Funciones exponenciales Objetivos de aprendizaje Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3) Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1) Objetivo 1: Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3) Vocabulario. Para la función y = f ( x ) , ________ es la variable independiente , ya que puede ser cualquier valor del dominio y ________ es la variable dependiente , ya que su valor depende de ________ . Muchos acontecimientos naturales y aplicaciones de la vida real pueden modelarse mediante funciones exponenciales. Por ejemplo, el crecimiento demográfico, la propagación de los virus, la desintegración radiactiva y el interés compuesto siguen patrones exponenciales. Definición: la función exponencial es una función de la forma f ( x ) = a x donde a > 0 y a ≠ 1 Ejemplos: f ( x ) = 5 x , f ( x ) = ( 1 3 ) x , f ( x ) = 2 . 13 x Observe que, en la función exponencial, la variable es el exponente. En nuestras funciones hasta ahora, las variables eran la base. Evaluar una función es el proceso de hallar el valor de f(x) para un valor dado de x. Evalúe la función f ( x ) = 3 x para los valores dados Ⓐ f ( 2 ) Ⓑ f ( -1 ) Ⓒ f ( 2 h ) Ⓐ Sustituya x por 2 y halle el valor de la función f ( 2 ) = 3 2 = 9 Ⓑ Sustituya x por -1 y halle el valor de la función f ( 2 ) = 3 1 = 1 3 Ⓒ Sustituya x por 2h y simplifique, de ser posible f ( 2 ) = 3 2 h La práctica hace la perfección Halle el valor de una función exponencial. Evalúe la función f ( x ) = ( 3 2 ) x para los valores dados Ⓐ f ( 2 ) Ⓑ f ( -2 ) Ⓒ f ( a ) También hallaremos el valor de la función cuando resolvemos problemas de aplicación que implican funciones exponenciales. Las primas de Medicare. La prima mensual de la Parte B de Medicare para la mayoría de los beneficiarios que son mayores de 65 años de edad ha aumentado considerablemente desde 1975. La prima mensual ha pasado de unos 7 dólares en 1975 a 110,50 dólares en 2011 (Fuente: Centros de Servicios de Medicare y Medicaid). La siguiente función exponencial modela el aumento de la prima: M ( x ) = 7 ( 1 . 080 ) x donde x es el número de años desde 1975. Estimación de la prima mensual de la Parte B de Medicare en 1985, en 1992 y en 2002. (Tenga en cuenta que x es el número de años transcurridos desde 1975, por lo que para 1985, x=10). Redondee al dólar más cercano. Podemos calcular el interés compuesto al utilizar A = P ( 1 + r n ) n t , Donde A es la cantidad de dinero, P es el monto de capital, t es el número de años, r es el tipo de interés y n es el número de veces que se han capitalizado los intereses al año. Supongamos que se invierten 960 dólares a un interés del 7 %, capitalizado semestralmente Ⓐ Halle la función para el importe al que crece la inversión después de t años. Ⓑ Calcule el importe de dinero en la cuenta a t=1 , 6, 10, 15 y 20 años. Objetivo 2: Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1) La práctica hace la perfección Graficar las funciones exponenciales. Grafique la función exponencial f ( x ) = 2 x haciendo una tabla. x y = f ( x ) Grafique la función exponencial f ( x ) = ( 1 2 ) x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Cómo se compara con el gráfico de f ( x ) = 2 x ? Grafique f ( x ) = 3 x , f ( x ) = 4 x , f ( x ) = 2,5 x en la misma ventana de visualización utilizando una calculadora gráfica o un programa. ¿Cuál es la relación entre la base a y la forma del gráfico? Grafique f ( x ) = 0,2 x , f ( x ) = 0,4 x , f ( x ) = 0,7 x en la misma ventana de visualización utilizando una calculadora gráfica o un programa. ¿Cuál es la relación entre la base a y la forma del gráfico? Complete las Propiedades de la función exponencial f ( x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 ¿Es continua? ¿Es biunívoca? Dominio Rango Es creciente si Es decreciente si Asíntotas Intersecciones El número e , e ≈ 2,718281827 , es como el número π en el sentido de que utilizamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional e se denomina base natural o número de Euler en honor al matemático suizo Leonhard Euler. La función exponencial cuya base es e, f ( x ) = e x se denomina función exponencial natural . La práctica hace la perfección Grafique la función exponencial f ( x ) = e x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Cuál es el dominio de f ( x ) ? ¿Cuál es el rango de f ( x ) ? La India es el segundo país más poblado del mundo, con unos 1,39 mil millones de habitantes en 2021. La población crece a un ritmo de aproximadamente 1,2 % cada año http://www.worldometers.info/world-population/. Consultado el 24 de febrero de 2014. . Si este ritmo continúa, la población de la India superará a la de China en el año 2027 Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es "exponencial", lo que significa que algo asciende muy rápidamente. Sin embargo, para un matemático, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a las funciones exponenciales , que modelan este tipo de crecimiento rápido. Identificación de funciones exponenciales Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación f ( x ) = 3 x + 4 , la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio porcentual por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas. Definir una función exponencial Un estudio reveló que el porcentaje de la población que es vegana en Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, el 2,5 % de la población era vegana, tras adherirse a una dieta que no incluye ningún producto de origen animal: sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si este ritmo continúa, los veganos representarán el 10 % de la población estadounidense en 2015, el 40 % en 2019 y el 80 % en 2021. ¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente ? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el porcentaje de aumento ? La gente usa estas palabras erróneamente. ¿Se utilizan correctamente estas palabras? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios de comunicación. El cambio porcentual se refiere a un cambio basado en un porcentaje de la cantidad original. El crecimiento exponencial se refiere a un aumento basado en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, un aumento porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo. El decaimiento exponencial se refiere a una disminución basada en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, una disminución porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo. Para entender claramente el crecimiento exponencial , contrastémoslo con el crecimiento lineal . Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Duplicaremos las correspondientes salidas consecutivas. La segunda función es lineal. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Sumaremos 2 a las salidas consecutivas correspondientes. Vea la . x f ( x ) = 2 x g ( x ) = 2 x 0 1 0 1 2 2 2 4 4 3 8 6 4 16 8 5 32 10 6 64 12 A partir de la , podemos deducir que, en lo que respecta a estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece al crecimiento lineal. El crecimiento exponencial se refiere a que el valor original a partir del rango aumenta en el mismo porcentaje en incrementos iguales, hallados en el dominio. El crecimiento lineal se refiere a que el valor original a partir del rango se incrementa en la misma cantidad en incrementos iguales, hallados en el dominio. Aparentemente, la diferencia entre "el mismo porcentaje" y "la misma cantidad" es bastante significativa. En el caso del crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante daba como resultado la duplicación de la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. En el caso del crecimiento lineal, la tasa de cambio sumatoria constante sobre incrementos iguales daba como resultado la suma de 2 a la salida cada vez que la entrada se incrementaba en uno. La forma general de la función exponencial es f ( x ) = a b x , donde a es cualquier número distinto a cero, b es un número real positivo, que no sea igual a 1. Si los valores de b > 1 , la función crece a un ritmo proporcional a su tamaño. Si los valores de 0 < b < 1 , la función decae a un ritmo proporcional a su tamaño. Veamos la función f ( x ) = 2 x de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla ( ) para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de − 3 con 3. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 2 x 2 - 3 = 1 8 2 - 2 = 1 4 2 – 1 = 1 2 2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 Examinemos el gráfico de f al trazar los pares ordenados que observamos en la tabla en la , y luego hagamos algunas observaciones. Definamos el comportamiento del gráfico de la función exponencial f ( x ) = 2 x y destaquemos algunas de sus características principales. el dominio es ( - ∞ , ∞ ) , el rango es ( 0 , ∞ ) , a medida que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , a medida que x → - ∞ , f ( x ) → 0 , f ( x ) es siempre creciente, el gráfico de f ( x ) nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero. y = 0 es la asíntota horizontal. la intersección en y es 1. Función exponencial Para cualquier número real x , la función exponencial es aquella con la forma f ( x ) = a b x donde a es un número real distinto a cero, denominado valor inicial, en tanto que b es cualquier número real positivo, tal que b ≠ 1. El dominio de f son todos números reales. El rango de f son todos números reales positivos si a > 0 . El rango de f son todos los números reales negativos si a < 0 . La intersección en y es ( 0 , a ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Identificar funciones exponenciales ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no son funciones exponenciales? f ( x ) = 4 3 ( x - 2 ) g ( x ) = x 3 h ( x ) = ( 1 3 ) x j ( x ) = ( – 2 ) x Por definición, la función exponencial tiene una constante como base y una variable independiente como exponente. Así, g ( x ) = x 3 no representa ninguna función exponencial porque la base es una variable independiente. De hecho, g ( x ) = x 3 es una función potencia. Recordemos que la base b de la función exponencial es siempre una constante positiva, y b ≠ 1. Por lo tanto, j ( x ) = ( −2 ) x no representa ninguna función exponencial porque la base, −2 , es menor que 0 . Ejercicio ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones exponenciales? f ( x ) = 2 x 2 - 3 x + 1 g ( x ) = 0,875 x h ( x ) = 1,75 x + 2 j ( x ) = 1095,6 − 2 x g ( x ) = 0,875 x y j ( x ) = 1095,6 − 2 x representan funciones exponenciales. Evaluar funciones exponenciales Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a 1. ¿Por qué limitamos la base b a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva: Supongamos que b = - 9 y x = 1 2 . Entonces f ( x ) = f ( 1 2 ) = ( − 9 ) 1 2 = - 9 , que no es un número real. ¿Por qué limitamos la base a valores positivos que no sean 1 ? Porque la base 1 da como resultado la función constante. Observe lo que ocurre si la base es 1 : Supongamos que b = 1. Entonces f ( x ) = 1 x = 1 para cualquier valor de x . Para evaluar una función exponencial con la forma f ( x ) = b x , simplemente sustituimos x con el valor dado, y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo: Supongamos que f ( x ) = 2 x . ¿Qué es f ( 3 ) ? f ( x ) = 2 x f ( 3 ) = 2 3 Sustituya x = 3. = 8 Evalúe la potencia . Para evaluar una función exponencial con una forma distinta a la básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo: Supongamos que f ( x ) = 30 ( 2 ) x . ¿Qué es f ( 3 ) ? f ( x ) = 30 ( 2 ) x f ( 3 ) = 30 ( 2 ) 3 Sustituya x = 3. = 30 ( 8 ) Simplifique la potencia primero . = 240 Multiplique . Observe que, de no seguirse el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto: f ( 3 ) = 30 ( 2 ) 3 ≠ 60 3 = 216.000 Evaluar funciones exponenciales Supongamos que f ( x ) = 5 ( 3 ) x + 1 . Evalúe f ( 2 ) sin usar la calculadora. Siga el orden de las operaciones. Preste atención a los paréntesis. f ( x ) = 5 ( 3 ) x + 1 f ( 2 ) = 5 ( 3 ) 2 + 1 Sustituya x = 2. = 5 ( 3 ) 3 Sume los exponentes . = 5 ( 27 ) Simplifique la potencia . = 135 Multiplique . Ejercicio Supongamos que f ( x ) = 8 ( 1,2 ) x - 5 . Evalúe f ( 3 ) utilizando una calculadora. Redondee a cuatro decimales. 5,5556 Definir el crecimiento exponencial Dado que el resultado de las funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término "crecimiento exponencial" se utiliza a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial puede definirse con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela un crecimiento exponencial. Crecimiento exponencial Una función que modela el crecimiento exponencial crece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Para cualquier número real x y cualquier número real positivo a y b de manera que b ≠ 1 , una función de crecimiento exponencial tiene la forma f ( x ) = a b x donde a es el valor inicial o de partida de la función. b es el factor de crecimiento o multiplicador de crecimiento por unidad x . En términos generales, tenemos una función exponencial , en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene 100 tiendas y se expande con la inauguración de 50 tiendas al año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función A ( x ) = 100 + 50 x . La empresa B tiene 100 tiendas y se expande al aumentar el número de tiendas en un 50 % cada año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x . Algunos años de crecimiento de estas empresas se ilustran en la . Año, x Tiendas, empresa A Tiendas, empresa B 0 100 + 50 ( 0 ) = 100 100 ( 1 + 0,5 ) 0 = 100 1 100 + 50 ( 1 ) = 150 100 ( 1 + 0,5 ) 1 = 150 2 100 + 50 ( 2 ) = 200 100 ( 1 + 0,5 ) 2 = 225 3 100 + 50 ( 3 ) = 250 100 ( 1 + 0,5 ) 3 = 337,5 x A ( x ) = 100 + 50 x B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa en el lapso de cinco años se muestran en la . Podemos ver que, con el crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal. El gráfico muestra el número de tiendas que las empresas A y B han abierto en el lapso de cinco años. Observe que el dominio de ambas funciones es [ 0 , ∞ ) , y el rango en ambas funciones es [ 100 , ∞ ) . Después del año 1, la empresa B siempre tiene más tiendas que la empresa A. Ahora, nos centraremos en la función que representa el número de tiendas de la empresa B, B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x . En esta función exponencial, 100 representa el número inicial de tiendas, 0,50 representa la tasa de crecimiento y 1 + 0,5 = 1,5 representa el factor de crecimiento. En términos más generales, podemos escribir esta función como B ( x ) = 100 ( 1,5 ) x , donde 100 es el valor inicial, 1,5 se denomina la base , y x se denomina el exponente . Evaluar un modelo exponencial en el mundo real Al principio de esta sección, aprendimos que la población de la India era de unos 1,25 mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente 1,2 % . Esta situación está representada por la función de crecimiento P ( t ) = 1,25 ( 1,012 ) t , donde t es el número de años transcurridos desde 2013. A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de la India en 2031? Para estimar la población en 2031, evaluamos los modelos para t = 18 , porque 2031 es 18 años después de 2013. Redondeando a la milésima más cercana, P ( 18 ) = 1,25 ( 1,012 ) 18 ≈ 1,549 En el año 2031 habrá unos 1.549 millones de habitantes en India. Ejercicio La población de China era de unos 1.390 millones de habitantes en el año 2013, a una tasa de crecimiento anual de aproximadamente 0,6 % . Esta situación está representada por la función de crecimiento P ( t ) = 1,39 ( 1,006 ) t , donde t es el número de años transcurridos desde 2013. A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de China en el año 2031? ¿Cómo se compara esto con la predicción de población que hicimos para la India en el ? Alrededor de 1,548 millones de habitantes; en el año 2031, la población de la India superará a la de China en unos 0,001 mil millones, es decir, 1 millón de personas. Hallar ecuaciones de funciones exponenciales En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes a y b , y evaluar la función. Cómo Dados dos puntos de datos, escribir un modelo exponencial. Si uno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , entonces a es el valor inicial. Utilizando a , sustituya el segundo punto en la ecuación f ( x ) = a ( b ) x , y resuelva para b . Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma f ( x ) = a ( b ) x . Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar a y b . Con el a y b determinados en los pasos anteriores, escriba la función exponencial en la forma f ( x ) = a ( b ) x . Escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial En 2006, se introdujeron 80 ciervos en un refugio de vida silvestre. En 2012, la población había aumentado a 180 ciervos. La población crecía exponencialmente. Escriba una función exponencial N ( t ) que represente a la población ( N ) de ciervos a lo largo del tiempo t . Supongamos que nuestra variable independiente t es el número de años posteriores a 2006. Así, la información dada en el problema puede escribirse en pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que, al elegir como variable de entrada los años posteriores a 2006, nos hemos dado el valor inicial de la función, a = 80. Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación N ( t ) = 80 b t para calcular b : N ( t ) = 80 b t 180 = 80 b 6 Sustituya utilizando el punto ( 6 , 180 ) . 9 4 = b 6 Divida y escriba en términos mínimos . b = ( 9 4 ) 1 6 Aísle b mediante el empleo de las propiedades de los exponentes . b ≈ 1,1447 Redondee a 4 decimales . NOTA: A menos que se indique lo contrario, no se redondean los cálculos intermedios. A continuación, redondee la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección. El modelo exponencial con respecto a la población de ciervos es N ( t ) = 80 ( 1,1447 ) t . (Observe que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que la entrada crece, el resultado será cada vez mayor, tanto así que el modelo podría no servir a largo plazo). Podemos representar gráficamente nuestro modelo para observar el crecimiento demográfico de ciervos en el refugio con el paso del tiempo. Observe que el gráfico en la pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ( 0 , 80 ) y ( 6 , 180 ) . También podemos ver que el dominio de la función es [ 0 , ∞ ) , y el rango de la función es [ 80 , ∞ ) . Gráfico que muestra la población de ciervos a lo largo del tiempo, N ( t ) = 80 ( 1,1447 ) t , t años después de 2006 Ejercicio La población de lobos crece exponencialmente. En 2011 se contabilizaron 129 lobos. Para 2013, la población había alcanzado los 236 lobos. ¿Qué dos puntos se pueden utilizar para derivar una ecuación exponencial que modele esta situación? Escriba la ecuación que represente la población N de lobos a lo largo del tiempo t . ( 0 , 129 ) y ( 2 , 236 ) ; N ( t ) = 129 ( 1 0,3526 ) t Escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial Halle una función exponencial que pase por los puntos ( – 2 , 6 ) y ( 2 , 1 ) . Como no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma f ( x ) = a b x , y luego resolvemos el sistema para a y b . Al sustituir ( – 2 , 6 ) da como resultado 6 = a b − 2 Al sustituir ( 2 , 1 ) da como resultado 1 = a b 2 Utilice la primera ecuación para resolver a en términos de b : Sustituya a en la segunda ecuación, y resuelva para b : Utilice el valor de b en la primera ecuación para resolver el valor de a : Así, la ecuación es f ( x ) = 2,4492 ( 0,6389 ) x . Podemos graficar nuestro modelo para comprobar nuestro trabajo. Observe que el gráfico en la pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ( – 2 , 6 ) y ( 2 , 1 ) . El gráfico es un ejemplo de función de decaimiento exponencial . el gráfico de f ( x ) = 2,4492 ( 0,6389 ) x modela el decaimiento exponencial. Ejercicio Dados los dos puntos ( 1 , 3 ) y ( 2 , 4,5 ) , halle la ecuación de la función exponencial que pasa por estos dos puntos. f ( x ) = 2 ( 1,5 ) x PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Dos puntos siempre determinan una única función exponencial? Sí, siempre que los dos puntos estén por encima del eje x o por debajo del eje x y tengan coordenadas x diferentes. Tenga en cuenta que también necesitamos saber que el gráfico es, de hecho, una función exponencial. No todos los gráficos que parecen exponenciales lo son realmente. Tenemos que saber que el gráfico se basa en un modelo que muestra el mismo porcentaje de crecimiento con cada aumento unitario de x , que en muchos casos del mundo real implica tiempo. Cómo Dado el gráfico de una función exponencial, escribir su ecuación. En primer lugar, identifique dos puntos del gráfico. Elija la intersección en y como uno de los dos puntos siempre que sea posible. Intente elegir puntos que estén lo más separados posible para reducir el error de redondeo. Si uno de los puntos de datos es la intersección en y ( 0 , a ) , entonces a es el valor inicial. Utilizando a , sustituya el segundo punto en la ecuación f ( x ) = a ( b ) x , y resuelva para b . Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma f ( x ) = a ( b ) x . Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar a y b . Escriba la función exponencial, f ( x ) = a ( b ) x . Escribir una función exponencial dado su gráfico Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la . Podemos elegir la intersección en y del gráfico, ( 0 , 3 ) , como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, a = 3. A continuación, elija un punto de la curva a cierta distancia de ( 0 , 3 ) que tiene coordenadas enteras. Uno de estos puntos es ( 2 , 12 ) . y = a b x Escriba la forma general de una ecuación exponencial . y = 3 b x Sustituya el valor inicial 3 por a . 12 = 3 b 2 Sustituya el 12 por y y 2 por x . 4 = b 2 Divida entre 3 . b = ± 2 Tome la raíz cuadrada . Dado que nos limitamos a los valores positivos de b , utilizaremos b = 2. Sustituya a y b en la forma estándar para obtener la ecuación f ( x ) = 3 ( 2 ) x . Ejercicio Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la . f ( x ) = 2 ( 2 ) x . Las respuestas pueden variar debido al error de redondeo. La respuesta debería estar muy cerca de 1,4142 ( 1,4142 ) x . Cómo Dados dos puntos de la curva de una función exponencial, utilizar la calculadora gráfica para la ecuación. Pulse [STAT]. Borre las entradas existentes en las columnas L1 o L2. En L1 , introduzca las coordenadas dadas de la x . En L2 , introduzca las correspondientes coordenadas de la y . Pulse de nuevo [STAT] . Lleve el cursor a la derecha hasta CALC , desplácese hasta ExpReg (regresión exponencial) , y pulse [ENTER]. La pantalla muestra los valores de a y b en la ecuación exponencial y = a ⋅ b x . Usar la calculadora gráfica para una función exponencial Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluya los puntos ( 2 , 24,8 ) y ( 5 , 198,4 ) . Siga las directrices anteriores. Primero pulse [STAT] , [EDIT] , [1: Edit…], y borre las listas L1 y L2 . A continuación, en la columna L1 , introduzca las coordenadas de la x , 2 y 5. Haga lo mismo en la columna L2 con las coordenadas de la y , 24,8 y 198,4. Ahora pulse [STAT] , [CALC] , [0: ExpReg] y presione [ENTER] . Los valores a = 6,2 y b = 2 se mostrarán. La ecuación exponencial es y = 6,2 ⋅ 2 x . Ejercicio Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluye los puntos (3, 75,98) y (6, 481,07). y ≈ 12 ⋅ 1,85 x Aplicar la fórmula del interés compuesto Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto . El término compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta. La tasa anual equivalente (TAE) de una cuenta, también llamada tasa nominal , es el tipo de interés anual que devenga una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce un número de veces distinto de una vez al año. De hecho, cuando se capitalizan los intereses más de una vez al año, ¡el tipo de interés efectivo acaba siendo mayor que el nominal! Se trata de una poderosa herramienta para invertir. Podemos calcular el interés compuesto con la fórmula del interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo t , capital P , TAE r , y el número de periodos de capitalización en un año n : A ( t ) = P ( 1 + r n ) n e Por ejemplo, observe la , que muestra el resultado de invertir 1.000 dólares al 10 % durante un año. Observe cómo el valor de la cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de la capitalización. Frecuencia Valor después de 1 año Anualmente $1.100 Semestralmente $1.102,50 Trimestralmente $1.103,81 Mensualmente $1.104,71 Diariamente $1.105,16 La fórmula del interés compuesto El interés compuesto puede calcularse mediante la fórmula A ( t ) = P ( 1 + r n ) n e donde A ( t ) es el valor de la cuenta, t se mide en años, P es el importe inicial de la cuenta, a menudo denominado capital, o más generalmente valor actual, r es la tasa anual equivalente (TAE) expresada en decimales, y n es el número de periodos de capitalización en un año. Calcular el interés compuesto Si invertimos 3.000 dólares en una cuenta de inversión que paga un 3 % de interés compuesto trimestralmente, ¿cuánto valdrá la cuenta dentro de 10 años? Dado que estamos empezando con 3.000 dólares, P = 3.000. Nuestro tipo de interés es del 3 %, por lo que r = 0,03. Ya que capitalizamos trimestralmente, esto significa 4 veces al año, así que n = 4. Queremos saber el valor de la cuenta en 10 años, por lo que buscamos A ( 10 ) , el valor cuando t = 10. A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t Utilice la fórmula del interés compuesto . A ( 10 ) = 3.000 ( 1 + 0,03 4 ) 4⋅10 Sustituya utilizando los valores dados . ≈ $ 4.045,05 Redondee a dos decimales . La cuenta tendrá un valor de unos 4.045,05 dólares en 10 años. Ejercicio Una inversión inicial de 100.000 dólares a un interés del 12 % se capitaliza semanalmente (utilice 52 semanas en un año). ¿Cuánto valdrá la inversión dentro de 30 años? unos 3.644.675,88 dólares Usar la fórmula del interés compuesto para resolver el capital El plan 529 es un plan de ahorro para la universidad que permite a los familiares invertir dinero para pagar la futura matrícula universitaria de un hijo; la cuenta crece libre de impuestos. Lily quiere crear una cuenta 529 para su nueva nieta y quiere que la cuenta crezca hasta 40.000 dólares en 18 años. Cree que la cuenta ganará un tipo de interés compuesto de 6 % semestralmente (dos veces al año). Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir Lily en la cuenta ahora? El tipo de interés nominal es del 6 %, por lo que r = 0,06. El interés se capitaliza dos veces al año, por lo que k = 2. Queremos calcular la inversión inicial, P , necesaria para que el valor de la cuenta sea de 40.000 dólares en 18 años. Sustituya los valores dados en la fórmula del interés compuesto y resuelva para P . A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t Utilice la fórmula del interés compuesto . 40.000 = P ( 1 + 0,06 2 ) 2 ( 18 ) Sustituya utilizando los valores dados A , r , n y t . 40.000 = P ( 1,03 ) 36 Simplifique . 40.000 ( 1,03 ) 36 = P Aísle P . P ≈ $ 13 . 801 Divida y redondee al dólar más cercano . Lily tendrá que invertir 13.801 dólares para tener 40.000 dólares en 18 años. Ejercicio Consulte el . Al dólar más cercano, ¿cuánto necesitaría invertir Lily si la cuenta se capitaliza trimestralmente? $13.693 Evaluar funciones con base e Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará. Examine el valor de 1 dólar invertido al 100 % de interés durante 1 año, capitalizado a diversas frecuencias, que figuran en la . Frecuencia A ( n ) = ( 1 + 1 n ) n Valor Anualmente ( 1 + 1 1 ) 1 $2 Semestralmente ( 1 + 1 2 ) 2 $2,25 Trimestralmente ( 1 + 1 4 ) 4 $2,441406 Mensualmente ( 1 + 1 12 ) 12 $2,613035 Diariamente ( 1 + 1 365 ) 365 $2,714567 Por hora ( 1 + 1 8.760 ) 8.760 $2,718127 Una vez por minuto ( 1 + 1 525.600 ) 525.600 $2,718279 Una vez por segundo ( 1 + 1 31.536.000 ) 31.536.000 $2,718282 Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que n aumenta sin límites. De hecho, como n aumenta cada vez más, la expresión ( 1 + 1 n ) n se acerca a un número utilizado con tanta frecuencia en matemáticas que hasta tiene su propio nombre: la letra e . Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal se eterniza sin repetirse. A continuación, se muestra su aproximación con seis decimales. El número e La letra e representa el número irracional ( 1 + 1 n ) n , dado que n aumenta sin límites La letra e se utiliza como base para muchos modelos exponenciales en el mundo real. Para trabajar con la base e , utilizamos la aproximación, e ≈ 2,718282. El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), nombró la constante, quien investigó y descubrió por primera vez muchas de sus propiedades. Usar la calculadora para hallar las potencias de e Calcule e 3,14 . Redondee a cinco decimales. En una calculadora, pulse el botón denominado [ e x ] . La ventana muestra [ e ^ ( ] . Escriba 3,14 y luego cierre el paréntesis, [ ) ] . Pulse [ENTER]. Redondee a 5 decimales, e 3,14 ≈ 23,10387. Precaución: Muchas calculadoras científicas tienen un botón "Exp", que se utiliza para introducir números en notación científica. No se utiliza para calcular potencias de e . Ejercicio Utilice una calculadora para hallar e − 0,5 . Redondee a cinco decimales. e − 0,5 ≈ 0,60653 Investigar el crecimiento continuo Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza e como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan e como base se denominan modelos de crecimiento o decaimiento continuo . Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos. La fórmula del crecimiento o decaimiento continuo En todos los números reales t , y todos los números positivos a y r , el crecimiento o decaimiento continuo se representa con la fórmula A ( t ) = a e r t donde a es el valor inicial, r es la tasa de crecimiento continuo por unidad de tiempo, y t es el tiempo transcurrido. Si los valores de r > 0 , entonces la fórmula representa crecimiento continuo. Si los valores de r < 0 , entonces la fórmula representa decaimiento continuo. En las aplicaciones empresariales, la fórmula de crecimiento continuo se denomina fórmula de composición continua y adopta la forma A ( t ) = P e r t donde P es el capital o la inversión inicial, r es la tasa de crecimiento o de interés por unidad de tiempo, y t es el periodo o plazo de la inversión. Cómo Dados el valor inicial, la tasa de crecimiento o decaimiento y el tiempo t , resolver una función de crecimiento o decaimiento continuo. Utilice la información del problema para determinar a , el valor inicial de la función. Utilice la información del problema para determinar la tasa de crecimiento r . Si el problema se refiere al crecimiento continuo, entonces r > 0 . Si el problema se refiere al decaimiento continuo, entonces r < 0 . Utilice la información del problema para determinar el tiempo t . Sustituya la información dada en la fórmula de crecimiento continuo y resuelva para A ( t ) . Calcular el crecimiento continuo Alguien invierte 1.000 dólares en una cuenta que devenga un tipo de interés nominal del 10 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuánto había en la cuenta al final de un año? Dado que el valor de la cuenta es creciente, se trata de un problema de composición continua con tasa de crecimiento r = 0,10. La inversión inicial fue de 1.000 dólares, por lo que P = 1.000. Utilizamos la fórmula de capitalización continua para calcular el valor después de t = 1 año: A ( t ) = P e r t Utilice la fórmula de capitalización continua . = 1.000 ( e ) 0,1 Sustituya los valores conocidos por P , r , y t . ≈ 1.105,17 Utilice una calculadora para estimar . La cuenta tiene un valor de 1.105,17 dólares al cabo de un año. Ejercicio Alguien invierte 100.000 dólares a un tipo de interés nominal del 12 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuál será el valor de la inversión dentro de 30 años? $3.659.823,44 Calcular el decaimiento continuo El radón 222 decae a un ritmo continuo del 17,3 % al día. ¿A cuánto ascenderán 100 mg de radón 222 en 3 días? Dado que la sustancia decae, la tasa, 17,3 % , es negativa. Así que, r = − 0,173. La cantidad inicial de radón 222 era de 100 mg, por lo que a = 100. Utilizamos la fórmula de decaimiento continuo para calcular el valor después de t = 3 días: A ( t ) = a e r t Utilice la fórmula de crecimiento continuo . = 100 e − 0,173 ( 3 ) Sustituya los valores conocidos por a , r , y t . ≈ 59,5115 Utilice una calculadora para estimar . Por lo que quedarán 59,5115 mg de radón 222. Ejercicio Con los datos del , ¿cuánta cantidad de radón 222 quedará después de un año? 3.77E-26 (Esta es la notación de la calculadora para el número escrito como 3,77 × 10 − 26 en notación científica. Aunque la salida de una función exponencial nunca es cero, este número está tan cerca de cero que, a los efectos prácticos, podemos aceptar el cero como respuesta). Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones exponenciales. Función de crecimiento exponencial Interés compuesto Ecuaciones clave definición de la función exponencial f ( x ) = b x , donde b > 0 , b ≠ 1 definición de crecimiento exponencial f ( x ) = a b x , donde a > 0 , b > 0 , b ≠ 1 fórmula del interés compuesto A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t , donde A ( t ) es el valor de la cuenta en el tiempo t t es el número de años P es la inversión inicial, a menudo denominada capital r es la tasa anual equivalente (TAE) o tipo nominal n es el número de periodos de capitalización en un año fórmula de crecimiento continuo A ( t ) = a e r t , donde t es el número de periodos de tiempo unitarios de crecimiento a es el importe inicial (en la fórmula de capitalización continua, a se sustituye por P, que es el importe de capital) e es la constante matemática, e ≈ 2,718282 Conceptos clave La función exponencial se define como aquella con una constante positiva distinta de 1 elevado a un exponente variable. Vea el . Una función se evalúa al resolver en un valor específico. Vea el y el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico del modelo. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Vea el . El valor de una cuenta en cualquier momento t puede calcularse mediante la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el importe de capital, el tipo de interés anual y los periodos de capitalización. Vea el . La inversión inicial de una cuenta puede hallarse con la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, el tipo de interés anual, los periodos de capitalización y la duración de la cuenta. Vea el . El número e es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decaimiento exponencial en el mundo real. Su aproximación decimal es e ≈ 2,718282. Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave [ e x ] o [ exp ( x ) ] para calcular las potencias de e . Vea el . Los modelos de crecimiento o decaimiento continuo son modelos exponenciales que utilizan e como base. Los modelos de crecimiento y decaimiento continuo pueden encontrarse cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o decaimiento. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué los valores de una función exponencial creciente acabarán superando los de una función lineal creciente. Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Las funciones exponenciales aumentan con base en un porcentaje del original. Dada una fórmula para una función exponencial, ¿es posible determinar si la función crece o decae exponencialmente con tan solo mirar la fórmula? Explique. El diccionario Oxford define la palabra nominal como un valor "declarado o expresado, pero que no necesariamente corresponde exactamente al valor real". Diccionario Oxford. http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/nomina. Desarrolle un argumento razonable de por qué el término tasa nominal se utiliza para describir la tasa anual equivalente de una cuenta de inversión que capitaliza el interés. Cuando se capitaliza el interés, el porcentaje de los intereses devengados sobre el capital acaba siendo mayor que la tasa anual equivalente de la cuenta de inversión. Así pues, la tasa anual equivalente no corresponde necesariamente al interés real devengado, que es la propia definición de nominal . Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique si el enunciado representa una función exponencial. Explique. El aumento promedio anual de la población de una manada de lobos es de 25. Una población de bacterias disminuye en un factor de 1 8 cada 24 horas. exponencial; la población disminuye a una tasa proporcional. El valor de una colección de monedas ha aumentado en 3,25 % anualmente en los últimos 20 años. Por cada sesión de entrenamiento, un entrenador personal cobra a sus clientes $ 5 menos que la sesión de entrenamiento anterior. no es exponencial; la carga disminuye en una cantidad constante en cada visita, por lo que el enunciado representa una función lineal. La altura de un proyectil en el tiempo t viene representada por la función h ( t ) = − 4,9 t 2 + 18 t + 40. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Por cada año t , la población de un bosque de árboles viene representada por la función A ( t ) = 115 ( 1,025 ) t . En un bosque vecino, la población del mismo tipo de árbol viene representada por la función B ( t ) = 82 ( 1,029 ) t . (Redondee las respuestas al número entero más cercano). ¿Cuál es el bosque cuya población crece más rápidamente? El bosque representado por la función B ( t ) = 82 ( 1,029 ) t . ¿Qué bosque tenía inicialmente un mayor número de árboles? ¿Por cuántos? Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de 20 años? ¿Por cuántos? Después de t = 20 años, el bosque A tendrá 43 más árboles que el bosque B. Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de 100 años? ¿Por cuántos? Analice los resultados de los cuatro ejercicios anteriores. Suponiendo que los modelos de crecimiento demográfico sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá mayor número de árboles a largo plazo? ¿Por qué? ¿Cuáles son los factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial? Las respuestas variarán. Respuesta de muestra: Durante algunos años, la población del bosque A superará cada vez más al bosque B. Sin embargo, dado que el bosque B crece en realidad a un ritmo más rápido, la población acabará siendo mayor que la del bosque A y se mantendrá así mientras se mantengan los modelos de crecimiento demográfico. Algunos factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial son la sequía, una plaga que elimine la población y otros factores ambientales y biológicos. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa crecimiento exponencial, decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique. y = 300 ( 1 - t ) 5 y = 220 ( 1,06 ) x crecimiento exponencial; el factor de crecimiento, 1,06 , es mayor que 1. y = 16,5 ( 1,025 ) 1 x y = 11 , 701 ( 0,97 ) t decaimiento exponencial; el factor de decaimiento, 0,97 , está entre 0 y 1. En los siguientes ejercicios, halle la fórmula de una función exponencial que pase por los dos puntos dados. ( 0 , 6 ) y ( 3 , 750 ) ( 0 , 2000 ) y ( 2 , 20 ) f ( x ) = 2000 ( 0,1 ) x ( - 1 , 3 2 ) y ( 3 , 24 ) ( – 2 , 6 ) y ( 3 , 1 ) f ( x ) = ( 1 6 ) - 3 5 ( 1 6 ) x 5 ≈ 2,93 ( 0,699 ) x ( 3 , 1 ) y ( 5 , 4 ) En los siguientes ejercicios, determine si la tabla puede representar una función lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos. x 1 2 3 4 f ( x ) 70 40 10 -20 Lineal x 1 2 3 4 h ( x ) 70 49 34,3 24,01 x 1 2 3 4 m ( x ) 80 61 42,9 25,61 Ninguna de las dos x 1 2 3 4 f ( x ) 10 20 40 80 x 1 2 3 4 g ( x ) -3,25 2 7,25 12,5 Lineal En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula del interés compuesto, A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t . Al cabo de un determinado número de años, el valor de una cuenta de inversión viene representado por la ecuación A = 10 , 250 ( 1 + 0,04 12 ) 120 . ¿Cuál es el valor de la cuenta? ¿Cuál fue el depósito inicial realizado en la cuenta en el ejercicio anterior? $ 10 . 250 ¿Cuántos años llevaba la cuenta del ejercicio anterior acumulando intereses? Se abre una cuenta con un depósito inicial de 6.500 dólares y se devenga 3,6 % de interés compuesto semestralmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en 20 años? $ 13 . 268,58 ¿Cuánto más habría valido la cuenta del ejercicio anterior si los intereses se acumularan semanalmente? Resuelva la fórmula del interés compuesto para el importe de capital, P . P = A ( t ) ⋅ ( 1 + r n ) - n e Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el depósito inicial de una cuenta que vale $ 14 . 472,74 después de devengar 5,5 % de interés compuesto mensualmente para 5 años. (Redondee al dólar más cercano). ¿Cuánto más valdría la cuenta de los dos ejercicios anteriores si devengara intereses por 5 años más? $ 4.572,56 Utilice las propiedades de los exponentes racionales para resolver la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés, r . Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba semestralmente, con un depósito inicial de 9.000 dólares y ascendía a 13.373,53 dólares después de 10 años. 4 % Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba mensualmente, con un depósito inicial de 5.500 dólares y ascendía a 38.455 dólares después de 30 años. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos. Explique. y = 3742 ( e ) 0,75 t crecimiento continuo; la tasa de crecimiento es mayor que 0 . y = 150 ( e ) 3,25 t y = 2,25 ( e ) - 2 t decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es inferior a 0 Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de $ 12 . 000 devengando 7,2 % de interés compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 30 años? ¿Cuánto menos valdría la cuenta del ejercicio 42 después de 30 años si se capitaliza mensualmente en su lugar? $ 669,42 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe cada función. Redondee las respuestas a cuatro decimales, si es necesario. f ( x ) = 2 ( 5 ) x , por f ( - 3 ) f ( x ) = – 4 2 x + 3 , por f ( - 1 ) f ( - 1 ) = – 4 f ( x ) = e x , por f ( 3 ) f ( x ) = - 2 e x – 1 , por f ( - 1 ) f ( - 1 ) ≈ − 0,2707 f ( x ) = 2,7 ( 4 ) - x + 1 + 1,5 , por f ( – 2 ) f ( x ) = 1,2 e 2 x − 0,3 , por f ( 3 ) f ( 3 ) ≈ 483,8146 f ( x ) = - 3 2 ( 3 ) - x + 3 2 , por f ( 2 ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación de una función exponencial dados los puntos en la curva. ( 0 , 3 ) y ( 3 , 375 ) y = 3 ⋅ 5 x ( 3 , 222,62 ) y ( 10 , 77,456 ) ( 20 , 29,495 ) y ( 150 , 730,89 ) y ≈ 18 ⋅ 1,025 x ( 5 , 2,909 ) y ( 13 , 0,005 ) ( 11.310,035 ) y ( 25,356365.2 ) y ≈ 0,2 ⋅ 1,95 x Extensiones El porcentaje de rendimiento anual (annual percentage yield, APY) de una cuenta de inversión es una representación del tipo de interés real obtenido en una cuenta de capitalización. Se basa en un período de capitalización de un año. Demuestre que el APY de una cuenta que se capitaliza mensualmente se puede determinar con la fórmula APY = ( 1 + r 12 ) 12 − 1. Repita el ejercicio anterior para hallar la fórmula del APY en una cuenta que se capitaliza diariamente. Utilice los resultados de este ejercicio y del anterior para desarrollar una función I ( n ) para el APY de cualquier cuenta que capitalice n veces al año. APY = A ( t ) - a a = a ( 1 + r 365 ) 365 ( 1 ) - a a = a [ ( 1 + r 365 ) 365 − 1 ] a = ( 1 + r 365 ) 365 − 1 ; I ( n ) = ( 1 + r n ) n – 1 Recordemos que la función exponencial es cualquier ecuación escrita en la forma f ( x ) = a ⋅ b x de manera que a y b son números positivos y b ≠ 1. Cualquier número positivo b puede escribirse como b = e n para algún valor de n . Utilice este hecho para reescribir la fórmula de una función exponencial que emplee el número e como base. En una función de decaimiento exponencial, la base del exponente es un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, para algún número b > 1 , la función de decaimiento exponencial puede escribirse como f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x . Utilice esta fórmula, junto con el hecho de que b = e n , para demostrar que una función de decaimiento exponencial adopta la forma f ( x ) = a ( e ) - n x para algún número positivo n . Supongamos que f es la función de decaimiento exponencial f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x de manera que b > 1. Entonces para algún número n > 0 , f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x = a ( b - 1 ) x = a ( ( e n ) - 1 ) x = a ( e - n ) x = a ( e ) - n x . La fórmula del importe A en una cuenta de inversión con un tipo de interés nominal r en cualquier tiempo t viene dada por A ( t ) = a ( e ) r t , donde a es la cantidad de capital depositada inicialmente en una cuenta que se capitaliza continuamente. Demuestre que el porcentaje de los intereses devengados con respecto al capital en cualquier momento t se puede calcular con la fórmula I ( t ) = e r t − 1. Aplicaciones en el mundo real La población de zorros de una determinada región tiene una tasa de crecimiento anual del 9 %. En el año 2012, se contabilizaron 23.900 zorros en la zona. ¿Cuál es la población de zorros prevista para el año 2020? 47 . 622 zorros. Un científico comienza con 100 miligramos de una sustancia radiactiva que decae exponencialmente. Después de 35 horas, quedan 50 mg de la sustancia. ¿Cuántos miligramos quedarán después de 54 horas? En el año 1985, una casa estaba valorada en 110.000 dólares. En el año 2005, se había revalorizado hasta los 145.000 dólares. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual entre 1985 y 2005? Supongamos que el valor siguió creciendo en el mismo porcentaje. ¿Cuál era el valor de la casa en el año 2010? 1,39 % ; $ 155 . 368,09 Un automóvil fue valorado en 38.000 dólares en el año 2007. En 2013, se había depreciado hasta los 11.000 dólares Si sigue bajando en el mismo porcentaje, ¿cuál será su valor en 2017? Jaylen quiere ahorrar 54.000 dólares para la cuota inicial de una casa. ¿Cuánto tendrá que invertir en una cuenta a una TAE al 8,2 %, con capitalización diaria, para alcanzar su objetivo en 5 años? $ 35 . 838,76 Kyoko tiene 10.000 dólares que quiere invertir. Su banco tiene varias cuentas de inversión para elegir, todas ellas con capitalización diaria. Su objetivo es tener 15.000 dólares para cuando termine sus estudios de posgrado dentro de 6 años. ¿Cuál debería ser el tipo de interés anual mínimo para alcanzar su objetivo? (Pista : resuelva la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés). Alyssa abrió una cuenta de jubilación a una TAE de 7,25 % en el año 2000. Su depósito inicial fue de 13.500 dólares. ¿Cuánto valdrá la cuenta en 2025 si los intereses se capitalizan mensualmente? ¿Cuánto más ganaría si los intereses se capitalizaran continuamente? $ 82 . 247,78 ; $ 449,75 Se ha abierto una cuenta de inversión con un tipo de interés anual del 7 %, con un depósito inicial de 4.000 dólares. Compare los valores de la cuenta después de 9 años, con los intereses capitalizados anualmente, trimestralmente, mensualmente y de forma continua. tasa anual equivalente (TAE) el tipo de interés anual que se devenga en una cuenta de inversión, también llamada tasa nominal interés compuesto los intereses devengados sobre el saldo total, no solo en el importe de capital crecimiento exponencial un modelo que crece con una tasa proporcional al importe presente tasa nominal el tipo de interés anual que se devenga en una cuenta de inversión, también llamada tasa anual equivalente

Matemáticas


Gráficos de funciones exponenciales Objetivos de aprendizaje Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1). Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones (CA 3.5.1-3.5.5). Objetivo 1: Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1). Graficar funciones exponenciales. En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 2 x y g ( x ) = 2 x + 1 . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar las funciones. Al observar los gráficos de las funciones f ( x ) = 2 x y g ( x ) = 2 x + 1 arriba, vemos que al sumar uno en el exponente ocurrió el desplazamiento horizontal de una unidad a la izquierda. Podemos utilizar este patrón para graficar otras funciones utilizando desplazamientos horizontales. En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x - 2 . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar las funciones. Al observar los gráficos de las funciones f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x - 2 , vemos que al restar 2 se produce un desplazamiento vertical de dos unidades hacia abajo. Observe que la asíntota horizontal también se ha desplazado 2 unidades hacia abajo. Podemos utilizar este patrón para graficar otras funciones con un desplazamiento vertical. La práctica hace la perfección En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x -1 . En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x + 1 . Objetivo 2: Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. (CA 3.5.1-3.5.5) Desplazamientos verticales y horizontales: Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x ) + k donde k es una constante, es un desplazamiento vertical de la función f ( x ) . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo. Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x h ) , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función f ( x ) . Si h es positivo, el gráfico se desplazará hacia la derecha. Si h es negativo, el gráfico se desplazará hacia la izquierda. Dada una función y un desplazamiento vertical y horizontal, dibuje el gráfico. Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula. El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa. El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa. Observe que el orden de los desplazamientos, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones. Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. Grafique f ( x ) = 3 x + 2 3 Haga una tabla para f ( x ) = 3 x Añada una columna a la izquierda para x + 2 , al restar 2 a todos los valores de entrada. Añada una columna a la derecha, al restar 3 a todos los valores de y. Dos columnas exteriores tienen los puntos para el nuevo gráfico Cómo Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente. Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x . Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y . La práctica hace la perfección Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. Grafique f ( x ) = 2 x 3 1 Ⓐ Dados f ( x ) = 3 x , refléjelo sobre el eje y; escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓑ Dados f ( x ) = 3 x , refléjelo sobre el eje x; escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓒ Dados f ( x ) = 3 x , desplace el gráfico hacia arriba 4 unidades y escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓓ Grafique las ecuaciones encontradas en las partes a, b y c en el sistema de coordenadas proporcionado y compruebe su trabajo con una herramienta gráfica. Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones en el mundo real, como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias naturales. Trabajar con una ecuación que describe una situación en el mundo real nos brinda un método para hacer predicciones. Sin embargo, la mayoría de las veces la ecuación no es suficiente. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y es precisamente por tal motivo que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa más de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. Graficar funciones exponenciales Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma f ( x ) = b x cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función f ( x ) = 2 x . Observe cómo cambian los valores de salida en la cuando la entrada aumenta en 1. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 2 x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, 2. Designamos la base 2 el cociente constante . De hecho, para cualquier función exponencial con la forma f ( x ) = a b x , b es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de a . Observe en la tabla que los valores de salida son positivos para todos los valores de x ; a medida que x aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y a medida que x disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero. La muestra la función de crecimiento exponencial f ( x ) = 2 x . Observe que el gráfico se acerca al eje x , pero nunca lo toca. El dominio de f ( x ) = 2 x son todos números reales, el rango es ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Para tener una idea del comportamiento del decaimiento exponencial , podemos crear una tabla de valores para una función de la forma f ( x ) = b x cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función g ( x ) = ( 1 2 ) x . Observe cómo cambian los valores de salida en la cuando la entrada aumenta en 1. x -3 -2 -1 0 1 2 3 g ( x ) = ( 1 2 ) x 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 De nuevo, debido a que la entrada se incrementa en 1, cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la relación constante 1 2 . Observe en la tabla que los valores de salida son positivos para todos los valores de x ; a medida que x aumenta, los valores de salida se reducen, para acercarse a cero, y a medida que x disminuye, los valores de salida crecen sin límite. La muestra la función de decaimiento exponencial, g ( x ) = ( 1 2 ) x . El dominio de g ( x ) = ( 1 2 ) x son todos números reales, el rango es ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Características del gráfico de la función matriz f ( x ) = b x Una función exponencial con la forma f ( x ) = b x , b > 0 , b ≠ 1 , tiene estas características: función biunívoca asíntota horizontal: y = 0 dominio: ( – ∞ , ∞ ) rango: ( 0 , ∞ ) intersección en x : ninguna intersección en y : ( 0 , 1 ) creciente si b > 1 decreciente si b < 1 La compara los gráficos de las funciones de crecimiento y decaimiento exponencial. Cómo Dada una función exponencial de la forma f ( x ) = b x , graficar la función. Cree una tabla de puntos. Trace al menos 3 puntos de la tabla, incluso la intersección en y ( 0 , 1 ) . Dibuje una curva suave a través de los puntos. Indique el dominio, ( - ∞ , ∞ ) , el rango, ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal, y = 0 . Trazar el gráfico de una función exponencial de la forma f (x ) = b x Dibuje un gráfico de f ( x ) = 0,25 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y crea une tabla de puntos para el gráfico. Dado que b = 0,25 está entre cero y uno, sabemos que la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota y = 0 . Cree una tabla de puntos como en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 0,25 x 64 16 4 1 0,25 0,0625 0,015625 Trace la intersección en y , ( 0 , 1 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( - 1 , 4 ) y ( 1 , 0,25 ) . Dibuje una curva suave que conecte los puntos como en la . El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Dibuje el gráfico de f ( x ) = 4 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Graficar transformaciones de funciones exponenciales Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz f ( x ) = b x sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas. Graficar un desplazamiento vertical La primera transformación se produce cuando añadimos una constante d a la función matriz f ( x ) = b x , que nos da un desplazamiento vertical de d unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar una función matriz, f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos verticales junto a ella, mediante d = 3 : el desplazamiento hacia arriba, g ( x ) = 2 x + 3 y el desplazamiento hacia abajo, h ( x ) = 2 x − 3. Ambos desplazamientos verticales se muestran en la . Observe los resultados del desplazamiento f ( x ) = 2 x verticalmente: El dominio, ( - ∞ , ∞ ) se mantiene sin cambios. Cuando la función se desplaza hacia arriba 3 unidades a g ( x ) = 2 x + 3 : La intersección en y se desplaza hacia arriba 3 unidades a ( 0 , 4 ) . La asíntota se desplaza hacia arriba 3 unidades a y = 3. El rango se convierte en ( 3 , ∞ ) . Cuando la función se desplaza hacia abajo 3 unidades a h ( x ) = 2 x - 3 : La intersección en y se desplaza hacia abajo 3 unidades a ( 0 , - 2 ) . La asíntota también se desplaza hacia abajo 3 unidades a y = − 3, El rango se convierte en ( - 3 , ∞ ) . Graficar un desplazamiento horizontal La siguiente transformación se produce cuando añadimos una constante c a la entrada de la función matriz f ( x ) = b x , lo que nos da un desplazamiento horizontal c unidades en la dirección opuesta al signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos horizontales junto a esta, mediante c = 3 : el desplazamiento a la izquierda, g ( x ) = 2 x + 3 , y el desplazamiento a la derecha, h ( x ) = 2 x - 3 . Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la . Observe los resultados del desplazamiento f ( x ) = 2 x horizontalmente: El dominio, ( - ∞ , ∞ ) , se mantiene sin cambios. La asíntota, y = 0 , se mantiene sin cambios. La intersección en y se desplaza de tal manera que: Cuando la función se desplaza a la izquierda 3 unidades a g ( x ) = 2 x + 3 , la intersección en y se convierte en ( 0 , 8 ) . Esto se debe a que 2 x + 3 = ( 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 8. Cuando la función se desplaza a la derecha 3 unidades a h ( x ) = 2 x - 3 , la intersección en y se convierte en ( 0 , 1 8 ) . De nuevo, observe que 2 x - 3 = ( 1 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 1 8 . Desplazamientos de la función matriz f (x ) = b x Para cualquier constante c y d , la función f ( x ) = b x + c + d desplaza la función matriz f ( x ) = b x verticalmente d unidades, en la misma dirección del signo de d . horizontalmente c unidades, en la dirección opuesta al signo de c . La intersección en y se convierte en ( 0 , b c + d ) . La asíntota horizontal se convierte en y = d . El rango se convierte en ( d , ∞ ) . El dominio, ( - ∞ , ∞ ) , se mantiene sin cambios. Cómo Dada una función exponencial con la forma f ( x ) = b x + c + d , graficar la traslación. Dibuje la asíntota horizontal y = d . Identifique el desplazamiento como ( - c , d ) . Desplace el gráfico de f ( x ) = b x a la izquierda c unidades si c es positivo, y a la derecha c unidades si c es negativo. Desplace el gráfico de f ( x ) = b x hacia arriba d unidades si d es positivo, y hacia abajo d unidades si d es negativo. Indique el dominio, ( - ∞ , ∞ ) , el rango, ( d , ∞ ) , y la asíntota horizontal y = d . Graficar el desplazamiento de una función exponencial Grafique f ( x ) = 2 x + 1 − 3. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Tenemos una ecuación exponencial de la forma f ( x ) = b x + c + d , con la b = 2 , c = 1 , y d = − 3, Dibuje la asíntota horizontal y = d , así que dibuje y = –3. Identifique el desplazamiento como ( - c , d ) , por lo que el desplazamiento es ( - 1 , −3 ) . Desplace el gráfico de f ( x ) = b x 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia abajo. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - 3 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = –3. Ejercicio Grafique f ( x ) = 2 x – 1 + 3. Establezca el dominio, rango y asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 3 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 3. Cómo Dada una ecuación de la forma f ( x ) = b x + c + d por x , utilizar la calculadora gráfica para estimar la solución. Pulse [Y=] . Introduzca la ecuación exponencial dada en la línea titulada “ Y 1 = ”. Introduzca el valor dado para f ( x ) en la línea titulada “ Y 2 = ”. Pulse [WINDOW] . Ajuste el eje y para que incluya el valor introducido para “ Y 2 = ”. Pulse [GRAPH] para observar el gráfico de la función exponencial junto con la línea para el valor especificado de f ( x ) . Para hallar el valor de x , calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione ”intersect" (intersección) y pulse tres veces la tecla [ENTER] . El punto de intersección da el valor de x para el que se indica de la función. Determinar la solución de una ecuación exponencial Resuelva 42 = 1,2 ( 5 ) x + 2,8 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. Pulse [Y=] e introduzca 1,2 ( 5 ) x + 2,8 junto a Y 1 =. A continuación, introduzca 42 junto a Y2= . Para una ventana, utilice los valores de -3 a 3 para x y –5 a 55 para y . Pulse [GRAPH] . Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar cerca de x = 2. Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x del punto de intersección se muestra como 2,1661943. (Su respuesta puede ser diferente si utiliza otra ventana o un valor distinto para “Guess?” Supongamos que...). A la milésima más cercana, x ≈ 2,166. Ejercicio Resuelva 4 = 7,85 ( 1,15 ) x − 2,27 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. x ≈ − 1,608 Graficar un estiramiento o una compresión Mientras que los desplazamientos horizontales y verticales implican la adición de constantes a la entrada o a la propia función, se produce estiramiento o compresión cuando multiplicamos la función matriz f ( x ) = b x por una constante | a | > 0 . Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar el estiramiento, mediante a = 3 , para obtener g ( x ) = 3 ( 2 ) x como se muestra a la izquierda en la , y la compresión, mediante a = 1 3 , para obtener h ( x ) = 1 3 ( 2 ) x como se muestra a la derecha en la . (a) g ( x ) = 3 ( 2 ) x estira el gráfico de f ( x ) = 2 x verticalmente por un factor de 3. (b) h ( x ) = 1 3 ( 2 ) x comprime el gráfico de f ( x ) = 2 x verticalmente por un factor de 1 3 . Estiramiento y compresión de la función matriz f ( x ) = b x Para cualquier factor a > 0 , la función f ( x ) = a ( b ) x se estira verticalmente por un factor de a si | a | > 1. se comprime verticalmente por un factor de a si | a | < 1. intersección en y de ( 0 , a ) . tiene una asíntota horizontal en y = 0 , un rango de ( 0 , ∞ ) , y un dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. Graficar el estiramiento de una función exponencial Dibuje un gráfico de f ( x ) = 4 ( 1 2 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico. Dado que b = 1 2 está entre cero y uno, la cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, a medida que x disminuye, y la cola de la derecha se acercará al eje x , a medida que x aumenta. Dado que a = 4 , el gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) x se estirará por un factor de 4. Cree una tabla de puntos, como se indica en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 4 ( 1 2 ) x 32 16 8 4 2 1 0,5 Trace la intersección en y , ( 0 , 4 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( - 1 , 8 ) y ( 1 , 2 ) . Trace una curva suave que conecte los puntos, como se muestra en la . El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Dibuje el gráfico de f ( x ) = 1 2 ( 4 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Graficar reflexiones Además de desplazar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y . Cuando multiplicamos la función matriz f ( x ) = b x entre −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje x . Cuando multiplicamos la entrada por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje y . Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar las dos reflexiones junto a esta. La reflexión sobre el eje x , g ( x ) = –2 x , se muestra en el lado izquierdo de la , y la reflexión en torno al eje y h ( x ) = 2 - x , se muestra en el lado derecho de la . (a) g ( x ) = - 2 x refleje el gráfico de f ( x ) = 2 x alrededor del eje x. (b) g ( x ) = 2 - x refleje el gráfico de f ( x ) = 2 x en torno al eje y . Reflexiones de la función matriz f ( x ) = b x La función f ( x ) = - b x refleja la función matriz f ( x ) = b x alrededor del eje x . tiene una intersección en y de ( 0 , - 1 ) . tiene un rango de ( - ∞ , 0 ) . tiene una asíntota horizontal en y = 0 y dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. La función f ( x ) = b − x refleja la función matriz f ( x ) = b x en torno al eje y . tiene una intersección en y de ( 0 , 1 ) , una asíntota horizontal en y = 0 , un rango de ( 0 , ∞ ) , y un dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. Escribir y graficar la reflexión de una función exponencial Halle y grafique la ecuación de una función, g ( x ) , que refleja f ( x ) = ( 1 4 ) x alrededor del eje x . Indique su dominio, rango y asíntota. Dado que queremos reflejar la función matriz f ( x ) = ( 1 4 ) x alrededor del eje x , multiplicamos f ( x ) entre − 1 para obtener: g ( x ) = - ( 1 4 ) x . A continuación, creamos una tabla de puntos como en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 g ( x ) = - ( 1 4 ) x − 64 − 16 - 4 - 1 − 0,25 − 0,0625 − 0,0156 Trace la intersección en y , ( 0 , –1 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( –1 , –4 ) y ( 1 , -0,25 ) . Dibuje una curva suave que conecte los puntos: El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - ∞ , 0 ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Halle y grafique la ecuación de una función, g ( x ) , que refleja f ( x ) = 1,25 x en torno al eje y . Indique su dominio, rango y asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Resumir las traslaciones de la función exponencial Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función exponencial, podemos resumirlas en la para llegar a la ecuación general de traslación de funciones exponenciales. Traslaciones de la función matriz f ( x ) = b x Traslación Forma Desplazamiento Horizontalmente c unidades a la izquierda Verticalmente d unidades hacia arriba f ( x ) = b x + c + d Estirar y comprimir Estirar si | a | > 1 Comprimir si 0 < | a | < 1 f ( x ) = a b x Reflexión sobre el eje x f ( x ) = - b x Reflexión sobre el eje y f ( x ) = b − x = ( 1 b ) x Ecuación general para todas las traslaciones f ( x ) = a b x + c + d Trasladar funciones exponenciales La traslación de una función exponencial tiene la forma f ( x ) = a b x + c + d Donde la función matriz, y = b x , b > 1 , es desplaza horizontalmente c unidades a la izquierda. estira verticalmente por un factor de | a | si | a | > 0 . comprimida verticalmente por un factor de | a | si 0 < | a | < 1. desplaza verticalmente d unidades. refleja alrededor del eje x cuando a < 0 . Observe que el orden de los desplazamientos, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones. Escribir una función a partir de una descripción Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = e x se estira verticalmente por un factor de 2 , se refleja a través del eje y , y luego se desplaza hacia arriba 4 unidades. Queremos hallar una ecuación de la forma general f ( x ) = a b x + c + d . Utilizamos la descripción proporcionada para calcular a , b , c , y d . Se nos da la función matriz f ( x ) = e x , por lo que b = e . La función se estira por un factor de 2 , por lo que a = 2. La función se refleja alrededor del eje y . Reemplazamos x con − x para obtener: e – x . El gráfico se desplaza verticalmente 4 unidades, por lo que d = 4. Sustituyendo en la forma general obtenemos: f ( x ) = a b x + c + d = 2 e – x + 0 + 4 = 2 e – x + 4 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 4 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 4. Ejercicio Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = e x se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , se refleja a través del eje x y luego se desplaza hacia abajo 2 unidades. f ( x ) = - 1 3 e x - 2 ; el dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - ∞ , –2 ) ; la asíntota horizontal es y = –2. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la elaboración de gráficos de funciones exponenciales. Graficar funciones exponenciales Ecuaciones clave Forma general para la traslación de la función matriz f ( x ) = b x f ( x ) = a b x + c + d Conceptos clave El gráfico de la función f ( x ) = b x tiene una intersección en y en ( 0 , 1 ) , dominio ( - ∞ , ∞ ) , rango ( 0 , ∞ ) , y asíntota horizontal y = 0 . Vea el . Si los valores de b > 1 , la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota y = 0 , y la cola derecha aumentará sin límite. Si los valores de 0 < b < 1 , la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota y = 0 . La ecuación f ( x ) = b x + d representa el desplazamiento vertical de la función matriz f ( x ) = b x . La ecuación f ( x ) = b x + c representa el desplazamiento horizontal de la función matriz f ( x ) = b x . Vea el . Las soluciones aproximadas de la ecuación f ( x ) = b x + c + d se pueden encontrar con una calculadora gráfica. Vea el . La ecuación f ( x ) = a b x , donde a > 0 , representa estiramiento vertical, si | a | > 1 o compresión, si 0 < | a | < 1 de la función matriz f ( x ) = b x . Vea el . Cuando la función matriz f ( x ) = b x se multiplica por − 1 , el resultado, f ( x ) = - b x , es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por − 1 , el resultado, f ( x ) = b − x , es una reflexión alrededor del eje y . Vea la . Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir en la ecuación general f ( x ) = a b x + c + d . Vea la . Utilizando la ecuación general f ( x ) = a b x + c + d , podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué papel desempeña la asíntota horizontal de una función exponencial para informarnos acerca del comportamiento final del gráfico? La asíntota es una línea a la que se aproxima el gráfico de una función, como x aumenta o disminuye sin límites. La asíntota horizontal de una función exponencial nos indica el límite de los valores de la función cuando la variable independiente pasa a ser extremadamente grande o extremadamente pequeña. ¿Cuál es la ventaja de saber reconocer las transformaciones en el gráfico de una función matriz de forma algebraica? Algebraicos el gráfico de f ( x ) = 3 x se refleja alrededor del eje y , y se estira verticalmente por un factor de 4. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 4 ( 3 ) - x ; intersección en y : ( 0 , 4 ) ; Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que 0 . el gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) - x se refleja alrededor del eje y , además de que se comprime verticalmente por un factor de 1 5 . ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. el gráfico de f ( x ) = 10 x se refleja alrededor del eje x , y se desplaza hacia arriba 7 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = − 10 x + 7 ; intersección en y : ( 0 , 6 ) ; Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales menores que 7. el gráfico de f ( x ) = ( 1,68 ) x se desplaza a la derecha 3 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 2 , se refleja alrededor del eje x , y luego se desplaza hacia abajo 3 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y (a la milésima más cercana), el dominio y el rango. el gráfico de f x = 1 2 ( 1 4 ) x 2 + 4 se desplaza hacia abajo 4 unidades, y luego se desplaza a la izquierda 2 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 4 , y se refleja alrededor del eje x . ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 2 ( 1 4 ) x ; intersección en y : ( 0 , 2 ) ; Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que 0 . Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje y en los mismos ejes, y obtenga la intersección en y . f ( x ) = 3 ( 1 2 ) x g ( x ) = - 2 ( 0,25 ) x intersección en y : ( 0 , - 2 ) h ( x ) = 6 ( 1,75 ) - x En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de funciones en los mismos ejes. f ( x ) = 3 ( 1 4 ) x , g ( x ) = 3 ( 2 ) x , y h ( x ) = 3 ( 4 ) x f ( x ) = 1 4 ( 3 ) x , g ( x ) = 2 ( 3 ) x , y h ( x ) = 4 ( 3 ) x En los siguientes ejercicios, empareje cada función con una de los gráficos en la . f ( x ) = 2 ( 0,69 ) x B f ( x ) = 2 ( 1,28 ) x f ( x ) = 2 ( 0,81 ) x A f ( x ) = 4 ( 1,28 ) x f ( x ) = 2 ( 1,59 ) x E f ( x ) = 4 ( 0,69 ) x En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos que se indican en la . Todos tienen la forma f ( x ) = a b x . ¿Qué gráfico tiene el mayor valor de b ? D ¿Qué gráfico tiene el menor valor para b ? ¿Qué gráfico tiene el mayor valor de a ? C ¿Qué gráfico tiene el menor valor para a ? En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje x en los mismos ejes. f ( x ) = 1 2 ( 4 ) x f ( x ) = 3 ( 0,75 ) x – 1 f ( x ) = – 4 ( 2 ) x + 2 En los siguientes ejercicios, grafique la transformación de f ( x ) = 2 x . Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = 2 - x h ( x ) = 2 x + 3 Asíntota horizontal: h ( x ) = 3 ; Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que 3. f ( x ) = 2 x - 2 En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento final de los gráficos de las funciones. f ( x ) = - 5 ( 4 ) x – 1 Dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ ; Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - 1 f ( x ) = 3 ( 1 2 ) x - 2 f ( x ) = 3 ( 4 ) - x + 2 Dado que x → ∞ , f ( x ) → 2 ; Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ En los siguientes ejercicios, comience con el gráfico de f ( x ) = 4 x . Luego escriba una función que resulte de la transformación dada. Desplazamiento f ( x ) 4 unidades hacia arriba Desplazamiento f ( x ) 3 unidades hacia abajo f ( x ) = 4 x - 3 Desplazamiento f ( x ) 2 unidades a la izquierda Desplazamiento f ( x ) 5 unidades a la derecha f ( x ) = 4 x - 5 Refleje f ( x ) alrededor del eje x Refleje f ( x ) alrededor del eje y f ( x ) = 4 - x En los siguientes ejercicios, cada gráfico es la transformación de y = 2 x . Escriba una ecuación que describa la transformación. y = - 2 x + 3 En los siguientes ejercicios, halle una ecuación exponencial para el gráfico. y = - 2 ( 3 ) x + 7 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales para el valor indicado de x . g ( x ) = 1 3 ( 7 ) x - 2 por g ( 6 ) . g ( 6 ) = 800 + 1 3 ≈ 800,3333 f ( x ) = 4 ( 2 ) x – 1 - 2 por f ( 5 ) . h ( x ) = - 1 2 ( 1 2 ) x + 6 por h ( − 7 ) . h ( − 7 ) = − 58 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar las soluciones de la ecuación. Redondee a la milésima más cercana. - 50 = - ( 1 2 ) - x 116 = 1 4 ( 1 8 ) x x ≈ − 2,953 12 = 2 ( 3 ) x + 1 5 = 3 ( 1 2 ) x – 1 - 2 x ≈ − 0,222 − 30 = – 4 ( 2 ) x + 2 + 2 Extensiones Explore y comente los gráficos de F ( x ) = ( b ) x y G ( x ) = ( 1 b ) x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x y ( 1 b ) x para cualquier número real b > 0 . el gráfico de G ( x ) = ( 1 b ) x es la reflexión alrededor del eje y en el gráfico de F ( x ) = b x . Para cualquier número real b > 0 y la función f ( x ) = b x , el gráfico de ( 1 b ) x es la reflexión alrededor del eje y , F ( - x ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. Explore y comente los gráficos de f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x - 2 , y h ( x ) = ( 1 16 ) 4 x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x y ( 1 b n ) b x para cualquier número real n y número real b > 0 . Los gráficos de g ( x ) y h ( x ) son los mismos y son un desplazamiento horizontal a la derecha del gráfico de f ( x ) ; Para cualquier número real n , número real b > 0 , y la función f ( x ) = b x , el gráfico de ( 1 b n ) b x es el desplazamiento horizontal f ( x - n ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.

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