Crecimiento y decaimiento exponencial Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones. Modelo de crecimiento exponencial Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k es una constante positiva, denominada constante de crecimiento . Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos y ′ = k y 0 e k t = k y . Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales . Regla: modelo de crecimiento exponencial Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, denominada constante de crecimiento . El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La y la representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 y una constante de crecimiento de 0,02 . Observe que después de apenas 2 horas ( 120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original! Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias. Crecimiento exponencial de una población bacteriana Tiempo (min) Tamaño de la población (n.º de bacterias) 10 244 20 298 30 364 40 445 50 544 60 664 70 811 80 991 90 1.210 100 1.478 110 1.805 120 2.205 Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando. Crecimiento de la población Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función f ( t ) = 200 e 0,02 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 5 horas ( 300 minutos)? ¿Cuándo alcanza la población 100.000 bacterias? Tenemos f ( t ) = 200 e 0,02 t . Entonces f ( 300 ) = 200 e 0,02 ( 300 ) ≈ 80686 . Hay 80686 bacterias en la población después de 5 horas. Para saber cuándo la población alcanza 100.000 bacterias, resolvemos la ecuación 100.000 = 200 e 0,02 t 500 = e 0,02 t ln 500 = 0,02 t t = ln 500 0,02 ≈ 310,73. La población alcanza 100.000 bacterias después de 310,73 minutos. Consideremos una población de bacterias que crece según la función f ( t ) = 500 e 0,05 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población 100 millones de bacterias? Hay 81377396 bacterias en la población después de 4 horas. La población alcanza 100 millones de bacterias después de 244,12 minutos. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto . El interés que no se capitaliza se denomina interés simple . El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente 1 año). Así que, si ponemos $ 1.000 en una cuenta de ahorros ganando el 2 % de interés simple anual, entonces al final del año tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 ) = $ 1.020 . El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada 6 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 6 meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $ 1.000 , sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 2 ) 2 = $ 1020,10 . Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada 4 meses, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 3 ) 3 = $ 1020,13 , y si el interés se capitaliza diariamente ( 365 veces al año), tenemos $ 1020,20 . Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de t años tendremos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t . Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número e puede expresarse como un límite: e = lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m . Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma ( 1 + 1 / m ) . Supongamos que n = 0,02 m . Tenga en cuenta que como n → ∞ , m → ∞ también. Entonces obtenemos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t = 1.000 lím m → ∞ ( 1 + 0,02 0,02 m ) 0,02 m t = 1.000 [ lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m ] 0,02 t . Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número e . Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de t años viene dado por 1.000 e 0,02 t . Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $ P gana intereses a una tasa de r % , capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de t años es Saldo = P e r t . Interés compuesto A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga 5 % interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $ 1 millón cuando se jubile a la edad de 65 ? ¿Y si más bien pudiera ganar 6 % interés anual capitalizado continuamente? Tenemos 1.000.000 = P e 0,05 ( 40 ) P = 135.335,28. Debe invertir $ 135.335,28 a las 5 % interés. Si en cambio puede ganar 6 % , entonces la ecuación se convierte en 1.000.000 = P e 0,06 ( 40 ) P = 90.717,95. En este caso, solo necesita invertir $ 90.717,95 . Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al 5 % . El hecho de que el interés se capitalice de forma continua magnifica en gran medida el efecto del 1 % de aumento de la tasa de interés. Supongamos que en vez de invertir a la edad de 25 , el estudiante espera hasta la edad de 35 . ¿Cuánto tendría que invertir al 5 % ? A 6 % ? A 5 % interés, debe invertir $ 223130.16 . A 6 % interés, debe invertir $ 165298.89 . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de 100 a 200 que el que tarda para crecer de 10.000 al 20.000 bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos 2 y 0 = y 0 e k t 2 = e k t ln 2 = k t t = ln 2 k . Definición Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por Tiempo de duplicación = ln 2 k . Uso del tiempo de duplicación Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1.000 peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance 10.000 . ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario? Sabemos que la población de peces tarda 6 meses para duplicar su número. Así, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos 6 = ( ln 2 ) / k . Entonces, k = ( ln 2 ) / 6 . Así, la población viene dada por y = 500 e ( ( ln 2 ) / 6 ) t . Para saber cuándo la población alcanza 10.000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación: 10.000 = 500 e ( ln 2 / 6 ) t 20 = e ( ln 2 / 6 ) t ln 20 = ( ln 2 6 ) t t = 6 ( ln 20 ) ln 2 ≈ 25,93. Los amigos del dueño tienen que esperar 25,93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque. Supongamos que se necesita 9 meses para que la población de peces en el alcance 1.000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario? 38,90 meses Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Modelo de decrecimiento exponencial Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva k , tenemos y = y 0 e − k t . Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos y ′ = − k y 0 e − k t = − k y . Regla: modelo de decrecimiento exponencial Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo y = y 0 e − k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, llamada constante de decrecimiento . La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial. Ejemplo de decrecimiento exponencial. Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si T representa la temperatura del objeto y T a representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces T ′ = − k ( T − T a ) . Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional T a . Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que y ( t ) = T ( t ) − T a . Entonces y ′ ( t ) = T ′ ( t ) − 0 = T ′ ( t ) , y nuestra ecuación se convierte en y ′ = − k y . Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto, y = y 0 e − k t , y vemos que T − T a = ( T 0 − T a ) e − k t T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a donde T 0 representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo. Ley de enfriamiento de Newton Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre 155 ° F y 175 ° F . Supongamos que el café se vierte a una temperatura de 200 ° F , y después de 2 minutos en una habitación a 70 ° F el café se enfría a 180 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. Tenemos T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a 180 = ( 200 − 70 ) e − k ( 2 ) + 70 110 = 130 e −2 k 11 13 = e −2 k ln 11 13 = −2 k ln 11 − ln 13 = −2 k k = ln 13 − ln 11 2 . Entonces, el modelo es T = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 . El café alcanza 175 ° F cuando 175 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 105 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 21 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 21 26 = ln 11 − ln 13 2 t ln 21 − ln 26 = ln 11 − ln 13 2 t t = 2 ( ln 21 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 2,56. El café puede servirse alrededor de 2,5 minutos después de ser vertido. El café alcanza 155 ° F en 155 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 85 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 17 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 17 − ln 26 = ( ln 11 − ln 13 2 ) t t = 2 ( ln 17 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 5,09. El café está demasiado frío para ser servido cerca de 5 minutos después de ser vertido. Supongamos que la habitación está más cálida ( 75 ° F ) y, después de 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. El café se enfría lo suficiente como para servirlo alrededor de 3,5 minutos después de ser vertido. El café está demasiado frío para servir cerca de 7 minutos después de ser vertido. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos y 0 2 = y 0 e − k t 1 2 = e − k t − ln 2 = − k t t = ln 2 k . Nota : Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo. Definición Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por Semivida = ln 2 k . Datación por radiocarbono Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono El carbono- 14 decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del carbono- 14 es, aproximadamente, 5730 años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono- 14 original al nuevo y no radiactivo nitrógeno 14 . Si tenemos 100 g carbono- 14 hoy, cuánto quedará en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 10 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Tenemos 5730 = ln 2 k k = ln 2 5730 . Entonces, el modelo dice y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t . En 50 años, tenemos y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) ( 50 ) ≈ 99,40 . Por lo tanto, en 50 años, 99,40 g de carbono- 14 permanecerán. Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver 10 = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t 1 10 = e − ( ln 2 / 5730 ) t t ≈ 19.035. El artefacto tiene aproximadamente 19.000 años. Si tenemos 100 g de carbono- 14 , ¿cuánto queda después de t años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 20 g de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Un total de 94,13 g de carbono. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave El crecimiento y el decrecimiento exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales. Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t . En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, y ′ = k y . Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por ( ln 2 ) / k . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por ( ln 2 ) / k . ¿ Verdadero o falso ? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta. El tiempo de duplicación para y = e c t ¿es ( ln ( 2 ) ) / ( ln ( c ) ) . Si invierte $ 500 , a una tasa de interés anual de 3 % obtiene más dinero en el primer año que a 2,5 % de interés continuo. Verdadero Si deja una tetera a 100 ° C a temperatura ambiente ( 25 ° C ) y una olla idéntica en el refrigerador ( 5 ° C ) , con la k = 0,02 , el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable ( 70 ° C ) en más de 5 minutos antes que el té a temperatura ambiente. Dada una vida media de t años, la constante k por y = e k t se calcula mediante k = ln ( 1 / 2 ) / t . Falso; k = ln ( 2 ) t En los siguientes ejercicios, utilice y = y 0 e k t . Si un cultivo de bacterias se duplica en 3 horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por 10 ? Si las bacterias se multiplican por 10 en 10 horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por 100 ? 20 horas ¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. Si una reliquia contiene el 90 % de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente 2000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. No. La reliquia tiene aproximadamente 871 años. La población de El Cairo creció de 5 millones a 10 millones en 20 años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de 8 millones de dólares. Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a 1 % y 1,4 % al año, respectivamente. A partir de 8 millones (Nueva York) y 6 millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones? 71,92 años Supongamos que el valor de $ 1 en yenes japoneses disminuye en 2 % por año. A partir de $ 1 = ¥ 250 , ¿cuándo serán $ 1 = ¥ 1 ? El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de 40 % de la población recuerda un nuevo producto después de 3 días, ¿cuánto tiempo el 20 % lo recordará? 5 días 6 horas 27 minutos Si los valores de y = 1.000 a las t = 3 y y = 3.000 a las t = 4 , ¿cuál era y 0 en t = 0 ? Si y = 100 a las t = 4 en tanto que y = 10 a las t = 8 , ¿cuándo es y = 1 ? 12 Si un banco ofrece un interés anual de 7,5 % o un interés continuo de 7,25 % , ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual? ¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de 9 % ? 8,618 % Si deposita $ 5.000 al 8 % interés anual, en cuántos años se puede retirar $ 500 (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero? Usted está tratando de ahorrar $ 50 000 en 20 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al 10 % , ¿cuál es el monto de la inversión inicial? $ 6766,76 Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de 165 ° F . Después de 10 minutos de reposo del pavo en un apartamento a 70 ° F su temperatura alcanza 155 ° F . ¿Cuál es la temperatura del pavo 20 minutos después de sacarlo del horno? Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de 1 ° F . Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de 44 ° F . Revisa sus verduras 2 horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a 12 ° F . Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan 33 ° F . 9 horas 13 minutos Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea ( 146 millones de años a 65 millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un 0,000001 % de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo? El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24.000 años. Si los valores de 1 barril que contiene 10 kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10 g de plutonio-239? 239.179 años En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas. Años desde 1950 Población (millones) 0 2.556 10 3.039 20 3.706 30 4.453 40 5.279 50 6.083 60 6.849 Fuente : http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 2.686 e 0,01604 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? P ′ ( t ) = 43 e 0,01604 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? [T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza 10 mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro. La población alcanza 10 mil millones de personas en 2027 . En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX. Años desde 1850 Población (miles) 0 21,00 10 56,80 20 149,5 30 234,0 Fuente : http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 35,26 e 0,06407 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo? P ′ ( t ) = 2,259 e 0,06407 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? tiempo de duplicación si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dado por ( ln 2 ) / k decrecimiento exponencial los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t crecimiento exponencial los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t semivida si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que dicha cantidad tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por ( ln 2 ) / k

Matemáticas


Cálculo de las funciones hiperbólicas En Introducción a funciones y gráficos se presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección veremos las fórmulas de diferenciación e integración de las funciones hiperbólicas y sus inversas. Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como senoh x = e x − e – x 2 y cosh x = e x + e – x 2 . Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de senoh x y cosh x . Los gráficos de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas. Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si se observa senoh x tenemos d d x ( senoh x ) = d d x ( e x − e – x 2 ) = 1 2 [ d d x ( e x ) − d d x ( e – x ) ] = 1 2 [ e x + e – x ] = cosh x . De la misma manera, ( d / d x ) cosh x = senoh x . Resumimos las fórmulas de diferenciación de las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh x cosh x cosh x senoh x tanh x sech 2 x coth x − csch 2 x sech x − sech x tanh x csch x − csch x coth x Comparemos las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: ( d / d x ) sen x = cos x y ( d / d x ) senoh x = cosh x . Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en el signo: ( d / d x ) cos x = − sen x , pero ( d / d x ) cosh x = senoh x . A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar. Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales. ∫ senoh u d u = cosh u + C ∫ csch 2 u d u = − coth u + C ∫ cosh u d u = senoh u + C ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C ∫ sech 2 u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Diferenciación de funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh ( x 2 ) ) grandes. d d x ( cosh x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos d d x ( senoh ( x 2 ) ) = cosh ( x 2 ) . 2 x d d x ( cosh x ) 2 = 2 cosh x senoh x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) = ( sech 2 ( x 2 + 3 x ) ) ( 2 x + 3 ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) = d d x ( senoh x ) −2 = −2 ( senoh x ) −3 cosh x Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes integrales: ∫ x cosh ( x 2 ) d x ∫ tanh x d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = x 2 . Entonces, d u = 2 x d x y ∫ x cosh ( x 2 ) d x = ∫ 1 2 cosh u d u = 1 2 senoh u + C = 1 2 senoh ( x 2 ) + C . Supongamos que u = cosh x . Entonces, d u = senoh x d x y ∫ tanh x d x = ∫ senoh x cosh x d x = ∫ 1 u d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C . Observe que cosh x > 0 para todo x , por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener ∫ tanh x d x = ln ( cosh x ) + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ senoh 3 x cosh x d x ∫ sech 2 ( 3 x ) d x ∫ senoh 3 x cosh x d x = senoh 4 x 4 + C ∫ sech 2 ( 3 x ) d x = tanh ( 3 x ) 3 + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u si es necesario. Cálculo de funciones hiperbólicas inversas Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla. Dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas Función Dominio Rango senoh −1 x ( − ∞ , ∞ ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. cosh −1 x [ 1 , ∞ ) grandes. [ 0 , ∞ ) grandes. tanh −1 x ( –1 , 1 ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. coth −1 x ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. sech −1 x ( 0 , 1 ] [ 0 , ∞ ) grandes. csch −1 x ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Los gráficos de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Para calcular las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos y = senoh −1 x senoh y = x d d x senoh y = d d x x cosh y d y d x = 1 . Recordemos que cosh 2 y − senoh 2 y = 1 , por lo que cosh y = 1 + senoh 2 y . Entonces, d y d x = 1 cosh y = 1 1 + senoh 2 y = 1 1 + x 2 . Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de forma similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh −1 x 1 1 + x 2 cosh −1 x 1 x 2 – 1 tanh −1 x 1 1 − x 2 coth −1 x 1 1 − x 2 sech −1 x −1 x 1 − x 2 csch −1 x −1 | x | 1 + x 2 Observe que las derivadas de tanh −1 x y coth −1 x son los mismos. Así, cuando integramos 1 / ( 1 − x 2 ) , tenemos que seleccionar la antiderivada adecuada en función del dominio de las funciones y de los valores de x . Las fórmulas de integración que involucran a las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera. ∫ 1 1 + u 2 d u = senoh −1 u + C ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − sech −1 | u | + C ∫ 1 u 2 – 1 d u = cosh −1 u + C ∫ 1 u 1 + u 2 d u = − csch −1 | u | + C ∫ 1 1 − u 2 d u = { tanh −1 u + C si | u | < 1 coth −1 u + C si | u | > 1 Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) grandes. d d x ( tanh −1 x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) = 1 3 1 + x 2 9 = 1 9 + x 2 d d x ( tanh −1 x ) 2 = 2 ( tanh −1 x ) 1 − x 2 Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) grandes. d d x ( coth −1 x ) 3 d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) = 3 9 x 2 – 1 d d x ( coth −1 x ) 3 = 3 ( coth −1 x ) 2 1 − x 2 Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 4 x 2 – 1 d x ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = 2 x . Entonces, d u = 2 d x y tenemos ∫ 1 4 x 2 – 1 d x = ∫ 1 2 u 2 – 1 d u = 1 2 cosh −1 u + C = 1 2 cosh −1 ( 2 x ) + C . Supongamos que u = 3 x . Entonces, d u = 3 d x y obtenemos ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − 1 2 sech −1 | u | + C = − 1 2 sech −1 | 3 x | + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 x 2 − 4 d x , x > 2 ∫ 1 1 − e 2 x d x ∫ 1 x 2 − 4 d x = cosh −1 ( x 2 ) + C ∫ 1 1 − e 2 x d x = − sech −1 ( e x ) + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u según sea necesario. Aplicaciones Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes . Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria . Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes. Las cadenas entre estos postes adoptan la forma de una catenaria (créditos: modificación del trabajo de OKFoundryCompany, Flickr). Las funciones hiperbólicas pueden utilizarse para modelar catenarias. En concreto, las funciones de la forma y = a cosh ( x / a ) son catenarias. La muestra el gráfico de y = 2 cosh ( x / 2 ) . Una función coseno hiperbólico tiene la forma de una catenaria. Uso de una catenaria para calcular la longitud de un cable Supongamos que un cable colgante tiene la forma 10 cosh ( x / 10 ) por −15 ≤ x ≤ 15 , donde x se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies). Recuerde de la sección 2.4 que la fórmula de la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Tenemos f ( x ) = 10 cosh ( x / 10 ) , por lo que f ′ ( x ) = senoh ( x / 10 ) . Entonces Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x . Recordemos que 1 + senoh 2 x = cosh 2 x , por lo que tenemos Longitud de arco = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x = ∫ −15 15 cosh ( x 10 ) d x = 10 senoh ( x 10 ) | −15 15 = 10 [ senoh ( 3 2 ) − senoh ( − 3 2 ) ] = 20 senoh ( 3 2 ) ≈ 42,586 pies . Supongamos que un cable colgante tiene la forma 15 cosh ( x / 15 ) por −20 ≤ x ≤ 20 . Determine la longitud del cable (en pies). 52,95 pies Pista Utilice el procedimiento del ejemplo anterior. Conceptos clave Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales. La diferenciación término a término permite obtener fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Estas fórmulas de diferenciación dan lugar, a su vez, a fórmulas de integración. Con las restricciones de rango adecuadas, todas las funciones hiperbólicas tienen inversas. La diferenciación implícita da lugar a fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas, que a su vez dan lugar a fórmulas de integración. Las aplicaciones físicas más comunes de las funciones hiperbólicas son los cálculos con catenarias. [T] Halle expresiones para cosh x + senoh x y cosh x − senoh x . Utilice una calculadora para representar gráficamente estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta. e x y e – x A partir de las definiciones de cosh ( x ) y senoh ( x ) , calcule sus antiderivadas. Demuestre que cosh ( x ) y senoh ( x ) satisfacen y ″ = y . Las respuestas pueden variar Utilice la regla del cociente para verificar que tanh ( x ) ′ = sech 2 ( x ) . Derive cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) = cosh ( 2 x ) de la definición. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para senoh ( 2 x ) . Pruebe que senoh ( x + y ) = senoh ( x ) cosh ( y ) + cosh ( x ) senoh ( y ) cambiando la expresión a exponenciales. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para cosh ( x + y ) . En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones y gráfico dados junto con la función para garantizar que su respuesta sea correcta. [T] cosh ( 3 x + 1 ) grandes. 3 senoh ( 3 x + 1 ) [T] senoh ( x 2 ) [T] 1 cosh ( x ) grandes. − tanh ( x ) sech ( x ) [T] senoh ( ln ( x ) ) [T] cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) grandes. 4 cosh ( x ) senoh ( x ) [T] cosh 2 ( x ) − senoh 2 ( x ) [T] tanh ( x 2 + 1 ) grandes. x sech 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 [T] 1 + tanh ( x ) 1 − tanh ( x ) [T] senoh 6 ( x ) grandes. 6 senoh 5 ( x ) cosh ( x ) [T] ln ( sech ( x ) + tanh ( x ) ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones dadas. cosh ( 2 x + 1 ) grandes. 1 2 senoh ( 2 x + 1 ) + C tanh ( 3 x + 2 ) grandes. x cosh ( x 2 ) grandes. 1 2 senoh 2 ( x 2 ) + C 3 x 3 tanh ( x 4 ) grandes. cosh 2 ( x ) senoh ( x ) grandes. 1 3 cosh 3 ( x ) + C tanh 2 ( x ) sech 2 ( x ) grandes. senoh ( x ) 1 + cosh ( x ) grandes. ln ( 1 + cosh ( x ) ) + C coth ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) + C ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones. tanh −1 ( 4 x ) grandes. 4 1 − 16 x 2 senoh −1 ( x 2 ) grandes. senoh −1 ( cosh ( x ) ) grandes. senoh ( x ) cosh 2 ( x ) + 1 cosh −1 ( x 3 ) grandes. tanh −1 ( cos ( x ) ) grandes. − csc ( x ) grandes. e senoh −1 ( x ) grandes. ln ( tanh −1 ( x ) ) grandes. − 1 ( x 2 – 1 ) tanh −1 ( x ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones. ∫ d x 4 − x 2 ∫ d x a 2 − x 2 1 a tanh −1 ( x a ) + C ∫ d x x 2 + 1 ∫ x d x x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ − d x x 1 − x 2 ∫ e x e 2 x – 1 cosh −1 ( e x ) + C ∫ − 2 x x 4 − 1 En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece a la ecuación d v / d t = g − v 2 . Demuestre que v ( t ) = g tanh ( ( g ) t ) satisface esta ecuación. Las respuestas pueden variar Derive la expresión anterior para v ( t ) integrando d v g − v 2 = d t . [T] Estime la caída de un cuerpo en 12 segundos calculando el área bajo la curva de v ( t ) . 37,30 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un cable que cuelga por su propio peso tiene una pendiente S = d y / d x que satisface d S / d x = c 1 + S 2 . La constante c es la relación entre la densidad del cable y la tensión. Demuestre que S = senoh ( c x ) satisface esta ecuación. Integre d y / d x = senoh ( c x ) para calcular la altura del cable y ( x ) si y ( 0 ) = 1 / c . y = 1 c cosh ( c x ) Haga un dibujo del cable y determine hasta qué punto se hunde en x = 0 . En los siguientes ejercicios, resuelva cada problema. [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen 2 m de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 2 cosh ( x / 2 ) − 1 . Calcule la pendiente de la catenaria en el poste de la valla de la izquierda. −0,521095 [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen cuatro metros de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 4 cosh ( x / 4 ) − 3 . Calcule la longitud total de la catenaria (longitud de arco). [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por y = 10 cosh ( x / 10 ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Qué observa? 10 Una línea telefónica es una catenaria descrita por y = a cosh ( x / a ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Confirma esto su respuesta a la pregunta anterior? Demuestre la fórmula de la derivada de y = senoh −1 ( x ) diferenciando x = senoh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = cosh −1 ( x ) diferenciando x = cosh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = sech −1 ( x ) diferenciando x = sech ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Compruebe que ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n = cosh ( n x ) + senoh ( n x ) . Demuestre la expresión para senoh −1 ( x ) . Multiplique x = senoh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y + e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Demuestre la expresión para cosh −1 ( x ) . Multiplique x = cosh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y − e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La cantidad de trabajo para bombear el agua de un cilindro medio lleno es la mitad de la cantidad de trabajo para bombear el agua del cilindro lleno. Falso Si la fuerza es constante, la cantidad de trabajo para mover un objeto de x = a a x = b ¿es F ( b – a ) . El método de disco puede utilizarse en cualquier situación en la que el método de las arandelas sirva para calcular el volumen de un sólido de revolución. Falso Si la semivida del seaborgio- 266 ¿es 360 ms, entonces k = ( ln ( 2 ) ) / 360 . En los siguientes ejercicios, utilice el método solicitado para determinar el volumen del sólido. El volumen que tiene como base la elipse x 2 / 4 + y 2 / 9 = 1 y secciones transversales de un triángulo equilátero perpendicular al eje y . Utilice el método de rebanadas. 32 3 y = x 2 − x , de x = 1 para x = 4 , girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas x = y 2 y x = 3 y girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas 162 π 5 x = 2 y 2 − y 3 , x = 0 , y y = 0 girado alrededor del eje x mediante capas cilíndricas En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región, el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje x , y el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje y . Utilice el método que le parezca más adecuado. y = x 3 , x = 0 , y = 0 , y x = 2 a. 4 , b. 128 π 7 , c. 64 π 5 y = x 2 − x y x = 0 [T] y = ln ( x ) + 2 y y = x a. 1,949 , b. 21,952 , c. 17,099 y = x 2 y y = x y = 5 + x , y = x 2 , x = 0 , y x = 1 a. 31 6 , b. 452 π 15 , c. 31 π 6 Por debajo de x 2 + y 2 = 1 y por encima de y = 1 − x Encuentre la masa de ρ = e – x en un disco centrado en el origen con radio 4 . 245,282 Halle el centro de masa para ρ = tan 2 x sobre x ∈ ( − π 4 , π 4 ) . Calcule la masa y el centro de masa de ρ = 1 en la región delimitada por y = x 5 y la intersección y = x . Masa: 1 2 , centro de masa: ( 18 35 , 9 22 ) En los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de arco solicitadas. La longitud de x por y = cosh ( x ) de x = 0 a x = 2 . La longitud de y para x = 3 − y a partir de y = 0 al y = 4 17 + 1 8 ln ( 33 + 8 17 ) En los siguientes ejercicios, calcule el área superficial y el volumen cuando las curvas dadas giran alrededor del eje especificado. La forma creada al girar la región entre y = 4 + x , y = 3 − x , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del eje y . El altavoz creado por al girar y = 1 / x de x = 1 a x = 4 alrededor del eje x . Volumen: 3 π 4 , área superficial: π ( 2 − senoh −1 ( 1 ) + senoh −1 ( 16 ) − 257 16 ) Para este ejercicio, consideremos la presa Karun-3 en Irán. Su forma puede aproximarse a la de un triángulo isósceles invertido que atraviesa el río, con una altura de 205 m y un ancho (en la parte superior de la presa) de 388 m. Supongamos que la profundidad actual del agua es de 180 m. La densidad del agua es de 1.000 kg/m 3 . Calcule la fuerza total sobre la pared de la presa. Usted es un investigador de la escena del crimen que intenta determinar la hora de la muerte de una víctima. Es mediodía y hace 45 ° F afuera y la temperatura del cuerpo es 78 ° F . Sabe que la constante de enfriamiento es k = 0,00824 ° F/min . ¿Cuándo murió la víctima, suponiendo que la temperatura de un ser humano es 98 ° F ? 11:02 a.m. En el siguiente ejercicio, considere la caída de la bolsa en 1929 en Estados Unidos. La tabla muestra el promedio industrial del Dow Jones por año hasta la caída. Años después de 1920 Valor ($) 1 63,90 3 100 5 110 7 160 9 381,17 Fuente: http://stockcharts.com/freecharts/historical/djia19201940.html [T] La curva exponencial que mejor se ajusta a estos datos viene dada por y = 40,71 + 1,224 x . ¿Por qué cree que las ganancias del mercado fueron insostenibles? Utilice las derivadas primera y segunda para justificar su respuesta. ¿Cuál sería la predicción de este modelo para el promedio industrial de Dow Jones en 2014 ? En los siguientes ejercicios, considera la catenoide, el único sólido de revolución que tiene una superficie mínima, o curvatura promedio de cero. Una catenoide en la naturaleza puede encontrarse al estirar el jabón entre dos anillos. Calcule el volumen de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 para x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x , como se muestra aquí. π ( 1 + senoh ( 1 ) cosh ( 1 ) ) Calcule el área superficial de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 a x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x . catenaria una curva con la forma de la función y = a cosh ( x / a ) es una catenaria; un cable de densidad uniforme suspendido entre dos soportes adopta la forma de una catenaria

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Tabla de integrales Integrales básicas 1. ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 2. ∫ d u u = ln | u | + C 3. ∫ e u d u = e u + C 4. ∫ a u d u = a u ln a + C 5. ∫ sin u d u = −cos u + C 6. ∫ cos u d u = sen u + C 7. ∫ sec 2 u d u = tan u + C 8. ∫ csc 2 u d u = −cot u + C 9. ∫ sec u tan u d u = sec u + C 10. ∫ csc u cot u d u = −csc u + C 11. ∫ tan u d u = ln | sec u | + C 12. ∫ cot u d u = ln | sin u | + C 13. ∫ sec u d u = ln | sec u + tan u | + C 14. ∫ csc u d u = ln | csc u − cot u | + C 15. ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u a + C 16. ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C 17. ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 u a + C Integrales trigonométricas 18. ∫ sen 2 u d u = 1 2 u − 1 4 sen 2 u + C 19. ∫ cos 2 u d u = 1 2 u + 1 4 sen 2 u + C 20. ∫ tan 2 u d u = tan u − u + C 21. ∫ cot 2 u d u = − cot u − u + C 22. ∫ sen 3 u d u = − 1 3 ( 2 + sen 2 u ) cos u + C 23. ∫ cos 3 u d u = 1 3 ( 2 + cos 2 u ) sin u + C 24. ∫ tan 3 u d u = 1 2 tan 2 u + ln | cos u | + C 25. ∫ cot 3 u d u = − 1 2 cot 2 u − ln | sin u | + C 26. ∫ sec 3 u d u = 1 2 sec u tan u + 1 2 ln | sec u + tan u | + C 27. ∫ csc 3 u d u = − 1 2 csc u cot u + 1 2 ln | csc u − cot u | + C 28. ∫ sin n u d u = − 1 n sen n – 1 u cos u + n – 1 n ∫ sin n – 2 u d u 29. ∫ cos n u d u = 1 n cos n – 1 u sin u + n – 1 n ∫ cos n – 2 u d u 30. ∫ tan n u d u = 1 n – 1 tan n – 1 u − ∫ tan n – 2 u d u 31. ∫ cot n u d u = −1 n – 1 cot n – 1 u − ∫ cot n – 2 u d u 32. ∫ sec n u d u = 1 n – 1 tan u sec n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 u d u 33. ∫ csc n u d u = −1 n – 1 cot u csc n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ csc n – 2 u d u 34. ∫ sen a u sin b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) − sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 35. ∫ cos a u cos b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) + sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 36. ∫ sen a u cos b u d u = − cos ( a − b ) u 2 ( a − b ) − cos ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 37. ∫ u sin u d u = sen u − u cos u + C 38. ∫ u cos u d u = cos u + u sin u + C 39. ∫ u n sin u d u = − u n cos u + n ∫ u n – 1 cos u d u 40. ∫ u n cos u d u = u n sin u − n ∫ u n – 1 sin u d u 41. ∫ sin n u cos m u d u = − sen n – 1 u cos m + 1 u n + m + n – 1 n + m ∫ sin n – 2 u cos m u d u = sen n + 1 u cos m − 1 u n + m + m − 1 n + m ∫ sin n u cos m − 2 u d u Integrales exponenciales y logarítmicas 42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 ( a u − 1 ) e a u + C 43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u − n a ∫ u n – 1 e a u d u 44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a sin b u − b cos b u ) + C 45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a cos b u + b sin b u ) + C 46. ∫ ln u d u = u ln u − u + C 47. ∫ u n ln u d u = u n + 1 ( n + 1 ) 2 [ ( n + 1 ) ln u − 1 ] + C 48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C Integrales hiperbólicas 49. ∫ senoh u d u = cosh u + C 50. ∫ cosh u d u = senoh u + C 51. ∫ tanh u d u = ln cosh u + C 52. ∫ coth u d u = ln | senoh u | + C 53. ∫ sech u d u = tan −1 | senoh u | + C 54. ∫ csch u d u = ln | tanh 1 2 u | + C 55. ∫ sech 2 u d u = tanh u + C 56. ∫ csch 2 u d u = − coth u + C 57. ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C 58. ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Integrales trigonométricas inversas 59. ∫ sen −1 u d u = u sin −1 u + 1 − u 2 + C 60. ∫ cos −1 u d u = u cos −1 u − 1 − u 2 + C 61. ∫ tan −1 u d u = u tan −1 u − 1 2 ln ( 1 + u 2 ) + C 62. ∫ u sin −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 sin −1 u + u 1 − u 2 4 + C 63. ∫ u cos −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 cos −1 u − u 1 − u 2 4 + C 64. ∫ u tan −1 u d u = u 2 + 1 2 tan −1 u − u 2 + C 65. ∫ u n sin −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 sin −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 66. ∫ u n cos −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 cos −1 u + ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 67. ∫ u n tan −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 tan −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 + u 2 ] , n ≠ − 1 Integrales que implican a 2 + u 2 , a > 0 68. ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 69. ∫ u 2 a 2 + u 2 d u = u 8 ( a 2 + 2 u 2 ) a 2 + u 2 − a 4 8 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 70. ∫ a 2 + u 2 u d u = a 2 + u 2 − a ln | a + a 2 + u 2 u | + C 71. ∫ a 2 + u 2 u 2 d u = − a 2 + u 2 u + ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 72. ∫ d u a 2 + u 2 = ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 73. ∫ u 2 d u a 2 + u 2 = u 2 ( a 2 + u 2 ) − a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 74. ∫ d u u a 2 + u 2 = − 1 a ln | a 2 + u 2 + a u | + C 75. ∫ d u u 2 a 2 + u 2 = − a 2 + u 2 a 2 u + C 76. ∫ d u ( a 2 + u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 + u 2 + C Integrales que implican u 2 - a 2 , a > 0 77. ∫ u 2 − a 2 d u = u 2 u 2 − a 2 − a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 78. ∫ u 2 u 2 − a 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) u 2 − a 2 − a 4 8 ln | u + u 2 − a 2 | + C 79. ∫ u 2 − a 2 u d u = u 2 − a 2 − a cos −1 a | u | + C 80. ∫ u 2 − a 2 u 2 d u = − u 2 − a 2 u + ln | u + u 2 − a 2 | + C 81. ∫ d u u 2 − a 2 = ln | u + u 2 − a 2 | + C 82. ∫ u 2 d u u 2 − a 2 = u 2 u 2 − a 2 + a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 83. ∫ d u u 2 u 2 − a 2 = u 2 − a 2 a 2 u + C 84a. ∫ d u ( u 2 − a 2 ) 3 / 2 = − u a 2 u 2 − a 2 + C 84b. ∫ d u u 2 − a 2 = 1 2 a ln u − a u + a + C Integrales que implican a 2 - u 2 , a > 0 85. ∫ a 2 − u 2 d u = u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 86. ∫ u 2 a 2 − u 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) a 2 − u 2 + a 4 8 sin −1 u a + C 87. ∫ a 2 − u 2 u d u = a 2 − u 2 − a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 88. ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − 1 u a 2 − u 2 − sin −1 u a + C 89. ∫ u 2 d u a 2 − u 2 = − u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 90. ∫ d u u a 2 − u 2 = − 1 a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 91. ∫ d u u 2 a 2 − u 2 = − 1 a 2 u a 2 − u 2 + C 92. ∫ ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 d u = − u 8 ( 2 u 2 − 5 a 2 ) a 2 − u 2 + 3 a 4 8 sin −1 u a + C 93a. ∫ d u ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 − u 2 + C 93b. ∫ d u a 2 − u 2 = 1 2 a ln u + a u − a + C Integrales que implican 2 au - u 2 , a > 0 94. ∫ 2 a u − u 2 d u = u − a 2 2 a u − u 2 + a 2 2 cos −1 ( a − u a ) + C 95. ∫ d u 2 a u − u 2 = cos −1 ( a − u a ) + C 96. ∫ u 2 a u − u 2 d u = 2 u 2 − a u − 3 a 2 6 2 a u − u 2 + a 3 2 cos −1 ( a − u a ) + C 97. ∫ d u u 2 a u − u 2 = − 2 a u − u 2 a u + C Integrales que implican a + bu , a ≠ 0 98. ∫ u d u a + b u = 1 b 2 ( a + b u − a ln | a + b u | ) + C 99. ∫ u 2 d u a + b u = 1 2 b 3 [ ( a + b u ) 2 − 4 a ( a + b u ) + 2 a 2 ln | a + b u | ] + C 100. ∫ d u u ( a + b u ) = 1 a ln | u a + b u | + C 101. ∫ d u u 2 ( a + b u ) = − 1 a u + b a 2 ln | a + b u u | + C 102. ∫ u d u ( a + b u ) 2 = a b 2 ( a + b u ) + 1 b 2 ln | a + b u | + C 103. ∫ u d u u ( a + b u ) 2 = 1 a ( a + b u ) − 1 a 2 ln | a + b u u | + C 104. ∫ u 2 d u ( a + b u ) 2 = 1 b 3 ( a + b u − a 2 a + b u − 2 a ln | a + b u | ) + C 105. ∫ u a + b u d u = 2 15 b 2 ( 3 b u − 2 a ) ( a + b u ) 3 / 2 + C 106. ∫ u d u a + b u = 2 3 b 2 ( b u − 2 a ) a + b u + C 107. ∫ u 2 d u a + b u = 2 15 b 3 ( 8 a 2 + 3 b 2 u 2 − 4 a b u ) a + b u + C 108. ∫ d u u a + b u = 1 a ln | a + b u − a a + b u + a | + C , si a > 0 = 2 − a tan − 1 a + b u − a + C , si a < 0 109. ∫ a + b u u d u = 2 a + b u + a ∫ d u u a + b u 110. ∫ a + b u u 2 d u = − a + b u u + b 2 ∫ d u u a + b u 111. ∫ u n a + b u d u = 2 b ( 2 n + 3 ) [ u n ( a + b u ) 3 / 2 − n a ∫ u n – 1 a + b u d u ] 112. ∫ u n d u a + b u = 2 u n a + b u b ( 2 n + 1 ) − 2 n a b ( 2 n + 1 ) ∫ u n – 1 d u a + b u 113. ∫ d u u n a + b u = − a + b u a ( n – 1 ) u n – 1 − b ( 2 n − 3 ) 2 a ( n – 1 ) ∫ d u u n – 1 a + b u

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Tabla de derivadas Fórmulas generales 1. d d x ( c ) = 0 2. d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) 3. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) 4. d d x ( x n ) = n x n – 1 , para los números reales n 5. d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) 6. d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) 7. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 8. d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) · g ′ ( x ) Funciones trigonométricas 9. d d x ( sen x ) = cos x 10. d d x ( tan x ) = sec 2 x 11. d d x ( sec x ) = sec x tan x 12. d d x ( cos x ) = − sen x 13. d d x ( cot x ) = − csc 2 x 14. d d x ( csc x ) = −csc x cot x Funciones trigonométricas inversas 15. d d x ( sin −1 x ) = 1 1 − x 2 16. d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 17. d d x ( sec −1 x ) = 1 | x | x 2 – 1 18. d d x ( cos −1 x ) = − 1 1 − x 2 19. d d x ( cot −1 x ) = − 1 1 + x 2 20. d d x ( csc −1 x ) = − 1 | x | x 2 – 1 Funciones exponenciales y logarítmicas 21. d d x ( e x ) = e x 22. d d x ( ln | x | ) = 1 x 23. d d x ( b x ) = b x ln b 24. d d x ( log b x ) = 1 x ln b Funciones hiperbólicas 25. d d x ( senoh x ) = cosh x 26. d d x ( tanh x ) = sech 2 x 27. d d x ( sech x ) = −sech x tanh x 28. d d x ( cosh x ) = senh x 29. d d x ( coth x ) = − csch 2 x 30. d d x ( csch x ) = −csch x coth x Funciones hiperbólicas inversas 31. d d x ( senoh −1 x ) = 1 x 2 + 1 32. d d x ( tanh −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | < 1 ) 33. d d x ( sech −1 x ) = − 1 x 1 − x 2 ( 0 < x < 1 ) 34. d d x ( cosh −1 x ) = 1 x 2 – 1 ( x > 1 ) 35. d d x ( coth −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | > 1 ) 36. d d x ( csch −1 x ) = − 1 | x | 1 + x 2 ( x ≠ 0 )

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Repaso de Precálculo Fórmulas de geometría Los términos A = área , V = Volumen , y S = área superficial lateral Fórmulas de álgebra Leyes de los exponentes Los términos x m x n = x m + n x m x n = x m − n ( x m ) n = x m n x − n = 1 x n ( x y ) n = x n y n ( x y ) n = x n y n x 1 / n = x n x y n = x n y n x y n = x n y n x m / n = x m n = ( x n ) m Factorizaciones especiales Los términos x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) Fórmula cuadrática Si los valores de a x 2 + b x + c = 0 , entonces x = − b ± b 2 − 4 c a 2 a . Teorema del binomio Los términos ( a + b ) n = a n + ( n 1 ) a n – 1 b + ( n 2 ) a n – 2 b 2 + ⋯ + ( n n – 1 ) a b n – 1 + b n , donde ( n k ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! k ! ( n − k ) ! Fórmulas de trigonometría Trigonometría de ángulo recto Los términos sen θ = opp hyp csc θ = hyp opp cos θ = adj hyp sec θ = hyp adj tan θ = opp adj cot θ = adj opp Funciones trigonométricas de ángulos importantes Los términos θ Los términos Radianes Los términos sen θ Los términos cos θ Los términos tan θ Los términos 0 ° Los términos 0 Los términos 0 Los términos 1 Los términos 0 Los términos 30 ° Los términos π / 6 Los términos 1 / 2 Los términos 3 / 2 Los términos 3 / 3 Los términos 45 ° Los términos π / 4 Los términos 2 / 2 Los términos 2 / 2 Los términos 1 Los términos 60 ° Los términos π / 3 Los términos 3 / 2 Los términos 1 / 2 Los términos 3 Los términos 90 ° Los términos π / 2 Los términos 1 Los términos 0 — Identidades fundamentales Los términos sen 2 θ + cos 2 θ = 1 sen ( − θ ) = − sen θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ cos ( − θ ) = cos θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ tan ( − θ ) = − tan θ sin ( π 2 − θ ) = cos θ sin ( θ + 2 π ) = sen θ cos ( π 2 − θ ) = sen θ cos ( θ + 2 π ) = cos θ tan ( π 2 − θ ) = cot θ tan ( θ + π ) = tan θ Ley de senos Los términos sin A a = sin B b = sin C c Ley de los cosenos Los términos a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C Fórmulas de suma y resta Los términos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sen x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y Fórmulas del ángulo doble Los términos sen 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 − 2 sen 2 x tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x Fórmulas de ángulo mitad Los términos sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

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Prefacio Bienvenido a Cálculo volumen 2 , un recurso de OpenStax. Este libro de texto fue escrito para aumentar el acceso de los estudiantes a material de aprendizaje de alta calidad, a la vez que se mantienen los más altos estándares de rigor académico a bajo costo o sin costo. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad Rice. Nuestra misión es brindarles a los estudiantes mayor acceso a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012. Desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 20 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP que consultan cientos de miles de estudiantes. Nuestra tecnología de aprendizaje adaptativo, diseñada para mejorar los resultados del aprendizaje a través de rutas educativas personalizadas, se está probando en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Cálculo volumen 2 tiene una licencia de Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA), lo que significa que puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido, no utilice el contenido para fines comerciales y distribuya el contenido conforme a la misma licencia CC-BY-NC-SA. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada se puede poner a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en openstax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en línea, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. 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El volumen 2 abarca integración, ecuaciones diferenciales, secuencias y series y ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Cobertura y alcance Nuestro libro de texto de Cálculo volumen 2 se adhiere al alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de cálculo general en todo el país. Hemos trabajado para que el cálculo sea interesante y accesible para los estudiantes, a la vez que se mantiene el rigor matemático inherente a la asignatura. Con este objetivo en mente, el contenido de los tres volúmenes de Cálculo se han desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica desde los conceptos fundamentales hasta los más avanzados, con base en lo que los estudiantes ya han aprendido y haciendo hincapié en las conexiones entre los temas y entre la teoría y las aplicaciones. La meta de cada sección es que los estudiantes no solo reconozcan los conceptos, sino que trabajen con estos de forma que les resulten útiles en cursos posteriores y en sus futuras carreras. La organización y las características pedagógicas se desarrollaron y examinaron con los aportes de educadores de matemáticas dedicados al proyecto. Volumen 1 Capítulo 1: Funciones y gráficos Capítulo 2: Límites Capítulo 3: Derivadas Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Capítulo 5: Integración Capítulo 6: Aplicaciones de la integración Volumen 2 Capítulo 1: Integración Capítulo 2: Aplicaciones de la integración Capítulo 3: Técnicas de integración Capítulo 4: Introducción a las ecuaciones diferenciales Capítulo 5: Secuencias y series Capítulo 6: Serie de potencias Capítulo 7: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Volumen 3 Capítulo 1: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Capítulo 2: Vectores en el espacio Capítulo 3: Funciones de valores factoriales Capítulo 4: Diferenciación de funciones de varias variables Capítulo 5: Integración múltiple Capítulo 6: Cálculo vectorial Capítulo 7: Ecuaciones diferenciales de segundo orden Fundamentos pedagógicos En Cálculo volumen 2 encontrará ejemplos y ejercicios que presentan ideas y técnicas clásicas, así como aplicaciones y métodos modernos. Las derivaciones y explicaciones se basan en años de experiencia en el aula por parte de profesores de cálculo de larga trayectoria, que se esfuerzan por lograr un equilibrio de claridad y rigor que ha demostrado ser exitoso con sus estudiantes. Las aplicaciones motivacionales abarcan temas importantes de probabilidad, biología, ecología, negocios y economía, así como áreas de física, química, ingeniería e informática. Los proyectos estudiantiles de cada capítulo ofrecen a los estudiantes la oportunidad de explorar interesantes aspectos secundarios de las matemáticas puras y aplicadas: desde demostrar que el número e es irracional hasta calcular el centro de masa del Skywalk del Gran Cañón o la velocidad límite de un paracaidista. En Aplicaciones de apertura del capítulo se plantean problemas que se resuelven más adelante mediante las ideas tratadas en ese capítulo. Los problemas incluyen la fuerza hidráulica contra la presa Hoover y la comparación de la intensidad relativa de dos terremotos. Se destacan definiciones, reglas y teoremas a lo largo del texto, lo que incluye más de 60 pruebas de teoremas. Evaluaciones que refuerzan los conceptos clave Los ejemplos en el capítulo guían a los estudiantes a través de los problemas planteando una pregunta, exponiendo una solución y luego pidiendo a los estudiantes que practiquen la habilidad con un componente de "Compruebe lo que ha aprendido". El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo, para que los estudiantes apliquen lo que han aprendido a través de problemas de práctica. Muchos ejercicios están marcados con una [T] para indicar que se pueden resolver con ayuda de la tecnología, lo que incluye calculadoras o sistemas de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS). Las respuestas de los ejercicios seleccionados están disponibles en una Clave de respuestas al final del libro. El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo, para que los estudiantes apliquen lo que han aprendido a través de problemas de práctica. Momentos trascendentales tempranos o tardíos Cálculo volumen 2 está diseñado para dar cabida a los enfoques trascendentales tempranos y tardíos del cálculo. Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en el capítulo 2. La integración de estas funciones se trata en el capítulo 1 para los instructores que quieran incluirlas con otros tipos de funciones. Estas discusiones, sin embargo, se encuentran en secciones separadas que pueden ser omitidas por los instructores que prefieren esperar hasta que se den las definiciones integrales antes de enseñar las derivaciones de cálculo de exponenciales y logaritmos. Amplio programa artístico Nuestro programa artístico está diseñado para mejorar la comprensión de los estudiantes de los conceptos a través de ilustraciones, diagramas y fotografías claros y eficaces. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para estudiantes como para instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y láminas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en openstax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Recursos para socios Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos para socios de su texto, visite la página de su libro en openstax.org. Sobre los autores Autores colaboradores principales Gilbert Strang, Massachusetts Institute of Technology El Dr. Strang obtuvo su doctorado en la UCLA en 1959 y desde entonces enseña matemáticas en el MIT. Su libro de texto de Cálculo en línea es uno de los once que ha publicado y es la base de la que se ha derivado nuestro producto final, actualizado para el estudiante de hoy. Strang es un matemático condecorado y antiguo becario de Rhodes en la Oxford University. Edwin "Jed" Herman, University of Wisconsin-Stevens Point El Dr. Herman se licenció en Matemáticas en Harvey Mudd College en 1985, obtuvo una maestría en Matemáticas en la UCLA en 1987 y un doctorado en Matemáticas en la University of Oregon en 1997. Actualmente es profesor en la University of Wisconsin-Stevens Point. Tiene más de 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en la universidad, es un mentor de investigación de los estudiantes, tiene experiencia en el desarrollo/diseño de cursos, y también es un ávido diseñador y jugador de juegos de mesa. Autores colaboradores Catherine Abbott, Keuka College Nicoleta Virginia Bila, Fayetteville State University Sheri J. Boyd, Rollins College Joyati Debnath, Winona State University Valeree Falduto, Palm Beach State College Joseph Lakey, New Mexico State University Julie Levandosky, Framingham State University David McCune, William Jewell College Michelle Merriweather, Bronxville High School Kirsten R. Messer, Colorado State University - Pueblo Alfred K. Mulzet, Florida State College at Jacksonville William Radulovich (retired), Florida State College at Jacksonville Erica M. Rutter, Arizona State University David Smith, University of the Virgin Islands Elaine A. Terry, Saint Joseph’s University David Torain, Hampton University Revisores Marwan A. Abu-Sawwa, Florida State College at Jacksonville Kenneth J. Bernard, Virginia State University John Beyers, University of Maryland Charles Buehrle, Franklin & Marshall College Matthew Cathey, Wofford College Michael Cohen, Hofstra University William DeSalazar, Broward County School System Murray Eisenberg, University of Massachusetts Amherst Kristyanna Erickson, Cecil College Tiernan Fogarty, Oregon Institute of Technology David French, Tidewater Community College Marilyn Gloyer, Virginia Commonwealth University Shawna Haider, Salt Lake Community College Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Jerry Jared, The Blue Ridge School Peter Jipsen, Chapman University David Johnson, Lehigh University M.R. Khadivi, Jackson State University Robert J. Krueger, Concordia University Tor A. Kwembe, Jackson State University Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Cheryl Chute Miller, SUNY Potsdam Bagisa Mukherjee, Penn State University, Worthington Scranton Campus Kasso Okoudjou, University of Maryland College Park Peter Olszewski, Penn State Erie, The Behrend College Steven Purtee, Valencia College Alice Ramos, Bethel College Doug Shaw, University of Northern Iowa Hussain Elalaoui-Talibi, Tuskegee University Jeffrey Taub, Maine Maritime Academy William Thistleton, SUNY Polytechnic Institute A. David Trubatch, Montclair State University Carmen Wright, Jackson State University Zhenbu Zhang, Jackson State University

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Introducción La navegación sobre hielo es un deporte de invierno muy popular en algunas zonas del norte de Estados Unidos y Europa (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Los botes deslizadores sobre hielo son una visión habitual en los lagos de Wisconsin y Minnesota los fines de semana de invierno. Estos botes son similares a los de vela, pero están equipados con patines y están diseñados para deslizarse sobre el hielo, en vez de sobre el agua. Pueden desplazarse muy rápidamente, y muchos entusiastas de la navegación sobre hielo se sienten atraídos por este deporte debido a la velocidad. Los mejores navegadores de estas embarcaciones pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Si sabemos a qué velocidad se mueve un bote deslizador sobre hielo, podemos utilizar la integración para determinar la distancia que recorre. Volveremos a tratar esta cuestión más adelante en el capítulo (consulte el ). Determinar la distancia a partir de la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de la integración. De hecho, las integrales se utilizan en una gran variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, comenzaremos presentando la teoría detrás de la integración y utilizaremos las integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollaremos el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la diferenciación y la integración. A continuación, estudiaremos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.

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