Prefacio Bienvenido a Cálculo volumen 1 , un recurso de OpenStax. Este libro de texto se escribió para aumentar el acceso de los estudiantes a materiales de aprendizaje de alta calidad, manteniendo los más altos estándares de rigor académico a bajo o ningún costo. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP ® ) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Cálculo volumen 1 tiene una licencia de Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC-BY-NC-SA), lo que significa que puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido, no utilice el contenido con fines comerciales y distribuya el contenido conforme la misma licencia CC-BY-NC-SA. Puesto que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada puede ponerse a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en OpenStax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en la web, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en OpenStax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en OpenStax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de OpenStax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Sobre Cálculo volumen 1 Cálculo está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y les ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que les rodea. Debido a la naturaleza integral del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficiencia. El volumen 1 cubre funciones, límites, derivadas e integración. Cobertura y alcance Nuestro libro de texto de Cálculo volumen 1 se adhiere al alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de cálculo general en todo el país. Hemos trabajado para que el cálculo sea interesante y accesible para los estudiantes, pero manteniendo el rigor matemático inherente a la asignatura. Con este objetivo en mente, el contenido de los tres volúmenes de Cálculo se han desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica desde los conceptos fundamentales hasta los más avanzados, con base en lo que los estudiantes ya han aprendido y haciendo hincapié en las conexiones entre los temas y entre la teoría y las aplicaciones. La meta de cada sección es que los estudiantes no solo reconozcan los conceptos, sino que trabajen con estos de forma que les resulten útiles en cursos posteriores y en sus futuras carreras. La organización y las características pedagógicas se desarrollaron y examinaron con los aportes de educadores de matemáticas dedicados al proyecto. Volumen 1 Capítulo 1: Funciones y gráficos Capítulo 2: Límites Capítulo 3: Derivadas Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Capítulo 5: Integración Capítulo 6: Aplicaciones de la integración Volumen 2 Capítulo 1: Integración Capítulo 2: Aplicaciones de la integración Capítulo 3: Técnicas de integración Capítulo 4: Introducción a las ecuaciones diferenciales Capítulo 5: Secuencias y series Capítulo 6: Serie de potencias Capítulo 7: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Volumen 3 Capítulo 1: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Capítulo 2: Vectores en el espacio Capítulo 3: Funciones de valores factoriales Capítulo 4: Diferenciación de funciones de varias variables Capítulo 5: Integración múltiple Capítulo 6: Cálculo vectorial Capítulo 7: Ecuaciones diferenciales de segundo orden Fundamentos pedagógicos A lo largo del Cálculo volumen 1 encontrará ejemplos y ejercicios que presentan ideas y técnicas clásicas, así como aplicaciones y métodos modernos. Las derivaciones y explicaciones se fundamentan en años de experiencia en el aula por parte de profesores de cálculo de gran experiencia, que se esfuerzan por lograr un equilibrio de claridad y rigor que ha tenido éxito con sus estudiantes. Las aplicaciones motivadoras abarcan temas importantes de la probabilidad, la biología, la ecología, los negocios y la economía, así como áreas de la física, la química, la ingeniería y la informática. Los proyectos estudiantiles de cada capítulo ofrecen a los estudiantes la oportunidad de explorar interesantes aspectos secundarios de las matemáticas puras y aplicadas: desde la determinación de la distancia de seguridad entre la tribuna y la pista en un circuito de Fórmula Uno hasta el cálculo del centro de masa del Skywalk del Gran Cañón o la velocidad límite de un paracaidista. Las aplicaciones de apertura del capítulo plantean problemas que se resuelven más adelante, utilizando las ideas tratadas en ese capítulo. Los problemas incluyen la fuerza hidráulica contra la presa Hoover y la comparación de la intensidad relativa de dos terremotos. Las definiciones, las reglas y los teoremas se destacan a lo largo del texto, incluyendo más de 60 pruebas de teoremas. Evaluaciones que refuerzan los conceptos clave Los ejemplos del capítulo guían a los estudiantes a través de los problemas al plantear una pregunta, exponer una solución y luego pedirles a los estudiantes que practiquen la habilidad con una pregunta del Punto de control. Asimismo, el libro incluye evaluaciones al final de cada capítulo para que los estudiantes puedan aplicar lo que han aprendido mediante problemas de práctica. Muchos ejercicios están marcados con una [T] para indicar que se pueden resolver con ayuda de la tecnología, lo que incluye calculadoras o sistemas de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS). Las respuestas de los ejercicios seleccionados están disponibles en una Clave de respuestas al final del libro. El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo para que los estudiantes puedan aplicar lo que han aprendido mediante problemas de práctica. Enfoques trascendentales tempranos o tardíos El libro Cálculo volumen 1 está diseñado para dar cabida a los enfoques trascendentales temprano y tardío del cálculo. Las funciones exponenciales y logarítmicas se introducen de manera informal en el capítulo 1 y se presentan en términos más rigurosos en el capítulo 6. La diferenciación e integración de estas funciones se trata en los capítulos 3-5 para los instructores que quieran incluirlas con otros tipos de funciones. Estos temas, sin embargo, se encuentran en secciones separadas que los instructores que prefieren esperar hasta que se den las definiciones integrales pueden omitir antes de enseñar las derivaciones de cálculo de exponenciales y logaritmos. Amplio programa artístico Nuestro programa artístico está diseñado para mejorar la comprensión de los estudiantes de los conceptos a través de ilustraciones, diagramas y fotografías claros y eficaces. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para los estudiantes como para los instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y diapositivas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en OpenStax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asocia con el Instituto para el Estudio de la Administración del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax, de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus cursos, lo que incluye anexos adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para comunicarse con los centros comunitarios (Community Hubs), visite www.oercommons.org/hubs/OpenStax . Recursos asociados Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos asociados a su texto, visite la página de su libro en OpenStax.org. Sobre los autores Autores principales Gilbert Strang, Massachusetts Institute of Technology El Dr. Strang obtuvo su doctorado en la UCLA en 1959 y desde entonces enseña matemáticas en el MIT. Su libro de texto de Cálculo en línea es uno de los once que ha publicado y es la base de la que se ha derivado nuestro producto final, actualizado para el estudiante de hoy. Strang es un matemático condecorado y ex becario Rhodes en la Oxford University. Edwin "Jed" Herman, University of Wisconsin-Stevens Point El Dr. Herman se licenció en Matemáticas por el Harvey Mudd College en 1985, obtuvo un máster en Matemáticas por la UCLA en 1987 y un doctorado en Matemáticas por la University of Oregon en 1997. Actualmente es profesor en la University of Wisconsin-Stevens Point. Tiene más de 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en la universidad, es un mentor de investigación de los estudiantes, tiene experiencia en el desarrollo/diseño de cursos, y también es un ávido diseñador y jugador de juegos de mesa. Autores colaboradores Catherine Abbott, Keuka College Nicoleta Virginia Bila, Fayetteville State University Sheri J. Boyd, Rollins College Joyati Debnath, Winona State University Valeree Falduto, Palm Beach State College Joseph Lakey, New Mexico State University Julie Levandosky, Framingham State University David McCune, William Jewell College Michelle Merriweather, Bronxville High School Kirsten R. Messer, Colorado State University - Pueblo Alfred K. Mulzet, Florida State College at Jacksonville William Radulovich (retired), Florida State College at Jacksonville Erica M. Rutter, Arizona State University David Smith, University of the Virgin Islands Elaine A. Terry, Saint Joseph’s University David Torain, Hampton University Revisores Marwan A. Abu-Sawwa, Florida State College at Jacksonville Kenneth J. Bernard, Virginia State University John Beyers, University of Maryland Charles Buehrle, Franklin & Marshall College Matthew Cathey, Wofford College Michael Cohen, Hofstra University William DeSalazar, Broward County School System Murray Eisenberg, University of Massachusetts Amherst Kristyanna Erickson, Cecil College Tiernan Fogarty, Oregon Institute of Technology David French, Tidewater Community College Marilyn Gloyer, Virginia Commonwealth University Shawna Haider, Salt Lake Community College Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Jerry Jared, The Blue Ridge School Peter Jipsen, Chapman University David Johnson, Lehigh University M.R. Khadivi, Jackson State University Robert J. Krueger, Concordia University Tor A. Kwembe, Jackson State University Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Cheryl Chute Miller, SUNY Potsdam Bagisa Mukherjee, Penn State University, Worthington Scranton Campus Kasso Okoudjou, University of Maryland College Park Peter Olszewski, Penn State Erie, The Behrend College Steven Purtee, Valencia College Alice Ramos, Bethel College Doug Shaw, University of Northern Iowa Hussain Elalaoui-Talibi, Tuskegee University Jeffrey Taub, Maine Maritime Academy William Thistleton, SUNY Polytechnic Institute A. David Trubatch, Montclair State University Carmen Wright, Jackson State University Zhenbu Zhang, Jackson State University

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Introducción Una parte de la falla de San Andrés en California. En fallas importantes como esta se producen la mayoría de los terremotos más fuertes que han sido registrados (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, National Park Service [NPS]). Durante los años recientes se han producido grandes terremotos en varios países del mundo. En enero de 2010, un terremoto de magnitud 7,3 sacudió Haití. En marzo de 2011, un terremoto de magnitud 9 sacudió el noreste de Japón. En abril de 2014, un terremoto de 8,2 grados de magnitud sacudió las costas del norte de Chile. ¿Qué significan estos números? En concreto, ¿cómo se compara un terremoto de magnitud 9 con uno de magnitud 8,2? ¿O con uno de 7,3? Más adelante en este capítulo mostraremos cómo se utilizan las funciones logarítmicas para comparar la intensidad relativa de dos terremotos con base en la magnitud de cada uno de ellos (vea el ). El cálculo es la matemática que describe los cambios en las funciones. En este capítulo repasaremos todas las funciones necesarias para el estudio del cálculo. Definiremos las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Repasaremos cómo evaluar estas funciones y mostramos las propiedades de sus gráficos. Proporcionaremos ejemplos de ecuaciones con términos que implican estas funciones e ilustramos las técnicas algebraicas necesarias para resolverlas. En resumen, este capítulo sienta las bases para el material que viene. Es esencial estar familiarizado con estas ideas antes de proceder a la introducción formal del cálculo en el siguiente capítulo.

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Repaso de las funciones En esta sección proporcionaremos una definición formal de función y examinaremos varias formas de representar funciones: como tablas, fórmulas y gráficos. Estudiaremos la notación formal y los términos relacionados con las funciones. También definiremos la composición de las funciones y las propiedades de simetría. La mayor parte de este material será un repaso para usted, pero le será útil como referencia práctica para recordar algunas de las técnicas algebraicas útiles para trabajar con funciones. Funciones Dados dos conjuntos A y B , un conjunto con elementos que son pares ordenados ( x , y ) , donde x es un elemento de A y y es un elemento de B , es una relación de A hasta B . Una relación de A hasta B define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama entrada ; el elemento del segundo conjunto se llama salida . En matemáticas las funciones se utilizan constantemente para describir las relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de su longitud lateral (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo del envío de un paquete es una función del peso del mismo. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante contar con definiciones y terminología precisas para estudiarlas. Definición Una función f consiste en un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. El conjunto de entradas se denomina dominio de la función. El conjunto de salidas se denomina rango de la función. Por ejemplo, consideremos la función f , donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Entonces, la entrada x = 3 se asigna a la salida 3 2 = 9 . Como todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Como no hay ningún número real con un cuadrado negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos. Para una función general f con dominio D , utilizamos a menudo x para denotar la entrada y y para denotar la salida asociada a x . Al hacerlo, nos referimos a x como variable independiente y y como variable dependiente , ya que depende de x . Utilizando la notación de funciones, escribimos y = f ( x ) , y leemos esta ecuación como “ y es igual a f de x . ” Para la función cuadrática descrita anteriormente, escribimos f ( x ) = x 2 . El concepto de función se puede visualizar mediante la , la y la . Una función puede visualizarse como un dispositivo de entrada/salida. Una función asigna cada elemento del dominio a exactamente un elemento del rango. Aunque cada entrada solo puede enviarse a una salida, dos entradas diferentes pueden enviarse a la misma salida. En este caso, el gráfico de una función f tiene un dominio de { 1 , 2 , 3 } y un rango de { 1 , 2 } . La variable independiente es x y la variable dependiente es y . Visite este enlace a la miniaplicación para ver más sobre gráficos de funciones. También podemos visualizar una función trazando puntos ( x , y ) en el plano de coordenadas donde y = f ( x ) . El gráfico de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, consideremos la función f , donde el dominio es el conjunto D = { 1 , 2 , 3 } y la regla es f ( x ) = 3 − x . En la , trazamos un gráfico de esta función. Aquí vemos un gráfico de la función f con dominio { 1 , 2 , 3 } y regla f ( x ) = 3 − x . El gráfico está formado por los puntos ( x , f ( x ) ) para todo x en el dominio. Toda función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en f ( x ) = x 2 , sin que se indique un dominio específico. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales x en el que f ( x ) es un número real. Por ejemplo, como cualquier número real puede ser elevado al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos el dominio de f ( x ) = x 2 para ser el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función raíz cuadrada f ( x ) = x solo da una salida con sentido si x no es negativo. Por lo tanto, el dominio de la función f ( x ) = x es el conjunto de los números reales no negativos, a veces llamado dominio natural . Para las funciones f ( x ) = x 2 y f ( x ) = x , los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Es evidente que no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, suele ser útil utilizar la notación de conjunto o de intervalo. Cuando se utiliza la notación de construcción de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado ℝ , escribimos { x | x tiene alguna propiedad } . Leemos esto como el conjunto de números reales x tal que x tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si nos interesamos en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto utilizando la notación de construcción de conjuntos escribiendo { x | 1 < x < 5 } . Un conjunto como éste, que contiene todos los números mayores que a y menores que b , también se puede denotar utilizando la notación intervalo ( a , b ) . Por lo tanto, ( 1 , 5 ) = { x | 1 < x < 5 } . Los números 1 y 5 se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, lo denotaríamos escribiendo [ 1 , 5 ] = { x | 1 ≤ x ≤ 5 } . Podemos utilizar una notación similar si queremos incluir uno de los extremos, pero no el otro. Para denotar el conjunto de los números reales no negativos utilizaremos la notación de construcción de conjuntos { x | 0 ≤ x } . El número más pequeño de este conjunto es el cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Utilizando la notación intervalo, usaríamos el símbolo ∞ , que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como [ 0 , ∞ ) = { x | 0 ≤ x } . Es importante señalar que ∞ no es un número real. Su uso aquí es simbólico e indica que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. Del mismo modo, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir ( − ∞ , 0 ] = { x | x ≤ 0 } . Aquí, la notación − ∞ se refiere al infinito negativo, e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, por muy pequeños que sean. El conjunto ( − ∞ , ∞ ) = { x | x es cualquier número real } se refiere al conjunto de todos los números reales. Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se conocen como funciones definidas a trozos . Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función f con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que f ( x ) = 3 x + 1 para x ≥ 2 y f ( x ) = x 2 por x < 2 . Denotamos esta función escribiendo f ( x ) = { 3 x + 1 x ≥ 2 x 2 x < 2 . Al evaluar esta función para una entrada x , la ecuación a utilizar depende de si x ≥ 2 o x < 2 . Por ejemplo, ya que 5 > 2 , utilizamos el hecho de que f ( x ) = 3 x + 1 para x ≥ 2 y observamos que f ( 5 ) = 3 ( 5 ) + 1 = 16 . Por otro lado, para x = −1 , utilizamos el hecho de que f ( x ) = x 2 por x < 2 y observamos que f ( –1 ) = 1 . Evaluación de funciones Para la función f ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 1 , evaluar f ( −2 ) grandes. f ( 2 ) grandes. f ( a + h ) Sustituya el valor dado de x en la fórmula de f ( x ) . f ( −2 ) = 3 ( −2 ) 2 + 2 ( −2 ) − 1 = 12 − 4 − 1 = 7 f ( 2 ) = 3 ( 2 ) 2 + 2 2 – 1 = 6 + 2 2 – 1 = 5 + 2 2 f ( a + h ) = 3 ( a + h ) 2 + 2 ( a + h ) − 1 = 3 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) + 2 a + 2 h − 1 = 3 a 2 + 6 a h + 3 h 2 + 2 a + 2 h − 1 Para f ( x ) = x 2 − 3 x + 5 , evaluar f ( 1 ) y f ( a + h ) . f ( 1 ) = 3 y f ( a + h ) = a 2 + 2 a h + h 2 − 3 a − 3 h + 5 Pista Sustituir 1 y a + h para x en la fórmula de f ( x ) . Hallar el dominio y el rango Para cada una de las siguientes funciones determine el i. dominio y el ii. rango. f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 f ( x ) = 3 x + 2 – 1 f ( x ) = 3 x − 2 Considere f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 . Ya que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 es un número real para cualquier número real x , el dominio de f es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que ( x − 4 ) 2 ≥ 0 , sabemos que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 ≥ 5 . Por lo tanto, el rango debe ser un subconjunto de { y | y ≥ 5 } . Para demostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango, tenemos que demostrar que para una determinada y en ese conjunto, hay un número real x tales que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 = y . Al resolver esta ecuación para x , notamos que necesitamos x de manera que ( x − 4 ) 2 = y − 5 . Esta ecuación se satisface siempre que exista un número real x de manera que x − 4 = ± y − 5 . Ya que y ≥ 5 , la raíz cuadrada está bien definida. Concluimos que para x = 4 ± y − 5 , f ( x ) = y , y, por tanto, el rango es { y | y ≥ 5 } . Considere f ( x ) = 3 x + 2 – 1 . Para encontrar el dominio de f , necesitamos la expresión 3 x + 2 ≥ 0 . Al resolver esta desigualdad, concluimos que el dominio es { x | x ≥ −2 / 3 } . Para encontrar el rango de f , observamos que dado que 3 x + 2 ≥ 0 , f ( x ) = 3 x + 2 – 1 ≥ −1 . Por lo tanto, el rango de f debe ser un subconjunto del conjunto { y | y ≥ −1 } . Para demostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango de f , tenemos que demostrar que para todos las y en este conjunto, existe un número real x en el dominio tal que f ( x ) = y . Supongamos que y ≥ −1 . Entonces, f ( x ) = y si y solo si 3 x + 2 – 1 = y . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x debe resolver la ecuación 3 x + 2 = y + 1 . Ya que y ≥ −1 , tal x puede existir. Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, tenemos 3 x + 2 = ( y + 1 ) 2 . Por lo tanto, necesitamos 3 x = ( y + 1 ) 2 − 2 , lo que implica x = 1 3 ( y + 1 ) 2 − 2 3 . Solo tenemos que verificar que x está en el dominio de f . Dado que el dominio de f consiste en todos los números reales mayores o iguales a −2 / 3 , y 1 3 ( y + 1 ) 2 − 2 3 ≥ − 2 3 , existe una x en el dominio de f . Concluimos que el rango de f es { y | y ≥ −1 } . Considere f ( x ) = 3 / ( x − 2 ) . Dado que 3 / ( x − 2 ) se define cuando el denominador es distinto de cero, el dominio es { x | x ≠ 2 } . Para encontrar el rango de f , necesitamos encontrar los valores de y tales que exista un número real x en el dominio con la propiedad en que 3 x − 2 = y . Al resolver esta ecuación para x , hallamos que x = 3 y + 2 . Por lo tanto, siempre que y ≠ 0 , existe un número real x en el dominio tal que f ( x ) = y . Entonces, el rango es { y | y ≠ 0 } . Halle el dominio y el rango para f ( x ) = 4 – 2 x + 5 . Dominio = { x | x ≤ 2 } , rango = { y | y ≥ 5 } Pista Utilice 4 – 2 x ≥ 0 . Representación de funciones Normalmente, una función se representa utilizando una o varias de las siguientes herramientas: una tabla, un gráfico, una fórmula Podemos identificar una función en cada forma, pero también utilizarlas juntas. Por ejemplo, podemos representar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula. Tablas Las funciones descritas mediante una tabla de valores surgen con frecuencia en las aplicaciones del mundo real. Considere el siguiente ejemplo sencillo. Podemos expresar la temperatura de un día determinado en función de la hora. Supongamos que registramos la temperatura cada hora durante un periodo de 24 horas que comienza a medianoche. Entonces, deducimos que nuestra variable de entrada x es el momento después de medianoche, medido en horas, y que la variable de salida y es la temperatura x horas después de la medianoche, medida en grados Fahrenheit. Registramos nuestros datos en la . Temperatura en función de la hora del día Horas después de la medianoche Temperatura ( ° F ) Horas después de la medianoche Temperatura ( ° F ) 0 58 12 84 1 54 13 85 2 53 14 85 3 52 15 83 4 52 16 82 5 55 17 80 6 60 18 77 7 64 19 74 8 72 20 69 9 75 21 65 10 78 22 60 11 80 23 58 Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo, y la temperatura disminuye, luego aumenta y luego vuelve a disminuir. Sin embargo, no podemos obtener una imagen clara del comportamiento de la función sin graficarla. Gráficos Dada una función f descrita por una tabla, podemos ofrecer una imagen visual de la función en forma de gráfico. La representación gráfica de las temperaturas que figuran en la puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La muestra el gráfico en función de la temperatura. El gráfico de los datos de la muestra la temperatura en función del tiempo. A partir de los puntos trazados en el gráfico en la podemos visualizar su forma general. A menudo es útil conectar los puntos del gráfico, lo cual representa los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos llegar a ninguna conclusión definitiva sobre cuál era la temperatura en cualquier momento en el que esta no se registró, dado el número de puntos de datos recogidos y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otros momentos siguieron un patrón similar, como podemos ver en la . La conexión de los puntos en la muestra el patrón general de los datos. Fórmulas algebraicas A veces los valores de una función no se expresan en forma de una tabla, sino que se nos presentan en una fórmula explícita. Las fórmulas aparecen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio r viene dada por la fórmula A ( r ) = π r 2 . Cuando se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial v 0 pies/s, su altura sobre el suelo desde que se lanza hasta que cae al suelo viene dada por la fórmula s ( t ) = –16 t 2 + v 0 t . Cuando P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r compuesto continuamente, la cantidad de dinero después de t años viene dada por la fórmula A ( t ) = P e r t . Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular los valores de las funciones. Con frecuencia también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico. Dada una fórmula algebraica para una función f , el gráfico de f es el conjunto de puntos ( x , f ( x ) ) , donde x está en el dominio de f como f ( x ) está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de f consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero como enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, esta suele ser una buena manera de empezar. Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente comprobamos si el cero es una salida. Esos valores de x donde f ( x ) = 0 se denominan los ceros de una función . Por ejemplo, los ceros de f ( x ) = x 2 − 4 son x = ± 2 . Los ceros determinan dónde está el gráfico de f interseca con el eje x , que nos da más información sobre la forma del gráfico de la función. Es posible que gráfico de una función de una función nunca interseque el eje x , o puede intersecar múltiples (o incluso infinitas) veces. Otro punto de interés es la intersección y , si existe. La intersección y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) . Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, el gráfico de una función puede tener, como máximo, una intersección y . Si x = 0 está en el dominio de una función f , entonces f tiene exactamente una intersección y . Si x = 0 no está en el dominio de f , entonces f no tiene una intersección y . Del mismo modo, para cualquier número real c , si c está en el dominio de f , hay exactamente una salida f ( c ) , y la línea x = c interseca el gráfico de f exactamente una vez. Por otro lado, si c no está en el dominio de f , f ( c ) no está definida y la línea x = c no interseca el gráfico de f . Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical . Regla: prueba de la línea vertical Dada una función f , todas las líneas verticales que se puedan dibujar intersecan el gráfico de f solo una vez. Si cualquier línea vertical interseca un conjunto de puntos más de una vez, entonces ese conjunto no representa una función. Podemos utilizar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función ( ). (a) El conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función porque cada línea vertical interseca el conjunto de puntos solo una vez. (b) El conjunto de puntos trazados no representa el gráfico de una función porque algunas líneas verticales intersecan el conjunto de puntos más de una vez. Hallar ceros e intersecciones y de una función Considere la función f ( x ) = −4 x + 2 . Halle todos los ceros de f . Halle la intersección y (si la hay). Dibuje un gráfico de f . Para encontrar los ceros, resuelva f ( x ) = −4 x + 2 = 0 . Descubrimos que f tiene un cero en x = 1 / 2 . La intersección en y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) = ( 0 , 2 ) . Dado que f es una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b que pasa por los puntos ( 1 / 2 , 0 ) y ( 0 , 2 ) , podemos dibujar el gráfico de f ( ). La función f ( x ) = −4 x + 2 es una línea con una intersección x ( 1 / 2 , 0 ) y de y ( 0 , 2 ) . Uso de ceros e intersecciones y para dibujar un gráfico Considere la función f ( x ) = x + 3 + 1 . Halle todos los ceros de f . Halle la intersección y (si la hay). Dibuje un gráfico de f . Para encontrar los ceros, resuelva x + 3 + 1 = 0 . Esta ecuación implica x + 3 = −1 . Dado que x + 3 ≥ 0 para todo x , esta ecuación no tiene solución, y por lo tanto f no tiene ceros. La intersección y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) = ( 0 , 3 + 1 ) . Para graficar esta función hacemos una tabla de valores. Dado que necesitamos x + 3 ≥ 0 , tenemos que elegir los valores de x ≥ −3 . Elegimos valores que facilitan la evaluación de la función raíz cuadrada. x −3 −2 1 f ( x ). grandes. 1 2 3 Al utilizar la tabla y saber que la función es una raíz cuadrada, el gráfico de f debería ser similar al gráfico de y = x , y entonces dibujamos el gráfico ( ). El gráfico de f ( x ) = x + 3 + 1 tiene una intersección y , pero no intersecciones x . Halle los ceros de f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x . x = 0 , 2 , 3 Pista Factorizar el polinomio. Hallar la altura de un objeto en caída libre Si se deja caer una bola desde una altura de 100 ft, su altura s en el momento t viene dada por la función s ( t ) = –16 t 2 + 100 , donde s se mide en pies y t se mide en segundos. El dominio se restringe al intervalo [ 0 , c ] , donde t = 0 es el momento en el que se deja caer la bola y t = c es el momento en que la bola toca el suelo. Elabore una tabla que muestre la altura s ( t ) cuando t = 0 , 0,5 , 1 , 1,5 , 2 , y 2,5 . Con los datos de la tabla, determine el dominio de esta función. Es decir, hallar el momento c cuando la bola toca el suelo. Dibuje un gráfico de s . Altura s en función del tiempo t t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 s ( t ). grandes. 100 96 84 64 36 0 Dado que el balón toca el suelo cuando t = 2,5 , el dominio de esta función es el intervalo [ 0 , 2,5 ] . Tenga en cuenta que para esta función y la función f ( x ) = −4 x + 2 graficada en la , los valores de f ( x ) son cada vez más pequeños ya que x es cada vez más grande. Una función con esta propiedad se denomina decreciente. Por otro lado, para la función f ( x ) = x + 3 + 1 graficada en la , los valores de f ( x ) se hacen más grandes a medida que los valores de x son cada vez más grandes. Una función con esta propiedad se denomina creciente. Sin embargo, es importante señalar que una función puede ser creciente en algún intervalo o intervalos y decreciente en otro u otros intervalos. Por ejemplo, al utilizar nuestra función de temperatura en la , podemos ver que la función es decreciente en el intervalo ( 0 , 4 ) , creciente en el intervalo ( 4 , 14 ) , y luego decreciente en el intervalo ( 14 , 23 ) . En la siguiente definición precisamos la idea de que una función aumenta o disminuye en un intervalo determinado. Definición Decimos que una función f es creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) cuando x 1 < x 2 . Decimos que f es estrictamente creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) < f ( x 2 ) cuando x 1 < x 2 . Decimos que una función f es decreciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 . Decimos que una función f es estrictamente decreciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) > f ( x 2 ) si x 1 < x 2 . Por ejemplo, la función f ( x ) = 3 x es creciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) porque 3 x 1 < 3 x 2 siempre que x 1 < x 2 . Por otro lado, la función f ( x ) = − x 3 es decreciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) porque − x 1 3 > − x 2 3 siempre que x 1 < x 2 ( ). (a) La función f ( x ) = 3 x es creciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . (b) La función f ( x ) = − x 3 es decreciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Combinación de funciones Ya revisamos las características básicas de las funciones y podemos ver qué ocurre con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes maneras, utilizando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo para una empresa por la fabricación de x artículos se describe mediante la función C ( x ) y los ingresos creados por la venta de x artículos se describe mediante la función R ( x ) , luego el beneficio de la fabricación y venta de x se define como P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . Al utilizar la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función. De manera alternativa podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 3 x + 1 , la función compuesta f ∘ g se define de forma que ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( g ( x ) ) 2 = ( 3 x + 1 ) 2 . La función compuesta g ∘ f se define de forma que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 3 f ( x ) + 1 = 3 x 2 + 1 . Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí. Combinación de funciones con operadores matemáticos Para combinar funciones utilizando operadores matemáticos, simplemente escribimos las funciones con el operador y simplificamos. Dadas dos funciones f y g , podemos definir cuatro funciones nuevas: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) Suma ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) Diferencia ( f . g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) Producto ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) para g ( x ) ≠ 0 Cociente Combinación de funciones mediante operaciones matemáticas Dadas las funciones f ( x ) = 2 x − 3 y g ( x ) = x 2 – 1 , halle cada una de las siguientes funciones y enuncie su dominio. ( f + g ) ( x ) grandes. ( f − g ) ( x ) grandes. ( f . g ) ( x ) grandes. ( f g ) ( x ) ( f + g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) + ( x 2 – 1 ) = x 2 + 2 x − 4 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f − g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) − ( x 2 – 1 ) = − x 2 + 2 x − 2 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f . g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) ( x 2 – 1 ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x + 3 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f g ) ( x ) = 2 x − 3 x 2 – 1 . El dominio de esta función es { x | x ≠ ± 1 } . Para f ( x ) = x 2 + 3 y g ( x ) = 2 x − 5 , halle ( f / g ) ( x ) e indique su dominio. ( f g ) ( x ) = x 2 + 3 2 x − 5 . El dominio es { x | x ≠ 5 2 } . Pista La nueva función ( f / g ) ( x ) es un cociente de dos funciones. ¿Para qué valores de x el denominador es cero? Composición de funciones Cuando componemos funciones, tomamos una función de una función. Por ejemplo, supongamos que la temperatura T en un día determinado se describe en función del tiempo t (medido en horas después de la medianoche) como en la . Supongamos que el costo C , para calentar o enfriar un edificio por 1 hora, puede describirse en función de la temperatura T . Al combinar estas dos funciones, podemos describir el costo de calefacción o refrigeración de un edificio en función del tiempo, evaluando C ( T ( t ) ) . Definimos una nueva función, que se denota C ∘ T , y que se define tal que ( C ∘ T ) ( t ) = C ( T ( t ) ) para todos los t en el dominio de T . Esta nueva función se denomina función compuesta. Observamos que como el costo es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función ( C ∘ T ) ( t ) . No tiene sentido considerar ( T ∘ C ) ( t ) , porque la temperatura no es una función del costo. Definición Considere la función f con dominio A y rango B , y la función g con dominio D y rango E . Si B es un subconjunto de D , entonces la función compuesta ( g ∘ f ) ( x ) es la función con dominio A tal que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) . Una función compuesta g ∘ f puede verse en dos pasos. En primer lugar, la función f asigna cada entrada x en el dominio de f a su salida f ( x ) en el rango de f . En segundo lugar, puesto que el rango de f es un subconjunto del dominio de g , la salida f ( x ) es un elemento del dominio de g , y por lo tanto se asigna a una salida g ( f ( x ) ) en el rango de g . En la , vemos una imagen de una función compuesta. Para la función compuesta g ∘ f , tenemos ( g ∘ f ) ( 1 ) = 4 , ( g ∘ f ) ( 2 ) = 5 , y ( g ∘ f ) ( 3 ) = 4 . Composición de funciones definidas por fórmulas Considere las funciones f ( x ) = x 2 + 1 y g ( x ) = 1 / x . Halle ( g ∘ f ) ( x ) e indique su dominio y rango. Evalúe ( g ∘ f ) ( 4 ) , ( g ∘ f ) ( −1 / 2 ) . Halle ( f ∘ g ) ( x ) e indique su dominio y rango. Evalúe ( f ∘ g ) ( 4 ) , ( f ∘ g ) ( −1 / 2 ) . Podemos hallar la fórmula para ( g ∘ f ) ( x ) de dos maneras diferentes. Podríamos escribir ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 . Como alternativa, podríamos escribir ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 1 f ( x ) = 1 x 2 + 1 . Dado que x 2 + 1 ≠ 0 para todos los números reales x , el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) es el conjunto de todos los números reales. Dado que 0 < 1 / ( x 2 + 1 ) ≤ 1 , el rango es, como máximo, el intervalo ( 0 , 1 ] . Para demostrar que el rango es todo este intervalo, suponemos que y = 1 / ( x 2 + 1 ) y resolver esta ecuación para x para demostrar que para todas las y en el intervalo ( 0 , 1 ] , existe un número real x de manera que y = 1 / ( x 2 + 1 ) . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x 2 + 1 = 1 / y , lo que implica que x = ± 1 y − 1 . Si y esté en el intervalo ( 0 , 1 ] , la expresión bajo el radical es no negativa, y por tanto existe un número real x de manera que 1 / ( x 2 + 1 ) = y . Concluimos que el rango de g ∘ f es el intervalo ( 0 , 1 ] . ( g ∘ f ) ( 4 ) = g ( f ( 4 ) ) = g ( 4 2 + 1 ) = g ( 17 ) = 1 17 ( g ∘ f ) ( − 1 2 ) = g ( f ( − 1 2 ) ) = g ( ( − 1 2 ) 2 + 1 ) = g ( 5 4 ) = 4 5 Podemos hallar una fórmula para ( f ∘ g ) ( x ) de dos maneras. Podríamos escribir ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( 1 x ) = ( 1 x ) 2 + 1 . Como alternativa, podríamos escribir ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( g ( x ) ) 2 + 1 = ( 1 x ) 2 + 1 . El dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los números reales x tal que x ≠ 0 . Para hallar el rango de f , necesitamos hallar todos los valores y para el que existe un número real x ≠ 0 tal que ( 1 x ) 2 + 1 = y . Al resolver esta ecuación para x , notamos que necesitamos x para satisfacer ( 1 x ) 2 = y − 1 , que se simplifica a 1 x = ± y − 1 . Finalmente, obtenemos x = ± 1 y − 1 . Dado que 1 / y − 1 es un número real si y solo si y > 1 , el rango de f es el conjunto { y | y > 1 } . ( f ∘ g ) ( 4 ) = f ( g ( 4 ) ) = f ( 1 4 ) = ( 1 4 ) 2 + 1 = 17 16 ( f ∘ g ) ( − 1 2 ) = f ( g ( − 1 2 ) ) = f ( −2 ) = ( −2 ) 2 + 1 = 5 En el podemos ver que ( f ∘ g ) ( x ) ≠ ( g ∘ f ) ( x ) . En términos generales, esto nos dice que el orden en que componemos las funciones es importante. Supongamos que f ( x ) = 2 − 5 x . Supongamos que g ( x ) = x . Halle ( f ∘ g ) ( x ) . ( f ∘ g ) ( x ) = 2 − 5 x . Composición de funciones definidas por tablas Considere las funciones f y g descritas por la y la . x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 f ( x ). 0 4 2 4 −2 0 −2 4 x −4 −2 0 2 4 g ( x ). 1 0 3 0 5 Evalúe ( g ∘ f ) ( 3 ) , ( g ∘ f ) ( 0 ) . Indique el dominio y el rango de ( g ∘ f ) ( x ) . Evalúe ( f ∘ f ) ( 3 ) , ( f ∘ f ) ( 1 ) . Indique el dominio y el rango de ( f ∘ f ) ( x ) . ( g ∘ f ) ( 3 ) = g ( f ( 3 ) ) = g ( −2 ) = 0 ( g ∘ f ) ( 0 ) = g ( 4 ) = 5 El dominio de g ∘ f es el conjunto { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } . Dado que el rango de f es el conjunto { −2 , 0 , 2 , 4 } , el rango de g ∘ f es el conjunto { 0 , 3 , 5 } . ( f ∘ f ) ( 3 ) = f ( f ( 3 ) ) = f ( −2 ) = 4 ( f ∘ f ) ( 1 ) = f ( f ( 1 ) ) = f ( −2 ) = 4 El dominio de f ∘ f es el conjunto { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } . Dado que el rango de f es el conjunto { −2 , 0 , 2 , 4 } , el rango de f ∘ f es el conjunto { 0 , 4 } . Aplicación que implica una función compuesta Una tienda anuncia una venta de 20 % de descuento en toda la mercancía. Caroline tiene un cupón que le da derecho a un descuento adicional del 15 % en cualquier artículo, incluido los que están de rebaja. Si Caroline decide comprar un artículo con un precio original de x dólares, ¿cuánto acabará pagando si aplica su cupón al precio de venta? Resuelva este problema utilizando una función compuesta. Dado que el precio de venta es del 20 % de descuento del precio original, si un artículo cuesta x dólares, su precio de venta viene dado por f ( x ) = 0,80 x . Dado que el cupón da derecho a un 15 % de descuento en cualquier artículo, si un artículo cuesta y dólares, el precio, después de aplicar el cupón, viene dado por g ( y ) = 0,85 y . Por lo tanto si el precio original es de x dólares, su precio de venta será de f ( x ) = 0,80 x y luego su precio definitivo después del cupón será g ( f ( x ) ) = 0,85 ( 0,80 x ) = 0,68 x . Si los artículos están a la venta por 10 % de descuento de su precio original y un cliente tiene un cupón para un descuento adicional de 30 % , ¿cuál será el precio definitivo de un artículo que originalmente cuesta x dólares, después de aplicar el cupón al precio de venta? ( g ∘ f ) ( x ) = 0,63 x Pista El precio de venta de un artículo con un precio original de x dólares es f ( x ) = 0,90 x . El precio por el cupón para un artículo que cuesta y dólares es g ( y ) = 0,70 y . Simetría de las funciones Los gráficos de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a entender la función y la forma de su gráfico. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 4 – 2 x 2 − 3 que se muestra en la (a). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje y y la volteamos sobre el eje y , queda exactamente encima de la curva a la izquierda del eje y . En este caso, decimos que la función tiene simetría en torno al eje y . Por otro lado, la función f ( x ) = x 3 − 4 x que se muestra en la (b). Si tomamos el gráfico y lo giramos 180 ° sobre el origen, el nuevo gráfico tendrá exactamente el mismo aspecto. En este caso, decimos que la función tiene simetría respecto al origen . (a) Un gráfico que es simétrico respecto al eje y . (b) Un gráfico que es simétrico respecto al origen. Si nos dan el gráfico de una función, es fácil ver si aquel tiene una de estas propiedades de simetría. Pero sin un gráfico, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función f presenta simetría? Observando de nuevo la , vemos que ya que f es simétrico respecto al eje y , si el punto ( x , y ) esté en el gráfico, el punto ( − x , y ) está en el gráfico. En otras palabras, f ( − x ) = f ( x ) . Si una función f tiene esa propiedad, decimos que f es una función par, que tiene simetría en torno al eje y . Por ejemplo, f ( x ) = x 2 es par porque f ( − x ) = ( − x ) 2 = x 2 = f ( x ) . En cambio, si volvemos a mirar la , si una función f es simétrica respecto al origen, entonces siempre que el punto ( x , y ) esté en el gráfico, el punto ( − x , − y ) también está en el gráfico. En otras palabras, f ( − x ) = − f ( x ) . Si f tiene esa propiedad, decimos que f es una función impar, que tiene simetría respecto al origen. Por ejemplo, f ( x ) = x 3 es impar porque f ( − x ) = ( − x ) 3 = − x 3 = − f ( x ) . Definición Si f ( x ) = f ( − x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función par . Una función par es simétrica con respecto al y . Si los valores de f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función impar . Una función impar es simétrica respecto al origen. Funciones pares e impares Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = −5 x 4 + 7 x 2 − 2 f ( x ) = 2 x 5 − 4 x + 5 f ( x ) = 3 x x 2 + 1 Para determinar si una función es par o impar, evaluamos f ( − x ) y la comparamos con f ( x ) y − f ( x ) . f ( − x ) = −5 ( − x ) 4 + 7 ( − x ) 2 − 2 = −5 x 4 + 7 x 2 − 2 = f ( x ) . Por lo tanto, f es par. f ( − x ) = 2 ( − x ) 5 − 4 ( − x ) + 5 = –2 x 5 + 4 x + 5 . Ahora, f ( − x ) ≠ f ( x ) . Además, si observamos que − f ( x ) = –2 x 5 + 4 x − 5 , vemos que f ( − x ) ≠ − f ( x ) . Por lo tanto, f no es ni par ni impar. f ( − x ) = 3 ( − x ) / ( ( − x ) 2 + 1 } = −3 x / ( x 2 + 1 ) = – [ 3 x / ( x 2 + 1 ) ] = − f ( x ) . Por lo tanto, f es impar. Determine si f ( x ) = 4 x 3 − 5 x es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) es impar. Pista Compare f ( − x ) con la f ( x ) y − f ( x ) . Una función simétrica que aparece con frecuencia es la función de valor absoluto , que se escribe como | x | . La función de valor absoluto se define como f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 . Algunos estudiantes describen esta función afirmando que "convierte todo en positivo" Por la definición de la función de valor absoluto, vemos que si x < 0 , entonces | x | = − x > 0 , y si x > 0 , entonces | x | = x > 0 . Sin embargo, para x = 0 , | x | = 0 . Por lo tanto es más exacto decir que para todas las entradas diferentes a cero la salida es positiva, pero si x = 0 , la salida | x | = 0 . Concluimos que el rango de la función de valor absoluto es { y | y ≥ 0 } . En la vemos que la función de valor absoluto es simétrica con respecto al eje y ; por lo tanto, es una función par. El gráfico de f ( x ) = | x | es simétrico respecto al eje de la y . Trabajar con la función de valor absoluto Calcule el dominio y el rango de la función f ( x ) = 2 | x − 3 | + 4 . Como la función de valor absoluto está definida para todos los números reales, su dominio es ( − ∞ , ∞ ) . Dado que | x − 3 | ≥ 0 para todo x , la función f ( x ) = 2 | x − 3 | + 4 ≥ 4 . Por lo tanto, el rango es, como máximo, el conjunto { y | y ≥ 4 } . Para ver que el rango es en efecto todo este conjunto, necesitamos mostrar que para y ≥ 4 existe un número real x de manera que 2 | x − 3 | + 4 = y . Un número real x satisface esta ecuación siempre y cuando | x − 3 | = 1 2 ( y − 4 ) . Dado que y ≥ 4 , sabemos que y − 4 ≥ 0 , y por tanto el lado derecho de la ecuación es no negativo, por lo que es posible que exista una solución. Además, | x − 3 | = { − ( x − 3 ) si x < 3 x − 3 si x ≥ 3 . Por lo tanto, vemos que hay dos soluciones: x = ± 1 2 ( y − 4 ) + 3 . El rango de esta función es { y | y ≥ 4 } . Para que la función f ( x ) = | x + 2 | − 4 , halle el dominio y el rango. Dominio = ( − ∞ , ∞ ) , rango = { y | y ≥ −4 } . Pista | x + 2 | ≥ 0 para todos los números reales x . Conceptos clave Una función es un mapeo de un conjunto de entradas hacia un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada. Si no se indica ningún dominio para una función y = f ( x ) , se considera que el dominio es el conjunto de todos los números reales x para el cual la función está definida. El gráfico de una función f , cada línea vertical puede intersecar el gráfico, como máximo, una vez. Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección y. Para definir la composición g ∘ f , el rango de f debe estar contenido en el dominio de g . Las funciones pares son simétricas respecto al eje y , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen. Ecuaciones clave Composición de dos funciones ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) Función de valor absoluto f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 En los siguientes ejercicios, (a) determine el dominio y el rango de cada relación y (b) diga si la relación es una función. x y x y −3 9 1 1 −2 4 2 4 −1 1 3 9 0 0 a. Dominio = { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } , rango = { 0 , 1 , 4 , 9 } b. Sí, es una función x y x y −3 −2 1 1 −2 −8 2 8 −1 −1 3 −2 0 0 x y x y 1 −3 1 1 2 −2 2 2 3 −1 3 3 0 0 a. Dominio = { 0 , 1 , 2 , 3 } , rango = { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } b. No, no es una función x y x y 1 1 5 1 2 1 6 1 3 1 7 1 4 1 x y x y 3 3 15 1 5 2 21 2 8 1 33 3 10 0 a. Dominio = { 3 , 5 , 8 , 10 , 15 , 21 , 33 } , rango = { 0 , 1 , 2 , 3 } b. Sí, es una función x y x y −7 11 1 −2 −2 5 3 4 −2 1 6 11 0 −1 En los siguientes ejercicios, halle los valores de cada función, si existen, y luego simplifique. a. f ( 0 ) b. f ( 1 ) c. f ( 3 ) d. f ( − x ) e. f ( a ) f. f ( a + h ) grandes. f ( x ) = 5 x − 2 a. −2 b. 3 c. 13 d. −5 x − 2 e. 5 a − 2 f. 5 a + 5 h − 2 f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 1 f ( x ) = 2 x a. Indefinido b. 2 c. 2 3 d. − 2 x e 2 a f. 2 a + h f ( x ) = | x − 7 | + 8 f ( x ) = 6 x + 5 a. 5 b. 11 c. 23 d. −6 x + 5 e. 6 a + 5 f. 6 a + 6 h + 5 f ( x ) = x − 2 3 x + 7 f ( x ) = 9 a. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 f. 9 En los siguientes ejercicios, halle el dominio, el rango y todos los ceros/intersecciones de las funciones, si los hay. f ( x ) = x x 2 − 16 g ( x ) = 8 x – 1 x ≥ 1 8 ; y ≥ 0 ; x = 1 8 ; no hay intersección y h ( x ) = 3 x 2 + 4 f ( x ) = −1 + x + 2 x ≥ −2 ; y ≥ −1 ; x = −1 ; y = −1 + 2 f ( x ) = 1 x − 9 g ( x ) = 3 x − 4 x ≠ 4 ; y ≠ 0 ; no hay intersección x; y = − 3 4 f ( x ) = 4 | x + 5 | g ( x ) = 7 x − 5 x > 5 ; y > 0 ; no son intersecciones. En los siguientes ejercicios, realice una tabla para dibujar el gráfico de cada función utilizando los siguientes valores: x = −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 . f ( x ) = x 2 + 1 x y x y −3 10 1 2 −2 5 2 5 −1 2 3 10 0 1 f ( x ) = 3 x − 6 x y x y −3 −15 1 −3 −2 −12 2 0 −1 −9 3 3 0 −6 f ( x ) = 1 2 x + 1 x y x y −3 − 1 2 1 3 2 −2 0 2 2 −1 1 2 3 5 2 0 1 f ( x ) = 2 | x | x y x y −3 6 1 2 −2 4 2 4 −1 2 3 6 0 0 f ( x ) = − x 2 x y x y −3 −9 1 −1 −2 −4 2 −4 −1 −1 3 −9 0 0 f ( x ) = x 3 x y x y −3 −27 1 1 −2 −8 2 8 −1 −1 3 27 0 0 En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si cada uno de los gráficos dados representa una función. Supongamos que un gráfico continúa en ambos extremos si se extiende más allá de la cuadrícula dada. Si el gráfico representa una función, determine lo siguiente para cada gráfico. Dominio y rango intersección en x , si la hay (estimar si es necesario). intersección y , si la hay (estimar si es necesario). Los intervalos para los que la función es creciente. Los intervalos para los que la función es decreciente. Los intervalos para los que la función es constante. Simetría alrededor de cualquier eje o del origen. Si la función es par, impar o ninguna de las dos. Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: y ≥ 0 b. x = ± 1 c. y = 1 d. −1 < x < 0 y 1 < x < ∞ e. − ∞ < x < − 1 y 0 < x < 1 f. No es constante g. Eje y h. Par Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: −1,5 ≤ y ≤ 1,5 b. x = 0 c. y = 0 d. todos los números reales e. Ninguna f. No es constante g. Origen h. Impar Función; a. Dominio: − ∞ < x < ∞ , rango: −2 ≤ y ≤ 2 b. x = 0 c. y = 0 d. −2 < x < 2 e. No decrece f. − ∞ < x < − 2 y 2 < x < ∞ g. Origen h. Impar Función; a. Dominio: −4 ≤ x ≤ 4 , rango: −4 ≤ y ≤ 4 b. x = 1,2 c. y = 4 d. No aumenta e. 0 < x < 4 f. −4 < x < 0 g. Sin simetría h. Ninguno. En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. f + g b. f − g c. f . g d. f / g . Determine el dominio de cada una de estas nuevas funciones. f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = x − 8 , g ( x ) = 5 x 2 a. 5 x 2 + x − 8 ; todos los números reales b. −5 x 2 + x − 8 ; todos los números reales c. 5 x 3 − 40 x 2 ; todos los números reales d. x − 8 5 x 2 ; x ≠ 0 f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1 f ( x ) = 9 − x 2 , g ( x ) = x 2 − 2 x − 3 a. −2 x + 6 ; todos los números reales b. −2 x 2 + 2 x + 12 ; todos los números reales c. − x 4 + 2 x 3 + 12 x 2 − 18 x − 27 ; todos los números reales d. − x + 3 x + 1 ; x ≠ − 1 , 3 f ( x ) = x , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x a. 6 + 2 x ; x ≠ 0 b. 6; x ≠ 0 c. 6 x + 1 x 2 ; x ≠ 0 d. 6 x + 1 ; x ≠ 0 En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. ( f ∘ g ) ( x ) y b. ( g ∘ f ) ( x ) Simplifique los resultados. Halle el dominio de cada uno de los resultados. f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x – 1 a. 4 x + 3 ; todos los números reales b. 4 x + 15 ; todos los números reales f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 − 2 f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 − 3 a. x 4 − 6 x 2 + 16 ; todos los números reales b. x 4 + 14 x 2 + 46 ; todos los números reales f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9 f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x a. 3 x 4 + x ; x ≠ 0 , −4 b. 4 x + 2 3 ; x ≠ − 1 2 f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x − 4 La siguiente tabla muestra los ganadores del campeonato de la NBA de los años 2001 a 2012. Año Ganador 2001 LA Lakers 2002 LA Lakers 2003 San Antonio Spurs 2004 Detroit Pistons 2005 San Antonio Spurs 2006 Miami Heat 2007 San Antonio Spurs 2008 Boston Celtics 2009 LA Lakers 2010 LA Lakers 2011 Dallas Mavericks 2012 Miami Heat Considere la relación en la que los valores del dominio son los años 2001 a 2012 y el rango es el ganador correspondiente. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no. Considere la relación en la que los valores del dominio son los ganadores y el rango son los años correspondientes. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no. a. Sí, porque solo hay un ganador para cada año. b. No, porque hay tres equipos que ganaron más de una vez durante los años 2001 a 2012. [T] El área A de un cuadrado depende de la longitud del lado s . Escriba una función A ( s ) para el área de un cuadrado. Encuentre e interprete A ( 6,5 ) . Halle la aproximación exacta y de dos dígitos significativos de la longitud de los lados de un cuadrado con un área de 56 unidades cuadradas. [T] El volumen de un cubo depende de la longitud de sus lados s . Escriba una función V ( s ) para el volumen de un cubo. Encuentre e interprete V ( 11,8 ) . a. V ( s ) = s 3 b. V ( 11,8 ) ≈ 1643 ; un cubo de lado 11,8 cada uno tiene un volumen de aproximadamente 1643 unidades cúbicas. [T] Una compañía de alquiler de vehículos alquila automóviles por una tarifa fija de 20 dólares y una tarifa por hora de 10,25 dólares. Por lo tanto, el costo total C para alquilar un automóvil está en función de las horas t en que el auto se alquila más la tarifa plana. Escriba la fórmula de la función que modela esta situación. Halle el costo total de alquilar un auto durante 2 días y 7 horas. Determine cuánto tiempo estuvo alquilado el automóvil si la factura es de 432,73 dólares. [T] Un vehículo tiene un tanque de 20 galones y obtiene 15 mpg (millas por galón). El número de millas N que se pueden recorrer depende de la cantidad de gasolina x que haya en el tanque. Escriba una fórmula que modele esta situación. Determine el número de millas que puede recorrer el vehículo con (i) un tanque de gasolina lleno y (ii) con 3/4 de un tanque de gasolina. Determine el dominio y el rango de la función. Determine cuántas veces la conductora ha tenido que parar a recargar si ha conducido un total de 578 millas. a. N ( x ) = 15 x b. i N ( 20 ) = 15 ( 20 ) = 300 ; por lo tanto, el vehículo puede recorrer 300 millas con el tanque lleno. Ii. N ( 15 ) = 225 ; por lo tanto, el vehículo puede recorrer 225 millas con 3/4 de un tanque de gasolina. c. Dominio: 0 ≤ x ≤ 20 ; rango: [ 0 , 300 ] d. El conductor tuvo que parar al menos una vez, dado que se necesitan aproximadamente 39 galones de gasolina para recorrer un total de 578 mi. [T] El volumen V de una esfera depende de la longitud de su radio tal que V = ( 4 / 3 ) π r 3 . Dado que la Tierra no es una esfera perfecta, podemos utilizar el radio medio al medir desde el centro hasta su superficie. El radio medio es la distancia promedio del centro físico a la superficie, con base en un gran número de muestras. Halle el volumen de la Tierra con radio medio 6,371 × 10 6 m. [T] Una determinada bacteria crece en cultivo en una zona circular. El radio del círculo, medido en centímetros, viene dado por r ( t ) = 6 − [ 5 / ( t 2 + 1 ) ] , donde t es el tiempo medido en horas desde que se introdujo en el cultivo un círculo de 1 cm de radio de la bacteria. Exprese el área de la bacteria en función del tiempo. Halle el área exacta y aproximada del cultivo bacteriano en 3 horas. Exprese la circunferencia de la bacteria en función del tiempo. Halle la circunferencia exacta y aproximada de la bacteria en 3 horas. a. A ( t ) = A ( r ( t ) ) = π . ( 6 − 5 t 2 + 1 ) 2 b. Exacto: 121 π 4 ; aproximadamente 95 cm 2 c. C ( t ) = C ( r ( t ) ) = 2 π ( 6 − 5 t 2 + 1 ) d. Exacto: 11 π ; aproximadamente 35 cm [T] Un turista estadounidense visita París y debe convertir dólares estadounidenses a euros, lo que puede hacer con la función E ( x ) = 0,79 x , donde x es el número de dólares americanos y E ( x ) es el número equivalente de euros. Como los tipos de cambio fluctúan, cuando el turista regresa a Estados Unidos 2 semanas después, la conversión de euros a dólares estadounidenses es D ( x ) = 1,245 x , donde x es el número de euros y D ( x ) es el número equivalente de dólares estadounidenses. Halle la función compuesta que convierte directamente de dólares americanos a dólares americanos a través de euros. ¿Perdió valor el dinero del turista en el proceso de conversión? Utilice (a) para determinar cuántos dólares estadounidenses recibiría el turista al final de su viaje si convirtiera 200 dólares más al llegar a París. [T] El gerente de una tienda de patinetas paga a sus trabajadores un salario mensual S de 750 dólares más una comisión de 8,50 dólares por cada patineta que se vende. Escriba una función y = S ( x ) que modele el salario mensual de un trabajador en función del número de patinetas x que vende. Halle el salario mensual aproximado cuando un trabajador vende 25, 40 o 55 patinetas. Utilice la función INTERSECT de una calculadora gráfica para determinar el número de patinetas que deben venderse para que un trabajador obtenga unos ingresos mensuales de 1400 dólares. ( Pista : Halle la intersección de la función y la línea y = 1.400 ). a. S ( x ) = 8,5 x + 750 b. $962,50, $1090, $1217,50 c. 77 patinetas [T] Utilice una calculadora gráfica para representar el semicírculo y = 25 − ( x − 4 ) 2 . Luego, utilice la función INTERCEPT de la calculadora para hallar el valor de ambas x y y . función de valor absoluto f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 función compuesta dadas dos funciones f y g , una nueva función, denotada g ∘ f , de manera que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) que disminuye en el intervalo I una función decreciente en el intervalo I si, para todo x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 variable dependiente la variable de salida de una función dominio el conjunto de entradas de una función función par una función es par si f ( − x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f función un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. gráfico de una función el conjunto de puntos ( x , y ) de manera que x está en el dominio de f , en tanto que y = f ( x ) creciente en el intervalo I una función es creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 variable independiente la variable de entrada de una función función impar una función es impar si f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f rango el conjunto de salidas de una función simetría respecto al origen el gráfico de una función f es simétrico respecto al origen si ( − x , − y ) está en el gráfico de f siempre que ( x , y ) está en el gráfico simetría en torno al eje y el gráfico de una función f es simétrico respecto al eje y si ( − x , y ) está en el gráfico de f siempre que ( x , y ) está en el gráfico tabla de valores tabla que contiene una lista de entradas y sus correspondientes salidas prueba de la línea vertical dado el gráfico de una función, toda línea vertical interseca el gráfico una vez como máximo ceros de una función cuando un número real x es un cero de una función f , f ( x ) = 0

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