Resolver sistemas con la regla de Cramer Objetivos de aprendizaje Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3) Objetivo 1: Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3) La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones. Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones. 2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12 Evalúe el determinante del sistema mediante los coeficientes de las variables D = 2 3 1 3 = 6 3 = 9 Evalúe el determinante Dx. Sustituya los coeficientes de la variable x, –2 y 1, por las constantes 3 y 12 D x = 3 3 12 3 = 9 36 = 27 Evalúe el determinante Dy. Sustituya los coeficientes de la variable y, 3 y 3, por las constantes 3 y 12 D y = 2 3 1 12 = 24 3 = 27 Halle x y y x = D x D = 27 9 = 3 y = D y D = 27 9 = 3 Escriba la solución como un par ordenado ( 3 , 3 ) Compruebe la solución en las ecuaciones originales La práctica hace la perfección Use la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones. 3 x + 8 y = 3 2 x + 5 y = 3 Resuelva el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer { 3 x - 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y - 2 z = 3 . Evalúe el determinante D . Expanda por menores utilizando la columna 1. Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D x . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de x . Expanda por menores utilizando la columna 1. Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D y . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de y . Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D c . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de z . Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Halle x , y y z . Sustituya los valores. Simplifique. Escriba la solución como un triple ordenado. Compruebe que el triple ordenado es una solución a las tres ecuaciones originales. Le dejamos la comprobación a usted. La solución es ( 2 , −3 , –4 ) . La práctica hace la perfección Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de tres ecuaciones. 3 x + 8 y + 2 z = – 5 2 x + 5 y 3 z = 0 x + 2 y 2 z = 1 Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por varios métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss-Jordan, utilizando la inversa de una matriz y mediante gráficos. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más adecuados en determinadas situaciones. En esta sección estudiaremos otras dos estrategias para resolver sistemas de ecuaciones. Evaluar el determinante de una matriz 2×2 El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección. Halle el determinante de una matriz de 2 × 2 El determinante de una matriz 2 × 2 dado que A = [ a b c d ] se define como Fíjese en el cambio de notación. Hay varias formas de indicar el determinante, entre ellas det ( A ) y sustituir los corchetes de una matriz por líneas rectas, | A | . Hallar el determinante de una matriz 2 × 2 Halle el determinante de la matriz dada. A = [ 5 2 - 6 3 ] det ( A ) = | 5 2 - 6 3 | = 5 ( 3 ) - ( −6 ) ( 2 ) = 27 Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer , esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”. . La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación. Para entender la regla de Cramer, vamos a ver de cerca cómo resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones básicas de fila. Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. a 1 x + b 1 y = c 1 ( 1 ) a 2 x + b 2 y = c 2 ( 2 ) Eliminamos una variable mediante operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para x . Si la ecuación (2) se multiplica por el contrario del coeficiente de y en la ecuación (1), la ecuación (1) se multiplica por el coeficiente de y en la ecuación (2) y sumamos las dos ecuaciones, la variable y será eliminada. b 2 a 1 x + b 2 b 1 y = b 2 c 1 Multiplique R 1 por b 2 - b 1 a 2 x - b 1 b 2 y = - b 1 c 2 Multiplique R 2 por − b 1 ________________________________________________________ b 2 a 1 x - b 1 a 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 Ahora, resuelva para x . b 2 a 1 x - b 1 a 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 x ( b 2 a 1 - b 1 a 2 ) = b 2 c 1 - b 1 c 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 b 2 a 1 - b 1 a 2 = | c 1 b 1 c 2 b 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | Del mismo modo, resuelva para y , eliminaremos x . a 2 a 1 x + a 2 b 1 y = a 2 c 1 Multiplique R 1 por a 2 - a 1 a 2 x – a 1 b 2 y = - a 1 c 2 Multiplique R 2 por − a 1 ________________________________________________________ a 2 b 1 y − a 1 b 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 Resuelva para y da como resultado a 2 b 1 y − a 1 b 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 y ( a 2 b 1 - a 1 b 2 ) = a 2 c 1 - a 1 c 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 a 2 b 1 - a 1 b 2 = a 1 c 2 - a 2 c 1 a 1 b 2 - a 2 b 1 = | a 1 c 1 a 2 c 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | Observe que el denominador de ambos x y y es el determinante de la matriz de coeficientes. Podemos utilizar estas fórmulas para resolver x y y , pero la regla de Cramer también introduce una nueva notación: D : determinante de la matriz de coeficientes D x : determinante del numerador en la solución de x x = D x D D y : determinante del numerador en la solución de y y = D y D La clave de la regla de Cramer es sustituir la columna variable de interés por la columna constante y calcular los determinantes. Podemos entonces expresar x y y como cociente de dos determinantes. Regla de Cramer para sistemas de 2×2 La regla de Cramer es un método que utiliza los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de variables. Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 La solución utilizando la regla de Cramer es x = D x D = | c 1 b 1 c 2 b 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | , D ≠ 0 ;   y = D y D = | a 1 c 1 a 2 c 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | , D ≠ 0 . Si resolvemos para x , la intersección x se sustituye por la columna constante. Si resolvemos para y , la columna y se sustituye por la columna constante. Usar la regla de Cramer para resolver un sistema 2 × 2 Resuelva el siguiente sistema 2 × 2 mediante la regla de Cramer. 12 x + 3 y = 15 2 x - 3 y = 13 Resuelva para x . x = D x D = | 15 3 13 − 3 | | 12 3 2 - 3 | = − 45 − 39 − 36 − 6 = − 84 − 42 = 2 Resuelva para y . y = D y D = | 12 15 2 13 | | 12 3 2 - 3 | = 156 − 30 − 36 − 6 = − 126 42 = −3 La solución es ( 2 , −3 ) . elemento ejercicio Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones 2 × 2. x + 2 y = −11 − 2 x + y = -13 ( 3 , - 7 ) Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3 Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas hacia arriba de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo. Halle el determinante de la matriz 3×3. A = [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] Aumente A con las dos primeras columnas. det ( A ) = | a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: multiplique las entradas por la primera diagonal. Sume el resultado al producto de las entradas de la segunda diagonal. Sume este resultado al producto de las entradas de la tercera diagonal. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas de la primera diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la segunda diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la tercera diagonal. El álgebra es la siguiente: | A | = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 − a 3 b 2 c 1 - b 3 c 2 a 1 - c 3 a 2 b 1 Hallar el determinante de una matriz 3 × 3 Halle el determinante de la matriz 3 × 3 dada A = [ 0 2 1 3 - 1 1 4 0 1 ] Aumente la matriz con las dos primeras columnas y siga la fórmula. Por lo tanto, | A | = | 0 2 1 3 - 1 1 4 0 1 | 0 3 4 2 – 1 0 | = 0 ( - 1 ) ( 1 ) + 2 ( 1 ) ( 4 ) + 1 ( 3 ) ( 0 ) - 4 ( - 1 ) ( 1 ) - 0 ( 1 ) ( 0 ) - 1 ( 3 ) ( 2 ) = 0 + 8 + 0 + 4 - 0 - 6 = 6 elemento ejercicio Halle el determinante de la matriz 3 × 3. det ( A ) = | 1 - 3 7 1 1 1 1 - 2 3 | − 10 Función preguntas y respuestas ¿Podemos utilizar el mismo método para hallar el determinante de una matriz más grande? No, este método solo funciona para matrices 2 × 2 y 3 × 3 . Para matrices más grandes, es mejor utilizar una herramienta gráfica o un software. Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables . La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos. Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no da ninguna indicación de si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que hacer una eliminación en el sistema. Considere un sistema de ecuaciones 3 × 3. x = D x D , y = D y D , z = D c D , D ≠ 0 donde Si escribimos el determinante D x , sustituimos la columna x con la columna constante. Si escribimos el determinante D y , sustituimos la columna y con la columna constante. Si escribimos el determinante D c , sustituimos la columna c con la columna constante. Compruebe siempre la respuesta. Resolver un sistema de 3 × 3 mediante la regla de Cramer Halle la solución del sistema de 3 × 3 dado mediante la regla de Cramer. x + y - z = 6 3 x - 2 y + z = −5 x + 3 y - 2 z = 14 Utilice la regla de Cramer. D = | 1 1 - 1 3 - 2 1 1 3 - 2 | , D x = | 6 1 - 1 - 5 - 2 1 14 3 - 2 | , D y = | 1 6 - 1 3 - 5 1 1 14 − 2 | , D c = | 1 1 6 3 - 2 - 5 1 3 14 | Entonces, x = D x D = - 3 - 3 = 1 y = D y D = - 9 − 3 = 3 z = D c D = 6 - 3 = - 2 La solución es ( 1 , 3 , –2 ) . elemento ejercicio Usar la regla de Cramer para resolver la matriz 3 × 3. x - 3 y + 7 z = 13 x + y + z = 1 x - 2 y + 3 z = 4 ( – 2 , 3 5 , 12 5 ) Usar la regla de Cramer para resolver un sistema inconsistente Resuelva el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer. 3 x - 2 y = 4 ( 1 ) 6 x - 4 y = 0 ( 2 ) Comenzamos por hallar los determinantes D , D x , y D y . D = | 3 - 2 6 - 4 | = 3 ( - 4 ) - 6 ( – 2 ) = 0 Sabemos que un determinante de cero significa que, o bien, el sistema no tiene solución, o bien, tiene un número infinito de soluciones. Para ver cuál es, utilizamos el proceso de eliminación. Nuestra meta es eliminar una de las variables. Multiplique la ecuación (1) por -2. Sume el resultado a la ecuación ( 2 ) . − 6 x + 4 y = −8 6 x - 4 y = 0 _______________ 0 = −8 Obtenemos la ecuación 0 = –8 , lo cual es falso. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. El gráfico del sistema revela dos líneas paralelas. Vea la . Utilizar la regla de Cramer para resolver un sistema dependiente Resuelva el sistema con un número infinito de soluciones. x - 2 y + 3 z = 0 ( 1 ) 3 x + y - 2 z = 0 ( 2 ) 2 x - 4 y + 6 z = 0 ( 3 ) Primero hallemos el determinante. Establezca una matriz aumentada por las dos primeras columnas. | 1 −2 3 3 1 −2 2 -4 6 | 1 −2 3 1 2 -4 | Entonces, 1 ( 1 ) ( 6 ) + ( – 2 ) ( – 2 ) ( 2 ) + 3 ( 3 ) ( - 4 ) - 2 ( 1 ) ( 3 ) - ( - 4 ) ( – 2 ) ( 1 ) - 6 ( 3 ) ( – 2 ) = 0 Como el determinante es igual a cero, no hay solución o hay un número infinito de soluciones. Tenemos que realizar la eliminación para averiguarlo. Multiplique la ecuación (1) por −2 y sume el resultado a la ecuación (3): − 2 x + 4 y - 6 z = 0 2 x - 4 y + 6 z = 0 0 = 0 Obtener una respuesta de 0 = 0 , un enunciado que siempre es verdadero, significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Al graficar el sistema, podemos ver que dos de los planos son iguales y ambos intersecan al tercer plano en una línea. Vea la . Comprender las propiedades de los determinantes Hay muchas propiedades de los determinantes . A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz. una etiqueta de nota general Propiedades de los determinantes Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas por la diagonal principal. Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo. Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero. El determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante de la matriz A . Si cualquier fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Ilustrar propiedades de los determinantes Ilustre cada una de las propiedades de los determinantes. La propiedad 1 establece que si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es el producto de las entradas por la diagonal principal. A = [ 1 2 3 0 2 1 0 0 - 1 ] Aumente A con las dos primeras columnas. A = [ 1 2 3 0 2 1 0 0 - 1 | 1 0 0 2 2 0 ] Entonces det ( A ) = 1 ( 2 ) ( –1 ) + 2 ( 1 ) ( 0 ) + 3 ( 0 ) ( 0 ) - 0 ( 2 ) ( 3 ) - 0 ( 1 ) ( 1 ) + 1 ( 0 ) ( 2 ) = –2 La propiedad 2 establece que el intercambio de filas cambia el signo. Dado A = [ −1 5 4 −3 ] , det ( A ) = ( –1 ) ( −3 ) - ( 4 ) ( 5 ) = 3 - 20 = -17 B = [ 4 - 3 - 1 5 ] , det ( B ) = ( 4 ) ( 5 ) - ( –1 ) ( −3 ) = 20 − 3 = 17 La propiedad 3 establece que si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. A = [ 1 2 2 2 2 2 −1 2 2 | 1 2 −1 2 2 2 ] det ( A ) = 1 ( 2 ) ( 2 ) + 2 ( 2 ) ( –1 ) + 2 ( 2 ) ( 2 ) + 1 ( 2 ) ( 2 ) - 2 ( 2 ) ( 1 ) - 2 ( 2 ) ( 2 ) = 4 - 4 + 8 + 4 - 4 − 8 = 0 La propiedad 4 establece que si una fila o una columna es igual a cero, el determinante es igual a cero. Por lo tanto, A = [ 1 2 0 0 ] , det ( A ) = 1 ( 0 ) - 2 ( 0 ) = 0 La propiedad 5 establece que el determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante A . Así, A = [ 1 2 3 4 ] , det ( A ) = 1 ( 4 ) - 3 ( 2 ) = −2 A − 1 = [ - 2 1 3 2 – 1 2 ] , det ( A − 1 ) = - 2 ( - 1 2 ) - ( 3 2 ) ( 1 ) = - 1 2 La propiedad 6 establece que si cualquier fila o columna de una matriz se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Por lo tanto, A = [ 1 2 3 4 ] , det ( A ) = 1 ( 4 ) - 2 ( 3 ) = −2 B = [ 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 4 ] , det ( B ) = 2 ( 4 ) - 3 ( 4 ) = –4 Usar la regla de Cramer y propiedades de los determinantes para resolver un sistema Halle la solución del sistema 3 × 3 dado. 2 x + 4 y + 4 z = 2 ( 1 ) 3 x + 7 y + 7 z = −5 ( 2 ) x + 2 y + 2 z = 4 ( 3 ) Al utilizar la regla de Cramer , tenemos D = | 2 4 4 3 7 7 1 2 2 | Observe que la segunda y la tercera columna son idénticas. Según la propiedad 3, el determinante será cero, por lo que no hay solución o hay un número infinito de soluciones. Tenemos que realizar la eliminación para averiguarlo. Multiplique la ecuación (3) por –2 y sume el resultado a la ecuación (1). − 2 x - 4 y - 4 x = - 8 2 x + 4 y + 4 z = 2 0 = − 6 Obtener un enunciado que sea una contradicción significa que el sistema no tiene solución. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más instrucciones y practicar la regla de Cramer. Resolver un sistema de dos ecuaciones mediante la regla de Cramer Resolver un sistema de tres ecuaciones mediante la regla de Cramer Conceptos clave El determinante para [ a b c d ] es a d − b c . Vea el . La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son x = D x D , y = D y D . Vea el . Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el . Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada x = D x D , y = D y D , z = D c D . Vea el . La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el y el . Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo: Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas por la diagonal principal. Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo. Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero. El determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante de la matriz A . Si cualquier fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué siempre podemos evaluar el determinante de una matriz cuadrada. Un determinante es la suma y el producto de las entradas de la matriz, por lo que siempre se puede evaluar ese producto, aunque acabe siendo 0. Examine la regla de Cramer y explique por qué no existe una solución única para el sistema cuando el determinante de su matriz es 0. Para simplificar, utilice una matriz 2 × 2 . Explique qué significa en términos de inversa que una matriz tenga un determinante 0. La inversa no existe. El determinante de la matriz 2 × 2 A es 3. Si cambia las filas y multiplica la primera fila por 6 y la segunda por 2, explique cómo hallar el determinante y proporcione la respuesta. Algebraicos En los siguientes ejercicios, calcule el determinante. | 1 2 3 4 | - 2 | - 1 2 3 - 4 | | 2 - 5 - 1 6 | 7 | − 8 4 - 1 5 | | 1 0 3 - 4 | - 4 | 10 20 0 - 10 | | 10 0,2 5 0,1 | 0 | 6 - 3 8 4 | | - 2 - 3 3,1 4.000 | − 7 , 990,7 | − 1,1 0,6 7,2 − 0,5 | | - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 3 | 3 | - 1 4 0 0 2 3 0 0 - 3 | | 1 0 1 0 1 0 1 0 0 | - 1 | 2 - 3 1 3 - 4 1 - 5 6 1 | | - 2 1 4 - 4 2 - 8 2 - 8 - 3 | 224 | 6 - 1 2 - 4 - 3 5 1 9 - 1 | | 5 1 - 1 2 3 1 3 - 6 - 3 | 15 | 1,1 2 – 1 - 4 0 0 4,1 − 0,4 2,5 | | 2 − 1,6 3,1 1,1 3 - 8 − 9,3 0 2 | − 17,03 | - 1 2 1 3 1 4 1 5 - 1 6 1 7 0 0 1 8 | En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. 2 x - 3 y = −1 4 x + 5 y = 9 ( 1 , 1 ) 5 x - 4 y = 2 - 4 x + 7 y = 6 6 x - 3 y = 2 - 8 x + 9 y = –1 ( 1 2 , 1 3 ) 2 x + 6 y = 12 5 x - 2 y = 13 4 x + 3 y = 23 2 x - y = –1 ( 2 , 5 ) 10 x - 6 y = 2 - 5 x + 8 y = –1 4 x - 3 y = −3 2 x + 6 y = –4 ( - 1 , - 1 3 ) 4 x - 5 y = 7 - 3 x + 9 y = 0 4 x + 10 y = 180 − 3 x - 5 y = -105 ( 15 , 12 ) 8 x - 2 y = −3 − 4 x + 6 y = 4 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. x + 2 y - 4 z = - 1 7 x + 3 y + 5 z = 26 − 2 x - 6 y + 7 z = − 6 ( 1 , 3 , 2 ) - 5 x + 2 y - 4 z = − 47 4 x - 3 y - z = − 94 3 x - 3 y + 2 z = 94 4 x + 5 y - z = −7 −2 x - 9 y + 2 z = 8 5 y + 7 z = 21 ( - 1 , 0 , 3 ) 4 x - 3 y + 4 z = 10 5 x - 2 z = - 2 3 x + 2 y - 5 z = - 9 4 x - 2 y + 3 z = 6 − 6 x + y = - 2 2 x + 7 y + 8 z = 24 ( 1 2 , 1 , 2 ) 5 x + 2 y - z = 1 - 7 x - 8 y + 3 z = 1,5 6 x - 12 y + z = 7 13 x − 17 y + 16 c = 73 − 11 x + 15 y + 17 c = 61 46 x + 10 y − 30 c = − 18 ( 2 , 1 , 4 ) - 4 x - 3 y - 8 z = - 7 2 x - 9 y + 5 z = 0,5 5 x - 6 y - 5 z = - 2 4 x - 6 y + 8 z = 10 - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 x + y + z = 1 Soluciones infinitas 4 x - 6 y + 8 z = 10 - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 12 x + 18 y − 24 c = − 30 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función determinante en una herramienta gráfica. | 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 | 24 | 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 | | 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2.000 0 0 0 2 | 1 | 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 | Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. Luego, calcule el determinante. ¿Habrá una solución única? Si es así, halle la solución única. Dos números suman 56. Un número es 20 menos que el otro. Sí; 18, 38 Dos números suman 104. Si suma dos veces el primer número más dos veces el segundo, el total es 208 Tres números suman 106. El primer número es 3 menos que el segundo. El tercer número es 4 más que el primero. Sí; 33, 36, 37 Tres números suman 216. La suma de los dos primeros números es 112. El tercer número es 8 menos que los dos primeros números juntos. En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. A continuación, resuelva el sistema para todas las soluciones mediante la regla de Cramer. Invierte 10.000 dólares en dos cuentas: una recibe un interés del 8 % y la otra del 5 %. Al final de un año, tenía 10.710 dólares en sus cuentas combinadas. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? 7.000 dólares en la primera cuenta, 3.000 en la segunda. Invierte 80.000 dólares en dos cuentas: 22.000 dólares en una cuenta y 58.000 dólares en la otra. Al cabo de un año, si suponemos un interés simple, ha ganado 2.470 dólares en intereses. La segunda cuenta recibe medio porcentaje menos que el doble de intereses de la primera. ¿Cuáles son las tasas de interés de sus cuentas? El teatro necesita saber cuántas entradas de adulto y de niño se vendieron de las 1.200 entradas totales. Si las entradas para niños cuestan 5,95 dólares, las de los adultos 11,15 dólares, y el importe total de los ingresos fue de 12.756 dólares, ¿cuántas entradas de niños y de adultos se vendieron? 120 niños, 1.080 adultos Un local de conciertos vende entradas individuales por 40 dólares cada una y entradas para parejas por 65 dólares. Si los ingresos totales fueron de 18.090 dólares y se vendieron las 321 entradas, ¿cuántas entradas individuales y cuántas entradas de pareja se vendieron? Decide pintar su cocina de verde. El color de la pintura se crea mezclando pinturas amarillas y azules. No puede recordar cuántos galones de cada color se pusieron en la mezcla, pero sabe que fueron 10 galones en total. Además, guardó su recibo y sabe que el monto total gastado fue de 29,50 dólares. Si cada galón de amarillo cuesta 2,59 dólares y cada galón de azul cuesta 3,19 dólares, ¿cuántos galones de cada color entran en su mezcla verde? 4 galones de amarillo, 6 galones de azul Ha vendido dos tipos de bufandas en un mercado de productores y le gustaría saber cuál ha sido más popular. El número total de bufandas vendidas fue de 56, la bufanda amarilla costó 10 dólares y la bufanda morada 11 dólares. Si los ingresos totales fueron de 583 dólares, ¿cuántas bufandas amarillas y cuántas bufandas moradas se vendieron? Su huerto produjo dos tipos de tomates, uno verde y otro rojo. Los rojos pesan 10 oz, y los verdes pesan 4 oz. Tiene 30 tomates, y un peso total de 13 lb, 14 oz. ¿Cuántos de cada tipo de tomate tiene? 13 tomates verdes, 17 tomates rojos En un mercado, las tres hortalizas más populares representan el 53 % de las ventas del rubro. El maíz tiene el 4 % más de ventas que el brócoli, que tiene el 5 % más de ventas que la cebolla. ¿Qué porcentaje tiene cada hortaliza en la cuota de mercado? En el mismo mercado, las tres frutas más populares representan el 37 % del total de la fruta vendida. Las fresas se venden el doble que las naranjas y los kiwis un punto porcentual más que estas. Para cada fruta halle el porcentaje del total de frutas vendidas. Fresas 18 %, naranjas 9 %, kiwi 10 % Tres artistas actuaron en una sala de conciertos. El primero cobraba 15 dólares por entrada, el segundo artista cobraba 45 dólares por entrada y el último cobraba 22 dólares por entrada. Se vendieron 510 entradas, por un total de 12.700 dólares. Si la primera banda tenía 40 espectadores más que la segunda, ¿cuántas entradas se vendieron para cada banda? Una sala de cine vendía entradas para tres películas. Las entradas para la primera película costaban 5 dólares, las de la segunda 11 y las de la tercera 12. Se vendieron 100 entradas para la primera película. El número total de entradas vendidas fue de 642, con unos ingresos totales de 6.774 dólares. ¿Cuántas entradas se vendieron para cada película? 100 para la película 1, 230 para la película 2, 312 para la película 3 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una compañía preocupada por la salud decide hacer una mezcla de frutos secos con almendras, arándanos secos y anacardos cubiertos de chocolate. La información nutricional de estos artículos se muestra en la . Grasa (g) Proteínas (g) Carbohidratos (g) Almendras (10) 6 2 3 Arándanos (10) 0,02 0 8 Anacardos (10) 7 3,5 5,5 Para la mezcla de frutos secos especial "baja en carbohidratos", hay 1.000 piezas de mezcla. El número total de carbohidratos es de 425 g y la cantidad total de grasa es de 570,2 g. Si hay 200 piezas más de anacardos que de arándanos, ¿cuántas piezas de cada elemento hay en la mezcla de frutos secos? En el caso de la mezcla de "senderismo", hay 1.000 piezas en la mezcla, que contienen 390,8 g de grasa y 165 g de proteína. Si hay la misma cantidad de almendras que de anacardos, ¿cuál es la cantidad de cada elemento en la mezcla de frutos secos? 300 almendras, 400 arándanos, 300 anacardos En el caso de la mezcla "potenciadora de energía", hay 1.000 piezas en la mezcla que contienen 145 g de proteínas y 625 g de carbohidratos. Si el número de almendras y anacardos sumados equivale a la cantidad de arándanos, ¿cuál es la cantidad de cada elemento en la mezcla de frutos secos? Ejercicios de repaso Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones. 3 x - y = 4 x + 4 y = - 3 y ( - 1 , 1 ) No 6 x - 2 y = 24 − 3 x + 3 y = 18 y ( 9 , 15 ) En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones. 10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12 ( – 2 , 3 ) 4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x – 1 3 y = - 2 3 5 x + 6 y = 14 4 x + 8 y = 8 ( 4 , - 1 ) En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones. 3 x + 2 y = −7 2 x + 4 y = 6 3 x + 4 y = 2 9 x + 12 y = 3 No existe una solución. 8 x + 4 y = 2 6 x - 5 y = 0,7 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Una fábrica tiene un costo de producción C ( x ) = 150 x + 15.000 y una función de ingresos R ( x ) = 200 x . ¿Cuál es el punto de equilibrio? ( 300 , 60 , 000 ) Un artista cobra C ( x ) = 50 x + 10 . 000 , donde x es el número total de asistentes a un espectáculo. El local cobra 75 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento? Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición. 0,5 x – 0,5 y = 10 − 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 c = 2 Soluciones infinitas 5 x + 3 y - z = 5 3 x - 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2 No existe una solución. 2 x - 3 y + z = –1 x + y + z = -4 4 x + 2 y - 3 z = 33 3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = –2 ( - 1 , - 2 , 3 ) 3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10 2 x - 3 y + z = 0 2 x + 4 y - 3 z = 0 6 x - 2 y - z = 0 ( x , 8 x 5 , 14 x 5 ) 6 x - 4 y - 2 z = 2 3 x + 2 y - 5 z = 4 6 y - 7 z = 5 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Tres números impares suman 61. El menor es un tercio del mayor y el número del medio es 16 menos que el mayor. ¿Cuáles son los tres números? 11, 17 y 33 Un teatro local agota las entradas para su espectáculo. Venden las 500 entradas para una bolsa total de 8.070 dólares. Las entradas tenían un precio de 15 dólares para estudiantes, 12 para niños y 18 para adultos. Si la banda vendió el triple de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo? Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. y = x 2 - 7 y = 5 x − 13 ( 2 , - 3 ) , ( 3 , 2 ) y = x 2 - 4 y = 5 x + 10 x 2 + y 2 = 16 y = x - 8 No hay solución x 2 + y 2 = 25 y = x 2 + 5 x 2 + y 2 = 4 y - x 2 = 3 No hay solución En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. y > x 2 – 1 1 4 x 2 + y 2 < 4 En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. x 2 + y 2 + 2 x < 3 y > − x 2 - 3 x 2 - 2 x + y 2 - 4 x < 4 y < − x + 4 x 2 + y 2 < 1 y 2 < x Fracciones parciales En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales. - 2 x + 6 x 2 + 3 x + 2 2 x + 2 , - 4 x + 1 10 x + 2 4 x 2 + 4 x + 1 7 x + 20 x 2 + 10 x + 25 7 x + 5 , − 15 ( x + 5 ) 2 x − 18 x 2 - 12 x + 36 - x 2 + 36 x + 70 x 3 − 125 3 x - 5 , - 4 x + 1 x 2 + 5 x + 25 - 5 x 2 + 6 x - 2 x 3 + 27 x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 ( x 2 - 2 ) 2 x - 4 ( x 2 - 2 ) , 5 x + 3 ( x 2 - 2 ) 2 4 x 4 – 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x ( x 2 + 4 ) 2 Matrices y operaciones con matrices En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas. A = [ 4 – 2 1 3 ] , B = [ 6 7 - 3 11 − 2 4 ] , C = [ 6 7 11 − 2 14 0 ] , D = [ 1 - 4 9 10 5 − 7 2 8 5 ] , E = [ 7 − 14 3 2 – 1 3 0 1 9 ] - 4 A [ − 16 8 − 4 − 12 ] 10 D − 6 E B + C indefinido; las dimensiones no coinciden A B B A indefinido; las dimensiones interiores no coinciden B C C B [ 113 28 10 44 81 − 41 84 98 − 42 ] D E E D [ − 127 − 74 176 − 2 11 40 28 77 38 ] E C C E indefinido; las dimensiones interiores no coinciden A 3 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única. [ 1 0 −3 0 1 2 0 0 0 | 7 −5 0 ] x - 3 z = 7 y + 2 z = - 5 con infinitas soluciones [ 1 0 5 0 1 −2 0 0 0 | −9 4 3 ] En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 y + 22 c = 3 [ - 2 2 1 2 - 8 5 19 − 10 22 | 7 0 3 ] 4 x + 2 y - 3 z = 14 − 12 x + 3 y + z = 100 9 x - 6 y + 2 z = 31 x + 3 z = 12 − x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7 [ 1 0 3 −1 4 0 0 1 2 | 12 0 −7 ] En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan. 3 x - 4 y = - 7 − 6 x + 8 y = 14 3 x - 4 y = 1 − 6 x + 8 y = 6 No existe una solución. − 1,1 x − 2,3 y = 6,2 − 5,2 x − 4,1 y = 4,3 2 x + 3 y + 2 z = 1 - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 10 x + 15 y + 10 z = 0 No existe una solución. - x + 2 y - 4 z = 8 3 y + 8 z = – 4 - 7 x + y + 2 z = 1 Resolver sistemas con inversos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz. [ − 0,2 1,4 1,2 − 0,4 ] 1 8 [ 2 7 6 1 ] [ 1 2 – 1 2 – 1 4 3 4 ] [ 12 9 - 6 - 1 3 2 - 4 - 3 2 ] No existe ningún inverso. [ 2 1 3 1 2 3 3 2 1 ] En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz. 0,3 x − 0,1 y = − 10 − 0,1 x + 0,3 y = 14 ( − 20 , 40 ) 0,4 x − 0,2 y = − 0,6 − 0,1 x + 0,05 y = 0,3 4 x + 3 y - 3 z = − 4,3 5 x - 4 y - z = − 6,1 x + z = − 0,7 ( - 1 , 0,2 , 0,3 ) - 2 x - 3 y + 2 z = 3 - x + 2 y + 4 z = - 5 - 2 y + 5 z = - 3 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El 90 % de las frutas consistía en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas fueran la mitad de populares que las bananas y las manzanas fueran el 5 % más populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta? 17 % naranjas, 34 % plátanos, 39 % manzanas Un club escolar organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 2 dólares y el de las galletas de chocolate de 1 dólar. Recaudaron 250 dólares y vendieron 175 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron? Resolver sistemas con la regla de Cramer En los siguientes ejercicios, calcule el determinante. | 100 0 0 0 | 0 | 0,2 − 0,6 0,7 − 1,1 | | - 1 4 3 0 2 3 0 0 - 3 | 6 | 2 0 0 0 2 0 0 0 2 | En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones. 4 x - 2 y = 23 − 5 x - 10 y = − 35 ( 6 , 1 2 ) 0,2 x − 0,1 y = 0 − 0,3 x + 0,3 y = 2,5 − 0,5 x + 0,1 y = 0,3 − 0,25 x + 0,05 y = 0,15 ( x , 5 x + 3) x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0 4 x - 3 y + 5 z = - 5 2 7 x - 9 y - 3 z = 3 2 x - 5 y - 5 z = 5 2 ( 0 , 0 , - 1 2 ) 3 10 x – 1 5 y - 3 10 z = - 1 50 1 10 x – 1 10 y - 1 2 z = - 9 50 2 5 x – 1 2 y - 3 5 z = - 1 5 Prueba de práctica ¿El siguiente par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones? - 5 x - y = 12 x + 4 y = 9 con la ( - 3 , 3 ) Sí En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución. 1 2 x – 1 3 y = 4 3 2 x - y = 0 - 1 2 x - 4 y = 4 2 x + 16 y = 2 No existe una solución. 5 x - y = 1 - 10 x + 2 y = - 2 4 x - 6 y - 2 z = 1 10 x - 7 y + 5 z = - 1 4 3 x + 6 y − 9 z = 6 5 1 20 ( 10 , 5 , 4 ) x + z = 20 x + y + z = 20 x + 2 y + z = 10 5 x - 4 y - 3 z = 0 2 x + y + 2 z = 0 x - 6 y - 7 z = 0 ( x , 16 x 5 − 13 x 5 ) y = x 2 + 2 x - 3 y = x – 1 y 2 + x 2 = 25 y 2 - 2 x 2 = 1 ( – 2 2 , − 17 ) , ( – 2 2 , 17 ) , ( 2 2 , − 17 ) , ( 2 2 , 17 ) En los siguientes ejercicios, grafique las siguientes inecuaciones. y < x 2 + 9 x 2 + y 2 > 4 y < x 2 + 1 En los siguientes ejercicios, escriba la descomposición parcial de fracciones. − 8 x − 30 x 2 + 10 x + 25 13 x + 2 ( 3 x + 1 ) 2 5 3 x + 1 - 2 x + 3 ( 3 x + 1 ) 2 x 4 - x 3 + 2 x – 1 x ( x 2 + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, realice las operaciones con matrices dadas. 5 [ 4 9 − 2 3 ] + 1 2 [ − 6 12 4 − 8 ] [ 17 51 − 8 11 ] [ 1 4 - 7 - 2 9 5 12 0 - 4 ] [ 3 - 4 1 3 5 10 ] [ 1 2 1 3 1 4 1 5 ] - 1 [ 12 − 20 − 15 30 ] det | 0 0 400 4.000 | det | 1 2 – 1 2 0 - 1 2 0 1 2 0 1 2 0 | - 1 8 Si los valores de det ( A ) = –6 , ¿cuál sería el determinante si se intercambian las filas 1 y 3, se multiplica la segunda fila por 12 y se toma la inversa? Reescriba el sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada. 14 x - 2 y + 13 c = 140 − 2 x + 3 y - 6 z = - 1 x - 5 y + 12 c = 11 [ 14 − 2 13 − 2 3 - 6 1 - 5 12 | 140 − 1 11 ] Reescriba la matriz aumentada como un sistema de ecuaciones lineales. [ 1 0 3 - 2 4 9 - 6 1 2 | 12 − 5 8 ] En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones. x - 6 y = 4 2 x - 12 y = 0 No existe una solución. 2 x + y + z = - 3 x - 2 y + 3 z = 6 x - y - z = 6 En los siguientes ejercicios, utilice la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones. 4 x - 5 y = - 50 − x + 2 y = 80 ( 100 , 90 ) 1 100 x - 3 100 y + 1 20 c = − 49 3 100 x - 7 100 y - 1 100 c = 13 9 100 x - 9 100 y − 9 100 c = 99 En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones. 200 x − 300 y = 2 400 x + 715 y = 4 ( 1 100 , 0 ) 0,1 x + 0,1 y − 0,1 c = − 1,2 0,1 x − 0,2 y + 0,4 c = − 1,2 0,5 x − 0,3 y + 0,8 c = − 5,9 En los siguientes ejercicios, resuelva mediante un sistema de ecuaciones lineales. Una fábrica que produce teléfonos móviles tiene las siguientes funciones de costos e ingresos: C ( x ) = x 2 + 75 x + 2.688 y R ( x ) = x 2 + 160 x . ¿Cuál es el rango de teléfonos móviles que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondee al número más cercano que genere ganancias. 32 o más teléfonos móviles al día En una feria pequeña se cobra 1,50 dólares a los estudiantes, 1 dólar a los niños y 2 dólares a los adultos. En un día, asistieron tres veces más niños que adultos. Se vendieron un total de 800 entradas, con una recaudación total de 1.050 dólares. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron? Regla de Cramer un método para resolver sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de variables utilizando determinantes determinante número calculado a partir de las entradas de una matriz cuadrada que determina, por ejemplo, si existe una solución a un sistema de ecuaciones

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Introducción Los anillos de Saturno han producido asombro, así como malentendidos, desde que Galileo los descubriera (al principio creyó que eran lunas). Aunque parecen ser una serie de discos sólidos incluso en este primer plano de 2004 de la sonda Cassini, los matemáticos del siglo XIX demostraron que están formados por miles de millones de pequeños objetos agrupados. (Créditos: modificación de "Saturno" por NASA/JPL-Caltech/SSI/Kevin M. Gill/flickr). El matemático griego Menecmo (c. 380–a. C. 320 a. C.) se le atribuye generalmente el descubrimiento de las formas que se generan por la intersección de un plano y un cono circular recto. Según cómo inclinara el plano cuando se cruzara con el cono, formaba diferentes formas en la intersección: bellas formas con una simetría casi perfecta. También se dijo que Aristóteles pudo haber tenido una comprensión intuitiva de estas formas, ya que observó que la órbita del planeta era circular. Supuso que los planetas se movían en órbitas circulares alrededor de la Tierra, y durante casi 2.000 años esta fue la creencia común. No fue hasta el movimiento del Renacimiento cuando Johannes Kepler se dio cuenta de que las órbitas del planeta no eran de naturaleza circular. La ley del movimiento planetario que publicó en el siglo XVII cambió para siempre nuestra visión del sistema solar. Afirmaba que el sol estaba en un extremo de las órbitas y que los planetas giraban alrededor del sol en una trayectoria ovalada. Otros objetos del sistema solar (y quizá de otros sistemas) siguen una trayectoria elíptica similar, incluidos los espectaculares anillos de Saturno. A partir de esta idea, matemáticos del siglo XIX como James Clerk Maxwell y Sofya Kovalevskaya demostraron que, a pesar de su apariencia a través de los telescopios de la época (e incluso en los actuales), los anillos no son sólidos y continuos, sino que están compuestos por pequeñas partículas. Incluso después de que las misiones Voyager y Cassini suministraran datos en primer plano y detallados sobre las estructuras de los anillos, la comprensión completa de su construcción depende en gran medida del análisis matemático. Son especialmente interesantes las influencias de las lunas y los lunares de Saturno, y la forma en que alteran y preservan la estructura del anillo. En este capítulo investigaremos las figuras bidimensionales que se forman cuando a un cono circular recto lo interseca un plano. Comenzaremos estudiando cada una de las tres figuras creadas de esta manera. Desarrollaremos ecuaciones de definición para cada figura y luego aprenderemos a utilizar estas ecuaciones para resolver una variedad de problemas.

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La elipse Objetivos de aprendizaje Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1) Grafique un círculo. (IA 11.1.4) Objetivo 1: Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1) Vocabulario Complete los espacios en blanco. Decimos que x 2 + 4 x + 4 es un trinomio cuadrado ________ porque x 2 + 4 x + 4 = ( + ) 2 . La propiedad de la raíz cuadrada establece que ( x + 2 ) 2 = 9 significa que ( x + 2 ) = ________ y ( x + 2 ) = – ________. Complete el cuadrado de una expresión binómica. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ( x + 3 ) 2 = 5 . Utilice los siguientes pasos para guiar su trabajo. Ⓐ Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados. Recuerde que debe tener ± en el lado derecho. Ⓑ Resuelva para x. Complete el cuadrado de una expresión binómica. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para resolver x 2 + 6 x + 9 = 7 . Utilice los siguientes pasos para guiar su trabajo. Ⓐ x 2 + 6 x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Factorícelo en ( _ + _ ) 2 . Ⓑ Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados. Recuerde que debe tener ± en el lado derecho. Ⓒ Resuelva para x. ¿Pero qué ocurre si tenemos que resolver una ecuación en la que el trinomio no es un cuadrado perfecto? Por ejemplo, x 2 + 4 x + 5 = 2 ? Para este tipo de ecuaciones, podemos utilizar un proceso llamado completar el cuadrado . Recuerde ( x + 1 ) 2 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2 + 1 . Podemos utilizar el patrón de los cuadrados binomiales para hacer un cuadrado perfecto. Completar el cuadrado de una expresión binomial Complete el cuadrado para x 2 + 6 x para que sea un cuadrado perfecto. Dado que hay un signo más entre los dos términos, utilizaremos el patrón ( a + b ) 2 a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 . x 2 + 6 x En definitiva, necesitamos hallar el último término de este trinomio que lo convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello necesitaremos hallar b . Pero primero empezamos por determinar a . Observe que el primer término de x 2 + 6 x está elevado al cuadrado, x 2 . Esto nos dice que a = x . x 2 + 2 · x · b + b 2 ¿Qué número, b , cuando se multiplica por 2 x , da 6 x ? Tendría que ser 3, que es (½)(6). Así que b = 3. x 2 + 2 · 3 · x + _ Ahora, para completar el trinomio cuadrado perfecto, hallaremos el último término elevando b al cuadrado, que es 3 2 = 9. x 2 + 6 x + 9 Ahora podemos factorizar. ( x + 3 ) 2 Así, hallamos que sumando 9 a x 2 + 6 x completamos el cuadrado, y lo escribimos como ( x + 3) 2 . Cómo completar un cuadrado de x 2 + b x + c Identifique b , el coeficiente de x . Calcule 1 2 b 2 , el número necesario para completar el cuadrado. Añadir 1 2 b 2 hasta x 2 + b x Factorice el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio al cuadrado. La práctica hace la perfección Determine qué número habría que sumar a los términos dados para crear un trinomio cuadrado perfecto. Entonces reescriba como un binomio al cuadrado. x 2 + 12 x x 2 + 5 x x 2 1 2 x x 2 + 3 2 x Objetivo 2: Grafique un círculo. (IA 11.1.4) Un círculo son todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto determinado del plano. El punto dado recibe el nombre de centro , ( h , k ) y la distancia fija se denomina radio , r , del círculo. La forma estándar o gráfica de la ecuación de un círculo con centro, ( h , k ) y radio, r , es ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 . Escriba la forma estándar de la ecuación de un círculo Escriba la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo de radio 2 y centro (-1, 3). Utilice la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 Sustituya los valores (h, k) = (1, –3), donde h = 1, k = –3. ( x ( 1 ) ) 2 + ( y ( 3 ) ) 2 = 2 2 Simplifique. ( x 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 Grafique un círculo Grafique un círculo Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x + 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 9 Utilice la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 Identifique el centro, ( h , k ) y el radio, r . ( x ( 2 ) ) 2 + ( y 1 ) 2 = 3 2 Grafique el círculo. Centro (–2, 1), r = 3 La forma general de la ecuación de un círculo es x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Si nos dan una ecuación en forma general, podemos cambiarla a la estándar, también llamada forma gráfica, completando los cuadrados de la x y la y. Entonces podemos graficar el círculo usando su centro y su radio. Grafique un círculo Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 + 4 x + 6 y + 4 = 0 Tenemos que reescribir esta forma general en forma estándar (gráfica) para calcular el centro y el radio. Agrupe los términos x y y. Recopile las constantes del lado derecho. x 2 4 x + y 2 6 y = 4 Complete los cuadrados. x 2 4 x + 4 + y 2 6 y + 9 = 4 + 4 + 9 Reescribir como cuadrados binomiales. ( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 9 Identifique el centro y el radio. Centro (2, 3), r = 3 Grafique el círculo. La práctica hace la perfección Escriba la forma estándar (gráfico) de la ecuación del círculo de radio 4 y centro (2, –5). Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 El National Statuary Hall en Washington, D.C. [District of Columbia] (créditos: Greg Palmer, Flickr). ¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la , es una de esas salas. Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014. Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar. Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar Una sección cónica, o cónica , es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la . Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos ). Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la . Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor . Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices ), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la . En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y . Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas. Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos. Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos ( - c , 0 ) y ( c , 0 ) . La elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) tal que la suma de las distancias a los focos ( x , y ) es constante, como se muestra en la . Si los valores de ( a , 0 ) es un vértice de la elipse, la distancia desde ( - c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - ( - c ) = a + c . La distancia de ( c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - c . La suma de las distancias de los focos al vértice es ( a + c ) + ( a - c ) = 2 a Si los valores de ( x , y ) es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables: d 1 = la distancia de ( - c , 0 ) para ( x , y ) d 2 = la distancia de ( c , 0 ) para ( x , y ) Por la definición de una elipse, d 1 + d 2 es constante para cualquier punto ( x , y ) en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es 2 a para el vértice ( a , 0 ) . Se deduce que d 1 + d 2 = 2 a para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. d 1 + d 2 = ( x - ( - c ) ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( x - c ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 2 a Fórmula de distancia ( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2 a Simplifique las expresiones . ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a - ( x - c ) 2 + y 2 Mueva el radical al lado opuesto . ( x + c ) 2 + y 2 = [ 2 a - ( x - c ) 2 + y 2 ] 2 Eleve ambos lados al cuadrado . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 Expanda los cuadrados . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 Expanda los cuadrados restantes . 2 c x = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 - 2 c x Combine términos similares . 4 c x - 4 a 2 = – 4 a ( x - c ) 2 + y 2 Aísle el radical . c x – a 2 = - a ( x - c ) 2 + y 2 Divida entre 4 . [ c x – a 2 ] 2 = a 2 [ ( x - c ) 2 + y 2 ] 2 Eleve ambos lados al cuadrado . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 ( x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ) Expanda los cuadrados . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 Distribuya a 2 . a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2 c 2 Reescriba . x 2 ( a 2 - c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 - c 2 ) Factorice los términos comunes . x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Establezca b 2 = a 2 - c 2 . x 2 b 2 a 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 Divida ambos lados entre a 2 b 2 . x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Simplifique . Así, la ecuación estándar de una elipse es x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de a > b , la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si b > a , la elipse se estira más en la dirección vertical. Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos. Las características clave de la elipse son su centro, vértices , covértices , focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor . Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse. Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (0,0) La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( 0 , 0 ) y el eje mayor en el eje x es x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( 0 , 0 ) y el eje mayor en el eje y es x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la b Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Cuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos utilizar esta relación para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar. (a) Elipse horizontal con centro ( 0 , 0 ) (b) Elipse vertical con centro ( 0 , 0 ) Cómo Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje mayor se encuentra en el eje x o en el eje y . Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( ± a , 0 ) y ( ± c , 0 ) respectivamente, entonces el eje mayor es el eje x . Utilice la forma estándar x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( 0, ± a ) y ( 0 , ± c ) , respectivamente, entonces el eje mayor es el eje y . Utilice la forma estándar x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1. Utilice la ecuación c 2 = a 2 - b 2 , junto con las coordenadas dadas de los vértices y los focos, para resolver b 2 . Sustituya los valores de a 2 y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en la forma estándar ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( ± 8 , 0 ) y focos ( ± 5 , 0 ) ? Los focos están en el eje x , por lo que el eje mayor es el eje x . Así, la ecuación tendrá la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Los vértices son ( ± 8 , 0 ) , así que a = 8 y a 2 = 64. Los focos son ( ± 5 , 0 ) , por lo que c = 5 y c 2 = 25. Sabemos que los vértices y los focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver b 2 , tenemos: c 2 = a 2 - b 2 25 = 64 − b 2 Sustituya por c 2 y a 2 . b 2 = 39 Resuelva para b 2 . Ahora solo tenemos que sustituir a 2 = 64 y b 2 = 39 en la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es x 2 64 + y 2 39 = 1. Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( 0, ± 4 ) y focos ( 0, ± 15 ) ? x 2 + y 2 16 = 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice? Sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centrada en el origen tendrán siempre la forma ( ± a , 0 ) o ( 0 , ± a ) . Del mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la forma ( ± c , 0 ) o ( 0 , ± c ) . Sabiendo esto, podemos utilizar a y c de los puntos dados, junto con la ecuación c 2 = a 2 - b 2 , para calcular b 2 . Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse h unidades en horizontal y k unidades verticalmente, el centro de la elipse será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con x sustituido por ( x - h ) y y se sustituye por ( y - k ) . Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) y el eje mayor paralelo al eje x es ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) y el eje mayor paralelo al eje y es ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la b Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses centradas en un punto ( h , k ) tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas de punto medio y de distancia para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos. (a) Elipse horizontal con centro ( h , k ) (b) Elipse vertical con centro ( h , k ) Cómo Dados los vértices y los focos de una elipse no centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje mayor es paralelo al eje x o al eje y . Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje x . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje y . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1. Identificar el centro de la elipse ( h , k ) utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices. Calcule a 2 al resolver la longitud del eje mayor, 2 a , que es la distancia entre los vértices dados. Calcule c 2 utilizando h y k , hallados en el paso 2, junto con las coordenadas dadas para los focos. Resuelva para b 2 utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Sustituya los valores de h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto del origen ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( –2 , −8 ) y ( –2 , 2 ) y focos ( –2 , –7 ) y ( –2 , 1 ) ? Las coordenadas x de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al eje y . Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 En primer lugar, identificamos el centro, ( h , k ) . El centro está a medio camino entre los vértices, ( − 2, − 8 ) y ( – 2 , 2 ) . Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos: ( h , k ) = ( −2 + ( −2 ) 2 , −8 + 2 2 ) = ( –2 , −3 ) Luego, hallamos a 2 . La longitud del eje mayor, 2 a , está delimitada por los vértices. Resolvemos para a al hallar la distancia entre las coordenadas y de los vértices. 2 a = 2 - ( −8 ) 2 a = 10 a = 5 Así que a 2 = 25. Ahora hallamos c 2 . Los focos vienen dados por ( h , k ± c ) . Así que, ( h , k − c ) = ( –2 , –7 ) y ( h , k + c ) = ( –2 , 1 ) . Sustituimos k = −3 y usamos cualquiera de estos puntos para resolver c . k + c = 1 −3 + c = 1 c = 4 Así que c 2 = 16. A continuación, resolvemos para b 2 utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . c 2 = a 2 - b 2 16 = 25 − b 2 b 2 = 9 Por último, sustituimos los valores hallados para h , k , a 2 , y b 2 en la ecuación de forma estándar para una elipse: ( x + 2 ) 2 9 + ( y + 3 ) 2 25 = 1 Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( −3 , 3 ) y ( 5 , 3 ) y focos ( 1 - 2 3 , 3 ) y ( 1 + 2 3 , 3 ) ? ( x – 1 ) 2 16 + ( y - 3 ) 2 4 = 1 Graficar elipses centradas en el origen Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > b para las elipses horizontales y x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , a > b para las elipses verticales. Cómo Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ( 0 , 0 ) , dibuje el gráfico. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los covértices y los focos Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a > b , entonces el eje mayor es el eje x las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) Si la ecuación es de la forma x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , donde a > b , entonces el eje mayor es el eje y las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) Resuelva para c utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse. Graficar una elipse centrada en el origen Grafique la elipse dada por la ecuación, x 2 9 + y 2 25 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 25 > 9 , el eje mayor está en el eje y . Por lo tanto, la ecuación es de la forma x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , donde b 2 = 9 y a 2 = 25. Se deduce que: el centro de la elipse es ( 0 , 0 ) las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) = ( 0, ± 25 ) = ( 0, ± 5 ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) = ( ± 9 , 0 ) = ( ± 3 , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 25 − 9 = ± 16 = ± 4 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 0, ± 4 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Vea la . Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación x 2 36 + y 2 4 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( ± 6 , 0 ) ; covértices: ( 0 , ±2, 2 ) ; focos: ( ± 4 2 , 0 ) Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar Grafique la elipse dada por la ecuación 4 x 2 + 25 y 2 = 100. Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Primero, use álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar. 4 x 2 + 25 y 2 = 100 4 x 2 100 + 25 y 2 100 = 100 100 x 2 25 + y 2 4 = 1 A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 25 > 4 , el eje mayor está en el eje x . Por lo tanto, la ecuación es de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 25 y b 2 = 4. Se deduce que: el centro de la elipse es ( 0 , 0 ) las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) = ( ± 25 , 0 ) = ( ± 5 , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) = ( 0, ± 4 ) = ( 0, ± 2 ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 25 − 4 = ± 21 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( ± 21 , 0 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación 49 x 2 + 16 y 2 = 784. Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Forma estándar: x 2 16 + y 2 49 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 0 , ± 7 ) ; covértices: ( ± 4 , 0 ) ; focos: ( 0 , ± 33 ) Graficar elipses no centradas en el origen Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, ( h , k ) , utilizamos las formas estándar ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , a > b para las elipses horizontales y ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , a > b para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor. Cómo Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ( h , k ) , dibuje el gráfico. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los covértices y los focos. Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a > b , entonces el centro es ( h , k ) el eje mayor es paralelo al eje x las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , donde a > b , entonces el centro es ( h , k ) el eje mayor es paralelo al eje y las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) Resuelva para c utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse. Graficar una elipse centrada en ( h , k ) Grafique la elipse dada por la ecuación, ( x + 2 ) 2 4 + ( y - 5 ) 2 9 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 9 > 4 , el eje mayor es paralelo al eje y . Por lo tanto, la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , donde b 2 = 4 y a 2 = 9. Se deduce que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( –2 , 5 ) las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) = ( – 2 , 5 ± 9 ) = ( – 2 , 5 ± 3 ) , o ( –2 , 2 ) y ( –2 , 8 ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) = ( – 2 ± 4 , 5 ) = ( – 2 ± 2 , 5 ) , o ( -4 , 5 ) y ( 0 , 5 ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 9 - 4 = ± 5 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( –2 , 5 - 5 ) y ( –2 , Más de 5 5 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación ( x - 4 ) 2 36 + ( y - 2 ) 2 20 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Centro: ( 4 , 2 ) ; vértices: ( – 2 , 2 ) y ( 10 , 2 ) ; covértices: ( 4 , 2 - 2 5 ) y ( 4 , 2 + 2 5 ) ; focos: ( 0 , 2 ) y ( 8 , 2 ) Cómo Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en ( h , k ), exprese la ecuación en forma estándar. Reconozca que una elipse descrita por una ecuación de la forma a x 2 + b y 2 + c x + d y + e = 0 está en forma general. Reordene la ecuación agrupando los términos que contienen la misma variable. Mueva el término constante al lado opuesto de la ecuación. Factorice los coeficientes de los términos x 2 y y 2 en la preparación para completar el cuadrado. Complete el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en forma de suma de múltiplos de dos binomios elevados al cuadrado e iguales a una constante, m 1 ( x - h ) 2 + m 2 ( y - k ) 2 = m 3 , donde m 1 , m 2 , y m 3 son constantes. Divida ambos lados de la ecuación entre el término constante para expresar la ecuación en forma estándar. Graficar una elipse centrada en ( h , k ) escribiéndola primero en forma estándar Grafique la elipse dada por la ecuación 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 . Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Debemos empezar por reescribir la ecuación en forma estándar. 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación. ( 4 x 2 − 40 x ) + ( 9 y 2 + 36 y ) = -100 Factorice los coeficientes de los términos al cuadrado. 4 ( x 2 - 10 x ) + 9 ( y 2 + 4 y ) = -100 Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado. 4 ( x 2 - 10 x + 25 ) + 9 ( y 2 + 4 y + 4 ) = -100 + 100 + 36 Reescriba como cuadrados perfectos. 4 ( x - 5 ) 2 + 9 ( y + 2 ) 2 = 36 Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar. ( x - 5 ) 2 9 + ( y + 2 ) 2 4 = 1 Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Dado que 9 > 4 , el eje mayor es paralelo al eje x . Por lo tanto, la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 9 y b 2 = 4. Se deduce que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( 5 , –2 ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) = ( 5 ± 9 , –2 ) = ( 5 ± 3 , –2 ) , o ( 2 , –2 ) y ( 8 , –2 ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) = ( 5 , −2 ± 4 ) = ( 5 , −2 ± 2 ) , o ( 5 , –4 ) y ( 5 , 0 ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 9 - 4 = ± 5 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 5 - 5 , –2 ) y ( Más de 5 5 , –2 ) . A continuación, graficamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la . Ejercicio Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifique el centro, los vértices, los covértices y los focos de la elipse. 4 x 2 + y 2 - 24 x + 2 y + 21 = 0 ( x - 3 ) 2 4 + ( y + 1 ) 2 16 = 1 ; centro: ( 3 , - 1 ) ; vértices: ( 3 , - 5 ) y ( 3 , 3 ) ; covértices: ( 1 , - 1 ) y ( 5 , - 1 ) ; focos: ( 3 , - 1 - 2 3 ) y ( 3 , − 1+ 2 3 ) Resolver problemas aplicados con elipses Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la . En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros. Las ondas sonoras se reflejan entre los focos en una sala elíptica, llamada cámara de los susurros. Localización de los focos de una cámara de susurros Una gran sala en una galería de arte es una cámara de susurros. Sus dimensiones son de 46 pies de ancho por 96 pies de largo, como se muestra en la . ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto ( 0 , 0 ) . Si dos visitantes situados en los focos de esta sala pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están los visitantes? Redondee al pie más cercano. Suponemos una elipse horizontal con centro ( 0 , 0 ) , por lo que necesitamos hallar una ecuación de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a > b . Sabemos que la longitud del eje mayor, 2 a , es más largo que la longitud del eje menor, 2 b . Así, la longitud de la sala, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la sala, 46, por el eje menor Al resolver para a , tenemos 2 a = 96 , así que a = 48 , y a 2 = 2304 Al resolver para b , tenemos 2 b = 46 , por lo que b = 23 , y b 2 = 529. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es x 2 2304 + y 2 529 = 1. Para hallar la distancia entre los senadores, debemos hallar la distancia entre los focos, ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c 2 = a 2 - b 2 c 2 = 2304 − 529 Sustituya utilizando los valores hallados en la parte (a) . c = ± 2304 − 529 Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados . c = ± 1775 Reste . c ≈ ± 42 Redondee al pie más cercano . Los puntos ( ± 42 , 0 ) representan los focos. Por lo tanto, la distancia entre los senadores es 2 ( 42 ) = 84 pies. Ejercicio Supongamos que una cámara de susurros tiene 480 pies de largo y 320 pies de ancho. Ⓐ ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto ( 0 , 0 ) . Ⓑ Si dos personas están de pie en el foco de esta sala y pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están las personas? Redondee al pie más cercano. Ⓐ x 2 57 , 600 + y 2 25 , 600 = 1 Ⓑ Las personas están de pie a 358 pies de distancia. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las elipses. Secciones cónicas: La elipse Graficar una elipse con centro en el origen Graficar una elipse no centrada en el origen Ecuaciones clave Elipse horizontal, centro en el origen x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > b Elipse vertical, centro en el origen x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , a > b Elipse horizontal, centro ( h , k ) ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , a > b Elipse vertical, centro ( h , k ) ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , a > b Conceptos clave Una elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos). Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el y el . Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el y el . Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una elipse en términos de sus focos. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. ¿Dónde deben estar los focos de una elipse? ¿Qué caso especial de la elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud? Este caso especial sería un círculo. Para el caso especial mencionado en la pregunta anterior, ¿qué sería cierto sobre los focos de esa elipse? ¿Qué se puede decir de la simetría del gráfico de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del eje y ? Es simétrico respecto al eje x , al eje y y al origen. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar. 2 x 2 + y = 4 4 x 2 + 9 y 2 = 36 sí; x 2 3 2 + y 2 2 2 = 1 4 x 2 - y 2 = 4 4 x 2 + 9 y 2 = 1 sí; x 2 ( 1 2 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 = 1 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos. x 2 4 + y 2 49 = 1 x 2 2 2 + y 2 7 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 0 , 7 ) y ( 0 , - 7 ) . Puntos finales del eje menor ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . Focos en ( 0 , 3 5 ) , ( 0 , - 3 5 ) . x 2 100 + y 2 64 = 1 x 2 + 9 y 2 = 1 x 2 ( 1 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 1 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) . Puntos finales del eje menor ( 0 , 1 3 ) , ( 0 , - 1 3 ) . Focos en ( 2 2 3 , 0 ) , ( – 2 2 3 , 0 ) . 4 x 2 + 16 y 2 = 1 ( x - 2 ) 2 49 + ( y - 4 ) 2 25 = 1 ( x - 2 ) 2 7 2 + ( y - 4 ) 2 5 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 9 , 4 ) , ( - 5 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( 2 , 9 ) , ( 2 , - 1 ) . Focos en ( 2 + 2 6 , 4 ) , ( 2 - 2 6 , 4 ) . ( x - 2 ) 2 81 + ( y + 1 ) 2 16 = 1 ( x + 5 ) 2 4 + ( y - 7 ) 2 9 = 1 ( x + 5 ) 2 2 2 + ( y - 7 ) 2 3 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( - 5 , 10 ) , ( - 5 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( - 3 , 7 ) , ( − 7 , 7 ) . Focos en ( - 5 , 7 + 5 ) , ( - 5 , 7 - 5 ) . ( x - 7 ) 2 49 + ( y - 7 ) 2 49 = 1 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 ( x – 1 ) 2 3 2 + ( y - 4 ) 2 2 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 4 , 4 ) , ( – 2 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( 1 , 6 ) , ( 1 , 2 ) . Focos en ( 1 + 5 , 4 ) , ( 1 - 5 , 4 ) . 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 4 x 2 - 24 x + 36 y 2 − 360 y + 864 = 0 ( x - 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 + ( y - 5 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 3 + 3 2 , 5 ) , ( 3 - 3 2 , 5 ) . Puntos finales del eje menor ( 3 , 5 + 2 ) , ( 3 , 5 - 2 ) . Focos en ( 7 , 5 ) , ( - 1 , 5 ) . 4 x 2 + 24 x + 16 y 2 - 128 y + 228 = 0 4 x 2 + 40 x + 25 y 2 − 100 y + 100 = 0 ( x + 5 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y - 2 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 0 , 2 ) , ( − 10 , 2 ) . Puntos finales del eje menor ( - 5 , 4 ) , ( - 5 , 0 ) . Focos en ( - 5 + 21 , 2 ) , ( - 5 − 21 , 2 ) . x 2 + 2 x + 100 y 2 − 1.000 y + 2401 = 0 4 x 2 + 24 x + 25 y 2 + 200 y + 336 = 0 ( x + 3 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y + 4 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 2 , - 4 ) , ( − 8 , - 4 ) . Puntos finales del eje menor ( - 3 , - 2 ) , ( - 3 , − 6 ) . Focos en ( - 3 + 21 , - 4 ) , ( - 3 - 21 , - 4 ) . 9 x 2 + 72 x + 16 y 2 + 16 y + 4 = 0 En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas. ( x + 3 ) 2 25 + ( y + 1 ) 2 36 = 1 Focos ( - 3 , - 1 + 11 ) , ( - 3 , - 1 − 11 ) ( x + 1 ) 2 100 + ( y - 2 ) 2 4 = 1 x 2 + y 2 = 1 Foco ( 0 , 0 ) x 2 + 4 y 2 + 4 x + 8 y = 1 10 x 2 + y 2 + 200 x = 0 Focos ( − 10 , 30 ) , ( − 10 , − 30 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos. x 2 25 + y 2 36 = 1 x 2 16 + y 2 9 = 1 Centro ( 0 , 0 ) , Vértices ( 4 , 0 ) , ( - 4 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , - 3 ) , Focos ( 7 , 0 ) , ( − 7 , 0 ) 4 x 2 + 9 y 2 = 1 81 x 2 + 49 y 2 = 1 Centro ( 0 , 0 ) , Vértices ( 1 9 , 0 ) , ( - 1 9 , 0 ) , ( 0 , 1 7 ) , ( 0 , - 1 7 ) , Focos ( 0 , 4 2 63 ) , ( 0 , - 4 2 63 ) ( x - 2 ) 2 64 + ( y - 4 ) 2 16 = 1 ( x + 3 ) 2 9 + ( y - 3 ) 2 9 = 1 Centro ( - 3 , 3 ) , Vértices ( 0 , 3 ) , ( − 6 , 3 ) , ( - 3 , 0 ) , ( - 3 , 6 ) , Foco ( - 3 , 3 ) Observe que esta elipse es un círculo. El círculo solo tiene un foco, que coincide con el centro. x 2 2 + ( y + 1 ) 2 5 = 1 4 x 2 - 8 x + 16 y 2 - 32 y − 44 = 0 Centro ( 1 , 1 ) , Vértices ( 5 , 1 ) , ( - 3 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , - 1 ) , Focos ( 1 , 1 + 2 3 ) , ( 1 , 1 - 2 3 ) x 2 - 8 x + 25 y 2 − 100 y + 91 = 0 x 2 + 8 x + 4 y 2 − 40 y + 112 = 0 Centro ( - 4 , 5 ) , Vértices ( – 2 , 5 ) , ( − 6 , 4 ) , ( - 4 , 6 ) , ( - 4 , 4 ) , Focos ( - 4 + 3 , 5 ) , ( - 4 - 3 , 5 ) 64 x 2 + 128 x + 9 y 2 - 72 y − 368 = 0 16 x 2 + 64 x + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0 Centro ( – 2 , 1 ) , Vértices ( 0 , 1 ) , ( - 4 , 1 ) , ( – 2 , 5 ) , ( – 2 , - 3 ) , Focos ( – 2 , 1 + 2 3 ) , ( – 2 , 1 - 2 3 ) 100 x 2 + 1.000 x + y 2 - 10 y + 2425 = 0 4 x 2 + 16 x + 4 y 2 + 16 y + 16 = 0 Centro ( – 2 , - 2 ) , Vértices ( 0 , - 2 ) , ( - 4 , - 2 ) , ( – 2 , 0 ) , ( – 2 , - 4 ) , Foco ( – 2 , - 2 ) En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación. Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 4 , 0 ) , y punto en el gráfico ( 0 , 3 ) . Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 0 , –2 ) , y punto en el gráfico ( 5 , 0 ) . x 2 25 + y 2 29 = 1 Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 3 , 0 ) , y el eje mayor es dos veces más largo que el eje menor. Centro ( 4 , 2 ) ; vértice ( 9 , 2 ) ; un foco: ( 4 + 2 6 , 2 ) . ( x - 4 ) 2 25 + ( y - 2 ) 2 1 = 1 Centro ( 3 , 5 ) ; vértice ( 3 , 11 ) ; un foco: ( 3 , 5 + 4 2 ) Centro ( −3 , 4 ) ; vértice ( 1 , 4 ) ; un foco: ( −3 + 2 3 , 4 ) ( x + 3 ) 2 16 + ( y - 4 ) 2 4 = 1 En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación. x 2 81 + y 2 9 = 1 ( x + 2 ) 2 4 + ( y - 2 ) 2 9 = 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula Área = a ⋅ b ⋅ π . ( x - 3 ) 2 9 + ( y - 3 ) 2 16 = 1 Área = 12π unidades al cuadrado ( x + 6 ) 2 16 + ( y - 6 ) 2 36 = 1 ( x + 1 ) 2 4 + ( y - 2 ) 2 5 = 1 Área = 2 5 π unidades cuadradas. 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 Área = 9π unidades cuadradas. Aplicaciones en el mundo real Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja de 8 unidades de ancho y 4 de alto. Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja que es cuatro veces más ancha que alta. Expresar la altura en términos de h . x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1 Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de 8 pies y una amplitud de 20 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la altura, con una precisión de 0,01 pies del arco a una distancia de 4 pies del centro. Un arco tiene la forma de una semielipse. El arco tiene una altura de 12 pies y una amplitud de 40 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura sea de 6 pies. Redondee a la centésima más cercana. x 2 400 + y 2 144 = 1 . Distancia = 17,32 pies Se va a construir un puente con forma de arco semielíptico y con una amplitud de 120 pies. La altura del arco a una distancia de 40 pies del centro será de 8 pies. Halle la altura del arco en su centro. Una persona en una galería de susurros situada en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si una galería de susurros tiene una longitud de 120 pies, y los focos están situados a 30 pies del centro, calcule la altura del techo en el centro. Aproximadamente 51,96 pies Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería de susurros. Si esa persona está en un foco, y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuáles son la longitud y la altura en el centro de la galería? centro de una elipse el punto medio de los ejes mayor y menor sección cónica cualquier forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano elipse el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante focos plural de foco foco (de una elipse) uno de los dos puntos fijos del eje mayor de una elipse tal que la suma de las distancias de estos puntos a cualquier punto ( x , y ) en la elipse es una constante eje mayor el más largo de los dos ejes de una elipse eje menor el más corto de los dos ejes de una elipse

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