Dos reglas básicas de la probabilidad Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no. La regla de multiplicación Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral , entonces: P ( A Y B ) = P ( B ) P ( A | B ). Esta regla también puede escribirse como: P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) (La probabilidad de A dada B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B ) Si A y B son independientes , entonces P ( A | B ) = P ( A ). Entonces P ( A Y B ) = P ( A | B ) P ( B ) se convierte en P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ). La regla de adición Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces: P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ). Si A y B son mutuamente excluyentes , entonces P ( A Y B ) = 0. Entonces P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) se convierte en P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ). Klaus está tratando de elegir dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son: A = Nueva Zelanda y B = Alaska Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad de que elija A es P ( A ) = 0,6 y la probabilidad de que elija B es P ( B ) = 0,35. P ( A Y B ) = 0 porque Klaus solo puede permitirse unas vacaciones Por tanto, la probabilidad de que elija Nueva Zelanda o Alaska es P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,6 + 0,35 = 0,95. Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún sitio de vacaciones debe ser de 0,05. Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P ( A ) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P ( B ) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol DADO que hizo el primero, es de 0,90 a. ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo? c. ¿ A y B son independientes? d. ¿ A y B son mutuamente excluyentes? a. El problema le pide que calcule P ( A “Y” B ) = P ( B “Y” A ). Ya que P ( B | A ) = 0,90: P ( B Y A ) = P ( B | A ) P ( A ) = (0,90)(0,65) = 0,585 Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585. b. El problema le pide que calcule P ( A O B ). P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) = 0,65 + 0,65 - 0,585 = 0,715 Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715. c. No, no lo son, porque P ( B Y A ) = 0,585. P ( B ) P ( A ) = (0,65)(0,65) = 0,423 0,423 ≠ 0,585 = P ( B Y A ) Por tanto, P ( B Y A ) no es igual a P ( B ) P ( A ). d. No, no lo son porque P ( A y B ) = 0,585. Para que sean mutuamente excluyentes, P ( A Y B ) debe ser igual a cero. Ejercicio Helen juega baloncesto. En cuanto a los tiros libres, acierta el tiro el 75 % de las veces. Helen debe intentar ahora dos tiros libres. C = el evento en el que Helen anota el primer tiro. P ( C ) = 0,75. D = el evento en el que Helen anota el segundo tiro. P ( D ) = 0,75. La probabilidad de que Helen anote el segundo tiro libre dado que anotó el primero es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen anote ambos tiros libres? Un equipo de natación comunitario tiene 150 miembros. Setenta y cinco de los miembros son nadadores avanzados. Cuarenta y siete son nadadores intermedios. El resto son nadadores principiantes. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces por semana. Treinta de los nadadores de nivel intermedio practican cuatro veces por semana. Diez de los nadadores principiantes practican cuatro veces por semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador principiante? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces por semana? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces por semana? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? e. ¿Ser un nadador principiante y practicar cuatro veces a la semana son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? a. 28 150 b. 80 150 c. 40 150 d. P (avanzado E intermedio) = 0, por lo que son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo e. No, no son eventos independientes. P (novato Y práctica cuatro veces por semana) = 0,0667 P (novato) P (práctica cuatro veces por semana) = 0,0996 0,0667 ≠ 0,0996 Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes sénior, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año se tome un año sabático? Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de Matemáticas es de 0,2 y la probabilidad de que lo haga en una clase de Oratoria es de 0,65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de Matemáticas DADO que se inscribe en la clase de Oratoria es de 0,25. Supongamos que: M = clase de Matemáticas, S = clase de Oratoria, M | S = Matemáticas dado Oratoria ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en Matemáticas y Oratoria? Calcule P ( M Y S ) = P ( M | S ) P ( S ). ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de Matemáticas o de Oratoria? Calcule P ( M O S ) = P ( M ) + P ( S ) - P ( M Y S ). ¿ M y S son independientes? ¿ P ( M | S ) es = P ( M )? ¿ M y S son mutuamente excluyentes? ¿ P ( M Y S ) es = 0? a. 0,1625, b. 0,6875, c. No, d. No Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos los eventos B = el estudiante pide un libro prestado y D = el estudiante pide un DVD prestado. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B Y D ). Calcule P ( B O D ). Los estudios demuestran que una de cada siete mujeres (aproximadamente el 14,3 %) que viven hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de las mujeres que desarrollan cáncer de mama el resultado de la prueba es negativo en el 2 % de las ocasiones. Supongamos también que en la población general de mujeres, el resultado de la prueba de cáncer de mama es negativo en el 85 % de las ocasiones. Supongamos que B = la mujer desarrolla cáncer de mama y supongamos que N = el resultado de la prueba es negativo. Supongamos que se selecciona una mujer al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer obtenga un resultado negativo? b. Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y el resultado de la prueba sea negativo? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o de que el resultado de la prueba sea negativo? e. ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son eventos independientes? f. ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son mutuamente excluyentes? a. P ( B ) = 0,143; P ( N ) = 0,85 b. P ( N | B ) = 0,02 c. P ( B Y N ) = P ( B ) P ( N | B ) = (0,143)(0,02) = 0,0029 d. P ( B O N ) = P ( B ) + P ( N ) - P ( B Y N ) = 0,143 + 0,85 - 0,0029 = 0,9901 e. No. P ( N ) = 0,85; P ( N | B ) = 0,02. Por tanto, P ( N | B ) no es igual a P ( N ). f. No. P ( B Y N ) = 0,0029. Para que B y N sean mutuamente excluyentes, P ( B Y N ) debe ser cero. Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes sénior, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año vaya al instituto universitario y practique deportes? Consulte la información en el . P = pruebas con resultado positivo. Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( P | B ) = 1 - P ( N | B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( B Y P ) = P ( P | B ) P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama? Calcule P ( B′ ) = 1 – P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga un resultado positivo en la prueba de cáncer de mama? Calcule P ( P ) = 1 – P ( N ). a. 0,98; b. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B′ ). Calcule P ( D Y B ). Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D Y B′ ). Calcule P ( D | B′ ). Referencias DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). “Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013). Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del Wall Street Journal. Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B , así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A , B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común. Revisión de la fórmula La regla de multiplicación: P ( A Y B ) = P ( A | B ) P ( B ) La regla de adición: P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos. En este problema supongamos que: C = californianos (votantes registrados) que prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. L = californianos latinos Supongamos que se selecciona al azar un californiano. Calcule P ( C ). Calcule P ( L ). 0,376 Calcule P ( C | L ). En palabras, ¿qué es C | L ? C | L significa, dado que la persona elegida es un californiano latino, es un votante registrado que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional para una persona condenada por asesinato en primer grado. Calcule P ( L Y C ). En palabras, ¿qué es L Y C ? L Y C es el caso de que la persona elegida sea un votante latino registrado en California que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. ¿ L y C son eventos independientes? Demuestre por qué sí o por qué no. Calcule P ( L O C ). 0,6492 En palabras, ¿qué es L O C ? ¿ L y C son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. No, porque P ( L Y C ) no es igual a 0. Tarea para la casa El 28 de febrero de 2013, una encuesta de Field Poll informó que el 61 % de los votantes registrados en California aprobaba que se les permitiera a dos personas del mismo sexo casarse y que rigieran las leyes regulares de matrimonio para ellos. Entre los jóvenes de 18 a 39 años (votantes registrados en California), el índice de aprobación fue del 78 %. Seis de cada diez votantes registrados en California dijeron que el próximo fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California era “muy importante” o “algo importante” para ellos. De los votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo, el 75 % dijeron que la sentencia es “importante” para ellos. En este problema, supongamos que: C = votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo. B = votantes registrados en California que dicen que el fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California es “muy importante” o “algo importante” para ellos. A = Votantes registrados en California que tienen entre 18 y 39 años Calcule P ( C ). Calcule P ( B ). Calcule P ( C | A ). Calcule P ( B | C ). En palabras, ¿qué es C | A ? En palabras, ¿qué es B | C ? Calcule P ( C Y B ). En palabras, ¿qué es C Y B ? Calcule P ( C O B ). ¿ C y B son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. Después de que Rob Ford, el alcalde de Toronto, anunciara sus planes de recortar los gastos presupuestarios a finales de 2011, el Forum Research hizo un sondeo entre 1.046 personas para medir su popularidad. Todos los consultados expresaron su aprobación o desaprobación. Estos son los resultados de su sondeo: A principios de 2011, el 60 % de la población aprobaba la actuación del alcalde Ford en el cargo. A mediados de 2011, el 57 % de la población aprobaba sus acciones. A finales de 2011, el porcentaje de aprobación popular se medía en un 42 %. ¿Cuál es el tamaño de la muestra de este estudio? ¿Qué proporción del sondeo desaprueba al alcalde Ford, según los resultados de finales de 2011? ¿Cuántas personas consultadas respondieron que aprobaban al alcalde Ford a finales de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a mediados de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a principios de 2011? Forum Research encuestó a 1.046 toronteses. 58% 42 % de 1.046 = 439 (redondeando al número entero más cercano) 0,57 0,60. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango. (créditos: film8ker/wikibooks). Enumere el espacio muestral de los 38 resultados posibles en la ruleta. Usted apuesta por el rojo. Calcule P (rojo). Apuesta por -1.º 12- (1.ª docena). Calcule P (-1.º 12-). Apuesta por un número par. Calcule P (número par). ¿Obtener un número impar es el complemento de obtener un número par? ¿Por qué? Halle dos eventos mutuamente excluyentes. ¿Los eventos par y 1.ª docena son independientes? Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a dos líneas que se tocan en la mesa como en 1-2-3-4-5-6 Apostar a tres números en una línea, como en 1-2-3 Apostar a un número Apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado, como en 10-11-13-14 Apostar a dos números que se tocan en la mesa, como 10-11 o 10-13 Apostar a 0-00-1-2-3 Apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3 P (apostar a dos líneas que se tocan en la mesa) = 6 38 P (apostar a tres números en una línea) = 3 38 P (apostar a un número) = 1 38 P (apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado) = 4 38 P (apostar a dos números que se tocan en la mesa) = 2 38 P (apostar a 0-00-1-2-3) = 5 38 P (apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3) = 3 38 Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a un color Apostar a uno de los doce grupos Apostar al rango de números del 1 al 18 Apostar al rango de números del 19 al 36 Apostar a una de las columnas Apostar a un número par o impar (excluye el cero) Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cinco cartas verdes están numeradas como 1, 2, 3, 4 y 5. Las tres cartas amarillas están numeradas como 1, 2 y 3. Las cartas están bien barajadas. Saca una carta al azar. G = la carta que sacó es verde E = la carta extraída es par Enumere el espacio muestral. P ( G ) = _____ P ( G | E ) = _____ P ( G Y E ) = _____ P ( G O E ) = _____ ¿ G y E son mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente. { G 1, G 2, G 3, G 4, G 5, Y 1, Y 2, Y 3} 5 8 2 3 2 8 6 8 No, porque P ( G Y E ) no es igual a 0. Lanza dos dados imparciales por separado. Cada dado tiene seis caras. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de un número par. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que la suma de las dos lanzadas sea como máximo siete. Calcule P ( B ). En palabras, explique qué representa “ P ( A | B )”. Calcule P ( A | B ). ¿ A y B son eventos mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. ¿ A y B son eventos independientes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Un mazo especial tiene diez cartas. Cuatro son verdes, tres azules y tres rojas. Cuando se elige una carta se registra su color. El experimento consiste en elegir primero una carta y luego lanzar una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que se elija primero una carta azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que se elija una roja o una verde seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Supongamos que C es el evento para que se elija una roja o una azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y C son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. NOTA El lanzamiento de la moneda es independiente de la carta que se sacó primero. {( G , H ) ( G , T ) ( B , H ) ( B , T ) ( R , H ) ( R , T )} P ( A ) = P (azul) P (cara) = ( 3 10 ) ( 1 2 ) = 3 20 Sí, A y B son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo; no puede elegir una carta que sea azul y también (roja o verde). P (A Y B ) = 0 No, A y C no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo. De hecho, C incluye todos los resultados de A ; si la carta que se sacó es azul, también lo es (roja o azul). P ( A Y C ) = P ( A ) = 3 20 El experimento consiste en lanzar primero un dado y luego una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de que salga una cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. El experimento consiste en lanzar una moneda de cinco centavos, una de diez y una de veinticinco. Nos interesa el lado en el que cae la moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que haya dos cruces como mínimo. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta con una o tres oraciones completas incluida la justificación. S = {( HHH ), ( HHT ), ( HTH ), ( HTT ), ( THH ), ( THT ), ( TTH ), ( TTT )} 4 8 Sí, porque si se ha producido A , es imposible obtener dos cruces. En otras palabras, P ( A Y B ) = 0. Considere el siguiente escenario: Supongamos que P ( C ) = 0,4. Supongamos que P ( D ) = 0,5. Supongamos que P ( C | D ) = 0,6 Calcule P ( C Y D ). ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿ C y D son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule P ( C O D ). Calcule P ( D | C ). Y y Z son eventos independientes. Reescriba la regla básica de adición P ( Y O Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y Y Z ) utilizando la información de que Y y Z son eventos independientes. Utilice la regla reescrita para calcular P ( Z ) si P ( Y O Z ) = 0,71 y P ( Y ) = 0,42. Si “Y” y Z son independientes, entonces P ( “Y” Y Z ) = P ( “Y” ) P ( Z ), por lo que P ( “Y” O Z ) = P ( “Y” ) + P ( Z ) - P ( “Y” ) P ( Z ). 0,5 G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = 0,5 P ( H ) = 0,3 Explique por qué la siguiente afirmación DEBE ser falsa: P ( H | G ) = 0,4. Calcule P ( H O G ). ¿ G y H son eventos independientes o dependientes? Explique en una oración completa. En Estados Unidos viven 281.000.000 de personas mayores de cinco años aproximadamente. De estas personas, 55.000.000 hablan una lengua distinta del inglés en casa. De los que hablan otro idioma en casa, el 62,3 % habla español. Supongamos que: E = habla inglés en casa; E′ = habla otro idioma en casa; S = habla español; Termine cada enunciado de probabilidad y haga coincidir la respuesta correcta. Declaraciones de probabilidad Respuestas a. P ( E′ ) = i. 0,8043 b. P ( E ) = ii. 0,623 c. P ( S y E′ ) = iii. 0,1957 d. P ( S | E′ ) = iv. 0,1219 iii i iv ii En 1994, el gobierno de EE. UU. convocó un sorteo para expedir 55.000 tarjetas verdes (permisos para que los que no son ciudadanos puedan trabajar legalmente en EE. UU.). Renate Deutsch, de Alemania, fue una de las aproximadamente 6,5 millones de personas que participaron en este sorteo. Supongamos que G = obtener la tarjeta verde. ¿Qué posibilidades tenía Renate de obtener la tarjeta verde? Escriba su respuesta en forma de declaración de probabilidad. En el verano de 1994, Renate recibió una carta en la que se le comunicaba que era una de las 110.000 finalistas elegidas. Una vez elegidos los finalistas, suponiendo que cada uno de ellos tuviera las mismas posibilidades de obtenerla, ¿cuál era la probabilidad de Renate de obtener una tarjeta verde? Escriba su respuesta como una declaración de probabilidad condicional. Supongamos que F = ser finalista. ¿ G y F son eventos independientes o dependientes? Justifique su respuesta numéricamente y explique también por qué. ¿ G y F son eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente y explique por qué. Tres profesores de la Universidad George Washington hicieron un experimento para determinar si los economistas son más interesados que otras personas. Dejaron caer 64 sobres con sello y dirección con 10 dólares en efectivo en diferentes aulas del campus de George Washington. Se devolvió el 44 % en total. De las clases de Economía se devolvió el 56 % de los sobres. De las clases de Negocios, Psicología e Historia se devolvió el 31 %. Supongamos que: R = dinero devuelto; E = clases de Economía; O = otras clases Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje global de dinero devuelto. Escriba un enunciado de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las clases de Economía. Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las otras clases. ¿La devolución del dinero es independientemente de la clase? Justifique su respuesta numéricamente y explíquela. Basándose en este estudio, ¿cree que los economistas son más interesados que otras personas? Explique por qué sí o por qué no. Incluya números para justificar su respuesta. P ( R ) = 0,44 P ( R | E ) = 0,56 P ( R | O ) = 0,31 No, el hecho de que se devuelva el dinero no es independiente de la clase en la que se haya colocado el dinero. Hay varias formas de justificar esto matemáticamente, pero una de ellas es que el dinero colocado en las clases de Economía no se devuelve a la misma tasa global; P ( R | E ) ≠ P ( R ). No, este estudio definitivamente no apoya esa noción de hecho sino que sugiere lo contrario. El dinero colocado en las aulas de Economía se devolvió en una proporción mayor que el dinero colocado en todas las clases colectivamente; P ( R | E ) > P ( R ). La siguiente tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de los batazos imparables de cuatro jugadores. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón Total de batazos imparables Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 Total 8.471 1.577 583 1.720 12.351 ¿Son eventos independientes “el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron” y “el batazo imparable que es un doble”? Sí, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable de Hank Aaron) No, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) ≠ P (batazo imparable es un doble) No, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) ≠ P (batazo imparable de Hank Aaron) Sí, porque P (batazo imparable es de Hank Aaron|batazo imparable un doble) = P (batazo imparable es un doble) United Blood Services es un banco de sangre que presta servicio a más de 500 hospitales en 18 estados. Según su sitio web, una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Sus datos muestran que el 43 % de las personas tienen sangre del tipo O y el 15 % del factor Rh–; el 52 % de las personas tienen el tipo O o el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona tenga tanto sangre del tipo O como el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona NO tenga ni sangre del tipo O ni el factor Rh–. P (tipo “O” O Rh-) = P (tipo O) + P (Rh-) - P (tipo “O” Y Rh-) 0,52 = 0,43 + 0,15 - P (tipo “O” Y Rh-); resolver para hallar P (tipo “O” Y Rh-) = 0,06 El 6 % de las personas tienen sangre del tipo O, Rh– P (NO(tipo “O” Y Rh-)) = 1 - P (tipo “O” Y Rh-) = 1 - 0,06 = 0,94 El 94 % de las personas no tienen sangre del tipo O, Rh– En un instituto universitario, el 72 % de los cursos tienen exámenes finales y el 46 % requieren trabajos de investigación. Supongamos que el 32 % de los cursos tienen un trabajo de investigación y un examen final. Supongamos que F es el evento en el que un curso tiene un examen final. Supongamos que R es el evento en el que un curso requiere un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso tenga un examen final o un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso no tenga NINGUNO de estos dos requisitos. En una caja de galletas variadas, el 36 % tiene chocolate y el 12 % tiene frutos secos. En la caja, el 8 % contiene tanto chocolate como frutos secos. Sean es alérgico al chocolate y a los frutos secos. Calcule la probabilidad de que una galleta contenga chocolate o frutos secos (no puede comerla). Calcule la probabilidad de que una galleta no contenga ni chocolate ni frutos secos (puede comerla). Supongamos que C = el evento en el que la galleta contiene chocolate. Supongamos que N = el evento en el que la galleta contiene frutos secos. P ( C O N ) = P ( C ) + P ( N ) - P ( C Y N ) = 0,36 + 0,12 - 0,08 = 0,40 P (NI chocolate NI nueces) = 1 - P ( C O N ) = 1 - 0,40 = 0,60 Un instituto universitario descubre que el 10 % de los estudiantes ha tomado una clase a distancia y que el 40 % de los estudiantes es a tiempo parcial. De los estudiantes a tiempo parcial, el 20 % ha tomado una clase a distancia. Supongamos que D = el evento en el que un estudiante tomó una clase a distancia y E = el evento en el que un estudiante es un estudiante a tiempo parcial Calcule P ( D Y E ). Calcule P ( E | D ). Calcule P ( D O E ). Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son independientes. Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son mutuamente excluyentes. Eventos independientes la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro evento. Los eventos A y B son independientes si una de las siguientes afirmaciones es cierta: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) Mutuamente excluyente dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es cero Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P ( A Y B ) = 0.

Matemáticas


Tablas de contingencia Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera. Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios: Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Total Utiliza el teléfono móvil mientras conduce 25 280 305 No utiliza el teléfono móvil mientras conduce 45 405 450 Total 70 685 755 El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755. Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades. a. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil). b. Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). c. Calcule P (El conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado Y era usuario de teléfono móvil). d. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil O el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). e. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil DADO que el conductor tuvo una infracción durante el año pasado). f. Calcule P (El conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado DADO que el conductor no usaba el teléfono móvil). a. número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755 b. número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755 c. 280 755 d. ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755 e. 25 70 (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción). f 405 450 (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles). Ejercicio La muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado. Lesión durante el año pasado Ninguna lesión durante el año pasado Total Hace estiramientos 55 295 350 No hace estiramientos 231 219 450 Total 286 514 800 ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio)? ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio|no se ha lesionado durante el año pasado)? La presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 ___ 45 Hombres ___ ___ 14 55 Total ___ 41 ___ ___ a. Rellene la tabla. a. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 11 45 Hombres 16 25 14 55 Total 34 41 25 100 b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes? Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa. Calcule P ( F Y C ). Calcule P ( F ) P ( C ) ¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes. b. P ( F Y C ) = 18 100 = 0,18 P ( F ) P ( C ) = ( 45 100 ) ( 34 100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153 P ( F Y C ) ≠ P ( F )P ( C ), por lo que los eventos F y C no son independientes c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. ¿Qué palabra le dice que es un condicional? Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P (___|___) = ___. ¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es? c. La expresión “dado que” indica que se trata de una condición. P ( M | L ) = 25 41 No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos. d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas. Calcule P ( F ). Calcule P ( P ). Calcule P ( F Y P ). Calcule P ( F O P ). d. P ( F ) = 45 100 P ( P ) = 25 100 P ( F Y P ) = 11 100 P ( F O P ) = 45 100 + 25 100 - 11 100 = 59 100 Ejercicio La presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas. Sexo Lake Path Hilly Path Wooded Path Total Mujeres 45 38 27 110 Hombres 26 52 12 90 Total 71 90 39 200 Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas? ¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes? El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es 1 5 y la probabilidad de que no sea atrapado es 4 5 . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es 1 4 y la probabilidad de que no sea atrapado es 3 4 . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es 1 2 y la probabilidad de que no atrape a Muddy es 1 2 . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es 1 3 . Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 ____ No atrapado 4 15 3 12 1 6 ____ Total ____ ____ ____ 1 La primera entrada 1 15 = ( 1 5 ) ( 1 3 ) es P (Puerta uno Y atrapado) La entrada 4 15 = ( 4 5 ) ( 1 3 ) es P (Puerta uno Y no Atrapado) Verifique las entradas restantes. a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1. b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy? c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno o la puerta dos dado que Muddy es atrapado por Alissa? a. Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 19 60 No atrapado 4 15 3 12 1 6 41 60 Total 5 15 4 12 2 6 1 b. 41 60 c. 9 19 La contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU. Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 Año Robo con violencia Robo Violación Vehículo Total 2008 145,7 732,1 29,7 314,7 2009 133,1 717,7 29,1 259,2 2010 119,3 701 27,7 239,1 2011 113,7 702,2 26,8 229,6 Total TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7 Calcule P (2009 Y Robo). Calcule P (2010 Y Robo con allanamiento de morada). Calcule P (2010 O Robo con allanamiento de morada). Calcule P (2011|Violación). Calcule P (Vehículo|2008). a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575 Ejercicio La relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación. Peso/Estatura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 Normal 20 51 28 Bajo peso 12 25 9 Totales Calcule el total de cada fila y columna Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso. ¿Los eventos obeso y alto son independientes? Referencias “Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013). Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013). Haiman, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson y Loīc Le Marchand. “Ethnic and Racial Differences in the Smoking-Related Risk of Lung Cancer”. The New England Journal of Medicine, 2013. Disponible en línea en http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (consultado el 2 de mayo de 2013). “Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. Disponible en línea en http://www.unitedbloodservices.org/learnMore.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Samuel, T. M. “Strange Facts about RH Negative Blood”. eHow Health, 2013. Disponible en línea en http://www.ehow.com/facts_5552003_strange-rh-negative-blood.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “United States: Uniform Crime Report – State Statistics from 1960-2011”. The Disaster Center. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/crime/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay varias herramientas que pueden ayudar a organizar y clasificar datos cuando se calculan probabilidades. Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos. Sexo Autodidacta Estudió en la escuela Instrucción privada Total Mujeres 12 38 22 72 Hombres 19 24 15 58 Total 31 62 37 130 Calcule P (el músico es una mujer). Calcule P (el músico es un hombre Y tuvo instrucción privada). P (el músico es un hombre Y ha tenido clases particulares) = 15 130 = 3 26 = 0,12 Calcule P (el músico es una mujer O es autodidacta). ¿Los eventos “ser una mujer música” y “aprender música en la escuela” son eventos mutuamente excluyentes? Los eventos no son mutuamente excluyentes. Es posible ser una mujer música que aprendió música en la escuela. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la New England Journal of Medicine , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban entre 11 y 20 cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban entre 21 y 30 cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla con los datos proporcionados. Hábito de fumar por grupo étnico Nivel de fumadores Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses Blancos TOTALES 1-10 11-20 21-30 31 o más TOTALES Supongamos que se selecciona al azar una persona del estudio. Calcule la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos al día. 35.065 100.450 Calcule la probabilidad de que la persona sea latina. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano Y que fume de 21 a 30 cigarrillos al día”. Además, encuentra la probabilidad. Elegir a una persona del estudio que sea japonés americano Y que fume entre 21 y 30 cigarrillos al día significa que la persona tiene que cumplir ambos criterios: ser japonés americano y fumar entre 21 y 30 cigarrillos. El espacio muestral debe incluir a todas las personas del estudio. La probabilidad es 4.715 100.450 . En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea "japonesa-americana O que fume de 21 a 30 cigarrillos al día. Además, encuentra la probabilidad. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea "japonesa-americana, dado que esa persona fuma de 21 a 30 cigarrillos al día. Además, encuentra la probabilidad. Elegir una persona del estudio que sea japonés americano dado que fuma entre 21 y 30 cigarrillos al día, significa que la persona debe cumplir ambos criterios y el espacio muestral se reduce a los que fuman entre 21 y 30 cigarrillos al día. La probabilidad es 4715 15.273 . Demostrar que el hábito de fumar/día y la etnia son eventos dependientes. Tarea para la casa Utilice la información de la para responder los próximos ocho ejercicios. La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección. Se presenta a la reelección: Partido Demócrata Partido Republicano Otros Total Noviembre de 2014 20 13 0 Noviembre de 2016 10 24 0 Total ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar tenga una afiliación de “otro”? 0 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador elegido al azar se presente a la reelección en noviembre de 2016? ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea demócrata y se presente a la reelección en noviembre de 2016? 10 67 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea republicano o se presente a la reelección en noviembre de 2014? Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. Dado que el senador seleccionado al azar se presenta a la reelección en noviembre de 2016, ¿cuál es la probabilidad de que este senador sea demócrata? 10 34 Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el senador se presente a la reelección en noviembre de 2014, sabiendo que este senador es republicano? Los eventos “republicano” y “se presenta a la reelección en 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. d Los eventos “otro” y “se presenta a la reelección en noviembre de 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. La da el número de participantes en la reciente Encuesta Nacional de Salud que habían sido tratados por cáncer en los 12 meses anteriores. Los resultados se clasifican por edad, raza (blanca o negra) y sexo. Nos interesan las posibles relaciones entre la edad, la raza y el sexo. Raza y sexo 15-24 25-40 41-65 Más de 65 años TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 9.129 Negro, hombre 142 194 384 824 Negro, mujer 131 290 486 1.061 Todos los demás TOTALES 2.792 5.279 9.354 21.081 No incluya “todos los demás” para las partes f y g. Rellene la columna correspondiente al tratamiento del cáncer para personas mayores de 65 años. Rellene la fila de todas las demás razas. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea una mujer negra. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea negra Halle la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar sea hombre. De las personas mayores de 65 años, calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco o negro. Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 156 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 278 517 721 156 1.672 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 8.395 21.081 ≈ 0,3982 1.061 21.081 ≈ 0,0503 1.885 21.081 ≈ 0,0894 9.219 21.081 ≈ 0,4373 1.595 3.656 ≈ 0,4363 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. NOMBRE Sencillo Doble Triple Jonrón TOTAL DE BATAZOS IMPARABLES Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 TOTAL 8.471 1.577 583 1.720 12.351 Calcule P (Babe Ruth hizo el batazo imparable). 1518 2873 2873 12351 583 12351 4189 12351 Calcule P (Ty Cobb hizo el batazo imparable|el batazo imparable fue un jonrón). 4189 12351 114 1720 1720 4189 114 12351 b La identifica un grupo de niños por uno de los cuatro colores de cabello, y por el tipo de cabello. Tipo de cabello Brown Rubio Negros Rojo Totales Ondulado 20 15 3 43 Liso 80 15 12 Totales 20 215 Rellene la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño o rubio? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello rojo, dado que tiene el cabello liso? Si B es el evento en el que un niño tenga el cabello castaño, calcule la probabilidad del complemento de B . En palabras, ¿qué representa el complemento de B ? En un año anterior, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilaron en la siguiente tabla. N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 > 290 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Calcule la probabilidad de que el número de su camiseta sea del 1 al 33. Calcule la probabilidad de que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa esté entre el 1 y el 33 Y que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33 O que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33, DADO que pesa como máximo 210 libras. 26 106 33 106 21 106 ( 26 106 ) + ( 33 106 ) - ( 21 106 ) = ( 38 106 ) 21 33 tabla de contingencia el método de mostrar una distribución de frecuencias como una tabla con filas y columnas para mostrar cómo dos variables pueden ser dependientes (contingentes) entre sí; la tabla proporciona una manera fácil de calcular probabilidades condicionales.

Matemáticas


Diagramas de árbol y de Venn A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol. En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas ( R ) y ocho azules( B ). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo . “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles. Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121 El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R 1, R 2 y R 3 y cada pelota azul como B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 y B 8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como: R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 2 R 3 R 3 Los demás resultados son similares. Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral . a. Enumere los 24 resultados de RB : B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, ... b. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RR ). c. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( RB O BR ). d. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( R en la primera extracción Y B en la segunda). e. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción). f. Use el diagrama de árbol y calcule P ( BB ). g. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( B en la segunda extracción dado R en la primera extracción). a. B 1 R 1 B 1 R 2 B 1 R 3 B 2 R 1 B 2 R 2 B 2 R 3 B 3 R 1 B 3 R 2 B 3 R 3 B 4 R 1 B 4 R 2 B 4 R 3 B 5 R 1 B 5 R 2 B 5 R 3 B 6 R 1 B 6 R 2 B 6 R 3 B 7 R 1 B 7 R 2 B 7 R 3 B 8 R 1 B 8 R 2 B 8 R 3 b. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 3 11 ) = 9 121 c. P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) + ( 8 11 ) ( 3 11 ) = 48 121 d. P ( R en la primera extracción Y B en la segunda) = P ( RB ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) = 24 121 e. P ( R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción) = P ( R en la segunda extracción| B en la primera extracción) = 24 88 = 3 11 Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB ). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR . 24 88 = 3 11 . f. P ( BB ) = 64 121 g. P ( B en la segunda extracción| R en la primera extracción) = 8 11 Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB ). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces 24 33 . Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F ) y 40 cartas no lo son (evento N ). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P ( FF ). En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 . Total = 56 + 24 + 24 + 6 110 = 110 110 = 1 NOTA Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo , de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna. Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol. a. P ( RR ) = ________ b. Rellene los espacios en blanco: P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + (___)(___) = 48 110 c. P ( R en la segunda| B en la primera) = d. Complete los espacios en blanco. P ( R en la primera Y B en la segunda) = P ( RB ) = (___)(___) = 24 110 e. Calcule P ( BB ). f. Calcule P ( B en la segunda| R en la primera). a. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 b. P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + ( 8 11 ) ( 3 10 ) = 48 110 c. P ( R en la segunda| B en la primera) = 3 10 d. P ( R en la primera Y B en la segunda) = P ( RB ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) = 24 110 e. P ( BB ) = ( 8 11 ) ( 7 10 ) f. Utilizando el diagrama de árbol, P ( B en la segunda| R en la primera) = P ( R | B ) = 8 10 . Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general. P ( R | R ) significa aquí P ( R en la 2.ª| R en la 1.ª) P ( B | R ) significa aquí P ( B en la 2.ª| R en la 1.ª) P ( R | B ) significa aquí P ( R en la 2.ª| B en la 1.ª) P ( B | B ) significa aquí P ( B en la 2.ª| B en la 1.ª) Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura ( F ) y 40 cartas no lo son ( N ). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles. Calcule P ( FN O NF ). Calcule P ( N | F ). Calcule P (como máximo una carta de figura). Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura. Calcule P (al menos una carta de figura). Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura. Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados? a. ( 1 2 ) ( 1 2 ) b. ( 4 9 ) ( 4 9 ) c. ( 4 9 ) ( 3 8 ) d. ( 4 9 ) ( 5 9 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color? a. ( 4 9 ) ( 5 9 ) b. ( 4 9 ) ( 5 8 ) c. ( 4 9 ) ( 5 9 ) + ( 5 9 ) ( 4 9 ) d. ( 4 9 ) ( 5 8 ) + ( 5 9 ) ( 4 8 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero? ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color? a. c, b. d, c. 4 8 , d. 32 72 Ejercicio Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color? Diagrama de Venn Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A Y B = {6} y A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Supongamos que un experimento tiene los resultados negro, blanco, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento C = {verde, azul, morado} y el evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces C Y P = {azul} y C O P = {verde, azul, morado, rojo, amarillo}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = { TT , TH } y B = { TT , HT }. Por lo tanto, A Y B = { TT }. A O B = { TH , TT , HT }. El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = { HH , HT , TH , TT }. El resultado HH no es NI A NI B . El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Usted lanza un dado imparcial de seis lados. Supongamos que A = se obtiene un número primo de puntos. Supongamos que B = se obtiene un número impar de puntos. Entonces A = {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, A Y B = {3, 5}. A O B = {1, 2, 3, 5}. El espacio muestral para lanzar un dado imparcial es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial. Si se selecciona un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P ( C ) = 0,40 la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P ( PT ) = 0,50 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial. P ( C Y PT ) = 0,05 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. P ( C | P T ) = P ( C Y P T ) P ( P T ) = 0,05 0,50 = 0,1 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club O trabaje a tiempo parcial. P ( C O PT ) = P ( C ) + P ( PT ) - P ( C Y PT ) = 0,40 + 0,50 - 0,05 = 0,85 Ejercicio El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica tiene un segundo empleo, el 25 % tiene un cónyuge que también trabaja, el 5 % tiene un segundo empleo y un cónyuge que también trabaja. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que W = trabaja en un segundo empleo y S = el cónyuge también trabaja. Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O. El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–. Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–. P ( O ) = ___________ P ( R ) = ___________ P ( O Y R ) = ___________ P ( O O R ) = ____________ En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo. a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–. Ejercicio En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es de 0,6, y la de que compre un libro que no es de ficción es de 0,4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es de 0,2. Dibuje un diagrama de Venn que represente la situación. Calcule la probabilidad de que el cliente compre una novela o un libro que no sea de ficción. En el diagrama de Venn describa con una oración completa la zona de solapamiento. Supongamos que algunos clientes solo compran discos compactos. Dibuje un óvalo en su diagrama de Venn que represente este evento. Referencias Datos del Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Datos de The Data and Story Library, 1996. Disponible en línea en http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Administración Federal de Carreteras, que forma parte del Departamento de Transporte de Estados Unidos. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, que forma parte del Departamento de Comercio de Estados Unidos. Datos de USA Today. “Environment”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/topic/environment (consultado el 2 de mayo de 2013). “Search for Datasets”. Roper Center: Public Opinion Archives, University of Connecticut, 2013. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/data_access/data/search_for_datasets.html (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas. Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar el evento O, el evento Y y el complemento de un evento, y para entender las probabilidades condicionales. La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba dé un resultado de cáncer cuando el hombre no lo tiene) es de 0,51. Supongamos que: C = un hombre desarrolla un cáncer en su vida; P = el hombre tiene, al menos, un falso positivo. Construya un diagrama de árbol de la situación. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas ( R ), cuatro amarillas ( Y ) y cinco azules ( B ). Para la moneda, P ( H ) = 2 3 y P ( T ) = 1 3 donde H es cara y T es cruz. Calcule P (lanzando una cara en la moneda Y una cuenta roja) 2 3 5 15 6 36 5 36 Calcule P (cuenta azul). 15 36 10 36 10 12 6 36 a Una caja de galletas contiene tres de chocolate y siete de mantequilla. Miguel elige al azar una galleta y se la come. Luego selecciona al azar otra galleta y se la come (¿cuántas galletas ha tomado?). Dibuje el árbol que representa las posibilidades de las selecciones de galletas. Escriba las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. ¿Las probabilidades del sabor de la SEGUNDA galleta que elige Miguel es independientes de su primera selección? Explique. Para cada trayectoria completa a través del árbol, escriba el evento que representa y calcule las probabilidades. Supongamos que S es el evento en el que las dos galletas seleccionadas sean del mismo sabor. Calcule P ( S ). Supongamos que T es el evento en el que las galletas seleccionadas sean de distinto sabor. Calcule P ( T ) por dos métodos diferentes: utilizando la regla del complemento y utilizando las ramas del árbol. Sus respuestas deberían ser las mismas con ambos métodos. Supongamos que U es el evento en el que la segunda galleta seleccionada sea una galleta de mantequilla. Calcule P ( U ). Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas. Supongamos que toma al azar dos cartas, una a la vez, con reemplazo . Supongamos que G 1 = la primera carta es verde Supongamos que G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Calcule P ( G 1 Y G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Calcule P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. P ( GG ) = ( 5 8 ) ( 5 8 ) = 25 64 P (al menos una verde) = P ( GG ) + P ( GY ) + P ( YG ) = 25 64 + 15 64 + 15 64 = 55 64 P ( G | G ) = 5 8 Sí, son independientes porque la primera carta se vuelve a colocar en la bolsa antes de que se extraiga la segunda; la composición de las cartas en la bolsa sigue siendo la misma desde la primera hasta la segunda extracción. Supongamos que saca al azar dos cartas, una a la vez, sin reemplazo . G 1 = la primera carta es verde G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Calcule P ( G 1 Y G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Calcule P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más. Complete lo siguiente. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Calcule P (el conductor es una mujer). Calcule P (el conductor tiene 65 años o más|el conductor es una mujer). Calcule P (el conductor tiene 65 años o más “Y” es mujer). En palabras, explique la diferencia entre las probabilidades de la parte c y la parte d. Calcule P (el conductor tiene 65 años o más). ¿Ser mayor de 65 años y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes? ¿Cómo lo sabe? <20 20–64 >64 Totales Mujer 0,0244 0,3954 0,0661 0,486 Hombre 0,0259 0,4186 0,0695 0,514 Totales 0,0503 0,8140 0,1356 1 P ( F ) = 0,486 P (>64| F ) = 0,1361 P (>64 y F ) = P ( F ) P (>64| F ) = (0,486)(0,1361) = 0,0661 P (>64| F ) es el porcentaje de conductoras que tienen 65 años o más y P (>64 y F ) es el porcentaje de conductores que son mujeres y tienen 65 años o más. P (> 64 ) = P (>64 y F ) + P (>64 y M ) = 0,1356 No, ser mujer y tener 65 años o más no son mutuamente excluyentes porque pueden darse al mismo tiempo P(>64 y F ) = 0,0661. Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 10.000 conductores con licencia en EE. UU. ¿Cuántos espera que sean hombres? Utilizando la tabla o el diagrama de árbol, construya una tabla de contingencia de sexo versus grupo de edad. Utilizando la tabla de contingencia, calcule la probabilidad de que, del grupo de 20 a 64 años, un conductor seleccionado al azar sea mujer. Aproximadamente el 86,5 % de los estadounidenses se desplazan al trabajo en automóvil, camioneta o van. De ese grupo, el 84,6 % conduce solo y el 15,4 % lo hace en automóvil compartido. Aproximadamente el 3,9 % va a pie al trabajo y el 5,3 % utiliza el transporte público. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Incluya una rama para todos los demás modos de transporte al trabajo. Suponiendo que los que caminan van solos, ¿qué porcentaje de todos los que van al trabajo los hacen solos? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántas personas se desplazan solas al trabajo? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántos espera que conduzcan un automóvil compartido? Automóvil, camioneta o furgoneta Caminar Transporte público Otros Totales Solo 0,7318 Acompañado 0,1332 Totales 0,8650 0,0390 0,0530 0,0430 1 Si asumimos que todos los caminantes están solos y que ninguno de los otros dos grupos se traslada solo (lo cual es un gran supuesto) tenemos: P (solos) = 0,7318 + 0,0390 = 0,7708. Haciendo las mismas suposiciones que en (b) tenemos: (0,7708)(1.000) = 771 (0,1332)(1.000) = 133 Cuando se introdujo la moneda de euro en 2002, dos profesores de Matemáticas hicieron que sus estudiantes de Estadística comprobaran si la moneda belga de un euro era una moneda imparcial. Hicieron girar la moneda en vez de lanzarla y descubrieron que de 250 giros, 140 mostraron una cara (evento H ) mientras que 110 mostraron una cruz (evento T ). Sobre esta base, afirmaron que no es una moneda imparcial. A partir de los datos dados, halle P ( H ) y P ( T ). Utilice un árbol para hallar las probabilidades de cada resultado posible para el experimento de lanzar la moneda dos veces. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara en dos lanzamientos de la moneda. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener, al menos, una cara. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Los siguientes son datos reales del condado de Santa Clara, CA. Hasta cierto momento, había un total de 3059 casos documentados de SIDA en el condado. Se agruparon en las siguientes categorías: * incluye consumidores de drogas intravenosas homosexuales/bisexuales Homosexual/bisexual Consumidor de drogas por vía intravenosa* Contacto heterosexual Otros Totales Mujeres 0 70 136 49 ____ Hombres 2.146 463 60 135 ____ Totales ____ ____ ____ ____ ____ Supongamos que se selecciona al azar una persona con SIDA en el condado de Santa Clara. Calcule P (la persona es mujer). Calcule P (La persona tiene un factor de riesgo contacto heterosexual). Calcule P (La persona es mujer O tiene un factor de riesgo de usuario de drogas intravenosas). Calcule P (La persona es mujer Y tiene un factor de riesgo homosexual/bisexual). Calcule P (La persona es hombre Y tiene un factor de riesgo de consumidor de drogas por vía intravenosa). Calcule P (La persona DADA es una mujer se contagió de la enfermedad por contacto heterosexual). Construya un diagrama de Venn. Haga que un grupo sea de mujeres y el otro de contactos heterosexuales. La tabla de contingencia completada es la siguiente: * incluye consumidores de drogas intravenosas homosexuales/bisexuales Homosexual/bisexual Consumidor de drogas por vía intravenosa* Contacto heterosexual Otros Totales Mujeres 0 70 136 49 255 Hombres 2.146 463 60 135 2.804 Totales 2.146 533 196 184 3.059 255 3.059 196 3.059 718 3.059 0 463 3.059 136 196 Responda a estas preguntas utilizando las reglas de la probabilidad. NO utilice la tabla de contingencia. En el condado de Santa Clara, California, se habían registrado 3059 casos de SIDA hasta una fecha determinada. Esos casos serán nuestra población. De esos casos, el 6,4 % contrajo la enfermedad por contacto heterosexual y el 7,4 % son mujeres. De las mujeres con la enfermedad, el 53,3 % se contagió por contacto heterosexual. Calcule P (la persona es mujer). Calcule P (La persona contrajo la enfermedad por contacto heterosexual). Calcule P (La persona DADA es una mujer que adquirió la enfermedad por contacto heterosexual) Construya un diagrama de Venn que represente esta situación. Haga que un grupo sea de mujeres y el otro de contactos heterosexuales. Rellene todos los valores como probabilidades. Diagrama de árbol la útil representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de “árbol” con ramas marcadas por los posibles resultados junto con las probabilidades asociadas (frecuencias, frecuencias relativas, etc.) Diagrama de Venn la representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de círculos u óvalos que muestran sus intersecciones

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Temas de probabilidad Temas de probabilidad Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante utilizará métodos teóricos y empíricos para estimar probabilidades. El estudiante valorará las diferencias entre las dos estimaciones. El estudiante demostrará que comprende las frecuencias relativas a largo plazo. Haga el experimento Cuente 40 M&M® de colores variados, lo que equivale aproximadamente a una bolsa pequeña. Registre el número de cada color en la . Utilice la información de esta tabla para completar la . A continuación, ponga los M&M en una taza. El experimento consiste en elegir dos M&M, uno a la vez. No los mire mientras los agarra. La primera vez, reemplace el primer M&M antes de agarrar el segundo. Registre los resultados en la columna “Con reemplazo" de la . Hágalo 24 veces. La segunda vez, después de tomar el primer M&M, no lo reemplace antes de tomar el segundo. Entonces, elija el segundo. Registre los resultados en la sección de la columna "Sin reemplazo" de la . Después de registrar la selección, vuelva a poner los dos M&M. Hágalo también un total de 24 veces. Utilice los datos de la para calcular las preguntas de probabilidad empírica. Deje sus respuestas en forma fraccionaria no reducida. No multiplique ninguna fracción. Población Color Cantidad Amarillo( Y ) Verde( G ) Azul( BL ) Marrón( B ) Naranja( O ) Rojo( R ) Probabilidades teóricas Con reemplazo Sin reemplazo P (2 rojos) P ( R 1 B 2 O B 1 R 2 ) P ( R 1 Y G 2 ) P ( G 2 | R 1 ) P (sin amarillos) P (dobles) P (sin dobles) Nota G 2 = verde en la segunda selección; R 1 = rojo en la primera selección; B 1 = marrón en la primera selección; B 2 = marrón en la segunda selección; dobles = ambas selecciones son del mismo color. Resultados empíricos Con reemplazo Sin reemplazo ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) Probabilidades empíricas Con reemplazo Sin reemplazo P (2 rojos) P ( R 1 B 2 O B 1 R 2 ) P ( R 1 Y G 2 ) P ( G 2 | R 1 ) P (sin amarillos) P (dobles) P (sin dobles) Preguntas para el debate ¿Por qué son diferentes las probabilidades “con reemplazo" y “sin reemplazo"? Convierta P (sin amarillas) a formato decimal tanto para la Teórica “con reemplazo" como para la Empírica “con reemplazo". Redondee a cuatro decimales. Teórico “con reemplazo": P (sin amarillos) = _______ Empírico "con reemplazo": P (sin amarillos) = _______ ¿Están los valores decimales "cerca"? ¿Esperabas que estuvieran más cerca o más lejos? ¿Por qué? Si aumenta el número de veces que elige dos M&M a 240 veces, ¿por qué cambiarían los valores de probabilidad empírica? ¿Este cambio (vea la parte 3) haría que las probabilidades empíricas y las teóricas se acercaran o se alejaran? ¿Cómo lo sabe? Explique las diferencias que representan P ( G 1 Y R 2 ) y P ( R 1 | G 2 ). Pista: Piense en el espacio muestral de cada probabilidad.

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Introducción Puede utilizar probabilidad y variables aleatorias discretas para calcular la probabilidad de que un rayo llegue al suelo cinco veces durante una tormenta de media hora (créditos: Leszek Leszczynski). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y comprender las funciones de distribución de probabilidad discreta, en general. Calcular e interpretar los valores esperados. Reconocer la distribución de probabilidad binomial y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad de Poisson y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución geométrica de la probabilidad y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad hipergeométrica y aplicarla adecuadamente. Clasificar los problemas de palabras discretas por sus distribuciones. Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %? Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico? Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento. Notación de la variable aleatoria Las letras mayúsculas como X o Y denotan una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria, entonces X se escribe con palabras y x se da como un número. Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT ; THH ; HTH ; HHT ; HTT ; THT ; TTH ; HHH . Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta. Lance una moneda diez veces y anote el número de caras. Después de que todos los miembros de la clase hayan realizado el experimento (lanzar una moneda diez veces y contar el número de caras), rellene la . Supongamos que X = el número de caras en diez lanzamientos de la moneda. x Frecuencia de x Frecuencia relativa de x ¿Qué valor(es) de x se ha(n) producido con mayor frecuencia? Si lanza una moneda 1000 veces, ¿qué valores podría tomar x ? ¿Qué valor(es) de x cree que se daría(n) con más frecuencia? ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa? Variable aleatoria (RV) una característica de interés en una población que se estudia; la notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,...; la notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x, y , z . Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3,.... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Podemos saber qué valor específico x toma la variable aleatoria X solo después de realizar el experimento.

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Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta Una función de distribución de probabilidad discreta tiene dos características: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno. Un psicólogo infantil se interesa por el número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. Para una muestra aleatoria de 50 madres, se obtuvo la siguiente información. Supongamos que X = el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. En este ejemplo, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. P ( x ) = probabilidad de que X tome un valor x . x P ( x ) 0 P ( x = 0) = 2 50 1 P ( x = 1) = 11 50 2 P ( x = 2) = 23 50 3 P ( x = 3) = 9 50 4 P ( x = 4) = 4 50 5 P ( x = 5) = 1 50 X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Esta es una PDF discreta porque: Cada P ( x ) está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno, es decir, 2 50 + 11 50 + 23 50 + 9 50 + 4 50 + 1 50 = 1 Ejercicio Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. Supongamos que X = el número de veces que un paciente llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para este ejercicio, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. P ( x ) = la probabilidad de que X tome el valor x . ¿Por qué esta es una función de distribución de probabilidad discreta (dos razones)? X P ( x ) 0 P ( x = 0) = 4 50 1 P ( x = 1) = 8 50 2 P ( x = 2) = 16 50 3 P ( x = 3) = 14 50 4 P ( x = 4) = 6 50 5 P ( x = 5) = 2 50 Supongamos que Nancy tiene clases tres días a la semana. Asiste a clases tres días a la semana el 80 % del tiempo, dos días el 15 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 1 % del tiempo. Supongamos que se selecciona una semana al azar. a. Supongamos que X = el número de días que Nancy ____________________. b. ¿Qué valores asume X ? c. Supongamos que se elige una semana al azar. Construya una tabla de distribución de probabilidades (llamada tabla PDF) como la que aparece en el . La tabla debe tener dos columnas denominadas x y P ( x ). ¿A cuánto asciende la columna P ( x )? a. Supongamos que X = el número de días que Nancy asiste a clase por semana b. 0, 1, 2 y 3 c. x P ( x ) 0 0,01 1 0,04 2 0,15 3 0,80 Ejercicio Jeremiah tiene entrenamiento de baloncesto dos días a la semana. El noventa por ciento de las veces, asiste a ambos entrenamientos. El 8 % de las veces, asiste a un entrenamiento. El 2 % de las veces no asiste a ninguno de los dos entrenamientos. ¿Qué es X y qué valores adquiere? Repaso del capítulo Las características de una función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta son las siguientes: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive ( inclusive significa incluir el cero y el uno). La suma de las probabilidades es uno. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 0,10 5 0,10 6 0,05 P ( x = 4) = _______ P ( x ≥ 5) = _______ 0,10 + 0,05 = 0,15 ¿Cuánto tiempo en promedio espera que un nuevo empleado permanezca en la compañía? ¿A cuánto asciende la columna “ P ( x )”? 1 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad. x P ( x ) 1 0,15 2 0,35 3 0,40 4 0,10 Defina la variable aleatoria X . ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda más de un lote? P ( x > 1) = _______ 0,35 + 0,40 + 0,10 = 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? P ( x = 1) = _______ En promedio, ¿cuántos lotes debe hacer el panadero? 1(0,15) + 2(0,35) + 3(0,40) + 4(0,10) = 0,15 + 0,70 + 1,20 + 0,40 = 2,45 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. Defina la variable aleatoria X . Construya una tabla de distribución de probabilidades para los datos. x P ( x ) 0 0,03 1 0,04 2 0,08 3 0,85 Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es uno. ¿Cuál es la otra característica? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo. Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de eventos en los que Javier es voluntario cada mes. ¿Qué valores toma x ? Construir una tabla de PDF. x P ( x ) 0 0,05 1 0,05 2 0,10 3 0,20 4 0,25 5 0,35 Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en menos de tres eventos al mes. P ( x < 3) = _______ Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en, al menos, un evento cada mes. P ( x > 0) = _______ 1 – 0,05 = 0,95 Tarea para la casa Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener una licenciatura en ciencias (Bachelor of Science B.S.) se da en la . x P ( x ) 3 0,05 4 0,40 5 0,30 6 0,15 7 0,10 Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Qué significa que los valores cero, uno y dos no están incluidos para x en la PDF? Función de distribución de probabilidad (PDF) una descripción matemática de una variable aleatoria ( RV ) discreta, dada en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.

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