Inversas y funciones radicales Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental. V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = 2 3 π r 3 Hemos escrito el volumen V en términos de radio r . Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula r = 3 V 2 π 3 Esta función es la inversa de la fórmula de V en términos de r . En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso. Hallar la inversa de una función polinómica Dos funciones f y g son funciones inversas si para cada par de coordenadas en f , ( a , b ) , existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, g , ( b , a ) . En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas. Para que una función tenga una inversa , debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa. Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la . Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua. Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde x se mide horizontalmente, mientras que y se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la . A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma y ( x ) = a x 2 . Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento a . 18 = a 6 2 a = 18 36 = 1 2 Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación y ( x ) = 1 2 x 2 Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad y la anchura vendrá dada por 2 x , así que tenemos que resolver la ecuación anterior para x y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa. Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de x . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada: y = 1 2 x 2 2 y = x 2 x = ± 2 y Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de x , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos. y = x 2 2 , x > 0 Dado que x es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será 2 x . La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces: Área = l ⋅ w = 36 ⋅ 2 x = 72 x = 72 2 y Este ejemplo ilustra dos puntos importantes: Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia. Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales . Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación f − 1 ( x ) . Advertencia: f − 1 ( x ) no es lo mismo que el recíproco de la función f ( x ) . Este uso de "–1" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función f ( x ) , tendríamos que escribir ( f ( x ) ) - 1 = 1 f ( x ) . Una relación importante entre las funciones inversas es que se "deshacen" entre sí. Si los valores de f − 1 es la inversa de una función f , entonces f es la inversa de la función f − 1 . En otras palabras, lo que sea que la función f haga a x , f − 1 lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos f − 1 ( f ( x ) ) = x , para todos x en el ámbito de f y f ( f − 1 ( x ) ) = x , para todos x en el ámbito de f − 1 Comprobar que dos funciones son inversas Dos funciones, f y g , son inversas entre sí si para todo x en el dominio de f y g . g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x Cómo Dada una función polinómica, hallar la inversa de la función al restringir el dominio de tal manera que la nueva función sea biunívoca. Sustituya f ( x ) con la y . Intercambie la x y y . Resuelva para y , y renombre la función f − 1 ( x ) . Verificar funciones inversas Demuestre que f ( x ) = 1 x + 1 y f − 1 ( x ) = 1 x – 1 son inversas, para x ≠ 0 , - 1 . Debemos demostrar que f − 1 ( f ( x ) ) = x y f ( f − 1 ( x ) ) = x . f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( 1 x + 1 ) = 1 1 x + 1 - 1 = ( x + 1 ) - 1 = x f ( f − 1 ( x ) ) = f ( 1 x – 1 ) = 1 ( 1 x – 1 ) + 1 = 1 1 x = x Por lo tanto, f ( x ) = 1 x + 1 y f − 1 ( x ) = 1 x – 1 son inversas. Ejercicio Demuestre que f ( x ) = x + 5 3 y f − 1 ( x ) = 3 x - 5 son inversas. f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( x + 5 3 ) = 3 ( x + 5 3 ) - 5 = ( x - 5 ) + 5 = x y f ( f − 1 ( x ) ) = f ( 3 x - 5 ) = ( 3 x - 5 ) + 5 3 = 3 x 3 = x Hallar la inversa de una función cúbica Halle la inversa de la función f ( x ) = 5 x 3 + 1. Esta es una transformación de la función cúbica básica de la caja de herramientas, y basándonos en nuestro conocimiento de esa función, sabemos que es biunívoca. Resolver para la inversa mediante la resolución de x . y = 5 x 3 + 1 x = 5 y 3 + 1 x – 1 = 5 y 3 x – 1 5 = y 3 f − 1 ( x ) = x – 1 5 3 Análisis Observe el gráfico de f y f – 1 . Observe que los dos gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . Este es siempre el caso cuando se grafica una función y su función inversa. Además, dado que el método implicaba intercambiar la x y y , note los puntos correspondientes. Si los valores de ( a , b ) está en el gráfico de f , entonces ( b , a ) está en el gráfico de f – 1 . Dado que ( 0 , 1 ) está en el gráfico de f , entonces ( 1 , 0 ) está en el gráfico de f – 1 . Del mismo modo, dado que ( 1 , 6 ) está en el gráfico de f , entonces ( 6 , 1 ) está en el gráfico de f – 1 . Vea la . Ejercicio Calcule la función inversa de f ( x ) = x + 4 3 . f − 1 ( x ) = x 3 - 4 Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa . Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas. Restringir el dominio Si una función no es biunívoca, no puede tener ninguna inversa. Si restringimos el dominio de la función para que sea biunívoco, y creamos así otra función, esta última tendrá una inversa. Cómo Dada una función polinómica, restringir el dominio de una función que no sea biunívoca y luego hallar la inversa. Restrinja el dominio al determinar un dominio en el que la función original sea biunívoca. Sustituya f ( x ) con y . Intercambie la x y y . Resuelva para y , y renombre la función o el par de funciones f − 1 ( x ) . Repase la fórmula para f − 1 ( x ) ; verifique que las salidas de la función inversa correspondan al dominio restringido de la función original. Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica Calcule la función inversa de f : f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≥ 4 f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≤ 4 La función original f ( x ) = ( x - 4 ) 2 no es biunívoca, sino que está restringida a un dominio de x ≥ 4 o x ≤ 4 en la que es biunívoca. Vea la . Para hallar la inversa, empiece por sustituir f ( x ) con la variable simple y . y = ( x - 4 ) 2 Intercambie la x y y . x = ( y - 4 ) 2 Tome la raíz cuadrada . ± x = y - 4 Sume 4 a ambos lados . 4 ± x = y Esto no es una función tal y como está escrita. Tenemos que examinar las restricciones en el dominio de la función original para determinar la inversa. Ya que invertimos los papeles de la x y y para la f ( x ) , original, miramos el dominio: podrían suponerse los valores de x . Cuando invertimos los papeles de la x y y , esto nos dio los valores que y . Para esta función, x ≥ 4 , así como para la inversa, deberíamos tener y ≥ 4 , que es lo que da nuestra función inversa. Ⓐ El dominio de la función original se restringió a x ≥ 4 , por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, f ( x ) ≥ 4 , y debemos utilizar el caso +: f − 1 ( x ) = 4 + x Ⓑ El dominio de la función original se restringió a x ≤ 4 , por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, f ( x ) ≤ 4 , y debemos utilizar el caso -: f − 1 ( x ) = 4 - x Análisis En los gráficos que se indican en la , vemos la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa. Observe que los gráficos muestran juntos una simetría en torno a la línea y = x . El par de coordenadas ( 4 , 0 ) está en el gráfico de f y el par de coordenadas ( 0 , 4 ) está en el gráfico de f − 1 . Para cualquier par de coordenadas, si ( a , b ) está en el gráfico de f , entonces ( b , a ) está en el gráfico de f − 1 . Por último, observe que el gráfico de f interseca el gráfico de f − 1 en la línea y = x . Puntos de intersección de los gráficos de f y f − 1 siempre estará en la línea y = x . Hallar la inversa de una función cuadrática cuando la restricción no está especificada Restringir el dominio y luego hallar la inversa de f ( x ) = ( x - 2 ) 2 - 3, Podemos ver que se trata de una parábola con vértice en ( 2 , – 3 ) que se abre hacia arriba. Dado que el gráfico será decreciente a un lado del vértice y creciente al otro, podemos restringir esta función a un dominio en el que sea biunívoca al restringir el dominio a x ≥ 2. Para hallar la inversa, utilizaremos la forma de vértice de la cuadrática. Empezamos por sustituir f ( x ) con una simple variable, y , y luego resolvemos para x . y = ( x - 2 ) 2 - 3 Intercambie la x y y . x = ( y - 2 ) 2 - 3 Sume 3 a ambos lados . x + 3 = ( y - 2 ) 2 Tome la raíz cuadrada . ± x + 3 = y - 2 Añada 2 a ambos lados . 2 ± x + 3 = y Renombre la función . f − 1 ( x ) = 2 ± x + 3 Ahora tenemos que determinar qué caso utilizar. Dado que hemos restringido nuestra función original a un dominio de x ≥ 2 , las salidas de la inversa deberían ser las mismas, lo que nos indica que debemos utilizar el caso + f − 1 ( x ) = 2 + x + 3 Si la cuadrática no se hubiera dado en forma de vértice, reescribirla así sería el primer paso. De esta manera podemos observar fácilmente las coordenadas del vértice para restringir el dominio. Análisis Observe que hemos decidido arbitrariamente restringir el dominio en x ≥ 2. Podríamos haber optado fácilmente por restringir el dominio en x ≤ 2 , en cuyo caso f − 1 ( x ) = 2 - x + 3 . Observe la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa en la . Observe que ambos gráficos muestran simetría respecto a la línea y = x . El par de coordenadas ( 2 , - 3 ) está en el gráfico de f y el par de coordenadas ( - 3 , 2 ) está en el gráfico de f − 1 . Observe a partir del gráfico de ambas funciones sobre el mismo conjunto de ejes que dominio de f = rango de f – 1 = [ 2 , ∞ ) y dominio de f – 1 = rango de f = [ – 3 , ∞ ) Por último, observe que el gráfico de f interseca el gráfico de f − 1 a lo largo de la línea y = x . Ejercicio Halle la inversa de la función f ( x ) = x 2 + 1 , en el dominio x ≥ 0 . f − 1 ( x ) = x – 1 Resolver aplicaciones de funciones radicales Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical , tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado. Cómo Dada una función radical, hallar la inversa. Determine el rango de la función original. Sustituya f ( x ) con la y , y luego resolvemos para x . Si es necesario, restrinja el dominio de la función inversa al rango de la función original. Hallar la inversa de una función radical Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f ( x ) = x - 4 . Observe que la función original tiene rango f ( x ) ≥ 0 . Sustituya f ( x ) con la y , y luego resolvemos para x . y = x - 4 Sustituya f ( x ) con y . x = y - 4 Intercambie la x y y . x = y - 4 Eleve al cuadrado cada lado . x 2 = y - 4 Sume 4 . x 2 + 4 = y Renombre la función f − 1 ( x ) . f − 1 ( x ) = x 2 + 4 Recordemos que el dominio de esta función deberá limitarse al rango de la función original. f − 1 ( x ) = x 2 + 4 , x ≥ 0 Análisis Observe en la que la inversa es una reflexión de la función original sobre la línea y = x . Dado que la función original tiene únicamente salidas positivas, la función inversa solo tiene entradas positivas. Ejercicio Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f ( x ) = 2 x + 3 . f − 1 ( x ) = x 2 - 3 2 , x ≥ 0 Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección. Resolver una aplicación con una función cúbica Los guardaparques construyen un montículo de grava en forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen del cono en función del radio viene dado por V = 2 3 π r 3 Halle la inversa de la función V = 2 3 π r 3 que determina el volumen V de un cono y es una función del radio r . A continuación, utilice la función inversa para calcular el radio de dicho montículo de grava que mide 100 pies cúbicos. Utilice π = 3,14. Comience con la función dada para V . Observe que el dominio significativo de la función es r ≥ 0 ya que los radios negativos no tendrían sentido en este contexto. Observe igualmente que el rango de la función (por ende, el dominio de la función inversa) es V ≥ 0 . Resuelva para r en términos de V , con el método descrito anteriormente V = 2 3 π r 3 r 3 = 3 V 2 π Resuelva para r 3 . r = 3 V 2 π 3 Resuelva para r . Este es el resultado que se indica al principio de la sección. Ahora evalúe esto para V = 100 y π = 3,14. r = 3 V 2 π 3 = 3 ⋅ 100 2 ⋅ 3,14 3 ≈ 47,7707 3 ≈ 3,63 Por lo tanto, el radio es de unos 3,63 pies. Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio. Hallar el dominio de una función radical compuesta con una función racional Halle el dominio de la función f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x – 1 ) . Dado que una raíz cuadrada está definida solamente cuando la cantidad bajo el radical es no negativa, tenemos que determinar dónde ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x – 1 ) ≥ 0 . La salida de una función racional puede cambiar de signo (pasar de positivo a negativo y viceversa) en las intersecciones en x y en las asíntotas verticales. Para esta ecuación, el gráfico podría cambiar de signo en x = -2, 1 y 3. Para determinar los intervalos en los que la expresión racional es positiva, podríamos probar algunos valores de la expresión o dibujar un gráfico. Aunque ambos enfoques funcionan igualmente bien, para este ejemplo utilizaremos un gráfico como el que se indica en la . Esta función tiene dos intersecciones en x , ambas de las cuales muestran un comportamiento lineal cerca de las intersecciones en x . Hay una asíntota vertical, que corresponde a un factor lineal; este comportamiento es similar al de la función recíproca básica de la caja de herramientas, y no hay asíntota horizontal porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Hay una intersección en y en ( 0 , 6 ) . A partir de la intersección en y , así como de la intersección en x en x = - 2 , podemos dibujar el lado izquierdo del gráfico. A partir del comportamiento en la asíntota, podemos esbozar el lado derecho del gráfico. A partir del gráfico, ahora podemos saber en qué intervalos las salidas serán no negativas, por lo que podemos estar seguros de que la función original f ( x ) se definirá. f ( x ) tiene dominio − 2 ≤ x < 1 o x ≥ 3 , o en notación de intervalo, [ - 2 , 1 ) ∪ [ 3 , ∞ ) . Hallar las inversas de las funciones racionales Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional , especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración. Hallar la inversa de una función racional La función C = 20 + 0,4 n 100 + n representa la concentración C de una solución ácida después de añadir n mL de solución al 40 % a 100 mL de una solución al 20 %. En primer lugar, halle la inversa de la función; es decir, defina una expresión para n en términos de C . A continuación, utilice su resultado para determinar qué cantidad de la solución al 40 % debe añadirse para que la mezcla final sea una solución al 35 %. Primero queremos la inversa de la función. Resolvemos para n en términos de C . C = 20 + 0,4 n 100 + n C ( 100 + n ) = 20 + 0,4 n 100 C + C n = 20 + 0,4 n 100 C − 20 = 0,4 n − C n 100 C − 20 = ( 0,4 − C ) n n = 100 C − 20 0,4 − C Ahora evalúe esta función para C = 0,35 ( 35 % ) . n = 100 ( 0,35 ) − 20 0,4 − 0,35 = 15 0,05 = 300 Podemos concluir que hay que añadir 300 mL de la solución al 40 %. Ejercicio Halle la inversa de la función f ( x ) = x + 3 x - 2 . f − 1 ( x ) = 2 x + 3 x – 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las inversas y funciones radicales. Graficar la función básica de raíz cuadrada Hallar la inversa de una función de raíz cuadrada Hallar la inversa de una función racional Hallar la inversa de una función racional y un valor de función inversa Funciones inversas Conceptos clave La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Si los valores de f − 1 es la inversa de una función f , entonces f es la inversa de la función f − 1 . Vea el . Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos son invertibles. Vea el . Para hallar la inversa de determinada función, debemos restringirla a un dominio en el que sea biunívoca. Vea el y el . Cuando hallamos la inversa de una función radical, necesitamos una restricción en el dominio de la respuesta. Vea el y el . Las funciones inversas y radicales se utilizan para resolver problemas de aplicación. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué no podemos hallar funciones inversas para todas las funciones polinómicas. Puede ser muy difícil o imposible de resolver para x en términos de y . ¿Por qué hay que restringir el dominio de una función cuadrática al momento de hallar su inversa? Al momento de hallar la inversa de una función radical, ¿qué restricción tendremos que hacer? Necesitaremos una restricción en el dominio de la respuesta. ¿Qué forma tendrá siempre la inversa de una función cuadrática? Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado. f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , [ 4 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 4 f ( x ) = ( x + 2 ) 2 , [ - 2 , ∞ ) f ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 3 , [ - 1 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 3 - 1 f ( x ) = 2 - 3 + x f ( x ) = 3 x 2 + 5 , ( - ∞ , 0 ] f − 1 ( x ) = - x - 5 3 f ( x ) = 12 − x 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x f ( x ) = 2 x 2 + 4 , [ 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones. f ( x ) = x 3 + 5 f − 1 ( x ) = x - 5 3 f ( x ) = 3 x 3 + 1 f ( x ) = 4 - x 3 f − 1 ( x ) = 4 - x 3 f ( x ) = 4 – 2 x 3 En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones. f ( x ) = 2 x + 1 f − 1 ( x ) = x 2 – 1 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 3 - 4 x f ( x ) = 9 + 4 x - 4 f − 1 ( x ) = ( x - 9 ) 2 + 4 4 , [ 9 , ∞ ) f ( x ) = 6 x - 8 + 5 f ( x ) = 9 + 2 x 3 f − 1 ( x ) = ( x - 9 2 ) 3 f ( x ) = 3 - x 3 f ( x ) = 2 x + 8 f − 1 ( x ) = 2 - 8 x x f ( x ) = 3 x - 4 f ( x ) = x + 3 x + 7 f − 1 ( x ) = 7 x - 3 1 - x f ( x ) = x - 2 x + 7 f ( x ) = 3 x + 4 5 - 4 x f − 1 ( x ) = 5 x - 4 4 x + 3 f ( x ) = 5 x + 1 2 - 5 x f ( x ) = x 2 + 2 x , [ - 1 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 1 - 1 f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , [ - 2 , ∞ ) f ( x ) = x 2 - 6 x + 3 , [ 3 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 6 + 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa. f ( x ) = x 2 + 2 , x ≥ 0 f ( x ) = 4 - x 2 , x ≥ 0 f − 1 ( x ) = 4 - x f ( x ) = ( x + 3 ) 2 , x ≥ - 3 f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≥ 4 f − 1 ( x ) = x + 4 f ( x ) = x 3 + 3 f ( x ) = 1 - x 3 f − 1 ( x ) = 1 - x 3 f ( x ) = x 2 + 4 x , x ≥ − 2 f ( x ) = x 2 - 6 x + 1 , x ≥ 3 f − 1 ( x ) = x + 8 + 3 f ( x ) = 2 x f ( x ) = 1 x 2 , x ≥ 0 f − 1 ( x ) = 1 x En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones. f ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) x f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) x – 1 [ - 2 , 1 ) ∪ [ 3 , ∞ ) f ( x ) = x ( x + 3 ) x - 4 f ( x ) = x 2 - x - 20 x - 2 [ − 4 , 2 ) ∪ [ 5 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x 2 x + 4 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y . f ( x ) = x 3 - x - 2 , y = 1 , 2 , 3 ( – 2 , 0 ) ; ( 4 , 2 ) ; ( 22 , 3 ) f ( x ) = x 3 + x - 2 , y = 0 , 1 , 2 f ( x ) = x 3 + 3 x - 4 , y = 0 , 1 , 2 ( – 4 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 10 , 2 ) f ( x ) = x 3 + 8 x - 4 , y = - 1 , 0 , 1 f ( x ) = x 4 + 5 x + 1 , y = - 1 , 0 , 1 ( – 3 , - 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 7 , 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con a , b , c números reales positivos. f ( x ) = a x 3 + b f ( x ) = x 2 + b x f − 1 ( x ) = x + b 2 4 − b 2 f ( x ) = a x 2 + b f ( x ) = a x + b 3 f − 1 ( x ) = x 3 - b a f ( x ) = a x + b x + c Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta. Un objeto lanzado desde una altura de 200 metros tiene una altura h ( t ) , en metros después de que t segundos hayan transcurrido, de manera que h ( t ) = 200 - 4,9 t 2 . Exprese t en función de la altura, h , y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 50 metros. t ( h ) = 200 − h 4,9 , 5,53 segundos Un objeto lanzado desde una altura de 600 pies tiene una altura h ( t ) , en pies después de que t segundos han transcurrido, de manera que h ( t ) = 600 − 16 t 2 . Exprese t en función de la altura h , y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 400 pies. El volumen, V , de una esfera en función de su radio, r , viene dado por V ( r ) = 4 3 π r 3 . Exprese r en función de V , y halle el radio de una esfera con un volumen de 200 pies cúbicos. r ( V ) = 3 V 4 π 3 , 3,63 pies El área superficial, A , de una esfera en función de su radio, r , viene dada por A ( r ) = 4 π r 2 . Exprese r en función de A , y halle el radio de una esfera con un área superficial de 1.000 pulgadas cuadradas. Un recipiente contiene 100 ml de una solución que tiene 25 ml de ácido. Si se añaden n ml de una solución ácida al 60 %, la función C ( n ) = 25 + 0,6 n 100 + n da la concentración, C , en función de la cantidad de ml añadidos, n . Exprese n en función de C y determine cuántos mL hay que añadir para tener una solución ácida al 50 %. n ( C ) = 100 C − 25 0,6 − C , 250 mL El periodo T , en segundos, de un péndulo simple en función de su longitud l , en pies, viene dado por T ( l ) = 2 π l 32,2 . Exprese l en función de T y determine la longitud de un péndulo con periodo de 2 segundos. El volumen de un cilindro, V , en términos de radio, r , y la altura, h , viene dado por V = π r 2 h . Si un cilindro tiene una altura de 6 metros, exprese el radio en función de V y halle el radio de un cilindro con un volumen de 300 metros cúbicos. r ( V ) = V 6 π , 3,99 metros El área superficial, A , de un cilindro en función de su radio, r , y la altura, h , viene dada por A = 2 π r 2 + 2 π r h . Si la altura del cilindro es de 4 pies, exprese el radio en función de A y determine el radio si el área superficial es de 200 pies cuadrados. El volumen de un cono circular recto, V , en términos de su radio, r , y su altura, h , viene dado por V = 1 3 π r 2 h . Exprese r en términos de V si la altura del cono es de 12 pulgadas y determine el radio de un cono con volumen de 50 pulgadas cúbicas. r ( V ) = V 4 π , 1,99 pulgadas Considere un cono con una altura de 30 pies. Exprese el radio, r , en términos de volumen, V , y determine el radio de un cono con un volumen de 1.000 pies cúbicos. función invertible cualquier función que tenga una función inversa

Matemáticas


Modelado mediante la variación Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión. Resolver problemas de variación directa En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula e = 0,16 s nos cuenta sus ganancias, e , provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la . s , precios de venta e = 0,16 s Interpretación $4.600 e = 0,16 ( 4.600 ) = 736 La venta de un vehículo de 4.600 dólares supone una ganancia de 736 dólares. $9.200 e = 0,16 ( 9.200 ) = 1.472 La venta de un vehículo de 9.200 dólares supone una ganancia de 1.472 dólares. $18.400 e = 0,16 ( 18.400 ) = 2.944 La venta de un vehículo de 18.400 dólares supone una ganancia de 2.944 dólares. Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa . Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra. La representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula y = k x n se utiliza para la variación directa. El valor k es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación . En este caso, k = 0,16 y n = 1. Variación directa Si los valores de x y y están relacionados por una ecuación de la forma y = k x n entonces decimos que la relación es de variación directa y y varía directamente con la enésima potencia de x . En las relaciones de variación directa, existe un cociente constante no nulo k = y x n , donde k se denomina constante de variación , que ayuda a definir la relación entre las variables. Cómo Dada la descripción de un problema de variación directa, resolver una incógnita Identifique la entrada, x , y la salida, y . Determine la constante de variación. Es posible que tenga que dividir y entre la potencia especificada de x para determinar la constante de variación. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita. Resolver un problema de variación directa La cantidad y varía directamente con el cubo de x . Si y = 25 cuando x = 2 , calcule y cuando x es 6. La fórmula general para la variación directa con un cubo es y = k x 3 . La constante se halla al dividir y entre el cubo de x . k = y x 3 = 25 2 3 = 25 8 Ahora, utilice la constante para escribir una ecuación que represente esta relación. y = 25 8 x 3 Sustituya x = 6 y resuelva para y . y = 25 8 ( 6 ) 3 = 675 Análisis El gráfico de esta ecuación es un cúbico simple, como se muestra en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Los gráficos de todas las ecuaciones de variación directa se parecen al ? No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia: pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas, radicales, etc. No obstante, todos los gráficos pasan por ( 0.0 ) . Ejercicio La cantidad y varía directamente con el cuadrado de x . Si y = 24 cuando x = 3 , calcule y cuando x es 4. 128 3 Resolver problemas de variación inversa La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula T = 14.000 d nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F. Si creamos la , observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye. d , profundidad T = 14.000 d Interpretación 500 pies 14.000 500 = 28 A una profundidad de 500 pies, la temperatura del agua es de 28 °F. 350 pies 14.000 350 = 40 A una profundidad de 350 pies, la temperatura del agua es de 40 °F. 250 pies 14.000 250 = 56 A una profundidad de 250 pies, la temperatura del agua es de 56 °F. Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas . Para nuestro ejemplo, la representa la variación inversa . Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula y = k x para la variación inversa en este caso utiliza k = 14.000. Variación inversa Si los valores de x y y están relacionados por una ecuación de la forma y = k x n donde k es una constante no nula, entonces decimos que y varía inversamente con la enésima potencia de x . En las relaciones inversamente proporcionales o variaciones inversas hay un múltiplo constante k = x n y . Escribir una fórmula para una relación inversamente proporcional Un turista planea conducir 100 millas. Halle una fórmula para el tiempo que durará el viaje en función de la velocidad a la que conduce el turista. Recordemos que, al multiplicar la velocidad por el tiempo, se obtiene la distancia. Supongamos que t representan el tiempo de conducción en horas, y v representa la velocidad (rapidez o tasa) a la que el turista conduce, entonces v t = distancia . Dado que la distancia está fijada en 100 millas, v t = 100. Resolviendo esta relación para el tiempo nos da nuestra función. t ( v ) = 100 v = 100 v − 1 Podemos ver que la constante de variación es 100 y, aunque podemos escribir la relación mediante el exponente negativo, es más común verla escrita como una fracción. Cómo Dada la descripción de un problema de variación indirecta, resolver una incógnita Identifique la entrada, x , y la salida, y . Determine la constante de variación. Es posible que tenga que multiplicar y entre la potencia especificada de x para determinar la constante de variación. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita. Resolver un problema de variación inversa Una cantidad y varía inversamente con el cubo de x . Si y = 25 cuando x = 2 , calcule y cuando x es 6. La fórmula general de la variación inversa con un cubo es y = k x 3 . La constante se halla al multiplicar y entre el cubo de x . k = x 3 y = 2 3 ⋅ 25 = 200 Ahora utilizamos la constante para escribir una ecuación que represente esta relación. y = k x 3 , k = 200 y = 200 x 3 Sustituya x = 6 y resuelva para y . y = 200 6 3 = 25 27 Análisis El gráfico de esta ecuación es una función racional, como se muestra en la . Ejercicio Una cantidad y varía inversamente con el cuadrado de x . Si y = 8 cuando x = 3 , calcule y cuando x es 4. 9 2 Resolver problemas que implican una variación conjunta Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta . Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable c , costo, varía junto con el número de estudiantes, n , y la distancia, d . Variación conjunta La variación conjunta se produce cuando una variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Por ejemplo, si x varía directamente tanto con y y z , tenemos x = k y z . Si x varía directamente con y e inversamente con c , tenemos x = k y z . Observe que solo utilizamos una constante en una ecuación de variación conjunta. Resolver de problemas que implican una variación conjunta Una cantidad x varía directamente con el cuadrado de y e inversamente con la raíz cúbica de c . Si x = 6 cuando y = 2 y z = 8 , calcule x cuando y = 1 y z = 27. Empiece por escribir una ecuación para mostrar la relación entre las variables. x = k y 2 z 3 Sustituya x = 6 , y = 2 , y z = 8 para hallar el valor de la constante k . 6 = k 2 2 8 3 6 = 4 k 2 3 = k Ahora podemos sustituir el valor de la constante en la ecuación de la relación. x = 3 y 2 z 3 Para hallar x cuando y = 1 y z = 27 , sustituiremos los valores de y y c en nuestra ecuación. x = 3 ( 1 ) 2 27 3 = 1 Ejercicio x varía directamente con el cuadrado de y e inversamente con c . Si x = 40 cuando y = 4 y z = 2 , calcule x cuando y = 10 y z = 25. x = 20 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la variación directa e inversa. Variación directa Variación inversa Variación directa e inversa Ecuaciones clave Variación directa y = k x n , k es una constante no nula . Variación inversa y = k x n , k es una constante no nula . Conceptos clave La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Vea el . Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante. La relación en la que una cantidad es una constante dividida entre otra cantidad se denomina variación inversa. Vea el . Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Vea el . En muchos problemas, la variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Este tipo de relación recibe el nombre de variación conjunta. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué hay de cierto en el aspecto de los gráficos que reflejan una variación directa entre dos variables? El gráfico tendrá la apariencia de una función potencia. Si dos variables varían inversamente, ¿cómo será la ecuación que represente su relación? ¿Existe un límite al número de variables que pueden variar conjuntamente? Explique. No. Múltiples variables pueden variar conjuntamente. Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas. y varía directamente como x y cuando x = 6 , y = 12. y varía directamente como el cuadrado de x y cuando x = 4 , y = 80 . y = 5 x 2 y varía directamente como la raíz cuadrada de x y cuando x = 36 , y = 24. y varía directamente como el cubo de x y cuando x = 36 , y = 24. y = 1 1.944 x 3 y varía directamente como la raíz cúbica de x y cuando x = 27 , y = 15. y varía directamente como la cuarta potencia de x y cuando x = 1 , y = 6. y = 6 x 4 y varía inversamente a x y cuando x = 4 , y = 2. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 3 , y = 2. y = 18 x 2 y varía inversamente al cubo de x y cuando x = 2 , y = 5. y varía inversamente como la cuarta potencia de x y cuando x = 3 , y = 1. y = 81 x 4 y varía inversamente a la raíz cuadrada de x y cuando x = 25 , y = 3. y varía inversamente como la raíz cúbica de x y cuando x = 64 , y = 5. y = 20 x 3 y varía junto con x y c y cuando x = 2 y z = 3 , y = 36. y varía junto como x , c y w y cuando x = 1 , c = 2 , w = 5 , entonces y = 100. y = 10 x c w y varía conjuntamente como el cuadrado de x y el cuadrado de c y cuando x = 3 y c = 4 , entonces y = 72. y varía junto como x y la raíz cuadrada de c y cuando x = 2 y z = 25 , entonces y = 100. y = 10 x z y varía conjuntamente como el cuadrado de x el cubo de c y la raíz cuadrada de w . Cuando x = 1 , c = 2 , y w = 36 , entonces y = 48. y varía junto como x y c e inversamente como w . Cuando x = 3 , c = 5 y w = 6 , entonces y = 10. y = 4 x c w y varía conjuntamente como el cuadrado de x y la raíz cuadrada de c e inversamente como el cubo de w . Cuando x = 3 , z = 4 , y w = 3 , entonces y = 6. y varía junto como x y c e inversamente como la raíz cuadrada de w y el cuadrado de t . Cuando x = 3 , c = 1 , w = 25 , y t = 2 , entonces y = 6. y = 40 x c w t 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido. y varía directamente como x . Cuando x = 3 , entonces y = 12 . Calcule y cuando x = 20. y varía directamente como el cuadrado de x . Cuando x = 2 , entonces y = 16 . Calcule y cuando x = 8 . y = 256 y varía directamente como el cubo de x . Cuando x = 3 , entonces y = 5 . Calcule y cuando x = 4 . y varía directamente como la raíz cuadrada de x . Cuando x = 16 , entonces y = 4 . Calcule y cuando x = 36 . y = 6 y varía directamente como la raíz cúbica de x . Cuando x = 125 , entonces y = 15 . Calcule y cuando x = 1 , 000. y varía inversamente con x . Cuando x = 3 , entonces y = 2 . Calcule y cuando x = 1 . y = 6 y varía inversamente con el cuadrado de x . Cuando x = 4 , entonces y = 3 . Calcule y cuando x = 2 . y varía inversamente con el cubo de x . Cuando x = 3 , entonces y = 1 . Calcule y cuando x = 1 . y = 27 y varía inversamente con la raíz cuadrada de x . Cuando x = 64 , entonces y = 12. Halle y cuando x = 36. y varía inversamente con la raíz cúbica de x . Cuando x = 27 , entonces y = 5. Halle y cuando x = 125. y = 3 y varía junto como x y z . Cuando x = 4 y z = 2 , entonces y = 16. Halle y cuando x = 3 y z = 3. y varía junto como x , z , y w . Cuando x = 2 , z = 1 , y w = 12 , entonces y = 72. Halle y cuando x = 1 , z = 2 , y w = 3. y = 18 y varía junto como x y el cuadrado de z. Cuando x = 2 y z = 4 , entonces y = 144. Halle y cuando x = 4 y z = 5. y varía conjuntamente como el cuadrado de x y la raíz cuadrada de c . Cuando x = 2 y z = 9 , entonces y = 24. Halle y cuando x = 3 y z = 25. y = 90 y varía junto como x y c e inversamente como w . Cuando x = 5 , z = 2 , y w = 20 , entonces y = 4. Halle y cuando x = 3 y z = 8 , y w = 48. y varía conjuntamente como el cuadrado de x y el cubo de c e inversamente como la raíz cuadrada de w . Cuando x = 2 , z = 2 , y w = 64 , entonces y = 12. Halle y cuando x = 1 , z = 3 , y w = 4. y = 81 2 y varía conjuntamente como el cuadrado de x y de c e inversamente como la raíz cuadrada de w y de t . Cuando x = 2 , z = 3 , w = 16 , y t = 3 , entonces y = 1. Halle y cuando x = 3 , z = 2 , w = 36 , y t = 5. En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada. y varía directamente con el cuadrado de x y cuando x = 2 , y = 3. y = 3 4 x 2 y varía directamente como el cubo de x y cuando x = 2 , y = 4. y varía directamente como la raíz cuadrada de x y cuando x = 36 , y = 2. y = 1 3 x y varía inversamente con x y cuando x = 6 , y = 2. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 1 , y = 4. y = 4 x 2 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo, T , que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media, a , que el planeta es del Sol. Utilizando el tiempo de la Tierra de 1 año y la distancia media de 93 millones de millas, halle la ecuación que relaciona T y a . Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Marte orbite el Sol si su distancia media es de 142 millones de millas. ≈ 1,89 años Utilizando la distancia de la Tierra de 150 millones de kilómetros, halle la ecuación que relaciona T y a. Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Venus orbite el Sol si su distancia media es de 108 millones de kilómetros. ≈ 0,61 años Utilizando la distancia de la Tierra de 1 unidad astronómica (U.A.), determine el tiempo que tarda Saturno en orbitar el Sol si su distancia media es de 9,54 U.A. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas. La distancia s a la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo, t , de la caída. Si un objeto cae 16 pies en un se g undo, ¿cuánto tiempo tarda en caer 144 pies? 3 segundos La velocidad v de un objeto que cae varía directamente al tiempo, t , de la caída. Si, después de 2 segundos, la velocidad del objeto es de 64 pies por segundo, ¿cuál es la velocidad después de 5 segundos? La velocidad de vibración de una cuerda sometida a una tensión constante varía inversamente a la longitud de la cuerda. Si una cuerda mide 24 pulgadas y vibra 128 veces por segundo, ¿cuál es la longitud de una cuerda que vibra 64 veces por segundo? 48 pulgadas El volumen de un gas mantenido a temperatura constante varía indirectamente como la presión del gas. Si el volumen de un gas es de 1.200 centímetros cúbicos, cuando la presión es de 200 milímetros de mercurio, ¿cuál es el volumen cuando la presión es de 300 milímetros de mercurio? El peso de un objeto sobre la superficie de la Tierra varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si un cuerpo pesa 50 libras cuando está a 3.960 millas del centro de la Tierra, ¿cuánto pesaría si estuviera a 3.970 millas del centro de la Tierra? ≈ 49,75 libras La intensidad de la luz medida en pies candela varía inversamente al cuadrado de la distancia a la fuente de luz. Supongamos que la intensidad de una bombilla es de 0,08 pies candela a una distancia de 3 metros. Halle el nivel de intensidad a 8 metros. La corriente en un circuito varía inversamente con su resistencia medida en ohmios. Cuando la corriente en un circuito es de 40 amperios, la resistencia es de 10 ohmios. Halle la corriente si la resistencia es de 12 ohmios. ≈ 33,33 amperios La fuerza que ejerce el viento sobre una superficie plana varía junto con el cuadrado de la velocidad del viento y con el área de la superficie plana. Si el área de la superficie es de 40 pies cuadrados y la velocidad del viento es de 20 millas por hora, la fuerza resultante es de 15 libras. Halle la fuerza sobre una superficie de 65 pies cuadrados a una velocidad de 30 millas por hora. La potencia (CV) que un eje puede transmitir con seguridad varía junto con su velocidad (en revoluciones por minuto [rpm]) y el cubo del diámetro. Si el eje de un determinado material de 3 pulgadas de diámetro puede transmitir 45 CV a 100 rpm, ¿qué diámetro deberá tener para transmitir 60 CV a 150 rpm? ≈ 2,88 pulgadas La energía cinética K de un objeto en movimiento varía junto con su masa m y el cuadrado de su velocidad v . Si un objeto que pesa 40 kilogramos a una velocidad de 15 metros por segundo tiene una energía cinética de 1.000 julios, halle la energía cinética si la velocidad aumenta a 20 metros por segundo. Ejercicios de repaso del capítulo Ha llegado al final del capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales. Repasemos algunos de los términos, conceptos y ecuaciones clave que aprendió. Números complejos Realice la operación indicada con números complejos. ( 4 + 3 i ) + ( – 2 - 5 i ) 2 - 2 i ( 6 − 5 i ) - ( 10 + 3 i ) ( 2 - 3 i ) ( 3 + 6 i ) 24 + 3 i 2 − i 2 + i Resuelva las siguientes ecuaciones sobre el sistema de números complejos. x 2 - 4 x + 5 = 0 { 2 + i , 2 − i } x 2 + 2 x + 10 = 0 Funciones cuadráticas En los siguientes ejercicios, escriba la función cuadrática en forma estándar. A continuación, dé los vértices y las intersecciones de los ejes. Por último, grafique la función. f ( x ) = x 2 - 4 x - 5 f ( x ) = ( x - 2 ) 2 - 9 vértice ( 2 , -9 ) , intersecciones ( 5 , 0 ) ; ( -1 , 0 ) ; ( 0 , –5 ) f ( x ) = - 2 x 2 - 4 x En los siguientes problemas, halle la ecuación de la función cuadrática con la información dada. El vértice es ( – 2 , 3 ) y un punto en el gráfico es ( 3 , 6 ) . f ( x ) = 3 25 ( x + 2 ) 2 + 3 El vértice es ( – 3 , 6,5 ) y un punto en el gráfico es ( 2 , 6 ) . Responda las siguientes preguntas. Una parcela rectangular será cercada con vallas. Uno de los lados está junto a un río, por lo que no hace falta la valla. Si el total de vallas disponibles es de 600 metros, calcule las dimensiones de la parcela para tener la máxima superficie. 300 por 150 metros, el lado más largo paralelo al río. Un objeto proyectado desde el suelo en un ángulo de 45 grados a una velocidad inicial de 120 pies por segundo tiene altura, h , en términos de distancia horizontal recorrida, x , dado por h ( x ) = − 32 ( 120 ) 2 x 2 + x . Calcule la altura máxima que alcanza el objeto. Funciones de potencia y funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, determine si la función es polinómica y, de ser así, dé el grado y el coeficiente principal. f ( x ) = 4 x 5 - 3 x 3 + 2 x – 1 Sí, grado = 5, coeficiente principal = 4 f ( x ) = 5 x + 1 - x 2 f ( x ) = x 2 ( 3 - 6 x + x 2 ) Sí, grado = 4, coeficiente principal = 1 En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de la función polinómica. f ( x ) = 2 x 4 + 3 x 3 - 5 x 2 + 7 f ( x ) = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = 2 x 2 ( 1 + 3 x – x 2 ) Gráfico de funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, halle todos los ceros de la función polinómica; tome nota de las multiplicidades. f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( 2 x – 1 ) ( x + 1 ) 3 − 3 con multiplicidad 2 , − 1 2 con multiplicidad 1 , − 1 con multiplicidad 3 f ( x ) = x 5 + 4 x 4 + 4 x 3 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x - 4 4 con multiplicidad 1 En los siguientes ejercicios, a partir del gráfico dado, determine los ceros de la función y tome nota de la multiplicidad. 1 2 con multiplicidad 1, 3 con multiplicidad 3 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que al menos un cero se encuentra entre 2 y 3 para la función f ( x ) = x 3 - 5 x + 1 Dividir polinomios En los siguientes ejercicios, utilice la división larga para hallar el cociente y el restante. x 3 - 2 x 2 + 4 x + 4 x - 2 x 2 + 4 con restante 12 3 x 4 - 4 x 2 + 4 x + 8 x + 1 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. Si el divisor es un factor, entonces escriba la forma factorizada. x 3 - 2 x 2 + 5 x – 1 x + 3 x 2 - 5 x + 20 − 61 x + 3 x 3 + 4 x + 10 x - 3 2 x 3 + 6 x 2 − 11 x - 12 x + 4 2 x 2 - 2 x - 3 , por lo que la forma factorizada es ( x + 4 ) ( 2 x 2 - 2 x - 3 ) 3 x 4 + 3 x 3 + 2 x + 2 x + 1 Ceros de funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para resolver la ecuación polinómica. 2 x 3 - 3 x 2 − 18 x - 8 = 0 { − 2 , 4 , - 1 2 } 3 x 3 + 11 x 2 + 8 x - 4 = 0 2 x 4 − 17 x 3 + 46 x 2 − 43 x + 12 = 0 { 1 , 3 , 4 , 1 2 } 4 x 4 + 8 x 3 + 19 x 2 + 32 x + 12 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice la regla de los signos de Descartes para calcular el número posible de soluciones positivas y negativas. x 3 - 3 x 2 - 2 x + 4 = 0 0 o 2 positivas, 1 negativa 2 x 4 - x 3 + 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 Funciones racionales En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas verticales y horizontales, y luego úsales para trazar un gráfico. f ( x ) = x + 2 x - 5 Intersecciones ( -2 , 0 ) y ( 0 , - 2 5 ) , Asíntotas x = 5 y y = 1. f ( x ) = x 2 + 1 x 2 - 4 f ( x ) = 3 x 2 − 27 x 2 + x - 2 Intersecciones (3, 0), (-3, 0) y ( 0 , 27 2 ) , Asíntotas x = 1 , x = – 2 , y = 3. f ( x ) = x + 2 x 2 - 9 En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua. f ( x ) = x 2 – 1 x + 2 y = x - 2 f ( x ) = 2 x 3 - x 2 + 4 x 2 + 1 Funciones inversas y radicales En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función con el dominio dado. f ( x ) = ( x - 2 ) 2 , x ≥ 2 f − 1 ( x ) = x + 2 f ( x ) = ( x + 4 ) 2 - 3 , x ≥ − 4 f ( x ) = x 2 + 6 x - 2 , x ≥ - 3 f − 1 ( x ) = x + 11 − 3 f ( x ) = 2 x 3 - 3 f ( x ) = 4 x + 5 - 3 f − 1 ( x ) = ( x + 3 ) 2 - 5 4 , x ≥ - 3 f ( x ) = x - 3 2 x + 1 Modelado mediante la variación En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la incógnita. y varía directamente como el cuadrado de x . Si cuando x = 3 , y = 36 , calcule y si x = 4. y = 64 y varía inversamente a la raíz cuadrada de x Si cuando x = 25 , y = 2 , calcule y si x = 4. y varía conjuntamente como el cubo de x y dado que c . Si cuando x = 1 y z = 2 , y = 6 , calcule y si x = 2 y z = 3. y = 72 y varía junto como x y el cuadrado de c e inversamente como el cubo de w . Si cuando x = 3 , z = 4 , y w = 2 , y = 48 , calcule y si x = 4 , z = 5 , y w = 3. En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de aplicación. El peso de un objeto sobre la Tierra varía inversamente con el cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. Si una persona pesa 150 libras cuando está en la superficie de la Tierra (a 3.960 millas del centro), calcule su peso si está a 20 millas por encima de la superficie. 148,5 libras El volumen V de un gas ideal varía directamente con la temperatura T e inversamente con la presión P . Un cilindro contiene oxígeno a una temperatura de 310 grados K y una presión de 18 atmósferas en un volumen de 120 litros. Calcule la presión si el volumen disminuye a 100 litros y la temperatura aumenta a 320 grados K. Examen del capítulo Realice la operación indicada o resuelva la ecuación. ( 3 - 4 i ) ( 4 + 2 i ) 20 − 10 i 1 - 4 i 3 + 4 i x 2 - 4 x + 13 = 0 { 2 + 3 i , 2 - 3 i } Diga el grado y el coeficiente principal de la siguiente función polinómica. f ( x ) = x 3 ( 3 - 6 x - 2 x 2 ) Determine el comportamiento final de la función polinómica. f ( x ) = 8 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 4 A s x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , a s x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = - 2 x 2 ( 4 - 3 x - 5 x 2 ) Escriba la función cuadrática en forma estándar. Determine el vértice y las intersecciones de los ejes y grafique la función. f ( x ) = x 2 + 2 x - 8 f ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 9 , vértice ( –1 , –9 ) , intersecciones ( 2 , 0 ) ; ( -4 , 0 ) ; ( 0 , −8 ) Dada la información acerca del gráfico de una función cuadrática, halle su ecuación. Vértice ( 2 , 0 ) y punto en el gráfico ( 4 , 12 ) . Resuelva el siguiente problema de aplicación. Un campo rectangular será cercado con vallas. Además de la valla de cerramiento, otra valla dividirá el campo en dos partes, paralelas a ambos lados. Si se dispone de 1.200 pies de vallas, calcule la superficie máxima que puede cerrarse. 60.000 pies cuadrados Halle todos los ceros de las siguientes funciones polinómicas; tome nota de las multiplicidades. f ( x ) = ( x - 3 ) 3 ( 3 x – 1 ) ( x – 1 ) 2 f ( x ) = 2 x 6 − 12 x 5 + 18 x 4 0 con multiplicidad 4, 3 con multiplicidad 2 A partir del gráfico, determine los ceros de la función y las multiplicidades. Utilice la división larga para hallar el cociente. 2 x 3 + 3 x - 4 x + 2 2 x 2 - 4 x + 11 − 26 x + 2 Utilice la división sintética para hallar el cociente. Si el divisor es un factor, escriba la forma factorizada. x 4 + 3 x 2 - 4 x - 2 2 x 3 + 5 x 2 - 7 x - 12 x + 3 2 x 2 - x - 4 . Así que la forma factorizada es ( x + 3 ) ( 2 x 2 - x - 4 ) Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros de las funciones polinómicas. f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 - 6 x - 9 f ( x ) = 4 x 4 + 8 x 3 + 21 x 2 + 17 x + 4 - 1 2 (tiene multiplicidad 2), − 1 ± i 15 2 f ( x ) = 4 x 4 + 16 x 3 + 13 x 2 − 15 x − 18 f ( x ) = x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 14 x 2 + 12 x + 8 - 2 (tiene multiplicidad 3), ± i Dada la siguiente información en torno a una función polinómica, halle la función. Tiene un doble cero en x = 3 y ceros en x = 1 y x = - 2 . Su intersección en y es ( 0 , 12 ) . Tiene un cero de multiplicidad 3 en x = 1 2 y otro cero en x = - 3 . Contiene el punto ( 1 , 8 ) . f ( x ) = 2 ( 2 x – 1 ) 3 ( x + 3 ) Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. 8 x 3 - 21 x 2 + 6 = 0 En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas horizontales y verticales, y trace un gráfico. f ( x ) = x + 4 x 2 - 2 x - 3 Intersecciones ( - 4 , 0 ) , ( 0 , - 4 3 ) , Asíntotas x = 3 , x = −1 , y = 0 f ( x ) = x 2 + 2 x - 3 x 2 - 4 Halle la asíntota oblicua de la función racional. f ( x ) = x 2 + 3 x - 3 x – 1 y = x + 4 Halle la inversa de la función. f ( x ) = x - 2 + 4 f ( x ) = 3 x 3 - 4 f − 1 ( x ) = x + 4 3 3 f ( x ) = 2 x + 3 3 x – 1 Calcule el valor de la incógnita. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 3 , y = 2. Halle y si x = 1. y = 18 y varía junto con x y la raíz cúbica de c . Si cuando x = 2 y z = 27 , y = 12 , calcule y si x = 5 y z = 8. Resuelva el siguiente problema de aplicación. La distancia de caída de un cuerpo varía directamente como el cuadrado del tiempo de caída. Si un objeto cae 64 pies en 2 segundos, ¿cuánto tiempo tardará en caer 256 pies? 4 segundos constante de variación el valor no nulo k que permite definir la relación entre variables en variación directa o inversa variación directa la relación entre dos variables que son un múltiplo constante de la otra; cuando una cantidad aumenta, también lo hace la otra variación inversa la relación entre dos variables en la que el producto de las variables es una constante inversamente proporcional una relación en la que una cantidad es una constante dividida entre la otra cantidad; cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye variación conjunta la relación en la que una variable varía directamente o inversamente con múltiples variables varía directamente la relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por la otra cantidad varía inversamente la relación en la que una cantidad es una constante dividida entre la otra cantidad

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Introducción Micrografía electrónica de la bacteria E. coli (créditos: "Mattosaurus", Wikimedia Commons) Concéntrese en un centímetro cuadrado de su piel. Mire más de cerca. Más cerca aún. Si se pudiera mirar con suficiente atención, se verían cientos de miles de organismos microscópicos. Son bacterias, y no solo están en la piel, sino también en la boca, en la nariz y hasta en los intestinos. De hecho, las células bacterianas en su cuerpo superan a sus propias células en cualquier momento. Sin embargo, eso no es motivo para sentirse mal consigo mismo. Aunque algunas bacterias pueden causar enfermedades, muchas son saludables y hasta esenciales para el organismo. Las bacterias se reproducen en un proceso denominado fisión binaria, durante el cual una célula bacteriana se divide en dos. Cuando las condiciones son adecuadas, las bacterias se reproducen muy rápidamente. A diferencia de los humanos y otros organismos complejos, el tiempo necesario para formar una nueva generación de bacterias suele ser cuestión de minutos u horas, en lugar de días o años. Todar, PhD, Kenneth. Todar's Online Textbook of Bacteriology. http://textbookofbacteriology.net/growth_3.html. Para simplificar, supongamos que empezamos con un cultivo de una célula bacteriana que se divide cada hora. La muestra el número de células bacterianas al final de cada hora. Vemos que la única célula bacteriana da lugar a ¡más de mil células bacterianas en solo diez horas! Si extrapolamos la tabla a veinticuatro horas, ¡tendríamos más de 16 millones! Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024 En este capítulo, exploraremos las funciones exponenciales, que se utilizan, entre otros aspectos, para modelar patrones de crecimiento como los que se encuentran en las bacterias. También investigaremos las funciones logarítmicas, que guardan estrecha relación con las funciones exponenciales. Ambos tipos de funciones tienen numerosas aplicaciones en el mundo real a la hora de modelar e interpretar datos.

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