Las derivadas como tasas de cambio En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en su interpretación como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía. Fórmula de la cantidad de cambio Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , a + h ] , entonces la cantidad de cambio de f ( x ) sobre el intervalo es el cambio en los valores y de la función en ese intervalo y viene dada por f ( a + h ) − f ( a ) . La tasa de cambio de la función f en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en los valores x . Viene dado por f ( a + h ) − f ( a ) h . Como sabemos, la tasa de cambio instantánea de f ( x ) en a es su derivada f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Para valores suficientemente pequeños de h , f ′ ( a ) ≈ f ( a + h ) − f ( a ) h . Podemos entonces resolver para f ( a + h ) a fin de obtener la fórmula de la cantidad de cambio: f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h . Podemos utilizar esta fórmula si solo conocemos f ( a ) y f ′ ( a ) y deseamos estimar el valor de f ( a + h ) . Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y su tasa de crecimiento para estimar su número en un futuro próximo. Como podemos ver en la , estamos aproximando f ( a + h ) por las coordenadas y en a + h en la línea tangente a f ( x ) en x = a . Observe que la exactitud de esta estimación depende del valor de h así como del valor de f ′ ( a ) . El nuevo valor de una cantidad modificada es igual al valor original más la tasa de cambio multiplicada por el intervalo de cambio: f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h. He aquí una interesante demostración de la tasa de cambio. Estimación del valor de una función Si los valores de f ( 3 ) = 2 y f ′ ( 3 ) = 5 , estime f ( 3,2 ) . Comience por calcular h . Tenemos h = 3,2 − 3 = 0,2 . Por lo tanto, f ( 3,2 ) = f ( 3 + 0,2 ) ≈ f ( 3 ) + ( 0,2 ) f ′ ( 3 ) = 2 + 0,2 ( 5 ) = 3 . Dado que f ( 10 ) = −5 y f ′ ( 10 ) = 6 , estime f ( 10,1 ) . −4,4 Pista Utilice el mismo proceso que en el ejemplo anterior. Movimiento a lo largo de una línea Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez , que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas. Definición Supongamos que s ( t ) es una función que da la posición de un objeto en el tiempo t . La velocidad del objeto en el tiempo t viene dada por v ( t ) = s ′ ( t ) . La rapidez del objeto en el momento t viene dada por | v ( t ) | . La aceleración del objeto en t viene dada por a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) . Comparación de la velocidad instantánea y la velocidad media Se deja caer una pelota desde una altura de 64 ft. Su altura sobre el suelo (en ft) t segundos después viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 . ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando toca el suelo? ¿Cuál es la velocidad media durante su caída? Lo primero que hay que hacer es determinar el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Para ello, defina s ( t ) = 0 . Resolución de problemas −16 t 2 + 64 = 0 , obtenemos t = 2 , para que la pelota tarde 2 segundos en llegar al suelo. La velocidad instantánea de la pelota al golpear el suelo es v ( 2 ) . Dado que v ( t ) = s ′ ( t ) = −32 t , obtenemos v ( t ) = −64 ft/s . La velocidad media de la pelota durante su caída es v a v e = s ( 2 ) − s ( 0 ) 2 − 0 = 0 − 64 2 = −32 ft/s . Interpretación de la relación entre v ( t ) y a ( t ) Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en la dirección positiva hacia la derecha. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . Calcule v ( 1 ) y a ( 1 ) y utilice estos valores para responder las siguientes preguntas. La partícula se mueve de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en el tiempo t = 1 ? ¿La partícula se acelera o se ralentiza en el tiempo t = 1 ? Comience por calcular v ( t ) y a ( t ) . v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 – 4 y a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) = 6 t . Al evaluar estas funciones en t = 1 , obtenemos v ( 1 ) = –1 y a ( 1 ) = 6 . Dado que v ( 1 ) < 0 , la partícula se mueve de derecha a izquierda. Dado que v ( 1 ) < 0 y a ( 1 ) > 0 , la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas. En otras palabras, la partícula se acelera en la dirección opuesta a la que viaja, haciendo que | v ( t ) | disminuya. La partícula se ralentiza. Posición y velocidad La posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas viene dada por s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 . Halle v ( t ) . ¿En qué tiempo(s) la partícula está en reposo? ¿En qué intervalos de tiempo se mueve la partícula de izquierda a derecha? ¿De derecha a izquierda? Use la información obtenida para trazar la trayectoria de la partícula a lo largo de un eje de coordenadas. La velocidad es la derivada de la función de posición: v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 18 t + 24 . La partícula está en reposo cuando v ( t ) = 0 , así que establezca 3 t 2 − 18 t + 24 = 0 . Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se obtiene 3 ( t − 2 ) ( t − 4 ) = 0 . Al resolver encontramos que la partícula está en reposo en t = 2 y t = 4 . La partícula se mueve de izquierda a derecha cuando v ( t ) > 0 y de derecha a izquierda cuando v ( t ) < 0 . La ofrece el análisis del signo de v ( t ) por t ≥ 0 , pero no representa el eje a lo largo del cual se mueve la partícula. El signo de v(t) determina la dirección de la partícula. Dado que 3 t 2 − 18 t + 24 > 0 sobre [ 0 , 2 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) , la partícula se mueve de izquierda a derecha en estos intervalos. Dado que 3 t 2 − 18 t + 24 < 0 sobre ( 2 , 4 ) , la partícula se mueve de derecha a izquierda en este intervalo. Antes de dibujar el gráfico de la partícula, necesitamos conocer su posición en el momento en que comienza a moverse ( t = 0 ) y en los momentos en que cambia de dirección ( t = 2 , 4 ) . Tenemos s ( 0 ) = 4 , s ( 2 ) = 24 , y s ( 4 ) = 20 . Esto significa que la partícula comienza en el eje de coordenadas en 4 y cambia de dirección en 0 y 20 en el eje de coordenadas. La trayectoria de la partícula se muestra en un eje de coordenadas en la . La trayectoria de la partícula puede determinarse analizando v(t). Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t 2 − 5 t + 1 . ¿La partícula se mueve de derecha a izquierda o de izquierda a derecha en el momento t = 3 ? de izquierda a derecha Pista Halle v ( 3 ) y vea el signo. Cambio de población Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población. Definición Si los valores de P ( t ) es el número de individuos de una población, entonces la tasa de crecimiento de la población de P ( t ) se define como P ′ ( t ) . Estimación de una población La población de una ciudad se triplica cada 5 años. Si su población actual es de 10.000 habitantes, ¿cuál será su población aproximada dentro de 2 años? Supongamos que P ( t ) es la población (en miles) t años a partir de este momento. Así, sabemos que P ( 0 ) = 10 y con base a la información, prevemos P ( 5 ) = 30 . Ahora estime P ′ ( 0 ) , la tasa de crecimiento actual, utilizando P ′ ( 0 ) ≈ P ( 5 ) − P ( 0 ) 5 − 0 = 30 − 10 5 = 4 . Al aplicar la a P ( t ) , podemos estimar la población dentro de 2 años escribiendo P ( 2 ) ≈ P ( 0 ) + ( 2 ) P ′ ( 0 ) ≈ 10 + 2 ( 4 ) = 18 ; así, dentro de 2 años la población será de 18.000 habitantes. Se sabe que la población actual de una colonia de mosquitos es de 3.000; es decir, P ( 0 ) = 3.000 . Si P ′ ( 0 ) = 100 , estimar el tamaño de la población en 3 días, donde t se mide en días. 3.300 Pista Utilice la sustitución en P ( 3 ) ≈ P ( 0 ) + 3 P ′ ( 0 ) . Cambios en los costos e ingresos Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos. Definición Si los valores de C ( x ) es el costo de producción de x artículos, entonces el costo marginal M C ( x ) ¿es M C ( x ) = C ′ ( x ) . Si los valores de R ( x ) son los ingresos obtenidos por la venta de x artículos, entonces el ingreso marginal M R ( x ) ¿es M R ( x ) = R ′ ( x ) . Si los valores de P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) es la ganancia obtenida por la venta de x artículos, entonces la ganancia marginal M P ( x ) se define como M P ( x ) = P ′ ( x ) = M R ( x ) − M C ( x ) = R ′ ( x ) − C ′ ( x ) . Podemos hacer una aproximación M C ( x ) = C ′ ( x ) = lím h → 0 C ( x + h ) − C ( x ) h eligiendo un valor adecuado para h . Como x representa objetos, un valor razonable y pequeño para h es 1. Así, sustituyendo h = 1 , obtenemos la aproximación M C ( x ) = C ′ ( x ) ≈ C ( x + 1 ) − C ( x ) . En consecuencia, C ′ ( x ) para un valor determinado de x puede considerarse como el cambio en el costo asociado a la producción de un artículo adicional. De manera similar, M R ( x ) = R ′ ( x ) se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, y M P ( x ) = P ′ ( x ) se aproxima la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo adicional. Aplicación de los ingresos marginales Supongamos que el número de raciones de barbacoa que se pueden vender, x , puede estar relacionado con el precio aplicado, p , por la ecuación p ( x ) = 9 − 0,03 x , 0 ≤ x ≤ 300 . En este caso, el ingreso en dólares obtenidos por la venta de x raciones de barbacoa viene dado por R ( x ) = x p ( x ) = x ( 9 − 0,03 x ) = −0,03 x 2 + 9 x para 0 ≤ x ≤ 300 . Utilice la función de ingresos marginales para estimar los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 de barbacoa. Compárela con el ingreso real obtenido por la venta de esta ración. En primer lugar, halle la función de ingresos marginales: M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0,06 x + 9 . A continuación, utilice R ′ ( 100 ) para aproximar a R ( 101 ) − R ( 100 ) , los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101. Dado que R ′ ( 100 ) = 3 , los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 son de aproximadamente 3 dólares. Los ingresos reales obtenidos por la venta de la ración número 101 son R ( 101 ) − R ( 100 ) = 602,97 − 600 = 2,97 , o $2,97 . El ingreso marginal es una estimación razonablemente buena en este caso y tiene la ventaja de ser fácil de calcular. Supongamos que el beneficio obtenido por la venta de x raciones de pescado frito viene dada por P ( x ) = −0,03 x 2 + 8 x − 50 . Utilice la función de ganancia marginal para estimar la ganancia de la venta de la ración número 101 de pescado frito. $2 Pista Utilice la sustitución en P ′ ( 100 ) para aproximar a P ( 101 ) − P ( 100 ) . Conceptos clave Utilizando f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h , es posible estimar f ( a + h ) dado que f ′ ( a ) y f ( a ) . La tasa de cambio de posición es la velocidad, y la tasa de cambio de la velocidad es la aceleración. La rapidez es el valor absoluto, o la magnitud, de la velocidad. La tasa de crecimiento de la población y la población actual pueden utilizarse para predecir el tamaño de una población futura. Las funciones de costo marginal, ingreso marginal y ganancia marginal pueden utilizarse para predecir, respectivamente, el costo de producción de un artículo más, los ingresos obtenidos por la venta de un artículo más y la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo más. En los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal. Halle las funciones de velocidad y aceleración. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o se acelera. s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8 s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10 a. v ( t ) = 6 t 2 − 30 t + 36 , a ( t ) = 12 t − 30 ; b. se acelera ( 2 , 2,5 ) ∪ ( 3 , ∞ ) , se ralentiza ( 0 , 2 ) ∪ ( 2,5 , 3 ) grandes. s ( t ) = t 1 + t 2 Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s en ft que el cohete viaja desde el suelo después de t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 560 t . Halle la velocidad del cohete 3 segundos después de su lanzamiento. Halle la aceleración del cohete 3 segundos después de su lanzamiento. a. 464 ft/s 2 b. −32 ft/s 2 Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 ft/s desde lo alto de un edificio de 64 ft de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por s ( t ) = –16 t 2 − 8 t + 64 . Determine el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Determine la velocidad de la pelota cuando toca el suelo. La función de posición s ( t ) = t 2 − 3 t − 4 representa la posición de la parte trasera de un automóvil que sale en marcha atrás de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde s está en pies y t está en segundos. En este caso, s ( t ) = 0 representa el momento en que la parte trasera del auto está en la puerta del garaje, por lo que s ( 0 ) = −4 es la posición inicial del automóvil, 4 ft dentro del garaje. Determine la velocidad del auto cuando s ( t ) = 0 . Determine la velocidad del auto cuando s ( t ) = 14 . a. 5 ft/s b. 9 ft/s La posición de un colibrí volando a lo largo de una línea recta en t segundos viene dada por s ( t ) = 3 t 3 − 7 t metros. Determine la velocidad del pájaro en t = 1 seg. Determine la aceleración del pájaro en t = 1 seg. Determine la aceleración del pájaro cuando la velocidad es igual a 0. Se lanza una papa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 ft/s desde una pistola de papas en la cima de un edificio de 85 ft de altura. La distancia en pies que la papa recorre desde el suelo tras t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 100 t + 85 . Halle la velocidad de la papa después de 0,5 s y 5,75 s . Halle la velocidad de la papa a los 0,5 s y a los 5,75 s. Determine cuándo la papa alcanza su máxima altura. Halle la aceleración de la papa a los 0,5 s y a los 1,5 s. Determine el tiempo que la papa está en el aire. Determine la velocidad de la papa al caer al suelo. a. 84 ft/s, -84 ft/s b. 84 ft/s c 25 8 s d. −32 ft/s 2 en ambos casos e. 1 8 ( 25 + 965 ) s f. −4 965 ft/s La función de posición s ( t ) = t 3 − 8 t da la posición en millas de un tren de mercancías donde el este es la dirección positiva y t se mide en horas. Determine la dirección en la que viaja el tren cuando s ( t ) = 0 . Determine la dirección en la que viaja el tren cuando a ( t ) = 0 . Determine los intervalos de tiempo en los que la velocidad del tren aumenta o disminuye. El siguiente gráfico muestra la posición y = s ( t ) de un objeto que se mueve en línea recta. Utilice el gráfico de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo en los que la velocidad es positiva, negativa o cero. Dibuje el gráfico de la función de velocidad. Utilice el gráfico de la función velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se acelera o desacelera. a. La velocidad es positiva en ( 0 , 1,5 ) ∪ ( 6 , 7 ) , negativo en ( 1,5 , 2 ) ∪ ( 5 , 6 ) , y cero en ( 2 , 5 ) . b. c. La aceleración es positiva en ( 5 , 7 ) , negativo en ( 0 , 2 ) , y cero en ( 2 , 5 ) . d. El objeto acelera en ( 6 , 7 ) ∪ ( 1,5 , 2 ) y se ralentiza en ( 0 , 1,5 ) ∪ ( 5 , 6 ) . La función de costos en dólares de una empresa que fabrica procesadores de alimentos viene dada por C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , donde x es el número de procesadores de alimentos fabricados. Calcule la función de costo marginal. Utilice la función de costo marginal para estimar el costo de fabricación del decimotercer procesador de alimentos. Halle el costo real de fabricación del decimotercer procesador de alimentos. El precio p (en dólares) y la demanda x para un determinado radio-reloj digital viene dado por la función precio-demanda p = 10 − 0,001 x . Halle la función de ingresos R ( x ) . Halle la función de ingreso marginal. Halle el ingreso marginal en x = 2000 y 5.000 . a. R ( x ) = 10 x − 0,001 x 2 b. R ′ ( x ) = 10 − 0,002 x c. 6 dólares por artículo, 0 dólares por artículo [T] Se obtiene una ganancia cuando los ingresos superan los costos. Supongamos que la función de ganancias de un fabricante de patinetas viene dada por P ( x ) = 30 x − 0,3 x 2 − 250 , donde x es el número de patinetas vendidas. Halle la ganancia exacta de la venta de la trigésima patineta. Halle la función de ganancia marginal y utilícela para estimar la ganancia de la venta de la trigésima patineta. [T] En general, la función de ganancias es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . Supongamos que las funciones de precio-demanda y de costo para la producción de taladros inalámbricos vienen dadas, respectivamente, por p = 143 − 0,03 x y C ( x ) = 75.000 + 65 x , donde x es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de p dólares por taladro y C ( x ) es el costo de producción de x taladros inalámbricos. Calcule la función de costo marginal. Halle las funciones de ingresos y de ingresos marginales. Halle R ′ ( 1.000 ) y R ′ ( 4,000 ) . Interprete los resultados. Halle las funciones de ganancias y de ganancia marginal. Halle P ′ ( 1.000 ) y P ′ ( 4,000 ) . Interprete los resultados. a. C ′ ( x ) = 65 b. R ( x ) = 143 x − 0,03 x 2 , R ′ ( x ) = 143 − 0,06 x c. 83 , −97 . A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, los ingresos aumentan a una tasa de 83 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, los ingresos disminuyen a una tasa de 97 dólares por taladro. d P ( x ) = −0,03 x 2 + 78 x − 75.000 , P ′ ( x ) = −0,06 x + 78 e. 18 , −162 . A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, la ganancia aumenta a una tasa de 18 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, la ganancia disminuye a una tasa de 162 dólares por taladro. Una pequeña ciudad de Ohio encargó a una empresa de servicios actuariales un estudio que modelara la tasa de cambio de la población de la ciudad. El estudio reveló que la población de la ciudad (medida en miles de personas) puede modelarse mediante la función P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3.000 , donde t se mide en años. Halle la función de tasa de cambio P ′ ( t ) de la función de población. Halle P ′ ( 1 ) , P ′ ( 2 ) , P ′ ( 3 ) , y P ′ ( 4 ) . Interprete lo que los resultados significan para la ciudad. Halle P ″ ( 1 ) , P ″ ( 2 ) , P ″ ( 3 ) , y P ″ ( 4 ) . Interprete lo que los resultados significan para la población de la ciudad. [T] Un cultivo de bacterias crece en número según la función N ( t ) = 3.000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , donde t se mide en horas. Halle la tasa de cambio del número de bacterias. Halle N ′ ( 0 ) , N ′ ( 10 ) , N ′ ( 20 ) , y N ′ ( 30 ) . Interprete los resultados en (b). Halle N ″ ( 0 ) , N ″ ( 10 ) , N ″ ( 20 ) , y N ″ ( 30 ) . Interprete lo que implican las respuestas sobre el crecimiento de la población de bacterias. a. N ′ ( t ) = 3.000 ( −4 t 2 + 400 ( t 2 + 100 ) 2 ) b. 120 , 0 , −14,4 , −9,6 c. La población de bacterias aumenta desde el tiempo de 0 hasta las 10 horas; posteriormente, la población de bacterias disminuye. d. 0 , –6 , 0,384 , 0,432 . La tasa de aumento de las bacterias decrece durante las primeras 10 horas. Después, la población de bacterias va disminuyendo a un ritmo decreciente. La fuerza centrípeta de un objeto de masa m viene dada por F ( r ) = m v 2 r , donde v es la velocidad de rotación y r es la distancia desde el centro de rotación. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta con respecto a la distancia desde el centro de rotación. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta de un objeto con una masa de 1.000 kilogramos, una velocidad de 13,89 m/s y una distancia de 200 metros desde el centro de rotación. Las siguientes preguntas se refieren a la población de Londres (en millones) por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla. Población de Londres Años desde 1800 Población (millones) 1 0,8795 11 1,040 21 1,264 31 1,516 41 1,661 51 2,000 61 2,634 71 3,272 81 3,911 91 4,422 Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático halle la función lineal de mejor ajuste para medir la población. Halle la derivada de la ecuación en a. y explica su significado físico. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico. a. P ( t ) = 0,03983 + 0,4280 b. P ′ ( t ) = 0,03983 . La población está aumentando. c. P ″ ( t ) = 0 . El ritmo de aumento de la población es constante. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos. Halle la derivada de la ecuación y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico. En los siguientes ejercicios, piense en un astronauta en un gran planeta de otra galaxia. Para conocer mejor la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una zanja profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor mientras cae se muestra en la siguiente tabla. Tiempo después de la caída (s) Posición (m) 0 0 1 −1 2 −2 3 −5 4 −7 5 −14 [T] Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico. a. p ( t ) = −0,6071 x 2 + 0,4357 x − 0,3571 b. p ′ ( t ) = −1,214 x + 0,4357 . Esta es la velocidad del sensor. c p ″ ( t ) = −1,214 . Esta es la aceleración del sensor; es una aceleración constante hacia abajo. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático halle la curva cúbica que mejor se ajusta a los datos. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico. Utilizando el resultado de c. explica por qué una función cúbica no es una buena opción para este problema. Los siguientes problemas tratan de las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico de crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para su consumo. [T] La ecuación de Holling tipo I se describe mediante f ( x ) = a x , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la velocidad a la que el depredador se encuentra con la presa para consumirla. Grafique la ecuación de Holling tipo I, dada a = 0,5 . Determine la primera derivada de la ecuación de Holling tipo I y explique físicamente lo que la derivada implica. Determine la segunda derivada de la ecuación de Holling tipo I y explica físicamente lo que la derivada implica. Utilizando las interpretaciones de b. y c. explique por qué la ecuación de Holling tipo I puede no ser realista. a. b. f ′ ( x ) = a . Cuanto mayor sea el aumento de presas, mayor será el crecimiento de los depredadores c f ″ ( x ) = 0 . A medida que aumenta la cantidad de presas, la tasa de crecimiento demográfico de depredadores es constante. d. Esta ecuación supone que si hay más presas, el depredador es capaz de aumentar el consumo linealmente. Esta suposición no es física porque esperaríamos que hubiera algún punto de saturación en el que hubiera demasiadas presas para que el depredador las consumiera adecuadamente. [T] La ecuación de Holling tipo II está descrita por f ( x ) = a x n + x , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la tasa máxima de consumo del depredador. Grafique la ecuación de Holling tipo II dada a = 0,5 y n = 5 . ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo I y II? Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo II e interprete su significado físico. Demuestre que f ( n ) = 1 2 a e interprete el significado del parámetro n . Halle e interprete el significado de la segunda derivada. ¿Qué hace que la función de Holling tipo II sea más realista que la función de Holling tipo I? [T] La ecuación de Holling tipo III se describe mediante f ( x ) = a x 2 n 2 + x 2 , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la tasa máxima de consumo del depredador. Grafique la ecuación de Holling tipo III dada a = 0,5 y n = 5 . ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo II y III? Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo III e interprete su significado físico. Halle e interprete el significado de la segunda derivada (puede ser útil graficarla). ¿Qué otros fenómenos ecológicos describen la función de Holling tipo III en comparación con la de tipo II? a. b. f ′ ( x ) = 2 a x n 2 ( n 2 + x 2 ) 2 . Cuando aumenta la cantidad de presas, aumenta el crecimiento de los depredadores. c f ″ ( x ) = 2 a n 2 ( n 2 − 3 x 2 ) ( n 2 + x 2 ) 3 . Cuando la cantidad de presas es extremadamente pequeña, la tasa de crecimiento de los depredadores es creciente, pero cuando la cantidad de presas supera un determinado umbral, la tasa de crecimiento de los depredadores comienza a disminuir. d. Mientras menos presas hay, es más fácil que eviten ser vistas por el depredador, por lo que se consumen menos individuos, lo que resulta en un menor crecimiento del depredador. [T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y del lince (en cientos) recogidas a lo largo de 7 años, de 1937 a 1943, se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince. Poblaciones de liebres americanas y de linces. Población de liebre americana (en miles) Población de linces (en cientos) 20 10 55 15 65 55 95 60 Fuente: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html. Grafique los puntos de datos y determine qué función de tipo Holling se ajusta mejor a los datos. Utilizando los significados de los parámetros a y n , determine los valores de los mismos examinando un gráfico de los datos. Recordemos que n mida qué valor de la presa resulta en el medio máximo del valor del depredador. Trace las funciones resultantes de tipo Holling I, II y III sobre los datos. ¿Es correcto el resultado de la parte a.? aceleración tasa de cambio de la velocidad, es decir, la derivada de la velocidad cantidad de cambio la cantidad de una función f ( x ) en un intervalo [ x , x + h ] es f ( x + h ) − f ( x ) tasa promedio de cambio es una función f ( x ) en un intervalo [ x , x + h ] es f ( a + h ) − f ( a ) h costo marginal es la derivada de la función de costo, o el costo aproximado de producir un artículo más ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos, o el ingreso aproximado que se obtiene al vender un artículo más ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, o la ganancia aproximada que se obtiene al producir y vender un artículo más tasa de crecimiento demográfico es la derivada de la población con respecto al tiempo rapidez es el valor absoluto de la velocidad, es decir | v ( t ) | es la velocidad de un objeto en el tiempo t cuya velocidad viene dada por v ( t )

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Derivadas de funciones trigonométricas Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple. Derivadas de las funciones seno y coseno Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función f ( x ) , f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . En consecuencia, para los valores de h muy cerca de 0, f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h . Vemos que al utilizar h = 0,01 , d d x ( sen x ) ≈ sen ( x + 0,01 ) − sen x 0,01 Al establecer D ( x ) = sen ( x + 0,01 ) − sen x 0,01 y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de sen x ( ). El gráfico de la función D ( x ) es muy similar a una curva de coseno. Tras la inspección, el gráfico de D ( x ) parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que d d x ( sen x ) = cos x . Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que d d x ( cos x ) = − sen x. Las derivadas de sen x y cos x La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo. d d x ( sen x ) = cos x d d x ( cos x ) = − sen x Prueba Debido a que las pruebas de d d x ( sen x ) = cos x y d d x ( cos x ) = − sen x utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para d d x ( sen x ) = cos x . Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites : lím h → 0 sen h h = 1 y lím h → 0 cos h − 1 h = 0 . Los gráficos de y = ( sen h ) h y y = ( cos h − 1 ) h se muestran en la . Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno. También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos: sen ( x + h ) = sen x cos h + cos x sen h . Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba. d d x sen x = lím h → 0 sen ( x + h ) − sen x h Aplique la definición de la derivada. = lím h → 0 sen x cos h + cos x sen h − sen x h Utilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos. = lím h → 0 ( sen x cos h − sen x h + cos x sen h h ) Reagrupe. = lím h → 0 ( sen x ( cos h − 1 h ) + cos x ( sen h h ) ) Saque el factor común sen x y cos x . = sen x . 0 + cos x . 1 Aplique las fórmulas de límites trigonométricos. = cos x Simplifique. □ La muestra la relación entre el gráfico de f ( x ) = sen x y su derivada f ′ ( x ) = cos x . Observe que en los puntos donde f ( x ) = sen x tiene una tangente horizontal, su derivada f ′ ( x ) = cos x toma el valor cero. También vemos que donde f ( x ) = sen x aumenta, f ′ ( x ) = cos x > 0 y donde f ( x ) = sen x disminuye, f ′ ( x ) = cos x < 0 . Donde f ( x ) tiene un máximo o un mínimo, f ′ ( x ) = 0 es decir, f ′ ( x ) = 0 donde f ( x ) tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos. Diferenciación de una función que contiene sen x Calcule la derivada de f ( x ) = 5 x 3 sen x . Utilizando la regla del producto, tenemos f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 . Tras simplificar, obtenemos f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x . Calcule la derivada de f ( x ) = sen x cos x . f ′ ( x ) = cos 2 x − sen 2 x Pista No olvide utilizar la regla del producto. Encontrar la derivada de una función que contiene cos x Calcule la derivada de g ( x ) = cos x 4 x 2 . Aplicando la regla del cociente, tenemos g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 . Si simplificamos, obtenemos g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 . Calcule la derivada de f ( x ) = x cos x . cos x + x sen x cos 2 x Pista Utilice la regla del cociente. Una aplicación para la velocidad Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 sen t − t por 0 ≤ t ≤ 2 π . ¿En qué tiempos la partícula está en reposo? Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca s ′ ( t ) = v ( t ) = 0 . Comience por hallar s ′ ( t ) . Obtenemos s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 , por lo que debemos resolver 2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π . Las soluciones a esta ecuación son t = π 3 y t = 5 π 3 . Por tanto, la partícula está en reposo en los tiempos t = π 3 y t = 5 π 3 . Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 3 t + 2 cos t por 0 ≤ t ≤ 2 π . ¿En qué tiempos la partícula está en reposo? t = π 3 , t = 2 π 3 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Derivadas de otras funciones trigonométricas Como las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que implican al seno, al coseno o a ambos, podemos utilizar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas. Derivada de la función tangente Calcule la derivada de f ( x ) = tan x . Comience por expresar tan x como el cociente de sen x y cos x : f ( x ) = tan x = sen x cos x . Ahora aplique la regla del cociente para obtener f ′ ( x ) = cos x cos x − ( − sen x ) sen x ( cos x ) 2 . Si simplificamos, obtenemos f ′ ( x ) = cos 2 x + sen 2 x cos 2 x . Al reconocer que cos 2 x + sen 2 x = 1 , según el teorema de Pitágoras, ahora tenemos f ′ ( x ) = 1 cos 2 x . Por último, utilice la identidad sec x = 1 cos x para obtener f ′ ( x ) = sec 2 x . Calcule la derivada de f ( x ) = cot x . f ′ ( x ) = − csc 2 x Pista Reescriba cot x cuando cos x sen x y utilice la regla del cociente. Las derivadas de las restantes funciones trigonométricas pueden obtenerse mediante técnicas similares. Proporcionamos estas fórmulas en el siguiente teorema. Derivadas de tan x , cot x , sec x , y csc x Las derivadas del resto de las funciones trigonométricas son las siguientes: d d x ( tan x ) = sec 2 x d d x ( cot x ) = − csc 2 x d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( csc x ) = − csc x cot x. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de f ( x ) = cot x en x = π 4 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente en ese punto. Para hallar el punto, calcule f ( π 4 ) = cot π 4 = 1 . Por lo tanto, la línea tangente pasa por el punto ( π 4 , 1 ) . A continuación, halle la pendiente encontrando la derivada de f ( x ) = cot x y evalúela en π 4 : f ′ ( x ) = − csc 2 x y f ′ ( π 4 ) = − csc 2 ( π 4 ) = –2 . Utilizando la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos y − 1 = −2 ( x − π 4 ) o de forma equivalente, y = –2 x + 1 + π 2 . Encontrar la derivada de las funciones trigonométricas Calcule la derivada de f ( x ) = csc x + x tan x . Para encontrar esta derivada, debemos utilizar tanto la regla de la suma como la del producto. Utilizando la regla de la suma, hallamos f ′ ( x ) = d d x ( csc x ) + d d x ( x tan x ) . En el primer término, d d x ( csc x ) = − csc x cot x , y aplicando la regla del producto al segundo término obtenemos d d x ( x tan x ) = ( 1 ) ( tan x ) + ( sec 2 x ) ( x ) . Por lo tanto, tenemos f ′ ( x ) = − csc x cot x + tan x + x sec 2 x . Calcule la derivada de f ( x ) = 2 tan x − 3 cot x . f ′ ( x ) = 2 sec 2 x + 3 csc 2 x Pista Utilice la regla para diferenciar un múltiplo constante y la regla para establecer una diferencia entre dos funciones. Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = tan x en x = π 6 . 4 3 Pista Evalúe la derivada en x = π 6 . Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de sen x y cos x siguen un patrón de repetición. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de sen x y cos x . Encontrar derivadas de orden superior de y = sen x Halle las cuatro primeras derivadas de y = sen x . Cada paso de la cadena es sencillo: y = sen x d y d x = cos x d 2 y d x 2 = − sen x d 3 y d x 3 = − cos x d 4 y d x 4 = sen x . Análisis Una vez que reconocemos el patrón de derivadas, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior determinando el paso en el patrón al que corresponde. Por ejemplo, cada cuarta derivada de sen x es igual a sen x , por lo que d 4 d x 4 ( sen x ) = d 8 d x 8 ( sen x ) = d 12 d x 12 ( sen x ) = … = d 4 n d x 4 n ( sen x ) = sen x d 5 d x 5 ( sen x ) = d 9 d x 9 ( sen x ) = d 13 d x 13 ( sen x ) = … = d 4 n + 1 d x 4 n + 1 ( sen x ) = cos x . Para y = cos x , calcule d 4 y d x 4 . cos x Pista Vea el ejemplo anterior. Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de y = sen x Halle d 74 d x 74 ( sen x ) . Podemos ver de inmediato que para la derivada 74 de sen x , 74 = 4 ( 18 ) + 2 , así que d 74 d x 74 ( sen x ) = d 72 + 2 d x 72 + 2 ( sen x ) = d 2 d x 2 ( sen x ) = − sen x . Para y = sen x , calcule d 59 d x 59 ( sen x ) . − cos x Pista d 59 d x 59 ( sen x ) = d 4 . 14 + 3 d x 4 . 14 + 3 ( sen x ) Una aplicación a la aceleración Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 − sen t . Calcule v ( π / 4 ) y a ( π / 4 ) . Compare estos valores y decida si la partícula se está acelerando o ralentizando. Primero calcule v ( t ) = s ′ ( t ) : v ( t ) = s ′ ( t ) = − cos t . Por lo tanto, v ( π 4 ) = − 1 2 . A continuación, calcule a ( t ) = v ′ ( t ) . Por lo tanto, a ( t ) = v ′ ( t ) = sen t y tenemos a ( π 4 ) = 1 2 . Dado que v ( π 4 ) = − 1 2 < 0 y a ( π 4 ) = 1 2 > 0 , vemos que la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas; es decir, el objeto está siendo acelerado en la dirección opuesta a la dirección en la que se desplaza. En consecuencia, la partícula se ralentiza. Un bloque unido a un resorte se mueve verticalmente. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 sen t . Calcule v ( 5 π 6 ) y a ( 5 π 6 ) . Compare estos valores y decida si el bloque se está acelerando o ralentizando. v ( 5 π 6 ) = − 3 < 0 y a ( 5 π 6 ) = −1 < 0 . El bloque se está acelerando. Pista Utilice la como guía. Conceptos clave Podemos encontrar las derivadas de sen x y cos x utilizando la definición de derivada y las fórmulas de límite encontradas anteriormente. Los resultados son d d x sen x = cos x d d x cos x = − sen x . Con estas dos fórmulas, podemos determinar las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas. Ecuaciones clave Derivada de la función seno d d x ( sen x ) = cos x Derivada de la función coseno d d x ( cos x ) = − sen x Derivada de la función tangente d d x ( tan x ) = sec 2 x Derivada de la función cotangente d d x ( cot x ) = − csc 2 x Derivada de la función secante d d x ( sec x ) = sec x tan x Derivada de la función cosecante d d x ( csc x ) = − csc x cot x En los siguientes ejercicios, calcule d y d x para las funciones dadas. y = x 2 − sec x + 1 d y d x = 2 x − sec x tan x y = 3 csc x + 5 x y = x 2 cot x d y d x = 2 x cot x – x 2 csc 2 x y = x – x 3 sen x y = sec x x d y d x = x sec x tan x − sec x x 2 y = sen x tan x y = ( x + cos x ) ( 1 − sen x ) grandes. d y d x = ( 1 − sen x ) ( 1 − sen x ) − cos x ( x + cos x ) grandes. y = tan x 1 − sec x y = 1 − cot x 1 + cot x d y d x = 2 csc 2 x ( 1 + cot x ) 2 y = cos x ( 1 + csc x ) En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente en cada una de las funciones dadas en los valores indicados de x . A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente tanto la función como la línea tangente para asegurarse de que la ecuación de la línea tangente es correcta. [T] f ( x ) = − sen x , x = 0 y = − x [T] f ( x ) = csc x , x = π 2 [T] f ( x ) = 1 + cos x , x = 3 π 2 y = x + 2 − 3 π 2 [T] f ( x ) = sec x , x = π 4 [T] f ( x ) = x 2 − tan x , x = 0 y = − x [T] f ( x ) = 5 cot x , x = π 4 En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y d x 2 para las funciones dadas. y = x sen x − cos x 3 cos x – x sen x y = sen x cos x y = x – 1 2 sen x 1 2 sen x y = 1 x + tan x y = 2 csc x 2 csc x ( csc 2 x + cot 2 x ) grandes. y = sec 2 x Halle todos x los valores en el gráfico de f ( x ) = −3 sen x cos x donde la línea tangente es horizontal. ( 2 n + 1 ) π 4 , donde n es un número entero Halle todos x los valores en el gráfico de f ( x ) = x − 2 cos x por 0 < x < 2 π donde la línea tangente tiene pendiente 2. Supongamos que f ( x ) = cot x . Determine los puntos del gráfico de f por 0 < x < 2 π donde la(s) recta(s) tangente(s) es (son) paralela(s) a la línea y = –2 x . ( π 4 , 1 ) , ( 3 π 4 , –1 ) , ( 5 π 4 , 1 ) , ( 7 π 4 , – 1 ) [T] Una masa sobre un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, modelado por la función s ( t ) = −6 cos t donde s se mide en pulgadas y t se mide en segundos. Halle la velocidad a la que oscila el resorte en t = 5 s. Supongamos que la posición de un péndulo en movimiento armónico simple dada por s ( t ) = a cos t + b sen t donde a y b son constantes, t mide el tiempo en segundos, y s mide la posición en centímetros. Si la posición es 0 cm y la velocidad es de 3 cm/s dado que t = 0 , halle los valores de a y b . a = 0 , b = 3 Después de que un buceador salte de un trampolín, el borde del trampolín oscila con la posición dada por s ( t ) = −5 cos t cm en t segundos después del salto. Trace un periodo de la función de posición para t ≥ 0 . Halle la función de velocidad. Trace un periodo de la función de velocidad para t ≥ 0 . Determine los tiempos en los que la velocidad es 0 en un periodo. Halle la función de aceleración. Trace un periodo de la función de aceleración para t ≥ 0 . El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, viene dado por y = 10 + 5 sen x donde y es el número de hamburguesas vendidas y x representa el número de horas transcurridas desde la apertura del restaurante a las 11 a. m. hasta las 11 p. m. momento en el que el establecimiento cierra. Halle y ′ y determine los intervalos en los que aumenta el número de hamburguesas que se venden. y ′ = 5 cos ( x ) , creciente en ( 0 , π 2 ) , ( 3 π 2 , 5 π 2 ) , y ( 7 π 2 , 12 ) [T] La cantidad de lluvia por mes en Phoenix, Arizona, puede aproximarse mediante y ( t ) = 0,5 + 0,3 cos t , donde t son los meses desde enero. Halle y ′ y utilice una calculadora para determinar los intervalos en los que la cantidad de lluvia caída disminuye. En los siguientes ejercicios, utilice la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas. d d x ( cot x ) = − csc 2 x d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( csc x ) = − csc x cot x Utilice la definición de derivada y la identidad cos ( x + h ) = cos x cos h − sen x sen h para demostrar que d ( cos x ) d x = − sen x . En los siguientes ejercicios halle la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas. d 3 y d x 3 de y = 3 cos x 3 sen x d 2 y d x 2 de y = 3 sen x + x 2 cos x d 4 y d x 4 de y = 5 cos x 5 cos x d 2 y d x 2 de y = sec x + cot x d 3 y d x 3 de y = x 10 − sec x 720 x 7 − 5 tan ( x ) sec 3 ( x ) − tan 3 ( x ) sec ( x )

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La regla de la cadena Hemos visto las técnicas de diferenciación de funciones básicas ( x n , sen x , cos x , etc . ) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, como h ( x ) = sen ( x 3 ) o k ( x ) = 3 x 2 + 1 . En esta sección estudiamos la regla para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Derivar la regla de la cadena Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena , que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior. Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: h ( x ) = sen ( x 3 ) . Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de sen ( x 3 ) en relación con el cambio en x . En consecuencia, queremos saber cómo sen ( x 3 ) cambia, a medida que x cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Dado que x cambia, x 3 cambia, lo que lleva a un cambio en sen ( x 3 ) . Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de sen ( x 3 ) . Primero que nada, un cambio en x , lo que fuerza un cambio en x 3 sugiere que de alguna manera la derivada de x 3 está involucrada. Además, el cambio en x 3 , lo que fuerza un cambio en sen ( x 3 ) sugiere que la derivada de sen ( u ) con respecto a u , donde u = x 3 , también forma parte de la derivada final. Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de h ( x ) = sen ( x 3 ) fijando el límite que nos daría la derivada en un valor específico a en el dominio de h ( x ) = sen ( x 3 ) . h ′ ( a ) = lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x – a . Esta expresión no parece especialmente útil; sin embargo, podemos modificarla al multiplicar por y dividir entre la expresión x 3 − a 3 para obtener h ′ ( a ) = lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x 3 − a 3 . x 3 − a 3 x – a . A partir de la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de x 3 en x = a . Eso es, lím x → a x 3 − a 3 x – a = d d x ( x 3 ) x = a = 3 a 2 . Sin embargo, puede ser un poco más difícil reconocer que el primer término es también una derivada. Podemos ver esto suponiendo que u = x 3 y observando que a medida que x → a , u → a 3 : lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x 3 − a 3 = lím u → a 3 sen u − sen ( a 3 ) u − a 3 = d d u ( sen u ) u = a 3 = cos ( a 3 ) Así, h ′ ( a ) = cos ( a 3 ) . 3 a 2 . En otras palabras, si h ( x ) = sen ( x 3 ) , entonces h ′ ( x ) = cos ( x 3 ) . 3 x 2 . Por lo tanto, si pensamos en h ( x ) = sen ( x 3 ) como la composición ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = sen x y g ( x ) = x 3 , entonces la derivada h ( x ) = sen ( x 3 ) es el producto de la derivada de g ( x ) = x 3 y la derivada de la función f ( x ) = sen x evaluada en la función g ( x ) = x 3 . En este punto, prevemos que para h ( x ) = sen ( g ( x ) ) , es muy probable que h ′ ( x ) = cos ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . Como determinamos anteriormente, este es el caso de h ( x ) = sen ( x 3 ) . Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, exponemos el caso general y lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Al final de la sección se ofrece una prueba informal. Regla: la regla de la cadena Supongamos que f y g son funciones. Para todo x en el dominio de g para la cual g es diferenciable en el punto x y f es diferenciable en g ( x ) , la derivada de la función compuesta h ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) viene dada por h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . Alternativamente, si y es una función de u , y u es una función de x , entonces d y d x = d y d u . d u d x . Vea una animación de la regla de la cadena. Estrategia para la resolución de problemas: Aplicar la regla de la cadena Para diferenciar h ( x ) = f ( g ( x ) ) , empiece por identificar f ( x ) y g ( x ) . Calcule f ′ ( x ) y evalúela en g ( x ) para obtener f ′ ( g ( x ) ) . Halle g ′ ( x ) . Escriba h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) . g ′ ( x ) . Nota : Cuando se aplica la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, hay que tener en cuenta que se trabaja desde la función exterior hacia dentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse que tiene dos partes, la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada. La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma h ( x ) = ( g ( x ) ) n , tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en h ( x ) = ( g ( x ) ) n como f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = x n . Entonces f ′ ( x ) = n x n – 1 . Por lo tanto, f ′ ( g ( x ) ) = n ( g ( x ) ) n – 1 . Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena, h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) Regla: regla de la potencia para composición de funciones Para todos los valores de x para los que está definida la derivada, si h ( x ) = ( g ( x ) ) n . Entonces h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia Calcule la derivada de h ( x ) = 1 ( 3 x 2 + 1 ) 2 . Primero, reescriba h ( x ) = 1 ( 3 x 2 + 1 ) 2 = ( 3 x 2 + 1 ) −2 . Si aplicamos la regla de la potencia con g ( x ) = 3 x 2 + 1 , tenemos h ′ ( x ) = −2 ( 3 x 2 + 1 ) −3 ( 6 x ) . Al reescribir en la forma original obtenemos h ′ ( x ) = −12 x ( 3 x 2 + 1 ) 3 . Calcule la derivada de h ( x ) = ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 4 . h ′ ( x ) = 4 ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 3 ( 6 x 2 + 2 ) = 8 ( 3 x 2 + 1 ) ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 3 Pista Utilice con g ( x ) = 2 x 3 + 2 x – 1 Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia con una función trigonométrica Calcule la derivada de h ( x ) = sen 3 x . Primero recordemos que sen 3 x = ( sen x ) 3 , por lo que podemos reescribir h ( x ) = sen 3 x cuando h ( x ) = ( sen x ) 3 . Si aplicamos la regla de la potencia con g ( x ) = sen x , obtenemos h ′ ( x ) = 3 ( sen x ) 2 cos x = 3 sen 2 x cos x . Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de h ( x ) = 1 ( 3 x − 5 ) 2 en x = 2 . Como estamos hallando la ecuación de una línea, necesitamos un punto. La coordenada x del punto es 2. Para hallar la coordenada y , sustituya 2 en h ( x ) . Dado que h ( 2 ) = 1 ( 3 ( 2 ) − 5 ) 2 = 1 , el punto es ( 2 , 1 ) . Para la pendiente, necesitamos h ′ ( 2 ) . Para calcular h ′ ( x ) , primero escribimos h ( x ) = ( 3 x − 5 ) −2 y aplique la regla de la potencia para obtener h ′ ( x ) = −2 ( 3 x − 5 ) −3 ( 3 ) = −6 ( 3 x − 5 ) −3 . Al sustituir, tenemos h ′ ( 2 ) = −6 ( 3 ( 2 ) − 5 ) −3 = −6 . Por lo tanto, la línea tiene la ecuación y − 1 = −6 ( x − 2 ) . Al reescribirla, la ecuación de la línea es y = −6 x + 13 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = ( x 2 − 2 ) 3 en x = –2 . y = −48 x − 88 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Combinar la regla de la cadena con otras reglas Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto. Usar la regla de la cadena en una función coseno general Calcule la derivada de h ( x ) = cos ( g ( x ) ) . Piense en h ( x ) = cos ( g ( x ) ) cuando f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = cos x . Dado que f ′ ( x ) = − sen x . tenemos f ′ ( g ( x ) ) = − sen ( g ( x ) ) . Luego, hacemos el siguiente cálculo. h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) Aplique la regla de la cadena. = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) Sustituya f ′ ( g ( x ) ) = − sen ( g ( x ) ) . Por lo tanto, la derivada de h ( x ) = cos ( g ( x ) ) viene dada por h ′ ( x ) = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar. Usar la regla de la cadena en una función coseno Calcule la derivada de h ( x ) = cos ( 5 x 2 ) . Supongamos que g ( x ) = 5 x 2 . Entonces g ′ ( x ) = 10 x . Utilizando el resultado del ejemplo anterior, h ′ ( x ) = − sen ( 5 x 2 ) . 10 x = −10 x sen ( 5 x 2 ) . Usar la regla de la cadena en otra función trigonométrica Calcule la derivada de h ( x ) = sec ( 4 x 5 + 2 x ) . Aplique la regla de la cadena a h ( x ) = sec ( g ( x ) ) para obtener h ′ ( x ) = sec ( g ( x ) ) tan ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En este problema, g ( x ) = 4 x 5 + 2 x , por lo que tenemos g ′ ( x ) = 20 x 4 + 2 . Por lo tanto, obtenemos h ′ ( x ) = sec ( 4 x 5 + 2 x ) tan ( 4 x 5 + 2 x ) ( 20 x 4 + 2 ) = ( 20 x 4 + 2 ) sec ( 4 x 5 + 2 x ) tan ( 4 x 5 + 2 x ) . Calcule la derivada de h ( x ) = sen ( 7 x + 2 ) . h ′ ( x ) = 7 cos ( 7 x + 2 ) Pista Aplique la regla de la cadena a h ( x ) = sen g ( x ) primero y luego, utilice g ( x ) = 7 x + 2 . En este punto proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en el y el . Para más facilidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar (analizamos la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas. Usar la regla de la cadena en funciones trigonométricas Para todos los valores de x para los que se define la derivada, d d x ( sen ( g ( x ) ) ) = cos ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x sen u = cos u d u d x d d x ( cos ( g ( x ) ) ) = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x cos u = − sen u d u d x d d x ( tan ( g ( x ) ) ) = sec 2 ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x tan u = sec 2 u d u d x d d x ( cot ( g ( x ) ) ) = − csc 2 ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x cot u = − csc 2 u d u d x d d x ( sec ( g ( x ) ) ) = sec ( g ( x ) tan ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x sec u = sec u tan u d u d x d d x ( csc ( g ( x ) ) ) = − csc ( g ( x ) ) cot ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x csc u = − csc u cot u d u d x . Combinar la regla de la cadena con la regla del producto Calcule la derivada de h ( x ) = ( 2 x + 1 ) 5 ( 3 x − 2 ) 7 . Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto. h ′ ( x ) = d d x ( ( 2 x + 1 ) 5 ) . ( 3 x − 2 ) 7 + d d x ( ( 3 x − 2 ) 7 ) . ( 2 x + 1 ) 5 Aplique la regla del producto. = 5 ( 2 x + 1 ) 4 . 2 . ( 3 x − 2 ) 7 + 7 ( 3 x − 2 ) 6 . 3 . ( 2 x + 1 ) 5 Aplique la regla de la cadena. = 10 ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 7 + 21 ( 3 x − 2 ) 6 ( 2 x + 1 ) 5 Simplifique. = ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 ( 10 ( 3 x − 2 ) + 21 ( 2 x + 1 ) ) Saque el factor común ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 . = ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 ( 72 x + 1 ) Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = x ( 2 x + 3 ) 3 . h ′ ( x ) = 3 − 4 x ( 2 x + 3 ) 4 Pista Empiece por aplicar la regla del cociente. Recuerde utilizar la regla de la cadena para diferenciar el denominador. Compuestos de tres o más funciones Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces. En términos generales, primero dejamos que k ( x ) = h ( f ( g ( x ) ) ) . Entonces, aplicando la regla de la cadena una vez obtenemos k ′ ( x ) = d d x ( h ( f ( g ( x ) ) ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) ) . d d x f ( ( g ( x ) ) ) . Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos k ′ ( x ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) . Regla: regla de la cadena para una composición de tres funciones Para todos los valores de x en los que la función es diferenciable, si k ( x ) = h ( f ( g ( x ) ) ) , entonces k ′ ( x ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) ) f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces. Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes (del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente). Además , recuerde que siempre podemos trabajar desde afuera hacia dentro tomando una derivada cada vez. Diferenciación de un compuesto de tres funciones Calcule la derivada de k ( x ) = cos 4 ( 7 x 2 + 1 ) . Primero, reescriba k ( x ) como k ( x ) = ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 4 . A continuación, aplique la regla de la cadena varias veces. k ′ ( x ) = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( d d x cos ( 7 x 2 + 1 ) ) Aplique la regla de la cadena. = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( − sen ( 7 x 2 + 1 ) ) ( d d x ( 7 x 2 + 1 ) ) Aplique la regla de la cadena. = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( − sen ( 7 x 2 + 1 ) ) ( 14 x ) Aplique la regla de la cadena. = −56 x sen ( 7 x 2 + 1 ) cos 3 ( 7 x 2 + 1 ) Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = sen 6 ( x 3 ) . h ′ ( x ) = 18 x 2 sen 5 ( x 3 ) cos ( x 3 ) Pista Reescriba h ( x ) = sen 6 ( x 3 ) = ( sen ( x 3 ) ) 6 y utilice el como guía. Uso de la regla de la cadena en un problema de velocidad Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = sen ( 2 t ) + cos ( 3 t ) . ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t = π 6 ? Para hallar v ( t ) , la velocidad de la partícula en el tiempo t , debemos diferenciar s ( t ) . Por lo tanto, v ( t ) = s ′ ( t ) = 2 cos ( 2 t ) − 3 sen ( 3 t ) . Al sustituir t = π 6 en v ( t ) , obtenemos v ( π 6 ) = –2 . Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = sen ( 4 t ) . Calcule su aceleración en el tiempo t . a ( t ) = −16 sen ( 4 t ) Pista La aceleración es la segunda derivada de la posición. Prueba En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. En aras de la simplicidad, pasamos por alto algunas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que g ( x ) ≠ g ( a ) para x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a . Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función h ( x ) para obtener h ′ ( a ) : h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) x – a . Reescribiendo, obtenemos h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) . g ( x ) − g ( a ) x – a . Aunque está claro que lím x → a g ( x ) − g ( a ) x – a = g ′ ( a ) , no es obvio que lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) = f ′ ( g ( a ) ) . Para comprobar esto, primero hay que recordar que como g es diferenciable en a , g también es continua en a . Por lo tanto, lím x → a g ( x ) = g ( a ) . A continuación, sustituya y = g ( x ) y b = g ( a ) y utilice el cambio de variables en el límite para obtener lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) = lím y → b f ( y ) − f ( b ) y − b = f ′ ( b ) = f ′ ( g ( a ) ) . Finalmente, h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) . g ( x ) − g ( a ) x – a = f ′ ( g ( a ) ) g ′ ( a ) . □ Uso de la regla de la cadena con los valores funcionales Supongamos que h ( x ) = f ( g ( x ) ) . Si g ( 1 ) = 4 , g ′ ( 1 ) = 3 , y f ′ ( 4 ) = 7 , calcule h ′ ( 1 ) . Utilice la regla de la cadena y luego sustituya. h ′ ( 1 ) = f ′ ( g ( 1 ) ) g ′ ( 1 ) Aplique la regla de la cadena. = f ′ ( 4 ) . 3 Sustituya g ( 1 ) = 4 y g ′ ( 1 ) = 3 . = 7 . 3 Sustituya f ′ ( 4 ) = 7. = 21 Simplifique. Dados h ( x ) = f ( g ( x ) ) . Si g ( 2 ) = −3 , g ′ ( 2 ) = 4 , y f ′ ( −3 ) = 7 , calcule h ′ ( 2 ) . 28 Pista Siga el . La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física. Para h ( x ) = f ( g ( x ) ) , supongamos que u = g ( x ) y de y = h ( x ) = f ( u ) . Por lo tanto, h ′ ( x ) = d y d x , f ′ ( g ( x ) ) = f ′ ( u ) = d y d u y g ′ ( x ) = d u d x . En consecuencia, d y d x = h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = d y d u . d u d x . Regla: regla de la cadena mediante la notación de Leibniz Si los valores de y es una función de u , y u es una función de x , entonces d y d x = d y d u . d u d x . Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 1 Calcule la derivada de y = ( x 3 x + 2 ) 5 . En primer lugar, supongamos que u = x 3 x + 2 . Por lo tanto, y = u 5 . A continuación, calcule d u d x y d y d u . Utilizando la regla del cociente, d u d x = 2 ( 3 x + 2 ) 2 y d y d u = 5 u 4 . Finalmente, lo juntamos todo. d y d x = d y d u . d u d x Aplique la regla de la cadena. = 5 u 4 . 2 ( 3 x + 2 ) 2 Sustituya d y d u = 5 u 4 y d u d x = 2 ( 3 x + 2 ) 2 . = 5 ( x 3 x + 2 ) 4 . 2 ( 3 x + 2 ) 2 Sustituya u = x 3 x + 2 . = 10 x 4 ( 3 x + 2 ) 6 Simplifique. Es importante recordar que, cuando se utiliza la forma de Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse completamente en términos de la variable original del problema. Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 2 Calcule la derivada de y = tan ( 4 x 2 − 3 x + 1 ) . En primer lugar, supongamos que u = 4 x 2 − 3 x + 1 . Entonces y = tan u . A continuación, calcule d u d x y d y d u : d u d x = 8 x − 3 y d y d u = sec 2 u . Finalmente, lo juntamos todo. d y d x = d y d u . d u d x Aplique la regla de la cadena. = sec 2 u . ( 8 x − 3 ) Uso d u d x = 8 x − 3 y d y d u = sec 2 u . = sec 2 ( 4 x 2 − 3 x + 1 ) . ( 8 x − 3 ) Sustituya u = 4 x 2 − 3 x + 1 . Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de y = cos ( x 3 ) . Asegúrese de que la respuesta final se exprese completamente en términos de la variable x . d y d x = −3 x 2 sen ( x 3 ) Pista Supongamos que u = x 3 . Conceptos clave La regla de la cadena nos permite diferenciar composiciones de dos o más funciones. Establece que para h ( x ) = f ( g ( x ) ) , h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En la notación de Leibniz esta regla toma la forma d y d x = d y d u . d u d x . Podemos utilizar la regla de la cadena con otras reglas que ya aprendimos y derivar fórmulas en algunas de ellas. La regla de la cadena se combina con la regla de la potencia para formar una nueva regla: Si h ( x ) = ( g ( x ) ) n , entonces h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) . Cuando se aplica a la composición de tres funciones, la regla de la cadena puede expresarse como sigue: Si los valores de h ( x ) = f ( g ( k ( x ) ) ) , entonces h ′ ( x ) = f ′ ( g ( k ( x ) ) g ′ ( k ( x ) ) k ′ ( x ) . Ecuaciones clave La regla de la cadena h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) La regla de la potencia para las funciones h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) En los siguientes ejercicios, dados y = f ( u ) y u = g ( x ) , calcule d y d x utilizando la notación de Leibniz para la regla de la cadena: d y d x = d y d u d u d x . y = 3 u − 6 , u = 2 x 2 y = 6 u 3 , u = 7 x − 4 18 u 2 . 7 = 18 ( 7 x − 4 ) 2 . 7 y = sen u , u = 5 x – 1 y = cos u , u = − x 8 − sen u . −1 8 = − sen ( − x 8 ) . −1 8 y = tan u , u = 9 x + 2 y = 4 u + 3 , u = x 2 − 6 x 8 x − 24 2 4 u + 3 = 4 x − 12 4 x 2 − 24 x + 3 En cada uno de los siguientes ejercicios, descomponga cada función en la forma y = f ( u ) y u = g ( x ) , y halle d y d x en función de x . y = ( 3 x − 2 ) 6 y = ( 3 x 2 + 1 ) 3 a. u = 3 x 2 + 1 ; b. 18 x ( 3 x 2 + 1 ) 2 y = sen 5 ( x ) grandes. y = ( x 7 + 7 x ) 7 a. f ( u ) = u 7 , u = x 7 + 7 x ; b. 7 ( x 7 + 7 x ) 6 . ( 1 7 − 7 x 2 ) grandes. y = tan ( sec x ) grandes. y = csc ( π x + 1 ) a. f ( u ) = csc u , u = π x + 1 ; b. − π csc ( π x + 1 ) . cot ( π x + 1 ) grandes. y = cot 2 x y = −6 ( sen ) −3 x a. f ( u ) = −6 u −3 , u = sen x , b. 18 ( sen ) −4 x . cos x En los siguientes ejercicios, calcule d y d x por cada función. y = ( 3 x 2 + 3 x – 1 ) 4 y = ( 5 − 2 x ) −2 4 ( 5 − 2 x ) 3 y = cos 3 ( π x ) grandes. y = ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 3 6 ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 2 ( 3 x 2 − x + 3 ) grandes. y = 1 sen 2 ( x ) grandes. y = ( tan x + sen x ) −3 −3 ( tan x + sen x ) −4 . ( sec 2 x + cos x ) grandes. y = x 2 cos 4 x y = sen ( cos 7 x ) grandes. −7 cos ( cos 7 x ) . sen 7 x y = 6 + sec π x 2 y = cot 3 ( 4 x + 1 ) grandes. −12 cot 2 ( 4 x + 1 ) . csc 2 ( 4 x + 1 ) Supongamos que y = [ f ( x ) ] 2 y supongamos que f ′ ( 1 ) = 4 y d y d x = 10 por x = 1 . Calcule f ( 1 ) . Supongamos que y = ( f ( x ) + 5 x 2 ) 4 y supongamos que f ( –1 ) = −4 y d y d x = 3 cuando x = −1 . Calcule f ′ ( –1 ) grandes. 10 3 4 Supongamos que y = ( f ( u ) + 3 x ) 2 y u = x 3 − 2 x . Si f ( 4 ) = 6 y d y d x = 18 cuando x = 2 , calcule f ′ ( 4 ) . [T] Halle la ecuación de la línea tangente para y = − sen ( x 2 ) en el origen. Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente. y = −1 2 x [T] Halle la ecuación de la línea tangente para y = ( 3 x + 1 x ) 2 en el punto ( 1 , 16 ) . Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente. Calcule las coordenadas x en las que la línea tangente a y = ( x − 6 x ) 8 es horizontal. x = ± 6 [T] Halle una ecuación de la línea que sea normal a g ( θ ) = sen 2 ( π θ ) en el punto ( 1 4 , 1 2 ) . Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea normal. En los siguientes ejercicios, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar h ′ ( a ) en el valor dado para a . x f ( x ) grandes. f ′ ( x ) grandes. g ( x ) grandes. g ′ ( x ) 0 2 5 0 2 1 1 −2 3 0 2 4 4 1 −1 3 3 −3 2 3 h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0 10 h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1 − 1 8 h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3 h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1 −4 h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2 h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1 −12 h ( x ) = f ( g ( sen x ) ) ; a = 0 [T] La función de posición de un tren de mercancías viene dada por s ( t ) = 100 ( t + 1 ) −2 , con la s en metros y t en segundos. En el tiempo t = 6 s, encontrar: la velocidad y aceleración del tren. Utilizando a. y b. ¿el tren acelera o frena? a. − 200 343 m/s, b. 600 2401 m/s 2 , c. El tren va disminuyendo su velocidad, ya que la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos. [T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde t se mide en segundos y s está en pulgadas: s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) . Determine la posición del resorte en t = 1,5 s. Calcule la velocidad del resorte en t = 1,5 s. [T] El costo total para producir x cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de C dólares, donde C = 0,0001 x 3 − 0,02 x 2 + 3 x + 300 . En t semanas, se estima que la producción sea de x = 1.600 + 100 t cajas. Calcule el costo marginal C ′ ( x ) . Utilice la notación de Leibniz para la regla de la cadena, d C d t = d C d x . d x d t , para encontrar la tasa con respecto al tiempo t en el que el costo cambia. Utilice b. para determinar la velocidad de aumento de los costos cuando t = 2 semanas. Incluya las unidades en la respuesta. a. C ′ ( x ) = 0,0003 x 2 − 0,04 x + 3 b. d C d t = 100 . ( 0,0003 x 2 − 0,04 x + 3 ) c. Aproximadamente 90.300 dólares por semana [T] La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 , donde r es el radio del círculo. Supongamos que un círculo se expande, lo que significa que tanto el área A y el radio r (en pulgadas) se expanden. Supongamos que r = 2 − 100 ( t + 7 ) 2 donde t es el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena d A d t = d A d r . d r d t para encontrar la tasa de expansión del área. Utilice a. para hallar el ritmo de expansión del área en t = 4 s. [T] La fórmula del volumen de una esfera es S = 4 3 π r 3 , donde r (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se derrite al sol. Supongamos que r = 1 ( t + 1 ) 2 – 1 12 donde t es el tiempo en minutos. Utilice la regla de la cadena d S d t = d S d r . d r d t para encontrar la tasa a la que se funde la bola de nieve. Utilice a. para hallar la tasa de variación del volumen en t = 1 min. a. d S d t = − 8 π r 2 ( t + 1 ) 3 b. El volumen disminuye a una tasa de − π 36 ft 3 /min. [T] La temperatura diaria en verano de Phoenix en grados Fahrenheit puede modelarse mediante la función T ( x ) = 94 − 10 cos [ π 12 ( x − 2 ) ] , donde x son horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p. m. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela mediante la función D ( t ) = 5 sen ( π 6 t − 7 π 6 ) + 8 , donde t es el número de horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a. m. ~ 2,3 ft/h regla de la cadena la regla de la cadena define la derivada de una función compuesta como la derivada de la función exterior evaluada en la función interior multiplicada por la derivada de la función interior

Matemáticas


Derivadas de funciones inversas En esta sección exploraremos la relación entre la derivada de una función y la derivada de su inversa. En las funciones cuyas derivadas ya conocemos, podemos utilizar esta relación para encontrar las derivadas de las inversas sin tener que utilizar la definición de límite de la derivada. En particular, aplicaremos la fórmula de las derivadas de las funciones inversas a las funciones trigonométricas. Esta fórmula también puede utilizarse para extender la regla de la potencia a los exponentes racionales. La derivada de una función inversa Comenzamos considerando una función y su inversa. Si los valores de f ( x ) es invertible y diferenciable, parece razonable que la inversa de f ( x ) también es diferenciable. La muestra la relación entre una función f ( x ) y su inversa f −1 ( x ) . Vea el punto ( a , f −1 ( a ) ) en el gráfico de f −1 ( x ) que tiene una línea tangente con una pendiente de ( f −1 ) ′ ( a ) = p q . Este corresponde al punto ( f −1 ( a ) , a ) en el gráfico de f ( x ) que tiene una línea tangente con una pendiente de f ′ ( f −1 ( a ) ) = q p . Por lo tanto, si f −1 ( x ) es diferenciable en a , entonces debe ser el caso que ( f −1 ) ′ ( a ) = 1 f ′ ( f −1 ( a ) ) . Las rectas tangentes de una función y su inversa están relacionadas, así que también lo están las derivadas de estas funciones. También podemos derivar la fórmula de la derivada de la inversa recordando primero que x = f ( f −1 ( x ) ) . Entonces, diferenciando ambos lados de esta ecuación (utilizando la regla de la cadena de la derecha), obtenemos 1 = f ′ ( f −1 ( x ) ) ( f −1 ) ′ ( x ) ) . Al resolver para ( f −1 ) ′ ( x ) , obtenemos ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) . Resumimos este resultado en el siguiente teorema. Teorema de la función inversa Supongamos que f ( x ) es una función invertible y diferenciable. Supongamos que y = f −1 ( x ) es la inversa de f ( x ) . Para todo x que satisface f ′ ( f −1 ( x ) ) ≠ 0 , d y d x = d d x ( f −1 ( x ) ) = ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) . Alternativamente, si y = g ( x ) es la inversa de f ( x ) , entonces g ' ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) . Aplicación del teorema de la función inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = x + 2 x . Compare la derivada resultante con la obtenida al diferenciar la función directamente. La inversa de g ( x ) = x + 2 x es f ( x ) = 2 x – 1 . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = −2 ( x – 1 ) 2 y f ′ ( g ( x ) ) = −2 ( g ( x ) − 1 ) 2 = −2 ( x + 2 x – 1 ) 2 = − x 2 2 . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = − 2 x 2 . Podemos comprobar que esta es la derivada correcta aplicando la regla del cociente a g ( x ) para obtener g ′ ( x ) = − 2 x 2 . Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = 1 x + 2 . Compare el resultado obtenido al diferenciar g ( x ) directamente. g ′ ( x ) = − 1 ( x + 2 ) 2 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Aplicación del teorema de la función inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = x 3 . La función g ( x ) = x 3 es la inversa de la función f ( x ) = x 3 . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 3 x 2 y f ′ ( g ( x ) ) = 3 ( x 3 ) 2 = 3 x 2 / 3 . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 3 x 2 / 3 = 1 3 x −2 / 3 . Calcule la derivada de g ( x ) = x 5 aplicando el teorema de la función inversa. g ( x ) = 1 5 x − 4 / 5 Pista g ( x ) es la inversa de f ( x ) = x 5 . A partir del ejemplo anterior, vemos que podemos utilizar el teorema de la función inversa para extender la regla de la potencia a exponentes de la forma 1 n , donde n es un número entero positivo. Esta ampliación nos permitirá, en última instancia, diferenciar x q , donde q es cualquier número racional. Extensión de la regla de la potencia a los exponentes racionales La regla de la potencia puede extenderse a los exponentes racionales. Es decir, si n es un número entero positivo, entonces d d x ( x 1 / n ) = 1 n x ( 1 / n ) − 1 . Además, si n es un número entero positivo y m es un número entero arbitrario, entonces d d x ( x m / n ) = m n x ( m / n ) − 1 . Prueba La función g ( x ) = x 1 / n es la inversa de la función f ( x ) = x n . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = n x n – 1 y f ′ ( g ( x ) ) = n ( x 1 / n ) n – 1 = n x ( n – 1 ) / n . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 n x ( n – 1 ) / n = 1 n x ( 1 − n ) / n = 1 n x ( 1 / n ) − 1 . Para diferenciar x m / n debemos reescribirlo como ( x 1 / n ) m y aplicar la regla de la cadena. Por lo tanto, d d x ( x m / n ) = d d x ( ( x 1 / n ) m ) = m ( x 1 / n ) m − 1 . 1 n x ( 1 / n ) − 1 = m n x ( m / n ) − 1 . □ Aplicación de la regla de la potencia a una potencia racional Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y = x 2 / 3 en x = 8 . Primero calcule d y d x y evalúela en x = 8 . Dado que d y d x = 2 3 x −1 / 3 y d y d x | x = 8 = 1 3 la pendiente de la línea tangente al gráfico en x = 8 ¿es 1 3 . Sustituyendo x = 8 en la función original, obtenemos y = 4 . Por tanto, la línea tangente pasa por el punto ( 8 , 4 ) . Sustituyendo en la fórmula punto-pendiente de una línea, obtenemos la línea tangente y = 1 3 x + 4 3 . Calcule la derivada de s ( t ) = 2 t + 1 . s ′ ( t ) = ( 2 t + 1 ) − 1 / 2 Pista Utilice la regla de la cadena. Derivadas de funciones trigonométricas inversas Ahora nos centraremos en la búsqueda de derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estas derivadas resultarán muy valiosas en el estudio de la integración más adelante en este texto. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son bastante sorprendentes, ya que sus derivadas son en realidad funciones algebraicas. Anteriormente, se demostró que las derivadas de funciones algebraicas son funciones algebraicas y que las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas. Aquí, por primera vez, vemos que la derivada de una función no tiene por qué ser del mismo tipo que la función original. Derivada de la función seno inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = sen −1 x . Dado que para x en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] , f ( x ) = sen x es la inversa de g ( x ) = sen −1 x , comience por hallar f ′ ( x ) . Dado que f ′ ( x ) = cos x y f ′ ( g ( x ) ) = cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 , vemos que g ′ ( x ) = d d x ( sen −1 x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 1 − x 2 . Análisis Para ver que cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 , considere el siguiente argumento. Establezca sen −1 x = θ . En este caso, sen θ = x donde − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Comenzamos considerando el caso en el que 0 < θ < π 2 . Dado que θ es un ángulo agudo, podemos construir un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo θ , una hipotenusa de longitud 1 y el lado opuesto al ángulo θ que tiene una longitud x . A partir del teorema de Pitágoras, el lado adyacente al ángulo θ tiene longitud 1 − x 2 . Este triángulo se muestra en la . Utilizando el triángulo, vemos que cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . Utilizando un triángulo rectángulo con ángulo agudo θ , una hipotenusa de longitud 1 , y el lado opuesto al ángulo θ que tiene una longitud x , podemos ver que cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . En caso de que − π 2 < θ < 0 , hacemos la observación de que 0 < − θ < π 2 y por lo tanto cos ( sen −1 x ) = cos θ = cos ( − θ ) = 1 − x 2 . Ahora bien, si θ = π 2 o θ = − π 2 , x = 1 o x = −1 , y como en cualquier caso cos θ = 0 y 1 − x 2 = 0 , tenemos cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . Por último, si θ = 0 , x = 0 y cos θ = 1 – 0 = 1 . En consecuencia, en todos los casos, cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 . Aplicación de la regla de la cadena a la función seno inversa Aplique la regla de la cadena a la fórmula derivada en el para hallar la derivada de h ( x ) = sen −1 ( g ( x ) ) y utilizar este resultado para hallar la derivada de h ( x ) = sen −1 ( 2 x 3 ) . Aplicando la regla de la cadena a h ( x ) = sen −1 ( g ( x ) ) , tenemos h ′ ( x ) = 1 1 − ( g ( x ) ) 2 g ′ ( x ) . Ahora supongamos que g ( x ) = 2 x 3 , por lo que g ′ ( x ) = 6 x 2 . Al sustituir en el resultado anterior, obtenemos h ′ ( x ) = 1 1 − 4 x 6 . 6 x 2 = 6 x 2 1 − 4 x 6 . Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = tan −1 x . g ′ ( x ) = 1 1 + x 2 Pista La inversa de g ( x ) es f ( x ) = tan x . Utilice la como guía. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden hallar utilizando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema. Derivadas de funciones trigonométricas inversas d d x sen −1 x = 1 1 − ( x ) 2 d d x cos −1 x = −1 1 − ( x ) 2 d d x tan −1 x = 1 1 + ( x ) 2 d d x cot −1 x = −1 1 + ( x ) 2 d d x sec −1 x = 1 | x | ( x ) 2 – 1 d d x csc −1 x = −1 | x | ( x ) 2 – 1 Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función tangente inversa Calcule la derivada de f ( x ) = tan –1 ( x 2 ) . Supongamos que g ( x ) = x 2 , por lo que g ′ ( x ) = 2 x . Sustituyendo en la , obtenemos f ′ ( x ) = 1 1 + ( x 2 ) 2 . ( 2 x ) . Simplificando, tenemos f ′ ( x ) = 2 x 1 + x 4 . Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función seno inversa Calcule la derivada de h ( x ) = x 2 sen −1 x . Aplicando la regla del producto, tenemos h ′ ( x ) = 2 x sen −1 x + 1 1 − x 2 . x 2 . Calcule la derivada de h ( x ) = cos −1 ( 3 x – 1 ) . h ′ ( x ) = −3 6 x − 9 x 2 Pista Utilice la con g ( x ) = 3 x – 1 Aplicación de la función tangente inversa La posición de una partícula en el tiempo t viene dada por s ( t ) = tan –1 ( 1 t ) por t ≥ 1 2 . Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 . Comience por diferenciar s ( t ) a fin de hallar v ( t ) . Por lo tanto, v ( t ) = s ′ ( t ) = 1 1 + ( 1 t ) 2 . −1 t 2 . Simplificando, tenemos v ( t ) = − 1 t 2 + 1 . Por lo tanto, v ( 1 ) = − 1 2 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = sen −1 x en x = 0 . y = x Pista f ′ ( 0 ) es la pendiente de la línea tangente. Conceptos clave El teorema de la función inversa nos permite calcular derivadas de funciones inversas sin utilizar la definición de límite de la derivada. Podemos utilizar el teorema de la función inversa para desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas inversas. Ecuaciones clave Teorema de la función inversa ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) siempre que f ′ ( f −1 ( x ) ) ≠ 0 y f ( x ) es diferenciable. Regla de la potencia con exponentes racionales d d x ( x m / n ) = m n x ( m / n ) − 1 . Derivada de la función seno inversa d d x sen −1 x = 1 1 − ( x ) 2 Derivada de la función coseno inversa d d x cos −1 x = −1 1 − ( x ) 2 Derivada de la función tangente inversa d d x tan −1 x = 1 1 + ( x ) 2 Derivada de la función cotangente inversa d d x cot −1 x = −1 1 + ( x ) 2 Derivada de la función secante inversa d d x sec −1 x = 1 | x | ( x ) 2 – 1 Derivada de la función cosecante inversa d d x csc −1 x = −1 | x | ( x ) 2 – 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) a dibuje el gráfico de y = f −1 ( x ) , y utilice la parte a. para estimar ( f −1 ) ′ ( 1 ) . a. b. ( f −1 ) ′ ( 1 ) ~ 2 a. b. ( f −1 ) ′ ( 1 ) ~ − 1 / 3 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones y = f ( x ) para hallar d f d x en x = a y x = f −1 ( y ) . A continuación, utilice la parte b. para hallar d f −1 d y a las y = f ( a ) . f ( x ) = 6 x – 1 , x = –2 f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1 a. 6, b. x = f −1 ( y ) = ( y + 3 2 ) 1 / 3 , c. 1 6 f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2 f ( x ) = sen x , x = 0 a. 1 , b. x = f −1 ( y ) = sen −1 y , c. 1 En cada una de las siguientes funciones, halle ( f −1 ) ′ ( a ) . f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ – 3 2 , a = 2 f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0 1 5 f ( x ) = x + x , a = 2 f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1 1 3 f ( x ) = x + sen x , a = 0 f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 1 Para cada una de las funciones dadas y = f ( x ) , Halle la pendiente de la línea tangente a su función inversa f −1 en el punto indicado P , y halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f −1 en el punto indicado. f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 ) grandes. f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 ) a. 4 , b. y = 4 x f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 ) grandes. f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( –8 , 2 ) a. − 1 13 , b. y = − 1 13 x + 18 13 f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( –8 , 1 ) En los siguientes ejercicios, calcule d y d x para la función dada. y = sen −1 ( x 2 ) grandes. 2 x 1 − x 4 y = cos −1 ( x ) grandes. y = sec −1 ( 1 x ) grandes. −1 1 − x 2 y = csc −1 x y = ( 1 + tan −1 x ) 3 3 ( 1 + tan −1 x ) 2 1 + x 2 y = cos −1 ( 2 x ) . sen −1 ( 2 x ) grandes. y = 1 tan –1 ( x ) grandes. −1 ( 1 + x 2 ) ( tan −1 x ) 2 y = sec −1 ( − x ) grandes. y = cot −1 4 − x 2 x ( 5 − x 2 ) 4 − x 2 y = x . csc −1 x En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados para hallar ( f −1 ) ′ ( a ) . f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0 −1 f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2 f ( 1 3 ) = –8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8 1 2 f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2 f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3 1 10 f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = –2 , a = 0 [T] La posición de un disco de hockey en movimiento después de t segundos es s ( t ) = tan −1 t donde s está en metros. Halle la velocidad del disco de hockey en cualquier tiempo t . Halle la aceleración del disco en cualquier tiempo t . Evaluar a. y b. para t = 2 , 4 , y 6 segundos. ¿Qué conclusión se obtiene de los resultados de c.? a. v ( t ) = 1 1 + t 2 b. a ( t ) = −2 t ( 1 + t 2 ) 2 c. ( a ) 0,2 , 0,06 , 0,03 ; ( b ) − 0,16 , −0,028 , −0,0088 d. El disco de hockey se desacelera/ralentiza a los 2, 4 y 6 segundos. [T] Un edificio de 225 ft de altura proyecta una sombra de varias longitudes x a medida que pasa el día. El ángulo de elevación θ está formado por líneas que van desde la parte superior e inferior del edificio hasta la punta de la sombra, como se ve en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación d θ d x cuando x = 272 pies. [T] Un poste tiene 75 ft de altura. Un ángulo θ se forma cuando los cables de varias longitudes de x ft se fijan desde el suelo hasta la parte superior del poste, como se muestra en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo d θ d x cuando se conecta un cable de 90 ft de longitud. −0,0168 rad/ft [T] Una cámara de televisión a nivel del suelo se halla a 2.000 ft de distancia de la plataforma de lanzamiento de un cohete espacial preparado para despegar verticalmente, como se ve en la siguiente figura. El ángulo de elevación de la cámara se halla mediante θ = tan –1 ( x 2000 ) , donde x es la altura del cohete. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación después del lanzamiento cuando la cámara y el cohete están a 5.000 pies de distancia. [T] Un cine local con una pantalla de 30 ft de altura que está a 10 ft por encima del nivel de los ojos de una persona sentada tiene un ángulo de visión θ (en radianes) dado por θ = cot −1 x 40 − cot −1 x 10 , donde x es la distancia en ft de la pantalla de cine a la que está sentada la persona, como se muestra en la siguiente figura. Halle d θ d x . Evalúe d θ d x para x = 5 , 10 , 15 , y 20. Interprete los resultados en b. Evalúe d θ d x para x = 25 , 30 , 35 , y 40 Interprete los resultados en d. ¿A qué distancia x debe sentarse la persona para maximizar su ángulo de visión? a. d θ d x = 10 100 + x 2 − 40 1.600 + x 2 b. 18 325 , 9 340 , 42 4745 , 0 c. A medida que una persona se aleja de la pantalla, el ángulo de visión aumenta, lo que implica que al alejarse, su visión de la pantalla se amplía. d. − 54 12905 , − 3 500 , − 198 29945 , − 9 1360 e. A medida que la persona se aleja más de 20 ft de la pantalla, su ángulo de visión disminuye. La distancia óptima a la que debe situarse la persona para maximizar el ángulo de visión es de 20 ft.

Matemáticas


Diferenciación implícita Ya estudiamos cómo encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a las funciones y la tasa de cambio de una función en un punto concreto. En todos estos casos tuvimos la ecuación explícita de la función y diferenciamos estas funciones explícitamente. Supongamos, en cambio, que queremos determinar la ecuación de una línea tangente a una curva arbitraria o la tasa de cambio de una curva arbitraria en un punto. En esta sección, resolveremos estos problemas encontrando las derivadas de las funciones que definen y implícitamente en términos de x . Diferenciación implícita En la mayoría de las discusiones de matemáticas, si la variable dependiente y es una función de la variable independiente x , expresamos y en términos de x . Si este es el caso, decimos que y es una función explícita de x . Por ejemplo, cuando escribimos la ecuación y = x 2 + 1 , estamos definiendo y explícitamente en términos de x . Por otro lado, si la relación entre la función y y la variable x se expresa mediante una ecuación en la que y no se expresa completamente en términos de x , decimos que la ecuación define y implícitamente en términos de x . Por ejemplo, la ecuación y − x 2 = 1 define la función y = x 2 + 1 implícitamente. La diferenciación implícita nos permite encontrar las pendientes de las tangentes a curvas que claramente no son funciones (ya que no pasan la prueba de la línea vertical). Estamos utilizando la idea de que partes de y son funciones que satisfacen la ecuación dada, pero que y no es en realidad una función de x . En general, una ecuación define una función implícitamente si la función satisface esa ecuación. Una ecuación puede definir muchas funciones diferentes de forma implícita. Por ejemplo, las funciones y = 25 − x 2 y y = { 25 − x 2 si − 5 < x < 0 − 25 − x 2 si 0 < x < 25 , que se ilustran en la , son solo tres de las muchas funciones definidas implícitamente por la ecuación x 2 + y 2 = 25 . La ecuación x 2 + y 2 = 25 define muchas funciones de forma implícita. Si queremos encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de x 2 + y 2 = 25 en el punto ( 3 , 4 ) , podríamos evaluar la derivada de la función y = 25 − x 2 en x = 3 . Por otro lado, si queremos la pendiente de la línea tangente en el punto ( 3 , –4 ) , podríamos utilizar la derivada de y = − 25 − x 2 . Sin embargo, no siempre es fácil resolver una función definida implícitamente por una ecuación. Afortunadamente, la técnica de la diferenciación implícita nos permite encontrar la derivada de una función definida implícitamente sin tener que resolverla explícitamente. El proceso de encontrar d y d x utilizando la diferenciación implícita se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Diferenciación implícita Para realizar la diferenciación implícita en una ecuación que define una función y implícitamente en términos de una variable x , utilice los siguientes pasos: Tome la derivada de ambos lados de la ecuación. Tenga en cuenta que y es una función de x . Por lo tanto, mientras que d d x ( sen x ) = cos x , d d x ( sen y ) = cos y d y d x porque debemos utilizar la regla de la cadena para diferenciar sen y con respecto a x . Reescriba la ecuación de manera que todos los términos que contengan d y d x estén a la izquierda y todos los términos que no contengan d y d x estén a la derecha. Factorice d y d x a la izquierda. Resuelva para d y d x dividiendo ambos lados de la ecuación por una expresión algebraica adecuada. Uso de la diferenciación implícita Suponiendo que y se define implícitamente por la ecuación x 2 + y 2 = 25 , calcule d y d x . Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas. d d x ( x 2 + y 2 ) = d d x ( 25 ) Paso 1. Diferencie ambos lados de la ecuación. d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) = 0 Paso 1.1. Utilice la regla de la suma a la izquierda. A la derecha d d x ( 25 ) = 0 . 2 x + 2 y d y d x = 0 Paso 1.2. Tome las derivadas, así que d d x ( x 2 ) = 2 x y d d x ( y 2 ) = 2 y d y d x . 2 y d y d x = –2 x Paso 2. Mantenga los términos con d y d x a la izquierda. Mueva los términos restantes a la derecha. d y d x = − x y Paso 4. Divida ambos lados de la ecuación por 2 y . (El paso 3 no se aplica en este caso). Análisis Note que la expresión resultante para d y d x está en términos tanto de la variable independiente x como de la variable dependiente y . Aunque en algunos casos es posible expresar d y d x en términos de x solamente, generalmente no es posible hacerlo. Uso de la diferenciación implícita y la regla del producto Suponiendo que y se define implícitamente por la ecuación x 3 sen y + y = 4 x + 3 , calcule d y d x . d d x ( x 3 sen y + y ) = d d x ( 4 x + 3 ) Paso 1: Diferencie ambos lados de la ecuación. d d x ( x 3 sen y ) + d d x ( y ) = 4 Paso 1.1: Aplique la regla de la suma a la izquierda. A la derecha, d d x ( 4 x + 3 ) = 4 . ( d d x ( x 3 ) . sen y + d d x ( sen y ) . x 3 ) + d y d x = 4 Paso 1.2: Utilice la regla del producto para hallar d d x ( x 3 sen y ) . Observe que d d x ( y ) = d y d x . 3 x 2 sen y + ( cos y d y d x ) . x 3 + d y d x = 4 Paso 1.3: Sabemos que d d x ( x 3 ) = 3 x 2 . Utilice la regla de la cadena para obtener d d x ( sen y ) = cos y d y d x . x 3 cos y d y d x + d y d x = 4 − 3 x 2 sen y Paso 2: Conserve todos los términos que contengan d y d x en la izquierda. Mueva todos los demás términos a la derecha. d y d x ( x 3 cos y + 1 ) = 4 − 3 x 2 sen y Paso 3: Saque el factor común d y d x a la izquierda. d y d x = 4 − 3 x 2 sen y x 3 cos y + 1 Paso 4: Resuelva para d y d x dividiendo ambos lados de la ecuación por x 3 cos y + 1 . Uso de la diferenciación implícita para encontrar una segunda derivada Halle d 2 y d x 2 si x 2 + y 2 = 25 . En el , demostramos que d y d x = − x y . Podemos tomar la derivada de ambos lados de esta ecuación para encontrar d 2 y d x 2 . d 2 y d x 2 = d d x ( − x y ) Diferencie ambos lados de d y d x = − x y . = − ( 1 . y − x d y d x ) y 2 Utilice la regla del cociente para encontrar d d y ( − x y ) . = − y + x d y d x y 2 Simplifique. = − y + x ( − x y ) y 2 Sustituya d y d x = − x y . = − y 2 − x 2 y 3 Simplifique. En este punto encontramos una expresión para d 2 y d x 2 . Si lo deseamos, podemos simplificar aún más la expresión recordando que x 2 + y 2 = 25 y haciendo esta sustitución en el numerador para obtener d 2 y d x 2 = − 25 y 3 . Halle d y d x por y definida implícitamente por la ecuación 4 x 5 + tan y = y 2 + 5 x . d y d x = 5 − 20 x 4 sec 2 y − 2 y Pista Sigua la estrategia de resolución de problemas, recordando aplicar la regla de la cadena para diferenciar tan y y 2 . Encontrar líneas tangentes de forma implícita Ya vimos la técnica de la diferenciación implícita y ahora podemos aplicarla al problema de encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas descritas por ecuaciones. Encontrar una línea tangente a un círculo Halle la ecuación de la línea tangente a la curva x 2 + y 2 = 25 en el punto ( 3 , –4 ) . Aunque podríamos encontrar esta ecuación sin utilizar la diferenciación implícita, el uso de ese método lo facilita mucho. En el , encontramos d y d x = − x y . La pendiente de la línea tangente se encuentra sustituyendo ( 3 , –4 ) en esta expresión. En consecuencia, la pendiente de la línea tangente es d y d x | ( 3 , –4 ) = − 3 −4 = 3 4 . Utilizando el punto ( 3 , –4 ) y la pendiente 3 4 en la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos la ecuación y = 3 4 x − 25 4 ( ). La línea y = 3 4 x − 25 4 es tangente a x 2 + y 2 = 25 en el punto (3, -4). Hallar la ecuación de la línea tangente a una curva Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y 3 + x 3 − 3 x y = 0 en el punto ( 3 2 , 3 2 ) ( ). Esta curva se conoce como el folium (u hoja) de Descartes. Halle la línea tangente al folium de Descartes en ( 3 2 , 3 2 ) . Comience por calcular d y d x . d d x ( y 3 + x 3 − 3 x y ) = d d x ( 0 ) 3 y 2 d y d x + 3 x 2 − ( 3 y + d y d x 3 x ) = 0 d y d x = 3 y − 3 x 2 3 y 2 − 3 x . A continuación, sustituya ( 3 2 , 3 2 ) en d y d x = 3 y − 3 x 2 3 y 2 − 3 x para encontrar la pendiente de la línea tangente: d y d x | ( 3 2 , 3 2 ) = −1 . Finalmente, sustituya en la ecuación punto-pendiente de la línea para obtener y = − x + 3 . Aplicación de la diferenciación implícita En un videojuego sencillo, un cohete viaja en una órbita elíptica cuya trayectoria se describe a través de la ecuación 4 x 2 + 25 y 2 = 100 . El cohete puede disparar misiles a lo largo de líneas tangentes a su trayectoria. El objetivo del juego es destruir un asteroide que se desplaza por el eje x positivo hacia ( 0 , 0 ) . Si el cohete dispara un misil cuando se encuentra en ( 3 , 8 5 ) , ¿dónde intersecará el eje x ? Para resolver este problema, debemos determinar dónde está la línea tangente al gráfico de 4 x 2 + 25 y 2 = 100 a las ( 3 , 8 5 ) se interseca el eje x . Comience por calcular d y d x implícitamente. Diferenciando, tenemos 8 x + 50 y d y d x = 0 . Al resolver d y d x , tenemos d y d x = – 4 x 25 y . La pendiente de la línea tangente es d y d x | ( 3 , 8 5 ) = − 3 10 . La ecuación de la línea tangente es y = − 3 10 x + 5 2 . Para determinar el punto de intersección de la línea con el eje x , resuelva 0 = − 3 10 x + 5 2 . La solución es x = 25 3 . El misil interseca el eje x en el punto ( 25 3 , 0 ) . Halle la ecuación de la línea tangente a la hipérbola x 2 − y 2 = 16 en el punto ( 5 , 3 ) . y = 5 3 x − 16 3 Pista d y d x = x y Conceptos clave Utilizamos la diferenciación implícita para encontrar las derivadas de funciones definidas implícitamente (funciones definidas por ecuaciones). Utilizando la diferenciación implícita, podemos encontrar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una curva. En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para hallar d y d x . x 2 − y 2 = 4 6 x 2 + 3 y 2 = 12 d y d x = –2 x y x 2 y = y − 7 3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3 d y d x = x 3 y – y 2 x x y − cos ( x y ) = 1 y x + 4 = x y + 8 d y d x = y – y 2 x + 4 x + 4 − x − x y − 2 = x 7 y sen ( x y ) = y 2 + 2 d y d x = y 2 cos ( x y ) 2 y − sen ( x y ) − x y cos x y ( x y ) 2 + 3 x = y 2 x 3 y + x y 3 = −8 d y d x = −3 x 2 y – y 3 x 3 + 3 x y 2 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación dada en el punto indicado. Utilice una calculadora o un programa de computadora para representar gráficamente la función y la línea tangente. [T] x 4 y − x y 3 = –2 , ( –1 , –1 ) [T] x 2 y 2 + 5 x y = 14 , ( 2 , 1 ) y = −1 2 x + 2 [T] tan ( x y ) = y , ( π 4 , 1 ) [T] x y 2 + sen ( π y ) − 2 x 2 = 10 , ( 2 , −3 ) y = 1 π + 12 x − 3 π + 38 π + 12 [T] x y + 5 x − 7 = − 3 4 y , ( 1 , 2 ) [T] x y + sen ( x ) = 1 , ( π 2 , 0 ) y = 0 [T] El gráfico de un folium de Descartes con ecuación 2 x 3 + 2 y 3 − 9 x y = 0 se muestra en el siguiente gráfico. Halle la ecuación de la línea tangente en el punto ( 2 , 1 ) . Grafique la línea tangente junto con el folio. Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en a. en el punto ( 2 , 1 ) . Para la ecuación x 2 + 2 x y − 3 y 2 = 0 , Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en el punto ( 1 , 1 ) . ¿En qué otro punto la línea normal en a. interseca el gráfico de la ecuación? a. y = − x + 2 b. ( 3 , –1 ) Halle todos los puntos del gráfico de y 3 − 27 y = x 2 − 90 en la que la línea tangente es vertical. Para la ecuación x 2 + x y + y 2 = 7 , Calcule la(s) intersección(es) en x . Halle la pendiente de la(s) línea(s) tangente(s) en la(s) intersección(es) x . ¿Qué indican los valores de b. sobre la(s) línea(s) tangente(s)? a. ( ± 7 , 0 ) b. −2 c. Son paralelas ya que la pendiente es la misma en ambas intersecciones. Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación sen −1 x + sen −1 y = π 6 en el punto ( 0 , 1 2 ) . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación tan –1 ( x + y ) = x 2 + π 4 en el punto ( 0 , 1 ) . y = − x + 1 Halle el valor y ′ y y ″ por x 2 + 6 x y − 2 y 2 = 3 . [T] El número de teléfonos móviles producidos cuando x dólares en mano de obra y se invierten y dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 60 x 3 / 4 y 1 / 4 = 3.240 . Halle d y d x y evalúe en el punto ( 81 , 16 ) . Interprete el resultado de un a. −0,5926 b. Cuando se gastan 81 dólares en mano de obra y 16 en capital, la cantidad gastada en capital disminuye en 0,5926 dólares por cada dólar gastado en mano de obra. [T] El número de automóviles producidos cuando x dólares en mano de obra y se invierten y dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 30 x 1 / 3 y 2 / 3 = 360 . (Ambas x como y se miden en miles de dólares). Halle d y d x y evalúe en el punto ( 27 , 8 ) . Interprete el resultado de un El volumen de un cono circular recto de radio x y altura y viene dado por V = 1 3 π x 2 y . Supongamos que el volumen del cono es una constante. Halle d y d x cuando x = 4 en tanto que y = 16 . −8 En los siguientes ejercicios, considere una caja rectangular cerrada con una base cuadrada de lado x y altura y . Halle una ecuación para el área superficial de la caja rectangular, S ( x , y ) . Si el área superficial de la caja rectangular es de 78 pies cuadrados, halle d y d x cuando x = 3 ft y y = 5 pies. −2,67 En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para determinar y ′ . ¿Coincide la respuesta con las fórmulas que determinamos previamente? x = sen y x = cos y y ′ = − 1 1 − x 2 x = tan y diferenciación implícita técnica para calcular d y d x para una función definida por una ecuación, que se realiza diferenciando ambos lados de la ecuación (recordando tratar la variable y como función) y resolviendo para d y d x

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