Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos , las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas. Derivada de la función exponencial Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso. En primer lugar, partimos de la base de que la función B ( x ) = b x , b > 0 , está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de b n , donde n es un número entero positivo, como el producto de b multiplicado por sí mismo n veces. Más adelante, definimos b 0 = 1 , b − n = 1 b n , para un número entero positivo n , y b s / t = ( b t ) s para números enteros positivos s y t . Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de b r donde r es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de B ( x ) = b x , b > 0 , podemos interpretar b r a medida que lím x → r b x donde los valores de x a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver 4 π como el número que satisface 4 3 < 4 π < 4 4 , 4 3,1 < 4 π < 4 3,2 , 4 3,14 < 4 π < 4 3,15 , 4 3,141 < 4 π < 4 3,142 , 4 3,1415 < 4 π < 4 3,1416 , … . Como vemos en la siguiente tabla, 4 π ≈ 77,88 . Aproximación a un valor de 4 π x 4 x x 4 x 4 3 64 4 3,141593 77,8802710486 4 3,1 73,5166947198 4 3,1416 77,8810268071 4 3,14 77,7084726013 4 3,142 77,9242251944 4 3,141 77,8162741237 4 3,15 78,7932424541 4 3,1415 77,8702309526 4 3,2 84,4485062895 4 3,14159 77,8799471543 4 4 256 También suponemos que para B ( x ) = b x , b > 0 , el valor B ′ ( 0 ) de la derivada existe. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B ( x ) es diferenciable en todas partes. Hacemos una última suposición: que existe un valor único de b > 0 para el cual B ′ ( 0 ) = 1 . Definimos e para que sea este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos . La proporciona gráficos de las funciones y = 2 x , y = 3 x , y = 2,7 x , y y = 2,8 x . Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función E ( x ) = e x se denomina función exponencial natural . Su inversa, L ( x ) = log e x = ln x se denomina función de logaritmo natural . El gráfico de E ( x ) = e x está entre y = 2 x como y = 3 x . Para una mejor estimación de e , podemos construir una tabla de estimaciones de B ′ ( 0 ) para funciones de la forma B ( x ) = b x . Antes de hacer esto, recuerde que B ′ ( 0 ) = lím x → 0 b x − b 0 x − 0 = lím x → 0 b x – 1 x ≈ b x – 1 x para los valores de x muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x = 0,00001 y x = −0,00001 para obtener la estimación b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 . Consulte la siguiente tabla. Estimación de un valor de e b b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 b b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 2 0,693145 < B ′ ( 0 ) < 0,69315 2,7183 1,000002 < B ′ ( 0 ) < 1,000012 2,7 0,993247 < B ′ ( 0 ) < 0,993257 2,719 1,000259 < B ′ ( 0 ) < 1,000269 2,71 0,996944 < B ′ ( 0 ) < 0,996954 2,72 1,000627 < B ′ ( 0 ) < 1,000637 2,718 0,999891 < B ′ ( 0 ) < 0,999901 2,8 1,029614 < B ′ ( 0 ) < 1,029625 2,7182 0,999965 < B ′ ( 0 ) < 0,999975 3 1,098606 < B ′ ( 0 ) < 1,098618 Los datos de la tabla sugieren que 2,7182 < e < 2,7183 . El gráfico de E ( x ) = e x junto con la línea y = x + 1 se muestran en la . Esta línea es tangente al gráfico de E ( x ) = e x en x = 0 . La línea tangente a E ( x ) = e x en x = 0 tiene pendiente 1. Ahora que hemos expuesto nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de B ( x ) = b x , b > 0 . Recordemos que hemos supuesto que B ′ ( 0 ) existe. Aplicando la definición de límite a la derivada concluimos que B ′ ( 0 ) = lím h → 0 b 0 + h − b 0 h = lím h → 0 b h − 1 h . En cuanto a B ′ ( x ) , obtenemos lo siguiente. B ′ ( x ) = lím h → 0 b x + h − b x h Aplique la definición de límite de la derivada. = lím h → 0 b x b h − b x h Tenga en cuenta que b x + h = b x b h . = lím h → 0 b x ( b h − 1 ) h Factorice b x . = b x lím h → 0 b h − 1 h Aplique una propiedad de límites. = b x B ′ ( 0 ) Uso B ′ ( 0 ) = lím h → 0 b 0 + h − b 0 h = lím h → 0 b h − 1 h . Vemos que sobre la base de la suposición de que B ( x ) = b x es diferenciable en 0 , B ( x ) no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es B ′ ( x ) = b x B ′ ( 0 ) . Para E ( x ) = e x , E ′ ( 0 ) = 1 . Por lo tanto, tenemos E ′ ( x ) = e x . (El valor de B ′ ( 0 ) para una función arbitraria de la forma B ( x ) = b x , b > 0 , se derivará más adelante. Derivada de la función exponencial natural Supongamos que E ( x ) = e x es la función exponencial natural. Entonces E ′ ( x ) = e x . En general, d d x ( e g ( x ) ) = e g ( x ) g ′ ( x ) . Derivada de una función exponencial Calcule la derivada de f ( x ) = e tan ( 2 x ) . Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena, f ′ ( x ) = e tan ( 2 x ) d d x ( tan ( 2 x ) ) = e tan ( 2 x ) sec 2 ( 2 x ) . 2 . Combinación de reglas de diferenciación Calcule la derivada de y = e x 2 x . Utilice la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena. y ′ = ( e x 2 . 2 ) x . x – 1 . e x 2 x 2 Aplique la regla del cociente. = e x 2 ( 2 x 2 – 1 ) x 2 Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = x e 2 x . h ′ ( x ) = e 2 x + 2 x e 2 x Pista No olvide utilizar la regla del producto. Aplicación de la función exponencial natural Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1.000. Después de t días, la población está dada por A ( t ) = 1.000 e 0,3 t . Demuestre que la relación de la tasa de cambio de la población, A ′ ( t ) , a la población, A ( t ) es constante. Primero calcule A ′ ( t ) . Utilizando la regla de la cadena, tenemos A ′ ( t ) = 300 e 0,3 t . Por lo tanto, la relación entre la tasa de cambio de la población y la población está dada por A ′ ( t ) = 300 e 0,3 t 1.000 e 0,3 t = 0,3 . La relación entre la tasa de cambio de la población y la población es la constante 0,3. Si los valores de A ( t ) = 1.000 e 0,3 t describe la población de mosquitos después de t días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de A ( t ) después de 4 días? 996 Pista Calcule A ′ ( 4 ) . Derivada de la función logarítmica Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural. La derivada de la función de logaritmo natural Si los valores de x > 0 y y = ln x , entonces d y d x = 1 x . De manera más general, supongamos que g ( x ) es una función diferenciable. Para todos los valores de x para los cuales g ′ ( x ) > 0 , la derivada de h ( x ) = ln ( g ( x ) ) está dada por h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . Prueba Si los valores de x > 0 y y = ln x , entonces e y = x . Diferenciando ambos lados de esta ecuación se obtiene la ecuación e y d y d x = 1 . Al resolver d y d x se obtiene d y d x = 1 e y . Por último, sustituimos x = e y para obtener d y d x = 1 x . También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que y = g ( x ) = ln x es la inversa de f ( x ) = e x , aplicando el teorema de la función inversa tenemos d y d x = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 e ln x = 1 x . Utilizando este resultado y aplicando la regla de la cadena a h ( x ) = ln ( g ( x ) ) se obtiene h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . □ El gráfico de y = ln x y su derivada d y d x = 1 x se muestran en la . La función y = ln x es creciente en ( 0 , + ∞ ) . Su derivada y ′ = 1 x es mayor que cero en ( 0 , + ∞ ) . Tomar la derivada de un logaritmo natural Calcule la derivada de f ( x ) = ln ( x 3 + 3 x − 4 ) . Utilice directamente la . f ′ ( x ) = 1 x 3 + 3 x − 4 . ( 3 x 2 + 3 ) Uso g ( x ) = x 3 + 3 x − 4 en h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . = 3 x 2 + 3 x 3 + 3 x − 4 Reescriba. Uso de las propiedades de los logaritmos en una derivada Calcule la derivada de f ( x ) = ln ( x 2 sen x 2 x + 1 ) . A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de calcular la derivada, podemos hacer el problema mucho más sencillo. f ( x ) = ln ( x 2 sen x 2 x + 1 ) = 2 ln x + ln ( sen x ) − ln ( 2 x + 1 ) Aplique las propiedades de los logaritmos. f ′ ( x ) = 2 x + cot x − 2 2 x + 1 Aplique la regla de la suma y h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . Diferencie: f ( x ) = ln ( 3 x + 2 ) 5 . f ′ ( x ) = 15 3 x + 2 Pista Utilice una propiedad de los logaritmos para simplificar antes de tomar la derivada. Ahora que podemos diferenciar la función de logaritmo natural, podemos utilizar este resultado para calcular las derivadas de y = l o g b x como y = b x para b > 0 , b ≠ 1 . Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales Supongamos que b > 0 , b ≠ 1 , y supongamos que g ( x ) es una función diferenciable. Si, y = log b x , entonces d y d x = 1 x ln b . De forma más general, si h ( x ) = log b ( g ( x ) ) , entonces para todos los valores de x para los que g ( x ) > 0 , h ′ ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) ln b . Si y = b x , entonces d y d x = b x ln b . De forma más general, si h ( x ) = b g ( x ) , entonces h ′ ( x ) = b g ( x ) g ′ ( x ) ln b . Prueba Si los valores de y = log b x , entonces b y = x . Se deduce que ln ( b y ) = ln x . Así que y ln b = ln x . Al resolver y , tenemos y = ln x ln b . Diferenciando y teniendo en cuenta que ln b es una constante, vemos que d y d x = 1 x ln b . La derivada en la se deduce ahora de la regla de la cadena. Si los valores de y = b x , entonces ln y = x ln b . Utilizando la diferenciación implícita, de nuevo teniendo en cuenta que ln b es constante, se deduce que 1 y d y d x = ln b . Al resolver d y d x y sustituyendo y = b x , vemos que d y d x = y ln b = b x ln b . La derivada más general ( ) se desprende de la regla de la cadena. □ Aplicación de fórmulas de derivación Calcule la derivada de h ( x ) = 3 x 3 x + 2 . Utilice la regla del cociente y . h ′ ( x ) = 3 x ln 3 ( 3 x + 2 ) − 3 x ln 3 ( 3 x ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del cociente. = 2 . 3 x ln 3 ( 3 x + 2 ) 2 Simplifique. Cálculo de la pendiente de una línea tangente Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de y = log 2 ( 3 x + 1 ) en x = 1 . Para calcular la pendiente, debemos evaluar d y d x en x = 1 . Utilizando la , vemos que d y d x = 3 ( 3 x + 1 ) ln 2 . Evaluando la derivada en x = 1 , vemos que la línea tangente tiene pendiente d y d x | x = 1 = 3 4 ln 2 = 3 ln 16 . Calcule la pendiente de la línea tangente a y = 3 x en x = 2 . 9 ln ( 3 ) Pista Evalúe la derivada en x = 2 . Diferenciación logarítmica En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma y = ( g ( x ) ) n para determinados valores de n , así como funciones de la forma y = b g ( x ) , donde b > 0 y b ≠ 1 . Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como y = x x o y = x π . Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica , que nos permite diferenciar cualquier función de la forma h ( x ) = g ( x ) f ( x ) . También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la diferenciación logarítmica Para diferenciar y = h ( x ) utilizando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener ln y = ln ( h ( x ) ) . Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln ( h ( x ) ) tanto como sea posible. Diferencie ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos 1 y d y d x . Multiplique ambos lados de la ecuación por y para resolver d y d x . Sustituya y por h ( x ) . Uso de la diferenciación logarítmica Calcule la derivada de y = ( 2 x 4 + 1 ) tan x . Utilice la diferenciación logarítmica para calcular esta derivada. ln y = ln ( 2 x 4 + 1 ) tan x Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = tan x ln ( 2 x 4 + 1 ) Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x Paso 3. Diferencie ambos lados. Utilice la regla del producto a la derecha. d y d x = y . ( sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x ) Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = ( 2 x 4 + 1 ) tan x ( sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x ) Paso 5. Sustituya y = ( 2 x 4 + 1 ) tan x . Uso de la diferenciación logarítmica Calcule la derivada de y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y de las reglas de diferenciación indicadas en este capítulo. ln y = ln x 2 x + 1 e x sen 3 x Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = ln x + 1 2 ln ( 2 x + 1 ) − x ln e − 3 ln sen x Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cos x sen x Paso 3. Diferencie ambos lados. d y d x = y ( 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cot x ) Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = x 2 x + 1 e x sen 3 x ( 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cot x ) Paso 5. Sustituya y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Ampliación de la regla de la potencia Calcule la derivada de y = x r donde r es un número real arbitrario. El proceso es el mismo que en el , aunque con menos complicaciones. ln y = ln x r Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = r ln x Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = r 1 x Paso 3. Diferencie ambos lados. d y d x = y r x Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = x r r x Paso 5. Sustituya y = x r . d y d x = r x r − 1 Simplifique. Utilice la diferenciación logarítmica para calcular la derivada de y = x x . d y d x = x x ( 1 + ln x ) Pista Siga la estrategia de resolución de problemas. Calcule la derivada de y = ( tan x ) π . y ′ = π ( tan x ) π − 1 sec 2 x Pista Utilice el resultado de . Conceptos clave Partiendo de la base de que la función exponencial y = b x , b > 0 es continua en todas partes y diferenciable en 0, esta función es diferenciable en todas partes y existe una fórmula para su derivada. Podemos utilizar una fórmula para calcular la derivada de y = ln x , y la relación log b x = ln x ln b nos permite extender nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias. La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la forma y = g ( x ) f ( x ) o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciar. Ecuaciones clave Derivada de la función exponencial natural d d x ( e g ( x ) ) = e g ( x ) g ′ ( x ) Derivada de la función de logaritmo natural d d x ( ln g ( x ) ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) Derivada de la función exponencial general d d x ( b g ( x ) ) = b g ( x ) g ′ ( x ) ln b Derivada de la función logarítmica general d d x ( log b g ( x ) ) = g ′ ( x ) g ( x ) ln b En los siguientes ejercicios, calcule f ′ ( x ) por cada función. f ( x ) = x 2 e x 2 x e x + x 2 e x f ( x ) = e – x x f ( x ) = e x 3 ln x e x 3 ln x ( 3 x 2 ln x + x 2 ) grandes. f ( x ) = e 2 x + 2 x f ( x ) = e x − e – x e x + e – x 4 ( e x + e – x ) 2 f ( x ) = 10 x ln 10 f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2 2 4 x + 2 . ln 2 + 8 x f ( x ) = 3 sen 3 x f ( x ) = x π . π x π x π − 1 . π x + x π . π x ln π f ( x ) = ln ( 4 x 3 + x ) grandes. f ( x ) = ln 5 x − 7 5 2 ( 5 x − 7 ) grandes. f ( x ) = x 2 ln 9 x f ( x ) = log ( sec x ) grandes. tan x ln 10 f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5 f ( x ) = 2 x . log 3 7 x 2 − 4 2 x . ln 2 . log 3 7 x 2 − 4 + 2 x . 2 x ln 7 ln 3 En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación logarítmica para calcular d y d x . y = x x y = ( sen 2 x ) 4 x ( sen 2 x ) 4 x [ 4 . ln ( sen 2 x ) + 8 x . cot 2 x ] y = ( ln x ) ln x y = x log 2 x x log 2 x . 2 ln x x ln 2 y = ( x 2 – 1 ) ln x y = x cot x x cot x . [ − csc 2 x . ln x + cot x x ] y = x + 11 x 2 − 4 3 y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4 x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4 . [ −1 2 x + 4 x 3 ( x 2 + 3 ) + 12 3 x − 4 ] [T] Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 4 x e ( x 2 – 1 ) en el punto donde x = −1 . Grafique la función y la línea tangente. [T] Halle la ecuación de la línea que es normal al gráfico de f ( x ) = x . 5 x en el punto donde x = 1 . Grafique tanto la función como la línea normal. y = −1 5 + 5 ln 5 x + ( 5 + 1 5 + 5 ln 5 ) [T] Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de x 3 − x ln y + y 3 = 2 x + 5 en el punto (2, 1). ( Pista : Utilice la diferenciación implícita para calcular d y d x . ) Grafique tanto la curva como la línea tangente. Considere la función y = x 1 / x para x > 0 . Determine los puntos del gráfico donde la línea tangente es horizontal. Determine los puntos del gráfico en los que y ′ > 0 y aquellos en los que y ′ < 0 . a. x = e ~ 2,718 b. ( e , ∞ ) , ( 0 , e ) La fórmula I ( t ) = sen t e t es la fórmula de una corriente alterna decreciente. Complete la siguiente tabla con los valores adecuados. t sen t e t 0 (i) π 2 (ii) π (iii) 3 π 2 (iv) 2 π (v) 5 π 2 (vi) 3 π (vii) 7 π 2 (viii) 4 π (ix) Utilizando solo los valores de la tabla, determine dónde la línea tangente al gráfico de I ( t ) es horizontal. [T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era de aproximadamente 500.000 habitantes. Supongamos que la población aumenta a un ritmo del 5 % anual. Escriba la función exponencial que relaciona la población total en función de t . Utilice a. para determinar la tasa de aumento de la población en t años. Utilice b. para determinar la tasa de aumento de la población en 10 años. a. P = 500.000 ( 1,05 ) t individuos b. P ′ ( t ) = 24395 . ( 1,05 ) t individuos por año c. 39.737 individuos por año [T] Un isótopo del elemento erbio tiene una semivida de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente. Escriba la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de t , medido en horas. Utilice a. para determinar la tasa de decaimiento de la sustancia en t horas. Utilice b. para determinar la tasa de decaimiento en t = 4 horas. [T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1961 se modela mediante la función N ( t ) = 5,3 e 0,093 t 2 − 0,87 t , ( 0 ≤ t ≤ 4 ) , donde N ( t ) indica el número de casos (en miles) y t se mide en años, con t = 0 correspondiente a principios de 1960. Muestre el trabajo que evalúa N ( 0 ) y N ( 4 ) . Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York. Muestre el trabajo que evalúa N ′ ( 0 ) y N ′ ( 3 ) . Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York. a. A principios de 1960 había 5,3 mil casos de la enfermedad en la ciudad de Nueva York. A principios de 1964 había aproximadamente 723 casos de la enfermedad en Estados Unidos. b. A principios de 1960, el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a una tasa de −4,611 mil por año; a principios de 1963, el número de casos de la enfermedad disminuía a una tasa de −0,2808 mil por año. [T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable y = f ( x ) está dada por 100 . f ′ ( x ) f ( x ) % . Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por P ( x ) = a e − b . e − c x donde a , b , y c son constantes. Halle la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz. Utilice a. para calcular la tasa de cambio relativa de una población en x = 20 meses cuando a = 204 , b = 0,0198 , y c = 0,15 . Interprete brevemente lo que significa el resultado de b. En los siguientes ejercicios, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, que se da en la siguiente tabla. La población de Nueva York a lo largo del tiempo Años desde 1790 Población 0 33.131 10 60.515 20 96.373 30 123.706 40 202.300 50 312.710 60 515.547 70 813.669 Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_cities_in_the_United_States _by_population_by_decade. [T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora, ajuste una curva de crecimiento a los datos de la forma p = a b t . p = 35741 ( 1,045 ) t [T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año. [T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año. Años desde 1790 P ″ 0 69,25 10 107,5 20 167,0 30 259,4 40 402,8 50 625,5 60 971,4 70 1508,5 [T] Utilizando las tablas de primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responda a las siguientes preguntas: ¿Será exacto el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no? Estime la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso ? Justifique la respuesta con una prueba o un contraejemplo. Toda función tiene una derivada. Falso. Una función continua tiene una derivada continua. Una función continua tiene una derivada. Falso Si una función es diferenciable, es continua. Utilice la definición de límite de la derivada para evaluar exactamente la derivada. f ( x ) = x + 4 1 2 x + 4 f ( x ) = 3 x Calcule las derivadas de las siguientes funciones. f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 9 x 2 + 8 x 3 f ( x ) = ( 4 − x 2 ) 3 f ( x ) = e sen x e sen x cos x f ( x ) = ln ( x + 2 ) grandes. f ( x ) = x 2 cos x + x tan ( x ) grandes. x sec 2 ( x ) + 2 x cos ( x ) + tan ( x ) − x 2 sen ( x ) grandes. f ( x ) = 3 x 2 + 2 f ( x ) = x 4 sen −1 ( x ) grandes. 1 4 ( x 1 − x 2 + sen −1 ( x ) ) grandes. x 2 y = ( y + 2 ) + x y sen ( x ) Calcule las siguientes derivadas de diversos órdenes. Primera derivada de y = x ln ( x ) cos x cos x . ( ln x + 1 ) − x ln ( x ) sen x Tercera derivada de y = ( 3 x + 2 ) 2 Segunda derivada de y = 4 x + x 2 sen ( x ) grandes. 4 x ( ln 4 ) 2 + 2 sen x + 4 x cos x – x 2 sen x Halle la ecuación de la línea tangente a las siguientes ecuaciones en el punto especificado. y = cos −1 ( x ) + x en x = 0 y = x + e x – 1 x en x = 1 T = ( 2 + e ) x − 2 Dibuje la derivada de los siguientes gráficos. Las siguientes preguntas se refieren al nivel del agua en Ocean City, Nueva Jersey, en enero, que puede ser aproximado mediante w ( t ) = 1,9 + 2,9 cos ( π 6 t ) , donde t se mide en horas después de la medianoche, y la altura se mide en pies. Calcule y grafique la derivada. ¿Cuál es el significado físico? Calcule w ′ ( 3 ) . ¿Cuál es el significado físico de este valor? w ′ ( 3 ) = − 2,9 π 6 . A las 3 de la mañana, la marea disminuye a una tasa de 1,514 ft/h. Las siguientes preguntas se refieren a la velocidad del viento del huracán Katrina, que afectó a Nueva Orleans (Luisiana) en agosto de 2005. Los datos se muestran en una tabla. Velocidades de los vientos del huracán Katrina Horas después de la medianoche del 26 de agosto Velocidad del viento (mph) 1 45 5 75 11 100 29 115 49 145 58 175 73 155 81 125 85 95 107 35 Fuente: http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html. Utilizando la tabla, estime la derivada de la velocidad del viento en la hora 39. ¿Cuál es el significado físico? Estime la derivada de la velocidad del viento en la hora 83. ¿Cuál es el significado físico? −7,5 . La velocidad del viento está disminuyendo a una tasa de 7,5 mph/h. diferenciación logarítmica es una técnica que nos permite diferenciar una función tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de una ecuación, aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación y diferenciando implícitamente

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Introducción Cuando se lanza un cohete, ¿a qué velocidad debería cambiar el ángulo de una cámara de video para seguir observándolo? (créditos: modificación del trabajo de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons). Se lanza un cohete desde tierra y las cámaras graban el evento. Una cámara de video está situada en el suelo a cierta distancia de la plataforma de lanzamiento. ¿A qué velocidad debe cambiar el ángulo de inclinación (el ángulo que forma la cámara con el suelo) para que esta pueda grabar el vuelo del cohete mientras este se dirige hacia arriba? (Vea la ). El lanzamiento de un cohete implica dos cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. Ser capaces de resolver este tipo de problemas es solo una de las aplicaciones de las derivadas que se presentan en este capítulo. También veremos cómo se utilizan las derivadas para encontrar los valores máximos y mínimos de las funciones. Como resultado, podremos resolver problemas de optimización aplicados, como la maximización de los ingresos y la minimización del área superficial. Además, analizaremos cómo se utilizan las derivadas para evaluar límites complicados, para aproximar las raíces de las funciones y para proporcionar gráficos precisos de las funciones.

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Tasas relacionadas Hemos visto que para las cantidades que cambian en el tiempo, las tasas a las que estas cantidades cambian están dadas por las derivadas. Si dos cantidades relacionadas cambian en el tiempo, las tasas a las que cambian las cantidades están relacionadas. Por ejemplo, si un globo se llena de aire, tanto el radio como el volumen del globo aumentan. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades. Establecer problemas de tasas relacionadas En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas cambian con respecto al tiempo. Por ejemplo, si volvemos a considerar el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio del volumen, V , está relacionada con la tasa de cambio del radio, r . En este caso, decimos que d V d t y d r d t son tasas relacionadas porque V está relacionada con r . Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que cambian con respecto al tiempo y vemos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio. Inflar un globo Un globo esférico se está llenando de aire a un ritmo constante de 2 cm 3 / s ( ). ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio es 3 cm ? A medida que el globo se llena de aire, tanto el radio como el volumen aumentan con respecto al tiempo. El volumen de una esfera de radio r centímetros es V = 4 3 π r 3 cm 3 . Como el globo se está llenando de aire, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo. Por lo tanto, t segundos después de comenzar a llenar el globo con aire, el volumen de aire en el globo es V ( t ) = 4 3 π [ r ( t ) ] 3 cm 3 . Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo y aplicando la regla de la cadena, vemos que la tasa de cambio del volumen está relacionada con la tasa de cambio del radio mediante la ecuación V ′ ( t ) = 4 π [ r ( t ) ] 2 r ′ ( t ) . El globo se está llenando de aire a una velocidad constante de 2 cm 3 /s, por lo que V ′ ( t ) = 2 cm 3 / sec . Por lo tanto, 2 cm 3 / sec = ( 4 π [ r ( t ) ] 2 cm 2 ) . ( r ′ ( t ) cm/s ) , lo que implica r ′ ( t ) = 1 2 π [ r ( t ) ] 2 cm/s . Cuando el radio r = 3 cm, r ′ ( t ) = 1 18 π cm/s . ¿Cuál es la tasa instantánea de cambio del radio cuando r = 6 cm ? 1 72 π cm/s , o aproximadamente 0,0044 cm/s Pista d r d t = 1 2 π r 2 Antes de ver otros ejemplos, vamos a esbozar la estrategia de resolución de problemas que vamos a utilizar para resolver problemas de tasas relacionadas. Estrategia para la resolución de problemas: Resolver un problema de tasas relacionadas Asigne símbolos a todas las variables que intervienen en el problema. Dibuje una figura si procede. Indique, en función de las variables, la información que se da y el índice que debe determinarse. Halle una ecuación que relacione las variables introducidas en el paso 1. Utilizando la regla de la cadena, diferencie ambos lados de la ecuación hallada en el paso 3 con respecto a la variable independiente. Esta nueva ecuación relacionará las derivadas. Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación del paso 4, y luego resuelva la tasa de cambio desconocida. Tenga en cuenta que al resolver un problema de tasas relacionadas, es crucial no sustituir los valores conocidos demasiado pronto. Por ejemplo, si el valor de una cantidad cambiante se sustituye en una ecuación antes de diferenciar ambos lados de la ecuación, entonces esa cantidad se comportará como una constante y su derivada no aparecerá en la nueva ecuación halla en el paso 4. Examinamos este posible error en el siguiente ejemplo. Ejemplos del proceso Pongamos ahora en práctica la estrategia que acabamos de describir para resolver varios problemas de tasas relacionadas. El primer ejemplo es el de un avión que sobrevuela la ciudad. La relación que estudiamos es la que existe entre la velocidad del avión y la velocidad a la que cambia la distancia entre el avión y una persona en el suelo. Un avión volando a una altura constante Un avión sobrevuela a una altura constante de 4.000 ft . Un hombre está viendo el avión desde una posición a 3.000 ft desde la base de una torre de radio. El avión vuela horizontalmente alejándose del hombre. Si el avión vuela a la velocidad de 600 ft/s , ¿a qué velocidad aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando este pasa por encima de la torre de radio? Paso 1. Haga un dibujo, introduciendo variables para representar las diferentes cantidades implicadas. Un avión vuela a una altura constante de 4000 pies. La distancia entre la persona y el avión y la persona y el lugar en el suelo directamente debajo del avión están cambiando. Denotamos esas cantidades con las variables s y x , respectivamente. Como se muestra, x denota la distancia entre el hombre y la posición en el suelo directamente debajo del avión. La variable s denota la distancia entre el hombre y el avión. Tenga en cuenta que ambas x y s son funciones del tiempo. No introducimos una variable para la altura del plano porque se mantiene a una altura constante de 4.000 ft . Como la altura de un objeto sobre el suelo se mide como la distancia más corta entre el objeto y el suelo, el segmento de línea de longitud 4000 pies es perpendicular al segmento de línea de longitud x pies, creando un triángulo rectángulo. Paso 2. Dado que x denota la distancia horizontal entre el hombre y el punto del suelo por debajo del plano, d x / d t representa la velocidad del avión. Nos dicen que la velocidad del avión es de 600 ft/s. Por lo tanto, d x d t = 600 ft/s. Como se nos pide que hallemos la tasa de cambio de la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio, necesitamos calcular d s / d t cuando x = 3.000 ft . Paso 3. A partir de la figura, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación que relacione x y s : [ x ( t ) ] 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo y utilizando el hecho de que la derivada de una constante es cero, llegamos a la ecuación x d x d t = s d s d t . Paso 5. Calcule la tasa a la que aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio. Es decir, calcule d s d t cuando x = 3.000 ft . Como la velocidad del avión es 600 ft/s , sabemos que d x d t = 600 ft/s . No se nos da un valor explícito para s ; sin embargo, ya que estamos tratando de calcular d s d t cuando x = 3.000 ft , podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la distancia s cuando x = 3.000 y la altura es 4.000 ft . Resolviendo la ecuación 3.000 2 + 4.000 2 = s 2 para s , tenemos s = 5.000 ft en el tiempo de interés. Utilizando estos valores, concluimos que d s / d t es una solución de la ecuación ( 3.000 ) ( 600 ) = ( 5.000 ) . d s d t . Por lo tanto, d s d t = 3.000 . 600 5.000 = 360 ft/s . Nota : Al resolver problemas de tasas relacionadas, es importante no sustituir los valores de las variables demasiado pronto. Por ejemplo, en el paso 3, relacionamos las cantidades variables x ( t ) y s ( t ) por la ecuación [ x ( t ) ] 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Como el plano permanece a una altura constante, no es necesario introducir una variable para la altura, y se nos permite utilizar la constante 4000 para denotar esa cantidad. Sin embargo, las otras dos cantidades están cambiando. Si por error sustituimos x ( t ) = 3.000 en la ecuación antes de diferenciarla, nuestra ecuación habría sido 3.000 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Después de diferenciar, nuestra ecuación sería 0 = s ( t ) d s d t . Como resultado, concluiríamos incorrectamente que d s d t = 0 . ¿Cuál es la velocidad del avión si la distancia entre la persona y el avión aumenta a la tasa de 300 ft/s ? 500 ft/s Pista d s d t = 300 ft/s Volvemos ahora al problema del lanzamiento del cohete del principio del capítulo. Inicio del capítulo: El lanzamiento de un cohete (créditos: modificación del trabajo de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons). Se lanza un cohete para que se eleve verticalmente. Se coloca una cámara a 5.000 ft desde la plataforma de lanzamiento. Cuando el cohete está 1.000 ft sobre la plataforma de lanzamiento, su velocidad es 600 ft/s . Calcule la tasa de cambio necesaria del ángulo de la cámara en función del tiempo para que se mantenga enfocada en el cohete. Paso 1. Haga un dibujo introduciendo las variables. Se coloca una cámara a 5.000 ft de la plataforma de lanzamiento del cohete. La altura del cohete y el ángulo de la cámara cambian con respecto al tiempo. Denotamos esas cantidades con las variables h y θ , respectivamente. Supongamos que h denotan la altura del cohete sobre la plataforma de lanzamiento y θ sea el ángulo entre el objetivo de la cámara y el suelo. Paso 2. Estamos tratando de calcular la tasa de cambio en el ángulo de la cámara con respecto al tiempo cuando el cohete está a 1.000 ft del suelo. Es decir, tenemos que calcular d θ d t cuando h = 1.000 ft . En ese momento, sabemos que la velocidad del cohete es d h d t = 600 ft/s . Paso 3. Ahora tenemos que hallar una ecuación que relacione las dos cantidades que están cambiando con respecto al tiempo h y θ . ¿Cómo podemos crear esa ecuación? Partiendo del hecho de que hemos dibujado un triángulo rectángulo, es natural pensar en las funciones trigonométricas. Recordemos que tan θ es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo y la longitud del lado adyacente. Por lo tanto, tenemos tan θ = h 5.000 . Esto nos da la ecuación h = 5.000 tan θ . Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo t , obtenemos d h d t = 5.000 sec 2 θ d θ d t . Paso 5. Supongamos que se desea calcular d θ d t cuando h = 1.000 ft . En este momento, sabemos que d h d t = 600 ft/s . Tenemos que determinar sec 2 θ . Recordemos que sec θ es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado adyacente. Sabemos que la longitud del lado adyacente es 5.000 ft . Para determinar la longitud de la hipotenusa, utilizamos el teorema de Pitágoras, donde la longitud de un cateto es 5.000 ft , la longitud del otro cateto es h = 1.000 ft , y la longitud de la hipotenusa es c pies como se muestra en la siguiente figura. Vemos que 1.000 2 + 5.000 2 = c 2 y concluimos que la hipotenusa es c = 1.000 26 ft . Por lo tanto, cuando h = 1.000 , tenemos sec 2 θ = ( 1.000 26 5.000 ) 2 = 26 25 . Recordemos que en el paso 4 la ecuación que relaciona d θ d t a nuestros valores conocidos es d h d t = 5.000 sec 2 θ d θ d t . Cuando h = 1.000 ft , sabemos que d h d t = 600 ft/s y sec 2 θ = 26 25 . Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, llegamos a la ecuación 600 = 5.000 ( 26 25 ) d θ d t . Por lo tanto, d θ d t = 3 26 rad/s . ¿Qué tasa de cambio es necesaria para el ángulo de elevación de la cámara si esta se coloca en el suelo a una distancia de 4.000 ft desde la plataforma de lanzamiento y la velocidad del cohete es de 500 ft/s cuando el cohete está a 2000 ft del suelo? 1 10 rad/s Pista Calcule d θ d t cuando h = 2000 ft . En ese tiempo, d h d t = 500 ft/s . En el siguiente ejemplo, consideramos el agua que sale de un embudo en forma de cono. Comparamos la tasa de disminución del nivel de agua en el cono con la tasa de disminución del volumen de agua. Drenaje de agua de un embudo El agua escurre por el fondo de un embudo en forma de cono a una tasa de 0,0 3 ft 3 /s . La altura del embudo es de 2 pies y el radio en la parte superior del embudo es 1 ft . ¿A qué tasa cambia la altura del agua en el embudo cuando la altura del agua es 1 2 ft ? Paso 1: Haga un dibujo introduciendo las variables. El agua sale de un embudo de 2 pies de altura y 1 pie de radio. La altura del agua y el radio del agua cambian con el tiempo. Denotamos estas cantidades con las variables h y r , respectivamente. Supongamos que h denota la altura del agua en el embudo, r denota el radio del agua en su superficie y V denota el volumen del agua. Paso 2: Tenemos que determinar d h d t cuando h = 1 2 ft . Sabemos que d V d t = −0,03 ft 3 /s . Paso 3: El volumen de agua en el cono es V = 1 3 π r 2 h . En la figura, vemos que tenemos triángulos similares. Por lo tanto, la relación de los lados de los dos triángulos es la misma. Por lo tanto, r h = 1 2 o r = h 2 . Utilizando este hecho, la ecuación del volumen puede simplificarse a V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h 3 . Paso 4: Aplicando la regla de la cadena y diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo t , obtenemos d V d t = π 4 h 2 d h d t . Paso 5: Supongamos que se desea calcular d h d t cuando h = 1 2 ft . Como el agua sale a una tasa de 0,0 3 ft 3 /s , sabemos que d V d t = −0,03 ft 3 /s . Por lo tanto, −0,03 = π 4 ( 1 2 ) 2 d h d t , lo que implica −0,03 = π 16 d h d t . De ello se desprende que d h d t = − 0,48 π = −0,153 ft/s . ¿A qué tasa cambia la altura del agua cuando la altura del agua es 1 4 ft ? −0,61 ft/s Pista Debemos calcular d h d t cuando h = 1 4 . Conceptos clave Para resolver un problema de tasas relacionadas, primero haga un dibujo que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo. En cuanto a las cantidades, indique la información dada y la tasa que se debe encontrar. Halle una ecuación que relacione las cantidades. Utilice la diferenciación, aplicando la regla de la cadena si es necesario, para hallar una ecuación que relacione las tasas. Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de hallar una ecuación que relacione las tasas. En los siguientes ejercicios, calcule las cantidades para la ecuación dada. Calcule d y d t en x = 1 y y = x 2 + 3 si d x d t = 4 . 8 Halle d x d t en x = −2 y y = 2 x 2 + 1 si d y d t = −1 . Halle d z d t en ( x , y ) = ( 1 , 3 ) y z 2 = x 2 + y 2 si d x d t = 4 y d y d t = 3 . ± 13 10 En los siguientes ejercicios, haga un dibujo de la situación si es necesario y utilice las tasas relacionadas para calcular las cantidades. [T] Si se conectan dos resistores eléctricos en paralelo, la resistencia total (medida en ohmios, denotada por la letra griega mayúscula omega, Ω ) está dada por la ecuación 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 . Si R 1 está aumentando a una tasa de 0,5 Ω / min y R 2 disminuye a una tasa de 1,1 Ω/min , ¿a qué tasa cambia la resistencia total cuando R 1 = 20 Ω y R 2 = 50 Ω ? Una escalera de 10 pies está apoyada en la pared. Si la parte superior de la escalera se desliza por la pared a una tasa de 2 ft/s, ¿a qué velocidad se mueve la parte inferior por el suelo cuando la parte inferior de la escalera está a 5 pies de la pared? 2 3 ft/s Una escalera de 25 pies está apoyada en una pared. Si empujamos la escalera hacia la pared a una velocidad de 1 ft/s, y la parte inferior de la escalera está inicialmente a 20 ft de distancia de la pared, ¿qué tan rápido se mueve la escalera por la pared 5 s después de empezar a empujar? Dos aviones están volando en el aire a la misma altura: el avión A está volando hacia el este a 250 mi/h y el avión B está volando hacia el norte a 300 mi/h . Si ambos se dirigen al mismo aeropuerto, situado a 30 millas al este del avión A y a 40 millas al norte del avión B , ¿a qué tasa cambia la distancia entre los aviones? La distancia disminuye a 390 mi/h . Usted y un amigo van en bicicleta a un restaurante que usted cree que está al este; su amigo cree que el restaurante está al norte. Ambos parten del mismo punto, usted circulando a 16 mph al este y su amigo circulando a 12 mph al norte. Después de desplazarse 4 mi, ¿a qué tasa cambia la distancia entre ustedes? Dos autobuses circulan por autopistas paralelas con una separación de 5 mi , uno hacia el este y el otro hacia el oeste. Asumiendo que cada bus conduce una velocidad constante de 55 mph, calcule la tasa a la que cambia la distancia entre los autobuses cuando tienen una separación de 13 mi y están dirigiéndose el uno hacia el otro. La distancia entre ellos se reduce a una tasa de 1320 13 ≈ 101,5 mph . Una persona de 6 pies de altura se aleja de un poste de luz de 10 pies a una tasa constante de 3 ft/s . ¿Cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja del poste cuando la persona está a 10 ft del poste? Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja de la persona cuando esta se encuentra a 10 pies del poste? 9 2 ft/s Una persona de 5 pies de altura camina hacia una pared a una velocidad de 2 ft/s. Un foco se sitúa en el suelo a 40 pies de la pared. ¿Qué tan rápido cambia la altura de la sombra de la persona en la pared cuando esta se encuentra a 10 pies de la misma? Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la sombra cuando la persona está a 10 pies de la pared, si la persona se aleja de la pared a una velocidad de 2 ft/s? Crece a una tasa de 4 9 ft/s Un helicóptero que comienza en el suelo se eleva directamente en el aire a una velocidad de 25 ft/s. Usted está corriendo en el suelo empezando directamente debajo del helicóptero a una tasa de 10 ft/s. Calcule la tasa de cambio de la distancia entre el helicóptero y usted después de 5 segundos. Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la distancia entre usted y el helicóptero cuando este se ha elevado a una altura de 60 pies en el aire, suponiendo que, inicialmente, estaba a 30 pies por encima de usted? La distancia aumenta a una tasa de ( 135 26 ) 26 ft/s En los siguientes ejercicios, dibuje y marque diagramas para ayudar a resolver los problemas de tasas relacionadas. El lado de un cubo aumenta a una tasa de 1 2 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el volumen del cubo cuando el lado del cubo es de 4 m. El volumen de un cubo disminuye a una tasa de 10 m 3 /s. Calcule la tasa a la que cambia el lado del cubo cuando el lado del cubo es de 2 m. − 5 6 m/s El radio de un círculo aumenta a una tasa de 2 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el área del círculo cuando el radio es de 5 m. El radio de una esfera disminuye a una tasa de 3 m/s. Calcule la tasa a la que disminuye el área superficial cuando el radio es de 10 m. 240 π m 2 /s El radio de una esfera aumenta a una tasa de 1 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el volumen cuando el radio es 20 m. El radio de una esfera aumenta a una tasa de 9 cm/s. Calcule el radio de la esfera cuando el volumen y el radio de la esfera aumentan a la misma tasa numérica. 1 2 π cm La base de un triángulo disminuye a una tasa de 1 cm/min y la altura del triángulo aumenta a una tasa de 5 cm/min. Calcule la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando la altura es de 22 cm y la base de 10 cm. Un triángulo tiene dos lados constantes de longitud 3 pies y 5 pies. El ángulo entre estos dos lados aumenta a una tasa de 0,1 rad/s. Calcule la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando el ángulo entre los dos lados es π / 6 . El área aumenta a una tasa de ( 3 3 ) 8 ft 2 /s. Un triángulo tiene una altura que aumenta a una tasa de 2 cm/s y su área aumenta a una tasa de 4 cm 2 /s. Calcule la tasa a la que cambia la base del triángulo cuando la altura del triángulo es de 4 cm y el área es de 20 cm 2 . En los siguientes ejercicios, considere un cono derecho que pierde agua. Las dimensiones del tanque cónico son una altura de 16 pies y un radio de 5 pies. ¿A qué tasa cambia la profundidad del agua cuando el agua está a 10 pies de altura si el cono pierde agua a una velocidad de 10 ft 3 /min? La profundidad del agua disminuye a una tasa de 128 125 π ft/min. Calcule la tasa a la que cambia el área superficial del agua cuando el agua está a 10 pies de altura si el cono pierde agua a una tasa de 10 ft 3 /min. Si el nivel del agua disminuye a una tasa de 3 in/min cuando la profundidad del agua es de 8 pies, determine la tasa a la que el agua se escapa del cono. El volumen disminuye a una tasa de ( 25 π ) 16 ft 3 /min . Un cilindro vertical pierde agua a una tasa de 1 ft 3 /s. Si el cilindro tiene una altura de 10 pies y un radio de 1 pie, ¿a qué tasa cambia la altura del agua cuando la altura es de 6 pies? Un cilindro tiene una fuga de agua, pero usted no puede determinar a qué tasa. El cilindro tiene una altura de 2 m y un radio de 2 m. Calcule la tasa de salida del agua del cilindro si la tasa de disminución de la altura es de 10 cm/min cuando la altura es de 1 m. El agua sale a una tasa de ( 2 π ) 5 m 3 /min. Un abrevadero tiene los extremos en forma de triángulo isósceles, con un ancho de 3 m y una altura de 4 m, y el abrevadero tiene una longitud de 10 m. El agua se bombea en el abrevadero a una tasa de 5 m 3 /min . ¿A qué tasa cambia la altura del agua cuando el agua tiene 1 m de profundidad? Un tanque tiene forma de pirámide cuadrada invertida, con una base de 4 m por 4 m y una altura de 12 m (vea la siguiente figura). ¿A qué tasa aumenta la altura cuando el agua tiene 2 m de profundidad si se bombea agua a una tasa de 2 3 m 3 /s? 3 2 m/s En los siguientes problemas, considere una piscina con forma de la mitad inferior de una esfera, que se está llenando a una tasa de 25 ft 3 /min. El radio de la piscina es de 10 pies. La fórmula del volumen de una semiesfera parcial es V = πh 6 ( 3 r 2 + h 2 ) donde h es la altura del agua y r es el radio del agua. Calcule la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando esta tiene una profundidad de 5 pies. Calcule la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando esta tiene una profundidad de 1 pie. 25 19 π ft/min Si la altura aumenta a una tasa de 1 in/min cuando la profundidad del agua es de 2 pies, calcule la tasa a la que se está bombeando el agua. Se está descargando grava de un camión y cae en un montón con forma de cono a una tasa de 10 ft 3 /min. El radio de la base del cono es tres veces la altura del mismo. Calcule la tasa a la que cambia la altura de la grava cuando el montón tiene una altura de 5 pies. 2 45 π ft/min Utilizando un planteamiento similar al del problema anterior, calcule la tasa a la que se descarga la grava si la pila tiene 5 pies de altura y la altura aumenta a una tasa de 4 in/min. En los siguientes ejercicios, dibuje las situaciones y resuelva los problemas de tasas relacionadas. Usted está inmóvil en el suelo y observa cómo un pájaro vuela horizontalmente a una velocidad de 10 m/s. El pájaro se encuentra a 40 m por encima de su cabeza. ¿A qué tasa cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal entre usted y el pájaro es de 9 m? El ángulo disminuye a una tasa de 400 1681 rad/s . Usted se coloca a 40 pies de un cohete de botella en el suelo y observa cómo despega verticalmente en el aire a una tasa de 20 ft/s. Calcule la tasa a la que cambia el ángulo de elevación cuando el cohete está a 30 pies en el aire. Un faro, L , se encuentra en una isla a 4 millas de distancia del punto más cercano, P , en la playa (vea la siguiente imagen). Si la luz del faro gira en el sentido de las agujas del reloj a una tasa constante de 10 revoluciones/min, ¿a qué tasa se desplaza el haz de luz por la playa a 2 millas del punto más cercano de la playa? 100 π mi/min Utilizando el mismo planteamiento que en el problema anterior, determine a qué tasa se desplaza el haz de luz a través de la playa a 1 milla de distancia del punto más cercano de la playa. Usted va caminando hacia una parada de autobús en una esquina en ángulo recto. Usted se mueve hacia el norte a una velocidad de 2 m/s y está a 20 metros al sur de la intersección. El autobús se desplaza hacia el oeste a una velocidad de 10 m/s alejándose de la intersección: ¡ha perdido el autobús! ¿Cuál es la tasa a la que cambia el ángulo entre usted y el autobús cuando usted está a 20 metros al sur de la intersección y el autobús está a 10 metros al oeste de la misma? El ángulo cambia a una tasa de 11 25 rad/s . En los siguientes ejercicios, consulte la figura del diamante de béisbol, que tiene lados de 90 pies. [T] Un bateador golpea una pelota hacia la tercera base a 75 ft/s y corre hacia la primera base a una tasa de 24 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la pelota y el bateador cuando han pasado 2 segundos? [T] Un bateador golpea una pelota hacia la segunda base a 80 ft/s y corre hacia la primera base a una tasa de 30 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la pelota y el bateador cuando el corredor ha recorrido un tercio de la distancia hasta la primera base? ( Pista : Recordemos la ley de los cosenos). La distancia aumenta a una tasa de 62,50 ft/s. [T] Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 22 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre el corredor y la segunda base cuando el corredor ha corrido 30 pies? [T] Los corredores comienzan en primera y segunda base. Cuando se batea la pelota, el corredor de la primera base corre a una velocidad de 18 ft/s hacia la segunda base y el corredor de la segunda base corre a una velocidad de 20 ft/s hacia la tercera base. ¿A qué tasa cambia la distancia entre los corredores 1 segundo después de que se golpee la pelota? La distancia disminuye a una tasa de 11,99 ft/s. tasas relacionadas son tasas de cambio asociadas a dos o más cantidades relacionadas que cambian con el tiempo

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Aproximaciones lineales y diferenciales Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las más fáciles de trabajar, por lo que constituyen una herramienta útil para aproximar los valores de las funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiamos cómo aproximar funciones mediante polinomios de mayor grado Introducción a las series de potencias y funciones . Aproximación lineal de una función en un punto Considere una función f que es diferenciable en un punto x = a . Recordemos que la línea tangente al gráfico de f en a está dada por la ecuación y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 1 x en a = 2 . Dado que f es diferenciable en x = 2 y f ′ ( x ) = − 1 x 2 , vemos que f ′ ( 2 ) = − 1 4 . Por tanto, la línea tangente al gráfico de f en a = 2 está dada por la ecuación y = 1 2 – 1 4 ( x − 2 ) . (a) muestra un gráfico de f ( x ) = 1 x junto con la línea tangente a f en x = 2 . Tenga en cuenta que para x cerca de 2, el gráfico de la línea tangente se acerca al gráfico de f . Como resultado, podemos utilizar la ecuación de la línea tangente para aproximar f ( x ) para x cerca de 2. Por ejemplo, si x = 2,1 , la columna y del punto correspondiente en la línea tangente es y = 1 2 – 1 4 ( 2,1 − 2 ) = 0,475 . El valor real de f ( 2,1 ) está dada por f ( 2,1 ) = 1 2,1 ≈ 0,47619 . Por lo tanto, la línea tangente nos da una aproximación bastante buena de f ( 2,1 ) ( (b)). Sin embargo, hay que tener en cuenta que para los valores de x lejos de 2, la ecuación de la línea tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si x = 10 , la columna y del punto correspondiente en la línea tangente es y = 1 2 – 1 4 ( 10 − 2 ) = 1 2 − 2 = −1,5 , mientras que el valor de la función en x = 10 es f ( 10 ) = 0,1 . (a) La línea tangente a f ( x ) = 1 / x en x = 2 proporciona una buena aproximación a f para x cerca de 2. (b) En x = 2,1 , el valor de y en la línea tangente a f ( x ) = 1 / x es 0,475. El valor real de f ( 2,1 ) es 1 / 2,1 , que es aproximadamente 0,47619. En general, para una función diferenciable f , la ecuación de la línea tangente a f en x = a se puede utilizar para aproximar f ( x ) para x cerca de a . Por lo tanto, podemos escribir f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) para x cerca de a . Llamamos función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) a la aproximación lineal , o aproximación de la línea tangente , de f en x = a . Esta función L también se conoce como la linealización de f en x = a . Para mostrar lo útil que puede ser la aproximación lineal, veremos cómo encontrar la aproximación lineal para f ( x ) = x en x = 9 . Aproximación lineal de x Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = x en x = 9 y utilice la aproximación para estimar 9,1 . Dado que buscamos la aproximación lineal a x = 9 , utilizando la sabemos que la aproximación lineal está dada por L ( x ) = f ( 9 ) + f ′ ( 9 ) ( x − 9 ) . Debemos hallar f ( 9 ) y f ′ ( 9 ) . f ( x ) = x ⇒ f ( 9 ) = 9 = 3 f ′ ( x ) = 1 2 x ⇒ f ′ ( 9 ) = 1 2 9 = 1 6 Por tanto, la aproximación lineal está dada por la . L ( x ) = 3 + 1 6 ( x − 9 ) Utilizando la aproximación lineal, podemos estimar 9,1 escribiendo 9,1 = f ( 9,1 ) ≈ L ( 9,1 ) = 3 + 1 6 ( 9,1 − 9 ) ≈ 3,0167 . La aproximación lineal local a f ( x ) = x en x = 9 proporciona una aproximación a f para x cerca de 9. Análisis Utilizando una calculadora, el valor de 9,1 con cuatro decimales es 3,0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3,0167, es muy cercano al valor obtenido con la calculadora, por lo que parece que utilizar esta aproximación lineal es una buena forma de estimar x , al menos para x cerca de 9 . Al mismo tiempo, puede parecer extraño utilizar una aproximación lineal cuando podemos simplemente pulsar unos cuantos botones en una calculadora para evaluar 9,1 . Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora 9,1 ? ¡La calculadora utiliza una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras utilizan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; solo que utilizan aproximaciones de mayor grado. Calcule la aproximación lineal local a f ( x ) = x 3 en x = 8 . Utilícela para aproximar 8,1 3 con cinco decimales. L ( x ) = 2 + 1 12 ( x − 8 ) ; 2,00833 Pista L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Aproximación lineal de sen x Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = sen x en x = π 3 y utilícela para aproximar sen ( 62 ° ) . En primer lugar, observamos que, dado que π 3 rad equivale a 60 ° , utilizando la aproximación lineal a x = π / 3 parece razonable. La aproximación lineal está dada por L ( x ) = f ( π 3 ) + f ′ ( π 3 ) ( x − π 3 ) . Vemos que f ( x ) = sen x ⇒ f ( π 3 ) = sen ( π 3 ) = 3 2 f ′ ( x ) = cos x ⇒ f ′ ( π 3 ) = cos ( π 3 ) = 1 2 Por lo tanto, la aproximación lineal de f en x = π / 3 está dada por la . L ( x ) = 3 2 + 1 2 ( x − π 3 ) Para estimar sen ( 62 ° ) utilizando L , primero debemos convertir 62 ° a radianes. Tenemos 62 ° = 62 π 180 radianes, por lo que la estimación de sen ( 62 ° ) está dada por sen ( 62 ° ) = f ( 62 π 180 ) ≈ L ( 62 π 180 ) = 3 2 + 1 2 ( 62 π 180 − π 3 ) = 3 2 + 1 2 ( 2 π 180 ) = 3 2 + π 180 ≈ 0,88348 . La aproximación lineal a f ( x ) = sen x en x = π / 3 proporciona una aproximación a sen x para x cerca de π / 3 . Calcule la aproximación lineal para f ( x ) = cos x en x = π 2 . L ( x ) = − x + π 2 Pista L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, calculamos la aproximación lineal para f ( x ) = ( 1 + x ) n en x = 0 , que puede utilizarse para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea puede extenderse a una función de la forma f ( x ) = ( m + x ) n para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente m . Aproximación de raíces y potencias Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = ( 1 + x ) n en x = 0 . Utilice esta aproximación para estimar ( 1,01 ) 3 . La aproximación lineal a x = 0 está dada por L ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) . Dado que f ( x ) = ( 1 + x ) n ⇒ f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = n ( 1 + x ) n – 1 ⇒ f ′ ( 0 ) = n , la aproximación lineal está dada por la (a). L ( x ) = 1 + n ( x − 0 ) = 1 + n x Podemos aproximar ( 1,01 ) 3 evaluando L ( 0,01 ) cuando n n = 3 . Concluimos que ( 1,01 ) 3 = f ( 1,01 ) ≈ L ( 1,01 ) = 1 + 3 ( 0,01 ) = 1,03 . (a) La aproximación lineal de f ( x ) en x = 0 es L ( x ) . (b) El valor real de 1,01 3 es 1,030301. La aproximación lineal de f ( x ) en x = 0 estima que 1,01 3 sea 1,03. Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = ( 1 + x ) 4 en x = 0 sin utilizar el resultado del ejemplo anterior. L ( x ) = 1 + 4 x Pista f ′ ( x ) = 4 ( 1 + x ) 3 Diferenciales Hemos visto que se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar los valores de las funciones. También pueden utilizarse para estimar la cantidad de cambios en el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: los diferenciales . Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada. La primera vez que vimos las derivadas, utilizamos la notación de Leibniz d y / d x para representar la derivada de y con respecto a x . Aunque utilizamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tienen significado por sí mismas. Aquí vemos el significado de las expresiones dy y dx . Supongamos que y = f ( x ) es una función diferenciable. Supongamos que dx es una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero y defina la variable dependiente d y mediante d y = f ′ ( x ) d x . Es importante tener en cuenta que d y es una función de ambas x y d x . Las expresiones dy y dx se llaman diferenciales . Podemos dividir ambos lados de la entre d x , que da como resultado d y d x = f ′ ( x ) . Esta es la expresión familiar que hemos utilizado para denotar una derivada. La se conoce como la forma diferencial de la . Cálculo de los diferenciales Para cada una de las siguientes funciones, calcule dy y evalúe cuando x = 3 y d x = 0,1 . y = x 2 + 2 x y = cos x El paso clave es el cálculo de la derivada. Cuando tengamos eso, podremos obtener dy directamente. Dado que f ( x ) = x 2 + 2 x , sabemos que f ′ ( x ) = 2 x + 2 , y por lo tanto d y = ( 2 x + 2 ) d x . Cuando x = 3 y d x = 0,1 , d y = ( 2 . 3 + 2 ) ( 0,1 ) = 0,8 . Dado que f ( x ) = cos x , f ′ ( x ) = − sen ( x ) . Esto nos da d y = − sen x d x . Cuando x = 3 y d x = 0,1 , d y = − sen ( 3 ) ( 0,1 ) = −0,1 sen ( 3 ) . Para y = e x 2 , calcule d y . d y = 2 x e x 2 d x Pista d y = f ′ ( x ) d x Ahora conectamos los diferenciales con las aproximaciones lineales. Los diferenciales pueden utilizarse para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función f que es diferenciable en el punto a . Supongamos que la entrada x cambia por una pequeña cantidad. Nos interesa saber en qué medida la salida y cambia. Si los valores de x cambia de a a a + d x , entonces el cambio en x es d x (también denominado Δ x ) , y el cambio en y está dada por Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . En vez de calcular el cambio exacto en y , sin embargo, a menudo es más fácil aproximar el cambio en y utilizando una aproximación lineal. Para x cerca de a , f ( x ) se puede aproximar mediante la aproximación lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Por lo tanto, si d x es pequeña, f ( a + d x ) ≈ L ( a + d x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( a + d x – a ) . Eso es, f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x . En otras palabras, el cambio real de la función f si x aumenta de a a a + d x es aproximadamente la diferencia entre L ( a + d x ) y f ( a ) , donde L ( x ) es la aproximación lineal de f en a . Por definición de L ( x ) , esta diferencia es igual a f ′ ( a ) d x . En resumen, Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x = d y . Por lo tanto, podemos utilizar el diferencial d y = f ′ ( a ) d x para aproximar el cambio en y si x aumenta de x = a a x = a + d x . Podemos verlo en el siguiente gráfico. El diferencial d y = f ′ ( a ) d x se utiliza para aproximar el cambio real en y si x aumenta de a a a + d x . Ahora veremos cómo utilizar los diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Observe que el cálculo con diferenciales es mucho más sencillo que el cálculo de los valores reales de las funciones y el resultado se aproxima mucho a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto. Aproximación del cambio con diferenciales Supongamos que y = x 2 + 2 x . Calcule Δ y y dy en x = 3 si d x = 0,1 . El cambio real en y si x cambia de x = 3 a x = 3,1 está dada por Δ y = f ( 3,1 ) − f ( 3 ) = [ ( 3,1 ) 2 + 2 ( 3,1 ) ] − [ 3 2 + 2 ( 3 ) ] = 0,81 . El cambio aproximado en y está dado por d y = f ′ ( 3 ) d x . Dado que f ′ ( x ) = 2 x + 2 , tenemos d y = f ′ ( 3 ) d x = ( 2 ( 3 ) + 2 ) ( 0,1 ) = 0,8 . Para y = x 2 + 2 x , calcule Δ y y d y en x = 3 si d x = 0,2 . d y = 1,6 , Δ y = 1,64 Pista d y = f ′ ( 3 ) d x , Δ y = f ( 3,2 ) − f ( 3 ) Cálculo del grado de error Cualquier tipo de medición es propensa a un cierto grado de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan a partir de mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del mismo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error. Considere una función f con una entrada que es una cantidad medida. Supongamos que el valor exacto de la cantidad medida es a , pero el valor medido es a + d x . Decimos que el error de medición es dx (o Δ x ) . Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada f ( x ) . Este tipo de error se conoce como error propagado y está dado por Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . Dado que todas las mediciones están sujetas a cierto grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado con exactitud. Sin embargo, dada una estimación de la exactitud de una medición, podemos utilizar diferenciales para aproximar el error propagado Δ y . En concreto, si f es una función diferenciable en a , el error propagado es Δ y ≈ d y = f ′ ( a ) d x . Lamentablemente, no conocemos el valor exacto a . Sin embargo, podemos utilizar el valor medido a + d x , y estimar Δ y ≈ d y ≈ f ′ ( a + d x ) d x . En el siguiente ejemplo, veremos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error en el cálculo del volumen de una caja si suponemos que la medición de la longitud del lado se hace con cierta exactitud. Volumen de un cubo Supongamos que la longitud lateral de un cubo se mide en 5 cm con una exactitud de 0,1 cm. Utilice los diferenciales para estimar el error en el volumen calculado del cubo. Calcule el volumen del cubo si la longitud del lado es (i) 4,9 cm y (ii) 5,1 cm para comparar el error estimado con el posible error real. La medición de la longitud del lado tiene una exactitud de ± 0,1 cm. Por lo tanto, −0,1 ≤ d x ≤ 0,1 . El volumen de un cubo está dado por V = x 3 , que lleva a d V = 3 x 2 d x . Utilizando la longitud del lado medida de 5 cm, podemos estimar que −3 ( 5 ) 2 ( 0,1 ) ≤ d V ≤ 3 ( 5 ) 2 ( 0,1 ) . Por lo tanto, −7,5 ≤ d V ≤ 7,5 . Si la longitud del lado es realmente de 4,9 cm, entonces el volumen del cubo es V ( 4,9 ) = ( 4,9 ) 3 = 117,649 cm 3 . Si la longitud del lado es realmente de 5,1 cm, entonces el volumen del cubo es V ( 5,1 ) = ( 5,1 ) 3 = 132,651 cm 3 . Por lo tanto, el volumen real del cubo está entre 117,649 y 132,651. Como la longitud del lado se mide en 5 cm, el volumen calculado es V ( 5 ) = 5 3 = 125 . Por lo tanto, el error en el volumen calculado es 117,649 − 125 ≤ Δ V ≤ 132,651 − 125 . Eso es, −7,351 ≤ Δ V ≤ 7,651 . Vemos que el error estimado d V está relativamente cerca del posible error real en el volumen calculado. Estime el error en el volumen calculado de un cubo si la longitud del lado se mide en 6 cm con una exactitud de 0,2 cm. La medición del volumen tiene una exactitud de 21,6 cm 3 . Pista d V = 3 x 2 d x El error de medición dx ( =Δ x ) y el error propagado Δ y son errores absolutos. Normalmente nos interesa el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto Δ q para una determinada cantidad, definimos el error relativo como Δ q q , donde q es el valor real de la cantidad. El error porcentual es el error relativo expresado en porcentaje. Por ejemplo, si medimos que la altura de una escalera es de 63 pulgadas cuando la altura real es de 62 pulgadas, el error absoluto es de 1 pulgada pero el error relativo es de 1 62 = 0,016 , o 1,6 % . En comparación, si medimos el ancho de un trozo de cartón como 8,25 in cuando el ancho real es de 8 in, nuestro error absoluto es 1 4 in, mientras que el error relativo es 0,25 8 = 1 32 , o 3,1 % . Por lo tanto, el error porcentual en la medición del cartón es mayor, aunque 0,25 in es menos que 1 in. Error relativo y porcentual Un astronauta que utiliza una cámara mide el radio de la Tierra como 4.000 mi con un error de ± 80 mi. Utilicemos los diferenciales para estimar el error relativo y porcentual de utilizar esta medida del radio para calcular el volumen de la Tierra, suponiendo que el planeta es una esfera perfecta. Si la medición del radio es exacta con una exactitud de ± 80 , tenemos −80 ≤ d r ≤ 80 . Como el volumen de una esfera está dado por V = ( 4 3 ) π r 3 , tenemos d V = 4 π r 2 d r . Usando el radio medido de 4.000 millas, podemos estimar −4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) ≤ d V ≤ 4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) . Para estimar el error relativo, considere d V V . Como no conocemos el valor exacto del volumen V , utilice el radio medido r = 4.000 mi para estimar V . Obtenemos V ≈ ( 4 3 ) π ( 4,000 ) 3 . Por lo tanto, el error relativo satisface −4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4,000 ) 3 / 3 ≤ d V V ≤ 4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4,000 ) 3 / 3 , que se simplifica a −0,06 ≤ d V V ≤ 0,06 . El error relativo es de 0,06 y el error porcentual es de 6 % . Determine el error porcentual si el radio de la Tierra se mide como 3.950 mi con un error de ± 100 mi. 7,6 % Pista Utilice el hecho de que d V = 4 π r 2 d r para calcular d V / V . Conceptos clave Una función diferenciable y = f ( x ) se puede aproximar a a mediante la función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Para una función y = f ( x ) , si x cambia de a a a + d x , entonces d y = f ′ ( x ) d x es una aproximación al cambio en y . El cambio real en y es Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . Un error de medición d x puede provocar un error en una cantidad calculada f ( x ) . El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado . El error propagado puede estimarse mediante d y ≈ f ′ ( x ) d x . Para estimar el error relativo de una determinada cantidad q , estimamos Δ q q . Ecuaciones clave Aproximación lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Un diferencial d y = f ′ ( x ) d x . Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica y = m x + b ? Determine las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Utilice un gráfico para demostrar su resultado. f ′ ( a ) = 0 Explique por qué la aproximación lineal es menos precisa a medida que aumenta la distancia entre x y a . Utilice un gráfico para demostrar su argumento. ¿Cuándo es exacta la aproximación lineal? La aproximación lineal es exacta cuando y = f ( x ) es lineal o constante. En los siguientes ejercicios, calcule la aproximación lineal L ( x ) a y = f ( x ) cerca de x = a para la función. f ( x ) = x + x 4 , a = 0 f ( x ) = 1 x , a = 2 L ( x ) = 1 2 – 1 4 ( x − 2 ) grandes. f ( x ) = tan x , a = π 4 f ( x ) = sen x , a = π 2 L ( x ) = 1 f ( x ) = x sen x , a = 2 π f ( x ) = sen 2 x , a = 0 L ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, calcule los valores dados dentro de 0,01 decidiendo la f ( x ) y a adecuados, y evaluando L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Compruebe su respuesta con una calculadora. [T] ( 2,001 ) 6 [T] sen ( 0,02 ) 0,02 [T] cos ( 0,03 ) [T] ( 15,99 ) 1 / 4 1,9996875 [T] 1 0,98 [T] sen ( 3,14 ) grandes. 0,001593 En los siguientes ejercicios, determine f ( x ) y a , y evalúe L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Calcule el error numérico en las siguientes aproximaciones lineales. [T] ( 1,01 ) 3 [T] cos ( 0,01 ) grandes. 1 ; error, ~0,00005 [T] ( sen ( 0,01 ) ) 2 [T] ( 1,01 ) −3 0,97 ; error, ~0,0006 [T] ( 1 + 1 10 ) 10 [T] 8,99 3 − 1 600 ; error, ~4,632 × 10 −7 En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial de la función. y = 3 x 4 + x 2 − 2 x + 1 y = x cos x d y = ( cos x – x sen x ) d x y = 1 + x y = x 2 + 2 x – 1 d y = ( x 2 − 2 x − 2 ( x – 1 ) 2 ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial y evalúe para x y d x . y = 3 x 2 − x + 6 , x = 2 , d x = 0,1 y = 1 x + 1 , x = 1 , d x = 0,25 d y = − 1 ( x + 1 ) 2 d x , − 1 16 y = tan x , x = 0 , d x = π 10 y = 3 x 2 + 2 x + 1 , x = 0 , d x = 0,1 d y = 9 x 2 + 12 x − 2 2 ( x + 1 ) 3 / 2 d x , −0,1 y = sen ( 2 x ) x , x = π , d x = 0,25 y = x 3 + 2 x + 1 x , x = 1 , d x = 0,05 d y = ( 3 x 2 + 2 – 1 x 2 ) d x , 0,2 En los siguientes ejercicios, calcule el cambio de volumen d V o en área superficial d A . d V si los lados de un cubo cambian de 10 a 10,1. d A si los lados de un cubo cambian de x a x + d x . 12 x d x d A si el radio de una esfera cambia de r mediante d r . d V si el radio de una esfera cambia de r mediante d r . 4 π r 2 d r d V si un cilindro circular con r = 2 cambia la altura de 3 cm a 3,05 cm . d V si un cilindro circular de altura 3 pasa de r = 2 a r = 1,9 cm . −1,2 π cm 3 En los siguientes ejercicios, utilice los diferenciales para estimar el error máximo y relativo al calcular el área superficial o el volumen. Se mide que el radio de una pelota de golf esférica es de 5 mm , con un posible error de medición de 0,1 mm . ¿Cuál es el cambio posible de volumen? Una piscina tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio de volumen si solo se llena hasta 5,5 pies? −100 ft 3 Un cono de helado tiene una altura de 4 pulgadas y un radio de 1 pulgada. Si el cono tiene un grosor de 0,1 pulgadas, ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluida la cáscara, y el volumen del helado que puede caber dentro de la cáscara? En los siguientes ejercicios, confirme las aproximaciones utilizando la aproximación lineal en x = 0 . 1 − x ≈ 1 − 1 2 x 1 1 − x 2 ≈ 1 c 2 + x 2 ≈ c diferencial el diferencial d x es una variable independiente a la que se puede asignar cualquier número real distinto de cero; el diferencial d y se define como d y = f ′ ( x ) d x forma diferencial dada una función diferenciable y = f ′ ( x ) , la ecuación d y = f ′ ( x ) d x es la forma diferencial de la derivada de y con respecto a x aproximación lineal la función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) es la aproximación lineal de f en x = a error porcentual el error relativo expresado en porcentaje error propagado el error que resulta de una cantidad calculada f ( x ) resultante de un error de medición dx error relativo dado un error absoluto Δ q para una cantidad determinada, Δ q q es el error relativo. aproximación de la línea tangente (linealización) ya que la aproximación lineal de f en x = a se define mediante la ecuación de la línea tangente, la aproximación lineal de f en x = a también se conoce como la aproximación de la línea tangente a f en x = a

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Máximos y mínimos Dada una función concreta, con frecuencia nos interesa determinar los valores más grandes y más pequeños de la función. Esta información es importante para crear gráficos precisos. Encontrar los valores máximos y mínimos de una función también tiene importancia práctica porque podemos utilizar este método para resolver problemas de optimización, como maximizar el beneficio, minimizar la cantidad de material utilizado en la fabricación de una lata de aluminio o encontrar la altura máxima que puede alcanzar un cohete. En esta sección, veremos cómo utilizar las derivadas para encontrar los valores mayores y menores de una función. Extremos absolutos Considere la función f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ . Por lo tanto, la función no tiene un mayor valor. Sin embargo, como x 2 + 1 ≥ 1 para todos los números reales x y x 2 + 1 = 1 cuando x = 0 , la función tiene un valor mínimo, 1, cuando x = 0 . Decimos que 1 es el mínimo absoluto de f ( x ) = x 2 + 1 y se produce en x = 0 . Decimos que f ( x ) = x 2 + 1 no tiene un máximo absoluto (vea la siguiente figura). La función dada tiene un mínimo absoluto de 1 en x = 0 . La función no tiene un máximo absoluto. Definición Supongamos que f es una función definida en un intervalo I y supongamos que c ∈ I . Decimos f tiene un máximo absoluto en I a las c si f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Decimos f tiene un mínimo absoluto en I a las c si f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I . Si f tiene un máximo absoluto en I a las c o un mínimo absoluto en I a las c , decimos f tiene un extremo absoluto en I a las c . Antes de continuar, señalemos dos cuestiones importantes con respecto a esta definición. En primer lugar, el término absoluto aquí no se refiere al valor absoluto. Un extremo absoluto puede ser positivo, negativo o cero. En segundo lugar, si una función f tiene un extremo absoluto en un intervalo I a las c , el extremo absoluto es f ( c ) . El número real c es un punto del dominio en el que se produce el extremo absoluto. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 1 / ( x 2 + 1 ) en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que f ( 0 ) = 1 ≥ 1 x 2 + 1 = f ( x ) para todos los números reales x , decimos f tiene un máximo absoluto sobre ( − ∞ , ∞ ) en x = 0 . El máximo absoluto es f ( 0 ) = 1 . Se produce en x = 0 , como se muestra en la (b). Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, solo un extremo, o ninguno. La muestra varias funciones y algunas de las distintas posibilidades con respecto a los extremos absolutos. Sin embargo, el siguiente teorema, llamado teorema del valor extremo , garantiza que una función continua f en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] tiene un máximo y un mínimo absolutos. Los gráficos (a), (b) y (c) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio de ( − ∞ , ∞ ) . Los gráficos (d), (e) y (f) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio que es un intervalo acotado. Teorema del valor extremo Si los valores de f es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ a , b ] , entonces hay un punto en [ a , b ] en los que f tiene un máximo absoluto sobre [ a , b ] y hay un punto en [ a , b ] en los que f tiene un mínimo absoluto en [ a , b ] . La demostración del teorema del valor extremo está fuera del alcance de este texto. Normalmente, se demuestra en un curso de análisis real. Hay un par de puntos clave a tener en cuenta sobre el enunciado de este teorema. Para que se aplique el teorema del valor extremo, la función debe ser continua en un intervalo cerrado y acotado. Si el intervalo I es abierto o la función tiene incluso un punto de discontinuidad, la función no puede tener un máximo absoluto o un mínimo absoluto en I . Por ejemplo, considere las funciones mostradas en la (d), (e) y (f). Estas tres funciones están definidas en intervalos acotados. Sin embargo, la función del gráfico (e) es la única que tiene tanto un máximo como un mínimo absoluto en su dominio. El teorema del valor extremo no puede aplicarse a las funciones de los gráficos (d) y (f) porque ninguna de estas funciones es continua en un intervalo cerrado y acotado. Aunque la función del gráfico (d) está definida en el intervalo cerrado [ 0 , 4 ] , la función es discontinua en x = 2 . La función tiene un máximo absoluto en [ 0 , 4 ] pero no tiene un mínimo absoluto. La función en el gráfico (f) es continua en el intervalo semiabierto [ 0 , 2 ) , pero no se define en x = 2 , y, por tanto, no es continua en un intervalo cerrado y acotado. La función tiene un mínimo absoluto en [ 0 , 2 ) , pero no tiene un máximo absoluto en [ 0 , 2 ) . Estos dos gráficos ilustran por qué una función en un intervalo acotado puede no tener un máximo o un mínimo absoluto. Antes de ver cómo encontrar los extremos absolutos, vamos a examinar el concepto relacionado de extremos locales. Esta idea es útil para determinar dónde se producen los extremos absolutos. Extremos locales y puntos críticos Considere la función f se muestra en la . El gráfico puede describirse como dos montañas con un valle en el centro. El valor máximo absoluto de la función se produce en el pico más alto, en x = 2 . Sin embargo, el que x = 0 es también un punto de interés. Aunque f ( 0 ) no es el mayor valor de f , el valor f ( 0 ) es mayor que f ( x ) para todo x cerca de 0. Decimos que f tiene un máximo local en x = 0 . Del mismo modo, la función f no tiene un mínimo absoluto, pero sí un mínimo local en x = 1 porque f ( 1 ) es menor que f ( x ) para x cerca de 1. Esta función f tiene dos máximos y un mínimo locales. El máximo local en x = 2 es también el máximo absoluto. Definición Una función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto I que contiene c de manera que I está contenida en el dominio de f como f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Una función f tiene un mínimo local en c si existe un intervalo abierto I que contiene c de manera que I está contenida en el dominio de f como f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I . Una función f tiene un extremo local en c si f tiene un máximo local en c o f tiene un mínimo local en c . Observe que si f tiene un extremo absoluto en c como f se define en un intervalo que contiene c , entonces f ( c ) también se considera un extremo local. Si un extremo absoluto de una función f se produce en un punto extremo, no lo consideramos un extremo local, sino que nos referimos a él como un extremo final. Dado el gráfico de una función f , a veces es fácil ver dónde se produce un máximo o un mínimo local. Sin embargo, no siempre es fácil de ver, ya que las características interesantes del gráfico de una función pueden no ser visibles porque se producen a una escala muy pequeña. Además, es posible que no tengamos un gráfico de la función. En estos casos, ¿cómo podemos utilizar la fórmula de una función para determinar dónde se producen estos extremos? Para responder esta pregunta, veamos de nuevo la . Los extremos locales se producen en x = 0 , x = 1 , y x = 2 . Observe que en x = 0 y x = 1 , la derivada f ′ ( x ) = 0 . A x = 2 , la derivada f ′ ( x ) no existe, ya que la función f tiene una esquina allí. De hecho, si f tiene un extremo local en un punto x = c , la derivada f ′ ( c ) debe cumplir una de las siguientes condiciones: o bien f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Este valor c se conoce como punto crítico y es importante para encontrar los valores extremos de las funciones. Definición Supongamos que c es un punto interior en el dominio de f . Decimos que c es un número crítico de f si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Llamamos al punto ( c , f ( c ) ) un punto crítico de f . Tenga en cuenta que estos dos términos se utilizan, a menudo, indistintamente en este libro de texto y en otros. Como se mencionó anteriormente, si f tiene un extremo local en un punto x = c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Este hecho se conoce como el teorema de Fermat . Teorema de Fermat Si los valores de f tiene un extremo local en c como f es diferenciable en c , entonces f ′ ( c ) = 0 . Prueba Supongamos que f tiene un extremo local en c como f es diferenciable en c . Tenemos que demostrar que f ′ ( c ) = 0 . Para ello, demostraremos que f ′ ( c ) ≥ 0 y f ′ ( c ) ≤ 0 , y por lo tanto f ′ ( c ) = 0 . Dado que f tiene un extremo local en c , f tiene un máximo o un mínimo local en c . Supongamos que f tiene un máximo local en c . El caso en el que f tiene un mínimo local en c se puede manejar de manera similar. Existe entonces un intervalo abierto I de manera que f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Dado que f es diferenciable en c , de la definición de la derivada, sabemos que f ′ ( c ) = lím x → c f ( x ) − f ( c ) x − c . Como este límite existe, los dos límites unilaterales también existen y son iguales f ′ ( c ) . Por lo tanto, f ′ ( c ) = lím x → c + f ( x ) − f ( c ) x − c , y f ′ ( c ) = lím x → c − f ( x ) − f ( c ) x − c . Dado que f ( c ) es un máximo local, vemos que f ( x ) − f ( c ) ≤ 0 por x cerca de c . Por lo tanto, para x cerca de c , pero x > c , tenemos f ( x ) − f ( c ) x − c ≤ 0 . De la concluimos que f ′ ( c ) ≤ 0 . Del mismo modo, se puede demostrar que f ′ ( c ) ≥ 0 . Por lo tanto, f ′ ( c ) = 0 . □ Del teorema de Fermat, concluimos que si f tiene un extremo local en c , entonces f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. En otras palabras, los extremos locales solo pueden ocurrir en los puntos críticos. Note que este teorema no afirma que una función f debe tener un extremo local en un punto crítico. Más bien, afirma que los puntos críticos son candidatos a extremos locales. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 . Tenemos f ′ ( x ) = 3 x 2 = 0 cuando x = 0 . Por lo tanto, x = 0 es un punto crítico. Sin embargo, f ( x ) = x 3 aumenta en ( − ∞ , ∞ ) , y por lo tanto f no tienen un extremo local en x = 0 . En la , vemos varias posibilidades de puntos críticos. En algunos de estos casos, las funciones tienen extremos locales en los puntos críticos, pero en otros casos no los tienen. Note que estos gráficos no muestran todas las posibilidades de comportamiento de una función en un punto crítico. (a-e) Una función f tiene un punto crítico en c si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Una función puede tener o no un extremo local en un punto crítico. Más adelante en este capítulo veremos métodos analíticos para determinar si realmente una función tiene un extremo local en un punto crítico. Por ahora, vamos a centrarnos en la búsqueda de puntos críticos. Utilizaremos observaciones gráficas para determinar si un punto crítico está asociado a un extremo local. Localización de puntos críticos En cada una de las siguientes funciones, halle todos los puntos críticos. Utilice una herramienta gráfica para determinar si la función tiene un extremo local en cada uno de los puntos críticos. f ( x ) = 1 3 x 3 − 5 2 x 2 + 4 x f ( x ) = ( x 2 – 1 ) 3 f ( x ) = 4 x 1 + x 2 La derivada f ′ ( x ) = x 2 − 5 x + 4 se define para todos los números reales x . Por lo tanto, solo tenemos que hallar los valores de x donde f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = x 2 − 5 x + 4 = ( x − 4 ) ( x – 1 ) , los puntos críticos son x = 1 y x = 4 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = 4 . Esta función tiene un máximo y un mínimo local. Utilizando la regla de la cadena, vemos que la derivada es f ′ ( x ) = 3 ( x 2 – 1 ) 2 ( 2 x ) = 6 x ( x 2 – 1 ) 2 . Por lo tanto, f tiene puntos críticos cuando x = 0 y cuando x 2 – 1 = 0 . Concluimos que los puntos críticos son x = 0 , ±1, 1 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un mínimo local (y absoluto) en x = 0 , pero no tiene un extremo local en x = 1 o x = −1 . Esta función tiene tres puntos críticos: x = 0 , x = 1 , y x = −1 . La función tiene un mínimo local (y absoluto) en x = 0 , pero no tiene extremos en los otros dos puntos críticos. Según la regla del cociente, vemos que la derivada es f ' ( x ) = ( 1 + x 2 ) ( 4 ) − 4 x ( 2 x ) ( 1 + x 2 ) 2 = 4 − 4 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 . La derivada está definida en todas partes. Por lo tanto, solo tenemos que encontrar valores para x donde f ′ ( x ) = 0 . Resolución de problemas f ′ ( x ) = 0 , vemos que 4 − 4 x 2 = 0 , lo que implica x = ± 1 . Por lo tanto, los puntos críticos son x = ± 1 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un máximo absoluto en x = 1 y un mínimo absoluto en x = −1 . Por lo tanto, f tiene un máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = −1 . (Tenga en cuenta que si f tiene un extremo absoluto en un intervalo I en un punto c que no es un punto extremo de I , entonces f tiene un extremo local en c . ) Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos. Halle todos los puntos críticos para f ( x ) = x 3 − 1 2 x 2 − 2 x + 1 . x = − 2 3 , x = 1 Pista Calcule f ′ ( x ) . Localización de extremos absolutos El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Como se muestra en la , uno o ambos extremos absolutos podrían ocurrir en un punto extremo. Sin embargo, si un extremo absoluto no ocurre en un punto extremo, debe ocurrir en un punto interior, en cuyo caso el extremo absoluto es un extremo local. Por lo tanto, mediante el el punto c en el que se produce el extremo local debe ser un punto crítico. Resumimos este resultado en el siguiente teorema. Localización de los extremos absolutos Supongamos que f es una función continua en un intervalo cerrado y acotado I . El máximo absoluto de f en I y el mínimo absoluto de f en I debe producirse en los puntos extremos de I o en puntos críticos de f en I . Teniendo esto en cuenta, vamos a examinar un procedimiento para localizar los extremos absolutos. Estrategia para la resolución de problemas: Localización de extremos absolutos en un intervalo cerrado Consideremos una función continua f definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Evalúe f en los puntos finales x = a y x = b . Halle todos los puntos críticos de f que se encuentran en el intervalo ( a , b ) y evalúe f en esos puntos críticos. Compare todos los valores encontrados en (1) y (2). A partir de la , estos deben producirse en los puntos extremos o críticos. Por lo tanto, el mayor de estos valores es el máximo absoluto de f . El menor de estos valores es el mínimo absoluto de f . Ahora veamos cómo utilizar esta estrategia para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de las funciones continuas. Localización de extremos absolutos En cada una de las siguientes funciones, calcule el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el intervalo especificado e indique dónde se producen esos valores. f ( x ) = − x 2 + 3 x − 2 en [ 1 , 3 ] . f ( x ) = x 2 − 3 x 2 / 3 en [ 0 , 2 ] . Paso 1. Evalúe f en los puntos finales x = 1 y x = 3 . f ( 1 ) = 0 y f ( 3 ) = –2 Paso 2. Dado que f ′ ( x ) = –2 x + 3 , f ′ se define para todos los números reales x . Por lo tanto, no hay puntos críticos donde la derivada sea indefinida. Queda por comprobar dónde f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = –2 x + 3 = 0 a las x = 3 2 y 3 2 esté en el intervalo [ 1 , 3 ] , f ( 3 2 ) es un candidato a extremo absoluto de f en [ 1 , 3 ] . Evaluamos f ( 3 2 ) y hallamos f ( 3 2 ) = 1 4 . Paso 3. Establecemos la tabla siguiente para comparar los valores encontrados en los pasos 1 y 2 x f ( x ) Conclusión 1 0 3 2 1 4 Máximo absoluto 3 −2 Mínimo absoluto Gracias a la tabla, hallamos que el máximo absoluto de f en el intervalo [1, 3] es 1 4 , y se produce en x = 3 2 . El mínimo absoluto de f en el intervalo [1, 3] es −2 , y se produce en x = 3 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos. Paso 1. Evalúe f en los puntos finales x = 0 y x = 2 . f ( 0 ) = 0 y f ( 2 ) = 4 − 3 4 3 ≈ − 0,762 Paso 2. La derivada de f está dada por f ′ ( x ) = 2 x − 2 x 1 / 3 = 2 x 4 / 3 − 2 x 1 / 3 para x ≠ 0 . La derivada es cero cuando 2 x 4 / 3 − 2 = 0 , lo que implica x = ± 1 . La derivada es indefinida en x = 0 . Por lo tanto, los puntos críticos de f son x = 0 , 1 , −1 . El punto x = 0 es un punto extremo, por lo que ya evaluamos f ( 0 ) en el paso 1. El punto x = −1 no está en el intervalo de interés, por lo que solo tenemos que evaluar f ( 1 ) . Encontramos que f ( 1 ) = –2 . Paso 3. Comparamos los valores encontrados en los pasos 1 y 2, en la siguiente tabla x f ( x ) Conclusión 0 0 Máximo absoluto 1 −2 Mínimo absoluto 2 −0,762 Concluimos que el máximo absoluto de f en el intervalo [0, 2] es cero, y se produce en x = 0 . El mínimo absoluto es -2, y se produce en x = 1 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene un máximo absoluto en un punto extremo del intervalo. Halle el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 en el intervalo [ 1 , 4 ] . El máximo absoluto es 3 y se produce en x = 4 . El mínimo absoluto es −1 y se produce en x = 2 . Pista Busque los puntos críticos. Evalúe f en todos los puntos críticos y en los puntos extremos. En este punto, sabemos cómo localizar los extremos absolutos de las funciones continuas en intervalos cerrados. También hemos definido los extremos locales y hemos determinado que si una función f tiene un extremo local en un punto c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Sin embargo, el que c sea un punto crítico no es una condición suficiente para f para tener un extremo local en c . Más adelante en este capítulo, mostraremos cómo determinar si una función tiene realmente un extremo local en un punto crítico. Sin embargo, primero debemos presentar el teorema del valor medio, que nos ayudará a analizar el comportamiento del gráfico de una función. Conceptos clave Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, tener solamente un extremo absoluto o no tener ni máximo ni mínimo absoluto. Si una función tiene un extremo local, el punto en el que se produce debe ser un punto crítico. Sin embargo, no es necesario que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto extremo. En precálculo, aprendió una fórmula para hallar la posición del máximo o del mínimo de una ecuación cuadrática y = a x 2 + b x + c , que era h = − b ( 2 a ) . Demuestre esta fórmula utilizando el cálculo. Si tiene que hallar un mínimo absoluto en un intervalo [ a , b ] , ¿por qué necesita comprobar los puntos extremos? Dibuje un gráfico que sustente su hipótesis. Las respuestas pueden variar Si está examinando una función en un intervalo ( a , b ) , por a y b finito, ¿es posible que no exista un máximo absoluto o un mínimo absoluto? Cuando compruebe los puntos críticos, explique por qué debe determinar también los puntos en los que f ' ( x ) es indefinida. Dibuje un gráfico que apoye su explicación. Las respuestas variarán ¿Se puede tener un máximo absoluto finito para y = a x 2 + b x + c en ( − ∞ , ∞ ) ? Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos. ¿Se puede tener un máximo absoluto finito para y = a x 3 + b x 2 + c x + d en ( − ∞ , ∞ ) asumiendo que a es distinto de cero? Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos. No; las respuestas variarán Supongamos que m es el número de mínimos locales y que M es el número de máximos locales. ¿Se puede crear una función en la que M > m + 2 ? Dibuje un gráfico para apoyar su explicación. ¿Es posible tener más de un máximo absoluto? Utilice un argumento gráfico para demostrar su hipótesis. Dado que el máximo absoluto es el valor de la función (salida) y no el valor de x , la respuesta es no; las respuestas variarán. ¿Es posible que una función no tenga un mínimo o un máximo absoluto? Si es así, construya dicha función. Si no es así, explique por qué no es posible. [T] Represente gráficamente la función y = e a x . ¿Para cuáles valores de a , en cualquier dominio infinito, obtendrá un mínimo absoluto y un máximo absoluto? Cuando a = 0 En los siguientes ejercicios, determine dónde se producen los máximos y mínimos locales y absolutos en el gráfico dado. Supongamos que el gráfico representa la totalidad de cada función. Mínimo absoluto en 3; máximo absoluto en -2,2; mínimos locales en -2, 1; máximos locales en -1, 2 Mínimos absolutos en -2, 2; máximos absolutos en -2,5, 2,5; mínimo local en 0; máximos locales en -1, 1 En los siguientes problemas, dibuje los gráficos de f ( x ) , que es continua, en el intervalo [ −4 , 4 ] con las siguientes propiedades: Máximo absoluto en x = 2 y mínimos absolutos en x = ± 3 Mínimo absoluto en x = 1 y máximo absoluto en x = 2 Las respuestas pueden variar. Máximo absoluto en x = 4 , mínimo absoluto en x = −1 , máximo local en x = –2 , y un punto crítico que no es un máximo o un mínimo en x = 2 Máximos absolutos en x = 2 y x = −3 , mínimo local en x = 1 , y mínimo absoluto en x = 4 Las respuestas pueden variar. En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos en los dominios de las siguientes funciones. y = 4 x 3 − 3 x y = 4 x – x 2 x = 1 y = 1 x – 1 y = ln ( x − 2 ) Ninguno y = tan ( x ) grandes. y = 4 − x 2 x = 0 ; x = ± 2 y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2 y = x 2 – 1 x 2 + 2 x − 3 Ninguno y = sen 2 ( x ) grandes. y = x + 1 x x = −1 , 1 En los siguientes ejercicios, halle los máximos locales o absolutos de las funciones en el dominio especificado. f ( x ) = x 2 + 3 en [ −1 , 4 ] y = x 2 + 2 x en [ 1 , 4 ] Máximo absoluto: x = 4 , y = 33 2 ; mínimo absoluto: x = 1 , y = 3 y = ( x – x 2 ) 2 en [ −1 , 1 ] y = 1 ( x – x 2 ) en ( 0 , 1 ) Mínimo absoluto: x = 1 2 , y = 4 y = 9 − x en [ 1 , 9 ] y = x + sen ( x ) en [ 0 , 2 π ] Máximo absoluto: x = 2 π , y = 2 π ; mínimo absoluto: x = 0 , y = 0 y = x 1 + x en [ 0 , 100 ] y = | x + 1 | + | x – 1 | en [ −3 , 2 ] Máximo absoluto: x = −3 ; mínimo absoluto: −1 ≤ x ≤ 1 , y = 2 y = x – x 3 en [ 0 , 4 ] y = sen x + cos x en [ 0 , 2 π ] Máximo absoluto: x = π 4 , y = 2 ; mínimo absoluto: x = 5 π 4 , y = − 2 y = 4 sen θ − 3 cos θ en [ 0 , 2 π ] En los siguientes ejercicios, halle los mínimos y máximos locales y absolutos de las funciones en ( − ∞ , ∞ ) . y = x 2 + 4 x + 5 Mínimo absoluto: x = –2 , y = 1 y = x 3 − 12 x y = 3 x 4 + 8 x 3 − 18 x 2 Mínimo absoluto: x = −3 , y = −135 ; máximo local: x = 0 , y = 0 ; mínimo local: x = 1 , y = −7 y = x 3 ( 1 − x ) 6 y = x 2 + x + 6 x – 1 Máximo local: x = 1 − 2 2 , y = 3 − 4 2 ; mínimo local: x = 1 + 2 2 , y = 3 + 4 2 y = x 2 – 1 x – 1 En las siguientes funciones, utilice una calculadora para graficar la función y estimar los máximos y mínimos absolutos y locales. A continuación, resuélvalos explícitamente. [T] y = 3 x 1 − x 2 Máximo absoluto: x = 2 2 , y = 3 2 ; mínimo absoluto: x = − 2 2 , y = − 3 2 [T] y = x + sen ( x ) [T] y = 12 x 5 + 45 x 4 + 20 x 3 − 90 x 2 − 120 x + 3 Máximo local: x = –2 , y = 59 ; mínimo local: x = 1 , y = −130 [T] y = x 3 + 6 x 2 − x − 30 x − 2 [T] y = 4 − x 2 4 + x 2 Máximo absoluto: x = 0 , y = 1 ; mínimo absoluto: x = –2 , 2 , y = 0 Una empresa que produce teléfonos celulares tiene una función de costos de C = x 2 − 1200 x + 36.400 , donde C es el costo en dólares y x es el número de teléfonos celulares producidos (en miles). ¿Cuántas unidades de teléfono móvil (en miles) minimiza esta función de costo? Se lanza una pelota al aire y su posición viene dada por h ( t ) = −4,9 t 2 + 60 t + 5 m . Calcule la altura a la que la pelota deja de ascender. ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento ocurre eso? h = 9245 49 m, t = 300 49 s En los siguientes ejercicios, considere la producción de oro durante la fiebre del oro de California (1848-1888). La producción de oro puede ser modelada por G ( t ) = ( 25 t ) ( t 2 + 16 ) , donde t es el número de años transcurridos desde el inicio de la fiebre del oro ( 0 ≤ t ≤ 40 ) y G son las onzas de oro producidas (en millones). En la siguiente figura se muestra un resumen de los datos. Calcule cuándo se produjo el máximo (local y absoluto) de producción de oro, y la cantidad de oro producida durante ese máximo. Halle el momento en que se produjo la producción mínima (local y absoluta) de oro. ¿Cuál fue la cantidad de oro producida durante este mínimo? El mínimo absoluto fue en 1848, cuando no se produjo oro. Halle los puntos críticos, máximos y mínimos de las siguientes funciones a trozos. y = { x 2 − 4 x 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 4 1 < x ≤ 2 y = { x 2 + 1 x ≤ 1 x 2 − 4 x + 5 x > 1 Mínimos absolutos: x = 0 , x = 2 , y = 1 ; máximo local en x = 1 , y = 2 En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos de las siguientes funciones genéricas. ¿Son máximos, mínimos o ninguno? Indique las condiciones necesarias. y = a x 2 + b x + c , dado que a > 0 y = ( x – 1 ) a , dado que a > 1 y a es un número entero. No hay máximos/mínimos si a es impar, mínimo en x = 1 si a es par extremo absoluto si f tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en c , decimos f tiene un extremo absoluto en c máximo absoluto si f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de f , decimos f tiene un máximo absoluto en c mínimo absoluto si f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de f , decimos f tiene un mínimo absoluto en c punto crítico el punto ( c , f ( c ) ) un punto crítico de f punto crítico si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinido, decimos que c es un número crítico de f teorema del valor extremo si f es una función continua en un intervalo finito y cerrado, entonces f tiene un máximo y un mínimo absolutos teorema de Fermat si f tiene un extremo local en c , entonces c es un punto crítico de f extremo local si f tiene un máximo o un mínimo local en c , decimos f tiene un extremo local en c máximo local si existe un intervalo I de manera que f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I , decimos f tiene un máximo local en c mínimo local si existe un intervalo I de manera que f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I , decimos f tiene un mínimo local en c

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