Teorema del límite central de las medias muestrales La distribución muestral es una distribución teórica. Se crea tomando muchas muestras de tamaño n de una población. Cada media muestral se trata entonces como una única observación de esta nueva distribución, la distribución muestral. La genialidad de pensar de esta manera es que reconoce que cuando tomamos una muestra estamos creando una observación y esa observación debe provenir de alguna distribución particular. El teorema del límite central responde a la pregunta: ¿de qué distribución procede la media de una muestra? Si se descubre esto, entonces podemos tratar una media muestral como cualquier otra observación y calcular probabilidades sobre los valores que puede tomar. En efecto, hemos pasado del mundo de la estadística, en el que solo conocemos lo que tenemos de la muestra, al mundo de la probabilidad, en el que conocemos la distribución de la que procede la media muestral y los parámetros de esa distribución. Las razones por las que se toma una muestra de una población son obvias. El tiempo y el gasto de comprobar cada factura para determinar su validez o cada envío para ver si contiene todos los artículos puede superar con creces el coste de los errores de facturación o envío. En el caso de algunos productos, el muestreo requeriría su destrucción, lo que se denomina muestreo destructivo. Un ejemplo de ello es la medición de la capacidad de un metal para resistir la corrosión del agua salada en las piezas de los buques oceánicos. El muestreo plantea, pues, una cuestión importante: qué muestra se ha extraído. Incluso si la muestra se extrajera al azar, en teoría hay un número casi infinito de muestras. Con solo 100 artículos, se pueden extraer más de 75 millones de muestras únicas de tamaño cinco. Si hay seis en la muestra, el número de muestras posibles aumenta a algo más de mil millones. Entonces, de los 75 millones de muestras posibles, ¿cuál obtuvo? Si hay variación en los artículos que se van a muestrear, habrá variación en las muestras. Se podría extraer una muestra "desafortunada" y sacar conclusiones muy erróneas sobre la población. Este reconocimiento de que cualquier muestra que extraigamos es en realidad solo una de una distribución de muestras nos proporciona el que probablemente sea el teorema más importante de la estadística: el teorema del límite central . Sin el teorema del límite central sería imposible pasar a la estadística inferencial a partir de la teoría de la probabilidad simple. En su forma más básica, el teorema del límite central establece que, independientemente de la función de densidad de probabilidad subyacente de los datos de la población, la distribución teórica de las medias de las muestras de la población se distribuirá normalmente. En esencia, esto dice que la media de una muestra debe tratarse como una observación extraída de una distribución normal. El Teorema del Límite Central solo se cumple si el tamaño de la muestra es "suficientemente grande", lo que se ha demostrado que es de solo 30 observaciones o más. La muestra gráficamente esta importante propuesta. Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X. Se trata de las observaciones individuales de la población. Esta es la distribución desconocida de los valores de la población. El gráfico está dibujado a propósito de forma cuadriculada para mostrar que no importa lo extraña que sea en realidad. Recuerde que nunca sabremos cómo es esta distribución, ni su media ni su desviación típica. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como X – 's. Se trata de la distribución teórica denominada distribución muestral de las medias. Cada observación de esta distribución es una media muestral. Todas estas medias muestrales se calcularon a partir de muestras individuales con el mismo tamaño de muestra. La distribución muestral teórica contiene todos los valores medios muestrales de todas las muestras posibles que podrían haberse tomado de la población. Por supuesto, nadie tomaría realmente todas estas muestras, pero si lo hicieran, este es el aspecto que tendrían. Y el teorema del límite central dice que se distribuirán normalmente. El teorema del límite central va más allá y nos indica la media y la desviación típica de esta distribución teórica. Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de X – 's Media μ X – μ x – y E ( μ x – ) = μ Desviación típica σ s σ x – = σ n La importancia práctica del teorema del límite central es que ahora podemos calcular las probabilidades de obtener una media muestral, X – , de la misma manera que lo hicimos para extraer observaciones específicas, X's, cuando conocíamos la media y la desviación típica de la población y que los datos de la población estaban distribuidos normalmente. La fórmula de estandarización tiene que modificarse para reconocer que la media y la desviación típica de la distribución muestral, a veces llamada error estándar de la media, son diferentes de las de la distribución de la población, pero por lo demás no ha cambiado nada. La nueva fórmula de estandarización es Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ n Observe que µ X – en la primera fórmula se ha cambiado por simplemente µ en la segunda versión. La razón es que matemáticamente se puede demostrar que el valor esperado de µ X – es igual a µ. Esto se ha indicado en la anteriormente. Matemáticamente, el símbolo E(x) indica el "valor esperado de x". Esta fórmula se utilizará en la siguiente unidad para proporcionar estimaciones del parámetro poblacional desconocido μ. Referencias Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. Repaso del capítulo En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño ( n ) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( n ). Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las medias muestrales: X – ~ N ( μ x – , σ n ) Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ / n La media X – : μ x – Teorema del límite central de las medias muestrales de puntuación z z = x – – μ x – ( σ n ) Error estándar de la media (desviación típica ( X – )): σ n Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las medias: Z = x ¯ – μ σ n · N – n N – 1 Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las proporciones: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Tarea para la casa Anteriormente, los estudiantes de Estadística de De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de Estadística durante el día se distribuye exponencialmente con una media de 0,88 dólares. Supongamos que elegimos al azar a 25 estudiantes diurnos de Estadística. En palabras, Χ = ____________ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X – = ____________ X – ~ ______ (______, ______) Calcule la probabilidad de que una persona tenga entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Calcule la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes esté entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f. Χ = cantidad de cambio que llevan los estudiantes Χ ~ E (0,88; 0,88) X – = cantidad de cambio promedio llevada por una muestra de 25 estudiantes. X – ~ N (0,88; 0,176) 0,0819 0,1882 Las distribuciones son diferentes. La parte a es exponencial y la parte b es normal. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Tomamos una muestra aleatoria de 49 batazos de aire. Si X – = distancia promedio en pies para 49 batazos de aire, entonces X – ~ _______(_______,_______) ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 pelotas hayan volado un promedio de menos de 240 pies? Dibuje el gráfico. Escala el eje horizontal para X – . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 batazos de aire. Según el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio que tarda una persona en terminar (llevar un registro, aprender, preparar, copiar, recopilar y enviar) el formulario 1040 del IRS es de 10,53 horas (sin los anexos). La distribución es desconocida. Supongamos que la desviación típica es de dos horas. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 36 contribuyentes. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Le sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su formulario 1040 en un promedio de más de 12 horas? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. ¿Le sorprendería que un contribuyente terminara su formulario 1040 en más de 12 horas? Explique por qué en una oración completa. tiempo que tarda una persona en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. duración media de una muestra de 36 contribuyentes en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. N ( 10 0,53, 1 3 ) Sí. Me sorprendería, porque la probabilidad es casi 0. No. No me sorprendería del todo porque la probabilidad es de 0,2312 Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Considere 49 de las carreras. Supongamos que X – el promedio de las 49 carreras. X – ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el corredor tenga un promedio entre 142 y 146 minutos en estos 49 maratones. Calcule el percentil 80 del promedio de estos 49 maratones. Calcule la mediana de los tiempos promedio de ejecución. La duración de las canciones en la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3,5 minutos. Supongamos que elegimos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco álbumes. En palabras, Χ = _________ Χ ~ _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) Calcule el primer cuartil para la duración promedio de la canción. El IQR (rango intercuartil) para la longitud promedio de la canción es de _______-_______. la duración de una canción, en minutos, en la colección U (2, 3,5) la duración promedio, en minutos, de las canciones de una muestra de cinco álbumes de la colección N (2,75, 0,066) 2,74 minutos 0,03 minutos En 1940, el tamaño promedio de una granja en EE. UU. era de 174 acres. Digamos que la desviación típica era de 55 acres. Supongamos que encuestamos al azar a 38 agricultores de 1940. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) El IQR para X – es de _______ acres a _______ acres. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Luego, justifique sus respuestas con oraciones completas. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de X – es aproximadamente igual a la media de Χ . Cuando el tamaño de la muestra es grande, X – se distribuye aproximadamente normal. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación típica de X – es aproximadamente igual a la desviación típica de Χ . Verdadero. La media de una distribución del muestreo de las medias es aproximadamente la media de la distribución de los datos. Verdadero. Según el teorema del límite central, cuanto mayor sea la muestra, más se aproxima a la normalidad la distribución del muestreo de las medias. La desviación típica de la distribución del muestreo de las medias disminuirá haciéndola aproximadamente igual a la desviación típica de X a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El porcentaje de calorías de grasa que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de diez aproximadamente. Supongamos que se eligen 16 personas al azar. Supongamos que X – = porcentaje promedio de calorías de grasa. X – ~ ______(______, ______) Para el grupo de 16, calcule la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasa consumidas sea superior a cinco. Grafique la situación y sombree la zona a determinar. Calcule el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa. La distribución de los ingresos en algunos países del tercer mundo se considera en forma de cuña (mucha gente muy pobre, muy poca gente con ingresos medios y aún menos gente rica). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Supongamos que el salario promedio es de 2.000 dólares al año con una desviación típica de 8.000 dólares. Encuestamos al azar a 1.000 residentes de ese país. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Cómo es posible que la desviación típica sea mayor que el promedio? ¿Por qué es más probable que el promedio de los 1.000 residentes sea de 2.000 a 2.100 dólares que de 2.100 a 2.200 dólares? X = los ingresos anuales de alguien en un país del tercer mundo el salario promedio de las muestras de 1.000 residentes de un país del tercer mundo X – ∼ N ( 2000, 8000 1.000 ) Las diferencias muy amplias en los valores de los datos pueden tener promedios más pequeños que las desviaciones típicas. La distribución de la media muestral tendrá mayores probabilidades de acercarse a la media de la población. P (2.000 < X – < 2.100) = 0,1537 P (2.100 < X – < 2200) = 0,1317 ¿Cuál de las siguientes opciones NO ES CIERTA sobre la distribución de los promedios? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. La distribución que se va a usar para el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras es X – ~ N (4,59; 0,10) X – ~ N ( 4 0,59, 0,10 16 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) b Promedio un número que describe la tendencia central de los datos; existen varios promedios especializados, como la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. Teorema del límite central dada una variable aleatoria con media conocida μ y desviación típica conocida, σ , estamos muestreando con tamaño n , y nos interesan dos nuevas VR: la media muestral, X – . Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, entonces X – ~ N ( μ , σ n ). Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media. Error estándar de la media la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, o σ n .

Matemáticas


Uso del teorema del límite central Ejemplos del teorema del límite central Ley de los grandes números La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral, μ x – tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ . A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n , menor será la desviación típica de la distribución muestral. (Recuerde que la desviación típica de la distribución muestral de X – es σ n ). Esto significa que la media muestral x – debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números. Este concepto es tan importante y desempeña un papel tan decisivo en lo que sigue que merece un mayor desarrollo. De hecho, hay dos cuestiones críticas que se derivan del teorema del límite central y de la aplicación de la ley de los grandes números a este. Estos son La función de densidad de probabilidad de la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente independientemente de la distribución subyacente de las observaciones de la población y la desviación típica de la distribución muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de las muestras que se utilizaron para calcular las medias de la distribución muestral. Tomando estos en orden. Parece contradictorio que la población pueda tener cualquier distribución y que la distribución de las medias procedentes de ella se distribuya normalmente. Con el uso de computadoras, se pueden simular experimentos que muestren el proceso por el cual la distribución de muestreo cambia a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Estas simulaciones muestran visualmente los resultados de la demostración matemática del teorema del límite central. He aquí tres ejemplos de distribuciones poblacionales muy diferentes y la evolución de la distribución muestral hacia una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El panel superior en estos casos representa el histograma de los datos originales. Los tres paneles muestran los histogramas de 1000 muestras extraídas al azar para diferentes tamaños de muestra: n=10, n= 25 y n=50. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, y el número de muestras tomadas se mantiene constante, la distribución de las medias de 1000 muestras se acerca más a la línea suave que representa la distribución normal. La es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la distribución de muestreo convergiera en la normal rápidamente. Los resultados lo demuestran y muestran que, incluso con un tamaño de muestra muy pequeño, la distribución se aproxima a la distribución normal. La es una distribución uniforme que, de forma un poco sorprendente, se acerca rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10. La es una distribución sesgada. Esta última podría ser una exponencial, geométrica o binomial con una pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución. En el caso de las distribuciones asimétricas, nuestra intuición nos dice que se necesitarán tamaños de muestra mayores para pasar a una distribución normal y de hecho, eso es lo que observamos en la simulación. Sin embargo, con un tamaño de muestra de 50, que no se considera muy grande, la distribución de las medias muestrales ha adquirido muy decididamente la forma de la distribución normal. El teorema del límite central proporciona algo más que la prueba de que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. También nos proporciona la media y la desviación típica de esta distribución. Además, como se ha comentado anteriormente, el valor esperado de la media, μ x – , es igual a la media de la población de los datos originales que es lo que nos interesa estimar a partir de la muestra que tomamos. Ya hemos insertado esta conclusión del teorema del límite central en la fórmula que utilizamos para estandarizar desde la distribución muestral a la distribución normal estándar. Y, por último, el teorema del límite central también ha proporcionado la desviación típica de la distribución muestral, σ x – = σ n , y esto es crítico para poder calcular las probabilidades de los valores de la nueva variable aleatoria, x – . La muestra una distribución de muestreo. La media se ha marcado en el eje horizontal de las x – y la desviación típica se ha escrito a la derecha sobre la distribución. Observe que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica original de la población, dividida entre el tamaño de la muestra. Ya hemos visto que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución muestral se acerca cada vez más a la distribución normal. Como esto ocurre, la desviación típica de la distribución muestral cambia de otra manera; la desviación típica disminuye a medida que n aumenta. Cuando n es muy grande, la desviación típica de la distribución muestral se hace muy pequeña y en el infinito colapsa sobre la media de la población. Esto es lo que significa que el valor esperado de µ x – es la media de la población, µ. En valores no extremos de n, esta relación entre la desviación típica de la distribución muestral y el tamaño de la muestra desempeña un papel muy importante en nuestra capacidad para estimar los parámetros que nos interesan. La muestra tres distribuciones de muestreo. El único cambio que se ha realizado es el tamaño de la muestra que se utilizó para obtener las medias muestrales de cada distribución. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, n pasa de 10 a 30 a 50, las desviaciones típicas de las respectivas distribuciones muestrales disminuyen porque el tamaño de la muestra está en el denominador de las desviaciones típicas de las distribuciones muestrales. Las implicaciones de esto son muy importantes. La muestra el efecto del tamaño de la muestra en la confianza que tendremos en nuestras estimaciones. Se trata de dos distribuciones muestrales de la misma población. Una distribución de muestreo se creó con muestras de tamaño 10 y la otra con muestras de tamaño 50. Si todo lo demás es constante, la distribución de muestreo con un tamaño de muestra de 50 tiene una desviación típica menor que hace que el gráfico sea más alto y estrecho. El efecto importante de esto es que para la misma probabilidad de una desviación típica de la media, esta distribución cubre mucho menos rango de valores posibles que la otra distribución. Una desviación típica está marcada en el eje X – para cada distribución. Esto se muestra con las dos flechas que son más o menos una desviación típica para cada distribución. Si la probabilidad de que la verdadera media esté a una desviación típica de la media, entonces para la distribución de muestreo con el tamaño de muestra más pequeño, el rango posible de valores es mucho mayor. Una pregunta sencilla es: ¿preferiría tener una media muestral de la distribución estrecha y ajustada o de la distribución plana y amplia como estimación de la media de la población? Su respuesta nos dice por qué la gente intuitivamente siempre elegirá datos de una muestra grande en lugar de una muestra pequeña. La media muestral que obtienen procede de una distribución más compacta. Este concepto será la base de lo que se llamará nivel de confianza en la siguiente unidad. Repaso del capítulo El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral x – llega a μ . Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas. ¿Cuál es la distribución de los pesos de una pesa de 25 libras? ¿Cuál es la media y la desviación típica? ¿Cuál es la distribución del peso medio de 100 pesas de 25 libras? Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea inferior a 24,9. U (24, 26), 25, 0,5774 N (25, 0,0577) 0,0416 Dibuje el gráfico del Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea mayor que 25,2. 0,0003 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso medio de las 100 pesas. 25,07 Dibuje el gráfico de la ¿Cuál es la distribución de la suma de los pesos de 100 pesas de 25 libras? Calcule P ( Σx < 2.450). N (2.500; 5,7735) 0 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso total de las 100 pesas. 2.507,40 Dibuje el gráfico de la Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es el parámetro m ? 10 1 10 ¿Cuál es la distribución de la duración de una batería? ¿Cuál es la distribución de la duración media de 64 baterías? N ( 10, 10 8 ) ¿Cuál es la distribución de la duración total de 64 baterías? Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre siete y 11. 0,7799 Calcule el percentil 80 para la duración total de 64 baterías. Calcule el IQR para la media de tiempo que duran 64 baterías. 1,69 Calcule el 80 % del centro para el tiempo total de duración de 64 baterías. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas. Calcule P ( Σx > 420). 0,0072 Calcule el percentil 90 de las sumas. Calcule el percentil 15 de las sumas. 391,54 Calcule el primer cuartil de las sumas. Calcule el tercer cuartil para las sumas. 405,51 Calcule el percentil 80 de las sumas. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de 2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 49, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 25, desviación típica = 2/7 Una población tiene una media de 48 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 36, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 48, desviación típica = 5/6 Una población tiene una media de 90 y una desviación típica de 6. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 64, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 90, desviación típica = 3/4 Una población tiene una media de 120 y una desviación típica de 2,4. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 40, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 120, desviación típica = 0,38 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 1,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 50, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 17, desviación típica = 0,17 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 0,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 16, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 17, desviación típica = 0,05 Una población tiene una media de 38 y una desviación típica de 3. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 48, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 38, desviación típica = 0,43 Una población tiene una media de 14 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 60, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 14, desviación típica = 0,65 Tarea para la casa Una gran población de 5000 estudiantes realiza un examen de práctica para preparar una prueba estandarizada. La media de la población es de 140 preguntas correctas y la desviación típica es de 80. ¿Qué tamaño de muestras debe tomar un investigador para obtener una distribución de medias de las muestras con una desviación típica de 10? 64 Una población grande tiene datos sesgados con una media de 70 y una desviación típica de 6. Se toman 100 muestras y se analiza la distribución de las medias de estas muestras. ¿La distribución de las medias se acercará más a una distribución normal que la distribución de la población? ¿Se mantendrá la media de las medias de las muestras cerca de 70? ¿La distribución de las medias tendrá una desviación típica menor? ¿Cuál es esa desviación típica? Sí Sí Sí 0,6 Un investigador observa los datos de una gran población con una desviación típica demasiado grande. Para concentrar la información, el investigador decide muestrear repetidamente los datos y utilizar la distribución de las medias de las muestras. En el primer esfuerzo se utilizó una muestra de un tamaño de 100. Pero la desviación típica era aproximadamente el doble del valor que quería el investigador. ¿Cuál es el tamaño más pequeño de las muestras que el investigador puede utilizar para solucionar el problema? 400 Un investigador observa un gran conjunto de datos y concluye que la población tiene una desviación típica de 40. Si se utilizan tamaños de muestra de 64, el investigador es capaz de centrar la media de las medias de la muestra en una distribución más estrecha en la que la desviación típica es de 5. Entonces, el investigador se da cuenta de que hubo un error en los cálculos originales, y la desviación típica inicial es realmente 20. Dado que la desviación típica de las medias de las muestras se obtuvo utilizando la desviación típica original, este valor también se ve afectado por el descubrimiento del error. ¿Cuál es el valor correcto de la desviación típica de las medias de las muestras? 2,5 Una población tiene una desviación típica de 50. Se muestrea con muestras de tamaño 100. ¿Cuál es la varianza de las medias de las muestras? 25 Media un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Factor de corrección de la población finita ajusta la varianza de la distribución del muestreo si la población es conocida y se está realizando muestras más del 5 % de la población. Distribución normal variable aleatoria continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria, Z, se llama distribución normal estándar . Error estándar de la proporción desviación típica de la distribución muestral de las proporciones

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Teorema del límite central de las proporciones El teorema del límite central nos dice que la estimación puntual de la media muestral, x ¯ , proviene de una distribución normal de x ¯ 's. Esta distribución teórica se denomina distribución muestral de x ¯ 's. Ahora investigamos la distribución de muestreo para otro parámetro importante que deseamos estimar; p de la función de densidad de probabilidad binomial. Si la variable aleatoria es discreta, como en el caso de los datos categóricos, el parámetro que deseamos estimar es la proporción de la población. Esta es, por supuesto, la probabilidad de obtener un éxito en cualquier sorteo aleatorio. A diferencia del caso que acabamos de discutir para una variable aleatoria continua en la que no conocíamos la distribución poblacional de las X, aquí sí conocemos la función de densidad de probabilidad subyacente para estos datos; es la binomial. La variable aleatoria es X = el número de aciertos y el parámetro que deseamos conocer es p, la probabilidad de sacar un acierto que es, por supuesto, la proporción de aciertos en la población. La pregunta que se plantea es: ¿a partir de qué distribución se obtuvo la proporción de la muestra, p' = x n extraída? El tamaño de la muestra es n y X es el número de aciertos encontrados en esa muestra. Se trata de una pregunta paralela a la que acaba de responder el teorema del límite central: ¿de qué distribución era la media de la muestra, x ¯ , extraída? Vimos que una vez que supimos que la distribución era la normal, pudimos crear intervalos de confianza para el parámetro poblacional: µ. También utilizaremos esta misma información para comprobar las hipótesis sobre la media de la población más adelante. Ahora queremos ser capaces de desarrollar intervalos de confianza para el parámetro poblacional "p" a partir de la función de densidad de probabilidad binomial. Para hallar la distribución de la que proceden las proporciones muestrales, necesitamos desarrollar la distribución muestral de las proporciones muestrales, al igual que hicimos con las medias muestrales. Imaginemos de nuevo que tomamos una muestra aleatoria de, por ejemplo, 50 personas y les preguntamos si apoyan la nueva emisión de bonos escolares. A partir de esto encontramos una proporción muestral, p', y la graficamos en el eje de las p'. Hacemos esto una y otra vez, etc., hasta que tengamos la distribución teórica de las p'. Algunas proporciones de la muestra presentarán una alta favorabilidad hacia la emisión de bonos y otras presentarán una baja favorabilidad porque el muestreo aleatorio reflejará la variación de opiniones dentro de la población. Lo que hemos hecho puede verse en la . El panel superior es la distribución poblacional de probabilidades para cada valor posible de la variable aleatoria X. Aunque no sabemos cómo es la distribución específica porque no conocemos p, el parámetro poblacional, sí sabemos que debe ser algo así. En realidad, no conocemos ni la media ni la desviación típica de esta distribución de la población, la misma dificultad a la que nos enfrentamos al analizar las X anteriormente. La sitúa la media en la distribución de probabilidades de la población como µ = n p pero, por supuesto, no conocemos realmente la media de la población porque no conocemos la probabilidad de éxito de la población, p . Debajo de la distribución de los valores de la población se encuentra la distribución muestral de p 's. De nuevo, el teorema del límite central nos dice que esta distribución se distribuye normalmente al igual que el caso de la distribución muestral para x ¯ 's. Esta distribución muestral también tiene una media, la media de p ', y una desviación típica, σ p ' . Es importante destacar que, en el caso del análisis de la distribución de las medias muestrales, el teorema del límite central nos indicó el valor esperado de la media de las medias muestrales en la distribución muestral, y la desviación típica de la distribución muestral. De nuevo, el teorema del límite central proporciona esta información para la distribución de muestreo de las proporciones. Las respuestas son El valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, µ p' , es la proporción de población, p. La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, σ p' , es la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, n. Estas dos conclusiones son las mismas que hemos encontrado para la distribución de muestreo de las medias de las muestras. Sin embargo, en este caso, como la media y la desviación típica de la distribución binomial dependen de p , la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral requiere una manipulación algebraica para ser útil. Lo abordaremos en el próximo capítulo. A continuación, se ofrece la demostración de estas importantes conclusiones del teorema del límite central. E ( p ' ) = E ( x n ) = ( 1 n ) E ( x ) = ( 1 n ) n p = p (El valor esperado de X, E(x), es simplemente la media de la distribución binomial que sabemos que es np). σ p' 2 = Var ( p ' ) = Var ( x n ) = 1 n 2 ( Var ( x ) ) = 1 n 2 ( n p ( 1 – p ) ) = p ( 1 – p ) n La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones es, por tanto, la siguiente σ p' = p ( 1 – P ) n Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de las p Media µ = np p ' = x n p' y E(p') = p Desviación típica σ = n p q σ p' = p ( 1 – p ) n La resume estos resultados y muestra la relación entre la población, la muestra y la distribución muestral. Nótese el paralelismo entre esta Tabla y la Tabla 7.1 para el caso en que la variable aleatoria es continua y estábamos desarrollando la distribución muestral para las medias. Repasando la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral para las proporciones vemos que a medida que n aumenta la desviación típica disminuye. Esta es la misma observación que hicimos para la desviación típica de la distribución de muestreo para las medias. De nuevo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, se observa que la estimación puntual de µ o p procede de una distribución cada vez más estrecha. Llegamos a la conclusión de que, con un nivel de probabilidad determinado, el rango del que procede la estimación puntual es menor a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n. La figura 7.8 muestra este resultado para el caso de las medias muestrales. Simplemente sustituya p ' por x ¯ y podemos ver el impacto del tamaño de la muestra en la estimación de la proporción de la muestra. Repaso del capítulo El teorema del límite central también puede utilizarse para ilustrar que la distribución muestral de las proporciones de la muestra se distribuye normalmente con el valor esperado de p y una desviación típica de σ p' = p ( 1 – p ) n Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,23 Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,060 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/5 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,063 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/3 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,056 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/10 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,042 Tarea para la casa Un agricultor recoge calabazas en un campo extenso. El agricultor toma muestras de 260 calabazas y las inspecciona. Si una de cada cincuenta calabazas no es apta para el mercado y se guarda para semillas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,0087 Una tienda encuesta a los clientes para ver si están satisfechos con el servicio que recibieron. Se toman muestras de 25 encuestas. Una de cada cinco personas está insatisfecha. ¿Cuál es la varianza de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra para el número de clientes insatisfechos? ¿Cuál es la diferencia entre los clientes satisfechos? 0,0064, 0,0064 Una compañía hace una encuesta anónima a sus empleados para ver qué porcentaje de ellos está contento. La compañía es demasiado grande para comprobar cada respuesta, así que se toman muestras de 50, y la tendencia es que tres cuartas partes de los empleados están contentos. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, responda a las siguientes preguntas, si el tamaño de la muestra se duplica. ¿Cómo afecta esto a la media? ¿Cómo afecta esto a la desviación típica? ¿Cómo afecta esto a la varianza? No tiene ningún efecto. Se divide entre 2 . Se divide entre 2. Un encuestador hace una sola pregunta con solo un sí y un no como posibilidades de respuesta. La encuesta se realiza a nivel nacional, por lo que se toman muestras de 100 respuestas. Hay cuatro respuestas afirmativas para cada respuesta negativa en general. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, halle lo siguiente para las respuestas afirmativas. El valor esperado. La desviación típica. La varianza. 4/5 0,04 0,0016 La media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra tiene un valor de p de 0,3 y un tamaño de muestra de 40. ¿Hay alguna diferencia en el valor esperado si p y q invierten los roles? ¿Hay alguna diferencia en el cálculo de la desviación típica con la misma inversión? Sí No

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Factor de corrección de población finita Hemos visto que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y, por tanto, en la desviación típica de la distribución muestral. También es interesante la proporción de la población total que ha sido muestreada. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de ella. A medida que la población se hace más pequeña y muestreamos un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el factor de corrección finito para ajustar la varianza de la distribución de muestreo. Es apropiado cuando se muestrea más del 5 % de la población y esta tiene un tamaño poblacional conocido. Hay casos en los que se conoce la población, por lo que hay que aplicar el factor de corrección. El problema se plantea tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El factor de corrección de la población finita para la varianza de las medias que aparece en la fórmula de normalización es: Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 y para la varianza de las proporciones es: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas muestrales se ajustan mediante la fórmula anterior. Se sabe que la población de pastores alemanes blancos en EE. UU. es de 4.000 perros y el peso medio de los pastores alemanes es de 75,45 libras. También se sabe que la desviación típica de la población es de 10,37 libras. Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, halle la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera media probabilística en menos de 2 libras. N = 4.000 , n = 100 , σ = 10,37 , µ = 75,45 , ( x ¯ – µ ) = ± 2 Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 = ± 2 10,37 100 · 4.000 – 100 4.000 – 1 = ± 1,95 f ( Z ) = 0,4744 · 2 = 0,9488 Tenga en cuenta que "difiere en menos" hace referencia al área a ambos lados de la media dentro de 2 libras a la derecha o a la izquierda. Cuando un cliente hace un pedido a Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informático de información contable (accounting information system, AIS) comprueba automáticamente si el cliente ha superado su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de 0,06. Supongamos que en un día determinado se realizan 3.000 pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito? N = 3.000 , n = 360 , p = 0,06 σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 = 0,06 ( 1 – 0,06 ) 360 × 3.000 – 360 3.000 – 1 = 0,0117 p 1 = 10 360 = 0,0278 , p 2 = 20 360 = 0,0556 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0278 – 0,06 0,011744 = −2,74 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0556 – 0,06 0,011744 = −0,38 p ( 0,0278 – 0,06 0,011744 < z < 0,0556 – 0,06 0,011744 ) = p ( −2,74 < z < −0,38 ) = 0,4969 – 0,1480 = 0,3489 Un barco pesquero lleva 1.000 peces a bordo, con un peso promedio de 120 libras y una desviación típica de 6,0 libras. Si se revisan tamaños de muestra de 50 peces, ¿cuál es la probabilidad de que los peces de una muestra tengan un peso medio dentro de 2,8 libras de la media real de la población? 0,999 Un jardín experimental cuenta con 500 plantas de girasol. Las plantas están siendo tratadas para que crezcan a alturas inusuales. La altura promedio es de 9,3 pies con una desviación típica de 0,5 pies. Si se toman muestras de 60 plantas, ¿cuál es la probabilidad de que las plantas de una muestra determinada tengan una altura promedio dentro de 0,1 pies de la media real de la población? 0,901 Una compañía tiene 800 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 123, con una desviación típica de 14 días. Se examinan muestras de 50 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 124 días? 0,301 Unos automóviles pasan por un dispositivo automático de control de velocidad que monitorea 2.000 automóviles en un día determinado. Esta población de automóviles tiene una velocidad media de 67 millas por hora con una desviación típica de 2 millas por hora. Si se toman muestras de 30 automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra dada tenga una velocidad promedio dentro de 0,50 millas por hora de la media de la población? 0,832 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 37 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que hayan llovido al menos 5 y como máximo 11 días? 0,483 Un fabricante de varas de medir tiene un problema de tinta que hace que las marcas se corran en el 4 % de las varas. La producción diaria es de 2.000 varas de medir. ¿Cuál es la probabilidad de que si se comprueba una muestra de 100 varas de medir, haya tinta corrida como máximo en 4 varas de medir? 0,500 Una escuela tiene 300 estudiantes. Normalmente, hay un promedio de 21 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,502 Una universidad hace una prueba de nivelación a 5.000 estudiantes de nuevo ingreso cada año. En promedio, 1.213 quedan en uno o más cursos de desarrollo. Si se toma una muestra de 50 de los 5.000, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 12 de los incluidos en la muestra tengan que hacer al menos un curso de desarrollo? 0,519 Tarea para la casa Una compañía tiene 1.000 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 80, con una desviación típica de 11 días. Se examinan muestras de 80 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 78 días y como máximo 84 días? 0,955 Unos camiones pasan por una báscula automática que controla 2.000 camiones. Esta población de camiones tiene un peso promedio de 20 toneladas con una desviación típica de 2 toneladas. Si se toma una muestra de 50 camiones, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un peso promedio dentro de la media de la población? 0,927 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 12 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 3 días hayan llovido? 0,648 Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene un problema de tinta que hace que esta se corra en el 7 % de las tarjetas. La producción diaria es de 500 tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que, si se revisa una muestra de 35 tarjetas, haya tinta manchada como máximo en 5 tarjetas? 0,101 Una escuela tiene 500 estudiantes. Por lo general, hay un promedio de 20 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,273

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Introducción ¿Se ha preguntado alguna vez cuál es el promedio de M&M que hay en una bolsa en el supermercado? Puede usar los intervalos de confianza para responder esta pregunta (créditos: comedy_nose/flickr). Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción verdadera del parámetro p en la función de densidad de probabilidad binomial. Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial . Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. Lo que la estadística nos proporciona, más allá de un simple promedio o estimación puntual, es una estimación a la que podemos atribuir una probabilidad de exactitud, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido. En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija. Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, x – , y la desviación típica de la muestra, s . Usaría x – para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, x – , es la estimación puntual de la media de la población, μ . La desviación típica de la muestra, s , es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ . x – y s se denominan cada uno una estadística. Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculado a partir de un conjunto determinado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro poblacional desconocido. Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ , pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica de la distribución muestral de las medias de la muestra es σ n = 1 100 = 0,1 . La regla empírica , que se aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, x – , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ . Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral x – es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ . Dado que x – está dentro de 0,2 unidades de μ , que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de x – con un 95 % de probabilidad. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre x – – 0 0,2 y x – + 0 0,2 en el 95 % de las muestras. Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral x – = 2 . Entonces con un 95 % de probabilidad la media poblacional desconocida μ está entre x – – 0,2 = 2 – 0,2 = 1,8 y x – + 0,2 = 2 + 0,2 = 2,2 Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). Tenga en cuenta que hablamos en términos de confianza del 95 % utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones típicas es solo aproximadamente el 95 % de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones típicas en una distribución normal son en realidad el 95,44 % de la probabilidad. Para calcular el nivel de confianza exacto del 95 % utilizaríamos 1,96 desviaciones típicas. El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ, o bien nuestra muestra produjo un x – que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ . La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de todas las muestras (95 % menos 100 % = 5 %). Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ . Para el intervalo de confianza de una media la fórmula sería μ = X – ± Z α σ n O escrito de otra manera como: X – – Z α σ n ≤ μ ≤ X – + Z α σ n Donde X – es la media de la muestra. Z α se determina por el nivel de confianza deseado por el analista, y σ n es la desviación típica de la distribución muestral para las medias que nos da el teorema del límite central. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de el nivel de confianza deseado, información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, la desviación típica conocida), la muestra y su tamaño. Estadística Inferencial también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico muestral. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas, podríamos deducir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa. Parámetro una característica numérica de una población Estimación puntual un número único calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de la población

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Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Cálculo del intervalo de confianza Considere la fórmula de estandarización para la distribución de muestreo desarrollada en la discusión del Teorema del Límite Central: Z 1 = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ n Observe que µ se sustituye por µ x – porque sabemos que el valor esperado de µ x – es µ del teorema del límite central y σ x – se sustituye por σ n , también del teorema del límite central. En esta fórmula sabemos X – , σ x – y n, el tamaño de la muestra. (En realidad, no conocemos la desviación típica de la población, pero tenemos una estimación puntual de la misma, s, a partir de la muestra que hemos tomado. Más adelante se hablará de esto). Lo que no sabemos es μ o Z 1 . Podemos resolver cualquiera de ellas en términos de la otra. Resolviendo para μ en términos de Z 1 se obtiene: μ = X – ± Z 1 σ n Recordando que el teorema del límite central nos dice que la distribución de X – 's, la distribución muestral para las medias, es normal, y que la distribución normal es simétrica, podemos reordenar los términos así: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) Esta es la fórmula de un intervalo de confianza para la media de una población. Observe que Z α ha sido sustituido por Z 1 en esta ecuación. Aquí es donde el estadístico debe hacer una elección. El analista debe decidir el nivel de confianza que desea imponer al intervalo de confianza. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga la verdadera media de la población. El nivel de confianza se define como (1-α). Z α es el número de desviaciones típicas X – que se aleja de la media con una cierta probabilidad. Si elegimos Z α = 1,96, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 95 % porque estamos fijando en 0,95 la probabilidad de que la verdadera media se encuentre dentro del rango. Si fijamos Z α en 1,64, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 90% porque hemos fijado la probabilidad en 0,90. Estos números pueden verificarse consultando la tabla estandarizada. Divida 0,95 o 0,90 por la mitad y encuentra esa probabilidad dentro del cuerpo de la tabla. A continuación, lea en los márgenes superior e izquierdo el número de desviaciones típicas que se necesitan para obtener este nivel de probabilidad. En realidad, podemos establecer cualquier nivel de confianza que deseemos simplemente cambiando el valor Z α en la fórmula. Es la elección del analista. La convención común en economía y en la mayoría de las ciencias sociales establece los intervalos de confianza en niveles del 90, 95 o 99 por ciento. Los niveles inferiores al 90% se consideran de poco valor. El nivel de confianza de una determinada estimación de intervalo se denomina (1-α). Una buena forma de ver el desarrollo de un intervalo de confianza es representar gráficamente la solución de un problema solicitando un intervalo de confianza. Esto se presenta en la para el ejemplo de la introducción relativo al número de descargas de iTunes. Ese caso era para un intervalo de confianza del 95%, pero se podrían haber elegido otros niveles de confianza con la misma facilidad, según la necesidad del analista. Sin embargo, el nivel de confianza DEBE estar preestablecido y no estar sujeto a revisión como resultado de los cálculos. Para este ejemplo, digamos que sabemos que el número de la media poblacional real de descargas de iTunes es de 2,1. La verdadera media de la población se encuentra dentro del rango del intervalo de confianza del 95%. No hay absolutamente nada que garantice que esto ocurra. Además, si la verdadera media queda fuera del intervalo, nunca la conoceremos. Debemos recordar siempre que nunca conoceremos la verdadera media. La estadística simplemente nos permite, con un determinado nivel de probabilidad (confianza), decir que la verdadera media está dentro del rango calculado. Esto es lo que se llamó en la introducción, el "nivel de ignorancia admitido". Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra Aquí está de nuevo la fórmula para un intervalo de confianza para una media poblacional desconocida asumiendo que conocemos la desviación típica de la población: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) Está claro que el intervalo de confianza se rige por dos cosas, el nivel de confianza elegido, Z α , y la desviación típica de la distribución muestral. La desviación típica de la distribución muestral se ve afectada además por dos cosas, la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra que hemos elegido para nuestros datos. Aquí queremos examinar los efectos de cada una de las elecciones que hemos hecho sobre el intervalo de confianza calculado, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra. Por un momento debemos preguntarnos qué deseamos en un intervalo de confianza. Nuestro objetivo era estimar la media de la población a partir de una muestra. Hemos abandonado la esperanza de encontrar alguna vez la verdadera media de la población, y la desviación típica de la población, para cualquier caso, excepto cuando tenemos una población extremadamente pequeña y el coste de recopilar los datos de interés es muy pequeño. En todos los demás casos, debemos recurrir a las muestras. Con el teorema del límite central tenemos las herramientas para proporcionar un intervalo de confianza significativo con un nivel de confianza determinado, lo que significa una probabilidad conocida de estar equivocado. Por intervalo de confianza significativo entendemos uno que sea útil. Imagine que le piden un intervalo de confianza para las edades de sus compañeros. Ha tomado una muestra y encuentra una media de 19,8 años. Desea estar muy seguro, por lo que informa de un intervalo entre 9,8 años y 29,8 años. Este intervalo contendría sin duda la verdadera media de la población y tendría un nivel de confianza muy alto. Sin embargo, difícilmente puede calificarse de significativo. El mejor intervalo de confianza es el que es estrecho y a la vez de alta confianza. Existe una tensión natural entre estos dos objetivos. Cuanto más alto sea el nivel de confianza, más amplio será el intervalo de confianza, como en el caso de las edades de los estudiantes. Podemos ver esta tensión en la ecuación del intervalo de confianza. μ = x _ ± Z α ( σ n ) El intervalo de confianza aumentará el ancho a medida que Z α aumenta, Z α aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza. Existe un compromiso entre el nivel de confianza y el ancho del intervalo. Ahora volvamos a ver la fórmula y veremos que el tamaño de la muestra también juega un papel importante en el ancho del intervalo de confianza. El tamaño de la muestra, n , aparece en el denominador de la desviación típica de la distribución muestral. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la desviación típica de la distribución muestral y, por tanto, el ancho del intervalo de confianza, manteniendo constante el nivel de confianza. Esta relación se demostró en la . Una vez más, vemos la importancia de contar con muestras grandes para nuestro análisis, aunque entonces nos enfrentamos a una segunda limitación, el coste de la recopilación de datos. Cálculo del intervalo de confianza: un enfoque alternativo Otra forma de enfocar los intervalos de confianza es mediante el uso de algo llamado límite de error. El límite de error recibe su nombre del reconocimiento de que proporciona el límite del intervalo derivado del error estándar de la distribución muestral. En las ecuaciones anteriores se ve que el intervalo es simplemente la media estimada, la media muestral, más o menos algo. Ese algo es el límite de error y está impulsado por la probabilidad que deseamos mantener en nuestra estimación, Z α , por la desviación típica de la distribución muestral. El límite de error de una media recibe el nombre de media con límite de error (Error Bound Mean, EBM) . Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ , cuando se conoce la desviación típica de la población , necesitamos x – como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error ( EBM ) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado EBM ). La media muestral x – es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ . La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma: (estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, ( x – – E B M , x – + E B M ) La fórmula matemática de este intervalo de confianza es: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) El margen de error ( EBM ) depende del nivel de confianza ( Confidence Level, CL ). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones. Existe otra probabilidad llamada alfa ( α ). α está relacionada con el nivel de confianza, CL . α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, 1 - α = CL . Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en que la distribución muestral de las medias de la muestra sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x – = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal. Para captar el 90% central, debemos movernos 1,645 desviaciones típicas a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha. Es importante que la desviación típica utilizada debe ser la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a la distribución muestral para medias que estudiamos con el teorema del límite central y es, σ n . Cálculo del intervalo de confianza con el EMB Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son: Calcular la media muestral x – de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección conocemos la desviación típica de la población σ . Calcule la puntuación z de la tabla estandarizada que corresponde al nivel de confianza deseado. Calcular el límite de error EBM . Construir el intervalo de confianza. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos. Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado Cuando conocemos la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). El nivel de confianza, CL , es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α , por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a α 2 . La puntuación z que tiene un área a la derecha de α 2 se denota por Z α 2 . Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y α 2 = 0,025; escribimos Z α 2 = Z 0,025 . La zona a la derecha de Z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de Z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. Z α 2 = Z 0,025 = 1 0,96 , utilizando una tabla de probabilidad normal. Más adelante veremos que podemos utilizar una tabla de probabilidad diferente, la distribución t de Student, para encontrar el número de desviaciones típicas de los niveles de confianza más utilizados. Cálculo del límite de error ( EBM ) La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es EBM = ( Z α 2 ) ( σ n ) Construcción del intervalo de confianza La estimación del intervalo de confianza tiene el formato ( x – – E B M , x – + E B M ) o la fórmula: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) El gráfico da una idea de toda la situación. CL + α 2 + α 2 = CL + α = 1. Supongamos que estamos interesados en las puntuaciones medias de un examen. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntuaciones y se obtiene una media muestral (puntuación media muestral) de 68 ( X – = 68). En este ejemplo tenemos el conocimiento inusual de que la desviación típica de la población es de 3 puntos. No cuente con conocer los parámetros de la población fuera de los ejemplos de los libros de texto. Calcule una estimación del intervalo de confianza para la calificación media del examen de la población (la calificación media de todos los exámenes). Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la media real (poblacional) de las calificaciones de los exámenes de Estadística. La solución se muestra paso a paso. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x – , y el EBM . x – = 68 EBM = ( Z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 90 % ( CL = 0,90) CL = 0,90 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05 Z α 2 = z 0,05 El área a la derecha de Z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de Z 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. Z α 2 = Z 0,05 = 1 0,645 Esto se puede calcular utilizando una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar. Como los niveles de confianza habituales en las ciencias sociales son el 90 %, el 95 % y el 99 %, no tardará en familiarizarse con los números 1,645, 1,96 y 2,56 EBM = (1,645) ( 3 36 ) = 0,8225 x – – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775 x – + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225 El intervalo de confianza del 90 % es (67,1775; 68,8225) Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que la verdadera calificación media del examen de la población para todos los estudiantes de Estadística está entre 67,18 y 68,82. Supongamos que cambiamos el problema original en el utilizando un nivel de confianza del 95 %. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la calificación media real (poblacional) del examen estadístico. μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,96 ( 3 36 ) 67,02 ≤ μ ≤ 68,98 σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 95 % ( CL = 0,95). CL = 0,95 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05 Z α 2 = Z 0,025 = 1,96 Observe que el EBM es mayor para un nivel de confianza del 95 % en el problema original. Comparación de los resultados El intervalo de confianza del 90 % es (67,18; 68,82). El intervalo de confianza del 95 % es (67,02; 68,98). El intervalo de confianza del 95 % es más amplio. Si observa los gráficos, como el área 0,95 es mayor que el área 0,90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95 % sea más amplio. Para estar más seguro de que el intervalo de confianza contiene realmente el verdadero valor de la media de la población para todas las calificaciones de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza tiene que ser necesariamente más amplio. Esto demuestra un principio muy importante de los intervalos de confianza. Existe un equilibrio entre el nivel de confianza y la amplitud del intervalo. Nuestro deseo es tener un intervalo de confianza estrecho, los intervalos amplios proporcionan poca información que sea útil. Pero también nos gustaría tener un alto nivel de confianza en nuestro intervalo. Esto demuestra que no podemos tener ambas cosas. Resumen: efecto de la modificación del nivel de confianza El aumento del nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más ancho. La disminución del nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. Y de nuevo aquí está la fórmula para un intervalo de confianza para una media desconocida asumiendo que tenemos la desviación típica de la población: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) La desviación típica de la distribución muestral fue proporcionada por el teorema del límite central como σ n . Aunque rara vez podemos elegir el tamaño de la muestra, este desempeña un papel importante en el intervalo de confianza. Dado que el tamaño de la muestra está en el denominador de la ecuación, a medida que n aumenta hace que la desviación típica de la distribución muestral disminuya y, por tanto, el ancho del intervalo de confianza. Ya nos hemos encontrado con esto al revisar los efectos del tamaño de la muestra en el Teorema del Límite Central. Allí vimos que como a medida que n aumenta, la distribución de muestreo se estrecha hasta que en el límite colapsa sobre la verdadera media de la población. Supongamos que cambiamos el problema original en el para ver qué ocurre con el intervalo de confianza si se cambia el tamaño de la muestra. Deje todo igual excepto el tamaño de la muestra. Utilice el nivel de confianza original del 90 %. ¿Qué ocurre con el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y utilizamos n = 100 en lugar de n = 36? ¿Qué ocurre si disminuimos el tamaño de la muestra a n = 25 en vez de n = 36? μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,645 ( 3 100 ) 67,5065 ≤ μ ≤ 68,4935 Si aumentamos el tamaño de la muestra n a 100, disminuimos el ancho del intervalo de confianza en relación con el tamaño original de la muestra de 36 observaciones. μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,645 ( 3 25 ) 67,013 ≤ μ ≤ 68,987 Si disminuimos el tamaño de la muestra n a 25, aumentamos el ancho del intervalo de confianza en comparación con el tamaño original de la muestra de 36 observaciones. Resumen: efecto de la modificación del tamaño de la muestra El aumento del tamaño de la muestra hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. La disminución del tamaño de la muestra hace que el intervalo de confianza sea más ancho. Ya hemos visto este efecto cuando revisamos los efectos de cambiar el tamaño de la muestra, n , en el teorema del límite central. Consulte la para ver este efecto. Antes vimos que a medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la desviación típica de la distribución muestral. Por eso elegimos una media muestral grande en comparación con la de una muestra pequeña, manteniendo el resto constante. Hasta ahora hemos asumido que conocíamos la desviación típica de la población. Esto prácticamente nunca será así. Sin embargo, tendremos la desviación típica de la muestra, s . Se trata de una estimación puntual de la desviación típica de la población y puede sustituirse en la fórmula de los intervalos de confianza para una media en determinadas circunstancias. Acabamos de ver el efecto que tiene el tamaño de la muestra en el ancho del intervalo de confianza y el impacto en la distribución muestral para nuestra discusión del teorema del límite central. Podemos invocar esto para sustituir la estimación puntual por la desviación típica si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Los estudios de simulación indican que 30 observaciones o más serán suficientes para eliminar cualquier sesgo significativo en el intervalo de confianza estimado. Las vacaciones de primavera pueden ser muy caras. Se ha encuestado a una muestra de 80 estudiantes y el monto promedio gastado por los estudiantes en viajes y bebidas es de 593,84 dólares. La desviación típica de la muestra es de aproximadamente 369,34 dólares. Construya un intervalo de confianza del 92% para la media poblacional de la cantidad de dinero gastada por los asistentes a las vacaciones de primavera. Comenzamos con el intervalo de confianza para una media. Utilizamos la fórmula de la media porque la variable aleatoria son los dólares gastados y esta es una variable aleatoria continua. La estimación puntual de la desviación típica de la población, s , se ha sustituido por la verdadera desviación típica de la población porque con 80 observaciones no hay preocupación por el sesgo en la estimación del intervalo de confianza. μ = x ¯ ± [ Z ( a / 2 ) s n ] Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos: μ = 593,84 ± [ 1,75 369,34 80 ] Z ( a / 2 ) se encuentra en la tabla normal estándar buscando 0,46 en el cuerpo de la tabla y encontrando el número de desviaciones típicas en el lado y la parte superior de la tabla; 1,75. La solución para el intervalo es así: μ = 593,84 ± 72,2636 = ( 521,57 , 666,10 ) $ 521,58 ≤ μ ≤ $ 666,10 Referencias “American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013). “Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Headcount Enrollment Trends by Student Demographics Ten-Year Fall Trends to Most Recently Completed Fall”. Foothill De Anza Community College District. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/FH_Demo_Trends/FoothillDemographicTrends.htm (consultado el 30 de septiembre de 2013). Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. 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CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional z α 2 = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es ∝ 2 esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL . Nivel de confianza (CL) la expresión porcentual de la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero parámetro poblacional; por ejemplo, si el CL = 90 %, entonces en 90 de cada 100 muestras la estimación del intervalo encerrará el verdadero parámetro poblacional. Límite de error para una media poblacional ( EBM ) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la desviación típica de la población conocida o estimada.

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