La distribución exponencial La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: "¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos x horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre x 1 horas y x 2 horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de x 1 horas para llevarse a cabo" En resumen, la variable aleatoria X es iguala ( a ) el tiempo entre eventos o( b ) el paso del tiempo para completar una acción, por ejemplo, esperar a un cliente. La función de densidad de probabilidad viene dada por: e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x donde μ es el tiempo promedio de espera histórico. y tiene una media y una desviación típica de 1/μ. Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x donde m = 1 μ Para calcular las probabilidades de determinadas funciones de densidad de probabilidad, se utiliza la función de densidad acumulada. La función de densidad acumulativa (cdf) es simplemente la integral de la pdf y es: F ( x ) = ∫ 0 ∞ [ 1 μ e – x μ ] = 1 – e – x μ Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con un cliente. A partir de los datos históricos, se sabe que el tiempo promedio es de cuatro minutos. Dado que μ = 4 minutos, es decir, el tiempo promedio que el dependiente pasa con un cliente es de 4 minutos. Recuerde que seguimos calculando probabilidad y por tanto nos tienen que decir los parámetros poblacionales como la media. Para hacer cualquier cálculo, necesitamos conocer la media de la distribución: el tiempo histórico de prestación de un servicio, por ejemplo. Conocer la media histórica permite calcular el parámetro de decaimiento, m . m = 1 μ . Por lo tanto, m = 1 4 = 0,25 . Cuando la notación utiliza el parámetro de decaimiento, m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x , que es simplemente la fórmula original con m sustituido por 1 μ , o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x . Para calcular las probabilidades de una función de densidad de probabilidad exponencial, tenemos que utilizar la función de densidad acumulada. Como se muestra a continuación, la curva de la función de densidad acumulada es: f ( x ) = 0,25 e –0,25 x donde x es al menos cero y m = 0,25. Por ejemplo, f (5) = 0,25 e (–0,25)(5) = 0,072. Es decir, la función tiene un valor de 0,072 cuando x = 5. El gráfico es el siguiente: Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0, f ( x ) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m . El valor máximo en el eje y es siempre m , uno dividido entre la media. Ejercicio El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución. X ~ Exp (0,125); f ( x ) = 0,125e –0,125 x ; a. Utilizando la información del , halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar. a. Calcule P (4 < x < 5). La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda. P ( x < x ) = 1 – e –mx P ( x < 5) = 1 – e (–0,25)(5) = 0,7135 and P ( x < 4) = 1 – e (–0,25)(4) = 0,6321 P (4 < x < 5)= 0,7135 – 0,6321 = 0,0814 Ejercicio El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros? P ( x < 10) = 0,4866 El percentil 50 = 10,40 En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años? a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora. μ = 10 por lo que m = 1 μ = 1 10 = 0,1 Calcule P ( x > 7). Dibuje el gráfico. P ( x > 7) = 1 – P ( x < 7). Como P ( X < x ) = 1 – e –mx entonces P ( X > x ) = 1 – (1 – e –mx ) = e –mx P ( x > 7) = e (–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966. b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra? b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años. d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años? d. Calcule P (9 < x < 11). Dibuje el gráfico. P (9 < x < 11) = P ( x < 11) – P ( x < 9) = (1 – e (–0,1)(11) ) – (1 – e (–0,1)(9) ) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737. Ejercicio En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días? P ( x > 15) = 0,4346 Seis pares de zapatos para correr durarían 108 meses en promedio. El percentil 80 = 28,97 meses Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 . El decaimiento p[parámetro] es otra forma de ver 1/λ. Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos. ¿Qué son m , μ y σ ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______. m = 1 12 μ = 12 σ = 12 P ( x > 5) = 0,6592 El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas? Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes? Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar. ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación? Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = 1 2 = 0,5. La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 - e (-0,5)(x) Por tanto, P ( X < 1) = 1 – e (–0,5)(1) = 0,3935. P ( X > 5) = 1 – P ( X < 5) = 1 – (1 – e (-0,5)(5) ) = e –2,5 ≈ 0,0821. Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras. La falta de memoria de la distribución exponencial Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria . Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t ) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0 Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior. P ( X > 5 + 1 | X > 5) = P ( X > 1) = e ( – 0,5 ) ( 1 ) = 0,6065. Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior. La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años. La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P ( X > 17| X > 10) = P ( X > 7) = 0,4966, donde la línea vertical se lee como “dada". Volvamos al caso del empleado de correos, en el que el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal? El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 = 0,25, por lo que X ∼ Exp (0,25). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e –0,25 x . Queremos despejar P ( X > 7| X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P ( X > 7| X > 4) = P ( X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal. Esto es P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 – (1 – e –0,25⋅3 ) = e –0,75 ≈ 0,4724. Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media μ . Recordemos que si X tiene la distribución de Poisson con una media μ , entonces P ( X = x ) = μ x e – μ x ! . La fórmula de la distribución exponencial P ( X = x ) = m e – m x = 1 μ e – 1 μ x Donde m = el parámetro de la tasa, o μ = tiempo promedio entre ocurrencias. Vemos que la exponencial es la pariente de la distribución de Poisson y se relacionan a través de esta fórmula. Existen importantes diferencias que hacen que cada distribución sea relevante para diferentes tipos de problemas de probabilidad. En primer lugar, la Poisson tiene una variable aleatoria discreta, x, en la que el tiempo; una variable continua se divide artificialmente en trozos discretos. Vimos que el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo dado, x, sigue la distribución de Poisson. Por ejemplo, el número de veces que suena el teléfono por hora. En cambio, el tiempo entre ocurrencias sigue la distribución exponencial. Por ejemplo. El teléfono acaba de sonar, ¿cuánto tiempo pasará hasta que vuelva a sonar? Estamos midiendo la duración del intervalo, una variable aleatoria continua, exponencial, no los eventos durante un intervalo, Poisson. La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson Una forma visual de mostrar tanto las similitudes como las diferencias entre estas dos distribuciones es con una línea del tiempo. La variable aleatoria de la distribución de Poisson es discreta y, por tanto, cuenta los eventos durante un periodo determinado, de t 1 a t 2 en la , y calcula la probabilidad de que se produzca ese número. El número de eventos, cuatro en el gráfico, se mide en números que se pueden contar; por lo tanto, la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta. La distribución de probabilidad exponencial calcula las probabilidades del paso del tiempo, una variable aleatoria continua. En la esto se muestra como el paréntesis desde t 1 hasta la siguiente ocurrencia del evento marcada con un triángulo. Las preguntas clásicas de la distribución de Poisson son "¿cuántas personas llegarán a mi caja en la próxima hora?". Las preguntas clásicas de la distribución exponencial son "¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?", o una variante, "¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?". De nuevo, la fórmula de la distribución exponencial es: e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x Vemos inmediatamente la similitud entre la fórmula exponencial y la fórmula de Poisson. P ( x ) = μ x e – μ x ! Ambas funciones de densidad de probabilidad se basan en la relación entre el tiempo y el crecimiento o decaimiento exponencial. La "e" de la fórmula es una constante con el valor aproximado de 2,71828 y es la base de la fórmula del crecimiento exponencial logarítmica natural. Cuando la gente dice que algo ha crecido exponencialmente, se refiere a esto. Un ejemplo de la exponencial y la Poisson dejará claras las diferencias entre ambas. También mostrará las interesantes aplicaciones que tienen. Distribución de Poisson Supongamos que históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Recuerde que esto es todavía una probabilidad, por lo que nos tienen que decir estos valores históricos. Vemos que se trata de un problema de probabilidad de Poisson. Podemos introducir esta información en la función de densidad de probabilidad de Poisson y obtener una fórmula general que calculará la probabilidad de que llegue algún número determinado de clientes en la próxima hora. La fórmula es para cualquier valor de la variable aleatoria que hayamos elegido y, por tanto, la x se pone en la fórmula. Esta es la fórmula: e ( x ) = 10 x e -10 x ! Como ejemplo, la probabilidad de que lleguen 15 personas a la caja registradora en la próxima hora sería P ( x = 15 ) = 10 15 e -10 15 ! = 0,0611 Aquí insertamos x = 15 y calculamos que la probabilidad de que en la próxima hora lleguen 15 personas es de 0,061. Distribución exponencial Si mantenemos los mismos hechos históricos de que llegan 10 clientes cada hora, pero ahora nos interesa el tiempo de servicio que pasa una persona en el mostrador, entonces utilizaríamos la distribución exponencial. La función de probabilidad exponencial para cualquier valor de x, la variable aleatoria, para estos datos históricos de la caja registradora es: e ( x ) = 1 0,1 e -x 0,1 = 10 e -10 x Para calcular µ, el tiempo promedio de servicio histórico, simplemente dividimos el número de personas que llegan por hora, 10, entre el periodo, una hora, y tenemos µ = 0,1. Históricamente, la gente pasa el 0,1 de una hora en la caja registradora, es decir, 6 minutos. Esto explica el 0,1 de la fórmula. Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial. Siguiendo con nuestro ejemplo de la caja, si quisiéramos saber la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora, utilizaríamos esta fórmula. En primer lugar, convertimos a las mismas unidades de tiempo que son partes de una hora. Nueve minutos son 0,15 de una hora. A continuación, observamos que estamos pidiendo un rango de valores. Este es siempre el caso de una variable aleatoria continua. Escribimos la pregunta de probabilidad como p ( x ≤ 9 ) = 1 – 10 e -10 x Ahora podemos poner los números en la fórmula y obtenemos nuestro resultado. p ( x = 0,15 ) = 1 – 10 e -10 ( 0,15 ) = 0,7769 La probabilidad de que un cliente emplee 9 minutos o menos en pasar por caja es de 0,7769. Vemos que tenemos una alta probabilidad de salir en menos de nueve minutos y una mínima probabilidad de que lleguen 15 clientes en la próxima hora. Repaso del capítulo Si X tiene una distribución exponencial con media μ , entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ . La función de densidad de probabilidad de X es f ( x ) = me –mx (o equivalentemente e ( x ) = 1 μ e – x / μ . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = 1 – e – mx . Revisión de la fórmula pdf: f ( x ) = me (– mx ) donde x ≥ 0 y m > 0 cdf: P ( X ≤ x ) = 1 – e (– mx ) media µ = 1 m desviación típica σ = µ Además P ( X > x ) = e (– mx ) P ( a < X < b ) = e (– ma ) – e (– mb ) Probabilidad de Poisson: P ( X = x ) = μ x e – μ x ! con una media y una varianza de μ Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013). “No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013). Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013). Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp (0,2) ¿Qué tipo de distribución es esta? ¿Los resultados son igualmente probables en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo. ¿Qué es m ? ¿Qué representa? ¿Cuál es la media? cinco ¿Cuál es la desviación típica? Indique la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 0,2e –0,2 x Grafique la distribución. Calcule P (2 < x < 10). 0,5350 Calcule P ( x > 6). Calcule el percentil 70 . 6,02 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp (0,75). ¿Qué es m ? ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? f ( x ) = 0,75 e –0,75 x ¿Qué es la función de distribución acumulativa? Dibuje la distribución. Calcule P ( x < 4). Calcule el percentil 30 . 0,4756 Calcule la mediana. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 ≈ 1,33 , que es superior a 0,9242. Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14. ¿Qué se mide aquí? ¿Los datos son discretos o continuos? continuos Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Cuál es la tasa de descomposición ( m )? m = 0,000121 La distribución de X es ______. Calcule la cantidad (porcentaje de un gramo) de carbono-14 que dura menos de 5.730 años. Es decir, calcule P ( x < 5.730). Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 5.730) = __________ Compruebe la solución del estudiante. P ( x < 5.730) = 0,5001 Calcule el porcentaje de carbono-14 que dura más de 10.000 años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x > 10.000) = ________ ¿En cuántos años se descompone el treinta por ciento (30 %) del carbono-14? Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,30. Compruebe la solución del estudiante. k = 2.947,73 Tarea para la casa Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué? Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil? ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra? Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses. ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías? X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses. X es continua. 40 meses 360 meses 0,4066 14,27 El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12. Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8. ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %? ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %? El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65? En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún? X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años X es continua. cinco cinco Compruebe la solución del estudiante. 0,1353 antes 18,3 El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. La tasa de decaimiento es: 0,3333 0,5000 2 3 a ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra? 0,8647 0,4866 0,2212 0,9997 ¿Cuál es la mediana de la vida de estos teléfonos (en años)? 0,1941 1,3863 2,0794 5,5452 c Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas? Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse. ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior? Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora. En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables? Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada? Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3. Por lo tanto, ( X = 0) = 3 0 e – 3 0 ! = e –3 ≈ 0,0498 NOTA Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 . Por lo tanto, m = 1 μ = 3 y T ∼ Exp (3). La probabilidad deseada es P ( T > 1) = 1 – P ( T < 1) = 1 – (1 – e –3 ) = e –3 ≈ 0,0498. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P ( T > 2| T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P ( T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0,3528. Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes? Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014? Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B? 100 9 = 11,11 P ( X > 10) = 1 – P ( X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P ( X < x ) = 1 – e – x 9 . Así que, P ( X > 20) = 1 – P ( X ≤ 20) = 1 – ( 1 – e – 20 9 ) ≈ 0,1084. Nota También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 ≈ 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo). Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos. ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas? Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes? Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora. En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos? Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora. Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 . La cdf es P ( T < t ) = 1 – e t 7 P ( T < 2) = 1 – 1 – e – 2 7 ≈ 0,2485. P ( T > 15) = 1 – P ( T < 15 ) = 1 – ( 1 – e – 15 7 ) ≈ e – 15 7 ≈ 0,1173 . P ( T > 15| T > 10) = P ( T > 5) = 1 – ( 1 – e – 5 7 ) = e – 5 7 ≈ 0,4895 . Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) . Calcule P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0,0311. parámetro de decaimiento el parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de x . Es el valor m en la función de densidad de probabilidad f ( x ) = me (– mx ) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a m = 1 μ , donde μ es la media de la variable aleatoria. propiedad de falta de memoria para una variable aleatoria exponencial X , la propiedad de falta de memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto significa que la probabilidad de que X supere a x + t , dado que ha superado a x , es la misma que la probabilidad de que X supere a t si no tuviéramos conocimiento de ello. En símbolos decimos que P ( X > x + t | X > x ) = P ( X > t ). Distribución de Poisson si se conoce un promedio de eventos μ que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos X que ocurren en una unidad del tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que ocurran eventos x en una unidad del tiempo es igual a P ( X = x ) = μ x e – μ x ! .

Matemáticas


Introducción Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ). La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerde que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de la población. Se trata de una discusión sobre la probabilidad y, por tanto, son los datos de la población los que pueden estar distribuidos normalmente, y si lo están, entonces es así como podemos calcular las probabilidades de eventos específicos al igual que hicimos con los datos de la población que pueden tener una distribución binomial o de Poisson. Esta precaución se debe a que en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y constituye la base de la estadística inferencial. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media ( μ ) y la desviación típica ( σ ). Si X es una cantidad que se va a medir que tiene una distribución normal con media( μ ) y desviación típica( σ ), la designamos escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal: La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice . No es necesario. f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ . La media es la misma que la mediana, que es la misma que la moda, porque el gráfico es simétrico respecto a μ . Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Observe que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a μ y la desviación típica simplemente la raíz cuadrada de la media, o la binomial, donde p se utiliza para determinar tanto la media como la desviación típica. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ , provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más abultada y ancha o más delgada y alta dependiendo de σ . Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar . Revisión de la fórmula X ∼ N ( μ , σ ) μ = la media σ = la desviación típica Distribución normal una variable aleatoria continua (RV) con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 σ 2 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV, Z, se llama distribución normal estándar .

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


La distribución normal estándar La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z . Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = x – μ σ produce la distribución Z ~ N (0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ . La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media. Puntuaciones z Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ) , entonces la puntuación z para una determinada x es: z = x – μ σ La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ . Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero. Supongamos que X ~ N(5, 6) . Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces: z = x – μ σ = 17 – 5 6 = 2 Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2 σ ) por encima o a la derecha de la media μ = 5. Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x – μ σ = 1 – 5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales) Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67 σ ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5 La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ , la regla empírica dice lo siguiente: Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1 σ y +1 σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media). Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2 σ y +2 σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media). Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3 σ y +3 σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Las puntuaciones z para +1 σ y –1 σ son +1 y –1, respectivamente. Las puntuaciones z para +2 σ y –2 σ son +2 y –2, respectivamente. Las puntuaciones z para +3 σ y –3 σ son +3 y –3, respectivamente. Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6. Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1 σ = (–1)(6) = –6 y 1 σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente. Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2 σ = (–2)(6) = –12 y 2 σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3 σ = (–3)(6) = –18 y 3 σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente. Referencias “Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013). “The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013). “2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013). “Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de The World Almanac and Book of Facts . “List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N (0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N ( µ , σ ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ . Revisión de la fórmula Z ~ N (0, 1) z = un valor estandarizado (puntuación z ) media = 0; desviación típica = 1 Para hallar el percentil K de X , x , cuando se conocen las puntuaciones z : x = μ + ( z ) σ puntuación z : k = x – μ σ o z = | x – μ | σ Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z Z ~ N (0, 1) Una botella de agua contiene 12,05 onzas líquidas con una desviación típica de 0,01 onzas. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ____________. onzas de agua en una botella Una distribución normal tiene una media de 61 y una desviación típica de 15. ¿Cuál es la mediana? X ~ N (1, 2) σ = _______ 2 Una compañía fabrica pelotas de goma. El diámetro medio de una pelota es de 12 cm con una desviación típica de 0,2 cm. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ______________. X ~ N (–4, 1) ¿Cuál es la mediana? -4 X ~ N (3, 5) σ = _______ X ~ N (–2, 1) μ = _______ -2 ¿Qué mide una puntuación z ? ¿Qué hace la estandarización de una distribución normal con la media? La media se convierte en cero. ¿ X ~ N (0, 1) es una distribución normal estandarizada? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la puntuación z de x = 12, si está dos desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2 ¿Cuál es la puntuación z de x = 9, si está 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? ¿Cuál es la puntuación z de x = –2, si está a 2,78 desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2,78 ¿Cuál es la puntuación z de x = 7, si está a 0,133 desviaciones típicas a la izquierda de la media? Supongamos que X ~ N (2, 6). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de tres? x = 20 Supongamos que X ~ N (8, 1). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –2,25? Supongamos que X ~ N (9, 5). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,5? x = 6,5 Supongamos que X ~ N (2, 3). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,67? Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1 Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a dos desviaciones típicas a la derecha de la media? Supongamos que X ~ N (8, 9). ¿Qué valor de x está a 0,67 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1,97 Supongamos que X ~ N (–1, 2). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? Supongamos que X ~ N (12, 6). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? z = –1.67 Supongamos que X ~ N (9, 3). ¿Cuál es la puntuación z de x = 9? Supongamos que una distribución normal tiene una media de seis y una desviación típica de 1,5. ¿Cuál es la puntuación z de x = 5,5? z ≈ –0,33 En una distribución normal, x = 5 y z = –1,25. Esto le dice que x = 5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = 3 y z = 0,67. Esto le dice que x = 3 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 0,67, derecha En una distribución normal, x = –2 y z = 6. Esto le dice que x = –2 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = –5 y z = –3,14. Esto le dice que x = –5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 3,14, izquierda En una distribución normal, x = 6 y z = –1,7. Esto le dice que x = 6 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de una desviación típica (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? alrededor del 68 % Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de dos desviaciones típicas (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la segunda y la tercera desviación típica (en ambos lados)? alrededor del 4 % Supongamos que X ~ N (15, 3). ¿Entre qué valores de x está el 68,27 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, 15). Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 95,45 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, –3). entre –5 y –1 Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 34,14 % de los datos? ¿Aproximadamente qué porcentaje de los valores de x están entre la media y tres desviaciones típicas? alrededor del 50 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la media y una desviación típica? Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la segunda desviación típica de la media (en ambos lados)? alrededor del 27 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la tercera desviación típica (en ambos lados)? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = _______________. La vida útil de un reproductor de CD de Sunshine se mide en años. X ~ _____(_____,_____) Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación? 2,7 5,3 7,4 2,1 ¿Cuál es la puntuación z de un paciente que tarda diez días en recuperarse? 1,5 0,2 2,2 7,3 c El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Los datos no pueden seguir la distribución uniforme. Los datos no pueden seguir la distribución exponencial. Los datos no pueden seguir la distribución normal. I solo II solo III solo I, II y III Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas. 77 pulgadas 85 pulgadas Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = –0,5141. La altura de 77 pulgadas es 0,5141 desviaciones típicas por debajo de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 77 pulgadas es más bajo que el promedio. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = 1,5424. La altura 85 pulgadas es 1,5424 desviaciones típicas por encima de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 85 pulgadas es más alto que el promedio. Altura = 79 + 3,5(3,89) = 92,615 pulgadas, los cual es más alto que 7 pies y 8 pulgadas. Hay muy pocos jugadores de la NBA tan altos, así que la respuesta es no, no es probable. La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal. Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres. Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría? El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14). ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)? La presión arterial sistólica de Kyle es de 175. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres. Calcule la presión arterial de Kyle. iv La presión arterial de Kyle es igual a 125 + (1,75)(14) = 149,5. La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N (10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas. 11 kg 7,9 kg 12,2 kg En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115. Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa. ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT? En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó? Supongamos que X = una calificación de Matemáticas de la SAT y Y = una calificación de Matemáticas del ACT. X = 720 720 – 520 15 = 1,74. La calificación del examen de 720 está 1,74 desviaciones típicas por encima de la media de 520. z = 1,5. La calificación de la SAT de Matemáticas es 520 + 1,5(115) ≈ 692,5. La calificación del examen de 692,5 está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de 520. X – μ σ = 700 – 514 117 ≈ 1,59, la puntuación z de la SAT. Y – μ σ = 30 – 21 5,3 ≈ 1,70, las puntuaciones z del ACT. Con respecto a la prueba que tomaron, la persona que presentó el ACT obtuvo mejores resultados (tiene la puntuación z más alta). Distribución normal estándar una variable aleatoria continua (RV) X ~ N (0, 1); cuando X sigue la distribución normal estándar, suele anotarse como Z ~ N (0, 1). puntuación z la transformación lineal de la forma z = x – μ σ o escrito como z = | x – μ | σ ; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal X ~ N ( μ , σ ) el resultado es la distribución normal estándar Z ~ N (0,1). Si esta transformación se aplica a cualquier valor específico x de la RV con media μ y desviación típica σ , el resultado se denomina puntuación z de x . La puntuación z nos permite comparar datos que se distribuyen normalmente, pero que se escalan de forma diferente. Una puntuación z es el número de desviaciones típicas que una determinada x se aleja de su valor medio.

Matemáticas


Uso de la distribución normal El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la derecha de x . Esta zona está representada por la probabilidad P (X > x ). Las tablas normales proporcionan la probabilidad entre la media, cero para la distribución normal estándar y un valor específico como x 1 . Esta es la parte no sombreada del gráfico desde la media hasta x 1 . Como la distribución normal es simétrica, si x 1 estuviera a la misma distancia a la izquierda de la media, el área (la probabilidad) en la cola izquierda, sería la misma que el área sombreada en la cola derecha. Además, hay que tener en cuenta que, debido a la simetría de esta distribución, la mitad de la probabilidad está a la derecha de la media y la otra mitad a la izquierda. Cálculo de probabilidades Para hallar la probabilidad de las funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores de X que nos interesan. Para la distribución normal esto parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Sin embargo, hay una forma sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí tenemos de nuevo la fórmula de la distribución normal: f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 Al observar la fórmula de la distribución normal no está claro cómo vamos a resolver la probabilidad haciéndolo de la misma manera que lo hicimos con las funciones de probabilidad anteriores. Allí pusimos los datos en la fórmula e hicimos las cuentas. Para resolver este rompecabezas, desde el principio sabemos que el área bajo una función de densidad de probabilidad es la probabilidad. Esto demuestra que el área entre X 1 y X 2 es la probabilidad que se indica en la fórmula: P (X 1 ≤ x ≤ X 2 ) La herramienta matemática necesaria para calcular el área bajo una curva es el cálculo integral. La integral de la función de densidad de probabilidad normal entre los dos puntos x 1 y x 2 es el área bajo la curva entre estos dos puntos y es la probabilidad entre estos dos puntos. Hacer estas integrales no es divertido y puede llevar mucho tiempo. Pero ahora, recordando que hay un número infinito de distribuciones normales, podemos considerar la que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Esta particular distribución normal recibe el nombre de distribución normal estándar. Al poner estos valores en la fórmula se reduce a una ecuación muy sencilla. Ahora podemos calcular fácilmente todas las probabilidades para cualquier valor de x en esta distribución normal particular, que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Se han elaborado y están disponibles aquí en el apéndice del texto o en cualquier lugar de la web. Se presentan de varias maneras. La tabla de este texto es la presentación más habitual y se establece con las probabilidades de la mitad de la distribución, que comienza por el cero, la media, y moviéndose hacia fuera. El área sombreada en el gráfico de la parte superior de la tabla en Tablas estadísticas representa la probabilidad desde cero hasta el valor Z específico anotado en el eje horizontal, Z. El único problema es que, incluso con esta tabla, sería una ridícula coincidencia que nuestros datos tuvieran una media de cero y una desviación típica de uno. La solución es convertir la distribución que tenemos con su media y desviación típica a esta nueva distribución normal estándar. La normal estándar tiene una variable aleatoria llamada Z. Al usar la tabla normal estándar, que por lo general se llama tabla normal, para hallar la probabilidad de una desviación típica, vaya a la columna Z, lea hasta 1,0 y luego lea en la columna 0. Ese número, 0,3413 es la probabilidad de cero a 1 desviación típica. En la parte superior de la tabla se encuentra la zona sombreada de la distribución que es la probabilidad para una desviación típica. La tabla ha resuelto nuestro problema de cálculo integral, pero solo si nuestros datos tienen una media de cero y una desviación típica de 1. Sin embargo, el punto esencial aquí es que la probabilidad de una desviación típica en una distribución normal es la misma en todas las distribuciones normales. Si el conjunto de datos de la población tiene una media de 10 y una desviación típica de 5, entonces la probabilidad de 10 a 15, una desviación típica, es la misma que de cero a 1, una desviación típica en la distribución normal estándar. Para calcular las probabilidades, las áreas, para cualquier distribución normal, solo tenemos que convertir la distribución normal particular a la distribución normal estándar y buscar la respuesta en las tablas. Como revisión, aquí está de nuevo la fórmula de normalización : Z = x - μ σ donde Z es el valor de la distribución normal estándar, X es el valor de una distribución normal que se desea convertir a la normal estándar, μ y σ son, respectivamente, la media y la desviación típica de esa población. Tenga en cuenta que la ecuación utiliza μ y σ lo que denota parámetros poblacionales. Esto sigue tratando con la probabilidad, por lo que siempre estamos tratando con la población, con valores de parámetros conocidos y una distribución conocida . También es importante tener en cuenta que, como la distribución normal es simétrica, no importa si la puntuación z es positiva o negativa a la hora de calcular una probabilidad. Una desviación típica a la izquierda (puntuación Z negativa) cubre la misma área que una desviación típica a la derecha (puntuación Z positiva). Este hecho es la razón por la que las tablas de la normal estándar no proporcionan áreas para el lado izquierdo de la distribución. Debido a esta simetría, la fórmula de la puntuación Z se escribe a veces como Z = | x - μ | σ Las líneas verticales de la ecuación significan el valor absoluto del número. Lo que realmente hace la fórmula de estandarización es calcular el número de desviaciones típicas que tiene X respecto a la media de su propia distribución. La fórmula de estandarización y el concepto de contar desviaciones típicas de la media es el secreto de todo lo que haremos en esta clase de Estadística. La razón de esto es que toda la estadística se reduce a la variación, y el recuento de las desviaciones típicas es una medida de variación. Esta fórmula, con muchas apariencias, reaparecerá una y otra vez a lo largo de este curso. Las calificaciones del examen final de una clase de Estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco. a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen. b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85. a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N (63, 5), donde μ = 63 y σ = 5. Dibuje un gráfico. Entonces, calcule P ( x > 65). P ( x > 65) = 0,3446 Z 1 = x 1 – μ σ = 65 – 63 5 = 0,4 P ( x ≥ x 1 ) = P ( Z ≥ Z 1 ) = 0,3446 La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446. Así es como hemos hallado esta respuesta. La tabla normal proporciona probabilidades desde cero hasta el valor Z 1 . Para este problema la pregunta se puede escribir como P(X ≥ 65) = P(Z ≥ Z 1 ), que es el área de la cola. Para calcular esta área la fórmula sería 0,5 – P(X ≤ 65). La mitad de la probabilidad está por encima del valor medio porque se trata de una distribución simétrica. El gráfico muestra cómo hallar el área en la cola restando esa porción de la media, cero, al valor Z 1 . La respuesta final es: P(X ≥ 63) = P(Z ≥ 0,4) = 0,3446 z = 65 – 63 5 = 0,4 El área a la izquierda de Z 1 a la media de cero es 0,1554 P ( x > 65) = P ( z > 0,4) = 0,5 - 0,1554 = 0,3446 b. Z = x - μ σ = 85 - 63 5 = 4,4 que es mayor que el valor máximo de la tabla normalizada. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente de uno o del 100 %. Una calificación de 85 está a 4,4 desviaciones típicas de la media de 63, lo que está fuera del rango de la tabla normal estándar. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %). Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65. normalcdf(0,65,68,3) = 0,1587 Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora. a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día. a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N (2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5. Calcule P (1,8 < x < 2,75). La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P (1,8 < x < 2,75) = 0,5886 P (1,8 ≤ x ≤ 2,75) = P ( Z i ≤ Z ≤ Z 2 ) La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886 b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse. b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25 , k , donde P ( x < k ) = 0,25. f ( Z ) = 0,5 – 0,25 = 0,25 , por lo que Z ≈ –0,675 ( o simplemente 0,67 utilizando la tabla ) Z = x – μ σ = x – 2 0,5 = –0,675 , por lo tanto x = –0,675 * 0,5 + 2 = 1,66 horas. El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas. Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70. normalcdf(66,70,68,3) = 0,4950 En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años. a. 0,8186 b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años. b. 0,8413 Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm. a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico. Z 1 = 6 – 5,85 0,24 = 0,625 P ( x ≥ 6) = P ( z ≥ 0,625) = 0,2670 b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______. f ( Z ) = 0,20 2 = 0,10 Por lo tanto, Z ≈ ± 0,25 Z = x – μ σ = x – 5,85 0,24 = ± 0,25 → ± 0,25 · 0,24 + 5,85 = ( 5,79 , 5,91 ) Referencias “Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013). “403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013). “Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013). “Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013). “Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).

Matemáticas


Estimación de la binomial con la distribución normal Ya hemos visto que varias funciones de densidad de probabilidad son las distribuciones límite de otras; por tanto, podemos estimar una con otra en determinadas circunstancias. Aquí veremos que la distribución normal puede utilizarse para estimar un proceso binomial. La Poisson se utilizó para estimar la binomial previamente, y la binomial se utilizó para estimar la distribución hipergeométrica. En el caso de la relación entre la distribución hipergeométrica y la binomial, tuvimos que reconocer que un proceso binomial asume que la probabilidad de un éxito permanece constante de un ensayo a otro: una cara en el último lanzamiento no puede tener un efecto en la probabilidad de una cara en el siguiente lanzamiento. En la distribución hipergeométrica esta es la esencia de la cuestión porque el experimento asume que cualquier "extracción" es sin reemplazo. Si se extrae sin reemplazo, todos las "extracciones" posteriores son probabilidades condicionales. Descubrimos que si el experimento hipergeométrico saca extrae un pequeño porcentaje del total de objetos, entonces podemos ignorar el impacto en la probabilidad de una extracción a otra. Imagine que hay 312 cartas en una baraja compuesta por 6 mazos normales. Si el experimento exigía extraer solo 10 cartas, menos del 5% del total, entonces aceptaremos la estimación binomial de la probabilidad, aunque en realidad se trata de una distribución hipergeométrica porque las cartas se extraen presumiblemente sin reemplazo. La Poisson también se consideró una estimación adecuada de la binomial en determinadas circunstancias. En el capítulo 4 encontramos que si el número de ensayos de interés es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, tal que μ = n p < 7 , la Poisson puede utilizarse para estimar la binomial con buenos resultados. Una vez más, estas reglas empíricas no pretenden en modo alguno que la probabilidad real sea la que determina la estimación, sino que la diferencia está en el tercer o cuarto decimal y, por tanto, es de minimus . Aquí, de nuevo, encontramos que la distribución normal hace estimaciones particularmente precisas de un proceso binomial bajo ciertas circunstancias. La es una distribución de frecuencia de un proceso binomial para el experimento de lanzar tres monedas donde la variable aleatoria es el número de caras. El espacio muestral se encuentra debajo de la distribución. En el experimento se ha asumido que la probabilidad de éxito es de 0,5; por tanto, la probabilidad de fracaso, de cola, es también de 0,5. Al observar la nos llama la atención que la distribución sea simétrica. La raíz de este resultado es que las probabilidades de éxito y de fracaso son las mismas, 0,5. Si la probabilidad de éxito fuera inferior a 0,5, la distribución se vuelve sesgada hacia la derecha. De hecho, a medida que la probabilidad de éxito disminuye, el grado de asimetría aumenta. Si la probabilidad de éxito aumenta a partir de 0,5, la asimetría aumenta en la cola inferior, lo que da lugar a una distribución sesgada a la izquierda. La razón por la que la asimetría de la distribución binomial es importante es porque si se va a estimar con una distribución normal, entonces tenemos que reconocer que la distribución normal es simétrica. Cuanto más se acerque la distribución binomial subyacente a ser simétrica, mejor será la estimación producida por la distribución normal. La muestra una distribución normal simétrica transpuesta en un gráfico de una distribución binomial donde p = 0,2 y n = 5. La discrepancia entre la probabilidad estimada utilizando una distribución normal y la probabilidad de la distribución binomial original es evidente. El criterio para utilizar una distribución normal para estimar una binomial aborda, pues, este problema al exigir que TANTO np COMO n (1 - p ) sean mayores que cinco. De nuevo, se trata de una regla general, pero es eficaz y da lugar a estimaciones aceptables de la probabilidad binomial. Imagínese que se sabe que solo el 10 % de los cachorros de pastor australiano nacen con lo que se llama "simetría perfecta" en sus tres colores, negro, blanco y cobre. La simetría perfecta se define como una cobertura igual en todas las partes del perro cuando se mira en la cara y se mide a la izquierda y a la derecha por la línea central. Un criadero tendría una buena reputación en la cría de pastores australianos si tuviera un alto porcentaje de perros que cumplieran este criterio. Durante los últimos 5 años y de los 100 perros nacidos en Dundee Kennels, 16 han nacido con esta característica de coloración. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 100 nacimientos, más de 16 tengan esta característica? Si suponemos que la coloración de un perro es independiente de la de los demás, una suposición un poco valiente, esto se convierte en un problema clásico de probabilidad binomial. El enunciado de la probabilidad solicitada es 1 - [ p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) + ... + p ( X = 16)]. Para ello debemos calcular 17 fórmulas binomiales y sumarlas y luego restar a una para obtener la parte derecha de la distribución. Como alternativa, podemos utilizar la distribución normal para obtener una respuesta aceptable y en mucho menos tiempo. En primer lugar, tenemos que comprobar si la distribución binomial es lo suficientemente simétrica como para utilizar la distribución normal. Sabemos que la binomial de este problema está sesgada porque la probabilidad de éxito, 0,1, no es la misma que la probabilidad de fracaso, 0,9. Sin embargo, tanto np = 10 como n ( 1 – p ) = 90 son mayores que 5, el límite para utilizar la distribución normal para estimar la binomial. La a continuación muestra la distribución binomial y se marca el área que queremos conocer. También se marca la media de la binomial, 10, y se escribe la desviación típica en el lateral del gráfico: σ = n p q = 3. El área bajo la distribución de cero a 16 es la probabilidad solicitada, y se ha sombreado. Debajo de la distribución binomial hay una distribución normal que se utiliza para estimar esta probabilidad. Esa probabilidad también ha sido sombreada. Al estandarizar de la distribución binomial a la normal, como se hizo en el pasado, se muestra que estamos pidiendo la probabilidad de 16 a infinito positivo, o 100 en este caso. Tenemos que calcular el número de desviaciones típicas que 16 se aleja de la media: 10. Z = x – μ σ = 16 – 10 3 = 2 Estamos preguntando por la probabilidad más allá de dos desviaciones típicas, un evento muy improbable. Buscamos dos desviaciones típicas en la tabla normal estándar y encontramos que el área de cero a dos desviaciones típicas es 0,4772. Sin embargo, nos interesa la cola, así que restamos 0,4772 de 0,5 y así encontramos el área de la cola. Nuestra conclusión es que la probabilidad de que un criadero tenga 16 perros con "simetría perfecta" es de 0,0228. Dundee Kennels tiene un historial extraordinario en este sentido. Matemáticamente, lo escribimos como: 1 – [ p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) + … + p ( X = 16 ) ] = p ( X > 16 ) = p ( Z > 2 ) = 0,0228 Repaso del capítulo La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ . Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z . Su media es cero y su desviación típica es uno. Revisión de la fórmula Distribución normal: X ~ N ( µ , σ ) donde µ es la media y σ es la desviación típica. Distribución normal estándar: Z ~ N (0, 1). ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en un enunciado de probabilidad? P ( x < 1) ¿Cuál es el área a la derecha de uno? ¿ P ( x < 1) es igual a P ( x ≤ 1)? ¿Por qué? Sí, porque son iguales en una distribución continua: P ( x = 1) = 0 ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en un enunciado de probabilidad? ¿Cuál es el área a la derecha de tres? 1 – P ( x < 3) o P ( x > 3) Si el área a la izquierda de x en una distribución normal es 0,123, ¿cuál es el área a la derecha de x ? Si el área a la derecha de x en una distribución normal es 0,543, ¿cuál es el área a la izquierda de x ? 1 – 0,543 = 0,457 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: X ~ N (54, 8) Calcule la probabilidad de que x > 56. Calcule la probabilidad de que x < 30. 0,0013 X ~ N (6, 2) Calcule la probabilidad de que x esté entre tres y nueve. X ~ N (–3, 4) Calcule la probabilidad de que x esté entre uno y cuatro. 0,1186 X ~ N (4, 5) Calcule el máximo de x en el cuartil inferior. Use la siguiente información para responder el próximo ejercicio: La vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD se averíe durante el periodo de garantía. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (0 < x < ____________) = ___________ (use el cero para el valor mínimo de x .) Compruebe la solución del estudiante. 3; 0,1979 Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2,8 y seis años. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (__________ < x < __________) = __________ Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 45 aciertos. 0,154 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 22 aciertos. 0,874 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 35 a 45 aciertos. 0,693 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 26 a 30 aciertos. 0,346 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,110 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,946 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 30 preguntas, pero no más de 32. 0,071 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximarse a la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 24 preguntas, pero no más de 28. 0,347 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación? 0,0580 0,8447 0,0553 0,9420 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento? Sí No No se puede determinar Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento. 0,0001 0,9270 0,1862 0,0668 d El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento? 1,24 2,41 3,95 6,05 Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente. ¿El 40% de las alturas se encuentra entre cuáles dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (66; 2,5) 0,5404 No, la probabilidad de que un hombre asiático mida más de 72 pulgadas es de 0,0082 El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar. Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (36, 10) La probabilidad de que una persona consuma más del 40 % de sus calorías en forma de grasa es de 0,3446. Aproximadamente el 25 % de las personas consumen menos del 29,26 % de sus calorías en forma de grasa. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____) Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión? ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños? X = número de horas que un niño chino de cuatro años en una zona rural está sin supervisión durante el día. X ~ N (3, 1,5) La probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión es de 0,0918. La probabilidad de que un niño pase más de diez horas al día sin supervisión es inferior a 0,0001. 2,21 horas En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral. Indique la distribución aproximada de X . ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe? Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton. Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo? X = la distribución del número de días que durará un determinado tipo de juicio penal X ~ N (21, 7) La probabilidad de que un juicio seleccionado al azar dure más de 24 días es de 0,3336. 22,77 Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos. El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____. El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos. Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La muestra los datos reales ordenados (en minutos): 0,50 4,25 5 6 7,25 1,75 4,25 5,25 6 7,25 2 4,25 5,25 6,25 7,25 2,25 4,25 5,5 6,25 7,75 2,25 4,5 5,5 6,5 8 2,5 4,75 5,5 6,5 8,25 2,75 4,75 5,75 6,5 9,5 3,25 4,75 5,75 6,75 9,5 3,75 5 6 6,75 9,75 3,75 5 6 6,75 10,75 Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____) Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos. Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas? Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión. media = 5,51, s = 2,15 Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. X ~ N (5,51; 2,15) 0,6029 La frecuencia acumulada para menos de 6,1 minutos es de 0,64. Las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales, ya que la distribución normal es solo una aproximación a la real. Las respuestas de las partes f y g son cercanas, ya que una distribución normal es una excelente aproximación cuando el tamaño de la muestra es superior a 30. La aproximación habría sido menos precisa porque el menor tamaño de la muestra hace que los datos no se ajusten tan bien a la curva normal. Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa. El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita. Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero. Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario. Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad. La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra. n = 100; p = 0,1; q = 0,9 μ = np = (100)(0,10) = 10 σ = n p q = (100)(0 0,1)(0 0,9) = 3 z = ± 1 : x 1 = µ + zσ = 10 + 1(3) = 13 y x 2 = µ – zσ = 10 – 1(3) = 7,68% de los automóviles defectuosos estará entre el siete y el 13. z = ± 2 : x 1 = µ + zσ = 10 + 2(3) = 16 como x 2 = µ – zσ = 10 – 2(3) = 4. 95% de los automóviles defectuosos caerán entre cuatro y 16 z = ± 3 : x 1 = µ + zσ = 10 + 3(3) = 19 como x 2 = µ – zσ = 10 – 3(3) = 1. 99,7% de los automóviles defectuosos estará entre uno y 19. Lanzamos una moneda 100 veces ( n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % ( p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente: Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32. Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya entre 34 y 54 premios. entre 54 y 64 premios. más de 64 premios. n = 190; p = 1 5 = 0,2; q = 0,8 μ = np = (190)(0,2) = 38 σ = n p q = (190)(0 0,2)(0 0,8) = 5,5136 Para este problema: P (34 < x < 54) = 0,7641 Para este problema: P (54 < x < 64) = 0,0018 Para este problema: P ( x > 64) = 0,0000012 (aproximadamente 0) Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio. En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento. Un hospital tiene 49 nacimientos en un año. Se considera igual de probable que un nacimiento sea un niño que una niña. ¿Cuál es la media? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 23 de los 49 nacimientos sean niños. 24,5 3,5 Sí 0,67 Históricamente, el examen final de un curso se aprueba con una probabilidad de 0,9. El examen se realiza a un grupo de 70 estudiantes. ¿Cuál es la media de la distribución binomial? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 60 de los estudiantes aprueben el examen 63 2,5 Sí 0,88 Un árbol de un huerto tiene 200 naranjas. De las naranjas, 40 no están maduras. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y determina la probabilidad de que una caja que contiene 35 naranjas tenga como máximo dos naranjas que no estén maduras. 0,02 En una gran ciudad, uno de cada diez hidrantes necesita ser reparado. Si una cuadrilla examina 100 hidrantes en una semana, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre menos de nueve hidrantes que necesiten reparación? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,37 En una línea de montaje se determina que el 85% de los productos ensamblados no tienen defectos. Si un día se ensamblan 50 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 y no más de 8 estés defectuosos? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,50

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Introducción Si quiere averiguar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, utilizando el teorema del límite central y suponiendo que su muestra es lo suficientemente grande, encontrará que la distribución es la función de densidad de probabilidad normal (créditos: John Lodder) ¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiará las medias y el teorema del límite central . El teorema del límite central es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. El teorema central del límite es un teorema, lo que significa que NO es una teoría o simplemente la idea de alguien sobre cómo funcionan las cosas. Como teorema, está a la altura del teorema de Pitágoras, o el teorema que nos dice que la suma de los ángulos de un triángulo debe sumar 180. Son hechos de las formas del mundo rigurosamente demostrados con precisión matemática y lógica. Como veremos, este poderoso teorema determinará lo que podemos y no podemos decir en la estadística inferencial. El teorema del límite central se ocupa de extraer muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ , y una desviación típica conocida, σ . La conclusión es que si recogemos muestras de tamaño n con un " n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma (distribución) de esas medias, la distribución resultante tenderá a tener una distribución normal aproximada. El resultado asombroso es que no importa cuál es la distribución de la población original, ni siquiera es necesario conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales tiende a seguir la distribución normal. El tamaño de la muestra, n , que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de la normal, se necesitan más observaciones para las medias de la muestra. El muestreo se realiza de forma aleatoria y con reemplazo en el modelo teórico. Distribución de muestreo dadas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población determinada con una característica medida como la media, la proporción o la desviación típica para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se llama distribución de muestreo.

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