Funciones logarítmicas Objetivos de aprendizaje Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1) Evalúe funciones logarítmicas. (IA 10.3.2) Objetivo 1: Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1) La práctica hace la perfección Grafique la función exponencial f ( x ) = 2 x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Es biunívoco? ¿Dominio? ¿Rango? Grafique la inversa de f ( x ) = 2 x en la cuadrícula anterior al intercambiar las coordenadas de la x y de la y en la tabla. x y = f ( x ) ¿La función inversa es biunívoca? ¿Dominio? ¿Rango? Halle la inversa de f ( x ) = 2 x Reescriba con y = f ( x ) y = 2 x Intercambie las variables de x como y . x = 2 y Resuelva para y . ¡Uy! No tenemos forma de resolver y . Damos a la y una nueva notación y = log x 2 " y = log x 2 " léase " el logaritmo de base 2 de x ", significa "la potencia a la que elevamos 2 para obtener x ". La función y = log a x equivale a a y = x es la función logarítmica de base a , donde a > 0 , x > 0 Dado que las ecuaciones y = log a x y x = a y son equivalentes, podemos ir de un lado a otro entre estas. Este será a menudo el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión entre una y otra, veamos las ecuaciones con detenimiento. Observe las posiciones del exponente y la base. Si recordamos que el logaritmo es el exponente, se facilita la conversión. Puede repetir: "la base al exponente nos da el número”. Convierta entre forma exponencial y logarítmica. Ⓐ Convierta a forma logarítmica: 2 3 = 8 Identifique la base y el exponente: la base es 2 y el exponente es 3. Entonces tenemos 3 = log 2 8 . Ⓑ Convierta en forma exponencial: log b m = a Identifique la base y el exponente: la base es b y el exponente es a . Entonces tenemos b a = m . La práctica hace la perfección Convierta entre forma exponencial y logarítmica. Recuerde estas notaciones logarítmicas para completar lo siguiente: Logaritmo común log x = log x 10 Logaritmo natural ln x = log x e Convierta a forma logarítmica. Ⓐ 8 = 2 x Ⓑ 10 -2 = 0,01 Ⓒ e x = 40 Convierta a forma exponencial. Ⓐ log 81 3 = 4 Ⓑ ln 1 = 0 Ⓒ log 10.000 = 4 Objetivo 2: Evaluar funciones logarítmicas (AI 10.3.2). Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas con la técnica de convertir la ecuación en su forma exponencial equivalente. Calcule el valor de x : Ⓐ log x 36 = 2 , Ⓑ log 4 x = 3 , y Ⓒ log 1 2 1 8 = x . Ⓐ log x 36 = 2 Convierta en forma exponencial. x 2 = 36 Resuelva la cuadrática. x = 6 , x = −6 La base de la función logarítmica deberá ser positiva, por lo que eliminamos x = −6 . x = 6 Por lo tanto, log 6 36 = 2 . Ⓑ log 4 x = 3 Convierta en forma exponencial. 4 3 = x Simplifique. x = 64 Por lo tanto, log 4 64 = 3 . Ⓒ log 1 2 1 8 = x Convierta en forma exponencial. ( 1 2 ) x = 1 8 Reescriba 1 8 cuando ( 1 2 ) 3 . ( 1 2 ) x = ( 1 2 ) 3 Con la misma base, los exponentes deberán ser iguales. x = 3 Por lo tanto, log 1 2 1 8 = 3 La práctica hace la perfección Evalúe funciones logarítmicas. Calcule el valor de x . Ⓐ log 25 x = 2 Ⓑ log x 4 = 2 Ⓒ log x 1 3 = 2 Evalúe cada uno de los siguientes: Ⓐ log 100 10 Ⓑ log 0,1 Ⓒ log 2 4 Ⓓ log 1 20 Ⓔ log 4 4 Ⓕ log 1 9 3 Ⓖ log 2 2 Ⓗ ln e 5 Devastación del terremoto del 11 de marzo de 2011 en Honshu, Japón. (créditos: Daniel Pierce) En 2010, un gran terremoto azotó Haití y causó estragos en más de 285.000 hogares http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. . Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, con destrucción y daños a más de 332.000 edificaciones, http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. como las que se muestran en la . Aunque ambos infligieron daños considerables, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el de Haití. ¿Cómo lo sabemos? La magnitud de los movimientos telúricos se mide en lo que se conoce como la escala de Richter. El terremoto de Haití registró una magnitud de 7,0 en la escala de Richter, http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/. Consultado el 4 de marzo de 2013. mientras que el sismo en Japón registró una magnitud de 9,0. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#details. Consultado el 4 de marzo de 2013. La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un sismo de magnitud 8 no es dos veces mayor que uno de magnitud 4. Es 10 8 − 4 = 10 4 = 10.000 veces más grande. En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende. Convertir de la forma logarítmica a la exponencial Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es 10 x = 500 , donde x representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter . ¿Cómo podríamos resolver x ? Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver 10 x = 500. Sabemos que 10 2 = 100 y 10 3 = 1.000 , por lo que está claro que x deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que y = 10 x aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la , para estimar mejor la solución. Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial y = b x es biunívoca , por lo que su inversa, x = b y también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la x como y , a la vez que resolvemos para y con el fin de dar con la función inversa. Para representar y en función de x , utilizamos una función logarítmica de la forma y = log b ( x ) . La base b logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar b para obtener esa cifra. Leemos una expresión logarítmica como: "El logaritmo con base b de x es igual a y " , o, simplificado, la "base logarítmica b de x es y . «”. También podemos enunciar: " b elevado a la potencia de y es x " , porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que 2 5 = 32 , podemos escribir log 2 32 = 5. Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5". Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue: log b ( x ) = y ⇔ b y = x , b > 0 , b ≠ 1 Tenga en cuenta que la base b es siempre positiva. Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es: log b ( x ) , con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con f ( x ) . Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como log b x . Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la x . Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera: Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que y = log b ( x ) y de y = b x son funciones inversas. Definición de la función logarítmica Una base logarítmica b de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , b > 0 , b ≠ 1 , y = log b ( x ) equivale a b y = x donde, leemos log b ( x ) como, "el logaritmo con base b de x " o la "base logarítmica b de x " . el logaritmo y es el exponente al que hay que elevar b para obtener x . Además, ya que las funciones logarítmicas y exponenciales cambian los valores de la x como y , el dominio y el rango de la función exponencial se intercambian por la función logarítmica. Por lo tanto, el dominio de la función logarítmica con base b es ( 0 , ∞ ) . el rango de la función logarítmica con base b es ( - ∞ , ∞ ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos tomar el logaritmo de un número negativo? No. Como la base de una función exponencial siempre es positiva, ninguna potencia de esa base puede ser nunca negativa. Nunca podemos tomar el logaritmo de un número negativo. Además, no podemos tomar el logaritmo de cero. Las calculadoras pueden emitir un logaritmo de un número negativo cuando están en modo complejo, pero el logaritmo de un número negativo no es un número real. Cómo Dada una ecuación en forma logarítmica. log b ( x ) = y , convertirla en forma exponencial. Examine la ecuación y = log b ( x ) e identifique b , y , y x . Reescriba log b ( x ) = y cuando b y = x . Convertir de la forma logarítmica a la forma exponencial Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial. Ⓐ log 6 ( 6 ) = 1 2 Ⓑ log 3 ( 9 ) = 2 En primer lugar, identifique los valores de b , y y x . Entonces, escriba la ecuación en la forma b y = x . Ⓐ log 6 ( 6 ) = 1 2 Aquí, b = 6 , y = 1 2 , y x = 6. Por lo tanto, la ecuación log 6 ( 6 ) = 1 2 equivale a 6 1 2 = 6 . Ⓑ log 3 ( 9 ) = 2 Aquí, b = 3 , y = 2 , y x = 9. Por lo tanto, la ecuación log 3 ( 9 ) = 2 equivale a 3 2 = 9. Ejercicio Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial. Ⓐ log 10 ( 1.000.000 ) = 6 Ⓑ log 5 ( 25 ) = 2 Ⓐ log 10 ( 1 , 000 , 000 ) = 6 equivale a 10 6 = 1 , 000 , 000 Ⓑ log 5 ( 25 ) = 2 equivale a 5 2 = 25 Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base b , exponente x , y salida y . Entonces escribimos x = log b ( y ) . Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica. 2 3 = 8 5 2 = 25 10 – 4 = 1 10.000 En primer lugar, identifique los valores de b , y , y x . Entonces, escriba la ecuación en la forma x = log b ( y ) . 2 3 = 8 Aquí, b = 2 , x = 3 , y y = 8. Por lo tanto, la ecuación 2 3 = 8 equivale a log 2 ( 8 ) = 3. 5 2 = 25 Aquí, b = 5 , x = 2 , y y = 25. Por lo tanto, la ecuación 5 2 = 25 equivale a log 5 ( 25 ) = 2. 10 – 4 = 1 10.000 Aquí, b = 10 , x = – 4 , y y = 1 10.000 . Por lo tanto, la ecuación 10 – 4 = 1 10.000 equivale a log 10 ( 1 10.000 ) = − 4. Ejercicio Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica. Ⓐ 3 2 = 9 Ⓑ 5 3 = 125 Ⓒ 2 – 1 = 1 2 Ⓐ 3 2 = 9 equivale a log 3 ( 9 ) = 2 Ⓑ 5 3 = 125 equivale a log 5 ( 125 ) = 3 Ⓒ 2 – 1 = 1 2 equivale a log 2 ( 1 2 ) = - 1 Evaluar logaritmos Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere log 2 8. Nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 2 para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que 2 3 = 8 , se deduce que log 2 8 = 3. Ahora, considere resolver log 7 49 y log 3 27 mentalmente. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que 7 2 = 49. Por lo tanto, log 7 49 = 2 Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que 3 3 = 27. Por lo tanto, log 3 27 = 3 Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos log 2 3 4 9 mentalmente. Preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 2 3 para obtener 4 9 ? “. Sabemos que 2 2 = 4 y 3 2 = 9 , tal que ( 2 3 ) 2 = 4 9 . Por lo tanto, log 2 3 ( 4 9 ) = 2. Cómo Dado un logaritmo de la forma y = log b ( x ) , evaluarlo mentalmente. Reescriba el argumento x como potencia de b : b y = x . Utilice el conocimiento previo de las potencias de b identifique y al preguntar: "¿A qué exponente hay que elevar b para obtener x ? “. Resolver logaritmos mentalmente Resuelva y = log 4 ( 64 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 4 y = 64. A continuación, preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 4 para obtener 64?”. Sabemos que 4 3 = 64 Por lo tanto, log ( 64 ) 4 = 3 Ejercicio Resuelva y = log 121 ( 11 ) sin usar la calculadora. log 121 ( 11 ) = 1 2 (recordando que 121 = ( 121 ) 1 2 = 11 ). Evaluar el logaritmo de un recíproco Evalúe y = log 3 ( 1 27 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 3 y = 1 27 . A continuación, preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 1 27 ? “. Sabemos que 3 3 = 27 , pero, ¿qué hay que hacer para obtener el recíproco, 1 27 ? Recordemos del trabajo con exponentes que b – a = 1 b a . Utilizamos esta información para escribir 3 - 3 = 1 3 3 = 1 27 Por lo tanto, log 3 ( 1 27 ) = − 3, Ejercicio Evalúe y = log 2 ( 1 32 ) sin usar la calculadora. log 2 ( 1 32 ) = - 5 Usar logaritmos comunes A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión log ( x ) significa log 10 ( x ) . Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes. Definición del logaritmo común El logaritmo común es un logaritmo con base 10. Escribimos log 10 ( x ) simplemente como log ( x ) . El logaritmo común de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , y = log ( x ) equivale a 10 y = x Leemos log ( x ) como, "el logaritmo con base 10 de x " o "base logarítmica 10 de x “. El logaritmo y es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener x . Cómo Dado un logaritmo común de la forma y = log ( x ) , evaluarlo mentalmente. Reescriba el argumento x como potencia de 10 : 10 y = x . Utilice el conocimiento previo de las potencias de 10 para identificar y al preguntar: "¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener x ? “. Hallar mentalmente el valor de un logaritmo común Evalúe y = log ( 1.000 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 10 y = 1.000. A continuación, nos preguntamos: "¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener 1.000?”. Sabemos que 10 3 = 1.000 Por lo tanto, log ( 1.000 ) = 3. Ejercicio Evalúe y = log ( 1.000.000 ) . log ( 1 , 000 , 000 ) = 6 Cómo Dado un logaritmo común con la forma y = log ( x ) , evaluarlo con la calculadora. Presione [LOG] . Introduzca el valor indicado para x , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Calcular el valor de un logaritmo común con la calculadora Evalúe y = log ( 321 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. Presione [LOG] . Introduzca 321 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Si redondeamos a cuatro decimales, log ( 321 ) ≈ 2,5065. Análisis Observe que 10 2 = 100 y que 10 3 = 1.000. Dado que 321 está entre 100 y 1.000, sabemos que log ( 321 ) deberá estar entre log ( 100 ) y log ( 1.000 ) . Esto nos da lo siguiente: 100 < 321 < 1.000 2 < 2,5065 < 3 Ejercicio Evalúe y = log ( 123 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. log ( 123 ) ≈ 2,0899 Reescribir y resolver un modelo exponencial del mundo real La cantidad de energía que liberó un terremoto fue 500 veces mayor que la cantidad de energía que liberó otro. La ecuación 10 x = 500 representa esta situación, en la que x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud? Comenzamos por reescribir la ecuación exponencial en forma logarítmica. 10 x = 500 log ( 500 ) = x Utilice la definición del logaritmo común . A continuación, evaluamos el logaritmo con la calculadora: Presione [LOG] . Ingrese 500 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . A la milésima más cercana, log ( 500 ) ≈ 2,699. La diferencia en la magnitud fue aproximadamente 2,699. Ejercicio La cantidad de energía liberada por un terremoto fue 8.500 veces mayor que la liberada por otro. La ecuación 10 x = 8.500 representa esta situación, en la que x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud? La diferencia en la magnitud fue aproximadamente 3,929. Usar logaritmos naturales La base más utilizada para los logaritmos es e . Los logaritmos con base e son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales . El logaritmo con base e , log e ( x ) , tiene su propia notación, ln ( x ) . La mayoría de los valores de ln ( x ) se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, ln 1 = 0 . Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla ln , que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de e utilizando la propiedad inversa de los logaritmos. Definición del logaritmo natural Un logaritmo natural es un logaritmo con base e . Escribimos log e ( x ) simplemente como ln ( x ) . El logaritmo natural de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , y = ln ( x ) equivale a e y = x Leemos ln ( x ) como, "el logaritmo con base e de x " o "el logaritmo natural de x ". El logaritmo y es el exponente al que hay que elevar e para obtener x . Dado que las funciones y = e x como y = ln ( x ) son funciones inversas, ln ( e x ) = x para todos los valores x y e = ln ( x ) x para x > 0 . Cómo Dado un logaritmo natural con la forma y = ln ( x ) , evaluarlo con la calculadora. Presione [LN] . Introduzca el valor indicado para x , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Evaluar un logaritmo natural con la calculadora Evalúe y = ln ( 500 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. Presione [LN] . Ingrese 500 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Si redondeamos a cuatro decimales, ln ( 500 ) ≈ 6,2146 Ejercicio Evalúe ln ( -500 ) . No es posible tomar el logaritmo de un número negativo en el conjunto de los números reales. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los logaritmos. Introducción a los logaritmos Ecuaciones clave Definición de la función logarítmica Para x > 0 , b > 0 , b ≠ 1 , y = log b ( x ) si y solo si b y = x . Definición del logaritmo común Para x > 0 , y = log ( x ) si y solo si 10 y = x . Definición del logaritmo natural Para x > 0 , y = ln ( x ) si y solo si e y = x . Conceptos clave La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial. Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de logaritmo. Vea el . Las ecuaciones exponenciales pueden escribirse en su forma logarítmica equivalente utilizando la definición de logaritmo. Vea el . Las funciones logarítmicas con base b pueden evaluarse mentalmente utilizando el conocimiento previo de las potencias de b . Vea el y el . Los logaritmos comunes pueden evaluarse mentalmente utilizando los conocimientos previos de las potencias de 10. Vea el . Cuando los logaritmos comunes no pueden evaluarse mentalmente, se utiliza la calculadora. Vea el . Los problemas exponenciales del mundo real con base 10 pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con la calculadora. Vea el . Los logaritmos naturales se pueden evaluar con la calculadora. . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es el logaritmo con base b ? Analice el significado interpretando cada parte de las ecuaciones equivalentes b y = x y log b x = y por b > 0 , b ≠ 1. El logaritmo es un exponente. Específicamente, es el exponente al que se eleva una base b para producir un valor determinado. En las expresiones dadas, la base b tiene el mismo valor. El exponente, y , en la expresión b y también puede escribirse como el logaritmo, log b x , y el valor de x es el resultado de elevar b a la potencia de y . ¿De qué manera se relaciona la función logarítmica f ( x ) = log b x con la función exponencial g ( x ) = b x ? ¿Cuál es el resultado de componer estas dos funciones? ¿Cómo puede la ecuación logarítmica log b x = y resolverse para x con las propiedades de los exponentes? Dado que la ecuación de un logaritmo es equivalente a una ecuación exponencial, el logaritmo se puede convertir en la ecuación exponencial b y = x , y luego se pueden aplicar las propiedades de los exponentes para resolver x . Comente acerca el significado del logaritmo común. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b , y en qué se diferencia la notación? Comente acerca del significado del logaritmo natural. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b , y en qué se diferencia la notación? El logaritmo natural es un caso especial del logaritmo con base b en que el logaritmo natural siempre tiene base e . En lugar de anotar el logaritmo natural como log e ( x ) , la notación que se utiliza es ln ( x ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma exponencial. log 4 ( q ) = m log a ( b ) = c a c = b log 16 ( y ) = x log x ( 64 ) = y x y = 64 log y ( x ) = −11 log 15 ( a ) = b 15 b = a log y ( 137 ) = x log 13 ( 142 ) = a 13 a = 142 log ( v ) = t ln ( w ) = n e n = w En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma logarítmica. 4 x = y c d = k log c ( k ) = d m − 7 = n 19 x = y log 19 y = x x - 10 13 = y n 4 = 103 log n ( 103 ) = 4 ( 7 5 ) m = n y x = 39 100 log y ( 39 100 ) = x 10 a = b e k = h ln ( h ) = k En los siguientes ejercicios, resuelva para x al convertir la ecuación logarítmica en forma exponencial. log 3 ( x ) = 2 log 2 ( x ) = - 3 x = 2 - 3 = 1 8 log 5 ( x ) = 2 log 3 ( x ) = 3 x = 3 3 = 27 log 2 ( x ) = 6 log 9 ( x ) = 1 2 x = 9 1 2 = 3 log 18 ( x ) = 2 log 6 ( x ) = - 3 x = 6 - 3 = 1 216 log ( x ) = 3 ln ( x ) = 2 x = e 2 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmos comunes y naturales para simplificar. log ( 100 8 ) 10 log ( 32 ) 32 2 log ( 0,0001 ) e ln ( 1,06 ) 1,06 ln ( e − 5,03 ) e ln ( 10,125 ) + 4 14,125 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica con base b sin utilizar la calculadora. log 3 ( 1 27 ) log 6 ( 6 ) 1 2 log 2 ( 1 8 ) + 4 6 log 8 ( 4 ) 4 En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica común sin utilizar la calculadora. log ( 10 . 000 ) log ( 0,001 ) - 3 log ( 1 ) + 7 2 log ( 100 − 3 ) − 12 En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica natural sin utilizar la calculadora. ln ( e 1 3 ) ln ( 1 ) 0 ln ( e − 0,225 ) - 3 25 ln ( e 2 5 ) 10 En tecnología En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión con la calculadora. Redondee a la milésima más cercana. log ( 0,04 ) ln ( 15 ) 2 . 7 0 8 ln ( 4 5 ) log ( 2 ) 0,151 ln ( 2 ) Extensiones ¿Es x = 0 en el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) ? Si es así, ¿cuál es el valor de la función cuando x = 0 ? Compruebe el resultado. No, la función no tiene ningún valor definido para x = 0 . Para comprobarlo, supongamos que x = 0 está en el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) . Entonces hay algún número n de manera que n = log ( 0 ) . Reescribiendo como ecuación exponencial da 10 n = 0 , lo cual es imposible, ya que no existe tal número real n . Por lo tanto, x = 0 no es el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) . ¿Es f ( x ) = 0 en el rango de la función f ( x ) = log ( x ) ? Si es así, para qué valor de x ? Compruebe el resultado. ¿Existe un número x de manera que ln x = 2 ? Si es así, ¿cuál es ese número? Compruebe el resultado. Sí. Supongamos que exista un número real x de manera que ln x = 2. Reescribiendo como ecuación exponencial se obtiene x = e 2 , que es un número real. Para comprobarlo, supongamos que x = e 2 . Entonces, por definición, ln ( x ) = ln ( e 2 ) = 2. ¿Es cierto lo siguiente?: log 3 ( 27 ) log 4 ( 1 64 ) = −1 ? Compruebe el resultado. ¿Es cierto lo siguiente?: ln ( e 1,725 ) ln ( 1 ) = 1,725 ? Compruebe el resultado. No; ln ( 1 ) = 0 , por lo que ln ( e 1,725 ) ln ( 1 ) es indefinida. Aplicaciones en el mundo real El índice de exposición E I de una cámara es una medida de la cantidad de luz que incide en el receptor de la imagen. Se determina mediante la ecuación E I = log 2 ( f 2 t ) , donde f es el ajuste "f-stop" de la cámara, y t es el tiempo de exposición en segundos. Supongamos que el ajuste de f-stop es 8 y el tiempo de exposición deseado es 2 segundos. ¿Cuál será el índice de exposición resultante? Consulte el ejercicio anterior. Supongamos que el medidor de luz de una cámara indica un E I de − 2 , y el tiempo de exposición deseado es de 16 segundos. ¿Cuál debería ser el ajuste de f-stop? 2 Los niveles de intensidad I de dos terremotos medidos en un sismógrafo pueden compararse mediante la fórmula log I 1 I 2 = M 1 − M 2 donde M es la magnitud dada por la escala de Richter. En agosto de 2009, un terremoto de magnitud 6,1 sacudió Honshu, Japón. En marzo de 2011, esa misma región sufrió otro terremoto más devastador, esta vez de magnitud 9,0. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/world/historical.php. Consultado el 4 de marzo de 2014. ¿Cuántas veces fue mayor la intensidad del terremoto de 2011? Redondee al número natural más cercano. logaritmo común el exponente al que hay que elevar 10 para obtener x ; log 10 ( x ) se escribe simplemente como log ( x ) . logaritmo el exponente al que hay que elevar b para obtener x ; se escribe como y = log b ( x ) logaritmo natural el exponente al que hay que elevar el número e para obtener x ; log e ( x ) se escribe como ln ( x ) .

Matemáticas


Gráficos de funciones logarítmicas Objetivos de aprendizaje Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1) Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3) Objetivo 1: Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1) Vocabulario Rellene los espacios en blanco: El dominio de una relación o una función es ________. El rango de una relación o una función es ________. Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. Ⓐ Ⓑ Ⓒ Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 x 2 Ⓓ Halle el dominio de la función f ( x ) = log 2 ( x 5 ) . Ⓐ El conjunto de puntos del gráfico es { ( 4 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) } El dominio es el conjunto de todas las coordenadas de la x { 4 , 2 , 1 , 1 } El rango es el conjunto de todas las coordenadas de la y { 2 , 1 , 1 } Observe que, aunque la coordenada de la y de 1 aparece dos veces, solo la enumeramos una vez. Ⓑ Dominio: ( ∞ , ∞ ) Rango: [ -2 , ∞ ) Observe que -2 se incluye porque el punto ( 3 , -2 ) está en el gráfico de una función. Ⓒ Una función es indefinida cuando el denominador es cero. Tenemos que igualar el denominador a cero y excluirlo del dominio x 2 = 0 , x = 2 , Dominio ( ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) Observe que 2 está excluido del dominio porque la función no está definida en x = 2 Ⓓ A partir de la definición de la función logarítmica f ( x ) = log a x sabemos que x > 0 Para hallar el dominio de f ( x ) = log 2 ( x 5 , tenemos que establecer y resolver la inecuación x 5 > 0 , x > 5 ) Dominio: ( 5 , ∞ ) La práctica hace la perfección Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. Halle el dominio y el rango de una relación. Halle el dominio y el rango de la función graficada. Utilice la notación de intervalos. Halle el dominio de la función f ( x ) = log 2 ( x + 4 ) . Nótese que esta es la misma función que se graficó en la pregunta 2. Objetivo 2: Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3) Para graficar una función logarítmica y = log a x , lo más fácil es convertir la ecuación en su forma exponencial, x = a y . Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para el gráfico de una función, solemos elegir un valor x y luego determinar su correspondiente valor y. En este caso, puede resultarle más fácil elegir los valores de y, para luego determinar su correspondiente valor de x. Graficar funciones logarítmicas. Grafique y = log 2 x . Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica, y = log 2 x , en forma exponencial, 2 y = x . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil empezar con los valores de y y luego obtener los de x . y 2 y = x ( x , y ) −2 2 −2 = 1 2 2 = 1 4 ( 1 4 , 2 ) −1 2 −1 = 1 2 1 = 1 2 ( 1 2 , –1 ) 0 2 0 = 1 ( 1 , 0 ) 1 2 1 = 2 ( 2 , 1 ) 2 2 2 = 4 ( 4 , 2 ) 3 2 3 = 8 ( 8 , 3 ) La práctica hace la perfección Graficar funciones logarítmicas Grafique y = log 3 x como y = log 5 x en el mismo sistema de coordenadas. y 3 y = x ( x , y ) y 5 y = x ( x , y ) Grafique y = log 1 / 3 x y ( 1 3 ) y = x ( x , y ) ¿Los gráficos de y = log 2 x , y = log 3 x y de y = log 5 x tienen la forma que esperamos de una función logarítmica donde a > 0 ? (Recuerde que a es la base de la función logarítmica). ¿Hay algún punto que compartan todos? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Tienen todos un punto ( a , 1 ) ? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Tienen todos un punto ( 1 a , -1 ) ? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Todos tienen la misma asíntota vertical? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical? ¿Todos tienen el mismo dominio? Escriba el dominio en la notación de intervalo. ¿Todos tienen el mismo rango? Escriba el rango en la notación de intervalo. En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto . Para ilustrarlo, supongamos que invertimos 2.500 dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de 5 % , calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año t se determina con la ecuación A = 2500 e 0,05 t . Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La muestra este punto en el gráfico logarítmico. En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas. Hallar el dominio de una función logarítmica Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica. Recordemos que la función exponencial se define como y = b x para cualquier número real x y constante b > 0 , b ≠ 1 , donde El dominio de y es ( - ∞ , ∞ ) . El rango de y es ( 0 , ∞ ) . En la última sección aprendimos que la función logarítmica y = log b ( x ) es la inversa de la función exponencial y = b x . Entonces, como funciones inversas: El dominio de y = log b ( x ) es el rango de y = b x : ( 0 , ∞ ) . El rango de y = log b ( x ) es el dominio de y = b x : ( - ∞ , ∞ ) . Las transformaciones de la función matriz y = log b ( x ) se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma. En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de y = b x . Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz y = log b ( x ) podemos cambiar el dominio . Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos . Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero. Por ejemplo, considere f ( x ) = log 4 ( 2 x - 3 ) . Esta función se define para cualquier valor de x de manera que el argumento, en este caso 2 x - 3 , es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para x : 2 x - 3 > 0 Muestre el argumento mayor que cero . 2 x > 3 Sume 3 . x > 1,5 Divida entre 2 . En notación de intervalo, el dominio de f ( x ) = log 4 ( 2 x - 3 ) es ( 1,5 , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica, identificar el dominio Establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero. Resuelva para x . Escriba el dominio en notación de intervalo. Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log 2 ( x + 3 ) ? La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando x + 3 > 0, Si resolvemos esta inecuación, x + 3 > 0 La entrada debe ser positiva . x > − 3 Reste 3 . El dominio de f ( x ) = log 2 ( x + 3 ) es ( - 3 , ∞ ) . Ejercicio ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log 5 ( x - 2 ) + 1 ? ( 2 , ∞ ) Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico y de la reflexión ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log ( 5 - 2 x ) ? La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando 5 – 2 x > 0 . Si resolvemos esta inecuación, 5 - 2 x > 0 La entrada debe ser positiva . − 2 x > - 5 Reste 5. x < 5 2 Divida entre − 2 y cambie la inecuación . El dominio de f ( x ) = log ( 5 - 2 x ) es ( – ∞ , 5 2 ) . Ejercicio ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log ( x - 5 ) + 2 ? ( 5 , ∞ ) Graficar funciones logarítmicas Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz y = log b ( x ) junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión. Comenzamos con la función matriz y = log b ( x ) . Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma y = b x , sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea y = x . Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de y = 2 x y su equivalente x = log 2 ( y ) en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 2 x = y 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 log 2 ( y ) = x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Utilizando las entradas y salidas de la , podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas f ( x ) = 2 x y g ( x ) = log 2 ( x ) . Vea la . f ( x ) = 2 x ( - 3 , 1 8 ) ( – 2 , 1 4 ) ( - 1 , 1 2 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 4 ) ( 3 , 8 ) g ( x ) = log 2 ( x ) ( 1 8 , - 3 ) ( 1 4 , - 2 ) ( 1 2 , - 1 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 8 , 3 ) Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La muestra el gráfico de f y g . Observe que los gráficos de f ( x ) = 2 x y g ( x ) = log 2 ( x ) son reflexiones sobre la línea y = x . Observe lo siguiente a partir del gráfico: f ( x ) = 2 x tiene una intersección en y en ( 0 , 1 ) y g ( x ) = log 2 ( x ) tiene una intersección en x en ( 1 , 0 ) . El dominio de f ( x ) = 2 x , ( - ∞ , ∞ ) , es el mismo que el rango de g ( x ) = log 2 ( x ) . El rango de f ( x ) = 2 x , ( 0 , ∞ ) , es el mismo que el dominio de g ( x ) = log 2 ( x ) . Características del gráfico de la función matriz, f ( x ) = log b ( x ) : Para cualquier número real x y constante b > 0 , b ≠ 1 , podemos ver las siguientes características en el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) : función biunívoca asíntota vertical: x = 0 dominio: ( 0 , ∞ ) rango: ( - ∞ , ∞ ) intersección en x : ( 1 , 0 ) y punto clave ( b , 1 ) intersección en y : ninguna creciente si b > 1 decreciente si 0 < b < 1 Vea la . La muestra cómo cambiar la base b en f ( x ) = log b ( x ) puede afectar los gráficos. Observe que los gráficos se comprimen verticalmente a medida que aumenta el valor de la base. (Nota: Recuerde que la función ln ( x ) tiene base e ≈ 2,718 ) . Los gráficos de tres funciones logarítmicas con diferentes bases, todas mayores que 1. Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x ) , graficar la función. Dibuje y marque la asíntota vertical, x = 0, Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . Trace el punto clave ( b , 1 ) . Dibuje una curva suave a través de los puntos. Indique el dominio, ( 0 , ∞ ) , el rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0, Graficar una función logarítmica con la forma f (x ) = log b (x ). Grafique f ( x ) = log 5 ( x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave para el gráfico. Dado que b = 5 es mayor que uno, sabemos que la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota vertical x = 0 , y la cola derecha aumentará lentamente sin límite. La intersección en x es ( 1 , 0 ) . El punto clave ( 5 , 1 ) está en el gráfico. Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos (ver la ). El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Ejercicio Grafique f ( x ) = log 1 5 ( x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Graficar transformaciones de funciones logarítmicas Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz y = log b ( x ) sin perder la forma. Graficar un desplazamiento horizontal de f (x ) = log b ( x) Cuando una constante c se suma a la entrada de la función matriz f ( x ) = l o g b ( x ) , el resultado es un desplazamiento horizontal c unidades en la dirección opuesta al signo en c . Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) y para c > 0 junto al desplazamiento hacia la izquierda, g ( x ) = log b ( x + c ) , y el desplazamiento a la derecha, h ( x ) = log b ( x - c ) . Vea la . Desplazamientos horizontales de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) Para cualquier constante c , la función f ( x ) = log b ( x + c ) desplaza la función matriz y = log b ( x ) a la izquierda c unidades si c > 0, desplaza la función matriz y = log b ( x ) a la derecha c unidades si c < 0, tiene la asíntota vertical x = - c . tiene dominio ( - c , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x + c ) , graficar la traslación. Identifique el desplazamiento horizontal: Si los valores de c > 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) a la izquierda c unidades. Si los valores de c < 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) a la derecha c unidades. Dibuje la asíntota vertical x = - c . Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al restar c de la coordenada de la x . Marque los tres puntos. El dominio es ( - c , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = - c . Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = log b ( x ) Trace el desplazamiento horizontal f ( x ) = log 3 ( x - 2 ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = log 3 ( x - 2 ) , observamos que x + ( – 2 ) = x – 2. Por lo tanto, c = - 2 , por lo que c < 0, Esto significa que desplazaremos la función f ( x ) = log 3 ( x ) 2 unidades a la derecha. La asíntota vertical es x = - ( – 2 ) o x = 2. Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 3 , –1 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 3 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se calculan al sumar 2 a las coordenadas de la x . Marque los puntos ( 7 3 , –1 ) , ( 3 , 0 ) , y ( 5 , 1 ) . El dominio es ( 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 2. Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 3 ( x + 4 ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - 4 , ∞ ) , el rango ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota es x = – 4. Graficar un desplazamiento vertical de y = log b ( x ) Cuando una constante d se suma a la función matriz f ( x ) = log b ( x ) , el resultado es un desplazamiento vertical d unidades en la dirección del signo en d . Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto con el desplazamiento hacia arriba, g ( x ) = log b ( x ) + d y el desplazamiento hacia abajo, h ( x ) = log b ( x ) - d . Vea la . Desplazamientos verticales de la función matriz y = log b ( x ) Para cualquier constante d , la función f ( x ) = log b ( x ) + d desplaza la función matriz y = log b ( x ) hacia arriba d unidades si d > 0, desplaza la función matriz y = log b ( x ) hacia abajo d unidades si d < 0, tiene la asíntota vertical x = 0, tiene dominio ( 0 , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x ) + d , graficar la traslación. Identifique el desplazamiento vertical Si los valores de d > 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) hacia arriba d unidades. Si los valores de d < 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) hacia abajo d unidades. Dibuje la asíntota vertical x = 0, Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al sumar d a la coordenada de la y . Marque los tres puntos. El dominio es ( 0, ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = log b ( x ) Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 3 ( x ) - 2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = log 3 ( x ) - 2 , observamos que d = – 2. Así que d < 0 . Esto significa que desplazaremos la función f ( x ) = log 3 ( x ) 2 unidades hacia abajo. La asíntota vertical es x = 0 . Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 3 , –1 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 3 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se encuentran al restar 2 a las coordenadas de la y. Marque los puntos ( 1 3 , −3 ) , ( 1 , –2 ) , y ( 3 , –1 ) . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 2 ( x ) + 2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Graficar estiramiento y compresión de y = log b ( x ) Cuando la función matriz f ( x ) = log b ( x ) se multiplica por una constante a > 0 , el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos a > 1 y observe que el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto al estiramiento vertical, g ( x ) = a log b ( x ) y la compresión vertical, h ( x ) = 1 a log b ( x ) . Vea la . Estiramiento y compresión vertical de la función matriz y = log b ( x ) Para cualquier constante a > 1 , la función f ( x ) = a log b ( x ) estira la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si a > 1. comprime la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si 0 < a < 1. tiene la asíntota vertical x = 0 . tiene la intersección en x ( 1 , 0 ) . tiene dominio ( 0 , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = a log b ( x ) , a > 0 , graficar la traslación. Identifique el estiramiento o la compresión vertical: Si los valores de | a | > 1 , el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) se estira por un factor de a unidades. Si los valores de | a | < 1 , el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) se comprime por un factor de a unidades. Dibuje la asíntota vertical x = 0 . Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle otras coordenadas para las funciones desplazadas al multiplicar las coordenadas de la y por a . Marque los tres puntos. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = log b ( x ) Dibuje un gráfico de f ( x ) = 2 log 4 ( x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = 2 log 4 ( x ) , observamos que a = 2. Esto significa que estiraremos la función f ( x ) = log 4 ( x ) por un factor de 2. La asíntota vertical es x = 0 . Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 4 , –1 ) , ( 1 , 0 ), y ( 4 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se hallan al multiplicar las coordenadas de la y por 2. Marque los puntos ( 1 4 , –2 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 4 , 2 ) . El dominio es ( 0, ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ), y la asíntota vertical es x = 0 . Vea la . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 2 log 4 ( x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Combinar desplazamiento y estiramiento Dibuje un gráfico de f ( x ) = 5 log ( x + 2 ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Recuerde: lo que ocurre dentro de los paréntesis ocurre primero. En primer lugar, movemos el gráfico a la izquierda 2 unidades, y luego estiramos la función verticalmente por un factor de 5, como en la . La asíntota vertical se desplazará a x = -2. La intersección en x será ( −1, 0 ) . El dominio será ( –2 , ∞ ) . Dos puntos darán forma al gráfico ( –1 , 0 ) y ( 8 , 5 ). Hemos elegido x = 8 como la coordenada de la x de un punto a graficar, porque cuando x = 8, x + 2 = 10, la base del logaritmo común. El dominio es ( – 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = − 2. Ejercicio Dibuje un gráfico de la función f ( x ) = 3 log ( x - 2 ) + 1. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 2. Graficar reflexiones de f ( x ) = log b ( x ) Cuando la función matriz f ( x ) = log b ( x ) se multiplica por −1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por −1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje y . Para visualizar las reflexiones, restringimos b > 1, y observamos el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto a la reflexión alrededor del eje x , g ( x ) = −log b ( x ) y la reflexión en torno al eje y , h ( x ) = log b ( - x ) . Reflexiones de la función matriz y = log b ( x ) La función f ( x ) = −log b ( x ) refleja la función matriz y = log b ( x ) alrededor del eje x . tiene dominio, ( 0 , ∞ ) , rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0 , que no se modifican a partir de la función matriz. La función f ( x ) = log b ( - x ) refleja la función matriz y = log b ( x ) en torno al eje y . tiene dominio ( - ∞ , 0 ) . tiene rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0 , que no se modifican a partir de la función matriz. Cómo Dada una función logarítmica con la función matriz f ( x ) = log b ( x ) , graficar una traslación. Si f ( x ) = - log b ( x ) Si f ( x ) = log b ( - x ) 1. Dibuje la asíntota vertical, x = 0 . 1. Dibuje la asíntota vertical, x = 0 . 2. Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . 2. Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . 3. Refleje el gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) alrededor del eje x . 3. Refleje el gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) en torno al eje y . 4. Dibuje una curva suave a través de los puntos. 4. Dibuje una curva suave a través de los puntos. 5. Indique el dominio, (0, ∞), el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x = 0 . 5. Indique el dominio, (-∞, 0) el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x = 0 . Graficar la reflexión de una función logarítmica Dibuje un gráfico de f ( x ) = log ( - x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar f ( x ) = log ( - x ) , identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico. Dado que b = 10 es mayor que uno, sabemos que la función matriz es creciente. Dado que el valor de entrada se multiplica por −1 , f es una reflexión del gráfico principal en torno al eje y . Así, f ( x ) = log ( - x ) disminuirá a medida que x se mueve desde el infinito negativo hasta el cero, y la cola derecha del gráfico se acercará a la asíntota vertical x = 0 . La intersección en x es ( –1 , 0 ) . Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos. El dominio es ( - ∞ , 0 ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Ejercicio Grafique f ( x ) = - log ( - x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , 0 ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Cómo Dada una ecuación logarítmica, utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones. Pulse [Y=] . Introduzca la ecuación o ecuaciones logarítmicas dadas como Y1= y, si es necesario, Y2= . Pulse [GRAPH] para observar los gráficos de las curvas y utilice [WINDOW] para hallar una vista apropiada de los gráficos, incluso su(s) punto(s) de intersección. Para hallar el valor de x , calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione "intersección" y pulse tres veces la tecla [ENTER] . El punto de intersección da el valor de x , para el punto o puntos de intersección. Calcular aproximadamente la solución de una ecuación logarítmica Resuelva 4 ln ( x ) + 1 = - 2 ln ( x – 1 ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. Pulse [Y=] e introduzca 4 ln ( x ) + 1 junto a Y1= . A continuación, introduzca − 2 ln ( x – 1 ) junto a Y2= . Para una ventana, utilice los valores de 0 a 5 para x y de -10 a 10 para y . Pulse la tecla [GRAPH] . Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar a la derecha de x = 1. Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x en el punto de intersección se muestra como 1,3385297. (Su respuesta puede ser distinta si utiliza una ventana o un valor diferente para Guess? [Supongamos...]) Así que, a la milésima más cercana, x ≈ 1,339. Ejercicio Resuelva 5 log ( x + 2 ) = 4 − log ( x ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. x ≈ 3,049 Resumir las traslaciones de la función logarítmica Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales. Traslaciones de la función matriz y = log b ( x ) Traslación Forma Desplazamiento Horizontalmente c unidades a la izquierda Verticalmente d unidades hacia arriba y = log b ( x + c ) + d Estirar y comprimir Estirar si | a | > 1 Comprimir si | a | < 1 y = a log b ( x ) Reflejar sobre el eje x y = - log b ( x ) Reflejar sobre el eje y y = log b ( - x ) Ecuación general para todas las traslaciones y = a log b ( x + c ) + d Traslación de funciones logarítmicas Todas las traslaciones de la función logarítmica matriz, y = log b ( x ) , tienen la forma f ( x ) = a log b ( x + c ) + d donde la función matriz, y = log b ( x ) , b > 1 , es desplazada verticalmente hacia arriba d unidades. desplazada horizontalmente hacia la izquierda c unidades. estirada verticalmente por un factor de | a | si | a | > 0, comprimida verticalmente por un factor de | a | si 0 < | a | < 1. reflejada alrededor del eje x cuando a < 0, Para f ( x ) = log ( - x ) , el gráfico de la función matriz se refleja alrededor del eje y . Hallar la asíntota vertical en un gráfico de logaritmos ¿Cuál es la asíntota vertical de f ( x ) = −2 log 3 ( x + 4 ) + 5 ? La asíntota vertical está en x = − 4. Análisis El coeficiente, la base y la traslación hacia arriba no afectan la asíntota. El desplazamiento de la curva 4 unidades a la izquierda desplaza la asíntota vertical a x = −4. Ejercicio ¿Cuál es la asíntota vertical de f ( x ) = 3 + ln ( x – 1 ) ? x = 1 Hallar la ecuación a partir de un gráfico Halle una posible ecuación para la función logarítmica común, graficada en la . Este gráfico tiene una asíntota vertical en x = -2 y se ha reflejado verticalmente. Todavía no conocemos ni el desplazamiento ni el estiramiento vertical. Hasta ahora sabemos que la ecuación tendrá la forma: f ( x ) = - a log ( x + 2 ) + k Parece que el gráfico pasa por los puntos ( -1 , 1 ) y ( 2 , -1 ) . Al sustituir ( -1 , 1 ) , 1 = - a log ( –1 + 2 ) + k Sustituya ( –1 , 1 ) . 1 = - a log ( 1 ) + k Aritmética . 1 = k log(1) = 0, A continuación, al sustituir ( 2 , -1 ) , − 1 = - a log ( 2 + 2 ) + 1 Enchufe ( 2 , –1 ) . − 2 = - a log ( 4 ) Aritmética . a = 2 log ( 4 ) Resuelva para a . Esto nos da la ecuación f ( x ) = – 2 log ( 4 ) log ( x + 2 ) + 1. Análisis Podemos verificar esta respuesta al comparar los valores de la función en la con los puntos del gráfico en la . x −1 0 1 2 3 f ( x ) 1 0 -0,58496 −1 -1,3219 x 4 5 6 7 8 f ( x ) -1,5850 -1,8074 −2 -2,1699 -2,3219 Ejercicio Dé la ecuación del logaritmo natural graficada en la . f ( x ) = 2 ln ( x + 3 ) - 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible saber el dominio y el rango y describir el comportamiento final de una función con tan solo mirar el gráfico? Sí, si sabemos que la función es una función logarítmica general. Por ejemplo, observe el gráfico de la . El gráfico se acerca x = −3 (o más o menos) cada vez más, por lo que x = −3 es, o está muy cerca, de la asíntota vertical. Se aproxima por la derecha, por lo que el dominio son todos los puntos a la derecha, { x | x > −3 } . El rango, como en todas las funciones logarítmicas generales, son todos los números reales. Además, podemos ver el comportamiento final porque el gráfico baja por la izquierda y sube por la derecha. El comportamiento final es que, como x → − 3 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar cómo crear gráficos de logaritmos. Graficar una función exponencial y una función logarítmica Emparejar gráficos con funciones exponenciales y logarítmicas Hallar el dominio de las funciones logarítmicas Ecuaciones clave Forma general de la traslación de la función logarítmica matriz f ( x ) = log b ( x ) f ( x ) = a log b ( x + c ) + d Conceptos clave Para hallar el dominio de una función logarítmica, establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero, y resuelva para x . Vea el y el El gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) tiene una intersección en x en ( 1 , 0 ) , dominio ( 0 , ∞ ) , rango ( - ∞ , ∞ ) , asíntota vertical x = 0 , y si b > 1 , la función es creciente. si 0 < b < 1 , la función es decreciente. Vea el . La ecuación f ( x ) = log b ( x + c ) desplaza la función matriz y = log b ( x ) horizontalmente a la izquierda c unidades si c > 0 . a la derecha c unidades si c < 0 . Vea el . La ecuación f ( x ) = log b ( x ) + d desplaza la función matriz y = log b ( x ) verticalmente hacia arriba d unidades si d > 0 . hacia abajo d unidades si d < 0 . Vea el . Para cualquier constante a > 0 , la ecuación f ( x ) = a log b ( x ) estira la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si | a | > 1. comprime la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si | a | < 1. Vea el y el . Cuando la función matriz y = log b ( x ) se multiplica por − 1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por − 1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje y . La ecuación f ( x ) = - log b ( x ) representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje x . La ecuación f ( x ) = log b ( - x ) representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje y . Vea el . Se puede utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones de algunas ecuaciones logarítmicas. Vea el . Todas las traslaciones de la función logarítmica se pueden resumir en la ecuación general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d . Vea la . Dada una ecuación con la forma general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d , podemos identificar la asíntota vertical x = - c para la transformación. Vea el . Utilizando la ecuación general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d , podemos escribir la ecuación de una función logarítmica dado su gráfico. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales La inversa de toda función logarítmica es una función exponencial y viceversa. ¿Qué nos dice esto acerca de la relación entre las coordenadas de los puntos en los gráficos de cada uno? Dado que las funciones son inversas, sus gráficos son imágenes especulares en torno a la recta y = x . Así que, para todo punto ( a , b ) en el gráfico de una función logarítmica, hay un punto correspondiente ( b , a ) en el gráfico de su función exponencial inversa. ¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el rango de una función logarítmica? ¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el dominio de una función logarítmica? Desplazar la función a la derecha o a la izquierda y reflejar la función sobre el eje y afectará su dominio. Consideremos la función logarítmica general f ( x ) = log b ( x ) . ¿Por qué x no puede ser cero? ¿El gráfico de una función logarítmica general tiene una asíntota horizontal? Explique. No. Una asíntota horizontal sugeriría un límite en el rango, y el rango de cualquier función logarítmica en forma general son todos los números reales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función. f ( x ) = log 3 ( x + 4 ) h ( x ) = ln ( 1 2 - x ) Dominio: ( - ∞ , 1 2 ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) g ( x ) = log 5 ( 2 x + 9 ) - 2 h ( x ) = ln ( 4 x + 17 ) - 5 Dominio: ( − 17 4 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = log 2 ( 12 − 3 x ) - 3 En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función. f ( x ) = log b ( x - 5 ) Dominio: ( 5 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 5 g ( x ) = ln ( 3 - x ) f ( x ) = log ( 3 x + 1 ) Dominio: ( - 1 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 1 3 f ( x ) = 3 log ( - x ) + 2 g ( x ) = - ln ( 3 x + 9 ) - 7 Dominio: ( - 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 3 En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función. f ( x ) = ln ( 2 - x ) f ( x ) = log ( x - 3 7 ) Dominio: ( 3 7 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 3 7 ; Comportamiento final: como x → ( 3 7 ) + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ h ( x ) = - log ( 3 x - 4 ) + 3 g ( x ) = ln ( 2 x + 6 ) - 5 Dominio: ( - 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 3 ; Comportamiento final: como x → − 3 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = log 3 ( 15 − 5 x ) + 6 En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y , si existen. Si no existen, escriba DNE. h ( x ) = log 4 ( x – 1 ) + 1 Dominio: ( 1 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 1 ; intersección en x : ( 5 4 , 0 ) ; intersección en y : DNE f ( x ) = log ( 5 x + 10 ) + 3 g ( x ) = ln ( - x ) - 2 Dominio: ( - ∞ , 0 ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 0 ; intersección en x : ( - e 2 , 0 ) ; intersección en y : DNE f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) - 5 h ( x ) = 3 ln ( x ) - 9 Dominio: ( 0 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 0 ; intersección en x : ( e 3 , 0 ) ; intersección en y : DNE Gráficos En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. d ( x ) = log ( x ) f ( x ) = ln ( x ) B g ( x ) = log 2 ( x ) h ( x ) = log 5 ( x ) C j ( x ) = log 25 ( x ) En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. f ( x ) = log 1 3 ( x ) B g ( x ) = log 2 ( x ) h ( x ) = log 3 4 ( x ) C En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje. f ( x ) = log ( x ) y g ( x ) = 10 x f ( x ) = log ( x ) y g ( x ) = log 1 2 ( x ) f ( x ) = log 4 ( x ) y g ( x ) = ln ( x ) f ( x ) = e x y g ( x ) = ln ( x ) En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. f ( x ) = log 4 ( - x + 2 ) g ( x ) = - log 4 ( x + 2 ) C h ( x ) = log 4 ( x + 2 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada. f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) f ( x ) = 2 log ( x ) f ( x ) = ln ( - x ) g ( x ) = log ( 4 x + 16 ) + 4 g ( x ) = log ( 6 - 3 x ) + 1 h ( x ) = - 1 2 ln ( x + 1 ) - 3 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado. Utilice y = log 2 ( x ) como función matriz. f ( x ) = log 2 ( − ( x – 1 ) ) Utilice f ( x ) = log 3 ( x ) como función matriz. Utilice f ( x ) = log 4 ( x ) como función matriz. f ( x ) = 3 log 4 ( x + 2 ) Utilice f ( x ) = log 5 ( x ) como función matriz. En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación. log ( x – 1 ) + 2 = ln ( x – 1 ) + 2 x = 2 log ( 2 x - 3 ) + 2 = - log ( 2 x - 3 ) + 5 ln ( x - 2 ) = - ln ( x + 1 ) x ≈ 2 0,303 2 ln ( 5 x + 1 ) = 1 2 ln ( - 5 x ) + 1 1 3 log ( 1 - x ) = log ( x + 1 ) + 1 3 x ≈ − 0,472 Extensiones Supongamos que b es cualquier número real positivo tal que b ≠ 1. ¿Cómo debe log b 1 ser igual a? Compruebe el resultado. Explore y comente los gráficos de f ( x ) = log 1 2 ( x ) y g ( x ) = - log 2 ( x ) . Haga una conjetura basada en el resultado. Los gráficos de f ( x ) = log 1 2 ( x ) y g ( x ) = - log 2 ( x ) parecen ser los mismos; conjetura: para cualquier base positiva b ≠ 1 , log b ( x ) = - log 1 b ( x ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. ¿Cuál es el dominio de la función f ( x ) = ln ( x + 2 x - 4 ) ? Analice el resultado. Recordemos que el argumento de una función logarítmica debe ser positivo, por lo que determinamos donde x + 2 x - 4 > 0 . A partir del gráfico de la función f ( x ) = x + 2 x - 4 , observe que el gráfico se encuentra por encima del eje x en el intervalo ( - ∞ , - 2 ) y de nuevo a la derecha de la asíntota vertical, es decir ( 4 , ∞ ) . Por lo tanto, el dominio es ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 4 , ∞ ) . Utilice las propiedades de los exponentes para hallar las intersecciones en x de la función f ( x ) = log ( x 2 + 4 x + 4 ) algebraicamente. Muestre los pasos para resolver y luego compruebe el resultado al graficar la función.

Matemáticas


Propiedades logarítmicas Objetivos de aprendizaje Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. (IA 5.2.1) Utilizar las propiedades de los logaritmos. (IA 10.4.1) Objetivo 1: Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes (AI 5.2.1) Vocabulario Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes. Rellene los espacios en blanco: En la expresión a m , a se llama ________, y m se llama ________. Por ejemplo, ( -3 ) 4 significa ________ que se simplifica a ________. La propiedad del producto Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. Simplifique x 2 · x 3 ¿Qué significa esto? Ahora vemos que x 2 · x 3 = x 5 Para multiplicar potencias con la misma base necesitamos ________ exponentes Esto nos lleva a la propiedad del producto a m · a n = a m + n La propiedad del cociente Simplifique x 5 x 2 ¿Qué significa esto? xxxxx xx Tras simplificar, obtenemos x 3 Ahora vemos que x 5 x 2 = x 3 Para dividir potencias con la misma base necesitamos __________ exponentes. Esto nos lleva a la propiedad del cociente a m · a n = a m n La propiedad de la potencia Simplifique ( x 2 ) 4 ¿Qué significa esto? x 2 · x 2 · x 2 · x 2 Tras sumar los exponentes obtenemos x 8 . Ahora vemos que ( x 2 ) 4 = x 8 Para elevar una potencia a otra potencia necesitamos __________ exponentes Esto nos lleva a la propiedad de la potencia ( a m ) n = a m n . También utilizaremos estas otras propiedades: Propiedad de los exponentes negativos x n = 1 x n , x ≠ 0 Propiedad del exponente cero a 0 = 1 , i f a ≠ 0 Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. Ⓐ Simplifique 3 ∙ 2 x ∙ 2 3 x Ⓑ Simplifique b 2 b 6 b b 4 b 7 Ⓒ Simplifique ( a b 2 ) 3 a 5 b 6 Ⓐ Utilice la propiedad del producto. 3 ∙ 2 x + 3 x Simplifique. 3 ∙ 2 4 x Ⓑ Utilice la propiedad de la potencia y multiplique los exponentes. a 3 b 6 a 5 b 6 Utilice la propiedad del producto y sume los exponentes. a 8 b 0 Cualquier base a la potencia de cero es igual a 1. a 8 ( 1 ) = a 8 Ⓒ Utilice la propiedad de la potencia y multiplique los exponentes. a 3 b 6 a 5 b 6 Utilice la propiedad del producto y sume los exponentes. a 8 b 0 Cualquier base a la potencia de cero es igual a 1. a 8 ( 1 ) = a 8 La práctica hace la perfección Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. 3 b 5 ∙ 2 b 12 x ∙ x 5 ∙ x 7 b 15 c 4 b 4 c 4 x 0 12 x -6 ( 2 a 3 ) 3 ( a 4 ) 2 a 3 b 5 2 a 6 Objetivo 2: Utilizar las propiedades de los logaritmos (AI 10.4.1). Propiedad Base a Base e log a 1 = 0 ln 1 = 0 log a a = 1 ln e = 1 Propiedades inversas a log a x = x log a a x = x e ln x = x ln e x = x Propiedad del producto de los logaritmos log a ( M · N ) = log a M + log a N ln ( M · N ) = ln M + ln N Propiedad del cociente de los logaritmos log a M N = log a M − log a N ln M N = ln M − ln N Propiedad de potencia de los logaritmos log a M p = p log a M ln M p = p ln M Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo log 4 ( 2 x 3 y 2 ) . Simplifique, si es posible. log 4 ( 2 x 3 y 2 ) Utilice la propiedad del producto, log a M · N = log a M + log a N . log 4 2 + log 4 x 3 + log 4 y 2 Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M , en los dos últimos términos. log 4 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y Simplifique. 1 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y log 4 ( 2 x 3 y 2 ) = 1 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo log 2 x 3 3 y 2 z 4 . Simplifique, si es posible. log 2 x 3 3 y 2 z 4 Reescriba el radical con un exponente racional. log 2 ( x 3 3 y 2 z ) 1 4 Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M . 1 4 log 2 ( x 3 3 y 2 z ) Utilice la propiedad del cociente, log a M · N = log a M − log a N . 1 4 ( log 2 ( x 3 ) - log 2 ( 3 y 2 z ) ) Utilice la propiedad del producto, log a M · N = log a M + log a N , en el segundo término. 1 4 ( log 2 ( x 3 ) - ( log 2 3 + log 2 y 2 + log 2 z ) ) Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M , dentro del paréntesis. 1 4 ( 3 log 2 x - ( log 2 3 + 2 log 2 y + log 2 z ) ) Simplifique distribuyendo. 1 4 ( 3 log 2 x - log 2 3 - 2 log 2 y − log 2 z ) log 2 x 3 3 y 2 z 4 = 1 4 ( 3 log 2 x - log 2 3 - 2 log 2 y − log 2 z ) Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo log 4 3 + log 4 x - log 4 y . Simplifique, si es posible. Las expresiones de los logaritmos tienen todas la misma base, 4. log 4 3 + log 4 x - log 4 y Los dos primeros términos se suman, por lo que utilizamos la propiedad del producto, log a M + log a N = log a M · N . log 4 3 x - log 4 y Dado que los logaritmos se restan, utilizamos la propiedad del cociente, log a M − log a N = log a M N . log 4 3 x y log 4 3 + log 4 x - log 4 y = log 4 3 x y La práctica hace la perfección Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir: log 3 ( 9 x 5 y 4 ) Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir: log 5 x 5 25 y 3 z 3 Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo: log b 5 + log b c log b b Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo: 2 log 3 x + 3 log 3 ( x + 1 ) El pH del ácido clorhídrico se comprueba con papel tornasol. (Créditos: David Berardan). En química, el pH se utiliza para medir la acidez o alcalinidad de una sustancia. La escala de pH va de 0 a 14. Las sustancias con un pH inferior a 7 se consideran ácidas, y las sustancias con un pH superior a 7 se consideran básicas. Nuestro organismo, por ejemplo, debe mantener un pH cercano a 7,35 para que las enzimas funcionen correctamente. Para hacerse una idea de lo que es ácido y lo que es básico, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes: Ácido de batería: 0,8 Acidez estomacal: 2,7 Zumo de naranja: 3,3 Agua pura: 7 (a 25° C) Sangre humana: 7,35 Coco fresco: 7,8 Hidróxido de sodio (lejía): 14 Para determinar si una solución es ácida o básica, buscamos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno positivos activos en la solución. El pH se define mediante la siguiente fórmula, donde H + es la concentración de iones de hidrógeno en la solución pH = - log ( [ H + ] ) = log ( 1 [ H + ] ) La equivalencia de − log ( [ H + ] ) y log ( 1 [ H + ] ) es una de las propiedades del logaritmo que examinaremos en esta sección. Uso de la regla del producto para los logaritmos Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se "deshacen" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar. log b 1 = 0 log b b = 1 Por ejemplo, log 5 1 = 0 dado que 5 0 = 1. Y log 5 5 = 1 dado que 5 1 = 5. A continuación, tenemos la propiedad inversa. log b ( b x ) = x b log b x = x , x > 0 Por ejemplo, para evaluar log ( 100 ) , podemos reescribir el logaritmo como log 10 ( 10 2 ) , y luego aplicar la propiedad inversa log b ( b x ) = x para obtener log 10 ( 10 2 ) = 2. Para evaluar e ln ( 7 ) , podemos reescribir el logaritmo como e log e 7 , y luego aplicar la propiedad inversa b log b x = x para obtener e log e 7 = 7. Por último, tenemos la propiedad biunívoca . log b M = log b N si y solo si M = N Podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver la ecuación log 3 ( 3 x ) = log 3 ( 2 x + 5 ) para x . Debido a que las bases son iguales, podemos aplicar la propiedad biunívoca al igualar los argumentos y resolver para x : 3 x = 2 x + 5 Iguale los argumentos . x = 5 Reste 2 x . ¿Qué pasa con la ecuación log 3 ( 3 x ) + log 3 ( 2 x + 5 ) = 2 ? La propiedad biunívoca no nos sirve en este caso. Antes de poder resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar los términos del lado izquierdo de la ecuación. Recordemos que utilizamos la regla de multiplicación de exponentes para combinar el producto de potencias sumando exponentes: x a x b = x a + b . Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, denominada regla del producto de los logaritmos , la cual establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Ya que los logaritmos son exponentes, y multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Utilizaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto, a continuación. Dado un número real cualquiera x y números reales positivos M , N , y b , donde b ≠ 1 , mostraremos log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) . Supongamos que m = log b M y n = log b N . En forma exponencial, estas ecuaciones son b m = M y b n = N . Se deduce que log b ( M N ) = log b ( b m b n ) Sustituya por M y N . = log b ( b m + n ) Aplique la regla del producto para los exponentes . = m + n Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . = log b ( M ) + log b ( N ) Sustituya por m y n . Observe que la aplicación repetida de la regla del producto para los logaritmos nos permite simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere log b ( w x y z ) . Con la regla del producto para los logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de sus factores: log b ( w x y z ) = log b w + log b x + log b y + log b c La regla del producto para los logaritmos La regla del producto para los logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo de un producto al reescribirlo como la suma de logaritmos individuales. log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) para b > 0 Cómo Dado el logaritmo de un producto, utilizar la regla del producto para los logaritmos para escribir la suma equivalente de logaritmos. Factorice el argumento por completo; exprese cada factor de número entero como un producto de primos. Escriba la expresión equivalente al sumar los logaritmos de cada factor. Usar la regla del producto para los logaritmos Expanda log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) . Empezamos por factorizar el argumento completamente, al expresar 30 como producto de primos. log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) = log 3 ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ ( 3 x + 4 ) ) A continuación, escribimos la ecuación equivalente al sumar los logaritmos de cada factor. log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) = log 3 ( 2 ) + log 3 ( 3 ) + log 3 ( 5 ) + log 3 ( x ) + log 3 ( 3 x + 4 ) Ejercicio Expanda log b ( 8 k ) . log b 2 + log b 2 + log b 2 + log b k = 3 log b 2 + log b k Uso de la regla del cociente para los logaritmos En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes al restar: x a x b = x a - b . La regla del cociente para los logaritmos establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente. Dado un número real cualquiera x y números reales positivos M , N , y b , donde b ≠ 1 , mostraremos log b ( M N ) = log b ( M ) - log b ( N ) . Supongamos que m = log b M y n = log b N . En forma exponencial, estas ecuaciones son b m = M y b n = N . Se deduce que log b ( M N ) = log b ( b m b n ) Sustituya por M y N . = log b ( b m - n ) Aplique la regla del cociente para los exponentes . = m - n Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . = log b ( M ) - log b ( N ) Sustituya por m y n . Por ejemplo, para expandir log ( 2 x 2 + 6 x 3 x + 9 ) , debemos expresar primero el cociente en términos mínimos. Al factorizar y cancelar obtenemos, log ( 2 x 2 + 6 x 3 x + 9 ) = log ( 2 x ( x + 3 ) 3 ( x + 3 ) ) Factorice el numerador y el denominador . = log ( 2 x 3 ) Anule los factores comunes . A continuación, aplicamos la regla del cociente al restar el logaritmo del denominador al del numerador. Luego aplicamos la regla del producto. log ( 2 x 3 ) = log ( 2 x ) - log ( 3 ) = log ( 2 ) + log ( x ) - log ( 3 ) La regla del cociente para los logaritmos La regla del cociente para los logaritmos se utiliza para simplificar un logaritmo o un cociente al reescribirlo como la diferencia de logaritmos individuales. log b ( M N ) = log b M − log b N Cómo Dado el logaritmo de un cociente, utilizar la regla del cociente para los logaritmos para escribir una diferencia de logaritmos equivalente. Exprese el argumento en términos mínimos; factorice el numerador y el denominador y cancele los términos comunes. Escriba la expresión equivalente al restar el logaritmo del denominador al logaritmo del numerador. Compruebe que cada término esté expandido completamente. Si no es así, aplique la regla del producto para los logaritmos con el fin de expandirlo completamente. Usar la regla del cociente para los logaritmos Expanda log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) . Primero observamos que el cociente está factorizado y en términos mínimos, por lo que aplicamos la regla del cociente. log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) = log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ) - log 2 ( ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) Observe que los términos resultantes son logaritmos de productos. Para expandir completamente, aplicamos la regla del producto, al observar que los factores primos del factor 15 son 3 y 5. log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ) - log 2 ( ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) = [ log 2 ( 3 ) + log 2 ( 5 ) + log 2 ( x ) + log 2 ( x – 1 ) ] - [ log 2 ( 3 x + 4 ) + log 2 ( 2 - x ) ] = log 2 ( 3 ) + log 2 ( 5 ) + log 2 ( x ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( 3 x + 4 ) - log 2 ( 2 - x ) Análisis Hay excepciones a tener en cuenta en este ejemplo y en otros posteriores. En primer lugar, dado que los denominadores nunca deben ser cero, esta expresión no está definida para x = – 4 3 y x = 2. Además, ya que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, nos damos cuenta por el logaritmo expandido, que x > 0 , x > 1 , x > − 4 3 , y x < 2. La combinación de estas condiciones está fuera del alcance de esta sección, y no las consideraremos aquí ni en ejercicios posteriores. Ejercicio Expanda log 3 ( 7 x 2 + 21 x 7 x ( x – 1 ) ( x - 2 ) ) . log 3 ( x + 3 ) - log 3 ( x – 1 ) - log 3 ( x - 2 ) Usar la regla de la potencia para los logaritmos Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como x 2 ? Un método es el siguiente: log b ( x 2 ) = log b ( x ⋅ x ) = log b x + log b x = 2 log b x Observe que hemos utilizado la regla del producto para los logaritmos con el fin de hallar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de la potencia para los logaritmos , la cual establece que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada de un logaritmo no se escriba como una potencia, podemos cambiarla por una potencia. Por ejemplo, 100 = 10 2 3 = 3 1 2 1 e = e - 1 La regla de la potencia para los logaritmos La regla de la potencia para los logaritmos se utiliza para simplificar el logaritmo de una potencia al reescribirlo como el producto del exponente por el logaritmo de la base. log b ( M n ) = n log b M Cómo Dado el logaritmo de una potencia, utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el fin de escribir un producto equivalente de un factor y un logaritmo. Exprese el argumento como una potencia, si es necesario. Escriba la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. Expandir un logaritmo con potencias Expanda log 2 x 5 . El argumento ya está escrito como potencia, así que identificamos el exponente, 5, y la base, x , y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. log 2 ( x 5 ) = 5 log 2 x Ejercicio Expanda ln x 2 . 2 ln x Reescribir una expresión como potencia antes de utilizar la regla de la potencia Expanda log 3 ( 25 ) utilizando la regla de la potencia para los logaritmos. Al expresar el argumento como potencia, obtenemos log 3 ( 25 ) = log 3 ( 5 2 ) . A continuación, identificamos el exponente, 2, y la base, 5, y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. log 3 ( 5 2 ) = 2 log 3 ( 5 ) Ejercicio Expanda ln ( 1 x 2 ) . - 2 ln ( x ) Usar la regla de la potencia en sentido inverso Reescriba 4 ln ( x ) utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1. Dado que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base, se deduce que el producto de un número por un logaritmo se puede escribir como una potencia. En la expresión 4 ln ( x ) , identificamos el factor, 4, como el exponente y el argumento, x , como base. Acto seguido, reescribimos el producto como logaritmo de una potencia: 4 ln ( x ) = ln ( x 4 ) . Ejercicio Reescriba 2 log 3 4 utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1. log 3 16 Expandir expresiones logarítmicas En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse "leyes de los logaritmos". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo: log b ( 6 x y ) = log b ( 6 x ) - log b y = log b 6 + log b x - log b y Podemos utilizar la regla de la potencia para expandir expresiones logarítmicas que incluyan exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para los logaritmos, por el hecho de que un recíproco es una potencia negativa: log b ( A C ) = log b ( A C - 1 ) = log b ( A ) + log b ( C - 1 ) = log b A + ( - 1 ) log b C = log b A − log b C También podemos aplicar la regla del producto para expresar la suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto. Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, al escribir la respuesta final. Recordemos, sin embargo, que solo podemos hacerlo con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo. Expandir logaritmos mediante las reglas del producto, el cociente y la potencia Reescriba ln ( x 4 y 7 ) como suma o diferencia de logaritmos. En primer lugar, dado que tenemos el cociente de dos expresiones, podemos utilizar la regla del cociente: ln ( x 4 y 7 ) = ln ( x 4 y ) - ln ( 7 ) Entonces, al ver el producto en el primer término, utilizamos la regla del producto: ln ( x 4 y ) - ln ( 7 ) = ln ( x 4 ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) Por último, utilizamos la regla de la potencia en el primer término: ln ( x 4 ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) = 4 ln ( x ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) Ejercicio Expanda log ( x 2 y 3 c 4 ) . 2 log x + 3 log y - 4 log c Usar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de simplificar el logaritmo de una expresión radical Expanda log ( x ) . log ( x ) = log x ( 1 2 ) = 1 2 log x Ejercicio Expanda ln ( x 2 3 ) . 2 3 ln x PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos expandir ln ( x 2 + y 2 ) ? No hay manera de expandir el logaritmo de la suma o diferencia dentro del argumento del logaritmo. Expandir expresiones logarítmicas complejas Expanda log 6 ( 64 x 3 ( 4 x + 1 ) ( 2 x – 1 ) ) . Podemos expandir al aplicar las reglas del producto y del cociente. log 6 ( 64 x 3 ( 4 x + 1 ) ( 2 x – 1 ) ) = log 6 64 + log 6 x 3 + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Aplique la regla del cociente . = log 6 2 6 + log 6 x 3 + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Simplifique al escribir 64 como 2 6 . = 6 log 6 2 + 3 log 6 x + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Aplique la regla de la potencia . Ejercicio Expanda ln ( ( x – 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 ( x 2 - 9 ) ) . 1 2 ln ( x – 1 ) + ln ( 2 x + 1 ) - ln ( x + 3 ) - ln ( x - 3 ) Condensar expresiones logarítmicas Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar. Cómo Dada una suma, diferencia o producto de logaritmos con la misma base, escribir una expresión equivalente como un solo logaritmo. Aplique primero la propiedad de la potencia. Identifique los términos que son productos de factores y un logaritmo. Acto seguido, reescriba cada uno como el logaritmo de una potencia. A continuación, aplique la propiedad del producto. Reescriba las sumas de logaritmos como el logaritmo de un producto. Aplique la propiedad del cociente en último lugar. Reescriba las diferencias de logaritmos como el logaritmo de un cociente. Usar las reglas del producto y del cociente para combinar logaritmos Escriba log 3 ( 5 ) + log 3 ( 8 ) - log 3 ( 2 ) como un solo logaritmo. Usando las reglas del producto y del cociente log 3 ( 5 ) + log 3 ( 8 ) = log 3 ( 5 ⋅ 8 ) = log 3 ( 40 ) Esto reduce nuestra expresión original a log 3 ( 40 ) - log 3 ( 2 ) Entonces, con la regla del cociente log 3 ( 40 ) - log 3 ( 2 ) = log 3 ( 40 2 ) = log 3 ( 20 ) Ejercicio Condense log 3 − log 4 + log 5 − log 6. log ( 3 ⋅ 5 4 ⋅ 6 ) ; también se puede escribir log ( 5 8 ) al reducir la fracción a los términos mínimos. Condensar expresiones logarítmicas complejas Condense log 2 ( x 2 ) + 1 2 log 2 ( x – 1 ) - 3 log 2 ( ( x + 3 ) 2 ) . Primero aplicamos la regla de la potencia: log 2 ( x 2 ) + 1 2 log 2 ( x – 1 ) - 3 log 2 ( ( x + 3 ) 2 ) = log 2 ( x 2 ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) A continuación, aplicamos la regla del producto a la suma: log 2 ( x 2 ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) = log 2 ( x 2 x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia: log 2 ( x 2 x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) = log 2 x 2 x – 1 ( x + 3 ) 6 Ejercicio Reescriba log ( 5 ) + 0,5 log ( x ) - log ( 7 x – 1 ) + 3 log ( x – 1 ) como un solo logaritmo. log ( 5 ( x – 1 ) 3 x ( 7 x – 1 ) ) Reescribir como un solo logaritmo Reescriba 2 log x - 4 log ( x + 5 ) + 1 x log ( 3 x + 5 ) como un solo logaritmo. Primero aplicamos la regla de la potencia: 2 log x – 4 log ( x + 5 ) + 1 x log ( 3 x + 5 ) = log ( x 2 ) - log ( x + 5 ) 4 + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) A continuación, reordenamos y aplicamos la regla del producto a la suma: log ( x 2 ) - log ( x + 5 ) 4 + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) = log ( x 2 ) + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) - log ( x + 5 ) 4 = log ( x 2 ( 3 x + 5 ) x – 1 ) - log ( x + 5 ) 4 Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia: = log ( x 2 ( 3 x + 5 ) x −1 ) - log ( x + 5 ) 4 = log x 2 ( 3 x + 5 ) x −1 ( x + 5 ) 4 Ejercicio Condense 4 ( 3 log ( x ) + log ( x + 5 ) - log ( 2 x + 3 ) ) . log x 12 ( x + 5 ) 4 ( 2 x + 3 ) 4 ; esta respuesta también podría escribirse log ( x 3 ( x + 5 ) ( 2 x + 3 ) ) 4 . Aplicar las leyes de los logaritmos Recordemos que, en química, pH = - log [ H + ] . Si se duplica la concentración de iones de hidrógeno en un líquido, ¿cuál es el efecto sobre el pH? Supongamos que C es la concentración original de iones de hidrógeno, y P es el pH original del líquido. Luego P = – log ( C ) . Si la concentración se duplica, la nueva concentración es 2 C . Entonces el pH del nuevo líquido es pH = - log ( 2 C ) Con la regla del producto de los logaritmos pH = - log ( 2 C ) = - ( log ( 2 ) + log ( C ) ) = - log ( 2 ) - log ( C ) Dado que P = – log ( C ) , el nuevo pH es pH = P − log ( 2 ) ≈ P − 0,301 Cuando se duplica la concentración de iones de hidrógeno, el pH disminuye aproximadamente 0,301. Ejercicio ¿Cómo cambia el pH cuando la concentración de iones de hidrógeno positivos se reduce a la mitad? El pH aumenta alrededor de 0,301. Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o e , utilizamos la fórmula de cambio de base , donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales. Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad biunívoca y la regla de la potencia para los logaritmos . Dados cualesquiera números reales positivos M , b , y n , donde n ≠ 1 como de b ≠ 1 , demostramos log b M = log n M log n b Supongamos que y = log b M . Potenciando ambos lados con base b , llegamos a una forma exponencial, a saber b y = M . Se deduce que log n ( b y ) = log n M Aplique la propiedad biunívoca . y log n b = log n M Aplique la regla de la potencia para los logaritmos. y = log n M log n b Aísle y . log b M = log n M log n b Sustituya por y . Por ejemplo, para evaluar log 5 36 con una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como el cociente de logaritmos comunes o naturales. Utilizaremos el logaritmo común. log 5 36 = log ( 36 ) log ( 5 ) Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base 10 . ≈ 2,2266 Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . La fórmula de cambio de base La fórmula de cambio de base se utiliza para evaluar un logaritmo con cualquier base. En cualquier número real positivo M , b , y n , donde n ≠ 1 como de b ≠ 1 , log b M = log n M log n b . De ello se deduce que la fórmula de cambio de base sirve para reescribir un logaritmo de cualquier base como cociente de logaritmos comunes o naturales. log b M = ln M ln b y log b M = log M log b Cómo Dado un logaritmo de la forma log b M , utilizar la fórmula de cambio de base para reescribirlo como el cociente de logaritmos con cualquier base positiva n , donde n ≠ 1. Determine la nueva base n , recuerde que el logaritmo común, log ( x ) , tiene base 10, y el logaritmo natural, ln ( x ) , tiene base e . Reescriba el logaritmo como un cociente mediante la fórmula de cambio de base El numerador del cociente será un logaritmo de base n y argumente M . El denominador del cociente será un logaritmo de base n y argumente b . Cambiar expresiones logarítmicas a expresiones que solo implican logaritmos naturales Cambie log 5 3 a un cociente de logaritmos naturales. Ya que vamos a expresar log 5 3 como cociente de logaritmos naturales, la nueva base, n = e . Reescribimos el logaritmo como el cociente mediante la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el logaritmo natural con argumento 3. El denominador del cociente será el logaritmo natural con argumento 5. log b M = ln M ln b log 5 3 = ln 3 ln 5 Ejercicio Cambie log 0,5 8 a un cociente de logaritmos naturales. ln 8 ln 0,5 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos cambiar los logaritmos comunes por logaritmos naturales? Sí. Recuerde que log 9 significa log 10 9 . Así que, log 9 = ln 9 ln 10 . Usar la fórmula de cambio de base con la calculadora Evalúe log 2 ( 10 ) al utilizar la fórmula de cambio de base con la calculadora. Según la fórmula de cambio de base, podemos reescribir el logaritmo de base 2 como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar el logaritmo natural, podemos optar por utilizarlo, lo cual es la base logarítmica e . log 2 10 = ln 10 ln 2 Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base e . ≈ 3,3219 Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . Ejercicio Evalúe log 5 ( 100 ) con la fórmula de cambio de base. ln 100 ln 5 ≈ 4,6051 1,6094 = 2,861 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las leyes de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos Expandir expresiones logarítmicas Evaluar una expresión logarítmica natural Ecuaciones clave La regla del producto para los logaritmos log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) La regla del cociente para los logaritmos log b ( M N ) = log b M − log b N La regla de la potencia para los logaritmos log b ( M n ) = n log b M La fórmula de cambio de base log b M = log n M log n b n > 0 , n ≠ 1 , b ≠ 1 Conceptos clave Podemos utilizar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un producto como la suma de logaritmos. Vea el . Podemos utilizar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un cociente como la diferencia de logaritmos. Vea el . Podemos utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del exponente y el logaritmo de su base. Vea el , el y el . Podemos utilizar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el , el y el . Las reglas de los logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base como un solo logaritmo. Vea el , el , el y el . Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base mediante la fórmula de cambio de base. Vea el . La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y e como el cociente de los logaritmos naturales o comunes. De esta manera se puede utilizar la calculadora para evaluar. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo ayuda la regla de la potencia a la hora de resolver logaritmos de la forma log b ( x n ) ? Cualquier expresión de la raíz puede reescribirse como una expresión con un exponente racional para poder aplicar la regla de la potencia, lo que facilita el cálculo del logaritmo. Así, log b ( x 1 n ) = 1 n log b ( x ) . ¿Qué hace la fórmula de cambio de base? ¿Por qué es útil cuando se utiliza la calculadora? Algebraicos En los siguientes ejercicios, expanda cada logaritmo lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos. log b ( 7 x ⋅ 2 y ) log b ( 2 ) + log b ( 7 ) + log b ( x ) + log b ( y ) ln ( 3 a b ⋅ 5 c ) log b ( 13 17 ) log b ( 13 ) - log b ( 17 ) log 4 ( x c w ) ln ( 1 4 k ) - k dentro ( 4 ) log 2 ( y x ) En los siguientes ejercicios, condense a un solo logaritmo si es posible. ln ( 7 ) + ln ( x ) + ln ( y ) ln ( 7 x y ) log 3 ( 2 ) + log 3 ( a ) + log 3 ( 11 ) + log 3 ( b ) log b ( 28 ) - log b ( 7 ) log b ( 4 ) ln ( a ) - ln ( d ) - ln ( c ) − log b ( 1 7 ) log b ( 7 ) 1 3 ln ( 8 ) En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cada uno lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos. log ( x 15 y 13 c 19 ) 15 log ( x ) + 13 log ( y ) − 19 log ( z ) ln ( a −2 b -4 c 5 ) log ( x 3 y - 4 ) 3 2 log ( x ) - 2 log ( y ) ln ( y y 1 - y ) log ( x 2 y 3 x 2 y 5 3 ) 8 3 log ( x ) + 14 3 log ( y ) En los siguientes ejercicios, condense cada expresión a un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos. log ( 2 x 4 ) + log ( 3 x 5 ) ln ( 6 x 9 ) - ln ( 3 x 2 ) ln ( 2 x 7 ) 2 log ( x ) + 3 log ( x + 1 ) log ( x ) - 1 2 log ( y ) + 3 log ( z ) log ( x c 3 y ) 4 log 7 ( c ) + log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3 En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión como un cociente equivalente de logaritmos con la base indicada. log 7 ( 15 ) a la base e log 7 ( 15 ) = ln ( 15 ) ln ( 7 ) log 14 ( 55,875 ) a la base 10 En los siguientes ejercicios, supongamos log 5 ( 6 ) = a y log 5 ( 11 ) = b . Utilice la fórmula de cambio de base junto con las propiedades de los logaritmos para reescribir cada expresión en términos de a y b . Muestre los pasos para resolver. log 11 ( 5 ) log 11 ( 5 ) = log 5 ( 5 ) log 5 ( 11 ) = 1 b log 6 ( 55 ) log 11 ( 6 11 ) log 11 ( 6 11 ) = log 5 ( 6 11 ) log 5 ( 11 ) = log 5 ( 6 ) - log 5 ( 11 ) log 5 ( 11 ) = a - b b = a b - 1 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar sin usar la calculadora. log 3 ( 1 9 ) - 3 log 3 ( 3 ) 6 log 8 ( 2 ) + log 8 ( 64 ) 3 log 8 ( 4 ) 3 2 log 9 ( 3 ) - 4 log 9 ( 3 ) + log 9 ( 1 729 ) En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base para evaluar cada expresión como cociente de logaritmos naturales. Utilice la calculadora para aproximar cada uno de ellos a cinco decimales. log 3 ( 22 ) 2,81359 log 8 ( 65 ) log 6 ( 5,38 ) 0,93913 log 4 ( 15 2 ) log 1 2 ( 4,7 ) − 2,23266 Extensiones Utilice la regla del producto de los logaritmos para hallar todos los valores de x tales que log 12 ( 2 x + 6 ) + log 12 ( x + 2 ) = 2. Muestre los pasos para resolver. Utilice la regla del cociente para los logaritmos con el fin de hallar todos los valores de x tales que log 6 ( x + 2 ) - log 6 ( x - 3 ) = 1. Muestre los pasos para resolver. x = 4 ; Por la regla del cociente: log 6 ( x + 2 ) - log 6 ( x - 3 ) = log 6 ( x + 2 x - 3 ) = 1. Reescribiendo como una ecuación exponencial y resolviendo para x : 6 1 = x + 2 x - 3 0 = x + 2 x - 3 - 6 0 = x + 2 x - 3 - 6 ( x - 3 ) ( x - 3 ) 0 = x + 2 - 6 x + 18 x - 3 0 = x - 4 x - 3  x = 4 Al comprobar, hallamos que log 6 ( 4 + 2 ) - log 6 ( 4 - 3 ) = log 6 ( 6 ) - log 6 ( 1 ) está definido, por lo que x = 4. ¿La propiedad de la potencia de los logaritmos puede derivarse de la propiedad de la potencia de los exponentes mediante la ecuación b x = m ? Si no es así, explique por qué. Si es así, indique la derivación. Compruebe que log b ( n ) = 1 log n ( b ) para cualquier número entero positivo b > 1 y n > 1. Supongamos que b y n son enteros positivos mayores que 1. Entonces, por la fórmula de cambio de base, log b ( n ) = log n ( n ) log n ( b ) = 1 log n ( b ) . ¿Existe log 81 ( 2401 ) = log 3 ( 7 ) ? Verifique la afirmación algebraicamente. fórmula de cambio de base fórmula para convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base. regla de la potencia para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de su base regla del producto para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos regla del cociente para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos

Matemáticas