Volúmenes de revolución: capas cilíndricas En esta sección, examinaremos el método de las capas cilíndricas, el último método para hallar el volumen de un sólido de revolución. Podemos utilizar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos del disco y de las arandelas, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de las capas cilíndricas, integramos el eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La posibilidad de elegir qué variable de integración utilizaremos puede ser una ventaja importante con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido, a veces, hace que el método de las capas cilíndricas sea más atractivo de usar que el método de las arandelas. En la última parte de esta sección, repasaremos todos los métodos para hallar el volumen que hemos estudiado y establecemos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método debe utilizar en una situación determinada. El método de las capas cilíndricas De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R , delimitada por encima del gráfico de una función y = f ( x ) , abajo por el eje x −eje, y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la (a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y , como se muestra en la (b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de x giraban en torno al eje x o a una línea paralela a él. (a) Región delimitada por el gráfico de una función de x . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del y . Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo [ a , b ] utilizando una partición normal, P = { x 0 , x 1 ,… , x n } y, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo [ x i − 1 , x i ] de altura f ( x i * ) y la anchura Δ x . En la (a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y , en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura. (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del y , el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original. Para calcular el volumen de esta capa, considere la . Calcular el volumen de la capa. La capa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anulares (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior x i y radio interior x i − 1 . Por lo tanto, el área de la sección transversal es π x i 2 − π x i − 1 2 . La altura del cilindro es f ( x i * ) . Entonces el volumen de la capa es V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Tenga en cuenta que x i − x i − 1 = Δ x , por lo que tenemos V capa = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) Δ x . Además, x i + x i − 1 2 es a la vez el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y el radio medio de la capa, y podemos aproximar esto por x i * . Entonces tenemos V capa ≈ 2 π f ( x i * ) x i * Δ x . Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana ( ). (a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana. En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura f ( x i * ) , anchura 2 π x i * , y espesor Δ x ( ). El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos V capa ≈ f ( x i * ) ( 2 π x i * ) Δ x , que es la misma fórmula que teníamos antes. Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos V ≈ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) . Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 π x f ( x ) . Tomando el límite como n → ∞ nos da V = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas. Regla: el método de las capas cilíndricas Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R en torno al eje y viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Veamos un ejemplo. El método de las capas cilíndricas 1 Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 1 / x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primero debemos graficar la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 1 3 ( 2 π x ( 1 x ) ) d x = ∫ 1 3 2 π d x = 2 π x | 1 3 = 4 π al cuadrado 3 . Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 15 π 2 unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de las capas cilíndricas 2 Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primer gráfico de la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . b) El volumen de revolución obtenido al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 0 2 ( 2 π x ( 2 x – x 2 ) ) d x = 2 π ∫ 0 2 ( 2 x 2 − x 3 ) d x = 2 π [ 2 x 3 3 − x 4 4 ] | 0 2 = 8 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 3 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 8 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . Al igual que con el método de los discos y el de las arandelas, también podemos aplicar el método de las capas cilíndricas a los sólidos de revolución que resultan, que giran alrededor del eje x , cuando queremos integrar con respecto a y . La regla análoga para este tipo de sólido se da aquí. Regla: método de las capas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x viene dada por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y . Método de las capas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 2 y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 0 , 4 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje de la x . En primer lugar, debemos graficar la región Q y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región Q a la izquierda de la función g ( y ) en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar Q alrededor del eje x . Rotule la región sombreada Q . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y = ∫ 0 4 ( 2 π y ( 2 y ) ) d y = 4 π ∫ 0 4 y 3 / 2 d y = 4 π [ 2 y 5 / 2 5 ] | 0 4 = 256 π 5 al cuadrado 3 . Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 3 / y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x . 12 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución para el que el gráfico de una función gira en torno a una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Para ello, es necesario volver a examinar el desarrollo del método de las capas cilíndricas. Recordemos que el volumen de una de las capas viene dado por V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Esto se basó en una capa con un radio exterior de x i y un radio interior de x i − 1 . Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje y , tenemos un radio exterior e interior diferente. Supongamos, por ejemplo, que giramos la región alrededor de la línea x = − k , donde k es alguna constante positiva. Entonces, el radio exterior de la capa es x i + k y el radio interior es x i − 1 + k . Sustituyendo estos términos en la expresión del volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea x = − k , el volumen de una capa viene dado por V capa = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + k ) + ( x i − 1 + k ) 2 ) ( ( x i + k ) − ( x i − 1 + k ) ) = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + x i − 2 2 ) + k ) Δ x . Como antes, observamos que x i + x i − 1 2 es el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y puede ser aproximado por x i * . Entonces, el volumen aproximado de la capa es V capa ≈ 2 π ( x i * + k ) f ( x i * ) Δ x . El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que V = ∫ a b ( 2 π ( x + k ) f ( x ) ) d x . También podríamos girar la región alrededor de otras rectas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. En concreto, el término x en la integral debe sustituirse por una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona, analice el siguiente ejemplo. Región de revolución que gira en torno a una línea Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = −1 . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y la intersección en eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor de la línea x = −1 . Observe que el radio de una capa viene dado por x + 1 . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) f ( x ) ) d x = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) x ) d x = 2 π ∫ 1 2 ( x 2 + x ) d x = 2 π [ x 3 3 + x 2 2 ] | 1 2 = 23 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = –2 . 11 π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En nuestro último ejemplo en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el que la región de revolución está limitada por los gráficos de dos funciones. Región de revolución limitada por los gráficos de dos funciones Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el volumen del sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y el gráfico de g ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Observe que el eje de revolución es el eje y , por lo que el radio de una capa viene dado simplemente por x . No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de una capa viene dada por f ( x ) − g ( x ) , por lo que en este caso tenemos que ajustar el término f ( x ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 4 ( 2 π x ( f ( x ) − g ( x ) ) ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x ( x – 1 x ) ) d x = 2 π ∫ 1 4 ( x 3 / 2 – 1 ) d x = 2 π [ 2 x 5 / 2 5 − x ] | 1 4 = 94 π 5 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . ¿Qué método debemos utilizar? Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje x . Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje y . Veamos un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos. Selección del mejor método Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establezca la integral para encontrar el volumen (no evaluar la integral). La región delimitada por los gráficos de y = x , y = 2 − x , y la intersección en x . La región delimitada por los gráficos de y = 4 x – x 2 y el eje x . En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R delimitado por dos rectas y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . Al observar la región, si queremos integrar con respecto a x , tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región en [ 0 , 1 ] y [ 1 , 2 ] . En este caso, utilizando el método de los discos, tendríamos V = ∫ 0 1 ( π x 2 ) d x + ∫ 1 2 ( π ( 2 − x ) 2 ) d x . Si en vez de ello utilizáramos el método de las capas, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo V = ∫ 0 1 ( 2 π y [ ( 2 − y ) − y ] ) d y = ∫ 0 1 ( 2 π y [ 2 − 2 y ] ) d y . Ninguna de estas integrales es particularmente compleja, pero como el método de las capas requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, es probable que en este caso utilicemos el método de las capas. En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R entre la curva y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . AL observar la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por lo tanto, podemos descartar el método de las capas. El sólido no tiene ninguna cavidad en el centro, por lo que podemos utilizar el método de los discos. Entonces V = ∫ 0 4 π ( 4 x – x 2 ) 2 d x . Seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establecer la integral para hallar el volumen (no evaluar la integral): la región limitada por los gráficos de y = 2 − x 2 y y = x 2 . Utilice el método de las arandelas; V = ∫ –1 1 π [ ( 2 − x 2 ) 2 − ( x 2 ) 2 ] d x Pista Dibuje la región y utilice la para decidir cuál es la integral más fácil de evaluar. Conceptos clave El método de las capas cilíndricas es otro método para utilizar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. En ocasiones este método es preferible al de los discos o al de las arandelas porque integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es bastante más complicada que la otra. La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores para decidir qué método de integración utilizaremos. Ecuaciones clave Método de las capas cilíndricas V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de las capas como el de las arandelas. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar un corte típico a mano. [T] Limitado por las curvas y = 3 x , x = 0 , y y = 3 girado alrededor del eje y . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del eje y . 54 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y y = 3 girado alrededor del x . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del x . 81 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del x . 512 π 7 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para calcular el volumen de los sólidos dados. Observe que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje x y se giran alrededor del eje y . y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , y x = 1 2 π unidades 3 y = 1 x , x = 1 , y x = 100 y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 π 3 unidades 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , y x = 3 y = sen x 2 , x = 0 , y x = π 2 π unidades 3 y = 1 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 y = x , x = 0 , y x = 1 4 π 5 unidades 3 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , y x = 2 64 π 3 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para hallar el volumen generado por la rotación de las regiones entre la curva dada y y = 0 alrededor del eje x . y = 1 − x 2 , x = 0 , x = 1 y el eje x y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x 32 π 5 unidades 3 y = x 3 2 , x = 0 , x = 2 , y el eje x y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 , y el eje x 7 π 6 x = 1 1 + y 2 , y = 1 , y y = 4 x = 1 + y 2 y , y = 1 , y = 4 , y el eje y 48 π x = cos y , y = 0 , y y = π x = y 3 – 2 y 2 , x = 0 , x = 9 , y el eje y 114 π 5 x = y + 1 , x = 1 , x = 3 , y el eje x x = 27 y 3 y x = 3 y 4 512 π 7 En los siguientes ejercicios calcule el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado. y = 3 − x , y = 0 , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . y = x 3 , x = 0 , y y = 8 girado alrededor del y . 96 π 5 unidades 3 y = x 2 , y = x , girado alrededor del y . y = x , y = 0 , y x = 1 girado alrededor de la línea x = 2 . 28 π 15 unidades 3 y = 1 4 − x , x = 1 , x = 2 y y = 0 girado alrededor de la línea x = 4 . y = x y y = x 2 girado alrededor del y . 3 π 10 unidades 3 y = x y y = x 2 girado alrededor de la línea x = 2 . x = y 3 , x = 1 y , x = 1 , y x = 2 girado alrededor del x . π 6 . 2 2 / 3 5 – 11 10 = π 10 12 . 2 2 / 3 – 11 ≈ 2 . 5286 unidades 3 x = y 2 y y = x girado alrededor de la línea y = 2 . [T] A la izquierda de x = sen ( π y ) , derecha de y = x , alrededor del eje y . 0,9876 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen que se genera cuando la función gira alrededor del eje especificado. A continuación, utilice el método que haya elegido para hallar el volumen. [T] y = x 2 y y = 4 x girado alrededor del y . [T] y = cos ( π x ) , y = sen ( π x ) , x = 1 4 , y x = 5 4 girado alrededor del y . Este ejercicio requiere una técnica avanzada. Puede utilizar la tecnología para realizar la integración. 3 2 unidades 3 [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del y . [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del x . 496 π 15 unidades 3 [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del x . [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del y . 398 π 15 unidades 3 [T] x = sen ( π y 2 ) y x = 2 y girado alrededor del x . [T] x = y 2 , x = y 2 − 2 y + 1 , y x = 2 girado alrededor del y . 15,9074 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice el método de las capas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que están representados en las figuras adjuntas. Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una esfera de radio r . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cono de radio r y altura h . 1 3 π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un elipsoide ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 girado alrededor del x . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cilindro de radio r y altura h . π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una rosquilla que se crea cuando el círculo x 2 + y 2 = 4 se gira alrededor de la línea x = 4 . Consideremos la región delimitada por los gráficos de y = f ( x ) , y = 1 + f ( x ) , x = 0 , y = 0 , y x = a > 0 . ¿Cuál es el volumen del sólido que se genera cuando esta región gira alrededor del eje y ? Supongamos que la función se define en el intervalo [ 0 , a ] . π a 2 unidades 3 Considere la función y = f ( x ) , que disminuye de f ( 0 ) = b al f ( 1 ) = 0 . Establezca las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método de las capas como el de los discos, del sólido generado cuando esta región, con x = 0 y y = 0 , se gira alrededor del y . Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? ( Pista: Dado que f ( x ) es biunívoca, existe un inverso f −1 ( y ) . ) método de las capas cilíndricas método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiéndolo en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de los discos o de las arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta

Matemáticas


Longitud del arco de una curva y superficie En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, querremos saber qué distancia recorre el cohete. O si una curva en un mapa representa una carretera, desearíamos saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino. Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de x , luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de y . (El proceso es idéntico, invirtiendo los roles de x como y ). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden ampliarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto. Longitud de arco de la curva y = f ( x ) En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función f ( x ) fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para f ( x ) . En este caso, necesitamos que f ( x ) sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, f ′ ( x ) , sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves . (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores). Supongamos que f ( x ) es una función suave definida sobre [ a , b ] . Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) . Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible. La representa esta construcción para n = 5 . Podemos aproximar la longitud de una curva añadiendo segmentos de línea. Para ayudarnos a encontrar la longitud de cada segmento de línea, debemos observar el cambio en la distancia vertical así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como utilizamos una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δ x . Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que utilizamos Δ y i = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) para representar el cambio de la distancia vertical en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , como se muestra en la . Tenga en cuenta que algunos (o todos) Δ y i pueden ser negativos. Un segmento de línea representativo aproxima la curva en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de línea es ( Δ x ) 2 + ( Δ y i ) 2 . También podemos escribirlo como Δ x 1 + ( ( Δ y i ) / ( Δ x ) ) 2 . Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / ( Δ x ) . Entonces la longitud del segmento de línea viene dada por Δ x 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 . Sumando las longitudes de todos los segmentos de la línea, obtenemos Longitud de arco ≈ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , tenemos Longitud de arco = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Longitud de arco para y = f ( x ) Supongamos que f ( x ) una función suave en el intervalo [ a , b ] . Entonces la longitud de arco de la porción del gráfico de f ( x ) desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) está dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Note que estamos integrando una expresión que implica f ′ ( x ) , así que tenemos que estar seguros de que f ′ ( x ) es integrable. Por eso necesitamos que f ( x ) sea suave. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema. Cálculo de la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = 2 x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. Tenemos f ′ ( x ) = 3 x 1 / 2 , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 9 x . Entonces, la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 1 + 9 x d x . Sustituya u = 1 + 9 x . Entonces, d u = 9 d x . Cuando x = 0 , entonces u = 1 , y cuando x = 1 , entonces u = 10 . Por lo tanto, Longitud de arco = ∫ 0 1 1 + 9 x d x = 1 9 ∫ 0 1 1 + 9 x 9 d x = 1 9 ∫ 1 10 u d u = 1 9 . 2 3 u 3 / 2 | 1 10 = 2 27 [ 10 10 − 1 ] ≈ 2,268 al cuadrado . Supongamos que f ( x ) = ( 4 / 3 ) x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. 1 6 ( 5 5 − 1 ) ≈ 1,697 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. No olvide cambiar los límites de la integración. Aunque es bueno tener una fórmula para calcular la longitud de arco, este teorema en particular puede generar expresiones difíciles de integrar. En Introducción a técnicas de integración estudiamos algunas técnicas de integración. En algunos casos, es posible que tengamos que utilizar una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Utilizar una computadora o una calculadora para determinar la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = x 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 1 , 3 ] . Tenemos f ′ ( x ) = 2 x , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 4 x 2 . Entonces la longitud de arco viene dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x ≈ 8,26815 . Supongamos que f ( x ) = sen x . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , π ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco ≈ 3,8202 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Longitud de arco de la curva x = g ( y ) Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de y , podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje y en lugar del eje x . La muestra un segmento de línea representativo. Un segmento de línea representativo en el intervalo [ y i − 1 , y i ] . Entonces la longitud del segmento de línea es ( Δ y ) 2 + ( Δ x i ) 2 , que también puede escribirse como Δ y 1 + ( ( Δ x i ) / ( Δ y ) ) 2 . Si ahora seguimos el mismo desarrollo anterior, obtenemos una fórmula para la longitud de arco de una función x = g ( y ) . Longitud de arco para x = g ( y ) Supongamos que g ( y ) es una función suave sobre un y intervalo [ c , d ] . Entonces, la longitud de arco del gráfico de g ( y ) desde el punto ( g ( d ) , d ) al punto ( g ( c ) , c ) está dada por Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y . Cálculo de la longitud de arco de una función de y Supongamos que g ( y ) = 3 y 3 . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 2 ] . Tenemos g ′ ( y ) = 9 y 2 , por lo que [ g ′ ( y ) ] 2 = 81 y 4 . Entonces la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y = ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y ≈ 21,0277 . Supongamos que g ( y ) = 1 / y . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco = 3,15018 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Área de una superficie de revolución Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de y = f ( x ) alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura. (a) Una curva que representa la función f ( x ) . b) La superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Como ya hemos hecho muchas veces, vamos a dividir el intervalo [ a , b ] y aproximar el área superficial calculando la superficie de formas más simples. Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la curva, como hicimos anteriormente en esta sección. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Ahora, gire estos segmentos de línea alrededor del eje x para generar una aproximación de la superficie de revolución como se muestra en la siguiente figura. (a) Aproximación de f ( x ) con segmentos de línea. (b) Superficie de revolución formada al girar los segmentos de línea alrededor del eje x . Observe que, cuando cada segmento de línea gira alrededor del eje, produce una banda. Estas bandas son en realidad trozos de conos (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). Un trozo de cono como este se denomina tronco de cono. Para encontrar el área superficial de la banda, necesitamos encontrar el área superficial lateral, S , del tronco (solo el área de la superficie exterior inclinada del tronco, sin incluir las áreas de las caras superiores o inferiores). Supongamos que r 1 y r 2 son los radios del extremo ancho y del extremo estrecho del tronco respectivamente, y que l es la altura oblicua del tronco como se muestra en la siguiente figura. El tronco de un cono puede aproximarse a una pequeña parte del área superficial. Sabemos que el área superficial lateral de un cono viene dada por Área superficial lateral = π r s , donde r es el radio de la base del cono y s es la altura de la inclinación (vea la siguiente figura). El área superficial lateral del cono viene dada por π r s . Dado que un tronco puede considerarse como un trozo de cono, el área superficial lateral del tronco viene dada por el área superficial lateral del cono entero menos el área superficial lateral del cono más pequeño (la punta) que se cortó (vea la siguiente figura). Cálculo del área superficial lateral del tronco de un cono. Las secciones transversales del cono pequeño y del grande son triángulos similares, por lo que vemos que r 2 r 1 = s − l s . Al resolver para s , obtenemos r 2 r 1 = s − l s r 2 s = r 1 ( s − l ) r 2 s = r 1 s − r 1 l r 1 l = r 1 s − r 2 s r 1 l = ( r 1 − r 2 ) s r 1 l r 1 − r 2 = s . Entonces el área superficial lateral (SA) del tronco es S = (SA lateral del cono grande) − (SA lateral del cono pequeño) = π r 1 s − π r 2 ( s − l ) = π r 1 ( r 1 l r 1 − r 2 ) − π r 2 ( r 1 l r 1 − r 2 − l ) = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l ( r 1 − r 2 ) r 1 − r 2 = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 1 r 2 l r 1 − r 2 − π r 2 2 l r 1 − r 2 = π ( r 1 2 – r 2 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 − r 2 ) ( r 1 + r 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 + r 2 ) l . Utilicemos ahora esta fórmula para calcular el área superficial de cada una de las bandas que se forman al girar los segmentos de la línea alrededor del eje x . En la siguiente figura se muestra una banda representativa. Banda representativa utilizada para determinar el área superficial. Observe que la altura oblicua de este tronco es solo la longitud del segmento de línea que se usa para generarlo. Así, aplicando la fórmula del área superficial, tenemos S = π ( r 1 + r 2 ) l = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 2 + ( Δ y i ) 2 = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( Δ y i Δ x ) 2 . Ahora, como hicimos en el desarrollo de la fórmula de la longitud de arco, aplicamos el teorema del valor medio para seleccionar x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / Δ x . Esto nos da S = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Además, como f ( x ) es continua, por el teorema del valor intermedio, hay un punto x i * * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ( x i * * ) = ( 1 / 2 ) [ f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ] , por lo que obtenemos S = 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Entonces el área superficial aproximada de toda la superficie de revolución viene dada por Superficie ≈ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Esto casi parece una suma de Riemann, excepto que tenemos funciones evaluadas en dos puntos diferentes, x i * y x i * * , en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Aunque no examinamos los detalles aquí, resulta que ya que f ( x ) es suave, si suponemos que n → ∞ , el límite funciona igual que una suma de Riemann incluso con los dos puntos de evaluación diferentes. De manera intuitiva, esto tiene sentido. Tanto x i * y x i * * están en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , por lo que tiene sentido que, cuando n → ∞ , ambos x i * y x i * * se acercan a x . Si le interesan los detalles debe consultar un texto de cálculo avanzado. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos Superficie = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Al igual que con la longitud de arco, podemos realizar un desarrollo similar para las funciones de y a fin de obtener una fórmula del área superficial de las superficies de revolución alrededor del y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Área superficial de una superficie de revolución Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x viene dada por Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Del mismo modo, supongamos que g ( y ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ c , d ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y viene dada por Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y . Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 1 Supongamos que f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. El gráfico de f ( x ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de f ( x ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos f ( x ) = x . Entonces, f ′ ( x ) = 1 / ( 2 x ) y ( f ′ ( x ) ) 2 = 1 / ( 4 x ) . Entonces, Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x 1 + 1 4 x ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x . Supongamos que u = x + 1 / 4 . Entonces, d u = d x . Cuando x = 1 , u = 5 / 4 , y cuando x = 4 , u = 17 / 4 . Esto nos da ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x = ∫ 5 / 4 17 / 4 2 π u d u = 2 π [ 2 3 u 3 / 2 ] | 5 / 4 17 / 4 = π 6 [ 17 17 − 5 5 ] ≈ 30,846. Supongamos que f ( x ) = 1 − x en el intervalo [ 0 , 1 / 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. π 6 ( 5 5 − 3 3 ) ≈ 3,133 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 2 Supongamos que f ( x ) = y = 3 x 3 . Considere la parte de la curva donde 0 ≤ y ≤ 2 . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje y . Observe que estamos girando la curva alrededor del eje y , y el intervalo está en términos de y , por lo que queremos reescribir la función como una función de y . Obtenemos x = g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 . La gráfica de g ( y ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de g ( y ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 , por lo que g ′ ( y ) = y 2 y ( g ′ ( y ) ) 2 = y 4 . Entonces Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y = ∫ 0 2 ( 2 π ( 1 3 y 3 ) 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y . Supongamos que u = y 4 + 1 . Entonces d u = 4 y 3 d y . Cuando y = 0 , u = 1 , y cuando y = 2 , u = 17 . Entonces 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 1 17 1 4 u d u = π 6 [ 2 3 u 3 / 2 ] | 1 17 = π 9 [ ( 17 ) 3 / 2 – 1 ] ≈ 24,118. Supongamos que g ( y ) = 9 − y 2 en el intervalo y ∈ [ 0 , 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y . 12 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave La longitud de arco de una curva se puede calcular mediante una integral definida. La longitud de arco se aproxima primero mediante segmentos de línea, lo que genera una suma de Riemann. Tomando un límite nos da la fórmula de la integral definida. El mismo proceso puede aplicarse a las funciones de y . Los conceptos utilizados para calcular la longitud de arco pueden generalizarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. Las integrales generadas por las fórmulas de longitud de arco y área superficial suelen ser difíciles de evaluar. Puede ser necesario utilizar una computadora o una calculadora para aproximar los valores de las integrales. Ecuaciones clave Longitud de arco de una función de x Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x Longitud de arco de una función de y Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y Superficie de una función de x Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x En los siguientes ejercicios, halle la longitud de las funciones en el intervalo dado. y = 5 x de x = 0 a x = 2 2 26 y = − 1 2 x + 25 de x = 1 para x = 4 x = 4 y de y = −1 para y = 1 2 17 Elija una función lineal arbitraria x = g ( y ) en cualquier intervalo de su elección ( y 1 , y 2 ) . Determine la longitud de la función y luego demuestre que la longitud es correcta utilizando la geometría. Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x gira en torno a eje x a partir de ( 1 , 1 ) al ( 4 , 2 ) , como se ve aquí. π 6 ( 17 17 − 5 5 ) Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x 2 gira en torno a y a partir de ( 1 , 1 ) al ( 3 , 9 ) . Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de x en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = x 3 / 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) grandes. 13 13 − 8 27 y = x 2 / 3 a partir de ( 1 , 1 ) para ( 8 , 4 ) grandes. y = 1 3 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 1 4 3 y = 1 3 ( x 2 − 2 ) 3 / 2 de x = 2 hasta x = 4 [T] y = e x sobre x = 0 hasta x = 1 2,0035 y = x 3 3 + 1 4 x de x = 1 para x = 3 y = x 4 4 + 1 8 x 2 de x = 1 para x = 2 123 32 y = 2 x 3 / 2 3 − x 1 / 2 2 de x = 1 para x = 4 y = 1 27 ( 9 x 2 + 6 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 2 10 [T] y = sen x sobre x = 0 a x = π Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de y en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = 5 − 3 x 4 a partir de y = 0 al y = 4 20 3 x = 1 2 ( e y + e − y ) a partir de y = −1 para y = 1 x = 5 y 3 / 2 a partir de y = 0 al y = 1 1 675 ( 229 229 − 8 ) [T] x = y 2 a partir de y = 0 al y = 1 x = y a partir de y = 0 para y = 1 1 8 ( 4 5 + ln ( 9 + 4 5 ) ) grandes. x = 2 3 ( y 2 + 1 ) 3 / 2 a partir de y = 1 hasta y = 3 [T] x = tan y a partir de y = 0 al y = 3 4 1,201 [T] x = cos 2 y a partir de y = − π 2 al y = π 2 [T] x = 4 y a partir de y = 0 para y = 2 15,2341 [T] x = ln ( y ) sobre y = 1 e al y = e Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del eje x . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x de x = 2 hasta x = 6 49 π 3 y = x 3 a partir de x = 0 hasta x = 1 y = 7 x de x = −1 para x = 1 70 π 2 [T] y = 1 x 2 de x = 1 para x = 3 y = 4 − x 2 de x = 0 a x = 2 8 π y = 4 − x 2 de x = −1 para x = 1 y = 5 x de x = 1 para x = 5 120 π 26 [T] y = tan x de x = − π 4 para x = π 4 Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del y . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x 2 de x = 0 a x = 2 π 6 ( 17 17 − 1 ) grandes. y = 1 2 x 2 + 1 2 de x = 0 a x = 1 y = x + 1 a partir de x = 0 a x = 3 9 2 π [T] y = 1 x de x = 1 2 hasta x = 1 y = x 3 a partir de x = 1 para x = 27 10 10 π 27 ( 73 73 − 1 ) [T] y = 3 x 4 a partir de x = 0 hasta x = 1 [T] y = 1 x de x = 1 a x = 3 25,645 [T] y = cos x de x = 0 hasta x = π 2 La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo y = 2 x – x 2 alrededor del eje y a partir de x = 1 a x = 2 , como se ve aquí. Cree una integral para la superficie de esta curva y calcúlela. π ( π + 2 ) Una bombilla es una esfera con un radio de 1 / 2 in con la parte inferior cortada para que encaje exactamente en un cilindro con un radio de 1 / 4 in y longitud 1 / 3 in, como se ve aquí. La esfera se corta por la parte inferior para que encaje exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte es de 1 / 4 pulgadas Halle el área superficial (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro). [T] Una pantalla se construye al girar y = 1 / x alrededor del eje x a partir de y = 1 hasta y = 2 , como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitará para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área superficial, con una precisión de cuatro decimales. 10,5017 [T] Un ancla se arrastra detrás de un barco según la función y = 24 e – x / 2 − 24 , donde y representa la profundidad bajo el barco y x es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera del barco. Si el ancla está a 23 ft por debajo del barco, ¿cuánta cuerda hay que tirar para alcanzar el ancla? Redondee su respuesta a tres decimales. [T] Está construyendo un puente que abarcará 10 pies. Tiene la intención de añadir una cuerda decorativa en forma de y = 5 | sen ( ( x π ) / 5 ) | , donde x es la distancia en pies desde un extremo del puente. Averigüe cuánta cuerda necesita comprar, redondeada al pie más cercano. 23 pies En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco exacta para los siguientes problemas sobre el intervalo dado. y = ln ( sen x ) de x = π / 4 al x = ( 3 π ) / 4 . ( Pista: Recuerde las identidades trigonométricas). Dibuje gráficos de y = x 2 , y = x 6 , y y = x 10 . Para y = x n , cuando n aumenta, formule una predicción sobre la longitud del arco a partir de ( 0 , 0 ) al ( 1 , 1 ) . Ahora, calcule las longitudes de estas tres funciones y determine si su predicción es correcta. 2 Compare las longitudes de la parábola x = y 2 y la línea x = b y a partir de ( 0 , 0 ) para ( b 2 , b ) cuando b aumenta. ¿Qué observa? Resuelva la longitud de x = y 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) . Demuestre que x = ( 1 / 2 ) y 2 a partir de ( 0 , 0 ) al ( 2 , 2 ) es el doble de largo. Grafique ambas funciones y explique por qué es así. Las respuestas pueden variar [T] Qué es más largo entre ( 1 , 1 ) y ( 2 , 1 / 2 ) : la hipérbola y = 1 / x o el gráfico de x + 2 y = 3 ? Explique por qué el área de superficie es infinita cuando y = 1 / x se gira alrededor del eje x por 1 ≤ x < ∞ , pero el volumen es finito. Para más información, busque el cuerno de Gabriel. longitud del arco la longitud del arco de una curva puede considerarse como la distancia que recorrería una persona a lo largo de la trayectoria de la curva tronco porción de un cono; se construye cortando el cono con un plano paralelo a la base área superficial el área superficial de un sólido es el área total de la capa exterior del objeto; en objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras

Matemáticas


Aplicaciones físicas En esta sección, examinaremos algunas aplicaciones físicas de la integración. Comenzaremos dándole un vistazo al cálculo de la masa a partir de una función de densidad. A continuación, nos centraremos en el trabajo y cerraremos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática. Masa y Densidad Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje x −eje, con el extremo izquierdo de la varilla en x = a y el extremo derecho en x = b ( ). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional. Podemos calcular la masa de una varilla delgada orientada a lo largo del eje x integrando su función de densidad. Si la varilla tiene una densidad constante ρ , dada en términos de masa por unidad de longitud, entonces la masa de la varilla es solo el producto de la densidad y la longitud de la varilla: ( b – a ) ρ . Sin embargo, si la densidad de la varilla no es constante, el problema se vuelve un poco más difícil. Cuando la densidad de la varilla varía de un punto a otro, utilizamos una función de densidad lineal, ρ ( x ) , para denotar la densidad de la varilla en cualquier punto, x . Supongamos que ρ ( x ) es una función de densidad lineal integrable. Ahora, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra un segmento representativo de la varilla. Un segmento representativo de la varilla. La masa m i del segmento de la varilla de x i − 1 a x i se aproxima por m i ≈ ρ ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de todos los segmentos obtenemos una aproximación a la masa de toda la varilla: m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos una expresión de la masa exacta de la varilla: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x = ∫ a b ρ ( x ) d x . Enunciamos este resultado en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto unidimensional Dada una varilla delgada orientada a lo largo del eje x en el intervalo [ a , b ] , supongamos que ρ ( x ) denota una función de densidad lineal que da la densidad de la varilla en un punto x del intervalo. Entonces la masa de la varilla viene dada por m = ∫ a b ρ ( x ) d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Cálculo de la masa a partir de la densidad lineal Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ π / 2 , π ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = sen x , ¿cuál es la masa de la varilla? Aplicando directamente la , tenemos m = ∫ a b ρ ( x ) d x = ∫ π / 2 π sen x d x = − cos x | π / 2 π = 1 . Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ 1 , 3 ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = 2 x 2 + 3 , ¿cuál es la masa de la varilla? 70 / 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Ahora extendemos este concepto para hallar la masa de un disco bidimensional de radio r . Al igual que con la varilla del caso unidimensional, aquí suponemos que el disco es lo suficientemente fino como para que, a efectos matemáticos, podamos tratarlo como un objeto bidimensional. Suponemos que la densidad está dada en términos de masa por unidad de superficie (denominada densidad de área ), y además que la densidad varía solo a lo largo del radio del disco (denominada densidad radial ). Orientamos el disco en el x y , con el centro en el origen. Entonces, la densidad del disco puede ser tratada como una función de x , denotado ρ ( x ) . Suponemos que ρ ( x ) es integrable. Como la densidad es una función de x , dividimos el intervalo desde [ 0 , r ] a lo largo del eje x . Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , r ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Ahora, utilice la división para dividir el disco en arandelas finas (bidimensionales). En la siguiente figura se muestra un disco y una arandela representativa. (a) Un disco fino en el plano xy . (b) Una arandela representativa. Ahora aproximamos la densidad y el área de la arandela para calcular una masa aproximada, m i . Observe que el área de la arandela viene dada por A i = π ( x i ) 2 − π ( x i − 1 ) 2 = π [ x i 2 − x i − 1 2 ] = π ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = π ( x i + x i − 1 ) Δ x . Es posible que recuerde que teníamos una expresión similar a esta cuando calculábamos los volúmenes por capas. Como hicimos allí, utilizamos x i * ≈ ( x i + x i − 1 ) / 2 para aproximar al radio medio de la arandela. Obtenemos A i = π ( x i + x i − 1 ) Δ x ≈ 2 π x i * Δ x . Utilizando ρ ( x i * ) para aproximar la densidad de la arandela, aproximamos la masa de la misma mediante m i ≈ 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de las arandelas, vemos que la masa m de todo el disco se aproxima por m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . De nuevo reconocemos que se trata de una suma de Riemann, y tomamos el límite como n → ∞ . Esto nos da m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto circular Supongamos que ρ ( x ) es una función integrable que representa la densidad radial de un disco de radio r . Entonces la masa del disco viene dada por m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Cálculo de la masa a partir de la densidad radial Supongamos que ρ ( x ) = x representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 4. Aplicando la fórmula, hallamos m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x = ∫ 0 4 2 π x x d x = 2 π ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 π 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 4 π 5 [ 32 ] = 128 π 5 . Supongamos que ρ ( x ) = 3 x + 2 representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 2. 24 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Trabajo realizado por una fuerza Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia. En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra y la unidad de distancia es el pie, por lo que el trabajo se da en pies-libra. En el sistema métrico se utilizan los kilogramos y los metros. Un newton es la fuerza necesaria para acelerar 1 kilogramo de masa a una tasa de 1 m/s 2 . Así, la unidad de trabajo más común es el newton-metro. Esta misma unidad también se denomina joule . Ambos se definen como kilogramos por metros al cuadrado sobre segundos al cuadrado ( kg . m 2 / s 2 ) . Cuando tenemos una fuerza constante, las cosas son bastante fáciles. Sin embargo, es raro que una fuerza sea constante. El trabajo realizado para comprimir (o alargar) un resorte, por ejemplo, varía en función de cuánto se lo haya comprimido o estirado. Más adelante, en esta misma sección, se analizan los resortes con más detalle. Supongamos que tenemos una fuerza variable F ( x ) que mueve un objeto en dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a al punto b . Para calcular el trabajo realizado, dividimos el intervalo [ a , b ] y estimamos el trabajo realizado en cada subintervalo. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde un punto x i − 1 al punto x i , suponemos que la fuerza es aproximadamente constante en el intervalo, y utilizamos F ( x i * ) para aproximar la fuerza. El trabajo realizado en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , entonces, viene dado por W i ≈ F ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = F ( x i * ) Δ x . Por lo tanto, el trabajo realizado en el intervalo [ a , b ] es aproximadamente W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x . Tomando el límite de esta expresión como n → ∞ nos da el valor exacto del trabajo: W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x = ∫ a b F ( x ) d x . Así, podemos definir el trabajo de la siguiente manera. Definición Si una fuerza variable F ( x ) mueve un objeto en una dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a hasta el punto b , entonces el trabajo realizado sobre el objeto es W = ∫ a b F ( x ) d x . Note que si F es constante, la integral se evalúa como F . ( b – a ) = F . d , que es la fórmula que indicamos al principio de esta sección. Veamos ahora el ejemplo concreto del trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte. Consideremos un bloque unido a un resorte horizontal. El bloque se mueve hacia adelante y hacia atrás cuando el resorte se estira y se comprime. Aunque en el mundo real tendríamos que tener en cuenta la fuerza de fricción entre el bloque y la superficie sobre la que se apoya, aquí ignoramos la fricción y suponemos que el bloque está apoyado sobre una superficie sin fricción. Cuando el resorte está en su longitud natural (en reposo), se dice que el sistema está en equilibrio. En este estado, el resorte no se alarga ni se comprime, y en esta posición de equilibrio el bloque no se mueve hasta que se introduce alguna fuerza. Orientamos el sistema de forma que x = 0 corresponde a la posición de equilibrio (vea la siguiente figura). Un bloque unido a un resorte horizontal en equilibrio, comprimido y alargado. Según la ley de Hooke , la fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte desde una posición de equilibrio viene dada por F ( x ) = k x , para alguna constante k . El valor de k depende de las características físicas del resorte. La constante k se denomina constante del resorte y siempre es positiva. Podemos utilizar esta información para calcular el trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte, como se muestra en el siguiente ejemplo. El trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte Supongamos que se necesita una fuerza de 10 N (en sentido negativo) para comprimir un resorte 0,2 m de la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 0,5 m de la posición de equilibrio? Primero halle la constante del resorte, k . Cuando x = −0,2 , sabemos que F ( x ) = −10 , así que F ( x ) = k x − 10 = k ( −0,2 ) k = 50 y F ( x ) = 50 x . Entonces, para calcular el trabajo, integramos la función de fuerza, obteniendo W = ∫ a b F ( x ) d x = ∫ 0 0,5 5 0 x d x = 25 x 2 | 0 0,5 = 6,25 . El trabajo realizado para estirar el resorte es 6,25 J. Supongamos que se necesita una fuerza de 8 lb para estirar un resorte de 6 pulgadas desde la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 1 pies de la posición de equilibrio? 8 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Sea cuidadoso con las unidades. Trabajo realizado en el bombeo Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque. Examinamos el proceso en el contexto de un tanque cilíndrico, y luego vemos un par de ejemplos utilizando tanques de diferentes formas. Supongamos un depósito cilíndrico de un radio de 4 m y de 10 m de altura se llena hasta una profundidad de 8 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua sobre el borde superior del tanque? Lo primero que tenemos que hacer es definir un marco de referencia. Supongamos que x representa la distancia vertical por debajo de la parte superior del tanque. Es decir, orientamos el eje x verticalmente, con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo que es positiva (ver la siguiente figura). ¿Cuánto trabajo se necesita para vaciar un depósito parcialmente lleno de agua? Utilizando este sistema de coordenadas, el agua se extiende desde x = 2 hasta x = 10 . Por lo tanto, dividimos el intervalo [ 2 , 1 0 ] y observamos el trabajo necesario para levantar cada "capa" de agua. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 2 , 1 0 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra una capa representativa. Una capa representativa de agua. En los problemas de bombeo, la fuerza necesaria para elevar el agua hasta la parte superior del depósito es la fuerza necesaria para vencer la gravedad, por lo que es igual al peso del agua. Dado que el peso-densidad del agua es 9800 N/m 3 , o 62,4 lb/ft 3 , al calcular el volumen de cada capa obtenemos el peso. En este caso, tenemos V = π ( 4 ) 2 Δ x = 16 π Δ x . Entonces, la fuerza necesaria para levantar cada capa es F = 9800 . 16 π Δ x = 156800 π Δ x . Tenga en cuenta que este paso se vuelve un poco más difícil si tenemos un tanque no cilíndrico. En el siguiente ejemplo veremos un tanque no cilíndrico. También necesitamos saber la distancia a la que debe elevarse el agua. Con base en nuestra elección de sistemas de coordenadas, podemos utilizar x i * como una aproximación a la distancia que debe levantar la capa. A continuación, el trabajo para levantar la i −ésima capa de agua W i es aproximadamente W i ≈ 156800 π x i * Δ x . Sumando el trabajo de cada capa, vemos que el trabajo aproximado para vaciar el depósito viene dado por W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite como n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x = 156800 π ∫ 2 10 x d x = 156800 π [ x 2 2 ] | 2 10 = 7526400 π ≈ 23.644.883. El trabajo necesario para vaciar el depósito es de aproximadamente 23.650.000 J. En el caso de los problemas de bombeo, los cálculos varían en función de la forma del depósito o contenedor. La siguiente estrategia de resolución de problemas establece un proceso paso a paso para resolver problemas de bombeo. Estrategia para la resolución de problemas: Solución de problemas de bombeo Haga un dibujo del tanque y seleccione un marco de referencia adecuado. Calcule el volumen de una capa representativa de agua. Multiplique el volumen por el peso-densidad del agua para obtener la fuerza. Calcule la distancia a la que debe elevarse la capa de agua. Multiplique la fuerza y la distancia para obtener una estimación del trabajo necesario para levantar la capa de agua. Sume el trabajo necesario para levantar todas las capas. Esta expresión es una estimación del trabajo necesario para bombear la cantidad de agua deseada, y tiene la forma de una suma de Riemann. Tome el límite como n → ∞ y evalúe la integral resultante para obtener el trabajo exacto necesario para bombear la cantidad de agua deseada. Ahora aplicamos esta estrategia de resolución de problemas en un ejemplo con un tanque no cilíndrico. Un problema de bombeo con un depósito no cilíndrico Supongamos un tanque en forma de cono invertido, con una altura de 12 pies y radio de la base de 4 pies. Al principio el depósito está lleno y el agua se bombea sobre su borde superior hasta que la altura del agua que queda en el depósito es de 4 pies. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? El tanque está representado en la . Como hicimos en el ejemplo del tanque cilíndrico, orientamos verticalmente el eje x , con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo siendo positiva (paso 1). Un depósito de agua en forma de cono invertido. El depósito comienza lleno y termina con 4 ft de agua, por lo que, basándonos en el marco de referencia que hemos elegido, tenemos que dividir el intervalo [ 0 , 8 ] . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , 8 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Podemos aproximar el volumen de una capa utilizando un disco, y luego utilizar triángulos similares para encontrar el radio del disco (vea la siguiente figura). Utilizar triángulos semejantes para expresar el radio de un disco de agua. A partir de las propiedades de los triángulos semejantes, tenemos r i 12 − x i * = 4 12 = 1 3 3 r i = 12 − x i * r i = 12 − x i * 3 = 4 − x i * 3 . Entonces el volumen del disco es V i = π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 2). La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , por lo que la fuerza necesaria para levantar cada capa es aproximadamente F i ≈ 62,4 π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 3). Según el diagrama, la distancia a la que debe elevarse el agua es de aproximadamente x i * ft (paso 4), por lo que el trabajo aproximado necesario para levantar la capa es W i ≈ 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 5). Sumando el trabajo necesario para levantar todas las capas, obtenemos un valor aproximado del trabajo total: W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 6). Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x = ∫ 0 8 62,4 π x ( 4 − x 3 ) 2 d x = 62,4 π ∫ 0 8 x ( 16 − 8 x 3 + x 2 9 ) d x = 62,4 π ∫ 0 8 ( 16 x − 8 x 2 3 + x 3 9 ) d x = 62,4 π [ 8 x 2 − 8 x 3 9 + x 4 36 ] | 0 8 = 10649.6 π ≈ 33.456,7. Se necesita aproximadamente 33.450 ft-lb de trabajo para vaciar el depósito hasta el nivel deseado. Un tanque tiene forma de cono invertido, con una altura de 10 ft y el radio de la base es de 6 ft. El tanque se llena hasta una profundidad de 8 ft para empezar, y el agua se bombea sobre el borde superior del tanque hasta que quedan 3 ft de agua en el tanque. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? Aproximadamente 43255.2 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Fuerza y presión hidrostáticas En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados pascales . Empecemos con el caso sencillo de un plato de superficie A sumergido horizontalmente en el agua a una profundidad s ( ). Entonces, la fuerza ejercida sobre la placa es simplemente el peso del agua sobre ella, que viene dado por F = ρ A s , donde ρ es la densidad del peso del agua (peso por unidad de volumen). Para hallar la presión hidrostática , es decir, la presión que ejerce el agua sobre un objeto sumergido, dividimos la fuerza entre el área. Así que la presión es p = F / A = ρ s . Una placa sumergida horizontalmente en el agua. Según el principio de Pascal , la presión a una profundidad determinada es la misma en todas las direcciones, por lo que no importa si la placa está sumergida horizontal o verticalmente. Así que, mientras conozcamos la profundidad, conoceremos la presión. Podemos aplicar el principio de Pascal para hallar la fuerza ejercida sobre superficies como las presas, que están orientadas verticalmente. No podemos aplicar la fórmula F = ρ A s directamente, porque la profundidad varía de un punto a otro en una superficie orientada verticalmente. Así que, como hemos hecho muchas veces antes, hacemos una partición, una suma de Riemann y, en última instancia, una integral definida para calcular la fuerza. Supongamos que una placa delgada está sumergida en el agua. Elegimos nuestro marco de referencia de tal manera que el eje x está orientado verticalmente, con la dirección hacia abajo siendo positiva, y el punto x = 0 correspondiente a un punto de referencia lógico. Supongamos que s ( x ) denota la profundidad en el punto x . Tenga en cuenta que a menudo suponemos que x = 0 corresponde a la superficie del agua. En este caso, la profundidad en cualquier punto viene dada simplemente por s ( x ) = x . Sin embargo, es posible que en algunos casos queramos seleccionar un punto de referencia diferente para x = 0 , por lo que procedemos al desarrollo en el caso más general. Por último, supongamos que w ( x ) denota la anchura de la placa en el punto x . Supongamos que el borde superior de la placa está en el punto x = a y el borde inferior de la placa en el punto x = b . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La partición divide la placa en varias tiras finas y rectangulares (vea la siguiente figura). Una placa fina sumergida verticalmente en el agua. Estimemos ahora la fuerza sobre una banda representativa. Si la banda es lo suficientemente fina, podemos tratarla como si estuviera a una profundidad constante, s ( x i * ) . Entonces tenemos F i = ρ A s = ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Al sumar las fuerzas, obtenemos una estimación de la fuerza sobre la placa: F ≈ ∑ i = 1 n F i = ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite obtenemos la fuerza exacta. Obtenemos F = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x . Evaluando esta integral obtenemos la fuerza sobre la placa. Lo resumimos en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Calcule la fuerza hidrostática Elabore un dibujo y seleccione un marco de referencia adecuado. (Tenga en cuenta que si seleccionamos un marco de referencia distinto al utilizado anteriormente, es posible que tengamos que ajustar la en consecuencia). Determine las funciones de profundidad y anchura, s ( x ) y w ( x ) . Determine el peso-densidad del líquido con el que está trabajando. La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , o 9800 N/m 3 . Utilice la ecuación para calcular la fuerza total. Calcule la fuerza hidrostática Un abrevadero de 15 ft de largo tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 8 ft y altura de 3 ft. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. La muestra el canal y una vista más detallada de un extremo. (a) Una sección transversal triangular del abrevadero. (b) Dimensiones de un extremo del mismo. Seleccione un marco de referencia con el eje x orientado verticalmente y la dirección de bajada es positiva. Seleccione la parte superior del abrevadero como el punto correspondiente a x = 0 (paso 1). La función de profundidad, entonces, es s ( x ) = x . Utilizando triángulos similares, vemos que w ( x ) = 8 − ( 8 / 3 ) x (paso 2). Ahora, la densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 (paso 3), por lo que aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 0 3 62,4 ( 8 − 8 3 x ) x d x = 62,4 ∫ 0 3 ( 8 x − 8 3 x 2 ) d x = 62,4 [ 4 x 2 − 8 9 x 3 ] | 0 3 = 748,8. El agua ejerce una fuerza de 748,8 lb sobre el extremo del abrevadero (paso 4). Un abrevadero de 12 m de longitud tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 6 m y altura de 4 m. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. 156800 N Pista Siga la estrategia de resolución de problemas y el proceso del ejemplo anterior. Inicio del capítulo: Calcule la fuerza hidrostática Ahora volvemos a centrarnos en la presa Hoover , mencionada al principio de este capítulo. La presa real es arqueada, en vez de plana, pero vamos a hacer algunas suposiciones simplificadoras para ayudarnos con los cálculos. Supongamos que la cara de la presa Hoover tiene forma de trapecio isósceles con base inferior de 750 ft, base superior de 1.250 ft y altura de 750 ft (vea la siguiente figura). Cuando el embalse está lleno, la profundidad máxima del lago Mead es de unos 530 ft, y la superficie del lago está a unos 10 ft por debajo de la parte superior de la presa (vea la siguiente figura). Un modelo simplificado de la presa Hoover con dimensiones supuestas. Halle la fuerza en la cara de la presa cuando el embalse está lleno. El suroeste de Estados Unidos ha sufrido una sequía, y la superficie del lago Mead está a unos 125 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Empecemos por establecer un marco de referencia. Como es habitual, optamos por orientar el eje x verticalmente, siendo positiva la dirección de bajada. Esta vez, sin embargo, vamos a permitir que x = 0 represente la parte superior de la presa, en vez de la superficie del agua. Cuando el embalse está lleno, la superficie del agua es de 10 ft por debajo de la parte superior de la presa, por lo que s ( x ) = x − 10 (vea la siguiente figura). Primero elegimos un marco de referencia. Para encontrar la función de anchura, volvemos a recurrir a los triángulos semejantes, como se muestra en la figura siguiente Utilizamos triángulos similares para determinar una función para la anchura de la presa. (a) Dimensiones supuestas de la presa; (b) se destacan los triángulos similares. En la figura, vemos que w ( x ) = 750 + 2 r . Utilizando las propiedades de los triángulos semejantes, obtenemos r = 250 − ( 1 / 3 ) x . Por lo tanto, w ( x ) = 1.250 − 2 3 x (paso 2). Utilizando una densidad de peso de 62,4 lb/ft 3 (paso 3) y aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 10 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 10 ) d x = 62,4 ∫ 10 540 − 2 3 [ x 2 − 1885 x + 18750 ] d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1885 x 2 2 + 18750 x ] | 10 540 ≈ 8.832.245.000 lb = 4416122.5 t . Observe el cambio de libras a toneladas ( 2000 lb = 1 ton) (paso 4). Fíjate en que la sequía cambia nuestra función de profundidad, s ( x ) , y nuestros límites de integración. Tenemos s ( x ) = x − 135 . El límite inferior de integración es 135 . El límite superior sigue siendo 540 . Evaluando la integral, obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 135 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x − 1875 ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x 2 − 2010 x + 253125 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1005 x 2 + 253125 x ] | 135 540 ≈ 5.015.230.000 lb = 2507615 t . Cuando el embalse está en su nivel medio, la superficie del agua está unos 50 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Aproximadamente 7.164.520.000 lb o 3.582.260 t Pista Cambie la función de profundidad, s ( x ) , y los límites de integración. Para saber más sobre la presa Hoover, consulte este artículo publicado por History Channel. Conceptos clave Varias aplicaciones físicas de la integral definida son comunes en ingeniería y física. Las integrales definidas pueden utilizarse para determinar la masa de un objeto si se conoce su función de densidad. El trabajo también se puede calcular al integrar una función de fuerza, o al contrarrestar la fuerza de la gravedad, como en un problema de bombeo. Las integrales definidas también pueden utilizarse para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido. Ecuaciones clave Masa de un objeto unidimensional m = ∫ a b ρ ( x ) d x Masa de un objeto circular m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x Trabajo realizado sobre un objeto W = ∫ a b F ( x ) d x Fuerza hidrostática sobre una placa F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el trabajo realizado. Halle el trabajo realizado cuando una fuerza constante F = 12 lb mueve una silla de x = 0,9 al x = 1,1 pies. ¿Cuánto trabajo se realiza cuando una persona levanta 50 lb de cajas de cómics en un camión que está a 3 ft del suelo? 150 ft-lb ¿Cuál es el trabajo realizado levantando un niño de 20 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m? (Tenga en cuenta que una masa de 1 kg pesa 9,8 N cerca de la superficie de la Tierra). Halle el trabajo realizado al empujar una caja por el suelo por 2 m, cuando se aplica una fuerza constante de F = 100 N . 200 J Calcule el trabajo realizado para una fuerza F = 12 / x 2 N de x = 1 a x = 2 m. ¿Cuál es el trabajo realizado al mover una partícula desde x = 0 hasta x = 1 m si la fuerza que actúa sobre ella es F = 3 x 2 N? 1 J En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto unidimensional. Un cable que tiene 2 pies de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = x 2 + 2 x lb/ft Una antena de automóvil que tiene 3 ft de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 3 x + 2 lb/ft 39 2 Una barra de metal que tiene 8 in de longitud (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = e 1 / 2 x lb/in. Un lápiz que tiene 4 in. de longitud (a partir de x = 2 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 5 / x oz/in. ln ( 243 ) Una regla que tiene 12 in. de longitud (a partir de x = 5 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = ln ( x ) + ( 1 / 2 ) x 2 oz/in. En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto bidimensional centrado en el origen. Un disco de hockey de gran tamaño con un radio de 2 in con función de densidad ρ ( x ) = x 3 − 2 x + 5 332 π 15 Un frisbee con un radio de 6 in con función de densidad ρ ( x ) = e – x Una placa con un radio de radio 10 in con función de densidad ρ ( x ) = 1 + cos ( π x ) grandes. 100 π Una tapa de tarro con un radio de 3 in con función de densidad ρ ( x ) = ln ( x + 1 ) Un disco con 5 cm de radio y con función de densidad ρ ( x ) = 3 x 20 π 15 Un resorte de 12 in se estira hasta 15 in por una fuerza de 75 lb. ¿Cuál es la constante del resorte? Un resorte tiene una longitud natural de 10 cm. Se necesitan 2 J para estirar el resorte hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 15 cm a 20 cm? 6 J Un resorte de 1 m requiere 10 J para estirar el resorte hasta 1,1 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 1 m a 1,2 m? Un resorte requiere 5 J para estirar el resorte de 8 cm a 12 cm, y adicionalmente 4 J para estirar el resorte de 12 cm a 14 cm. ¿Cuál es la longitud natural del resorte? 5 cm Un amortiguador se comprime 1 in por un peso de 1 t. ¿Cuál es la constante del resorte? Una fuerza de F = 20 x – x 3 N estira un resorte no lineal en x metros. ¿Qué trabajo se requiere para estirar el resorte de x = 0 hasta x = 2 m? 36 J Halle el trabajo realizado al enrollar un cable colgante de una longitud de 100 ft y un peso-densidad de 5 lb/ft. Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo se realiza para levantarlo 50 ft? 18.750 ft-lb Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo adicional se realiza al colgar 200 lb de peso en el extremo del cable? [T] Una pirámide de 500 ft de altura tiene una base cuadrada 800 ft por 800 pies. Halle el área A en la altura h . Si la roca utilizada para construir la pirámide pesa aproximadamente w = 100 lb/ft 3 , ¿cuánto trabajo costó levantar toda la roca? Peso = 32 3 × 10 9 lb Trabajo = 4 3 × 10 12 ft-lb [T] Para la pirámide del ejercicio anterior, suponga que había 1.000 trabajadores que trabajan cada uno 10 horas al día, 5 días a la semana, 50 semanas al año. Si los trabajadores en promedio levantaron 10 rocas de 100 libras 2 ft/h, ¿cuánto tiempo se tardó en construir la pirámide? [T] La fuerza de gravedad sobre una masa m ¿es F = − ( ( G M m ) / x 2 ) newtons. Para un cohete de masa m = 1.000 kg , calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = 6500 km. Indique sus respuestas con tres cifras significativas. ( Nota : G = 6,67 × 10 −11 N m 2 / kg 2 y M = 6 × 10 24 kg . ) grandes. 9,71 × 10 2 N m [T] Para el cohete del ejercicio anterior, calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = ∞ . [T] Una presa rectangular tiene 40 ft de altura y 60 ft de ancho. Calcule la fuerza total F en la presa cuando la superficie del agua está en la parte superior de la presa y la superficie del agua está a la mitad de la presa. a. 3.000.000 lb, b. 749.000 lb [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua de un cilindro que tiene una base circular de un radio de 5 ft y altura de 200 pies. Utilice el hecho de que la densidad del agua es 62 lb/ft 3 . [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua del cilindro en el ejercicio anterior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. 23.25 π millones de ft-lb. [T] ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear una piscina si el área de la base es de 800 ft 2 , el agua es de 4 ft de profundidad, y la parte superior es de 1 ft sobre el nivel del agua? Supongamos que la densidad del agua es de 62 lb/ft 3 . Un cilindro de profundidad H y el área de la sección transversal A está lleno de agua a la densidad ρ . Calcule el trabajo para bombear toda el agua afuera por la parte superior. A ρ H 2 2 Para el cilindro del ejercicio anterior, calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. Un tanque con forma de cono tiene una sección transversal que aumenta con su profundidad: A = ( π r 2 h 2 ) / H 3 . Demuestre que el trabajo para vaciarlo es la mitad del trabajo para un cilindro con la misma altura y base. Las respuestas pueden variar función de densidad función que describe cómo se distribuye la masa en un objeto; puede ser una densidad lineal, expresada en términos de masa por unidad de longitud; una densidad de área, expresada en términos de masa por unidad de área; o una densidad de volumen, expresada en términos de masa por unidad de volumen; la densidad de peso también se utiliza para describir el peso (en vez de la masa) por unidad de volumen Ley de Hooke ley que establece que la fuerza necesaria para comprimir (o alargar) un resorte es proporcional a la distancia que el resorte se ha comprimido (o estirado) desde el equilibrio; en otras palabras, F = k x , donde k es una constante presión hidrostática presión ejercida por el agua sobre un objeto sumergido trabajo la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto; en física, cuando una fuerza es constante, el trabajo se expresa como el producto de la fuerza por la distancia

Matemáticas