Medidas de la dispersión de los datos Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media. La desviación típica proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media. La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación. Supongamos que estudiamos el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B . El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A , la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B , la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos. Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B . En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media. Supongamos que Rosa y Binh compran en el supermercado A . Rosa espera en la caja siete minutos y Binh espera un minuto. En el supermercado A , el tiempo medio de espera es de cinco minutos y la desviación típica es de dos minutos. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media. Rosa espera siete minutos: Siete son dos minutos más que el promedio de cinco; dos minutos equivalen a una desviación típica. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, es dos minutos más largo que el promedio de cinco minutos. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, está una desviación típica por encima del promedio de cinco minutos. Binh espera un minuto. Uno es cuatro minutos menos que el promedio de cinco; cuatro minutos equivalen a dos desviaciones típicas. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, es cuatro minutos menos que el promedio de cinco minutos. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, está dos desviaciones típicas por debajo del promedio de cinco minutos. Un valor de los datos que está a dos desviaciones típicas del promedio está justo en el límite de lo que muchos estadísticos considerarían alejado del promedio. Plantearse que los datos están lejos de la media si están a más de dos desviaciones típicas es más una "regla general" aproximada que una regla rígida. En general, la forma de la distribución de los datos afecta a la cantidad de datos que se encuentran más allá de dos desviaciones típicas. (En los capítulos siguientes aprenderá más sobre este punto). La recta numérica puede ayudarlo a entender la desviación típica. Si ponemos el cinco y el siete en una recta numérica, el siete está a la derecha del cinco. Decimos, entonces, que siete está una desviación típica a la derecha de cinco porque 5 + (1)(2) = 7. Si el número uno también formara parte del conjunto de datos, entonces estaría dos desviaciones típicas a la izquierda de cinco porque 5 + (-2)(2) = 1. En general, un valor = media + (n.º de STDEV) (número de STandard DEViation, o desviación típica) donde n.º de STDEV = el número de desviaciones típicas El n.º de STDEV no tiene que ser un número entero Uno es dos desviaciones típicas menos que la media de cinco porque: 1 = 5 + (-2)(2). La ecuación valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) puede expresarse para una muestra y para una población. muestra: x = x ¯ + ( n.º o e S T D E V ) ( s ) Población: x = μ + ( n.º o e S T D E V ) ( σ ) La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. El símbolo x ¯ es la media muestral y el símbolo griego μ es la media de la población. Cálculo de la desviación típica Si x es un número, la diferencia " x – media" se llama su desviación . En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ . Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – x ¯ . El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ . Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – x ¯ para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ 2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s 2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones. Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N , el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre n – 1 , uno menos que el número de elementos de la muestra. Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x ¯ ) 2 n – 1 o s = Σ e ( x – x ¯ ) 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra MENOS 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ e ( x – μ ) 2 N Para la desviación típica de la población el denominador es N , el número de elementos de la población. En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres. Variabilidad muestral de una estadística La estadística de una distribución muestral se trató en Estadística descriptiva: medidas del centro de los datos . El grado de variación de la estadística de una muestra a otra se conoce como variabilidad muestral de una estadística . Normalmente se mide la variabilidad muestral de una estadística por su error estándar. El error estándar de la media es un ejemplo de error estándar. Es una desviación típica especial y se conoce como la desviación típica de la distribución muestral de la media. El error estándar de la media se tratará en el capítulo El teorema del límite central en otro momento. La notación para el error estándar de la media es σ n donde σ es la desviación típica de la población y n es el tamaño de la muestra. NOTA En la práctica, UTILICE UNA CALCULADORA O UN SOFTWARE DE COMPUTADORA PARA CALCULAR LA DESVIACIÓN TÍPICA. Si está utilizando una calculadora TI-83, 83+ u 84+, debe seleccionar la desviación típica σ x o s x correspondiente de las estadísticas de resumen. Nos centraremos en la utilización e interpretación de la información que nos proporciona la desviación típica. Sin embargo, debería estudiar el siguiente ejemplo paso a paso para entender cómo la desviación típica mide la variación de la media. (Las instrucciones de la calculadora aparecen al final de este ejemplo). En una clase de quinto grado la maestra estaba interesada en la edad promedio y la desviación típica de la muestra de las edades de sus estudiantes. Los siguientes datos son las edades de una MUESTRA de n = 20 estudiantes de quinto grado. Las edades están redondeadas al medio año más cercano: 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; x ¯ = 9 + 9 ,5(2) + 10(4) + 10 ,5(4) + 11(6) + 11 ,5(3) 20 = 10,525 La edad promedio es de 10,53 años, redondeada a dos cifras. La varianza se puede calcular mediante una tabla. A continuación se calcula la desviación típica tomando la raíz cuadrada de la varianza. Explicaremos las partes de la tabla después de calcular s . Datos Frec. Desviaciones Desviaciones 2 (Frecuencia)( Desviaciones 2 ) x f ( x – x ¯ ) ( x – x ¯ ) 2 ( f )( x – x ¯ ) 2 9 1 9 – 10,525 = –1,525 (–1,525) 2 = 2,325625 1 × 2,325625 = 2,325625 9,5 2 9,5 – 10,525 = –1,025 (–1,025) 2 = 1,050625 2 × 1,050625 = 2,101250 10 4 10 – 10,525 = –0,525 (–0,525) 2 = 0,275625 4 × 0,275625 = 1,1025 10,5 4 10,5 – 10,525 = –0,025 (–0,025) 2 = 0,000625 4 × 0,000625 = 0,0025 11 6 11 – 10,525 = 0,475 (0,475) 2 = 0,225625 6 × 0,225625 = 1,35375 11,5 3 11,5 – 10,525 = 0,975 (0,975) 2 = 0,950625 3 × 0,950625 = 2,851875 El total es 9,7375 La varianza de la muestra, s 2 , es igual a la suma de la última columna (9,7375) dividida entre el número total de valores de datos menos uno (20 – 1): s 2 = 9,7375 20 – 1 = 0,5125 La desviación típica de la muestra s es igual a la raíz cuadrada de la varianza de la muestra: s = 0,5125 = 0,715891 , que se redondea a dos decimales, s = 0,72. Normalmente, el cálculo de la desviación típica se realiza en la calculadora o en la computadora . Los resultados intermedios no están redondeados para mayor exactitud. En los siguientes problemas, recuerde que valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) . Compruebe la media y la desviación típica con una calculadora o una computadora. Para una muestra: X = x ¯ + (n.º de STDEV)( s ) Para una población: x = μ + (n.º de STDEV)( σ ) Para este ejemplo, utilice x = x ¯ + (n.º de STDEV)( s ) porque los datos son de una muestra. Compruebe la media y la desviación típica en su calculadora o computadora. Halle el valor que está una desviación típica por encima de la media. Calcule ( x ¯ + 1s). Halle el valor que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Calcule ( x ¯ – 2s). Halle los valores que están a 1,5 desviaciones típicas de (por debajo y por encima) la media. Borre las listas L1 y L2. Pulse STAT 4:ClrList. Introduzca el 2nd 1 para L1, la coma (,), y el 2nd 2 para L2. Introduzca los datos en el editor de listas. Pulse STAT 1:EDIT. Si es necesario, borre las listas subiendo con la flecha hasta el nombre. Pulse CLEAR y mueva la flecha hacia abajo. Ponga los valores de los datos (9, 9,5, 10, 10,5, 11, 11,5) en la lista L1 y las frecuencias (1, 2, 4, 4, 6, 3) en la lista L2. Utilice las teclas de flecha para moverse. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats e introduzca L1 (2nd 1), L2 (2nd 2). No olvide la coma. Pulse ENTER. x ¯ = 10,525 Utilice Sx porque se trata de datos de muestra (no de una población): Sx=0,715891 ( x ¯ + 1s) = 10,53 + (1)(0,72) = 11,25 ( x ¯ – 2 s ) = 10,53 - (2)(0,72) = 9,09 ( x ¯ – 1,5 s ) = 10,53 - (1,5)(0,72) = 9,45 ( x ¯ + 1,5 s ) = 10,53 + (1,5)(0,72) = 11,61 Ejercicio En un equipo de béisbol, las edades de cada uno de los jugadores son las siguientes: 21; 21; 22; 23; 24; 24; 25; 25; 28; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 35; 36; 36; 36; 36; 38; 38; 38; 40 Utilice su calculadora o computadora para hallar la media y la desviación típica. A continuación, halle el valor que está dos desviaciones típicas por encima de la media. Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado. La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos. Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra , se divide entre el tamaño de la muestra menos uno ( n – 1). ¿Por qué no dividir entre n ? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre ( n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población. NOTA Debe concentrarse en lo que la desviación típica nos dice sobre los datos. La desviación típica es un número que mide la dispersión de los datos con respecto a la media. Efectúe la aritmética con una calculadora o una computadora. La desviación típica, s o σ , es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes. La desviación típica, cuando se presenta por primera vez, puede parecer poco clara. Al graficar los datos, puede tener una mejor "percepción" de las desviaciones y la desviación típica. Encontrará que en las distribuciones simétricas la desviación típica puede ser muy útil, pero en las distribuciones sesgadas, es posible que la desviación típica no sea de mucha ayuda. La razón es que los dos lados de una distribución sesgada tienen diferentes márgenes. En una distribución sesgada, es mejor fijarse en el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, el valor más pequeño y el valor más grande. Como los números pueden ser confusos, siempre hay que hacer un gráfico de los datos . Visualice sus datos en un histograma o un diagrama de caja y bigotes. Utilice los siguientes datos (calificaciones del primer examen) de la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean: 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Cree un gráfico que contenga los datos, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas con tres decimales. Calcule lo siguiente con un decimal utilizando una calculadora TI-83+ o TI-84: La media muestral La desviación típica de la muestra La mediana El primer cuartil El tercer cuartil IQR Construya un diagrama de caja y bigotes y un histograma en el mismo conjunto de ejes. Comente sobre el diagrama de caja y bigotes, el histograma y el gráfico. Vea la La media muestral = 73,5 La desviación típica de la muestra = 17,9 La mediana = 73 El primer cuartil = 61 El tercer cuartil = 90 IQR = 90 – 61 = 29 El eje x va de 32,5 a 100,5; el eje y va de –2,4 a 15 en el histograma. El número de intervalos es cinco, por lo que la anchura de un intervalo es (100,5 – 32,5) dividida entre cinco, es igual a 13,6. Los puntos finales de los intervalos son los siguientes: el punto de partida es 32,5, 32,5 + 13,6 = 46,1, 46,1 + 13,6 = 59,7, 59,7 + 13,6 = 73,3, 73,3 + 13,6 = 86,9, 86,9 + 13,6 = 100,5 = el valor final; ningún valor de los datos cae en un límite de intervalo. Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 33 1 0,032 0,032 42 1 0,032 0,064 49 2 0,065 0,129 53 1 0,032 0,161 55 2 0,065 0,226 61 1 0,032 0,258 63 1 0,032 0,29 67 1 0,032 0,322 68 2 0,065 0,387 69 2 0,065 0,452 72 1 0,032 0,484 73 1 0,032 0,516 74 1 0,032 0,548 78 1 0,032 0,580 80 1 0,032 0,612 83 1 0,032 0,644 88 3 0,097 0,741 90 1 0,032 0,773 92 1 0,032 0,805 94 4 0,129 0,934 96 1 0,032 0,966 100 1 0,032 0,998 (¿Por qué este valor no es 1?) El largo bigote izquierdo del diagrama de caja y bigotes se refleja en la parte izquierda del histograma. La dispersión de las calificaciones del examen en el 50 % inferior es mayor (73 - 33 = 40) que la dispersión en el 50 % superior (100 - 73 = 27). El histograma, el diagrama de caja y bigotes y el gráfico lo reflejan. Hay un número considerable de notas A y B (80, 90 y 100). El histograma lo muestra claramente. El diagrama de caja y bigotes nos muestra que el 50 % de las calificaciones del examen ( IQR = 29) son D, C y B. El diagrama de caja también nos muestra que el 25 % inferior de las puntuaciones del examen son D y F. Ejercicio Los siguientes datos muestran los diferentes tipos de alimentos para mascotas que tienen las tiendas de la zona. 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 12; Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra con un decimal utilizando una calculadora TI-83+ o TI-84. Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula Tabla de media de la frecuencia = ∑ e m ∑ e donde e = frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo. Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media. Calcule la desviación típica de los datos en la . Clase Frecuencia, f Punto medio, m m 2 x ¯ 2 fm 2 Desviación típica 0–2 1 1 1 7,58 1 3,5 3–5 6 4 16 7,58 96 3,5 6–8 10 7 49 7,58 490 3,5 9–11 7 10 100 7,58 700 3,5 12–14 0 13 169 7,58 0 3,5 15–17 2 16 256 7,58 512 3,5 Para este conjunto de datos, tenemos la media, x ¯ = 7,58 y la desviación típica, s x = 3,5. Esto significa que se espera que un valor de datos seleccionado al azar se aleje 3,5 unidades de la media. Si observamos la primera clase, vemos que el punto medio de la clase es igual a uno. Esto supone casi dos desviaciones típicas completas de la media, ya que 7,58 - 3,5 - 3,5 = 0,58. La fórmula para calcular la desviación típica no es complicada, s x = e ( m – x ¯ ) 2 n – 1 donde s x = desviación típica de la muestra, x ¯ = media muestral, los cálculos son tediosos. Por lo general, lo mejor es utilizar la tecnología para realizar los cálculos. Ejercicio Calcule la desviación típica de los datos del ejemplo anterior Clase Frecuencia, f 0–2 1 3–5 6 6–8 10 9–11 7 12–14 0 15–17 2 Primero, pulse la tecla STAT y seleccione 1:Edit Introduzca los valores del punto medio en L1 y las frecuencias en L2 Seleccione STAT , CALC , y 1: 1-Var Stats Seleccione 2 nd luego 1 luego, 2 nd y por último, 2 Enter Verá que se muestra tanto la desviación típica de la población, σ x , como la desviación típica de la muestra, s x . Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa. Calcule cuántas desviaciones típicas se alejan de su media para cada valor de los datos. Utilice la fórmula: valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica); resuelva para n.º de STDEVs. n.º o e S T D E V s = valor - media desviación típica Compare los resultados de este cálculo. N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z ”; podemos utilizar el símbolo z . En símbolos, las fórmulas se convierten en: Muestra x = x ¯ + zs z = x – x ¯ s Población x = μ + zσ z = x – μ σ Dos estudiantes, John y Ali, de diferentes escuelas secundarias, querían averiguar quién tenía el mejor GPA en comparación con su escuela. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con su escuela? Estudiante GPA Media de las calificaciones escolares (Grade Point Average, GPA) Desviación típica de la escuela John 2,85 3,0 0,7 Ali 77 80 10 Para cada estudiante, determine cuántas desviaciones típicas (n.º de STDEV) se aleja su GPA del promedio, para su escuela. Preste mucha atención a los signos al comparar e interpretar la respuesta. z = N.º de STDEV = valor – media desviación típica = x – μ σ Para John, z = n.º o e S T D E V s = 2,85 – 3,0 0,7 = – 0,21 Para Ali, z = n.º o e S T D E V s = 77 – 80 10 = – 0,3 John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela porque su GPA está 0,21 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela mientras que el GPA de Ali está 0,3 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela. La puntuación z de John, de –0,21, es mayor que la puntuación z de Ali, de –0,3. Para el GPA, los valores más altos son mejores, por lo que concluimos que John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela. Ejercicio Dos nadadoras, Angie y Beth, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el tiempo más rápido en los 50 metros libres en comparación con su equipo. ¿Qué nadadora tuvo el mejor tiempo en comparación con su equipo? Nadadora Tiempo (segundos) Tiempo medio del equipo Desviación típica del equipo Angie 26,2 27,2 0,8 Beth 27,3 30,1 1,4 Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos. Para CUALQUIER conjunto de datos, no importa cuál sea la distribución de los datos: Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla de Chebyshev. Para los datos que tienen una distribución en FORMA DE CAMPANA y SIMÉTRICA: Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla empírica. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores. Referencias Datos de Microsoft Bookshelf. King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos. s = ∑  ( x – x ¯ ) 2 n – 1 o s = ∑  e ( x – x ¯ ) 2 n – 1 es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ , y la fórmula σ = ∑  ( x – μ ) 2 N o σ = ∑  e ( x – μ ) 2 N . Revisión de la fórmula s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 donde s x = desviación típica de la muestra x ¯ = media muestral Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios : Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150 Utilice una calculadora gráfica o una computadora para hallar la desviación típica y redondee a la décima más cercana. s = 34,5 Calcule el valor que está una desviación típica por debajo de la media. Dos jugadores de béisbol, Fredo y Karl, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo. ¿Cuál jugador de béisbol tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo? Jugador de béisbol Promedio de bateo Promedio de bateo del equipo Desviación típica del equipo Fredo 0,158 0,166 0,012 Karl 0,177 0,189 0,015 Para Fredo: z = 0,158 – 0,166 0,012 = -0,67 Para Karl: z = 0,177 – 0,189 0,015 = -0,8 La puntuación z de Fredo, de –0,67, es mayor que la puntuación z de Karl, de –0,8. Para el promedio de bateo, los valores más altos son mejores, por lo que Fredo tiene un mejor promedio de bateo en comparación con su equipo. Utilice la para hallar el valor que tiene tres desviaciones típicas: por encima de la media por debajo de la media Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 . Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 193157,45 30 – 79,5 2 = 10,88 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 380945,3 101 – 60,94 2 = 7,62 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 440051,5 86 – 70,66 2 = 11,14 Tarea para la casa Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005. μ = 1.000 FTES mediana = 1.014 FTES σ = 474 FTES primer cuartil = 528,5 FTES tercer cuartil = 1.447,5 FTES n = 29 años Se toma una muestra de 11 años. ¿Cuántos se espera que tengan un FTES de 1.014 o más? Explique cómo ha determinado su respuesta. El valor de la mediana es el valor medio en la lista ordenada de valores de datos. El valor mediano de un conjunto de 11 será el 6.º número en orden. Seis años tendrán totales iguales o inferiores a la mediana. El 75 % de todos los años tiene un FTES: en o por debajo de: _____ en o por encima de: _____ La desviación típica de la población = _____ 474 FTES ¿Qué porcentaje de FTES fue de 528,5 a 1.447,5? ¿Cómo lo sabe? ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? ¿Qué representa el IQR ? 919 ¿A cuántas desviaciones típicas de la media está la mediana? Información adicional: La población FTES para 2005-2006 hasta 2010-2011 se dio en un informe actualizado. Los datos se presentan aquí. Año 2005-2006 2006–07 2007–08 2008–09 2009–10 2010–11 Total de FTES 1.585 1.690 1.735 1.935 2.021 1.890 Calcule la media, la mediana, la desviación típica, el primer cuartil, el tercer cuartil y el IQR . Redondee a un decimal. media = 1.809,3 mediana = 1.812,5 desviación típica = 151,2 primer cuartil = 1.690 tercer cuartil = 1.935 IQR = 245 ¿Qué información adicional se necesita para construir un diagrama de cajas para los FTES de 2005-2006 a 2010-2011 y para los FTES de 1976-1977 a 2004-2005? Compare el IQR de los FTES de 1976-1977 a 2004-2005 con el IQR de los FTES de 2005-2006 a 2010-2011. ¿Por qué cree que los IQR son tan diferentes? Pista: Piense en el número de años que abarca cada periodo y en lo que ocurrió con la educación superior durante esos periodos. Tres estudiantes solicitaban el ingreso en la misma escuela de posgrado. Venían de escuelas con sistemas de calificación diferentes. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con otros estudiantes de su escuela? Explique cómo ha determinado su respuesta. Estudiante GPA GPA de la escuela Desviación típica de la escuela Thuy 2,7 3,2 0,8 Vichet 87 75 20 Kamala 8,6 8 0,4 Una escuela de música presupuestó la compra de tres instrumentos musicales. Planean comprar un piano que cuesta 3.000 dólares, una guitarra que cuesta 550 dólares y una batería que cuesta 600 dólares. El costo medio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. El costo medio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. El costo medio de la batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? ¿Qué costo es el más elevado en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? Justifique su respuesta. En el caso de los pianos, el costo está 0,4 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. En el caso de las guitarras, el costo está 0,25 desviaciones típicas POR ENCIMA de la media. En el caso de la batería, el costo está 1,0 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. De los tres, la batería es el instrumento que menos cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. La guitarra es la que más cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. Una clase de escuela primaria corrió una milla con una media de 11 minutos y una desviación típica de tres minutos. Rachel, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. Una clase de escuela secundaria júnior corrió una milla con una media de nueve minutos y una desviación típica de dos minutos. Kenji, un estudiante de la clase, corrió 1 milla en 8,5 minutos. Una clase de escuela secundaria corrió una milla con una media de siete minutos y una desviación típica de cuatro minutos. Nedda, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. ¿Por qué se considera a Kenji mejor corredor que Nedda, a pesar de que esta corría más rápido que él? ¿Quién es el corredor más rápido con respecto a su clase? Explique por qué. Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en la tabla 14 . Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? ¿Cuál es la desviación típica de las tasas de obesidad indicadas? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cuán “inusual” es la tasa de obesidad de Estados Unidos en comparación con la tasa promedio? Explique. x ¯ = 23,32 Utilizando la TI 83/84, obtenemos una desviación típica de: s x = 12,95. La tasa de obesidad de Estados Unidos es un 10,58 % superior a la tasa promedio de obesidad. Dado que la desviación típica es 12,95, vemos que 23,32 + 12,95 = 36,27 es el porcentaje de obesidad que está a una desviación típica de la media. La tasa de obesidad de Estados Unidos es ligeramente inferior a una desviación típica de la media. Por lo tanto, podemos suponer que Estados Unidos, aunque tenga un 34 % de obesos, no tiene un porcentaje inusualmente alto de personas obesas. La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuáles intervalos podrían considerarse inusuales? Explique. Resúmalo todo Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Calcule la media muestral x ¯ . Calcule la desviación típica aproximada de la muestra, s . 1,48 1,12 Se preguntó a cuarenta estudiantes seleccionados al azar el número de pares de zapatillas que tenían. Supongamos que X = el número de pares de zapatillas que tienen. Los resultados son los siguientes: X Frecuencia 1 2 2 5 3 8 4 12 5 12 6 0 7 1 Calcule la media muestral x ¯ Calcule la desviación típica de la muestra, s Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Calcule el primer cuartil. Calcule la mediana. Calcule el tercer cuartil. Construya un diagrama de caja de los datos. ¿Qué porcentaje de estudiantes tenía al menos cinco pares? Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 90 . Construya un gráfico de líneas de los datos Construya un diagrama de tallo de los datos A continuación se muestran los pesos publicados (en libras) de todos los miembros del equipo de los San Francisco 49ers de un año anterior. 177; 205; 210; 210; 232; 205; 185; 185; 178; 210; 206; 212; 184; 174; 185; 242; 188; 212; 215; 247; 241; 223; 220; 260; 245; 259; 278; 270; 280; 295; 275; 285; 290; 272; 273; 280; 285; 286; 200; 215; 185; 230; 250; 241; 190; 260; 250; 302; 265; 290; 276; 228; 265 Organice los datos de menor a mayor valor. Calcule la mediana. Calcule el primer cuartil. Calcule el tercer cuartil. Construya un diagrama de caja de los datos. El 50 % de los pesos son de _______ a _______. Si nuestra población fueran todos los jugadores de fútbol americano profesionales, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Si nuestra población incluyera a todos los miembros del equipo que alguna vez jugaron con los San Francisco 49ers, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Supongamos que la población fuera los 49ers de San Francisco. Calcule: la media de la población, μ . la desviación típica de la población, σ . el peso que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Cuando Steve Young, mariscal de campo, jugaba fútbol americano pesaba 205 libras. ¿Cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media estaba? Ese mismo año, el peso medio de los Dallas Cowboys era de 240,08 libras con una desviación típica de 44,38 libras. Emmit Smith pesó 209 libras. Con respecto a su equipo, ¿quién era más liviano, Smith o Young? ¿Cómo determinó su respuesta? 174; 177; 178; 184; 185; 185; 185; 185; 188; 190; 200; 205; 205; 206; 210; 210; 210; 212; 212; 215; 215; 220; 223; 228; 230; 232; 241; 241; 242; 245; 247; 250; 250; 259; 260; 260; 265; 265; 270; 272; 273; 275; 276; 278; 280; 280; 285; 285; 286; 290; 290; 295; 302 241 205,5 272,5 205,5, 272,5 muestra población 236,34 37,50 161,34 0,84 de desviación típica por debajo de la media Young Cien maestros asistieron a un seminario sobre resolución de problemas matemáticos. Se midieron las actitudes de una muestra representativa de 12 de los maestros antes y después del seminario. Un número positivo para el cambio de actitud indica que la actitud del maestro hacia las Matemáticas se volvió más positiva. Las 12 calificaciones de los cambios son las siguientes: 3 8 -1 2 0 5 -3 1 -1 6 5 -2 ¿Cuál es la puntuación media del cambio? ¿Cuál es la desviación típica de esta población? ¿Cuál es la calificación media de los cambios? Calcule la calificación de cambio que está 2,2 desviaciones típicas por debajo de la media. Consulte la y determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explique su solución a cada parte con oraciones completas. Las medianas de los tres gráficos son iguales. No podemos determinar si alguna de las medias de los tres gráficos es diferente. La desviación típica del gráfico b es mayor que la desviación típica del gráfico a. No podemos determinar si alguno de los terceros cuartiles de los tres gráficos es diferente. Verdadero Verdadero Verdadero Falso En un número reciente de la revista IEEE Spectrum , se anunciaron 84 conferencias de ingeniería. Cuatro conferencias duraron dos días. Treinta y seis duraron tres días. Dieciocho dudaron cuatro días. Diecinueve dudaron cinco días. Cuatro duraron seis días. Una duró siete días. Una duró ocho días. Una duró nueve días. Supongamos que X = la duración (en días) de una conferencia de ingeniería. Organice los datos en un gráfico. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Calcule el percentil 65 . Calcule el percentil 10 . Construya un diagrama de caja de los datos. El 50 % del centro de las conferencias duran entre _______ y _______. Calcule la media muestral de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la desviación típica de la muestra de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la moda. Si estuviera planificando una conferencia de ingeniería, ¿qué elegiría como su duración: la media, la mediana o la moda? Explique por qué tomó esa decisión. Dé dos razones por las que piense que la duración de las conferencias de ingeniería parece ser de tres a cinco días. Una encuesta sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6414; 1550; 2109; 9350; 21828; 4300; 5944; 5722; 2825; 2044; 5481; 5200; 5853; 2750; 10012; 6357; 27000; 9414; 7681; 3200; 17500; 9200; 7380; 18314; 6557; 13713; 17768; 7493; 2771; 2861; 1263; 7285; 28165; 5080; 11622 Organice los datos en un gráfico con cinco intervalos de igual ancho. Identifique las dos columnas “inscripción” y “frecuencia”. Construya un histograma de los datos. Si tuviera que construir un nuevo colegio comunitario, ¿qué información sería más valiosa: la moda o la media? Calcule la media muestral. Calcule la desviación típica de la muestra. Una escuela con una matrícula de 8.000 estudiantes, ¿a cuántas desviaciones típicas de la media se refiere? Inscripción Frecuencia 1.000-5.000 10 5.000-10.000 16 10.000-15.000 3 150.00-20.000 3 20.000-25.000 1 25.000-30.000 2 Compruebe la solución del estudiante. moda 8628,74 6943,88 -0,09 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio. x Frecuencia 0 3 1 12 2 33 3 28 4 11 5 9 6 4 El percentil 80 es _____ 5 80 3 4 El número que está 1,5 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media es aproximadamente _____ 0,7 4,8 -2,8 No se puede determinar a Supongamos que una editorial realiza una encuesta en la que pregunta a consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados se resumen en la . N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice una prueba numérica adecuada que incluya el IQR para identificar valores atípicos, si los hay, y exponga claramente su conclusión. Si un valor de los datos se identifica como un valor atípico, ¿qué hay que hacer con él? ¿Hay algún valor de los datos que se aleje más de dos desviaciones típicas de la media? En algunas situaciones, los estadísticos pueden utilizar este criterio para identificar valores de datos que son inusuales, en comparación con los demás valores de datos (observe que este criterio es más apropiado para utilizarlo con datos en forma de montículo y simétricos, que con datos distorsionados). ¿Las partes a y c de este problema dan la misma respuesta? Examine la forma de los datos. ¿Qué parte, a o c, de esta pregunta da un resultado más apropiado para estos datos? Según la forma de los datos, ¿cuál es la medida de centro más adecuada para estos datos: media, mediana o moda? Desviación típica número igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media, o el cuadrado de la desviación típica; para un conjunto de datos, una desviación puede representarse como x – x ¯ donde x es un valor de los datos y x ¯ es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.

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Estadística descriptiva Estadística descriptiva Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante construirá un histograma y un diagrama de caja. El estudiante calculará estadísticas univariantes. El estudiante examinará los gráficos para interpretar lo que implican los datos. Recopilación de datos Registre el número de pares de zapatos que tiene. Encueste al azar a 30 compañeros de clase sobre el número de pares de zapatos que poseen. Registre sus valores. Resultados de la encuesta _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz y escale los ejes. Calcule los siguientes valores x ¯ = _____ s = _____ ¿Los datos son discretos o continuos? ¿Cómo lo sabe? Describa con frases completas la forma del histograma. ¿Hay posibles valores atípicos? Enumere los valores que podrían ser valores atípicos. Utilice una fórmula para comprobar los valores finales y determinar si son posibles valores atípicos. Analice los datos Determine los siguientes valores Mín. = _____ M = _____ Máx. = _____ Q 1 = _____ Q 3 = _____ IQR = _____ Construir un diagrama de caja de los datos ¿Qué implica la forma del diagrama de caja sobre la concentración de datos? Utilice oraciones completas. Con el diagrama de caja, ¿cómo puede determinar si hay posibles valores atípicos? ¿Cómo le ayuda la desviación típica a determinar la concentración de los datos y si existen o no posibles valores atípicos? ¿Qué representa el IQR en este problema? Muestre su trabajo para hallar el valor que es 1,5 desviaciones típicas por encima de la media. por debajo de la media.

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Introducción Las lluvias de meteoros son poco comunes, pero se puede calcular la probabilidad de que se produzcan (créditos: Navicore/flickr). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Comprender y utilizar la terminología de la probabilidad. Determinar si dos eventos son mutuamente excluyentes y si dos eventos son independientes. Calcular las probabilidades utilizando las reglas de adición y de multiplicación. Construir e interpretar tablas de contingencia. Construir e interpretar diagramas de Venn. Construir e interpretar diagramas de árbol. A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo. Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático. Su instructor hará una encuesta en su clase. Cuente el número de estudiantes que hay hoy en la clase. Levante la mano quien tenga algunas monedas en el bolsillo o en el bolso. Anote el número de manos levantadas. Levante la mano quien haya viajado en autobús en el último mes. Anote el número de manos levantadas. Levante la mano quien haya respondido "sí" a AMBAS preguntas. Anote el número de manos levantadas. Utilice los datos de la clase como estimaciones de las siguientes probabilidades. P (monedas) significa la probabilidad de que una persona elegida al azar en su clase tenga monedas en su bolsillo o bolso. P (autobús) significa la probabilidad de que una persona elegida al azar de su clase haya viajado en autobús en el último mes y así sucesivamente. Discuta sus respuestas. Calcule P (monedas). Calcule P (autobús). Calcule P (monedas Y autobús). Calcule la probabilidad de que un estudiante de su clase elegido al azar tenga monedas en su bolsillo o bolso y haya viajado en autobús durante el mes pasado. Calcule P (monedas|autobús). Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga monedas dado que ha viajado en autobús durante el mes pasado. Cuente todos los estudiantes que han viajado en autobús. Del grupo de estudiantes que han viajado en autobús, cuente a los que tienen monedas. La probabilidad es igual a la de los que tienen monedas y han viajado en autobús dividida por la de los que han viajado en autobús.

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Terminología La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito . Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento. El producto de un experimento se llama resultado . El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = { H , T } donde H = cara y T = cruz son los resultados. Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P ( A ). La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P ( A ) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P ( A ) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P ( A ) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara). Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara ( H ) que de que salga cruz ( T ). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta. Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es { HH , TH , HT , TT } donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición { HT , TH }, por lo que P ( A ) = 2 4 = 0,5. Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P ( E ) = 2 6 . Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general, 2 6 de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente 2 6 . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de 2 6 a medida que el número de repeticiones aumenta. Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números , que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado). Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados . Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables. Evento "O": Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B . Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista. Evento "Y": Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A Y B = {4, 5}. El complemento del evento A se denomina A′ (léase “ A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A . Observe que P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P ( A ) = 4 6 , P ( A′ ) = 2 6 y P ( A ) + P ( A′ ) = 4 6 + 2 6 = 1 La probabilidad condicional de A dada B se escribe P ( A | B ). P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral . Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B . La fórmula para calcular P ( A | B ) es P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) donde P ( B ) es mayor que cero. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P ( A | B ) contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S ). Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados. P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = ( el número de resultados que son 2 o 3 o par en S ) 6 ( el número de resultados que son pares en S ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 Entender la terminología y los símbolos Es importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay. El espacio muestral S son los números enteros a partir de uno y menores de 20. S = _____________________________ Supongamos que el evento A = los números pares y el evento B = los números mayores de 13. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A Y B = ____________________, A O B = ________________ P ( A Y B ) = _________, P ( A O B ) = _____________ A′ = _____________, P ( A′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ) = 9 19 , P ( B ) = 6 19 A Y B = {14,16,18}, A O B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A Y B ) = 3 19 , P ( A O B ) = 12 19 A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P ( A′ ) = 10 19 P ( A ) + P ( A′ ) = 1 ( 9 19 + 10 19 = 1) P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = 3 6 , P ( B | A ) = P ( A Y B ) P ( A ) = 3 9 , No Ejercicio El espacio muestral S son todos los pares ordenados de dos números enteros, el primero de uno a tres y el segundo de uno a cuatro (ejemplo: (1, 4)). S = _____________________________ Supongamos que el evento A = la suma es par y el evento B = el primer número es primo. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A Y B = ____________________, A O B = ________________ P ( A Y B ) = _________, P ( A O B ) = _____________ B′ = _____________, P ( B′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? Se lanza un dado imparcial de seis lados. Describa el espacio muestral S , identifique cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcule su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen). Evento T = el resultado es dos. Evento A = el resultado es un número par. Evento B = el resultado es inferior a cuatro. El complemento de A . A DADO B B DADO A A Y B A O B A O B′ Evento N = el resultado es un número primo. Evento I = el resultado es siete. T = {2}, P ( T ) = 1 6 A = {2, 4, 6}, P ( A ) = 1 2 B = {1, 2, 3}, P ( B ) = 1 2 A′ = {1, 3, 5}, P ( A′ ) = 1 2 A | B = {2}, P ( A | B ) = 1 3 B | A = {2}, P ( B | A ) = 1 3 A Y B = {2}, P ( A Y B ) = 1 6 A O B = {1, 2, 3, 4, 6}, P ( A O B ) = 5 6 A O B′ = {2, 4, 5, 6}, P ( A O B′ ) = 2 3 N = {2, 3, 5}, P ( N ) = 1 2 Un dado de seis lados no tiene siete puntos. P (7) = 0. La describe la distribución de una muestra aleatoria S de 100 personas, organizada por sexo y por si son diestras o zurdas. Diestro Zurdo Hombres 43 9 Mujeres 44 4 Denotamos los eventos M = el sujeto es hombre, F = el sujeto es mujer, R = el sujeto es diestro, L = el sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades: P ( M ) P ( F ) P ( R ) P ( L ) P ( M Y R ) P ( F Y L ) P ( M O F ) P ( M O R ) P ( F O L ) P ( M' ) P ( R | M ) P ( F | L ) P ( L | F ) P ( M ) = 0,52 P ( F ) = 0,48 P ( R ) = 0,87 P ( L ) = 0,13 P ( M Y R ) = 0,43 P ( F Y L ) = 0,04 P ( M O F ) = 1 P ( M O R ) = 0,96 P ( F O L ) = 0,57 P ( M' ) = 0,48 P ( R | M ) = 0,8269 (redondeado a cuatro decimales) P ( F | L ) = 0,3077 (redondeado a cuatro decimales) P ( L | F ) = 0,0833 Referencias “Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive. Revisión de la fórmula A y B son eventos P ( S ) = 1 donde S es el espacio muestral 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) En una determinada clase de un instituto universitario hay estudiantes hombres y mujeres. Algunos estudiantes tienen el cabello largo y otros tienen el cabello corto. Escriba los símbolos de las probabilidades de los eventos de las partes de la a a la j (tenga en cuenta que aquí no puede hallar respuestas numéricas. Todavía no se le ha dado suficiente información para hallar ningún valor de probabilidad; concéntrese en entender los símbolos). Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que M es el evento en el que un estudiante es hombre. Supongamos que S es el evento en el que un estudiante tiene el cabello corto. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante no tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre o tenga el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea una mujer y tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre, dado que el estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo, dado que el estudiante es hombre. De todas las estudiantes mujeres, la probabilidad de que una estudiante tenga el cabello corto. De todos los estudiantes con cabello largo, la probabilidad de que un estudiante sea mujer. La probabilidad de que un estudiante sea mujer o tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea un hombre con el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea mujer. P ( L′ ) = P ( S ) P ( M O S ) P ( F Y L ) P ( M | L ) P ( L | M ) P ( S | F ) P ( F | L ) P ( F O L ) P ( M Y S ) P ( F ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti. Calcule P ( H ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 15 42 = 5 14 = 0,36 Calcule P ( F ). Calcule P ( C ). P ( C ) = 5 42 = 0,12 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla. Calcule P ( B ). Calcule P ( G ). P ( G ) = 20 150 = 2 15 = 0,13 Calcule P ( P ). Calcule P ( R ). P ( R ) = 22 150 = 11 75 = 0,15 Calcule P ( Y ). Calcule P ( O ). P ( O ) = 150 – 22 – 38 – 20 – 28 – 26 150 = 16 150 = 8 75 = 0,11 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur. Calcule P ( A ). Calcule P ( E ). P ( E ) = 47 194 = 0,24 Calcule P ( F ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 23 194 = 0,12 Calcule P ( O ). Calcule P ( S ). P ( S ) = 12 194 = 6 97 = 0,06 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta roja en un mazo estándar de 52 cartas? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol en un mazo estándar de 52 cartas? 13 52 = 1 4 = 0,25 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? 3 6 = 1 2 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área. Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo. Si cae en Y , se lleva el premio mayor. Calcule P ( Y ). Si cae en rojo, no recibe premio. ¿Qué es P ( R )? P ( R ) = 4 8 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador no sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un jardinero o un gran bateador. P ( O O H ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo y no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un gran bateador, dado que el jugador es un jugador de campo. P ( H | I ) Escriba los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jugador de campo, dado que el jugador es un gran bateador. Escriba los símbolos para la probabilidad de que, de todos los jardineros, un jugador no sea un gran bateador. P ( N | O ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que, de todos los grandes bateadores, un jugador sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo o no sea un gran bateador. P ( I O N ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jardinero y sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo. P ( I ) ¿Cómo se denomina el conjunto de todos los resultados posibles? ¿Qué es la probabilidad condicional? La probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro. En una estantería caben 12 libros. Ocho son de ficción y el resto no lo son. Cada uno es un libro diferente con un título único. Los libros de ficción están numerados del uno al ocho. Los libros que no son de ficción están numerados del uno al cuatro. Seleccione al azar un libro. Supongamos que F = evento en el que el libro es de ficción Supongamos que N = evento en el que el libro no es de ficción ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la suma de las probabilidades de un evento y su complemento? 1 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres. ¿Qué significa P ( E | M ) en palabras? ¿Qué significa P ( E O M ) en palabras? la probabilidad de caer en un número par o en un múltiplo de tres Tarea para la casa El gráfico de la muestra el tamaño de la muestra y los porcentajes de personas de diferentes grupos de edad y sexo que fueron consultadas sobre su aprobación de las acciones del alcalde Ford en el cargo. El número total de la muestra de todos los grupos de edad es de 1.045. Defina tres eventos en el gráfico. Describa con palabras lo que significa la entrada 40. Describa con palabras el complemento de la entrada de la pregunta 2. Describa con palabras lo que significa la entrada 30. De los hombres y las mujeres, ¿qué porcentaje son hombres? De las mujeres, ¿qué porcentaje desaprueba al alcalde Ford? De todos los grupos de edad, ¿qué porcentaje aprueba al alcalde Ford? Calcule P (Aprobar|Hombre). De los grupos de edad, ¿qué porcentaje tiene más de 44 años? Calcule P (Aprobar|Edad < 35). Explique qué es incorrecto en las siguientes afirmaciones. Utilice oraciones completas. Si hay un 60 % de probabilidad de lluvia el sábado y un 70 % de probabilidad de lluvia el domingo, entonces hay un 130 % de probabilidad de lluvia durante el fin de semana. La probabilidad de que un jugador de béisbol batee un jonrón es mayor que la probabilidad de que haga un batazo imparable. No se puede calcular la probabilidad conjunta conociendo la probabilidad de que se produzcan ambos eventos, que no está en la información dada; las probabilidades deben multiplicarse, no sumarse; y la probabilidad nunca es superior al 100 % Un jonrón, por definición, es un batazo imparable exitoso, así que debe tener, al menos, tantos batazos imparables exitosos como jonrones. Probabilidad condicional la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido Igual de probable cada resultado de un experimento tiene la misma probabilidad Evento un subconjunto del conjunto de todos los resultados de un experimento; el conjunto de todos los resultados de un experimento se denomina espacio muestral y se suele denotar por una S . Un evento es un subconjunto arbitrario en S . Puede contener un resultado, dos resultados, ningún resultado (subconjunto vacío), todo el espacio muestral y similares. Las anotaciones estándar para los eventos son letras mayúsculas como A , B , C , etc. Experimento una actividad planificada y realizada en condiciones controladas Resultado un producto particular de un experimento Probabilidad un número entre cero y uno, inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico; el fundamento de la estadística viene dado por los siguientes 3 axiomas (por A. N. Kolmogorov, década de los años 30 del siglo XX): Supongamos que S es el espacio muestral y A y B son dos eventos en S . Entonces 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P ( A O B ) = P ( A ) + P (B). P ( S ) = 1 Espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento El evento Y Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A Y B al mismo tiempo. Complemento del evento el complemento del evento A consiste en todos los resultados que NO están en A . La probabilidad condicional de A DADO B P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. El evento O Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B .

Matemáticas


Eventos mutuamente excluyentes e independientes Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo. Eventos independientes Dos eventos son independientes si lo siguiente es cierto: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes . El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo . Con reemplazo : si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda. Sin reemplazo : cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes. Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario . Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. a. Muestreo con reemplazo: Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son { Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas. b. Muestreo sin reemplazo: Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son { K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. Se sacan tres cartas al azar. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y Q de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y J de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP , 1 D , 1 T , QD . Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC , 7 D , 6 D , KC . ¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo? a. Sin reemplazo; b. Con reemplazo Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que se muestrean cuatro cartas sin reemplazo. ¿Cuál de los siguientes resultados es posible? Responda la misma pregunta para el muestreo con reemplazo. QP , 1 D , 1 T , QD KC , 7 D , 6 D , KC QP , 7 D , 6 D , KP Eventos mutuamente excluyentes A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P ( A Y B ) = 0. Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A Y B = {4, 5}. P ( A Y B ) = 2 10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P ( A Y C ) = 0. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes. Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario . Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos. Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento). El espacio muestral es { HH , HT , TH , TT } donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH , HT , TH y TT . Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara. Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como { HH , HT , TH }. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno. Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como { TT }. B es el complemento de A , por lo que B = A′ . Además, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Las probabilidades para A y para B son P ( A ) = 3 4 y P ( B ) = 1 4 . Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = { HH }. Como B = { TT }, P ( B Y C ) = 0. B y C son mutuamente excluyentes. ( B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo). Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = { TT }. P ( D ) = 1 4 Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = { HT , HH }. P ( E ) = 2 4 Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = { HT , TH , TT }. P ( F ) = 3 4 Ejercicio Saque dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas con reemplazo. Calcule la probabilidad de obtener una carta negra como mínimo. Lance dos monedas imparciales Calcule las probabilidades de los eventos. Supongamos que F = el evento de obtener como máximo una cruz (cero o una cruz). Supongamos que G = el evento de obtener dos caras iguales. Supongamos que H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o una cruz en el segundo lanzamiento. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? Supongamos que J = el evento de obtener siempre cruces. ¿ J y H son mutuamente excluyentes? Observe el espacio muestral en el . Cero (0) o una (1) cruz se producen cuando aparecen los resultados HH , TH , HT . P ( F ) = 3 4 Dos lados son iguales si aparece HH o TT . P ( G ) = 2 4 Una cara en la primera lanzada seguida de una cara o cruz en la segunda lanzada ocurre cuando aparece HH o HT . P ( H ) = 2 4 F y G comparten HH por lo que P ( F Y G ) no es igual a cero (0). F y G no son mutuamente excluyentes. Obtener siempre cruces se produce cuando aparecen cruces en ambas monedas ( TT ). Los resultados de H son HH y HT . J y H no tienen nada en común por lo que P ( J Y H ) = 0. J y H son mutuamente excluyentes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: Supongamos que F = el evento de obtener la pelota blanca dos veces. Supongamos que G = el evento de obtener dos pelotas de colores diferentes. Supongamos que H = el evento de obtener blanco en la primera elección. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? ¿ G y H son mutuamente excluyentes? Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}. Calcule el complemento de A , A′ . El complemento de A , A′ , es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Además, P ( A ) = 3 6 y P ( B ) = 3 6 . Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4}. P ( C Y D ) = 0 porque no se puede tener una cara par e impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes. Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}. ¿ C y E son eventos mutuamente excluyentes? (Responda sí o no). ¿Por qué sí o por qué no? No. C = {3, 5} y E = {1, 2, 3, 4}. P ( C Y E ) = 1 6 . Para que sean mutuamente excluyentes, P ( C Y E ) debe ser cero. Calcule P ( C | A ). Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar P ( C | A ), calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A . Ha reducido el espacio muestral del espacio muestral original {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Por tanto, P ( C | A ) = 2 3 . Ejercicio Supongamos que el evento A = aprender español. Supongamos que el evento B = aprender alemán. Entonces A Y B = aprender español y alemán. Supongamos que P ( A ) = 0,4 y P ( B ) = 0,2. P ( A Y B ) = 0,08. ¿Los eventos A y B son independientes? Pista: Debe demostrar UNO de los siguientes aspectos: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = 0, 08 0,2 = 0 0,4 = P ( A ) Los eventos son independientes porque P ( A | B ) = P ( A ). Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G Y H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que P ( G ) = 0,6, P ( H ) = 0,5, y P ( G Y H ) = 0,3. ¿Son G y H independientes? Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas: P ( G | H ) = P ( G ) P ( H | G ) = P ( H ) P ( G Y H ) = P ( G ) P ( H ) NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Puede elegir cualquiera de los métodos aquí porque tiene la información necesaria. a. Demuestre que P ( G | H ) = P ( G ). P ( G | H ) = P ( G Y H ) P ( H ) = 0 0,3 0 0,5 = 0,6 = P ( G ) b. Demuestre que P ( G Y H ) = P ( G ) P ( H ). P ( G ) P ( H ) = (0,6)(0,5) = 0,3 = P ( G Y H ) Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para practicar, demuestre que P ( H | G ) = P ( H ) para demostrar que G y H son eventos independientes. Ejercicio En una bolsa hay seis canicas rojas y cuatro verdes. Las canicas rojas están marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las canicas verdes están marcadas con los números 1, 2, 3 y 4. R = una canica roja (red) G = una canica verde (green) O = una canica impar (odd) El espacio muestral es S = { R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, G 1, G 2, G 3, G 4}. S tiene diez resultados. ¿Qué es P ( G Y O )? Supongamos que el evento C = tomar una clase de Inglés. Supongamos que el evento D = tomar una clase de oratoria. Supongamos que P ( C ) = 0,75, P ( D ) = 0,3, P ( C | D ) = 0,75 y P ( C AND D ) = 0,225. Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas. ¿ C y D son independientes? ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Qué es P ( D | C )? Sí, porque P ( C | D ) = P ( C ). No, porque P ( C Y D ) no es igual a cero. P ( D | C ) = P ( C Y D ) P ( C ) = 0 0,225 0,75 = 0,3 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( B Y D ) = 0,20. Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D | B ). ¿ B y D son independientes? ¿ B y D son mutuamente excluyentes? En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta. Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even). El espacio muestral S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. S tiene ocho resultados. P ( R ) = 3 8 . P ( B ) = 5 8 . P ( R Y B ) = 0. (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez). P ( E ) = 3 8 . (Hay tres cartas con números pares, R 2, B 2 y B 4). P ( E | B ) = 2 5 . (Hay cinco tarjetas azules: B 1, B 2, B 3, B 4 y B 5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B 2 y B 4). P ( B | E ) = 2 3 . (Hay tres tarjetas con números pares: R 2, B 2 y B 4. De las tarjetas pares, dos son azules; B 2 y B 4). Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque P ( R Y B ) = 0. Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = { B 4, B 5}. P ( G ) = 2 8 . Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = { B 1, B 2, B 3, B 4}. P ( G | H ) = 1 4 . (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B 4). Dado que 2 8 = 1 4 , P ( G ) = P ( G | H ), lo que significa que G y H son independientes. Ejercicio En un estadio de baloncesto, El 70 % de los aficionados apoyan al equipo local. El 25 % de los aficionados están vestidos de color azul. El 20 % de los aficionados están vestidos de color azul y animan al equipo visitante. El 67 % de los aficionados que apoyan al equipo visitante están vestidos de color azul. Supongamos que A es el evento en el que un aficionado apoya al equipo visitante. Supongamos que B es el evento en el que un aficionado esté vestido de color azul. ¿Los eventos de animar al equipo visitante y vestir de color azul son eventos independientes? ¿Son mutuamente excluyentes? En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes? En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades: P ( F ) = 0,60; P ( L ) = 0,50 P ( F Y L ) = 0,45 P ( L | F ) = 0,75 NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P ( F | L ), por lo que no puede utilizar la segunda condición. >Compruebe si P ( F Y L ) = P ( F ) P ( L ). Se nos ha dado que P ( F Y L ) = 0,45, pero P ( F ) P ( L ) = (0,60)(0,50) = 0,30. Los eventos de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P ( F Y L ) no es igual a P ( F ) P ( L ). Compruebe si P ( L | F ) es igual a P ( L ). Nos dan que P ( L | F ) = 0,75, pero P ( L ) = 0,50; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo. Ejercicio Mark está decidiendo qué ruta tomar para ir al trabajo. Sus opciones son la I = Interestatal y la F = Fifth Street P ( I ) = 0,44 y P ( F ) = 0,56 P ( I Y F ) = 0 porque Mark solo tomará una ruta para ir al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de P ( I O F )? Lanza una moneda imparcial (la moneda tiene dos caras, H y T ). Los resultados son ________. Cuente los resultados. Hay ____ resultados. Lanza un dado imparcial de seis caras (el dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en una cara). Los resultados son ________________. Cuente los resultados. Hay ___ resultados. Multiplique los dos números de los resultados. La respuesta es _______. Si se lanza una moneda y se sigue con el lanzamiento de un dado justo de seis caras, la respuesta en la parte c. es el número de resultados (tamaño del espacio muestral). ¿Cuáles son los resultados? (Pista: dos de los resultados son H 1 y T 6). Evento A = cara ( H ) en la moneda seguida de un número par (2, 4, 6) en el dado. A = {_________________}. Calcule P ( A ). Evento B = cara en la moneda seguida de un tres en el dado. B = {________}. Calcule P ( B ). ¿ A y B son mutuamente excluyentes? (Pista: ¿Qué es P ( A Y B )? Si P ( A Y B ) = 0, entonces A y B son mutuamente excluyentes) ¿ A y B son independientes? (Pista: ¿Es P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B )? Si P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ), entonces A y B son independientes. Si no es así, entonces son dependientes). H y T ; 2 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6 2(6) = 12 T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6 A = { H 2, H 4, H 6}; P ( A ) = 3 12 B = { H 3}; P ( B ) = 1 12 Sí, porque P ( A Y B ) = 0 P ( A Y B ) = 0. P ( A ) P ( B ) = ( 3 12 ) ( 1 12 ) . P ( A Y B ) no es igual a P ( A ) P ( B ), por lo que A y B son dependientes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Supongamos que T es el evento de obtener la pelota blanca dos veces, F el evento de sacar la pelota blanca primero y S el evento de sacar la pelota blanca en la segunda extracción. Calcule P ( T ). Calcule P ( T | F ). ¿ T y F son independientes?. ¿ F y S son mutuamente excluyentes? ¿ F y S son independientes? Referencias Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes. Revisión de la fórmula Si A y B son independientes, P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ), P ( A | B ) = P ( A ) and P ( B | A ) = P ( B ). Si A y B son mutuamente excluyentes, P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) y P ( A Y B ) = 0. E y F son eventos mutuamente excluyentes. P ( E ) = 0,4; P ( F ) = 0,5. Calcule P ( E ∣ F ). J y K son eventos independientes. P ( J | K ) = 0,3. Calcule P ( J ). P ( J ) = 0,3 U y V son eventos mutuamente excluyentes. P ( U ) = 0,26; P ( V ) = 0,37. Calcule: P ( U Y V ) = P ( U | V ) = P ( U O V ) = Q y R son eventos independientes. P ( Q ) = 0,4 y P ( Q Y R ) = 0,1. Calcule P ( R ). P ( Q Y R ) = P ( Q ) P ( R ) 0,1 = (0,4) P ( R ) P ( R ) = 0,25 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. El gráfico mostrado se basa en más de 170.000 entrevistas realizadas por Gallup que se llevaron a cabo entre enero y diciembre de 2012. La muestra está formada por estadounidenses de 18 años o más con empleo. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 82,7. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 81,0. 0 Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea superior a 81. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional esté entre 80,5 y 82. 0,3571 Si sabemos que la calificación del Índice de Salud Emocional es de 81,5 o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea 82,7? ¿Cuál es la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 80,7 u 82,7? 0,2142 ¿Cuál es la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea inferior a 80,2 dado que ya es inferior a 81? ¿Qué ocupación tiene la calificación más alta del índice emocional? Médico (83,7) ¿Qué ocupación tiene la calificación más baja del índice emocional? ¿Cuál es el rango de los datos? 83,7 − 79,6 = 4,1 Calcule el promedio de la Calificación del Índice de Salud Emocional (Emotional Health Index Score, EHIS). Si todas las ocupaciones son igualmente probables para una determinada persona, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una ocupación con un EHIS inferior al promedio? P (ocupación < 81,3) = 0,5 Resúmalo todo Un año antes, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilan en la . N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 290≤ 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Si tener un número de camisa del uno al 33 y pesar como máximo 210 libras fueran eventos independientes, entonces, ¿qué debería ser cierto sobre P (N.º de camisa 1–33|≤ 210 libras)? La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba arroje un resultado de cáncer cuando no lo tiene) es de 0,51. Algunas de las siguientes preguntas no tienen suficiente información para responderlas. Escriba “no hay suficiente información” en esas respuestas. Supongamos que C = un hombre desarrolla cáncer en su vida y P = el hombre tiene al menos un falso positivo P ( C ) = ______ P ( P | C ) = ______ P ( P | C' ) = ______ Si una prueba da positivo, con base en los valores numéricos, ¿se puede asumir que ese hombre tiene cáncer? Justifique numéricamente y explique por qué sí o por qué no. P ( C ) = 0,4567 no hay suficiente información no hay suficiente información No, porque más de la mitad (0,51) de los hombres tienen, al menos, una prueba con resultado falso positivo. Dados los eventos G y H : P ( G ) = 0,43; P ( H ) = 0,26; P ( H Y G ) = 0,14 Calcule P ( H O G ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H Y G ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H O G ). Dados los eventos J y K : P ( J ) = 0,18; P ( K ) = 0,37; P ( J O K ) = 0,45 Calcule P ( J Y K ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J Y K ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J O K ). P ( J O K ) = P ( J ) + P ( K ) − P ( J Y K ); 0,45 = 0,18 + 0,37 - P ( J Y K ); resuelva para calcular P ( J Y K ) = 0,10 P (NO ( J Y K )) = 1 - P ( J Y K ) = 1 – 0,10 = 0,90 P (NO ( J O K )) = 1 - P ( J O K ) = 1 – 0,45 = 0,55 Eventos dependientes si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes Muestreo con reemplazo si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Muestreo sin reemplazo cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. La probabilidad condicional de un evento dado otro evento P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. La “O” de dos eventos Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A , está en B , o está tanto en A como en B .

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