Ceros de funciones polinómicas Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde? Este problema se resuelve al escribir una función cúbica y resolver una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, abordaremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas. Evaluar un polinomio con el teorema del resto En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto . Si el polinomio se divide entre x – k , el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en k , es decir, f ( k ) Repasemos la demostración del teorema. Recordemos que el algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) tal que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) Si el divisor, d ( x ) , es x − k , esto asume la forma f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r Dado que el divisor x − k es lineal, el resto será una constante, r . Si evaluamos esto para x = k , tenemos f ( k ) = ( k − k ) q ( k ) + r = 0 ⋅ q ( k ) + r = r En otras palabras, f ( k ) es el resto que se obtiene al dividir f ( x ) entre x − k . El teorema del resto Si un polinomio f ( x ) se divide entre x − k , entonces el restante es el valor f ( k ) . Cómo Dada una función polinómica f , evaluar f ( x ) en x = k con el teorema del resto. Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre x − k . El restante es el valor f ( k ) . Usar el teorema del resto para evaluar un polinomio Utilice el teorema del resto para evaluar f ( x ) = 6 x 4 - x 3 − 15 x 2 + 2 x - 7 a las x = 2. Para hallar el restante con el teorema del resto, emplee la división sintética para dividir el polinomio entre x − 2. 2 6 - 1 − 15 2 - 7 12 22 14 32 6 11 7 16 25 El restante es 25. Por lo tanto, f ( 2 ) = 25. Análisis Podemos comprobar nuestra respuesta al evaluar f ( 2 ) . f ( x ) = 6 x 4 - x 3 − 15 x 2 + 2 x - 7 f ( 2 ) = 6 ( 2 ) 4 - ( 2 ) 3 − 15 ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) - 7 = 25 Ejercicio Utilice el teorema del resto para evaluar f ( x ) = 2 x 5 - 3 x 4 - 9 x 3 + 8 x 2 + 2 en x = − 3, f ( - 3 ) = − 412 Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica El teorema del factor es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r . Si los valores de k es un cero, entonces el restante r es f ( k ) = 0 y f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + 0 o f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) . Observe que, escrito en esta forma, x − k es un factor de f ( x ) . Podemos concluir que, si k es un cero de f ( x ) , entonces x − k es un factor de f ( x ) . Del mismo modo, si x − k es un factor de f ( x ) , entonces el restante del algoritmo de la división f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r es 0. Esto nos dice que k es un cero. Este par de implicaciones constituye el teorema del factor. Como veremos más adelante, un polinomio de grado n en el sistema de números complejos tendrá n ceros. Podemos utilizar el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de n factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, podemos determinar fácilmente los ceros. El teorema del factor Según el teorema del factor , k es un cero de f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) . Cómo Dado un factor y un polinomio de tercer grado, utilizar el teorema del factor para factorizar el polinomio. Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre ( x − k ) . Confirme que el restante sea 0. Escriba el polinomio como el producto de ( x − k ) y el cociente cuadrático. Si es posible, factorice el cuadrático. Escriba el polinomio como producto de factores. Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica Demuestre que ( x + 2 ) es un factor de x 3 - 6 x 2 - x + 30. Halle los factores restantes. Utilice los factores para determinar los ceros del polinomio . Podemos utilizar la división sintética para demostrar que ( x + 2 ) es un factor del polinomio. − 2 1 − 6 - 1 30 - 2 16 − 30 1 - 8 15 0 El restante es cero, por lo que ( x + 2 ) es un factor del polinomio. Podemos utilizar el algoritmo de la división para escribir el polinomio como el producto del divisor y el cociente: ( x + 2 ) ( x 2 - 8 x + 15 ) Podemos factorizar el factor cuadrático para escribir el polinomio como ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) Por el teorema del factor, los ceros de x 3 - 6 x 2 - x + 30 son –2, 3 y 5. Ejercicio Utilice el teorema del factor para hallar los ceros de f ( x ) = x 3 + 4 x 2 - 4 x − 16 dado que ( x - 2 ) es un factor del polinomio. Los ceros son 2, –2 y –4. Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio. Consideremos una función cuadrática con dos ceros, x = 2 5 y x = 3 4 . Según el teorema del factor, estos ceros tienen factores asociados. Supongamos que cada factor es igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original sin su factor de estiramiento. Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. Del mismo modo, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4. Podemos deducir que los numeradores de las raíces racionales serán siempre factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del teorema del cero racional; es un medio para darnos un conjunto de posibles ceros racionales. El teorema del cero racional El teorema del cero racional afirma que, si el polinomio f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 tiene coeficientes enteros, entonces cada cero racional de f ( x ) tiene la forma p q donde p es un factor del término constante a 0 y q es un factor del coeficiente principal a n . Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante. Cómo Dada una función polinómica f ( x ) , utilizar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales. Determine todos los factores del término constante y del coeficiente principal. Determine todos los valores posibles de p q , donde p es un factor del término constante y q es un factor del coeficiente principal. Incluya los candidatos tanto positivos como los negativos. Determine qué posibles ceros en realidad lo son al evaluar cada caso de f ( p q ) . Enumerar todos los posibles ceros racionales Enumere todos los posibles ceros racionales de f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 + x 2 − 4. Los únicos ceros racionales posibles de f ( x ) son los cocientes de los factores del último término, –4, y los factores del coeficiente principal, 2. El término constante es –4; los factores de –4 son p = ±1 , ±2 , ±4. El coeficiente principal es 2; los factores de 2 son q = ±1 , ±2. Si alguno de los cuatro ceros reales son ceros racionales, entonces serán de uno de los siguientes factores de –4 dividido entre uno de los factores de 2. p q = ± 1 1 , ±1, 1 2 p q = ± 2 1 , ±2, 2 2 p q = ± 4 1 , ± 4 2 Observe que 2 2 = 1 y 4 2 = 2 , que ya se han enumerado. Así que podemos acortar nuestra lista. p q = Factores de la última Factores de la primera = ±1 , ±2 , ±4 , ±1, 1 2 Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 4 x + 1. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de 1 y q es un factor de 2. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de 1 factor de 2 Los factores de 1 son ±1 y los factores de 2 son ±1 y ±2. Los posibles valores de p q son ±1 y ± 1 2 . Estos son los posibles ceros racionales de la función. Podemos determinar cuáles de los posibles ceros son realmente ceros al sustituir estos valores por x en f ( x ) . f ( - 1 ) = 2 ( - 1 ) 3 + ( - 1 ) 2 - 4 ( - 1 ) + 1 = 4 f ( 1 ) = 2 ( 1 ) 3 + ( 1 ) 2 - 4 ( 1 ) + 1 = 0 f ( - 1 2 ) = 2 ( - 1 2 ) 3 + ( - 1 2 ) 2 - 4 ( - 1 2 ) + 1 = 3 f ( 1 2 ) = 2 ( 1 2 ) 3 + ( 1 2 ) 2 - 4 ( 1 2 ) + 1 = - 1 2 De esos, −1, − 1 2 , y 1 2 no son ceros de f ( x ) . 1 es el único cero racional de f ( x ) . Ejercicio Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 2 x + 1. No hay ceros racionales. Hallar los ceros de las funciones polinómicas El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica. Cómo Dada una función polinómica f , utilizar la división sintética para hallar sus ceros. Utilice el teorema del cero racional para enumerar todos los posibles ceros racionales de la función. Utilice la división sintética para evaluar un posible cero dado al dividir sintéticamente el candidato en el polinomio. Si el restante es 0, el candidato es un cero. Si el restante no es cero, descarte el candidato. Repita el segundo paso con el cociente hallado con la división sintética. Si es posible, continúe hasta que el cociente sea un cuadrático. Halle los ceros de la función cuadrática. Dos métodos posibles para resolver cuadráticas son la factorización y el uso de la fórmula cuadrática. Hallar los ceros de una función polinómica con ceros reales repetidos Halle los ceros de f ( x ) = 4 x 3 - 3 x - 1. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de –1 y q es un factor de 4. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de –1 factor de 4 Los factores de – 1 son ±1 y los factores de 4 son ±1 , ±2 , y ±4. Los posibles valores de p q son ±1 , ±1, 1 2 , y ± 1 4 . Estos son los posibles ceros racionales de la función. Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un resto de 0. Empecemos con 1. 1 4 0 - 3 - 1 4 4 1 4 4 1 0 Dividiendo entre ( x – 1 ) da un restante de 0, por lo que 1 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como ( x – 1 ) ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) . La cuadrática es un cuadrado perfecto. f ( x ) puede escribirse como ( x – 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 . Ya sabemos que el 1 es un cero. El otro cero tendrá una multiplicidad de 2 porque el factor es cuadrado. Para hallar el otro cero, podemos llevar el factor igual a 0. 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 Los ceros de la función son 1 y − 1 2 con multiplicidad 2. Análisis Mire el gráfico de la función f en la . Observe que, en x = − 0,5 , el gráfico rebota en el eje x , lo cual indica la multiplicidad par (2,4,6...) para el cero − 0,5. En x = 1 , el gráfico cruza el eje x , lo cual indica la multiplicidad impar (1, 3, 5...) para el cero x = 1. Usar el teorema fundamental del álgebra Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El teorema fundamental del álgebra nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas. Supongamos que f es una función polinómica de grado cuatro, y f ( x ) = 0 . El teorema fundamental del álgebra establece que existe al menos una solución compleja, llámese c 1 . Por el teorema del factor, podemos escribir f ( x ) como producto de x - c 1 y un cociente polinómico. Dado que x - c 1 es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el teorema fundamental del álgebra al cociente del polinomio de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámese c 2 . Así que podemos escribir el cociente de polinomios como un producto de x - c 2 y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continúe aplicando el teorema fundamental del álgebra hasta hallar todos los ceros. Serán cuatro y cada uno de ellos arrojará un factor de f ( x ) . El teorema fundamental del álgebra establece que, si f(x) es un polinomio de grado n > 0 , entonces f(x) tendrá al menos un cero complejo. Podemos utilizar este teorema para argumentar que, si f ( x ) es un polinomio de grado n > 0 , y a es un número real distinto de cero, entonces f ( x ) tiene exactamente n factores lineales f ( x ) = a ( x - c 1 ) ( x - c 2 ) ... ( x - c n ) donde c 1 , c 2 , ... , c n son números complejos. Por lo tanto, f ( x ) tiene n raíces si permitimos las multiplicidades. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todo polinomio tiene al menos un cero imaginario? No. Un número complejo no es necesariamente imaginario. Los números reales también son números complejos. Hallar los ceros de una función polinómica con ceros complejos Halle los ceros de f ( x ) = 3 x 3 + 9 x 2 + x + 3. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de 3 y q es un factor de 3. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de 3 factor de 3 Los factores de 3 son ±1 y ±3. Los posibles valores de p q , y, por ende, los posibles ceros racionales de la función son ±3 , ±1 y ± 1 3 . Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un restante de 0. Empecemos con –3. − 3 3 9 1 3 - 9 0 - 3 3 0 1 0 Dividiendo entre ( x + 3 ) da un restante de 0, por lo que –3 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como ( x + 3 ) ( 3 x 2 + 1 ) Podemos entonces fijar la cuadrática igual a 0 y resolver para hallar los demás ceros de la función. 3 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 3 x = ± − 1 3 = ± i 3 3 Los ceros de f ( x ) son –3 y ± i 3 3 . Análisis Mire el gráfico de la función f en la . Observe que, en x = - 3 , el gráfico cruza el eje x , lo cual indica una multiplicidad impar (1) para el cero. x = – 3. Observe también la presencia de los dos puntos de inflexión. Esto significa que, al existir un polinomio de 3. er grado, estamos ante el máximo número de puntos de inflexión. Así, el comportamiento final de aumento sin límite hacia la derecha y disminución sin límite hacia la izquierda continuará. Por lo tanto, se muestran todas las intersecciones en x para la función. Así que, o bien la multiplicidad de x = - 3 es 1 y hay dos soluciones complejas, que es lo que encontramos, o la multiplicidad en x = - 3 es tres. En cualquier caso, nuestro resultado es correcto. Ejercicio Halle los ceros de f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − 11 x + 4. Los ceros son –4, 1 2 , y 1 . Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra , como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado n tendrá n ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en n factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Supongamos que f es una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos que a + b i , b ≠ 0 , es un cero de f ( x ) . Entonces, según el teorema del factor, x - ( a + b i ) es un factor de f ( x ) . Para que f tenga coeficientes reales, x - ( a - b i ) también deberá ser un factor de f ( x ) . Esto es así porque cualquier factor que no sea x - ( a - b i ) , cuando se multiplica por x - ( a + b i ) , dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará lugar a coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica f con coeficientes reales tiene un cero complejo a + b i , entonces el conjugado complejo a - b i también será un cero de f ( x ) . Esto se denomina el teorema del conjugado complejo . Nota genérica Teorema del conjugado complejo Según el teorema de la factorización lineal , una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Si la función polinómica f tiene coeficientes reales y un cero complejo en la forma a + b i , entonces el conjugado complejo del cero, a - b i , también es un cero. Cómo Dados los ceros de una función polinómica f y un punto (c, f(c)) en el gráfico de f , utilizar el teorema de la factorización lineal para hallar la función polinómica. Utilice los ceros para construir los factores lineales del polinomio. Multiplique los factores lineales para expandir el polinomio. Sustituya ( c , f ( c ) ) en la función para determinar el coeficiente principal. Simplifique. Usar el teorema de la factorización lineal para hallar un polinomio con ceros dados Halle un polinomio de cuarto grado con coeficientes reales que tenga ceros de –3, 2, i , de manera que f ( – 2 ) = 100. Dado que x = i es un cero, según el teorema del conjugado complejo x = – i también es un cero. El polinomio tendrá factores de ( x + 3 ) , ( x - 2 ) , ( x − i ) , y ( x + i ) . Ya que estamos buscando un polinomio de grado 4, y ahora tenemos cuatro ceros, tenemos los cuatro factores. Empecemos por multiplicar estos factores. f ( x ) = a ( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x − i ) ( x + i ) f ( x ) = a ( x 2 + x - 6 ) ( x 2 + 1 ) f ( x ) = a ( x 4 + x 3 - 5 x 2 + x - 6 ) Tenemos que hallar a para asegurar que f ( – 2 ) = 100. Sustituya x = – 2 y f ( 2 ) = 100 en f ( x ) . 100 = a ( ( – 2 ) 4 + ( – 2 ) 3 - 5 ( – 2 ) 2 + ( – 2 ) - 6 ) 100 = a ( − 20 ) - 5 = a Así que la función polinómica es f ( x ) = - 5 ( x 4 + x 3 - 5 x 2 + x - 6 ) o f ( x ) = - 5 x 4 − 5 x 3 + 25 x 2 - 5 x + 30 Análisis Hemos comprobado que tanto i y − i eran ceros, pero solo había que dar uno de estos ceros. Si los valores de i es un cero de un polinomio con coeficientes reales, entonces − i también será un cero del polinomio porque − i es el conjugado complejo de i . PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si 2 + 3 i se diera como un cero de un polinomio con coeficientes reales, sería 2 - 3 i ¿también tiene que ser un cero? Sí. Cuando cualquier número complejo con un componente imaginario se da como un cero de un polinomio con coeficientes reales, el conjugado también será un cero del polinomio. Ejercicio Halle un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que tenga ceros de 5 y − 2 i de manera que f ( 1 ) = 10. f ( x ) = - 1 2 x 3 + 5 2 x 2 - 2 x + 10 Usar la regla de los signos de Descartes Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, la regla de los signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en f ( x ) y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo. Esto nos indica que la función tendrá 1 cero real positivo. Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en f ( - x ) y el número de ceros reales negativos. En este caso, f ( −x ) tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que f ( x ) puede tener 3 o 1 ceros reales negativos. La regla de los signos de Descartes Según la regla de los signos de Descartes , supongamos que f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 es una función polinómica con coeficientes reales: El número de ceros reales positivos es igual al número de cambios de signo de f ( x ) o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par. El número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo de f ( - x ) o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par. Usar la regla de los signos de Descartes Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos para f ( x ) = - x 4 - 3 x 3 + 6 x 2 - 4 x − 12. Comience por determinar el número de cambios de signo. Hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales positivas. A continuación, examinamos f ( - x ) para determinar el número de raíces reales negativas. f ( - x ) = - ( - x ) 4 - 3 ( - x ) 3 + 6 ( - x ) 2 - 4 ( - x ) − 12 f ( - x ) = - x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 12 De nuevo, hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales negativas. Hay cuatro posibilidades, como podemos ver en la . Ceros reales positivos Ceros reales negativos Ceros complejos Total de ceros 2 2 0 4 2 0 2 4 0 2 2 4 0 0 4 4 Análisis Podemos confirmar el número de raíces reales positivas y negativas al examinar un gráfico de la función. Vea la . Observamos en el gráfico que la función tiene 0 raíces reales positivas y 2 raíces reales negativas. Ejercicio Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número máximo posible de ceros reales positivos y negativos para f ( x ) = 2 x 4 - 10 x 3 + 11 x 2 − 15 x + 12. Utilice un gráfico para verificar el número de ceros reales positivos y negativos de la función. Deberá haber 4, 2 o 0 raíces reales positivas y 0 raíces reales negativas. El gráfico muestra que hay 2 ceros reales positivos y 0 ceros reales negativos. Resolver aplicaciones del mundo real Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección. Resolver ecuaciones polinómicas Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde? Empiece por escribir una ecuación para el volumen del pastel. El volumen de un sólido rectangular viene dado por V = l w h . Nos dieron que la longitud debe ser cuatro pulgadas más larga que la anchura, por lo que podemos expresar la longitud del pastel como l = w + 4. Nos han dado que la altura del pastel es un tercio de la anchura, por lo que podemos expresar la altura como h = 1 3 w . Escribamos el volumen del pastel en términos de su anchura. V = ( w + 4 ) ( w ) ( 1 3 w ) V = 1 3 w 3 + 4 3 w 2 Sustituya el volumen dado en esta ecuación. 351 = 1 3 w 3 + 4 3 w 2 Sustituya 351 por V . 1053 = w 3 + 4 w 2 Multiplique ambos lados por 3 . 0 = w 3 + 4 w 2 − 1053 Reste 1053 de ambos lados . La regla de los signos de Descartes nos indica que hay una solución positiva. El teorema del cero racional nos indica que los posibles ceros racionales son ± 1 , ±3,... 3 , ± 9 , ± 13 , ± 27 , ± 39 , ± 81 , ± 117 , ± 351 , y ± 1053. Podemos utilizar la división sintética para comprobar estos posibles ceros. Solo los números positivos tienen sentido como dimensiones para un pastel, así que no necesitamos probar ningún valor negativo. Empecemos por probar los valores que tienen más sentido como dimensiones para un pastel de molde pequeño. Utilice la división sintética para comprobar x = 1. 1 1 4 0 − 1053 1 5 5 1 5 5 − 1048 Ya que 1 no es una solución, comprobaremos x = 3. Ya que 3 tampoco es una solución, probaremos x = 9. La división sintética da un restante de 0, por lo que 9 es una solución de la ecuación. Podemos utilizar las relaciones entre la anchura y las demás dimensiones para determinar la longitud y la altura del molde del pastel. l = w + 4 = 9 + 4 = 13 y h = 1 3 w = 1 3 ( 9 ) = 3 El molde debería tener unas dimensiones de 13 pulgadas por 9 pulgadas por 3 pulgadas. Ejercicio Un contenedor de transporte con forma de sólido rectangular deberá tener un volumen de 84 metros cúbicos. El cliente indica al fabricante que, debido al contenido, la longitud del contenedor deberá ser un metro mayor que la anchura, y la altura deberá ser un metro mayor que el doble de la anchura. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del contenedor? 3 por 4 por 7 metros Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los ceros de las funciones polinómicas. Ceros reales, factores y gráficos de funciones polinómicas Teorema de la factorización compleja Hallar los ceros de una función polinómica Hallar los ceros de una función polinómica 2 Hallar los ceros de una función polinómica 3 Conceptos clave Para hallar f ( k ) , determine el restante del polinomio f ( x ) cuando se divide entre x − k . Vea el . k es un cero de f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) . Vea el . Cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido entre un factor del coeficiente principal. Vea el y el . Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante. La división sintética puede utilizarse para hallar los ceros de una función polinómica. Vea el . Según el teorema fundamental, toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Vea el . Toda función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo. Teniendo en cuenta las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor tendrá la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Vea el . El número de ceros reales positivos de una función polinómica es o bien el número de cambios de signo de la función o bien menor que el número de cambios de signo en un número entero par. El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo de f ( - x ) o menos que el número de cambios de signo por un número entero par. Vea el . Las ecuaciones polinómicas modelan muchas situaciones en el mundo real. La resolución de las ecuaciones es más fácil de realizar mediante la división sintética. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa un uso del teorema del resto. El teorema se puede utilizar para evaluar un polinomio. Explique por qué el teorema del cero racional no garantiza que se hallen los ceros de una función polinómica. ¿Cuál es la diferencia entre los ceros racionales y los reales? Los ceros racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los ceros reales incluyen números irracionales. Si la regla de los signos de Descartes revela un no cambio de signos o un signo de cambios, ¿qué conclusión concreta se puede extraer? Si la división sintética revela un cero, ¿por qué deberíamos probar de nuevo ese valor como posible solución? Las funciones polinómicas pueden tener ceros repetidos, por lo que el hecho de que un número sea un cero no excluye que vuelva a serlo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del resto para hallar el restante. ( x 4 - 9 x 2 + 14 ) ÷ ( x - 2 ) ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) − 106 ( x 4 + 5 x 3 - 4 x − 17 ) ÷ ( x + 1 ) ( - 3 x 2 + 6 x + 24 ) ÷ ( x - 4 ) 0 ( 5 x 5 - 4 x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + x – 1 ) ÷ ( x + 6 ) ( x 4 - 1 ) ÷ ( x - 4 ) 255 ( 3 x 3 + 4 x 2 - 8 x + 2 ) ÷ ( x - 3 ) ( 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 7 ) ÷ ( x + 2 ) - 1 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del factor para hallar todos los ceros reales de la función polinómica dada y un factor. f ( x ) = 2 x 3 - 9 x 2 + 13 x - 6 ; x – 1 f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 5 x + 2 ; x + 2 - 2 , 1 , 1 2 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 − 20 x + 12 ; x + 3 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 6 ; x + 2 - 2 f ( x ) = - 5 x 3 + 16 x 2 - 9 ; x - 3 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 12 ; x + 3 - 3 4 x 3 - 7 x + 3 ; x – 1 2 x 3 + 5 x 2 - 12 x − 30 ,  2 x + 5 - 5 2 , 6 , − 6 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para hallar todos los ceros reales. x 3 - 3 x 2 - 10 x + 24 = 0 2 x 3 + 7 x 2 - 10 x − 24 = 0 2 , - 4 , - 3 2 x 3 + 2 x 2 - 9 x − 18 = 0 x 3 + 5 x 2 - 16 x − 80 = 0 4 , - 4 , - 5 x 3 - 3 x 2 - 25 x + 75 = 0 2 x 3 - 3 x 2 - 32 x - 15 = 0 5 , - 3 , - 1 2 2 x 3 + x 2 - 7 x - 6 = 0 2 x 3 - 3 x 2 - x + 1 = 0 1 2 , 1 + 5 2 , 1 - 5 2 3 x 3 - x 2 − 11 x - 6 = 0 2 x 3 - 5 x 2 + 9 x - 9 = 0 3 2 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 3 = 0 x 4 – 2 x 3 - 7 x 2 + 8 x + 12 = 0 2 , 3 , - 1 , - 2 x 4 + 2 x 3 - 9 x 2 - 2 x + 8 = 0 4 x 4 + 4 x 3 − 25 x 2 - x + 6 = 0 1 2 , - 1 2 , 2 , - 3 2 x 4 - 3 x 3 − 15 x 2 + 32 x - 12 = 0 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 - 10 x - 5 = 0 - 1 , - 1 , 5 , - 5 4 x 3 - 3 x + 1 = 0 8 x 4 + 26 x 3 + 39 x 2 + 26 x + 6 - 3 4 , - 1 2 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones complejas (reales y no reales). x 3 + x 2 + x + 1 = 0 x 3 - 8 x 2 + 25 x − 26 = 0 2 , 3 + 2 i , 3 - 2 i x 3 + 13 x 2 + 57 x + 85 = 0 3 x 3 - 4 x 2 + 11 x + 10 = 0 - 2 3 , 1 + 2 i , 1 - 2 i x 4 + 2 x 3 + 22 x 2 + 50 x − 75 = 0 2 x 3 - 3 x 2 + 32 x + 17 = 0 - 1 2 , 1 + 4 i , 1 - 4 i Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. A continuación, trace un gráfico para confirmar cuál de esas posibilidades es la combinación real. f ( x ) = x 3 - 1 f ( x ) = x 4 - x 2 – 1 1 positivo, 1 negativo f ( x ) = x 3 - 2 x 2 - 5 x + 6 f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x – 1 3 o 1 positivo, 0 negativo f ( x ) = x 4 + 2 x 3 - 12 x 2 + 14 x - 5 f ( x ) = 2 x 3 + 37 x 2 + 200 x + 300 0 positivo, 3 o 1 negativo f ( x ) = x 3 - 2 x 2 - 16 x + 32 f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 - 5 x 2 + 5 x + 3 2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 − 14 x 2 + 20 x + 8 f ( x ) = 10 x 4 − 21 x 2 + 11 2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo Numéricos En los siguientes ejercicios, enumere todos los posibles ceros racionales de las funciones. f ( x ) = x 4 + 3 x 3 - 4 x + 4 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 - 8 x + 5 ± 5 , ±1, 1 , ± 5 2 f ( x ) = 3 x 3 + 5 x 2 - 5 x + 4 f ( x ) = 6 x 4 - 10 x 2 + 13 x + 1 ± 1 , ±1, 1 2 , ±1, 1 3 , ±1, 1 6 f ( x ) = 4 x 5 − 10 x 4 + 8 x 3 + x 2 - 8 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función polinómica. A partir del gráfico, halle los ceros racionales. Todas las soluciones reales son racionales. f ( x ) = 6 x 3 - 7 x 2 + 1 1 , 1 2 , - 1 3 f ( x ) = 4 x 3 - 4 x 2 − 13 x - 5 f ( x ) = 8 x 3 - 6 x 2 − 23 x + 6 2 , 1 4 , - 3 2 f ( x ) = 12 x 4 + 55 x 3 + 12 x 2 − 117 x + 54 f ( x ) = 16 x 4 − 24 x 3 + x 2 − 15 x + 25 5 4 Extensiones En los siguientes ejercicios, construya una función polinómica del menor grado posible con la información dada. Raíces reales: –1, 1, 3 y ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 4 ) Raíces reales: –1, 1 (con multiplicidad 2 y 1) y ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 4 ) f ( x ) = 4 9 ( x 3 + x 2 - x – 1 ) Raíces reales: –2, 1 2 (con multiplicidad 2) y ( - 3 , f ( - 3 ) ) = ( - 3 , 5 ) Raíces reales: − 1 2 , 0, 1 2 y ( – 2 , f ( – 2 ) ) = ( – 2 , 6 ) f ( x ) = - 1 5 ( 4 x 3 - x ) Raíces reales: –4, –1, 1, 4 y ( – 2 , f ( – 2 ) ) = ( – 2 , 10 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones de la caja descrita. La longitud es el doble de la anchura. La altura es 2 pulgadas mayor que la anchura. El volumen es de 192 pulgadas cúbicas. 8 por 4 por 6 pulgadas La longitud, la anchura y la altura son números enteros consecutivos. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas. La longitud es una pulgada más que la anchura, que es una pulgada más que la altura. El volumen es de 86,625 pulgadas cúbicas. 5,5 por 4,5 por 3,5 pulgadas La longitud es tres veces la altura y la altura es una pulgada menos que la anchura. El volumen es de 108 pulgadas cúbicas. La longitud es 3 pulgadas más que la anchura. La anchura es 2 pulgadas más que la altura. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas. 8 por 5 por 3 pulgadas En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones del cilindro circular descrito. El radio es 3 pulgadas más que la altura. El volumen es 16 π pulgadas cúbicas. La altura es uno menos que la mitad del radio. El volumen es 72 π metros cúbicos. Radio = 6 metros, altura = 2 metros El radio y la altura difieren en un metro. El radio es mayor y el volumen es 48 π metros cúbicos. El radio y la altura difieren en dos metros. La altura es mayor y el volumen es 28,125 π metros cúbicos. Radio = 2,5 metros, altura = 4,5 metros 80. El radio es 1 3 metro mayor que la altura. El volumen es 98 9 π metros cúbicos. La regla de los signos de Descartes una regla que determina el número máximo posible de ceros reales positivos y negativos en función del número de cambios de signo de f ( x ) y f ( - x ) Teorema del factor k es un cero de la función polinómica f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) Teorema fundamental del álgebra una función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo Teorema de la factorización lineal permitiendo las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo Teorema del cero racional los posibles ceros racionales de una función polinómica tienen la forma p q donde p es un factor del término constante y q es un factor del coeficiente principal. Teorema del resto si un polinomio f ( x ) se divide entre x − k , entonces el restante será igual al valor f ( k )

Matemáticas


Funciones racionales Supongamos que sabemos que el costo de fabricación de un producto depende del número de artículos, x , producidos. Esto viene dado por la ecuación C ( x ) = 15.000 x − 0,1 x 2 + 1.000. Si queremos saber el costo promedio de producir x artículos, dividiríamos la función de costo entre el número de artículos, x . La función de costo promedio, que arroja el costo promedio por artículo para x artículos producidos, es f ( x ) = 15.000 x − 0,1 x 2 + 1.000 x Muchos otros problemas de aplicación requieren hallar un valor promedio de forma similar, para darnos variables en el denominador. Esta función, escrita sin ninguna variable en el denominador, contendrá una potencia entera negativa. En las últimas secciones, hemos trabajado con funciones polinómicas, que son funciones con enteros no negativos para los exponentes. En esta sección, exploramos las funciones racionales, que tienen variables en el denominador. Usar la notación de flechas Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la , y observe algunas de sus características. Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de f ( x ) = 1 x . En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x ( y = 0 ) dado que x → – ∞ . A medida que el gráfico se acerca a x = 0 desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x ( y = 0 ) dado que x → ∞ . Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que x o f ( x ) se acerca a un valor determinado. Vea la . Notación de flechas Símbolo Significado x → a − x se acerca a a desde la izquierda ( x < a pero está cerca de a ). x → a + x se acerca a a desde la derecha ( x > a pero está cerca de a ). x → ∞ x se acerca al infinito ( x aumenta sin límite) x → - ∞ x se acerca al infinito negativo ( x disminuye sin límite) f ( x ) → ∞ la salida se acerca al infinito (la salida aumenta sin límite) f ( x ) → - ∞ la salida se acerca al infinito negativo (la salida disminuye sin límite) f ( x ) → a la salida se acerca a a Comportamiento local de f ( x ) = 1 x Empecemos por ver la función recíproca, f ( x ) = 1 x . No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en x = 0 ; por lo que el cero no está en el dominio . A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la . x –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001 f ( x ) = 1 x -10 –100 –1.000 –10.000 Escribimos en la notación de flechas dado que x → 0 − , f ( x ) → - ∞ A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la . x 0,1 0,01 0,001 0,0001 f ( x ) = 1 x 10 100 1.000 10.000 Escribimos en la notación de flechas Dado que x → 0 + , f ( x ) → ∞ . Vea la . Este comportamiento crea una asíntota vertical , que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical x = 0 a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la . Asíntota vertical La asíntota vertical de un gráfico es una línea vertical x = a donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que la entrada se acerca a a ya sea a la izquierda o a la derecha. Escribimos Dado que x → a – , f ( x ) → ± ∞ o x → a + , f ( x ) → ± ∞ . Comportamiento final de f ( x ) = 1 x Dado que los valores de x se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de x se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la . Simbólicamente, mediante la notación de flechas Dado que x → ∞ , f ( x ) → 0 y dado que x → - ∞ , f ( x ) → 0 . Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal , una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal y = 0 . Vea la . Asíntota horizontal La asíntota horizontal de un gráfico es una línea horizontal y = b donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. Escribimos Dado que x → ∞ o x → - ∞ , f ( x ) → b . Usar la notación de flechas Utilice la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función graficada en la . Observe que el gráfico muestra una asíntota vertical en x = 2 , que nos señala que la función es indefinida en x = 2. Dado que x → 2 − , f ( x ) → - ∞ , y dado que x → 2 + , f ( x ) → ∞ . Además, a medida que las entradas disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 4, lo que indica una asíntota horizontal en y = 4. A medida que las entradas aumentan sin límite, el gráfico se nivela en 4. Dado que x → ∞ , f ( x ) → 4 y dado que x → - ∞ , f ( x ) → 4. Ejercicio Use la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función recíproca al cuadrado. Comportamiento final: dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 0 ; Comportamiento local: dado que x → 0 , f ( x ) → ∞ (no hay intersecciones en x o en y ) Usar transformaciones para graficar una función racional Dibuje un gráfico de la función recíproca, desplazada 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Identifique las asíntotas horizontales y verticales del gráfico, si las hay. Al desplazar el gráfico 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba se obtendría la función f ( x ) = 1 x + 2 + 3 o, de forma equivalente, al conferir a los términos un denominador común, f ( x ) = 3 x + 7 x + 2 El gráfico de la función desplazada se muestra en la . Observe que esta función es indefinida en x = - 2 , y el gráfico también muestra una asíntota vertical en x = − 2. Dado que x → - 2 − , f ( x ) → - ∞ , y dado que x → - 2 + , f ( x ) → ∞ . A medida que las entradas aumentan y disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 3, lo que indica una asíntota horizontal en y = 3. Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 3. Análisis Observe que las asíntotas horizontales y verticales se desplazan 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba, junto con la función. Ejercicio Dibuje el gráfico y halle las asíntotas horizontales y verticales de la función recíproca al cuadrado que se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo. La función y las asíntotas están desplazadas 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Dado que x → 3 , f ( x ) → ∞ , y dado que x → ± ∞ , f ( x ) → − 4. La función es f ( x ) = 1 ( x - 3 ) 2 − 4. Resolver problemas aplicados con funciones racionales En el , hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función f ( x ) = 3 x + 7 x + 2 . Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Función racional La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas P ( x ) y Q ( x ) . f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a p x p + a p - 1 x p - 1 + ... + a 1 x + a 0 b q x q + b q − 1 x q − 1 + ... + b 1 x + b 0 , Q ( x ) ≠ 0 Resolver un problema aplicado con una función racional Después de quedarse sin suministros preempacados, una enfermera de un campo de refugiados prepara una solución de azúcar intravenosa para los pacientes del hospital de campaña. Un gran tanque de mezcla contiene actualmente 100 galones de agua en los que se han mezclado 5 libras de azúcar. Un grifo se abrirá para verter 10 galones por minuto de agua en el tanque, al mismo tiempo que se vierte azúcar a un ritmo de 1 libra por minuto. Halle la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de 12 minutos. ¿Es una concentración mayor que al principio? Supongamos que t es el número de minutos desde que se abrió el grifo. Dado que el agua aumenta a 10 galones por minuto, y el azúcar aumenta a 1 libra por minuto, estas son tasas constantes de cambio. Esto nos indica que la cantidad de agua en el tanque cambia linealmente, al igual que la cantidad de azúcar. Podemos escribir una ecuación de forma independiente para cada una de ellas: agua: W ( t ) = 100 + 10 t en galones azúcar: S ( t ) = 5 + 1 t en libras La concentración, C , será la proporción de libras de azúcar por galones de agua C ( t ) = 5 + t 100 + 10 t La concentración después de 12 minutos viene dada por la evaluación de C ( t ) en t = 12. C ( 12 ) = 5 + 12 100 + 10 ( 12 ) = 17 220 Esto significa que la concentración es de 17 libras de azúcar por 220 galones de agua. Al principio, la concentración es C ( 0 ) = 5 + 0 100 + 10 ( 0 ) = 1 20 Dado que 17 220 ≈ 0,08 > 1 20 = 0,05 , la concentración es mayor después de 12 minutos que al principio. Análisis Para calcular la asíntota horizontal, divida el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador: 1 10 = 0,1 Observe que la asíntota horizontal es y = 0,1. Esto significa que la concentración, C , la proporción de libras de azúcar por galones de agua, se acercará a 0,1 a largo plazo. Ejercicio Hay 1.200 estudiantes de primer año y 1.500 de segundo en una concentración al mediodía. Después de las 12 p. m., 20 estudiantes de primer año llegan a la concentración cada cinco minutos, mientras que 15 estudiantes de segundo año la abandonan. Halle la relación de estudiantes de primer y segundo años a la 1 p. m. 12 11 Hallar los dominios de las funciones racionales La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero. Dominio de la función racional El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero. Cómo Dada una función racional, hallar el dominio. Igualar el denominador a cero. Resuelva para hallar los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. El dominio son todos los números reales, excepto los encontrados en el paso 2. Hallar el dominio de una función racional Halle el dominio de f ( x ) = x + 3 x 2 - 9 . Comience por igualar el denominador a cero y resolver. x 2 - 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 3 El denominador es igual a cero cuando x = ± 3. El dominio de la función son todos los números reales, excepto x = ± 3. Análisis El gráfico de esta función, como se muestra en la , confirma que la función no está definida cuando x = ± 3. Hay una asíntota vertical en x = 3 y un agujero en el gráfico en x = − 3. Más adelante hablaremos con más detalle acerca de este tipo de agujeros. Ejercicio Halle el dominio de f ( x ) = 4 x 5 ( x – 1 ) ( x - 5 ) . El dominio son todos los números reales, excepto x = 1 y x = 5. Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación. Asíntotas verticales Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores. Cómo Dada una función racional, identificar las asíntotas verticales de su gráfico. Factorice el numerador y el denominador. Tenga en cuenta las restricciones en el dominio de la función. Reduzca la expresión al cancelar los factores comunes en el numerador y el denominador. Tenga en cuenta los valores que hacen que el denominador sea cero en esta versión simplificada. Aquí es donde se producen las asíntotas verticales. Observe cualquier restricción en el dominio donde no se produzcan asíntotas. Se trata de discontinuidades removibles. Identificar asíntotas verticales Halle las asíntotas verticales en el gráfico de k ( x ) = 5 + 2 x 2 2 - x – x 2 . En primer lugar, factorice el numerador y el denominador. k ( x ) = 5 + 2 x 2 2 - x – x 2 = 5 + 2 x 2 ( 2 + x ) ( 1 - x ) Para hallar las asíntotas verticales, determinamos dónde esta función será indefinida al igualar el denominador a cero: ( 2 + x ) ( 1 - x ) = 0 x = - 2 , 1 Ni x = – 2 ni x = 1 son ceros del numerador, por lo que los dos valores indican dos asíntotas verticales. El gráfico de la confirma la ubicación de las dos asíntotas verticales. Discontinuidades removibles En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible . Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 – 1 x 2 - 2 x - 3 puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador. f ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) Observe que x + 1 es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor, x = - 1 , es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que x – 3 no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor, x = 3 , es la asíntota vertical. Vea la . Discontinuidades removibles de las funciones racionales La discontinuidad removible ocurre en el gráfico de una función racional en x = a si a es un cero para un factor en el denominador que es común con un factor en el numerador. Factorizamos el numerador y el denominador y comprobamos si hay factores comunes. Si encontramos alguno, igualamos a 0 el factor común y resolvemos. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Esto es así si la multiplicidad de este factor es mayor o igual que la del denominador. Si la multiplicidad de este factor es mayor en el denominador, entonces sigue habiendo una asíntota en ese valor. Identificar asíntotas verticales y discontinuidades removibles para un gráfico Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de k ( x ) = x - 2 x 2 - 4 . Factorice el numerador y el denominador. k ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) Observe que hay un factor común en el numerador y en el denominador, x – 2. El cero en este factor es x = 2. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe que hay un factor en el denominador que no está en el numerador, x + 2. El cero en este factor es x = − 2. La asíntota vertical es x = − 2. Vea la . El gráfico de esta función tendrá la asíntota vertical en x = –2 , pero en x = 2 el gráfico tendrá un agujero. Ejercicio Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de f ( x ) = x 2 - 25 x 3 - 6 x 2 + 5 x . Discontinuidad removible en x = 5. Asíntotas verticales x = 0 , x = 1. Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales: Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y = 0 . Ejemplo: f ( x ) = 4 x + 2 x 2 + 4 x - 5 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 4 x x 2 = 4 x . Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g ( x ) = 4 x , y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en y = 0 . Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal. Asíntota horizontal y = 0 cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p < grado de q . Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua. Ejemplo: f ( x ) = 3 x 2 - 2 x + 1 x – 1 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 3 x 2 x = 3 x . Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g ( x ) = 3 x . A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de g ( x ) = 3 x parece una línea diagonal, y dado que f se comportará de forma similar a g , se aproximará a una línea cercana a y = 3 x . Esta línea es una asíntota oblicua. Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida 3 x 2 - 2 x + 1 x – 1 . El cociente es 3 x + 1 , y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta g ( x ) = 3 x + 1. Vea la . Asíntota oblicua cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p > grado de q por 1 . Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y = a n b n , donde a n y b n son los coeficientes principales de p ( x ) como q ( x ) por f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 . Ejemplo: f ( x ) = 3 x 2 + 2 x 2 + 4 x - 5 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 3 x 2 x 2 = 3. Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función g ( x ) = 3 , que es una línea horizontal. Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 3 , lo que da lugar a una asíntota horizontal en y = 3. Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal. Asíntota horizontal cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p = grado de q . Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical , el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua). Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función f ( x ) = 3 x 5 - x 2 x + 3 con comportamiento final f ( x ) ≈ 3 x 5 x = 3 x 4 , el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo. x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ Asíntotas horizontales de las funciones racionales La asíntota horizontal de una función racional se determina al mirar los grados del numerador y del denominador. El grado del numerador es menor que el grado del denominador: asíntota horizontal en y = 0 . El grado del numerador es mayor que el grado del denominador en uno : no hay asíntota horizontal; asíntota oblicua. El grado del numerador es igual al grado del denominador: asíntota horizontal en la relación de los coeficientes principales. Identificar asíntotas horizontales y oblicuas En las siguientes funciones, identifique la asíntota horizontal o la asíntota oblicua. Ⓐ g ( x ) = 6 x 3 - 10 x 2 x 3 + 5 x 2 Ⓑ h ( x ) = x 2 - 4 x + 1 x + 2 Ⓒ k ( x ) = x 2 + 4 x x 3 - 8 Para estas soluciones, utilizaremos f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 . Ⓐ g ( x ) = 6 x 3 - 10 x 2 x 3 + 5 x 2 : El grado de p = grado de q = 3 , por lo que podemos hallar la asíntota horizontal al tomar el cociente de los términos principales. Hay una asíntota horizontal en y = 6 2 o y = 3. Ⓑ h ( x ) = x 2 - 4 x + 1 x + 2 : El grado de p = 2 y el grado de q = 1. Dado que p > q por 1, hay una asíntota oblicua, que se encuentra en x 2 - 4 x + 1 x + 2 . -2 1 - 4 1 - 2 12 1 − 6 13 El cociente es x – 6 y el restante es 13. Hay una asíntota oblicua en y = x – 6. Ⓒ k ( x ) = x 2 + 4 x x 3 - 8 : El grado de p = 2 < grado de q = 3 , por lo que hay una asíntota horizontal y = 0 . Identificar asíntotas horizontales En el problema de concentración de azúcar anterior, creamos la ecuación C ( t ) = 5 + t 100 + 10 t . Halle la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema. Tanto el numerador como el denominador son lineales (grado 1). Dado que los grados son iguales, habrá una asíntota horizontal en la relación de los coeficientes principales. En el numerador, el término principal es t , con el coeficiente 1. En el denominador, el término principal es 10 t , con el coeficiente 10. La asíntota horizontal estará en el cociente de estos valores: t → ∞ , C ( t ) → 1 10 Esta función tendrá una asíntota horizontal en y = 1 10 . Esto nos indica que, a medida que los valores de t aumentan, los valores de C se acercarán a 1 10 . En el contexto, esto significa que, a medida que pasa el tiempo, la concentración de azúcar en el tanque se acercará a un décimo de libra de azúcar por galón de agua o 1 10 libras por galón. Identificar asíntotas horizontales y verticales Halle las asíntotas horizontales y verticales de la función f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta función no tiene factores comunes, por lo que no hay posibles discontinuidades removibles. La función tendrá asíntotas verticales cuando el denominador sea cero, lo que hace que la función sea indefinida. El denominador será cero en x = 1 , – 2 , y 5 , lo que indica las asíntotas verticales en estos valores. El numerador tiene grado 2, mientras que el denominador tiene grado 3. Ya que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el denominador aumentará más rápido que el numerador, por lo que las salidas tenderán a cero a medida que aumenten las entradas, y así como x → ± ∞ , f ( x ) → 0 . Esta función tendrá una asíntota horizontal en y = 0 . Vea la . Ejercicio Halle las asíntotas vertical y horizontal de la función: f ( x ) = ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 ) Asíntotas verticales en x = 2 y x = – 3 ; asíntota horizontal en y = 4. Intersecciones de las funciones racionales Una función racional tendrá una intersección en y cuando la entrada sea cero, si la función está definida en cero. Una función racional no tendrá intersección en y si la función no está definida en cero. Del mismo modo, una función racional tendrá intersecciones en x en las entradas que hacen que la salida sea cero. Dado que una fracción solo es igual a cero cuando el numerador es cero, las intersecciones en x ocurren únicamente cuando el numerador de la función racional es igual a cero. Hallar las intersecciones de una función racional Halle las intersecciones de f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) . Podemos encontrar la intersección en y al evaluar la función en cero f ( 0 ) = ( 0 - 2 ) ( 0 + 3 ) ( 0 - 1 ) ( 0 + 2 ) ( 0 − 5 ) = − 6 10 = - 3 5 = − 0,6 Las intersecciones en x se producirán cuando la función sea igual a cero: 0 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) Es cero cuando el numerador es cero . 0 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) x = 2 , - 3 La intersección en y es ( 0 , –0,6 ) , las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( -3 , 0 ) . Vea la . Ejercicio Dada la función recíproca al cuadrado que se desplaza 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo, escríbala como una función racional. A continuación, halle las intersecciones en x y en y , así como las asíntotas horizontales y verticales. Para la función recíproca transformada al cuadrado, hallamos la forma racional f ( x ) = 1 ( x - 3 ) 2 - 4 = 1 - 4 ( x - 3 ) 2 ( x - 3 ) 2 = 1 - 4 ( x 2 - 6 x + 9 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) = – 4 x 2 + 24 x − 35 x 2 - 6 x + 9 Ya que el numerador es del mismo grado que el denominador, sabemos que, dado que x → ± ∞ , f ( x ) → − 4 ; por lo que y = – 4 es la asíntota horizontal. A continuación, igualamos el denominador a cero, y hallamos que la asíntota vertical es x = 3 , porque, dado que x → 3 , f ( x ) → ∞ . A continuación, igualamos el numerador a 0 y hallamos que las intersecciones en x están en ( 2,5 , 0 ) y ( 3,5 , 0 ) . Por último, evaluamos la función en 0 y hallamos que la intersección en y está en ( 0 , - 35 9 ) . Graficar funciones racionales En el , vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios. Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la . Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la . Por ejemplo, el gráfico de f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) ( x + 3 ) 2 ( x - 2 ) se muestra en la . En la intersección en x x = - 1 correspondiente al factor ( x + 1 ) 2 del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor. En la intersección en x x = 3 correspondiente al factor ( x - 3 ) del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal. En la asíntota vertical x = - 3 correspondiente al factor ( x + 3 ) 2 del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función f ( x ) = 1 x 2 . En la asíntota vertical x = 2 , correspondiente al factor ( x - 2 ) del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho. Cómo Dada una función racional, dibuje un gráfico. Evalúe la función en 0 para hallar la intersección en y . Factorice el numerador y el denominador. En los factores del numerador que no son comunes al denominador, determine dónde cada factor del numerador es cero para hallar las intersecciones en x . Calcule las multiplicidades de las intersecciones en x para determinar el comportamiento del gráfico en esos puntos. En los factores del denominador, observe las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento local. En los factores que no sean comunes al numerador, halle las asíntotas verticales al igualar esos factores a cero y luego resuelva. En los factores en el denominador comunes a los factores en el numerador, halle las discontinuidades removibles al igualar esos factores a 0 y luego resuelva. Compare los grados del numerador y del denominador para determinar las asíntotas horizontales u oblicuas. Dibuje el gráfico. Graficar una función racional Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) 2 ( x - 2 ) . Podemos empezar observando que la función ya está factorizada, lo que nos ahorra un paso. A continuación, hallaremos las intersecciones. Al evaluar la función en el cero se obtiene la intersección en y : f ( 0 ) = ( 0 + 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 + 1 ) 2 ( 0 - 2 ) = 3 Para hallar las intersecciones en x , determinamos cuándo el numerador de la función es cero. Si cada factor es igual a cero, hallaremos las intersecciones en x en x = -2 y x = 3. En cada una de ellas, el comportamiento será lineal (multiplicidad 1), donde el gráfico pasa a través de la intersección. Tenemos una intersección en y en ( 0 , 3 ) y las intersecciones en x en ( -2 , 0 ) y ( 3 , 0 ) . Para hallar las asíntotas verticales, determinamos cuándo el denominador es igual a cero. Esto ocurre cuando x + 1 = 0 y cuando x – 2 = 0 , lo que nos da asíntotas verticales en x = -1 y x = 2. No hay factores comunes en el numerador y el denominador. Esto significa que no hay discontinuidades removibles. Finalmente, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, lo que nos indica que este gráfico tiene una asíntota horizontal en y = 0 . Para dibujar el gráfico, podríamos empezar por trazar las tres intersecciones. Debido a que el gráfico no tiene intersecciones en x entre las asíntotas verticales, y la intersección en y es positiva, sabemos que la función debe seguir siendo positiva entre las asíntotas, lo que nos permite rellenar la parte central del gráfico como se muestra en la . El factor asociado a la asíntota vertical en x = −1 se elevó al cuadrado, por lo que sabemos que el comportamiento será el mismo a ambos lados de la asíntota. El gráfico se dirige hacia el infinito positivo a medida que las entradas se acercan a la asíntota de la derecha, por lo que el gráfico también se dirigirá hacia el infinito positivo de la izquierda. Para la asíntota vertical en x = 2 , el factor no se elevó al cuadrado, por lo que el gráfico tendrá un comportamiento opuesto a ambos lados de la asíntota. Vea la . Después de pasar por las intersecciones en x , el gráfico se nivelará hacia una salida de cero, como lo indica la asíntota horizontal. Ejercicio Dada la función f ( x ) = ( x + 2 ) 2 ( x - 2 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x - 3 ) , utilice las características de los polinomios y de las funciones racionales para describir su comportamiento y hacer un esquema de la función. Asíntota horizontal en y = 1 2 . Asíntotas verticales en x = 1 y x = 3. intersección en y , en ( 0 , 4 3 . ) intersecciones en x en ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . ( – 2 , 0 ) es un cero con multiplicidad 2, y el gráfico rebota en el eje x en este punto. ( 2 , 0 ) es un solo cero y el gráfico cruza el eje en este punto. Escribir funciones racionales Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x , donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x , al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores. Escribir funciones racionales a partir de intersecciones y asíntotas Si una función racional tiene intersecciones en x en x = x 1 , x 2 , ... , x n , asíntotas verticales en x = v 1 , v 2 , … , v m , y ninguna x i = cualquier v j , entonces la función se puede escribir en la forma: f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n ( x – v 1 ) q 1 ( x – v 2 ) q 2 ⋯ ( x – v m ) q m donde las potencias p i o q i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección o asíntota correspondiente y el factor de estiramiento a puede determinarse dado un valor de la función distinto de la intersección en x o por la asíntota horizontal si es distinta de cero. Cómo Dado el gráfico de una función racional, escribir la función. Determine los factores del numerador. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar los ceros y sus multiplicidades. (Esto es fácil cuando se halla la función "más simple" con multiplicidades pequeñas [como 1 o 3]. Sin embargo, puede ser difícil para multiplicidades mayores [como 5 o 7, por ejemplo]). Determine los factores del denominador. Examine el comportamiento a ambos lados de cada asíntota vertical para determinar los factores y sus potencias. Utilice cualquier punto claro en el gráfico para hallar el factor de estiramiento. Escribir una función racional a partir de las intersecciones y las asíntotas Escriba una ecuación para la función racional que se muestra en la . El gráfico parece tener intersecciones en x en x = – 2 y x = 3. En ambos, el gráfico pasa por la intersección, lo que sugiere factores lineales. El gráfico tiene dos asíntotas verticales. La que está en x = – 1 exhibe el comportamiento básico, semejante al de 1 x , donde el gráfico se dirige hacia el infinito positivo por un lado y hacia el infinito negativo por el otro. La asíntota en x = 2 exhibe un comportamiento semejante al de 1 x 2 , donde el gráfico se dirige hacia el infinito negativo a ambos lados de la asíntota. Vea la . Podemos utilizar esta información para escribir una función de la forma f ( x ) = a ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) 2 . Para hallar el factor de estiramiento, podemos utilizar otro punto claro en el gráfico, como la intersección en y ( 0 , -2 ) . − 2 = a ( 0 + 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) 2 - 2 = a − 6 4 a = - 8 - 6 = 4 3 Esto nos da una función final de f ( x ) = 4 ( x + 2 ) ( x - 3 ) 3 ( x + 1 ) ( x - 2 ) 2 . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones racionales. Graficar funciones racionales Hallar la ecuación de una función racional Determinar asíntotas verticales y horizontales Hallar las intersecciones, las asíntotas y el agujero de una función racional Ecuaciones clave Función racional f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a p x p + a p - 1 x p - 1 + ... + a 1 x + a 0 b q x q + b q − 1 x q − 1 + ... + b 1 x + b 0 , Q ( x ) ≠ 0 Conceptos clave Podemos utilizar la notación de flecha para describir el comportamiento local y el comportamiento final de las funciones de la caja de herramientas f ( x ) = 1 x y f ( x ) = 1 x 2 . Vea el . Una función que se nivela en un valor horizontal tiene una asíntota horizontal. Una función puede tener más de una asíntota vertical. Vea el . Los problemas de aplicación que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Vea el . El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que igualan el denominador a cero. Vea el . Las asíntotas verticales de una función racional se darán cuando el denominador de la función sea igual a cero y el numerador sea distinto a cero. Vea el . Puede producirse una discontinuidad removible en el gráfico de una función racional si una entrada hace que tanto el numerador como el denominador sean cero. Vea el . El comportamiento final de una función racional reflejará el de la relación de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Vea el , el , el y el . Grafique funciones racionales al hallar las intersecciones, el comportamiento en las intersecciones y las asíntotas, así como el comportamiento final. Vea el . Si una función racional tiene intersecciones en x en x = x 1 , x 2 , … , x n , asíntotas verticales en x = v 1 , v 2 , … , v m , y ninguna x i = cualquier v j , entonces la función se puede escribir de la forma f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n ( x – v 1 ) q 1 ( x – v 2 ) q 2 ⋯ ( x – v m ) q n Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia fundamental en la representación algebraica de una función polinómica y una función racional? La función racional se representa por un cociente de funciones polinómicas. ¿Cuál es la diferencia fundamental en los gráficos de las funciones polinómicas y las funciones racionales? Si el gráfico de una función racional tiene una discontinuidad removible, ¿qué debe ser cierto de la regla funcional? El numerador y el denominador deberán tener un factor común. ¿El gráfico de una función racional puede no tener asíntota vertical? Si es así, ¿cómo? ¿El gráfico de una función racional puede no tener intersecciones en x ? Si es así, ¿cómo? Sí. El numerador de la fórmula de las funciones solo tendría raíces complejas o factores comunes al numerador y al denominador. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el dominio de las funciones racionales. f ( x ) = x – 1 x + 2 f ( x ) = x + 1 x 2 – 1 Todos los reales x ≠ – 1 , 1 f ( x ) = x 2 + 4 x 2 - 2 x - 8 f ( x ) = x 2 + 4 x - 3 x 4 − 5 x 2 + 4 Todos los reales x ≠ – 1 , – 2 , 1 , 2 En los siguientes ejercicios, halle el dominio, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de las funciones. f ( x ) = 4 x – 1 f ( x ) = 2 5 x + 2 A.V. en x = – 2 5 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ – 2 5 f ( x ) = x x 2 - 9 f ( x ) = x x 2 + 5 x − 36 A.V. en x = 4 , – 9 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 4 , – 9 f ( x ) = 3 + x x 3 − 27 f ( x ) = 3 x - 4 x 3 − 16 x A.V. en x = 0 , 4 , - 4 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 0 , 4 , – 4 f ( x ) = x 2 – 1 x 3 + 9 x 2 + 14 x f ( x ) = x + 5 x 2 - 25 A.V. en x = 5 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 5 , - 5 f ( x ) = x - 4 x - 6 f ( x ) = 4 – 2 x 3 x – 1 A.V. en x = 1 3 ; A.H. en y = - 2 3 . El dominio son todos los reales x ≠ 1 3 . En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de las funciones. f ( x ) = x + 5 x 2 + 4 f ( x ) = x x 2 - x ninguno f ( x ) = x 2 + 8 x + 7 x 2 + 11 x + 30 f ( x ) = x 2 + x + 6 x 2 - 10 x + 24 x no interseca ninguno, y interseca ( 0 , 1 4 ) f ( x ) = 94 − 2 x 2 3 x 2 - 12 En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento local y final de las funciones. f ( x ) = x 2 x + 1 Comportamiento local: x → - 1 2 + , f ( x ) → - ∞ , x → - 1 2 − , f ( x ) → ∞ Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → 1 2 f ( x ) = 2 x x - 6 f ( x ) = - 2 x x - 6 Comportamiento local: x → 6 + , f ( x ) → - ∞ , x → 6 − , f ( x ) → ∞ , Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → - 2 f ( x ) = x 2 - 4 x + 3 x 2 - 4 x - 5 f ( x ) = 2 x 2 - 32 6 x 2 + 13 x - 5 Comportamiento local: x → 1 3 + , f ( x ) → ∞ , x → 1 3 - , f ( x ) → - ∞ , x → − 5 2 − , f ( x ) → ∞ , x → − 5 2 + , f ( x ) → - ∞ Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → 1 3 En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua de las funciones. f ( x ) = 24 x 2 + 6 x 2 x + 1 f ( x ) = 4 x 2 - 10 2 x - 4 y = 2 x + 4 f ( x ) = 81 x 2 − 18 3 x - 2 f ( x ) = 6 x 3 - 5 x 3 x 2 + 4 y = 2 x f ( x ) = x 2 + 5 x + 4 x – 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la transformación dada para graficar la función. Observe las asíntotas verticales y horizontales. La función recíproca se desplazó 2 unidades hacia arriba. V . A . x = 0 , H . A . y = 2 La función recíproca se desplazó 1 unidad hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda. La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia la derecha. V . A . x = 2 , H . A . y = 0 La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha. En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones horizontales, la intersección vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal u oblicua de las funciones. Dibuje un gráfico con esta información. p ( x ) = 2 x - 3 x + 4 V . A . x = – 4 , H . A . y = 2 ; ( 3 2 , 0 ) ; ( 0 , - 3 4 ) q ( x ) = x - 5 3 x – 1 s ( x ) = 4 ( x - 2 ) 2 V . A . x = 2 , H . A . y = 0 , ( 0 , 1 ) r ( x ) = 5 ( x + 1 ) 2 f ( x ) = 3 x 2 − 14 x - 5 3 x 2 + 8 x − 16 V . A . x = – 4 , x = 4 3 , H . A . y = 1 ; ( 5 , 0 ) ; ( - 1 3 , 0 ) ; ( 0 , 5 16 ) g ( x ) = 2 x 2 + 7 x - 15 3 x 2 − 14 x + 15 a ( x ) = x 2 + 2 x - 3 x 2 – 1 V . A . x = - 1 , H . A . y = 1 ; ( - 3 , 0 ) ; ( 0 , 3 ) ; discontinuidad removible (agujero) en ( 1 , 2 ) b ( x ) = x 2 - x - 6 x 2 - 4 h ( x ) = 2 x 2 + x – 1 x - 4 V . A . x = 4 , S . A . y = 2 x + 9 ; ( - 1 , 0 ) ; ( 1 2 , 0 ) ; ( 0 , 1 4 ) k ( x ) = 2 x 2 - 3 x - 20 x - 5 w ( x ) = ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x - 5 ) ( x + 2 ) 2 ( x - 4 ) V . A . x = - 2 , x = 4 , H . A . y = 1 , ( 1 , 0 ) ; ( 5 , 0 ) ; ( - 3 , 0 ) ; ( 0 , − 15 16 ) z ( x ) = ( x + 2 ) 2 ( x - 5 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para una función racional con las características dadas. Asíntotas verticales en x = 5 y x = - 5 , intersecciones en x , en ( 2 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) , intersección en y , en ( 0 , 4 ) y = 50 x 2 - x - 2 x 2 - 25 Asíntotas verticales en x = – 4 y x = - 1 , intersecciones en x , en ( 1 , 0 ) y ( 5 , 0 ) , intersección en y , en ( 0 , 7 ) Asíntotas verticales en x = – 4 y x = - 5 , intersecciones en x , en ( 4 , 0 ) y ( − 6 , 0 ) , asíntota horizontal en y = 7 y = 7 x 2 + 2 x − 24 x 2 + 9 x + 20 Asíntotas verticales en x = - 3 y x = 6 , intersecciones en x , en ( – 2 , 0 ) y ( 1 , 0 ) , asíntota horizontal en y = - 2 Asíntota vertical en x = - 1 , Doble cero en x = 2 , intersección en y , en ( 0 , 2 ) y = 1 2 x 2 - 4 x + 4 x + 1 Asíntota vertical en x = 3 , Doble cero en x = 1 , intersección en y , en ( 0 , 4 ) En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una ecuación de la función. y = 4 x - 3 x 2 - x - 12 27(x - 2) / ((x - 3)² (x + 3)) y = 27 x - 2 ( x - 3 ) 2 ( x + 3 ) y = 1 3 x 2 + x - 6 x – 1 y = − 6 ( x – 1 ) 2 ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, haga tablas que muestren el comportamiento de la función cerca de la asíntota vertical y que reflejen la asíntota horizontal f ( x ) = 1 x - 2 x 2,01 2,001 2,0001 1,99 1,999 y 100 1.000 10.000 –100 –1.000 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 0,125 0,0102 0,001 0,0001 0,00001 Asíntota vertical x = 2 , asíntota horizontal y = 0 f ( x ) = x x - 3 f ( x ) = 2 x x + 4 x –4,1 –4,01 –4,001 –3,99 –3,999 y 82 802 8.002 –798 –7.998 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 1,4286 1,9331 1,992 1,9992 1,999992 Asíntota vertical x = – 4 , asíntota horizontal y = 2 f ( x ) = 2 x ( x - 3 ) 2 f ( x ) = x 2 x 2 + 2 x + 1 x –0,9 –0,99 –0,999 –1,1 –1,01 y 81 9.801 998.001 121 10.201 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 0,82645 0,9803 0,998 0,9998 Asíntota vertical x = - 1 , asíntota horizontal y = 1 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar f ( x ) . Utilice el gráfico para resolver f ( x ) > 0 . f ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 4 2 x - 3 ( 3 2 , ∞ ) f ( x ) = 2 ( x – 1 ) ( x + 2 ) f ( x ) = x + 2 ( x – 1 ) ( x - 4 ) ( – 2 , 1 ) ∪ ( 4 , ∞ ) f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x + 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, identifique la discontinuidad removible. f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 ( 2 , 4 ) f ( x ) = x 3 + 1 x + 1 f ( x ) = x 2 + x - 6 x - 2 ( 2 , 5 ) f ( x ) = 2 x 2 + 5 x - 3 x + 3 f ( x ) = x 3 + x 2 x + 1 ( – 1 , 1 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, exprese una función racional que describa la situación. En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 200 galones de agua, en los que se han mezclado 10 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 10 galones de agua por minuto en el tanque, al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 3 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t minutos. En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 300 galones de agua, en los que se han mezclado 8 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 20 galones de agua por minuto en el tanque al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 2 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t minutos. C ( t ) = 8 + 2 t 300 + 20 t En los siguientes ejercicios, utilice la función racional dada para responder la pregunta. La concentración C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después de la inyección viene dada por C ( t ) = 2 t 3 + t 2 . ¿Qué ocurre con la concentración del fármaco a medida que t aumenta? La concentración C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después de la inyección viene dada por C ( t ) = 100 t 2 t 2 + 75 . Utilice una calculadora para estimar el momento en que la concentración es más alta. Después de unas 6,12 horas. En los siguientes ejercicios, construya una función racional para resolver el problema. A continuación, utilice una calculadora para responder la pregunta. Una caja abierta con base cuadrada debe tener un volumen de 108 pulgadas cúbicas. Calcule las dimensiones de la caja que tendrá un área superficial mínima. Supongamos que x = longitud del lado de la base. Una caja rectangular con base cuadrada debe tener un volumen de 20 pies cúbicos. El material para la base cuesta 30 céntimos/pie cuadrado. El material para los laterales cuesta 10 céntimos/pie cuadrado. El material para la parte superior cuesta 20 céntimos/pie cuadrado. Determine las dimensiones que le supondrán un costo mínimo. Supongamos que x = longitud del lado de la base. A ( x ) = 50 x 2 + 800 x . 2 por 2 por 5 pies. Un cilindro recto tiene un volumen de 100 pulgadas cúbicas. Calcule el radio y la altura que le permitirán obtener un área superficial mínima. Supongamos que x = radio. Un cilindro recto sin tapa tiene un volumen de 50 metros cúbicos. Calcule el radio que le permitirá obtener área superficial mínima. Supongamos que x = radio. A ( x ) = π x 2 + 100 x . Radio = 2,52 metros. Un cilindro recto debe tener un volumen de 40 pulgadas cúbicas. Cuesta 4 céntimos/pulgada cuadrada construir la parte superior e inferior y 1 céntimo/pulgada cuadrada construir el resto del cilindro. Calcule el radio que le permita obtener el costo mínimo. Supongamos que x = radio. notación de flecha forma de representar simbólicamente el comportamiento local y final de una función mediante el uso de flechas para indicar que una entrada o salida se acerca a un valor asíntota horizontal línea horizontal y = b donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. función racional función que se escribe como el cociente de dos polinomios discontinuidad removible un punto único en el que una función es indefinida que, si se rellena, haría que la función fuera continua; aparece como un agujero en el gráfico de una función asíntota vertical línea vertical x = a donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que las entradas se acercan hasta a

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