Serie infinita Hemos visto que una secuencia es un conjunto ordenado de términos. Si se suman estos términos, se obtiene una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series están relacionadas con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Introducimos uno de los tipos más importantes de series: las series geométricas. En el próximo capítulo utilizaremos las series geométricas para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas utilizando polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no converge. Sumas y series Una serie infinita es una suma de infinitos términos y se escribe de la forma ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ . ¿Pero qué significa esto? No podemos sumar un número infinito de términos de la misma manera que podemos sumar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de las sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k . Para ver cómo utilizamos las sumas parciales para evaluar series infinitas, considere el siguiente ejemplo. Supongamos que el petróleo se filtra en un lago de tal manera que 1.000 galones entran en el lago la primera semana. Durante la segunda semana, 500 galones adicionales de petróleo entran en el lago. La tercera semana, 250 más galones entra en el lago. Supongamos que este patrón se mantiene de forma que cada semana entra en el lago la mitad de petróleo que la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir de la cantidad de petróleo en el lago? ¿Seguirá aumentando la cantidad de petróleo de forma arbitraria o es posible que se acerque a una cantidad finita? Para responder esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de k semanas. Suponiendo que S k denota la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) tras k semanas, vemos que S 1 = 1 S 2 = 1 + 0,5 = 1 + 1 2 S 3 = 1 + 0,5 + 0,25 = 1 + 1 2 + 1 4 S 4 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 S 5 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 . Observando este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) tras k semanas es S k = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ + 1 2 k − 1 = ∑ n = 1 k ( 1 2 ) n – 1 . Nos interesa lo que ocurre a medida que k → ∞ . Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago a medida que k → ∞ está dada por la serie infinita ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ . Al mismo tiempo, a medida que k → ∞ , la cantidad de petróleo en el lago puede calcularse evaluando lím k → ∞ S k . Por lo tanto, el comportamiento de la serie infinita se puede determinar observando el comportamiento de la secuencia de sumas parciales { S k } . Si la secuencia de sumas parciales { S k } converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma está dada por lím k → ∞ S k . Si la secuencia { S k } diverge, decimos que la serie infinita diverge. Ahora nos centramos en determinar el límite de esta secuencia { S k } . En primer lugar, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que S 1 = 1 S 2 = 1 + 1 2 = 3 2 S 3 = 1 + 1 2 + 1 4 = 7 4 S 4 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 = 15 8 S 5 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 31 16 . Trazando algunos de estos valores en la , parece que la secuencia { S k } podría acercarse a 2. El gráfico muestra la secuencia de sumas parciales { S k } . Parece que la secuencia se acerca al valor 2 . Busquemos pruebas más convincentes. En la siguiente tabla, enumeramos los valores de S k para varios valores de k . k 5 10 15 20 S k 1,9375 1,998 1,999939 1,999998 Estos datos aportan más pruebas que sugieren que la secuencia { S k } converge a 2 . Más adelante proporcionaremos un argumento analítico que puede utilizarse para demostrar que lím k → ∞ S k = 2 . Por ahora, nos basamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la secuencia de sumas parciales converge realmente a 2 . Como esta secuencia de sumas parciales converge a 2 , decimos que la serie infinita converge a 2 y escribimos ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 2 . Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, como esta serie infinita converge a 2 , concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a 2000 galones a medida que el tiempo es lo suficientemente grande. Esta serie es un ejemplo de serie geométrica. Más adelante hablaremos de las series geométricas con más detalle. En primer lugar, resumimos lo que significa que una serie infinita converja. Definición Una serie infinita es una expresión de la forma ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ . Para cada número entero positivo k , la suma S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k se llama k enésimo suma parcial de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuencia { S k } . Si la secuencia de sumas parciales converge a un número real S , la serie infinita converge. Si podemos describir la convergencia de una serie a S , llamamos S la suma de la serie, y escribimos ∑ n = 1 ∞ a n = S . Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie . Tenga en cuenta que el índice de una serie no tiene por qué empezar por n = 1 sino que puede comenzar con cualquier valor. Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 también puede escribirse como ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 ) n o ∑ n = 5 ∞ ( 1 2 ) n − 5 . A menudo es conveniente que el índice comience en 1 , por lo que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos cambiar el índice haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Introduciendo la variable m = n – 1 , por lo que n = m + 1 , podemos reescribir la serie como ∑ m = 1 ∞ 1 ( m + 1 ) 2 . Evaluación de límites de secuencias de sumas parciales Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ n n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = 1 2 S 2 = 1 2 + 2 3 S 3 = 1 2 + 2 3 + 3 4 S 4 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 . Observe que cada término añadido es mayor que 1 / 2 . Como resultado, vemos que S 1 = 1 2 S 2 = 1 2 + 2 3 > 1 2 + 1 2 = 2 ( 1 2 ) S 3 = 1 2 + 2 3 + 3 4 > 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 ( 1 2 ) S 4 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 > 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4 ( 1 2 ) . De este patrón podemos ver que S k > k ( 1 2 ) para cada número entero k . Por lo tanto, { S k } no está delimitada y, en consecuencia, es divergente. Por lo tanto, la serie infinita ∑ n = 1 ∞ n / ( n + 1 ) diverge. La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = −1 S 2 = −1 + 1 = 0 S 3 = −1 + 1 − 1 = −1 S 4 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 . De este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es { S k } = { −1 , 0 , –1 , 0 ,… } . Como esta secuencia diverge, la serie infinita ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n diverge. La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = 1 1 . 2 = 1 2 S 2 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 = 1 2 + 1 6 = 2 3 S 3 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 = 1 2 + 1 6 + 1 12 = 3 4 S 4 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 + 1 4 . 5 = 4 5 S 5 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 + 1 4 . 5 + 1 5 . 6 = 5 6 . A partir de este patrón, podemos ver que la k −ésimo suma parcial está dada por la fórmula explícita S k = k k + 1 . Dado que k / ( k + 1 ) → 1 , concluimos que la secuencia de sumas parciales converge, y por tanto la serie infinita converge a 1 . Tenemos ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1 . Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) / n converge o diverge. La serie diverge porque la k −ésima suma parcial S k > k . Pista Mire la secuencia de sumas parciales. La serie armónica Una serie útil de conocer es la serie armónica . La serie armónica se define como ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos de la secuencia de sumas parciales { S k } se acercan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Demostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el crecimiento lento de los términos de la secuencia { S k } en la siguiente tabla. k 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 S k 2,92897 5,18738 7,48547 9,78761 12,09015 14,39273 Incluso después de 1.000.000 de términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla no se desprende que esta serie sea realmente divergente. Sin embargo, podemos demostrar analíticamente que la secuencia de sumas parciales diverge, y por tanto la serie diverge. Para demostrar que la secuencia de sumas parciales diverge, mostramos que la secuencia de sumas parciales no es limitada. Comenzamos escribiendo las primeras sumas parciales: S 1 = 1 S 2 = 1 + 1 2 S 3 = 1 + 1 2 + 1 3 S 4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 . Observe que para los dos últimos términos de S 4 , 1 3 + 1 4 > 1 4 + 1 4 . Por lo tanto, concluimos que S 4 > 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) = 1 + 1 2 + 1 2 = 1 + 2 ( 1 2 ) . Utilizando la misma idea para S 8 , vemos que S 8 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 + 3 ( 1 2 ) . A partir de este patrón, vemos que S 1 = 1 , S 2 = 1 + 1 / 2 , S 4 > 1 + 2 ( 1 / 2 ) , y S 8 > 1 + 3 ( 1 / 2 ) . De forma más general, se puede demostrar que S 2 j > 1 + j ( 1 / 2 ) para todo j > 1 . Dado que 1 + j ( 1 / 2 ) → ∞ , concluimos que la secuencia { S k } no está delimitada y, por tanto, es divergente. En la sección anterior, afirmamos que las secuencias convergentes están delimitadas. Por lo tanto, dado que { S k } no está delimitada, es divergente. Así, la serie armónica diverge. Propiedades algebraicas de las series convergentes Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como límite de una secuencia, las propiedades algebraicas de las series que se enumeran a continuación se derivan directamente de las propiedades algebraicas de las secuencias. Propiedades algebraicas de las series convergentes Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n son series convergentes. Entonces se cumplen las siguientes propiedades algebraicas. La serie ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n + ∑ n = 1 ∞ b n . (Regla de la suma) La serie ∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 ∞ b n . (Regla de la diferencia) Para cualquier número real c , la serie ∑ n = 1 ∞ c a n converge y ∑ n = 1 ∞ c a n = c ∑ n = 1 ∞ a n . (Regla del múltiplo constante) Uso de las propiedades algebraicas de las series convergentes Evalúe ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] . Ya hemos demostrado que ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1 y ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 2 . Como ambas series convergen, podemos aplicar las para evaluar ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] . Utilizando la regla de la suma, escriba ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] = ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 2 . Entonces, utilizando la regla del múltiplo constante y las sumas anteriores, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 2 = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) −1 ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 3 ( 1 ) + ( 1 2 ) −1 ( 2 ) = 3 + 2 ( 2 ) = 7. Evalúe ∑ n = 1 ∞ 5 2 n – 1 . 10 . Pista Reescriba como ∑ n = 1 ∞ 5 ( 1 2 ) n – 1 . Serie geométrica Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 . Como el cociente entre cada término de esta serie y el término anterior es r , el número r se razón. Nos referimos a a como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ es una serie geométrica con término inicial a = 1 y cociente r = 1 / 2 . En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Consideremos la serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 cuando a > 0 . Su secuencia de sumas parciales { S k } está dada por S k = ∑ n = 1 k a r n – 1 = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r k − 1 . Considere el caso cuando r = 1 . En ese caso, S k = a + a ( 1 ) + a ( 1 ) 2 + ⋯ + a ( 1 ) k − 1 = a k . Dado que a > 0 , sabemos que a k → ∞ como k → ∞ . Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales no está delimitada y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge para r = 1 . Para r ≠ 1 , para hallar el límite de { S k } , multiplique la por 1 − r . Haciendo esto, vemos que ( 1 − r ) S k = a ( 1 − r ) ( 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k − 1 ) = a [ ( 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k − 1 ) − ( r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k ) ] = a ( 1 − r k ) . Todos los demás términos se anulan. Por lo tanto, S k = a ( 1 − r k ) 1 − r para r ≠ 1 . De nuestra discusión en la sección anterior, sabemos que la secuencia geométrica r k → 0 si | r | < 1 y que r k diverge si | r | > 1 o r = ± 1 . Por lo tanto, para | r | < 1 , S k → a / ( 1 − r ) y tenemos ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r si | r | < 1 . Si | r | ≥ 1 , S k diverge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 diverge si | r | ≥ 1 . Definición Una serie geométrica es una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ . Si | r | < 1 , la serie converge, y ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r para | r | < 1 . Si | r | ≥ 1 , la serie diverge. Las series geométricas aparecen a veces con formas un poco diferentes. Por ejemplo, a veces el índice comienza en un valor distinto de n = 1 o el exponente implica una expresión lineal para n que no sea n – 1 . Mientras podamos reescribir la serie en la forma dada por la , es una serie geométrica. Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n + 2 . Para ver que se trata de una serie geométrica, escribimos los primeros términos: ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n + 2 = ( 2 3 ) 2 + ( 2 3 ) 3 + ( 2 3 ) 4 + ⋯ = 4 9 + 4 9 . ( 2 3 ) + 4 9 . ( 2 3 ) 2 + ⋯ . Vemos que el término inicial es a = 4 / 9 y la razón es r = 2 / 3 . Por lo tanto, la serie se puede escribir como ∑ n = 1 ∞ 4 9 . ( 2 3 ) n – 1 . Dado que r = 2 / 3 < 1 , esta serie converge, y su suma está dada por ∑ n = 1 ∞ 4 9 . ( 2 3 ) n – 1 = 4 / 9 1 − 2 / 3 = 4 3 . Determinación de la convergencia o divergencia de una serie geométrica Determine si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, calcule su suma. ∑ n = 1 ∞ ( −3 ) n + 1 4 n – 1 ∑ n = 1 ∞ e 2 n Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos ∑ n = 1 ∞ ( −3 ) n + 1 4 n – 1 = ( −3 ) 2 4 0 + ( −3 ) 3 4 + ( −3 ) 4 4 2 + ⋯ = ( −3 ) 2 + ( −3 ) 2 . ( −3 4 ) + ( −3 ) 2 . ( −3 4 ) 2 + ⋯ = 9 + 9 . ( −3 4 ) + 9 . ( −3 4 ) 2 + ⋯ . El término inicial a = −3 y el cociente r = −3 / 4 . Dado que | r | = 3 / 4 < 1 , la serie converge a 9 1 − ( −3 / 4 ) = 9 7 / 4 = 36 7 . Escribiendo esta serie como e 2 ∑ n = 1 ∞ ( e 2 ) n – 1 podemos ver que se trata de una serie geométrica donde r = e 2 > 1 . Por lo tanto, la serie diverge. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( −2 5 ) n – 1 converge o diverge. Si converge, calcule su suma. 5 / 7 Pista r = −2 / 5 Ahora nos centramos en una bonita aplicación de las series geométricas. Mostramos cómo pueden utilizarse para escribir decimales repetidos como fracciones de enteros. Escribir decimales repetidos como fracciones de enteros Utilice una serie geométrica para escribir 3, 26 — como fracción de enteros. Dado que 3, 26 — = 3,262626 … , primero escribimos 3,262626 … = 3 + 26 100 + 26 10.000 + 26 1.000.000 + ⋯ = 3 + 26 10 2 + 26 10 4 + 26 10 6 + ⋯ . Ignorando el término 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con término inicial a = 26 / 10 2 y cociente r = 1 / 10 2 . Por lo tanto, la suma de esta serie es 26 / 10 2 1 − ( 1 / 10 2 ) = 26 / 10 2 99 / 10 2 = 26 99 . Por lo tanto, 3,262626 … = 3 + 26 99 = 323 99 . Escriba 5,2 7 − como fracción de enteros. 475 / 90 Pista Expresando este número en forma de serie, calcule una serie geométrica con término inicial a = 7 / 100 y cociente r = 1 / 10 . Inicio del capítulo: Halle el área del copo de nieve Koch Defina una secuencia de figuras { F n } de forma repetida de la siguiente forma ( ). Supongamos que F 0 es un triángulo equilátero con lados de longitud 1 . Para n ≥ 1 , supongamos que F n es la curva creada al eliminar el tercio medio de cada lado de F n – 1 y sustituyéndolo por un triángulo equilátero apuntando hacia fuera. La figura delimitante a medida que n → ∞ se conoce como el copo de nieve de Koch . Las cuatro primeras figuras, F 0 , F 1 , F 2 , y F 3 , en la construcción del copo de nieve de Koch. Halle la longitud L n del perímetro de F n . Evalúe lím n → ∞ L n para hallar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch. Halle el área A n de la figura F n . Evalúe lím n → ∞ A n para hallar el área del copo de nieve de Koch. Supongamos que N n denota el número de lados de la figura F n . Dado que F 0 es un triángulo, N 0 = 3 . Supongamos que l n denota la longitud de cada lado de F n . Dado que F 0 es un triángulo equilátero con lados de longitud l 0 = 1 , ahora tenemos que determinar N 1 y l 1 . Dado que F 1 se crea eliminando el tercio medio de cada lado y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea, para cada lado de F 0 , obtenemos cuatro lados en F 1 . Por lo tanto, el número de lados para F 1 es N 1 = 4 . 3 . Como la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es 1 / 3 de la longitud de los segmentos de línea en F 0 , la longitud de los segmentos de línea para F 1 está dada por l 1 = 1 3 . 1 = 1 3 . Del mismo modo, para F 2 , ya que el tercio medio de cada lado de F 1 se elimina y se sustituye por dos segmentos de línea, el número de lados en F 2 está dada por N 2 = 4 N 1 = 4 ( 4 . 3 ) = 4 2 . 3 . Como la longitud de cada uno de estos lados es 1 / 3 de la longitud de los lados de F 1 , la longitud de cada lado de la figura F 2 está dada por l 2 = 1 3 . l 1 = 1 3 . 1 3 = ( 1 3 ) 2 . En términos más generales, ya que F n se crea eliminando el tercio medio de cada lado de F n – 1 y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea de longitud 1 3 l n – 1 en forma de triángulo equilátero, sabemos que N n = 4 N n – 1 y l n = l n – 1 3 . Por lo tanto, el número de lados de la figura F n es N n = 4 n . 3 y la longitud de cada lado es l n = ( 1 3 ) n . Por lo tanto, para calcular el perímetro de F n , multiplicamos el número de lados N n y la longitud de cada lado l n . Concluimos que el perímetro de F n está dada por L n = N n . l n n = 3 . ( 4 3 ) n . Por lo tanto, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es L = lím n → ∞ L n = ∞ . Supongamos que T n denota el área de cada nuevo triángulo creado al formar F n . Para n = 0 , T 0 es el área del triángulo equilátero original. Por lo tanto, T 0 = A 0 = 3 / 4 . Para n ≥ 1 , ya que las longitudes de los lados del triángulo nuevo son 1 / 3 de la longitud de los lados de F n – 1 , tenemos T n = ( 1 3 ) 2 T n – 1 = 1 9 . T n – 1 . Por lo tanto, T n = ( 1 9 ) n . 3 4 . Como se forma un triángulo nuevo en cada lado de F n – 1 , A n = A n – 1 + N n – 1 . T n = A n – 1 + ( 3 . 4 n – 1 ) . ( 1 9 ) n . 3 4 = A n – 1 + 3 4 . ( 4 9 ) n . 3 4 . Escribiendo los primeros términos A 0 , A 1 , A 2 , vemos que A 0 = 3 4 A 1 = A 0 + 3 4 . ( 4 9 ) . 3 4 = 3 4 + 3 4 . ( 4 9 ) . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) ] A 2 = A 1 + 3 4 . ( 4 9 ) 2 . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) ] + 3 4 . ( 4 9 ) 2 . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) + 3 4 . ( 4 9 ) 2 ] . De manera más general, A n n = 3 4 [ 1 + 3 4 ( 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n ) ] . Factorizando 4 / 9 de cada término dentro del paréntesis interior, reescribimos nuestra expresión como A n n = 3 4 [ 1 + 1 3 ( 1 + 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 ) ] . La expresión 1 + ( 4 9 ) + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 es una suma geométrica. Como se ha mostrado anteriormente, esta suma satisface 1 + 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 = 1 − ( 4 / 9 ) n 1 − ( 4 / 9 ) . Sustituyendo esta expresión en la expresión anterior y simplificando, concluimos que A n n = 3 4 [ 1 + 1 3 ( 1 − ( 4 / 9 ) n 1 − ( 4 / 9 ) ) ] = 3 4 [ 8 5 − 3 5 ( 4 9 ) n ] . Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es A = lím n → ∞ A n = 2 3 5 . Análisis El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene un área finita, pero un perímetro infinito. Aunque al principio esto pueda parecer imposible, recuerde que hemos visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, consideremos la región delimitada por la curva y = 1 / x 2 y el eje x en el intervalo [ 1 , ∞ ) . Dado que la integral impropia ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x converge, el área de esta región es finita, aunque el perímetro sea infinito. Serie telescópica Considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) . Discutimos esta serie en el , mostrando que la serie converge escribiendo las primeras sumas parciales S 1 , S 2 ,… , S 6 y observando que todas son de la forma S k = k k + 1 . Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Utilizando fracciones parciales, podemos escribir 1 n ( n + 1 ) = 1 n – 1 n + 1 . Por lo tanto, la serie se puede escribir como ∑ n = 1 ∞ [ 1 n – 1 n + 1 ] = ( 1 + 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ . Escribiendo los primeros términos de la secuencia de sumas parciales { S k } , vemos que S 1 = 1 − 1 2 S 2 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) = 1 − 1 3 S 3 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) = 1 − 1 4 . En general, S k = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 k − 1 k + 1 ) = 1 − 1 k + 1 . Observamos que los términos intermedios se anulan entre sí, dejando solo los primeros y últimos términos. En cierto sentido, la serie se colapsa como un catalejo con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos serie telescópica a una serie que tiene esta propiedad. Para esta serie, dado que S k = 1 − 1 / ( k + 1 ) y 1 / ( k + 1 ) → 0 a medida que k → ∞ , la secuencia de sumas parciales converge a 1 , y por tanto la serie converge a 1 . Definición Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando solo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos. Por ejemplo, cualquier serie de la forma ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ( b 3 − b 4 ) + ⋯ es una serie telescópica. Podemos ver esto escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que S 1 = b 1 − b 2 S 2 = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) = b 1 − b 3 S 3 = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ( b 3 − b 4 ) = b 1 − b 4 . En general, la k −ésima suma parcial de esta serie es S k = b 1 − b k + 1 . Como la k −ésima suma parcial puede simplificarse a la diferencia de estos dos términos, la secuencia de sumas parciales { S k } convergerá si y solo si la secuencia { b k + 1 } converge. Además, si la secuencia b k + 1 converge a algún número finito B , entonces la secuencia de sumas parciales converge a b 1 − B , y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = b 1 − B . En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma. Evaluación de una serie telescópica Determine si la serie telescópica ∑ n = 1 ∞ [ cos ( 1 n ) − cos ( 1 n + 1 ) ] converge o diverge. Si converge, calcule su suma. Al escribir los términos de la secuencia de sumas parciales, podemos ver que S 1 = cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) S 2 = ( cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) ) + ( cos ( 1 2 ) − cos ( 1 3 ) ) = cos ( 1 ) − cos ( 1 3 ) S 3 = ( cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) ) + ( cos ( 1 2 ) − cos ( 1 3 ) ) + ( cos ( 1 3 ) − cos ( 1 4 ) ) = cos ( 1 ) − cos ( 1 4 ) . En general, S k = cos ( 1 ) − cos ( 1 k + 1 ) . Dado que 1 / ( k + 1 ) → 0 a medida que k → ∞ y cos x es una función continua, cos ( 1 / ( k + 1 ) ) → cos ( 0 ) = 1 . Por lo tanto, concluimos que S k → cos ( 1 ) − 1 . La serie telescópica converge y la suma está dada por ∑ n = 1 ∞ [ cos ( 1 n ) − cos ( 1 n + 1 ) ] = cos ( 1 ) − 1 . Determine si ∑ n = 1 ∞ [ e 1 / n − e 1 / ( n + 1 ) ] converge o diverge. Si converge, calcule su suma. e − 1 Pista Escriba la secuencia de sumas parciales para ver qué términos se cancelan. Constante de Euler Hemos demostrado que la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales S k como k → ∞ . En particular, mostramos que se comportan como la función logarítmica natural demostrando que existe una constante γ tal que ∑ n = 1 k 1 n − ln k → γ a medida que k → ∞ . Esta constante γ se conoce como la constante de Euler . Supongamos que T k = ∑ n = 1 k 1 n − ln k . Evalúe T k para varios valores de k . Para T k tal y como se define en la parte 1. demuestre que la secuencia { T k } converge mediante los siguientes pasos Demuestre que la secuencia { T k } es monótona decreciente. ( Pista: Demuestre que ln ( 1 + 1 / k > 1 / ( k + 1 ) ) ) Demuestre que la secuencia { T k } está delimitada por debajo de cero. ( Pista: Exprese ln k como integral definida). Utilice el teorema de convergencia monótona para concluir que la secuencia { T k } converge. El límite γ es la constante de Euler. Ahora cuán lejos está T k de γ para un número entero dado k . Demuestre que para k ≥ 1 , 0 < T k − γ ≤ 1 / k mediante los siguientes pasos Demuestre que ln ( k + 1 ) − ln k < 1 / k . Utilice el resultado de la parte a. para demostrar que para cualquier número entero k , T k − T k + 1 < 1 k − 1 k + 1 . Para cualquier número entero k y j tal que j > k , exprese T k − T j como una suma telescópica escribiendo T k − T j = ( T k − T k + 1 ) + ( T k + 1 − T k + 2 ) + ( T k + 2 − T k + 3 ) + ⋯ + ( T j − 1 − T j ) . Utilice el resultado de la parte b. combinado con esta suma telescópica para concluir que T k − T j < 1 k − 1 j . Aplique el límite a ambos lados de la inecuación de la parte c. para concluir que T k − γ ≤ 1 k . Estime γ con una exactitud de 0,001 . Conceptos clave Dada la serie infinita ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ y la correspondiente secuencia de sumas parciales { S k } donde S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k , la serie converge si y solo si la secuencia { S k } converge. La serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 converge si | r | < 1 y diverge si | r | ≥ 1 . Para | r | < 1 , ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r . La serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ diverge. Una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = [ b 1 − b 2 ] + [ b 2 − b 3 ] + [ b 3 − b 4 ] + ⋯ + [ b n − b n + 1 ] + ⋯ es una serie telescópica. La k −ésimo suma parcial de esta serie está dada por S k = b 1 − b k + 1 . La serie convergerá si y solo si lím k → ∞ b k + 1 existe. En ese caso, ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = b 1 − lím k → ∞ ( b k + 1 ) . Ecuaciones clave Serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ Suma de una serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r para | r | < 1 Utilizando la notación sigma, escriba las siguientes expresiones como series infinitas. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n sen 1 + sen 1 / 2 + sen 1 / 3 + sen 1 / 4 + ⋯ Calcule las cuatro primeras sumas parciales S 1 ,… , S 4 para la serie que tiene el ené −ésimo término a n empezando por n = 1 de la siguiente forma. a n = n 1 , 3 , 6 , 10 a n = 1 / n a n = sen ( n π / 2 ) grandes. 1 , 1 , 0 , 0 a n = ( –1 ) n En los siguientes ejercicios, calcule el término general a n de la serie con la suma parcial dada S n . Si la secuencia de sumas parciales converge, halle su límite S . S n = 1 − 1 n , n ≥ 2 a n = S n − S n – 1 = 1 n – 1 − 1 n . La serie converge a S = 1 . S n = n ( n + 1 ) 2 , n ≥ 1 S n = n , n ≥ 2 a n = S n − S n – 1 = n − n – 1 = 1 n – 1 + n . La serie diverge porque las sumas parciales no están delimitadas. S n = 2 − ( n + 2 ) / 2 n , n ≥ 1 Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ n n + 2 S 1 = 1 / 3 , S 2 = 1 / 3 + 2 / 4 > 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3 , S 3 = 1 / 3 + 2 / 4 + 3 / 5 > 3 . ( 1 / 3 ) = 1 . En general S k > k / 3 . La serie diverge. ∑ n = 1 ∞ ( 1 − ( –1 ) n ) ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( Pista: Utilice una descomposición en fracciones parciales como la de ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) . ) grandes. S 1 = 1 / ( 2,3 ) = 1 / 6 = 2 / 3 − 1 / 2 , S 2 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 − 1 / 2 , S 3 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 − 1 / 2 , S 4 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) + 1 / ( 5,6 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 − 1 / 2 . El patrón es S k = ( k + 1 ) / ( k + 2 ) − 1 / 2 y la serie converge a 1 / 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 ( Pista: Siga el razonamiento de ∑ n = 1 ∞ 1 n . ) Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n = 1 , que ∑ n = 1 ∞ b n = −1 , que a 1 = 2 , y b 1 = −3 . Calcule la suma de las series indicadas. ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) grandes. 0 ∑ n = 1 ∞ ( a n – 2 b n ) grandes. ∑ n = 2 ∞ ( a n − b n ) grandes. −3 ∑ n = 1 ∞ ( 3 a n + 1 − 4 b n + 1 ) Indique si la serie dada converge y explique por qué. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1.000 ( Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice). diverge, ∑ n = 1.001 ∞ 1 n ∑ n = 1 ∞ 1 n + 10 80 ( Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice). 1 + 1 10 + 1 100 + 1 1.000 + ⋯ series geométricas convergentes, r = 1 / 10 < 1 1 + e π + e 2 π 2 + e 3 π 3 + ⋯ 1 + π e 2 + π 2 e 4 + π 3 e 6 + π 4 e 8 + ⋯ series geométricas convergentes, r = π / e 2 < 1 1 − π 3 + π 2 9 − π 3 27 + ⋯ Para a n como sigue, escriba la suma como una serie geométrica de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n . Indique si la serie converge y, si lo hace, halle el valor de ∑ a n . a 1 = –1 y a n / a n + 1 = −5 para n ≥ 1 . ∑ n = 1 ∞ 5 . ( −1 / 5 ) n , converge a −5 / 6 a 1 = 2 y a n / a n + 1 = 1 / 2 para n ≥ 1 . a 1 = 10 y a n / a n + 1 = 10 para n ≥ 1 . ∑ n = 1 ∞ 100 . ( 1 / 10 ) n , converge a 100 / 9 a 1 = 1 / 10 y a n / a n + 1 = −10 para n ≥ 1 . Utilice la identidad 1 1 − y = ∑ n = 0 ∞ y n para expresar la función como una serie geométrica en el término indicado. x 1 + x en x x ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 x n x 1 − x 3 / 2 en x 1 1 + sen 2 x en sen x ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n sen 2 n ( x ) grandes. sec 2 x en sen x Evalúe la siguiente serie telescópica o indique si la serie diverge. ∑ n = 1 ∞ 2 1 / n – 2 1 / ( n + 1 ) grandes. S k = 2 − 2 1 / ( k + 1 ) → 1 como k → ∞ . ∑ n = 1 ∞ 1 n 13 − 1 ( n + 1 ) 13 ∑ n = 1 ∞ ( n − n + 1 ) grandes. S k = 1 − k + 1 diverge ∑ n = 1 ∞ ( sen n − sen ( n + 1 ) ) Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y evalúe su enésima suma parcial. ∑ n = 1 ∞ ln ( n n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ln n − ln ( n + 1 ) , S k = − ln ( k + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 ( n 2 + n ) 2 ( Pista: Factorice el denominador y utilice fracciones parciales). ∑ n = 2 ∞ ln ( 1 + n 1 ) ln n ln ( n + 1 ) grandes. a n = 1 ln n – 1 ln ( n + 1 ) y S k = 1 ln ( 2 ) − 1 ln ( k + 1 ) → 1 ln ( 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) n ( n + 1 ) 2 n + 1 ( Pista: Mire 1 / ( n 2 n ) . ) Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se anulan tras sumar un número determinado de términos sucesivos. Supongamos que a n = f ( n ) − 2 f ( n + 1 ) + f ( n + 2 ) , en la que f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Calcule ∑ n = 1 ∞ a n . ∑ n = 1 ∞ a n = f ( 1 ) − f ( 2 ) grandes. a n = f ( n ) − f ( n + 1 ) − f ( n + 2 ) + f ( n + 3 ) , en la que f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Calcule ∑ n = 1 ∞ a n . Supongamos que a n = c 0 f ( n ) + c 1 f ( n + 1 ) + c 2 f ( n + 2 ) + c 3 f ( n + 3 ) + c 4 f ( n + 4 ) , donde f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Halle una condición sobre los coeficientes c 0 ,… , c 4 que la convierten en una serie telescópica general. c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 Evalúe ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( Pista: 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2 n – 1 n + 1 + 1 2 ( n + 2 ) ) Evalúe ∑ n = 2 ∞ 2 n 3 − n . 2 n 3 − 1 = 1 n – 1 − 2 n + 1 n + 1 , S n = ( 1 − 1 + 1 / 3 ) + ( 1 / 2 − 2 / 3 + 1 / 4 ) + ( 1 / 3 − 2 / 4 + 1 / 5 ) + ( 1 / 4 – 2 / 5 + 1 / 6 ) + ⋯ = 1 / 2 Halle una fórmula para ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + N ) donde N es un número entero positivo. [T] Defina una secuencia t k = ∑ n = 1 k − 1 ( 1 / k ) − ln k . Utilice el gráfico de 1 / x para verificar que t k es creciente. Grafique t k para k = 1 … 100 y afirme si parece que la secuencia converge. t k converge a 0,57721 … t k es una suma de rectángulos de altura 1 / k en el intervalo [ k , k + 1 ] que se encuentran por encima del gráfico de 1 / x . [T] Supongamos que N bloques rectangulares iguales y uniformes se apilan uno encima de otro, dejando que sobresalga un poco. La ley de Arquímedes de la palanca implica que la pila de N bloques es estable siempre que el centro de masa de los ( N − 1 ) bloques superiores se encuentre en el borde del bloque inferior. Supongamos que x denota la posición del borde del bloque inferior, y piense en su posición como relativa al centro del bloque que le sigue. Esto implica que ( N − 1 ) x = ( 1 2 − x ) o x = 1 / ( 2 N ) . Utilice esta expresión para calcular el saliente máximo (la posición del borde del bloque superior sobre el borde del bloque inferior). Vea la siguiente figura. Cada una de las siguientes series infinitas converge al múltiplo dado de π o 1 / π . En cada caso, halle el valor mínimo de N tal que la N −ésima suma parcial de la serie se aproxime exactamente al lado izquierdo con el número de decimales dado, e indique el valor aproximado deseado. Hasta 15 decimales, π = 3,141592653589793... . [T] π = −3 + ∑ n = 1 ∞ n 2 n n ! 2 ( 2 n ) ! , error < 0,0001 N = 22 , S N = 6,1415 [T] π 2 = ∑ k = 0 ∞ k ! ( 2 k + 1 ) ! ! = ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! 2 ( 2 k + 1 ) ! , error < 10 −4 [T] 9.801 2 π = 4 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1.103 + 26.390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k , error < 10 −12 N = 3 , S N = 1,559877597243667 ... [T] 1 12 π = ∑ k = 0 ∞ ( –1 ) k ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 640320 3 k + 3 / 2 , error < 10 −15 [T] Una moneda justa es aquella que tiene probabilidad 1 / 2 de salir cara cuando se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda justa salga cruz? n veces seguidas? Calcule la probabilidad de que una moneda salga cara por primera vez en el último lanzamiento de un número par de lanzamientos. a. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada de resultados para n lanzamientos de monedas es 1 / 2 n . b. La probabilidad de salir cara por primera vez en el n −ésimo lanzamiento es la probabilidad de la secuencia T T … T H que es 1 / 2 n . La probabilidad de salir cara por primera vez en un lanzamiento par es ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 2 n o 1 / 3 . [T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa se lance un múltiplo de tres veces antes de salir cara. [T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez después de un número par de lanzamientos. 5 / 9 [T] Calcule una serie que exprese la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez en un múltiplo de tres lanzamientos. [T] El número esperado de veces que una moneda justa saldrá cara se define como la suma sobre n = 1 , 2 ,… de n veces la probabilidad de que la moneda salga cara exactamente n veces seguidas, o n / 2 n + 1 . Calcule el número esperado de veces consecutivas que una moneda justa saldrá cara. E = ∑ n = 1 ∞ n / 2 n + 1 = 1 , como puede demostrarse utilizando la suma por partes [T] Una persona deposita $ 10 dólares al principio de cada trimestre en una cuenta bancaria que gana 4 % de interés anual compuesto trimestralmente (cuatro veces al año). Demuestre que los intereses acumulados después de n trimestres son $ 10 ( 1,01 n + 1 − 1 0,01 − n ) . Halle los ocho primeros términos de la secuencia. ¿Cuántos intereses se han acumulado después de 2 años? [T] Supongamos que la cantidad de un medicamento en el sistema de un paciente disminuye en un factor multiplicativo r < 1 cada hora. Supongamos que se administra una nueva dosis cada N horas. Halle una expresión que indique la cantidad A ( n ) en el sistema del paciente después de n horas para cada n en cuanto a la dosis d y el cociente r . ( Pista: Escriba n = m N + k , donde 0 ≤ k < N , y sume los valores de las diferentes dosis administradas). La parte de la primera dosis después de n horas es d r n , la parte de la segunda dosis es d r n − N , y, en general, la parte que queda de la m sima dosis es d r n − m N , así que A ( n ) = ∑ l = 0 m d r n − l N = ∑ l = 0 m d r k + ( m − l ) N = ∑ q = 0 m d r k + q N = d r k ∑ q = 0 m r N q = d r k 1 − r ( m + 1 ) N 1 − r N , n = k + m N . [T] Un determinado fármaco es eficaz para un paciente promedio solo si hay al menos 1 mg por kg en el sistema del paciente, mientras que solo es seguro si hay como máximo 2 mg por kg en el sistema de un paciente promedio. Supongamos que la cantidad en el sistema del paciente disminuye en un factor multiplicativo de 0,9 cada hora después de la administración de una dosis. Halle el intervalo máximo N de horas entre dosis, y el rango de dosis correspondiente d (en mg/kg) para este N que permitirá que el uso del medicamento sea seguro y eficaz a largo plazo. Supongamos que a n ≥ 0 es una secuencia de números. Explique por qué la secuencia de sumas parciales de a n es creciente. S N + 1 = a N + 1 + S N ≥ S N [T] Supongamos que a n es una secuencia de números positivos y la secuencia S n de sumas parciales de a n está delimitada por encima. Explique por qué ∑ n = 1 ∞ a n converge. ¿Sigue siendo cierta la conclusión si eliminamos la hipótesis a n ≥ 0 ? [T] Supongamos que a 1 = S 1 = 1 y que, para números dados S > 1 y 0 < k < 1 , se define a n + 1 = k ( S − S n ) y S n + 1 = a n + 1 + S n . ¿ S n converge? Si es así, ¿a qué? ( Pista: Primero argumente que S n < S para todo n y S n es creciente). Dado que S > 1 , a 2 > 0 , y dado que k < 1 , S 2 = 1 + a 2 < 1 + ( S − 1 ) = S . Si S n > S para algún n , entonces hay un n más pequeño. Para este n , S > S n – 1 , así que S n = S n – 1 + k ( S − S n – 1 ) = k S + ( 1 − k ) S n – 1 < S , una contradicción. Así, S n < S y a n + 1 > 0 para todo n , por lo que S n es creciente y está delimitada por S . Supongamos que S ∗ = lím S n . Si S ∗ < S , entonces δ = k ( S − S ∗ ) > 0 , pero podemos hallar n tal que S * − S n < δ / 2 , lo que implica que S n + 1 = S n + k ( S − S n ) > S * + δ / 2 , lo que contradice que S n está aumentando a S ∗ . Así que S n → S . [T] Una versión del crecimiento de von Bertalanffy puede utilizarse para estimar la edad de un individuo en una especie homogénea a partir de su longitud si el incremento anual en el año n + 1 satisface a n + 1 = k ( S − S n ) , con S n como la longitud en el año n , S como longitud límite, y k como constante de crecimiento relativo. Si S 1 = 3 , S = 9 , y k = 1 / 2 , estime numéricamente el valor más pequeño de n tal que S n ≥ 8 . Observe que S n + 1 = S n + a n + 1 . Calcule el n correspondiente cuando k = 1 / 4 . [T] Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie convergente de términos positivos. Explique por qué lím N → ∞ ∑ n = N + 1 ∞ a n = 0 . Supongamos que S k = ∑ n = 1 k a n y S k → L . Entonces S k finalmente se acerca arbitrariamente a L , lo que significa que L − S N = ∑ n = N + 1 ∞ a n se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que N → ∞ . [T] Calcule la longitud de la trayectoria en zigzag de la siguiente figura. [T] Calcule la longitud total de la trayectoria discontinua en la siguiente figura L = ( 1 + 1 2 ) ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n = 3 2 . [T] El triángulo de Sierpinski se obtiene a partir de un triángulo suprimiendo el cuarto triángulo central como se indica en el primer paso, suprimiendo los cuartos triángulos centrales de los tres triángulos congruentes restantes en el segundo paso, y en general suprimiendo los cuartos triángulo centrales de los triángulos restantes en cada paso sucesivo. Suponiendo que el triángulo original se muestra en la figura, halle las áreas de las partes restantes del triángulo original después de N pasos y calcule la longitud total de todos los triángulos limítrofes después de N pasos. [T] La alfombra de Sierpinski se obtiene dividiendo el cuadrado unitario en nueve subcuadrados iguales, eliminando el cuadrado del medio y haciendo lo mismo en cada etapa con los subcuadrados restantes. La figura muestra el conjunto restante después de cuatro iteraciones. Calcule el área total eliminada después de N etapas y calcule la longitud el perímetro total del conjunto restante después de N etapas. En la primera fase, un cuadrado de área 1 / 9 se retira, en la etapa 2 se retiran 8 cuadrados de área 1 / 9 2 , en la tercera etapa se eliminan 8 2 cuadrados de área 1 / 9 3 , y así sucesivamente. El área total eliminada después de N etapas es ∑ n = 0 N − 1 8 N / 9 N + 1 = 1 8 ( 1 − ( 8 / 9 ) N ) / ( 1 − 8 / 9 ) → 1 a medida que N → ∞ . El perímetro total es 4 + 4 ∑ n = 0 8 N / 3 N + 1 → ∞ . convergencia de una serie una serie converge si la secuencia de sumas parciales de esa serie converge divergencia de una serie una serie diverge si la secuencia de sumas parciales de esa serie diverge serie geométrica una serie geométrica es una serie que se puede escribir de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ serie armónica la serie armónica toma la forma ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ serie infinita una serie infinita es una expresión de la forma a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a n suma parcial la k −ésima suma parcial de la serie infinita ∑ n = 1 ∞ a n es la suma finita S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k serie telescópica una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales

Matemáticas


Las pruebas de divergencia e integral En el apartado anterior, determinamos la convergencia o divergencia de varias series calculando explícitamente el límite de la secuencia de sumas parciales { S k } . En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Por suerte, existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia de muchos tipos de series. En esta sección, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de divergencia y la prueba de la integral. En el resto de este capítulo examinaremos otras pruebas y luego resumiremos cómo y cuándo utilizarlas. Prueba de divergencia Para que una serie ∑ n = 1 ∞ a n converja, la ené −ésimo término a n debe satisfacer a n → 0 a medida que n → ∞ . Por lo tanto, a partir de las propiedades del límite algebraico de las secuencias, lím k → ∞ a k = lím k → ∞ ( S k − S k − 1 ) = lím k → ∞ S k − lím k → ∞ S k − 1 = S − S = 0 . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ a n converge, el ené −ésimo término a n → 0 a medida que n → ∞ . Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente afirmación: Si a n ↛ 0 a medida que n → ∞ , ∑ n = 1 ∞ a n diverge . Esta prueba se conoce como prueba de divergencia porque proporciona una forma de demostrar que una serie diverge. Prueba de divergencia Si lím n → ∞ a n = c ≠ 0 o lím n → ∞ a n no existe, entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Es importante señalar que la inversa de este teorema no es cierta. Es decir, si lím n → ∞ a n = 0 , no podemos hacer ninguna conclusión sobre la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Por ejemplo, lím n → ∞ ( 1 / n ) = 0 , pero la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. En esta sección y en las restantes de este capítulo, mostramos muchos más ejemplos de este tipo de series. En consecuencia, aunque podemos utilizar la prueba de divergencia para demostrar que una serie diverge, no podemos utilizarla para demostrar que una serie converge. En concreto, si a n → 0 , la prueba de divergencia no es concluyente. Utilización de la prueba de divergencia Para cada una de las siguientes series, aplique la prueba de divergencia. Si la prueba de divergencia demuestra que la serie es divergente, indíquelo. En caso contrario, indique que la prueba de divergencia no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ n 3 n – 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ∑ n = 1 ∞ e 1 / n 2 Dado que n / ( 3 n – 1 ) → 1 / 3 ≠ 0 , por la prueba de divergencia, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ n 3 n – 1 diverge. Dado que 1 / n 3 → 0 , la prueba de divergencia no es concluyente. Dado que e 1 / n 2 → 1 ≠ 0 , por la prueba de divergencia, la serie ∑ n = 1 ∞ e 1 / n 2 diverge. ¿Qué nos dice la prueba de divergencia sobre la serie ∑ n = 1 ∞ cos ( 1 / n 2 ) ? La serie diverge. Pista Mire lím n → ∞ cos ( 1 / n 2 ) . Prueba de la integral En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge observando la secuencia de sumas parciales { S k } y demostrando que S 2 k > 1 + k / 2 para todos los enteros positivos k . En esta sección utilizamos una técnica diferente para demostrar la divergencia de la serie armónica. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral , compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante señalar que esta prueba solo puede aplicarse cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos. Para ilustrar cómo funciona la prueba de la integral, utilice la serie armónica como ejemplo. En la , representamos la serie armónica dibujando una secuencia de rectángulos con áreas 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 ,… junto con la función f ( x ) = 1 / x . En el gráfico vemos que ∑ n = 1 k 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k > ∫ 1 k + 1 1 x d x . Por lo tanto, para cada k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln x | 1 k + 1 = ln ( k + 1 ) − ln ( 1 ) = ln ( k + 1 ) . Dado que lím k → ∞ ln ( k + 1 ) = ∞ , vemos que la secuencia de sumas parciales { S k } no está delimitada. Por lo tanto, { S k } diverge y, en consecuencia, la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n también diverge. La suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área entre la curva f ( x ) = 1 / x y el eje x para x ≥ 1 . Como el área delimitada por la curva es infinita (calculada por una integral impropia), la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita. Ahora consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Mostramos cómo se puede utilizar una integral para demostrar que esta serie converge. En la , dibujamos una secuencia de rectángulos con áreas 1 , 1 / 2 2 , 1 / 3 2 ,… junto con la función f ( x ) = 1 / x 2 . En el gráfico vemos que ∑ n = 1 k 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 k 2 < 1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x . Por lo tanto, para cada k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n 2 < 1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x = 1 − 1 x | 1 k = 1 − 1 k + 1 = 2 – 1 k < 2 . Concluimos que la secuencia de sumas parciales { S k } está delimitada. También vemos que { S k } es una secuencia creciente: S k = S k − 1 + 1 k 2 para k ≥ 2 . Dado que { S k } es creciente y está delimitada, por el teorema de convergencia monótona, converge. Por lo tanto, la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. La suma de las áreas de los rectángulos es menor que la suma del área del primer rectángulo y el área entre la curva f ( x ) = 1 / x 2 y el eje x para x ≥ 1 . Como el área delimitada por la curva es finita, la suma de las áreas de los rectángulos también lo es. Podemos extender esta idea para demostrar la convergencia o divergencia de muchas series diferentes. Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n tal que existe una función continua, positiva y decreciente f donde f ( n ) = a n para todos los enteros positivos. Entonces, como en la (a), para cualquier número entero k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k < a 1 + ∫ 1 k f ( x ) d x < a 1 + ∫ 1 ∞ f ( x ) d x . Por lo tanto, si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x converge, entonces la secuencia de sumas parciales { S k } está delimitada. Dado que { S k } es una secuencia creciente, si además es una secuencia delimitada, entonces por el teorema de convergencia monótona, converge. Concluimos que si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x converge, entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n también converge. Por otra parte, a partir de la (b), para cualquier número entero k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k > ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x . Si lím k → ∞ ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x = ∞ , entonces { S k } es una secuencia no delimitada y por lo tanto diverge. Como resultado, la serie ∑ n = 1 ∞ a n también diverge. Concluimos que si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. (a) Si podemos inscribir rectángulos dentro de una región delimitada por una curva y = f ( x ) y la intersección en eje x , y el área delimitada por esas curvas para x ≥ 1 es finita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es finita. (b) Si un conjunto de rectángulos circunscribe la región delimitada por y = f ( x ) y la intersección en eje x para x ≥ 1 y la región tiene un área infinita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita. Prueba de la integral Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n . Supongamos que existe una función f y un número entero positivo N de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes: f es continua, f es decreciente y f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ N . Entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ N ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen (vea la ). Si bien la convergencia de ∫ N ∞ f ( x ) d x implica la convergencia de las series relacionadas ∑ n = 1 ∞ a n , no implica que el valor de la integral y de la serie sea el mismo. Pueden ser diferentes, y a menudo lo son. Por ejemplo, ∑ n = 1 ∞ ( 1 e ) n = 1 e + ( 1 e ) 2 + ( 1 e ) 3 + ⋯ es una serie geométrica con término inicial a = 1 / e y cociente r = 1 / e , que converge a 1 / e 1 − ( 1 / e ) = 1 / e ( e − 1 ) / e = 1 e − 1 . Sin embargo, la integral relacionada ∫ 1 ∞ ( 1 / e ) x d x satisface ∫ 1 ∞ ( 1 e ) x d x = ∫ 1 ∞ e – x d x = lím b → ∞ ∫ 1 b e – x d x = lím b → ∞ − e – x | 1 b = lím b → ∞ [ − e − b + e −1 ] = 1 e . Uso de la prueba de la integral Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba integral para determinar si la serie converge o diverge. Supongamos que se cumplen todas las condiciones de la prueba de la integral. ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n – 1 Compare ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 y ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x . Tenemos ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 x 3 d x = lím b → ∞ [ − 1 2 x 2 | 1 b ] = lím b → ∞ [ − 1 2 b 2 + 1 2 ] = 1 2 . Así, la integral ∫ 1 ∞ 1 / x 3 d x converge, y por lo tanto también lo hace la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 . Compare ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 y ∫ 1 ∞ 1 2 x – 1 d x . Dado que ∫ 1 ∞ 1 2 x – 1 d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 2 x – 1 d x = lím b → ∞ 2 x – 1 | 1 b = lím b → ∞ [ 2 b − 1 − 1 ] = ∞ , la integral ∫ 1 ∞ 1 / 2 x – 1 d x diverge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 diverge. Utilice la prueba integral para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n 3 n 2 + 1 converge o diverge. La serie diverge. Pista Compare con la integral ∫ 1 ∞ x 3 x 2 + 1 d x . La serie p La serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n y la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 son ambos ejemplos de un tipo de serie llamada serie p . Definición Para cualquier número real p , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n p se llama serie p . Sabemos que la serie p converge si p = 2 y diverge si p = 1 . ¿Qué pasa con otros valores de p ? En general, es difícil, si no imposible, calcular el valor exacto de la mayoría de las series p . Sin embargo, podemos utilizar las pruebas presentadas hasta ahora para demostrar si una serie p converge o diverge. Si p < 0 , entonces 1 / n p → ∞ , y si p = 0 , entonces 1 / n p → 1 . Por lo tanto, por la prueba de divergencia, ∑ n = 1 ∞ 1 / n p diverge si p ≤ 0 . Si p > 0 , entonces f ( x ) = 1 / x p es una función positiva, continua y decreciente. Por lo tanto, para p > 0 , utilizamos la prueba integral, comparando ∑ n = 1 ∞ 1 n p y ∫ 1 ∞ 1 x p d x . Ya hemos considerado el caso cuando p = 1 . Aquí consideramos el caso cuando p > 0 , p ≠ 1 . Para este caso, ∫ 1 ∞ 1 x p d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 x p d x = lím b → ∞ 1 1 – p x 1 – p | 1 b = lím b → ∞ 1 1 – p [ b 1 – p − 1 ] . Dado que b 1 – p → 0 si p > 1 y b 1 – p → ∞ si p < 1 , concluimos que ∫ 1 ∞ 1 x p d x = { 1 p − 1 si p > 1 ∞ si p ≤ 1 . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 y diverge si 0 < p < 1 . En resumen, ∑ n = 1 ∞ 1 n p { converge si p > 1 diverge si p ≤ 1 . Pruebas de convergencia de las series p Para cada una de las siguientes series, determine si converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 / 3 Se trata de una serie p con p = 4 > 1 , para que la serie converja. Dado que p = 2 / 3 < 1 , la serie diverge. ¿La serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 4 converge o diverge? La serie converge. Pista p = 5 / 4 Estimar el valor de una serie Supongamos que sabemos que una serie ∑ n = 1 ∞ a n converge y queremos estimar la suma de esa serie. Ciertamente podemos aproximar esa suma utilizando cualquier suma finita ∑ n = 1 N a n donde N es cualquier número entero positivo. La cuestión que abordamos aquí es, para una serie convergente ∑ n = 1 ∞ a n , ¿qué tan buena es la aproximación ∑ n = 1 N a n ? Más concretamente, si suponemos que R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n es el resto cuando la suma de una serie infinita se aproxima por la N simo suma parcial, ¿qué tan grande es R N ? Para algunos tipos de series, podemos utilizar las ideas de la prueba de la integral para estimar R N . Estimación del resto de la prueba de la integral Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie convergente con términos positivos. Supongamos que existe una función f que satisface las tres condiciones siguientes: f es continua, f es decreciente y f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ 1 . Supongamos que S N es la enésima suma parcial de ∑ n = 1 ∞ a n . Para todos los enteros positivos N , S N + ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < ∑ n = 1 ∞ a n < S N + ∫ N ∞ f ( x ) d x . En otras palabras, el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − S N = ∑ n = N + 1 ∞ a n satisface la siguiente estimación: ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Es lo que se conoce como estimación del resto . Ilustramos la en la . En particular, al representar el resto R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ como la suma de las áreas de los rectángulos, vemos que el área de esos rectángulos está delimitada por encima por ∫ N ∞ f ( x ) d x y delimitada por debajo por ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x . En otras palabras, R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ > ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x y R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Concluimos que ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Dado que ∑ n = 1 ∞ a n = S N + R N , donde S N es la ené simo suma parcial, concluimos que S N + ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < ∑ n = 1 ∞ a n < S N + ∫ N ∞ f ( x ) d x . Dada una función continua, positiva y decreciente f y una secuencia de términos positivos a n tal que a n = f ( n ) para todos los enteros positivos n , (a) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ < ∫ N ∞ f ( x ) d x , o (b) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ > ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x . Por lo tanto, la integral es una sobreestimación o una subestimación del error. Estimar el valor de una serie Considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 . Calcule S 10 = ∑ n = 1 10 1 / n 3 y estime el error. Determine el menor valor de N necesario para que S N estime ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 con una precisión de 0,001 . Utilizando una herramienta de cálculo, tenemos S 10 = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ + 1 10 3 ≈ 1,19753 . Por la estimación del resto, sabemos que R N < ∫ N ∞ 1 x 3 d x . Tenemos ∫ 10 ∞ 1 x 3 d x = lím b → ∞ ∫ 10 b 1 x 3 d x = lím b → ∞ [ − 1 2 x 2 ] N b = lím b → ∞ [ − 1 2 b 2 + 1 2 N 2 ] = 1 2 N 2 . Por lo tanto, el error es R 10 < 1 / 2 ( 10 ) 2 = 0,005 . Calcule N tal que R N < 0,001 . En la parte a. demostramos que R N < 1 / 2 N 2 . Por lo tanto, el resto R N < 0,001 siempre y cuando 1 / 2 N 2 < 0,001 . Es decir, necesitamos 2 N 2 > 1.000 . Resolviendo esta inecuación para N , vemos que necesitamos N > 22,36 . Para asegurarnos de que el resto está dentro de la cantidad deseada, tenemos que redondear al entero más cercano. Por lo tanto, el valor mínimo necesario es N = 23 . Para ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 , calcule S 5 y estime el error R 5 . S 5 ≈ 1,09035 , R 5 < 0,00267 Pista Utilice la estimación del resto R N < ∫ N ∞ 1 / x 4 d x . Conceptos clave Si lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si lím n → ∞ a n = 0 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n puede converger o divergir. Si ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n y f es una función continua y decreciente tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen. Además, si ∑ n = 1 ∞ a n converge, entonces la ené simo aproximación de la suma parcial S N es precisa a un error R N donde ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . La serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1 . Ecuaciones clave Prueba de divergencia Si a n ↛ 0 a medida que n → ∞ , ∑ n = 1 ∞ a n diverge . serie p ∑ n = 1 ∞ 1 n p { converge si p > 1 diverge si p ≤ 1 Estimación del resto de la prueba de la integral ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x Para cada una de las siguientes series, si se aplica la prueba de divergencia, indique que lím n → ∞ a n no existe o halle lím n → ∞ a n . Si la prueba de divergencia no aplica, explique por qué. a n = n n + 2 a n = n 5 n 2 − 3 lím n → ∞ a n = 0 . La prueba de divergencia no aplica. a n = n 3 n 2 + 2 n + 1 a n = ( 2 n + 1 ) ( n – 1 ) ( n + 1 ) 2 lím n → ∞ a n = 2 . La serie diverge. a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n a n = 2 n 3 n / 2 lím n → ∞ a n = ∞ (no existe). La serie diverge. a n = 2 n + 3 n 10 n / 2 a n = e −2 / n lím n → ∞ a n = 1 . La serie diverge. a n = cos n a n = tan n lím n → ∞ a n no existe. La serie diverge. a n = 1 − cos 2 ( 1 / n ) sen 2 ( 2 / n ) grandes. a n = ( 1 − 1 n ) 2 n lím n → ∞ a n = 1 / e 2 . La serie diverge. a n = ln n n a n = ( ln n ) 2 n lím n → ∞ a n = 0 . La prueba de divergencia no aplica. Indique si la serie p converge. ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ n = 1 ∞ 1 n n La serie converge, p > 1 . ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 3 La serie converge, p = 4 / 3 > 1 . ∑ n = 1 ∞ n e n π ∑ n = 1 ∞ n π n 2 e La serie converge, p = 2 e − π > 1 . Utilice la prueba de la integral para determinar si las siguientes sumas convergen. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 3 La serie diverge por comparación con ∫ 1 ∞ d x ( x + 5 ) 1 / 3 . ∑ n = 2 ∞ 1 n ln n ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2 La serie diverge por comparación con ∫ 1 ∞ x 1 + x 2 d x . ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n ∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4 La serie converge por comparación con ∫ 1 ∞ 2 x 1 + x 4 d x . ∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n Exprese las siguientes sumas como series p y determine si cada una converge. ∑ n = 1 ∞ 2 − ln n ( Pista: 2 − ln n = 1 / n ln 2 ). 2 − ln n = 1 / n ln 2 . Dado que ln 2 < 1 , diverge por la serie p . ∑ n = 1 ∞ 3 − ln n ( Pista: 3 − ln n = 1 / n ln 3 ). ∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n 2 −2 ln n = 1 / n 2 ln 2 . Dado que 2 ln 2 – 1 < 1 , diverge por la serie p . ∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n Utilice la estimación R N ≤ ∫ N ∞ f ( t ) d t para calcular un límite para el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n donde a n = f ( n ) . ∑ n = 1 1.000 1 n 2 R 1.000 ≤ ∫ 1.000 ∞ d t t 2 = − 1 t | 1.000 ∞ = 0,001 ∑ n = 1 1.000 1 n 3 ∑ n = 1 1.000 1 1 + n 2 R 1.000 ≤ ∫ 1.000 ∞ d t 1 + t 2 = tan −1 ∞ − tan –1 ( 1.000 ) = π / 2 − tan –1 ( 1.000 ) ≈ 0,000999 ∑ n = 1 100 n / 2 n [T] Halle el valor mínimo de N tal que la estimación del resto ∫ N + 1 ∞ f < R N < ∫ N ∞ f garantice que ∑ n = 1 N a n estima ∑ n = 1 ∞ a n , con una precisión dentro del error dado. a n = 1 n 2 , error < 10 −4 R N < ∫ N ∞ d x x 2 = 1 / N , N > 10 4 a n = 1 n 1,1 , error < 10 −4 a n = 1 n 1,01 , error < 10 −4 R N < ∫ N ∞ d x x 1,01 = 100 N −0,01 , N > 10 600 a n = 1 n ln 2 n , error < 10 −3 a n = 1 1 + n 2 , error < 10 −3 R N < ∫ N ∞ d x 1 + x 2 = π / 2 − tan –1 ( N ) , N > tan ( π / 2 − 10 −3 ) ≈ 1.000 En los siguientes ejercicios, halle un valor de N tal que R N sea menor que el error deseado. Calcule la suma correspondiente ∑ n = 1 N a n y compárela con la estimación dada de la serie infinita. a n = 1 n 11 , error < 10 −4 , ∑ n = 1 ∞ 1 n 11 = 1,000494 … a n = 1 e n , error < 10 −5 , ∑ n = 1 ∞ 1 e n = 1 e − 1 = 0,581976 … R N < ∫ N ∞ d x e x = e − N , N > 5 ln ( 10 ) , está bien si N = 12 ; ∑ n = 1 12 e − n = 0,581973... . La estimación coincide con 1 / ( e − 1 ) con cinco decimales. a n = 1 e n 2 , error < 10 −5 , ∑ n = 1 ∞ n / e n 2 = 0,40488139857 … a n = 1 / n 4 , error < 10 −4 , ∑ n = 1 ∞ 1 / n 4 = π 4 / 90 = 1,08232 ... R N < ∫ N ∞ d x / x 4 = 1 / 3 N 3 , N > ( 10 4 / 3 ) 1 / 3 , está bien si N = 15 ; ∑ n = 1 15 1 / n 4 = 1,08226 … . La estimación coincide con la suma con precisión de tres decimales. a n = 1 / n 6 , error < 10 −6 , ∑ n = 1 ∞ 1 / n 4 = π 6 / 945 = 1,01734306... , Calcule el límite a medida que n → ∞ de 1 n + 1 n + 1 + ⋯ + 1 2 n . ( Pista: Compare con ∫ n 2 n 1 t d t . ). grandes. ln ( 2 ) Calcule el límite a medida que n → ∞ de 1 n + 1 n + 1 + ⋯ + 1 3 n Los siguientes ejercicios pretenden dar una idea de las aplicaciones en las que surgen las sumas parciales de las series armónicas. En ciertas aplicaciones de la probabilidad, como el llamado estimador de Watterson para predecir las tasas de mutación en genética de poblaciones, es importante tener una estimación precisa del número H k = ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k ) . Recordemos que T k = H k − ln k es decreciente. Calcule T = lím k → ∞ T k con cuatro decimales. ( Pista: 1 k + 1 < ∫ k k + 1 1 x d x ). T = 0,5772 ... [T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado problema del recolector de cupones se plantea de la siguiente manera: Suponga que tiene N artículos únicos en una papelera. En cada paso, se elige un artículo al azar, se identifica y se devuelve a la papelera. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos E ( N ) que se necesita para sacar cada artículo único al menos una vez. Resulta que E ( N ) = N . H N = N ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 N ) . Calcule E ( N ) para N = 10 , 20 , y 50 . [T] La forma más sencilla de barajar las cartas es tomar la carta superior e insertarla en un lugar aleatorio del mazo, lo que se llama inserción aleatoria superior, y luego repetir. Consideraremos que un mazo se baraja aleatoriamente una vez que se han realizado suficientes inserciones aleatorias en la parte superior como para que la carta que estaba originalmente en la parte inferior haya llegado a la parte superior y haya sido insertada aleatoriamente. Si el mazo tiene n cartas, entonces la probabilidad de que la inserción esté por debajo de la carta inicialmente en la parte inferior (llamémosla carta B ) es 1 / n . Así, el número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que B ya no esté en el fondo es n . Una vez que una carta esté por debajo de B , hay dos lugares debajo de B y la probabilidad de que una carta insertada al azar quede por debajo de B es 2 / n . El número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que esto ocurra es n / 2 . Las dos cartas debajo de B están ahora en orden aleatorio. Siguiendo así, halle una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias superiores necesarias para considerar que el mazo se barajea al azar. El número esperado de inserciones aleatorias para que B llegue a la parte superior es n + n / 2 + n / 3 + ⋯ + n / ( n – 1 ) . Entonces una inserción más pone B de nuevo en una posición aleatoria. Por lo tanto, el número esperado de barajadas para que el mazo quede distribuido de manera aleatoria es n ( 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / n ) . Supongamos que un scooter puede viajar 100 km con el depósito lleno. Suponiendo que el combustible se puede transferir de un scooter a otro, pero solo se puede llevar en el depósito, presente un procedimiento que permita a uno de los scooters viajar 100 H N km, donde H N = 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / N . Demuestre que para que la estimación del resto se aplique en [ N , ∞ ) es suficiente que f ( x ) sea decreciente en [ N , ∞ ) , pero f no tiene por qué ser decreciente en [ 1 , ∞ ) . Establezca b n = a n + N y g ( t ) = f ( t + N ) tal que f es decreciente en [ t , ∞ ) . [T] Utilice la estimación del resto y la integración por partes para aproximar ∑ n = 1 ∞ n / e n con un error menor que 0,0001 . ¿ ∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? La serie converge para p > 1 por la prueba de la integral utilizando el cambio de variable. [T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente ∑ n = 1 N 1 n . Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100 . [T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente ∑ n = 2 N 1 n ln n . Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100 . N = e e 100 ≈ e 10 43 términos son necesarios. prueba de divergencia si lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge prueba de la integral para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos a n , si existe una función continua y decreciente f tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen serie p una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ 1 / n p estimación del resto para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos a n y una función continua y decreciente f tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n satisface la siguiente estimación: ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x

Matemáticas


Pruebas de comparación Hemos visto que la prueba de la integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo utilizar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce. Normalmente, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de las series que son similares a las series geométricas o a las series p . Prueba de comparación En las dos secciones anteriores, hemos hablado de dos grandes clases de series: las series geométricas y las series p . Sabemos exactamente cuándo estas series convergen y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo utilizar la convergencia o divergencia de estas series para demostrar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación . Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 . Esta serie es similar a la serie convergente ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Como los términos de cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente. Además, como 0 < 1 n 2 + 1 < 1 n 2 para todos los enteros positivos n , la k −ésima suma parcial S k de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n 2 + 1 < ∑ n = 1 k 1 n 2 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . (Vea la (a) y la ). Como la serie de la derecha converge, la secuencia { S k } está delimitada por encima. Concluimos que { S k } es una secuencia monótona creciente que está delimitada por encima. Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, { S k } converge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 converge. Del mismo modo, consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 . Esta serie se parece a la serie divergente ∑ n = 1 ∞ 1 n . La secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente y 1 n – 1 / 2 > 1 n > 0 para cada número entero positivo n . Por lo tanto, la k −ésima suma parcial S k de ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n – 1 / 2 > ∑ n = 1 k 1 n . (Vea la (b) y la ). Dado que la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales ∑ n = 1 k 1 / n no está delimitada. En consecuencia, { S k } es una secuencia no delimitada, y por lo tanto diverge. Concluimos que ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 diverge. (a) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es menor que la correspondiente suma parcial de la serie . (b) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es mayor que la correspondiente suma parcial de la serie armónica divergente. Comparación de una serie con una serie p ( p = 2) k 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ n = 1 k 1 n 2 + 1 0,5 0,7 0,8 0,8588 0,8973 0,9243 0,9443 0,9597 ∑ n = 1 k 1 n 2 1 1,25 1,3611 1,4236 1,4636 1,4914 1,5118 1,5274 Comparación de una serie con la serie armónica k 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ n = 1 k 1 n – 1 / 2 2 2,6667 3,0667 3,3524 3,5746 3,7564 3,9103 4,0436 ∑ n = 1 k 1 n 1 1,5 1,8333 2,0933 2,2833 2,45 2,5929 2,7179 Prueba de comparación Supongamos que existe un número entero N tal que 0 ≤ a n ≤ b n para todo n ≥ N . Si ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que existe un número entero N tal que a n ≥ b n ≥ 0 para todo n ≥ N . Si ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Supongamos que { S k } es la secuencia de sumas parciales asociadas a ∑ n = 1 ∞ a n , y supongamos que L = ∑ n = 1 ∞ b n . Dado que los términos a n ≥ 0 , S k = a 1 + a 2 + ⋯ + a k ≤ a 1 + a 2 + ⋯ + a k + a k + 1 = S k + 1 . Por tanto, la secuencia de sumas parciales es creciente. Además, como a n ≤ b n para todo n ≥ N , entonces ∑ n = N k a n ≤ ∑ n = N k b n ≤ ∑ n = 1 ∞ b n = L . Por lo tanto, para todo k ≥ 1 , S k = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 ) + ∑ n = N k a n ≤ ( a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 ) + L . Dado que a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 es un número finito, concluimos que la secuencia { S k } está delimitada por encima. Por lo tanto, { S k } es una secuencia creciente que está delimitada por encima. Por el teorema de convergencia monótona, concluimos que { S k } converge, y por tanto la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge. □ Para utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie ∑ n = 1 ∞ a n , es necesario hallar una serie adecuada con la que compararla. Dado que conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y de las series p , estas series se utilizan a menudo. Si existe un número entero N tal que para todo n ≥ N , cada término a n es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Del mismo modo, si existe un número entero N tal que para todo n ≥ N , cada término a n es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Uso de la prueba de comparación Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 3 n + 1 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 ∑ n = 2 ∞ 1 ln ( n ) Compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 es una serie p con p = 3 , converge. Además, 1 n 3 + 3 n + 1 < 1 n 3 para cada número entero positivo n . Por lo tanto, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 3 n + 1 converge. Compare con ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n . Dado que ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n es una serie geométrica con r = 1 / 2 y | 1 / 2 | < 1 , converge. También, 1 2 n + 1 < 1 2 n para cada número entero positivo n . Por lo tanto, vemos que ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 converge. Compare con ∑ n = 2 ∞ 1 n . Dado que 1 ln ( n ) > 1 n para cada número entero n ≥ 2 y ∑ n = 2 ∞ 1 / n diverge, tenemos que ∑ n = 2 ∞ 1 ln ( n ) diverge. Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n n 3 + n + 1 converge o diverge. La serie converge. Pista Halle un valor p tal que n n 3 + n + 1 ≤ 1 n p . Prueba de comparación de límites La prueba de comparación funciona bien si podemos hallar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces puede ser difícil hallar una serie adecuada. Considere la serie ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 . Es natural comparar esta serie con la serie convergente ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque 1 n 2 – 1 > 1 n 2 para todos los enteros n ≥ 2 . Aunque podríamos buscar otra serie con la que comparar ∑ n = 2 ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) , en cambio, mostramos cómo podemos utilizar la prueba de comparación de límites para comparar ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 y ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Consideremos dos series ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n . con términos positivos a n y b n y evaluemos lím n → ∞ a n b n . Si lím n → ∞ a n b n = L ≠ 0 , entonces, para n suficientemente grande, a n ≈ L b n . Por lo tanto, o ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie ∑ n = 2 ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) y ∑ n = 2 ∞ 1 / n 2 , vemos que lím n → ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) 1 / n 2 = lím n → ∞ n 2 n 2 – 1 = 1 . Dado que ∑ n = 2 ∞ 1 / n 2 converge, concluimos que ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 converge. La prueba de comparación de límites puede utilizarse en otros dos casos. Supongamos que lím n → ∞ a n b n = 0 . En este caso, { a n / b n } es una secuencia delimitada. Como resultado, existe una constante M tal que a n ≤ M b n . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Por otro lado, supongamos que lím n → ∞ a n b n = ∞ . En este caso, { a n / b n } es una secuencia no delimitada. Por lo tanto, para cada constante M existe un número entero N tal que a n ≥ M b n para todo n ≥ N . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n también diverge. Prueba de comparación de límites Supongamos que a n , b n ≥ 0 para todo n ≥ 1 . Si lím n → ∞ a n / b n = L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen. Si lím n → ∞ a n / b n = 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si lím n → ∞ a n / b n = ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Observe que si a n / b n → 0 y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Del mismo modo, si a n / b n → ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, consideremos las dos series ∑ n = 1 ∞ 1 / n y ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Estas series son ambas series p con p = 1 / 2 y p = 2 , respectivamente. Dado que p = 1 / 2 < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. Por otra parte, dado que p = 2 > 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 como nuestra serie de comparación. En primer lugar, vemos que 1 / n 1 / n 3 = n 3 n = n 5 / 2 → ∞ a medida que n → ∞ . Del mismo modo, vemos que 1 / n 2 1 / n 3 = n → ∞ a medida que n → ∞ . Por lo tanto, si a n / b n → ∞ cuando ∑ n = 1 ∞ b n converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Uso de la prueba de comparación de límites Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, indíquelo. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 3 n ∑ n = 1 ∞ ln ( n ) n 2 Compare esta serie con ∑ n = 1 ∞ 1 n . Calcule lím n → ∞ 1 / ( n + 1 ) 1 / n = lím n → ∞ n n + 1 = lím n → ∞ 1 1 + 1 / n = 1 . Por la prueba de comparación de límites, dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 diverge. Compare esta serie con ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n . Vemos que lím n → ∞ ( 2 n + 1 ) / 3 n 2 n / 3 n = lím n → ∞ 2 n + 1 3 n . 3 n 2 n = lím n → ∞ 2 n + 1 2 n = lím n → ∞ [ 1 + ( 1 2 ) n ] = 1 . Por lo tanto, lím n → ∞ ( 2 n + 1 ) / 3 n 2 n / 3 n = 1 . Dado que ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n converge, concluimos que ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 3 n converge. Dado que ln n < n , compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n . Vemos que lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n = lím n → ∞ ln n n 2 . n 1 = lím n → ∞ ln n n . Para evaluar lím n → ∞ ln n / n , evalúe el límite a medida que x → ∞ de la función de valor real ln ( x ) / x . Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite utilizar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 1 x = 0 . Por lo tanto, lím n → ∞ ln n / n = 0 , y, en consecuencia, lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n = 0 . Dado que el límite es 0 pero ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 en su lugar. En este caso, lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n 2 = lím n → ∞ ln n n 2 . n 2 1 = lím n → ∞ ln n = ∞ . Dado que el límite es ∞ pero ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 converge, la prueba sigue sin proporcionar ninguna información. Así que ahora probamos una serie entre las dos que ya hemos probado. Si elegimos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 , vemos que lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n 3 / 2 = lím n → ∞ ln n n 2 . n 3 / 2 1 = lím n → ∞ ln n n . Como en el caso anterior, para evaluar lím n → ∞ ln n / n , evalúe el límite a medida que x → ∞ de la función de valor real ln x / x . Usando la regla de L'Hôpital, lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 2 x x = lím x → ∞ 2 x = 0 . Dado que el límite es 0 y ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 converge, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ ln n n 2 converge. Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ 5 n 3 n + 2 converge o diverge. La serie diverge. Pista Compare con una serie geométrica. Conceptos clave Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos. Al utilizar las pruebas de comparación, una serie ∑ n = 1 ∞ a n se compara a menudo con una serie geométrica o p . Utilice la prueba de comparación para determinar si las siguientes series convergen. ∑ n = 1 ∞ a n donde a n = 2 n ( n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ a n donde a n = 1 n ( n + 1 / 2 ) Converge por comparación con 1 / n 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 Diverge por comparación con la serie armónica, dado que 2 n – 1 ≥ n . ∑ n = 2 ∞ 1 ( n ln n ) 2 ∑ n = 1 ∞ n ! ( n + 2 ) ! a n = 1 / ( n + 1 ) ( n + 2 ) < 1 / n 2 . Converge por comparación con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 n ! ∑ n = 1 ∞ sen ( 1 / n ) n sen ( 1 / n ) ≤ 1 / n , por lo que converge por comparación con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ sen 2 n n 2 ∑ n = 1 ∞ sen ( 1 / n ) ( n ) 3 sen ( 1 / n ) ≤ 1 , por lo que converge por comparación con la serie p , p = 3 / 2 . ∑ n = 1 ∞ n 1,2 − 1 n 2,3 + 1 ∑ n = 1 ∞ n + 1 − n n Dado que n + 1 − n = 1 / ( n + 1 + n ) ≤ 2 / n , la serie converge por comparación con la serie p para p = 1,5. ∑ n = 1 ∞ n 4 n 4 + n 2 3 Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( ln n n ) 2 Converge por comparación de límites con la serie p para p > 1 . ∑ n = 1 ∞ ( ln n n 0,6 ) 2 ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n ) n Converge por comparación de límites con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 4 n − 3 n Converge por comparación de límites con 4 − n . ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − n sen n ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1,1 ) n − 3 n Converge por comparación de límites con 1 / e 1,1 n . ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1,01 ) n − 3 n ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n Diverge por comparación de límites con la serie armónica. ∑ n = 1 ∞ 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − sen ( 1 n ) ) Converge por comparación de límites con la serie p , p = 3 . ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( 1 n ) ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 n ( π 2 − tan −1 n ) Converge por comparación de límites con la serie p , p = 3 . ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 1 n ) n . n ( Pista: ( 1 − 1 n ) n → 1 / e . ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( 1 − e −1 / n ) ( Pista: 1 / e ≈ ( 1 − 1 / n ) n , así que 1 − e −1 / n ≈ 1 / n . ) Diverge por comparación de límites con 1 / n . ¿ ∑ n = 2 ∞ 1 ( ln n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? ¿ ∑ n = 1 ∞ ( ( ln n ) n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? Converge para p > 1 en comparación con una serie p para un p un poco más pequeño p . ¿Para cuáles p la serie ∑ n = 1 ∞ 2 p n / 3 n converge? ¿Para cuáles p > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ n p 2 n converge? Converge para todo p > 0 . ¿Para cuáles r > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ r n 2 2 n converge? ¿Para cuáles r > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ 2 n r n 2 converge? Converge para todo r > 1 . Si r > 1 entonces r n > 4 , digamos, una vez n > ln ( 2 ) / ln ( r ) y entonces la serie converge por comparación de límites con una serie geométrica con razón 1 / 2 . Halle todos los valores de p y q tal que ∑ n = 1 ∞ n p ( n ! ) q converge. ¿ ∑ n = 1 ∞ sen 2 ( n r / 2 ) n converge o diverge? Explique. El numerador es igual a 1 cuando n es impar y 0 cuando n es par, por lo que la serie se puede reescribir ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 , que diverge por comparación de límites con la serie armónica. Explique por qué, para cada n , al menos uno de { | sen n | , | sen ( n + 1 ) | ,... , | sen n + 6 | } es mayor que 1 / 2 . Utilice esta relación para comprobar la convergencia de ∑ n = 1 ∞ | sen n | n . Supongamos que a n ≥ 0 y b n ≥ 0 y que ∑ n = 1 ∞ a 2 n y ∑ n = 1 ∞ b 2 n convergen. Demuestre que ∑ n = 1 ∞ a n b n converge y ∑ n = 1 ∞ a n b n ≤ 1 2 ( ∑ n = 1 ∞ a n 2 + ∑ n = 1 ∞ b n 2 ) . ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 o a 2 + b 2 ≥ 2 a b , por lo que la convergencia se deduce de la comparación de 2 a n b n con a 2 n + b 2 n . Como las sumas parciales de la izquierda están delimitadas por las de la derecha, la desigualdad se mantiene para la serie infinita. ¿ ∑ n = 1 ∞ 2 − ln ln n converge? ( Pista: Escriba 2 ln ln n como potencia de ln n . ) ¿ ∑ n = 1 ∞ ( ln n ) − ln n converge? ( Pista: Utilice n = e ln ( n ) para comparar con una serie . ) grandes. ( ln n ) − ln n = e − ln ( n ) ln ln ( n ) . Si n es lo suficientemente grande, entonces ln ln n > 2 , tal que ( ln n ) − ln n < 1 / n 2 , y la serie converge por comparación con una serie . ¿ ∑ n = 2 ∞ ( ln n ) − ln ln n converge? ( Pista: Compare a n a 1 / n . ) Demuestre que si a n ≥ 0 y ∑ n = 1 ∞ a n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge. Si ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge, ¿ ∑ n = 1 ∞ a n converge necesariamente? a n → 0 , así que a 2 n ≤ | a n | para n . La convergencia se desprende de la comparación de límites. ∑ 1 / n 2 converge, pero ∑ 1 / n no lo hace, por lo que el hecho de que ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge no implica que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que a n > 0 para todo n y que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n converge necesariamente? Supongamos que a n > 0 para todo n y que ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitos términos iguales a uno. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n necesariamente diverge? No. ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. Supongamos que b k = 0 a menos que k = n 2 para algunos n . Entonces ∑ k b k / k = ∑ 1 / k 2 converge. Complete los detalles del siguiente argumento: Si ∑ n = 1 ∞ 1 n converge a una suma finita s , entonces 1 2 s = 1 2 + 1 4 + 1 6 + ⋯ y s − 1 2 s = 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ . ¿Por qué esto lleva a una contradicción? Demuestre que si a n ≥ 0 y ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ sen 2 ( a n ) converge. | sen t | ≤ | t | , por lo que el resultado se desprende de la prueba de comparación. Supongamos que a n / b n → 0 en la prueba de comparación, donde a n ≥ 0 y b n ≥ 0, Demuestre que si ∑ b n converge, entonces ∑ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de x = ∑ n = 1 ∞ b n / 2 n ? Por la prueba de comparación, x = ∑ n = 1 ∞ b n / 2 n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n = 1 Supongamos que d n es una secuencia infinita de dígitos, es decir d n toma valores en { 0 , 1 ,… , 9 } . ¿Cuál es el mayor valor posible de x = ∑ n = 1 ∞ d n / 10 n que converge? Explique por qué, si x > 1 / 2 , entonces x no se puede escribir x = ∑ n = 2 ∞ b n 2 n ( b n = 0 o 1 , b 1 = 0 ) . Si b 1 = 0 , entonces, en comparación, x ≤ ∑ n = 2 ∞ 1 / 2 n = 1 / 2 . [T] Evelyn tiene una balanza perfecta, un número ilimitado de pesos de 1 −kg y una de 1 / 2 −kg , 1 / 4 −kg , 1 / 8 −kg , y así sucesivamente. Desea pesar un meteorito de origen no especificado con una precisión arbitraria. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas? [T] Robert quiere saber su masa corporal con una precisión arbitraria. Tiene una balanza grande que funciona perfectamente, una colección ilimitada de pesos de 1 −kg y nueve de 0,1 −kg, 0,01 −kg , 0,001 −kg, y así sucesivamente. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas? Sí. Siga añadiendo pesos de 1 −kg hasta que la balanza se incline hacia el lado de los pesos. Si se equilibra perfectamente, con Robert de pie en el otro lado, deténgase. En caso contrario, elimine uno de los pesos de 1 −kg y añada pesos de 0,1 −kg uno a la vez. Si se equilibra después de añadir algunos de estos, deténgase. De lo contrario, si se inclina hacia los pesos, retire el último peso de 0,1 −kg . Empiece a añadir pesos de 0,01 −kg . Si se equilibra, deténgase. Si se inclina hacia el lado con los pesos, retire el último peso de 0,01 −kg que se añadió. Continúe así para los pesos de 0,001 −kg y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, se tiene una serie finita de la forma A + ∑ n = 1 N s n / 10 n donde A es el número de pesos completos en kg y d n es el número de pesos de 1 / 10 n −kg que se añadieron. Si en algún estado esta serie es el peso exacto de Robert, el proceso se detendrá. En caso contrario, representa la enésima simo suma parcial de una serie infinita que da el peso exacto de Robert, y el error de esta suma es como máximo 1 / 10 N . La serie ∑ n = 1 ∞ 1 2 n es la mitad de la serie armónica y, por esto, diverge. Se obtiene a partir de la serie armónica eliminando todos los términos en los que n es impar. Supongamos que m > 1 es fijo. Demuestre, de forma más general, que la eliminación de todos los términos 1 / n donde n = m k para algún número entero k también da como resultado una serie divergente. A la vista del ejercicio anterior, puede sorprender que una subserie de la serie armónica en la que se suprime aproximadamente uno de cada cinco términos pueda converger. Una serie armónica agotada es una serie obtenida a partir de ∑ n = 1 ∞ 1 n eliminando cualquier término 1 / n si una cifra determinada, por ejemplo 9 , aparece en la expansión decimal de n . Argumente que esta serie armónica agotada converge respondiendo a las siguientes preguntas. ¿Cuántos números enteros n tienen d dígitos? ¿Cuántos números enteros con dígitos d h ( d ) . no contienen 9 como uno o más de sus dígitos? ¿Cuál es el menor número con dígitos d m ( d ) ? Explique por qué la serie armónica suprimida está delimitada por ∑ d = 1 ∞ h ( d ) m ( d ) . Demuestre que ∑ d = 1 ∞ h ( d ) m ( d ) converge. a. 10 d − 10 d − 1 < 10 d b. h ( d ) < 9 d c. m ( d ) = 10 d − 1 + 1 d. Agrupe los términos de la serie armónica eliminada por el número de dígitos h ( d ) delimita el número de términos, y cada término es como máximo 1 / m ( d ) . ∑ d = 1 ∞ h ( d ) / m ( d ) ≤ ∑ d = 1 ∞ 9 d / ( 10 ) d − 1 ≤ 90. En realidad se puede utilizar la comparación para estimar el valor a menor que 80 . El valor real es menor que 23 . Supongamos que una secuencia de números a n > 0 tiene la propiedad de que a 1 = 1 y a n + 1 = 1 n + 1 S n , donde S n = a 1 + ⋯ + a n . ¿Puede determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge? ( Pista: S n es monótona). Supongamos que una secuencia de números a n > 0 tiene la propiedad de que a 1 = 1 y a n + 1 = 1 ( n + 1 ) 2 S n , donde S n = a 1 + ⋯ + a n . ¿Puede determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge? ( Pista: S 2 = a 2 + a 1 = a 2 + S 1 = a 2 + 1 = 1 + 1 / 4 = ( 1 + 1 / 4 ) S 1 , S 3 = 1 3 2 S 2 + S 2 = ( 1 + 1 / 9 ) S 2 = ( 1 + 1 / 9 ) ( 1 + 1 / 4 ) S 1 , etc. Mire ln ( S n ) , y utilice ln ( 1 + t ) ≤ t , t > 0 . ) Siguiendo la pista, da S N = ( 1 + 1 / N 2 ) ( 1 + 1 / ( N − 1 ) 2 … ( 1 + 1 / 4 ) ) . Entonces ln ( S N ) = ln ( 1 + 1 / N 2 ) + ln ( 1 + 1 / ( N − 1 ) 2 ) + ⋯ + ln ( 1 + 1 / 4 ) . Dado que ln ( 1 + t ) está delimitada por una constante de t veces t , cuando 0 < t < 1 se tiene ln ( S N ) ≤ C ∑ n = 1 N 1 n 2 , que converge por comparación con la serie p para p = 2 . prueba de comparación si 0 ≤ a n ≤ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge; si a n ≥ b n ≥ 0 para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge prueba de comparación de límites supongamos que a n , b n ≥ 0 para todo n ≥ 1 . Si lím n → ∞ a n / b n → L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen; si lím n → ∞ a n / b n → 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si lím n → ∞ a n / b n → ∞ , y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge

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