Rotación de ejes Objetivos de aprendizaje Uso de fórmulas de rotación de ejes. Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3) Objetivo 1: Uso de fórmulas de rotación de ejes. Si un punto ( x , y ) en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo θ del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son ( x ′ , y ′ ) . Las siguientes fórmulas de rotación de ejes definen la relación entre ( x , y ) y ( x ’, y ’): x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, calcule una nueva representación después de girar un ángulo. Halle x y y donde x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada, luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. Uso de fórmulas de rotación de ejes. Calcule una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por el ángulo dado. 3 x 2 + x y + 3 y 2 5 = 0 , θ = 45 º Halle x y y usando las fórmulas de rotación de ejes, sustituya θ =45º. x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ x = x ' 1 2 y ' 1 2 x = x ' y ' 2 y = x ' 1 2 y ' 1 2 y = x ' y ' 2 Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y simplifique. 3 x 2 + x y + 3 y 2 5 = 0 3 x ' y ' 2 2 + x ' y ' 2 x ' y ' 2 + 3 x ' y ' 2 2 5 = 0 Utilice el método Primero, Exterior, Interior, Último [First, Outer, Inner, Last, FOIL] para cada término. 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 2 ) 2 + x ' 2 y ' 2 2 + 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 2 ) 5 = 0 Multiplique por 2 para eliminar la fracción. 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 ) 2 + x ' 2 y ' 2 + 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 ) 10 = 0 Combine términos similares. 3 x ' 2 6 x ' y ' + 3 y ' 2 + x ' 2 y ' 2 + 3 x ' 2 + 6 x ' y ' + 3 y ' 2 10 = 0 7 x ' 2 + 5 y ' 2 10 = 0 7 x ' 2 + 5 y ' 2 = 10 Escriba las ecuaciones con x′ y y′ en forma estándar. Se igualan a 1. 7 x ' 2 10 + 5 y ' 2 10 = 1 x ' 2 10 7 + y ' 2 2 = 1 La práctica hace la perfección Uso de fórmulas de rotación de ejes: Calcule una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por el ángulo dado. Use los pasos indicados como ayuda en su trabajo. 4 x 2 – x y + 4 y 2 2 = 0 , θ = 45 º Halle x y y usando las fórmulas de rotación de ejes, sustituya θ =45º. Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y simplifique. Escriba las ecuaciones con x′ y y′ en forma estándar. Objetivo 2: Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3) Podemos identificar una sección cónica a partir de sus ecuaciones al observar los signos y coeficientes de las variables que se elevan al cuadrado. Sección cónica Características de x 2 y y 2 Ejemplo Parábola O bien x 2 O y 2 . Solo se eleva al cuadrado una variable. x = 3 y 2 - 2 y + 1 Círculo x 2 y y 2 tienen los mismos coeficientes x 2 + y 2 = 49 Elipse x 2 y y 2 tienen el mismo signo con diferentes coeficientes 4 x 2 + 25 y 2 = 100 Hipérbola x 2 y y 2 tienen diferentes signos con diferentes coeficientes 25 y 2 - 4 x 2 = 100 Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. Ⓐ x = y 2 2 y + 3 Ⓑ 9 y 2 x 2 + 18 y 4 x 4 = 0 Ⓒ 9 x 2 + 25 y 2 = 225 Ⓓ x 2 + y 2 4 x + 10 y 7 = 0 Ⓐ x = y 2 2 y + 3 Parábola : solo se eleva al cuadrado una variable. Ⓑ 9 y 2 x 2 + 18 y 4 x 4 = 0 Hipérbola : x 2 y y 2 tienen diferentes signos y diferentes coeficientes. Ⓒ 9 x 2 + 25 y 2 = 225 Elipse : x 2 y y 2 tienen los mismos signos y diferentes coeficientes. Ⓓ x 2 + y 2 4 x + 10 y 7 = 0 Círculo : x 2 y y 2 tienen los mismos signos y los mismos coeficientes. La práctica hace la perfección Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. x = 2 y 2 12 y 16 x 2 + y 2 = 9 16 x 2 4 y 2 + 64 x 24 y 36 = 0 16 x 2 + 36 y 2 = 576 Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono . La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la . Secciones cónicas no degeneradas Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas , en contraste con las secciones cónicas degeneradas , que se muestran en la . La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan. Secciones cónicas degeneradas Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación. A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada. Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término x y que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término x y rota la sección cónica siempre que B no sea igual a cero. Secciones cónicas Ejemplo elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 1 círculo 4 x 2 + 4 y 2 = 1 hipérbola 4 x 2 - 9 y 2 = 1 parábola 4 x 2 = 9 y o 4 y 2 = 9 x una línea 4 x + 9 y = 1 líneas de intersección ( x - 4 ) ( y + 4 ) = 0 líneas paralelas ( x - 4 ) ( x - 9 ) = 0 un punto 4 x 2 + 4 y 2 = 0 no hay gráfico 4 x 2 + 4 y 2 = - 1 Forma general de las secciones cónicas Una sección cónica tiene la forma general A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. En la se resumen las diferentes secciones cónicas en las que B = 0 , y A y C son números reales diferentes de cero. Esto indica que la cónica no se ha girado. elipse A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , A ≠ C y A C > 0 círculo A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , A = C hipérbola A x 2 - C y 2 + D x + E y + F = 0 o − A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , donde A y C son positivos parábola A x 2 + D x + E y + F = 0 o C y 2 + D x + E y + F = 0 Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, identifique el tipo de sección cónica. Reescriba la ecuación en la forma general, A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 . Identifique los valores de A y C de la forma general Si A y C son distintos de cero, tienen el mismo signo y no son iguales entre sí, entonces el gráfico puede ser una elipse. Si los valores de A y C son iguales y distintos de cero y tienen el mismo signo, entonces el gráfico puede ser un círculo. Si los valores de A y C son distintos de cero y tienen signos opuestos, entonces el gráfico puede ser una hipérbola. Si cualquiera de A o C es cero, entonces el gráfico puede ser una parábola. Si B = 0, la sección cónica tendrá un eje vertical u horizontal. Si B no es igual a 0, como se muestra a continuación, la sección cónica se rota. Tome en cuenta la expresión "puede ser" en las definiciones. Esto se debe a que la ecuación puede no representar una sección cónica en absoluto, según los valores de A , B , C , D , E y F . Por ejemplo, el caso degenerado de un círculo o una elipse es un punto: A x 2 + B y 2 = 0 , cuando A y B tienen el mismo signo. El caso degenerado de una hipérbola son dos líneas que se intersecan: A x 2 + B y 2 = 0 , cuando A y B tienen signos opuestos. Por otro lado, la ecuación, A x 2 + B y 2 + 1 = 0 , cuando A y B son positivos no representa un gráfico en absoluto, ya que no hay pares reales ordenados que lo satisfagan. Identificación de una sección cónica a partir de su forma general Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas. Ⓐ 4 x 2 - 9 y 2 + 36 x + 36 y − 125 = 0 Ⓑ 9 y 2 + 16 x + 36 y - 10 = 0 Ⓒ 3 x 2 + 3 y 2 - 2 x - 6 y - 4 = 0 Ⓓ − 25 x 2 - 4 y 2 + 100 x + 16 y + 20 = 0 Ⓐ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 4 y C = −9 , por lo que observamos que A y C tienen signos opuestos. El gráfico de esta ecuación es una hipérbola. Ⓑ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 0 y C = 9. Podemos determinar que la ecuación es una parábola, ya que A es cero. Ⓒ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 3 y C = 3. Dado que A = C , el gráfico de esta ecuación es un círculo. Ⓓ Si reescribimos la forma general, tenemos A = −25 y C = −4. Dado que A C > 0 y A ≠ C , el gráfico de esta ecuación es una elipse. Ejercicio Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas. Ⓐ 16 y 2 - x 2 + x - 4 y − 9 = 0 Ⓑ 16 x 2 + 4 y 2 + 16 x + 49 y − 81 = 0 Ⓐ hipérbola Ⓑ elipse Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término x y que alinee los gráficos con los ejes x y y . Cuando añadimos un término x y , rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo θ , entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones: ( x , y ) en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y ( x ′ , y ′ ) en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y' . Vea la . El gráfico de la elipse rotada x 2 + y 2 – x y – 15 = 0 Hallaremos las relaciones entre x y y en el plano cartesiano con x ′ y y ′ en el nuevo plano rotado. Vea la . El plano cartesiano con los ejes x y y y los ejes x′ y y′ resultantes formados por una rotación de un ángulo θ . Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios i y j . Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios i ′ y j ′ . El ángulo θ se conoce como el ángulo de rotación . Vea la . Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales. i ′ = cos θ i + sen θ j j ′ = - sen θ i + cos θ j Relación entre los planos de coordenadas anteriores y los nuevos. Considere un vector u en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas. u = x ′ i ′ + y ′ j ′ u = x ′ ( i cos θ + j sen θ ) + y ′ ( - i sen θ + j cos θ ) Sustituya . u = i x ' cos θ + j x ' sen θ − i y ' sen θ + j y ' cos θ Distribuya . u = i x ' cos θ − i y ' sen θ + j x ' sen θ + j y ' cos θ Aplique la propiedad conmutativa . u = ( x ' cos θ − y ' sen θ ) i + ( x ' sen θ + y ' cos θ ) j Factorice por agrupación . Debido a que u = x ′ i ′ + y ′ j ′ , tenemos representaciones de x y y en términos del nuevo sistema de coordenadas. x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Ecuaciones de rotación Si un punto ( x , y ) en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo θ del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son ( x ′ , y ′ ) . Podemos utilizar las siguientes ecuaciones de rotación para definir la relación entre ( x , y ) y ( x ′ , y ′ ) : x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, calcule una nueva representación después de girar un ángulo. Calcule x y y donde x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada, luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. Calcular una nueva representación de una ecuación después de rotar por un ángulo dado Calcule una nueva representación de la ecuación 2 x 2 - x y + 2 y 2 − 30 = 0 después de rotar por un ángulo de θ = 45° . Calcule x y y , donde x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Dado que θ = 45° , x = x ′ cos ( 45° ) - y ′ sen ( 45° ) x = x ′ ( 1 2 ) - y ′ ( 1 2 ) x = x ′ - y ′ 2 y y = x ′ sen ( 45° ) + y ′ cos ( 45° ) y = x ′ ( 1 2 ) + y ′ ( 1 2 ) y = x ′ + y ′ 2 Sustituya x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ en 2 x 2 - x y + 2 y 2 − 30 = 0 . 2 ( x ′ - y ′ 2 ) 2 - ( x ′ - y ′ 2 ) ( x ′ + y ′ 2 ) + 2 ( x ′ + y ′ 2 ) 2 − 30 = 0 Simplifique. 2 ( x ′ - y ′ ) ( x ′ - y ′ ) 2 - ( x ′ - y ′ ) ( x ′ + y ′ ) 2 + 2 ( x ′ + y ′ ) ( x ′ + y ′ ) 2 − 30 = 0 Método FOIL x ′ 2 - 2 x ′ y ′ + y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 + x ′ 2 + 2 x ′ y ′ + y ′ 2 − 30 = 0 Combine términos similares . 2 x ′ 2 + 2 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 = 30 Combine términos similares . 2 ( 2 x ′ 2 + 2 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 ) = 2 ( 30 ) Multiplique ambos lados por 2 . 4 x ′ 2 + 4 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) = 60 Simplifique . 4 x ′ 2 + 4 y ′ 2 - x ′ 2 + y ′ 2 = 60 Distribuya . 3 x ′ 2 60 + 5 y ′ 2 60 = 60 60 Se igualan a 1 . Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. x ′ 2 20 + y ′ 2 12 = 1 Esta ecuación es una elipse. La muestra el gráfico. Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de x ′ y y ′ sin x ′ y ′ , rotando los ejes en una medida de θ que satisfaga cot ( 2 θ ) = A - C B Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. Sin embargo, si B ≠ 0 , entonces tenemos un término x y que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo θ donde cot ( 2 θ ) = A - C B . Si los valores de cot ( 2 θ ) > 0 , entonces 2 θ está en el primer cuadrante y θ está entre ( 0° , 45° ) . Si los valores de cot ( 2 θ ) < 0 , entonces 2 θ está en el segundo cuadrante y θ está entre ( 45° , 90° ) . Si A = C , entonces θ = 45° . Cómo Dada una ecuación para una sección cónica en el sistema x ′ y ′ , reescriba la ecuación sin el término x ′ y ′ en lo que respecta a x ′ y y ′ , donde x ′ y y ′ son rotaciones de los ejes estándar por grados θ . Calcule cot ( 2 θ ) . Halle sen θ y cos θ . Sustituya sen θ y cos θ en x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada y luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar con respecto a los ejes rotados. Reescriba una ecuación con respecto a los ejes x′ y y′ sin el término x′y′ Reescriba la ecuación 8 x 2 - 12 x y + 17 y 2 = 20 en el sistema x ′ y ′ sin un término x ′ y ′ . Primero hallamos cot ( 2 θ ) . Vea la . 8 x 2 - 12 x y + 17 y 2 = 20 ⇒ A = 8 , B = − 12 y C = 17 cot ( 2 θ ) = A - C B = 8 − 17 − 12 cot ( 2 θ ) = - 9 − 12 = 3 4 cot ( 2 θ ) = 3 4 = adyacente opuesto Entonces la hipotenusa es 3 2 + 4 2 = h 2 9 + 16 = h 2 25 = h 2 h = 5 Luego, hallamos sen θ y cos θ . sen θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 = 1 - 3 5 2 = 5 5 - 3 5 2 = 5 - 3 5 ⋅ 1 2 = 2 10 = 1 5 sen θ = 1 5 cos θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 = 1 + 3 5 2 = 5 5 + 3 5 2 = 5 + 3 5 ⋅ 1 2 = 8 10 = 4 5 cos θ = 2 5 Sustituya los valores de sen θ y cos θ en x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . x = x ′ cos θ − y ′ sen θ x = x ′ ( 2 5 ) - y ′ ( 1 5 ) x = 2 x ′ - y ′ 5 y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ y = x ′ ( 1 5 ) + y ′ ( 2 5 ) y = x ′ + 2 y ′ 5 Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y luego simplifique. 8 ( 2 x ′ - y ′ 5 ) 2 - 12 ( 2 x ′ - y ′ 5 ) ( x ′ + 2 y ′ 5 ) + 17 ( x ′ + 2 y ′ 5 ) 2 = 20 8 ( ( 2 x ′ - y ′ ) ( 2 x ′ - y ′ ) 5 ) − 12 ( ( 2 x ′ - y ′ ) ( x ′ + 2 y ′ ) 5 ) + 17 ( ( x ′ + 2 y ′ ) ( x ′ + 2 y ′ ) 5 ) = 20 8 ( 4 x ′ 2 - 4 x ′ y ′ + y ′ 2 ) − 12 ( 2 x ′ 2 + 3 x ′ y ′ - 2 y ′ 2 ) + 17 ( x ′ 2 + 4 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 ) = 100 32 x ′ 2 - 32 x ′ y ′ + 8 y ′ 2 - 24 x ′ 2 - 36 x ′ y ′ + 24 y ′ 2 + 17 x ′ 2 + 68 x ′ y ′ + 68 y ′ 2 = 100 25 x ′ 2 + 100 y ′ 2 = 100 25 100 x ′ 2 + 100 100 y ′ 2 = 100 100 Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar con respecto al nuevo sistema de coordenadas. x ′ 2 4 + y ′ 2 1 = 1 La muestra el gráfico de la elipse. Ejercicio Vuelva a escribir el 13 x 2 - 6 3 x y + 7 y 2 = 16 en el plano x ′ y ′ sin el término x ′ y ′ . x ′ 2 4 + y ′ 2 1 = 1 Graficar una ecuación que no tiene términos x′y′ Grafique la siguiente ecuación en relación con el sistema x ′ y ′ : x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 30 Primero hallamos cot ( 2 θ ) . x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 20 ⇒ A = 1 , B = 12 , y C = –4 cot ( 2 θ ) = A - C B cot ( 2 θ ) = 1 - ( –4 ) 12 cot ( 2 θ ) = 5 12 Dado que cot ( 2 θ ) = 5 12 , podemos dibujar un triángulo de referencia como en la . cot ( 2 θ ) = 5 12 = adyacente opuesto Así, la hipotenusa es 5 2 + 12 2 = h 2 25 + 144 = h 2 169 = h 2 h = 13 Luego, hallamos sen θ y cos θ . Utilizaremos identidades de ángulo medio. sen θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 = 1 - 5 13 2 = 13 13 - 5 13 2 = 8 13 ⋅ 1 2 = 2 13 cos θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 = 1 + 5 13 2 = 13 13 + 5 13 2 = 18 13 ⋅ 1 2 = 3 13 Ahora hallamos x y y . x = x ′ cos θ − y ′ sen θ x = x ′ ( 3 13 ) - y ′ ( 2 13 ) x = 3 x ′ - 2 y ′ 13 y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ y = x ′ ( 2 13 ) + y ′ ( 3 13 ) y = 2 x ′ + 3 y ′ 13 Ahora sustituimos x = 3 x ′ - 2 y ′ 13 y y = 2 x ′ + 3 y ′ 13 en x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 30. ( 3 x ′ - 2 y ′ 13 ) 2 + 12 ( 3 x ′ - 2 y ′ 13 ) ( 2 x ′ + 3 y ′ 13 ) - 4 ( 2 x ′ + 3 y ′ 13 ) 2 = 30 ( 1 13 ) [ ( 3 x ′ - 2 y ′ ) 2 + 12 ( 3 x ′ - 2 y ′ ) ( 2 x ′ + 3 y ′ ) - 4 ( 2 x ′ + 3 y ′ ) 2 ] = 30 Factorice . ( 1 13 ) [ 9 x ′ 2 - 12 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 + 12 ( 6 x ′ 2 + 5 x ′ y ′ − 6 y ′ 2 ) - 4 ( 4 x ′ 2 + 12 x ′ y ′ + 9 y ′ 2 ) ] = 30 Multiplique . ( 1 13 ) [ 9 x ′ 2 - 12 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 + 72 x ′ 2 + 60 x ′ y ′ − 72 y ′ 2 - 16 x ′ 2 − 48 x ′ y ′ − 36 y ′ 2 ] = 30 Distribuya . ( 1 13 ) [ 65 x ′ 2 − 104 y ′ 2 ] = 30 Combine términos similares . 65 x ′ 2 − 104 y ′ 2 = 390 Multiplique . x ′ 2 6 - 4 y ′ 2 15 = 1 Divida entre 390 . La muestra el gráfico de la hipérbola x ′ 2 6 - 4 y ′ 2 15 = 1. Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma A ′ x ′ 2 + B ′ x ′ y ′ + C ′ y ′ 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0 Se puede demostrar que B 2 - 4 A C = B ′ 2 - 4 A ′ C ′ . La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante . El discriminante, B 2 - 4 A C , es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica. Uso del discriminante para identificar una sección cónica Si la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 se transforma mediante la rotación de los ejes en la ecuación A ′ x ′ 2 + B ′ x ′ y ′ + C ′ y ′ 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0 , entonces B 2 - 4 A C = B ′ 2 - 4 A ′ C ′ . La ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 es una elipse, una parábola o una hipérbola o un caso degenerado de una de ellas. Si el discriminante, B 2 - 4 A C , es < 0 , la sección cónica es una elipse = 0 , la sección cónica es una parábola > 0 , la sección cónica es una hipérbola Identificar la sección cónica sin ejes de rotación Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes. Ⓐ 5 x 2 + 2 3 x y + 2 y 2 - 5 = 0 Ⓑ 5 x 2 + 2 3 x y + 12 y 2 - 5 = 0 Ⓐ Empecemos por determinar A , B , y C . 5 ︸ A x 2 + 2 3 ︸ B x y + 2 ︸ C y 2 - 5 = 0 Ahora, hallaremos el discriminante. B 2 - 4 A C = ( 2 3 ) 2 - 4 ( 5 ) ( 2 ) = 4 ( 3 ) − 40 = 12 − 40 = − 28 < 0 Por lo tanto, 5 x 2 + 2 3 x y + 2 y 2 - 5 = 0 representa una elipse. Ⓑ De nuevo, empecemos por determinar A , B , y C . 5 ︸ A x 2 + 2 3 ︸ B x y + 12 ︸ C y 2 - 5 = 0 Ahora, hallaremos el discriminante. B 2 - 4 A C = ( 2 3 ) 2 - 4 ( 5 ) ( 12 ) = 4 ( 3 ) − 240 = 12 − 240 = − 228 < 0 Por lo tanto, 5 x 2 + 2 3 x y + 12 y 2 - 5 = 0 representa una elipse. Ejercicio Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes. Ⓐ x 2 - 9 x y + 3 y 2 - 12 = 0 Ⓑ 10 x 2 - 9 x y + 4 y 2 - 4 = 0 Ⓐ hipérbola Ⓑ elipse Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar secciones cónicas y rotación de ejes. Introducción a las secciones cónicas Ecuaciones clave Ecuación de la forma general de una sección cónica A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Rotación de una sección cónica x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Ángulo de rotación θ , donde cot ( 2 θ ) = A - C B Conceptos clave Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola. Una sección cónica no degenerada tiene la forma general A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B y C no son todos cero. Los valores de A , B , y C determinan el tipo de sección cónica. Vea el . Las ecuaciones de secciones cónicas con un término x y se han girado alrededor del origen. Vea el . La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas x ′ y y ′ sin x ′ y ′ . Vea el y el . Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué efecto tiene el término x y en el gráfico de una sección cónica? El término x y hace que se produzca una rotación del gráfico. Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 y A B = 0 , ¿qué podemos concluir? Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , y B 2 - 4 A C > 0 , ¿qué podemos concluir? La sección cónica es una hipérbola. Dada la ecuación a x 2 + 4 x + 3 y 2 - 12 = 0 , ¿qué podemos concluir si a > 0 ? Para la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , el valor de θ que satisface cot ( 2 θ ) = A - C B ¿qué información nos da? Da el ángulo de rotación de los ejes para eliminar el término x y . Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada. 9 x 2 + 4 y 2 + 72 x + 36 y − 500 = 0 x 2 - 10 x + 4 y - 10 = 0 A B = 0 , parábola 2 x 2 - 2 y 2 + 4 x - 6 y - 2 = 0 4 x 2 - y 2 + 8 x – 1 = 0 A B = – 4 < 0 , hipérbola 4 y 2 - 5 x + 9 y + 1 = 0 2 x 2 + 3 y 2 - 8 x - 12 y + 2 = 0 A B = 6 > 0 , elipse 4 x 2 + 9 x y + 4 y 2 - 36 y − 125 = 0 3 x 2 + 6 x y + 3 y 2 - 36 y − 125 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola - 3 x 2 + 3 3 x y - 4 y 2 + 9 = 0 2 x 2 + 4 3 x y + 6 y 2 - 6 x - 3 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola - x 2 + 4 2 x y + 2 y 2 - 2 y + 1 = 0 8 x 2 + 4 2 x y + 4 y 2 - 10 x + 1 = 0 B 2 - 4 A C = − 96 < 0 , elipse En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado. 3 x 2 + x y + 3 y 2 - 5 = 0 , θ = 45° 4 x 2 - x y + 4 y 2 - 2 = 0 , θ = 45° 7 x ′ 2 + 9 y ′ 2 - 4 = 0 2 x 2 + 8 x y - 1 = 0 , θ = 30° - 2 x 2 + 8 x y + 1 = 0 , θ = 45° 3 x ′ 2 + 2 x ′ y ′ − 5 y ′ 2 + 1 = 0 4 x 2 + 2 x y + 4 y 2 + y + 2 = 0 , θ = 45° En los siguientes ejercicios, determine el ángulo θ que eliminará el término x y y escriba la ecuación correspondiente sin el término x y . x 2 + 3 3 x y + 4 y 2 + y - 2 = 0 θ = 60 ∘ , 11 x ′ 2 - y ′ 2 + 3 x ′ + y ′ - 4 = 0 4 x 2 + 2 3 x y + 6 y 2 + y - 2 = 0 9 x 2 - 3 3 x y + 6 y 2 + 4 y - 3 = 0 θ = 150 ∘ , 21 x ′ 2 + 9 y ′ 2 + 4 x ′ - 4 3 y ′ − 6 = 0 −3 x 2 - 3 x y - 2 y 2 - x = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 6 x - 6 y + 2 = 0 θ ≈ 36,9 ∘ , 125 x ′ 2 + 6 x ′ − 42 y ′ + 10 = 0 x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 3 x - 2 = 0 x 2 + 4 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0 θ = 45 ∘ , 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0 4 x 2 - 2 3 x y + 6 y 2 – 1 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada. y = - x 2 , θ = − 45 ∘ 2 2 ( x ′ + y ′ ) = 1 2 ( x ′ - y ′ ) 2 x = y 2 , θ = 45 ∘ x 2 4 + y 2 1 = 1 , θ = 45 ∘ ( x ′ - y ′ ) 2 8 + ( x ′ + y ′ ) 2 2 = 1 y 2 16 + x 2 9 = 1 , θ = 45 ∘ y 2 - x 2 = 1 , θ = 45 ∘ ( x ′ + y ′ ) 2 2 - ( x ′ - y ′ ) 2 2 = 1 y = x 2 2 , θ = 30 ∘ x = ( y - 1 ) 2 , θ = 30 ∘ 3 2 x ′ - 1 2 y ′ = ( 1 2 x ′ + 3 2 y ′ - 1 ) 2 x 2 9 + y 2 4 = 1 , θ = 30 ∘ En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema x ′ y ′ en el que la ecuación no tiene el término x ′ y ′ . x y = 9 x 2 + 10 x y + y 2 - 6 = 0 x 2 - 10 x y + y 2 - 24 = 0 4 x 2 - 3 3 x y + y 2 − 22 = 0 6 x 2 + 2 3 x y + 4 y 2 − 21 = 0 11 x 2 + 10 3 x y + y 2 − 64 = 0 21 x 2 + 2 3 x y + 19 y 2 − 18 = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 − 130 x + 90 y = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 − 60 x + 80 y = 0 13 x 2 - 6 3 x y + 7 y 2 - 16 = 0 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 8 5 x − 16 5 y = 0 En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término x y . A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes. 6 x 2 - 5 3 x y + y 2 + 10 x - 12 y = 0 6 x 2 - 5 x y + 6 y 2 + 20 x - y = 0 θ = 45 ∘ 6 x 2 - 8 3 x y + 14 y 2 + 10 x - 3 y = 0 4 x 2 + 6 3 x y + 10 y 2 + 20 x − 40 y = 0 θ = 60 ∘ 8 x 2 + 3 x y + 4 y 2 + 2 x - 4 = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 20 x − 44 y = 0 θ ≈ 36,9 ∘ En los siguientes ejercicios, determine el valor de k con base en la ecuación dada. Dados 4 x 2 + k x y + 16 y 2 + 8 x + 24 y − 48 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una parábola. Dados 2 x 2 + k x y + 12 y 2 + 10 x − 16 y + 28 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una elipse. - 4 6 < k < 4 6 Dados 3 x 2 + k x y + 4 y 2 - 6 x + 20 y + 128 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una hipérbola. Dados k x 2 + 8 x y + 8 y 2 - 12 x + 16 y + 18 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una parábola. k = 2 Dados 6 x 2 + 12 x y + k y 2 + 16 x + 10 y + 4 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una elipse. ángulo de rotación un ángulo agudo formado por un conjunto de ejes girados desde el plano cartesiano donde, si cot ( 2 θ ) > 0 , entonces θ está entre ( 0° , 45° ) ; si cot ( 2 θ ) < 0 , entonces θ está entre ( 45° , 90° ) ; y si cot ( 2 θ ) = 0 , entonces θ = 45° secciones cónicas degeneradas cualquiera de las posibles formas que se forman cuando un plano interseca un cono doble por el vértice. Los tipos de secciones cónicas degeneradas incluyen un punto, una línea y líneas de intersección. sección cónica no degenerada forma formada por la intersección de un plano con un doble cono recto de manera que el plano no pasa por el vértice; círculos, elipses, hipérbolas y parábolas son secciones cónicas no degeneradas

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Secciones cónicas en coordenadas polares Los planetas que orbitan el sol siguen trayectorias elípticas. (Créditos: NASA Blueshift, Flickr). La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas. En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares. Identificar una sección cónica en forma polar. Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco , una línea fija llamada directriz , y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola x = 2 + y 2 que se muestra en la . En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco P ( r , θ ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar. Si los valores de F es un punto fijo, el foco, y D es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que e sea un número fijo positivo, llamado excentricidad , que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos P de manera que e = P F P D es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos P con la propiedad de que la relación de la distancia de P con F con la distancia de P con D es igual a la constante e . Para una cónica con excentricidad e , si 0 ≤ e < 1 , la cónica es una elipse si e = 1 , la cónica es una parábola si e > 1 , la cónica es una hipérbola Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, x = ± p , la excentricidad e , y el ángulo θ . Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar , una ecuación escrita en términos de r y θ . La ecuación polar de una cónica Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es x = ± p , donde p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e , la cónica tiene una ecuación polar r = e p 1 ± e cos θ Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es y = ± p , donde p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e , la cónica tiene una ecuación polar r = e p 1 ± e sen θ Cómo Dada la ecuación polar de una cónica, identifique el tipo de cónica, la directriz y la excentricidad. Multiplique el numerador y el denominador por el recíproco de la constante en el denominador para reescribir la ecuación en forma estándar. Identifique la excentricidad e como el coeficiente de la función trigonométrica en el denominador. Compare e con 1 para determinar la forma de la cónica. Determine la directriz como x = p si el coseno está en el denominador y y = p si el seno está en el denominador. Establezca e p igual al numerador en forma estándar para resolver x o y . Identificación de una sección cónica dada la forma polar Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad . r = 6 3 + 2 sen θ r = 12 4 + 5 cos θ r = 7 2 - 2 sen θ Para cada una de las tres cónicas reescribiremos la ecuación en forma estándar. La forma estándar tiene un 1 como constante en el denominador. Por lo tanto, en las tres partes, el primer paso será multiplicar el numerador y el denominador por el recíproco de la constante de la ecuación original, 1 c , donde c es esa constante. Multiplique el numerador y el denominador por 1 3 . r = 6 3 + 2 sen θ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) + 2 ( 1 3 ) sen θ = 2 1 + 2 3 sen θ Dado que sen θ está en el denominador, la directriz es y = p . En comparación con la forma estándar, tenga en cuenta que e = 2 3 . Por lo tanto, desde el numerador, 2 = e p 2 = 2 3 p ( 3 2 ) 2 = ( 3 2 ) 2 3 p 3 = p Dado que e < 1 , la cónica es una elipse . La excentricidad es e = 2 3 y la directriz es y = 3. Multiplique el numerador y el denominador por 1 4 . r = 12 4 + 5 cos θ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) r = 12 ( 1 4 ) 4 ( 1 4 ) + 5 ( 1 4 ) cos θ r = 3 1 + 5 4 cos θ Dado que cos θ está en el denominador, la directriz es x = p . Comparación con la forma estándar, e = 5 4 . Por lo tanto, desde el numerador, 3 = e p 3 = 5 4 p ( 4 5 ) 3 = ( 4 5 ) 5 4 p 12 5 = p Dado que e > 1 , la cónica es una hipérbola . La excentricidad es e = 5 4 y la directriz es x = 12 5 = 2,4. Multiplique el numerador y el denominador por 1 2 . r = 7 2 - 2 sen θ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) r = 7 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) - 2 ( 1 2 ) sen θ r = 7 2 1 - sen θ Como el seno está en el denominador, la directriz es y = - p . Comparación con la forma estándar, e = 1. Por lo tanto, desde el numerador, 7 2 = e p 7 2 = ( 1 ) p 7 2 = p Dado que e = 1 , la cónica es una parábola . La excentricidad es e = 1 y la directriz es y = - 7 2 = -3,5. Ejercicio Identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad para r = 2 3 − cos θ . elipse; e = 1 3 ; x = - 2 Graficar las ecuaciones polares de las cónicas Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar e y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de θ y resolver para r para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que θ igual a 0 , π 2 , π , y 3 π 2 proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico. Graficar una parábola en forma polar Grafique r = 5 3 + 3 cos θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 3, que es 1 3 . r = 5 3 + 3 cos θ = 5 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) + 3 ( 1 3 ) cos θ r = 5 3 1 + cos θ Dado que e = 1 , graficaremos una parábola con foco en el origen. La función tiene un cos θ , y hay un signo de suma en el denominador, por lo que la directriz es x = p . 5 3 = e p 5 3 = ( 1 ) p 5 3 = p La directriz es x = 5 3 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 5 3 + 3 cos θ 5 6 ≈ 0,83 5 3 ≈ 1,67 indefinida 5 3 ≈ 1,67 Análisis Podemos comprobar nuestro resultado con una herramienta gráfica. Vea la . Graficar una hipérbola en forma polar Grafique r = 8 2 - 3 sen θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 2, que es 1 2 . r = 8 2 - 3 sen θ = 8 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) - 3 ( 1 2 ) sen θ r = 4 1 - 3 2 sen θ Dado que e = 3 2 , e > 1 , por lo que graficaremos una hipérbola con foco en el origen. La función tiene un sen θ y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es y = - p . 4 = e p 4 = ( 3 2 ) p 4 ( 2 3 ) = p 8 3 = p La directriz es y = - 8 3 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 8 2 - 3 sen θ 4 − 8 4 8 5 = 1,6 Graficar una elipse en forma polar Grafique r = 10 5 - 4 cos θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 5, que es 1 5 . r = 10 5 - 4 cos θ = 10 ( 1 5 ) 5 ( 1 5 ) - 4 ( 1 5 ) cos θ r = 2 1 - 4 5 cos θ Dado que e = 4 5 , e < 1 , por lo que graficaremos una elipse con un foco en el origen. La función tiene un cos θ , y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es x = - p . 2 = e p 2 = ( 4 5 ) p 2 ( 5 4 ) = p 5 2 = p La directriz es x = - 5 2 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 10 5 - 4 cos θ 10 2 10 9 ≈ 1,1 2 Análisis Podemos comprobar nuestro resultado utilizando una herramienta gráfica. Vea la . r = 10 5 - 4 cos θ graficado en una ventana de visualización de [ -3 , 12 , 1 ] entre [ – 4 , 4 , 1 ] , θ mín. = 0 y θ máx. = 2 π . Ejercicio Grafique r = 2 4 − cos θ . Definir cónicas en términos de un foco y una directriz Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar. Cómo Dado el foco, la excentricidad y la directriz de una cónica, determine la ecuación polar. Determine si la directriz es horizontal o vertical. Si la directriz se da en términos de y , utilizamos la forma polar general en términos de seno. Si la directriz se da en términos de x , utilizamos la forma polar general en términos de coseno. Determine el signo del denominador. Si los valores de p < 0 , utilice la resta. Si los valores de p > 0 , utilice la adición. Escriba el coeficiente de la función trigonométrica como la excentricidad dada. Escriba el valor absoluto de p en el numerador y simplifique la ecuación. Hallar la forma polar de una sección cónica vertical dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e = 3 y directriz y = − 2. La directriz es y = - p , por lo que sabemos que la función trigonométrica en el denominador es el seno. Dado que y = –2 , -2 < 0 , por lo que sabemos que hay un signo de resta en el denominador. Utilizamos la forma estándar de r = e p 1 - e sen θ y e = 3 y | −2 | = 2 = p . Por lo tanto, r = ( 3 ) ( 2 ) 1 - 3 sen θ r = 6 1 - 3 sen θ Hallar la forma polar de una sección cónica horizontal dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz Halle la forma polar de una cónica dado un foco en el origen, e = 3 5 , y directriz x = 4. Como la directriz es x = p , sabemos que la función en el denominador es coseno. Dado que x = 4 , 4 > 0 , entonces sabemos que hay un signo de suma en el denominador. Utilizamos la forma estándar de r = e p 1 + e cos θ y e = 3 5 y | 4 | = 4 = p . Por lo tanto, r = ( 3 5 ) ( 4 ) 1 + 3 5 cos θ r = 12 5 1 + 3 5 cos θ r = 12 5 1 ( 5 5 ) + 3 5 cos θ r = 12 5 5 5 + 3 5 cos θ r = 12 5 ⋅ 5 5 + 3 cos θ r = 12 5 + 3 cos θ Ejercicio Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e = 1 , y directriz x = −1. r = 1 1 - cos θ Convertir una cónica en forma polar a forma rectangular Convertir la sección cónica r = 1 5 - 5 sen θ a la forma rectangular. Reorganizaremos la fórmula para utilizar las identidades r = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y y = r sen θ . r = 1 5 - 5 sen θ r ⋅ ( 5 - 5 sen θ ) = 1 5 - 5 sen θ ⋅ ( 5 - 5 sen θ ) Eliminar la fracción . 5 r − 5 r sen θ = 1 Distribuya . 5 r = 1 + 5 r sen θ Aísle 5 r . 25 r 2 = ( 1 + 5 r sen θ ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . 25 ( x 2 + y 2 ) = ( 1 + 5 y ) 2 Sustituya r = x 2 + y 2 y y = r sen θ . 25 x 2 + 25 y 2 = 1 + 10 y + 25 y 2 Distribuya y use el método FOIL . 25 x 2 - 10 y = 1 Reordene los términos y establézcalos igual a 1 . Ejercicio Convertir la sección cónica r = 2 1 + 2 cos θ a la forma rectangular. 4 − 8 x + 3 x 2 - y 2 = 0 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las cónicas en coordenadas polares. Ecuaciones polares de secciones cónicas Gráficos de ecuaciones polares de cónicas 1 Gráficos de ecuaciones polares de cónicas 2 Conceptos clave Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco P ( r , θ ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar. Una cónica es el conjunto de todos los puntos e = P F P D , donde la excentricidad e es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el . Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el , el y el . Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el y el . Podemos utilizar las identidades r = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y y = r sen θ para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo la excentricidad determina qué sección cónica se da. Si la excentricidad es menor que 1, es una elipse. Si la excentricidad es igual a 1, es una parábola. Si la excentricidad es mayor que 1, es una hipérbola. Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, ¿qué debe ser cierto para el denominador? Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, y el denominador implica sen θ , ¿qué conclusión se puede sacar sobre la directriz? La directriz será paralela al eje polar. Si la directriz de una sección cónica es perpendicular al eje polar, ¿qué sabemos de la ecuación del gráfico? ¿Qué sabemos sobre los focos de una sección cónica si se escribe como una ecuación polar? Uno de los focos se situará en el origen. Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad. r = 6 1 - 2 cos θ r = 3 4 - 4 sen θ Parábola con e = 1 y directriz 3 4 unidades por debajo del polo. r = 8 4 - 3 cos θ r = 5 1 + 2 sen θ Hipérbola con e = 2 y directriz 5 2 unidades por encima del polo. r = 16 4 + 3 cos θ r = 3 10 + 10 cos θ Parábola con e = 1 y directriz 3 10 unidades a la derecha del polo. r = 2 1 - cos θ r = 4 7 + 2 cos θ Elipse con e = 2 7 y directriz 2 unidades a la derecha del polo. r ( 1 - cos θ ) = 3 r ( 3 + 5 sen θ ) = 11 Hipérbola con e = 5 3 y directriz 11 5 unidades por encima del polo. r ( 4 − 5 sen θ ) = 1 r ( 7 + 8 cos θ ) = 7 Hipérbola con e = 8 7 y directriz 7 8 unidades a la derecha del polo. En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular. r = 4 1 + 3 sen θ r = 2 5 - 3 sen θ 25 x 2 + 16 y 2 - 12 y - 4 = 0 r = 8 3 - 2 cos θ r = 3 2 + 5 cos θ 21 x 2 - 4 y 2 − 30 x + 9 = 0 r = 4 2 + 2 sen θ r = 3 8 − 8 cos θ 64 y 2 = 48 x + 9 r = 2 6 + 7 cos θ r = 5 5 − 11 sen θ 96 y 2 - 25 x 2 + 110 y + 25 = 0 r ( 5 + 2 cos θ ) = 6 r ( 2 - cos θ ) = 1 3 x 2 + 4 y 2 - 2 x – 1 = 0 r ( 2,5 − 2,5 sen θ ) = 5 r = 6 sec θ - 2 + 3 sec θ 5 x 2 + 9 y 2 - 24 x − 36 = 0 r = 6 csc θ 3 + 2 csc θ En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 5 2 + cos θ r = 2 3 + 3 sen θ r = 10 5 - 4 sen θ r = 3 1 + 2 cos θ r = 8 4 − 5 cos θ r = 3 4 - 4 cos θ r = 2 1 - sen θ r = 6 3 + 2 sen θ r ( 1 + cos θ ) = 5 r ( 3 - 4 sen θ ) = 9 r ( 3 - 2 sen θ ) = 6 r ( 6 - 4 cos θ ) = 5 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas. Directriz: x = 4 ; e = 1 5 r = 4 5 + cos θ Directriz: x = – 4 ; e = 5 Directriz: y = 2 ; e = 2 r = 4 1 + 2 sen θ Directriz: y = - 2 ; e = 1 2 Directriz: x = 1 ; e = 1 r = 1 1 + cos θ Directriz: x = - 1 ; e = 1 Directriz: x = - 1 4 ; e = 7 2 r = 7 8 − 28 cos θ Directriz: y = 2 5 ; e = 7 2 Directriz: y = 4 ; e = 3 2 r = 12 2 + 3 sen θ Directriz: x = −2 ; e = 8 3 Directriz: x = −5 ; e = 3 4 r = 15 4 - 3 cos θ Directriz: y = 2 ; e = 2,5 Directriz: x = −3 ; e = 1 3 r = 3 3 - 3 cos θ Extensiones Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término x y han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con r en función de θ . x y = 2 x 2 + x y + y 2 = 4 r = ± 2 1 + sen θ cos θ 2 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 9 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 = 4 r = ± 2 4 cos θ + 3 sen θ 2 x y + y = 1 Ejercicios de repaso del capítulo La elipse En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos. x 2 25 + y 2 64 = 1 x 2 5 2 + y 2 8 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 5 , 0 ) , ( −5 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 0 , − 8 ) ; focos: ( 0 , 39 ) , ( 0 , − 39 ) ( x - 2 ) 2 100 + ( y + 3 ) 2 36 = 1 9 x 2 + y 2 + 54 x - 4 y + 76 = 0 ( x + 3 ) 2 1 2 + ( y - 2 ) 2 3 2 = 1 ( - 3 , 2 ) ; ( – 2 , 2 ) , ( - 4 , 2 ) , ( - 3 , 5 ) , ( - 3 , - 1 ) ; ( - 3 , 2 + 2 2 ) , ( - 3 , 2 - 2 2 ) 9 x 2 + 36 y 2 - 36 x + 72 y + 36 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos. x 2 36 + y 2 9 = 1 centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 6 , 0 ) , ( –6 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) ; focos: ( 3 3 , 0 ) , ( - 3 3 , 0 ) ( x - 4 ) 2 25 + ( y + 3 ) 2 49 = 1 4 x 2 + y 2 + 16 x + 4 y − 44 = 0 centro: ( –2 , –2 ) ; vértices: ( 2 , –2 ) , ( –6 , –2 ) , ( –2 , 6 ) , ( –2 , –10 ) ; focos: ( –2 , −2 + 4 3 , ) , ( –2 , −2 -4 3 ) 2 x 2 + 3 y 2 − 20 x + 12 y + 38 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse. Centro en ( 0 , 0 ) , foco en ( 3 , 0 ) , vértice en ( −5 , 0 ) x 2 25 + y 2 16 = 1 Centro en ( 2 , –2 ) , vértice en ( 7 , –2 ) , foco en ( 4 , –2 ) Se construirá una galería de susurros de forma que los focos se sitúen a 35 pies del centro. Si la longitud de la galería es de 100 pies, ¿cuál debe ser la altura del techo? Aproximadamente 35,71 pies. La hipérbola En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos. x 2 81 − y 2 9 = 1 ( y + 1 ) 2 16 - ( x - 4 ) 2 36 = 1 ( y + 1 ) 2 4 2 - ( x - 4 ) 2 6 2 = 1 ; centro: ( 4 , –1 ) ; vértices: ( 4 , 3 ) , ( 4 , −5 ) ; focos: ( 4 , −1 + 2 13 ) , ( 4 , −1 - 2 13 ) 9 y 2 - 4 x 2 + 54 y − 16 x + 29 = 0 3 x 2 - y 2 - 12 x - 6 y − 9 = 0 ( x - 2 ) 2 2 2 - ( y + 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 = 1 ; centro: ( 2 , −3 ) ; vértices: ( 4 , −3 ) , ( 0 , −3 ) ; focos: ( 6 , −3 ) , ( –2 , −3 ) En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos. x 2 9 − y 2 16 = 1 ( y - 1 ) 2 49 - ( x + 1 ) 2 4 = 1 x 2 - 4 y 2 + 6 x + 32 y − 91 = 0 2 y 2 - x 2 - 12 y - 6 = 0 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola. Centro en ( 0 , 0 ) , vértice en ( 0 , 4 ) , foco en ( 0 , –6 ) Focos en ( 3 , 7 ) y ( 7 , 7 ) , vértice en ( 6 , 7 ) ( x - 5 ) 2 1 - ( y - 7 ) 2 3 = 1 La parábola En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz. y 2 = 12 x ( x + 2 ) 2 = 1 2 ( y - 1 ) ( x + 2 ) 2 = 1 2 ( y - 1 ) ; vértice: ( –2 , 1 ) ; foco: ( –2 , 9 8 ) ; directriz: y = 7 8 y 2 - 6 y - 6 x - 3 = 0 x 2 + 10 x - y + 23 = 0 ( x + 5 ) 2 = ( y + 2 ) ; vértice: ( - 5 , - 2 ) ; foco: ( - 5 , - 7 4 ) ; directriz: y = - 9 4 En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz. x 2 + 4 y = 0 ( y - 1 ) 2 = 1 2 ( x + 3 ) x 2 - 8 x - 10 y + 46 = 0 2 y 2 + 12 y + 6 x + 15 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada. Foco en ( -4 , 0 ) ; la directriz es x = 4 Foco en ( 2 , 9 8 ) ; la directriz es y = 7 8 ( x - 2 ) 2 = ( 1 2 ) ( y - 1 ) Una antena receptora de televisión por cable tiene la forma de un paraboloide de revolución. Halle la ubicación del receptor, que se coloca en el foco, si la antena parabólica tiene 5 pies de diámetro en su apertura y 1,5 pies de profundidad. Rotación de ejes En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada. 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 24 x − 60 y − 60 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola 4 x 2 + 14 x y + 5 y 2 + 18 x - 6 y + 30 = 0 4 x 2 + x y + 2 y 2 + 8 x − 26 y + 9 = 0 B 2 - 4 A C = − 31 < 0 , elipse En los siguientes ejercicios, determine el ángulo θ que eliminará el término x y , y escriba la ecuación correspondiente sin el término x y . x 2 + 4 x y - 2 y 2 - 6 = 0 x 2 - x y + y 2 - 6 = 0 θ = 45 ∘ , x ′ 2 + 3 y ′ 2 - 12 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema x ′ y ′ en el que la ecuación no tiene el término x ′ y ′ . 9 x 2 - 24 x y + 16 y 2 − 80 x − 60 y + 100 = 0 x 2 - x y + y 2 - 2 = 0 θ = 45 ∘ 6 x 2 + 24 x y – y 2 - 12 x + 26 y + 11 = 0 Secciones cónicas en coordenadas polares En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz. r = 10 1 - 5 cos θ Hipérbola con e = 5 y directriz 2 unidades a la izquierda del polo. r = 6 3 + 2 cos θ r = 1 4 + 3 sen θ Elipse con e = 3 4 y directriz 1 3 unidad por encima del polo. r = 3 5 - 5 sen θ En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 3 1 - sen θ r = 8 4 + 3 sen θ r = 10 4 + 5 cos θ r = 9 3 - 6 cos θ En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar. La directriz es x = 3 y excentricidad e = 1 r = 3 1 + cos θ La directriz es y = −2 y excentricidad e = 4 Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos. x 2 9 + y 2 4 = 1 x 2 3 2 + y 2 2 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 3 , 0 ) , ( -3 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) ; focos: ( 5 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) 9 y 2 + 16 x 2 - 36 y + 32 x − 92 = 0 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos. ( x - 3 ) 2 64 + ( y - 2 ) 2 36 = 1 centro: ( 3 , 2 ) ; vértices: ( 11 , 2 ) , ( −5 , 2 ) , ( 3 , 8 ) , ( 3 , –4 ) ; focos: ( 3 + 2 7 , 2 ) , ( 3 - 2 7 , 2 ) 2 x 2 + y 2 + 8 x - 6 y - 7 = 0 Escriba la ecuación en forma estándar de una elipse con centro en ( 1 , 2 ) , vértice en ( 7 , 2 ) , y el foco en ( 4 , 2 ). ( x – 1 ) 2 36 + ( y - 2 ) 2 27 = 1 Se va a construir una galería de susurros con una longitud de 150 pies. Si los focos deben situarse a 20 pies de la pared, ¿qué altura debe tener el techo? En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas. x 2 49 − y 2 81 = 1 x 2 7 2 - y 2 9 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices ( 7 , 0 ) , ( –7 , 0 ) ; focos: ( 130 , 0 ) , ( − 130 , 0 ) ; asíntotas: y = ± 9 7 x 16 y 2 - 9 x 2 + 128 y + 112 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas. ( x - 3 ) 2 25 − ( y + 3 ) 2 1 = 1 centro: ( 3 , −3 ) ; vértices: ( 8 , −3 ) , ( –2 , −3 ) ; focos: ( 3 + 26 , −3 ) , ( 3 − 26 , −3 ) ; asíntotas: y = ± 1 5 ( x - 3 ) - 3 y 2 - x 2 + 4 y - 4 x − 18 = 0 Escriba la ecuación en forma estándar de una hipérbola con focos en ( 1 , 0 ) y ( 1 , 6 ) , y un vértice en ( 1 , 2 ) . ( y - 3 ) 2 1 - ( x – 1 ) 2 8 = 1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz. y 2 + 10 x = 0 3 x 2 - 12 x - y + 11 = 0 ( x - 2 ) 2 = 1 3 ( y + 1 ) ; vértice: ( 2 , –1 ) ; foco: ( 2 , − 11 12 ) ; directriz: y = - 13 12 En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz. ( x – 1 ) 2 = -4 ( y + 3 ) y 2 + 8 x - 8 y + 40 = 0 Escriba la ecuación de una parábola con foco en ( 2 , 3 ) y directriz y = −1. Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Si la fuente de luz está situada a 1,5 pies de la base a lo largo del eje de simetría y la profundidad del reflector es de 3 pies, ¿cuál debería ser el ancho de la apertura? Aproximadamente 8,49 pies En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo θ que eliminará el término x y . 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 = 4 x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x - 8 y = 0 parábola; θ ≈ 63,4 ∘ En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema x ′ y ′ sin el término x ′ y ′ , y exprese el gráfico rotado. 11 x 2 + 10 3 x y + y 2 = 4 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 - 125 x = 0 x ′ 2 - 4 x ′ + 3 y ′ = 0 En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad. r = 3 2 - sen θ r = 5 4 + 6 cos θ Hipérbola con e = 3 2 , y directriz 5 6 unidades a la derecha del polo. En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 12 4 − 8 sen θ r = 2 4 + 4 sen θ Halle una ecuación polar de la cónica con foco en el origen, excentricidad de e = 2 , y directriz: x = 3. excentricidad la relación de las distancias de un punto P en el gráfico al foco F y a la directriz D representado por e = P F P D , donde e es un número real positivo ecuación polar una ecuación de una curva en coordenadas polares r y θ

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Introducción (Créditos: Robert Couse-Baker, Flickr). Un ganador de la lotería tiene que tomar algunas decisiones importantes sobre qué hacer con las ganancias. ¿Comprar una casa nueva? ¿Un descapotable de lujo? ¿Un crucero alrededor del mundo? La probabilidad de ganar la lotería es escasa, pero a todos nos encanta fantasear con lo que podríamos comprar con las ganancias. Una de las primeras decisiones que tiene que tomar el ganador de la lotería es si va a recibir el premio en forma de pago único o en una serie de pagos regulares, llamados anualidades, durante un largo periodo. Esta decisión se basa en muchos factores, como las implicaciones fiscales, los tipos de interés y las estrategias de inversión. También hay que tener en cuenta los motivos personales a la hora de elegir, y se pueden dar muchos argumentos para cualquiera de las dos decisiones. Sin embargo, la mayoría de los ganadores de la lotería optan por el pago único. En este capítulo exploraremos las matemáticas que están detrás de este tipo de situaciones. Analizaremos en profundidad las anualidades. También veremos la rama de las matemáticas que nos permitiría calcular el número de formas de elegir los números de la lotería y la probabilidad de ganar.

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Secuencias y sus notaciones Objetivos de aprendizaje Escribir los primeros términos de una secuencia (IA 12.1.1) Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2) Objetivo 1: Escribir los primeros términos de una secuencia (AI 12.1.1). Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de esa hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La dosis de 30 mg se toma en el momento t = 1 hora. ¿Qué cantidad de esta dosis queda al cabo de 1 hora? ¿2 horas? ¿3 horas? ¿4 horas? Tiempo t Dosis restante después del tiempo t 1 0,90(30) = 27mg 2 0,90(27) = 24,3mg 3 0,90(24,3) = 21,87mg 4 0,90(21,87)=19,68mg Esta lista ordenada de números 27, 24,3, 21,87, 19,68, ... es una secuencia . Cada número en la lista es un término . La secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo. La secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (elipsis) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números que se cuentan, entonces la secuencia es una secuencia infinita . A menudo, al trabajar con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos f ( x ) = 2 x y dijimos que la expresión 2x era la regla que definía los valores en el rango. Aunque una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En vez de escribir la función como f ( x ) = 2 x , la escribiríamos como a n = 2 n . El a n es el enésimo término la secuencia , el término en la enésima posición donde n es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el enésimo término de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia. Los términos de la secuencia general se denotan de la siguiente forma: a 1 primer término a 2 segundo término a 3 tercer término . . . a n n t h término a n + 1 ( n + 1 ) término . . . Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n = 2 n 7 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 2 n 7 2 ( 1 ) 7 2 ( 2 ) 7 2 ( 3 ) 7 2 ( 4 ) 7 2 ( 5 ) 7 5 3 1 1 3 La práctica hace la perfección Escriba los primeros términos de una secuencia. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n = 4 n + 2 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 4 n + 2 Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n n = 3 n – 1 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 n – 1 Objetivo 2: Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2) A veces, tenemos unos cuantos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o enésimo término . Para hallar el término general, buscamos patrones en los términos . A menudo, los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos. Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia. Ⓐ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran a continuación: 4, 8, 12, 16, 20... Ⓑ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran a continuación: 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1 81 , 1 243 , . . . Ⓐ Busque un patrón en los términos Los números son todos múltiplos de 4 El término general de la secuencia: a n = 4 n . Ⓑ Busque un patrón en los términos. Los numeradores son todos 1 y los denominadores son potencias de 3 El término general de la secuencia: a n = 1 3 n La práctica hace la perfección Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran: 8, 16, 24, 32, 40, ... Busque un patrón en los términos Términos: ________________ El término general de la secuencia: ________________ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran: 1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1.024 , . . . Busque un patrón en los términos Términos: ________________ El término general de la secuencia: ________________ Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la . Día 1 2 3 4 5 … Visitas 2 4 8 16 32 … Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia . La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … } . La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término . Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32. Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia. Un tipo de fórmula es la fórmula explícita , que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia , donde n es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el enésimo término. El primer término de la secuencia es 2 1 = 2 , el segundo término es 2 2 = 4 , el tercer término es 2 3 = 8 , y así sucesivamente. El enésimo término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la n potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula a , b , c ... con el subíndice n . La fórmula explícita para esta secuencia es a n = 2 n . Ahora que tenemos una fórmula para el enésimo término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por n en la fórmula. a 31 = 2 31 = 2.147.483.648 Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá 2.147.483.648 visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales. Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el enésimo término de la secuencia se muestran en la . n 1 2 3 4 5 n enésimo término de la secuencia, a n 2 4 8 16 32 2 n Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial. Por último, podemos escribir esta secuencia particular como { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … , 2 n , … } . Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita . El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … , 2 n , … , 1.024 } . Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente. Secuencia La secuencia es una función cuyo dominio son el conjunto de enteros positivos. La secuencia finita es una secuencia cuyo dominio se compone solamente de los primeros n enteros positivos. Los números de una secuencia se llaman términos . La variable a con un subíndice numérico se utiliza para representar los términos de una secuencia y para indicar la posición del término en la secuencia. a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … Llamamos a 1 el primer término de la secuencia, a 2 el segundo término de la secuencia, a 3 el tercer término de la secuencia, y así sucesivamente. El término a n se llama el enésimo término de la secuencia , o el término general de la secuencia. La fórmula explícita define el enésimo término de una secuencia utilizando la posición del término. Una secuencia que continúa indefinidamente es una secuencia infinita . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Una secuencia tiene que empezar siempre por a 1 ? No. En ciertos problemas, puede ser útil definir el término inicial como a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, el dominio de la función incluye 0. Cómo Dada una fórmula explícita, escriba el primer término. n de una secuencia. Sustituya cada valor de n en la fórmula. Comience con n = 1 para hallar el primer término, a 1 . Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = - 3 n + 8. Sustituya n = 1 en la fórmula. Repita con los valores de 2 a 5 para n . n = 1 a 1 = - 3 ( 1 ) + 8 = 5 n = 2 a 2 = - 3 ( 2 ) + 8 = 2 n n = 3 a 3 = - 3 ( 3 ) + 8 = - 1 n = 4 a 4 = - 3 ( 4 ) + 8 = – 4 n = 5 a 5 = - 3 ( 5 ) + 8 = - 7 Los cinco primeros términos son { 5 , 2 , –1 , -4 , −7 } . Análisis Los valores de la secuencia se pueden enumerar en una tabla. Una tabla, como la , es una forma cómoda de introducir la función en una herramienta gráfica. n 1 2 3 4 5 a n 5 2 -1 -4 –7 A partir de esta tabla de valores se puede hacer un gráfico. A partir del gráfico de la , podemos ver que esta secuencia representa una función lineal, pero observe que el gráfico no es continuo porque el dominio es solo sobre los enteros positivos. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita t n = 5 n − 4. Los cinco primeros términos son { 1 , 6 , 11 , 16 , 21 } . Investigar secuencias alternas A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como n aumenta. Veamos la siguiente secuencia. { 2 , -4 , 6 , −8 } Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia. Cómo Dada una fórmula explícita con términos alternos, escriba el primer término n de una secuencia. Sustituya cada valor de n en la fórmula. Comience con n = 1 para hallar el primer término, a 1 . El signo del término viene dado por el ( - 1 ) n en la fórmula explícita. Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia alterna definida por una fórmula explícita Escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a n = ( - 1 ) n n 2 n + 1 Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula. n = 1 a 1 = ( - 1 ) 1 1 2 1 + 1 = - 1 2 n = 2 a 2 = ( - 1 ) 2 2 2 2 + 1 = 4 3 n n = 3 a 3 = ( - 1 ) 3 3 2 3 + 1 = - 9 4 n = 4 a 4 = ( - 1 ) 4 4 2 4 + 1 = 16 5 n = 5 a 5 = ( - 1 ) 5 5 2 5 + 1 = − 25 6 Los cinco primeros términos son { - 1 2 , 4 3 ,− 9 4 , 16 5 ,− 25 6 } . Análisis El gráfico de esta función que se muestra en la tiene un aspecto diferente a las que hemos visto anteriormente en esta sección porque los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , ¿el (–1) elevado a la potencia de n explica las oscilaciones de los signos? Sí, la potencia puede ser n , n + 1 , n – 1 , y así sucesivamente, pero cualquier potencia impar generará un término negativo, y cualquier potencia par ocasionará un término positivo. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a n = 4 n ( – 2 ) n Los cinco primeros términos son { − 2 , 2 , - 3 2 , 1 , - 5 8 } . Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes . Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual. Cómo Dada una fórmula explícita para una función definida por partes, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique la fórmula a la que n = 1 aplica. Para hallar el primer término, a 1 , utilice n = 1 en la fórmula correspondiente. Identifique la fórmula a la que n = 2 aplica. Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2 en la fórmula correspondiente. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula definida por partes explícita Escriba los seis primeros términos de la secuencia. a n = { n 2 si n no es divisible entre 3 n 3 si n es divisible entre 3 Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula correspondiente. Utilice n 2 cuando n no es un múltiplo de 3. Utilice n 3 cuando n es un múltiplo de 3. a 1 = 1 2 = 1 1 no es múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 2 = 2 2 = 4 2 no es múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 3 = 3 3 = 1 3 es un múltiplo de 3 . Uso n 3 . a 4 = 4 2 = 16 4 no es un múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 5 = 5 2 = 25 5 no es un múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 6 = 6 3 = 2 6 es un múltiplo de 3 . Uso n 3 . Los seis primeros términos son { 1 , 4 , 1 , 16 , 25 , 2 } . Análisis Uno de cada tres puntos del gráfico que se muestra en la se distingue de los dos puntos cercanos. Esto ocurre porque la secuencia fue determinada por una función definida por partes. Ejercicio Escriba los seis primeros términos de la secuencia. a n = { 2 n 3 si n es impar 5 n 2 si n es par Los seis primeros términos son { 2 , 5 , 54 , 10 , 250 , 15 } . Hallar una fórmula explícita Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del enésimo término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases. Cómo Dados los primeros términos de una secuencia, halle una fórmula explícita para la secuencia. Busque un patrón entre los términos. Si los términos son fracciones, busque un patrón separado entre los numeradores y los denominadores. Busque un patrón entre los signos de los términos. Escriba una fórmula para a n en términos de n . Pruebe su fórmula para n = 1 , n = 2 , y n = 3. Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de cada secuencia. Ⓐ { − 2 11 , 3 13 , - 4 15 , 5 17 , − 6 19 , … } Ⓑ { − 2 25 , - 2 125 , - 2 625 , - 2 3 , 125 , - 2 15 , 625 , … } Ⓒ { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 , … } Busque el patrón en cada secuencia. Ⓐ Los términos alternan entre positivo y negativo. Podemos utilizar ( - 1 ) n para que los términos se alternen. El numerador se puede representar mediante n + 1. El denominador se puede representar mediante 2 n + 9. a n = ( - 1 ) n ( n + 1 ) 2 n + 9 Ⓑ Los términos son todos negativos. Así, sabemos que la fracción es negativa, el numerador es 2 y el denominador se puede representar mediante 5 n + 1 . a n = - 2 5 n + 1 Ⓒ Los términos son potencias de e . Para n = 1 , el primer término es e 4 por lo que el exponente debe ser n + 3. a n = e n + 3 Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. {9, − 81, 729, − 6.561, 59.049, …} a n = ( - 1 ) n + 1 9 n Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. { − 3 4 , − 9 8 , - 27 12 , − 81 16 , − 243 20 , ... } a n = - 3 n 4 n Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. { 1 e 2 , 1 e , 1 , e , e 2 , ... } a n = e n - 3 Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos. Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva , una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores. Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define a n según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente: a 1 = 3 a n = 2 a n – 1 - 1 para n ≥ 2 Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término. a 1 = 3 a 2 = 2 a 1 - 1 = 2 ( 3 ) - 1 = 5 a 3 = 2 a 2 – 1 = 2 ( 5 ) - 1 = 9 a 4 = 2 a 3 - 1 = 2 ( 9 ) - 1 = 17 Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son { 3 , 5 , 9 , 17 } . La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores. a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n – 1 + a n – 2 para n ≥ 3 Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que a 10 = a 9 + a 8 = 34 + 21 = 55 Fórmula recursiva Una fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término anterior (o términos anteriores). Las fórmulas recursivas deben indicar siempre el término o términos iniciales de la secuencia. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Siempre se deben dar los dos primeros términos en una fórmula recursiva? No. La secuencia de Fibonacci define cada término utilizando los dos términos anteriores, pero muchas fórmulas recursivas definen cada término utilizando solo un término anterior. Estas secuencias solo necesitan que se defina el primer término. Cómo Dada una fórmula recursiva con solo el primer término proporcionado, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique el término inicial, a 1 , que se da como parte de la fórmula. Este es el primer término. Para hallar el segundo término, a 2 , sustituya el término inicial en la fórmula de a n – 1 . Resuelva. Para hallar el tercer término, a 3 , sustituya el segundo término en la fórmula. Resuelva. Repita la operación hasta que haya resuelto el enésimo término. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 9 a n n = 3 a n – 1 − 20 , para n ≥ 2 El primer término es dado en la fórmula. Para cada término posterior, sustituimos a n – 1 con el valor del término anterior. n = 1 a 1 = 9 n = 2 a 2 = 3 a 1 − 20 = 3 ( 9 ) − 20 = 27 − 20 = 7 n n = 3 a 3 = 3 a 2 − 20 = 3 ( 7 ) − 20 = 21 − 20 = 1 n = 4 a 4 = 3 a 3 - 20 = 3 ( 1 ) − 20 = 3 - 20 = − 17 n = 5 a 5 = 3 a 4 − 20 = 3 ( − 17 ) − 20 = − 51 − 20 = − 71 Los cinco primeros términos son { 9 , 7 , 1 , – 17 , – 71 } . Vea la . Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 2 a n = 2 a n – 1 + 1 , para n ≥ 2 { 2 , 5 , 11 , 23 , 47 } Cómo Dada una fórmula recursiva con dos términos iniciales, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique el término inicial, a 1 , que se da como parte de la fórmula. Identifique el segundo término, a 2 , que se da como parte de la fórmula. Para hallar el tercer término, sustituya el término inicial y el segundo término en la fórmula. Evalúe. Repita la operación hasta que haya evaluado el enésimo término. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Escriba los seis primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 1 a 2 = 2 a n n = 3 a n – 1 + 4 a n – 2 , para n ≥ 3 Se dan los dos primeros términos. Para cada término posterior, sustituimos a n – 1 y a n – 2 con los valores de los dos términos anteriores. n n = 3 a 3 = 3 a 2 + 4 a 1 = 3 ( 2 ) + 4 ( 1 ) = 10 n = 4 a 4 = 3 a 3 + 4 a 2 = 3 ( 10 ) + 4 ( 2 ) = 38 n = 5 a 5 = 3 a 4 + 4 a 3 = 3 ( 38 ) + 4 ( 10 ) = 154 n = 6 a 6 = 3 a 5 + 4 a 4 = 3 ( 154 ) + 4 ( 38 ) = 614 Los seis primeros términos son {1, 2, 10, 38, 154, 614} . Vea la . Ejercicio Escriba los 8 primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = 1 a n = a n – 1 a n – 2 + a n - 3 , para n ≥ 4 { 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 2 , 17 6 } . Usar notación factorial Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. n factorial , escrito como n ! , es el producto de los enteros positivos de 1 a n . Por ejemplo, 4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 5 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es a n = ( n + 1 ) ! . El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por n . a 6 = ( 6 + 1 ) ! = 7 ! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 El factorial de cualquier número natural n es n ( n – 1 ) ! Por lo tanto, también podemos pensar en 5 ! cuando 5 ⋅ 4 ! . factorial n factorial n es una operación matemática que se puede definir mediante una fórmula recursiva. El factorial de n , denotado n ! , se define para un número entero positivo n como: 0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( 2 ) ( 1 ) , para n ≥ 2 El caso especial 0 ! se define como 0 ! = 1. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Siempre se pueden hallar los factoriales utilizando una calculadora? No. Los factoriales se hacen grandes muy rápidamente, ¡más rápido incluso que las funciones exponenciales! Si la salida es demasiado grande para la calculadora, esta no podrá calcular el factorial. Escribir términos de una secuencia mediante factoriales Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = 5 n ( n + 2 ) ! . Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula. n = 1 a 1 = 5 ( 1 ) ( 1 + 2 ) ! = 5 3 ! = 5 3 · 2 · 1 = 5 6 n = 2 a 2 = 5 ( 2 ) ( 2 + 2 ) ! = 10 4 ! = 10 4 · 3 · 2 · 1 = 5 12 n = 3 a 3 = 5 ( 3 ) ( 3 + 2 ) ! = 15 5 ! = 15 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 8 n = 4 a 4 = 5 ( 4 ) ( 4 + 2 ) ! = 20 6 ! = 20 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 36 n = 5 a 5 = 5 ( 5 ) ( 5 + 2 ) ! = 25 7 ! = 25 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 1 , 008 Los cinco primeros términos son { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1.008 } . Análisis La muestra el gráfico de la secuencia. Tome en cuenta que, dado que los factoriales crecen muy rápidamente, la presencia del término factorial en el denominador hace que el denominador sea mucho mayor que el numerador cuando n aumenta. Esto significa que el cociente se hace más pequeño y, como muestra el gráfico de los términos, los términos disminuyen y se acercan a cero. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = ( n + 1 ) ! 2 n . Los cinco primeros términos son { 1 , 3 2 , 4 , 15 , 72 } . Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias. Hallar términos en una secuencia Ecuaciones clave Fórmulas para un factorial 0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( 2 ) ( 1 ) , para n ≥ 2 Conceptos clave Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico. Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el , el y el . Una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el . Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores. Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia. Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el y el . Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva. El factorial de n es el producto de todos los enteros de 1 a n Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Analizar el significado de una secuencia. Si una secuencia finita está definida por una fórmula, ¿cuál es su dominio? ¿Y una secuencia infinita? Una secuencia es una lista ordenada de números que puede ser finita o infinita. Cuando una secuencia finita está definida por una fórmula, su dominio es un subconjunto de los enteros no negativos. Cuando una secuencia infinita está definida por una fórmula, su dominio es todos los enteros positivos o todos los enteros no negativos. Describa tres formas de definir una secuencia. ¿El conjunto ordenado de números pares es una secuencia infinita? ¿Y el conjunto ordenado de números impares? Explique por qué sí o por qué no. Sí, ambos conjuntos continúan indefinidamente, por lo que ambos son secuencias infinitas. ¿Qué pasa con los términos a n de una secuencia cuando hay un factor negativo en la fórmula que se eleva a una potencia que incluye n ? ¿Cuál es el término utilizado para describir este fenómeno? ¿Qué es un factorial y cómo se denota? Utilice un ejemplo para ilustrar cómo la notación factorial puede ser beneficiosa. Un factorial es el producto de un entero positivo por todos los enteros positivos inferiores a él. Se utiliza un signo de exclamación para indicar la operación. Las respuestas pueden variar. Un ejemplo de la ventaja de utilizar la notación factorial es cuando se indica el producto. Es mucho más fácil de escribir que 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 . Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia. a n = 2 n – 2 a n = - 16 n + 1 Los cuatro primeros términos: − 8 , − 16 3 , - 4 , − 16 5 a n = - ( - 5 ) n – 1 a n = 2 n n 3 Los cuatro primeros términos: 2 , 1 2 , 8 27 , 1 4 . a n = 2 n + 1 n 3 a n = 1,25 ⋅ ( - 4 ) n – 1 Los cuatro primeros términos: 1,25 , - 5 , 20 , − 80 . a n = – 4 ⋅ ( − 6 ) n – 1 a n = n 2 2 n + 1 Los cuatro primeros términos: 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 . a n = ( − 10 ) n + 1 a n = - ( 4 ⋅ ( - 5 ) n – 1 5 ) Los cuatro primeros términos: − 4 5 , 4 , − 20 , 100 En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes. a n = { ( – 2 ) n – 2 si n es par ( 3 ) n – 1 si n es impar a n = { n 2 2 n + 1 si n ≤ 5 n 2 - 5 si n >5 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 , 25 11 , 31 , 44 , 59 a n = { ( 2 n + 1 ) 2 si n es divisible entre 4 2 n si n no es divisible entre 4 a n = { − 0,6 ⋅ 5 n – 1 si n es primo o 1 2,5 ⋅ ( – 2 ) n – 1 si n es compuesto − 0,6 , - 3 , − 15 , − 20 , − 375 , − 80 , − 9375 , − 320 a n = { 4 ( n 2 - 2 ) si n ≤ 3 o n > 6 n 2 - 2 4 si 3 < n ≤ 6 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia. 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , … a n = n 2 + 3 - 4 , 2 , - 10 , 14 , − 34 , … 1 , 1 , 4 3 , 2 , 16 5 , … a n = 2 n 2 n o 2 n – 1 n 0 , 1 - e 1 1 + e 2 , 1 - e 2 1 + e 3 , 1 - e 3 1 + e 4 , 1 - e 4 1 + e 5 , … 1 , - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , 1 16 , … a n = ( - 1 2 ) n – 1 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a 1 = 9 , a n = a n – 1 + n a 1 = 3 , a n = ( - 3 ) a n – 1 Los cinco primeros términos: 3 , − 9 , 27 , − 81 , 243 a 1 = – 4 , a n = a n – 1 + 2 n a n – 1 - 1 a 1 = - 1 , a n = ( - 3 ) n – 1 a n – 1 - 2 Los cinco primeros términos: − 1 , 1 , − 9 , 27 11 , 891 5 a 1 = − 30 , a n = ( 2 + a n – 1 ) ( 1 2 ) n En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia. a 1 = 1 24 , a 2 = 1 , a n = ( 2 a n – 2 ) ( 3 a n – 1 ) 1 24 , 1, 1 4 , 3 2 , 9 4 , 81 4 , 2187 8 , 531 , 441 16 a 1 = - 1 , a 2 = 5 , a n = a n – 2 ( 3 − a n – 1 ) a 1 = 2 , a 2 = 10 , a n = 2 ( a n – 1 + 2 ) a n – 2 2 , 10 , 12 , 14 5 , 4 5 , 2 , 10 , 12 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia. − 2,5 , - 5 , - 10 , − 20 , - 40 , … − 8 , − 6 , - 3 , 1 , 6 , … a 1 = - 8 , a n = a n – 1 + n 2 , 4 , 12 , 48 , 240 , … 35 , 38 , 41 , 44 , 47 , … a 1 = 35 , a n = a n – 1 + 3 15 , 3 , 3 5 , 3 25 , 3 125 , ⋯ En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial. 6 ! 720 ( 12 6 ) ! 12 ! 6 ! 665 , 280 100 ! 99 ! En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia. a n = n ! n 2 Los cuatro primeros términos: 1 , 1 2 , 2 3 , 3 2 a n n = 3 ⋅ n ! 4 ⋅ n ! a n = n ! n 2 - n – 1 Los cuatro primeros términos: − 1 , 2 , 6 5 , 24 11 a n = 100 ⋅ n n ( n – 1 ) ! Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada a n = ( - 1 ) n n + n a n = { 4 + n 2 n si n es par 3 + n si n es impar a 1 = 2 , a n = ( - a n – 1 + 1 ) 2 a 1 = 1 , a n = a n – 1 + 8 a n = ( n + 1 ) ! ( n – 1 ) ! En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico. a n = 2 n – 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico. a 1 = 6 , a n = 2 a n – 1 - 5 En tecnología Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica: En la pantalla de inicio, introduzca el valor del término inicial a 1 y presione [ENTER] . Introduzca la fórmula recursiva tecleando todos los valores numéricos dados en la fórmula, al pulsar las teclas [2ND] ANS para el término anterior a n – 1 . Presione [ENTER] . Continúe pulsando [ENTER] para calcular los valores de cada término sucesivo. En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia. Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 = 87 111 , a n = 4 3 a n – 1 + 12 37 . Utilice la función > Frac para dar resultados fraccionados. Los cinco primeros términos: 29 37 , 152 111 , 716 333 , 3188 999 , 13724 2997 Halle el 15.º término de la secuencia a 1 = 625 , a n = 0,8 a n – 1 + 18. Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 = 2 , a n = 2 [ ( a n – 1 ) - 1 ] + 1. Los cinco primeros términos: 2, 3, 5, 17, 65537 Halle los diez primeros términos de la secuencia a 1 = 8 , a n = ( a n – 1 + 1 ) ! a n – 1 ! . Halle el décimo término de la secuencia a 1 = 2 , a n = n a n – 1 a 10 = 7 , 257 , 600 Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente. En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST . Desplácese hasta OPS y elija "seq(" en la lista desplegable. Presione [ENTER] . En la línea titulada "Expr:" escriba la fórmula explícita, utilizando la tecla [ X,T , θ , n ] para n En la línea titulada "Variable:" introduzca la variable utilizada en el paso anterior. En la línea titulada "start”: (inicio) introduzca el valor de n que inicia la secuencia. En la línea titulada "end:" (fin) introduzca el valor de n que termina la secuencia. Presione [ENTER] 3 veces para volver a la pantalla de inicio. Verá la sintaxis de la secuencia en la pantalla. Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos. Utilizando una TI-83, haga lo siguiente. En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST . Desplácese hasta OPS y elija "seq(" en la lista desplegable. Presione [ENTER] . Introduzca los elementos en el orden "Expr" , "Variable" , “start" , “end" separados por comas. Consulte las instrucciones anteriores para ver la descripción de cada elemento. Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos. En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario. Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = − 28 9 n + 5 3 . Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n 3 − 3,5 n 2 + 4,1 n − 1,5 2,4 n . Los seis primeros términos: 0,042, 0,146, 0,875, 2,385, 4,708 Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = 15 n ⋅ ( – 2 ) n – 1 47 Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia a n = 5,7 n + 0,275 ( n – 1 ) ! Los cuatro primeros términos: 5,975, 2,765, 185,743, 1057,25, 6023,521 Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n ! n . Extensiones Consideremos la secuencia definida por a n = − 6 − 8 n . ¿Es a n = − 421 un término de la secuencia? Compruebe el resultado. Si los valores de a n = − 421 es un término de la secuencia, entonces se resuelve la ecuación − 421 = − 6 − 8 n para n dará un número entero no negativo. Sin embargo, si − 421 = − 6 − 8 n , entonces n = 51,875 por lo que a n = − 421 no es un término de la secuencia. ¿Qué término de la secuencia a n = n 2 + 4 n + 4 2 ( n + 2 ) tiene el valor 41 ? Compruebe el resultado. Halle una fórmula recursiva para la secuencia 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, .... (Pista : busque un patrón para a n basado en los dos primeros términos). a 1 = 1 , a 2 = 0 , a n = a n – 1 - a n – 2 Calcule los ocho primeros términos de las secuencias a n = ( n + 2 ) ! ( n – 1 ) ! y b n = n 3 + 3 n 2 + 2 n , y luego haga una conjetura sobre la relación entre estas dos secuencias. Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. ( n + 2 ) ! ( n – 1 ) ! = ( n + 2 ) · ( n + 1 ) · ( n ) · ( n – 1 ) · ... · 3 · 2 · 1 ( n – 1 ) · ... · 3 · 2 · 1 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = n 3 + 3 n 2 + 2 n fórmula explícita una fórmula que define cada término de una secuencia en términos de su posición en la secuencia secuencia finita una función cuyo dominio consiste en un subconjunto finito de los enteros positivos { 1 , 2 , … n } para algún número entero positivo n secuencia infinita una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos factorial n el producto de todos los enteros positivos de 1 al enésimo término de una secuencia una fórmula para el término general de una secuencia fórmula recursiva una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores secuencia una función cuyo dominio es un subconjunto de los enteros positivos término un número en una secuencia

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