Introducción Puede utilizar una prueba de hipótesis para decidir si la afirmación de un criador de perros de que todos los dálmatas tienen 35 manchas es estadísticamente correcta. (créditos: Robert Neff) Ahora nos encontramos con el trabajo principal del estadístico: desarrollar y probar hipótesis. Es importante situar este material en un contexto más amplio para que se entienda completamente el método por el que se forma una hipótesis. El uso de ejemplos de libros de texto a menudo nubla el verdadero origen de las hipótesis estadísticas. Las pruebas estadísticas forman parte de un proceso mucho más amplio conocido como método científico. Este método se desarrolló hace más de dos siglos como la forma aceptada de crear nuevos conocimientos. Hasta entonces, y desgraciadamente aún hoy, entre algunos, el "conocimiento" podía crearse simplemente porque alguna autoridad dijera que algo era así, ipso dicta . La superstición y las teorías de la conspiración eran (¿son?) aceptadas sin crítica. El método científico, brevemente, establece que solo siguiendo un proceso cuidadoso y específico se puede incluir alguna afirmación en el cuerpo de conocimientos aceptado. Este proceso comienza con un conjunto de supuestos sobre los que se construye una teoría, a veces llamada modelo. Esta teoría, si tiene alguna validez, dará lugar a predicciones; lo que llamamos hipótesis. Por ejemplo, en Microeconomía la teoría de la elección del consumidor parte de ciertos supuestos relativos al comportamiento humano. A partir de estos supuestos se elabora una teoría de cómo los consumidores toman decisiones utilizando las curvas de indiferencia y la línea presupuestaria. Esta teoría dio lugar a una predicción muy importante, a saber, que existía una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada. Esta relación se conoce como curva de demanda. La pendiente negativa de la curva de demanda es en realidad una predicción, o una hipótesis, que puede comprobarse con herramientas estadísticas. A menos que cientos y cientos de pruebas estadísticas de esta hipótesis no hubieran confirmado esta relación, la llamada ley de la demanda habría sido descartada hace años. Este es el papel de la estadística, poner a prueba las hipótesis de diversas teorías para determinar si deben ser admitidas en el cuerpo de conocimientos aceptado; cómo entendemos nuestro mundo. Sin embargo, una vez admitidas, pueden ser descartadas posteriormente si aparecen nuevas teorías que hagan mejores predicciones. No hace mucho, dos científicos afirmaron que podían obtener más energía de un proceso que la que se introducía en este. Esto causó un tremendo revuelo por razones obvias. Aparecieron en la portada de Time y se les ofrecieron sumas extravagantes para que llevaran sus trabajos de investigación a la industria privada y a cualquier universidad. No pasó mucho tiempo hasta que su trabajo fue sometido a las rigurosas pruebas del método científico y se descubrió que era un fracaso. Ningún otro laboratorio pudo replicar sus hallazgos. En consecuencia, se han hundido en la oscuridad y su teoría fue descartada. Es posible que vuelva a salir a la luz cuando alguien pueda superar las pruebas de las hipótesis exigidas por el método científico, pero hasta entonces es solo una curiosidad. A lo largo del tiempo se han intentado muchos fraudes auténticos, pero la mayoría se han descubierto aplicando el proceso del método científico. Este debate pretende mostrar en qué punto de este proceso se encuentra la estadística. La estadística y los estadísticos no se dedican necesariamente a desarrollar teorías, sino a probar las teorías de otros. Las hipótesis proceden de estas teorías basadas en un conjunto explícito de supuestos y una lógica sólida. La hipótesis es lo primero, antes de recopilar los datos. Los datos no crean hipótesis, sino que se utilizan para probarlas. Si tenemos esto en cuenta al estudiar esta sección, el proceso de formación y comprobación de hipótesis tendrá más sentido. Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre el valor de un parámetro específico. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año. Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis” . Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula. En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de El nivel de confianza deseado. Información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación típica conocida). La muestra y su tamaño. Prueba de hipótesis a partir de las pruebas de la muestra, un procedimiento para determinar si la hipótesis planteada es una afirmación razonable y no se debe rechazar, o es irrazonable y se debe rechazar.

Matemáticas


Hipótesis nula y alternativa La prueba real comienza considerando dos hipótesis . Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa . Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos. H 0 : La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción. H a : La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H 0 y lo que concluimos cuando no podemos aceptar H 0 . Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar. La hipótesis alternativa es la contendiente y debe ganar con pruebas significativas para derrocar el statu quo . Este concepto se conoce a veces como la tiranía del statu quo porque, como veremos más adelante, para derribar la hipótesis nula se necesita normalmente un 90 % o más de confianza en que esta es la decisión correcta. Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra. Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son “no puede aceptar H 0 ” si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o “no se rechaza H 0 ” o “se declina rechazar H 0 ” si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula. Todas estas conclusiones se basan en un nivel de probabilidad, un nivel de significación, que establece el analista. La tabla 9.1 presenta las distintas hipótesis en los pares correspondientes. Por ejemplo, si la hipótesis nula es igual a algún valor, la alternativa no puede ser igual a ese valor. H 0 H a igual (=) no es igual (≠) mayor o igual que (≥) menor que (<) menor o igual que (≤) mayor que (>) Nota Como convención matemática, H 0 siempre tiene un símbolo con un igual. H a nunca tiene un símbolo con un igual en él. La elección del símbolo depende del enunciado de la prueba de hipótesis. H 0 : No más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p ≤ 30 H a : Más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p > 30 Queremos comprobar si la media del GPA de los estudiantes de los institutos universitarios estadounidenses es diferente de 2,0 (sobre 4,0). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ = 2,0 H a : μ ≠ 2,0 Queremos comprobar si los estudiantes de institutos universitarios tardan menos de cinco años en graduarse, en promedio. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ ≥ 5 H a : μ < 5 Repaso del capítulo En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros: Evalúe la hipótesis nula , normalmente denotada con H 0 . La nulidad no se rechaza, a menos que la prueba de hipótesis demuestre lo contrario. La declaración nula debe contener siempre alguna forma de igualdad (=, ≤ o ≥) Escriba siempre la hipótesis alternativa , normalmente denotada con H a o H 1 , utilizando los símbolos de no es igual, menor que o mayor que, es decir, (≠, <, o >). Si rechazamos la hipótesis nula, podemos suponer que hay suficientes pruebas para apoyar la hipótesis alternativa. No diga nunca que una afirmación está probada como verdadera o falsa. Tenga en cuenta el hecho subyacente de que las pruebas de hipótesis se basan en leyes de probabilidad; por lo tanto, solo podemos hablar en términos de certezas no absolutas. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la velocidad media de internet en megabits por segundo. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. Indique las hipótesis nula y alternativa. La familia estadounidense tiene un promedio de dos hijos. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es el número medio de hijos que tiene una familia estadounidense. El salario medio de un empleado en una compañía es de 58.000 dólares. Usted cree que es mayor para los profesionales de tecnología de la información (TI) en la compañía. Indique las hipótesis nula y alternativa. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Hay que probar para ver si la proporción es realmente menor. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la proporción de personas elegidas al azar en Times Square que visitan la ciudad. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Quiere comprobar si la afirmación es correcta. Indique las hipótesis nula y alternativa. En una población de peces, aproximadamente el 42 % son hembras. Se realiza una prueba para ver si, efectivamente, la proporción es menor. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p = 0,42 H a : p < 0,42 Supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en la cárcel un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de 3 años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Si realiza una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo en prisión ha aumentado, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? La distribución de la población es normal. H 0 : ________ H a : ________ Una encuesta aleatoria realizada a 75 condenados a muerte reveló que la duración media en el pabellón de los condenados a muerte es de 17,4 años, con una desviación típica de 6,3 años. Si estuviera realizando una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio de la población en el pabellón de los condenados a muerte podría ser de 15 años, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : __________ H a : __________ H 0 : μ = 15 H a : μ ≠ 15 El Instituto Nacional de Salud Mental publicó un artículo en el que se afirma que, en cualquier periodo de un año, aproximadamente el 9,5 % de los adultos estadounidenses sufren depresión o una enfermedad depresiva. Supongamos que en una encuesta realizada a 100 personas de una determinada ciudad, siete de ellas sufren depresión o una enfermedad depresiva. Si realizara una prueba de hipótesis para determinar si la verdadera proporción de personas de esa ciudad que sufren depresión o una enfermedad depresiva es inferior al porcentaje de la población general adulta estadounidense, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : ________ H a : ________ Tarea para la casa Algunas de las siguientes afirmaciones se refieren a la hipótesis nula, otras a la hipótesis alternativa. Enuncie la hipótesis nula, H 0 y la hipótesis alternativa. H a , en términos del parámetro apropiado ( μ o p ). La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. El costo medio de la matrícula de las universidades privadas supera los 20.000 dólares anuales. H 0 : μ = 34; H a : μ ≠ 34 H 0 : p ≤ 0,60; H a : p > 0,60 H 0 : μ ≥ 100.000; H a : μ < 100.000 H 0 : p = 0,29; H a : p ≠ 0,29 H 0 : p = 0,05; H a : p < 0,05 H 0 : μ ≤ 10; H a : μ > 10 H 0 : p = 0,50; H a : p ≠ 0,50 H 0 : μ = 6; H a : μ ≠ 6 H 0 : p ≥ 0,11; H a : p < 0,11 H 0 : μ ≤ 20.000; H a : μ > 20.000 En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del treinta por ciento de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? La hipótesis alternativa es: p < 0,30 p ≤ 0,30 p ≥ 0,30 p > 0,30 Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y descubre que 11 asistieron a la proyección de medianoche. Una hipótesis alternativa adecuada es: p = 0,20 p > 0,20 p < 0,20 p ≤ 0,20 c Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. Las hipótesis nula y alternativa son: H o : x ¯ = 4,5, H a : x ¯ > 4,5 H o : μ ≥ 4,5, H a : μ < 4,5 H o : μ = 4,75, H a : μ > 4,75 H o : μ = 4,5, H a : μ > 4,5 Referencias Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm. Hipótesis una afirmación sobre el valor de un parámetro de la población, en caso de dos hipótesis, la afirmación que se supone verdadera se llama hipótesis nula (notación H 0 ) y la afirmación contradictoria se llama hipótesis alternativa (notación H a ).

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Resultados y errores de tipo I y II Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H 0 y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro: Decisión estadística H 0 es en realidad... Verdadero Falso No se puede rechazar H 0 Resultado correcto Error tipo II No se puede aceptar H 0 Error de tipo I Resultado correcto Los cuatro resultados posibles en la tabla son: La decisión es que no rechaza H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión correcta). La decisión es no aceptar H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión incorrecta, conocida como error de tipo I ). Este caso se describe como “rechazar un buen nulo”. Como veremos más adelante, es este tipo de error el que evitaremos al fijar la probabilidad de cometerlo. El objetivo es NO realizar ninguna acción que sea un error. La decisión es no rechazar H 0 cuando, de hecho, H 0 es falsa (decisión incorrecta, conocida como error de tipo II ). Esto se llama “aceptar un falso nulo”. En esta situación ha permitido que el statu quo siga en vigor cuando debió anularse. Como veremos, la hipótesis nula tiene ventaja en la competencia con la alternativa. La decisión es no aceptar H 0 cuando H 0 es falsa ( decisión correcta ). Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades. α = probabilidad de un error de tipo I = P (error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera: rechazar un buen nulo. β = probabilidad de un error tipo II = P (error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. (1 - β ) se denomina la potencia de la prueba . α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. La estadística nos permite establecer la probabilidad de que cometamos un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α. Recordemos que los intervalos de confianza en la última unidad se establecían al elegir un valor llamado Z α (o t α ) y el valor alfa determinaba el nivel de confianza de la estimación porque era la probabilidad de que el intervalo no captara la verdadera media (o parámetro de proporción p). Esta y aquella alfa son iguales. La forma más fácil de ver la relación entre el error alfa y el nivel de confianza es con la siguiente figura. En el centro de la hay una distribución normal de muestreo, marcada H 0 . Se trata de una distribución de muestreo de X – y por el teorema del límite central se distribuye normalmente. La distribución del centro se marca H 0 y representa la distribución para la hipótesis nula H 0 : µ = 100. Este es el valor que se está probando. Los enunciados formales de las hipótesis nula y alternativa se enumeran debajo de la figura. Las distribuciones a ambos lados de la distribución H 0 representan las que serían verdaderas si H 0 es falsa, bajo la hipótesis alternativa, indicada como H a . No sabemos cuál es la verdad, y nunca lo sabremos. De hecho, hay un número infinito de distribuciones de las que se podrían haber extraído los datos si H a es verdadera, pero solo dos de ellas están en la representando a todas las demás. Para comprobar una hipótesis, tomamos una muestra de la población y determinamos si proviene de la distribución hipotética con un nivel de significación aceptable. Este nivel de significación es el error alfa y está marcado en la como las áreas sombreadas en cada cola de la distribución H 0 . (Cada área es en realidad α/2 porque la distribución es simétrica y la hipótesis alternativa posibilita que el valor sea mayor o menor que el valor hipotético, la llamada prueba de dos colas). Si la media muestral está marcada como X – 1 está en la cola de la distribución de H 0 , entonces concluimos que la probabilidad de que provenga de la distribución H 0 es menor que alfa. En consecuencia, afirmamos que “la hipótesis nula no puede aceptarse con un nivel de significación (α)”. La verdad puede ser que este X – 1 sí provenía de la distribución H 0 , pero del extremo de la cola. Si es así, hemos rechazado falsamente una hipótesis nula verdadera y hemos cometido un error de tipo I. Lo que la estadística ha hecho es proporcionar una estimación sobre lo que sabemos y lo que controlamos, y esa es la probabilidad de que nos equivoquemos, α. También observamos en la que la media muestral sería realmente de una distribución H a , pero dentro del límite establecido por el nivel alfa. Este caso está marcado como X – 2 . Existe la probabilidad de que X – 2 en realidad provenga de H a pero aparece en el rango de H 0 entre las dos colas. Esta probabilidad es el error beta, la probabilidad de aceptar un falso nulo. Nuestro problema es que solo podemos fijar el error alfa porque hay un número infinito de distribuciones alternativas de las que podría haber salido la media que no son iguales a H 0 . En consecuencia, el estadístico recae la carga de la prueba en la hipótesis alternativa. Es decir, no rechazaremos una hipótesis nula, a no ser que haya una probabilidad superior al 90 % o al 95 %, e incluso al 99 %, de que la nula sea falsa: la carga de la prueba recae en la hipótesis alternativa. Por eso lo designamos anteriormente como la tiranía del statu quo . A modo de ejemplo, el sistema judicial estadounidense parte del supuesto de la “presunción de inocencia” del acusado. Este es el statu quo y es la hipótesis nula. El juez dirá al jurado que no puede declarar al acusado culpable, a no ser que las pruebas indiquen la culpabilidad más allá de una “duda razonable”, que se define en los casos penales como un 95 % de certeza de culpabilidad. Si el jurado no puede aceptar la nulidad, la inocencia, entonces se tomarán medidas, tiempo de cárcel. La carga de la prueba siempre recae en la hipótesis alternativa (en los casos civiles, el jurado solo necesita tener más del 50 % de certeza de que se ha cometido un delito para declarar la culpabilidad, lo que se denomina “preponderancia de las pruebas”). El ejemplo anterior era para una prueba de una media, pero la misma lógica se aplica a las pruebas de hipótesis para todos los parámetros estadísticos que uno quiera probar. Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: El equipo de escalada de Frank es seguro. Error tipo I : Frank piensa que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. Error tipo II : Frank cree que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. α = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. β = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. Observe que, en este caso, el error con mayores consecuencias es el tipo II (si Frank cree que su equipo de escalada es seguro, lo utilizará). Esta es una situación que se describe como “aceptar un falso nulo”. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: La víctima de un accidente de tráfico está viva cuando llega a la sala de urgencias de un hospital. Esto es el statu quo y no requiere ninguna acción si es verdadero. Si no se puede aceptar la hipótesis nula, es necesario actuar y el hospital iniciará los procedimientos adecuados. Error tipo I : El equipo de emergencia cree que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva. Error tipo II : El equipo de emergencia no sabe si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta. α = probabilidad de que el equipo de emergencias piense que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva = P (error tipo I). β = probabilidad de que el equipo de emergencias no sepa si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta = P (error tipo II). El error con mayores consecuencias es el error tipo I (si el equipo de emergencia cree que la víctima está muerta, no la atenderán). Ejercicio Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es un paciente no está enfermo. ¿Qué tipo de error tiene mayores consecuencias, el tipo I o el tipo II? El error con mayores consecuencias es el de tipo II: se creerá que el paciente está bien cuando, en realidad, está enfermo, por lo que no recibirá tratamiento. Los laboratorios genéticos It’s a Boy afirman poder aumentar la probabilidad de elegir el sexo del bebé, en ese caso, masculino. Los estadísticos quieren poner a prueba esta afirmación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: Los laboratorios genéticos It’s a Boy no tienen efecto en el resultado del sexo. El statu quo es que la afirmación es falsa. La carga de la prueba recae siempre en la persona que hace el reclamo, en este caso el laboratorio genético. Error tipo I : Esto resulta cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. En el contexto de este escenario, afirmaríamos que creemos que los laboratorios genéticos It’s a Boy influyen en el resultado del sexo, cuando en realidad no tienen ningún efecto. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega alfa, α . Error tipo II : Esto se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. En el contexto, afirmaríamos que los laboratorios genéticos It’s a Boy no influyen en el resultado del sexo de un bebé cuando, de hecho, sí lo hacen. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega beta, β . El error de mayor consecuencia sería el tipo I, ya que las parejas utilizarían el producto de los laboratorios genéticos It’s a Boy con la esperanza de aumentar las posibilidades de concebir un bebé de sexo masculino. Ejercicio La “marea roja” es una floración de algas productoras de veneno, algunas especies diferentes de un tipo de plancton llamado dinoflagelado. Cuando las condiciones meteorológicas y del agua provocan estas floraciones, los mariscos, como las almejas que viven en la zona, desarrollan niveles peligrosos de una toxina que induce parálisis. En Massachusetts, la División de Pesquerías Marinas (Division of Marine Fisheries, DMF) controla los niveles de la toxina en los mariscos mediante muestreos regulares de mariscos a lo largo de la costa. Si el nivel medio de toxina en las almejas supera los 800 μg (microgramos) de toxina por kg de carne de almeja en cualquier zona, se prohíbe la recolección de almejas de allí hasta que la floración haya terminado y los niveles de toxina en las almejas disminuyan. Describa un error tipo I y uno tipo II en este contexto e indique qué error tiene mayores consecuencias. En este escenario, una hipótesis nula adecuada sería H 0 : el nivel medio de toxinas es como máximo de 800 μ g, H 0 : μ 0 ≤ 800 μ g. Error tipo I : La DMF cree que los niveles de toxina siguen siendo demasiado altos cuando, en realidad, son como máximo de 800 μ g. La DMF mantiene la prohibición de recolección. Error tipo II : La DMF cree que los niveles de toxina están dentro del rango aceptable (son al menos 800 μ g) cuando, en realidad, siguen siendo demasiado altos (más de 800 μ g). La DMF levanta la prohibición de recolección. Este error podría ser el más grave. Si se levanta la prohibición y las almejas siguen siendo tóxicas, los consumidores podrían ingerir alimentos contaminados. En resumen, lo más peligroso sería cometer un error de tipo II, porque implica la disponibilidad de almejas contaminadas para el consumo. Un determinado fármaco experimental afirma tener una tasa de curación de, al menos, el 75 % para los hombres con cáncer de próstata. Describa los errores tipo I y tipo II en su contexto. ¿Cuál error es más grave? Tipo I : Un paciente con cáncer cree que la tasa de curación del fármaco es inferior al 75 %, cuando en realidad es de, al menos, el 75 %. Tipo II : Un paciente con cáncer cree que el fármaco experimental tiene un índice de curación de, al menos, el 75 % cuando su índice de curación es inferior al 75 %. En este escenario, el error tipo II contiene la consecuencia más grave. Si un paciente cree que el fármaco funciona, al menos, el 75 % de las veces, lo más probable es que esto influya en la elección del paciente (y del médico) sobre la conveniencia de utilizar el fármaco como opción de tratamiento. Repaso del capítulo En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β , para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β , cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia. El precio medio de los automóviles de tamaño medio en una región es de 32.000 dólares. Se realiza una prueba para ver si la afirmación es cierta. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El precio medio de los automóviles de tamaño medio es de 32.000 dólares, pero concluimos que no es de 32.000 dólares. Tipo II: El precio medio de los automóviles de tamaño medio no es de 32.000 dólares, pero concluimos que es de 32.000 dólares. Un saco de dormir está probado para soportar temperaturas de –15 °F. Usted cree que el saco no puede soportar temperaturas tan bajas. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Para el ejercicio 9.12 , ¿qué son α y β en palabras? α = la probabilidad de que piense que la bolsa no puede soportar –15 grados F, cuando en realidad sí puede β = la probabilidad de que crea que la bolsa puede soportar –15 grados F, cuando en realidad no puede En palabras, describa 1 – β para el ejercicio 9.12 . Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El procedimiento saldrá bien, pero los médicos creen que no. Tipo II: El procedimiento no saldrá bien, pero los médicos creen que sí. Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? La potencia de una prueba es de 0,981. ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo II? 0,019 Un grupo de buzos está explorando un viejo barco hundido. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: el barco hundido no contiene un tesoro enterrado. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra no contiene E-coli . La probabilidad de que la muestra no contenga E-coli , pero el microbiólogo cree que sí la contiene, es de 0,012. La probabilidad de que la muestra contenga E-coli , pero el microbiólogo piense que no es así, es de 0,002. ¿Cuál es la potencia de esta prueba? 0,998 Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra contiene E-coli . ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? Tarea para la casa Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas dadas las siguientes afirmaciones. La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. Las universidades privadas suponen un costo de matrícula de más de 20.000 dólares al año. Error tipo I: concluimos que la media no es de 34 años, cuando realmente es de 34 años. Error tipo II: concluimos que la media es de 34 años, cuando en realidad no son 34 años. Error tipo I: concluimos que más del 60 % de los estadounidenses votan en las elecciones presidenciales, cuando el porcentaje real es como máximo del 60 %. Error tipo II: concluimos que, como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales cuando, en realidad, lo hace más del 60 %. Error tipo I: concluimos que el salario medio inicial es inferior a 100.000 dólares, cuando en realidad es de, al menos, 100.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el salario medio inicial es de, al menos, 100.000 dólares, cuando, en realidad, es inferior a 100.000 dólares. Error tipo I: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes no es del 29 %, cuando realmente es del 29 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes es del 29 % cuando, en realidad, no es del 29 %. Error tipo I: concluimos que menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles, cuando el porcentaje que lo hace es realmente del 5 % o más. Error tipo II: concluimos que el 5 % o más de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles cuando, en realidad, lo hace menos del 5 %. Error tipo I: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida es superior a 10, cuando en realidad no es más de 10. Error tipo II: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a 10 cuando, en realidad, sí es más de 10. Error tipo I: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades no es cerca de la mitad, aunque la proporción real es de aproximadamente la mitad. Error tipo II: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades es la mitad cuando, en realidad, no es la mitad. Error tipo I: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos no es de seis semanas, cuando en realidad sí lo es. Error tipo II: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos es de seis semanas cuando, en realidad, no es así. Error tipo I: concluimos que la proporción es inferior al 11 %, cuando en realidad es como mínimo el 11 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de mujeres que desarrollan cáncer de mama es de, al menos, el 11 %, cuando en realidad es menos del 11 %. Error tipo I: concluimos que el costo promedio de la matrícula en las universidades privadas es superior a 20.000 dólares, aunque en realidad es como máximo de 20.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el costo promedio de la matrícula en universidades privadas es como máximo de 20.000 dólares, cuando en realidad es de más de 20.000 dólares. Para los enunciados de la a a la j del ejercicio 9.109 , responda a lo siguiente con oraciones completas. Indique una consecuencia de cometer un error tipo I. Indique una consecuencia de cometer un error tipo II. Cuando se crea un nuevo medicamento la compañía farmacéutica debe someterlo a pruebas antes de recibir el permiso necesario de la Administración de Alimentos y Medicamentos (Food and Drug Administration, FDA) para comercializarlo. Supongamos que la hipótesis nula es “el medicamento no es seguro”. ¿Cuál es el error tipo II? Concluir que el fármaco es seguro cuando, en realidad, es inseguro. No concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. Concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. No concluir que el medicamento es inseguro cuando, de hecho, lo es. b Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron al estreno de la última película de Harry Potter a medianoche. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. El error tipo I consiste en concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron es ________. al menos el 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. 20 %, cuando en realidad es el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es, al menos, el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? El error tipo II consiste en no rechazar que el número medio de horas de sueño de los estudiantes del LTCC por noche es de, al menos, siete cuando, en realidad, el número medio de horas es más de siete horas. es, como máximo, siete horas. es de, al menos, siete horas. es inferior a siete horas. d Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Al realizar una prueba de hipótesis, el error tipo I es: concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es superior concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es igual. concluir que la media de horas semanales es actualmente de 4,5, cuando en realidad es mayor concluir que la media de horas semanales actualmente no es superior a 4,5, cuando en realidad no es superior Error de tipo I la decisión es rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es verdadera. Error de tipo II la decisión es no rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es falsa.

Matemáticas


Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis Anteriormente, hemos hablado de las distribuciones muestrales. Las distribuciones particulares se asocian a la comprobación de la hipótesis. Realizaremos comprobaciones de hipótesis de una media poblacional con una distribución normal o una distribución t de Student (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población se desconozca y el tamaño de la muestra sea pequeño, donde se considera pequeño a menos de 30 observaciones). Realizamos pruebas de una proporción poblacional mediante una distribución normal cuando podemos suponer que lo sea. Consideramos que esto es cierto si la proporción de la muestra, p ' , por el tamaño de la muestra es superior a 5 y 1- p ' por el tamaño de la muestra también es mayor que 5. Se trata de la misma regla empírica que utilizamos al desarrollar la fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional. Comprobación de la hipótesis para la media Volviendo a la fórmula de estandarización, podemos derivar el estadístico de prueba para comprobar las hipótesis relativas a las medias. Z c = x – – μ 0 σ / n La fórmula de estandarización no se puede resolver tal cual porque no tenemos μ, la media poblacional. Sin embargo, si sustituimos el valor hipotético de la media, μ 0 en la fórmula anterior, podemos calcular un valor Z. Este es el estadístico de prueba con respecto a la comprobación de la hipótesis para una media y se presenta en la . Interpretamos este valor Z como la probabilidad asociada de que una muestra con una media muestral de X – provendría de una distribución con una media poblacional de H 0 y a este valor Z lo llamamos Z c por “calculado”. y muestran este proceso. En la se presentan dos de los tres resultados posibles. X – 1 y X – 3 están en las colas de la distribución hipotética de H 0 . Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X – 's. Esta es la misma distribución teórica de X – 's, la distribución muestral, que el teorema del límite central nos indica que se distribuye normalmente. Por eso podemos dibujarlo con esta forma. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como Z y es la distribución normal estándar. Z α 2 y -Z α 2 , denominados valores críticos , están marcados en el panel inferior como los valores Z asociados a la probabilidad que el analista haya establecido como nivel de significación en la prueba, (α). Las probabilidades en las colas de ambos paneles son, por tanto, las mismas. Observe que para cada X – hay una Z c asociada, llamada Z calculada, que es el resultado de resolver la ecuación anterior. Esta Z calculada no es más que el número de desviaciones típicas que la media hipotética tiene con respecto a la media muestral. Si la media muestral está a “demasiadas” desviaciones típicas de la media hipotética, concluimos que la media muestral no proviene de la distribución con la media hipotética, dado el nivel de significación requerido. Esto podría venir de H 0 , pero se considera demasiado improbable. En la tanto X _ 1 y X _ 3 están en las colas de la distribución. Se considera que están “demasiado lejos” del valor hipotético de la media, dado el nivel de alfa elegido. Si en realidad esta media muestral provenía de H 0 , pero de la cola, hemos cometido un error de tipo I: hemos rechazado un buen nulo. Nuestro único consuelo real es que conocemos la probabilidad de cometer ese error, α, y podemos controlar el tamaño de α. La muestra la tercera posibilidad para la ubicación de la media muestral, x _ . Aquí la media muestral está dentro de los dos valores críticos. Es decir, dentro de la probabilidad de (1-α) y no podemos rechazar la hipótesis nula. Esto nos da la regla de decisión para comprobar una hipótesis en una prueba de dos colas: Regla de decisión: prueba de dos colas Si | Z c | < Z α 2 : entonces no RECHAZA H 0 Si | Z c | > Z α 2 : entonces RECHAZA H 0 Esta regla será siempre la misma, sin importar la hipótesis que estemos comprobando o las fórmulas que utilicemos para hacer la prueba. Lo único será cambiar el Z c por el símbolo apropiado para el estadístico de prueba con respecto al parámetro que se está probando. Expresando la regla de decisión de otra manera: si es improbable que la media muestral provenga de la distribución con la media hipotética, no podemos aceptar la hipótesis nula. Aquí definimos “improbable” como una probabilidad de ocurrir menor que alfa. Enfoque del valor P Se puede desarrollar una regla de decisión alternativa al calcular la probabilidad de que se encuentre una media muestral que resulte en un estadístico de prueba mayor que el hallado a partir de los datos de la muestra actual, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera. Aquí, la noción de “probable” e “improbable” se define por la probabilidad de extraer de una población una muestra con una media que hipotéticamente sea mayor o menor que la calculada en los datos de la muestra. En pocas palabras, el enfoque del valor p compara el nivel de significación deseado, α, con el valor p, que es la probabilidad de obtener una media muestral más alejada del valor hipotético que la media muestral real. Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula . Cuanto más pequeño sea el valor p , más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra. La relación entre la regla de decisión de comparar los valores calculados del estadístico de prueba, Z c , y el valor crítico, Z α , y utilizar el valor p se aprecia en la . El valor calculado del estadístico de prueba es Z c en este ejemplo y está marcado en el gráfico inferior de la distribución normal estándar porque es un valor Z. En este caso el valor calculado está en la cola y, por tanto, no podemos aceptar la hipótesis nula, la asociada X – es demasiado grande para creer que provenga de la distribución con una media de µ 0 y un nivel de significación de α. Si utilizamos la regla de decisión del valor p , necesitamos un paso más. Tenemos que encontrar en la tabla normalizada la probabilidad asociada al valor calculado del estadístico de prueba, Z c . A continuación, lo comparamos con el α asociado a nuestro nivel de confianza seleccionado. En la vemos que el valor p es menor que α, por lo que no podemos aceptar la nulidad. Sabemos que el valor p es menor que α porque el área bajo el valor p es menor que α/2. Cabe destacar que dos investigadores que extraigan al azar de la misma población pueden calcular dos valores P diferentes en sus muestras. Esto ocurre porque el valor P se calcula como la probabilidad en la cola más allá de la media muestral, asumiendo que la hipótesis nula sea correcta. Dado que las medias muestrales serán con toda probabilidad diferentes, esto creará dos valores P distintos. Sin embargo, las conclusiones en cuanto a la hipótesis nula deberían variar únicamente con el nivel de probabilidad de α. Esta es una forma sistemática de tomar una decisión sobre si se puede aceptar o rechazar una hipótesis nula si se utiliza el valor p y un α preestablecido o preconcebido (el “ nivel de significación ”). Un α preestablecido es la probabilidad de un error de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema. En cualquier caso, el valor de α es decisión del analista. Cuando tome la decisión de rechazar o no rechazar H 0 , haga lo siguiente: Si α > valor p , no se puede aceptar H 0 . Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H 0 es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa , H a , puede ser correcta. Si α ≤ valor p , no se puede rechazar H 0 . Los resultados de los datos de la muestra son despreciables. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa, H a , sea correcta. En este caso se mantiene el statu quo . Cuando “no puede rechazar H 0 ”, no significa que deba creer que H 0 es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para poner en duda la veracidad de H 0 . Recuerde que el nulo es el statu quo y se necesita una alta probabilidad para derrocarlo. Este sesgo a favor de la hipótesis nula es lo que da lugar a la afirmación “tiranía del statu quo ” cuando se habla de la comprobación de hipótesis y del método científico. Ambas reglas de decisión darán lugar a la misma decisión y es cuestión de preferencia cuál se utiliza. Pruebas de una y dos colas El estudio de la a la se basó en las hipótesis nula y alternativa, presentadas en la . Se denominó prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa permitía que la media proviniera de una población mayor o menor que la media hipotética en la hipótesis nula. Esto podría verse mediante el enunciado de la hipótesis alternativa como μ ≠ 100, en este ejemplo. Puede ser que al analista no le preocupe que el valor sea "demasiado" alto o "demasiado" bajo con respecto al valor hipotético. Si este es el caso, se convierte en una prueba de una cola y toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de una prueba de dos colas. Cualquier prueba de un reclamo será una prueba de una cola. Por ejemplo, un fabricante de automóviles afirma que su modelo 17B ofrece un consumo de gasolina superior a 25 millas por galón. Las hipótesis nula y alternativa serían: H 0 : µ ≤ 25 H a : µ > 25 La afirmación estaría en la hipótesis alternativa. La carga de la prueba en la comprobación de hipótesis recae en la alternativa. Esto se debe a que el no rechazar el nulo, el statu quo , deberá lograrse con un 90 % o 95 % de confianza en que no se pueda mantener. Dicho de otro modo, queremos tener solo un 5 % o 10 % de probabilidad de cometer un error de tipo I, rechazar un buen nulo y derrocar el statu quo . Esta es una prueba de una cola, donde toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de la prueba de dos colas. La muestra los dos casos posibles y la forma de las hipótesis nula y alternativa que los origina. donde μ 0 es el valor hipotético de la media poblacional. Estadísticas para la prueba de medias, tamaño de muestra variable, desviación típica de la población conocida o desconocida Tamaño de la muestra Estadístico de prueba < 30 (σ desconocido) t c = X – – μ 0 s / n < 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n > 30 (σ desconocido) Z c = X – – μ 0 s / n > 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n Efectos del tamaño de la muestra en el estadístico de prueba Al desarrollar los intervalos de confianza para la media de una muestra, encontramos que la mayoría de las veces no tenemos la desviación típica de la población, σ. Si el tamaño de la muestra fuera inferior a 30, podríamos sustituir simplemente la estimación puntual de σ, la desviación típica de la muestra, s, y utilizar la distribución t de Student para corregir esta falta de información. A la hora de comprobar las hipótesis nos topamos con este mismo problema y la solución es exactamente igual. A saber: Si se desconoce la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es inferior a 30, sustituya s, la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ, en la fórmula del estadístico de prueba y utilice la distribución t de Student. Todas las fórmulas y figuras anteriores no cambian, excepto esta sustitución y el cambio de la distribución Z por la distribución t de Student en el gráfico. Recuerde que la distribución t de Student solo puede calcularse si se conocen los grados de libertad adecuados para el problema. En este caso, los grados de libertad se calculan como antes con intervalos de confianza: df = (n-1). El valor t calculado se compara con el valor t asociado al nivel de confianza preestablecido y que se requiere en la prueba, t α , df , que se encuentra en las tablas t de Student. Si no conocemos σ, pero el tamaño de la muestra es de 30 o más, simplemente sustituimos s por σ y utilizamos la distribución normal. La resume estas normas. Un enfoque sistemático para comprobar una hipótesis Un enfoque sistemático de las pruebas de hipótesis sigue los siguientes pasos y en este orden. Esta plantilla servirá para todas las hipótesis que se pongan a prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa. Esta suele ser la parte más difícil del proceso. Aquí se revisa la cuestión planteada. Qué parámetro se está probando, una media, una proporción, diferencias de medias, etc. ¿Es una prueba de una cola o de dos colas? Decida el nivel de significación requerido para este caso particular y determine el valor crítico. Estos se pueden encontrar en la tabla estadística correspondiente. Los niveles de confianza típicos de las empresas son 80 %, 90 %, 95 %, 98 % y 99 %. Sin embargo, el nivel de significación es una decisión política y debería basarse en el riesgo de cometer un error de tipo I y rechazar un buen nulo. Considere las consecuencias de cometer un error de tipo I. A continuación, sobre la base de las hipótesis y el tamaño de la muestra, seleccione la estadística adecuada de la prueba y calcule el valor crítico pertinente: Z α , t α , etc. Dibujar la distribución de probabilidad correspondiente y marcar el valor crítico es siempre de gran ayuda. Haga coincidir el gráfico con la hipótesis, especialmente si se trata de una prueba de una cola. Tome una o varias muestras y calcule los parámetros pertinentes: media muestral, desviación típica o proporción. Con base en la fórmula del paso 2, calcule ahora el estadístico de prueba para este caso en particular; utilice los parámetros que acaba de calcular. Compare el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico. Si se marcan en el gráfico, se obtendrá una buena imagen visual de la situación. Ahora solo hay dos situaciones: El estadístico de prueba está en la cola: no se puede aceptar el nulo, la probabilidad de que esta media muestral (proporción) provenga de la distribución hipotética es demasiado pequeña para creer que sea el verdadero origen de estos datos muestrales. El estadístico de prueba no está en la cola: no se puede rechazar el nulo. los datos de la muestra son compatibles con el parámetro poblacional hipotético. Llegue a una conclusión. Es mejor articular la conclusión de dos maneras diferentes. En primer lugar, una conclusión estadística formal como: "Con un nivel de significación del 5 %, no podemos aceptar las hipótesis nulas de que la media de la población es igual a XX (unidades de medida)". El segundo enunciado de la conclusión es menos formal y enuncia la acción, o la falta de acción, requerida. Si la conclusión formal era la anterior, la informal podría ser: "La máquina está estropeada y hay que apagarla y mandarla a reparar". Todas las hipótesis probadas pasarán por este mismo proceso. Los únicos cambios son las fórmulas pertinentes y estas están determinadas por la hipótesis necesaria para responder la pregunta original. Repaso del capítulo Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos. Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional: Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal o si el tamaño de la muestra es grande. Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos provienen de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número medio de éxitos y el número medio de fracasos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un éxito y q es la probabilidad de un fracaso. Revisión de la fórmula Estadísticas para la prueba de medias, tamaño de muestra variable, población conocida o desconocida Tamaño de la muestra Estadístico de prueba < 30 (σ desconocido) t c = X – – μ 0 s / n < 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n > 30 (σ desconocido) Z c = X – – μ 0 s / n > 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n ¿Qué dos distribuciones puede usar para las pruebas de hipótesis de este capítulo? Una distribución normal o una distribución t de Student ¿Qué distribución se utiliza cuando se comprueba la media de una población y se conoce la desviación típica de la población? Supongamos que el tamaño de la muestra es grande. Supongamos una distribución normal con n ≥ 30. ¿Qué distribución se utiliza cuando no se conoce la desviación típica y se está comprobando la media de una población? Supongamos una distribución normal, con n ≥ 30. Utilice una distribución t de Student La media de la población es 13. La media muestral es de 12,8 y la desviación típica de la muestra es de dos. El tamaño de la muestra es de 20. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? Supongamos que la población subyacente es normal. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de cinco. La media muestral es 24 y el tamaño de la muestra es 108. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? una distribución normal para una única media poblacional Se cree que el 42 % de los encuestados en una prueba de sabor preferirían la marca A . En una prueba particular de 100 personas, el 39 % prefirió la marca A . ¿Qué distribución debería usar para hacer una prueba de hipótesis? Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. ¿Qué debe suponer sobre la distribución de los datos? Se debe distribuir aproximadamente normal. Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. Los datos no proceden de una simple muestra aleatoria. ¿Puede hacer la prueba de la hipótesis con precisión? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿Qué debe ser cierto sobre las cantidades de np y nq ? Ambos deben ser mayores que cinco. Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. Se descubre que np es menor que cinco. ¿Qué hay que hacer para poder realizar una prueba de hipótesis válida? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿De qué distribución proceden los datos? distribución binomial Tarea para la casa Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? La distribución que se utilizará para esta prueba es X – ~ ________________ N ( 7,24 , 1,93 22 ) N ( 7,24 , 1,93 ) t 22 t 21 d Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli. Hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial Χ se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B(n, p) μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n – x . Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Distribución t de Student investigado y presentado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student. Las principales características de la variable aleatoria (RV) son Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Sin embargo, tiene más dispersión y es más plana en el vértice que la distribución normal. Se aproxima a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una "familia" de distribuciones t : cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad, que es uno menos que el número de datos. Estadístico de prueba la fórmula que cuenta el número de desviaciones típicas en la distribución relevante en que el parámetro estimado se aleja del valor hipotético. Valor crítico el valor t o Z fijado por el investigador que mide la probabilidad de un error de tipo I, α.

Matemáticas