Cálculo de curvas paramétricas Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva determinada, ¿es posible calcular la pendiente de una línea tangente a la curva? ¿Y la longitud de arco de la curva? ¿O el área bajo la curva? Otro escenario: supongamos que queremos representar la ubicación de una pelota de béisbol después de que la bola salga de la mano del lanzador. Si la posición de la pelota de béisbol está representada por la curva plana ( x ( t ) , y ( t ) ) , entonces deberíamos ser capaces de utilizar el cálculo para calcular la velocidad de la pelota en cualquier momento. Además, deberíamos ser capaces de calcular la distancia que ha recorrido esa pelota en función del tiempo. Derivadas de ecuaciones paramétricas Empezamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = 2 t + 3 , y ( t ) = 3 t − 4 , –2 ≤ t ≤ 3 . El gráfico de esta curva aparece en la . Es un segmento de línea que comienza en ( –1 , –10 ) y termina en ( 9 , 5 ) . Gráfico del segmento de línea descrito por las ecuaciones paramétricas dadas. Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la ecuación x ( t ) = 2 t + 3 para t : x ( t ) = 2 t + 3 x − 3 = 2 t t = x − 3 2 . Sustituyendo esto en y ( t ) , obtenemos y ( t ) = 3 t − 4 y = 3 ( x − 3 2 ) − 4 y = 3 x 2 − 9 2 − 4 y = 3 x 2 − 17 2 . La pendiente de esta línea está dada por d y d x = 3 2 . A continuación calculamos x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) . Esto da x ′ ( t ) = 2 y y ′ ( t ) = 3 . Observe que d y d x = d y / d t d x / d t = 3 2 . Esto no es casualidad, como se indica en el siguiente teorema. Derivada de ecuaciones paramétricas Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) y de y = y ( t ) . Supongamos que x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) existen, y supongamos que x ′ ( t ) ≠ 0 . Entonces la derivada d y d x está dada por d y d x = d y / d t d x / d t = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Prueba Este teorema se puede demostrar utilizando la regla de la cadena. En particular, supongamos que el parámetro t se puede eliminar, obteniendo una función diferenciable y = F ( x ) . Entonces y ( t ) = F ( x ( t ) ) . Diferenciando ambos lados de esta ecuación mediante la regla de la cadena produce y ′ ( t ) = F ′ ( x ( t ) ) x ′ ( t ) , así que F ′ ( x ( t ) ) = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Pero F ′ ( x ( t ) ) = d y d x , lo cual demuestra el teorema. □ La puede utilizarse para calcular las derivadas de las curvas planas, así como los puntos críticos. Recordemos que un punto crítico de una función diferenciable y = f ( x ) es cualquier punto x = x 0 de manera que f ′ ( x 0 ) = 0 o f ′ ( x 0 ) no existe. La da una fórmula para la pendiente de una línea tangente a una curva definida paramétricamente independientemente de que la curva pueda ser descrita por una función y = f ( x ) o no. Cálculo de la derivada de una curva paramétrica Calcule la derivada d y d x para cada una de las siguientes curvas planas definidas paramétricamente y ubique cualquier punto crítico en sus respectivos gráficos. x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 x ( t ) = 2 t + 1 , y ( t ) = t 3 − 3 t + 4 , –2 ≤ t ≤ 5 x ( t ) = 5 cos t , y ( t ) = 5 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 t y ′ ( t ) = 2. A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 2 2 t d y d x = 1 t . Esta derivada es indefinida cuando t = 0 . Si calculamos x ( 0 ) y de y ( 0 ) da como resultado x ( 0 ) = ( 0 ) 2 − 3 = −3 y y ( 0 ) = 2 ( 0 ) − 1 = −1 , que corresponde al punto ( −3 , –1 ) en el gráfico. El gráfico de esta curva es una parábola que se abre hacia la derecha, y el punto ( −3 , –1 ) es su vértice como se muestra Gráfico de la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a. Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 y ′ ( t ) = 3 t 2 − 3, A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 3 t 2 − 3 2 . Esta derivada es cero cuando t = ±1 . Cuando t = −1 tenemos x ( –1 ) = 2 ( –1 ) + 1 = −1 y y ( –1 ) = ( –1 ) 3 − 3 ( –1 ) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6 , que corresponde al punto ( –1 , 6 ) en el gráfico. Cuando t = 1 tenemos x ( 1 ) = 2 ( 1 ) + 1 = 3 y y ( 1 ) = ( 1 ) 3 − 3 ( 1 ) + 4 = 1 − 3 + 4 = 2 , que corresponde al punto ( 3 , 2 ) en el gráfico. El punto ( 3 , 2 ) es un mínimo relativo y el punto ( –1 , 6 ) es un máximo relativo, como se ve en el siguiente gráfico Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b. Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = −5 sen t y ′ ( t ) = 5 cos t . A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 5 cos t −5 sen t d y d x = − cot t . Esta derivada es cero cuando cos t = 0 y es indefinida cuando sen t = 0 . Esto da t = 0 , π 2 , π , 3 π 2 , y 2 π como puntos críticos para t. Sustituyendo cada uno de ellos en x ( t ) y de y ( t ) , obtenemos t x ( t ) grandes. y ( t ) 0 5 0 π 2 0 5 π −5 0 3 π 2 0 −5 2 π 5 0 Estos puntos corresponden a los lados, la parte superior y la parte inferior del círculo representado por las ecuaciones paramétricas ( ). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada es indefinida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero. Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte c. Calcule la derivada d y / d x para la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 3 y ubique cualquier punto crítico en su gráfico. x ′ ( t ) = 2 t − 4 en tanto que y ′ ( t ) = 6 t 2 − 6 , así que d y d x = 6 t 2 − 6 2 t − 4 = 3 t 2 − 3 t − 2 . Esta expresión es indefinida cuando t = 2 e igual a cero cuando t = ±1 . Pista Calcule x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) y utilice la . Hallar una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 cuando t = 2 . En primer lugar, halle la pendiente de la línea tangente utilizando la , lo que significa calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 t y ′ ( t ) = 2. A continuación, sustitúyalas en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 2 2 t d y d x = 1 t . Cuando t = 2 , d y d x = 1 2 , así que esta es la pendiente de la línea tangente. Si calculamos x ( 2 ) y de y ( 2 ) da x ( 2 ) = ( 2 ) 2 − 3 = 1 y y ( 2 ) = 2 ( 2 ) − 1 = 3 , que corresponde al punto ( 1 , 3 ) en el gráfico ( ). Ahora utilice la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea para hallar la ecuación de la línea tangente: y – y 0 = m ( x – x 0 ) y − 3 = 1 2 ( x – 1 ) y − 3 = 1 2 x – 1 2 y = 1 2 x + 5 2 . Línea tangente a la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas dadas cuando t = 2 . Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 10 cuando t = 5 . La ecuación de la línea tangente es y = 24 x + 100 . Pista Calcule x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) y utilice la . Derivadas de segundo orden Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función y = f ( x ) se define como la derivada de la primera derivada; es decir, d 2 y d x 2 = d d x [ d y d x ] . Dado que d y d x = d y / d t d x / d t , podemos sustituir la y en ambos lados de esta ecuación por d y d x . Esto nos da d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t . Si conocemos d y / d x en función de t, entonces esta fórmula es fácil de aplicar. Calcular una segunda derivada Calcule la segunda derivada d 2 y / d x 2 para la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 . Del sabemos que d y d x = 2 2 t = 1 t . Utilizando la , obtenemos d 2 y d x 2 = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t = ( d / d t ) ( 1 / t ) 2 t = − t −2 2 t = − 1 2 t 3 . Calcule la segunda derivada d 2 y / d x 2 para la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 3 y ubique cualquier punto crítico en su gráfico. d 2 y d x 2 = 3 t 2 − 12 t + 3 2 ( t − 2 ) 3 . Puntos críticos ( 5 , 4 ) , ( −3 , –4 ) , y ( −4 , 4 ) . Pista Empiece con la solución del punto de control anterior y utilice la . Integrales con ecuaciones paramétricas Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo hallar el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos la cicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = t − sen t , y ( t ) = 1 − cos t . Supongamos que queremos hallar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. Gráfico de una cicloide con el arco sobre [ 0 , 2 π ] resaltado. Para derivar una fórmula para el área bajo la curva definida por las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b , asumimos que x ( t ) es creciente en el intervalo t ∈ [ a , b ] y x ( t ) es diferenciable y comienza con una partición igual del intervalo a ≤ t ≤ b . Supongamos que t 0 = a < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = b y considere el siguiente gráfico. Aproximación del área bajo una curva definida paramétricamente. Utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo la curva. La altura del i −ésimo rectángulo es y ( t i − 1 ) , por lo que una aproximación del área es ∑ i = 1 n y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) = ∑ i = 1 n y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) → ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t como máx. { ( t i – t i – 1 ) } → 0 Esto se deduce de los resultados obtenidos en Cálculo 1 para la función y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) . Entonces una suma de Riemann para el área es A n = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) ) . Multiplicando y dividiendo cada área por t i – t i − 1 da A n = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) t i – t i − 1 ) ( t i – t i − 1 ) = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) Δ t ) Δ t . Si tomamos el límite a medida que n se acerca al infinito da A = lím n → ∞ A n = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t . Si los valores de x es una función decreciente para a ≤ t ≤ b , una derivación similar mostrará que el área viene dada por – ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t = ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t Esto nos lleva al siguiente teorema. Área bajo una curva paramétrica Considere la curva plana que no se interseca definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b y asuma que x ( t ) es diferenciable. El área bajo esta curva está dada por A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t . Cálculo del área bajo una curva paramétrica Halle el área bajo la curva de la cicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = t − sen t , y ( t ) = 1 − cos t , 0 ≤ t ≤ 2 π . Utilizando la , tenemos A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − cos t ) ( 1 − cos t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos t + cos 2 t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos t + 1 + cos 2 t 2 ) d t = ∫ 0 2 π ( 3 2 − 2 cos t + cos 2 t 2 ) d t = 3 t 2 − 2 sen t + sen 2 t 4 | 0 2 π = 3 π . Halle el área bajo la curva de la hipocicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = 3 cos t + cos 3 t , y ( t ) = 3 sen t − sen 3 t , 0 ≤ t ≤ π . A = 3 π (Observe que la fórmula de la integral da en realidad una respuesta negativa. Esto se debe a que x ( t ) es una función decreciente en el intervalo [ 0 , 2 π ] ; es decir, la curva se traza de derecha a izquierda). Pista Utilice la , junto con las identidades sen α sen β = 1 2 [ cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ] y sen 2 t = 1 − cos 2 t 2 . Longitud de arco de una curva paramétrica Además de hallar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos hallar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud de arco es igual a la distancia entre los puntos extremos. Si una partícula viaja del punto A al punto B a lo largo de una curva, la distancia que recorre esa partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud de arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en el siguiente gráfico. Aproximación de una curva mediante segmentos de línea. Dada una curva plana definida por las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b , empezamos por dividir el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales: t 0 = a < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = b . El ancho de cada subintervalo está dado por Δ t = ( b – a ) / n . Podemos calcular la longitud de cada segmento de línea: d 1 = ( x ( t 1 ) − x ( t 0 ) ) 2 + ( y ( t 1 ) − y ( t 0 ) ) 2 d 2 = ( x ( t 2 ) − x ( t 1 ) ) 2 + ( y ( t 2 ) − y ( t 1 ) ) 2 etc . A continuación, súmelos. Suponemos que s denota la longitud de arco exacta y s n denota la aproximación mediante n segmentos de línea: s ≈ ∑ k = 1 n s k = ∑ k = 1 n ( x ( t k ) − x ( t k − 1 ) ) 2 + ( y ( t k ) − y ( t k − 1 ) ) 2 . Si asumimos que x ( t ) y de y ( t ) son funciones diferenciables de t, entonces se aplica el teorema de valor medio ( Introducción a las aplicaciones de las derivadas ), por lo que en cada subintervalo [ t k − 1 , t k ] existen t ^ k y t ˜ k tal que x ( t k ) − x ( t k − 1 ) = x ′ ( t ^ k ) ( t k − t k − 1 ) = x ′ ( t ^ k ) Δ t y ( t k ) − y ( t k − 1 ) = y ′ ( t ˜ k ) ( t k − t k − 1 ) = y ′ ( t ˜ k ) Δ t . Por lo tanto, la se convierte en s ≈ ∑ k = 1 n s k = ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) Δ t ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) Δ t ) 2 = ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 ( Δ t ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ( Δ t ) 2 = ( ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ) Δ t . Se trata de una suma de Riemann que aproxima la longitud de arco sobre una partición del intervalo [ a , b ] . Si además asumimos que las derivadas son continuas y suponemos que el número de puntos de la partición aumenta sin límite, la aproximación se acerca a la longitud de arco exacta. Esto da s = lím n → ∞ ∑ k = 1 n s k = lím n → ∞ ( ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ) Δ t = ∫ a b ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Cuando se toma el límite, los valores de t ^ k y t ˜ k están contenidos en el mismo intervalo de ancho cada vez menor Δ t , por lo que deben converger al mismo valor. Podemos resumir este método en el siguiente teorema. Longitud de arco de una curva paramétrica Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) , y = y ( t ) , t 1 ≤ t ≤ t 2 y asuma que x ( t ) y de y ( t ) son funciones diferenciables de t. Entonces la longitud de arco de esta curva está dada por s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . En este punto, una derivación lateral nos lleva a una fórmula previa para la longitud de arco. En particular, supongamos que se puede eliminar el parámetro, lo que resulta en una función y = F ( x ) . Entonces y ( t ) = F ( x ( t ) ) y la regla de la cadena da y ′ ( t ) = F ′ ( x ( t ) ) x ′ ( t ) . Sustituyendo esto en la se obtiene s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( F ′ ( x ) d x d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 ( 1 + ( F ′ ( x ) ) 2 ) d t = ∫ t 1 t 2 x ′ ( t ) 1 + ( d y d x ) 2 d t . Aquí hemos asumido que x ′ ( t ) > 0 , lo cual es una suposición razonable. La regla de la cadena da d x = x ′ ( t ) d t , y suponiendo que a = x ( t 1 ) y b = x ( t 2 ) obtenemos la fórmula s = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x , que es la fórmula de la longitud de arco obtenida en la Introducción a las aplicaciones de la integración . Hallar la longitud de arco de una curva paramétrica Halle la longitud de arco del semicírculo definido por las ecuaciones x ( t ) = 3 cos t , y ( t ) = 3 sen t , 0 ≤ t ≤ π . Los valores t = 0 a t = π trazan la curva roja en la . Para determinar su longitud, utilice la : s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ 0 π ( −3 sen t ) 2 + ( 3 cos t ) 2 d t = ∫ 0 π 9 sen 2 t + 9 cos 2 t d t = ∫ 0 π 9 ( sen 2 t + cos 2 t ) d t = ∫ 0 π 3 d t = 3 t | 0 π = 3 π . Observe que la fórmula de la longitud de arco de un semicírculo es π r y el radio de este círculo es 3. Este es un gran ejemplo de cómo utilizar el cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica. La longitud de arco del semicírculo es igual a su radio por π. Halle la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = 3 t 2 , y ( t ) = 2 t 3 , 1 ≤ t ≤ 3 . s = 2 ( 10 3 / 2 − 2 3 / 2 ) ≈ 57,589 Pista Utilice la . Volvemos ahora al problema planteado al principio de la sección sobre una pelota de béisbol que sale de la mano del lanzador. Ignorando el efecto de la resistencia del aire (¡a menos que sea una pelota curva!), la pelota recorre una trayectoria parabólica. Suponiendo que la mano del lanzador está en el origen y que la pelota se desplaza de izquierda a derecha en la dirección del eje x positivo, las ecuaciones paramétricas de esta curva pueden escribirse como x ( t ) = 140 t , y ( t ) = –16 t 2 + 2 t donde t representa el tiempo. Primero calculamos la distancia que recorre la pelota en función del tiempo. Esta distancia está representada por la longitud de arco. Podemos modificar ligeramente la fórmula de la longitud de arco. Primero hay que reescribir las funciones x ( t ) y de y ( t ) utilizando v como variable independiente, para eliminar cualquier confusión con el parámetro t : x ( v ) = 140 v , y ( v ) = −16 v 2 + 2 v . Luego escribimos la fórmula de la longitud de arco de la siguiente forma: s ( t ) = ∫ 0 t ( d x d v ) 2 + ( d y d v ) 2 d v = ∫ 0 t 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v . La variable v actúa como una variable ficticia que desaparece después de la integración, dejando la longitud de arco en función del tiempo t. Para integrar esta expresión podemos utilizar una fórmula del Apéndice A , ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln | u + a 2 + u 2 | + C . Hemos establecido a = 140 y u = −32 v + 2 . Esto da d u = −32 d v , así que d v = − 1 32 d u . Por lo tanto ∫ 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v = − 1 32 ∫ a 2 + u 2 d u = − 1 32 [ ( –32 v + 2 ) 2 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 + 140 2 2 ln | ( –32 v + 2 ) + 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 | ] + C y s ( t ) = − 1 32 [ ( −32 t + 2 ) 2 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 + 140 2 2 ln | ( −32 t + 2 ) + 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 | ] + 1 32 [ 140 2 + 2 2 + 140 2 2 ln | 2 + 140 2 + 2 2 | ] = ( t 2 – 1 32 ) 1024 t 2 − 128 t + 19604 − 1.225 4 ln | ( −32 t + 2 ) + 1024 t 2 − 128 t + 19604 | + 19604 32 + 1.225 4 ln ( 2 + 19604 ) . Esta función representa la distancia recorrida por la pelota en función del tiempo. Para calcular la velocidad, tome la derivada de esta función con respecto a t. Aunque esto puede parecer una tarea desalentadora, es posible obtener la respuesta directamente del teorema fundamental del cálculo: d d x ∫ a x f ( u ) d u = f ( x ) . Por lo tanto, s ′ ( t ) = d d t [ s ( t ) ] = d d t [ ∫ 0 t 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v ] = 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 = 1024 t 2 − 128 t + 19604 = 2 256 t 2 − 32 t + 4.901 . Un tercio de segundo después de que la pelota salga de la mano del lanzador, la distancia que recorre es igual a s ( 1 3 ) = ( 1 / 3 2 – 1 32 ) 1024 ( 1 3 ) 2 − 128 ( 1 3 ) + 19604 − 1.225 4 ln | ( −32 ( 1 3 ) + 2 ) + 1024 ( 1 3 ) 2 − 128 ( 1 3 ) + 19604 | + 19604 32 + 1.225 4 ln ( 2 + 19604 ) ≈ 46,69 pies . Este valor se encuentra a poco más de tres cuartos del camino hacia la base del bateador. La velocidad de la pelota es s ′ ( 1 3 ) = 2 256 ( 1 3 ) 2 − 16 ( 1 3 ) + 4.901 ≈ 140,34 ft/s . Esta velocidad se traduce en unas 95 mph, una bola rápida de las grandes ligas. Área superficial generada por una curva paramétrica Recordemos el problema de hallar el área superficial de un volumen de revolución. En Longitud de la curva y área superficial , derivamos una fórmula para hallar el área superficial de un volumen generado por una función y = f ( x ) de x = a a x = b , que giraba alrededor del eje x : S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x . Ahora consideramos un volumen de revolución generado al girar una curva definida paramétricamente x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura. Una superficie de revolución generada por una curva definida paramétricamente. La fórmula análoga para una curva definida paramétricamente es S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t siempre que y ( t ) no sea negativa en [ a , b ] . Cálculo del área superficial Halle el área superficial de una esfera de radio r centrada en el origen. Partimos de la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = r cos t , y ( t ) = r sen t , 0 ≤ t ≤ π . Esto genera un semicírculo superior de radio r centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico. Un semicírculo generado por ecuaciones paramétricas. Cuando esta curva gira alrededor del eje x , genera una esfera de radio r . Para calcular el área superficial de la esfera, utilizamos la : S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π r sen t ( − r sen t ) 2 + ( r cos t ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π r sen t r 2 sen 2 t + r 2 cos 2 t d t = 2 π ∫ 0 π r sen t r 2 ( sen 2 t + cos 2 t ) d t = 2 π ∫ 0 π r 2 sen t d t = 2 π r 2 ( − cos t | 0 π ) = 2 π r 2 ( − cos π + cos 0 ) = 4 π r 2 . Esta es, de hecho, la fórmula del área superficial de una esfera. Halle el área superficial generada cuando la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 3 , y ( t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 se gira alrededor del eje x . A = π ( 494 13 + 128 ) 1.215 Pista Utilice la . Cuando evalúe la integral, utilice una sustitución en u . Conceptos clave La derivada de la curva definida paramétricamente x = x ( t ) y de y = y ( t ) se puede calcular mediante la fórmula d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Utilizando la derivada, podemos hallar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica. El área entre una curva paramétrica y el eje x puede determinarse mediante la fórmula A = ∫ t 1 t 2 y ( t ) x ′ ( t ) d t . La longitud de arco de una curva paramétrica se puede calcular mediante la fórmula s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . La superficie de un volumen de revolución que gira alrededor del eje x está dada por S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Si la curva gira alrededor del eje y , entonces la fórmula es S = 2 π ∫ a b x ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Ecuaciones clave Derivada de ecuaciones paramétricas d y d x = d y / d t d x / d t = y ′ ( t ) x ′ ( t ) Derivada de segundo orden de ecuaciones paramétricas d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t Área bajo una curva paramétrica A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t Longitud de arco de una curva paramétrica s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t Área superficial generada por una curva paramétrica S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t En los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una línea. Sin eliminar el parámetro, halle la pendiente de cada línea. x = 3 + t , y = 1 − t x = 8 + 2 t , y = 1 0 x = 4 − 3 t , y = −2 + 6 t x = −5 t + 7 , y = 3 t − 1 −3 5 En los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la línea tangente y, a continuación, halle la ecuación de la línea tangente en el valor dado del parámetro. x = 3 sen t , y = 3 cos t , t = π 4 x = cos t , y = 8 sen t , t = π 2 Pendiente = 0 ; y = 8 . x = 2 t , y = t 3 , t = –1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , t = 1 La pendiente no está definida; x = 2 . x = t , y = 2 t , t = 4 En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada. x = 4 cos t , y = 4 sen t , pendiente = 0,5 tan t = – 2 ( 4 5 , –8 5 ) , ( 4 5 , –8 5 ) . x = 2 cos t , y = 8 sen t , pendiente = –1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , pendiente = 1 No hay puntos posibles; expresión indefinida. x = 2 + t , y = 2 − 4 t , pendiente = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado. x = e t , y = 1 − ln t 2 , t = 1 y = − ( 4 e ) x + 5 x = t ln t , y = sen 2 t , t = π 4 x = e t , y = ( t − 1 ) 2 , en ( 1 , 1 ) grandes. y = −2 x + 3 Para x = sen ( 2 t ) , y = 2 sen t donde 0 ≤ t < 2 π . Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente horizontal. Para x = sen ( 2 t ) , y = 2 sen t donde 0 ≤ t < 2 π . Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente vertical. π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4 Halle todos los puntos de la curva x = 4 sen ( t ) , y = 4 cos ( t ) que tienen la pendiente 0,5 Halle d y d x para x = sen ( t ) , y = cos ( t ) . d y d x = − tan ( t ) Halle la ecuación de la línea tangente a x = sen ( t ) , y = cos ( t ) en t = π 4 . Para la curva x = 4 t , y = 3 t − 2 , halle la pendiente y la concavidad de la curva en t = 3 . d y d x = 3 4 y d 2 y d x 2 = 0 , para que la curva no sea ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en t = 3 . Por lo tanto, el gráfico es lineal y tiene una pendiente constante pero ninguna concavidad. Para la curva paramétrica cuya ecuación es x = 4 cos θ , y = 4 sen θ , halle la pendiente y la concavidad de la curva en θ = π 4 . Halle la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es x = 2 + sec θ , y = 1 + 2 tan θ en θ = π 6 . d y d x = 4 , d 2 y d x 2 = –6 3 ; la curva es cóncava hacia abajo en θ = π 6 . Halle todos los puntos de la curva x = t + 4 , y = t 3 − 3 t en los que hay tangentes verticales y horizontales. Halle todos los puntos de la curva x = sec θ , y = tan θ en los que hay tangentes horizontales y verticales. No hay tangentes horizontales. Tangentes verticales en ( 1 , 0 ) , ( –1 , 0 ) . En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y / d x 2 . x = t 4 − 1 , y = t − t 2 x = sen ( π t ) , y = cos ( π t ) grandes. − sec 2 ( π t ) grandes. x = e − t , y = t e 2 t En los siguientes ejercicios, halle los puntos de la curva en los que la línea tangente es horizontal o vertical. x = t ( t 2 − 3 ) , y = 3 ( t 2 − 3 ) Horizontal ( 0 , –9 ) ; vertical ( ± 2 , –6 ) . x = 3 t 1 + t 3 , y = 3 t 2 1 + t 3 En los siguientes ejercicios, calcule d y / d x al valor del parámetro. x = cos t , y = sen t , t = 3 π 4 1 x = t , y = 2 t + 4 , t = 9 x = 4 cos ( 2 π s ) , y = 3 sen ( 2 π s ) , s = − 1 4 0 En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y / d x 2 en el punto dado sin eliminar el parámetro. x = 1 2 t 2 , y = 1 3 t 3 , t = 2 x = t , y = 2 t + 4 , t = 1 4 Halle los intervalos t en los que la curva x = 3 t 2 , y = t 3 − t es cóncava hacia arriba y hacia abajo. Determine la concavidad de la curva x = 2 t + ln t , y = 2 t − ln t . Cóncava hacia arriba en t > 0 . Dibuje y halle el área bajo un arco de la cicloide x = r ( θ − sen θ ) , y = r ( 1 − cos θ ) . Halle el área delimitada por la curva x = cos t , y = e t , 0 ≤ t ≤ π 2 y las líneas y = 1 y x = 0 . e 1 2 − 1 2 Halle el área encerrada por la elipse x = a cos θ , y = b sen θ , 0 ≤ θ < 2 π . Halle el área de la región delimitada por x = 2 sen 2 θ , y = 2 sen 2 θ tan θ , para 0 ≤ θ ≤ π 2 . 3 π 2 En los siguientes ejercicios, halle el área de las regiones delimitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro. x = 2 cot θ , y = 2 sen 2 θ , 0 ≤ θ ≤ π [T] x = 2 a cos t − a cos ( 2 t ) , y = 2 a sen t − a sen ( 2 t ) , 0 ≤ t < 2 π 6 π a 2 [T] x = a sen ( 2 t ) , y = b sen ( t ) , 0 ≤ t < 2 π (el "reloj de arena") [T] x = 2 a cos t − a sen ( 2 t ) , y = b sen t , 0 ≤ t < 2 π (la "lágrima") 2 π a b En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro. x = 4 t + 3 , y = 3 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 2 x = 1 3 t 3 , y = 1 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 1 3 ( 2 2 – 1 ) grandes. x = cos ( 2 t ) , y = sen ( 2 t ) , 0 ≤ t ≤ π 2 x = 1 + t 2 , y = ( 1 + t ) 3 , 0 ≤ t ≤ 1 7,075 x = e t cos t , y = e t sen t , 0 ≤ t ≤ π 2 (Utilice un CAS para esto y exprese la respuesta como un decimal redondeado a tres decimales). x = a cos 3 θ , y = a sen 3 θ en el intervalo [ 0 , 2 π ) (la hipocicloide) 6 a Halle la longitud de un arco de la cicloide x = 4 ( t − sen t ) , y = 4 ( 1 − cos t ) . Calcule la distancia recorrida por una partícula con posición ( x , y ) a medida que t varía en el intervalo de tiempo dado: x = sen 2 t , y = cos 2 t , 0 ≤ t ≤ 3 π . 6 2 Halle la longitud de un arco de la cicloide x = θ − sen θ , y = 1 − cos θ . Demuestre que la longitud total de la elipse x = 4 sen θ , y = 3 cos θ es L = 16 ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sen 2 θ d θ , donde e = c a y c = a 2 − b 2 . Calcule la longitud de la curva x = e t − t , y = 4 e t / 2 , −8 ≤ t ≤ 3 . En los siguientes ejercicios, halle el área superficial que se obtiene cuando se gira la curva dada alrededor del eje x . x = t 3 , y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 2 π ( 247 13 + 64 ) 1.215 x = a cos 3 θ , y = a sen 3 θ , 0 ≤ θ ≤ π 2 [T] Utilice un CAS para hallar el área superficial generada al girar x = t + t 3 , y = t − 1 t 2 , 1 ≤ t ≤ 2 alrededor del eje x . (Respuesta redondeada a tres decimales). 59,101 Halle el área superficial obtenida al girar x = 3 t 2 , y = 2 t 3 , 0 ≤ t ≤ 5 alrededor del eje y . Halle el área superficial generada al girar x = t 2 , y = 2 t , 0 ≤ t ≤ 4 alrededor del eje x . 8 π 3 ( 17 17 − 1 ) Halle el área superficial generada al girar x = t 2 , y = 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 alrededor del eje y .

Matemáticas


Coordenadas polares El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para asignar puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se llama un mapeo biunívoco de puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares ofrece un método alternativo para asignar puntos a pares ordenados. En esta sección vemos que, en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares. Definición de coordenadas polares Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la . El punto P tiene coordenadas cartesianas ( x , y ) . El segmento de línea que conecta el origen con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene longitud r . El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de línea tiene medida θ . Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas ( x , y ) y los valores r y θ . Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares . Observe que cada punto del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado ) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: r y θ . Un punto arbitrario en el plano cartesiano. Utilizando la trigonometría del triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto P : cos θ = x r así que x = r cos θ sen θ = y r así que y = r sen θ . Además, r 2 = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Cada punto ( x , y ) en el sistema de coordenadas cartesianas puede representarse, por tanto, como un par ordenado ( r , θ ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular . Cada punto del plano puede representarse de esta forma. Observe que la ecuación tan θ = y / x tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado ( x , y ) . Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre 0 y 2 π entonces podemos asignar una solución única al cuadrante en el que el punto original ( x , y ) se encuentra. Entonces el valor correspondiente de r es positivo, por lo que r 2 = x 2 + y 2 . Conversión de puntos entre sistemas de coordenadas Dado un punto P en el plano con coordenadas cartesianas ( x , y ) y coordenadas polares ( r , θ ) , las siguientes fórmulas de conversión son válidas: x = r cos θ y y = r sen θ , r 2 = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Estas fórmulas pueden utilizarse para convertir de coordenadas rectangulares a polares o de polares a rectangulares. Conversión entre coordenadas rectangulares y polares Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas polares. ( 1 , 1 ) grandes. ( −3 , 4 ) grandes. ( 0 , 3 ) grandes. ( 5 3 , −5 ) Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas rectangulares. ( 3 , π / 3 ) grandes. ( 2 , 3 π / 2 ) grandes. ( 6 , −5 π / 6 ) Utilice la sustitución en x = 1 y y = 1 en la : r 2 = x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2 r = 2 y tan θ = y x = 1 1 = 1 θ = π 4 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 2 , π 4 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = −3 y y = 4 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( −3 ) 2 + ( 4 ) 2 r = 5 y tan θ = y x = – 4 3 θ = – arctan ( 4 3 ) ≈ 2 . 21 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 5 , 2,21 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = 0 y y = 3 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( 3 ) 2 + ( 0 ) 2 = 9 + 0 r = 3 y tan θ = y x = 3 0 . La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división entre cero. Graficando el punto ( 0 , 3 ) en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está situado en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π 2 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 3 , π 2 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = 5 3 y y = −5 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( 5 3 ) 2 + ( −5 ) 2 = 75 + 25 r = 10 y tan θ = y x = −5 5 3 = − 3 3 θ = − π 6 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 10 , − π 6 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en r = 3 y θ = π 3 en la : x = r cos θ = 3 cos ( π 3 ) = 3 ( 1 2 ) = 3 2 y y = r sen θ = 3 sen ( π 3 ) = 3 ( 3 2 ) = 3 3 2 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 3 2 , 3 3 2 ) en coordenadas rectangulares. Utilice la sustitución en r = 2 y θ = 3 π 2 en la : x = r cos θ = 2 cos ( 3 π 2 ) = 2 ( 0 ) = 0 y y = r sen θ = 2 sen ( 3 π 2 ) = 2 ( –1 ) = –2. Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 0 , –2 ) en coordenadas rectangulares. Utilice la sustitución en r = 6 y θ = − 5 π 6 en la : x = r cos θ = 6 cos ( − 5 π 6 ) = 6 ( − 3 2 ) = −3 3 y y = r sen θ = 6 sen ( − 5 π 6 ) = 6 ( − 1 2 ) = –3. Por lo tanto, este punto se puede representar como ( −3 3 , −3 ) en coordenadas rectangulares. Convierta ( –8 , −8 ) en coordenadas polares y ( 4 , 2 π 3 ) en coordenadas rectangulares. ( 8 2 , 5 π 4 ) y ( –2 , 2 3 ) Pista Utilice la y la . Asegúrese de comprobar el cuadrante cuando calcule θ . La representación polar de un punto no es única. Por ejemplo, las coordenadas polares ( 2 , π 3 ) y ( 2 , 7 π 3 ) representan ambas el punto ( 1 , 3 ) en el sistema rectangular. Además, el valor de r puede ser negativo. Por lo tanto, el punto con coordenadas polares ( –2 , 4 π 3 ) también representa el punto ( 1 , 3 ) en el sistema rectangular, como podemos ver utilizando la : x = r cos θ = −2 cos ( 4 π 3 ) = −2 ( − 1 2 ) = 1 y y = r sen θ = –2 sen ( 4 π 3 ) = −2 ( − 3 2 ) = 3 . Cada punto del plano tiene un número infinito de representaciones en coordenadas polares. Sin embargo, cada punto del plano solo tiene una representación en el sistema de coordenadas rectangulares. Tenga en cuenta que la representación polar de un punto en el plano también tiene una interpretación visual. En particular, r es la distancia dirigida que el punto tiene al origen y θ mide el ángulo que forma el segmento de línea desde el origen hasta el punto con el eje x positivo. Los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el sentido de las agujas del reloj. El sistema de coordenadas polares aparece en la siguiente figura. El sistema de coordenadas polares. El segmento de línea que parte del centro del gráfico hacia la derecha (llamado eje x positivo en el sistema cartesiano) es el eje polar . El punto central es el polo , u origen, del sistema de coordenadas y corresponde a r = 0 . El círculo más interno que se muestra en la contiene todos los puntos a una distancia de 1 unidad del polo, y está representado por la ecuación r = 1 . Entonces r = 2 es el conjunto de puntos a 2 unidades del polo, y así sucesivamente. Los segmentos de línea que emanan del polo corresponden a ángulos fijos. Para trazar un punto en el sistema de coordenadas polares, comience con el ángulo. Si el ángulo es positivo, mida el ángulo desde el eje polar en sentido contrario a las agujas del reloj. Si es negativo, mida en el sentido de las agujas del reloj. Si el valor de r es positivo, mueve esa distancia a lo largo de la semirrecta del ángulo. Si es negativo, mueva a lo largo de la semirrecta opuesta a la semirrecta terminal del ángulo dado. Trazado de puntos en el plano polar Trace cada uno de los siguientes puntos en el plano polar. ( 2 , π 4 ) grandes. ( −3 , 2 π 3 ) grandes. ( 4 , 5 π 4 ) Los tres puntos se representan en la siguiente figura. Tres puntos trazados en el sistema de coordenadas polares. Trace ( 4 , 5 π 3 ) y ( −3 , − 7 π 2 ) en el plano polar. Pista Comience con θ , y luego utilice r . Curvas polares Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos hablar de cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función y = f ( x ) y crear una curva en el plano cartesiano. De forma similar, podemos graficar una curva generada por una función r = f ( θ ) . La idea general de graficar una función en coordenadas polares es la misma que la de graficar una función en coordenadas rectangulares. Comience con una lista de valores para la variable independiente ( θ en este caso) y calcule los valores correspondientes de la variable dependiente r . Este proceso genera una lista de pares ordenados, que pueden ser trazados en el sistema de coordenadas polares. Por último, conecte los puntos y aproveche los patrones que puedan aparecer. La función puede ser periódica, por ejemplo, lo que indica que solo se necesita un número limitado de valores para la variable independiente. Estrategia de resolución de problemas: Trazado de una curva en coordenadas polares Cree una tabla con dos columnas. La primera columna es para θ , y la segunda columna es para r . Cree una lista de valores para θ . Calcule los valores r correspondientes para cada θ . Trace cada par ordenado ( r , θ ) en los ejes de coordenadas. Conecte los puntos y busque un patrón. Vea este video para obtener más información sobre el trazado de curvas polares. Graficar una función en coordenadas polares Grafique la curva definida por la función r = 4 sen θ . Identifique la curva y reescriba la ecuación en coordenadas rectangulares. Como la función es un múltiplo de la función de seno, es periódica con periodo 2 π , por lo que hay que utilizar los valores de θ entre 0 y 2 π . El resultado de los pasos del 1 al 3 aparece en la siguiente tabla. La muestra el gráfico basado en esta tabla. θ r = 4 sen θ θ r = 4 sen θ 0 0 π 0 π 6 2 7 π 6 −2 π 4 2 2 ≈ 2,8 5 π 4 −2 2 ≈ –2,8 π 3 2 3 ≈ 3,4 4 π 3 −2 3 ≈ –3,4 π 2 4 3 π 2 –4 2 π 3 2 3 ≈ 3,4 5 π 3 −2 3 ≈ –3,4 3 π 4 2 2 ≈ 2,8 7 π 4 −2 2 ≈ –2,8 5 π 6 2 11 π 6 −2 2 π 0 El gráfico de la función r = 4 sen θ es un círculo. Este es el gráfico de un círculo. La ecuación r = 4 sen θ se puede convertir en coordenadas rectangulares multiplicando primero ambos lados por r . Esto da la ecuación r 2 = 4 r sen θ . A continuación, utilice los hechos que r 2 = x 2 + y 2 y y = r sen θ . Esto da x 2 + y 2 = 4 y . Para poner esta ecuación en forma estándar, reste 4 y de ambos lados de la ecuación y complete el cuadrado: x 2 + y 2 − 4 y = 0 x 2 + ( y 2 − 4 y ) = 0 x 2 + ( y 2 − 4 y + 4 ) = 0 + 4 x 2 + ( y − 2 ) 2 = 4. Esta es la ecuación de un círculo con radio 2 y centro ( 0 , 2 ) en el sistema de coordenadas rectangulares. Cree un gráfico de la curva definida por la función r = 4 + 4 cos θ . El nombre de esta forma es cardioide, que estudiaremos más adelante en esta sección. Pista Siga la estrategia de resolución de problemas para crear un gráfico en coordenadas polares. El gráfico en el era el de un círculo. La ecuación del círculo puede transformarse en coordenadas rectangulares utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas en la . El da algunos ejemplos más de funciones para transformar de coordenadas polares a rectangulares. Transformación de ecuaciones polares a coordenadas rectangulares Reescriba cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas rectangulares e identifique el gráfico. θ = π 3 r = 3 r = 6 cos θ − 8 sen θ Tome la tangente de ambos lados. Esto da tan θ = tan ( π / 3 ) = 3 . Dado que tan θ = y / x podemos sustituir el lado izquierdo de esta ecuación por y / x . Esto da como resultado y / x = 3 , que se puede reescribir como y = x 3 . Es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente 3 . En general, cualquier ecuación polar de la forma θ = K representa una línea recta que pasa por el polo con pendiente igual a tan K . Primero, eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Esto da r 2 = 9 . Reemplace a continuación r 2 con x 2 + y 2 . Esto da la ecuación x 2 + y 2 = 9 , que es la ecuación de un círculo centrado en el origen con radio 3. En general, cualquier ecuación polar de la forma r = k donde k es una constante positiva representa un círculo de radio k centrado en el origen. ( Nota : Al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto debe tenerse siempre en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos puntos nuevos). Por ejemplo, ( −3 , π 3 ) es el mismo punto que ( 3 , 4 π 3 ) . ) Multiplique ambos lados de la ecuación por r . Esto lleva a r 2 = 6 r cos θ − 8 r sen θ . A continuación, utilice las fórmulas r 2 = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y = r sen θ . Esto da r 2 = 6 ( r cos θ ) − 8 ( r sen θ ) x 2 + y 2 = 6 x − 8 y . Para poner esta ecuación en forma estándar, primero hay que mover las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, y luego completar el cuadrado. x 2 + y 2 = 6 x − 8 y x 2 − 6 x + y 2 + 8 y = 0 ( x 2 − 6 x ) + ( y 2 + 8 y ) = 0 ( x 2 − 6 x + 9 ) + ( y 2 + 8 y + 16 ) = 9 + 16 ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 25. Esta es la ecuación de un círculo con centro en ( 3 , –4 ) y radio 5. Observe que el círculo pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades. Reescriba la ecuación r = sec θ tan θ en coordenadas rectangulares e identifique su gráfico. y = x 2 , que es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Pista Convierta a seno y coseno, luego multiplique ambos lados por el coseno. Ya hemos visto varios ejemplos de dibujo de gráficos de curvas definidas por ecuaciones polares . En las tablas siguientes se ofrece un resumen de algunas curvas comunes. En cada ecuación, a y b son constantes arbitrarias. Una cardioide es un caso especial de un caracol , en el que a = b o a = − b . La rosa es una curva muy interesante. Observe que el gráfico de r = 3 sen 2 θ tiene cuatro pétalos. Sin embargo, el gráfico de r = 3 sen 3 θ tiene tres pétalos como se muestra. Gráfico de r = 3 sen 3 θ . Si el coeficiente de θ es par, el gráfico tiene el doble de pétalos que el coeficiente. Si el coeficiente de θ es impar, entonces el número de pétalos es igual al coeficiente. Se le anima a explorar por qué ocurre esto. Los gráficos son aún más interesantes cuando el coeficiente de θ no es un número entero. Por ejemplo, si es racional, entonces la curva es cerrada; es decir, termina finalmente donde empezó ( (a)). Sin embargo, si el coeficiente es irracional, la curva nunca se cierra ( (b)). Aunque pueda parecer que la curva está cerrada, un examen más detallado revela que los pétalos situados justo encima del eje x positivo son ligeramente más gruesos. Esto se debe a que el pétalo no coincide del todo con el punto de partida. Gráficos de rosa polar de funciones con (a) coeficiente racional y (b) coeficiente irracional. Observe que la rosa de la parte (b) llenaría realmente todo el círculo si se trazara en su totalidad. Dado que la curva definida por el gráfico de r = 3 sen ( π θ ) nunca se cierra, la curva representada en la (b) es solo una representación parcial. De hecho, este es un ejemplo de curva de relleno de espacio . Una curva de relleno de espacio es aquella que de hecho ocupa un subconjunto bidimensional del plano real. En este caso la curva ocupa el círculo de radio 3 centrado en el origen. Inicio del capítulo: Describir una espiral Recordemos el Nautilus pompilius que se presentó en el primer capítulo. Esta criatura muestra una espiral cuando se corta la mitad del caparazón exterior. Es posible describir una espiral utilizando coordenadas rectangulares. La muestra una espiral en coordenadas rectangulares. ¿Cómo podemos describir esta curva matemáticamente? ¿Cómo podemos describir matemáticamente un gráfico en espiral? A medida que el punto P recorre la espiral en sentido contrario a las agujas del reloj, su distancia d al origen aumenta. Supongamos que la distancia d es un múltiplo constante k del ángulo θ que el segmento de línea OP forma con el eje x positivo. Por lo tanto, d ( P , O ) = k θ , donde O es el origen. Ahora utilice la fórmula de distancia y algo de trigonometría: d ( P , O ) = k θ ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 = k arctan ( y x ) x 2 + y 2 = k arctan ( y x ) arctan ( y x ) = x 2 + y 2 k y = x tan ( x 2 + y 2 k ) . Si bien esta ecuación describe la espiral, no es posible resolverla directamente ni para x ni para y . Sin embargo, si utilizamos coordenadas polares, la ecuación se simplifica mucho. En particular, d ( P , O ) = r , y θ es la segunda coordenada. Por lo tanto, la ecuación de la espiral se convierte en r = k θ . Tenga en cuenta que cuando θ = 0 también tenemos r = 0 , por lo que la espiral emana del origen. Podemos eliminar esta restricción añadiendo una constante a la ecuación. Entonces la ecuación de la espiral se convierte en r = a + k θ para constantes arbitrarias a y k . Se denomina espiral de Arquímedes , en honor al matemático griego Arquímedes. Otro tipo de espiral es la espiral logarítmica, descrita por la función r = a . b θ . Un gráfico de la función r = 1,2 ( 1,25 θ ) se encuentra en la . Esta espiral describe la forma de la concha del Nautilus pompilius . Una espiral logarítmica es similar a la forma de la concha del Nautilus pompilius (créditos: modificación del trabajo de Jitze Couperus, Flickr). Supongamos que una curva se describe en el sistema de coordenadas polares mediante la función r = f ( θ ) . Como tenemos fórmulas de conversión de coordenadas polares a rectangulares dadas por x = r cos θ y = r sen θ , es posible reescribir estas fórmulas utilizando la función x = f ( θ ) cos θ y = f ( θ ) sen θ . Este paso da una parametrización de la curva en coordenadas rectangulares utilizando θ como parámetro. Por ejemplo, la fórmula de la espiral r = a + b θ de la se convierte en x = ( a + b θ ) cos θ y = ( a + b θ ) sen θ . Suponiendo que θ va desde − ∞ a ∞ , genera toda la espiral. Simetría en coordenadas polares Al estudiar la simetría de las funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma y = f ( x ) ) , hablamos de simetría con respecto al eje y y de simetría con respecto al origen. En particular, si f ( − x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función par y su gráfico es simétrico con respecto al eje y . Si los valores de f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función impar y su gráfico es simétrico con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría presenta un gráfico, podemos saber más sobre su forma y apariencia. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de forma similar. Simetría en curvas y ecuaciones polares Consideremos una curva generada por la función r = f ( θ ) en coordenadas polares. La curva es simétrica respecto al eje polar si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , − θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica al sustituir θ con − θ . La curva es simétrica respecto al polo si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , π + θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica al sustituir r con − r , o θ con π + θ . La curva es simétrica respecto a la línea vertical θ = π 2 si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , π − θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica cuando θ se sustituye por π − θ . La siguiente tabla muestra ejemplos de cada tipo de simetría. Uso de la simetría para graficar una ecuación polar Halle la simetría de la rosa definida por la ecuación r = 3 sen ( 2 θ ) y cree un gráfico. Supongamos que el punto ( r , θ ) está en el gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) . Para comprobar la simetría con respecto al eje polar, intente primero sustituir θ con − θ . Esto da r = 3 sen ( 2 ( − θ ) ) = −3 sen ( 2 θ ) . Como esto cambia la ecuación original, esta prueba no se satisface. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo r con − r y θ con π − θ se obtiene − r = 3 sen ( 2 ( π − θ ) ) − r = 3 sen ( 2 π − 2 θ ) − r = 3 sen ( −2 θ ) − r = −3 sen 2 θ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por −1 da como resultado r = 3 sen 2 θ , que es la ecuación original. Esto demuestra que el gráfico es simétrico con respecto al eje polar. Para comprobar la simetría con respecto al polo, primero hay que sustituir r con − r , que da como resultado − r = 3 sen ( 2 θ ) . Multiplicando ambos lados por –1 se obtiene r = −3 sen ( 2 θ ) , que no coincide con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo θ con θ + π da como resultado r = 3 sen ( 2 ( θ + π ) ) = 3 sen ( 2 θ + 2 π ) = 3 ( sen 2 θ cos 2 π + cos 2 θ sen 2 π ) = 3 sen 2 θ . Como esto coincide con la ecuación original, el gráfico es simétrico respecto al polo. Para comprobar la simetría con respecto a la línea vertical θ = π 2 , sustituya primero ambos r con − r y θ con − θ . − r = 3 sen ( 2 ( − θ ) ) − r = 3 sen ( −2 θ ) − r = −3 sen 2 θ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por −1 da como resultado r = 3 sen 2 θ , que es la ecuación original. Por lo tanto, el gráfico es simétrico respecto a la línea vertical θ = π 2 . Este gráfico tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que pasa por el polo. Para graficar la función, tabule los valores de θ entre 0 y π / 2 y luego refleje el gráfico resultante. θ r 0 0 π 6 3 3 2 ≈ 2,6 π 4 3 π 3 3 3 2 ≈ 2,6 π 2 0 Esto da un pétalo de la rosa, como se muestra en el siguiente gráfico. El gráfico de la ecuación entre θ = 0 y θ = π / 2 . Reflejando esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo que se muestra. El gráfico completa de la ecuación se llama rosa de cuatro pétalos. Determine la simetría del gráfico determinado por la ecuación r = 2 cos ( 3 θ ) y cree un gráfico. Simetría con respecto al eje polar Pista Utilice . Conceptos clave El sistema de coordenadas polares ofrece una forma alternativa de localizar puntos en el plano. Convierta puntos entre coordenadas rectangulares y polares mediante las fórmulas x = r cos θ y y = r sen θ y r = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Para dibujar una curva polar a partir de una función polar dada, haga una tabla de valores y aproveche las propiedades periódicas. Utilice las fórmulas de conversión para convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares. Identifique la simetría en las curvas polares, que puede darse a través del polo, del eje horizontal o del eje vertical. En los siguientes ejercicios, trace el punto cuyas coordenadas polares están dadas construyendo primero el ángulo θ y luego marcando la distancia r a lo largo del rayo. ( 3 , π 6 ) ( –2 , 5 π 3 ) grandes. ( 0 , 7 π 6 ) ( −4 , 3 π 4 ) grandes. ( 1 , π 4 ) ( 2 , 5 π 6 ) grandes. ( 1 , π 2 ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico polar que aparece a continuación. Da dos conjuntos de coordenadas polares para cada punto. Coordenadas del punto A . Coordenadas del punto B . B ( 3 , − π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 ) Coordenadas del punto C . Coordenadas del punto D . D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 ) En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Halle dos conjuntos de coordenadas polares para el punto en ( 0 , 2 π ] . Redondee a tres decimales. ( 2 , 2 ) grandes. ( 3 , –4 ) grandes. ( 5 , –0,927 ) ( −5 , −0,927 + π ) grandes. ( 8 , 15 ) grandes. ( –6 , 8 ) grandes. ( 10 , –0,927 ) ( –10 , −0,927 + π ) grandes. ( 4 , 3 ) grandes. ( 3 , − 3 ) grandes. ( 2 3 , –0,524 ) ( −2 3 , −0,524 + π ) En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas rectangulares para el punto dado en coordenadas polares. ( 2 , 5 π 4 ) grandes. ( –2 , π 6 ) grandes. ( − 3 , –1 ) grandes. ( 5 , π 3 ) grandes. ( 1 , 7 π 6 ) grandes. ( − 3 2 , −1 2 ) grandes. ( −3 , 3 π 4 ) grandes. ( 0 , π 2 ) grandes. ( 0 , 0 ) grandes. ( –4,5 , 6,5 ) En los siguientes ejercicios, determine si los gráficos de la ecuación polar son simétricos respecto al eje x , al eje y o al origen. r = 3 sen ( 2 θ ) Simetría con respecto al eje x , al eje y y al origen. r 2 = 9 cos θ r = cos ( θ 5 ) Simetría con respecto al eje x solamente. r = 2 s θ r = 1 + cos θ Simetría con respecto al eje x solamente. En los siguientes ejercicios, describa el gráfico de cada ecuación polar. Confirme cada descripción convirtiéndola en una ecuación rectangular. r = 3 θ = π 4 La línea y = x r = sec θ r = csc θ y = 1 En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico. x 2 + y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16 Hipérbola; forma polar r 2 cos ( 2 θ ) = 16 o r 2 = 16 sec ( 2 θ ) . x = 8 En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico. 3 x − y = 2 r = 2 3 cos θ − sen θ y 2 = 4 x En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar en forma rectangular y dibuje su gráfico. r = 4 sen θ x 2 + y 2 = 4 y r = 6 cos θ r = θ x tan x 2 + y 2 = y r = cot θ csc θ En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la ecuación polar e identifique cualquier simetría. r = 1 + sen θ simetría del eje y r = 3 − 2 cos θ r = 2 − 2 sen θ simetría del eje y r = 5 − 4 sen θ r = 3 cos ( 2 θ ) simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo r = 3 sen ( 2 θ ) grandes. r = 2 cos ( 3 θ ) simetría del eje x r = 3 cos ( θ 2 ) grandes. r 2 = 4 cos ( 2 θ ) simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo r 2 = 4 sen θ r = 2 θ sin simetría [T] El gráfico de r = 2 cos ( 2 θ ) sec ( θ ) . se denomina estrofoide. Utilice una herramienta gráfica para dibujar el gráfico y, a partir de este, determine la asíntota. [T] Utilice una herramienta gráfica y dibuje el gráfico de r = 6 2 sen θ − 3 cos θ . una línea [T] Utilice una herramienta gráfica para graficar r = 1 1 − cos θ . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = e sen ( θ ) − 2 cos ( 4 θ ) . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = sen ( 3 θ 7 ) (utilice el intervalo 0 ≤ θ ≤ 14 π ) . Sin utilizar ningún dispositivo tecnológico, dibuje la curva polar θ = 2 π 3 . [T] Utilice una herramienta gráfica para trazar r = θ sen θ para − π ≤ θ ≤ π . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = e –0,1 θ para −10 ≤ θ ≤ 10 . [T] Hay una curva conocida como el " agujero negro ". Utilice un dispositivo tecnológico para trazar r = e –0,01 θ para –100 ≤ θ ≤ 100 . [T] Utilice los resultados de los dos problemas anteriores para explorar los gráficos de r = e –0,001 θ y r = e –0,0001 θ para | θ | > 100 . Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente. coordenada angular θ el ángulo formado por un segmento de línea que une el origen a un punto del sistema de coordenadas polares con el eje radial ( x ) positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj cardioide curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que está rodando alrededor de un círculo fijo del mismo radio; la ecuación de una cardioide es r = a ( 1 + sen θ ) o r = a ( 1 + cos θ ) caracol gráfico de la ecuación r = a + b sen θ o r = a + b cos θ . Si a = b entonces el gráfico es una cardioide eje polar el eje horizontal en el sistema de coordenadas polares correspondiente a r ≥ 0 sistema de coordenadas polares sistema de localización de puntos en el plano. Las coordenadas son r , la coordenada radial, y θ , la coordenada angular ecuación polar ecuación o función que relaciona la coordenada radial con la coordenada angular en el sistema de coordenadas polares polo punto central del sistema de coordenadas polares equivalente al origen de un sistema cartesiano coordenada radial r coordenada en el sistema de coordenadas polares que mide la distancia de un punto del plano al polo rosa gráfico de la ecuación polar r = a cos 2 θ o r = a sen 2 θ para una constante positiva a curva de relleno de espacio curva que ocupa completamente un subconjunto bidimensional del plano real

Matemáticas


Área y longitud de arco en coordenadas polares En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función y = f ( x ) definida a partir de x = a a x = b donde f ( x ) > 0 en este intervalo, el área entre la curva y el eje x está dada por A = ∫ a b f ( x ) d x . Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el teorema fundamental del cálculo. Del mismo modo, la longitud de arco de esta curva está dada por L = ∫ a b 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x . En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para el área y la longitud de arco en el sistema de coordenadas polares. Áreas de regiones delimitadas por curvas polares Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo. Consideremos una curva definida por la función r = f ( θ ) , donde α ≤ θ ≤ β . Nuestro primer paso es dividir el intervalo [ α , β ] en n subintervalos de igual ancho. El ancho de cada subintervalo está dado por la fórmula Δ θ = ( β − α ) / n , y el i −ésimo punto de partición θ i está dado por la fórmula θ i = α + i Δ θ . Cada punto de partición θ = θ i define una línea con pendiente tan θ i que pasa por el polo como se muestra en el siguiente gráfico. Una partición de una curva típica en coordenadas polares. Los segmentos de la línea están conectados por arcos de radio constante. Esto define sectores cuyas áreas pueden calcularse mediante una fórmula geométrica. El área de cada sector se utiliza entonces para aproximar el área entre los segmentos de línea sucesivos. A continuación, sumamos las áreas de los sectores para aproximarnos al área total. Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula del área de un sector del círculo se ilustra en la siguiente figura. El área de un sector de un círculo está dada por A = 1 2 θ r 2 . Recordemos que el área de un círculo es A = π r 2 . Al medir los ángulos en radianes, 360 grados es igual a 2 π radianes. Por lo tanto, una fracción de un círculo se puede medir por el ángulo central θ . La fracción del círculo está dada por θ 2 π , por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total: A = ( θ 2 π ) π r 2 = 1 2 θ r 2 . Dado que el radio de un sector típico en la está dado por r i = f ( θ i ) , el área del i −ésimo sector está dada por A i = 1 2 ( Δ θ ) ( f ( θ i ) ) 2 . Por lo tanto, una suma de Riemann que aproxima el área está dada por A n = ∑ i = 1 n A i ≈ ∑ i = 1 n 1 2 ( Δ θ ) ( f ( θ i ) ) 2 . Tomamos el límite a medida que n → ∞ para obtener el área exacta: A = lím n → ∞ A n = 1 2 ∫ α β ( f ( θ ) ) 2 d θ . Esto da el siguiente teorema. Área de una región delimitada por una curva polar Supongamos que f es continua y no negativa en el intervalo α ≤ θ ≤ β con 0 < β − α ≤ 2 π . El área de la región delimitada por el gráfico de r = f ( θ ) entre las líneas radiales θ = α y θ = β es A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ α β r 2 d θ . Hallar el área de una región polar Halle el área de un pétalo de la rosa definida por la ecuación r = 3 sen ( 2 θ ) . El gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) es el siguiente. El gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) . Cuando θ = 0 tenemos r = 3 sen ( 2 ( 0 ) ) = 0 . El siguiente valor para el que r = 0 es θ = π / 2 . Esto se puede ver resolviendo la ecuación 3 sen ( 2 θ ) = 0 para θ . Por lo tanto, los valores θ = 0 a θ = π / 2 traza el primer pétalo de la rosa. Para hallar el área dentro de este pétalo, utilice la con f ( θ ) = 3 sen ( 2 θ ) , α = 0 , y β = π / 2 : A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 [ 3 sen ( 2 θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 9 sen 2 ( 2 θ ) d θ . Para evaluar esta integral, utilice la fórmula sen 2 α = ( 1 − cos ( 2 α ) ) / 2 con α = 2 θ : A = 1 2 ∫ 0 π / 2 9 sen 2 ( 2 θ ) d θ = 9 2 ∫ 0 π / 2 ( 1 − cos ( 4 θ ) ) 2 d θ = 9 4 ( ∫ 0 π / 2 1 − cos ( 4 θ ) d θ ) = 9 4 ( θ − sen ( 4 θ ) 4 ) 0 π / 2 = 9 4 ( π 2 − sen 2 π 4 ) − 9 4 ( 0 − sen 4 ( 0 ) 4 ) = 9 π 8 . Halle el área dentro de la cardioide definida por la ecuación r = 1 − cos θ . A = 3 π / 2 Pista Utilice . Asegúrese de determinar los límites correctos de integración antes de evaluar. El implicaba hallar el área dentro de una curva. También podemos utilizar para hallar el área entre dos curvas polares. Sin embargo, a menudo necesitamos hallar los puntos de intersección de las curvas y determinar qué función define la curva exterior o la curva interna entre estos dos puntos. Hallar el área entre dos curvas polares Halle el área fuera de la cardioide r = 2 + 2 sen θ y dentro del círculo r = 6 sen θ . Primero dibuje un gráfico que contenga ambas curvas como se muestra. La región entre las curvas r = 2 + 2 sen θ y r = 6 sen θ . Para determinar los límites de la integración, primero hay que hallar los puntos de intersección fijando las dos funciones iguales entre sí y resolviendo para θ : 6 sen θ = 2 + 2 sen θ 4 sen θ = 2 sen θ = 1 2 . Esto da las soluciones θ = π 6 y θ = 5 π 6 , que son los límites de la integración. El círculo r = 3 sen θ es el gráfico rojo, que es la función exterior, y la cardioide r = 2 + 2 sen θ es el gráfico azul, que es la función interna. Para calcular el área entre las curvas, comience con el área dentro del círculo entre θ = π 6 y θ = 5 π 6 , luego reste el área dentro de la cardioide entre θ = π 6 y θ = 5 π 6 : A = círculo − cardioide = 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 6 sen θ ] 2 d θ − 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 2 + 2 sen θ ] 2 d θ = 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 36 sen 2 θ d θ − 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 4 + 8 sen θ + 4 sen 2 θ ] d θ = 18 ∫ π / 6 5 π / 6 1 − cos ( 2 θ ) 2 d θ − 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 1 + 2 sen θ + 1 − cos ( 2 θ ) 2 ] d θ = 9 [ θ − sen ( 2 θ ) 2 ] π / 6 5 π / 6 − 2 [ 3 θ 2 − 2 cos θ − sen ( 2 θ ) 4 ] π / 6 5 π / 6 = 9 ( 5 π 6 − sen 2 ( 5 π / 6 ) 2 ) − 9 ( π 6 − sen 2 ( π / 6 ) 2 ) − ( 3 ( 5 π 6 ) − 4 cos 5 π 6 − sen 2 ( 5 π / 6 ) 2 ) + ( 3 ( π 6 ) − 4 cos π 6 − sen 2 ( π / 6 ) 2 ) = 4 π . Halle el área dentro del círculo r = 4 cos θ y fuera del círculo r = 2 . A = 4 π 3 + 4 3 Pista Utilice y aproveche la simetría. En el hallamos el área dentro del círculo y fuera de la cardioide hallando primero sus puntos de intersección. Observe que al resolver la ecuación directamente para θ ha aportado dos soluciones θ = π 6 y θ = 5 π 6 . Sin embargo, en el gráfico hay tres puntos de intersección. El tercer punto de intersección es el origen. La razón por la que este punto no aparece como solución es porque el origen está en ambos gráficos pero para diferentes valores de θ . Por ejemplo, para la cardioide obtenemos 2 + 2 sen θ = 0 sen θ = −1 , por lo que los valores de θ que resuelven esta ecuación son θ = 3 π 2 + 2 n π , donde n es un número entero cualquiera. Para el círculo obtenemos 6 sen θ = 0 . Las soluciones de esta ecuación son de la forma θ = n π para cualquier valor entero de n. Estos dos conjuntos de soluciones no tienen puntos en común. Independientemente de este hecho, las curvas se cruzan en el origen. Este caso debe tenerse siempre en cuenta. Longitud del arco en curvas polares Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares. En coordenadas rectangulares, la longitud de arco de una curva parametrizada ( x ( t ) , y ( t ) ) para a ≤ t ≤ b está dada por L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . En coordenadas polares definimos la curva mediante la ecuación r = f ( θ ) , donde α ≤ θ ≤ β . Para adaptar la fórmula de la longitud de arco para una curva polar, utilizamos las ecuaciones x = r cos θ = f ( θ ) cos θ y y = r sen θ = f ( θ ) sen θ , y sustituimos el parámetro t por θ . Entonces d x d θ = f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ d y d θ = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ . Reemplazamos d t por d θ , y los límites inferior y superior de integración son α y β , respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud de arco se convierte en L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ α β ( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ ) 2 + ( f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ ) 2 d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) ) 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) + ( f ( θ ) ) 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) ) 2 + ( f ( θ ) ) 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Esto nos da el siguiente teorema. Longitud de arco de una curva definida por una función polar Supongamos que f es una función cuya derivada es continua en un intervalo α ≤ θ ≤ β . La longitud del gráfico de r = f ( θ ) de θ = α a θ = β es L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Hallar la longitud del arco de una curva polar Halle la longitud de arco de la cardioide r = 2 + 2 cos θ . Cuando θ = 0 , r = 2 + 2 cos 0 = 4. Además, como θ va de 0 a 2 π , la cardioide se traza exactamente una vez. Por lo tanto, estos son los límites de la integración. Al usar f ( θ ) = 2 + 2 cos θ , α = 0 , y β = 2 π , la se convierte en L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ 0 2 π [ 2 + 2 cos θ ] 2 + [ − 2 sen θ ] 2 d θ = ∫ 0 2 π 4 + 8 cos θ + 4 cos 2 θ + 4 sen 2 θ d θ = ∫ 0 2 π 4 + 8 cos θ + 4 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) d θ = ∫ 0 2 π 8 + 8 cos θ d θ = 2 ∫ 0 2 π 2 + 2 cos θ d θ . A continuación, utilizando la identidad cos ( 2 α ) = 2 cos 2 α − 1 , sume 1 a ambos lados y multiplique por 2. Esto da 2 + 2 cos ( 2 α ) = 4 cos 2 α . Sustituyendo α = θ / 2 da como resultado 2 + 2 cos θ = 4 cos 2 ( θ / 2 ) , por lo que la integral se convierte en L = 2 ∫ 0 2 π 2 + 2 cos θ d θ = 2 ∫ 0 2 π 4 cos 2 ( θ 2 ) d θ = 2 ∫ 0 2 π 2 | cos ( θ 2 ) | d θ . El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambie los límites de 0 a π y duplique la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre 0 y π 2 . Por lo tanto, L = 4 ∫ 0 2 π | cos ( θ 2 ) | d θ = 8 ∫ 0 π cos ( θ 2 ) d θ = 8 ( 2 sen ( θ 2 ) ) 0 π = 16. Halle la longitud de arco total de r = 3 sen θ . s = 3 π Pista Utilice . Para determinar los límites correctos, haga una tabla de valores. Conceptos clave El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación r = f ( θ ) con α ≤ θ ≤ β está dada por la integral A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ . Para hallar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero hay que hallar los puntos de intersección y luego restar las áreas correspondientes. La longitud de arco de una curva polar definida por la ecuación r = f ( θ ) con α ≤ θ ≤ β está dada por la integral L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Ecuaciones clave Área de una región delimitada por una curva polar A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ α β r 2 d θ Longitud de arco de una curva polar L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ En los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área. Región delimitada por r = 4 Región delimitada por r = 3 sen θ 9 2 ∫ 0 π sen 2 θ d θ Región en el primer cuadrante dentro de la cardioide r = 1 + sen θ Región delimitada por un pétalo de r = 8 sen ( 2 θ ) grandes. 32 ∫ 0 π / 2 sen 2 ( 2 θ ) d θ Región delimitada por un pétalo de r = cos ( 3 θ ) Región por debajo del eje polar y delimitada por r = 1 − sen θ 1 2 ∫ π 2 π ( 1 − sen θ ) 2 d θ Región del primer cuadrante delimitada por r = 2 − cos θ Región delimitada por el lazo interno de r = 2 − 3 sen θ ∫ sen −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 − 3 sen θ ) 2 d θ Región delimitada por el lazo interno de r = 3 − 4 cos θ Región delimitada por r = 1 − 2 cos θ y fuera del lazo interno ∫ π / 3 π ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ − ∫ 0 π / 3 ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ Región común a r = 3 sen θ y r = 2 − sen θ Región común a r = 2 y r = 4 cos θ 4 ∫ 0 π / 3 d θ + 16 ∫ π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ Región común a r = 3 cos θ y r = 3 sen θ En los siguientes ejercicios, halle el área de la región descrita. Delimitada por r = 6 sen θ 9 π Por encima del eje polar delimitado por r = 2 + sen θ Por debajo del eje polar y delimitado por r = 2 − cos θ 9 π 4 Delimitada por un pétalo de r = 4 cos ( 3 θ ) Delimitada por un pétalo de r = 3 cos ( 2 θ ) grandes. 9 π 8 Delimitada por r = 1 + sen θ Delimitada por el lazo interno de r = 3 + 6 cos θ 18 π − 27 3 2 Delimitada por r = 2 + 4 cos θ y fuera del lazo interno Interior común de r = 4 sen ( 2 θ ) y r = 2 4 3 ( 4 π − 3 3 ) Interior común de r = 3 − 2 sen θ y r = −3 + 2 sen θ Interior común de r = 6 sen θ y r = 3 3 2 ( 4 π − 3 3 ) Dentro de r = 1 + cos θ y fuera de r = cos θ Interior común de r = 2 + 2 cos θ y r = 2 sen θ 2 π − 4 En los siguientes ejercicios, calcule una integral definida que represente la longitud del arco. r = 4 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = 1 + sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π ∫ 0 2 π ( 1 + sen θ ) 2 + cos 2 θ d θ r = 2 s θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 r = e θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 1 2 ∫ 0 1 e θ d θ En los siguientes ejercicios, halle la longitud de la curva en el intervalo dado. r = 6 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = e 3 θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 10 3 ( e 6 − 1 ) grandes. r = 6 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = 8 + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 32 r = 1 − sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π En los siguientes ejercicios, utilice las funciones de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva. [T] r = 3 θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 6,238 [T] r = 2 θ en el intervalo π ≤ θ ≤ 2 π [T] r = sen 2 ( θ 2 ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 [T] r = 2 θ 2 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π [T] r = sen ( 3 cos θ ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 4,39 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar el área de la región descrita y luego confirme utilizando la integral definida. r = 3 sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 y 1 2 ∫ 0 π ( 1 + 2 sen θ cos θ ) d θ = π 2 r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar la longitud de la curva y luego confirme utilizando la integral definida. r = 3 sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π y ∫ 0 π 3 d θ = 3 π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π C = 2 π ( 5 ) = 10 π y ∫ 0 π 10 d θ = 10 π Compruebe que si y = r sen θ = f ( θ ) sen θ entonces d y d θ = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ . En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de una línea tangente a una curva polar r = f ( θ ) . Supongamos que x = r cos θ = f ( θ ) cos θ y y = r sen θ = f ( θ ) sen θ , por lo que la ecuación polar r = f ( θ ) se escribe ahora en forma paramétrica. Utilice la definición de la derivada d y d x = d y / d θ d x / d θ y la regla del producto para calcular la derivada de una ecuación polar. d y d x = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ r = 1 − sen θ ; ( 1 2 , π 6 ) grandes. r = 4 cos θ ; ( 2 , π 3 ) La pendiente es 1 3 . r = 8 sen θ ; ( 4 , 5 π 6 ) grandes. r = 4 + sen θ ; ( 3 , 3 π 2 ) La pendiente es 0. r = 6 + 3 cos θ ; ( 3 , π ) grandes. r = 4 cos ( 2 θ ) ; puntas de las hojas En ( 4 , 0 ) , la pendiente es indefinida. En ( −4 , π 2 ) , la pendiente es 0. r = 2 sen ( 3 θ ) ; puntas de las hojas r = 2 θ ; ( π 2 , π 4 ) La pendiente es indefinida en θ = π 4 . Halle los puntos del intervalo − π ≤ θ ≤ π en los que la cardioide r = 1 − cos θ tiene una línea tangente vertical u horizontal. Para la cardioide r = 1 + sen θ , halle la pendiente de la línea tangente cuando θ = π 3 . Pendiente = –1. En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de θ . r = 3 cos θ , θ = π 3 r = θ , θ = π 2 La pendiente es −2 π . r = ln θ , θ = e [T] Utilice un dispositivo tecnológico: r = 2 + 4 cos θ en θ = π 6 Respuesta de la calculadora: –0,836. En los siguientes ejercicios, halle los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical. r = 4 cos θ r 2 = 4 cos ( 2 θ ) Tangente horizontal en ( ± 2 , π 6 ) , ( ± 2 , − π 6 ) . r = 2 sen ( 2 θ ) La cardioide r = 1 + sen θ Tangentes horizontales en π 2 , 7 π 6 , 11 π 6 . Tangentes verticales en π 6 , 5 π 6 y también en el polo ( 0 , 0 ) . Demuestre que la curva r = sen θ tan θ (llamada cisoide de Diocles ) tiene la línea x = 1 como asíntota vertical.

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