelva la ecuación genérica y ′ = a x + x y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? y = C e x 2 / 2 − a Resuelva la ecuación genérica y ′ = x + a x y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? Resuelva y ′ − y = e k t con la condición inicial y ( 0 ) = 0 . A medida que k se acerca a 1 , ¿qué ocurre con su fórmula? y = e k t − e t k − 1 Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La ecuación diferencial y ′ = 3 x 2 y − cos ( x ) y ″ es lineal. La ecuación diferencial y ′ = x − y es separable. F Se pueden resolver explícitamente todas las ecuaciones diferenciales de primer orden por separación o por el método de integración de factores. Se puede determinar el comportamiento de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando campos de direcciones o el método de Euler. T Para los siguientes problemas, halle la solución general de las ecuaciones diferenciales. y ′ = x 2 + 3 e x − 2 x y ′ = 2 x + cos −1 x y ( x ) = 2 x ln ( 2 ) + x cos −1 x – 1 − x 2 + C y ′ = y ( x 2 + 1 ) grandes. y ′ = e − y sen x y ( x ) = ln ( C − cos x ) grandes. y ′ = 3 x − 2 y y ′ = y ln y y ( x ) = e e C + x Para los siguientes problemas, halle la solución del problema de valor inicial. y ′ = 8 x − ln x − 3 x 4 , y ( 1 ) = 5 y ′ = 3 x − cos x + 2 , y ( 0 ) = 4 y ( x ) = 4 + 3 2 x 2 + 2 x − sen x x y ′ = y ( x − 2 ) , y ( 1 ) = 3 y ′ = 3 y 2 ( x + cos x ) , y ( 0 ) = –2 y ( x ) = − 2 1 + 3 ( x 2 + 2 sen x ) grandes. ( x – 1 ) y ′ = y − 2 , y ( 0 ) = 0 y ′ = 3 y − x + 6 x 2 , y ( 0 ) = –1 y ( x ) = –2 x 2 − 2 x – 1 3 − 2 3 e 3 x Para los siguientes problemas, dibuje el campo de direcciones asociado a la ecuación diferencial y luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuje una solución de ejemplo en el campo de direcciones. y ′ = 2 y – y 2 y ′ = 1 x + ln x − y , para x > 0 y ( x ) = C e – x + ln x Para los siguientes problemas, utilice el método de Euler con n = 5 pasos sobre el intervalo t = [ 0 , 1 ] . Luego resuelva el problema de valor inicial exactamente. ¿Qué tan cerca está su estimación del Método de Euler? y ′ = –4 y x , y ( 0 ) = 1 y ′ = 3 x − 2 y , y ( 0 ) = 0 Euler: 0,6939 , solución exacta: y ( x ) = 3 x − e −2 x 2 + ln ( 3 ) Para los siguientes problemas, plantee y resuelva las ecuaciones diferenciales. Un auto circula por una autopista, acelerando según a = 5 sen ( π t ) , donde t representa el tiempo en minutos. Calcule la velocidad en cualquier tiempo t , suponiendo que el auto arranca con una velocidad inicial de 60 mph. Se lanza una pelota de masa 2 kilogramos en el aire con una velocidad ascendente de 8 m/s. Calcule exactamente el tiempo que la pelota permanecerá en el aire, suponiendo que la gravedad está dada por g = 9,8 m/s 2 . 40 49 segundos Se deja caer una pelota con una masa de 5 kilogramos por la ventana de un avión a una altura de 5.000 m. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? Se deja caer la misma pelota de masa 5 kilogramos por la misma ventana del avión a la misma altura, solo que esta vez se supone una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad de la pelota, utilizando una constante de proporcionalidad de 3 y la pelota alcanza la velocidad límite. Calcule la distancia caída en función del tiempo. ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? x ( t ) = 5.000 + 245 9 − 49 3 t − 245 9 e − 5 / 3 t , t = 307,8 segundos Un fármaco se administra a un paciente cada 24 horas y se elimina a una tasa proporcional a la cantidad de fármaco que queda en el cuerpo, con una constante de proporcionalidad 0,2 . Si el paciente necesita que haya un nivel de referencia de 5 mg en el torrente sanguíneo en todo momento, ¿cuál debe ser la dosis? Un tanque de 1,000 litros contiene agua pura y una solución de 0,2 kg de sal/L se bombea en el tanque a una tasa de 1 L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la cantidad total de sal en el tanque en el tiempo t . T ( t ) = 200 ( 1 − e − t / 1.000 ) Se hierve agua para hacer té. Cuando se vierte el agua en la tetera, la temperatura es 100 °C. Después de 5 minutos en su habitación a 15 °C , la temperatura del té es 85 °C. Resuelva la ecuación para determinar las temperaturas del té en el tiempo t . ¿Cuánto tiempo hay que esperar hasta que el té esté a una temperatura que se pueda beber? ( 72 °C )? La población humana (en miles) de Nevada en 1950 fue aproximadamente 160 . Si la capacidad de carga se estima en 10 millones de individuos, y suponiendo una tasa de crecimiento de 2 % por año, desarrolle un modelo de crecimiento logístico y calcule la población de Nevada en cualquier tiempo (utilice 1950 como tiempo = 0). ¿Qué población predice su modelo para 2000 ? ¿Qué tan cerca está su predicción del valor real de 1998257 ? P ( t ) = 1.600.000 e 0,02 t 9840 + 160 e 0,02 t Repita el problema anterior, pero utilice el modelo de crecimiento de Gompertz. ¿Cuál es más preciso? factor de integración cualquier función f ( x ) que se multiplica en ambos lados de una ecuación diferencial para que el lado que implica la función desconocida sea igual a la derivada de un producto de dos funciones lineal descripción de una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma a ( x ) y ′ + b ( x ) y = c ( x ) forma estándar forma de una ecuación diferencial lineal de primer orden que se obtiene al escribir la ecuación diferencial en la forma y ′ + p ( x ) y = q ( x )

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Introducción El copo de nieve de Koch se construye mediante un proceso iterativo. A partir de un triángulo equilátero, en cada paso del proceso se elimina el tercio central de cada segmento de línea y se sustituye por un triángulo equilátero que apunta hacia fuera. El copo de nieve de Koch se construye a partir de un número infinito de triángulos equiláteros no superpuestos. En consecuencia, podemos expresar su área como una suma de infinitos términos. ¿Cómo sumamos un número infinito de términos? ¿Puede ser finita una suma de un número infinito de términos? Para responder estas preguntas, debemos introducir el concepto de serie infinita, una suma con infinitos términos. Una vez que se han definido las herramientas necesarias, podremos calcular el área del copo de nieve de Koch (vea el ). El tema de las series infinitas puede parecer ajeno al cálculo diferencial e integral. De hecho, una serie infinita cuyos términos implican potencias de una variable es una herramienta poderosa que podemos utilizar para expresar funciones como "polinomios infinitos" Podemos utilizar las series infinitas para evaluar funciones complicadas, aproximar integrales definidas y crear nuevas funciones. Además, las series infinitas se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento físico, desde pequeños circuitos electrónicos hasta satélites en órbita terrestre.

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Secuencias En esta sección, introducimos las secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Se muestra cómo calcular los límites de las secuencias que convergen, a menudo utilizando las propiedades de los límites de las funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el teorema de convergencia monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen. Terminología de las secuencias Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. En primer lugar, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n ,… . Cada uno de los números de la secuencia se llama término. El símbolo n se llama la variable de índice de la secuencia. Utilizamos la notación { a n } n = 1 ∞ , o simplemente { a n } , para denotar esta secuencia. Se utiliza una notación similar para los conjuntos, pero una secuencia es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Porque un número determinado a n existe para cada entero positivo n , también podemos definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Consideremos la lista infinita y ordenada 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,… . Se trata de una secuencia en la que el primer, segundo y tercer término están dados por a 1 = 2 , a 2 = 4 , y a 3 = 8 . Probablemente pueda ver que los términos de esta secuencia tienen el siguiente patrón: a 1 = 2 1 , a 2 = 2 2 , a 3 = 2 3 , a 4 = 2 4 , y a 5 = 2 5 . Suponiendo que este patrón continúe, podemos escribir el ené simo término de la secuencia por la fórmula explícita a n = 2 n . Utilizando esta notación, podemos escribir esta secuencia como { 2 n } n = 1 ∞ o { 2 n } . También podemos describir esta secuencia de otra manera. Dado que cada término es el doble del término anterior, esta secuencia puede definirse en forma repetida expresando el ené −ésimo término a n en términos del término anterior a n – 1 . En particular, podemos definir esta secuencia como la secuencia { a n } donde a 1 = 2 y para todo n ≥ 2 , cada término a n se define por la relación de recurrencia a n = 2 a n – 1 . Definición Una secuencia infinita { a n } es una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 ,… , a n ,… . El subíndice n se llama la variable de índice de la secuencia. Cada número a n es un término de la secuencia. A veces las secuencias se definen mediante fórmulas explícitas , en cuyo caso a n = f ( n ) para alguna función f ( n ) definido sobre los enteros positivos. En otros casos, las secuencias se definen utilizando una relación de recurrencia . En una relación de recurrencia, un término (o más) de la secuencia se da explícitamente, y los términos subsiguientes se definen en términos de términos anteriores de la secuencia. Tenga en cuenta que el índice no tiene que empezar en n = 1 pero podría empezar con otros enteros. Por ejemplo, una secuencia dada por la fórmula explícita a n = f ( n ) podría empezar en n = 0 , en cuyo caso la secuencia sería a 0 , a 1 , a 2 ,… . Del mismo modo, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término a 0 puede darse explícitamente, y los términos a n para n ≥ 1 puede definirse en términos de a n – 1 . Ya que una secuencia { a n } tiene exactamente un valor por cada entero positivo n , se puede describir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. En consecuencia, tiene sentido hablar del gráfico de una secuencia. El gráfico de una secuencia { a n } se compone de todos los puntos ( n , a n ) para todos los enteros positivos n . La muestra el gráfico de { 2 n } . Los puntos trazados son un gráfico de la secuencia { 2 n } . Hay dos tipos de secuencias que se dan con frecuencia y que reciben nombres especiales: las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas. En una secuencia aritmética , la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, consideremos la secuencia 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,… . Se puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es 4 . Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia aritmética. Se puede describir utilizando la relación de recurrencia { a 1 = 3 a n = a n – 1 + 4 para n ≥ 2 . Tenga en cuenta que a 2 = 3 + 4 a 3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 . 4 a 4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 . 4 . Así, la secuencia también puede describirse mediante la fórmula explícita a n n = 3 + 4 ( n – 1 ) = 4 n – 1 . En general, una secuencia aritmética es cualquier secuencia de la forma a n = c n + b . En una secuencia geométrica , el cociente de cada par de términos consecutivos es el mismo. Por ejemplo, consideremos la secuencia 2 , − 2 3 , 2 9 , − 2 27 , 2 81 ,… . Vemos que el cociente de cualquier término con el término anterior es − 1 3 . Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia geométrica. Se puede definir de manera repetida como a 1 = 2 a n = − 1 3 . a n – 1 para n ≥ 2 . Como alternativa, ya que a 2 = − 1 3 . 2 a 3 = ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( 2 ) = ( − 1 3 ) 2 . 2 a 4 = ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( 2 ) = ( − 1 3 ) 3 . 2 , vemos que la secuencia puede describirse utilizando la fórmula explícita a n = 2 ( − 1 3 ) n – 1 . La secuencia { 2 n } que comentamos anteriormente es una secuencia geométrica, donde el cociente de cualquier término con el anterior es 2 . En general, una secuencia geométrica es cualquier secuencia de la forma a n = c r n . Hallar fórmulas explícitas Para cada una de las siguientes secuencias, halle una fórmula explícita para el ené enésimo término de la secuencia. − 1 2 , 2 3 , − 3 4 , 4 5 , − 5 6 ,… 3 4 , 9 7 , 27 10 , 81 13 , 243 16 ,… En primer lugar, hay que tener en cuenta que la secuencia va alternando de negativo a positivo. Los términos impares de la secuencia son negativos y los pares son positivos. Por lo tanto, el ené simo término incluye un factor de ( –1 ) n . A continuación, consideremos la secuencia de numeradores { 1 , 2 , 3 ,… } y la secuencia de denominadores { 2 , 3 , 4 ,… } . Podemos ver que ambas secuencias son aritméticas. El simo término en la secuencia de numeradores es n , y el ené simo término en la secuencia de denominadores es n + 1 . Por lo tanto, la secuencia puede describirse mediante la fórmula explícita a n = ( –1 ) n n n + 1 . La secuencia de numeradores 3 , 9 , 27 , 81 , 243 ,… es una secuencia geométrica. El numerador del ené simo término es 3 n La secuencia de denominadores 4 , 7 , 10 , 13 , 16 ,… es una secuencia aritmética. El denominador del ené simo término es 4 + 3 ( n – 1 ) = 3 n + 1 . Por lo tanto, podemos describir la secuencia mediante la fórmula explícita a n n = 3 n 3 n + 1 . Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia { 1 5 , − 1 7 , 1 9 , − 1 11 ,… } . a n = ( –1 ) n + 1 3 + 2 n Pista Los denominadores forman una secuencia aritmética. Definida por relaciones de recurrencia Para cada una de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, halle una fórmula explícita para la secuencia. a 1 = 2 , a n = −3 a n – 1 para n ≥ 2 a 1 = 1 2 , a n = a n – 1 + ( 1 2 ) n para n ≥ 2 Escribiendo los primeros términos, tenemos a 1 = 2 a 2 = −3 a 1 = −3 ( 2 ) a 3 = −3 a 2 = ( −3 ) 2 2 a 4 = −3 a 3 = ( −3 ) 3 2 . En general, a n = 2 ( −3 ) n – 1 . Escriba los primeros términos: a 1 = 1 2 a 2 = a 1 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 + 1 4 = 3 4 a 3 = a 2 + ( 1 2 ) 3 = 3 4 + 1 8 = 7 8 a 4 = a 3 + ( 1 2 ) 4 = 7 8 + 1 16 = 15 16 . A partir de este patrón, derivamos la fórmula explícita a n = 2 n – 1 2 n = 1 − 1 2 n . Halle una fórmula explícita para la secuencia definida de forma repetida tal que a 1 = −4 y a n = a n – 1 + 6 . a n = 6 n − 10 Pista Se trata de una secuencia aritmética. Límite de una secuencia Una cuestión fundamental que se plantea respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que n se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida sobre los enteros positivos, tiene sentido hablar del límite de los términos como n → ∞ . Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como n → ∞ (vea la ): { 1 + 3 n } = { 4 , 7 , 10 , 13 ,… } . Los términos 1 + 3 n se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ . En este caso, decimos que 1 + 3 n → ∞ a medida que n → ∞ . { 1 − ( 1 2 ) n } = { 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 ,… } . Los términos 1 − ( 1 2 ) n → 1 a medida que n → ∞ . { ( –1 ) n } = { − 1 , 1 , –1 , 1 ,… } . Los términos se alternan pero no se acercan a un único valor a medida que n → ∞ . { ( –1 ) n n } = { −1 , 1 2 , − 1 3 , 1 4 ,… } . Los términos se alternan también para esta secuencia, pero ( –1 ) n n → 0 a medida que n → ∞ . (a) Los términos de la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ . (b) Los términos en la secuencia se aproximan a 1 a medida que n → ∞ . (c) Los términos de la secuencia alternan entre 1 y −1 como n → ∞ . d) Los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos pero se acercan a 0 a medida que n → ∞ . A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades de comportamiento de los términos de una secuencia a medida que n → ∞ . En dos de las secuencias, los términos se aproximan a un número finito a medida que n → ∞ . En las otras dos secuencias, los términos no lo hacen. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito L como n → ∞ , decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real L es el límite de la secuencia. Aquí podemos dar una definición informal. Definición Dada una secuencia { a n } , si los términos a n se acercan arbitrariamente a un número finito L como n se hace lo suficientemente grande, decimos { a n } es una secuencia convergente y L es el límite de la secuencia . En este caso, escribimos lím n → ∞ a n = L . Si una secuencia { a n } no es convergente, decimos que es una secuencia divergente . En la , vemos que los términos de la secuencia { 1 − ( 1 2 ) n } se están acercando arbitrariamente a 1 a medida que n se hace muy grande. Concluimos que { 1 − ( 1 2 ) n } es una secuencia convergente y su límite es 1 . En cambio, en la , vemos que los términos de la secuencia 1 + 3 n no se acercan a un número finito a medida que n se hace más grande. Decimos que { 1 + 3 n } es una secuencia divergente. En la definición informal del límite de una secuencia, utilizamos los términos "arbitrariamente cercano" y "suficientemente grande" Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, presentamos ahora la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en la . Definición Una secuencia { a n } converge a un número real L si para todo ε > 0 , existe un número entero N tal que | a n − L | < ε si n ≥ N . El número L es el límite de la secuencia y escribimos lím n → ∞ a n = L o r a n → L . En este caso, decimos que la secuencia { a n } es una secuencia convergente. Si una sucesión no converge, es una secuencia divergente, y decimos que el límite no existe. Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia { a n } solo depende de lo que ocurra con los términos a n a medida que n → ∞ . Por lo tanto, si un número finito de términos b 1 , b 2 ,… , b N se colocan antes de a 1 para crear una nueva secuencia b 1 , b 2 ,… , b N , a 1 , a 2 ,… , esta nueva secuencia convergerá si { a n } converge y diverge si { a n } diverge. Además, si la secuencia { a n } converge a L , esta nueva secuencia también convergerá a L . A medida que n aumenta, los términos a n se acercan a L . Para los valores de n ≥ N , la distancia entre cada punto ( n , a n ) y la línea y = L es menor que ε . Como se ha definido anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias { 1 + 3 n } y { ( –1 ) n } que se muestra en la divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes maneras. La secuencia { ( –1 ) n } diverge porque los términos se alternan entre 1 y −1 , pero no se acercan a un valor a medida que n → ∞ . Por otro lado, la secuencia { 1 + 3 n } diverge porque los términos 1 + 3 n → ∞ a medida que n → ∞ . Decimos que la secuencia { 1 + 3 n } diverge al infinito y la escribimos lím n → ∞ ( 1 + 3 n ) = ∞ . Es importante reconocer que esta notación no implica que el límite de la secuencia { 1 + 3 n } existe. La secuencia es, de hecho, divergente. Escribir que el límite es el infinito solo pretende dar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir hasta el infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia { − 5 n + 2 } diverge al infinito negativo porque −5 n + 2 → − ∞ a medida que n → − ∞ . La escribimos como lím n → ∞ ( −5 n + 2 ) = → − ∞ . Como una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, podemos utilizar las propiedades de los límites de las funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, consideremos una secuencia { a n } y una función correspondiente f definidas en todos los números reales positivos tales que f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ 1 . Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de f , si lím x → ∞ f ( x ) existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 n } y la función correspondiente f ( x ) = 1 x . Dado que la función f definida en todos los números reales x > 0 satisface f ( x ) = 1 x → 0 cuando x → ∞ , la secuencia { 1 n } debe satisfacer 1 n → 0 a medida que n → ∞ . Límite de una secuencia definida por una función Considere una secuencia { a n } tal que a n = f ( n ) para todo n ≥ 1 . Si existe un número real L tal que lím x → ∞ f ( x ) = L , entonces { a n } converge y lím n → ∞ a n = L . Podemos utilizar este teorema para evaluar lím n → ∞ r n para 0 ≤ r ≤ 1 . Por ejemplo, consideremos la secuencia { ( 1 / 2 ) n } y la función exponencial correspondiente f ( x ) = ( 1 / 2 ) x . Dado que lím x → ∞ ( 1 / 2 ) x = 0 , concluimos que la secuencia { ( 1 / 2 ) n } converge y su límite es 0 . Del mismo modo, para cualquier número real r tal que 0 ≤ r < 1 , lím x → ∞ r x = 0 , y, por tanto, la secuencia { r n } converge. Por otro lado, si r = 1 , entonces lím x → ∞ r x = 1 , y por tanto el límite de la secuencia { 1 n } es 1 . Si r > 1 , lím x → ∞ r x = ∞ , y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, al igual que la función r x crece sin límites a medida que n → ∞ , los términos r n en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ , y concluimos que la secuencia { r n } diverge al infinito si r > 1 . Resumimos estos resultados con respecto a la secuencia geométrica { r n } : r n → 0 si 0 < r < 1 r n → 1 si r = 1 r n → ∞ si r > 1 . Más adelante en esta sección se considera el caso en que r < 0 . Consideramos ahora secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia { ( 2 / 3 ) n + ( 1 / 4 ) n } . Los términos de esta secuencia son más complicados que los de otras secuencias que hemos discutido, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias { ( 2 / 3 ) n } y { ( 1 / 4 ) n } . Como describimos en las siguientes leyes de límites algebraicos, dado que { ( 2 / 3 ) n } y { 1 / 4 ) n } ambas convergen a 0 , la secuencia { ( 2 / 3 ) n + ( 1 / 4 ) n } converge a 0 + 0 = 0 . Así como pudimos evaluar un límite que implica una combinación algebraica de funciones f y g mirando los límites de f y g (vea Introducción a los límites ), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de a n y b n evaluando los límites de { a n } y { b n } . Leyes de límites algebraicos Secuencias dadas { a n } y { b n } y cualquier número real c , si existen constantes A y B tal que lím n → ∞ a n = A y lím n → ∞ b n = B , entonces lím n → ∞ c = c lím n → ∞ c a n = c lím n → ∞ a n = c A lím n → ∞ ( a n ± b n ) = lím n → ∞ a n ± lím n → ∞ b n = A ± B lím n → ∞ ( a n . b n ) = ( lím n → ∞ a n ) . ( lím n → ∞ b n ) = A . B lím n → ∞ ( a n b n ) = lím n → ∞ a n lím n → ∞ b n = A B , siempre que B ≠ 0 y cada b n ≠ 0 . Prueba Demostramos la parte iii. Supongamos que ϵ > 0 . Dado que lím n → ∞ a n = A , existe un número entero positivo constante N 1 tal que | a n – A | < ε 2 para todo n ≥ N 1 . Dado que lím n → ∞ b n = B , existe una constante N 2 tal que | b n − B | < ε / 2 para todo n ≥ N 2 . Supongamos que N es el mayor de N 1 y N 2 . Por lo tanto, para todo n ≥ N , | ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ | a n − A | + | b n − B | < ε 2 + ε 2 = ε . □ Las leyes de límites algebraicos nos permiten evaluar los límites de muchas secuencias. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 n 2 } . Como se ha mostrado anteriormente, lím n → ∞ 1 / n = 0 . Del mismo modo, para cualquier número entero positivo k , podemos concluir que lím n → ∞ 1 n k = 0 . En el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límites para evaluar los límites de otras secuencias. Determinar convergencia y calcular límites Para cada una de las siguientes secuencias, determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite. { 5 − 3 n 2 } { 3 n 4 − 7 n 2 + 5 6 − 4 n 4 } { 2 n n 2 } { ( 1 + 4 n ) n } Sabemos que 1 / n → 0 . Utilizando este hecho, concluimos que lím n → ∞ 1 n 2 = lím n → ∞ ( 1 n ) . lím n → ∞ ( 1 n ) = 0 . Por lo tanto, lím n → ∞ ( 5 − 3 n 2 ) = lím n → ∞ 5 − 3 lím n → ∞ 1 n 2 = 5 − 3 . 0 = 5 . La secuencia converge y su límite es 5 . Factorizando n 4 fuera del numerador y del denominador y utilizando las leyes de límites anteriores, tenemos lím n → ∞ 3 n 4 − 7 n 2 + 5 6 − 4 n 4 = lím n → ∞ 3 − 7 n 2 + 5 n 4 6 n 4 − 4 = lím n → ∞ ( 3 − 7 n 2 + 5 n 4 ) lím n → ∞ ( 6 n 4 − 4 ) = ( lím n → ∞ ( 3 ) − lím n → ∞ 7 n 2 + lím n → ∞ 5 n 4 ) ( lím n → ∞ 6 n 4 − lím n → ∞ ( 4 ) ) = ( lím n → ∞ ( 3 ) − 7 . lím n → ∞ 1 n 2 + 5 . lím n → ∞ 1 n 4 ) ( 6 . lím n → ∞ 1 n 4 − lím n → ∞ ( 4 ) ) = 3 − 7 . 0 + 5 . 0 6 . 0 − 4 = − 3 4 . La secuencia converge y su límite es −3 / 4 . Considere la función correspondiente f ( x ) = 2 x / x 2 definida en todos los números reales x > 0 . Dado que 2 x → ∞ y x 2 → ∞ cuando x → ∞ , aplique la regla de L'Hôpital y escriba lím x → ∞ 2 x x 2 = lím x → ∞ 2 x ln 2 2 x Tome las derivadas del numerador y del denominador. = lím x → ∞ 2 x ( ln 2 ) 2 2 Vuelva a tomar las derivadas. = ∞ . Concluimos que la secuencia diverge. Considere la función f ( x ) = ( 1 + 4 x ) x definida en todos los números reales x > 0 . Esta función tiene la forma indeterminada 1 ∞ cuando x → ∞ . Supongamos que y = lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x . Ahora tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, obtenemos ln ( y ) = ln [ lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x ] . Dado que la función f ( x ) = ln x es continua en su dominio, podemos intercambiar el límite y el logaritmo natural. Por lo tanto, ln ( y ) = lím x → ∞ [ ln ( 1 + 4 x ) x ] . Utilizando las propiedades de los logaritmos, escribimos lím x → ∞ [ ln ( 1 + 4 x ) x ] = lím x → ∞ x ln ( 1 + 4 x ) . Como el lado derecho de esta ecuación tiene la forma indeterminada ∞ . 0 , reescríbala como una fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Escriba lím x → ∞ x ln ( 1 + 4 x ) = lím x → ∞ ln ( 1 + 4 / x ) 1 / x . Como el lado derecho está ahora en la forma indeterminada 0 / 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Concluimos que lím x → ∞ ln ( 1 + 4 / x ) 1 / x = lím x → ∞ 4 1 + 4 / x = 4 . Por lo tanto, ln ( y ) = 4 en tanto que y = e 4 . Por lo tanto, dado que lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x = e 4 , podemos concluir que la secuencia { ( 1 + 4 n ) n } converge a e 4 . Considere la secuencia { ( 5 n 2 + 1 ) / e n } . Determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite. La secuencia converge y su límite es 0 . Pista Use la regla de L'Hôpital. Recordemos que si f es una función continua en un valor L , entonces f ( x ) → f ( L ) cuando x → L . Esta idea se aplica también a las secuencias. Supongamos que una secuencia a n → L , y una función f es continua en L . Entonces f ( a n ) → f ( L ) . Esta propiedad nos permite a menudo hallar límites para secuencias complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia 5 − 3 n 2 . Del a. conocemos la secuencia 5 − 3 n 2 → 5 . Dado que x es una función continua en x = 5 , lím n → ∞ 5 − 3 n 2 = lím n → ∞ ( 5 − 3 n 2 ) = 5 . Funciones continuas definidas en secuencias convergentes Considere una secuencia { a n } y supongamos que existe un número real L tal que la secuencia { a n } converge a L . Supongamos que f es una función continua en L . Entonces existe un número entero N tal que f se define en todos los valores a n para n ≥ N , y la secuencia { f ( a n ) } converge a f ( L ) ( ). Prueba Supongamos que ϵ > 0 . Dado que f es continua en L , existe δ > 0 tal que | f ( x ) − f ( L ) | < ε si | x − L | < δ . Ya que la secuencia { a n } converge a L , existe N tal que | a n − L | < δ para todo n ≥ N . Por lo tanto, para todo n ≥ N , | a n − L | < δ , lo que implica que | f ( a n ) − f ( L ) | < ε . Concluimos que la secuencia { f ( a n ) } converge a f ( L ) . □ Debido a que f es una función continua a medida que las entradas a 1 , a 2 , a 3 ,… se acercan a L , las salidas f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , f ( a 3 ) ,… se acercan a f ( L ) . Límites de funciones continuas definidas en secuencias convergentes Determinar si la secuencia { cos ( 3 / n 2 ) } converge. Si converge, calcule su límite. Dado que la secuencia { 3 / n 2 } converge a 0 y cos x es continua en x = 0 , podemos concluir que la secuencia { cos ( 3 / n 2 ) } converge y lím n → ∞ cos ( 3 n 2 ) = cos ( 0 ) = 1 . Determine si la secuencia { 2 n + 1 3 n + 5 } converge. Si converge, calcule su límite. La secuencia converge y su límite es 2 / 3 . Pista Considere la secuencia { 2 n + 1 3 n + 5 } . Otro teorema que involucra límites de secuencias es una extensión del teorema del emparedado para límites que se discutió en Introducción a los límites . Teorema del emparedado para secuencias Considere las secuencias { a n } , { b n } , y { c n } . Supongamos que existe un número entero N tal que a n ≤ b n ≤ c n para todo n ≥ N . Si existe un número real L tal que lím n → ∞ a n = L = lím n → ∞ c n , entonces { b n } converge y lím n → ∞ b n = L ( ). Prueba Supongamos que ε > 0 . Ya que la secuencia { a n } converge a L , existe un número entero N 1 tal que | a n − L | < ε para todo n ≥ N 1 . Del mismo modo, dado que { c n } converge a L , existe un número entero N 2 tal que | c n − L | < ε para todo n ≥ N 2 . Por supuesto, existe un número entero N tal que a n ≤ b n ≤ c n para todo n ≥ N . Supongamos que M es el mayor de N 1 , N 2 , y N . Debemos demostrar que | b n − L | < ε para todo n ≥ M . Para todo n ≥ M , − ε < − | a n − L | ≤ a n − L ≤ b n − L ≤ c n − L ≤ | c n − L | < ε . Por lo tanto, − ε < b n − L < ε , y concluimos que | b n − L | < ε para todo n ≥ M , y concluimos que la secuencia { b n } converge a L . □ Cada término b n satisface a n ≤ b n ≤ c n y las secuencias { a n } y { c n } convergen al mismo límite, por lo que la secuencia { b n } debe converger también al mismo límite. Utilizar el teorema del emparedado Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias. { cos n n 2 } { ( − 1 2 ) n } Dado que −1 ≤ cos n ≤ 1 para todos los enteros n , tenemos − 1 n 2 ≤ cos n n 2 ≤ 1 n 2 . Dado que −1 / n 2 → 0 y 1 / n 2 → 0 , concluimos que cos n / n 2 → 0 también. Dado que − 1 2 n ≤ ( − 1 2 ) n ≤ 1 2 n para todos los enteros positivos n , −1 / 2 n → 0 y 1 / 2 n → 0 , podemos concluir que ( −1 / 2 ) n → 0 . Calcule lím n → ∞ 2 n − sen n n . 2 Pista Utilice el hecho de que −1 ≤ sen n ≤ 1 . Utilizando la idea del b. concluimos que r n → 0 para cualquier número real r tal que −1 < r < 0 . Si r < − 1 , la secuencia { r n } diverge porque los términos oscilan y se vuelven arbitrariamente más grandes en magnitud. Si r = −1 , la secuencia { r n } = { ( –1 ) n } diverge, como ya se ha comentado. A continuación, un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas. r n → 0 si | r | < 1 r n → 1 si r = 1 r n → ∞ si r > 1 { r n } diverge si r ≤ − 1 Secuencias delimitadas Ahora nos centraremos en uno de los teoremas más importantes sobre las secuencias: el teorema de convergencia monótona. Antes de enunciar el teorema, debemos introducir algo de terminología y motivación. Empezamos por definir lo que significa que una secuencia esté delimitada. Definición Una secuencia { a n } está delimitada por encima si existe un número real M tal que a n ≤ M para todos los enteros positivos n . Una secuencia { a n } está delimitada por debajo si existe un número real M tal que M ≤ a n para todos los enteros positivos n . Una secuencia { a n } es una secuencia delimitada si está delimitada por encima y por debajo. Si una secuencia no está delimitada, es una secuencia no delimitada . Por ejemplo, la secuencia { 1 / n } está delimitada por encima porque 1 / n ≤ 1 para todos los enteros positivos n . También está delimitada por debajo porque 1 / n ≥ 0 para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, { 1 / n } es una secuencia delimitada. Por otro lado, consideremos la secuencia { 2 n } . Dado que 2 n ≥ 2 para todo n ≥ 1 , la secuencia está delimitada por debajo. Sin embargo, la secuencia no está delimitada por encima. Por lo tanto, { 2 n } es una secuencia no delimitada. Ahora discutimos la relación entre la delimitación y la convergencia. Supongamos que una secuencia { a n } no está delimitada. Entonces no está delimitada por encima, o no está delimitada por debajo, o por ninguna de las dos partes. En cualquier caso, hay términos a n que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que n se hace más grande. Como resultado, la secuencia { a n } no puede converger. Por lo tanto, estar delimitada es una condición necesaria para que una secuencia converja. Las secuencias convergentes están delimitadas Si una secuencia { a n } converge, entonces está delimitada. Observe que el hecho de que una secuencia esté delimitada no es condición suficiente para que una secuencia converja. Por ejemplo, la secuencia { ( –1 ) n } está delimitada, pero la secuencia diverge porque la secuencia oscila entre 1 y −1 y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una secuencia delimitada converja. Consideremos una secuencia delimitada { a n } . Supongamos que la secuencia { a n } es creciente. Es decir, a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 … . Como la secuencia es creciente, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La secuencia podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, dado que la secuencia está delimitada, está delimitada por encima y la secuencia no puede divergir al infinito. Concluimos que { a n } converge. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,… } . Como esta secuencia es creciente y delimitada por encima, converge. A continuación, consideremos la secuencia { 2 , 0 , 3 , 0 , 4 , 0 , 1 , − 1 2 , − 1 3 , − 1 4 ,… } . Aunque la secuencia no es creciente para todos los valores de n , vemos que −1 / 2 < − 1 / 3 < − 1 / 4 < ⋯ . Por lo tanto, a partir del octavo término, a 8 = −1 / 2 , la secuencia es creciente. En este caso, decimos que la secuencia es eventualmente creciente. Como la secuencia está delimitada por encima, converge. También es cierto que si una secuencia es decreciente (o eventualmente decreciente) y delimitada por debajo, también converge. Definición Una secuencia { a n } es creciente para todo n ≥ n 0 si a n ≤ a n + 1 para todo n ≥ n 0 . Una secuencia { a n } es decreciente para todo n ≥ n 0 si a n ≥ a n + 1 para todo n ≥ n 0 . Una secuencia { a n } es una secuencia monótona para todo n ≥ n 0 si es creciente para todo n ≥ n 0 o decreciente para todo n ≥ n 0 . Ahora tenemos las definiciones necesarias para enunciar el teorema de convergencia monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia. Teorema de convergencia monótona Si { a n } es una secuencia delimitada y existe un número entero positivo n 0 tal que { a n } es monótona para todo n ≥ n 0 , entonces { a n } converge. La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto. En su lugar, proporcionamos un gráfico para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido ( ). Dado que la secuencia { a n } es creciente y delimitada por encima, debe converger. En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el teorema de convergencia monótona para demostrar la convergencia de una secuencia. Uso del teorema de convergencia monótona Para cada una de las siguientes secuencias, utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que la secuencia converge y calcule su límite. { 4 n n ! } { a n } definidas de forma repetida tal que a 1 = 2 y a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n para todo n ≥ 2 . Escribiendo los primeros términos, vemos que { 4 n n ! } = { 4 , 8 , 32 3 , 32 3 , 128 15 ,… } . Al principio, los términos aumentan. Sin embargo, a partir del tercer término, los términos disminuyen. De hecho, los términos disminuyen para todo n ≥ 3 . Podemos demostrarlo de la siguiente manera. a n + 1 = 4 n + 1 ( n + 1 ) ! = 4 n + 1 . 4 n n ! = 4 n + 1 . a n ≤ a n i f n ≥ 3 . Por lo tanto, la secuencia es decreciente para todo n ≥ 3 . Además, la secuencia está delimitada por 0 porque 4 n / n ! ≥ 0 para todos los enteros positivos n . Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia converge. Para calcular el límite, utilizamos el hecho de que la secuencia converge y suponemos que L = lím n → ∞ a n . Ahora, tenga en cuenta esta importante observación. Considere lím n → ∞ a n + 1 . Dado que { a n + 1 } = { a 2 , a 3 , a 4 ,… } , la única diferencia entre las secuencias { a n + 1 } y { a n } es que { a n + 1 } omite el primer término. Dado que un número finito de términos no afecta a la convergencia de una secuencia, lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ a n = L . Combinando este hecho con la ecuación a n + 1 = 4 n + 1 a n y tomando el límite de ambos lados de la ecuación lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ 4 n + 1 a n , podemos concluir que L = 0 . L = 0 . Escribiendo los primeros términos, { 2 , 5 4 , 41 40 , 3281 3280 ,… } . podemos conjeturar que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo por 1 . Para demostrar que la secuencia está delimitada por debajo de 1 , podemos demostrar que a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 . Para demostrarlo, primero hay que reescribir a n 2 + 1 2 a n = a n 2 + 1 2 a n . Dado que a 1 > 0 y a 2 se define como una suma de términos positivos, a 2 > 0 . Del mismo modo, todos los términos a n > 0 . Por lo tanto, a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 si y solo si a n 2 + 1 ≥ 2 a n . Reescribiendo la inecuación a n 2 + 1 ≥ 2 a n como a n 2 − 2 a n + 1 ≥ 0 , y utilizando el hecho de que a n 2 − 2 a n + 1 = ( a n – 1 ) 2 ≥ 0 porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo, podemos concluir que a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 . Para demostrar que la secuencia es decreciente, debemos demostrar que a n + 1 ≤ a n para todo n ≥ 1 . Dado que 1 ≤ a n 2 , se deduce que a n 2 + 1 ≤ 2 a n 2 . Dividiendo ambos lados entre 2 a n , obtenemos a n 2 + 1 2 a n ≤ a n . Utilizando la definición de a n + 1 , concluimos que a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n ≤ a n . Dado que { a n } está delimitada por debajo y es decreciente, por el teorema de convergencia monótona, converge. Para calcular el límite, supongamos que L = lím n → ∞ a n . Entonces, utilizando la relación de recurrencia y el hecho de que lím n → ∞ a n = lím n → ∞ a n + 1 , tenemos lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ ( a n 2 + 1 2 a n ) , y por lo tanto L = L 2 + 1 2 L . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por 2 L , llegamos a la ecuación 2 L 2 = L 2 + 1 . Si resolvemos esta ecuación para L , concluimos que L 2 = 1 , lo que implica que L = ± 1 . Como todos los términos son positivos, el límite L = 1 . Considere la secuencia { a n } definida de forma repetida de manera que a 1 = 1 , a n = a n – 1 / 2 . Utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que esta secuencia converge y calcule su límite. 0 . Pista Demuestre que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo. Serie de Fibonacci La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia { F n } donde F 0 = 0 , F 1 = 1 y para n ≥ 2 , F n = F n – 1 + F n – 2 . Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci. Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci. Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos. Considere la secuencia definida de forma repetida { x n } donde x o = c y x n + 1 = a x n . Demuestre que esta secuencia puede describirse mediante la fórmula cerrada x n = c a n para todo n ≥ 0 . Utilizando el resultado de la parte a. como motivación, halle una solución de la ecuación F n = F n – 1 + F n – 2 de la forma F n = c λ n . Determine cuáles dos valores para λ permitirán que F n satisfaga esta ecuación. Considere las dos soluciones de la parte b.: λ 1 y λ 2 . Supongamos que F n = c 1 λ 1 n + c 2 λ 2 n . Utilice las condiciones iniciales F 0 y F 1 para determinar los valores de las constantes c 1 y c 2 y escriba la fórmula cerrada F n . Utilice la respuesta en 2 c. para demostrar que lím n → ∞ F n + 1 F n = 1 + 5 2 . El número ϕ = ( 1 + 5 ) / 2 se conoce como el numero áureo ( y ) Las semillas de un girasol presentan patrones en espiral que se curvan hacia la izquierda y hacia la derecha. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci (créditos: modificación del trabajo de Esdras Calderan, Wikimedia Commons). El número áureo aparece en muchos ejemplos famosos de arte y arquitectura. El antiguo templo griego conocido como el Partenón fue diseñado con estas proporciones, y la proporción aparece de nuevo en muchos de los detalles más pequeños (créditos: modificación del trabajo de TravelingOtter, Flickr). Conceptos clave Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita a n = f ( n ) , utilizamos las propiedades de los límites de las funciones. Si { a n } y { b n } son secuencias convergentes que convergen a A y B , respectivamente, y c es un número real cualquiera, entonces la secuencia { c a n } converge a c . A , las secuencias { a n ± b n } convergen a A ± B , la secuencia { a n . b n } converge a A . B , y la secuencia { a n / b n } converge a A / B , siempre que B ≠ 0 . Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas. Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas. La secuencia geométrica { r n } converge si y solo si | r | < 1 o r = 1 . Halle los seis primeros términos de cada una de las siguientes secuencias, empezando por n = 1 . a n = 1 + ( –1 ) n para n ≥ 1 a n = 0 si n es impar y a n = 2 si n es par a n = n 2 – 1 para n ≥ 1 a 1 = 1 y a n = a n – 1 + n para n ≥ 2 { a n } = { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,… } a 1 = 1 , a 2 = 1 y a n + 2 = a n + a n + 1 para n ≥ 1 Halle una fórmula explícita para a n donde a 1 = 1 y a n = a n – 1 + n para n ≥ 2 . a n = n ( n + 1 ) 2 Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a 1 = 1 tal que a n + 1 − a n = 17 para n ≥ 1 . Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a 1 = −3 tal que a n + 1 − a n = 4 para n ≥ 1 . a n = 4 n − 7 Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a 1 = 1 tal que a n + 1 a n = 10 para n ≥ 1 . Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a 1 = 3 tal que a n + 1 a n = 1 / 10 para n ≥ 1 . a n = 3,10 1 − n = 30,10 − n Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia cuyos primeros términos son { 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 , 63 , 80 , 99 ,… } . ( Pista: Primero añada uno a cada término). Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia que satisface a 1 = 0 y a n = 2 a n – 1 + 1 para n ≥ 2 . a n = 2 n – 1 − 1 Halle una fórmula para el término general a n de cada una de las siguientes secuencias. { 1 , 0 , –1 , 0 , 1 , 0 , –1 , 0 ,… } ( Pista: Halle el valor donde sen x toma estos valores) { 1 , − 1 / 3 , 1 / 5 , − 1 / 7 ,… } a n = ( –1 ) n – 1 2 n – 1 Calcule una función f ( n ) que identifique el ené −ésimo término a n de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, como a n = f ( n ) . a 1 = 1 y a n + 1 = − a n para n ≥ 1 a 1 = 2 y a n + 1 = 2 a n para n ≥ 1 f ( n ) = 2 n a 1 = 1 y a n + 1 = ( n + 1 ) a n para n ≥ 1 a 1 = 2 y a n + 1 = ( n + 1 ) a n / 2 para n ≥ 1 f ( n ) = n ! / 2 n – 2 a 1 = 1 y a n + 1 = a n / 2 n para n ≥ 1 Grafique los primeros N términos de cada secuencia. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge. [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , y para n ≥ 2 , a n = 1 2 ( a n – 1 + a n – 2 ) ; N = 30 Los términos oscilan por encima y por debajo de 5 / 3 y parecen converger a 5 / 3 . [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 y para n ≥ 4 , a n = 1 3 ( a n – 1 + a n – 2 + a n − 3 ) , N = 30 [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , y para n ≥ 3 , a n = a n – 1 a n – 2 ; N = 30 Los términos oscilan por encima y por debajo de y ≈ 1,57 ... y parecen converger a un límite. [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , y para n ≥ 4 , a n = a n – 1 a n – 2 a n − 3 ; N = 30 Supongamos que lím n → ∞ a n = 1 , lím n → ∞ b n = −1 , y 0 < − b n < a n para todo n . Evalúe cada uno de los siguientes límites, o afirme que el límite no existe, o afirme que no hay suficiente información para determinar si el límite existe. lím n → ∞ ( 3 a n − 4 b n ) grandes. 7 lím n → ∞ ( 1 2 b n – 1 2 a n ) grandes. lím n → ∞ a n + b n a n − b n 0 lím n → ∞ a n − b n a n + b n Calcule el límite de cada una de las siguientes secuencias, utilizando la regla de L'Hôpital cuando sea adecuado. n 2 2 n 0 ( n – 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 n n + 1 1 n 1 / n ( Pista: n 1 / n = e 1 n ln n ) Para cada una de las siguientes secuencias, cuyos ené −ésimos se indican, especifique si la secuencia está delimitada y si es eventualmente monótona, creciente o decreciente. n / 2 n , n ≥ 2 delimitada, decreciente para n ≥ 1 ln ( 1 + 1 n ) grandes. sen n delimitada, no monótona cos ( n 2 ) grandes. n 1 / n , n ≥ 3 delimitada, decreciente n −1 / n , n ≥ 3 tan n no monótona, no delimitada Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite. a 1 = 2 , a 2 = 2 2 , a 3 = 2 2 2 etc. Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite. a 1 = 3 , a n = 2 a n – 1 , n = 2 , 3 ,… . a n es decreciente y está delimitada por debajo de 2 . El límite a debe satisfacer a = 2 a así que a = 2 , independiente del valor inicial. Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias. n sen ( 1 / n ) grandes. cos ( 1 / n ) − 1 1 / n 0 a n = n ! n n a n = sen n sen ( 1 / n ) grandes. 0 : | sen x | ≤ | x | y | sen x | ≤ 1 así que − 1 n ≤ a n ≤ 1 n ) . Para las siguientes secuencias, grafique los primeros 25 términos de la secuencia y diga si la evidencia gráfico sugiere que la secuencia converge o diverge. [T] a n = sen n [T] a n = cos n El gráfico oscila y no sugiere ningún límite. Determine el límite de la secuencia o demuestre que la secuencia diverge. Si converge, calcule su límite. a n = tan –1 ( n 2 ) grandes. a n = ( 2 n ) 1 / n − n 1 / n n 1 / n → 1 y 2 1 / n → 1 , así que a n → 0 a n = ln ( n 2 ) ln ( 2 n ) grandes. a n = ( 1 − 2 n ) n Dado que ( 1 + 1 / n ) n → e , se tiene ( 1 − 2 / n ) n ≈ ( 1 + k ) −2 k → e −2 como k → ∞ . a n = ln ( n + 2 n 2 − 3 ) grandes. a n = 2 n + 3 n 4 n 2 n + 3 n ≤ 2 . 3 n y 3 n / 4 n → 0 a medida que n → ∞ , así que a n → 0 a medida que n → ∞ . a n = ( 1.000 ) n n ! a n = ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! a n + 1 a n = n ! / ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( 2 n ) = 1 . 2 . 3 ⋯ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( 2 n ) < 1 / 2 n . En particular, a n + 1 / a n ≤ 1 / 2 , así que a n → 0 a medida que n → ∞ . El método de Newton busca aproximar una solución f ( x ) = 0 que parte de una aproximación inicial x 0 y define sucesivamente una secuencia x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) . Para la elección dada de f y x 0 , escriba la fórmula para x n + 1 . Si la secuencia parece converger, escriba una fórmula exacta para la solución x , luego identifique el límite x con una precisión de cuatro decimales y el n más pequeño n tal que x n coincida con x hasta cuatro decimales. [T] f ( x ) = x 2 − 2 , x 0 = 1 [T] f ( x ) = ( x – 1 ) 2 − 2 , x 0 = 2 x n + 1 = x n − ( ( x n – 1 ) 2 − 2 ) / 2 ( x n – 1 ) ; x = 1 + 2 , x ≈ 2,4142 , n = 5 [T] f ( x ) = e x − 2 , x 0 = 1 [T] f ( x ) = ln x – 1 , x 0 = 2 x n + 1 = x n – x n ( ln ( x n ) − 1 ) ; x = e , x ≈ 2,7183 , n = 5 [T] Supongamos que comienza con un litro de vinagre y remueve repetidamente 0,1 L, sustituye con agua, mezcla y repite. Halle una fórmula para la concentración después de n pasos. ¿Después de cuántos pasos la mezcla contiene menos de 10 % de vinagre? [T] Un lago contiene inicialmente 2000 peces. Supongamos que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en 6 % cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, 150 peces se pierden cada mes. Explique por qué la población de peces después de n meses está modelada por P n = 1,06 P n – 1 − 150 con P 0 = 2000 . ¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año? a. Sin pérdidas, la población obedecería P n = 1,06 P n – 1 . La sustracción de 150 contabiliza las pérdidas de peces. b. Después de 12 meses, tenemos P 12 ≈ 1.494 . [T] Una cuenta bancaria gana 5 % de intereses compuestos mensualmente. Supongamos que se deposita inicialmente $ 1.000 en la cuenta, pero que se retiran $ 10 cada mes. Demuestre que el saldo de la cuenta después de n meses es A n = ( 1 + 0,05 / 12 ) A n – 1 − 10 ; A 0 = 1.000 dólares. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 1 año? ¿El saldo aumenta o disminuye? Supongamos que en vez de $ 10 dólares, una cantidad fija de d dólares se retira cada mes. Halle un valor de d de manera que el saldo de la cuenta después de cada mes siga siendo $ 1.000 dólares. ¿Qué pasa si d es mayor que este saldo? [T] Un estudiante pide un préstamo universitario de $ 10.000 a una tasa anual equivalente de 6 % , compuesto mensualmente. Si el estudiante realiza pagos de $ 100 al mes, ¿cuánto debe el estudiante después de 12 meses? ¿Después de cuántos meses se pagará el préstamo? a. El estudiante debe $ 9.383 después de 12 meses. b. El préstamo se pagará en su totalidad después de 139 meses u once años y medio. [T] Considere una serie que combina el crecimiento geométrico y la disminución aritmética. Supongamos que a 1 = 1 . Establezca a > 1 y 0 < b < a . Establezca a n + 1 = a . a n − b . Halle una fórmula para a n + 1 en términos de a n , a , y b y una relación entre a y b tal que a n converge. [T] La representación binaria x = 0 . b 1 b 2 b 3 ... de un número x entre 0 y 1 puede definirse de la siguiente forma. Supongamos que b 1 = 0 si x < 1 / 2 y b 1 = 1 si 1 / 2 ≤ x < 1 . Supongamos que x 1 = 2 x − b 1 . Supongamos que b 2 = 0 si x 1 < 1 / 2 y b 2 = 1 si 1 / 2 ≤ x < 1 . Supongamos que x 2 = 2 x 1 − b 2 y en general, x n = 2 x n – 1 − b n y b n – 1 = 0 si x n < 1 / 2 y b n – 1 = 1 si 1 / 2 ≤ x n < 1 . Calcule la expansión binaria de 1 / 3 . b 1 = 0 , x 1 = 2 / 3 , b 2 = 1 , x 2 = 4 / 3 − 1 = 1 / 3 , para que el patrón se repita, y 1 / 3 = 0,010101 … . [T] Para calcular una aproximación para π , establezca a 0 = 2 + 1 , a 1 = 2 + a 0 , y, en general, a n + 1 = 2 + a n . Por último, establezca p n = 3,2 n 2 − a n . Halle los diez primeros términos de p n y compare los valores con π . En los dos ejercicios siguientes, suponga que tiene acceso a un programa de computadora o un recurso en internet que puede generar una lista de ceros y unos de la longitud que desee. Los generadores de números pseudoaleatorios (Pseudorandom number generator, PRNG) desempeñan un papel importante en la simulación del ruido aleatorio en los sistemas físicos, ya que crean secuencias de ceros y unos que parecen el resultado de lanzar una moneda repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define de forma repetida una secuencia de aspecto aleatorio de N enteros a 1 , a 2 ,… , a N fijando dos enteros especiales K y M y suponiendo que a n + 1 es el resto después de dividir K . a n en M , crea entonces una secuencia de bits de ceros y unos cuyo ené −ésimo término b n es igual a uno si a n es impar e igual a cero si a n es par. Si los bits b n son pseudoaleatorios, entonces el comportamiento de su promedio ( b 1 + b 2 + ⋯ + b N ) / N debe ser similar al comportamiento de los promedios de los bits realmente generados al azar. [T] A partir de K = 16.807 y M = 2.147.483.647 , utilizando diez valores iniciales diferentes de a 1 , calcule secuencias de bits b n hasta n = 1.000 , y compare sus promedios con diez secuencias de este tipo generadas por un generador de bits aleatorio. Para los valores iniciales a 1 = 1 , a 2 = 2 ,… , a 1 = 10 , los correspondientes promedios de bits calculados por el método indicado son 0,5220 , 0,5000 , 0,4960 , 0,4870 , 0,4860 , 0,4680 , 0,5130 , 0,5210 , 0,5040 , y 0,4840 . Aquí hay un ejemplo de diez promedios correspondientes de cadenas de 1.000 bits generados por un generador de números aleatorios 0,4880 , 0,4870 , 0,5150 , 0,5490 , 0,5130 , 0,5180 , 0,4860 , 0,5030 , 0,5050 , 0,4980 . No hay un patrón real en ninguno de los dos tipos de promedio. Los promedios generados por números aleatorios oscilan entre 0,4860 y 0,5490 , un rango de 0,0630 , mientras que los promedios de bits de PRNG calculados oscilan entre 0,4680 y 0,5220 , un rango de 0,0540 . [T] Halle los primeros 1.000 dígitos de π utilizando un programa de computadora o un recurso en Internet. Cree una secuencia de bits b n suponiendo que b n = 1 si el ené simo dígito de π es impar y b n = 0 si el ené simo dígito de π es par. Calcule el valor promedio de b n y el valor promedio de d n = | b n + 1 − b n | , n = 1 ,... , 999 . ¿La secuencia b n parece aleatoria? ¿Las diferencias entre los elementos sucesivos de b n parece aleatoria? secuencia aritmética una secuencia en la que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma, se llama secuencia aritmética delimitada por encima de una secuencia { a n } está delimitada por encima si existe una constante M tal que a n ≤ M para todos los enteros positivos n delimitada por debajo una secuencia { a n } está delimitada por debajo si existe una constante M tal que M ≤ a n para todos los enteros positivos n secuencia delimitada una secuencia { a n } está delimitada si existe una constante M tal que | a n | ≤ M para todos los enteros positivos n secuencia convergente una secuencia convergente es una secuencia { a n } para la que existe un número real L tal que a n está arbitrariamente cerca de L siempre y cuando n es lo suficientemente grande secuencia divergente una secuencia que no es convergente, es divergente fórmula explícita una secuencia puede ser definida por una fórmula explícita tal que a n = f ( n ) secuencia geométrica una secuencia { a n } , en la que la relación a n + 1 / a n es la misma para todos los enteros positivos, n se llama secuencia geométrica variable de índice el subíndice utilizado para definir los términos de una secuencia se llama índice límite de una secuencia el número real L a la que converge una secuencia se llama límite de la secuencia secuencia monótona una secuencia creciente o decreciente relación de recurrencia una relación de recurrencia es una relación en la que un término a n en una secuencia se define en términos de términos anteriores en la secuencia secuencia una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 , a 3 ,… es una secuencia término el número a n en la secuencia { a n } se llama el ené simo término de la secuencia secuencia no delimitada una secuencia que no está delimitada se llama no delimitada

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