La distribución exponencial La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. Sea X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con su cliente. Se sabe que el tiempo tiene una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos. X es una variable aleatoria continua ya que el tiempo se mide. Se da que μ = 4 minutos. Para hacer cualquier cálculo, hay que conocer m , el parámetro de decaimiento. m = 1 μ . Por lo tanto, m = 1 4 = 0,25. La desviación típica, σ , es la misma que la media. μ = σ La notación de la distribución es X ~ Exp ( m ). Por lo tanto, X ~ Exp (0,25). La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me - mx . El número e = 2,71828182846... Es un número que se utiliza a menudo en matemáticas. Las calculadoras científicas tienen la clave " e x ". Si introduce uno para x , la calculadora mostrará el valor e . La curva es: f ( x ) = 0,25 e –0,25 x donde x es al menos cero y m = 0,25. Por ejemplo, f (5) = 0,25 e (–0,25)(5) = 0,072. El valor 0,072 es la altura de la curva cuando x = 5. En el a continuación, aprenderá a calcular las probabilidades utilizando el parámetro de decaimiento. El gráfico es el siguiente: Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0, f ( x ) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m . El valor máximo en el eje y es m . Ejercicio El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución. a. Utilizando la información del , halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar. a. Calcule P (4 < x < 5). La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda. P ( x < x ) = 1 – e –mx P ( x < 5) = 1 – e (−0,25)(5) = 0,7135 and P ( x < 4) = 1 – e (–0,25)(4) = 0,6321 NOTA Puede hacer estos cálculos fácilmente en una calculadora. La probabilidad de que un empleado de correos pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar es P (4 < x < 5) = P ( x < 5) – P ( x < 4) = 0,7135 – 0,6321 = 0,0814. En la pantalla de inicio, ingrese (1 – e^(–0,25*5))–(1-e^(–0,25*4)) o ingrese e^(–0,25*4) – e^(–0,25*5). b. ¿La mitad de los clientes terminan en cuánto tiempo? (Calcule el percentil 50 ) b. Calcule el percentil 50 . P ( x < k ) = 0,50, k = 2,8 minutos (calculadora o computadora) La mitad de los clientes terminan en 2,8 minutos. También puede hacer el cálculo de la siguiente manera: P ( x < k ) = 0,50 y P ( x < k ) = 1 – e –0,25 k Por lo tanto, 0,50 = 1 − e −0,25 k y e −0,25 k = 1 − 0,50 = 0,5 Tome los logaritmos naturales: ln ( e –0,25 k ) = ln (0,50). Entonces, -0,25 k = ln (0,50) Al resolver k : k = l n ( 0,50 ) – 0,25 = 2,8 minutos. La calculadora simplifica el cálculo del percentil k . Vea las dos notas siguientes. Nota Una fórmula para el percentil k es k = l n ( 1 – A r e a T o T h e L e e t ) – m donde ln es el logaritmo natural. En la pantalla de inicio, introduzca ln(1 - 0,50)/-0,25. Pulse el (-) para el negativo. c. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? c. De la parte b, la mediana o percentil 50 es de 2,8 minutos. La media teórica es de cuatro minutos. La media es mayor. Ejercicio El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros? Haga que cada miembro de la clase cuente el cambio que tiene en su bolsillo o monedero. Su instructor registrará las cantidades en dólares y centavos. Construya un histograma de los datos tomados por la clase. Utilice cinco intervalos. Dibuje una curva suave a través de las barras. El gráfico debe tener un aspecto aproximadamente exponencial. A continuación, calcule la media. Sea X = la cantidad de dinero que un estudiante de su clase tiene en su bolsillo o monedero. La distribución de X es aproximadamente exponencial con media, μ = _______ y m = _______. La desviación típica, σ = ________. Dibuje el gráfico exponencial adecuado. Deberá etiquetar los ejes X e Y, la tasa de decaimiento y la media. Sombrea el área que representa la probabilidad de que un estudiante tenga menos de 0,40 dólares en su bolsillo o bolso. (Sombree P ( x < 0,40)). En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años? a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora. μ = 10 por lo que m = 1 μ = 1 10 = 0,1 Calcule P ( x > 7). Dibuje el gráfico. P ( x > 7) = 1 – P ( x < 7). Como P ( X < x ) = 1 – e –mx entonces P ( X > x ) = 1 – (1 – e –mx ) = e –mx P ( x > 7) = e (–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966. En la pantalla de inicio, ingrese e^(-.1*7). b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra? b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años. c. El ochenta por ciento de las piezas de las computadoras duran como máximo ¿cuánto tiempo? c. Calcule el percentil 80 . Dibuje el gráfico. Supongamos que k = el percentil 80 . Al resolver k k = l n ( 1 – 0,80 ) – 0,1 = 16,1 años El ochenta de las piezas de las computadoras duran como máximo 16,1 años. En la pantalla de inicio, ingrese ln ( 1 – 0,80 ) – 0,1 d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años? d. Calcule P (9 < x < 11). Dibuje el gráfico. P (9 < x < 11) = P ( x < 11) – P ( x < 9) = (1 – e (–0,1)(11) ) – (1 – e (–0,1)(9) ) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737. En la pantalla de inicio, ingrese e^ (-0,1*9) - e^ (-0,1*11). Ejercicio En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días? Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 . Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos. ¿Qué son m , μ y σ ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______. m = 1 12 μ = 12 σ = 12 P ( x > 5) = 0,6592 Ejercicio Supongamos que la distancia, en millas, que la gente está dispuesta a recorrer para ir al trabajo es una variable aleatoria exponencial con un parámetro de decaimiento 1 20 . Supongamos que X = la distancia que la gente está dispuesta a recorrer en millas. ¿Qué son m , μ y σ ? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté dispuesta a recorrer más de 25 millas? El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas? Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes? Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar. ¿El setenta por ciento de los clientes llegan antes de cuántos minutos después del cliente anterior? ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación? Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = 1 2 = 0,5. Por lo tanto, X ∼ Exp (0,5). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e (-0,5)(x) . Por lo tanto, P ( X < 1) = 1 - e (-0,5)(1) ≈ 0,3935. 1 - e ^(–0,5) ≈ 0,3935 P ( X > 5) = 1 - P ( X < 5) = 1 - (1 - e (-0,50)(5) ) = e -2,5 ≈ 0,0821. 1 - (1 - e^((-0,50)(5))) o e^( - 5*0,5) Queremos resolver 0,70 = P ( X < x ) para x . Sustituyendo la función de distribución acumulativa se obtiene 0,70 = 1 – e –0,5 x , por lo que e –0,5x = 0,30. Convirtiendo esto en forma logarítmica se obtiene –0,5 x = ln (0,30), o x = l n ( 0,30 ) – 0,5 ≈ 2,41 minutos. Así, el setenta por ciento de los clientes llega antes de los 2,41 minutos del cliente anterior. Usted calcula el percentil 70 k por lo que puede utilizar la fórmula k = l n ( 1 – A r e a _ T o _ T h e _ L e e t _ O e _ k ) ( – m ) k = l n ( 1 – 0,70 ) ( – 0,5 ) ≈ 2,41 minutos Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras. Ejercicio Supongamos que en un determinado tramo de autopista los autos pasan a una tasa promedio de cinco autos por minuto. Supongamos que la duración del tiempo entre autos sucesivos sigue la distribución exponencial. En promedio, ¿cuántos segundos transcurren entre dos autos sucesivos? Después de que pase un auto, ¿cuánto tiempo, en promedio, tardarán en pasar otros siete autos? Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente pase en los siguientes 20 segundos. Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente no pase durante al menos otros 15 segundos. La falta de memoria de la distribución exponencial En el recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos ( X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria . Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t ) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0 Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior. P ( X > 5 + 1 | X > 5) = P ( X > 1) = e ( – 0,5 ) ( 1 ) ≈ 0,6065. Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior. La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años ( X ~ Exp (0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P ( X > 17| X > 10) = P ( X > 7) = 0,4966. Consulte el donde el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal? El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 = 0,25, por lo que X ∼ Exp (0,25). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e –0,25 x . Queremos despejar P ( X > 7| X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P ( X > 7| X > 4) = P ( X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal. Esto es P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 – (1 – e –0,25⋅3 ) = e –0,75 ≈ 0,4724. 1-(1-e^(-0,25*3)) = e^(-0,25*3). Ejercicio Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Si una bombilla ya ha durado 12 años, calcule la probabilidad de que dure un total de más de 19 años. Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ , entonces P ( X = k ) = λ k e – λ k ! . Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.( k ! = k *( k –1*)( k –2)*( k –3)*…3*2*1) Supongamos que X tiene la distribución de Poisson con media λ . Calcule P ( X = k ) introduciendo 2 nd , VARS(DISTR), C: poissonpdf (λ , k ). Para calcular P (X ≤ k ), ingrese 2 nd , VARS (DISTR), D:poissoncdf( λ , k ). En una comisaría de Policía de una gran ciudad las llamadas llegan a una tasa promedio de cuatro llamadas por minuto. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. Hay que tener en cuenta que solo nos preocupa el ritmo de entrada de las llamadas, y que ignoramos el tiempo que se pasa al teléfono. También debemos suponer que los tiempos transcurridos entre las llamadas son independientes. Esto significa que un retraso particularmente largo entre dos llamadas no significa que habrá un periodo de espera más corto para la siguiente llamada. Podemos deducir entonces que el número total de llamadas recibidas durante un periodo tiene la distribución de Poisson. Calcule el tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas. Calcule la probabilidad de que después de recibir una llamada, la siguiente se produzca en menos de diez segundos. Calcule la probabilidad de que se produzcan exactamente cinco llamadas en un minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas en un minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan más de 40 llamadas en un periodo de ocho minutos. En promedio se producen cuatro llamadas por minuto, es decir, 15 segundos, o 15 60 = 0,25 minutos transcurren en promedio entre las sucesivas llamadas. Supongamos que T = tiempo transcurrido entre llamadas. De la parte a, μ = 0,25, por lo que m = 1 0,25 = 4. Por lo tanto, T ∼ Exp (4). La función de distribución acumulativa es P ( T < t ) = 1 – e –4 t . La probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en menos de diez segundos (diez segundos = 1/6 de minuto) es P ( T < 1 6 ) = 1 – e ( – 4 ) ( 1 6 ) ≈ 0,4866. Supongamos que X = el número de llamadas por minuto. Como ya se ha dicho, el número de llamadas por minuto tiene una distribución de Poisson, con una media de cuatro llamadas por minuto. Por lo tanto, X ∼ Poisson (4), y así P ( X = 5) = 4 5 e – 4 5 ! ≈ 0,1563. (5! = (5)(4)(3)(2)(1)) poissonpdf(4, 5) = 0,1563. Tenga en cuenta que X debe ser un número entero, por lo que P ( X < 5) = P ( X ≤ 4). Para calcular esto, podríamos tomar P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4). Utilizando la tecnología, vemos que P ( X ≤ 4) = 0,6288. poisssoncdf(4, 4) = 0,6288 Sea Y = el número de llamadas que se producen durante un periodo de ocho minutos. Como hay un promedio de cuatro llamadas por minuto, hay un promedio de (8)(4) = 32 llamadas durante cada periodo de ocho minutos. Por lo tanto, Y ∼ Poisson (32). Por tanto, P ( Y > 40) = 1 – P ( Y ≤ 40) = 1 – 0,9294 = 0,0707. 1 - poissoncdf(32, 40). = 0,0707 Ejercicio En una ciudad pequeña, el número de accidentes de tráfico se produce con una distribución de Poisson a un promedio de tres por semana. Calcule la probabilidad de que se produzcan como máximo 2 accidentes en una semana determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos semanas entre dos accidentes? Repaso del capítulo Si X tiene una distribución exponencial con media μ , entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ , y escribimos X ∼ Exp ( m ) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f ( x ) = me –mx (o equivalentemente e ( x ) = 1 μ e – x / μ . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = 1 – e – mx . La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria , que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ). Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp ( λ ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ . La función de densidad de probabilidad de X es P ( X = k ) = λ k e – k k ! . Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf( λ , k ). La función de distribución acumulativa P ( X ≤ k ) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf( λ , k ). Revisión de la fórmula Exponencial: X ~ Exp ( m ) donde m = el parámetro de decaimiento pdf: f ( x ) = me (– mx ) donde x ≥ 0 y m > 0 cdf: P ( X ≤ x ) = 1 – e (– mx ) media µ = 1 m desviación típica σ = µ percentil k : k = l n ( 1 – A r e a T o T h e L e e t O e k ) ( – m ) Además P ( X > x ) = e (– mx ) P ( a < X < b ) = e (– ma ) – e (– mb ) Propiedad de falta de memoria: P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ) Probabilidad de Poisson: P ( X = k ) = λ k e – k k ! con media λ k ! = k *( k -1)*( k -2)*( k -3)*…3*2*1 Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013). “No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013). Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013). Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp (0,2) ¿Qué tipo de distribución es esta? ¿Los resultados son igualmente probables en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo. ¿Qué es m ? ¿Qué representa? ¿Cuál es la media? cinco ¿Cuál es la desviación típica? Indique la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 0,2e –0,2 x Grafique la distribución. Calcule P (2 < x < 10). 0,5350 Calcule P ( x > 6). Calcule el percentil 70 . 6,02 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp (0,75). ¿Qué es m ? ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? f ( x ) = 0,75 e –0,75 x ¿Qué es la función de distribución acumulativa? Dibuje la distribución. Calcule P ( x < 4). Calcule el percentil 30 . 0,4756 Calcule la mediana. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 ≈ 1,33 , que es superior a 0,9242. Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14. ¿Qué se mide aquí? ¿Los datos son discretos o continuos? continuos Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Cuál es la tasa de descomposición ( m )? m = 0,000121 La distribución de X es ______. Calcule la cantidad (porcentaje de un gramo) de carbono-14 que dura menos de 5.730 años. Es decir, calcule P ( x < 5.730). Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 5.730) = __________ Compruebe la solución del estudiante. P ( x < 5.730) = 0,5001 Calcule el porcentaje de carbono-14 que dura más de 10.000 años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x > 10.000) = ________ ¿En cuántos años se descompone el treinta por ciento (30 %) del carbono-14? Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,30. Compruebe la solución del estudiante. k = 2.947,73 Tarea para la casa Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué? Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil? ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra? Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses. ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías? X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses. X es continua. X ~ Exp (0,025) 40 meses 360 meses 0,4066 14,27 El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12. Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8. ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %? ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %? El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ = ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65? En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún? X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años X es continua. X ~ Exp ( 1 5 ) cinco cinco Compruebe la solución del estudiante. 0,1353 antes 18,3 El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. X ~ = ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. La tasa de decaimiento es: 0,3333 0,5000 2 3 a ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra? 0,8647 0,4866 0,2212 0,9997 ¿Cuál es la mediana de la vida de estos teléfonos (en años)? 0,1941 1,3863 2,0794 5,5452 c Supongamos que X ~ Exp (0,1). tasa de decaimiento = ________ μ = ________ Representar gráficamente la función de distribución de la probabilidad. En el gráfico, sombree el área correspondiente a P ( x < 6) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P (3 < x < 6) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P ( x < 7) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente al percentil 40 y calcule el valor. Calcule el valor promedio de x . Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Calcule la probabilidad de que una bombilla dure menos de un año. Calcule la probabilidad de que una bombilla dure entre seis y diez años. El setenta por ciento de las bombillas duran al menos ¿cuánto tiempo? Una compañía decide ofrecer una garantía para devolver el dinero a las bombillas cuya vida útil está entre el dos por ciento más bajo de todas las bombillas. ¿Cuál es la fecha límite para que se aplique la garantía? Si una bombilla ha durado siete años, ¿cuál es la probabilidad de que falle en el octavo año? Supongamos que T = el tiempo de vida de una bombilla. El parámetro de decaimiento es m = 1/8, y T ∼ Exp(1/8). La función de distribución acumulativa es P ( T < t ) = 1 – e – t 8 Por lo tanto, P ( T < 1) = 1 – e – 1 8 ≈ 0,1175. Queremos calcular P (6 < t < 10). Para ello, P (6 < t < 10) – P ( t < 6) = ( 1 – e – 1 8 * 10 ) – ( 1 – e – 1 8 * 6 ) ≈ 0,7135 – 0,5276 = 0,1859 Queremos calcular 0,70 = P ( T > t ) = 1 – ( 1 – e – t 8 ) = e – t 8 . Al resolver t , e – t 8 = 0,70, por lo que – t 8 = ln (0,70), y t = -8 ln (0,70) ≈ 2,85 años. O utilice t = l n (área_a_la_derecha) ( – m ) = l n (0 0,70) – 1 8 ≈ 2. 85 años . Queremos calcular 0,02 = P ( T < t ) = 1 – e – t 8 . Al resolver t , e – t 8 = 0,98, por lo que – t 8 = ln (0,98), y t = -8 ln (0,98) ≈ 0,1616 años, es decir, aproximadamente dos meses. La garantía debería cubrir las bombillas que duran menos de 2 meses. O utilice ln (área_a_la_derecha) ( – m) = ln (1 – 0,2 ) – 1 8 = 0,1616. Debemos hallar P ( T < 8| T > 7). Observe que por la regla de los eventos complementarios, P ( T < 8| T > 7) = 1 – P ( T > 8| T > 7). Por la propiedad de falta de memoria ( P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t )). Así que P ( T > 8| T > 7) = P ( T > 1) = 1 – ( 1 – e – 1 8 ) = e – 1 8 ≈ 0,8825 Por lo tanto, P ( T < 8| T > 7) = 1 – 0,8825 = 0,1175. Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas? Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse. ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior? Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora. En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables? Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada? Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3. Por lo tanto, ( X = 0) = 3 0 e – 3 0 ! = e –3 ≈ 0,0498 NOTA Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 . Por lo tanto, m = 1 μ = 3 y T ∼ Exp (3). La probabilidad deseada es P ( T > 1) = 1 – P ( T < 1) = 1 – (1 – e –3 ) = e –3 ≈ 0,0498. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P ( T > 2| T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P ( T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0,3528. Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes? Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014? Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B? 100 9 = 11,11 P ( X > 10) = 1 – P ( X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P ( X < x ) = 1 – e – x 9 . Así que, P ( X > 20) = 1 – P ( X ≤ 20) = 1 – ( 1 – e – 20 9 ) ≈ 0,1084. Nota También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 ≈ 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo). Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos. ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas? Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes? Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora. En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos? Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora. Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 . La cdf es P ( T < t ) = 1 – e t 7 P ( T < 2) = 1 – 1 – e – 2 7 ≈ 0,2485. P ( T > 15) = 1 – P ( T < 15 ) = 1 – ( 1 – e – 15 7 ) ≈ e – 15 7 ≈ 0,1173 . P ( T > 15| T > 10) = P ( T > 5) = 1 – ( 1 – e – 5 7 ) = e – 5 7 ≈ 0,4895 . Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) . Calcule P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0,0311. parámetro de decaimiento el parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de x . Es el valor m en la función de densidad de probabilidad f ( x ) = me (– mx ) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a m = 1 μ , donde μ es la media de la variable aleatoria. propiedad de falta de memoria para una variable aleatoria exponencial X , la propiedad de falta de memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto significa que la probabilidad de que X supere a x + k , dado que ha superado a x , es la misma que la probabilidad de que X supere a k si no tuviéramos conocimiento de ello. En símbolos decimos que P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ). Distribución de Poisson Si se conoce un promedio de eventos λ que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos X que ocurren en una unidad de tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que se produzcan k eventos en una unidad de tiempo es igual a P ( X = k ) = λ k e – λ k ! .

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Distribución continua Distribución continua Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará y contrastará los datos empíricos de un generador de números aleatorios con la distribución uniforme. Recopilación de datos Utilice un generador de números aleatorios para generar 50 valores entre cero y uno (incluidos). Indíquelos en la . Redondee los números a cuatro decimales o ajuste el MODO de la calculadora a cuatro posiciones. Rellene la tabla. __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s = _______ primer cuartil = _______ tercer cuartil = _______ mediana = _______ Organice los datos Construya un histograma de los datos empíricos. Realice ocho barras. Construya un histograma de los datos empíricos. Realice cinco barras. Describa los datos En dos o tres frases completas, describa la forma de cada gráfico. (No se complique. ¿El gráfico es recto, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.? Una forma de ayudarle a determinar la forma es dibujar una curva suave que pase aproximadamente por la parte superior de las barras). Describa cómo el cambio del número de barras puede modificar la forma. Distribución teórica En palabras, X = _____________________________________. La distribución teórica de X es X ~ U (0,1). En teoría, basándose en la distribución X ~ U (0,1), complete lo siguiente. μ = ______ σ = ______ primer cuartil = ______ tercer cuartil = ______ mediana = __________ ¿Se acercan los valores empíricos (los datos) de la sección titulada Recopilación de datos a los valores teóricos correspondientes? ¿Por qué sí o por qué no? Trace los datos Construya un diagrama de caja de los datos. Asegúrese de utilizar una regla para escalar con precisión y dibujar bordes rectos. ¿Nota algún valor atípico potencial? Si es así, ¿qué valores son? En cualquier caso, justifique su respuesta numéricamente (recordemos que cualquier DATO que sea inferior a Q 1 – 1,5 ( IQR ) o superior a Q 3 + 1.5 ( IQR ) son posibles valores atípicos. IQR significa rango intercuartil). Compare los datos Para cada una de las siguientes partes, comente con una frase completa cómo se compara el valor obtenido de los datos con el valor teórico que esperaba de la distribución en el apartado titulado Distribución teórica . valor mínimo: _______ primer cuartil: _______ mediana: _______ tercer cuartil: _______ valor máximo: _______ anchura del IQR : _______ forma general: _______ Basándose en sus comentarios en la sección titulada Recopilación de datos , ¿cómo se ajusta o no el diagrama de caja a lo que esperaría de la distribución en la sección titulada Distribución teórica ? Pregunta de debate Supongamos que el número de valores generados es de 500 y no de 50. ¿Cómo afectaría eso a los datos empíricos y a la forma de su gráfico?

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Introducción Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad normal estándar y aplicarla adecuadamente. Comparar las probabilidades normales convirtiendo a la distribución normal estándar. La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media ( μ ) y la desviación típica ( σ ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media ( μ ) y desviación típica ( σ ), la designamos escribiendo La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice . No es necesario. f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 La función de distribución acumulativa es P ( X < x ). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla. La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ . En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ . Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ , provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ . Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar . Su instructor registrará las estaturas de los hombres y las mujeres de su clase, por separado. Dibuje histogramas de sus datos. A continuación, dibuje una curva suave a través de cada histograma. ¿Cada curva tiene una forma de campana? ¿Cree que si hubiera registrado 200 valores de datos para hombres y 200 para mujeres, las curvas tendrían forma de campana? Calcule la media de cada conjunto de datos. Escriba las medias en el eje de x del gráfico correspondiente debajo del pico. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que un hombre elegido aleatoriamente sea más alto que 72 pulgadas. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que una mujer elegida aleatoriamente tenga menos de 60 pulgadas. Si el área total bajo cada curva es uno, ¿parece que alguna de las probabilidades es superior a 0,5? Revisión de la fórmula X ∼ N ( μ , σ ) μ = la media σ = la desviación típica Distribución normal una variable aleatoria continua (RV) con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 σ 2 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria (random variable, RV) se denomina distribución normal estándar .

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La distribución normal estándar La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z . Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente: x = μ + ( z )( σ ) = 5 + (3)(2) = 11 La puntuación z es tres. La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación z = x – μ σ produce la distribución Z ~ N (0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ . Puntuaciones z Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ) , entonces la puntuación z es: z = x – μ σ La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ . Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero. Supongamos que X ~ N(5, 6) . Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces: z = x – μ σ = 17 – 5 6 = 2 Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2 σ ) por encima o a la derecha de la media μ = 5. Observe que: 5 + (2)(6) = 17 (el patrón es μ + zσ = X ) Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x – μ σ = 1 – 5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales) Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67 σ ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5. Observe que: 5 + (-0,67)(6) es aproximadamente igual a uno (esto presenta el patrón μ + (-0,67)σ = 1) Resumiendo, cuando z es positiva, x está por encima o a la derecha de μ y cuando z es negativa, x está a la izquierda o por debajo de μ . O bien, cuando z es positiva, x es mayor que μ , y cuando z es negativa x es menor que μ . Ejercicio ¿Cuál es la puntuación z de x , cuando x = 1 y X ~ N (12,3)? Algunos médicos creen que una persona puede perder cinco libras, en promedio, en un mes si reduce su consumo de grasas y hace ejercicio de manera constante. Supongamos que la pérdida de peso tiene una distribución normal. Supongamos que X = la cantidad de peso perdida (en libras) por una persona en un mes. Utilice una desviación típica de dos libras. X ~ N (5, 2). Complete los espacios en blanco. a. Supongamos que una persona pierde diez libras en un mes. La puntuación z cuando x = 10 libras es z = 2,5 (verifique). Esta puntuación z le indica que x = 10 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). a. Esta puntuación z le indica que x = 10 está a 2,5 desviaciones típicas a la derecha de la media cinco . b. Supongamos que una persona ha ganado tres libras (una pérdida de peso negativa). Entonces z = __________. Esta puntuación z le indica que x = –3 está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. b. z = -4 . Esta puntuación z le indica que x = –3 está a cuatro desviaciones típicas a la izquierda de la media. c. Supongamos que las variables aleatorias X y Y tienen las siguientes distribuciones normales: X ~ N (5, 6) y Y ~ N (2, 1). Si X = 17, entonces z = 2. (Se mostró anteriormente.) Si y = 4, ¿cuál es z ? c. z = y – μ σ = 4 – 2 1 = 2 donde µ = 2 y σ = 1. La puntuación z para y = 4 es z = 2. Esto significa que cuatro está z = 2 desviaciones típicas a la derecha de la media. Por lo tanto, x = 17 y y = 4 son dos desviaciones típicas (por sí mismas ) a la derecha de sus respectivas medias. La puntuación z nos permite comparar datos con escalas diferentes. Para entender el concepto, supongamos que X ~ N (5, 6) representa el aumento de peso de un grupo de personas que intentan subir de peso en un periodo de seis semanas y Y ~ N (2, 1) mide el mismo aumento de peso de un segundo grupo de personas. Un aumento de peso negativo sería una pérdida de peso. Como x = 17 y y = 4 están cada una a dos desviaciones típicas a la derecha de sus medias, representan el mismo aumento de peso estandarizado relativo a sus medias . Ejercicio Complete los espacios en blanco. Jerome tiene un promedio de 16 puntos por partido con una desviación típica de cuatro puntos. X ~ N (16,4). Supongamos que Jerome anota diez puntos en un partido. La puntuación z cuando X = 10 es -1,5. Esta puntuación nos indica que x = 10 está a _____ desviaciones típicas a la ______(derecha o izquierda) de la media______ (¿Cuál es la media?). La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ , la regla empírica dice lo siguiente: Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1 σ y +1 σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media). Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2 σ y +2 σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media). Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3 σ y +3 σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Las puntuaciones z para +1 σ y –1 σ son +1 y –1, respectivamente. Las puntuaciones z para +2 σ y –2 σ son +2 y –2, respectivamente. Las puntuaciones z para +3 σ y –3 σ son +3 y –3, respectivamente. La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7. La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N (170, 6,28). a. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 168 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando X = 168 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 168 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). b. Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = 1,27. ¿Cuál es la altura de los hombres? La puntuación z ( z = 1,27) indica que la estatura de ese hombre se sitúa en ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. a. -0,32, 0,32, izquierda, 170 b. 177,98 cm, 1,27, derecha Ejercicio Utilice la información del para responder a las siguientes preguntas. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 176 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando x = 176 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 176 cm está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = –2. ¿Cuál es la altura del hombre? La puntuación z ( z = –2) indica que la estatura del hombre está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años de 1984 a 1985. Entonces Y ~ N (172,36; 6,34). La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N (170, 6,28). Halle las puntuaciones z para x = 160,58 cm y y = 162,85 cm. Interprete cada puntuación z . ¿Qué puede decir sobre x = 160,58 cm e y = 162,85 cm en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas? La puntuación z para x = -160,58 es z = –1,5. La puntuación z para y = 162,85 es z = –1,5. Tanto x = 160,58 como y = 162,85 desvían el mismo número de desviaciones típicas de sus respectivas medias y en la misma dirección. Ejercicio En 2012, 1.664.479 estudiantes realizaron la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). La distribución de las puntuaciones en la sección verbal del SAT tenía una media µ = 496 y una desviación típica σ = 114. Supongamos que X = la puntuación de la sección verbal de la prueba SAT en 2012. Entonces X ~ N (496, 114). Halle las puntuaciones z para x 1 = 325 y x 2 = 366,21. Interprete cada puntuación z . ¿Qué puede decir sobre x 1 = 325 y x 2 = 366,21 en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas? Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6. Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1 σ = (–1)(6) = –6 y 1 σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente. Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2 σ = (–2)(6) = –12 y 2 σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de X se encuentran entre -3 σ = (–3)(6) = –18 y 3 σ = (3)(6) = 18 de la media de 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típicas de la media de 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente. Ejercicio Supongamos que X tiene una distribución normal con una media de 25 y una desviación típica de 5. ¿Entre qué valores de x se encuentra el 68 % de los valores? Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años en 1984 a 1985. Entonces Y ~ N (172,36; 6,34). ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________ respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. Aproximadamente el 68 % de los valores se sitúan entre 166,02 cm y 178,7 cm. Las puntuaciones z son –1 y 1. Aproximadamente el 95 % de los valores se sitúan entre 159,68 cm y 185,04 cm. Las puntuaciones z son –2 y 2. Aproximadamente el 99,7 % de los valores se sitúan entre 153,34 cm y 191,38 cm. Las puntuaciones z son –3 y 3. Ejercicio Las puntuaciones de una prueba de acceso a la universidad tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 52 puntos y una desviación típica, σ = 11 puntos. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. Referencias “Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013). “The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013). “2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013). “Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de The World Almanac and Book of Facts . “List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N (0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N ( µ , σ ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ . Revisión de la fórmula z = un valor estandarizado (puntuación z ) media = 0; desviación típica = 1 Para hallar el valor observado, x , cuando se conocen las puntuaciones z : x = μ + ( z ) σ puntuación z : z = x – μ σ Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z Una botella de agua contiene 12,05 onzas líquidas con una desviación típica de 0,01 onzas. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ____________. onzas de agua en una botella Una distribución normal tiene una media de 61 y una desviación típica de 15. ¿Cuál es la mediana? X ~ N (1, 2) σ = _______ 2 Una compañía fabrica pelotas de goma. El diámetro medio de una pelota es de 12 cm con una desviación típica de 0,2 cm. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ______________. X ~ N (–4, 1) ¿Cuál es la mediana? -4 X ~ N (3, 5) σ = _______ X ~ N (–2, 1) μ = _______ -2 ¿Qué mide una puntuación z ? ¿Qué hace la estandarización de una distribución normal con la media? La media se convierte en cero. ¿ X ~ N (0, 1) es una distribución normal estandarizada? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la puntuación z de x = 12, si está dos desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2 ¿Cuál es la puntuación z de x = 9, si está 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? ¿Cuál es la puntuación z de x = –2, si está a 2,78 desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2,78 ¿Cuál es la puntuación z de x = 7, si está a 0,133 desviaciones típicas a la izquierda de la media? Supongamos que X ~ N (2, 6). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de tres? x = 20 Supongamos que X ~ N (8, 1). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –2,25? Supongamos que X ~ N (9, 5). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,5? x = 6,5 Supongamos que X ~ N (2, 3). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,67? Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1 Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a dos desviaciones típicas a la derecha de la media? Supongamos que X ~ N (8, 9). ¿Qué valor de x está a 0,67 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1,97 Supongamos que X ~ N (–1, 2). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? Supongamos que X ~ N (12, 6). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? z = –1.67 Supongamos que X ~ N (9, 3). ¿Cuál es la puntuación z de x = 9? Supongamos que una distribución normal tiene una media de seis y una desviación típica de 1,5. ¿Cuál es la puntuación z de x = 5,5? z ≈ –0,33 En una distribución normal, x = 5 y z = –1,25. Esto le dice que x = 5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = 3 y z = 0,67. Esto le dice que x = 3 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 0,67, derecha En una distribución normal, x = –2 y z = 6. Esto le dice que x = –2 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = –5 y z = –3,14. Esto le dice que x = –5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 3,14, izquierda En una distribución normal, x = 6 y z = –1,7. Esto le dice que x = 6 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de una desviación típica (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? alrededor del 68 % Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de dos desviaciones típicas (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la segunda y la tercera desviación típica (en ambos lados)? alrededor del 4 % Supongamos que X ~ N (15, 3). ¿Entre qué valores de x está el 68,27 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, 15). Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 95,45 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, –3). entre –5 y –1 Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 34,14 % de los datos? ¿Aproximadamente qué porcentaje de los valores de x están entre la media y tres desviaciones típicas? alrededor del 50 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la media y una desviación típica? Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la segunda desviación típica de la media (en ambos lados)? alrededor del 27 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la tercera desviación típica (en ambos lados)? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = _______________. La vida útil de un reproductor de CD de Sunshine se mide en años. X ~ _____(_____,_____) Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación? 2,7 5,3 7,4 2,1 ¿Cuál es la puntuación z de un paciente que tarda diez días en recuperarse? 1,5 0,2 2,2 7,3 c El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Los datos no pueden seguir la distribución uniforme. Los datos no pueden seguir la distribución exponencial. Los datos no pueden seguir la distribución normal. I solo II solo III solo I, II y III Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas. 77 pulgadas 85 pulgadas Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = –0,5141. La altura de 77 pulgadas es 0,5141 desviaciones típicas por debajo de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 77 pulgadas es más bajo que el promedio. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = 1,5424. La altura 85 pulgadas es 1,5424 desviaciones típicas por encima de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 85 pulgadas es más alto que el promedio. Altura = 79 + 3,5(3,89) = 92,615 pulgadas, los cual es más alto que 7 pies y 8 pulgadas. Hay muy pocos jugadores de la NBA tan altos, así que la respuesta es no, no es probable. La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal. Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres. Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría? El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14). ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)? La presión arterial sistólica de Kyle es de 175. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres. Calcule la presión arterial de Kyle. iv La presión arterial de Kyle es igual a 125 + (1,75)(14) = 149,5. La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N (10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas. 11 kg 7,9 kg 12,2 kg En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115. Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa. ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT? En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó? Supongamos que X = una calificación de Matemáticas de la SAT y Y = una calificación de Matemáticas del ACT. X = 720 720 – 520 15 = 1,74. La calificación del examen de 720 está 1,74 desviaciones típicas por encima de la media de 520. z = 1,5. La calificación de la SAT de Matemáticas es 520 + 1,5(115) ≈ 692,5. La calificación del examen de 692,5 está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de 520. X – μ σ = 700 – 514 117 ≈ 1,59, la puntuación z de la SAT. Y – μ σ = 30 – 21 5,3 ≈ 1,70, las puntuaciones z del ACT. Con respecto a la prueba que tomaron, la persona que presentó el ACT obtuvo mejores resultados (tiene la puntuación z más alta). Distribución normal estándar una variable aleatoria continua (RV) X ~ N (0, 1); cuando X sigue la distribución normal estándar, suele anotarse como Z ~ N (0, 1). puntuación z la transformación lineal de la forma z = x – μ σ ; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal X ~ N ( μ , σ ) el resultado es la distribución normal estándar Z ~ N (0,1). Si esta transformación se aplica a cualquier valor específico x de la RV con media μ y desviación típica σ , el resultado se denomina puntuación z de x . La puntuación z nos permite comparar datos que se distribuyen normalmente, pero que se escalan de forma diferente.

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