Medidas de la ubicación de los datos Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q 1 , es igual que el percentil 25 , y el tercer cuartil, Q 3 , es igual que el percentil 75 . La mediana, M , se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50 . Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación. Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75 . Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220. Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo. La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos. 6,8 + 7,2 = 14 14 ÷ 2 = 7 La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete. Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q 1 , es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q 3 , es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8 El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil . Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos. La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve. El tercer cuartil , Q 3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo. El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil ( Q 3 ) y el primer cuartil ( Q 1 ). IQR = Q 3 – Q 1 El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos . Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)( IQR ) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)( IQR ) por encima del tercer cuartil . Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda. NOTA Un valor atípico potencial es un punto de datos que es significativamente diferente de los otros puntos de datos. Estos puntos de datos especiales pueden ser errores o algún tipo de anormalidad o pueden ser una clave para entender los datos. Para los siguientes 13 precios de bienes raíces, calcule el IQR y determine si algún precio es un posible valor atípico. Los precios están en dólares. 389.950; 230.500; 158.000; 479.000; 639.000; 114.950; 5.500.000; 387.000; 659.000; 529.000; 575.000; 488.800; 1.095.000 Ordene los datos de menor a mayor. 114.950; 158.000; 230.500; 387.000; 389.950; 479.000; 488.800; 529.000; 575.000; 639.000; 659.000; 1.095.000; 5.500.000 M = 488.800 Q 1 = 230.500 + 387.000 2 = 308.750 Q 3 = 639.000 + 659.000 2 = 649.000 IQR = 649.000 – 308.750 = 340.250 (1,5)( IQR ) = (1,5)(340.250) = 510.375 Q 1 – (1,5)( IQR ) = 308.750 – 510.375 = –201.625 Q 3 + (1,5)( IQR ) = 649.000 + 510.375 = 1.159.375 Ningún precio de la vivienda es inferior a –201.625. Sin embargo, 5.500.000 son más que 1.159.375. Por lo tanto, 5.500.000 es un posible valor atípico . Ejercicio Para los siguientes 11 salarios, calcule el IQR y determine si algún salario es un valor atípico. Los sueldos son en dólares. $33.000 $64.500 $28.000 $54.000 $72.000 $68.500 $69.000 $42.000 $54.000 $120.000 $40.500 Para los dos conjuntos de datos del ejemplo de las calificaciones de los exámenes , halle lo siguiente: El rango intercuartil. Compare los dos rangos intercuartiles. Cualquier valor atípico en cualquier conjunto. El resumen de cinco números para las clases diurnas y nocturnas es Mínimo Q 1 Mediana Q 3 Máximo Día 32 56 74,5 82,5 99 Noche 25,5 78 81 89 98 El IQR para el grupo de día es Q 3 – Q 1 = 82,5 – 56 = 26,5 El IQR para el grupo nocturno es Q 3 – Q 1 = 89 – 78 = 11 El rango intercuartil (la dispersión o variabilidad) para la clase diurna es mayor que el IQR de la clase nocturna. Esto sugiere que se hallarán más variaciones en los resultados de las pruebas de la clase diurna. Los valores atípicos de la clase diurna se encuentran utilizando la regla del IQR por 1,5. Así que, Q 1 – IQR (1,5) = 56 – 26,5(1,5) = 16,25 Q 3 + IQR (1,5) = 82,5 + 26,5(1,5) = 122,25 Dado que los valores mínimos y máximos de la clase diurna son superiores a 16,25 e inferiores a 122,25, no hay valores atípicos. Los valores atípicos de la clase nocturna se calculan como: Q 1 – IQR (1,5) = 78 – 11(1,5) = 61,5 Q 3 + IQR(1,5) = 89 + 11(1,5) = 105,5 Para esta clase, cualquier calificación de la prueba inferior a 61,5 es un valor atípico. Por lo tanto, las calificaciones de 45 y 25,5 son valores atípicos. Dado que ninguna calificación de la prueba es superior a 105,5, no hay ningún valor atípico en el extremo superior. Ejercicio Calcule el rango intercuartil para los dos conjuntos de datos siguientes y compárelos. Resultados de las pruebas de la clase A 69; 96; 81; 79; 65; 76; 83; 99; 89; 67; 90; 77; 85; 98; 66; 91; 77; 69; 80; 94 Resultados de las pruebas de la clase B 90; 72; 80; 92; 90; 97; 92; 75; 79; 68; 70; 80; 99; 95; 78; 73; 71; 68; 95; 100 Se les preguntó a cincuenta estudiantes de Estadística cuánto dormían por noche de escuela (redondeado a la hora más cercana). Los resultados fueron: CANTIDAD DE SUEÑO POR NOCHE DE ESCUELA (HORAS) FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 4 2 0,04 0,04 5 5 0,10 0,14 6 7 0,14 0,28 7 12 0,24 0,52 8 14 0,28 0,80 9 7 0,14 0,94 10 3 0,06 1,00 Calcule el percentil 28 . Fíjese en el 0,28 de la columna “frecuencia relativa acumulada”. El veintiocho por ciento de 50 valores de datos son 14 valores. Hay 14 valores inferiores al percentil 28 . Incluyen los dos 4, los cinco 5 y los siete 6. El percentil 28 está entre los seis últimos y los siete primeros. El percentil 28 es 6,5. Calcule la mediana . Observe de nuevo la columna de “frecuencia relativa acumulada” y halle 0,52. La mediana es el percentil 50 o el segundo cuartil. El 50 % de 50 es 25. Hay 25 valores inferiores a la mediana. Incluyen los dos 4, los cinco 5, los siete 6 y once de los 7. La mediana o el percentil 50 está entre los valores 25 , o siete, y 26 , o siete. La mediana es siete. Calcule el tercer cuartil . El tercer cuartil es lo mismo que el percentil 75 . Puede dar esta respuesta “al ojo”. Si observa la columna de “frecuencia relativa acumulada”, verá 0,52 y 0,80. Cuando tiene todos los cuatros, cincos, seises y sietes tiene el 52 % de los datos. Cuando incluye todos los 8, tiene el 80 % de los datos. El percentil 75 , entonces, debe ser un ocho . Otra forma de ver el problema es hallar el 75 % de 50, que es 37,5, y redondear a 38. El tercer cuartil, Q 3 , es el valor 38 , que es un ocho. Puede comprobar esta respuesta contando los valores (hay 37 valores por debajo del tercer cuartil y 12 valores por encima). Ejercicio Se les ha preguntado a cuarenta conductores de autobús cuántas horas dedican cada día a recorrer sus rutas (redondeadas a la hora más cercana). Calcule el percentil 65 . Cantidad de tiempo invertido en la ruta (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 12 0,30 0,30 3 14 0,35 0,65 4 10 0,25 0,90 5 4 0,10 1,00 Mediante la : Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 90 . Calcule el primer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el primer cuartil? Al usar los datos de la tabla de frecuencias, tenemos: El percentil 80 está entre los ocho últimos y los nueve primeros de la tabla (entre los valores 40 y 41 ). Por lo tanto, tenemos que tomar la media de los valores 40 y 41 . El percentil 80 = 8 + 9 2 = 8,5 El percentil 90 será el valor del dato 45 (la ubicación es 0,90(50) = 45) y el valor del dato 45 es nueve. El Q 1 es también el percentil 25 . El cálculo de la ubicación del percentil 25 es: P 25 = 0,25(50) = 12,5 ≈ 13 el valor del dato 13 . Así, el percentil 25 es seis. Ejercicio Consulte la . Calcule el tercer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el tercer cuartil? El instructor o un miembro de la clase preguntará a todos los asistentes cuántos suéteres poseen. Responda las siguientes preguntas ¿A cuántos estudiantes se encuestó? ¿Qué tipo de muestreo realizó? Construya dos histogramas diferentes. Para cada uno, valor inicial = _____ valor final = ____. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Construya una tabla con los datos para hallar lo siguiente el percentil 10 el percentil 70 el porcentaje de estudiantes que poseen menos de cuatro suéteres Una fórmula para hallar el percentil k Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas. k = el percentil k . Puede o no formar parte de los datos. i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos) n = el número total de datos Ordene los datos de menor a mayor. Calcule i = k 100 ( n + 1 ) Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 70 . Calcule el percentil 83 . k = 70 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 70 100 )(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años. k = percentil 83 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 83 100 )(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años. Ejercicio Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 20 y el percentil 55 . NOTA Puede calcular los percentiles con calculadoras y computadoras. Hay una gran variedad de calculadoras en línea. Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos Ordene los datos de menor a mayor. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil. n = el número total de datos. Calcule x + 0,5 y n (100). Luego, redondee al número entero más cercano. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 58. Calcule el percentil de 25. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58. x = 18 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 18 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 63,80. 58 es el percentil 64 . Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25. x = 3 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 3 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12 . Ejercicio Se enumeran las 30 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31, 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Halle los percentiles de 47 y 31. Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15 . Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos. Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor. Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto. NOTA Al escribir la interpretación de un percentil en el contexto de los datos dados, la oración debe contener la siguiente información. información sobre el contexto de la situación considerada. el valor del dato (valor de la variable) que representa el percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por debajo del percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por encima del percentil. En un examen de Matemáticas cronometrado, el primer cuartil del tiempo que se tardó en terminar el examen fue de 35 minutos. Interprete el primer cuartil en el contexto de esta situación. El veinticinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o menos. El setenta y cinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o más. Un percentil bajo podría considerarse bueno, ya que es deseable terminar más rápido en un examen cronometrado (si tarda demasiado, es posible que no pueda terminar). Ejercicio En los 100 metros planos, el tercer cuartil de los tiempos para terminar la carrera fue de 11,5 segundos. Interprete el tercer cuartil en el contexto de la situación. En un examen de Matemáticas de 20 preguntas, el percentil 70 del número de respuestas correctas fue de 16. Interprete el percentil 70 en el contexto de esta situación. Ejercicio En una asignación escrita de 60 puntos, el percentil 80 del número de puntos obtenidos fue de 49. Interprete el percentil 80 en el contexto de esta situación. En un colegio comunitario se comprobó que el percentil 30 de unidades de crédito en las que se inscriben los estudiantes es de siete unidades. Interprete el percentil 30 en el contexto de esta situación. Ejercicio Durante una temporada, el percentil 40 de puntos anotados por jugador en un partido es de ocho. Interprete el percentil 40 en el contexto de esta situación. La escuela intermedia Sharpe está solicitando una subvención que se utilizará para añadir equipos de acondicionamiento físico para el gimnasio. El director encuestó 15 estudiantes anónimos para determinar cuántos minutos al día dedican los estudiantes a hacer ejercicio. Se muestran los resultados de los 15 estudiantes anónimos. 0 minutos; 40 minutos; 60 minutos; 30 minutos; 60 minutos 10 minutos; 45 minutos; 30 minutos; 300 minutos; 90 minutos; 30 minutos; 120 minutos; 60 minutos; 0 minutos; 20 minutos Determine los cinco valores siguientes. Mín. = 0 Q 1 = 20 Med. = 40 Q 3 = 60 Máx. = 300 Si usted fuera el director, ¿se justificaría la compra de nuevos equipos de acondicionamiento físico? Dado que el 75 % de los estudiantes hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día, y que el IQR es de 40 minutos (60 – 20 = 40), sabemos que la mitad de los estudiantes encuestados hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Esto parece una cantidad razonable de tiempo de ejercicio, por lo que el director estaría justificado en la compra del nuevo equipamiento. Sin embargo, el director debe tener cuidado. El valor 300 parece ser un posible valor atípico. Q 3 + 1,5( IQR ) = 60 + (1,5)(40) = 120. El valor 300 es mayor que 120, por lo que es un posible valor atípico. Si lo eliminamos y calculamos los cinco valores, obtenemos los siguientes valores: Mín. = 0 Q 1 = 20 Q 3 = 60 Máx. = 120 Todavía tenemos un 75 % de los estudiantes que hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día y la mitad de los estudiantes que hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Sin embargo, 15 estudiantes es una muestra pequeña y el director debería encuestar más estudiantes para estar seguro de los resultados de su encuesta. Referencias Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013). Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013). “1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de la Revista Time ; encuesta de Yankelovich Partners, Inc. Repaso del capítulo Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil ( Q 1 ) es el percentil 25, el segundo cuartil ( Q 2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil ( Q 3 ) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q 1 de Q 3 , y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes. Q 3 + IQR (1,5) Q 1 – IQR (1,5) Revisión de la fórmula i = ( k 100 ) ( n + 1 ) donde i = la clasificación o posición de un valor de datos, k = el percentil k, n = número total de datos. Expresión para hallar el percentil de un valor de datos: ( x + 0,5 y n ) (100) donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo, y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil, n = número total de datos Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 78. El percentil 40 es 37 años. El percentil 78 es 70 años. Se enumeran las 32 edades de los mejores actores ganadores de los Premios de la Academia (Oscar) en orden de menor a mayor. 18; 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 31; 33; 36; 37; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 37. Calcule el percentil de 72. Jesse ocupó el puesto 37 de su promoción de 180 estudiantes. ¿En qué percentil se encuentra Jesse? Jesse se graduó en el puesto 37 de una clase de 180 estudiantes. Hay 180 – 37 = 143 estudiantes clasificados por debajo de Jesse. Hay un rango de 37. x = 143 y y = 1 x + 0,5 y n (100) = 143 + 0,5 ( 1 ) 180 (100) = 79,72. El puesto 37 de Jesse le sitúa en el percentil 80 . Para los corredores en una carrera un tiempo bajo significa una carrera más rápida. Los ganadores de una carrera tienen los tiempos de carrera más cortos. ¿Es más deseable tener un tiempo de llegada con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 20 de los tiempos de carrera en una determinada carrera es de 5,2 minutos. Escriba una oración con la interpretación del percentil 20 en el contexto de la situación. Un ciclista en el percentil 90 de una carrera la terminó en 1 hora y 12 minutos. ¿Está entre los ciclistas más rápidos o más lentos de la carrera? Escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera una mayor velocidad significa una carrera más rápida. ¿Es más deseable tener una velocidad con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 40 de las velocidades en una carrera particular es de 7,5 millas por hora. Escriba una oración con la interpretación del percentil 40 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera es más deseable tener un percentil alto de velocidad. Un percentil alto significa una mayor velocidad, lo cual es más rápida. El 40 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o menos (más lento). El 60 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o más (más rápido). En un examen, ¿sería más deseable obtener una calificación con un percentil alto o bajo? Explique. Mina está esperando en la fila del Departamento de Vehículos Motorizados (Department of Motor Vehicles, DMV). Su tiempo de espera de 32 minutos está en el percentil 85 de los tiempos de espera. ¿Es eso bueno o malo? Escriba una oración con la interpretación del percentil 85 en el contexto de esta situación. Cuando se espera en la fila del DMV, el percentil 85 sería un tiempo de espera largo en comparación con las demás personas que esperan. El 85 % de las personas tuvieron tiempos de espera más cortos que Mina. En este contexto, Mina preferiría un tiempo de espera correspondiente a un percentil inferior. El 85 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o menos. El 15 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o más. En una encuesta en la que se recopilan datos sobre los salarios que ganan los recién graduados universitarios, Li descubrió que su sueldo estaba en el percentil 78 . ¿Li debe alegrarse o molestarse por este resultado? Explique. En un estudio en el que se recopilan datos sobre costos de reparación por daños sufridos por automóviles en un determinado tipo de pruebas de choque, un determinado modelo de automóvil sufrió daños por valor de 1.700 dólares y se situó en el percentil 90 . ¿El fabricante y el consumidor deben estar satisfechos o molestos por este resultado? Explique y escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de este problema. El fabricante y el consumidor estarían molestos. Este es un gran costo de reparación de daños en comparación con los otros automóviles de la muestra. INTERPRETACIÓN: El 90 % de los automóviles sometidos a pruebas de choque tuvieron costos de reparación de daños de 1.700 dólares o menos; solo el 10 % tuvo costos de reparación de daños de 1.700 dólares o más. La Universidad de California (UC) tiene dos criterios que se utilizan para establecer las normas de admisión de los estudiantes de primer año de educación superior en el sistema UC: Los GPA de los estudiantes y las calificaciones de los exámenes estandarizados (SAT y ACT) se introducen en una fórmula que calcula una calificación de “índice de admisión”. La calificación del índice de admisión se utiliza para establecer normas de elegibilidad destinadas a cumplir la meta de admitir el 12 % de los mejores estudiantes de escuela secundaria del estado. En este contexto, ¿qué percentil representa el 12 % superior? Los estudiantes cuyos GPA se sitúan en o sobre el percentil 96 de todos los estudiantes de su escuela secundaria son elegibles (denominados elegibles en el contexto local), aunque no se encuentren en el 12 % superior de todos los estudiantes del estado. ¿Qué porcentaje de estudiantes de cada escuela secundaria son “elegibles en el contexto local”? Supongamos que va a comprar una casa. Usted y su agente inmobiliario han determinado que la casa más costosa que puede permitirse es la del percentil 34 . El percentil 34 de los precios de la vivienda es de 240.000 dólares en la ciudad a la que quiere mudarse. En esta ciudad, ¿puede permitirse el 34 % de las casas o el 66 % de las casas? Puede permitirse el 34 % de las casas. El 66 % de las casas son demasiado costosas para su presupuesto. INTERPRETACIÓN: El 34 % de las casas cuestan 240.000 dólares o menos. El 66 % de las casas cuestan 240.000 dólares o más. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Primer cuartil = _______ Segundo cuartil = mediana = percentil 50 = _______ 4 Tercer cuartil = _______ Rango intercuartil ( IQR ) = _____ – _____ = _____ 6 – 4 = 2 percentil 10 = _______ percentil 70 = _______ 6 Tarea para la casa La edad media de las personas negras en Estados Unidos es actualmente de 30,9 años; la de las personas blancas es de 42,3 años. Basándose en esta información, indique dos razones por las que la edad media de las personas negras podría ser inferior a la de las personas blancas. ¿La menor edad media de las personas negras significa necesariamente que estas mueren más jóvenes que las personas blancas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo es posible que las personas negras y las blancas mueran aproximadamente a la misma edad, pero que la edad media de las personas blancas sea mayor? A seiscientos estadounidenses adultos se les preguntó mediante un sondeo telefónico: “¿Qué cree usted que constituye un ingreso de clase media?”. Los resultados están en la . Además, se incluye el extremo izquierdo, pero no el derecho. Salario (dólares) Frecuencia relativa < 20.000 0,02 20.000-25.000 0,09 25.000-30.000 0,19 30.000-40.000 0,26 40.000-50.000 0,18 50.000-75.000 0,17 75.000-99.999 0,02 100.000 o más 0,01 ¿Qué porcentaje de la encuesta respondió “no estoy seguro”? ¿Qué porcentaje cree que la clase media es de 25.000 a 50.000 dólares? Construya un histograma de los datos. ¿Según los datos, todas las barras deben tener el mismo ancho? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se deben tratar los intervalos <20.000 y más de 100.000? ¿Por qué? Calcule el percentil 40 y el percentil 80 Construya un gráfico de barras de los datos 1 – (0,02 + 0,09 + 0,19 + 0,26 + 0,18 + 0,17 + 0,02 + 0,01) = 0,06 0,19 + 0, 26 + 0,18 = 0,63 Compruebe la solución del estudiante. El percentil 40 se situará entre 30.000 y 40.000 El percentil 80 estará entre 50.000 y 75.000 Compruebe la solución del estudiante. Dado el siguiente diagrama de caja: ¿cuál es el trimestre con menor dispersión de datos? ¿Cuál es esa dispersión? ¿cuál es el trimestre con mayor dispersión de datos? ¿Cuál es esa dispersión? calcule el rango intercuartil( IQR ). ¿hay más datos en el intervalo 5-10 o en el intervalo 10-13? ¿Cómo lo sabe? ¿qué intervalo tiene menos datos? ¿Cómo lo sabe? 0–2 2–4 10–12 12–13 necesito más información El siguiente diagrama de caja muestra la población de Estados Unidos en 1990, el último año disponible. ¿Hay menos o más niños (de 17 años o menos) que personas mayores (de 65 años o más)? ¿Cómo lo sabe? El 12,6 % tiene 65 años o más. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de la población son adultos en edad de trabajar (desde los 17 hasta los 65 años)? más niños; el bigote de la izquierda muestra que el 25 % de la población son niños de 17 años o menos. El bigote de la derecha muestra que el 25 % de la población son adultos de 50 años o más, por lo que los adultos de 65 años o más representan menos del 25 %. 62.4% Rango intercuartil o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos; el IQR se encuentra al restar el primer cuartil del tercer cuartil. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos Percentil un número que divide los datos ordenados en centésimas; los percentiles pueden o no formar parte de los datos. La mediana de los datos es el segundo cuartil y el percentil 50 . El primer y tercer cuartil son el percentil 25 y el percentil 75 , respectivamente. Cuartiles los números que separan los datos en cuartos; los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. El segundo cuartil es la mediana de los datos.

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Diagramas de caja Los diagramas de caja (también llamados diagramas de caja y bigotes o gráficos de caja y bigotes ) ofrecen una buena imagen gráfica de la concentración de los datos. También muestran lo lejos que están los valores extremos de la mayoría de los datos. Un diagrama de caja se construye a partir de cinco valores: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Utilizamos estos valores para comparar la proximidad de otros valores de datos. Para construir un diagrama de caja, utilice una línea numérica horizontal o vertical y una caja rectangular. Los valores de datos más pequeños y más grandes marcan los puntos finales del eje. El primer cuartil marca un extremo de la caja y el tercer cuartil marca el otro extremo de la caja. Aproximadamente el 50 % de los datos están dentro de la caja. Los "bigotes" se extienden desde los extremos de la caja hasta los valores de datos más pequeños y más grandes. La mediana o el segundo cuartil pueden estar entre el primer y el tercer cuartil, o puede ser uno, el otro, o ambos. El diagrama de caja ofrece una buena y rápida imagen de los datos. NOTA Es posible que encuentre diagramas de caja y bigotes con puntos que marcan los valores atípicos. En esos casos, los bigotes no se extienden hasta los valores mínimos y máximos. Consideremos, de nuevo, este conjunto de datos. 1 1 2 2 4 6 6,8 7,2 8 8,3 9 10 10 11,5 El primer cuartil es dos, la mediana es siete y el tercer cuartil es nueve. El valor más pequeño es uno y el más grande es 11,5. La siguiente imagen muestra el diagrama de caja construido. NOTA Consulte las instrucciones de la calculadora en el sitio web de TI o en el apéndice. Los dos bigotes se extienden desde el primer cuartil hasta el valor más pequeño y desde el tercer cuartil hasta el valor más grande. La mediana se muestra con una línea discontinua. NOTA Es importante comenzar un diagrama de caja con una línea numérica a escala . De lo contrario, el diagrama de caja puede no ser útil. Los siguientes datos son las estaturas de 40 estudiantes en una clase de Estadística. 59 60 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 65 65 65 65 65 65 66 66 67 67 68 68 69 70 70 70 70 70 71 71 72 72 73 74 74 75 77 Construya un diagrama de caja con las siguientes propiedades; las instrucciones de la calculadora para los valores mínimo y máximo, así como los cuartiles, siguen el ejemplo. Valor mínimo = 59 Valor máximo = 77 Q 1: Primer cuartil = 64,5 Q 2: Segundo cuartil o mediana= 66 Q 3: Tercer cuartil = 70 Cada trimestre tiene aproximadamente el 25 % de los datos. Los diferenciales de los cuatro trimestres son 64,5 - 59 = 5,5 (primer trimestre), 66 - 64,5 = 1,5 (segundo trimestre), 70 - 66 = 4 (tercer trimestre) y 77 - 70 = 7 (cuarto trimestre). Así, el segundo trimestre tiene el menor diferencial y el cuarto el mayor. Rango = valor máximo - el valor mínimo = 77 - 59 = 18 Rango intercuartil: IQR = Q 3 – Q 1 = 70 - 64,5 = 5,5. El intervalo 59-65 tiene más del 25 % de los datos, por lo que tiene más datos que el intervalo 66-70, que tiene el 25 % de los datos. El 50 % de los datos (la mitad) tiene un rango de 5,5 pulgadas. Para calcular el mínimo, el máximo y los cuartiles: Introduzca los datos en el editor de listas (Pres STAT 1:EDIT). Si necesita borrar la lista, pulse flecha hacia arriba hasta el nombre L1, pulse BORRAR y luego flecha hacia abajo. Ponga los valores de los datos en la lista L1. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats. Ingrese L1. Pulse ENTER. Utilice las teclas de flecha hacia abajo y hacia arriba para desplazarse. Valor más pequeño = 59. Valor más alto = 77. Q 1 : Primer cuartil = 64,5. Q 2 : Segundo cuartil o mediana = 66. Q 3 : Tercer cuartil = 70 Para construir el diagrama de caja: Pulse 4:Plotsoff. Pulse ENTER. Con la flecha hacia abajo y luego con la tecla de flecha hacia la derecha se pasa a la quinta imagen, que es el diagrama de caja. Pulse ENTER. Flecha hacia abajo a Xlist: Pulse el segundo 1 para L1 Flecha hacia abajo a Freq: Pulse ALPHA. Pulse 1. Pulse Zoom. Pulse 9: ZoomStat. Pulse TRACE y utilice las teclas de flecha para examinar el diagrama de caja. Ejercicio Los siguientes datos son el número de páginas de 40 libros en una estantería. Construya un diagrama de caja utilizando una calculadora gráfica e indique el rango intercuartílico. 136 140 178 190 205 215 217 218 232 234 240 255 270 275 290 301 303 315 317 318 326 333 343 349 360 369 377 388 391 392 398 400 402 405 408 422 429 450 475 512 En algunos conjuntos de datos, el valor más grande, el valor más pequeño, el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil pueden ser los mismos. Por ejemplo, puede tener un conjunto de datos en el que la mediana y el tercer cuartil son iguales. En este caso, el diagrama no tendría una línea de puntos dentro de la caja que muestra la mediana. El lado derecho del cuadro mostraría tanto el tercer cuartil como la mediana. Por ejemplo, si el valor más pequeño y el primer cuartil fuesen ambos uno, la mediana y el tercer cuartil fuesen ambos cinco, y el valor más grande fuese siete, el diagrama de caja tendría el siguiente aspecto: En este caso, al menos el 25 % de los valores son iguales a uno. El 25 % de los valores están entre uno y cinco, ambos inclusive. Al menos el 25 % de los valores son iguales a cinco. El 25 % de los valores más altos se sitúan entre el cinco y el siete, ambos inclusive. Los resultados de las pruebas de una clase de Estadística universitaria impartida durante el día son: 99 56 78 55,5 32 90 80 81 56 59 45 77 84,5 84 70 72 68 32 79 90 Los resultados de las pruebas de una clase de Estadística universitaria que se imparte por la noche son: 98 78 68 83 81 89 88 76 65 45 98 90 80 84,5 85 79 78 98 90 79 81 25,5 Calcule los valores más pequeños y más grandes, la mediana y el primer y tercer cuartil en la clase del día. Calcule los valores más pequeños y más grandes, la mediana y el primer y tercer cuartil para la clase nocturna. En cada conjunto de datos, ¿qué porcentaje de los datos está entre el valor más pequeño y el primer cuartil? ¿El primer cuartil y la mediana? ¿La mediana y el tercer cuartil? ¿El tercer cuartil y el valor más grande? ¿Qué porcentaje de los datos está entre el primer cuartil y el valor más grande? Cree un diagrama de caja en cada conjunto de datos. Utilice una línea numérica en ambos gráficos de caja. ¿Qué diagrama de caja tiene la mayor dispersión para el 50 % medio de los datos (los datos entre el primer y el tercer cuartil)? ¿Qué significa esto en ese conjunto de datos en comparación con el otro conjunto de datos? Mín. = 32 Q 1 = 56 M = 74,5 Q 3 = 82,5 Máx. = 99 Mín. = 25,5 Q 1 = 78 M = 81 Q 3 = 89 Máx. = 98 Clase diurna: hay seis valores de datos que van de 32 a 56: 30 %. Hay seis valores de datos que van de 56 a 74,5: 30 %. Hay cinco valores de datos que van de 74,5 a 82,5: 25 %. Hay cinco valores de datos que van de 82,5 a 99: 25 %. Hay 16 valores de datos entre el primer cuartil, 56, y el valor más grande, 99: 75 %. Clase nocturna: El primer conjunto de datos tiene la mayor dispersión para el 50 % de los datos. El IQR del primer conjunto de datos es mayor que el IQR del segundo conjunto. Esto significa que hay más variabilidad en el 50 % medio del primer conjunto de datos. Ejercicio El siguiente conjunto de datos muestra las estaturas en pulgadas de los chicos de una clase de 40 estudiantes. 66; 66; 67; 67; 68; 68; 68; 68; 68; 69; 69; 69; 70; 71; 72; 72; 72; 73; 73; 74 El siguiente conjunto de datos muestra las alturas en pulgadas de las chicas de una clase de 40 estudiantes. 61; 61; 62; 62; 63; 63; 63; 65; 65; 65; 66; 66; 66; 67; 68; 68; 68; 69; 69; 69 Construya un diagrama de caja utilizando una calculadora gráfica para cada conjunto de datos, e indique qué diagrama de caja tiene la mayor dispersión para el 50 % medio de los datos. Grafique un diagrama de caja y bigote para los valores de los datos que se muestran a continuación. 10 10 10 15 35 75 90 95 100 175 420 490 515 515 790 Los cinco números utilizados para crear un diagrama de caja y bigotes son: Mín.: 10 Q 1 : 15 Med.: 95 Q 3 : 490 Máx.: 790 El siguiente gráfico muestra el diagrama de cajas y bigotes. Ejercicio Siga los pasos que utilizó para graficar un diagrama de caja y bigotes para los valores de datos que se muestran a continuación. 0 5 5 15 30 30 45 50 50 60 75 110 140 240 330 Referencias Datos de la Revista West . Repaso del capítulo Los gráficos de caja son un tipo de gráfico que puede ayudar a organizar los datos visualmente. Para elaborar un diagrama de caja se deben calcular los siguientes puntos de datos: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Una vez que el diagrama de caja se ha graficado, se pueden visualizar y comparar las distribuciones de los datos. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Construya un diagrama de caja a continuación. Utilice una regla para medir con una escala exacta. Al observar el diagrama de caja, ¿parece que los datos están concentrados juntos, repartidos uniformemente, o concentrados en algunas zonas, pero no en otras? ¿Cómo se puede saber? Más del 25 % de los vendedores venden cuatro automóviles en una semana normal. Puede ver esta concentración en el diagrama de caja porque el primer cuartil es igual a la mediana. El 25 % superior y el 25 % inferior están repartidos uniformemente; los bigotes tienen la misma longitud. Tarea para la casa En una encuesta realizada a personas de 20 años en China, Alemania y Estados Unidos, se les preguntó por el número de países extranjeros que habían visitado en su vida. Los siguientes diagramas de caja muestran los resultados. En oraciones completas, describa lo que la forma de cada diagrama de caja implica sobre la distribución de los datos recogidos. ¿Más estadounidenses o más alemanes encuestados han estado en más de ocho países extranjeros? Compare los tres diagramas de caja. ¿Qué implican los viajes al extranjero de los residentes de 20 años de los tres países cuando se comparan entre sí? Dado el siguiente diagrama de caja, responda las preguntas. Piense en un ejemplo (con palabras) en el que los datos puedan ajustarse al diagrama de caja anterior. Escriba el ejemplo en unas 2 a 5 oraciones. ¿Qué significa que el primer y el segundo cuartil estén tan juntos, mientras que el segundo y el tercer cuartil están bastante separados? Las respuestas variarán. Posible respuesta La Universidad Estatal realizó una encuesta para comprobar el grado de implicación de sus estudiantes en el servicio a la comunidad. El diagrama de caja muestra el número de horas de servicio comunitario registradas por los participantes durante el último año. Dado que el primer y el segundo cuartil están próximos, los datos de este trimestre son muy similares. No hay mucha variación en los valores. Los datos del tercer trimestre son mucho más variables, o dispersos. Esto está claro porque el segundo cuartil está muy lejos del tercer cuartil. Dados los siguientes gráficos de caja, responda las preguntas. Explique en oraciones completas, por qué cada afirmación es falsa Datos 1 tiene más valores de datos por encima de 2 que Datos 2 . Los conjuntos de datos no pueden tener el mismo modo. En los Datos 1 , hay más valores de datos por debajo de cuatro que por encima de cuatro. ¿En qué grupo, Datos 1 o Datos 2, es más probable que el valor de "7" sea un valor atípico? Explique con oraciones completas. Se realizó una encuesta a 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 3 de BMW, 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 5 de BMW y 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 7 de BMW. En esta, se preguntaba a las personas, la edad que tenían cuando compraron su automóvil. Los siguientes diagramas de caja muestran los resultados. En oraciones completas, describa lo que la forma de cada diagrama de caja implica sobre la distribución de los datos recopilados para esa serie de automóviles. ¿Qué grupo tiene más probabilidades de tener un valor atípico? Explique cómo lo determinó. Compare los tres diagramas de caja. ¿Qué implican sobre la edad de compra de un BMW de la serie cuando se comparan entre sí? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué trimestre tiene la menor dispersión de datos? ¿Cuál es la dispersión? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué trimestre tiene la mayor dispersión de datos? ¿Cuál es la dispersión? Mire la serie 5 de BMW. Estime el rango intercuartil (IQR). Mire la serie 5 de BMW. ¿Hay más datos en el intervalo 31 a 38 o en el intervalo 45 a 55? ¿Cómo lo sabe? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué intervalo tiene menos datos? ¿Cómo lo sabe? 31–35 38–41 41–64 Cada diagrama de caja se extiende más en los valores mayores. Cada gráfico está distorsionado hacia la derecha, de modo que las edades del 50 % de los compradores que compran más son más variables que las del 50 % de los que compran menos. La serie 3 de BMW es la que tiene más probabilidades de tener un valor atípico. Tiene el bigote más largo. Comparando las edades medias, los más jóvenes tienden a comprar la serie 3 de BMW, mientras que los mayores tienden a comprar la serie 7 de BMW. Sin embargo, esto no es una regla, porque hay mucha variabilidad en cada conjunto de datos. El segundo trimestre es el que presenta el menor diferencial. Parece que solo hay una diferencia de tres años entre el primer cuartil y la mediana. El tercer trimestre es el que presenta la mayor dispersión. Parece que hay una diferencia de aproximadamente 14 años entre la mediana y el tercer cuartil. IQR ~ 17 años No hay suficiente información para decirlo. Cada intervalo se encuentra dentro de un trimestre, por lo que no podemos saber exactamente dónde se concentran los datos de ese trimestre. El intervalo de 31 a 35 años es el que presenta menos valores de datos. El 25 % de los valores se encuentran en el intervalo de 38 a 41, y el 25 % entre 41 y 64. Dado que el 25 % de los valores están entre 31 y 38, sabemos que menos del 25 % están entre 31 y 35. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un diagrama de caja de los datos. Resúmalo todo El condado de Santa Clara, CA, tiene aproximadamente 27.873 japoneses-americanos. Sus edades son las siguientes: Grupo de edad Porcentaje de la comunidad 0–17 18,9 18–24 8,0 25–34 22,8 35–44 15,0 45–54 13,1 55–64 11,9 65+ 10,3 Construya un histograma de la comunidad japonesa-americana en el condado de Santa Clara, CA. En este ejemplo, las barras no tendrán la misma anchura. ¿Por qué no? ¿Qué impacto tiene esto en la fiabilidad del gráfico? ¿Qué porcentaje de la comunidad es menor de 35 años? ¿Qué diagrama de caja se parece más a la información anterior? Para el gráfico, compruebe la solución del estudiante. El 49,7 % de la comunidad tiene menos de 35 años. A partir de la información de la tabla, el gráfico (a) es el que mejor representa los datos. Diagrama de caja gráfico que ofrece una imagen rápida del 50 % de los datos Primer cuartil valor que es la mediana de la mitad inferior del conjunto de datos ordenados Polígono de frecuencia parece un gráfico de líneas, pero utiliza intervalos para mostrar rangos de grandes cantidades de datos Intervalo también llamado intervalo de clase; un intervalo representa un rango de datos y se utiliza cuando se muestran grandes conjuntos de datos Conjunto de datos emparejados dos conjuntos de datos que tienen una relación de uno a uno para que ambos conjuntos de datos tienen el mismo tamaño, y cada punto de datos de un conjunto de datos coincide exactamente con un punto del otro conjunto. Distorsionado se utiliza para describir datos que no son simétricos; cuando el lado derecho de un gráfico parece "cortado" en comparación con el lado izquierdo, decimos que está "distorsionado a la izquierda" Cuando el lado izquierdo del gráfico parece "cortado" en comparación con el lado derecho, decimos que los datos están " distorsionado a la derecha" Alternativamente: cuando los valores más bajos de los datos están más repartidos, decimos que los datos están distorsionados a la izquierda. Cuando los valores mayores están más repartidos, los datos están distorsionados hacia la derecha.

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Medidas del centro de los datos El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana . Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Para calcular la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro. NOTA Las palabras “media” y “promedio” se suelen usar indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x ”): x ¯ . La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población . Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria. Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4 x ¯ = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2,7 x ¯ = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 5 ( 4 ) 11 = 2,7 En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5. Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión n + 1 2 . La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. La mediana es el 49. º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50. º y 51. º . La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor. Los datos sobre el sida que indican el número de meses que vive un paciente con sida después de tomar un nuevo medicamento con anticuerpos son los siguientes (de menor a mayor): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; Calcule la media y la mediana. El cálculo de la media es: x ¯ = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23,6 Para hallar la mediana, M , primero hay que utilizar la fórmula de la ubicación. La ubicación es: n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20,5 A partir del valor más pequeño, la mediana se sitúa entre los valores 20. º y 21. º (los dos 24): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; M = 24 + 24 2 = 24 Calcular la media y la mediana: Borre lista L1. Pulse STAT 4:ClrList. Introduzca el 2.º 1 para la lista L1. Pulse ENTER. Introduzca los datos en el editor de listas. Pulse STAT 1:EDIT. Ponga los valores de los datos en la lista L1. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats. Pulse el 2.º 1 para L1 y luego ENTER. Pulse las teclas de flecha hacia abajo y hacia arriba para desplazarse. x ¯ = 23,6, M = 24 Ejercicio Los siguientes datos muestran el número de meses que los pacientes suelen esperar en una lista de trasplantes antes de ser operados. Los datos están ordenados de menor a mayor. Calcule la media y la mediana. 3 4 5 7 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 17 17 18 19 19 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 Supongamos que en una pequeña ciudad de 50 personas una de ellas gana 5.000.000 de dólares al año y las otras 49 ganan 30.000 dólares cada una. ¿Cuál es la mejor medida del “centro”: la media o la mediana? x ¯ = 5 , 000 , 000 + 49 ( 30 , 000 ) 50 = 129.400 M = 30.000 (Hay 49 personas que ganan 30.000 dólares y una persona que gana 5.000.000 de dólares). La mediana es una mejor medida del “centro” que la media porque 49 de los valores son 30.000 y uno es 5.000.000. El 5.000.000 es un valor atípico. Los 30.000 nos dan una mejor idea del centro de los datos. Ejercicio En una muestra de 60 hogares, una casa vale 2.500.000 dólares. Veintinueve casas valen 280.000 dólares y todas las demás valen 315.000 dólares. ¿Cuál es la mejor medida del "centro": la media o la mediana? Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal. Las calificaciones de los exámenes de Estadística de 20 estudiantes son las siguientes: 50 53 59 59 63 63 72 72 72 72 72 76 78 81 83 84 84 84 90 93 Calcule la moda. La calificación más frecuente es 72, que aparece cinco veces. Moda = 72. Ejercicio El número de libros retirados de la biblioteca por 25 estudiantes es el siguiente: 0 0 0 1 2 3 3 4 4 5 5 7 7 7 7 8 8 8 9 10 10 11 11 12 12 Calcule la moda. Las cinco calificaciones del examen sobre bienes raíces son 430, 430, 480, 480, 495. El conjunto de datos es bimodal porque las calificaciones 430 y 480 aparecen dos veces cada una. ¿Cuándo la moda es la mejor medida del “centro”? Piense en un programa de adelgazamiento que anuncia una pérdida media de peso de seis libras la primera semana del programa. La moda podría indicar que la mayoría de las personas pierden dos libras la primera semana, lo que hace que el programa sea menos atractivo. NOTA La moda puede calcularse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. Por ejemplo, si el conjunto de datos es: rojo, rojo, rojo, verde, verde, amarillo, púrpura, negro, azul, la moda es rojo. El software estadístico calculará fácilmente la media, la mediana y la moda. Algunas calculadoras gráficas también pueden realizar estos cálculos. En el mundo real, la gente hace estos cálculos utilizando softwares. Ejercicio Las cinco puntuaciones de crédito son 680, 680, 700, 720, 720. El conjunto de datos es bimodal porque las puntuaciones 680 y 720 aparecen dos veces. Consideremos los ingresos anuales de los trabajadores de una fábrica. La modalidad es de 25.000 dólares y se produce 150 veces de cada 301. La mediana es de 50.000 dólares y la media de 47.500 dólares. ¿Cuál sería la mejor medida del "centro"? La ley de los grandes números y la media La ley de los grandes números dice que, si se toman muestras de tamaño cada vez mayor de cualquier población, entonces la media x ¯ de la muestra es muy probable que se acerque cada vez más a µ. Esto se analiza con más detalle más adelante en el texto. Distribuciones muestrales y estadística de una distribución muestral Se puede pensar en una distribución de muestreo como una distribución de frecuencia relativa con un gran número de muestras (vea la sección Muestreo y datos para hacer un repaso de la frecuencia relativa). Supongamos que se pregunta a treinta estudiantes seleccionados al azar el número de películas que vieron la semana anterior. Los resultados se encuentran en la tabla de frecuencias relativas que se muestra a continuación. N.º de películas Frecuencia relativa 0 5 30 1 15 30 2 6 30 3 3 30 4 1 30 Si se deja que el número de muestras sea muy grande (por ejemplo, 300 millones o más), la tabla de frecuencias relativas se convierte en una distribución de frecuencias relativas . Una estadística es un número calculado a partir de una muestra. Algunos ejemplos de estadísticas son la media, la mediana y la moda, entre otros. La media muestral x ¯ es un ejemplo de estadística que estima la media poblacional μ . Cálculo de la media de las tablas de frecuencias agrupadas Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = suma de los datos número de los valores de los datos Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias. Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es límite inferior + límite superior 2 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea Tabla de media de la frecuencia = ∑ e m ∑ e donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo. Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase. Intervalo de grado Número de estudiantes 50–56,5 1 56,5–62,5 0 62,5–68,5 4 68,5–74,5 4 74,5–80,5 2 80,5–86,5 3 86,5–92,5 4 92,5–98,5 1 Calcule los puntos medios de todos los intervalos Intervalo de grado Punto medio 50–56,5 53,25 56,5–62,5 59,5 62,5–68,5 65,5 68,5–74,5 71,5 74,5–80,5 77,5 80,5–86,5 83,5 86,5–92,5 89,5 92,5–98,5 95,5 Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio. ∑  e m 53,25 ( 1 ) + 59,5 ( 0 ) + 65,5 ( 4 ) + 71,5 ( 4 ) + 77,5 ( 2 ) + 83,5 ( 3 ) + 89,5 ( 4 ) + 95,5 ( 1 ) = 1460,25 μ = ∑ e m ∑ e = 1460,25 19 = 76,86 Ejercicio Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos: Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos Número de adolescentes 0–3,5 3 3,5–7,5 7 7,5–11,5 12 11,5–15,5 7 15,5–19,5 9 ¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos? Referencias Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto. Revisión de la fórmula μ = ∑ e m ∑ e Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo. Calcule la media de las siguientes tablas de frecuencia. Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor: 16 17 19 20 20 21 23 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 37 39 40 Calcule la media. Media: 16 + 17 + 19 + 20 + 20 + 21 + 23 + 24 + 25 + 25 + 25 + 26 + 26 + 27 + 27 + 27 + 28 + 29 + 30 + 32 + 33 + 33 + 34 + 35 + 37 + 39 + 40 = 738; 738 27 = 27,33 Identifique la mediana. Identifique la moda. Las esloras más frecuentes son 25 y 27, que aparecen tres veces. Moda = 25, 27 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente: media muestral = x ¯ = _______ mediana = _______ 4 moda = _______ Tarea para la casa Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en el siguiente cuadro. Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cómo se compara Estados Unidos con otros países? La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 El porcentaje de la media, x ¯ = 1.328,65 50 = 26,75 Resúmalo todo Javier y Ercilia son supervisores en un centro comercial. A cada uno se le encomendó la tarea de estimar la distancia media a la que viven los compradores del centro comercial. Cada uno de ellos encuestó al azar a 100 compradores. Las muestras arrojaron la siguiente información. Javier Ercilia x ¯ 6,0 millas 6,0 millas s 4,0 millas 7,0 millas ¿Cómo se puede determinar cuál es la encuesta correcta? Explique qué implica la diferencia de los resultados de las encuestas sobre los datos. Si los dos histogramas representan la distribución de valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Si los dos diagramas de caja representan la distribución de los valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios : estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección. Número de años Frecuencia Número de años Frecuencia 7 1 22 1 14 3 23 1 15 1 26 1 18 1 40 2 19 4 42 2 20 3 Total = 20 ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? 8 11 15 35 a ¿Cuál es la moda? 19 19,5 14 y 20 22,65 ¿Se trata de una muestra o de toda la población? muestra toda la población ninguna b Tabla de frecuencias una representación de datos en la que se muestran los datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes Media un número que mide la tendencia central de los datos; un nombre común para la media es 'promedio'. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Mediana número que separa los datos ordenados en mitades; la mitad de los valores son del mismo número o menores que la mediana y la mitad de los valores son del mismo número o mayores que la mediana. La mediana puede o no formar parte de los datos. Punto medio la media de un intervalo en una tabla de frecuencia Moda el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos

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Distorsión y media, mediana y moda Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10 Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo. El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana. El histograma de los datos: 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 (que se muestra en la ) no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más. El histograma de los datos: 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10 , tampoco es simétrico. Es distorsionada a la derecha . La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor . De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión. Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media. La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores. Las estadísticas se utilizan para comparar y a veces identificar a los autores. Las siguientes listas muestran una simple muestra aleatoria que compara los recuentos de letras de tres autores. Terry: 7; 9; 3; 3; 3; 4; 1; 3; 2; 2 Davis: 3; 3; 3; 4; 1; 4; 3; 2; 3; 1 Maris: 2; 3; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 8; 3 Haga un gráfico de puntos para los tres autores y compare las formas. Calcule la media de cada uno. Calcule la mediana de cada uno. Describa cualquier patrón que observe entre la forma y las medidas del centro. La distribución de Terry tiene una inclinación hacia la derecha (positiva). La distribución de Davis tiene una distorsión a la izquierda (negativo). La distribución de Maris tiene una forma simétrica. La media de Terry es de 3,7, la de Davis de 2,7 y la de Maris de 4,6. La mediana de Terry es tres, la de Davis es tres. La mediana de Maris es de cuatro. Parece que la mediana está siempre más cerca del punto alto (la moda), mientras que la media tiende a estar más lejos en la cola. En una distribución simétrica, la media y la mediana están situadas en el centro, cerca del punto más alto de la distribución. Ejercicio Analice la media, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes problemas. ¿Existe un patrón entre la forma y la medida del centro? a. b. Las edades en que murieron los expresidentes de EE. UU. 4 6 9 5 3 6 7 7 7 8 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 1 1 2 3 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Clave: 8|0 significa 80. c. Repaso del capítulo Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones . Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la . Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha. 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 Los datos son simétricos. La mediana es 3 y la media es 2,85. Están cerca, y la moda se encuentra cerca del centro de los datos, por lo que los datos son simétricos. 16 17 19 22 22 22 22 22 23 87 87 87 87 87 88 89 89 90 91 Los datos están distorsionados a la derecha. La mediana es de 87,5 y la media de 88,2. Aunque están cerca, la moda se encuentra a la izquierda del centro de los datos, y hay muchos más casos de 87 que de cualquier otro número, por lo que los datos están distorsionados a la derecha. Cuando los datos están distorsionados a la izquierda, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana están cerca o son iguales. ¿Qué palabra describe una distribución que tiene dos modas? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la derecha porque luce desplazada hacia la derecha. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media es de 4,1 y es ligeramente superior a la mediana, que es de cuatro. Describa la forma de esta distribución. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. La moda y la mediana son iguales. En este caso, las dos son cinco. ¿La media y la mediana son exactamente iguales en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la izquierda porque luce desplazada hacia la izquierda. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media y la mediana son seis. La media y la mediana de los datos son iguales. 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 ¿Los datos son perfectamente simétricos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la mayor, la media, la moda o la mediana del conjunto de datos? 11 11 12 12 12 12 13 15 17 22 22 22 La moda es 12, la mediana es 12,5 y la media es 15,1. La media es la mayor. ¿Cuál es menor, la media, la moda y la mediana del conjunto de datos? 56 56 56 58 59 60 62 64 64 65 67 De las tres medidas, ¿cuál tiende a reflejar más la distorsión: la media, la moda o la mediana? ¿Por qué? La media tiende a reflejar más la distorsión porque es la más afectada por los valores atípicos. En una distribución perfectamente simétrica, ¿cuándo la moda sería diferente de la media y la mediana? Tarea para la casa La edad media de la población de EE. UU. en 1980 era de 30,0 años. En 1991, la edad media era de 33,1 años. ¿Qué significa que la edad media aumente? Dé dos razones por las que la edad media podría aumentar. Para que la edad media aumente, ¿el número real de niños es menor en 1991 que en 1980? ¿Por qué sí o por qué no?

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