Definir la derivada Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de los límites como la capacidad práctica de calcularlos, establecimos la base para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores coinciden en que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por el inglés Isaac Newton (1643–1727) y el alemán Gottfried Leibniz (1646–1716), cuyas imágenes aparecen en la . Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, a lo que hacemos referencia es al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de sus predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amistosa; sin embargo, en años posteriores estalló una amarga controversia sobre la prioridad de los trabajos de ambos. Aunque parece probable que Newton fuera el primero en llegar a las ideas que sustentan el cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que utilizamos habitualmente en la actualidad. Se atribuye a Newton y a Leibniz el desarrollo del cálculo de forma independiente. Rectas tangentes Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recordemos que utilizamos la pendiente de una línea secante a una función en un punto ( a , f ( a ) ) para estimar la tasa de cambio, o la tasa a la que cambia una variable en relación con otra. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de x cerca de a y dibujar una línea a lo largo de los puntos ( a , f ( a ) ) y ( x , f ( x ) ) , como se muestra en la . La pendiente de esta línea viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias: m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a . También podemos calcular la pendiente de una línea secante a una función en un valor a utilizando esta ecuación y sustituyendo x con la a + h , donde h es un valor cercano a 0. Luego podemos calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) . En este caso, encontramos que la línea secante tiene una pendiente dada por el siguiente cociente de diferencias con incremento h : m sec = f ( a + h ) − f ( a ) a + h − a = f ( a + h ) − f ( a ) h . Definición Supongamos que f es una función definida en un intervalo I que contiene a . Si x ≠ a está en I , entonces Q = f ( x ) − f ( a ) x – a es un cociente de diferencias . Además, si h ≠ 0 se elige de manera que a + h está en I , entonces Q = f ( a + h ) − f ( a ) h es un cociente de diferencias con incremento h . Vea el desarrollo de la derivada con esta miniaplicación. Estas dos expresiones para calcular la pendiente de una línea secante se ilustran en la . Veremos que cada uno de estos dos métodos para encontrar la pendiente de una línea secante es de gran utilidad. Dependiendo del entorno, podemos elegir uno u otro. La principal consideración en nuestra elección suele depender de la facilidad de cálculo. Podemos calcular la pendiente de una línea secante de dos maneras. En la (a) vemos que, a medida que los valores de x se acercan a a , las pendientes de las líneas secantes proporcionan mejores estimaciones de la tasa de cambio de la función en a . Además, las mismas rectas secantes se aproximan a la línea tangente a la función en a , que representa el límite de las líneas secantes. Del mismo modo, la (b) muestra que a medida que los valores de h se acercan a 0 , las rectas secantes también se acercan a la línea tangente. La pendiente de la línea tangente en a es la tasa de cambio de la función en a , como se muestra en la (c). Las líneas secantes se acercan a la línea tangente (mostrada en verde) cuando el segundo punto se acerca al primero. Puede usar este sitio para explorar gráficos y ver si tienen una línea tangente en un punto. En la mostramos el gráfico de f ( x ) = x y su línea tangente en ( 1 , 1 ) en una serie de intervalos más estrechos sobre x = 1 . A medida que los intervalos se hacen más estrechos, el gráfico de la función y su línea tangente parecen coincidir, lo que hace que los valores de la línea tangente sean una buena aproximación a los valores de la función para las elecciones de x cerca de 1 . De hecho, el gráfico de f ( x ) parece ser localmente lineal en las inmediaciones de x = 1 . Para valores de x cerca de 1 , el gráfico de f ( x ) = x y su línea tangente parecen coincidir. Formalmente podemos definir la línea tangente al gráfico de una función como sigue. Definición Supongamos que f ( x ) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a . La línea tangente a f ( x ) en a es la línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) con pendiente m tan = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a siempre que exista este límite. De forma equivalente, podemos definir la línea tangente a f ( x ) en a para que sea la línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) con pendiente m tan = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h siempre que exista este límite. Al igual que utilizamos dos expresiones diferentes para definir la pendiente de una línea secante, utilizamos dos formas diferentes para definir la pendiente de la línea tangente. En este texto utilizamos ambas formas de la definición. Como antes, la elección de la definición dependerá del entorno. Ahora que ya definimos formalmente una línea tangente a una función en un punto, podemos utilizar esta definición para encontrar ecuaciones de rectas tangentes. Hallar una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 en x = 3 . Primero halle la pendiente de la línea tangente. En este ejemplo, utilice la . m tan = lím x → 3 f ( x ) − f ( 3 ) x − 3 Aplique la definición. = lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 Sustituya f ( x ) = x 2 y f ( 3 ) = 9 . = lím x → 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) x − 3 = lím x → 3 ( x + 3 ) = 6 Factorice el numerador para evaluar el límite. A continuación, halle un punto en la línea tangente. Como la línea es tangente al gráfico de f ( x ) en x = 3 , pasa por el punto ( 3 , f ( 3 ) ) . Tenemos f ( 3 ) = 9 , para que la línea tangente pase por el punto ( 3 , 9 ) . Usando la ecuación punto-pendiente de la línea con la pendiente m = 6 y el punto ( 3 , 9 ) , obtenemos la línea y − 9 = 6 ( x − 3 ) . Simplificando, tenemos y = 6 x − 9 . El gráfico de f ( x ) = x 2 y su línea tangente en 3 se muestran en la . La línea tangente a f ( x ) en x = 3 . La pendiente de una línea tangente revisada Use la para encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 en x = 3 . Los pasos son muy similares a los del . Consulte la definición en la . m tan = lím h → 0 f ( 3 + h ) − f ( 3 ) h Aplique la definición. = lím h → 0 ( 3 + h ) 2 − 9 h Sustituya f ( 3 + h ) = ( 3 + h ) 2 y f ( 3 ) = 9 . = lím h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h Expanda y simplifique para evaluar el límite. = lím h → 0 h ( 6 + h ) h = lím h → 0 ( 6 + h ) = 6 Obtuvimos el mismo valor para la pendiente de la línea tangente utilizando la otra definición, con lo que se demuestra que las fórmulas se pueden intercambiar. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 1 / x en x = 2 . Podemos utilizar la , pero como vimos, los resultados son los mismos si utilizamos la . m tan = lím x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 Aplique la definición. = lím x → 2 1 x – 1 2 x − 2 Sustituya f ( x ) = 1 x y f ( 2 ) = 1 2 . = lím x → 2 1 x – 1 2 x − 2 . 2 x 2 x Multiplique el numerador y el denominador por 2 x para simplifique las fracciones. = lím x → 2 ( 2 − x ) ( x − 2 ) ( 2 x ) Simplifique. = lím x → 2 −1 2 x Simplifique utilizando 2 − x x − 2 = −1 , para x ≠ 2 . = − 1 4 Evalúe el límite. Ahora sabemos que la pendiente de la línea tangente es − 1 4 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos también un punto en la línea. Sabemos que f ( 2 ) = 1 2 . Como la línea tangente pasa por el punto ( 2 , 1 2 ) podemos utilizar la ecuación punto-pendiente de una línea para encontrar la ecuación de la línea tangente. Por lo tanto, la línea tangente tiene la ecuación y = − 1 4 x + 1 . Los gráficos de f ( x ) = 1 x como y = − 1 4 x + 1 se muestran en la . La línea es tangente a f ( x ) en x = 2 . Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x en x = 4 . 1 4 Pista Utilice o . Multiplique el numerador y el denominador por un conjugado. La derivada de una función en un punto El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones de varias disciplinas. Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física, las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de crecimiento en biología. Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este valor un nombre especial: la derivada . El proceso para encontrar una derivada se denomina diferenciación . Definición Supongamos que f ( x ) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a . La derivada de la función f ( x ) en a , denotada por f ′ ( a ) , se define por f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a siempre que exista este límite. Como alternativa, también podemos definir la derivada de f ( x ) en a cuando f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Estimación de una derivada Para f ( x ) = x 2 , utilice una tabla para estimar f ′ ( 3 ) utilizando la . Cree una tabla con los valores de x justo debajo de 3 y justo encima de 3 . x x 2 − 9 x − 3 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 3,001 6,001 3,01 6,01 3,1 6,1 Tras examinar la tabla, vemos que un buen estimado es f ′ ( 3 ) = 6. Para f ( x ) = x 2 , utilice una tabla para estimar f ′ ( 3 ) utilizando la . 6 Pista Evalúe ( x + h ) − x 2 h a las h = −0,1 , −0,01 , −0,001 , 0,001 , 0,01 , 0,1 Encontrar una derivada Para f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , calcule f ′ ( 2 ) utilizando la . Sustituya la función y el valor dados directamente en la ecuación. f ′ ( 2 ) = lím x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 Aplique la definición. = lím x → 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) − 5 x − 2 Sustituya f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 y f ( 2 ) = 5 . = lím x → 2 ( x − 2 ) ( 3 x + 2 ) x − 2 Simplifique y factorice el numerador. = lím x → 2 ( 3 x + 2 ) Cancele el factor común. = 8 Evalúe el límite. Repaso de la derivada Para f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , calcule f ′ ( 2 ) utilizando la . Usando esta ecuación, podemos sustituir dos valores de la función en la ecuación, y deberíamos obtener el mismo valor que en el . f ′ ( 2 ) = lím h → 0 f ( 2 + h ) − f ( 2 ) h Aplique la definición. = lím h → 0 ( 3 ( 2 + h ) 2 − 4 ( 2 + h ) + 1 ) − 5 h Sustituya f ( 2 ) = 5 y f ( 2 + h ) = 3 ( 2 + h ) 2 − 4 ( 2 + h ) + 1 . = lím h → 0 3 h 2 + 8 h h Simplifique el numerador. = lím h → 0 h ( 3 h + 8 ) h Factorice el numerador. = lím h → 0 ( 3 h + 8 ) Cancele el factor común. = 8 Evalúe el límite. Los resultados son los mismos si utilizamos la o la . Para f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , calcule f ′ ( 1 ) . f ′ ( 1 ) = 5 Pista Utilice la , la , o ambas. Utilice el o el como guía. Velocidades y tasas de cambio Ahora que podemos evaluar una derivada, podemos utilizarla en aplicaciones de velocidad. Recordemos que si s ( t ) es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, la velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo [ a , t ] si t > a o [ t , a ] si t < a viene dada por el cociente de diferencias v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . Dado que los valores de t se acercan a a , los valores de v ave se acercan al valor que llamamos velocidad instantánea en a . Es decir, la velocidad instantánea en a , denotado v ( a ) , está dada por v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a . Para entender mejor la relación entre la velocidad media y la velocidad instantánea, consulte la . En esa figura, la pendiente de la línea tangente (mostrada en rojo) es la velocidad instantánea del objeto en el momento t = a cuya posición en el momento t viene dada por la función s ( t ) . La pendiente de la línea secante (mostrada en verde) es la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [ a , t ] . La pendiente de la línea secante es la velocidad media en el intervalo [ a , t ] . La pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea. Podemos utilizar la para calcular la velocidad instantánea, o podemos estimar la velocidad de un objeto en movimiento utilizando una tabla de valores. A continuación, podemos confirmar la estimación utilizando la . Estimación de la velocidad Un peso de plomo en un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo. Su posición en el tiempo t con respecto a una línea horizontal fija viene dada por s ( t ) = sen t ( ). Utilice una tabla de valores para estimar v ( 0 ) . Compruebe la estimación utilizando la . Un peso de plomo suspendido de un resorte en movimiento oscilatorio vertical. Podemos estimar la velocidad instantánea en t = 0 calculando una tabla de velocidades promedio utilizando los valores de t que se acercan a 0 , como se muestra en el . Velocidades promedio con valores de t cercanos a 0 t sen t − sen 0 t − 0 = sen t t −0,1 0,998334166 −0,01 0,9999833333 −0,001 0,999999833 0,001 0,999999833 0,01 0,9999833333 0,1 0,998334166 En la tabla vemos que la velocidad media en el intervalo de tiempo [ −0,1 , 0 ] ¿es 0,998334166 , la velocidad media en el intervalo de tiempo [ −0,01 , 0 ] ¿es 0,9999833333 , , etc. Utilizando esta tabla de valores, parece que un es v ( 0 ) = 1 . Utilizando la , podemos ver que v ( 0 ) = s ′ ( 0 ) = lím t → 0 sen t − sen 0 t − 0 = lím t → 0 sen t t = 1 . Así, de hecho, v ( 0 ) = 1 . Se deja caer una roca desde una altura de 64 pies. Su altura sobre el suelo en el momento t segundos después viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 , 0 ≤ t ≤ 2 . Calcule su velocidad instantánea 1 segundo después de su caída, utilizando la . −32 ft/s. Pista v ( t ) = s ′ ( t ) . Siga los ejemplos anteriores de la derivada utilizando el . Como hemos visto a lo largo de esta sección, la pendiente de una línea tangente a una función y la velocidad instantánea son conceptos relacionados. Cada una se estima calculando una derivada y cada una mide la tasa instantánea de cambio de una función, o la tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma. Definición La tasa instantánea de cambio de una función f ( x ) en un valor a es su derivada f ′ ( a ) . Inicio del capítulo: Estimación de la tasa de cambio de la velocidad (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr). Alcanzando una velocidad máxima de 270,49 mph, el Hennessey Venom GT es uno de los autos más rápidos del mundo. En las pruebas pasó de 0 al 60 mph en 3,05 segundos, desde 0 para 100 mph en 5,88 segundos, desde 0 para 200 mph en 14,51 segundos, y de 0 para 229,9 mph en 19,96 segundos. Utilice estos datos para sacar una conclusión sobre la tasa de cambio de la velocidad (es decir, su aceleración ) a medida que se acerca 229,9 mph. ¿La velocidad de aceleración del automóvil parece aumentar, disminuir o ser constante? Primero observe que 60 mph = 88 ft/s, 100 mph ≈ 146,67 pies/s, 200 mph ≈ 293,33 ft/s, y 229,9 mph ≈ 337,19 ft/s. Podemos resumir la información en una tabla. v ( t ) a diferentes valores de t t v ( t ) grandes. 0 0 3,05 88 5,88 147,67 14,51 293,33 19,96 337,19 Ahora calcule la aceleración promedio del automóvil en pies por segundo en intervalos de la forma [ t , 19,96 ] cuando t se acerca a 19,96 , como se muestra en la siguiente tabla. Aceleración media t v ( t ) − v ( 19,96 ) t − 19,96 = v ( t ) − 337,19 t − 19,96 0,0 16,89 3,05 14,74 5,88 13,46 14,51 8,05 El ritmo de aceleración del automóvil disminuye a medida que su velocidad se aproxima a 229,9 mph ( 337,19 ft/s). Tasa de cambio de temperatura Un propietario ajusta el termostato para que la temperatura dentro de su casa empiece a bajar de 70 ° F a las 9 p. m., alcance un mínimo de 60 ° durante la noche, y suba de nuevo a 70 ° a las 7 de la mañana siguiente. Supongamos que la temperatura de la casa viene dada por T ( t ) = 0,4 t 2 − 4 t + 70 por 0 ≤ t ≤ 10 , donde t es el número de horas pasadas las 9 p. m. Halle la tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche. Como la medianoche es 3 horas pasadas las 9 p. m., queremos calcular T ′ ( 3 ) . Consulte la . T ′ ( 3 ) = lím t → 3 T ( t ) − T ( 3 ) t − 3 Aplique la definición. = lím t → 3 0,4 t 2 − 4 t + 70 − 61,6 t − 3 Sustituya T ( t ) = 0,4 t 2 − 4 t + 70 y T ( 3 ) = 61,6 . = lím t → 3 0,4 t 2 − 4 t + 8,4 t − 3 Simplifique. = lím t → 3 0,4 ( t − 3 ) ( t − 7 ) t − 3 = lím t → 3 0,4 ( t − 3 ) ( t − 7 ) t − 3 = lím t → 3 0,4 ( t − 7 ) Cancele. = −1,6 Evalúe el límite. La tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche es −1,6 ° F por hora. Tasa de cambio del beneficio Una compañía de juguetes puede vender x sistemas de juego electrónico a un precio de p = −0,01 x + 400 dólares por sistema de juego. El costo de fabricación x viene dado por C ( x ) = 100 x + 10.000 dólares. Halle la tasa de cambio del beneficio cuando se producen 10.000 juegos. ¿Debe la compañía juguetera aumentar o disminuir la producción? El beneficio P ( x ) obtenido por la producción de x sistemas de juego es R ( x ) − C ( x ) , donde R ( x ) son los ingresos obtenidos por la venta de x juegos. Dado que la compañía puede vender x juegos en p = −0,01 x + 400 por juego, R ( x ) = x p = x ( −0,01 x + 400 ) = −0,01 x 2 + 400 x . En consecuencia, P ( x ) = −0,01 x 2 + 300 x − 10.000 . Por lo tanto, la evaluación de la tasa de cambio del beneficio da P ′ ( 10.000 ) = lím x → 10.000 P ( x ) − P ( 10.000 ) x − 10.000 = lím x → 10.000 −0,01 x 2 + 300 x − 10.000 − 1.990.000 x − 10.000 = lím x → 10.000 −0,01 x 2 + 300 x − 2.000.000 x − 10.000 = 100 . Dado que la tasa de cambio del beneficio P ′ ( 10.000 ) > 0 y P ( 10.000 ) > 0 , la compañía debe aumentar la producción. Una cafetería determina que el beneficio diario obtenido de los panecillos al cobrar s dólares por panecillo es P ( s ) = −20 s 2 + 150 s − 10 . La cafetería cobra actualmente $ 3,25 por panecillo. Halle P ′ ( 3,25 ) , la tasa de cambio del beneficio cuando el precio es $ 3,25 y decida si la cafetería debería considerar la posibilidad de subir o bajar el precio de los panecillos P ′ ( 3,25 ) = 20 > 0 ; subir el precio. Pista Utilice la como guía. Conceptos clave La pendiente de la línea tangente a una curva mide la tasa instantánea de cambio de una curva. Podemos calcularla encontrando el límite del cociente de diferencias o el cociente de diferencias con incremento h . La derivada de una función f ( x ) en un valor a se encuentra utilizando cualquiera de las definiciones de la pendiente de la línea tangente. La velocidad es la tasa de cambio de la posición. Así, la velocidad v ( t ) en el momento t es la derivada de la posición s ( t ) en el momento t . La velocidad media viene dada por v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . La velocidad instantánea viene dada por v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a . Podemos estimar una derivada utilizando una tabla de valores. Ecuaciones clave Cociente de diferencias Q = f ( x ) − f ( a ) x – a Cociente de diferencias con incremento h Q = f ( a + h ) − f ( a ) a + h − a = f ( a + h ) − f ( a ) h Pendiente de la línea tangente m tan = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a m tan = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h Derivada de f ( x ) en a f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h Velocidad media v a ve = s ( t ) − s ( a ) t − a Velocidad instantánea v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a En los siguientes ejercicios, utilice la para encontrar la pendiente de la línea secante entre los valores x 1 y x 2 para cada función y = f ( x ) . f ( x ) = 4 x + 7 ; x 1 = 2 , x 2 = 5 4 f ( x ) = 8 x − 3 ; x 1 = −1 , x 2 = 3 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ; x 1 = 3 , x 2 = 3,5 8,5 f ( x ) = − x 2 + x + 2 ; x 1 = 0,5 , x 2 = 1,5 f ( x ) = 4 3 x – 1 ; x 1 = 1 , x 2 = 3 − 3 4 f ( x ) = x − 7 2 x + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 2 f ( x ) = x ; x 1 = 1 , x 2 = 16 0,2 f ( x ) = x − 9 ; x 1 = 10 , x 2 = 13 f ( x ) = x 1 / 3 + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 8 0,25 f ( x ) = 6 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 ; x 1 = 1 , x 2 = 27 Para las siguientes funciones, utilice la para encontrar la pendiente de la línea tangente m tan = f ′ ( a ) , y halle la ecuación de la línea tangente a f en x = a . f ( x ) = 3 − 4 x , a = 2 a. −4 b. y = 3 − 4 x f ( x ) = x 5 + 6 , a = –1 f ( x ) = x 2 + x , a = 1 a. 3 b. y = 3 x – 1 f ( x ) = 1 − x – x 2 , a = 0 f ( x ) = 7 x , a = 3 a. −7 9 b. y = −7 9 x + 14 3 f ( x ) = x + 8 , a = 1 f ( x ) = 2 − 3 x 2 , a = –2 a. 12 b. y = 12 x + 14 f ( x ) = −3 x – 1 , a = 4 f ( x ) = 2 x + 3 , a = –4 a. −2 b. y = –2 x − 10 f ( x ) = 3 x 2 , a = 3 En las siguientes funciones y = f ( x ) , calcule f ′ ( a ) utilizando la . f ( x ) = 5 x + 4 , a = –1 5 f ( x ) = −7 x + 1 , a = 3 f ( x ) = x 2 + 9 x , a = 2 13 f ( x ) = 3 x 2 − x + 2 , a = 1 f ( x ) = x , a = 4 1 4 f ( x ) = x − 2 , a = 6 f ( x ) = 1 x , a = 2 − 1 4 f ( x ) = 1 x − 3 , a = –1 f ( x ) = 1 x 3 , a = 1 −3 f ( x ) = 1 x , a = 4 En los siguientes ejercicios, dada la función y = f ( x ) , Calcule la pendiente de la línea secante P Q para cada punto Q ( x , f ( x ) ) con el valor x que se indica en la tabla. Utilice las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente en P . Use la respuesta de b. para hallar la ecuación de la línea tangente a f en el punto P . [T] f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 , P ( 1 , 8 ) (Redondee a 6 decimales) x La pendiente m P Q x La pendiente m P Q 1,1 (i) 0,9 (vii) 1,01 (ii) 0,99 (viii) 1,001 (iii) 0,999 (ix) 1,0001 (iv) 0,9999 (x) 1,00001 (v) 0,99999 (xi) 1,000001 (vi) 0,999999 (xii) a. (i) 5,100000 , (ii) 5,010000 , (iii) 5,001000 , (iv) 5,000100 , (v) 5,000010 , (vi) 5,000001 , (vii) 4,900000 , (viii) 4,990000 , (ix) 4,999000 , (x) 4,999900 , (xi) 4,999990 , (x) 4,999999 b. m tan = 5 c. y = 5 x + 3 [T] f ( x ) = x + 1 x 2 – 1 , P ( 0 , –1 ) x La pendiente m P Q x La pendiente m P Q 0,1 (i) −0,1 (vii) 0,01 (ii) −0,01 (viii) 0,001 (iii) −0,001 (ix) 0,0001 (iv) −0,0001 (x) 0,00001 (v) −0,00001 (xi) 0,000001 (vi) −0,000001 (xii) [T] f ( x ) = 10 e 0,5 x , P ( 0 , 10 ) (Redondee a 4 decimales) x La pendiente m P Q −0,1 (i) −0,01 (ii) −0,001 (iii) −0,0001 (iv) −0,00001 (v) −0,000001 (vi) a. (i) 4,8771 , (ii) 4,9875 (iii) 4,9988 , (iv) 4,9999 , (v) 4,9999 , (vi) 4,9999 b. m tan = 5 c. y = 5 x + 10 [T] f ( x ) = tan ( x ) , P ( π , 0 ) x La pendiente m P Q 3,1 (i) 3,14 (ii) 3,141 (iii) 3,1415 (iv) 3,14159 (v) 3,141592 (vi) [T] Para las siguientes funciones de posición y = s ( t ) , un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde t está en segundos y s está en metros. Halle la expresión simplificada para la velocidad media de t = 2 al t = 2 + h ; la velocidad media entre t = 2 y t = 2 + h , donde (i) h = 0,1 , (ii) h = 0,01 , (iii) h = 0,001 , y (iv) h = 0,0001 ; y utilice la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en t = 2 segundos. s ( t ) = 1 3 t + 5 a. 1 3 ; b. (i) 0, 3 – m/s, (ii) 0, 3 – m/s, (iii) 0, 3 – m/s, (iv) 0, 3 – m/s; c 0, 3 – = 1 3 m/s s ( t ) = t 2 − 2 t s ( t ) = 2 t 3 + 3 a. 2 ( h 2 + 6 h + 12 ) ; b. (i) 25,22 m/s, (ii) 24,12 m/s, (iii) 24,01 m/s, (iv) 24 m/s; c 24 m/s s ( t ) = 16 t 2 − 4 t Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f ′ ( 1 ) y b. f ′ ( 6 ) . a. 1,25 ; b. 0,5 Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f ′ ( −3 ) y b. f ′ ( 1,5 ) . En los siguientes ejercicios, utilice la definición de límite de la derivada para demostrar que la derivada no existe en x = a para cada una de las funciones dadas. f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0 lím x → 0 − x 1 / 3 − 0 x − 0 = lím x → 0 − 1 x 2 / 3 = ∞ f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0 f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x ≥ 1 , x = 1 lím x → 1 − 1 − 1 x – 1 = 0 ≠ 1 = lím x → 1 + x – 1 x – 1 f ( x ) = | x | x , x = 0 [T] La posición en ft de un auto de carreras a lo largo de una pista recta después de t segundos está modelada por la función s ( t ) = 8 t 2 – 1 16 t 3 . Halle la velocidad media del vehículo en los siguientes intervalos de tiempo con cuatro decimales [4, 4,1] [4, 4,01] [4, 4,001] [4, 4,0001] Utilice a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo en t = 4 segundos. a. (i) 61,7244 pies/s, (ii) 61,0725 pies/s (iii) 61,0072 pies/s (iv) 61,0007 ft/s b. A 4 segundos el auto de carreras se desplaza a una tasa/velocidad de 61 ft/s. [T] La distancia en ft que una pelota rueda por una pendiente se modela mediante la función s ( t ) = 14 t 2 , donde t son los segundos después de que la pelota empieza a rodar. Halle la velocidad media de la pelota en los siguientes intervalos de tiempo [5, 5,1] [5, 5,01] [5, 5,001] [5, 5,0001] Utilice las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la pelota en t = 5 segundos. Dos vehículos comienzan a viajar uno al lado del otro por una carretera recta. Sus funciones de posición, que se muestran en el siguiente gráfico, vienen dadas por s = f ( t ) y s = g ( t ) , donde s se mide en pies y t se mide en segundos. ¿Qué vehículo viajó más lejos en t = 2 segundos? ¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en t = 3 segundos? ¿Qué vehículo va más rápido a los t = 4 segundos? ¿Qué hay de cierto en las posiciones de los vehículos en t = 4 segundos? a. El vehículo representado por f ( t ) , porque recorrió 2 ft, mientras que g ( t ) recorrió 1 ft. b. La velocidad de f ( t ) es constante en 1 ft/s, mientras que la velocidad de g ( t ) es, aproximadamente, 2 ft/s. c. El vehículo representado por g ( t ) , con una velocidad de aproximadamente 4 ft/s. d. Ambos han recorrido 4 pies en 4 segundos. [T] El costo total C ( x ) , en cientos de dólares, para producir x tarros de mayonesa viene dado por C ( x ) = 0,000003 x 3 + 4 x + 300 . Calcule el costo promedio por tarro en los siguientes intervalos: [100, 100,1] [100, 100,01] [100, 100,001] [100, 100,0001] Utilice las respuestas de a. para estimar el costo promedio de producción de 100 tarros de mayonesa. [T] Para la función f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 11 x + 12 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los dos valores de x = a para la cual m tan = f ′ ( a ) = 0 . a. b. a ≈ − 1,361 , 2,694 [T] Para la función f ( x ) = x 1 + x 2 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función ZOOM de la calculadora para aproximar los valores de x = a para la cual m tan = f ′ ( a ) = 0 . Supongamos que N ( x ) calcula el número de galones de gasolina utilizados por un vehículo que recorre x millas. Supongamos que el vehículo alcanza 30 mpg (millas por galón) Halle una expresión matemática para N ( x ) . ¿Cuál es el valor de N ( 100 )? Explique el significado físico. ¿Cuál es el valor de N ′ ( 100 ) ? Explique el significado físico. a. N ( x ) = x 30 b. ∼ 3,3 galones. Cuando el vehículo recorre 100 millas, ha consumido 3,3 galones de gasolina. c. 1 30 . La tasa de consumo de gasolina en galones por milla que el vehículo está logrando después de haber recorrido 100 millas. [T] Para la función f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función nDeriv función, que halla numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar f ′ ( −2 ) , f ′ ( −0,5 ) , f ′ ( 1,7 ) , y f ′ ( 2,718 ) . [T] Para la función f ( x ) = x 2 x 2 + 1 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para representar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función nDeriv en una calculadora gráfica para hallar f ′ ( –4 ) , f ′ ( −2 ) , f ′ ( 2 ) , y f ′ ( 4 ) . a. b. −0,028 , −0,16 , 0,16 , 0,028 derivada pendiente de la línea tangente a una función en un punto, calculada tomando el límite del cociente de diferencias cociente de diferencias de una función f ( x ) en a está dada por f ( a + h ) − f ( a ) h o f ( x ) − f ( a ) x – a diferenciación el proceso de tomar un derivada tasa instantánea de cambio tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma a , también llamada f ′ ( a ) , o derivada de la función en a

Matemáticas


La derivada como función Como vimos, la derivada de una función en un punto determinado nos da la tasa de cambio o pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que al conocer la derivada de la función en cada punto obtendríamos información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso en unos cuantos valores utilizando las técnicas de la sección anterior se volvería muy pronto bastante tedioso. En esta sección definiremos la función derivada y aprenderemos un proceso para encontrarla. Funciones derivadas La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue. Definición Supongamos que f es una función. La función derivada , denotada por f ′ , es la función cuyo dominio consiste en los valores de x de manera tal que el siguiente límite existe: f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . Una función f ( x ) se dice que es diferenciable en a si f ′ ( a ) . De forma más general, se dice que una función es diferenciable en S si es diferenciable en cada punto de un conjunto abierto S , y una función diferenciable es aquella en la que f ′ ( x ) existe en su dominio. En los siguientes ejemplos utilizaremos la para encontrar la derivada de una función. Hallar la derivada de una función de raíz cuadrada Calcule la derivada de f ( x ) = x . Empiece directamente con la definición de la función derivada. Utilice la . f ′ ( x ) = lím h → 0 x + h − x h Sustituya f ( x + h ) = x + h y f ( x ) = x en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 x + h − x h . x + h + x x + h + x Multiplique el numerador y el denominador por x + h + x sin distribuir en el denominador. = lím h → 0 h h ( x + h + x ) Multiplique los numeradores y simplifique. = lím h → 0 1 ( x + h + x ) Cancele el h . = 1 2 x Evalúe el límite. Hallar la derivada de una función cuadrática Halle la derivada de la función f ( x ) = x 2 − 2 x . Siga aquí el mismo procedimiento, pero multiplicar por el conjugado. f ′ ( x ) = lím h → 0 ( ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) ) − ( x 2 − 2 x ) h Sustituya f ( x + h ) = ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) y f ( x ) = x 2 − 2 x en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − 2 x − 2 h − x 2 + 2 x h Expanda ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) . = lím h → 0 2 x h − 2 h + h 2 h Simplifique. = lím h → 0 h ( 2 x − 2 + h ) h Saque el factor común h del numerador. = lím h → 0 ( 2 x − 2 + h ) Cancele el factor común de h . = 2 x − 2 Evalúe el límite. Calcule la derivada de f ( x ) = x 2 . f ′ ( x ) = 2 x Pista Utilice la y siga el ejemplo. Para expresar la derivada de una función utilizamos diferentes notaciones. En el demostramos que si f ( x ) = x 2 − 2 x , entonces f ′ ( x ) = 2 x − 2 . Si hubiéramos expresado esta función en la forma y = x 2 − 2 x , podríamos haber expresado la derivada como y ′ = 2 x − 2 o d y d x = 2 x − 2 . Podríamos haber expresado la misma información al escribir d d x ( x 2 − 2 x ) = 2 x − 2 . Así, para la función y = f ( x ) , cada una de las siguientes notaciones representa la derivada de f ( x ) : f ′ ( x ) , d y d x , y ′ , d d x ( f ( x ) ) . En vez de f ′ ( a ) también podemos utilizar d y d x | x = a El uso de la notación d y d x (llamada notación Leibniz) es bastante común en ingeniería y física. Para entender mejor esta notación, recordemos que la derivada de una función en un punto es el límite de las pendientes de las líneas secantes cuando estas se acercan a la línea tangente. Las pendientes de estas líneas secantes suelen expresarse en la forma Δ y Δ x donde Δ y es la diferencia en los valores y correspondientes a la diferencia en los valores x , que se expresan como Δ x ( ). Así, la derivada, que puede considerarse como la tasa instantánea de cambio de y con respecto a x , se expresa como d y d x = lím Δ x → 0 Δ y Δ x . La derivada se expresa como d y d x = lím Δ x → 0 Δ y Δ x . Graficar una derivada Ya hablamos de cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podemos graficarla. Dadas ambas, esperaríamos ver una correspondencia entre los gráficos de estas dos funciones, ya que f ′ ( x ) da la tasa de cambio de una función f ( x ) (o pendiente de la línea tangente a f ( x ) ) En el encontramos que para f ( x ) = x , f ′ ( x ) = 1 / 2 x . Si graficamos estas funciones en los mismos ejes, como en la , podemos usar los gráficos para entender la relación entre estas dos funciones. En primer lugar, observamos que f ( x ) es creciente en todo su dominio, lo que significa que las pendientes de sus líneas tangentes en todos los puntos son positivas. En consecuencia, esperamos f ′ ( x ) > 0 para todos los valores de x en su dominio. Además, a medida que x aumenta, las pendientes de las líneas tangentes a f ( x ) disminuyen y esperamos ver un descenso correspondiente en f ′ ( x ) . También observamos que f ( 0 ) es indefinido y que lím x → 0 + f ′ ( x ) = + ∞ , correspondiente a una tangente vertical a f ( x ) a las 0 . La derivada f ′ ( x ) es positiva en todas partes porque la función f ( x ) aumenta. En el encontramos que para f ( x ) = x 2 − 2 x , f ′ ( x ) = 2 x − 2 . Los gráficos de estas funciones se muestran en la . Observe que f ( x ) disminuye para x < 1 . Para estos mismos valores de x , f ′ ( x ) < 0 . Para los valores de x > 1 , f ( x ) está aumentando y f ′ ( x ) > 0 . También, f ( x ) tiene una tangente horizontal en x = 1 y f ′ ( 1 ) = 0 . La derivada f ′ ( x ) < 0 donde la función f ( x ) es decreciente y f ′ ( x ) > 0 donde f ( x ) aumenta. La derivada es cero donde la función tiene una tangente horizontal. Trazado de una derivada mediante una función Utilice el siguiente gráfico de f ( x ) para dibujar un gráfico de f ′ ( x ) . La solución se muestra en el siguiente gráfico. Observe que f ( x ) está aumentando y f ′ ( x ) > 0 sobre ( – 2 , 3 ) . También, f ( x ) es decreciente y f ′ ( x ) < 0 sobre ( − ∞ , –2 ) y en ( 3 , + ∞ ) . También tenga en cuenta que f ( x ) tiene tangentes horizontales en – 2 y 3 , y f ′ ( −2 ) = 0 y f ′ ( 3 ) = 0 . Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 − 4 . ¿En qué intervalo se encuentra el gráfico de f ′ ( x ) por encima del eje x ? ( 0 , + ∞ ) Pista El gráfico de f ′ ( x ) es positivo cuando f ( x ) aumenta. Derivadas y continuidad Ahora que podemos graficar una derivada, vamos a examinar el comportamiento de los gráficos. En primer lugar, consideraremos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua en el mismo, sin embargo, una función que es continua en un punto no tiene por qué ser diferenciable en él. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto por una entre varias razones. La Diferenciabilidad implica continuidad Supongamos que f ( x ) es una función y a está en su dominio. Si los valores de f ( x ) es diferenciable en a , entonces f es continua en a . Prueba Si los valores de f ( x ) es diferenciable en a , entonces f ′ ( a ) existe y f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a . Queremos demostrar que f ( x ) es continua en a demostrando que lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Por lo tanto, lím x → a f ( x ) = lím x → a ( f ( x ) − f ( a ) + f ( a ) ) = lím x → a ( f ( x ) − f ( a ) x – a . ( x – a ) + f ( a ) ) Multiplicar y dividir f ( x ) − f ( a ) por x – a . = ( lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a ) . ( lím x → a ( x – a ) ) + lím x → a f ( a ) = f ′ ( a ) . 0 + f ( a ) = f ( a ) Por lo tanto, dado que f ( a ) está definida y lím x → a f ( x ) = f ( a ) , concluimos que f es continua en a . □ Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para responder esa pregunta, examinaremos la función f ( x ) = | x | . Esta función es continua en todas partes; sin embargo, f ′ ( 0 ) es indefinida. Esta observación nos lleva a pensar que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Para f ( x ) = | x | , f ′ ( 0 ) = lím x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lím x → 0 | x | − | 0 | x − 0 = lím x → 0 | x | x . Este límite no existe porque lím x → 0 − | x | x = −1 y lím x → 0 + | x | x = 1 . Vea la . La función f ( x ) = | x | es continua en 0 pero no es diferenciable en 0 . Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no es diferenciable. Considere la función f ( x ) = x 3 : f ′ ( 0 ) = lím x → 0 x 3 − 0 x − 0 = lím x → 0 1 x 2 3 = + ∞ . Por lo tanto, f ′ ( 0 ) no existe. Un rápido vistazo al gráfico de f ( x ) = x 3 aclara la situación. La función tiene una línea tangente vertical en 0 ( ). La función f ( x ) = x 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Es continua en 0 pero no es diferenciable en 0 . La función f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 también tiene una derivada que muestra un comportamiento interesante en 0 . Vemos que f ′ ( 0 ) = lím x → 0 x sen ( 1 / x ) − 0 x − 0 = lím x → 0 sen ( 1 x ) . Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las líneas secantes cambian continuamente de dirección al acercarse a cero ( ). La función f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 no es diferenciable en 0 . En resumen: Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, es posible que una función continua no sea diferenciable. Vimos que f ( x ) = | x | no es diferenciable en 0 porque el límite de las pendientes de las líneas tangentes a la izquierda y a la derecha no eran iguales. Visualmente, esto dio lugar a una esquina aguda en el gráfico de la función en 0 . De esto se deduce que para que una función sea diferenciable en un punto, debe ser "suave" en ese punto. Vimos en el ejemplo de f ( x ) = x 3 , una función no es diferenciable en un punto en el que hay una línea tangente vertical. Como vimos con f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 una función puede dejar de ser diferenciable en un punto de formas más complicadas también. Una función a trozos continua y diferenciable Una compañía de juguetes quiere diseñar una pista para un carrito de juguete que comienza con una curva parabólica y luego se convierte en una línea recta ( ). La función que describe la pista debe tener la forma f ( x ) = { 1 10 x 2 + b x + c si x < −10 − 1 4 x + 5 2 si x ≥ −10 donde x y f ( x ) están en pulgadas. Para que el auto recorra suavemente por la pista, la función f ( x ) debe ser continua y diferenciable en −10 . Halle los valores de b y c que hacen f ( x ) tanto continua como diferenciable. Para que ese auto recorra suavemente la pista, la función debe ser continua y diferenciable. Para que la función sea continua en x = −10 , lím x → −10 − f ( x ) = f ( −10 ) . Por lo tanto, ya que lím x → − 10 − f ( x ) = 1 10 ( −10 ) 2 − 10 b + c = 10 – 10 b + c y f ( −10 ) = 5 , debemos tener 10 – 10 b + c = 5 . De forma equivalente, tenemos c = 10 b − 5 . Para que la función sea diferenciable en −10 , f ′ ( −10 ) = lím x → − 10 f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 debe existir. Dado que f ( x ) se define con reglas diferentes a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos entre sí: lím x → − 10 − f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 = lím x → − 10 − 1 10 x 2 + b x + c − 5 x + 10 = lím x → − 10 − 1 10 x 2 + b x + ( 10 b − 5 ) − 5 x + 10 Sustituya c = 10 b − 5. = lím x → − 10 − x 2 − 100 + 10 b x + 100 b 10 ( x + 10 ) = lím x → − 10 − ( x + 10 ) ( x − 10 + 10 b ) 10 ( x + 10 ) Factor por agrupación. = b − 2. También tenemos lím x → − 10 + f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 = lím x → − 10 + − 1 4 x + 5 2 − 5 x + 10 = lím x → − 10 + − ( x + 10 ) 4 ( x + 10 ) = − 1 4 . Esto nos da b − 2 = − 1 4 . Así que b = 7 4 y c = 10 ( 7 4 ) − 5 = 25 2 . Halle los valores de a y b que hacen f ( x ) = { a x + b si x < 3 x 2 si x ≥ 3 continua y diferenciable en 3 . a = 6 y b = −9 Pista Utilice el como guía. Derivadas de orden superior La derivada de una función es a su vez una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la tasa de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de la velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivadas para obtener la tercera derivada, la cuarta derivada, etc. En conjunto, se denominan derivadas de orden superior . La notación para las derivadas de orden superior de y = f ( x ) puede expresarse en cualquiera de las siguientes formas: f ″ ( x ) , f ‴ ( x ) , f ( 4 ) ( x ) ,… , f ( n ) ( x ) grandes. y ″ ( x ) , y ‴ ( x ) , y ( 4 ) ( x ) ,… , y ( n ) ( x ) grandes. d 2 y d x 2 , d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 ,… , d n y d x n . Es interesante observar que la notación para d 2 y d x 2 puede verse como un intento de expresar d d x ( d y d x ) de forma más compacta. De manera similar, d d x ( d d x ( d y d x ) ) = d d x ( d 2 y d x 2 ) = d 3 y d x 3 . Calcular una segunda derivada Para f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 , calcule f ″ ( x ) . Primero calcule f ′ ( x ) . f ′ ( x ) = lím h → 0 ( 2 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) + 1 ) − ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) h Sustituya f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 y f ( x + h ) = 2 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) + 1 en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 4 x h + 2 h 2 − 3 h h Simplifique el numerador. = lím h → 0 ( 4 x + 2 h − 3 ) Factorice el h en el numerador y cancele con la h en el denominador. = 4 x − 3 Tome el límite. A continuación, calcule f ″ ( x ) tomando la derivada de f ′ ( x ) = 4 x − 3 . f ″ ( x ) = lím h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x ) h Uso f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h con f ′ ( x ) in lugar de f ( x ) . = lím h → 0 ( 4 ( x + h ) − 3 ) − ( 4 x − 3 ) h Sustituya f ′ ( x + h ) = 4 ( x + h ) − 3 y f ′ ( x ) = 4 x − 3. = lím h → 0 4 Simplifique. = 4 Tome el límite. Calcule f ″ ( x ) por f ( x ) = x 2 . f ″ ( x ) = 2 Pista Encontramos f ′ ( x ) = 2 x en un punto de control anterior. Utilice la para encontrar la derivada de f ′ ( x ) Encontrar la aceleración La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t (en segundos) viene dado por s ( t ) = 3 t 2 − 4 t + 1 (en metros). Halle la función que describe su aceleración en el tiempo t . Dado que v ( t ) = s ′ ( t ) y a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) , comenzamos encontrando la derivada de s ( t ) : s ′ ( t ) = lím h → 0 s ( t + h ) − s ( t ) h = lím h → 0 3 ( t + h ) 2 − 4 ( t + h ) + 1 − ( 3 t 2 − 4 t + 1 ) h = 6 t − 4. Luego, s ″ ( t ) = lím h → 0 s ′ ( t + h ) − s ′ ( t ) h = lím h → 0 6 ( t + h ) − 4 − ( 6 t − 4 ) h = 6. Así, a = 6 m/s 2 . Para s ( t ) = t 3 , calcule a ( t ) . a ( t ) = 6 t Pista Utilice la como guía. Conceptos clave La derivada de una función f ( x ) es la función cuyo valor en x es f ′ ( x ) . El gráfico de la derivada de una función f ( x ) está relacionado con el gráfico de f ( x ) . Donde f ( x ) tiene una línea tangente con pendiente positiva, f ′ ( x ) > 0 . Donde f ( x ) tiene una línea tangente con pendiente negativa, f ′ ( x ) < 0 . Donde f ( x ) tiene una línea tangente horizontal, f ′ ( x ) = 0 . Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Una función no es diferenciable en un punto si no es continua en el mismo, si tiene una línea tangente vertical en el punto o si el gráfico tiene una esquina aguda o cúspide. Las derivadas de orden superior son derivadas de derivadas, desde la segunda derivada hasta la n −ésima derivada. Ecuaciones clave La función derivada f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h En los siguientes ejercicios, utilice la definición de una derivada para encontrar f ′ ( x ) . f ( x ) = 6 f ( x ) = 2 − 3 x −3 f ( x ) = 2 x 7 + 1 f ( x ) = 4 x 2 8 x f ( x ) = 5 x – x 2 f ( x ) = 2 x 1 2 x f ( x ) = x − 6 f ( x ) = 9 x −9 x 2 f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = 1 x −1 2 x 3 / 2 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) para dibujar el gráfico de su derivada f ′ ( x ) . En los siguientes ejercicios, el límite dado representa la derivada de una función y = f ( x ) en x = a . Calcule f ( x ) y a . lím h → 0 ( 1 + h ) 2 / 3 − 1 h lím h → 0 [ 3 ( 2 + h ) 2 + 2 ] − 14 h f ( x ) = 3 x 2 + 2 , a = 2 lím h → 0 cos ( π + h ) + 1 h lím h → 0 ( 2 + h ) 4 − 16 h f ( x ) = x 4 , a = 2 lím h → 0 [ 2 ( 3 + h ) 2 − ( 3 + h ) ] − 15 h lím h → 0 e h − 1 h f ( x ) = e x , a = 0 Para las siguientes funciones, dibuje el gráfico y use la definición de derivada para demostrar que la función no es diferenciable en x = 1 . f ( x ) = { 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 3 x – 1 , x > 1 f ( x ) = { 3 , x < 1 3 x , x ≥ 1 a. b. lím h → 1 − 3 − 3 h ≠ lím h → 1 + 3 h h f ( x ) = { − x 2 + 2 , x ≤ 1 x , x > 1 f ( x ) = { 2 x , x ≤ 1 2 x , x > 1 a. b. lím h → 1 − 2 h h ≠ lím h → 1 + 2 x + h − 2 x h . Para los siguientes gráficos, determine para qué valores de x = a el plano lím x → a f ( x ) existe pero f no es continua en x = a , y determine para qué valores de x = a la función es continua pero no diferenciable en x = a . a. x = 1 , b. x = 2 Utilice el gráfico para evaluar a. f ′ ( −0,5 ) , b. f ′ ( 0 ) , c. f ′ ( 1 ) , d. f ′ ( 2 ) , y e. f ′ ( 3 ) , si existe. En las siguientes funciones, utilice f ″ ( x ) = lím h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x ) h para calcular f ″ ( x ) . f ( x ) = 2 − 3 x 0 f ( x ) = 4 x 2 f ( x ) = x + 1 x 2 x 3 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar f ( x ) . Determine la función f ′ ( x ) , y, a continuación, use una calculadora para hacer un gráfico f ′ ( x ) . [T] f ( x ) = − 5 x [T] f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 4 . f ′ ( x ) = 6 x + 2 [T] f ( x ) = x + 3 x [T] f ( x ) = 1 2 x f ′ ( x ) = − 1 ( 2 x ) 3 / 2 [T] f ( x ) = 1 + x + 1 x [T] f ( x ) = x 3 + 1 f ′ ( x ) = 3 x 2 En los siguientes ejercicios, describa lo que representan las dos expresiones en función de cada una de las situaciones dadas. Asegúrese de incluir las unidades. f ( x + h ) − f ( x ) h f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h P ( x ) indica la población de una ciudad en el tiempo x en años. C ( x ) indica la cantidad total de dinero (en miles de dólares) gastada en concesiones por x clientes en un parque de atracciones. a. Tasa promedio de gasto de los clientes en las concesiones, en miles de dólares por cliente. b. Tasa (en miles de dólares por cliente) en la que x clientes gastaron dinero en concesiones en miles de dólares por cliente. R ( x ) indica el costo total (en miles de dólares) de la fabricación de x radios-reloj. g ( x ) denota la calificación (en puntos porcentuales) recibida en un examen, dadas x horas de estudio. a. La nota promedio recibida en la prueba con un tiempo promedio de estudio entre dos valores. b. Tasa (en puntos porcentuales por hora) en el que la nota del examen aumentó o disminuyó según un determinado tiempo promedio de estudio de x horas. B ( x ) indica el costo (en dólares) de un libro de texto de sociología en las librerías universitarias de Estados Unidos en x años desde 1990 . p ( x ) indica la presión atmosférica en Torrs a una altitud de x pies. a. Cambio promedio de la presión atmosférica entre dos altitudes diferentes. b. Tasa (torr por pie) a la que aumenta o disminuye la presión atmosférica en x pies. Trace el gráfico de una función y = f ( x ) con todas las propiedades siguientes: f ′ ( x ) > 0 por −2 ≤ x < 1 f ′ ( 2 ) = 0 f ′ ( x ) > 0 por x > 2 f ( 2 ) = 2 y f ( 0 ) = 1 lím x → − ∞ f ( x ) = 0 y lím x → ∞ f ( x ) = ∞ f ′ ( 1 ) no existe. Supongamos que la temperatura T en grados Fahrenheit a una altura de x en pies sobre el suelo viene dada por y = T ( x ) . Dé una interpretación física, con unidades, de T ′ ( x ) . Si sabemos que T ′ ( 1.000 ) = −0,1 , explique el significado físico. a. La velocidad (en grados por pie) a la que aumenta o disminuye la temperatura para una altura determinada x . b. La tasa de cambio de la temperatura al cambiar la altitud en 1.000 pies es −0,1 grados por pie. Supongamos que el beneficio total de una compañía es y = P ( x ) mil dólares cuando se venden x unidades de un artículo. ¿Qué mide P ( b ) − P ( a ) b – a por 0 < a < b y cuáles son las unidades? ¿Qué mide P ′ ( x ) y cuáles son las unidades? Supongamos que P ′ ( 30 ) = 5 , ¿cuál es la variación aproximada de las ganancias si el número de artículos vendidos aumenta de 30 para 31 ? El gráfico de la siguiente figura modela el número de personas N ( t ) que han contraído la gripe t semanas después de su brote inicial en una ciudad con una población de 50 000 personas. Describa lo que N ′ ( t ) representa y cómo se comporta cuando t aumenta. ¿Qué nos dice la derivada sobre cómo afecta el brote de gripe a esta ciudad? a. El ritmo al que cambia el número de personas que han contraído la gripe t semanas después del brote inicial. b. La tasa aumenta considerablemente hasta la tercera semana, momento en el que se ralentiza y luego se vuelve constante. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la altura h del cohete Saturno V para la misión Apolo 11 t segundos después del lanzamiento. Tiempo (segundos) Altura (metros) 0 0 1 2 2 4 3 13 4 25 5 32 ¿Cuál es el significado físico de h ′ ( t ) ? ¿Cuáles son las unidades? [T] Elabore una tabla de valores para h ′ ( t ) y grafique ambas h ( t ) y h ′ ( t ) en el mismo gráfico. (Pista: para los puntos internos , estime tanto el límite izquierdo como el derecho y promédielos. Un punto interno de un intervalo I es un elemento de I que no es un punto final de I). Tiempo (segundos) h ′ ( t ) (m/s) 0 2 1 2 2 5,5 3 10,5 4 9,5 5 7 [T] El mejor ajuste lineal para los datos viene dado por H ( t ) = 7,229 t − 4,905 , donde H es la altura del cohete (en metros) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine H ′ ( t ) . Gráfico H ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique H ′ ( t ) . [T] El mejor ajuste cuadrático para los datos viene dado por G ( t ) = 1,429 t 2 + 0,0857 t − 0,1429 , donde G es la altura del cohete (en metros) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine G ′ ( t ) . Gráfico G ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique G ′ ( t ) . G ′ ( t ) = 2,858 t + 0,0857 [T] El mejor ajuste cúbico para los datos viene dado por F ( t ) = 0,2037 t 3 + 2,956 t 2 − 2,705 t + 0,4683 , donde F es la altura del cohete (en m) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine F ′ ( t ) . Gráfico F ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique F ′ ( t ) . ¿Qué función entre la lineal, cuadrática o cúbica se ajusta mejor a los datos? Utilizando los mejores ajustes lineales, cuadráticos y cúbicos para los datos, determine qué H ″ ( t ) , G ″ ( t ) y F ″ ( t ) sí lo son. ¿Cuáles son los significados físicos de H ″ ( t ) , G ″ ( t ) y F ″ ( t ) , y cuáles son sus unidades? H ″ ( t ) = 0 , G ″ ( t ) = 2,858 y f ″ ( t ) = 1,222 t + 5,912 representa la aceleración del cohete, con unidades de metros por segundo al cuadrado ( m/s 2 ) función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada diferenciable en a una función para la cual f ′ ( a ) existe es diferenciable en a diferenciable en S una función para la cual f ′ ( x ) existe para cada x en el conjunto abierto S es diferenciable en S función diferenciable una función para la cual f ′ ( x ) existe es una función diferenciable derivada de orden superior la derivada de una derivada, desde la segunda derivada hasta la enésima derivada, se llama derivada de orden superior

Matemáticas


Reglas de diferenciación Encontrar las derivadas de las funciones utilizando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante difícil. Por ejemplo, anteriormente descubrimos que d d x ( x ) = 1 2 x mediante un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El proceso que podríamos utilizar para evaluar d d x ( x 3 ) utilizando la definición, aunque es similar, es más complicado. En esta sección, desarrollaremos reglas para encontrar derivadas que nos permitan evitar este proceso. Empezamos por lo básico. Reglas básicas Las funciones f ( x ) = c y g ( x ) = x n donde n es un número entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de forma eficiente sin recurrir a la definición de límite de la derivada, debemos primero desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas. La regla constante Primero aplicamos la definición de límite de la derivada para encontrar la derivada de la función constante, f ( x ) = c . Para esta función, tanto f ( x ) = c como f ( x + h ) = c , por lo que obtenemos el siguiente resultado: f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lím h → 0 c − c h = lím h → 0 0 h = lím h → 0 0 = 0, La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla de la constante . Afirma que la derivada de una función constante es cero; es decir, puesto que una función constante es una línea horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es 0 . En el siguiente teorema volvemos a exponer esta regla. La regla constante Supongamos que c es una constante. Si los valores de f ( x ) = c , entonces f ′ ( x ) = 0 . Alternativamente, podemos expresar esta regla como d d x ( c ) = 0, Aplicación de la regla de la constante Calcule la derivada de f ( x ) = 8 . Esto es solo una aplicación de la regla en un paso: f ′ ( x ) = 0, Calcule la derivada de g ( x ) = −3 . 0 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. La regla de la potencia Ya demostramos que d d x ( x 2 ) = 2 x y d d x ( x 1 / 2 ) = 1 2 x – 1 / 2 . En este punto, se puede ver un patrón que comienza a desarrollarse para las derivadas de la forma d d x ( x n ) . Continuamos nuestro examen de las fórmulas de derivación diferenciando funciones de potencia de la forma f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo. Desarrollaremos fórmulas para las derivadas de este tipo de funciones por etapas, empezando por las potencias enteras positivas. Antes de enunciar y demostrar la regla general para las derivadas de funciones de esta forma, veremos un caso concreto, d d x ( x 3 ) . A medida que avancemos en esta derivación, observe que la técnica utilizada en este caso es esencialmente la misma que la que se usa para demostrar el caso general. Diferenciando x 3 Halle d d x ( x 3 ) . d d x ( x 3 ) = lím h → 0 ( x + h ) 3 − x 3 h = lím h → 0 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 − x 3 h Note que el primer término de la expansión de ( x + h ) 3 es x 3 y el segundo término es 3 x 2 h . Todos los demás términos contienen potencias de h de dos o mayores. = lím h → 0 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h En este paso se cancelaron los términos x 3 dejando solo los términos que contienen h . = lím h → 0 h ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) h Factorice el factor común de h . = lím h → 0 ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) Tras cancelar el factor común de h , el único término que no contiene h es 3 x 2 . = 3 x 2 Supongamos que h llega a 0. Halle d d x ( x 4 ) . 4 x 3 Pista Utilice la sustitución en ( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 y siga el procedimiento descrito en el ejemplo anterior. Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de la forma general f ( x ) = x n es bastante similar. Aunque a menudo no es prudente sacar conclusiones generales a partir de ejemplos concretos, observamos que cuando diferenciamos f ( x ) = x 3 , la potencia en x se convierte en el coeficiente de x 2 en la derivada y la potencia x en la derivada disminuye en 1. El siguiente teorema afirma que la regla de la potencia se cumple para todas las potencias enteras positivas de x . En su momento ampliaremos este resultado a las potencias enteras negativas. Más adelante veremos que esta regla también puede extenderse primero a las potencias racionales de x y luego a las potencias arbitrarias de x . No obstante tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las funciones en las que una constante se eleva a una potencia variable, como por ejemplo f ( x ) = 3 x . La regla de la potencia Supongamos que n es un número entero positivo. Si los valores de f ( x ) = x n , entonces f ′ ( x ) = n x n – 1 . Alternativamente, podemos expresar esta regla como d d x x n = n x n – 1 . Prueba Para f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo, tenemos f ′ ( x ) = lím h → 0 ( x + h ) n – x n h . Dado que ( x + h ) n = x n + n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n , vemos que ( x + h ) n – x n = n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n . A continuación, divida ambos lados entre h : ( x + h ) n – x n h = n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n h . Por lo tanto, ( x + h ) n – x n h = n x n – 1 + ( n 2 ) x n – 2 h + ( n 3 ) x n − 3 h 2 + … + n x h n – 2 + h n – 1 . Finalmente, f ′ ( x ) = lím h → 0 ( n x n – 1 + ( n 2 ) x n – 2 h + ( n 3 ) x n − 3 h 2 + … + n x h n – 1 + h n ) = n x n – 1 . □ Aplicación de la regla de la potencia Halle la derivada de la función f ( x ) = x 10 aplicando la regla de la potencia. Utilizando la regla de la potencia con n = 10 , obtenemos f ′ ( x ) = 10 x 10 − 1 = 10 x 9 . Calcule la derivada de f ( x ) = x 7 . f ′ ( x ) = 7 x 6 Pista Utilice la regla de la potencia con n = 7 . Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante Encontramos nuestras siguientes reglas de diferenciación observando las derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Al igual que cuando trabajamos con funciones, hay reglas que facilitan encontrar derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema. Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables y que k es una constante. Entonces cada una de las siguientes ecuaciones se cumple. Regla de la suma . La derivada de la suma de una función f y una función g es igual a la suma de la derivada de f y la derivada de g . d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) + d d x ( g ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . Regla de la diferencia . La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g : d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) − d d x ( g ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) . Regla del múltiplo constante . La derivada de una constante k multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada: d d x ( k f ( x ) ) = k d d x ( f ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = k f ( x ) , j ′ ( x ) = k f ′ ( x ) . Prueba Aquí solo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. El resto permanece similar. Para las funciones diferenciables f ( x ) y g ( x ) , establecemos j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Utilizando la definición de límite de la derivada tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 j ( x + h ) − j ( x ) h . Al sustituir j ( x + h ) = f ( x + h ) + g ( x + h ) y j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) + g ( x + h ) ) − ( f ( x ) + g ( x ) ) h . Si reordenamos y reagrupamos los términos, tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h + g ( x + h ) − g ( x ) h ) . Ahora aplicamos la ley de suma para los límites y la definición de la derivada para obtener j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h ) + lím h → 0 ( g ( x + h ) − g ( x ) h ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . □ Aplicación de la regla del múltiplo constante Calcule la derivada de g ( x ) = 3 x 2 y compárela con la derivada de f ( x ) = x 2 . Utilicemos directamente la regla de la potencia: g ′ ( x ) = d d x ( 3 x 2 ) = 3 d d x ( x 2 ) = 3 ( 2 x ) = 6 x . Dado que f ( x ) = x 2 tiene la derivada f ′ ( x ) = 2 x , vemos que la derivada de g ( x ) es 3 veces la derivada de f ( x ) . Esta relación se ilustra en la . La derivada de g ( x ) es 3 veces la derivada de f ( x ) . Aplicación de las reglas básicas de las derivadas Calcule la derivada de f ( x ) = 2 x 5 + 7 . Comenzamos aplicando la regla para diferenciar la suma de dos funciones, seguida de las reglas de diferenciación de múltiplos constantes de funciones y de la regla para diferenciar potencias. Para entender mejor la secuencia en la que se aplican las reglas de diferenciación, utilicemos la notación de Leibniz a lo largo de la solución: f ′ ( x ) = d d x ( 2 x 5 + 7 ) = d d x ( 2 x 5 ) + d d x ( 7 ) Aplique la regla de la suma. = 2 d d x ( x 5 ) + d d x ( 7 ) Aplique la regla del múltiplo constante. = 2 ( 5 x 4 ) + 0 Aplique la regla de la potencia y la regla de la constante. = 10 x 4 . Simplifique. Calcule la derivada de f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 3 . f ′ ( x ) = 6 x 2 − 12 x . Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 a las x = 1 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente. Para hallar el punto, calcule f ( 1 ) = 1 2 − 4 ( 1 ) + 6 = 3 . Esto nos da el punto ( 1 , 3 ) . Como la pendiente de la línea tangente en 1 es f ′ ( 1 ) , primero debemos encontrar f ′ ( x ) . Utilizando la definición de una derivada, tenemos f ′ ( x ) = 2 x − 4 por lo que la pendiente de la línea tangente es f ′ ( 1 ) = –2 . Utilizando la fórmula punto-pendiente, vemos que la ecuación de la línea tangente es y − 3 = −2 ( x – 1 ) . Poniendo la ecuación de la línea en forma pendiente-intersección, obtenemos y = –2 x + 5 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 3 x 2 − 11 a las x = 2 . Utilice la forma punto-pendiente. y = 12 x − 23 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. La regla del producto Ya que examinamos las reglas básicas, podemos empezar a ver algunas de las reglas más avanzadas. La primera examina la derivada del producto de dos funciones. Aunque podría ser tentador asumir que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de forma similar a las reglas de la suma y la diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos utilizarlo, analicemos la función f ( x ) = x 2 , cuya derivada es f ′ ( x ) = 2 x y no d d x ( x ) . d d x ( x ) = 1 . 1 = 1 . Regla del producto Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. Entonces d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) . g ( x ) + d d x ( g ( x ) ) . f ( x ) . Eso es, si j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , entonces j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) . Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera. Prueba Comenzamos asumiendo que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba tenemos que tener en cuenta el hecho de que, como g ( x ) es diferenciable, también es continua. En particular, tenemos en cuenta el hecho de que ya que g ( x ) es continua, lím h → 0 g ( x + h ) = g ( x ) . Al aplicar la definición de límite de la derivada a j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h . Al sumar y restar f ( x ) g ( x + h ) en el numerador, tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h . Tras descomponer este cociente y aplicar la ley de suma para los límites, la derivada se convierte en j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h ) h ) + lím h → 0 ( f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h ) . Reordenando, obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h . g ( x + h ) ) + lím h → 0 ( g ( x + h ) − g ( x ) h . f ( x ) ) . Utilizando la continuidad de g ( x ) , la definición de las derivadas de f ( x ) y g ( x ) , y aplicando las leyes de los límites, llegamos a la regla del producto, j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) . □ Aplicación de la regla del producto a las funciones en un punto Para j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , utilice la regla del producto para hallar j ′ ( 2 ) si f ( 2 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −4 , g ( 2 ) = 1 , y g ′ ( 2 ) = 6 . Dado que j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) , y por lo tanto j ′ ( 2 ) = f ′ ( 2 ) g ( 2 ) + g ′ ( 2 ) f ( 2 ) = ( –4 ) ( 1 ) + ( 6 ) ( 3 ) = 14 . Aplicación de la regla del producto a los binomios Para j ( x ) = ( x 2 + 2 ) ( 3 x 3 − 5 x ) , calcule j ′ ( x ) aplicando la regla del producto. Compruebe el resultado encontrando primero el producto y luego diferenciando. Si establecemos f ( x ) = x 2 + 2 y g ( x ) = 3 x 3 − 5 x , entonces f ′ ( x ) = 2 x y g ′ ( x ) = 9 x 2 − 5 . Por lo tanto, j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) = ( 2 x ) ( 3 x 3 − 5 x ) + ( 9 x 2 − 5 ) ( x 2 + 2 ) . Simplificando, tenemos j ′ ( x ) = 15 x 4 + 3 x 2 − 10 . Para comprobarlo, observamos que j ( x ) = 3 x 5 + x 3 − 10 x y en consecuencia, j ′ ( x ) = 15 x 4 + 3 x 2 − 10 . Utilice la regla del producto para obtener la derivada de j ( x ) = 2 x 5 ( 4 x 2 + x ) . j ′ ( x ) = 10 x 4 ( 4 x 2 + x ) + ( 8 x + 1 ) ( 2 x 5 ) = 56 x 6 + 12 x 5 . Pista Establezca f ( x ) = 2 x 5 y g ( x ) = 4 x 2 + x y utilice el ejemplo anterior como guía. La regla del cociente Después de haber desarrollado y practicado la regla del producto, ahora consideraremos la diferenciación de cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas, sino que es la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos la derivada de la función del denominador multiplicada por la función del numerador, todo ello dividido entre el cuadrado de la función del denominador. Para entender mejor por qué no podemos tomar simplemente el cociente de las derivadas, hay que tener en cuenta que d d x ( x 2 ) = 2 x , no d d x ( x 3 ) d d x ( x ) = 3 x 2 1 = 3 x 2 . La regla del cociente Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. Entonces d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) . g ( x ) − d d x ( g ( x ) ) . f ( x ) ( g ( x ) ) 2 . Eso es, si j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , entonces j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 . La prueba de la regla del cociente es muy similar a la de la regla del producto, por lo que se omite aquí. En su lugar, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo. Aplicación de la regla del cociente Use la regla del cociente para encontrar la derivada de k ( x ) = 5 x 2 4 x + 3 . Supongamos que f ( x ) = 5 x 2 y g ( x ) = 4 x + 3 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 10 x y g ′ ( x ) = 4 . Sustituyendo por la regla del cociente, tenemos k ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 = 10 x ( 4 x + 3 ) − 4 ( 5 x 2 ) ( 4 x + 3 ) 2 . Si simplificamos, obtenemos k ′ ( x ) = 20 x 2 + 30 x ( 4 x + 3 ) 2 . Calcule la derivada de h ( x ) = 3 x + 1 4 x − 3 . k ′ ( x ) = − 13 ( 4 x − 3 ) 2 . Pista Aplicar la regla del cociente con f ( x ) = 3 x + 1 y g ( x ) = 4 x − 3 . Ahora es posible utilizar la regla del cociente para ampliar la regla de la potencia para encontrar derivadas de funciones de la forma x k donde k es un número entero negativo. Regla de la potencia ampliada Si los valores de k es un número entero negativo, entonces d d x ( x k ) = k x k − 1 . Prueba Si los valores de k es un número entero negativo, podemos establecer n = − k , para que n sea un número entero positivo con k = − n . Ya que para cada entero positivo n , x − n = 1 x n , ahora podemos aplicar la regla del cociente al establecer f ( x ) = 1 y g ( x ) = x n . En este caso, f ′ ( x ) = 0 y g ′ ( x ) = n x n – 1 . Por lo tanto, d dx ( x − n ) = 0 ( x n ) − 1 ( n x n – 1 ) ( x n ) 2 . Simplificando, vemos que d dx ( x − n ) = − n x n – 1 x 2 n = − n x ( n – 1 ) − 2 n = − n x − n – 1 . Por último, note que ya que k = − n , al sustituir tenemos d d x ( x k ) = k x k − 1 . □ Uso de la regla de la potencia ampliada Halle d d x ( x −4 ) . Si aplicamos la regla de la potencia ampliada con k = −4 , obtenemos d d x ( x −4 ) = −4 x −4 − 1 = −4 x −5 . Uso de la regla de la potencia ampliada y de la regla del múltiplo constante Utilice la regla de la potencia ampliada y la regla del múltiplo constante para encontrar la derivada de f ( x ) = 6 x 2 . Puede parecer tentador utilizar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero como f ( x ) = 6 x −2 . f ′ ( x ) = d d x ( 6 x 2 ) = d d x ( 6 x −2 ) Reescriba 6 x 2 dado que 6 x −2 . = 6 d d x ( x −2 ) Aplique la regla del múltiplo constante. = 6 ( −2 x −3 ) Utilice la regla de la potencia ampliada para diferenciar x −2 . = −12 x −3 Simplifique. Calcule la derivada de g ( x ) = 1 x 7 utilizando la regla de la potencia ampliada. g ′ ( x ) = −7 x −8 . Pista Reescriba g ( x ) = 1 x 7 = x −7 . Utilice la regla de la potencia ampliada con k = −7 . Combinación de reglas de diferenciación Como vimos en los ejemplos de esta sección, rara vez se nos pide que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función dada. En este punto, combinando las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante nos encontraremos con combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una regla de oro para aplicar varias reglas es aplicarlas en el orden inverso al de la evaluación de la función. Combinación de reglas de diferenciación Para k ( x ) = 3 h ( x ) + x 2 g ( x ) , calcule k ′ ( x ) . Para encontrar esta derivada se necesita la regla de la suma, la regla del múltiplo constante y la regla del producto. k ′ ( x ) = d d x ( 3 h ( x ) + x 2 g ( x ) ) = d d x ( 3 h ( x ) ) + d d x ( x 2 g ( x ) ) Aplique la regla de la suma. = 3 d d x ( h ( x ) ) + ( d d x ( x 2 ) g ( x ) + d d x ( g ( x ) ) x 2 ) Aplique la regla del múltiplo constante para diferenciar 3 h ( x ) y el producto regla para diferenciar x 2 g ( x ) . = 3 h ′ ( x ) + 2 x g ( x ) + g ′ ( x ) x 2 Ampliación de la regla del producto Para k ( x ) = f ( x ) g ( x ) h ( x ) , exprese k ′ ( x ) en términos de f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) , y sus derivadas. Podemos pensar en la función k ( x ) como el producto de la función f ( x ) g ( x ) y la función h ( x ) . Es decir, k ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) . h ( x ) . Por lo tanto, k ′ ( x ) = d d x ( f ( x ) g ( x ) ) . h ( x ) + d d x ( h ( x ) ) . ( f ( x ) g ( x ) ) Aplicar la regla del producto al producto de f ( x ) g ( x ) y h ( x ) . = ( f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) ) h ( x ) + h ′ ( x ) f ( x ) g ( x ) Aplique la regla del producto a f ( x ) g ( x ) . = f ′ ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ′ ( x ) Simplifique. Combinación de la regla del cociente y la regla del producto Para h ( x ) = 2 x 3 k ( x ) 3 x + 2 , calcule h ′ ( x ) . Este procedimiento es típico para encontrar la derivada de una función racional. h ′ ( x ) = d d x ( 2 x 3 k ( x ) ) . ( 3 x + 2 ) − d d x ( 3 x + 2 ) . ( 2 x 3 k ( x ) ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del cociente. = ( 6 x 2 k ( x ) + k ′ ( x ) . 2 x 3 ) ( 3 x + 2 ) − 3 ( 2 x 3 k ( x ) ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del producto para hallar d d x ( 2 x 3 k ( x ) ) . Uso d d x ( 3 x + 2 ) = 3 . = −6 x 3 k ( x ) + 18 x 3 k ( x ) + 12 x 2 k ( x ) + 6 x 4 k ′ ( x ) + 4 x 3 k ′ ( x ) ( 3 x + 2 ) 2 Simplifique. Halle d d x ( 3 f ( x ) − 2 g ( x ) ) . 3 f ′ ( x ) − 2 g ′ ( x ) . Pista Aplique la regla de la diferencia y la regla del múltiplo constante. Determinar si una función tiene una tangente horizontal Determine los valores de x en el que f ( x ) = x 3 − 7 x 2 + 8 x + 1 tiene una línea tangente horizontal. Para encontrar los valores de x en el que f ( x ) tiene una línea tangente horizontal, debemos resolver f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = 3 x 2 − 14 x + 8 = ( 3 x − 2 ) ( x − 4 ) , debemos resolver ( 3 x − 2 ) ( x − 4 ) = 0 . Así vemos que la función tiene líneas tangentes horizontales en x = 2 3 y x = 4 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene líneas tangentes horizontales en x = 2/3 y x = 4. Encontrar una velocidad La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t t 2 + 1 . ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto? Dado que la velocidad inicial es v ( 0 ) = s ′ ( 0 ) , comience por hallar s ′ ( t ) aplicando la regla del cociente: s ′ ( t ) = 1 ( t 2 + 1 ) − 2 t ( t ) ( t 2 + 1 ) 2 = 1 − t 2 ( t 2 + 1 ) 2 . Después de la evaluación, vemos que v ( 0 ) = 1 . Halle los valores de x para los que el gráfico de f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 2 tiene una línea tangente paralela a la línea y = 2 x + 3 . 5 8 Pista Resuelva f ′ ( x ) = 2 . Las tribunas de la Fórmula 1 Las carreras de automóviles de Fórmula 1 pueden ser muy emocionantes y de hecho atraen muchos espectadores. Los diseñadores de los circuitos de Fórmula 1 tienen que asegurarse de que haya suficiente espacio en las gradas alrededor de la pista para acomodar al público. Sin embargo, esas carreras pueden ser peligrosas, y los aspectos de seguridad son primordiales. Las tribunas deben estar situadas donde los espectadores no corran peligro en caso de que un piloto pierda el control de un automóvil ( ). La tribuna junto a una recta del circuito de Barcelona-Catalunya, situada donde los espectadores no corren peligro. La seguridad es un problema sobre todo en las curvas. Si un conductor no frena lo suficiente antes de entrar en la curva, su auto puede salirse de la pista. Por lo general esto solo da lugar a un giro más amplio que ralentiza al conductor, pero si este pierde completamente el control, el auto puede salirse de la pista por completo, en una trayectoria tangente a la curva del circuito. Supongamos que está diseñando una nueva pista de Fórmula 1. Una sección de la vía puede ser modelada por la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + x ( ). El plan actual prevé la construcción de tribunas a lo largo de la primera recta y alrededor de una parte de la primera curva. Los planes prevén que la esquina delantera de la tribuna se sitúe en el punto ( −1,9 , 2,8 ) . Queremos determinar si esta ubicación pone en peligro a los espectadores si un conductor pierde el control de su automóvil. (a) Una sección de la pista puede ser modelada por la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + x . b) La esquina delantera de la tribuna está situada en ( −1,9 , 2,8 ) . Los físicos han determinado que los conductores tienen más probabilidades de perder el control de sus autos al entrar en una curva, en el punto donde la pendiente de la línea tangente es 1. Halle las intersecciones en ( x , y ) coordenadas de este punto cerca del giro. Halle la ecuación de la línea tangente a la curva en este punto. Para determinar si los espectadores están en peligro en este escenario, halle la coordenada x del punto donde la línea tangente interseca la línea y = 2,8 . ¿Este punto a la derecha de la tribuna es seguro? ¿O los espectadores están en peligro? ¿Qué pasa si un conductor pierde el control antes de lo previsto según los físicos? Supongamos que un conductor pierde el control en el punto ( −2,5 , 0,625 ) . ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente en este punto? Si un conductor pierde el control como se describe en la parte 4, ¿los espectadores no corren peligro? ¿Debe mantener el diseño actual de la tribuna, o esta debe trasladarse? Conceptos clave La derivada de una función constante es cero. La derivada de una función potencia es una función en la que la potencia sobre x se convierte en el coeficiente del término y la potencia en x en la derivada disminuye en 1. La derivada de una constante c multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada. La derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g. La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g. La derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera. La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda menos la derivada de la segunda función multiplicada por la primera, todo ello dividido entre el cuadrado de la segunda función. Utilizamos la definición de límite de la derivada para desarrollar fórmulas que nos permitan encontrar derivadas sin recurrir a la definición de la derivada. Estas fórmulas pueden usarse por separado o combinadas. En los siguientes ejercicios, calcule f ′ ( x ) por cada función. f ( x ) = x 7 + 10 f ( x ) = 5 x 3 − x + 1 f ′ ( x ) = 15 x 2 – 1 f ( x ) = 4 x 2 − 7 x f ( x ) = 8 x 4 + 9 x 2 – 1 f ′ ( x ) = 32 x 3 + 18 x f ( x ) = x 4 + 2 x f ( x ) = 3 x ( 18 x 4 + 13 x + 1 ) grandes. f ′ ( x ) = 270 x 4 + 39 ( x + 1 ) 2 f ( x ) = ( x + 2 ) ( 2 x 2 − 3 ) grandes. f ( x ) = x 2 ( 2 x 2 + 5 x 3 ) grandes. f ′ ( x ) = −5 x 2 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 3 f ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 1 x 2 f ′ ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − 2 x x 4 f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 f ( x ) = x + 9 x 2 − 7 x + 1 f ′ ( x ) = − x 2 − 18 x + 64 ( x 2 − 7 x + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente T ( x ) al gráfico de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para representar la función y la línea tangente. [T] y = 3 x 2 + 4 x + 1 a las ( 0 , 1 ) [T] y = 2 x 2 + 1 a las ( 1 , 3 ) T ( x ) = – 4 x + 7 [T] y = 2 x x – 1 a las ( –1 , 1 ) [T] y = 2 x − 3 x 2 en ( 1 , –1 ) T ( x ) = 4 x − 5 En los siguientes ejercicios, suponga que f ( x ) y g ( x ) son ambas funciones diferenciables para toda x . Halle la derivada de cada una de las funciones h ( x ) . h ( x ) = 4 f ( x ) + g ( x ) 7 h ( x ) = x 3 f ( x ) grandes. h ′ ( x ) = 3 x 2 f ( x ) + x 3 f ′ ( x ) grandes. h ( x ) = f ( x ) g ( x ) 2 h ( x ) = 3 f ( x ) g ( x ) + 2 h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) ( g ( x ) + 2 ) − 3 f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) + 2 ) 2 En los siguientes ejercicios, suponga que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables con los valores que se indican en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas. x 1 2 3 4 f ( x ) 3 5 −2 0 g ( x ) 2 3 −4 6 f ′ ( x ) −1 7 8 −3 g ′ ( x ) 4 1 2 9 Halle h ′ ( 1 ) si h ( x ) = x f ( x ) + 4 g ( x ) . Halle h ′ ( 2 ) si h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . 16 9 Halle h ′ ( 3 ) si h ( x ) = 2 x + f ( x ) g ( x ) . Halle h ′ ( 4 ) si h ( x ) = 1 x + g ( x ) f ( x ) . Indefinida En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente figura para hallar las derivadas indicadas, si es que existen. Supongamos que h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . Supongamos que h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . a. 2 , b. no existe, c. 2,5 Supongamos que h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . En los siguientes ejercicios, evalúe f ′ ( a ) , y grafique la función f ( x ) y la línea tangente en x = a . [T] f ( x ) = 2 x 3 + 3 x – x 2 , a = 2 a. 23, b. y = 23 x − 28 [T] f ( x ) = 1 x – x 2 , a = 1 [T] f ( x ) = x 2 − x 12 + 3 x + 2 , a = 0 a. 3, b. y = 3 x + 2 [T] f ( x ) = 1 x – x 2 , a = –1 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 3 en x = −1 . y = −7 x − 3 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 + 4 x − 10 a las x = 8 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = ( 3 x – x 2 ) ( 3 − x – x 2 ) en x = 1 . y = −5 x + 7 Halle el punto en el gráfico de f ( x ) = x 3 tal que la línea tangente en ese punto tenga una intersección en x de 6. Halle la ecuación de la línea que pasa por el punto P ( 3 , 3 ) y es tangente al gráfico de f ( x ) = 6 x – 1 . y = − 3 2 x + 15 2 Determine todos los puntos del gráfico de f ( x ) = x 3 + x 2 − x – 1 para el cual la línea tangente es horizontal la línea tangente tiene una pendiente de −1 . Halle un polinomio cuadrático tal que f ( 1 ) = 5 , f ′ ( 1 ) = 3 y f ″ ( 1 ) = −6 . y = −3 x 2 + 9 x – 1 Un auto que circula por una autopista con tráfico ha recorrido s ( t ) = t 3 − 6 t 2 + 9 t metros en t segundos. Determine el tiempo en segundos en que la velocidad del auto es 0. Determine la aceleración del auto cuando la velocidad es 0. [T] Un arenque nadando en línea recta ha recorrido s ( t ) = t 2 t 2 + 2 pies en t segundos. Determine la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos. 12 121 o 0,0992 ft/s La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico se modela mediante la función P ( t ) = 8 t + 3 0,2 t 2 + 1 , donde t se mide en años. Determine la población inicial de platijas. Determine P ′ ( 10 ) e interprete brevemente el resultado. [T] La concentración de antibióticos en el torrente sanguíneo t horas después de haber sido inyectados viene dada por la función C ( t ) = 2 t 2 + t t 3 + 50 , donde C se mide en miligramos por litro de sangre. Calcule la tasa de cambio de C ( t ) . Determine la tasa de cambio de t = 8 , 12 , 24 , y 36. Describa brevemente lo que parece ocurrir a medida que aumenta el número de horas. a. −2 t 4 – 2 t 3 + 200 t + 50 ( t 3 + 50 ) 2 b. −0,02395 mg/L-h, –0,01344 mg/L-h, –0,003566 mg/L-h, –0,001579 mg/L-h c. La tasa a la que disminuye la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo se reduce a 0 a medida que pasa el tiempo. Un editor de libros tiene una función de costo dada por C ( x ) = x 3 + 2 x + 3 x 2 , donde x es el número de ejemplares de un libro en miles y C es el costo por libro en dólares. Evalúe C ′ ( 2 ) y explique su significado. [T] Según la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza F entre dos cuerpos de masa constante m 1 y m 2 está dado por la fórmula F = G m 1 m 2 d 2 , donde G es la constante gravitacional y d es la distancia entre los cuerpos. Supongamos que G , m 1 , y m 2 son constantes. Calcule la tasa de cambio de la fuerza F con respecto a la distancia d . Calcule la tasa de cambio de la fuerza F con la constante gravitacional G = 6,67 × 10 −11 Nm 2 / kg 2 , en dos cuerpos separados por 10 metros, cada uno con una masa de 1.000 kilogramos. a. F ′ ( d ) = −2 G m 1 m 2 d 3 b. −1,33 × 10 −7 N/m regla del múltiplo constante la derivada de una constante c multiplicada por una función f es la misma que la constante multiplicada por la derivada: d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) regla de la constante la derivada de una función constante es cero: d d x ( c ) = 0 , donde c es una constante regla de la diferencia la derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g : d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) regla de la potencia la derivada de una función potencia es una función en la que la potencia sobre x se convierte en el coeficiente del término y la potencia en x en la derivada disminuye en 1: Si los valores de n es un número entero, entonces d d x x n = n x n – 1 regla del producto la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera: d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) regla del cociente la derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función menos la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función, todo ello dividido entre el cuadrado de la segunda función: d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 regla de la suma la derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x )

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