{"text": "Prefacio Bienvenido a Cálculo volumen 1 , un recurso de OpenStax. Este libro de texto se escribió para aumentar el acceso de los estudiantes a materiales de aprendizaje de alta calidad, manteniendo los más altos estándares de rigor académico a bajo o ningún costo. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP ® ) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Cálculo volumen 1 tiene una licencia de Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC-BY-NC-SA), lo que significa que puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido, no utilice el contenido con fines comerciales y distribuya el contenido conforme la misma licencia CC-BY-NC-SA. Puesto que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada puede ponerse a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en OpenStax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en la web, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en OpenStax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en OpenStax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de OpenStax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Sobre Cálculo volumen 1 Cálculo está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y les ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que les rodea. Debido a la naturaleza integral del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficiencia. El volumen 1 cubre funciones, límites, derivadas e integración. Cobertura y alcance Nuestro libro de texto de Cálculo volumen 1 se adhiere al alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de cálculo general en todo el país. Hemos trabajado para que el cálculo sea interesante y accesible para los estudiantes, pero manteniendo el rigor matemático inherente a la asignatura. Con este objetivo en mente, el contenido de los tres volúmenes de Cálculo se han desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica desde los conceptos fundamentales hasta los más avanzados, con base en lo que los estudiantes ya han aprendido y haciendo hincapié en las conexiones entre los temas y entre la teoría y las aplicaciones. La meta de cada sección es que los estudiantes no solo reconozcan los conceptos, sino que trabajen con estos de forma que les resulten útiles en cursos posteriores y en sus futuras carreras. La organización y las características pedagógicas se desarrollaron y examinaron con los aportes de educadores de matemáticas dedicados al proyecto. Volumen 1 Capítulo 1: Funciones y gráficos Capítulo 2: Límites Capítulo 3: Derivadas Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Capítulo 5: Integración Capítulo 6: Aplicaciones de la integración Volumen 2 Capítulo 1: Integración Capítulo 2: Aplicaciones de la integración Capítulo 3: Técnicas de integración Capítulo 4: Introducción a las ecuaciones diferenciales Capítulo 5: Secuencias y series Capítulo 6: Serie de potencias Capítulo 7: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Volumen 3 Capítulo 1: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Capítulo 2: Vectores en el espacio Capítulo 3: Funciones de valores factoriales Capítulo 4: Diferenciación de funciones de varias variables Capítulo 5: Integración múltiple Capítulo 6: Cálculo vectorial Capítulo 7: Ecuaciones diferenciales de segundo orden Fundamentos pedagógicos A lo largo del Cálculo volumen 1 encontrará ejemplos y ejercicios que presentan ideas y técnicas clásicas, así como aplicaciones y métodos modernos. Las derivaciones y explicaciones se fundamentan en años de experiencia en el aula por parte de profesores de cálculo de gran experiencia, que se esfuerzan por lograr un equilibrio de claridad y rigor que ha tenido éxito con sus estudiantes. Las aplicaciones motivadoras abarcan temas importantes de la probabilidad, la biología, la ecología, los negocios y la economía, así como áreas de la física, la química, la ingeniería y la informática. Los proyectos estudiantiles de cada capítulo ofrecen a los estudiantes la oportunidad de explorar interesantes aspectos secundarios de las matemáticas puras y aplicadas: desde la determinación de la distancia de seguridad entre la tribuna y la pista en un circuito de Fórmula Uno hasta el cálculo del centro de masa del Skywalk del Gran Cañón o la velocidad límite de un paracaidista. Las aplicaciones de apertura del capítulo plantean problemas que se resuelven más adelante, utilizando las ideas tratadas en ese capítulo. Los problemas incluyen la fuerza hidráulica contra la presa Hoover y la comparación de la intensidad relativa de dos terremotos. Las definiciones, las reglas y los teoremas se destacan a lo largo del texto, incluyendo más de 60 pruebas de teoremas. Evaluaciones que refuerzan los conceptos clave Los ejemplos del capítulo guían a los estudiantes a través de los problemas al plantear una pregunta, exponer una solución y luego pedirles a los estudiantes que practiquen la habilidad con una pregunta del Punto de control. Asimismo, el libro incluye evaluaciones al final de cada capítulo para que los estudiantes puedan aplicar lo que han aprendido mediante problemas de práctica. Muchos ejercicios están marcados con una [T] para indicar que se pueden resolver con ayuda de la tecnología, lo que incluye calculadoras o sistemas de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS). Las respuestas de los ejercicios seleccionados están disponibles en una Clave de respuestas al final del libro. El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo para que los estudiantes puedan aplicar lo que han aprendido mediante problemas de práctica. Enfoques trascendentales tempranos o tardíos El libro Cálculo volumen 1 está diseñado para dar cabida a los enfoques trascendentales temprano y tardío del cálculo. Las funciones exponenciales y logarítmicas se introducen de manera informal en el capítulo 1 y se presentan en términos más rigurosos en el capítulo 6. La diferenciación e integración de estas funciones se trata en los capítulos 3-5 para los instructores que quieran incluirlas con otros tipos de funciones. Estos temas, sin embargo, se encuentran en secciones separadas que los instructores que prefieren esperar hasta que se den las definiciones integrales pueden omitir antes de enseñar las derivaciones de cálculo de exponenciales y logaritmos. Amplio programa artístico Nuestro programa artístico está diseñado para mejorar la comprensión de los estudiantes de los conceptos a través de ilustraciones, diagramas y fotografías claros y eficaces. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para los estudiantes como para los instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y diapositivas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en OpenStax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asocia con el Instituto para el Estudio de la Administración del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax, de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus cursos, lo que incluye anexos adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para comunicarse con los centros comunitarios (Community Hubs), visite www.oercommons.org/hubs/OpenStax . Recursos asociados Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos asociados a su texto, visite la página de su libro en OpenStax.org. Sobre los autores Autores principales Gilbert Strang, Massachusetts Institute of Technology El Dr. Strang obtuvo su doctorado en la UCLA en 1959 y desde entonces enseña matemáticas en el MIT. Su libro de texto de Cálculo en línea es uno de los once que ha publicado y es la base de la que se ha derivado nuestro producto final, actualizado para el estudiante de hoy. Strang es un matemático condecorado y ex becario Rhodes en la Oxford University. Edwin \"Jed\" Herman, University of Wisconsin-Stevens Point El Dr. Herman se licenció en Matemáticas por el Harvey Mudd College en 1985, obtuvo un máster en Matemáticas por la UCLA en 1987 y un doctorado en Matemáticas por la University of Oregon en 1997. Actualmente es profesor en la University of Wisconsin-Stevens Point. Tiene más de 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en la universidad, es un mentor de investigación de los estudiantes, tiene experiencia en el desarrollo/diseño de cursos, y también es un ávido diseñador y jugador de juegos de mesa. Autores colaboradores Catherine Abbott, Keuka College Nicoleta Virginia Bila, Fayetteville State University Sheri J. Boyd, Rollins College Joyati Debnath, Winona State University Valeree Falduto, Palm Beach State College Joseph Lakey, New Mexico State University Julie Levandosky, Framingham State University David McCune, William Jewell College Michelle Merriweather, Bronxville High School Kirsten R. Messer, Colorado State University - Pueblo Alfred K. Mulzet, Florida State College at Jacksonville William Radulovich (retired), Florida State College at Jacksonville Erica M. Rutter, Arizona State University David Smith, University of the Virgin Islands Elaine A. Terry, Saint Joseph’s University David Torain, Hampton University Revisores Marwan A. Abu-Sawwa, Florida State College at Jacksonville Kenneth J. Bernard, Virginia State University John Beyers, University of Maryland Charles Buehrle, Franklin & Marshall College Matthew Cathey, Wofford College Michael Cohen, Hofstra University William DeSalazar, Broward County School System Murray Eisenberg, University of Massachusetts Amherst Kristyanna Erickson, Cecil College Tiernan Fogarty, Oregon Institute of Technology David French, Tidewater Community College Marilyn Gloyer, Virginia Commonwealth University Shawna Haider, Salt Lake Community College Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Jerry Jared, The Blue Ridge School Peter Jipsen, Chapman University David Johnson, Lehigh University M.R. Khadivi, Jackson State University Robert J. Krueger, Concordia University Tor A. Kwembe, Jackson State University Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Cheryl Chute Miller, SUNY Potsdam Bagisa Mukherjee, Penn State University, Worthington Scranton Campus Kasso Okoudjou, University of Maryland College Park Peter Olszewski, Penn State Erie, The Behrend College Steven Purtee, Valencia College Alice Ramos, Bethel College Doug Shaw, University of Northern Iowa Hussain Elalaoui-Talibi, Tuskegee University Jeffrey Taub, Maine Maritime Academy William Thistleton, SUNY Polytechnic Institute A. David Trubatch, Montclair State University Carmen Wright, Jackson State University Zhenbu Zhang, Jackson State University", "section": "Prefacio", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción Una parte de la falla de San Andrés en California. En fallas importantes como esta se producen la mayoría de los terremotos más fuertes que han sido registrados (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, National Park Service [NPS]). Durante los años recientes se han producido grandes terremotos en varios países del mundo. En enero de 2010, un terremoto de magnitud 7,3 sacudió Haití. En marzo de 2011, un terremoto de magnitud 9 sacudió el noreste de Japón. En abril de 2014, un terremoto de 8,2 grados de magnitud sacudió las costas del norte de Chile. ¿Qué significan estos números? En concreto, ¿cómo se compara un terremoto de magnitud 9 con uno de magnitud 8,2? ¿O con uno de 7,3? Más adelante en este capítulo mostraremos cómo se utilizan las funciones logarítmicas para comparar la intensidad relativa de dos terremotos con base en la magnitud de cada uno de ellos (vea el ). El cálculo es la matemática que describe los cambios en las funciones. En este capítulo repasaremos todas las funciones necesarias para el estudio del cálculo. Definiremos las funciones polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Repasaremos cómo evaluar estas funciones y mostramos las propiedades de sus gráficos. Proporcionaremos ejemplos de ecuaciones con términos que implican estas funciones e ilustramos las técnicas algebraicas necesarias para resolverlas. En resumen, este capítulo sienta las bases para el material que viene. Es esencial estar familiarizado con estas ideas antes de proceder a la introducción formal del cálculo en el siguiente capítulo.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Repaso de las funciones En esta sección proporcionaremos una definición formal de función y examinaremos varias formas de representar funciones: como tablas, fórmulas y gráficos. Estudiaremos la notación formal y los términos relacionados con las funciones. También definiremos la composición de las funciones y las propiedades de simetría. La mayor parte de este material será un repaso para usted, pero le será útil como referencia práctica para recordar algunas de las técnicas algebraicas útiles para trabajar con funciones. Funciones Dados dos conjuntos A y B , un conjunto con elementos que son pares ordenados ( x , y ) , donde x es un elemento de A y y es un elemento de B , es una relación de A hasta B . Una relación de A hasta B define una relación entre esos dos conjuntos. Una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado exactamente con un elemento del segundo conjunto. El elemento del primer conjunto se llama entrada ; el elemento del segundo conjunto se llama salida . En matemáticas las funciones se utilizan constantemente para describir las relaciones entre dos conjuntos. Para cualquier función, cuando conocemos la entrada la salida está determinada, por lo que decimos que la salida es una función de la entrada. Por ejemplo, el área de un cuadrado está determinada por la longitud de su lado, por lo que decimos que el área (la salida) es una función de su longitud lateral (la entrada). La velocidad de una pelota lanzada al aire puede describirse como una función de la cantidad de tiempo que la pelota está en el aire. El costo del envío de un paquete es una función del peso del mismo. Dado que las funciones tienen tantos usos, es importante contar con definiciones y terminología precisas para estudiarlas. Definición Una función f consiste en un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. El conjunto de entradas se denomina dominio de la función. El conjunto de salidas se denomina rango de la función. Por ejemplo, consideremos la función f , donde el dominio es el conjunto de todos los números reales y la regla es elevar al cuadrado la entrada. Entonces, la entrada x = 3 se asigna a la salida 3 2 = 9 . Como todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada de valor real, todo número no negativo es un elemento del rango de esta función. Como no hay ningún número real con un cuadrado negativo, los números reales negativos no son elementos del rango. Concluimos que el rango es el conjunto de números reales no negativos. Para una función general f con dominio D , utilizamos a menudo x para denotar la entrada y y para denotar la salida asociada a x . Al hacerlo, nos referimos a x como variable independiente y y como variable dependiente , ya que depende de x . Utilizando la notación de funciones, escribimos y = f ( x ) , y leemos esta ecuación como “ y es igual a f de x . ” Para la función cuadrática descrita anteriormente, escribimos f ( x ) = x 2 . El concepto de función se puede visualizar mediante la , la y la . Una función puede visualizarse como un dispositivo de entrada/salida. Una función asigna cada elemento del dominio a exactamente un elemento del rango. Aunque cada entrada solo puede enviarse a una salida, dos entradas diferentes pueden enviarse a la misma salida. En este caso, el gráfico de una función f tiene un dominio de { 1 , 2 , 3 } y un rango de { 1 , 2 } . La variable independiente es x y la variable dependiente es y . Visite este enlace a la miniaplicación para ver más sobre gráficos de funciones. También podemos visualizar una función trazando puntos ( x , y ) en el plano de coordenadas donde y = f ( x ) . El gráfico de una función es el conjunto de todos estos puntos. Por ejemplo, consideremos la función f , donde el dominio es el conjunto D = { 1 , 2 , 3 } y la regla es f ( x ) = 3 − x . En la , trazamos un gráfico de esta función. Aquí vemos un gráfico de la función f con dominio { 1 , 2 , 3 } y regla f ( x ) = 3 − x . El gráfico está formado por los puntos ( x , f ( x ) ) para todo x en el dominio. Toda función tiene un dominio. Sin embargo, a veces una función se describe mediante una ecuación, como en f ( x ) = x 2 , sin que se indique un dominio específico. En este caso, el dominio se toma como el conjunto de todos los números reales x en el que f ( x ) es un número real. Por ejemplo, como cualquier número real puede ser elevado al cuadrado, si no se especifica ningún otro dominio, consideramos el dominio de f ( x ) = x 2 para ser el conjunto de todos los números reales. Por otro lado, la función raíz cuadrada f ( x ) = x solo da una salida con sentido si x no es negativo. Por lo tanto, el dominio de la función f ( x ) = x es el conjunto de los números reales no negativos, a veces llamado dominio natural . Para las funciones f ( x ) = x 2 y f ( x ) = x , los dominios son conjuntos con un número infinito de elementos. Es evidente que no podemos enumerar todos estos elementos. Cuando se describe un conjunto con un número infinito de elementos, suele ser útil utilizar la notación de conjunto o de intervalo. Cuando se utiliza la notación de construcción de conjuntos para describir un subconjunto de todos los números reales, denotado ℝ , escribimos { x | x tiene alguna propiedad } . Leemos esto como el conjunto de números reales x tal que x tiene alguna propiedad. Por ejemplo, si nos interesamos en el conjunto de números reales que son mayores que uno pero menores que cinco, podríamos denotar este conjunto utilizando la notación de construcción de conjuntos escribiendo { x | 1 < x < 5 } . Un conjunto como éste, que contiene todos los números mayores que a y menores que b , también se puede denotar utilizando la notación intervalo ( a , b ) . Por lo tanto, ( 1 , 5 ) = { x | 1 < x < 5 } . Los números 1 y 5 se denominan puntos finales de este conjunto. Si queremos considerar el conjunto que incluye los puntos finales, lo denotaríamos escribiendo [ 1 , 5 ] = { x | 1 ≤ x ≤ 5 } . Podemos utilizar una notación similar si queremos incluir uno de los extremos, pero no el otro. Para denotar el conjunto de los números reales no negativos utilizaremos la notación de construcción de conjuntos { x | 0 ≤ x } . El número más pequeño de este conjunto es el cero, pero este conjunto no tiene un número mayor. Utilizando la notación intervalo, usaríamos el símbolo ∞ , que se refiere al infinito positivo, y escribiríamos el conjunto como [ 0 , ∞ ) = { x | 0 ≤ x } . Es importante señalar que ∞ no es un número real. Su uso aquí es simbólico e indica que este conjunto incluye todos los números reales mayores o iguales a cero. Del mismo modo, si quisiéramos describir el conjunto de todos los números no positivos, podríamos escribir ( − ∞ , 0 ] = { x | x ≤ 0 } . Aquí, la notación − ∞ se refiere al infinito negativo, e indica que estamos incluyendo todos los números menores o iguales a cero, por muy pequeños que sean. El conjunto ( − ∞ , ∞ ) = { x | x es cualquier número real } se refiere al conjunto de todos los números reales. Algunas funciones se definen utilizando diferentes ecuaciones para diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se conocen como funciones definidas a trozos . Por ejemplo, supongamos que queremos definir una función f con un dominio que es el conjunto de todos los números reales tales que f ( x ) = 3 x + 1 para x ≥ 2 y f ( x ) = x 2 por x < 2 . Denotamos esta función escribiendo f ( x ) = { 3 x + 1 x ≥ 2 x 2 x < 2 . Al evaluar esta función para una entrada x , la ecuación a utilizar depende de si x ≥ 2 o x < 2 . Por ejemplo, ya que 5 > 2 , utilizamos el hecho de que f ( x ) = 3 x + 1 para x ≥ 2 y observamos que f ( 5 ) = 3 ( 5 ) + 1 = 16 . Por otro lado, para x = −1 , utilizamos el hecho de que f ( x ) = x 2 por x < 2 y observamos que f ( –1 ) = 1 . Evaluación de funciones Para la función f ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 1 , evaluar f ( −2 ) grandes. f ( 2 ) grandes. f ( a + h ) Sustituya el valor dado de x en la fórmula de f ( x ) . f ( −2 ) = 3 ( −2 ) 2 + 2 ( −2 ) − 1 = 12 − 4 − 1 = 7 f ( 2 ) = 3 ( 2 ) 2 + 2 2 – 1 = 6 + 2 2 – 1 = 5 + 2 2 f ( a + h ) = 3 ( a + h ) 2 + 2 ( a + h ) − 1 = 3 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) + 2 a + 2 h − 1 = 3 a 2 + 6 a h + 3 h 2 + 2 a + 2 h − 1 Para f ( x ) = x 2 − 3 x + 5 , evaluar f ( 1 ) y f ( a + h ) . f ( 1 ) = 3 y f ( a + h ) = a 2 + 2 a h + h 2 − 3 a − 3 h + 5 Pista Sustituir 1 y a + h para x en la fórmula de f ( x ) . Hallar el dominio y el rango Para cada una de las siguientes funciones determine el i. dominio y el ii. rango. f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 f ( x ) = 3 x + 2 – 1 f ( x ) = 3 x − 2 Considere f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 . Ya que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 es un número real para cualquier número real x , el dominio de f es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que ( x − 4 ) 2 ≥ 0 , sabemos que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 ≥ 5 . Por lo tanto, el rango debe ser un subconjunto de { y | y ≥ 5 } . Para demostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango, tenemos que demostrar que para una determinada y en ese conjunto, hay un número real x tales que f ( x ) = ( x − 4 ) 2 + 5 = y . Al resolver esta ecuación para x , notamos que necesitamos x de manera que ( x − 4 ) 2 = y − 5 . Esta ecuación se satisface siempre que exista un número real x de manera que x − 4 = ± y − 5 . Ya que y ≥ 5 , la raíz cuadrada está bien definida. Concluimos que para x = 4 ± y − 5 , f ( x ) = y , y, por tanto, el rango es { y | y ≥ 5 } . Considere f ( x ) = 3 x + 2 – 1 . Para encontrar el dominio de f , necesitamos la expresión 3 x + 2 ≥ 0 . Al resolver esta desigualdad, concluimos que el dominio es { x | x ≥ −2 / 3 } . Para encontrar el rango de f , observamos que dado que 3 x + 2 ≥ 0 , f ( x ) = 3 x + 2 – 1 ≥ −1 . Por lo tanto, el rango de f debe ser un subconjunto del conjunto { y | y ≥ −1 } . Para demostrar que cada elemento de este conjunto está en el rango de f , tenemos que demostrar que para todos las y en este conjunto, existe un número real x en el dominio tal que f ( x ) = y . Supongamos que y ≥ −1 . Entonces, f ( x ) = y si y solo si 3 x + 2 – 1 = y . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x debe resolver la ecuación 3 x + 2 = y + 1 . Ya que y ≥ −1 , tal x puede existir. Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, tenemos 3 x + 2 = ( y + 1 ) 2 . Por lo tanto, necesitamos 3 x = ( y + 1 ) 2 − 2 , lo que implica x = 1 3 ( y + 1 ) 2 − 2 3 . Solo tenemos que verificar que x está en el dominio de f . Dado que el dominio de f consiste en todos los números reales mayores o iguales a −2 / 3 , y 1 3 ( y + 1 ) 2 − 2 3 ≥ − 2 3 , existe una x en el dominio de f . Concluimos que el rango de f es { y | y ≥ −1 } . Considere f ( x ) = 3 / ( x − 2 ) . Dado que 3 / ( x − 2 ) se define cuando el denominador es distinto de cero, el dominio es { x | x ≠ 2 } . Para encontrar el rango de f , necesitamos encontrar los valores de y tales que exista un número real x en el dominio con la propiedad en que 3 x − 2 = y . Al resolver esta ecuación para x , hallamos que x = 3 y + 2 . Por lo tanto, siempre que y ≠ 0 , existe un número real x en el dominio tal que f ( x ) = y . Entonces, el rango es { y | y ≠ 0 } . Halle el dominio y el rango para f ( x ) = 4 – 2 x + 5 . Dominio = { x | x ≤ 2 } , rango = { y | y ≥ 5 } Pista Utilice 4 – 2 x ≥ 0 . Representación de funciones Normalmente, una función se representa utilizando una o varias de las siguientes herramientas: una tabla, un gráfico, una fórmula Podemos identificar una función en cada forma, pero también utilizarlas juntas. Por ejemplo, podemos representar en un gráfico los valores de una tabla o crear una tabla a partir de una fórmula. Tablas Las funciones descritas mediante una tabla de valores surgen con frecuencia en las aplicaciones del mundo real. Considere el siguiente ejemplo sencillo. Podemos expresar la temperatura de un día determinado en función de la hora. Supongamos que registramos la temperatura cada hora durante un periodo de 24 horas que comienza a medianoche. Entonces, deducimos que nuestra variable de entrada x es el momento después de medianoche, medido en horas, y que la variable de salida y es la temperatura x horas después de la medianoche, medida en grados Fahrenheit. Registramos nuestros datos en la . Temperatura en función de la hora del día Horas después de la medianoche Temperatura ( ° F ) Horas después de la medianoche Temperatura ( ° F ) 0 58 12 84 1 54 13 85 2 53 14 85 3 52 15 83 4 52 16 82 5 55 17 80 6 60 18 77 7 64 19 74 8 72 20 69 9 75 21 65 10 78 22 60 11 80 23 58 Podemos ver en la tabla que la temperatura es una función del tiempo, y la temperatura disminuye, luego aumenta y luego vuelve a disminuir. Sin embargo, no podemos obtener una imagen clara del comportamiento de la función sin graficarla. Gráficos Dada una función f descrita por una tabla, podemos ofrecer una imagen visual de la función en forma de gráfico. La representación gráfica de las temperaturas que figuran en la puede darnos una mejor idea de su fluctuación a lo largo del día. La muestra el gráfico en función de la temperatura. El gráfico de los datos de la muestra la temperatura en función del tiempo. A partir de los puntos trazados en el gráfico en la podemos visualizar su forma general. A menudo es útil conectar los puntos del gráfico, lo cual representa los datos de la tabla. En este ejemplo, aunque no podemos llegar a ninguna conclusión definitiva sobre cuál era la temperatura en cualquier momento en el que esta no se registró, dado el número de puntos de datos recogidos y el patrón en estos puntos, es razonable sospechar que las temperaturas en otros momentos siguieron un patrón similar, como podemos ver en la . La conexión de los puntos en la muestra el patrón general de los datos. Fórmulas algebraicas A veces los valores de una función no se expresan en forma de una tabla, sino que se nos presentan en una fórmula explícita. Las fórmulas aparecen en muchas aplicaciones. Por ejemplo, el área de un círculo de radio r viene dada por la fórmula A ( r ) = π r 2 . Cuando se lanza un objeto desde el suelo hacia arriba con una velocidad inicial v 0 pies/s, su altura sobre el suelo desde que se lanza hasta que cae al suelo viene dada por la fórmula s ( t ) = –16 t 2 + v 0 t . Cuando P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r compuesto continuamente, la cantidad de dinero después de t años viene dada por la fórmula A ( t ) = P e r t . Las fórmulas algebraicas son herramientas importantes para calcular los valores de las funciones. Con frecuencia también representamos estas funciones visualmente en forma de gráfico. Dada una fórmula algebraica para una función f , el gráfico de f es el conjunto de puntos ( x , f ( x ) ) , donde x está en el dominio de f como f ( x ) está en el rango. Para graficar una función dada por una fórmula, es útil comenzar usando la fórmula para crear una tabla de entradas y salidas. Si el dominio de f consta de un número infinito de valores, no podemos enumerarlos todos, pero como enumerar algunas de las entradas y salidas puede ser muy útil, esta suele ser una buena manera de empezar. Al crear una tabla de entradas y salidas, normalmente comprobamos si el cero es una salida. Esos valores de x donde f ( x ) = 0 se denominan los ceros de una función . Por ejemplo, los ceros de f ( x ) = x 2 − 4 son x = ± 2 . Los ceros determinan dónde está el gráfico de f interseca con el eje x , que nos da más información sobre la forma del gráfico de la función. Es posible que gráfico de una función de una función nunca interseque el eje x , o puede intersecar múltiples (o incluso infinitas) veces. Otro punto de interés es la intersección y , si existe. La intersección y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) . Dado que una función tiene exactamente una salida para cada entrada, el gráfico de una función puede tener, como máximo, una intersección y . Si x = 0 está en el dominio de una función f , entonces f tiene exactamente una intersección y . Si x = 0 no está en el dominio de f , entonces f no tiene una intersección y . Del mismo modo, para cualquier número real c , si c está en el dominio de f , hay exactamente una salida f ( c ) , y la línea x = c interseca el gráfico de f exactamente una vez. Por otro lado, si c no está en el dominio de f , f ( c ) no está definida y la línea x = c no interseca el gráfico de f . Esta propiedad se resume en la prueba de la línea vertical . Regla: prueba de la línea vertical Dada una función f , todas las líneas verticales que se puedan dibujar intersecan el gráfico de f solo una vez. Si cualquier línea vertical interseca un conjunto de puntos más de una vez, entonces ese conjunto no representa una función. Podemos utilizar esta prueba para determinar si un conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función ( ). (a) El conjunto de puntos trazados representa el gráfico de una función porque cada línea vertical interseca el conjunto de puntos solo una vez. (b) El conjunto de puntos trazados no representa el gráfico de una función porque algunas líneas verticales intersecan el conjunto de puntos más de una vez. Hallar ceros e intersecciones y de una función Considere la función f ( x ) = −4 x + 2 . Halle todos los ceros de f . Halle la intersección y (si la hay). Dibuje un gráfico de f . Para encontrar los ceros, resuelva f ( x ) = −4 x + 2 = 0 . Descubrimos que f tiene un cero en x = 1 / 2 . La intersección en y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) = ( 0 , 2 ) . Dado que f es una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b que pasa por los puntos ( 1 / 2 , 0 ) y ( 0 , 2 ) , podemos dibujar el gráfico de f ( ). La función f ( x ) = −4 x + 2 es una línea con una intersección x ( 1 / 2 , 0 ) y de y ( 0 , 2 ) . Uso de ceros e intersecciones y para dibujar un gráfico Considere la función f ( x ) = x + 3 + 1 . Halle todos los ceros de f . Halle la intersección y (si la hay). Dibuje un gráfico de f . Para encontrar los ceros, resuelva x + 3 + 1 = 0 . Esta ecuación implica x + 3 = −1 . Dado que x + 3 ≥ 0 para todo x , esta ecuación no tiene solución, y por lo tanto f no tiene ceros. La intersección y viene dada por ( 0 , f ( 0 ) ) = ( 0 , 3 + 1 ) . Para graficar esta función hacemos una tabla de valores. Dado que necesitamos x + 3 ≥ 0 , tenemos que elegir los valores de x ≥ −3 . Elegimos valores que facilitan la evaluación de la función raíz cuadrada. x −3 −2 1 f ( x ). grandes. 1 2 3 Al utilizar la tabla y saber que la función es una raíz cuadrada, el gráfico de f debería ser similar al gráfico de y = x , y entonces dibujamos el gráfico ( ). El gráfico de f ( x ) = x + 3 + 1 tiene una intersección y , pero no intersecciones x . Halle los ceros de f ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 6 x . x = 0 , 2 , 3 Pista Factorizar el polinomio. Hallar la altura de un objeto en caída libre Si se deja caer una bola desde una altura de 100 ft, su altura s en el momento t viene dada por la función s ( t ) = –16 t 2 + 100 , donde s se mide en pies y t se mide en segundos. El dominio se restringe al intervalo [ 0 , c ] , donde t = 0 es el momento en el que se deja caer la bola y t = c es el momento en que la bola toca el suelo. Elabore una tabla que muestre la altura s ( t ) cuando t = 0 , 0,5 , 1 , 1,5 , 2 , y 2,5 . Con los datos de la tabla, determine el dominio de esta función. Es decir, hallar el momento c cuando la bola toca el suelo. Dibuje un gráfico de s . Altura s en función del tiempo t t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 s ( t ). grandes. 100 96 84 64 36 0 Dado que el balón toca el suelo cuando t = 2,5 , el dominio de esta función es el intervalo [ 0 , 2,5 ] . Tenga en cuenta que para esta función y la función f ( x ) = −4 x + 2 graficada en la , los valores de f ( x ) son cada vez más pequeños ya que x es cada vez más grande. Una función con esta propiedad se denomina decreciente. Por otro lado, para la función f ( x ) = x + 3 + 1 graficada en la , los valores de f ( x ) se hacen más grandes a medida que los valores de x son cada vez más grandes. Una función con esta propiedad se denomina creciente. Sin embargo, es importante señalar que una función puede ser creciente en algún intervalo o intervalos y decreciente en otro u otros intervalos. Por ejemplo, al utilizar nuestra función de temperatura en la , podemos ver que la función es decreciente en el intervalo ( 0 , 4 ) , creciente en el intervalo ( 4 , 14 ) , y luego decreciente en el intervalo ( 14 , 23 ) . En la siguiente definición precisamos la idea de que una función aumenta o disminuye en un intervalo determinado. Definición Decimos que una función f es creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) cuando x 1 < x 2 . Decimos que f es estrictamente creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) < f ( x 2 ) cuando x 1 < x 2 . Decimos que una función f es decreciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 . Decimos que una función f es estrictamente decreciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) > f ( x 2 ) si x 1 < x 2 . Por ejemplo, la función f ( x ) = 3 x es creciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) porque 3 x 1 < 3 x 2 siempre que x 1 < x 2 . Por otro lado, la función f ( x ) = − x 3 es decreciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) porque − x 1 3 > − x 2 3 siempre que x 1 < x 2 ( ). (a) La función f ( x ) = 3 x es creciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . (b) La función f ( x ) = − x 3 es decreciente en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Combinación de funciones Ya revisamos las características básicas de las funciones y podemos ver qué ocurre con estas propiedades cuando combinamos funciones de diferentes maneras, utilizando operaciones matemáticas básicas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, si el costo para una empresa por la fabricación de x artículos se describe mediante la función C ( x ) y los ingresos creados por la venta de x artículos se describe mediante la función R ( x ) , luego el beneficio de la fabricación y venta de x se define como P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . Al utilizar la diferencia entre dos funciones, creamos una nueva función. De manera alternativa podemos crear una nueva función componiendo dos funciones. Por ejemplo, dadas las funciones f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 3 x + 1 , la función compuesta f ∘ g se define de forma que ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( g ( x ) ) 2 = ( 3 x + 1 ) 2 . La función compuesta g ∘ f se define de forma que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 3 f ( x ) + 1 = 3 x 2 + 1 . Tenga en cuenta que estas dos nuevas funciones son diferentes entre sí. Combinación de funciones con operadores matemáticos Para combinar funciones utilizando operadores matemáticos, simplemente escribimos las funciones con el operador y simplificamos. Dadas dos funciones f y g , podemos definir cuatro funciones nuevas: ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) Suma ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) Diferencia ( f . g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) Producto ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) para g ( x ) ≠ 0 Cociente Combinación de funciones mediante operaciones matemáticas Dadas las funciones f ( x ) = 2 x − 3 y g ( x ) = x 2 – 1 , halle cada una de las siguientes funciones y enuncie su dominio. ( f + g ) ( x ) grandes. ( f − g ) ( x ) grandes. ( f . g ) ( x ) grandes. ( f g ) ( x ) ( f + g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) + ( x 2 – 1 ) = x 2 + 2 x − 4 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f − g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) − ( x 2 – 1 ) = − x 2 + 2 x − 2 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f . g ) ( x ) = ( 2 x − 3 ) ( x 2 – 1 ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x + 3 . El dominio de esta función es el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . ( f g ) ( x ) = 2 x − 3 x 2 – 1 . El dominio de esta función es { x | x ≠ ± 1 } . Para f ( x ) = x 2 + 3 y g ( x ) = 2 x − 5 , halle ( f / g ) ( x ) e indique su dominio. ( f g ) ( x ) = x 2 + 3 2 x − 5 . El dominio es { x | x ≠ 5 2 } . Pista La nueva función ( f / g ) ( x ) es un cociente de dos funciones. ¿Para qué valores de x el denominador es cero? Composición de funciones Cuando componemos funciones, tomamos una función de una función. Por ejemplo, supongamos que la temperatura T en un día determinado se describe en función del tiempo t (medido en horas después de la medianoche) como en la . Supongamos que el costo C , para calentar o enfriar un edificio por 1 hora, puede describirse en función de la temperatura T . Al combinar estas dos funciones, podemos describir el costo de calefacción o refrigeración de un edificio en función del tiempo, evaluando C ( T ( t ) ) . Definimos una nueva función, que se denota C ∘ T , y que se define tal que ( C ∘ T ) ( t ) = C ( T ( t ) ) para todos los t en el dominio de T . Esta nueva función se denomina función compuesta. Observamos que como el costo es una función de la temperatura y la temperatura es una función del tiempo, tiene sentido definir esta nueva función ( C ∘ T ) ( t ) . No tiene sentido considerar ( T ∘ C ) ( t ) , porque la temperatura no es una función del costo. Definición Considere la función f con dominio A y rango B , y la función g con dominio D y rango E . Si B es un subconjunto de D , entonces la función compuesta ( g ∘ f ) ( x ) es la función con dominio A tal que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) . Una función compuesta g ∘ f puede verse en dos pasos. En primer lugar, la función f asigna cada entrada x en el dominio de f a su salida f ( x ) en el rango de f . En segundo lugar, puesto que el rango de f es un subconjunto del dominio de g , la salida f ( x ) es un elemento del dominio de g , y por lo tanto se asigna a una salida g ( f ( x ) ) en el rango de g . En la , vemos una imagen de una función compuesta. Para la función compuesta g ∘ f , tenemos ( g ∘ f ) ( 1 ) = 4 , ( g ∘ f ) ( 2 ) = 5 , y ( g ∘ f ) ( 3 ) = 4 . Composición de funciones definidas por fórmulas Considere las funciones f ( x ) = x 2 + 1 y g ( x ) = 1 / x . Halle ( g ∘ f ) ( x ) e indique su dominio y rango. Evalúe ( g ∘ f ) ( 4 ) , ( g ∘ f ) ( −1 / 2 ) . Halle ( f ∘ g ) ( x ) e indique su dominio y rango. Evalúe ( f ∘ g ) ( 4 ) , ( f ∘ g ) ( −1 / 2 ) . Podemos hallar la fórmula para ( g ∘ f ) ( x ) de dos maneras diferentes. Podríamos escribir ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( x 2 + 1 ) = 1 x 2 + 1 . Como alternativa, podríamos escribir ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 1 f ( x ) = 1 x 2 + 1 . Dado que x 2 + 1 ≠ 0 para todos los números reales x , el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) es el conjunto de todos los números reales. Dado que 0 < 1 / ( x 2 + 1 ) ≤ 1 , el rango es, como máximo, el intervalo ( 0 , 1 ] . Para demostrar que el rango es todo este intervalo, suponemos que y = 1 / ( x 2 + 1 ) y resolver esta ecuación para x para demostrar que para todas las y en el intervalo ( 0 , 1 ] , existe un número real x de manera que y = 1 / ( x 2 + 1 ) . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x 2 + 1 = 1 / y , lo que implica que x = ± 1 y − 1 . Si y esté en el intervalo ( 0 , 1 ] , la expresión bajo el radical es no negativa, y por tanto existe un número real x de manera que 1 / ( x 2 + 1 ) = y . Concluimos que el rango de g ∘ f es el intervalo ( 0 , 1 ] . ( g ∘ f ) ( 4 ) = g ( f ( 4 ) ) = g ( 4 2 + 1 ) = g ( 17 ) = 1 17 ( g ∘ f ) ( − 1 2 ) = g ( f ( − 1 2 ) ) = g ( ( − 1 2 ) 2 + 1 ) = g ( 5 4 ) = 4 5 Podemos hallar una fórmula para ( f ∘ g ) ( x ) de dos maneras. Podríamos escribir ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = f ( 1 x ) = ( 1 x ) 2 + 1 . Como alternativa, podríamos escribir ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) = ( g ( x ) ) 2 + 1 = ( 1 x ) 2 + 1 . El dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los números reales x tal que x ≠ 0 . Para hallar el rango de f , necesitamos hallar todos los valores y para el que existe un número real x ≠ 0 tal que ( 1 x ) 2 + 1 = y . Al resolver esta ecuación para x , notamos que necesitamos x para satisfacer ( 1 x ) 2 = y − 1 , que se simplifica a 1 x = ± y − 1 . Finalmente, obtenemos x = ± 1 y − 1 . Dado que 1 / y − 1 es un número real si y solo si y > 1 , el rango de f es el conjunto { y | y > 1 } . ( f ∘ g ) ( 4 ) = f ( g ( 4 ) ) = f ( 1 4 ) = ( 1 4 ) 2 + 1 = 17 16 ( f ∘ g ) ( − 1 2 ) = f ( g ( − 1 2 ) ) = f ( −2 ) = ( −2 ) 2 + 1 = 5 En el podemos ver que ( f ∘ g ) ( x ) ≠ ( g ∘ f ) ( x ) . En términos generales, esto nos dice que el orden en que componemos las funciones es importante. Supongamos que f ( x ) = 2 − 5 x . Supongamos que g ( x ) = x . Halle ( f ∘ g ) ( x ) . ( f ∘ g ) ( x ) = 2 − 5 x . Composición de funciones definidas por tablas Considere las funciones f y g descritas por la y la . x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 f ( x ). 0 4 2 4 −2 0 −2 4 x −4 −2 0 2 4 g ( x ). 1 0 3 0 5 Evalúe ( g ∘ f ) ( 3 ) , ( g ∘ f ) ( 0 ) . Indique el dominio y el rango de ( g ∘ f ) ( x ) . Evalúe ( f ∘ f ) ( 3 ) , ( f ∘ f ) ( 1 ) . Indique el dominio y el rango de ( f ∘ f ) ( x ) . ( g ∘ f ) ( 3 ) = g ( f ( 3 ) ) = g ( −2 ) = 0 ( g ∘ f ) ( 0 ) = g ( 4 ) = 5 El dominio de g ∘ f es el conjunto { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } . Dado que el rango de f es el conjunto { −2 , 0 , 2 , 4 } , el rango de g ∘ f es el conjunto { 0 , 3 , 5 } . ( f ∘ f ) ( 3 ) = f ( f ( 3 ) ) = f ( −2 ) = 4 ( f ∘ f ) ( 1 ) = f ( f ( 1 ) ) = f ( −2 ) = 4 El dominio de f ∘ f es el conjunto { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } . Dado que el rango de f es el conjunto { −2 , 0 , 2 , 4 } , el rango de f ∘ f es el conjunto { 0 , 4 } . Aplicación que implica una función compuesta Una tienda anuncia una venta de 20 % de descuento en toda la mercancía. Caroline tiene un cupón que le da derecho a un descuento adicional del 15 % en cualquier artículo, incluido los que están de rebaja. Si Caroline decide comprar un artículo con un precio original de x dólares, ¿cuánto acabará pagando si aplica su cupón al precio de venta? Resuelva este problema utilizando una función compuesta. Dado que el precio de venta es del 20 % de descuento del precio original, si un artículo cuesta x dólares, su precio de venta viene dado por f ( x ) = 0,80 x . Dado que el cupón da derecho a un 15 % de descuento en cualquier artículo, si un artículo cuesta y dólares, el precio, después de aplicar el cupón, viene dado por g ( y ) = 0,85 y . Por lo tanto si el precio original es de x dólares, su precio de venta será de f ( x ) = 0,80 x y luego su precio definitivo después del cupón será g ( f ( x ) ) = 0,85 ( 0,80 x ) = 0,68 x . Si los artículos están a la venta por 10 % de descuento de su precio original y un cliente tiene un cupón para un descuento adicional de 30 % , ¿cuál será el precio definitivo de un artículo que originalmente cuesta x dólares, después de aplicar el cupón al precio de venta? ( g ∘ f ) ( x ) = 0,63 x Pista El precio de venta de un artículo con un precio original de x dólares es f ( x ) = 0,90 x . El precio por el cupón para un artículo que cuesta y dólares es g ( y ) = 0,70 y . Simetría de las funciones Los gráficos de ciertas funciones tienen propiedades de simetría que nos ayudan a entender la función y la forma de su gráfico. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 4 – 2 x 2 − 3 que se muestra en la (a). Si tomamos la parte de la curva que se encuentra a la derecha del eje y y la volteamos sobre el eje y , queda exactamente encima de la curva a la izquierda del eje y . En este caso, decimos que la función tiene simetría en torno al eje y . Por otro lado, la función f ( x ) = x 3 − 4 x que se muestra en la (b). Si tomamos el gráfico y lo giramos 180 ° sobre el origen, el nuevo gráfico tendrá exactamente el mismo aspecto. En este caso, decimos que la función tiene simetría respecto al origen . (a) Un gráfico que es simétrico respecto al eje y . (b) Un gráfico que es simétrico respecto al origen. Si nos dan el gráfico de una función, es fácil ver si aquel tiene una de estas propiedades de simetría. Pero sin un gráfico, ¿cómo podemos determinar algebraicamente si una función f presenta simetría? Observando de nuevo la , vemos que ya que f es simétrico respecto al eje y , si el punto ( x , y ) esté en el gráfico, el punto ( − x , y ) está en el gráfico. En otras palabras, f ( − x ) = f ( x ) . Si una función f tiene esa propiedad, decimos que f es una función par, que tiene simetría en torno al eje y . Por ejemplo, f ( x ) = x 2 es par porque f ( − x ) = ( − x ) 2 = x 2 = f ( x ) . En cambio, si volvemos a mirar la , si una función f es simétrica respecto al origen, entonces siempre que el punto ( x , y ) esté en el gráfico, el punto ( − x , − y ) también está en el gráfico. En otras palabras, f ( − x ) = − f ( x ) . Si f tiene esa propiedad, decimos que f es una función impar, que tiene simetría respecto al origen. Por ejemplo, f ( x ) = x 3 es impar porque f ( − x ) = ( − x ) 3 = − x 3 = − f ( x ) . Definición Si f ( x ) = f ( − x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función par . Una función par es simétrica con respecto al y . Si los valores de f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función impar . Una función impar es simétrica respecto al origen. Funciones pares e impares Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = −5 x 4 + 7 x 2 − 2 f ( x ) = 2 x 5 − 4 x + 5 f ( x ) = 3 x x 2 + 1 Para determinar si una función es par o impar, evaluamos f ( − x ) y la comparamos con f ( x ) y − f ( x ) . f ( − x ) = −5 ( − x ) 4 + 7 ( − x ) 2 − 2 = −5 x 4 + 7 x 2 − 2 = f ( x ) . Por lo tanto, f es par. f ( − x ) = 2 ( − x ) 5 − 4 ( − x ) + 5 = –2 x 5 + 4 x + 5 . Ahora, f ( − x ) ≠ f ( x ) . Además, si observamos que − f ( x ) = –2 x 5 + 4 x − 5 , vemos que f ( − x ) ≠ − f ( x ) . Por lo tanto, f no es ni par ni impar. f ( − x ) = 3 ( − x ) / ( ( − x ) 2 + 1 } = −3 x / ( x 2 + 1 ) = – [ 3 x / ( x 2 + 1 ) ] = − f ( x ) . Por lo tanto, f es impar. Determine si f ( x ) = 4 x 3 − 5 x es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) es impar. Pista Compare f ( − x ) con la f ( x ) y − f ( x ) . Una función simétrica que aparece con frecuencia es la función de valor absoluto , que se escribe como | x | . La función de valor absoluto se define como f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 . Algunos estudiantes describen esta función afirmando que \"convierte todo en positivo\" Por la definición de la función de valor absoluto, vemos que si x < 0 , entonces | x | = − x > 0 , y si x > 0 , entonces | x | = x > 0 . Sin embargo, para x = 0 , | x | = 0 . Por lo tanto es más exacto decir que para todas las entradas diferentes a cero la salida es positiva, pero si x = 0 , la salida | x | = 0 . Concluimos que el rango de la función de valor absoluto es { y | y ≥ 0 } . En la vemos que la función de valor absoluto es simétrica con respecto al eje y ; por lo tanto, es una función par. El gráfico de f ( x ) = | x | es simétrico respecto al eje de la y . Trabajar con la función de valor absoluto Calcule el dominio y el rango de la función f ( x ) = 2 | x − 3 | + 4 . Como la función de valor absoluto está definida para todos los números reales, su dominio es ( − ∞ , ∞ ) . Dado que | x − 3 | ≥ 0 para todo x , la función f ( x ) = 2 | x − 3 | + 4 ≥ 4 . Por lo tanto, el rango es, como máximo, el conjunto { y | y ≥ 4 } . Para ver que el rango es en efecto todo este conjunto, necesitamos mostrar que para y ≥ 4 existe un número real x de manera que 2 | x − 3 | + 4 = y . Un número real x satisface esta ecuación siempre y cuando | x − 3 | = 1 2 ( y − 4 ) . Dado que y ≥ 4 , sabemos que y − 4 ≥ 0 , y por tanto el lado derecho de la ecuación es no negativo, por lo que es posible que exista una solución. Además, | x − 3 | = { − ( x − 3 ) si x < 3 x − 3 si x ≥ 3 . Por lo tanto, vemos que hay dos soluciones: x = ± 1 2 ( y − 4 ) + 3 . El rango de esta función es { y | y ≥ 4 } . Para que la función f ( x ) = | x + 2 | − 4 , halle el dominio y el rango. Dominio = ( − ∞ , ∞ ) , rango = { y | y ≥ −4 } . Pista | x + 2 | ≥ 0 para todos los números reales x . Conceptos clave Una función es un mapeo de un conjunto de entradas hacia un conjunto de salidas con exactamente una salida para cada entrada. Si no se indica ningún dominio para una función y = f ( x ) , se considera que el dominio es el conjunto de todos los números reales x para el cual la función está definida. El gráfico de una función f , cada línea vertical puede intersecar el gráfico, como máximo, una vez. Una función puede tener cualquier número de ceros, pero tiene, como máximo, una intersección y. Para definir la composición g ∘ f , el rango de f debe estar contenido en el dominio de g . Las funciones pares son simétricas respecto al eje y , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen. Ecuaciones clave Composición de dos funciones ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) Función de valor absoluto f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 En los siguientes ejercicios, (a) determine el dominio y el rango de cada relación y (b) diga si la relación es una función. x y x y −3 9 1 1 −2 4 2 4 −1 1 3 9 0 0 a. Dominio = { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } , rango = { 0 , 1 , 4 , 9 } b. Sí, es una función x y x y −3 −2 1 1 −2 −8 2 8 −1 −1 3 −2 0 0 x y x y 1 −3 1 1 2 −2 2 2 3 −1 3 3 0 0 a. Dominio = { 0 , 1 , 2 , 3 } , rango = { −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 } b. No, no es una función x y x y 1 1 5 1 2 1 6 1 3 1 7 1 4 1 x y x y 3 3 15 1 5 2 21 2 8 1 33 3 10 0 a. Dominio = { 3 , 5 , 8 , 10 , 15 , 21 , 33 } , rango = { 0 , 1 , 2 , 3 } b. Sí, es una función x y x y −7 11 1 −2 −2 5 3 4 −2 1 6 11 0 −1 En los siguientes ejercicios, halle los valores de cada función, si existen, y luego simplifique. a. f ( 0 ) b. f ( 1 ) c. f ( 3 ) d. f ( − x ) e. f ( a ) f. f ( a + h ) grandes. f ( x ) = 5 x − 2 a. −2 b. 3 c. 13 d. −5 x − 2 e. 5 a − 2 f. 5 a + 5 h − 2 f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 1 f ( x ) = 2 x a. Indefinido b. 2 c. 2 3 d. − 2 x e 2 a f. 2 a + h f ( x ) = | x − 7 | + 8 f ( x ) = 6 x + 5 a. 5 b. 11 c. 23 d. −6 x + 5 e. 6 a + 5 f. 6 a + 6 h + 5 f ( x ) = x − 2 3 x + 7 f ( x ) = 9 a. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 f. 9 En los siguientes ejercicios, halle el dominio, el rango y todos los ceros/intersecciones de las funciones, si los hay. f ( x ) = x x 2 − 16 g ( x ) = 8 x – 1 x ≥ 1 8 ; y ≥ 0 ; x = 1 8 ; no hay intersección y h ( x ) = 3 x 2 + 4 f ( x ) = −1 + x + 2 x ≥ −2 ; y ≥ −1 ; x = −1 ; y = −1 + 2 f ( x ) = 1 x − 9 g ( x ) = 3 x − 4 x ≠ 4 ; y ≠ 0 ; no hay intersección x; y = − 3 4 f ( x ) = 4 | x + 5 | g ( x ) = 7 x − 5 x > 5 ; y > 0 ; no son intersecciones. En los siguientes ejercicios, realice una tabla para dibujar el gráfico de cada función utilizando los siguientes valores: x = −3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 . f ( x ) = x 2 + 1 x y x y −3 10 1 2 −2 5 2 5 −1 2 3 10 0 1 f ( x ) = 3 x − 6 x y x y −3 −15 1 −3 −2 −12 2 0 −1 −9 3 3 0 −6 f ( x ) = 1 2 x + 1 x y x y −3 − 1 2 1 3 2 −2 0 2 2 −1 1 2 3 5 2 0 1 f ( x ) = 2 | x | x y x y −3 6 1 2 −2 4 2 4 −1 2 3 6 0 0 f ( x ) = − x 2 x y x y −3 −9 1 −1 −2 −4 2 −4 −1 −1 3 −9 0 0 f ( x ) = x 3 x y x y −3 −27 1 1 −2 −8 2 8 −1 −1 3 27 0 0 En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si cada uno de los gráficos dados representa una función. Supongamos que un gráfico continúa en ambos extremos si se extiende más allá de la cuadrícula dada. Si el gráfico representa una función, determine lo siguiente para cada gráfico. Dominio y rango intersección en x , si la hay (estimar si es necesario). intersección y , si la hay (estimar si es necesario). Los intervalos para los que la función es creciente. Los intervalos para los que la función es decreciente. Los intervalos para los que la función es constante. Simetría alrededor de cualquier eje o del origen. Si la función es par, impar o ninguna de las dos. Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: y ≥ 0 b. x = ± 1 c. y = 1 d. −1 < x < 0 y 1 < x < ∞ e. − ∞ < x < − 1 y 0 < x < 1 f. No es constante g. Eje y h. Par Función; a. Dominio: todos los números reales, rango: −1,5 ≤ y ≤ 1,5 b. x = 0 c. y = 0 d. todos los números reales e. Ninguna f. No es constante g. Origen h. Impar Función; a. Dominio: − ∞ < x < ∞ , rango: −2 ≤ y ≤ 2 b. x = 0 c. y = 0 d. −2 < x < 2 e. No decrece f. − ∞ < x < − 2 y 2 < x < ∞ g. Origen h. Impar Función; a. Dominio: −4 ≤ x ≤ 4 , rango: −4 ≤ y ≤ 4 b. x = 1,2 c. y = 4 d. No aumenta e. 0 < x < 4 f. −4 < x < 0 g. Sin simetría h. Ninguno. En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. f + g b. f − g c. f . g d. f / g . Determine el dominio de cada una de estas nuevas funciones. f ( x ) = 3 x + 4 , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = x − 8 , g ( x ) = 5 x 2 a. 5 x 2 + x − 8 ; todos los números reales b. −5 x 2 + x − 8 ; todos los números reales c. 5 x 3 − 40 x 2 ; todos los números reales d. x − 8 5 x 2 ; x ≠ 0 f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , g ( x ) = x + 1 f ( x ) = 9 − x 2 , g ( x ) = x 2 − 2 x − 3 a. −2 x + 6 ; todos los números reales b. −2 x 2 + 2 x + 12 ; todos los números reales c. − x 4 + 2 x 3 + 12 x 2 − 18 x − 27 ; todos los números reales d. − x + 3 x + 1 ; x ≠ − 1 , 3 f ( x ) = x , g ( x ) = x − 2 f ( x ) = 6 + 1 x , g ( x ) = 1 x a. 6 + 2 x ; x ≠ 0 b. 6; x ≠ 0 c. 6 x + 1 x 2 ; x ≠ 0 d. 6 x + 1 ; x ≠ 0 En los siguientes ejercicios, para cada par de funciones, calcule a. ( f ∘ g ) ( x ) y b. ( g ∘ f ) ( x ) Simplifique los resultados. Halle el dominio de cada uno de los resultados. f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x + 5 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 4 x – 1 a. 4 x + 3 ; todos los números reales b. 4 x + 15 ; todos los números reales f ( x ) = 2 x + 4 , g ( x ) = x 2 − 2 f ( x ) = x 2 + 7 , g ( x ) = x 2 − 3 a. x 4 − 6 x 2 + 16 ; todos los números reales b. x 4 + 14 x 2 + 46 ; todos los números reales f ( x ) = x , g ( x ) = x + 9 f ( x ) = 3 2 x + 1 , g ( x ) = 2 x a. 3 x 4 + x ; x ≠ 0 , −4 b. 4 x + 2 3 ; x ≠ − 1 2 f ( x ) = | x + 1 | , g ( x ) = x 2 + x − 4 La siguiente tabla muestra los ganadores del campeonato de la NBA de los años 2001 a 2012. Año Ganador 2001 LA Lakers 2002 LA Lakers 2003 San Antonio Spurs 2004 Detroit Pistons 2005 San Antonio Spurs 2006 Miami Heat 2007 San Antonio Spurs 2008 Boston Celtics 2009 LA Lakers 2010 LA Lakers 2011 Dallas Mavericks 2012 Miami Heat Considere la relación en la que los valores del dominio son los años 2001 a 2012 y el rango es el ganador correspondiente. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no. Considere la relación en la que los valores del dominio son los ganadores y el rango son los años correspondientes. ¿Esta relación es una función? Explique por qué sí o por qué no. a. Sí, porque solo hay un ganador para cada año. b. No, porque hay tres equipos que ganaron más de una vez durante los años 2001 a 2012. [T] El área A de un cuadrado depende de la longitud del lado s . Escriba una función A ( s ) para el área de un cuadrado. Encuentre e interprete A ( 6,5 ) . Halle la aproximación exacta y de dos dígitos significativos de la longitud de los lados de un cuadrado con un área de 56 unidades cuadradas. [T] El volumen de un cubo depende de la longitud de sus lados s . Escriba una función V ( s ) para el volumen de un cubo. Encuentre e interprete V ( 11,8 ) . a. V ( s ) = s 3 b. V ( 11,8 ) ≈ 1643 ; un cubo de lado 11,8 cada uno tiene un volumen de aproximadamente 1643 unidades cúbicas. [T] Una compañía de alquiler de vehículos alquila automóviles por una tarifa fija de 20 dólares y una tarifa por hora de 10,25 dólares. Por lo tanto, el costo total C para alquilar un automóvil está en función de las horas t en que el auto se alquila más la tarifa plana. Escriba la fórmula de la función que modela esta situación. Halle el costo total de alquilar un auto durante 2 días y 7 horas. Determine cuánto tiempo estuvo alquilado el automóvil si la factura es de 432,73 dólares. [T] Un vehículo tiene un tanque de 20 galones y obtiene 15 mpg (millas por galón). El número de millas N que se pueden recorrer depende de la cantidad de gasolina x que haya en el tanque. Escriba una fórmula que modele esta situación. Determine el número de millas que puede recorrer el vehículo con (i) un tanque de gasolina lleno y (ii) con 3/4 de un tanque de gasolina. Determine el dominio y el rango de la función. Determine cuántas veces la conductora ha tenido que parar a recargar si ha conducido un total de 578 millas. a. N ( x ) = 15 x b. i N ( 20 ) = 15 ( 20 ) = 300 ; por lo tanto, el vehículo puede recorrer 300 millas con el tanque lleno. Ii. N ( 15 ) = 225 ; por lo tanto, el vehículo puede recorrer 225 millas con 3/4 de un tanque de gasolina. c. Dominio: 0 ≤ x ≤ 20 ; rango: [ 0 , 300 ] d. El conductor tuvo que parar al menos una vez, dado que se necesitan aproximadamente 39 galones de gasolina para recorrer un total de 578 mi. [T] El volumen V de una esfera depende de la longitud de su radio tal que V = ( 4 / 3 ) π r 3 . Dado que la Tierra no es una esfera perfecta, podemos utilizar el radio medio al medir desde el centro hasta su superficie. El radio medio es la distancia promedio del centro físico a la superficie, con base en un gran número de muestras. Halle el volumen de la Tierra con radio medio 6,371 × 10 6 m. [T] Una determinada bacteria crece en cultivo en una zona circular. El radio del círculo, medido en centímetros, viene dado por r ( t ) = 6 − [ 5 / ( t 2 + 1 ) ] , donde t es el tiempo medido en horas desde que se introdujo en el cultivo un círculo de 1 cm de radio de la bacteria. Exprese el área de la bacteria en función del tiempo. Halle el área exacta y aproximada del cultivo bacteriano en 3 horas. Exprese la circunferencia de la bacteria en función del tiempo. Halle la circunferencia exacta y aproximada de la bacteria en 3 horas. a. A ( t ) = A ( r ( t ) ) = π . ( 6 − 5 t 2 + 1 ) 2 b. Exacto: 121 π 4 ; aproximadamente 95 cm 2 c. C ( t ) = C ( r ( t ) ) = 2 π ( 6 − 5 t 2 + 1 ) d. Exacto: 11 π ; aproximadamente 35 cm [T] Un turista estadounidense visita París y debe convertir dólares estadounidenses a euros, lo que puede hacer con la función E ( x ) = 0,79 x , donde x es el número de dólares americanos y E ( x ) es el número equivalente de euros. Como los tipos de cambio fluctúan, cuando el turista regresa a Estados Unidos 2 semanas después, la conversión de euros a dólares estadounidenses es D ( x ) = 1,245 x , donde x es el número de euros y D ( x ) es el número equivalente de dólares estadounidenses. Halle la función compuesta que convierte directamente de dólares americanos a dólares americanos a través de euros. ¿Perdió valor el dinero del turista en el proceso de conversión? Utilice (a) para determinar cuántos dólares estadounidenses recibiría el turista al final de su viaje si convirtiera 200 dólares más al llegar a París. [T] El gerente de una tienda de patinetas paga a sus trabajadores un salario mensual S de 750 dólares más una comisión de 8,50 dólares por cada patineta que se vende. Escriba una función y = S ( x ) que modele el salario mensual de un trabajador en función del número de patinetas x que vende. Halle el salario mensual aproximado cuando un trabajador vende 25, 40 o 55 patinetas. Utilice la función INTERSECT de una calculadora gráfica para determinar el número de patinetas que deben venderse para que un trabajador obtenga unos ingresos mensuales de 1400 dólares. ( Pista : Halle la intersección de la función y la línea y = 1.400 ). a. S ( x ) = 8,5 x + 750 b. $962,50, $1090, $1217,50 c. 77 patinetas [T] Utilice una calculadora gráfica para representar el semicírculo y = 25 − ( x − 4 ) 2 . Luego, utilice la función INTERCEPT de la calculadora para hallar el valor de ambas x y y . función de valor absoluto f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 función compuesta dadas dos funciones f y g , una nueva función, denotada g ∘ f , de manera que ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) que disminuye en el intervalo I una función decreciente en el intervalo I si, para todo x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 variable dependiente la variable de salida de una función dominio el conjunto de entradas de una función función par una función es par si f ( − x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f función un conjunto de entradas, un conjunto de salidas y una regla para asignar cada entrada a exactamente una salida. gráfico de una función el conjunto de puntos ( x , y ) de manera que x está en el dominio de f , en tanto que y = f ( x ) creciente en el intervalo I una función es creciente en el intervalo I si para todas x 1 , x 2 ∈ I , f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) si x 1 < x 2 variable independiente la variable de entrada de una función función impar una función es impar si f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f rango el conjunto de salidas de una función simetría respecto al origen el gráfico de una función f es simétrico respecto al origen si ( − x , − y ) está en el gráfico de f siempre que ( x , y ) está en el gráfico simetría en torno al eje y el gráfico de una función f es simétrico respecto al eje y si ( − x , y ) está en el gráfico de f siempre que ( x , y ) está en el gráfico tabla de valores tabla que contiene una lista de entradas y sus correspondientes salidas prueba de la línea vertical dado el gráfico de una función, toda línea vertical interseca el gráfico una vez como máximo ceros de una función cuando un número real x es un cero de una función f , f ( x ) = 0", "section": "Repaso de las funciones", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Clases básicas de funciones Ya estudiamos las características generales de las funciones, así que ahora vamos a examinar algunas clases específicas de funciones. Comenzaremos revisando las propiedades básicas de las funciones lineales y cuadráticas, y luego las generalizamos para incluir los polinomios de mayor grado. Al combinar las funciones raíz con los polinomios, podremos definir las funciones algebraicas generales y distinguirlas de las funciones trascendentales que examinaremos más adelante en este capítulo. Terminaremos la sección con ejemplos de funciones definidas a trozos y echaremos un vistazo a cómo dibujar el gráfico de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su forma inicial. Funciones lineales y pendiente El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal . Las funciones lineales tienen la forma f ( x ) = a x + b , donde a y b son constantes. En la , vemos ejemplos de funciones lineales cuando a es positivo, negativo y cero. Note que si a > 0 , el gráfico de la línea sube a medida que x aumenta. En otras palabras, f ( x ) = a x + b aumenta en (−∞, ∞) . Si a < 0 , el gráfico de la línea cae a medida que x aumenta. En este caso, f ( x ) = a x + b disminuye en (−∞, ∞) . Si a = 0 , la línea es horizontal. Estas funciones lineales son crecientes o decrecientes en (∞, ∞) y una función es una línea horizontal. Como sugiere la , el gráfico de cualquier función lineal es una línea. Uno de los rasgos distintivos de una línea es su pendiente. La pendiente es el cambio en y por cada cambio de unidad en x . La pendiente mide tanto la inclinación como la dirección de una línea. Si la pendiente es positiva, la línea apunta hacia arriba cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, la línea apunta hacia abajo cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es cero, la línea es horizontal. Para calcular la pendiente de una línea, necesitamos determinar la relación del cambio en y en función del cambio en x . Para ello, elegimos dos puntos cualesquiera ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la línea y calculamos y 2 − y 1 x 2 − x 1 . En la , vemos que esta relación es independiente de los puntos elegidos. Para cualquier función lineal, la pendiente ( y 2 − y 1 ) / ( x 2 − x 1 ) es independiente de la elección de los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la línea. Definición Considere la línea L que pasa por los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) . Supongamos que Δ y = y 2 − y 1 y Δ x = x 2 − x 1 denotan los cambios en y y x , respectivamente. La pendiente de la línea es m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = Δ y Δ x . Ahora examinamos la relación entre la pendiente y la fórmula de una función lineal. Consideremos la función lineal dada por la fórmula f ( x ) = a x + b . Como lo comentamos, sabemos que el gráfico de una función lineal viene dado por una línea. Podemos utilizar nuestra definición de pendiente para calcular la pendiente de esta línea. Como se muestra, podemos determinar la pendiente calculando ( y 2 − y 1 ) / ( x 2 − x 1 ) para cualquier punto ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la recta. Al evaluar la función f en x = 0 , vemos que ( 0 , b ) es un punto en esta línea. Al evaluar esta función en x = 1 , vemos que ( 1 , a + b ) también es un punto en esta línea. Por lo tanto, la pendiente de esta línea es ( a + b ) − b 1 − 0 = a . Hemos demostrado que el coeficiente a es la pendiente de la línea. Podemos concluir que la fórmula f ( x ) = a x + b describe una línea con pendiente a . Además, como esta línea interseca con el eje y en el punto ( 0 , b ) , vemos que la intersección y para esta función lineal es ( 0 , b ) . Concluimos que la fórmula f ( x ) = a x + b nos indica la pendiente, a , y la intersección y , ( 0 , b ) , para esta línea. Dado que a menudo utilizamos el símbolo m para denotar la pendiente de una línea, podemos escribir f ( x ) = m x + b para denotar la forma pendiente-intersección de una función lineal. A veces conviene expresar una función lineal de diferentes maneras. Por ejemplo, supongamos que el gráfico de una función lineal pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) y la pendiente de la línea es m . Puesto que cualquier otro punto ( x , f ( x ) ) en el gráfico de f debe satisfacer la ecuación m = f ( x ) − y 1 x – x 1 , esta función lineal puede expresarse escribiendo f ( x ) − y 1 = m ( x – x 1 ) . Llamamos a esta ecuación la ecuación punto-pendiente de esa función lineal. Como toda línea no vertical es el gráfico de una función lineal, los puntos de esa línea pueden describirse mediante las ecuaciones en su forma pendiente-intersección o punto-pendiente. Sin embargo, una línea vertical no representa el gráfico de una función y no puede expresarse de ninguna de estas formas. En cambio, una línea vertical se describe mediante la ecuación x = k para alguna constante k . Dado que ni la forma pendiente-intersección ni la forma punto-pendiente permiten líneas verticales, utilizamos la notación a x + b y = c , donde a , b son diferentes a cero, para denotar la forma estándar de una línea . Definición Consideremos una línea que pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) con pendiente m . La ecuación y – y 1 = m ( x – x 1 ) es la ecuación punto-pendiente de esa línea. Consideremos una línea con pendiente m y la intersección y ( 0 , b ) . La ecuación y = m x + b es una ecuación para esa línea en la forma pendiente-intersección . La forma estándar de una línea viene dada por la ecuación a x + b y = c , donde a y b no son ambos cero. Esta forma es más general porque permite una línea vertical, x = k . Hallar la pendiente y las ecuaciones de las rectas Consideremos la línea que pasa por los puntos ( 11 , –4 ) y ( −4 , 5 ) , como se muestra en la . Hallar la ecuación de una función lineal con un gráfico que es una línea entre dos puntos dados. Halle la pendiente de la línea. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma punto-pendiente. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma pendiente-intersección. La pendiente de la línea es m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 5 − ( –4 ) −4 − 11 = − 9 15 = − 3 5 . Para hallar una ecuación para la función lineal en su forma punto-pendiente, utilice la pendiente m = −3 / 5 y elija cualquier punto de la línea. Si elegimos el punto ( 11 , –4 ) , obtenemos la ecuación f ( x ) + 4 = − 3 5 ( x − 11 ) . Para hallar una ecuación de la función lineal en la forma pendiente-intersección, resuelva la ecuación de la parte b. para f ( x ) . Cuando hacemos esto, obtenemos la ecuación f ( x ) = − 3 5 x + 13 5 . Consideremos la línea que pasa por los puntos ( −3 , 2 ) y ( 1 , 4 ) . Halle la pendiente de la línea. Halle una ecuación de esa línea en su forma punto-pendiente. Halle una ecuación de esa línea en su forma pendiente-intersección. m = 1 / 2 . La forma punto pendiente es y − 4 = 1 2 ( x – 1 ) . La forma pendiente-intersección es y = 1 2 x + 7 2 . Pista La pendiente m = Δ y / Δ x . Una función de distancia lineal Jessica sale de su casa a las 5:50 a. m. y recorre 9 millas. Regresa a su casa a las 7:08 a. m. Responda las siguientes preguntas, suponiendo que Jessica corre a un ritmo constante. Describa la distancia D (en millas) que Jessica corre como una función lineal de su tiempo de carrera t (en minutos). Dibuje un gráfico de D . Interprete el significado de la pendiente. En el momento t = 0 , Jessica está en su casa, así que D ( 0 ) = 0 . En el momento t = 78 minutos, Jessica finalizó el recorrido de 9 millas, así que D ( 78 ) = 9 . La pendiente de la función lineal es m = 9 − 0 78 − 0 = 3 26 . La intersección y es ( 0 , 0 ) , por lo que la ecuación de esta función lineal es D ( t ) = 3 26 t . Para graficar D , tenga en cuenta el hecho de que el gráfico pasa por el origen y tiene pendiente m = 3 / 26 . La pendiente m = 3 / 26 ≈ 0,115 describe la distancia (en millas) que Jessica corre por minuto, o su velocidad media. Polinomios Una función lineal es un tipo especial de una clase más general de funciones: los polinomios. Una función polinómica es cualquier función que pueda escribirse de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 para algún número entero n ≥ 0 y las constantes a n , a n – 1 ,…, a 0 , donde a n ≠ 0 . En el caso de que n = 0 , permitimos a 0 = 0 ; si a 0 = 0 , la función f ( x ) = 0 se denomina función cero . El valor n se denomina grado del polinomio; la constante a n se denomina coeficiente líder . Una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b es un polinomio de grado 1 si m ≠ 0 y de grado 0 si m = 0, 0 . Un polinomio de grado 0 también se llama función constante . Una función polinómica de grado 2 se llama función cuadrática . En particular, una función cuadrática tiene la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c , donde a ≠ 0 . Una función polinómica de grado 3 se denomina función cúbica . Funciones potencia Algunas funciones polinómicas son funciones potencia. Una función potencia es cualquier función de la forma f ( x ) = a x b , donde a y b son números reales. El exponente en una función potencia puede ser cualquier número real, pero aquí consideramos el caso en que el exponente es un número entero positivo. (Más adelante estudiaremos otros casos). Si el exponente es un entero positivo, entonces f ( x ) = a x n es un polinomio. Si n es par, entonces f ( x ) = a x n es una función par ya que f ( − x ) = a ( − x ) n = a x n si n es par. Si los valores de n es impar, entonces f ( x ) = a x n es una función impar porque f ( − x ) = a ( − x ) n = − a x n si n es impar ( ). (a) Para cualquier número entero par n , f ( x ) = a x n es una función par. (b) Para cualquier número entero impar n , f ( x ) = a x n es una función impar. Comportamiento en el infinito Para determinar el comportamiento de una función f a medida que sus valores de entrada se acercan al infinito, observamos los valores f ( x ) a medida que las entradas, x , se hacen más grandes. Para algunas funciones, los valores de f ( x ) se acercan a un número finito. Por ejemplo, en la función f ( x ) = 2 + 1 / x , los valores 1 / x se acercan cada vez más a cero para todos los valores de x a medida que se hacen más y más grandes. De esta función, decimos “ f ( x ) se acerca a dos como x va al infinito\", y escribimos f ( x ) → 2 cuando x → ∞ . La línea y = 2 es una asíntota horizontal para la función f ( x ) = 2 + 1 / x porque el gráfico de la función se aproxima a la línea a medida que x se hace más grande. En otras funciones, los valores f ( x ) pueden no acercarse a un número finito, sino que pueden hacerse más grandes para todos los valores de x a medida que se van haciendo más grandes. En ese caso, decimos que “ f ( x ) se acerca al infinito cuando x se acerca al infinito\", y escribimos f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ . Por ejemplo, para la función f ( x ) = 3 x 2 , las salidas f ( x ) se hacen más grandes a medida que los valores de entrada x se hacen más grandes. Podemos concluir que la función f ( x ) = 3 x 2 se acerca al infinito cuando x se acerca al infinito, y escribimos 3 x 2 → ∞ cuando x → ∞ . El comportamiento mientras x → − ∞ y el significado de f ( x ) → − ∞ cuando x → ∞ o x → − ∞ pueden definirse de forma similar. Podemos describir lo que ocurre con los valores de f ( x ) cuando x → ∞ y dado que x → − ∞ como el comportamiento final de la función. Para entender el comportamiento final de las funciones polinómicas, podemos centrarnos en las funciones cuadráticas y cúbicas. El comportamiento de los polinomios de mayor grado puede analizarse de forma similar. Consideremos una función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c . Si a > 0 , los valores f ( x ) → ∞ cuando x → ± ∞ . Si a < 0 , los valores f ( x ) → −∞ como x → ± ∞ . Como el gráfico de una función cuadrática es una parábola, la parábola se abre hacia arriba si a > 0 ; la parábola se abre hacia abajo si a < 0 . (Vea la (a)). Consideremos ahora una función cúbica f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d . Si a > 0 , entonces f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ y f ( x ) → −∞ como x → −∞ . Si a < 0 , entonces f ( x ) → −∞ como x → ∞ y f ( x ) → ∞ cuando x → −∞ . Como podemos ver en ambos gráficos, el término principal del polinomio determina el comportamiento final (vea la (b)). (a) En una función cuadrática, si el coeficiente líder a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. (b) En una función cúbica f , si el coeficiente líder a > 0 , los valores f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ y los valores f ( x ) → −∞ como x → −∞ . Si el coeficiente líder a < 0 , lo opuesto es verdadero. Ceros de funciones polinómicas Otra característica del gráfico de una función polinómica es el punto de intersección con el eje x . Para determinar el punto donde una función f interseca con el eje x , necesitamos resolver la ecuación f ( x ) = 0 para x . En el caso de la función lineal f ( x ) = m x + b , la intersección x está dada por la resolución de la ecuación m x + b = 0 . En este caso, vemos que la intersección x viene dada por ( − b / m , 0 ) . En el caso de una función cuadrática, para hallar la(s) intersección(es) en x se necesita hallar los ceros de una ecuación cuadrática: a x 2 + b x + c = 0 . En algunos casos, es fácil factorizar el polinomio a x 2 + b x + c para hallar los ceros. Si no es así, utilizamos la fórmula cuadrática. Regla: la fórmula cuadrática Consideremos la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0 , donde a ≠ 0 . Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por la fórmula cuadrática x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . Si el discriminante b 2 − 4 a c > 0 , esta fórmula nos dice que hay dos números reales que satisfacen la ecuación cuadrática. Si los valores de b 2 − 4 a c = 0 , esta fórmula nos dice que solo hay una solución, y es un número real. Si los valores de b 2 − 4 a c < 0 , ningún número real satisface la ecuación cuadrática. En el caso de los polinomios de mayor grado, puede ser más complicado determinar dónde el gráfico interseca el eje x . En algunos casos, es posible hallar la intersección x mediante la factorización del polinomio para hallar sus ceros. En otros casos, es imposible calcular los valores exactos de las intersecciones x . Sin embargo, como veremos más adelante, en casos como este podemos utilizar herramientas analíticas para aproximar (en un grado muy alto) dónde se encuentran las intersecciones x . Aquí nos centramos en los gráficos de los polinomios en los que podemos calcular sus ceros explícitamente. Graficar funciones polinómicas Para las siguientes funciones a. y b., i. describa el comportamiento de f ( x ) cuando x → ± ∞ , ii. halle todos los ceros de f , y iii. dibuje un gráfico de f . f ( x ) = –2 x 2 + 4 x – 1 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x La función f ( x ) = –2 x 2 + 4 x – 1 es una función cuadrática. Porque a = −2 < 0 , dado que x → ± ∞ , f ( x ) → −∞. Para hallar los ceros de f , use la fórmula cuadrática. Los ceros son x = –4 ± 4 2 − 4 ( −2 ) ( –1 ) 2 ( −2 ) = –4 ± 8 −4 = –4 ± 2 2 −4 = 2 ± 2 2 . Para dibujar el gráfico de f , utilice la información de sus respuestas anteriores y combínela con el hecho de que el gráfico es una parábola que se abre hacia abajo. La función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x es una función cúbica. Dado que a = 1 > 0 , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Dado que x → −∞ , f ( x ) → −∞ . Para hallar los ceros de f , necesitamos factorizar el polinomio. En primer lugar, cuando factorizamos x en todos los términos, hallamos f ( x ) = x ( x 2 − 3 x − 4 ) . Entonces, cuando factorizamos la función cuadrática x 2 − 3 x − 4 , tenemos f ( x ) = x ( x − 4 ) ( x + 1 ) . Por lo tanto, los ceros de f son x = 0 , 4 , −1 . Combinando los resultados de las partes i. y ii., realice un bosquejo general de f . Consideremos la función cuadrática f ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 2 . Halle los ceros de f . ¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo? Los ceros son x = 1 ± 3 / 3 . La parábola se abre hacia arriba. Pista Utiliza la fórmula cuadrática. Modelos matemáticos Una gran variedad de situaciones del mundo real puede describirse mediante modelos matemáticos . Un modelo matemático es aquel que simula situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para elaborar ecuaciones, funciones, gráficos y otras herramientas matemáticas que describen con precisión el comportamiento de diversos sistemas. Los modelos matemáticos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Algunos ejemplos de estos modelos son el estudio de la dinámica de la población, la investigación de los patrones climáticos y la predicción de las ventas de productos. Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría utilizar para describir sus ingresos por la venta de un artículo concreto. El importe de los ingresos R que una empresa recibe por la venta de n artículos vendidos a un precio de p dólares por artículo se describe mediante la ecuación R = p . n . La empresa quiere saber cómo cambian las ventas al variar el precio del artículo. Supongamos que los datos de la muestran el número de unidades que vende una empresa en función del precio por artículo. Número de unidades vendidas n (en miles) en función del precio por unidad p (en dólares) p 6 8 10 12 14 n 19,4 18,5 16,2 13,8 12,2 En la , vemos el gráfico del número de unidades vendidas (en miles) en función del precio (en dólares). De la forma del gráfico se desprende que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse por la función lineal n = −1,04 p + 26 para 0 ≤ p ≤ 25 , donde n predice el número de unidades vendidas en miles. Utilizando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden estimarse mediante la función cuadrática R ( p ) = p . ( −1,04 p + 26 ) = −1,04 p 2 + 26 p para 0 ≤ p ≤ 25 . En el , utilizamos esta función cuadrática para predecir la cantidad de ingresos que recibe la empresa en función del precio que cobra por artículo. Obsérvese que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas para valores de p , para los que no se recogen datos. Sin embargo, teniendo en cuenta los otros valores de los datos y el gráfico mostrado, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado es p dólares puede acercarse a los valores predichos por la función lineal n = −1,04 p + 26 . Los datos recogidos sobre el número de artículos vendidos en función del precio son aproximadamente lineales. Utilizamos la función lineal n = −1,04 p + 26 para estimar esta función. Maximizando los ingresos A una empresa le interesa predecir los ingresos que percibirá en función del precio que cobre por un determinado artículo. Utilizando los datos de la , la empresa utiliza la siguiente función cuadrática para modelar los ingresos R (en miles de dólares) en función del precio por artículo p : R ( p ) = p . ( −1,04 p + 26 ) = −1,04 p 2 + 26 p para 0 ≤ p ≤ 25 . Prediga los ingresos si la empresa vende el artículo a un precio de p = $ 5 y p = $ 17 . Halle los ceros de esta función e interprete el significado de los mismos. Dibuje un gráfico de R . Utilice el gráfico para determinar el valor de p que maximiza los ingresos. Halle el máximo de ingresos. Al evaluar la función de los ingresos en p = 5 y p = 17 , podemos concluir que R ( 5 ) = −1,04 ( 5 ) 2 + 26 ( 5 ) = 104 , por lo que los ingresos = $104.000; R ( 17 ) = −1,04 ( 17 ) 2 + 26 ( 17 ) = 141,44 , por lo que los ingresos = $141.440. Los ceros de esta función se pueden hallar resolviendo la ecuación −1,04 p 2 + 26 p = 0 . Al factorizar la expresión cuadrática, obtenemos p ( −1,04 p + 26 ) = 0 . Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por p = 0 , 25 . Para estos valores de p , los ingresos son nulos. Cuando p = $ 0 , los ingresos son nulos porque la empresa está regalando su mercancía. Cuando p = $ 25 , los ingresos son nulos porque el precio es demasiado alto, y nadie comprará ningún artículo. Al saber que la función es cuadrática, sabremos que el gráfico es una parábola. Como el coeficiente líder es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Una propiedad de las parábolas es que son simétricas respecto al eje, por lo que como los ceros están en p = 0 y p = 25 , la parábola debe ser simétrica con respecto a la línea intermedia, o p = 12,5 . La función es una parábola con ceros en p = 0 y p = 25 , y es simétrica respecto a la línea p = 12,5 , por lo que el máximo ingreso tiene lugar a un precio de p = $ 12,50 por artículo. A ese precio, los ingresos son R ( p ) = −1,04 ( 12,5 ) 2 + 26 ( 12,5 ) = $ 162 , 500 . Funciones algebraicas Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en las funciones polinómicas, creamos una clase más amplia de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, potencias racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz. Al igual que los números racionales son cocientes de los enteros, las funciones racionales son cocientes de los polinomios. En particular, una función racional es cualquier función de la forma f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son polinomios. Por ejemplo, f ( x ) = 3 x – 1 5 x + 2 y g ( x ) = 4 x 2 + 1 son funciones racionales. Una función raíz es una función potencia de la forma f ( x ) = x 1 / n , donde n es un número entero positivo mayor que uno. Por ejemplo, f ( x ) = x 1 / 2 = x es la función raíz cuadrada y g ( x ) = x 1 / 3 = x 3 es la función raíz cúbica. Al posibilitar composiciones de funciones raíz y funciones racionales, podemos crear otras funciones algebraicas. Por ejemplo, f ( x ) = 4 − x 2 es una función algebraica. Hallar el dominio y el rango de las funciones algebraicas En cada una de las siguientes funciones, halle el dominio y el rango. f ( x ) = 3 x – 1 5 x + 2 f ( x ) = 4 – x 2 No es posible dividir entre cero, por lo que el dominio es el conjunto de los números reales x tal que x ≠ − 2 / 5 . Para hallar el rango, necesitamos hallar los valores y para el que existe un número real x de manera que y = 3 x – 1 5 x + 2 . Cuando multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 5 x + 2 , vemos que x debe satisfacer la ecuación 5 x y + 2 y = 3 x – 1 . A partir de esta ecuación, podemos ver que x debe satisfacer 2 y + 1 = x ( 3 − 5 y ) . Si y = 3 / 5 , esta ecuación no tiene solución. Por otro lado, mientras y ≠ 3 / 5 , x = 2 y + 1 3 − 5 y satisface esta ecuación. Podemos concluir que el rango de f es { y | y ≠ 3 / 5 } . Para hallar el dominio de f , necesitamos 4 − x 2 ≥ 0 . Al factorizar, escribimos 4 − x 2 = ( 2 − x ) ( 2 + x ) ≥ 0 . Esta inecuación se cumple si y solo si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos. Para que ambos términos sean positivos, tenemos que hallar x de manera que 2 − x ≥ 0 y 2 + x ≥ 0 . Estas dos desigualdades se reducen a 2 ≥ x y x ≥ −2 . Por lo tanto, el conjunto { x | − 2 ≤ x ≤ 2 } debe formar parte del dominio. Para que ambos términos sean negativos, necesitamos 2 − x ≤ 0 y 2 + x ≥ 0 . Estas dos desigualdades también se reducen a 2 ≤ x y x ≥ −2 . No hay valores de x que satisfagan ambas desigualdades. Así, podemos concluir que el dominio de esta función es { x | − 2 ≤ x ≤ 2 } . Si −2 ≤ x ≤ 2 , entonces 0 ≤ 4 − x 2 ≤ 4 . Por lo tanto, 0 ≤ 4 − x 2 ≤ 2 , y el rango de f es { y | 0 ≤ y ≤ 2 } . Halle el dominio y el rango de la función f ( x ) = ( 5 x + 2 ) / ( 2 x – 1 ) . El dominio es el conjunto de los números reales x tal que x ≠ 1 / 2 . El rango es el conjunto { y | y ≠ 5 / 2 } . Pista El denominador no puede ser cero. Resuelva la ecuación y = ( 5 x + 2 ) / ( 2 x – 1 ) para x a fin de hallar el rango. Las funciones raíz f ( x ) = x 1 / n tienen características determinantes en función de si n es par o impar. Para todos los enteros pares n ≥ 2 , el dominio de f ( x ) = x 1 / n es el intervalo [ 0 , ∞ ) . Para todos los enteros impares n ≥ 1 , el dominio de f ( x ) = x 1 / n es el conjunto de todos los números reales. Ya que x 1 / n = – ( − x ) 1 / n para los enteros impares n , f ( x ) = x 1 / n es una función impar si n es impar. Observe los gráficos de las funciones raíz para diferentes valores de n en la . (a) Si n es uniforme, el dominio de f ( x ) = x n ¿es [ 0 , ∞ ) . (b) Si n es impar, el dominio de f ( x ) = x n ¿es ( −∞ , ∞ ) y la función f ( x ) = x n es una función impar. Encontrar dominios para funciones algebraicas En cada una de las siguientes funciones, determine el dominio de la función. f ( x ) = 3 x 2 – 1 f ( x ) = 2 x + 5 3 x 2 + 4 f ( x ) = 4 − 3 x f ( x ) = 2 x – 1 3 No se puede dividir entre cero, por lo que el dominio es el conjunto de valores x tal que x 2 – 1 ≠ 0 . Por lo tanto, el dominio es { x | x ≠ ± 1 } . Es necesario determinar los valores de x cuyo denominador es cero. Ya que 3 x 2 + 4 ≥ 4 para todos los números reales x , el denominador nunca es cero. Por lo tanto, el dominio es ( −∞ , ∞ ) . Como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, el dominio es el conjunto de valores x para lo cual 4 − 3 x ≥ 0 . Por lo tanto, el dominio es { x | x ≤ 4 / 3 } . La raíz cúbica se encuentra definida para todos los números reales, por lo que el dominio es el intervalo (−∞, ∞). Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: f ( x ) = ( 5 − 2 x ) / ( x 2 + 2 ) y g ( x ) = 5 x – 1 . El dominio de f ¿es (−∞, ∞). El dominio de g ¿es { x | x ≥ 1 / 5 } . Pista Determinar los valores de x cuando la expresión en el denominador de f es diferente a cero, y hallar los valores de x cuando la expresión dentro del radical de g no es negativo. Funciones trascendentales Hasta ahora hemos hablado de las funciones algebraicas. Sin embargo, algunas funciones no pueden describirse mediante las operaciones algebraicas básicas. Estas funciones se conocen como funciones trascendentales porque se dice que \"trascienden\" o van más allá del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. La función trigonométrica relaciona las razones de dos lados de un triángulo rectángulo. Son sen x , cos x , tan x , cot x , sec x , y csc x (Más adelante hablaremos de las funciones trigonométricas). Una función exponencial es la función de la forma f ( x ) = b x , donde la base b > 0 , b ≠ 1 . Una función logarítmica es la función de la forma f ( x ) = log b ( x ) para alguna constante b > 0 , b ≠ 1 , donde log b ( x ) = y si y solo si b y = x . (Más adelante en el capítulo también hablaremos de las funciones exponenciales y logarítmicas). Clasificación de las funciones algebraicas y trascendentales Clasifique cada una de las siguientes funciones, de la a. hasta la c., como algebraicas o trascendentales. f ( x ) = x 3 + 1 4 x + 2 f ( x ) = 2 x 2 f ( x ) = sen ( 2 x ) Ya que esta función solo implica operaciones algebraicas básicas, es una función algebraica. Esta función no puede escribirse como una fórmula que implique solo operaciones algebraicas básicas, por lo que es trascendental. (Tenga en cuenta que las funciones algebraicas solo pueden tener potencias que sean números racionales) Como en la parte b., esta función no puede escribirse mediante una fórmula que implique únicamente operaciones algebraicas básicas; por tanto, esta función es trascendental. Es f ( x ) = x / 2 una función algebraica o trascendental? Algebraica Funciones definidas a trozos A veces, una función está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Una función con esta propiedad se conoce como función definida a trozos . La función de valor absoluto es un ejemplo de función definida a trozos porque la fórmula cambia con el signo de x : f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 . Otras funciones definidas a trozos pueden representarse con fórmulas completamente diferentes, según la parte del dominio en la que cae un punto. Para graficar una función definida a trozos, graficamos cada parte de la función en su respectivo dominio en el mismo sistema de coordenadas. Si la fórmula de una función es diferente para x < a y x > a , debemos prestar especial atención a lo que ocurre en x = a cuando grafiquemos la función. A veces, el gráfico debe incluir un círculo abierto o cerrado para indicar el valor de la función en x = a . Lo examinamos en el siguiente ejemplo. Graficar una función definida a trozos Dibuje el gráfico de la siguiente función definida a trozos: f ( x ) = { x + 3 , x < 1 ( x − 2 ) 2 , x ≥ 1 . Represente gráficamente la función lineal y = x + 3 en el intervalo ( −∞ , 1 ) y grafique la función cuadrática y = ( x − 2 ) 2 en el intervalo [ 1 , ∞ ) . Dado que el valor de la función en x = 1 viene dada por la fórmula f ( x ) = ( x − 2 ) 2 , vemos que f ( 1 ) = 1 . Para indicar esto en el gráfico, dibujamos un círculo cerrado en el punto ( 1 , 1 ) . El valor de la función viene dado por f ( x ) = x + 3 para todos los x < 1 , pero no en la x = 1 . Para indicar esto en el gráfico, dibujamos un círculo abierto en ( 1 , 4 ) . Esta función definida a trozos es lineal para x < 1 y cuadrática para x ≥ 1 . Dibuje un gráfico de la función f ( x ) = { 2 − x , x ≤ 2 x + 2 , x > 2 . Pista Grafique una función lineal para x ≤ 2 y luego grafique una función lineal diferente para x > 2 . Tarifas de estacionamiento descritas por una función definida a trozos En una gran ciudad, a los conductores se les cobra una tarifa variable por aparcar en un garaje. Se les cobra 10 dólares por la primera hora o cualquier parte de la primera hora y 2 dólares adicionales por cada hora o parte de la misma hasta un máximo de 30 dólares por día. El estacionamiento está abierto desde las 6 a. m. hasta las 12 a. m. Escriba una función definida a trozos que describa cuánto cuesta C estacionar en el garaje en función de las horas de estacionamiento x . Dibuje un gráfico de esta función C ( x ) . Como el estacionamiento está abierto 18 horas al día, el dominio en esta función es { x | 0 < x ≤ 18 } . El costo del uso de este estacionamiento puede describirse a trozos mediante la función C ( x ) = { 10 , 0 < x ≤ 1 12 , 1 < x ≤ 2 14 , 2 < x ≤ 3 16 , 3 < x ≤ 4 ⋮ 30 , 10 < x ≤ 18 . El gráfico de la función está formado por varios segmentos de rectas horizontales El costo del envío de una carta está en función de su peso. Supongamos que el costo del envío de una carta es de 49 ¢ para la primera onza y 21 ¢ por cada onza adicional. Escriba una función definida a trozos que describa el costo C en función del peso x por 0 < x ≤ 3 , donde C se mide en céntimos y x se mide en onzas. C ( x ) = { 49 , 0 < x ≤ 1 70 , 1 < x ≤ 2 91 , 2 < x ≤ 3 Pista La función definida a trozos es constante en los intervalos ( 0 , 1 ] , ( 1 , 2 ] ,…. Transformaciones de funciones Hemos visto varios casos en los que hemos sumado, restado o multiplicado constantes para formar variaciones de funciones simples. En el ejemplo anterior, por ejemplo, hemos restado 2 al argumento de la función y = x 2 para obtener la función f ( x ) = ( x − 2 ) 2 . Esta sustracción representa un desplazamiento de la función y = x 2 en dos unidades a la derecha. Un desplazamiento, horizontal o vertical, es un tipo de transformación de una función . Otras transformaciones incluyen escalas horizontales y verticales, y reflexiones sobre los ejes. El desplazamiento vertical de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada salida y . Para c > 0 , el gráfico de f ( x ) + c es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) que sube en unidades c , mientras que el gráfico de f ( x ) − c es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) que baja en unidades c . Por ejemplo, el gráfico de la función f ( x ) = x 2 + 4 es el gráfico de y = x 2 que se desplazó hacia arriba en 4 unidades; el gráfico de la función f ( x ) = x 2 − 4 es el gráfico de y = x 2 que se desplaza hacia abajo en 4 unidades ( ). (a) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) + c es un desplazamiento vertical hacia arriba en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) − c es un desplazamiento vertical hacia abajo en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . El desplazamiento horizontal de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada entrada x . Para c > 0 , el gráfico de f ( x + c ) es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) a la izquierda en unidades c ; el gráfico de f ( x − c ) es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) a la derecha en c . ¿Por qué el gráfico se desplaza a la izquierda cuando se suma una constante y se desplaza a la derecha cuando se resta una constante? Para responder esta pregunta, veamos un ejemplo. Considere la función f ( x ) = | x + 3 | y evalúe esta función en x − 3 . Dado que f ( x − 3 ) = | x | y x − 3 < x , el gráfico de f ( x ) = | x + 3 | es el gráfico de y = | x | desplazado a la izquierda en 3 unidades. Del mismo modo, el gráfico de f ( x ) = | x − 3 | es el gráfico de y = | x | desplazado a la derecha en 3 unidades ( ). (a) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x + c ) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x − c ) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . Se produce un escalado vertical de un gráfico si multiplicamos todas las salidas y de una función por la misma constante positiva. Para c > 0 , el gráfico de la función c f ( x ) es el gráfico de f ( x ) escalado verticalmente por un factor de c . Si c > 1 , los valores de salida de la función c f ( x ) son mayores que los valores de salida de la función f ( x ) ; por lo tanto, el gráfico se ha estirado verticalmente. Si los valores de 0 < c < 1 , entonces los valores de salida de la función c f ( x ) son más pequeños, por lo que el gráfico se ha comprimido. Por ejemplo, el gráfico de la función f ( x ) = 3 x 2 es el gráfico de y = x 2 estirado verticalmente por un factor de 3, mientras que el gráfico de f ( x ) = x 2 / 3 es el gráfico de y = x 2 comprimido verticalmente por un factor de 3 ( ). (a) Si c > 1 , el gráfico de y = c f ( x ) es un estiramiento vertical del gráfico de y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , el gráfico de y = c f ( x ) es una compresión vertical del gráfico de y = f ( x ) . El escalado horizontal de una función se produce si multiplicamos las entradas x por la misma constante positiva. Para c > 0 , el gráfico de la función f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) escalado horizontalmente por un factor de c . Si c > 1 , el gráfico de f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) comprimido horizontalmente. Si los valores de 0 < c < 1 , el gráfico de f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) estirado horizontalmente. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 2 x y evaluar f en x / 2 . Dado que f ( x / 2 ) = x , el gráfico de f ( x ) = 2 x es el gráfico de y = x comprimido horizontalmente. El gráfico de y = x / 2 es un estiramiento horizontal del gráfico de y = x ( ). (a) Si c > 1 , el gráfico de y = f ( c x ) es una compresión horizontal del gráfico de y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , el gráfico de y = f ( c x ) es un estiramiento horizontal del gráfico de y = f ( x ) . Hemos explorado lo que ocurre con el gráfico de una función f cuando multiplicamos f por una constante c > 0 para obtener una nueva función c f ( x ) . También hemos hablado de lo que ocurre con el gráfico de una función f cuando multiplicamos la variable independiente x por c > 0 para obtener una nueva función f ( c x ) . Sin embargo, no hemos abordado qué ocurre con el gráfico de la función si la constante c es negativa. Si tenemos una constante c < 0 , podemos escribir c como un número positivo multiplicado por −1 ; pero, ¿qué tipo de transformación obtenemos cuando multiplicamos la función o su argumento por −1 ? Cuando multiplicamos todas las salidas por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje x . Cuando multiplicamos todas las entradas por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje y . Por ejemplo, el gráfico de f ( x ) = − ( x 3 + 1 ) es el gráfico de y = ( x 3 + 1 ) reflejado sobre el eje x . El gráfico de f ( x ) = ( − x ) 3 + 1 es el gráfico de y = x 3 + 1 reflejado sobre el eje y ( ). (a) El gráfico de y = − f ( x ) es el gráfico de y = f ( x ) reflejado sobre el eje x . (b) El gráfico de y = f ( − x ) es el gráfico de y = f ( x ) reflejado sobre el eje y . Si el gráfico de una función consiste en más de una transformación de otro gráfico, es importante transformar el gráfico en el orden correcto. Dada una función f ( x ) , el gráfico de la función relacionada y = c f ( a ( x + b ) ) + d puede obtenerse del gráfico de y = f ( x ) realizando las transformaciones en el orden siguiente. El escalado horizontal del gráfico de y = f ( x + b ) por un factor de | a | . Si a < 0 , el gráfico se refleja sobre el eje y . Desplazamiento horizontal del gráfico de y = f ( x ) . Si b > 0 , el desplazamiento es hacia la izquierda. Si los valores de b < 0 , el desplazamiento es hacia la derecha. El escalado vertical del gráfico de y = f ( a ( x + b ) ) por un factor de | c | . Si c < 0 , el gráfico se refleja sobre el eje x . Desplazamiento vertical del gráfico de y = c f ( a ( x + b ) ) . Si d > 0 , se desplaza hacia arriba. Si los valores de d < 0 , se desplaza hacia abajo. En la siguiente tabla podemos resumir las diferentes transformaciones y sus efectos relacionados en el gráfico de una función. Transformaciones de funciones Transformación de f ( c > 0 ) Efecto en el gráfico de f f ( x ) + c Desplazamiento vertical hacia arriba en c unidades f ( x ) − c Desplazamiento vertical hacia abajo en c unidades f ( x + c ) Desplazamiento a la izquierda por c unidades f ( x − c ) Desplazamiento a la derecha en c unidades c f ( x ) Estiramiento vertical si c > 1 ; compresión vertical si 0 < c < 1 f ( c x ) Estiramiento horizontal si 0 < c < 1 ; compresión horizontal si c > 1 − f ( x ) Reflexión sobre el eje x f ( − x ) Reflexión sobre el eje y Transformación de una función Para cada una de las siguientes funciones, a. y b., dibuje un gráfico utilizando una secuencia de transformaciones de una función conocida. f ( x ) = − | x + 2 | − 3 f ( x ) = 3 − x + 1 A partir del gráfico de y = | x | , se desplazan 2 unidades a la izquierda, se refleja sobre el eje x , y luego se desplaza hacia abajo 3 unidades La función f ( x ) = − | x + 2 | − 3 puede verse como una secuencia de tres transformaciones de la función y = | x | . A partir del gráfico de y = x , se refleja sobre el eje y , se estira el gráfico verticalmente por un factor de 3, y se mueve hacia arriba 1 unidad La función f ( x ) = 3 − x + 1 puede verse como una secuencia de tres transformaciones de la función y = x . Describa cómo la función f ( x ) = − ( x + 1 ) 2 − 4 se puede graficar utilizando el gráfico de y = x 2 y una secuencia de transformaciones. Desplace el gráfico y = x 2 1 unidad hacia la izquierda, refleje sobre el eje x y luego desplace hacia abajo 4 unidades. Pista Utilice . Conceptos clave La función potencia f ( x ) = x n es una función par si n es uniforme y n ≠ 0 , y es una función impar si n es impar. La función raíz f ( x ) = x 1 / n tiene el dominio [ 0 , ∞ ) si n es par y el dominio ( −∞ , ∞ ) si n es impar. Si los valores de n es impar, entonces f ( x ) = x 1 / n es una función impar. El dominio de la función racional f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son funciones polinómicas; es el conjunto de x de manera que q ( x ) ≠ 0 . Las funciones que implican las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencias son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales. Una función polinómica f de grado n ≥ 1 satisface f ( x ) → ± ∞ cuando x → ± ∞ . El signo del valor de salida cuando x → ∞ depende únicamente del signo del coeficiente líder y de si n es par o impar. Los desplazamientos verticales y horizontales, escalados verticales y horizontales, y reflexiones sobre los ejes x y y son ejemplos de transformaciones de funciones. Ecuaciones clave Ecuación punto-pendiente de una línea y – y 1 = m ( x – x 1 ) Forma pendiente-intersección de una línea y = m x + b Forma estándar de una línea a x + b y = c Función polinómica f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 En los siguientes ejercicios, para cada par de puntos, a. halle la pendiente de la línea que pasa por los puntos y b. indique si la línea es creciente, decreciente, horizontal o vertical. ( –2 , 4 ) y ( 1 , 1 ) a. -1 b. Decreciente ( –1 , 4 ) y ( 3 , –1 ) grandes. ( 3 , 5 ) y ( –1 , 2 ) a. 3/4 b. Creciente ( 6 , 4 ) y ( 4 , −3 ) grandes. ( 2 , 3 ) y ( 5 , 7 ) a. 4/3 b. Creciente ( 1 , 9 ) y ( –8 , 5 ) grandes. ( 2 , 4 ) y ( 1 , 4 ) a. 0 b. Horizontal ( 1 , 4 ) y ( 1 , 0 ) En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que satisface las condiciones dadas en la forma pendiente-intersección. La pendiente = –6 , pasa por ( 1 , 3 ) grandes. y = −6 x + 9 La pendiente de intersección = 3 , pasa por ( −3 , 2 ) La pendiente de intersección = 1 3 , pasa por ( 0 , 4 ) grandes. y = 1 3 x + 4 La pendiente de intersección = 2 5 , x = 8 Pasa por la intersección ( 2 , 1 ) y ( –2 , –1 ) grandes. y = 1 2 x Pasa por la intersección ( −3 , 7 ) y ( 1 , 2 ) grandes. x = 5 y la intersección y = −3 y = 3 5 x − 3 x = –6 y y = 9 En los siguientes ejercicios, para cada ecuación lineal, a. indique la pendiente m y la intersección y b , si la hay, y b. grafique la línea. y = 2 x − 3 a. ( m = 2 , b = −3 ) b. y = − 1 7 x + 1 f ( x ) = −6 x a. ( m = –6 , b = 0 ) b. f ( x ) = −5 x + 4 4 y + 24 = 0 a. ( m = 0, 0 , b = −6 ) b. 8 x − 4 = 0 2 x + 3 y = 6 a. ( m = − 2 3 , b = 2 ) b. 6 x − 5 y + 15 = 0 En los siguientes ejercicios, para cada polinomio, a. halle el grado; b. halle los ceros, si los hay; c. halle la(s) intersección(es) y , si la(s) hay; d. utilice el coeficiente líder para determinar el comportamiento final del gráfico; y e. determine algebraicamente si el polinomio es par, impar o ninguno de los dos. f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 5 a. 2 b. 5 2 , −1 ; c. -5 d. Ambos extremos se elevan e. Ninguno. f ( x ) = −3 x 2 + 6 x f ( x ) = 1 2 x 2 – 1 a. 2 b. ± 2 c. -1 d. Ambos extremos se elevan e. Par f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − x − 3 f ( x ) = 3 x – x 3 a. 3 b. 0, ± 3 c. 0 d. El extremo izquierdo sube, el derecho baja e. Impar Para los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = x 2 para graficar cada función transformada g . g ( x ) = x 2 – 1 g ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = x para graficar cada función transformada g . g ( x ) = x + 2 g ( x ) = − x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) para graficar cada función transformada g . g ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x – 1 ) + 2 En los siguientes ejercicios, para cada una de las funciones definidas a trozos, a. considere los valores dados de la variable independiente y b. dibuje el gráfico. f ( x ) = { 4 x + 3 , x ≤ 0 − x + 1 , x > 0 ; f ( −3 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 ) grandes. f ( x ) = { x 2 − 3 , x < 0 4 x − 3 , x ≥ 0 ; f ( –4 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 ) a. 13 , −3 , 5 b. h ( x ) = { x + 1 , x ≤ 5 4 , x > 5 ; h ( 0 ) ; h ( π ) ; h ( 5 ) grandes. g ( x ) = { 3 x − 2 , x ≠ 2 4 , x = 2 ; g ( 0 ) ; g ( –4 ) ; g ( 2 ) a. −3 2 , −1 2 , 4 b. En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa . Explique por qué. f ( x ) = ( 4 x + 1 ) / ( 7 x − 2 ) es una función trascendental. g ( x ) = x 3 es una función raíz impar Verdadero; n n = 3 Una función logarítmica es una función algebraica. Una función de la forma f ( x ) = x b , donde b es una constante de valor real, es una función exponencial. Falso; f ( x ) = x b , donde b es una constante de valor real, es una función potencia El dominio de una función raíz par son todos los números reales. [T] Una compañía compra un equipo informático por 20.500 dólares. Al final de un periodo de 3 años, el valor del equipo ha disminuido linealmente a 12.300 dólares. Halle una función y = V ( t ) que determine el valor V del equipo al cabo de t años. Halle e interprete el significado de las intersecciones x y y para esta situación. ¿Cuál es el valor del equipo al cabo de 5 años? ¿Cuándo el valor del equipo será de 3.000 dólares? a. V ( t ) = −2733 t + 20500 b. ( 0 , 20 , 500 ) significa que el precio de compra inicial del equipo es de 20.500 dólares ( 7,5 , 0 ) significa que en 7,5 años el equipo informático no tendrá valor. c. 6.835 dólares d. En aproximadamente 6,4 años [T] El total de las compras en línea durante las fiestas navideñas ha aumentado considerablemente en los últimos 5 años. En 2012 ( t = 0 ), las ventas navideñas totales en línea fueron de 42.300 millones de dólares, mientras que en 2013 fueron de 48.100 millones de dólares. Halle una función lineal S que estime el total de las ventas navideñas en línea en el año t . Interprete la pendiente del gráfico de S . Utilice la parte a. para predecir el año en que las compras en línea de la Navidad alcanzarán los 60.000 millones de dólares. [T] Una panadería familiar hace cupcakes y los vende en festivales locales al aire libre. Para un festival de música, hay un costo fijo de 125 dólares para montar un puesto de cupcakes. La propietaria calcula que hacer cada uno cuesta 0,75 dólares, y está interesada en determinar el costo total C en función del número de cupcakes elaborados. Halle una función lineal que relacione el costo C con x , el número de cupcakes hechos. Halle el costo de hornear 160 cupcakes. Si la propietaria vende los cupcakes a 1,50 dólares cada uno, ¿cuántos necesita vender para empezar a obtener beneficios? (Pista : Utiliza la función INTERSECCIÓN en una calculadora para encontrar este número). a. C = 0,75 x + 125 b. 245 dólares c. 167 cupcakes [T] Se espera que una casa que costó 250.000 dólares valga el doble de su precio de compra en 18 años. Halle una función lineal que modele el precio P de la casa frente al número de años t desde la compra original. Interpreta la pendiente del gráfico de P . Halle el precio de la casa 15 años después de su compra. [T] Alguien compró un automóvil por 26.000 dólares. El valor del auto se deprecia 1.500 dólares al año. Halle una función lineal que modele el valor V del automóvil después de t años. Halle e interprete V ( 4 ) . a. V ( t ) = −1500 t + 26.000 b. En 4 años, el valor del auto será de 20.000 dólares. [T] Se compró un condominio en una zona exclusiva de la ciudad por 432.000 dólares. En 35 años valdrá 60.500 dólares. Halle la tasa de depreciación. [T] El costo total C para producir un determinado artículo se modela mediante la función C ( x ) = 10,50 x + 28.500 , donde x es el número de artículos producidos. Determine el costo de producción de 175 artículos. 30.337,50 dólares. [T] Un profesor le pide a su clase que informe la cantidad de tiempo t que han dedicado a escribir dos tareas. La mayoría de los estudiantes afirman que les toma unos 45 minutos teclear un trabajo de cuatro páginas y 1,5 horas teclear uno de nueve. Halle la función lineal y = N ( t ) que modela esta situación, donde N es el número de páginas escritas y t es el tiempo en minutos. Utilice la parte a. para determinar cuántas páginas se pueden escribir en 2 horas. Utilice la parte a. para determinar el tiempo que se tarda en escribir una tarea de 20 páginas. [T] El rendimiento (como porcentaje de la capacidad total) de las centrales nucleares de Estados Unidos puede modelarse mediante la función P ( t ) = 1,8576 t + 68,052 , donde t es el tiempo en años y t = 0 corresponde a principios del año 2000. Utilice el modelo para predecir el porcentaje de rendimiento en 2015. 96 % de la capacidad total [T] La oficina de admisiones de una universidad pública estima que el 65 % de los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019 se matricularán realmente. Halle la función lineal y = N ( x ) , donde N es el número de estudiantes que realmente se matriculan y x es el número de todos los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019. Si la universidad quiere que el tamaño de la clase de primer año de 2019 sea de 1350, determine cuántos estudiantes deben admitirse. función algebraica una función que implica cualquier combinación de solo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces aplicadas a una variable de entrada x función cúbica un polinomio de grado 3; es decir, una función de la forma f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d , donde a ≠ 0 grado en una función polinómica, el valor del mayor exponente de cualquier término. función lineal una función que se puede escribir de la forma f ( x ) = m x + b función logarítmica una función de la forma f ( x ) = log b ( x ) para alguna base b > 0 , b ≠ 1 de manera que y = log b ( x ) si y solo si b y = x modelo matemático Un método para simular situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. función definida a trozos función que se define de forma diferente en las distintas partes de su dominio. ecuación punto-pendiente ecuación de una función lineal donde se indica su pendiente y un punto del gráfico de la función función polinómica una función de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 función potencia una función de la forma f ( x ) = x n para cualquier número entero positivo n ≥ 1 función cuadrática polinomio de grado 2; es decir, una función de la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a ≠ 0 función racional una función de la forma f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son polinomios función raíz una función de la forma f ( x ) = x 1 / n para cualquier número entero n ≥ 2 pendiente cambio en y por cada unidad de cambio en x forma pendiente-intersección ecuación de una función lineal que indica su pendiente y su intersección y función trascendental una función que no puede expresarse mediante una combinación de operaciones aritméticas básicas. transformación de una función desplazamiento, escalado o reflexión de una función.", "section": "Clases básicas de funciones", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se utilizan para modelar muchos fenómenos, como las ondas sonoras, las vibraciones de las cuerdas, la corriente eléctrica alterna y el movimiento de los péndulos. De hecho, casi cualquier movimiento repetitivo o cíclico puede modelarse mediante alguna combinación de funciones trigonométricas. En este apartado definiremos las seis funciones trigonométricas básicas y veremos algunas de las principales identidades relacionadas con estas funciones. Medición de radianes Para utilizar las funciones trigonométricas, primero debemos entender cómo se miden los ángulos. Aunque podemos utilizar tanto los radianes como los grados, los radianes son una medida más natural porque están relacionados directamente con el círculo unitario, un círculo de radio 1. La medida del radián de un ángulo se define como sigue. Dado un ángulo θ , supongamos que s es la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario ( ). Decimos que el ángulo correspondiente al arco de longitud 1 tiene medida de radián 1. La medida del radián de un ángulo θ es la longitud del arco s del arco asociado en el círculo unitario. Dado que un ángulo de 360 ° corresponde a la circunferencia de un círculo, o a un arco de longitud 2 π , concluimos que un ángulo con una medida de grado de 360 ° tiene una medida del radián de 2 π . Del mismo modo, vemos que 180 ° equivale a π radianes. La muestra la relación entre los valores comunes de los grados y los radianes. Ángulos comunes expresados en grados y radianes Grados Radianes Grados Radianes 0 0 120 2 π / 3 30 π / 6 135 3 π / 4 45 π / 4 150 5 π / 6 60 π / 3 180 π 90 π / 2 Convertir radianes y grados Exprese 225 ° utilizando radianes. Exprese 5 π / 3 rad utilizando grados. Utilice el hecho de que 180 ° equivale a π radianes como factor de conversión: 1 = π rad 180 ° = 180 ° π rad . 225 ° = 225 ° . π 180 ° = 5 π 4 rad 5 π 3 rad = 5 π 3 . 180 ° π = 300 ° Exprese 210 ° utilizando radianes. Exprese 11 π / 6 rad utilizando grados. 7 π / 6 ; 330° Pista π radianes es igual a 180 ° . Las seis funciones trigonométricas básicas Las funciones trigonométricas nos permiten utilizar las medidas de los ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo —no solo en un círculo unitario— o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. Para definir las funciones trigonométricas, consideremos primero el círculo unitario centrado en el origen y un punto P = ( x , y ) en el círculo de la unidad. Supongamos que θ es un ángulo con un lado inicial que se halla a lo largo del eje positivo x y con un lado terminal que es el segmento de línea O P . Un ángulo en esta posición se dice que está en posición estándar ( ). Podemos entonces definir los valores de las seis funciones trigonométricas para θ en términos de las coordenadas x como y . El ángulo θ está en posición estándar. Los valores de las funciones trigonométricas para θ se definen en términos de las coordenadas x como y . Definición Supongamos que P = ( x , y ) es un punto del círculo unitario centrado en el origen O . Supongamos que θ es un ángulo con un lado inicial a lo largo del eje positivo x y un lado terminal dado por el segmento de línea O P . Las funciones trigonométricas se definen entonces como sen θ = y csc θ = 1 y cos θ = x sec θ = 1 x tan θ = y x cot θ = x y Si los valores de x = 0 , sec θ y tan θ son indefinidos. Si los valores de y = 0 , entonces cot θ y csc θ son indefinidos. Podemos ver que para un punto P = ( x , y ) en un círculo de radio r con un ángulo correspondiente θ , las coordenadas x como y satisfacen cos θ = x r x = r cos θ sen θ = y r y = r sen θ . Los valores de las demás funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de x , y , y r ( ). Para un punto P = ( x , y ) en un círculo de radio r , las coordenadas x como y satisfacen x = r cos θ y y = r sen θ . La muestra los valores del seno y del coseno en los ángulos mayores del primer cuadrante. A partir de esta tabla, podemos determinar los valores del seno y del coseno en los ángulos correspondientes de los otros cuadrantes. Los valores de las demás funciones trigonométricas se calculan fácilmente a partir de los valores de sen θ y cos θ . Los valores de sen θ y cos θ en los ángulos principales θ en el primer cuadrante θ s i n θ c o s θ 0 0 1 π 6 1 2 3 2 π 4 2 2 2 2 π 3 3 2 1 2 π 2 1 0 Evaluación de funciones trigonométricas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. sen ( 2 π 3 ) grandes. cos ( − 5 π 6 ) grandes. tan ( 15 π 4 ) En el círculo unitario, el ángulo θ = 2 π 3 corresponde al punto ( − 1 2 , 3 2 ) . Por lo tanto, sen ( 2 π 3 ) = y = 3 2 . Un ángulo θ = − 5 π 6 corresponde a una revolución en sentido negativo, como se muestra. Por lo tanto, cos ( − 5 π 6 ) = x = − 3 2 . Un ángulo θ = 15 π 4 = 2 π + 7 π 4 . Por lo tanto, este ángulo corresponde a más de una revolución, como se muestra. Sabiendo que un ángulo de 7 π 4 corresponde al punto ( 2 2 , − 2 2 ) , podemos concluir que tan ( 15 π 4 ) = y x = −1 . Evalúe cos ( 3 π / 4 ) y sen ( − π / 6 ) . cos ( 3 π / 4 ) = − 2 / 2 ; sen ( − π / 6 ) = −1 / 2 Pista Observe los ángulos del círculo unitario. Como se mencionó anteriormente, las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en cualquiera de los ángulos agudos del triángulo. Supongamos que θ es uno de los ángulos agudos. Supongamos que A es la longitud del cateto adyacente, O es la longitud del cateto opuesto, y H es la longitud de la hipotenusa. Inscribiendo el triángulo en un círculo de radio H , como se muestra en la , vemos que A , H , y O satisfacen las siguientes relaciones con θ : sen θ = O H csc θ = H O cos θ = A H sec θ = H A tan θ = O A cot θ = A O Al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, podemos expresar las relaciones de las longitudes de los lados en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ . Construir una rampa de madera Se construirá una rampa de madera con un extremo en el suelo y el otro en la parte superior de una corta escalera. Si la parte superior de la escalera es de 4 ft desde el suelo y el ángulo entre el suelo y la rampa debe ser de 10 ° , ¿qué longitud debe tener la rampa? Supongamos que x denota la longitud de la rampa. En la siguiente imagen, vemos que x tiene que satisfacer la ecuación sen ( 10 ° ) = 4 / x . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x = 4 / sen ( 10 ° ) ≈ 23,035 pies. Un pintor de casas quiere inclinar una escalera de 20 contra una casa. Si el ángulo entre la base de la escalera y el suelo debe ser 60 ° , ¿A qué distancia de la casa debe colocar la base de la escalera? 10 pies Pista Dibuje un triángulo rectángulo con hipotenusa de 20 . Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una ecuación en la que intervienen funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θ para el que se definen las funciones. Podemos utilizar esas identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. A continuación se enumeran las principales identidades trigonométricas. Regla: identidades trigonométricas Identidades recíprocas tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ Identidades pitagóricas sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Fórmulas de adición y sustracción sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β Fórmulas de ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sen 2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ Resolver ecuaciones trigonométricas Para cada una de las siguientes ecuaciones, utilice una identidad trigonométrica para encontrar todas las soluciones. 1 + cos ( 2 θ ) = cos θ sen ( 2 θ ) = tan θ Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para cos ( 2 θ ) , vemos que θ es una solución de 1 + cos ( 2 θ ) = cos θ si y solo si 1 + 2 cos 2 θ − 1 = cos θ , que es verdadera si y solo si 2 cos 2 θ − cos θ = 0 . Para resolver esta ecuación, es importante tener en cuenta que tenemos que factorizar el lado izquierdo y no dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . El problema de dividir por cos θ es que es posible que cos θ es cero. De hecho, si dividiéramos ambos lados de la ecuación por cos θ , nos perderíamos algunas de las soluciones de la ecuación original. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, vemos que θ es una solución de esta ecuación si y solo si cos θ ( 2 cos θ − 1 ) = 0 . Dado que cos θ = 0 cuando θ = π 2 , π 2 ± π , π 2 ± 2 π ,…, y cos θ = 1 / 2 cuando θ = π 3 , π 3 ± 2 π ,… o θ = − π 3 , − π 3 ± 2 π ,…, concluimos que el conjunto de soluciones de esta ecuación es θ = π 2 + n π , θ = π 3 + 2 n π , y θ = − π 3 + 2 n π , n = 0 , ±1, 1 , ± 2, … . Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para sen ( 2 θ ) y la identidad recíproca para tan ( θ ) , la ecuación se puede escribir como 2 sen θ cos θ = sen θ cos θ . Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por cos θ para eliminar el denominador, y decimos que si θ satisface esta ecuación, entonces θ satisface la ecuación 2 sen θ cos 2 θ − sen θ = 0 . Sin embargo, en este punto tenemos que ser cuidadosos. Incluso si θ satisface esta nueva ecuación, puede no satisfacer la ecuación original porque para hacerlo, necesitaríamos poder dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . Sin embargo, si cos θ = 0 , no podemos dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . Por lo tanto, es posible que lleguemos a soluciones extrañas. Por lo tanto, al final, es importante comprobar si hay ese tipo de soluciones. Volviendo a la ecuación, es importante que tengamos en cuenta sen θ de ambos términos del lado izquierdo en vez de dividir ambos lados de la ecuación por sen θ . Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, podemos reescribir esta ecuación como sen θ ( 2 cos 2 θ − 1 ) = 0 . Por tanto, las soluciones vienen dadas por los ángulos θ de manera que sen θ = 0 o cos 2 θ = 1 / 2 . Las soluciones de la primera ecuación son θ = 0 , ± π , ±2, 2 π ,…. Las soluciones de la segunda ecuación son θ = π / 4 , ( π / 4 ) ± ( π / 2 ) , ( π / 4 ) ± π ,…. Tras comprobar que no hay soluciones extrañas, el conjunto de soluciones de la ecuación es θ = n π y θ = π 4 + n π 2 , n = 0 , ±1, 1 , ± 2, … . Halle todas las soluciones a la ecuación cos ( 2 θ ) = sen θ . θ = 3 π 2 + 2 n π , π 6 + 2 n π , 5 π 6 + 2 n π para n = 0 , ±1, 1 , ±2, 2 ,… Pista Utilice la fórmula del ángulo doble para el coseno. Demostrar la una identidad trigonométrica Demuestre la identidad trigonométrica 1 + tan 2 θ = sec 2 θ . Comencemos con la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1 . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre cos 2 θ , obtenemos sen 2 θ cos 2 θ + 1 = 1 cos 2 θ . Dado que sen θ / cos θ = tan θ y 1 / cos θ = sec θ , concluimos que tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Demuestre la identidad trigonométrica 1 + cot 2 θ = csc 2 θ . Pista Divida ambos lados de la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1 entre sen 2 θ . Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten. Podemos ver este patrón en los gráficos de las funciones. Supongamos que P = ( x , y ) es un punto del círculo unitario y que θ es el ángulo correspondiente . Dado que los ángulos θ y θ + 2 π corresponden al mismo punto P , los valores de las funciones trigonométricas en θ y en θ + 2 π son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El periodo de una función f se define como el menor valor positivo p de manera que f ( x + p ) = f ( x ) para todos los valores x en el dominio de f . Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de 2 π . Como las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud π , su periodo es π ( ). Las seis funciones trigonométricas son periódicas. Al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones a las funciones trigonométricas. En particular, considere la siguiente función: f ( x ) = A cos ( B ( x − α ) ) + C . En la , la constante α provoca un desplazamiento horizontal o de fase. El factor B cambia el periodo. Esta función seno transformada tendrá un periodo 2 π / | B | . El factor A resulta en un estiramiento vertical por un factor de | A | . Decimos | A | es la \"amplitud de f . \" La constante C ocasiona un desplazamiento vertical. Gráfico de una función coseno general. Observe en la que el gráfico de y = cos x es el gráfico de y = sen x desplazado a la izquierda π / 2 . Por lo tanto, podemos escribir cos x = sen ( x + π / 2 ) . Del mismo modo, podemos ver el gráfico de y = sen x como el gráfico de y = cos x desplazado a la derecha en π / 2 unidades, y afirma que sen x = cos ( x − π / 2 ) . Una curva sinusoidal desplazada surge de forma natural al graficar el número de horas de luz en un lugar determinado en función del día del año. Por ejemplo, supongamos que una ciudad informa que el 21 de junio es el día más largo del año con 15,7 horas y que el 21 de diciembre es el día más corto del año con 8,3 horas. Se puede demostrar que la función h ( t ) = 3,7 sen ( 2 π 365 ( t − 80,5 ) ) + 12 es un modelo para el número de horas de luz del día h en función del día del año t ( ). Las horas de luz en función del día del año pueden modelarse mediante una curva sinusoidal desplazada. Trazado del gráfico de una curva senoidal transformada Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 sen ( 2 ( x − π 4 ) ) + 1 . Este gráfico es una compresión horizontal por un factor de 2, un desplazamiento de fase a la derecha de π/4 unidades, seguido de un estiramiento vertical por un factor de 3 y luego un desplazamiento vertical de 1 unidad. El periodo de f ¿es π . Describa la relación entre el gráfico de f ( x ) = 3 sen ( 4 x ) − 5 y el gráfico de y = sen ( x ) . Para graficar f ( x ) = 3 sen ( 4 x ) − 5 , el gráfico de y = sen ( x ) necesita ser comprimido horizontalmente por un factor de 4, luego estirado verticalmente por un factor de 3, y luego desplazado hacia abajo 5 unidades. La función f tendrá un periodo de π / 2 y una amplitud de 3. Pista El gráfico de f se puede esbozar utilizando el gráfico de y = sen ( x ) y una secuencia de tres transformaciones. Conceptos clave La medida en radianes se define de forma que el ángulo asociado al arco de longitud 1 en el círculo unitario tiene medida de radián 1. Un ángulo con una medida de grado de 180 ° tiene una medida del radián de π rad. En los ángulos agudos θ , los valores de las funciones trigonométricas se definen como las relaciones de dos lados de un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos agudos es θ . Para un ángulo general θ , supongamos que ( x , y ) es un punto en un círculo de radio r correspondiente a este ángulo θ . Las funciones trigonométricas pueden escribirse como razones que implican x , y , y r . Las funciones trigonométricas son periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π . Las funciones tangente y cotangente tienen periodo π . Ecuaciones clave Función sinusoidal generalizada f ( x ) = A sen ( B ( x − α ) ) + C En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de grados a radianes. Escriba la respuesta como un múltiplo de π . 240 ° 4 π 3 rad 15 ° −60 ° − π 3 −225 ° 330 ° 11 π 6 rad En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de radianes a grados. π 2 rad 7 π 6 rad 210 ° 11 π 2 rad −3 π rad −540 ° 5 π 12 rad Evalúe los siguientes valores funcionales. cos ( 4 π 3 ) grandes. −0,5 tan ( 19 π 4 ) grandes. sen ( − 3 π 4 ) grandes. − 2 2 sec ( π 6 ) grandes. sen ( π 12 ) grandes. 3 − 1 2 2 cos ( 5 π 12 ) En los siguientes ejercicios, considere el triángulo ABC , un triángulo rectángulo con un ángulo recto en C. a. Halle el lado que falta en el triángulo. b. Halle los seis valores de la función trigonométrica para el ángulo en A . Si es necesario, simplifique a una fracción o redondee a tres decimales. a = 4 , c = 7 a. b = 5,7 b. sen A = 4 7 , cos A = 5,7 7 , tan A = 4 5,7 , csc A = 7 4 , sec A = 7 5,7 , cot A = 5,7 4 a = 21 , c = 29 a = 85,3 , b = 125,5 a. c = 151,7 b. sen A = 0,5623 , cos A = 0,8273 , tan A = 0,6797 , csc A = 1,778 , sec A = 1,209 , cot A = 1,471 b = 40 , c = 41 a = 84 , b = 13 a. c = 85 b. sen A = 84 85 , cos A = 13 85 , tan A = 84 13 , csc A = 85 84 , sec A = 85 13 , cot A = 13 84 b = 28 , c = 35 En los siguientes ejercicios, P es un punto del círculo unitario. a. Halle el valor (exacto) de la coordenada que falta en cada punto y b. halle los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ con un lado terminal que pasa por el punto P . Racionalice los denominadores. P ( 7 25 , y ) , y > 0 a. y = 24 25 b. sen θ = 24 25 , cos θ = 7 25 , tan θ = 24 7 , csc θ = 25 24 , sec θ = 25 7 , cot θ = 7 24 P ( −15 17 , y ) , y < 0 P ( x , 7 3 ) , x < 0 a. x = − 2 3 b. sen θ = 7 3 , cos θ = − 2 3 , tan θ = − 14 2 , csc θ = 3 7 7 , sec θ = −3 2 2 , cot θ = − 14 7 P ( x , − 15 4 ) , x > 0 En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión escribiéndola en términos de senos y cosenos, y luego simplifique. La respuesta final no tiene que ser solo en términos de seno y coseno. tan 2 x + sen x csc x sec 2 x sec x sen x cot x tan 2 x sec 2 x sen 2 x sec x − cos x ( 1 + tan θ ) 2 − 2 tan θ sec 2 θ sen x ( csc x − sen x ) grandes. cos t sen t + sen t 1 + cos t 1 sen t ( = csc t ) grandes. 1 + tan 2 α 1 + cot 2 α En los siguientes ejercicios, verifique que cada ecuación sea una identidad. tan θ cot θ csc θ = sen θ sec 2 θ tan θ = sec θ csc θ sen t csc t + cos t sec t = 1 sen x cos x + 1 + cos x – 1 sen x = 0 cot γ + tan γ = sec γ csc γ sen 2 β + tan 2 β + cos 2 β = sec 2 β 1 1 − sen α + 1 1 + sen α = 2 sec 2 α tan θ − cot θ sen θ cos θ = sec 2 θ − csc 2 θ En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0 ≤ θ < 2 π . 2 sen θ − 1 = 0 { π 6 , 5 π 6 } 1 + cos θ = 1 2 2 tan 2 θ = 2 { π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 } 4 sen 2 θ − 2 = 0 3 cot θ + 1 = 0 { 2 π 3 , 5 π 3 } 3 sec θ − 2 3 = 0 2 cos θ sen θ = sen θ { 0 , π , π 3 , 5 π 3 } csc 2 θ + 2 csc θ + 1 = 0 En los siguientes ejercicios, cada gráfico es de la forma y = A sen B x o y = A cos B x , donde B > 0 . Escriba la ecuación del gráfico. y = 4 sen ( π 4 x ) y = cos ( 2 π x ) En los siguientes ejercicios, halle a. la amplitud, b. el periodo, y c. el desplazamiento de fase con dirección para cada función. y = sen ( x − π 4 ) a. 1 b. 2 π c. π 4 unidades a la derecha y = 3 cos ( 2 x + 3 ) grandes. y = −1 2 sen ( 1 4 x ) a. 1 2 b. 8 π c. Sin desplazamiento de fase y = 2 cos ( x − π 3 ) grandes. y = −3 sen ( π x + 2 ) a. 3 b. 2 c. 2 π unidades a la izquierda y = 4 cos ( 2 x − π 2 ) [T] El diámetro de una rueda que da vueltas sobre el suelo es de 40 in. Si la rueda gira en un ángulo de 120 ° , ¿cuántas pulgadas se desplaza? Aproximación a la pulgada entera más cercana. Aproximadamente 42 in. [T] Halle la longitud del arco intersecado por el ángulo central θ en un círculo de radio r . Redondee a la centésima más cercana. a. r = 12,8 cm, θ = 5 π 6 rad b. r = 4,378 cm, θ = 7 π 6 rad c. r = 0,964 cm, θ = 50 ° d. r = 8,55 cm, θ = 325 ° [T] A medida que un punto P se mueve alrededor de un círculo, la medida del ángulo cambia. La medida de la rapidez con la que cambia el ángulo se llama velocidad angular , ω , y viene dada por ω = θ / t , donde θ está en radianes y t es el tiempo. Halle la velocidad angular para los datos dados. Redondee a la milésima más cercana. a. θ = 7 π 4 rad , t = 10 s b. θ = 3 π 5 rad , t = 8 sec c. θ = 2 π 9 rad , t = 1 min d. θ = 23,76 rad, t = 14 min a. 0,550 rad/seg b. 0,236 rad/s c. 0,698 rad/min d. 1,697 rad/min [T] Se necesita un total de 250.000 m 2 de terreno para construir una central nuclear. Supongamos que se decide que la zona en la que se va a construir la central eléctrica será circular. Halle el radio de la zona circular de terreno. Si la superficie del terreno va a formar un sector de 45 ° de una circunferencia en vez de una circunferencia entera, halle la longitud del lado curvo. [T] El área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud x es 1 2 x 2 sen θ , donde θ es el ángulo que forman los dos lados. Halle el área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud 8 pulgadas y ángulo θ = 5 π / 12 rad. ≈ 30,9 in 2 [T] Una partícula se desplaza en una trayectoria circular con una velocidad angular constante ω . La velocidad angular se modela mediante la función ω = 9 | cos ( π t – π / 12 ) | . Determine la velocidad angular en t = 9 seg. [T] La corriente alterna para las tomas de corriente de una casa tiene un voltaje dado por la función V ( t ) = 150 cos 368 t , donde V es el voltaje en un tiempo de t segundos. Halle el periodo de la función e interprete su significado. Determine el número de periodos que se producen al pasar 1 segundo. a. π/184; el voltaje se repite cada π/184 s. b. Aproximadamente 59 periodos [T] El número de horas de luz diurna en una ciudad del noreste se modela mediante la función N ( t ) = 12 + 3 sen [ 2 π 365 ( t − 79 ) ] , donde t es el número de días después del 1 de enero. Halle la amplitud y el periodo. Determine el número de horas de luz diurna del día más largo del año. Determine el número de horas de luz diurna del día más corto del año. Determine el número de horas de luz diurna 90 días después del 1 de enero. Grafique la función para un periodo que comienza el 1 de enero. [T] Supongamos que T = 50 + 10 sen [ π 12 ( t − 8 ) ] es un modelo matemático de la temperatura (en grados Fahrenheit) a las t horas después de la medianoche de un determinado día de la semana. Determine la amplitud y el periodo. Halle la temperatura 7 horas después de la medianoche. ¿A qué hora T = 60 ° ? Dibuje el gráfico de T en 0 ≤ t ≤ 24 . a. Amplitud = 10 ; periodo = 24 b. 47,4 ° F c. 14 horas más tarde, o 2 p.m. d. [T] La función H ( t ) = 8 sen ( π 6 t ) modela la altura H (en pies) de la marea t horas después de la medianoche. Supongamos que t = 0 es medianoche. Encuentre la amplitud y el periodo. Grafique la función en un periodo. ¿Cuál es la altura de la marea a las 4:30 a. m.? función periódica una función es periódica si tiene un patrón de repetición a medida que los valores de x se mueven de izquierda a derecha radianes para un arco circular de longitud s en un círculo de radio 1, la medida del radián del ángulo asociado θ ¿es s funciones trigonométricas funciones de un ángulo definidas como las relaciones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo identidad trigonométrica ecuación con funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θ para la que se definen las funciones de la ecuación", "section": "Funciones trigonométricas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Funciones inversas Una función inversa invierte la operación realizada por una determinada función. En otras palabras, lo que hace una función, lo deshace la función inversa. En esta sección, definiremos formalmente una función inversa y estableceremos las condiciones necesarias para que exista. Examinaremos cómo encontrar una función inversa y estudiaremos la relación entre el gráfico de una función y el gráfico de su inversa. A continuación, aplicaremos estas ideas para definir y discutir las propiedades de las funciones trigonométricas inversas. Existencia de una función inversa Comencemos con un ejemplo. Dada una función f y una salida y = f ( x ) , a menudo nos interesa encontrar qué valor o valores x se asignaron a y entre f . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 + 4 . Dado que cualquier salida y = x 3 + 4 , podemos resolver esta ecuación para x y hallar que la entrada es x = y − 4 3 . Esta ecuación define x en función de y . Denotando esta función como f −1 , y escribiendo x = f −1 ( y ) = y − 4 3 , vemos que para cualquier x en el dominio de f , f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( x 3 + 4 ) = x . Así, esta nueva función, f −1 , \"deshizo\" lo que la función original f hizo. Una función con esta propiedad se denomina función inversa de la función original. Definición Dada una función f con dominio D y rango R , su función inversa (si la hay) es la función f −1 con dominio R y rango D de manera que f −1 ( y ) = x si f ( x ) = y . En otras palabras, para una función f y su inversa f −1 , f −1 ( f ( x ) ) = x para todo x in D , y f ( f −1 ( y ) ) = y para todo y in R . Observe que f −1 se lee como \"f inversa\" Aquí, el −1 no se utiliza como exponente y f −1 ( x ) ≠ 1 / f ( x ) . La muestra la relación entre el dominio y el rango de f y el dominio y el rango de f −1 . Dada una función f y su inversa f −1 , f −1 ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y . El rango de f se convierte en el dominio de f −1 y el dominio de f se convierte en el rango de f −1 . Recordemos que una función tiene exactamente una salida para cada entrada. Por lo tanto, para definir una función inversa, necesitamos asignar cada entrada a una sola salida. Por ejemplo, intentemos encontrar la función inversa de f ( x ) = x 2 . Si resolvemos la ecuación y = x 2 por x , llegamos a la ecuación x = ± y . Esta ecuación no describe x en función de y porque hay dos soluciones a esta ecuación para cada y > 0 . El problema de intentar encontrar una función inversa para f ( x ) = x 2 es que se envían dos entradas a una sola salida en cada salida y > 0 . La función f ( x ) = x 3 + 4 que se comentó anteriormente no presentaba ese problema. En esa función, cada entrada se enviaba a una salida diferente. Una función que envía cada entrada a una salida diferente se llama función biunívoca. Definición Decimos que f es una función biunívoca si f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) cuando x 1 ≠ x 2 . Una forma de determinar si una función es biunívoca es observando su gráfico. Si una función es biunívoca, entonces no se pueden enviar dos entradas a la misma salida. Entonces, si dibujamos una línea horizontal en cualquier parte del plano x y según la prueba de la línea horizontal , esta no puede intersecar el gráfico más de una vez. Podemos notar que la prueba de la línea horizontal es diferente de la prueba de la línea vertical. La prueba de la línea vertical determina si un gráfico es el de una función. La prueba de la línea horizontal determina si una función es biunívoca ( ). Regla: prueba de la línea horizontal Una función f es biunívoca si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico de f solo una vez. (a) La función f ( x ) = x 2 no es biunívoca porque falla la prueba de la línea horizontal. (b) La función f ( x ) = x 3 es biunívoca porque pasa la prueba de la línea horizontal. Cómo determinar si una función es biunívoca En cada una de las siguientes funciones, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si son biunívocas. Dado que la línea horizontal y = n para cualquier número entero n ≥ 0 interseca el gráfico más de una vez, esta función no es unívoca Dado que cada línea horizontal interseca el gráfico una vez (como máximo), esta función es biunívoca ¿La función f graficada biunívoca en la siguiente imagen? No. Pista Utilice la prueba de la línea horizontal. Encontrar la inversa de una función Ahora podemos considerar las funciones biunívocas y mostrar cómo encontrar sus inversas. Recordemos que una función asigna elementos en el dominio de f a elementos en el rango de f . La función inversa asigna cada elemento del rango de f a su elemento correspondiente del dominio de f . Por lo tanto, para encontrar la función inversa de una función biunívoca f , dada cualquier y en el rango de f , tenemos que determinar cuál x en el dominio de f satisface f ( x ) = y . Dado que f es biunívoca, hay exactamente un valor de este tipo x . Podemos encontrar ese valor x resolviendo la ecuación f ( x ) = y para x . Al hacer esto, podemos escribir x en función de y donde el dominio de esta función es el rango de f y el rango de esta nueva función es el dominio de f . En consecuencia, esta función es la inversa de f , y escribimos x = f −1 ( y ) . Dado que normalmente utilizamos la variable x para denotar la variable independiente y y para denotar la variable dependiente, a menudo intercambiamos los papeles de x como y , y se escribe y = f −1 ( x ) . Representar la función inversa de esta manera también es útil más adelante cuando grafiquemos una función f y su inversa f −1 en los mismos ejes. Estrategia para la resolución de problemas: hallar una función inversa Resuelva la ecuación y = f ( x ) para x . Intercambie las variables de x como y y escriba y = f −1 ( x ) . Hallar una función inversa Halle la inversa de la función f ( x ) = 3 x − 4 . Indique el dominio y el rango de la función inversa. Verifique que f −1 ( f ( x ) ) = x . Siga los pasos indicados en la estrategia. Paso 1. Si los valores de y = 3 x − 4 , entonces 3 x = y + 4 y x = 1 3 y + 4 3 . Paso 2. Reescriba como y = 1 3 x + 4 3 y supongamos que y = f −1 ( x ) . Por lo tanto, f −1 ( x ) = 1 3 x + 4 3 . Dado que el dominio de f ¿es ( − ∞ , ∞ ) , el rango de f −1 ¿es ( − ∞ , ∞ ) . Dado que el rango de f ¿es ( − ∞ , ∞ ) , el dominio de f −1 ¿es ( − ∞ , ∞ ) . Puede comprobar que f −1 ( f ( x ) ) = x escribiendo f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( 3 x − 4 ) = 1 3 ( 3 x − 4 ) + 4 3 = x − 4 3 + 4 3 = x . Tenga en cuenta que para que f −1 ( x ) sea la inversa de f ( x ) , ambos f −1 ( f ( x ) ) = x y f ( f −1 ( x ) ) = x para todo x en el dominio de la función interior. Halle la inversa de la función f ( x ) = 3 x / ( x − 2 ) . Indique el dominio y el rango de la función inversa. f −1 ( x ) = 2 x x − 3 . El dominio de f −1 ¿es { x | x ≠ 3 } . El rango de f −1 ¿es { y | y ≠ 2 } . Pista Utilice la para encontrar funciones inversas. Gráficos de funciones inversas Consideremos la relación entre el gráfico de una función f y el gráfico de su inversa. Consideremos el gráfico de f que se muestra en la y un punto ( a , b ) en el gráfico. Dado que b = f ( a ) , entonces f −1 ( b ) = a . Por lo tanto, cuando graficamos f −1 , el punto ( b , a ) está en el gráfico. Como resultado, el gráfico de f −1 es un reflejo del gráfico de f sobre la línea y = x . (a) El gráfico de esta función f muestra el punto ( a , b ) en el gráfico de f . (b) Ya que ( a , b ) está en el gráfico de f , el punto ( b , a ) está en el gráfico de f −1 . El gráfico de f −1 es un reflejo del gráfico de f sobre la línea y = x . Trazado de gráficos de funciones inversas En el gráfico de f en la siguiente imagen dibuje un gráfico de f −1 trazando la línea y = x y utilizando la simetría. Identifique el dominio y el rango de f −1 . Refleje el gráfico sobre la línea y = x . El dominio de f −1 ¿es [ 0 , ∞ ) . El rango de f −1 ¿es [ −2 , ∞ ) . Utilizando la estrategia anterior para encontrar funciones inversas, podemos comprobar que la función inversa es f −1 ( x ) = x 2 − 2 , como se muestra en el gráfico. Dibuje la gráfica de f ( x ) = 2 x + 3 y el gráfico de su inversa utilizando la propiedad de simetría de las funciones inversas. Pista Los gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . Restricciones de dominio Como hemos visto, f ( x ) = x 2 no tiene una función inversa porque no es biunívoca. Sin embargo, podemos elegir un subconjunto del dominio de f tal que la función es biunívoca. Este subconjunto se denomina dominio restringido . Al restringir el dominio de f , podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g es el dominio restringido de f y g ( x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de g . Entonces podemos definir una función inversa para g en ese dominio. Por ejemplo, ya que f ( x ) = x 2 es biunívoca en el intervalo [ 0 , ∞ ) , podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g ¿es [ 0 , ∞ ) y g ( x ) = x 2 para todas las x en su dominio. Dado que g es una función biunívoca, tiene una función inversa, dada por la fórmula g −1 ( x ) = x . Por otro lado, la función f ( x ) = x 2 también es biunívoca en el dominio ( − ∞ , 0 ] . Por lo tanto, también podríamos definir una nueva función h tal que el dominio de h ¿es ( − ∞ , 0 ] y h ( x ) = x 2 para todas las x en el dominio de h . Entonces h es una función biunívoca y también debe tener una inversa. Su inversa viene dada por la fórmula h −1 ( x ) = − x ( ). (a) Para g ( x ) = x 2 limitada a [ 0 , ∞ ) , g −1 ( x ) = x . (b) Para h ( x ) = x 2 limitada a ( − ∞ , 0 ] , h −1 ( x ) = − x . Restringir el dominio Considere la función f ( x ) = ( x + 1 ) 2 . Dibuje la gráfica de f y utilice la prueba de la línea horizontal para demostrar que f no es biunívoca. Demuestre que f es biunívoca en el dominio restringido [ −1 , ∞ ) . Determine el dominio y el rango de la inversa de f en este dominio restringido y halle una fórmula para f −1 . El gráfico de f es el gráfico de y = x 2 desplazado a la izquierda en 1 unidad. Dado que existe una línea horizontal que interseca el gráfico más de una vez, f no es biunívoca. En el intervalo [ −1 , ∞ ) , f es biunívoca. El dominio y el rango de f −1 vienen dados por el rango y el dominio de f , respectivamente. Por lo tanto, el dominio de f −1 ¿es [ 0 , ∞ ) y el rango de f −1 ¿es [ −1 , ∞ ) . Para encontrar una fórmula para f −1 , resuelva la ecuación y = ( x + 1 ) 2 por x . Si y = ( x + 1 ) 2 , entonces x = –1 ± y . Como estamos restringiendo el dominio al intervalo donde x ≥ −1 , necesitamos ± y ≥ 0 . Por lo tanto, x = −1 + y . Al intercambiar x como y , escribimos y = −1 + x y concluimos que f −1 ( x ) = −1 + x . Considere f ( x ) = 1 / x 2 restringida al dominio ( − ∞ , 0 ) . Verifique que f es biunívoca en este dominio. Determine el dominio y el rango de la inversa de f y halle una fórmula para f −1 . El dominio de f −1 ¿es ( 0 , ∞ ) . El rango de f −1 ¿es ( − ∞ , 0 ) . La función inversa viene dada por la fórmula f −1 ( x ) = −1 / x . Pista El dominio y el rango de f −1 vienen dados por el rango y el dominio de f , respectivamente. Para hallar f −1 , resuelva y = 1 / x 2 por x . Funciones trigonométricas inversas Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y, por tanto, no son biunívocas. Sin embargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica a un intervalo en el que es biunívoca, podemos definir su inversa. Consideremos la función seno ( ). La función seno es biunívoca en un número infinito de intervalos, pero la convención estándar es restringir el dominio al intervalo [ − π 2 , π 2 ] . Al hacerlo, definimos la función seno inversa en el dominio [ −1 , 1 ] tal que para cualquier x en el intervalo [ −1 , 1 ] , la función seno inversa nos dice qué ángulo θ en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] satisface sen θ = x . Del mismo modo, podemos restringir los dominios de las otras funciones trigonométricas para definir las funciones trigonométricas inversas , que son funciones que nos dicen qué ángulo en un determinado intervalo tiene un valor trigonométrico específico. Definición La función seno inversa, denotada sen −1 o arcsen, y la función coseno inversa, denotada cos −1 o arccos, se definen en el dominio D = { x | − 1 ≤ x ≤ 1 } de la siguiente forma: sen −1 ( x ) = y si y solo si sen ( y ) = x y − π 2 ≤ y ≤ π 2 ; cos −1 ( x ) = y si y solo si cos ( y ) = x y 0 ≤ y ≤ π . La función tangente inversa, denotada tan −1 o arctan, y la función cotangente inversa, denotada cot −1 o arccot, se definen en el dominio D = { x | − ∞ < x < ∞ } de la siguiente forma: tan –1 ( x ) = y si y solo si tan ( y ) = x y − π 2 < y < π 2 ; cot −1 ( x ) = y si y solo si cot ( y ) = x y 0 < y < π . La función cosecante inversa, denotada csc −1 o arccsc, y la función secante inversa, denotada sec −1 o arcsec, se definen en el dominio D = { x | | x | ≥ 1 } de la siguiente forma: csc −1 ( x ) = y si y solo si csc ( y ) = x y − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 ; sec −1 ( x ) = y si y solo si sec ( y ) = x y 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π / 2 . Para graficar las funciones trigonométricas inversas utilizamos los gráficos de las funciones trigonométricas restringidas a los dominios definidos anteriormente y reflejamos los gráficos sobre la línea y = x ( ). El gráfico de cada una de las funciones trigonométricas inversas es una reflexión sobre la línea y = x de la correspondiente función trigonométrica restringida. Visite el siguiente sitio para ver más comparaciones de funciones y sus inversas. Al evaluar una función trigonométrica inversa, la salida es un ángulo. Por ejemplo, para evaluar cos −1 ( 1 2 ) , necesitamos encontrar un ángulo θ de manera que cos θ = 1 2 . Evidentemente, muchos ángulos tienen esta propiedad. Sin embargo, dada la definición de cos −1 , necesitamos el ángulo θ que no solo resuelve esta ecuación, sino que se encuentra en el intervalo [ 0 , π ] . Concluimos que cos −1 ( 1 2 ) = π 3 . Ahora consideraremos una composición de una función trigonométrica y su inversa. Por ejemplo, veamos las dos expresiones sen ( sen −1 ( 2 2 ) ) y sen −1 ( sen ( π ) ) . En la primera, simplificamos como sigue: sen ( sen −1 ( 2 2 ) ) = sen ( π 4 ) = 2 2 . En la segunda, tenemos sen −1 ( sen ( π ) ) = sen −1 ( 0 ) = 0 . La función inversa se supone que \"deshace\" la función original, así que ¿por qué no es sen −1 ( sen ( π ) ) = π ? Recordando nuestra definición de funciones inversas, una función f y su inversa f −1 cumplen las condiciones f ( f −1 ( y ) ) = y para todos los y en el dominio de f −1 y f −1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f , ¿Qué pasó aquí? La cuestión es que la función inversa del seno, sen −1 , es la inversa de la función seno restringida definida en el dominio [ − π 2 , π 2 ] . Por lo tanto, para x en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] , es cierto que sen −1 ( sen x ) = x . Sin embargo, para valores de x fuera de este intervalo, la ecuación no se cumple, aunque sen −1 ( sen x ) se define para todos los números reales x . ¿Qué pasa con sen ( sen −1 y ) ? ¿Presenta un problema similar? La respuesta es no . Dado que el dominio de sen −1 es el intervalo [ −1 , 1 ] , concluimos que sen ( sen −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y la expresión no está definida para otros valores de y . En resumen, sen ( sen −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y sen −1 ( sen x ) = x si − π 2 ≤ x ≤ π 2 . Del mismo modo, para la función coseno, cos ( cos −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y cos −1 ( cos x ) = x si 0 ≤ x ≤ π . Propiedades similares son válidas para las demás funciones trigonométricas y sus inversas. Evaluación de expresiones que implican funciones trigonométricas inversas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. sen −1 ( − 3 2 ) grandes. tan ( tan –1 ( − 1 3 ) ) grandes. cos −1 ( cos ( 5 π 4 ) ) grandes. sen −1 ( cos ( 2 π 3 ) ) Al evaluar sen −1 ( − 3 / 2 ) equivale a encontrar el ángulo θ de manera que sen θ = − 3 / 2 y − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 . El ángulo θ = − π / 3 satisface estas dos condiciones. Por lo tanto, sen −1 ( − 3 / 2 ) = − π / 3 . Primero utilizamos el hecho de que tan –1 ( −1 / 3 ) = − π / 6 . Entonces tan ( −π / 6 ) = −1 / 3 . Por lo tanto, tan ( tan –1 ( −1 / 3 ) ) = −1 / 3 . Para evaluar cos −1 ( cos ( 5 π / 4 ) ) , utiliza primero el hecho de que cos ( 5 π / 4 ) = − 2 / 2 . Entonces tenemos que encontrar el ángulo θ de manera que cos ( θ ) = − 2 / 2 y 0 ≤ θ ≤ π . Dado que 3 π / 4 satisface estas dos condiciones, tenemos cos ( cos −1 ( 5 π / 4 ) ) = cos ( cos −1 ( – 2 / 2 ) ) = 3 π / 4 . Dado que cos ( 2 π / 3 ) = −1 / 2 , tenemos que evaluar sen −1 ( −1 / 2 ) . Es decir, necesitamos encontrar el ángulo θ de manera que sen ( θ ) = −1 / 2 y − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 . Dado que − π / 6 satisface estas dos condiciones, podemos concluir que sen −1 ( cos ( 2 π / 3 ) ) = sen −1 ( −1 / 2 ) = − π / 6 . Valor máximo de una función En muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas es útil conocer el valor máximo que puede obtener una función, aunque no conozcamos su valor exacto en un instante determinado. Por ejemplo, si tenemos una función que describe la resistencia de una viga del tejado, querremos saber el peso máximo que puede soportar la viga sin romperse. Si tenemos una función que describe la velocidad de un tren, nos gustaría saber su velocidad máxima antes de que salte de los raíles. El diseño seguro depende a menudo de conocer los valores máximos. Este proyecto describe un ejemplo sencillo de una función con un valor máximo dependiente de los coeficientes de dos ecuaciones. Veremos que los valores máximos pueden depender de varios factores distintos de la variable independiente x . Consideremos el gráfico en la de la función y = sen x + cos x . Describa su forma general. ¿Es periódico? ¿Cómo lo sabe? El gráfico de y = sen x + cos x . Utilizando una calculadora gráfica u otro dispositivo para graficar estime los valores x y y del punto máximo del gráfico (el primer punto de este tipo donde x > 0). Puede ser útil expresar el valor de x como múltiplo de π. Consideremos ahora otros gráficos de la forma y = A sen x + B cos x para varios valores de A y B . Dibuje el gráfico cuando A = 2 y B = 1, y halle los valores x y los y para el punto máximo (recuerde expresar el valor x como un múltiplo de π, si es posible). ¿Se movió? Repita para A = 1, B = 2. ¿Hay alguna relación con lo que encontró en la parte (2)? Complete la siguiente tabla añadiendo algunas opciones propias para A y B : A B x y A B x y 0 1 3 1 1 0 1 3 1 1 12 5 1 2 5 12 2 1 2 2 3 4 4 3 Trate de averiguar la fórmula de los valores y . La fórmula de los valores x es un poco más difícil. Los puntos más útiles de la tabla son ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) . ( Pista : Considere las funciones trigonométricas inversas) Si halló fórmulas para las partes (5) y (6), demuestre que funcionan juntas. Es decir, sustituya la fórmula de valor x que encontró en y = A sen x + B cos x y simplifíquela para llegar a la fórmula de valor y que encontró. Conceptos clave Para que una función tenga una inversa, la función debe ser biunívoca. Dado el gráfico de una función, podemos determinar si esta es biunívoca utilizando la prueba de la línea horizontal. Si una función no es biunívoca, podemos restringir el dominio a otro más pequeño en el que la función lo sea, y a continuación, definimos la inversa de la función en el dominio más pequeño. Para una función f y su inversa f −1 , f ( f −1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f −1 y f −1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f . Como las funciones trigonométricas son periódicas, necesitamos restringir sus dominios para definir las funciones trigonométricas inversas. El gráfico de una función f y su inversa f −1 son simétricos respecto a la línea y = x . Ecuaciones clave Funciones inversas f −1 ( f ( x ) ) = x para todo x in D , y f ( f −1 ( y ) ) = y para todo y in R . En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si las funciones en cada uno de los gráficos dados son biunívocas. No biunívoca No biunívoca Biunívoca En los siguientes ejercicios, a. halle la función inversa, y b. halle el dominio y el rango de la función inversa. f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0 a. f −1 ( x ) = x + 4 b. Dominio : x ≥ −4 , rango : y ≥ 0 f ( x ) = x − 4 3 f ( x ) = x 3 + 1 a. f −1 ( x ) = x – 1 3 b. Dominio: todos los números reales, rango: todos los números reales f ( x ) = ( x – 1 ) 2 , x ≤ 1 f ( x ) = x – 1 a. f −1 ( x ) = x 2 + 1 , b. Dominio: x ≥ 0 , rango: y ≥ 1 f ( x ) = 1 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f para dibujar el gráfico de su función inversa. En los siguientes ejercicios, utilice la composición para determinar qué pares de funciones son inversas. f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8 Son inversas. f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8 f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7 No son inversas. f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3 f ( x ) = 1 x – 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0 Son inversas. f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x – 1 ) 1 / 3 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0 Son inversas. f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones. Indique el valor exacto. tan –1 ( 3 3 ) grandes. π 6 cos −1 ( – 2 2 ) grandes. cot −1 ( 1 ) grandes. π 4 sen −1 ( –1 ) grandes. cos −1 ( 3 2 ) grandes. π 6 cos ( tan –1 ( 3 ) ) grandes. sen ( cos −1 ( 2 2 ) ) grandes. 2 2 sen −1 ( sen ( π 3 ) ) grandes. tan –1 ( tan ( − π 6 ) ) grandes. − π 6 La función C = T ( F ) = ( 5 / 9 ) ( F − 32 ) convierte los grados Fahrenheit en grados Celsius. Halle la función inversa F = T −1 ( C ) ¿Para qué sirve la función inversa? [T] La velocidad V (en centímetros por segundo) de la sangre en una arteria a una distancia x cm del centro de esta puede modelarse por la función V = f ( x ) = 500 ( 0,04 − x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 0,2 . Calcule x = f −1 ( V ) . Interprete para qué sirve la función inversa. Halle la distancia del centro de una arteria con una velocidad de 15 cm/s, 10 cm/s y 5 cm/s. a. x = f −1 ( V ) = 0,04 − V 500 b. La función inversa determina la distancia desde el centro de la arteria, en la que la sangre fluye con velocidad V . c. 0,1 cm; 0,14 cm; 0,17 cm Una función que convierte las tallas de los vestidos en Estados Unidos a las de Europa viene dada por D ( x ) = 2 x + 24 . Calcule las tallas europeas de vestidos que corresponden a las tallas 6, 8, 10 y 12 en Estados Unidos. Halle la función que convierte las tallas de vestidos europeas en tallas estadounidenses de vestidos. Utilice la parte b. para encontrar las tallas de vestido en Estados Unidos que corresponden a la 46, 52, 62 y 70. [T] El costo de eliminar una toxina de un lago se modela mediante la función C ( p ) = 75 p / ( 85 − p ) , donde C es el costo (en miles de dólares) y p es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medida en partes por mil millones [parts per billion, ppb]). Este modelo solo es válido cuando la cantidad de toxina es inferior a 85 ppb. Calcule el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de la toxina del lago. Halle la función inversa. c. Utilice la parte b. para determinar qué cantidad de toxina se elimina por 50.000 dólares. a. 31.250 dólares, 66.667 dólares, 107.143 dólares b. ( p = 85 C C + 75 ) c. 34 ppb [T] Un automóvil de carreras acelera a una velocidad dada por v ( t ) = 25 4 t + 54 , donde v es la velocidad (en pies por segundo) en el tiempo t . Halle la velocidad del automóvil a los 10 s. Halle la función inversa. Utilice la parte b. para determinar el tiempo que tarda el automóvil en alcanzar una velocidad de 150 ft/s. [T] El número Mach M de un avión es la relación entre su velocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión vuela a una altitud constante, su ángulo de Mach viene dado por μ = 2 sen −1 ( 1 M ) . Halle el ángulo de Mach (al grado más cercano) para los siguientes números Mach. M = 1,4 M = 2,8 M = 4,3 a. ~ 92 ° b. ~ 42 ° c. ~ 27 ° [T] Usando μ = 2 sen −1 ( 1 M ) , halle el número Mach M para los siguientes ángulos. μ = π 6 μ = 2 π 7 μ = 3 π 8 [T] La temperatura promedio (en grados Celsius) de una ciudad del norte de Estados Unidos se puede modelar mediante la función T ( x ) = 5 + 18 sen [ π 6 ( x − 4,6 ) ] , donde x es el tiempo en meses y x = 1,00 corresponde al 1 de enero. Determine el/los día(s) (mes y día) en que la temperatura promedio es 21 ° C . Utilice la parte entera de su(s) respuesta(s) como el mes y calcule el día del mes a partir de la parte decimal. x ≈ 6,69 , 8,51 ; así, la temperatura tiene lugar el 21 de junio y el 15 de agosto. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. Se modela mediante la función D ( t ) = 5 sen ( π 6 t − 7 π 6 ) + 8 , donde t es el número de horas después de la medianoche. Determine el primer momento después de medianoche cuando la profundidad es de 11,75 ft. [T] Un objeto que se mueve con movimiento armónico simple se modela mediante la función s ( t ) = −6 cos ( π t 2 ) , donde s se mide en pulgadas y t se mide en segundos. Determine el primer tiempo cuando la distancia recorrida es de 4,5 in ~ 1,5 s [T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 ft de altura que está colgado a 2,5 ft por encima del nivel de los ojos de una persona de estatura promedio. El ángulo de visión θ se puede modelar mediante la función θ = tan −1 5,5 x − tan −1 2,5 x , donde x es la distancia (en pies) desde el retrato. Halle el ángulo de visión de una persona que está a 4 ft del retrato. [T] Utilice una calculadora para evaluar tan –1 ( tan ( 2,1 ) ) y cos −1 ( cos ( 2,1 ) ) . Explique los resultados de cada uno. tan –1 ( tan ( 2,1 ) ) ≈ − 1,0416 ; la expresión no es igual a 2,1 ya que 2,1 > 1,57 = π 2 ; en otras palabras, no está en el dominio restringido de tan x . cos −1 ( cos ( 2,1 ) ) = 2,1 , ya que 2,1 está en el dominio restringido de cos x . [T] Utilice una calculadora para evaluar sen ( sen −1 ( −2 ) ) y tan ( tan –1 ( −2 ) ) . Explique los resultados de cada uno. prueba de la línea horizontal una función f es biunívoca si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico de f , como máximo, una vez función inversa para una función f , la función inversa f −1 satisface f −1 ( y ) = x si f ( x ) = y funciones trigonométricas inversas las inversas de las funciones trigonométricas están definidas en dominios restringidos donde son funciones biunívocas función biunívoca una función f es biunívoca si f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) si x 1 ≠ x 2 dominio restringido subconjunto del dominio de una función f", "section": "Funciones inversas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Funciones exponenciales y logarítmicas En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número e . También definimos las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de las funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de las integraciones , y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las dos definiciones) Funciones exponenciales Las funciones exponenciales aparecen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de la población . Por ejemplo, si una población comienza con P 0 individuos y luego crece a una tasa anual de 2 % , su población después de 1 año es P ( 1 ) = P 0 + 0,02 P 0 = P 0 ( 1 + 0,02 ) = P 0 ( 1,02 ) . Su población después de 2 años es P ( 2 ) = P ( 1 ) + 0,02 P ( 1 ) = P ( 1 ) ( 1,02 ) = P 0 ( 1,02 ) 2 . En general, su población después de t años es P ( t ) = P 0 ( 1,02 ) t , que es una función exponencial. De forma más general, cualquier función de la forma f ( x ) = b x , donde b > 0 , b ≠ 1 , es una función exponencial con base b y exponente x . Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Observe que una función de la forma f ( x ) = x b para alguna constante b no es una función exponencial sino una función potencia. Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función potencia, comparamos las funciones y = x 2 y y = 2 x . En la , vemos que tanto 2 x y x 2 se acercan al infinito a medida que x → ∞ . Sin embargo, con el tiempo, 2 x se hace más grande que x 2 y crece más rápidamente a medida que x → ∞ . En la dirección opuesta, a medida que x → − ∞ , x 2 → ∞ , mientras que 2 x → 0 . La línea y = 0 es una asíntota horizontal para y = 2 x . Los valores de x 2 y 2 x x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x 2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 2 x 1 / 8 1 / 4 1 / 2 1 2 4 8 16 32 64 En la , graficamos ambas y = x 2 y y = 2 x para mostrar las diferencias entre los gráficos. Tanto 2 x y x 2 se acercan al infinito a medida que x → ∞ , pero 2 x crece más rápidamente que x 2 . Dado que x → − ∞ , x 2 → ∞ , mientras que 2 x → 0 . Evaluación de funciones exponenciales Recuerde las propiedades de los exponentes: si los valores de x es un número entero positivo, entonces definimos b x = b . b ⋯ b (con x factores de b ) . Si x es un número entero negativo, entonces x = − y para algún número entero positivo y , y definimos b x = b − y = 1 / b y . También, b 0 se define como 1 . Si x es un número racional, entonces x = p / q , donde p y q son números enteros y b x = b p / q = b p q . Por ejemplo, 9 3 / 2 = 9 3 = 27 . Sin embargo, ¿cómo se define b x si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué entendemos por 2 2 ? Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responderla completamente en este momento; sin embargo, podemos hacer una aproximación. En la , enumeramos algunos números racionales que se acercan a 2 , y los valores de 2 x para cada número racional x también se presentan. Afirmamos que si elegimos números racionales x cada vez más cerca de 2 , los valores de 2 x se acercan cada vez más a algún número L . Definimos que ese número L para que sea 2 2 . Los valores de 2 x para una lista de números racionales que se aproximan a 2 x 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 1,414213 2 x 2,639 2,65737 2,66475 2,665119 2,665138 2,665143 Crecimiento bacteriano Supongamos que se sabe que una determinada población de bacterias duplica su tamaño cada 4 horas. Si un cultivo comienza con 1.000 bacterias, el número de bacterias después de 4 horas es n ( 4 ) = 1.000 . 2 . El número de bacterias después de 8 horas es n ( 8 ) = n ( 4 ) . 2 = 1.000 . 2 2 . En general, el número de bacterias después de 4 m horas es n ( 4 m ) = 1.000 . 2 m . Supongamos que t = 4 m , vemos que el número de bacterias después de t horas es n ( t ) = 1.000 . 2 t / 4 . Calcule el número de bacterias después de 6 horas, 10 horas, y 24 horas. El número de bacterias después de 6 horas está dado por n ( 6 ) = 1.000 . 2 6 / 4 ≈ 2828 bacterias. El número de bacterias después de 10 horas está dado por n ( 10 ) = 1.000 . 2 10 / 4 ≈ 5657 bacterias. El número de bacterias después de 24 horas está dado por n ( 24 ) = 1.000 . 2 6 = 64.000 bacterias. Dada la función exponencial f ( x ) = 100 . 3 x / 2 , evaluar f ( 4 ) y f ( 10 ) . f ( 4 ) = 900 ; f ( 10 ) = 24 , 300 . Visite World Population Balance (balance de la población mundial) para ver otro ejemplo de crecimiento exponencial de la población. Gráficos de funciones exponenciales Para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función exponencial f ( x ) = b x se define para todos los números reales x y b x > 0 . Por lo tanto, el dominio de f ( x ) = b x es ( − ∞ , ∞ ) y el rango es ( 0 , ∞ ) . Para graficar b x , observamos que para b > 1 , b x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) y b x → ∞ cuando x → ∞ , mientras que b x → 0 cuando x → − ∞ . Por otro lado, si 0 < b < 1 , f ( x ) = b x es decreciente en ( − ∞ , ∞ ) y b x → 0 cuando x → ∞ mientras que b x → ∞ cuando x → − ∞ ( ). Si los valores de b > 1 , entonces b x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) . Si 0 < b < 1 , entonces b x es decreciente en ( − ∞ , ∞ ) . Visite este sitio para explorar más los gráficos de las funciones exponenciales. Observe que las funciones exponenciales cumplen las leyes generales de los exponentes. Para recordar estas leyes, las exponemos como reglas. Regla: leyes de los exponentes Para cualquier constante a > 0 , b > 0 , y para todo x y y , b x . b y = b x + y b x b y = b x − y ( b x ) y = b x y ( a b ) x = a x b x a x b x = ( a b ) x Uso de las leyes de los exponentes Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones. ( 2 x 2 / 3 ) 3 ( 4 x −1 / 3 ) 2 ( x 3 y −1 ) 2 ( x y 2 ) −2 Podemos simplificar de la siguiente manera: ( 2 x 2 / 3 ) 3 ( 4 x −1 / 3 ) 2 = 2 3 ( x 2 / 3 ) 3 4 2 ( x −1 / 3 ) 2 = 8 x 2 16 x −2 / 3 = x 2 x 2 / 3 2 = x 8 / 3 2 . Podemos simplificar de la siguiente manera: ( x 3 y −1 ) 2 ( x y 2 ) −2 = ( x 3 ) 2 ( y −1 ) 2 x −2 ( y 2 ) −2 = x 6 y −2 x −2 y −4 = x 6 x 2 y −2 y 4 = x 8 y 2 . Utilice las leyes de los exponentes para simplificar ( 6 x −3 y 2 ) / ( 12 x −4 y 5 ) . x / ( 2 y 3 ) Pista x a / x b = x a − b El número e Un tipo especial de función exponencial aparece con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, consideremos el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte P dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual r , calculada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es A ( 1 ) = P + r P = P ( 1 + r ) . La cantidad de dinero después de 2 años es A ( 2 ) = A ( 1 ) + r A ( 1 ) = P ( 1 + r ) + r P ( 1 + r ) = P ( 1 + r ) 2 . En general, la cantidad después de t años es A ( t ) = P ( 1 + r ) t . Si el dinero se calcula 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es A ( 1 2 ) = P + ( r 2 ) P = P ( 1 + ( r 2 ) ) . La cantidad de dinero después de 1 año es A ( 1 ) = A ( 1 2 ) + ( r 2 ) A ( 1 2 ) = P ( 1 + r 2 ) + r 2 ( P ( 1 + r 2 ) ) = P ( 1 + r 2 ) 2 . Después de t años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( t ) = P ( 1 + r 2 ) 2 t . En general, si el dinero se calcula n veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después de t años está dada por la función A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t . ¿Qué sucede a medida que n → ∞ ? Para responder esta pregunta, suponemos que m = n / r y escribimos ( 1 + r n ) n t = ( 1 + 1 m ) m r t , y examinamos el comportamiento de ( 1 + 1 / m ) m a medida que m → ∞ , utilizando una tabla de valores ( ). Los valores de ( 1 + 1 m ) m a medida que m → ∞ m 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ( 1 + 1 m ). m 2,5937 2,7048 2,71692 2,71815 2,718268 2,718280 De esta tabla se desprende que ( 1 + 1 / m ) m se acerca a un número entre 2,7 y 2,8 a medida que m → ∞ . De hecho, ( 1 + 1 / m ) m se acerca a algún número a medida que m → ∞ . Llamamos a este número e . Con seis decimales de exactitud, e ≈ 2,718282 . La letra e fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entre e y las funciones logarítmicas. Seguimos utilizando la notación e hoy para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos utilizarla en muchas aplicaciones prácticas. Volviendo a nuestro ejemplo de la cuenta de ahorros, podemos concluir que si una persona pone P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r , calculada continuamente, entonces A ( t ) = P e r t . Esta función puede resultar familiar. Dado que las funciones que involucran a la base e surgen a menudo en aplicaciones, llamamos a la función f ( x ) = e x la función exponencial natural . Esta función no solo es interesante por la definición del número e , pero además, como se verá a continuación, su gráfico tiene una propiedad importante. Dado que e > 1 , sabemos que e x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) . En la , mostramos un gráfico de f ( x ) = e x junto con una línea tangente al gráfico de en x = 0 . Damos una definición precisa de línea tangente en el próximo capítulo; pero, de manera informal, decimos que una línea tangente a un gráfico de f en x = a es una línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) y tiene la misma \"pendiente\" que f en ese punto . La función f ( x ) = e x es la única función exponencial b x con la línea tangente en x = 0 que tiene una pendiente de 1. Como veremos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más sencilla de utilizar en muchos casos. El gráfico de f ( x ) = e x tiene una línea tangente con pendiente 1 en x = 0 . Interés compuesto Supongamos que se invierten $ 500 en una cuenta con una tasa de interés anual de r = 5,5 % , calculada continuamente. Supongamos que t denota el número de años después de la inversión inicial y A ( t ) denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo t . Halle una fórmula para A ( t ) . Calcule la cantidad de dinero en la cuenta después de 10 años y después de 20 años. Si se invierten P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r , calculada continuamente, entonces A ( t ) = P e r t . Aquí P = $ 500 dólares y r = 0,055 . Por lo tanto, A ( t ) = 500 e 0,055 t . Después de 10 años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( 10 ) = 500 e 0,055 . 10 = 500 e 0,55 ≈ $ 866,63 . Después de 20 años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( 20 ) = 500 e 0,055 . 20 = 500 e 1,1 ≈ $ 1 . 502,08 . Si se invierten $ 750 dólares en una cuenta con una tasa de interés anual de 4 % , calculada continuamente, halle una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después de t años. Calcule la cantidad de dinero después de 30 años. A ( t ) = 750 e 0,04 t . Después de 30 años, habrá aproximadamente $ 2 . 490,09 . Pista A ( t ) = P e r t . Funciones logarítmicas Utilizando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversas, que son las funciones logarítmicas. Resultan útiles cuando tenemos que considerar cualquier fenómeno que varía en un amplio rango de valores, como el pH en química o los decibeles en niveles de sonido. La función exponencial f ( x ) = b x es biunívoca, con dominio ( − ∞ , ∞ ) y rango ( 0 , ∞ ) . Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada función logarítmica con base b . Para cualquier b > 0 , b ≠ 1 , la función logarítmica con base b , denotada log b , tiene dominio ( 0 , ∞ ) y rango ( − ∞ , ∞ ) , y satisface log b ( x ) = y si y solo si b y = x . Por ejemplo, log 2 ( 8 ) = 3 dado que 2 3 = 8 , log 10 ( 1 100 ) = −2 dado que 10 −2 = 1 10 2 = 1 100 , log b ( 1 ) = 0 dado que b 0 = 1 para cualquier base b > 0 . Además, como y = log b ( x ) y de y = b x son funciones inversas, log b ( b x ) = x y b log b ( x ) = x . La función logarítmica más utilizada es la función log e . Dado que esta función utiliza e natural como base, se llama logaritmo natural . Aquí utilizamos la notación ln ( x ) o ln x con el significado de log e ( x ) . Por ejemplo, ln ( e ) = log e ( e ) = 1 , ln ( e 3 ) = log e ( e 3 ) = 3 , ln ( 1 ) = log e ( 1 ) = 0 . Dado que las funciones f ( x ) = e x y g ( x ) = ln ( x ) son inversas entre sí, ln ( e x ) = x y e ln x = x , y sus gráficos son simétricos respecto a la línea y = x ( ). Las funciones y = e x como y = ln ( x ) son inversas entre sí, por lo que sus gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . En este sitio puede ver un ejemplo de escala logarítmica de base 10. En general, para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función g ( x ) = log b ( x ) es simétrica respecto a la línea y = x con la función f ( x ) = b x . Utilizando este hecho y los gráficos de las funciones exponenciales, graficamos las funciones log b para varios valores de b > 1 ( ). Gráficos de y = log b ( x ) se representan para b = 2 , e , 10 . Antes de resolver algunas ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas, vamos a repasar las propiedades básicas de los logaritmos. Regla: propiedades de los logaritmos Si los valores de a , b , c > 0 , b ≠ 1 , y r es un número real cualquiera, entonces 1 log b ( a c ) = log b ( a ) + log b ( c ) (Propiedad del producto) 2. log b ( a c ) = log b ( a ) − log b ( c ) (Propiedad del cociente) 3. log b ( a r ) = r log b ( a ) (Propiedad de la potencia) Resolución de ecuaciones con funciones exponenciales Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x . 5 x = 2 e x + 6 e – x = 5 Aplicando la función de logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, tenemos ln 5 x = ln 2 . Utilizando la propiedad de la potencia de los logaritmos, x ln 5 = ln 2 . Por lo tanto, x = ln 2 / ln 5 . Multiplicando ambos lados de la ecuación por e x , llegamos a la ecuación e 2 x + 6 = 5 e x . Reescribiendo esta ecuación como e 2 x − 5 e x + 6 = 0 , podemos entonces reescribirla como una ecuación cuadrática en e x : ( e x ) 2 − 5 ( e x ) + 6 = 0 . Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática. Factorizando esta ecuación, obtenemos ( e x − 3 ) ( e x − 2 ) = 0 . Por lo tanto, las soluciones satisfacen e x = 3 y e x = 2 . Tomando el logaritmo natural de ambos lados nos da las soluciones x = ln 3 , ln 2 . Resuelva e 2 x / ( 3 + e 2 x ) = 1 / 2 . x = ln 3 2 Pista Primero resuelva la ecuación para e 2 x . Resolución de ecuaciones con funciones logarítmicas Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x . ln ( 1 x ) = 4 log 10 x + log 10 x = 2 ln ( 2 x ) − 3 ln ( x 2 ) = 0 Por la definición de la función de logaritmo natural, ln ( 1 x ) = 4 si y solo si e 4 = 1 x . Por lo tanto, la solución es x = 1 / e 4 . Utilizando las propiedades del producto y la potencia de las funciones logarítmicas, reescriba el lado izquierdo de la ecuación como log 10 x + log 10 x = log 10 x x = log 10 x 3 / 2 = 3 2 log 10 x . Por lo tanto, la ecuación puede reescribirse como 3 2 log 10 x = 2 o log 10 x = 4 3 . La solución es x = 10 4 / 3 = 10 10 3 . Utilizando la propiedad de la potencia de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación como ln ( 2 x ) − ln ( x 6 ) = 0 . Utilizando la propiedad del cociente, esto se convierte en ln ( 2 x 5 ) = 0 . Por lo tanto, 2 / x 5 = 1 , lo que implica x = 2 5 . A continuación, debemos comprobar si hay soluciones extrañas. Resuelva ln ( x 3 ) − 4 ln ( x ) = 1 . x = 1 e Pista Primero utilice la propiedad de la potencia, luego utilice la propiedad del producto de los logaritmos. Cuando se evalúa una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones son log 10 o log, llamado el logaritmo común o ln , que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas pueden expresarse en términos de cualquier base deseada b . Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, puede aplicar primero las fórmulas de cambio de base. Utilizando este cambio de base, solemos escribir una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponencial natural y de logaritmo natural. Regla: fórmulas de cambio de base Supongamos que a > 0 , b > 0 , y a ≠ 1 , b ≠ 1 . a x = b x log b a para cualquier número real x . Si b = e , esta ecuación se reduce a a x = e x log e a = e x ln a . log a x = log b x log b a para cualquier número real x > 0 . Si b = e , esta ecuación se reduce a log a x = ln x ln a . Prueba Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad de potencia de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , log b ( a x ) = x log b a . Por lo tanto, b log b ( a x ) = b x log b a . Además, sabemos que b x y log b ( x ) son funciones inversas. Por lo tanto, b log b ( a x ) = a x . Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos que a x = b x log b a . Para demostrar la segunda propiedad, demostramos que ( log b a ) . ( log a x ) = log b x . Supongamos que u = log b a , v = log a x , y w = log b x . Demostraremos que u . v = w . Por la definición de las funciones logarítmicas, sabemos que b u = a , a v = x , y b w = x . De las ecuaciones anteriores, vemos que b u v = ( b u ) v = a v = x = b w . Por lo tanto, b u v = b w . Como las funciones exponenciales son biunívocas, podemos concluir que u . v = w . □ Cambio de bases Utilice una calculadora para evaluar log 3 7 con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente. Utilice la segunda ecuación con a = 3 y e = 3 : log 3 7 = ln 7 ln 3 ≈ 1,77124 . Utilice la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar log 4 6 . 1,29248 Pista Utilice el cambio de base para reescribir esta expresión en términos de expresiones que impliquen la función de logaritmo natural. Inicio del capítulo: La escala de Richter para los terremotos (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, NPS). En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como escala de Richter ) para medir la magnitud de un terremoto . La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente forma: consideremos un terremoto de magnitud R 1 en la escala de Richter y un segundo terremoto de magnitud R 2 en la escala de Richter. Supongamos que R 1 > R 2 , lo que significa que el terremoto de magnitud R 1 es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro terremoto? Una forma de medir la intensidad de un terremoto es utilizar un sismógrafo para medir la amplitud de las ondas sísmicas. Si los valores de A 1 es la amplitud medida para el primer terremoto y A 2 es la amplitud medida para el segundo terremoto, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos terremotos satisfacen la siguiente ecuación: R 1 − R 2 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Considere un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter. Entonces, 8 − 7 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Por lo tanto, log 10 ( A 1 A 2 ) = 1 , lo que implica A 1 / A 2 = 10 o A 1 = 10 A 2 . Dado que A 1 es 10 veces más grande que A 2 , decimos que el primer terremoto es 10 veces más intenso que el segundo. Por otro lado, si un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y otro de magnitud 6, entonces la intensidad relativa de los dos terremotos satisface la ecuación log 10 ( A 1 A 2 ) = 8 − 6 = 2 . Por lo tanto, A 1 = 100 A 2 . Es decir, el primer terremoto es 100 veces más intenso que el segundo. ¿Cómo podemos utilizar las funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7,3 en Haití en 2010? Para comparar los terremotos de Japón y Haití, podemos utilizar una ecuación presentada anteriormente: 9 − 7,3 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Por lo tanto, A 1 / A 2 = 10 1,7 , y concluimos que el terremoto de Japón fue aproximadamente 50 veces más intenso que el terremoto de Haití. Compare la gravedad relativa de un terremoto de magnitud 8,4 con uno de magnitud 7,4 . El terremoto de magnitud 8,4 es aproximadamente 10 veces más grave que el de magnitud 7,4 . Pista R 1 − R 2 = log 10 ( A 1 / A 2 ) . Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de e x y e – x . Estas funciones surgen de forma natural en diversas aplicaciones de ingeniería y física, como el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común de una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria ( ). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje y , podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. En primer lugar, definimos las funciones hiperbólicas . La forma de una hebra de seda en una tela de araña puede describirse en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes solo con su propio peso (créditos: \"Mtpaley\", Wikimedia Commons). Definición Coseno hiperbólico cosh x = e x + e – x 2 Seno hiperbólico senoh x = e x − e – x 2 Tangente hiperbólica tanh x = senoh x cosh x = e x − e – x e x + e – x Cosecante hiperbólica csch x = 1 senoh x = 2 e x − e – x Secante hiperbólica sech x = 1 cosh x = 2 e x + e – x Cotangente hiperbólica coth x = cosh x senoh x = e x + e – x e x − e – x El nombre cosh rima con \"gosh\", mientras que el nombre senh se pronuncia “cench\". Tanh , sech , csch y coth se pronuncian \"tanch\", \"seech\", \"coseech\" y \"cotanch\", respectivamente. Utilizando la definición de cosh ( x ) y los principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la que aparece en la , se puede describir mediante la función h ( x ) = a cosh ( x / a ) + c para ciertas constantes a y c . Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas ? Para responder esta pregunta, consideremos la cantidad cosh 2 t − senoh 2 t . Utilizando la definición de cosh y senoh , vemos que cosh 2 t − senoh 2 t = e 2 t + 2 + e −2 t 4 − e 2 t − 2 + e −2 t 4 = 1 . Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométrica cos 2 t + sen 2 t = 1 . Aquí, dado un valor t , el punto ( x , y ) = ( cosh t , senoh t ) se encuentra en la hipérbola unitaria x 2 − y 2 = 1 ( ). La hipérbola unitaria cosh 2 t − senoh 2 t = 1 . Gráficos de funciones hiperbólicas Para graficar cosh x y senoh x , aprovechamos el hecho de que ambas funciones se acercan a ( 1 / 2 ) e x a medida que x → ∞ , dado que e – x → 0 cuando x → ∞ . Dado que x → − ∞ , cosh x se acerca a 1 / 2 e – x , mientras que senoh x se acerca a −1 / 2 e – x . Por lo tanto, utilizando los gráficos de 1 / 2 e x , 1 / 2 e – x , y − 1 / 2 e – x como guías, graficamos cosh x y senoh x . Para graficar tanh x , utilizamos el hecho de que tanh ( 0 ) = 0 , −1 < tanh ( x ) < 1 para todo x , tanh x → 1 cuando x → ∞ , y tanh x → − 1 cuando x → − ∞ . Los gráficos de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden dibujar utilizando los gráficos de cosh x , senoh x , y tanh x ( ). Las funciones hiperbólicas son combinaciones de e x y e – x . Identidades que involucran funciones hiperbólicas La identidad cosh 2 t − senoh 2 t , mostrada en la , es una de las varias identidades que involucran funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las cuatro primeras propiedades se deducen fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Salvo algunas diferencias de signo, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades de las funciones trigonométricas. Regla: identidades que involucran funciones hiperbólicas cosh ( − x ) = cosh x senoh ( − x ) = − senoh x cosh x + senoh x = e x cosh x − senoh x = e – x cosh 2 x − senoh 2 x = 1 1 − tanh 2 x = sech 2 x coth 2 x – 1 = csch 2 x senoh ( x ± y ) = senoh x cosh y ± cosh x senoh y cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± senoh x senoh y Evaluación de funciones hiperbólicas Simplifique senoh ( 5 ln x ) . Si los valores de senoh x = 3 / 4 , calcule los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes. Utilizando la definición del senoh , escribimos senoh ( 5 ln x ) = e 5 ln x − e −5 ln x 2 = e ln ( x 5 ) − e ln ( x −5 ) 2 = x 5 − x −5 2 . Utilizando la identidad cosh 2 x − senoh 2 x = 1 , vemos que cosh 2 x = 1 + ( 3 4 ) 2 = 25 16 . Dado que cosh x ≥ 1 para todo x , debemos tener cosh x = 5 / 4 . Entonces, utilizando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos que tanh x = 3 / 5 , csch x = 4 / 3 , sech x = 4 / 5 , y coth x = 5 / 3 . Simplifique cosh ( 2 ln x ) . ( x 2 + x −2 ) / 2 Pista Utilice la definición de la función cosh y la propiedad de la potencia de las funciones logarítmicas. Funciones hiperbólicas inversas A partir de los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son biunívocas excepto cosh x y sech x . Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo [ 0 , ∞ ) , entonces todas las funciones hiperbólicas son biunívocas, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas . Dado que las funciones hiperbólicas propiamente dichas implican funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas implican funciones logarítmicas. Definición Funciones hiperbólicas inversas senoh −1 x = arcsenh x = ln ( x + x 2 + 1 ) cosh −1 x = arccosh x = ln ( x + x 2 – 1 ) tanh −1 x = arctanh x = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) coth −1 x = arccot x = 1 2 ln ( x + 1 x – 1 ) sech −1 x = arcsech x = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) csch −1 x = arccsch x = ln ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) Veamos cómo derivar la primera ecuación. Las demás siguen el mismo camino. Supongamos que y = senoh −1 x . Entonces, x = senoh y y, por la definición de la función de seno hiperbólico, x = e y − e − y 2 . Por lo tanto, e y − 2 x − e − y = 0 . Multiplicando esta ecuación por e y , obtenemos e 2 y − 2 x e y − 1 = 0 . Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución e y = 2 x ± 4 x 2 + 4 2 = x ± x 2 + 1 . Dado que e y > 0 , la única solución es la del signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que y = ln ( x + x 2 + 1 ) . Evaluación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. senoh −1 ( 2 ) grandes. tanh −1 ( 1 / 4 ) grandes. senoh −1 ( 2 ) = ln ( 2 + 2 2 + 1 ) = ln ( 2 + 5 ) ≈ 1,4436 tanh −1 ( 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 1 + 1 / 4 1 − 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 / 4 3 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 3 ) ≈ 0,2554 Evalúe tanh −1 ( 1 / 2 ) . 1 2 ln ( 3 ) ≈ 0,5493 . Pista Use la definición de tanh −1 x y simplifique. Conceptos clave La función exponencial y = b x es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1 . Su dominio es ( − ∞ , ∞ ) y su rango es ( 0 , ∞ ) . La función logarítmica y = log b ( x ) es la inversa de y = b x . Su dominio es ( 0 , ∞ ) y su rango es ( − ∞ , ∞ ) . La función exponencial natural es y = e x y la función de logaritmo natural es y = ln x = log e x . Dada una función exponencial o logarítmica en base a , podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier base b > 0 , b ≠ 1 . Solemos convertir a base e . Las funciones hiperbólicas son combinaciones de las funciones exponenciales e x y e – x . Como resultado, las funciones hiperbólicas inversas implican el logaritmo natural. En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión de dos dígitos significativos después del decimal. f ( x ) = 5 x a. x = 3 b. x = 1 2 c. x = 2 a. 125 b. 2,24 c. 9,74 f ( x ) = ( 0,3 ) x a. x = −1 b. x = 4 c. x = −1,5 f ( x ) = 10 x a. x = −2 b. x = 4 c. x = 5 3 a. 0,01 b. 10.000 c. 46,42 f ( x ) = e x a. x = 2 b. x = −3,2 c. x = π En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación exponencial con el gráfico correcto. y = 4 − x y = 3 x – 1 y = 2 x + 1 y = ( 1 2 ) x + 2 y = − 3 − x y = 1 − 5 x d b e En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función exponencial. Determine el dominio, el rango y la asíntota horizontal. f ( x ) = e x + 2 Dominio: todos los números reales, rango: ( 2 , ∞ ) , y = 2 f ( x ) = − 2 x f ( x ) = 3 x + 1 Dominio: todos los números reales, rango: ( 0 , ∞ ) , y = 0 f ( x ) = 4 x – 1 f ( x ) = 1 − 2 − x Dominio: todos los números reales, rango: ( − ∞ , 1 ) , y = 1 f ( x ) = 5 x + 1 + 2 f ( x ) = e – x – 1 Dominio: todos los números reales, rango: ( –1 , ∞ ) , y = –1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente. log 3 81 = 4 log 8 2 = 1 3 8 1 / 3 = 2 log 5 1 = 0 log 5 25 = 2 5 2 = 25 log 0,1 = –1 ln ( 1 e 3 ) = −3 e −3 = 1 e 3 log 9 3 = 0,5 ln 1 = 0 e 0 = 1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente. 2 3 = 8 4 −2 = 1 16 log 4 ( 1 16 ) = –2 10 2 = 100 9 0 = 1 log 9 1 = 0 ( 1 3 ) 3 = 1 27 64 3 = 4 log 64 4 = 1 3 e x = y 9 y = 150 log 9 150 = y b 3 = 45 4 −3 / 2 = 0,125 log 4 0,125 = − 3 2 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función logarítmica. Determine el dominio, el rango y la asíntota vertical. f ( x ) = 3 + ln x f ( x ) = ln ( x – 1 ) Dominio: ( 1 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = 1 f ( x ) = ln ( − x ) grandes. f ( x ) = 1 − ln x Dominio: ( 0 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = 0 f ( x ) = log x – 1 f ( x ) = ln ( x + 1 ) Dominio: ( –1 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = –1 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia o producto de logaritmos. log x 4 y log 3 9 a 3 b 2 + 3 log 3 a − log 3 b ln a b 3 log 5 125 x y 3 3 2 + 1 2 log 5 x + 3 2 log 5 y log 4 x y 3 64 ln ( 6 e 3 ) grandes. − 3 2 + ln 6 En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación exponencial de manera exacta. 5 x = 125 e 3 x − 15 = 0 ln 15 3 8 x = 4 4 x + 1 − 32 = 0 3 2 3 x / 14 = 1 10 10 x = 7,21 log 7,21 4 . 2 3 x − 20 = 0 7 3 x − 2 = 11 2 3 + log 11 3 log 7 En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación logarítmica de manera exacta, si es posible. log 3 x = 0 log 5 x = –2 x = 1 25 log 4 ( x + 5 ) = 0 log ( 2 x − 7 ) = 0 x = 4 ln x + 3 = 2 log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2 x = 3 log 4 ( x + 2 ) − log 4 ( x – 1 ) = 0 ln x + ln ( x − 2 ) = ln 4 1 + 5 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base y la base 10 o la base e para evaluar las expresiones dadas. Responda en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales. log 5 47 log 7 82 ( log 82 log 7 ≈ 2,2646 ) grandes. log 6 103 log 0,5 211 ( log 211 log 0,5 ≈ − 7,7211 ) grandes. log 2 π log 0,2 0,452 ( log 0,452 log 0,2 ≈ 0,4934 ) Reescriba las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplifique. a. 2 cosh ( ln x ) b. cosh 4 x + senoh 4 x c. cosh 2 x − senoh 2 x d. ln ( cosh x + senoh x ) + ln ( cosh x − senoh x ) [T] El número de bacterias N en un cultivo después de t días puede modelarse mediante la función N ( t ) = 1300 . ( 2 ) t / 4 . Calcule el número de bacterias presentes después de 15 días. ~ 17 , 491 [T] La demanda D (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la función D ( p ) = 150 . ( 2,7 ) −0,25 p , donde p es el precio (en dólares) del barril de petróleo. Calcule la cantidad de petróleo demandada (al millón de barriles más cercano) cuando el precio está entre 15 y 20 dólares. [T] El monto A de una inversión de 100.000 dólares que se paga de forma continua y compuesta durante t años está dado por A ( t ) = 100.000 . e 0,055 t . Calcule el monto A acumulado en 5 años. Se acumulan aproximadamente 131.653 dólares en 5 años. [T] Una inversión se calcula mensual, trimestral o anualmente y está dada por la función A = P ( 1 + j n ) n t , donde A es el valor de la inversión en el tiempo t , P es el capital inicial que se invirtió, j es la tasa de interés anual y n es el número de veces que se calculan los intereses al año. Dada una tasa de interés anual del 3,5 % y un capital inicial de 100.000 dólares, calcule el monto A acumulado en 5 años para los intereses que se calculan a. diariamente, b., mensualmente, c. trimestralmente y d. anualmente. [T] La concentración de iones de hidrógeno en una sustancia se denota mediante [ H + ] , medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define mediante la función logarítmica pH = − log [ H + ] . Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es de 7. Una sustancia con un pH inferior a 7 es un ácido, mientras que la que tiene un pH superior a 7 es una base. Calcule el pH de las siguientes sustancias. Redondee las respuestas a un dígito. Determine si la sustancia es un ácido o una base. Huevos: [ H + ] = 1,6 × 10 −8 mol/L Cerveza: [ H + ] = 3,16 × 10 −3 mol/L Jugo de tomate: [ H + ] = 7,94 × 10 −5 mol/L i. a. pH = 8 b. Base ii. a. pH = 3 b. Ácido iii. a. pH = 4 b. Ácido [T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la función Q ( t ) = Q 0 . e −0,08664 t , donde Q 0 es la cantidad inicial de una muestra de la sustancia y t está en días. Determine el tiempo que tarda (al día más cercano) en descomponerse el 95 % de una cantidad. [T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013 ( t = 0 ) la población de EE. UU. era de 316 millones de habitantes y aumentaba de acuerdo con el siguiente modelo: P ( t ) = 316 e 0,0074 t , donde P se mide en millones de personas y t se mide en años después de 2013. Según este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020? Determine cuándo la población de Estados Unidos será el doble que en 2013. a. ~ 333 millones b. 94 años a partir de 2013, o en 2107 [T] El monto A acumulado después de invertir 1.000 dólares durante t años a una tasa de interés del 4 % se modela mediante la función A ( t ) = 1.000 ( 1,04 ) t . Calcule el monto acumulado después de 5 años y 10 años. Determine el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original. [T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio duplica su número en 12 horas. Supongamos que, inicialmente, hay 1.000 bacterias presentes. Utilice la función exponencial Q = Q 0 e k t para determinar el valor k , que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondee a cuatro decimales. Determine aproximadamente el tiempo que tardan en crecer 200.000 bacterias. a. k ≈ 0,0578 b. ≈ 92 horas [T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada 6 meses. Supongamos que hay 120 conejos inicialmente. Utilice la función exponencial P = P 0 a t para determinar la tasa de crecimiento constante a . Redondee a cuatro decimales. Utilice la función de la parte a. para determinar aproximadamente el tiempo que tarda la población de conejos en llegar a 3500. [T] El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8,3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un terremoto de magnitud 4,9 solo causó daños menores. ¿Aproximadamente cuánta más energía liberó el terremoto de San Francisco que el de Japón? Consulte la definición de la escala de Richter en el de esta sección. El terremoto de San Francisco tuvo 10 3,4 o ~ 2.512 veces más energía que el terremoto de Japón. Ejercicios de repaso del capítulo ¿ Verdadero o falso ? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Una función es siempre biunívoca. f ∘ g = g ∘ f , asumiendo que f y g son funciones. Falso Una relación que supera las pruebas de línea horizontal y vertical es una función biunívoca. Una relación que pasa la prueba de la línea horizontal es una función. Falso En los siguientes problemas, indique el dominio y el rango de las funciones dadas: f = x 2 + 2 x − 3 , g = ln ( x − 5 ) , h = 1 x + 4 h g Dominio: x > 5 , rango: todos los números reales h ∘ f g ∘ f Dominio: x > 2 y x < − 4 , rango: todos los números reales Calcule el grado, la intersección y y los ceros de las siguientes funciones polinómicas. f ( x ) = 2 x 2 + 9 x − 5 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 2 x Grado de 3, intersección en y : 0, ceros: 0, 3 − 1 , −1 − 3 Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas. tan 2 x sec 2 x + cos 2 x cos 2 x – sen 2 x cos 2 x − sen 2 x = cos 2 x o = 1 − 2 sen 2 x 2 o = 2 cos 2 x − 1 2 Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo θ = [ −2 π , 2 π ] de manera exacta. 6 cos 2 x − 3 = 0 sec 2 x − 2 sec x + 1 = 0 0 , ±2, 2 π Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas. 5 x = 16 log 2 ( x + 4 ) = 3 4 ¿Son las siguientes funciones biunívocas sobre su dominio de existencia? ¿Tiene la función una inversa? Si es así, halle la inversa f −1 ( x ) de la función. Justifique su respuesta. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f ( x ) = 1 x Biunívoca; sí, la función tiene una inversa; inversa: f −1 ( x ) = 1 y En los siguientes problemas, determine el mayor dominio en el que la función es biunívoca y halle la inversa en ese dominio. f ( x ) = 9 − x f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 x ≥ − 3 2 , f −1 ( x ) = − 3 2 + 1 2 4 y − 7 Un automóvil corre a lo largo de una pista circular con un diámetro de 1 milla. Un entrenador situado en el centro del círculo marca su progreso cada 5 segundos. Después de 5 segundos, el entrenador tiene que girar 55° para seguir el ritmo del automóvil. ¿A qué velocidad viaja el automóvil? En los siguientes problemas, piense en el propietario de un restaurante que quiere vender camisetas que anuncien su marca. Él recuerda que hay un costo fijo y un costo variable, aunque no recuerda los valores. Sí sabe que la compañía de impresión de camisetas cobra 440 dólares por 20 camisetas y 1.000 dólares por 100 camisetas. a. Halle la ecuación C = f ( x ) que describa el costo total en función del número de camisetas y b. determine cuántas camisetas debe vender para alcanzar el punto de equilibrio si vende las camisetas a 10 dólares cada una. a. C ( x ) = 300 + 7 x b. 100 camisetas a. Halle la función inversa x = f −1 ( C ) y describa el significado de esta función. b. Determine cuántas camisas puede comprar el propietario si tiene 8000 dólares para gastar. En los siguientes problemas, considere la población de Ocean City, Nueva Jersey, que es cíclica por temporada. La población puede ser modelada mediante P ( t ) = 82,5 − 67,5 cos [ ( π / 6 ) t ] , donde t es el tiempo en meses ( t = 0 representa el 1.º de enero) y P es la población (en miles). Durante un año, ¿en qué intervalos la población es inferior a 20.000 habitantes? ¿En qué intervalos la población supera los 140.000 habitantes? La población es inferior a 20.000 habitantes desde el 8 de diciembre hasta el 23 de enero y superior a 140.000 desde el 29 de mayo hasta el 2 de agosto En realidad, lo más probable es que la población global aumente o disminuya a lo largo de cada año. Reformulemos el modelo como P ( t ) = 82,5 − 67,5 cos [ ( π / 6 ) t ] + t , donde t es el tiempo en meses ( t = 0 representa el 1.º de enero) y P es la población (en miles). ¿Cuándo es la primera vez que la población alcanza los 200.000 habitantes? En los siguientes problemas, considere la datación radiométrica. Se encuentra un esqueleto humano en una excavación arqueológica. Se aplica la datación por carbono para determinar la antigüedad del esqueleto mediante la ecuación y = e r t , donde y es la proporción de radiocarbono aún presente en el material, t es el número de años transcurridos y r = −0,0001210 es la tasa de decaimiento del radiocarbono. Si se espera que el esqueleto tenga 2.000 años de antigüedad, ¿qué porcentaje de radiocarbono debería estar presente? 78,51 % Halle la inversa de la ecuación de datación del carbono. ¿Qué significa? Si hay un 25 % de radiocarbono, ¿qué edad tiene el esqueleto? base el número b en la función exponencial f ( x ) = b x y la función logarítmica f ( x ) = log b x exponente el valor x en la expresión b x funciones hiperbólicas las funciones denotadas senoh , cosh , tanh , csch , sech , y coth , que implican ciertas combinaciones de e x y e – x funciones hiperbólicas inversas las inversas de las funciones hiperbólicas donde cosh y sech están restringidas al dominio [ 0 , ∞ ) ; cada una de estas funciones puede expresarse en términos de una composición de la función de logaritmo natural y una función algebraica función exponencial natural la función f ( x ) = e x logaritmo natural la función ln x = log e x número e a medida que m se hace más grande, la cantidad ( 1 + ( 1 / m ) ) m se acerca a algún número real; definimos ese número real como e ; el valor de e es, aproximadamente, 2,718282", "section": "Funciones exponenciales y logarítmicas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción La visión de la exploración humana por parte de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA) a lugares lejanos del universo ilustra la idea de los viajes espaciales a gran velocidad. Pero, ¿hay un límite para la velocidad de una nave espacial? (créditos: NASA). Los escritores de ciencia ficción suelen imaginar naves espaciales que pueden viajar a planetas lejanos en galaxias distantes. Sin embargo, en 1905, Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede alcanzar cualquier objeto. El problema es que cuanto más rápido se mueve un objeto, más masa alcanza (en forma de energía), según la ecuación m = m 0 1 − v 2 c 2 , donde m 0 es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. ¿Cuál es el límite de velocidad? (Analizamos este problema con más detalle en el ). La idea de límite es fundamental para todo el cálculo. Comenzamos este capítulo examinando por qué los límites son tan importantes. A continuación, pasamos a describir cómo calcular el límite de una función en un punto determinado. No todas las funciones tienen límites en todos los puntos, y discutimos lo que esto significa y cómo podemos saber si una función tiene o no un límite en un valor particular. Este capítulo se ha creado de manera informal e intuitiva, pero esto no siempre es suficiente si necesitamos demostrar un enunciado matemático que implique límites. La última sección de este capítulo presenta la definición más precisa de un límite y muestra cómo demostrar si una función tiene un límite.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Un repaso previo del cálculo A medida que nos embarcamos en el estudio del cálculo, veremos cómo su desarrollo surgió a partir de soluciones comunes a problemas prácticos en áreas como la física de la ingeniería, como el problema del viaje espacial planteado en el inicio del capítulo. Dos problemas clave condujeron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva. El problema de la tangente y el cálculo diferencial La tasa de cambio es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando los gráficos de las tres líneas f ( x ) = –2 x − 3 , g ( x ) = 1 2 x + 1 , y h ( x ) = 2 , se muestra en la . La tasa de cambio de una función lineal es constante en cada una de estos tres gráficos, con la constante determinada por la pendiente. A medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico de f ( x ) = –2 x − 3 , vemos que el gráfico disminuye a una tasa constante. Por cada 1 unidad que nos movemos hacia la derecha a lo largo del eje x , la coordenada y disminuye en 2 unidades. Esta tasa de cambio está determinada por la pendiente (-2) de la línea. Del mismo modo, la pendiente de 1/2 en la función g ( x ) nos dice que por cada cambio en x de 1 unidad hay un cambio correspondiente en y de 1/2 unidad. La función h ( x ) = 2 tiene una pendiente de cero, lo que indica que los valores de la función permanecen constantes. Vemos que la pendiente de cada función lineal indica la tasa de cambio de la función. Compare los gráficos de estas tres funciones con el gráfico de k ( x ) = x 2 ( ). El gráfico de k ( x ) = x 2 empieza por la izquierda disminuyendo rápidamente, luego empieza a disminuir más lentamente y a nivelarse finalmente empieza a aumentar; lentamente al principio, seguido por una tasa de aumento creciente a medida que se mueve hacia la derecha. A diferencia de una función lineal, ningún número representa la tasa de cambio de esta función. Preguntamos con toda naturalidad: ¿cómo se mide la tasa de cambio de una función no lineal? La función k ( x ) = x 2 no tiene una tasa de cambio constante. Podemos aproximar la tasa de cambio de una función f ( x ) en un punto ( a , f ( a ) ) en su gráfico tomando otro punto ( x , f ( x ) ) en el gráfico de f ( x ) , dibujando una línea a través de los dos puntos y calculando la pendiente de la línea resultante. Tal línea se llama línea secante . La muestra una línea secante a una función f ( x ) en un punto ( a , f ( a ) ) . La pendiente de una línea secante que pasa por un punto ( a , f ( a ) ) estima la tasa de cambio de la función en el punto ( a , f ( a ) ) . Definimos formalmente una línea secante como sigue: Definición La secante de la función f ( x ) que pasa por los puntos ( a , f ( a ) ) y ( x , f ( x ) ) es la línea que pasa por estos puntos. Su pendiente está dada por m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a . La exactitud de la aproximación de la tasa de cambio de la función con una línea secante depende de lo cerca que esté x de a . Como vemos en la , si x está más cerca de a , la pendiente de la línea secante es una mejor medida de la tasa de cambio de f ( x ) en a . A medida que x se acerca a a , la pendiente de la línea secante se convierte en una mejor aproximación a la tasa de cambio de la función f ( x ) en a . Las propias líneas secantes se acercan a una línea que se llama tangente a la función f ( x ) en a ( ). La pendiente de la línea tangente al gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a . Este valor también representa la derivada de la función f ( x ) en a , o la tasa de cambio de la función en a . Esta derivada se denomina f ′ ( a ) . El cálculo diferencial es el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones. Para ver una demostración interactiva de la pendiente de una línea secante que puede manipular usted mismo, visite esta miniaplicación ( Nota: Este sitio requiere un plugin de Java para el navegador): Visión de las matemáticas . Resolver el problema de la tangente : a medida que x se acerca a a , las líneas secantes se acercan a la línea tangente. El ilustra cómo calcular las pendientes de las líneas secantes. Estas pendientes estiman la pendiente de la línea tangente o, lo que es lo mismo, la tasa de cambio de la función en el punto en el que se calculan las pendientes. Cálculo de las pendientes de las líneas secantes Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a f ( x ) = x 2 en x = 1 calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por ( 1 , 1 ) y cada uno de los siguientes puntos del gráfico de f ( x ) = x 2 . ( 2 , 4 ) grandes. ( 3 2 , 9 4 ) Utilice la fórmula de la pendiente de una línea secante a partir de la definición. m sec = 4 − 1 2 – 1 = 3 m sec = 9 4 − 1 3 2 – 1 = 5 2 = 2,5 El punto de la parte b. está más cerca del punto ( 1 , 1 ) , por lo que la pendiente de 2,5 está más cerca de la pendiente de la línea tangente. Una buena estimación de la pendiente de la tangente estaría en el rango de 2 a 2,5 ( ). Las líneas secantes a f ( x ) = x 2 en ( 1 , 1 ) hasta (a) ( 2 , 4 ) y (b) ( 3 2 , 9 4 ) proporcionan aproximaciones sucesivas a la línea tangente a f ( x ) = x 2 en ( 1 , 1 ) . Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a f ( x ) = x 2 en x = 1 calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por ( 1 , 1 ) y el punto ( 5 4 , 25 16 ) en el gráfico de f ( x ) = x 2 . 2,25 Pista Utilice y como guía de resolución. Continuamos nuestra investigación explorando una pregunta relacionada. Teniendo en cuenta que la velocidad puede ser considerada como la tasa de cambio de posición, supongamos que tenemos una función s ( t ) , que da la posición de un objeto a lo largo de un eje de coordenadas en un tiempo dado t . ¿Podemos utilizar estas mismas ideas para crear una definición razonable de la velocidad instantánea en un momento dado t = a ? Comenzamos aproximando la velocidad instantánea con una velocidad media. En primer lugar, recuerde que la velocidad de un objeto que se desplaza a una velocidad constante es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que ha recorrido. Definimos la velocidad media de un objeto durante un periodo como el cambio de su posición dividido entre la duración del periodo. Definición Supongamos que s ( t ) es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t . La velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo [ a , t ] donde a < t (o [ t , a ] si t < a ) es v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . A medida que t se elige más cerca de a , la velocidad media se acerca más a la velocidad instantánea. Observe que calcular la velocidad media de una función de posición en un intervalo de tiempo es esencialmente lo mismo que calcular la pendiente de una línea secante a una función. Además, para calcular la pendiente de una línea tangente en un punto a , dejamos que los valores de x se acerquen a a en la pendiente de la línea secante. Del mismo modo, para calcular la velocidad instantánea en el tiempo a , dejamos que los valores de t se acerquen a a en la velocidad media. Este proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión se llama tomar un límite . Por lo tanto, podemos definir la velocidad instantánea de la siguiente manera. Definición Para una función de posición s ( t ) , la velocidad instantánea en un tiempo t = a es el valor al que se acercan las velocidades promedio en intervalos de la forma [ a , t ] y [ t , a ] a medida que los valores de t se acercan a a , siempre que dicho valor exista. El ilustra este concepto de límites y velocidad media. Cálculo de la velocidad media Se deja caer una roca desde una altura de 64 pies. Se determina que su altura (en pies) sobre el suelo t segundos después (para 0 ≤ t ≤ 2 ) está dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 . Calcule la velocidad media de la roca en cada uno de los intervalos de tiempo dados. Utilice esta información para adivinar la velocidad instantánea de la roca en el tiempo t = 0,5 . [ 0,49 , 0,5 ] [ 0,5 , 0,51 ] Sustituya los datos en la fórmula para la definición de la velocidad media. v ave = s ( 0,5 ) − s ( 0,49 ) 0,5 − 0,49 = −15,84 v ave = s ( 0,51 ) − s ( 0,5 ) 0,51 − 0,5 = −16,16 La velocidad instantánea está entre -15,84 y -16,16 ft/s. Una buena estimación podría ser -16 ft/s. Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de manera que su posición en el tiempo t está dada por s ( t ) = t 3 . Estime su velocidad instantánea en el tiempo t = 2 calculando su velocidad media en el intervalo de tiempo [ 2 , 2,001 ] . 12,006001 Pista Utilice la sustitución en v ave = s ( 2,001 ) − s ( 2 ) 2,001 − 2 . El problema del área y el cálculo integral Ahora nos centramos en una pregunta clásica del cálculo. Muchas cantidades en física, por ejemplo, las cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a plantear la pregunta: ¿cómo podemos calcular el área entre el gráfico de una función y el eje x en un intervalo ( )? El problema del área : ¿cómo calculamos el área de la región sombreada? Al igual que en la respuesta a nuestras preguntas anteriores sobre la velocidad, primero intentamos aproximar la solución. Aproximamos el área dividiendo el intervalo [ a , b ] en intervalos más pequeños en forma de rectángulo. La aproximación del área proviene de la suma de las áreas de estos rectángulos ( ). El área de la región bajo la curva se aproxima sumando las áreas de los rectángulos delgados. A medida que los anchos de los rectángulos se hacen más pequeños (se acercan a cero), las sumas de las áreas de los rectángulos se acercan al área entre el gráfico de f ( x ) y el eje x en el intervalo [ a , b ] . Una vez más, nos encontramos con un límite. Los límites de este tipo sirven de base para la definición de la integral definida. El cálculo integral es el estudio de las integrales y sus aplicaciones. Estimación mediante rectángulos Estime el área entre el eje x y el gráfico de f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [ 0 , 3 ] utilizando los tres rectángulos que se muestran en la . El área de la región bajo la curva de f ( x ) = x 2 + 1 se puede estimar mediante rectángulos. Las áreas de los tres rectángulos son 1 unidad 2 , 2 unidad 2 y 5 unidad 2 . Utilizando estos rectángulos, nuestra estimación de área es de 8 unidades 2 . Estime el área entre el eje x y el gráfico de f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [ 0 , 3 ] utilizando los tres rectángulos que se muestran aquí: 16 unidad 2 Pista Utilice como guía. Otros aspectos del cálculo Hasta ahora, hemos estudiado funciones de una sola variable. Estas funciones pueden representarse visualmente mediante gráficos en dos dimensiones; sin embargo, no hay ninguna razón de peso para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en vez de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Tal vez queramos graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la . Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que pueden plantearse y responderse utilizando el cálculo multivariable . Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite. Podemos utilizar el cálculo multivariable para calcular el volumen entre una superficie definida por una función de dos variables y un plano. Conceptos clave El cálculo diferencial surgió al tratar de resolver el problema de determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto. La pendiente de la línea tangente indica la tasa de cambio de la función, también llamada derivada . El cálculo de una derivada requiere calcular un límite. El cálculo integral surgió al tratar de resolver el problema de calcular el área de una región entre el gráfico de una función y el eje x . Podemos aproximar el área dividiéndola en rectángulos finos y sumando las áreas de estos rectángulos. Esta suma conduce al valor de una función llamada integral . La integral también se calcula hallando un límite y, de hecho, está relacionada con la derivada de una función. El cálculo multivariable nos permite resolver problemas en el espacio tridimensional, lo que incluye la determinación del movimiento en el espacio y la búsqueda de volúmenes de sólidos. Ecuaciones clave Pendiente de una línea secante m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a Velocidad media en el intervalo [ a , t ] v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1 , 2 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x 2 + 1 . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 1,1 a. e. i. 1,01 b. f. j. 1,001 c. g. k. 1,0001 d. h. l. a. 2,2100000; b. 2,0201000; c. 2,0020010; d. 2,0002000; e. (1,1000000, 2,2100000); f. (1,0100000, 2,0201000); g. (1,0010000, 2,0020010); h. (1,0001000, 2,0002000); i. 2,1000000; j. 2,0100000; k. 2,0010000; l. 2,0001000 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 1 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . Grafique f ( x ) y la línea tangente. y = 2 x En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1 , 1 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x 3 . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 1,1 a. e. i. 1,01 b. f. j. 1,001 c. g. k. 1,0001 d. h. l. Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 1 . 3 Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . Grafique f ( x ) y la línea tangente. En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 4 , 2 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 4,1 a. e. i. 4,01 b. f. j. 4,001 c. g. k. 4,0001 d. h. l. a. 2,0248457; b. 2,0024984; c. 2,0002500; d. 2,0000250; e. (4,1000000,2,0248457); f. (4,0100000,2,0024984); g. (4,0010000,2,0002500); h. (4,00010000,2,0000250); i. 0,24845673; j. 0,24984395; k. 0,24998438; l. 0,24999844 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 4 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . y = x 4 + 1 En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1,5 , 0 ) y Q ( ϕ , y ) están en el gráfico de la función f ( ϕ ) = cos ( π ϕ ) . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( φ , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( ϕ , y ) m sec 1,4 a. e. i. 1,49 b. f. j. 1,499 c. g. k. 1,4999 d. h. l. Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en φ = 1,5 . π Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . En los siguientes ejercicios, los puntos P ( –1 , –1 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = 1 x . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec −1,05 a. e. i. −1,01 b. f. j. −1,005 c. g. k. −1,001 d. h. l. a. –0,95238095; b. –0,99009901; c. –0,99502488; d. –0,99900100; e. (–1;.0500000,–0;.95238095); f. (–1;.0100000,–0;.9909901); g. (–1;.0050000,–0;.99502488); h. (1,0010000,–0;.99900100); i. –0,95238095; j. –0,99009901; k. –0,99502488; l. –0,99900100 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = −1 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . y = − x − 2 En los siguientes ejercicios, la función de posición de una bola lanzada desde lo alto de un edificio de 200 metros de altura está dada por s ( t ) = 200 − 4,9 t 2 , donde la posición s se mide en metros y el tiempo t se mide en segundos. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. [T] Calcule la velocidad media de la pelota en los intervalos de tiempo dados. [ 4,99 , 5 ] [ 5 , 5,01 ] [ 4,999 , 5 ] [ 5 , 5,001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la pelota en t = 5 seg. −49 m/s (la velocidad de la pelota es de 49 m/s hacia abajo) En los siguientes ejercicios, considere una piedra lanzada al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 15 m/s. Su altura en metros en el tiempo t segundos es h ( t ) = 15 t − 4,9 t 2 . [T] Calcule la velocidad media de la piedra en los intervalos de tiempo dados. [ 1 , 1,05 ] [ 1 , 1,01 ] [ 1 , 1,005 ] [ 1 , 1,001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la piedra en t = 1 seg. 5,2 m/s En los siguientes ejercicios, considere un cohete lanzado al aire que luego regresa a la Tierra. La altura del cohete en metros está dada por h ( t ) = 600 + 78,4 t − 4,9 t 2 , donde t se mide en segundos. [T] Calcule la velocidad media del cohete en los intervalos de tiempo dados. [ 9 , 9,01 ] [ 8,99 , 9 ] [ 9 , 9,001 ] [ 8,999 , 9 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del cohete en t = 9 seg. −9,8 m/s En los siguientes ejercicios, considere que un atleta corre los 40 metros planos. La posición del atleta está dada por d ( t ) = t 3 6 + 4 t , donde d es la posición en metros y t es el tiempo transcurrido, medido en segundos. [T] Calcule la velocidad media del corredor en los intervalos de tiempo dados. [ 1,95 , 2,05 ] [ 1,995 , 2,005 ] [ 1,9995 , 2,0005 ] [ 2 , 2,00001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del corredor en t = 2 seg. 6 m/s En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = | x | . Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 2 ] y sombree la región por encima del eje x . Utilice el ejercicio anterior para calcular el valor aproximado del área entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 2 ] utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice las unidades cuadradas y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta. Por debajo, 1 unidad 2 ; por encima: 4 unidad 2 . El área exacta de los dos triángulos es 1 2 ( 1 ) ( 1 ) + 1 2 ( 2 ) ( 2 ) = 2,5 unidades 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = 1 − x 2 . ( Pista : Se trata de la mitad superior de un círculo de radio 1 situado en ( 0 , 0 ) ). Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Utilice el ejercicio anterior para calcular el área aproximada entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice cuadrados de 0,4 por 0,4 unidades y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta. Por debajo, 0,96 unidad 2 ; por encima, 1,92 unidad 2 . El área exacta del semicírculo de radio 1 es π ( 1 ) 2 2 = π 2 unidad 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = − x 2 + 1 . Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Aproxime el área de la región entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Aproximadamente 1,3333333 unidad 2 velocidad media el cambio en la posición de un objeto dividido entre la duración de un periodo; la velocidad media de un objeto en un intervalo de tiempo [ t , a ] (si t < a o [ a , t ] si t > a ) , con una posición dada por s ( t ) , que es v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a cálculo diferencial el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones velocidad instantánea la velocidad instantánea de un objeto con una función de posición que viene dada por s ( t ) es el valor que tienen las velocidades medias en intervalos de la forma [ t , a ] y [ a , t ] se acercan a medida que los valores de t se acercan a a , siempre que exista tal valor cálculo integral el estudio de las integrales y sus aplicaciones límite el proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión; el límite de una función f ( x ) a medida que x se acerca a a es el valor al que se acerca f ( x ) a medida que x se acerca a a cálculo multivariable el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables secante una línea secante a una función f ( x ) en a es una línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) y otro punto de la función; la pendiente de la línea secante está dada por m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a tangente una línea tangente al gráfico de una función en un punto ( a , f ( a ) ) es la línea a la que se aproximan las líneas secantes a través de ( a , f ( a ) ) a medida que pasan por puntos de la función con valores de x que se aproximan a a ; la pendiente de la línea tangente a un gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a", "section": "Un repaso previo del cálculo", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "El límite de una función El concepto de límite o proceso de límite, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaron un proceso de límite para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal como la conocemos y entendemos hoy, no apareció sino hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, dotados de una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de un límite. Comenzaremos nuestra exploración de los límites echando un vistazo a los gráficos de las funciones f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 , g ( x ) = | x − 2 | x − 2 , y h ( x ) = 1 ( x − 2 ) 2 , que se muestran en la . En particular, vamos a centrarnos en el comportamiento de cada gráfico en y alrededor de x = 2 . Estos gráficos muestran el comportamiento de tres funciones diferentes en torno a x = 2 . Cada una de las tres funciones está indefinida en x = 2 , pero si hacemos solo esta afirmación, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en las proximidades de x = 2 . Para expresar de forma más completa el comportamiento de cada gráfico en la vecindad de 2, necesitamos introducir el concepto de límite. Definición intuitiva de un límite Veamos primero cómo la función f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) se comporta alrededor de x = 2 en la . A medida que los valores de x se acercan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de y = f ( x ) se acercan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como lím x → 2 f ( x ) = 4 . A partir de esta brevísima mirada informal a un límite, empecemos a desarrollar una definición intuitiva del límite . Podemos pensar que el límite de una función en un número a es el único número real L al que se acercan los valores de la función a medida que los valores de x se acercan a a, siempre que dicho número real L exista. Tenemos la siguiente definición que se expresa con más detalle: Definición Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a , con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Si todos los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x ( ≠ a ) se acercan al número a , entonces decimos que el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a es L (más conciso, a medida que x se acerca a a , f ( x ) se acerca y se mantiene cerca de L ). Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a f ( x ) = L . Podemos estimar los límites construyendo tablas de valores funcionales y observando sus gráficos. Este proceso se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales Para evaluar lím x → a f ( x ) , comenzamos completando una tabla de valores funcionales. Debemos elegir dos conjuntos de valores x : un conjunto de valores que se aproximan a a y son menores que a , y otro conjunto de valores que se aproximan a a y son mayores que a . La demuestra cómo podrían ser sus tablas Tabla de valores funcionales para lím x → a f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) grandes. a − 0,1 f ( a − 0,1 ) grandes. a + 0,1 f ( a + 0,1 ) grandes. a − 0,01 f ( a − 0,01 ) grandes. a + 0,01 f ( a + 0,01 ) grandes. a − 0,001 f ( a − 0,001 ) grandes. a + 0,001 f ( a + 0,001 ) grandes. a − 0,0001 f ( a − 0,0001 ) grandes. a + 0,0001 f ( a + 0,0001 ) Utilice los valores adicionales que sean necesarios. Utilice los valores adicionales que sean necesarios. A continuación, veamos los valores de cada una de las columnas f ( x ) y determinemos si los valores parecen acercarse a un único valor a medida que bajamos por cada columna. En las columnas, observamos la secuencia f ( a − 0,1 ) , f ( a − 0,01 ) , f ( a − 0,001 ) . , f ( a − 0,0001 ) , , etc., y f ( a + 0,1 ) , f ( a + 0,01 ) , f ( a + 0,001 ) , f ( a + 0,0001 ) , y así sucesivamente. ( Nota : Aunque elegimos los valores x a ± 0,1 , a ± 0,01 , a ± 0,001 , a ± 0,0001 , y así sucesivamente, y estos valores probablemente funcionarán casi siempre, en muy raras ocasiones necesitaremos modificar nuestras elecciones. Si ambas columnas se acercan a un valor común de y L , afirmamos que lím x → a f ( x ) = L . Podemos utilizar la siguiente estrategia para confirmar el resultado obtenido en la tabla o como método alternativo para estimar un límite. Utilizando una calculadora gráfica o un programa de computadora que nos permita graficar funciones, podemos trazar la función f ( x ) , asegurándonos de que los valores funcionales de f ( x ) para los valores x cerca de a estén en nuestra ventana. Podemos utilizar la función de rastreo para movernos a lo largo del gráfico de la función y observar la lectura del valor y a medida que los valores x se acercan a a . Si los valores y se acercan a L a medida que nuestros valores x se acercan a a desde ambas direcciones, entonces lím x → a f ( x ) = L . Es posible que tengamos que ampliar nuestro gráfico y repetir este proceso varias veces. Aplicamos esta estrategia de resolución de problemas para calcular un límite en el . Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 1 Evalúe lím x → 0 sen x x utilizando una tabla de valores funcionales. Hemos calculado los valores de f ( x ) = ( sen x ) / x para los valores de x que figuran en la . Tabla de valores funcionales para lím x → 0 sen x x x sen x x x sen x x −0,1 0,998334166468 0,1 0,998334166468 −0,01 0,999983333417 0,01 0,999983333417 −0,001 0,999999833333 0,001 0,999999833333 −0,0001 0,999999998333 0,0001 0,999999998333 Nota : Los valores de esta tabla se obtuvieron con una calculadora y se utilizaron todos los lugares indicados en la salida de la calculadora. Al leer cada ( sen x ) x , vemos que los valores de cada columna parecen acercarse a uno. Por lo tanto, es bastante razonable concluir que lím x → 0 sen x x = 1 . Una calculadora o un gráfico generado por computadora de f ( x ) = ( sen x ) x sería similar a la mostrada en la , y confirma nuestra estimación. El gráfico de f ( x ) = ( sen x ) / x confirma la estimación de la . Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 2 Evalúe lím x → 4 x − 2 x − 4 utilizando una tabla de valores funcionales. Como antes, utilizamos una tabla (en este caso, la ) para enumerar los valores de la función para los valores dados de x . Tabla de valores funcionales para lím x → 4 x − 2 x − 4 x x − 2 x − 4 x x − 2 x − 4 3,9 0,251582341869 4,1 0,248456731317 3,99 0,25015644562 4,01 0,24984394501 3,999 0,250015627 4,001 0,249984377 3,9999 0,250001563 4,0001 0,249998438 3,99999 0,25000016 4,00001 0,24999984 Después de revisar esta tabla, vemos que los valores funcionales inferiores a 4 parecen disminuir hacia 0,25 mientras que los valores funcionales superiores a 4 parecen aumentar hacia 0,25. Concluimos que lím x → 4 x − 2 x − 4 = 0,25 . Confirmamos esta estimación utilizando el gráfico de f ( x ) = x − 2 x − 4 se muestra en la . El gráfico de f ( x ) = x − 2 x − 4 confirma la estimación de la . Estime lím x → 1 1 x – 1 x – 1 utilizando una tabla de valores funcionales. Utilice un gráfico para confirmar su estimación. lím x → 1 1 x – 1 x – 1 = –1 Pista Utilice 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999 y 1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, 1,00001 como valores de la tabla. En este punto, vemos en el y el que puede ser tan fácil, si no más, estimar un límite de una función revisando su gráfico como estimarlo utilizando una tabla de valores funcionales. En el , evaluamos un límite únicamente observando un gráfico en vez de utilizar una tabla de valores funcionales. Evaluación de un límite mediante un gráfico Para g ( x ) que se muestra en la , evalúe lím x → −1 g ( x ) . El gráfico de g ( x ) incluye un valor que no está en una curva suave. A pesar de que g ( –1 ) = 4 , a medida que los valores x se acercan a –1 desde cualquier lado, los valores g ( x ) se acercan a 3. Por lo tanto, lím x → −1 g ( x ) = 3 . Note que podemos determinar este límite sin conocer siquiera la expresión algebraica de la función. Con base en el , hacemos la siguiente observación: Es posible que el límite de una función exista en un punto, y que la función esté definida en él, pero el límite de la función y el valor de la función en el punto pueden ser diferentes. Utilice el gráfico de h ( x ) en la para evaluar lím x → 2 h ( x ) , si es posible. lím x → 2 h ( x ) = −1 . Pista ¿A qué valor y se aproxima la función cuando los valores x se acercan a 2? Observar una tabla de valores funcionales o el gráfico de una función nos proporciona una visión útil del valor del límite de una función en un punto determinado. Sin embargo, estas técnicas se basan demasiado en conjeturas. En algún momento tendremos que desarrollar métodos alternativos de evaluación de los límites. Estos nuevos métodos son de naturaleza más algebraica y los exploramos en la siguiente sección; sin embargo, en este punto introduciremos dos límites especiales que son esenciales para las técnicas que vienen. Dos límites importantes Supongamos que a es un número real y c una constante. lím x → a x = a lím x → a c = c Podemos hacer las siguientes observaciones sobre estos dos límites. En el primer límite, observe que a medida que x se acerca a a , también lo hace f ( x ) , porque f ( x ) = x . En consecuencia, lím x → a x = a . En el segundo límite, tome en cuenta la . Tabla de valores funcionales para lím x → a c = c x f ( x ) = c x f ( x ) = c a − 0,1 c a + 0,1 c a − 0,01 c a + 0,01 c a − 0,001 c a + 0,001 c a − 0,0001 c a + 0,0001 c Observe que para todos los valores de x (independientemente de que se acerquen a a ), los valores f ( x ) permanecen constantes en c . No tenemos otra opción que concluir lím x → a c = c . Existencia de un límite Cuando consideremos el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores de la función deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se aproximan a un único valor, entonces el límite no existe. Evaluación de un límite que no existe Evalúe lím x → 0 sen ( 1 / x ) utilizando una tabla de valores. La enumera los valores de la función sen ( 1 / x ) para los valores dados de x . Tabla de valores funcionales para lím x → 0 sen ( 1 x ) x sen ( 1 x ) x sen ( 1 x ) −0,1 0,544021110889 0,1 −0,544021110889 −0,01 0,50636564111 0,01 −0,50636564111 −0,001 −0,8268795405312 0,001 0,826879540532 −0,0001 0,305614388888 0,0001 −0,305614388888 –0,00001 −0,035748797987 0,00001 0,035748797987 –0,000001 0,349993504187 0,000001 −0,349993504187 Tras examinar la tabla de valores funcionales, podemos ver que los valores y no parecen acercarse a un único valor. Parece que el límite no existe. Antes de sacar esta conclusión, adoptemos un enfoque más sistemático. Tomemos la siguiente secuencia de valores de x que se acercan a 0: 2 π , 2 3 π , 2 5 π , 2 7 π , 2 9 π , 2 11 π ,…. Los valores y correspondientes son 1 , –1 , 1 , –1 , 1 , −1 ,…. Llegados a este punto, realmente podemos concluir que lím x → 0 sen ( 1 / x ) no existe (los matemáticos suelen abreviar \"no existe\" como DNE (does not exist). Así, escribiríamos lím x → 0 sen ( 1 / x ) DNE). El gráfico de f ( x ) = sen ( 1 / x ) se muestra en la y ofrece una imagen más clara del comportamiento de sen ( 1 / x ) a medida que x se acerca a 0. Puede notar que sen ( 1 / x ) oscila cada vez más entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0. El gráfico de f ( x ) = sen ( 1 / x ) oscila rápidamente entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0. Utilice una tabla de valores funcionales para evaluar lím x → 2 | x 2 − 4 | x − 2 , si es posible. lím x → 2 | x 2 − 4 | x − 2 no existe. Pista Utilice los valores x 1,9, 1,99, 1,999, 1,9999, 1,9999 y 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001 en su tabla. Límites unilaterales A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto concreto. Para ver esto, volvamos a revisar la función g ( x ) = | x − 2 | / ( x − 2 ) introducido al principio de la sección (vea la (b)). Como elegimos valores de x cercanos a 2, g ( x ) no se aproxima a un único valor, por lo que el límite a medida que x se aproxima a 2 no existe, es decir, lím x → 2 g ( x ) DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función en torno al valor x de 2. Para proporcionar una descripción más precisa, introducimos la idea de un límite unilateral . Para todos los valores a la izquierda de 2 (o el lado negativo de 2), g ( x ) = −1 . Por lo tanto, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, g ( x ) se acerca a -1. Matemáticamente, decimos que el límite es -1 a medida que x se acerca a 2 por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 − g ( x ) = −1 . Del mismo modo, a medida que x se acerca a 2 por la derecha (o desde el lado positivo ), g ( x ) se acerca a 1. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 + g ( x ) = 1 . Ahora podemos presentar una definición informal de los límites unilaterales. Definición Definamos dos tipos de límites unilaterales . Límite por la izquierda: Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( c , a ), y que L es un número real. Si los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x < a ). se acercan al número a , entonces decimos que L es el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a − f ( x ) = L . Límite por la derecha: Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( a , c ) , y que L es un número real. Si los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x > a ). se acercan al número a , entonces decimos que L es el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a por la derecha. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a + f ( x ) = L . Evaluación de los límites unilaterales Para que la función f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 , evalúe cada uno de los siguientes límites. lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) Podemos volver a utilizar las tablas de valores funcionales en la . Nótese que para los valores de x inferiores a 2, utilizamos f ( x ) = x + 1 y para valores de x superiores a 2, utilizamos f ( x ) = x 2 − 4 . Tabla de valores funcionales para f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 x f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = x 2 −4 1,9 2,9 2,1 0,41 1,99 2,99 2,01 0,0401 1,999 2,999 2,001 0,004001 1,9999 2,9999 2,0001 0,00040001 1,99999 2,99999 2,00001 0,0000400001 Con base en esta tabla, podemos concluir que a lím x → 2 – f ( x ) = 3 y b. lím x → 2 + f ( x ) = 0 . Por lo tanto, el límite (bilateral) de f ( x ) no existe en x = 2 . La muestra un gráfico de f ( x ) y refuerza nuestra conclusión sobre estos límites. El gráfico de f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 tiene una pausa en x = 2 . Utilice una tabla de valores funcionales para estimar los siguientes límites, si es posible. lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 a. lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 = −4 ; b. lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 = 4 Pista Utilice los valores de x 1,9, 1,99, 1,999, 1,9999, 1,9999 para estimar lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 . Utilice los valores de x 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001 para estimar lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 . (Estas tablas están disponibles en un problema del punto de control anterior). Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites por la derecha y por la izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite por la derecha y el límite por la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite por la izquierda y el límite por la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en . Relacionar los límites unilaterales y bilaterales Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a , con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Entonces, lím x → a f ( x ) = L . si y solo si lím x → a − f ( x ) = L y lím x → a + f ( x ) = L . Límites infinitos Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función por la derecha y por la izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos. Ahora nos centramos en h ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 2 , la tercera y última función introducida al principio de esta sección (vea la (c)). En su gráfico vemos que a medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de h ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 2 se hacen cada vez más grandes y, de hecho, se vuelven infinitos. Matemáticamente, decimos que el límite de h ( x ) a medida que x se acerca a 2 es el infinito positivo. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 h ( x ) = + ∞ . De forma más general, definimos los límites infinitos como sigue: Definición Definamos tres tipos de límites infinitos . Límites infinitos por la izquierda: Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( b , a ) . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x < a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito positivo y escribimos lím x → a − f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x < a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito negativo y escribimos lím x → a − f ( x ) = − ∞ . Límites infinitos por la derecha : Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( a , c ) . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x > a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito positivo y escribimos lím x → a + f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x > a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito negativo y escribimos lím x → a + f ( x ) = − ∞ . Límite infinito bilateral: Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x ≠ a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito positivo y escribimos lím x → a f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x ≠ a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito negativo y escribimos lím x → a f ( x ) = − ∞ . Es importante entender que cuando escribimos afirmaciones como lím x → a f ( x ) = + ∞ o lím x → a f ( x ) = − ∞ estamos describiendo el comportamiento de la función, tal y como la acabamos de definir. No afirmamos que exista un límite. Para el límite de una función f ( x ) exista en a , debe acercarse a un número real L a medida que x se acerca a a . Dicho esto, si, por ejemplo, lím x → a f ( x ) = + ∞ , siempre escribimos lím x → a f ( x ) = + ∞ en vez de lím x → a f ( x ) (does not exist, DNE). Reconocer un límite infinito Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f ( x ) = 1 / x para confirmar su conclusión. lím x → 0 − 1 x lím x → 0 + 1 x lím x → 0 1 x Empiece por construir una tabla de valores funcionales. Tabla de valores funcionales para f ( x ) = 1 x x 1 x x 1 x −0,1 −10 0,1 10 −0,01 −100 0,01 100 −0,001 –1.000 0,001 1.000 −0,0001 –10.000 0,0001 10.000 −0,00001 –100.000 0,00001 100.000 −0,000001 –1.000.000 0,000001 1.000.000 Los valores de 1 / x disminuyen sin límite a medida que x se acerca a 0 por la izquierda. Concluimos que lím x → 0 − 1 x = − ∞ . Los valores de 1 / x aumentan sin límite a medida que x se acerca a 0 por la derecha. Concluimos que lím x → 0 + 1 x = + ∞ . Dado que lím x → 0 − 1 x = − ∞ y lím x → 0 + 1 x = + ∞ tienen valores diferentes, concluimos que lím x → 0 1 x No existe (DNE). El gráfico de f ( x ) = 1 / x en la confirma estas conclusiones. El gráfico de f ( x ) = 1 / x confirma que el límite a medida que x se acerca a 0 no existe. Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f ( x ) = 1 / x 2 para confirmar su conclusión. lím x → 0 − 1 x 2 lím x → 0 + 1 x 2 lím x → 0 1 x 2 a. lím x → 0 − 1 x 2 = + ∞ ; b. lím x → 0 + 1 x 2 = + ∞ ; c. lím x → 0 1 x 2 = + ∞ Pista Siga los procedimientos de la . Es útil señalar que las funciones de la forma f ( x ) = 1 / ( x – a ) n , donde n es un número entero positivo, tienen límites infinitos a medida que x se acerca a a por la izquierda o la derecha ( ). Estos límites se resumen en . La función f ( x ) = 1 / ( x – a ) n tiene límites infinitos en a . Límites infinitos a partir de números enteros positivos Si n es un número entero positivo par, entonces lím x → a 1 ( x – a ) n = + ∞ . Si n es un número entero positivo impar, entonces lím x → a + 1 ( x – a ) n = + ∞ y lím x → a − 1 ( x – a ) n = − ∞ . También debemos señalar que en los gráficos de f ( x ) = 1 / ( x – a ) n , los puntos del gráfico que tienen coordenadas x muy cercanas a a están muy cerca de la línea vertical x = a . Es decir, a medida que x se acerca a a , los puntos del gráfico de f ( x ) están más cerca de la línea x = a . La línea x = a se denomina asíntota vertical del gráfico. Definimos formalmente una asíntota vertical como sigue: Definición Supongamos que f ( x ) es una función. Si se cumple alguna de las siguientes condiciones, la línea x = a es una asíntota vertical de f ( x ) . lím x → a − f ( x ) = + ∞ o −∞ lím x → a + f ( x ) = + ∞ o −∞ o lím x → a f ( x ) = + ∞ o −∞ Hallar una asíntota vertical Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando . Identifique las asíntotas verticales de la función f ( x ) = 1 / ( x + 3 ) 4 . lím x → −3 − 1 ( x + 3 ) 4 lím x → −3 + 1 ( x + 3 ) 4 lím x → −3 1 ( x + 3 ) 4 Podemos utilizar directamente . lím x → −3 − 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ lím x → −3 + 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ lím x → −3 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ La función f ( x ) = 1 / ( x + 3 ) 4 tiene una asíntota vertical de x = −3 . Evalúe cada uno de los siguientes límites. Identifique las asíntotas verticales de la función f ( x ) = 1 ( x − 2 ) 3 . lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 3 lím x → 2 + 1 ( x − 2 ) 3 lím x → 2 1 ( x − 2 ) 3 a. lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 3 = − ∞ ; b. lím x → 2 + 1 ( x − 2 ) 3 = + ∞ ; c. lím x → 2 1 ( x − 2 ) 3 (does not exist, DNE). La línea x = 2 es la asíntota vertical de f ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 3 . Pista Utilice la . En el siguiente ejemplo ponemos en práctica nuestros conocimientos sobre los distintos tipos de límites para analizar el comportamiento de una función en diferentes puntos. Comportamiento de una función en diferentes puntos Utilice el gráfico de f ( x ) en la para determinar cada uno de los siguientes valores: lím x → −4 − f ( x ) ; lím x → −4 + f ( x ) ; lím x → −4 f ( x ) ; f ( –4 ) grandes. lím x → −2 − f ( x ) ; lím x → −2 + f ( x ) ; lím x → −2 f ( x ) ; f ( −2 ) grandes. lím x → 1 − f ( x ) ; lím x → 1 + f ( x ) ; lím x → 1 f ( x ) ; f ( 1 ) grandes. lím x → 3 − f ( x ) ; lím x → 3 + f ( x ) ; lím x → 3 f ( x ) ; f ( 3 ) El gráfico muestra f ( x ) . Utilizando y el gráfico como referencia, llegamos a los siguientes valores: lím x → −4 − f ( x ) = 0 ; lím x → −4 + f ( x ) = 0 ; lím x → −4 f ( x ) = 0 ; f ( –4 ) = 0 lím x → −2 − f ( x ) = 3 . ; lím x → −2 + f ( x ) = 3 ; lím x → −2 f ( x ) = 3 ; f ( −2 ) es indefinida lím x → 1 − f ( x ) = 6 ; lím x → 1 + f ( x ) = 3 ; lím x → 1 f ( x ) DNE; f ( 1 ) = 6 lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ ; lím x → 3 + f ( x ) = − ∞ ; lím x → 3 f ( x ) = − ∞ ; f ( 3 ) es indefinida Evalúe lím x → 1 f ( x ) por f ( x ) se muestra aquí: No existe. Pista Compare el límite por la derecha con el límite por la izquierda. Inicio del capítulo: La ecuación de Einstein (créditos: NASA). En la introducción del capítulo mencionamos brevemente cómo Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede viajar cualquier objeto. Dada la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento, ¿cuál es el valor de este límite? Nuestro punto de partida es la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento, m = m 0 1 − v 2 c 2 , donde m 0 es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. Para ver cómo cambia la masa a altas velocidades, podemos graficar la relación de masas m / m 0 en función de la relación de las velocidades, v / c ( ). Este gráfico muestra la relación de masas en función de la relación de velocidades en la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento. Podemos ver que a medida que la relación de velocidades se acerca a 1 —es decir, a medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz— la relación de masas aumenta sin límite. Es decir, la función tiene una asíntota vertical en v / c = 1 . Podemos probar algunos valores de esta relación para comprobar esta idea. Relación de masas y velocidades para un objeto en movimiento v c 1 − v 2 c 2 m m 0 0,99 0,1411 7,089 0,999 0,0447 22,37 0,9999 0,0141 70,71 Así, según la , si un objeto con masa 100 kg viaja a 0,9999 c , su masa se convierte en 7071 kg. Como ningún objeto puede tener una masa infinita, concluimos que ningún objeto puede viajar a la velocidad de la luz o más. Conceptos clave Se puede utilizar una tabla de valores o un gráfico para estimar un límite. Si el límite de una función en un punto no existe, todavía es posible que existan los límites por la izquierda y por la derecha en ese punto. Si los límites de una función por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función es ese valor común. Podemos utilizar los límites para describir el comportamiento infinito de una función en un punto. Ecuaciones clave Definición intuitiva del límite lím x → a f ( x ) = L Dos límites importantes lím x → a x = a lím x → a c = c Límites unilaterales lím x → a − f ( x ) = L lím x → a + f ( x ) = L Límites infinitos por la izquierda lím x → a − f ( x ) = + ∞ lím x → a − f ( x ) = − ∞ Límites infinitos por la derecha lím x → a + f ( x ) = + ∞ lím x → a + f ( x ) = − ∞ Límites infinitos bilaterales lím x → a f ( x ) = + ∞ : lím x → a − f ( x ) = + ∞ y lím x → a + f ( x ) = + ∞ lím x → a f ( x ) = − ∞ : lím x → a − f ( x ) = − ∞ y lím x → a + f ( x ) = − ∞ En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = x 2 – 1 | x – 1 | . [T] Complete la siguiente tabla para la función. Redondee sus soluciones a cuatro decimales. x f ( x ) x f ( x ) 0,9 a. 1,1 e. 0,99 b. 1,01 f. 0,999 c. 1,001 g. 0,9999 d. 1,0001 h. ¿Qué indican sus resultados en el ejercicio anterior sobre el límite bilateral lím x → 1 f ( x ) ? Razone su respuesta. lím x → 1 f ( x ) no existe porque lím x → 1 − f ( x ) = −2 ≠ lím x → 1 + f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = ( 1 + x ) 1 / x . [T] Haga una tabla con los valores de f para x = −0,01 , −0,001 , −0,0001 , −0,00001 y para x = 0,01 , 0,001 , 0,0001 , 0,00001 . Redondee sus soluciones a cinco decimales. x f ( x ) x f ( x ) −0,01 a. 0,01 e. −0,001 b. 0,001 f. −0,0001 c. 0,0001 g. −0,00001 d. 0,00001 h. ¿Qué indica la tabla de valores del ejercicio anterior sobre la función f ( x ) = ( 1 + x ) 1 / x ? lím x → 0 ( 1 + x ) 1 / x = 2,7183 ¿A qué constante matemática parece acercarse el límite del ejercicio anterior? En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados a fin de establecer una tabla para evaluar los límites. Redondee sus soluciones a ocho decimales. [T] lím x → 0 sen 2 x x ; ±0,1 , ±0,01 , ±0,001 , ±0,0001 x sen 2 x x x sen 2 x x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. a. 1,98669331; b. 1,99986667; c. 1,99999867; d. 1,99999999; e. 1,98669331; f. 1,99986667; g. 1,99999867; h. 1,99999999 lím x → 0 sen 2 x x = 2 [T] lím x → 0 sen 3 x x ±0,1, ±0,01, ±0,001, ±0,0001 X sen 3 x x x sen 3 x x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. Utilice los dos ejercicios anteriores para conjeturar (suponer) el valor del siguiente límite lím x → 0 sen a x x para a , un valor real positivo. lím x → 0 sen a x x = a [T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores para hallar el límite indicado. Redondee a ocho dígitos. lím x → 2 x 2 − 4 x 2 + x − 6 x x 2 − 4 x 2 + x − 6 x x 2 − 4 x 2 + x − 6 1,9 a. 2,1 e. 1,99 b. 2,01 f. 1,999 c. 2,001 g. 1,9999 d. 2,0001 h. lím x → 1 ( 1 − 2 x ) x 1 − 2 x x 1 − 2 x 0,9 a. 1,1 e. 0,99 b. 1,01 f. 0,999 c. 1,001 g. 0,9999 d. 1,0001 h. a. –0,80000000; b. –0,98000000; c. –0,99800000; d. –0,99980000; e. –1,2000000; f. –1,0200000; g. –1,0020000; h. –1,0002000 lím x → 1 ( 1 − 2 x ) = –1 lím x → 0 5 1 − e 1 / x x 5 1 − e 1 / x x 5 1 − e 1 / x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. lím z → 0 z – 1 z 2 ( z + 3 ) z z – 1 z 2 ( z + 3 ) z z – 1 z 2 ( z + 3 ) −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. a. -37,931934; b. -3377,9264; c. -333.777,93; d. -33.337.778; e. -29,032258; f. -3289,0365; g. -332.889,04; h. -33.328.889 lím x → 0 z – 1 z 2 ( z + 3 ) = − ∞ lím t → 0 + cos t t t cos t t 0,1 a. 0,01 b. 0,001 c. 0,0001 d. lím x → 2 1 − 2 x x 2 − 4 x 1 − 2 x x 2 − 4 x 1 − 2 x x 2 − 4 1,9 a. 2,1 e. 1,99 b. 2,01 f. 1,999 c. 2,001 g. 1,9999 d. 2,0001 h. a. 0,13495277; b. 0,12594300; c. 0,12509381; d. 0,12500938; e. 0,11614402; f. 0,12406794; g. 0,12490631; h. 0,12499063 ∴ lím x → 2 1 − 2 x x 2 − 4 = 0,1250 = 1 8 [T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores y redondee a ocho dígitos significativos. Con base en la tabla de valores, haga una conjetura sobre cuál es el límite. A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente la función y determinar el límite. ¿Su conjetura fue correcta? Si no, ¿por qué falla el método de las tablas? lím θ → 0 sen ( π θ ) θ sen ( π θ ) θ sen ( π θ ) −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. lím α → 0 + 1 α cos ( π α ) a 1 α cos ( π α ) 0,1 a. 0,01 b. 0,001 c. 0,0001 d. a. 10,00000; b. 100,00000; c. 1.000,0000; d. 10.000,000; estimación: lím α → 0 + 1 α cos ( π α ) = ∞ , resultado: DNE En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí. ¿Cuáles afirmaciones sobre y = f ( x ) son verdaderas y cuáles son falsas? Explique por qué una afirmación es falsa. lím x → 10 f ( x ) = 0 lím x → −2 + f ( x ) = 3 Falso; lím x → −2 + f ( x ) = + ∞ lím x → −8 f ( x ) = f ( −8 ) grandes. lím x → 6 f ( x ) = 5 Falso; lím x → 6 f ( x ) DNE ya que lím x → 6 − f ( x ) = 2 y lím x → 6 + f ( x ) = 5 . En los siguientes ejercicios, utiliza el siguiente gráfico de la función y = f ( x ) para hallar los valores, si es posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 1 − f ( x ) grandes. lím x → 1 + f ( x ) 2 lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) 1 f ( 1 ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − f ( x ) 1 lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 0 f ( x ) DNE lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → −2 − f ( x ) 0 lím x → −2 + f ( x ) grandes. lím x → −2 f ( x ) DNE lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) 2 lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = g ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − g ( x ) 3 lím x → 0 + g ( x ) grandes. lím x → 0 g ( x ) DNE En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = h ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − h ( x ) grandes. lím x → 0 + h ( x ) 0 lím x → 0 h ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − f ( x ) −2 lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 0 f ( x ) DNE lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) 0 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función con las propiedades dadas. lím x → 2 f ( x ) = 1 , lím x → 4 − f ( x ) = 3 , lím x → 4 + f ( x ) = 6 , f ( 4 ) no está definido. A s x → − ∞ , f ( x ) → 0 , lím x → −1 − f ( x ) = − ∞ , lím x → −1 + f ( x ) = ∞ , lím x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) , f ( 0 ) = 1 , A s x → ∞ , f ( x ) → − ∞ Las respuestas pueden variar. A s x → − ∞ , f ( x ) → 2 , lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ , lím x → 3 + f ( x ) = ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 2 , f ( 0 ) = −1 3 A s x → − ∞ , f ( x ) → 2 , lím x → −2 f ( x ) = − ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 2 , f ( 0 ) = 0 Las respuestas pueden variar. A s x → − ∞ , f ( x ) → 0 , lím x → −1 − f ( x ) = ∞ , lím x → −1 + f ( x ) = − ∞ , f ( 0 ) = −1 , lím x → 1 − f ( x ) = − ∞ , lím x → 1 + f ( x ) = ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 0 Las ondas expansivas aparecen en muchas aplicaciones físicas, desde las supernovas hasta las ondas generadas por una detonación. Se muestra un gráfico de la densidad de una onda expansiva con respecto a la distancia, x . Nos interesa principalmente la ubicación de la parte delantera del amortiguador, marcada x SF en el diagrama. Evalúe lím x → x S F + ρ ( x ) . Evalúe lím x → x S F − ρ ( x ) . Evalúe lím x → x S F ρ ( x ) . Explique el significado físico de sus respuestas. a. ρ 2 b. ρ 1 c. DNE a menos que ρ 1 = ρ 2 . Cuando se acerca a x SF desde la izquierda, se encuentra en la zona de alta densidad de la onda expansiva. Cuando se acerca por la derecha, aún no ha experimentado el \"choque\" y está en una densidad más baja. Un entrenador de pista utiliza una cámara con un obturador rápido para estimar la posición de un corredor con respecto al tiempo. Aquí se ofrece una tabla de los valores de posición del atleta en función del tiempo, donde x es la posición en metros del corredor y t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es el valor de lím t → 2 x ( t ) ? ¿Qué significa en términos físicos? t (s) x (m) 1,75 4,5 1,95 6,1 1,99 6,42 2,01 6,58 2,05 6,9 2,25 8,5 límite infinito una función tiene un límite infinito en un punto a si aumenta o disminuye sin límite al acercarse a a definición intuitiva del límite si todos los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x ( ≠ a ) se acercan a a , f ( x ) se acerca a L límite unilateral un límite unilateral de una función es un límite tomado por la izquierda o por la derecha asíntota vertical una función tiene una asíntota vertical en x = a si el límite a medida que x se acerca a a desde la derecha o la izquierda es infinito", "section": "El límite de una función", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Las leyes de los límites En la sección anterior evaluamos los límites al observar los gráficos o construir una tabla de valores. En esta sección, estableceremos y aprendemos a aplicar las leyes para calcular los límites. En el proyecto estudiantil que se halla al final de esta sección tiene la oportunidad de aplicar estas leyes de los límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Comenzaremos por reafirmar dos resultados útiles de los límites de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de los límites, sirven de base para calcular muchos límites. Evaluación de los límites con las leyes de los límites Las dos primeras leyes de los límites se expusieron en y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas. Resultados del límite básico Para cualquier número real a y cualquier constante c , lím x → a x = a lím x → a c = c Evaluación de un límite básico Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando . lím x → 2 x lím x → 2 5 El límite de x a medida que x se acerca a a es a : lím x → 2 x = 2 . El límite de una constante es esa constante: lím x → 2 5 = 5 . Ahora veremos las leyes de los límites , que son las propiedades individuales de los límites. Aquí se omiten las pruebas de que estas leyes son válidas. Leyes de los límites Supongamos que f ( x ) y g ( x ) se define para todos los x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a . Supongamos que L y M son números reales tales que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M . Sea c una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones es válida: Ley de suma para los límites : lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = L + M Ley de la diferencia para los límites : lím x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) − lím x → a g ( x ) = L − M Ley del múltiplo constante para los límites lím x → a c f ( x ) = c . lím x → a f ( x ) = c L Ley de productos para los límites lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) . lím x → a g ( x ) = L . M Ley del cociente para los límites lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = L M por M ≠ 0 Ley de la potencia para los límites lím x → a ( f ( x ) ) n = ( lím x → a f ( x ) ) n = L n para cada número entero positivo n . Ley de la raíz para los límites lím x → a f ( x ) n = lím x → a f ( x ) n = L n para todo L si n es impar y para L ≥ 0 si n es par y f ( x ) ≥ 0 . Ahora practicaremos la aplicación de estas leyes de los límites para evaluar un límite. Evaluación de un límite mediante las leyes de los límites Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → −3 ( 4 x + 2 ) . Apliquemos las leyes de los límites paso a paso para asegurarnos de que entendemos su funcionamiento. Debemos tener en cuenta el requisito de que, en cada aplicación de una ley límite, deben existir nuevos límites para que esa ley se aplique. lím x → −3 ( 4 x + 2 ) = lím x → −3 4 x + lím x → −3 2 Aplique la ley de la suma. = 4 . lím x → −3 x + lím x → −3 2 Aplique la ley del múltiplo constante. = 4 . ( −3 ) + 2 = −10 . Aplique los resultados del límite básico y simplifique. Utilizar repetidamente las leyes de los límites Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → 2 2 x 2 − 3 x + 1 x 3 + 4 . Para hallar este límite, tenemos que aplicar las leyes de los límites varias veces. Una vez más, debemos tener en cuenta que al reescribir el límite en términos de otros límites, cada nuevo límite debe existir para que se aplique la ley de los límites. lím x → 2 2 x 2 − 3 x + 1 x 3 + 4 = lím x → 2 ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) lím x → 2 ( x 3 + 4 ) Aplique la ley del cociente, asegurándose de que ( 2 ) 3 + 4 ≠ 0 = 2 . lím x → 2 x 2 − 3 . lím x → 2 x + lím x → 2 1 lím x → 2 x 3 + lím x → 2 4 Aplique la ley de la suma y la ley del múltiplo constante. = 2 . ( lím x → 2 x ) 2 − 3 . lím x → 2 x + lím x → 2 1 ( lím x → 2 x ) 3 + lím x → 2 4 Aplique la ley de la potencia. = 2 ( 4 ) − 3 ( 2 ) + 1 ( 2 ) 3 + 4 = 1 4 . Aplique las leyes básicas de los límites y simplifique. Utilice las leyes de los límites para evaluar lím x → 6 ( 2 x – 1 ) x + 4 . En cada paso, indique la ley de los límites aplicada. 11 10 Pista Comience aplicando la ley del producto. Límites de funciones polinómicas y racionales A estas alturas ya se habrá dado cuenta de que en cada uno de los ejemplos anteriores, se dio este caso: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Esto no siempre es así, pero lo es para todos los polinomios en cualquier elección de a y para todas las funciones racionales en todos los valores de a para los que está definida la función racional. Límites de funciones polinómicas y racionales Supongamos que p ( x ) como q ( x ) son funciones polinómicas. Supongamos que a es un número real. Entonces, lím x → a p ( x ) = p ( a ) grandes. lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) cuando q ( a ) ≠ 0 . Para ver que este teorema se cumple, consideremos el polinomio p ( x ) = c n x n + c n – 1 x n – 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 . Aplicando las leyes de la suma, del múltiplo constante y de la potencia, obtenemos lím x → a p ( x ) = lím x → a ( c n x n + c n – 1 x n – 1 + ⋯ + c 1 x + c 0 ) = c n ( lím x → a x ) n + c n – 1 ( lím x → a x ) n – 1 + ⋯ + c 1 ( lím x → a x ) + lím x → a c 0 = c n a n + c n – 1 a n – 1 + ⋯ + c 1 a + c 0 = p ( a ) . Ahora se deduce de la ley del cociente que si p ( x ) como q ( x ) son polinomios para los que q ( a ) ≠ 0 , entonces lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) . El aplica este resultado. Evaluación de un límite de una función racional Evalúe los términos lím x → 3 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 . Como 3 está en el dominio de la función racional f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 , podemos calcular el límite sustituyendo 3 por la x en la función. Por lo tanto, lím x → 3 2 x 2 − 3 x + 1 5 x + 4 = 10 19 . Evalúe lím x → −2 ( 3 x 3 − 2 x + 7 ) . −13; Pista Utilice la Técnicas adicionales de evaluación de límites Como vimos, podemos evaluar fácilmente los límites de los polinomios y los límites de algunas funciones racionales (pero no todas) por sustitución directa. Sin embargo, como vimos en la sección introductoria sobre los límites, es en efecto posible que lím x → a f ( x ) exista cuando f ( a ) es indefinida. La siguiente observación nos permite evaluar muchos límites de este tipo: Si para toda x ≠ a , f ( x ) = g ( x ) en algún intervalo abierto que contenga a , entonces lím x → a f ( x ) = lím x → a g ( x ) . Para entender mejor esta idea, considere el límite lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 . La función f ( x ) = x 2 – 1 x – 1 = ( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 y la función g ( x ) = x + 1 son idénticas para todos los valores de x ≠ 1 . Los gráficos de estas dos funciones se muestran en la . Los gráficos de f ( x ) y g ( x ) son idénticos para todas las x ≠ 1 . Sus límites en 1 son iguales. Vemos que lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 = lím x → 1 ( x – 1 ) ( x + 1 ) x – 1 = lím x → 1 ( x + 1 ) = 2 . El límite tiene la forma lím x → a f ( x ) g ( x ) , donde lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 . (En este caso, decimos que f ( x ) / g ( x ) tiene la forma indeterminada 0 / 0 ). La siguiente estrategia de resolución de problemas ofrece un esquema general para evaluar este tipo de límites. Estrategia para la resolución de problemas: Calcular un límite cuando f ( x ) / g ( x ) tiene la forma indeterminada 0/0 En primer lugar, nos aseguraremos de que nuestra función tiene la forma adecuada y no puede ser evaluada inmediatamente utilizando las leyes de los límites. Entonces tenemos que hallar una función que sea igual a h ( x ) = f ( x ) / g ( x ) para todo x ≠ a en algún intervalo que contenga a . Para ello, es posible que tengamos que probar uno o varios de los siguientes pasos Si los valores de f ( x ) y g ( x ) son polinomios, debemos factorizar cada función y cancelar los factores comunes. Si el numerador o el denominador tienen una diferencia que implica una raíz cuadrada, debemos intentar multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión que incluye a la raíz cuadrada. Si los valores de f ( x ) / g ( x ) es una fracción compleja, empezamos por simplificarla. Por último, aplicamos las leyes de los límites. Los siguientes ejemplos demuestran el uso de esta estrategia de resolución de problemas. El ilustra la técnica de factor y cancelación; el muestra la multiplicación por un conjugado. En el , vemos la simplificación de una fracción compleja. Evaluación de un límite mediante factorización y cancelación Evalúe lím x → 3 x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 . Paso 1. La función f ( x ) = x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 es indefinida para x = 3 . De hecho, si sustituimos 3 en la función obtenemos 0 / 0 , que es indefinida. Factorizar y cancelar es una buena estrategia: lím x → 3 x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 = lím x → 3 x ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( 2 x + 1 ) Paso 2. Para todos x ≠ 3 , x 2 − 3 x 2 x 2 − 5 x − 3 = x 2 x + 1 . Por lo tanto, lím x → 3 x ( x − 3 ) ( x − 3 ) ( 2 x + 1 ) = lím x → 3 x 2 x + 1 . Paso 3. Evalúe utilizando las leyes de los límites: lím x → 3 x 2 x + 1 = 3 7 . Evalúe lím x → −3 x 2 + 4 x + 3 x 2 − 9 . 1 3 Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . Evaluar un límite multiplicando por un conjugado Evalúe lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 . Paso 1. x + 2 – 1 x + 1 tiene la forma 0 / 0 en -1. Empecemos por multiplicar por x + 2 + 1 , el conjugado de x + 2 – 1 , en el numerador y el denominador: lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 = lím x → −1 x + 2 – 1 x + 1 . x + 2 + 1 x + 2 + 1 . Paso 2. A continuación, multiplicamos el numerador. No multiplicamos el denominador porque esperamos que ( x + 1 ) en el denominador se anule al final: = lím x → −1 x + 1 ( x + 1 ) ( x + 2 + 1 ) . Paso 3. Entonces lo cancelamos: = lím x → −1 1 x + 2 + 1 . Paso 4. Por último, aplicamos las leyes de los límites: lím x → −1 1 x + 2 + 1 = 1 2 . Evalúe lím x → 5 x – 1 − 2 x − 5 . 1 4 Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . Evaluación de un límite mediante la simplificación de una fracción compleja Evalúe lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 . Paso 1. 1 x + 1 − 1 2 x – 1 tiene la forma 0 / 0 en 1. Simplificamos la fracción algebraica multiplicando por 2 ( x + 1 ) / 2 ( x + 1 ) : lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 = lím x → 1 1 x + 1 − 1 2 x – 1 . 2 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) . Paso 2. A continuación, multiplicamos por los numeradores. No multiplique los denominadores porque necesitamos cancelar el factor ( x – 1 ) : = lím x → 1 2 − ( x + 1 ) 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 3. A continuación, simplificamos el numerador: = lím x → 1 − x + 1 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 4. Ahora factorizamos -1 en el numerador: = lím x → 1 − ( x – 1 ) 2 ( x – 1 ) ( x + 1 ) . Paso 5. Entonces, cancelamos los factores comunes de ( x – 1 ) : = lím x → 1 −1 2 ( x + 1 ) . Paso 6. Por último, evaluamos mediante las leyes de los límites: lím x → 1 −1 2 ( x + 1 ) = − 1 4 . Evalúe lím x → −3 1 x + 2 + 1 x + 3 . −1; Pista Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas y de . El no se ajusta perfectamente a ninguno de los patrones establecidos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, con un poco de creatividad, podemos seguir utilizando estas mismas técnicas. Evaluación de un límite cuando no se aplican las leyes de los límites Evalúe lím x → 0 ( 1 x + 5 x ( x − 5 ) ) . Tanto 1 / x y 5 / x ( x − 5 ) no tienen un límite en cero. Como ninguna de las dos funciones tiene un límite en cero, no podemos aplicar la ley de suma para los límites y debemos utilizar una estrategia diferente. En este caso, encontramos el límite realizando la suma y luego aplicando una de nuestras estrategias anteriores. Observe que 1 x + 5 x ( x − 5 ) = x − 5 + 5 x ( x − 5 ) = x x ( x − 5 ) . Por lo tanto, lím x → 0 ( 1 x + 5 x ( x − 5 ) ) = lím x → 0 x x ( x − 5 ) = lím x → 0 1 x − 5 = − 1 5 . Evalúe lím x → 3 ( 1 x − 3 − 4 x 2 − 2 x − 3 ) . 1 4 Pista Utilice la misma técnica que el . No olvide el factor x 2 − 2 x − 3 antes de obtener un denominador común. Volvamos ahora a los límites unilaterales. Unas sencillas modificaciones en las leyes de los límites nos permiten aplicarlas a los límites unilaterales. Por ejemplo, para aplicar las leyes de los límites a un límite de la forma lím x → a − h ( x ) , necesitamos la función h ( x ) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma ( b , a ) ; para un límite de la forma lím x → a + h ( x ) , necesitamos la función h ( x ) para ser definida sobre un intervalo abierto de la forma ( a , c ) . El ilustra este punto. Evaluación de un límite unilateral mediante las leyes de los límites Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. lím x → 3 − x − 3 lím x → 3 + x − 3 La ilustra la función f ( x ) = x − 3 y nos ayuda a comprender estos límites. El gráfico muestra la función f ( x ) = x − 3 . La función f ( x ) = x − 3 se define en el intervalo [ 3 , + ∞ ) . Como esta función no está definida a la izquierda de 3, no podemos aplicar las leyes de los límites para calcular lím x → 3 − x − 3 . De hecho, ya que f ( x ) = x − 3 es indefinida a la izquierda de 3, lím x → 3 − x − 3 no existe. Dado que f ( x ) = x − 3 se define a la derecha de 3, las leyes de los límites sí se aplican a lím x → 3 + x − 3 . Aplicando estas leyes de los límites obtenemos lím x → 3 + x − 3 = 0 . En el observamos los límites unilaterales de una función definida a trozos y los utilizamos para sacar una conclusión sobre un límite bilateral de la misma función. Evaluación de un límite bilateral utilizando las leyes de los límites Para f ( x ) = { 4 x − 3 si x < 2 ( x − 3 ) 2 si x ≥ 2 , evalúe cada uno de los límites siguientes: lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) La ilustra la función f ( x ) y nos ayuda a comprender estos límites. Este gráfico muestra una función f ( x ) . Dado que f ( x ) = 4 x − 3 para todas las x en ( − ∞ , 2 ) , sustituya f ( x ) en el límite con 4 x − 3 y aplique las leyes de los límites: lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 − ( 4 x − 3 ) = 5 . Dado que f ( x ) = ( x − 3 ) 2 para todas las x en ( 2 , + ∞ ) , sustituya f ( x ) en el límite con ( x − 3 ) 2 y aplique las leyes de los límites: lím x → 2 + f ( x ) = lím x → 2 + ( x − 3 ) 2 = 1 . Dado que lím x → 2 – f ( x ) = 5 y lím x → 2 + f ( x ) = 1 , concluimos que lím x → 2 f ( x ) no existe. Grafique f ( x ) = { − x − 2 si x < − 1 2 si x = –1 x 3 si x > − 1 y evalúe lím x → −1 − f ( x ) . lím x → −1 − f ( x ) = –1 Pista Use el método del para evaluar el límite. Ahora nos centramos en la evaluación de un límite de la forma lím x → a f ( x ) g ( x ) , donde lím x → a f ( x ) = K , donde K ≠ 0 y lím x → a g ( x ) = 0 . Es decir, f ( x ) / g ( x ) tiene la forma K / 0 , K ≠ 0 en a . Evaluación de un límite de la forma K / 0 , K ≠ 0 Utilizar las leyes de los límites Evalúe lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x . Paso 1. Después de sustituir en x = 2 , vemos que este límite tiene la forma −1 / 0 . Es decir, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, el numerador se acerca a -1; y el denominador se acerca a 0. En consecuencia, la magnitud de x − 3 x ( x − 2 ) se convierte en infinito. Para tener una mejor idea de cuál es el límite, tenemos que factorizar el denominador: lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x = lím x → 2 − x − 3 x ( x − 2 ) . Paso 2. Dado que x − 2 es la única parte del denominador que es cero cuando se sustituye por 2, entonces separamos 1 / ( x − 2 ) del resto de la función: = lím x → 2 − x − 3 x . 1 x − 2 . Paso 3. lím x → 2 − x − 3 x = − 1 2 y lím x → 2 – 1 x − 2 = − ∞ . Por lo tanto, el producto de ( x − 3 ) / x y 1 / ( x − 2 ) tiene un límite de +∞: lím x → 2 − x − 3 x 2 − 2 x = + ∞ . Evalúe lím x → 1 x + 2 ( x – 1 ) 2 . +∞ Pista Utilice los métodos del . El teorema del emparedado Las técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bien para las funciones algebraicas, pero aún no podemos evaluar los límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguiente teorema, llamado teorema del emparedado , resulta muy útil para establecer los límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permite calcular los límites \"comprimiendo\" una función, con un límite en un punto desconocido a entre dos funciones que tienen un límite común conocido en a . La ilustra esta idea. El teorema del emparedado se aplica cuando f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) y lím x → a f ( x ) = lím x → a h ( x ) . El teorema del emparedado Supongamos que f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) se define para todos los x ≠ a sobre un intervalo abierto que contiene a . Si f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a y lím x → a f ( x ) = L = lím x → a h ( x ) donde L es un número real, entonces lím x → a g ( x ) = L . Aplicación del teorema del emparedado Aplique el teorema del emparedado para evaluar lím x → 0 x cos x . Dado que −1 ≤ cos x ≤ 1 para toda x , tenemos − | x | ≤ x cos x ≤ | x | . Dado que lím x → 0 ( − | x | ) = 0 = lím x → 0 | x | , del teorema del emparedado, obtenemos lím x → 0 x cos x = 0 . Los gráficos de f ( x ) = − | x | , g ( x ) = x cos x , y h ( x ) = | x | se muestran en la . Los gráficos de f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) se muestran alrededor del punto x = 0 . Utilice el teorema del emparedado para evaluar lím x → 0 x 2 sen 1 x . 0 Pista Utilice el hecho de que − x 2 ≤ x 2 sen ( 1 / x ) ≤ x 2 para ayudarlo a hallar dos funciones tales que x 2 sen ( 1 / x ) se comprima entre ellas. Ahora utilizamos el teorema del emparedado para abordar varios límites muy importantes. Aunque esta discusión es algo larga, estos límites resultan muy valiosos para el desarrollo del material tanto en la siguiente sección como en el siguiente capítulo. El primero de estos límites es lím θ → 0 sen θ . Tenga en cuenta el círculo unitario que se muestra en la . Allí vemos que sen θ es la coordenada y en el círculo unitario y corresponde al segmento de línea mostrado en azul. La medida del radián del ángulo θ es la longitud del arco que subtiende en el círculo unitario. Por lo tanto, vemos que para 0 < θ < π 2 , 0 < sen θ < θ . La función seno se muestra como una línea en el círculo unitario. Dado que lím θ → 0 + 0 = 0 y lím θ → 0 + θ = 0 , utilizando el teorema del emparedado concluimos que lím θ → 0 + sen θ = 0 . Para ver que lím θ → 0 − sen θ = 0 igualmente, observe que para − π 2 < θ < 0 , 0 < − θ < π 2 y por lo tanto, 0 < sen ( − θ ) < − θ . En consecuencia, 0 < − sen θ < − θ . Se deduce que 0 > sen θ > θ . Una aplicación del teorema del emparedado produce el límite deseado. Por lo tanto, dado que lím θ → 0 + sen θ = 0 y lím θ → 0 − sen θ = 0 , lím θ → 0 sen θ = 0 . A continuación, utilizando la identidad cos θ = 1 − sen 2 θ para − π 2 < θ < π 2 , vemos que lím θ → 0 cos θ = lím θ → 0 1 − sen 2 θ = 1 . A continuación veremos un límite que juega un papel importante en capítulos posteriores, a saber, lím θ → 0 sen θ θ . Para evaluar este límite, utilizamos el círculo unitario en la . Note que esta figura añade un triángulo más a la . Vemos que la longitud del lado opuesto al ángulo θ en este nuevo triángulo es tan θ . Así, vemos que para 0 < θ < π 2 , sen θ < θ < tan θ . Las funciones seno y tangente se muestran como líneas en el círculo unitario. Al dividir entre sen θ en todas las partes de la inecuación obtenemos 1 < θ sen θ < 1 cos θ . De manera equivalente, tenemos 1 > sen θ θ > cos θ . Dado que lím θ → 0 + 1 = 1 = lím θ → 0 + cos θ , concluimos que lím θ → 0 + sen θ θ = 1 . Aplicando una manipulación similar a la utilizada para demostrar que lím θ → 0 − sen θ = 0 , podemos demostrar que lím θ → 0 − sen θ θ = 1 . Por lo tanto, lím θ → 0 sen θ θ = 1 . En el utilizamos este límite para establecer lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 . Este límite también resulta útil en capítulos posteriores. Evaluación de un límite trigonométrico importante Evalúe lím θ → 0 1 − cos θ θ . En el primer paso, multiplicamos por el conjugado para poder utilizar una identidad trigonométrica a fin de convertir el coseno del numerador en un seno: lím θ → 0 1 − cos θ θ = lím θ → 0 1 − cos θ θ . 1 + cos θ 1 + cos θ = lím θ → 0 1 − cos 2 θ θ ( 1 + cos θ ) = lím θ → 0 sen 2 θ θ ( 1 + cos θ ) = lím θ → 0 sen θ θ . sen θ 1 + cos θ = 1 . 0 2 = 0 . Por lo tanto, lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 . Evalúe lím θ → 0 1 − cos θ sen θ . 0 Pista Multiplique el numerador y el denominador por 1 + cos θ . Derivación de la fórmula del área de un círculo Algunas de las fórmulas geométricas que hoy damos por sentadas se obtuvieron por primera vez mediante métodos que anticiparon algunos de los métodos del cálculo. El matemático griego Arquímedes (ca. 287-212; a.C.) fue especialmente ingenioso, ya que utilizó polígonos inscritos en círculos para aproximar el área del círculo a medida que aumentaba el número de lados del polígono. Nunca se le ocurrió la idea de un límite, pero podemos utilizar esta idea para ver lo que sus construcciones geométricas podrían haber predicho sobre el límite. Podemos estimar el área de un círculo calculando el área de un polígono regular inscrito. Piense que el polígono regular está formado por n triángulos. Tomando el límite a medida que el ángulo del vértice de estos triángulos llega a cero, se puede obtener el área del círculo. Para comprobarlo, realice los siguientes pasos: Exprese la altura h y la base b del triángulo isósceles en la en términos de θ y r . Utilizando las expresiones obtenidas en el paso 1, exprese el área del triángulo isósceles en términos de θ y r . (Sustituya ( 1 / 2 ) sen θ por sen ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) en su expresión) Si un polígono regular de n lados está inscrito en una circunferencia de radio r , halle una relación entre θ y n . Resuelva esto para n . Tenga en cuenta que hay 2 radianes π en un círculo (utilice radianes, no grados). Halle una expresión para el área del polígono de n lados en términos de r y θ . Para hallar una fórmula para el área del círculo, halle el límite de la expresión en el paso 4 a medida que θ llega a cero. ( Pista: lím θ → 0 ( sen θ ) θ = 1 ). La técnica de estimación de áreas de regiones mediante el uso de polígonos se revisa en Introducción a la integración . Conceptos clave Las leyes de los límites nos permiten evaluar los límites de las funciones sin tener que pasar cada vez por los procesos paso a paso. Para polinomios y funciones racionales, lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Se puede evaluar el límite de una función factorizando y cancelando, multiplicando por un conjugado o simplificando una fracción compleja. El teorema del emparedado permite hallar el límite de una función si esta es siempre mayor que una función y menor que otra función con límites conocidos. Ecuaciones clave Resultados del límite básico lím x → a x = a lím x → a c = c Límites importantes lím θ → 0 sen θ = 0 lím θ → 0 cos θ = 1 lím θ → 0 sen θ θ = 1 lím θ → 0 1 − cos θ θ = 0 En los siguientes ejercicios, utilice las leyes de los límites para evaluar cada uno. Justifique cada paso indicando la(s) ley(es) de los límites correspondiente(s). lím x → 0 ( 4 x 2 − 2 x + 3 ) Utilice la ley del múltiplo constante y la ley de la diferencia: lím x → 0 ( 4 x 2 − 2 x + 3 ) = 4 lím x → 0 x 2 − 2 lím x → 0 x + lím x → 0 3 = 3 lím x → 1 x 3 + 3 x 2 + 5 4 − 7 x lím x → −2 x 2 − 6 x + 3 Utilice la ley de la raíz lím x → −2 x 2 − 6 x + 3 = lím x → −2 ( x 2 − 6 x + 3 ) = 19 lím x → −1 ( 9 x + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para evaluar cada límite. lím x → 7 x 2 49 lím x → −2 ( 4 x 2 – 1 ) grandes. lím x → 0 1 1 + sen x 1 lím x → 2 e 2 x – x 2 lím x → 1 2 − 7 x x + 6 − 5 7 lím x → 3 ln e 3 x En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para demostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada 0 / 0 . Luego evalúe el límite. lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 = 16 − 16 4 − 4 = 0 0 ; entonces, lím x → 4 x 2 − 16 x − 4 = lím x → 4 ( x + 4 ) ( x − 4 ) x − 4 = 8 lím x → 2 x − 2 x 2 − 2 x lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 = 18 − 18 12 − 12 = 0 0 ; entonces, lím x → 6 3 x − 18 2 x − 12 = lím x → 6 3 ( x − 6 ) 2 ( x − 6 ) = 3 2 lím h → 0 ( 1 + h ) 2 – 1 h lím t → 9 t − 9 t − 3 lím x → 9 t − 9 t − 3 = 9 − 9 3 − 3 = 0 0 ; entonces, lím t → 9 t − 9 t − 3 = lím t → 9 t − 9 t − 3 t + 3 t + 3 = lím t → 9 ( t + 3 ) = 6 lím h → 0 1 a + h − 1 a h , donde a es una constante de valor real diferente a cero. lím θ → π sen θ tan θ lím θ → π sen θ tan θ = sen π tan π = 0 0 ; entonces, lím θ → π sen θ tan θ = lím θ → π sen θ sen θ cos θ = lím θ → π cos θ = –1 lím x → 1 x 3 − 1 x 2 – 1 lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 = 1 2 + 3 2 − 2 1 − 1 = 0 0 ; entonces, lím x → 1 / 2 2 x 2 + 3 x − 2 2 x – 1 = lím x → 1 / 2 ( 2 x – 1 ) ( x + 2 ) 2 x – 1 = 5 2 lím x → −3 x + 4 − 1 x + 3 En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución directa para obtener una expresión indefinida. A continuación, utilice el método del para simplificar la función y ayudar a determinar el límite. lím x → −2 − 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 −∞ lím x → −2 + 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 lím x → 1 − 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 −∞ lím x → 1 + 2 x 2 + 7 x − 4 x 2 + x − 2 En los siguientes ejercicios, suponga que lím x → 6 f ( x ) = 4 , lím x → 6 g ( x ) = 9 , y lím x → 6 h ( x ) = 6 . Utilice estos tres hechos y las leyes de los límites para evaluar cada uno. lím x → 6 2 f ( x ) g ( x ) grandes. lím x → 6 2 f ( x ) g ( x ) = 2 lím x → 6 f ( x ) lím x → 6 g ( x ) = 72 lím x → 6 g ( x ) − 1 f ( x ) grandes. lím x → 6 ( f ( x ) + 1 3 g ( x ) ) grandes. lím x → 6 ( f ( x ) + 1 3 g ( x ) ) = lím x → 6 f ( x ) + 1 3 lím x → 6 g ( x ) = 7 lím x → 6 ( h ( x ) ) 3 2 lím x → 6 g ( x ) − f ( x ) grandes. lím x → 6 g ( x ) − f ( x ) = lím x → 6 g ( x ) − lím x → 6 f ( x ) = 5 lím x → 6 x . h ( x ) grandes. lím x → 6 [ ( x + 1 ) . f ( x ) ] lím x → 6 [ ( x + 1 ) f ( x ) ] = ( lím x → 6 ( x + 1 ) ) ( lím x → 6 f ( x ) ) = 28 lím x → 6 ( f ( x ) . g ( x ) − h ( x ) ) [T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar el gráfico de cada función definida a trozos y estudie el gráfico para evaluar los límites dados. f ( x ) = { x 2 , x ≤ 3 x + 4 , x > 3 lím x → 3 − f ( x ) grandes. lím x → 3 + f ( x ) a. 9; b. 7 g ( x ) = { x 3 − 1 , x ≤ 0 1 , x > 0 lím x → 0 − g ( x ) grandes. lím x → 0 + g ( x ) h ( x ) = { x 2 − 2 x + 1 , x < 2 3 − x , x ≥ 2 lím x → 2 − h ( x ) grandes. lím x → 2 + h ( x ) a. 1; b. 1 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos y las leyes de los límites para evaluar cada límite. lím x → −3 + ( f ( x ) + g ( x ) ) grandes. lím x → −3 − ( f ( x ) − 3 g ( x ) ) grandes. lím x → −3 − ( f ( x ) − 3 g ( x ) ) = lím x → −3 − f ( x ) − 3 lím x → −3 − g ( x ) = 0 + 6 = 6 lím x → 0 f ( x ) g ( x ) 3 lím x → −5 2 + g ( x ) f ( x ) grandes. lím x → −5 2 + g ( x ) f ( x ) = 2 + ( lím x → −5 g ( x ) ) lím x → −5 f ( x ) = 2 + 0 2 = 1 lím x → 1 ( f ( x ) ) 2 lím x → 1 f ( x ) − g ( x ) 3 lím x → 1 f ( x ) − g ( x ) 3 = lím x → 1 f ( x ) − lím x → 1 g ( x ) 3 = 2 + 5 3 = 7 3 lím x → −7 ( x . g ( x ) ) grandes. lím x → −9 [ x . f ( x ) + 2 . g ( x ) ] lím x → −9 ( x f ( x ) + 2 g ( x ) ) = ( lím x → −9 x ) ( lím x → −9 f ( x ) ) + 2 lím x → −9 ( g ( x ) ) = ( −9 ) ( 6 ) + 2 ( 4 ) = −46 En los siguientes problemas, evalúe el límite utilizando el teorema del emparedado. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones f ( x ) , g ( x ) , y h ( x ) si es posible. [T] ¿Verdadero o falso? Si los valores de 2 x – 1 ≤ g ( x ) ≤ x 2 − 2 x + 3 , entonces lím x → 2 g ( x ) = 0 . [T] lím θ → 0 θ 2 cos ( 1 θ ) El límite es cero lím x → 0 f ( x ) , donde f ( x ) = { 0 , x racional x 2 , x irracional [T] En física, la magnitud de un campo eléctrico generado por una carga puntual a una distancia r en el vacío se rige por la ley de Coulomb: E ( r ) = q 4 π ε 0 r 2 , donde E representa la magnitud del campo eléctrico, q es la carga de la partícula, r es la distancia entre la partícula y donde se mide la intensidad del campo, y 1 4 π ε 0 es la constante de Coulomb: 8,988 × 10 9 N . m 2 / C 2 . Utilice una calculadora gráfica para graficar E ( r ) dado que la carga de la partícula es q = 10 −10 . Evalúe lím r → 0 + E ( r ) . ¿Cuál es el significado físico de esta cantidad? ¿Es físicamente relevante? ¿Por qué se evalúa por la derecha? a. b. ∞. Al acercarse a la partícula q la magnitud del campo eléctrico se vuelve infinita. No tiene sentido físico evaluar la distancia negativa. [T] La densidad de un objeto viene dada por su masa dividida por su volumen: ρ = m / V . Utilice una calculadora para representar el volumen en función de la densidad ( V = m / ρ ) , suponiendo que está examinando algo con una masa de 8 kg ( m = 8 ). Evalúe lím ρ → 0 + V ( ρ ) y explique el significado físico. ley del múltiplo constante para los límites la ley límite lím x → a c f ( x ) = c . lím x → a f ( x ) = c L ley de la diferencia para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) − lím x → a g ( x ) = L − M leyes de los límites las propiedades individuales de los límites; para cada una de las leyes individuales, supongamos que f ( x ) y g ( x ) se define para todos los x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a ; supongamos que L y M son números reales de modo que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M ; supongamos que c es una constante ley de la potencia para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) ) n = ( lím x → a f ( x ) ) n = L n para cada número entero positivo n ley de productos para los límites la ley límite lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) . lím x → a g ( x ) = L . M ley del cociente para los límites la ley límite lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = L M por M ≠ 0 ley de la raíz para los límites la ley límite lím x → a f ( x ) n = lím x → a f ( x ) n = L n para todo L si n es impar y para L ≥ 0 si n es par teorema del emparedado establece que si f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) para todo x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a y lím x → a f ( x ) = L = lím x → a h ( x ) donde L es un número real, entonces lím x → a g ( x ) = L ley de suma para los límites la ley de los límites lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = L + M", "section": "Las leyes de los límites", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Continuidad Muchas funciones tienen la propiedad de que sus gráficos se pueden trazar con un lápiz sin levantar el lápiz de la página. Estas funciones se denominan continuas . Otras funciones tienen puntos en los que se produce una ruptura en el gráfico, pero satisfacen esta propiedad en los intervalos contenidos en sus dominios. Son continuas en estos intervalos y se dice que tienen una discontinuidad en un punto donde se produce una ruptura. Comenzamos nuestra investigación sobre la continuidad explorando lo que significa que una función tenga continuidad en un punto . Intuitivamente, una función es continua en un punto determinado si no hay ruptura en su gráfico en ese punto. Continuidad en un punto Antes de ver una definición formal de lo que significa que una función sea continua en un punto, consideremos varias funciones que no cumplen nuestra noción intuitiva de lo que significa ser continua en un punto. A continuación, creamos una lista de condiciones que evitan estos fallos. Nuestra primera función de interés se muestra en la . Vemos que el gráfico de f ( x ) tiene un agujero en a . De hecho, f ( a ) es indefinida. Como mínimo, para que f ( x ) sea continua en a , necesitamos la siguiente condición: i. f ( a ) está definida. La función f ( x ) no es continua en a porque f ( a ) es indefinida. Sin embargo, como vemos en la , esta condición no es suficiente para garantizar la continuidad en el punto a . Aunque f ( a ) está definida, la función tiene una brecha en a . En este ejemplo, la brecha existe porque lím x → a f ( x ) no existe. Debemos añadir otra condición para la continuidad en a, , a saber, ii. lím x → a f ( x ) existe. La función f ( x ) no es continua en a porque lím x → a f ( x ) no existe. Sin embargo, como vemos en la , estas dos condiciones por sí solas no garantizan la continuidad en un punto. La función de esta figura satisface las dos primeras condiciones, pero sigue sin ser continua en a . Debemos añadir una tercera condición a nuestra lista: iii. lím x → a f ( x ) = f ( a ) . La función f ( x ) no es continua en a porque lím x → a f ( x ) ≠ f ( a ) . Ahora reunamos nuestra lista de condiciones y formemos una definición de continuidad en un punto. Definición Una función f ( x ) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: f ( a ) está definida lím x → a f ( x ) existe lím x → a f ( x ) = f ( a ) Una función es discontinua en un punto a si no es continua en a . El siguiente procedimiento se puede utilizar para analizar la continuidad de una función en un punto utilizando esta definición. Estrategia para la resolución de problemas: Determinación de la continuidad en un punto Compruebe si f ( a ) está definida. Si los valores de f ( a ) es indefinida, no necesitamos ir más allá. La función no es continua en a . Si los valores de f ( a ) está definida, continúe con el paso 2. Calcule lím x → a f ( x ) . Es posible que en algunos casos tengamos que hacer esto calculando primero lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) . Si lím x → a f ( x ) no existe (es decir, no es un número real), entonces la función no es continua en a y el problema está resuelto. Si los valores de lím x → a f ( x ) existe, entonces continúe con el paso 3. Compare f ( a ) y lím x → a f ( x ) . Si lím x → a f ( x ) ≠ f ( a ) , entonces la función no es continua en a . Si los valores de lím x → a f ( x ) = f ( a ) , entonces la función es continua en a . Los tres ejemplos siguientes muestran cómo aplicar esta definición para determinar si una función es continua en un punto dado. Ilustran situaciones en las que cada una de las condiciones de continuidad de la definición tiene éxito o falla. Determinación de la continuidad en un punto, condición 1 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) es continua en x = 2 . Justifique la conclusión. Empecemos por intentar calcular f ( 2 ) . Podemos ver que f ( 2 ) = 0 / 0 , que es indefinida. Por lo tanto, f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 es discontinua en 2 porque f ( 2 ) es indefinida. El gráfico de f ( x ) se muestra en la . La función f ( x ) es discontinua en 2 porque f ( 2 ) es indefinida. Determinación de la continuidad en un punto, condición 2 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { − x 2 + 4 si x ≤ 3 4 x − 8 si x > 3 es continua en x = 3 . Justifique la conclusión. Empecemos por intentar calcular f ( 3 ) . f ( 3 ) = − ( 3 2 ) + 4 = −5 . Así, f ( 3 ) está definida. A continuación, calculamos lím x → 3 f ( x ) . Para ello, debemos calcular lím x → 3 − f ( x ) y lím x → 3 + f ( x ) : lím x → 3 − f ( x ) = − ( 3 2 ) + 4 = −5 y lím x → 3 + f ( x ) = 4 ( 3 ) − 8 = 4 . Por lo tanto, lím x → 3 f ( x ) no existe. Así, f ( x ) no es continua en 3. El gráfico de f ( x ) se muestra en la . La función f ( x ) no es continua en 3 porque lím x → 3 f ( x ) no existe. Determinación de la continuidad en un punto, condición 3 Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { sen x x si x ≠ 0 1 si x = 0 es continua en x = 0 . En primer lugar, observe que f ( 0 ) = 1 . Luego, lím x → 0 f ( x ) = lím x → 0 sen x x = 1 . Por último, compare f ( 0 ) y lím x → 1 f ( x ) . Vemos que f ( 0 ) = 1 = lím x → 0 f ( x ) . Dado que se cumplen las tres condiciones de la definición de continuidad, f ( x ) es continua en x = 0 . Utilizando la definición, determine si la función f ( x ) = { 2 x + 1 si x < 1 2 si x = 1 − x + 4 si x > 1 es continua en x = 1 . Si la función no es continua en 1, indique la condición de continuidad en un punto que no se cumple. f no es continua en 1 porque f ( 1 ) = 2 ≠ 3 = lím x → 1 f ( x ) . Pista Verifique cada condición de la definición. Aplicando la definición de continuidad y los teoremas previamente establecidos sobre la evaluación de límites, podemos enunciar el siguiente teorema. Continuidad de polinomios y funciones racionales Los polinomios y las funciones racionales son continuos en todos los puntos de sus dominios. Prueba Anteriormente, demostramos que si p ( x ) como q ( x ) son polinomios, lím x → a p ( x ) = p ( a ) para cada polinomio p ( x ) y lím x → a p ( x ) q ( x ) = p ( a ) q ( a ) siempre y cuando q ( a ) ≠ 0 . Por lo tanto, los polinomios y las funciones racionales son continuos en sus dominios. □ Ahora aplicamos para determinar los puntos en los que una función racional dada es continua. Continuidad de una función racional ¿Para qué valores de x es f ( x ) = x + 1 x − 5 es continua? La función racional f ( x ) = x + 1 x − 5 es continua para cualquier valor de x excepto x = 5 . ¿Para qué valores de x es f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 2 es continua? f ( x ) es continua en todo número real. Pista Utilice la Tipos de discontinuidades Como hemos visto en el y el , las discontinuidades adquieren diferentes aspectos. Clasificamos los tipos de discontinuidades que hemos visto hasta ahora como discontinuidades removibles, discontinuidades infinitas o discontinuidades de salto. Intuitivamente, una discontinuidad removible es aquella para la cual hay un agujero en el gráfico, una discontinuidad de salto es aquella no infinita en la que las secciones de la función no se encuentran, y una discontinuidad infinita es la que se halla en una asíntota vertical. La ilustra las diferencias de estos tipos de discontinuidades. Aunque estos términos proporcionan una forma práctica de describir tres tipos comunes de discontinuidades, hay que tener en cuenta que no todas las discontinuidades encajan perfectamente en estas categorías. Las discontinuidades se clasifican como (a) removibles, (b) de salto, o (c) infinitas. Estas tres discontinuidades se definen formalmente como sigue: Definición Si f ( x ) es discontinua en a , entonces f tiene una discontinuidad removible en un si lím x → a f ( x ) . (Nota: Cuando afirmamos que lím x → a f ( x ) existe, queremos decir que lím x → a f ( x ) = L , donde L es un número real). f tiene una discontinuidad de salto en a si lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) . (Nota: Cuando afirmamos que lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, queremos decir que ambos son de valor real y que ninguno toma los valores ±∞). f tiene una discontinuidad infinita en a si lím x → a − f ( x ) = ± ∞ o lím x → a + f ( x ) = ± ∞ . Clasificar una discontinuidad En el , demostramos que f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 es discontinuo en x = 2 . Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito. Para clasificar la discontinuidad en 2 debemos evaluar lím x → 2 f ( x ) : lím x → 2 f ( x ) = lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 = lím x → 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) = 4 . Como f es discontinua en 2 y lím x → 2 f ( x ) existe, f tiene una discontinuidad removible en x = 2 . Clasificar una discontinuidad En el , demostramos que f ( x ) = { − x 2 + 4 si x ≤ 3 4 x − 8 si x > 3 es discontinuo en x = 3 . Clasifique esta discontinuidad como evitable, de salto finito o de salto infinito. Anteriormente, demostramos que f es discontinua en 3 porque lím x → 3 f ( x ) no existe. Sin embargo, como lím x → 3 − f ( x ) = −5 y lím x → 3 + f ( x ) = 4 ambos existen, concluimos que la función tiene una discontinuidad de salto en 3. Clasificar una discontinuidad Determine si f ( x ) = x + 2 x + 1 es continua en -1. Si la función es discontinua en -1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita. El valor de la función f ( –1 ) es indefinida. Por lo tanto, la función no es continua en -1. Para determinar el tipo de discontinuidad, debemos determinar el límite en -1. Vemos que lím x → −1 − x + 2 x + 1 = − ∞ y lím x → −1 + x + 2 x + 1 = + ∞ . Por lo tanto, la función tiene una discontinuidad infinita en -1. Para f ( x ) = { x 2 si x ≠ 1 3 si x = 1 , decida si f es continua en 1. Si f no es continua en 1, clasifique la discontinuidad como removible, de salto o infinita. Discontinua en 1; removible Pista Siga los pasos en . Si la función es discontinua en 1, vea lím x → 1 f ( x ) y utilice la definición para determinar el tipo de discontinuidad. Continuidad en un intervalo Ahora que hemos explorado el concepto de continuidad en un punto, extendamos esa idea a la continuidad en un intervalo . Mientras desarrollamos esta idea para diferentes tipos de intervalos, puede ser útil tener en mente la idea intuitiva de que una función es continua en un intervalo si podemos usar un lápiz para trazar la función entre dos puntos cualesquiera del intervalo sin levantar el lápiz del papel. Como preparación para definir la continuidad en un intervalo, empecemos por ver la definición de lo que significa que una función sea continua por la derecha o por la izquierda en un punto. Continuidad por la derecha y por la izquierda Una función f ( x ) se dice que es continua por la derecha en a si lím x → a + f ( x ) = f ( a ) . Una función f ( x ) se dice que es continua por la izquierda en a si lím x → a − f ( x ) = f ( a ) . Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Una función f ( x ) es continua en un intervalo cerrado de la forma [ a , b ] si es continua en cada punto de ( a , b ) y es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b . De manera similar, una función f ( x ) es continua en un intervalo de la forma ( a , b ] si es continua en ( a , b ) y es continua por la izquierda en b . La continuidad en otros tipos de intervalos se define de forma similar. Exigir que lím x → a + f ( x ) = f ( a ) y lím x → b − f ( x ) = f ( b ) asegura que podemos trazar el gráfico de la función desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) sin levantar el lápiz. Si, por ejemplo, lím x → a + f ( x ) ≠ f ( a ) , tendríamos que levantar el lápiz para saltar desde f ( a ) al gráfico del resto de la función en ( a , b ] . Continuidad en un intervalo Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = x – 1 x 2 + 2 x es continuo. Dado que f ( x ) = x – 1 x 2 + 2 x es una función racional, es continua en todos los puntos de su dominio. El dominio de f ( x ) . es el conjunto ( − ∞ , –2 ) ∪ ( –2 , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) . Por lo tanto, f ( x ) . es continua en cada uno de los intervalos ( − ∞ , –2 ) , ( –2 , 0 ) , y ( 0 , + ∞ ) . Continuidad en un intervalo Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = 4 − x 2 es continuo. A partir de las leyes de los límites, sabemos que lím x → a 4 − x 2 = 4 − a 2 para todos los valores de a en ( –2 , 2 ) . También sabemos que lím x → −2 + 4 − x 2 = 0 existe y lím x → 2 − 4 − x 2 = 0 . Por lo tanto, f ( x ) es continua en el intervalo [ −2 , 2 ] . Indique el intervalo o los intervalos en los que la función f ( x ) = x + 3 es continuo. [ −3 , + ∞ ) Pista Utilice como guía para resolver. El nos permite ampliar nuestra capacidad de calcular los límites. En particular, este teorema nos permite demostrar en definitiva que las funciones trigonométricas son continuas sobre sus dominios. Teorema de la función compuesta Si los valores de f ( x ) es continua en L y lím x → a g ( x ) = L , entonces lím x → a f ( g ( x ) ) = f ( lím x → a g ( x ) ) = f ( L ) . Antes de pasar al , recordemos que en la sección de leyes de los límites, mostramos lím x → 0 cos x = 1 = cos ( 0 ) . En consecuencia, sabemos que f ( x ) = cos x es continua en 0. En el vemos cómo combinar este resultado con el teorema de la función compuesta. Límite de una función coseno compuesta Evalúe lím x → π / 2 cos ( x − π 2 ) . La función dada es un compuesto de cos x y x − π 2 . Dado que lím x → π / 2 ( x − π 2 ) = 0 y cos x es continua en 0, podemos aplicar el teorema de la función compuesta. Por lo tanto, lím x → π / 2 cos ( x − π 2 ) = cos ( lím x → π / 2 ( x − π 2 ) ) = cos ( 0 ) = 1 . Evalúe lím x → π sen ( x − π ) . 0 Pista f ( x ) = sen x es continua en 0. Utilice como guía. La prueba del siguiente teorema utiliza el teorema de la función compuesta así como la continuidad de f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el punto 0 para demostrar que las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios. Continuidad de las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas son continuas en todos sus dominios. Prueba Comenzamos demostrando que cos x es continua en todo número real. Para ello, debemos demostrar que lím x → a cos x = cos a para todos los valores de a . lím x → a cos x = lím x → a cos ( ( x – a ) + a ) reescriba x = x – a + a = lím x → a ( cos ( x – a ) cos a − sen ( x – a ) sen a ) aplique la identidad del coseno a través de la suma de dos ángulos = cos ( lím x → a ( x – a ) ) cos a − sen ( lím x → a ( x – a ) ) sen a lím x → a ( x – a ) = 0 , y sen x y cos x son continuos en 0 = cos ( 0 ) cos a − sen ( 0 ) sen a evalúe cos(0) y sen(0) y simplifique = 1 . cos a − 0 . sen a = cos a . La prueba de que sen x es continua en todo número real es análoga. Puesto que el resto de las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de sen x y cos x , su continuidad se desprende de la ley del límite del cociente. □ Como puede ver, el teorema de la función compuesta es muy valioso para demostrar la continuidad de las funciones trigonométricas. A medida que avanzamos en el estudio del cálculo, volveremos a ver este teorema muchas veces. El teorema del valor intermedio Funciones continuas sobre intervalos de la forma [ a , b ] , donde a y b son números reales y presentan muchas propiedades útiles. A lo largo de nuestro estudio del cálculo, nos encontraremos con muchos teoremas poderosos relativos a dichas funciones. El primero de estos teoremas es el teorema del valor intermedio . El teorema del valor intermedio Supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado [ a , b ] . Si z es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces hay un número c en [ a , b ] que satisface f ( c ) = z en la . Hay un número c ∈ [ a , b ] que satisface f ( c ) = z . Aplicación del teorema del valor intermedio Demuestre que f ( x ) = x − cos x tiene al menos un cero. Dado que f ( x ) = x − cos x es continua en ( − ∞ , + ∞ ) , es continua en cualquier intervalo cerrado de la forma [ a , b ] . Si puede hallar un intervalo [ a , b ] de manera que f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, puede utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que debe haber un número real c en ( a , b ) que satisface f ( c ) = 0 . Tenga en cuenta que f ( 0 ) = 0 − cos ( 0 ) = −1 < 0 y f ( π 2 ) = π 2 − cos π 2 = π 2 > 0 . Utilizando el teorema del valor intermedio podemos ver que debe haber un número real c en [ 0 , π / 2 ] que satisface f ( c ) = 0 . Por lo tanto, f ( x ) = x − cos x tiene al menos un cero. ¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio? Si los valores de f ( x ) es continua en [ 0 , 2 ] , f ( 0 ) > 0 y f ( 2 ) > 0 , ¿podemos utilizar el teorema del valor intermedio para concluir que f ( x ) no tiene ceros en el intervalo [ 0 , 2 ]? Explique. No. El teorema del valor intermedio solo nos permite concluir que podemos encontrar un valor entre f ( 0 ) y f ( 2 ) ; no nos permite concluir que no podemos encontrar otros valores. Para ver esto más claramente, considere la función f ( x ) = ( x – 1 ) 2 . Este satisface f ( 0 ) = 1 > 0 , f ( 2 ) = 1 > 0 , y f ( 1 ) = 0 . ¿Cuándo se puede aplicar el teorema del valor intermedio? Para f ( x ) = 1 / x , f ( –1 ) = −1 < 0 y f ( 1 ) = 1 > 0 . ¿Podemos concluir que f ( x ) tiene un cero en el intervalo [ −1 , 1 ] ? No. La función no es continua sobre [ −1 , 1 ] . El teorema del valor intermedio no se aplica aquí. Demuestre que f ( x ) = x 3 − x 2 − 3 x + 1 tiene un cero en el intervalo [ 0 , 1 ] . f ( 0 ) = 1 > 0 , f ( 1 ) = −2 < 0 ; f ( x ) es continua en [ 0 , 1 ] . Debe tener un cero en este intervalo. Pista Halle f ( 0 ) y f ( 1 ) . Aplique el teorema del valor intermedio. Conceptos clave Para que una función sea continua en un punto, debe estar definida en ese punto, su límite debe existir en este y el valor de la función en ese punto debe ser igual al valor del límite en el mismo. Las discontinuidades pueden clasificarse como removibles, de salto o infinitas. Una función es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo. Es continua en un intervalo cerrado si es continua en cada punto de su interior y es continua en sus puntos finales. El teorema de la función compuesta dice: Si los valores de f ( x ) es continua en L y lím x → a g ( x ) = L , entonces lím x → a f ( g ( x ) ) = f ( lím x → a g ( x ) ) = f ( L ) . El teorema del valor intermedio garantiza que si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función toma todos los valores entre los valores de sus extremos. En los siguientes ejercicios, determine el punto o puntos en los que cada función es discontinua, si los hay. Clasifique cualquier discontinuidad como de salto, removible, infinita u otra. f ( x ) = 1 x La función está definida para toda x en el intervalo ( 0 , ∞ ) . f ( x ) = 2 x 2 + 1 f ( x ) = x x 2 − x Discontinuidad removible en x = 0 ; discontinuidad infinita en x = 1 g ( t ) = t −1 + 1 f ( x ) = 5 e x − 2 Discontinuidad infinita en x = ln 2 f ( x ) = | x − 2 | x − 2 H ( x ) = tan 2 x Discontinuidades infinitas en x = ( 2 k + 1 ) π 4 , por k = 0 , ±1, 1 , ±2, 2 , ±3,... 3 ,… f ( t ) = t + 3 t 2 + 5 t + 6 En los siguientes ejercicios, decida si la función es continua en el punto dado. Si es discontinua, ¿de qué tipo de discontinuidad se trata? f ( x ) 2 x 2 − 5 x + 3 x – 1 en x = 1 No. Es una discontinuidad removible. h ( θ ) = sen θ − cos θ tan θ en θ = π g ( u ) = { 6 u 2 + u − 2 2 u − 1 si u ≠ 1 2 7 2 si u = 1 2 , a las u = 1 2 Sí. Es continuo. f ( y ) = sen ( π y ) tan ( π y ) , a las y = 1 f ( x ) = { x 2 − e x si x < 0 x – 1 si x ≥ 0 , a las x = 0 Sí. Es continuo. f ( x ) = { x sen ( x ) si x ≤ π x tan ( x ) si x > π , a las x = π En los siguientes ejercicios, halle el valor o valores de k que hacen que cada función sea continua en el intervalo dado. f ( x ) = { 3 x + 2 , x < k 2 x − 3 , k ≤ x ≤ 8 k = −5 f ( θ ) = { sen θ , 0 ≤ θ < π 2 cos ( θ + k ) , π 2 ≤ θ ≤ π f ( x ) = { x 2 + 3 x + 2 x + 2 , x ≠ − 2 k , x = –2 k = –1 f ( x ) = { e k x , 0 ≤ x < 4 x + 3 , 4 ≤ x ≤ 8 f ( x ) = { k x , 0 ≤ x ≤ 3 x + 1 , 3 < x ≤ 10 k = 16 3 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio (TVI). Supongamos que h ( x ) = { 3 x 2 − 4 , x ≤ 2 5 + 4 x , x > 2 En el intervalo [ 0 , 4 ] , no hay ningún valor de x tal que h ( x ) = 10 , aunque h ( 0 ) < 10 y h ( 4 ) > 10 . Explique por qué esto no contradice el TVI. Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene en cada tiempo t una función de posición s ( t ) , que es continua. Supongamos que s ( 2 ) = 5 y s ( 5 ) = 2 . Otra partícula se mueve de manera que su posición viene dada por h ( t ) = s ( t ) − t . Explique por qué debe haber un valor c para 2 < c < 5 de manera que h ( c ) = 0 . Dado que tanto s como y = t son continuas en todas partes, entonces h ( t ) = s ( t ) − t es continua en todas partes y, en particular, es continua en el intervalo cerrado [ 2 , 5 ] . También, h ( 2 ) = 3 > 0 y h ( 5 ) = −3 < 0 . Por lo tanto, según el TVI, hay un valor x = c de manera que h ( c ) = 0 . [T] Utilice el enunciado “el coseno de t es igual a t al cubo”. Escriba una ecuación matemática del enunciado. Demuestre que la ecuación de la parte a. tiene al menos una solución real. Utilice una calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0,01 que contenga una solución. Aplicar el TVI para determinar si 2 x = x 3 tiene una solución en uno de los intervalos [ 1,25 , 1,375 ] o [ 1,375 , 1,5 ] . Explique brevemente su respuesta para cada intervalo. La función f ( x ) = 2 x – x 3 es continua en el intervalo [ 1,25 , 1,375 ] y tiene signos opuestos en los extremos. Consideremos el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra en el siguiente gráfico. Halle todos los valores para los que la función es discontinua. Para cada valor de la parte a., indique por qué no se aplica la definición formal de continuidad. Clasifique cada discontinuidad como de salto, removible o infinita. Supongamos que f ( x ) = { 3 x , x > 1 x 3 , x < 1 . Dibuje el gráfico de f . ¿Es posible encontrar un valor k tal que f ( 1 ) = k , que hace que f ( x ) continua para todos los números reales? Explique brevemente. a. b. No es posible redefinir f ( 1 ) ya que la discontinuidad es una discontinuidad de salto. Supongamos que f ( x ) = x 4 − 1 x 2 – 1 para x ≠ − 1 , 1 . Dibuje el gráfico de f . ¿Es posible encontrar valores k 1 y k 2 de manera que f ( –1 ) = k 1 y f ( 1 ) = k 2 , y eso hace a f ( x ) continua para todos los números reales? Explique brevemente. Dibuje el gráfico de la función y = f ( x ) con las propiedades i. hasta la vi. El dominio de f es ( − ∞ , + ∞ ) . f tiene una discontinuidad infinita en x = −6 . f ( −6 ) = 3 lím x → −3 − f ( x ) = lím x → −3 + f ( x ) = 2 f ( −3 ) = 3 f es continua por la izquierda pero no por la derecha en x = 3 . lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ y lím x → + ∞ f ( x ) = + ∞ Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo Dibuje el gráfico de la función y = f ( x ) con las propiedades i. hasta la iv. El dominio de f es [ 0 , 5 ] . lím x → 1 + f ( x ) y lím x → 1 − f ( x ) existen y son iguales. f ( x ) es continua por la izquierda pero no es continua en x = 2 , y continua por la derecha pero no es continua en x = 3 . f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = 1 , una discontinuidad de salto en x = 2 , y se mantienen los siguientes límites lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ y lím x → 3 + f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, supongamos que y = f ( x ) está definida para toda x . En cada descripción, dibuje un gráfico con la propiedad indicada. Discontinua en x = 1 con la lím x → −1 f ( x ) = –1 y lím x → 2 f ( x ) = 4 Las respuestas pueden variar; vea el siguiente ejemplo Discontinua en x = 2 pero continua en otras partes con lím x → 0 f ( x ) = 1 2 Determine si cada una de las afirmaciones dadas es verdadera. Justifique su respuesta con una explicación o un contraejemplo. f ( t ) = 2 e t − e − t es continua en todas partes. Falso. Es continua a lo largo de ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) . Si los límites izquierdo y derecho de f ( x ) cuando x → a existen y son iguales, entonces f no puede ser discontinua en x = a . Si una función no es continua en un punto, entonces no está definida en ese punto. Falso. Considere que f ( x ) = { x si x ≠ 0 4 si x = 0 . Según el TVI, cos x − sen x – x = 2 tiene una solución en el intervalo [ −1 , 1 ] . Si f ( x ) es continua, de manera que f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces f ( x ) = 0 tiene exactamente una solución en [ a , b ] . Falso. El TVI solo dice que al menos hay una solución; no garantiza que haya exactamente una. Considere que f ( x ) = cos ( x ) sobre [ − π , 2 π ] . La función f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 x 2 – 1 es continua en el intervalo [ 0 , 3 ] . Si f ( x ) es continua en todas partes y f ( a ) , f ( b ) > 0 , entonces no hay raíz de f ( x ) en el intervalo [ a , b ] . Falso. ¡El TVI no funciona a la inversa! Considere que ( x – 1 ) 2 en el intervalo [ −2 , 2 ] . [T] Los siguientes problemas toman en cuenta la forma escalar de la ley de Coulomb, que describe la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales, como los electrones. Viene dada por la ecuación F ( r ) = k e | q 1 q 2 | r 2 , donde k e es la constante de Coulomb, q i son las magnitudes de las cargas de las dos partículas, y r es la distancia entre las dos partículas. Para simplificar el cálculo de un modelo con muchas partículas que interactúan, después de cierto valor umbral r = R , aproximamos F a cero. Explique el razonamiento físico de esta suposición. ¿Cuál es la ecuación de fuerza? Evalúe la fuerza F utilizando tanto la ley de Coulomb como nuestra aproximación, suponiendo que dos protones con una magnitud de carga de 1,6022 × 10 −19 culombios (C) , y la constante de Coulomb k e = 8,988 × 10 9 Nm 2 / C 2 están a 1 m de distancia. Además, suponga que R < 1 m . ¿Cuánta inexactitud genera nuestra aproximación? ¿Es razonable nuestra aproximación? ¿Existe algún valor finito de R para el que este sistema siga siendo continuo en R ? En vez de hacer que la fuerza sea 0 en R , dejamos que la fuerza sea 10 −20 para r ≥ R . Supongamos dos protones, que tienen una magnitud de carga 1,6022 × 10 −19 C , y la constante de Coulomb k e = 8,988 × 10 9 Nm 2 / C 2 . ¿Existe un valor R que pueda hacer que este sistema sea continuo? Si es así, hállelo. R = 0,0001519 m Recuerde la discusión sobre las naves espaciales del inicio del capítulo. Los siguientes problemas analizan el lanzamiento de un cohete desde la superficie de la Tierra. La fuerza de gravedad sobre el cohete viene dada por F ( d ) = − m k / d 2 , donde m es la masa del cohete, d es la distancia del cohete al centro de la Tierra y k es una constante. [T] Determine el valor y las unidades de k dado que la masa del cohete es de 3 millones de kg. ( Pista : La distancia del centro de la Tierra a su superficie es de 6378 km). [T] A partir de cierta distancia D , el efecto gravitatorio de la Tierra se hace bastante despreciable, por lo que podemos aproximar la función de fuerza mediante F ( d ) = { − m k d 2 si d < D 10.000 si d ≥ D . Usando el valor de k del ejercicio anterior, calcule la condición necesaria D tal que la función de fuerza permanezca continua. D = 345.826 km A medida que el cohete se aleja de la superficie de la Tierra, hay una distancia D en la que el cohete pierde parte de su masa, puesto que ya no necesita el exceso de combustible almacenado. Podemos escribir esta función como F ( d ) = { − m 1 k d 2 si d < D − m 2 k d 2 si d ≥ D . ¿Existe un valor D tal que esta función sea continua, suponiendo m 1 ≠ m 2 ? Demuestre que las siguientes funciones son continuas en todas partes f ( θ ) = sen θ Para todos los valores de a , f ( a ) está definida, lím θ → a f ( θ ) existe, y lím θ → a f ( θ ) = f ( a ) . Por lo tanto, f ( θ ) es continua en todas partes. g ( x ) = | x | ¿Dónde es f ( x ) = { 0 si x es irracional 1 si x es racional es continua? En ninguna parte continuidad en un punto una función f ( x ) es continua en un punto a si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: (1) f ( a ) está definida, (2) lím x → a f ( x ) existe y (3) lím x → a f ( x ) = f ( a ) continuidad por la izquierda una función es continua por la izquierda en b si lím x → b − f ( x ) = f ( b ) continuidad por la derecha una función es continua por la derecha en a si lím x → a + f ( x ) = f ( a ) continuidad en un intervalo función que puede ser trazada con un lápiz sin levantarlo del papel; es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo; una función f ( x ) es continua en un intervalo cerrado de la forma [ a , b ] si es continua en cada punto de ( a , b ) , y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b discontinuidad en un punto una función es discontinua en un punto o tiene una discontinuidad en un punto si no es continua en el punto discontinuidad infinita se produce una discontinuidad infinita en un punto a si lím x → a − f ( x ) = ± ∞ o lím x → a + f ( x ) = ± ∞ Teorema del valor intermedio supongamos que f es continua en un intervalo cerrado y limitado [ a , b ] ; si z es un número real cualquiera entre f ( a ) y f ( b ) , entonces hay un número c en [ a , b ] que satisface f ( c ) = z discontinuidad de salto se produce una discontinuidad de salto en un punto a si lím x → a − f ( x ) y lím x → a + f ( x ) ambos existen, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) discontinuidad removible se produce una discontinuidad removible en un punto a si f ( x ) es discontinua en a , pero lím x → a f ( x ) existe", "section": "Continuidad", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "La definición precisa de un límite Hasta ahora ya ha pasado de la definición muy informal de un límite en la introducción de este capítulo a la comprensión intuitiva de un límite. En este punto, debería tener una intuición muy fuerte de lo que significa el límite de una función y cómo puede hallarlo. En esta sección, convertiremos esa idea intuitiva de un límite en una definición formal utilizando un lenguaje matemático preciso. La definición formal de un límite es posiblemente una de las definiciones más desafiantes que encontrará al principio de sus estudios de cálculo; sin embargo, vale la pena cualquier esfuerzo para conciliarla con su noción intuitiva de un límite. La comprensión de esta definición es la llave que abre las puertas a una mejor comprensión del cálculo. Cuantificar la cercanía Antes de exponer la definición formal de un límite, debemos introducir algunas ideas preliminares. Recordemos que la distancia entre dos puntos a y b en una línea numérica viene dada por | a − b | . La afirmación | f ( x ) − L | < ε puede interpretarse como: La distancia entre f ( x ) y L es menor que ε. La afirmación 0 < | x – a | < δ puede interpretarse como x ≠ a y la distancia entre x y a es menor que δ. También es importante observar las siguientes equivalencias de valor absoluto: La afirmación | f ( x ) − L | < ε equivale a la afirmación L − ε < f ( x ) < L + ε . La afirmación 0 < | x – a | < δ equivale a la afirmación a − δ < x < a + δ y x ≠ a . Con estas aclaraciones, podemos enunciar la definición épsilon-delta del límite formal. Definición Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a sobre un intervalo abierto que contiene a . Supongamos que L es un número real. Entonces lím x → a f ( x ) = L si, para cada ε > 0 , existe un δ > 0 , tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . Esta definición puede parecer bastante compleja desde el punto de vista matemático, pero resulta más fácil de entender si la desglosamos frase por frase. El enunciado en sí mismo implica algo llamado cuantificador universal (para cada ε > 0 ), hay un cuantificador existencial (existe un δ > 0 ), y, por último, una declaración condicional (si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε ). Echemos un vistazo a la , que desglosa la definición y traduce cada parte. Explicación de la definición épsilon-delta del límite Definición Explicación 1 Por cada ε > 0 , 1 Para cada distancia positiva ε de L , 2. existe un δ > 0 , 2. Hay una distancia positiva δ de a , 3. tal que 3. tal que 4. si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . 4. si x está más cerca que δ de a y x ≠ a , entonces f ( x ) está más cerca que ε de L . Podemos entender mejor esta definición si la observamos geométricamente. La muestra los posibles valores de δ para varias opciones de ε > 0 para una función determinada f ( x ) , un número a , y un límite L en a . Obsérvese que a medida que elegimos valores menores de ε (la distancia entre la función y el límite), siempre podemos hallar un δ lo suficientemente pequeño de manera que si hemos elegido un valor de x dentro de δ de a , entonces el valor de f ( x ) está dentro de ε del límite L . Estos gráficos muestran los posibles valores de δ , dadas opciones sucesivamente más pequeñas de ε . Visite la siguiente miniaplicación para experimentar con la búsqueda de valores de δ para determinados valores de ε : La definición épsilon-delta de límites El muestra cómo se puede utilizar esta definición para demostrar una afirmación sobre el límite de una función específica en un valor determinado. Probar una afirmación sobre el límite de una función específica Compruebe que lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . Supongamos que ε > 0 . La primera parte de la definición comienza \"Para cada ε > 0 “. Esto significa que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos \"Supongamos que ε > 0 ,” señalamos nuestra intención de hacerlo. Elija δ = ε 2 . La definición continúa con \"existe un δ > 0 . \" La frase \"existe\" en un enunciado matemático es siempre una señal para la búsqueda del tesoro. En otras palabras, debemos ir a buscar δ . Entonces, ¿de dónde vino exactamente δ = ε / 2 ? Hay dos enfoques básicos para rastrear a δ . Un método es totalmente algebraico y el otro es geométrico. Comenzamos abordando el problema desde un punto de vista algebraico. Ya que en última instancia queremos | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε , comenzamos manipulando esta expresión: | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε equivale a | 2 x − 2 | < ε , que a su vez equivale a | 2 | | x – 1 | < ε . Por último, esto equivale a | x – 1 | < ε / 2 . Así, parece que δ = ε / 2 es apropiado. También podemos hallar δ mediante métodos geométricos. La demuestra cómo se hace. Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente. Supongamos que 0 < | x – 1 | < δ . Cuando δ , nuestro objetivo es demostrar que si 0 < | x – 1 | < δ , entonces | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε . Para demostrar cualquier afirmación de la forma \"Si esto, entonces aquello\", empezamos por suponer \"esto\" e intentar conseguir \"aquello\". Por lo tanto, | ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | propiedad del valor absoluto = | 2 ( x – 1 ) | = | 2 | | x – 1 | | 2 | = 2 = 2 | x – 1 | < 2 . δ aquí es donde usamos la suposición de que 0 < | x – 1 | < δ = 2 . ε 2 = ε aquí es donde usamos nuestra elección de δ = ε / 2 Análisis En esta parte de la prueba, comenzamos con | ( 2 x + 1 ) − 3 | y utilizamos nuestra suposición 0 < | x – 1 | < δ en una parte clave de la cadena de desigualdades para conseguir | ( 2 x + 1 ) − 3 | sea inferior a ε . Con la misma facilidad podríamos haber manipulado la supuesta desigualdad 0 < | x – 1 | < δ para llegar a | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε de la siguiente forma: 0 < | x – 1 | < δ ⇒ | x – 1 | < δ ⇒ − δ < x – 1 < δ ⇒ − ε 2 < x – 1 < ε 2 ⇒ − ε < 2 x − 2 < ε ⇒ − ε < 2 x − 2 < ε ⇒ | 2 x − 2 | < ε ⇒ | ( 2 x + 1 ) − 3 | < ε . Por lo tanto, lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . (Una vez completada la prueba, expresamos lo que hemos conseguido) Después de eliminar todas las observaciones, aquí está la versión final de la prueba: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε / 2 . Supongamos que 0 < | x – 1 | < δ . Por lo tanto, | ( 2 x + 1 ) − 3 | = | 2 x − 2 | = | 2 ( x – 1 ) | = | 2 | | x – 1 | = 2 | x – 1 | < 2 . δ = 2 . ε 2 = ε . Por lo tanto, lím x → 1 ( 2 x + 1 ) = 3 . La siguiente estrategia de resolución de problemas resume el tipo de prueba que elaboramos en el . Estrategia para la resolución de problemas: Al demostrar que lím x → a f ( x ) = L para una función específica f ( x ) Comencemos la prueba con la siguiente afirmación: Supongamos que ε > 0 . A continuación, tenemos que obtener un valor para δ . Después de haberlo obtenido, hacemos la siguiente afirmación, rellenando el espacio en blanco con nuestra elección de δ : Elija δ = _______. El siguiente enunciado de la prueba debería ser (en este punto, completamos nuestro valor dado para a ): Suponga que 0 < | x – a | < δ . A continuación, con base en esta suposición, tenemos que demostrar que | f ( x ) − L | < ε , donde f ( x ) y L son nuestra función f ( x ) y nuestro límite L . En algún momento, necesitamos utilizar 0 < | x – a | < δ . Concluimos nuestra prueba con la afirmación: Por lo tanto, lím x → a f ( x ) = L . Probar una afirmación sobre un límite Complete la prueba de que lím x → −1 ( 4 x + 1 ) = −3 al rellenar los espacios en blanco. Supongamos que _____. Elija δ = _______. Supongamos que 0 < | x − _______ | < δ . Así, | ________ − ________ | = _____________________________________ ε . Comenzamos llenando los espacios en blanco en los que la definición especifica las opciones. Por lo tanto, tenemos Supongamos que ε > 0 . Elija δ = _______. Supongamos que 0 < | x − ( –1 ) | < δ . (o, de forma equivalente, 0 < | x + 1 | < δ ). Así, | ( 4 x + 1 ) − ( −3 ) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ _______ ε . Al centrarnos en la última línea de la prueba, notamos que deberíamos elegir δ = ε 4 . Ahora completamos la redacción final de la prueba: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε 4 . Supongamos que 0 < | x − ( –1 ) | < δ (o, de forma equivalente, 0 < | x + 1 | < δ ). Así, | ( 4 x + 1 ) − ( −3 ) | = | 4 x + 4 | = | 4 | | x + 1 | < 4 δ = 4 ( ε / 4 ) = ε . Complete la prueba de que lím x → 2 ( 3 x − 2 ) = 4 al rellenar los espacios en blanco. Supongamos que _______. Elija δ = _______ . Supongamos que 0 < | x − ____ | < ____ . Por lo tanto, | _______ − ____ | = ______________________________ ε . Por lo tanto, lím x → 2 ( 3 x − 2 ) = 4 . Supongamos que ε > 0 ; elija δ = ε 3 ; asuma que 0 < | x − 2 | < δ . Así, | ( 3 x − 2 ) − 4 | = | 3 x − 6 | = | 3 | . | x − 2 | < 3 . δ = 3 . ( ε / 3 ) = ε . Por lo tanto, lím x → 2 3 x − 2 = 4 . Pista Siga el esquema de la estrategia de resolución de problemas que elaboramos en su totalidad en . En el y el , las pruebas eran bastante sencillas, ya que las funciones con las que trabajábamos eran lineales. En el , vemos cómo modificar la prueba para acomodar una función no lineal. Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque geométrico) Compruebe que lím x → 2 x 2 = 4. Supongamos que ε > 0 . La primera parte de la definición comienza \"Para cada ε > 0 ,” por lo que debemos demostrar que lo que sigue es cierto sin importar el valor positivo de ε que se elija. Cuando afirmamos \"Supongamos que ε > 0 ,” señalamos nuestra intención de hacerlo. Sin perder la generalidad, asuma que ε ≤ 4 . Surgen dos preguntas: ¿Por qué queremos ε ≤ 4 y ¿por qué está bien hacer esa suposición? En respuesta a la primera pregunta: Más adelante, en el proceso de resolución de δ , descubriremos que δ implica la cantidad 4 − ε . En consecuencia, necesitamos ε ≤ 4 . En respuesta a la segunda pregunta: Si podemos hallar δ > 0 que \"funciona\" para ε ≤ 4 , entonces \"funcionará\" para cualquier ε > 4 también. Tenga en cuenta que, aunque siempre está bien poner un límite superior a ε , nunca se debe poner un límite inferior (distinto de cero) a ε . Elija δ = min { 2 − 4 − ε , 4 + ε − 2 } . La muestra cómo hemos hecho esta elección de δ . Este gráfico muestra cómo encontramos δ geométricamente para un ε dado para la prueba en el . Debemos mostrar: Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | x 2 − 4 | < ε , por lo que debemos empezar por asumir 0 < | x − 2 | < δ . No necesitamos realmente 0 < | x − 2 | (en otras palabras, x ≠ 2 ) para esta prueba. Dado que 0 < | x − 2 | < δ ⇒ | x − 2 | < δ , está bien para colocar 0 < | x − 2 | . | x − 2 | < δ . Por lo tanto, − δ < x − 2 < δ . Recordemos que δ = min { 2 − 4 − ε , 4 + ε − 2 } . Por lo tanto, δ ≤ 2 − 4 − ε y en consecuencia − ( 2 − 4 − ε ) ≤ − δ . También utilizamos δ ≤ 4 + ε − 2 aquí. En este punto podríamos preguntarnos: ¿Por qué sustituimos 2 − 4 − ε por δ en el lado izquierdo de la desigualdad y 4 + ε − 2 en el lado derecho de la desigualdad? Si nos fijamos en la , vemos que 2 − 4 − ε corresponde a la distancia a la izquierda de 2 en el eje x y 4 + ε − 2 corresponde a la distancia de la derecha. Por lo tanto, − ( 2 − 4 − ε ) ≤ − δ < x − 2 < δ ≤ 4 + ε − 2 . Simplificamos la expresión de la izquierda: −2 + 4 − ε < x − 2 < 4 + ε − 2 . Entonces, sumamos 2 a todas las partes de la desigualdad: 4 − ε < x < 4 + ε . Cuadramos todas las partes de la desigualdad. Está bien hacerlo, ya que todas las partes de la desigualdad son positivas: 4 − ε < x 2 < 4 + ε . Restamos 4 a todas las partes de la desigualdad: − ε < x 2 − 4 < ε . Por último, | x 2 − 4 | < ε . Por lo tanto, lím x → 2 x 2 = 4 . Halle δ correspondiente a ε > 0 para probar que lím x → 9 x = 3 . Elija δ = min { 9 − ( 3 − ε ) 2 , ( 3 + ε ) 2 − 9 } . Pista Dibuje un gráfico similar al que aparece en el . El enfoque geométrico para demostrar que el límite de una función toma un valor específico funciona bastante bien para algunas funciones. Además, el conocimiento de la definición formal del límite que proporciona este método es inestimable. Sin embargo, también podemos abordar las pruebas de límites desde un punto de vista puramente algebraico. En muchos casos, un enfoque algebraico no solo puede proporcionarnos una visión adicional de la definición, sino que también puede resultar más sencillo. Además, el enfoque algebraico es la principal herramienta utilizada en las pruebas de las afirmaciones sobre los límites. Para el , adoptamos un enfoque puramente algebraico. Demostración de una afirmación sobre el límite de una función específica (enfoque algebraico) Compruebe que lím x → −1 ( x 2 − 2 x + 3 ) = 6 . Utilicemos nuestro esquema de la estrategia de resolución de problemas: Supongamos que ε > 0 . Elija δ = min { 1 , ε / 5 } . Esta elección de δ puede parecer extraña a primera vista, pero se obtuvo echando un vistazo a nuestra desigualdad final deseada: | ( x 2 − 2 x + 3 ) − 6 | < ε . Esta desigualdad equivale a | x + 1 | . | x − 3 | < ε . En este punto, la tentación de elegir simplemente δ = ε x − 3 es muy fuerte. Lamentablemente, nuestra elección de δ debe depender únicamente de ε y de ninguna otra variable. Si podemos sustituir | x − 3 | por un valor numérico, podremos resolver el problema. Este es el lugar donde si asumimos δ ≤ 1 entra en juego. La elección de δ ≤ 1 aquí es arbitraria. Podríamos haber utilizado fácilmente cualquier otro número positivo. En algunas pruebas, puede ser necesario un mayor cuidado en esta elección. Ahora bien, ya que δ ≤ 1 y | x + 1 | < δ ≤ 1 , podemos demostrar que | x − 3 | < 5 . En consecuencia, | x + 1 | . | x − 3 | < | x + 1 | . 5 . En este punto nos damos cuenta de que también necesitamos δ ≤ ε / 5 . Así, elegimos δ = min { 1 , ε / 5 } . Supongamos que 0 < | x + 1 | < δ . Por lo tanto, | x + 1 | < 1 y | x + 1 | < ε 5 . Dado que | x + 1 | < 1 , podemos concluir que −1 < x + 1 < 1 . Así, restando 4 a todas las partes de la desigualdad, obtenemos −5 < x − 3 < − 1 . En consecuencia, | x − 3 | < 5 . Esto nos da | ( x 2 − 2 x + 3 ) − 6 | = | x + 1 | . | x − 3 | < ε 5 . 5 = ε . Por lo tanto, lím x → −1 ( x 2 − 2 x + 3 ) = 6 . Complete la prueba de que lím x → 1 x 2 = 1 . Supongamos que ε > 0 ; elija δ = min { 1 , ε / 3 } ; asuma que 0 < | x – 1 | < δ . Dado que | x – 1 | < 1 , podemos concluir que −1 < x – 1 < 1 . Por lo tanto, 1 < x + 1 < 3 . Por lo tanto, | x + 1 | < 3 . | x 2 – 1 | = | x – 1 | . | x + 1 | < ε / 3 . 3 = ε Pista Utilice como guía. Verás que, en general, cuanto más compleja sea una función, es más probable que el enfoque algebraico sea el más fácil de aplicar. El enfoque algebraico también es más útil para demostrar afirmaciones sobre los límites. Prueba de las leyes de los límites Ahora demostraremos cómo utilizar la definición épsilon-delta de un límite para construir una prueba rigurosa de una de las leyes de límites. La desigualdad del triángulo se utiliza en un punto clave de la prueba, así que primero revisamos esta propiedad clave del valor absoluto. Definición La desigualdad del triángulo establece que si a y b son cualquier número real, entonces | a + b | ≤ | a | + | b | . Prueba Demostramos la siguiente ley de los límites: Si los valores de lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M , entonces lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M . Supongamos que ε > 0 . Elija δ 1 > 0 de modo que si 0 < | x – a | < δ 1 , entonces | f ( x ) − L | < ε / 2 . Elija δ 2 > 0 de modo que si 0 < | x – a | < δ 2 , entonces | g ( x ) − M | < ε / 2 . Elija δ = min { δ 1 , δ 2 } . Supongamos que 0 < | x – a | < δ . Por lo tanto, 0 < | x – a | < δ 1 y 0 < | x – a | < δ 2 . Por lo tanto, | ( f ( x ) + g ( x ) ) − ( L + M ) | = | ( f ( x ) − L ) + ( g ( x ) − M ) | ≤ | f ( x ) − L | + | g ( x ) − M | < ε 2 + ε 2 = ε . □ Ahora exploraremos el significado de la inexistencia de un límite. El límite lím x → a f ( x ) no existe si no hay ningún número real L para el que lím x → a f ( x ) = L . Así, para todos los números reales L , lím x → a f ( x ) ≠ L . Para entender lo que esto significa, examinamos cada parte de la definición de lím x → a f ( x ) = L junto con su opuesto. Una explicación de la definición se halla en la . Explicación de la definición de lím x → a f ( x ) = L y su opuesto Definición Opuesto 1 Por cada ε > 0 , 1 Existe ε > 0 para que 2. existe un δ > 0 , para que 2. por cada δ > 0 , 3. si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . 3. Existe una x que satisface 0 < | x – a | < δ por lo que | f ( x ) − L | ≥ ε . Por último, podemos afirmar lo que significa que un límite no exista. El límite lím x → a f ( x ) no existe si para cada número real L , existe un número real ε > 0 de manera que para todos los δ > 0 , hay una x que satisface 0 < | x – a | < δ , por lo que | f ( x ) − L | ≥ ε . Apliquemos esto en el para demostrar que un límite no existe. Demostrar la inexistencia de un límite Demuestre que lím x → 0 | x | x no existe. El gráfico de f ( x ) = | x | / x aquí se muestra: Supongamos que L es un candidato a límite. Elija ε = 1 / 2 . Supongamos que δ > 0 . O bien L ≥ 0 o L < 0 . Si L ≥ 0 , entonces supongamos que x = − δ / 2 . Por lo tanto, | x − 0 | = | − δ 2 − 0 | = δ 2 < δ y | | − δ 2 | − δ 2 − L | = | −1 − L | = L + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . Por otro lado, si L < 0 , entonces supongamos que x = δ / 2 . Por lo tanto, | x − 0 | = | δ 2 − 0 | = δ 2 < δ y | | δ 2 | δ 2 − L | = | 1 − L | = | L | + 1 ≥ 1 > 1 2 = ε . Así, para cualquier valor de L , lím x → 0 | x | x ≠ L . Límites unilaterales e infinitos De la misma manera que primero adquirimos una comprensión intuitiva de los límites y luego pasamos a una definición más rigurosa de un límite, ahora volvemos a examinar los límites unilaterales. Para ello, modificamos la definición épsilon-delta de un límite para dar definiciones formales épsilon-delta para los límites por la derecha y la izquierda en un punto. Estas definiciones solo requieren ligeras modificaciones respecto a la definición del límite. En la definición del límite por la derecha, la desigualdad 0 < x – a < δ sustituye a 0 < | x – a | < δ , que asegura que solo consideramos los valores de x que son mayores que (a la derecha de) a . Del mismo modo, en la definición del límite por la izquierda, la desigualdad − δ < x – a < 0 sustituye a 0 < | x – a | < δ , que garantiza que solo consideremos los valores de x que son menores que (a la izquierda de) a . Definición Límite por la derecha: Supongamos que f ( x ) se define sobre un intervalo abierto de la forma ( a , b ) donde a < b . Entonces, lím x → a + f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si 0 < x – a < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε . Límite por la izquierda: Supongamos que f ( x ) se define sobre un intervalo abierto de la forma ( b , c ) donde b < c . Entonces, lím x → a − f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si − δ < x – a < 0 , entonces | f ( x ) − L | < ε . Probar una declaración sobre un límite por la derecha Compruebe que lím x → 4 + x − 4 = 0 . Supongamos que ε > 0 . Elija δ = ε 2 . Como en última instancia queremos | x − 4 − 0 | < ε , manipulamos esta desigualdad para obtener x − 4 < ε o, de forma equivalente, 0 < x − 4 < ε 2 , que da δ = ε 2 una elección clara. También podemos determinar δ geométricamente, como se muestra en la . Este gráfico muestra cómo encontramos δ para la prueba en el . Supongamos que 0 < x − 4 < δ . Por lo tanto, 0 < x − 4 < ε 2 . Por lo tanto, 0 < x − 4 < ε . Finalmente, | x − 4 − 0 | < ε . Por lo tanto, lím x → 4 + x − 4 = 0 . Halle δ correspondiente a ε para demostrar que lím x → 1 − 1 − x = 0 . δ = ε 2 Pista Dibuje el gráfico y utiliza el como guía de resolución. Concluimos el proceso de convertir nuestras ideas intuitivas de varios tipos de límites en definiciones formales rigurosas, persiguiendo una definición formal de los límites infinitos. Para tener lím x → a f ( x ) = + ∞ , queremos que los valores de la función f ( x ) se hagan cada vez más grandes a medida que x se acerca a a . En lugar del requisito de que | f ( x ) − L | < ε para un ε arbitrariamente pequeño cuando 0 < | x – a | < δ para un delta lo bastante pequeño δ , queremos f ( x ) > M para un M positivo arbitrariamente grande cuando 0 < | x – a | < δ para un delta lo bastante pequeño δ . La ilustra esta idea mostrando el valor de δ para valores sucesivamente mayores de M . Estos gráficos representan los valores de δ para que M demuestre que lím x → a f ( x ) = + ∞ . Definición Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Entonces, tenemos un límite infinito lím x → a f ( x ) = + ∞ si para cada M > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces f ( x ) > M . Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Entonces, tenemos un límite infinito negativo lím x → a f ( x ) = − ∞ si para cada M > 0 , existe δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces f ( x ) < − M . Conceptos clave La noción intuitiva de un límite puede convertirse en una definición matemática rigurosa conocida como la definición épsilon-delta del límite . La definición épsilon-delta puede utilizarse para demostrar afirmaciones sobre los límites. La definición épsilon-delta de un límite puede modificarse para definir límites unilaterales. En los siguientes ejercicios, escriba la definición adecuada de ε − δ para cada uno de los enunciados dados. lím x → a f ( x ) = N lím t → b g ( t ) = M Por cada ε > 0 , existe un δ > 0 , de modo que si 0 < | t − b | < δ , entonces | g ( t ) − M | < ε lím x → c h ( x ) = L lím x → a φ ( x ) = A Por cada ε > 0 , existe un δ > 0 , de modo que si 0 < | x – a | < δ , entonces | φ ( x ) – A | < ε El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 2 f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ > 0 que satisfaga cada afirmación. Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < 1 . Si los valores de 0 < | x − 2 | < δ , entonces | f ( x ) − 2 | < 0,5 . δ ≤ 0,25 El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 3 f ( x ) = −1 . En los siguientes ejercicios, determine un valor de δ > 0 que satisfaga cada afirmación. Si los valores de 0 < | x − 3 | < δ , entonces | f ( x ) + 1 | < 1 . Si los valores de 0 < | x − 3 | < δ , entonces | f ( x ) + 1 | < 2 . δ ≤ 2 El siguiente gráfico de la función f satisface lím x → 3 f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, para cada valor de ε , halle un valor de δ > 0 de tal manera que la definición precisa de límite se cumpla. ε = 1,5 ε = 3 δ ≤ 1 [T] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar un número δ para que las afirmaciones se cumplan. | sen ( 2 x ) − 1 2 | < 0,1 , siempre que | x − π 12 | < δ | x − 4 – 2 | < 0,1 , siempre que | x − 8 | < δ δ < 0,3900 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites dados. lím x → 2 ( 5 x + 8 ) = 18 lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 = 6 Supongamos que δ = ε . Si 0 < | x − 3 | < ε , entonces | x + 3 − 6 | = | x − 3 | < ε . lím x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 = 5 lím x → 0 x 4 = 0 Supongamos que δ = ε 4 . Si 0 < | x | < ε 4 , entonces | x 4 | = x 4 < ε . lím x → 2 ( x 2 + 2 x ) = 8 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites unilaterales dados. lím x → 5 − 5 − x = 0 Supongamos que δ = ε 2 . Si 5 − ε 2 < x < 5 , entonces | 5 − x | = 5 − x < ε . lím x → 0 + f ( x ) = –2 , donde f ( x ) = { 8 x − 3 , si x < 0 4 x − 2 , si x ≥ 0 . lím x → 1 − f ( x ) = 3 , donde f ( x ) = { 5 x − 2 , si x < 1 7 x – 1 , si x ≥ 1 . Supongamos que δ = ε / 5 . Si 1 − ε / 5 < x < 1 , entonces | f ( x ) − 3 | = 5 x − 5 < ε . En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar los límites infinitos dados. lím x → 0 1 x 2 = ∞ lím x → −1 3 ( x + 1 ) 2 = ∞ Supongamos que δ = 3 M . Si 0 < | x + 1 | < 3 M , entonces f ( x ) = 3 ( x + 1 ) 2 > M . lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 2 = − ∞ Un ingeniero utiliza una máquina para cortar un cuadrado plano de Aerogel de 144 cm 2 . Si hay una tolerancia de error máxima en el área de 8 cm 2 , ¿con qué precisión debe cortar el lado, suponiendo que todos los lados tienen la misma longitud? ¿Cómo se relacionan estos números con δ , ε , a , y L ? 0,328 cm, ε = 8 , δ = 0,33 , a = 12 , L = 144 Utilice la definición precisa de límite para demostrar que el siguiente límite no existe lím x → 1 | x – 1 | x – 1 . Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que lím x → 0 f ( x ) no existe, dado que f ( x ) es la función techo. ( Pista : Pruebe cualquier δ < 1 ). Las respuestas pueden variar. Utilizando definiciones precisas de los límites, demuestre que lím x → 0 f ( x ) no existe: f ( x ) = { 1 si x es racional 0 si x es irracional . ( Pista : Piense que siempre puedes elegir un número racional 0 < r < d , pero | f ( r ) − 0 | = 1 ). Utilizando definiciones precisas de los límites, determine lím x → 0 f ( x ) por f ( x ) = { x si x es racional 0 si x es irracional . ( Pista : Divida en dos casos, x racional y x irracional) 0 Utilizando la función del ejercicio anterior, use la definición precisa de límites para demostrar que lím x → a f ( x ) no existe para a ≠ 0 . En los siguientes ejercicios, supongamos que lím x → a f ( x ) = L y lím x → a g ( x ) = M ambos existen. Utilice la definición precisa de límites para demostrar las siguientes leyes de los límites: lím x → a ( f ( x ) + g ( x ) ) = L + M f ( x ) − g ( x ) = f ( x ) + ( –1 ) g ( x ) grandes. lím x → a [ c f ( x ) ] = c L para cualquier constante real c (Pista : Consideremos dos casos: c = 0 y c ≠ 0 ). lím x → a [ f ( x ) g ( x ) ] = L M . ( Sugerencia : | f ( x ) g ( x ) − L M | = | f ( x ) g ( x ) − f ( x ) M + f ( x ) M − L M | ≤ | f ( x ) | | g ( x ) − M | + | M | | f ( x ) − L | ). Las respuestas pueden variar. Ejercicios de repaso del capítulo Verdadero o falso . En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Una función tiene que ser continua en x = a si el lím x → a f ( x ) . Puede utilizar la regla de cociente para evaluar lím x → 0 sen x x . Falso Si hay una asíntota vertical en x = a para la función f ( x ) , entonces f es indefinida en el punto x = a . Si lím x → a f ( x ) no existe, entonces f es indefinida en el punto x = a . Falso. Es posible una discontinuidad removible. Utilizando el gráfico, halle cada límite o explique por qué no existe el límite. lím x → −1 f ( x ) grandes. lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, evalúe el límite algebraicamente o explique por qué el límite no existe. lím x → 2 2 x 2 − 3 x − 2 x − 2 5 lím x → 0 3 x 2 − 2 x + 4 lím x → 3 x 3 − 2 x 2 – 1 3 x − 2 8 / 7 lím x → π / 2 cot x cos x lím x → −5 x 2 + 25 x + 5 DNE lím x → 2 3 x 2 − 2 x − 8 x 2 − 4 lím x → 1 x 2 – 1 x 3 − 1 2 / 3 lím x → 1 x 2 – 1 x – 1 lím x → 4 4 − x x − 2 −4; lím x → 4 1 x − 2 Utilice el teorema del emparedado en los siguientes ejercicios para demostrar el límite. lím x → 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0 Dado que −1 ≤ cos ( 2 π x ) ≤ 1 , entonces − x 2 ≤ x 2 cos ( 2 π x ) ≤ x 2 . Dado que lím x → 0 x 2 = 0 = lím x → 0 − x 2 , se deduce que lím x → 0 x 2 cos ( 2 π x ) = 0 . lím x → 0 x 3 sen ( π x ) = 0 Determine el dominio tal que la función f ( x ) = x − 2 + x e x sea continua en su dominio. [ 2 , ∞ ] En los siguientes ejercicios, determine el valor de c tal que la función siga siendo continua. Dibuje la función resultante para asegurarse de que es continua. f ( x ) = { x 2 + 1 , x > c 2 x , x ≤ c f ( x ) = { x + 1 , x > − 1 x 2 + c , x ≤ − 1 c = –1 En los siguientes ejercicios, utilice la definición precisa de límite para demostrar el límite. lím x → 1 ( 8 x + 16 ) = 24 lím x → 0 x 3 = 0 δ = ε 3 Se lanza una pelota al aire y su posición vertical viene dada por x ( t ) = −4,9 t 2 + 25 t + 5 . Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que la pelota debe aterrizar en el suelo en algún momento entre 5 s y 6 s después del lanzamiento. Una partícula que se mueve a lo largo de una línea tiene un desplazamiento según la función x ( t ) = t 2 − 2 t + 4 , donde x se mide en metros y t se mide en segundos. Halle la velocidad media durante el periodo t = [ 0 , 2 ] . 0 m / sec A partir de los ejercicios anteriores, estime la velocidad instantánea en t = 2 comprobando la velocidad media dentro de t = 0,01 sec . definición epsilon-delta del límite lím x → a f ( x ) = L si para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que si 0 < | x – a | < δ , entonces | f ( x ) − L | < ε desigualdad triangular si a y b son números reales cualesquiera, entonces | a + b | ≤ | a | + | b |", "section": "La definición precisa de un límite", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción El Hennessey Venom GT puede pasar de 0 a 200 mph en 14,51 segundos (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr). El Hennessey Venom GT es uno de los automóviles más rápidos del mundo. En 2014, alcanzó una velocidad récord de 270,49 mph. Puede pasar de 0 a 200 mph en 14,51 segundos. Las técnicas de este capítulo se pueden usar para calcular la aceleración que el Venom alcanza en esta hazaña (vea el ). El cálculo de la velocidad y sus cambios son aplicaciones importantes del cálculo, pero en realidad van mucho más allá. El cálculo es importante en todas las ramas de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería, y es fundamental para el análisis en los negocios y también en la salud. En este capítulo, exploraremos una de las principales herramientas del cálculo, la derivada, y mostraremos las formas prácticas de calcular derivadas. También aplicaremos estas reglas a una serie de funciones en este capítulo para luego explorar las aplicaciones de estas técnicas.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Definir la derivada Ahora que tenemos tanto una comprensión conceptual de los límites como la capacidad práctica de calcularlos, establecimos la base para nuestro estudio del cálculo, la rama de las matemáticas en la que calculamos derivadas e integrales. La mayoría de los matemáticos e historiadores coinciden en que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por el inglés Isaac Newton (1643–1727) y el alemán Gottfried Leibniz (1646–1716), cuyas imágenes aparecen en la . Cuando atribuimos a Newton y Leibniz el desarrollo del cálculo, a lo que hacemos referencia es al hecho de que Newton y Leibniz fueron los primeros en comprender la relación entre la derivada y la integral. Ambos matemáticos se beneficiaron del trabajo de sus predecesores, como Barrow, Fermat y Cavalieri. La relación inicial entre los dos matemáticos parece haber sido amistosa; sin embargo, en años posteriores estalló una amarga controversia sobre la prioridad de los trabajos de ambos. Aunque parece probable que Newton fuera el primero en llegar a las ideas que sustentan el cálculo, estamos en deuda con Leibniz por la notación que utilizamos habitualmente en la actualidad. Se atribuye a Newton y a Leibniz el desarrollo del cálculo de forma independiente. Rectas tangentes Comenzamos nuestro estudio del cálculo revisando la noción de rectas secantes y rectas tangentes. Recordemos que utilizamos la pendiente de una línea secante a una función en un punto ( a , f ( a ) ) para estimar la tasa de cambio, o la tasa a la que cambia una variable en relación con otra. Podemos obtener la pendiente de la secante eligiendo un valor de x cerca de a y dibujar una línea a lo largo de los puntos ( a , f ( a ) ) y ( x , f ( x ) ) , como se muestra en la . La pendiente de esta línea viene dada por una ecuación en forma de cociente de diferencias: m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a . También podemos calcular la pendiente de una línea secante a una función en un valor a utilizando esta ecuación y sustituyendo x con la a + h , donde h es un valor cercano a 0. Luego podemos calcular la pendiente de la línea que pasa por los puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) . En este caso, encontramos que la línea secante tiene una pendiente dada por el siguiente cociente de diferencias con incremento h : m sec = f ( a + h ) − f ( a ) a + h − a = f ( a + h ) − f ( a ) h . Definición Supongamos que f es una función definida en un intervalo I que contiene a . Si x ≠ a está en I , entonces Q = f ( x ) − f ( a ) x – a es un cociente de diferencias . Además, si h ≠ 0 se elige de manera que a + h está en I , entonces Q = f ( a + h ) − f ( a ) h es un cociente de diferencias con incremento h . Vea el desarrollo de la derivada con esta miniaplicación. Estas dos expresiones para calcular la pendiente de una línea secante se ilustran en la . Veremos que cada uno de estos dos métodos para encontrar la pendiente de una línea secante es de gran utilidad. Dependiendo del entorno, podemos elegir uno u otro. La principal consideración en nuestra elección suele depender de la facilidad de cálculo. Podemos calcular la pendiente de una línea secante de dos maneras. En la (a) vemos que, a medida que los valores de x se acercan a a , las pendientes de las líneas secantes proporcionan mejores estimaciones de la tasa de cambio de la función en a . Además, las mismas rectas secantes se aproximan a la línea tangente a la función en a , que representa el límite de las líneas secantes. Del mismo modo, la (b) muestra que a medida que los valores de h se acercan a 0 , las rectas secantes también se acercan a la línea tangente. La pendiente de la línea tangente en a es la tasa de cambio de la función en a , como se muestra en la (c). Las líneas secantes se acercan a la línea tangente (mostrada en verde) cuando el segundo punto se acerca al primero. Puede usar este sitio para explorar gráficos y ver si tienen una línea tangente en un punto. En la mostramos el gráfico de f ( x ) = x y su línea tangente en ( 1 , 1 ) en una serie de intervalos más estrechos sobre x = 1 . A medida que los intervalos se hacen más estrechos, el gráfico de la función y su línea tangente parecen coincidir, lo que hace que los valores de la línea tangente sean una buena aproximación a los valores de la función para las elecciones de x cerca de 1 . De hecho, el gráfico de f ( x ) parece ser localmente lineal en las inmediaciones de x = 1 . Para valores de x cerca de 1 , el gráfico de f ( x ) = x y su línea tangente parecen coincidir. Formalmente podemos definir la línea tangente al gráfico de una función como sigue. Definición Supongamos que f ( x ) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a . La línea tangente a f ( x ) en a es la línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) con pendiente m tan = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a siempre que exista este límite. De forma equivalente, podemos definir la línea tangente a f ( x ) en a para que sea la línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) con pendiente m tan = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h siempre que exista este límite. Al igual que utilizamos dos expresiones diferentes para definir la pendiente de una línea secante, utilizamos dos formas diferentes para definir la pendiente de la línea tangente. En este texto utilizamos ambas formas de la definición. Como antes, la elección de la definición dependerá del entorno. Ahora que ya definimos formalmente una línea tangente a una función en un punto, podemos utilizar esta definición para encontrar ecuaciones de rectas tangentes. Hallar una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 en x = 3 . Primero halle la pendiente de la línea tangente. En este ejemplo, utilice la . m tan = lím x → 3 f ( x ) − f ( 3 ) x − 3 Aplique la definición. = lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 Sustituya f ( x ) = x 2 y f ( 3 ) = 9 . = lím x → 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) x − 3 = lím x → 3 ( x + 3 ) = 6 Factorice el numerador para evaluar el límite. A continuación, halle un punto en la línea tangente. Como la línea es tangente al gráfico de f ( x ) en x = 3 , pasa por el punto ( 3 , f ( 3 ) ) . Tenemos f ( 3 ) = 9 , para que la línea tangente pase por el punto ( 3 , 9 ) . Usando la ecuación punto-pendiente de la línea con la pendiente m = 6 y el punto ( 3 , 9 ) , obtenemos la línea y − 9 = 6 ( x − 3 ) . Simplificando, tenemos y = 6 x − 9 . El gráfico de f ( x ) = x 2 y su línea tangente en 3 se muestran en la . La línea tangente a f ( x ) en x = 3 . La pendiente de una línea tangente revisada Use la para encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 en x = 3 . Los pasos son muy similares a los del . Consulte la definición en la . m tan = lím h → 0 f ( 3 + h ) − f ( 3 ) h Aplique la definición. = lím h → 0 ( 3 + h ) 2 − 9 h Sustituya f ( 3 + h ) = ( 3 + h ) 2 y f ( 3 ) = 9 . = lím h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h Expanda y simplifique para evaluar el límite. = lím h → 0 h ( 6 + h ) h = lím h → 0 ( 6 + h ) = 6 Obtuvimos el mismo valor para la pendiente de la línea tangente utilizando la otra definición, con lo que se demuestra que las fórmulas se pueden intercambiar. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 1 / x en x = 2 . Podemos utilizar la , pero como vimos, los resultados son los mismos si utilizamos la . m tan = lím x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 Aplique la definición. = lím x → 2 1 x – 1 2 x − 2 Sustituya f ( x ) = 1 x y f ( 2 ) = 1 2 . = lím x → 2 1 x – 1 2 x − 2 . 2 x 2 x Multiplique el numerador y el denominador por 2 x para simplifique las fracciones. = lím x → 2 ( 2 − x ) ( x − 2 ) ( 2 x ) Simplifique. = lím x → 2 −1 2 x Simplifique utilizando 2 − x x − 2 = −1 , para x ≠ 2 . = − 1 4 Evalúe el límite. Ahora sabemos que la pendiente de la línea tangente es − 1 4 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos también un punto en la línea. Sabemos que f ( 2 ) = 1 2 . Como la línea tangente pasa por el punto ( 2 , 1 2 ) podemos utilizar la ecuación punto-pendiente de una línea para encontrar la ecuación de la línea tangente. Por lo tanto, la línea tangente tiene la ecuación y = − 1 4 x + 1 . Los gráficos de f ( x ) = 1 x como y = − 1 4 x + 1 se muestran en la . La línea es tangente a f ( x ) en x = 2 . Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x en x = 4 . 1 4 Pista Utilice o . Multiplique el numerador y el denominador por un conjugado. La derivada de una función en un punto El tipo de límite que calculamos para hallar la pendiente de la línea tangente a una función en un punto se da en muchas aplicaciones de varias disciplinas. Estas aplicaciones incluyen la velocidad y la aceleración en física, las funciones de ganancia marginal en los negocios y las tasas de crecimiento en biología. Este límite se da con tanta frecuencia que damos a este valor un nombre especial: la derivada . El proceso para encontrar una derivada se denomina diferenciación . Definición Supongamos que f ( x ) sea una función definida en un intervalo abierto que contenga a . La derivada de la función f ( x ) en a , denotada por f ′ ( a ) , se define por f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a siempre que exista este límite. Como alternativa, también podemos definir la derivada de f ( x ) en a cuando f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Estimación de una derivada Para f ( x ) = x 2 , utilice una tabla para estimar f ′ ( 3 ) utilizando la . Cree una tabla con los valores de x justo debajo de 3 y justo encima de 3 . x x 2 − 9 x − 3 2,9 5,9 2,99 5,99 2,999 5,999 3,001 6,001 3,01 6,01 3,1 6,1 Tras examinar la tabla, vemos que un buen estimado es f ′ ( 3 ) = 6. Para f ( x ) = x 2 , utilice una tabla para estimar f ′ ( 3 ) utilizando la . 6 Pista Evalúe ( x + h ) − x 2 h a las h = −0,1 , −0,01 , −0,001 , 0,001 , 0,01 , 0,1 Encontrar una derivada Para f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , calcule f ′ ( 2 ) utilizando la . Sustituya la función y el valor dados directamente en la ecuación. f ′ ( 2 ) = lím x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 Aplique la definición. = lím x → 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) − 5 x − 2 Sustituya f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 y f ( 2 ) = 5 . = lím x → 2 ( x − 2 ) ( 3 x + 2 ) x − 2 Simplifique y factorice el numerador. = lím x → 2 ( 3 x + 2 ) Cancele el factor común. = 8 Evalúe el límite. Repaso de la derivada Para f ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 1 , calcule f ′ ( 2 ) utilizando la . Usando esta ecuación, podemos sustituir dos valores de la función en la ecuación, y deberíamos obtener el mismo valor que en el . f ′ ( 2 ) = lím h → 0 f ( 2 + h ) − f ( 2 ) h Aplique la definición. = lím h → 0 ( 3 ( 2 + h ) 2 − 4 ( 2 + h ) + 1 ) − 5 h Sustituya f ( 2 ) = 5 y f ( 2 + h ) = 3 ( 2 + h ) 2 − 4 ( 2 + h ) + 1 . = lím h → 0 3 h 2 + 8 h h Simplifique el numerador. = lím h → 0 h ( 3 h + 8 ) h Factorice el numerador. = lím h → 0 ( 3 h + 8 ) Cancele el factor común. = 8 Evalúe el límite. Los resultados son los mismos si utilizamos la o la . Para f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , calcule f ′ ( 1 ) . f ′ ( 1 ) = 5 Pista Utilice la , la , o ambas. Utilice el o el como guía. Velocidades y tasas de cambio Ahora que podemos evaluar una derivada, podemos utilizarla en aplicaciones de velocidad. Recordemos que si s ( t ) es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas, la velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo [ a , t ] si t > a o [ t , a ] si t < a viene dada por el cociente de diferencias v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . Dado que los valores de t se acercan a a , los valores de v ave se acercan al valor que llamamos velocidad instantánea en a . Es decir, la velocidad instantánea en a , denotado v ( a ) , está dada por v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a . Para entender mejor la relación entre la velocidad media y la velocidad instantánea, consulte la . En esa figura, la pendiente de la línea tangente (mostrada en rojo) es la velocidad instantánea del objeto en el momento t = a cuya posición en el momento t viene dada por la función s ( t ) . La pendiente de la línea secante (mostrada en verde) es la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [ a , t ] . La pendiente de la línea secante es la velocidad media en el intervalo [ a , t ] . La pendiente de la línea tangente es la velocidad instantánea. Podemos utilizar la para calcular la velocidad instantánea, o podemos estimar la velocidad de un objeto en movimiento utilizando una tabla de valores. A continuación, podemos confirmar la estimación utilizando la . Estimación de la velocidad Un peso de plomo en un resorte oscila hacia arriba y hacia abajo. Su posición en el tiempo t con respecto a una línea horizontal fija viene dada por s ( t ) = sen t ( ). Utilice una tabla de valores para estimar v ( 0 ) . Compruebe la estimación utilizando la . Un peso de plomo suspendido de un resorte en movimiento oscilatorio vertical. Podemos estimar la velocidad instantánea en t = 0 calculando una tabla de velocidades promedio utilizando los valores de t que se acercan a 0 , como se muestra en el . Velocidades promedio con valores de t cercanos a 0 t sen t − sen 0 t − 0 = sen t t −0,1 0,998334166 −0,01 0,9999833333 −0,001 0,999999833 0,001 0,999999833 0,01 0,9999833333 0,1 0,998334166 En la tabla vemos que la velocidad media en el intervalo de tiempo [ −0,1 , 0 ] ¿es 0,998334166 , la velocidad media en el intervalo de tiempo [ −0,01 , 0 ] ¿es 0,9999833333 , , etc. Utilizando esta tabla de valores, parece que un es v ( 0 ) = 1 . Utilizando la , podemos ver que v ( 0 ) = s ′ ( 0 ) = lím t → 0 sen t − sen 0 t − 0 = lím t → 0 sen t t = 1 . Así, de hecho, v ( 0 ) = 1 . Se deja caer una roca desde una altura de 64 pies. Su altura sobre el suelo en el momento t segundos después viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 , 0 ≤ t ≤ 2 . Calcule su velocidad instantánea 1 segundo después de su caída, utilizando la . −32 ft/s. Pista v ( t ) = s ′ ( t ) . Siga los ejemplos anteriores de la derivada utilizando el . Como hemos visto a lo largo de esta sección, la pendiente de una línea tangente a una función y la velocidad instantánea son conceptos relacionados. Cada una se estima calculando una derivada y cada una mide la tasa instantánea de cambio de una función, o la tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma. Definición La tasa instantánea de cambio de una función f ( x ) en un valor a es su derivada f ′ ( a ) . Inicio del capítulo: Estimación de la tasa de cambio de la velocidad (créditos: modificación del trabajo de Codex41, Flickr). Alcanzando una velocidad máxima de 270,49 mph, el Hennessey Venom GT es uno de los autos más rápidos del mundo. En las pruebas pasó de 0 al 60 mph en 3,05 segundos, desde 0 para 100 mph en 5,88 segundos, desde 0 para 200 mph en 14,51 segundos, y de 0 para 229,9 mph en 19,96 segundos. Utilice estos datos para sacar una conclusión sobre la tasa de cambio de la velocidad (es decir, su aceleración ) a medida que se acerca 229,9 mph. ¿La velocidad de aceleración del automóvil parece aumentar, disminuir o ser constante? Primero observe que 60 mph = 88 ft/s, 100 mph ≈ 146,67 pies/s, 200 mph ≈ 293,33 ft/s, y 229,9 mph ≈ 337,19 ft/s. Podemos resumir la información en una tabla. v ( t ) a diferentes valores de t t v ( t ) grandes. 0 0 3,05 88 5,88 147,67 14,51 293,33 19,96 337,19 Ahora calcule la aceleración promedio del automóvil en pies por segundo en intervalos de la forma [ t , 19,96 ] cuando t se acerca a 19,96 , como se muestra en la siguiente tabla. Aceleración media t v ( t ) − v ( 19,96 ) t − 19,96 = v ( t ) − 337,19 t − 19,96 0,0 16,89 3,05 14,74 5,88 13,46 14,51 8,05 El ritmo de aceleración del automóvil disminuye a medida que su velocidad se aproxima a 229,9 mph ( 337,19 ft/s). Tasa de cambio de temperatura Un propietario ajusta el termostato para que la temperatura dentro de su casa empiece a bajar de 70 ° F a las 9 p. m., alcance un mínimo de 60 ° durante la noche, y suba de nuevo a 70 ° a las 7 de la mañana siguiente. Supongamos que la temperatura de la casa viene dada por T ( t ) = 0,4 t 2 − 4 t + 70 por 0 ≤ t ≤ 10 , donde t es el número de horas pasadas las 9 p. m. Halle la tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche. Como la medianoche es 3 horas pasadas las 9 p. m., queremos calcular T ′ ( 3 ) . Consulte la . T ′ ( 3 ) = lím t → 3 T ( t ) − T ( 3 ) t − 3 Aplique la definición. = lím t → 3 0,4 t 2 − 4 t + 70 − 61,6 t − 3 Sustituya T ( t ) = 0,4 t 2 − 4 t + 70 y T ( 3 ) = 61,6 . = lím t → 3 0,4 t 2 − 4 t + 8,4 t − 3 Simplifique. = lím t → 3 0,4 ( t − 3 ) ( t − 7 ) t − 3 = lím t → 3 0,4 ( t − 3 ) ( t − 7 ) t − 3 = lím t → 3 0,4 ( t − 7 ) Cancele. = −1,6 Evalúe el límite. La tasa instantánea de cambio de la temperatura a medianoche es −1,6 ° F por hora. Tasa de cambio del beneficio Una compañía de juguetes puede vender x sistemas de juego electrónico a un precio de p = −0,01 x + 400 dólares por sistema de juego. El costo de fabricación x viene dado por C ( x ) = 100 x + 10.000 dólares. Halle la tasa de cambio del beneficio cuando se producen 10.000 juegos. ¿Debe la compañía juguetera aumentar o disminuir la producción? El beneficio P ( x ) obtenido por la producción de x sistemas de juego es R ( x ) − C ( x ) , donde R ( x ) son los ingresos obtenidos por la venta de x juegos. Dado que la compañía puede vender x juegos en p = −0,01 x + 400 por juego, R ( x ) = x p = x ( −0,01 x + 400 ) = −0,01 x 2 + 400 x . En consecuencia, P ( x ) = −0,01 x 2 + 300 x − 10.000 . Por lo tanto, la evaluación de la tasa de cambio del beneficio da P ′ ( 10.000 ) = lím x → 10.000 P ( x ) − P ( 10.000 ) x − 10.000 = lím x → 10.000 −0,01 x 2 + 300 x − 10.000 − 1.990.000 x − 10.000 = lím x → 10.000 −0,01 x 2 + 300 x − 2.000.000 x − 10.000 = 100 . Dado que la tasa de cambio del beneficio P ′ ( 10.000 ) > 0 y P ( 10.000 ) > 0 , la compañía debe aumentar la producción. Una cafetería determina que el beneficio diario obtenido de los panecillos al cobrar s dólares por panecillo es P ( s ) = −20 s 2 + 150 s − 10 . La cafetería cobra actualmente $ 3,25 por panecillo. Halle P ′ ( 3,25 ) , la tasa de cambio del beneficio cuando el precio es $ 3,25 y decida si la cafetería debería considerar la posibilidad de subir o bajar el precio de los panecillos P ′ ( 3,25 ) = 20 > 0 ; subir el precio. Pista Utilice la como guía. Conceptos clave La pendiente de la línea tangente a una curva mide la tasa instantánea de cambio de una curva. Podemos calcularla encontrando el límite del cociente de diferencias o el cociente de diferencias con incremento h . La derivada de una función f ( x ) en un valor a se encuentra utilizando cualquiera de las definiciones de la pendiente de la línea tangente. La velocidad es la tasa de cambio de la posición. Así, la velocidad v ( t ) en el momento t es la derivada de la posición s ( t ) en el momento t . La velocidad media viene dada por v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . La velocidad instantánea viene dada por v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a . Podemos estimar una derivada utilizando una tabla de valores. Ecuaciones clave Cociente de diferencias Q = f ( x ) − f ( a ) x – a Cociente de diferencias con incremento h Q = f ( a + h ) − f ( a ) a + h − a = f ( a + h ) − f ( a ) h Pendiente de la línea tangente m tan = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a m tan = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h Derivada de f ( x ) en a f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h Velocidad media v a ve = s ( t ) − s ( a ) t − a Velocidad instantánea v ( a ) = s ′ ( a ) = lím t → a s ( t ) − s ( a ) t − a En los siguientes ejercicios, utilice la para encontrar la pendiente de la línea secante entre los valores x 1 y x 2 para cada función y = f ( x ) . f ( x ) = 4 x + 7 ; x 1 = 2 , x 2 = 5 4 f ( x ) = 8 x − 3 ; x 1 = −1 , x 2 = 3 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 ; x 1 = 3 , x 2 = 3,5 8,5 f ( x ) = − x 2 + x + 2 ; x 1 = 0,5 , x 2 = 1,5 f ( x ) = 4 3 x – 1 ; x 1 = 1 , x 2 = 3 − 3 4 f ( x ) = x − 7 2 x + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 2 f ( x ) = x ; x 1 = 1 , x 2 = 16 0,2 f ( x ) = x − 9 ; x 1 = 10 , x 2 = 13 f ( x ) = x 1 / 3 + 1 ; x 1 = 0 , x 2 = 8 0,25 f ( x ) = 6 x 2 / 3 + 2 x 1 / 3 ; x 1 = 1 , x 2 = 27 Para las siguientes funciones, utilice la para encontrar la pendiente de la línea tangente m tan = f ′ ( a ) , y halle la ecuación de la línea tangente a f en x = a . f ( x ) = 3 − 4 x , a = 2 a. −4 b. y = 3 − 4 x f ( x ) = x 5 + 6 , a = –1 f ( x ) = x 2 + x , a = 1 a. 3 b. y = 3 x – 1 f ( x ) = 1 − x – x 2 , a = 0 f ( x ) = 7 x , a = 3 a. −7 9 b. y = −7 9 x + 14 3 f ( x ) = x + 8 , a = 1 f ( x ) = 2 − 3 x 2 , a = –2 a. 12 b. y = 12 x + 14 f ( x ) = −3 x – 1 , a = 4 f ( x ) = 2 x + 3 , a = –4 a. −2 b. y = –2 x − 10 f ( x ) = 3 x 2 , a = 3 En las siguientes funciones y = f ( x ) , calcule f ′ ( a ) utilizando la . f ( x ) = 5 x + 4 , a = –1 5 f ( x ) = −7 x + 1 , a = 3 f ( x ) = x 2 + 9 x , a = 2 13 f ( x ) = 3 x 2 − x + 2 , a = 1 f ( x ) = x , a = 4 1 4 f ( x ) = x − 2 , a = 6 f ( x ) = 1 x , a = 2 − 1 4 f ( x ) = 1 x − 3 , a = –1 f ( x ) = 1 x 3 , a = 1 −3 f ( x ) = 1 x , a = 4 En los siguientes ejercicios, dada la función y = f ( x ) , Calcule la pendiente de la línea secante P Q para cada punto Q ( x , f ( x ) ) con el valor x que se indica en la tabla. Utilice las respuestas de a. para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente en P . Use la respuesta de b. para hallar la ecuación de la línea tangente a f en el punto P . [T] f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 , P ( 1 , 8 ) (Redondee a 6 decimales) x La pendiente m P Q x La pendiente m P Q 1,1 (i) 0,9 (vii) 1,01 (ii) 0,99 (viii) 1,001 (iii) 0,999 (ix) 1,0001 (iv) 0,9999 (x) 1,00001 (v) 0,99999 (xi) 1,000001 (vi) 0,999999 (xii) a. (i) 5,100000 , (ii) 5,010000 , (iii) 5,001000 , (iv) 5,000100 , (v) 5,000010 , (vi) 5,000001 , (vii) 4,900000 , (viii) 4,990000 , (ix) 4,999000 , (x) 4,999900 , (xi) 4,999990 , (x) 4,999999 b. m tan = 5 c. y = 5 x + 3 [T] f ( x ) = x + 1 x 2 – 1 , P ( 0 , –1 ) x La pendiente m P Q x La pendiente m P Q 0,1 (i) −0,1 (vii) 0,01 (ii) −0,01 (viii) 0,001 (iii) −0,001 (ix) 0,0001 (iv) −0,0001 (x) 0,00001 (v) −0,00001 (xi) 0,000001 (vi) −0,000001 (xii) [T] f ( x ) = 10 e 0,5 x , P ( 0 , 10 ) (Redondee a 4 decimales) x La pendiente m P Q −0,1 (i) −0,01 (ii) −0,001 (iii) −0,0001 (iv) −0,00001 (v) −0,000001 (vi) a. (i) 4,8771 , (ii) 4,9875 (iii) 4,9988 , (iv) 4,9999 , (v) 4,9999 , (vi) 4,9999 b. m tan = 5 c. y = 5 x + 10 [T] f ( x ) = tan ( x ) , P ( π , 0 ) x La pendiente m P Q 3,1 (i) 3,14 (ii) 3,141 (iii) 3,1415 (iv) 3,14159 (v) 3,141592 (vi) [T] Para las siguientes funciones de posición y = s ( t ) , un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, donde t está en segundos y s está en metros. Halle la expresión simplificada para la velocidad media de t = 2 al t = 2 + h ; la velocidad media entre t = 2 y t = 2 + h , donde (i) h = 0,1 , (ii) h = 0,01 , (iii) h = 0,001 , y (iv) h = 0,0001 ; y utilice la respuesta de a. para estimar la velocidad instantánea en t = 2 segundos. s ( t ) = 1 3 t + 5 a. 1 3 ; b. (i) 0, 3 – m/s, (ii) 0, 3 – m/s, (iii) 0, 3 – m/s, (iv) 0, 3 – m/s; c 0, 3 – = 1 3 m/s s ( t ) = t 2 − 2 t s ( t ) = 2 t 3 + 3 a. 2 ( h 2 + 6 h + 12 ) ; b. (i) 25,22 m/s, (ii) 24,12 m/s, (iii) 24,01 m/s, (iv) 24 m/s; c 24 m/s s ( t ) = 16 t 2 − 4 t Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f ′ ( 1 ) y b. f ′ ( 6 ) . a. 1,25 ; b. 0,5 Utilice el siguiente gráfico para evaluar a f ′ ( −3 ) y b. f ′ ( 1,5 ) . En los siguientes ejercicios, utilice la definición de límite de la derivada para demostrar que la derivada no existe en x = a para cada una de las funciones dadas. f ( x ) = x 1 / 3 , x = 0 lím x → 0 − x 1 / 3 − 0 x − 0 = lím x → 0 − 1 x 2 / 3 = ∞ f ( x ) = x 2 / 3 , x = 0 f ( x ) = { 1 , x < 1 x , x ≥ 1 , x = 1 lím x → 1 − 1 − 1 x – 1 = 0 ≠ 1 = lím x → 1 + x – 1 x – 1 f ( x ) = | x | x , x = 0 [T] La posición en ft de un auto de carreras a lo largo de una pista recta después de t segundos está modelada por la función s ( t ) = 8 t 2 – 1 16 t 3 . Halle la velocidad media del vehículo en los siguientes intervalos de tiempo con cuatro decimales [4, 4,1] [4, 4,01] [4, 4,001] [4, 4,0001] Utilice a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea del vehículo en t = 4 segundos. a. (i) 61,7244 pies/s, (ii) 61,0725 pies/s (iii) 61,0072 pies/s (iv) 61,0007 ft/s b. A 4 segundos el auto de carreras se desplaza a una tasa/velocidad de 61 ft/s. [T] La distancia en ft que una pelota rueda por una pendiente se modela mediante la función s ( t ) = 14 t 2 , donde t son los segundos después de que la pelota empieza a rodar. Halle la velocidad media de la pelota en los siguientes intervalos de tiempo [5, 5,1] [5, 5,01] [5, 5,001] [5, 5,0001] Utilice las respuestas de a. para sacar una conclusión sobre la velocidad instantánea de la pelota en t = 5 segundos. Dos vehículos comienzan a viajar uno al lado del otro por una carretera recta. Sus funciones de posición, que se muestran en el siguiente gráfico, vienen dadas por s = f ( t ) y s = g ( t ) , donde s se mide en pies y t se mide en segundos. ¿Qué vehículo viajó más lejos en t = 2 segundos? ¿Cuál es la velocidad aproximada de cada vehículo en t = 3 segundos? ¿Qué vehículo va más rápido a los t = 4 segundos? ¿Qué hay de cierto en las posiciones de los vehículos en t = 4 segundos? a. El vehículo representado por f ( t ) , porque recorrió 2 ft, mientras que g ( t ) recorrió 1 ft. b. La velocidad de f ( t ) es constante en 1 ft/s, mientras que la velocidad de g ( t ) es, aproximadamente, 2 ft/s. c. El vehículo representado por g ( t ) , con una velocidad de aproximadamente 4 ft/s. d. Ambos han recorrido 4 pies en 4 segundos. [T] El costo total C ( x ) , en cientos de dólares, para producir x tarros de mayonesa viene dado por C ( x ) = 0,000003 x 3 + 4 x + 300 . Calcule el costo promedio por tarro en los siguientes intervalos: [100, 100,1] [100, 100,01] [100, 100,001] [100, 100,0001] Utilice las respuestas de a. para estimar el costo promedio de producción de 100 tarros de mayonesa. [T] Para la función f ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 11 x + 12 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Use la función ZOOM de la calculadora para aproximar los dos valores de x = a para la cual m tan = f ′ ( a ) = 0 . a. b. a ≈ − 1,361 , 2,694 [T] Para la función f ( x ) = x 1 + x 2 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función ZOOM de la calculadora para aproximar los valores de x = a para la cual m tan = f ′ ( a ) = 0 . Supongamos que N ( x ) calcula el número de galones de gasolina utilizados por un vehículo que recorre x millas. Supongamos que el vehículo alcanza 30 mpg (millas por galón) Halle una expresión matemática para N ( x ) . ¿Cuál es el valor de N ( 100 )? Explique el significado físico. ¿Cuál es el valor de N ′ ( 100 ) ? Explique el significado físico. a. N ( x ) = x 30 b. ∼ 3,3 galones. Cuando el vehículo recorre 100 millas, ha consumido 3,3 galones de gasolina. c. 1 30 . La tasa de consumo de gasolina en galones por milla que el vehículo está logrando después de haber recorrido 100 millas. [T] Para la función f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para graficar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función nDeriv función, que halla numéricamente la derivada, en una calculadora gráfica para estimar f ′ ( −2 ) , f ′ ( −0,5 ) , f ′ ( 1,7 ) , y f ′ ( 2,718 ) . [T] Para la función f ( x ) = x 2 x 2 + 1 , haga lo siguiente. Utilice una calculadora gráfica para representar f en una ventana de visualización adecuada. Utilice la función nDeriv en una calculadora gráfica para hallar f ′ ( –4 ) , f ′ ( −2 ) , f ′ ( 2 ) , y f ′ ( 4 ) . a. b. −0,028 , −0,16 , 0,16 , 0,028 derivada pendiente de la línea tangente a una función en un punto, calculada tomando el límite del cociente de diferencias cociente de diferencias de una función f ( x ) en a está dada por f ( a + h ) − f ( a ) h o f ( x ) − f ( a ) x – a diferenciación el proceso de tomar un derivada tasa instantánea de cambio tasa de cambio de una función en cualquier punto a lo largo de la misma a , también llamada f ′ ( a ) , o derivada de la función en a", "section": "Definir la derivada", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "La derivada como función Como vimos, la derivada de una función en un punto determinado nos da la tasa de cambio o pendiente de la línea tangente a la función en ese punto. Si diferenciamos una función de posición en un momento dado, obtenemos la velocidad en ese momento. Parece razonable concluir que al conocer la derivada de la función en cada punto obtendríamos información valiosa sobre el comportamiento de la función. Sin embargo, el proceso de encontrar la derivada incluso en unos cuantos valores utilizando las técnicas de la sección anterior se volvería muy pronto bastante tedioso. En esta sección definiremos la función derivada y aprenderemos un proceso para encontrarla. Funciones derivadas La función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada. Podemos definir formalmente una función derivada como sigue. Definición Supongamos que f es una función. La función derivada , denotada por f ′ , es la función cuyo dominio consiste en los valores de x de manera tal que el siguiente límite existe: f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . Una función f ( x ) se dice que es diferenciable en a si f ′ ( a ) . De forma más general, se dice que una función es diferenciable en S si es diferenciable en cada punto de un conjunto abierto S , y una función diferenciable es aquella en la que f ′ ( x ) existe en su dominio. En los siguientes ejemplos utilizaremos la para encontrar la derivada de una función. Hallar la derivada de una función de raíz cuadrada Calcule la derivada de f ( x ) = x . Empiece directamente con la definición de la función derivada. Utilice la . f ′ ( x ) = lím h → 0 x + h − x h Sustituya f ( x + h ) = x + h y f ( x ) = x en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 x + h − x h . x + h + x x + h + x Multiplique el numerador y el denominador por x + h + x sin distribuir en el denominador. = lím h → 0 h h ( x + h + x ) Multiplique los numeradores y simplifique. = lím h → 0 1 ( x + h + x ) Cancele el h . = 1 2 x Evalúe el límite. Hallar la derivada de una función cuadrática Halle la derivada de la función f ( x ) = x 2 − 2 x . Siga aquí el mismo procedimiento, pero multiplicar por el conjugado. f ′ ( x ) = lím h → 0 ( ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) ) − ( x 2 − 2 x ) h Sustituya f ( x + h ) = ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) y f ( x ) = x 2 − 2 x en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − 2 x − 2 h − x 2 + 2 x h Expanda ( x + h ) 2 − 2 ( x + h ) . = lím h → 0 2 x h − 2 h + h 2 h Simplifique. = lím h → 0 h ( 2 x − 2 + h ) h Saque el factor común h del numerador. = lím h → 0 ( 2 x − 2 + h ) Cancele el factor común de h . = 2 x − 2 Evalúe el límite. Calcule la derivada de f ( x ) = x 2 . f ′ ( x ) = 2 x Pista Utilice la y siga el ejemplo. Para expresar la derivada de una función utilizamos diferentes notaciones. En el demostramos que si f ( x ) = x 2 − 2 x , entonces f ′ ( x ) = 2 x − 2 . Si hubiéramos expresado esta función en la forma y = x 2 − 2 x , podríamos haber expresado la derivada como y ′ = 2 x − 2 o d y d x = 2 x − 2 . Podríamos haber expresado la misma información al escribir d d x ( x 2 − 2 x ) = 2 x − 2 . Así, para la función y = f ( x ) , cada una de las siguientes notaciones representa la derivada de f ( x ) : f ′ ( x ) , d y d x , y ′ , d d x ( f ( x ) ) . En vez de f ′ ( a ) también podemos utilizar d y d x | x = a El uso de la notación d y d x (llamada notación Leibniz) es bastante común en ingeniería y física. Para entender mejor esta notación, recordemos que la derivada de una función en un punto es el límite de las pendientes de las líneas secantes cuando estas se acercan a la línea tangente. Las pendientes de estas líneas secantes suelen expresarse en la forma Δ y Δ x donde Δ y es la diferencia en los valores y correspondientes a la diferencia en los valores x , que se expresan como Δ x ( ). Así, la derivada, que puede considerarse como la tasa instantánea de cambio de y con respecto a x , se expresa como d y d x = lím Δ x → 0 Δ y Δ x . La derivada se expresa como d y d x = lím Δ x → 0 Δ y Δ x . Graficar una derivada Ya hablamos de cómo graficar una función, así que dada la ecuación de una función o la ecuación de una función derivada, podemos graficarla. Dadas ambas, esperaríamos ver una correspondencia entre los gráficos de estas dos funciones, ya que f ′ ( x ) da la tasa de cambio de una función f ( x ) (o pendiente de la línea tangente a f ( x ) ) En el encontramos que para f ( x ) = x , f ′ ( x ) = 1 / 2 x . Si graficamos estas funciones en los mismos ejes, como en la , podemos usar los gráficos para entender la relación entre estas dos funciones. En primer lugar, observamos que f ( x ) es creciente en todo su dominio, lo que significa que las pendientes de sus líneas tangentes en todos los puntos son positivas. En consecuencia, esperamos f ′ ( x ) > 0 para todos los valores de x en su dominio. Además, a medida que x aumenta, las pendientes de las líneas tangentes a f ( x ) disminuyen y esperamos ver un descenso correspondiente en f ′ ( x ) . También observamos que f ( 0 ) es indefinido y que lím x → 0 + f ′ ( x ) = + ∞ , correspondiente a una tangente vertical a f ( x ) a las 0 . La derivada f ′ ( x ) es positiva en todas partes porque la función f ( x ) aumenta. En el encontramos que para f ( x ) = x 2 − 2 x , f ′ ( x ) = 2 x − 2 . Los gráficos de estas funciones se muestran en la . Observe que f ( x ) disminuye para x < 1 . Para estos mismos valores de x , f ′ ( x ) < 0 . Para los valores de x > 1 , f ( x ) está aumentando y f ′ ( x ) > 0 . También, f ( x ) tiene una tangente horizontal en x = 1 y f ′ ( 1 ) = 0 . La derivada f ′ ( x ) < 0 donde la función f ( x ) es decreciente y f ′ ( x ) > 0 donde f ( x ) aumenta. La derivada es cero donde la función tiene una tangente horizontal. Trazado de una derivada mediante una función Utilice el siguiente gráfico de f ( x ) para dibujar un gráfico de f ′ ( x ) . La solución se muestra en el siguiente gráfico. Observe que f ( x ) está aumentando y f ′ ( x ) > 0 sobre ( – 2 , 3 ) . También, f ( x ) es decreciente y f ′ ( x ) < 0 sobre ( − ∞ , –2 ) y en ( 3 , + ∞ ) . También tenga en cuenta que f ( x ) tiene tangentes horizontales en – 2 y 3 , y f ′ ( −2 ) = 0 y f ′ ( 3 ) = 0 . Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 − 4 . ¿En qué intervalo se encuentra el gráfico de f ′ ( x ) por encima del eje x ? ( 0 , + ∞ ) Pista El gráfico de f ′ ( x ) es positivo cuando f ( x ) aumenta. Derivadas y continuidad Ahora que podemos graficar una derivada, vamos a examinar el comportamiento de los gráficos. En primer lugar, consideraremos la relación entre diferenciabilidad y continuidad. Veremos que si una función es diferenciable en un punto, debe ser continua en el mismo, sin embargo, una función que es continua en un punto no tiene por qué ser diferenciable en él. De hecho, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto por una entre varias razones. La Diferenciabilidad implica continuidad Supongamos que f ( x ) es una función y a está en su dominio. Si los valores de f ( x ) es diferenciable en a , entonces f es continua en a . Prueba Si los valores de f ( x ) es diferenciable en a , entonces f ′ ( a ) existe y f ′ ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a . Queremos demostrar que f ( x ) es continua en a demostrando que lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Por lo tanto, lím x → a f ( x ) = lím x → a ( f ( x ) − f ( a ) + f ( a ) ) = lím x → a ( f ( x ) − f ( a ) x – a . ( x – a ) + f ( a ) ) Multiplicar y dividir f ( x ) − f ( a ) por x – a . = ( lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a ) . ( lím x → a ( x – a ) ) + lím x → a f ( a ) = f ′ ( a ) . 0 + f ( a ) = f ( a ) Por lo tanto, dado que f ( a ) está definida y lím x → a f ( x ) = f ( a ) , concluimos que f es continua en a . □ Acabamos de demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad, pero ahora consideramos si la continuidad implica diferenciabilidad. Para responder esa pregunta, examinaremos la función f ( x ) = | x | . Esta función es continua en todas partes; sin embargo, f ′ ( 0 ) es indefinida. Esta observación nos lleva a pensar que la continuidad no implica diferenciabilidad. Exploremos más a fondo. Para f ( x ) = | x | , f ′ ( 0 ) = lím x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lím x → 0 | x | − | 0 | x − 0 = lím x → 0 | x | x . Este límite no existe porque lím x → 0 − | x | x = −1 y lím x → 0 + | x | x = 1 . Vea la . La función f ( x ) = | x | es continua en 0 pero no es diferenciable en 0 . Consideremos algunas situaciones adicionales en las que una función continua no es diferenciable. Considere la función f ( x ) = x 3 : f ′ ( 0 ) = lím x → 0 x 3 − 0 x − 0 = lím x → 0 1 x 2 3 = + ∞ . Por lo tanto, f ′ ( 0 ) no existe. Un rápido vistazo al gráfico de f ( x ) = x 3 aclara la situación. La función tiene una línea tangente vertical en 0 ( ). La función f ( x ) = x 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Es continua en 0 pero no es diferenciable en 0 . La función f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 también tiene una derivada que muestra un comportamiento interesante en 0 . Vemos que f ′ ( 0 ) = lím x → 0 x sen ( 1 / x ) − 0 x − 0 = lím x → 0 sen ( 1 x ) . Este límite no existe, esencialmente porque las pendientes de las líneas secantes cambian continuamente de dirección al acercarse a cero ( ). La función f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 no es diferenciable en 0 . En resumen: Observamos que si una función no es continua, no puede ser diferenciable, ya que toda función diferenciable debe ser continua. Sin embargo, es posible que una función continua no sea diferenciable. Vimos que f ( x ) = | x | no es diferenciable en 0 porque el límite de las pendientes de las líneas tangentes a la izquierda y a la derecha no eran iguales. Visualmente, esto dio lugar a una esquina aguda en el gráfico de la función en 0 . De esto se deduce que para que una función sea diferenciable en un punto, debe ser \"suave\" en ese punto. Vimos en el ejemplo de f ( x ) = x 3 , una función no es diferenciable en un punto en el que hay una línea tangente vertical. Como vimos con f ( x ) = { x sen ( 1 x ) si x ≠ 0 0 si x = 0 una función puede dejar de ser diferenciable en un punto de formas más complicadas también. Una función a trozos continua y diferenciable Una compañía de juguetes quiere diseñar una pista para un carrito de juguete que comienza con una curva parabólica y luego se convierte en una línea recta ( ). La función que describe la pista debe tener la forma f ( x ) = { 1 10 x 2 + b x + c si x < −10 − 1 4 x + 5 2 si x ≥ −10 donde x y f ( x ) están en pulgadas. Para que el auto recorra suavemente por la pista, la función f ( x ) debe ser continua y diferenciable en −10 . Halle los valores de b y c que hacen f ( x ) tanto continua como diferenciable. Para que ese auto recorra suavemente la pista, la función debe ser continua y diferenciable. Para que la función sea continua en x = −10 , lím x → −10 − f ( x ) = f ( −10 ) . Por lo tanto, ya que lím x → − 10 − f ( x ) = 1 10 ( −10 ) 2 − 10 b + c = 10 – 10 b + c y f ( −10 ) = 5 , debemos tener 10 – 10 b + c = 5 . De forma equivalente, tenemos c = 10 b − 5 . Para que la función sea diferenciable en −10 , f ′ ( −10 ) = lím x → − 10 f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 debe existir. Dado que f ( x ) se define con reglas diferentes a la derecha y a la izquierda, debemos evaluar este límite por la derecha y por la izquierda y luego igualarlos entre sí: lím x → − 10 − f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 = lím x → − 10 − 1 10 x 2 + b x + c − 5 x + 10 = lím x → − 10 − 1 10 x 2 + b x + ( 10 b − 5 ) − 5 x + 10 Sustituya c = 10 b − 5. = lím x → − 10 − x 2 − 100 + 10 b x + 100 b 10 ( x + 10 ) = lím x → − 10 − ( x + 10 ) ( x − 10 + 10 b ) 10 ( x + 10 ) Factor por agrupación. = b − 2. También tenemos lím x → − 10 + f ( x ) − f ( −10 ) x + 10 = lím x → − 10 + − 1 4 x + 5 2 − 5 x + 10 = lím x → − 10 + − ( x + 10 ) 4 ( x + 10 ) = − 1 4 . Esto nos da b − 2 = − 1 4 . Así que b = 7 4 y c = 10 ( 7 4 ) − 5 = 25 2 . Halle los valores de a y b que hacen f ( x ) = { a x + b si x < 3 x 2 si x ≥ 3 continua y diferenciable en 3 . a = 6 y b = −9 Pista Utilice el como guía. Derivadas de orden superior La derivada de una función es a su vez una función, por lo que podemos encontrar la derivada de una derivada. Por ejemplo, la derivada de una función de posición es la tasa de cambio de posición, o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambio de la velocidad, que es la aceleración. La nueva función obtenida al diferenciar la derivada se llama segunda derivada. Además, podemos seguir tomando derivadas para obtener la tercera derivada, la cuarta derivada, etc. En conjunto, se denominan derivadas de orden superior . La notación para las derivadas de orden superior de y = f ( x ) puede expresarse en cualquiera de las siguientes formas: f ″ ( x ) , f ‴ ( x ) , f ( 4 ) ( x ) ,… , f ( n ) ( x ) grandes. y ″ ( x ) , y ‴ ( x ) , y ( 4 ) ( x ) ,… , y ( n ) ( x ) grandes. d 2 y d x 2 , d 3 y d x 3 , d 4 y d x 4 ,… , d n y d x n . Es interesante observar que la notación para d 2 y d x 2 puede verse como un intento de expresar d d x ( d y d x ) de forma más compacta. De manera similar, d d x ( d d x ( d y d x ) ) = d d x ( d 2 y d x 2 ) = d 3 y d x 3 . Calcular una segunda derivada Para f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 , calcule f ″ ( x ) . Primero calcule f ′ ( x ) . f ′ ( x ) = lím h → 0 ( 2 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) + 1 ) − ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) h Sustituya f ( x ) = 2 x 2 − 3 x + 1 y f ( x + h ) = 2 ( x + h ) 2 − 3 ( x + h ) + 1 en f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . = lím h → 0 4 x h + 2 h 2 − 3 h h Simplifique el numerador. = lím h → 0 ( 4 x + 2 h − 3 ) Factorice el h en el numerador y cancele con la h en el denominador. = 4 x − 3 Tome el límite. A continuación, calcule f ″ ( x ) tomando la derivada de f ′ ( x ) = 4 x − 3 . f ″ ( x ) = lím h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x ) h Uso f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h con f ′ ( x ) in lugar de f ( x ) . = lím h → 0 ( 4 ( x + h ) − 3 ) − ( 4 x − 3 ) h Sustituya f ′ ( x + h ) = 4 ( x + h ) − 3 y f ′ ( x ) = 4 x − 3. = lím h → 0 4 Simplifique. = 4 Tome el límite. Calcule f ″ ( x ) por f ( x ) = x 2 . f ″ ( x ) = 2 Pista Encontramos f ′ ( x ) = 2 x en un punto de control anterior. Utilice la para encontrar la derivada de f ′ ( x ) Encontrar la aceleración La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t (en segundos) viene dado por s ( t ) = 3 t 2 − 4 t + 1 (en metros). Halle la función que describe su aceleración en el tiempo t . Dado que v ( t ) = s ′ ( t ) y a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) , comenzamos encontrando la derivada de s ( t ) : s ′ ( t ) = lím h → 0 s ( t + h ) − s ( t ) h = lím h → 0 3 ( t + h ) 2 − 4 ( t + h ) + 1 − ( 3 t 2 − 4 t + 1 ) h = 6 t − 4. Luego, s ″ ( t ) = lím h → 0 s ′ ( t + h ) − s ′ ( t ) h = lím h → 0 6 ( t + h ) − 4 − ( 6 t − 4 ) h = 6. Así, a = 6 m/s 2 . Para s ( t ) = t 3 , calcule a ( t ) . a ( t ) = 6 t Pista Utilice la como guía. Conceptos clave La derivada de una función f ( x ) es la función cuyo valor en x es f ′ ( x ) . El gráfico de la derivada de una función f ( x ) está relacionado con el gráfico de f ( x ) . Donde f ( x ) tiene una línea tangente con pendiente positiva, f ′ ( x ) > 0 . Donde f ( x ) tiene una línea tangente con pendiente negativa, f ′ ( x ) < 0 . Donde f ( x ) tiene una línea tangente horizontal, f ′ ( x ) = 0 . Si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Una función no es diferenciable en un punto si no es continua en el mismo, si tiene una línea tangente vertical en el punto o si el gráfico tiene una esquina aguda o cúspide. Las derivadas de orden superior son derivadas de derivadas, desde la segunda derivada hasta la n −ésima derivada. Ecuaciones clave La función derivada f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h En los siguientes ejercicios, utilice la definición de una derivada para encontrar f ′ ( x ) . f ( x ) = 6 f ( x ) = 2 − 3 x −3 f ( x ) = 2 x 7 + 1 f ( x ) = 4 x 2 8 x f ( x ) = 5 x – x 2 f ( x ) = 2 x 1 2 x f ( x ) = x − 6 f ( x ) = 9 x −9 x 2 f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = 1 x −1 2 x 3 / 2 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) para dibujar el gráfico de su derivada f ′ ( x ) . En los siguientes ejercicios, el límite dado representa la derivada de una función y = f ( x ) en x = a . Calcule f ( x ) y a . lím h → 0 ( 1 + h ) 2 / 3 − 1 h lím h → 0 [ 3 ( 2 + h ) 2 + 2 ] − 14 h f ( x ) = 3 x 2 + 2 , a = 2 lím h → 0 cos ( π + h ) + 1 h lím h → 0 ( 2 + h ) 4 − 16 h f ( x ) = x 4 , a = 2 lím h → 0 [ 2 ( 3 + h ) 2 − ( 3 + h ) ] − 15 h lím h → 0 e h − 1 h f ( x ) = e x , a = 0 Para las siguientes funciones, dibuje el gráfico y use la definición de derivada para demostrar que la función no es diferenciable en x = 1 . f ( x ) = { 2 x , 0 ≤ x ≤ 1 3 x – 1 , x > 1 f ( x ) = { 3 , x < 1 3 x , x ≥ 1 a. b. lím h → 1 − 3 − 3 h ≠ lím h → 1 + 3 h h f ( x ) = { − x 2 + 2 , x ≤ 1 x , x > 1 f ( x ) = { 2 x , x ≤ 1 2 x , x > 1 a. b. lím h → 1 − 2 h h ≠ lím h → 1 + 2 x + h − 2 x h . Para los siguientes gráficos, determine para qué valores de x = a el plano lím x → a f ( x ) existe pero f no es continua en x = a , y determine para qué valores de x = a la función es continua pero no diferenciable en x = a . a. x = 1 , b. x = 2 Utilice el gráfico para evaluar a. f ′ ( −0,5 ) , b. f ′ ( 0 ) , c. f ′ ( 1 ) , d. f ′ ( 2 ) , y e. f ′ ( 3 ) , si existe. En las siguientes funciones, utilice f ″ ( x ) = lím h → 0 f ′ ( x + h ) − f ′ ( x ) h para calcular f ″ ( x ) . f ( x ) = 2 − 3 x 0 f ( x ) = 4 x 2 f ( x ) = x + 1 x 2 x 3 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar f ( x ) . Determine la función f ′ ( x ) , y, a continuación, use una calculadora para hacer un gráfico f ′ ( x ) . [T] f ( x ) = − 5 x [T] f ( x ) = 3 x 2 + 2 x + 4 . f ′ ( x ) = 6 x + 2 [T] f ( x ) = x + 3 x [T] f ( x ) = 1 2 x f ′ ( x ) = − 1 ( 2 x ) 3 / 2 [T] f ( x ) = 1 + x + 1 x [T] f ( x ) = x 3 + 1 f ′ ( x ) = 3 x 2 En los siguientes ejercicios, describa lo que representan las dos expresiones en función de cada una de las situaciones dadas. Asegúrese de incluir las unidades. f ( x + h ) − f ( x ) h f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h P ( x ) indica la población de una ciudad en el tiempo x en años. C ( x ) indica la cantidad total de dinero (en miles de dólares) gastada en concesiones por x clientes en un parque de atracciones. a. Tasa promedio de gasto de los clientes en las concesiones, en miles de dólares por cliente. b. Tasa (en miles de dólares por cliente) en la que x clientes gastaron dinero en concesiones en miles de dólares por cliente. R ( x ) indica el costo total (en miles de dólares) de la fabricación de x radios-reloj. g ( x ) denota la calificación (en puntos porcentuales) recibida en un examen, dadas x horas de estudio. a. La nota promedio recibida en la prueba con un tiempo promedio de estudio entre dos valores. b. Tasa (en puntos porcentuales por hora) en el que la nota del examen aumentó o disminuyó según un determinado tiempo promedio de estudio de x horas. B ( x ) indica el costo (en dólares) de un libro de texto de sociología en las librerías universitarias de Estados Unidos en x años desde 1990 . p ( x ) indica la presión atmosférica en Torrs a una altitud de x pies. a. Cambio promedio de la presión atmosférica entre dos altitudes diferentes. b. Tasa (torr por pie) a la que aumenta o disminuye la presión atmosférica en x pies. Trace el gráfico de una función y = f ( x ) con todas las propiedades siguientes: f ′ ( x ) > 0 por −2 ≤ x < 1 f ′ ( 2 ) = 0 f ′ ( x ) > 0 por x > 2 f ( 2 ) = 2 y f ( 0 ) = 1 lím x → − ∞ f ( x ) = 0 y lím x → ∞ f ( x ) = ∞ f ′ ( 1 ) no existe. Supongamos que la temperatura T en grados Fahrenheit a una altura de x en pies sobre el suelo viene dada por y = T ( x ) . Dé una interpretación física, con unidades, de T ′ ( x ) . Si sabemos que T ′ ( 1.000 ) = −0,1 , explique el significado físico. a. La velocidad (en grados por pie) a la que aumenta o disminuye la temperatura para una altura determinada x . b. La tasa de cambio de la temperatura al cambiar la altitud en 1.000 pies es −0,1 grados por pie. Supongamos que el beneficio total de una compañía es y = P ( x ) mil dólares cuando se venden x unidades de un artículo. ¿Qué mide P ( b ) − P ( a ) b – a por 0 < a < b y cuáles son las unidades? ¿Qué mide P ′ ( x ) y cuáles son las unidades? Supongamos que P ′ ( 30 ) = 5 , ¿cuál es la variación aproximada de las ganancias si el número de artículos vendidos aumenta de 30 para 31 ? El gráfico de la siguiente figura modela el número de personas N ( t ) que han contraído la gripe t semanas después de su brote inicial en una ciudad con una población de 50 000 personas. Describa lo que N ′ ( t ) representa y cómo se comporta cuando t aumenta. ¿Qué nos dice la derivada sobre cómo afecta el brote de gripe a esta ciudad? a. El ritmo al que cambia el número de personas que han contraído la gripe t semanas después del brote inicial. b. La tasa aumenta considerablemente hasta la tercera semana, momento en el que se ralentiza y luego se vuelve constante. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la altura h del cohete Saturno V para la misión Apolo 11 t segundos después del lanzamiento. Tiempo (segundos) Altura (metros) 0 0 1 2 2 4 3 13 4 25 5 32 ¿Cuál es el significado físico de h ′ ( t ) ? ¿Cuáles son las unidades? [T] Elabore una tabla de valores para h ′ ( t ) y grafique ambas h ( t ) y h ′ ( t ) en el mismo gráfico. (Pista: para los puntos internos , estime tanto el límite izquierdo como el derecho y promédielos. Un punto interno de un intervalo I es un elemento de I que no es un punto final de I). Tiempo (segundos) h ′ ( t ) (m/s) 0 2 1 2 2 5,5 3 10,5 4 9,5 5 7 [T] El mejor ajuste lineal para los datos viene dado por H ( t ) = 7,229 t − 4,905 , donde H es la altura del cohete (en metros) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine H ′ ( t ) . Gráfico H ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique H ′ ( t ) . [T] El mejor ajuste cuadrático para los datos viene dado por G ( t ) = 1,429 t 2 + 0,0857 t − 0,1429 , donde G es la altura del cohete (en metros) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine G ′ ( t ) . Gráfico G ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique G ′ ( t ) . G ′ ( t ) = 2,858 t + 0,0857 [T] El mejor ajuste cúbico para los datos viene dado por F ( t ) = 0,2037 t 3 + 2,956 t 2 − 2,705 t + 0,4683 , donde F es la altura del cohete (en m) y t es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación, determine F ′ ( t ) . Gráfico F ( t ) con los datos dados y, en otro plano de coordenadas, grafique F ′ ( t ) . ¿Qué función entre la lineal, cuadrática o cúbica se ajusta mejor a los datos? Utilizando los mejores ajustes lineales, cuadráticos y cúbicos para los datos, determine qué H ″ ( t ) , G ″ ( t ) y F ″ ( t ) sí lo son. ¿Cuáles son los significados físicos de H ″ ( t ) , G ″ ( t ) y F ″ ( t ) , y cuáles son sus unidades? H ″ ( t ) = 0 , G ″ ( t ) = 2,858 y f ″ ( t ) = 1,222 t + 5,912 representa la aceleración del cohete, con unidades de metros por segundo al cuadrado ( m/s 2 ) función derivada da la derivada de una función en cada punto del dominio de la función original para la que se define la derivada diferenciable en a una función para la cual f ′ ( a ) existe es diferenciable en a diferenciable en S una función para la cual f ′ ( x ) existe para cada x en el conjunto abierto S es diferenciable en S función diferenciable una función para la cual f ′ ( x ) existe es una función diferenciable derivada de orden superior la derivada de una derivada, desde la segunda derivada hasta la enésima derivada, se llama derivada de orden superior", "section": "La derivada como función", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Reglas de diferenciación Encontrar las derivadas de las funciones utilizando la definición de la derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones, bastante difícil. Por ejemplo, anteriormente descubrimos que d d x ( x ) = 1 2 x mediante un proceso que implicaba multiplicar una expresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El proceso que podríamos utilizar para evaluar d d x ( x 3 ) utilizando la definición, aunque es similar, es más complicado. En esta sección, desarrollaremos reglas para encontrar derivadas que nos permitan evitar este proceso. Empezamos por lo básico. Reglas básicas Las funciones f ( x ) = c y g ( x ) = x n donde n es un número entero positivo son los bloques de construcción a partir de los cuales se construyen todos los polinomios y funciones racionales. Para encontrar derivadas de polinomios y funciones racionales de forma eficiente sin recurrir a la definición de límite de la derivada, debemos primero desarrollar fórmulas para diferenciar estas funciones básicas. La regla constante Primero aplicamos la definición de límite de la derivada para encontrar la derivada de la función constante, f ( x ) = c . Para esta función, tanto f ( x ) = c como f ( x + h ) = c , por lo que obtenemos el siguiente resultado: f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h = lím h → 0 c − c h = lím h → 0 0 h = lím h → 0 0 = 0, La regla para diferenciar funciones constantes se llama regla de la constante . Afirma que la derivada de una función constante es cero; es decir, puesto que una función constante es una línea horizontal, la pendiente, o la tasa de cambio, de una función constante es 0 . En el siguiente teorema volvemos a exponer esta regla. La regla constante Supongamos que c es una constante. Si los valores de f ( x ) = c , entonces f ′ ( x ) = 0 . Alternativamente, podemos expresar esta regla como d d x ( c ) = 0, Aplicación de la regla de la constante Calcule la derivada de f ( x ) = 8 . Esto es solo una aplicación de la regla en un paso: f ′ ( x ) = 0, Calcule la derivada de g ( x ) = −3 . 0 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. La regla de la potencia Ya demostramos que d d x ( x 2 ) = 2 x y d d x ( x 1 / 2 ) = 1 2 x – 1 / 2 . En este punto, se puede ver un patrón que comienza a desarrollarse para las derivadas de la forma d d x ( x n ) . Continuamos nuestro examen de las fórmulas de derivación diferenciando funciones de potencia de la forma f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo. Desarrollaremos fórmulas para las derivadas de este tipo de funciones por etapas, empezando por las potencias enteras positivas. Antes de enunciar y demostrar la regla general para las derivadas de funciones de esta forma, veremos un caso concreto, d d x ( x 3 ) . A medida que avancemos en esta derivación, observe que la técnica utilizada en este caso es esencialmente la misma que la que se usa para demostrar el caso general. Diferenciando x 3 Halle d d x ( x 3 ) . d d x ( x 3 ) = lím h → 0 ( x + h ) 3 − x 3 h = lím h → 0 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 − x 3 h Note que el primer término de la expansión de ( x + h ) 3 es x 3 y el segundo término es 3 x 2 h . Todos los demás términos contienen potencias de h de dos o mayores. = lím h → 0 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 h En este paso se cancelaron los términos x 3 dejando solo los términos que contienen h . = lím h → 0 h ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) h Factorice el factor común de h . = lím h → 0 ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) Tras cancelar el factor común de h , el único término que no contiene h es 3 x 2 . = 3 x 2 Supongamos que h llega a 0. Halle d d x ( x 4 ) . 4 x 3 Pista Utilice la sustitución en ( x + h ) 4 = x 4 + 4 x 3 h + 6 x 2 h 2 + 4 x h 3 + h 4 y siga el procedimiento descrito en el ejemplo anterior. Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de la forma general f ( x ) = x n es bastante similar. Aunque a menudo no es prudente sacar conclusiones generales a partir de ejemplos concretos, observamos que cuando diferenciamos f ( x ) = x 3 , la potencia en x se convierte en el coeficiente de x 2 en la derivada y la potencia x en la derivada disminuye en 1. El siguiente teorema afirma que la regla de la potencia se cumple para todas las potencias enteras positivas de x . En su momento ampliaremos este resultado a las potencias enteras negativas. Más adelante veremos que esta regla también puede extenderse primero a las potencias racionales de x y luego a las potencias arbitrarias de x . No obstante tenga en cuenta que esta regla no se aplica a las funciones en las que una constante se eleva a una potencia variable, como por ejemplo f ( x ) = 3 x . La regla de la potencia Supongamos que n es un número entero positivo. Si los valores de f ( x ) = x n , entonces f ′ ( x ) = n x n – 1 . Alternativamente, podemos expresar esta regla como d d x x n = n x n – 1 . Prueba Para f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo, tenemos f ′ ( x ) = lím h → 0 ( x + h ) n – x n h . Dado que ( x + h ) n = x n + n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n , vemos que ( x + h ) n – x n = n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n . A continuación, divida ambos lados entre h : ( x + h ) n – x n h = n x n – 1 h + ( n 2 ) x n – 2 h 2 + ( n 3 ) x n − 3 h 3 + … + n x h n – 1 + h n h . Por lo tanto, ( x + h ) n – x n h = n x n – 1 + ( n 2 ) x n – 2 h + ( n 3 ) x n − 3 h 2 + … + n x h n – 2 + h n – 1 . Finalmente, f ′ ( x ) = lím h → 0 ( n x n – 1 + ( n 2 ) x n – 2 h + ( n 3 ) x n − 3 h 2 + … + n x h n – 1 + h n ) = n x n – 1 . □ Aplicación de la regla de la potencia Halle la derivada de la función f ( x ) = x 10 aplicando la regla de la potencia. Utilizando la regla de la potencia con n = 10 , obtenemos f ′ ( x ) = 10 x 10 − 1 = 10 x 9 . Calcule la derivada de f ( x ) = x 7 . f ′ ( x ) = 7 x 6 Pista Utilice la regla de la potencia con n = 7 . Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante Encontramos nuestras siguientes reglas de diferenciación observando las derivadas de sumas, diferencias y múltiplos constantes de funciones. Al igual que cuando trabajamos con funciones, hay reglas que facilitan encontrar derivadas de funciones que sumamos, restamos o multiplicamos por una constante. Estas reglas se resumen en el siguiente teorema. Reglas de la suma, la diferencia y del múltiplo constante Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables y que k es una constante. Entonces cada una de las siguientes ecuaciones se cumple. Regla de la suma . La derivada de la suma de una función f y una función g es igual a la suma de la derivada de f y la derivada de g . d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) + d d x ( g ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . Regla de la diferencia . La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g : d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) − d d x ( g ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = f ( x ) − g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) . Regla del múltiplo constante . La derivada de una constante k multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada: d d x ( k f ( x ) ) = k d d x ( f ( x ) ) ; es decir, para j ( x ) = k f ( x ) , j ′ ( x ) = k f ′ ( x ) . Prueba Aquí solo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. El resto permanece similar. Para las funciones diferenciables f ( x ) y g ( x ) , establecemos j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Utilizando la definición de límite de la derivada tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 j ( x + h ) − j ( x ) h . Al sustituir j ( x + h ) = f ( x + h ) + g ( x + h ) y j ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) + g ( x + h ) ) − ( f ( x ) + g ( x ) ) h . Si reordenamos y reagrupamos los términos, tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h + g ( x + h ) − g ( x ) h ) . Ahora aplicamos la ley de suma para los límites y la definición de la derivada para obtener j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h ) + lím h → 0 ( g ( x + h ) − g ( x ) h ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) . □ Aplicación de la regla del múltiplo constante Calcule la derivada de g ( x ) = 3 x 2 y compárela con la derivada de f ( x ) = x 2 . Utilicemos directamente la regla de la potencia: g ′ ( x ) = d d x ( 3 x 2 ) = 3 d d x ( x 2 ) = 3 ( 2 x ) = 6 x . Dado que f ( x ) = x 2 tiene la derivada f ′ ( x ) = 2 x , vemos que la derivada de g ( x ) es 3 veces la derivada de f ( x ) . Esta relación se ilustra en la . La derivada de g ( x ) es 3 veces la derivada de f ( x ) . Aplicación de las reglas básicas de las derivadas Calcule la derivada de f ( x ) = 2 x 5 + 7 . Comenzamos aplicando la regla para diferenciar la suma de dos funciones, seguida de las reglas de diferenciación de múltiplos constantes de funciones y de la regla para diferenciar potencias. Para entender mejor la secuencia en la que se aplican las reglas de diferenciación, utilicemos la notación de Leibniz a lo largo de la solución: f ′ ( x ) = d d x ( 2 x 5 + 7 ) = d d x ( 2 x 5 ) + d d x ( 7 ) Aplique la regla de la suma. = 2 d d x ( x 5 ) + d d x ( 7 ) Aplique la regla del múltiplo constante. = 2 ( 5 x 4 ) + 0 Aplique la regla de la potencia y la regla de la constante. = 10 x 4 . Simplifique. Calcule la derivada de f ( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 + 3 . f ′ ( x ) = 6 x 2 − 12 x . Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 a las x = 1 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente. Para hallar el punto, calcule f ( 1 ) = 1 2 − 4 ( 1 ) + 6 = 3 . Esto nos da el punto ( 1 , 3 ) . Como la pendiente de la línea tangente en 1 es f ′ ( 1 ) , primero debemos encontrar f ′ ( x ) . Utilizando la definición de una derivada, tenemos f ′ ( x ) = 2 x − 4 por lo que la pendiente de la línea tangente es f ′ ( 1 ) = –2 . Utilizando la fórmula punto-pendiente, vemos que la ecuación de la línea tangente es y − 3 = −2 ( x – 1 ) . Poniendo la ecuación de la línea en forma pendiente-intersección, obtenemos y = –2 x + 5 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 3 x 2 − 11 a las x = 2 . Utilice la forma punto-pendiente. y = 12 x − 23 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. La regla del producto Ya que examinamos las reglas básicas, podemos empezar a ver algunas de las reglas más avanzadas. La primera examina la derivada del producto de dos funciones. Aunque podría ser tentador asumir que la derivada del producto es el producto de las derivadas, de forma similar a las reglas de la suma y la diferencia, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver por qué no podemos utilizarlo, analicemos la función f ( x ) = x 2 , cuya derivada es f ′ ( x ) = 2 x y no d d x ( x ) . d d x ( x ) = 1 . 1 = 1 . Regla del producto Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. Entonces d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) . g ( x ) + d d x ( g ( x ) ) . f ( x ) . Eso es, si j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , entonces j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) . Esto significa que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera. Prueba Comenzamos asumiendo que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. En un punto clave de esta prueba tenemos que tener en cuenta el hecho de que, como g ( x ) es diferenciable, también es continua. En particular, tenemos en cuenta el hecho de que ya que g ( x ) es continua, lím h → 0 g ( x + h ) = g ( x ) . Al aplicar la definición de límite de la derivada a j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h . Al sumar y restar f ( x ) g ( x + h ) en el numerador, tenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h . Tras descomponer este cociente y aplicar la ley de suma para los límites, la derivada se convierte en j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x + h ) h ) + lím h → 0 ( f ( x ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h ) . Reordenando, obtenemos j ′ ( x ) = lím h → 0 ( f ( x + h ) − f ( x ) h . g ( x + h ) ) + lím h → 0 ( g ( x + h ) − g ( x ) h . f ( x ) ) . Utilizando la continuidad de g ( x ) , la definición de las derivadas de f ( x ) y g ( x ) , y aplicando las leyes de los límites, llegamos a la regla del producto, j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) . □ Aplicación de la regla del producto a las funciones en un punto Para j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , utilice la regla del producto para hallar j ′ ( 2 ) si f ( 2 ) = 3 , f ′ ( 2 ) = −4 , g ( 2 ) = 1 , y g ′ ( 2 ) = 6 . Dado que j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) , y por lo tanto j ′ ( 2 ) = f ′ ( 2 ) g ( 2 ) + g ′ ( 2 ) f ( 2 ) = ( –4 ) ( 1 ) + ( 6 ) ( 3 ) = 14 . Aplicación de la regla del producto a los binomios Para j ( x ) = ( x 2 + 2 ) ( 3 x 3 − 5 x ) , calcule j ′ ( x ) aplicando la regla del producto. Compruebe el resultado encontrando primero el producto y luego diferenciando. Si establecemos f ( x ) = x 2 + 2 y g ( x ) = 3 x 3 − 5 x , entonces f ′ ( x ) = 2 x y g ′ ( x ) = 9 x 2 − 5 . Por lo tanto, j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) = ( 2 x ) ( 3 x 3 − 5 x ) + ( 9 x 2 − 5 ) ( x 2 + 2 ) . Simplificando, tenemos j ′ ( x ) = 15 x 4 + 3 x 2 − 10 . Para comprobarlo, observamos que j ( x ) = 3 x 5 + x 3 − 10 x y en consecuencia, j ′ ( x ) = 15 x 4 + 3 x 2 − 10 . Utilice la regla del producto para obtener la derivada de j ( x ) = 2 x 5 ( 4 x 2 + x ) . j ′ ( x ) = 10 x 4 ( 4 x 2 + x ) + ( 8 x + 1 ) ( 2 x 5 ) = 56 x 6 + 12 x 5 . Pista Establezca f ( x ) = 2 x 5 y g ( x ) = 4 x 2 + x y utilice el ejemplo anterior como guía. La regla del cociente Después de haber desarrollado y practicado la regla del producto, ahora consideraremos la diferenciación de cocientes de funciones. Como vemos en el siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de las derivadas, sino que es la derivada de la función del numerador multiplicada por la función del denominador menos la derivada de la función del denominador multiplicada por la función del numerador, todo ello dividido entre el cuadrado de la función del denominador. Para entender mejor por qué no podemos tomar simplemente el cociente de las derivadas, hay que tener en cuenta que d d x ( x 2 ) = 2 x , no d d x ( x 3 ) d d x ( x ) = 3 x 2 1 = 3 x 2 . La regla del cociente Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables. Entonces d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = d d x ( f ( x ) ) . g ( x ) − d d x ( g ( x ) ) . f ( x ) ( g ( x ) ) 2 . Eso es, si j ( x ) = f ( x ) g ( x ) , entonces j ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 . La prueba de la regla del cociente es muy similar a la de la regla del producto, por lo que se omite aquí. En su lugar, aplicamos esta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo. Aplicación de la regla del cociente Use la regla del cociente para encontrar la derivada de k ( x ) = 5 x 2 4 x + 3 . Supongamos que f ( x ) = 5 x 2 y g ( x ) = 4 x + 3 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 10 x y g ′ ( x ) = 4 . Sustituyendo por la regla del cociente, tenemos k ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 = 10 x ( 4 x + 3 ) − 4 ( 5 x 2 ) ( 4 x + 3 ) 2 . Si simplificamos, obtenemos k ′ ( x ) = 20 x 2 + 30 x ( 4 x + 3 ) 2 . Calcule la derivada de h ( x ) = 3 x + 1 4 x − 3 . k ′ ( x ) = − 13 ( 4 x − 3 ) 2 . Pista Aplicar la regla del cociente con f ( x ) = 3 x + 1 y g ( x ) = 4 x − 3 . Ahora es posible utilizar la regla del cociente para ampliar la regla de la potencia para encontrar derivadas de funciones de la forma x k donde k es un número entero negativo. Regla de la potencia ampliada Si los valores de k es un número entero negativo, entonces d d x ( x k ) = k x k − 1 . Prueba Si los valores de k es un número entero negativo, podemos establecer n = − k , para que n sea un número entero positivo con k = − n . Ya que para cada entero positivo n , x − n = 1 x n , ahora podemos aplicar la regla del cociente al establecer f ( x ) = 1 y g ( x ) = x n . En este caso, f ′ ( x ) = 0 y g ′ ( x ) = n x n – 1 . Por lo tanto, d dx ( x − n ) = 0 ( x n ) − 1 ( n x n – 1 ) ( x n ) 2 . Simplificando, vemos que d dx ( x − n ) = − n x n – 1 x 2 n = − n x ( n – 1 ) − 2 n = − n x − n – 1 . Por último, note que ya que k = − n , al sustituir tenemos d d x ( x k ) = k x k − 1 . □ Uso de la regla de la potencia ampliada Halle d d x ( x −4 ) . Si aplicamos la regla de la potencia ampliada con k = −4 , obtenemos d d x ( x −4 ) = −4 x −4 − 1 = −4 x −5 . Uso de la regla de la potencia ampliada y de la regla del múltiplo constante Utilice la regla de la potencia ampliada y la regla del múltiplo constante para encontrar la derivada de f ( x ) = 6 x 2 . Puede parecer tentador utilizar la regla del cociente para encontrar esta derivada, y ciertamente no sería incorrecto hacerlo. Sin embargo, es mucho más fácil diferenciar esta función reescribiéndola primero como f ( x ) = 6 x −2 . f ′ ( x ) = d d x ( 6 x 2 ) = d d x ( 6 x −2 ) Reescriba 6 x 2 dado que 6 x −2 . = 6 d d x ( x −2 ) Aplique la regla del múltiplo constante. = 6 ( −2 x −3 ) Utilice la regla de la potencia ampliada para diferenciar x −2 . = −12 x −3 Simplifique. Calcule la derivada de g ( x ) = 1 x 7 utilizando la regla de la potencia ampliada. g ′ ( x ) = −7 x −8 . Pista Reescriba g ( x ) = 1 x 7 = x −7 . Utilice la regla de la potencia ampliada con k = −7 . Combinación de reglas de diferenciación Como vimos en los ejemplos de esta sección, rara vez se nos pide que apliquemos una sola regla de diferenciación para encontrar la derivada de una función dada. En este punto, combinando las reglas de diferenciación, podemos encontrar las derivadas de cualquier función polinómica o racional. Más adelante nos encontraremos con combinaciones más complejas de reglas de diferenciación. Una regla de oro para aplicar varias reglas es aplicarlas en el orden inverso al de la evaluación de la función. Combinación de reglas de diferenciación Para k ( x ) = 3 h ( x ) + x 2 g ( x ) , calcule k ′ ( x ) . Para encontrar esta derivada se necesita la regla de la suma, la regla del múltiplo constante y la regla del producto. k ′ ( x ) = d d x ( 3 h ( x ) + x 2 g ( x ) ) = d d x ( 3 h ( x ) ) + d d x ( x 2 g ( x ) ) Aplique la regla de la suma. = 3 d d x ( h ( x ) ) + ( d d x ( x 2 ) g ( x ) + d d x ( g ( x ) ) x 2 ) Aplique la regla del múltiplo constante para diferenciar 3 h ( x ) y el producto regla para diferenciar x 2 g ( x ) . = 3 h ′ ( x ) + 2 x g ( x ) + g ′ ( x ) x 2 Ampliación de la regla del producto Para k ( x ) = f ( x ) g ( x ) h ( x ) , exprese k ′ ( x ) en términos de f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) , y sus derivadas. Podemos pensar en la función k ( x ) como el producto de la función f ( x ) g ( x ) y la función h ( x ) . Es decir, k ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) . h ( x ) . Por lo tanto, k ′ ( x ) = d d x ( f ( x ) g ( x ) ) . h ( x ) + d d x ( h ( x ) ) . ( f ( x ) g ( x ) ) Aplicar la regla del producto al producto de f ( x ) g ( x ) y h ( x ) . = ( f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) ) h ( x ) + h ′ ( x ) f ( x ) g ( x ) Aplique la regla del producto a f ( x ) g ( x ) . = f ′ ( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ′ ( x ) Simplifique. Combinación de la regla del cociente y la regla del producto Para h ( x ) = 2 x 3 k ( x ) 3 x + 2 , calcule h ′ ( x ) . Este procedimiento es típico para encontrar la derivada de una función racional. h ′ ( x ) = d d x ( 2 x 3 k ( x ) ) . ( 3 x + 2 ) − d d x ( 3 x + 2 ) . ( 2 x 3 k ( x ) ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del cociente. = ( 6 x 2 k ( x ) + k ′ ( x ) . 2 x 3 ) ( 3 x + 2 ) − 3 ( 2 x 3 k ( x ) ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del producto para hallar d d x ( 2 x 3 k ( x ) ) . Uso d d x ( 3 x + 2 ) = 3 . = −6 x 3 k ( x ) + 18 x 3 k ( x ) + 12 x 2 k ( x ) + 6 x 4 k ′ ( x ) + 4 x 3 k ′ ( x ) ( 3 x + 2 ) 2 Simplifique. Halle d d x ( 3 f ( x ) − 2 g ( x ) ) . 3 f ′ ( x ) − 2 g ′ ( x ) . Pista Aplique la regla de la diferencia y la regla del múltiplo constante. Determinar si una función tiene una tangente horizontal Determine los valores de x en el que f ( x ) = x 3 − 7 x 2 + 8 x + 1 tiene una línea tangente horizontal. Para encontrar los valores de x en el que f ( x ) tiene una línea tangente horizontal, debemos resolver f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = 3 x 2 − 14 x + 8 = ( 3 x − 2 ) ( x − 4 ) , debemos resolver ( 3 x − 2 ) ( x − 4 ) = 0 . Así vemos que la función tiene líneas tangentes horizontales en x = 2 3 y x = 4 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene líneas tangentes horizontales en x = 2/3 y x = 4. Encontrar una velocidad La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t t 2 + 1 . ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto? Dado que la velocidad inicial es v ( 0 ) = s ′ ( 0 ) , comience por hallar s ′ ( t ) aplicando la regla del cociente: s ′ ( t ) = 1 ( t 2 + 1 ) − 2 t ( t ) ( t 2 + 1 ) 2 = 1 − t 2 ( t 2 + 1 ) 2 . Después de la evaluación, vemos que v ( 0 ) = 1 . Halle los valores de x para los que el gráfico de f ( x ) = 4 x 2 − 3 x + 2 tiene una línea tangente paralela a la línea y = 2 x + 3 . 5 8 Pista Resuelva f ′ ( x ) = 2 . Las tribunas de la Fórmula 1 Las carreras de automóviles de Fórmula 1 pueden ser muy emocionantes y de hecho atraen muchos espectadores. Los diseñadores de los circuitos de Fórmula 1 tienen que asegurarse de que haya suficiente espacio en las gradas alrededor de la pista para acomodar al público. Sin embargo, esas carreras pueden ser peligrosas, y los aspectos de seguridad son primordiales. Las tribunas deben estar situadas donde los espectadores no corran peligro en caso de que un piloto pierda el control de un automóvil ( ). La tribuna junto a una recta del circuito de Barcelona-Catalunya, situada donde los espectadores no corren peligro. La seguridad es un problema sobre todo en las curvas. Si un conductor no frena lo suficiente antes de entrar en la curva, su auto puede salirse de la pista. Por lo general esto solo da lugar a un giro más amplio que ralentiza al conductor, pero si este pierde completamente el control, el auto puede salirse de la pista por completo, en una trayectoria tangente a la curva del circuito. Supongamos que está diseñando una nueva pista de Fórmula 1. Una sección de la vía puede ser modelada por la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + x ( ). El plan actual prevé la construcción de tribunas a lo largo de la primera recta y alrededor de una parte de la primera curva. Los planes prevén que la esquina delantera de la tribuna se sitúe en el punto ( −1,9 , 2,8 ) . Queremos determinar si esta ubicación pone en peligro a los espectadores si un conductor pierde el control de su automóvil. (a) Una sección de la pista puede ser modelada por la función f ( x ) = x 3 + 3 x 2 + x . b) La esquina delantera de la tribuna está situada en ( −1,9 , 2,8 ) . Los físicos han determinado que los conductores tienen más probabilidades de perder el control de sus autos al entrar en una curva, en el punto donde la pendiente de la línea tangente es 1. Halle las intersecciones en ( x , y ) coordenadas de este punto cerca del giro. Halle la ecuación de la línea tangente a la curva en este punto. Para determinar si los espectadores están en peligro en este escenario, halle la coordenada x del punto donde la línea tangente interseca la línea y = 2,8 . ¿Este punto a la derecha de la tribuna es seguro? ¿O los espectadores están en peligro? ¿Qué pasa si un conductor pierde el control antes de lo previsto según los físicos? Supongamos que un conductor pierde el control en el punto ( −2,5 , 0,625 ) . ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente en este punto? Si un conductor pierde el control como se describe en la parte 4, ¿los espectadores no corren peligro? ¿Debe mantener el diseño actual de la tribuna, o esta debe trasladarse? Conceptos clave La derivada de una función constante es cero. La derivada de una función potencia es una función en la que la potencia sobre x se convierte en el coeficiente del término y la potencia en x en la derivada disminuye en 1. La derivada de una constante c multiplicada por una función f es lo mismo que la constante multiplicada por la derivada. La derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g. La derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g. La derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera. La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda menos la derivada de la segunda función multiplicada por la primera, todo ello dividido entre el cuadrado de la segunda función. Utilizamos la definición de límite de la derivada para desarrollar fórmulas que nos permitan encontrar derivadas sin recurrir a la definición de la derivada. Estas fórmulas pueden usarse por separado o combinadas. En los siguientes ejercicios, calcule f ′ ( x ) por cada función. f ( x ) = x 7 + 10 f ( x ) = 5 x 3 − x + 1 f ′ ( x ) = 15 x 2 – 1 f ( x ) = 4 x 2 − 7 x f ( x ) = 8 x 4 + 9 x 2 – 1 f ′ ( x ) = 32 x 3 + 18 x f ( x ) = x 4 + 2 x f ( x ) = 3 x ( 18 x 4 + 13 x + 1 ) grandes. f ′ ( x ) = 270 x 4 + 39 ( x + 1 ) 2 f ( x ) = ( x + 2 ) ( 2 x 2 − 3 ) grandes. f ( x ) = x 2 ( 2 x 2 + 5 x 3 ) grandes. f ′ ( x ) = −5 x 2 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 4 3 f ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 1 x 2 f ′ ( x ) = 4 x 4 + 2 x 2 − 2 x x 4 f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 f ( x ) = x + 9 x 2 − 7 x + 1 f ′ ( x ) = − x 2 − 18 x + 64 ( x 2 − 7 x + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente T ( x ) al gráfico de la función dada en el punto indicado. Utilice una calculadora gráfica para representar la función y la línea tangente. [T] y = 3 x 2 + 4 x + 1 a las ( 0 , 1 ) [T] y = 2 x 2 + 1 a las ( 1 , 3 ) T ( x ) = – 4 x + 7 [T] y = 2 x x – 1 a las ( –1 , 1 ) [T] y = 2 x − 3 x 2 en ( 1 , –1 ) T ( x ) = 4 x − 5 En los siguientes ejercicios, suponga que f ( x ) y g ( x ) son ambas funciones diferenciables para toda x . Halle la derivada de cada una de las funciones h ( x ) . h ( x ) = 4 f ( x ) + g ( x ) 7 h ( x ) = x 3 f ( x ) grandes. h ′ ( x ) = 3 x 2 f ( x ) + x 3 f ′ ( x ) grandes. h ( x ) = f ( x ) g ( x ) 2 h ( x ) = 3 f ( x ) g ( x ) + 2 h ′ ( x ) = 3 f ′ ( x ) ( g ( x ) + 2 ) − 3 f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) + 2 ) 2 En los siguientes ejercicios, suponga que f ( x ) y g ( x ) son funciones diferenciables con los valores que se indican en la siguiente tabla. Utilice la siguiente tabla para calcular las siguientes derivadas. x 1 2 3 4 f ( x ) 3 5 −2 0 g ( x ) 2 3 −4 6 f ′ ( x ) −1 7 8 −3 g ′ ( x ) 4 1 2 9 Halle h ′ ( 1 ) si h ( x ) = x f ( x ) + 4 g ( x ) . Halle h ′ ( 2 ) si h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . 16 9 Halle h ′ ( 3 ) si h ( x ) = 2 x + f ( x ) g ( x ) . Halle h ′ ( 4 ) si h ( x ) = 1 x + g ( x ) f ( x ) . Indefinida En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente figura para hallar las derivadas indicadas, si es que existen. Supongamos que h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . Supongamos que h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . a. 2 , b. no existe, c. 2,5 Supongamos que h ( x ) = f ( x ) g ( x ) . Calcule h ′ ( 1 ) , h ′ ( 3 ) , y h ′ ( 4 ) . En los siguientes ejercicios, evalúe f ′ ( a ) , y grafique la función f ( x ) y la línea tangente en x = a . [T] f ( x ) = 2 x 3 + 3 x – x 2 , a = 2 a. 23, b. y = 23 x − 28 [T] f ( x ) = 1 x – x 2 , a = 1 [T] f ( x ) = x 2 − x 12 + 3 x + 2 , a = 0 a. 3, b. y = 3 x + 2 [T] f ( x ) = 1 x – x 2 , a = –1 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 3 en x = −1 . y = −7 x − 3 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = x 2 + 4 x − 10 a las x = 8 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = ( 3 x – x 2 ) ( 3 − x – x 2 ) en x = 1 . y = −5 x + 7 Halle el punto en el gráfico de f ( x ) = x 3 tal que la línea tangente en ese punto tenga una intersección en x de 6. Halle la ecuación de la línea que pasa por el punto P ( 3 , 3 ) y es tangente al gráfico de f ( x ) = 6 x – 1 . y = − 3 2 x + 15 2 Determine todos los puntos del gráfico de f ( x ) = x 3 + x 2 − x – 1 para el cual la línea tangente es horizontal la línea tangente tiene una pendiente de −1 . Halle un polinomio cuadrático tal que f ( 1 ) = 5 , f ′ ( 1 ) = 3 y f ″ ( 1 ) = −6 . y = −3 x 2 + 9 x – 1 Un auto que circula por una autopista con tráfico ha recorrido s ( t ) = t 3 − 6 t 2 + 9 t metros en t segundos. Determine el tiempo en segundos en que la velocidad del auto es 0. Determine la aceleración del auto cuando la velocidad es 0. [T] Un arenque nadando en línea recta ha recorrido s ( t ) = t 2 t 2 + 2 pies en t segundos. Determine la velocidad del arenque cuando haya recorrido 3 segundos. 12 121 o 0,0992 ft/s La población en millones de platija ártica en el Océano Atlántico se modela mediante la función P ( t ) = 8 t + 3 0,2 t 2 + 1 , donde t se mide en años. Determine la población inicial de platijas. Determine P ′ ( 10 ) e interprete brevemente el resultado. [T] La concentración de antibióticos en el torrente sanguíneo t horas después de haber sido inyectados viene dada por la función C ( t ) = 2 t 2 + t t 3 + 50 , donde C se mide en miligramos por litro de sangre. Calcule la tasa de cambio de C ( t ) . Determine la tasa de cambio de t = 8 , 12 , 24 , y 36. Describa brevemente lo que parece ocurrir a medida que aumenta el número de horas. a. −2 t 4 – 2 t 3 + 200 t + 50 ( t 3 + 50 ) 2 b. −0,02395 mg/L-h, –0,01344 mg/L-h, –0,003566 mg/L-h, –0,001579 mg/L-h c. La tasa a la que disminuye la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo se reduce a 0 a medida que pasa el tiempo. Un editor de libros tiene una función de costo dada por C ( x ) = x 3 + 2 x + 3 x 2 , donde x es el número de ejemplares de un libro en miles y C es el costo por libro en dólares. Evalúe C ′ ( 2 ) y explique su significado. [T] Según la ley de gravitación universal de Newton, la fuerza F entre dos cuerpos de masa constante m 1 y m 2 está dado por la fórmula F = G m 1 m 2 d 2 , donde G es la constante gravitacional y d es la distancia entre los cuerpos. Supongamos que G , m 1 , y m 2 son constantes. Calcule la tasa de cambio de la fuerza F con respecto a la distancia d . Calcule la tasa de cambio de la fuerza F con la constante gravitacional G = 6,67 × 10 −11 Nm 2 / kg 2 , en dos cuerpos separados por 10 metros, cada uno con una masa de 1.000 kilogramos. a. F ′ ( d ) = −2 G m 1 m 2 d 3 b. −1,33 × 10 −7 N/m regla del múltiplo constante la derivada de una constante c multiplicada por una función f es la misma que la constante multiplicada por la derivada: d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) regla de la constante la derivada de una función constante es cero: d d x ( c ) = 0 , donde c es una constante regla de la diferencia la derivada de la diferencia de una función f y una función g es la misma que la diferencia de la derivada de f y la derivada de g : d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) regla de la potencia la derivada de una función potencia es una función en la que la potencia sobre x se convierte en el coeficiente del término y la potencia en x en la derivada disminuye en 1: Si los valores de n es un número entero, entonces d d x x n = n x n – 1 regla del producto la derivada de un producto de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda más la derivada de la segunda función multiplicada por la primera: d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) regla del cociente la derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función menos la derivada de la segunda función multiplicada por la primera función, todo ello dividido entre el cuadrado de la segunda función: d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) − g ′ ( x ) f ( x ) ( g ( x ) ) 2 regla de la suma la derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x )", "section": "Reglas de diferenciación", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Las derivadas como tasas de cambio En esta sección veremos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en su interpretación como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen la aceleración y la velocidad en física, las tasas de crecimiento de la población en biología y las funciones marginales en economía. Fórmula de la cantidad de cambio Una de las aplicaciones de las derivadas es estimar un valor desconocido de una función en un punto utilizando un valor conocido de la función en algún punto dado junto con su tasa de cambio en el punto dado. Si los valores de f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , a + h ] , entonces la cantidad de cambio de f ( x ) sobre el intervalo es el cambio en los valores y de la función en ese intervalo y viene dada por f ( a + h ) − f ( a ) . La tasa de cambio de la función f en ese mismo intervalo es la relación entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambio correspondiente en los valores x . Viene dado por f ( a + h ) − f ( a ) h . Como sabemos, la tasa de cambio instantánea de f ( x ) en a es su derivada f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h . Para valores suficientemente pequeños de h , f ′ ( a ) ≈ f ( a + h ) − f ( a ) h . Podemos entonces resolver para f ( a + h ) a fin de obtener la fórmula de la cantidad de cambio: f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h . Podemos utilizar esta fórmula si solo conocemos f ( a ) y f ′ ( a ) y deseamos estimar el valor de f ( a + h ) . Por ejemplo, podemos utilizar la población actual de una ciudad y su tasa de crecimiento para estimar su número en un futuro próximo. Como podemos ver en la , estamos aproximando f ( a + h ) por las coordenadas y en a + h en la línea tangente a f ( x ) en x = a . Observe que la exactitud de esta estimación depende del valor de h así como del valor de f ′ ( a ) . El nuevo valor de una cantidad modificada es igual al valor original más la tasa de cambio multiplicada por el intervalo de cambio: f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h. He aquí una interesante demostración de la tasa de cambio. Estimación del valor de una función Si los valores de f ( 3 ) = 2 y f ′ ( 3 ) = 5 , estime f ( 3,2 ) . Comience por calcular h . Tenemos h = 3,2 − 3 = 0,2 . Por lo tanto, f ( 3,2 ) = f ( 3 + 0,2 ) ≈ f ( 3 ) + ( 0,2 ) f ′ ( 3 ) = 2 + 0,2 ( 5 ) = 3 . Dado que f ( 10 ) = −5 y f ′ ( 10 ) = 6 , estime f ( 10,1 ) . −4,4 Pista Utilice el mismo proceso que en el ejemplo anterior. Movimiento a lo largo de una línea Otro uso de la derivada es el de analizar el movimiento a lo largo de una línea. Describimos la velocidad como la tasa de cambio de posición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrar la aceleración, o la tasa de cambio de la velocidad. También es importante presentar la idea de rapidez , que es la magnitud de la velocidad. Así, podemos enunciar las siguientes definiciones matemáticas. Definición Supongamos que s ( t ) es una función que da la posición de un objeto en el tiempo t . La velocidad del objeto en el tiempo t viene dada por v ( t ) = s ′ ( t ) . La rapidez del objeto en el momento t viene dada por | v ( t ) | . La aceleración del objeto en t viene dada por a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) . Comparación de la velocidad instantánea y la velocidad media Se deja caer una pelota desde una altura de 64 ft. Su altura sobre el suelo (en ft) t segundos después viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 . ¿Cuál es la velocidad instantánea de la pelota cuando toca el suelo? ¿Cuál es la velocidad media durante su caída? Lo primero que hay que hacer es determinar el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Para ello, defina s ( t ) = 0 . Resolución de problemas −16 t 2 + 64 = 0 , obtenemos t = 2 , para que la pelota tarde 2 segundos en llegar al suelo. La velocidad instantánea de la pelota al golpear el suelo es v ( 2 ) . Dado que v ( t ) = s ′ ( t ) = −32 t , obtenemos v ( t ) = −64 ft/s . La velocidad media de la pelota durante su caída es v a v e = s ( 2 ) − s ( 0 ) 2 − 0 = 0 − 64 2 = −32 ft/s . Interpretación de la relación entre v ( t ) y a ( t ) Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en la dirección positiva hacia la derecha. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t 3 − 4 t + 2 . Calcule v ( 1 ) y a ( 1 ) y utilice estos valores para responder las siguientes preguntas. La partícula se mueve de izquierda a derecha o de derecha a izquierda en el tiempo t = 1 ? ¿La partícula se acelera o se ralentiza en el tiempo t = 1 ? Comience por calcular v ( t ) y a ( t ) . v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 – 4 y a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) = 6 t . Al evaluar estas funciones en t = 1 , obtenemos v ( 1 ) = –1 y a ( 1 ) = 6 . Dado que v ( 1 ) < 0 , la partícula se mueve de derecha a izquierda. Dado que v ( 1 ) < 0 y a ( 1 ) > 0 , la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas. En otras palabras, la partícula se acelera en la dirección opuesta a la que viaja, haciendo que | v ( t ) | disminuya. La partícula se ralentiza. Posición y velocidad La posición de una partícula que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas viene dada por s ( t ) = t 3 − 9 t 2 + 24 t + 4 , t ≥ 0 . Halle v ( t ) . ¿En qué tiempo(s) la partícula está en reposo? ¿En qué intervalos de tiempo se mueve la partícula de izquierda a derecha? ¿De derecha a izquierda? Use la información obtenida para trazar la trayectoria de la partícula a lo largo de un eje de coordenadas. La velocidad es la derivada de la función de posición: v ( t ) = s ′ ( t ) = 3 t 2 − 18 t + 24 . La partícula está en reposo cuando v ( t ) = 0 , así que establezca 3 t 2 − 18 t + 24 = 0 . Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se obtiene 3 ( t − 2 ) ( t − 4 ) = 0 . Al resolver encontramos que la partícula está en reposo en t = 2 y t = 4 . La partícula se mueve de izquierda a derecha cuando v ( t ) > 0 y de derecha a izquierda cuando v ( t ) < 0 . La ofrece el análisis del signo de v ( t ) por t ≥ 0 , pero no representa el eje a lo largo del cual se mueve la partícula. El signo de v(t) determina la dirección de la partícula. Dado que 3 t 2 − 18 t + 24 > 0 sobre [ 0 , 2 ) ∪ ( 4 , + ∞ ) , la partícula se mueve de izquierda a derecha en estos intervalos. Dado que 3 t 2 − 18 t + 24 < 0 sobre ( 2 , 4 ) , la partícula se mueve de derecha a izquierda en este intervalo. Antes de dibujar el gráfico de la partícula, necesitamos conocer su posición en el momento en que comienza a moverse ( t = 0 ) y en los momentos en que cambia de dirección ( t = 2 , 4 ) . Tenemos s ( 0 ) = 4 , s ( 2 ) = 24 , y s ( 4 ) = 20 . Esto significa que la partícula comienza en el eje de coordenadas en 4 y cambia de dirección en 0 y 20 en el eje de coordenadas. La trayectoria de la partícula se muestra en un eje de coordenadas en la . La trayectoria de la partícula puede determinarse analizando v(t). Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = t 2 − 5 t + 1 . ¿La partícula se mueve de derecha a izquierda o de izquierda a derecha en el momento t = 3 ? de izquierda a derecha Pista Halle v ( 3 ) y vea el signo. Cambio de población Además de analizar la velocidad, la rapidez, la aceleración y la posición, podemos utilizar las derivadas para analizar varios tipos de poblaciones, incluso aquellas tan diversas como colonias de bacterias y ciudades. Podemos utilizar una población actual, junto con la tasa de crecimiento, para estimar el tamaño de una población en el futuro. La tasa de crecimiento de la población es la tasa de cambio de una población y, en consecuencia, puede representarse mediante la derivada del tamaño de la población. Definición Si los valores de P ( t ) es el número de individuos de una población, entonces la tasa de crecimiento de la población de P ( t ) se define como P ′ ( t ) . Estimación de una población La población de una ciudad se triplica cada 5 años. Si su población actual es de 10.000 habitantes, ¿cuál será su población aproximada dentro de 2 años? Supongamos que P ( t ) es la población (en miles) t años a partir de este momento. Así, sabemos que P ( 0 ) = 10 y con base a la información, prevemos P ( 5 ) = 30 . Ahora estime P ′ ( 0 ) , la tasa de crecimiento actual, utilizando P ′ ( 0 ) ≈ P ( 5 ) − P ( 0 ) 5 − 0 = 30 − 10 5 = 4 . Al aplicar la a P ( t ) , podemos estimar la población dentro de 2 años escribiendo P ( 2 ) ≈ P ( 0 ) + ( 2 ) P ′ ( 0 ) ≈ 10 + 2 ( 4 ) = 18 ; así, dentro de 2 años la población será de 18.000 habitantes. Se sabe que la población actual de una colonia de mosquitos es de 3.000; es decir, P ( 0 ) = 3.000 . Si P ′ ( 0 ) = 100 , estimar el tamaño de la población en 3 días, donde t se mide en días. 3.300 Pista Utilice la sustitución en P ( 3 ) ≈ P ( 0 ) + 3 P ′ ( 0 ) . Cambios en los costos e ingresos Además de analizar el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento de la población, las derivadas se usan para analizar los cambios en los costos, los ingresos y las ganancias. El concepto de función marginal es habitual en el ámbito de la empresa y la economía e implica el uso de derivadas. El costo marginal es la derivada de la función de costos. El ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos. La ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, que se basa en la función de costos y la función de ingresos. Definición Si los valores de C ( x ) es el costo de producción de x artículos, entonces el costo marginal M C ( x ) ¿es M C ( x ) = C ′ ( x ) . Si los valores de R ( x ) son los ingresos obtenidos por la venta de x artículos, entonces el ingreso marginal M R ( x ) ¿es M R ( x ) = R ′ ( x ) . Si los valores de P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) es la ganancia obtenida por la venta de x artículos, entonces la ganancia marginal M P ( x ) se define como M P ( x ) = P ′ ( x ) = M R ( x ) − M C ( x ) = R ′ ( x ) − C ′ ( x ) . Podemos hacer una aproximación M C ( x ) = C ′ ( x ) = lím h → 0 C ( x + h ) − C ( x ) h eligiendo un valor adecuado para h . Como x representa objetos, un valor razonable y pequeño para h es 1. Así, sustituyendo h = 1 , obtenemos la aproximación M C ( x ) = C ′ ( x ) ≈ C ( x + 1 ) − C ( x ) . En consecuencia, C ′ ( x ) para un valor determinado de x puede considerarse como el cambio en el costo asociado a la producción de un artículo adicional. De manera similar, M R ( x ) = R ′ ( x ) se aproxima a los ingresos obtenidos por la venta de un artículo adicional, y M P ( x ) = P ′ ( x ) se aproxima la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo adicional. Aplicación de los ingresos marginales Supongamos que el número de raciones de barbacoa que se pueden vender, x , puede estar relacionado con el precio aplicado, p , por la ecuación p ( x ) = 9 − 0,03 x , 0 ≤ x ≤ 300 . En este caso, el ingreso en dólares obtenidos por la venta de x raciones de barbacoa viene dado por R ( x ) = x p ( x ) = x ( 9 − 0,03 x ) = −0,03 x 2 + 9 x para 0 ≤ x ≤ 300 . Utilice la función de ingresos marginales para estimar los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 de barbacoa. Compárela con el ingreso real obtenido por la venta de esta ración. En primer lugar, halle la función de ingresos marginales: M R ( x ) = R ′ ( x ) = −0,06 x + 9 . A continuación, utilice R ′ ( 100 ) para aproximar a R ( 101 ) − R ( 100 ) , los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101. Dado que R ′ ( 100 ) = 3 , los ingresos obtenidos por la venta de la ración número 101 son de aproximadamente 3 dólares. Los ingresos reales obtenidos por la venta de la ración número 101 son R ( 101 ) − R ( 100 ) = 602,97 − 600 = 2,97 , o $2,97 . El ingreso marginal es una estimación razonablemente buena en este caso y tiene la ventaja de ser fácil de calcular. Supongamos que el beneficio obtenido por la venta de x raciones de pescado frito viene dada por P ( x ) = −0,03 x 2 + 8 x − 50 . Utilice la función de ganancia marginal para estimar la ganancia de la venta de la ración número 101 de pescado frito. $2 Pista Utilice la sustitución en P ′ ( 100 ) para aproximar a P ( 101 ) − P ( 100 ) . Conceptos clave Utilizando f ( a + h ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) h , es posible estimar f ( a + h ) dado que f ′ ( a ) y f ( a ) . La tasa de cambio de posición es la velocidad, y la tasa de cambio de la velocidad es la aceleración. La rapidez es el valor absoluto, o la magnitud, de la velocidad. La tasa de crecimiento de la población y la población actual pueden utilizarse para predecir el tamaño de una población futura. Las funciones de costo marginal, ingreso marginal y ganancia marginal pueden utilizarse para predecir, respectivamente, el costo de producción de un artículo más, los ingresos obtenidos por la venta de un artículo más y la ganancia obtenida por la producción y venta de un artículo más. En los siguientes ejercicios, las funciones dadas representan la posición de una partícula que viaja a lo largo de una línea horizontal. Halle las funciones de velocidad y aceleración. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se ralentiza o se acelera. s ( t ) = 2 t 3 − 3 t 2 − 12 t + 8 s ( t ) = 2 t 3 − 15 t 2 + 36 t − 10 a. v ( t ) = 6 t 2 − 30 t + 36 , a ( t ) = 12 t − 30 ; b. se acelera ( 2 , 2,5 ) ∪ ( 3 , ∞ ) , se ralentiza ( 0 , 2 ) ∪ ( 2,5 , 3 ) grandes. s ( t ) = t 1 + t 2 Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo. La distancia s en ft que el cohete viaja desde el suelo después de t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 560 t . Halle la velocidad del cohete 3 segundos después de su lanzamiento. Halle la aceleración del cohete 3 segundos después de su lanzamiento. a. 464 ft/s 2 b. −32 ft/s 2 Se lanza una pelota hacia abajo con una velocidad de 8 ft/s desde lo alto de un edificio de 64 ft de altura. Después de t segundos, su altura sobre el suelo viene dada por s ( t ) = –16 t 2 − 8 t + 64 . Determine el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Determine la velocidad de la pelota cuando toca el suelo. La función de posición s ( t ) = t 2 − 3 t − 4 representa la posición de la parte trasera de un automóvil que sale en marcha atrás de un camino de entrada y luego conduciendo en línea recta, donde s está en pies y t está en segundos. En este caso, s ( t ) = 0 representa el momento en que la parte trasera del auto está en la puerta del garaje, por lo que s ( 0 ) = −4 es la posición inicial del automóvil, 4 ft dentro del garaje. Determine la velocidad del auto cuando s ( t ) = 0 . Determine la velocidad del auto cuando s ( t ) = 14 . a. 5 ft/s b. 9 ft/s La posición de un colibrí volando a lo largo de una línea recta en t segundos viene dada por s ( t ) = 3 t 3 − 7 t metros. Determine la velocidad del pájaro en t = 1 seg. Determine la aceleración del pájaro en t = 1 seg. Determine la aceleración del pájaro cuando la velocidad es igual a 0. Se lanza una papa verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 ft/s desde una pistola de papas en la cima de un edificio de 85 ft de altura. La distancia en pies que la papa recorre desde el suelo tras t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 100 t + 85 . Halle la velocidad de la papa después de 0,5 s y 5,75 s . Halle la velocidad de la papa a los 0,5 s y a los 5,75 s. Determine cuándo la papa alcanza su máxima altura. Halle la aceleración de la papa a los 0,5 s y a los 1,5 s. Determine el tiempo que la papa está en el aire. Determine la velocidad de la papa al caer al suelo. a. 84 ft/s, -84 ft/s b. 84 ft/s c 25 8 s d. −32 ft/s 2 en ambos casos e. 1 8 ( 25 + 965 ) s f. −4 965 ft/s La función de posición s ( t ) = t 3 − 8 t da la posición en millas de un tren de mercancías donde el este es la dirección positiva y t se mide en horas. Determine la dirección en la que viaja el tren cuando s ( t ) = 0 . Determine la dirección en la que viaja el tren cuando a ( t ) = 0 . Determine los intervalos de tiempo en los que la velocidad del tren aumenta o disminuye. El siguiente gráfico muestra la posición y = s ( t ) de un objeto que se mueve en línea recta. Utilice el gráfico de la función de posición para determinar los intervalos de tiempo en los que la velocidad es positiva, negativa o cero. Dibuje el gráfico de la función de velocidad. Utilice el gráfico de la función velocidad para determinar los intervalos de tiempo en los que la aceleración es positiva, negativa o cero. Determine los intervalos de tiempo en los que el objeto se acelera o desacelera. a. La velocidad es positiva en ( 0 , 1,5 ) ∪ ( 6 , 7 ) , negativo en ( 1,5 , 2 ) ∪ ( 5 , 6 ) , y cero en ( 2 , 5 ) . b. c. La aceleración es positiva en ( 5 , 7 ) , negativo en ( 0 , 2 ) , y cero en ( 2 , 5 ) . d. El objeto acelera en ( 6 , 7 ) ∪ ( 1,5 , 2 ) y se ralentiza en ( 0 , 1,5 ) ∪ ( 5 , 6 ) . La función de costos en dólares de una empresa que fabrica procesadores de alimentos viene dada por C ( x ) = 200 + 7 x + x 2 7 , donde x es el número de procesadores de alimentos fabricados. Calcule la función de costo marginal. Utilice la función de costo marginal para estimar el costo de fabricación del decimotercer procesador de alimentos. Halle el costo real de fabricación del decimotercer procesador de alimentos. El precio p (en dólares) y la demanda x para un determinado radio-reloj digital viene dado por la función precio-demanda p = 10 − 0,001 x . Halle la función de ingresos R ( x ) . Halle la función de ingreso marginal. Halle el ingreso marginal en x = 2000 y 5.000 . a. R ( x ) = 10 x − 0,001 x 2 b. R ′ ( x ) = 10 − 0,002 x c. 6 dólares por artículo, 0 dólares por artículo [T] Se obtiene una ganancia cuando los ingresos superan los costos. Supongamos que la función de ganancias de un fabricante de patinetas viene dada por P ( x ) = 30 x − 0,3 x 2 − 250 , donde x es el número de patinetas vendidas. Halle la ganancia exacta de la venta de la trigésima patineta. Halle la función de ganancia marginal y utilícela para estimar la ganancia de la venta de la trigésima patineta. [T] En general, la función de ganancias es la diferencia entre las funciones de ingresos y costos: P ( x ) = R ( x ) − C ( x ) . Supongamos que las funciones de precio-demanda y de costo para la producción de taladros inalámbricos vienen dadas, respectivamente, por p = 143 − 0,03 x y C ( x ) = 75.000 + 65 x , donde x es el número de taladros inalámbricos que se venden a un precio de p dólares por taladro y C ( x ) es el costo de producción de x taladros inalámbricos. Calcule la función de costo marginal. Halle las funciones de ingresos y de ingresos marginales. Halle R ′ ( 1.000 ) y R ′ ( 4,000 ) . Interprete los resultados. Halle las funciones de ganancias y de ganancia marginal. Halle P ′ ( 1.000 ) y P ′ ( 4,000 ) . Interprete los resultados. a. C ′ ( x ) = 65 b. R ( x ) = 143 x − 0,03 x 2 , R ′ ( x ) = 143 − 0,06 x c. 83 , −97 . A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, los ingresos aumentan a una tasa de 83 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, los ingresos disminuyen a una tasa de 97 dólares por taladro. d P ( x ) = −0,03 x 2 + 78 x − 75.000 , P ′ ( x ) = −0,06 x + 78 e. 18 , −162 . A un nivel de producción de 1.000 taladros inalámbricos, la ganancia aumenta a una tasa de 18 dólares por taladro; a un nivel de producción de 4.000 taladros inalámbricos, la ganancia disminuye a una tasa de 162 dólares por taladro. Una pequeña ciudad de Ohio encargó a una empresa de servicios actuariales un estudio que modelara la tasa de cambio de la población de la ciudad. El estudio reveló que la población de la ciudad (medida en miles de personas) puede modelarse mediante la función P ( t ) = − 1 3 t 3 + 64 t + 3.000 , donde t se mide en años. Halle la función de tasa de cambio P ′ ( t ) de la función de población. Halle P ′ ( 1 ) , P ′ ( 2 ) , P ′ ( 3 ) , y P ′ ( 4 ) . Interprete lo que los resultados significan para la ciudad. Halle P ″ ( 1 ) , P ″ ( 2 ) , P ″ ( 3 ) , y P ″ ( 4 ) . Interprete lo que los resultados significan para la población de la ciudad. [T] Un cultivo de bacterias crece en número según la función N ( t ) = 3.000 ( 1 + 4 t t 2 + 100 ) , donde t se mide en horas. Halle la tasa de cambio del número de bacterias. Halle N ′ ( 0 ) , N ′ ( 10 ) , N ′ ( 20 ) , y N ′ ( 30 ) . Interprete los resultados en (b). Halle N ″ ( 0 ) , N ″ ( 10 ) , N ″ ( 20 ) , y N ″ ( 30 ) . Interprete lo que implican las respuestas sobre el crecimiento de la población de bacterias. a. N ′ ( t ) = 3.000 ( −4 t 2 + 400 ( t 2 + 100 ) 2 ) b. 120 , 0 , −14,4 , −9,6 c. La población de bacterias aumenta desde el tiempo de 0 hasta las 10 horas; posteriormente, la población de bacterias disminuye. d. 0 , –6 , 0,384 , 0,432 . La tasa de aumento de las bacterias decrece durante las primeras 10 horas. Después, la población de bacterias va disminuyendo a un ritmo decreciente. La fuerza centrípeta de un objeto de masa m viene dada por F ( r ) = m v 2 r , donde v es la velocidad de rotación y r es la distancia desde el centro de rotación. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta con respecto a la distancia desde el centro de rotación. Halle la tasa de cambio de la fuerza centrípeta de un objeto con una masa de 1.000 kilogramos, una velocidad de 13,89 m/s y una distancia de 200 metros desde el centro de rotación. Las siguientes preguntas se refieren a la población de Londres (en millones) por década en el siglo XIX, que se muestra en la siguiente tabla. Población de Londres Años desde 1800 Población (millones) 1 0,8795 11 1,040 21 1,264 31 1,516 41 1,661 51 2,000 61 2,634 71 3,272 81 3,911 91 4,422 Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Demographics_of_London. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático halle la función lineal de mejor ajuste para medir la población. Halle la derivada de la ecuación en a. y explica su significado físico. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico. a. P ( t ) = 0,03983 + 0,4280 b. P ′ ( t ) = 0,03983 . La población está aumentando. c. P ″ ( t ) = 0 . El ritmo de aumento de la población es constante. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos. Halle la derivada de la ecuación y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la ecuación y explique su significado físico. En los siguientes ejercicios, piense en un astronauta en un gran planeta de otra galaxia. Para conocer mejor la composición de este planeta, el astronauta deja caer un sensor electrónico en una zanja profunda. El sensor transmite su posición vertical cada segundo en relación con la posición del astronauta. El resumen de los datos del sensor mientras cae se muestra en la siguiente tabla. Tiempo después de la caída (s) Posición (m) 0 0 1 −1 2 −2 3 −5 4 −7 5 −14 [T] Utilizando una calculadora o un programa informático, halle la curva cuadrática que mejor se ajuste a los datos. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico. a. p ( t ) = −0,6071 x 2 + 0,4357 x − 0,3571 b. p ′ ( t ) = −1,214 x + 0,4357 . Esta es la velocidad del sensor. c p ″ ( t ) = −1,214 . Esta es la aceleración del sensor; es una aceleración constante hacia abajo. [T] Utilizando una calculadora o un programa informático halle la curva cúbica que mejor se ajusta a los datos. Calcule la derivada de la función de posición y explique su significado físico. Calcule la segunda derivada de la función de posición y explique su significado físico. Utilizando el resultado de c. explica por qué una función cúbica no es una buena opción para este problema. Los siguientes problemas tratan de las ecuaciones de Holling tipo I, II y III. Estas ecuaciones describen el evento ecológico de crecimiento de una población de depredadores dada la cantidad de presas disponibles para su consumo. [T] La ecuación de Holling tipo I se describe mediante f ( x ) = a x , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la velocidad a la que el depredador se encuentra con la presa para consumirla. Grafique la ecuación de Holling tipo I, dada a = 0,5 . Determine la primera derivada de la ecuación de Holling tipo I y explique físicamente lo que la derivada implica. Determine la segunda derivada de la ecuación de Holling tipo I y explica físicamente lo que la derivada implica. Utilizando las interpretaciones de b. y c. explique por qué la ecuación de Holling tipo I puede no ser realista. a. b. f ′ ( x ) = a . Cuanto mayor sea el aumento de presas, mayor será el crecimiento de los depredadores c f ″ ( x ) = 0 . A medida que aumenta la cantidad de presas, la tasa de crecimiento demográfico de depredadores es constante. d. Esta ecuación supone que si hay más presas, el depredador es capaz de aumentar el consumo linealmente. Esta suposición no es física porque esperaríamos que hubiera algún punto de saturación en el que hubiera demasiadas presas para que el depredador las consumiera adecuadamente. [T] La ecuación de Holling tipo II está descrita por f ( x ) = a x n + x , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la tasa máxima de consumo del depredador. Grafique la ecuación de Holling tipo II dada a = 0,5 y n = 5 . ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo I y II? Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo II e interprete su significado físico. Demuestre que f ( n ) = 1 2 a e interprete el significado del parámetro n . Halle e interprete el significado de la segunda derivada. ¿Qué hace que la función de Holling tipo II sea más realista que la función de Holling tipo I? [T] La ecuación de Holling tipo III se describe mediante f ( x ) = a x 2 n 2 + x 2 , donde x es la cantidad de presas disponibles y a > 0 es la tasa máxima de consumo del depredador. Grafique la ecuación de Holling tipo III dada a = 0,5 y n = 5 . ¿Cuáles son las diferencias entre las ecuaciones de Holling tipo II y III? Tome la primera derivada de la ecuación de Holling tipo III e interprete su significado físico. Halle e interprete el significado de la segunda derivada (puede ser útil graficarla). ¿Qué otros fenómenos ecológicos describen la función de Holling tipo III en comparación con la de tipo II? a. b. f ′ ( x ) = 2 a x n 2 ( n 2 + x 2 ) 2 . Cuando aumenta la cantidad de presas, aumenta el crecimiento de los depredadores. c f ″ ( x ) = 2 a n 2 ( n 2 − 3 x 2 ) ( n 2 + x 2 ) 3 . Cuando la cantidad de presas es extremadamente pequeña, la tasa de crecimiento de los depredadores es creciente, pero cuando la cantidad de presas supera un determinado umbral, la tasa de crecimiento de los depredadores comienza a disminuir. d. Mientras menos presas hay, es más fácil que eviten ser vistas por el depredador, por lo que se consumen menos individuos, lo que resulta en un menor crecimiento del depredador. [T] Las poblaciones de la liebre americana (en miles) y del lince (en cientos) recogidas a lo largo de 7 años, de 1937 a 1943, se muestran en la siguiente tabla. La liebre americana es la presa principal del lince. Poblaciones de liebres americanas y de linces. Población de liebre americana (en miles) Población de linces (en cientos) 20 10 55 15 65 55 95 60 Fuente: http://www.biotopics.co.uk/newgcse/predatorprey.html. Grafique los puntos de datos y determine qué función de tipo Holling se ajusta mejor a los datos. Utilizando los significados de los parámetros a y n , determine los valores de los mismos examinando un gráfico de los datos. Recordemos que n mida qué valor de la presa resulta en el medio máximo del valor del depredador. Trace las funciones resultantes de tipo Holling I, II y III sobre los datos. ¿Es correcto el resultado de la parte a.? aceleración tasa de cambio de la velocidad, es decir, la derivada de la velocidad cantidad de cambio la cantidad de una función f ( x ) en un intervalo [ x , x + h ] es f ( x + h ) − f ( x ) tasa promedio de cambio es una función f ( x ) en un intervalo [ x , x + h ] es f ( a + h ) − f ( a ) h costo marginal es la derivada de la función de costo, o el costo aproximado de producir un artículo más ingreso marginal es la derivada de la función de ingresos, o el ingreso aproximado que se obtiene al vender un artículo más ganancia marginal es la derivada de la función de ganancias, o la ganancia aproximada que se obtiene al producir y vender un artículo más tasa de crecimiento demográfico es la derivada de la población con respecto al tiempo rapidez es el valor absoluto de la velocidad, es decir | v ( t ) | es la velocidad de un objeto en el tiempo t cuya velocidad viene dada por v ( t )", "section": "Las derivadas como tasas de cambio", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Derivadas de funciones trigonométricas Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple. Derivadas de las funciones seno y coseno Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función f ( x ) , f ′ ( x ) = lím h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h . En consecuencia, para los valores de h muy cerca de 0, f ′ ( x ) ≈ f ( x + h ) − f ( x ) h . Vemos que al utilizar h = 0,01 , d d x ( sen x ) ≈ sen ( x + 0,01 ) − sen x 0,01 Al establecer D ( x ) = sen ( x + 0,01 ) − sen x 0,01 y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de sen x ( ). El gráfico de la función D ( x ) es muy similar a una curva de coseno. Tras la inspección, el gráfico de D ( x ) parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que d d x ( sen x ) = cos x . Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que d d x ( cos x ) = − sen x. Las derivadas de sen x y cos x La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo. d d x ( sen x ) = cos x d d x ( cos x ) = − sen x Prueba Debido a que las pruebas de d d x ( sen x ) = cos x y d d x ( cos x ) = − sen x utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para d d x ( sen x ) = cos x . Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites : lím h → 0 sen h h = 1 y lím h → 0 cos h − 1 h = 0 . Los gráficos de y = ( sen h ) h y y = ( cos h − 1 ) h se muestran en la . Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno. También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos: sen ( x + h ) = sen x cos h + cos x sen h . Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba. d d x sen x = lím h → 0 sen ( x + h ) − sen x h Aplique la definición de la derivada. = lím h → 0 sen x cos h + cos x sen h − sen x h Utilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos. = lím h → 0 ( sen x cos h − sen x h + cos x sen h h ) Reagrupe. = lím h → 0 ( sen x ( cos h − 1 h ) + cos x ( sen h h ) ) Saque el factor común sen x y cos x . = sen x . 0 + cos x . 1 Aplique las fórmulas de límites trigonométricos. = cos x Simplifique. □ La muestra la relación entre el gráfico de f ( x ) = sen x y su derivada f ′ ( x ) = cos x . Observe que en los puntos donde f ( x ) = sen x tiene una tangente horizontal, su derivada f ′ ( x ) = cos x toma el valor cero. También vemos que donde f ( x ) = sen x aumenta, f ′ ( x ) = cos x > 0 y donde f ( x ) = sen x disminuye, f ′ ( x ) = cos x < 0 . Donde f ( x ) tiene un máximo o un mínimo, f ′ ( x ) = 0 es decir, f ′ ( x ) = 0 donde f ( x ) tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos. Diferenciación de una función que contiene sen x Calcule la derivada de f ( x ) = 5 x 3 sen x . Utilizando la regla del producto, tenemos f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 . Tras simplificar, obtenemos f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x . Calcule la derivada de f ( x ) = sen x cos x . f ′ ( x ) = cos 2 x − sen 2 x Pista No olvide utilizar la regla del producto. Encontrar la derivada de una función que contiene cos x Calcule la derivada de g ( x ) = cos x 4 x 2 . Aplicando la regla del cociente, tenemos g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 . Si simplificamos, obtenemos g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 . Calcule la derivada de f ( x ) = x cos x . cos x + x sen x cos 2 x Pista Utilice la regla del cociente. Una aplicación para la velocidad Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 sen t − t por 0 ≤ t ≤ 2 π . ¿En qué tiempos la partícula está en reposo? Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca s ′ ( t ) = v ( t ) = 0 . Comience por hallar s ′ ( t ) . Obtenemos s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 , por lo que debemos resolver 2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π . Las soluciones a esta ecuación son t = π 3 y t = 5 π 3 . Por tanto, la partícula está en reposo en los tiempos t = π 3 y t = 5 π 3 . Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 3 t + 2 cos t por 0 ≤ t ≤ 2 π . ¿En qué tiempos la partícula está en reposo? t = π 3 , t = 2 π 3 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Derivadas de otras funciones trigonométricas Como las cuatro funciones trigonométricas restantes pueden expresarse como cocientes que implican al seno, al coseno o a ambos, podemos utilizar la regla del cociente para encontrar fórmulas para sus derivadas. Derivada de la función tangente Calcule la derivada de f ( x ) = tan x . Comience por expresar tan x como el cociente de sen x y cos x : f ( x ) = tan x = sen x cos x . Ahora aplique la regla del cociente para obtener f ′ ( x ) = cos x cos x − ( − sen x ) sen x ( cos x ) 2 . Si simplificamos, obtenemos f ′ ( x ) = cos 2 x + sen 2 x cos 2 x . Al reconocer que cos 2 x + sen 2 x = 1 , según el teorema de Pitágoras, ahora tenemos f ′ ( x ) = 1 cos 2 x . Por último, utilice la identidad sec x = 1 cos x para obtener f ′ ( x ) = sec 2 x . Calcule la derivada de f ( x ) = cot x . f ′ ( x ) = − csc 2 x Pista Reescriba cot x cuando cos x sen x y utilice la regla del cociente. Las derivadas de las restantes funciones trigonométricas pueden obtenerse mediante técnicas similares. Proporcionamos estas fórmulas en el siguiente teorema. Derivadas de tan x , cot x , sec x , y csc x Las derivadas del resto de las funciones trigonométricas son las siguientes: d d x ( tan x ) = sec 2 x d d x ( cot x ) = − csc 2 x d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( csc x ) = − csc x cot x. Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de f ( x ) = cot x en x = π 4 . Para encontrar la ecuación de la línea tangente, necesitamos un punto y una pendiente en ese punto. Para hallar el punto, calcule f ( π 4 ) = cot π 4 = 1 . Por lo tanto, la línea tangente pasa por el punto ( π 4 , 1 ) . A continuación, halle la pendiente encontrando la derivada de f ( x ) = cot x y evalúela en π 4 : f ′ ( x ) = − csc 2 x y f ′ ( π 4 ) = − csc 2 ( π 4 ) = –2 . Utilizando la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos y − 1 = −2 ( x − π 4 ) o de forma equivalente, y = –2 x + 1 + π 2 . Encontrar la derivada de las funciones trigonométricas Calcule la derivada de f ( x ) = csc x + x tan x . Para encontrar esta derivada, debemos utilizar tanto la regla de la suma como la del producto. Utilizando la regla de la suma, hallamos f ′ ( x ) = d d x ( csc x ) + d d x ( x tan x ) . En el primer término, d d x ( csc x ) = − csc x cot x , y aplicando la regla del producto al segundo término obtenemos d d x ( x tan x ) = ( 1 ) ( tan x ) + ( sec 2 x ) ( x ) . Por lo tanto, tenemos f ′ ( x ) = − csc x cot x + tan x + x sec 2 x . Calcule la derivada de f ( x ) = 2 tan x − 3 cot x . f ′ ( x ) = 2 sec 2 x + 3 csc 2 x Pista Utilice la regla para diferenciar un múltiplo constante y la regla para establecer una diferencia entre dos funciones. Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = tan x en x = π 6 . 4 3 Pista Evalúe la derivada en x = π 6 . Derivadas de orden superior Las derivadas de orden superior de sen x y cos x siguen un patrón de repetición. Siguiendo el patrón, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior de sen x y cos x . Encontrar derivadas de orden superior de y = sen x Halle las cuatro primeras derivadas de y = sen x . Cada paso de la cadena es sencillo: y = sen x d y d x = cos x d 2 y d x 2 = − sen x d 3 y d x 3 = − cos x d 4 y d x 4 = sen x . Análisis Una vez que reconocemos el patrón de derivadas, podemos encontrar cualquier derivada de orden superior determinando el paso en el patrón al que corresponde. Por ejemplo, cada cuarta derivada de sen x es igual a sen x , por lo que d 4 d x 4 ( sen x ) = d 8 d x 8 ( sen x ) = d 12 d x 12 ( sen x ) = … = d 4 n d x 4 n ( sen x ) = sen x d 5 d x 5 ( sen x ) = d 9 d x 9 ( sen x ) = d 13 d x 13 ( sen x ) = … = d 4 n + 1 d x 4 n + 1 ( sen x ) = cos x . Para y = cos x , calcule d 4 y d x 4 . cos x Pista Vea el ejemplo anterior. Utilizando el patrón para las derivadas de orden superior de y = sen x Halle d 74 d x 74 ( sen x ) . Podemos ver de inmediato que para la derivada 74 de sen x , 74 = 4 ( 18 ) + 2 , así que d 74 d x 74 ( sen x ) = d 72 + 2 d x 72 + 2 ( sen x ) = d 2 d x 2 ( sen x ) = − sen x . Para y = sen x , calcule d 59 d x 59 ( sen x ) . − cos x Pista d 59 d x 59 ( sen x ) = d 4 . 14 + 3 d x 4 . 14 + 3 ( sen x ) Una aplicación a la aceleración Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 − sen t . Calcule v ( π / 4 ) y a ( π / 4 ) . Compare estos valores y decida si la partícula se está acelerando o ralentizando. Primero calcule v ( t ) = s ′ ( t ) : v ( t ) = s ′ ( t ) = − cos t . Por lo tanto, v ( π 4 ) = − 1 2 . A continuación, calcule a ( t ) = v ′ ( t ) . Por lo tanto, a ( t ) = v ′ ( t ) = sen t y tenemos a ( π 4 ) = 1 2 . Dado que v ( π 4 ) = − 1 2 < 0 y a ( π 4 ) = 1 2 > 0 , vemos que la velocidad y la aceleración actúan en direcciones opuestas; es decir, el objeto está siendo acelerado en la dirección opuesta a la dirección en la que se desplaza. En consecuencia, la partícula se ralentiza. Un bloque unido a un resorte se mueve verticalmente. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = 2 sen t . Calcule v ( 5 π 6 ) y a ( 5 π 6 ) . Compare estos valores y decida si el bloque se está acelerando o ralentizando. v ( 5 π 6 ) = − 3 < 0 y a ( 5 π 6 ) = −1 < 0 . El bloque se está acelerando. Pista Utilice la como guía. Conceptos clave Podemos encontrar las derivadas de sen x y cos x utilizando la definición de derivada y las fórmulas de límite encontradas anteriormente. Los resultados son d d x sen x = cos x d d x cos x = − sen x . Con estas dos fórmulas, podemos determinar las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas. Ecuaciones clave Derivada de la función seno d d x ( sen x ) = cos x Derivada de la función coseno d d x ( cos x ) = − sen x Derivada de la función tangente d d x ( tan x ) = sec 2 x Derivada de la función cotangente d d x ( cot x ) = − csc 2 x Derivada de la función secante d d x ( sec x ) = sec x tan x Derivada de la función cosecante d d x ( csc x ) = − csc x cot x En los siguientes ejercicios, calcule d y d x para las funciones dadas. y = x 2 − sec x + 1 d y d x = 2 x − sec x tan x y = 3 csc x + 5 x y = x 2 cot x d y d x = 2 x cot x – x 2 csc 2 x y = x – x 3 sen x y = sec x x d y d x = x sec x tan x − sec x x 2 y = sen x tan x y = ( x + cos x ) ( 1 − sen x ) grandes. d y d x = ( 1 − sen x ) ( 1 − sen x ) − cos x ( x + cos x ) grandes. y = tan x 1 − sec x y = 1 − cot x 1 + cot x d y d x = 2 csc 2 x ( 1 + cot x ) 2 y = cos x ( 1 + csc x ) En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente en cada una de las funciones dadas en los valores indicados de x . A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente tanto la función como la línea tangente para asegurarse de que la ecuación de la línea tangente es correcta. [T] f ( x ) = − sen x , x = 0 y = − x [T] f ( x ) = csc x , x = π 2 [T] f ( x ) = 1 + cos x , x = 3 π 2 y = x + 2 − 3 π 2 [T] f ( x ) = sec x , x = π 4 [T] f ( x ) = x 2 − tan x , x = 0 y = − x [T] f ( x ) = 5 cot x , x = π 4 En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y d x 2 para las funciones dadas. y = x sen x − cos x 3 cos x – x sen x y = sen x cos x y = x – 1 2 sen x 1 2 sen x y = 1 x + tan x y = 2 csc x 2 csc x ( csc 2 x + cot 2 x ) grandes. y = sec 2 x Halle todos x los valores en el gráfico de f ( x ) = −3 sen x cos x donde la línea tangente es horizontal. ( 2 n + 1 ) π 4 , donde n es un número entero Halle todos x los valores en el gráfico de f ( x ) = x − 2 cos x por 0 < x < 2 π donde la línea tangente tiene pendiente 2. Supongamos que f ( x ) = cot x . Determine los puntos del gráfico de f por 0 < x < 2 π donde la(s) recta(s) tangente(s) es (son) paralela(s) a la línea y = –2 x . ( π 4 , 1 ) , ( 3 π 4 , –1 ) , ( 5 π 4 , 1 ) , ( 7 π 4 , – 1 ) [T] Una masa sobre un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo en movimiento armónico simple, modelado por la función s ( t ) = −6 cos t donde s se mide en pulgadas y t se mide en segundos. Halle la velocidad a la que oscila el resorte en t = 5 s. Supongamos que la posición de un péndulo en movimiento armónico simple dada por s ( t ) = a cos t + b sen t donde a y b son constantes, t mide el tiempo en segundos, y s mide la posición en centímetros. Si la posición es 0 cm y la velocidad es de 3 cm/s dado que t = 0 , halle los valores de a y b . a = 0 , b = 3 Después de que un buceador salte de un trampolín, el borde del trampolín oscila con la posición dada por s ( t ) = −5 cos t cm en t segundos después del salto. Trace un periodo de la función de posición para t ≥ 0 . Halle la función de velocidad. Trace un periodo de la función de velocidad para t ≥ 0 . Determine los tiempos en los que la velocidad es 0 en un periodo. Halle la función de aceleración. Trace un periodo de la función de aceleración para t ≥ 0 . El número de hamburguesas vendidas en un restaurante de comida rápida en Pasadena, California, viene dado por y = 10 + 5 sen x donde y es el número de hamburguesas vendidas y x representa el número de horas transcurridas desde la apertura del restaurante a las 11 a. m. hasta las 11 p. m. momento en el que el establecimiento cierra. Halle y ′ y determine los intervalos en los que aumenta el número de hamburguesas que se venden. y ′ = 5 cos ( x ) , creciente en ( 0 , π 2 ) , ( 3 π 2 , 5 π 2 ) , y ( 7 π 2 , 12 ) [T] La cantidad de lluvia por mes en Phoenix, Arizona, puede aproximarse mediante y ( t ) = 0,5 + 0,3 cos t , donde t son los meses desde enero. Halle y ′ y utilice una calculadora para determinar los intervalos en los que la cantidad de lluvia caída disminuye. En los siguientes ejercicios, utilice la regla del cociente para derivar las ecuaciones dadas. d d x ( cot x ) = − csc 2 x d d x ( sec x ) = sec x tan x d d x ( csc x ) = − csc x cot x Utilice la definición de derivada y la identidad cos ( x + h ) = cos x cos h − sen x sen h para demostrar que d ( cos x ) d x = − sen x . En los siguientes ejercicios halle la derivada de orden superior solicitada para las funciones dadas. d 3 y d x 3 de y = 3 cos x 3 sen x d 2 y d x 2 de y = 3 sen x + x 2 cos x d 4 y d x 4 de y = 5 cos x 5 cos x d 2 y d x 2 de y = sec x + cot x d 3 y d x 3 de y = x 10 − sec x 720 x 7 − 5 tan ( x ) sec 3 ( x ) − tan 3 ( x ) sec ( x )", "section": "Derivadas de funciones trigonométricas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "La regla de la cadena Hemos visto las técnicas de diferenciación de funciones básicas ( x n , sen x , cos x , etc . ) así como sumas, diferencias, productos, cocientes y múltiplos constantes de estas funciones. Sin embargo, estas técnicas no permiten diferenciar composiciones de funciones, como h ( x ) = sen ( x 3 ) o k ( x ) = 3 x 2 + 1 . En esta sección estudiamos la regla para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Derivar la regla de la cadena Cuando tenemos una función que es una composición de dos o más funciones, podríamos utilizar todas las técnicas que ya hemos aprendido para diferenciarla. Sin embargo, utilizar todas esas técnicas para descomponer una función en partes más simples que podamos diferenciar puede resultar tedioso. En vez de eso, utilizamos la regla de la cadena , que establece que la derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior evaluada en la función interior por la derivada de la función interior. Para poner esta regla en contexto, veamos un ejemplo: h ( x ) = sen ( x 3 ) . Podemos pensar en la derivada de esta función con respecto a x como la tasa de cambio de sen ( x 3 ) en relación con el cambio en x . En consecuencia, queremos saber cómo sen ( x 3 ) cambia, a medida que x cambia. Podemos pensar en este evento como una reacción en cadena: Dado que x cambia, x 3 cambia, lo que lleva a un cambio en sen ( x 3 ) . Esta reacción en cadena nos da pistas sobre lo que implica el cálculo de la derivada de sen ( x 3 ) . Primero que nada, un cambio en x , lo que fuerza un cambio en x 3 sugiere que de alguna manera la derivada de x 3 está involucrada. Además, el cambio en x 3 , lo que fuerza un cambio en sen ( x 3 ) sugiere que la derivada de sen ( u ) con respecto a u , donde u = x 3 , también forma parte de la derivada final. Podemos echar un vistazo más formal a la derivada de h ( x ) = sen ( x 3 ) fijando el límite que nos daría la derivada en un valor específico a en el dominio de h ( x ) = sen ( x 3 ) . h ′ ( a ) = lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x – a . Esta expresión no parece especialmente útil; sin embargo, podemos modificarla al multiplicar por y dividir entre la expresión x 3 − a 3 para obtener h ′ ( a ) = lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x 3 − a 3 . x 3 − a 3 x – a . A partir de la definición de la derivada, podemos ver que el segundo factor es la derivada de x 3 en x = a . Eso es, lím x → a x 3 − a 3 x – a = d d x ( x 3 ) x = a = 3 a 2 . Sin embargo, puede ser un poco más difícil reconocer que el primer término es también una derivada. Podemos ver esto suponiendo que u = x 3 y observando que a medida que x → a , u → a 3 : lím x → a sen ( x 3 ) − sen ( a 3 ) x 3 − a 3 = lím u → a 3 sen u − sen ( a 3 ) u − a 3 = d d u ( sen u ) u = a 3 = cos ( a 3 ) Así, h ′ ( a ) = cos ( a 3 ) . 3 a 2 . En otras palabras, si h ( x ) = sen ( x 3 ) , entonces h ′ ( x ) = cos ( x 3 ) . 3 x 2 . Por lo tanto, si pensamos en h ( x ) = sen ( x 3 ) como la composición ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = sen x y g ( x ) = x 3 , entonces la derivada h ( x ) = sen ( x 3 ) es el producto de la derivada de g ( x ) = x 3 y la derivada de la función f ( x ) = sen x evaluada en la función g ( x ) = x 3 . En este punto, prevemos que para h ( x ) = sen ( g ( x ) ) , es muy probable que h ′ ( x ) = cos ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . Como determinamos anteriormente, este es el caso de h ( x ) = sen ( x 3 ) . Ahora que hemos derivado un caso especial de la regla de la cadena, exponemos el caso general y lo aplicamos de forma general a otras funciones compuestas. Al final de la sección se ofrece una prueba informal. Regla: la regla de la cadena Supongamos que f y g son funciones. Para todo x en el dominio de g para la cual g es diferenciable en el punto x y f es diferenciable en g ( x ) , la derivada de la función compuesta h ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) viene dada por h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . Alternativamente, si y es una función de u , y u es una función de x , entonces d y d x = d y d u . d u d x . Vea una animación de la regla de la cadena. Estrategia para la resolución de problemas: Aplicar la regla de la cadena Para diferenciar h ( x ) = f ( g ( x ) ) , empiece por identificar f ( x ) y g ( x ) . Calcule f ′ ( x ) y evalúela en g ( x ) para obtener f ′ ( g ( x ) ) . Halle g ′ ( x ) . Escriba h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) . g ′ ( x ) . Nota : Cuando se aplica la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, hay que tener en cuenta que se trabaja desde la función exterior hacia dentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse que tiene dos partes, la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes y así sucesivamente. Además, recuerde que nunca evaluamos una derivada en una derivada. La regla de la cadena y la regla de la potencia combinadas Ahora podemos aplicar la regla de la cadena a las funciones compuestas, pero tenga en cuenta que, a menudo, tenemos que utilizarla con otras reglas. Por ejemplo, para hallar las derivadas de funciones de la forma h ( x ) = ( g ( x ) ) n , tenemos que utilizar la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia. Para hacerlo, podemos pensar en h ( x ) = ( g ( x ) ) n como f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = x n . Entonces f ′ ( x ) = n x n – 1 . Por lo tanto, f ′ ( g ( x ) ) = n ( g ( x ) ) n – 1 . Esto nos lleva a la derivada de una función de potencia utilizando la regla de la cadena, h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) Regla: regla de la potencia para composición de funciones Para todos los valores de x para los que está definida la derivada, si h ( x ) = ( g ( x ) ) n . Entonces h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia Calcule la derivada de h ( x ) = 1 ( 3 x 2 + 1 ) 2 . Primero, reescriba h ( x ) = 1 ( 3 x 2 + 1 ) 2 = ( 3 x 2 + 1 ) −2 . Si aplicamos la regla de la potencia con g ( x ) = 3 x 2 + 1 , tenemos h ′ ( x ) = −2 ( 3 x 2 + 1 ) −3 ( 6 x ) . Al reescribir en la forma original obtenemos h ′ ( x ) = −12 x ( 3 x 2 + 1 ) 3 . Calcule la derivada de h ( x ) = ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 4 . h ′ ( x ) = 4 ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 3 ( 6 x 2 + 2 ) = 8 ( 3 x 2 + 1 ) ( 2 x 3 + 2 x – 1 ) 3 Pista Utilice con g ( x ) = 2 x 3 + 2 x – 1 Utilizar la regla de la cadena y la regla de la potencia con una función trigonométrica Calcule la derivada de h ( x ) = sen 3 x . Primero recordemos que sen 3 x = ( sen x ) 3 , por lo que podemos reescribir h ( x ) = sen 3 x cuando h ( x ) = ( sen x ) 3 . Si aplicamos la regla de la potencia con g ( x ) = sen x , obtenemos h ′ ( x ) = 3 ( sen x ) 2 cos x = 3 sen 2 x cos x . Halle la ecuación de una línea tangente Halle la ecuación de una línea tangente al gráfico de h ( x ) = 1 ( 3 x − 5 ) 2 en x = 2 . Como estamos hallando la ecuación de una línea, necesitamos un punto. La coordenada x del punto es 2. Para hallar la coordenada y , sustituya 2 en h ( x ) . Dado que h ( 2 ) = 1 ( 3 ( 2 ) − 5 ) 2 = 1 , el punto es ( 2 , 1 ) . Para la pendiente, necesitamos h ′ ( 2 ) . Para calcular h ′ ( x ) , primero escribimos h ( x ) = ( 3 x − 5 ) −2 y aplique la regla de la potencia para obtener h ′ ( x ) = −2 ( 3 x − 5 ) −3 ( 3 ) = −6 ( 3 x − 5 ) −3 . Al sustituir, tenemos h ′ ( 2 ) = −6 ( 3 ( 2 ) − 5 ) −3 = −6 . Por lo tanto, la línea tiene la ecuación y − 1 = −6 ( x − 2 ) . Al reescribirla, la ecuación de la línea es y = −6 x + 13 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = ( x 2 − 2 ) 3 en x = –2 . y = −48 x − 88 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Combinar la regla de la cadena con otras reglas Ahora que podemos combinar la regla de la cadena y la regla de la potencia, examinamos cómo combinar la regla de la cadena con las otras reglas que aprendimos. En particular, podemos utilizarla con las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas o con la regla del producto. Usar la regla de la cadena en una función coseno general Calcule la derivada de h ( x ) = cos ( g ( x ) ) . Piense en h ( x ) = cos ( g ( x ) ) cuando f ( g ( x ) ) donde f ( x ) = cos x . Dado que f ′ ( x ) = − sen x . tenemos f ′ ( g ( x ) ) = − sen ( g ( x ) ) . Luego, hacemos el siguiente cálculo. h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) Aplique la regla de la cadena. = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) Sustituya f ′ ( g ( x ) ) = − sen ( g ( x ) ) . Por lo tanto, la derivada de h ( x ) = cos ( g ( x ) ) viene dada por h ′ ( x ) = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En el siguiente ejemplo aplicamos la regla que acabamos de derivar. Usar la regla de la cadena en una función coseno Calcule la derivada de h ( x ) = cos ( 5 x 2 ) . Supongamos que g ( x ) = 5 x 2 . Entonces g ′ ( x ) = 10 x . Utilizando el resultado del ejemplo anterior, h ′ ( x ) = − sen ( 5 x 2 ) . 10 x = −10 x sen ( 5 x 2 ) . Usar la regla de la cadena en otra función trigonométrica Calcule la derivada de h ( x ) = sec ( 4 x 5 + 2 x ) . Aplique la regla de la cadena a h ( x ) = sec ( g ( x ) ) para obtener h ′ ( x ) = sec ( g ( x ) ) tan ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En este problema, g ( x ) = 4 x 5 + 2 x , por lo que tenemos g ′ ( x ) = 20 x 4 + 2 . Por lo tanto, obtenemos h ′ ( x ) = sec ( 4 x 5 + 2 x ) tan ( 4 x 5 + 2 x ) ( 20 x 4 + 2 ) = ( 20 x 4 + 2 ) sec ( 4 x 5 + 2 x ) tan ( 4 x 5 + 2 x ) . Calcule la derivada de h ( x ) = sen ( 7 x + 2 ) . h ′ ( x ) = 7 cos ( 7 x + 2 ) Pista Aplique la regla de la cadena a h ( x ) = sen g ( x ) primero y luego, utilice g ( x ) = 7 x + 2 . En este punto proporcionamos una lista de fórmulas de derivadas que se pueden obtener aplicando la regla de la cadena junto con las fórmulas de derivadas de funciones trigonométricas. Sus derivaciones son similares a las utilizadas en el y el . Para más facilidad, las fórmulas también se dan en la notación de Leibniz, que algunos estudiantes encuentran más fácil de recordar (analizamos la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz al final de esta sección). No es absolutamente necesario memorizarlas como fórmulas separadas, ya que todas son aplicaciones de la regla de la cadena a fórmulas previamente aprendidas. Usar la regla de la cadena en funciones trigonométricas Para todos los valores de x para los que se define la derivada, d d x ( sen ( g ( x ) ) ) = cos ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x sen u = cos u d u d x d d x ( cos ( g ( x ) ) ) = − sen ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x cos u = − sen u d u d x d d x ( tan ( g ( x ) ) ) = sec 2 ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x tan u = sec 2 u d u d x d d x ( cot ( g ( x ) ) ) = − csc 2 ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x cot u = − csc 2 u d u d x d d x ( sec ( g ( x ) ) ) = sec ( g ( x ) tan ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x sec u = sec u tan u d u d x d d x ( csc ( g ( x ) ) ) = − csc ( g ( x ) ) cot ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) d d x csc u = − csc u cot u d u d x . Combinar la regla de la cadena con la regla del producto Calcule la derivada de h ( x ) = ( 2 x + 1 ) 5 ( 3 x − 2 ) 7 . Primero aplique la regla del producto, luego aplique la regla de la cadena a cada término del producto. h ′ ( x ) = d d x ( ( 2 x + 1 ) 5 ) . ( 3 x − 2 ) 7 + d d x ( ( 3 x − 2 ) 7 ) . ( 2 x + 1 ) 5 Aplique la regla del producto. = 5 ( 2 x + 1 ) 4 . 2 . ( 3 x − 2 ) 7 + 7 ( 3 x − 2 ) 6 . 3 . ( 2 x + 1 ) 5 Aplique la regla de la cadena. = 10 ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 7 + 21 ( 3 x − 2 ) 6 ( 2 x + 1 ) 5 Simplifique. = ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 ( 10 ( 3 x − 2 ) + 21 ( 2 x + 1 ) ) Saque el factor común ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 . = ( 2 x + 1 ) 4 ( 3 x − 2 ) 6 ( 72 x + 1 ) Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = x ( 2 x + 3 ) 3 . h ′ ( x ) = 3 − 4 x ( 2 x + 3 ) 4 Pista Empiece por aplicar la regla del cociente. Recuerde utilizar la regla de la cadena para diferenciar el denominador. Compuestos de tres o más funciones Ahora podemos combinar la regla de la cadena con otras reglas para diferenciar funciones, pero cuando diferenciamos la composición de tres o más funciones, necesitamos aplicar la regla de la cadena más de una vez. Si consideramos esta situación en términos generales, podemos generar una fórmula que no necesitaremos recordar, ya que simplemente podemos aplicar la regla de la cadena varias veces. En términos generales, primero dejamos que k ( x ) = h ( f ( g ( x ) ) ) . Entonces, aplicando la regla de la cadena una vez obtenemos k ′ ( x ) = d d x ( h ( f ( g ( x ) ) ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) ) . d d x f ( ( g ( x ) ) ) . Aplicando de nuevo la regla de la cadena, obtenemos k ′ ( x ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ) . Regla: regla de la cadena para una composición de tres funciones Para todos los valores de x en los que la función es diferenciable, si k ( x ) = h ( f ( g ( x ) ) ) , entonces k ′ ( x ) = h ′ ( f ( g ( x ) ) ) f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En otras palabras, estamos aplicando la regla de la cadena dos veces. Observe que la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes (del mismo modo, la derivada de la composición de cuatro funciones tiene cuatro partes, y así sucesivamente). Además , recuerde que siempre podemos trabajar desde afuera hacia dentro tomando una derivada cada vez. Diferenciación de un compuesto de tres funciones Calcule la derivada de k ( x ) = cos 4 ( 7 x 2 + 1 ) . Primero, reescriba k ( x ) como k ( x ) = ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 4 . A continuación, aplique la regla de la cadena varias veces. k ′ ( x ) = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( d d x cos ( 7 x 2 + 1 ) ) Aplique la regla de la cadena. = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( − sen ( 7 x 2 + 1 ) ) ( d d x ( 7 x 2 + 1 ) ) Aplique la regla de la cadena. = 4 ( cos ( 7 x 2 + 1 ) ) 3 ( − sen ( 7 x 2 + 1 ) ) ( 14 x ) Aplique la regla de la cadena. = −56 x sen ( 7 x 2 + 1 ) cos 3 ( 7 x 2 + 1 ) Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = sen 6 ( x 3 ) . h ′ ( x ) = 18 x 2 sen 5 ( x 3 ) cos ( x 3 ) Pista Reescriba h ( x ) = sen 6 ( x 3 ) = ( sen ( x 3 ) ) 6 y utilice el como guía. Uso de la regla de la cadena en un problema de velocidad Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = sen ( 2 t ) + cos ( 3 t ) . ¿Cuál es la velocidad de la partícula en el tiempo t = π 6 ? Para hallar v ( t ) , la velocidad de la partícula en el tiempo t , debemos diferenciar s ( t ) . Por lo tanto, v ( t ) = s ′ ( t ) = 2 cos ( 2 t ) − 3 sen ( 3 t ) . Al sustituir t = π 6 en v ( t ) , obtenemos v ( π 6 ) = –2 . Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo t viene dada por s ( t ) = sen ( 4 t ) . Calcule su aceleración en el tiempo t . a ( t ) = −16 sen ( 4 t ) Pista La aceleración es la segunda derivada de la posición. Prueba En este punto, presentamos una prueba muy informal de la regla de la cadena. En aras de la simplicidad, pasamos por alto algunas cuestiones: Por ejemplo, suponemos que g ( x ) ≠ g ( a ) para x ≠ a en algún intervalo abierto que contenga a . Comenzamos aplicando la definición de límite de la derivada a la función h ( x ) para obtener h ′ ( a ) : h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) x – a . Reescribiendo, obtenemos h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) . g ( x ) − g ( a ) x – a . Aunque está claro que lím x → a g ( x ) − g ( a ) x – a = g ′ ( a ) , no es obvio que lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) = f ′ ( g ( a ) ) . Para comprobar esto, primero hay que recordar que como g es diferenciable en a , g también es continua en a . Por lo tanto, lím x → a g ( x ) = g ( a ) . A continuación, sustituya y = g ( x ) y b = g ( a ) y utilice el cambio de variables en el límite para obtener lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) = lím y → b f ( y ) − f ( b ) y − b = f ′ ( b ) = f ′ ( g ( a ) ) . Finalmente, h ′ ( a ) = lím x → a f ( g ( x ) ) − f ( g ( a ) ) g ( x ) − g ( a ) . g ( x ) − g ( a ) x – a = f ′ ( g ( a ) ) g ′ ( a ) . □ Uso de la regla de la cadena con los valores funcionales Supongamos que h ( x ) = f ( g ( x ) ) . Si g ( 1 ) = 4 , g ′ ( 1 ) = 3 , y f ′ ( 4 ) = 7 , calcule h ′ ( 1 ) . Utilice la regla de la cadena y luego sustituya. h ′ ( 1 ) = f ′ ( g ( 1 ) ) g ′ ( 1 ) Aplique la regla de la cadena. = f ′ ( 4 ) . 3 Sustituya g ( 1 ) = 4 y g ′ ( 1 ) = 3 . = 7 . 3 Sustituya f ′ ( 4 ) = 7. = 21 Simplifique. Dados h ( x ) = f ( g ( x ) ) . Si g ( 2 ) = −3 , g ′ ( 2 ) = 4 , y f ′ ( −3 ) = 7 , calcule h ′ ( 2 ) . 28 Pista Siga el . La regla de la cadena mediante la notación de Leibniz Al igual que con otras derivadas que ya vimos, podemos expresar la regla de la cadena utilizando la notación de Leibniz. Esta notación para la regla de la cadena se utiliza mucho en aplicaciones de física. Para h ( x ) = f ( g ( x ) ) , supongamos que u = g ( x ) y de y = h ( x ) = f ( u ) . Por lo tanto, h ′ ( x ) = d y d x , f ′ ( g ( x ) ) = f ′ ( u ) = d y d u y g ′ ( x ) = d u d x . En consecuencia, d y d x = h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = d y d u . d u d x . Regla: regla de la cadena mediante la notación de Leibniz Si los valores de y es una función de u , y u es una función de x , entonces d y d x = d y d u . d u d x . Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 1 Calcule la derivada de y = ( x 3 x + 2 ) 5 . En primer lugar, supongamos que u = x 3 x + 2 . Por lo tanto, y = u 5 . A continuación, calcule d u d x y d y d u . Utilizando la regla del cociente, d u d x = 2 ( 3 x + 2 ) 2 y d y d u = 5 u 4 . Finalmente, lo juntamos todo. d y d x = d y d u . d u d x Aplique la regla de la cadena. = 5 u 4 . 2 ( 3 x + 2 ) 2 Sustituya d y d u = 5 u 4 y d u d x = 2 ( 3 x + 2 ) 2 . = 5 ( x 3 x + 2 ) 4 . 2 ( 3 x + 2 ) 2 Sustituya u = x 3 x + 2 . = 10 x 4 ( 3 x + 2 ) 6 Simplifique. Es importante recordar que, cuando se utiliza la forma de Leibniz de la regla de la cadena, la respuesta final debe expresarse completamente en términos de la variable original del problema. Tomar una derivada utilizando la notación de Leibniz, ejemplo 2 Calcule la derivada de y = tan ( 4 x 2 − 3 x + 1 ) . En primer lugar, supongamos que u = 4 x 2 − 3 x + 1 . Entonces y = tan u . A continuación, calcule d u d x y d y d u : d u d x = 8 x − 3 y d y d u = sec 2 u . Finalmente, lo juntamos todo. d y d x = d y d u . d u d x Aplique la regla de la cadena. = sec 2 u . ( 8 x − 3 ) Uso d u d x = 8 x − 3 y d y d u = sec 2 u . = sec 2 ( 4 x 2 − 3 x + 1 ) . ( 8 x − 3 ) Sustituya u = 4 x 2 − 3 x + 1 . Utilice la notación de Leibniz para encontrar la derivada de y = cos ( x 3 ) . Asegúrese de que la respuesta final se exprese completamente en términos de la variable x . d y d x = −3 x 2 sen ( x 3 ) Pista Supongamos que u = x 3 . Conceptos clave La regla de la cadena nos permite diferenciar composiciones de dos o más funciones. Establece que para h ( x ) = f ( g ( x ) ) , h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) . En la notación de Leibniz esta regla toma la forma d y d x = d y d u . d u d x . Podemos utilizar la regla de la cadena con otras reglas que ya aprendimos y derivar fórmulas en algunas de ellas. La regla de la cadena se combina con la regla de la potencia para formar una nueva regla: Si h ( x ) = ( g ( x ) ) n , entonces h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) . Cuando se aplica a la composición de tres funciones, la regla de la cadena puede expresarse como sigue: Si los valores de h ( x ) = f ( g ( k ( x ) ) ) , entonces h ′ ( x ) = f ′ ( g ( k ( x ) ) g ′ ( k ( x ) ) k ′ ( x ) . Ecuaciones clave La regla de la cadena h ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) La regla de la potencia para las funciones h ′ ( x ) = n ( g ( x ) ) n – 1 g ′ ( x ) En los siguientes ejercicios, dados y = f ( u ) y u = g ( x ) , calcule d y d x utilizando la notación de Leibniz para la regla de la cadena: d y d x = d y d u d u d x . y = 3 u − 6 , u = 2 x 2 y = 6 u 3 , u = 7 x − 4 18 u 2 . 7 = 18 ( 7 x − 4 ) 2 . 7 y = sen u , u = 5 x – 1 y = cos u , u = − x 8 − sen u . −1 8 = − sen ( − x 8 ) . −1 8 y = tan u , u = 9 x + 2 y = 4 u + 3 , u = x 2 − 6 x 8 x − 24 2 4 u + 3 = 4 x − 12 4 x 2 − 24 x + 3 En cada uno de los siguientes ejercicios, descomponga cada función en la forma y = f ( u ) y u = g ( x ) , y halle d y d x en función de x . y = ( 3 x − 2 ) 6 y = ( 3 x 2 + 1 ) 3 a. u = 3 x 2 + 1 ; b. 18 x ( 3 x 2 + 1 ) 2 y = sen 5 ( x ) grandes. y = ( x 7 + 7 x ) 7 a. f ( u ) = u 7 , u = x 7 + 7 x ; b. 7 ( x 7 + 7 x ) 6 . ( 1 7 − 7 x 2 ) grandes. y = tan ( sec x ) grandes. y = csc ( π x + 1 ) a. f ( u ) = csc u , u = π x + 1 ; b. − π csc ( π x + 1 ) . cot ( π x + 1 ) grandes. y = cot 2 x y = −6 ( sen ) −3 x a. f ( u ) = −6 u −3 , u = sen x , b. 18 ( sen ) −4 x . cos x En los siguientes ejercicios, calcule d y d x por cada función. y = ( 3 x 2 + 3 x – 1 ) 4 y = ( 5 − 2 x ) −2 4 ( 5 − 2 x ) 3 y = cos 3 ( π x ) grandes. y = ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 3 6 ( 2 x 3 − x 2 + 6 x + 1 ) 2 ( 3 x 2 − x + 3 ) grandes. y = 1 sen 2 ( x ) grandes. y = ( tan x + sen x ) −3 −3 ( tan x + sen x ) −4 . ( sec 2 x + cos x ) grandes. y = x 2 cos 4 x y = sen ( cos 7 x ) grandes. −7 cos ( cos 7 x ) . sen 7 x y = 6 + sec π x 2 y = cot 3 ( 4 x + 1 ) grandes. −12 cot 2 ( 4 x + 1 ) . csc 2 ( 4 x + 1 ) Supongamos que y = [ f ( x ) ] 2 y supongamos que f ′ ( 1 ) = 4 y d y d x = 10 por x = 1 . Calcule f ( 1 ) . Supongamos que y = ( f ( x ) + 5 x 2 ) 4 y supongamos que f ( –1 ) = −4 y d y d x = 3 cuando x = −1 . Calcule f ′ ( –1 ) grandes. 10 3 4 Supongamos que y = ( f ( u ) + 3 x ) 2 y u = x 3 − 2 x . Si f ( 4 ) = 6 y d y d x = 18 cuando x = 2 , calcule f ′ ( 4 ) . [T] Halle la ecuación de la línea tangente para y = − sen ( x 2 ) en el origen. Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente. y = −1 2 x [T] Halle la ecuación de la línea tangente para y = ( 3 x + 1 x ) 2 en el punto ( 1 , 16 ) . Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea tangente. Calcule las coordenadas x en las que la línea tangente a y = ( x − 6 x ) 8 es horizontal. x = ± 6 [T] Halle una ecuación de la línea que sea normal a g ( θ ) = sen 2 ( π θ ) en el punto ( 1 4 , 1 2 ) . Utilice una calculadora para graficar juntas la función y la línea normal. En los siguientes ejercicios, utilice la información de la siguiente tabla para encontrar h ′ ( a ) en el valor dado para a . x f ( x ) grandes. f ′ ( x ) grandes. g ( x ) grandes. g ′ ( x ) 0 2 5 0 2 1 1 −2 3 0 2 4 4 1 −1 3 3 −3 2 3 h ( x ) = f ( g ( x ) ) ; a = 0 10 h ( x ) = g ( f ( x ) ) ; a = 0 h ( x ) = ( x 4 + g ( x ) ) −2 ; a = 1 − 1 8 h ( x ) = ( f ( x ) g ( x ) ) 2 ; a = 3 h ( x ) = f ( x + f ( x ) ) ; a = 1 −4 h ( x ) = ( 1 + g ( x ) ) 3 ; a = 2 h ( x ) = g ( 2 + f ( x 2 ) ) ; a = 1 −12 h ( x ) = f ( g ( sen x ) ) ; a = 0 [T] La función de posición de un tren de mercancías viene dada por s ( t ) = 100 ( t + 1 ) −2 , con la s en metros y t en segundos. En el tiempo t = 6 s, encontrar: la velocidad y aceleración del tren. Utilizando a. y b. ¿el tren acelera o frena? a. − 200 343 m/s, b. 600 2401 m/s 2 , c. El tren va disminuyendo su velocidad, ya que la velocidad y la aceleración tienen signos opuestos. [T] Una masa que cuelga de un resorte vertical está en movimiento armónico simple dado por la siguiente función de posición, donde t se mide en segundos y s está en pulgadas: s ( t ) = −3 cos ( π t + π 4 ) . Determine la posición del resorte en t = 1,5 s. Calcule la velocidad del resorte en t = 1,5 s. [T] El costo total para producir x cajas de galletas Thin Mint Girl Scout es de C dólares, donde C = 0,0001 x 3 − 0,02 x 2 + 3 x + 300 . En t semanas, se estima que la producción sea de x = 1.600 + 100 t cajas. Calcule el costo marginal C ′ ( x ) . Utilice la notación de Leibniz para la regla de la cadena, d C d t = d C d x . d x d t , para encontrar la tasa con respecto al tiempo t en el que el costo cambia. Utilice b. para determinar la velocidad de aumento de los costos cuando t = 2 semanas. Incluya las unidades en la respuesta. a. C ′ ( x ) = 0,0003 x 2 − 0,04 x + 3 b. d C d t = 100 . ( 0,0003 x 2 − 0,04 x + 3 ) c. Aproximadamente 90.300 dólares por semana [T] La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 , donde r es el radio del círculo. Supongamos que un círculo se expande, lo que significa que tanto el área A y el radio r (en pulgadas) se expanden. Supongamos que r = 2 − 100 ( t + 7 ) 2 donde t es el tiempo en segundos. Utilice la regla de la cadena d A d t = d A d r . d r d t para encontrar la tasa de expansión del área. Utilice a. para hallar el ritmo de expansión del área en t = 4 s. [T] La fórmula del volumen de una esfera es S = 4 3 π r 3 , donde r (en pies) es el radio de la esfera. Supongamos que una bola de nieve esférica se derrite al sol. Supongamos que r = 1 ( t + 1 ) 2 – 1 12 donde t es el tiempo en minutos. Utilice la regla de la cadena d S d t = d S d r . d r d t para encontrar la tasa a la que se funde la bola de nieve. Utilice a. para hallar la tasa de variación del volumen en t = 1 min. a. d S d t = − 8 π r 2 ( t + 1 ) 3 b. El volumen disminuye a una tasa de − π 36 ft 3 /min. [T] La temperatura diaria en verano de Phoenix en grados Fahrenheit puede modelarse mediante la función T ( x ) = 94 − 10 cos [ π 12 ( x − 2 ) ] , donde x son horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la temperatura a las 4 p. m. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. La profundidad se modela mediante la función D ( t ) = 5 sen ( π 6 t − 7 π 6 ) + 8 , donde t es el número de horas después de la medianoche. Halle la velocidad a la que cambia la profundidad a las 6 a. m. ~ 2,3 ft/h regla de la cadena la regla de la cadena define la derivada de una función compuesta como la derivada de la función exterior evaluada en la función interior multiplicada por la derivada de la función interior", "section": "La regla de la cadena", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Derivadas de funciones inversas En esta sección exploraremos la relación entre la derivada de una función y la derivada de su inversa. En las funciones cuyas derivadas ya conocemos, podemos utilizar esta relación para encontrar las derivadas de las inversas sin tener que utilizar la definición de límite de la derivada. En particular, aplicaremos la fórmula de las derivadas de las funciones inversas a las funciones trigonométricas. Esta fórmula también puede utilizarse para extender la regla de la potencia a los exponentes racionales. La derivada de una función inversa Comenzamos considerando una función y su inversa. Si los valores de f ( x ) es invertible y diferenciable, parece razonable que la inversa de f ( x ) también es diferenciable. La muestra la relación entre una función f ( x ) y su inversa f −1 ( x ) . Vea el punto ( a , f −1 ( a ) ) en el gráfico de f −1 ( x ) que tiene una línea tangente con una pendiente de ( f −1 ) ′ ( a ) = p q . Este corresponde al punto ( f −1 ( a ) , a ) en el gráfico de f ( x ) que tiene una línea tangente con una pendiente de f ′ ( f −1 ( a ) ) = q p . Por lo tanto, si f −1 ( x ) es diferenciable en a , entonces debe ser el caso que ( f −1 ) ′ ( a ) = 1 f ′ ( f −1 ( a ) ) . Las rectas tangentes de una función y su inversa están relacionadas, así que también lo están las derivadas de estas funciones. También podemos derivar la fórmula de la derivada de la inversa recordando primero que x = f ( f −1 ( x ) ) . Entonces, diferenciando ambos lados de esta ecuación (utilizando la regla de la cadena de la derecha), obtenemos 1 = f ′ ( f −1 ( x ) ) ( f −1 ) ′ ( x ) ) . Al resolver para ( f −1 ) ′ ( x ) , obtenemos ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) . Resumimos este resultado en el siguiente teorema. Teorema de la función inversa Supongamos que f ( x ) es una función invertible y diferenciable. Supongamos que y = f −1 ( x ) es la inversa de f ( x ) . Para todo x que satisface f ′ ( f −1 ( x ) ) ≠ 0 , d y d x = d d x ( f −1 ( x ) ) = ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) . Alternativamente, si y = g ( x ) es la inversa de f ( x ) , entonces g ' ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) . Aplicación del teorema de la función inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = x + 2 x . Compare la derivada resultante con la obtenida al diferenciar la función directamente. La inversa de g ( x ) = x + 2 x es f ( x ) = 2 x – 1 . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = −2 ( x – 1 ) 2 y f ′ ( g ( x ) ) = −2 ( g ( x ) − 1 ) 2 = −2 ( x + 2 x – 1 ) 2 = − x 2 2 . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = − 2 x 2 . Podemos comprobar que esta es la derivada correcta aplicando la regla del cociente a g ( x ) para obtener g ′ ( x ) = − 2 x 2 . Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = 1 x + 2 . Compare el resultado obtenido al diferenciar g ( x ) directamente. g ′ ( x ) = − 1 ( x + 2 ) 2 Pista Utilice el ejemplo anterior como guía. Aplicación del teorema de la función inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = x 3 . La función g ( x ) = x 3 es la inversa de la función f ( x ) = x 3 . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 3 x 2 y f ′ ( g ( x ) ) = 3 ( x 3 ) 2 = 3 x 2 / 3 . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 3 x 2 / 3 = 1 3 x −2 / 3 . Calcule la derivada de g ( x ) = x 5 aplicando el teorema de la función inversa. g ( x ) = 1 5 x − 4 / 5 Pista g ( x ) es la inversa de f ( x ) = x 5 . A partir del ejemplo anterior, vemos que podemos utilizar el teorema de la función inversa para extender la regla de la potencia a exponentes de la forma 1 n , donde n es un número entero positivo. Esta ampliación nos permitirá, en última instancia, diferenciar x q , donde q es cualquier número racional. Extensión de la regla de la potencia a los exponentes racionales La regla de la potencia puede extenderse a los exponentes racionales. Es decir, si n es un número entero positivo, entonces d d x ( x 1 / n ) = 1 n x ( 1 / n ) − 1 . Además, si n es un número entero positivo y m es un número entero arbitrario, entonces d d x ( x m / n ) = m n x ( m / n ) − 1 . Prueba La función g ( x ) = x 1 / n es la inversa de la función f ( x ) = x n . Dado que g ′ ( x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) , comience por hallar f ′ ( x ) . Por lo tanto, f ′ ( x ) = n x n – 1 y f ′ ( g ( x ) ) = n ( x 1 / n ) n – 1 = n x ( n – 1 ) / n . Finalmente, g ′ ( x ) = 1 n x ( n – 1 ) / n = 1 n x ( 1 − n ) / n = 1 n x ( 1 / n ) − 1 . Para diferenciar x m / n debemos reescribirlo como ( x 1 / n ) m y aplicar la regla de la cadena. Por lo tanto, d d x ( x m / n ) = d d x ( ( x 1 / n ) m ) = m ( x 1 / n ) m − 1 . 1 n x ( 1 / n ) − 1 = m n x ( m / n ) − 1 . □ Aplicación de la regla de la potencia a una potencia racional Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y = x 2 / 3 en x = 8 . Primero calcule d y d x y evalúela en x = 8 . Dado que d y d x = 2 3 x −1 / 3 y d y d x | x = 8 = 1 3 la pendiente de la línea tangente al gráfico en x = 8 ¿es 1 3 . Sustituyendo x = 8 en la función original, obtenemos y = 4 . Por tanto, la línea tangente pasa por el punto ( 8 , 4 ) . Sustituyendo en la fórmula punto-pendiente de una línea, obtenemos la línea tangente y = 1 3 x + 4 3 . Calcule la derivada de s ( t ) = 2 t + 1 . s ′ ( t ) = ( 2 t + 1 ) − 1 / 2 Pista Utilice la regla de la cadena. Derivadas de funciones trigonométricas inversas Ahora nos centraremos en la búsqueda de derivadas de funciones trigonométricas inversas. Estas derivadas resultarán muy valiosas en el estudio de la integración más adelante en este texto. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son bastante sorprendentes, ya que sus derivadas son en realidad funciones algebraicas. Anteriormente, se demostró que las derivadas de funciones algebraicas son funciones algebraicas y que las derivadas de funciones trigonométricas son funciones trigonométricas. Aquí, por primera vez, vemos que la derivada de una función no tiene por qué ser del mismo tipo que la función original. Derivada de la función seno inversa Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = sen −1 x . Dado que para x en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] , f ( x ) = sen x es la inversa de g ( x ) = sen −1 x , comience por hallar f ′ ( x ) . Dado que f ′ ( x ) = cos x y f ′ ( g ( x ) ) = cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 , vemos que g ′ ( x ) = d d x ( sen −1 x ) = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 1 − x 2 . Análisis Para ver que cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 , considere el siguiente argumento. Establezca sen −1 x = θ . En este caso, sen θ = x donde − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Comenzamos considerando el caso en el que 0 < θ < π 2 . Dado que θ es un ángulo agudo, podemos construir un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo θ , una hipotenusa de longitud 1 y el lado opuesto al ángulo θ que tiene una longitud x . A partir del teorema de Pitágoras, el lado adyacente al ángulo θ tiene longitud 1 − x 2 . Este triángulo se muestra en la . Utilizando el triángulo, vemos que cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . Utilizando un triángulo rectángulo con ángulo agudo θ , una hipotenusa de longitud 1 , y el lado opuesto al ángulo θ que tiene una longitud x , podemos ver que cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . En caso de que − π 2 < θ < 0 , hacemos la observación de que 0 < − θ < π 2 y por lo tanto cos ( sen −1 x ) = cos θ = cos ( − θ ) = 1 − x 2 . Ahora bien, si θ = π 2 o θ = − π 2 , x = 1 o x = −1 , y como en cualquier caso cos θ = 0 y 1 − x 2 = 0 , tenemos cos ( sen −1 x ) = cos θ = 1 − x 2 . Por último, si θ = 0 , x = 0 y cos θ = 1 – 0 = 1 . En consecuencia, en todos los casos, cos ( sen −1 x ) = 1 − x 2 . Aplicación de la regla de la cadena a la función seno inversa Aplique la regla de la cadena a la fórmula derivada en el para hallar la derivada de h ( x ) = sen −1 ( g ( x ) ) y utilizar este resultado para hallar la derivada de h ( x ) = sen −1 ( 2 x 3 ) . Aplicando la regla de la cadena a h ( x ) = sen −1 ( g ( x ) ) , tenemos h ′ ( x ) = 1 1 − ( g ( x ) ) 2 g ′ ( x ) . Ahora supongamos que g ( x ) = 2 x 3 , por lo que g ′ ( x ) = 6 x 2 . Al sustituir en el resultado anterior, obtenemos h ′ ( x ) = 1 1 − 4 x 6 . 6 x 2 = 6 x 2 1 − 4 x 6 . Utilice el teorema de la función inversa para calcular la derivada de g ( x ) = tan −1 x . g ′ ( x ) = 1 1 + x 2 Pista La inversa de g ( x ) es f ( x ) = tan x . Utilice la como guía. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas restantes también se pueden hallar utilizando el teorema de la función inversa. Estas fórmulas se proporcionan en el siguiente teorema. Derivadas de funciones trigonométricas inversas d d x sen −1 x = 1 1 − ( x ) 2 d d x cos −1 x = −1 1 − ( x ) 2 d d x tan −1 x = 1 1 + ( x ) 2 d d x cot −1 x = −1 1 + ( x ) 2 d d x sec −1 x = 1 | x | ( x ) 2 – 1 d d x csc −1 x = −1 | x | ( x ) 2 – 1 Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función tangente inversa Calcule la derivada de f ( x ) = tan –1 ( x 2 ) . Supongamos que g ( x ) = x 2 , por lo que g ′ ( x ) = 2 x . Sustituyendo en la , obtenemos f ′ ( x ) = 1 1 + ( x 2 ) 2 . ( 2 x ) . Simplificando, tenemos f ′ ( x ) = 2 x 1 + x 4 . Aplicación de fórmulas de diferenciación a una función seno inversa Calcule la derivada de h ( x ) = x 2 sen −1 x . Aplicando la regla del producto, tenemos h ′ ( x ) = 2 x sen −1 x + 1 1 − x 2 . x 2 . Calcule la derivada de h ( x ) = cos −1 ( 3 x – 1 ) . h ′ ( x ) = −3 6 x − 9 x 2 Pista Utilice la con g ( x ) = 3 x – 1 Aplicación de la función tangente inversa La posición de una partícula en el tiempo t viene dada por s ( t ) = tan –1 ( 1 t ) por t ≥ 1 2 . Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 . Comience por diferenciar s ( t ) a fin de hallar v ( t ) . Por lo tanto, v ( t ) = s ′ ( t ) = 1 1 + ( 1 t ) 2 . −1 t 2 . Simplificando, tenemos v ( t ) = − 1 t 2 + 1 . Por lo tanto, v ( 1 ) = − 1 2 . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = sen −1 x en x = 0 . y = x Pista f ′ ( 0 ) es la pendiente de la línea tangente. Conceptos clave El teorema de la función inversa nos permite calcular derivadas de funciones inversas sin utilizar la definición de límite de la derivada. Podemos utilizar el teorema de la función inversa para desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas inversas. Ecuaciones clave Teorema de la función inversa ( f −1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f −1 ( x ) ) siempre que f ′ ( f −1 ( x ) ) ≠ 0 y f ( x ) es diferenciable. Regla de la potencia con exponentes racionales d d x ( x m / n ) = m n x ( m / n ) − 1 . Derivada de la función seno inversa d d x sen −1 x = 1 1 − ( x ) 2 Derivada de la función coseno inversa d d x cos −1 x = −1 1 − ( x ) 2 Derivada de la función tangente inversa d d x tan −1 x = 1 1 + ( x ) 2 Derivada de la función cotangente inversa d d x cot −1 x = −1 1 + ( x ) 2 Derivada de la función secante inversa d d x sec −1 x = 1 | x | ( x ) 2 – 1 Derivada de la función cosecante inversa d d x csc −1 x = −1 | x | ( x ) 2 – 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) a dibuje el gráfico de y = f −1 ( x ) , y utilice la parte a. para estimar ( f −1 ) ′ ( 1 ) . a. b. ( f −1 ) ′ ( 1 ) ~ 2 a. b. ( f −1 ) ′ ( 1 ) ~ − 1 / 3 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones y = f ( x ) para hallar d f d x en x = a y x = f −1 ( y ) . A continuación, utilice la parte b. para hallar d f −1 d y a las y = f ( a ) . f ( x ) = 6 x – 1 , x = –2 f ( x ) = 2 x 3 − 3 , x = 1 a. 6, b. x = f −1 ( y ) = ( y + 3 2 ) 1 / 3 , c. 1 6 f ( x ) = 9 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 , x = 2 f ( x ) = sen x , x = 0 a. 1 , b. x = f −1 ( y ) = sen −1 y , c. 1 En cada una de las siguientes funciones, halle ( f −1 ) ′ ( a ) . f ( x ) = x 2 + 3 x + 2 , x ≥ – 3 2 , a = 2 f ( x ) = x 3 + 2 x + 3 , a = 0 1 5 f ( x ) = x + x , a = 2 f ( x ) = x − 2 x , x < 0 , a = 1 1 3 f ( x ) = x + sen x , a = 0 f ( x ) = tan x + 3 x 2 , a = 0 1 Para cada una de las funciones dadas y = f ( x ) , Halle la pendiente de la línea tangente a su función inversa f −1 en el punto indicado P , y halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f −1 en el punto indicado. f ( x ) = 4 1 + x 2 , P ( 2 , 1 ) grandes. f ( x ) = x − 4 , P ( 2 , 8 ) a. 4 , b. y = 4 x f ( x ) = ( x 3 + 1 ) 4 , P ( 16 , 1 ) grandes. f ( x ) = − x 3 − x + 2 , P ( –8 , 2 ) a. − 1 13 , b. y = − 1 13 x + 18 13 f ( x ) = x 5 + 3 x 3 − 4 x − 8 , P ( –8 , 1 ) En los siguientes ejercicios, calcule d y d x para la función dada. y = sen −1 ( x 2 ) grandes. 2 x 1 − x 4 y = cos −1 ( x ) grandes. y = sec −1 ( 1 x ) grandes. −1 1 − x 2 y = csc −1 x y = ( 1 + tan −1 x ) 3 3 ( 1 + tan −1 x ) 2 1 + x 2 y = cos −1 ( 2 x ) . sen −1 ( 2 x ) grandes. y = 1 tan –1 ( x ) grandes. −1 ( 1 + x 2 ) ( tan −1 x ) 2 y = sec −1 ( − x ) grandes. y = cot −1 4 − x 2 x ( 5 − x 2 ) 4 − x 2 y = x . csc −1 x En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados para hallar ( f −1 ) ′ ( a ) . f ( π ) = 0 , f ′ ( π ) = −1 , a = 0 −1 f ( 6 ) = 2 , f ′ ( 6 ) = 1 3 , a = 2 f ( 1 3 ) = –8 , f ′ ( 1 3 ) = 2 , a = −8 1 2 f ( 3 ) = 1 2 , f ′ ( 3 ) = 2 3 , a = 1 2 f ( 1 ) = −3 , f ′ ( 1 ) = 10 , a = −3 1 10 f ( 1 ) = 0 , f ′ ( 1 ) = –2 , a = 0 [T] La posición de un disco de hockey en movimiento después de t segundos es s ( t ) = tan −1 t donde s está en metros. Halle la velocidad del disco de hockey en cualquier tiempo t . Halle la aceleración del disco en cualquier tiempo t . Evaluar a. y b. para t = 2 , 4 , y 6 segundos. ¿Qué conclusión se obtiene de los resultados de c.? a. v ( t ) = 1 1 + t 2 b. a ( t ) = −2 t ( 1 + t 2 ) 2 c. ( a ) 0,2 , 0,06 , 0,03 ; ( b ) − 0,16 , −0,028 , −0,0088 d. El disco de hockey se desacelera/ralentiza a los 2, 4 y 6 segundos. [T] Un edificio de 225 ft de altura proyecta una sombra de varias longitudes x a medida que pasa el día. El ángulo de elevación θ está formado por líneas que van desde la parte superior e inferior del edificio hasta la punta de la sombra, como se ve en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación d θ d x cuando x = 272 pies. [T] Un poste tiene 75 ft de altura. Un ángulo θ se forma cuando los cables de varias longitudes de x ft se fijan desde el suelo hasta la parte superior del poste, como se muestra en la siguiente figura. Halle la tasa de cambio del ángulo d θ d x cuando se conecta un cable de 90 ft de longitud. −0,0168 rad/ft [T] Una cámara de televisión a nivel del suelo se halla a 2.000 ft de distancia de la plataforma de lanzamiento de un cohete espacial preparado para despegar verticalmente, como se ve en la siguiente figura. El ángulo de elevación de la cámara se halla mediante θ = tan –1 ( x 2000 ) , donde x es la altura del cohete. Halle la tasa de cambio del ángulo de elevación después del lanzamiento cuando la cámara y el cohete están a 5.000 pies de distancia. [T] Un cine local con una pantalla de 30 ft de altura que está a 10 ft por encima del nivel de los ojos de una persona sentada tiene un ángulo de visión θ (en radianes) dado por θ = cot −1 x 40 − cot −1 x 10 , donde x es la distancia en ft de la pantalla de cine a la que está sentada la persona, como se muestra en la siguiente figura. Halle d θ d x . Evalúe d θ d x para x = 5 , 10 , 15 , y 20. Interprete los resultados en b. Evalúe d θ d x para x = 25 , 30 , 35 , y 40 Interprete los resultados en d. ¿A qué distancia x debe sentarse la persona para maximizar su ángulo de visión? a. d θ d x = 10 100 + x 2 − 40 1.600 + x 2 b. 18 325 , 9 340 , 42 4745 , 0 c. A medida que una persona se aleja de la pantalla, el ángulo de visión aumenta, lo que implica que al alejarse, su visión de la pantalla se amplía. d. − 54 12905 , − 3 500 , − 198 29945 , − 9 1360 e. A medida que la persona se aleja más de 20 ft de la pantalla, su ángulo de visión disminuye. La distancia óptima a la que debe situarse la persona para maximizar el ángulo de visión es de 20 ft.", "section": "Derivadas de funciones inversas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Diferenciación implícita Ya estudiamos cómo encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a las funciones y la tasa de cambio de una función en un punto concreto. En todos estos casos tuvimos la ecuación explícita de la función y diferenciamos estas funciones explícitamente. Supongamos, en cambio, que queremos determinar la ecuación de una línea tangente a una curva arbitraria o la tasa de cambio de una curva arbitraria en un punto. En esta sección, resolveremos estos problemas encontrando las derivadas de las funciones que definen y implícitamente en términos de x . Diferenciación implícita En la mayoría de las discusiones de matemáticas, si la variable dependiente y es una función de la variable independiente x , expresamos y en términos de x . Si este es el caso, decimos que y es una función explícita de x . Por ejemplo, cuando escribimos la ecuación y = x 2 + 1 , estamos definiendo y explícitamente en términos de x . Por otro lado, si la relación entre la función y y la variable x se expresa mediante una ecuación en la que y no se expresa completamente en términos de x , decimos que la ecuación define y implícitamente en términos de x . Por ejemplo, la ecuación y − x 2 = 1 define la función y = x 2 + 1 implícitamente. La diferenciación implícita nos permite encontrar las pendientes de las tangentes a curvas que claramente no son funciones (ya que no pasan la prueba de la línea vertical). Estamos utilizando la idea de que partes de y son funciones que satisfacen la ecuación dada, pero que y no es en realidad una función de x . En general, una ecuación define una función implícitamente si la función satisface esa ecuación. Una ecuación puede definir muchas funciones diferentes de forma implícita. Por ejemplo, las funciones y = 25 − x 2 y y = { 25 − x 2 si − 5 < x < 0 − 25 − x 2 si 0 < x < 25 , que se ilustran en la , son solo tres de las muchas funciones definidas implícitamente por la ecuación x 2 + y 2 = 25 . La ecuación x 2 + y 2 = 25 define muchas funciones de forma implícita. Si queremos encontrar la pendiente de la línea tangente al gráfico de x 2 + y 2 = 25 en el punto ( 3 , 4 ) , podríamos evaluar la derivada de la función y = 25 − x 2 en x = 3 . Por otro lado, si queremos la pendiente de la línea tangente en el punto ( 3 , –4 ) , podríamos utilizar la derivada de y = − 25 − x 2 . Sin embargo, no siempre es fácil resolver una función definida implícitamente por una ecuación. Afortunadamente, la técnica de la diferenciación implícita nos permite encontrar la derivada de una función definida implícitamente sin tener que resolverla explícitamente. El proceso de encontrar d y d x utilizando la diferenciación implícita se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Diferenciación implícita Para realizar la diferenciación implícita en una ecuación que define una función y implícitamente en términos de una variable x , utilice los siguientes pasos: Tome la derivada de ambos lados de la ecuación. Tenga en cuenta que y es una función de x . Por lo tanto, mientras que d d x ( sen x ) = cos x , d d x ( sen y ) = cos y d y d x porque debemos utilizar la regla de la cadena para diferenciar sen y con respecto a x . Reescriba la ecuación de manera que todos los términos que contengan d y d x estén a la izquierda y todos los términos que no contengan d y d x estén a la derecha. Factorice d y d x a la izquierda. Resuelva para d y d x dividiendo ambos lados de la ecuación por una expresión algebraica adecuada. Uso de la diferenciación implícita Suponiendo que y se define implícitamente por la ecuación x 2 + y 2 = 25 , calcule d y d x . Siga los pasos de la estrategia de resolución de problemas. d d x ( x 2 + y 2 ) = d d x ( 25 ) Paso 1. Diferencie ambos lados de la ecuación. d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) = 0 Paso 1.1. Utilice la regla de la suma a la izquierda. A la derecha d d x ( 25 ) = 0 . 2 x + 2 y d y d x = 0 Paso 1.2. Tome las derivadas, así que d d x ( x 2 ) = 2 x y d d x ( y 2 ) = 2 y d y d x . 2 y d y d x = –2 x Paso 2. Mantenga los términos con d y d x a la izquierda. Mueva los términos restantes a la derecha. d y d x = − x y Paso 4. Divida ambos lados de la ecuación por 2 y . (El paso 3 no se aplica en este caso). Análisis Note que la expresión resultante para d y d x está en términos tanto de la variable independiente x como de la variable dependiente y . Aunque en algunos casos es posible expresar d y d x en términos de x solamente, generalmente no es posible hacerlo. Uso de la diferenciación implícita y la regla del producto Suponiendo que y se define implícitamente por la ecuación x 3 sen y + y = 4 x + 3 , calcule d y d x . d d x ( x 3 sen y + y ) = d d x ( 4 x + 3 ) Paso 1: Diferencie ambos lados de la ecuación. d d x ( x 3 sen y ) + d d x ( y ) = 4 Paso 1.1: Aplique la regla de la suma a la izquierda. A la derecha, d d x ( 4 x + 3 ) = 4 . ( d d x ( x 3 ) . sen y + d d x ( sen y ) . x 3 ) + d y d x = 4 Paso 1.2: Utilice la regla del producto para hallar d d x ( x 3 sen y ) . Observe que d d x ( y ) = d y d x . 3 x 2 sen y + ( cos y d y d x ) . x 3 + d y d x = 4 Paso 1.3: Sabemos que d d x ( x 3 ) = 3 x 2 . Utilice la regla de la cadena para obtener d d x ( sen y ) = cos y d y d x . x 3 cos y d y d x + d y d x = 4 − 3 x 2 sen y Paso 2: Conserve todos los términos que contengan d y d x en la izquierda. Mueva todos los demás términos a la derecha. d y d x ( x 3 cos y + 1 ) = 4 − 3 x 2 sen y Paso 3: Saque el factor común d y d x a la izquierda. d y d x = 4 − 3 x 2 sen y x 3 cos y + 1 Paso 4: Resuelva para d y d x dividiendo ambos lados de la ecuación por x 3 cos y + 1 . Uso de la diferenciación implícita para encontrar una segunda derivada Halle d 2 y d x 2 si x 2 + y 2 = 25 . En el , demostramos que d y d x = − x y . Podemos tomar la derivada de ambos lados de esta ecuación para encontrar d 2 y d x 2 . d 2 y d x 2 = d d x ( − x y ) Diferencie ambos lados de d y d x = − x y . = − ( 1 . y − x d y d x ) y 2 Utilice la regla del cociente para encontrar d d y ( − x y ) . = − y + x d y d x y 2 Simplifique. = − y + x ( − x y ) y 2 Sustituya d y d x = − x y . = − y 2 − x 2 y 3 Simplifique. En este punto encontramos una expresión para d 2 y d x 2 . Si lo deseamos, podemos simplificar aún más la expresión recordando que x 2 + y 2 = 25 y haciendo esta sustitución en el numerador para obtener d 2 y d x 2 = − 25 y 3 . Halle d y d x por y definida implícitamente por la ecuación 4 x 5 + tan y = y 2 + 5 x . d y d x = 5 − 20 x 4 sec 2 y − 2 y Pista Sigua la estrategia de resolución de problemas, recordando aplicar la regla de la cadena para diferenciar tan y y 2 . Encontrar líneas tangentes de forma implícita Ya vimos la técnica de la diferenciación implícita y ahora podemos aplicarla al problema de encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas descritas por ecuaciones. Encontrar una línea tangente a un círculo Halle la ecuación de la línea tangente a la curva x 2 + y 2 = 25 en el punto ( 3 , –4 ) . Aunque podríamos encontrar esta ecuación sin utilizar la diferenciación implícita, el uso de ese método lo facilita mucho. En el , encontramos d y d x = − x y . La pendiente de la línea tangente se encuentra sustituyendo ( 3 , –4 ) en esta expresión. En consecuencia, la pendiente de la línea tangente es d y d x | ( 3 , –4 ) = − 3 −4 = 3 4 . Utilizando el punto ( 3 , –4 ) y la pendiente 3 4 en la ecuación punto-pendiente de la línea, obtenemos la ecuación y = 3 4 x − 25 4 ( ). La línea y = 3 4 x − 25 4 es tangente a x 2 + y 2 = 25 en el punto (3, -4). Hallar la ecuación de la línea tangente a una curva Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de y 3 + x 3 − 3 x y = 0 en el punto ( 3 2 , 3 2 ) ( ). Esta curva se conoce como el folium (u hoja) de Descartes. Halle la línea tangente al folium de Descartes en ( 3 2 , 3 2 ) . Comience por calcular d y d x . d d x ( y 3 + x 3 − 3 x y ) = d d x ( 0 ) 3 y 2 d y d x + 3 x 2 − ( 3 y + d y d x 3 x ) = 0 d y d x = 3 y − 3 x 2 3 y 2 − 3 x . A continuación, sustituya ( 3 2 , 3 2 ) en d y d x = 3 y − 3 x 2 3 y 2 − 3 x para encontrar la pendiente de la línea tangente: d y d x | ( 3 2 , 3 2 ) = −1 . Finalmente, sustituya en la ecuación punto-pendiente de la línea para obtener y = − x + 3 . Aplicación de la diferenciación implícita En un videojuego sencillo, un cohete viaja en una órbita elíptica cuya trayectoria se describe a través de la ecuación 4 x 2 + 25 y 2 = 100 . El cohete puede disparar misiles a lo largo de líneas tangentes a su trayectoria. El objetivo del juego es destruir un asteroide que se desplaza por el eje x positivo hacia ( 0 , 0 ) . Si el cohete dispara un misil cuando se encuentra en ( 3 , 8 5 ) , ¿dónde intersecará el eje x ? Para resolver este problema, debemos determinar dónde está la línea tangente al gráfico de 4 x 2 + 25 y 2 = 100 a las ( 3 , 8 5 ) se interseca el eje x . Comience por calcular d y d x implícitamente. Diferenciando, tenemos 8 x + 50 y d y d x = 0 . Al resolver d y d x , tenemos d y d x = – 4 x 25 y . La pendiente de la línea tangente es d y d x | ( 3 , 8 5 ) = − 3 10 . La ecuación de la línea tangente es y = − 3 10 x + 5 2 . Para determinar el punto de intersección de la línea con el eje x , resuelva 0 = − 3 10 x + 5 2 . La solución es x = 25 3 . El misil interseca el eje x en el punto ( 25 3 , 0 ) . Halle la ecuación de la línea tangente a la hipérbola x 2 − y 2 = 16 en el punto ( 5 , 3 ) . y = 5 3 x − 16 3 Pista d y d x = x y Conceptos clave Utilizamos la diferenciación implícita para encontrar las derivadas de funciones definidas implícitamente (funciones definidas por ecuaciones). Utilizando la diferenciación implícita, podemos encontrar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una curva. En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para hallar d y d x . x 2 − y 2 = 4 6 x 2 + 3 y 2 = 12 d y d x = –2 x y x 2 y = y − 7 3 x 3 + 9 x y 2 = 5 x 3 d y d x = x 3 y – y 2 x x y − cos ( x y ) = 1 y x + 4 = x y + 8 d y d x = y – y 2 x + 4 x + 4 − x − x y − 2 = x 7 y sen ( x y ) = y 2 + 2 d y d x = y 2 cos ( x y ) 2 y − sen ( x y ) − x y cos x y ( x y ) 2 + 3 x = y 2 x 3 y + x y 3 = −8 d y d x = −3 x 2 y – y 3 x 3 + 3 x y 2 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación dada en el punto indicado. Utilice una calculadora o un programa de computadora para representar gráficamente la función y la línea tangente. [T] x 4 y − x y 3 = –2 , ( –1 , –1 ) [T] x 2 y 2 + 5 x y = 14 , ( 2 , 1 ) y = −1 2 x + 2 [T] tan ( x y ) = y , ( π 4 , 1 ) [T] x y 2 + sen ( π y ) − 2 x 2 = 10 , ( 2 , −3 ) y = 1 π + 12 x − 3 π + 38 π + 12 [T] x y + 5 x − 7 = − 3 4 y , ( 1 , 2 ) [T] x y + sen ( x ) = 1 , ( π 2 , 0 ) y = 0 [T] El gráfico de un folium de Descartes con ecuación 2 x 3 + 2 y 3 − 9 x y = 0 se muestra en el siguiente gráfico. Halle la ecuación de la línea tangente en el punto ( 2 , 1 ) . Grafique la línea tangente junto con el folio. Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en a. en el punto ( 2 , 1 ) . Para la ecuación x 2 + 2 x y − 3 y 2 = 0 , Halle la ecuación de la línea normal a la línea tangente en el punto ( 1 , 1 ) . ¿En qué otro punto la línea normal en a. interseca el gráfico de la ecuación? a. y = − x + 2 b. ( 3 , –1 ) Halle todos los puntos del gráfico de y 3 − 27 y = x 2 − 90 en la que la línea tangente es vertical. Para la ecuación x 2 + x y + y 2 = 7 , Calcule la(s) intersección(es) en x . Halle la pendiente de la(s) línea(s) tangente(s) en la(s) intersección(es) x . ¿Qué indican los valores de b. sobre la(s) línea(s) tangente(s)? a. ( ± 7 , 0 ) b. −2 c. Son paralelas ya que la pendiente es la misma en ambas intersecciones. Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación sen −1 x + sen −1 y = π 6 en el punto ( 0 , 1 2 ) . Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de la ecuación tan –1 ( x + y ) = x 2 + π 4 en el punto ( 0 , 1 ) . y = − x + 1 Halle el valor y ′ y y ″ por x 2 + 6 x y − 2 y 2 = 3 . [T] El número de teléfonos móviles producidos cuando x dólares en mano de obra y se invierten y dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 60 x 3 / 4 y 1 / 4 = 3.240 . Halle d y d x y evalúe en el punto ( 81 , 16 ) . Interprete el resultado de un a. −0,5926 b. Cuando se gastan 81 dólares en mano de obra y 16 en capital, la cantidad gastada en capital disminuye en 0,5926 dólares por cada dólar gastado en mano de obra. [T] El número de automóviles producidos cuando x dólares en mano de obra y se invierten y dólares en capital por un fabricante se puede modelar mediante la ecuación 30 x 1 / 3 y 2 / 3 = 360 . (Ambas x como y se miden en miles de dólares). Halle d y d x y evalúe en el punto ( 27 , 8 ) . Interprete el resultado de un El volumen de un cono circular recto de radio x y altura y viene dado por V = 1 3 π x 2 y . Supongamos que el volumen del cono es una constante. Halle d y d x cuando x = 4 en tanto que y = 16 . −8 En los siguientes ejercicios, considere una caja rectangular cerrada con una base cuadrada de lado x y altura y . Halle una ecuación para el área superficial de la caja rectangular, S ( x , y ) . Si el área superficial de la caja rectangular es de 78 pies cuadrados, halle d y d x cuando x = 3 ft y y = 5 pies. −2,67 En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación implícita para determinar y ′ . ¿Coincide la respuesta con las fórmulas que determinamos previamente? x = sen y x = cos y y ′ = − 1 1 − x 2 x = tan y diferenciación implícita técnica para calcular d y d x para una función definida por una ecuación, que se realiza diferenciando ambos lados de la ecuación (recordando tratar la variable y como función) y resolviendo para d y d x", "section": "Diferenciación implícita", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas Hasta ahora, hemos aprendido a diferenciar una variedad de funciones, incluidas funciones trigonométricas, inversas e implícitas. En esta sección, exploramos las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Como ya comentamos en Introducción a funciones y gráficos , las funciones exponenciales desempeñan un papel importante en el modelado del crecimiento de la población y el decaimiento de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son especialmente útiles para reescribir expresiones complicadas. Derivada de la función exponencial Al igual que cuando encontramos las derivadas de otras funciones, podemos calcular las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas utilizando fórmulas. A la hora de desarrollar estas fórmulas, tenemos que hacer ciertas suposiciones básicas. Las pruebas de que estos supuestos se mantienen están fuera del alcance de este curso. En primer lugar, partimos de la base de que la función B ( x ) = b x , b > 0 , está definida para todo número real y es continua. En los cursos anteriores se definieron los valores de las funciones exponenciales para todos los números racionales, empezando por la definición de b n , donde n es un número entero positivo, como el producto de b multiplicado por sí mismo n veces. Más adelante, definimos b 0 = 1 , b − n = 1 b n , para un número entero positivo n , y b s / t = ( b t ) s para números enteros positivos s y t . Estas definiciones dejan abierta la cuestión del valor de b r donde r es un número real arbitrario. Asumiendo la continuidad de B ( x ) = b x , b > 0 , podemos interpretar b r a medida que lím x → r b x donde los valores de x a medida que tomamos el límite son racionales. Por ejemplo, podemos ver 4 π como el número que satisface 4 3 < 4 π < 4 4 , 4 3,1 < 4 π < 4 3,2 , 4 3,14 < 4 π < 4 3,15 , 4 3,141 < 4 π < 4 3,142 , 4 3,1415 < 4 π < 4 3,1416 , … . Como vemos en la siguiente tabla, 4 π ≈ 77,88 . Aproximación a un valor de 4 π x 4 x x 4 x 4 3 64 4 3,141593 77,8802710486 4 3,1 73,5166947198 4 3,1416 77,8810268071 4 3,14 77,7084726013 4 3,142 77,9242251944 4 3,141 77,8162741237 4 3,15 78,7932424541 4 3,1415 77,8702309526 4 3,2 84,4485062895 4 3,14159 77,8799471543 4 4 256 También suponemos que para B ( x ) = b x , b > 0 , el valor B ′ ( 0 ) de la derivada existe. En esta sección, mostramos que haciendo esta suposición adicional, es posible demostrar que la función B ( x ) es diferenciable en todas partes. Hacemos una última suposición: que existe un valor único de b > 0 para el cual B ′ ( 0 ) = 1 . Definimos e para que sea este valor único, como hicimos en Introducción a funciones y gráficos . La proporciona gráficos de las funciones y = 2 x , y = 3 x , y = 2,7 x , y y = 2,8 x . Una estimación visual de las pendientes de las líneas tangentes a estas funciones en 0 proporciona evidencia de que el valor de e se encuentra entre 2,7 y 2,8. La función E ( x ) = e x se denomina función exponencial natural . Su inversa, L ( x ) = log e x = ln x se denomina función de logaritmo natural . El gráfico de E ( x ) = e x está entre y = 2 x como y = 3 x . Para una mejor estimación de e , podemos construir una tabla de estimaciones de B ′ ( 0 ) para funciones de la forma B ( x ) = b x . Antes de hacer esto, recuerde que B ′ ( 0 ) = lím x → 0 b x − b 0 x − 0 = lím x → 0 b x – 1 x ≈ b x – 1 x para los valores de x muy cerca de cero. Para nuestras estimaciones, elegimos x = 0,00001 y x = −0,00001 para obtener la estimación b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 . Consulte la siguiente tabla. Estimación de un valor de e b b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 b b −0,00001 − 1 −0,00001 < B ′ ( 0 ) < b 0,00001 − 1 0,00001 2 0,693145 < B ′ ( 0 ) < 0,69315 2,7183 1,000002 < B ′ ( 0 ) < 1,000012 2,7 0,993247 < B ′ ( 0 ) < 0,993257 2,719 1,000259 < B ′ ( 0 ) < 1,000269 2,71 0,996944 < B ′ ( 0 ) < 0,996954 2,72 1,000627 < B ′ ( 0 ) < 1,000637 2,718 0,999891 < B ′ ( 0 ) < 0,999901 2,8 1,029614 < B ′ ( 0 ) < 1,029625 2,7182 0,999965 < B ′ ( 0 ) < 0,999975 3 1,098606 < B ′ ( 0 ) < 1,098618 Los datos de la tabla sugieren que 2,7182 < e < 2,7183 . El gráfico de E ( x ) = e x junto con la línea y = x + 1 se muestran en la . Esta línea es tangente al gráfico de E ( x ) = e x en x = 0 . La línea tangente a E ( x ) = e x en x = 0 tiene pendiente 1. Ahora que hemos expuesto nuestros supuestos básicos, comenzamos nuestra investigación explorando la derivada de B ( x ) = b x , b > 0 . Recordemos que hemos supuesto que B ′ ( 0 ) existe. Aplicando la definición de límite a la derivada concluimos que B ′ ( 0 ) = lím h → 0 b 0 + h − b 0 h = lím h → 0 b h − 1 h . En cuanto a B ′ ( x ) , obtenemos lo siguiente. B ′ ( x ) = lím h → 0 b x + h − b x h Aplique la definición de límite de la derivada. = lím h → 0 b x b h − b x h Tenga en cuenta que b x + h = b x b h . = lím h → 0 b x ( b h − 1 ) h Factorice b x . = b x lím h → 0 b h − 1 h Aplique una propiedad de límites. = b x B ′ ( 0 ) Uso B ′ ( 0 ) = lím h → 0 b 0 + h − b 0 h = lím h → 0 b h − 1 h . Vemos que sobre la base de la suposición de que B ( x ) = b x es diferenciable en 0 , B ( x ) no solo es diferenciable en todas partes, sino que su derivada es B ′ ( x ) = b x B ′ ( 0 ) . Para E ( x ) = e x , E ′ ( 0 ) = 1 . Por lo tanto, tenemos E ′ ( x ) = e x . (El valor de B ′ ( 0 ) para una función arbitraria de la forma B ( x ) = b x , b > 0 , se derivará más adelante. Derivada de la función exponencial natural Supongamos que E ( x ) = e x es la función exponencial natural. Entonces E ′ ( x ) = e x . En general, d d x ( e g ( x ) ) = e g ( x ) g ′ ( x ) . Derivada de una función exponencial Calcule la derivada de f ( x ) = e tan ( 2 x ) . Utilizando la fórmula de la derivada y la regla de la cadena, f ′ ( x ) = e tan ( 2 x ) d d x ( tan ( 2 x ) ) = e tan ( 2 x ) sec 2 ( 2 x ) . 2 . Combinación de reglas de diferenciación Calcule la derivada de y = e x 2 x . Utilice la derivada de la función exponencial natural, la regla del cociente y la regla de la cadena. y ′ = ( e x 2 . 2 ) x . x – 1 . e x 2 x 2 Aplique la regla del cociente. = e x 2 ( 2 x 2 – 1 ) x 2 Simplifique. Calcule la derivada de h ( x ) = x e 2 x . h ′ ( x ) = e 2 x + 2 x e 2 x Pista No olvide utilizar la regla del producto. Aplicación de la función exponencial natural Una colonia de mosquitos tiene una población inicial de 1.000. Después de t días, la población está dada por A ( t ) = 1.000 e 0,3 t . Demuestre que la relación de la tasa de cambio de la población, A ′ ( t ) , a la población, A ( t ) es constante. Primero calcule A ′ ( t ) . Utilizando la regla de la cadena, tenemos A ′ ( t ) = 300 e 0,3 t . Por lo tanto, la relación entre la tasa de cambio de la población y la población está dada por A ′ ( t ) = 300 e 0,3 t 1.000 e 0,3 t = 0,3 . La relación entre la tasa de cambio de la población y la población es la constante 0,3. Si los valores de A ( t ) = 1.000 e 0,3 t describe la población de mosquitos después de t días, como en el ejemplo anterior, ¿cuál es la tasa de cambio de A ( t ) después de 4 días? 996 Pista Calcule A ′ ( 4 ) . Derivada de la función logarítmica Ahora que tenemos la derivada de la función exponencial natural, podemos utilizar la diferenciación implícita para calcular la derivada de su inversa, la función de logaritmo natural. La derivada de la función de logaritmo natural Si los valores de x > 0 y y = ln x , entonces d y d x = 1 x . De manera más general, supongamos que g ( x ) es una función diferenciable. Para todos los valores de x para los cuales g ′ ( x ) > 0 , la derivada de h ( x ) = ln ( g ( x ) ) está dada por h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . Prueba Si los valores de x > 0 y y = ln x , entonces e y = x . Diferenciando ambos lados de esta ecuación se obtiene la ecuación e y d y d x = 1 . Al resolver d y d x se obtiene d y d x = 1 e y . Por último, sustituimos x = e y para obtener d y d x = 1 x . También podemos derivar este resultado aplicando el teorema de la función inversa, como sigue. Dado que y = g ( x ) = ln x es la inversa de f ( x ) = e x , aplicando el teorema de la función inversa tenemos d y d x = 1 f ′ ( g ( x ) ) = 1 e ln x = 1 x . Utilizando este resultado y aplicando la regla de la cadena a h ( x ) = ln ( g ( x ) ) se obtiene h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . □ El gráfico de y = ln x y su derivada d y d x = 1 x se muestran en la . La función y = ln x es creciente en ( 0 , + ∞ ) . Su derivada y ′ = 1 x es mayor que cero en ( 0 , + ∞ ) . Tomar la derivada de un logaritmo natural Calcule la derivada de f ( x ) = ln ( x 3 + 3 x − 4 ) . Utilice directamente la . f ′ ( x ) = 1 x 3 + 3 x − 4 . ( 3 x 2 + 3 ) Uso g ( x ) = x 3 + 3 x − 4 en h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . = 3 x 2 + 3 x 3 + 3 x − 4 Reescriba. Uso de las propiedades de los logaritmos en una derivada Calcule la derivada de f ( x ) = ln ( x 2 sen x 2 x + 1 ) . A primera vista, tomar esta derivada parece bastante complicado. Sin embargo, utilizando las propiedades de los logaritmos antes de calcular la derivada, podemos hacer el problema mucho más sencillo. f ( x ) = ln ( x 2 sen x 2 x + 1 ) = 2 ln x + ln ( sen x ) − ln ( 2 x + 1 ) Aplique las propiedades de los logaritmos. f ′ ( x ) = 2 x + cot x − 2 2 x + 1 Aplique la regla de la suma y h ′ ( x ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) . Diferencie: f ( x ) = ln ( 3 x + 2 ) 5 . f ′ ( x ) = 15 3 x + 2 Pista Utilice una propiedad de los logaritmos para simplificar antes de tomar la derivada. Ahora que podemos diferenciar la función de logaritmo natural, podemos utilizar este resultado para calcular las derivadas de y = l o g b x como y = b x para b > 0 , b ≠ 1 . Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas generales Supongamos que b > 0 , b ≠ 1 , y supongamos que g ( x ) es una función diferenciable. Si, y = log b x , entonces d y d x = 1 x ln b . De forma más general, si h ( x ) = log b ( g ( x ) ) , entonces para todos los valores de x para los que g ( x ) > 0 , h ′ ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) ln b . Si y = b x , entonces d y d x = b x ln b . De forma más general, si h ( x ) = b g ( x ) , entonces h ′ ( x ) = b g ( x ) g ′ ( x ) ln b . Prueba Si los valores de y = log b x , entonces b y = x . Se deduce que ln ( b y ) = ln x . Así que y ln b = ln x . Al resolver y , tenemos y = ln x ln b . Diferenciando y teniendo en cuenta que ln b es una constante, vemos que d y d x = 1 x ln b . La derivada en la se deduce ahora de la regla de la cadena. Si los valores de y = b x , entonces ln y = x ln b . Utilizando la diferenciación implícita, de nuevo teniendo en cuenta que ln b es constante, se deduce que 1 y d y d x = ln b . Al resolver d y d x y sustituyendo y = b x , vemos que d y d x = y ln b = b x ln b . La derivada más general ( ) se desprende de la regla de la cadena. □ Aplicación de fórmulas de derivación Calcule la derivada de h ( x ) = 3 x 3 x + 2 . Utilice la regla del cociente y . h ′ ( x ) = 3 x ln 3 ( 3 x + 2 ) − 3 x ln 3 ( 3 x ) ( 3 x + 2 ) 2 Aplique la regla del cociente. = 2 . 3 x ln 3 ( 3 x + 2 ) 2 Simplifique. Cálculo de la pendiente de una línea tangente Calcule la pendiente de la línea tangente al gráfico de y = log 2 ( 3 x + 1 ) en x = 1 . Para calcular la pendiente, debemos evaluar d y d x en x = 1 . Utilizando la , vemos que d y d x = 3 ( 3 x + 1 ) ln 2 . Evaluando la derivada en x = 1 , vemos que la línea tangente tiene pendiente d y d x | x = 1 = 3 4 ln 2 = 3 ln 16 . Calcule la pendiente de la línea tangente a y = 3 x en x = 2 . 9 ln ( 3 ) Pista Evalúe la derivada en x = 2 . Diferenciación logarítmica En este punto, podemos tomar derivadas de funciones de la forma y = ( g ( x ) ) n para determinados valores de n , así como funciones de la forma y = b g ( x ) , donde b > 0 y b ≠ 1 . Desafortunadamente, todavía no conocemos las derivadas de funciones como y = x x o y = x π . Estas funciones requieren una técnica llamada diferenciación logarítmica , que nos permite diferenciar cualquier función de la forma h ( x ) = g ( x ) f ( x ) . También se puede utilizar para convertir un problema de diferenciación muy complejo en uno más sencillo, como calcular la derivada de y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Esbozamos esta técnica en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la diferenciación logarítmica Para diferenciar y = h ( x ) utilizando la diferenciación logarítmica, tome el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para obtener ln y = ln ( h ( x ) ) . Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln ( h ( x ) ) tanto como sea posible. Diferencie ambos lados de la ecuación. A la izquierda tendremos 1 y d y d x . Multiplique ambos lados de la ecuación por y para resolver d y d x . Sustituya y por h ( x ) . Uso de la diferenciación logarítmica Calcule la derivada de y = ( 2 x 4 + 1 ) tan x . Utilice la diferenciación logarítmica para calcular esta derivada. ln y = ln ( 2 x 4 + 1 ) tan x Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = tan x ln ( 2 x 4 + 1 ) Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x Paso 3. Diferencie ambos lados. Utilice la regla del producto a la derecha. d y d x = y . ( sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x ) Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = ( 2 x 4 + 1 ) tan x ( sec 2 x ln ( 2 x 4 + 1 ) + 8 x 3 2 x 4 + 1 . tan x ) Paso 5. Sustituya y = ( 2 x 4 + 1 ) tan x . Uso de la diferenciación logarítmica Calcule la derivada de y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Este problema realmente hace uso de las propiedades de los logaritmos y de las reglas de diferenciación indicadas en este capítulo. ln y = ln x 2 x + 1 e x sen 3 x Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = ln x + 1 2 ln ( 2 x + 1 ) − x ln e − 3 ln sen x Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cos x sen x Paso 3. Diferencie ambos lados. d y d x = y ( 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cot x ) Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = x 2 x + 1 e x sen 3 x ( 1 x + 1 2 x + 1 − 1 − 3 cot x ) Paso 5. Sustituya y = x 2 x + 1 e x sen 3 x . Ampliación de la regla de la potencia Calcule la derivada de y = x r donde r es un número real arbitrario. El proceso es el mismo que en el , aunque con menos complicaciones. ln y = ln x r Paso 1. Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln y = r ln x Paso 2. Expanda utilizando las propiedades de los logaritmos. 1 y d y d x = r 1 x Paso 3. Diferencie ambos lados. d y d x = y r x Paso 4. Multiplique por y en ambos lados. d y d x = x r r x Paso 5. Sustituya y = x r . d y d x = r x r − 1 Simplifique. Utilice la diferenciación logarítmica para calcular la derivada de y = x x . d y d x = x x ( 1 + ln x ) Pista Siga la estrategia de resolución de problemas. Calcule la derivada de y = ( tan x ) π . y ′ = π ( tan x ) π − 1 sec 2 x Pista Utilice el resultado de . Conceptos clave Partiendo de la base de que la función exponencial y = b x , b > 0 es continua en todas partes y diferenciable en 0, esta función es diferenciable en todas partes y existe una fórmula para su derivada. Podemos utilizar una fórmula para calcular la derivada de y = ln x , y la relación log b x = ln x ln b nos permite extender nuestras fórmulas de diferenciación para incluir logaritmos con bases arbitrarias. La diferenciación logarítmica nos permite diferenciar funciones de la forma y = g ( x ) f ( x ) o funciones muy complejas tomando el logaritmo natural de ambos lados y explotando las propiedades de los logaritmos antes de diferenciar. Ecuaciones clave Derivada de la función exponencial natural d d x ( e g ( x ) ) = e g ( x ) g ′ ( x ) Derivada de la función de logaritmo natural d d x ( ln g ( x ) ) = 1 g ( x ) g ′ ( x ) Derivada de la función exponencial general d d x ( b g ( x ) ) = b g ( x ) g ′ ( x ) ln b Derivada de la función logarítmica general d d x ( log b g ( x ) ) = g ′ ( x ) g ( x ) ln b En los siguientes ejercicios, calcule f ′ ( x ) por cada función. f ( x ) = x 2 e x 2 x e x + x 2 e x f ( x ) = e – x x f ( x ) = e x 3 ln x e x 3 ln x ( 3 x 2 ln x + x 2 ) grandes. f ( x ) = e 2 x + 2 x f ( x ) = e x − e – x e x + e – x 4 ( e x + e – x ) 2 f ( x ) = 10 x ln 10 f ( x ) = 2 4 x + 4 x 2 2 4 x + 2 . ln 2 + 8 x f ( x ) = 3 sen 3 x f ( x ) = x π . π x π x π − 1 . π x + x π . π x ln π f ( x ) = ln ( 4 x 3 + x ) grandes. f ( x ) = ln 5 x − 7 5 2 ( 5 x − 7 ) grandes. f ( x ) = x 2 ln 9 x f ( x ) = log ( sec x ) grandes. tan x ln 10 f ( x ) = log 7 ( 6 x 4 + 3 ) 5 f ( x ) = 2 x . log 3 7 x 2 − 4 2 x . ln 2 . log 3 7 x 2 − 4 + 2 x . 2 x ln 7 ln 3 En los siguientes ejercicios, utilice la diferenciación logarítmica para calcular d y d x . y = x x y = ( sen 2 x ) 4 x ( sen 2 x ) 4 x [ 4 . ln ( sen 2 x ) + 8 x . cot 2 x ] y = ( ln x ) ln x y = x log 2 x x log 2 x . 2 ln x x ln 2 y = ( x 2 – 1 ) ln x y = x cot x x cot x . [ − csc 2 x . ln x + cot x x ] y = x + 11 x 2 − 4 3 y = x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4 x −1 / 2 ( x 2 + 3 ) 2 / 3 ( 3 x − 4 ) 4 . [ −1 2 x + 4 x 3 ( x 2 + 3 ) + 12 3 x − 4 ] [T] Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) = 4 x e ( x 2 – 1 ) en el punto donde x = −1 . Grafique la función y la línea tangente. [T] Halle la ecuación de la línea que es normal al gráfico de f ( x ) = x . 5 x en el punto donde x = 1 . Grafique tanto la función como la línea normal. y = −1 5 + 5 ln 5 x + ( 5 + 1 5 + 5 ln 5 ) [T] Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de x 3 − x ln y + y 3 = 2 x + 5 en el punto (2, 1). ( Pista : Utilice la diferenciación implícita para calcular d y d x . ) Grafique tanto la curva como la línea tangente. Considere la función y = x 1 / x para x > 0 . Determine los puntos del gráfico donde la línea tangente es horizontal. Determine los puntos del gráfico en los que y ′ > 0 y aquellos en los que y ′ < 0 . a. x = e ~ 2,718 b. ( e , ∞ ) , ( 0 , e ) La fórmula I ( t ) = sen t e t es la fórmula de una corriente alterna decreciente. Complete la siguiente tabla con los valores adecuados. t sen t e t 0 (i) π 2 (ii) π (iii) 3 π 2 (iv) 2 π (v) 5 π 2 (vi) 3 π (vii) 7 π 2 (viii) 4 π (ix) Utilizando solo los valores de la tabla, determine dónde la línea tangente al gráfico de I ( t ) es horizontal. [T] La población de Toledo, Ohio, en el año 2000 era de aproximadamente 500.000 habitantes. Supongamos que la población aumenta a un ritmo del 5 % anual. Escriba la función exponencial que relaciona la población total en función de t . Utilice a. para determinar la tasa de aumento de la población en t años. Utilice b. para determinar la tasa de aumento de la población en 10 años. a. P = 500.000 ( 1,05 ) t individuos b. P ′ ( t ) = 24395 . ( 1,05 ) t individuos por año c. 39.737 individuos por año [T] Un isótopo del elemento erbio tiene una semivida de aproximadamente 12 horas. Inicialmente hay 9 gramos del isótopo presente. Escriba la función exponencial que relaciona la cantidad de sustancia restante en función de t , medido en horas. Utilice a. para determinar la tasa de decaimiento de la sustancia en t horas. Utilice b. para determinar la tasa de decaimiento en t = 4 horas. [T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva York desde principios de 1960 hasta principios de 1961 se modela mediante la función N ( t ) = 5,3 e 0,093 t 2 − 0,87 t , ( 0 ≤ t ≤ 4 ) , donde N ( t ) indica el número de casos (en miles) y t se mide en años, con t = 0 correspondiente a principios de 1960. Muestre el trabajo que evalúa N ( 0 ) y N ( 4 ) . Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York. Muestre el trabajo que evalúa N ′ ( 0 ) y N ′ ( 3 ) . Describa brevemente lo que indican estos valores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York. a. A principios de 1960 había 5,3 mil casos de la enfermedad en la ciudad de Nueva York. A principios de 1964 había aproximadamente 723 casos de la enfermedad en Estados Unidos. b. A principios de 1960, el número de casos de la enfermedad estaba disminuyendo a una tasa de −4,611 mil por año; a principios de 1963, el número de casos de la enfermedad disminuía a una tasa de −0,2808 mil por año. [T] La tasa de cambio relativa de una función diferenciable y = f ( x ) está dada por 100 . f ′ ( x ) f ( x ) % . Un modelo de crecimiento de la población es una función de crecimiento de Gompertz, dada por P ( x ) = a e − b . e − c x donde a , b , y c son constantes. Halle la fórmula de la tasa de cambio relativa para la función genérica de Gompertz. Utilice a. para calcular la tasa de cambio relativa de una población en x = 20 meses cuando a = 204 , b = 0,0198 , y c = 0,15 . Interprete brevemente lo que significa el resultado de b. En los siguientes ejercicios, utilice la población de la ciudad de Nueva York de 1790 a 1860, que se da en la siguiente tabla. La población de Nueva York a lo largo del tiempo Años desde 1790 Población 0 33.131 10 60.515 20 96.373 30 123.706 40 202.300 50 312.710 60 515.547 70 813.669 Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/Largest_cities_in_the_United_States _by_population_by_decade. [T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora, ajuste una curva de crecimiento a los datos de la forma p = a b t . p = 35741 ( 1,045 ) t [T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año. [T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos, escriba una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas en cada año. Años desde 1790 P ″ 0 69,25 10 107,5 20 167,0 30 259,4 40 402,8 50 625,5 60 971,4 70 1508,5 [T] Utilizando las tablas de primeras y segundas derivadas y el mejor ajuste, responda a las siguientes preguntas: ¿Será exacto el modelo para predecir la población futura de la ciudad de Nueva York? ¿Por qué sí o por qué no? Estime la población en 2010. ¿Fue correcta la predicción de a.? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso ? Justifique la respuesta con una prueba o un contraejemplo. Toda función tiene una derivada. Falso. Una función continua tiene una derivada continua. Una función continua tiene una derivada. Falso Si una función es diferenciable, es continua. Utilice la definición de límite de la derivada para evaluar exactamente la derivada. f ( x ) = x + 4 1 2 x + 4 f ( x ) = 3 x Calcule las derivadas de las siguientes funciones. f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 9 x 2 + 8 x 3 f ( x ) = ( 4 − x 2 ) 3 f ( x ) = e sen x e sen x cos x f ( x ) = ln ( x + 2 ) grandes. f ( x ) = x 2 cos x + x tan ( x ) grandes. x sec 2 ( x ) + 2 x cos ( x ) + tan ( x ) − x 2 sen ( x ) grandes. f ( x ) = 3 x 2 + 2 f ( x ) = x 4 sen −1 ( x ) grandes. 1 4 ( x 1 − x 2 + sen −1 ( x ) ) grandes. x 2 y = ( y + 2 ) + x y sen ( x ) Calcule las siguientes derivadas de diversos órdenes. Primera derivada de y = x ln ( x ) cos x cos x . ( ln x + 1 ) − x ln ( x ) sen x Tercera derivada de y = ( 3 x + 2 ) 2 Segunda derivada de y = 4 x + x 2 sen ( x ) grandes. 4 x ( ln 4 ) 2 + 2 sen x + 4 x cos x – x 2 sen x Halle la ecuación de la línea tangente a las siguientes ecuaciones en el punto especificado. y = cos −1 ( x ) + x en x = 0 y = x + e x – 1 x en x = 1 T = ( 2 + e ) x − 2 Dibuje la derivada de los siguientes gráficos. Las siguientes preguntas se refieren al nivel del agua en Ocean City, Nueva Jersey, en enero, que puede ser aproximado mediante w ( t ) = 1,9 + 2,9 cos ( π 6 t ) , donde t se mide en horas después de la medianoche, y la altura se mide en pies. Calcule y grafique la derivada. ¿Cuál es el significado físico? Calcule w ′ ( 3 ) . ¿Cuál es el significado físico de este valor? w ′ ( 3 ) = − 2,9 π 6 . A las 3 de la mañana, la marea disminuye a una tasa de 1,514 ft/h. Las siguientes preguntas se refieren a la velocidad del viento del huracán Katrina, que afectó a Nueva Orleans (Luisiana) en agosto de 2005. Los datos se muestran en una tabla. Velocidades de los vientos del huracán Katrina Horas después de la medianoche del 26 de agosto Velocidad del viento (mph) 1 45 5 75 11 100 29 115 49 145 58 175 73 155 81 125 85 95 107 35 Fuente: http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html. Utilizando la tabla, estime la derivada de la velocidad del viento en la hora 39. ¿Cuál es el significado físico? Estime la derivada de la velocidad del viento en la hora 83. ¿Cuál es el significado físico? −7,5 . La velocidad del viento está disminuyendo a una tasa de 7,5 mph/h. diferenciación logarítmica es una técnica que nos permite diferenciar una función tomando primero el logaritmo natural de ambos lados de una ecuación, aplicando las propiedades de los logaritmos para simplificar la ecuación y diferenciando implícitamente", "section": "Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción Cuando se lanza un cohete, ¿a qué velocidad debería cambiar el ángulo de una cámara de video para seguir observándolo? (créditos: modificación del trabajo de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons). Se lanza un cohete desde tierra y las cámaras graban el evento. Una cámara de video está situada en el suelo a cierta distancia de la plataforma de lanzamiento. ¿A qué velocidad debe cambiar el ángulo de inclinación (el ángulo que forma la cámara con el suelo) para que esta pueda grabar el vuelo del cohete mientras este se dirige hacia arriba? (Vea la ). El lanzamiento de un cohete implica dos cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. Ser capaces de resolver este tipo de problemas es solo una de las aplicaciones de las derivadas que se presentan en este capítulo. También veremos cómo se utilizan las derivadas para encontrar los valores máximos y mínimos de las funciones. Como resultado, podremos resolver problemas de optimización aplicados, como la maximización de los ingresos y la minimización del área superficial. Además, analizaremos cómo se utilizan las derivadas para evaluar límites complicados, para aproximar las raíces de las funciones y para proporcionar gráficos precisos de las funciones.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Tasas relacionadas Hemos visto que para las cantidades que cambian en el tiempo, las tasas a las que estas cantidades cambian están dadas por las derivadas. Si dos cantidades relacionadas cambian en el tiempo, las tasas a las que cambian las cantidades están relacionadas. Por ejemplo, si un globo se llena de aire, tanto el radio como el volumen del globo aumentan. En esta sección, consideramos varios problemas en los que dos o más cantidades relacionadas están cambiando y estudiamos cómo determinar la relación entre las tasas de cambio de estas cantidades. Establecer problemas de tasas relacionadas En muchas aplicaciones del mundo real, las cantidades relacionadas cambian con respecto al tiempo. Por ejemplo, si volvemos a considerar el ejemplo del globo, podemos decir que la tasa de cambio del volumen, V , está relacionada con la tasa de cambio del radio, r . En este caso, decimos que d V d t y d r d t son tasas relacionadas porque V está relacionada con r . Aquí estudiamos varios ejemplos de cantidades relacionadas que cambian con respecto al tiempo y vemos cómo calcular una tasa de cambio dada otra tasa de cambio. Inflar un globo Un globo esférico se está llenando de aire a un ritmo constante de 2 cm 3 / s ( ). ¿Qué tan rápido aumenta el radio cuando el radio es 3 cm ? A medida que el globo se llena de aire, tanto el radio como el volumen aumentan con respecto al tiempo. El volumen de una esfera de radio r centímetros es V = 4 3 π r 3 cm 3 . Como el globo se está llenando de aire, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo. Por lo tanto, t segundos después de comenzar a llenar el globo con aire, el volumen de aire en el globo es V ( t ) = 4 3 π [ r ( t ) ] 3 cm 3 . Diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo y aplicando la regla de la cadena, vemos que la tasa de cambio del volumen está relacionada con la tasa de cambio del radio mediante la ecuación V ′ ( t ) = 4 π [ r ( t ) ] 2 r ′ ( t ) . El globo se está llenando de aire a una velocidad constante de 2 cm 3 /s, por lo que V ′ ( t ) = 2 cm 3 / sec . Por lo tanto, 2 cm 3 / sec = ( 4 π [ r ( t ) ] 2 cm 2 ) . ( r ′ ( t ) cm/s ) , lo que implica r ′ ( t ) = 1 2 π [ r ( t ) ] 2 cm/s . Cuando el radio r = 3 cm, r ′ ( t ) = 1 18 π cm/s . ¿Cuál es la tasa instantánea de cambio del radio cuando r = 6 cm ? 1 72 π cm/s , o aproximadamente 0,0044 cm/s Pista d r d t = 1 2 π r 2 Antes de ver otros ejemplos, vamos a esbozar la estrategia de resolución de problemas que vamos a utilizar para resolver problemas de tasas relacionadas. Estrategia para la resolución de problemas: Resolver un problema de tasas relacionadas Asigne símbolos a todas las variables que intervienen en el problema. Dibuje una figura si procede. Indique, en función de las variables, la información que se da y el índice que debe determinarse. Halle una ecuación que relacione las variables introducidas en el paso 1. Utilizando la regla de la cadena, diferencie ambos lados de la ecuación hallada en el paso 3 con respecto a la variable independiente. Esta nueva ecuación relacionará las derivadas. Sustituya todos los valores conocidos en la ecuación del paso 4, y luego resuelva la tasa de cambio desconocida. Tenga en cuenta que al resolver un problema de tasas relacionadas, es crucial no sustituir los valores conocidos demasiado pronto. Por ejemplo, si el valor de una cantidad cambiante se sustituye en una ecuación antes de diferenciar ambos lados de la ecuación, entonces esa cantidad se comportará como una constante y su derivada no aparecerá en la nueva ecuación halla en el paso 4. Examinamos este posible error en el siguiente ejemplo. Ejemplos del proceso Pongamos ahora en práctica la estrategia que acabamos de describir para resolver varios problemas de tasas relacionadas. El primer ejemplo es el de un avión que sobrevuela la ciudad. La relación que estudiamos es la que existe entre la velocidad del avión y la velocidad a la que cambia la distancia entre el avión y una persona en el suelo. Un avión volando a una altura constante Un avión sobrevuela a una altura constante de 4.000 ft . Un hombre está viendo el avión desde una posición a 3.000 ft desde la base de una torre de radio. El avión vuela horizontalmente alejándose del hombre. Si el avión vuela a la velocidad de 600 ft/s , ¿a qué velocidad aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando este pasa por encima de la torre de radio? Paso 1. Haga un dibujo, introduciendo variables para representar las diferentes cantidades implicadas. Un avión vuela a una altura constante de 4000 pies. La distancia entre la persona y el avión y la persona y el lugar en el suelo directamente debajo del avión están cambiando. Denotamos esas cantidades con las variables s y x , respectivamente. Como se muestra, x denota la distancia entre el hombre y la posición en el suelo directamente debajo del avión. La variable s denota la distancia entre el hombre y el avión. Tenga en cuenta que ambas x y s son funciones del tiempo. No introducimos una variable para la altura del plano porque se mantiene a una altura constante de 4.000 ft . Como la altura de un objeto sobre el suelo se mide como la distancia más corta entre el objeto y el suelo, el segmento de línea de longitud 4000 pies es perpendicular al segmento de línea de longitud x pies, creando un triángulo rectángulo. Paso 2. Dado que x denota la distancia horizontal entre el hombre y el punto del suelo por debajo del plano, d x / d t representa la velocidad del avión. Nos dicen que la velocidad del avión es de 600 ft/s. Por lo tanto, d x d t = 600 ft/s. Como se nos pide que hallemos la tasa de cambio de la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio, necesitamos calcular d s / d t cuando x = 3.000 ft . Paso 3. A partir de la figura, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para escribir una ecuación que relacione x y s : [ x ( t ) ] 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo y utilizando el hecho de que la derivada de una constante es cero, llegamos a la ecuación x d x d t = s d s d t . Paso 5. Calcule la tasa a la que aumenta la distancia entre el hombre y el avión cuando el avión está directamente sobre la torre de radio. Es decir, calcule d s d t cuando x = 3.000 ft . Como la velocidad del avión es 600 ft/s , sabemos que d x d t = 600 ft/s . No se nos da un valor explícito para s ; sin embargo, ya que estamos tratando de calcular d s d t cuando x = 3.000 ft , podemos utilizar el teorema de Pitágoras para determinar la distancia s cuando x = 3.000 y la altura es 4.000 ft . Resolviendo la ecuación 3.000 2 + 4.000 2 = s 2 para s , tenemos s = 5.000 ft en el tiempo de interés. Utilizando estos valores, concluimos que d s / d t es una solución de la ecuación ( 3.000 ) ( 600 ) = ( 5.000 ) . d s d t . Por lo tanto, d s d t = 3.000 . 600 5.000 = 360 ft/s . Nota : Al resolver problemas de tasas relacionadas, es importante no sustituir los valores de las variables demasiado pronto. Por ejemplo, en el paso 3, relacionamos las cantidades variables x ( t ) y s ( t ) por la ecuación [ x ( t ) ] 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Como el plano permanece a una altura constante, no es necesario introducir una variable para la altura, y se nos permite utilizar la constante 4000 para denotar esa cantidad. Sin embargo, las otras dos cantidades están cambiando. Si por error sustituimos x ( t ) = 3.000 en la ecuación antes de diferenciarla, nuestra ecuación habría sido 3.000 2 + 4.000 2 = [ s ( t ) ] 2 . Después de diferenciar, nuestra ecuación sería 0 = s ( t ) d s d t . Como resultado, concluiríamos incorrectamente que d s d t = 0 . ¿Cuál es la velocidad del avión si la distancia entre la persona y el avión aumenta a la tasa de 300 ft/s ? 500 ft/s Pista d s d t = 300 ft/s Volvemos ahora al problema del lanzamiento del cohete del principio del capítulo. Inicio del capítulo: El lanzamiento de un cohete (créditos: modificación del trabajo de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons). Se lanza un cohete para que se eleve verticalmente. Se coloca una cámara a 5.000 ft desde la plataforma de lanzamiento. Cuando el cohete está 1.000 ft sobre la plataforma de lanzamiento, su velocidad es 600 ft/s . Calcule la tasa de cambio necesaria del ángulo de la cámara en función del tiempo para que se mantenga enfocada en el cohete. Paso 1. Haga un dibujo introduciendo las variables. Se coloca una cámara a 5.000 ft de la plataforma de lanzamiento del cohete. La altura del cohete y el ángulo de la cámara cambian con respecto al tiempo. Denotamos esas cantidades con las variables h y θ , respectivamente. Supongamos que h denotan la altura del cohete sobre la plataforma de lanzamiento y θ sea el ángulo entre el objetivo de la cámara y el suelo. Paso 2. Estamos tratando de calcular la tasa de cambio en el ángulo de la cámara con respecto al tiempo cuando el cohete está a 1.000 ft del suelo. Es decir, tenemos que calcular d θ d t cuando h = 1.000 ft . En ese momento, sabemos que la velocidad del cohete es d h d t = 600 ft/s . Paso 3. Ahora tenemos que hallar una ecuación que relacione las dos cantidades que están cambiando con respecto al tiempo h y θ . ¿Cómo podemos crear esa ecuación? Partiendo del hecho de que hemos dibujado un triángulo rectángulo, es natural pensar en las funciones trigonométricas. Recordemos que tan θ es la relación entre la longitud del lado opuesto del triángulo y la longitud del lado adyacente. Por lo tanto, tenemos tan θ = h 5.000 . Esto nos da la ecuación h = 5.000 tan θ . Paso 4. Diferenciando esta ecuación con respecto al tiempo t , obtenemos d h d t = 5.000 sec 2 θ d θ d t . Paso 5. Supongamos que se desea calcular d θ d t cuando h = 1.000 ft . En este momento, sabemos que d h d t = 600 ft/s . Tenemos que determinar sec 2 θ . Recordemos que sec θ es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del lado adyacente. Sabemos que la longitud del lado adyacente es 5.000 ft . Para determinar la longitud de la hipotenusa, utilizamos el teorema de Pitágoras, donde la longitud de un cateto es 5.000 ft , la longitud del otro cateto es h = 1.000 ft , y la longitud de la hipotenusa es c pies como se muestra en la siguiente figura. Vemos que 1.000 2 + 5.000 2 = c 2 y concluimos que la hipotenusa es c = 1.000 26 ft . Por lo tanto, cuando h = 1.000 , tenemos sec 2 θ = ( 1.000 26 5.000 ) 2 = 26 25 . Recordemos que en el paso 4 la ecuación que relaciona d θ d t a nuestros valores conocidos es d h d t = 5.000 sec 2 θ d θ d t . Cuando h = 1.000 ft , sabemos que d h d t = 600 ft/s y sec 2 θ = 26 25 . Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, llegamos a la ecuación 600 = 5.000 ( 26 25 ) d θ d t . Por lo tanto, d θ d t = 3 26 rad/s . ¿Qué tasa de cambio es necesaria para el ángulo de elevación de la cámara si esta se coloca en el suelo a una distancia de 4.000 ft desde la plataforma de lanzamiento y la velocidad del cohete es de 500 ft/s cuando el cohete está a 2000 ft del suelo? 1 10 rad/s Pista Calcule d θ d t cuando h = 2000 ft . En ese tiempo, d h d t = 500 ft/s . En el siguiente ejemplo, consideramos el agua que sale de un embudo en forma de cono. Comparamos la tasa de disminución del nivel de agua en el cono con la tasa de disminución del volumen de agua. Drenaje de agua de un embudo El agua escurre por el fondo de un embudo en forma de cono a una tasa de 0,0 3 ft 3 /s . La altura del embudo es de 2 pies y el radio en la parte superior del embudo es 1 ft . ¿A qué tasa cambia la altura del agua en el embudo cuando la altura del agua es 1 2 ft ? Paso 1: Haga un dibujo introduciendo las variables. El agua sale de un embudo de 2 pies de altura y 1 pie de radio. La altura del agua y el radio del agua cambian con el tiempo. Denotamos estas cantidades con las variables h y r , respectivamente. Supongamos que h denota la altura del agua en el embudo, r denota el radio del agua en su superficie y V denota el volumen del agua. Paso 2: Tenemos que determinar d h d t cuando h = 1 2 ft . Sabemos que d V d t = −0,03 ft 3 /s . Paso 3: El volumen de agua en el cono es V = 1 3 π r 2 h . En la figura, vemos que tenemos triángulos similares. Por lo tanto, la relación de los lados de los dos triángulos es la misma. Por lo tanto, r h = 1 2 o r = h 2 . Utilizando este hecho, la ecuación del volumen puede simplificarse a V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h 3 . Paso 4: Aplicando la regla de la cadena y diferenciando ambos lados de esta ecuación con respecto al tiempo t , obtenemos d V d t = π 4 h 2 d h d t . Paso 5: Supongamos que se desea calcular d h d t cuando h = 1 2 ft . Como el agua sale a una tasa de 0,0 3 ft 3 /s , sabemos que d V d t = −0,03 ft 3 /s . Por lo tanto, −0,03 = π 4 ( 1 2 ) 2 d h d t , lo que implica −0,03 = π 16 d h d t . De ello se desprende que d h d t = − 0,48 π = −0,153 ft/s . ¿A qué tasa cambia la altura del agua cuando la altura del agua es 1 4 ft ? −0,61 ft/s Pista Debemos calcular d h d t cuando h = 1 4 . Conceptos clave Para resolver un problema de tasas relacionadas, primero haga un dibujo que ilustre la relación entre las dos o más cantidades relacionadas que están cambiando con respecto al tiempo. En cuanto a las cantidades, indique la información dada y la tasa que se debe encontrar. Halle una ecuación que relacione las cantidades. Utilice la diferenciación, aplicando la regla de la cadena si es necesario, para hallar una ecuación que relacione las tasas. Asegúrese de no sustituir una cantidad variable por una de las variables hasta después de hallar una ecuación que relacione las tasas. En los siguientes ejercicios, calcule las cantidades para la ecuación dada. Calcule d y d t en x = 1 y y = x 2 + 3 si d x d t = 4 . 8 Halle d x d t en x = −2 y y = 2 x 2 + 1 si d y d t = −1 . Halle d z d t en ( x , y ) = ( 1 , 3 ) y z 2 = x 2 + y 2 si d x d t = 4 y d y d t = 3 . ± 13 10 En los siguientes ejercicios, haga un dibujo de la situación si es necesario y utilice las tasas relacionadas para calcular las cantidades. [T] Si se conectan dos resistores eléctricos en paralelo, la resistencia total (medida en ohmios, denotada por la letra griega mayúscula omega, Ω ) está dada por la ecuación 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 . Si R 1 está aumentando a una tasa de 0,5 Ω / min y R 2 disminuye a una tasa de 1,1 Ω/min , ¿a qué tasa cambia la resistencia total cuando R 1 = 20 Ω y R 2 = 50 Ω ? Una escalera de 10 pies está apoyada en la pared. Si la parte superior de la escalera se desliza por la pared a una tasa de 2 ft/s, ¿a qué velocidad se mueve la parte inferior por el suelo cuando la parte inferior de la escalera está a 5 pies de la pared? 2 3 ft/s Una escalera de 25 pies está apoyada en una pared. Si empujamos la escalera hacia la pared a una velocidad de 1 ft/s, y la parte inferior de la escalera está inicialmente a 20 ft de distancia de la pared, ¿qué tan rápido se mueve la escalera por la pared 5 s después de empezar a empujar? Dos aviones están volando en el aire a la misma altura: el avión A está volando hacia el este a 250 mi/h y el avión B está volando hacia el norte a 300 mi/h . Si ambos se dirigen al mismo aeropuerto, situado a 30 millas al este del avión A y a 40 millas al norte del avión B , ¿a qué tasa cambia la distancia entre los aviones? La distancia disminuye a 390 mi/h . Usted y un amigo van en bicicleta a un restaurante que usted cree que está al este; su amigo cree que el restaurante está al norte. Ambos parten del mismo punto, usted circulando a 16 mph al este y su amigo circulando a 12 mph al norte. Después de desplazarse 4 mi, ¿a qué tasa cambia la distancia entre ustedes? Dos autobuses circulan por autopistas paralelas con una separación de 5 mi , uno hacia el este y el otro hacia el oeste. Asumiendo que cada bus conduce una velocidad constante de 55 mph, calcule la tasa a la que cambia la distancia entre los autobuses cuando tienen una separación de 13 mi y están dirigiéndose el uno hacia el otro. La distancia entre ellos se reduce a una tasa de 1320 13 ≈ 101,5 mph . Una persona de 6 pies de altura se aleja de un poste de luz de 10 pies a una tasa constante de 3 ft/s . ¿Cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja del poste cuando la persona está a 10 ft del poste? Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que la punta de la sombra se aleja de la persona cuando esta se encuentra a 10 pies del poste? 9 2 ft/s Una persona de 5 pies de altura camina hacia una pared a una velocidad de 2 ft/s. Un foco se sitúa en el suelo a 40 pies de la pared. ¿Qué tan rápido cambia la altura de la sombra de la persona en la pared cuando esta se encuentra a 10 pies de la misma? Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la sombra cuando la persona está a 10 pies de la pared, si la persona se aleja de la pared a una velocidad de 2 ft/s? Crece a una tasa de 4 9 ft/s Un helicóptero que comienza en el suelo se eleva directamente en el aire a una velocidad de 25 ft/s. Usted está corriendo en el suelo empezando directamente debajo del helicóptero a una tasa de 10 ft/s. Calcule la tasa de cambio de la distancia entre el helicóptero y usted después de 5 segundos. Utilizando el problema anterior, ¿cuál es la tasa a la que cambia la distancia entre usted y el helicóptero cuando este se ha elevado a una altura de 60 pies en el aire, suponiendo que, inicialmente, estaba a 30 pies por encima de usted? La distancia aumenta a una tasa de ( 135 26 ) 26 ft/s En los siguientes ejercicios, dibuje y marque diagramas para ayudar a resolver los problemas de tasas relacionadas. El lado de un cubo aumenta a una tasa de 1 2 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el volumen del cubo cuando el lado del cubo es de 4 m. El volumen de un cubo disminuye a una tasa de 10 m 3 /s. Calcule la tasa a la que cambia el lado del cubo cuando el lado del cubo es de 2 m. − 5 6 m/s El radio de un círculo aumenta a una tasa de 2 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el área del círculo cuando el radio es de 5 m. El radio de una esfera disminuye a una tasa de 3 m/s. Calcule la tasa a la que disminuye el área superficial cuando el radio es de 10 m. 240 π m 2 /s El radio de una esfera aumenta a una tasa de 1 m/s. Calcule la tasa a la que aumenta el volumen cuando el radio es 20 m. El radio de una esfera aumenta a una tasa de 9 cm/s. Calcule el radio de la esfera cuando el volumen y el radio de la esfera aumentan a la misma tasa numérica. 1 2 π cm La base de un triángulo disminuye a una tasa de 1 cm/min y la altura del triángulo aumenta a una tasa de 5 cm/min. Calcule la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando la altura es de 22 cm y la base de 10 cm. Un triángulo tiene dos lados constantes de longitud 3 pies y 5 pies. El ángulo entre estos dos lados aumenta a una tasa de 0,1 rad/s. Calcule la tasa a la que cambia el área del triángulo cuando el ángulo entre los dos lados es π / 6 . El área aumenta a una tasa de ( 3 3 ) 8 ft 2 /s. Un triángulo tiene una altura que aumenta a una tasa de 2 cm/s y su área aumenta a una tasa de 4 cm 2 /s. Calcule la tasa a la que cambia la base del triángulo cuando la altura del triángulo es de 4 cm y el área es de 20 cm 2 . En los siguientes ejercicios, considere un cono derecho que pierde agua. Las dimensiones del tanque cónico son una altura de 16 pies y un radio de 5 pies. ¿A qué tasa cambia la profundidad del agua cuando el agua está a 10 pies de altura si el cono pierde agua a una velocidad de 10 ft 3 /min? La profundidad del agua disminuye a una tasa de 128 125 π ft/min. Calcule la tasa a la que cambia el área superficial del agua cuando el agua está a 10 pies de altura si el cono pierde agua a una tasa de 10 ft 3 /min. Si el nivel del agua disminuye a una tasa de 3 in/min cuando la profundidad del agua es de 8 pies, determine la tasa a la que el agua se escapa del cono. El volumen disminuye a una tasa de ( 25 π ) 16 ft 3 /min . Un cilindro vertical pierde agua a una tasa de 1 ft 3 /s. Si el cilindro tiene una altura de 10 pies y un radio de 1 pie, ¿a qué tasa cambia la altura del agua cuando la altura es de 6 pies? Un cilindro tiene una fuga de agua, pero usted no puede determinar a qué tasa. El cilindro tiene una altura de 2 m y un radio de 2 m. Calcule la tasa de salida del agua del cilindro si la tasa de disminución de la altura es de 10 cm/min cuando la altura es de 1 m. El agua sale a una tasa de ( 2 π ) 5 m 3 /min. Un abrevadero tiene los extremos en forma de triángulo isósceles, con un ancho de 3 m y una altura de 4 m, y el abrevadero tiene una longitud de 10 m. El agua se bombea en el abrevadero a una tasa de 5 m 3 /min . ¿A qué tasa cambia la altura del agua cuando el agua tiene 1 m de profundidad? Un tanque tiene forma de pirámide cuadrada invertida, con una base de 4 m por 4 m y una altura de 12 m (vea la siguiente figura). ¿A qué tasa aumenta la altura cuando el agua tiene 2 m de profundidad si se bombea agua a una tasa de 2 3 m 3 /s? 3 2 m/s En los siguientes problemas, considere una piscina con forma de la mitad inferior de una esfera, que se está llenando a una tasa de 25 ft 3 /min. El radio de la piscina es de 10 pies. La fórmula del volumen de una semiesfera parcial es V = πh 6 ( 3 r 2 + h 2 ) donde h es la altura del agua y r es el radio del agua. Calcule la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando esta tiene una profundidad de 5 pies. Calcule la tasa a la que cambia la profundidad del agua cuando esta tiene una profundidad de 1 pie. 25 19 π ft/min Si la altura aumenta a una tasa de 1 in/min cuando la profundidad del agua es de 2 pies, calcule la tasa a la que se está bombeando el agua. Se está descargando grava de un camión y cae en un montón con forma de cono a una tasa de 10 ft 3 /min. El radio de la base del cono es tres veces la altura del mismo. Calcule la tasa a la que cambia la altura de la grava cuando el montón tiene una altura de 5 pies. 2 45 π ft/min Utilizando un planteamiento similar al del problema anterior, calcule la tasa a la que se descarga la grava si la pila tiene 5 pies de altura y la altura aumenta a una tasa de 4 in/min. En los siguientes ejercicios, dibuje las situaciones y resuelva los problemas de tasas relacionadas. Usted está inmóvil en el suelo y observa cómo un pájaro vuela horizontalmente a una velocidad de 10 m/s. El pájaro se encuentra a 40 m por encima de su cabeza. ¿A qué tasa cambia el ángulo de elevación cuando la distancia horizontal entre usted y el pájaro es de 9 m? El ángulo disminuye a una tasa de 400 1681 rad/s . Usted se coloca a 40 pies de un cohete de botella en el suelo y observa cómo despega verticalmente en el aire a una tasa de 20 ft/s. Calcule la tasa a la que cambia el ángulo de elevación cuando el cohete está a 30 pies en el aire. Un faro, L , se encuentra en una isla a 4 millas de distancia del punto más cercano, P , en la playa (vea la siguiente imagen). Si la luz del faro gira en el sentido de las agujas del reloj a una tasa constante de 10 revoluciones/min, ¿a qué tasa se desplaza el haz de luz por la playa a 2 millas del punto más cercano de la playa? 100 π mi/min Utilizando el mismo planteamiento que en el problema anterior, determine a qué tasa se desplaza el haz de luz a través de la playa a 1 milla de distancia del punto más cercano de la playa. Usted va caminando hacia una parada de autobús en una esquina en ángulo recto. Usted se mueve hacia el norte a una velocidad de 2 m/s y está a 20 metros al sur de la intersección. El autobús se desplaza hacia el oeste a una velocidad de 10 m/s alejándose de la intersección: ¡ha perdido el autobús! ¿Cuál es la tasa a la que cambia el ángulo entre usted y el autobús cuando usted está a 20 metros al sur de la intersección y el autobús está a 10 metros al oeste de la misma? El ángulo cambia a una tasa de 11 25 rad/s . En los siguientes ejercicios, consulte la figura del diamante de béisbol, que tiene lados de 90 pies. [T] Un bateador golpea una pelota hacia la tercera base a 75 ft/s y corre hacia la primera base a una tasa de 24 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la pelota y el bateador cuando han pasado 2 segundos? [T] Un bateador golpea una pelota hacia la segunda base a 80 ft/s y corre hacia la primera base a una tasa de 30 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre la pelota y el bateador cuando el corredor ha recorrido un tercio de la distancia hasta la primera base? ( Pista : Recordemos la ley de los cosenos). La distancia aumenta a una tasa de 62,50 ft/s. [T] Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 22 ft/s. ¿A qué tasa cambia la distancia entre el corredor y la segunda base cuando el corredor ha corrido 30 pies? [T] Los corredores comienzan en primera y segunda base. Cuando se batea la pelota, el corredor de la primera base corre a una velocidad de 18 ft/s hacia la segunda base y el corredor de la segunda base corre a una velocidad de 20 ft/s hacia la tercera base. ¿A qué tasa cambia la distancia entre los corredores 1 segundo después de que se golpee la pelota? La distancia disminuye a una tasa de 11,99 ft/s. tasas relacionadas son tasas de cambio asociadas a dos o más cantidades relacionadas que cambian con el tiempo", "section": "Tasas relacionadas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Aproximaciones lineales y diferenciales Acabamos de ver cómo las derivadas nos permiten comparar cantidades relacionadas que cambian con el tiempo. En esta sección, examinamos otra aplicación de las derivadas: la capacidad de aproximar funciones localmente mediante funciones lineales. Las funciones lineales son las más fáciles de trabajar, por lo que constituyen una herramienta útil para aproximar los valores de las funciones. Además, las ideas presentadas en esta sección se generalizan más adelante en el texto cuando estudiamos cómo aproximar funciones mediante polinomios de mayor grado Introducción a las series de potencias y funciones . Aproximación lineal de una función en un punto Considere una función f que es diferenciable en un punto x = a . Recordemos que la línea tangente al gráfico de f en a está dada por la ecuación y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 1 x en a = 2 . Dado que f es diferenciable en x = 2 y f ′ ( x ) = − 1 x 2 , vemos que f ′ ( 2 ) = − 1 4 . Por tanto, la línea tangente al gráfico de f en a = 2 está dada por la ecuación y = 1 2 – 1 4 ( x − 2 ) . (a) muestra un gráfico de f ( x ) = 1 x junto con la línea tangente a f en x = 2 . Tenga en cuenta que para x cerca de 2, el gráfico de la línea tangente se acerca al gráfico de f . Como resultado, podemos utilizar la ecuación de la línea tangente para aproximar f ( x ) para x cerca de 2. Por ejemplo, si x = 2,1 , la columna y del punto correspondiente en la línea tangente es y = 1 2 – 1 4 ( 2,1 − 2 ) = 0,475 . El valor real de f ( 2,1 ) está dada por f ( 2,1 ) = 1 2,1 ≈ 0,47619 . Por lo tanto, la línea tangente nos da una aproximación bastante buena de f ( 2,1 ) ( (b)). Sin embargo, hay que tener en cuenta que para los valores de x lejos de 2, la ecuación de la línea tangente no nos da una buena aproximación. Por ejemplo, si x = 10 , la columna y del punto correspondiente en la línea tangente es y = 1 2 – 1 4 ( 10 − 2 ) = 1 2 − 2 = −1,5 , mientras que el valor de la función en x = 10 es f ( 10 ) = 0,1 . (a) La línea tangente a f ( x ) = 1 / x en x = 2 proporciona una buena aproximación a f para x cerca de 2. (b) En x = 2,1 , el valor de y en la línea tangente a f ( x ) = 1 / x es 0,475. El valor real de f ( 2,1 ) es 1 / 2,1 , que es aproximadamente 0,47619. En general, para una función diferenciable f , la ecuación de la línea tangente a f en x = a se puede utilizar para aproximar f ( x ) para x cerca de a . Por lo tanto, podemos escribir f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) para x cerca de a . Llamamos función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) a la aproximación lineal , o aproximación de la línea tangente , de f en x = a . Esta función L también se conoce como la linealización de f en x = a . Para mostrar lo útil que puede ser la aproximación lineal, veremos cómo encontrar la aproximación lineal para f ( x ) = x en x = 9 . Aproximación lineal de x Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = x en x = 9 y utilice la aproximación para estimar 9,1 . Dado que buscamos la aproximación lineal a x = 9 , utilizando la sabemos que la aproximación lineal está dada por L ( x ) = f ( 9 ) + f ′ ( 9 ) ( x − 9 ) . Debemos hallar f ( 9 ) y f ′ ( 9 ) . f ( x ) = x ⇒ f ( 9 ) = 9 = 3 f ′ ( x ) = 1 2 x ⇒ f ′ ( 9 ) = 1 2 9 = 1 6 Por tanto, la aproximación lineal está dada por la . L ( x ) = 3 + 1 6 ( x − 9 ) Utilizando la aproximación lineal, podemos estimar 9,1 escribiendo 9,1 = f ( 9,1 ) ≈ L ( 9,1 ) = 3 + 1 6 ( 9,1 − 9 ) ≈ 3,0167 . La aproximación lineal local a f ( x ) = x en x = 9 proporciona una aproximación a f para x cerca de 9. Análisis Utilizando una calculadora, el valor de 9,1 con cuatro decimales es 3,0166. El valor dado por la aproximación lineal, 3,0167, es muy cercano al valor obtenido con la calculadora, por lo que parece que utilizar esta aproximación lineal es una buena forma de estimar x , al menos para x cerca de 9 . Al mismo tiempo, puede parecer extraño utilizar una aproximación lineal cuando podemos simplemente pulsar unos cuantos botones en una calculadora para evaluar 9,1 . Sin embargo, ¿cómo evalúa la calculadora 9,1 ? ¡La calculadora utiliza una aproximación! De hecho, las calculadoras y las computadoras utilizan aproximaciones todo el tiempo para evaluar expresiones matemáticas; solo que utilizan aproximaciones de mayor grado. Calcule la aproximación lineal local a f ( x ) = x 3 en x = 8 . Utilícela para aproximar 8,1 3 con cinco decimales. L ( x ) = 2 + 1 12 ( x − 8 ) ; 2,00833 Pista L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Aproximación lineal de sen x Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = sen x en x = π 3 y utilícela para aproximar sen ( 62 ° ) . En primer lugar, observamos que, dado que π 3 rad equivale a 60 ° , utilizando la aproximación lineal a x = π / 3 parece razonable. La aproximación lineal está dada por L ( x ) = f ( π 3 ) + f ′ ( π 3 ) ( x − π 3 ) . Vemos que f ( x ) = sen x ⇒ f ( π 3 ) = sen ( π 3 ) = 3 2 f ′ ( x ) = cos x ⇒ f ′ ( π 3 ) = cos ( π 3 ) = 1 2 Por lo tanto, la aproximación lineal de f en x = π / 3 está dada por la . L ( x ) = 3 2 + 1 2 ( x − π 3 ) Para estimar sen ( 62 ° ) utilizando L , primero debemos convertir 62 ° a radianes. Tenemos 62 ° = 62 π 180 radianes, por lo que la estimación de sen ( 62 ° ) está dada por sen ( 62 ° ) = f ( 62 π 180 ) ≈ L ( 62 π 180 ) = 3 2 + 1 2 ( 62 π 180 − π 3 ) = 3 2 + 1 2 ( 2 π 180 ) = 3 2 + π 180 ≈ 0,88348 . La aproximación lineal a f ( x ) = sen x en x = π / 3 proporciona una aproximación a sen x para x cerca de π / 3 . Calcule la aproximación lineal para f ( x ) = cos x en x = π 2 . L ( x ) = − x + π 2 Pista L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar raíces y potencias. En el siguiente ejemplo, calculamos la aproximación lineal para f ( x ) = ( 1 + x ) n en x = 0 , que puede utilizarse para estimar raíces y potencias para números reales cercanos a 1. La misma idea puede extenderse a una función de la forma f ( x ) = ( m + x ) n para estimar raíces y potencias cerca de un número diferente m . Aproximación de raíces y potencias Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = ( 1 + x ) n en x = 0 . Utilice esta aproximación para estimar ( 1,01 ) 3 . La aproximación lineal a x = 0 está dada por L ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) . Dado que f ( x ) = ( 1 + x ) n ⇒ f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = n ( 1 + x ) n – 1 ⇒ f ′ ( 0 ) = n , la aproximación lineal está dada por la (a). L ( x ) = 1 + n ( x − 0 ) = 1 + n x Podemos aproximar ( 1,01 ) 3 evaluando L ( 0,01 ) cuando n n = 3 . Concluimos que ( 1,01 ) 3 = f ( 1,01 ) ≈ L ( 1,01 ) = 1 + 3 ( 0,01 ) = 1,03 . (a) La aproximación lineal de f ( x ) en x = 0 es L ( x ) . (b) El valor real de 1,01 3 es 1,030301. La aproximación lineal de f ( x ) en x = 0 estima que 1,01 3 sea 1,03. Calcule la aproximación lineal de f ( x ) = ( 1 + x ) 4 en x = 0 sin utilizar el resultado del ejemplo anterior. L ( x ) = 1 + 4 x Pista f ′ ( x ) = 4 ( 1 + x ) 3 Diferenciales Hemos visto que se pueden utilizar aproximaciones lineales para estimar los valores de las funciones. También pueden utilizarse para estimar la cantidad de cambios en el valor de una función como resultado de un pequeño cambio en la entrada. Para discutir esto más formalmente, definimos un concepto relacionado: los diferenciales . Los diferenciales nos proporcionan una forma de estimar la cantidad que cambia una función como resultado de un pequeño cambio en los valores de entrada. La primera vez que vimos las derivadas, utilizamos la notación de Leibniz d y / d x para representar la derivada de y con respecto a x . Aunque utilizamos las expresiones dy y dx en esta notación, no tienen significado por sí mismas. Aquí vemos el significado de las expresiones dy y dx . Supongamos que y = f ( x ) es una función diferenciable. Supongamos que dx es una variable independiente a la que se le puede asignar cualquier número real distinto de cero y defina la variable dependiente d y mediante d y = f ′ ( x ) d x . Es importante tener en cuenta que d y es una función de ambas x y d x . Las expresiones dy y dx se llaman diferenciales . Podemos dividir ambos lados de la entre d x , que da como resultado d y d x = f ′ ( x ) . Esta es la expresión familiar que hemos utilizado para denotar una derivada. La se conoce como la forma diferencial de la . Cálculo de los diferenciales Para cada una de las siguientes funciones, calcule dy y evalúe cuando x = 3 y d x = 0,1 . y = x 2 + 2 x y = cos x El paso clave es el cálculo de la derivada. Cuando tengamos eso, podremos obtener dy directamente. Dado que f ( x ) = x 2 + 2 x , sabemos que f ′ ( x ) = 2 x + 2 , y por lo tanto d y = ( 2 x + 2 ) d x . Cuando x = 3 y d x = 0,1 , d y = ( 2 . 3 + 2 ) ( 0,1 ) = 0,8 . Dado que f ( x ) = cos x , f ′ ( x ) = − sen ( x ) . Esto nos da d y = − sen x d x . Cuando x = 3 y d x = 0,1 , d y = − sen ( 3 ) ( 0,1 ) = −0,1 sen ( 3 ) . Para y = e x 2 , calcule d y . d y = 2 x e x 2 d x Pista d y = f ′ ( x ) d x Ahora conectamos los diferenciales con las aproximaciones lineales. Los diferenciales pueden utilizarse para estimar el cambio en el valor de una función resultante de un pequeño cambio en los valores de entrada. Considere una función f que es diferenciable en el punto a . Supongamos que la entrada x cambia por una pequeña cantidad. Nos interesa saber en qué medida la salida y cambia. Si los valores de x cambia de a a a + d x , entonces el cambio en x es d x (también denominado Δ x ) , y el cambio en y está dada por Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . En vez de calcular el cambio exacto en y , sin embargo, a menudo es más fácil aproximar el cambio en y utilizando una aproximación lineal. Para x cerca de a , f ( x ) se puede aproximar mediante la aproximación lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Por lo tanto, si d x es pequeña, f ( a + d x ) ≈ L ( a + d x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( a + d x – a ) . Eso es, f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x . En otras palabras, el cambio real de la función f si x aumenta de a a a + d x es aproximadamente la diferencia entre L ( a + d x ) y f ( a ) , donde L ( x ) es la aproximación lineal de f en a . Por definición de L ( x ) , esta diferencia es igual a f ′ ( a ) d x . En resumen, Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) ≈ L ( a + d x ) − f ( a ) = f ′ ( a ) d x = d y . Por lo tanto, podemos utilizar el diferencial d y = f ′ ( a ) d x para aproximar el cambio en y si x aumenta de x = a a x = a + d x . Podemos verlo en el siguiente gráfico. El diferencial d y = f ′ ( a ) d x se utiliza para aproximar el cambio real en y si x aumenta de a a a + d x . Ahora veremos cómo utilizar los diferenciales para aproximar el cambio en el valor de la función que resulta de un pequeño cambio en el valor de la entrada. Observe que el cálculo con diferenciales es mucho más sencillo que el cálculo de los valores reales de las funciones y el resultado se aproxima mucho a lo que obtendríamos con el cálculo más exacto. Aproximación del cambio con diferenciales Supongamos que y = x 2 + 2 x . Calcule Δ y y dy en x = 3 si d x = 0,1 . El cambio real en y si x cambia de x = 3 a x = 3,1 está dada por Δ y = f ( 3,1 ) − f ( 3 ) = [ ( 3,1 ) 2 + 2 ( 3,1 ) ] − [ 3 2 + 2 ( 3 ) ] = 0,81 . El cambio aproximado en y está dado por d y = f ′ ( 3 ) d x . Dado que f ′ ( x ) = 2 x + 2 , tenemos d y = f ′ ( 3 ) d x = ( 2 ( 3 ) + 2 ) ( 0,1 ) = 0,8 . Para y = x 2 + 2 x , calcule Δ y y d y en x = 3 si d x = 0,2 . d y = 1,6 , Δ y = 1,64 Pista d y = f ′ ( 3 ) d x , Δ y = f ( 3,2 ) − f ( 3 ) Cálculo del grado de error Cualquier tipo de medición es propensa a un cierto grado de error. En muchas aplicaciones, ciertas cantidades se calculan a partir de mediciones. Por ejemplo, el área de un círculo se calcula midiendo el radio del mismo. Un error en la medición del radio conduce a un error en el valor calculado del área. Aquí examinamos este tipo de error y estudiamos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error. Considere una función f con una entrada que es una cantidad medida. Supongamos que el valor exacto de la cantidad medida es a , pero el valor medido es a + d x . Decimos que el error de medición es dx (o Δ x ) . Como resultado, se produce un error en la cantidad calculada f ( x ) . Este tipo de error se conoce como error propagado y está dado por Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . Dado que todas las mediciones están sujetas a cierto grado de error, no conocemos el valor exacto de una cantidad medida, por lo que no podemos calcular el error propagado con exactitud. Sin embargo, dada una estimación de la exactitud de una medición, podemos utilizar diferenciales para aproximar el error propagado Δ y . En concreto, si f es una función diferenciable en a , el error propagado es Δ y ≈ d y = f ′ ( a ) d x . Lamentablemente, no conocemos el valor exacto a . Sin embargo, podemos utilizar el valor medido a + d x , y estimar Δ y ≈ d y ≈ f ′ ( a + d x ) d x . En el siguiente ejemplo, veremos cómo se pueden utilizar los diferenciales para estimar el error en el cálculo del volumen de una caja si suponemos que la medición de la longitud del lado se hace con cierta exactitud. Volumen de un cubo Supongamos que la longitud lateral de un cubo se mide en 5 cm con una exactitud de 0,1 cm. Utilice los diferenciales para estimar el error en el volumen calculado del cubo. Calcule el volumen del cubo si la longitud del lado es (i) 4,9 cm y (ii) 5,1 cm para comparar el error estimado con el posible error real. La medición de la longitud del lado tiene una exactitud de ± 0,1 cm. Por lo tanto, −0,1 ≤ d x ≤ 0,1 . El volumen de un cubo está dado por V = x 3 , que lleva a d V = 3 x 2 d x . Utilizando la longitud del lado medida de 5 cm, podemos estimar que −3 ( 5 ) 2 ( 0,1 ) ≤ d V ≤ 3 ( 5 ) 2 ( 0,1 ) . Por lo tanto, −7,5 ≤ d V ≤ 7,5 . Si la longitud del lado es realmente de 4,9 cm, entonces el volumen del cubo es V ( 4,9 ) = ( 4,9 ) 3 = 117,649 cm 3 . Si la longitud del lado es realmente de 5,1 cm, entonces el volumen del cubo es V ( 5,1 ) = ( 5,1 ) 3 = 132,651 cm 3 . Por lo tanto, el volumen real del cubo está entre 117,649 y 132,651. Como la longitud del lado se mide en 5 cm, el volumen calculado es V ( 5 ) = 5 3 = 125 . Por lo tanto, el error en el volumen calculado es 117,649 − 125 ≤ Δ V ≤ 132,651 − 125 . Eso es, −7,351 ≤ Δ V ≤ 7,651 . Vemos que el error estimado d V está relativamente cerca del posible error real en el volumen calculado. Estime el error en el volumen calculado de un cubo si la longitud del lado se mide en 6 cm con una exactitud de 0,2 cm. La medición del volumen tiene una exactitud de 21,6 cm 3 . Pista d V = 3 x 2 d x El error de medición dx ( =Δ x ) y el error propagado Δ y son errores absolutos. Normalmente nos interesa el tamaño de un error en relación con el tamaño de la cantidad que se mide o calcula. Dado un error absoluto Δ q para una determinada cantidad, definimos el error relativo como Δ q q , donde q es el valor real de la cantidad. El error porcentual es el error relativo expresado en porcentaje. Por ejemplo, si medimos que la altura de una escalera es de 63 pulgadas cuando la altura real es de 62 pulgadas, el error absoluto es de 1 pulgada pero el error relativo es de 1 62 = 0,016 , o 1,6 % . En comparación, si medimos el ancho de un trozo de cartón como 8,25 in cuando el ancho real es de 8 in, nuestro error absoluto es 1 4 in, mientras que el error relativo es 0,25 8 = 1 32 , o 3,1 % . Por lo tanto, el error porcentual en la medición del cartón es mayor, aunque 0,25 in es menos que 1 in. Error relativo y porcentual Un astronauta que utiliza una cámara mide el radio de la Tierra como 4.000 mi con un error de ± 80 mi. Utilicemos los diferenciales para estimar el error relativo y porcentual de utilizar esta medida del radio para calcular el volumen de la Tierra, suponiendo que el planeta es una esfera perfecta. Si la medición del radio es exacta con una exactitud de ± 80 , tenemos −80 ≤ d r ≤ 80 . Como el volumen de una esfera está dado por V = ( 4 3 ) π r 3 , tenemos d V = 4 π r 2 d r . Usando el radio medido de 4.000 millas, podemos estimar −4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) ≤ d V ≤ 4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) . Para estimar el error relativo, considere d V V . Como no conocemos el valor exacto del volumen V , utilice el radio medido r = 4.000 mi para estimar V . Obtenemos V ≈ ( 4 3 ) π ( 4,000 ) 3 . Por lo tanto, el error relativo satisface −4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4,000 ) 3 / 3 ≤ d V V ≤ 4 π ( 4,000 ) 2 ( 80 ) 4 π ( 4,000 ) 3 / 3 , que se simplifica a −0,06 ≤ d V V ≤ 0,06 . El error relativo es de 0,06 y el error porcentual es de 6 % . Determine el error porcentual si el radio de la Tierra se mide como 3.950 mi con un error de ± 100 mi. 7,6 % Pista Utilice el hecho de que d V = 4 π r 2 d r para calcular d V / V . Conceptos clave Una función diferenciable y = f ( x ) se puede aproximar a a mediante la función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Para una función y = f ( x ) , si x cambia de a a a + d x , entonces d y = f ′ ( x ) d x es una aproximación al cambio en y . El cambio real en y es Δ y = f ( a + d x ) − f ( a ) . Un error de medición d x puede provocar un error en una cantidad calculada f ( x ) . El error en la cantidad calculada se conoce como error propagado . El error propagado puede estimarse mediante d y ≈ f ′ ( x ) d x . Para estimar el error relativo de una determinada cantidad q , estimamos Δ q q . Ecuaciones clave Aproximación lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) Un diferencial d y = f ′ ( x ) d x . Cuál es la aproximación lineal para cualquier función lineal genérica y = m x + b ? Determine las condiciones necesarias para que la función de aproximación lineal sea constante. Utilice un gráfico para demostrar su resultado. f ′ ( a ) = 0 Explique por qué la aproximación lineal es menos precisa a medida que aumenta la distancia entre x y a . Utilice un gráfico para demostrar su argumento. ¿Cuándo es exacta la aproximación lineal? La aproximación lineal es exacta cuando y = f ( x ) es lineal o constante. En los siguientes ejercicios, calcule la aproximación lineal L ( x ) a y = f ( x ) cerca de x = a para la función. f ( x ) = x + x 4 , a = 0 f ( x ) = 1 x , a = 2 L ( x ) = 1 2 – 1 4 ( x − 2 ) grandes. f ( x ) = tan x , a = π 4 f ( x ) = sen x , a = π 2 L ( x ) = 1 f ( x ) = x sen x , a = 2 π f ( x ) = sen 2 x , a = 0 L ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, calcule los valores dados dentro de 0,01 decidiendo la f ( x ) y a adecuados, y evaluando L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Compruebe su respuesta con una calculadora. [T] ( 2,001 ) 6 [T] sen ( 0,02 ) 0,02 [T] cos ( 0,03 ) [T] ( 15,99 ) 1 / 4 1,9996875 [T] 1 0,98 [T] sen ( 3,14 ) grandes. 0,001593 En los siguientes ejercicios, determine f ( x ) y a , y evalúe L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) . Calcule el error numérico en las siguientes aproximaciones lineales. [T] ( 1,01 ) 3 [T] cos ( 0,01 ) grandes. 1 ; error, ~0,00005 [T] ( sen ( 0,01 ) ) 2 [T] ( 1,01 ) −3 0,97 ; error, ~0,0006 [T] ( 1 + 1 10 ) 10 [T] 8,99 3 − 1 600 ; error, ~4,632 × 10 −7 En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial de la función. y = 3 x 4 + x 2 − 2 x + 1 y = x cos x d y = ( cos x – x sen x ) d x y = 1 + x y = x 2 + 2 x – 1 d y = ( x 2 − 2 x − 2 ( x – 1 ) 2 ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el diferencial y evalúe para x y d x . y = 3 x 2 − x + 6 , x = 2 , d x = 0,1 y = 1 x + 1 , x = 1 , d x = 0,25 d y = − 1 ( x + 1 ) 2 d x , − 1 16 y = tan x , x = 0 , d x = π 10 y = 3 x 2 + 2 x + 1 , x = 0 , d x = 0,1 d y = 9 x 2 + 12 x − 2 2 ( x + 1 ) 3 / 2 d x , −0,1 y = sen ( 2 x ) x , x = π , d x = 0,25 y = x 3 + 2 x + 1 x , x = 1 , d x = 0,05 d y = ( 3 x 2 + 2 – 1 x 2 ) d x , 0,2 En los siguientes ejercicios, calcule el cambio de volumen d V o en área superficial d A . d V si los lados de un cubo cambian de 10 a 10,1. d A si los lados de un cubo cambian de x a x + d x . 12 x d x d A si el radio de una esfera cambia de r mediante d r . d V si el radio de una esfera cambia de r mediante d r . 4 π r 2 d r d V si un cilindro circular con r = 2 cambia la altura de 3 cm a 3,05 cm . d V si un cilindro circular de altura 3 pasa de r = 2 a r = 1,9 cm . −1,2 π cm 3 En los siguientes ejercicios, utilice los diferenciales para estimar el error máximo y relativo al calcular el área superficial o el volumen. Se mide que el radio de una pelota de golf esférica es de 5 mm , con un posible error de medición de 0,1 mm . ¿Cuál es el cambio posible de volumen? Una piscina tiene una base rectangular de 10 pies por 20 pies y una profundidad de 6 pies. ¿Cuál es el cambio de volumen si solo se llena hasta 5,5 pies? −100 ft 3 Un cono de helado tiene una altura de 4 pulgadas y un radio de 1 pulgada. Si el cono tiene un grosor de 0,1 pulgadas, ¿cuál es la diferencia entre el volumen del cono, incluida la cáscara, y el volumen del helado que puede caber dentro de la cáscara? En los siguientes ejercicios, confirme las aproximaciones utilizando la aproximación lineal en x = 0 . 1 − x ≈ 1 − 1 2 x 1 1 − x 2 ≈ 1 c 2 + x 2 ≈ c diferencial el diferencial d x es una variable independiente a la que se puede asignar cualquier número real distinto de cero; el diferencial d y se define como d y = f ′ ( x ) d x forma diferencial dada una función diferenciable y = f ′ ( x ) , la ecuación d y = f ′ ( x ) d x es la forma diferencial de la derivada de y con respecto a x aproximación lineal la función lineal L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) es la aproximación lineal de f en x = a error porcentual el error relativo expresado en porcentaje error propagado el error que resulta de una cantidad calculada f ( x ) resultante de un error de medición dx error relativo dado un error absoluto Δ q para una cantidad determinada, Δ q q es el error relativo. aproximación de la línea tangente (linealización) ya que la aproximación lineal de f en x = a se define mediante la ecuación de la línea tangente, la aproximación lineal de f en x = a también se conoce como la aproximación de la línea tangente a f en x = a", "section": "Aproximaciones lineales y diferenciales", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Máximos y mínimos Dada una función concreta, con frecuencia nos interesa determinar los valores más grandes y más pequeños de la función. Esta información es importante para crear gráficos precisos. Encontrar los valores máximos y mínimos de una función también tiene importancia práctica porque podemos utilizar este método para resolver problemas de optimización, como maximizar el beneficio, minimizar la cantidad de material utilizado en la fabricación de una lata de aluminio o encontrar la altura máxima que puede alcanzar un cohete. En esta sección, veremos cómo utilizar las derivadas para encontrar los valores mayores y menores de una función. Extremos absolutos Considere la función f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ . Por lo tanto, la función no tiene un mayor valor. Sin embargo, como x 2 + 1 ≥ 1 para todos los números reales x y x 2 + 1 = 1 cuando x = 0 , la función tiene un valor mínimo, 1, cuando x = 0 . Decimos que 1 es el mínimo absoluto de f ( x ) = x 2 + 1 y se produce en x = 0 . Decimos que f ( x ) = x 2 + 1 no tiene un máximo absoluto (vea la siguiente figura). La función dada tiene un mínimo absoluto de 1 en x = 0 . La función no tiene un máximo absoluto. Definición Supongamos que f es una función definida en un intervalo I y supongamos que c ∈ I . Decimos f tiene un máximo absoluto en I a las c si f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Decimos f tiene un mínimo absoluto en I a las c si f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I . Si f tiene un máximo absoluto en I a las c o un mínimo absoluto en I a las c , decimos f tiene un extremo absoluto en I a las c . Antes de continuar, señalemos dos cuestiones importantes con respecto a esta definición. En primer lugar, el término absoluto aquí no se refiere al valor absoluto. Un extremo absoluto puede ser positivo, negativo o cero. En segundo lugar, si una función f tiene un extremo absoluto en un intervalo I a las c , el extremo absoluto es f ( c ) . El número real c es un punto del dominio en el que se produce el extremo absoluto. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 1 / ( x 2 + 1 ) en el intervalo ( − ∞ , ∞ ) . Dado que f ( 0 ) = 1 ≥ 1 x 2 + 1 = f ( x ) para todos los números reales x , decimos f tiene un máximo absoluto sobre ( − ∞ , ∞ ) en x = 0 . El máximo absoluto es f ( 0 ) = 1 . Se produce en x = 0 , como se muestra en la (b). Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, solo un extremo, o ninguno. La muestra varias funciones y algunas de las distintas posibilidades con respecto a los extremos absolutos. Sin embargo, el siguiente teorema, llamado teorema del valor extremo , garantiza que una función continua f en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] tiene un máximo y un mínimo absolutos. Los gráficos (a), (b) y (c) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio de ( − ∞ , ∞ ) . Los gráficos (d), (e) y (f) muestran varias posibilidades de extremos absolutos para funciones con un dominio que es un intervalo acotado. Teorema del valor extremo Si los valores de f es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ a , b ] , entonces hay un punto en [ a , b ] en los que f tiene un máximo absoluto sobre [ a , b ] y hay un punto en [ a , b ] en los que f tiene un mínimo absoluto en [ a , b ] . La demostración del teorema del valor extremo está fuera del alcance de este texto. Normalmente, se demuestra en un curso de análisis real. Hay un par de puntos clave a tener en cuenta sobre el enunciado de este teorema. Para que se aplique el teorema del valor extremo, la función debe ser continua en un intervalo cerrado y acotado. Si el intervalo I es abierto o la función tiene incluso un punto de discontinuidad, la función no puede tener un máximo absoluto o un mínimo absoluto en I . Por ejemplo, considere las funciones mostradas en la (d), (e) y (f). Estas tres funciones están definidas en intervalos acotados. Sin embargo, la función del gráfico (e) es la única que tiene tanto un máximo como un mínimo absoluto en su dominio. El teorema del valor extremo no puede aplicarse a las funciones de los gráficos (d) y (f) porque ninguna de estas funciones es continua en un intervalo cerrado y acotado. Aunque la función del gráfico (d) está definida en el intervalo cerrado [ 0 , 4 ] , la función es discontinua en x = 2 . La función tiene un máximo absoluto en [ 0 , 4 ] pero no tiene un mínimo absoluto. La función en el gráfico (f) es continua en el intervalo semiabierto [ 0 , 2 ) , pero no se define en x = 2 , y, por tanto, no es continua en un intervalo cerrado y acotado. La función tiene un mínimo absoluto en [ 0 , 2 ) , pero no tiene un máximo absoluto en [ 0 , 2 ) . Estos dos gráficos ilustran por qué una función en un intervalo acotado puede no tener un máximo o un mínimo absoluto. Antes de ver cómo encontrar los extremos absolutos, vamos a examinar el concepto relacionado de extremos locales. Esta idea es útil para determinar dónde se producen los extremos absolutos. Extremos locales y puntos críticos Considere la función f se muestra en la . El gráfico puede describirse como dos montañas con un valle en el centro. El valor máximo absoluto de la función se produce en el pico más alto, en x = 2 . Sin embargo, el que x = 0 es también un punto de interés. Aunque f ( 0 ) no es el mayor valor de f , el valor f ( 0 ) es mayor que f ( x ) para todo x cerca de 0. Decimos que f tiene un máximo local en x = 0 . Del mismo modo, la función f no tiene un mínimo absoluto, pero sí un mínimo local en x = 1 porque f ( 1 ) es menor que f ( x ) para x cerca de 1. Esta función f tiene dos máximos y un mínimo locales. El máximo local en x = 2 es también el máximo absoluto. Definición Una función f tiene un máximo local en c si existe un intervalo abierto I que contiene c de manera que I está contenida en el dominio de f como f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Una función f tiene un mínimo local en c si existe un intervalo abierto I que contiene c de manera que I está contenida en el dominio de f como f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I . Una función f tiene un extremo local en c si f tiene un máximo local en c o f tiene un mínimo local en c . Observe que si f tiene un extremo absoluto en c como f se define en un intervalo que contiene c , entonces f ( c ) también se considera un extremo local. Si un extremo absoluto de una función f se produce en un punto extremo, no lo consideramos un extremo local, sino que nos referimos a él como un extremo final. Dado el gráfico de una función f , a veces es fácil ver dónde se produce un máximo o un mínimo local. Sin embargo, no siempre es fácil de ver, ya que las características interesantes del gráfico de una función pueden no ser visibles porque se producen a una escala muy pequeña. Además, es posible que no tengamos un gráfico de la función. En estos casos, ¿cómo podemos utilizar la fórmula de una función para determinar dónde se producen estos extremos? Para responder esta pregunta, veamos de nuevo la . Los extremos locales se producen en x = 0 , x = 1 , y x = 2 . Observe que en x = 0 y x = 1 , la derivada f ′ ( x ) = 0 . A x = 2 , la derivada f ′ ( x ) no existe, ya que la función f tiene una esquina allí. De hecho, si f tiene un extremo local en un punto x = c , la derivada f ′ ( c ) debe cumplir una de las siguientes condiciones: o bien f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Este valor c se conoce como punto crítico y es importante para encontrar los valores extremos de las funciones. Definición Supongamos que c es un punto interior en el dominio de f . Decimos que c es un número crítico de f si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Llamamos al punto ( c , f ( c ) ) un punto crítico de f . Tenga en cuenta que estos dos términos se utilizan, a menudo, indistintamente en este libro de texto y en otros. Como se mencionó anteriormente, si f tiene un extremo local en un punto x = c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Este hecho se conoce como el teorema de Fermat . Teorema de Fermat Si los valores de f tiene un extremo local en c como f es diferenciable en c , entonces f ′ ( c ) = 0 . Prueba Supongamos que f tiene un extremo local en c como f es diferenciable en c . Tenemos que demostrar que f ′ ( c ) = 0 . Para ello, demostraremos que f ′ ( c ) ≥ 0 y f ′ ( c ) ≤ 0 , y por lo tanto f ′ ( c ) = 0 . Dado que f tiene un extremo local en c , f tiene un máximo o un mínimo local en c . Supongamos que f tiene un máximo local en c . El caso en el que f tiene un mínimo local en c se puede manejar de manera similar. Existe entonces un intervalo abierto I de manera que f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I . Dado que f es diferenciable en c , de la definición de la derivada, sabemos que f ′ ( c ) = lím x → c f ( x ) − f ( c ) x − c . Como este límite existe, los dos límites unilaterales también existen y son iguales f ′ ( c ) . Por lo tanto, f ′ ( c ) = lím x → c + f ( x ) − f ( c ) x − c , y f ′ ( c ) = lím x → c − f ( x ) − f ( c ) x − c . Dado que f ( c ) es un máximo local, vemos que f ( x ) − f ( c ) ≤ 0 por x cerca de c . Por lo tanto, para x cerca de c , pero x > c , tenemos f ( x ) − f ( c ) x − c ≤ 0 . De la concluimos que f ′ ( c ) ≤ 0 . Del mismo modo, se puede demostrar que f ′ ( c ) ≥ 0 . Por lo tanto, f ′ ( c ) = 0 . □ Del teorema de Fermat, concluimos que si f tiene un extremo local en c , entonces f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. En otras palabras, los extremos locales solo pueden ocurrir en los puntos críticos. Note que este teorema no afirma que una función f debe tener un extremo local en un punto crítico. Más bien, afirma que los puntos críticos son candidatos a extremos locales. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 . Tenemos f ′ ( x ) = 3 x 2 = 0 cuando x = 0 . Por lo tanto, x = 0 es un punto crítico. Sin embargo, f ( x ) = x 3 aumenta en ( − ∞ , ∞ ) , y por lo tanto f no tienen un extremo local en x = 0 . En la , vemos varias posibilidades de puntos críticos. En algunos de estos casos, las funciones tienen extremos locales en los puntos críticos, pero en otros casos no los tienen. Note que estos gráficos no muestran todas las posibilidades de comportamiento de una función en un punto crítico. (a-e) Una función f tiene un punto crítico en c si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Una función puede tener o no un extremo local en un punto crítico. Más adelante en este capítulo veremos métodos analíticos para determinar si realmente una función tiene un extremo local en un punto crítico. Por ahora, vamos a centrarnos en la búsqueda de puntos críticos. Utilizaremos observaciones gráficas para determinar si un punto crítico está asociado a un extremo local. Localización de puntos críticos En cada una de las siguientes funciones, halle todos los puntos críticos. Utilice una herramienta gráfica para determinar si la función tiene un extremo local en cada uno de los puntos críticos. f ( x ) = 1 3 x 3 − 5 2 x 2 + 4 x f ( x ) = ( x 2 – 1 ) 3 f ( x ) = 4 x 1 + x 2 La derivada f ′ ( x ) = x 2 − 5 x + 4 se define para todos los números reales x . Por lo tanto, solo tenemos que hallar los valores de x donde f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = x 2 − 5 x + 4 = ( x − 4 ) ( x – 1 ) , los puntos críticos son x = 1 y x = 4 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = 4 . Esta función tiene un máximo y un mínimo local. Utilizando la regla de la cadena, vemos que la derivada es f ′ ( x ) = 3 ( x 2 – 1 ) 2 ( 2 x ) = 6 x ( x 2 – 1 ) 2 . Por lo tanto, f tiene puntos críticos cuando x = 0 y cuando x 2 – 1 = 0 . Concluimos que los puntos críticos son x = 0 , ±1, 1 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un mínimo local (y absoluto) en x = 0 , pero no tiene un extremo local en x = 1 o x = −1 . Esta función tiene tres puntos críticos: x = 0 , x = 1 , y x = −1 . La función tiene un mínimo local (y absoluto) en x = 0 , pero no tiene extremos en los otros dos puntos críticos. Según la regla del cociente, vemos que la derivada es f ' ( x ) = ( 1 + x 2 ) ( 4 ) − 4 x ( 2 x ) ( 1 + x 2 ) 2 = 4 − 4 x 2 ( 1 + x 2 ) 2 . La derivada está definida en todas partes. Por lo tanto, solo tenemos que encontrar valores para x donde f ′ ( x ) = 0 . Resolución de problemas f ′ ( x ) = 0 , vemos que 4 − 4 x 2 = 0 , lo que implica x = ± 1 . Por lo tanto, los puntos críticos son x = ± 1 . A partir del gráfico de f en la , vemos que f tiene un máximo absoluto en x = 1 y un mínimo absoluto en x = −1 . Por lo tanto, f tiene un máximo local en x = 1 y un mínimo local en x = −1 . (Tenga en cuenta que si f tiene un extremo absoluto en un intervalo I en un punto c que no es un punto extremo de I , entonces f tiene un extremo local en c . ) Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos. Halle todos los puntos críticos para f ( x ) = x 3 − 1 2 x 2 − 2 x + 1 . x = − 2 3 , x = 1 Pista Calcule f ′ ( x ) . Localización de extremos absolutos El teorema del valor extremo establece que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Como se muestra en la , uno o ambos extremos absolutos podrían ocurrir en un punto extremo. Sin embargo, si un extremo absoluto no ocurre en un punto extremo, debe ocurrir en un punto interior, en cuyo caso el extremo absoluto es un extremo local. Por lo tanto, mediante el el punto c en el que se produce el extremo local debe ser un punto crítico. Resumimos este resultado en el siguiente teorema. Localización de los extremos absolutos Supongamos que f es una función continua en un intervalo cerrado y acotado I . El máximo absoluto de f en I y el mínimo absoluto de f en I debe producirse en los puntos extremos de I o en puntos críticos de f en I . Teniendo esto en cuenta, vamos a examinar un procedimiento para localizar los extremos absolutos. Estrategia para la resolución de problemas: Localización de extremos absolutos en un intervalo cerrado Consideremos una función continua f definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Evalúe f en los puntos finales x = a y x = b . Halle todos los puntos críticos de f que se encuentran en el intervalo ( a , b ) y evalúe f en esos puntos críticos. Compare todos los valores encontrados en (1) y (2). A partir de la , estos deben producirse en los puntos extremos o críticos. Por lo tanto, el mayor de estos valores es el máximo absoluto de f . El menor de estos valores es el mínimo absoluto de f . Ahora veamos cómo utilizar esta estrategia para encontrar los valores máximos y mínimos absolutos de las funciones continuas. Localización de extremos absolutos En cada una de las siguientes funciones, calcule el máximo absoluto y el mínimo absoluto en el intervalo especificado e indique dónde se producen esos valores. f ( x ) = − x 2 + 3 x − 2 en [ 1 , 3 ] . f ( x ) = x 2 − 3 x 2 / 3 en [ 0 , 2 ] . Paso 1. Evalúe f en los puntos finales x = 1 y x = 3 . f ( 1 ) = 0 y f ( 3 ) = –2 Paso 2. Dado que f ′ ( x ) = –2 x + 3 , f ′ se define para todos los números reales x . Por lo tanto, no hay puntos críticos donde la derivada sea indefinida. Queda por comprobar dónde f ′ ( x ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = –2 x + 3 = 0 a las x = 3 2 y 3 2 esté en el intervalo [ 1 , 3 ] , f ( 3 2 ) es un candidato a extremo absoluto de f en [ 1 , 3 ] . Evaluamos f ( 3 2 ) y hallamos f ( 3 2 ) = 1 4 . Paso 3. Establecemos la tabla siguiente para comparar los valores encontrados en los pasos 1 y 2 x f ( x ) Conclusión 1 0 3 2 1 4 Máximo absoluto 3 −2 Mínimo absoluto Gracias a la tabla, hallamos que el máximo absoluto de f en el intervalo [1, 3] es 1 4 , y se produce en x = 3 2 . El mínimo absoluto de f en el intervalo [1, 3] es −2 , y se produce en x = 3 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene un máximo y un mínimo absolutos. Paso 1. Evalúe f en los puntos finales x = 0 y x = 2 . f ( 0 ) = 0 y f ( 2 ) = 4 − 3 4 3 ≈ − 0,762 Paso 2. La derivada de f está dada por f ′ ( x ) = 2 x − 2 x 1 / 3 = 2 x 4 / 3 − 2 x 1 / 3 para x ≠ 0 . La derivada es cero cuando 2 x 4 / 3 − 2 = 0 , lo que implica x = ± 1 . La derivada es indefinida en x = 0 . Por lo tanto, los puntos críticos de f son x = 0 , 1 , −1 . El punto x = 0 es un punto extremo, por lo que ya evaluamos f ( 0 ) en el paso 1. El punto x = −1 no está en el intervalo de interés, por lo que solo tenemos que evaluar f ( 1 ) . Encontramos que f ( 1 ) = –2 . Paso 3. Comparamos los valores encontrados en los pasos 1 y 2, en la siguiente tabla x f ( x ) Conclusión 0 0 Máximo absoluto 1 −2 Mínimo absoluto 2 −0,762 Concluimos que el máximo absoluto de f en el intervalo [0, 2] es cero, y se produce en x = 0 . El mínimo absoluto es -2, y se produce en x = 1 como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene un máximo absoluto en un punto extremo del intervalo. Halle el máximo absoluto y el mínimo absoluto de f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 en el intervalo [ 1 , 4 ] . El máximo absoluto es 3 y se produce en x = 4 . El mínimo absoluto es −1 y se produce en x = 2 . Pista Busque los puntos críticos. Evalúe f en todos los puntos críticos y en los puntos extremos. En este punto, sabemos cómo localizar los extremos absolutos de las funciones continuas en intervalos cerrados. También hemos definido los extremos locales y hemos determinado que si una función f tiene un extremo local en un punto c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Sin embargo, el que c sea un punto crítico no es una condición suficiente para f para tener un extremo local en c . Más adelante en este capítulo, mostraremos cómo determinar si una función tiene realmente un extremo local en un punto crítico. Sin embargo, primero debemos presentar el teorema del valor medio, que nos ayudará a analizar el comportamiento del gráfico de una función. Conceptos clave Una función puede tener tanto un máximo como un mínimo absoluto, tener solamente un extremo absoluto o no tener ni máximo ni mínimo absoluto. Si una función tiene un extremo local, el punto en el que se produce debe ser un punto crítico. Sin embargo, no es necesario que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo y un mínimo absolutos. Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto extremo. En precálculo, aprendió una fórmula para hallar la posición del máximo o del mínimo de una ecuación cuadrática y = a x 2 + b x + c , que era h = − b ( 2 a ) . Demuestre esta fórmula utilizando el cálculo. Si tiene que hallar un mínimo absoluto en un intervalo [ a , b ] , ¿por qué necesita comprobar los puntos extremos? Dibuje un gráfico que sustente su hipótesis. Las respuestas pueden variar Si está examinando una función en un intervalo ( a , b ) , por a y b finito, ¿es posible que no exista un máximo absoluto o un mínimo absoluto? Cuando compruebe los puntos críticos, explique por qué debe determinar también los puntos en los que f ' ( x ) es indefinida. Dibuje un gráfico que apoye su explicación. Las respuestas variarán ¿Se puede tener un máximo absoluto finito para y = a x 2 + b x + c en ( − ∞ , ∞ ) ? Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos. ¿Se puede tener un máximo absoluto finito para y = a x 3 + b x 2 + c x + d en ( − ∞ , ∞ ) asumiendo que a es distinto de cero? Explique por qué o por qué no utilizando argumentos gráficos. No; las respuestas variarán Supongamos que m es el número de mínimos locales y que M es el número de máximos locales. ¿Se puede crear una función en la que M > m + 2 ? Dibuje un gráfico para apoyar su explicación. ¿Es posible tener más de un máximo absoluto? Utilice un argumento gráfico para demostrar su hipótesis. Dado que el máximo absoluto es el valor de la función (salida) y no el valor de x , la respuesta es no; las respuestas variarán. ¿Es posible que una función no tenga un mínimo o un máximo absoluto? Si es así, construya dicha función. Si no es así, explique por qué no es posible. [T] Represente gráficamente la función y = e a x . ¿Para cuáles valores de a , en cualquier dominio infinito, obtendrá un mínimo absoluto y un máximo absoluto? Cuando a = 0 En los siguientes ejercicios, determine dónde se producen los máximos y mínimos locales y absolutos en el gráfico dado. Supongamos que el gráfico representa la totalidad de cada función. Mínimo absoluto en 3; máximo absoluto en -2,2; mínimos locales en -2, 1; máximos locales en -1, 2 Mínimos absolutos en -2, 2; máximos absolutos en -2,5, 2,5; mínimo local en 0; máximos locales en -1, 1 En los siguientes problemas, dibuje los gráficos de f ( x ) , que es continua, en el intervalo [ −4 , 4 ] con las siguientes propiedades: Máximo absoluto en x = 2 y mínimos absolutos en x = ± 3 Mínimo absoluto en x = 1 y máximo absoluto en x = 2 Las respuestas pueden variar. Máximo absoluto en x = 4 , mínimo absoluto en x = −1 , máximo local en x = –2 , y un punto crítico que no es un máximo o un mínimo en x = 2 Máximos absolutos en x = 2 y x = −3 , mínimo local en x = 1 , y mínimo absoluto en x = 4 Las respuestas pueden variar. En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos en los dominios de las siguientes funciones. y = 4 x 3 − 3 x y = 4 x – x 2 x = 1 y = 1 x – 1 y = ln ( x − 2 ) Ninguno y = tan ( x ) grandes. y = 4 − x 2 x = 0 ; x = ± 2 y = x 3 / 2 − 3 x 5 / 2 y = x 2 – 1 x 2 + 2 x − 3 Ninguno y = sen 2 ( x ) grandes. y = x + 1 x x = −1 , 1 En los siguientes ejercicios, halle los máximos locales o absolutos de las funciones en el dominio especificado. f ( x ) = x 2 + 3 en [ −1 , 4 ] y = x 2 + 2 x en [ 1 , 4 ] Máximo absoluto: x = 4 , y = 33 2 ; mínimo absoluto: x = 1 , y = 3 y = ( x – x 2 ) 2 en [ −1 , 1 ] y = 1 ( x – x 2 ) en ( 0 , 1 ) Mínimo absoluto: x = 1 2 , y = 4 y = 9 − x en [ 1 , 9 ] y = x + sen ( x ) en [ 0 , 2 π ] Máximo absoluto: x = 2 π , y = 2 π ; mínimo absoluto: x = 0 , y = 0 y = x 1 + x en [ 0 , 100 ] y = | x + 1 | + | x – 1 | en [ −3 , 2 ] Máximo absoluto: x = −3 ; mínimo absoluto: −1 ≤ x ≤ 1 , y = 2 y = x – x 3 en [ 0 , 4 ] y = sen x + cos x en [ 0 , 2 π ] Máximo absoluto: x = π 4 , y = 2 ; mínimo absoluto: x = 5 π 4 , y = − 2 y = 4 sen θ − 3 cos θ en [ 0 , 2 π ] En los siguientes ejercicios, halle los mínimos y máximos locales y absolutos de las funciones en ( − ∞ , ∞ ) . y = x 2 + 4 x + 5 Mínimo absoluto: x = –2 , y = 1 y = x 3 − 12 x y = 3 x 4 + 8 x 3 − 18 x 2 Mínimo absoluto: x = −3 , y = −135 ; máximo local: x = 0 , y = 0 ; mínimo local: x = 1 , y = −7 y = x 3 ( 1 − x ) 6 y = x 2 + x + 6 x – 1 Máximo local: x = 1 − 2 2 , y = 3 − 4 2 ; mínimo local: x = 1 + 2 2 , y = 3 + 4 2 y = x 2 – 1 x – 1 En las siguientes funciones, utilice una calculadora para graficar la función y estimar los máximos y mínimos absolutos y locales. A continuación, resuélvalos explícitamente. [T] y = 3 x 1 − x 2 Máximo absoluto: x = 2 2 , y = 3 2 ; mínimo absoluto: x = − 2 2 , y = − 3 2 [T] y = x + sen ( x ) [T] y = 12 x 5 + 45 x 4 + 20 x 3 − 90 x 2 − 120 x + 3 Máximo local: x = –2 , y = 59 ; mínimo local: x = 1 , y = −130 [T] y = x 3 + 6 x 2 − x − 30 x − 2 [T] y = 4 − x 2 4 + x 2 Máximo absoluto: x = 0 , y = 1 ; mínimo absoluto: x = –2 , 2 , y = 0 Una empresa que produce teléfonos celulares tiene una función de costos de C = x 2 − 1200 x + 36.400 , donde C es el costo en dólares y x es el número de teléfonos celulares producidos (en miles). ¿Cuántas unidades de teléfono móvil (en miles) minimiza esta función de costo? Se lanza una pelota al aire y su posición viene dada por h ( t ) = −4,9 t 2 + 60 t + 5 m . Calcule la altura a la que la pelota deja de ascender. ¿Cuánto tiempo después del lanzamiento ocurre eso? h = 9245 49 m, t = 300 49 s En los siguientes ejercicios, considere la producción de oro durante la fiebre del oro de California (1848-1888). La producción de oro puede ser modelada por G ( t ) = ( 25 t ) ( t 2 + 16 ) , donde t es el número de años transcurridos desde el inicio de la fiebre del oro ( 0 ≤ t ≤ 40 ) y G son las onzas de oro producidas (en millones). En la siguiente figura se muestra un resumen de los datos. Calcule cuándo se produjo el máximo (local y absoluto) de producción de oro, y la cantidad de oro producida durante ese máximo. Halle el momento en que se produjo la producción mínima (local y absoluta) de oro. ¿Cuál fue la cantidad de oro producida durante este mínimo? El mínimo absoluto fue en 1848, cuando no se produjo oro. Halle los puntos críticos, máximos y mínimos de las siguientes funciones a trozos. y = { x 2 − 4 x 0 ≤ x ≤ 1 x 2 − 4 1 < x ≤ 2 y = { x 2 + 1 x ≤ 1 x 2 − 4 x + 5 x > 1 Mínimos absolutos: x = 0 , x = 2 , y = 1 ; máximo local en x = 1 , y = 2 En los siguientes ejercicios, halle los puntos críticos de las siguientes funciones genéricas. ¿Son máximos, mínimos o ninguno? Indique las condiciones necesarias. y = a x 2 + b x + c , dado que a > 0 y = ( x – 1 ) a , dado que a > 1 y a es un número entero. No hay máximos/mínimos si a es impar, mínimo en x = 1 si a es par extremo absoluto si f tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en c , decimos f tiene un extremo absoluto en c máximo absoluto si f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de f , decimos f tiene un máximo absoluto en c mínimo absoluto si f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de f , decimos f tiene un mínimo absoluto en c punto crítico el punto ( c , f ( c ) ) un punto crítico de f punto crítico si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinido, decimos que c es un número crítico de f teorema del valor extremo si f es una función continua en un intervalo finito y cerrado, entonces f tiene un máximo y un mínimo absolutos teorema de Fermat si f tiene un extremo local en c , entonces c es un punto crítico de f extremo local si f tiene un máximo o un mínimo local en c , decimos f tiene un extremo local en c máximo local si existe un intervalo I de manera que f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ I , decimos f tiene un máximo local en c mínimo local si existe un intervalo I de manera que f ( c ) ≤ f ( x ) para todo x ∈ I , decimos f tiene un mínimo local en c", "section": "Máximos y mínimos", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "El teorema del valor medio El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Al final de esta sección veremos algunas de sus implicaciones. En primer lugar, empezaremos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle. Teorema de Rolle De manera informal, el teorema de Rolle afirma que si las salidas de una función diferenciable f son iguales en los puntos extremos de un intervalo, entonces debe haber un punto interior c donde f ′ ( c ) = 0 . La ilustra este teorema. Si una función diferenciable f satisface f ( a ) = f ( b ) , entonces su derivada debe ser cero en algún(os) punto(s) entre a y b . Teorema de Rolle Supongamos que f es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) tal que f ( a ) = f ( b ) . Entonces existe al menos una c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Prueba Supongamos que k = f ( a ) = f ( b ) . Consideramos tres casos: f ( x ) = k para todos los x ∈ ( a , b ) . Existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) > k . Existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) < k . Caso 1: Si los valores de f ( x ) = k para todos los x ∈ ( a , b ) , entonces f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a , b ) . Caso 2: Dado que f es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ a , b ] , por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, como hay un punto x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) > k , el máximo absoluto es mayor que k . Por lo tanto, el máximo absoluto no se produce en ninguno de los dos extremos. En consecuencia, el máximo absoluto debe producirse en un punto interior c ∈ ( a , b ) . Dado que f tiene un máximo en un punto interior c , y f es diferenciable en c , por el teorema de Fermat, f ′ ( c ) = 0 . Caso 3: El caso en el que existe un punto x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) < k es análogo al caso 2, con la sustitución del máximo por el mínimo. □ Un punto importante del teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función f es fundamental. Si los valores de f no es diferenciable, incluso en un solo punto, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, la función f ( x ) = | x | − 1 es continua en [ −1 , 1 ] y f ( –1 ) = 0 = f ( 1 ) , pero f ′ ( c ) ≠ 0 para cualquier c ∈ ( –1 , 1 ) como se muestra en la siguiente figura. Dado que f ( x ) = | x | − 1 no es diferenciable en x = 0 , no se cumplen las condiciones del teorema de Rolle. De hecho, la conclusión no es válida en este caso; no hay c ∈ ( –1 , 1 ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Consideremos ahora las funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntos c donde f ′ ( c ) = 0 . Utilizando el Teorema de Rolle En cada una de las siguientes funciones, verifique que la función satisfaga los criterios establecidos en el teorema de Rolle y halle todos los valores c en el intervalo dado donde f ′ ( c ) = 0 . f ( x ) = x 2 + 2 x en [ −2 , 0 ] f ( x ) = x 3 − 4 x en [ −2 , 2 ] Dado que f es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Además, f ( −2 ) = 0 = f ( 0 ) . Por lo tanto, f satisface los criterios del teorema de Rolle. Concluimos que existe al menos un valor c ∈ ( –2 , 0 ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = 2 x + 2 = 2 ( x + 1 ) , vemos que f ′ ( c ) = 2 ( c + 1 ) = 0 implica c = −1 como se muestra en el siguiente gráfico. Esta función es continua y diferenciable en [ −2 , 0 ] , f ′ ( c ) = 0 cuando c = −1 . Como en la parte a. f es un polinomio y por lo tanto es continuo y diferenciable en todas partes. También, f ( −2 ) = 0 = f ( 2 ) . Dicho esto, f satisface los criterios del teorema de Rolle. Diferenciando, encontramos que f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 . Por lo tanto, f ′ ( c ) = 0 cuando x = ± 2 3 . Ambos puntos están en el intervalo [ −2 , 2 ] , y, por lo tanto, ambos puntos satisfacen la conclusión del teorema de Rolle, como se muestra en el siguiente gráfico. Para este polinomio en [ −2 , 2 ] , f ′ ( c ) = 0 a las x = ± 2 / 3 . Verifique que la función f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 6 definida en el intervalo [ 1 , 3 ] satisface las condiciones del teorema de Rolle. Halle todos los puntos c garantizados por el teorema de Rolle. c = 2 Pista Halle todos los valores c , donde f ′ ( c ) = 0 . El teorema del valor medio y su significado El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables f definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] con f ( a ) = f ( b ) . El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no tienen necesariamente el mismo valor en los extremos. En consecuencia, podemos considerar el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle ( ). El teorema del valor medio establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) tal que la línea tangente al gráfico de f en c es paralela a la línea secante que une ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . El teorema del valor medio dice que para una función que cumple sus condiciones, en algún punto la línea tangente tiene la misma pendiente que la línea secante entre los extremos. Para esta función, hay dos valores c 1 y c 2 tal que la línea tangente a f en c 1 y c 2 tiene la misma pendiente que la línea secante. Teorema del valor medio Supongamos que f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) . Entonces, existe al menos un punto c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Prueba La prueba se desprende del teorema de Rolle, al presentar una función apropiada que satisface los criterios de este. Considere la línea que conecta ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . Como la pendiente de esa línea es f ( b ) − f ( a ) b – a y la línea pasa por el punto ( a , f ( a ) ) , la ecuación de esa línea se puede escribir como y = f ( b ) − f ( a ) b – a ( x – a ) + f ( a ) . Supongamos que g ( x ) denota la diferencia vertical entre el punto ( x , f ( x ) ) y el punto ( x , y ) en esa línea. Por lo tanto, g ( x ) = f ( x ) − [ f ( b ) − f ( a ) b – a ( x – a ) + f ( a ) ] . El valor g ( x ) es la diferencia vertical entre el punto ( x , f ( x ) ) y el punto ( x , y ) en la línea secante que conecta ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . Dado que el gráfico de f interseca la línea secante cuando x = a y x = b , vemos que g ( a ) = 0 = g ( b ) . Dado que f es una función diferenciable sobre ( a , b ) , g es también una función diferenciable en ( a , b ) . Además, como f es continua en [ a , b ] , g también es continua en [ a , b ] . Por lo tanto, g satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un punto c ∈ ( a , b ) de manera que g ′ ( c ) = 0 . Dado que g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b – a , vemos que g ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) b – a . Dado que g ′ ( c ) = 0 , concluimos que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . □ En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f ( x ) = x en el intervalo [ 0 , 9 ] . El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes. Verificación de la aplicación del teorema del valor medio Para f ( x ) = x en el intervalo [ 0 , 9 ] , demuestre que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio, y por tanto existe al menos un valor c ∈ ( 0 , 9 ) tal que f ′ ( c ) es igual a la pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) . Halle estos valores c garantizados por el teorema del valor medio. Sabemos que f ( x ) = x es continua en [ 0 , 9 ] y diferenciable sobre ( 0 , 9 ) . Por lo tanto, f satisface las hipótesis del teorema del valor medio, y debe existir al menos un valor c ∈ ( 0 , 9 ) tal que f ′ ( c ) es igual a la pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) ( ). Para determinar qué valor(es) de c están garantizados, primero hay que calcular la derivada de f . La derivada f ′ ( x ) = 1 ( 2 x ) . La pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) está dada por f ( 9 ) − f ( 0 ) 9 − 0 = 9 − 0 9 − 0 = 3 9 = 1 3 . Supongamos que se desea calcular c de manera que f ′ ( c ) = 1 3 . Es decir, queremos hallar c tal que 1 2 c = 1 3 . Resolviendo esta ecuación para c , obtenemos c = 9 4 . En este punto, la pendiente de la línea tangente es igual a la pendiente de la línea que une los puntos extremos. La pendiente de la línea tangente en c = 9 / 4 es la misma que la pendiente del segmento de línea que une ( 0 , 0 ) y ( 9 , 3 ) . Una aplicación que ayuda a ilustrar el teorema del valor medio involucra la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad media de 45 mph. Supongamos que s ( t ) y v ( t ) denotan la posición y la velocidad del auto, respectivamente, para 0 ≤ t ≤ 1 h. Suponiendo que la función de posición s ( t ) es diferenciable, podemos aplicar el teorema del valor medio para concluir que, en algún momento c ∈ ( 0 , 1 ) , la velocidad del auto era exactamente v ( c ) = s ′ ( c ) = s ( 1 ) − s ( 0 ) 1 − 0 = 45 mph . Teorema del valor medio y velocidad Si se deja caer una roca desde una altura de 100 ft, su posición t segundos después de su caída hasta que toque el suelo viene dada por la función s ( t ) = –16 t 2 + 100 . Determine el tiempo que tarda la roca en llegar al suelo. Halle la velocidad media v avg de la roca para cuando se suelta y para cuando llega al suelo. Halle el tiempo t garantizado por el teorema del valor medio cuando la velocidad instantánea de la roca es v avg . Cuando la roca toca el suelo, su posición es s ( t ) = 0 . Si resolvemos la ecuación −16 t 2 + 100 = 0 por t , tenemos que t = ± 5 2 sec . Dado que solo estamos considerando t ≥ 0 , la roca llegará al suelo 5 2 segundos después de su caída. La velocidad media viene dada por v avg = s ( 5 / 2 ) − s ( 0 ) 5 / 2 − 0 = 0 − 100 5 / 2 = −40 ft/s . La velocidad instantánea viene dada por la derivada de la función de posición. Por lo tanto, tenemos que encontrar un tiempo t de manera que v ( t ) = s ′ ( t ) = v avg = −40 ft/s . Dado que s ( t ) es continua en el intervalo [ 0 , 5 / 2 ] y diferenciable en el intervalo ( 0 , 5 / 2 ) , por el teorema del valor medio, se garantiza que hay un punto c ∈ ( 0 , 5 / 2 ) de manera que s ′ ( c ) = s ( 5 / 2 ) − s ( 0 ) 5 / 2 − 0 = −40 . Tomando la derivada de la función de posición s ( t ) , tenemos que s ′ ( t ) = −32 t . Por lo tanto, la ecuación se reduce a s ′ ( c ) = −32 c = −40 . Al resolver esta ecuación para c , tenemos c = 5 4 . Por lo tanto, 5 4 segundos después de la caída de la roca, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media de la roca durante su caída libre: −40 ft/s En el tiempo t = 5 / 4 s, la velocidad de la roca es igual a su velocidad media desde que se deja caer hasta que toca el suelo. Supongamos que se deja caer una pelota desde una altura de 200 ft. Su posición en el tiempo t ¿es s ( t ) = –16 t 2 + 200 . Halle el tiempo t cuando la velocidad instantánea del balón es igual a su velocidad media. 5 2 2 s Pista En primer lugar, determine el tiempo que tarda el balón en llegar al suelo. A continuación, halle la velocidad media del balón desde que se deja caer hasta que toca el suelo. Corolarios del teorema del valor medio Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias sustanciales, que utilizaremos en las próximas secciones. En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El teorema del valor medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, si f ′ ( x ) = 0 para todo x en algún intervalo I , entonces f ( x ) es constante en ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene importantes implicaciones que no son obvias, y las discutiremos en breve. Corolario 1: Funciones con una derivada de cero Supongamos que f sea diferenciable en un intervalo I . Si f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I , entonces f ( x ) = constante para todas las x ∈ I . Prueba Dado que f es diferenciable sobre I , f debe ser continua durante I . Supongamos que f ( x ) no es constante para todas las x en I . Entonces existe a , b ∈ I , donde a ≠ b y f ( a ) ≠ f ( b ) . Elija la notación para que a < b . Por lo tanto, f ( b ) − f ( a ) b – a ≠ 0 . Dado que f es una función diferenciable, por el teorema del valor medio, existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Por lo tanto, existe c ∈ I de manera que f ′ ( c ) ≠ 0 , lo que contradice la suposición de que f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I . □ De , se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren como máximo en una constante. Corolario 2: Teorema de la diferencia constante Si los valores de f y g son diferenciables en un intervalo I y f ′ ( x ) = g ′ ( x ) para todo x ∈ I , entonces f ( x ) = g ( x ) + C para alguna constante C . Prueba Supongamos que h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) . Entonces, h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I . Según el Corolario 1, existe una constante C de manera que h ( x ) = C para todos los x ∈ I . Por lo tanto, f ( x ) = g ( x ) + C para todos los x ∈ I . □ El tercer corolario del teorema del valor medio analiza cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente. Recordemos que una función f aumenta en I si f ( x 1 ) < f ( x 2 ) siempre que x 1 < x 2 , mientras que f disminuye en I si f ( x ) 1 > f ( x 2 ) siempre que x 1 < x 2 . Utilizando el teorema del valor medio, podemos demostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función es creciente; si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente ( ). Aprovecharemos este hecho en la siguiente sección, donde mostraremos cómo utilizar la derivada de una función para localizar los valores máximos y mínimos locales de la función, y cómo determinar la forma del gráfico. Este hecho es importante porque significa que para una función dada f , si existe una función F de manera que F ′ ( x ) = f ( x ) ; entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual a f son F ( x ) + C para alguna constante C . Más adelante, en este mismo capítulo, analizaremos este resultado con más detalle. Si una función tiene una derivada positiva en algún intervalo I , entonces la función aumenta en ese intervalo I ; si la derivada es negativa en algún intervalo I , entonces la función disminuye en ese intervalo I . Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes Supongamos que f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) . Si los valores de f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ ( a , b ) , entonces f es una función creciente sobre [ a , b ] . Si f ′ ( x ) < 0 para todo x ∈ ( a , b ) , entonces f es una función decreciente sobre [ a , b ] . Prueba Demostraremos i.; la prueba de ii. es similar. Supongamos que f no es una función creciente en I . Entonces existe a y b en I de manera que a < b , pero f ( a ) ≥ f ( b ) . Dado que f es una función diferenciable sobre I , según el teorema del valor medio existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Dado que f ( a ) ≥ f ( b ) , sabemos que f ( b ) − f ( a ) ≤ 0 . También, a < b nos dice que b – a > 0 . Concluimos que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a ≤ 0 . Sin embargo, f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ I . Esto es una contradicción, y por lo tanto f debe ser una función creciente en I . □ Conceptos clave Si los valores de f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) y f ( a ) = 0 = f ( b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Este es el teorema de Rolle. Si los valores de f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Este es el teorema del valor medio. Si los valores de f ′ ( x ) = 0 en un intervalo I , entonces f es constante en I . Si dos funciones diferenciables f y g satisfacen f ′ ( x ) = g ′ ( x ) en I , entonces f ( x ) = g ( x ) + C para alguna constante C . Si f ′ ( x ) > 0 en un intervalo I , entonces f aumenta en I . Si f ′ ( x ) < 0 en I , entonces f disminuye en I . ¿Por qué es necesaria la continuidad para aplicar el teorema del valor medio? Elabore un contraejemplo. ¿Por qué se necesita la diferenciabilidad para aplicar el teorema del valor medio? Halle un contraejemplo. Un ejemplo es f ( x ) = | x | + 3 , –2 ≤ x ≤ 2 ¿Cuándo el teorema de Rolle y el teorema del valor medio son equivalentes? Si se tiene una función con una discontinuidad, ¿aún es posible tener f ′ ( c ) ( b – a ) = f ( b ) − f ( a ) ? Dibuje un ejemplo de ello o demuestre por qué no. Sí, pero el teorema del valor medio sigue sin aplicarse. En los siguientes ejercicios determine en qué intervalos (si los hay) se aplica el teorema del valor medio. Justifique su respuesta. y = sen ( π x ) grandes. y = 1 x 3 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , ∞ ) grandes. y = 4 − x 2 y = x 2 − 4 ( − ∞ , –2 ) , ( 2 , ∞ ) grandes. y = ln ( 3 x − 5 ) En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en una calculadora y dibuje la línea secante que une los puntos extremos. Estime el número de puntos c de manera que f ′ ( c ) ( b – a ) = f ( b ) − f ( a ) . [T] y = 3 x 3 + 2 x + 1 en [ −1 , 1 ] 2 puntos [T] y = tan ( π 4 x ) en [ − 3 2 , 3 2 ] [T] y = x 2 cos ( π x ) en [ −2 , 2 ] 5 puntos [T] y = x 6 − 3 4 x 5 − 9 8 x 4 + 15 16 x 3 + 3 32 x 2 + 3 16 x + 1 32 en [ −1 , 1 ] En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor medio y halle todos los puntos 0 < c < 2 de manera que f ( 2 ) − f ( 0 ) = f ′ ( c ) ( 2 − 0 ) . f ( x ) = x 3 c = 2 3 3 f ( x ) = sen ( π x ) grandes. f ( x ) = cos ( 2 π x ) grandes. c = 1 2 , 1 , 3 2 f ( x ) = 1 + x + x 2 f ( x ) = ( x – 1 ) 10 c = 1 f ( x ) = ( x – 1 ) 9 En los siguientes ejercicios, demuestre que no existe c de manera que f ( 1 ) − f ( –1 ) = f ′ ( c ) ( 2 ) . Explique por qué el teorema del valor medio no se aplica en el intervalo [ −1 , 1 ] . f ( x ) = | x – 1 2 | No diferenciable f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = | x | No diferenciable f ( x ) = ⌊ x ⌋ ( Pista : Se denomina función suelo y se define de forma que f ( x ) es el mayor número entero menor o igual a x . ) En los siguientes ejercicios, determine si el teorema del valor medio se aplica a las funciones en el intervalo dado [ a , b ] . Justifique su respuesta. y = e x en [ 0 , 1 ] Sí y = ln ( 2 x + 3 ) en [ − 3 2 , 0 ] f ( x ) = tan ( 2 π x ) en [ 0 , 2 ] El teorema del valor medio no se aplica porque la función es discontinua en x = 1 4 , 3 4 , 5 4 , 7 4 . y = 9 − x 2 en [ −3 , 3 ] y = 1 | x + 1 | en [ 0 , 3 ] Sí y = x 3 + 2 x + 1 en [ 0 , 6 ] y = x 2 + 3 x + 2 x en [ −1 , 1 ] El teorema del valor medio no se aplica; discontinuo en x = 0 . y = x sen ( π x ) + 1 en [ 0 , 1 ] y = ln ( x + 1 ) en [ 0 , e − 1 ] Sí y = x sen ( π x ) en [ 0 , 2 ] y = 5 + | x | en [ −1 , 1 ] El teorema del valor medio no se aplica; no es diferenciable en x = 0 . En los siguientes ejercicios, tome en cuenta las raíces de la ecuación. Demuestre que la ecuación y = x 3 + 4 x + 16 tiene exactamente una raíz real. ¿De cuánto es? Halle las condiciones para que haya exactamente una raíz (raíz doble) para la ecuación y = x 2 + b x + c b = ± 2 c Halle las condiciones para que y = e x − b tenga una raíz. ¿Es posible tener más de una raíz? En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función durante el intervalo [ a , b ] y grafique la línea secante de a al b . Utilice la calculadora para estimar todos los valores de c como los garantiza el teorema del valor medio. A continuación, halle el valor exacto de c , si es posible, o escriba la ecuación final y utilice una calculadora para estimar a cuatro dígitos. [T] y = tan ( π x ) en [ − 1 4 , 1 4 ] c = ± 1 π cos −1 ( π 2 ) , c = ± 0,1533 [T] y = 1 x + 1 en [ 0 , 3 ] [T] y = | x 2 + 2 x − 4 | en [ −4 , 0 ] El teorema del valor medio no se aplica. [T] y = x + 1 x en [ 1 2 , 4 ] [T] y = x + 1 + 1 x 2 en [ 3 , 8 ] 1 2 c + 1 − 2 c 3 = 521 2880 ; c = 3,133 , 5,867 A las 10:17 a. m., pasa a un auto de la policía a 55 mph que está parado en la autopista. A las 10:53 a. m., pasa a un segundo auto de la policía a 55 mph, que se halla a 39 mi del primer auto. Si el límite de velocidad es de 60 mph, ¿la policía puede multarlo por exceso de velocidad? Dos automóviles van de un foco a otro, saliendo a la vez y llegando al mismo tiempo. ¿Hay algún momento en el que vayan a la misma velocidad? Demuéstrelo o refútelo. Sí Demuestre que y = sec 2 x como y = tan 2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y = sec 2 x − tan 2 x ? Demuestre que y = csc 2 x como y = cot 2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y = csc 2 x − cot 2 x ? Es constante. teorema del valor medio si f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , entonces existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a teorema de Rolle si f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , y si f ( a ) = f ( b ) , entonces existe c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0", "section": "El teorema del valor medio", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Las derivadas y la forma de un gráfico Anteriormente en este capítulo dijimos que si una función f tiene un extremo local en un punto c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Sin embargo, no hay garantía de que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Por ejemplo, f ( x ) = x 3 tiene un punto crítico en x = 0 dado que f ′ ( x ) = 3 x 2 es cero en x = 0 , pero f no tienen un extremo local en x = 0 . Utilizando los resultados de la sección anterior, podremos determinar si un punto crítico de una función corresponde realmente a un valor extremo local. En esta sección, también veremos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de un gráfico de una función si al describirlo este se curva hacia arriba o hacia abajo. La prueba de la primera derivada El corolario 3 del teorema del valor medio demostró que si la derivada de una función es positiva en un intervalo I entonces la función es creciente en I . Por otro lado, si la derivada de la función es negativa en un intervalo I , entonces la función es decreciente en I como se muestra en la siguiente figura. Ambas funciones son crecientes en el intervalo ( a , b ) . En cada punto x , la derivada f ′ ( x ) > 0 . Ambas funciones son decrecientes en el intervalo ( a , b ) . En cada punto x , la derivada f ′ ( x ) < 0 . Una función continua f tiene un máximo local en el punto c si y solo si f pasa de aumentar a disminuir en el punto c . Del mismo modo, f tiene un mínimo local en c si y solo si f pasa de disminuir a aumentar en c . Si f es una función continua en un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I , excepto posiblemente en c , la única manera f puede pasar de creciente a decreciente (o viceversa) en el punto c es si f ′ cambia de signo cuando x aumenta a través de c . Si f es diferenciable en c , la única manera de que f ′ . pueda cambiar de signo cuando x aumenta a través de c es si f ′ ( c ) = 0 . Por lo tanto, para una función f que es continua en un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I , excepto posiblemente en c , la única manera f pueda pasar de creciente a decreciente (o viceversa) es si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. En consecuencia, para localizar los extremos locales de una función f , buscamos puntos c en el dominio de f tal que f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Recordemos que estos puntos se denominan puntos críticos de f . Observe que f no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Solo los puntos críticos son candidatos a extremos locales. En la , demostramos que si una función continua f tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico, pero es posible que una función no tenga un extremo local en un punto crítico. Demostramos que si f tiene un extremo local en un punto crítico, entonces el signo de f ′ cambia cuando x aumenta a través de ese punto. La función f tiene cuatro puntos críticos: a , b , c , y d . La función f tiene máximos locales en a y d , y un mínimo local en b . La función f no tienen un extremo local en c . El signo de f ′ cambia en todos los extremos locales. Utilizando la , resumimos los principales resultados relativos a los extremos locales. Si una función continua f tiene un extremo local, este debe ocurrir en un punto crítico c . La función tiene un extremo local en el punto crítico c si y solo si la derivada f ′ cambia de signo cuando x aumenta a través de c . Por lo tanto, para comprobar si una función tiene un extremo local en un punto crítico c , debemos determinar el signo de f ′ ( x ) a la izquierda y a la derecha de c . Este resultado se conoce como la prueba de la primera derivada . Prueba de la primera derivada Supongamos que f es una función continua en un intervalo I que contiene un punto crítico c . Si f es diferenciable sobre I , excepto posiblemente en el punto c , entonces f ( c ) cumple una de los siguientes criterios: Si los valores de f ′ cambia el signo de positivo cuando x < c a negativo cuando x > c , entonces f ( c ) es un máximo local de f . Si f ′ cambia el signo de negativo cuando x < c a positivo cuando x > c , entonces f ( c ) es un mínimo local de f . Si f ′ tiene el mismo signo para x < c y x > c , entonces f ( c ) no es ni un máximo ni un mínimo local de f . Podemos resumir la prueba de la primera derivada como una estrategia para localizar los extremos locales. Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la prueba de la primera derivada Considere una función f que es continua en un intervalo I . Halle todos los puntos críticos de f y dividimos el intervalo I en intervalos más pequeños utilizando los puntos críticos como puntos extremos. Analice el signo de f ′ en cada uno de los subintervalos. Si los valores de f ′ es continua a lo largo de un subintervalo dado (que es el caso típico), entonces el signo de f ′ en ese subintervalo no cambia y, por lo tanto, se puede determinar eligiendo un punto de prueba arbitrario x en ese subintervalo y evaluando el signo de f ′ en ese punto de prueba. Utilice el análisis de signos para determinar si f aumenta o disminuye en ese intervalo. Utilice la y los resultados del paso 2 para determinar si f tiene un máximo local, un mínimo local o ninguno en cada uno de los puntos críticos. Veamos ahora cómo utilizar esta estrategia para localizar todos los extremos locales de determinadas funciones. Uso de la prueba de la primera derivada para encontrar los extremos locales Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x – 1 . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Paso 1. La derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 . Para encontrar los puntos críticos, tenemos que encontrar dónde f ′ ( x ) = 0 . Al factorizar el polinomio, concluimos que los puntos críticos deben satisfacer 3 ( x 2 − 2 x − 3 ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 . Por lo tanto, los puntos críticos son x = 3 , −1 . Ahora divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 3 ) y ( 3 , ∞ ) . Paso 2. Dado que f ′ es una función continua, para determinar el signo de f ′ ( x ) sobre cada subintervalo, basta con elegir un punto sobre cada uno de los intervalos ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 3 ) y ( 3 , ∞ ) y determinar el signo de f ′ en cada uno de estos puntos. Por ejemplo, elijamos x = –2 , x = 0 , y x = 4 como puntos de prueba. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) ( − ) = + f aumenta. ( –1 , 3 ) grandes. x = 0 ( + ) ( − ) ( + ) = − f decrece. ( 3 , ∞ ) grandes. x = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = + f aumenta. Paso 3. Dado que f ′ cambia el signo de positivo a negativo cuando x aumenta a través de −1 , f tiene un máximo local en x = −1 . Dado que f ′ cambia el signo de negativo a positivo cuando x aumenta a través de 3 , f tiene un mínimo local en x = 3 . Estos resultados analíticos coinciden con el siguiente gráfico. La función f tiene un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 3 Utilice la prueba de la primera derivada para localizar todos los extremos locales para f ( x ) = − x 3 + 3 2 x 2 + 18 x . f tiene un mínimo local en −2 y un máximo local en 3 . Pista Halle todos los puntos críticos de f y determine los signos de f ′ ( x ) sobre los intervalos particulares determinados por los puntos críticos. Uso de la prueba de la primera derivada Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f ( x ) = 5 x 1 / 3 − x 5 / 3 . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Paso 1. La derivada es f ′ ( x ) = 5 3 x −2 / 3 − 5 3 x 2 / 3 = 5 3 x 2 / 3 − 5 x 2 / 3 3 = 5 − 5 x 4 / 3 3 x 2 / 3 = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 . La derivada f ′ ( x ) = 0 cuando 1 − x 4 / 3 = 0 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 0 a las x = ± 1 . La derivada f ′ ( x ) es indefinida en x = 0 . Por lo tanto, tenemos tres puntos críticos x = 0 , x = 1 , y x = −1 . En consecuencia, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) . Paso 2: Dado que f ′ es continua en cada subintervalo, basta con elegir un punto de prueba x en cada uno de los intervalos del paso 1 y determinar el signo de f ′ en cada uno de estos puntos. Los puntos x = –2 , x = − 1 2 , x = 1 2 , y x = 2 son puntos de prueba para estos intervalos. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) + = − f decrece. ( –1 , 0 ) grandes. x = − 1 2 ( + ) ( + ) + = + f aumenta. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 2 ( + ) ( + ) + = + f aumenta. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 ( + ) ( − ) + = − f decrece. Paso 3: Dado que f es decreciente en el intervalo ( − ∞ , –1 ) y creciente en el intervalo ( –1 , 0 ) , f tiene un mínimo local en x = −1 . Dado que f es creciente en el intervalo ( –1 , 0 ) y el intervalo ( 0 , 1 ) , f no tienen un extremo local en x = 0 . Dado que f es creciente en el intervalo ( 0 , 1 ) y decreciente en el intervalo ( 1 , ∞ ) , f tiene un máximo local en x = 1 . Los resultados analíticos coinciden con el siguiente gráfico. La función f tiene un mínimo local en x = −1 y un máximo local en x = 1 . Utilice la prueba de la primera derivada para encontrar todos los extremos locales para f ( x ) = x – 1 3 . f no tiene extremos locales porque f ′ no cambia de signo en x = 1 . Pista El único punto crítico de f ¿es x = 1 . Concavidad y puntos de inflexión Ahora sabemos cómo determinar si una función es creciente o decreciente. Sin embargo, hay otra cuestión a tener en cuenta respecto a la forma del gráfico de una función. Si el gráfico se curva, ¿lo hace hacia arriba o hacia abajo? Esta noción se denomina concavidad de la función. La (a) muestra una función f con un gráfico que se curva hacia arriba. A medida que x aumenta, la pendiente de la línea tangente aumenta. Por lo tanto, dado que la derivada aumenta a medida que x aumenta, f ′ es una función creciente. Decimos que esta función f es cóncava hacia arriba. La (b) muestra una función f que se curva hacia abajo. A medida que x aumenta, la pendiente de la línea tangente disminuye. Dado que la derivada disminuye a medida que x aumenta, f ′ es una función decreciente. Decimos que esta función f es cóncava hacia abajo. Definición Supongamos que f es una función diferenciable en un intervalo abierto I . Si f ′ aumenta en I , decimos f es cóncava hacia arriba en I . Si f ′ disminuye en I , decimos f es cóncava hacia abajo en I . (a), (c) Ya que f ′ es creciente en el intervalo ( a , b ) , decimos f es cóncava hacia arriba en ( a , b ) . (b), (d) Ya que f ′ es decreciente en el intervalo ( a , b ) , decimos f es cóncava hacia abajo en ( a , b ) . En general, sin tener el gráfico de una función f , ¿cómo podemos determinar su concavidad? Por definición, una función f es cóncava hacia arriba si f ′ aumenta. Por el corolario 3 , sabemos que si f ′ es una función diferenciable, entonces f ′ es creciente si su derivada f ″ ( x ) > 0 . Por lo tanto, una función f que es dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba cuando f ″ ( x ) > 0 . Del mismo modo, una función f es cóncava hacia abajo si f ′ decrece. Sabemos que una función diferenciable f ′ es decreciente si su derivada f ″ ( x ) < 0 . Por lo tanto, una función dos veces diferenciable f es cóncava hacia abajo cuando f ″ ( x ) < 0 . La aplicación de esta lógica se conoce como la prueba de concavidad . Prueba de concavidad Supongamos que f es una función doblemente diferenciable en un intervalo I . Si los valores de f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . Si f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . Concluimos que podemos determinar la concavidad de una función f mirando la segunda derivada de f . Además, observamos que una función f puede cambiar de concavidad ( ). Sin embargo, una función continua puede cambiar de concavidad solo en un punto x si f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. En consecuencia, para determinar los intervalos en los que una función f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, buscamos aquellos valores de x donde f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Una vez determinados estos puntos, dividimos el dominio de f en intervalos más pequeños y determinamos el signo de f ″ en cada uno de estos intervalos más pequeños. Si los valores de f ″ cambia de signo al pasar por un punto x , entonces f cambia la concavidad. Es importante recordar que una función f no puede cambiar la concavidad en un punto x incluso si f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Sin embargo, si, f sí cambia la concavidad en un punto a y f es continua en a , decimos que el punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Definición Si f es continua en a y f cambia la concavidad en a , el punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Dado que f ″ ( x ) > 0 por x < a , la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − ∞ , a ) . Dado que f ″ ( x ) < 0 por x > a , la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo ( a , ∞ ) . El punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Prueba de concavidad Para que la función f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 30 , determine todos los intervalos en los que f es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde f es cóncava hacia abajo. Enumere todos los puntos de inflexión para f . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Para determinar la concavidad, necesitamos encontrar la segunda derivada f ″ ( x ) . La primera derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9 , por lo que la segunda derivada es f ″ ( x ) = 6 x − 12 . Si la función cambia de concavidad, esto ocurre ya sea cuando f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Dado que f ″ se define para todos los números reales x , solo tenemos que encontrar dónde f ″ ( x ) = 0 . Si resolvemos la ecuación 6 x − 12 = 0 , vemos que x = 2 es el único lugar donde f puede cambiar la concavidad. Ahora probamos los puntos sobre los intervalos ( − ∞ , 2 ) y ( 2 , ∞ ) para determinar la concavidad de f . Los puntos x = 0 y x = 3 son puntos de prueba para estos intervalos. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x − 12 en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , 2 ) grandes. x = 0 − f es cóncava hacia abajo ( 2 , ∞ ) grandes. x = 3 + f es cóncava hacia arriba. Concluimos que f es cóncava hacia abajo en el intervalo ( − ∞ , 2 ) y cóncava hacia arriba en el intervalo ( 2 , ∞ ) . Dado que f cambia la concavidad en x = 2 , el punto ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 32 ) es un punto de inflexión. La confirma los resultados analíticos. La función dada tiene un punto de inflexión en ( 2 , 32 ) donde el gráfico cambia de concavidad. Para f ( x ) = − x 3 + 3 2 x 2 + 18 x , halle todos los intervalos en los que f es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde f es cóncava hacia abajo. f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − ∞ , 1 2 ) y cóncava hacia abajo en el intervalo ( 1 2 , ∞ ) Pista Halle el valor donde f ″ ( x ) = 0 . Ahora resumimos en la , la información que las derivadas primera y segunda de una función f proporcionan sobre el gráfico de f , e ilustramos esta información en la . Lo que las derivadas nos dicen sobre los gráficos Signo de f ′ Signo de f ″ ¿Es f ¿aumenta o disminuye? Concavidad Positivo Positivo Creciente Cóncava hacia arriba Positivo Negativo Creciente Cóncava hacia abajo Negativo Positivo Decreciente Cóncava hacia arriba Negativo Negativo Decreciente Cóncava hacia abajo Consideremos una función dos veces diferenciable f en un intervalo abierto I . Si f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , la función es creciente en I . Si f ′ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , la función es decreciente en I . Si f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , la función es cóncava hacia arriba. Si los valores de f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , la función es cóncava hacia abajo en I . La prueba de la segunda derivada La prueba de la primera derivada proporciona una herramienta analítica para encontrar los extremos locales, pero la segunda derivada también puede utilizarse para localizar los valores extremos. Utilizar la segunda derivada puede ser a veces un método más sencillo que utilizar la primera derivada. Sabemos que si una función continua tiene un extremo local, este debe producirse en un punto crítico. Sin embargo, una función no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Aquí examinamos cómo se puede utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si una función tiene un extremo local en un punto crítico. Supongamos que f es una función dos veces diferenciable tal que f ′ ( a ) = 0 y f ″ es continua en un intervalo abierto I que contiene a . Supongamos que f ″ ( a ) < 0 . Dado que f ″ es continua en I , f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I ( ). Entonces, por el corolario 3 , f ′ es una función decreciente sobre I . Dado que f ′ ( a ) = 0 , concluimos que para todo x ∈ I , f ′ ( x ) > 0 si x < a y f ′ ( x ) < 0 si x > a . Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, f tiene un máximo local en x = a . Por otro lado, supongamos que existe un punto b de manera que f ′ ( b ) = 0 pero f ″ ( b ) > 0 . Dado que f ″ es continua en un intervalo abierto I que contiene b , entonces f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I ( ). Entonces, por el corolario 3 , f ′ es una función creciente sobre I . Dado que f ′ ( b ) = 0 , concluimos que para todo x ∈ I , f ′ ( x ) < 0 si x < b y f ′ ( x ) > 0 si x > b . Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, f tiene un mínimo local en x = b . Consideremos una función dos veces diferenciable f tal que f ″ es continuo. Dado que f ′ ( a ) = 0 y f ″ ( a ) < 0 , hay un intervalo I que contiene a tal que para todo x en I , f es creciente si x < a y f es decreciente si x > a . Como resultado, f tiene un máximo local en x = a . Dado que f ′ ( b ) = 0 y f ″ ( b ) > 0 , hay un intervalo I que contiene b tal que para todo x en I , f es decreciente si x < b y f es creciente si x > b . Como resultado, f tiene un mínimo local en x = b . Prueba de la segunda derivada Supongamos que f ′ ( c ) = 0 , f ″ es continua en un intervalo que contiene c . Si los valores de f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c . Si f ″ ( c ) = 0 , entonces la prueba no es concluyente. Note que en el caso iii., cuando f ″ ( c ) = 0 , entonces f puede tener un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos en c . Por ejemplo, las funciones f ( x ) = x 3 , f ( x ) = x 4 , y f ( x ) = − x 4 todas tienen puntos críticos en x = 0 . En cada caso, la segunda derivada es cero en x = 0 . Sin embargo, la función f ( x ) = x 4 tiene un mínimo local en x = 0 mientras que la función f ( x ) = − x 4 tiene un máximo local en x , y la función f ( x ) = x 3 no tienen un extremo local en x = 0 . Veamos ahora cómo utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo local o un mínimo local en un punto crítico c donde f ′ ( c ) = 0 . Usar la prueba de la segunda derivada Utilice la segunda derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para f ( x ) = x 5 − 5 x 3 . Para aplicar la prueba de la segunda derivada, primero tenemos que encontrar los puntos críticos c donde f ′ ( c ) = 0 . La derivada es f ′ ( x ) = 5 x 4 − 15 x 2 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 5 x 4 − 15 x 2 = 5 x 2 ( x 2 − 3 ) = 0 cuando x = 0 , ±3,... 3 . Para determinar si f tiene un extremo local en cualquiera de estos puntos, tenemos que evaluar el signo de f ″ en estos puntos. La segunda derivada es f ″ ( x ) = 20 x 3 − 30 x = 10 x ( 2 x 2 − 3 ) . En la siguiente tabla, evaluamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos y utilizamos la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo local o un mínimo local en cualquiera de estos puntos. x f ″ ( x ) Conclusión − 3 −30 3 Máximo 0 0 La prueba de la segunda derivada no es concluyente 3 30 3 Mínimo Mediante la prueba de la segunda derivada, concluimos que f tiene un máximo local en x = − 3 y f tiene un mínimo local en x = 3 . La prueba de la segunda derivada no es concluyente en x = 0 . Para determinar si f tiene un extremo local en x = 0 , aplicamos la prueba de la primera derivada. Para evaluar el signo de f ′ ( x ) = 5 x 2 ( x 2 − 3 ) para x ∈ ( − 3 , 0 ) y x ∈ ( 0 , 3 ) , supongamos que x = –1 y x = 1 son los dos puntos de prueba. Dado que f ′ ( –1 ) < 0 y f ′ ( 1 ) < 0 , concluimos que f es decreciente en ambos intervalos y, por tanto, f no tiene un extremo local en x = 0 como se muestra en la siguiente gráfica. La función f tiene un máximo local en x = − 3 y un mínimo local en x = 3 Considere la función f ( x ) = x 3 − ( 3 2 ) x 2 − 18 x . Los puntos c = 3 , −2 satisfacen f ′ ( c ) = 0 . Utilice la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo o un mínimo local en esos puntos. f tiene un máximo local en −2 y un mínimo local en 3 . Pista f ″ ( x ) = 6 x − 3 Ahora hemos desarrollado las herramientas que necesitamos para determinar dónde una función es creciente y decreciente una, así como hemos adquirido una comprensión de la forma básica del gráfico. En la siguiente sección discutiremos lo que ocurre con una función cuando x → ± ∞ . En ese momento, tenemos suficientes herramientas para proporcionar gráficos precisos de una gran variedad de funciones. Conceptos clave Si los valores de c es un punto crítico de f como f ′ ( x ) > 0 por x < c como f ′ ( x ) < 0 por x > c , entonces f tiene un máximo local en c . Si los valores de c es un punto crítico de f como f ′ ( x ) < 0 por x < c como f ′ ( x ) > 0 por x > c , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ″ ( x ) > 0 en un intervalo I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . Si f ″ ( x ) < 0 en un intervalo I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) = 0 , evalúe entonces f ′ ( x ) en un punto de prueba x a la izquierda de c y en un punto de prueba x a la derecha de c , para determinar si f tiene un extremo local en c . Si los valores de c es un punto crítico de f ( x ) , ¿cuándo no hay un máximo o un mínimo local en c ? Explique. Para que la función y = x 3 , ¿es x x = 0 tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local? No es un máximo/mínimo local porque f ′ no cambia de signo Para que la función y = x 3 , ¿es x x = 0 ¿un punto de inflexión? ¿Es posible que un punto c sea a la vez un punto de inflexión y un extremo local de una función dos veces diferenciable? No ¿Por qué se necesita continuidad para la prueba de la primera derivada? Proponga un ejemplo. Explique si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar y = 0 para algún valor de x . Falso; por ejemplo, y = x . Explique si un polinomio de grado 2 puede tener un punto de inflexión. Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que f es creciente o decreciente. Es creciente en −2 < x < −1 y x > 2 ; decreciente en x < −2 y −1 < x < 2 Decreciente para x < 1 , creciente para x > 1 Decreciente para −2 < x < −1 y 1 < x < 2 ; creciente para −1 < x < 1 y x < −2 y x > 2 Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que f aumenta y disminuye y los mínimos y los máximos están localizados. a. Creciente en −2 < x < −1 , 0 < x < 1 , x > 2 , decreciente en x < −2 , −1 < x < 0 , 1 < x < 2 ; b. máximos en x = –1 y x = 1 , mínimos en x = −2 y x = 0 y x = 2 a. Creciente en x > 0 , decreciente en x < 0 ; b. Mínimo en x = 0 Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, haga una lista de todos los puntos de inflexión e intervalos f que son cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo. Cóncava hacia arriba en todo x , sin puntos de inflexión Cóncava hacia arriba en todo x , sin puntos de inflexión Cóncava hacia arriba para x < 0 y x > 1 , cóncavo hacia abajo para 0 < x < 1 , puntos de inflexión en x = 0 y x = 1 En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio x ϵ [ −3 , 3 ] . La función no tiene que ser continua ni diferenciable. f ( x ) > 0 , f ′ ( x ) > 0 en x > 1 , −3 < x < 0 , f ′ ( x ) = 0 en 0 < x < 1 f ′ ( x ) > 0 en x > 2 , −3 < x < −1 , f ′ ( x ) < 0 en −1 < x < 2 , f ″ ( x ) < 0 para todo x Las respuestas variarán f ″ ( x ) < 0 en −1 < x < 1 , f ″ ( x ) > 0 , −3 < x < −1 , 1 < x < 3 , máximo local en x = 0 , mínimos locales en x = ± 2 Hay un máximo local en x = 2 , mínimo local en x = 1 , y el gráfico no es cóncavo hacia arriba ni cóncavo hacia abajo. Las respuestas variarán Hay máximos locales en x = ± 1 , la función es cóncava hacia arriba para toda x , y la función sigue siendo positiva para toda x . Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f aumenta o disminuye y mínimos y máximos locales de f . f ( x ) = sen x + sen 3 x en − π < x < π a. Creciente en − π 2 < x < π 2 , decreciente en x < − π 2 , x > π 2 b. Máximo local en x = π 2 ; mínimo local en x = − π 2 f ( x ) = x 2 + cos x En los siguientes ejercicios, determine a. los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, y b. los puntos de inflexión de f . f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2 a. Cóncava hacia arriba para x > 4 3 , cóncavo hacia abajo para x < 4 3 b. Punto de inflexión en x = 4 3 Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f es creciente o decreciente. mínimos y máximos locales de f , intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión de f . f ( x ) = x 2 − 6 x f ( x ) = x 3 − 6 x 2 a. Creciente en x < 0 y x > 4 , decreciente en 0 < x < 4 b. Máximo en x = 0 , mínimo en x = 4 c. Cóncava hacia arriba para x > 2 , cóncavo hacia abajo para x < 2 d. Punto de inflexión en x = 2 f ( x ) = x 4 − 6 x 3 f ( x ) = x 11 − 6 x 10 a. Creciente en x < 0 y x > 60 11 , decreciente en 0 < x < 60 11 b. Mínimo en x = 60 11 , máximo local en x = 0 c. Cóncavo hacia abajo para x < 54 11 , cóncavo hacia arriba para x > 54 11 d. Punto de inflexión en x = 54 11 f ( x ) = x + x 2 − x 3 f ( x ) = x 2 + x + 1 a. Creciente en x > − 1 2 , decreciente en x < − 1 2 b. Mínimo en x = − 1 2 c. Cóncavo hacia arriba para toda x d. No hay puntos de inflexión f ( x ) = x 3 + x 4 Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f es creciente o decreciente. mínimos y máximos locales de f , intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión de f . Dibuje la curva y luego utilice una calculadora para comparar tu respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta de forma analítica, utilice una calculadora. [T] f ( x ) = sen ( π x ) − cos ( π x ) en x = [ −1 , 1 ] a. Es creciente en − 1 4 < x < 3 4 , decreciente a lo largo de x > 3 4 y x < − 1 4 b. Mínimo en x = − 1 4 , máximo en x = 3 4 c. Cóncava hacia arriba para − 3 4 < x < 1 4 , cóncavo hacia abajo para x < − 3 4 y x > 1 4 d. Puntos de inflexión en x = − 3 4 , x = 1 4 [T] f ( x ) = x + sen ( 2 x ) en x = [ − π 2 , π 2 ] [T] f ( x ) = sen x + tan x en ( − π 2 , π 2 ) a. Creciente para todo x b. No hay mínimo ni máximo local c. Cóncava hacia arriba para x > 0 , cóncavo hacia abajo para x < 0 d. Punto de inflexión en x = 0 [T] f ( x ) = ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 2 [T] f ( x ) = 1 1 − x , x ≠ 1 a. Creciente para todo x donde se define b. No hay mínimos ni máximos locales c. Cóncava hacia arriba para x < 1 ; cóncavo hacia abajo para x > 1 d. No hay puntos de inflexión en el dominio [T] f ( x ) = sen x x en x = [ 2 π , 0 ) ∪ ( 0 , 2 π ] f ( x ) = sen ( x ) e x en x = [ − π , π ] a. Creciente en − π 4 < x < 3 π 4 , decreciente en x > 3 π 4 , x < − π 4 b. Mínimo en x = − π 4 , máximo en x = 3 π 4 c. Cóncava hacia arriba para − π 2 < x < π 2 , cóncavo hacia abajo para x < − π 2 , x > π 2 d. Puntos de inflexión en x = ± π 2 f ( x ) = ln x x , x > 0 f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0 a. Creciente en x > 4 , decreciente en 0 < x < 4 b. Mínimo en x = 4 c. Cóncava hacia arriba para 0 < x < 8 2 3 , cóncavo hacia abajo para x > 8 2 3 d. Punto de inflexión en x = 8 2 3 f ( x ) = e x x , x ≠ 0 En los siguientes ejercicios, interprete las frases en términos de f , f ′ , y f ″ . La población crece más lentamente. Aquí f es la población. f > 0 , f ′ > 0 , f ″ < 0 Una moto acelera más rápido, pero un automóvil va más rápido. Aquí f = Posición de la moto menos la posición del automóvil. El avión aterriza sin problemas. Aquí f es la altitud del avión. f > 0 , f ′ < 0 , f ″ > 0 Los precios de las acciones están en su punto más alto. Aquí f es el precio de las acciones. La economía se está acelerando. Aquí f es una medida de la economía, como el PIB. f > 0 , f ′ > 0 , f ″ > 0 En los siguientes ejercicios, considere un polinomio de tercer grado f ( x ) , que tiene las propiedades f ′ ( 1 ) = 0 , f ′ ( 3 ) = 0 . Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas . Justifique su respuesta. f ( x ) = 0 para algunos 1 ≤ x ≤ 3 f ″ ( x ) = 0 para algunos 1 ≤ x ≤ 3 Cierto, según el teorema del valor medio No hay un máximo absoluto en x = 3 Si f ( x ) tiene tres raíces, entonces tiene 1 punto de inflexión. Cierto, examine la derivada Si los valores de f ( x ) tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales. cóncava hacia abajo si f es diferenciable en un intervalo I y f ′ disminuye en I , entonces f es cóncava hacia abajo en I cóncavo hacia arriba si f es diferenciable en un intervalo I y f ′ aumenta en I , entonces f es cóncava hacia arriba en I concavidad la curva ascendente o descendente gráfico de una función prueba de concavidad supongamos que f es dos veces diferenciable en un intervalo I ; si f ″ > 0 en I , entonces f es cóncava hacia arriba en I ; si f ″ < 0 en I , entonces f es cóncava hacia abajo en I prueba de la primera derivada supongamos que f es una función continua en un intervalo I que contiene un punto crítico c de manera que f es diferenciable sobre I excepto posiblemente en c ; si f ′ cambia de signo de positivo a negativo a medida que x aumenta a través de c , entonces f tiene un máximo local en c ; si f ′ cambia el signo de negativo a positivo a medida que x aumenta a través de c , entonces f tiene un mínimo local en c ; si f ′ no cambia de signo cuando x aumenta a través de c , entonces f no tienen un extremo local en c punto de inflexión si f es continua en c como f cambia la concavidad en c , el punto ( c , f ( c ) ) es un punto de inflexión de f prueba de la segunda derivada supongamos que f ′ ( c ) = 0 y f ″ es continua en un intervalo que contiene c ; si f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c ; si f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c ; si f ″ ( c ) = 0 , entonces la prueba no es concluyente", "section": "Las derivadas y la forma de un gráfico", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Límites al infinito y asíntotas Hemos mostrado cómo utilizar la primera y la segunda derivadas de una función para describir la forma de un gráfico. Para graficar una función f definida en un dominio no limitado, también necesitamos conocer el comportamiento de f cuando x → ± ∞ . En esta sección, definiremos los límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan a el gráfico de una función. Al final de esta sección, describiremos una estrategia para graficar una función arbitraria f . Límites al infinito Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito al infinito. A continuación, estudiamos la idea de una función con un límite infinito al infinito. Ya en la Introducción a funciones y gráficos vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas. Límites al infinito y asíntotas horizontales Recordemos que lím x → a f ( x ) = L significa f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x esté lo suficientemente cerca de a . Podemos extender esta idea a los límites al infinito. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 2 + 1 x . Como se puede ver de manera gráfico en la y numéricamente en la , cuando los valores de x aumentan, los valores de f ( x ) se acercan a 2 . Decimos que el límite cuando x tiende a ∞ de f ( x ) ¿es 2 y se escribe lím x → ∞ f ( x ) = 2 . Del mismo modo, para x < 0 , cuando los valores | x | aumentan, los valores de f ( x ) se acerca a 2 . Decimos que el límite cuando x se acerca a − ∞ de f ( x ) ¿es 2 y se escribe lím x → – ∞ f ( x ) = 2 . La función se acerca a la asíntota y = 2 cuando x se aproxima a ± ∞ . Valores de una función f cuando x → ± ∞ x 10 100 1.000 10.000 2 + 1 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 x −10 −100 −1000 −10000 2 + 1 x 1,9 1,99 1,999 1,9999 De forma más general, para cualquier función f , decimos que el límite, cuando x → ∞ de f ( x ) ¿es L si f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x es suficientemente grande. En ese caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = L . Del mismo modo, decimos que el límite cuando x → − ∞ de f ( x ) ¿es L si f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x < 0 y | x | es suficientemente grande. En ese caso, escribimos lím x → − ∞ f ( x ) = L . Ahora veremos la definición de una función que tiene un límite al infinito. Definición (Informal) Si los valores de f ( x ) se acercan arbitrariamente a L a medida que x se hace suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite al infinito y se escribe lím x → ∞ f ( x ) = L . Si los valores de f ( x ) se acerca arbitrariamente a L por x < 0 cuando | x | se hace suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite al infinito negativo y se escribe lím x → −∞ f ( x ) = L . Si los valores f ( x ) se acercan arbitrariamente a algún valor finito L a medida que x → ∞ o x → − ∞ , el gráfico de f se acerca a la línea y = L . En ese caso, la línea y = L es una asíntota horizontal de f ( ). Por ejemplo, en la función f ( x ) = 1 x , dado que lím x → ∞ f ( x ) = 0 , la línea y = 0 es una asíntota horizontal de f ( x ) = 1 x . Definición Si los valores de lím x → ∞ f ( x ) = L o lím x → − ∞ f ( x ) = L , decimos que la línea y = L es una asíntota horizontal de f . (a) Cuando x → ∞ , los valores de f se acercan arbitrariamente a L . La línea y = L es una asíntota horizontal de f . (b) Cuando x → − ∞ , los valores de f se acercan arbitrariamente a M . La línea y = M es una asíntota horizontal de f . Una función no puede cruzar una asíntota vertical porque el gráfico debe acercarse al infinito (o − ∞ ) desde al menos una dirección cuando x se acerca a la asíntota vertical. Sin embargo, una función puede intersecar una asíntota horizontal. De hecho, una función puede intersecar una asíntota horizontal un número ilimitado de veces. Por ejemplo, la función f ( x ) = ( cos x ) x + 1 que se muestra en la interseca la asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces al oscilar alrededor de la asíntota con una amplitud cada vez menor. El gráfico de f ( x ) = ( cos x ) / x + 1 interseca su asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces. Las leyes algebraicas de los límites y el teorema del emparedado que presentamos en la Introducción a los límites también se aplican a los límites al infinito. Ilustramos cómo utilizar estas leyes para calcular varios límites al infinito. Cálculo de los límites al infinito Para cada una de las siguientes funciones f , evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) . Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) de f . f ( x ) = 5 − 2 x 2 f ( x ) = sen x x f ( x ) = tan –1 ( x ) Utilizando las leyes algebraicas de los límites, tenemos lím x → ∞ ( 5 − 2 x 2 ) = lím x → ∞ 5 − 2 ( lím x → ∞ 1 x ) . ( lím x → ∞ 1 x ) = 5 − 2 . 0 = 5 . Del mismo modo, lím x → – ∞ f ( x ) = 5 . Por lo tanto, f ( x ) = 5 − 2 x 2 tiene una asíntota horizontal de y = 5 y f se acerca a esta asíntota horizontal cuando x → ± ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función se aproxima a una asíntota horizontal cuando x → ± ∞ . Dado que −1 ≤ sen x ≤ 1 para todo x , tenemos −1 x ≤ sen x x ≤ 1 x para todas las x ≠ 0 . Además, ya que lím x → ∞ −1 x = 0 = lím x → ∞ 1 x , podemos aplicar el teorema del emparedado para concluir que lím x → ∞ sen x x = 0 . Igualmente, lím x → − ∞ sen x x = 0 . Por lo tanto, f ( x ) = sen x x tiene una asíntota horizontal de y = 0 y f ( x ) se acerca a esta asíntota horizontal cuando x → ± ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función interseca su asíntota horizontal varias veces. Para evaluar lím x → ∞ tan –1 ( x ) y lím x → − ∞ tan –1 ( x ) , primero consideramos el gráfico de y = tan ( x ) en el intervalo ( − π / 2 , π / 2 ) como se muestra en la siguiente gráfica. El gráfico de tan x tiene asíntotas verticales en x = ± π 2 Dado que lím x → ( π / 2 ) − tan x = ∞ , se deduce que lím x → ∞ tan –1 ( x ) = π 2 . Del mismo modo, ya que lím x → ( –π / 2 ) + tan x = − ∞ , se deduce que lím x → − ∞ tan –1 ( x ) = − π 2 . Como resultado, y = π 2 y y = − π 2 son asíntotas horizontales de f ( x ) = tan –1 ( x ) como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene dos asíntotas horizontales. Evalúe lím x → − ∞ ( 3 + 4 x ) y lím x → ∞ ( 3 + 4 x ) . Determine las asíntotas horizontales de f ( x ) = 3 + 4 x , si las hay. Ambos límites son 3 . La línea y = 3 es una asíntota horizontal. Pista lím x → ± ∞ 1 / x = 0 Límites infinitos al infinito A veces los valores de una función f se vuelven arbitrariamente grandes a medida que x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) . En este caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ (o lím x → − ∞ f ( x ) = ∞ ) . Por otro lado, si los valores de f son negativos, pero su magnitud se vuelve arbitrariamente grande cuando x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) , escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ (o lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ ) . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 . Como se ve en la y en la , cuando x → ∞ los valores f ( x ) se vuelven arbitrariamente grandes. Por lo tanto, lím x → ∞ x 3 = ∞ . Por otro lado, cuando x → − ∞ , los valores de f ( x ) = x 3 son negativos, pero su magnitud aumenta arbitrariamente. En consecuencia, lím x → − ∞ x 3 = − ∞ . Valores de una función potencia cuando x → ± ∞ x 10 20 50 100 1.000 x 3 1.000 8.000 125.000 1.000.000 1.000.000.000 x −10 −20 −50 −100 −1000 x 3 −1000 –8.000 –125.000 −1000000 −1.000.000.000 Para esta función, los valores funcionales tienden a infinito cuando x → ± ∞ . Definición (Informal) Decimos que una función f tiene un límite infinito al infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ . si f ( x ) se vuelve arbitrariamente grande para x suficientemente grande. Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ . si f ( x ) < 0 y | f ( x ) | se vuelve arbitrariamente grande para x suficientemente grande. Del mismo modo, podemos definir los límites infinitos cuando x → − ∞ . Definiciones formales Anteriormente, utilizamos los términos arbitrariamente cercano , arbitrariamente grande y suficientemente grande para definir los límites al infinito de manera informal. Aunque estos términos proporcionan descripciones precisas de los límites al infinito, no son precisos desde el punto de vista matemático. Aquí hay definiciones más formales de los límites al infinito. A continuación, veremos cómo utilizarlas para demostrar resultados que involucran límites al infinito. Definición (Formal) Decimos que una función f tiene un límite al infinito , si existe un número real L tal que para todo ε > 0 , existe N > 0 tal que | f ( x ) − L | < ε para todos los x > N . En ese caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = L (vea la ). Decimos que una función f tiene un límite al infinito negativo si existe un número real L tal que para todo ε > 0 , existe N < 0 tal que | f ( x ) − L | < ε para todos los x < N . En ese caso, escribimos lím x → − ∞ f ( x ) = L . Para una función con límite al infinito, para toda x > N , | f ( x ) − L | < ε . Anteriormente en esta sección, utilizamos pruebas gráficas en la y pruebas numéricas en la para concluir que lím x → ∞ ( 2 + 1 x ) = 2 . Aquí utilizamos la definición formal de límite al infinito para demostrar este resultado de manera rigurosa. Ejemplo de límite finito al infinito Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que lím x → ∞ ( 2 + 1 x ) = 2 . Supongamos que ε > 0 . Supongamos que N = 1 ε . Por lo tanto, para todo x > N , tenemos | 2 + 1 x − 2 | = | 1 x | = 1 x < 1 N = ε . Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que lím x → ∞ ( 3 − 1 x 2 ) = 3 . Supongamos que ε > 0 . Supongamos que N = 1 ε . Por lo tanto, para todo x > N , tenemos | 3 − 1 x 2 − 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε Por lo tanto, lím x → ∞ ( 3 − 1 / x 2 ) = 3 . Pista Supongamos que N = 1 ε . Ahora nos centraremos en una definición más precisa para un límite infinito al infinito. Definición (Formal) Decimos que una función f tiene un límite infinito al infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ si para todo M > 0 , existe un N > 0 tal que f ( x ) > M para todos los x > N (vea la ). Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ si para todo M < 0 , existe un N > 0 tal que f ( x ) < M para todos los x > N . Del mismo modo, podemos definir los límites cuando x → − ∞ . Para una función con límite infinito al infinito, para toda x > N , f ( x ) > M . Anteriormente, utilizamos pruebas gráficas ( ) y numéricas ( ) para concluir que lím x → ∞ x 3 = ∞ . Aquí utilizamos la definición formal de límite infinito al infinito para demostrar ese resultado. Un límite infinito al infinito Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que lím x → ∞ x 3 = ∞ . Supongamos que M > 0 . Supongamos que N = M 3 . Entonces, para todos los x > N , tenemos x 3 > N 3 = ( M 3 ) 3 = M . Por lo tanto, lím x → ∞ x 3 = ∞ . Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que lím x → ∞ 3 x 2 = ∞ . Supongamos que M > 0 . Supongamos que N = M 3 . Entonces, para todos los x > N , tenemos 3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M Pista Supongamos que N = M 3 . Comportamiento final El comportamiento de una función cuando x → ± ∞ se denomina comportamiento final de la función. En cada uno de sus extremos, la función podría demostrar uno de los siguientes tipos de comportamiento: La función f ( x ) se acerca a una asíntota horizontal y = L . La función f ( x ) → ∞ o f ( x ) → − ∞ . La función no se acerca a un límite finito, ni se acerca a ∞ o − ∞ . En este caso, la función puede tener un comportamiento oscilante. Consideremos varias clases de funciones y veamos los diferentes tipos de comportamientos finales de estas funciones. Comportamiento final de las funciones polinómicas Considere la función potencia f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo. En la y la , vemos que lím x → ∞ x n = ∞ ; n = 1 , 2 , 3 ,… y lím x → − ∞ x n = { ∞ ; n = 2 , 4 , 6 ,… − ∞ ; n = 1 , 3 , 5 ,… . Para las funciones potencia con una potencia par de n , lím x → ∞ x n = ∞ = lím x → − ∞ x n . Para las funciones potencia con una potencia impar de n , lím x → ∞ x n = ∞ y lím x → − ∞ x n = − ∞ . Con estos datos, no es difícil evaluar lím x → ∞ c x n y lím x → − ∞ c x n , donde c es una constante cualquiera y n es un número entero positivo. Si los valores de c > 0 , el gráfico de y = c x n es un estiramiento o compresión vertical de y = x n , y por lo tanto lím x → ∞ c x n = lím x → ∞ x n y lím x → − ∞ c x n = lím x → − ∞ x n si c > 0 . Si los valores de c < 0 , el gráfico de y = c x n es un estiramiento o compresión vertical combinado con una reflexión sobre el eje x , y por lo tanto lím x → ∞ c x n = − lím x → ∞ x n y lím x → − ∞ c x n = − lím x → − ∞ x n si c < 0 . Si los valores de c = 0 , y = c x n = 0 , en cuyo caso lím x → ∞ c x n = 0 = lím x → − ∞ c x n . Límites al infinito para las funciones potencia Para cada función f , evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) . f ( x ) = −5 x 3 f ( x ) = 2 x 4 Dado que el coeficiente de x 3 ¿es −5 , el gráfico de f ( x ) = −5 x 3 implica un estiramiento vertical y una reflexión del gráfico de y = x 3 alrededor del eje x . Por lo tanto, lím x → ∞ ( −5 x 3 ) = − ∞ y lím x → − ∞ ( −5 x 3 ) = ∞ . Dado que el coeficiente de x 4 ¿es 2 , el gráfico de f ( x ) = 2 x 4 es un estiramiento vertical del gráfico de y = x 4 . Por lo tanto, lím x → ∞ 2 x 4 = ∞ y lím x → − ∞ 2 x 4 = ∞ . Supongamos que f ( x ) = −3 x 4 . Halle lím x → ∞ f ( x ) . – ∞ Pista El coeficiente −3 es negativo. Ahora veremos cómo los límites al infinito de las funciones potencia pueden utilizarse para determinar lím x → ± ∞ f ( x ) para cualquier función polinómica f . Considere una función polinómica f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 de grado n ≥ 1 por lo que a n ≠ 0 . Factorizando, vemos que f ( x ) = a n x n ( 1 + a n – 1 a n 1 x + … + a 1 a n 1 x n – 1 + a 0 a n 1 x n ) . Dado que x → ± ∞ , todos los términos dentro de los paréntesis se aproximan a cero excepto el primer término. Concluimos que lím x → ± ∞ f ( x ) = lím x → ± ∞ a n x n . Por ejemplo, la función f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 se comporta como g ( x ) = 5 x 3 cuando x → ± ∞ como se muestra en la y la . El comportamiento final de un polinomio se determina por el comportamiento del término con mayor exponente. El comportamiento final de un polinomio se determina por el término de mayor exponente. x 10 100 1.000 f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 4704 4.970.004 4.997.000.004 g ( x ) = 5 x 3 5.000 5000000 5.000.000.000 x −10 −100 −1000 f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 −5296 −5029996 −5002999996 g ( x ) = 5 x 3 –5.000 –5.000.000 –5.000.000.000 Comportamiento final de las funciones algebraicas El comportamiento final de las funciones racionales y de las funciones con radicales es un poco más complicado que el de los polinomios. En el , mostramos que los límites al infinito de una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) dependen de la relación entre el grado del numerador y el grado del denominador. Para evaluar los límites al infinito de una función racional, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de x que aparece en el denominador. Esto determina qué término de la expresión global domina el comportamiento de la función a grandes valores de x . Determinación del comportamiento final de las funciones racionales Para cada una de las siguientes funciones, determine los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ . A continuación, utilice esta información para describir el comportamiento final de la función. f ( x ) = 3 x – 1 2 x + 5 ( Nota: El grado del numerador y del denominador es el mismo). f ( x ) = 3 x 2 + 2 x 4 x 3 − 5 x + 7 ( Nota: El grado del numerador es menor que el grado del denominador). f ( x ) = 3 x 2 + 4 x x + 2 ( Nota: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador). La mayor potencia de x en el denominador es x . Por lo tanto, al dividir el numerador y el denominador por x y aplicando las leyes algebraicas de los límites, vemos que lím x → ± ∞ 3 x – 1 2 x + 5 = lím x → ± ∞ 3 − 1 / x 2 + 5 / x = lím x → ± ∞ ( 3 − 1 / x ) lím x → ± ∞ ( 2 + 5 / x ) = lím x → ± ∞ 3 − lím x → ± ∞ 1 / x lím x → ± ∞ 2 + lím x → ± ∞ 5 / x = 3 − 0 2 + 0 = 3 2 . Dado que lím x → ± ∞ f ( x ) = 3 2 , sabemos que y = 3 2 es una asíntota horizontal para esta función como se muestra en el siguiente gráfico El gráfico de esta función racional se aproxima a una asíntota horizontal cuando x → ± ∞ . Dado que la mayor potencia de x que aparece en el denominador es x 3 , divida el numerador y el denominador entre x 3 . Después de hacerlo y aplicando las leyes algebraicas de los límites, obtenemos lím x → ± ∞ 3 x 2 + 2 x 4 x 3 − 5 x + 7 = lím x → ± ∞ 3 / x + 2 / x 2 4 − 5 / x 2 + 7 / x 3 = 3 ( 0 ). + 2 ( 0 ). 4 − 5 ( 0 ). + 7 ( 0 ). = 0 . Por lo tanto f tiene una asíntota horizontal de y = 0 como se muestra en la siguiente gráfica. El gráfico de esta función racional se aproxima a la asíntota horizontal y = 0 cuando x → ± ∞ . Dividiendo el numerador y el denominador entre x , tenemos lím x → ± ∞ 3 x 2 + 4 x x + 2 = lím x → ± ∞ 3 x + 4 1 + 2 / x . Cuando x → ± ∞ , el denominador se acerca a 1 . Dado que x → ∞ , el numerador se acerca + ∞ . Dado que x → − ∞ , el numerador se acerca − ∞ . Por lo tanto lím x → ∞ f ( x ) = ∞ , mientras que lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ como se muestra en la siguiente figura. Cuando x → ∞ , los valores f ( x ) → ∞ . Dado que x → − ∞ , los valores f ( x ) → − ∞ . Evalúe lím x → ± ∞ 3 x 2 + 2 x – 1 5 x 2 − 4 x + 7 y utilice estos límites para determinar el comportamiento final de f ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 1 5 x 2 − 4 x + 7 . 3 5 Pista Divida el numerador y el denominador entre x 2 . Antes de continuar, considere el gráfico de f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) ( x + 2 ) que se muestra en la . Cuando x → ∞ y x → − ∞ , el gráfico de f parece casi lineal. Aunque f no es ciertamente una función lineal, ahora investigamos por qué el gráfico de f parece acercarse a una función lineal. En primer lugar, utilizando la división larga de polinomios, podemos escribir f ( x ) = 3 x 2 + 4 x x + 2 = 3 x − 2 + 4 x + 2 . Dado que 4 ( x + 2 ) → 0 cuando x → ± ∞ , concluimos que lím x → ± ∞ ( f ( x ) − ( 3 x − 2 ) ) = lím x → ± ∞ 4 x + 2 = 0 . Por lo tanto, el gráfico de f se acerca a la línea y = 3 x − 2 cuando x → ± ∞ . Esta línea se conoce como asíntota oblicua para f ( ). El gráfico de la función racional f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) / ( x + 2 ) se acerca a la asíntota oblicua y = 3 x − 2 cuando x → ± ∞ . Podemos resumir los resultados del para llegar a la siguiente conclusión sobre el comportamiento final de las funciones racionales. Consideremos una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 + … + b 1 x + b 0 , donde a n ≠ 0 y b m ≠ 0 . Si el grado del numerador es igual al grado del denominador ( n = m ) , entonces f tiene una asíntota horizontal de y = a n / b m cuando x → ± ∞ . Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador ( n < m ) , entonces f tiene una asíntota horizontal de y = 0 cuando x → ± ∞ . Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador ( n > m ) , entonces f no tiene una asíntota horizontal. Los límites al infinito son infinitos positivos o negativos, dependiendo de los signos de los términos principales. Además, utilizando la división larga, la función puede reescribirse como f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = g ( x ) + r ( x ) q ( x ) , donde el grado de r ( x ) es menor que el grado de q ( x ) . Como resultado, lím x → ± ∞ r ( x ) / q ( x ) = 0 . Por lo tanto, los valores de [ f ( x ) − g ( x ) ] se acercan a cero a medida que x → ± ∞ . Si el grado de p ( x ) es exactamente un grado más que el grado de q ( x ) ( n = m + 1 ) , la función g ( x ) es una función lineal. En este caso, denominamos a g ( x ) como asíntota oblicua. Ahora vamos a considerar el comportamiento final de las funciones que implican un radical. Determinación del comportamiento final de una función que incluye un radical Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = 3 x − 2 4 x 2 + 5 y describa el comportamiento final de f . Utilicemos la misma estrategia que para las funciones racionales: dividir el numerador y el denominador por una potencia de x . Para determinar la potencia adecuada de x , considere la expresión 4 x 2 + 5 en el denominador. Dado que 4 x 2 + 5 ≈ 4 x 2 = 2 | x | para grandes valores de x , en efecto x aparece solo a la primera potencia en el denominador. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador entre | x | . Entonces, utilizando el hecho de que | x | = x para x > 0 , | x | = − x para x < 0 , y | x | = x 2 para todas las x , calculamos los límites de la siguiente manera: lím x → ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lím x → ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lím x → ∞ ( 1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lím x → ∞ 3 − 2 / x 4 + 5 / x 2 = 3 4 = 3 2 lím x → − ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lím x → − ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lím x → − ∞ ( −1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lím x → − ∞ −3 + 2 / x 4 + 5 / x 2 = −3 4 = −3 2 . Por lo tanto, f ( x ) se acerca a la asíntota horizontal y = 3 2 cuando x → ∞ y la asíntota horizontal y = − 3 2 cuando x → − ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene dos asíntotas horizontales e interseca una de las asíntotas. Evalúe lím x → ∞ 3 x 2 + 4 x + 6 . ± 3 Pista Divida el numerador y el denominador entre | x | . Determinación del comportamiento final de las funciones trascendentales Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y no se acercan a un límite finito como x → ± ∞ . Por ejemplo, sen x oscila entre 1 y −1 ( ). La función tangente x tiene un número infinito de asíntotas verticales cuando x → ± ∞ ; por lo tanto, no se acerca a un límite finito ni a ± ∞ cuando x → ± ∞ como se muestra en la . La función f ( x ) = sen x oscila entre 1 y −1 cuando x → ± ∞ La función f ( x ) = tan x no se acerca a un límite y no se acerca a ± ∞ cuando x → ± ∞ Recuerde que para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función y = b x es una función exponencial con dominio ( − ∞ , ∞ ) y rango ( 0 , ∞ ) . Si b > 1 , y = b x aumenta en ` ( − ∞ , ∞ ) . Si 0 < b < 1 , y = b x disminuye en ( − ∞ , ∞ ) . Para la función exponencial natural f ( x ) = e x , e ≈ 2,718 > 1 . Por lo tanto, f ( x ) = e x es creciente en ` ( − ∞ , ∞ ) y el rango es ` ( 0 , ∞ ) . La función exponencial f ( x ) = e x tiende a ∞ cuando x → ∞ y se acerca a 0 cuando x → − ∞ como se muestra en la y la . Comportamiento final de la función exponencial natural x −5 −2 0 2 5 e x 0,00674 0,135 1 7,389 148,413 La función exponencial se acerca a cero cuando x → − ∞ y se acerca a ∞ cuando x → ∞ . Recordemos que la función logaritmo natural f ( x ) = ln ( x ) es la inversa de la función exponencial natural y = e x . Por lo tanto, el dominio de f ( x ) = ln ( x ) es ( 0 , ∞ ) y el rango es ( − ∞ , ∞ ) . El gráfico de f ( x ) = ln ( x ) es el reflejo del gráfico de y = e x sobre la línea y = x . Por lo tanto, ln ( x ) → − ∞ cuando x → 0 + y ln ( x ) → ∞ cuando x → ∞ como se muestra en la y la . Comportamiento final de la función logaritmo natural x 0,01 0,1 1 10 100 ln ( x ) −4,605 −2,303 0 2,303 4,605 La función del logaritmo natural se acerca a ∞ cuando x → ∞ . Determinación del comportamiento final de una función trascendental Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = ( 2 + 3 e x ) ( 7 − 5 e x ) y describa el comportamiento final de f . Para hallar el límite cuando x → ∞ , divida el numerador y el denominador entre e x : lím x → ∞ f ( x ) = lím x → ∞ 2 + 3 e x 7 − 5 e x = lím x → ∞ ( 2 / e x ) + 3 ( 7 / e x ) − 5 . Como se muestra en la , e x → ∞ cuando x → ∞ . Por lo tanto, lím x → ∞ 2 e x = 0 = lím x → ∞ 7 e x . Concluimos que lím x → ∞ f ( x ) = − 3 5 , y el gráfico de f se acerca a la asíntota horizontal y = − 3 5 a medida que x → ∞ . Para hallar el límite cuando x → − ∞ , utilice el hecho de que e x → 0 cuando x → − ∞ para concluir que lím x → ∞ f ( x ) = 2 7 , y por tanto el gráfico se acerca a la asíntota horizontal y = 2 7 a medida que x → − ∞ . Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = ( 3 e x − 4 ) ( 5 e x + 2 ) . lím x → ∞ f ( x ) = 3 5 , lím x → − ∞ f ( x ) = –2 Pista lím x → ∞ e x = ∞ y lím x → ∞ e x = 0 . Pautas para dibujar el gráfico de una función Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar los gráficos de una gran variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general cuando se grafica cualquier función. Estrategia para la resolución de problemas: Dibujar el gráfico de una función Dada una función f , utilice los siguientes pasos para dibujar un gráfico de f : Determine el dominio de la función. Localice el x y y . Evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) para determinar el comportamiento final. Si cualquiera de estos límites es un número finito L , entonces y = L es una asíntota horizontal. Si alguno de estos límites es ∞ o − ∞ , determine si f tiene una asíntota oblicua. Si los valores de f es una función racional tal que f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces f puede escribirse como f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = g ( x ) + r ( x ) q ( x ) , donde el grado de r ( x ) es menor que el grado de q ( x ) . Los valores de f ( x ) se acercan a los valores de g ( x ) cuando x → ± ∞ . Si g ( x ) es una función lineal, se conoce como asíntota oblicua . Determine si f tiene alguna asíntota vertical. Calcule f ′ . Halle todos los puntos críticos y determine los intervalos en los que f aumenta y donde f decrece. Determine si f tiene algún extremo local. Calcule f ″ . Determine los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y donde f es cóncava hacia abajo. Utilice esta información para determinar si f tiene algún punto de inflexión. La segunda derivada también puede utilizarse como medio alternativo para determinar o verificar que f tiene un extremo local en un punto crítico. Ahora vamos a utilizar esta estrategia para graficar varias funciones diferentes. Comenzamos graficando una función polinómica. Trazado del gráfico de un polinomio Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) . Paso 1. Dado que f es un polinomio, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Paso 2. Cuando x = 0 , f ( x ) = 2 . Por lo tanto, la intersección en y es ( 0 , 2 ) . Para calcular la intersección en x −intercepciones, tenemos que resolver la ecuación ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) = 0 , nos da las intersecciones en x ( 1 , 0 ) y ( –2 , 0 ) Paso 3. Tenemos que evaluar el comportamiento final de f . Dado que x → ∞ , ( x – 1 ) 2 → ∞ y ( x + 2 ) → ∞ . Por lo tanto, lím x → ∞ f ( x ) = ∞ . Dado que x → − ∞ , ( x – 1 ) 2 → ∞ y ( x + 2 ) → − ∞ . Por lo tanto, lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ . Para obtener más información sobre el comportamiento final de f , podemos multiplicar los factores de f . Al hacerlo, vemos que f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) = x 3 − 3 x + 2 . Dado que el término principal de f ¿es x 3 , concluimos que f se comporta como y = x 3 cuando x → ± ∞ . Paso 4. Dado que f es una función polinómica, no tiene asíntotas verticales. Paso 5. La primera derivada de f es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 . Por lo tanto, f tiene dos puntos críticos: x = 1 , −1 . Divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en tres intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) . A continuación, elija los puntos de prueba x = –2 , x = 0 , y x = 2 de estos intervalos y evalúe el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de derivada f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x – 1 ) ( x + 1 ) Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) ( − ) = + f aumenta. ( –1 , 1 ) grandes. x = 0 ( + ) ( − ) ( + ) = − f decrece. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 ( + ) ( + ) ( + ) = + f aumenta. En la tabla, vemos que f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 . Si evaluamos f ( x ) en esos dos puntos, encontramos que el valor máximo local es f ( –1 ) = 4 y el valor mínimo local es f ( 1 ) = 0 . Paso 6. La segunda derivada de f es f ″ ( x ) = 6 x . La segunda derivada es cero en x = 0 . Por lo tanto, para determinar la concavidad de f , dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 0 ) y ( 0 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba x = –1 y x = 1 para determinar la concavidad de f en cada uno de estos intervalos más pequeños, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x Conclusión ( − ∞ , 0 ) grandes. x = –1 − f es cóncava hacia abajo. ( 0 , ∞ ) grandes. x = 1 + f es cóncava hacia arriba. Observamos que la información del cuadro anterior confirma el hecho, que se confirma en el paso 5 , que f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 . Además, la información encontrada en el paso 5 , a saber, f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 , y f ′ ( x ) = 0 en esos puntos, combinado con el hecho de que f ″ cambia de signo solo en x = 0 , lo que confirma los resultados encontrados en el paso 6 en la concavidad de f . Combinando esta información, llegamos al gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) que se muestra en el siguiente gráfico. Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 3 ( x + 2 ) . Pista f es un polinomio de cuarto grado. Trace una función racional Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 ( 1 − x 2 ) . Paso 1. La función f se define siempre que el denominador no sea cero. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales x excepto x = ± 1 . Paso 2. Calcule las intersecciones. Si los valores de x = 0 , entonces f ( x ) = 0 , por lo que 0 es una intersección. Si los valores de y = 0 , entonces x 2 ( 1 − x 2 ) = 0 , lo que implica x = 0 . Por lo tanto, ( 0 , 0 ) es la única intersección. Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Dado que f es una función racional, divida el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador: x 2 . Obtenemos lím x → ± ∞ x 2 1 − x 2 = lím x → ± ∞ 1 1 x 2 – 1 = −1 . Por lo tanto, f tiene una asíntota horizontal de y = −1 cuando x → ∞ y x → − ∞ . Paso 4. Para determinar si f tiene alguna asíntota vertical, compruebe en primer lugar si el denominador tiene algún cero. Encontramos que el denominador es cero cuando x = ± 1 . Para determinar si las líneas x = 1 o x = −1 son asíntotas verticales de f , evalúe lím x → 1 f ( x ) y lím x → − 1 f ( x ) . Al considerar cada límite unilateral cuando x → 1 , vemos que lím x → 1 + x 2 1 − x 2 = − ∞ y lím x → 1 − x 2 1 − x 2 = ∞ . Además, al considerar cada límite unilateral cuando x → − 1 , hallamos que lím x → − 1 + x 2 1 − x 2 = ∞ y lím x → − 1 − x 2 1 − x 2 = − ∞ . Paso 5. Calcule la primera derivada: f ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) ( 2 x ) − x 2 ( −2 x ) ( 1 − x 2 ) 2 = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 . Los puntos críticos se producen en los puntos x donde f ′ ( x ) = 0 o f ′ ( x ) es indefinida. Vemos que f ′ ( x ) = 0 cuando x = 0 . La derivada f ′ no está indefinida en ningún punto del dominio de f . Sin embargo, el que x = ± 1 no son del dominio de f . Por lo tanto, para determinar dónde f aumenta y donde f decrece, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en cuatro intervalos más pequeños: ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) , y elija un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Los valores x = –2 , x = − 1 2 , x = 1 2 , y x = 2 son buenas opciones para los puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 − / + = − f decrece. ( –1 , 0 ) grandes. x = −1 / 2 − / + = − f decrece. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 / 2 + / + = + f aumenta. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f aumenta. De este análisis, concluimos que f tiene un mínimo local en x = 0 y ningún máximo local. Paso 6. Calcule la segunda derivada: f ″ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 2 ( 2 ) − 2 x ( 2 ( 1 − x 2 ) ( −2 x ) ) ( 1 − x 2 ) 4 = ( 1 − x 2 ) [ 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ] ( 1 − x 2 ) 4 = 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ( 1 − x 2 ) 3 = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 . Para determinar los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y donde f es cóncava hacia abajo, primero tenemos que hallar todos los puntos x donde f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Dado que el numerador 6 x 2 + 2 ≠ 0 para cualquier x , f ″ ( x ) nunca es cero. Además, f ″ no está indefinido para ninguna x en el dominio de f . Sin embargo, como se comentó anteriormente, x = ± 1 no son del dominio de f . Por lo tanto, para determinar la concavidad de f , dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en tres intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , –1 ) , y ( 1 , ∞ ) , y elegimos un punto de prueba en cada uno de estos intervalos para evaluar el signo de f ″ ( x ) . en cada uno de estos intervalos. Los valores x = –2 , x = 0 , y x = 2 son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 + / − = − f es cóncava hacia abajo. ( –1 , –1 ) grandes. x = 0 + / + = + f es cóncava hacia arriba. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / − = − f es cóncava hacia abajo. Combinando toda esta información, llegamos al gráfico de f que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que, aunque f cambia la concavidad en x = –1 y x = 1 , no hay puntos de inflexión en ninguno de estos lugares ya que f no es continua en x = −1 o x = 1 . Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( 3 x + 5 ) ( 8 + 4 x ) . Pista Una línea y = L es una asíntota horizontal de f si el límite, dado que x → ∞ o el límite dado que x → − ∞ de f ( x ) ¿es L . La línea A x = a es una asíntota vertical si al menos uno de los límites unilaterales de f cuando x → a ¿es ∞ o − ∞ . Trazado de una función racional con asíntota oblicua Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 ( x – 1 ) Paso 1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales x excepto x = 1 . Paso 2. Calcule las intersecciones. Podemos ver que cuando x = 0 , f ( x ) = 0 , tal que ( 0 , 0 ) es la única intersección. Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Ya que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, f debe tener una asíntota oblicua. Para hallar la asíntota oblicua, utilice la división larga de polinomios para escribir f ( x ) = x 2 x – 1 = x + 1 + 1 x – 1 . Dado que 1 / ( x – 1 ) → 0 cuando x → ± ∞ , f ( x ) se acerca a la línea y = x + 1 cuando x → ± ∞ . La línea y = x + 1 es una asíntota oblicua para f . Paso 4. Para comprobar la existencia de asíntotas verticales, observe dónde el denominador es cero. Aquí el denominador es cero en x = 1 . Observando los dos límites unilaterales cuando x → 1 , tenemos lím x → 1 + x 2 x – 1 = ∞ y lím x → 1 − x 2 x – 1 = − ∞ . Por lo tanto, x = 1 es una asíntota vertical, y determinamos el comportamiento de f cuando x se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda. Paso 5. Calcule la primera derivada: f ′ ( x ) = ( x – 1 ) ( 2 x ) − x 2 ( 1 ) ( x – 1 ) 2 = x 2 − 2 x ( x – 1 ) 2 . Tenemos f ′ ( x ) = 0 cuando x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) = 0 . Por lo tanto, x = 0 y x = 2 son puntos críticos. Dado que f es indefinida en x = 1 , tenemos que dividir el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , y ( 2 , ∞ ) , y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Por ejemplo, supongamos que x = −1 , x = 1 2 , x = 3 2 , y x = 3 son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = x 2 − 2 x ( x – 1 ) 2 = x ( x − 2 ) ( x – 1 ) 2 Conclusión ( − ∞ , 0 ) grandes. x = –1 ( − ) ( − ) / + = + f aumenta. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 / 2 ( + ) ( − ) / + = − f decrece. ( 1 , 2 ) grandes. x = 3 / 2 ( + ) ( − ) / + = − f decrece. ( 2 , ∞ ) grandes. x = 3 ( + ) ( + ) / + = + f aumenta. En esta tabla, vemos que f tiene un máximo local en x = 0 y un mínimo local en x = 2 . El valor de f en el máximo local es f ( 0 ) = 0 y el valor de f en el mínimo local es f ( 2 ) = 4 . Por lo tanto, ( 0 , 0 ) y ( 2 , 4 ) son puntos importantes en el gráfico. Paso 6. Calcule la segunda derivada: f ″ ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( 2 x − 2 ) − ( x 2 − 2 x ) ( 2 ( x – 1 ) ) ( x – 1 ) 4 = ( x – 1 ) [ ( x – 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ] ( x – 1 ) 4 = ( x – 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ( x – 1 ) 3 = 2 x 2 − 4 x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x ) ( x – 1 ) 3 = 2 ( x – 1 ) 3 . Vemos que f ″ ( x ) nunca es cero o indefinido para x en el dominio de f . Dado que f es indefinida en x = 1 , para comprobar la concavidad simplemente dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en dos intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de f ″ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Los valores x = 0 y x = 2 son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 2 ( x – 1 ) 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 + / − = − f es cóncava hacia abajo. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f es cóncava hacia arriba. A partir de la información recopilada, llegamos al siguiente gráfico para f . Halle la asíntota oblicua para f ( x ) = ( 3 x 3 − 2 x + 1 ) ( 2 x 2 − 4 ) . y = 3 2 x Pista Utilice la división larga de polinomios. Trazado del gráfico de una función con cúspide Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 / 3 . Paso 1. Como la función raíz cúbica está definida para todos los números reales x y ( x – 1 ) 2 / 3 = ( x – 1 3 ) 2 , el dominio de f son todos números reales. Paso 2: Para calcular la intersección en y , evalúe f ( 0 ) . Dado que f ( 0 ) = 1 , la columna y es ( 0 , 1 ) . Para calcular la intersección en x resuelva ( x – 1 ) 2 / 3 = 0 . La solución de esta ecuación es x = 1 , por lo que la intersección en x es ( 1 , 0 ) . Paso 3: Dado que lím x → ± ∞ ( x – 1 ) 2 / 3 = ∞ , la función sigue creciendo sin límites cuando x → ∞ y x → − ∞ . Paso 4: La función no tiene asíntotas verticales. Paso 5: Para determinar dónde f aumenta o disminuye, calcule f ′ . Hallamos f ′ ( x ) = 2 3 ( x – 1 ) –1 / 3 = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 . Esta función no es cero en ningún sitio, pero es indefinida cuando x = 1 . Por lo tanto, el único punto crítico es x = 1 . Divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba en cada uno de estos intervalos para determinar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Supongamos que x = 0 y x = 2 son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 + / − = − f decrece. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f aumenta. Concluimos que f tiene un mínimo local en x = 1 . Si evaluamos f en x = 1 , encontramos que el valor de f en el mínimo local es cero. Observe que f ′ ( 1 ) es indefinido, por lo que para determinar el comportamiento de la función en este punto crítico, tenemos que examinar lím x → 1 f ′ ( x ) . Al observar los límites unilaterales tenemos lím x → 1 + 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 = ∞ y lím x → 1 − 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 = − ∞ . Por lo tanto, f tiene una cúspide en x = 1 . Paso 6: Para determinar la concavidad, calculamos la segunda derivada de f : f ″ ( x ) = − 2 9 ( x – 1 ) −4 / 3 = −2 9 ( x – 1 ) 4 / 3 . Tenemos que f ″ ( x ) se define para todos las x , pero es indefinido cuando x = 1 . Por lo tanto, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba para evaluar el signo de f ″ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Como hicimos anteriormente, dejemos que x = 0 y x = 2 sean los puntos de prueba tal como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = −2 9 ( x – 1 ) 4 / 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 − / + = − f es cóncava hacia abajo. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 − / + = − f es cóncava hacia abajo. De este cuadro se deduce que f es cóncavo hacia abajo en todas partes. Combinando toda esta información, llegamos al siguiente gráfico para f . Considere la función f ( x ) = 5 − x 2 / 3 . Determine el punto de el gráfico donde se encuentra una cúspide. Determine el comportamiento final de f . La función f tiene una cúspide en ( 0 , 5 ) lím x → 0 − f ′ ( x ) = ∞ , lím x → 0 + f ′ ( x ) = − ∞ . Para el comportamiento final, lím x → ± ∞ f ( x ) = − ∞ . Pista Una función f tiene una cúspide en un punto a si f ( a ) existe, f ′ ( a ) es indefinido, uno de los límites unilaterales cuando x → a de f ′ ( x ) ¿es + ∞ , y el otro límite unilateral es − ∞ . Conceptos clave El límite de f ( x ) ¿es L a medida que x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) si los valores f ( x ) se acercan arbitrariamente a L a medida que x aumenta lo suficiente. El límite de f ( x ) ¿es ∞ cuando x → ∞ si f ( x ) aumenta arbitrariamente a medida que la x aumenta lo suficiente. El límite de f ( x ) ¿es − ∞ cuando x → ∞ si f ( x ) < 0 y | f ( x ) | aumenta arbitrariamente a medida que x aumenta lo suficiente. Podemos definir el límite de f ( x ) cuando x se acerca a − ∞ de forma similar. Para una función polinómica p ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 , donde a n ≠ 0 , el comportamiento final está determinado por el término principal a n x n . Si n ≠ 0 , p ( x ) se acerca a ∞ o − ∞ en cada extremo. Para una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , el comportamiento final está determinado por la relación entre el grado de p y el grado de q . Si el grado de p es menor que el grado de q , la línea y = 0 es una asíntota horizontal para f . Si el grado de p es igual al grado de q , entonces la línea y = a n b n es una asíntota horizontal, donde a n y b n son los coeficientes principales de p y q , respectivamente. Si el grado de p es mayor que el grado de q , entonces f se acerca a ∞ o − ∞ en cada extremo. Examine los gráficos en los siguientes ejercicios. Identifique dónde se encuentran las asíntotas verticales. x = 1 x = −1 , x = 2 x = 0 En las siguientes funciones f ( x ) , determine si existe una asíntota en x = a . Justifique su respuesta sin graficarla en una calculadora. f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = –1 f ( x ) = x x − 2 , a = 2 Sí, hay una asíntota vertical f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = –2 f ( x ) = ( x – 1 ) –1 / 3 , a = 1 Sí, hay asíntota vertical f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1 En los siguientes ejercicios, evalúe el límite. lím x → ∞ 1 3 x + 6 0 lím x → ∞ 2 x − 5 4 x lím x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2 ∞ lím x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8 lím x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4 − 1 7 lím x → ∞ 3 x x 2 + 1 lím x → − ∞ 4 x 2 – 1 x + 2 −2 lím x → ∞ 4 x x 2 – 1 lím x → − ∞ 4 x x 2 – 1 −4 lím x → ∞ 2 x x – x + 1 En los siguientes ejercicios, halle las asíntotas horizontales y verticales. f ( x ) = x − 9 x Horizontal: ninguno, vertical: x = 0 f ( x ) = 1 1 − x 2 f ( x ) = x 3 4 − x 2 Horizontal: ninguno, vertical: x = ± 2 f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1 f ( x ) = sen ( x ) sen ( 2 x ) Horizontal: ninguno, vertical: ninguno f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) grandes. f ( x ) = x sen ( x ) x 2 – 1 Horizontal y = 0 , vertical: x = ± 1 f ( x ) = x sen ( x ) grandes. f ( x ) = 1 x 3 + x 2 Horizontal y = 0 , vertical: x = 0 y x = –1 f ( x ) = 1 x – 1 − 2 x f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1 Horizontal y = 1 , vertical: x = 1 f ( x ) = sen x + cos x sen x − cos x f ( x ) = x − sen x Horizontal: ninguno, vertical: ninguno f ( x ) = 1 x – x En los siguientes ejercicios, construya una función f ( x ) que tiene las asíntotas dadas. x = 1 y y = 2 Las respuestas variarán, por ejemplo: y = 2 x x – 1 x = 1 y y = 0 y = 4 , x = –1 Las respuestas variarán, por ejemplo: y = 4 x x + 1 x = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la función en una calculadora gráfica en la ventana x = [ −5 , 5 ] y estime la asíntota horizontal o límite. A continuación, calcule la asíntota o límite horizontal real. [T] f ( x ) = 1 x + 10 y = 0 [T] f ( x ) = x + 1 x 2 + 7 x + 6 [T] lím x → − ∞ x 2 + 10 x + 25 ∞ [T] lím x → − ∞ x + 2 x 2 + 7 x + 6 [T] lím x → ∞ 3 x + 2 x + 5 y = 3 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de las funciones sin utilizar la calculadora. Asegúrese de observar todas las características importantes del gráfico: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico. y = 3 x 2 + 2 x + 4 y = x 3 − 3 x 2 + 4 y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5 y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9 y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4 y = x 2 − 5 x + 4 y = 2 x 16 − x 2 y = cos x x , sobre x = [ −2 π , 2 π ] y = e x – x 3 y = x tan x , x = [ − π , π ] y = x ln ( x ) , x > 0 y = x 2 sen ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ] Para f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) para tener una asíntota en y = 2 entonces los polinomios P ( x ) y Q ( x ) ¿qué relación debe tener? Para f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) para tener una asíntota en x = 0 , entonces los polinomios P ( x ) y Q ( x ) . ¿qué relación debe tener? P ( 0 ) ≠ 0 y Q ( x ) = 0 Si f ′ ( x ) tiene asíntotas en y = 3 y x = 1 , entonces f ( x ) ¿qué asíntotas tiene? Tanto f ( x ) = 1 ( x – 1 ) y g ( x ) = 1 ( x – 1 ) 2 tienen asíntotas en x = 1 y y = 0 . ¿Cuál es la diferencia más evidente entre estas dos funciones? lím x → 1 − f ( x ) = −∞ y lím x → 1 − g ( x ) = ∞ Verdadero o falso: Todo cociente de un polinomio tiene asíntotas verticales. comportamiento final el comportamiento de una función cuando x → ∞ y x → − ∞ asíntota horizontal si lím x → ∞ f ( x ) = L o lím x → − ∞ f ( x ) = L , entonces y = L es una asíntota horizontal de f límite infinito al infinito una función que se hace arbitrariamente grande a medida que x se hace grande límite al infinito el valor límite, si existe, de una función cuando x → ∞ o x → − ∞ asíntota oblicua la línea y = m x + b si f ( x ) se acerca a ella cuando x → ∞ o x → − ∞", "section": "Límites al infinito y asíntotas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Problemas de optimización aplicados Una aplicación común del cálculo es el cálculo del valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, con frecuencia las empresas desean minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, con frecuencia es conveniente minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un determinado volumen. En esta sección, mostraremos cómo plantear estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo. Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad concreta que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición adicional que debe satisfacerse. Por ejemplo, en el , estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos ampliando las longitudes laterales del jardín, la superficie seguirá siendo mayor. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en cuanto a la cantidad de vallas que podemos utilizar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer el jardín tan grande como queremos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro. Cómo maximizar la superficie de un jardín Se va a construir un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y vallas de alambre para los otros tres lados ( ). Dados 100 ft de alambrado, determine las dimensiones que crearían un jardín de máxima superficie. ¿Cuál es el área máxima? Queremos determinar las medidas x como y que crearán un jardín con una superficie máxima utilizando 100 pies de valla. Supongamos que x denota la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca y y denota la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces la superficie del jardín es A = x . y . Queremos hallar la máxima superficie posible sujeta a la condición de que el total del cercado sea de 100 pies . Según la , la cantidad total de alambrado utilizado será 2 x + y . Por lo tanto, la ecuación de restricción es 2 x + y = 100 . Resolviendo esta ecuación para y , tenemos y = 100 − 2 x . Así, podemos escribir el área como A ( x ) = x . ( 100 − 2 x ) = 100 x − 2 x 2 . Antes de intentar maximizar la función de área A ( x ) = 100 x − 2 x 2 , tenemos que determinar el dominio considerado. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos x > 0 y y > 0 . Dado que y = 100 − 2 x , si y > 0 , entonces x < 50 . Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de A ( x ) para x sobre el intervalo abierto ( 0 , 50 ) . No sabemos que una función tenga necesariamente un valor máximo en un intervalo abierto. Sin embargo, sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función A ( x ) = 100 x − 2 x 2 sobre el intervalo cerrado [ 0 , 50 ] . Si el valor máximo se produce en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor x en el intervalo abierto ( 0 , 50 ) que maximiza la superficie del jardín. Por lo tanto, analizaremos el siguiente problema: Maximice A ( x ) = 100 x − 2 x 2 en el intervalo [ 0 , 50 ] . Como se mencionó anteriormente, ya que A es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, según el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos se producen en los puntos extremos o en los puntos críticos. En los puntos extremos, A ( x ) = 0 . Dado que el área es positiva para todos las x en el intervalo abierto ( 0 , 50 ) , el máximo debe producirse en un punto crítico. Diferenciación de la función A ( x ) , obtenemos A ′ ( x ) = 100 − 4 x . Por lo tanto, el único punto crítico es x = 25 ( ). Llegamos a la conclusión de que el área máxima debe producirse cuando x = 25 . Entonces tenemos y = 100 − 2 x = 100 − 2 ( 25 ) = 50 . Para maximizar la superficie del jardín, supongamos que x = 25 ft y y = 50 pies . La superficie de este jardín es de 1.250 pies 2 . Para maximizar el área del jardín, necesitamos hallar el valor máximo de la función A ( x ) = 100 x − 2 x 2 . Determine el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en la , pero tenemos 200 pies de valla. La superficie máxima es 5.000 pies 2 . Pista Necesitamos maximizar la función A ( x ) = 200 x − 2 x 2 en el intervalo [ 0 , 100 ] . Veamos ahora una estrategia general para resolver problemas de optimización similares al . Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de problemas de optimización Introduzca todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y marque todas las variables. Determine qué cantidad debe ser maximizada o minimizada, y para qué rango de valores de las otras variables (si se puede determinar en este momento). Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede incluir más de una variable. Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3 . Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable. Identifique el dominio de consideración de la función en el paso 4 en función del problema físico que hay que resolver. Localice el valor máximo o mínimo de la función a partir del paso 4 . Este paso suele implicar la búsqueda de puntos críticos y la evaluación de una función en los puntos extremos. Ahora apliquemos esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material a utilizar. Cómo maximizar el volumen de una caja La caja abierta se fabricará de 24 in por 36 in de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿De qué tamaño es el cuadrado que hay que cortar en cada esquina para obtener una caja con el máximo volumen? Paso 1: Supongamos que x es la longitud del lado del cuadrado que hay que quitar de cada esquina ( ). A continuación, las cuatro solapas restantes pueden plegarse para formar una caja con tapa abierta. Supongamos que V es el volumen de la caja resultante. Se retira un cuadrado con longitud de lado de x in de cada esquina del trozo de cartón. Las solapas restantes se doblan para formar una caja con tapa abierta. Paso 2: Intentaremos maximizar el volumen de una caja. Por lo tanto, el problema es maximizar V . Paso 3: Como se menciona en el paso 2 , se intenta maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es V = L . W . H , donde L , W , y H son la longitud, la anchura y la altura, respectivamente. Paso 4: En la , vemos que la altura de la caja es x in, la longitud es de 36 − 2 x in, y el ancho es 24 − 2 x pulgadas. Por lo tanto, el volumen de la caja es V ( x ) = ( 36 − 2 x ) ( 24 − 2 x ) x = 4 x 3 − 120 x 2 + 864 x . Paso 5: Para determinar el dominio de consideración, examinemos la . En efecto, necesitamos x > 0 . Además, la longitud del lado del cuadrado no puede ser mayor o igual que la mitad de la longitud del lado más corto, 24 in; de lo contrario, una de las solapas quedaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si hay un volumen máximo de la caja para x sobre el intervalo abierto ( 0 , 12 ) . Dado que V es una función continua en el intervalo cerrado [ 0 , 12 ] , sabemos que V tendrá un máximo absoluto en el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos V sobre el intervalo cerrado [ 0 , 12 ] y comprobar si el máximo absoluto se produce en un punto interior. Paso 6: Dado que V ( x ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 0 , 12 ] , V debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Dado que V ( x ) = 0 en los puntos extremos y V ( x ) > 0 por 0 < x < 12 , el máximo debe producirse en un punto crítico. La derivada es V ′ ( x ) = 12 x 2 − 240 x + 864 . Para hallar los puntos críticos, tenemos que resolver la ecuación 12 x 2 − 240 x + 864 = 0 . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre 12 , el problema se simplifica a la resolución de la ecuación x 2 − 20 x + 72 = 0 . Al utilizar la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son x = 20 ± ( −20 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 72 ) 2 = 20 ± 112 2 = 20 ± 4 7 2 = 10 ± 2 7 . Dado que 10 + 2 7 no está en el dominio de consideración, el único punto crítico que debemos considerar es 10 − 2 7 . Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos que x = 10 − 2 7 in . El volumen máximo es V ( 10 − 2 7 ) = 640 + 448 7 ≈ 1.825 in . 3 como se muestra en el siguiente gráfico. Maximizar el volumen de la caja lleva a hallar el valor máximo de un polinomio cúbico. Vea un video sobre la optimización del volumen de una caja. Supongamos que las dimensiones del cartón en el son de 20 in por 30 in. Supongamos que x es la longitud de los lados de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta en función de x . Determine el dominio de consideración para x . V ( x ) = x ( 20 − 2 x ) ( 30 − 2 x ) . El dominio es [ 0 , 10 ] . Pista El volumen de la caja es L . W . H . Minimizar el tiempo de viaje Una isla está a 2 mi hacia el norte de su punto más cercano a lo largo de una línea de costa recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la costa que está a 6 mi al oeste de ese punto. El visitante planea ir de la cabaña a la isla. Supongamos que el visitante corre a una tasa de 8 mph y nada a una tasa de 3 mph . ¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla? Paso 1: Supongamos que x es la distancia que tiene que correr y que y es la distancia que tiene que nadar ( ). Supongamos que T es el tiempo que el visitante tarda en ir de la cabaña a la isla. ¿Cómo podemos elegir x como y para minimizar el tiempo de viaje desde la cabaña hasta la isla? Paso 2: El problema es minimizar T . Paso 3: Para hallar el tiempo empleado en ir de la cabaña a la isla, sume el tiempo empleado en correr y el tiempo empleado en nadar. Desde la distancia = Tasa × Tiempo ( D = R × T ) , el tiempo dedicado a correr es T corriendo = D corriendo R corriendo = x 8 , y el tiempo de natación es T nadando = D nadando R nadando = y 3 . Por lo tanto, el tiempo total de viaje es T = x 8 + y 3 . Paso 4: Según la , el segmento de línea de y millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 2 mi y 6 − x mi . Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, 2 2 + ( 6 − x ) 2 = y 2 , y obtenemos y = ( 6 − x ) 2 + 4 . Así, el tiempo total de viaje viene dado por la función T ( x ) = x 8 + ( 6 − x ) 2 + 4 3 . Paso 5: En la , vemos que 0 ≤ x ≤ 6 . Por lo tanto, [ 0 , 6 ] es el dominio de consideración. Paso 6: Dado que T ( x ) es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, tiene un máximo y un mínimo. Empecemos por buscar los puntos críticos de T en el intervalo [ 0 , 6 ] . La derivada es T ′ ( x ) = 1 8 − 1 2 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] −1 / 2 3 . 2 ( 6 − x ) = 1 8 − ( 6 − x ) 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . Si los valores de T ′ ( x ) = 0 , entonces 1 8 = 6 − x 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . Por lo tanto, 3 ( 6 − x ) 2 + 4 = 8 ( 6 − x ) . Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, vemos que si x satisface esta ecuación, entonces x debe satisfacer 9 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] = 64 ( 6 − x ) 2 , lo que implica 55 ( 6 − x ) 2 = 36 . Concluimos que si x es un punto crítico, entonces x satisface ( x − 6 ) 2 = 36 55 . Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son x = 6 ± 6 55 . Dado que x = 6 + 6 / 55 no está en el dominio, esta no es una posibilidad para un punto crítico. Por otro lado, x = 6 − 6 / 55 está en el dominio. Como hemos elevado al cuadrado ambos lados de la para llegar a los posibles puntos críticos, queda por comprobar que x = 6 − 6 / 55 satisface la . Dado que x = 6 − 6 / 55 sí satisface esa ecuación, concluimos que x = 6 − 6 / 55 es un punto crítico, y es el único. Para justificar que el tiempo se minimiza para este valor de x , solo tenemos que comprobar los valores de T ( x ) en los puntos finales x = 0 y x = 6 , y compararlos con el valor de T ( x ) en el punto crítico x = 6 − 6 / 55 . Hallamos que T ( 0 ) ≈ 2,108 h y T ( 6 ) ≈ 1,417 h, mientras que T ( 6 − 6 / 55 ) ≈ 1,368 h . Por lo tanto, concluimos que T tiene un mínimo local en x ≈ 5,19 mi. Supongamos que la isla está a 1 mi desde la costa, y que la distancia desde la cabaña hasta el punto de la costa más cercano a la isla es de 15 mi . Supongamos que un visitante nada a la tasa de 2,5 mph y corre a una tasa de 6 mph . Supongamos que x denota la distancia que el visitante correrá antes de nadar, y halle una función para el tiempo que tarda el visitante en llegar de la cabaña a la isla. T ( x ) = x 6 + ( 15 − x ) 2 + 1 2,5 Pista El tiempo T = T corriendo + T nadando . En los negocios, las empresas están interesadas en maximizar los ingresos . En el siguiente ejemplo, analizamos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre el número de autos que puede alquilar, en función del precio que cobra a sus clientes por alquilárselos. Utilicemos estos datos para determinar el precio que debe cobrar la empresa para maximizar la cantidad de dinero que ingresa. Maximizando los ingresos Los propietarios de una empresa de alquiler de autos han determinado que si cobran a los clientes p dólares diarios por el alquiler un auto, donde 50 ≤ p ≤ 200 , el número de autos n que alquilan por día puede ser modelada por la función lineal n ( p ) = 1.000 − 5 p . Si cobran $ 50 por día o menos, alquilarán todos sus automóviles. Si cobran $ 200 por día o más, no alquilarán ningún automóvil. Suponiendo que los propietarios planeen cobrar a los clientes entre $50 diarios y $ 200 diarios por el alquiler de un auto, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos? Paso 1: Supongamos que p es el precio que se cobra por auto y por día, y que n es el número de autos alquilados por día. Supongamos que R son los ingresos por día. Paso 2: El problema es maximizar R . Paso 3: Los ingresos (diarios) son iguales al número de autos alquilados por día multiplicado por el precio cobrado por auto por día, es decir, R = n × p . Paso 4: Dado que el número de autos alquilados diariamente se modela mediante la función lineal n ( p ) = 1.000 − 5 p , los ingresos R puede representarse mediante la función R ( p ) = n × p = ( 1.000 − 5 p ) p = −5 p 2 + 1.000 p . Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre $ 50 por automóvil por día y $ 200 por automóvil por día, el problema es hallar el máximo ingreso R ( p ) por p en el intervalo cerrado [ 50 , 200 ] . Paso 6: Dado que R es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 50 , 200 ] , tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para hallar el valor máximo, busque los puntos críticos. La derivada es R ′ ( p ) = −10 p + 1.000 . Por lo tanto, el punto crítico es p = 100 Cuando p = 100 , R ( 100 ) = $ 50 000 . Cuando p = 50 , R ( p ) = $ 37.500 . Cuando p = 200 , R ( p ) = $ 0 . Por lo tanto, el máximo absoluto se produce en p = $ 100 . La empresa de alquiler de autos debería cobrar $ 100 diarios por auto para maximizar los ingresos, como se muestra en la siguiente figura. Para maximizar los ingresos, una empresa de alquiler de autos tiene que equilibrar el precio del alquiler con el número de autos que se alquilarán a ese precio. Una empresa de alquiler de autos cobra a sus clientes p dólares por día, donde 60 ≤ p ≤ 150 . Se concluye que el número de autos que se alquilan por día puede modelarse mediante la función lineal n ( p ) = 750 − 5 p . ¿Cuánto debe cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos? La empresa debe cobrar $ 75 por auto y por día. Pista R ( p ) = n × p , donde n es el número de autos alquilados y p es el precio que se cobra por cada uno. Cómo maximizar el área de un rectángulo inscrito Un rectángulo debe inscribirse en la elipse x 2 4 + y 2 = 1 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? ¿Cuál es el área máxima? Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Supongamos que L es la longitud del rectángulo y que W es su anchura. Supongamos que A es el área del rectángulo. Queremos maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse. Paso 2: El problema es maximizar A . Paso 3: El área del rectángulo es A = L W . Paso 4: Supongamos que ( x , y ) es la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la . Podemos escribir la longitud L = 2 x y la anchura W = 2 y . Dado que x 2 4 + y 2 = 1 y y > 0 , tenemos y = 1 − x 2 4 . Por lo tanto, el área es A = L W = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x 1 − x 2 4 = 2 x 4 − x 2 . Paso 5: En la , vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la coordenada x de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer 0 < x < 2 . Por lo tanto, el problema se reduce a buscar el valor máximo de A ( x ) sobre el intervalo abierto ( 0 , 2 ) . Dado que A ( x ) tendrá un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en el intervalo cerrado [ 0 , 2 ] , consideramos A ( x ) = 2 x 4 − x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . Si el máximo absoluto ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado un máximo absoluto en el intervalo abierto. Paso 6: Como se mencionó anteriormente, A ( x ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 0 , 2 ] . Por lo tanto, tiene un máximo (y un mínimo) absoluto. En los puntos extremos x = 0 y x = 2 , A ( x ) = 0 . Para 0 < x < 2 , A ( x ) > 0 . Por lo tanto, el máximo debe producirse en un punto crítico. Tomando la derivada de A ( x ) , obtenemos A ′ ( x ) = 2 4 − x 2 + 2 x . 1 2 4 − x 2 ( −2 x ) = 2 4 − x 2 − 2 x 2 4 − x 2 = 8 − 4 x 2 4 − x 2 . Para hallar los puntos críticos, tenemos que encontrar dónde A ′ ( x ) = 0 . Podemos ver que si x es una solución de 8 − 4 x 2 4 − x 2 = 0 , entonces x debe satisfacer 8 − 4 x 2 = 0 . Por lo tanto, x 2 = 2 . Por lo tanto, x = ± 2 son las posibles soluciones de la . Dado que estamos considerando x en el intervalo [ 0 , 2 ] , x = 2 es una posibilidad para un punto crítico, pero x = − 2 no lo es. Por lo tanto, comprobamos si 2 es una solución de la . Dado que x = 2 es una solución de la , concluimos que 2 es el único punto crítico de A ( x ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Por lo tanto, A ( x ) debe tener un máximo absoluto en el punto crítico x = 2 . Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos hallar la longitud L y la anchura W . Si x = 2 entonces y = 1 − ( 2 ) 2 4 = 1 − 1 2 = 1 2 . Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son L = 2 x = 2 2 y W = 2 y = 2 2 = 2 . El área de este rectángulo es A = L W = ( 2 2 ) ( 2 ) = 4 . Modificar la función de área A si el rectángulo debe inscribirse en el círculo unitario x 2 + y 2 = 1 . ¿Cuál es el dominio de consideración? A ( x ) = 4 x 1 − x 2 . El dominio de consideración es [ 0 , 1 ] . Pista Si los valores de ( x , y ) es el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuadrante, entonces el área del cuadrado es A = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x y . Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado En los ejemplos anteriores, hemos considerado funciones sobre dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, teníamos la garantía de que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora las funciones cuyo dominio no es ni cerrado ni acotado. Muchas funciones siguen teniendo al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no es cerrado o no está acotado. Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 + 4 en ( − ∞ , ∞ ) tiene un mínimo absoluto de 4 en x = 0 . Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios no acotados o intervalos abiertos y determinar si tienen algún extremo absoluto. En el siguiente ejemplo, trataremos de minimizar una función sobre un dominio no acotado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es ( 0 , ∞ ) , la función tiene un mínimo absoluto. En el siguiente ejemplo, veremos la construcción de una caja de mínima superficie con un volumen prescrito. No es difícil demostrar que para una caja de tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen determinado, un cubo tendrá la menor área superficial. En consecuencia, consideraremos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen especificado tiene la menor área superficial. Minimizar el área superficial Se construirá una caja rectangular con una base cuadrada, una tapa abierta y un volumen de 216 in 3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar su área superficial? ¿Cuál es el área superficial mínima? Paso 1: Dibuje una caja rectangular e introduzca la variable x para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada; supongamos que y representa la altura de la caja. Supongamos que S denota el área superficial de la caja abierta. Queremos minimizar el área superficial de una caja de base cuadrada con un volumen determinado. Paso 2: Tenemos que minimizar el área superficial. Por lo tanto, tenemos que minimizar S . Paso 3: Como la caja tiene la parte superior abierta, solo tenemos que determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es x . y . El área de la base es x 2 . Por lo tanto, el área superficial de la caja es S = 4 x y + x 2 . Paso 4: Como el volumen de esta caja es x 2 y y el volumen viene dado por 216 in . 3 , la ecuación de restricción es x 2 y = 216 . Al resolver la ecuación de la restricción para y , tenemos y = 216 x 2 . Por lo tanto, podemos escribir el área superficial en función de x solamente: S ( x ) = 4 x ( 216 x 2 ) + x 2 . Por lo tanto, S ( x ) = 864 x + x 2 . Paso 5: Dado que requerimos que x 2 y = 216 , no podemos tener x = 0 . Por lo tanto, necesitamos x > 0 . Por otro lado, x puede tener cualquier valor positivo. Observe que, a medida que x se hace grande, la altura de la caja y se vuelve proporcionalmente pequeña, de modo que x 2 y = 216 . Del mismo modo, como x se hace pequeño, la altura de la caja se hace consecuentemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto y no acotado ( 0 , ∞ ) . Observe que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a la búsqueda de un máximo o un mínimo absoluto en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo ( 0 , ∞ ) . Paso 6: Observe que, a medida que x → 0 + , S ( x ) → ∞ . Además, como x → ∞ , S ( x ) → ∞ . Dado que S es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en alguna x ∈ ( 0 , ∞ ) . Este mínimo debe producirse en un punto crítico de S . La derivada es S ′ ( x ) = − 864 x 2 + 2 x . Por lo tanto, S ′ ( x ) = 0 cuando 2 x = 864 x 2 . Al resolver esta ecuación para x , obtenemos x 3 = 432 , por lo que x = 432 3 = 6 2 3 . Dado que este es el único punto crítico de S , el mínimo absoluto debe producirse en x = 6 2 3 (vea la ). Cuando x = 6 2 3 , y = 216 ( 6 2 3 ) 2 = 3 2 3 in . Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser x = 6 2 3 in . y y = 3 2 3 in . Con estas dimensiones, el área superficial es S ( 6 2 3 ) = 864 6 2 3 + ( 6 2 3 ) 2 = 108 4 3 in . 2 Podemos utilizar un gráfico para determinar las dimensiones de una caja con un volumen y área superficial mínima dados. Consideremos la misma caja abierta, que debe tener un volumen 216 in . 3 . Supongamos que el costo del material para la base es 20 ¢ / in . 2 y el costo del material para los laterales es 30 ¢ / in . 2 y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escriba el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Supongamos que x es la longitud del lado de la base y y es la altura de la caja) c ( x ) = 259,2 x + 0,2 x 2 dólares Pista Si el costo de uno de los lados es de 30 ¢ / in . 2 , el costo de ese lado es de 0,30 x y . Conceptos clave Para resolver un problema de optimización, hay que empezar por hacer un dibujo e introducir variables. Halle una ecuación que relacione las variables. Halle una función de una variable para describir la cantidad que se quiere minimizar o maximizar. Busque los puntos críticos para localizar los extremos locales. En los siguientes ejercicios, responda mediante una prueba, un contraejemplo o una explicación. Cuando halla el máximo de un problema de optimización, ¿por qué hay que comprobar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos? Los puntos críticos pueden ser los mínimos, los máximos o ninguno de ellos. ¿Por qué hay que comprobar los puntos extremos en los problemas de optimización? Verdadero o falso . Para toda función continua no lineal, se puede hallar el valor x que maximiza la función. Falso; y = − x 2 solo tiene un mínimo Verdadero o falso . En toda función continua no constante en un dominio cerrado y finito, existe al menos una x que minimiza o maximiza la función. En los siguientes ejercicios, establezca y evalúe cada problema de optimización. Para llevar una maleta en un avión, la longitud + ancho + altura de la caja debe ser menor o igual a 62 in . Suponiendo que la base de la maleta es cuadrada, demuestre que el volumen es V = h ( 31 − ( 1 2 ) h ) 2 . ¿Qué altura le permite tener el mayor volumen? h = 62 3 pulgadas Está construyendo una caja de cartón con dimensiones 2 m por 4 m . A continuación, corte cuadrados de igual tamaño de cada esquina para poder doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen? Calcule el número entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco. 1 Calcule dos números enteros positivos tales que su suma sea 10 , y minimice y maximice la suma de sus cuadrados. En los siguientes ejercicios, considere la construcción de un corral para encerrar un área. Usted tiene 400 pies de vallas para construir un corral rectangular para el ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del corral para maximizar el área? 100 pies por 100 pies Usted tiene 800 pies de vallas para construir un corral para cerdos. Si tiene un río en un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza la superficie? Es necesario construir una valla alrededor de una zona de 1.600 pies 2 . ¿Cuáles son las dimensiones del corral rectangular para minimizar la cantidad de material necesario? 40 pies por 40 pies Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a la tierra. El primer polo tiene 20 pies de altura y el segundo poste tiene 10 pies de altura. Hay una distancia de 30 pies entre los dos polos. ¿Dónde debe anclarse el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesaria? [T] Se está mudando a un nuevo apartamento y nota que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de 8 ft a 6 ft . ¿Cuál es la longitud del artículo más largo que puede pasar horizontalmente por la esquina? 19,73 pies . El pulso de un paciente es de 70 lpm, 80 lpm, y luego de 120 lpm . Para determinar una medida precisa del pulso, el médico debe saber qué valor minimiza la expresión ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + ( x − 120 ) 2 ? ¿Qué valor lo minimiza? En el problema anterior, supongamos que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + 1 2 ( x − 120 ) 2 ? 84 lpm Usted y sus amigos pueden correr a una velocidad de 6 mph y nadar a una velocidad de 3 mph y se encuentran en la orilla, 4 millas al este de una isla que está a 1 milla al norte de la costa. ¿A qué distancia deben correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla? En los siguientes problemas, considere un socorrista en una piscina circular con diámetro de 40 m . Debe alcanzar a alguien que se está ahogando en el lado opuesto de la piscina, en la posición C . El socorrista nada con una velocidad v y corre alrededor de la piscina a una velocidad w = 3 v . Halle una función que mida el tiempo total que se tarda en llegar al ahogado en función del ángulo de nado, θ . T ( θ ) = 40 θ 3 v + 40 cos θ v Halle en qué ángulo θ el socorrista debe nadar para llegar al ahogado en el menor tiempo posible. Un camión utiliza la gasolina como g ( v ) = a v + b v , donde v representa la velocidad del camión y g representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible? v = b a En los siguientes ejercicios, considere una limusina que logre m ( v ) = ( 120 − 2 v ) 5 mi/gal a velocidad v , los costos del chófer son de $15/h , y los de la gasolina son de $ 3,5 / gal . Halle el costo por milla a la velocidad v . Halle la velocidad de conducción más económica. aproximadamente 34,02 mph En los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de R ( x ) = a x y costos C ( x ) = b + c x + d x 2 , donde x representa el número de pizzas. Halle la función de beneficio para el número de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan el mayor beneficio por pizza? Supongamos que R ( x ) = 10 x y C ( x ) = 2 x + x 2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio? 4 Supongamos que R ( x ) = 15 x , y C ( x ) = 60 + 3 x + 1 2 x 2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio? En los siguientes ejercicios, considere un cable de 4 pies de largo cortado en dos trozos. Una pieza forma un círculo de radio r y la otra forma un cuadrado de lado x . Elija x para maximizar la suma de sus áreas. 0 Elija x para minimizar la suma de sus áreas. En los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos x como y de manera que x + y = 10 . Maximice y minimice las cantidades. x y Máximo: x = 5 , y = 5 ; mínimo: x = 0 , y = 10 y y = 0 , x = 10 x 2 y 2 y − 1 x Máximo: x = 1 , y = 9 ; mínimo: ninguno x 2 − y En los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo. Halle el volumen del cilindro circular recto más grande que quepa en una esfera de radio 1 . 4 π 3 3 Halle el volumen del cono recto más grande que quepa en una esfera de radio 1 . Halle el área del rectángulo más grande que quepa en un triángulo de lados x = 0 , y = 0 y x 4 + y 6 = 1 . 6 Halle el volumen más grande de un cilindro que quepa en un cono que tiene un radio de base R y altura h . Halle las dimensiones del volumen del cilindro cerrado V = 16 π que tenga la menor área superficial. r = 2 , h = 4 Halle las dimensiones de un cono recto con un área superficial S = 4 π que tenga el mayor volumen. En los siguientes ejercicios, considere los puntos de los gráficos dadas. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones. [T] ¿Dónde está la línea y = 5 − 2 x más cercana al origen? ( 2 , 1 ) [T] ¿Dónde está la línea y = 5 − 2 x más cercano al punto ( 1 , 1 ) ? [T] ¿Dónde está la parábola y = x 2 más cercano al punto ( 2 , 0 ) ? ( 0,8351 , 0,6974 ) [T] ¿Dónde está la parábola y = x 2 más cercano al punto ( 0 , 3 ) ? En los siguientes ejercicios, establezca, pero no evalúe, cada problema de optimización. Una ventana se compone de un semicírculo colocado sobre un rectángulo. Si tiene 20 pies de materiales para el marco exterior de la ventana, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede obtener? Utilice la sustitución en r para representar el radio del semicírculo. A = 20 r − 2 r 2 – 1 2 π r 2 Tiene una hilera en el jardín de 20 plantas de sandía que producen un promedio de 30 sandías cada una. Por cada planta de sandía adicional que se plante, la producción por planta de sandía disminuye en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales debe plantar? Está construyendo una caja para que su gato duerma. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta $ 5 / pies 2 y el material para los laterales cuesta $ 2 / pies 2 . Necesita una caja con un volumen de 4 pies 3 . Halle las dimensiones de la caja que minimicen el costo. Utilice la sustitución en x para representar la longitud del lado de la caja. C ( x ) = 5 x 2 + 32 x Al diferenciar, establecer la derivada en cero y resolver, obtenemos x = 16 5 3 y h = 25 4 3 . Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con una superficie total de 1.000 m 2 , como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debe utilizar para minimizar la cantidad de vallas? Usted es el administrador de un complejo de apartamentos de 50 . Cuando fija el alquiler en $ 800 / mes, todos los apartamentos están alquilados. Cuando aumenta la renta en $ 25 / mes, alquila un apartamento menos. Los costos de mantenimiento son $ 50 / mes por cada unidad ocupada. ¿Cuál es el monto de alquiler que maximiza la cantidad total de beneficios? P ( x ) = ( 50 − x ) ( 800 + 25 x − 50 ) problemas de optimización problemas que se resuelven encontrando el valor máximo o mínimo de una función", "section": "Problemas de optimización aplicados", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "La regla de L'Hôpital En esta sección, examinaremos una poderosa herramienta para evaluar los límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L'Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En vez de basarnos en pruebas numéricas para conjeturar que existe un límite, demostraremos definitivamente que existe un límite y determinaremos su valor exacto. Aplicación de la regla de L'Hôpital La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar límites que implican el cociente de dos funciones. Considere lím x → a f ( x ) g ( x ) . Si lím x → a f ( x ) = L 1 y lím x → a g ( x ) = L 2 ≠ 0 , entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = L 1 L 2 . Sin embargo, ¿qué ocurre si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 ? A esta la llamamos una de las formas indeterminadas , del tipo 0 0 . Se considera una forma indeterminada porque no podemos determinar el comportamiento exacto de f ( x ) g ( x ) cuando x → a sin mayor análisis. Ya hemos visto ejemplos de esto en el texto. Por ejemplo, considere lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 y lím x → 0 sen x x . En el primero de estos ejemplos, podemos evaluar el límite factorizando el numerador y escribiendo lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 . Para lím x → 0 sen x x pudimos demostrar, mediante un argumento geométrico, que lím x → 0 sen x x = 1 . Aquí utilizamos una técnica diferente para evaluar este tipo de límites, que no solo proporciona una manera más fácil de evaluarlos, sino que también, y esto es lo más importante, nos brinda una manera de evaluar muchos otros límites que no podíamos calcular anteriormente. La idea que subyace a la regla de L'Hôpital puede explicarse mediante aproximaciones lineales locales. Consideremos dos funciones diferenciables f y g de manera que lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) y tal que g ′ ( a ) ≠ 0 Para x cerca de a , podemos escribir f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) y g ( x ) ≈ g ( a ) + g ′ ( a ) ( x – a ) . Por lo tanto, f ( x ) g ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) g ( a ) + g ′ ( a ) ( x – a ) . Si los valores de lím x → a f ( x ) = lím x → a g ( x ) , entonces la relación f ( x ) / g ( x ) es aproximadamente igual a la relación de sus aproximaciones lineales cerca de a . Dado que f es diferenciable en a , entonces f es continua en a , y por lo tanto f ( a ) = lím x → a f ( x ) = 0 . Del mismo modo, g ( a ) = lím x → a g ( x ) = 0 . Si además suponemos que f ′ y g ′ son continuas en x = a , entonces f ′ ( a ) = lím x → a f ′ ( x ) y g ′ ( a ) = lím x → a g ′ ( x ) . Al utilizar estas ideas, concluimos que lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) ( x – a ) g ′ ( x ) ( x – a ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . Tenga en cuenta que la suposición de que f ′ y g ′ son continuas en a y g ′ ( a ) ≠ 0 puede relajarse. Enunciamos la regla de L'Hôpital formalmente para la forma indeterminada 0 0 . También hay que tener en cuenta que la notación 0 0 no significa que estemos dividiendo realmente cero entre cero. Más bien, utilizamos la notación 0 0 para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es cero. Regla de L'Hôpital (Caso 0/0) Supongamos que f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en a . Si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 , entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞ . Este resultado también es válido si consideramos límites unilaterales, o si a = ∞ y − ∞ . Prueba Proporcionamos una demostración de este teorema en el caso especial en el que f , g , f ′ , y g ′ son todos continuos en un intervalo abierto que contiene a . En ese caso, ya que lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) y f y g son continuas en a , se deduce que f ( a ) = 0 = g ( a ) . Por lo tanto, lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) dado que f ( a ) = 0 = g ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a g ( x ) − g ( a ) x – a álgebra = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a lím x → a g ( x ) − g ( a ) x – a límite de un cociente = f ′ ( a ) g ′ ( a ) definición de la derivada = lím x → a f ′ ( x ) lím x → a g ′ ( x ) continuidad de f ′ y g ′ = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . límite de un cociente Observe que la regla de L'Hôpital establece que podemos calcular el límite de un cociente f g considerando el límite del cociente de las derivadas f ′ g ′ . Es importante percatarse de que no estamos calculando la derivada del cociente f g . □ Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0) Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital. lím x → 0 1 − cos x x lím x → 1 sen ( π x ) ln x lím x → ∞ e 1 / x – 1 1 / x lím x → 0 sen x – x x 2 Dado que el numerador 1 − cos x → 0 y el denominador x → 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar este límite. Tenemos lím x → 0 1 − cos x x = lím x → 0 d d x ( 1 − cos x ) d d x ( x ) = lím x → 0 sen x 1 = lím x → 0 ( sen x ) lím x → 0 ( 1 ) = 0 1 = 0, Dado que x → 1 , el numerador sen ( π x ) → 0 y el denominador ln ( x ) → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → 1 sen ( π x ) ln x = lím x → 1 π cos ( π x ) 1 / x = lím x → 1 ( π x ) cos ( π x ) = ( π . 1 ) ( –1 ) = − π . Dado que x → ∞ , el numerador e 1 / x – 1 → 0 y el denominador ( 1 x ) → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → ∞ e 1 / x – 1 1 x = lím x → ∞ e 1 / x ( −1 x 2 ) ( −1 x 2 ) = lím x → ∞ e 1 / x = e 0 = 1 . Dado que x → 0 , tanto el numerador como el denominador se acercan a cero. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → 0 sen x – x x 2 = lím x → 0 cos x – 1 2 x . Dado que el numerador y el denominador de este nuevo cociente se aproximan a cero a medida que x → 0 , volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Al hacerlo, vemos que lím x → 0 cos x – 1 2 x = lím x → 0 − sen x 2 = 0 . Por lo tanto, concluimos que lím x → 0 sen x – x x 2 = 0 . Evalúe lím x → 0 x tan x . 1 Pista d d x tan x = sec 2 x También podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de los cocientes f ( x ) g ( x ) en la que f ( x ) → ± ∞ y g ( x ) → ± ∞ . Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas del tipo ∞ / ∞ . Note de nuevo que en realidad no estamos dividiendo ∞ entre ∞ . Dado que ∞ no es un número real, eso es imposible; más bien, ∞ / ∞ . se utiliza para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es ∞ o − ∞ . La regla de L'Hôpital ( ∞ / ∞ Caso) Supongamos que f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en a . Supongamos que lím x → a f ( x ) = ∞ (o − ∞ ) y lím x → a g ( x ) = ∞ (o − ∞ ) . Entonces, lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞ . Este resultado también es válido si el límite es infinito, si a = ∞ o − ∞ , o el límite es unilateral. Aplicación de la regla de L'Hôpital ( ∞ / ∞ Caso) Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital. lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 lím x → 0 + ln x cot x Dado que 3 x + 5 y 2 x + 1 son polinomios de primer grado con coeficientes líderes positivos, lím x → ∞ ( 3 x + 5 ) = ∞ y lím x → ∞ ( 2 x + 1 ) = ∞ . Por lo tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital y obtenemos lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 / x = lím x → ∞ 3 2 = 3 2 . Observe que este límite también puede calcularse sin recurrir a la regla de L'Hôpital. Anteriormente en el capítulo mostramos cómo evaluar dicho límite dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de x en el denominador. Al hacerlo, vimos que lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 = lím x → ∞ 3 + 5 / x 2 x + 1 / x = 3 2 . La regla de L'Hôpital nos proporciona un medio alternativo para evaluar este tipo de límite. Aquí, lím x → 0 + ln x = − ∞ y lím x → 0 + cot x = ∞ . Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener lím x → 0 + ln x cot x = lím x → 0 + 1 / x − csc 2 x = lím x → 0 + 1 − x csc 2 x . Ahora, dado que x → 0 + , csc 2 x → ∞ . Por lo tanto, el primer término del denominador se acerca a cero y el segundo término se hace muy grande. En ese caso, puede ocurrir cualquier cosa con el producto. Por lo tanto, todavía no podemos sacar ninguna conclusión. Para evaluar el límite, utilizamos la definición de csc x para escribir lím x → 0 + 1 − x csc 2 x = lím x → 0 + sen 2 x – x . Ahora lím x → 0 + sen 2 x = 0 y lím x → 0 + x = 0 , por lo que volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Encontramos lím x → 0 + sen 2 x – x = lím x → 0 + 2 sen x cos x −1 = 0 −1 = 0 . Concluimos que lím x → 0 + ln x cot x = 0 . Evalúe lím x → ∞ ln x 5 x . 0 Pista d d x ln x = 1 x Como se ha dicho, la regla de L'Hôpital es una herramienta muy útil para evaluar los límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente f ( x ) g ( x ) , es fundamental que el límite de f ( x ) g ( x ) sea de la forma 0 0 o ∞ / ∞ . Considere el siguiente ejemplo. Casos en que no se aplica la regla de L'Hôpital Considere que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 . Demuestre que el límite no se puede evaluar aplicando la regla de L'Hôpital. Como los límites del numerador y del denominador no son ambos cero y no son ambos infinitos, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Si intentamos hacerlo, obtendremos d d x ( x 2 + 5 ) = 2 x y d d x ( 3 x + 4 ) = 3 . En ese momento concluiríamos erróneamente que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = lím x → 1 2 x 3 = 2 3 . Sin embargo, como lím x → 1 ( x 2 + 5 ) = 6 y lím x → 1 ( 3 x + 4 ) = 7 , en realidad tenemos lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = 6 7 . Podemos concluir que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 ≠ lím x → 1 d d x ( x 2 + 5 ) d d x ( 3 x + 4 ) . Explique por qué no podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → 0 + cos x x . Evalúe lím x → 0 + cos x x por otros medios. lím x → 0 + cos x = 1 . Por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. El límite del cociente es ∞ Pista Determine los límites del numerador y del denominador por separado. Otras formas indeterminadas La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que implican las formas indeterminadas 0 0 y ∞ / ∞ . Sin embargo, también podemos utilizar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones 0 . ∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , y 0 0 se consideran formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación nos daremos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entenderemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . Forma indeterminada del tipo 0 . ∞ Supongamos que queremos evaluar lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) , donde f ( x ) → 0 y g ( x ) → ∞ (o − ∞ ) cuando x → a . Dado que un término del producto se aproxima a cero pero el otro término se hace arbitrariamente grande (en magnitud), al producto le puede pasar cualquier cosa. Utilizamos la notación 0 . ∞ para denotar la forma que surge en esta situación. La expresión 0 . ∞ se considera indeterminada porque sin más análisis no podemos determinar el comportamiento exacto del producto f ( x ) g ( x ) cuando x → a . Por ejemplo, supongamos que n es un número entero positivo y considere f ( x ) = 1 ( x n + 1 ) y g ( x ) = 3 x 2 . Dado que x → ∞ , f ( x ) → 0 y g ( x ) → ∞ . Sin embargo, el límite cuando x → ∞ de f ( x ) g ( x ) = 3 x 2 ( x n + 1 ) varía, dependiendo de n . Si n = 2 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 3 . Si n = 1 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = ∞ . Si n n = 3 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 0 . Aquí consideramos otro límite que implica la forma indeterminada 0 . ∞ y mostramos cómo reescribir la función como cociente para utilizar la regla de L'Hôpital. Forma indeterminada del tipo 0 . ∞ Evalúe lím x → 0 + x ln x . En primer lugar, reescriba la función x ln x como cociente para aplicar la regla de L'Hôpital. Si escribimos x ln x = ln x 1 / x , vemos que ln x → − ∞ cuando x → 0 + y 1 x → ∞ cuando x → 0 + . Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener lím x → 0 + ln x 1 / x = lím x → 0 + d d x ( ln x ) d d x ( 1 / x ) = lím x → 0 + 1 / x −1 / x 2 = lím x → 0 + ( − x ) = 0 . Concluimos que lím x → 0 + x ln x = 0 . Encontrar el límite en x = 0 de la función f ( x ) = x ln x . Evalúe lím x → 0 x cot x . 1 Pista Escriba x cot x = x cos x sen x Forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ Otro tipo de forma indeterminada es ∞ − ∞ . Considere el siguiente ejemplo. Supongamos que n es un número entero positivo y que f ( x ) = 3 x n y g ( x ) = 3 x 2 + 5 . Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ y g ( x ) → ∞ . Estamos interesados en lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) . Dependiendo de si f ( x ) crece más rápido, g ( x ) crece más rápido, o crecen a la misma tasa, y como veremos a continuación, cualquier cosa puede suceder en este límite. Dado que f ( x ) → ∞ y g ( x ) → ∞ , escribimos ∞ − ∞ para denotar la forma de este límite. Al igual que con nuestras otras formas indeterminadas, ∞ − ∞ no tiene ningún significado por sí mismo y debemos hacer más análisis para determinar el valor del límite. Por ejemplo, supongamos que el exponente n en la función f ( x ) = 3 x n es n n = 3 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x 3 − 3 x 2 − 5 ) = ∞ . Por otro lado, si n = 2 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x 2 − 3 x 2 − 5 ) = −5 . Sin embargo, si n = 1 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x − 3 x 2 − 5 ) = − ∞ . Por lo tanto, el límite no puede determinarse considerando únicamente ∞ − ∞ . A continuación vemos cómo reescribir una expresión que implica la forma indeterminada ∞ − ∞ como fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ Evalúe lím x → 0 + ( 1 x 2 – 1 tan x ) . Al combinar las fracciones, podemos escribir la función como un cociente. Dado que el mínimo común denominador es x 2 tan x , tenemos 1 x 2 – 1 tan x = ( tan x ) − x 2 x 2 tan x . Dado que x → 0 + , el numerador tan x – x 2 → 0 y el denominador x 2 tan x → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Tomando las derivadas del numerador y del denominador, tenemos lím x → 0 + ( tan x ) − x 2 x 2 tan x = lím x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x . Dado que x → 0 + , ( sec 2 x ) − 2 x → 1 y x 2 sec 2 x + 2 x tan x → 0 . Dado que el denominador es positivo cuando x se acerca a cero por la derecha, concluimos que lím x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x = ∞ . Por lo tanto, lím x → 0 + ( 1 x 2 – 1 tan x ) = ∞ . Evalúe lím x → 0 + ( 1 x – 1 sen x ) . 0 Pista Reescriba la diferencia de fracciones como una sola fracción. Otro tipo de forma indeterminada que surge al evaluar límites involucra a los exponentes. Las expresiones 0 0 , ∞ 0 , y 1 ∞ son todas formas indeterminadas. Por sí solas, estas expresiones no tienen sentido porque no podemos evaluarlas como lo haríamos con una expresión que incluya números reales. Más bien, estas expresiones representan formas que surgen al encontrar los límites. Ahora examinaremos cómo podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites que implican estas formas indeterminadas. Dado que la regla de L'Hôpital se aplica a los cocientes, utilizamos la función logarítmica natural y sus propiedades para reducir un problema que evalúa un límite que involucra exponentes a un problema relacionado que involucra un límite de un cociente. Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar lím x → a f ( x ) g ( x ) y llegamos a la forma indeterminada ∞ 0 . (Las formas indeterminadas 0 0 y 1 ∞ se pueden manejar de manera similar) Procedamos de la siguiente manera. Supongamos que y = f ( x ) g ( x ) . Entonces, ln y = ln ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) ln ( f ( x ) ) . Por lo tanto, lím x → a [ ln ( y ) ] = lím x → a [ g ( x ) ln ( f ( x ) ) ] . Dado que lím x → a f ( x ) = ∞ , sabemos que lím x → a ln ( f ( x ) ) = ∞ . Por lo tanto, lím x → a g ( x ) ln ( f ( x ) ) es de la forma indeterminada 0 . ∞ , y podemos utilizar las técnicas discutidas anteriormente para reescribir la expresión g ( x ) ln ( f ( x ) ) de manera tal que podamos aplicar la regla de L'Hôpital. Supongamos que lím x → a g ( x ) ln ( f ( x ) ) = L , donde L puede ser ∞ o − ∞ . Entonces lím x → a [ ln ( y ) ] = L . Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que ln ( lím x → a y ) = L , que nos da lím x → a y = lím x → a f ( x ) g ( x ) = e L . Forma indeterminada del tipo ∞ 0 Evalúe lím x → ∞ x 1 / x . Supongamos que y = x 1 / x . Entonces, ln ( x 1 / x ) = 1 x ln x = ln x x . Tenemos que evaluar lím x → ∞ ln x x . Aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos lím x → ∞ ln y = lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 1 / x 1 = 0 . Por lo tanto, lím x → ∞ ln y = 0 . Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que ln ( lím x → ∞ y ) = 0 , lo que lleva a lím x → ∞ y = lím x → ∞ ln x x = e 0 = 1 . Por lo tanto, lím x → ∞ x 1 / x = 1 . Evalúe lím x → ∞ x 1 / ln ( x ) . e Pista Supongamos que y = x 1 / ln ( x ) y aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación. Forma indeterminada del tipo 0 0 Evalúe lím x → 0 + x sen x . Supongamos que y = x sen x . Por lo tanto, ln y = ln ( x sen x ) = sen x ln x . Ahora evaluamos lím x → 0 + sen x ln x . Dado que lím x → 0 + sen x = 0 y lím x → 0 + ln x = − ∞ , tenemos la forma indeterminada 0 . ∞ . Para aplicar la regla de L'Hôpital, tenemos que reescribir sen x ln x como fracción. Podríamos escribir sen x ln x = sen x 1 / ln x o sen x ln x = ln x 1 / sen x = ln x csc x . Consideremos la primera opción. En este caso, al aplicar la regla de L'Hôpital, obtendríamos lím x → 0 + sen x ln x = lím x → 0 + sen x 1 / ln x = lím x → 0 + cos x −1 / ( x ( ln x ) 2 ) = lím x → 0 + ( − x ( ln x ) 2 cos x ) . Desafortunadamente, no solo tenemos otra expresión que implica la forma indeterminada 0 . ∞ , sino que el nuevo límite es aún más complicado de evaluar que aquel con el que empezamos. En su lugar, probamos la segunda opción. Al escribir sen x ln x = ln x 1 / sen x = ln x csc x , y aplicar la regla de L'Hôpital, obtenemos lím x → 0 + sen x ln x = lím x → 0 + ln x csc x = lím x → 0 + 1 / x − csc x cot x = lím x → 0 + −1 x csc x cot x . Si utilizamos el hecho de que csc x = 1 sen x y cot x = cos x sen x , podemos reescribir la expresión del lado derecho como lím x → 0 + − sen 2 x x cos x = lím x → 0 + [ sen x x . ( − tan x ) ] = ( lím x → 0 + sen x x ) . ( lím x → 0 + ( − tan x ) ) = 1 . 0 = 0 . Concluimos que lím x → 0 + ln y = 0 . Por lo tanto, ln ( lím x → 0 + y ) = 0 y tenemos lím x → 0 + y = lím x → 0 + x sen x = e 0 = 1 . Por lo tanto, lím x → 0 + x sen x = 1 . Evalúe lím x → 0 + x x . 1 Pista Supongamos que y = x x y tomemos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Tasas de crecimiento de las funciones Supongamos que las funciones f y g ambas se acercan al infinito como x → ∞ . Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de x se hacen lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápido que la otra. Por ejemplo, f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x 3 ambas se acercan al infinito como x → ∞ . Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de x 3 crecen mucho más rápido que los valores de x 2 . Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 y x 3 x 10 100 1.000 10.000 f ( x ) = x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 g ( x ) = x 3 1.000 1.000.000 1.000.000.000 1.000.000.000.000 De hecho, lím x → ∞ x 3 x 2 = lím x → ∞ x = ∞ . o, de forma equivalente, lím x → ∞ x 2 x 3 = lím x → ∞ 1 x = 0 . En consecuencia, decimos que x 3 crece más rápidamente que x 2 cuando x → ∞ . Por otro lado, para f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , aunque los valores de g ( x ) son siempre mayores que los valores de f ( x ) para x > 0 , cada valor de g ( x ) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de f ( x ) cuando x → ∞ , como se muestra en la siguiente tabla. De hecho, lím x → ∞ x 2 3 x 2 + 4 x + 1 = 1 3 . Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 y 3 x 2 + 4 x + 1 x 10 100 1.000 10.000 f ( x ) = x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 g ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 341 30.401 3004001 300.040.001 En este caso, decimos que x 2 y 3 x 2 + 4 x + 1 crecen a la misma tasa que x → ∞ . En términos más generales, supongamos que f y g son dos funciones que se aproximan al infinito dado que x → ∞ . Decimos g crece más rápidamente que f cuando x → ∞ si lím x → ∞ g ( x ) f ( x ) = ∞ ; o, de forma equivalente, lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 0 . Por otro lado, si existe una constante M ≠ 0 tal que lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = M , decimos que f y g crecen a la misma tasa que x → ∞ . A continuación veremos cómo utilizar la regla de L'Hôpital para comparar las tasas de crecimiento de las funciones potencia, exponencial y logarítmica. Comparación de las tasas de crecimiento de ln ( x ) , x 2 , y e x Para cada uno de los siguientes pares de funciones, utilice la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ ( f ( x ) g ( x ) ) . f ( x ) = x 2 y g ( x ) = e x f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = x 2 Dado que lím x → ∞ x 2 = ∞ y lím x → ∞ e x = ∞ , podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ [ x 2 e x ] . Obtenemos lím x → ∞ x 2 e x = lím x → ∞ 2 x e x . Dado que lím x → ∞ 2 x = ∞ y lím x → ∞ e x = ∞ , podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital. Dado que lím x → ∞ 2 x e x = lím x → ∞ 2 e x = 0 , concluimos que lím x → ∞ x 2 e x = 0 . Por lo tanto, e x crece más rápidamente que x 2 cuando x → ∞ (Vea la y la ) Una función exponencial crece más rápido que una función potencia. Tasas de crecimiento de una función potencia y una función exponencial. x 5 10 15 20 x 2 25 100 225 400 e x 148 22026 3269017 485165195 Dado que lím x → ∞ ln x = ∞ y lím x → ∞ x 2 = ∞ , podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ ln x x 2 . Obtenemos lím x → ∞ ln x x 2 = lím x → ∞ 1 / x 2 x = lím x → ∞ 1 2 x 2 = 0 . Por lo tanto, x 2 crece más rápidamente que ln x a medida que x → ∞ (vea la y la ) Una función potencia crece más rápido que una función logarítmica. Tasas de crecimiento de una función potencia y de una función logarítmica x 10 100 1.000 10.000 ln ( x ) 2,303 4,605 6,908 9,210 x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 Compare las tasas de crecimiento de x 100 y 2 x . La función 2 x crece más rápido que x 100 . Pista Aplique la regla de L'Hôpital a x 100 / 2 x Utilizando las mismas ideas que en el a. no es difícil demostrar que e x crece más rápidamente que x p para cualquier p > 0 . En la y la , comparamos e x con la x 3 y x 4 cuando x → ∞ . La función exponencial e x crece más rápido que x p para cualquier p > 0 . (a) Una comparación de e x con la x 3 . (b) Una comparación de e x con la x 4 . Una función exponencial crece más rápido que cualquier función potencia x 5 10 15 20 x 3 125 1.000 3375 8.000 x 4 625 10.000 50.625 160.000 e x 148 22026 3269017 485165195 Del mismo modo, no es difícil demostrar que x p crece más rápidamente que ln x para cualquier p > 0 . En la y la , comparamos ln x con la x 3 y x . La función y = ln ( x ) crece más lentamente que x p para cualquier p > 0 cuando x → ∞ . Una función logarítmica crece a un ritmo más lento que cualquier función raíz x 10 100 1.000 10.000 ln ( x ) 2,303 4,605 6,908 9,210 x 3 2,154 4,642 10 21,544 x 3,162 10 31,623 100 Conceptos clave La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar el límite de un cociente cuando aparece la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que implique un cociente que tenga la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . La función exponencial e x crece más rápido que cualquier función potencia x p , p > 0 . La función logarítmica ln x crece más lentamente que cualquier función potencia x p , p > 0 . En los siguientes ejercicios, evalúe el límite. Evalúe el límite lím x → ∞ e x x . Evalúe el límite lím x → ∞ e x x k . ∞ Evalúe el límite lím x → ∞ ln x x k . Evalúe el límite lím x → a x – a x 2 − a 2 , a ≠ 0 . 1 2 a Evalúe el límite lím x → a x – a x 3 − a 3 , a ≠ 0 . Evalúe el límite lím x → a x – a x n − a n , a ≠ 0 . 1 n a n – 1 En los siguientes ejercicios, determine si puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital. Explique por qué sí o por qué no. A continuación, indique si hay alguna forma de modificar el límite para poder aplicar la regla de L'Hôpital. lím x → 0 + x 2 ln x lím x → ∞ x 1 / x No se puede aplicar directamente; hay que utilizar logaritmos lím x → 0 x 2 / x lím x → 0 x 2 1 / x No se puede aplicar directamente; reescriba como lím x → 0 x 3 lím x → ∞ e x x En los siguientes ejercicios, evalúe los límites con la regla de L'Hôpital o con los métodos previamente aprendidos. lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 6 lím x → 3 x 2 − 9 x + 3 lím x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x −2 lím x → π / 2 cos x π 2 − x lím x → π x − π sen x −1 lím x → 1 x – 1 sen x lím x → 0 ( 1 + x ) n – 1 x n lím x → 0 ( 1 + x ) n – 1 − n x x 2 lím x → 0 sen x − tan x x 3 − 1 2 lím x → 0 1 + x – 1 − x x lím x → 0 e x – x – 1 x 2 1 2 lím x → 0 + tan x x lím x → 1 x – 1 ln x 1 lím x → 0 ( x + 1 ) 1 / x lím x → 1 x – x 3 x – 1 1 6 lím x → 0 + x 2 x lím x → ∞ x sen ( 1 x ) grandes. 1 lím x → 0 sen x – x x 2 lím x → 0 + x ln ( x 4 ) grandes. 0 lím x → ∞ ( x − e x ) grandes. lím x → ∞ x 2 e – x 0 lím x → 0 3 x − 2 x x lím x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x −1 lím x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x lím x → ∞ x e 1 / x ∞ lím x → 0 + x 1 / cos x lím x → 0 + x 1 / x 0 lím x → 0 – ( 1 − 1 x ) x lím x → ∞ ( 1 − 1 x ) x 1 e En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego use la regla de L'Hôpital para encontrar el límite directamente. [T] lím x → 0 e x – 1 x [T] lím x → 0 x sen ( 1 x ) grandes. 0 [T] lím x → 1 x – 1 1 − cos ( π x ) [T] lím x → 1 e ( x – 1 ) − 1 x – 1 1 [T] lím x → 1 ( x – 1 ) 2 ln x [T] lím x → π 1 + cos x sen x 0 [T] lím x → 0 ( csc x – 1 x ) [T] lím x → 0 + tan ( x x ) grandes. tan ( 1 ) [T] lím x → 0 + ln x sen x [T] lím x → 0 e x − e – x x 2 formas indeterminadas al evaluar un límite, las formas 0 0 , ∞ / ∞ , 0 . ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 , ∞ 0 , y 1 ∞ se consideran indeterminadas porque se requiere un análisis adicional para determinar si el límite existe y, en caso afirmativo, cuál es su valor La regla de L'Hôpital si f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo a , excepto posiblemente en a , y lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) o lím x → a f ( x ) y lím x → a g ( x ) son infinitos, entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞", "section": "La regla de L'Hôpital", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Método de Newton En muchas áreas de la matemática pura y aplicada, nos interesa encontrar soluciones a una ecuación de la forma f ( x ) = 0 . Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil (si no imposible) calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, echamos un vistazo a una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones . Esta técnica usa aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros. Descripción del método de Newton Consideremos la tarea de encontrar las soluciones de f ( x ) = 0 . Si f es el polinomio de primer grado f ( x ) = a x + b , entonces la solución de f ( x ) = 0 está dado por la fórmula x = − b a . Si f es el polinomio de segundo grado f ( x ) = a x 2 + b x + c , las soluciones de f ( x ) = 0 pueden hallarse utilizando la fórmula cuadrática. Sin embargo, en los polinomios de grado 3 o más, hallar raíces de f es más complicado. Aunque existen fórmulas para los polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si f es un polinomio de grado 5 o mayor, sabemos que tales fórmulas no existen. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 5 + 8 x 4 + 4 x 3 − 2 x − 7 . No existe ninguna fórmula que nos permita encontrar las soluciones de f ( x ) = 0 . Existen dificultades similares para las funciones no polinómicas. Por ejemplo, consideremos la tarea de encontrar soluciones para tan ( x ) − x = 0 . No existe ninguna fórmula sencilla para las soluciones de esta ecuación. En estos casos, podemos utilizar el método de Newton para aproximar las raíces. El método de Newton utiliza la siguiente idea para aproximar las soluciones de f ( x ) = 0 . Trazando un gráfico de f , podemos estimar una raíz de f ( x ) = 0 . Llamemos a esta estimación x 0 . A continuación, trazamos la línea tangente a f en x 0 . Si f ′ ( x 0 ) ≠ 0 , esta línea tangente se cruza con el eje x en algún momento ( x 1 , 0 ) . Ahora supongamos que x 1 es la siguiente aproximación a la raíz real. Típicamente, x 1 está más cerca que x 0 a una raíz real. A continuación trazamos la línea tangente a f en x 1 . Si f ′ ( x 1 ) ≠ 0 , esta línea tangente también se interseca con el eje x , produciendo otra aproximación, x 2 . Continuamos así, derivando una lista de aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… . Normalmente, los números x 0 , x 1 , x 2 ,… se acercan rápidamente a una raíz real x * , como se muestra en la siguiente figura. Las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… se acercan a la raíz real x * . Las aproximaciones se obtienen mirando las rectas tangentes al gráfico de f . Veamos ahora cómo calcular las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… . Si x 0 es nuestra primera aproximación, la aproximación x 1 se define dejando que ( x 1 , 0 ) es la intersección en x de la línea tangente a f en x 0 . La ecuación de esta línea tangente viene dada por y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x – x 0 ) . Por lo tanto, x 1 deben satisfacer f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) = 0 . Resolviendo esta ecuación para x 1 , concluimos que x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) . Del mismo modo, el punto ( x 2 , 0 ) es la intersección en x de la línea tangente a f en x 1 . Por lo tanto, x 2 satisface la ecuación x 2 = x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) . En general, para n > 0 , x n satisface x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 ) . A continuación veremos cómo hacer uso de esta técnica para aproximar la raíz del polinomio f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 . Encontrar la raíz de un polinomio Utilice el método de Newton para aproximar una raíz de f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 en el intervalo [ 1 , 2 ] . Supongamos que x 0 = 2 y calculemos x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , y x 5 . En la , vemos que f tiene una raíz en el intervalo ( 1 , 2 ) . Por lo tanto x 0 = 2 parece una primera aproximación razonable. Para encontrar la siguiente aproximación, utilizamos la . Dado que f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 , la derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 . Utilizando la con n = 1 (y una calculadora que muestre 10 dígitos), obtenemos x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = 2 – f ( 2 ) f ′ ( 2 ) = 2 − 3 9 ≈ 1,666666667 . Para encontrar la siguiente aproximación, x 2 , utilizamos la con n = 2 y el valor de x 1 almacenado en la calculadora. Tenemos que x 2 = x 1 = f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) ≈ 1,548611111 . Al continuar de esta manera, obtenemos los siguientes resultados: x 1 ≈ 1,666666667 x 2 ≈ 1,548611111 x 3 ≈ 1,532390162 x 4 ≈ 1,532088989 x 5 ≈ 1,532088886 x 6 ≈ 1,532088886 . Observamos que obtuvimos el mismo valor para x 5 y x 6 . Por lo tanto, cualquier aplicación posterior del método de Newton dará muy probablemente el mismo valor para x n . La función f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 tiene una raíz en el intervalo [ 1 , 2 ] . Suponiendo que x 0 = 0 , utilizaremos el método de Newton para aproximar la raíz de f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 en el intervalo [ 0 , 1 ] calculando x 1 y x 2 . x 1 ≈ 0,33333333 , x 2 ≈ 0,347222222 Pista Utilice la . El método de Newton también puede utilizarse para aproximar raíces cuadradas. Aquí mostramos cómo aproximar 2 . Este método puede ser modificado para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo. Encontrar una raíz cuadrada Utilice el método de Newton para aproximar 2 ( ). Supongamos que f ( x ) = x 2 − 2 , supongamos que x 0 = 2 , y calcule x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . (Observamos que como f ( x ) = x 2 − 2 tiene un cero en 2 , el valor inicial x 0 = 2 es una opción razonable para aproximar 2 . ) Para f ( x ) = x 2 − 2 , f ′ ( x ) = 2 x . Por la , sabemos que x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 ) = x n – 1 − x 2 n – 1 − 2 2 x n – 1 = 1 2 x n – 1 + 1 x n – 1 = 1 2 ( x n – 1 + 2 x n – 1 ) . Por lo tanto, x 1 = 1 2 ( x 0 + 2 x 0 ) = 1 2 ( 2 + 2 2 ) = 1,5 x 2 = 1 2 ( x 1 + 2 x 1 ) = 1 2 ( 1,5 + 2 1,5 ) ≈ 1,416666667. Al continuar de esta manera, hallamos que x 1 = 1,5 x 2 ≈ 1,416666667 x 3 ≈ 1,414215686 x 4 ≈ 1,414213562 x 5 ≈ 1,414213562. Como obtuvimos el mismo valor para x 4 y x 5 , es poco probable que el valor x n cambie en cualquier aplicación posterior del método de Newton. Concluimos que 2 ≈ 1,414213562 . Podemos utilizar el método de Newton para hallar 2 . Utilice el método de Newton para aproximar 3 suponiendo que f ( x ) = x 2 − 3 y x 0 = 3 . Halle x 1 y x 2 . x 1 = 2 , x 2 = 1,75 Pista Para f ( x ) = x 2 − 3 , La se reduce a x n = x n – 1 2 + 3 2 x n – 1 . Cuando se utiliza el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior utilizando la misma fórmula. En particular, al definir la función F ( x ) = x − [ f ( x ) f ′ ( x ) ] , podemos reescribir la como x n = F ( x n – 1 ) . Este tipo de proceso, en el que cada x n se define en términos de x n – 1 repitiendo la misma función, es un ejemplo de proceso iterativo . En breve, examinaremos otros procesos iterativos. En primer lugar, veamos las razones por las que el método de Newton podría no encontrar una raíz. Fallos del método de Newton Normalmente, el método de Newton se utiliza para hallar las raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas de las razones por las que el método de Newton puede fallar son las siguientes: En una de las aproximaciones x n , la derivada f ′ es cero en x n , pero f ( x n ) ≠ 0 . Como resultado, la línea tangente de f en x n no se interseca con el eje x . Por lo tanto, no podemos continuar el proceso iterativo. Las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… puede acercarse a una raíz diferente. Si se grafica la función f tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se acerquen a la que estamos buscando, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver la ). Este hecho se produce con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación x 0 lo suficientemente cerca de la raíz deseada. Las aproximaciones pueden no acercarse completamente a una raíz. En el , proporcionamos un ejemplo de una función y una conjetura inicial x 0 tal que las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas siguen alternando entre dos valores. Si la suposición inicial x 0 está demasiado lejos de la raíz buscada, puede llevarnos a aproximaciones que se acerquen a una raíz diferente. Cuando el método de Newton falla Considere la función f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 . Supongamos que x 0 = 0 . Demuestre que la secuencia x 1 , x 2 ,… no se acerca a una raíz de f . Para f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 , la derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 2 . Por lo tanto, x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = 0 − f ( 0 ) f ′ ( 0 ) = − 2 −2 = 1 . En el siguiente paso, x 2 = x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) = 1 − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) = 1 − 1 1 = 0 . En consecuencia, los números x 0 , x 1 , x 2 ,… siguen rebotando de un lado a otro entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de f que está en el intervalo [ −2 , −1 ] (vea la ). Afortunadamente, si elegimos una aproximación inicial x 0 más cerca de la raíz real, podemos evitar esta situación. Las aproximaciones siguen alternando entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de f . Para f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 , supongamos que x 0 = −1,5 y hallar x 1 y x 2 . x 1 ≈ − 1,842105263 , x 2 ≈ − 1,772826920 Pista Utilice la . En el , vemos que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando lo hace, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. En los textos de análisis numérico se discute la rapidez con la que la secuencia de aproximaciones se acerca a una raíz encontrada mediante el método de Newton. Otros procesos iterativos Como se ha mencionado anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veremos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo. Considere una función F y un número inicial x 0 . Defina los números siguientes x n mediante la fórmula x n = F ( x n – 1 ) . Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… , x n ,… . Esta lista de números puede acercarse a un número finito x * a medida que n se hace más grande, o es posible que no lo haga. En el , vemos un ejemplo de función F y una conjetura inicial x 0 de manera que la lista de números resultante se aproxime a un valor finito. Encontrar un límite para un proceso iterativo Supongamos que F ( x ) = 1 2 x + 4 y supongamos que x 0 = 0 . Para todo n ≥ 1 , supongamos que x n = F ( x n – 1 ) . Halle los valores x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Haga una conjetura sobre lo que ocurre con esta lista de números x 1 , x 2 , x 3 … , x n ,… cuando n → ∞ . Si la lista de números x 1 , x 2 , x 3 ,… se acerca a un número finito x * , entonces x * satisface x * = F ( x * ) , y x * se llama punto fijo de F . Si los valores de x 0 = 0 , entonces x 1 = 1 2 ( 0 ) + 4 = 4 x 2 = 1 2 ( 4 ) + 4 = 6 x 3 = 1 2 ( 6 ) + 4 = 7 x 4 = 1 2 ( 7 ) + 4 = 7,5 x 5 = 1 2 ( 7,5 ) + 4 = 7,75 x 6 = 1 2 ( 7,75 ) + 4 = 7,875 x 7 = 1 2 ( 7,875 ) + 4 = 7,9375 x 8 = 1 2 ( 7,9375 ) + 4 = 7,96875 x 9 = 1 2 ( 7,96875 ) + 4 = 7,984375. A partir de esta lista, hacemos la conjetura de que los valores x n se acercan a 8 . La proporciona un argumento gráfico de que los valores se aproximan 8 cuando n → ∞ . A partir del punto ( x 0 , x 0 ) , trazamos una línea vertical hasta el punto ( x 0 , F ( x 0 ) ) . El siguiente número de nuestra lista es x 1 = F ( x 0 ) . Utilizamos x 1 para calcular x 2 . Por lo tanto, trazamos una línea horizontal que une ( x 0 , x 1 ) al punto ( x 1 , x 1 ) en la línea y = x , y luego dibujar una línea vertical que conecte ( x 1 , x 1 ) al punto ( x 1 , F ( x 1 ) ) . La salida F ( x 1 ) se convierte en x 2 . Si continuamos de esta manera, podríamos crear un número infinito de segmentos de línea. Estos segmentos de línea están atrapados entre las líneas F ( x ) = x 2 + 4 en tanto que y = x . Los segmentos de línea se acercan al punto de intersección de estas dos líneas, lo que ocurre cuando x = F ( x ) . Si resolvemos la ecuación x = x 2 + 4 , concluimos que se intersecan en x = 8 . Por lo tanto, nuestra evidencia gráfica concuerda con nuestra evidencia numérica de que la lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… se acerca a x * = 8 cuando n → ∞ . Este proceso iterativo se acerca al valor x * = 8 . Considere la función F ( x ) = 1 3 x + 6 . Supongamos que x 0 = 0 y supongamos que x n = F ( x n – 1 ) por n ≥ 2 . Halle x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Haga una conjetura sobre lo que ocurre con la lista de números x 1 , x 2 , x 3 ,… x n ,… cuando n → ∞ . x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9 Pista Considere el punto donde las rectas y = x como y = F ( x ) se intersecan. Procesos iterativos y caos Los procesos iterativos pueden tener un comportamiento muy interesante. En esta sección, hemos visto varios ejemplos de procesos iterativos que convergen en un punto fijo. También hemos visto en el que el proceso iterativo rebota entre dos valores. A este tipo de comportamiento lo llamamos 2 − ciclo . Los procesos iterativos pueden converger en ciclos con diversas periodicidades, como 2 − ciclos , 4 − ciclos (donde el proceso iterativo repite una secuencia de cuatro valores), 8 ciclos, etc. Algunos procesos iterativos dan lugar a lo que los matemáticos llaman caos . En este caso, el proceso iterativo salta de un valor a otro de forma aparentemente aleatoria y nunca converge ni se asienta en un ciclo. Aunque una exploración completa del caos está más allá del alcance de este texto, en este proyecto examinamos una de las propiedades clave de un proceso iterativo caótico: la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esta propiedad se refiere al concepto de que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar un comportamiento drásticamente diferente en el proceso iterativo. Probablemente el ejemplo más conocido de caos es el conjunto de Mandelbrot (vea la ), llamado así por Benoit Mandelbrot (1924-2010), que investigó sus propiedades y ayudó a popularizar el campo de la teoría del caos. El conjunto de Mandelbrot suele generarse por computadora y muestra detalles fascinantes al ampliarse, incluida la autorreplicación del conjunto. Varias versiones coloreadas del conjunto se han expuesto en museos y pueden encontrarse en Internet y en libros populares sobre el tema. El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo bien conocido de un conjunto de puntos generados por el comportamiento caótico iterativo de una función relativamente simple. En este proyecto utilizamos el mapa logístico f ( x ) = r x ( 1 − x ) , donde x ∈ [ 0 , 1 ] y r > 0 como la función en nuestro proceso iterativo. El mapa logístico es una función aparentemente sencilla, pero dependiendo del valor de r , el proceso iterativo resultante muestra un comportamiento muy interesante. Puede conducir a puntos fijos, ciclos e incluso al caos. Para visualizar el comportamiento a largo plazo del proceso iterativo asociado al mapa logístico, utilizaremos una herramienta llamada diagrama de telaraña . Tal como hicimos con el proceso iterativo que examinamos anteriormente en esta sección, primero trazaremos una línea vertical desde el punto ( x 0 , 0 ) al punto ( x 0 , f ( x 0 ) ) = ( x 0 , x 1 ) . A continuación, trazamos una línea horizontal desde ese punto hasta el punto ( x 1 , x 1 ) , luego dibujamos una línea vertical a ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( x 1 , x 2 ) , y continuamos el proceso hasta que el comportamiento a largo plazo del sistema se haga evidente. La muestra el comportamiento a largo plazo del mapa logístico cuando r = 3,55 y x 0 = 0,2 . (Las primeras 100 iteraciones no están representadas). El comportamiento a largo plazo de este proceso iterativo es un 8 −ciclo. Un diagrama de telaraña para f ( x ) = 3,55 x ( 1 − x ) se presenta aquí. La secuencia de valores da lugar a un 8 −ciclo. Supongamos que r = 0,5 y elegir x 0 = 0,2 . Calcule, a mano o con una computadora, los primeros 10 valores en la secuencia. ¿Parece que la secuencia converge? Si es así, ¿a qué valor? ¿Resulta un ciclo? Si es así, ¿qué tipo de ciclo (por ejemplo, 2 − ciclo , 4 − ciclo . ) ? ¿Qué sucede cuando r = 2 ? Para r = 3,2 y r = 3,5 , calcule los primeros 100 valores de la secuencia. Genere un diagrama de telaraña para cada proceso iterativo. (Existen varias miniaplicaciones gratuitas en línea que generan diagramas de telaraña para el mapa logístico). ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en cada uno de estos casos? Ahora supongamos que r = 4 . Calcule los primeros 100 valores de la secuencia y genere un diagrama de telaraña. ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en este caso? Repita el proceso para r = 4 , pero suponga que x 0 = 0,201 . ¿Cómo se compara este comportamiento con el de x 0 = 0,2 ? Conceptos clave El método de Newton aproxima las raíces de f ( x ) = 0 partiendo de una aproximación inicial x 0 , utilice entonces las rectas tangentes al gráfico de f para crear una secuencia de aproximaciones x 1 , x 2 , x 3 ,… . Por lo general, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz determinada. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… no se aproxima a un valor finito o se aproxima a un valor distinto de la raíz buscada. Cualquier proceso en el que una lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… se genera definiendo un número inicial x 0 y definiendo los números siguientes por la ecuación x n = F ( x n – 1 ) para alguna función F es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, donde la función F ( x ) = x − [ f ( x ) f ′ ( x ) ] para una función determinada f . En los siguientes ejercicios, escriba la fórmula de Newton como x n + 1 = F ( x n ) para resolver f ( x ) = 0 . f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 F ( x n ) = x n – x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2 f ( x ) = sen x f ( x ) = e x F ( x n ) = x n − e x n e x n f ( x ) = x 3 + 3 x e x En los siguientes ejercicios, resuelva f ( x ) = 0 utilizando la iteración x n + 1 = x n − c f ( x n ) , la cual difiere ligeramente del método de Newton. Halle una c que funcione y una c que no converja, con la excepción de c = 0 . f ( x ) = x 2 − 4 , con la x 0 = 0 | c | > 0,5 no funciona, | c | ≤ 0,5 funciona f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 , con la x 0 = 2 ¿Cuál es el valor de “ c ” en el método de Newton? c = 1 f ′ ( x n ) En los siguientes ejercicios, comience en a. x 0 = 0,6 y b. x 0 = 2 . Calcule x 1 y x 2 utilizando el método iterativo especificado. x n + 1 = x n 2 – 1 2 x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n ) a. x 1 = 12 25 , x 2 = 312 625 ; b. x 1 = −4 , x 2 = −40 x n + 1 = x n x n + 1 = 1 x n a. x 1 = 1,291 , x 2 = 0,8801 ; b. x 1 = 0,7071 , x 2 = 1,189 x n + 1 = 3 x n ( 1 − x n ) grandes. x n + 1 = x n 2 + x n – 2 a. x 1 = − 26 25 , x 2 = − 1224 625 ; b. x 1 = 4 , x 2 = 18 x n + 1 = 1 2 x n – 1 x n + 1 = | x n | a. x 1 = 6 10 , x 2 = 6 10 ; b. x 1 = 2 , x 2 = 2 En los siguientes ejercicios, resuelva con cuatro decimales utilizando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elija cualquier conjetura inicial x 0 que no sea la raíz exacta. x 2 − 10 = 0 x 4 − 100 = 0 3,1623 o − 3,1623 x 2 − x = 0 x 3 − x = 0 0 , −1 o 1 x + 5 cos ( x ) = 0 x + tan ( x ) = 0 , elija x 0 ∈ ( − π 2 , π 2 ) grandes. 0 1 1 − x = 2 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 0,5188 o − 1,2906 x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3 x = sen 2 ( x ) grandes. 0 En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función donde f ( x ) = x ; redondee a tres decimales. sen x tan ( x ) sobre x = ( π 2 , 3 π 2 ) grandes. 4,493 e x − 2 ln ( x ) + 2 0,159 , 3,146 El método de Newton puede utilizarse para encontrar los máximos y los mínimos de las funciones, además de las raíces. En este caso aplique el método de Newton a la función derivada f ′ ( x ) para encontrar sus raíces, en vez de la función original. En los siguientes ejercicios, considere la formulación del método. Para encontrar candidatos a máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos f ′ ( x ) = 0 . Demuestre que para resolver los puntos críticos de una función f ( x ) , El método de Newton viene dado por x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) . ¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función f ? Necesitamos f para ser dos veces continuamente diferenciable. En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos o máximos locales de las siguientes funciones; redondee a tres decimales. Un mínimo de f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 Un mínimo de f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 − 16 x = 0 Un mínimo de f ( x ) = x 2 e x Máximo de f ( x ) = x + 1 x x = –1 Máximo de f ( x ) = x 3 + 10 x 2 + 15 x − 2 Máximo de f ( x ) = x – x 3 x x = 5,619 Un mínimo de f ( x ) = x 2 sen x , mínimo diferente a cero más cercano a x = 0 Un mínimo de f ( x ) = x 4 + x 3 + 3 x 2 + 12 x + 6 x = −1,326 En los siguientes ejercicios, utilice el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué. Método de Newton, x 2 + 2 = 0 Método de Newton, 0 = e x La ecuación no tiene solución. Método de Newton, 0 = 1 + x 2 a partir de x 0 = 0 Resolver x n + 1 = − x n 3 a partir de x 0 = –1 Entra en un ciclo. En los siguientes ejercicios, utilice el método de la secante , un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula viene dada por x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) x n – 1 − x n – 2 f ( x n – 1 ) − f ( x n – 2 ) . Halle una raíz para 0 = x 2 − x − 3 con una precisión de tres decimales. Halle una raíz para 0 = sen x + 3 x con una precisión de cuatro decimales. 0 Halle una raíz para 0 = e x − 2 con una precisión de cuatro decimales. Halle una raíz para ln ( x + 2 ) = 1 2 con una precisión de cuatro decimales. −0,3513 ¿Por qué utilizar el método de la secante en lugar del método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias para f ? En los siguientes ejercicios, utilice tanto el método de Newton como el método de la secante para calcular la raíz de las siguientes ecuaciones. Utilice una calculadora o una computadora para calcular cuántas iteraciones de cada una son necesarias para llegar a tres decimales de la respuesta exacta. En el método de la secante, utilice la primera conjetura del método de Newton. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x 0 = 1 Newton: 11 iteraciones, secante: 16 iteraciones f ( x ) = x 2 , x 0 = 1 f ( x ) = sen x , x 0 = 1 Newton: tres iteraciones, secante: seis iteraciones f ( x ) = e x – 1 , x 0 = 2 f ( x ) = x 3 + 2 x + 4 , x 0 = 0 Newton: cinco iteraciones, secante: ocho iteraciones En los siguientes ejercicios, considere la ecuación de Kepler relativa a las órbitas planetarias, M = E − ε sen ( E ) , donde M es la anomalía media, E es una anomalía excéntrica, y ε mide la excentricidad. Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica E cuando la anomalía media M = π 3 y la excentricidad de la órbita ε = 0,25 ; redondee a tres decimales. Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica E cuando la anomalía media M = 3 π 2 y la excentricidad de la órbita ε = 0,8 ; redondee a tres decimales. E = 4,071 Los dos ejercicios siguientes consideran una inversión bancaria. La inversión inicial es de $ 10.000 . Después de 25 años, la inversión se triplicó hasta $ 30.000 . Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula anualmente. Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula continuamente. 4 . 394 % El costo de impresión de un libro expresarse mediante la ecuación C ( x ) = 1.000 + 12 x + ( 1 2 ) x 2 / 3 . Utilice el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la imprenta vende cada libro por $ 2 0 . proceso iterativo proceso en el que una lista de números x 0 , x 1 , x 2 , x 3 … se genera empezando por un número x 0 y definiendo x n = F ( x n – 1 ) por n ≥ 1 método de Newton método de aproximación a las raíces de f ( x ) = 0 ; utilizando una conjetura inicial x 0 ; cada aproximación posterior se define por la ecuación x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 )", "section": "Método de Newton", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Antiderivadas En este punto ya hemos visto cómo calcular las derivadas de muchas funciones y se nos presentó una variedad de sus aplicaciones. Ahora haremos una pregunta que da la vuelta a este proceso: Dada una función f , ¿cómo encontramos una función con la derivada f y por qué nos interesa esa función? Responderemos a la primera parte de esta pregunta definiendo las antiderivadas. La antiderivada de una función f es una función con una derivada f . ¿Por qué nos interesan las antiderivadas? La necesidad de las antiderivadas surge en muchas situaciones, y a lo largo del texto veremos varios ejemplos. Aquí examinaremos un ejemplo específico que implica un movimiento rectilíneo. En nuestro análisis del movimiento rectilíneo en Derivadas , demostramos que dada una función de posición s ( t ) de un objeto, entonces su función de velocidad v ( t ) es la derivada de s ( t ) −es decir, v ( t ) = s ′ ( t ) . Además, la aceleración a ( t ) es la derivada de la velocidad v ( t ) −es decir, a ( t ) = v ′ ( t ) = s ″ ( t ) . Supongamos ahora que nos dan una función de aceleración a , pero no la función de velocidad v o la función de posición s . Dado que a ( t ) = v ′ ( t ) , determinar la función de velocidad nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de aceleración. Luego, dado que v ( t ) = s ′ ( t ) , determinar la función de posición nos obliga a encontrar una antiderivada de la función de velocidad. El movimiento rectilíneo es solo un caso en el que surge la necesidad de las antiderivadas. Veremos muchos más ejemplos a lo largo del resto del texto. Por ahora, veremos la terminología y la notación de las antiderivadas, y determinaremos las antiderivadas de varios tipos de funciones. Más adelante en el texto ( Introducción a técnicas de integración ) examinaremos varias técnicas para encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. El inverso de la diferenciación En este punto ya sabemos cómo encontrar las derivadas de varias funciones. Ahora nos preguntamos lo contrario. Dada una función f , ¿cómo podemos encontrar una función con derivada f ? Si podemos encontrar una función F con derivada f , llamamos F como antiderivada de f . Definición Una función F es una antiderivada de la función f si F ′ ( x ) = f ( x ) para todos los x en el dominio de f . Considere la función f ( x ) = 2 x . Ya que conocemos la regla de la potencia de la diferenciación, concluimos que F ( x ) = x 2 es una antiderivada de f dado que F ′ ( x ) = 2 x . ¿Existen otras antiderivadas de f ? Sí, ya que la derivada de cualquier constante C es cero, x 2 + C es también una antiderivada de 2 x . Por lo tanto, x 2 + 5 y x 2 − 2 también son antiderivadas. ¿Hay otras que no sean de la forma x 2 + C para alguna constante C ? No. Del corolario 2 del teorema del valor medio, sabemos que si F y G son funciones diferenciables tales que F ′ ( x ) = G ′ ( x ) , entonces F ( x ) − G ( x ) = C para alguna constante C . Este hecho nos lleva al siguiente teorema de importancia. Forma general de una antiderivada Supongamos que F es una antiderivada de f en un intervalo I . Entonces, para cada constante C , la función F ( x ) + C es también una antiderivada de f en I ; si G es una antiderivada de f en I , hay una constante C para la cual G ( x ) = F ( x ) + C en I . En otras palabras, la forma más general de la antiderivada de f en I ¿es F ( x ) + C . Usamos este hecho y nuestro conocimiento de las derivadas para hallar todas las antiderivadas de varias funciones. Encontrar antiderivadas Para cada una de las siguientes funciones, halle todas las antiderivadas. f ( x ) = 3 x 2 f ( x ) = 1 x f ( x ) = cos x f ( x ) = e x Porque d d x ( x 3 ) = 3 x 2 entonces F ( x ) = x 3 es una antiderivada de 3 x 2 . Por lo tanto, toda antiderivada de 3 x 2 es de la forma x 3 + C para alguna constante C , y toda función de la forma x 3 + C es una antiderivada de 3 x 2 . Supongamos que f ( x ) = ln | x | . Para x > 0 , f ( x ) = ln ( x ) y d d x ( ln x ) = 1 x . Para x < 0 , f ( x ) = ln ( − x ) y d d x ( ln ( − x ) ) = − 1 − x = 1 x . Por lo tanto, d d x ( ln | x | ) = 1 x . Por lo tanto, F ( x ) = ln | x | es una antiderivada de 1 x . Por lo tanto, toda antiderivada de 1 x es de la forma ln | x | + C para alguna constante C y toda función de la forma ln | x | + C es una antiderivada de 1 x . Tenemos d d x ( sen x ) = cos x , así que F ( x ) = sen x es una antiderivada de cos x . Por lo tanto, toda antiderivada de cos x es de la forma sen x + C para alguna constante C y toda función de la forma sen x + C es una antiderivada de cos x . Dado que d d x ( e x ) = e x , entonces F ( x ) = e x es una antiderivada de e x . Por lo tanto, toda antiderivada de e x es de la forma e x + C para alguna constante C y toda función de la forma e x + C es una antiderivada de e x . Calcule todas las antiderivadas de f ( x ) = sen x . − cos x + C Pista ¿Qué función tiene una derivada de sen x ? Integrales indefinidas A continuación veremos la notación formal utilizada para representar las antiderivadas y examinaremos algunas de sus propiedades, las cuales nos permiten encontrar antiderivadas de funciones más complicadas. Dada una función f , utilizamos la notación f ′ ( x ) o d f d x para denotar la derivada de f . Aquí presentamos la notación para las antiderivadas. Si los valores de F es una antiderivada de f , decimos que F ( x ) + C es la antiderivada más general de f y escribimos ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . El símbolo ∫ se llama signo integral , y ∫ f ( x ) d x se denomina integral indefinida de f . Definición Dada una función f , la integral indefinida de f , denotada ∫ f ( x ) d x , es la antiderivada más general de f . Si F es una antiderivada de f , entonces ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . La expresión f ( x ) se denomina integrando y la variable x es la variable de integración . Dada la terminología presentada en esta definición, el acto de encontrar las antiderivadas de una función f se denomina normalmente integración f . Para una función f y una antiderivada F , las funciones F ( x ) + C , donde C es un número real cualquiera, se suele denominar familia de antiderivadas de f . Por ejemplo, ya que x 2 es una antiderivada de 2 x y cualquier antiderivada de 2 x es de la forma x 2 + C , escribimos ∫ 2 x d x = x 2 + C . La colección de todas las funciones de la forma x 2 + C , donde C es un número real cualquiera, se conoce como la familia de antiderivadas de 2 x . La muestra un gráfico de esta familia de antiderivadas. La familia de antiderivadas de 2 x consiste en todas las funciones de la forma x 2 + C , donde C es un número real cualquiera. En algunas funciones, la evaluación de integrales indefinidas se deduce directamente de las propiedades de las derivadas. Por ejemplo, para n ≠ − 1 , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , que viene directamente de d d x ( x n + 1 n + 1 ) = ( n + 1 ) x n n + 1 = x n . Este hecho se conoce como la regla de la potencia para integrales . Regla de la potencia para integrales Para n ≠ − 1 , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . La evaluación de integrales indefinidas para algunas otras funciones también es un cálculo sencillo. La siguiente tabla enumera las integrales indefinidas de varias funciones comunes. En el Apéndice B figura una lista más completa. Fórmulas de integración Fórmula de diferenciación Integral Indefinida d d x ( k ) = 0 ∫ k d x = ∫ k x 0 d x = k x + C d d x ( x n ) = n x n – 1 ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C por n ≠ − 1 d d x ( ln | x | ) = 1 x ∫ 1 x d x = ln | x | + C d d x ( e x ) = e x ∫ e x d x = e x + C d d x ( sen x ) = cos x ∫ cos x d x = sen x + C d d x ( cos x ) = − sen x ∫ sen x d x = − cos x + C d d x ( tan x ) = sec 2 x ∫ sec 2 x d x = tan x + C d d x ( csc x ) = − csc x cot x ∫ csc x cot x d x = − csc x + C d d x ( sec x ) = sec x tan x ∫ sec x tan x d x = sec x + C d d x ( cot x ) = − csc 2 x ∫ csc 2 x d x = − cot x + C d d x ( sen −1 x ) = 1 1 − x 2 ∫ 1 1 − x 2 = sen −1 x + C d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 ∫ 1 1 + x 2 d x = tan −1 x + C d d x ( sec −1 | x | ) = 1 x x 2 – 1 ∫ 1 x x 2 – 1 d x = sec −1 | x | + C A partir de la definición de integral indefinida de f , sabemos que ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C si y solo si F es una antiderivada de f . Por lo tanto, al afirmar que ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C es importante verificar si esta afirmación es correcta comprobando que F ′ ( x ) = f ( x ) . Verificación de una integral indefinida Cada uno de los siguientes enunciados es de la forma ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C . Compruebe que cada afirmación es correcta demostrando que F ′ ( x ) = f ( x ) . ∫ ( x + e x ) d x = x 2 2 + e x + C ∫ x e x d x = x e x − e x + C (carbono 14). Dado que d d x ( x 2 2 + e x + C ) = x + e x , la afirmación ∫ ( x + e x ) d x = x 2 2 + e x + C es correcta. Observe que estamos verificando una integral indefinida para una suma. Además, x 2 2 y e x son antiderivadas de x y e x , respectivamente, y la suma de las antiderivadas es una antiderivada de la suma. Volveremos a hablar de este hecho más adelante en esta sección. Utilizando la regla del producto, vemos que d d x ( x e x − e x + C ) = e x + x e x − e x = x e x . Por lo tanto, la afirmación ∫ x e x d x = x e x − e x + C es correcto. Note que estamos verificando una integral indefinida para un producto. La antiderivada x e x − e x no es un producto de las antiderivadas. Además, el producto de las antiderivadas, x 2 e x / 2 no es una antiderivada de x e x ya que d d x ( x 2 e x 2 ) = x e x + x 2 e x 2 ≠ x e x . En general, el producto de las antiderivadas no es la antiderivada de un producto. Verifique que ∫ x cos x d x = x sen x + cos x + C . d d x ( x sen x + cos x + C ) = sen x + x cos x − sen x = x cos x Pista Calcule d d x ( x sen x + cos x + C ) . En la , enumeramos las integrales indefinidas de muchas funciones elementales. Pasemos ahora a evaluar integrales indefinidas para funciones más complicadas. Por ejemplo, considere hallar la antiderivada de la suma f + g . En el a. demostramos que una antiderivada de la suma x + e x viene dada por la suma ( x 2 2 ) + e x es decir, la antiderivada de una suma viene dada por una suma de antiderivadas. Este resultado no es específico de este ejemplo. En general, si F y G son antiderivadas de cualquier función f y g , respectivamente, entonces d d x ( F ( x ) + G ( x ) ) = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Por lo tanto, F ( x ) + G ( x ) es una antiderivada de f ( x ) + g ( x ) y tenemos ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = F ( x ) + G ( x ) + C . De la misma manera, ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x = F ( x ) − G ( x ) + C . Además, consideremos la tarea de encontrar una antiderivada de k f ( x ) , donde k es un número real cualquiera. Dado que d d x ( k f ( x ) ) = k d d x F ( x ) = k f ′ ( x ) para cualquier número real k , concluimos que ∫ k f ( x ) d x = k F ( x ) + C . Estas propiedades se resumen a continuación. Propiedades de las integrales indefinidas Supongamos que F y G son antiderivadas de f y g , respectivamente y supongamos que k es cualquier número real. Sumas y diferencias ∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) d x = F ( x ) ± G ( x ) + C Múltiples constantes ∫ k f ( x ) d x = k F ( x ) + C A partir de este teorema, podemos evaluar cualquier integral que implique una suma, diferencia o múltiplo constante de funciones con antiderivadas conocidas. La evaluación de integrales que implican productos, cocientes o composiciones es más complicada (vea el b., que involucra la antiderivada de un producto). En la Introducción a la integración veremos y trataremos las integrales que involucran estas funciones más complicadas. En el siguiente ejemplo, examinaremos cómo utilizar este teorema para calcular las integrales indefinidas de varias funciones. Evaluación de integrales indefinidas Evalúe cada una de las siguientes integrales indefinidas: ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x ∫ x 2 + 4 x 3 x d x ∫ 4 1 + x 2 d x ∫ tan x cos x d x Utilizando las , podemos integrar cada uno de los cuatro términos del integrando por separado. Obtenemos ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x = ∫ 5 x 3 d x − ∫ 7 x 2 d x + ∫ 3 x d x + ∫ 4 d x . A partir de la segunda parte de las , cada coeficiente puede escribirse delante del signo de la integral, lo que da ∫ 5 x 3 d x − ∫ 7 x 2 d x + ∫ 3 x d x + ∫ 4 d x = 5 ∫ x 3 d x − 7 ∫ x 2 d x + 3 ∫ x d x + 4 ∫ 1 d x . Utilizando la regla de la potencia para las integrales, concluimos que ∫ ( 5 x 3 − 7 x 2 + 3 x + 4 ) d x = 5 4 x 4 − 7 3 x 3 + 3 2 x 2 + 4 x + C . Reescriba el integrando como x 2 + 4 x 3 x = x 2 x + 4 x 3 x . Entonces, integre cada uno de estos términos por separado para evaluar la integral. Utilizando la regla de la potencia, tenemos ∫ ( x + 4 x 2 / 3 ) d x = ∫ x d x + 4 ∫ x −2 / 3 d x = 1 2 x 2 + 4 1 ( −2 3 ) + 1 x ( −2 / 3 ) + 1 + C = 1 2 x 2 + 12 x 1 / 3 + C . Utilizando las , escriba la integral como 4 ∫ 1 1 + x 2 d x . Entonces, utilice el hecho de que tan –1 ( x ) es una antiderivada de 1 ( 1 + x 2 ) para concluir que ∫ 4 1 + x 2 d x = 4 tan –1 ( x ) + C . Reescriba el integrando como tan x cos x = sen x cos x cos x = sen x . Por lo tanto, ∫ tan x cos x = ∫ sen x = − cos x + C . Evalúe ∫ ( 4 x 3 − 5 x 2 + x − 7 ) d x . x 4 − 5 3 x 3 + 1 2 x 2 − 7 x + C Pista Integre cada término del integrando por separado, haciendo uso de la regla de la potencia. Problemas de valor inicial Más adelante veremos las técnicas para integrar una gran variedad de funciones que implican productos, cocientes y composiciones. A continuación, nos ocuparemos de un uso común de las antiderivadas que surge a menudo en muchas aplicaciones: la resolución de ecuaciones diferenciales. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida y una o varias de sus derivadas. La ecuación d y d x = f ( x ) es un ejemplo sencillo de ecuación diferencial. Resolver esta ecuación significa encontrar una función y con una derivada f . Por lo tanto, las soluciones de la son las antiderivadas de f . Si F es una antiderivada de f , toda función de la forma y = F ( x ) + C es una solución de esa ecuación diferencial. Por ejemplo, las soluciones de d y d x = 6 x 2 vienen dadas por y = ∫ 6 x 2 d x = 2 x 3 + C . A veces nos interesa determinar si una curva de solución particular pasa por un punto determinado ( x 0 , y 0 ) −es decir, y ( x 0 ) = y 0 . El problema de encontrar una función y que satisfaga una ecuación diferencial d y d x = f ( x ) con la condición adicional y ( x 0 ) = y 0 es un ejemplo de problema de valor inicial . La condición y ( x 0 ) = y 0 se conoce como condición inicial . Por ejemplo, al buscar una función y que satisfaga la ecuación diferencial d y d x = 6 x 2 y la condición inicial y ( 1 ) = 5 es un ejemplo de problema de valor inicial. Dado que las soluciones de la ecuación diferencial son y = 2 x 3 + C , para encontrar una función y que también satisfaga la condición inicial, necesitamos encontrar C de manera que y ( 1 ) = 2 ( 1 ) 3 + C = 5 . De esta ecuación, vemos que C = 3 , y concluimos que y = 2 x 3 + 3 es la solución de este problema de valor inicial como se muestra en el siguiente gráfico. Se muestran algunas de las curvas de solución de la ecuación diferencial d y d x = 6 x 2 . La función y = 2 x 3 + 3 satisface la ecuación diferencial y la condición inicial y ( 1 ) = 5 . Resolución de un problema de valor inicial Resuelva el problema de valor inicial d y d x = sen x , y ( 0 ) = 5 . Primero tenemos que resolver la ecuación diferencial. Si los valores de d y d x = sen x , entonces y = ∫ sen ( x ) d x = − cos x + C . A continuación tenemos que buscar una solución y que satisfaga la condición inicial. La condición inicial y ( 0 ) = 5 significa que necesitamos una constante C de manera que − cos x + C = 5 . Por lo tanto, C = 5 + cos ( 0 ) = 6 . La solución del problema de valor inicial es y = − cos x + 6 . Resuelva el problema de valor inicial d y d x = 3 x −2 , y ( 1 ) = 2 . y = − 3 x + 5 Pista Calcule todas las antiderivadas de f ( x ) = 3 x −2 . Los problemas de valor inicial surgen en muchas aplicaciones. A continuación consideraremos un problema en el que un conductor usa los frenos en un automóvil. Nos interesa saber cuánto tiempo tarda el automóvil en detenerse. Recordemos que la función de velocidad v ( t ) es la derivada de una función de posición s ( t ) , y la aceleración a ( t ) es la derivada de la función de velocidad. En los ejemplos anteriores del texto, pudimos calcular la velocidad a partir de la posición y luego la aceleración a partir de la velocidad. En el siguiente ejemplo trabajaremos de manera inversa. Dada una función de aceleración, calcularemos la función de velocidad. A continuación, utilizaremos la función de velocidad para determinar la función de posición. Auto en desaceleración Un auto viaja a la velocidad de 88 ft/s ( 60 mph) cuando se aplican los frenos. El automóvil comienza a desacelerar a una velocidad constante de 15 ft/s 2 . ¿Cuántos segundos pasan antes de que el auto se detenga? ¿Qué distancia recorre el auto en ese tiempo? Primero introducimos las variables para este problema. Supongamos que t es el tiempo (en segundos) después de aplicar los frenos por primera vez. Supongamos que a ( t ) es la aceleración del automóvil (en pies por segundos al cuadrado) en el tiempo t . Supongamos que v ( t ) es la velocidad del auto (en pies por segundo) en el tiempo t . Supongamos que s ( t ) es la posición del auto (en pies) más allá del punto donde se aplican los frenos en el momento t . El auto se desplaza a una velocidad de 88 ft/s . Por lo tanto, la velocidad inicial es v ( 0 ) = 88 ft/s. Como el auto está desacelerando, la aceleración es a ( t ) = −15 ft/s 2 . La aceleración es la derivada de la velocidad, v ′ ( t ) = –15 . Por lo tanto, tenemos un problema de valor inicial que resolver: v ′ ( t ) = −15 , v ( 0 ) = 88 . Integrando, encontramos que v ( t ) = −15 t + C . Dado que v ( 0 ) = 88 , C = 88 . Así, la función de velocidad es v ( t ) = −15 t + 88 . Para encontrar el tiempo que tarda el auto en detenerse, tenemos que encontrar el tiempo t tal que la velocidad sea cero. Resolver −15 t + 88 = 0 , obtenemos t = 88 15 seg. Para encontrar la distancia que recorre el auto durante este tiempo, tenemos que encontrar su posición después de 88 15 seg. Sabemos que la velocidad v ( t ) es la derivada de la posición s ( t ) . Considere que la posición inicial es s ( 0 ) = 0 . Por lo tanto, tenemos que resolver el problema de valor inicial s ′ ( t ) = −15 t + 88 , s ( 0 ) = 0 . Integrando, tenemos s ( t ) = − 15 2 t 2 + 88 t + C . Dado que s ( 0 ) = 0 , la constante es C = 0 . Por lo tanto, la función de posición es s ( t ) = − 15 2 t 2 + 88 t . Después de t = 88 15 segundos, la posición es s ( 88 15 ) ≈ 258,133 pies. Supongamos que el auto se desplaza a la velocidad de 44 ft/s. ¿Cuánto tiempo tarda en detenerse? ¿Qué distancia recorrerá el auto? 2,93 sec , 64,5 pies Pista v ( t ) = −15 t + 44 . Conceptos clave Si los valores de F es una antiderivada de f , entonces toda antiderivada de f es de la forma F ( x ) + C para alguna constante C . Resolución del problema de valor inicial d y d x = f ( x ) , y ( x 0 ) = y 0 nos exige encontrar primero el conjunto de antiderivadas de f y luego buscar la antiderivada específica que también satisface la condición inicial. En los siguientes ejercicios, demuestre que F ( x ) son antiderivadas de f ( x ) . F ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 1 , f ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ′ ( x ) = 15 x 2 + 4 x + 3 F ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , f ( x ) = 2 x + 4 F ( x ) = x 2 e x , f ( x ) = e x ( x 2 + 2 x ) grandes. F ′ ( x ) = 2 x e x + x 2 e x F ( x ) = cos x , f ( x ) = − sen x F ( x ) = e x , f ( x ) = e x F ′ ( x ) = e x En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función. f ( x ) = 1 x 2 + x f ( x ) = e x − 3 x 2 + sen x F ( x ) = e x – x 3 − cos ( x ) + C f ( x ) = e x + 3 x – x 2 f ( x ) = x – 1 + 4 sen ( 2 x ) grandes. F ( x ) = x 2 2 − x − 2 cos ( 2 x ) + C En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada F ( x ) de cada función f ( x ) . f ( x ) = 5 x 4 + 4 x 5 f ( x ) = x + 12 x 2 F ( x ) = 1 2 x 2 + 4 x 3 + C f ( x ) = 1 x f ( x ) = ( x ) 3 F ( x ) = 2 5 ( x ) 5 + C f ( x ) = x 1 / 3 + ( 2 x ) 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 x 2 / 3 F ( x ) = 3 2 x 2 / 3 + C f ( x ) = 2 sen ( x ) + sen ( 2 x ) grandes. f ( x ) = sec 2 ( x ) + 1 F ( x ) = x + tan ( x ) + C f ( x ) = sen x cos x f ( x ) = sen 2 ( x ) cos ( x ) grandes. F ( x ) = 1 3 sen 3 ( x ) + C f ( x ) = 0 f ( x ) = 1 2 csc 2 ( x ) + 1 x 2 F ( x ) = − 1 2 cot ( x ) − 1 x + C f ( x ) = csc x cot x + 3 x f ( x ) = 4 csc x cot x − sec x tan x F ( x ) = − sec x − 4 csc x + C f ( x ) = 8 sec x ( sec x − 4 tan x ) grandes. f ( x ) = 1 2 e −4 x + sen x F ( x ) = − 1 8 e −4 x − cos x + C En los siguientes ejercicios, evalúe la integral. ∫ ( –1 ) d x ∫ sen x d x − cos x + C ∫ ( 4 x + x ) d x ∫ 3 x 2 + 2 x 2 d x 3 x − 2 x + C ∫ ( sec x tan x + 4 x ) d x ∫ ( 4 x + x 4 ) d x 8 3 x 3 / 2 + 4 5 x 5 / 4 + C ∫ ( x −1 / 3 − x 2 / 3 ) d x ∫ 14 x 3 + 2 x + 1 x 3 d x 14 x − 2 x – 1 2 x 2 + C ∫ ( e x + e – x ) d x En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de valor inicial. f ′ ( x ) = x −3 , f ( 1 ) = 1 f ( x ) = − 1 2 x 2 + 3 2 f ′ ( x ) = x + x 2 , f ( 0 ) = 2 f ′ ( x ) = cos x + sec 2 ( x ) , f ( π 4 ) = 2 + 2 2 f ( x ) = sen x + tan x + 1 f ′ ( x ) = x 3 − 8 x 2 + 16 x + 1 , f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = 2 x 2 − x 2 2 , f ( 1 ) = 0 f ( x ) = − 1 6 x 3 − 2 x + 13 6 En los siguientes ejercicios, halle dos posibles funciones f dadas las derivadas de segundo o tercer orden. f ″ ( x ) = x 2 + 2 f ″ ( x ) = e – x Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f ( x ) = e – x f ″ ( x ) = 1 + x f ‴ ( x ) = cos x Las respuestas pueden variar; una respuesta posible es f ( x ) = − sen x f ‴ ( x ) = 8 e −2 x − sen x Un auto va a una velocidad de 40 mph cuando se aplican los frenos. El auto decelera a una velocidad constante de 10 pies/seg 2 . ¿Cuánto tiempo falta para que el auto se detenga? 5,867 s En el problema anterior, calcule la distancia que recorre el auto en el tiempo que tarda en detenerse. Está entrando en la autopista, acelerando a una velocidad constante de 12 pies/seg 2 . ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la velocidad de incorporación a 60 mph? 7,333 s Según el problema anterior, ¿qué distancia recorre el auto para alcanzar la velocidad de incorporación? Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en 8 segundos cuando va a 75 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce. 13,75 ft/s 2 Una empresa de automóviles quiere asegurarse de que su modelo más reciente pueda detenerse en menos de 450 ft cuando va a 60 mph. Si suponemos una deceleración constante, halle el valor de la deceleración que la produce. En los siguientes ejercicios, halle la antiderivada de la función, suponiendo F ( 0 ) = 0 . [T] f ( x ) = x 2 + 2 F ( x ) = 1 3 x 3 + 2 x [T] f ( x ) = 4 x – x [T] f ( x ) = sen x + 2 x F ( x ) = x 2 − cos x + 1 [T] f ( x ) = e x [T] f ( x ) = 1 ( x + 1 ) 2 F ( x ) = − 1 ( x + 1 ) + 1 [T] f ( x ) = e −2 x + 3 x 2 En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Demuestre que es verdadera o halle un contraejemplo si es falsa. Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces 2 f ( x ) es la antiderivada de 2 v ( x ) . Verdadero Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces f ( 2 x ) es la antiderivada de v ( 2 x ) . Si f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces f ( x ) + 1 es la antiderivada de v ( x ) + 1 . Falso Si los valores de f ( x ) es la antiderivada de v ( x ) , entonces ( f ( x ) ) 2 es la antiderivada de ( v ( x ) ) 2 . Ejercicios de repaso del capítulo ¿ Verdadero o falso ? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que f ( x ) es continua y diferenciable a menos que se indique lo contrario. Si los valores de f ( –1 ) = –6 y f ( 1 ) = 2 , entonces existe al menos un punto x ∈ [ −1 , 1 ] de manera que f ′ ( x ) = 4 . Verdadero, según el teorema del valor medio Si los valores de f ′ ( c ) = 0 , hay un máximo o un mínimo en x = c . Existe una función tal que f ( x ) < 0 , f ′ ( x ) > 0 , y f ″ ( x ) < 0 . (Se acepta una \"prueba\" gráfica para esta respuesta). Verdadero Existe una función tal que hay tanto un punto de inflexión como un punto crítico para algún valor x = a . Dado el gráfico de f ′ , determine dónde f es creciente o decreciente. Creciente: ( –2 , 0 ) ∪ ( 4 , ∞ ) , decreciente: ( − ∞ , –2 ) ∪ ( 0 , 4 ) El gráfico de f se indica a continuación. Dibuje f ′ . Halle la aproximación lineal L ( x ) a y = x 2 + tan ( π x ) cerca de x = 1 4 . L ( x ) = 17 16 + 1 2 ( 1 + 4 π ) ( x – 1 4 ) Halle la diferencial de y = x 2 − 5 x − 6 y evalúe para x = 2 con la d x = 0,1 . Halle los puntos críticos y los extremos locales y absolutos de las siguientes funciones en el intervalo dado. f ( x ) = x + sen 2 ( x ) en [ 0 , π ] Punto crítico: x = 3 π 4 , mínimo absoluto: x = 0 , máximo absoluto: x = π f ( x ) = 3 x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 6 en [ −3 , 3 ] Determine en qué intervalos las siguientes funciones son crecientes, decrecientes, cóncavas hacia arriba y cóncavas hacia abajo. x ( t ) = 3 t 4 − 8 t 3 − 18 t 2 Creciente: ( –1 , 0 ) ∪ ( 3 , ∞ ) , decreciente: ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 0 , 3 ) , cóncavo hacia arriba: ( − ∞ , 1 3 ( 2 − 13 ) ) ∪ ( 1 3 ( 2 + 13 ) , ∞ ) , cóncava hacia abajo: ( 1 3 ( 2 − 13 ) , 1 3 ( 2 + 13 ) ) grandes. y = x + sen ( π x ) grandes. g ( x ) = x – x Creciente: ( 1 4 , ∞ ) , decreciente: ( 0 , 1 4 ) , cóncavo hacia arriba: ( 0 , ∞ ) , cóncava hacia abajo: en ninguna parte f ( θ ) = sen ( 3 θ ) Evalúe los siguientes límites. lím x → ∞ 3 x x 2 + 1 x 4 − 1 3 lím x → ∞ cos ( 1 x ) grandes. lím x → 1 x – 1 sen ( π x ) grandes. − 1 π lím x → ∞ ( 3 x ) 1 / x Utilice el método de Newton para encontrar las dos primeras iteraciones, dado el punto de partida. y = x 3 + 1 , x 0 = 0,5 x 1 = −1 , x 2 = –1 y = 1 x + 1 = 1 2 , x 0 = 0 Halle las antiderivadas F ( x ) de las siguientes funciones. g ( x ) = x – 1 x 2 F ( x ) = 2 x 3 / 2 3 + 1 x + C f ( x ) = 2 x + 6 cos x , F ( π ) = π 2 + 2 Grafique las siguientes funciones a mano. Asegúrese de marcar los puntos de inflexión, los puntos críticos, los ceros y las asíntotas. y = 1 x ( x + 1 ) 2 Puntos de inflexión: ninguno; puntos críticos: x = − 1 3 ; ceros: ninguno; asíntotas verticales: x = −1 , x = 0 ; asíntota horizontal: y = 0 y = x − 4 − x 2 Se compacta un auto en un sólido rectangular. El volumen disminuye a una tasa de 2 m 3 /s. La longitud y la anchura del compactador son cuadradas, pero la altura no tiene la misma longitud que la anchura. Si las paredes de longitud y anchura se mueven una hacia la otra a una velocidad de 0,25 m/s, halle la velocidad a la que cambia la altura cuando la longitud y la anchura son 2 m y la altura es 1,5 m. La altura disminuye a una tasa de 0,125 m/s Se lanza un cohete al espacio; su energía cinética viene dada por K ( t ) = ( 1 2 ) m ( t ) v ( t ) 2 , donde K es la energía cinética en julios, m es la masa del cohete en kilogramos, y v es la velocidad del cohete en metros/segundo. Supongamos que la velocidad aumenta a una tasa de 15 m/s 2 y la masa disminuye a una tasa de 10 kg/s porque el combustible se está consumiendo. ¿A qué velocidad cambia la energía cinética del cohete cuando la masa es 2000 kg y la velocidad es 5.000 m/s? Indique su respuesta en megajulios por segundo (MJ/s), lo que equivale a 10 6 J/s. El famoso problema de Regiomontano para la maximización de ángulos fue propuesto durante el siglo XV. Un cuadro está colgado en una pared con la parte inferior del cuadro a una distancia de a ft sobre el nivel de los ojos, y la parte superior b ft sobre el nivel de los ojos. ¿Qué distancia x (en pies) desde la pared debe situarse el espectador para maximizar el ángulo subtendido por el cuadro, θ ? x = a b pies Una compañía aérea vende boletos de Tokio a Detroit por $ 1200 . Hay 500 asientos disponibles y un vuelo corriente reserva 350 asientos. Por cada $ 10 de disminución del precio, la aerolínea nota que se venden cinco asientos adicionales. ¿Cuál debería ser el precio del boleto para maximizar el beneficio? ¿Cuántos pasajeros habría a bordo? antiderivada una función F de manera que F ′ ( x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f es una antiderivada de f integral indefinida la antiderivada más usual de f ( x ) es la integral indefinida de f ; utilizamos la notación ∫ f ( x ) d x para denotar la integral indefinida de f problema de valor inicial problema que requiere encontrar una función y que satisfaga la ecuación diferencial d y d x = f ( x ) junto con la condición inicial y ( x 0 ) = y 0", "section": "Antiderivadas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción La navegación sobre hielo es un deporte de invierno muy popular en algunas zonas del norte de Estados Unidos y Europa (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Los botes deslizadores sobre hielo son una visión habitual en los lagos de Wisconsin y Minnesota los fines de semana de invierno. Estos botes son similares a los de vela, pero están equipados con patines y están diseñados para deslizarse sobre el hielo, en vez de sobre el agua. Pueden desplazarse muy rápidamente, y muchos entusiastas de la navegación sobre hielo se sienten atraídos por este deporte debido a la velocidad. Los mejores navegadores de estas embarcaciones pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Si sabemos a qué velocidad se mueve un bote deslizador sobre hielo, podemos utilizar la integración para determinar la distancia que recorre. Volveremos a tratar esta cuestión más adelante en el capítulo (consulte el ). Determinar la distancia a partir de la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de la integración. De hecho, las integrales se utilizan en una gran variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, comenzaremos presentando la teoría detrás de la integración y utilizaremos las integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollaremos el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la diferenciación y la integración. A continuación, estudiaremos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Aproximación de áreas A Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma. Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Estas áreas se suman para hacer una aproximación del área de la región curva. En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f ( x ) , y el eje x en un intervalo cerrado [ a , b ] . Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva. Empecemos por introducir algunas notaciones para facilitar los cálculos. A continuación, consideraremos el caso en el que f ( x ) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, atenuaremos algunas de estas restricciones y desarrollaremos técnicas que se aplican en casos más generales. Notación sigma (notación de sumatoria) Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria ). La letra mayúscula griega Σ , sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 . Probablemente omitiríamos la escritura de un par de términos y escribiríamos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20 , que es mejor, pero sigue siendo engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como ∑ i = 1 20 i , que es mucho más compacta. Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma ∑ i = 1 n a i donde a i describe los términos a añadir, y la i se denomina índice . Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n . Por ejemplo, una expresión como ∑ i = 2 7 s i se interpreta como s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 + s 7 . Tenga en cuenta que el índice solo se utiliza para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no entra en el cálculo de la suma en sí. Por lo tanto, el índice se denomina variable ficticia . Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan i , j , k , m y n para los índices. Probemos un par de ejemplos de uso de la notación sigma. Uso de la notación sigma Escriba en notación sigma y evalúe la suma de términos 3 i por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Escriba la suma en notación sigma 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 . Escriba ∑ i = 1 5 3 i = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 = 363. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Utilizando la notación sigma, esta suma puede escribirse como ∑ i = 1 5 1 i 2 . Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos 2 i para i = 3 , 4 , 5 , 6 . ∑ i = 3 6 2 i = 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 = 120 Pista Utilice los pasos de resolución en la como guía. Las propiedades asociadas al proceso de suma se dan en la siguiente regla. Regla: propiedades de la notación sigma Supongamos que a 1 , a 2 ,…, a n y b 1 , b 2 ,…, b n representan dos secuencias de términos y supongamos c una constante. Las siguientes propiedades se cumplen para todos los enteros positivos n y para los enteros m , con 1 ≤ m ≤ n . ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Prueba Demostramos aquí las propiedades 2. y 3., y dejamos la demostración de las demás propiedades para los Ejercicios. 2. Tenemos ∑ i = 1 n c a i = c a 1 + c a 2 + c a 3 + ⋯ + c a n = c ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) = c ∑ i = 1 n a i . 3. Tenemos ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) + ( a 3 + b 3 ) + ⋯ + ( a n + b n ) = ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) + ( b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i . □ Unas cuantas fórmulas más para las funciones más frecuentes simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente regla: sumas y potencias de números enteros , y las utilizamos en el siguiente conjunto de ejemplos. Regla: sumas de potencias de números enteros La suma de n números enteros viene dada por ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . La suma de enteros consecutivos al cuadrado viene dada por ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . La suma de enteros consecutivos elevada al cubo viene dada por ∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . Evaluación mediante la notación sigma Escriba utilizando la notación sigma y evalúe: La suma de los términos ( i − 3 ) 2 por i = 1 , 2 ,…, 200 . La suma de los términos ( i 3 − i 2 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicando ( i − 3 ) 2 , podemos descomponer la expresión en tres términos ∑ i = 1 200 ( i − 3 ) 2 = ∑ i = 1 200 ( i 2 − 6 i + 9 ) = ∑ i = 1 200 i 2 – ∑ i = 1 200 6 i + ∑ i = 1 200 9 = ∑ i = 1 200 i 2 − 6 ∑ i = 1 200 i + ∑ i = 1 200 9 = 200 ( 200 + 1 ) ( 400 + 1 ) 6 − 6 [ 200 ( 200 + 1 ) 2 ] + 9 ( 200 ) = 2686700 − 120.600 + 1800 = 2567900 Utilice la propiedad iv de la notación sigma y las reglas de la suma de términos al cuadrado y las de la suma de términos al cubo ∑ i = 1 6 ( i 3 − i 2 ) = ∑ i = 1 6 i 3 − ∑ i = 1 6 i 2 = 6 2 ( 6 + 1 ) 2 4 − 6 ( 6 + 1 ) ( 2 ( 6 ) + 1 ) 6 = 1764 4 − 546 6 = 350 Halle la suma de los valores de 4 + 3 i por i = 1 , 2 ,…, 100 . 15.550 Pista Utilice las propiedades de la notación sigma para resolver el problema. Hallar la suma de los valores de la función Halle la suma de los valores de f ( x ) = x 3 sobre los enteros 1 , 2 , 3 ,…, 10 . Con la fórmula tenemos ∑ i = 1 10 i 3 = ( 10 ) 2 ( 10 + 1 ) 2 4 = 100 ( 121 ) 4 = 3025. Evalúe la suma indicada por la notación ∑ k = 1 20 ( 2 k + 1 ) . 440 Pista Utilice la regla de la suma de potencias de números enteros. Aproximación del área Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Queremos aproximar el área A delimitada por f ( x ) arriba, el eje abajo, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha ( ). El área (región sombreada) delimitada por la curva f ( x ) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha. ¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera. Comenzamos dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos de anchos iguales, b – a n . Lo hacemos seleccionando puntos igualmente espaciados x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n con la x 0 = a , x n = b , y x i − x i − 1 = b – a n por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Denotamos la anchura de cada subintervalo con la notación Δ x , por lo que Δ x = b – a n y x i = x 0 + i Δ x por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Esta noción de dividir un intervalo [ a , b ] en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia en la aproximación del área bajo una curva, así que vamos a definir alguna terminología relevante. Definición Un conjunto de puntos P = { x i } por i = 0 , 1 , 2 ,…, n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b , que divide el intervalo [ a , b ] en subintervalos de la forma [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] ,…, [ x n – 1 , x n ] se llama una partición de [ a , b ] . Si todos los subintervalos tienen la misma anchura, el conjunto de puntos forma una partición regular del intervalo [ a , b ] . Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación examinamos dos métodos: aproximación en el punto del extremo izquierdo y la aproximación en el punto del extremo derecho. Regla: aproximación del extremo izquierdo En cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] (para i = 1 , 2 , 3 ,…, n ) , construya un rectángulo con anchura Δ x y altura igual a f ( x i − 1 ) , que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es f ( x i − 1 ) Δ x . Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A ( ). Utilizamos la notación L n para denotar que se trata de una aproximación del punto del extremo izquierdo de A utilizando n subintervalos. A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x En la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la izquierda de cada subintervalo. El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del punto del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo. Regla: aproximación del extremo derecho Construir un rectángulo en cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] , solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f ( x i ) en el punto del extremo derecho del subintervalo. Entonces, el área de cada rectángulo es f ( x i ) Δ x y la aproximación para A está dada por A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x . La notación R n indica que se trata de una aproximación en el punto del extremo derecho de A ( ). En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo. Nótese que la aproximación del punto del extremo derecho difiere de la aproximación del punto del extremo izquierdo en la . Los gráficos de la representan la curva f ( x ) = x 2 2 . En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [ 0 , 3 ] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5. Así, Δ x = 0,5 . A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al x i − 1 , punto del extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f ( x i − 1 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Los intervalos son [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] , [ 2 , 2,5 ] , [ 2,5 , 3 ] . Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura. Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f ( x ) y el eje x . Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo. Por lo tanto, A ≈ L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i − 1 ) Δ x = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x = f ( 0 ) 0,5 + f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 = ( 0 ) 0,5 + ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 = 3,4375. Métodos de aproximación del área bajo una curva utilizando (a) los puntos extremos de la izquierda y (b) los puntos extremos de la derecha. En la (b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a x i de manera que x i es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f ( x i ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicamos cada f ( x i ) por Δ x para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas. Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) . Por lo tanto, A ≈ R 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i ) Δ x = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x + f ( x 6 ) Δ x = f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 + f ( 3 ) 0,5 = ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 + ( 4,5 ) 0,5 = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 = 5,6875. Aproximación del área bajo una curva Utilice las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; utilice n = 4 . En primer lugar, divida el intervalo [ 0 , 2 ] en n subintervalos iguales. Utilizando n = 4 , Δ x = ( 2 − 0 ) 4 = 0,5 . Esta es la anchura de cada rectángulo. Los intervalos [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] se muestran en la . Utilizando una aproximación al punto del extremo izquierdo, las alturas son f ( 0 ) = 0 , f ( 0,5 ) = 0,25 , f ( 1 ) = 1 , f ( 1,5 ) = 2,25 . Entonces, L 4 = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x = 0 ( 0,5 ) + 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) = 1,75. El gráfico muestra la aproximación de los puntos del extremo izquierdo del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del punto del extremo derecho se muestra en la . Los intervalos son los mismos, Δ x = 0,5 , pero ahora se utiliza el punto del extremo derecho para calcular la altura de los rectángulos. Tenemos R 4 = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x = 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) + 4 ( 0,5 ) = 3,75. El gráfico muestra la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del extremo izquierdo es 1,75; la aproximación del extremo derecho es 3,75. Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f ( x ) = 1 x en [ 1 , 2 ] ; utilice n = 4 . Aproxime el área utilizando ambos métodos. La aproximación del extremo izquierdo es de 0,7595. La aproximación del punto final derecho es 0,6345. Pista Siga la estrategia de resolución en la paso a paso. Al observar la y los gráficos en el , podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más fino, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión. Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar n , primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos. A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva. La muestra el área de la región bajo la curva f ( x ) = ( x – 1 ) 3 + 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n = 4 . La anchura de cada rectángulo es Δ x = 2 − 0 4 = 1 2 . El área se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos, o L 4 = f ( 0 ) ( 0,5 ) + f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) 0,5 = 7,5. Con una aproximación al extremo izquierdo y dividiendo la región de a a b en cuatro intervalos iguales, el área bajo la curva es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos. La muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n = 8 . Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es L 8 = f ( 0 ) ( 0,25 ) + f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) = 7,75. La región bajo la curva se divide en áreas rectangulares n = 8 de igual anchura para una aproximación al extremo izquierdo. El gráfico en la muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es L 32 = f ( 0 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 1,9375 ) ( 0,0625 ) = 7,9375. En este caso, se inscriben 32 rectángulos bajo la curva para una aproximación al punto del extremo izquierdo. Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho. Una aproximación al extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos ( ), produce un área R 4 = f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) ( 0,5 ) + f ( 2 ) ( 0,5 ) = 8,5. Ahora dividimos el área bajo la curva en cuatro subintervalos iguales para una aproximación al punto del extremo derecho. Dividiendo la región en el intervalo [ 0 , 2 ] en ocho rectángulos da como resultado Δ x = 2 − 0 8 = 0,25 . El gráfico se muestra en la . El área es R 8 = f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) + f ( 2 ) ( 0,25 ) = 8,25. Aquí utilizamos la aproximación del punto del extremo derecho para un área dividida en ocho subintervalos iguales. Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n = 32 se acerca al área real ( ). El área es aproximadamente R 32 = f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,1875 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 2 ) ( 0,0625 ) = 8,0625. La región se divide en 32 subintervalos iguales para una aproximación al extremo derecho. Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta. Además, a medida que aumenta n , tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas. La muestra una comparación numérica de los métodos del punto del extremo izquierdo y del derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva son cada vez mejores a medida que n se hace más grande es muy importante, y exploraremos esa idea con más detalle. Valores convergentes de las aproximaciones de los puntos del extremo izquierdo y derecho cuando n aumenta. Los valores de n Área aproximada L n Área aproximada R n n = 4 7,5 8,5 n = 8 7,75 8,25 n = 32 7,94 8,06 Formulación de sumas de Riemann Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [ x i − 1 , x i ] . En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto x i del subintervalo [ x i − 1 , x i ] , y usamos f ( x i * ) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, que desarrolló la idea. Definición Supongamos que f ( x ) se define en un intervalo cerrado [ a , b ] y que P sea una partición regular de [ a , b ] . Sea Δ x la anchura de cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] y para cada i , supongamos que x i * es cualquier punto en [ x i − 1 , x i ] . Una suma de Riemann se define para f ( x ) como ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n . Ahora estamos preparados para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann. Definición Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa en un intervalo [ a , b ] , y supongamos que ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x es una suma de Riemann para f ( x ) . Entonces, el área bajo la curva y = f ( x ) sobre [ a , b ] viene dada por A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann. Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f ( x ) a medida que x llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo Secuencias y series ; pero por ahora podemos asumir que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también se pueden usar para calcular límites de sumas. En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de { x i * } . Afortunadamente, esto no ocurre. Aunque la prueba está fuera del alcance de este texto, se puede demostrar que si f ( x ) es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , entonces lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único (es decir, no depende de la opción de { x i * } ). En breve veremos algunos ejemplos, pero antes dediquemos un momento para hablar de algunas opciones específicas para { x i * } . Aunque cualquier opción para { x i * } nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimación) o demasiado baja (subestimación). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para { x i * } a fin de garantizar un resultado u otro. Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir { x i * } tal que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [ x i − 1 , x i ] . En otras palabras, elegimos { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor máximo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Si seleccionamos { x i * } de esta manera, entonces la suma de Riemann ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x se denomina suma superior . Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor mínimo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior . Observe que si f ( x ) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo [ a , b ] , entonces los valores máximos y mínimos de la función se encuentran en los puntos de los extremos de los subintervalos, por lo que las sumas superiores e inferiores son iguales a las aproximaciones de los puntos de los extremos izquierdo y derecho. Hallar sumas inferiores y superiores Halle una suma inferior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 subintervalos. Con n = 4 en el intervalo [ 1 , 2 ] , Δ x = 1 4 . Podemos enumerar los intervalos como [ 1 , 1,25 ] , [ 1,25 , 1,5 ] , [ 1,5 , 1,75 ] , [ 1,75 , 2 ] . Ya que la función es decreciente en el intervalo [ 1 , 2 ] , la muestra que se obtiene una suma inferior utilizando los puntos del extremo derecho. El gráfico de f ( x ) = 10 − x 2 se establece para una aproximación del punto del extremo derecho del área limitada por la curva y el eje x en [ 1 , 2 ] , y muestra una suma inferior. La suma de Riemann es ∑ k = 1 4 ( 10 − x 2 ) ( 0,25 ) = 0,25 [ 10 − ( 1,25 ) 2 + 10 − ( 1,5 ) 2 + 10 − ( 1,75 ) 2 + 10 − ( 2 ) 2 ] = 0,25 [ 8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6 ] = 7,28. La superficie de 7,28 es una suma inferior y una subestimación. Halle una suma superior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 . Dibuje la aproximación. Suma superior = 8,0313 . Pista f ( x ) es decreciente en [ 1 , 2 ] , para que los valores máximos de la función se produzcan en los extremos izquierdos de los subintervalos. Halle sumas inferiores y superiores para f ( x ) = sen x Halle una suma inferior para f ( x ) = sen x en el intervalo [ a , b ] = [ 0 , π 2 ] ; supongamos que n = 6 . Veamos primero el gráfico en la para tener una mejor idea del área de interés. El gráfico de y = sen x se divide en seis regiones: Δ x = π / 2 6 = π 12 . Los intervalos son [ 0 , π 12 ] , [ π 12 , π 6 ] , [ π 6 , π 4 ] , [ π 4 , π 3 ] , [ π 3 , 5 π 12 ] , y [ 5 π 12 , π 2 ] . Observe que f ( x ) = sen x es creciente en el intervalo [ 0 , π 2 ] , por lo que una aproximación al extremo izquierdo nos da la suma inferior. Una aproximación al extremo izquierdo es la suma de Riemann ∑ i = 0 5 sen x i ( π 12 ) . Tenemos A ≈ sen ( 0 ) ( π 12 ) + sen ( π 12 ) ( π 12 ) + sen ( π 6 ) ( π 12 ) + sen ( π 4 ) ( π 12 ) + sen ( π 3 ) ( π 12 ) + sen ( 5 π 12 ) ( π 12 ) = 0,863. Al utilizar la función f ( x ) = sen x en el intervalo [ 0 , π 2 ] , halle una suma superior; supongamos que n = 6 . A ≈ 1,125 Pista Siga los pasos del . Conceptos clave El uso de la notación sigma (notación de sumatoria) de la forma ∑ i = 1 n a i es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta. Para una función continua definida en un intervalo [ a , b ] , el proceso de dividir el intervalo en n partes iguales, extender un rectángulo en el gráfico de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos y luego sumar las áreas da una aproximación del área de esa región. La anchura de cada rectángulo es Δ x = b – a n . La suma de Riemann es una expresión de la forma ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , y puede utilizarse para estimar el área bajo la curva y = f ( x ) . Las aproximaciones del punto de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de { x i * } se eligen entre los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente. Las sumas de Riemann permiten una gran flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos { x i * } en la que se evalúa la función, a menudo con el objetivo de obtener una suma inferior o una suma superior. Ecuaciones clave Propiedades de la notación sigma ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Sumas de potencias de números enteros ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 Aproximación del punto del extremo izquierdo A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x Aproximación del punto del extremo derecho A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales. ∑ i = 1 10 i y ∑ k = 1 10 k ∑ i = 1 10 i y ∑ i = 6 15 ( i − 5 ) grandes. ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ j = 0 9 ( j + 1 ) j ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ k = 1 10 ( k 2 − k ) a. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. b. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. c. Son iguales sustituyendo j = i − 1 . d. Son iguales; la primera suma factoriza los términos de la segunda. En los siguientes ejercicios, utilice las reglas de las sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas. ∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i 2 385 − 30 = 355 Supongamos que ∑ i = 1 100 a i = 15 y ∑ i = 1 100 b i = −12 . En los siguientes ejercicios, calcule las sumas. ∑ i = 1 100 ( a i + b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( a i − b i ) grandes. 15 − ( −12 ) = 27 ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) grandes. 5 ( 15 ) + 4 ( −12 ) = 27 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de la suma y las fórmulas para reescribir y evaluar las sumas. ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) grandes. ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) grandes. ∑ j = 1 50 j 2 − 2 ∑ j = 1 50 j = ( 50 ) ( 51 ) ( 101 ) 6 − 2 ( 50 ) ( 51 ) 2 = 40 , ​ 375 ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) grandes. ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] 4 ∑ k = 1 25 k 2 − 100 ∑ k = 1 25 k = 4 ( 25 ) ( 26 ) ( 51 ) 6 − 50 ( 25 ) ( 26 ) = −10 , ​ 400 Supongamos que L n denota la suma del punto del extremo izquierdo utilizando n subintervalos y que R n denotan la suma correspondiente del punto del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas a la izquierda y a la derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado. L 4 para f ( x ) = 1 x – 1 sobre [ 2 , 3 ] R 4 para g ( x ) = cos ( π x ) sobre [ 0 , 1 ] R 4 = −0,25 L 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 = 0,372 R 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 = 2,20 R 4 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 = 0,6875 Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = ( 2 − | x | ) sobre [ −2 , 2 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = ( 3 − | 3 − x | ) sobre [ 0 , 6 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . L 6 = 9,000 = R 6 . El gráfico de f es un triángulo de área 9. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] y compare sus valores. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = 9 − ( x − 3 ) 2 en [ 0 , 6 ] y compare sus valores. L 6 = 13,12899 = R 6 . Son iguales. Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe. L 30 para f ( x ) = x 2 en [ 1 , 2 ] L 10 para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] L 10 = 4 10 ∑ i = 1 10 4 − ( −2 + 4 ( i − 1 ) 10 ) 2 R 20 para f ( x ) = sen x en [ 0 , π ] R 100 para ln x en [ 1 , e ] R 100 = e − 1 100 ∑ i = 1 100 ln ( 1 + ( e − 1 ) i 100 ) En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿El área bajo la curva en el intervalo dado se aproxima mejor mediante la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, coloque \"ninguno\". [T] L 100 y R 100 para y = x 2 − 3 x + 1 en el intervalo [ −1 , 1 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] R 100 = 0,33835 , L 100 = 0,32835 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. [T] L 50 y R 50 para y = x + 1 x 2 – 1 en el intervalo [ 2 , 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 3 en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = −0,02 , R 100 = 0,02 . La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, una aproximación al extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones de los puntos finales izquierdo y derecho. [T] L 50 y R 50 para y = tan ( x ) en el intervalo [ 0 , π 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = e 2 x en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = 3,555 , R 100 = 3,670 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. Sea t j el tiempo que tardó Tejay van Garteren en recorrer la etapa j del Tour de Francia en 2014. Si hubiera un total de 21 etapas, interprete ∑ j = 1 21 t j . Supongamos que r j denota la precipitación total en Portland en el día j del año en 2009. Interprete ∑ j = 1 31 r j . La suma representa las precipitaciones acumuladas en enero de 2009. Supongamos que d j denotan las horas de luz y δ j el aumento de las horas de luz desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, en el día j del año. Interprete d 1 + ∑ j = 2 365 δ j . Para ponerse en forma, Joe recibe un nuevo par de zapatillas para correr. Si Joe corre 1 mi cada día en la semana 1 y añade 1 10 mi a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total de los zapatos de Joe después de 25 semanas? El kilometraje total es 7 × ∑ i = 1 25 ( 1 + ( i − 1 ) 10 ) = 7 × 25 + 7 10 × 12 × 25 = 385 mi . La siguiente tabla ofrece valores aproximados de la tasa promedio anual del aumento del dióxido de carbono (CO 2 ) en la atmósfera por cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Calcule el aumento total del CO 2 atmosférico entre 1964 y 2013. Aumento anual promedio del CO 2 atmosférico, 1964-2013 Década Ppm/año 1964-1973 1,07 1974-1983 1,34 1984-1993 1,40 1994-2003 1,87 2004-2013 2,07 Fuente : http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/. La siguiente tabla indica el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas a lo largo de 20 años a partir de un año determinado. Calcule el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010. Aumentos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870-1990 Año de inicio Cambio en 20 años 1870 0,3 1890 1,5 1910 0,2 1930 2,8 1950 0,7 1970 1,1 1990 1,5 Fuente : http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1 Sume los números para obtener un aumento neto de 8,1 in. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio del galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 era de 2,60 dólares, ¿cuál era el precio promedio de un galón de gasolina en 1950? Aumentos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Año de inicio Cambio en 10 años 1950 0,03 1960 0,05 1970 0,86 1980 –0,03 1990 0,29 2000 1,12 Fuente : http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf. La siguiente tabla indica el porcentaje de crecimiento de la población estadounidense a partir de julio del año indicado. Si la población de Estados Unidos era de 281.421.906 habitantes en julio de 2000, calcule la población de Estados Unidos en julio de 2010. Crecimiento porcentual anual de la población estadounidense, 2000-2009 Año % de cambio/año 2000 1,12 2001 0,99 2002 0,93 2003 0,86 2004 0,93 2005 0,93 2006 0,97 2007 0,96 2008 0,95 2009 0,88 Fuente : http://www.census.gov/popest/data. ( Pista: Para obtener la población en julio de 2001, multiplique la población en julio de 2000 por 1,0112 para obtener 284.573.831). 309.389.957 En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L 8 . L 8 = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24 L 8 = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44 [T] Utiliza un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , por N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] . [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 1 + x 2 en [ −1 , 1 ] . L 10 ≈ 1,7604 , L 30 ≈ 1,7625 , L 50 ≈ 1,76265 [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = sen 2 x en [ 0 , 2 π ] . Compara estas estimaciones con π . En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas que puede hallar mediante la geometría? [T] y = cos ( π x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] R 1 = −1 , L 1 = 1 , R 10 = −0,1 , L 10 = 0,1 , L 100 = 0,01 , y R 100 = −0,1 . Por simetría del gráfico, el área exacta es cero. [T] y = 3 x + 2 en el intervalo [ 3 , 5 ] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . [T] y = x 4 − 5 x 2 + 4 en el intervalo [ −2 , 2 ] , que tiene un área exacta de 32 15 R 1 = 0 , L 1 = 0 , R 10 = 2,4499 , L 10 = 2,4499 , R 100 = 2,1365 , L 100 = 2,1365 [T] y = ln x en el intervalo [ 1 , 2 ] , que tiene un área exacta de 2 ln ( 2 ) − 1 Explique por qué, si f ( a ) ≥ 0 y f es creciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite inferior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] bajo uno de los rectángulos de la suma del punto del extremo izquierdo, entonces el área del rectángulo que contribuye a la estimación del punto del extremo izquierdo es f ( c ) ( d − c ) . Pero, f ( c ) ≤ f ( x ) por c ≤ x ≤ d , por lo que el área bajo el gráfico de f entre c y d es f ( c ) ( d − c ) más el área por debajo del gráfico de f pero por encima del segmento de línea horizontal a la altura f ( c ) , que es positivo. Como esto se cumple en cada intervalo de suma del extremo izquierdo, se deduce que la suma de Riemann izquierda es menor o igual que el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Explique por qué, si f ( b ) ≥ 0 y f es decreciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite superior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Demuestre que, en general, R N − L N = ( b – a ) × f ( b ) − f ( a ) N . L N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i − 1 N ) = b – a N ∑ i = 0 N − 1 f ( a + ( b – a ) i N ) y R N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i N ) . La suma de la izquierda tiene un término correspondiente a i = 0 y la suma de la derecha tiene un término correspondiente a i = N . En R N − L N , cualquier término correspondiente a i = 1 , 2 ,…, N − 1 aparece una vez con el signo más y otra con el signo menos, por lo que cada uno de estos términos se anula y uno queda R N − L N = b – a N ( f ( a + ( b – a ) ) N N ) − ( f ( a ) + ( b – a ) 0 N ) = b – a N ( f ( b ) − f ( a ) ) . Explique por qué, si f es creciente en [ a , b ] , el error entre L N o R N y el área A bajo el gráfico de f es como máximo ( b – a ) f ( b ) − f ( a ) N . Para cada uno de los tres gráficos: Obtenga un límite inferior L ( A ) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva. Obtener un límite superior U ( A ) para el área añadiendo a L ( A ) las áreas B ( A ) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva . Gráfico 1: a. L ( A ) = 0 , B ( A ) = 20 ; b. U ( A ) = 20 . Gráfico 2: a. L ( A ) = 9 ; b. B ( A ) = 11 , U ( A ) = 20 . Gráfico 3: a. L ( A ) = 11,0 ; b. B ( A ) = 4,5 , U ( A ) = 15,5 . En el ejercicio anterior, explique por qué L ( A ) no se hace más pequeño mientras U ( A ) no se hace más grande al subdividir los cuadrados en cuatro casillas de áreas iguales. Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen ( 2 π n ) . La base del triángulo exterior es B = cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) y la altura es H = B sen ( 2 π n ) . Utiliza esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π . Supongamos que A es el área del círculo unitario. El círculo encierra n triángulos congruentes de área sen ( 2 π n ) 2 , por lo que n 2 sen ( 2 π n ) ≤ A . De la misma manera, el círculo está contenido en n triángulos congruentes de área B H 2 = 1 2 ( cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) ) sen ( 2 π n ) , por lo que A ≤ n 2 sen ( 2 π n ) ( cos ( π n ) ) + sen ( π n ) tan ( π n ) . A medida que n → ∞ , n 2 sen ( 2 π n ) = π sen ( 2 π n ) ( 2 π n ) → π , por lo que concluimos π ≤ A . Además, como n → ∞ , cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) → 1 , por lo que también tenemos A ≤ π . Por el teorema del emparedado para los límites, concluimos que A = π . aproximación del punto del extremo izquierdo aproximación del área bajo una curva que se calcula utilizando el punto del extremo izquierdo de cada subintervalo para calcular la altura de los lados verticales de cada rectángulo suma inferior suma obtenida utilizando el valor mínimo de f ( x ) en cada subintervalo partición conjunto de puntos que divide un intervalo en subintervalos partición regular partición en la que los subintervalos tienen todos el mismo ancho suma de Riemann estimación del área bajo la curva de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x aproximación del punto del extremo derecho aproximación del punto del extremo derecho es una aproximación del área de los rectángulos bajo una curva utilizando el punto del extremo derecho de cada subintervalo para construir los lados verticales de cada rectángulo notación sigma (también, notación de sumatoria ) la letra griega sigma (Σ) indica la suma de los valores; los valores del índice por encima y por debajo de la sigma indican dónde empezar la suma y dónde terminarla suma superior suma obtenida utilizando el valor máximo de f ( x ) en cada subintervalo", "section": "Aproximación de áreas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "La integral definida En el apartado anterior definimos el área bajo una curva en términos de las sumas de Riemann: A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Sin embargo, esta definición tenía restricciones. Necesitábamos que f ( x ) fuera continua y no negativa. Desafortunadamente, los problemas del mundo real no siempre se ajustan a estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida. Definición y notación La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f ( x ) sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue. Definición Si f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , b ] , la integral definida de f de a a b viene dada por ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función f ( x ) se dice que es integrable en [ a , b ] , o que es una función integrable . El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas , donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida. La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz , a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, [ a , b ] . Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración ; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que n → ∞ . En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración . Llamamos a la función f ( x ) el integrando , y la dx indica que f ( x ) es una función con respecto a x , que se denomina variable de integración . Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia , y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( u ) d u Anteriormente, discutimos el hecho de que si f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces el límite lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas. Las funciones continuas son integrables Si los valores de f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces f es integrable en [ a , b ] . Funciones que no son continuas en [ a , b ] puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables. También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann. Evaluación de una integral mediante la definición Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 2 x 2 d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. Primero queremos establecer una suma de Riemann. Con base en los límites de integración, tenemos a = 0 y b = 2 . Para i = 0 , 1 , 2 ,…, n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ 0 , 2 ] . Entonces Δ x = b – a n = 2 n . Como estamos utilizando una aproximación al punto del extremo derecho para generar sumas de Riemann, para cada i , necesitamos calcular el valor de la función en el punto del extremo derecho del intervalo [ x i − 1 , x i ] . El punto del extremo derecho del intervalo es x i , y como P es una partición regular, x i = x 0 + i Δ x = 0 + i [ 2 n ] = 2 i n . Por lo tanto, el valor de la función en el extremo derecho del intervalo es f ( x i ) = x i 2 = ( 2 i n ) 2 = 4 i 2 n 2 . Entonces la suma de Riemann toma la forma ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = ∑ i = 1 n ( 4 i 2 n 2 ) 2 n = ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 . Utilizando la fórmula de la suma para ∑ i = 1 n i 2 , tenemos ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 8 n 3 [ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ] = 8 n 3 [ 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 ] = 16 n 3 + 24 n 2 + 8 n 6 n 3 = 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 . Ahora, para calcular la integral definida, necesitamos tomar el límite dado que n → ∞ . Obtenemos ∫ 0 2 x 2 d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lím n → ∞ ( 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 ) = lím n → ∞ ( 8 3 ) + lím n → ∞ ( 4 n ) + lím n → ∞ ( 8 6 n 2 ) = 8 3 + 0 + 0 = 8 3 . Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 3 ( 2 x – 1 ) d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. 6 Pista Utilice la estrategia de resolución de la . Evaluación de integrales definidas Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x . Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x . La función describe un semicírculo con radio 3. Para hallar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x , queremos hallar el área bajo la curva en el intervalo [ 3 , 6 ] . La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 . El área de un semicírculo es justo la mitad del área de un círculo, o A = ( 1 2 ) π r 2 . El área sombreada en la cubre la mitad del semicírculo, o A = ( 1 4 ) π r 2 . Por lo tanto, ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 = 1 4 π ( 3 ) 2 = 9 4 π ≈ 7,069. El valor de la integral de la función f ( x ) en el intervalo [ 3 , 6 ] es el área de la región sombreada. Utilice la fórmula del área de un trapecio para evaluar ∫ 2 4 ( 2 x + 3 ) d x . 18 unidades cuadradas Pista Grafique la función f ( x ) y calcule el área bajo la función en el intervalo [ 2 , 4 ] . El área y la integral definida Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que f ( x ) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos \"el área bajo la curva\" cuando f ( x ) es negativo? Área neta señalada Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función f ( x ) = 2 − 2 x 2 (que se muestra en la ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Utilice n = 8 y elegir { x i * } como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura f ( x i * ) y de anchura Δ x . Cuando f ( x i * ) es positivo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando f ( x i * ) es negativo, sin embargo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en ∑ i = 1 8 f ( x i * ) Δ x = ( Área de los rectángulos sobre el eje x ) − ( Área de los rectángulos por debajo del eje x ) Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x . Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x , menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x , como se muestra en la . Entonces, ∫ 0 2 f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = A 1 − A 2 . La cantidad A 1 − A 2 se denomina área neta señalada . En el límite, la integral definida es igual al área A 1 menos el área A 2 , o el área neta señalada. Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero. Hallar el área neta señalada Calcule el área neta señalada entre la curva de la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . La función produce una línea recta que forma dos triángulos: uno de x = −3 al x = 0 y el otro de x = 0 hasta x = 3 ( ). Utilizando la fórmula geométrica del área de un triángulo, A = 1 2 b h , el área del triángulo A 1 , sobre el eje, es A 1 = 1 2 3 ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 2 ( 3 ) = 6 es la altura. El área del triángulo A 2 , por debajo del eje, es A 2 = 1 2 ( 3 ) ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 6 la altura. Así, el área neta es ∫ −3 3 2 x d x = A 1 − A 2 = 9 − 9 = 0 . El área por encima de la curva y por debajo del eje x es igual al área por debajo de la curva y por encima del eje x . Análisis Si A 1 es el área por encima del eje x y A 2 es el área por debajo del eje x , entonces el área neta es A 1 − A 2 . Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero. Halle el área neta señalada de f ( x ) = x − 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] , que se ilustra en la siguiente imagen. 6 Pista Utilice el método de resolución descrito en la . Área total Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de v ( t ) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes. Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original ( ). Utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 70 d t = 140 . El área bajo la curva v ( t ) = 75 nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado. En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial ( ). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 −40 d t = 120 − 120 = 0, En este caso el desplazamiento es cero. El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero. Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x , independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total . Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es ∫ 0 2 | 60 | d t + ∫ 2 5 | –40 | d t = ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 40 d t = 120 + 120 = 240. Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones. Definición Supongamos que f ( x ) es una función integrable definida en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que A 1 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A 2 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b f ( x ) d x = A 1 − A 2 . El área total entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b | f ( x ) | d x = A 1 + A 2 . Hallar el área total Halle el área total entre f ( x ) = x − 2 y el eje x en el intervalo [ 0 , 6 ] . Calcule la intersección x como ( 2 , 0 ) (establezca y = 0 , resuelva para x ). Para hallar el área total, tome el área bajo el eje x sobre el subintervalo [ 0 , 2 ] y añádalo al área sobre el eje x en el subintervalo [ 2 , 6 ] ( ). El área total entre la línea y el eje x sobre [ 0 , 6 ] es A 2 más A 1 . Tenemos ∫ 0 6 | ( x − 2 ) | d x = A 2 + A 1 . Entonces, utilizando la fórmula del área de un triángulo, obtenemos A 2 = 1 2 b h = 1 2 . 2 . 2 = 2 A 1 = 1 2 b h = 1 2 . 4 . 4 = 8 . El área total, entonces, es A 1 + A 2 = 8 + 2 = 10 . Halle el área total entre la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . 18 Pista Revise la estrategia de resolución en la . Propiedades de la integral definida Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas. Regla: propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una línea y no contiene área. ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x Si los límites se invierten, se coloca un signo negativo delante de la integral. ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x La integral de una suma es la suma de las integrales. ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales. ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c . La integral del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x Aunque esta fórmula se aplica normalmente cuando c está entre a y b , la fórmula es válida para todos los valores de a , b y c , siempre que f ( x ) sea integrable en el intervalo mayor. Usar las propiedades de la integral definida Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = −3 x 3 + 2 x + 2 en el intervalo [ −2 , 1 ] como la suma de tres integrales definidas. Utilizando la notación integral, tenemos ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x . Aplicamos las propiedades 3. y 5. para obtener ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x = ∫ –2 1 −3 x 3 d x + ∫ –2 1 2 x d x + ∫ –2 1 2 d x = −3 ∫ –2 1 x 3 d x + 2 ∫ –2 1 x d x + ∫ –2 1 2 d x . Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 3 en el intervalo [ 1 , 3 ] como la suma de cuatro integrales definidas. 6 ∫ 1 3 x 3 d x − 4 ∫ 1 3 x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x d x − ∫ 1 3 3 d x Pista Utilice la estrategia de resolución de la y las propiedades de las integrales definidas. Usar las propiedades de la integral definida Si se sabe que ∫ 0 8 f ( x ) d x = 10 y ∫ 0 5 f ( x ) d x = 5 , halle el valor de ∫ 5 8 f ( x ) d x . Por la propiedad 6., ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . Por lo tanto, ∫ 0 8 f ( x ) d x = ∫ 0 5 f ( x ) d x + ∫ 5 8 f ( x ) d x 10 = 5 + ∫ 5 8 f ( x ) d x 5 = ∫ 5 8 f ( x ) d x . Si se sabe que ∫ 1 5 f ( x ) d x = −3 y ∫ 2 5 f ( x ) d x = 4 , halle el valor de ∫ 1 2 f ( x ) d x . −7 Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las propiedades de las integrales definidas. Propiedades de comparación de las integrales A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f ( x ) está por encima de otra función g ( x ) , entonces el área entre f ( x ) y el eje x es mayor que el área entre g ( x ) y el eje x . Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a < b , a = b , o a > b . Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso a ≤ b , y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales. Teorema de comparación Si los valores de f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 . Si f ( x ) ≥ g ( x ) para a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x . Si m y M son constantes tales que m ≤ f ( x ) ≤ M por a ≤ x ≤ b , entonces m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Comparación de dos funciones en un intervalo dado Compare f ( x ) = 1 + x 2 y g ( x ) = 1 + x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Es necesario graficar estas funciones para entender cómo se comparan en el intervalo [ 0 , 1 ] . Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, f ( x ) parece estar por encima de g ( x ) en todas partes. Sin embargo, en el intervalo [ 0 , 1 ] , los gráficos parecen estar superpuestos. Tenemos que acercarnos para ver que, en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) está por encima de f ( x ) . Las dos funciones se intersecan en x = 0 y x = 1 ( ). (a) La función f ( x ) aparece sobre la función g ( x ) excepto en el intervalo [ 0 , 1 ] (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación lo muestra más claramente. Podemos ver en el gráfico que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) . Comparación de las integrales en el intervalo especificado [ 0 , 1 ] , también vemos que ∫ 0 1 g ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f ( x ) d x ( ). La zona delgada y sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales en el intervalo [ 0 , 1 ] . (a) El gráfico muestra que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) , donde la igualdad se mantiene solo en los puntos extremos del intervalo. (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación muestra esto más claramente. Valor promedio de una función A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto, 89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69 6 = 482 6 ≈ 80,33 . Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas. Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v ( t ) que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t , y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función v ( t ) adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta. Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos de anchura Δ x = ( b – a ) / n . Elija un representante x i * en cada subintervalo y calcule f ( x i * ) por i = 1 , 2 ,…, n . En otras palabras, considere cada f ( x i * ) como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n , que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos. Pero sabemos que Δ x = b – a n , por lo que n = b – a Δ x , y obtenemos f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n = f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) ( b – a ) Δ x . Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ∑ i = 1 n f ( x i * ) , y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por ∑ i = 1 n f ( x i * ) ( b – a ) Δ x = ( Δ x b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) = ( 1 b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto , se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por 1 b – a lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Definición Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] . Entonces, el valor promedio de la función f ( x ) (o f ave ) en [ a , b ] viene dada por f ave = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Hallar el valor promedio de una función lineal Calcule el valor promedio de f ( x ) = x + 1 en el intervalo [ 0 , 5 ] . En primer lugar, grafique la función en el intervalo indicado, como se muestra en la . El gráfico muestra el área bajo la función f ( x ) = x + 1 en [ 0 , 5 ] . La región es un trapecio recostado sobre su lado, por lo que podemos utilizar la fórmula del área de un trapecio A = 1 2 h ( a + b ) , donde h representa la altura, y a y b representan los dos lados paralelos. Entonces, ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 2 h ( a + b ) = 1 2 . 5 . ( 1 + 6 ) = 35 2 . Así, el valor promedio de la función es 1 5 − 0 ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 5 . 35 2 = 7 2 . Calcule el valor promedio de f ( x ) = 6 − 2 x en el intervalo [ 0 , 3 ] . 3 Pista Utilice la fórmula del valor promedio y use la geometría para evaluar la integral. Conceptos clave La integral definida puede utilizarse para calcular el área neta señalada, que es el área por encima del eje x menos el área por debajo del eje x . El área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Los componentes de la integral definida son el integrando, la variable de integración y los límites de integración. Las funciones continuas en un intervalo cerrado son integrables. Las funciones que no son continuas pueden seguir siendo integrables, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades. Las propiedades de las integrales definidas pueden utilizarse para evaluar integrales. El área bajo la curva de muchas funciones puede calcularse mediante fórmulas geométricas. El valor promedio de una función puede calcularse mediante integrales definidas. Ecuaciones clave Integral definida ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x Propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales. lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( x i * ) Δ x en [ 1 , 3 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 5 ( x i * ) 2 − 3 ( x i * ) 3 ) Δ x en [ 0 , 2 ] ∫ 0 2 ( 5 x 2 − 3 x 3 ) d x lím n → ∞ ∑ i = 1 n sen 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n cos 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 cos 2 ( 2 π x ) d x En los siguientes ejercicios, dados L n o R n como se indica, exprese sus límites dado que n → ∞ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos. L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n ∫ 0 1 x d x L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) grandes. R n n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) grandes. ∫ 3 6 x d x L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) grandes. R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) grandes. ∫ 1 2 x log ( x 2 ) d x En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo el eje x . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 = 14 1 − 4 + 9 = 6 1 − 2 π + 9 = 10 − 2 π En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando las fórmulas de área. ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x La integral es el área del triángulo, 1 2 ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x La integral es el área del triángulo, 9. ∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x La integral es el área 1 2 π r 2 = 2 π . ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x La integral es el área del triángulo \"grande\" menos el triángulo \"perdido\", 9 − 1 2 . En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos izquierdo ( L ) y derecho ( R ) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados. { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 8 , 3 ) } en [ 0 , 8 ] { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 5 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , ( 8 , 0 ) } en [ 0 , 8 ] L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21 , R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22 , L + R 2 = 21,5 { ( −4 , –4 ) , ( –2 , 0 ) , ( 0 , –2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) } en [ −4 , 4 ] { ( −4 , 0 ) , ( –2 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 0 ) } en [ −4 , 4 ] L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10 , R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10 , L + R 2 = 10 Supongamos que ∫ 0 4 f ( x ) d x = 5 y ∫ 0 2 f ( x ) d x = −3 , y ∫ 0 4 g ( x ) d x = –1 y ∫ 0 2 g ( x ) d x = 2 . En los siguientes ejercicios, calcule las integrales. ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x + ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 − 3 = 5 ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x − ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 + 3 = 11 ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x 4 ∫ 2 4 f ( x ) d x − 3 ∫ 2 4 g ( x ) d x = 32 + 9 = 41 En los siguientes ejercicios, utilice la identidad ∫ − A A f ( x ) d x = ∫ − A 0 f ( x ) d x + ∫ 0 A f ( x ) d x para calcular las integrales. ∫ − π π sen t 1 + t 2 d t ( Pista : sen ( − t ) = − sen ( t ) ). grandes. ∫ − π π t 1 + cos t d t El integrando es impar; la integral es cero. En los siguientes ejercicios, halle el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x. ∫ 1 3 ( 2 − x ) d x ( Pista: Mire el gráfico de f ). ∫ 2 4 ( x − 3 ) 3 d x ( Pista: Mire el gráfico de f .) El integrando es antisimétrico con respecto a x = 3 . La integral es cero. En los siguientes ejercicios, dado que ∫ 0 1 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 , y ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 , calcular las integrales. ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 7 12 ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 6 x + 12 x 2 − 8 x 3 ) d x = ( x – 3 x 2 + 4 x 3 – 2 x 4 ) = ( 1 – 3 + 4 – 2 ) ( 0 – 0 + 0 – 0 ) = 0 ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x 7 − 5 4 = 23 4 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de comparación . Demuestre que ∫ 0 3 ( x 2 − 6 x + 9 ) d x ≥ 0 . Demuestre que ∫ −2 3 ( x − 3 ) ( x + 2 ) d x ≤ 0 . El integrando es negativo sobre [ −2 , 3 ] . Demuestre que ∫ 0 1 1 + x 3 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x 2 d x . Demuestre que ∫ 1 2 1 + x d x ≤ ∫ 1 2 1 + x 2 d x . x ≤ x 2 en [ 1 , 2 ] , así que 1 + x ≤ 1 + x 2 en [ 1 , 2 ] . Demuestre que ∫ 0 π / 2 sen t d t ≥ π 4 . ( Pista: sen t ≥ 2 t π en [ 0 , π 2 ] ). Demuestre que ∫ − π / 4 π / 4 cos t d t ≥ π 2 / 4 . cos ( t ) ≥ 2 2 . Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad. En los siguientes ejercicios, halle el valor promedio f ave de f entre a y b , y halle un punto c , donde f ( c ) = f ave . f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ave = 0 ; c = 0 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 3 2 cuando c = ± 3 2 f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ave = 0 ; c = π 2 , 3 π 2 En los siguientes ejercicios, aproxime el valor promedio utilizando las sumas de Riemann L 100 and R 100 . ¿Cómo se compara su respuesta con la respuesta exacta dada? [T] y = ln ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] ; la solución exacta es ln ( 256 ) 3 − 1 . [T] y = e x / 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] ; la solución exacta es 2 ( e − 1 ) . L 100 = 1,294 , R 100 = 1,301 ; el promedio exacto está entre estos valores. [T] y = tan x en el intervalo [ 0 , π 4 ] ; la solución exacta es 2 ln ( 2 ) π . [T] y = x + 1 4 − x 2 en el intervalo [ −1 , 1 ] ; la solución exacta es π 6 . L 100 × ( 1 2 ) = 0,5178 , R 100 × ( 1 2 ) = 0,5294 En los siguientes ejercicios, calcule el valor promedio utilizando las sumas de Riemann izquierdas L N para N = 1 , 10 , 100 . ¿Cómo se compara la exactitud con el valor exacto dado? [T] y = x 2 − 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es − 8 3 . [T] y = x e x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es 1 4 ( e 4 − 1 ) . L 1 = 0 , L 10 × ( 1 2 ) = 8,743493 , L 100 × ( 1 2 ) = 12,861728 . La respuesta exacta ≈ 26,799 , por lo que L 100 no es exacta. [T] y = ( 1 2 ) x en el intervalo [ 0 , 4 ] ; la solución exacta es 15 64 ln ( 2 ) . [T] y = x sen ( x 2 ) en el intervalo [ − π , 0 ] ; la solución exacta es cos ( π 2 ) − 1 2 π . L 1 × ( 1 π ) = 1,352 , L 10 × ( 1 π ) = −0,1837 , L 100 × ( 1 π ) = −0,2956 . La respuesta exacta ≈ − 0,303 , por lo que L 100 no es exacto en el primer decimal. Supongamos que A = ∫ 0 2 π sen 2 t d t y B = ∫ 0 2 π cos 2 t d t . Demuestre que A + B = 2 π y A = B . Supongamos que A = ∫ − π / 4 π / 4 sec 2 t d t = π y B = ∫ − π / 4 π / 4 tan 2 t d t . Demuestre que A − B = π 2 . Utilice la sustitución en tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Entonces, B − A = ∫ − π / 4 π / 4 1 d x = π 2 . Demuestre que el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1/2. Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , π ] también es igual a 1/2. Demuestre que el valor promedio de cos 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1 / 2 . Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de cos 2 ( t ) en [ 0 , π ] también es igual a 1 / 2 . ∫ 0 2 π cos 2 t d t = π , así que divida por la longitud 2 π del intervalo. cos 2 t tiene periodo π , así que es cierto. Explique por qué los gráficos de una función cuadrática (parábola) p ( x ) y una función lineal ℓ ( x ) pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Supongamos que p ( a ) = ℓ ( a ) y p ( b ) = ℓ ( b ) , y que ∫ a b p ( t ) d t > ∫ a b ℓ ( t ) d t . Explique por qué ∫ c d p ( t ) > ∫ c d ℓ ( t ) d t siempre que a ≤ c < d ≤ b . Supongamos que la parábola p ( x ) = a x 2 + b x + c se abre hacia abajo ( a < 0 ) y tiene un vértice de y = − b 2 a > 0 . ¿Para qué intervalo [ A , B ] es ∫ A B ( a x 2 + b x + c ) d x lo más grande posible? La integral se maximiza cuando se utiliza el mayor intervalo en el que p es no negativo. Así, A = − b − b 2 − 4 a c 2 a y B = − b + b 2 − 4 a c 2 a . Supongamos que [ a , b ] se puede subdividir en subintervalos a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a N = b de manera que f ≥ 0 en [ a i − 1 , a i ] o f ≤ 0 en [ a i − 1 , a i ] . Establezca A i = ∫ a i − 1 a i f ( t ) d t . Explique por qué ∫ a b f ( t ) d t = A 1 + A 2 + ⋯ + A N . Luego, explique por qué | ∫ a b f ( t ) d t | ≤ ∫ a b | f ( t ) | d t . Supongamos que f y g son funciones continuas tales que ∫ c d f ( t ) d t ≤ ∫ c d g ( t ) d t para cada subintervalo [ c , d ] de [ a , b ] . Explique por qué f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los valores de x . Si los valores de f ( t 0 ) > g ( t 0 ) para algunos t 0 ∈ [ a , b ] , entonces ya que f − g es continua, existe un intervalo que contiene t 0 tal que f ( t ) > g ( t ) en el intervalo [ c , d ] , y luego ∫ d d f ( t ) d t > ∫ c d g ( t ) d t en este intervalo. Supongamos que el valor promedio de f sobre [ a , b ] es 1 y el valor promedio de f sobre [ b , c ] es 1 donde a < c < b . Demuestre que el valor promedio de f sobre [ a , c ] también es 1. Supongamos que [ a , b ] se puede dividir. Al tomar a = a 0 < a 1 < ⋯ < a N = b tal que el valor promedio de f en cada subintervalo [ a i − 1 , a i ] = 1 es igual a 1 por cada i = 1 ,…, N . Explique por qué el valor promedio de f sobre [ a , b ] también es igual a 1. La integral de f sobre un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Así, ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 f ( t ) d t + ∫ a 1 a 2 f ( t ) d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 1 d t + ∫ a 1 a 2 1 d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N 1 d t = ( a 1 − a 0 ) + ( a 2 − a 1 ) + ⋯ + ( a N − a N − 1 ) = a N − a 0 = b – a . Al dividir entre b – a resulta la identidad deseada. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) 2 . Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i 2 . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . ∫ 0 N f ( t ) d t = ∑ i = 1 N ∫ i − 1 i f ( t ) d t = ∑ i = 1 N i 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha L 10 y R 10 y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = t 2 en [ 0 , 1 ] . Dado que ∫ 0 1 t 2 d t = 0, 33 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 10 y R 10 , y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = ( 4 − t 2 ) en [ 1 , 2 ] . Dado que ∫ 1 2 ( 4 − t 2 ) d t = 1 66 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? L 10 = 1,815 , R 10 = 1,515 , L 10 + R 10 2 = 1,665 , para que la estimación sea precisa con dos decimales. Si los valores de ∫ 1 5 1 + t 4 d t = 41,7133.. . , ¿qué es ∫ 1 5 1 + u 4 d u ? Estime ∫ 0 1 t d t utilizando las sumas de los extremos izquierdo y derecho, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de los extremos izquierdo y derecho con el valor real ∫ 0 1 t d t ? El promedio es 1 / 2 , que en este caso es igual a la integral. Estime ∫ 0 1 t d t por comparación con el área de un único rectángulo con altura igual al valor de t en el punto medio t = 1 2 . ¿Cómo se compara esta estimación del punto medio con el valor real ∫ 0 1 t d t ? A partir del gráfico de sen ( 2 π x ) que se muestra: Explique por qué ∫ 0 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 . Explique por qué, en general, ∫ a a + 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 para cualquier valor de a . a. El gráfico es antisimétrico con respecto a t = 1 2 en [ 0 , 1 ] , para que el valor promedio sea cero. b. Para cualquier valor de a , el gráfico entre [ a , a + 1 ] es un desplazamiento del gráfico sobre [ 0 , 1 ] , para que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambien y el promedio siga siendo cero. Si f es 1-periódica ( f ( t + 1 ) = f ( t ) ) , impar, e integrable sobre [ 0 , 1 ] , ¿es siempre cierto que ∫ 0 1 f ( t ) d t = 0 ? Si f es 1-periódica y ∫ 0 1 f ( t ) d t = A , ¿es necesariamente cierto que ∫ a 1 + a f ( t ) d t = A para todos las A ? Sí, la integral sobre cualquier intervalo de longitud 1 es la misma. valor promedio de una función (o f ave ) el valor promedio de una función en un intervalo se puede hallar calculando la integral definida de la función y dividiendo ese valor por la longitud del intervalo integral definida una operación primaria del cálculo; el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado es una integral definida función integrable una función es integrable si el límite que define la integral existe; en otras palabras, si el límite de las sumas de Riemann a medida que n llega al infinito existe integrando la función a la derecha del símbolo de integración; el integrando incluye la función que se integra límites de integración valores que aparecen cerca de la parte superior e inferior del signo de la integral y definen el intervalo sobre el que debe integrarse la función área neta señalada el área entre una función y el eje x tal que el área por debajo del eje x se resta del área por encima del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida de la función área total el área total entre una función y el eje x se calcula sumando el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida del valor absoluto de la función variable de integración indica con respecto a qué variable se está integrando; si es x , entonces la función en el integrando va seguida de dx", "section": "La integral definida", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "El teorema fundamental del cálculo En los dos apartados anteriores vimos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora las únicas herramientas de que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas de área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas. Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada tanto por Sir Isaac Newton como por Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el teorema fundamental del cálculo , que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo fundamental que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo. Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando como material fundamental en la física actual, y su cálculo ha dado lugar a ámbitos completos dentro de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con videos multimedia. Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, vamos a examinar otro teorema importante, el teorema del valor medio para integrales, que es necesario para demostrar el teorema fundamental del cálculo. Teorema del valor medio para integrales El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si f ( x ) es continua, existe un punto c en un intervalo [ a , b ] tal que el valor de la función en c es igual al valor medio de f ( x ) en [ a , b ] . Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior. Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Esta fórmula también puede expresarse como ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b – a ) . Prueba Dado que f ( x ) es continua en [ a , b ] , por el teorema del valor extremo (consulte Máximos y mínimos ), asume valores mínimos y máximos — m y M , respectivamente— en [ a , b ] . Entonces, para toda x en [ a , b ] , tenemos m ≤ f ( x ) ≤ M . Por lo tanto, por el teorema de comparación (consulte La integral definida ), tenemos m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Al dividir entre b – a nos da m ≤ 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x ≤ M . Dado que 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x es un número entre m y M , y ya que f ( x ) es continua y asume los valores m y M en [ a , b ] , por el teorema del valor intermedio (consulte Continuidad ), existe un número c en [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x , y la prueba está completa. □ Encontrar el valor medio de una función Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = 8 − 2 x en el intervalo [ 0 , 4 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 4 ] . La fórmula indica el valor medio de f ( x ) está dada por 1 4 − 0 ∫ 0 4 ( 8 − 2 x ) d x . Podemos ver en la que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x y y . El área del triángulo es A = 1 2 ( base ) ( altura ) . Tenemos A = 1 2 ( 4 ) ( 8 ) = 16 . El valor medio se obtiene multiplicando el área por 1 / ( 4 − 0 ) . Así, el valor medio de la función es 1 4 ( 16 ) = 4 . Establezca el valor medio igual a f ( c ) y resuelva para c . 8 − 2 c = 4 c = 2 A c = 2 , f ( 2 ) = 4 . Por el teorema del valor medio, la función continua f ( x ) toma su valor medio en c al menos una vez en un intervalo cerrado. Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 6 ] . Valor medio = 1,5 ; c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Cómo encontrar el punto en el que una función toma su valor medio Dados ∫ 0 3 x 2 d x = 9 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = x 2 en [ 0 , 3 ] . Buscamos el valor de c tal que f ( c ) = 1 3 − 0 ∫ 0 3 x 2 d x = 1 3 ( 9 ) = 3 . Sustitución de f ( c ) con c 2 , tenemos c 2 = 3 c = ± 3 . Dado que − 3 está fuera del intervalo, toma solo el valor positivo. Así, c = 3 ( ). En el intervalo [ 0 , 3 ] , la función f ( x ) = x 2 adquiere su valor medio en c = 3 . Dados ∫ 0 3 ( 2 x 2 – 1 ) d x = 15 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = 2 x 2 – 1 en [ 0 , 3 ] . c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1 , se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración. Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) en [ a , b ] . Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar un par de sutilezas. En primer lugar, un comentario sobre la notación. Observe que hemos definido una función, F ( x ) , como la integral definida de otra función, f ( t ) , desde el punto a hasta el punto x . A primera vista es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es darse cuenta que para cualquier valor particular de x , la integral definida es un número. Así que la función F ( x ) responde con un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x . En segundo lugar, merece la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Por algo se llama teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tiene una antiderivada. En concreto, garantiza que cualquier función continua tiene una antiderivada. Prueba Al aplicar la definición de la derivada, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 F ( x + h ) – F ( x ) h = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t + ∫ x a f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t . Si observamos atentamente esta última expresión, vemos 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t es solo el valor medio de la función f ( x ) en el intervalo [ x , x + h ] . Por lo tanto, por el , hay algún número c en [ x , x + h ] tal que 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = f ( c ) . Además, como c está entre x y x + h , c se aproxima a x a medida que h se acerca a cero. Además, como f ( x ) es continua, tenemos lím h → 0 f ( c ) = lím c → x f ( c ) = f ( x ) . Uniendo todas estas piezas, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = lím h → 0 f ( c ) = f ( x ) , y la prueba está completa. □ Halle una derivada con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para encontrar la derivada de g ( x ) = ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t . Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por g ′ ( x ) = 1 x 3 + 1 . Utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1 para encontrar la derivada de g ( r ) = ∫ 0 r x 2 + 4 d x . g ′ ( r ) = r 2 + 4 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Uso del teorema fundamental y la regla de la cadena para calcular derivadas Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x sen t d t . Calcule F ′ ( x ) . Suponiendo que u ( x ) = x , tenemos F ( x ) = ∫ 1 u ( x ) sen t d t . Así, por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, F ′ ( x ) = sen ( u ( x ) ) d u d x = sen ( u ( x ) ) . ( 1 2 x −1 / 2 ) = sen x 2 x . Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x 3 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 3 x 2 cos x 3 Pista Utilice la regla de la cadena para resolver el problema. Uso del teorema fundamental del cálculo con los límites de integración de dos variables Supongamos que F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Calcule F ′ ( x ) . Tenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Ambos límites de integración son variables, por lo que necesitamos dividir esto en dos integrales. Obtenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t = ∫ x 0 t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t = − ∫ 0 x t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t . Al diferenciar el primer término, obtenemos d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] = − x 3 . A diferenciar el segundo término, primero suponemos que u ( x ) = 2 x . Entonces, d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = d d x [ ∫ 0 u ( x ) t 3 d t ] = ( u ( x ) ) 3 d u d x = ( 2 x ) 3 . 2 = 16 x 3 . Por lo tanto, F ′ ( x ) = d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] + d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 . Supongamos que F ( x ) = ∫ x x 2 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 2 x cos x 2 − cos x Pista Utilice los procedimientos del para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo. Después de encontrar las áreas aproximadas sumando las áreas de rectángulos n , la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado sencillo que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo. El teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . A menudo vemos la notación F ( x ) | a b para denotar la expresión F ( b ) – F ( a ) . Utilizamos esta barra vertical y los límites a y b asociados para indicar que debemos evaluar la función F ( x ) en el límite superior (en este caso, b ), y restar el valor de la función F ( x ) evaluado en el límite inferior (en este caso, a ). El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación ) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos extremos del intervalo y restando. Prueba Supongamos que P = { x i } , i = 0 , 1 ,…, n es una partición regular de [ a , b ] . Entonces, podemos escribir F ( b ) – F ( a ) = F ( x n ) – F ( x 0 ) = [ F ( x n ) – F ( x n – 1 ) ] + [ F ( x n – 1 ) – F ( x n – 2 ) ] + … + [ F ( x 1 ) – F ( x 0 ) ] = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) – F ( x i − 1 ) ] . Ahora, sabemos que F es una antiderivada de f en [ a , b ] , así que mediante el teorema del valor medio (consulte el teorema del valor medio ) para i = 0 , 1 ,…, n podemos encontrar c i en [ x i − 1 , x i ] tal que F ( x i ) – F ( x i − 1 ) = F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) = f ( c i ) Δ x . Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos F ( b ) – F ( a ) = ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x . Tomando el límite de ambos lados cuando n → ∞ , obtenemos F ( b ) – F ( a ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = ∫ a b f ( x ) d x . □ Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para evaluar ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t . Recordemos la regla de la potencia para las antiderivadas : Si y = x n , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . Utilice esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplique el teorema. Tenemos ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t = t 3 3 − 4 t | −2 2 = [ ( 2 ) 3 3 − 4 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 3 3 − 4 ( −2 ) ] = ( 8 3 − 8 ) − ( − 8 3 + 8 ) = 8 3 − 8 + 8 3 − 8 = 16 3 − 16 = − 32 3 . Análisis Observe que no incluimos el término \"+ C \" cuando escribimos la antiderivada. La razón es que, según el teorema fundamental del cálculo, parte 2, cualquier antiderivada funciona. Así que, por comodidad, elegimos la antiderivada con C = 0 . Si hubiéramos elegido otra antiderivada, el término constante se habría anulado. Esto siempre ocurre al evaluar una integral definida. La región del área que acabamos de calcular se representa en la . Note que toda la región entre la curva y el eje x está por debajo del eje x . El área es siempre positiva, pero una integral definida puede producir un número negativo (un área neta con signo). Por ejemplo, si se tratara de una función de beneficios, un número negativo indica que la empresa está operando con pérdidas en el intervalo dado. La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo aunque el área sea siempre positiva. Evaluación de una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, parte 2 Evalúe la siguiente integral utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2: ∫ 1 9 x – 1 x d x . Primero elimine el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador: ∫ 1 9 x – 1 x 1 / 2 d x = ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x . Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar: ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x = ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x −1 / 2 ) d x . Ahora, integre usando la regla de la potencia: ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x – 1 / 2 ) d x = ( x 3 / 2 3 2 − x 1 / 2 1 2 ) | 1 9 = [ ( 9 ) 3 / 2 3 2 − ( 9 ) 1 / 2 1 2 ] − [ ( 1 ) 3 / 2 3 2 − ( 1 ) 1 / 2 1 2 ] = [ 2 3 ( 27 ) − 2 ( 3 ) ] − [ 2 3 ( 1 ) − 2 ( 1 ) ] = 18 − 6 − 2 3 + 2 = 40 3 . Vea el . El área bajo la curva de x = 1 a x = 9 se puede calcular evaluando una integral definida. Utilice (teorema fundamental del cálculo) para evaluar ∫ 1 2 x −4 d x . 7 24 Pista Utilice la regla de la potencia. Una carrera de patinaje James y Kathy están patinando. Lo hacen a lo largo de una pista larga y recta, y quien llegue más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de f ( t ) = 5 + 2 t ft/s y Kathy puede patinar a una velocidad de g ( t ) = 10 + cos ( π 2 t ) ft/s, ¿quién va a ganar la carrera? Tenemos que integrar ambas funciones en el intervalo [ 0 , 5 ] y ver qué valor es mayor. Con respecto a James, queremos calcular ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t . Utilizando la regla de la potencia, tenemos ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t = ( 5 t + t 2 ) | 0 5 = ( 25 + 25 ) = 50. Así, James patinó 50 ft en 5 segundos. Volviendo a Kathy, queremos calcular ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t . Sabemos que sen t es una antiderivada de cos t , por lo que es razonable esperar que una antiderivada de cos ( π 2 t ) implicaría sen ( π 2 t ) . Sin embargo, cuando diferenciamos sen ( π 2 t ) , obtenemos π 2 cos ( π 2 t ) como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que tener en cuenta este coeficiente adicional cuando integramos. Obtenemos ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t = ( 10 t + 2 π sen ( π 2 t ) ) | 0 5 = ( 50 + 2 π ) − ( 0 − 2 π sen 0 ) ≈ 50,6. Kathy patinó aproximadamente 50,6 ft en 5 segundos. ¡Kathy gana, pero no por mucho! Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el árbitro detiene la contienda a solo 3 segundos. ¿Cambia esto el resultado? Kathy sigue ganando, pero por un margen mucho mayor: James patina 24 ft en 3 segundos, pero Kathy patina 29,3634 ft en 3 segundos. Pista Cambia los límites de integración de los que aparecen en la . Un paracaidista en caída libre Los paracaidistas pueden ajustar la velocidad de su inmersión cambiando la posición de su cuerpo durante la caída libre (créditos: Jeremy T. Lock). Julie es una paracaidista apasionada. Tiene más de 300 saltos en su haber y ha dominado el arte de cambiar la posición de su cuerpo en el aire para controlar la velocidad de caída. Si arquea la espalda y apunta su vientre hacia el suelo, alcanza una velocidad límite de aproximadamente 120 mph (176 ft/s). Si más bien orienta su cuerpo con la cabeza hacia abajo, cae más rápido, alcanzando una velocidad límite de 150 mph (220 ft/s). Como Julie se moverá (caerá) en dirección descendente, asumimos que la dirección descendente es positiva para simplificar nuestros cálculos. Julie ejecuta sus saltos desde una altitud de 12.500 ft. Al saltar de la aeronave, inmediatamente comienza a caer a una velocidad dada por v ( t ) = 32 t . Ella continúa acelerando según esta función de velocidad hasta que alcanza la velocidad límite. Cuando alcanza la velocidad límite, su velocidad se mantiene constante hasta que tira de la cuerda de seguridad y reduce la velocidad para aterrizar. En su primer salto del día, Julie se orienta en la posición más lenta \"panza abajo\" (la velocidad límite es de 176 ft/s). Con esta información, responda las siguientes preguntas. ¿Cuánto tiempo después de saltar del avión Julie alcanza la velocidad límite? Con base en su respuesta a la pregunta 1, establezca una expresión que implique una o más integrales que representen la distancia a la que cae Julie después de 30 segundos. Si Julie tira de su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre? Julie tira de su cuerda de seguridad a 3.000 ft. El paracaídas tarda 5 segundos en abrirse por completo y en frenar, tiempo durante el cual cae otros 400 ft. Después de que su casquete está completamente abierto, su velocidad se reduce a 16 ft/s. Halle el tiempo total que Julie pasa en el aire, desde que sale del avión hasta que sus pies tocan el suelo. En el segundo salto del día, Julie decide que quiere caer un poco más rápido y se orienta en la posición \"cabeza abajo\". Su velocidad límite en esta posición es de 220 ft/s. Responda a estas preguntas con base en esta velocidad: En este caso ¿cuánto tarda Julie en alcanzar la velocidad límite? Antes de tirar de la cuerda de seguridad, Julie reorienta su cuerpo en la posición \"panza abajo\" para no moverse tan rápido cuando se abra el paracaídas. Si comienza esta maniobra a una altitud de 4.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre antes de comenzar la reorientación? Algunos saltadores llevan \" trajes de alas \" (vea la ). Estos trajes tienen paneles de tela entre los brazos y las piernas y permiten al usuario deslizarse en caída libre, como una ardilla voladora. (De hecho, los trajes se llaman a veces \"trajes de ardilla voladora\"). Cuando se llevan estos trajes, la velocidad límite puede reducirse a unos 30 mph (44 ft/s), lo que permite a los usuarios un tiempo mucho más largo en el aire. Los pilotos de wingsuit (traje de alas) siguen utilizando paracaídas para aterrizar; aunque las velocidades verticales están dentro del margen de seguridad, las horizontales pueden superar las 70 mph, demasiado rápido para aterrizar con seguridad. Los paneles de tela de los brazos y las piernas de un wingsuit sirven para reducir la velocidad vertical de caída de un paracaidista (créditos: Richard Schneider). Responda la siguiente pregunta con base en la velocidad con un wingsuit. Si Julie se pone un wingsuit antes de su tercer salto del día y hala su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo puede pasar planeando en el aire? Conceptos clave El teorema del valor medio de las integrales afirma que para una función continua en un intervalo cerrado, existe un valor c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 1 muestra la relación entre la derivada y la integral. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 2 es una fórmula para evaluar una integral definida en términos de una antiderivada de su integrando. El área total bajo una curva se puede encontrar utilizando esta fórmula. Vea el . Ecuaciones clave Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) . Teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . Considere la posibilidad de que dos atletas corran a velocidades variables v 1 ( t ) y v 2 ( t ) . Los corredores comienzan y terminan una carrera exactamente a la misma hora. Explique por qué los dos corredores deben ir a la misma velocidad en algún momento. Dos alpinistas comienzan su ascenso en el campamento base y toman dos rutas diferentes, una más empinada que la otra, y llegan a la cima exactamente al mismo tiempo. ¿Es necesariamente cierto que, en algún momento, ambos escaladores aumentaron su altitud al mismo ritmo? Sí. Está implícito en el teorema del valor medio de las integrales. Para entrar en una determinada autopista de peaje, un conductor debe llevar una tarjeta en la que figura el punto de entrada de la milla. La tarjeta también tiene una marca de tiempo. Al dirigirse a la salida y pagar el peaje, el conductor se sorprende al recibir una multa por exceso de velocidad junto con el peaje. Explique cómo pudo ocurrir eso. Establezca F ( x ) = ∫ 1 x ( 1 − t ) d t . Calcule F ′ ( 2 ) y el valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] . F ′ ( 2 ) = −1 ; valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] ¿es −1 / 2 . En los siguientes ejercicios, utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar cada derivada. d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e cos t d t e cos x d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 4 x d s 16 − s 2 1 16 − x 2 d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ 0 x t d t x d d x x = 1 2 d d x ∫ 0 sen x 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t − 1 − cos 2 x d d x cos x = | sen x | sen x d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t 2 x | x | 1 + x 2 d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u ln ( e 2 x ) d d x e x = 2 x e x El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? a. f es positiva en ( 1 , 2 ) y ( 5 , 6 ) , negativo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 4 ) , y cero en ( 2 , 3 ) y ( 4 , 5 ) . b. El valor máximo es 2 y el mínimo es -3. c. El valor medio es 0. El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalos, si los hay, es constante? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? a. ℓ es positivo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 6 ) , y negativo en ( 1 , 3 ) . b. Aumenta en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 5 ) , y es constante a lo largo de ( 1 , 3 ) y ( 5 , 6 ) . c. Su valor medio es 1 3 . En los siguientes ejercicios utilice una calculadora para estimar el área debajo de la curva calculando T 10 , el promedio de las sumas de Riemann de los extremos izquierdo y derecho utilizando rectángulos N = 10 . Luego, utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2, determine el área exacta. [T] y = x 2 en [ 0 , 4 ] [T] y = x 3 + 6 x 2 + x − 5 en [ −4 , 2 ] T 10 = 49,08 , ∫ −4 3 ( x 3 + 6 x 2 + x − 5 ) d x = 48 [T] y = x 3 en [ 0 , 6 ] [T] y = x + x 2 en [ 1 , 9 ] T 10 = 260,836 , ∫ 1 9 ( x + x 2 ) d x = 260 [T] ∫ ( cos x − sen x ) d x en [ 0 , π ] [T] ∫ 4 x 2 d x en [ 1 , 4 ] T 10 = 3,058 , ∫ 1 4 4 x 2 d x = 3 En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 3 x 2 2 − 5 x , F ( 3 ) – F ( −2 ) = − 35 6 ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t F ( x ) = − t 5 5 + 13 t 3 3 − 36 t , F ( 3 ) – F ( 2 ) = 62 15 ∫ 1 2 x 9 d x ∫ 0 1 x 99 d x F ( x ) = x 100 100 , F ( 1 ) – F ( 0 ) = 1 100 ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 1 / 4 4 ( x 2 – 1 x 2 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 1 x , F ( 4 ) – F ( 1 4 ) = 1125 64 ∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 4 1 2 x d x F ( x ) = x , F ( 4 ) – F ( 1 ) = 1 ∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 16 d t t 1 / 4 F ( x ) = 4 3 t 3 / 4 , F ( 16 ) – F ( 1 ) = 28 3 ∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 π / 2 sen θ d θ F ( x ) = − cos x , F ( π 2 ) – F ( 0 ) = 1 ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ F ( x ) = sec x , F ( π 4 ) – F ( 0 ) = 2 – 1 ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ F ( x ) = − cot ( x ) , F ( π 2 ) – F ( π 4 ) = 1 ∫ 1 2 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t F ( x ) = − 1 x + 1 2 x 2 , F ( –1 ) – F ( −2 ) = 7 8 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de evaluación para expresar la integral como una función F ( x ) . ∫ a x t 2 d t ∫ 1 x e t d t F ( x ) = e x − e ∫ 0 x cos t d t ∫ − x x sen t d t F ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, identifique las raíces del integrando para eliminar los valores absolutos, y luego evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 −1 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t − ∫ –1 3 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t + ∫ 3 4 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t = 46 3 ∫ 0 π | cos t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sen t | d t − ∫ − π / 2 0 sen t d t + ∫ 0 π / 2 sen t d t = 2 Supongamos que el número de horas de luz en un día determinado en Seattle se modela mediante la función −3,75 cos ( π t 6 ) + 12,25 , con t expresado en meses y t = 0 correspondiente al solsticio de invierno. ¿Cuál es el número medio de horas de luz al año? En qué momentos t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , ¿el número de horas de luz es igual al número promedio? Escriba una integral que exprese el número total de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 . Calcule la media de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , y luego entre t 2 y t 1 , y demuestre que el promedio de las dos es igual a la duración promedio del día. Supongamos que la tasa de consumo de gasolina a lo largo de un año en Estados Unidos puede modelarse mediante una función sinusoidal de la forma ( 11,21 − cos ( π t 6 ) ) × 10 9 gal/mo. ¿Cuál es el consumo promedio mensual y para qué valores de t la tasa en el momento t es igual a la tasa promedio? ¿Cuál es el número de galones de gasolina que se consumen en Estados Unidos en un año? Escriba una integral que exprese el consumo medio mensual de gasolina en Estados Unidos en la parte del año comprendida entre el comienzo de abril ( t = 3 ) y el final de septiembre ( t = 9 ). a. El promedio es 11,21 × 10 9 dado que cos ( π t 6 ) tiene periodo 12 e integral 0 en cualquier periodo. El consumo es igual al promedio cuando cos ( π t 6 ) = 0 , cuando t = 3 , y cuando t = 9 . b. El consumo total es la tasa promedio por la duración: 11,21 × 12 × 10 9 = 1,35 × 10 11 c. 10 9 ( 11,21 − 1 6 ∫ 3 9 cos ( π t 6 ) d t ) = 10 9 ( 11,21 + 2 π ) = 11,84 x 10 9 Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] , hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] y no es igual a una constante, hay al menos un punto M ∈ [ a , b ] de manera que f ( M ) > 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t y al menos un punto m ∈ [ a , b ] de manera que f ( m ) < 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Si f no es constante, su promedio es estrictamente menor que el máximo y mayor que el mínimo, que se alcanzan sobre [ a , b ] según el teorema del valor extremo. La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto más cercano de una órbita planetaria al Sol se llama perihelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 3 de enero) y el punto más alejado se denomina afelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 4 de julio). La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de sus órbitas elípticas en tiempos iguales. Así, los dos arcos indicados en la siguiente figura se barren en tiempos iguales. ¿En qué momento del año la Tierra se mueve más rápido en su órbita? ¿Cuándo se mueve más lentamente? Un punto de una elipse con eje mayor de longitud 2 a y eje menor de longitud 2 b tiene las coordenadas ( a cos θ , b sen θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Demuestre que la distancia de este punto al foco en ( − c , 0 ) ¿es d ( θ ) = a + c cos θ , donde c = a 2 − b 2 . Utilice estas coordenadas para demostrar que la distancia promedio d – desde un punto de la elipse hasta el foco en ( − c , 0 ) , con respecto al ángulo θ , es a . a. d 2 θ = ( a cos θ + c ) 2 + b 2 sen 2 θ = a 2 + c 2 cos 2 θ + 2 a c cos θ = ( a + c cos θ ) 2 ; b. d – = 1 2 π ∫ 0 2 π ( a + 2 c cos θ ) d θ = a Como se dijo antes, según las leyes de Kepler, la órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. El perihelio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 147.098.290 km y el afelio es de 152.098.232 km. Colocando el eje mayor a lo largo del eje x , halle la distancia promedio de la Tierra al Sol. La definición clásica de unidad astronómica (UA) es la distancia de la Tierra al Sol, y su valor se calculó como el promedio de las distancias del perihelio y del afelio. ¿Está justificada esta definición? La fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta es F ( θ ) = G m M r 2 ( θ ) , donde m es la masa del planeta, M es la masa del Sol, G es una constante universal y r ( θ ) es la distancia entre el Sol y el planeta cuando éste se halla en un ángulo θ con el eje mayor de su órbita. Suponiendo que M , m y los parámetros de la elipse a y b (semilongitudes de los ejes mayor y menor) están dados, establezca —pero no evalúe— una integral que exprese en términos de G , m , M , a , b la fuerza gravitatoria promedio entre el Sol y el planeta. Fuerza gravitacional media = G m M 2 π ∫ 0 2 π 1 ( a + 2 a 2 − b 2 cos θ ) 2 d θ . El desplazamiento desde el reposo de una masa unida a un resorte satisface la ecuación de movimiento armónico simple x ( t ) = A cos ( ω t − ϕ ) , donde ϕ es una constante de fase, ω es la frecuencia angular y A es la amplitud. Halle la velocidad media, la rapidez media (magnitud de la velocidad), el desplazamiento medio y la distancia media desde el reposo (magnitud del desplazamiento) de la masa. teorema fundamental del cálculo teorema central para todo el desarrollo del cálculo, que establece la relación entre la diferenciación y la integración teorema fundamental del cálculo, parte 1 utiliza una integral definida para definir una antiderivada de una función teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también, teorema de evaluación ) podemos evaluar una integral definida evaluando la antiderivada del integrando en los puntos extremos del intervalo y restando teorema del valor medio para integrales garantiza que existe un punto c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función", "section": "El teorema fundamental del cálculo", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto En esta sección, utilizaremos algunas fórmulas básicas de integración estudiadas anteriormente para resolver algunos problemas clave aplicados. Es importante señalar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas . Aunque las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave que hay que tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una función única (cuando uno o ambos límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales difieren en una constante. A medida que se vaya familiarizando con la integración, sabrá cuándo utilizar las integrales definidas o las indefinidas. Sin pensar demasiado en ello, seleccionará naturalmente el enfoque correcto para un determinado problema Sin embargo, mientras internaliza estos conceptos, piense cuidadosamente si necesita una integral definida o una indefinida y asegúrese de utilizar la notación adecuada según su elección. Fórmulas básicas de integración Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas. Integración de una función mediante la regla de la potencia Utilice la regla de la potencia para integrar la función ∫ 1 4 t ( 1 + t ) d t . El primer paso es reescribir la función y simplificarla para aplicar la regla de la potencia: ∫ 1 4 t ( 1 + t ) d t = ∫ 1 4 t 1 / 2 ( 1 + t ) d t = ∫ 1 4 ( t 1 / 2 + t 3 / 2 ) d t . Ahora aplique la regla de la potencia: ∫ 1 4 ( t 1 / 2 + t 3 / 2 ) d t = ( 2 3 t 3 / 2 + 2 5 t 5 / 2 ) | 1 4 = [ 2 3 ( 4 ) 3 / 2 + 2 5 ( 4 ) 5 / 2 ] − [ 2 3 ( 1 ) 3 / 2 + 2 5 ( 1 ) 5 / 2 ] = 256 15 . Calcule la integral definida de f ( x ) = x 2 − 3 x en el intervalo [ 1 , 3 ] . − 10 3 Pista Siga el proceso de la para resolver el problema. El teorema del cambio neto El teorema del cambio neto considera la integral de un tasa de cambio . Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida. Teorema del cambio neto El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio: F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x o ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . Restando F ( a ) de ambos lados de la primera ecuación da como resultado la segunda ecuación. Puesto que son fórmulas equivalentes, la que utilicemos dependerá de la aplicación. La importancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto puede aplicarse al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto contabiliza automáticamente las cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrarlo, aplicaremos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento . Vimos un ejemplo sencillo de esto en La integral definida . Supongamos que un auto va hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p. m. y las 4 p. m., luego se dirige al sur a 30 mph entre las 4 p. m. y las 5 p. m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la . El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo para el movimiento dado de un automóvil. Al igual que antes, podemos utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto y la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por ∫ 2 5 v ( t ) d t = ∫ 2 4 4 0 d t + ∫ 4 5 −30 d t = 80 − 30 = 50 . Así, a las 5 p. m., el auto está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total recorrida viene dada por ∫ 2 5 | v ( t ) | d t = ∫ 2 4 4 0 d t + ∫ 4 5 30 d t = 80 + 30 = 110 . Por lo tanto, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., el auto recorrió un total de 110 millas. En resumen, el desplazamiento neto puede incluir tanto valores positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad toma en cuenta tanto la distancia hacia delante como hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. En cambio, la distancia total recorrida es siempre positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, tenemos que integrar el valor absoluto de la función de velocidad. Hallar el desplazamiento neto Dada una función de velocidad v ( t ) = 3 t − 5 (en metros por segundo) para una partícula en movimiento desde el tiempo t = 0 hasta el tiempo t = 3 , halle el desplazamiento neto de la partícula. Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos ∫ 0 3 ( 3 t − 5 ) d t = 3 t 2 2 − 5 t | 0 3 = [ 3 ( 3 ) 2 2 − 5 ( 3 ) ] − 0 = 27 2 − 15 = 27 2 − 30 2 = − 3 2 . El desplazamiento neto es − 3 2 m ( ). El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo de una partícula que se mueve con una función de velocidad lineal. Hallar la distancia total recorrida Utilice el para encontrar la distancia total recorrida por una partícula según la función de velocidad v ( t ) = 3 t − 5 m/s en un intervalo de tiempo [ 0 , 3 ] . La distancia total recorrida incluye tanto los valores positivos como los negativos. Por eso debemos integrar el valor absoluto de la función de velocidad para encontrar la distancia total recorrida. Para continuar con el ejemplo, utilice dos integrales para encontrar la distancia total. En primer lugar, halle la intersección t de la función, ya que allí se produce la división del intervalo. Establezca la ecuación igual a cero y resuelva para t . Por lo tanto, 3 t − 5 = 0 3 t = 5 t = 5 3 . Los dos subintervalos son [ 0 , 5 3 ] y [ 5 3 , 3 ] . Para encontrar la distancia total recorrida, integre el valor absoluto de la función. Como la función es negativa en el intervalo [ 0 , 5 3 ] , tenemos | v ( t ) | = − v ( t ) en ese intervalo. En [ 5 3 , 3 ] , la función es positiva, por lo que | v ( t ) | = v ( t ) . Por lo tanto, tenemos ∫ 0 3 | v ( t ) | d t = ∫ 0 5 / 3 − v ( t ) d t + ∫ 5 / 3 3 v ( t ) d t = ∫ 0 5 / 3 5 − 3 t d t + ∫ 5 / 3 3 3 t − 5 d t = ( 5 t − 3 t 2 2 ) | 0 5 / 3 + ( 3 t 2 2 − 5 t ) | 5 / 3 3 = [ 5 ( 5 3 ) − 3 ( 5 / 3 ) 2 2 ] − 0 + [ 27 2 − 15 ] − [ 3 ( 5 / 3 ) 2 2 − 25 3 ] = 25 3 − 25 6 + 27 2 − 15 − 25 6 + 25 3 = 41 6 . Por lo tanto, la distancia total recorrida es 41 6 m. Halle el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad f ( t ) = 1 2 e t − 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . Desplazamiento neto: e 2 − 9 2 ≈ − 0,8055 m; distancia total recorrida: 4 ln 4 − 7,5 + e 2 2 ≈ 1,740 m Pista Siga los procedimientos del y del . Observe que f ( t ) ≤ 0 por t ≤ ln 4 , y f ( t ) ≥ 0 por t ≥ ln 4 . Aplicación del teorema del cambio neto El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el . ¿Cuántos galones de gasolina se consumen? Si el motor de una lancha se pone en marcha en t = 0 y la lancha consume gasolina a una tasa de 5 – t 3 gal/h, ¿qué cantidad de gasolina se consume en las primeras 2 horas? Exprese el problema como una integral definida, integre y evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo. Los límites de la integración son los puntos extremos del intervalo [ 0 , 2 ] . Tenemos ∫ 0 2 ( 5 – t 3 ) d t = ( 5 t – t 4 4 ) | 2 0 = [ 5 ( 2 ) – ( 2 ) 4 4 ] – 0 = 10 – 16 4 = 6 Por lo tanto, la lancha consume 6 galones de gasolina en 2 horas. Inicio del capítulo: Botes deslizadores sobre hielo (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Como vimos al principio del capítulo, los mejores corredores de botes de hielo ( ) pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Sin embargo, Andrew es un navegador de nivel intermedio, por lo que alcanza velocidades equivalentes a solo el doble de la velocidad del viento. Supongamos que Andrew saca su bote una mañana en la que ha soplado una ligera brisa de 5 mph durante toda la mañana. Sin embargo, mientras prepara su bote de hielo, el viento empieza a arreciar. Durante su primera media hora de navegación sobre hielo, la velocidad del viento aumenta según la función v ( t ) = 20 t + 5 . En la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento se mantiene estable en 15 mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por v ( t ) = { 20 t + 5 para 0 ≤ t ≤ 1 2 15 para 1 2 ≤ t ≤ 1 . Si recordamos que el bote de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y suponemos que se mueve en línea recta desde su punto de partida, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra después de 1 hora? Para saber qué distancia ha recorrido Andrew, tenemos que integrar su velocidad, que es el doble de la velocidad del viento. Entonces Distancia = ∫ 0 1 2 v ( t ) d t . Sustituyendo las expresiones proporcionadas para v ( t ) , obtenemos ∫ 0 1 2 v ( t ) d t = ∫ 0 1 / 2 2 v ( t ) d t + ∫ 1 / 2 1 2 v ( t ) d t = ∫ 0 1 / 2 2 ( 20 t + 5 ) d t + ∫ 1 / 3 1 2 ( 15 ) d t = ∫ 0 1 / 2 ( 40 t + 10 ) d t + ∫ 1 / 2 1 30 d t = [ 20 t 2 + 10 t ] | 0 1 / 2 + [ 30 t ] | 1 / 2 1 = ( 20 4 + 5 ) − 0 + ( 30 − 15 ) = 25. Pasada 1 hora, Andrew está a 25 millas de su punto de partida. Supongamos que, en vez de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrés, el viento empieza a amainar según la función v ( t ) = −10 t + 15 . En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por v ( t ) = { 20 t + 5 para 0 ≤ t ≤ 1 2 − 10 t + 15 para 1 2 ≤ t ≤ 1 . En estas condiciones, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra Andrés después de 1 hora? 17,5 mi Pista No olvide que el bote deslizador en hielo de Andrew se mueve el doble de rápido que el viento. Integración de funciones pares e impares En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que f ( − x ) = f ( x ) para toda x en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye x por − x . Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje y . Una función impar es aquella en la que f ( − x ) = − f ( x ) para toda x en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen. Las integrales de las funciones pares, cuando los límites de la integración son de − a a a , implican dos áreas iguales, porque son simétricas respecto al eje y . Las integrales de funciones impares, cuando los límites de integración son similares [ − a , a ] , se evalúa a cero porque las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales. Regla: integrales de funciones pares e impares Para funciones continuas pares tales que f ( − x ) = f ( x ) , ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x . Para funciones continuas impares tales que f ( − x ) = − f ( x ) , ∫ − a a f ( x ) d x = 0 . Integrar una función par Integre la función par ∫ −2 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x y verifique que la fórmula de integración para funciones pares se cumpla. La simetría aparece en los gráficos en la . El gráfico (a) muestra la región por debajo de la curva y por encima del eje x . Hay que ampliar mucho este gráfico para ver la región. El gráfico (b) muestra la región por encima de la curva y por debajo del eje x . El área con signo de esta región es negativa. Ambas vistas ilustran la simetría en torno al eje y de una función par. Tenemos ∫ −2 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x = ( x 9 3 − 2 x ) | −2 2 = [ ( 2 ) 9 3 − 2 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 9 3 − 2 ( −2 ) ] = ( 512 3 − 4 ) − ( − 512 3 + 4 ) = 1.000 3 . Para verificar la fórmula de integración de las funciones pares, podemos calcular la integral de 0 a 2 y duplicarla, y luego comprobar que obtenemos la misma respuesta. ∫ 0 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x = ( x 9 3 − 2 x ) | 0 2 = 512 3 − 4 = 500 3 Dado que 2 . 500 3 = 1.000 3 , hemos comprobado la fórmula de las funciones pares en este ejemplo concreto. El gráfico (a) muestra el área positiva entre la curva y el eje x , mientras que el gráfico (b) muestra el área negativa entre la curva y el eje x . Ambas vistas muestran la simetría en torno al eje y . Integrar una función impar Evalúe la integral definida de la función impar −5 sen x en el intervalo [ − π , π ] . El gráfico se muestra en la . Podemos ver la simetría respecto al origen por el área positiva sobre el eje x en [ − π , 0 ] , y el área negativa por debajo del eje x en [ 0 , π ] . Tenemos ∫ − π π −5 sen x d x = −5 ( − cos x ) | − π π = 5 cos x | − π π = [ 5 cos π ] − [ 5 cos ( − π ) ] = −5 − ( −5 ) = 0 . El gráfico muestra las áreas entre una curva y el eje x para una función impar. Integre la función ∫ −2 2 x 4 d x . 64 5 Pista Integre una función par. Conceptos clave El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero. El área bajo una función par en un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el eje x positivo. En una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa. Ecuaciones clave Teorema del cambio neto F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x o ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) Utilice las fórmulas básicas de integración para calcular las siguientes antiderivadas o integrales definidas. ∫ ( x – 1 x ) d x ∫ ( x – 1 x ) d x = ∫ x 1 / 2 d x − ∫ x −1 / 2 d x = 2 3 x 3 / 2 + C 1 − 2 x 1 / 2 + C 2 = 2 3 x 3 / 2 − 2 x 1 / 2 + C ∫ ( e 2 x – 1 2 e x / 2 ) d x ∫ d x 2 x ∫ d x 2 x = 1 2 ln | x | + C ∫ x – 1 x 2 d x ∫ 0 π ( sen x − cos x ) d x ∫ 0 π sen x d x − ∫ 0 π cos x d x = − cos x | 0 π − ( sen x ) | 0 π = ( − ( –1 ) + 1 ) − ( 0 − 0 ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( x − sen x ) d x Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro P ( s ) de un cuadrado cuando su longitud de lado s aumenta de 2 unidades a 4 unidades y evalúe la integral. P ( s ) = 4 s , así que d P d s = 4 y ∫ 2 4 4 d s = 8 . Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área A ( s ) = s 2 de un cuadrado cuando la longitud de sus lados se duplica de S unidades a 2 S unidades y evalúe la integral. Un N-gono regular (un polígono de N lados que tienen igual longitud s , como un pentágono o un hexágono) tiene un perímetro Ns . Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro de un N −gono regular cuando la longitud de cada lado aumenta de 1 unidad a 2 unidades y evalúe la integral. ∫ 1 2 N d s = N El área de un pentágono regular de lado a > 0 es pa 2 con p = 1 4 5 + 5 + 2 5 . El Pentágono en Washington, DC, tiene lados interiores de 360 ft y lados exteriores de 920 ft de longitud. Escriba una integral para expresar el área del techo del Pentágono según estas dimensiones y evalúe esa área. Un dodecaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 12 pentágonos de igual superficie. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un dodecaedro cuando la longitud de los lados de cada pentágono se duplica de 1 a 2 unidades? Con p como en el ejercicio anterior, cada uno de los 12 pentágonos aumenta su área de 2 p unidades a 4 p unidades por lo que el aumento neto del área del dodecaedro es de 36 p unidades. Un icosaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 20 triángulos equiláteros. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un icosaedro cuando la longitud de los lados de cada triángulo se duplica de la unidad a a 2 a unidades? Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área de la superficie de un cubo cuando su longitud lateral se duplica de la unidad s a 2 s unidades y evalúe la integral. 18 s 2 = 6 ∫ s 2 s 2 x d x Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de un cubo cuando la longitud del lado se duplica de la unidad s a unidades 2 s y evalúe la integral. Escriba una integral que cuantifique el aumento del área superficial de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2 R y evalúe la integral. 12 π R 2 = 8 π ∫ R 2 R r d r Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2 R y evalúe la integral. Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad v ( t ) = 4 – 2 t , donde 0 ≤ t ≤ 2 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 2 . d ( t ) = ∫ 0 t v ( s ) d s = 4 t − t 2 . La distancia total es d ( 2 ) = 4 m . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v ( t ) = t 2 − 3 t − 18 , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v ( t ) = | 2 t − 6 | , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 . d ( t ) = ∫ 0 t v ( s ) d s . Para t < 3 , d ( t ) = ∫ 0 t ( 6 − 2 t ) d t = 6 t − t 2 . Para t > 3 , d ( t ) = d ( 3 ) + ∫ 3 t ( 2 t − 6 ) d t = 9 + ( t 2 − 6 t ) | 3 6 . La distancia total es d ( 6 ) = 18 m . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración definida por a ( t ) = t − 3 , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Halle la velocidad y el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 si v ( 0 ) = 3 y d ( 0 ) = 0 . Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 1,5 m con una rapidez inicial de 40 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de –9,8 m/s 2 . Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v ( t ) y la altura h ( t ) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo. v ( t ) = 40 − 9,8 t m/s ; h ( t ) = 1,5 + 40 t − 4,9 t 2 m/s Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 3 m con una rapidez inicial de 60 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9,8 m/seg 2 . Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v ( t ) y la altura h ( t ) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo. La zona A ( t ) de forma circular crece a un ritmo constante. Si el área aumenta de 4 π unidades a 9 π unidades entre tiempos t = 2 y t = 3 , calcule el cambio neto en el radio durante ese tiempo. El aumento neto es de 1 unidad. Un globo esférico se infla a un ritmo constante. Si el volumen del globo cambia de 36 π in 3 a 288 π in 3 entre el tiempo t = 30 y t = 60 segundos, halle el cambio neto en el radio del globo durante ese tiempo. El agua fluye en un tanque cónico con un área transversal πx 2 a una altura x y un volumen π x 3 3 hasta la altura x . Si el agua entra en el depósito a una velocidad de 1m 3 /min, halle la altura del agua en el depósito después de 5 min. Halle el cambio de altura entre 5 min y 10 min. A t = 5 , la altura del agua es x = ( 15 π ) 1 / 3 m . . El cambio neto de altura desde t = 5 al t = 10 ¿es ( 30 π ) 1 / 3 − ( 15 π ) 1 / 3 m. Un depósito cilíndrico horizontal tiene una sección transversal A ( x ) = 4 ( 6 x – x 2 ) m 2 a una altura de x metros sobre el fondo cuando x ≤ 3 . El volumen V entre las alturas a y b es ∫ a b A ( x ) d x . Halle el volumen en las alturas comprendidas entre 2 m y 3 m. Supongamos que se está bombeando aceite al tanque a una velocidad de 50 L/min. Utilizando la regla de la cadena, d x d t = d x d V d V d t , ¿a cuántos metros por minuto cambia la altura del aceite en el depósito, expresada en términos de x , cuando la altura está a x metros? ¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el depósito hasta 3 m partiendo de un nivel de llenado de 2 m? La siguiente tabla muestra la potencia eléctrica en gigavatios (la tasa de consumo de energía) que se utiliza en una ciudad en diferentes horas del día, en un periodo típico de 24 horas, donde la hora 1 va desde la medianoche hasta la 1 a. m. Hora Potencia Hora Potencia 1 28 13 48 2 25 14 49 3 24 15 49 4 23 16 50 5 24 17 50 6 27 18 50 7 29 19 46 8 32 20 43 9 34 21 42 10 39 22 40 11 42 23 37 12 46 24 34 Halle la cantidad total de energía en gigavatios-hora (gW-h) que la ciudad consume en un periodo típico de 24 horas. El consumo total de energía diario se estima como la suma de las tasas de energía horaria, o sea 911 gW-h. El uso promedio de energía eléctrica residencial (en cientos de vatios) por hora se indica en la siguiente tabla. Hora Potencia Hora Potencia 1 8 13 12 2 6 14 13 3 5 15 14 4 4 16 15 5 5 17 17 6 6 18 19 7 7 19 18 8 8 20 17 9 9 21 16 10 10 22 16 11 10 23 13 12 11 24 11 Calcule la energía total promedio utilizada en un día en kilovatios-hora (kWh). Si una tonelada de carbón genera 1842 kWh, ¿cuánto tiempo tarda una residencia común en quemar una tonelada de carbón? Explique por qué los datos pueden encajar en un gráfico de la forma p ( t ) = 11,5 − 7,5 sen ( π t 12 ) . Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada uno de los últimos 18 segundos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012. Potencia promedio de salida Segundo Vatios Segundo Vatios 1 600 10 1200 2 500 11 1170 3 575 12 1125 4 1050 13 1.100 5 925 14 1075 6 950 15 1.000 7 1050 16 950 8 950 17 900 9 1.100 18 780 Fuente : sportsexercisengineering.com Calcule la energía neta utilizada en kilojulios (kJ), teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s, y la potencia media producida por Sagan durante este intervalo de tiempo. 17 kJ Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada intervalo de 15 minutos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012. Potencia promedio de salida Minutos Vatios Minutos Vatios 15 200 165 170 30 180 180 220 45 190 195 140 60 230 210 225 75 240 225 170 90 210 240 210 105 210 255 200 120 220 270 220 135 210 285 250 150 150 300 400 Fuente : sportsexercisengineering.com Calcule la energía neta utilizada en kilojulios, teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s. En la siguiente tabla se muestran los ingresos en Estados Unidos a partir de 2012 en incrementos de 5.000 dólares. La fila k −ésima indica el porcentaje de hogares con ingresos entre $5.000 x k y 5.000 x k + 4.999 . La fila k = 40 contiene todos los hogares con ingresos entre 200.000 y 250.000 dólares. Distribución de los ingresos 0 3,5 21 1,5 1 4,1 22 1,4 2 5,9 23 1.3 3 5,7 24 1.3 4 5,9 25 1,1 5 5,4 26 1,0 6 5,5 27 0,75 7 5,1 28 0,8 8 4,8 29 1,0 9 4,1 30 0,6 10 4,3 31 0,6 11 3,5 32 0,5 12 3,7 33 0,5 13 3,2 34 0,4 14 3,0 35 0,3 15 2,8 36 0,3 16 2,5 37 0,3 17 2,2 38 0,2 18 2,2 39 1,8 19 1,8 40 2,3 20 2,1 Fuente : http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf Estime el porcentaje de hogares estadounidenses en 2012 con ingresos inferiores a 55.000 dólares. ¿Qué porcentaje de hogares tiene ingresos superiores a 85.000 dólares? Grafique los datos e intente ajustar su forma a la de un gráfico de la forma a ( x + c ) e − b ( x + e ) para que corresponda a a , b , c . a. 54,3 %; b. 27,00 %; c. La curva del siguiente gráfico es 2,35 ( t + 3 ) e −0,15 ( t + 3 ) . La ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto de masa M y otro de masa m con centros separados por una distancia r es F = G m M r 2 , con G como constante empírica G = 6,67 x 10 –11 m 3 / ( k g . s 2 ) . El trabajo realizado por una fuerza variable en un intervalo [ a , b ] se define como W = ∫ a b F ( x ) d x . Si la Tierra tiene masa de 5,97219 × 10 24 y radio de 6371 km, calcule la cantidad de trabajo para elevar un satélite meteorológico polar de masa 1.400 kg hasta su altitud de órbita de 850 km sobre la Tierra. En un vehículo de cierto tipo de motor, la desaceleración máxima alcanzable por el frenado es de aproximadamente 7 m/s 2 en hormigón seco. En el asfalto húmedo, es de aproximadamente 2,5 m/s 2 . Dado que 1 mph corresponde a 0,447 m/s, halle la distancia total que recorre un auto en metros sobre hormigón seco después de aplicar los frenos hasta que se detiene por completo si la velocidad inicial es de 67 mph (30 m/s) o si la velocidad inicial de frenado es de 56 mph (25 m/s). Halle las distancias correspondientes si la superficie es asfalto húmedo y resbaladizo. En condiciones secas, con una velocidad inicial v 0 = 30 m/s, D = 64,3 y, si v 0 = 25 , D = 44,64 . En condiciones de humedad, si v 0 = 30 , y D = 180 y si v 0 = 25 , D = 125 . John tiene 25 años y pesa 160 lb. Quema 500 − 50 t calorías/h mientras monta en bicicleta durante t horas. Si una galleta de avena tiene 55 cal y Juan se come 4 t galletas durante la t −ésima hora, ¿cuántas calorías netas pierde después de 3 horas montando en bicicleta? Sandra tiene 25 años y pesa 120 libras. Quema 300 − 50 t cal/h mientras se ejercita en su máquina caminadora. Su consumo de calorías al beber Gatorade es de 100 t calorías durante la t −ésima hora. ¿Cuál es su disminución neta de calorías después de caminar por 3 horas? 225 cal Un automóvil tiene una eficiencia máxima de 33 mpg a una velocidad de crucero de 40 mph. La eficiencia cae a un ritmo de 0,1 mpg/mph entre 40 mph y 50 mph, y a una tasa de 0,4 mpg/mph entre 50 mph y 80 mph. ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a una velocidad de crucero de 50 mph? ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a 80 mph? Si la gasolina cuesta 3,50 $/gal, ¿cuál es el costo del combustible para recorrer 50 millas a 40 mph, a 50 mph y a 80 mph? Aunque algunos motores son más eficientes con una potencia determinada en caballos de fuerza que otros, en promedio, la eficiencia del combustible disminuye con la potencia a una tasa de 1 / 25 mpg/caballo de fuerza Si un motor típico de 50 caballos de fuerza tiene un rendimiento medio de combustible de 32 mpg, ¿cuál es el rendimiento medio de combustible de un motor con los siguientes caballos de fuerza? ¿150, 300, 450? E ( 150 ) = 28 , E ( 300 ) = 22 , E ( 450 ) = 16 [T] La siguiente tabla muestra el calendario de 2013 del impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible. Impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible Rango de la renta imponible El impuesto es... ... Por la cantidad superior a $0-$8.925 10 % $0 $8.925-$36.250 $892,50 + 15 % $8.925 $36.250-$87.850 $4.991,25 + 25 % $36.250 $87.850-$183.250 $17.891,25 + 28 % $87.850 $183.250-$398.350 $44.603,25 + 33 % $183.250 $398.350-$400.000 $115.586,25 + 35 % $398.350 > $400.000 $116.163,75 + 39,6 % $400.000 Fuente : http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf. Supongamos que Steve acaba de recibir un aumento de 10.000 dólares. ¿Cuánto queda de este aumento después de los impuestos federales si el salario de Steve antes de recibir el aumento era de 40.000 dólares? ¿Si era de 90.000 dólares? ¿Si era de 385.000 dólares? [T] La siguiente tabla proporciona datos hipotéticos sobre el nivel de servicio de cierta autopista. Rango de velocidad en autopista (mph) Vehículos por hora por carril Rango de densidad (vehículos/mi) > 60 < 600 < 10 60–57 600–1.000 10–20 57–54 1.000–1.500 20–30 54–46 1.500–1.900 30–45 46–30 1.900 – 2.100 45–70 < 30 Es inestable 70–200 Represente los vehículos por hora por carril en el eje x y la velocidad de la autopista en el eje y . Calcule la disminución promedio en la velocidad (en millas por hora) por unidad de aumento en la congestión (vehículos por hora por carril) a medida que esta última aumenta de 600 a 1.000, de 1.000 a 1.500 y de 1.500 a 2.100. ¿La disminución de las millas por hora depende linealmente del aumento de los vehículos por hora por carril? Grafique los minutos por milla (60 veces el recíproco de las millas por hora) en función de los vehículos por hora por carril. ¿Esta función es lineal? a. b. Entre 600 y 1.000 la disminución promedio de vehículos por hora por carril es de -0,0075. Entre 1.000 y 1.500 es de -0,006 por vehículos por hora y carril, y entre 1.500 y 2.100 es de -0,04 vehículos por hora y carril. c. El gráfico no es lineal, ya que los minutos por milla aumentan drásticamente a medida que los vehículos por hora por carril alcanzan los 2.000. En los dos ejercicios siguientes utilice los datos de la siguiente tabla, que muestra las poblaciones de águila calva desde 1963 hasta 2000 en el territorio continental de Estados Unidos. Población de parejas reproductoras de águilas calvas Año Población de parejas reproductoras de águilas calvas 1963 487 1974 791 1981 1188 1986 1875 1992 3749 1996 5094 2000 6471 Fuente : http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html. [T] El siguiente gráfico traza la curva cuadrática p ( t ) = 6,48 t 2 − 80,3 1 t + 585,69 contra los datos de la tabla anterior, normalizados de manera que t = 0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [ 0 , 37 ] . [T] El siguiente gráfico representa la curva cúbica p ( t ) = 0,07 t 3 + 2,42 t 2 − 25,63 t + 521,23 con los datos de la tabla anterior, normalizados de forma que t = 0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [ 0 , 37 ] . 1 37 ∫ 0 37 p ( t ) d t = 0,07 ( 37 ) 3 4 + 2,42 ( 37 ) 2 3 − 25,63 ( 37 ) 2 + 521,23 ≈ 2037 [T] Suponga que hace un viaje por carretera y registra tu velocidad cada media hora, como se recoge en la siguiente tabla. El mejor ajuste cuadrático a los datos es q ( t ) = 5 x 2 − 11 x + 49 , que se muestra en el gráfico adjunto. Integre q para estimar la distancia total recorrida en 3 horas. Tiempo (h) Velocidad (mph) 0 (inicio) 50 1 40 2 50 3 60 Cuando un auto acelera, no lo hace a un ritmo constante, sino que la aceleración es variable. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la aceleración medida en cada segundo mientras un conductor se incorpora a una autopista. Tiempo (s) Aceleración (mph/s) 1 11,2 2 10,6 3 8,1 4 5,4 5 0 [T] El gráfico adjunto muestra el mejor ajuste cuadrático, a ( t ) = −0,70 t 2 + 1,44 t + 10,44 , a los datos de la tabla anterior. Calcule el valor promedio de a ( t ) para estimar la aceleración media entre t = 0 y t = 5 . La aceleración media es A = 1 5 ∫ 0 5 a ( t ) d t = − 0,7 ( 5 2 ) 3 + 1,44 ( 5 ) 2 + 10,44 ≈ 8,2 mph/s [T] Usando su ecuación de aceleración del ejercicio anterior, halle la ecuación de velocidad correspondiente. Suponiendo que la velocidad final es de 0 mph, halle la velocidad en el tiempo t = 0 . [T] Utilizando su ecuación de velocidad del ejercicio anterior, halle la ecuación de distancia correspondiente, asumiendo que su distancia inicial es 0 mi. ¿Qué distancia recorrió mientras aceleraba su auto? ( Pista: Tendrá que convertir las unidades de tiempo). d ( t ) = ∫ 0 1 | v ( t ) | d t = ∫ 0 t ( 7 30 t 3 − 0,72 t 2 − 10,44 t + 41,033 ) d t = 7 120 t 4 − 0,24 t 3 − 5,22 t 3 + 41,033 t . Entonces, d ( 5 ) ≈ 81,12 mph × sec ≈ 119 pies. [T] El número de hamburguesas que se venden en un restaurante a lo largo del día se muestra en la siguiente tabla, con un gráfico adjunto que representa el mejor ajuste cúbico a los datos, b ( t ) = 0,12 t 3 − 2,13 t 3 + 12,13 t + 3,91 , con la t = 0 correspondiente a las 9 a. m. y t = 12 correspondiente a las 9 p. m. Calcule el valor medio de b ( t ) para estimar el número promedio de hamburguesas vendidas por hora. Horas después de la medianoche Número de hamburguesas vendidas 9 3 12 28 15 20 18 30 21 45 [T] Una atleta corre junto a un detector de movimiento que registra su velocidad, como se muestra en la siguiente tabla. El mejor ajuste lineal a estos datos, ℓ ( t ) = −0,068 t + 5,14 , se muestra en el gráfico adjunto. Utilice el valor medio de ℓ ( t ) entre t = 0 y t = 40 para estimar la velocidad media de la corredora Minutos Velocidad (m/s) 0 5 10 4,8 20 3,6 30 3,0 40 2,5 1 40 ∫ 0 40 ( −0,068 t + 5,14 ) d t = − 0,068 ( 40 ) 2 + 5,14 = 3,78 m/seg teorema del cambio neto si conocemos la tasa de cambio de una cantidad, el teorema del cambio neto dice que la cantidad futura es igual a la cantidad inicial más la integral de la tasa de cambio de la cantidad", "section": "Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Sustitución El teorema fundamental del cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar las sumas de Riemann. Este método no obstante tiene el inconveniente de que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinaremos una técnica, llamada integración por sustitución , que nos ayudará a encontrar antiderivadas. En concreto, este método nos ayuda a encontrar las antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada en cadena. Al principio, el planteamiento del procedimiento de sustitución puede no parecer lo bastante evidente. Sin embargo, es una tarea principalmente visual, es decir, el integrando le muestra lo que debe hacer; es cuestión de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que debemos ver? Buscamos un integrando de la forma f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x . Por ejemplo, en la integral ∫ ( x 2 − 3 ) 3 2 x d x , tenemos f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 2 − 3 , y g ' ( x ) = 2 x . Entonces, f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) = ( x 2 − 3 ) 3 ( 2 x ) , y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta. El método se llama de sustitución porque sustituimos parte del integrando por la variable u y parte del integrando por du . También se denomina cambio de variables porque cambiamos las variables para obtener una expresión más fácil de trabajar para aplicar las reglas de integración. Sustitución con integrales indefinidas Supongamos que u = g ( x ) , , donde g ′ ( x ) es continua en un intervalo, supongamos que f ( x ) es continua en el rango correspondiente de g , y que F ( x ) es una antiderivada de f ( x ) . Entonces, ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C . Prueba Sean f , g , u y F los especificados en el teorema. Entonces d d x F ( g ( x ) ) = F ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) . Al integrar ambos lados con respecto a x , vemos que ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C . Si ahora sustituimos u = g ( x ) , y d u = g ' ( x ) d x , obtenemos ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C . □ Volviendo al problema que analizamos originalmente, supongamos que u = x 2 − 3 y luego d u = 2 x d x . Reescriba la integral en términos de u : ∫ ( x 2 − 3 ) ︸ u 3 ( 2 x d x ) ︸ d u = ∫ u 3 d u . Al utilizar la regla de la potencia para las integrales, tenemos ∫ u 3 d u = u 4 4 + C . Sustituya la expresión original de x en la solución: u 4 4 + C = ( x 2 − 3 ) 4 4 + C . Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Integración por sustitución Fíjese bien en el integrando y seleccione una expresión g ( x ) dentro del integrando para establecerlo igual a u . Seleccionemos g ( x ) . de manera que g ′ ( x ) también forma parte del integrando. Sustituya u = g ( x ) y d u = g ′ ( x ) d x . en la integral. Ahora deberíamos ser capaces de evaluar la integral con respecto a u . Si la integral no puede ser evaluada, tenemos que devolvernos y seleccionar una expresión diferente para usarla como u . Evalúe la integral en términos de u . Escriba el resultado en términos de x y la expresión g ( x ) . Uso de la sustitución para encontrar una antiderivada Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 d x . El primer paso es elegir una expresión para u . Elegimos u = 3 x 2 + 4 porque entonces d u = 6 x d x , y ya tenemos du en el integrando. Escriba la integral en términos de u : ∫ 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 d x = ∫ u 4 d u . Recuerde que du es la derivada de la expresión elegida para u , sin importar lo que haya dentro del integrando. Ahora podemos evaluar la integral con respecto a u : ∫ u 4 d u = u 5 5 + C = ( 3 x 2 + 4 ) 5 5 + C . Análisis Podemos comprobar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Escogiendo un valor para C de 1, suponemos que y = 1 5 ( 3 x 2 + 4 ) 5 + 1 . Tenemos y = 1 5 ( 3 x 2 + 4 ) 5 + 1 , así que y ′ = ( 1 5 ) 5 ( 3 x 2 + 4 ) 4 6 x = 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 . Esta es exactamente la expresión con la que empezamos dentro del integrando. Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ 3 x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x . ∫ 3 x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x = 1 3 ( x 3 − 3 ) 3 + C Pista Supongamos que u = x 3 − 3 . A veces tenemos que ajustar las constantes de nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo. Utilizar la sustitución con la alteración Utilice la sustitución para calcular ∫ z z 2 − 5 d z . Reescriba la integral como ∫ z ( z 2 − 5 ) 1 / 2 d z . Supongamos que u = z 2 − 5 y d u = 2 z d z . Ahora tenemos un problema porque d u = 2 z d z y la expresión original solo tiene z d z . Tenemos que alterar nuestra expresión para du o la integral en u será el doble de grande de lo que debería ser. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación du por 1 2 . podemos resolver este problema. Por lo tanto, u = z 2 − 5 d u = 2 z d z 1 2 d u = 1 2 ( 2 z ) d z = z d z . Escriba la integral en términos de u , pero saque la 1 2 fuera del símbolo de integración: ∫ z ( z 2 − 5 ) 1 / 2 d z = 1 2 ∫ u 1 / 2 d u . Integre la expresión en u : 1 2 ∫ u 1 / 2 d u = ( 1 2 ) u 3 / 2 3 2 + C = ( 1 2 ) ( 2 3 ) u 3 / 2 + C = 1 3 u 3 / 2 + C = 1 3 ( z 2 − 5 ) 3 / 2 + C . Utilice la sustitución para calcular ∫ x 2 ( x 3 + 5 ) 9 d x . ( x 3 + 5 ) 10 30 + C Pista Multiplique la ecuación du por 1 3 . Uso de la sustitución con integrales de funciones trigonométricas Utilice la sustitución para evaluar la integral ∫ sen t cos 3 t d t . Sabemos que la derivada de cos t ¿es − sen t , así que establecemos u = cos t . Entonces d u = − sen t d t . Sustituyendo en la integral, tenemos ∫ sen t cos 3 t d t = − ∫ d u u 3 . Al evaluar la integral, obtenemos − ∫ d u u 3 = − ∫ u −3 d u = − ( − 1 2 ) u −2 + C . Volviendo a poner la respuesta en términos de t , obtenemos ∫ sen t cos 3 t d t = 1 2 u 2 + C = 1 2 cos 2 t + C . Utilice la sustitución para evaluar la integral ∫ cos t sen 2 t d t . − 1 sen t + C Pista Utilice el proceso del para resolver el problema. A veces necesitamos manipular una integral de forma más complicada que simplemente multiplicar por o dividir entre una constante. Tenemos que eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando finalicemos, u debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver la variable original en términos de u . El siguiente ejemplo debería aclararnos esta técnica. Cómo encontrar una antiderivada mediante la sustitución en u Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ x x – 1 d x . Supongamos que u = x – 1 , entonces d u = d x . Pero esto no tiene en cuenta la x en el numerador del integrando. Necesitamos expresar x en términos de u . Si los valores de u = x – 1 , entonces x = u + 1 . Ahora podemos reescribir la integral en términos de u : ∫ x x – 1 d x = ∫ u + 1 u d u = ∫ u + 1 u d u = ∫ ( u 1 / 2 + u −1 / 2 ) d u . A continuación integramos de la forma habitual, sustituimos u por la expresión original, y factorizamos y simplificamos el resultado. Por lo tanto, ∫ ( u 1 / 2 + u −1 / 2 ) d u = 2 3 u 3 / 2 + 2 u 1 / 2 + C = 2 3 ( x – 1 ) 3 / 2 + 2 ( x – 1 ) 1 / 2 + C = ( x – 1 ) 1 / 2 [ 2 3 ( x – 1 ) + 2 ] + C = ( x – 1 ) 1 / 2 ( 2 3 x − 2 3 + 6 3 ) = ( x – 1 ) 1 / 2 ( 2 3 x + 4 3 ) = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 2 ( x + 2 ) + C . Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida ∫ cos 3 t sen t d t . − cos 4 t 4 + C Pista Utilice el proceso de la para resolver el problema. Sustitución de integrales definidas La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian. Sustitución con integrales definidas Supongamos que u = g ( x ) y supongamos que g ′ es continua en un intervalo [ a , b ] , y que f es continua en el rango de u = g ( x ) . Entonces, ∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u . Aunque no demostraremos formalmente este teorema, lo justificamos con algunos cálculos. A partir de la regla de sustitución de integrales indefinidas, si F ( x ) es una antiderivada de f ( x ) , tenemos ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C . Entonces ∫ a b f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) | x = a x = b = F ( g ( b ) ) – F ( g ( a ) ) = F ( u ) | u = g ( a ) u = g ( b ) = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u , y obtenemos el resultado deseado. Uso de la sustitución para evaluar una integral definida Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x 2 ( 1 + 2 x 3 ) 5 d x . Supongamos que u = 1 + 2 x 3 , así que d u = 6 x 2 d x . Como la función original incluye un factor de x 2 y d u = 6 x 2 d x , multiplicamos ambos lados de la ecuación du por 1 / 6 . Entonces, d u = 6 x 2 d x 1 6 d u = x 2 d x . Para ajustar los límites de la integración, tenga en cuenta que cuando x = 0 , u = 1 + 2 ( 0 ) = 1 , y cuando x = 1 , u = 1 + 2 ( 1 ) = 3 . Entonces ∫ 0 1 x 2 ( 1 + 2 x 3 ) 5 d x = 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u . Al evaluar esta expresión, obtenemos 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u = ( 1 6 ) ( u 6 6 ) | 1 3 = 1 36 [ ( 3 ) 6 − ( 1 ) 6 ] = 182 9 . Utilice la sustitución para evaluar la integral definida ∫ −1 0 y ( 2 y 2 − 3 ) 5 d y . 91 3 Pista Utilice los pasos de la para resolver el problema. Uso de la sustitución con una función exponencial Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x e 4 x 2 + 3 d x . Supongamos que u = 4 x 2 + 3 . Entonces, d u = 8 x d x . Para ajustar los límites de integración, observamos que cuando x = 0 , u = 3 , y cuando x = 1 , u = 7 . Así que nuestra sustitución da como resultado ∫ 0 1 x e 4 x 2 + 3 d x = 1 8 ∫ 3 7 e u d u = 1 8 e u | 3 7 = e 7 − e 3 8 ≈ 134,568. Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x 2 cos ( π 2 x 3 ) d x . 2 3 π ≈ 0,2122 Pista Utilice el proceso de la para resolver el problema. La sustitución puede ser solo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y puede ser necesario reescribir las funciones trigonométricas utilizando una identidad trigonométrica antes de aplicar la sustitución. Además, tenemos la opción de sustituir la expresión original por u después de encontrar la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de integración. Estos dos enfoques se muestran en el . Uso de la sustitución para evaluar una integral trigonométrica Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ . Utilicemos primero una identidad trigonométrica para reescribir la integral. La identidad trigonométrica cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 nos permite reescribir la integral como ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ = ∫ 0 π / 2 1 + cos 2 θ 2 d θ . Entonces, ∫ 0 π / 2 ( 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 2 + 1 2 cos 2 θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ . Podemos evaluar la primera integral tal cual, pero para evaluar la segunda integral necesitamos hacer una sustitución. Supongamos que u = 2 θ . Entonces, d u = 2 d θ , o 1 2 d u = d θ . Además, cuando θ = 0 , u = 0 , y cuando θ = π / 2 , u = π . Expresando la segunda integral en términos de u , tenemos 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ( 1 2 ) ∫ 0 π cos u d u = θ 2 | θ = 0 θ = π / 2 + 1 4 sen u | u = 0 u = θ = ( π 4 − 0 ) + ( 0 − 0 ) = π 4 . Conceptos clave La sustitución es una técnica que simplifica la integración de funciones que son el resultado de una derivada en cadena. El término \"sustitución\" se refiere al cambio de variables o a la sustitución de la variable u y du por expresiones adecuadas en el integrando. Al utilizar la sustitución de una integral definida, es necesario que cambiemos los límites de integración. Ecuaciones clave Sustitución con integrales indefinidas ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C Sustitución con integrales definidas ∫ a b f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u ¿Por qué la sustitución en u se denomina cambio de variable ? 2. Si los valores de f = g ∘ h , al invertir la regla de la cadena, d d x ( g ∘ h ) ( x ) = g ′ ( h ( x ) ) h ′ ( x ) , debe tomar u = g ( x ) o u = h ( x ) ? u = h ( x ) En los siguientes ejercicios, compruebe cada identidad utilizando la diferenciación. Entonces, utilizando la sustitución en u indicada, identifique f tal que la integral tome la forma ∫ f ( u ) d u . ∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1 Para x > 1 : ∫ x 2 x – 1 d x = 2 15 x – 1 ( 3 x 2 + 4 x + 8 ) + C ; u = x – 1 f ( u ) = ( u + 1 ) 2 u ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9 d u = 8 x d x ; f ( u ) = 1 8 u ∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9 En los siguientes ejercicios calcule la antiderivada mediante la sustitución indicada. ∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1 1 5 ( x + 1 ) 5 + C ∫ ( x – 1 ) 5 d x ; u = x – 1 ∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3 − 1 12 ( 2 x − 3 ) 6 + C ∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2 ∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2 ∫ ( x – 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x 1 8 ( x 2 − 2 x ) 4 + C ∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2 ∫ cos 3 θ d θ ; u = sen θ ( Pista : cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ). grandes. sen θ − sen 3 θ 3 + C ∫ sen 3 θ d θ ; u = cos θ ( Pista : sen 2 θ = 1 − cos 2 θ ). En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables adecuado para determinar la integral indefinida. ∫ x ( 1 − x ) 99 d x ( 1 − x ) 101 101 − ( 1 − x ) 100 100 + C ∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t ∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x ∫ ( 11 x – 7 ) −2 dx = − 1 22 ( 11 x − 7 ) 2 + C ∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x ∫ cos 3 θ sen θ d θ − cos 4 θ 4 + C ∫ sen 7 θ cos θ d θ ∫ cos 2 ( π t ) sen ( π t ) d t − cos 3 ( π t ) 3 π + C ∫ sen 2 x cos 3 x d x ( Pista : sen 2 x + cos 2 x = 1 ). grandes. ∫ t sen ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t − 1 4 cos 2 ( t 2 ) + C ∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sen ( t 3 ) d t ∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x − 1 3 ( x 3 − 3 ) + C ∫ x 3 1 − x 2 d x ∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y − 2 ( y 3 − 2 ) 3 1 − y 3 ∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sen θ d θ ∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sen θ d θ 1 33 ( 1 − cos 3 θ ) 11 + C ∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sen θ d θ ∫ ( sen 2 θ − 2 sen θ ) ( sen 3 θ − 3 sen 2 θ ) 3 cos θ d θ 1 12 ( sen 3 θ − 3 sen 2 θ ) 4 + C En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el área bajo la curva utilizando sumas de Riemann a la izquierda con 50 términos, y luego use la sustitución para hallar la respuesta exacta. [T] y = 3 ( 1 − x ) 2 en [ 0 , 2 ] [T] y = x ( 1 − x 2 ) 3 en [ −1 , 2 ] L 50 = −8,5779 . El área exacta es −81 8 [T] y = sen x ( 1 − cos x ) 2 en [ 0 , π ] [T] y = x ( x 2 + 1 ) 2 en [ −1 , 1 ] L 50 = −0,006399 ... El área exacta es 0. En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para evaluar la integral definida. ∫ 0 1 x 1 − x 2 d x ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x u = 1 + x 2 , d u = 2 x d x , 1 2 ∫ 1 2 u −1 / 2 d u = 2 – 1 ∫ 0 2 t 5 + t 2 d t ∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t u = 1 + t 3 , d u = 3 t 2 d t , 1 3 ∫ 1 2 u −1 / 2 d u = 2 3 ( 2 – 1 ) grandes. ∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sen θ cos 4 θ d θ u = cos θ , d u = − sen θ d θ , ∫ 1 / 2 1 u −4 d u = 1 3 ( 2 2 – 1 ) En los siguientes ejercicios, evalúe la integral indefinida ∫ f ( x ) d x con constante C = 0 utilizando la sustitución en u . Luego, grafique la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. Si es posible, estime un valor de C que habría que añadir a la antiderivada para hacerla igual a la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , con a el punto final izquierdo del intervalo dado. [T] ∫ ( 2 x + 1 ) e x 2 + x − 6 d x en [ −3 , 2 ] [T] ∫ cos ( ln ( 2 x ) ) x d x en [ 0 , 2 ] La antiderivada es y = sen ( ln ( 2 x ) ) . Como la antiderivada no es continua en x = 0 , no se puede encontrar un valor de C que logre que y = sen ( ln ( 2 x ) ) − C trabajen como una integral definitiva. [T] ∫ 3 x 2 + 2 x + 1 x 3 + x 2 + x + 4 d x en [ −1 , 2 ] [T] ∫ sen x cos 3 x d x en [ − π 3 , π 3 ] La antiderivada es y = 1 2 sec 2 x . Debe tomar C = −2 por lo que F ( − π 3 ) = 0 . [T] ∫ ( x + 2 ) e – x 2 − 4 x + 3 d x en [ −5 , 1 ] [T] ∫ 3 x 2 2 x 3 + 1 d x en [ 0 , 1 ] La antiderivada es y = 1 3 ( 2 x 3 + 1 ) 3 / 2 . Hay que tomar C = − 1 3 . Si los valores de h ( a ) = h ( b ) en ∫ a b g ' ( h ( x ) ) h' ( x ) d x , ¿qué puede decir sobre el valor de la integral? ¿Es la sustitución u = 1 − x 2 en la integral definida ∫ 0 2 x 1 − x 2 d x es correcta? Si no, ¿por qué no? No, porque el integrando es discontinuo en x = 1 . En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para demostrar que cada integral definida es igual a cero. ∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) d θ ∫ 0 π t cos ( t 2 ) sen ( t 2 ) d t u = sen ( t 2 ) ; la integral se convierte en 1 2 ∫ 0 0 u d u . ∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t ∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t u = ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) ; la integral se convierte en − ∫ 5 / 4 5 / 4 1 u d u . ∫ 0 π sen ( ( t – π 2 ) 3 ) cos ( t – π 2 ) d t ∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t u = 1 − t ; la integral se convierte en ∫ 1 −1 u cos ( π ( 1 − u ) ) d u = ∫ 1 −1 u [ cos π cos π u − sen π sen π u ] d u = − ∫ 1 −1 u cos π u d u = ∫ –1 1 u cos π u d u = 0 ya que el integrando es impar. ∫ π / 4 3 π / 4 sen 2 t cos t d t Demuestre que el valor promedio de f ( x ) en un intervalo [ a , b ] es el mismo que el valor medio de f ( c x ) en el intervalo [ a c , b c ] por c > 0 . Si establecemos que u = c x y d u = c d x da como resultado 1 b c − a c ∫ a / c b / c f ( c x ) d x = c b – a ∫ u = a u = b f ( u ) d u c = 1 b – a ∫ a b f ( u ) d u . Halle el área bajo el gráfico de f ( t ) = t ( 1 + t 2 ) a entre t = 0 y t = x donde a > 0 y a ≠ 1 es fijo, y evalúe el límite como x → ∞ . Halle el área bajo el gráfico de g ( t ) = t ( 1 − t 2 ) a entre t = 0 y t = x , donde 0 < x < 1 y a > 0 es fijo. Evalúe el límite como x → 1 . ∫ 0 x g ( t ) d t = 1 2 ∫ u = 1 − x 2 1 d u u a = 1 2 ( 1 − a ) u 1 − a | u = 1 − x 2 1 = 1 2 ( 1 − a ) ( 1 − ( 1 − x 2 ) 1 − a ) . Dado que x → 1 el límite es 1 2 ( 1 − a ) si a < 1 , y el límite diverge a +∞ si a > 1 . El área de un semicírculo de radio 1 puede expresarse como ∫ –1 1 1 − x 2 d x . Utilice la sustitución x = cos t para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral. El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es el eje x de x = − a a x = a y con un eje menor que es el eje y de y = − b al y = b se puede escribir como ∫ − a a b 1 − x 2 a 2 d x . Utilice la sustitución x = a cos t para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral. ∫ t = π 0 b 1 − cos 2 t × ( − a sen t ) d t = ∫ t = 0 π a b sen 2 t d t [T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f ( t ) = a sen ( n t ) + b sen ( m t ) . Estime los coeficientes a y b , y los parámetros de frecuencia n y m . Utilice estas estimaciones para aproximar ∫ 0 π f ( t ) d t . [T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f ( x ) = a cos ( n t ) + b cos ( m t ) . Estime los coeficientes a y b y los parámetros de frecuencia n y m . Utilice estas estimaciones para aproximar ∫ 0 π f ( t ) d t . f ( t ) = 2 cos ( 3 t ) − cos ( 2 t ) ; ∫ 0 π / 2 ( 2 cos ( 3 t ) − cos ( 2 t ) ) = − 2 3 cambio de variables sustitución de una variable, como u , por una expresión en el integrando integración por sustitución técnica de integración que permite integrar funciones que son el resultado de una derivada en cadena", "section": "Sustitución", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, el decaimiento radiactivo y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploraremos la integración con funciones exponenciales y logarítmicas. Integrales de funciones exponenciales La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial y = e x , es su propia derivada y su propia integral. Regla: integrales de funciones exponenciales Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas. ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Hallar una antiderivada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e − x . Utilice la sustitución, estableciendo u = − x , y luego d u = −1 d x . Multiplique la ecuación du por -1, por lo que ahora tiene − d u = d x . Entonces, ∫ e – x d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x + C . Halle la antiderivada de la función mediante la sustitución: x 2 e −2 x 3 . ∫ x 2 e −2 x 3 d x = − 1 6 e −2 x 3 + C Pista Supongamos que u es igual al exponente de e . Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar el exponente en e de la misma manera que tratamos los exponentes en las expresiones polinómicas. No podemos utilizar la regla de la potencia para el exponente en e . Esto puede ser especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos verificar que estemos utilizando las reglas correctas en las funciones que estamos integrando. Raíz cuadrada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e x 1 + e x . Primero reescriba el problema utilizando un exponente racional: ∫ e x 1 + e x d x = ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x . Utilizando la sustitución, elija u = 1 + e x . Entonces, d u = e x d x . Tenemos ( ) ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x = ∫ u 1 / 2 d u . Entonces ∫ u 1 / 2 d u = u 3 / 2 3 / 2 + C = 2 3 u 3 / 2 + C = 2 3 ( 1 + e x ) 3 / 2 + C . El gráfico muestra una función exponencial por la raíz cuadrada de una función exponencial. Encuentre la antiderivada de e x ( 3 e x − 2 ) 2 . ∫ e x ( 3 e x − 2 ) 2 d x = 1 9 ( 3 e x − 2 ) 3 Pista Supongamos que u = 3 e x − 2 u = 3 e x − 2 . Uso de la sustitución con una función exponencial Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x . Aquí optamos por dejar que u sea igual a la expresión en el exponente sobre e . Supongamos que u = 2 x 3 y d u = 6 x 2 d x . . De nuevo, du se desvía por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de 3 x 2 , no de 6 x 2 . Multiplique ambos lados de la ecuación por 1 2 para que el integrando en u sea igual al integrando en x . Por lo tanto, ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x = 1 2 ∫ e u d u . Integre la expresión en u y luego sustituya la expresión original en x de nuevo en la integral de u : 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C = 1 2 e 2 x 3 + C . Evalúe la integral indefinida ∫ 2 x 3 e x 4 d x . ∫ 2 x 3 e x 4 d x = 1 2 e x 4 Pista Supongamos que u = x 4 . Como se mencionó al principio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número e se asocia a menudo con el crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en las secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación empresarial común. Una función precio-demanda nos indica la relación entre la cantidad de la demanda de un producto y el precio del mismo. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos indica la rapidez con la que cambia el precio a un nivel de producción determinado. Las empresas utilizan estas funciones para determinar la elasticidad del precio de la demanda y para determinar si el cambio en los niveles de producción sería rentable. Hallar una ecuación precio-demanda Halle la ecuación precio-demanda para una marca concreta de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de 50 tubos por semana a 2,35 dólares el tubo, dado que la función marginal precio-demanda, p ′ ( x ) , para un número x de tubos por semana, se da como p ' ( x ) = −0,015 e −0,01 x . Si la cadena de supermercados vende 100 tubos a la semana, ¿qué precio debe fijar? Para hallar la ecuación precio-demanda, se integra la función marginal precio-demanda. Primero halle la antiderivada y luego observe los detalles. Por lo tanto, p ( x ) = ∫ −0,015 e −0,01 x d x = −0,015 ∫ e −0,01 x d x . Utilizando la sustitución, supongamos que u = −0,01 x y d u = −0,01 d x . Luego, divida ambos lados de la ecuación du por -0,01. Esto da −0,015 −0,01 ∫ e u d u = 1,5 ∫ e u d u = 1,5 e u + C = 1,5 e −0,01 x + C . El siguiente paso es resolver C . Sabemos que cuando el precio es de 2,35 dólares por tubo, la demanda es de 50 tubos por semana. Esto significa que p ( 50 ) = 1,5 e −0,01 ( 50 ) + C = 2,35 . Ahora, solo hay que resolver para C : C = 2,35 − 1,5 e −0,5 = 2,35 − 0,91 = 1,44 . Por lo tanto, p ( x ) = 1,5 e −0,01 x + 1,44 . Si el supermercado vende 100 tubos de pasta de dientes a la semana, el precio sería p ( 100 ) = 1,5 e −0,01 ( 100 ) + 1,44 = 1,5 e −1 + 1,44 ≈ 1,99 . El supermercado debería cobrar 1,99 dólares por tubo si vende 100 tubos a la semana. Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial Evalúe la integral definida ∫ 1 2 e 1 − x d x . De nuevo, la sustitución es el método a utilizar. Supongamos que u = 1 − x , así que d u = −1 d x o − d u = d x . Entonces ∫ e 1 − x d x = − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración. Si utilizamos la ecuación u = 1 − x , tenemos u = 1 − ( 1 ) = 0 u = 1 − ( 2 ) = −1 . La integral se convierte entonces en ∫ 1 2 e 1 − x d x = − ∫ 0 −1 e u d u = ∫ −1 0 e u d u = e u | −1 0 = e 0 − ( e −1 ) = − e −1 + 1 Vea el . El área indicada se puede calcular evaluando una integral definida mediante una sustitución. Evalúe ∫ 0 2 e 2 x d x . 1 2 ∫ 0 4 e u d u = 1 2 ( e 4 − 1 ) Pista Supongamos que u = 2 x . Crecimiento de las bacterias en un cultivo Supongamos que la tasa de crecimiento de las bacterias en una placa de Petri viene dada por q ( t ) = 3 t , donde t está expresado en horas y q ( t ) en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con 10.000 bacterias, halle una función Q ( t ) que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier tiempo t . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 2 horas? Tenemos Q ( t ) = ∫ 3 t d t = 3 t ln 3 + C . Entonces, en t = 0 tenemos Q ( 0 ) = 10 = 1 ln 3 + C , por lo que C ≈ 9,090 y obtenemos Q ( t ) = 3 t ln 3 + 9,090 . En el tiempo t = 2 , tenemos Q ( 2 ) = 3 2 ln 3 + 9,090 = 17,282 . Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en la placa. A partir del , supongamos que las bacterias crecen a una tasa de q ( t ) = 2 t . Supongamos que el cultivo aún comienza con 10.000 bacterias. Halle Q ( t ) . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas? Q ( t ) = 2 t ln 2 + 8,557 . Hay 20.099 bacterias en la placa después de 3 horas. Pista Utilice el procedimiento del para resolver el problema. Crecimiento de la población de moscas de la fruta Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de g ( t ) = 2 e 0,02 t , de moscas al día. Si la población inicial de moscas de la fruta es de 100 individuos, ¿cuántas moscas hay en la población después de 10 días? Supongamos que G ( t ) representa el número de moscas en la población en el tiempo t . Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos G ( 10 ) = G ( 0 ) + ∫ 0 10 2 e 0,02 t d t = 100 + [ 2 0,02 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + [ 100 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + 100 e 0,2 − 100 ≈ 122 . Pasados 10 días hay 122 moscas en la población. Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por g ( t ) = e 0,01 t , y la población inicial es de 100 moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de 15 días? Hay 116. Pista Utilice el proceso del para resolver el problema. Evaluación de una integral definida mediante la sustitución Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x . Este problema requiere reescribirse para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescriba el exponente en e como una potencia de x , luego lleve la x 2 en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x = ∫ 1 2 e x −1 x −2 d x . Supongamos que u = x −1 , es el exponente en e . Entonces d u = − x −2 d x – d u = x −2 d x . Llevando el signo negativo fuera del signo de la integral, el problema ahora se lee − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración: u = ( 1 ) −1 = 1 u = ( 2 ) −1 = 1 2 . Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que debemos multiplicar por -1 e intercambiar los límites. Por lo tanto, − ∫ 1 1 / 2 e u d u = ∫ 1 / 2 1 e u d u = e u | 1 / 2 1 = e − e 1 / 2 = e − e . Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x . ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x = 1 8 [ e 4 − e ] Pista Supongamos que u = 4 x −2 . Integrales con funciones logarítmicas Integrar funciones de la forma f ( x ) = x −1 dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como f ( x ) = ln x y f ( x ) = log a x , también se incluyen en la regla. Regla: fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que implican funciones logarítmicas. ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C Encontrar una antiderivada que implique ln x Halle la antiderivada de la función 3 x − 10 . Primero factorice el 3 fuera del símbolo de la integral. Entonces utilice la regla u −1 . Por lo tanto, ∫ 3 x − 10 d x = 3 ∫ 1 x − 10 d x = 3 ∫ d u u = 3 ln | u | + C = 3 ln | x − 10 | + C , x ≠ 10 . Vea el . El dominio de esta función es x ≠ 10 . Encuentre la antiderivada de 1 x + 2 . ln | x + 2 | + C Pista Siga el patrón del para resolver el problema. Encontrar una antiderivada de una función racional Encuentre la antiderivada de 2 x 3 + 3 x x 4 + 3 x 2 . Esto se puede reescribir como ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x . Utilice la sustitución. Supongamos que u = x 4 + 3 x 2 , entonces d u = 4 x 3 + 6 x . Modifique du mediante la factorización del 2. Por lo tanto, d u = ( 4 x 3 + 6 x ) d x = 2 ( 2 x 3 + 3 x ) d x 1 2 d u = ( 2 x 3 + 3 x ) d x . Reescriba el integrando en u : ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x = 1 2 ∫ u −1 d u . Entonces tenemos 1 2 ∫ u −1 d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 4 + 3 x 2 | + C . Hallar una antiderivada de una función logarítmica Halle la antiderivada de la función logarítmica log 2 x . Siga el formato de la fórmula que aparece en la regla sobre fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. Con base en este formato, tenemos ∫ log 2 x d x = x ln 2 ( ln x – 1 ) + C . Encuentre la antiderivada de log 3 x . x ln 3 ( ln x – 1 ) + C Pista Siga el y consulte la regla sobre las fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. El es una integral definida de una función trigonométrica. Con las funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de avanzar. Hallar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración sin problemas. Evaluación de una integral definida Calcule la integral definida de ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x d x . Necesitamos la sustitución para evaluar este problema. Supongamos que u = 1 + cos x , , así que d u = − sen x d x . Reescriba la integral en términos de u , cambiando también los límites de integración. Por lo tanto, u = 1 + cos ( 0 ) = 2 u = 1 + cos ( π 2 ) = 1 . Entonces ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x = − ∫ 2 1 u −1 d u = ∫ 1 2 u −1 d u = ln | u | | 1 2 = [ ln 2 − ln 1 ] = ln 2. Conceptos clave Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente las que implican crecimiento y decaimiento. La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que implican funciones exponenciales o logaritmos. Ecuaciones clave Integrales de funciones exponenciales ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida. ∫ e 2 x d x ∫ e −3 x d x −1 3 e −3 x + C ∫ 2 x d x ∫ 3 − x d x − 3 − x ln 3 + C ∫ 1 2 x d x ∫ 2 x d x ln ( x 2 ) + C ∫ 1 x 2 d x ∫ 1 x d x 2 x + C En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ ln x x d x ∫ d x x ( ln x ) 2 − 1 ln x + C ∫ d x x ln x ( x > 1 ) grandes. ∫ d x x ln x ln ( ln x ) grandes. ln ( ln ( ln x ) ) + C ∫ tan θ d θ ∫ cos x – x sen x x cos x d x ln ( x cos x ) + C ∫ ln ( sen x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x − 1 2 ( ln ( cos ( x ) ) ) 2 + C ∫ x e – x 2 d x ∫ x 2 e – x 3 d x − e – x 3 3 + C ∫ e sen x cos x d x ∫ e tan x sec 2 x d x e tan x + C ∫ e ln x d x x ∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t t + C En los siguientes ejercicios, verifique por diferenciación que ∫ ln x d x = x ( ln x – 1 ) + C , entonces utilice los cambios de variables apropiados para calcular la integral. ∫ x ln x d x ( Pista : ∫ x ln x d x = 1 2 ∫ x ln ( x 2 ) d x ; x>0) ∫ x 2 ln( x 2 ) d x 2 9 x 3 ( ln ( x 3 ) − 1 ) + C ∫ ln x x 2 d x ( Pista : Establezca u = 1 x . ). grandes. ∫ ln x x d x ( Pista : Establezca u = x . ). grandes. 2 x ( ln x − 2 ) + C Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = 1 t a partir de t = 1 a e x y evalúe la integral. Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = e t entre t = 0 y t = ln x , y evalúe la integral. ∫ 0 ln x e t d t = e t | 0 ln x = e ln x − e 0 = x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos. ∫ tan ( 2 x ) d x ∫ sen ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x – 1 3 ln sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) +C ∫ x sen ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x ∫ x csc ( x 2 ) d x − 1 2 ln | csc ( x 2 ) + cot ( x 2 ) | + C ∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( csc x ) cot x d x − 1 2 ( ln ( csc x ) ) 2 + C ∫ e x − e – x e x + e – x d x En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida. ∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x 1 3 ln ( 26 7 ) grandes. ∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 3 sen x − cos x sen x + cos x d x ln ( 3 − 1 ) grandes. ∫ π / 6 π / 2 csc x d x ∫ π / 4 π / 3 cot x d x 1 2 ln 3 2 En los siguientes ejercicios, integre utilizando la sustitución indicada. ∫ x x − 100 d x ; u = x − 100 ∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1 y − 2 ln | y + 1 | + C ∫ 1 − x 2 3 x – x 3 d x ; u = 3 x – x 3 ∫ sen x + cos x sen x − cos x d x ; u = sen x − cos x ln | sen x − cos x | + C ∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x ∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x − 1 3 ( 1 − ( ln x ) 2 ) 3 / 2 + C En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del extremo derecho sobrestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R 50 y resuelva el área exacta. [T] y = e x en [ 0 , 1 ] [T] y = e – x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: e − 1 e , R 50 = 0,6258 . Como f es decreciente, la estimación del punto extremo derecho subestima el área. [T] y = ln ( x ) en [ 1 , 2 ] [T] y = x + 1 x 2 + 2 x + 6 en [ 0 , 1 ] Solución exacta: 2 ln ( 3 ) − ln ( 6 ) 2 , R 50 = 0,2033 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área. [T] y = 2 x en [ −1 , 0 ] [T] y = − 2 − x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: − 1 ln ( 4 ) , R 50 = −0,7164 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor). En los siguientes ejercicios, f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b . Halle el área bajo el gráfico de f ( x ) entre los valores dados a y b mediante la integración. f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 11 2 ln 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4 1 ln ( 65 , 536 ) Halle el área bajo el gráfico de la función f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = 5 . Calcule la integral de f ( x ) = x e – x 2 y calcule el menor valor de N tal que el área debajo del gráfico f ( x ) = x e – x 2 entre x = N y x = N + 1 es, como máximo, de 0,01. ∫ N N + 1 x e – x 2 d x = 1 2 ( e − N 2 − e − ( N + 1 ) 2 ) . La cantidad es inferior a 0,01 cuando N = 2 . Halle el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo el gráfico de f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = N . Demuestre que ∫ a b d t t = ∫ 1 / b 1 / a d t t cuando 0 < a ≤ b . ∫ a b d x x = ln ( b ) − ln ( a ) = ln ( 1 a ) − ln ( 1 b ) = ∫ 1 / b 1 / a d x x Supongamos que f ( x ) > 0 para toda x y que f y g son diferenciables. Utilice la identidad f g = e g ln f y la regla de la cadena para encontrar la derivada de f g . Utilice el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de h ( x ) = x x ( 1 + ln x ) y evalúe ∫ 2 3 x x ( 1 + ln x ) d x . 23 Demuestre que si c > 0 , entonces la integral de 1 / x de ac a bc ( 0 < a < b ) es la misma que la integral de 1 / x de a a b . Los siguientes ejercicios pretenden derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural partiendo de la definición ln ( x ) = ∫ 1 x d t t , utilizando las propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones. Utilice la identidad ln ( x ) = ∫ 1 x d t t para derivar la identidad ln ( 1 x ) = − ln x . Podemos suponer que x > 1 , por lo que 1 x < 1 . Entonces, ∫ 1 1 / x d t t . Ahora haga la sustitución u = 1 t , así que d u = − d t t 2 y d u u = − d t t , y cambie los puntos finales: ∫ 1 1 / x d t t = − ∫ 1 x d u u = − ln x . Utilice un cambio de variable en la integral ∫ 1 x y 1 t d t para demostrar que ln x y = ln x + ln y para x , y > 0 . Utilice la identidad ln x = ∫ 1 x d t t para demostrar que ln ( x ) es una función creciente de x en [ 0 , ∞ ) , y utilice los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de ln ( x ) es ( − ∞ , ∞ ) . Sin más suposiciones, concluya que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Las respuestas variarán. Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln ( x ) , pero tenga en cuenta que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Use la identidad ln x y = ln x + ln y para deducir que E ( a + b ) = E ( a ) E ( b ) para cualquier número real a , b . Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln x , pero tenga en cuenta que ln x tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Demuestre que E ' ( t ) = E ( t ) . x = E ( ln ( x ) ) . Entonces, 1 = E ' ( ln x ) x o x = E ' ( ln x ) . Dado que cualquier número t se puede escribir t = ln x para alguna x , y para tal t tenemos x = E ( t ) , luego se deduce que para cualquier t , E ' ( t ) = E ( t ) . La integral de seno, definida como S ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para grandes x . Demuestre que para k ≥ 1 , | S ( 2 π k ) − S ( 2 π ( k + 1 ) ) | ≤ 1 k ( 2 k + 1 ) π . ( Pista : sen ( t + π ) = − sen t ). [T] La distribución normal en probabilidad viene dada por p ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde σ es la desviación típica y μ es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, p s , corresponde a μ = 0 y σ = 1 . Calcule las estimaciones del punto extremo correcto R 10 y R 100 de ∫ –1 1 1 2 π e – x 2 / 2 d x . R 10 = 0,6811 , R 100 = 0,6827 [T] Calcule las estimaciones del punto extremo derecho R 50 y R 100 de ∫ −3 5 1 2 2 π e − ( x – 1 ) 2 / 8 .", "section": "Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos que en Funciones y gráficos las funciones trigonométricas no son biunívocas, a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con las inversas de funciones trigonométricas, siempre hay que tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas , desarrollamos fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas que se desarrollaron allí generan directamente fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno. Regla: fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas Las siguientes fórmulas de integración generan funciones trigonométricas inversas. Supongamos que a > 0 : ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u | a | + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 | a | sec −1 | u | a + C (carbono 14). Prueba Supongamos que y = sen −1 x a . Entonces a sen y = x . Ahora utilicemos la diferenciación implícita. Obtenemos d d x ( a sen y ) = d d x ( x ) a cos y d y d x = 1 d y d x = 1 a cos y . Para − π 2 ≤ y ≤ π 2 , cos y ≥ 0 . Así, aplicando la identidad pitagórica sen 2 y + cos 2 y = 1 , tenemos cos y = 1 – sen 2 y . Esto da 1 a cos y = 1 a 1 − sen 2 y = 1 a 2 − a 2 sen 2 y = 1 a 2 − x 2 . Entonces para − a ≤ x ≤ a , y generalizando a u , tenemos ∫ 1 a 2 − u 2 d u = sen −1 ( u a ) + C . □ Evaluación de una integral definida mediante funciones trigonométricas inversas Evalúe la integral definida ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 . Podemos ir directamente a la fórmula de la antiderivada en la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, y luego evaluar la integral definida. Tenemos ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 = sen −1 x | 0 1 2 = sen −1 1 2 − sen −1 0 = π 6 − 0 = π 6 . Halle la antiderivada de ∫ d x 1 − 16 x 2 . 1 4 sen −1 ( 4 x ) + C Pista Sustituya u = 4 x Encontrar una antiderivada que implique una función trigonométrica inversa Evalúe la integral ∫ d x 4 − 9 x 2 . Sustituya u = 3 x . Entonces d u = 3 d x y tenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 . Aplicando la fórmula con a = 2 , obtenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 = 1 3 sen −1 ( u 2 ) + C = 1 3 sen −1 ( 3 x 2 ) + C . Halle la integral indefinida utilizando una función trigonométrica inversa y la sustitución de ∫ d x 9 − x 2 . sen −1 ( x 3 ) + C Pista Use la fórmula de la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 . El formato del problema coincide con la fórmula de seno inverso. Por lo tanto, ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 = sen −1 u | 0 3 / 2 = [ sen −1 ( 3 2 ) ] − [ sen −1 ( 0 ) ] = π 3 . Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa. Encontrar una antiderivada que implique la función tangente inversa Encontrar una antiderivada de ∫ 1 1 + 4 x 2 d x . Comparando este problema con las fórmulas indicadas en la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula de tan −1 u + C . Así que utilizamos la sustitución, suponiendo que u = 2 x , entonces d u = 2 d x y 1 / 2 d u = d x . Entonces, tenemos 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 x ) + C . Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ d x 25 + 4 x 2 . 1 10 tan –1 ( 2 x 5 ) + C Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Aplicación de las fórmulas de integración Encuentre la antiderivada de ∫ 1 9 + x 2 d x . Aplique la fórmula con a = 3 . Entonces, ∫ d x 9 + x 2 = 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C . Halle la antiderivada de ∫ d x 16 + x 2 . 1 4 tan –1 ( x 4 ) + C Pista Siga los pasos del . Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 . Utilice la fórmula de la tangente inversa. Tenemos ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 = tan −1 x | 3 / 3 3 = [ tan –1 ( 3 ) ] − [ tan –1 ( 3 3 ) ] = π 6 . Evalúe la integral definida ∫ 0 2 d x 4 + x 2 . π 8 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Conceptos clave Las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Utilice las fórmulas indicadas en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas para que coincidan con el formato correcto y haga las modificaciones necesarias para resolver el problema. A menudo es necesario hacer sustituciones para poner el integrando en la forma correcta. Ecuaciones clave Integrales que producen funciones trigonométricas inversas ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 ( u a ) + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan –1 ( u a ) + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 ( u a ) + C En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa. ∫ 0 3 / 2 d x 1 − x 2 sen −1 x | 0 3 / 2 = π 3 ∫ −1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 2 ∫ 3 1 d x 1 + x 2 tan −1 x | 3 1 = − π 12 ∫ 1 / 3 3 d x 1 + x 2 ∫ 2 3 2 d x | x | x 2 – 1 sec −1 x | 1 2 = π 4 ∫ 2 2 d x | x | x 2 – 1 En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida, utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ d x 9 − x 2 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ d x 1 − 16 x 2 ∫ d x 9 + x 2 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C ∫ d x 25 + 16 x 2 ∫ d x | x | x 2 − 9 1 3 sec −1 ( x 3 ) + C ∫ d x | x | 4 x 2 − 16 Explique la relación − cos −1 t + C = ∫ d t 1 − t 2 = sen −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que cos −1 t = − sen −1 t ? cos ( π 2 − θ ) = sen θ . Así que, sen −1 t = π 2 − cos −1 t . Se diferencian por una constante. Explique la relación sec −1 t + C = ∫ d t | t | t 2 – 1 = − csc −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que sec −1 t = − csc −1 t ? Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ 1 2 d t 1 − t 2 . 1 − t 2 no se define como un número real cuando t > 1 . Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ –1 1 d t | t | t 2 – 1 . En los siguientes ejercicios, resuelva la antiderivada ∫ f de f con C = 0 , luego use una calculadora para graficar f y la antiderivada en el intervalo dado [ a , b ] . Identifique un valor de C tal que sumando C a la antiderivada se recupere la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 9 − x 2 d x en [ −3 , 3 ] La antiderivada es sen −1 ( x 3 ) + C . Si tomamos C = π 2 recupera la integral definida. [T] ∫ 9 9 + x 2 d x en [ −6 , 6 ] [T] ∫ cos x 4 + sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada es 1 2 tan –1 ( sen x 2 ) + C . Si tomamos C = 1 2 tan –1 ( sen ( 6 ) 2 ) recupera la integral definida. [T] ∫ e x 1 + e 2 x d x en [ −6 , 6 ] En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ sen −1 t d t 1 − t 2 1 2 ( sen −1 t ) 2 + C ∫ d t sen −1 t 1 − t 2 ∫ tan –1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t 1 4 ( tan –1 ( 2 t ) ) 2 ∫ t tan –1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t ∫ sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 − 4 d t 1 4 ( sec −1 ( t 2 ) 2 ) + C ∫ t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 − 1 d t En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la antiderivada ∫ f con la C = 0 en el intervalo dado [ a , b ] . Aproxime un valor de C , si es posible, tal que sumando C a la antiderivada se obtenga el mismo valor que la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 x x 2 − 4 d x en [ 2 , 6 ] La antiderivada es 1 2 sec −1 ( x 2 ) + C . Si tomamos C = 0 se recupera la integral definida en [ 2 , 6 ] . [T] ∫ 1 ( 2 x + 2 ) x d x en [ 0 , 6 ] [T] ∫ ( sen x + x cos x ) 1 + x 2 sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada general es tan –1 ( x sen x ) + C . Si tomamos C = − tan –1 ( 6 sen ( 6 ) ) recupera la integral definida. [T] ∫ 2 e −2 x 1 − e −4 x d x en [ 0 , 2 ] [T] ∫ 1 x + x ln 2 x en [ 0 , 2 ] La antiderivada general es tan –1 ( ln x ) + C . Si tomamos C = π 2 = tan −1 ∞ recupera la integral definida. [T] ∫ sen −1 x 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] En los siguientes ejercicios, calcule cada integral utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ e t 1 − e 2 t d t sen −1 ( e t ) + C ∫ e t 1 + e 2 t d t ∫ d t t 1 − ln 2 t sen −1 ( ln t ) + C ∫ d t t ( 1 + ln 2 t ) grandes. ∫ cos −1 ( 2 t ) 1 − 4 t 2 d t − 1 4 ( cos −1 ( 2 t ) ) 2 + C ∫ e t cos −1 ( e t ) 1 − e 2 t d t En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida. ∫ 0 1 / 2 tan ( sen −1 t ) 1 − t 2 d t 1 2 ln ( 4 3 ) grandes. ∫ 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 − t 2 d t ∫ 0 1 / 2 sen ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t 1 − 2 5 ∫ 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t Para A > 0 , calcule I ( A ) = ∫ − A A d t 1 + t 2 y evalúe lím a → ∞ I ( A ) , el área bajo el gráfico de 1 1 + t 2 en [ − ∞ , ∞ ] . 2 tan –1 ( A ) → π cuando A → ∞ Para 1 < B < ∞ , calcule I ( B ) = ∫ 1 B d t t t 2 – 1 y evalúe lím B → ∞ I ( B ) , el área bajo el gráfico de 1 t t 2 – 1 en [ 1 , ∞ ) . Utilice la sustitución u = 2 cot x y la identidad 1 + cot 2 x = csc 2 x para evaluar ∫ d x 1 + cos 2 x . ( Pista: Multiplique la parte superior e inferior del integrando por csc 2 x . ). Usando la pista, el uno tiene ∫ csc 2 x csc 2 x + cot 2 x d x = ∫ csc 2 x 1 + 2 cot 2 x d x . Establezca u = 2 cot x . Entonces, d u = − 2 csc 2 x y la integral es − 1 2 ∫ d u 1 + u 2 = − 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 cot x ) + C . Si el uno utiliza la identidad tan −1 s + tan –1 ( 1 s ) = π 2 , entonces esto también se puede escribir 1 2 tan –1 ( tan x 2 ) + C . [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = 2 x 2 – 1 y g ( x ) = ( 1 + 4 x 2 ) −3 / 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. 47. [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = x 2 – 1 y g ( x ) = ( x 2 + 1 ) 1 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. x ≈ ± 1,7321 . La estimación del punto extremo izquierdo con N = 100 es 4,781 y estos decimales persisten en N = 500 . Utilice el siguiente gráfico para demostrar que ∫ 0 x 1 − t 2 d t = 1 2 x 1 − x 2 + 1 2 sen −1 x . Ejercicios de repaso del capítulo Verdadero o falso. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que todas las funciones f y g son continuas en sus dominios. Si los valores de f ( x ) > 0 , f ′ ( x ) > 0 para todo x , entonces la regla de la derecha subestima la integral ∫ a b f ( x ) . Utilice un gráfico para justificar su respuesta. Falso ∫ a b f ( x ) 2 d x = ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x Si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [ a , b ] , entonces ∫ a b f ( x ) ≤ ∫ a b g ( x ) . Verdadero Toda función continua tiene una antiderivada. Evalúe las sumas de Riemann L 4 y R 4 en las siguientes funciones en el intervalo especificado. Compare su respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o utilice una calculadora para definir la respuesta. y = 3 x 2 − 2 x + 1 en [ −1 , 1 ] L 4 = 5,25 , R 4 = 3,25 , respuesta exacta: 4 y = ln ( x 2 + 1 ) en [ 0 , e ] y = x 2 sen x en [ 0 , π ] L 4 = 5,364 , R 4 = 5,364 , respuesta exacta: 5,870 y = x + 1 x en [ 1 , 4 ] Evalúe las siguientes integrales. ∫ –1 1 ( x 3 − 2 x 2 + 4 x ) d x − 4 3 ∫ 0 4 3 t 1 + 6 t 2 d t ∫ π / 3 π / 2 2 sec ( 2 θ ) tan ( 2 θ ) d θ 1 ∫ 0 π / 4 e cos 2 x sen x cos x d x Calcule la antiderivada. ∫ d x ( x + 4 ) 3 − 1 2 ( x + 4 ) 2 + C ∫ x ln ( x 2 ) d x ∫ 4 x 2 1 − x 6 d x 4 3 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ e 2 x 1 + e 4 x d x Halle la derivada. d d t ∫ 0 t sen x 1 + x 2 d x sen t 1 + t 2 d d x ∫ 1 x 3 4 − t 2 d t d d x ∫ 1 ln ( x ) ( 4 t + e t ) d t 4 ln x x + 1 d d x ∫ 0 cos x e t 2 d t Los siguientes problemas consideran el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora Año Variación en 5 años ($) 1980 0 1985 −5.468.750 1990 − 755.495 1995 –73.005 2000 –29.768 2005 –918 2010 –177 Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es de 12 dólares, halle el costo medio por gigabyte de RAM en 1980. $6.328.113 El costo promedio por gigabyte de RAM puede aproximarse mediante la función C ( t ) = 8 , 500 , 000 ( 0,65 ) t , donde t se mide en años desde 1980 y C es el costo en dólares. Halle el costo promedio por gigabyte de memoria RAM entre 1980 y 2010. Halle el costo promedio de 1GB de RAM entre 2005 y 2010. $73,36 La velocidad de la bala de un rifle puede aproximarse por v ( t ) = 6.400 t 2 − 6.505 t + 2.686 , donde t es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad durante el primer medio segundo después del disparo 0 ≤ t ≤ 0,5 . ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en 0,5 segundos? ¿Cuál es la velocidad media de la bala durante el primer medio segundo? 19117 12 ft/s , o 1593 ft/s", "section": "Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Introducción La presa Hoover es uno de los lugares emblemáticos de Estados Unidos, y proporciona riego y energía hidroeléctrica a millones de personas en el suroeste del país (créditos: modificación de la obra de Lynn Betts, Wikimedia). La presa Hoover es una maravilla de la ingeniería. Cuando el lago Mead, el embalse que hay detrás de la presa, está lleno, la presa soporta una gran fuerza. Sin embargo, los niveles de agua del lago varían considerablemente como consecuencia de las sequías y de las distintas demandas de agua. Más adelante en este capítulo utilizaremos las integrales definidas para calcular la fuerza que soporta la presa cuando el embalse está lleno, y examinaremos cómo los cambios en el nivel del agua afectan a esa fuerza (vea el ). La fuerza hidrostática es solo una de las muchas aplicaciones de las integrales definidas que exploramos en este capítulo. Desde las aplicaciones geométricas como área superficial y volumen, aplicaciones físicas como masa y trabajo, hasta los modelos de crecimiento y decaimiento, las integrales definidas son una herramienta poderosa para ayudarnos a comprender y modelar el mundo que nos rodea.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Áreas entre curvas En Introducción a la integración , desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliaremos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezaremos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x , empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, se estudian los casos en los que los gráficos de las funciones se intersecan. Por último, consideraremos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de y . Área de una región entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] de manera que f ( x ) ≥ g ( x ) sobre [ a , b ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. El área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , en el intervalo [ a , b ] . Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximaremos el área entre los gráficos de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] , y en cada intervalo [ x i − 1 , x i ] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g ( x i * ) al f ( x i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando x i * se selecciona para ser el punto extremo izquierdo del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. Utilice esta calculadora para saber más sobre las áreas entre dos curvas. (a)Podemos aproximar el área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra. La altura de cada rectángulo individual es f ( x i * ) − g ( x i * ) y la anchura de cada rectángulo es Δ x . Al sumar las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por A ≈ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ y obtenemos A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 1 Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x + 4 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − x 2 en el intervalo [ 1 , 4 ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Se muestra una región entre dos curvas en la que una de ellas es siempre mayor que la otra. Tenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ 1 4 [ ( x + 4 ) − ( 3 − x 2 ) ] d x = ∫ 1 4 [ 3 x 2 + 1 ] d x = [ 3 x 2 4 + x ] | 1 4 = ( 16 − 7 4 ) = 57 4 . El área de la región es 57 4 al cuadrado 2 . Si los valores de R es la región delimitada por los gráficos de las funciones f ( x ) = x 2 + 5 y g ( x ) = x + 1 2 en el intervalo [ 1 , 5 ] , calcule el área de la región R . 12 unidades 2 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico de la función forma el límite superior y cuál el límite inferior, luego siga el proceso utilizado en el . En el , definimos el intervalo de interés como parte del planteamiento del problema. Sin embargo, frecuentemente queremos definir nuestro intervalo de interés con base en el punto de intersección de los gráficos de las dos funciones. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 2 Si los valores de R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 9 − ( x / 2 ) 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 6 − x , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Este gráfico muestra la región por debajo del gráfico de f ( x ) y por encima del gráfico de g ( x ) . Primero tenemos que calcular dónde se intersecan los gráficos de las funciones. Si establecemos que f ( x ) = g ( x ) , obtenemos f ( x ) = g ( x ) 9 − ( x 2 ) 2 = 6 − x 9 − x 2 4 = 6 − x 36 − x 2 = 24 − 4 x x 2 − 4 x − 12 = 0 ( x − 6 ) ( x + 2 ) = 0, Los gráficos de las funciones se intersecan cuando x = 6 o x = –2 , por lo que queremos integrar desde −2 al 6 . Dado que f ( x ) ≥ g ( x ) por −2 ≤ x ≤ 6 , obtenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 9 − ( x 2 ) 2 − ( 6 − x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 3 − x 2 4 + x ] d x = [ 3 x – x 3 12 + x 2 2 ] | −2 6 = 64 3 . El área de la región es 64 / 3 unidades 2 . Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x 4 , calcule el área de la región R . 3 10 unidad 2 Pista Utilice el proceso del . Áreas de las regiones compuestas Hasta ahora, hemos requerido f ( x ) ≥ g ( x ) a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto. Hallar el área de una región entre curvas que se cruzan Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denota la región entre los gráficos de f ( x ) y g ( x ) , y está limitado a la izquierda y a la derecha por las rectas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x . En la práctica, la aplicación de este teorema nos obliga a descomponer el intervalo [ a , b ] y evaluar varias integrales, dependiendo de cuál de los valores de la función es mayor en una parte determinada del intervalo. Estudiaremos este proceso en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región limitada por funciones que se cruzan Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ 0 , π ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. La región entre dos curvas puede dividirse en dos subregiones. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = π / 4 . Para x ∈ [ 0 , π / 4 ] , cos x ≥ sen x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = cos x − sen x . Por otro lado, para x ∈ [ π / 4 , π ] , sen x ≥ cos x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = sen x − cos x . Entonces A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x = ∫ 0 π | sen x − cos x | d x = ∫ 0 π / 4 ( cos x − sen x ) d x + ∫ π / 4 π ( sen x − cos x ) d x = [ sen x + cos x ] | 0 π / 4 + [ − cos x − sen x ] | π / 4 π = ( 2 – 1 ) + ( 1 + 2 ) = 2 2 . El área de la región es 2 2 unidades 2 . Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ π / 2 , 2 π ] , calcule el área de la región R . 2 + 2 2 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = ( 5 π ) / 4 . Hallar el área de una región compleja Consideremos la región representada en la . Calcule el área de R . Se necesitan dos integrales para calcular el área de esta región. Al igual que con el , tenemos que dividir el intervalo en dos partes. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = 1 (establezca f ( x ) = g ( x ) y resolver para x ), así que evaluamos dos integrales separadas: una en el intervalo [ 0 , 1 ] y uno en el intervalo [ 1 , 2 ] . En el intervalo [ 0 , 1 ] , la región está limitada arriba por f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x , por lo que tenemos A 1 = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 . En el intervalo [ 1 , 2 ] , la región está limitada arriba por g ( x ) = 2 − x y abajo por el eje x −eje, por lo que tenemos A 2 = ∫ 1 2 ( 2 − x ) d x = [ 2 x – x 2 2 ] | 1 2 = 1 2 . Sumando estas áreas, obtenemos A = A 1 + A 2 = 1 3 + 1 2 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Considere la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R . 5 3 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = 1 . Regiones definidas con respecto a y En el , tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de y , en vez de como funciones de x ? Revise la . Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función y = f ( x ) = x 2 . Podríamos resolver esto con la misma facilidad para x y representar la curva mediante la función x = v ( y ) = y . (Observe que x = − y es también una representación válida de la función y = f ( x ) = x 2 en función de y . (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función y = g ( x ) = 2 − x , , pero también podría representarse con la función x = u ( y ) = 2 − y . Cuando los gráficos se representan como funciones de y , vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a y , necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración. Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas sobre un intervalo [ c , d ] de manera que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. Podemos encontrar el área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) . Esta vez, vamos a dividir el intervalo en el eje y y utilizar rectángulos horizontales para aproximar el área entre las funciones. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que Q = { y i } es una partición regular de [ c , d ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto y i * ∈ [ y i − 1 , y i ] , entonces en cada intervalo [ y i − 1 , y i ] construya un rectángulo que se extienda horizontalmente desde v ( y i * ) al u ( y i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando y i * se selecciona para ser el punto extremo inferior del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. (a) Aproximación del área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico. La altura de cada rectángulo individual es Δ y y la anchura de cada rectángulo es u ( y i * ) − v ( y i * ) . Por lo tanto, el área entre las curvas es aproximadamente A ≈ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ , obteniendo A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas tales que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Supongamos que R denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , y arriba y abajo por las rectas y = d y y = c , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Integrar con respecto a y Volvamos a visitar el , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la . Calcule el área de R integrando con respecto a y . La zona de la región R puede calcularse mediante una integral solo cuando las curvas se tratan como funciones de y . Primero debemos expresar los gráficos como funciones de y . Como vimos al principio de esta sección, la curva de la izquierda puede representarse por la función x = v ( y ) = y , y la curva de la derecha puede representarse por la función x = u ( y ) = 2 − y . Ahora tenemos que determinar los límites de integración. La región está limitada abajo por el eje x , por lo que el límite inferior de integración es y = 0 . El límite superior de la integración está determinado por el punto de intersección de los dos gráficos, que es el punto ( 1 , 1 ) , por lo que el límite superior de integración es y = 1 . Por lo tanto, tenemos [ c , d ] = [ 0 , 1 ] . Calculando el área de la región, obtenemos A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y = ∫ 0 1 [ ( 2 − y ) − y ] d y = [ 2 y – y 2 2 − 2 3 y 3 / 2 ] | 0 1 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Volvamos a revisar el punto de control asociado al , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R integrando con respecto a y . 5 3 unidades 2 Pista Siga el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Al igual que las integrales definidas pueden utilizarse para encontrar el área bajo una curva, también pueden utilizarse para encontrar el área entre dos curvas. Para encontrar el área entre dos curvas definidas por funciones, integre la diferencia de las funciones. Si los gráficos de las funciones se intersecan, o si la región es compleja, utilice el valor absoluto de la diferencia de las funciones. En este caso, puede ser necesario evaluar dos o más integrales y sumar los resultados para encontrar el área de la región. A veces puede ser más fácil integrar con respecto a y para encontrar el área. Los principios son los mismos independientemente de la variable que se utilice como variable de integración. Ecuaciones clave Área entre dos curvas, integrando en el eje x A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x Área entre dos curvas, integrando en el eje y A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas de la figura dada integrando sobre el eje x . y = x 2 − 3 y y = 1 32 3 y = x 2 y y = 3 x + 4 En los siguientes ejercicios, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, y luego determine el área integrando sobre el eje x . Tenga en cuenta que tendrá que resolver dos integrales. y = x 3 y y = x 2 + x 13 12 y = cos θ y y = 0,5 , para 0 ≤ θ ≤ π En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas integrando sobre el eje y . x = y 2 y x = 9 36 y = x y x = y 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x . y = x 2 y y = − x 2 + 18 x 243 unidades cuadradas y = 1 x , y = 1 x 2 , y x = 3 y = cos x como y = cos 2 x sobre x = [ − π , π ] 4 y = e x , y = e 2 x – 1 , y x = 0 y = e x , y = e – x , x = −1 y x = 1 2 ( e − 1 ) 2 e y = e , y = e x , y y = e – x y = | x | y y = x 2 1 3 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar toda su superficie. y = sen ( π x ) , y = 2 x , y x > 0 y = 12 − x , y = x , y y = 1 34 3 y = sen x como y = cos x en x = [ − π , π ] y = x 3 y y = x 2 − 2 x en x = [ −1 , 1 ] 5 2 y = x 2 + 9 y y = 10 + 2 x en x = [ −1 , 3 ] y = x 3 + 3 x como y = 4 x 1 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el y . x = y 3 y x = 3 y − 2 x = 2 y y x = y 3 − y 9 2 x = −3 + y 2 y x = y – y 2 y 2 = x y x = y + 2 9 2 x = | y | y 2 x = − y 2 + 2 x = sen y , x = cos ( 2 y ) , y = π / 2 , y y = − π / 2 3 3 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x o el eje y , lo que le parezca más conveniente. x = y 4 y x = y 5 y = x e x , y = e x , x = 0 , y x = 1 e −2 y = x 6 y y = x 4 x = y 3 + 2 y 2 + 1 y x = − y 2 + 1 27 4 y = | x | y y = x 2 – 1 y = 4 − 3 x y y = 1 x 4 3 − ln ( 3 ) grandes. y = sen x , x = − π / 6 , x = π / 6 , y y = cos 3 x y = x 2 − 3 x + 2 y y = x 3 − 2 x 2 − x + 2 1 2 y = 2 cos 3 ( 3 x ) , y = −1 , x = π 4 , y x = − π 4 y + y 3 = x y 2 y = x 1 2 y = 1 − x 2 y y = x 2 – 1 y = cos −1 x , y = sen −1 x , x = −1 , y x = 1 −2 ( 2 − π ) En los siguientes ejercicios, halle el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determinar el área aproximada de la región. [T] x = e y y y = x − 2 [T] y = x 2 y y = 1 − x 2 1,067 [T] y = 3 x 2 + 8 x + 9 y 3 y = x + 24 [T] x = 4 − y 2 y y 2 = 1 + x 2 0,852 [T] x 2 = y 3 y x = 3 y [T] y = sen 3 x + 2 , y = tan x , x = −1,5 , y x = 1,5 7,523 [T] y = 1 − x 2 y y 2 = x 2 [T] y = 1 − x 2 y y = x 2 + 2 x + 1 3 π − 4 12 [T] x = 4 − y 2 y x = 1 + 3 y + y 2 [T] y = cos x , y = e x , x = − π , y x = 0 1,429 El mayor triángulo con base en el eje x que encaja dentro de la mitad superior del círculo de la unidad y 2 + x 2 = 1 viene dada por y = 1 + x como y = 1 − x . Vea la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo? Una fábrica que vende teléfonos celulares tiene una función de costo marginal C ( x ) = 0,01 x 2 − 3 x + 229 , donde x representa el número de teléfonos celulares, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 429 − 2 x . Halle el área entre los gráficos de estas curvas y x = 0 . ¿Qué representa esta zona? $ 33.333,33 de beneficio total en 200 teléfonos celulares vendidos Un parque de atracciones tiene una función de costo marginal C ( x ) = 1.000 e – x + 5 , donde x representa el número de entradas vendidas, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 60 − 0,1 x . Halle el beneficio total que se produce al vender 550 entradas. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = 1 − cos ( ( π t ) / 2 ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = ( 1 / 2 ) tan –1 ( t / 4 ) , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Halle el área entre las curvas del tiempo t = 0 la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Qué representa? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. 3,263 mi representa qué tan lejos está la liebre de la tortuga. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = ( 1 / 2 ) − ( 1 / 2 ) cos ( 2 π t ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = t , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en 1 hora, ¿quién ganó la carrera y por qué diferencia? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. En los siguientes ejercicios, halle el área entre las curvas integrando con respecto a x y luego con respecto a y . ¿Es un método más fácil que el otro? ¿Obtiene la misma respuesta? y = x 2 + 2 x + 1 y y = − x 2 − 3 x + 4 343 24 y = x 4 y x = y 5 x = y 2 − 2 y x = 2 y 4 3 En los siguientes ejercicios, resuelva utilizando el cálculo y luego compruebe su respuesta con la geometría. Determine las ecuaciones de los lados del cuadrado que toca la circunferencia unitaria por sus cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Halle el área entre el perímetro de este cuadrado y el círculo unitario. ¿Hay alguna otra forma de resolver esto sin usar el cálculo? Halla el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de y = 2 x + 1 , y = 1 − 2 x como y = − 3 5 , como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna manera de resolver esto sin usar el cálculo? π − 32 25", "section": "Áreas entre curvas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Determinar los volúmenes mediante el corte En la sección anterior, utilizamos las integrales definidas para hallar el área entre dos curvas. En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para hallar los volúmenes de los sólidos tridimensionales. Consideraremos tres enfoques —rebanadas, discos y arandelas— para hallar estos volúmenes en función de las características del sólido. El volumen y el método de las rebanadas Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura V = l w h . Las fórmulas del volumen de una esfera ( V = 4 3 π r 3 ) , un cono ( V = 1 3 π r 2 h ) , y una pirámide ( V = 1 3 A h ) también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración. También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una barra de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para hablar de los cilindros en ese contexto más general, antes tenemos que definir algunos términos. Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. Se define un cilindro como cualquier sólido que se genera trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la es un ejemplo de cilindro con base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro basta con multiplicar el área de la sección transversal por la altura del cilindro: V = A . h . En el caso de un cilindro circular recto (como una lata de sopa), esto se convierte en V = π r 2 h . Cada sección transversal de un cilindro concreto es idéntica a las demás. Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), puede que no tengamos una fórmula para su volumen. En ese caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen de ese sólido. Para ello, rebanamos el sólido, estimamos el volumen de cada rebanada y luego sumamos esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben ser todas paralelas entre sí, y cuando las juntamos todas, deberíamos obtener el sólido completo. Consideremos, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la , que se extiende a lo largo del eje x . Sólido con una sección transversal variable. Queremos dividir S en rodajas perpendiculares al eje x . Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber ocasiones en las que queramos cortar el sólido en alguna otra dirección, por ejemplo, en cortes perpendiculares al eje y . La elección de cómo cortar el sólido es muy importante. Si nos equivocamos, los cálculos pueden ser bastante complicados. Más adelante en este capítulo, examinaremos algunas de estas situaciones en detalle y veremos cómo elegir la dirección para cortar el sólido. Sin embargo, a efectos de esta sección, utilizamos cortes perpendiculares al eje x . Ya que el área de la sección transversal no es constante, suponemos que A ( x ) representa el área de la sección transversal en el punto x . Ahora supongamos que P = { x 0 , x 1 … , X n } es una partición regular de [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que S i representan la porción de S que se extiende desde x i − 1 para x i . La siguiente figura muestra el sólido cortado con n n = 3 . El sólido S se dividió en tres cortes perpendiculares al eje x . Por último, para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que x i * es un punto arbitrario en [ x i − 1 , x i ] . Entonces el volumen de la rebanada S i se puede estimar mediante V ( S i ) ≈ A ( x i * ) Δ x . Sumando estas aproximaciones, vemos que el volumen de todo el sólido S puede aproximarse por V ( S ) ≈ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x . A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como n → ∞ . Entonces tenemos V ( S ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x = ∫ a b A ( x ) d x . La técnica que acabamos de describir se llama método de las rebanadas . Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia. Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del mismo. A menudo es útil hacer un dibujo si no lo tiene. Determine una fórmula para el área de la sección transversal. Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen. Recordemos que en esta sección suponemos que los cortes son perpendiculares al eje x . Por lo tanto, la fórmula del área está en términos de x y los límites de integración se encuentran en el eje x . Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas mostrada aquí es válida independientemente de cómo decidamos cortar el sólido. Derivación de la fórmula del volumen de una pirámide Sabemos por la geometría que la fórmula del volumen de una pirámide es V = 1 3 A h . Si la pirámide tiene una base cuadrada, esto se convierte en V = 1 3 a 2 h , donde a indica la longitud de un lado de la base. Utilicemos el método de las rebanadas para derivar esta fórmula. Queremos aplicar ese método a una pirámide de base cuadrada. Para establecer la integral, considere la pirámide mostrada en la , orientada a lo largo del eje x . (a) Una pirámide de base cuadrada está orientada a lo largo del eje x . (b) Hay una vista bidimensional de la pirámide desde un lado. Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadradas (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados de la sección transversal. Al observar la (b), y usando una proporción, ya que son triángulos similares, tenemos s a = x h o s = a x h . Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados del corte transversal es A ( x ) = s 2 = ( a x h ) 2 ( paso 2 ) . Entonces encontramos el volumen de la pirámide integrando desde 0 para h (paso 3 ) : V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h ( a x h ) 2 d x = a 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x = [ a 2 h 2 ( 1 3 x 3 ) ] | 0 h = 1 3 a 2 h . Esta es la fórmula que buscábamos. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula V = 1 3 π r 2 h para el volumen de un cono circular. Pista Utilice triángulos similares, como en la . Sólidos de revolución Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución , como se muestra en la siguiente figura. (a) Esta es la región que gira alrededor del eje x . (b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, forma un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución. Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, como las piezas de máquinas producidas por un torno. Dedicaremos el resto de esta sección a estudiar este tipo de sólidos. El siguiente ejemplo utiliza el método de las rebanadas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Utilice una calculadora de integrales en línea para saber más. Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficos de f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 , x = 1 , y x = 4 , y con rotación alrededor del eje x . Utilizando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática sobre el intervalo [ 1 , 4 ] como se muestra en la siguiente figura. Una región utilizada para producir un sólido de revolución. A continuación, gire la región alrededor del eje x , como se muestra en la siguiente figura. Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región en la alrededor del x . Como el sólido se formó al girar la región alrededor del eje x −eje, las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por f ( x ) . Utilice la fórmula del área del círculo: A ( x ) = π r 2 = π [ f ( x ) ] 2 = π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 (paso 2) . El volumen, entonces, es (paso 3) V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 d x = π ∫ 1 4 ( x 4 − 8 x 3 + 26 x 2 − 40 x + 25 ) d x = π ( x 5 5 − 2 x 4 + 26 x 3 3 − 20 x 2 + 25 x ) | 1 4 = 78 5 π . El volumen es 78 π / 5 . Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región comprendida entre el gráfico de la función f ( x ) = 1 / x y el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] alrededor del eje x . Vea la siguiente figura. π 2 Pista Utilice la estrategia de resolución de problemas presentada anteriormente y siga el para ayudarse con el paso 2. El método del disco Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función f ( x ) = ( x – 1 ) 2 + 1 y la intersección en x en el intervalo [ −1 , 3 ] alrededor del eje x . El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del x . (c) La región bajo la curva gira en torno del x , dando como resultado (d) el sólido de revolución. Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen al desarrollar el método de las rebanadas. Sabemos que V = ∫ a b A ( x ) d x . La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla. Regla: el método del disco Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x −eje, a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x . El volumen del sólido que hemos estudiado ( ) viene dado por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ –1 3 π [ ( x – 1 ) 2 + 1 ] 2 d x = π ∫ –1 3 [ ( x – 1 ) 4 + 2 ( x – 1 ) 2 + 1 ] d x = π [ 1 5 ( x – 1 ) 5 + 2 3 ( x – 1 ) 3 + x ] | −1 3 = π [ ( 32 5 + 16 3 + 3 ) − ( − 32 5 − 16 3 − 1 ) ] = 412 π 15 al cuadrado 3 . Veamos algunos ejemplos. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1 Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = x y el eje x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de la función y del sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La función f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Tenemos V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 4 π [ x ] 2 d x = π ∫ 1 4 x d x = π 2 x 2 | 1 4 = 15 π 2 . El volumen es ( 15 π ) / 2 unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor del eje x . 8 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Hasta ahora, todos nuestros ejemplos se referían a regiones que giraban en torno al eje x −eje, pero podemos generar un sólido de revolución haciendo girar una región plana alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución que se ha generado girando una región alrededor del eje y . La mecánica del método de los discos es casi la misma que cuando el eje x es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de y y también integramos con respecto a y . Esto se resume en la siguiente regla. Regla: método de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y −eje, abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y . El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 2 Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de g ( y ) = 4 − y y la intersección en y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . Utilice el método de los discos para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor del eje y . La muestra la función y un disco representativo que puede utilizarse para estimar el volumen. Observe que como estamos girando la función alrededor del eje y −eje, los discos son horizontales en vez de verticales. (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función g ( y ) = 4 − y y la intersección en y . (b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del eje y . La región que debe girar y el sólido completo de revolución se representan en la siguiente figura. (a) La región a la izquierda de la función g ( y ) = 4 − y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del eje y . Para encontrar el volumen, integramos con respecto a y . Obtenemos V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y = ∫ 0 4 π [ 4 − y ] 2 d y = π ∫ 0 4 ( 4 − y ) d y = π [ 4 y – y 2 2 ] | 0 4 = 8 π . El volumen es 8 π unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de g ( y ) = y y la intersección en y en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje y . 21 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de arandelas Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje x o y . Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, consideremos la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 en el intervalo [ 1 , 4 ] . Cuando esta región gira en torno al eje x −eje, el resultado es un sólido con una cavidad en el centro, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje x . (c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido de revolución resultante. El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso, A ( x ) = π ( x ) 2 − π ( 1 ) 2 = π ( x – 1 ) . Entonces el volumen del sólido es V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x – 1 ) d x = π [ x 2 2 − x ] | 1 4 = 9 2 π al cuadrado 3 . Generalizando este proceso se obtiene el método de las arandelas . Regla: el método de las arandelas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas y no negativas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x . Utilizar el método de las arandelas Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor del eje x se genera un sólido de revolución con una cavidad en el centro. Tenemos V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x = π ∫ 1 4 [ x 2 − ( 1 x ) 2 ] d x = π [ x 3 3 + 1 x ] | 1 4 = 81 π 4 al cuadrado 3 . Halle el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada por los gráficos de f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] alrededor del eje x . 10 π 3 unidades 3 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico forma el límite superior y qué gráfico forma el límite inferior, y luego utilice el procedimiento del . Al igual que con el método de los discos, también podemos aplicar el método de las arandelas a los sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del eje y . En este caso, se aplica la siguiente regla. Regla: el método de las arandelas para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas y no negativas tales que v ( y ) ≤ u ( y ) por y ∈ [ c , d ] . Supongamos que Q denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ ( u ( y ) ) 2 − ( v ( y ) ) 2 ] d y . En vez de ver un ejemplo del método de las arandelas con el eje y como eje de revolución, consideramos ahora un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar cómo describir el área de la sección transversal del volumen. El método de las arandelas con un eje de revolución diferente Halle el volumen del sólido de revolución fque se forma al girar la región delimitada arriba por f ( x ) = 4 − x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor de la línea y = –2 . El gráfico de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor de la línea y = −2 se obtiene un sólido de revolución con un agujero cilíndrico en su centro. No podemos aplicar la fórmula del volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, aún sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Si observamos el gráfico de la función, vemos que el radio del círculo exterior viene dado por f ( x ) + 2 , que se simplifica a f ( x ) + 2 = ( 4 − x ) + 2 = 6 − x . El radio del círculo interior es g ( x ) = 2 . Por lo tanto, tenemos V = ∫ 0 4 π [ ( 6 − x ) 2 − ( 2 ) 2 ] d x = π ∫ 0 4 ( x 2 − 12 x + 32 ) d x = π [ x 3 3 − 6 x 2 + 32 x ] | 0 4 = 160 π 3 al cuadrado 3 . Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x + 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 3 ] alrededor de la línea y = −1 . 60 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Conceptos clave Las integrales definidas pueden utilizarse para hallar los volúmenes de los sólidos. Utilizando el método de las rebanadas, podemos encontrar un volumen integrando el área de la sección transversal. En los sólidos de revolución, los cortes de volumen suelen ser discos y las secciones transversales son círculos. El método de los discos consiste en aplicar el método de las rebanadas en el caso particular de que las secciones transversales sean círculos, y en utilizar la fórmula del área de un círculo. Si un sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, los cortes de volumen son arandelas. Con el método de las arandelas, el área del círculo interior se resta del área del círculo exterior antes de integrarlo. Ecuaciones clave Método de los discos a lo largo del eje x V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x Método de los discos a lo largo del eje y V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y Método de las arandelas V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x Deduzca la fórmula del volumen de una esfera utilizando el método de las rebanadas. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un cono. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un tetraedro de lado a . Utilice el método de los discos para obtener la fórmula del volumen de un cilindro trapezoidal. Explique cuándo utilizaría el método de los discos en vez del método de las arandelas. ¿Cuándo son intercambiables? En los siguientes ejercicios, dibuje una rebanada típica y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas para el volumen dado. Pirámide con altura de 6 unidades y base cuadrada de lado de 2 unidades, como la que se muestra aquí. 8 unidades 3 Una pirámide con altura de 4 unidades y base rectangular con longitud de 2 unidades y anchura de 3 unidades, como se muestra aquí. Tetraedro con un lado de la base de 4 unidades, como se ve aquí. 32 3 2 unidades 3 Pirámide con altura de 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 y 8 unidades, como se ve aquí. Un cono de radio r y altura h tiene un cono de radio más pequeño r / 2 y altura h / 2 retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se denomina tronco . 7 24 π r 2 h unidades 3 En los siguientes ejercicios, dibuje un contorno del sólido y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas. La base es un círculo de radio a . Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados. La base es un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 0 , 1 ) . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 24 unidades 3 La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 en el primer cuadrante. Los cortes perpendiculares al plano xy y paralelos al eje y son cuadrados. La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 y por encima del plano x . Las rebanadas perpendiculares al eje y son cuadradas. 2 unidades 3 La base es la región delimitada por y = x 2 y y = 9 . Las rodajas perpendiculares al eje x son triángulos isósceles rectos. La intersección de uno de estos cortes con la base es el cateto del triángulo. La base es el área entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 240 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de los discos para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . x + y = 8 , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , y y = 0 4096 π 5 unidades 3 y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 y = x 4 , x = 0 , y y = 1 8 π 9 unidades 3 y = x , x = 0 , x = 4 , y y = 0 y = sen x , y = cos x , y x = 0 π 2 unidades 3 y = 1 x , x = 2 , y y = 3 x 2 − y 2 = 9 y x + y = 9 , y = 0 y x = 0 207 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = 4 − 1 2 x , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 4 π 5 unidades 3 y = 3 x 2 , x = 0 , y y = 3 y = 4 − x 2 , y = 0 , y x = 0 16 π 3 unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 3 x = sec ( y ) y y = π 4 , y = 0 y x = 0 π unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 2 y = 4 − x , y = x , y x = 0 16 π 3 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , y x = 5 y = x 2 y y = x + 2 72 π 5 unidades 3 x 2 = y 3 y x 3 = y 2 y = 4 − x 2 y y = 2 − x 108 π 5 unidades 3 [T] y = cos x , y = e – x , x = 0 , y x = 1,2927 y = x y y = x 2 3 π 10 unidades 3 y = sen x , y = 5 sen x , x = 0 y x = π y = 1 + x 2 y y = 4 − x 2 2 6 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de las arandelas para hallar el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = x , x = 4 , y y = 0 y = x + 2 , y = 2 x – 1 , y x = 0 9 π unidades 3 y = x 3 y y = x 3 x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , y y = ln ( 2 ) π 20 ( 75 − 4 ln 5 ( 2 ) ) unidades 3 x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , y y = 3 Los envases de yogur pueden tener forma de tronco. Gire la línea y = 1 m x alrededor del eje y para hallar el volumen entre y = a y y = b . m 2 π 3 ( b 3 − a 3 ) unidades 3 Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje x para aproximar el volumen de un balón de fútbol, como se ve aquí. Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje y para aproximar el volumen de un balón de fútbol. 4 a 2 b π 3 unidades 3 Una mejor aproximación al volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje x de x = 0 hasta x = π . ¿Cuál es el volumen de esta aproximación del balón de fútbol, como se ve aquí? ¿Cuál es el volumen del pastel en forma de anillo que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje y de x = 0 hasta x = π ? 2 π 2 unidades 3 En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido descrito. La base es la región entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. La base es la región delimitada por la elipse genérica ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. 2 a b 2 π 3 unidades 3 Perfore un agujero de radio a por el eje de un cono recto y a través de la base de radio b , como se ve aquí. Halle el volumen común a dos esferas de radio r con centros que tienen 2 h de separación, como se muestra aquí. π 12 ( r + h ) 2 ( 6 r − h ) unidades 3 Halle el volumen de un casquete esférico de altura h y radio r donde h < r , como se ve aquí. Halle el volumen de una esfera de radio R con un casquete de altura h retirado de la parte superior, como se ve aquí. π 3 ( h + R ) ( h − 2 R ) 2 unidades 3 sección transversal la intersección de un plano y un objeto sólido método de los discos caso especial del método de las rebanadas utilizado con sólidos de revolución cuando los cortes son discos método de las rebanadas método de cálculo del volumen de un sólido que consiste en cortarlo en rebanadas, calcular el volumen de cada una y luego sumar los volúmenes para obtener un estimado del volumen total; a medida que el número de rebanadas llega al infinito, esta estimación se convierte en una integral que da el valor exacto del volumen sólido de revolución sólido generado al girar una región en un plano alrededor de una línea en ese plano método de las arandelas caso especial del método de las rebanadas que se utiliza con sólidos de revolución cuando los cortes son arandelas", "section": "Determinar los volúmenes mediante el corte", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Volúmenes de revolución: capas cilíndricas En esta sección, examinaremos el método de las capas cilíndricas, el último método para hallar el volumen de un sólido de revolución. Podemos utilizar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos del disco y de las arandelas, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de las capas cilíndricas, integramos el eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La posibilidad de elegir qué variable de integración utilizaremos puede ser una ventaja importante con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido, a veces, hace que el método de las capas cilíndricas sea más atractivo de usar que el método de las arandelas. En la última parte de esta sección, repasaremos todos los métodos para hallar el volumen que hemos estudiado y establecemos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método debe utilizar en una situación determinada. El método de las capas cilíndricas De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R , delimitada por encima del gráfico de una función y = f ( x ) , abajo por el eje x −eje, y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la (a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y , como se muestra en la (b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de x giraban en torno al eje x o a una línea paralela a él. (a) Región delimitada por el gráfico de una función de x . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del y . Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo [ a , b ] utilizando una partición normal, P = { x 0 , x 1 ,… , x n } y, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo [ x i − 1 , x i ] de altura f ( x i * ) y la anchura Δ x . En la (a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y , en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura. (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del y , el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original. Para calcular el volumen de esta capa, considere la . Calcular el volumen de la capa. La capa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anulares (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior x i y radio interior x i − 1 . Por lo tanto, el área de la sección transversal es π x i 2 − π x i − 1 2 . La altura del cilindro es f ( x i * ) . Entonces el volumen de la capa es V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Tenga en cuenta que x i − x i − 1 = Δ x , por lo que tenemos V capa = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) Δ x . Además, x i + x i − 1 2 es a la vez el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y el radio medio de la capa, y podemos aproximar esto por x i * . Entonces tenemos V capa ≈ 2 π f ( x i * ) x i * Δ x . Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana ( ). (a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana. En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura f ( x i * ) , anchura 2 π x i * , y espesor Δ x ( ). El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos V capa ≈ f ( x i * ) ( 2 π x i * ) Δ x , que es la misma fórmula que teníamos antes. Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos V ≈ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) . Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 π x f ( x ) . Tomando el límite como n → ∞ nos da V = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas. Regla: el método de las capas cilíndricas Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R en torno al eje y viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Veamos un ejemplo. El método de las capas cilíndricas 1 Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 1 / x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primero debemos graficar la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 1 3 ( 2 π x ( 1 x ) ) d x = ∫ 1 3 2 π d x = 2 π x | 1 3 = 4 π al cuadrado 3 . Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 15 π 2 unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de las capas cilíndricas 2 Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primer gráfico de la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . b) El volumen de revolución obtenido al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 0 2 ( 2 π x ( 2 x – x 2 ) ) d x = 2 π ∫ 0 2 ( 2 x 2 − x 3 ) d x = 2 π [ 2 x 3 3 − x 4 4 ] | 0 2 = 8 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 3 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 8 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . Al igual que con el método de los discos y el de las arandelas, también podemos aplicar el método de las capas cilíndricas a los sólidos de revolución que resultan, que giran alrededor del eje x , cuando queremos integrar con respecto a y . La regla análoga para este tipo de sólido se da aquí. Regla: método de las capas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x viene dada por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y . Método de las capas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 2 y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 0 , 4 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje de la x . En primer lugar, debemos graficar la región Q y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región Q a la izquierda de la función g ( y ) en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar Q alrededor del eje x . Rotule la región sombreada Q . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y = ∫ 0 4 ( 2 π y ( 2 y ) ) d y = 4 π ∫ 0 4 y 3 / 2 d y = 4 π [ 2 y 5 / 2 5 ] | 0 4 = 256 π 5 al cuadrado 3 . Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 3 / y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x . 12 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución para el que el gráfico de una función gira en torno a una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Para ello, es necesario volver a examinar el desarrollo del método de las capas cilíndricas. Recordemos que el volumen de una de las capas viene dado por V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Esto se basó en una capa con un radio exterior de x i y un radio interior de x i − 1 . Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje y , tenemos un radio exterior e interior diferente. Supongamos, por ejemplo, que giramos la región alrededor de la línea x = − k , donde k es alguna constante positiva. Entonces, el radio exterior de la capa es x i + k y el radio interior es x i − 1 + k . Sustituyendo estos términos en la expresión del volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea x = − k , el volumen de una capa viene dado por V capa = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + k ) + ( x i − 1 + k ) 2 ) ( ( x i + k ) − ( x i − 1 + k ) ) = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + x i − 2 2 ) + k ) Δ x . Como antes, observamos que x i + x i − 1 2 es el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y puede ser aproximado por x i * . Entonces, el volumen aproximado de la capa es V capa ≈ 2 π ( x i * + k ) f ( x i * ) Δ x . El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que V = ∫ a b ( 2 π ( x + k ) f ( x ) ) d x . También podríamos girar la región alrededor de otras rectas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. En concreto, el término x en la integral debe sustituirse por una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona, analice el siguiente ejemplo. Región de revolución que gira en torno a una línea Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = −1 . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y la intersección en eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor de la línea x = −1 . Observe que el radio de una capa viene dado por x + 1 . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) f ( x ) ) d x = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) x ) d x = 2 π ∫ 1 2 ( x 2 + x ) d x = 2 π [ x 3 3 + x 2 2 ] | 1 2 = 23 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = –2 . 11 π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En nuestro último ejemplo en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el que la región de revolución está limitada por los gráficos de dos funciones. Región de revolución limitada por los gráficos de dos funciones Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el volumen del sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y el gráfico de g ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Observe que el eje de revolución es el eje y , por lo que el radio de una capa viene dado simplemente por x . No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de una capa viene dada por f ( x ) − g ( x ) , por lo que en este caso tenemos que ajustar el término f ( x ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 4 ( 2 π x ( f ( x ) − g ( x ) ) ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x ( x – 1 x ) ) d x = 2 π ∫ 1 4 ( x 3 / 2 – 1 ) d x = 2 π [ 2 x 5 / 2 5 − x ] | 1 4 = 94 π 5 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . ¿Qué método debemos utilizar? Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje x . Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje y . Veamos un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos. Selección del mejor método Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establezca la integral para encontrar el volumen (no evaluar la integral). La región delimitada por los gráficos de y = x , y = 2 − x , y la intersección en x . La región delimitada por los gráficos de y = 4 x – x 2 y el eje x . En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R delimitado por dos rectas y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . Al observar la región, si queremos integrar con respecto a x , tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región en [ 0 , 1 ] y [ 1 , 2 ] . En este caso, utilizando el método de los discos, tendríamos V = ∫ 0 1 ( π x 2 ) d x + ∫ 1 2 ( π ( 2 − x ) 2 ) d x . Si en vez de ello utilizáramos el método de las capas, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo V = ∫ 0 1 ( 2 π y [ ( 2 − y ) − y ] ) d y = ∫ 0 1 ( 2 π y [ 2 − 2 y ] ) d y . Ninguna de estas integrales es particularmente compleja, pero como el método de las capas requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, es probable que en este caso utilicemos el método de las capas. En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R entre la curva y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . AL observar la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por lo tanto, podemos descartar el método de las capas. El sólido no tiene ninguna cavidad en el centro, por lo que podemos utilizar el método de los discos. Entonces V = ∫ 0 4 π ( 4 x – x 2 ) 2 d x . Seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establecer la integral para hallar el volumen (no evaluar la integral): la región limitada por los gráficos de y = 2 − x 2 y y = x 2 . Utilice el método de las arandelas; V = ∫ –1 1 π [ ( 2 − x 2 ) 2 − ( x 2 ) 2 ] d x Pista Dibuje la región y utilice la para decidir cuál es la integral más fácil de evaluar. Conceptos clave El método de las capas cilíndricas es otro método para utilizar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. En ocasiones este método es preferible al de los discos o al de las arandelas porque integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es bastante más complicada que la otra. La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores para decidir qué método de integración utilizaremos. Ecuaciones clave Método de las capas cilíndricas V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de las capas como el de las arandelas. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar un corte típico a mano. [T] Limitado por las curvas y = 3 x , x = 0 , y y = 3 girado alrededor del eje y . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del eje y . 54 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y y = 3 girado alrededor del x . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del x . 81 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del x . 512 π 7 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para calcular el volumen de los sólidos dados. Observe que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje x y se giran alrededor del eje y . y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , y x = 1 2 π unidades 3 y = 1 x , x = 1 , y x = 100 y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 π 3 unidades 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , y x = 3 y = sen x 2 , x = 0 , y x = π 2 π unidades 3 y = 1 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 y = x , x = 0 , y x = 1 4 π 5 unidades 3 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , y x = 2 64 π 3 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para hallar el volumen generado por la rotación de las regiones entre la curva dada y y = 0 alrededor del eje x . y = 1 − x 2 , x = 0 , x = 1 y el eje x y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x 32 π 5 unidades 3 y = x 3 2 , x = 0 , x = 2 , y el eje x y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 , y el eje x 7 π 6 x = 1 1 + y 2 , y = 1 , y y = 4 x = 1 + y 2 y , y = 1 , y = 4 , y el eje y 48 π x = cos y , y = 0 , y y = π x = y 3 – 2 y 2 , x = 0 , x = 9 , y el eje y 114 π 5 x = y + 1 , x = 1 , x = 3 , y el eje x x = 27 y 3 y x = 3 y 4 512 π 7 En los siguientes ejercicios calcule el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado. y = 3 − x , y = 0 , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . y = x 3 , x = 0 , y y = 8 girado alrededor del y . 96 π 5 unidades 3 y = x 2 , y = x , girado alrededor del y . y = x , y = 0 , y x = 1 girado alrededor de la línea x = 2 . 28 π 15 unidades 3 y = 1 4 − x , x = 1 , x = 2 y y = 0 girado alrededor de la línea x = 4 . y = x y y = x 2 girado alrededor del y . 3 π 10 unidades 3 y = x y y = x 2 girado alrededor de la línea x = 2 . x = y 3 , x = 1 y , x = 1 , y x = 2 girado alrededor del x . π 6 . 2 2 / 3 5 – 11 10 = π 10 12 . 2 2 / 3 – 11 ≈ 2 . 5286 unidades 3 x = y 2 y y = x girado alrededor de la línea y = 2 . [T] A la izquierda de x = sen ( π y ) , derecha de y = x , alrededor del eje y . 0,9876 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen que se genera cuando la función gira alrededor del eje especificado. A continuación, utilice el método que haya elegido para hallar el volumen. [T] y = x 2 y y = 4 x girado alrededor del y . [T] y = cos ( π x ) , y = sen ( π x ) , x = 1 4 , y x = 5 4 girado alrededor del y . Este ejercicio requiere una técnica avanzada. Puede utilizar la tecnología para realizar la integración. 3 2 unidades 3 [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del y . [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del x . 496 π 15 unidades 3 [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del x . [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del y . 398 π 15 unidades 3 [T] x = sen ( π y 2 ) y x = 2 y girado alrededor del x . [T] x = y 2 , x = y 2 − 2 y + 1 , y x = 2 girado alrededor del y . 15,9074 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice el método de las capas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que están representados en las figuras adjuntas. Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una esfera de radio r . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cono de radio r y altura h . 1 3 π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un elipsoide ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 girado alrededor del x . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cilindro de radio r y altura h . π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una rosquilla que se crea cuando el círculo x 2 + y 2 = 4 se gira alrededor de la línea x = 4 . Consideremos la región delimitada por los gráficos de y = f ( x ) , y = 1 + f ( x ) , x = 0 , y = 0 , y x = a > 0 . ¿Cuál es el volumen del sólido que se genera cuando esta región gira alrededor del eje y ? Supongamos que la función se define en el intervalo [ 0 , a ] . π a 2 unidades 3 Considere la función y = f ( x ) , que disminuye de f ( 0 ) = b al f ( 1 ) = 0 . Establezca las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método de las capas como el de los discos, del sólido generado cuando esta región, con x = 0 y y = 0 , se gira alrededor del y . Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? ( Pista: Dado que f ( x ) es biunívoca, existe un inverso f −1 ( y ) . ) método de las capas cilíndricas método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiéndolo en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de los discos o de las arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta", "section": "Volúmenes de revolución: capas cilíndricas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Longitud del arco de una curva y superficie En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, querremos saber qué distancia recorre el cohete. O si una curva en un mapa representa una carretera, desearíamos saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino. Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de x , luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de y . (El proceso es idéntico, invirtiendo los roles de x como y ). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden ampliarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto. Longitud de arco de la curva y = f ( x ) En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función f ( x ) fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para f ( x ) . En este caso, necesitamos que f ( x ) sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, f ′ ( x ) , sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves . (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores). Supongamos que f ( x ) es una función suave definida sobre [ a , b ] . Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) . Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible. La representa esta construcción para n = 5 . Podemos aproximar la longitud de una curva añadiendo segmentos de línea. Para ayudarnos a encontrar la longitud de cada segmento de línea, debemos observar el cambio en la distancia vertical así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como utilizamos una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δ x . Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que utilizamos Δ y i = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) para representar el cambio de la distancia vertical en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , como se muestra en la . Tenga en cuenta que algunos (o todos) Δ y i pueden ser negativos. Un segmento de línea representativo aproxima la curva en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de línea es ( Δ x ) 2 + ( Δ y i ) 2 . También podemos escribirlo como Δ x 1 + ( ( Δ y i ) / ( Δ x ) ) 2 . Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / ( Δ x ) . Entonces la longitud del segmento de línea viene dada por Δ x 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 . Sumando las longitudes de todos los segmentos de la línea, obtenemos Longitud de arco ≈ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , tenemos Longitud de arco = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Longitud de arco para y = f ( x ) Supongamos que f ( x ) una función suave en el intervalo [ a , b ] . Entonces la longitud de arco de la porción del gráfico de f ( x ) desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) está dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Note que estamos integrando una expresión que implica f ′ ( x ) , así que tenemos que estar seguros de que f ′ ( x ) es integrable. Por eso necesitamos que f ( x ) sea suave. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema. Cálculo de la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = 2 x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. Tenemos f ′ ( x ) = 3 x 1 / 2 , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 9 x . Entonces, la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 1 + 9 x d x . Sustituya u = 1 + 9 x . Entonces, d u = 9 d x . Cuando x = 0 , entonces u = 1 , y cuando x = 1 , entonces u = 10 . Por lo tanto, Longitud de arco = ∫ 0 1 1 + 9 x d x = 1 9 ∫ 0 1 1 + 9 x 9 d x = 1 9 ∫ 1 10 u d u = 1 9 . 2 3 u 3 / 2 | 1 10 = 2 27 [ 10 10 − 1 ] ≈ 2,268 al cuadrado . Supongamos que f ( x ) = ( 4 / 3 ) x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. 1 6 ( 5 5 − 1 ) ≈ 1,697 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. No olvide cambiar los límites de la integración. Aunque es bueno tener una fórmula para calcular la longitud de arco, este teorema en particular puede generar expresiones difíciles de integrar. En Introducción a técnicas de integración estudiamos algunas técnicas de integración. En algunos casos, es posible que tengamos que utilizar una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Utilizar una computadora o una calculadora para determinar la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = x 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 1 , 3 ] . Tenemos f ′ ( x ) = 2 x , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 4 x 2 . Entonces la longitud de arco viene dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x ≈ 8,26815 . Supongamos que f ( x ) = sen x . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , π ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco ≈ 3,8202 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Longitud de arco de la curva x = g ( y ) Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de y , podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje y en lugar del eje x . La muestra un segmento de línea representativo. Un segmento de línea representativo en el intervalo [ y i − 1 , y i ] . Entonces la longitud del segmento de línea es ( Δ y ) 2 + ( Δ x i ) 2 , que también puede escribirse como Δ y 1 + ( ( Δ x i ) / ( Δ y ) ) 2 . Si ahora seguimos el mismo desarrollo anterior, obtenemos una fórmula para la longitud de arco de una función x = g ( y ) . Longitud de arco para x = g ( y ) Supongamos que g ( y ) es una función suave sobre un y intervalo [ c , d ] . Entonces, la longitud de arco del gráfico de g ( y ) desde el punto ( g ( d ) , d ) al punto ( g ( c ) , c ) está dada por Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y . Cálculo de la longitud de arco de una función de y Supongamos que g ( y ) = 3 y 3 . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 2 ] . Tenemos g ′ ( y ) = 9 y 2 , por lo que [ g ′ ( y ) ] 2 = 81 y 4 . Entonces la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y = ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y ≈ 21,0277 . Supongamos que g ( y ) = 1 / y . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco = 3,15018 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Área de una superficie de revolución Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de y = f ( x ) alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura. (a) Una curva que representa la función f ( x ) . b) La superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Como ya hemos hecho muchas veces, vamos a dividir el intervalo [ a , b ] y aproximar el área superficial calculando la superficie de formas más simples. Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la curva, como hicimos anteriormente en esta sección. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Ahora, gire estos segmentos de línea alrededor del eje x para generar una aproximación de la superficie de revolución como se muestra en la siguiente figura. (a) Aproximación de f ( x ) con segmentos de línea. (b) Superficie de revolución formada al girar los segmentos de línea alrededor del eje x . Observe que, cuando cada segmento de línea gira alrededor del eje, produce una banda. Estas bandas son en realidad trozos de conos (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). Un trozo de cono como este se denomina tronco de cono. Para encontrar el área superficial de la banda, necesitamos encontrar el área superficial lateral, S , del tronco (solo el área de la superficie exterior inclinada del tronco, sin incluir las áreas de las caras superiores o inferiores). Supongamos que r 1 y r 2 son los radios del extremo ancho y del extremo estrecho del tronco respectivamente, y que l es la altura oblicua del tronco como se muestra en la siguiente figura. El tronco de un cono puede aproximarse a una pequeña parte del área superficial. Sabemos que el área superficial lateral de un cono viene dada por Área superficial lateral = π r s , donde r es el radio de la base del cono y s es la altura de la inclinación (vea la siguiente figura). El área superficial lateral del cono viene dada por π r s . Dado que un tronco puede considerarse como un trozo de cono, el área superficial lateral del tronco viene dada por el área superficial lateral del cono entero menos el área superficial lateral del cono más pequeño (la punta) que se cortó (vea la siguiente figura). Cálculo del área superficial lateral del tronco de un cono. Las secciones transversales del cono pequeño y del grande son triángulos similares, por lo que vemos que r 2 r 1 = s − l s . Al resolver para s , obtenemos r 2 r 1 = s − l s r 2 s = r 1 ( s − l ) r 2 s = r 1 s − r 1 l r 1 l = r 1 s − r 2 s r 1 l = ( r 1 − r 2 ) s r 1 l r 1 − r 2 = s . Entonces el área superficial lateral (SA) del tronco es S = (SA lateral del cono grande) − (SA lateral del cono pequeño) = π r 1 s − π r 2 ( s − l ) = π r 1 ( r 1 l r 1 − r 2 ) − π r 2 ( r 1 l r 1 − r 2 − l ) = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l ( r 1 − r 2 ) r 1 − r 2 = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 1 r 2 l r 1 − r 2 − π r 2 2 l r 1 − r 2 = π ( r 1 2 – r 2 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 − r 2 ) ( r 1 + r 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 + r 2 ) l . Utilicemos ahora esta fórmula para calcular el área superficial de cada una de las bandas que se forman al girar los segmentos de la línea alrededor del eje x . En la siguiente figura se muestra una banda representativa. Banda representativa utilizada para determinar el área superficial. Observe que la altura oblicua de este tronco es solo la longitud del segmento de línea que se usa para generarlo. Así, aplicando la fórmula del área superficial, tenemos S = π ( r 1 + r 2 ) l = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 2 + ( Δ y i ) 2 = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( Δ y i Δ x ) 2 . Ahora, como hicimos en el desarrollo de la fórmula de la longitud de arco, aplicamos el teorema del valor medio para seleccionar x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / Δ x . Esto nos da S = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Además, como f ( x ) es continua, por el teorema del valor intermedio, hay un punto x i * * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ( x i * * ) = ( 1 / 2 ) [ f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ] , por lo que obtenemos S = 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Entonces el área superficial aproximada de toda la superficie de revolución viene dada por Superficie ≈ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Esto casi parece una suma de Riemann, excepto que tenemos funciones evaluadas en dos puntos diferentes, x i * y x i * * , en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Aunque no examinamos los detalles aquí, resulta que ya que f ( x ) es suave, si suponemos que n → ∞ , el límite funciona igual que una suma de Riemann incluso con los dos puntos de evaluación diferentes. De manera intuitiva, esto tiene sentido. Tanto x i * y x i * * están en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , por lo que tiene sentido que, cuando n → ∞ , ambos x i * y x i * * se acercan a x . Si le interesan los detalles debe consultar un texto de cálculo avanzado. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos Superficie = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Al igual que con la longitud de arco, podemos realizar un desarrollo similar para las funciones de y a fin de obtener una fórmula del área superficial de las superficies de revolución alrededor del y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Área superficial de una superficie de revolución Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x viene dada por Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Del mismo modo, supongamos que g ( y ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ c , d ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y viene dada por Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y . Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 1 Supongamos que f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. El gráfico de f ( x ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de f ( x ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos f ( x ) = x . Entonces, f ′ ( x ) = 1 / ( 2 x ) y ( f ′ ( x ) ) 2 = 1 / ( 4 x ) . Entonces, Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x 1 + 1 4 x ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x . Supongamos que u = x + 1 / 4 . Entonces, d u = d x . Cuando x = 1 , u = 5 / 4 , y cuando x = 4 , u = 17 / 4 . Esto nos da ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x = ∫ 5 / 4 17 / 4 2 π u d u = 2 π [ 2 3 u 3 / 2 ] | 5 / 4 17 / 4 = π 6 [ 17 17 − 5 5 ] ≈ 30,846. Supongamos que f ( x ) = 1 − x en el intervalo [ 0 , 1 / 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. π 6 ( 5 5 − 3 3 ) ≈ 3,133 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 2 Supongamos que f ( x ) = y = 3 x 3 . Considere la parte de la curva donde 0 ≤ y ≤ 2 . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje y . Observe que estamos girando la curva alrededor del eje y , y el intervalo está en términos de y , por lo que queremos reescribir la función como una función de y . Obtenemos x = g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 . La gráfica de g ( y ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de g ( y ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 , por lo que g ′ ( y ) = y 2 y ( g ′ ( y ) ) 2 = y 4 . Entonces Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y = ∫ 0 2 ( 2 π ( 1 3 y 3 ) 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y . Supongamos que u = y 4 + 1 . Entonces d u = 4 y 3 d y . Cuando y = 0 , u = 1 , y cuando y = 2 , u = 17 . Entonces 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 1 17 1 4 u d u = π 6 [ 2 3 u 3 / 2 ] | 1 17 = π 9 [ ( 17 ) 3 / 2 – 1 ] ≈ 24,118. Supongamos que g ( y ) = 9 − y 2 en el intervalo y ∈ [ 0 , 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y . 12 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave La longitud de arco de una curva se puede calcular mediante una integral definida. La longitud de arco se aproxima primero mediante segmentos de línea, lo que genera una suma de Riemann. Tomando un límite nos da la fórmula de la integral definida. El mismo proceso puede aplicarse a las funciones de y . Los conceptos utilizados para calcular la longitud de arco pueden generalizarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. Las integrales generadas por las fórmulas de longitud de arco y área superficial suelen ser difíciles de evaluar. Puede ser necesario utilizar una computadora o una calculadora para aproximar los valores de las integrales. Ecuaciones clave Longitud de arco de una función de x Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x Longitud de arco de una función de y Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y Superficie de una función de x Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x En los siguientes ejercicios, halle la longitud de las funciones en el intervalo dado. y = 5 x de x = 0 a x = 2 2 26 y = − 1 2 x + 25 de x = 1 para x = 4 x = 4 y de y = −1 para y = 1 2 17 Elija una función lineal arbitraria x = g ( y ) en cualquier intervalo de su elección ( y 1 , y 2 ) . Determine la longitud de la función y luego demuestre que la longitud es correcta utilizando la geometría. Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x gira en torno a eje x a partir de ( 1 , 1 ) al ( 4 , 2 ) , como se ve aquí. π 6 ( 17 17 − 5 5 ) Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x 2 gira en torno a y a partir de ( 1 , 1 ) al ( 3 , 9 ) . Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de x en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = x 3 / 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) grandes. 13 13 − 8 27 y = x 2 / 3 a partir de ( 1 , 1 ) para ( 8 , 4 ) grandes. y = 1 3 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 1 4 3 y = 1 3 ( x 2 − 2 ) 3 / 2 de x = 2 hasta x = 4 [T] y = e x sobre x = 0 hasta x = 1 2,0035 y = x 3 3 + 1 4 x de x = 1 para x = 3 y = x 4 4 + 1 8 x 2 de x = 1 para x = 2 123 32 y = 2 x 3 / 2 3 − x 1 / 2 2 de x = 1 para x = 4 y = 1 27 ( 9 x 2 + 6 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 2 10 [T] y = sen x sobre x = 0 a x = π Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de y en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = 5 − 3 x 4 a partir de y = 0 al y = 4 20 3 x = 1 2 ( e y + e − y ) a partir de y = −1 para y = 1 x = 5 y 3 / 2 a partir de y = 0 al y = 1 1 675 ( 229 229 − 8 ) [T] x = y 2 a partir de y = 0 al y = 1 x = y a partir de y = 0 para y = 1 1 8 ( 4 5 + ln ( 9 + 4 5 ) ) grandes. x = 2 3 ( y 2 + 1 ) 3 / 2 a partir de y = 1 hasta y = 3 [T] x = tan y a partir de y = 0 al y = 3 4 1,201 [T] x = cos 2 y a partir de y = − π 2 al y = π 2 [T] x = 4 y a partir de y = 0 para y = 2 15,2341 [T] x = ln ( y ) sobre y = 1 e al y = e Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del eje x . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x de x = 2 hasta x = 6 49 π 3 y = x 3 a partir de x = 0 hasta x = 1 y = 7 x de x = −1 para x = 1 70 π 2 [T] y = 1 x 2 de x = 1 para x = 3 y = 4 − x 2 de x = 0 a x = 2 8 π y = 4 − x 2 de x = −1 para x = 1 y = 5 x de x = 1 para x = 5 120 π 26 [T] y = tan x de x = − π 4 para x = π 4 Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del y . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x 2 de x = 0 a x = 2 π 6 ( 17 17 − 1 ) grandes. y = 1 2 x 2 + 1 2 de x = 0 a x = 1 y = x + 1 a partir de x = 0 a x = 3 9 2 π [T] y = 1 x de x = 1 2 hasta x = 1 y = x 3 a partir de x = 1 para x = 27 10 10 π 27 ( 73 73 − 1 ) [T] y = 3 x 4 a partir de x = 0 hasta x = 1 [T] y = 1 x de x = 1 a x = 3 25,645 [T] y = cos x de x = 0 hasta x = π 2 La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo y = 2 x – x 2 alrededor del eje y a partir de x = 1 a x = 2 , como se ve aquí. Cree una integral para la superficie de esta curva y calcúlela. π ( π + 2 ) Una bombilla es una esfera con un radio de 1 / 2 in con la parte inferior cortada para que encaje exactamente en un cilindro con un radio de 1 / 4 in y longitud 1 / 3 in, como se ve aquí. La esfera se corta por la parte inferior para que encaje exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte es de 1 / 4 pulgadas Halle el área superficial (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro). [T] Una pantalla se construye al girar y = 1 / x alrededor del eje x a partir de y = 1 hasta y = 2 , como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitará para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área superficial, con una precisión de cuatro decimales. 10,5017 [T] Un ancla se arrastra detrás de un barco según la función y = 24 e – x / 2 − 24 , donde y representa la profundidad bajo el barco y x es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera del barco. Si el ancla está a 23 ft por debajo del barco, ¿cuánta cuerda hay que tirar para alcanzar el ancla? Redondee su respuesta a tres decimales. [T] Está construyendo un puente que abarcará 10 pies. Tiene la intención de añadir una cuerda decorativa en forma de y = 5 | sen ( ( x π ) / 5 ) | , donde x es la distancia en pies desde un extremo del puente. Averigüe cuánta cuerda necesita comprar, redondeada al pie más cercano. 23 pies En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco exacta para los siguientes problemas sobre el intervalo dado. y = ln ( sen x ) de x = π / 4 al x = ( 3 π ) / 4 . ( Pista: Recuerde las identidades trigonométricas). Dibuje gráficos de y = x 2 , y = x 6 , y y = x 10 . Para y = x n , cuando n aumenta, formule una predicción sobre la longitud del arco a partir de ( 0 , 0 ) al ( 1 , 1 ) . Ahora, calcule las longitudes de estas tres funciones y determine si su predicción es correcta. 2 Compare las longitudes de la parábola x = y 2 y la línea x = b y a partir de ( 0 , 0 ) para ( b 2 , b ) cuando b aumenta. ¿Qué observa? Resuelva la longitud de x = y 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) . Demuestre que x = ( 1 / 2 ) y 2 a partir de ( 0 , 0 ) al ( 2 , 2 ) es el doble de largo. Grafique ambas funciones y explique por qué es así. Las respuestas pueden variar [T] Qué es más largo entre ( 1 , 1 ) y ( 2 , 1 / 2 ) : la hipérbola y = 1 / x o el gráfico de x + 2 y = 3 ? Explique por qué el área de superficie es infinita cuando y = 1 / x se gira alrededor del eje x por 1 ≤ x < ∞ , pero el volumen es finito. Para más información, busque el cuerno de Gabriel. longitud del arco la longitud del arco de una curva puede considerarse como la distancia que recorrería una persona a lo largo de la trayectoria de la curva tronco porción de un cono; se construye cortando el cono con un plano paralelo a la base área superficial el área superficial de un sólido es el área total de la capa exterior del objeto; en objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras", "section": "Longitud del arco de una curva y superficie", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Aplicaciones físicas En esta sección, examinaremos algunas aplicaciones físicas de la integración. Comenzaremos dándole un vistazo al cálculo de la masa a partir de una función de densidad. A continuación, nos centraremos en el trabajo y cerraremos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática. Masa y Densidad Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje x −eje, con el extremo izquierdo de la varilla en x = a y el extremo derecho en x = b ( ). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional. Podemos calcular la masa de una varilla delgada orientada a lo largo del eje x integrando su función de densidad. Si la varilla tiene una densidad constante ρ , dada en términos de masa por unidad de longitud, entonces la masa de la varilla es solo el producto de la densidad y la longitud de la varilla: ( b – a ) ρ . Sin embargo, si la densidad de la varilla no es constante, el problema se vuelve un poco más difícil. Cuando la densidad de la varilla varía de un punto a otro, utilizamos una función de densidad lineal, ρ ( x ) , para denotar la densidad de la varilla en cualquier punto, x . Supongamos que ρ ( x ) es una función de densidad lineal integrable. Ahora, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra un segmento representativo de la varilla. Un segmento representativo de la varilla. La masa m i del segmento de la varilla de x i − 1 a x i se aproxima por m i ≈ ρ ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de todos los segmentos obtenemos una aproximación a la masa de toda la varilla: m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos una expresión de la masa exacta de la varilla: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x = ∫ a b ρ ( x ) d x . Enunciamos este resultado en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto unidimensional Dada una varilla delgada orientada a lo largo del eje x en el intervalo [ a , b ] , supongamos que ρ ( x ) denota una función de densidad lineal que da la densidad de la varilla en un punto x del intervalo. Entonces la masa de la varilla viene dada por m = ∫ a b ρ ( x ) d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Cálculo de la masa a partir de la densidad lineal Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ π / 2 , π ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = sen x , ¿cuál es la masa de la varilla? Aplicando directamente la , tenemos m = ∫ a b ρ ( x ) d x = ∫ π / 2 π sen x d x = − cos x | π / 2 π = 1 . Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ 1 , 3 ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = 2 x 2 + 3 , ¿cuál es la masa de la varilla? 70 / 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Ahora extendemos este concepto para hallar la masa de un disco bidimensional de radio r . Al igual que con la varilla del caso unidimensional, aquí suponemos que el disco es lo suficientemente fino como para que, a efectos matemáticos, podamos tratarlo como un objeto bidimensional. Suponemos que la densidad está dada en términos de masa por unidad de superficie (denominada densidad de área ), y además que la densidad varía solo a lo largo del radio del disco (denominada densidad radial ). Orientamos el disco en el x y , con el centro en el origen. Entonces, la densidad del disco puede ser tratada como una función de x , denotado ρ ( x ) . Suponemos que ρ ( x ) es integrable. Como la densidad es una función de x , dividimos el intervalo desde [ 0 , r ] a lo largo del eje x . Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , r ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Ahora, utilice la división para dividir el disco en arandelas finas (bidimensionales). En la siguiente figura se muestra un disco y una arandela representativa. (a) Un disco fino en el plano xy . (b) Una arandela representativa. Ahora aproximamos la densidad y el área de la arandela para calcular una masa aproximada, m i . Observe que el área de la arandela viene dada por A i = π ( x i ) 2 − π ( x i − 1 ) 2 = π [ x i 2 − x i − 1 2 ] = π ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = π ( x i + x i − 1 ) Δ x . Es posible que recuerde que teníamos una expresión similar a esta cuando calculábamos los volúmenes por capas. Como hicimos allí, utilizamos x i * ≈ ( x i + x i − 1 ) / 2 para aproximar al radio medio de la arandela. Obtenemos A i = π ( x i + x i − 1 ) Δ x ≈ 2 π x i * Δ x . Utilizando ρ ( x i * ) para aproximar la densidad de la arandela, aproximamos la masa de la misma mediante m i ≈ 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de las arandelas, vemos que la masa m de todo el disco se aproxima por m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . De nuevo reconocemos que se trata de una suma de Riemann, y tomamos el límite como n → ∞ . Esto nos da m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto circular Supongamos que ρ ( x ) es una función integrable que representa la densidad radial de un disco de radio r . Entonces la masa del disco viene dada por m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Cálculo de la masa a partir de la densidad radial Supongamos que ρ ( x ) = x representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 4. Aplicando la fórmula, hallamos m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x = ∫ 0 4 2 π x x d x = 2 π ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 π 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 4 π 5 [ 32 ] = 128 π 5 . Supongamos que ρ ( x ) = 3 x + 2 representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 2. 24 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Trabajo realizado por una fuerza Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia. En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra y la unidad de distancia es el pie, por lo que el trabajo se da en pies-libra. En el sistema métrico se utilizan los kilogramos y los metros. Un newton es la fuerza necesaria para acelerar 1 kilogramo de masa a una tasa de 1 m/s 2 . Así, la unidad de trabajo más común es el newton-metro. Esta misma unidad también se denomina joule . Ambos se definen como kilogramos por metros al cuadrado sobre segundos al cuadrado ( kg . m 2 / s 2 ) . Cuando tenemos una fuerza constante, las cosas son bastante fáciles. Sin embargo, es raro que una fuerza sea constante. El trabajo realizado para comprimir (o alargar) un resorte, por ejemplo, varía en función de cuánto se lo haya comprimido o estirado. Más adelante, en esta misma sección, se analizan los resortes con más detalle. Supongamos que tenemos una fuerza variable F ( x ) que mueve un objeto en dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a al punto b . Para calcular el trabajo realizado, dividimos el intervalo [ a , b ] y estimamos el trabajo realizado en cada subintervalo. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde un punto x i − 1 al punto x i , suponemos que la fuerza es aproximadamente constante en el intervalo, y utilizamos F ( x i * ) para aproximar la fuerza. El trabajo realizado en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , entonces, viene dado por W i ≈ F ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = F ( x i * ) Δ x . Por lo tanto, el trabajo realizado en el intervalo [ a , b ] es aproximadamente W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x . Tomando el límite de esta expresión como n → ∞ nos da el valor exacto del trabajo: W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x = ∫ a b F ( x ) d x . Así, podemos definir el trabajo de la siguiente manera. Definición Si una fuerza variable F ( x ) mueve un objeto en una dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a hasta el punto b , entonces el trabajo realizado sobre el objeto es W = ∫ a b F ( x ) d x . Note que si F es constante, la integral se evalúa como F . ( b – a ) = F . d , que es la fórmula que indicamos al principio de esta sección. Veamos ahora el ejemplo concreto del trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte. Consideremos un bloque unido a un resorte horizontal. El bloque se mueve hacia adelante y hacia atrás cuando el resorte se estira y se comprime. Aunque en el mundo real tendríamos que tener en cuenta la fuerza de fricción entre el bloque y la superficie sobre la que se apoya, aquí ignoramos la fricción y suponemos que el bloque está apoyado sobre una superficie sin fricción. Cuando el resorte está en su longitud natural (en reposo), se dice que el sistema está en equilibrio. En este estado, el resorte no se alarga ni se comprime, y en esta posición de equilibrio el bloque no se mueve hasta que se introduce alguna fuerza. Orientamos el sistema de forma que x = 0 corresponde a la posición de equilibrio (vea la siguiente figura). Un bloque unido a un resorte horizontal en equilibrio, comprimido y alargado. Según la ley de Hooke , la fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte desde una posición de equilibrio viene dada por F ( x ) = k x , para alguna constante k . El valor de k depende de las características físicas del resorte. La constante k se denomina constante del resorte y siempre es positiva. Podemos utilizar esta información para calcular el trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte, como se muestra en el siguiente ejemplo. El trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte Supongamos que se necesita una fuerza de 10 N (en sentido negativo) para comprimir un resorte 0,2 m de la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 0,5 m de la posición de equilibrio? Primero halle la constante del resorte, k . Cuando x = −0,2 , sabemos que F ( x ) = −10 , así que F ( x ) = k x − 10 = k ( −0,2 ) k = 50 y F ( x ) = 50 x . Entonces, para calcular el trabajo, integramos la función de fuerza, obteniendo W = ∫ a b F ( x ) d x = ∫ 0 0,5 5 0 x d x = 25 x 2 | 0 0,5 = 6,25 . El trabajo realizado para estirar el resorte es 6,25 J. Supongamos que se necesita una fuerza de 8 lb para estirar un resorte de 6 pulgadas desde la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 1 pies de la posición de equilibrio? 8 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Sea cuidadoso con las unidades. Trabajo realizado en el bombeo Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque. Examinamos el proceso en el contexto de un tanque cilíndrico, y luego vemos un par de ejemplos utilizando tanques de diferentes formas. Supongamos un depósito cilíndrico de un radio de 4 m y de 10 m de altura se llena hasta una profundidad de 8 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua sobre el borde superior del tanque? Lo primero que tenemos que hacer es definir un marco de referencia. Supongamos que x representa la distancia vertical por debajo de la parte superior del tanque. Es decir, orientamos el eje x verticalmente, con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo que es positiva (ver la siguiente figura). ¿Cuánto trabajo se necesita para vaciar un depósito parcialmente lleno de agua? Utilizando este sistema de coordenadas, el agua se extiende desde x = 2 hasta x = 10 . Por lo tanto, dividimos el intervalo [ 2 , 1 0 ] y observamos el trabajo necesario para levantar cada \"capa\" de agua. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 2 , 1 0 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra una capa representativa. Una capa representativa de agua. En los problemas de bombeo, la fuerza necesaria para elevar el agua hasta la parte superior del depósito es la fuerza necesaria para vencer la gravedad, por lo que es igual al peso del agua. Dado que el peso-densidad del agua es 9800 N/m 3 , o 62,4 lb/ft 3 , al calcular el volumen de cada capa obtenemos el peso. En este caso, tenemos V = π ( 4 ) 2 Δ x = 16 π Δ x . Entonces, la fuerza necesaria para levantar cada capa es F = 9800 . 16 π Δ x = 156800 π Δ x . Tenga en cuenta que este paso se vuelve un poco más difícil si tenemos un tanque no cilíndrico. En el siguiente ejemplo veremos un tanque no cilíndrico. También necesitamos saber la distancia a la que debe elevarse el agua. Con base en nuestra elección de sistemas de coordenadas, podemos utilizar x i * como una aproximación a la distancia que debe levantar la capa. A continuación, el trabajo para levantar la i −ésima capa de agua W i es aproximadamente W i ≈ 156800 π x i * Δ x . Sumando el trabajo de cada capa, vemos que el trabajo aproximado para vaciar el depósito viene dado por W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite como n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x = 156800 π ∫ 2 10 x d x = 156800 π [ x 2 2 ] | 2 10 = 7526400 π ≈ 23.644.883. El trabajo necesario para vaciar el depósito es de aproximadamente 23.650.000 J. En el caso de los problemas de bombeo, los cálculos varían en función de la forma del depósito o contenedor. La siguiente estrategia de resolución de problemas establece un proceso paso a paso para resolver problemas de bombeo. Estrategia para la resolución de problemas: Solución de problemas de bombeo Haga un dibujo del tanque y seleccione un marco de referencia adecuado. Calcule el volumen de una capa representativa de agua. Multiplique el volumen por el peso-densidad del agua para obtener la fuerza. Calcule la distancia a la que debe elevarse la capa de agua. Multiplique la fuerza y la distancia para obtener una estimación del trabajo necesario para levantar la capa de agua. Sume el trabajo necesario para levantar todas las capas. Esta expresión es una estimación del trabajo necesario para bombear la cantidad de agua deseada, y tiene la forma de una suma de Riemann. Tome el límite como n → ∞ y evalúe la integral resultante para obtener el trabajo exacto necesario para bombear la cantidad de agua deseada. Ahora aplicamos esta estrategia de resolución de problemas en un ejemplo con un tanque no cilíndrico. Un problema de bombeo con un depósito no cilíndrico Supongamos un tanque en forma de cono invertido, con una altura de 12 pies y radio de la base de 4 pies. Al principio el depósito está lleno y el agua se bombea sobre su borde superior hasta que la altura del agua que queda en el depósito es de 4 pies. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? El tanque está representado en la . Como hicimos en el ejemplo del tanque cilíndrico, orientamos verticalmente el eje x , con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo siendo positiva (paso 1). Un depósito de agua en forma de cono invertido. El depósito comienza lleno y termina con 4 ft de agua, por lo que, basándonos en el marco de referencia que hemos elegido, tenemos que dividir el intervalo [ 0 , 8 ] . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , 8 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Podemos aproximar el volumen de una capa utilizando un disco, y luego utilizar triángulos similares para encontrar el radio del disco (vea la siguiente figura). Utilizar triángulos semejantes para expresar el radio de un disco de agua. A partir de las propiedades de los triángulos semejantes, tenemos r i 12 − x i * = 4 12 = 1 3 3 r i = 12 − x i * r i = 12 − x i * 3 = 4 − x i * 3 . Entonces el volumen del disco es V i = π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 2). La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , por lo que la fuerza necesaria para levantar cada capa es aproximadamente F i ≈ 62,4 π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 3). Según el diagrama, la distancia a la que debe elevarse el agua es de aproximadamente x i * ft (paso 4), por lo que el trabajo aproximado necesario para levantar la capa es W i ≈ 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 5). Sumando el trabajo necesario para levantar todas las capas, obtenemos un valor aproximado del trabajo total: W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 6). Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x = ∫ 0 8 62,4 π x ( 4 − x 3 ) 2 d x = 62,4 π ∫ 0 8 x ( 16 − 8 x 3 + x 2 9 ) d x = 62,4 π ∫ 0 8 ( 16 x − 8 x 2 3 + x 3 9 ) d x = 62,4 π [ 8 x 2 − 8 x 3 9 + x 4 36 ] | 0 8 = 10649.6 π ≈ 33.456,7. Se necesita aproximadamente 33.450 ft-lb de trabajo para vaciar el depósito hasta el nivel deseado. Un tanque tiene forma de cono invertido, con una altura de 10 ft y el radio de la base es de 6 ft. El tanque se llena hasta una profundidad de 8 ft para empezar, y el agua se bombea sobre el borde superior del tanque hasta que quedan 3 ft de agua en el tanque. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? Aproximadamente 43255.2 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Fuerza y presión hidrostáticas En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados pascales . Empecemos con el caso sencillo de un plato de superficie A sumergido horizontalmente en el agua a una profundidad s ( ). Entonces, la fuerza ejercida sobre la placa es simplemente el peso del agua sobre ella, que viene dado por F = ρ A s , donde ρ es la densidad del peso del agua (peso por unidad de volumen). Para hallar la presión hidrostática , es decir, la presión que ejerce el agua sobre un objeto sumergido, dividimos la fuerza entre el área. Así que la presión es p = F / A = ρ s . Una placa sumergida horizontalmente en el agua. Según el principio de Pascal , la presión a una profundidad determinada es la misma en todas las direcciones, por lo que no importa si la placa está sumergida horizontal o verticalmente. Así que, mientras conozcamos la profundidad, conoceremos la presión. Podemos aplicar el principio de Pascal para hallar la fuerza ejercida sobre superficies como las presas, que están orientadas verticalmente. No podemos aplicar la fórmula F = ρ A s directamente, porque la profundidad varía de un punto a otro en una superficie orientada verticalmente. Así que, como hemos hecho muchas veces antes, hacemos una partición, una suma de Riemann y, en última instancia, una integral definida para calcular la fuerza. Supongamos que una placa delgada está sumergida en el agua. Elegimos nuestro marco de referencia de tal manera que el eje x está orientado verticalmente, con la dirección hacia abajo siendo positiva, y el punto x = 0 correspondiente a un punto de referencia lógico. Supongamos que s ( x ) denota la profundidad en el punto x . Tenga en cuenta que a menudo suponemos que x = 0 corresponde a la superficie del agua. En este caso, la profundidad en cualquier punto viene dada simplemente por s ( x ) = x . Sin embargo, es posible que en algunos casos queramos seleccionar un punto de referencia diferente para x = 0 , por lo que procedemos al desarrollo en el caso más general. Por último, supongamos que w ( x ) denota la anchura de la placa en el punto x . Supongamos que el borde superior de la placa está en el punto x = a y el borde inferior de la placa en el punto x = b . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La partición divide la placa en varias tiras finas y rectangulares (vea la siguiente figura). Una placa fina sumergida verticalmente en el agua. Estimemos ahora la fuerza sobre una banda representativa. Si la banda es lo suficientemente fina, podemos tratarla como si estuviera a una profundidad constante, s ( x i * ) . Entonces tenemos F i = ρ A s = ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Al sumar las fuerzas, obtenemos una estimación de la fuerza sobre la placa: F ≈ ∑ i = 1 n F i = ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite obtenemos la fuerza exacta. Obtenemos F = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x . Evaluando esta integral obtenemos la fuerza sobre la placa. Lo resumimos en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Calcule la fuerza hidrostática Elabore un dibujo y seleccione un marco de referencia adecuado. (Tenga en cuenta que si seleccionamos un marco de referencia distinto al utilizado anteriormente, es posible que tengamos que ajustar la en consecuencia). Determine las funciones de profundidad y anchura, s ( x ) y w ( x ) . Determine el peso-densidad del líquido con el que está trabajando. La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , o 9800 N/m 3 . Utilice la ecuación para calcular la fuerza total. Calcule la fuerza hidrostática Un abrevadero de 15 ft de largo tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 8 ft y altura de 3 ft. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. La muestra el canal y una vista más detallada de un extremo. (a) Una sección transversal triangular del abrevadero. (b) Dimensiones de un extremo del mismo. Seleccione un marco de referencia con el eje x orientado verticalmente y la dirección de bajada es positiva. Seleccione la parte superior del abrevadero como el punto correspondiente a x = 0 (paso 1). La función de profundidad, entonces, es s ( x ) = x . Utilizando triángulos similares, vemos que w ( x ) = 8 − ( 8 / 3 ) x (paso 2). Ahora, la densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 (paso 3), por lo que aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 0 3 62,4 ( 8 − 8 3 x ) x d x = 62,4 ∫ 0 3 ( 8 x − 8 3 x 2 ) d x = 62,4 [ 4 x 2 − 8 9 x 3 ] | 0 3 = 748,8. El agua ejerce una fuerza de 748,8 lb sobre el extremo del abrevadero (paso 4). Un abrevadero de 12 m de longitud tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 6 m y altura de 4 m. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. 156800 N Pista Siga la estrategia de resolución de problemas y el proceso del ejemplo anterior. Inicio del capítulo: Calcule la fuerza hidrostática Ahora volvemos a centrarnos en la presa Hoover , mencionada al principio de este capítulo. La presa real es arqueada, en vez de plana, pero vamos a hacer algunas suposiciones simplificadoras para ayudarnos con los cálculos. Supongamos que la cara de la presa Hoover tiene forma de trapecio isósceles con base inferior de 750 ft, base superior de 1.250 ft y altura de 750 ft (vea la siguiente figura). Cuando el embalse está lleno, la profundidad máxima del lago Mead es de unos 530 ft, y la superficie del lago está a unos 10 ft por debajo de la parte superior de la presa (vea la siguiente figura). Un modelo simplificado de la presa Hoover con dimensiones supuestas. Halle la fuerza en la cara de la presa cuando el embalse está lleno. El suroeste de Estados Unidos ha sufrido una sequía, y la superficie del lago Mead está a unos 125 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Empecemos por establecer un marco de referencia. Como es habitual, optamos por orientar el eje x verticalmente, siendo positiva la dirección de bajada. Esta vez, sin embargo, vamos a permitir que x = 0 represente la parte superior de la presa, en vez de la superficie del agua. Cuando el embalse está lleno, la superficie del agua es de 10 ft por debajo de la parte superior de la presa, por lo que s ( x ) = x − 10 (vea la siguiente figura). Primero elegimos un marco de referencia. Para encontrar la función de anchura, volvemos a recurrir a los triángulos semejantes, como se muestra en la figura siguiente Utilizamos triángulos similares para determinar una función para la anchura de la presa. (a) Dimensiones supuestas de la presa; (b) se destacan los triángulos similares. En la figura, vemos que w ( x ) = 750 + 2 r . Utilizando las propiedades de los triángulos semejantes, obtenemos r = 250 − ( 1 / 3 ) x . Por lo tanto, w ( x ) = 1.250 − 2 3 x (paso 2). Utilizando una densidad de peso de 62,4 lb/ft 3 (paso 3) y aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 10 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 10 ) d x = 62,4 ∫ 10 540 − 2 3 [ x 2 − 1885 x + 18750 ] d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1885 x 2 2 + 18750 x ] | 10 540 ≈ 8.832.245.000 lb = 4416122.5 t . Observe el cambio de libras a toneladas ( 2000 lb = 1 ton) (paso 4). Fíjate en que la sequía cambia nuestra función de profundidad, s ( x ) , y nuestros límites de integración. Tenemos s ( x ) = x − 135 . El límite inferior de integración es 135 . El límite superior sigue siendo 540 . Evaluando la integral, obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 135 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x − 1875 ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x 2 − 2010 x + 253125 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1005 x 2 + 253125 x ] | 135 540 ≈ 5.015.230.000 lb = 2507615 t . Cuando el embalse está en su nivel medio, la superficie del agua está unos 50 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Aproximadamente 7.164.520.000 lb o 3.582.260 t Pista Cambie la función de profundidad, s ( x ) , y los límites de integración. Para saber más sobre la presa Hoover, consulte este artículo publicado por History Channel. Conceptos clave Varias aplicaciones físicas de la integral definida son comunes en ingeniería y física. Las integrales definidas pueden utilizarse para determinar la masa de un objeto si se conoce su función de densidad. El trabajo también se puede calcular al integrar una función de fuerza, o al contrarrestar la fuerza de la gravedad, como en un problema de bombeo. Las integrales definidas también pueden utilizarse para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido. Ecuaciones clave Masa de un objeto unidimensional m = ∫ a b ρ ( x ) d x Masa de un objeto circular m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x Trabajo realizado sobre un objeto W = ∫ a b F ( x ) d x Fuerza hidrostática sobre una placa F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el trabajo realizado. Halle el trabajo realizado cuando una fuerza constante F = 12 lb mueve una silla de x = 0,9 al x = 1,1 pies. ¿Cuánto trabajo se realiza cuando una persona levanta 50 lb de cajas de cómics en un camión que está a 3 ft del suelo? 150 ft-lb ¿Cuál es el trabajo realizado levantando un niño de 20 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m? (Tenga en cuenta que una masa de 1 kg pesa 9,8 N cerca de la superficie de la Tierra). Halle el trabajo realizado al empujar una caja por el suelo por 2 m, cuando se aplica una fuerza constante de F = 100 N . 200 J Calcule el trabajo realizado para una fuerza F = 12 / x 2 N de x = 1 a x = 2 m. ¿Cuál es el trabajo realizado al mover una partícula desde x = 0 hasta x = 1 m si la fuerza que actúa sobre ella es F = 3 x 2 N? 1 J En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto unidimensional. Un cable que tiene 2 pies de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = x 2 + 2 x lb/ft Una antena de automóvil que tiene 3 ft de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 3 x + 2 lb/ft 39 2 Una barra de metal que tiene 8 in de longitud (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = e 1 / 2 x lb/in. Un lápiz que tiene 4 in. de longitud (a partir de x = 2 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 5 / x oz/in. ln ( 243 ) Una regla que tiene 12 in. de longitud (a partir de x = 5 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = ln ( x ) + ( 1 / 2 ) x 2 oz/in. En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto bidimensional centrado en el origen. Un disco de hockey de gran tamaño con un radio de 2 in con función de densidad ρ ( x ) = x 3 − 2 x + 5 332 π 15 Un frisbee con un radio de 6 in con función de densidad ρ ( x ) = e – x Una placa con un radio de radio 10 in con función de densidad ρ ( x ) = 1 + cos ( π x ) grandes. 100 π Una tapa de tarro con un radio de 3 in con función de densidad ρ ( x ) = ln ( x + 1 ) Un disco con 5 cm de radio y con función de densidad ρ ( x ) = 3 x 20 π 15 Un resorte de 12 in se estira hasta 15 in por una fuerza de 75 lb. ¿Cuál es la constante del resorte? Un resorte tiene una longitud natural de 10 cm. Se necesitan 2 J para estirar el resorte hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 15 cm a 20 cm? 6 J Un resorte de 1 m requiere 10 J para estirar el resorte hasta 1,1 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 1 m a 1,2 m? Un resorte requiere 5 J para estirar el resorte de 8 cm a 12 cm, y adicionalmente 4 J para estirar el resorte de 12 cm a 14 cm. ¿Cuál es la longitud natural del resorte? 5 cm Un amortiguador se comprime 1 in por un peso de 1 t. ¿Cuál es la constante del resorte? Una fuerza de F = 20 x – x 3 N estira un resorte no lineal en x metros. ¿Qué trabajo se requiere para estirar el resorte de x = 0 hasta x = 2 m? 36 J Halle el trabajo realizado al enrollar un cable colgante de una longitud de 100 ft y un peso-densidad de 5 lb/ft. Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo se realiza para levantarlo 50 ft? 18.750 ft-lb Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo adicional se realiza al colgar 200 lb de peso en el extremo del cable? [T] Una pirámide de 500 ft de altura tiene una base cuadrada 800 ft por 800 pies. Halle el área A en la altura h . Si la roca utilizada para construir la pirámide pesa aproximadamente w = 100 lb/ft 3 , ¿cuánto trabajo costó levantar toda la roca? Peso = 32 3 × 10 9 lb Trabajo = 4 3 × 10 12 ft-lb [T] Para la pirámide del ejercicio anterior, suponga que había 1.000 trabajadores que trabajan cada uno 10 horas al día, 5 días a la semana, 50 semanas al año. Si los trabajadores en promedio levantaron 10 rocas de 100 libras 2 ft/h, ¿cuánto tiempo se tardó en construir la pirámide? [T] La fuerza de gravedad sobre una masa m ¿es F = − ( ( G M m ) / x 2 ) newtons. Para un cohete de masa m = 1.000 kg , calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = 6500 km. Indique sus respuestas con tres cifras significativas. ( Nota : G = 6,67 × 10 −11 N m 2 / kg 2 y M = 6 × 10 24 kg . ) grandes. 9,71 × 10 2 N m [T] Para el cohete del ejercicio anterior, calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = ∞ . [T] Una presa rectangular tiene 40 ft de altura y 60 ft de ancho. Calcule la fuerza total F en la presa cuando la superficie del agua está en la parte superior de la presa y la superficie del agua está a la mitad de la presa. a. 3.000.000 lb, b. 749.000 lb [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua de un cilindro que tiene una base circular de un radio de 5 ft y altura de 200 pies. Utilice el hecho de que la densidad del agua es 62 lb/ft 3 . [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua del cilindro en el ejercicio anterior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. 23.25 π millones de ft-lb. [T] ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear una piscina si el área de la base es de 800 ft 2 , el agua es de 4 ft de profundidad, y la parte superior es de 1 ft sobre el nivel del agua? Supongamos que la densidad del agua es de 62 lb/ft 3 . Un cilindro de profundidad H y el área de la sección transversal A está lleno de agua a la densidad ρ . Calcule el trabajo para bombear toda el agua afuera por la parte superior. A ρ H 2 2 Para el cilindro del ejercicio anterior, calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. Un tanque con forma de cono tiene una sección transversal que aumenta con su profundidad: A = ( π r 2 h 2 ) / H 3 . Demuestre que el trabajo para vaciarlo es la mitad del trabajo para un cilindro con la misma altura y base. Las respuestas pueden variar función de densidad función que describe cómo se distribuye la masa en un objeto; puede ser una densidad lineal, expresada en términos de masa por unidad de longitud; una densidad de área, expresada en términos de masa por unidad de área; o una densidad de volumen, expresada en términos de masa por unidad de volumen; la densidad de peso también se utiliza para describir el peso (en vez de la masa) por unidad de volumen Ley de Hooke ley que establece que la fuerza necesaria para comprimir (o alargar) un resorte es proporcional a la distancia que el resorte se ha comprimido (o estirado) desde el equilibrio; en otras palabras, F = k x , donde k es una constante presión hidrostática presión ejercida por el agua sobre un objeto sumergido trabajo la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto; en física, cuando una fuerza es constante, el trabajo se expresa como el producto de la fuerza por la distancia", "section": "Aplicaciones físicas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Momentos y centros de masa En esta sección, analizaremos los centros de masa (también llamados centroides , bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de un punto de equilibrio. Muchos hemos visto a artistas que hacen girar un plato en la punta de un palo e intentan mantener varios de ellos girando sin caerse. Si observamos un plato simple (sin girarlo), hay un punto ideal en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si ponemos el palo en cualquier otro lugar que no sea ese punto ideal, el plato no se equilibra y se cae al suelo. (Por eso los artistas los hacen girar: el giro ayuda a que los platos no se caigan aunque el palo no esté exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto ideal se denomina centro de masa de la placa . En esta sección, primero examinaremos esos conceptos en un contexto unidimensional, y luego ampliaremos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de las regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizaremos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus. Centro de masa y momentos Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la (a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas m 1 y m 2 a las distancias d 1 y d 2 del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la (b). (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas sobre la varilla. El ejemplo más común en la vida real de un sistema de este tipo es el balancín de un parque infantil, con niños de distinto peso sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el más pesado se hunde y el más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas de la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si m 1 d 1 = m 2 d 2 . En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (los niños) con respecto al punto de apoyo. Sin embargo, lo que realmente nos interesa son los sistemas en los que no se permite el movimiento de las masas, y en su lugar equilibramos el sistema moviendo el punto de apoyo. Supongamos que tenemos dos masas puntuales, m 1 y m 2 , situadas en una línea numérica en los puntos x 1 y x 2 , respectivamente ( ). El centro de masa, x – , es el punto donde se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema se equilibre. El centro de masa x – es el punto de equilibrio del sistema. Por lo tanto, tenemos m 1 | x – − x 1 | = m 2 | x 2 − x – | m 1 ( x – − x 1 ) = m 2 ( x 2 − x – ) m 1 x – − m 1 x 1 = m 2 x 2 − m 2 x – x – ( m 1 + m 2 ) = m 1 x 1 + m 2 x 2 x – = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 . La expresión en el numerador, m 1 x 1 + m 2 x 2 , se denomina primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo se prescinde de la palabra primero y se denomina simplemente momento del sistema. La expresión en el denominador, m 1 + m 2 , es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que se podría concentrar la masa total del sistema sin cambiar el momento. Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si n masas, m 1 , m 2 ,… , m n , se colocan en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente, entonces el centro de masa del sistema viene dado por x – = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i . Centro de masa de objetos en una línea Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces, el momento del sistema con respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i y el centro de masa del sistema viene dado por x – = M m . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Encontrar el centro de masa de los objetos a lo largo de una línea Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 30 kg, colocado en x 1 = −2 m m 2 = 5 kg, colocado en x 2 = 3 m m 3 = 10 kg, colocado en x 3 = 6 m m 4 = 15 kg, colocado en x 4 = −3 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. En primer lugar, tenemos que calcular el momento del sistema: M = ∑ i = 1 4 m i x i = −60 + 15 + 60 − 45 = −30. Ahora, para encontrar el centro de masa, necesitamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 4 m i = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . Entonces tenemos x – = M m = −30 60 = − 1 2 . El centro de masa se encuentra a 1/2 m a la izquierda del origen. Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 12 kg, colocado en x 1 = −4 m m 2 = 12 kg, colocado en x 2 = 4 m m 3 = 30 kg, colocado en x 3 = 2 m m 4 = 6 kg, colocado en x 4 = −6 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. M = 24 , x – = 2 5 m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Supongamos que m 1 es una masa puntual situada en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Entonces el momento M x de la masa con respecto al eje x viene dado por M x = m 1 y 1 . Del mismo modo, el momento M y con respecto al eje y viene dado por M y = m 1 x 1 . Observe que la coordenada x del punto se utiliza para calcular el momento con respecto al eje y , y viceversa. La razón es que la coordenada x da la distancia de la masa puntual al eje y , en tanto que la coordenada y da la distancia al eje x (vea la siguiente figura). La masa puntual m 1 se encuentra en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Si tenemos varias masas puntuales en el plano xy , podemos utilizar los momentos respecto a los ejes x y y para calcular las coordenadas x y y del centro de masa del sistema. Centro de masa de objetos en un plano Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en el plano xy en los puntos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,… , ( x n , y n ) , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces los momentos M x y M y del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, vienen dados por M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i . Además, las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) del sistema son x – = M y m y y – = M x m . El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema. Encontrar el centro de masa de los objetos en un plano Supongamos que tres masas puntuales se colocan en el plano xy de la siguiente manera (supongamos que las coordenadas están dadas en metros): m 1 = 2 kg, colocado en ( –1 , 3 ) , m 2 = 6 kg, colocado en ( 1 , 1 ) , m 3 = 4 kg, colocado en ( 2 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. Primero calculamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 3 m i = 2 + 6 + 4 = 12 kg . A continuación, hallamos los momentos con respecto a los ejes x y y : M y = ∑ i = 1 3 m i x i = −2 + 6 + 8 = 12 , M x = ∑ i = 1 3 m i y i = 6 + 6 − 8 = 4. Entonces tenemos x – = M y m = 12 12 = 1 y y – = M x m = 4 12 = 1 3 . El centro de masa del sistema es ( 1 , 1 / 3 ) , en metros. Supongamos que tres masas puntuales se colocan en una línea numérica de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas se dan en metros): m 1 = 5 kg, colocado en ( –2 , −3 ) , m 2 = 3 kg, colocado en ( 2 , 3 ) , m 3 = 2 kg, colocado en ( −3 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. ( –1 , –1 ) m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Centro de masa de las placas finas Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina . A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante. Las láminas suelen representarse mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de dicha región se denomina centroide . Como supusimos que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina solo depende de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Consideraremos primero una lámina con forma de rectángulo. Recordemos que el centro de masa de una lámina es el punto de equilibrio de la misma. En un rectángulo, ese punto es el centro horizontal y vertical del rectángulo. En base a este entendimiento, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se cruzan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría , y se afirma aquí sin pruebas. El principio de simetría Si una región R es simétrica respecto a una línea l , entonces el centroide de R se encuentra en l . Pasemos a las láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina limitada por encima por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la siguiente figura. Una región en el plano que representa una lámina. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina necesitamos encontrar la masa total de esta, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Como ya hemos hecho muchas veces, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo [ a , b ] y construyendo rectángulos. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Recordemos que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo [ x i − 1 , x i ] como nuestra x i * . En este caso, queremos x i * para ser la coordenada x del centroide de nuestros rectángulos. Así, para i = 1 , 2 ,… , n , seleccionamos x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que x i * es el punto medio del intervalo. Eso es, x i * = ( x i − 1 + x i ) / 2 . Ahora, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un rectángulo de altura f ( x i * ) sobre [ x i − 1 , x i ] . El centro de masa de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) , como se muestra en la siguiente figura. Un rectángulo representativo de la lámina. A continuación, tenemos que encontrar la masa total del rectángulo. Supongamos que ρ representa la densidad de la lámina (nótese que ρ es una constante). En este caso, ρ se expresa en términos de masa por unidad de superficie. Así, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por ρ . Entonces, la masa del rectángulo viene dada por ρ f ( x i * ) Δ x . Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener m ≈ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ da la masa exacta de la lámina: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b f ( x ) d x . A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje x . Volviendo al rectángulo representativo, recordemos que su centro de masa es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) . Recordemos también si tratamos el rectángulo como si fuera una masa puntual situada en el centro de masa no cambia el momento. Así, el momento del rectángulo con respecto al eje x viene dado por la masa del rectángulo, ρ f ( x i * ) Δ x , multiplicado por la distancia desde centro de masa al eje x : ( f ( x i * ) ) / 2 . Por lo tanto, el momento con respecto al eje x del rectángulo es ρ ( [ f ( x i * ) ] 2 / 2 ) Δ x . Al sumar los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina respecto al eje x es M x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ f ( x i * ) ] 2 2 Δ x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x . Derivamos el momento con respecto al eje y de forma similar, observando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje y es x i * . Entonces el momento de la lámina con respecto al eje y viene dado por M y = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ x i * f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Hallamos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener x – = M y / m y y – = M x / m . Si observamos detenidamente las expresiones de M x , M y , y m , observamos que la constante ρ se cancela cuando x – y y – se calculan. Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Centro de masa de una placa delgada en el plano xy Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b f ( x ) d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para hallar el centro de masa de una lámina. Hallar el centro de masa de una lámina Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Encontrar el centro de masa de una lámina. Como solo se nos pide el centroide de la región, y no la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad ρ eventualmente se cancela de los cálculos. Por lo tanto, por razones de conveniencia, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ 0 4 x d x = 2 3 x 3 / 2 | 0 4 = 2 3 [ 8 − 0 ] = 16 3 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = ∫ 0 4 x 2 d x = 1 4 x 2 | 0 4 = 4 y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x = ∫ 0 4 x x d x = ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 2 5 [ 32 − 0 ] = 64 5 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = 64 / 5 16 / 3 = 64 5 . 3 16 = 12 5 y y – = M x m = 4 16 / 3 = 4 . 3 16 = 3 4 . El centroide de la región es ( 12 / 5 , 3 / 4 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 3 / 2 , 6 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos adaptar este enfoque para encontrar también los centroides de regiones más complejas. Supongamos que nuestra región está limitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , como antes, pero ahora, en vez de que el límite inferior de la región sea el eje x , supondremos que la región está limitada por debajo por el gráfico de una segunda función continua, g ( x ) , como se muestra en la siguiente figura. Una región entre dos funciones. De nuevo, dividimos el intervalo [ a , b ] y construimos rectángulos. En la siguiente figura se muestra un rectángulo representativo. Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones. Observe que el centroide de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 ) . No vamos a repasar todos los detalles de la formulación de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje y , la altura de cada rectángulo viene dada por f ( x i * ) − g ( x i * ) , lo que nos dirige a la expresión f ( x ) − g ( x ) en los integrandos. En el desarrollo de la fórmula del momento con respecto al eje x , el momento de cada rectángulo se halla al multiplicar el área del rectángulo, ρ [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x , por la distancia del centroide al eje x , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 , que da ρ ( 1 / 2 ) { [ f ( x i * ) ] 2 − [ g ( x i * ) ] 2 } Δ x . Al resumir estas conclusiones, llegamos al siguiente teorema. Centro de masa de una lámina delimitada por dos funciones Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el gráfico de la función continua g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . Ilustramos este teorema con el siguiente ejemplo. Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x – 1 . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Hale el centroide de una región entre dos curvas. Los gráficos de las funciones se cruzan en ( –2 , −3 ) y ( 1 , 0 ) , por lo que integramos de -2 a 1. Una vez más, por comodidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 [ 1 − x 2 − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 ( 2 − x 2 − x ) d x = [ 2 x – 1 3 x 3 − 1 2 x 2 ] | −2 1 = [ 2 – 1 3 − 1 2 ] − [ −4 + 8 3 − 2 ] = 9 2 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( ( 1 − x 2 ) 2 − ( x – 1 ) 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( x 4 − 3 x 2 + 2 x ) d x = 1 2 [ x 5 5 − x 3 + x 2 ] | −2 1 = − 27 10 y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 x [ ( 1 − x 2 ) − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 x [ 2 − x 2 − x ] d x = ∫ –2 1 ( 2 x – x 4 − x 2 ) d x = [ x 2 − x 5 5 − x 3 3 ] | −2 1 = − 9 4 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = − 9 4 . 2 9 = − 1 2 y y – = M x m = − 27 10 . 2 9 = − 3 5 . El centroide de la región es ( − ( 1 / 2 ) , − ( 3 / 5 ) ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 6 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − 2 x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 1 , 13 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El principio de simetría El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo. Encontrar el centroide de una región simétrica Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Podemos utilizar el principio de simetría para encontrar el centroide de una región simétrica. La región es simétrica con respecto al eje y . Por lo tanto, la coordenada x del centroide es cero. Solo tenemos que calcular y – . Una vez más, para mayor facilidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, calculamos la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ −2 2 ( 4 − x 2 ) d x = [ 4 x – x 3 3 ] | −2 2 = 32 3 . A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos M x : M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 [ 4 − x 2 ] 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 ( 16 − 8 x 2 + x 4 ) d x = 1 2 [ x 5 5 − 8 x 3 3 + 16 x ] | −2 2 = 256 15 . Entonces tenemos y – = M x m = 256 15 . 3 32 = 8 5 . El centroide de la región es ( 0 , 8 / 5 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 0 , 2 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón El Skywalk del Gran Cañón se abrió al público el 28 de marzo de 2007. Esta maravilla de la ingeniería es una plataforma de observación en forma de herradura suspendida a 4.000 ft sobre el río Colorado, en el borde oeste del Gran Cañón. Su suelo de cristal permite unas vistas impresionantes del cañón (vea la siguiente figura). El Skywalk del Gran Cañón ofrece magníficas vistas del cañón (créditos: 10da_ralta, Wikimedia Commons). El Skywalk es un diseño en voladizo, lo que significa que la plataforma de observación se extiende sobre el borde del cañón, sin ningún medio de apoyo visible por debajo. A pesar de la falta de postes o puntales de apoyo visibles, las estructuras en voladizo están diseñadas para ser muy estables y el Skywalk no es una excepción. La plataforma de observación está firmemente sujeta a postes de apoyo que se extienden 46 pies de profundidad en el lecho de roca. La estructura se construyó para resistir vientos de 100 mph y un terremoto de 8,0 de magnitud en un radio de 50 mi, y es capaz de soportar más de 70.000.000 lb. Un factor que afecta a la estabilidad del Skywalk es el centro de gravedad de la estructura. Calculemos el centro de gravedad del Skywalk y examinemos cómo cambia el centro de gravedad cuando los turistas salen a la plataforma de observación. La plataforma de observación tiene forma de U. Las patas de la U tienen 10 ft de ancho y comienzan en tierra, bajo el centro de visitantes, a 48 ft del borde del cañón. La plataforma se extiende 70 ft sobre el borde del cañón. Para calcular el centro de masa de la estructura, la tratamos como una lámina y utilizamos una región bidimensional en el plano xy para representar la plataforma. Comenzamos dividiendo la región en tres subregiones para poder considerar cada una de ellas por separado. La primera región, denotada R 1 , consiste en la parte curva de la U. Modelamos R 1 como un anillo semicircular, con un radio interior de 25 pies y un radio exterior de 35 pies, centrado en el origen (vea la siguiente figura). Modelamos el Skywalk con tres subregiones. Las patas de la plataforma, que se extienden 35 ft entre R 1 y la pared del cañón comprenden la segunda subregión, R 2 . Por último, los extremos de las patas, que se extienden 48 ft por debajo del centro de visitantes, comprenden la tercera subregión, R 3 . Suponga que la densidad de la lámina es constante y asuma que el peso total de la plataforma es de 1.200.000 lb (sin incluir el peso del centro de visitantes; lo consideraremos más adelante). Utilice la sustitución en g = 32 ft/s 2 . Calcule el área de cada una de las tres subregiones. Observe que las áreas de las regiones R 2 y R 3 deben incluir solo las zonas de las piernas, no el espacio abierto entre ellas. Redondee las respuestas al pie cuadrado más cercano. Determine la masa asociada a cada una de las tres subregiones. Calcule el centro de masa de cada una de las tres subregiones. Ahora, considere cada una de las tres subregiones como una masa puntual situada en el centro de masa de la subregión correspondiente. Utilizando esta representación, calcule el centro de masa de toda la plataforma. Supongamos que el centro de visitantes pesa 2.200.000 lb, con un centro de masa correspondiente al centro de masa de R 3 . Considerando el centro de visitantes como una masa puntual, recalcule el centro de masa del sistema. ¿Cómo cambia el centro de masa? Aunque el Skywalk se construyó para limitar el número de personas en la plataforma de observación a 120, la plataforma es capaz de soportar hasta 800 personas de 200 libras cada una. Si se permitiera la entrada de las 800 personas en el andén y todas se dirigieran al extremo más alejado del mismo, ¿cómo se vería afectado el centro de gravedad del sistema? (Incluya el centro de visitantes en los cálculos y represente las personas mediante una masa puntual situada en el borde más alejado de la plataforma, a 70 ft de la pared del cañón). Teorema de Pappus Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen , que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen). Teorema de Pappus para el volumen Sea R una región del plano y sea l una línea del plano que no interseca a R . Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor de l es igual al área de R multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de R. Prueba Podemos demostrar el caso en el que la región está limitada por el gráfico de una función f ( x ) y abajo por el gráfico de una función g ( x ) en un intervalo [ a , b ] , y cuyo eje de revolución es el eje y . En este caso, el área de la región es A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Como el eje de rotación es el eje y , la distancia recorrida por el centroide de la región depende solo de la coordenada x del centroide, x – , que es x – = M y m , donde m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Entonces, d = 2 π ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y así d . A = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Sin embargo, si utilizamos el método de las capas cilíndricas, tenemos V = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Así que, V = d . A y la prueba está completa. □ Uso del teorema de Pappus para el volumen Sea R un círculo de radio 2 con centro en ( 4 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . La región y el toro se representan en la siguiente figura. Determinación del volumen de un toro utilizando el teorema de Pappus. (a) Una región circular R en el plano; (b) el toro generado al girar R alrededor del eje y . La región R es un círculo de radio 2, por lo que el área de R es A = 4 π unidades 2 . Por el principio de simetría, el centroide de R es el centro del círculo. El centroide se desplaza alrededor del eje y en una trayectoria circular de radio 4, por lo que el centroide se desplaza d = 8 π . Entonces, el volumen del toro es A . d = 32 π 2 unidades 3 . Sea R un círculo de radio 1 con centro en ( 3 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . 6 π 2 unidades 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Matemáticamente, el centro de masa de un sistema es el punto en el que podría concentrarse la masa total del sistema sin cambiar el momento. En términos generales, el centro de masa puede considerarse el punto de equilibrio del sistema. Para masas puntuales distribuidas a lo largo de una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen es M = ∑ i = 1 n m i x i . En lo concerniente a las masas puntuales distribuidas en un plano, los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i , respectivamente. Para una lámina limitada por encima por una función f ( x ) , los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas x y y del centro de masa se pueden hallar dividiendo los momentos alrededor de los ejes y y x , respectivamente, entre la masa total. El principio de simetría dice que si una región es simétrica con respecto a una línea, entonces el centroide de la región se encuentra en la línea. El teorema de Pappus para el volumen dice que si se hace girar una región alrededor de un eje externo, el volumen del sólido resultante es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región. Ecuaciones clave Masa de una lámina m = ρ ∫ a b f ( x ) d x Momentos de una lámina M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x Centro de masa de una lámina x – = M y m y y – = M x m En los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa para el conjunto de masas dadas. m 1 = 2 en x 1 = 1 y m 2 = 4 en x 2 = 2 m 1 = 1 en x 1 = –1 y m 2 = 3 en x 2 = 2 5 4 m = 3 en x = 0 , 1 , 2 , 6 Masas unitarias en ( x , y ) = ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) grandes. ( 2 3 , 2 3 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 4 a las ( 0 , 1 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 3 a las ( 2 , 2 ) grandes. ( 7 4 , 3 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa x – . ρ = 1 para x ∈ ( –1 , 3 ) grandes. ρ = x 2 por x ∈ ( 0 , L ) grandes. 3 L 4 ρ = 1 para x ∈ ( 0 , 1 ) y ρ = 2 por x ∈ ( 1 , 2 ) grandes. ρ = sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 ρ = cos x para x ∈ ( 0 , π 2 ) grandes. ρ = e x para x ∈ ( 0 , 2 ) grandes. e 2 + 1 e 2 – 1 ρ = x 3 + x e – x para x ∈ ( 0 , 1 ) grandes. ρ = x sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 − 4 π ρ = x para x ∈ ( 1 , 4 ) grandes. ρ = ln x para x ∈ ( 1 , e ) grandes. 1 4 ( 1 + e 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. ρ = 7 en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ρ = 3 en el triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) grandes. ( a 3 , b 3 ) grandes. ρ = 2 para la región delimitada por y = cos ( x ) , y = − cos ( x ) , x = − π 2 , y x = π 2 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región y luego calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] La región delimitada por y = cos ( 2 x ) , x = − π 4 , y x = π 4 ( 0 , π 8 ) [T] La región entre y = 2 x 2 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 [T] La región entre y = 5 4 x 2 y y = 5 ( 0 , 3 ) [T] La región entre y = x , y = ln ( x ) , x = 1 , y x = 4 [T] La región delimitada por y = 0 , x 2 4 + y 2 9 = 1 ( 0 , 4 π ) [T] La región delimitada por y = 0 , x = 0 , y x 2 4 + y 2 9 = 1 [T] La región delimitada por y = x 2 y y = x 4 en el primer cuadrante ( 5 8 , 1 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Pappus para determinar el volumen de la forma. Si giramos y = m x alrededor del eje x entre x = 0 y x = 1 Si giramos y = m x alrededor del eje y entre x = 0 y x = 1 2 m π 3 Un cono recto creado al girar un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cono? Un cilindro recto creado al girar un rectángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , ( 0 , b ) , y ( a , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cilindro? π a 2 b Una esfera creada al girar un semicírculo de radio a alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de una esfera? En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región delimitada por la curva. Halle el área M y el centroide ( x – , y – ) para las formas dadas. Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] Cuarto de círculo: y = 1 − x 2 , y = 0 , y x = 0 ( 4 3 π , 4 3 π ) [T] Triángulo: y = x , y = 2 − x , y y = 0 [T] Lente: y = x 2 y y = x ( 1 2 , 2 5 ) [T] Anillo: y 2 + x 2 = 1 y y 2 + x 2 = 4 [T] Medio anillo: y 2 + x 2 = 1 , y 2 + x 2 = 4 , y y = 0 ( 0 , 28 9 π ) Halle el centro de masa generalizado en la franja entre y = x a y y = x b con la a > b . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Halle el centro de masa generalizado entre y = a 2 − x 2 , x = 0 , y y = 0 . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Centro de masa: ( a 6 , 4 a 2 5 ) , volumen: 2 π a 4 9 Halle el centro de masa generalizado entre y = b sen ( a x ) , x = 0 , y x = π a . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Utilice el teorema de Pappus para hallar el volumen de un toro (que se muestra aquí). Supongamos que un disco de radio a se sitúa con el extremo izquierdo del círculo en x = b , b > 0 , y gira en torno al eje y . Volumen: 2 π 2 a 2 ( b + a ) Halle el centro de masa ( x – , y – ) para un cable fino a lo largo del semicírculo y = 1 − x 2 con masa unitaria. ( Pista: Utilice el teorema de Pappus) centro de masa punto en el que la masa total del sistema podría concentrarse sin cambiar el momento centroide el centroide de una región es el centro geométrico de la región; las láminas se representan a menudo por regiones en el plano; si la lámina tiene una densidad constante, el centro de masa de la lámina depende solo de la forma de la región plana correspondiente; en este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región representativa lámina lámina fina de material; las láminas son lo suficientemente finas para que, a efectos matemáticos, puedan tratarse como si fueran bidimensionales momento si se disponen n masas en una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i ; si, en cambio, consideramos una región en el plano, limitada por encima por una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] , entonces los momentos de la región con respecto a los ejes x y y vienen dados por M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x , respectivamente principio de simetría este principio establece que si una región R es simétrica respecto a una línea l , el centroide de R se encuentra en l teorema de Pappus para el volumen teorema que afirma que el volumen de un sólido de revolución formado al girar una región alrededor de un eje externo es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región", "section": "Momentos y centros de masa", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Integrales, funciones exponenciales y logaritmos En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección. Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e , ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número e , y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base. El logaritmo natural como integral Recordemos la regla de la potencia para las integrales: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 . Está claro que esto no funciona cuando n = −1 , ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con ∫ 1 x d x ? Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que ∫ 1 x 1 t d t es una antiderivada de 1 / x . Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición. Definición Para x > 0 , defina la función logarítmica natural por ln x = ∫ 1 x 1 t d t . Para x > 1 , esto es solo el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 a x . Para x < 1 , tenemos ∫ 1 x 1 t d t = − ∫ x 1 1 t d t , por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de x para 1 (vea la siguiente figura). (a) Cuando x > 1 , el logaritmo natural es el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 para x . (b) Cuando x < 1 , el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de x al 1 . Observe que ln 1 = 0 . Además, la función y = 1 / t > 0 por x > 0 . Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que ln x aumenta para x > 0 . Propiedades del logaritmo natural Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo. Derivada del logaritmo natural Para x > 0 , la derivada del logaritmo natural viene dada por d d x ln x = 1 x . Corolario de la derivada del logaritmo natural La función ln x es diferenciable; por lo tanto, es continua. Un gráfico de ln x se muestra en la . Observe que es continua en todo su dominio de ( 0 , ∞ ) . El gráfico de f ( x ) = ln x muestra que es una función continua. Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) grandes. d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 En ambos casos tenemos que aplicar la regla de la cadena. d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) = 15 x 2 5 x 3 − 2 d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 = 2 ( ln ( 3 x ) ) . 3 3 x = 2 ( ln ( 3 x ) ) x Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 2 x 2 + x ) grandes. d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 d d x ln ( 2 x 2 + x ) = 4 x + 1 2 x 2 + x d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 = 6 ln ( x 3 ) x Pista Aplique la fórmula de diferenciación que acabamos de proporcionar y utilice la regla de la cadena si es necesario. Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función ln | x | , podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir x < 0 . Entonces ( d / ( d x ) ) ln | x | = 1 / x . Esto da lugar a la conocida fórmula de integración. Integral de (1/ u ) du El logaritmo natural es la antiderivada de la función f ( u ) = 1 / u : ∫ 1 u d u = ln | u | + C . Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales Calcule la integral ∫ x x 2 + 4 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = x 2 + 4 . Entonces d u = 2 x d x y tenemos ∫ x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 2 + 4 | + C = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + C . Calcule la integral ∫ x 2 x 3 + 6 d x . ∫ x 2 x 3 + 6 d x = 1 3 ln | x 3 + 6 | + C Pista Aplique la fórmula de integración proporcionada anteriormente y utilice la sustitución u si es necesario. Aunque hemos llamado a nuestra función \"logaritmo\", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí. Propiedades del logaritmo natural Si los valores de a , b > 0 y r es un número racional, entonces ln 1 = 0 ln ( a b ) = ln a + ln b ln ( a b ) = ln a − ln b ln ( a r ) = r ln a Prueba i. Por definición, ln 1 = ∫ 1 1 1 t d t = 0 . ii. Tenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t . Use la sustitución u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u = t / a . Entonces d u = ( 1 / a ) d t . Además, cuando t = a , u = 1 , y cuando t = a b , u = b . Así que obtenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b a t . 1 a d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ 1 b 1 u d u = ln a + ln b . iv. Tenga en cuenta que d d x ln ( x r ) = r x r − 1 x r = r x . Además, d d x ( r ln x ) = r x . Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos ln ( x r ) = r ln x + C para alguna constante C . Si tomamos x = 1 , obtenemos ln ( 1 r ) = r ln ( 1 ) + C 0 = r ( 0 ) + C C = 0 . Así que ln ( x r ) = r ln x y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de r más adelante en esta sección. La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio. □ Uso de las propiedades de los logaritmos Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) . Tenemos ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) = ln ( 3 2 ) − 2 ln 3 + ln ( 3 −1 ) = 2 ln 3 − 2 ln 3 − ln 3 = − ln 3 . Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 8 − ln 2 − ln ( 1 4 ) . 4 ln 2 Pista Aplique las propiedades de los logaritmos. Definición del número e Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número e . Definición El número e se define como el número real tal que ln e = 1 . Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva y = 1 / t entre t = 1 y t = e ¿es 1 ( ). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. ( Pista : Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que ln x es creciente para demostrar su unicidad). El área bajo la curva de 1 al e es igual a uno. El número e puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin ). Su valor aproximado viene dado por e ≈ 2,71828182846 . La función exponencial Ahora nos centraremos en la función e x . Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por exp x . Entonces, exp ( ln x ) = x para x > 0 y ln ( exp x ) = x para todo x . La siguiente figura muestra los gráficos de exp x y ln x . Los gráficos de ln x y exp x . Nuestra hipótesis es que exp x = e x . Para valores racionales de x , esto es fácil de mostrar. Si los valores de x es racional, entonces tenemos ln ( e x ) = x ln e = x . Así, cuando x es racional, e x = exp x . Para valores irracionales de x , simplemente definimos e x como función inversa de ln x . Definición Para cualquier número real x , defina y = e x para ser el número para el que ln y = ln ( e x ) = x . Entonces tenemos e x = exp ( x ) para todo x , y por lo tanto e ln x = x para x > 0 y ln ( e x ) = x para todos los x . Propiedades de la función exponencial Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e , debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función e x . Propiedades de la función exponencial Si los valores de p y q son números reales cualquiera y r es un número racional, entonces e p e q = e p + q e p e q = e p − q ( e p ) r = e p r Prueba Observe que si p y q son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si p o q son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de e x y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos ln ( e p e q ) = ln ( e p ) + ln ( e q ) = p + q = ln ( e p + q ) . Dado que ln x es biunívoca, entonces e p e q = e p + q . □ Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r , y lo haremos al final de la sección. También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función y = e x . Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que y = e x . Entonces ln y = x d d x ln y = d d x x 1 y d y d x = 1 d y d x = y . Así, vemos d d x e x = e x como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración ∫ e x d x = e x + C . Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe las siguientes derivadas: d d t e 3 t e t 2 d d x e 3 x 2 Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario. d d t e 3 t e t 2 = d d t e 3 t + t 2 = e 3 t + t 2 ( 3 + 2 t ) grandes. d d x e 3 x 2 = e 3 x 2 6 x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( e x 2 e 5 x ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 d d x ( e x 2 e 5 x ) = e x 2 − 5 x ( 2 x − 5 ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 = 6 e 6 t Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y la regla de la cadena cuando sea necesario. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe la siguiente integral ∫ 2 x e – x 2 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = − x 2 . Entonces d u = –2 x d x , y tenemos ∫ 2 x e – x 2 d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x 2 + C . Evalúe la siguiente integral ∫ 4 e 3 x d x . ∫ 4 e 3 x d x = – 4 3 e −3 x + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Funciones logarítmicas y exponenciales generales Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a e . Las funciones exponenciales son funciones de la forma f ( x ) = a x . Tenga en cuenta que, a menos que a = e , todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función f ( x ) = a x en términos de la función exponencial e x . A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a e como funciones inversas de funciones exponenciales. Definición para cualquier a > 0 , y para cualquier número real x , defina y = a x de la siguiente forma: y = a x = e x ln a . Ahora, a x se define rigurosamente para todos los valores de x . Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de r . Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera. Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para a x . Tenemos d d x a x = d d x e x ln a = e x ln a ln a = a x ln a . La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente. Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x a x = a x ln a y ∫ a x d x = 1 ln a a x + C . Si los valores de a ≠ 1 , entonces la función a x es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por log a x . Entonces, y = log a x si y solo si x = a y . Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que y = log a x . Entonces, x = a y . Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos ln x = ln ( a y ) ln x = y ln a y = ln x ln a log a x = ln x ln a . Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base a . De nuevo, supongamos y = log a x . Entonces, d y d x = d d x ( log a x ) = d d x ( ln x ln a ) = ( 1 ln a ) d d x ( ln x ) = 1 ln a . 1 x = 1 x ln a . Derivadas de funciones logarítmicas generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x log a x = 1 x ln a . Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales Evalúe las siguientes derivadas: d d t ( 4 t . 2 t 2 ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) Tenemos que aplicar la regla de la cadena según sea necesario. d d t ( 4 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t + t 2 ) = 2 2 t + t 2 ln ( 2 ) ( 2 + 2 t ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) = 1 ( 7 x 2 + 4 ) ( ln 8 ) ( 14 x ) Evalúe las siguientes derivadas: d d t 4 t 4 d d x log 3 ( x 2 + 1 ) d d t 4 t 4 = 4 t 4 ( ln 4 ) ( 4 t 3 ) grandes. d d x log 3 ( x 2 + 1 ) = x ( ln 3 ) ( x 2 + 1 ) Pista Utilice las fórmulas y aplique la regla de la cadena cuando sea necesario. Integración de funciones exponenciales generales Evalúe la siguiente integral ∫ 3 2 3 x d x . Utilice la sustitución en u y supongamos que u = −3 x . Entonces d u = −3 d x y tenemos ∫ 3 2 3 x d x = ∫ 3 . 2 −3 x d x = − ∫ 2 u d u = − 1 ln 2 2 u + C = − 1 ln 2 2 −3 x + C . Evalúe la siguiente integral ∫ x 2 2 x 3 d x . ∫ x 2 2 x 3 d x = 1 3 ln 2 2 x 3 + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Conceptos clave El manejo anterior de los logaritmos y las funciones exponenciales no definía las funciones de forma precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de forma matemáticamente rigurosa. La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral. La función e x se define entonces como la inversa del logaritmo natural. Las funciones exponenciales generales se definen en términos de e x , y las correspondientes funciones inversas son logaritmos generales. Las propiedades conocidas de los logaritmos y los exponentes siguen siendo válidas en este contexto más riguroso. Ecuaciones clave Función logarítmica natural ln x = ∫ 1 x 1 t d t Z Función exponencial y = e x ln y = ln ( e x ) = x Z Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y d x . y = ln ( 2 x ) grandes. 1 x y = ln ( 2 x + 1 ) grandes. y = 1 ln x − 1 x ( ln x ) 2 En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida. ∫ d t 3 t ∫ d x 1 + x ln ( x + 1 ) + C Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y / d x . (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta). [T] y = ln ( x ) x [T] y = x ln ( x ) grandes. ln ( x ) + 1 [T] y = log 10 x [T] y = ln ( sen x ) grandes. cot ( x ) [T] y = ln ( ln x ) [T] y = 7 ln ( 4 x ) grandes. 7 x [T] y = ln ( ( 4 x ) 7 ) [T] y = ln ( tan x ) grandes. csc ( x ) sec x [T] y = ln ( tan ( 3 x ) ) [T] y = ln ( cos 2 x ) grandes. −2 tan x En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida. ∫ 0 1 d x 3 + x ∫ 0 1 d t 3 + 2 t 1 2 ln ( 5 3 ) grandes. ∫ 0 2 x d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1 2 – 1 2 ln ( 5 ) grandes. ∫ 2 e d x x ln x ∫ 2 e d x x ( ln x ) 2 1 ln ( 2 ) − 1 ∫ cos x d x sen x ∫ 0 π / 4 tan x d x 1 2 ln ( 2 ) grandes. ∫ cot ( 3 x ) d x ∫ ( ln x ) 2 d x x 1 3 ( ln x ) 3 En los siguientes ejercicios, calcule d y / d x diferenciando ln y . y = x 2 + 1 y = x 2 + 1 x 2 – 1 2 x 3 x 2 + 1 x 2 – 1 y = e sen x y = x −1 / x x −2 − ( 1 / x ) ( ln x – 1 ) grandes. y = e ( e x ) grandes. y = x e e x e − 1 y = x ( e x ) grandes. y = x x 3 x 6 1 y = x −1 / ln x y = e − ln x − 1 x 2 En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método. ∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t ∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x π − ln ( 2 ) grandes. d d x ∫ x 1 d t t d d x ∫ x x 2 d t t 1 x d d x ln ( sec x + tan x ) En los siguientes ejercicios, utilice la función ln x . Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora. Halle el área de la región encerrada por x = 1 y y = 5 arriba y = ln x . e 5 − 6 al cuadrado 2 [T] Calcule la longitud de arco de ln x de x = 1 a x = 2 . Halle el área entre ln x y el eje x de x = 1 para x = 2 . ln ( 4 ) − 1 al cuadrado 2 Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde x = 1 para x = 2 alrededor del eje x , como se muestra aquí. [T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de x = 1 a x = 2 alrededor del eje x . 2,8656 Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora. Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por x = 2 y y = 2 arriba y = 1 / x . [T] Calcule la longitud de arco de y = 1 / x de x = 1 para x = 4 . 3,1502 Halle el área bajo y = 1 / x y por encima del eje x de x = 1 para x = 4 . En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas. d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x – a x + a ) = 2 a ( x 2 − a 2 ) grandes. d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2 d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2 ∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C", "section": "Integrales, funciones exponenciales y logaritmos", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Crecimiento y decaimiento exponencial Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones. Modelo de crecimiento exponencial Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k es una constante positiva, denominada constante de crecimiento . Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos y ′ = k y 0 e k t = k y . Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales . Regla: modelo de crecimiento exponencial Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, denominada constante de crecimiento . El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La y la representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 y una constante de crecimiento de 0,02 . Observe que después de apenas 2 horas ( 120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original! Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias. Crecimiento exponencial de una población bacteriana Tiempo (min) Tamaño de la población (n.º de bacterias) 10 244 20 298 30 364 40 445 50 544 60 664 70 811 80 991 90 1.210 100 1.478 110 1.805 120 2.205 Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando. Crecimiento de la población Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función f ( t ) = 200 e 0,02 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 5 horas ( 300 minutos)? ¿Cuándo alcanza la población 100.000 bacterias? Tenemos f ( t ) = 200 e 0,02 t . Entonces f ( 300 ) = 200 e 0,02 ( 300 ) ≈ 80686 . Hay 80686 bacterias en la población después de 5 horas. Para saber cuándo la población alcanza 100.000 bacterias, resolvemos la ecuación 100.000 = 200 e 0,02 t 500 = e 0,02 t ln 500 = 0,02 t t = ln 500 0,02 ≈ 310,73. La población alcanza 100.000 bacterias después de 310,73 minutos. Consideremos una población de bacterias que crece según la función f ( t ) = 500 e 0,05 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población 100 millones de bacterias? Hay 81377396 bacterias en la población después de 4 horas. La población alcanza 100 millones de bacterias después de 244,12 minutos. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto . El interés que no se capitaliza se denomina interés simple . El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente 1 año). Así que, si ponemos $ 1.000 en una cuenta de ahorros ganando el 2 % de interés simple anual, entonces al final del año tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 ) = $ 1.020 . El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada 6 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 6 meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $ 1.000 , sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 2 ) 2 = $ 1020,10 . Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada 4 meses, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 3 ) 3 = $ 1020,13 , y si el interés se capitaliza diariamente ( 365 veces al año), tenemos $ 1020,20 . Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de t años tendremos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t . Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número e puede expresarse como un límite: e = lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m . Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma ( 1 + 1 / m ) . Supongamos que n = 0,02 m . Tenga en cuenta que como n → ∞ , m → ∞ también. Entonces obtenemos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t = 1.000 lím m → ∞ ( 1 + 0,02 0,02 m ) 0,02 m t = 1.000 [ lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m ] 0,02 t . Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número e . Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de t años viene dado por 1.000 e 0,02 t . Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $ P gana intereses a una tasa de r % , capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de t años es Saldo = P e r t . Interés compuesto A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga 5 % interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $ 1 millón cuando se jubile a la edad de 65 ? ¿Y si más bien pudiera ganar 6 % interés anual capitalizado continuamente? Tenemos 1.000.000 = P e 0,05 ( 40 ) P = 135.335,28. Debe invertir $ 135.335,28 a las 5 % interés. Si en cambio puede ganar 6 % , entonces la ecuación se convierte en 1.000.000 = P e 0,06 ( 40 ) P = 90.717,95. En este caso, solo necesita invertir $ 90.717,95 . Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al 5 % . El hecho de que el interés se capitalice de forma continua magnifica en gran medida el efecto del 1 % de aumento de la tasa de interés. Supongamos que en vez de invertir a la edad de 25 , el estudiante espera hasta la edad de 35 . ¿Cuánto tendría que invertir al 5 % ? A 6 % ? A 5 % interés, debe invertir $ 223130.16 . A 6 % interés, debe invertir $ 165298.89 . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de 100 a 200 que el que tarda para crecer de 10.000 al 20.000 bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos 2 y 0 = y 0 e k t 2 = e k t ln 2 = k t t = ln 2 k . Definición Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por Tiempo de duplicación = ln 2 k . Uso del tiempo de duplicación Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1.000 peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance 10.000 . ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario? Sabemos que la población de peces tarda 6 meses para duplicar su número. Así, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos 6 = ( ln 2 ) / k . Entonces, k = ( ln 2 ) / 6 . Así, la población viene dada por y = 500 e ( ( ln 2 ) / 6 ) t . Para saber cuándo la población alcanza 10.000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación: 10.000 = 500 e ( ln 2 / 6 ) t 20 = e ( ln 2 / 6 ) t ln 20 = ( ln 2 6 ) t t = 6 ( ln 20 ) ln 2 ≈ 25,93. Los amigos del dueño tienen que esperar 25,93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque. Supongamos que se necesita 9 meses para que la población de peces en el alcance 1.000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario? 38,90 meses Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Modelo de decrecimiento exponencial Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva k , tenemos y = y 0 e − k t . Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos y ′ = − k y 0 e − k t = − k y . Regla: modelo de decrecimiento exponencial Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo y = y 0 e − k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, llamada constante de decrecimiento . La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial. Ejemplo de decrecimiento exponencial. Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si T representa la temperatura del objeto y T a representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces T ′ = − k ( T − T a ) . Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional T a . Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que y ( t ) = T ( t ) − T a . Entonces y ′ ( t ) = T ′ ( t ) − 0 = T ′ ( t ) , y nuestra ecuación se convierte en y ′ = − k y . Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto, y = y 0 e − k t , y vemos que T − T a = ( T 0 − T a ) e − k t T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a donde T 0 representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo. Ley de enfriamiento de Newton Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre 155 ° F y 175 ° F . Supongamos que el café se vierte a una temperatura de 200 ° F , y después de 2 minutos en una habitación a 70 ° F el café se enfría a 180 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. Tenemos T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a 180 = ( 200 − 70 ) e − k ( 2 ) + 70 110 = 130 e −2 k 11 13 = e −2 k ln 11 13 = −2 k ln 11 − ln 13 = −2 k k = ln 13 − ln 11 2 . Entonces, el modelo es T = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 . El café alcanza 175 ° F cuando 175 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 105 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 21 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 21 26 = ln 11 − ln 13 2 t ln 21 − ln 26 = ln 11 − ln 13 2 t t = 2 ( ln 21 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 2,56. El café puede servirse alrededor de 2,5 minutos después de ser vertido. El café alcanza 155 ° F en 155 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 85 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 17 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 17 − ln 26 = ( ln 11 − ln 13 2 ) t t = 2 ( ln 17 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 5,09. El café está demasiado frío para ser servido cerca de 5 minutos después de ser vertido. Supongamos que la habitación está más cálida ( 75 ° F ) y, después de 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. El café se enfría lo suficiente como para servirlo alrededor de 3,5 minutos después de ser vertido. El café está demasiado frío para servir cerca de 7 minutos después de ser vertido. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos y 0 2 = y 0 e − k t 1 2 = e − k t − ln 2 = − k t t = ln 2 k . Nota : Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo. Definición Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por Semivida = ln 2 k . Datación por radiocarbono Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono El carbono- 14 decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del carbono- 14 es, aproximadamente, 5730 años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono- 14 original al nuevo y no radiactivo nitrógeno 14 . Si tenemos 100 g carbono- 14 hoy, cuánto quedará en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 10 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Tenemos 5730 = ln 2 k k = ln 2 5730 . Entonces, el modelo dice y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t . En 50 años, tenemos y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) ( 50 ) ≈ 99,40 . Por lo tanto, en 50 años, 99,40 g de carbono- 14 permanecerán. Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver 10 = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t 1 10 = e − ( ln 2 / 5730 ) t t ≈ 19.035. El artefacto tiene aproximadamente 19.000 años. Si tenemos 100 g de carbono- 14 , ¿cuánto queda después de t años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 20 g de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Un total de 94,13 g de carbono. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave El crecimiento y el decrecimiento exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales. Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t . En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, y ′ = k y . Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por ( ln 2 ) / k . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por ( ln 2 ) / k . ¿ Verdadero o falso ? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta. El tiempo de duplicación para y = e c t ¿es ( ln ( 2 ) ) / ( ln ( c ) ) . Si invierte $ 500 , a una tasa de interés anual de 3 % obtiene más dinero en el primer año que a 2,5 % de interés continuo. Verdadero Si deja una tetera a 100 ° C a temperatura ambiente ( 25 ° C ) y una olla idéntica en el refrigerador ( 5 ° C ) , con la k = 0,02 , el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable ( 70 ° C ) en más de 5 minutos antes que el té a temperatura ambiente. Dada una vida media de t años, la constante k por y = e k t se calcula mediante k = ln ( 1 / 2 ) / t . Falso; k = ln ( 2 ) t En los siguientes ejercicios, utilice y = y 0 e k t . Si un cultivo de bacterias se duplica en 3 horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por 10 ? Si las bacterias se multiplican por 10 en 10 horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por 100 ? 20 horas ¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. Si una reliquia contiene el 90 % de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente 2000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. No. La reliquia tiene aproximadamente 871 años. La población de El Cairo creció de 5 millones a 10 millones en 20 años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de 8 millones de dólares. Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a 1 % y 1,4 % al año, respectivamente. A partir de 8 millones (Nueva York) y 6 millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones? 71,92 años Supongamos que el valor de $ 1 en yenes japoneses disminuye en 2 % por año. A partir de $ 1 = ¥ 250 , ¿cuándo serán $ 1 = ¥ 1 ? El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de 40 % de la población recuerda un nuevo producto después de 3 días, ¿cuánto tiempo el 20 % lo recordará? 5 días 6 horas 27 minutos Si los valores de y = 1.000 a las t = 3 y y = 3.000 a las t = 4 , ¿cuál era y 0 en t = 0 ? Si y = 100 a las t = 4 en tanto que y = 10 a las t = 8 , ¿cuándo es y = 1 ? 12 Si un banco ofrece un interés anual de 7,5 % o un interés continuo de 7,25 % , ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual? ¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de 9 % ? 8,618 % Si deposita $ 5.000 al 8 % interés anual, en cuántos años se puede retirar $ 500 (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero? Usted está tratando de ahorrar $ 50 000 en 20 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al 10 % , ¿cuál es el monto de la inversión inicial? $ 6766,76 Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de 165 ° F . Después de 10 minutos de reposo del pavo en un apartamento a 70 ° F su temperatura alcanza 155 ° F . ¿Cuál es la temperatura del pavo 20 minutos después de sacarlo del horno? Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de 1 ° F . Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de 44 ° F . Revisa sus verduras 2 horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a 12 ° F . Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan 33 ° F . 9 horas 13 minutos Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea ( 146 millones de años a 65 millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un 0,000001 % de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo? El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24.000 años. Si los valores de 1 barril que contiene 10 kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10 g de plutonio-239? 239.179 años En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas. Años desde 1950 Población (millones) 0 2.556 10 3.039 20 3.706 30 4.453 40 5.279 50 6.083 60 6.849 Fuente : http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 2.686 e 0,01604 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? P ′ ( t ) = 43 e 0,01604 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? [T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza 10 mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro. La población alcanza 10 mil millones de personas en 2027 . En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX. Años desde 1850 Población (miles) 0 21,00 10 56,80 20 149,5 30 234,0 Fuente : http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 35,26 e 0,06407 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo? P ′ ( t ) = 2,259 e 0,06407 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? tiempo de duplicación si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dado por ( ln 2 ) / k decrecimiento exponencial los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t crecimiento exponencial los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t semivida si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que dicha cantidad tarda en reducirse a la mitad. 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{"text": "Cálculo de las funciones hiperbólicas En Introducción a funciones y gráficos se presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección veremos las fórmulas de diferenciación e integración de las funciones hiperbólicas y sus inversas. Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como senoh x = e x − e – x 2 y cosh x = e x + e – x 2 . Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de senoh x y cosh x . Los gráficos de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas. Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si se observa senoh x tenemos d d x ( senoh x ) = d d x ( e x − e – x 2 ) = 1 2 [ d d x ( e x ) − d d x ( e – x ) ] = 1 2 [ e x + e – x ] = cosh x . De la misma manera, ( d / d x ) cosh x = senoh x . Resumimos las fórmulas de diferenciación de las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh x cosh x cosh x senoh x tanh x sech 2 x coth x − csch 2 x sech x − sech x tanh x csch x − csch x coth x Comparemos las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: ( d / d x ) sen x = cos x y ( d / d x ) senoh x = cosh x . Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en el signo: ( d / d x ) cos x = − sen x , pero ( d / d x ) cosh x = senoh x . A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar. Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales. ∫ senoh u d u = cosh u + C ∫ csch 2 u d u = − coth u + C ∫ cosh u d u = senoh u + C ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C ∫ sech 2 u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Diferenciación de funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh ( x 2 ) ) grandes. d d x ( cosh x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos d d x ( senoh ( x 2 ) ) = cosh ( x 2 ) . 2 x d d x ( cosh x ) 2 = 2 cosh x senoh x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) = ( sech 2 ( x 2 + 3 x ) ) ( 2 x + 3 ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) = d d x ( senoh x ) −2 = −2 ( senoh x ) −3 cosh x Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes integrales: ∫ x cosh ( x 2 ) d x ∫ tanh x d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = x 2 . Entonces, d u = 2 x d x y ∫ x cosh ( x 2 ) d x = ∫ 1 2 cosh u d u = 1 2 senoh u + C = 1 2 senoh ( x 2 ) + C . Supongamos que u = cosh x . Entonces, d u = senoh x d x y ∫ tanh x d x = ∫ senoh x cosh x d x = ∫ 1 u d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C . Observe que cosh x > 0 para todo x , por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener ∫ tanh x d x = ln ( cosh x ) + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ senoh 3 x cosh x d x ∫ sech 2 ( 3 x ) d x ∫ senoh 3 x cosh x d x = senoh 4 x 4 + C ∫ sech 2 ( 3 x ) d x = tanh ( 3 x ) 3 + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u si es necesario. Cálculo de funciones hiperbólicas inversas Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla. Dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas Función Dominio Rango senoh −1 x ( − ∞ , ∞ ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. cosh −1 x [ 1 , ∞ ) grandes. [ 0 , ∞ ) grandes. tanh −1 x ( –1 , 1 ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. coth −1 x ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. sech −1 x ( 0 , 1 ] [ 0 , ∞ ) grandes. csch −1 x ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Los gráficos de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Para calcular las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos y = senoh −1 x senoh y = x d d x senoh y = d d x x cosh y d y d x = 1 . Recordemos que cosh 2 y − senoh 2 y = 1 , por lo que cosh y = 1 + senoh 2 y . Entonces, d y d x = 1 cosh y = 1 1 + senoh 2 y = 1 1 + x 2 . Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de forma similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh −1 x 1 1 + x 2 cosh −1 x 1 x 2 – 1 tanh −1 x 1 1 − x 2 coth −1 x 1 1 − x 2 sech −1 x −1 x 1 − x 2 csch −1 x −1 | x | 1 + x 2 Observe que las derivadas de tanh −1 x y coth −1 x son los mismos. Así, cuando integramos 1 / ( 1 − x 2 ) , tenemos que seleccionar la antiderivada adecuada en función del dominio de las funciones y de los valores de x . Las fórmulas de integración que involucran a las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera. ∫ 1 1 + u 2 d u = senoh −1 u + C ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − sech −1 | u | + C ∫ 1 u 2 – 1 d u = cosh −1 u + C ∫ 1 u 1 + u 2 d u = − csch −1 | u | + C ∫ 1 1 − u 2 d u = { tanh −1 u + C si | u | < 1 coth −1 u + C si | u | > 1 Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) grandes. d d x ( tanh −1 x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) = 1 3 1 + x 2 9 = 1 9 + x 2 d d x ( tanh −1 x ) 2 = 2 ( tanh −1 x ) 1 − x 2 Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) grandes. d d x ( coth −1 x ) 3 d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) = 3 9 x 2 – 1 d d x ( coth −1 x ) 3 = 3 ( coth −1 x ) 2 1 − x 2 Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 4 x 2 – 1 d x ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = 2 x . Entonces, d u = 2 d x y tenemos ∫ 1 4 x 2 – 1 d x = ∫ 1 2 u 2 – 1 d u = 1 2 cosh −1 u + C = 1 2 cosh −1 ( 2 x ) + C . Supongamos que u = 3 x . Entonces, d u = 3 d x y obtenemos ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − 1 2 sech −1 | u | + C = − 1 2 sech −1 | 3 x | + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 x 2 − 4 d x , x > 2 ∫ 1 1 − e 2 x d x ∫ 1 x 2 − 4 d x = cosh −1 ( x 2 ) + C ∫ 1 1 − e 2 x d x = − sech −1 ( e x ) + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u según sea necesario. Aplicaciones Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes . Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria . Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes. Las cadenas entre estos postes adoptan la forma de una catenaria (créditos: modificación del trabajo de OKFoundryCompany, Flickr). Las funciones hiperbólicas pueden utilizarse para modelar catenarias. En concreto, las funciones de la forma y = a cosh ( x / a ) son catenarias. La muestra el gráfico de y = 2 cosh ( x / 2 ) . Una función coseno hiperbólico tiene la forma de una catenaria. Uso de una catenaria para calcular la longitud de un cable Supongamos que un cable colgante tiene la forma 10 cosh ( x / 10 ) por −15 ≤ x ≤ 15 , donde x se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies). Recuerde de la sección 2.4 que la fórmula de la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Tenemos f ( x ) = 10 cosh ( x / 10 ) , por lo que f ′ ( x ) = senoh ( x / 10 ) . Entonces Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x . Recordemos que 1 + senoh 2 x = cosh 2 x , por lo que tenemos Longitud de arco = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x = ∫ −15 15 cosh ( x 10 ) d x = 10 senoh ( x 10 ) | −15 15 = 10 [ senoh ( 3 2 ) − senoh ( − 3 2 ) ] = 20 senoh ( 3 2 ) ≈ 42,586 pies . Supongamos que un cable colgante tiene la forma 15 cosh ( x / 15 ) por −20 ≤ x ≤ 20 . Determine la longitud del cable (en pies). 52,95 pies Pista Utilice el procedimiento del ejemplo anterior. Conceptos clave Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales. La diferenciación término a término permite obtener fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Estas fórmulas de diferenciación dan lugar, a su vez, a fórmulas de integración. Con las restricciones de rango adecuadas, todas las funciones hiperbólicas tienen inversas. La diferenciación implícita da lugar a fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas, que a su vez dan lugar a fórmulas de integración. Las aplicaciones físicas más comunes de las funciones hiperbólicas son los cálculos con catenarias. [T] Halle expresiones para cosh x + senoh x y cosh x − senoh x . Utilice una calculadora para representar gráficamente estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta. e x y e – x A partir de las definiciones de cosh ( x ) y senoh ( x ) , calcule sus antiderivadas. Demuestre que cosh ( x ) y senoh ( x ) satisfacen y ″ = y . Las respuestas pueden variar Utilice la regla del cociente para verificar que tanh ( x ) ′ = sech 2 ( x ) . Derive cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) = cosh ( 2 x ) de la definición. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para senoh ( 2 x ) . Pruebe que senoh ( x + y ) = senoh ( x ) cosh ( y ) + cosh ( x ) senoh ( y ) cambiando la expresión a exponenciales. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para cosh ( x + y ) . En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones y gráfico dados junto con la función para garantizar que su respuesta sea correcta. [T] cosh ( 3 x + 1 ) grandes. 3 senoh ( 3 x + 1 ) [T] senoh ( x 2 ) [T] 1 cosh ( x ) grandes. − tanh ( x ) sech ( x ) [T] senoh ( ln ( x ) ) [T] cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) grandes. 4 cosh ( x ) senoh ( x ) [T] cosh 2 ( x ) − senoh 2 ( x ) [T] tanh ( x 2 + 1 ) grandes. x sech 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 [T] 1 + tanh ( x ) 1 − tanh ( x ) [T] senoh 6 ( x ) grandes. 6 senoh 5 ( x ) cosh ( x ) [T] ln ( sech ( x ) + tanh ( x ) ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones dadas. cosh ( 2 x + 1 ) grandes. 1 2 senoh ( 2 x + 1 ) + C tanh ( 3 x + 2 ) grandes. x cosh ( x 2 ) grandes. 1 2 senoh 2 ( x 2 ) + C 3 x 3 tanh ( x 4 ) grandes. cosh 2 ( x ) senoh ( x ) grandes. 1 3 cosh 3 ( x ) + C tanh 2 ( x ) sech 2 ( x ) grandes. senoh ( x ) 1 + cosh ( x ) grandes. ln ( 1 + cosh ( x ) ) + C coth ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) + C ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones. tanh −1 ( 4 x ) grandes. 4 1 − 16 x 2 senoh −1 ( x 2 ) grandes. senoh −1 ( cosh ( x ) ) grandes. senoh ( x ) cosh 2 ( x ) + 1 cosh −1 ( x 3 ) grandes. tanh −1 ( cos ( x ) ) grandes. − csc ( x ) grandes. e senoh −1 ( x ) grandes. ln ( tanh −1 ( x ) ) grandes. − 1 ( x 2 – 1 ) tanh −1 ( x ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones. ∫ d x 4 − x 2 ∫ d x a 2 − x 2 1 a tanh −1 ( x a ) + C ∫ d x x 2 + 1 ∫ x d x x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ − d x x 1 − x 2 ∫ e x e 2 x – 1 cosh −1 ( e x ) + C ∫ − 2 x x 4 − 1 En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece a la ecuación d v / d t = g − v 2 . Demuestre que v ( t ) = g tanh ( ( g ) t ) satisface esta ecuación. Las respuestas pueden variar Derive la expresión anterior para v ( t ) integrando d v g − v 2 = d t . [T] Estime la caída de un cuerpo en 12 segundos calculando el área bajo la curva de v ( t ) . 37,30 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un cable que cuelga por su propio peso tiene una pendiente S = d y / d x que satisface d S / d x = c 1 + S 2 . La constante c es la relación entre la densidad del cable y la tensión. Demuestre que S = senoh ( c x ) satisface esta ecuación. Integre d y / d x = senoh ( c x ) para calcular la altura del cable y ( x ) si y ( 0 ) = 1 / c . y = 1 c cosh ( c x ) Haga un dibujo del cable y determine hasta qué punto se hunde en x = 0 . En los siguientes ejercicios, resuelva cada problema. [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen 2 m de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 2 cosh ( x / 2 ) − 1 . Calcule la pendiente de la catenaria en el poste de la valla de la izquierda. −0,521095 [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen cuatro metros de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 4 cosh ( x / 4 ) − 3 . Calcule la longitud total de la catenaria (longitud de arco). [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por y = 10 cosh ( x / 10 ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Qué observa? 10 Una línea telefónica es una catenaria descrita por y = a cosh ( x / a ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Confirma esto su respuesta a la pregunta anterior? Demuestre la fórmula de la derivada de y = senoh −1 ( x ) diferenciando x = senoh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = cosh −1 ( x ) diferenciando x = cosh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = sech −1 ( x ) diferenciando x = sech ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Compruebe que ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n = cosh ( n x ) + senoh ( n x ) . Demuestre la expresión para senoh −1 ( x ) . Multiplique x = senoh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y + e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Demuestre la expresión para cosh −1 ( x ) . Multiplique x = cosh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y − e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La cantidad de trabajo para bombear el agua de un cilindro medio lleno es la mitad de la cantidad de trabajo para bombear el agua del cilindro lleno. Falso Si la fuerza es constante, la cantidad de trabajo para mover un objeto de x = a a x = b ¿es F ( b – a ) . El método de disco puede utilizarse en cualquier situación en la que el método de las arandelas sirva para calcular el volumen de un sólido de revolución. Falso Si la semivida del seaborgio- 266 ¿es 360 ms, entonces k = ( ln ( 2 ) ) / 360 . En los siguientes ejercicios, utilice el método solicitado para determinar el volumen del sólido. El volumen que tiene como base la elipse x 2 / 4 + y 2 / 9 = 1 y secciones transversales de un triángulo equilátero perpendicular al eje y . Utilice el método de rebanadas. 32 3 y = x 2 − x , de x = 1 para x = 4 , girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas x = y 2 y x = 3 y girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas 162 π 5 x = 2 y 2 − y 3 , x = 0 , y y = 0 girado alrededor del eje x mediante capas cilíndricas En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región, el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje x , y el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje y . Utilice el método que le parezca más adecuado. y = x 3 , x = 0 , y = 0 , y x = 2 a. 4 , b. 128 π 7 , c. 64 π 5 y = x 2 − x y x = 0 [T] y = ln ( x ) + 2 y y = x a. 1,949 , b. 21,952 , c. 17,099 y = x 2 y y = x y = 5 + x , y = x 2 , x = 0 , y x = 1 a. 31 6 , b. 452 π 15 , c. 31 π 6 Por debajo de x 2 + y 2 = 1 y por encima de y = 1 − x Encuentre la masa de ρ = e – x en un disco centrado en el origen con radio 4 . 245,282 Halle el centro de masa para ρ = tan 2 x sobre x ∈ ( − π 4 , π 4 ) . Calcule la masa y el centro de masa de ρ = 1 en la región delimitada por y = x 5 y la intersección y = x . Masa: 1 2 , centro de masa: ( 18 35 , 9 22 ) En los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de arco solicitadas. La longitud de x por y = cosh ( x ) de x = 0 a x = 2 . La longitud de y para x = 3 − y a partir de y = 0 al y = 4 17 + 1 8 ln ( 33 + 8 17 ) En los siguientes ejercicios, calcule el área superficial y el volumen cuando las curvas dadas giran alrededor del eje especificado. La forma creada al girar la región entre y = 4 + x , y = 3 − x , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del eje y . El altavoz creado por al girar y = 1 / x de x = 1 a x = 4 alrededor del eje x . Volumen: 3 π 4 , área superficial: π ( 2 − senoh −1 ( 1 ) + senoh −1 ( 16 ) − 257 16 ) Para este ejercicio, consideremos la presa Karun-3 en Irán. Su forma puede aproximarse a la de un triángulo isósceles invertido que atraviesa el río, con una altura de 205 m y un ancho (en la parte superior de la presa) de 388 m. Supongamos que la profundidad actual del agua es de 180 m. La densidad del agua es de 1.000 kg/m 3 . Calcule la fuerza total sobre la pared de la presa. Usted es un investigador de la escena del crimen que intenta determinar la hora de la muerte de una víctima. Es mediodía y hace 45 ° F afuera y la temperatura del cuerpo es 78 ° F . Sabe que la constante de enfriamiento es k = 0,00824 ° F/min . ¿Cuándo murió la víctima, suponiendo que la temperatura de un ser humano es 98 ° F ? 11:02 a.m. En el siguiente ejercicio, considere la caída de la bolsa en 1929 en Estados Unidos. La tabla muestra el promedio industrial del Dow Jones por año hasta la caída. Años después de 1920 Valor ($) 1 63,90 3 100 5 110 7 160 9 381,17 Fuente: http://stockcharts.com/freecharts/historical/djia19201940.html [T] La curva exponencial que mejor se ajusta a estos datos viene dada por y = 40,71 + 1,224 x . ¿Por qué cree que las ganancias del mercado fueron insostenibles? Utilice las derivadas primera y segunda para justificar su respuesta. ¿Cuál sería la predicción de este modelo para el promedio industrial de Dow Jones en 2014 ? En los siguientes ejercicios, considera la catenoide, el único sólido de revolución que tiene una superficie mínima, o curvatura promedio de cero. Una catenoide en la naturaleza puede encontrarse al estirar el jabón entre dos anillos. Calcule el volumen de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 para x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x , como se muestra aquí. π ( 1 + senoh ( 1 ) cosh ( 1 ) ) Calcule el área superficial de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 a x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x . catenaria una curva con la forma de la función y = a cosh ( x / a ) es una catenaria; un cable de densidad uniforme suspendido entre dos soportes adopta la forma de una catenaria", "section": "Cálculo de las funciones hiperbólicas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Tabla de integrales Integrales básicas 1. ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 2. ∫ d u u = ln | u | + C 3. ∫ e u d u = e u + C 4. ∫ a u d u = a u ln a + C 5. ∫ sin u d u = −cos u + C 6. ∫ cos u d u = sen u + C 7. ∫ sec 2 u d u = tan u + C 8. ∫ csc 2 u d u = −cot u + C 9. ∫ sec u tan u d u = sec u + C 10. ∫ csc u cot u d u = −csc u + C 11. ∫ tan u d u = ln | sec u | + C 12. ∫ cot u d u = ln | sin u | + C 13. ∫ sec u d u = ln | sec u + tan u | + C 14. ∫ csc u d u = ln | csc u − cot u | + C 15. ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u a + C 16. ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C 17. ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 u a + C Integrales trigonométricas 18. ∫ sen 2 u d u = 1 2 u − 1 4 sen 2 u + C 19. ∫ cos 2 u d u = 1 2 u + 1 4 sen 2 u + C 20. ∫ tan 2 u d u = tan u − u + C 21. ∫ cot 2 u d u = − cot u − u + C 22. ∫ sen 3 u d u = − 1 3 ( 2 + sen 2 u ) cos u + C 23. ∫ cos 3 u d u = 1 3 ( 2 + cos 2 u ) sin u + C 24. ∫ tan 3 u d u = 1 2 tan 2 u + ln | cos u | + C 25. ∫ cot 3 u d u = − 1 2 cot 2 u − ln | sin u | + C 26. ∫ sec 3 u d u = 1 2 sec u tan u + 1 2 ln | sec u + tan u | + C 27. ∫ csc 3 u d u = − 1 2 csc u cot u + 1 2 ln | csc u − cot u | + C 28. ∫ sin n u d u = − 1 n sen n – 1 u cos u + n – 1 n ∫ sin n – 2 u d u 29. ∫ cos n u d u = 1 n cos n – 1 u sin u + n – 1 n ∫ cos n – 2 u d u 30. ∫ tan n u d u = 1 n – 1 tan n – 1 u − ∫ tan n – 2 u d u 31. ∫ cot n u d u = −1 n – 1 cot n – 1 u − ∫ cot n – 2 u d u 32. ∫ sec n u d u = 1 n – 1 tan u sec n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 u d u 33. ∫ csc n u d u = −1 n – 1 cot u csc n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ csc n – 2 u d u 34. ∫ sen a u sin b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) − sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 35. ∫ cos a u cos b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) + sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 36. ∫ sen a u cos b u d u = − cos ( a − b ) u 2 ( a − b ) − cos ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 37. ∫ u sin u d u = sen u − u cos u + C 38. ∫ u cos u d u = cos u + u sin u + C 39. ∫ u n sin u d u = − u n cos u + n ∫ u n – 1 cos u d u 40. ∫ u n cos u d u = u n sin u − n ∫ u n – 1 sin u d u 41. ∫ sin n u cos m u d u = − sen n – 1 u cos m + 1 u n + m + n – 1 n + m ∫ sin n – 2 u cos m u d u = sen n + 1 u cos m − 1 u n + m + m − 1 n + m ∫ sin n u cos m − 2 u d u Integrales exponenciales y logarítmicas 42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 ( a u − 1 ) e a u + C 43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u − n a ∫ u n – 1 e a u d u 44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a sin b u − b cos b u ) + C 45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a cos b u + b sin b u ) + C 46. ∫ ln u d u = u ln u − u + C 47. ∫ u n ln u d u = u n + 1 ( n + 1 ) 2 [ ( n + 1 ) ln u − 1 ] + C 48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C Integrales hiperbólicas 49. ∫ senoh u d u = cosh u + C 50. ∫ cosh u d u = senoh u + C 51. ∫ tanh u d u = ln cosh u + C 52. ∫ coth u d u = ln | senoh u | + C 53. ∫ sech u d u = tan −1 | senoh u | + C 54. ∫ csch u d u = ln | tanh 1 2 u | + C 55. ∫ sech 2 u d u = tanh u + C 56. ∫ csch 2 u d u = − coth u + C 57. ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C 58. ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Integrales trigonométricas inversas 59. ∫ sen −1 u d u = u sin −1 u + 1 − u 2 + C 60. ∫ cos −1 u d u = u cos −1 u − 1 − u 2 + C 61. ∫ tan −1 u d u = u tan −1 u − 1 2 ln ( 1 + u 2 ) + C 62. ∫ u sin −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 sin −1 u + u 1 − u 2 4 + C 63. ∫ u cos −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 cos −1 u − u 1 − u 2 4 + C 64. ∫ u tan −1 u d u = u 2 + 1 2 tan −1 u − u 2 + C 65. ∫ u n sin −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 sin −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 66. ∫ u n cos −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 cos −1 u + ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 67. ∫ u n tan −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 tan −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 + u 2 ] , n ≠ − 1 Integrales que implican a 2 + u 2 , a > 0 68. ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 69. ∫ u 2 a 2 + u 2 d u = u 8 ( a 2 + 2 u 2 ) a 2 + u 2 − a 4 8 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 70. ∫ a 2 + u 2 u d u = a 2 + u 2 − a ln | a + a 2 + u 2 u | + C 71. ∫ a 2 + u 2 u 2 d u = − a 2 + u 2 u + ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 72. ∫ d u a 2 + u 2 = ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 73. ∫ u 2 d u a 2 + u 2 = u 2 ( a 2 + u 2 ) − a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 74. ∫ d u u a 2 + u 2 = − 1 a ln | a 2 + u 2 + a u | + C 75. ∫ d u u 2 a 2 + u 2 = − a 2 + u 2 a 2 u + C 76. ∫ d u ( a 2 + u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 + u 2 + C Integrales que implican u 2 - a 2 , a > 0 77. ∫ u 2 − a 2 d u = u 2 u 2 − a 2 − a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 78. ∫ u 2 u 2 − a 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) u 2 − a 2 − a 4 8 ln | u + u 2 − a 2 | + C 79. ∫ u 2 − a 2 u d u = u 2 − a 2 − a cos −1 a | u | + C 80. ∫ u 2 − a 2 u 2 d u = − u 2 − a 2 u + ln | u + u 2 − a 2 | + C 81. ∫ d u u 2 − a 2 = ln | u + u 2 − a 2 | + C 82. ∫ u 2 d u u 2 − a 2 = u 2 u 2 − a 2 + a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 83. ∫ d u u 2 u 2 − a 2 = u 2 − a 2 a 2 u + C 84a. ∫ d u ( u 2 − a 2 ) 3 / 2 = − u a 2 u 2 − a 2 + C 84b. ∫ d u u 2 − a 2 = 1 2 a ln u − a u + a + C Integrales que implican a 2 - u 2 , a > 0 85. ∫ a 2 − u 2 d u = u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 86. ∫ u 2 a 2 − u 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) a 2 − u 2 + a 4 8 sin −1 u a + C 87. ∫ a 2 − u 2 u d u = a 2 − u 2 − a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 88. ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − 1 u a 2 − u 2 − sin −1 u a + C 89. ∫ u 2 d u a 2 − u 2 = − u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 90. ∫ d u u a 2 − u 2 = − 1 a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 91. ∫ d u u 2 a 2 − u 2 = − 1 a 2 u a 2 − u 2 + C 92. ∫ ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 d u = − u 8 ( 2 u 2 − 5 a 2 ) a 2 − u 2 + 3 a 4 8 sin −1 u a + C 93a. ∫ d u ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 − u 2 + C 93b. ∫ d u a 2 − u 2 = 1 2 a ln u + a u − a + C Integrales que implican 2 au - u 2 , a > 0 94. ∫ 2 a u − u 2 d u = u − a 2 2 a u − u 2 + a 2 2 cos −1 ( a − u a ) + C 95. ∫ d u 2 a u − u 2 = cos −1 ( a − u a ) + C 96. ∫ u 2 a u − u 2 d u = 2 u 2 − a u − 3 a 2 6 2 a u − u 2 + a 3 2 cos −1 ( a − u a ) + C 97. ∫ d u u 2 a u − u 2 = − 2 a u − u 2 a u + C Integrales que implican a + bu , a ≠ 0 98. ∫ u d u a + b u = 1 b 2 ( a + b u − a ln | a + b u | ) + C 99. ∫ u 2 d u a + b u = 1 2 b 3 [ ( a + b u ) 2 − 4 a ( a + b u ) + 2 a 2 ln | a + b u | ] + C 100. ∫ d u u ( a + b u ) = 1 a ln | u a + b u | + C 101. ∫ d u u 2 ( a + b u ) = − 1 a u + b a 2 ln | a + b u u | + C 102. ∫ u d u ( a + b u ) 2 = a b 2 ( a + b u ) + 1 b 2 ln | a + b u | + C 103. ∫ u d u u ( a + b u ) 2 = 1 a ( a + b u ) − 1 a 2 ln | a + b u u | + C 104. ∫ u 2 d u ( a + b u ) 2 = 1 b 3 ( a + b u − a 2 a + b u − 2 a ln | a + b u | ) + C 105. ∫ u a + b u d u = 2 15 b 2 ( 3 b u − 2 a ) ( a + b u ) 3 / 2 + C 106. ∫ u d u a + b u = 2 3 b 2 ( b u − 2 a ) a + b u + C 107. ∫ u 2 d u a + b u = 2 15 b 3 ( 8 a 2 + 3 b 2 u 2 − 4 a b u ) a + b u + C 108. ∫ d u u a + b u = 1 a ln | a + b u − a a + b u + a | + C , si a > 0 = 2 − a tan − 1 a + b u − a + C , si a < 0 109. ∫ a + b u u d u = 2 a + b u + a ∫ d u u a + b u 110. ∫ a + b u u 2 d u = − a + b u u + b 2 ∫ d u u a + b u 111. ∫ u n a + b u d u = 2 b ( 2 n + 3 ) [ u n ( a + b u ) 3 / 2 − n a ∫ u n – 1 a + b u d u ] 112. ∫ u n d u a + b u = 2 u n a + b u b ( 2 n + 1 ) − 2 n a b ( 2 n + 1 ) ∫ u n – 1 d u a + b u 113. ∫ d u u n a + b u = − a + b u a ( n – 1 ) u n – 1 − b ( 2 n − 3 ) 2 a ( n – 1 ) ∫ d u u n – 1 a + b u", "section": "Tabla de integrales", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Tabla de derivadas Fórmulas generales 1. d d x ( c ) = 0 2. d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) 3. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) 4. d d x ( x n ) = n x n – 1 , para los números reales n 5. d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) 6. d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) 7. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 8. d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) · g ′ ( x ) Funciones trigonométricas 9. d d x ( sen x ) = cos x 10. d d x ( tan x ) = sec 2 x 11. d d x ( sec x ) = sec x tan x 12. d d x ( cos x ) = − sen x 13. d d x ( cot x ) = − csc 2 x 14. d d x ( csc x ) = −csc x cot x Funciones trigonométricas inversas 15. d d x ( sin −1 x ) = 1 1 − x 2 16. d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 17. d d x ( sec −1 x ) = 1 | x | x 2 – 1 18. d d x ( cos −1 x ) = − 1 1 − x 2 19. d d x ( cot −1 x ) = − 1 1 + x 2 20. d d x ( csc −1 x ) = − 1 | x | x 2 – 1 Funciones exponenciales y logarítmicas 21. d d x ( e x ) = e x 22. d d x ( ln | x | ) = 1 x 23. d d x ( b x ) = b x ln b 24. d d x ( log b x ) = 1 x ln b Funciones hiperbólicas 25. d d x ( senoh x ) = cosh x 26. d d x ( tanh x ) = sech 2 x 27. d d x ( sech x ) = −sech x tanh x 28. d d x ( cosh x ) = senh x 29. d d x ( coth x ) = − csch 2 x 30. d d x ( csch x ) = −csch x coth x Funciones hiperbólicas inversas 31. d d x ( senoh −1 x ) = 1 x 2 + 1 32. d d x ( tanh −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | < 1 ) 33. d d x ( sech −1 x ) = − 1 x 1 − x 2 ( 0 < x < 1 ) 34. d d x ( cosh −1 x ) = 1 x 2 – 1 ( x > 1 ) 35. d d x ( coth −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | > 1 ) 36. d d x ( csch −1 x ) = − 1 | x | 1 + x 2 ( x ≠ 0 )", "section": "Tabla de derivadas", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Repaso de Precálculo Fórmulas de geometría Los términos A = área , V = Volumen , y S = área superficial lateral Fórmulas de álgebra Leyes de los exponentes Los términos x m x n = x m + n x m x n = x m − n ( x m ) n = x m n x − n = 1 x n ( x y ) n = x n y n ( x y ) n = x n y n x 1 / n = x n x y n = x n y n x y n = x n y n x m / n = x m n = ( x n ) m Factorizaciones especiales Los términos x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) Fórmula cuadrática Si los valores de a x 2 + b x + c = 0 , entonces x = − b ± b 2 − 4 c a 2 a . Teorema del binomio Los términos ( a + b ) n = a n + ( n 1 ) a n – 1 b + ( n 2 ) a n – 2 b 2 + ⋯ + ( n n – 1 ) a b n – 1 + b n , donde ( n k ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! k ! ( n − k ) ! Fórmulas de trigonometría Trigonometría de ángulo recto Los términos sen θ = opp hyp csc θ = hyp opp cos θ = adj hyp sec θ = hyp adj tan θ = opp adj cot θ = adj opp Funciones trigonométricas de ángulos importantes Los términos θ Los términos Radianes Los términos sen θ Los términos cos θ Los términos tan θ Los términos 0 ° Los términos 0 Los términos 0 Los términos 1 Los términos 0 Los términos 30 ° Los términos π / 6 Los términos 1 / 2 Los términos 3 / 2 Los términos 3 / 3 Los términos 45 ° Los términos π / 4 Los términos 2 / 2 Los términos 2 / 2 Los términos 1 Los términos 60 ° Los términos π / 3 Los términos 3 / 2 Los términos 1 / 2 Los términos 3 Los términos 90 ° Los términos π / 2 Los términos 1 Los términos 0 — Identidades fundamentales Los términos sen 2 θ + cos 2 θ = 1 sen ( − θ ) = − sen θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ cos ( − θ ) = cos θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ tan ( − θ ) = − tan θ sin ( π 2 − θ ) = cos θ sin ( θ + 2 π ) = sen θ cos ( π 2 − θ ) = sen θ cos ( θ + 2 π ) = cos θ tan ( π 2 − θ ) = cot θ tan ( θ + π ) = tan θ Ley de senos Los términos sin A a = sin B b = sin C c Ley de los cosenos Los términos a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C Fórmulas de suma y resta Los términos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sen x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y Fórmulas del ángulo doble Los términos sen 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 − 2 sen 2 x tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x Fórmulas de ángulo mitad Los términos sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2", "section": "Repaso de Precálculo", "book": "Cálculo volumen 1", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-1"}
{"text": "Prefacio Bienvenido a Cálculo volumen 2 , un recurso de OpenStax. Este libro de texto fue escrito para aumentar el acceso de los estudiantes a material de aprendizaje de alta calidad, a la vez que se mantienen los más altos estándares de rigor académico a bajo costo o sin costo. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad Rice. Nuestra misión es brindarles a los estudiantes mayor acceso a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012. Desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 20 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP que consultan cientos de miles de estudiantes. Nuestra tecnología de aprendizaje adaptativo, diseñada para mejorar los resultados del aprendizaje a través de rutas educativas personalizadas, se está probando en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Cálculo volumen 2 tiene una licencia de Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional (CC BY-NC-SA), lo que significa que puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido, no utilice el contenido para fines comerciales y distribuya el contenido conforme a la misma licencia CC-BY-NC-SA. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada se puede poner a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en openstax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en línea, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en openstax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en openstax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de openStax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Sobre Cálculo volumen 2 Cálculo está diseñado para el típico curso de cálculo general de dos o tres semestres, incorporando características innovadoras para mejorar el aprendizaje del estudiante. El libro guía a los estudiantes a través de los conceptos básicos del cálculo y los ayuda a entender cómo esos conceptos se aplican a sus vidas y al mundo que los rodea. Debido al carácter exhaustivo del material, ofrecemos el libro en tres volúmenes para mayor flexibilidad y eficacia. El volumen 2 abarca integración, ecuaciones diferenciales, secuencias y series y ecuaciones paramétricas y coordenadas polares. Cobertura y alcance Nuestro libro de texto de Cálculo volumen 2 se adhiere al alcance y la secuencia de la mayoría de los cursos de cálculo general en todo el país. Hemos trabajado para que el cálculo sea interesante y accesible para los estudiantes, a la vez que se mantiene el rigor matemático inherente a la asignatura. Con este objetivo en mente, el contenido de los tres volúmenes de Cálculo se han desarrollado y organizado para proporcionar una progresión lógica desde los conceptos fundamentales hasta los más avanzados, con base en lo que los estudiantes ya han aprendido y haciendo hincapié en las conexiones entre los temas y entre la teoría y las aplicaciones. La meta de cada sección es que los estudiantes no solo reconozcan los conceptos, sino que trabajen con estos de forma que les resulten útiles en cursos posteriores y en sus futuras carreras. La organización y las características pedagógicas se desarrollaron y examinaron con los aportes de educadores de matemáticas dedicados al proyecto. Volumen 1 Capítulo 1: Funciones y gráficos Capítulo 2: Límites Capítulo 3: Derivadas Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Capítulo 5: Integración Capítulo 6: Aplicaciones de la integración Volumen 2 Capítulo 1: Integración Capítulo 2: Aplicaciones de la integración Capítulo 3: Técnicas de integración Capítulo 4: Introducción a las ecuaciones diferenciales Capítulo 5: Secuencias y series Capítulo 6: Serie de potencias Capítulo 7: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Volumen 3 Capítulo 1: Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Capítulo 2: Vectores en el espacio Capítulo 3: Funciones de valores factoriales Capítulo 4: Diferenciación de funciones de varias variables Capítulo 5: Integración múltiple Capítulo 6: Cálculo vectorial Capítulo 7: Ecuaciones diferenciales de segundo orden Fundamentos pedagógicos En Cálculo volumen 2 encontrará ejemplos y ejercicios que presentan ideas y técnicas clásicas, así como aplicaciones y métodos modernos. Las derivaciones y explicaciones se basan en años de experiencia en el aula por parte de profesores de cálculo de larga trayectoria, que se esfuerzan por lograr un equilibrio de claridad y rigor que ha demostrado ser exitoso con sus estudiantes. Las aplicaciones motivacionales abarcan temas importantes de probabilidad, biología, ecología, negocios y economía, así como áreas de física, química, ingeniería e informática. Los proyectos estudiantiles de cada capítulo ofrecen a los estudiantes la oportunidad de explorar interesantes aspectos secundarios de las matemáticas puras y aplicadas: desde demostrar que el número e es irracional hasta calcular el centro de masa del Skywalk del Gran Cañón o la velocidad límite de un paracaidista. En Aplicaciones de apertura del capítulo se plantean problemas que se resuelven más adelante mediante las ideas tratadas en ese capítulo. Los problemas incluyen la fuerza hidráulica contra la presa Hoover y la comparación de la intensidad relativa de dos terremotos. Se destacan definiciones, reglas y teoremas a lo largo del texto, lo que incluye más de 60 pruebas de teoremas. Evaluaciones que refuerzan los conceptos clave Los ejemplos en el capítulo guían a los estudiantes a través de los problemas planteando una pregunta, exponiendo una solución y luego pidiendo a los estudiantes que practiquen la habilidad con un componente de \"Compruebe lo que ha aprendido\". El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo, para que los estudiantes apliquen lo que han aprendido a través de problemas de práctica. Muchos ejercicios están marcados con una [T] para indicar que se pueden resolver con ayuda de la tecnología, lo que incluye calculadoras o sistemas de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS). Las respuestas de los ejercicios seleccionados están disponibles en una Clave de respuestas al final del libro. El libro también incluye evaluaciones al final de cada capítulo, para que los estudiantes apliquen lo que han aprendido a través de problemas de práctica. Momentos trascendentales tempranos o tardíos Cálculo volumen 2 está diseñado para dar cabida a los enfoques trascendentales tempranos y tardíos del cálculo. Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en el capítulo 2. La integración de estas funciones se trata en el capítulo 1 para los instructores que quieran incluirlas con otros tipos de funciones. Estas discusiones, sin embargo, se encuentran en secciones separadas que pueden ser omitidas por los instructores que prefieren esperar hasta que se den las definiciones integrales antes de enseñar las derivaciones de cálculo de exponenciales y logaritmos. Amplio programa artístico Nuestro programa artístico está diseñado para mejorar la comprensión de los estudiantes de los conceptos a través de ilustraciones, diagramas y fotografías claros y eficaces. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para estudiantes como para instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y láminas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en openstax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Recursos para socios Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos para socios de su texto, visite la página de su libro en openstax.org. Sobre los autores Autores colaboradores principales Gilbert Strang, Massachusetts Institute of Technology El Dr. Strang obtuvo su doctorado en la UCLA en 1959 y desde entonces enseña matemáticas en el MIT. Su libro de texto de Cálculo en línea es uno de los once que ha publicado y es la base de la que se ha derivado nuestro producto final, actualizado para el estudiante de hoy. Strang es un matemático condecorado y antiguo becario de Rhodes en la Oxford University. Edwin \"Jed\" Herman, University of Wisconsin-Stevens Point El Dr. Herman se licenció en Matemáticas en Harvey Mudd College en 1985, obtuvo una maestría en Matemáticas en la UCLA en 1987 y un doctorado en Matemáticas en la University of Oregon en 1997. Actualmente es profesor en la University of Wisconsin-Stevens Point. Tiene más de 20 años de experiencia en la enseñanza de las matemáticas en la universidad, es un mentor de investigación de los estudiantes, tiene experiencia en el desarrollo/diseño de cursos, y también es un ávido diseñador y jugador de juegos de mesa. Autores colaboradores Catherine Abbott, Keuka College Nicoleta Virginia Bila, Fayetteville State University Sheri J. Boyd, Rollins College Joyati Debnath, Winona State University Valeree Falduto, Palm Beach State College Joseph Lakey, New Mexico State University Julie Levandosky, Framingham State University David McCune, William Jewell College Michelle Merriweather, Bronxville High School Kirsten R. Messer, Colorado State University - Pueblo Alfred K. Mulzet, Florida State College at Jacksonville William Radulovich (retired), Florida State College at Jacksonville Erica M. Rutter, Arizona State University David Smith, University of the Virgin Islands Elaine A. Terry, Saint Joseph’s University David Torain, Hampton University Revisores Marwan A. Abu-Sawwa, Florida State College at Jacksonville Kenneth J. Bernard, Virginia State University John Beyers, University of Maryland Charles Buehrle, Franklin & Marshall College Matthew Cathey, Wofford College Michael Cohen, Hofstra University William DeSalazar, Broward County School System Murray Eisenberg, University of Massachusetts Amherst Kristyanna Erickson, Cecil College Tiernan Fogarty, Oregon Institute of Technology David French, Tidewater Community College Marilyn Gloyer, Virginia Commonwealth University Shawna Haider, Salt Lake Community College Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Jerry Jared, The Blue Ridge School Peter Jipsen, Chapman University David Johnson, Lehigh University M.R. Khadivi, Jackson State University Robert J. Krueger, Concordia University Tor A. Kwembe, Jackson State University Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Cheryl Chute Miller, SUNY Potsdam Bagisa Mukherjee, Penn State University, Worthington Scranton Campus Kasso Okoudjou, University of Maryland College Park Peter Olszewski, Penn State Erie, The Behrend College Steven Purtee, Valencia College Alice Ramos, Bethel College Doug Shaw, University of Northern Iowa Hussain Elalaoui-Talibi, Tuskegee University Jeffrey Taub, Maine Maritime Academy William Thistleton, SUNY Polytechnic Institute A. David Trubatch, Montclair State University Carmen Wright, Jackson State University Zhenbu Zhang, Jackson State University", "section": "Prefacio", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción La navegación sobre hielo es un deporte de invierno muy popular en algunas zonas del norte de Estados Unidos y Europa (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Los botes deslizadores sobre hielo son una visión habitual en los lagos de Wisconsin y Minnesota los fines de semana de invierno. Estos botes son similares a los de vela, pero están equipados con patines y están diseñados para deslizarse sobre el hielo, en vez de sobre el agua. Pueden desplazarse muy rápidamente, y muchos entusiastas de la navegación sobre hielo se sienten atraídos por este deporte debido a la velocidad. Los mejores navegadores de estas embarcaciones pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Si sabemos a qué velocidad se mueve un bote deslizador sobre hielo, podemos utilizar la integración para determinar la distancia que recorre. Volveremos a tratar esta cuestión más adelante en el capítulo (consulte el ). Determinar la distancia a partir de la velocidad es solo una de las muchas aplicaciones de la integración. De hecho, las integrales se utilizan en una gran variedad de aplicaciones mecánicas y físicas. En este capítulo, comenzaremos presentando la teoría detrás de la integración y utilizaremos las integrales para calcular áreas. A partir de ahí, desarrollaremos el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la diferenciación y la integración. A continuación, estudiaremos algunas técnicas básicas de integración y examinamos brevemente algunas aplicaciones.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Aproximación de áreas A Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma. Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Estas áreas se suman para hacer una aproximación del área de la región curva. En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f ( x ) , y el eje x en un intervalo cerrado [ a , b ] . Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva. Empecemos por introducir algunas notaciones para facilitar los cálculos. A continuación, consideraremos el caso en el que f ( x ) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, atenuaremos algunas de estas restricciones y desarrollaremos técnicas que se aplican en casos más generales. Notación sigma (notación de sumatoria) Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria ). La letra mayúscula griega Σ , sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 . Probablemente omitiríamos la escritura de un par de términos y escribiríamos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20 , que es mejor, pero sigue siendo engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como ∑ i = 1 20 i , que es mucho más compacta. Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma ∑ i = 1 n a i donde a i describe los términos a añadir, y la i se denomina índice . Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n . Por ejemplo, una expresión como ∑ i = 2 7 s i se interpreta como s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 + s 7 . Tenga en cuenta que el índice solo se utiliza para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no entra en el cálculo de la suma en sí. Por lo tanto, el índice se denomina variable ficticia . Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan i , j , k , m y n para los índices. Probemos un par de ejemplos de uso de la notación sigma. Uso de la notación sigma Escriba en notación sigma y evalúe la suma de términos 3 i por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Escriba la suma en notación sigma 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 . Escriba ∑ i = 1 5 3 i = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 = 363. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Utilizando la notación sigma, esta suma puede escribirse como ∑ i = 1 5 1 i 2 . Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos 2 i para i = 3 , 4 , 5 , 6 . ∑ i = 3 6 2 i = 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 = 120 Pista Utilice los pasos de resolución en la como guía. Las propiedades asociadas al proceso de suma se dan en la siguiente regla. Regla: propiedades de la notación sigma Supongamos que a 1 , a 2 ,…, a n y b 1 , b 2 ,…, b n representan dos secuencias de términos y supongamos c una constante. Las siguientes propiedades se cumplen para todos los enteros positivos n y para los enteros m , con 1 ≤ m ≤ n . ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Prueba Demostramos aquí las propiedades 2. y 3., y dejamos la demostración de las demás propiedades para los Ejercicios. 2. Tenemos ∑ i = 1 n c a i = c a 1 + c a 2 + c a 3 + ⋯ + c a n = c ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) = c ∑ i = 1 n a i . 3. Tenemos ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) + ( a 3 + b 3 ) + ⋯ + ( a n + b n ) = ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) + ( b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i . □ Unas cuantas fórmulas más para las funciones más frecuentes simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente regla: sumas y potencias de números enteros , y las utilizamos en el siguiente conjunto de ejemplos. Regla: sumas de potencias de números enteros La suma de n números enteros viene dada por ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . La suma de enteros consecutivos al cuadrado viene dada por ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . La suma de enteros consecutivos elevada al cubo viene dada por ∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . Evaluación mediante la notación sigma Escriba utilizando la notación sigma y evalúe: La suma de los términos ( i − 3 ) 2 por i = 1 , 2 ,…, 200 . La suma de los términos ( i 3 − i 2 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicando ( i − 3 ) 2 , podemos descomponer la expresión en tres términos ∑ i = 1 200 ( i − 3 ) 2 = ∑ i = 1 200 ( i 2 − 6 i + 9 ) = ∑ i = 1 200 i 2 – ∑ i = 1 200 6 i + ∑ i = 1 200 9 = ∑ i = 1 200 i 2 − 6 ∑ i = 1 200 i + ∑ i = 1 200 9 = 200 ( 200 + 1 ) ( 400 + 1 ) 6 − 6 [ 200 ( 200 + 1 ) 2 ] + 9 ( 200 ) = 2686700 − 120.600 + 1800 = 2567900 Utilice la propiedad iv de la notación sigma y las reglas de la suma de términos al cuadrado y las de la suma de términos al cubo ∑ i = 1 6 ( i 3 − i 2 ) = ∑ i = 1 6 i 3 − ∑ i = 1 6 i 2 = 6 2 ( 6 + 1 ) 2 4 − 6 ( 6 + 1 ) ( 2 ( 6 ) + 1 ) 6 = 1764 4 − 546 6 = 350 Halle la suma de los valores de 4 + 3 i por i = 1 , 2 ,…, 100 . 15.550 Pista Utilice las propiedades de la notación sigma para resolver el problema. Hallar la suma de los valores de la función Halle la suma de los valores de f ( x ) = x 3 sobre los enteros 1 , 2 , 3 ,…, 10 . Con la fórmula tenemos ∑ i = 1 10 i 3 = ( 10 ) 2 ( 10 + 1 ) 2 4 = 100 ( 121 ) 4 = 3025. Evalúe la suma indicada por la notación ∑ k = 1 20 ( 2 k + 1 ) . 440 Pista Utilice la regla de la suma de potencias de números enteros. Aproximación del área Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Queremos aproximar el área A delimitada por f ( x ) arriba, el eje abajo, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha ( ). El área (región sombreada) delimitada por la curva f ( x ) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha. ¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera. Comenzamos dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos de anchos iguales, b – a n . Lo hacemos seleccionando puntos igualmente espaciados x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n con la x 0 = a , x n = b , y x i − x i − 1 = b – a n por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Denotamos la anchura de cada subintervalo con la notación Δ x , por lo que Δ x = b – a n y x i = x 0 + i Δ x por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Esta noción de dividir un intervalo [ a , b ] en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia en la aproximación del área bajo una curva, así que vamos a definir alguna terminología relevante. Definición Un conjunto de puntos P = { x i } por i = 0 , 1 , 2 ,…, n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b , que divide el intervalo [ a , b ] en subintervalos de la forma [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] ,…, [ x n – 1 , x n ] se llama una partición de [ a , b ] . Si todos los subintervalos tienen la misma anchura, el conjunto de puntos forma una partición regular del intervalo [ a , b ] . Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación examinamos dos métodos: aproximación en el punto del extremo izquierdo y la aproximación en el punto del extremo derecho. Regla: aproximación del extremo izquierdo En cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] (para i = 1 , 2 , 3 ,…, n ) , construya un rectángulo con anchura Δ x y altura igual a f ( x i − 1 ) , que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es f ( x i − 1 ) Δ x . Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A ( ). Utilizamos la notación L n para denotar que se trata de una aproximación del punto del extremo izquierdo de A utilizando n subintervalos. A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x En la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la izquierda de cada subintervalo. El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del punto del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo. Regla: aproximación del extremo derecho Construir un rectángulo en cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] , solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f ( x i ) en el punto del extremo derecho del subintervalo. Entonces, el área de cada rectángulo es f ( x i ) Δ x y la aproximación para A está dada por A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x . La notación R n indica que se trata de una aproximación en el punto del extremo derecho de A ( ). En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo. Nótese que la aproximación del punto del extremo derecho difiere de la aproximación del punto del extremo izquierdo en la . Los gráficos de la representan la curva f ( x ) = x 2 2 . En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [ 0 , 3 ] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5. Así, Δ x = 0,5 . A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al x i − 1 , punto del extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f ( x i − 1 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Los intervalos son [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] , [ 2 , 2,5 ] , [ 2,5 , 3 ] . Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura. Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f ( x ) y el eje x . Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo. Por lo tanto, A ≈ L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i − 1 ) Δ x = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x = f ( 0 ) 0,5 + f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 = ( 0 ) 0,5 + ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 = 3,4375. Métodos de aproximación del área bajo una curva utilizando (a) los puntos extremos de la izquierda y (b) los puntos extremos de la derecha. En la (b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a x i de manera que x i es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f ( x i ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicamos cada f ( x i ) por Δ x para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas. Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) . Por lo tanto, A ≈ R 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i ) Δ x = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x + f ( x 6 ) Δ x = f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 + f ( 3 ) 0,5 = ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 + ( 4,5 ) 0,5 = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 = 5,6875. Aproximación del área bajo una curva Utilice las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; utilice n = 4 . En primer lugar, divida el intervalo [ 0 , 2 ] en n subintervalos iguales. Utilizando n = 4 , Δ x = ( 2 − 0 ) 4 = 0,5 . Esta es la anchura de cada rectángulo. Los intervalos [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] se muestran en la . Utilizando una aproximación al punto del extremo izquierdo, las alturas son f ( 0 ) = 0 , f ( 0,5 ) = 0,25 , f ( 1 ) = 1 , f ( 1,5 ) = 2,25 . Entonces, L 4 = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x = 0 ( 0,5 ) + 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) = 1,75. El gráfico muestra la aproximación de los puntos del extremo izquierdo del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del punto del extremo derecho se muestra en la . Los intervalos son los mismos, Δ x = 0,5 , pero ahora se utiliza el punto del extremo derecho para calcular la altura de los rectángulos. Tenemos R 4 = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x = 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) + 4 ( 0,5 ) = 3,75. El gráfico muestra la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del extremo izquierdo es 1,75; la aproximación del extremo derecho es 3,75. Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f ( x ) = 1 x en [ 1 , 2 ] ; utilice n = 4 . Aproxime el área utilizando ambos métodos. La aproximación del extremo izquierdo es de 0,7595. La aproximación del punto final derecho es 0,6345. Pista Siga la estrategia de resolución en la paso a paso. Al observar la y los gráficos en el , podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más fino, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión. Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar n , primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos. A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva. La muestra el área de la región bajo la curva f ( x ) = ( x – 1 ) 3 + 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n = 4 . La anchura de cada rectángulo es Δ x = 2 − 0 4 = 1 2 . El área se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos, o L 4 = f ( 0 ) ( 0,5 ) + f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) 0,5 = 7,5. Con una aproximación al extremo izquierdo y dividiendo la región de a a b en cuatro intervalos iguales, el área bajo la curva es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos. La muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n = 8 . Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es L 8 = f ( 0 ) ( 0,25 ) + f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) = 7,75. La región bajo la curva se divide en áreas rectangulares n = 8 de igual anchura para una aproximación al extremo izquierdo. El gráfico en la muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es L 32 = f ( 0 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 1,9375 ) ( 0,0625 ) = 7,9375. En este caso, se inscriben 32 rectángulos bajo la curva para una aproximación al punto del extremo izquierdo. Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho. Una aproximación al extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos ( ), produce un área R 4 = f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) ( 0,5 ) + f ( 2 ) ( 0,5 ) = 8,5. Ahora dividimos el área bajo la curva en cuatro subintervalos iguales para una aproximación al punto del extremo derecho. Dividiendo la región en el intervalo [ 0 , 2 ] en ocho rectángulos da como resultado Δ x = 2 − 0 8 = 0,25 . El gráfico se muestra en la . El área es R 8 = f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) + f ( 2 ) ( 0,25 ) = 8,25. Aquí utilizamos la aproximación del punto del extremo derecho para un área dividida en ocho subintervalos iguales. Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n = 32 se acerca al área real ( ). El área es aproximadamente R 32 = f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,1875 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 2 ) ( 0,0625 ) = 8,0625. La región se divide en 32 subintervalos iguales para una aproximación al extremo derecho. Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta. Además, a medida que aumenta n , tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas. La muestra una comparación numérica de los métodos del punto del extremo izquierdo y del derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva son cada vez mejores a medida que n se hace más grande es muy importante, y exploraremos esa idea con más detalle. Valores convergentes de las aproximaciones de los puntos del extremo izquierdo y derecho cuando n aumenta. Los valores de n Área aproximada L n Área aproximada R n n = 4 7,5 8,5 n = 8 7,75 8,25 n = 32 7,94 8,06 Formulación de sumas de Riemann Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [ x i − 1 , x i ] . En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto x i del subintervalo [ x i − 1 , x i ] , y usamos f ( x i * ) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, que desarrolló la idea. Definición Supongamos que f ( x ) se define en un intervalo cerrado [ a , b ] y que P sea una partición regular de [ a , b ] . Sea Δ x la anchura de cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] y para cada i , supongamos que x i * es cualquier punto en [ x i − 1 , x i ] . Una suma de Riemann se define para f ( x ) como ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n . Ahora estamos preparados para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann. Definición Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa en un intervalo [ a , b ] , y supongamos que ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x es una suma de Riemann para f ( x ) . Entonces, el área bajo la curva y = f ( x ) sobre [ a , b ] viene dada por A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann. Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f ( x ) a medida que x llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo Secuencias y series ; pero por ahora podemos asumir que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también se pueden usar para calcular límites de sumas. En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de { x i * } . Afortunadamente, esto no ocurre. Aunque la prueba está fuera del alcance de este texto, se puede demostrar que si f ( x ) es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , entonces lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único (es decir, no depende de la opción de { x i * } ). En breve veremos algunos ejemplos, pero antes dediquemos un momento para hablar de algunas opciones específicas para { x i * } . Aunque cualquier opción para { x i * } nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimación) o demasiado baja (subestimación). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para { x i * } a fin de garantizar un resultado u otro. Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir { x i * } tal que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [ x i − 1 , x i ] . En otras palabras, elegimos { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor máximo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Si seleccionamos { x i * } de esta manera, entonces la suma de Riemann ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x se denomina suma superior . Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor mínimo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior . Observe que si f ( x ) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo [ a , b ] , entonces los valores máximos y mínimos de la función se encuentran en los puntos de los extremos de los subintervalos, por lo que las sumas superiores e inferiores son iguales a las aproximaciones de los puntos de los extremos izquierdo y derecho. Hallar sumas inferiores y superiores Halle una suma inferior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 subintervalos. Con n = 4 en el intervalo [ 1 , 2 ] , Δ x = 1 4 . Podemos enumerar los intervalos como [ 1 , 1,25 ] , [ 1,25 , 1,5 ] , [ 1,5 , 1,75 ] , [ 1,75 , 2 ] . Ya que la función es decreciente en el intervalo [ 1 , 2 ] , la muestra que se obtiene una suma inferior utilizando los puntos del extremo derecho. El gráfico de f ( x ) = 10 − x 2 se establece para una aproximación del punto del extremo derecho del área limitada por la curva y el eje x en [ 1 , 2 ] , y muestra una suma inferior. La suma de Riemann es ∑ k = 1 4 ( 10 − x 2 ) ( 0,25 ) = 0,25 [ 10 − ( 1,25 ) 2 + 10 − ( 1,5 ) 2 + 10 − ( 1,75 ) 2 + 10 − ( 2 ) 2 ] = 0,25 [ 8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6 ] = 7,28. La superficie de 7,28 es una suma inferior y una subestimación. Halle una suma superior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 . Dibuje la aproximación. Suma superior = 8,0313 . Pista f ( x ) es decreciente en [ 1 , 2 ] , para que los valores máximos de la función se produzcan en los extremos izquierdos de los subintervalos. Halle sumas inferiores y superiores para f ( x ) = sen x Halle una suma inferior para f ( x ) = sen x en el intervalo [ a , b ] = [ 0 , π 2 ] ; supongamos que n = 6 . Veamos primero el gráfico en la para tener una mejor idea del área de interés. El gráfico de y = sen x se divide en seis regiones: Δ x = π / 2 6 = π 12 . Los intervalos son [ 0 , π 12 ] , [ π 12 , π 6 ] , [ π 6 , π 4 ] , [ π 4 , π 3 ] , [ π 3 , 5 π 12 ] , y [ 5 π 12 , π 2 ] . Observe que f ( x ) = sen x es creciente en el intervalo [ 0 , π 2 ] , por lo que una aproximación al extremo izquierdo nos da la suma inferior. Una aproximación al extremo izquierdo es la suma de Riemann ∑ i = 0 5 sen x i ( π 12 ) . Tenemos A ≈ sen ( 0 ) ( π 12 ) + sen ( π 12 ) ( π 12 ) + sen ( π 6 ) ( π 12 ) + sen ( π 4 ) ( π 12 ) + sen ( π 3 ) ( π 12 ) + sen ( 5 π 12 ) ( π 12 ) = 0,863. Al utilizar la función f ( x ) = sen x en el intervalo [ 0 , π 2 ] , halle una suma superior; supongamos que n = 6 . A ≈ 1,125 Pista Siga los pasos del . Conceptos clave El uso de la notación sigma (notación de sumatoria) de la forma ∑ i = 1 n a i es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta. Para una función continua definida en un intervalo [ a , b ] , el proceso de dividir el intervalo en n partes iguales, extender un rectángulo en el gráfico de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos y luego sumar las áreas da una aproximación del área de esa región. La anchura de cada rectángulo es Δ x = b – a n . La suma de Riemann es una expresión de la forma ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , y puede utilizarse para estimar el área bajo la curva y = f ( x ) . Las aproximaciones del punto de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de { x i * } se eligen entre los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente. Las sumas de Riemann permiten una gran flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos { x i * } en la que se evalúa la función, a menudo con el objetivo de obtener una suma inferior o una suma superior. Ecuaciones clave Propiedades de la notación sigma ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Sumas de potencias de números enteros ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 Aproximación del punto del extremo izquierdo A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x Aproximación del punto del extremo derecho A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales. ∑ i = 1 10 i y ∑ k = 1 10 k ∑ i = 1 10 i y ∑ i = 6 15 ( i − 5 ) grandes. ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ j = 0 9 ( j + 1 ) j ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ k = 1 10 ( k 2 − k ) a. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. b. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. c. Son iguales sustituyendo j = i − 1 . d. Son iguales; la primera suma factoriza los términos de la segunda. En los siguientes ejercicios, utilice las reglas de las sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas. ∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i 2 385 − 30 = 355 Supongamos que ∑ i = 1 100 a i = 15 y ∑ i = 1 100 b i = −12 . En los siguientes ejercicios, calcule las sumas. ∑ i = 1 100 ( a i + b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( a i − b i ) grandes. 15 − ( −12 ) = 27 ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) grandes. 5 ( 15 ) + 4 ( −12 ) = 27 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de la suma y las fórmulas para reescribir y evaluar las sumas. ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) grandes. ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) grandes. ∑ j = 1 50 j 2 − 2 ∑ j = 1 50 j = ( 50 ) ( 51 ) ( 101 ) 6 − 2 ( 50 ) ( 51 ) 2 = 40 , ​ 375 ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) grandes. ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] 4 ∑ k = 1 25 k 2 − 100 ∑ k = 1 25 k = 4 ( 25 ) ( 26 ) ( 51 ) 6 − 50 ( 25 ) ( 26 ) = −10 , ​ 400 Supongamos que L n denota la suma del punto del extremo izquierdo utilizando n subintervalos y que R n denotan la suma correspondiente del punto del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas a la izquierda y a la derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado. L 4 para f ( x ) = 1 x – 1 sobre [ 2 , 3 ] R 4 para g ( x ) = cos ( π x ) sobre [ 0 , 1 ] R 4 = −0,25 L 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 = 0,372 R 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 = 2,20 R 4 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 = 0,6875 Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = ( 2 − | x | ) sobre [ −2 , 2 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = ( 3 − | 3 − x | ) sobre [ 0 , 6 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . L 6 = 9,000 = R 6 . El gráfico de f es un triángulo de área 9. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] y compare sus valores. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = 9 − ( x − 3 ) 2 en [ 0 , 6 ] y compare sus valores. L 6 = 13,12899 = R 6 . Son iguales. Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe. L 30 para f ( x ) = x 2 en [ 1 , 2 ] L 10 para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] L 10 = 4 10 ∑ i = 1 10 4 − ( −2 + 4 ( i − 1 ) 10 ) 2 R 20 para f ( x ) = sen x en [ 0 , π ] R 100 para ln x en [ 1 , e ] R 100 = e − 1 100 ∑ i = 1 100 ln ( 1 + ( e − 1 ) i 100 ) En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿El área bajo la curva en el intervalo dado se aproxima mejor mediante la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, coloque \"ninguno\". [T] L 100 y R 100 para y = x 2 − 3 x + 1 en el intervalo [ −1 , 1 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] R 100 = 0,33835 , L 100 = 0,32835 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. [T] L 50 y R 50 para y = x + 1 x 2 – 1 en el intervalo [ 2 , 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 3 en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = −0,02 , R 100 = 0,02 . La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, una aproximación al extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones de los puntos finales izquierdo y derecho. [T] L 50 y R 50 para y = tan ( x ) en el intervalo [ 0 , π 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = e 2 x en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = 3,555 , R 100 = 3,670 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. Sea t j el tiempo que tardó Tejay van Garteren en recorrer la etapa j del Tour de Francia en 2014. Si hubiera un total de 21 etapas, interprete ∑ j = 1 21 t j . Supongamos que r j denota la precipitación total en Portland en el día j del año en 2009. Interprete ∑ j = 1 31 r j . La suma representa las precipitaciones acumuladas en enero de 2009. Supongamos que d j denotan las horas de luz y δ j el aumento de las horas de luz desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, en el día j del año. Interprete d 1 + ∑ j = 2 365 δ j . Para ponerse en forma, Joe recibe un nuevo par de zapatillas para correr. Si Joe corre 1 mi cada día en la semana 1 y añade 1 10 mi a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total de los zapatos de Joe después de 25 semanas? El kilometraje total es 7 × ∑ i = 1 25 ( 1 + ( i − 1 ) 10 ) = 7 × 25 + 7 10 × 12 × 25 = 385 mi . La siguiente tabla ofrece valores aproximados de la tasa promedio anual del aumento del dióxido de carbono (CO 2 ) en la atmósfera por cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Calcule el aumento total del CO 2 atmosférico entre 1964 y 2013. Aumento anual promedio del CO 2 atmosférico, 1964-2013 Década Ppm/año 1964-1973 1,07 1974-1983 1,34 1984-1993 1,40 1994-2003 1,87 2004-2013 2,07 Fuente : http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/. La siguiente tabla indica el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas a lo largo de 20 años a partir de un año determinado. Calcule el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010. Aumentos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870-1990 Año de inicio Cambio en 20 años 1870 0,3 1890 1,5 1910 0,2 1930 2,8 1950 0,7 1970 1,1 1990 1,5 Fuente : http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1 Sume los números para obtener un aumento neto de 8,1 in. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio del galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 era de 2,60 dólares, ¿cuál era el precio promedio de un galón de gasolina en 1950? Aumentos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Año de inicio Cambio en 10 años 1950 0,03 1960 0,05 1970 0,86 1980 –0,03 1990 0,29 2000 1,12 Fuente : http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf. La siguiente tabla indica el porcentaje de crecimiento de la población estadounidense a partir de julio del año indicado. Si la población de Estados Unidos era de 281.421.906 habitantes en julio de 2000, calcule la población de Estados Unidos en julio de 2010. Crecimiento porcentual anual de la población estadounidense, 2000-2009 Año % de cambio/año 2000 1,12 2001 0,99 2002 0,93 2003 0,86 2004 0,93 2005 0,93 2006 0,97 2007 0,96 2008 0,95 2009 0,88 Fuente : http://www.census.gov/popest/data. ( Pista: Para obtener la población en julio de 2001, multiplique la población en julio de 2000 por 1,0112 para obtener 284.573.831). 309.389.957 En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L 8 . L 8 = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24 L 8 = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44 [T] Utiliza un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , por N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] . [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 1 + x 2 en [ −1 , 1 ] . L 10 ≈ 1,7604 , L 30 ≈ 1,7625 , L 50 ≈ 1,76265 [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = sen 2 x en [ 0 , 2 π ] . Compara estas estimaciones con π . En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas que puede hallar mediante la geometría? [T] y = cos ( π x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] R 1 = −1 , L 1 = 1 , R 10 = −0,1 , L 10 = 0,1 , L 100 = 0,01 , y R 100 = −0,1 . Por simetría del gráfico, el área exacta es cero. [T] y = 3 x + 2 en el intervalo [ 3 , 5 ] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . [T] y = x 4 − 5 x 2 + 4 en el intervalo [ −2 , 2 ] , que tiene un área exacta de 32 15 R 1 = 0 , L 1 = 0 , R 10 = 2,4499 , L 10 = 2,4499 , R 100 = 2,1365 , L 100 = 2,1365 [T] y = ln x en el intervalo [ 1 , 2 ] , que tiene un área exacta de 2 ln ( 2 ) − 1 Explique por qué, si f ( a ) ≥ 0 y f es creciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite inferior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] bajo uno de los rectángulos de la suma del punto del extremo izquierdo, entonces el área del rectángulo que contribuye a la estimación del punto del extremo izquierdo es f ( c ) ( d − c ) . Pero, f ( c ) ≤ f ( x ) por c ≤ x ≤ d , por lo que el área bajo el gráfico de f entre c y d es f ( c ) ( d − c ) más el área por debajo del gráfico de f pero por encima del segmento de línea horizontal a la altura f ( c ) , que es positivo. Como esto se cumple en cada intervalo de suma del extremo izquierdo, se deduce que la suma de Riemann izquierda es menor o igual que el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Explique por qué, si f ( b ) ≥ 0 y f es decreciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite superior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Demuestre que, en general, R N − L N = ( b – a ) × f ( b ) − f ( a ) N . L N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i − 1 N ) = b – a N ∑ i = 0 N − 1 f ( a + ( b – a ) i N ) y R N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i N ) . La suma de la izquierda tiene un término correspondiente a i = 0 y la suma de la derecha tiene un término correspondiente a i = N . En R N − L N , cualquier término correspondiente a i = 1 , 2 ,…, N − 1 aparece una vez con el signo más y otra con el signo menos, por lo que cada uno de estos términos se anula y uno queda R N − L N = b – a N ( f ( a + ( b – a ) ) N N ) − ( f ( a ) + ( b – a ) 0 N ) = b – a N ( f ( b ) − f ( a ) ) . Explique por qué, si f es creciente en [ a , b ] , el error entre L N o R N y el área A bajo el gráfico de f es como máximo ( b – a ) f ( b ) − f ( a ) N . Para cada uno de los tres gráficos: Obtenga un límite inferior L ( A ) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva. Obtener un límite superior U ( A ) para el área añadiendo a L ( A ) las áreas B ( A ) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva . Gráfico 1: a. L ( A ) = 0 , B ( A ) = 20 ; b. U ( A ) = 20 . Gráfico 2: a. L ( A ) = 9 ; b. B ( A ) = 11 , U ( A ) = 20 . Gráfico 3: a. L ( A ) = 11,0 ; b. B ( A ) = 4,5 , U ( A ) = 15,5 . En el ejercicio anterior, explique por qué L ( A ) no se hace más pequeño mientras U ( A ) no se hace más grande al subdividir los cuadrados en cuatro casillas de áreas iguales. Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen ( 2 π n ) . La base del triángulo exterior es B = cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) y la altura es H = B sen ( 2 π n ) . Utiliza esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π . Supongamos que A es el área del círculo unitario. El círculo encierra n triángulos congruentes de área sen ( 2 π n ) 2 , por lo que n 2 sen ( 2 π n ) ≤ A . De la misma manera, el círculo está contenido en n triángulos congruentes de área B H 2 = 1 2 ( cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) ) sen ( 2 π n ) , por lo que A ≤ n 2 sen ( 2 π n ) ( cos ( π n ) ) + sen ( π n ) tan ( π n ) . A medida que n → ∞ , n 2 sen ( 2 π n ) = π sen ( 2 π n ) ( 2 π n ) → π , por lo que concluimos π ≤ A . Además, como n → ∞ , cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) → 1 , por lo que también tenemos A ≤ π . Por el teorema del emparedado para los límites, concluimos que A = π . aproximación del punto del extremo izquierdo aproximación del área bajo una curva que se calcula utilizando el punto del extremo izquierdo de cada subintervalo para calcular la altura de los lados verticales de cada rectángulo suma inferior suma obtenida utilizando el valor mínimo de f ( x ) en cada subintervalo partición conjunto de puntos que divide un intervalo en subintervalos partición regular partición en la que los subintervalos tienen todos el mismo ancho suma de Riemann estimación del área bajo la curva de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x aproximación del punto del extremo derecho aproximación del punto del extremo derecho es una aproximación del área de los rectángulos bajo una curva utilizando el punto del extremo derecho de cada subintervalo para construir los lados verticales de cada rectángulo notación sigma (también, notación de sumatoria ) la letra griega sigma (Σ) indica la suma de los valores; los valores del índice por encima y por debajo de la sigma indican dónde empezar la suma y dónde terminarla suma superior suma obtenida utilizando el valor máximo de f ( x ) en cada subintervalo", "section": "Aproximación de áreas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "La integral definida En el apartado anterior definimos el área bajo una curva en términos de las sumas de Riemann: A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Sin embargo, esta definición tenía restricciones. Necesitábamos que f ( x ) fuera continua y no negativa. Desafortunadamente, los problemas del mundo real no siempre se ajustan a estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida. Definición y notación La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f ( x ) sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue. Definición Si f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , b ] , la integral definida de f de a a b viene dada por ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función f ( x ) se dice que es integrable en [ a , b ] , o que es una función integrable . El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas , donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida. La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz , a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, [ a , b ] . Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración ; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que n → ∞ . En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración . Llamamos a la función f ( x ) el integrando , y la dx indica que f ( x ) es una función con respecto a x , que se denomina variable de integración . Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia , y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( u ) d u Anteriormente, discutimos el hecho de que si f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces el límite lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas. Las funciones continuas son integrables Si los valores de f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces f es integrable en [ a , b ] . Funciones que no son continuas en [ a , b ] puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables. También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann. Evaluación de una integral mediante la definición Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 2 x 2 d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. Primero queremos establecer una suma de Riemann. Con base en los límites de integración, tenemos a = 0 y b = 2 . Para i = 0 , 1 , 2 ,…, n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ 0 , 2 ] . Entonces Δ x = b – a n = 2 n . Como estamos utilizando una aproximación al punto del extremo derecho para generar sumas de Riemann, para cada i , necesitamos calcular el valor de la función en el punto del extremo derecho del intervalo [ x i − 1 , x i ] . El punto del extremo derecho del intervalo es x i , y como P es una partición regular, x i = x 0 + i Δ x = 0 + i [ 2 n ] = 2 i n . Por lo tanto, el valor de la función en el extremo derecho del intervalo es f ( x i ) = x i 2 = ( 2 i n ) 2 = 4 i 2 n 2 . Entonces la suma de Riemann toma la forma ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = ∑ i = 1 n ( 4 i 2 n 2 ) 2 n = ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 . Utilizando la fórmula de la suma para ∑ i = 1 n i 2 , tenemos ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 8 n 3 [ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ] = 8 n 3 [ 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 ] = 16 n 3 + 24 n 2 + 8 n 6 n 3 = 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 . Ahora, para calcular la integral definida, necesitamos tomar el límite dado que n → ∞ . Obtenemos ∫ 0 2 x 2 d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lím n → ∞ ( 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 ) = lím n → ∞ ( 8 3 ) + lím n → ∞ ( 4 n ) + lím n → ∞ ( 8 6 n 2 ) = 8 3 + 0 + 0 = 8 3 . Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 3 ( 2 x – 1 ) d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. 6 Pista Utilice la estrategia de resolución de la . Evaluación de integrales definidas Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x . Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x . La función describe un semicírculo con radio 3. Para hallar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x , queremos hallar el área bajo la curva en el intervalo [ 3 , 6 ] . La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 . El área de un semicírculo es justo la mitad del área de un círculo, o A = ( 1 2 ) π r 2 . El área sombreada en la cubre la mitad del semicírculo, o A = ( 1 4 ) π r 2 . Por lo tanto, ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 = 1 4 π ( 3 ) 2 = 9 4 π ≈ 7,069. El valor de la integral de la función f ( x ) en el intervalo [ 3 , 6 ] es el área de la región sombreada. Utilice la fórmula del área de un trapecio para evaluar ∫ 2 4 ( 2 x + 3 ) d x . 18 unidades cuadradas Pista Grafique la función f ( x ) y calcule el área bajo la función en el intervalo [ 2 , 4 ] . El área y la integral definida Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que f ( x ) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos \"el área bajo la curva\" cuando f ( x ) es negativo? Área neta señalada Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función f ( x ) = 2 − 2 x 2 (que se muestra en la ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Utilice n = 8 y elegir { x i * } como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura f ( x i * ) y de anchura Δ x . Cuando f ( x i * ) es positivo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando f ( x i * ) es negativo, sin embargo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en ∑ i = 1 8 f ( x i * ) Δ x = ( Área de los rectángulos sobre el eje x ) − ( Área de los rectángulos por debajo del eje x ) Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x . Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x , menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x , como se muestra en la . Entonces, ∫ 0 2 f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = A 1 − A 2 . La cantidad A 1 − A 2 se denomina área neta señalada . En el límite, la integral definida es igual al área A 1 menos el área A 2 , o el área neta señalada. Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero. Hallar el área neta señalada Calcule el área neta señalada entre la curva de la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . La función produce una línea recta que forma dos triángulos: uno de x = −3 al x = 0 y el otro de x = 0 hasta x = 3 ( ). Utilizando la fórmula geométrica del área de un triángulo, A = 1 2 b h , el área del triángulo A 1 , sobre el eje, es A 1 = 1 2 3 ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 2 ( 3 ) = 6 es la altura. El área del triángulo A 2 , por debajo del eje, es A 2 = 1 2 ( 3 ) ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 6 la altura. Así, el área neta es ∫ −3 3 2 x d x = A 1 − A 2 = 9 − 9 = 0 . El área por encima de la curva y por debajo del eje x es igual al área por debajo de la curva y por encima del eje x . Análisis Si A 1 es el área por encima del eje x y A 2 es el área por debajo del eje x , entonces el área neta es A 1 − A 2 . Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero. Halle el área neta señalada de f ( x ) = x − 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] , que se ilustra en la siguiente imagen. 6 Pista Utilice el método de resolución descrito en la . Área total Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de v ( t ) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes. Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original ( ). Utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 70 d t = 140 . El área bajo la curva v ( t ) = 75 nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado. En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial ( ). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 −40 d t = 120 − 120 = 0, En este caso el desplazamiento es cero. El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero. Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x , independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total . Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es ∫ 0 2 | 60 | d t + ∫ 2 5 | –40 | d t = ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 40 d t = 120 + 120 = 240. Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones. Definición Supongamos que f ( x ) es una función integrable definida en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que A 1 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A 2 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b f ( x ) d x = A 1 − A 2 . El área total entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b | f ( x ) | d x = A 1 + A 2 . Hallar el área total Halle el área total entre f ( x ) = x − 2 y el eje x en el intervalo [ 0 , 6 ] . Calcule la intersección x como ( 2 , 0 ) (establezca y = 0 , resuelva para x ). Para hallar el área total, tome el área bajo el eje x sobre el subintervalo [ 0 , 2 ] y añádalo al área sobre el eje x en el subintervalo [ 2 , 6 ] ( ). El área total entre la línea y el eje x sobre [ 0 , 6 ] es A 2 más A 1 . Tenemos ∫ 0 6 | ( x − 2 ) | d x = A 2 + A 1 . Entonces, utilizando la fórmula del área de un triángulo, obtenemos A 2 = 1 2 b h = 1 2 . 2 . 2 = 2 A 1 = 1 2 b h = 1 2 . 4 . 4 = 8 . El área total, entonces, es A 1 + A 2 = 8 + 2 = 10 . Halle el área total entre la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . 18 Pista Revise la estrategia de resolución en la . Propiedades de la integral definida Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas. Regla: propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una línea y no contiene área. ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x Si los límites se invierten, se coloca un signo negativo delante de la integral. ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x La integral de una suma es la suma de las integrales. ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales. ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c . La integral del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x Aunque esta fórmula se aplica normalmente cuando c está entre a y b , la fórmula es válida para todos los valores de a , b y c , siempre que f ( x ) sea integrable en el intervalo mayor. Usar las propiedades de la integral definida Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = −3 x 3 + 2 x + 2 en el intervalo [ −2 , 1 ] como la suma de tres integrales definidas. Utilizando la notación integral, tenemos ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x . Aplicamos las propiedades 3. y 5. para obtener ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x = ∫ –2 1 −3 x 3 d x + ∫ –2 1 2 x d x + ∫ –2 1 2 d x = −3 ∫ –2 1 x 3 d x + 2 ∫ –2 1 x d x + ∫ –2 1 2 d x . Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 3 en el intervalo [ 1 , 3 ] como la suma de cuatro integrales definidas. 6 ∫ 1 3 x 3 d x − 4 ∫ 1 3 x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x d x − ∫ 1 3 3 d x Pista Utilice la estrategia de resolución de la y las propiedades de las integrales definidas. Usar las propiedades de la integral definida Si se sabe que ∫ 0 8 f ( x ) d x = 10 y ∫ 0 5 f ( x ) d x = 5 , halle el valor de ∫ 5 8 f ( x ) d x . Por la propiedad 6., ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . Por lo tanto, ∫ 0 8 f ( x ) d x = ∫ 0 5 f ( x ) d x + ∫ 5 8 f ( x ) d x 10 = 5 + ∫ 5 8 f ( x ) d x 5 = ∫ 5 8 f ( x ) d x . Si se sabe que ∫ 1 5 f ( x ) d x = −3 y ∫ 2 5 f ( x ) d x = 4 , halle el valor de ∫ 1 2 f ( x ) d x . −7 Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las propiedades de las integrales definidas. Propiedades de comparación de las integrales A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f ( x ) está por encima de otra función g ( x ) , entonces el área entre f ( x ) y el eje x es mayor que el área entre g ( x ) y el eje x . Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a < b , a = b , o a > b . Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso a ≤ b , y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales. Teorema de comparación Si los valores de f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 . Si f ( x ) ≥ g ( x ) para a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x . Si m y M son constantes tales que m ≤ f ( x ) ≤ M por a ≤ x ≤ b , entonces m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Comparación de dos funciones en un intervalo dado Compare f ( x ) = 1 + x 2 y g ( x ) = 1 + x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Es necesario graficar estas funciones para entender cómo se comparan en el intervalo [ 0 , 1 ] . Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, f ( x ) parece estar por encima de g ( x ) en todas partes. Sin embargo, en el intervalo [ 0 , 1 ] , los gráficos parecen estar superpuestos. Tenemos que acercarnos para ver que, en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) está por encima de f ( x ) . Las dos funciones se intersecan en x = 0 y x = 1 ( ). (a) La función f ( x ) aparece sobre la función g ( x ) excepto en el intervalo [ 0 , 1 ] (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación lo muestra más claramente. Podemos ver en el gráfico que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) . Comparación de las integrales en el intervalo especificado [ 0 , 1 ] , también vemos que ∫ 0 1 g ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f ( x ) d x ( ). La zona delgada y sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales en el intervalo [ 0 , 1 ] . (a) El gráfico muestra que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) , donde la igualdad se mantiene solo en los puntos extremos del intervalo. (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación muestra esto más claramente. Valor promedio de una función A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto, 89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69 6 = 482 6 ≈ 80,33 . Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas. Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v ( t ) que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t , y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función v ( t ) adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta. Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos de anchura Δ x = ( b – a ) / n . Elija un representante x i * en cada subintervalo y calcule f ( x i * ) por i = 1 , 2 ,…, n . En otras palabras, considere cada f ( x i * ) como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n , que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos. Pero sabemos que Δ x = b – a n , por lo que n = b – a Δ x , y obtenemos f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n = f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) ( b – a ) Δ x . Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ∑ i = 1 n f ( x i * ) , y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por ∑ i = 1 n f ( x i * ) ( b – a ) Δ x = ( Δ x b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) = ( 1 b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto , se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por 1 b – a lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Definición Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] . Entonces, el valor promedio de la función f ( x ) (o f ave ) en [ a , b ] viene dada por f ave = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Hallar el valor promedio de una función lineal Calcule el valor promedio de f ( x ) = x + 1 en el intervalo [ 0 , 5 ] . En primer lugar, grafique la función en el intervalo indicado, como se muestra en la . El gráfico muestra el área bajo la función f ( x ) = x + 1 en [ 0 , 5 ] . La región es un trapecio recostado sobre su lado, por lo que podemos utilizar la fórmula del área de un trapecio A = 1 2 h ( a + b ) , donde h representa la altura, y a y b representan los dos lados paralelos. Entonces, ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 2 h ( a + b ) = 1 2 . 5 . ( 1 + 6 ) = 35 2 . Así, el valor promedio de la función es 1 5 − 0 ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 5 . 35 2 = 7 2 . Calcule el valor promedio de f ( x ) = 6 − 2 x en el intervalo [ 0 , 3 ] . 3 Pista Utilice la fórmula del valor promedio y use la geometría para evaluar la integral. Conceptos clave La integral definida puede utilizarse para calcular el área neta señalada, que es el área por encima del eje x menos el área por debajo del eje x . El área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Los componentes de la integral definida son el integrando, la variable de integración y los límites de integración. Las funciones continuas en un intervalo cerrado son integrables. Las funciones que no son continuas pueden seguir siendo integrables, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades. Las propiedades de las integrales definidas pueden utilizarse para evaluar integrales. El área bajo la curva de muchas funciones puede calcularse mediante fórmulas geométricas. El valor promedio de una función puede calcularse mediante integrales definidas. Ecuaciones clave Integral definida ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x Propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales. lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( x i * ) Δ x en [ 1 , 3 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 5 ( x i * ) 2 − 3 ( x i * ) 3 ) Δ x en [ 0 , 2 ] ∫ 0 2 ( 5 x 2 − 3 x 3 ) d x lím n → ∞ ∑ i = 1 n sen 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n cos 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 cos 2 ( 2 π x ) d x En los siguientes ejercicios, dados L n o R n como se indica, exprese sus límites dado que n → ∞ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos. L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n ∫ 0 1 x d x L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) grandes. R n n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) grandes. ∫ 3 6 x d x L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) grandes. R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) grandes. ∫ 1 2 x log ( x 2 ) d x En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo el eje x . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 = 14 1 − 4 + 9 = 6 1 − 2 π + 9 = 10 − 2 π En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando las fórmulas de área. ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x La integral es el área del triángulo, 1 2 ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x La integral es el área del triángulo, 9. ∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x La integral es el área 1 2 π r 2 = 2 π . ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x La integral es el área del triángulo \"grande\" menos el triángulo \"perdido\", 9 − 1 2 . En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos izquierdo ( L ) y derecho ( R ) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados. { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 8 , 3 ) } en [ 0 , 8 ] { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 5 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , ( 8 , 0 ) } en [ 0 , 8 ] L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21 , R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22 , L + R 2 = 21,5 { ( −4 , –4 ) , ( –2 , 0 ) , ( 0 , –2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) } en [ −4 , 4 ] { ( −4 , 0 ) , ( –2 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 0 ) } en [ −4 , 4 ] L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10 , R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10 , L + R 2 = 10 Supongamos que ∫ 0 4 f ( x ) d x = 5 y ∫ 0 2 f ( x ) d x = −3 , y ∫ 0 4 g ( x ) d x = –1 y ∫ 0 2 g ( x ) d x = 2 . En los siguientes ejercicios, calcule las integrales. ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x + ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 − 3 = 5 ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x − ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 + 3 = 11 ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x 4 ∫ 2 4 f ( x ) d x − 3 ∫ 2 4 g ( x ) d x = 32 + 9 = 41 En los siguientes ejercicios, utilice la identidad ∫ − A A f ( x ) d x = ∫ − A 0 f ( x ) d x + ∫ 0 A f ( x ) d x para calcular las integrales. ∫ − π π sen t 1 + t 2 d t ( Pista : sen ( − t ) = − sen ( t ) ). grandes. ∫ − π π t 1 + cos t d t El integrando es impar; la integral es cero. En los siguientes ejercicios, halle el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x. ∫ 1 3 ( 2 − x ) d x ( Pista: Mire el gráfico de f ). ∫ 2 4 ( x − 3 ) 3 d x ( Pista: Mire el gráfico de f .) El integrando es antisimétrico con respecto a x = 3 . La integral es cero. En los siguientes ejercicios, dado que ∫ 0 1 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 , y ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 , calcular las integrales. ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 7 12 ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 6 x + 12 x 2 − 8 x 3 ) d x = ( x – 3 x 2 + 4 x 3 – 2 x 4 ) = ( 1 – 3 + 4 – 2 ) ( 0 – 0 + 0 – 0 ) = 0 ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x 7 − 5 4 = 23 4 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de comparación . Demuestre que ∫ 0 3 ( x 2 − 6 x + 9 ) d x ≥ 0 . Demuestre que ∫ −2 3 ( x − 3 ) ( x + 2 ) d x ≤ 0 . El integrando es negativo sobre [ −2 , 3 ] . Demuestre que ∫ 0 1 1 + x 3 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x 2 d x . Demuestre que ∫ 1 2 1 + x d x ≤ ∫ 1 2 1 + x 2 d x . x ≤ x 2 en [ 1 , 2 ] , así que 1 + x ≤ 1 + x 2 en [ 1 , 2 ] . Demuestre que ∫ 0 π / 2 sen t d t ≥ π 4 . ( Pista: sen t ≥ 2 t π en [ 0 , π 2 ] ). Demuestre que ∫ − π / 4 π / 4 cos t d t ≥ π 2 / 4 . cos ( t ) ≥ 2 2 . Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad. En los siguientes ejercicios, halle el valor promedio f ave de f entre a y b , y halle un punto c , donde f ( c ) = f ave . f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ave = 0 ; c = 0 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 3 2 cuando c = ± 3 2 f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ave = 0 ; c = π 2 , 3 π 2 En los siguientes ejercicios, aproxime el valor promedio utilizando las sumas de Riemann L 100 and R 100 . ¿Cómo se compara su respuesta con la respuesta exacta dada? [T] y = ln ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] ; la solución exacta es ln ( 256 ) 3 − 1 . [T] y = e x / 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] ; la solución exacta es 2 ( e − 1 ) . L 100 = 1,294 , R 100 = 1,301 ; el promedio exacto está entre estos valores. [T] y = tan x en el intervalo [ 0 , π 4 ] ; la solución exacta es 2 ln ( 2 ) π . [T] y = x + 1 4 − x 2 en el intervalo [ −1 , 1 ] ; la solución exacta es π 6 . L 100 × ( 1 2 ) = 0,5178 , R 100 × ( 1 2 ) = 0,5294 En los siguientes ejercicios, calcule el valor promedio utilizando las sumas de Riemann izquierdas L N para N = 1 , 10 , 100 . ¿Cómo se compara la exactitud con el valor exacto dado? [T] y = x 2 − 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es − 8 3 . [T] y = x e x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es 1 4 ( e 4 − 1 ) . L 1 = 0 , L 10 × ( 1 2 ) = 8,743493 , L 100 × ( 1 2 ) = 12,861728 . La respuesta exacta ≈ 26,799 , por lo que L 100 no es exacta. [T] y = ( 1 2 ) x en el intervalo [ 0 , 4 ] ; la solución exacta es 15 64 ln ( 2 ) . [T] y = x sen ( x 2 ) en el intervalo [ − π , 0 ] ; la solución exacta es cos ( π 2 ) − 1 2 π . L 1 × ( 1 π ) = 1,352 , L 10 × ( 1 π ) = −0,1837 , L 100 × ( 1 π ) = −0,2956 . La respuesta exacta ≈ − 0,303 , por lo que L 100 no es exacto en el primer decimal. Supongamos que A = ∫ 0 2 π sen 2 t d t y B = ∫ 0 2 π cos 2 t d t . Demuestre que A + B = 2 π y A = B . Supongamos que A = ∫ − π / 4 π / 4 sec 2 t d t = π y B = ∫ − π / 4 π / 4 tan 2 t d t . Demuestre que A − B = π 2 . Utilice la sustitución en tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Entonces, B − A = ∫ − π / 4 π / 4 1 d x = π 2 . Demuestre que el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1/2. Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , π ] también es igual a 1/2. Demuestre que el valor promedio de cos 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1 / 2 . Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de cos 2 ( t ) en [ 0 , π ] también es igual a 1 / 2 . ∫ 0 2 π cos 2 t d t = π , así que divida por la longitud 2 π del intervalo. cos 2 t tiene periodo π , así que es cierto. Explique por qué los gráficos de una función cuadrática (parábola) p ( x ) y una función lineal ℓ ( x ) pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Supongamos que p ( a ) = ℓ ( a ) y p ( b ) = ℓ ( b ) , y que ∫ a b p ( t ) d t > ∫ a b ℓ ( t ) d t . Explique por qué ∫ c d p ( t ) > ∫ c d ℓ ( t ) d t siempre que a ≤ c < d ≤ b . Supongamos que la parábola p ( x ) = a x 2 + b x + c se abre hacia abajo ( a < 0 ) y tiene un vértice de y = − b 2 a > 0 . ¿Para qué intervalo [ A , B ] es ∫ A B ( a x 2 + b x + c ) d x lo más grande posible? La integral se maximiza cuando se utiliza el mayor intervalo en el que p es no negativo. Así, A = − b − b 2 − 4 a c 2 a y B = − b + b 2 − 4 a c 2 a . Supongamos que [ a , b ] se puede subdividir en subintervalos a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a N = b de manera que f ≥ 0 en [ a i − 1 , a i ] o f ≤ 0 en [ a i − 1 , a i ] . Establezca A i = ∫ a i − 1 a i f ( t ) d t . Explique por qué ∫ a b f ( t ) d t = A 1 + A 2 + ⋯ + A N . Luego, explique por qué | ∫ a b f ( t ) d t | ≤ ∫ a b | f ( t ) | d t . Supongamos que f y g son funciones continuas tales que ∫ c d f ( t ) d t ≤ ∫ c d g ( t ) d t para cada subintervalo [ c , d ] de [ a , b ] . Explique por qué f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los valores de x . Si los valores de f ( t 0 ) > g ( t 0 ) para algunos t 0 ∈ [ a , b ] , entonces ya que f − g es continua, existe un intervalo que contiene t 0 tal que f ( t ) > g ( t ) en el intervalo [ c , d ] , y luego ∫ d d f ( t ) d t > ∫ c d g ( t ) d t en este intervalo. Supongamos que el valor promedio de f sobre [ a , b ] es 1 y el valor promedio de f sobre [ b , c ] es 1 donde a < c < b . Demuestre que el valor promedio de f sobre [ a , c ] también es 1. Supongamos que [ a , b ] se puede dividir. Al tomar a = a 0 < a 1 < ⋯ < a N = b tal que el valor promedio de f en cada subintervalo [ a i − 1 , a i ] = 1 es igual a 1 por cada i = 1 ,…, N . Explique por qué el valor promedio de f sobre [ a , b ] también es igual a 1. La integral de f sobre un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Así, ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 f ( t ) d t + ∫ a 1 a 2 f ( t ) d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 1 d t + ∫ a 1 a 2 1 d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N 1 d t = ( a 1 − a 0 ) + ( a 2 − a 1 ) + ⋯ + ( a N − a N − 1 ) = a N − a 0 = b – a . Al dividir entre b – a resulta la identidad deseada. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) 2 . Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i 2 . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . ∫ 0 N f ( t ) d t = ∑ i = 1 N ∫ i − 1 i f ( t ) d t = ∑ i = 1 N i 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha L 10 y R 10 y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = t 2 en [ 0 , 1 ] . Dado que ∫ 0 1 t 2 d t = 0, 33 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 10 y R 10 , y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = ( 4 − t 2 ) en [ 1 , 2 ] . Dado que ∫ 1 2 ( 4 − t 2 ) d t = 1 66 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? L 10 = 1,815 , R 10 = 1,515 , L 10 + R 10 2 = 1,665 , para que la estimación sea precisa con dos decimales. Si los valores de ∫ 1 5 1 + t 4 d t = 41,7133.. . , ¿qué es ∫ 1 5 1 + u 4 d u ? Estime ∫ 0 1 t d t utilizando las sumas de los extremos izquierdo y derecho, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de los extremos izquierdo y derecho con el valor real ∫ 0 1 t d t ? El promedio es 1 / 2 , que en este caso es igual a la integral. Estime ∫ 0 1 t d t por comparación con el área de un único rectángulo con altura igual al valor de t en el punto medio t = 1 2 . ¿Cómo se compara esta estimación del punto medio con el valor real ∫ 0 1 t d t ? A partir del gráfico de sen ( 2 π x ) que se muestra: Explique por qué ∫ 0 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 . Explique por qué, en general, ∫ a a + 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 para cualquier valor de a . a. El gráfico es antisimétrico con respecto a t = 1 2 en [ 0 , 1 ] , para que el valor promedio sea cero. b. Para cualquier valor de a , el gráfico entre [ a , a + 1 ] es un desplazamiento del gráfico sobre [ 0 , 1 ] , para que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambien y el promedio siga siendo cero. Si f es 1-periódica ( f ( t + 1 ) = f ( t ) ) , impar, e integrable sobre [ 0 , 1 ] , ¿es siempre cierto que ∫ 0 1 f ( t ) d t = 0 ? Si f es 1-periódica y ∫ 0 1 f ( t ) d t = A , ¿es necesariamente cierto que ∫ a 1 + a f ( t ) d t = A para todos las A ? Sí, la integral sobre cualquier intervalo de longitud 1 es la misma. valor promedio de una función (o f ave ) el valor promedio de una función en un intervalo se puede hallar calculando la integral definida de la función y dividiendo ese valor por la longitud del intervalo integral definida una operación primaria del cálculo; el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado es una integral definida función integrable una función es integrable si el límite que define la integral existe; en otras palabras, si el límite de las sumas de Riemann a medida que n llega al infinito existe integrando la función a la derecha del símbolo de integración; el integrando incluye la función que se integra límites de integración valores que aparecen cerca de la parte superior e inferior del signo de la integral y definen el intervalo sobre el que debe integrarse la función área neta señalada el área entre una función y el eje x tal que el área por debajo del eje x se resta del área por encima del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida de la función área total el área total entre una función y el eje x se calcula sumando el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida del valor absoluto de la función variable de integración indica con respecto a qué variable se está integrando; si es x , entonces la función en el integrando va seguida de dx", "section": "La integral definida", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "El teorema fundamental del cálculo En los dos apartados anteriores vimos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora las únicas herramientas de que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas de área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas. Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada tanto por Sir Isaac Newton como por Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el teorema fundamental del cálculo , que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo fundamental que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo. Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando como material fundamental en la física actual, y su cálculo ha dado lugar a ámbitos completos dentro de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con videos multimedia. Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, vamos a examinar otro teorema importante, el teorema del valor medio para integrales, que es necesario para demostrar el teorema fundamental del cálculo. Teorema del valor medio para integrales El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si f ( x ) es continua, existe un punto c en un intervalo [ a , b ] tal que el valor de la función en c es igual al valor medio de f ( x ) en [ a , b ] . Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior. Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Esta fórmula también puede expresarse como ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b – a ) . Prueba Dado que f ( x ) es continua en [ a , b ] , por el teorema del valor extremo (consulte Máximos y mínimos ), asume valores mínimos y máximos — m y M , respectivamente— en [ a , b ] . Entonces, para toda x en [ a , b ] , tenemos m ≤ f ( x ) ≤ M . Por lo tanto, por el teorema de comparación (consulte La integral definida ), tenemos m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Al dividir entre b – a nos da m ≤ 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x ≤ M . Dado que 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x es un número entre m y M , y ya que f ( x ) es continua y asume los valores m y M en [ a , b ] , por el teorema del valor intermedio (consulte Continuidad ), existe un número c en [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x , y la prueba está completa. □ Encontrar el valor medio de una función Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = 8 − 2 x en el intervalo [ 0 , 4 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 4 ] . La fórmula indica el valor medio de f ( x ) está dada por 1 4 − 0 ∫ 0 4 ( 8 − 2 x ) d x . Podemos ver en la que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x y y . El área del triángulo es A = 1 2 ( base ) ( altura ) . Tenemos A = 1 2 ( 4 ) ( 8 ) = 16 . El valor medio se obtiene multiplicando el área por 1 / ( 4 − 0 ) . Así, el valor medio de la función es 1 4 ( 16 ) = 4 . Establezca el valor medio igual a f ( c ) y resuelva para c . 8 − 2 c = 4 c = 2 A c = 2 , f ( 2 ) = 4 . Por el teorema del valor medio, la función continua f ( x ) toma su valor medio en c al menos una vez en un intervalo cerrado. Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 6 ] . Valor medio = 1,5 ; c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Cómo encontrar el punto en el que una función toma su valor medio Dados ∫ 0 3 x 2 d x = 9 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = x 2 en [ 0 , 3 ] . Buscamos el valor de c tal que f ( c ) = 1 3 − 0 ∫ 0 3 x 2 d x = 1 3 ( 9 ) = 3 . Sustitución de f ( c ) con c 2 , tenemos c 2 = 3 c = ± 3 . Dado que − 3 está fuera del intervalo, toma solo el valor positivo. Así, c = 3 ( ). En el intervalo [ 0 , 3 ] , la función f ( x ) = x 2 adquiere su valor medio en c = 3 . Dados ∫ 0 3 ( 2 x 2 – 1 ) d x = 15 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = 2 x 2 – 1 en [ 0 , 3 ] . c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1 , se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración. Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) en [ a , b ] . Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar un par de sutilezas. En primer lugar, un comentario sobre la notación. Observe que hemos definido una función, F ( x ) , como la integral definida de otra función, f ( t ) , desde el punto a hasta el punto x . A primera vista es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es darse cuenta que para cualquier valor particular de x , la integral definida es un número. Así que la función F ( x ) responde con un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x . En segundo lugar, merece la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Por algo se llama teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tiene una antiderivada. En concreto, garantiza que cualquier función continua tiene una antiderivada. Prueba Al aplicar la definición de la derivada, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 F ( x + h ) – F ( x ) h = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t + ∫ x a f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t . Si observamos atentamente esta última expresión, vemos 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t es solo el valor medio de la función f ( x ) en el intervalo [ x , x + h ] . Por lo tanto, por el , hay algún número c en [ x , x + h ] tal que 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = f ( c ) . Además, como c está entre x y x + h , c se aproxima a x a medida que h se acerca a cero. Además, como f ( x ) es continua, tenemos lím h → 0 f ( c ) = lím c → x f ( c ) = f ( x ) . Uniendo todas estas piezas, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = lím h → 0 f ( c ) = f ( x ) , y la prueba está completa. □ Halle una derivada con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para encontrar la derivada de g ( x ) = ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t . Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por g ′ ( x ) = 1 x 3 + 1 . Utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1 para encontrar la derivada de g ( r ) = ∫ 0 r x 2 + 4 d x . g ′ ( r ) = r 2 + 4 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Uso del teorema fundamental y la regla de la cadena para calcular derivadas Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x sen t d t . Calcule F ′ ( x ) . Suponiendo que u ( x ) = x , tenemos F ( x ) = ∫ 1 u ( x ) sen t d t . Así, por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, F ′ ( x ) = sen ( u ( x ) ) d u d x = sen ( u ( x ) ) . ( 1 2 x −1 / 2 ) = sen x 2 x . Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x 3 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 3 x 2 cos x 3 Pista Utilice la regla de la cadena para resolver el problema. Uso del teorema fundamental del cálculo con los límites de integración de dos variables Supongamos que F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Calcule F ′ ( x ) . Tenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Ambos límites de integración son variables, por lo que necesitamos dividir esto en dos integrales. Obtenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t = ∫ x 0 t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t = − ∫ 0 x t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t . Al diferenciar el primer término, obtenemos d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] = − x 3 . A diferenciar el segundo término, primero suponemos que u ( x ) = 2 x . Entonces, d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = d d x [ ∫ 0 u ( x ) t 3 d t ] = ( u ( x ) ) 3 d u d x = ( 2 x ) 3 . 2 = 16 x 3 . Por lo tanto, F ′ ( x ) = d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] + d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 . Supongamos que F ( x ) = ∫ x x 2 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 2 x cos x 2 − cos x Pista Utilice los procedimientos del para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo. Después de encontrar las áreas aproximadas sumando las áreas de rectángulos n , la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado sencillo que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo. El teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . A menudo vemos la notación F ( x ) | a b para denotar la expresión F ( b ) – F ( a ) . Utilizamos esta barra vertical y los límites a y b asociados para indicar que debemos evaluar la función F ( x ) en el límite superior (en este caso, b ), y restar el valor de la función F ( x ) evaluado en el límite inferior (en este caso, a ). El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación ) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos extremos del intervalo y restando. Prueba Supongamos que P = { x i } , i = 0 , 1 ,…, n es una partición regular de [ a , b ] . Entonces, podemos escribir F ( b ) – F ( a ) = F ( x n ) – F ( x 0 ) = [ F ( x n ) – F ( x n – 1 ) ] + [ F ( x n – 1 ) – F ( x n – 2 ) ] + … + [ F ( x 1 ) – F ( x 0 ) ] = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) – F ( x i − 1 ) ] . Ahora, sabemos que F es una antiderivada de f en [ a , b ] , así que mediante el teorema del valor medio (consulte el teorema del valor medio ) para i = 0 , 1 ,…, n podemos encontrar c i en [ x i − 1 , x i ] tal que F ( x i ) – F ( x i − 1 ) = F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) = f ( c i ) Δ x . Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos F ( b ) – F ( a ) = ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x . Tomando el límite de ambos lados cuando n → ∞ , obtenemos F ( b ) – F ( a ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = ∫ a b f ( x ) d x . □ Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para evaluar ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t . Recordemos la regla de la potencia para las antiderivadas : Si y = x n , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . Utilice esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplique el teorema. Tenemos ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t = t 3 3 − 4 t | −2 2 = [ ( 2 ) 3 3 − 4 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 3 3 − 4 ( −2 ) ] = ( 8 3 − 8 ) − ( − 8 3 + 8 ) = 8 3 − 8 + 8 3 − 8 = 16 3 − 16 = − 32 3 . Análisis Observe que no incluimos el término \"+ C \" cuando escribimos la antiderivada. La razón es que, según el teorema fundamental del cálculo, parte 2, cualquier antiderivada funciona. Así que, por comodidad, elegimos la antiderivada con C = 0 . Si hubiéramos elegido otra antiderivada, el término constante se habría anulado. Esto siempre ocurre al evaluar una integral definida. La región del área que acabamos de calcular se representa en la . Note que toda la región entre la curva y el eje x está por debajo del eje x . El área es siempre positiva, pero una integral definida puede producir un número negativo (un área neta con signo). Por ejemplo, si se tratara de una función de beneficios, un número negativo indica que la empresa está operando con pérdidas en el intervalo dado. La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo aunque el área sea siempre positiva. Evaluación de una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, parte 2 Evalúe la siguiente integral utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2: ∫ 1 9 x – 1 x d x . Primero elimine el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador: ∫ 1 9 x – 1 x 1 / 2 d x = ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x . Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar: ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x = ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x −1 / 2 ) d x . Ahora, integre usando la regla de la potencia: ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x – 1 / 2 ) d x = ( x 3 / 2 3 2 − x 1 / 2 1 2 ) | 1 9 = [ ( 9 ) 3 / 2 3 2 − ( 9 ) 1 / 2 1 2 ] − [ ( 1 ) 3 / 2 3 2 − ( 1 ) 1 / 2 1 2 ] = [ 2 3 ( 27 ) − 2 ( 3 ) ] − [ 2 3 ( 1 ) − 2 ( 1 ) ] = 18 − 6 − 2 3 + 2 = 40 3 . Vea el . El área bajo la curva de x = 1 a x = 9 se puede calcular evaluando una integral definida. Utilice (teorema fundamental del cálculo) para evaluar ∫ 1 2 x −4 d x . 7 24 Pista Utilice la regla de la potencia. Una carrera de patinaje James y Kathy están patinando. Lo hacen a lo largo de una pista larga y recta, y quien llegue más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de f ( t ) = 5 + 2 t ft/s y Kathy puede patinar a una velocidad de g ( t ) = 10 + cos ( π 2 t ) ft/s, ¿quién va a ganar la carrera? Tenemos que integrar ambas funciones en el intervalo [ 0 , 5 ] y ver qué valor es mayor. Con respecto a James, queremos calcular ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t . Utilizando la regla de la potencia, tenemos ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t = ( 5 t + t 2 ) | 0 5 = ( 25 + 25 ) = 50. Así, James patinó 50 ft en 5 segundos. Volviendo a Kathy, queremos calcular ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t . Sabemos que sen t es una antiderivada de cos t , por lo que es razonable esperar que una antiderivada de cos ( π 2 t ) implicaría sen ( π 2 t ) . Sin embargo, cuando diferenciamos sen ( π 2 t ) , obtenemos π 2 cos ( π 2 t ) como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que tener en cuenta este coeficiente adicional cuando integramos. Obtenemos ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t = ( 10 t + 2 π sen ( π 2 t ) ) | 0 5 = ( 50 + 2 π ) − ( 0 − 2 π sen 0 ) ≈ 50,6. Kathy patinó aproximadamente 50,6 ft en 5 segundos. ¡Kathy gana, pero no por mucho! Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el árbitro detiene la contienda a solo 3 segundos. ¿Cambia esto el resultado? Kathy sigue ganando, pero por un margen mucho mayor: James patina 24 ft en 3 segundos, pero Kathy patina 29,3634 ft en 3 segundos. Pista Cambia los límites de integración de los que aparecen en la . Un paracaidista en caída libre Los paracaidistas pueden ajustar la velocidad de su inmersión cambiando la posición de su cuerpo durante la caída libre (créditos: Jeremy T. Lock). Julie es una paracaidista apasionada. Tiene más de 300 saltos en su haber y ha dominado el arte de cambiar la posición de su cuerpo en el aire para controlar la velocidad de caída. Si arquea la espalda y apunta su vientre hacia el suelo, alcanza una velocidad límite de aproximadamente 120 mph (176 ft/s). Si más bien orienta su cuerpo con la cabeza hacia abajo, cae más rápido, alcanzando una velocidad límite de 150 mph (220 ft/s). Como Julie se moverá (caerá) en dirección descendente, asumimos que la dirección descendente es positiva para simplificar nuestros cálculos. Julie ejecuta sus saltos desde una altitud de 12.500 ft. Al saltar de la aeronave, inmediatamente comienza a caer a una velocidad dada por v ( t ) = 32 t . Ella continúa acelerando según esta función de velocidad hasta que alcanza la velocidad límite. Cuando alcanza la velocidad límite, su velocidad se mantiene constante hasta que tira de la cuerda de seguridad y reduce la velocidad para aterrizar. En su primer salto del día, Julie se orienta en la posición más lenta \"panza abajo\" (la velocidad límite es de 176 ft/s). Con esta información, responda las siguientes preguntas. ¿Cuánto tiempo después de saltar del avión Julie alcanza la velocidad límite? Con base en su respuesta a la pregunta 1, establezca una expresión que implique una o más integrales que representen la distancia a la que cae Julie después de 30 segundos. Si Julie tira de su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre? Julie tira de su cuerda de seguridad a 3.000 ft. El paracaídas tarda 5 segundos en abrirse por completo y en frenar, tiempo durante el cual cae otros 400 ft. Después de que su casquete está completamente abierto, su velocidad se reduce a 16 ft/s. Halle el tiempo total que Julie pasa en el aire, desde que sale del avión hasta que sus pies tocan el suelo. En el segundo salto del día, Julie decide que quiere caer un poco más rápido y se orienta en la posición \"cabeza abajo\". Su velocidad límite en esta posición es de 220 ft/s. Responda a estas preguntas con base en esta velocidad: En este caso ¿cuánto tarda Julie en alcanzar la velocidad límite? Antes de tirar de la cuerda de seguridad, Julie reorienta su cuerpo en la posición \"panza abajo\" para no moverse tan rápido cuando se abra el paracaídas. Si comienza esta maniobra a una altitud de 4.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre antes de comenzar la reorientación? Algunos saltadores llevan \" trajes de alas \" (vea la ). Estos trajes tienen paneles de tela entre los brazos y las piernas y permiten al usuario deslizarse en caída libre, como una ardilla voladora. (De hecho, los trajes se llaman a veces \"trajes de ardilla voladora\"). Cuando se llevan estos trajes, la velocidad límite puede reducirse a unos 30 mph (44 ft/s), lo que permite a los usuarios un tiempo mucho más largo en el aire. Los pilotos de wingsuit (traje de alas) siguen utilizando paracaídas para aterrizar; aunque las velocidades verticales están dentro del margen de seguridad, las horizontales pueden superar las 70 mph, demasiado rápido para aterrizar con seguridad. Los paneles de tela de los brazos y las piernas de un wingsuit sirven para reducir la velocidad vertical de caída de un paracaidista (créditos: Richard Schneider). Responda la siguiente pregunta con base en la velocidad con un wingsuit. Si Julie se pone un wingsuit antes de su tercer salto del día y hala su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo puede pasar planeando en el aire? Conceptos clave El teorema del valor medio de las integrales afirma que para una función continua en un intervalo cerrado, existe un valor c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 1 muestra la relación entre la derivada y la integral. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 2 es una fórmula para evaluar una integral definida en términos de una antiderivada de su integrando. El área total bajo una curva se puede encontrar utilizando esta fórmula. Vea el . Ecuaciones clave Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) . Teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . Considere la posibilidad de que dos atletas corran a velocidades variables v 1 ( t ) y v 2 ( t ) . Los corredores comienzan y terminan una carrera exactamente a la misma hora. Explique por qué los dos corredores deben ir a la misma velocidad en algún momento. Dos alpinistas comienzan su ascenso en el campamento base y toman dos rutas diferentes, una más empinada que la otra, y llegan a la cima exactamente al mismo tiempo. ¿Es necesariamente cierto que, en algún momento, ambos escaladores aumentaron su altitud al mismo ritmo? Sí. Está implícito en el teorema del valor medio de las integrales. Para entrar en una determinada autopista de peaje, un conductor debe llevar una tarjeta en la que figura el punto de entrada de la milla. La tarjeta también tiene una marca de tiempo. Al dirigirse a la salida y pagar el peaje, el conductor se sorprende al recibir una multa por exceso de velocidad junto con el peaje. Explique cómo pudo ocurrir eso. Establezca F ( x ) = ∫ 1 x ( 1 − t ) d t . Calcule F ′ ( 2 ) y el valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] . F ′ ( 2 ) = −1 ; valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] ¿es −1 / 2 . En los siguientes ejercicios, utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar cada derivada. d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e cos t d t e cos x d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 4 x d s 16 − s 2 1 16 − x 2 d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ 0 x t d t x d d x x = 1 2 d d x ∫ 0 sen x 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t − 1 − cos 2 x d d x cos x = | sen x | sen x d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t 2 x | x | 1 + x 2 d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u ln ( e 2 x ) d d x e x = 2 x e x El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? a. f es positiva en ( 1 , 2 ) y ( 5 , 6 ) , negativo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 4 ) , y cero en ( 2 , 3 ) y ( 4 , 5 ) . b. El valor máximo es 2 y el mínimo es -3. c. El valor medio es 0. El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalos, si los hay, es constante? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? a. ℓ es positivo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 6 ) , y negativo en ( 1 , 3 ) . b. Aumenta en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 5 ) , y es constante a lo largo de ( 1 , 3 ) y ( 5 , 6 ) . c. Su valor medio es 1 3 . En los siguientes ejercicios utilice una calculadora para estimar el área debajo de la curva calculando T 10 , el promedio de las sumas de Riemann de los extremos izquierdo y derecho utilizando rectángulos N = 10 . Luego, utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2, determine el área exacta. [T] y = x 2 en [ 0 , 4 ] [T] y = x 3 + 6 x 2 + x − 5 en [ −4 , 2 ] T 10 = 49,08 , ∫ −4 3 ( x 3 + 6 x 2 + x − 5 ) d x = 48 [T] y = x 3 en [ 0 , 6 ] [T] y = x + x 2 en [ 1 , 9 ] T 10 = 260,836 , ∫ 1 9 ( x + x 2 ) d x = 260 [T] ∫ ( cos x − sen x ) d x en [ 0 , π ] [T] ∫ 4 x 2 d x en [ 1 , 4 ] T 10 = 3,058 , ∫ 1 4 4 x 2 d x = 3 En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 3 x 2 2 − 5 x , F ( 3 ) – F ( −2 ) = − 35 6 ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t F ( x ) = − t 5 5 + 13 t 3 3 − 36 t , F ( 3 ) – F ( 2 ) = 62 15 ∫ 1 2 x 9 d x ∫ 0 1 x 99 d x F ( x ) = x 100 100 , F ( 1 ) – F ( 0 ) = 1 100 ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 1 / 4 4 ( x 2 – 1 x 2 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 1 x , F ( 4 ) – F ( 1 4 ) = 1125 64 ∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 4 1 2 x d x F ( x ) = x , F ( 4 ) – F ( 1 ) = 1 ∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 16 d t t 1 / 4 F ( x ) = 4 3 t 3 / 4 , F ( 16 ) – F ( 1 ) = 28 3 ∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 π / 2 sen θ d θ F ( x ) = − cos x , F ( π 2 ) – F ( 0 ) = 1 ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ F ( x ) = sec x , F ( π 4 ) – F ( 0 ) = 2 – 1 ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ F ( x ) = − cot ( x ) , F ( π 2 ) – F ( π 4 ) = 1 ∫ 1 2 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t F ( x ) = − 1 x + 1 2 x 2 , F ( –1 ) – F ( −2 ) = 7 8 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de evaluación para expresar la integral como una función F ( x ) . ∫ a x t 2 d t ∫ 1 x e t d t F ( x ) = e x − e ∫ 0 x cos t d t ∫ − x x sen t d t F ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, identifique las raíces del integrando para eliminar los valores absolutos, y luego evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 −1 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t − ∫ –1 3 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t + ∫ 3 4 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t = 46 3 ∫ 0 π | cos t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sen t | d t − ∫ − π / 2 0 sen t d t + ∫ 0 π / 2 sen t d t = 2 Supongamos que el número de horas de luz en un día determinado en Seattle se modela mediante la función −3,75 cos ( π t 6 ) + 12,25 , con t expresado en meses y t = 0 correspondiente al solsticio de invierno. ¿Cuál es el número medio de horas de luz al año? En qué momentos t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , ¿el número de horas de luz es igual al número promedio? Escriba una integral que exprese el número total de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 . Calcule la media de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , y luego entre t 2 y t 1 , y demuestre que el promedio de las dos es igual a la duración promedio del día. Supongamos que la tasa de consumo de gasolina a lo largo de un año en Estados Unidos puede modelarse mediante una función sinusoidal de la forma ( 11,21 − cos ( π t 6 ) ) × 10 9 gal/mo. ¿Cuál es el consumo promedio mensual y para qué valores de t la tasa en el momento t es igual a la tasa promedio? ¿Cuál es el número de galones de gasolina que se consumen en Estados Unidos en un año? Escriba una integral que exprese el consumo medio mensual de gasolina en Estados Unidos en la parte del año comprendida entre el comienzo de abril ( t = 3 ) y el final de septiembre ( t = 9 ). a. El promedio es 11,21 × 10 9 dado que cos ( π t 6 ) tiene periodo 12 e integral 0 en cualquier periodo. El consumo es igual al promedio cuando cos ( π t 6 ) = 0 , cuando t = 3 , y cuando t = 9 . b. El consumo total es la tasa promedio por la duración: 11,21 × 12 × 10 9 = 1,35 × 10 11 c. 10 9 ( 11,21 − 1 6 ∫ 3 9 cos ( π t 6 ) d t ) = 10 9 ( 11,21 + 2 π ) = 11,84 x 10 9 Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] , hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] y no es igual a una constante, hay al menos un punto M ∈ [ a , b ] de manera que f ( M ) > 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t y al menos un punto m ∈ [ a , b ] de manera que f ( m ) < 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Si f no es constante, su promedio es estrictamente menor que el máximo y mayor que el mínimo, que se alcanzan sobre [ a , b ] según el teorema del valor extremo. La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto más cercano de una órbita planetaria al Sol se llama perihelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 3 de enero) y el punto más alejado se denomina afelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 4 de julio). La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de sus órbitas elípticas en tiempos iguales. Así, los dos arcos indicados en la siguiente figura se barren en tiempos iguales. ¿En qué momento del año la Tierra se mueve más rápido en su órbita? ¿Cuándo se mueve más lentamente? Un punto de una elipse con eje mayor de longitud 2 a y eje menor de longitud 2 b tiene las coordenadas ( a cos θ , b sen θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Demuestre que la distancia de este punto al foco en ( − c , 0 ) ¿es d ( θ ) = a + c cos θ , donde c = a 2 − b 2 . Utilice estas coordenadas para demostrar que la distancia promedio d – desde un punto de la elipse hasta el foco en ( − c , 0 ) , con respecto al ángulo θ , es a . a. d 2 θ = ( a cos θ + c ) 2 + b 2 sen 2 θ = a 2 + c 2 cos 2 θ + 2 a c cos θ = ( a + c cos θ ) 2 ; b. d – = 1 2 π ∫ 0 2 π ( a + 2 c cos θ ) d θ = a Como se dijo antes, según las leyes de Kepler, la órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. El perihelio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 147.098.290 km y el afelio es de 152.098.232 km. Colocando el eje mayor a lo largo del eje x , halle la distancia promedio de la Tierra al Sol. La definición clásica de unidad astronómica (UA) es la distancia de la Tierra al Sol, y su valor se calculó como el promedio de las distancias del perihelio y del afelio. ¿Está justificada esta definición? La fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta es F ( θ ) = G m M r 2 ( θ ) , donde m es la masa del planeta, M es la masa del Sol, G es una constante universal y r ( θ ) es la distancia entre el Sol y el planeta cuando éste se halla en un ángulo θ con el eje mayor de su órbita. Suponiendo que M , m y los parámetros de la elipse a y b (semilongitudes de los ejes mayor y menor) están dados, establezca —pero no evalúe— una integral que exprese en términos de G , m , M , a , b la fuerza gravitatoria promedio entre el Sol y el planeta. Fuerza gravitacional media = G m M 2 π ∫ 0 2 π 1 ( a + 2 a 2 − b 2 cos θ ) 2 d θ . El desplazamiento desde el reposo de una masa unida a un resorte satisface la ecuación de movimiento armónico simple x ( t ) = A cos ( ω t − ϕ ) , donde ϕ es una constante de fase, ω es la frecuencia angular y A es la amplitud. Halle la velocidad media, la rapidez media (magnitud de la velocidad), el desplazamiento medio y la distancia media desde el reposo (magnitud del desplazamiento) de la masa. teorema fundamental del cálculo teorema central para todo el desarrollo del cálculo, que establece la relación entre la diferenciación y la integración teorema fundamental del cálculo, parte 1 utiliza una integral definida para definir una antiderivada de una función teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también, teorema de evaluación ) podemos evaluar una integral definida evaluando la antiderivada del integrando en los puntos extremos del intervalo y restando teorema del valor medio para integrales garantiza que existe un punto c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función", "section": "El teorema fundamental del cálculo", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto En esta sección, utilizaremos algunas fórmulas básicas de integración estudiadas anteriormente para resolver algunos problemas clave aplicados. Es importante señalar que estas fórmulas se presentan en términos de integrales indefinidas . Aunque las integrales definidas e indefinidas están estrechamente relacionadas, hay algunas diferencias clave que hay que tener en cuenta. Una integral definida es un número (cuando los límites de integración son constantes) o una función única (cuando uno o ambos límites de integración son variables). Una integral indefinida representa una familia de funciones, todas las cuales difieren en una constante. A medida que se vaya familiarizando con la integración, sabrá cuándo utilizar las integrales definidas o las indefinidas. Sin pensar demasiado en ello, seleccionará naturalmente el enfoque correcto para un determinado problema Sin embargo, mientras internaliza estos conceptos, piense cuidadosamente si necesita una integral definida o una indefinida y asegúrese de utilizar la notación adecuada según su elección. Fórmulas básicas de integración Recordemos las fórmulas de integración dadas en la tabla de antiderivadas y la regla sobre las propiedades de las integrales definidas. Veamos algunos ejemplos de cómo se aplican estas reglas. Integración de una función mediante la regla de la potencia Utilice la regla de la potencia para integrar la función ∫ 1 4 t ( 1 + t ) d t . El primer paso es reescribir la función y simplificarla para aplicar la regla de la potencia: ∫ 1 4 t ( 1 + t ) d t = ∫ 1 4 t 1 / 2 ( 1 + t ) d t = ∫ 1 4 ( t 1 / 2 + t 3 / 2 ) d t . Ahora aplique la regla de la potencia: ∫ 1 4 ( t 1 / 2 + t 3 / 2 ) d t = ( 2 3 t 3 / 2 + 2 5 t 5 / 2 ) | 1 4 = [ 2 3 ( 4 ) 3 / 2 + 2 5 ( 4 ) 5 / 2 ] − [ 2 3 ( 1 ) 3 / 2 + 2 5 ( 1 ) 5 / 2 ] = 256 15 . Calcule la integral definida de f ( x ) = x 2 − 3 x en el intervalo [ 1 , 3 ] . − 10 3 Pista Siga el proceso de la para resolver el problema. El teorema del cambio neto El teorema del cambio neto considera la integral de un tasa de cambio . Dice que cuando una cantidad cambia, el nuevo valor es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio de esa cantidad. La fórmula puede expresarse de dos maneras. La segunda nos es familiar; se trata simplemente de la integral definida. Teorema del cambio neto El nuevo valor de una cantidad cambiante es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio: F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x o ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . Restando F ( a ) de ambos lados de la primera ecuación da como resultado la segunda ecuación. Puesto que son fórmulas equivalentes, la que utilicemos dependerá de la aplicación. La importancia del teorema del cambio neto radica en los resultados. El cambio neto puede aplicarse al área, la distancia y el volumen, por nombrar solo algunas aplicaciones. El cambio neto contabiliza automáticamente las cantidades negativas sin tener que escribir más de una integral. Para ilustrarlo, aplicaremos el teorema del cambio neto a una función de velocidad en la que el resultado es el desplazamiento . Vimos un ejemplo sencillo de esto en La integral definida . Supongamos que un auto va hacia el norte (la dirección positiva) a 40 mph entre las 2 p. m. y las 4 p. m., luego se dirige al sur a 30 mph entre las 4 p. m. y las 5 p. m. Podemos graficar este movimiento como se muestra en la . El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo para el movimiento dado de un automóvil. Al igual que antes, podemos utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento neto y la distancia total recorrida. El desplazamiento neto viene dado por ∫ 2 5 v ( t ) d t = ∫ 2 4 4 0 d t + ∫ 4 5 −30 d t = 80 − 30 = 50 . Así, a las 5 p. m., el auto está a 50 millas al norte de su posición de partida. La distancia total recorrida viene dada por ∫ 2 5 | v ( t ) | d t = ∫ 2 4 4 0 d t + ∫ 4 5 30 d t = 80 + 30 = 110 . Por lo tanto, entre las 2 p. m. y las 5 p. m., el auto recorrió un total de 110 millas. En resumen, el desplazamiento neto puede incluir tanto valores positivos como negativos. En otras palabras, la función de velocidad toma en cuenta tanto la distancia hacia delante como hacia atrás. Para encontrar el desplazamiento neto, integre la función de velocidad en el intervalo. En cambio, la distancia total recorrida es siempre positiva. Para encontrar la distancia total recorrida por un objeto, independientemente de la dirección, tenemos que integrar el valor absoluto de la función de velocidad. Hallar el desplazamiento neto Dada una función de velocidad v ( t ) = 3 t − 5 (en metros por segundo) para una partícula en movimiento desde el tiempo t = 0 hasta el tiempo t = 3 , halle el desplazamiento neto de la partícula. Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos ∫ 0 3 ( 3 t − 5 ) d t = 3 t 2 2 − 5 t | 0 3 = [ 3 ( 3 ) 2 2 − 5 ( 3 ) ] − 0 = 27 2 − 15 = 27 2 − 30 2 = − 3 2 . El desplazamiento neto es − 3 2 m ( ). El gráfico muestra la velocidad en función del tiempo de una partícula que se mueve con una función de velocidad lineal. Hallar la distancia total recorrida Utilice el para encontrar la distancia total recorrida por una partícula según la función de velocidad v ( t ) = 3 t − 5 m/s en un intervalo de tiempo [ 0 , 3 ] . La distancia total recorrida incluye tanto los valores positivos como los negativos. Por eso debemos integrar el valor absoluto de la función de velocidad para encontrar la distancia total recorrida. Para continuar con el ejemplo, utilice dos integrales para encontrar la distancia total. En primer lugar, halle la intersección t de la función, ya que allí se produce la división del intervalo. Establezca la ecuación igual a cero y resuelva para t . Por lo tanto, 3 t − 5 = 0 3 t = 5 t = 5 3 . Los dos subintervalos son [ 0 , 5 3 ] y [ 5 3 , 3 ] . Para encontrar la distancia total recorrida, integre el valor absoluto de la función. Como la función es negativa en el intervalo [ 0 , 5 3 ] , tenemos | v ( t ) | = − v ( t ) en ese intervalo. En [ 5 3 , 3 ] , la función es positiva, por lo que | v ( t ) | = v ( t ) . Por lo tanto, tenemos ∫ 0 3 | v ( t ) | d t = ∫ 0 5 / 3 − v ( t ) d t + ∫ 5 / 3 3 v ( t ) d t = ∫ 0 5 / 3 5 − 3 t d t + ∫ 5 / 3 3 3 t − 5 d t = ( 5 t − 3 t 2 2 ) | 0 5 / 3 + ( 3 t 2 2 − 5 t ) | 5 / 3 3 = [ 5 ( 5 3 ) − 3 ( 5 / 3 ) 2 2 ] − 0 + [ 27 2 − 15 ] − [ 3 ( 5 / 3 ) 2 2 − 25 3 ] = 25 3 − 25 6 + 27 2 − 15 − 25 6 + 25 3 = 41 6 . Por lo tanto, la distancia total recorrida es 41 6 m. Halle el desplazamiento neto y la distancia total recorrida en metros dada la función de velocidad f ( t ) = 1 2 e t − 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . Desplazamiento neto: e 2 − 9 2 ≈ − 0,8055 m; distancia total recorrida: 4 ln 4 − 7,5 + e 2 2 ≈ 1,740 m Pista Siga los procedimientos del y del . Observe que f ( t ) ≤ 0 por t ≤ ln 4 , y f ( t ) ≥ 0 por t ≥ ln 4 . Aplicación del teorema del cambio neto El teorema del cambio neto puede aplicarse al flujo y al consumo de fluidos, como se muestra en el . ¿Cuántos galones de gasolina se consumen? Si el motor de una lancha se pone en marcha en t = 0 y la lancha consume gasolina a una tasa de 5 – t 3 gal/h, ¿qué cantidad de gasolina se consume en las primeras 2 horas? Exprese el problema como una integral definida, integre y evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo. Los límites de la integración son los puntos extremos del intervalo [ 0 , 2 ] . Tenemos ∫ 0 2 ( 5 – t 3 ) d t = ( 5 t – t 4 4 ) | 2 0 = [ 5 ( 2 ) – ( 2 ) 4 4 ] – 0 = 10 – 16 4 = 6 Por lo tanto, la lancha consume 6 galones de gasolina en 2 horas. Inicio del capítulo: Botes deslizadores sobre hielo (créditos: modificación del trabajo de Carter Brown, Flickr). Como vimos al principio del capítulo, los mejores corredores de botes de hielo ( ) pueden alcanzar velocidades de hasta cinco veces la velocidad del viento. Sin embargo, Andrew es un navegador de nivel intermedio, por lo que alcanza velocidades equivalentes a solo el doble de la velocidad del viento. Supongamos que Andrew saca su bote una mañana en la que ha soplado una ligera brisa de 5 mph durante toda la mañana. Sin embargo, mientras prepara su bote de hielo, el viento empieza a arreciar. Durante su primera media hora de navegación sobre hielo, la velocidad del viento aumenta según la función v ( t ) = 20 t + 5 . En la segunda media hora de la salida de Andrew, el viento se mantiene estable en 15 mph. En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por v ( t ) = { 20 t + 5 para 0 ≤ t ≤ 1 2 15 para 1 2 ≤ t ≤ 1 . Si recordamos que el bote de Andrew viaja al doble de la velocidad del viento, y suponemos que se mueve en línea recta desde su punto de partida, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra después de 1 hora? Para saber qué distancia ha recorrido Andrew, tenemos que integrar su velocidad, que es el doble de la velocidad del viento. Entonces Distancia = ∫ 0 1 2 v ( t ) d t . Sustituyendo las expresiones proporcionadas para v ( t ) , obtenemos ∫ 0 1 2 v ( t ) d t = ∫ 0 1 / 2 2 v ( t ) d t + ∫ 1 / 2 1 2 v ( t ) d t = ∫ 0 1 / 2 2 ( 20 t + 5 ) d t + ∫ 1 / 3 1 2 ( 15 ) d t = ∫ 0 1 / 2 ( 40 t + 10 ) d t + ∫ 1 / 2 1 30 d t = [ 20 t 2 + 10 t ] | 0 1 / 2 + [ 30 t ] | 1 / 2 1 = ( 20 4 + 5 ) − 0 + ( 30 − 15 ) = 25. Pasada 1 hora, Andrew está a 25 millas de su punto de partida. Supongamos que, en vez de permanecer estable durante la segunda media hora de la salida de Andrés, el viento empieza a amainar según la función v ( t ) = −10 t + 15 . En otras palabras, la velocidad del viento viene dada por v ( t ) = { 20 t + 5 para 0 ≤ t ≤ 1 2 − 10 t + 15 para 1 2 ≤ t ≤ 1 . En estas condiciones, ¿a qué distancia de su punto de partida se encuentra Andrés después de 1 hora? 17,5 mi Pista No olvide que el bote deslizador en hielo de Andrew se mueve el doble de rápido que el viento. Integración de funciones pares e impares En Funciones y gráficos vimos que una función par es aquella en la que f ( − x ) = f ( x ) para toda x en el dominio, es decir, el gráfico de la curva no cambia cuando se sustituye x por − x . Los gráficos de las funciones pares son simétricas con respecto al eje y . Una función impar es aquella en la que f ( − x ) = − f ( x ) para toda x en el dominio, y el gráfico de la función es simétrico respecto al origen. Las integrales de las funciones pares, cuando los límites de la integración son de − a a a , implican dos áreas iguales, porque son simétricas respecto al eje y . Las integrales de funciones impares, cuando los límites de integración son similares [ − a , a ] , se evalúa a cero porque las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales. Regla: integrales de funciones pares e impares Para funciones continuas pares tales que f ( − x ) = f ( x ) , ∫ − a a f ( x ) d x = 2 ∫ 0 a f ( x ) d x . Para funciones continuas impares tales que f ( − x ) = − f ( x ) , ∫ − a a f ( x ) d x = 0 . Integrar una función par Integre la función par ∫ −2 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x y verifique que la fórmula de integración para funciones pares se cumpla. La simetría aparece en los gráficos en la . El gráfico (a) muestra la región por debajo de la curva y por encima del eje x . Hay que ampliar mucho este gráfico para ver la región. El gráfico (b) muestra la región por encima de la curva y por debajo del eje x . El área con signo de esta región es negativa. Ambas vistas ilustran la simetría en torno al eje y de una función par. Tenemos ∫ −2 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x = ( x 9 3 − 2 x ) | −2 2 = [ ( 2 ) 9 3 − 2 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 9 3 − 2 ( −2 ) ] = ( 512 3 − 4 ) − ( − 512 3 + 4 ) = 1.000 3 . Para verificar la fórmula de integración de las funciones pares, podemos calcular la integral de 0 a 2 y duplicarla, y luego comprobar que obtenemos la misma respuesta. ∫ 0 2 ( 3 x 8 − 2 ) d x = ( x 9 3 − 2 x ) | 0 2 = 512 3 − 4 = 500 3 Dado que 2 . 500 3 = 1.000 3 , hemos comprobado la fórmula de las funciones pares en este ejemplo concreto. El gráfico (a) muestra el área positiva entre la curva y el eje x , mientras que el gráfico (b) muestra el área negativa entre la curva y el eje x . Ambas vistas muestran la simetría en torno al eje y . Integrar una función impar Evalúe la integral definida de la función impar −5 sen x en el intervalo [ − π , π ] . El gráfico se muestra en la . Podemos ver la simetría respecto al origen por el área positiva sobre el eje x en [ − π , 0 ] , y el área negativa por debajo del eje x en [ 0 , π ] . Tenemos ∫ − π π −5 sen x d x = −5 ( − cos x ) | − π π = 5 cos x | − π π = [ 5 cos π ] − [ 5 cos ( − π ) ] = −5 − ( −5 ) = 0 . El gráfico muestra las áreas entre una curva y el eje x para una función impar. Integre la función ∫ −2 2 x 4 d x . 64 5 Pista Integre una función par. Conceptos clave El teorema del cambio neto establece que cuando una cantidad cambia, el valor final es igual al valor inicial más la integral de la tasa de cambio. El cambio neto puede ser un número positivo, un número negativo o cero. El área bajo una función par en un intervalo simétrico se puede calcular duplicando el área sobre el eje x positivo. En una función impar, la integral sobre un intervalo simétrico es igual a cero, porque la mitad del área es negativa. Ecuaciones clave Teorema del cambio neto F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x o ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) Utilice las fórmulas básicas de integración para calcular las siguientes antiderivadas o integrales definidas. ∫ ( x – 1 x ) d x ∫ ( x – 1 x ) d x = ∫ x 1 / 2 d x − ∫ x −1 / 2 d x = 2 3 x 3 / 2 + C 1 − 2 x 1 / 2 + C 2 = 2 3 x 3 / 2 − 2 x 1 / 2 + C ∫ ( e 2 x – 1 2 e x / 2 ) d x ∫ d x 2 x ∫ d x 2 x = 1 2 ln | x | + C ∫ x – 1 x 2 d x ∫ 0 π ( sen x − cos x ) d x ∫ 0 π sen x d x − ∫ 0 π cos x d x = − cos x | 0 π − ( sen x ) | 0 π = ( − ( –1 ) + 1 ) − ( 0 − 0 ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( x − sen x ) d x Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro P ( s ) de un cuadrado cuando su longitud de lado s aumenta de 2 unidades a 4 unidades y evalúe la integral. P ( s ) = 4 s , así que d P d s = 4 y ∫ 2 4 4 d s = 8 . Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área A ( s ) = s 2 de un cuadrado cuando la longitud de sus lados se duplica de S unidades a 2 S unidades y evalúe la integral. Un N-gono regular (un polígono de N lados que tienen igual longitud s , como un pentágono o un hexágono) tiene un perímetro Ns . Escriba una integral que exprese el aumento del perímetro de un N −gono regular cuando la longitud de cada lado aumenta de 1 unidad a 2 unidades y evalúe la integral. ∫ 1 2 N d s = N El área de un pentágono regular de lado a > 0 es pa 2 con p = 1 4 5 + 5 + 2 5 . El Pentágono en Washington, DC, tiene lados interiores de 360 ft y lados exteriores de 920 ft de longitud. Escriba una integral para expresar el área del techo del Pentágono según estas dimensiones y evalúe esa área. Un dodecaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 12 pentágonos de igual superficie. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un dodecaedro cuando la longitud de los lados de cada pentágono se duplica de 1 a 2 unidades? Con p como en el ejercicio anterior, cada uno de los 12 pentágonos aumenta su área de 2 p unidades a 4 p unidades por lo que el aumento neto del área del dodecaedro es de 36 p unidades. Un icosaedro es un sólido platónico cuya superficie está formada por 20 triángulos equiláteros. ¿En cuánto aumenta el área superficial de un icosaedro cuando la longitud de los lados de cada triángulo se duplica de la unidad a a 2 a unidades? Escriba una integral que cuantifique el cambio en el área de la superficie de un cubo cuando su longitud lateral se duplica de la unidad s a 2 s unidades y evalúe la integral. 18 s 2 = 6 ∫ s 2 s 2 x d x Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de un cubo cuando la longitud del lado se duplica de la unidad s a unidades 2 s y evalúe la integral. Escriba una integral que cuantifique el aumento del área superficial de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2 R y evalúe la integral. 12 π R 2 = 8 π ∫ R 2 R r d r Escriba una integral que cuantifique el aumento del volumen de una esfera cuando su radio se duplica de la unidad R a unidades 2 R y evalúe la integral. Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con velocidad v ( t ) = 4 – 2 t , donde 0 ≤ t ≤ 2 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 2 . d ( t ) = ∫ 0 t v ( s ) d s = 4 t − t 2 . La distancia total es d ( 2 ) = 4 m . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v ( t ) = t 2 − 3 t − 18 , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una velocidad definida por v ( t ) = | 2 t − 6 | , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Calcule el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 . d ( t ) = ∫ 0 t v ( s ) d s . Para t < 3 , d ( t ) = ∫ 0 t ( 6 − 2 t ) d t = 6 t − t 2 . Para t > 3 , d ( t ) = d ( 3 ) + ∫ 3 t ( 2 t − 6 ) d t = 9 + ( t 2 − 6 t ) | 3 6 . La distancia total es d ( 6 ) = 18 m . Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con una aceleración definida por a ( t ) = t − 3 , donde 0 ≤ t ≤ 6 (en metros por segundo). Halle la velocidad y el desplazamiento en el tiempo t y la distancia total recorrida hasta t = 6 si v ( 0 ) = 3 y d ( 0 ) = 0 . Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 1,5 m con una rapidez inicial de 40 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de –9,8 m/s 2 . Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v ( t ) y la altura h ( t ) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo. v ( t ) = 40 − 9,8 t m/s ; h ( t ) = 1,5 + 40 t − 4,9 t 2 m/s Se lanza un balón hacia arriba desde una altura de 3 m con una rapidez inicial de 60 m/s. La aceleración resultante de la gravedad es de -9,8 m/seg 2 . Sin tener en cuenta la resistencia del aire, resuelva la velocidad v ( t ) y la altura h ( t ) del balón t segundos después de ser lanzado y antes de que vuelva al suelo. La zona A ( t ) de forma circular crece a un ritmo constante. Si el área aumenta de 4 π unidades a 9 π unidades entre tiempos t = 2 y t = 3 , calcule el cambio neto en el radio durante ese tiempo. El aumento neto es de 1 unidad. Un globo esférico se infla a un ritmo constante. Si el volumen del globo cambia de 36 π in 3 a 288 π in 3 entre el tiempo t = 30 y t = 60 segundos, halle el cambio neto en el radio del globo durante ese tiempo. El agua fluye en un tanque cónico con un área transversal πx 2 a una altura x y un volumen π x 3 3 hasta la altura x . Si el agua entra en el depósito a una velocidad de 1m 3 /min, halle la altura del agua en el depósito después de 5 min. Halle el cambio de altura entre 5 min y 10 min. A t = 5 , la altura del agua es x = ( 15 π ) 1 / 3 m . . El cambio neto de altura desde t = 5 al t = 10 ¿es ( 30 π ) 1 / 3 − ( 15 π ) 1 / 3 m. Un depósito cilíndrico horizontal tiene una sección transversal A ( x ) = 4 ( 6 x – x 2 ) m 2 a una altura de x metros sobre el fondo cuando x ≤ 3 . El volumen V entre las alturas a y b es ∫ a b A ( x ) d x . Halle el volumen en las alturas comprendidas entre 2 m y 3 m. Supongamos que se está bombeando aceite al tanque a una velocidad de 50 L/min. Utilizando la regla de la cadena, d x d t = d x d V d V d t , ¿a cuántos metros por minuto cambia la altura del aceite en el depósito, expresada en términos de x , cuando la altura está a x metros? ¿Cuánto tiempo se tarda en llenar el depósito hasta 3 m partiendo de un nivel de llenado de 2 m? La siguiente tabla muestra la potencia eléctrica en gigavatios (la tasa de consumo de energía) que se utiliza en una ciudad en diferentes horas del día, en un periodo típico de 24 horas, donde la hora 1 va desde la medianoche hasta la 1 a. m. Hora Potencia Hora Potencia 1 28 13 48 2 25 14 49 3 24 15 49 4 23 16 50 5 24 17 50 6 27 18 50 7 29 19 46 8 32 20 43 9 34 21 42 10 39 22 40 11 42 23 37 12 46 24 34 Halle la cantidad total de energía en gigavatios-hora (gW-h) que la ciudad consume en un periodo típico de 24 horas. El consumo total de energía diario se estima como la suma de las tasas de energía horaria, o sea 911 gW-h. El uso promedio de energía eléctrica residencial (en cientos de vatios) por hora se indica en la siguiente tabla. Hora Potencia Hora Potencia 1 8 13 12 2 6 14 13 3 5 15 14 4 4 16 15 5 5 17 17 6 6 18 19 7 7 19 18 8 8 20 17 9 9 21 16 10 10 22 16 11 10 23 13 12 11 24 11 Calcule la energía total promedio utilizada en un día en kilovatios-hora (kWh). Si una tonelada de carbón genera 1842 kWh, ¿cuánto tiempo tarda una residencia común en quemar una tonelada de carbón? Explique por qué los datos pueden encajar en un gráfico de la forma p ( t ) = 11,5 − 7,5 sen ( π t 12 ) . Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada uno de los últimos 18 segundos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012. Potencia promedio de salida Segundo Vatios Segundo Vatios 1 600 10 1200 2 500 11 1170 3 575 12 1125 4 1050 13 1.100 5 925 14 1075 6 950 15 1.000 7 1050 16 950 8 950 17 900 9 1.100 18 780 Fuente : sportsexercisengineering.com Calcule la energía neta utilizada en kilojulios (kJ), teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s, y la potencia media producida por Sagan durante este intervalo de tiempo. 17 kJ Los datos de la siguiente tabla se utilizan para estimar la potencia media producida por Peter Sagan en cada intervalo de 15 minutos de la Etapa 1 del Tour de Francia de 2012. Potencia promedio de salida Minutos Vatios Minutos Vatios 15 200 165 170 30 180 180 220 45 190 195 140 60 230 210 225 75 240 225 170 90 210 240 210 105 210 255 200 120 220 270 220 135 210 285 250 150 150 300 400 Fuente : sportsexercisengineering.com Calcule la energía neta utilizada en kilojulios, teniendo en cuenta que 1W = 1 J/s. En la siguiente tabla se muestran los ingresos en Estados Unidos a partir de 2012 en incrementos de 5.000 dólares. La fila k −ésima indica el porcentaje de hogares con ingresos entre $5.000 x k y 5.000 x k + 4.999 . La fila k = 40 contiene todos los hogares con ingresos entre 200.000 y 250.000 dólares. Distribución de los ingresos 0 3,5 21 1,5 1 4,1 22 1,4 2 5,9 23 1.3 3 5,7 24 1.3 4 5,9 25 1,1 5 5,4 26 1,0 6 5,5 27 0,75 7 5,1 28 0,8 8 4,8 29 1,0 9 4,1 30 0,6 10 4,3 31 0,6 11 3,5 32 0,5 12 3,7 33 0,5 13 3,2 34 0,4 14 3,0 35 0,3 15 2,8 36 0,3 16 2,5 37 0,3 17 2,2 38 0,2 18 2,2 39 1,8 19 1,8 40 2,3 20 2,1 Fuente : http://www.census.gov/prod/2013pubs/p60-245.pdf Estime el porcentaje de hogares estadounidenses en 2012 con ingresos inferiores a 55.000 dólares. ¿Qué porcentaje de hogares tiene ingresos superiores a 85.000 dólares? Grafique los datos e intente ajustar su forma a la de un gráfico de la forma a ( x + c ) e − b ( x + e ) para que corresponda a a , b , c . a. 54,3 %; b. 27,00 %; c. La curva del siguiente gráfico es 2,35 ( t + 3 ) e −0,15 ( t + 3 ) . La ley de la gravedad de Newton establece que la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto de masa M y otro de masa m con centros separados por una distancia r es F = G m M r 2 , con G como constante empírica G = 6,67 x 10 –11 m 3 / ( k g . s 2 ) . El trabajo realizado por una fuerza variable en un intervalo [ a , b ] se define como W = ∫ a b F ( x ) d x . Si la Tierra tiene masa de 5,97219 × 10 24 y radio de 6371 km, calcule la cantidad de trabajo para elevar un satélite meteorológico polar de masa 1.400 kg hasta su altitud de órbita de 850 km sobre la Tierra. En un vehículo de cierto tipo de motor, la desaceleración máxima alcanzable por el frenado es de aproximadamente 7 m/s 2 en hormigón seco. En el asfalto húmedo, es de aproximadamente 2,5 m/s 2 . Dado que 1 mph corresponde a 0,447 m/s, halle la distancia total que recorre un auto en metros sobre hormigón seco después de aplicar los frenos hasta que se detiene por completo si la velocidad inicial es de 67 mph (30 m/s) o si la velocidad inicial de frenado es de 56 mph (25 m/s). Halle las distancias correspondientes si la superficie es asfalto húmedo y resbaladizo. En condiciones secas, con una velocidad inicial v 0 = 30 m/s, D = 64,3 y, si v 0 = 25 , D = 44,64 . En condiciones de humedad, si v 0 = 30 , y D = 180 y si v 0 = 25 , D = 125 . John tiene 25 años y pesa 160 lb. Quema 500 − 50 t calorías/h mientras monta en bicicleta durante t horas. Si una galleta de avena tiene 55 cal y Juan se come 4 t galletas durante la t −ésima hora, ¿cuántas calorías netas pierde después de 3 horas montando en bicicleta? Sandra tiene 25 años y pesa 120 libras. Quema 300 − 50 t cal/h mientras se ejercita en su máquina caminadora. Su consumo de calorías al beber Gatorade es de 100 t calorías durante la t −ésima hora. ¿Cuál es su disminución neta de calorías después de caminar por 3 horas? 225 cal Un automóvil tiene una eficiencia máxima de 33 mpg a una velocidad de crucero de 40 mph. La eficiencia cae a un ritmo de 0,1 mpg/mph entre 40 mph y 50 mph, y a una tasa de 0,4 mpg/mph entre 50 mph y 80 mph. ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a una velocidad de crucero de 50 mph? ¿Cuál es la eficiencia en millas por galón si el auto va a 80 mph? Si la gasolina cuesta 3,50 $/gal, ¿cuál es el costo del combustible para recorrer 50 millas a 40 mph, a 50 mph y a 80 mph? Aunque algunos motores son más eficientes con una potencia determinada en caballos de fuerza que otros, en promedio, la eficiencia del combustible disminuye con la potencia a una tasa de 1 / 25 mpg/caballo de fuerza Si un motor típico de 50 caballos de fuerza tiene un rendimiento medio de combustible de 32 mpg, ¿cuál es el rendimiento medio de combustible de un motor con los siguientes caballos de fuerza? ¿150, 300, 450? E ( 150 ) = 28 , E ( 300 ) = 22 , E ( 450 ) = 16 [T] La siguiente tabla muestra el calendario de 2013 del impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible. Impuesto federal sobre la renta en función de la renta imponible Rango de la renta imponible El impuesto es... ... Por la cantidad superior a $0-$8.925 10 % $0 $8.925-$36.250 $892,50 + 15 % $8.925 $36.250-$87.850 $4.991,25 + 25 % $36.250 $87.850-$183.250 $17.891,25 + 28 % $87.850 $183.250-$398.350 $44.603,25 + 33 % $183.250 $398.350-$400.000 $115.586,25 + 35 % $398.350 > $400.000 $116.163,75 + 39,6 % $400.000 Fuente : http://www.irs.gov/pub/irs-prior/i1040tt--2013.pdf. Supongamos que Steve acaba de recibir un aumento de 10.000 dólares. ¿Cuánto queda de este aumento después de los impuestos federales si el salario de Steve antes de recibir el aumento era de 40.000 dólares? ¿Si era de 90.000 dólares? ¿Si era de 385.000 dólares? [T] La siguiente tabla proporciona datos hipotéticos sobre el nivel de servicio de cierta autopista. Rango de velocidad en autopista (mph) Vehículos por hora por carril Rango de densidad (vehículos/mi) > 60 < 600 < 10 60–57 600–1.000 10–20 57–54 1.000–1.500 20–30 54–46 1.500–1.900 30–45 46–30 1.900 – 2.100 45–70 < 30 Es inestable 70–200 Represente los vehículos por hora por carril en el eje x y la velocidad de la autopista en el eje y . Calcule la disminución promedio en la velocidad (en millas por hora) por unidad de aumento en la congestión (vehículos por hora por carril) a medida que esta última aumenta de 600 a 1.000, de 1.000 a 1.500 y de 1.500 a 2.100. ¿La disminución de las millas por hora depende linealmente del aumento de los vehículos por hora por carril? Grafique los minutos por milla (60 veces el recíproco de las millas por hora) en función de los vehículos por hora por carril. ¿Esta función es lineal? a. b. Entre 600 y 1.000 la disminución promedio de vehículos por hora por carril es de -0,0075. Entre 1.000 y 1.500 es de -0,006 por vehículos por hora y carril, y entre 1.500 y 2.100 es de -0,04 vehículos por hora y carril. c. El gráfico no es lineal, ya que los minutos por milla aumentan drásticamente a medida que los vehículos por hora por carril alcanzan los 2.000. En los dos ejercicios siguientes utilice los datos de la siguiente tabla, que muestra las poblaciones de águila calva desde 1963 hasta 2000 en el territorio continental de Estados Unidos. Población de parejas reproductoras de águilas calvas Año Población de parejas reproductoras de águilas calvas 1963 487 1974 791 1981 1188 1986 1875 1992 3749 1996 5094 2000 6471 Fuente : http://www.fws.gov/Midwest/eagle/population/chtofprs.html. [T] El siguiente gráfico traza la curva cuadrática p ( t ) = 6,48 t 2 − 80,3 1 t + 585,69 contra los datos de la tabla anterior, normalizados de manera que t = 0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [ 0 , 37 ] . [T] El siguiente gráfico representa la curva cúbica p ( t ) = 0,07 t 3 + 2,42 t 2 − 25,63 t + 521,23 con los datos de la tabla anterior, normalizados de forma que t = 0 corresponde a 1963. Estime el número medio de águilas calvas por año presentes durante los 37 años calculando el valor promedio de p sobre [ 0 , 37 ] . 1 37 ∫ 0 37 p ( t ) d t = 0,07 ( 37 ) 3 4 + 2,42 ( 37 ) 2 3 − 25,63 ( 37 ) 2 + 521,23 ≈ 2037 [T] Suponga que hace un viaje por carretera y registra tu velocidad cada media hora, como se recoge en la siguiente tabla. El mejor ajuste cuadrático a los datos es q ( t ) = 5 x 2 − 11 x + 49 , que se muestra en el gráfico adjunto. Integre q para estimar la distancia total recorrida en 3 horas. Tiempo (h) Velocidad (mph) 0 (inicio) 50 1 40 2 50 3 60 Cuando un auto acelera, no lo hace a un ritmo constante, sino que la aceleración es variable. En los siguientes ejercicios, utilice la siguiente tabla, que muestra la aceleración medida en cada segundo mientras un conductor se incorpora a una autopista. Tiempo (s) Aceleración (mph/s) 1 11,2 2 10,6 3 8,1 4 5,4 5 0 [T] El gráfico adjunto muestra el mejor ajuste cuadrático, a ( t ) = −0,70 t 2 + 1,44 t + 10,44 , a los datos de la tabla anterior. Calcule el valor promedio de a ( t ) para estimar la aceleración media entre t = 0 y t = 5 . La aceleración media es A = 1 5 ∫ 0 5 a ( t ) d t = − 0,7 ( 5 2 ) 3 + 1,44 ( 5 ) 2 + 10,44 ≈ 8,2 mph/s [T] Usando su ecuación de aceleración del ejercicio anterior, halle la ecuación de velocidad correspondiente. Suponiendo que la velocidad final es de 0 mph, halle la velocidad en el tiempo t = 0 . [T] Utilizando su ecuación de velocidad del ejercicio anterior, halle la ecuación de distancia correspondiente, asumiendo que su distancia inicial es 0 mi. ¿Qué distancia recorrió mientras aceleraba su auto? ( Pista: Tendrá que convertir las unidades de tiempo). d ( t ) = ∫ 0 1 | v ( t ) | d t = ∫ 0 t ( 7 30 t 3 − 0,72 t 2 − 10,44 t + 41,033 ) d t = 7 120 t 4 − 0,24 t 3 − 5,22 t 3 + 41,033 t . Entonces, d ( 5 ) ≈ 81,12 mph × sec ≈ 119 pies. [T] El número de hamburguesas que se venden en un restaurante a lo largo del día se muestra en la siguiente tabla, con un gráfico adjunto que representa el mejor ajuste cúbico a los datos, b ( t ) = 0,12 t 3 − 2,13 t 3 + 12,13 t + 3,91 , con la t = 0 correspondiente a las 9 a. m. y t = 12 correspondiente a las 9 p. m. Calcule el valor medio de b ( t ) para estimar el número promedio de hamburguesas vendidas por hora. Horas después de la medianoche Número de hamburguesas vendidas 9 3 12 28 15 20 18 30 21 45 [T] Una atleta corre junto a un detector de movimiento que registra su velocidad, como se muestra en la siguiente tabla. El mejor ajuste lineal a estos datos, ℓ ( t ) = −0,068 t + 5,14 , se muestra en el gráfico adjunto. Utilice el valor medio de ℓ ( t ) entre t = 0 y t = 40 para estimar la velocidad media de la corredora Minutos Velocidad (m/s) 0 5 10 4,8 20 3,6 30 3,0 40 2,5 1 40 ∫ 0 40 ( −0,068 t + 5,14 ) d t = − 0,068 ( 40 ) 2 + 5,14 = 3,78 m/seg teorema del cambio neto si conocemos la tasa de cambio de una cantidad, el teorema del cambio neto dice que la cantidad futura es igual a la cantidad inicial más la integral de la tasa de cambio de la cantidad", "section": "Fórmulas de integración y el teorema del cambio neto", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Sustitución El teorema fundamental del cálculo nos dio un método para evaluar integrales sin usar las sumas de Riemann. Este método no obstante tiene el inconveniente de que debemos ser capaces de encontrar una antiderivada, y esto no siempre es fácil. En esta sección examinaremos una técnica, llamada integración por sustitución , que nos ayudará a encontrar antiderivadas. En concreto, este método nos ayuda a encontrar las antiderivadas cuando el integrando es el resultado de una derivada en cadena. Al principio, el planteamiento del procedimiento de sustitución puede no parecer lo bastante evidente. Sin embargo, es una tarea principalmente visual, es decir, el integrando le muestra lo que debe hacer; es cuestión de reconocer la forma de la función. Entonces, ¿qué se supone que debemos ver? Buscamos un integrando de la forma f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x . Por ejemplo, en la integral ∫ ( x 2 − 3 ) 3 2 x d x , tenemos f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 2 − 3 , y g ' ( x ) = 2 x . Entonces, f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) = ( x 2 − 3 ) 3 ( 2 x ) , y vemos que nuestro integrando está en la forma correcta. El método se llama de sustitución porque sustituimos parte del integrando por la variable u y parte del integrando por du . También se denomina cambio de variables porque cambiamos las variables para obtener una expresión más fácil de trabajar para aplicar las reglas de integración. Sustitución con integrales indefinidas Supongamos que u = g ( x ) , , donde g ′ ( x ) es continua en un intervalo, supongamos que f ( x ) es continua en el rango correspondiente de g , y que F ( x ) es una antiderivada de f ( x ) . Entonces, ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C . Prueba Sean f , g , u y F los especificados en el teorema. Entonces d d x F ( g ( x ) ) = F ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) . Al integrar ambos lados con respecto a x , vemos que ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C . Si ahora sustituimos u = g ( x ) , y d u = g ' ( x ) d x , obtenemos ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C . □ Volviendo al problema que analizamos originalmente, supongamos que u = x 2 − 3 y luego d u = 2 x d x . Reescriba la integral en términos de u : ∫ ( x 2 − 3 ) ︸ u 3 ( 2 x d x ) ︸ d u = ∫ u 3 d u . Al utilizar la regla de la potencia para las integrales, tenemos ∫ u 3 d u = u 4 4 + C . Sustituya la expresión original de x en la solución: u 4 4 + C = ( x 2 − 3 ) 4 4 + C . Podemos generalizar el procedimiento en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Integración por sustitución Fíjese bien en el integrando y seleccione una expresión g ( x ) dentro del integrando para establecerlo igual a u . Seleccionemos g ( x ) . de manera que g ′ ( x ) también forma parte del integrando. Sustituya u = g ( x ) y d u = g ′ ( x ) d x . en la integral. Ahora deberíamos ser capaces de evaluar la integral con respecto a u . Si la integral no puede ser evaluada, tenemos que devolvernos y seleccionar una expresión diferente para usarla como u . Evalúe la integral en términos de u . Escriba el resultado en términos de x y la expresión g ( x ) . Uso de la sustitución para encontrar una antiderivada Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 d x . El primer paso es elegir una expresión para u . Elegimos u = 3 x 2 + 4 porque entonces d u = 6 x d x , y ya tenemos du en el integrando. Escriba la integral en términos de u : ∫ 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 d x = ∫ u 4 d u . Recuerde que du es la derivada de la expresión elegida para u , sin importar lo que haya dentro del integrando. Ahora podemos evaluar la integral con respecto a u : ∫ u 4 d u = u 5 5 + C = ( 3 x 2 + 4 ) 5 5 + C . Análisis Podemos comprobar nuestra respuesta tomando la derivada del resultado de la integración. Deberíamos obtener el integrando. Escogiendo un valor para C de 1, suponemos que y = 1 5 ( 3 x 2 + 4 ) 5 + 1 . Tenemos y = 1 5 ( 3 x 2 + 4 ) 5 + 1 , así que y ′ = ( 1 5 ) 5 ( 3 x 2 + 4 ) 4 6 x = 6 x ( 3 x 2 + 4 ) 4 . Esta es exactamente la expresión con la que empezamos dentro del integrando. Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ 3 x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x . ∫ 3 x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x = 1 3 ( x 3 − 3 ) 3 + C Pista Supongamos que u = x 3 − 3 . A veces tenemos que ajustar las constantes de nuestra integral si no coinciden exactamente con las expresiones que estamos sustituyendo. Utilizar la sustitución con la alteración Utilice la sustitución para calcular ∫ z z 2 − 5 d z . Reescriba la integral como ∫ z ( z 2 − 5 ) 1 / 2 d z . Supongamos que u = z 2 − 5 y d u = 2 z d z . Ahora tenemos un problema porque d u = 2 z d z y la expresión original solo tiene z d z . Tenemos que alterar nuestra expresión para du o la integral en u será el doble de grande de lo que debería ser. Si multiplicamos ambos lados de la ecuación du por 1 2 . podemos resolver este problema. Por lo tanto, u = z 2 − 5 d u = 2 z d z 1 2 d u = 1 2 ( 2 z ) d z = z d z . Escriba la integral en términos de u , pero saque la 1 2 fuera del símbolo de integración: ∫ z ( z 2 − 5 ) 1 / 2 d z = 1 2 ∫ u 1 / 2 d u . Integre la expresión en u : 1 2 ∫ u 1 / 2 d u = ( 1 2 ) u 3 / 2 3 2 + C = ( 1 2 ) ( 2 3 ) u 3 / 2 + C = 1 3 u 3 / 2 + C = 1 3 ( z 2 − 5 ) 3 / 2 + C . Utilice la sustitución para calcular ∫ x 2 ( x 3 + 5 ) 9 d x . ( x 3 + 5 ) 10 30 + C Pista Multiplique la ecuación du por 1 3 . Uso de la sustitución con integrales de funciones trigonométricas Utilice la sustitución para evaluar la integral ∫ sen t cos 3 t d t . Sabemos que la derivada de cos t ¿es − sen t , así que establecemos u = cos t . Entonces d u = − sen t d t . Sustituyendo en la integral, tenemos ∫ sen t cos 3 t d t = − ∫ d u u 3 . Al evaluar la integral, obtenemos − ∫ d u u 3 = − ∫ u −3 d u = − ( − 1 2 ) u −2 + C . Volviendo a poner la respuesta en términos de t , obtenemos ∫ sen t cos 3 t d t = 1 2 u 2 + C = 1 2 cos 2 t + C . Utilice la sustitución para evaluar la integral ∫ cos t sen 2 t d t . − 1 sen t + C Pista Utilice el proceso del para resolver el problema. A veces necesitamos manipular una integral de forma más complicada que simplemente multiplicar por o dividir entre una constante. Tenemos que eliminar todas las expresiones dentro del integrando que están en términos de la variable original. Cuando finalicemos, u debería ser la única variable en el integrando. En algunos casos, esto significa resolver la variable original en términos de u . El siguiente ejemplo debería aclararnos esta técnica. Cómo encontrar una antiderivada mediante la sustitución en u Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ x x – 1 d x . Supongamos que u = x – 1 , entonces d u = d x . Pero esto no tiene en cuenta la x en el numerador del integrando. Necesitamos expresar x en términos de u . Si los valores de u = x – 1 , entonces x = u + 1 . Ahora podemos reescribir la integral en términos de u : ∫ x x – 1 d x = ∫ u + 1 u d u = ∫ u + 1 u d u = ∫ ( u 1 / 2 + u −1 / 2 ) d u . A continuación integramos de la forma habitual, sustituimos u por la expresión original, y factorizamos y simplificamos el resultado. Por lo tanto, ∫ ( u 1 / 2 + u −1 / 2 ) d u = 2 3 u 3 / 2 + 2 u 1 / 2 + C = 2 3 ( x – 1 ) 3 / 2 + 2 ( x – 1 ) 1 / 2 + C = ( x – 1 ) 1 / 2 [ 2 3 ( x – 1 ) + 2 ] + C = ( x – 1 ) 1 / 2 ( 2 3 x − 2 3 + 6 3 ) = ( x – 1 ) 1 / 2 ( 2 3 x + 4 3 ) = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 2 ( x + 2 ) + C . Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida ∫ cos 3 t sen t d t . − cos 4 t 4 + C Pista Utilice el proceso de la para resolver el problema. Sustitución de integrales definidas La sustitución también se puede utilizar con las integrales definidas. Sin embargo, el uso de la sustitución para evaluar una integral definida exige un cambio en los límites de integración. Si cambiamos las variables en el integrando, los límites de integración también cambian. Sustitución con integrales definidas Supongamos que u = g ( x ) y supongamos que g ′ es continua en un intervalo [ a , b ] , y que f es continua en el rango de u = g ( x ) . Entonces, ∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u . Aunque no demostraremos formalmente este teorema, lo justificamos con algunos cálculos. A partir de la regla de sustitución de integrales indefinidas, si F ( x ) es una antiderivada de f ( x ) , tenemos ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C . Entonces ∫ a b f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) | x = a x = b = F ( g ( b ) ) – F ( g ( a ) ) = F ( u ) | u = g ( a ) u = g ( b ) = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u , y obtenemos el resultado deseado. Uso de la sustitución para evaluar una integral definida Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x 2 ( 1 + 2 x 3 ) 5 d x . Supongamos que u = 1 + 2 x 3 , así que d u = 6 x 2 d x . Como la función original incluye un factor de x 2 y d u = 6 x 2 d x , multiplicamos ambos lados de la ecuación du por 1 / 6 . Entonces, d u = 6 x 2 d x 1 6 d u = x 2 d x . Para ajustar los límites de la integración, tenga en cuenta que cuando x = 0 , u = 1 + 2 ( 0 ) = 1 , y cuando x = 1 , u = 1 + 2 ( 1 ) = 3 . Entonces ∫ 0 1 x 2 ( 1 + 2 x 3 ) 5 d x = 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u . Al evaluar esta expresión, obtenemos 1 6 ∫ 1 3 u 5 d u = ( 1 6 ) ( u 6 6 ) | 1 3 = 1 36 [ ( 3 ) 6 − ( 1 ) 6 ] = 182 9 . Utilice la sustitución para evaluar la integral definida ∫ −1 0 y ( 2 y 2 − 3 ) 5 d y . 91 3 Pista Utilice los pasos de la para resolver el problema. Uso de la sustitución con una función exponencial Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x e 4 x 2 + 3 d x . Supongamos que u = 4 x 2 + 3 . Entonces, d u = 8 x d x . Para ajustar los límites de integración, observamos que cuando x = 0 , u = 3 , y cuando x = 1 , u = 7 . Así que nuestra sustitución da como resultado ∫ 0 1 x e 4 x 2 + 3 d x = 1 8 ∫ 3 7 e u d u = 1 8 e u | 3 7 = e 7 − e 3 8 ≈ 134,568. Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 1 x 2 cos ( π 2 x 3 ) d x . 2 3 π ≈ 0,2122 Pista Utilice el proceso de la para resolver el problema. La sustitución puede ser solo una de las técnicas necesarias para evaluar una integral definida. Todas las propiedades y reglas de integración se aplican de forma independiente, y puede ser necesario reescribir las funciones trigonométricas utilizando una identidad trigonométrica antes de aplicar la sustitución. Además, tenemos la opción de sustituir la expresión original por u después de encontrar la antiderivada, lo que significa que no tenemos que cambiar los límites de integración. Estos dos enfoques se muestran en el . Uso de la sustitución para evaluar una integral trigonométrica Utilice la sustitución para evaluar ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ . Utilicemos primero una identidad trigonométrica para reescribir la integral. La identidad trigonométrica cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 nos permite reescribir la integral como ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ = ∫ 0 π / 2 1 + cos 2 θ 2 d θ . Entonces, ∫ 0 π / 2 ( 1 + cos 2 θ 2 ) d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 2 + 1 2 cos 2 θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ . Podemos evaluar la primera integral tal cual, pero para evaluar la segunda integral necesitamos hacer una sustitución. Supongamos que u = 2 θ . Entonces, d u = 2 d θ , o 1 2 d u = d θ . Además, cuando θ = 0 , u = 0 , y cuando θ = π / 2 , u = π . Expresando la segunda integral en términos de u , tenemos 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 d θ + 1 2 ( 1 2 ) ∫ 0 π cos u d u = θ 2 | θ = 0 θ = π / 2 + 1 4 sen u | u = 0 u = θ = ( π 4 − 0 ) + ( 0 − 0 ) = π 4 . Conceptos clave La sustitución es una técnica que simplifica la integración de funciones que son el resultado de una derivada en cadena. El término \"sustitución\" se refiere al cambio de variables o a la sustitución de la variable u y du por expresiones adecuadas en el integrando. Al utilizar la sustitución de una integral definida, es necesario que cambiemos los límites de integración. Ecuaciones clave Sustitución con integrales indefinidas ∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + C = F ( g ( x ) ) + C Sustitución con integrales definidas ∫ a b f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u ¿Por qué la sustitución en u se denomina cambio de variable ? 2. Si los valores de f = g ∘ h , al invertir la regla de la cadena, d d x ( g ∘ h ) ( x ) = g ′ ( h ( x ) ) h ′ ( x ) , debe tomar u = g ( x ) o u = h ( x ) ? u = h ( x ) En los siguientes ejercicios, compruebe cada identidad utilizando la diferenciación. Entonces, utilizando la sustitución en u indicada, identifique f tal que la integral tome la forma ∫ f ( u ) d u . ∫ x x + 1 d x = 2 15 ( x + 1 ) 3 / 2 ( 3 x − 2 ) + C ; u = x + 1 Para x > 1 : ∫ x 2 x – 1 d x = 2 15 x – 1 ( 3 x 2 + 4 x + 8 ) + C ; u = x – 1 f ( u ) = ( u + 1 ) 2 u ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 12 ( 4 x 2 + 9 ) 3 / 2 + C ; u = 4 x 2 + 9 ∫ x 4 x 2 + 9 d x = 1 4 4 x 2 + 9 + C ; u = 4 x 2 + 9 d u = 8 x d x ; f ( u ) = 1 8 u ∫ x ( 4 x 2 + 9 ) 2 d x = − 1 8 ( 4 x 2 + 9 ) ; u = 4 x 2 + 9 En los siguientes ejercicios calcule la antiderivada mediante la sustitución indicada. ∫ ( x + 1 ) 4 d x ; u = x + 1 1 5 ( x + 1 ) 5 + C ∫ ( x – 1 ) 5 d x ; u = x – 1 ∫ ( 2 x − 3 ) −7 d x ; u = 2 x − 3 − 1 12 ( 2 x − 3 ) 6 + C ∫ ( 3 x − 2 ) −11 d x ; u = 3 x − 2 ∫ x x 2 + 1 d x ; u = x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ x 1 − x 2 d x ; u = 1 − x 2 ∫ ( x – 1 ) ( x 2 − 2 x ) 3 d x ; u = x 2 − 2 x 1 8 ( x 2 − 2 x ) 4 + C ∫ ( x 2 − 2 x ) ( x 3 − 3 x 2 ) 2 d x ; u = x 3 – 3 x 2 ∫ cos 3 θ d θ ; u = sen θ ( Pista : cos 2 θ = 1 − sen 2 θ ). grandes. sen θ − sen 3 θ 3 + C ∫ sen 3 θ d θ ; u = cos θ ( Pista : sen 2 θ = 1 − cos 2 θ ). En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables adecuado para determinar la integral indefinida. ∫ x ( 1 − x ) 99 d x ( 1 − x ) 101 101 − ( 1 − x ) 100 100 + C ∫ t ( 1 − t 2 ) 10 d t ∫ ( 11 x − 7 ) −3 d x ∫ ( 11 x – 7 ) −2 dx = − 1 22 ( 11 x − 7 ) 2 + C ∫ ( 7 x − 11 ) 4 d x ∫ cos 3 θ sen θ d θ − cos 4 θ 4 + C ∫ sen 7 θ cos θ d θ ∫ cos 2 ( π t ) sen ( π t ) d t − cos 3 ( π t ) 3 π + C ∫ sen 2 x cos 3 x d x ( Pista : sen 2 x + cos 2 x = 1 ). grandes. ∫ t sen ( t 2 ) cos ( t 2 ) d t − 1 4 cos 2 ( t 2 ) + C ∫ t 2 cos 2 ( t 3 ) sen ( t 3 ) d t ∫ x 2 ( x 3 − 3 ) 2 d x − 1 3 ( x 3 − 3 ) + C ∫ x 3 1 − x 2 d x ∫ y 5 ( 1 − y 3 ) 3 / 2 d y − 2 ( y 3 − 2 ) 3 1 − y 3 ∫ cos θ ( 1 − cos θ ) 99 sen θ d θ ∫ ( 1 − cos 3 θ ) 10 cos 2 θ sen θ d θ 1 33 ( 1 − cos 3 θ ) 11 + C ∫ ( cos θ − 1 ) ( cos 2 θ − 2 cos θ ) 3 sen θ d θ ∫ ( sen 2 θ − 2 sen θ ) ( sen 3 θ − 3 sen 2 θ ) 3 cos θ d θ 1 12 ( sen 3 θ − 3 sen 2 θ ) 4 + C En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el área bajo la curva utilizando sumas de Riemann a la izquierda con 50 términos, y luego use la sustitución para hallar la respuesta exacta. [T] y = 3 ( 1 − x ) 2 en [ 0 , 2 ] [T] y = x ( 1 − x 2 ) 3 en [ −1 , 2 ] L 50 = −8,5779 . El área exacta es −81 8 [T] y = sen x ( 1 − cos x ) 2 en [ 0 , π ] [T] y = x ( x 2 + 1 ) 2 en [ −1 , 1 ] L 50 = −0,006399 ... El área exacta es 0. En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para evaluar la integral definida. ∫ 0 1 x 1 − x 2 d x ∫ 0 1 x 1 + x 2 d x u = 1 + x 2 , d u = 2 x d x , 1 2 ∫ 1 2 u −1 / 2 d u = 2 – 1 ∫ 0 2 t 5 + t 2 d t ∫ 0 1 t 2 1 + t 3 d t u = 1 + t 3 , d u = 3 t 2 d t , 1 3 ∫ 1 2 u −1 / 2 d u = 2 3 ( 2 – 1 ) grandes. ∫ 0 π / 4 sec 2 θ tan θ d θ ∫ 0 π / 4 sen θ cos 4 θ d θ u = cos θ , d u = − sen θ d θ , ∫ 1 / 2 1 u −4 d u = 1 3 ( 2 2 – 1 ) En los siguientes ejercicios, evalúe la integral indefinida ∫ f ( x ) d x con constante C = 0 utilizando la sustitución en u . Luego, grafique la función y la antiderivada sobre el intervalo indicado. Si es posible, estime un valor de C que habría que añadir a la antiderivada para hacerla igual a la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , con a el punto final izquierdo del intervalo dado. [T] ∫ ( 2 x + 1 ) e x 2 + x − 6 d x en [ −3 , 2 ] [T] ∫ cos ( ln ( 2 x ) ) x d x en [ 0 , 2 ] La antiderivada es y = sen ( ln ( 2 x ) ) . Como la antiderivada no es continua en x = 0 , no se puede encontrar un valor de C que logre que y = sen ( ln ( 2 x ) ) − C trabajen como una integral definitiva. [T] ∫ 3 x 2 + 2 x + 1 x 3 + x 2 + x + 4 d x en [ −1 , 2 ] [T] ∫ sen x cos 3 x d x en [ − π 3 , π 3 ] La antiderivada es y = 1 2 sec 2 x . Debe tomar C = −2 por lo que F ( − π 3 ) = 0 . [T] ∫ ( x + 2 ) e – x 2 − 4 x + 3 d x en [ −5 , 1 ] [T] ∫ 3 x 2 2 x 3 + 1 d x en [ 0 , 1 ] La antiderivada es y = 1 3 ( 2 x 3 + 1 ) 3 / 2 . Hay que tomar C = − 1 3 . Si los valores de h ( a ) = h ( b ) en ∫ a b g ' ( h ( x ) ) h' ( x ) d x , ¿qué puede decir sobre el valor de la integral? ¿Es la sustitución u = 1 − x 2 en la integral definida ∫ 0 2 x 1 − x 2 d x es correcta? Si no, ¿por qué no? No, porque el integrando es discontinuo en x = 1 . En los siguientes ejercicios, utilice un cambio de variables para demostrar que cada integral definida es igual a cero. ∫ 0 π cos 2 ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) d θ ∫ 0 π t cos ( t 2 ) sen ( t 2 ) d t u = sen ( t 2 ) ; la integral se convierte en 1 2 ∫ 0 0 u d u . ∫ 0 1 ( 1 − 2 t ) d t ∫ 0 1 1 − 2 t ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) d t u = ( 1 + ( t − 1 2 ) 2 ) ; la integral se convierte en − ∫ 5 / 4 5 / 4 1 u d u . ∫ 0 π sen ( ( t – π 2 ) 3 ) cos ( t – π 2 ) d t ∫ 0 2 ( 1 − t ) cos ( π t ) d t u = 1 − t ; la integral se convierte en ∫ 1 −1 u cos ( π ( 1 − u ) ) d u = ∫ 1 −1 u [ cos π cos π u − sen π sen π u ] d u = − ∫ 1 −1 u cos π u d u = ∫ –1 1 u cos π u d u = 0 ya que el integrando es impar. ∫ π / 4 3 π / 4 sen 2 t cos t d t Demuestre que el valor promedio de f ( x ) en un intervalo [ a , b ] es el mismo que el valor medio de f ( c x ) en el intervalo [ a c , b c ] por c > 0 . Si establecemos que u = c x y d u = c d x da como resultado 1 b c − a c ∫ a / c b / c f ( c x ) d x = c b – a ∫ u = a u = b f ( u ) d u c = 1 b – a ∫ a b f ( u ) d u . Halle el área bajo el gráfico de f ( t ) = t ( 1 + t 2 ) a entre t = 0 y t = x donde a > 0 y a ≠ 1 es fijo, y evalúe el límite como x → ∞ . Halle el área bajo el gráfico de g ( t ) = t ( 1 − t 2 ) a entre t = 0 y t = x , donde 0 < x < 1 y a > 0 es fijo. Evalúe el límite como x → 1 . ∫ 0 x g ( t ) d t = 1 2 ∫ u = 1 − x 2 1 d u u a = 1 2 ( 1 − a ) u 1 − a | u = 1 − x 2 1 = 1 2 ( 1 − a ) ( 1 − ( 1 − x 2 ) 1 − a ) . Dado que x → 1 el límite es 1 2 ( 1 − a ) si a < 1 , y el límite diverge a +∞ si a > 1 . El área de un semicírculo de radio 1 puede expresarse como ∫ –1 1 1 − x 2 d x . Utilice la sustitución x = cos t para expresar el área de un semicírculo como la integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral. El área de la mitad superior de una elipse con un eje mayor que es el eje x de x = − a a x = a y con un eje menor que es el eje y de y = − b al y = b se puede escribir como ∫ − a a b 1 − x 2 a 2 d x . Utilice la sustitución x = a cos t para expresar esta área en términos de una integral de una función trigonométrica. No es necesario calcular la integral. ∫ t = π 0 b 1 − cos 2 t × ( − a sen t ) d t = ∫ t = 0 π a b sen 2 t d t [T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f ( t ) = a sen ( n t ) + b sen ( m t ) . Estime los coeficientes a y b , y los parámetros de frecuencia n y m . Utilice estas estimaciones para aproximar ∫ 0 π f ( t ) d t . [T] El siguiente gráfico es de una función de la forma f ( x ) = a cos ( n t ) + b cos ( m t ) . Estime los coeficientes a y b y los parámetros de frecuencia n y m . Utilice estas estimaciones para aproximar ∫ 0 π f ( t ) d t . f ( t ) = 2 cos ( 3 t ) − cos ( 2 t ) ; ∫ 0 π / 2 ( 2 cos ( 3 t ) − cos ( 2 t ) ) = − 2 3 cambio de variables sustitución de una variable, como u , por una expresión en el integrando integración por sustitución técnica de integración que permite integrar funciones que son el resultado de una derivada en cadena", "section": "Sustitución", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas Las funciones exponenciales y logarítmicas se utilizan para modelar el crecimiento de la población, el crecimiento celular y el crecimiento financiero, así como la depreciación, el decaimiento radiactivo y el consumo de recursos, por nombrar solo algunas aplicaciones. En esta sección, exploraremos la integración con funciones exponenciales y logarítmicas. Integrales de funciones exponenciales La función exponencial es quizás la función más eficiente en cuanto a las operaciones de cálculo. La función exponencial y = e x , es su propia derivada y su propia integral. Regla: integrales de funciones exponenciales Las funciones exponenciales se pueden integrar mediante las siguientes fórmulas. ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Hallar una antiderivada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e − x . Utilice la sustitución, estableciendo u = − x , y luego d u = −1 d x . Multiplique la ecuación du por -1, por lo que ahora tiene − d u = d x . Entonces, ∫ e – x d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x + C . Halle la antiderivada de la función mediante la sustitución: x 2 e −2 x 3 . ∫ x 2 e −2 x 3 d x = − 1 6 e −2 x 3 + C Pista Supongamos que u es igual al exponente de e . Un error común al tratar con expresiones exponenciales es tratar el exponente en e de la misma manera que tratamos los exponentes en las expresiones polinómicas. No podemos utilizar la regla de la potencia para el exponente en e . Esto puede ser especialmente confuso cuando tenemos tanto exponenciales como polinomios en la misma expresión, como en el punto de control anterior. En estos casos, siempre debemos verificar que estemos utilizando las reglas correctas en las funciones que estamos integrando. Raíz cuadrada de una función exponencial Halle la antiderivada de la función exponencial e x 1 + e x . Primero reescriba el problema utilizando un exponente racional: ∫ e x 1 + e x d x = ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x . Utilizando la sustitución, elija u = 1 + e x . Entonces, d u = e x d x . Tenemos ( ) ∫ e x ( 1 + e x ) 1 / 2 d x = ∫ u 1 / 2 d u . Entonces ∫ u 1 / 2 d u = u 3 / 2 3 / 2 + C = 2 3 u 3 / 2 + C = 2 3 ( 1 + e x ) 3 / 2 + C . El gráfico muestra una función exponencial por la raíz cuadrada de una función exponencial. Encuentre la antiderivada de e x ( 3 e x − 2 ) 2 . ∫ e x ( 3 e x − 2 ) 2 d x = 1 9 ( 3 e x − 2 ) 3 Pista Supongamos que u = 3 e x − 2 u = 3 e x − 2 . Uso de la sustitución con una función exponencial Utilice la sustitución para evaluar la integral indefinida ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x . Aquí optamos por dejar que u sea igual a la expresión en el exponente sobre e . Supongamos que u = 2 x 3 y d u = 6 x 2 d x . . De nuevo, du se desvía por un multiplicador constante; la función original contiene un factor de 3 x 2 , no de 6 x 2 . Multiplique ambos lados de la ecuación por 1 2 para que el integrando en u sea igual al integrando en x . Por lo tanto, ∫ 3 x 2 e 2 x 3 d x = 1 2 ∫ e u d u . Integre la expresión en u y luego sustituya la expresión original en x de nuevo en la integral de u : 1 2 ∫ e u d u = 1 2 e u + C = 1 2 e 2 x 3 + C . Evalúe la integral indefinida ∫ 2 x 3 e x 4 d x . ∫ 2 x 3 e x 4 d x = 1 2 e x 4 Pista Supongamos que u = x 4 . Como se mencionó al principio de esta sección, las funciones exponenciales se utilizan en muchas aplicaciones de la vida real. El número e se asocia a menudo con el crecimiento compuesto o acelerado, como hemos visto en las secciones anteriores sobre la derivada. Aunque la derivada representa una tasa de cambio o una tasa de crecimiento, la integral representa el cambio total o el crecimiento total. Veamos un ejemplo en el que la integración de una función exponencial resuelve una aplicación empresarial común. Una función precio-demanda nos indica la relación entre la cantidad de la demanda de un producto y el precio del mismo. En general, el precio disminuye a medida que aumenta la cantidad demandada. La función precio-demanda marginal es la derivada de la función precio-demanda y nos indica la rapidez con la que cambia el precio a un nivel de producción determinado. Las empresas utilizan estas funciones para determinar la elasticidad del precio de la demanda y para determinar si el cambio en los niveles de producción sería rentable. Hallar una ecuación precio-demanda Halle la ecuación precio-demanda para una marca concreta de pasta de dientes en una cadena de supermercados cuando la demanda es de 50 tubos por semana a 2,35 dólares el tubo, dado que la función marginal precio-demanda, p ′ ( x ) , para un número x de tubos por semana, se da como p ' ( x ) = −0,015 e −0,01 x . Si la cadena de supermercados vende 100 tubos a la semana, ¿qué precio debe fijar? Para hallar la ecuación precio-demanda, se integra la función marginal precio-demanda. Primero halle la antiderivada y luego observe los detalles. Por lo tanto, p ( x ) = ∫ −0,015 e −0,01 x d x = −0,015 ∫ e −0,01 x d x . Utilizando la sustitución, supongamos que u = −0,01 x y d u = −0,01 d x . Luego, divida ambos lados de la ecuación du por -0,01. Esto da −0,015 −0,01 ∫ e u d u = 1,5 ∫ e u d u = 1,5 e u + C = 1,5 e −0,01 x + C . El siguiente paso es resolver C . Sabemos que cuando el precio es de 2,35 dólares por tubo, la demanda es de 50 tubos por semana. Esto significa que p ( 50 ) = 1,5 e −0,01 ( 50 ) + C = 2,35 . Ahora, solo hay que resolver para C : C = 2,35 − 1,5 e −0,5 = 2,35 − 0,91 = 1,44 . Por lo tanto, p ( x ) = 1,5 e −0,01 x + 1,44 . Si el supermercado vende 100 tubos de pasta de dientes a la semana, el precio sería p ( 100 ) = 1,5 e −0,01 ( 100 ) + 1,44 = 1,5 e −1 + 1,44 ≈ 1,99 . El supermercado debería cobrar 1,99 dólares por tubo si vende 100 tubos a la semana. Evaluación de una integral definida que incluye una función exponencial Evalúe la integral definida ∫ 1 2 e 1 − x d x . De nuevo, la sustitución es el método a utilizar. Supongamos que u = 1 − x , así que d u = −1 d x o − d u = d x . Entonces ∫ e 1 − x d x = − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración. Si utilizamos la ecuación u = 1 − x , tenemos u = 1 − ( 1 ) = 0 u = 1 − ( 2 ) = −1 . La integral se convierte entonces en ∫ 1 2 e 1 − x d x = − ∫ 0 −1 e u d u = ∫ −1 0 e u d u = e u | −1 0 = e 0 − ( e −1 ) = − e −1 + 1 Vea el . El área indicada se puede calcular evaluando una integral definida mediante una sustitución. Evalúe ∫ 0 2 e 2 x d x . 1 2 ∫ 0 4 e u d u = 1 2 ( e 4 − 1 ) Pista Supongamos que u = 2 x . Crecimiento de las bacterias en un cultivo Supongamos que la tasa de crecimiento de las bacterias en una placa de Petri viene dada por q ( t ) = 3 t , donde t está expresado en horas y q ( t ) en miles de bacterias por hora. Si un cultivo comienza con 10.000 bacterias, halle una función Q ( t ) que dé el número de bacterias en la placa de Petri en cualquier tiempo t . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 2 horas? Tenemos Q ( t ) = ∫ 3 t d t = 3 t ln 3 + C . Entonces, en t = 0 tenemos Q ( 0 ) = 10 = 1 ln 3 + C , por lo que C ≈ 9,090 y obtenemos Q ( t ) = 3 t ln 3 + 9,090 . En el tiempo t = 2 , tenemos Q ( 2 ) = 3 2 ln 3 + 9,090 = 17,282 . Después de 2 horas, hay 17.282 bacterias en la placa. A partir del , supongamos que las bacterias crecen a una tasa de q ( t ) = 2 t . Supongamos que el cultivo aún comienza con 10.000 bacterias. Halle Q ( t ) . ¿Cuántas bacterias hay en la placa después de 3 horas? Q ( t ) = 2 t ln 2 + 8,557 . Hay 20.099 bacterias en la placa después de 3 horas. Pista Utilice el procedimiento del para resolver el problema. Crecimiento de la población de moscas de la fruta Supongamos que una población de moscas de la fruta aumenta a un ritmo de g ( t ) = 2 e 0,02 t , de moscas al día. Si la población inicial de moscas de la fruta es de 100 individuos, ¿cuántas moscas hay en la población después de 10 días? Supongamos que G ( t ) representa el número de moscas en la población en el tiempo t . Si aplicamos el teorema del cambio neto, tenemos G ( 10 ) = G ( 0 ) + ∫ 0 10 2 e 0,02 t d t = 100 + [ 2 0,02 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + [ 100 e 0,02 t ] | 0 10 = 100 + 100 e 0,2 − 100 ≈ 122 . Pasados 10 días hay 122 moscas en la población. Supongamos que la tasa de crecimiento de la población de moscas viene dada por g ( t ) = e 0,01 t , y la población inicial es de 100 moscas. ¿Cuántas moscas hay en la población después de 15 días? Hay 116. Pista Utilice el proceso del para resolver el problema. Evaluación de una integral definida mediante la sustitución Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x . Este problema requiere reescribirse para simplificar la aplicación de las propiedades. Primero, reescriba el exponente en e como una potencia de x , luego lleve la x 2 en el denominador hasta el numerador usando un exponente negativo. Tenemos ∫ 1 2 e 1 / x x 2 d x = ∫ 1 2 e x −1 x −2 d x . Supongamos que u = x −1 , es el exponente en e . Entonces d u = − x −2 d x – d u = x −2 d x . Llevando el signo negativo fuera del signo de la integral, el problema ahora se lee − ∫ e u d u . A continuación, cambie los límites de integración: u = ( 1 ) −1 = 1 u = ( 2 ) −1 = 1 2 . Observe que ahora los límites comienzan con el número mayor, lo que significa que debemos multiplicar por -1 e intercambiar los límites. Por lo tanto, − ∫ 1 1 / 2 e u d u = ∫ 1 / 2 1 e u d u = e u | 1 / 2 1 = e − e 1 / 2 = e − e . Evalúe la integral definida utilizando la sustitución ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x . ∫ 1 2 1 x 3 e 4 x −2 d x = 1 8 [ e 4 − e ] Pista Supongamos que u = 4 x −2 . Integrales con funciones logarítmicas Integrar funciones de la forma f ( x ) = x −1 dan como resultado el valor absoluto de la función logarítmica natural, como se muestra en la siguiente regla. Las fórmulas integrales para otras funciones logarítmicas, tales como f ( x ) = ln x y f ( x ) = log a x , también se incluyen en la regla. Regla: fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para evaluar integrales que implican funciones logarítmicas. ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C Encontrar una antiderivada que implique ln x Halle la antiderivada de la función 3 x − 10 . Primero factorice el 3 fuera del símbolo de la integral. Entonces utilice la regla u −1 . Por lo tanto, ∫ 3 x − 10 d x = 3 ∫ 1 x − 10 d x = 3 ∫ d u u = 3 ln | u | + C = 3 ln | x − 10 | + C , x ≠ 10 . Vea el . El dominio de esta función es x ≠ 10 . Encuentre la antiderivada de 1 x + 2 . ln | x + 2 | + C Pista Siga el patrón del para resolver el problema. Encontrar una antiderivada de una función racional Encuentre la antiderivada de 2 x 3 + 3 x x 4 + 3 x 2 . Esto se puede reescribir como ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x . Utilice la sustitución. Supongamos que u = x 4 + 3 x 2 , entonces d u = 4 x 3 + 6 x . Modifique du mediante la factorización del 2. Por lo tanto, d u = ( 4 x 3 + 6 x ) d x = 2 ( 2 x 3 + 3 x ) d x 1 2 d u = ( 2 x 3 + 3 x ) d x . Reescriba el integrando en u : ∫ ( 2 x 3 + 3 x ) ( x 4 + 3 x 2 ) −1 d x = 1 2 ∫ u −1 d u . Entonces tenemos 1 2 ∫ u −1 d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 4 + 3 x 2 | + C . Hallar una antiderivada de una función logarítmica Halle la antiderivada de la función logarítmica log 2 x . Siga el formato de la fórmula que aparece en la regla sobre fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. Con base en este formato, tenemos ∫ log 2 x d x = x ln 2 ( ln x – 1 ) + C . Encuentre la antiderivada de log 3 x . x ln 3 ( ln x – 1 ) + C Pista Siga el y consulte la regla sobre las fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas. El es una integral definida de una función trigonométrica. Con las funciones trigonométricas, a menudo tenemos que aplicar una propiedad trigonométrica o una identidad antes de avanzar. Hallar la forma correcta del integrando suele ser la clave para una integración sin problemas. Evaluación de una integral definida Calcule la integral definida de ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x d x . Necesitamos la sustitución para evaluar este problema. Supongamos que u = 1 + cos x , , así que d u = − sen x d x . Reescriba la integral en términos de u , cambiando también los límites de integración. Por lo tanto, u = 1 + cos ( 0 ) = 2 u = 1 + cos ( π 2 ) = 1 . Entonces ∫ 0 π / 2 sen x 1 + cos x = − ∫ 2 1 u −1 d u = ∫ 1 2 u −1 d u = ln | u | | 1 2 = [ ln 2 − ln 1 ] = ln 2. Conceptos clave Las funciones exponenciales y logarítmicas se presentan en muchas aplicaciones del mundo real, especialmente las que implican crecimiento y decaimiento. La sustitución se utiliza a menudo para evaluar integrales que implican funciones exponenciales o logaritmos. Ecuaciones clave Integrales de funciones exponenciales ∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x ln a + C Fórmulas de integración que implican funciones logarítmicas ∫ x −1 d x = ln | x | + C ∫ ln x d x = x ln x – x + C = x ( ln x – 1 ) + C ∫ log a x d x = x ln a ( ln x – 1 ) + C En los siguientes ejercicios, calcule cada integral indefinida. ∫ e 2 x d x ∫ e −3 x d x −1 3 e −3 x + C ∫ 2 x d x ∫ 3 − x d x − 3 − x ln 3 + C ∫ 1 2 x d x ∫ 2 x d x ln ( x 2 ) + C ∫ 1 x 2 d x ∫ 1 x d x 2 x + C En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ ln x x d x ∫ d x x ( ln x ) 2 − 1 ln x + C ∫ d x x ln x ( x > 1 ) grandes. ∫ d x x ln x ln ( ln x ) grandes. ln ( ln ( ln x ) ) + C ∫ tan θ d θ ∫ cos x – x sen x x cos x d x ln ( x cos x ) + C ∫ ln ( sen x ) tan x d x ∫ ln ( cos x ) tan x d x − 1 2 ( ln ( cos ( x ) ) ) 2 + C ∫ x e – x 2 d x ∫ x 2 e – x 3 d x − e – x 3 3 + C ∫ e sen x cos x d x ∫ e tan x sec 2 x d x e tan x + C ∫ e ln x d x x ∫ e ln ( 1 − t ) 1 − t d t t + C En los siguientes ejercicios, verifique por diferenciación que ∫ ln x d x = x ( ln x – 1 ) + C , entonces utilice los cambios de variables apropiados para calcular la integral. ∫ x ln x d x ( Pista : ∫ x ln x d x = 1 2 ∫ x ln ( x 2 ) d x ; x>0) ∫ x 2 ln( x 2 ) d x 2 9 x 3 ( ln ( x 3 ) − 1 ) + C ∫ ln x x 2 d x ( Pista : Establezca u = 1 x . ). grandes. ∫ ln x x d x ( Pista : Establezca u = x . ). grandes. 2 x ( ln x − 2 ) + C Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = 1 t a partir de t = 1 a e x y evalúe la integral. Escriba una integral para expresar el área bajo el gráfico de y = e t entre t = 0 y t = ln x , y evalúe la integral. ∫ 0 ln x e t d t = e t | 0 ln x = e ln x − e 0 = x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para expresar las integrales trigonométricas en términos de composiciones con logaritmos. ∫ tan ( 2 x ) d x ∫ sen ( 3 x ) − cos ( 3 x ) sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) d x – 1 3 ln sen ( 3 x ) + cos ( 3 x ) +C ∫ x sen ( x 2 ) cos ( x 2 ) d x ∫ x csc ( x 2 ) d x − 1 2 ln | csc ( x 2 ) + cot ( x 2 ) | + C ∫ ln ( cos x ) tan x d x ∫ ln ( csc x ) cot x d x − 1 2 ( ln ( csc x ) ) 2 + C ∫ e x − e – x e x + e – x d x En los siguientes ejercicios, evalúe la integral definida. ∫ 1 2 1 + 2 x + x 2 3 x + 3 x 2 + x 3 d x 1 3 ln ( 26 7 ) grandes. ∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 3 sen x − cos x sen x + cos x d x ln ( 3 − 1 ) grandes. ∫ π / 6 π / 2 csc x d x ∫ π / 4 π / 3 cot x d x 1 2 ln 3 2 En los siguientes ejercicios, integre utilizando la sustitución indicada. ∫ x x − 100 d x ; u = x − 100 ∫ y − 1 y + 1 d y ; u = y + 1 y − 2 ln | y + 1 | + C ∫ 1 − x 2 3 x – x 3 d x ; u = 3 x – x 3 ∫ sen x + cos x sen x − cos x d x ; u = sen x − cos x ln | sen x − cos x | + C ∫ e 2 x 1 − e 2 x d x ; u = e 2 x ∫ ln ( x ) 1 − ( ln x ) 2 x d x ; u = ln x − 1 3 ( 1 − ( ln x ) 2 ) 3 / 2 + C En los siguientes ejercicios, ¿la aproximación del extremo derecho sobrestima o subestima el área exacta? Calcule la estimación del punto extremo derecho R 50 y resuelva el área exacta. [T] y = e x en [ 0 , 1 ] [T] y = e – x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: e − 1 e , R 50 = 0,6258 . Como f es decreciente, la estimación del punto extremo derecho subestima el área. [T] y = ln ( x ) en [ 1 , 2 ] [T] y = x + 1 x 2 + 2 x + 6 en [ 0 , 1 ] Solución exacta: 2 ln ( 3 ) − ln ( 6 ) 2 , R 50 = 0,2033 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área. [T] y = 2 x en [ −1 , 0 ] [T] y = − 2 − x en [ 0 , 1 ] Solución exacta: − 1 ln ( 4 ) , R 50 = −0,7164 . Como f es creciente, la estimación del punto extremo derecho sobreestima el área (el área real es un número negativo mayor). En los siguientes ejercicios, f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b . Halle el área bajo el gráfico de f ( x ) entre los valores dados a y b mediante la integración. f ( x ) = log 10 ( x ) x ; a = 10 , b = 100 f ( x ) = log 2 ( x ) x ; a = 32 , b = 64 11 2 ln 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 1 , b = 2 f ( x ) = 2 − x ; a = 3 , b = 4 1 ln ( 65 , 536 ) Halle el área bajo el gráfico de la función f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = 5 . Calcule la integral de f ( x ) = x e – x 2 y calcule el menor valor de N tal que el área debajo del gráfico f ( x ) = x e – x 2 entre x = N y x = N + 1 es, como máximo, de 0,01. ∫ N N + 1 x e – x 2 d x = 1 2 ( e − N 2 − e − ( N + 1 ) 2 ) . La cantidad es inferior a 0,01 cuando N = 2 . Halle el límite, cuando N tiende a infinito, del área bajo el gráfico de f ( x ) = x e – x 2 entre x = 0 y x = N . Demuestre que ∫ a b d t t = ∫ 1 / b 1 / a d t t cuando 0 < a ≤ b . ∫ a b d x x = ln ( b ) − ln ( a ) = ln ( 1 a ) − ln ( 1 b ) = ∫ 1 / b 1 / a d x x Supongamos que f ( x ) > 0 para toda x y que f y g son diferenciables. Utilice la identidad f g = e g ln f y la regla de la cadena para encontrar la derivada de f g . Utilice el ejercicio anterior para encontrar la antiderivada de h ( x ) = x x ( 1 + ln x ) y evalúe ∫ 2 3 x x ( 1 + ln x ) d x . 23 Demuestre que si c > 0 , entonces la integral de 1 / x de ac a bc ( 0 < a < b ) es la misma que la integral de 1 / x de a a b . Los siguientes ejercicios pretenden derivar las propiedades fundamentales del logaritmo natural partiendo de la definición ln ( x ) = ∫ 1 x d t t , utilizando las propiedades de la integral definida y sin hacer más suposiciones. Utilice la identidad ln ( x ) = ∫ 1 x d t t para derivar la identidad ln ( 1 x ) = − ln x . Podemos suponer que x > 1 , por lo que 1 x < 1 . Entonces, ∫ 1 1 / x d t t . Ahora haga la sustitución u = 1 t , así que d u = − d t t 2 y d u u = − d t t , y cambie los puntos finales: ∫ 1 1 / x d t t = − ∫ 1 x d u u = − ln x . Utilice un cambio de variable en la integral ∫ 1 x y 1 t d t para demostrar que ln x y = ln x + ln y para x , y > 0 . Utilice la identidad ln x = ∫ 1 x d t t para demostrar que ln ( x ) es una función creciente de x en [ 0 , ∞ ) , y utilice los ejercicios anteriores para demostrar que el rango de ln ( x ) es ( − ∞ , ∞ ) . Sin más suposiciones, concluya que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Las respuestas variarán. Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln ( x ) , pero tenga en cuenta que ln ( x ) tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Use la identidad ln x y = ln x + ln y para deducir que E ( a + b ) = E ( a ) E ( b ) para cualquier número real a , b . Imagine, por el momento, que no sabemos que e x es la función inversa de ln x , pero tenga en cuenta que ln x tiene una función inversa definida en ( − ∞ , ∞ ) . Llamémoslo E . Demuestre que E ' ( t ) = E ( t ) . x = E ( ln ( x ) ) . Entonces, 1 = E ' ( ln x ) x o x = E ' ( ln x ) . Dado que cualquier número t se puede escribir t = ln x para alguna x , y para tal t tenemos x = E ( t ) , luego se deduce que para cualquier t , E ' ( t ) = E ( t ) . La integral de seno, definida como S ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t es una cantidad importante en ingeniería. Aunque no tiene una fórmula cerrada simple, es posible estimar su comportamiento para grandes x . Demuestre que para k ≥ 1 , | S ( 2 π k ) − S ( 2 π ( k + 1 ) ) | ≤ 1 k ( 2 k + 1 ) π . ( Pista : sen ( t + π ) = − sen t ). [T] La distribución normal en probabilidad viene dada por p ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde σ es la desviación típica y μ es el promedio. La distribución normal estándar en probabilidad, p s , corresponde a μ = 0 y σ = 1 . Calcule las estimaciones del punto extremo correcto R 10 y R 100 de ∫ –1 1 1 2 π e – x 2 / 2 d x . R 10 = 0,6811 , R 100 = 0,6827 [T] Calcule las estimaciones del punto extremo derecho R 50 y R 100 de ∫ −3 5 1 2 2 π e − ( x – 1 ) 2 / 8 .", "section": "Integrales con funciones exponenciales y logarítmicas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas En esta sección nos centramos en las integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas. Ya hemos trabajado con estas funciones. Recordemos que en Funciones y gráficos las funciones trigonométricas no son biunívocas, a menos que los dominios estén restringidos. Al trabajar con las inversas de funciones trigonométricas, siempre hay que tener en cuenta estas restricciones. También en Derivadas , desarrollamos fórmulas para derivadas de funciones trigonométricas inversas. Las fórmulas que se desarrollaron allí generan directamente fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Integrales que dan lugar a funciones senoidales inversas Comencemos esta última sección del capítulo con las tres fórmulas. Junto con estas fórmulas, utilizamos la sustitución para evaluar las integrales. Demostramos la fórmula de la integral inversa de seno. Regla: fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas Las siguientes fórmulas de integración generan funciones trigonométricas inversas. Supongamos que a > 0 : ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u | a | + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 | a | sec −1 | u | a + C (carbono 14). Prueba Supongamos que y = sen −1 x a . Entonces a sen y = x . Ahora utilicemos la diferenciación implícita. Obtenemos d d x ( a sen y ) = d d x ( x ) a cos y d y d x = 1 d y d x = 1 a cos y . Para − π 2 ≤ y ≤ π 2 , cos y ≥ 0 . Así, aplicando la identidad pitagórica sen 2 y + cos 2 y = 1 , tenemos cos y = 1 – sen 2 y . Esto da 1 a cos y = 1 a 1 − sen 2 y = 1 a 2 − a 2 sen 2 y = 1 a 2 − x 2 . Entonces para − a ≤ x ≤ a , y generalizando a u , tenemos ∫ 1 a 2 − u 2 d u = sen −1 ( u a ) + C . □ Evaluación de una integral definida mediante funciones trigonométricas inversas Evalúe la integral definida ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 . Podemos ir directamente a la fórmula de la antiderivada en la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, y luego evaluar la integral definida. Tenemos ∫ 0 1 2 d x 1 − x 2 = sen −1 x | 0 1 2 = sen −1 1 2 − sen −1 0 = π 6 − 0 = π 6 . Halle la antiderivada de ∫ d x 1 − 16 x 2 . 1 4 sen −1 ( 4 x ) + C Pista Sustituya u = 4 x Encontrar una antiderivada que implique una función trigonométrica inversa Evalúe la integral ∫ d x 4 − 9 x 2 . Sustituya u = 3 x . Entonces d u = 3 d x y tenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 . Aplicando la fórmula con a = 2 , obtenemos ∫ d x 4 − 9 x 2 = 1 3 ∫ d u 4 − u 2 = 1 3 sen −1 ( u 2 ) + C = 1 3 sen −1 ( 3 x 2 ) + C . Halle la integral indefinida utilizando una función trigonométrica inversa y la sustitución de ∫ d x 9 − x 2 . sen −1 ( x 3 ) + C Pista Use la fórmula de la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 . El formato del problema coincide con la fórmula de seno inverso. Por lo tanto, ∫ 0 3 / 2 d u 1 − u 2 = sen −1 u | 0 3 / 2 = [ sen −1 ( 3 2 ) ] − [ sen −1 ( 0 ) ] = π 3 . Integrales que resultan en otras funciones trigonométricas inversas Hay seis funciones trigonométricas inversas. Sin embargo, en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas solo se anotan tres fórmulas de integración porque las tres restantes son versiones negativas de las que utilizamos. La única diferencia es si el integrando es positivo o negativo. En vez de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, simplemente factorice –1 y evalúe la integral usando una de las fórmulas ya proporcionadas. Para cerrar esta sección, examinaremos una fórmula más: la integral que resulta de la función tangente inversa. Encontrar una antiderivada que implique la función tangente inversa Encontrar una antiderivada de ∫ 1 1 + 4 x 2 d x . Comparando este problema con las fórmulas indicadas en la regla sobre las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas, el integrando se parece a la fórmula de tan −1 u + C . Así que utilizamos la sustitución, suponiendo que u = 2 x , entonces d u = 2 d x y 1 / 2 d u = d x . Entonces, tenemos 1 2 ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 x ) + C . Utilice la sustitución para calcular la antiderivada ∫ d x 25 + 4 x 2 . 1 10 tan –1 ( 2 x 5 ) + C Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas. Aplicación de las fórmulas de integración Encuentre la antiderivada de ∫ 1 9 + x 2 d x . Aplique la fórmula con a = 3 . Entonces, ∫ d x 9 + x 2 = 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C . Halle la antiderivada de ∫ d x 16 + x 2 . 1 4 tan –1 ( x 4 ) + C Pista Siga los pasos del . Evaluación de una integral definida Evalúe la integral definida ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 . Utilice la fórmula de la tangente inversa. Tenemos ∫ 3 / 3 3 d x 1 + x 2 = tan −1 x | 3 / 3 3 = [ tan –1 ( 3 ) ] − [ tan –1 ( 3 3 ) ] = π 6 . Evalúe la integral definida ∫ 0 2 d x 4 + x 2 . π 8 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Conceptos clave Las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas desarrolladas en Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas conducen directamente a fórmulas de integración que implican funciones trigonométricas inversas. Utilice las fórmulas indicadas en la regla sobre fórmulas de integración que generan funciones trigonométricas inversas para que coincidan con el formato correcto y haga las modificaciones necesarias para resolver el problema. A menudo es necesario hacer sustituciones para poner el integrando en la forma correcta. Ecuaciones clave Integrales que producen funciones trigonométricas inversas ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 ( u a ) + C ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan –1 ( u a ) + C ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 ( u a ) + C En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral en términos de una función trigonométrica inversa. ∫ 0 3 / 2 d x 1 − x 2 sen −1 x | 0 3 / 2 = π 3 ∫ −1 / 2 1 / 2 d x 1 − x 2 ∫ 3 1 d x 1 + x 2 tan −1 x | 3 1 = − π 12 ∫ 1 / 3 3 d x 1 + x 2 ∫ 2 3 2 d x | x | x 2 – 1 sec −1 x | 1 2 = π 4 ∫ 2 2 d x | x | x 2 – 1 En los siguientes ejercicios, halle cada integral indefinida, utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ d x 9 − x 2 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ d x 1 − 16 x 2 ∫ d x 9 + x 2 1 3 tan –1 ( x 3 ) + C ∫ d x 25 + 16 x 2 ∫ d x | x | x 2 − 9 1 3 sec −1 ( x 3 ) + C ∫ d x | x | 4 x 2 − 16 Explique la relación − cos −1 t + C = ∫ d t 1 − t 2 = sen −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que cos −1 t = − sen −1 t ? cos ( π 2 − θ ) = sen θ . Así que, sen −1 t = π 2 − cos −1 t . Se diferencian por una constante. Explique la relación sec −1 t + C = ∫ d t | t | t 2 – 1 = − csc −1 t + C . ¿Es cierto, en general, que sec −1 t = − csc −1 t ? Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ 1 2 d t 1 − t 2 . 1 − t 2 no se define como un número real cuando t > 1 . Explique qué falla en la siguiente integral: ∫ –1 1 d t | t | t 2 – 1 . En los siguientes ejercicios, resuelva la antiderivada ∫ f de f con C = 0 , luego use una calculadora para graficar f y la antiderivada en el intervalo dado [ a , b ] . Identifique un valor de C tal que sumando C a la antiderivada se recupere la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 9 − x 2 d x en [ −3 , 3 ] La antiderivada es sen −1 ( x 3 ) + C . Si tomamos C = π 2 recupera la integral definida. [T] ∫ 9 9 + x 2 d x en [ −6 , 6 ] [T] ∫ cos x 4 + sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada es 1 2 tan –1 ( sen x 2 ) + C . Si tomamos C = 1 2 tan –1 ( sen ( 6 ) 2 ) recupera la integral definida. [T] ∫ e x 1 + e 2 x d x en [ −6 , 6 ] En los siguientes ejercicios, calcule la antiderivada utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ sen −1 t d t 1 − t 2 1 2 ( sen −1 t ) 2 + C ∫ d t sen −1 t 1 − t 2 ∫ tan –1 ( 2 t ) 1 + 4 t 2 d t 1 4 ( tan –1 ( 2 t ) ) 2 ∫ t tan –1 ( t 2 ) 1 + t 4 d t ∫ sec −1 ( t 2 ) | t | t 2 − 4 d t 1 4 ( sec −1 ( t 2 ) 2 ) + C ∫ t sec −1 ( t 2 ) t 2 t 4 − 1 d t En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la antiderivada ∫ f con la C = 0 en el intervalo dado [ a , b ] . Aproxime un valor de C , si es posible, tal que sumando C a la antiderivada se obtenga el mismo valor que la integral definida F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t . [T] ∫ 1 x x 2 − 4 d x en [ 2 , 6 ] La antiderivada es 1 2 sec −1 ( x 2 ) + C . Si tomamos C = 0 se recupera la integral definida en [ 2 , 6 ] . [T] ∫ 1 ( 2 x + 2 ) x d x en [ 0 , 6 ] [T] ∫ ( sen x + x cos x ) 1 + x 2 sen 2 x d x en [ −6 , 6 ] La antiderivada general es tan –1 ( x sen x ) + C . Si tomamos C = − tan –1 ( 6 sen ( 6 ) ) recupera la integral definida. [T] ∫ 2 e −2 x 1 − e −4 x d x en [ 0 , 2 ] [T] ∫ 1 x + x ln 2 x en [ 0 , 2 ] La antiderivada general es tan –1 ( ln x ) + C . Si tomamos C = π 2 = tan −1 ∞ recupera la integral definida. [T] ∫ sen −1 x 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] En los siguientes ejercicios, calcule cada integral utilizando las sustituciones adecuadas. ∫ e t 1 − e 2 t d t sen −1 ( e t ) + C ∫ e t 1 + e 2 t d t ∫ d t t 1 − ln 2 t sen −1 ( ln t ) + C ∫ d t t ( 1 + ln 2 t ) grandes. ∫ cos −1 ( 2 t ) 1 − 4 t 2 d t − 1 4 ( cos −1 ( 2 t ) ) 2 + C ∫ e t cos −1 ( e t ) 1 − e 2 t d t En los siguientes ejercicios, calcule cada integral definida. ∫ 0 1 / 2 tan ( sen −1 t ) 1 − t 2 d t 1 2 ln ( 4 3 ) grandes. ∫ 1 / 4 1 / 2 tan ( cos −1 t ) 1 − t 2 d t ∫ 0 1 / 2 sen ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t 1 − 2 5 ∫ 0 1 / 2 cos ( tan −1 t ) 1 + t 2 d t Para A > 0 , calcule I ( A ) = ∫ − A A d t 1 + t 2 y evalúe lím a → ∞ I ( A ) , el área bajo el gráfico de 1 1 + t 2 en [ − ∞ , ∞ ] . 2 tan –1 ( A ) → π cuando A → ∞ Para 1 < B < ∞ , calcule I ( B ) = ∫ 1 B d t t t 2 – 1 y evalúe lím B → ∞ I ( B ) , el área bajo el gráfico de 1 t t 2 – 1 en [ 1 , ∞ ) . Utilice la sustitución u = 2 cot x y la identidad 1 + cot 2 x = csc 2 x para evaluar ∫ d x 1 + cos 2 x . ( Pista: Multiplique la parte superior e inferior del integrando por csc 2 x . ). Usando la pista, el uno tiene ∫ csc 2 x csc 2 x + cot 2 x d x = ∫ csc 2 x 1 + 2 cot 2 x d x . Establezca u = 2 cot x . Entonces, d u = − 2 csc 2 x y la integral es − 1 2 ∫ d u 1 + u 2 = − 1 2 tan −1 u + C = 1 2 tan –1 ( 2 cot x ) + C . Si el uno utiliza la identidad tan −1 s + tan –1 ( 1 s ) = π 2 , entonces esto también se puede escribir 1 2 tan –1 ( tan x 2 ) + C . [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = 2 x 2 – 1 y g ( x ) = ( 1 + 4 x 2 ) −3 / 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. 47. [T] Aproxime los puntos en los que los gráficos de f ( x ) = x 2 – 1 y g ( x ) = ( x 2 + 1 ) 1 2 se intersecan a cuatro decimales y calcule el área entre sus gráficos a tres decimales. x ≈ ± 1,7321 . La estimación del punto extremo izquierdo con N = 100 es 4,781 y estos decimales persisten en N = 500 . Utilice el siguiente gráfico para demostrar que ∫ 0 x 1 − t 2 d t = 1 2 x 1 − x 2 + 1 2 sen −1 x . Ejercicios de repaso del capítulo Verdadero o falso. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Supongamos que todas las funciones f y g son continuas en sus dominios. Si los valores de f ( x ) > 0 , f ′ ( x ) > 0 para todo x , entonces la regla de la derecha subestima la integral ∫ a b f ( x ) . Utilice un gráfico para justificar su respuesta. Falso ∫ a b f ( x ) 2 d x = ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b f ( x ) d x Si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [ a , b ] , entonces ∫ a b f ( x ) ≤ ∫ a b g ( x ) . Verdadero Toda función continua tiene una antiderivada. Evalúe las sumas de Riemann L 4 y R 4 en las siguientes funciones en el intervalo especificado. Compare su respuesta con la respuesta exacta, cuando sea posible, o utilice una calculadora para definir la respuesta. y = 3 x 2 − 2 x + 1 en [ −1 , 1 ] L 4 = 5,25 , R 4 = 3,25 , respuesta exacta: 4 y = ln ( x 2 + 1 ) en [ 0 , e ] y = x 2 sen x en [ 0 , π ] L 4 = 5,364 , R 4 = 5,364 , respuesta exacta: 5,870 y = x + 1 x en [ 1 , 4 ] Evalúe las siguientes integrales. ∫ –1 1 ( x 3 − 2 x 2 + 4 x ) d x − 4 3 ∫ 0 4 3 t 1 + 6 t 2 d t ∫ π / 3 π / 2 2 sec ( 2 θ ) tan ( 2 θ ) d θ 1 ∫ 0 π / 4 e cos 2 x sen x cos x d x Calcule la antiderivada. ∫ d x ( x + 4 ) 3 − 1 2 ( x + 4 ) 2 + C ∫ x ln ( x 2 ) d x ∫ 4 x 2 1 − x 6 d x 4 3 sen −1 ( x 3 ) + C ∫ e 2 x 1 + e 4 x d x Halle la derivada. d d t ∫ 0 t sen x 1 + x 2 d x sen t 1 + t 2 d d x ∫ 1 x 3 4 − t 2 d t d d x ∫ 1 ln ( x ) ( 4 t + e t ) d t 4 ln x x + 1 d d x ∫ 0 cos x e t 2 d t Los siguientes problemas consideran el costo promedio histórico por gigabyte de RAM en una computadora Año Variación en 5 años ($) 1980 0 1985 −5.468.750 1990 − 755.495 1995 –73.005 2000 –29.768 2005 –918 2010 –177 Si el costo promedio por gigabyte de RAM en 2010 es de 12 dólares, halle el costo medio por gigabyte de RAM en 1980. $6.328.113 El costo promedio por gigabyte de RAM puede aproximarse mediante la función C ( t ) = 8 , 500 , 000 ( 0,65 ) t , donde t se mide en años desde 1980 y C es el costo en dólares. Halle el costo promedio por gigabyte de memoria RAM entre 1980 y 2010. Halle el costo promedio de 1GB de RAM entre 2005 y 2010. $73,36 La velocidad de la bala de un rifle puede aproximarse por v ( t ) = 6.400 t 2 − 6.505 t + 2.686 , donde t es segundos después del disparo y v es la velocidad medida en pies por segundo. Esta ecuación solo modela la velocidad durante el primer medio segundo después del disparo 0 ≤ t ≤ 0,5 . ¿Cuál es la distancia total que recorre la bala en 0,5 segundos? ¿Cuál es la velocidad media de la bala durante el primer medio segundo? 19117 12 ft/s , o 1593 ft/s", "section": "Integrales que resultan en funciones trigonométricas inversas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción La presa Hoover es uno de los lugares emblemáticos de Estados Unidos, y proporciona riego y energía hidroeléctrica a millones de personas en el suroeste del país (créditos: modificación de la obra de Lynn Betts, Wikimedia). La presa Hoover es una maravilla de la ingeniería. Cuando el lago Mead, el embalse que hay detrás de la presa, está lleno, la presa soporta una gran fuerza. Sin embargo, los niveles de agua del lago varían considerablemente como consecuencia de las sequías y de las distintas demandas de agua. Más adelante en este capítulo utilizaremos las integrales definidas para calcular la fuerza que soporta la presa cuando el embalse está lleno, y examinaremos cómo los cambios en el nivel del agua afectan a esa fuerza (vea el ). La fuerza hidrostática es solo una de las muchas aplicaciones de las integrales definidas que exploramos en este capítulo. Desde las aplicaciones geométricas como área superficial y volumen, aplicaciones físicas como masa y trabajo, hasta los modelos de crecimiento y decaimiento, las integrales definidas son una herramienta poderosa para ayudarnos a comprender y modelar el mundo que nos rodea.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Áreas entre curvas En Introducción a la integración , desarrollamos el concepto de integral definida para calcular el área bajo una curva en un intervalo dado. En esta sección, ampliaremos esa idea para calcular el área de regiones más complejas. Empezaremos por encontrar el área entre dos curvas que son funciones de x , empezando por el caso simple en el que un valor de la función es siempre mayor que el otro. A continuación, se estudian los casos en los que los gráficos de las funciones se intersecan. Por último, consideraremos cómo calcular el área entre dos curvas que son funciones de y . Área de una región entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] de manera que f ( x ) ≥ g ( x ) sobre [ a , b ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. El área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , en el intervalo [ a , b ] . Al igual que antes, vamos a dividir el intervalo en el eje x y aproximaremos el área entre los gráficos de las funciones con rectángulos. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] , y en cada intervalo [ x i − 1 , x i ] construya un rectángulo que se extienda verticalmente desde g ( x i * ) al f ( x i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando x i * se selecciona para ser el punto extremo izquierdo del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. Utilice esta calculadora para saber más sobre las áreas entre dos curvas. (a)Podemos aproximar el área entre los gráficos de dos funciones, f ( x ) y g ( x ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico va de una curva a la otra. La altura de cada rectángulo individual es f ( x i * ) − g ( x i * ) y la anchura de cada rectángulo es Δ x . Al sumar las áreas de todos los rectángulos, vemos que el área entre las curvas se aproxima por A ≈ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ y obtenemos A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 1 Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x + 4 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − x 2 en el intervalo [ 1 , 4 ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Se muestra una región entre dos curvas en la que una de ellas es siempre mayor que la otra. Tenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ 1 4 [ ( x + 4 ) − ( 3 − x 2 ) ] d x = ∫ 1 4 [ 3 x 2 + 1 ] d x = [ 3 x 2 4 + x ] | 1 4 = ( 16 − 7 4 ) = 57 4 . El área de la región es 57 4 al cuadrado 2 . Si los valores de R es la región delimitada por los gráficos de las funciones f ( x ) = x 2 + 5 y g ( x ) = x + 1 2 en el intervalo [ 1 , 5 ] , calcule el área de la región R . 12 unidades 2 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico de la función forma el límite superior y cuál el límite inferior, luego siga el proceso utilizado en el . En el , definimos el intervalo de interés como parte del planteamiento del problema. Sin embargo, frecuentemente queremos definir nuestro intervalo de interés con base en el punto de intersección de los gráficos de las dos funciones. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región entre dos curvas 2 Si los valores de R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 9 − ( x / 2 ) 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 6 − x , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. Este gráfico muestra la región por debajo del gráfico de f ( x ) y por encima del gráfico de g ( x ) . Primero tenemos que calcular dónde se intersecan los gráficos de las funciones. Si establecemos que f ( x ) = g ( x ) , obtenemos f ( x ) = g ( x ) 9 − ( x 2 ) 2 = 6 − x 9 − x 2 4 = 6 − x 36 − x 2 = 24 − 4 x x 2 − 4 x − 12 = 0 ( x − 6 ) ( x + 2 ) = 0, Los gráficos de las funciones se intersecan cuando x = 6 o x = –2 , por lo que queremos integrar desde −2 al 6 . Dado que f ( x ) ≥ g ( x ) por −2 ≤ x ≤ 6 , obtenemos A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 9 − ( x 2 ) 2 − ( 6 − x ) ] d x = ∫ −2 6 [ 3 − x 2 4 + x ] d x = [ 3 x – x 3 12 + x 2 2 ] | −2 6 = 64 3 . El área de la región es 64 / 3 unidades 2 . Si R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x 4 , calcule el área de la región R . 3 10 unidad 2 Pista Utilice el proceso del . Áreas de las regiones compuestas Hasta ahora, hemos requerido f ( x ) ≥ g ( x ) a lo largo de todo el intervalo de interés, pero ¿qué ocurre si queremos observar las regiones delimitadas por los gráficos de las funciones que se entrecruzan? En ese caso, modificamos el proceso que acabamos de desarrollar utilizando la función de valor absoluto. Hallar el área de una región entre curvas que se cruzan Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas sobre un intervalo [ a , b ] . Supongamos que R denota la región entre los gráficos de f ( x ) y g ( x ) , y está limitado a la izquierda y a la derecha por las rectas x = a y x = b , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x . En la práctica, la aplicación de este teorema nos obliga a descomponer el intervalo [ a , b ] y evaluar varias integrales, dependiendo de cuál de los valores de la función es mayor en una parte determinada del intervalo. Estudiaremos este proceso en el siguiente ejemplo. Hallar el área de una región limitada por funciones que se cruzan Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ 0 , π ] , calcule el área de la región R . La región se representa en la siguiente figura. La región entre dos curvas puede dividirse en dos subregiones. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = π / 4 . Para x ∈ [ 0 , π / 4 ] , cos x ≥ sen x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = cos x − sen x . Por otro lado, para x ∈ [ π / 4 , π ] , sen x ≥ cos x , así que | f ( x ) − g ( x ) | = | sen x − cos x | = sen x − cos x . Entonces A = ∫ a b | f ( x ) − g ( x ) | d x = ∫ 0 π | sen x − cos x | d x = ∫ 0 π / 4 ( cos x − sen x ) d x + ∫ π / 4 π ( sen x − cos x ) d x = [ sen x + cos x ] | 0 π / 4 + [ − cos x − sen x ] | π / 4 π = ( 2 – 1 ) + ( 1 + 2 ) = 2 2 . El área de la región es 2 2 unidades 2 . Si R es la región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = sen x y g ( x ) = cos x en el intervalo [ π / 2 , 2 π ] , calcule el área de la región R . 2 + 2 2 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = ( 5 π ) / 4 . Hallar el área de una región compleja Consideremos la región representada en la . Calcule el área de R . Se necesitan dos integrales para calcular el área de esta región. Al igual que con el , tenemos que dividir el intervalo en dos partes. Los gráficos de las funciones se cruzan en x = 1 (establezca f ( x ) = g ( x ) y resolver para x ), así que evaluamos dos integrales separadas: una en el intervalo [ 0 , 1 ] y uno en el intervalo [ 1 , 2 ] . En el intervalo [ 0 , 1 ] , la región está limitada arriba por f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x , por lo que tenemos A 1 = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 . En el intervalo [ 1 , 2 ] , la región está limitada arriba por g ( x ) = 2 − x y abajo por el eje x −eje, por lo que tenemos A 2 = ∫ 1 2 ( 2 − x ) d x = [ 2 x – x 2 2 ] | 1 2 = 1 2 . Sumando estas áreas, obtenemos A = A 1 + A 2 = 1 3 + 1 2 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Considere la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R . 5 3 unidades 2 Pista Las dos curvas se cruzan en x = 1 . Regiones definidas con respecto a y En el , tuvimos que evaluar dos integrales distintas para calcular el área de la región. Sin embargo, existe otro enfoque que solo requiere una integral. ¿Y si tratamos las curvas como funciones de y , en vez de como funciones de x ? Revise la . Observe que el gráfico de la izquierda, mostrado en rojo, está representado por la función y = f ( x ) = x 2 . Podríamos resolver esto con la misma facilidad para x y representar la curva mediante la función x = v ( y ) = y . (Observe que x = − y es también una representación válida de la función y = f ( x ) = x 2 en función de y . (No obstante, con base en el gráfico, está claro que nos interesa la raíz cuadrada positiva). Del mismo modo, el gráfico de la derecha está representado por la función y = g ( x ) = 2 − x , , pero también podría representarse con la función x = u ( y ) = 2 − y . Cuando los gráficos se representan como funciones de y , vemos que la región está limitada a la izquierda por el gráfico de una función y a la derecha por el gráfico de la otra función. Por lo tanto, si integramos con respecto a y , necesitamos evaluar una sola integral. Desarrollemos una fórmula para este tipo de integración. Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas sobre un intervalo [ c , d ] de manera que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Queremos hallar el área entre los gráficos de las funciones, como se muestra en la siguiente figura. Podemos encontrar el área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) . Esta vez, vamos a dividir el intervalo en el eje y y utilizar rectángulos horizontales para aproximar el área entre las funciones. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que Q = { y i } es una partición regular de [ c , d ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto y i * ∈ [ y i − 1 , y i ] , entonces en cada intervalo [ y i − 1 , y i ] construya un rectángulo que se extienda horizontalmente desde v ( y i * ) al u ( y i * ) . La (a) muestra los rectángulos cuando y i * se selecciona para ser el punto extremo inferior del intervalo y n = 10 . La (b) muestra en detalle un rectángulo representativo. (a) Aproximación del área entre los gráficos de dos funciones, u ( y ) y v ( y ) , con rectángulos. (b) El área de un rectángulo típico. La altura de cada rectángulo individual es Δ y y la anchura de cada rectángulo es u ( y i * ) − v ( y i * ) . Por lo tanto, el área entre las curvas es aproximadamente A ≈ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomamos el límite como n → ∞ , obteniendo A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n [ u ( y i * ) − v ( y i * ) ] Δ y = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Hallar el área entre dos curvas, integrando a lo largo del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas tales que u ( y ) ≥ v ( y ) para todos los y ∈ [ c , d ] . Supongamos que R denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , y arriba y abajo por las rectas y = d y y = c , respectivamente. Entonces, el área de R viene dada por A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y . Integrar con respecto a y Volvamos a visitar el , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la . Calcule el área de R integrando con respecto a y . La zona de la región R puede calcularse mediante una integral solo cuando las curvas se tratan como funciones de y . Primero debemos expresar los gráficos como funciones de y . Como vimos al principio de esta sección, la curva de la izquierda puede representarse por la función x = v ( y ) = y , y la curva de la derecha puede representarse por la función x = u ( y ) = 2 − y . Ahora tenemos que determinar los límites de integración. La región está limitada abajo por el eje x , por lo que el límite inferior de integración es y = 0 . El límite superior de la integración está determinado por el punto de intersección de los dos gráficos, que es el punto ( 1 , 1 ) , por lo que el límite superior de integración es y = 1 . Por lo tanto, tenemos [ c , d ] = [ 0 , 1 ] . Calculando el área de la región, obtenemos A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y = ∫ 0 1 [ ( 2 − y ) − y ] d y = [ 2 y – y 2 2 − 2 3 y 3 / 2 ] | 0 1 = 5 6 . El área de la región es 5 / 6 unidades 2 . Volvamos a revisar el punto de control asociado al , solo que esta vez integremos con respecto a y . Supongamos que R es la región representada en la siguiente figura. Calcule el área de R integrando con respecto a y . 5 3 unidades 2 Pista Siga el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Al igual que las integrales definidas pueden utilizarse para encontrar el área bajo una curva, también pueden utilizarse para encontrar el área entre dos curvas. Para encontrar el área entre dos curvas definidas por funciones, integre la diferencia de las funciones. Si los gráficos de las funciones se intersecan, o si la región es compleja, utilice el valor absoluto de la diferencia de las funciones. En este caso, puede ser necesario evaluar dos o más integrales y sumar los resultados para encontrar el área de la región. A veces puede ser más fácil integrar con respecto a y para encontrar el área. Los principios son los mismos independientemente de la variable que se utilice como variable de integración. Ecuaciones clave Área entre dos curvas, integrando en el eje x A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x Área entre dos curvas, integrando en el eje y A = ∫ c d [ u ( y ) − v ( y ) ] d y En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas de la figura dada integrando sobre el eje x . y = x 2 − 3 y y = 1 32 3 y = x 2 y y = 3 x + 4 En los siguientes ejercicios, divida la región entre las dos curvas en dos regiones más pequeñas, y luego determine el área integrando sobre el eje x . Tenga en cuenta que tendrá que resolver dos integrales. y = x 3 y y = x 2 + x 13 12 y = cos θ y y = 0,5 , para 0 ≤ θ ≤ π En los siguientes ejercicios, determine el área de la región entre las dos curvas integrando sobre el eje y . x = y 2 y x = 9 36 y = x y x = y 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x . y = x 2 y y = − x 2 + 18 x 243 unidades cuadradas y = 1 x , y = 1 x 2 , y x = 3 y = cos x como y = cos 2 x sobre x = [ − π , π ] 4 y = e x , y = e 2 x – 1 , y x = 0 y = e x , y = e – x , x = −1 y x = 1 2 ( e − 1 ) 2 e y = e , y = e x , y y = e – x y = | x | y y = x 2 1 3 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Si es necesario, divida la región en subregiones para determinar toda su superficie. y = sen ( π x ) , y = 2 x , y x > 0 y = 12 − x , y = x , y y = 1 34 3 y = sen x como y = cos x en x = [ − π , π ] y = x 3 y y = x 2 − 2 x en x = [ −1 , 1 ] 5 2 y = x 2 + 9 y y = 10 + 2 x en x = [ −1 , 3 ] y = x 3 + 3 x como y = 4 x 1 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el y . x = y 3 y x = 3 y − 2 x = 2 y y x = y 3 − y 9 2 x = −3 + y 2 y x = y – y 2 y 2 = x y x = y + 2 9 2 x = | y | y 2 x = − y 2 + 2 x = sen y , x = cos ( 2 y ) , y = π / 2 , y y = − π / 2 3 3 2 Para los siguientes ejercicios, grafique las ecuaciones y sombree el área de la región entre las curvas. Determine su área integrando sobre el eje x o el eje y , lo que le parezca más conveniente. x = y 4 y x = y 5 y = x e x , y = e x , x = 0 , y x = 1 e −2 y = x 6 y y = x 4 x = y 3 + 2 y 2 + 1 y x = − y 2 + 1 27 4 y = | x | y y = x 2 – 1 y = 4 − 3 x y y = 1 x 4 3 − ln ( 3 ) grandes. y = sen x , x = − π / 6 , x = π / 6 , y y = cos 3 x y = x 2 − 3 x + 2 y y = x 3 − 2 x 2 − x + 2 1 2 y = 2 cos 3 ( 3 x ) , y = −1 , x = π 4 , y x = − π 4 y + y 3 = x y 2 y = x 1 2 y = 1 − x 2 y y = x 2 – 1 y = cos −1 x , y = sen −1 x , x = −1 , y x = 1 −2 ( 2 − π ) En los siguientes ejercicios, halle el área exacta de la región delimitada por las ecuaciones dadas, si es posible. Si no puede determinar los puntos de intersección analíticamente, utilice una calculadora para aproximar los puntos de intersección con tres decimales y determinar el área aproximada de la región. [T] x = e y y y = x − 2 [T] y = x 2 y y = 1 − x 2 1,067 [T] y = 3 x 2 + 8 x + 9 y 3 y = x + 24 [T] x = 4 − y 2 y y 2 = 1 + x 2 0,852 [T] x 2 = y 3 y x = 3 y [T] y = sen 3 x + 2 , y = tan x , x = −1,5 , y x = 1,5 7,523 [T] y = 1 − x 2 y y 2 = x 2 [T] y = 1 − x 2 y y = x 2 + 2 x + 1 3 π − 4 12 [T] x = 4 − y 2 y x = 1 + 3 y + y 2 [T] y = cos x , y = e x , x = − π , y x = 0 1,429 El mayor triángulo con base en el eje x que encaja dentro de la mitad superior del círculo de la unidad y 2 + x 2 = 1 viene dada por y = 1 + x como y = 1 − x . Vea la siguiente figura. ¿Cuál es el área dentro del semicírculo pero fuera del triángulo? Una fábrica que vende teléfonos celulares tiene una función de costo marginal C ( x ) = 0,01 x 2 − 3 x + 229 , donde x representa el número de teléfonos celulares, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 429 − 2 x . Halle el área entre los gráficos de estas curvas y x = 0 . ¿Qué representa esta zona? $ 33.333,33 de beneficio total en 200 teléfonos celulares vendidos Un parque de atracciones tiene una función de costo marginal C ( x ) = 1.000 e – x + 5 , donde x representa el número de entradas vendidas, y una función de ingreso marginal dada por R ( x ) = 60 − 0,1 x . Halle el beneficio total que se produce al vender 550 entradas. Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con dos decimales. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = 1 − cos ( ( π t ) / 2 ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = ( 1 / 2 ) tan –1 ( t / 4 ) , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en millas por hora. Halle el área entre las curvas del tiempo t = 0 la primera vez después de una hora cuando la tortuga y la liebre viajan a la misma velocidad. ¿Qué representa? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. 3,263 mi representa qué tan lejos está la liebre de la tortuga. La tortuga contra la liebre: La velocidad de la liebre viene dada por la función sinusoidal H ( t ) = ( 1 / 2 ) − ( 1 / 2 ) cos ( 2 π t ) mientras que la velocidad de la tortuga es T ( t ) = t , donde t es el tiempo medido en horas y la velocidad se mide en kilómetros por hora. Si la carrera termina en 1 hora, ¿quién ganó la carrera y por qué diferencia? Utilice una calculadora para determinar los puntos de intersección, si es necesario, con una precisión de tres decimales. En los siguientes ejercicios, halle el área entre las curvas integrando con respecto a x y luego con respecto a y . ¿Es un método más fácil que el otro? ¿Obtiene la misma respuesta? y = x 2 + 2 x + 1 y y = − x 2 − 3 x + 4 343 24 y = x 4 y x = y 5 x = y 2 − 2 y x = 2 y 4 3 En los siguientes ejercicios, resuelva utilizando el cálculo y luego compruebe su respuesta con la geometría. Determine las ecuaciones de los lados del cuadrado que toca la circunferencia unitaria por sus cuatro lados, como se ve en la siguiente figura. Halle el área entre el perímetro de este cuadrado y el círculo unitario. ¿Hay alguna otra forma de resolver esto sin usar el cálculo? Halla el área entre el perímetro del círculo unitario y el triángulo creado a partir de y = 2 x + 1 , y = 1 − 2 x como y = − 3 5 , como se ve en la siguiente figura. ¿Hay alguna manera de resolver esto sin usar el cálculo? π − 32 25", "section": "Áreas entre curvas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Determinar los volúmenes mediante el corte En la sección anterior, utilizamos las integrales definidas para hallar el área entre dos curvas. En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para hallar los volúmenes de los sólidos tridimensionales. Consideraremos tres enfoques —rebanadas, discos y arandelas— para hallar estos volúmenes en función de las características del sólido. El volumen y el método de las rebanadas Así como el área es la medida numérica de una región bidimensional, el volumen es la medida numérica de un sólido tridimensional. La mayoría de nosotros ha calculado los volúmenes de los sólidos utilizando fórmulas geométricas básicas. El volumen de un sólido rectangular, por ejemplo, puede calcularse multiplicando la longitud, la anchura y la altura V = l w h . Las fórmulas del volumen de una esfera ( V = 4 3 π r 3 ) , un cono ( V = 1 3 π r 2 h ) , y una pirámide ( V = 1 3 A h ) también se ha introducido. Aunque algunas de estas fórmulas se derivaron utilizando únicamente la geometría, todas ellas pueden obtenerse utilizando la integración. También podemos calcular el volumen de un cilindro. Aunque la mayoría de nosotros piensa que un cilindro tiene una base circular, como una lata de sopa o una barra de metal, en matemáticas la palabra cilindro tiene un significado más general. Para hablar de los cilindros en ese contexto más general, antes tenemos que definir algunos términos. Definimos la sección transversal de un sólido como la intersección de un plano con el sólido. Se define un cilindro como cualquier sólido que se genera trasladando una región plana a lo largo de una línea perpendicular a la región, denominada eje del cilindro. Así, todas las secciones transversales perpendiculares al eje de un cilindro son idénticas. El sólido mostrado en la es un ejemplo de cilindro con base no circular. Entonces, para calcular el volumen de un cilindro basta con multiplicar el área de la sección transversal por la altura del cilindro: V = A . h . En el caso de un cilindro circular recto (como una lata de sopa), esto se convierte en V = π r 2 h . Cada sección transversal de un cilindro concreto es idéntica a las demás. Si un sólido no tiene una sección transversal constante (y no es uno de los otros sólidos básicos), puede que no tengamos una fórmula para su volumen. En ese caso, podemos utilizar una integral definida para calcular el volumen de ese sólido. Para ello, rebanamos el sólido, estimamos el volumen de cada rebanada y luego sumamos esos volúmenes estimados. Las rebanadas deben ser todas paralelas entre sí, y cuando las juntamos todas, deberíamos obtener el sólido completo. Consideremos, por ejemplo, el sólido S que se muestra en la , que se extiende a lo largo del eje x . Sólido con una sección transversal variable. Queremos dividir S en rodajas perpendiculares al eje x . Como veremos más adelante en el capítulo, puede haber ocasiones en las que queramos cortar el sólido en alguna otra dirección, por ejemplo, en cortes perpendiculares al eje y . La elección de cómo cortar el sólido es muy importante. Si nos equivocamos, los cálculos pueden ser bastante complicados. Más adelante en este capítulo, examinaremos algunas de estas situaciones en detalle y veremos cómo elegir la dirección para cortar el sólido. Sin embargo, a efectos de esta sección, utilizamos cortes perpendiculares al eje x . Ya que el área de la sección transversal no es constante, suponemos que A ( x ) representa el área de la sección transversal en el punto x . Ahora supongamos que P = { x 0 , x 1 … , X n } es una partición regular de [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que S i representan la porción de S que se extiende desde x i − 1 para x i . La siguiente figura muestra el sólido cortado con n n = 3 . El sólido S se dividió en tres cortes perpendiculares al eje x . Por último, para i = 1 , 2 ,… n , supongamos que x i * es un punto arbitrario en [ x i − 1 , x i ] . Entonces el volumen de la rebanada S i se puede estimar mediante V ( S i ) ≈ A ( x i * ) Δ x . Sumando estas aproximaciones, vemos que el volumen de todo el sólido S puede aproximarse por V ( S ) ≈ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x . A estas alturas, podemos reconocer esto como una suma de Riemann, y nuestro siguiente paso es tomar el límite como n → ∞ . Entonces tenemos V ( S ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n A ( x i * ) Δ x = ∫ a b A ( x ) d x . La técnica que acabamos de describir se llama método de las rebanadas . Para aplicarlo, utilizamos la siguiente estrategia. Estrategia para la resolución de problemas: Búsqueda de volúmenes por el método de las rebanadas Examine el sólido y determine la forma de una sección transversal del mismo. A menudo es útil hacer un dibujo si no lo tiene. Determine una fórmula para el área de la sección transversal. Integre la fórmula del área sobre el intervalo apropiado para obtener el volumen. Recordemos que en esta sección suponemos que los cortes son perpendiculares al eje x . Por lo tanto, la fórmula del área está en términos de x y los límites de integración se encuentran en el eje x . Sin embargo, la estrategia de resolución de problemas mostrada aquí es válida independientemente de cómo decidamos cortar el sólido. Derivación de la fórmula del volumen de una pirámide Sabemos por la geometría que la fórmula del volumen de una pirámide es V = 1 3 A h . Si la pirámide tiene una base cuadrada, esto se convierte en V = 1 3 a 2 h , donde a indica la longitud de un lado de la base. Utilicemos el método de las rebanadas para derivar esta fórmula. Queremos aplicar ese método a una pirámide de base cuadrada. Para establecer la integral, considere la pirámide mostrada en la , orientada a lo largo del eje x . (a) Una pirámide de base cuadrada está orientada a lo largo del eje x . (b) Hay una vista bidimensional de la pirámide desde un lado. Primero queremos determinar la forma de una sección transversal de la pirámide. Sabemos que la base es un cuadrado, por lo que las secciones transversales también son cuadradas (paso 1). Ahora queremos determinar una fórmula para el área de uno de estos cuadrados de la sección transversal. Al observar la (b), y usando una proporción, ya que son triángulos similares, tenemos s a = x h o s = a x h . Por lo tanto, el área de uno de los cuadrados del corte transversal es A ( x ) = s 2 = ( a x h ) 2 ( paso 2 ) . Entonces encontramos el volumen de la pirámide integrando desde 0 para h (paso 3 ) : V = ∫ 0 h A ( x ) d x = ∫ 0 h ( a x h ) 2 d x = a 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x = [ a 2 h 2 ( 1 3 x 3 ) ] | 0 h = 1 3 a 2 h . Esta es la fórmula que buscábamos. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula V = 1 3 π r 2 h para el volumen de un cono circular. Pista Utilice triángulos similares, como en la . Sólidos de revolución Si una región en un plano se hace girar alrededor de una línea en ese plano, el sólido resultante se llama sólido de revolución , como se muestra en la siguiente figura. (a) Esta es la región que gira alrededor del eje x . (b) A medida que la región comienza a girar alrededor del eje, forma un sólido de revolución. (c) Este es el sólido que resulta cuando se completa la revolución. Los sólidos de revolución son comunes en aplicaciones mecánicas, como las piezas de máquinas producidas por un torno. Dedicaremos el resto de esta sección a estudiar este tipo de sólidos. El siguiente ejemplo utiliza el método de las rebanadas para calcular el volumen de un sólido de revolución. Utilice una calculadora de integrales en línea para saber más. Uso del método de las rebanadas para hallar el volumen de un sólido de revolución Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución delimitado por las gráficos de f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 , x = 1 , y x = 4 , y con rotación alrededor del eje x . Utilizando la estrategia de resolución de problemas, primero dibujamos el gráfico de la función cuadrática sobre el intervalo [ 1 , 4 ] como se muestra en la siguiente figura. Una región utilizada para producir un sólido de revolución. A continuación, gire la región alrededor del eje x , como se muestra en la siguiente figura. Dos vistas, (a) y (b), del sólido de revolución producido al girar la región en la alrededor del x . Como el sólido se formó al girar la región alrededor del eje x −eje, las secciones transversales son círculos (paso 1). El área de la sección transversal, entonces, es el área de un círculo, y el radio del círculo viene dado por f ( x ) . Utilice la fórmula del área del círculo: A ( x ) = π r 2 = π [ f ( x ) ] 2 = π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 (paso 2) . El volumen, entonces, es (paso 3) V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x 2 − 4 x + 5 ) 2 d x = π ∫ 1 4 ( x 4 − 8 x 3 + 26 x 2 − 40 x + 25 ) d x = π ( x 5 5 − 2 x 4 + 26 x 3 3 − 20 x 2 + 25 x ) | 1 4 = 78 5 π . El volumen es 78 π / 5 . Utilice el método de las rebanadas para hallar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región comprendida entre el gráfico de la función f ( x ) = 1 / x y el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] alrededor del eje x . Vea la siguiente figura. π 2 Pista Utilice la estrategia de resolución de problemas presentada anteriormente y siga el para ayudarse con el paso 2. El método del disco Cuando utilizamos el método de las rebanadas con sólidos de revolución, se suele denominar método de los discos porque los cortes utilizados para sobre aproximar el volumen de esos sólidos son discos. Para ver esto, considere el sólido de revolución generado al girar la región entre el gráfico de la función f ( x ) = ( x – 1 ) 2 + 1 y la intersección en x en el intervalo [ −1 , 3 ] alrededor del eje x . El gráfico de la función y un disco representativo se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado para aproximar el área bajo una curva. (b) Un disco representativo formado al girar el rectángulo alrededor del x . (c) La región bajo la curva gira en torno del x , dando como resultado (d) el sólido de revolución. Ya utilizamos el desarrollo formal de la suma de Riemann de la fórmula del volumen al desarrollar el método de las rebanadas. Sabemos que V = ∫ a b A ( x ) d x . La única diferencia con el método de los discos es que conocemos de antemano la fórmula del área de la sección transversal, que es el área de un círculo. Esto da la siguiente regla. Regla: el método del disco Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x −eje, a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x . El volumen del sólido que hemos estudiado ( ) viene dado por V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ –1 3 π [ ( x – 1 ) 2 + 1 ] 2 d x = π ∫ –1 3 [ ( x – 1 ) 4 + 2 ( x – 1 ) 2 + 1 ] d x = π [ 1 5 ( x – 1 ) 5 + 2 3 ( x – 1 ) 3 + x ] | −1 3 = π [ ( 32 5 + 16 3 + 3 ) − ( − 32 5 − 16 3 − 1 ) ] = 412 π 15 al cuadrado 3 . Veamos algunos ejemplos. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 1 Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = x y el eje x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de la función y del sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La función f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . b) El sólido de revolución obtenido al girar la región bajo el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Tenemos V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 4 π [ x ] 2 d x = π ∫ 1 4 x d x = π 2 x 2 | 1 4 = 15 π 2 . El volumen es ( 15 π ) / 2 unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor del eje x . 8 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Hasta ahora, todos nuestros ejemplos se referían a regiones que giraban en torno al eje x −eje, pero podemos generar un sólido de revolución haciendo girar una región plana alrededor de cualquier línea horizontal o vertical. En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución que se ha generado girando una región alrededor del eje y . La mecánica del método de los discos es casi la misma que cuando el eje x es el eje de revolución, pero expresamos la función en términos de y y también integramos con respecto a y . Esto se resume en la siguiente regla. Regla: método de los discos para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y −eje, abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y . El siguiente ejemplo muestra cómo funciona esta regla en la práctica. Uso del método de los discos para encontrar el volumen de un sólido de revolución 2 Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de g ( y ) = 4 − y y la intersección en y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . Utilice el método de los discos para encontrar el volumen del sólido de revolución generado por la rotación de R alrededor del eje y . La muestra la función y un disco representativo que puede utilizarse para estimar el volumen. Observe que como estamos girando la función alrededor del eje y −eje, los discos son horizontales en vez de verticales. (a) Se muestra un rectángulo delgado entre la curva de la función g ( y ) = 4 − y y la intersección en y . (b) El rectángulo forma un disco representativo después de la revolución alrededor del eje y . La región que debe girar y el sólido completo de revolución se representan en la siguiente figura. (a) La región a la izquierda de la función g ( y ) = 4 − y sobre el y intervalo [ 0 , 4 ] . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del eje y . Para encontrar el volumen, integramos con respecto a y . Obtenemos V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y = ∫ 0 4 π [ 4 − y ] 2 d y = π ∫ 0 4 ( 4 − y ) d y = π [ 4 y – y 2 2 ] | 0 4 = 8 π . El volumen es 8 π unidades 3 . Utilice el método del disco para calcular el volumen del sólido de revolución generado que se forma al girar la región entre el gráfico de g ( y ) = y y la intersección en y en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje y . 21 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de arandelas Algunos sólidos de revolución tienen cavidades en el centro; no son sólidos hasta el eje de revolución. A veces, esto es solo el resultado de la forma de la región de revolución con respecto al eje de revolución. En otros casos, las cavidades surgen cuando la región de revolución se define como la región entre los gráficos de dos funciones. Una tercera forma de que esto ocurra es cuando se selecciona un eje de revolución distinto al eje x o y . Cuando el sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, las rodajas utilizadas para aproximar el volumen no son discos, sino arandelas (discos con agujeros en el centro). Por ejemplo, consideremos la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 en el intervalo [ 1 , 4 ] . Cuando esta región gira en torno al eje x −eje, el resultado es un sólido con una cavidad en el centro, y las rodajas son arandelas. El gráfico de la función y una arandela representativa se muestran en la (a) y (b). La región de revolución y el sólido resultante se muestran en la (c) y (d). (a) Un rectángulo delgado en la región entre dos curvas. (b) Un disco representativo que se forma al girar el rectángulo alrededor del eje x . (c) La región entre las curvas sobre el intervalo dado. (d) El sólido de revolución resultante. El área de la sección transversal, entonces, es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. En este caso, A ( x ) = π ( x ) 2 − π ( 1 ) 2 = π ( x – 1 ) . Entonces el volumen del sólido es V = ∫ a b A ( x ) d x = ∫ 1 4 π ( x – 1 ) d x = π [ x 2 2 − x ] | 1 4 = 9 2 π al cuadrado 3 . Generalizando este proceso se obtiene el método de las arandelas . Regla: el método de las arandelas Supongamos que f ( x ) y g ( x ) son funciones continuas y no negativas tales que f ( x ) ≥ g ( x ) en [ a , b ] . Supongamos que R denotan la región delimitada por el gráfico de f ( x ) , abajo por el gráfico de g ( x ) , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje x viene dada por V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x . Utilizar el método de las arandelas Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] alrededor del eje x . Los gráficos de las funciones y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre los gráficos de las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor del eje x se genera un sólido de revolución con una cavidad en el centro. Tenemos V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x = π ∫ 1 4 [ x 2 − ( 1 x ) 2 ] d x = π [ x 3 3 + 1 x ] | 1 4 = 81 π 4 al cuadrado 3 . Halle el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada por los gráficos de f ( x ) = x y g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] alrededor del eje x . 10 π 3 unidades 3 Pista Grafique las funciones para determinar qué gráfico forma el límite superior y qué gráfico forma el límite inferior, y luego utilice el procedimiento del . Al igual que con el método de los discos, también podemos aplicar el método de las arandelas a los sólidos de revolución que resultan de girar una región alrededor del eje y . En este caso, se aplica la siguiente regla. Regla: el método de las arandelas para sólidos de revolución alrededor del eje y Supongamos que u ( y ) y v ( y ) son funciones continuas y no negativas tales que v ( y ) ≤ u ( y ) por y ∈ [ c , d ] . Supongamos que Q denota la región limitada a la derecha por el gráfico de u ( y ) , a la izquierda por el gráfico de v ( y ) , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje y viene dada por V = ∫ c d π [ ( u ( y ) ) 2 − ( v ( y ) ) 2 ] d y . En vez de ver un ejemplo del método de las arandelas con el eje y como eje de revolución, consideramos ahora un ejemplo en el que el eje de revolución es una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Se aplica el mismo método general, pero es posible que tenga que visualizar cómo describir el área de la sección transversal del volumen. El método de las arandelas con un eje de revolución diferente Halle el volumen del sólido de revolución fque se forma al girar la región delimitada arriba por f ( x ) = 4 − x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] alrededor de la línea y = –2 . El gráfico de la región y el sólido de revolución se muestran en la siguiente figura. (a) La región entre el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x y el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) Al girar la región alrededor de la línea y = −2 se obtiene un sólido de revolución con un agujero cilíndrico en su centro. No podemos aplicar la fórmula del volumen a este problema directamente porque el eje de revolución no es uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, aún sabemos que el área de la sección transversal es el área del círculo exterior menos el área del círculo interior. Si observamos el gráfico de la función, vemos que el radio del círculo exterior viene dado por f ( x ) + 2 , que se simplifica a f ( x ) + 2 = ( 4 − x ) + 2 = 6 − x . El radio del círculo interior es g ( x ) = 2 . Por lo tanto, tenemos V = ∫ 0 4 π [ ( 6 − x ) 2 − ( 2 ) 2 ] d x = π ∫ 0 4 ( x 2 − 12 x + 32 ) d x = π [ x 3 3 − 6 x 2 + 32 x ] | 0 4 = 160 π 3 al cuadrado 3 . Calcule el volumen de un sólido de revolución que se forma al girar la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x + 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 3 ] alrededor de la línea y = −1 . 60 π unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . Conceptos clave Las integrales definidas pueden utilizarse para hallar los volúmenes de los sólidos. Utilizando el método de las rebanadas, podemos encontrar un volumen integrando el área de la sección transversal. En los sólidos de revolución, los cortes de volumen suelen ser discos y las secciones transversales son círculos. El método de los discos consiste en aplicar el método de las rebanadas en el caso particular de que las secciones transversales sean círculos, y en utilizar la fórmula del área de un círculo. Si un sólido de revolución tiene una cavidad en el centro, los cortes de volumen son arandelas. Con el método de las arandelas, el área del círculo interior se resta del área del círculo exterior antes de integrarlo. Ecuaciones clave Método de los discos a lo largo del eje x V = ∫ a b π [ f ( x ) ] 2 d x Método de los discos a lo largo del eje y V = ∫ c d π [ g ( y ) ] 2 d y Método de las arandelas V = ∫ a b π [ ( f ( x ) ) 2 − ( g ( x ) ) 2 ] d x Deduzca la fórmula del volumen de una esfera utilizando el método de las rebanadas. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un cono. Utilice el método de las rebanadas para obtener la fórmula del volumen de un tetraedro de lado a . Utilice el método de los discos para obtener la fórmula del volumen de un cilindro trapezoidal. Explique cuándo utilizaría el método de los discos en vez del método de las arandelas. ¿Cuándo son intercambiables? En los siguientes ejercicios, dibuje una rebanada típica y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas para el volumen dado. Pirámide con altura de 6 unidades y base cuadrada de lado de 2 unidades, como la que se muestra aquí. 8 unidades 3 Una pirámide con altura de 4 unidades y base rectangular con longitud de 2 unidades y anchura de 3 unidades, como se muestra aquí. Tetraedro con un lado de la base de 4 unidades, como se ve aquí. 32 3 2 unidades 3 Pirámide con altura de 5 unidades, y una base triangular isósceles con longitudes de 6 y 8 unidades, como se ve aquí. Un cono de radio r y altura h tiene un cono de radio más pequeño r / 2 y altura h / 2 retirado de la parte superior, como se ve aquí. El sólido resultante se denomina tronco . 7 24 π r 2 h unidades 3 En los siguientes ejercicios, dibuje un contorno del sólido y halle el volumen utilizando el método de las rebanadas. La base es un círculo de radio a . Los cortes perpendiculares a la base son cuadrados. La base es un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 0 , 1 ) . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 24 unidades 3 La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 en el primer cuadrante. Los cortes perpendiculares al plano xy y paralelos al eje y son cuadrados. La base es la región bajo la parábola y = 1 − x 2 y por encima del plano x . Las rebanadas perpendiculares al eje y son cuadradas. 2 unidades 3 La base es la región delimitada por y = x 2 y y = 9 . Las rodajas perpendiculares al eje x son triángulos isósceles rectos. La intersección de uno de estos cortes con la base es el cateto del triángulo. La base es el área entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. π 240 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de los discos para encontrar el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . x + y = 8 , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 2 , x = 0 , x = 4 , y y = 0 4096 π 5 unidades 3 y = e x + 1 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 y = x 4 , x = 0 , y y = 1 8 π 9 unidades 3 y = x , x = 0 , x = 4 , y y = 0 y = sen x , y = cos x , y x = 0 π 2 unidades 3 y = 1 x , x = 2 , y y = 3 x 2 − y 2 = 9 y x + y = 9 , y = 0 y x = 0 207 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = 4 − 1 2 x , x = 0 , y y = 0 y = 2 x 3 , x = 0 , x = 1 , y y = 0 4 π 5 unidades 3 y = 3 x 2 , x = 0 , y y = 3 y = 4 − x 2 , y = 0 , y x = 0 16 π 3 unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 3 x = sec ( y ) y y = π 4 , y = 0 y x = 0 π unidades 3 y = 1 x + 1 , x = 0 , y x = 2 y = 4 − x , y = x , y x = 0 16 π 3 unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, halle el volumen cuando la región gira alrededor del eje x . y = x + 2 , y = x + 6 , x = 0 , y x = 5 y = x 2 y y = x + 2 72 π 5 unidades 3 x 2 = y 3 y x 3 = y 2 y = 4 − x 2 y y = 2 − x 108 π 5 unidades 3 [T] y = cos x , y = e – x , x = 0 , y x = 1,2927 y = x y y = x 2 3 π 10 unidades 3 y = sen x , y = 5 sen x , x = 0 y x = π y = 1 + x 2 y y = 4 − x 2 2 6 π unidades 3 Para los siguientes ejercicios, dibuje la región delimitada por las curvas. A continuación, utilice el método de las arandelas para hallar el volumen cuando la región gira alrededor del eje y . y = x , x = 4 , y y = 0 y = x + 2 , y = 2 x – 1 , y x = 0 9 π unidades 3 y = x 3 y y = x 3 x = e 2 y , x = y 2 , y = 0 , y y = ln ( 2 ) π 20 ( 75 − 4 ln 5 ( 2 ) ) unidades 3 x = 9 − y 2 , x = e − y , y = 0 , y y = 3 Los envases de yogur pueden tener forma de tronco. Gire la línea y = 1 m x alrededor del eje y para hallar el volumen entre y = a y y = b . m 2 π 3 ( b 3 − a 3 ) unidades 3 Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje x para aproximar el volumen de un balón de fútbol, como se ve aquí. Rote la elipse ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 alrededor del eje y para aproximar el volumen de un balón de fútbol. 4 a 2 b π 3 unidades 3 Una mejor aproximación al volumen de un balón de fútbol viene dada por el sólido que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje x de x = 0 hasta x = π . ¿Cuál es el volumen de esta aproximación del balón de fútbol, como se ve aquí? ¿Cuál es el volumen del pastel en forma de anillo que se obtiene al girar y = sen x alrededor del eje y de x = 0 hasta x = π ? 2 π 2 unidades 3 En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido descrito. La base es la región entre y = x como y = x 2 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. La base es la región delimitada por la elipse genérica ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 . Los cortes perpendiculares al eje x son semicírculos. 2 a b 2 π 3 unidades 3 Perfore un agujero de radio a por el eje de un cono recto y a través de la base de radio b , como se ve aquí. Halle el volumen común a dos esferas de radio r con centros que tienen 2 h de separación, como se muestra aquí. π 12 ( r + h ) 2 ( 6 r − h ) unidades 3 Halle el volumen de un casquete esférico de altura h y radio r donde h < r , como se ve aquí. Halle el volumen de una esfera de radio R con un casquete de altura h retirado de la parte superior, como se ve aquí. π 3 ( h + R ) ( h − 2 R ) 2 unidades 3 sección transversal la intersección de un plano y un objeto sólido método de los discos caso especial del método de las rebanadas utilizado con sólidos de revolución cuando los cortes son discos método de las rebanadas método de cálculo del volumen de un sólido que consiste en cortarlo en rebanadas, calcular el volumen de cada una y luego sumar los volúmenes para obtener un estimado del volumen total; a medida que el número de rebanadas llega al infinito, esta estimación se convierte en una integral que da el valor exacto del volumen sólido de revolución sólido generado al girar una región en un plano alrededor de una línea en ese plano método de las arandelas caso especial del método de las rebanadas que se utiliza con sólidos de revolución cuando los cortes son arandelas", "section": "Determinar los volúmenes mediante el corte", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Volúmenes de revolución: capas cilíndricas En esta sección, examinaremos el método de las capas cilíndricas, el último método para hallar el volumen de un sólido de revolución. Podemos utilizar este método en los mismos tipos de sólidos que el método del disco o el método de las arandelas; sin embargo, con los métodos del disco y de las arandelas, integramos a lo largo del eje de coordenadas paralelo al eje de revolución. Con el método de las capas cilíndricas, integramos el eje de coordenadas perpendicular al eje de revolución. La posibilidad de elegir qué variable de integración utilizaremos puede ser una ventaja importante con funciones más complicadas. Además, la geometría específica del sólido, a veces, hace que el método de las capas cilíndricas sea más atractivo de usar que el método de las arandelas. En la última parte de esta sección, repasaremos todos los métodos para hallar el volumen que hemos estudiado y establecemos algunas pautas para ayudarlo a determinar qué método debe utilizar en una situación determinada. El método de las capas cilíndricas De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R , delimitada por encima del gráfico de una función y = f ( x ) , abajo por el eje x −eje, y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la (a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y , como se muestra en la (b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de x giraban en torno al eje x o a una línea paralela a él. (a) Región delimitada por el gráfico de una función de x . b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del y . Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo [ a , b ] utilizando una partición normal, P = { x 0 , x 1 ,… , x n } y, para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo [ x i − 1 , x i ] de altura f ( x i * ) y la anchura Δ x . En la (a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y , en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura. (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del y , el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original. Para calcular el volumen de esta capa, considere la . Calcular el volumen de la capa. La capa es un cilindro, por lo que su volumen es el área de la sección transversal multiplicada por la altura del cilindro. Las secciones transversales son anulares (regiones en forma de anillo, esencialmente círculos con un agujero en el centro), con radio exterior x i y radio interior x i − 1 . Por lo tanto, el área de la sección transversal es π x i 2 − π x i − 1 2 . La altura del cilindro es f ( x i * ) . Entonces el volumen de la capa es V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Tenga en cuenta que x i − x i − 1 = Δ x , por lo que tenemos V capa = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) Δ x . Además, x i + x i − 1 2 es a la vez el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y el radio medio de la capa, y podemos aproximar esto por x i * . Entonces tenemos V capa ≈ 2 π f ( x i * ) x i * Δ x . Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana ( ). (a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana. En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura f ( x i * ) , anchura 2 π x i * , y espesor Δ x ( ). El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos V capa ≈ f ( x i * ) ( 2 π x i * ) Δ x , que es la misma fórmula que teníamos antes. Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos V ≈ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) . Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función 2 π x f ( x ) . Tomando el límite como n → ∞ nos da V = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 2 π x i * f ( x i * ) Δ x ) = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas. Regla: el método de las capas cilíndricas Supongamos que f ( x ) es continua y no negativa. Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) , abajo por el eje x , a la izquierda por la línea x = a , y a la derecha por la línea x = b . Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R en torno al eje y viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x . Veamos un ejemplo. El método de las capas cilíndricas 1 Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 1 / x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primero debemos graficar la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 3 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 1 3 ( 2 π x ( 1 x ) ) d x = ∫ 1 3 2 π d x = 2 π x | 1 3 = 4 π al cuadrado 3 . Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 15 π 2 unidades 3 Pista Utilice el procedimiento del . El método de las capas cilíndricas 2 Definamos R como la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . Primer gráfico de la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R bajo el gráfico de f ( x ) = 2 x – x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . b) El volumen de revolución obtenido al girar R alrededor del eje y . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x = ∫ 0 2 ( 2 π x ( 2 x – x 2 ) ) d x = 2 π ∫ 0 2 ( 2 x 2 − x 3 ) d x = 2 π [ 2 x 3 3 − x 4 4 ] | 0 2 = 8 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = 3 x – x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . 8 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . Al igual que con el método de los discos y el de las arandelas, también podemos aplicar el método de las capas cilíndricas a los sólidos de revolución que resultan, que giran alrededor del eje x , cuando queremos integrar con respecto a y . La regla análoga para este tipo de sólido se da aquí. Regla: método de las capas cilíndricas para sólidos de revolución alrededor del eje x Supongamos que g ( y ) es continua y no negativa. Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) , a la izquierda por el eje y , abajo por la línea y = c , y arriba por la línea y = d . Entonces, el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x viene dada por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y . Método de las capas cilíndricas para un sólido que gira alrededor del eje x Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 2 y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 0 , 4 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje de la x . En primer lugar, debemos graficar la región Q y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región Q a la izquierda de la función g ( y ) en el intervalo [ 0 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar Q alrededor del eje x . Rotule la región sombreada Q . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ c d ( 2 π y g ( y ) ) d y = ∫ 0 4 ( 2 π y ( 2 y ) ) d y = 4 π ∫ 0 4 y 3 / 2 d y = 4 π [ 2 y 5 / 2 5 ] | 0 4 = 256 π 5 al cuadrado 3 . Defina Q como la región delimitada a la derecha por el gráfico de g ( y ) = 3 / y y a la izquierda por el eje y por y ∈ [ 1 , 3 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar Q alrededor del eje x . 12 π unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En el siguiente ejemplo, observamos un sólido de revolución para el que el gráfico de una función gira en torno a una línea distinta de uno de los dos ejes de coordenadas. Para ello, es necesario volver a examinar el desarrollo del método de las capas cilíndricas. Recordemos que el volumen de una de las capas viene dado por V capa = f ( x i * ) ( π x i 2 − π x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i 2 − x i − 1 2 ) = π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = 2 π f ( x i * ) ( x i + x i − 1 2 ) ( x i − x i − 1 ) . Esto se basó en una capa con un radio exterior de x i y un radio interior de x i − 1 . Sin embargo, si giramos la región alrededor de una línea que no sea el eje y , tenemos un radio exterior e interior diferente. Supongamos, por ejemplo, que giramos la región alrededor de la línea x = − k , donde k es alguna constante positiva. Entonces, el radio exterior de la capa es x i + k y el radio interior es x i − 1 + k . Sustituyendo estos términos en la expresión del volumen, vemos que cuando una región plana gira alrededor de la línea x = − k , el volumen de una capa viene dado por V capa = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + k ) + ( x i − 1 + k ) 2 ) ( ( x i + k ) − ( x i − 1 + k ) ) = 2 π f ( x i * ) ( ( x i + x i − 2 2 ) + k ) Δ x . Como antes, observamos que x i + x i − 1 2 es el punto medio del intervalo [ x i − 1 , x i ] y puede ser aproximado por x i * . Entonces, el volumen aproximado de la capa es V capa ≈ 2 π ( x i * + k ) f ( x i * ) Δ x . El resto del desarrollo procede como antes, y vemos que V = ∫ a b ( 2 π ( x + k ) f ( x ) ) d x . También podríamos girar la región alrededor de otras rectas horizontales o verticales, como una línea vertical en el semiplano derecho. En cada caso, la fórmula de volumen debe ajustarse en consecuencia. En concreto, el término x en la integral debe sustituirse por una expresión que represente el radio de una capa. Para ver cómo funciona, analice el siguiente ejemplo. Región de revolución que gira en torno a una línea Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = −1 . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y la intersección en eje x en el intervalo [ 1 , 2 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor de la línea x = −1 . Observe que el radio de una capa viene dado por x + 1 . Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) f ( x ) ) d x = ∫ 1 2 ( 2 π ( x + 1 ) x ) d x = 2 π ∫ 1 2 ( x 2 + x ) d x = 2 π [ x 3 3 + x 2 2 ] | 1 2 = 23 π 3 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor de la línea x = –2 . 11 π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . En nuestro último ejemplo en esta sección, veamos el volumen de un sólido de revolución para el que la región de revolución está limitada por los gráficos de dos funciones. Región de revolución limitada por los gráficos de dos funciones Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el volumen del sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . En primer lugar, grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura. (a) La región R entre el gráfico de f ( x ) y el gráfico de g ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje y . Observe que el eje de revolución es el eje y , por lo que el radio de una capa viene dado simplemente por x . No necesitamos hacer ningún ajuste en el término x de nuestro integrando. Sin embargo, la altura de una capa viene dada por f ( x ) − g ( x ) , por lo que en este caso tenemos que ajustar el término f ( x ) del integrando. Entonces el volumen del sólido viene dado por V = ∫ 1 4 ( 2 π x ( f ( x ) − g ( x ) ) ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x ( x – 1 x ) ) d x = 2 π ∫ 1 4 ( x 3 / 2 – 1 ) d x = 2 π [ 2 x 5 / 2 5 − x ] | 1 4 = 94 π 5 al cuadrado 3 . Defina R como la región delimitada arriba por el gráfico de f ( x ) = x y abajo por el gráfico de g ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] . Calcule el volumen del sólido de revolución que se forma al girar R alrededor del eje y . π 6 unidades 3 Pista Utilice el proceso del . ¿Qué método debemos utilizar? Ya estudiamos varios métodos para hallar el volumen de un sólido de revolución, pero ¿cómo sabemos qué método utilizar? A menudo se trata de elegir qué integral es más fácil de evaluar. La describe los diferentes enfoques para los sólidos de revolución alrededor del eje x . Ahora es momento de que desarrolle la tabla análoga para los sólidos de revolución alrededor del eje y . Veamos un par de problemas adicionales y decidamos cuál es el mejor enfoque para resolverlos. Selección del mejor método Para cada uno de los siguientes problemas, seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establezca la integral para encontrar el volumen (no evaluar la integral). La región delimitada por los gráficos de y = x , y = 2 − x , y la intersección en x . La región delimitada por los gráficos de y = 4 x – x 2 y el eje x . En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R delimitado por dos rectas y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . Al observar la región, si queremos integrar con respecto a x , tendríamos que dividir la integral en dos partes, porque tenemos diferentes funciones que delimitan la región en [ 0 , 1 ] y [ 1 , 2 ] . En este caso, utilizando el método de los discos, tendríamos V = ∫ 0 1 ( π x 2 ) d x + ∫ 1 2 ( π ( 2 − x ) 2 ) d x . Si en vez de ello utilizáramos el método de las capas, usaríamos funciones de y para representar las curvas, produciendo V = ∫ 0 1 ( 2 π y [ ( 2 − y ) − y ] ) d y = ∫ 0 1 ( 2 π y [ 2 − 2 y ] ) d y . Ninguna de estas integrales es particularmente compleja, pero como el método de las capas requiere solo una integral, y el integrando requiere menos simplificación, es probable que en este caso utilicemos el método de las capas. En primer lugar, dibuje la región y el sólido de revolución como se muestra. (a) La región R entre la curva y el eje x . (b) El sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del eje x . AL observar la región, sería problemático definir un rectángulo horizontal; la región está limitada a la izquierda y a la derecha por la misma función. Por lo tanto, podemos descartar el método de las capas. El sólido no tiene ninguna cavidad en el centro, por lo que podemos utilizar el método de los discos. Entonces V = ∫ 0 4 π ( 4 x – x 2 ) 2 d x . Seleccione el mejor método para hallar el volumen de un sólido de revolución generado al girar la región dada alrededor del eje x , y establecer la integral para hallar el volumen (no evaluar la integral): la región limitada por los gráficos de y = 2 − x 2 y y = x 2 . Utilice el método de las arandelas; V = ∫ –1 1 π [ ( 2 − x 2 ) 2 − ( x 2 ) 2 ] d x Pista Dibuje la región y utilice la para decidir cuál es la integral más fácil de evaluar. Conceptos clave El método de las capas cilíndricas es otro método para utilizar una integral definida para calcular el volumen de un sólido de revolución. En ocasiones este método es preferible al de los discos o al de las arandelas porque integramos con respecto a la otra variable. En algunos casos, una integral es bastante más complicada que la otra. La geometría de las funciones y la dificultad de la integración son los principales factores para decidir qué método de integración utilizaremos. Ecuaciones clave Método de las capas cilíndricas V = ∫ a b ( 2 π x f ( x ) ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el volumen generado cuando la región entre las dos curvas se gira alrededor del eje dado. Utilice tanto el método de las capas como el de las arandelas. Utilice la tecnología para graficar las funciones y dibujar un corte típico a mano. [T] Limitado por las curvas y = 3 x , x = 0 , y y = 3 girado alrededor del eje y . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del eje y . 54 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y y = 3 girado alrededor del x . [T] Limitado por las curvas y = 3 x , y = 0 , y x = 3 girado alrededor del x . 81 π unidades 3 [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . [T] Limitado por las curvas y = 2 x 3 , y = 0 , y x = 2 girado alrededor del x . 512 π 7 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para calcular el volumen de los sólidos dados. Observe que las regiones rotadas se encuentran entre la curva y el eje x y se giran alrededor del eje y . y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 , x = 0 , y x = 1 2 π unidades 3 y = 1 x , x = 1 , y x = 100 y = 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 π 3 unidades 3 y = 1 1 + x 2 , x = 0 , y x = 3 y = sen x 2 , x = 0 , y x = π 2 π unidades 3 y = 1 1 − x 2 , x = 0 , y x = 1 2 y = x , x = 0 , y x = 1 4 π 5 unidades 3 y = ( 1 + x 2 ) 3 , x = 0 , y x = 1 y = 5 x 3 − 2 x 4 , x = 0 , y x = 2 64 π 3 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice las capas para hallar el volumen generado por la rotación de las regiones entre la curva dada y y = 0 alrededor del eje x . y = 1 − x 2 , x = 0 , x = 1 y el eje x y = x 2 , x = 0 , x = 2 y el eje x 32 π 5 unidades 3 y = x 3 2 , x = 0 , x = 2 , y el eje x y = 2 x 2 , x = 1 , x = 2 , y el eje x 7 π 6 x = 1 1 + y 2 , y = 1 , y y = 4 x = 1 + y 2 y , y = 1 , y = 4 , y el eje y 48 π x = cos y , y = 0 , y y = π x = y 3 – 2 y 2 , x = 0 , x = 9 , y el eje y 114 π 5 x = y + 1 , x = 1 , x = 3 , y el eje x x = 27 y 3 y x = 3 y 4 512 π 7 En los siguientes ejercicios calcule el volumen generado cuando la región entre las curvas se gira alrededor del eje dado. y = 3 − x , y = 0 , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del y . y = x 3 , x = 0 , y y = 8 girado alrededor del y . 96 π 5 unidades 3 y = x 2 , y = x , girado alrededor del y . y = x , y = 0 , y x = 1 girado alrededor de la línea x = 2 . 28 π 15 unidades 3 y = 1 4 − x , x = 1 , x = 2 y y = 0 girado alrededor de la línea x = 4 . y = x y y = x 2 girado alrededor del y . 3 π 10 unidades 3 y = x y y = x 2 girado alrededor de la línea x = 2 . x = y 3 , x = 1 y , x = 1 , y x = 2 girado alrededor del x . π 6 . 2 2 / 3 5 – 11 10 = π 10 12 . 2 2 / 3 – 11 ≈ 2 . 5286 unidades 3 x = y 2 y y = x girado alrededor de la línea y = 2 . [T] A la izquierda de x = sen ( π y ) , derecha de y = x , alrededor del eje y . 0,9876 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para graficar la región. Determine qué método cree que sería más fácil de usar para calcular el volumen que se genera cuando la función gira alrededor del eje especificado. A continuación, utilice el método que haya elegido para hallar el volumen. [T] y = x 2 y y = 4 x girado alrededor del y . [T] y = cos ( π x ) , y = sen ( π x ) , x = 1 4 , y x = 5 4 girado alrededor del y . Este ejercicio requiere una técnica avanzada. Puede utilizar la tecnología para realizar la integración. 3 2 unidades 3 [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del y . [T] y = x 2 − 2 x , x = 2 , y x = 4 girado alrededor del x . 496 π 15 unidades 3 [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del x . [T] y = 3 x 3 − 2 , y = x , y x = 2 girado alrededor del y . 398 π 15 unidades 3 [T] x = sen ( π y 2 ) y x = 2 y girado alrededor del x . [T] x = y 2 , x = y 2 − 2 y + 1 , y x = 2 girado alrededor del y . 15,9074 unidades 3 En los siguientes ejercicios, utilice el método de las capas para aproximar los volúmenes de algunos objetos comunes, que están representados en las figuras adjuntas. Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una esfera de radio r . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cono de radio r y altura h . 1 3 π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un elipsoide ( x 2 / a 2 ) + ( y 2 / b 2 ) = 1 girado alrededor del x . Utilice el método de las capas para hallar el volumen de un cilindro de radio r y altura h . π r 2 h unidades 3 Utilice el método de las capas para hallar el volumen de una rosquilla que se crea cuando el círculo x 2 + y 2 = 4 se gira alrededor de la línea x = 4 . Consideremos la región delimitada por los gráficos de y = f ( x ) , y = 1 + f ( x ) , x = 0 , y = 0 , y x = a > 0 . ¿Cuál es el volumen del sólido que se genera cuando esta región gira alrededor del eje y ? Supongamos que la función se define en el intervalo [ 0 , a ] . π a 2 unidades 3 Considere la función y = f ( x ) , que disminuye de f ( 0 ) = b al f ( 1 ) = 0 . Establezca las integrales para determinar el volumen, utilizando tanto el método de las capas como el de los discos, del sólido generado cuando esta región, con x = 0 y y = 0 , se gira alrededor del y . Demostrar que ambos métodos se aproximan al mismo volumen. ¿Qué método es más fácil de aplicar? ( Pista: Dado que f ( x ) es biunívoca, existe un inverso f −1 ( y ) . ) método de las capas cilíndricas método para calcular el volumen de un sólido de revolución dividiéndolo en capas cilíndricas anidadas; este método se diferencia de los métodos de los discos o de las arandelas en que integramos con respecto a la variable opuesta", "section": "Volúmenes de revolución: capas cilíndricas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Longitud del arco de una curva y superficie En esta sección, utilizaremos las integrales definidas para encontrar la longitud de arco de una curva. Podemos pensar en la longitud de arco como la distancia que recorreríamos si camináramos por la trayectoria de la curva. Muchas aplicaciones del mundo real implican la longitud de arco. Si se lanza un cohete a lo largo de una trayectoria parabólica, querremos saber qué distancia recorre el cohete. O si una curva en un mapa representa una carretera, desearíamos saber qué distancia tenemos que recorrer para llegar a nuestro destino. Comenzamos calculando la longitud de arco de las curvas definidas como funciones de x , luego examinamos el mismo proceso para las curvas definidas como funciones de y . (El proceso es idéntico, invirtiendo los roles de x como y ). Las técnicas que utilizamos para hallar la longitud de arco pueden ampliarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución, y cerramos la sección con un examen de este concepto. Longitud de arco de la curva y = f ( x ) En las aplicaciones anteriores de la integración, necesitamos que la función f ( x ) fuera integrable o como máximo, continua. Sin embargo, para calcular la longitud del arco se nos presenta un requisito más estricto para f ( x ) . En este caso, necesitamos que f ( x ) sea diferenciable, y además requerimos que su derivada, f ′ ( x ) , sea continua. Las funciones como esta, que tienen derivadas continuas, se denominan suaves . (Esta propiedad volverá a aparecer en capítulos posteriores). Supongamos que f ( x ) es una función suave definida sobre [ a , b ] . Queremos calcular la longitud de la curva desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) . Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la longitud de la curva. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Aunque podría parecer lógico utilizar segmentos de línea horizontales o verticales, queremos que nuestros segmentos de línea que se aproximen a la curva lo más posible. La representa esta construcción para n = 5 . Podemos aproximar la longitud de una curva añadiendo segmentos de línea. Para ayudarnos a encontrar la longitud de cada segmento de línea, debemos observar el cambio en la distancia vertical así como el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo. Como utilizamos una partición regular, el cambio en la distancia horizontal en cada intervalo viene dado por Δ x . Sin embargo, el cambio en la distancia vertical varía de un intervalo a otro, por lo que utilizamos Δ y i = f ( x i ) − f ( x i − 1 ) para representar el cambio de la distancia vertical en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , como se muestra en la . Tenga en cuenta que algunos (o todos) Δ y i pueden ser negativos. Un segmento de línea representativo aproxima la curva en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Según el teorema de Pitágoras, la longitud del segmento de línea es ( Δ x ) 2 + ( Δ y i ) 2 . También podemos escribirlo como Δ x 1 + ( ( Δ y i ) / ( Δ x ) ) 2 . Ahora, según el teorema del valor medio, hay un punto x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / ( Δ x ) . Entonces la longitud del segmento de línea viene dada por Δ x 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 . Sumando las longitudes de todos los segmentos de la línea, obtenemos Longitud de arco ≈ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , tenemos Longitud de arco = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 1 + [ f ′ ( x i * ) ] 2 Δ x = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Longitud de arco para y = f ( x ) Supongamos que f ( x ) una función suave en el intervalo [ a , b ] . Entonces la longitud de arco de la porción del gráfico de f ( x ) desde el punto ( a , f ( a ) ) al punto ( b , f ( b ) ) está dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Note que estamos integrando una expresión que implica f ′ ( x ) , así que tenemos que estar seguros de que f ′ ( x ) es integrable. Por eso necesitamos que f ( x ) sea suave. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar el teorema. Cálculo de la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = 2 x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. Tenemos f ′ ( x ) = 3 x 1 / 2 , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 9 x . Entonces, la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 0 1 1 + 9 x d x . Sustituya u = 1 + 9 x . Entonces, d u = 9 d x . Cuando x = 0 , entonces u = 1 , y cuando x = 1 , entonces u = 10 . Por lo tanto, Longitud de arco = ∫ 0 1 1 + 9 x d x = 1 9 ∫ 0 1 1 + 9 x 9 d x = 1 9 ∫ 1 10 u d u = 1 9 . 2 3 u 3 / 2 | 1 10 = 2 27 [ 10 10 − 1 ] ≈ 2,268 al cuadrado . Supongamos que f ( x ) = ( 4 / 3 ) x 3 / 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. 1 6 ( 5 5 − 1 ) ≈ 1,697 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. No olvide cambiar los límites de la integración. Aunque es bueno tener una fórmula para calcular la longitud de arco, este teorema en particular puede generar expresiones difíciles de integrar. En Introducción a técnicas de integración estudiamos algunas técnicas de integración. En algunos casos, es posible que tengamos que utilizar una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Utilizar una computadora o una calculadora para determinar la longitud de arco de una función de x Supongamos que f ( x ) = x 2 . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 1 , 3 ] . Tenemos f ′ ( x ) = 2 x , por lo que [ f ′ ( x ) ] 2 = 4 x 2 . Entonces la longitud de arco viene dada por Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 3 1 + 4 x 2 d x ≈ 8,26815 . Supongamos que f ( x ) = sen x . Calcule la longitud de arco del gráfico de f ( x ) en el intervalo [ 0 , π ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco ≈ 3,8202 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Longitud de arco de la curva x = g ( y ) Acabamos de ver cómo aproximar la longitud de una curva con una línea segmentada. Si queremos encontrar la longitud de arco del gráfico de una función de y , podemos repetir el mismo proceso, excepto que dividimos el eje y en lugar del eje x . La muestra un segmento de línea representativo. Un segmento de línea representativo en el intervalo [ y i − 1 , y i ] . Entonces la longitud del segmento de línea es ( Δ y ) 2 + ( Δ x i ) 2 , que también puede escribirse como Δ y 1 + ( ( Δ x i ) / ( Δ y ) ) 2 . Si ahora seguimos el mismo desarrollo anterior, obtenemos una fórmula para la longitud de arco de una función x = g ( y ) . Longitud de arco para x = g ( y ) Supongamos que g ( y ) es una función suave sobre un y intervalo [ c , d ] . Entonces, la longitud de arco del gráfico de g ( y ) desde el punto ( g ( d ) , d ) al punto ( g ( c ) , c ) está dada por Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y . Cálculo de la longitud de arco de una función de y Supongamos que g ( y ) = 3 y 3 . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 2 ] . Tenemos g ′ ( y ) = 9 y 2 , por lo que [ g ′ ( y ) ] 2 = 81 y 4 . Entonces la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y = ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y . Al utilizar una computadora para aproximar el valor de esta integral, obtenemos ∫ 1 2 1 + 81 y 4 d y ≈ 21,0277 . Supongamos que g ( y ) = 1 / y . Calcule la longitud de arco del gráfico de g ( y ) en el intervalo [ 1 , 4 ] . Utilice una computadora o una calculadora para aproximar el valor de la integral. Longitud de arco = 3,15018 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Área de una superficie de revolución Los conceptos que hemos utilizado para hallar la longitud de arco de una curva pueden extenderse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. El área superficial es el área total de la capa exterior de un objeto. En objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras. En las superficies curvas, la situación es un poco más compleja. Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Queremos encontrar el área superficial de la superficie de revolución que se crea al girar el gráfico de y = f ( x ) alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura. (a) Una curva que representa la función f ( x ) . b) La superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Como ya hemos hecho muchas veces, vamos a dividir el intervalo [ a , b ] y aproximar el área superficial calculando la superficie de formas más simples. Comenzamos utilizando segmentos de línea para aproximar la curva, como hicimos anteriormente en esta sección. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Luego, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un segmento lineal desde el punto ( x i − 1 , f ( x i − 1 ) ) al punto ( x i , f ( x i ) ) . Ahora, gire estos segmentos de línea alrededor del eje x para generar una aproximación de la superficie de revolución como se muestra en la siguiente figura. (a) Aproximación de f ( x ) con segmentos de línea. (b) Superficie de revolución formada al girar los segmentos de línea alrededor del eje x . Observe que, cuando cada segmento de línea gira alrededor del eje, produce una banda. Estas bandas son en realidad trozos de conos (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). Un trozo de cono como este se denomina tronco de cono. Para encontrar el área superficial de la banda, necesitamos encontrar el área superficial lateral, S , del tronco (solo el área de la superficie exterior inclinada del tronco, sin incluir las áreas de las caras superiores o inferiores). Supongamos que r 1 y r 2 son los radios del extremo ancho y del extremo estrecho del tronco respectivamente, y que l es la altura oblicua del tronco como se muestra en la siguiente figura. El tronco de un cono puede aproximarse a una pequeña parte del área superficial. Sabemos que el área superficial lateral de un cono viene dada por Área superficial lateral = π r s , donde r es el radio de la base del cono y s es la altura de la inclinación (vea la siguiente figura). El área superficial lateral del cono viene dada por π r s . Dado que un tronco puede considerarse como un trozo de cono, el área superficial lateral del tronco viene dada por el área superficial lateral del cono entero menos el área superficial lateral del cono más pequeño (la punta) que se cortó (vea la siguiente figura). Cálculo del área superficial lateral del tronco de un cono. Las secciones transversales del cono pequeño y del grande son triángulos similares, por lo que vemos que r 2 r 1 = s − l s . Al resolver para s , obtenemos r 2 r 1 = s − l s r 2 s = r 1 ( s − l ) r 2 s = r 1 s − r 1 l r 1 l = r 1 s − r 2 s r 1 l = ( r 1 − r 2 ) s r 1 l r 1 − r 2 = s . Entonces el área superficial lateral (SA) del tronco es S = (SA lateral del cono grande) − (SA lateral del cono pequeño) = π r 1 s − π r 2 ( s − l ) = π r 1 ( r 1 l r 1 − r 2 ) − π r 2 ( r 1 l r 1 − r 2 − l ) = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 2 l ( r 1 − r 2 ) r 1 − r 2 = π r 1 2 l r 1 − r 2 − π r 1 r 2 l r 1 − r 2 + π r 1 r 2 l r 1 − r 2 − π r 2 2 l r 1 − r 2 = π ( r 1 2 – r 2 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 − r 2 ) ( r 1 + r 2 ) l r 1 − r 2 = π ( r 1 + r 2 ) l . Utilicemos ahora esta fórmula para calcular el área superficial de cada una de las bandas que se forman al girar los segmentos de la línea alrededor del eje x . En la siguiente figura se muestra una banda representativa. Banda representativa utilizada para determinar el área superficial. Observe que la altura oblicua de este tronco es solo la longitud del segmento de línea que se usa para generarlo. Así, aplicando la fórmula del área superficial, tenemos S = π ( r 1 + r 2 ) l = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 2 + ( Δ y i ) 2 = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( Δ y i Δ x ) 2 . Ahora, como hicimos en el desarrollo de la fórmula de la longitud de arco, aplicamos el teorema del valor medio para seleccionar x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ′ ( x i * ) = ( Δ y i ) / Δ x . Esto nos da S = π ( f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Además, como f ( x ) es continua, por el teorema del valor intermedio, hay un punto x i * * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que f ( x i * * ) = ( 1 / 2 ) [ f ( x i − 1 ) + f ( x i ) ] , por lo que obtenemos S = 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Entonces el área superficial aproximada de toda la superficie de revolución viene dada por Superficie ≈ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 . Esto casi parece una suma de Riemann, excepto que tenemos funciones evaluadas en dos puntos diferentes, x i * y x i * * , en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Aunque no examinamos los detalles aquí, resulta que ya que f ( x ) es suave, si suponemos que n → ∞ , el límite funciona igual que una suma de Riemann incluso con los dos puntos de evaluación diferentes. De manera intuitiva, esto tiene sentido. Tanto x i * y x i * * están en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , por lo que tiene sentido que, cuando n → ∞ , ambos x i * y x i * * se acercan a x . Si le interesan los detalles debe consultar un texto de cálculo avanzado. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos Superficie = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π f ( x i * * ) Δ x 1 + ( f ′ ( x i * ) ) 2 = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Al igual que con la longitud de arco, podemos realizar un desarrollo similar para las funciones de y a fin de obtener una fórmula del área superficial de las superficies de revolución alrededor del y . Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Área superficial de una superficie de revolución Supongamos que f ( x ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ a , b ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x viene dada por Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x . Del mismo modo, supongamos que g ( y ) es una función suave no negativa sobre el intervalo [ c , d ] . Entonces, la superficie de la superficie de revolución que se forma al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y viene dada por Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y . Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 1 Supongamos que f ( x ) = x en el intervalo [ 1 , 4 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. El gráfico de f ( x ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de f ( x ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos f ( x ) = x . Entonces, f ′ ( x ) = 1 / ( 2 x ) y ( f ′ ( x ) ) 2 = 1 / ( 4 x ) . Entonces, Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x 1 + 1 4 x ) d x = ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x . Supongamos que u = x + 1 / 4 . Entonces, d u = d x . Cuando x = 1 , u = 5 / 4 , y cuando x = 4 , u = 17 / 4 . Esto nos da ∫ 1 4 ( 2 π x + 1 4 ) d x = ∫ 5 / 4 17 / 4 2 π u d u = 2 π [ 2 3 u 3 / 2 ] | 5 / 4 17 / 4 = π 6 [ 17 17 − 5 5 ] ≈ 30,846. Supongamos que f ( x ) = 1 − x en el intervalo [ 0 , 1 / 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje x . Redondee la respuesta a tres decimales. π 6 ( 5 5 − 3 3 ) ≈ 3,133 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Cálculo del área superficial de una superficie de revolución 2 Supongamos que f ( x ) = y = 3 x 3 . Considere la parte de la curva donde 0 ≤ y ≤ 2 . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de f ( x ) alrededor del eje y . Observe que estamos girando la curva alrededor del eje y , y el intervalo está en términos de y , por lo que queremos reescribir la función como una función de y . Obtenemos x = g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 . La gráfica de g ( y ) y la superficie de rotación se muestran en la siguiente figura. (a) El gráfico de g ( y ) . (b) La superficie de revolución. Tenemos g ( y ) = ( 1 / 3 ) y 3 , por lo que g ′ ( y ) = y 2 y ( g ′ ( y ) ) 2 = y 4 . Entonces Superficie = ∫ c d ( 2 π g ( y ) 1 + ( g ′ ( y ) ) 2 ) d y = ∫ 0 2 ( 2 π ( 1 3 y 3 ) 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y . Supongamos que u = y 4 + 1 . Entonces d u = 4 y 3 d y . Cuando y = 0 , u = 1 , y cuando y = 2 , u = 17 . Entonces 2 π 3 ∫ 0 2 ( y 3 1 + y 4 ) d y = 2 π 3 ∫ 1 17 1 4 u d u = π 6 [ 2 3 u 3 / 2 ] | 1 17 = π 9 [ ( 17 ) 3 / 2 – 1 ] ≈ 24,118. Supongamos que g ( y ) = 9 − y 2 en el intervalo y ∈ [ 0 , 2 ] . Halle el área de la superficie que se genera al girar el gráfico de g ( y ) alrededor del eje y . 12 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave La longitud de arco de una curva se puede calcular mediante una integral definida. La longitud de arco se aproxima primero mediante segmentos de línea, lo que genera una suma de Riemann. Tomando un límite nos da la fórmula de la integral definida. El mismo proceso puede aplicarse a las funciones de y . Los conceptos utilizados para calcular la longitud de arco pueden generalizarse para hallar el área superficial de una superficie de revolución. Las integrales generadas por las fórmulas de longitud de arco y área superficial suelen ser difíciles de evaluar. Puede ser necesario utilizar una computadora o una calculadora para aproximar los valores de las integrales. Ecuaciones clave Longitud de arco de una función de x Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x Longitud de arco de una función de y Longitud de arco = ∫ c d 1 + [ g ′ ( y ) ] 2 d y Superficie de una función de x Superficie = ∫ a b ( 2 π f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 ) d x En los siguientes ejercicios, halle la longitud de las funciones en el intervalo dado. y = 5 x de x = 0 a x = 2 2 26 y = − 1 2 x + 25 de x = 1 para x = 4 x = 4 y de y = −1 para y = 1 2 17 Elija una función lineal arbitraria x = g ( y ) en cualquier intervalo de su elección ( y 1 , y 2 ) . Determine la longitud de la función y luego demuestre que la longitud es correcta utilizando la geometría. Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x gira en torno a eje x a partir de ( 1 , 1 ) al ( 4 , 2 ) , como se ve aquí. π 6 ( 17 17 − 5 5 ) Calcule la superficie del volumen generado cuando la curva y = x 2 gira en torno a y a partir de ( 1 , 1 ) al ( 3 , 9 ) . Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de x en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = x 3 / 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) grandes. 13 13 − 8 27 y = x 2 / 3 a partir de ( 1 , 1 ) para ( 8 , 4 ) grandes. y = 1 3 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 1 4 3 y = 1 3 ( x 2 − 2 ) 3 / 2 de x = 2 hasta x = 4 [T] y = e x sobre x = 0 hasta x = 1 2,0035 y = x 3 3 + 1 4 x de x = 1 para x = 3 y = x 4 4 + 1 8 x 2 de x = 1 para x = 2 123 32 y = 2 x 3 / 2 3 − x 1 / 2 2 de x = 1 para x = 4 y = 1 27 ( 9 x 2 + 6 ) 3 / 2 de x = 0 a x = 2 10 [T] y = sen x sobre x = 0 a x = π Para los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de las funciones de y en el intervalo dado. Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice la tecnología para aproximarla. y = 5 − 3 x 4 a partir de y = 0 al y = 4 20 3 x = 1 2 ( e y + e − y ) a partir de y = −1 para y = 1 x = 5 y 3 / 2 a partir de y = 0 al y = 1 1 675 ( 229 229 − 8 ) [T] x = y 2 a partir de y = 0 al y = 1 x = y a partir de y = 0 para y = 1 1 8 ( 4 5 + ln ( 9 + 4 5 ) ) grandes. x = 2 3 ( y 2 + 1 ) 3 / 2 a partir de y = 1 hasta y = 3 [T] x = tan y a partir de y = 0 al y = 3 4 1,201 [T] x = cos 2 y a partir de y = − π 2 al y = π 2 [T] x = 4 y a partir de y = 0 para y = 2 15,2341 [T] x = ln ( y ) sobre y = 1 e al y = e Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del eje x . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x de x = 2 hasta x = 6 49 π 3 y = x 3 a partir de x = 0 hasta x = 1 y = 7 x de x = −1 para x = 1 70 π 2 [T] y = 1 x 2 de x = 1 para x = 3 y = 4 − x 2 de x = 0 a x = 2 8 π y = 4 − x 2 de x = −1 para x = 1 y = 5 x de x = 1 para x = 5 120 π 26 [T] y = tan x de x = − π 4 para x = π 4 Para los siguientes ejercicios, halle la superficie del área del volumen generado cuando las siguientes curvas giran alrededor del y . Si no puede evaluar la integral exactamente, utilice su calculadora para aproximarla. y = x 2 de x = 0 a x = 2 π 6 ( 17 17 − 1 ) grandes. y = 1 2 x 2 + 1 2 de x = 0 a x = 1 y = x + 1 a partir de x = 0 a x = 3 9 2 π [T] y = 1 x de x = 1 2 hasta x = 1 y = x 3 a partir de x = 1 para x = 27 10 10 π 27 ( 73 73 − 1 ) [T] y = 3 x 4 a partir de x = 0 hasta x = 1 [T] y = 1 x de x = 1 a x = 3 25,645 [T] y = cos x de x = 0 hasta x = π 2 La base de una lámpara se construye girando un cuarto de círculo y = 2 x – x 2 alrededor del eje y a partir de x = 1 a x = 2 , como se ve aquí. Cree una integral para la superficie de esta curva y calcúlela. π ( π + 2 ) Una bombilla es una esfera con un radio de 1 / 2 in con la parte inferior cortada para que encaje exactamente en un cilindro con un radio de 1 / 4 in y longitud 1 / 3 in, como se ve aquí. La esfera se corta por la parte inferior para que encaje exactamente en el cilindro, por lo que el radio del corte es de 1 / 4 pulgadas Halle el área superficial (sin incluir la parte superior o inferior del cilindro). [T] Una pantalla se construye al girar y = 1 / x alrededor del eje x a partir de y = 1 hasta y = 2 , como se ve aquí. Determine la cantidad de material que necesitará para construir esta pantalla de lámpara, es decir, el área superficial, con una precisión de cuatro decimales. 10,5017 [T] Un ancla se arrastra detrás de un barco según la función y = 24 e – x / 2 − 24 , donde y representa la profundidad bajo el barco y x es la distancia horizontal del ancla desde la parte trasera del barco. Si el ancla está a 23 ft por debajo del barco, ¿cuánta cuerda hay que tirar para alcanzar el ancla? Redondee su respuesta a tres decimales. [T] Está construyendo un puente que abarcará 10 pies. Tiene la intención de añadir una cuerda decorativa en forma de y = 5 | sen ( ( x π ) / 5 ) | , donde x es la distancia en pies desde un extremo del puente. Averigüe cuánta cuerda necesita comprar, redondeada al pie más cercano. 23 pies En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco exacta para los siguientes problemas sobre el intervalo dado. y = ln ( sen x ) de x = π / 4 al x = ( 3 π ) / 4 . ( Pista: Recuerde las identidades trigonométricas). Dibuje gráficos de y = x 2 , y = x 6 , y y = x 10 . Para y = x n , cuando n aumenta, formule una predicción sobre la longitud del arco a partir de ( 0 , 0 ) al ( 1 , 1 ) . Ahora, calcule las longitudes de estas tres funciones y determine si su predicción es correcta. 2 Compare las longitudes de la parábola x = y 2 y la línea x = b y a partir de ( 0 , 0 ) para ( b 2 , b ) cuando b aumenta. ¿Qué observa? Resuelva la longitud de x = y 2 a partir de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 1 ) . Demuestre que x = ( 1 / 2 ) y 2 a partir de ( 0 , 0 ) al ( 2 , 2 ) es el doble de largo. Grafique ambas funciones y explique por qué es así. Las respuestas pueden variar [T] Qué es más largo entre ( 1 , 1 ) y ( 2 , 1 / 2 ) : la hipérbola y = 1 / x o el gráfico de x + 2 y = 3 ? Explique por qué el área de superficie es infinita cuando y = 1 / x se gira alrededor del eje x por 1 ≤ x < ∞ , pero el volumen es finito. Para más información, busque el cuerno de Gabriel. longitud del arco la longitud del arco de una curva puede considerarse como la distancia que recorrería una persona a lo largo de la trayectoria de la curva tronco porción de un cono; se construye cortando el cono con un plano paralelo a la base área superficial el área superficial de un sólido es el área total de la capa exterior del objeto; en objetos como cubos o ladrillos, el área superficial del objeto es la suma de las áreas de todas sus caras", "section": "Longitud del arco de una curva y superficie", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Aplicaciones físicas En esta sección, examinaremos algunas aplicaciones físicas de la integración. Comenzaremos dándole un vistazo al cálculo de la masa a partir de una función de densidad. A continuación, nos centraremos en el trabajo y cerraremos la sección con un estudio de la fuerza hidrostática. Masa y Densidad Podemos utilizar la integración para desarrollar una fórmula para calcular la masa con base en una función de densidad. En primer lugar, pensemos en una varilla o un cable delgado. Se orienta la varilla para que se alinee con el eje x −eje, con el extremo izquierdo de la varilla en x = a y el extremo derecho en x = b ( ). Note que, aunque en las figuras representamos la varilla con cierto grosor, a efectos matemáticos suponemos que la varilla es lo suficientemente fina como para ser tratada como un objeto unidimensional. Podemos calcular la masa de una varilla delgada orientada a lo largo del eje x integrando su función de densidad. Si la varilla tiene una densidad constante ρ , dada en términos de masa por unidad de longitud, entonces la masa de la varilla es solo el producto de la densidad y la longitud de la varilla: ( b – a ) ρ . Sin embargo, si la densidad de la varilla no es constante, el problema se vuelve un poco más difícil. Cuando la densidad de la varilla varía de un punto a otro, utilizamos una función de densidad lineal, ρ ( x ) , para denotar la densidad de la varilla en cualquier punto, x . Supongamos que ρ ( x ) es una función de densidad lineal integrable. Ahora, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra un segmento representativo de la varilla. Un segmento representativo de la varilla. La masa m i del segmento de la varilla de x i − 1 a x i se aproxima por m i ≈ ρ ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de todos los segmentos obtenemos una aproximación a la masa de toda la varilla: m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos una expresión de la masa exacta de la varilla: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ ( x i * ) Δ x = ∫ a b ρ ( x ) d x . Enunciamos este resultado en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto unidimensional Dada una varilla delgada orientada a lo largo del eje x en el intervalo [ a , b ] , supongamos que ρ ( x ) denota una función de densidad lineal que da la densidad de la varilla en un punto x del intervalo. Entonces la masa de la varilla viene dada por m = ∫ a b ρ ( x ) d x . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Cálculo de la masa a partir de la densidad lineal Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ π / 2 , π ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = sen x , ¿cuál es la masa de la varilla? Aplicando directamente la , tenemos m = ∫ a b ρ ( x ) d x = ∫ π / 2 π sen x d x = − cos x | π / 2 π = 1 . Consideremos una varilla delgada orientada en el eje x sobre el intervalo [ 1 , 3 ] . Si la densidad de la varilla viene dada por ρ ( x ) = 2 x 2 + 3 , ¿cuál es la masa de la varilla? 70 / 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Ahora extendemos este concepto para hallar la masa de un disco bidimensional de radio r . Al igual que con la varilla del caso unidimensional, aquí suponemos que el disco es lo suficientemente fino como para que, a efectos matemáticos, podamos tratarlo como un objeto bidimensional. Suponemos que la densidad está dada en términos de masa por unidad de superficie (denominada densidad de área ), y además que la densidad varía solo a lo largo del radio del disco (denominada densidad radial ). Orientamos el disco en el x y , con el centro en el origen. Entonces, la densidad del disco puede ser tratada como una función de x , denotado ρ ( x ) . Suponemos que ρ ( x ) es integrable. Como la densidad es una función de x , dividimos el intervalo desde [ 0 , r ] a lo largo del eje x . Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , r ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Ahora, utilice la división para dividir el disco en arandelas finas (bidimensionales). En la siguiente figura se muestra un disco y una arandela representativa. (a) Un disco fino en el plano xy . (b) Una arandela representativa. Ahora aproximamos la densidad y el área de la arandela para calcular una masa aproximada, m i . Observe que el área de la arandela viene dada por A i = π ( x i ) 2 − π ( x i − 1 ) 2 = π [ x i 2 − x i − 1 2 ] = π ( x i + x i − 1 ) ( x i − x i − 1 ) = π ( x i + x i − 1 ) Δ x . Es posible que recuerde que teníamos una expresión similar a esta cuando calculábamos los volúmenes por capas. Como hicimos allí, utilizamos x i * ≈ ( x i + x i − 1 ) / 2 para aproximar al radio medio de la arandela. Obtenemos A i = π ( x i + x i − 1 ) Δ x ≈ 2 π x i * Δ x . Utilizando ρ ( x i * ) para aproximar la densidad de la arandela, aproximamos la masa de la misma mediante m i ≈ 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . Sumando las masas de las arandelas, vemos que la masa m de todo el disco se aproxima por m = ∑ i = 1 n m i ≈ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x . De nuevo reconocemos que se trata de una suma de Riemann, y tomamos el límite como n → ∞ . Esto nos da m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 2 π x i * ρ ( x i * ) Δ x = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Fórmula masa-densidad de un objeto circular Supongamos que ρ ( x ) es una función integrable que representa la densidad radial de un disco de radio r . Entonces la masa del disco viene dada por m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x . Cálculo de la masa a partir de la densidad radial Supongamos que ρ ( x ) = x representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 4. Aplicando la fórmula, hallamos m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x = ∫ 0 4 2 π x x d x = 2 π ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 π 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 4 π 5 [ 32 ] = 128 π 5 . Supongamos que ρ ( x ) = 3 x + 2 representan la densidad radial de un disco. Calcule la masa de un disco de radio 2. 24 π Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Trabajo realizado por una fuerza Ahora consideramos el trabajo. En física, el trabajo está relacionado con la fuerza, que a menudo se define intuitivamente como un empuje o un tirón sobre un objeto. Cuando una fuerza mueve un objeto, decimos que la fuerza realiza un trabajo sobre el objeto. En otras palabras, el trabajo puede considerarse como la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto. Según la física, cuando tenemos una fuerza constante, el trabajo puede expresarse como el producto de la fuerza por la distancia. En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra y la unidad de distancia es el pie, por lo que el trabajo se da en pies-libra. En el sistema métrico se utilizan los kilogramos y los metros. Un newton es la fuerza necesaria para acelerar 1 kilogramo de masa a una tasa de 1 m/s 2 . Así, la unidad de trabajo más común es el newton-metro. Esta misma unidad también se denomina joule . Ambos se definen como kilogramos por metros al cuadrado sobre segundos al cuadrado ( kg . m 2 / s 2 ) . Cuando tenemos una fuerza constante, las cosas son bastante fáciles. Sin embargo, es raro que una fuerza sea constante. El trabajo realizado para comprimir (o alargar) un resorte, por ejemplo, varía en función de cuánto se lo haya comprimido o estirado. Más adelante, en esta misma sección, se analizan los resortes con más detalle. Supongamos que tenemos una fuerza variable F ( x ) que mueve un objeto en dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a al punto b . Para calcular el trabajo realizado, dividimos el intervalo [ a , b ] y estimamos el trabajo realizado en cada subintervalo. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Calcular el trabajo realizado para mover un objeto desde un punto x i − 1 al punto x i , suponemos que la fuerza es aproximadamente constante en el intervalo, y utilizamos F ( x i * ) para aproximar la fuerza. El trabajo realizado en el intervalo [ x i − 1 , x i ] , entonces, viene dado por W i ≈ F ( x i * ) ( x i − x i − 1 ) = F ( x i * ) Δ x . Por lo tanto, el trabajo realizado en el intervalo [ a , b ] es aproximadamente W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x . Tomando el límite de esta expresión como n → ∞ nos da el valor exacto del trabajo: W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n F ( x i * ) Δ x = ∫ a b F ( x ) d x . Así, podemos definir el trabajo de la siguiente manera. Definición Si una fuerza variable F ( x ) mueve un objeto en una dirección positiva a lo largo del eje x desde el punto a hasta el punto b , entonces el trabajo realizado sobre el objeto es W = ∫ a b F ( x ) d x . Note que si F es constante, la integral se evalúa como F . ( b – a ) = F . d , que es la fórmula que indicamos al principio de esta sección. Veamos ahora el ejemplo concreto del trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte. Consideremos un bloque unido a un resorte horizontal. El bloque se mueve hacia adelante y hacia atrás cuando el resorte se estira y se comprime. Aunque en el mundo real tendríamos que tener en cuenta la fuerza de fricción entre el bloque y la superficie sobre la que se apoya, aquí ignoramos la fricción y suponemos que el bloque está apoyado sobre una superficie sin fricción. Cuando el resorte está en su longitud natural (en reposo), se dice que el sistema está en equilibrio. En este estado, el resorte no se alarga ni se comprime, y en esta posición de equilibrio el bloque no se mueve hasta que se introduce alguna fuerza. Orientamos el sistema de forma que x = 0 corresponde a la posición de equilibrio (vea la siguiente figura). Un bloque unido a un resorte horizontal en equilibrio, comprimido y alargado. Según la ley de Hooke , la fuerza necesaria para comprimir o estirar un resorte desde una posición de equilibrio viene dada por F ( x ) = k x , para alguna constante k . El valor de k depende de las características físicas del resorte. La constante k se denomina constante del resorte y siempre es positiva. Podemos utilizar esta información para calcular el trabajo realizado para comprimir o alargar un resorte, como se muestra en el siguiente ejemplo. El trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte Supongamos que se necesita una fuerza de 10 N (en sentido negativo) para comprimir un resorte 0,2 m de la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 0,5 m de la posición de equilibrio? Primero halle la constante del resorte, k . Cuando x = −0,2 , sabemos que F ( x ) = −10 , así que F ( x ) = k x − 10 = k ( −0,2 ) k = 50 y F ( x ) = 50 x . Entonces, para calcular el trabajo, integramos la función de fuerza, obteniendo W = ∫ a b F ( x ) d x = ∫ 0 0,5 5 0 x d x = 25 x 2 | 0 0,5 = 6,25 . El trabajo realizado para estirar el resorte es 6,25 J. Supongamos que se necesita una fuerza de 8 lb para estirar un resorte de 6 pulgadas desde la posición de equilibrio. Cuánto trabajo se hace para estirar el resorte 1 pies de la posición de equilibrio? 8 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Sea cuidadoso con las unidades. Trabajo realizado en el bombeo Considere el trabajo realizado para bombear agua (o algún otro líquido) fuera de un tanque. Los problemas de bombeo son un poco más complicados que los de los resortes porque muchos de los cálculos dependen de la forma y el tamaño del depósito. Además, en vez de preocuparnos por el trabajo realizado para mover una sola masa, nos fijamos en el trabajo realizado para mover un volumen de agua, y se necesita más trabajo para mover el agua desde el fondo del tanque que para mover el agua desde la parte superior del tanque. Examinamos el proceso en el contexto de un tanque cilíndrico, y luego vemos un par de ejemplos utilizando tanques de diferentes formas. Supongamos un depósito cilíndrico de un radio de 4 m y de 10 m de altura se llena hasta una profundidad de 8 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear toda el agua sobre el borde superior del tanque? Lo primero que tenemos que hacer es definir un marco de referencia. Supongamos que x representa la distancia vertical por debajo de la parte superior del tanque. Es decir, orientamos el eje x verticalmente, con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo que es positiva (ver la siguiente figura). ¿Cuánto trabajo se necesita para vaciar un depósito parcialmente lleno de agua? Utilizando este sistema de coordenadas, el agua se extiende desde x = 2 hasta x = 10 . Por lo tanto, dividimos el intervalo [ 2 , 1 0 ] y observamos el trabajo necesario para levantar cada \"capa\" de agua. Entonces, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 2 , 1 0 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La muestra una capa representativa. Una capa representativa de agua. En los problemas de bombeo, la fuerza necesaria para elevar el agua hasta la parte superior del depósito es la fuerza necesaria para vencer la gravedad, por lo que es igual al peso del agua. Dado que el peso-densidad del agua es 9800 N/m 3 , o 62,4 lb/ft 3 , al calcular el volumen de cada capa obtenemos el peso. En este caso, tenemos V = π ( 4 ) 2 Δ x = 16 π Δ x . Entonces, la fuerza necesaria para levantar cada capa es F = 9800 . 16 π Δ x = 156800 π Δ x . Tenga en cuenta que este paso se vuelve un poco más difícil si tenemos un tanque no cilíndrico. En el siguiente ejemplo veremos un tanque no cilíndrico. También necesitamos saber la distancia a la que debe elevarse el agua. Con base en nuestra elección de sistemas de coordenadas, podemos utilizar x i * como una aproximación a la distancia que debe levantar la capa. A continuación, el trabajo para levantar la i −ésima capa de agua W i es aproximadamente W i ≈ 156800 π x i * Δ x . Sumando el trabajo de cada capa, vemos que el trabajo aproximado para vaciar el depósito viene dado por W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite como n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 156800 π x i * Δ x = 156800 π ∫ 2 10 x d x = 156800 π [ x 2 2 ] | 2 10 = 7526400 π ≈ 23.644.883. El trabajo necesario para vaciar el depósito es de aproximadamente 23.650.000 J. En el caso de los problemas de bombeo, los cálculos varían en función de la forma del depósito o contenedor. La siguiente estrategia de resolución de problemas establece un proceso paso a paso para resolver problemas de bombeo. Estrategia para la resolución de problemas: Solución de problemas de bombeo Haga un dibujo del tanque y seleccione un marco de referencia adecuado. Calcule el volumen de una capa representativa de agua. Multiplique el volumen por el peso-densidad del agua para obtener la fuerza. Calcule la distancia a la que debe elevarse la capa de agua. Multiplique la fuerza y la distancia para obtener una estimación del trabajo necesario para levantar la capa de agua. Sume el trabajo necesario para levantar todas las capas. Esta expresión es una estimación del trabajo necesario para bombear la cantidad de agua deseada, y tiene la forma de una suma de Riemann. Tome el límite como n → ∞ y evalúe la integral resultante para obtener el trabajo exacto necesario para bombear la cantidad de agua deseada. Ahora aplicamos esta estrategia de resolución de problemas en un ejemplo con un tanque no cilíndrico. Un problema de bombeo con un depósito no cilíndrico Supongamos un tanque en forma de cono invertido, con una altura de 12 pies y radio de la base de 4 pies. Al principio el depósito está lleno y el agua se bombea sobre su borde superior hasta que la altura del agua que queda en el depósito es de 4 pies. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? El tanque está representado en la . Como hicimos en el ejemplo del tanque cilíndrico, orientamos verticalmente el eje x , con el origen en la parte superior del tanque y la dirección hacia abajo siendo positiva (paso 1). Un depósito de agua en forma de cono invertido. El depósito comienza lleno y termina con 4 ft de agua, por lo que, basándonos en el marco de referencia que hemos elegido, tenemos que dividir el intervalo [ 0 , 8 ] . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ 0 , 8 ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . Podemos aproximar el volumen de una capa utilizando un disco, y luego utilizar triángulos similares para encontrar el radio del disco (vea la siguiente figura). Utilizar triángulos semejantes para expresar el radio de un disco de agua. A partir de las propiedades de los triángulos semejantes, tenemos r i 12 − x i * = 4 12 = 1 3 3 r i = 12 − x i * r i = 12 − x i * 3 = 4 − x i * 3 . Entonces el volumen del disco es V i = π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 2). La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , por lo que la fuerza necesaria para levantar cada capa es aproximadamente F i ≈ 62,4 π ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 3). Según el diagrama, la distancia a la que debe elevarse el agua es de aproximadamente x i * ft (paso 4), por lo que el trabajo aproximado necesario para levantar la capa es W i ≈ 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 5). Sumando el trabajo necesario para levantar todas las capas, obtenemos un valor aproximado del trabajo total: W = ∑ i = 1 n W i ≈ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x (paso 6). Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , obtenemos W = lím n → ∞ ∑ i = 1 n 62,4 π x i * ( 4 − x i * 3 ) 2 Δ x = ∫ 0 8 62,4 π x ( 4 − x 3 ) 2 d x = 62,4 π ∫ 0 8 x ( 16 − 8 x 3 + x 2 9 ) d x = 62,4 π ∫ 0 8 ( 16 x − 8 x 2 3 + x 3 9 ) d x = 62,4 π [ 8 x 2 − 8 x 3 9 + x 4 36 ] | 0 8 = 10649.6 π ≈ 33.456,7. Se necesita aproximadamente 33.450 ft-lb de trabajo para vaciar el depósito hasta el nivel deseado. Un tanque tiene forma de cono invertido, con una altura de 10 ft y el radio de la base es de 6 ft. El tanque se llena hasta una profundidad de 8 ft para empezar, y el agua se bombea sobre el borde superior del tanque hasta que quedan 3 ft de agua en el tanque. ¿Cuánto trabajo se necesita para bombear esa cantidad de agua? Aproximadamente 43255.2 ft-lb Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Fuerza y presión hidrostáticas En este último apartado, estudiamos la fuerza y la presión que se ejerce sobre un objeto sumergido en un líquido. En el sistema inglés, la fuerza se mide en libras. En el sistema métrico, se mide en newtons. La presión es la fuerza por unidad de superficie, por lo que en el sistema inglés tenemos libras por pie cuadrado (o tal vez más comúnmente, libras por pulgada cuadrada, denotadas psi). En el sistema métrico tenemos newtons por metro cuadrado, también llamados pascales . Empecemos con el caso sencillo de un plato de superficie A sumergido horizontalmente en el agua a una profundidad s ( ). Entonces, la fuerza ejercida sobre la placa es simplemente el peso del agua sobre ella, que viene dado por F = ρ A s , donde ρ es la densidad del peso del agua (peso por unidad de volumen). Para hallar la presión hidrostática , es decir, la presión que ejerce el agua sobre un objeto sumergido, dividimos la fuerza entre el área. Así que la presión es p = F / A = ρ s . Una placa sumergida horizontalmente en el agua. Según el principio de Pascal , la presión a una profundidad determinada es la misma en todas las direcciones, por lo que no importa si la placa está sumergida horizontal o verticalmente. Así que, mientras conozcamos la profundidad, conoceremos la presión. Podemos aplicar el principio de Pascal para hallar la fuerza ejercida sobre superficies como las presas, que están orientadas verticalmente. No podemos aplicar la fórmula F = ρ A s directamente, porque la profundidad varía de un punto a otro en una superficie orientada verticalmente. Así que, como hemos hecho muchas veces antes, hacemos una partición, una suma de Riemann y, en última instancia, una integral definida para calcular la fuerza. Supongamos que una placa delgada está sumergida en el agua. Elegimos nuestro marco de referencia de tal manera que el eje x está orientado verticalmente, con la dirección hacia abajo siendo positiva, y el punto x = 0 correspondiente a un punto de referencia lógico. Supongamos que s ( x ) denota la profundidad en el punto x . Tenga en cuenta que a menudo suponemos que x = 0 corresponde a la superficie del agua. En este caso, la profundidad en cualquier punto viene dada simplemente por s ( x ) = x . Sin embargo, es posible que en algunos casos queramos seleccionar un punto de referencia diferente para x = 0 , por lo que procedemos al desarrollo en el caso más general. Por último, supongamos que w ( x ) denota la anchura de la placa en el punto x . Supongamos que el borde superior de la placa está en el punto x = a y el borde inferior de la placa en el punto x = b . Luego, para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular del intervalo [ a , b ] , y para i = 1 , 2 ,… , n , elija un punto arbitrario x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] . La partición divide la placa en varias tiras finas y rectangulares (vea la siguiente figura). Una placa fina sumergida verticalmente en el agua. Estimemos ahora la fuerza sobre una banda representativa. Si la banda es lo suficientemente fina, podemos tratarla como si estuviera a una profundidad constante, s ( x i * ) . Entonces tenemos F i = ρ A s = ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Al sumar las fuerzas, obtenemos una estimación de la fuerza sobre la placa: F ≈ ∑ i = 1 n F i = ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) . Se trata de una suma de Riemann, por lo que tomando el límite obtenemos la fuerza exacta. Obtenemos F = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ w ( x i * ) Δ x ] s ( x i * ) = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x . Evaluando esta integral obtenemos la fuerza sobre la placa. Lo resumimos en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Calcule la fuerza hidrostática Elabore un dibujo y seleccione un marco de referencia adecuado. (Tenga en cuenta que si seleccionamos un marco de referencia distinto al utilizado anteriormente, es posible que tengamos que ajustar la en consecuencia). Determine las funciones de profundidad y anchura, s ( x ) y w ( x ) . Determine el peso-densidad del líquido con el que está trabajando. La densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 , o 9800 N/m 3 . Utilice la ecuación para calcular la fuerza total. Calcule la fuerza hidrostática Un abrevadero de 15 ft de largo tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 8 ft y altura de 3 ft. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. La muestra el canal y una vista más detallada de un extremo. (a) Una sección transversal triangular del abrevadero. (b) Dimensiones de un extremo del mismo. Seleccione un marco de referencia con el eje x orientado verticalmente y la dirección de bajada es positiva. Seleccione la parte superior del abrevadero como el punto correspondiente a x = 0 (paso 1). La función de profundidad, entonces, es s ( x ) = x . Utilizando triángulos similares, vemos que w ( x ) = 8 − ( 8 / 3 ) x (paso 2). Ahora, la densidad del peso del agua es 62,4 lb/ft 3 (paso 3), por lo que aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 0 3 62,4 ( 8 − 8 3 x ) x d x = 62,4 ∫ 0 3 ( 8 x − 8 3 x 2 ) d x = 62,4 [ 4 x 2 − 8 9 x 3 ] | 0 3 = 748,8. El agua ejerce una fuerza de 748,8 lb sobre el extremo del abrevadero (paso 4). Un abrevadero de 12 m de longitud tiene los extremos en forma de triángulo isósceles invertido, con base de 6 m y altura de 4 m. Calcule la fuerza en un extremo de la canaleta si está llena de agua. 156800 N Pista Siga la estrategia de resolución de problemas y el proceso del ejemplo anterior. Inicio del capítulo: Calcule la fuerza hidrostática Ahora volvemos a centrarnos en la presa Hoover , mencionada al principio de este capítulo. La presa real es arqueada, en vez de plana, pero vamos a hacer algunas suposiciones simplificadoras para ayudarnos con los cálculos. Supongamos que la cara de la presa Hoover tiene forma de trapecio isósceles con base inferior de 750 ft, base superior de 1.250 ft y altura de 750 ft (vea la siguiente figura). Cuando el embalse está lleno, la profundidad máxima del lago Mead es de unos 530 ft, y la superficie del lago está a unos 10 ft por debajo de la parte superior de la presa (vea la siguiente figura). Un modelo simplificado de la presa Hoover con dimensiones supuestas. Halle la fuerza en la cara de la presa cuando el embalse está lleno. El suroeste de Estados Unidos ha sufrido una sequía, y la superficie del lago Mead está a unos 125 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Empecemos por establecer un marco de referencia. Como es habitual, optamos por orientar el eje x verticalmente, siendo positiva la dirección de bajada. Esta vez, sin embargo, vamos a permitir que x = 0 represente la parte superior de la presa, en vez de la superficie del agua. Cuando el embalse está lleno, la superficie del agua es de 10 ft por debajo de la parte superior de la presa, por lo que s ( x ) = x − 10 (vea la siguiente figura). Primero elegimos un marco de referencia. Para encontrar la función de anchura, volvemos a recurrir a los triángulos semejantes, como se muestra en la figura siguiente Utilizamos triángulos similares para determinar una función para la anchura de la presa. (a) Dimensiones supuestas de la presa; (b) se destacan los triángulos similares. En la figura, vemos que w ( x ) = 750 + 2 r . Utilizando las propiedades de los triángulos semejantes, obtenemos r = 250 − ( 1 / 3 ) x . Por lo tanto, w ( x ) = 1.250 − 2 3 x (paso 2). Utilizando una densidad de peso de 62,4 lb/ft 3 (paso 3) y aplicando la , obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 10 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 10 ) d x = 62,4 ∫ 10 540 − 2 3 [ x 2 − 1885 x + 18750 ] d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1885 x 2 2 + 18750 x ] | 10 540 ≈ 8.832.245.000 lb = 4416122.5 t . Observe el cambio de libras a toneladas ( 2000 lb = 1 ton) (paso 4). Fíjate en que la sequía cambia nuestra función de profundidad, s ( x ) , y nuestros límites de integración. Tenemos s ( x ) = x − 135 . El límite inferior de integración es 135 . El límite superior sigue siendo 540 . Evaluando la integral, obtenemos F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x = ∫ 135 540 62,4 ( 1.250 − 2 3 x ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x − 1875 ) ( x − 135 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) ∫ 135 540 ( x 2 − 2010 x + 253125 ) d x = −62,4 ( 2 3 ) [ x 3 3 − 1005 x 2 + 253125 x ] | 135 540 ≈ 5.015.230.000 lb = 2507615 t . Cuando el embalse está en su nivel medio, la superficie del agua está unos 50 ft por debajo de donde estaría si el embalse estuviera lleno. ¿Cuál es la fuerza sobre la cara de la represa en estas circunstancias? Aproximadamente 7.164.520.000 lb o 3.582.260 t Pista Cambie la función de profundidad, s ( x ) , y los límites de integración. Para saber más sobre la presa Hoover, consulte este artículo publicado por History Channel. Conceptos clave Varias aplicaciones físicas de la integral definida son comunes en ingeniería y física. Las integrales definidas pueden utilizarse para determinar la masa de un objeto si se conoce su función de densidad. El trabajo también se puede calcular al integrar una función de fuerza, o al contrarrestar la fuerza de la gravedad, como en un problema de bombeo. Las integrales definidas también pueden utilizarse para calcular la fuerza ejercida sobre un objeto sumergido en un líquido. Ecuaciones clave Masa de un objeto unidimensional m = ∫ a b ρ ( x ) d x Masa de un objeto circular m = ∫ 0 r 2 π x ρ ( x ) d x Trabajo realizado sobre un objeto W = ∫ a b F ( x ) d x Fuerza hidrostática sobre una placa F = ∫ a b ρ w ( x ) s ( x ) d x En los siguientes ejercicios, calcule el trabajo realizado. Halle el trabajo realizado cuando una fuerza constante F = 12 lb mueve una silla de x = 0,9 al x = 1,1 pies. ¿Cuánto trabajo se realiza cuando una persona levanta 50 lb de cajas de cómics en un camión que está a 3 ft del suelo? 150 ft-lb ¿Cuál es el trabajo realizado levantando un niño de 20 kg desde el suelo hasta una altura de 2 m? (Tenga en cuenta que una masa de 1 kg pesa 9,8 N cerca de la superficie de la Tierra). Halle el trabajo realizado al empujar una caja por el suelo por 2 m, cuando se aplica una fuerza constante de F = 100 N . 200 J Calcule el trabajo realizado para una fuerza F = 12 / x 2 N de x = 1 a x = 2 m. ¿Cuál es el trabajo realizado al mover una partícula desde x = 0 hasta x = 1 m si la fuerza que actúa sobre ella es F = 3 x 2 N? 1 J En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto unidimensional. Un cable que tiene 2 pies de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = x 2 + 2 x lb/ft Una antena de automóvil que tiene 3 ft de largo (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 3 x + 2 lb/ft 39 2 Una barra de metal que tiene 8 in de longitud (a partir de x = 0 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = e 1 / 2 x lb/in. Un lápiz que tiene 4 in. de longitud (a partir de x = 2 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = 5 / x oz/in. ln ( 243 ) Una regla que tiene 12 in. de longitud (a partir de x = 5 ) y tiene una función de densidad de ρ ( x ) = ln ( x ) + ( 1 / 2 ) x 2 oz/in. En los siguientes ejercicios, halle la masa del objeto bidimensional centrado en el origen. Un disco de hockey de gran tamaño con un radio de 2 in con función de densidad ρ ( x ) = x 3 − 2 x + 5 332 π 15 Un frisbee con un radio de 6 in con función de densidad ρ ( x ) = e – x Una placa con un radio de radio 10 in con función de densidad ρ ( x ) = 1 + cos ( π x ) grandes. 100 π Una tapa de tarro con un radio de 3 in con función de densidad ρ ( x ) = ln ( x + 1 ) Un disco con 5 cm de radio y con función de densidad ρ ( x ) = 3 x 20 π 15 Un resorte de 12 in se estira hasta 15 in por una fuerza de 75 lb. ¿Cuál es la constante del resorte? Un resorte tiene una longitud natural de 10 cm. Se necesitan 2 J para estirar el resorte hasta 15 cm. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 15 cm a 20 cm? 6 J Un resorte de 1 m requiere 10 J para estirar el resorte hasta 1,1 m. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte de 1 m a 1,2 m? Un resorte requiere 5 J para estirar el resorte de 8 cm a 12 cm, y adicionalmente 4 J para estirar el resorte de 12 cm a 14 cm. ¿Cuál es la longitud natural del resorte? 5 cm Un amortiguador se comprime 1 in por un peso de 1 t. ¿Cuál es la constante del resorte? Una fuerza de F = 20 x – x 3 N estira un resorte no lineal en x metros. ¿Qué trabajo se requiere para estirar el resorte de x = 0 hasta x = 2 m? 36 J Halle el trabajo realizado al enrollar un cable colgante de una longitud de 100 ft y un peso-densidad de 5 lb/ft. Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo se realiza para levantarlo 50 ft? 18.750 ft-lb Para el cable del ejercicio anterior, ¿cuánto trabajo adicional se realiza al colgar 200 lb de peso en el extremo del cable? [T] Una pirámide de 500 ft de altura tiene una base cuadrada 800 ft por 800 pies. Halle el área A en la altura h . Si la roca utilizada para construir la pirámide pesa aproximadamente w = 100 lb/ft 3 , ¿cuánto trabajo costó levantar toda la roca? Peso = 32 3 × 10 9 lb Trabajo = 4 3 × 10 12 ft-lb [T] Para la pirámide del ejercicio anterior, suponga que había 1.000 trabajadores que trabajan cada uno 10 horas al día, 5 días a la semana, 50 semanas al año. Si los trabajadores en promedio levantaron 10 rocas de 100 libras 2 ft/h, ¿cuánto tiempo se tardó en construir la pirámide? [T] La fuerza de gravedad sobre una masa m ¿es F = − ( ( G M m ) / x 2 ) newtons. Para un cohete de masa m = 1.000 kg , calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = 6500 km. Indique sus respuestas con tres cifras significativas. ( Nota : G = 6,67 × 10 −11 N m 2 / kg 2 y M = 6 × 10 24 kg . ) grandes. 9,71 × 10 2 N m [T] Para el cohete del ejercicio anterior, calcule el trabajo para elevarlo desde x = 6.400 al x = ∞ . [T] Una presa rectangular tiene 40 ft de altura y 60 ft de ancho. Calcule la fuerza total F en la presa cuando la superficie del agua está en la parte superior de la presa y la superficie del agua está a la mitad de la presa. a. 3.000.000 lb, b. 749.000 lb [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua de un cilindro que tiene una base circular de un radio de 5 ft y altura de 200 pies. Utilice el hecho de que la densidad del agua es 62 lb/ft 3 . [T] Halle el trabajo necesario para bombear toda el agua del cilindro en el ejercicio anterior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. 23.25 π millones de ft-lb. [T] ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear una piscina si el área de la base es de 800 ft 2 , el agua es de 4 ft de profundidad, y la parte superior es de 1 ft sobre el nivel del agua? Supongamos que la densidad del agua es de 62 lb/ft 3 . Un cilindro de profundidad H y el área de la sección transversal A está lleno de agua a la densidad ρ . Calcule el trabajo para bombear toda el agua afuera por la parte superior. A ρ H 2 2 Para el cilindro del ejercicio anterior, calcule el trabajo para bombear toda el agua hasta la parte superior si el cilindro está lleno solo hasta la mitad. Un tanque con forma de cono tiene una sección transversal que aumenta con su profundidad: A = ( π r 2 h 2 ) / H 3 . Demuestre que el trabajo para vaciarlo es la mitad del trabajo para un cilindro con la misma altura y base. Las respuestas pueden variar función de densidad función que describe cómo se distribuye la masa en un objeto; puede ser una densidad lineal, expresada en términos de masa por unidad de longitud; una densidad de área, expresada en términos de masa por unidad de área; o una densidad de volumen, expresada en términos de masa por unidad de volumen; la densidad de peso también se utiliza para describir el peso (en vez de la masa) por unidad de volumen Ley de Hooke ley que establece que la fuerza necesaria para comprimir (o alargar) un resorte es proporcional a la distancia que el resorte se ha comprimido (o estirado) desde el equilibrio; en otras palabras, F = k x , donde k es una constante presión hidrostática presión ejercida por el agua sobre un objeto sumergido trabajo la cantidad de energía que se necesita para mover un objeto; en física, cuando una fuerza es constante, el trabajo se expresa como el producto de la fuerza por la distancia", "section": "Aplicaciones físicas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Momentos y centros de masa En esta sección, analizaremos los centros de masa (también llamados centroides , bajo ciertas condiciones) y los momentos. La idea básica del centro de masa es la noción de un punto de equilibrio. Muchos hemos visto a artistas que hacen girar un plato en la punta de un palo e intentan mantener varios de ellos girando sin caerse. Si observamos un plato simple (sin girarlo), hay un punto ideal en el plato donde se equilibra perfectamente en el palo. Si ponemos el palo en cualquier otro lugar que no sea ese punto ideal, el plato no se equilibra y se cae al suelo. (Por eso los artistas los hacen girar: el giro ayuda a que los platos no se caigan aunque el palo no esté exactamente en el lugar correcto). Matemáticamente, ese punto ideal se denomina centro de masa de la placa . En esta sección, primero examinaremos esos conceptos en un contexto unidimensional, y luego ampliaremos nuestro desarrollo para considerar los centros de masa de las regiones bidimensionales y la simetría. Por último, utilizaremos los centroides para encontrar el volumen de ciertos sólidos aplicando el teorema de Pappus. Centro de masa y momentos Empecemos por ver el centro de masa en un contexto unidimensional. Piense en un alambre o varilla larga y delgada de masa despreciable que descansa sobre un punto de apoyo, como se muestra en la (a). Ahora supongamos que colocamos objetos con masas m 1 y m 2 a las distancias d 1 y d 2 del punto de apoyo, respectivamente, como se muestra en la (b). (a) Una varilla delgada descansa sobre un punto de apoyo. (b) Se colocan masas sobre la varilla. El ejemplo más común en la vida real de un sistema de este tipo es el balancín de un parque infantil, con niños de distinto peso sentados a diferentes distancias del centro. En un balancín, si un niño se sienta en cada extremo, el más pesado se hunde y el más ligero se eleva en el aire. Sin embargo, si el niño más pesado se desliza hacia el centro, el balancín se equilibra. Aplicando este concepto a las masas de la varilla, observamos que las masas se equilibran entre sí si y solo si m 1 d 1 = m 2 d 2 . En el ejemplo del balancín, equilibramos el sistema moviendo las masas (los niños) con respecto al punto de apoyo. Sin embargo, lo que realmente nos interesa son los sistemas en los que no se permite el movimiento de las masas, y en su lugar equilibramos el sistema moviendo el punto de apoyo. Supongamos que tenemos dos masas puntuales, m 1 y m 2 , situadas en una línea numérica en los puntos x 1 y x 2 , respectivamente ( ). El centro de masa, x – , es el punto donde se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema se equilibre. El centro de masa x – es el punto de equilibrio del sistema. Por lo tanto, tenemos m 1 | x – − x 1 | = m 2 | x 2 − x – | m 1 ( x – − x 1 ) = m 2 ( x 2 − x – ) m 1 x – − m 1 x 1 = m 2 x 2 − m 2 x – x – ( m 1 + m 2 ) = m 1 x 1 + m 2 x 2 x – = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 . La expresión en el numerador, m 1 x 1 + m 2 x 2 , se denomina primer momento del sistema con respecto al origen. Si el contexto es claro, a menudo se prescinde de la palabra primero y se denomina simplemente momento del sistema. La expresión en el denominador, m 1 + m 2 , es la masa total del sistema. Por lo tanto, el centro de masa del sistema es el punto en el que se podría concentrar la masa total del sistema sin cambiar el momento. Esta idea no se limita solo a dos masas puntuales. En general, si n masas, m 1 , m 2 ,… , m n , se colocan en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente, entonces el centro de masa del sistema viene dado por x – = ∑ i = 1 n m i x i ∑ i = 1 n m i . Centro de masa de objetos en una línea Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en una línea numérica en los puntos x 1 , x 2 ,… , x n , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces, el momento del sistema con respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i y el centro de masa del sistema viene dado por x – = M m . Aplicamos este teorema en el siguiente ejemplo. Encontrar el centro de masa de los objetos a lo largo de una línea Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 30 kg, colocado en x 1 = −2 m m 2 = 5 kg, colocado en x 2 = 3 m m 3 = 10 kg, colocado en x 3 = 6 m m 4 = 15 kg, colocado en x 4 = −3 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. En primer lugar, tenemos que calcular el momento del sistema: M = ∑ i = 1 4 m i x i = −60 + 15 + 60 − 45 = −30. Ahora, para encontrar el centro de masa, necesitamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 4 m i = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . Entonces tenemos x – = M m = −30 60 = − 1 2 . El centro de masa se encuentra a 1/2 m a la izquierda del origen. Supongamos que se colocan cuatro masas puntuales en una línea numérica de la siguiente manera: m 1 = 12 kg, colocado en x 1 = −4 m m 2 = 12 kg, colocado en x 2 = 4 m m 3 = 30 kg, colocado en x 3 = 2 m m 4 = 6 kg, colocado en x 4 = −6 m . Calcule el momento del sistema respecto al origen y halle el centro de masa del sistema. M = 24 , x – = 2 5 m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos generalizar este concepto para encontrar el centro de masa de un sistema de masas puntuales en un plano. Supongamos que m 1 es una masa puntual situada en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Entonces el momento M x de la masa con respecto al eje x viene dado por M x = m 1 y 1 . Del mismo modo, el momento M y con respecto al eje y viene dado por M y = m 1 x 1 . Observe que la coordenada x del punto se utiliza para calcular el momento con respecto al eje y , y viceversa. La razón es que la coordenada x da la distancia de la masa puntual al eje y , en tanto que la coordenada y da la distancia al eje x (vea la siguiente figura). La masa puntual m 1 se encuentra en el punto ( x 1 , y 1 ) en el plano. Si tenemos varias masas puntuales en el plano xy , podemos utilizar los momentos respecto a los ejes x y y para calcular las coordenadas x y y del centro de masa del sistema. Centro de masa de objetos en un plano Supongamos que m 1 , m 2 ,… , m n son masas puntuales situadas en el plano xy en los puntos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,… , ( x n , y n ) , respectivamente y supongamos que m = ∑ i = 1 n m i denotan la masa total del sistema. Entonces los momentos M x y M y del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, vienen dados por M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i . Además, las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) del sistema son x – = M y m y y – = M x m . El siguiente ejemplo demuestra cómo aplicar este teorema. Encontrar el centro de masa de los objetos en un plano Supongamos que tres masas puntuales se colocan en el plano xy de la siguiente manera (supongamos que las coordenadas están dadas en metros): m 1 = 2 kg, colocado en ( –1 , 3 ) , m 2 = 6 kg, colocado en ( 1 , 1 ) , m 3 = 4 kg, colocado en ( 2 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. Primero calculamos la masa total del sistema: m = ∑ i = 1 3 m i = 2 + 6 + 4 = 12 kg . A continuación, hallamos los momentos con respecto a los ejes x y y : M y = ∑ i = 1 3 m i x i = −2 + 6 + 8 = 12 , M x = ∑ i = 1 3 m i y i = 6 + 6 − 8 = 4. Entonces tenemos x – = M y m = 12 12 = 1 y y – = M x m = 4 12 = 1 3 . El centro de masa del sistema es ( 1 , 1 / 3 ) , en metros. Supongamos que tres masas puntuales se colocan en una línea numérica de la siguiente manera (asumimos que las coordenadas se dan en metros): m 1 = 5 kg, colocado en ( –2 , −3 ) , m 2 = 3 kg, colocado en ( 2 , 3 ) , m 3 = 2 kg, colocado en ( −3 , –2 ) . Halle el centro de masa del sistema. ( –1 , –1 ) m Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Centro de masa de las placas finas Hasta ahora hemos visto sistemas de masas puntuales en una línea y en un plano. Ahora, en vez de tener la masa de un sistema concentrada en puntos discretos, queremos observar sistemas en los que la masa del sistema se distribuye continuamente a través de una fina lámina de material. Para ello, suponemos que la hoja es lo suficientemente delgada como para poder tratarla como si fuera bidimensional. Dicha hoja se denomina lámina . A continuación desarrollaremos técnicas para encontrar el centro de masa de una lámina. En esta sección, también suponemos que la densidad de la lámina es constante. Las láminas suelen representarse mediante una región bidimensional en un plano. El centro geométrico de dicha región se denomina centroide . Como supusimos que la densidad de la lámina es constante, el centro de masa de la lámina solo depende de la forma de la región correspondiente en el plano; no depende de la densidad. En este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región delineada en el plano. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, necesitamos encontrar la masa total de la lámina, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Consideraremos primero una lámina con forma de rectángulo. Recordemos que el centro de masa de una lámina es el punto de equilibrio de la misma. En un rectángulo, ese punto es el centro horizontal y vertical del rectángulo. En base a este entendimiento, está claro que el centro de masa de una lámina rectangular es el punto donde se cruzan las diagonales, lo cual es un resultado del principio de simetría , y se afirma aquí sin pruebas. El principio de simetría Si una región R es simétrica respecto a una línea l , entonces el centroide de R se encuentra en l . Pasemos a las láminas más generales. Supongamos que tenemos una lámina limitada por encima por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente, como se muestra en la siguiente figura. Una región en el plano que representa una lámina. Al igual que con los sistemas de masas puntuales, para encontrar el centro de masa de la lámina necesitamos encontrar la masa total de esta, así como los momentos de la lámina con respecto a los ejes x y y . Como ya hemos hecho muchas veces, aproximamos estas cantidades dividiendo el intervalo [ a , b ] y construyendo rectángulos. Para i = 0 , 1 , 2 ,… , n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ a , b ] . Recordemos que podemos elegir cualquier punto dentro del intervalo [ x i − 1 , x i ] como nuestra x i * . En este caso, queremos x i * para ser la coordenada x del centroide de nuestros rectángulos. Así, para i = 1 , 2 ,… , n , seleccionamos x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] de manera que x i * es el punto medio del intervalo. Eso es, x i * = ( x i − 1 + x i ) / 2 . Ahora, para i = 1 , 2 ,… , n , construya un rectángulo de altura f ( x i * ) sobre [ x i − 1 , x i ] . El centro de masa de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) , como se muestra en la siguiente figura. Un rectángulo representativo de la lámina. A continuación, tenemos que encontrar la masa total del rectángulo. Supongamos que ρ representa la densidad de la lámina (nótese que ρ es una constante). En este caso, ρ se expresa en términos de masa por unidad de superficie. Así, para encontrar la masa total del rectángulo, multiplicamos el área del rectángulo por ρ . Entonces, la masa del rectángulo viene dada por ρ f ( x i * ) Δ x . Para obtener la masa aproximada de la lámina, sumamos las masas de todos los rectángulos para obtener m ≈ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Si tomamos el límite a medida que n → ∞ da la masa exacta de la lámina: m = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b f ( x ) d x . A continuación, calculamos el momento de la lámina con respecto al eje x . Volviendo al rectángulo representativo, recordemos que su centro de masa es ( x i * , ( f ( x i * ) ) / 2 ) . Recordemos también si tratamos el rectángulo como si fuera una masa puntual situada en el centro de masa no cambia el momento. Así, el momento del rectángulo con respecto al eje x viene dado por la masa del rectángulo, ρ f ( x i * ) Δ x , multiplicado por la distancia desde centro de masa al eje x : ( f ( x i * ) ) / 2 . Por lo tanto, el momento con respecto al eje x del rectángulo es ρ ( [ f ( x i * ) ] 2 / 2 ) Δ x . Al sumar los momentos de los rectángulos y tomando el límite de la suma de Riemann resultante, vemos que el momento de la lámina respecto al eje x es M x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ [ f ( x i * ) ] 2 2 Δ x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x . Derivamos el momento con respecto al eje y de forma similar, observando que la distancia desde el centro de masa del rectángulo al eje y es x i * . Entonces el momento de la lámina con respecto al eje y viene dado por M y = lím n → ∞ ∑ i = 1 n ρ x i * f ( x i * ) Δ x = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Hallamos las coordenadas del centro de masa dividiendo los momentos por la masa total para obtener x – = M y / m y y – = M x / m . Si observamos detenidamente las expresiones de M x , M y , y m , observamos que la constante ρ se cancela cuando x – y y – se calculan. Resumimos estas conclusiones en el siguiente teorema. Centro de masa de una placa delgada en el plano xy Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el eje x y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b f ( x ) d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . En el siguiente ejemplo, utilizamos este teorema para hallar el centro de masa de una lámina. Hallar el centro de masa de una lámina Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 4 ] . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Encontrar el centro de masa de una lámina. Como solo se nos pide el centroide de la región, y no la masa o los momentos de la lámina asociada, sabemos que la constante de densidad ρ eventualmente se cancela de los cálculos. Por lo tanto, por razones de conveniencia, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ 0 4 x d x = 2 3 x 3 / 2 | 0 4 = 2 3 [ 8 − 0 ] = 16 3 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = ∫ 0 4 x 2 d x = 1 4 x 2 | 0 4 = 4 y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x = ∫ 0 4 x x d x = ∫ 0 4 x 3 / 2 d x = 2 5 x 5 / 2 | 0 4 = 2 5 [ 32 − 0 ] = 64 5 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = 64 / 5 16 / 3 = 64 5 . 3 16 = 12 5 y y – = M x m = 4 16 / 3 = 4 . 3 16 = 3 4 . El centroide de la región es ( 12 / 5 , 3 / 4 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = x 2 y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 2 ] . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 3 / 2 , 6 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Podemos adaptar este enfoque para encontrar también los centroides de regiones más complejas. Supongamos que nuestra región está limitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , como antes, pero ahora, en vez de que el límite inferior de la región sea el eje x , supondremos que la región está limitada por debajo por el gráfico de una segunda función continua, g ( x ) , como se muestra en la siguiente figura. Una región entre dos funciones. De nuevo, dividimos el intervalo [ a , b ] y construimos rectángulos. En la siguiente figura se muestra un rectángulo representativo. Un rectángulo representativo de la región entre dos funciones. Observe que el centroide de este rectángulo es ( x i * , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 ) . No vamos a repasar todos los detalles de la formulación de la suma de Riemann, pero veamos algunos de los pasos clave. En el desarrollo de las fórmulas para la masa de la lámina y el momento con respecto al eje y , la altura de cada rectángulo viene dada por f ( x i * ) − g ( x i * ) , lo que nos dirige a la expresión f ( x ) − g ( x ) en los integrandos. En el desarrollo de la fórmula del momento con respecto al eje x , el momento de cada rectángulo se halla al multiplicar el área del rectángulo, ρ [ f ( x i * ) − g ( x i * ) ] Δ x , por la distancia del centroide al eje x , ( f ( x i * ) + g ( x i * ) ) / 2 , que da ρ ( 1 / 2 ) { [ f ( x i * ) ] 2 − [ g ( x i * ) ] 2 } Δ x . Al resumir estas conclusiones, llegamos al siguiente teorema. Centro de masa de una lámina delimitada por dos funciones Supongamos que R denota una región delimitada por el gráfico de una función continua f ( x ) , abajo por el gráfico de la función continua g ( x ) , y a la izquierda y derecha por las líneas x = a y x = b , respectivamente. Supongamos que ρ denota la densidad de la lámina asociada. Entonces podemos hacer las siguientes afirmaciones: La masa de la lámina es m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Los momentos M x y M y de la lámina con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Las coordenadas del centro de masa ( x – , y – ) son x – = M y m y y – = M x m . Ilustramos este teorema con el siguiente ejemplo. Hallar el centroide de una región delimitada por dos funciones Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = x – 1 . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Hale el centroide de una región entre dos curvas. Los gráficos de las funciones se cruzan en ( –2 , −3 ) y ( 1 , 0 ) , por lo que integramos de -2 a 1. Una vez más, por comodidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, tenemos que calcular la masa total: m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 [ 1 − x 2 − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 ( 2 − x 2 − x ) d x = [ 2 x – 1 3 x 3 − 1 2 x 2 ] | −2 1 = [ 2 – 1 3 − 1 2 ] − [ −4 + 8 3 − 2 ] = 9 2 . A continuación, calculamos los momentos: M x = ρ ∫ a b 1 2 ( [ f ( x ) ] 2 − [ g ( x ) ] 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( ( 1 − x 2 ) 2 − ( x – 1 ) 2 ) d x = 1 2 ∫ –2 1 ( x 4 − 3 x 2 + 2 x ) d x = 1 2 [ x 5 5 − x 3 + x 2 ] | −2 1 = − 27 10 y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ –2 1 x [ ( 1 − x 2 ) − ( x – 1 ) ] d x = ∫ –2 1 x [ 2 − x 2 − x ] d x = ∫ –2 1 ( 2 x – x 4 − x 2 ) d x = [ x 2 − x 5 5 − x 3 3 ] | −2 1 = − 9 4 . Por lo tanto, tenemos x – = M y m = − 9 4 . 2 9 = − 1 2 y y – = M x m = − 27 10 . 2 9 = − 3 5 . El centroide de la región es ( − ( 1 / 2 ) , − ( 3 / 5 ) ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 6 − x 2 y abajo por el gráfico de la función g ( x ) = 3 − 2 x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 1 , 13 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El principio de simetría El principio de simetría lo enunciamos antes, cuando observamos el centroide de un rectángulo. El principio de simetría puede ser muy útil para encontrar los centroides de las regiones simétricas. Considere el siguiente ejemplo. Encontrar el centroide de una región simétrica Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 4 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. La región se representa en la siguiente figura. Podemos utilizar el principio de simetría para encontrar el centroide de una región simétrica. La región es simétrica con respecto al eje y . Por lo tanto, la coordenada x del centroide es cero. Solo tenemos que calcular y – . Una vez más, para mayor facilidad, supongamos que ρ = 1 . En primer lugar, calculamos la masa total: m = ρ ∫ a b f ( x ) d x = ∫ −2 2 ( 4 − x 2 ) d x = [ 4 x – x 3 3 ] | −2 2 = 32 3 . A continuación, calculamos los momentos. Solo necesitamos M x : M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 [ 4 − x 2 ] 2 d x = 1 2 ∫ −2 2 ( 16 − 8 x 2 + x 4 ) d x = 1 2 [ x 5 5 − 8 x 3 3 + 16 x ] | −2 2 = 256 15 . Entonces tenemos y – = M x m = 256 15 . 3 32 = 8 5 . El centroide de la región es ( 0 , 8 / 5 ) . Supongamos que R es la región delimitada por el gráfico de la función f ( x ) = 1 − x 2 y abajo por el eje x . Halle el centroide de la región. El centroide de la región es ( 0 , 2 / 5 ) . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. El mirador de cristal Skywalk del Gran Cañón El Skywalk del Gran Cañón se abrió al público el 28 de marzo de 2007. Esta maravilla de la ingeniería es una plataforma de observación en forma de herradura suspendida a 4.000 ft sobre el río Colorado, en el borde oeste del Gran Cañón. Su suelo de cristal permite unas vistas impresionantes del cañón (vea la siguiente figura). El Skywalk del Gran Cañón ofrece magníficas vistas del cañón (créditos: 10da_ralta, Wikimedia Commons). El Skywalk es un diseño en voladizo, lo que significa que la plataforma de observación se extiende sobre el borde del cañón, sin ningún medio de apoyo visible por debajo. A pesar de la falta de postes o puntales de apoyo visibles, las estructuras en voladizo están diseñadas para ser muy estables y el Skywalk no es una excepción. La plataforma de observación está firmemente sujeta a postes de apoyo que se extienden 46 pies de profundidad en el lecho de roca. La estructura se construyó para resistir vientos de 100 mph y un terremoto de 8,0 de magnitud en un radio de 50 mi, y es capaz de soportar más de 70.000.000 lb. Un factor que afecta a la estabilidad del Skywalk es el centro de gravedad de la estructura. Calculemos el centro de gravedad del Skywalk y examinemos cómo cambia el centro de gravedad cuando los turistas salen a la plataforma de observación. La plataforma de observación tiene forma de U. Las patas de la U tienen 10 ft de ancho y comienzan en tierra, bajo el centro de visitantes, a 48 ft del borde del cañón. La plataforma se extiende 70 ft sobre el borde del cañón. Para calcular el centro de masa de la estructura, la tratamos como una lámina y utilizamos una región bidimensional en el plano xy para representar la plataforma. Comenzamos dividiendo la región en tres subregiones para poder considerar cada una de ellas por separado. La primera región, denotada R 1 , consiste en la parte curva de la U. Modelamos R 1 como un anillo semicircular, con un radio interior de 25 pies y un radio exterior de 35 pies, centrado en el origen (vea la siguiente figura). Modelamos el Skywalk con tres subregiones. Las patas de la plataforma, que se extienden 35 ft entre R 1 y la pared del cañón comprenden la segunda subregión, R 2 . Por último, los extremos de las patas, que se extienden 48 ft por debajo del centro de visitantes, comprenden la tercera subregión, R 3 . Suponga que la densidad de la lámina es constante y asuma que el peso total de la plataforma es de 1.200.000 lb (sin incluir el peso del centro de visitantes; lo consideraremos más adelante). Utilice la sustitución en g = 32 ft/s 2 . Calcule el área de cada una de las tres subregiones. Observe que las áreas de las regiones R 2 y R 3 deben incluir solo las zonas de las piernas, no el espacio abierto entre ellas. Redondee las respuestas al pie cuadrado más cercano. Determine la masa asociada a cada una de las tres subregiones. Calcule el centro de masa de cada una de las tres subregiones. Ahora, considere cada una de las tres subregiones como una masa puntual situada en el centro de masa de la subregión correspondiente. Utilizando esta representación, calcule el centro de masa de toda la plataforma. Supongamos que el centro de visitantes pesa 2.200.000 lb, con un centro de masa correspondiente al centro de masa de R 3 . Considerando el centro de visitantes como una masa puntual, recalcule el centro de masa del sistema. ¿Cómo cambia el centro de masa? Aunque el Skywalk se construyó para limitar el número de personas en la plataforma de observación a 120, la plataforma es capaz de soportar hasta 800 personas de 200 libras cada una. Si se permitiera la entrada de las 800 personas en el andén y todas se dirigieran al extremo más alejado del mismo, ¿cómo se vería afectado el centro de gravedad del sistema? (Incluya el centro de visitantes en los cálculos y represente las personas mediante una masa puntual situada en el borde más alejado de la plataforma, a 70 ft de la pared del cañón). Teorema de Pappus Esta sección termina con una discusión del teorema de Pappus para el volumen , que nos permite calcular el volumen de determinados tipos de sólidos utilizando el centroide (también existe un teorema de Pappus para el área superficial, pero su utilidad es mucho menor que la del teorema para el volumen). Teorema de Pappus para el volumen Sea R una región del plano y sea l una línea del plano que no interseca a R . Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor de l es igual al área de R multiplicada por la distancia d recorrida por el centroide de R. Prueba Podemos demostrar el caso en el que la región está limitada por el gráfico de una función f ( x ) y abajo por el gráfico de una función g ( x ) en un intervalo [ a , b ] , y cuyo eje de revolución es el eje y . En este caso, el área de la región es A = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Como el eje de rotación es el eje y , la distancia recorrida por el centroide de la región depende solo de la coordenada x del centroide, x – , que es x – = M y m , donde m = ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y M y = ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Entonces, d = 2 π ρ ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x ρ ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x y así d . A = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Sin embargo, si utilizamos el método de las capas cilíndricas, tenemos V = 2 π ∫ a b x [ f ( x ) − g ( x ) ] d x . Así que, V = d . A y la prueba está completa. □ Uso del teorema de Pappus para el volumen Sea R un círculo de radio 2 con centro en ( 4 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . La región y el toro se representan en la siguiente figura. Determinación del volumen de un toro utilizando el teorema de Pappus. (a) Una región circular R en el plano; (b) el toro generado al girar R alrededor del eje y . La región R es un círculo de radio 2, por lo que el área de R es A = 4 π unidades 2 . Por el principio de simetría, el centroide de R es el centro del círculo. El centroide se desplaza alrededor del eje y en una trayectoria circular de radio 4, por lo que el centroide se desplaza d = 8 π . Entonces, el volumen del toro es A . d = 32 π 2 unidades 3 . Sea R un círculo de radio 1 con centro en ( 3 , 0 ) . Utilice el teorema de Pappus para el volumen para calcular el volumen del toro que se genera al girar R alrededor del eje y . 6 π 2 unidades 3 Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave Matemáticamente, el centro de masa de un sistema es el punto en el que podría concentrarse la masa total del sistema sin cambiar el momento. En términos generales, el centro de masa puede considerarse el punto de equilibrio del sistema. Para masas puntuales distribuidas a lo largo de una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen es M = ∑ i = 1 n m i x i . En lo concerniente a las masas puntuales distribuidas en un plano, los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ∑ i = 1 n m i y i y M y = ∑ i = 1 n m i x i , respectivamente. Para una lámina limitada por encima por una función f ( x ) , los momentos del sistema con respecto a los ejes x y y , respectivamente, son M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x . Las coordenadas x y y del centro de masa se pueden hallar dividiendo los momentos alrededor de los ejes y y x , respectivamente, entre la masa total. El principio de simetría dice que si una región es simétrica con respecto a una línea, entonces el centroide de la región se encuentra en la línea. El teorema de Pappus para el volumen dice que si se hace girar una región alrededor de un eje externo, el volumen del sólido resultante es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región. Ecuaciones clave Masa de una lámina m = ρ ∫ a b f ( x ) d x Momentos de una lámina M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x Centro de masa de una lámina x – = M y m y y – = M x m En los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa para el conjunto de masas dadas. m 1 = 2 en x 1 = 1 y m 2 = 4 en x 2 = 2 m 1 = 1 en x 1 = –1 y m 2 = 3 en x 2 = 2 5 4 m = 3 en x = 0 , 1 , 2 , 6 Masas unitarias en ( x , y ) = ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) grandes. ( 2 3 , 2 3 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 4 a las ( 0 , 1 ) grandes. m 1 = 1 a las ( 1 , 0 ) y m 2 = 3 a las ( 2 , 2 ) grandes. ( 7 4 , 3 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa x – . ρ = 1 para x ∈ ( –1 , 3 ) grandes. ρ = x 2 por x ∈ ( 0 , L ) grandes. 3 L 4 ρ = 1 para x ∈ ( 0 , 1 ) y ρ = 2 por x ∈ ( 1 , 2 ) grandes. ρ = sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 ρ = cos x para x ∈ ( 0 , π 2 ) grandes. ρ = e x para x ∈ ( 0 , 2 ) grandes. e 2 + 1 e 2 – 1 ρ = x 3 + x e – x para x ∈ ( 0 , 1 ) grandes. ρ = x sen x para x ∈ ( 0 , π ) grandes. π 2 − 4 π ρ = x para x ∈ ( 1 , 4 ) grandes. ρ = ln x para x ∈ ( 1 , e ) grandes. 1 4 ( 1 + e 2 ) Para los siguientes ejercicios, calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. ρ = 7 en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ρ = 3 en el triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) grandes. ( a 3 , b 3 ) grandes. ρ = 2 para la región delimitada por y = cos ( x ) , y = − cos ( x ) , x = − π 2 , y x = π 2 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región y luego calcule el centro de masa ( x – , y – ) . Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] La región delimitada por y = cos ( 2 x ) , x = − π 4 , y x = π 4 ( 0 , π 8 ) [T] La región entre y = 2 x 2 , y = 0 , x = 0 , y x = 1 [T] La región entre y = 5 4 x 2 y y = 5 ( 0 , 3 ) [T] La región entre y = x , y = ln ( x ) , x = 1 , y x = 4 [T] La región delimitada por y = 0 , x 2 4 + y 2 9 = 1 ( 0 , 4 π ) [T] La región delimitada por y = 0 , x = 0 , y x 2 4 + y 2 9 = 1 [T] La región delimitada por y = x 2 y y = x 4 en el primer cuadrante ( 5 8 , 1 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de Pappus para determinar el volumen de la forma. Si giramos y = m x alrededor del eje x entre x = 0 y x = 1 Si giramos y = m x alrededor del eje y entre x = 0 y x = 1 2 m π 3 Un cono recto creado al girar un triángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , y ( 0 , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cono? Un cilindro recto creado al girar un rectángulo con vértices ( 0 , 0 ) , ( a , 0 ) , ( 0 , b ) , y ( a , b ) alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de un cilindro? π a 2 b Una esfera creada al girar un semicírculo de radio a alrededor del eje y . ¿Coincide su respuesta con el volumen de una esfera? En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para dibujar la región delimitada por la curva. Halle el área M y el centroide ( x – , y – ) para las formas dadas. Utilice la simetría para ayudar a localizar el centro de masa siempre que sea posible. [T] Cuarto de círculo: y = 1 − x 2 , y = 0 , y x = 0 ( 4 3 π , 4 3 π ) [T] Triángulo: y = x , y = 2 − x , y y = 0 [T] Lente: y = x 2 y y = x ( 1 2 , 2 5 ) [T] Anillo: y 2 + x 2 = 1 y y 2 + x 2 = 4 [T] Medio anillo: y 2 + x 2 = 1 , y 2 + x 2 = 4 , y y = 0 ( 0 , 28 9 π ) Halle el centro de masa generalizado en la franja entre y = x a y y = x b con la a > b . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Halle el centro de masa generalizado entre y = a 2 − x 2 , x = 0 , y y = 0 . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Centro de masa: ( a 6 , 4 a 2 5 ) , volumen: 2 π a 4 9 Halle el centro de masa generalizado entre y = b sen ( a x ) , x = 0 , y x = π a . A continuación, utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del sólido que se genera al girar alrededor del eje y . Utilice el teorema de Pappus para hallar el volumen de un toro (que se muestra aquí). Supongamos que un disco de radio a se sitúa con el extremo izquierdo del círculo en x = b , b > 0 , y gira en torno al eje y . Volumen: 2 π 2 a 2 ( b + a ) Halle el centro de masa ( x – , y – ) para un cable fino a lo largo del semicírculo y = 1 − x 2 con masa unitaria. ( Pista: Utilice el teorema de Pappus) centro de masa punto en el que la masa total del sistema podría concentrarse sin cambiar el momento centroide el centroide de una región es el centro geométrico de la región; las láminas se representan a menudo por regiones en el plano; si la lámina tiene una densidad constante, el centro de masa de la lámina depende solo de la forma de la región plana correspondiente; en este caso, el centro de masa de la lámina corresponde al centroide de la región representativa lámina lámina fina de material; las láminas son lo suficientemente finas para que, a efectos matemáticos, puedan tratarse como si fueran bidimensionales momento si se disponen n masas en una línea numérica, el momento del sistema respecto al origen viene dado por M = ∑ i = 1 n m i x i ; si, en cambio, consideramos una región en el plano, limitada por encima por una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] , entonces los momentos de la región con respecto a los ejes x y y vienen dados por M x = ρ ∫ a b [ f ( x ) ] 2 2 d x y M y = ρ ∫ a b x f ( x ) d x , respectivamente principio de simetría este principio establece que si una región R es simétrica respecto a una línea l , el centroide de R se encuentra en l teorema de Pappus para el volumen teorema que afirma que el volumen de un sólido de revolución formado al girar una región alrededor de un eje externo es igual al área de la región multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la región", "section": "Momentos y centros de masa", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integrales, funciones exponenciales y logaritmos En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección. Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e , ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente). Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número e , y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base. El logaritmo natural como integral Recordemos la regla de la potencia para las integrales: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 . Está claro que esto no funciona cuando n = −1 , ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con ∫ 1 x d x ? Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que ∫ 1 x 1 t d t es una antiderivada de 1 / x . Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición. Definición Para x > 0 , defina la función logarítmica natural por ln x = ∫ 1 x 1 t d t . Para x > 1 , esto es solo el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 a x . Para x < 1 , tenemos ∫ 1 x 1 t d t = − ∫ x 1 1 t d t , por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de x para 1 (vea la siguiente figura). (a) Cuando x > 1 , el logaritmo natural es el área bajo la curva y = 1 / t a partir de 1 para x . (b) Cuando x < 1 , el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de x al 1 . Observe que ln 1 = 0 . Además, la función y = 1 / t > 0 por x > 0 . Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que ln x aumenta para x > 0 . Propiedades del logaritmo natural Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo. Derivada del logaritmo natural Para x > 0 , la derivada del logaritmo natural viene dada por d d x ln x = 1 x . Corolario de la derivada del logaritmo natural La función ln x es diferenciable; por lo tanto, es continua. Un gráfico de ln x se muestra en la . Observe que es continua en todo su dominio de ( 0 , ∞ ) . El gráfico de f ( x ) = ln x muestra que es una función continua. Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) grandes. d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 En ambos casos tenemos que aplicar la regla de la cadena. d d x ln ( 5 x 3 − 2 ) = 15 x 2 5 x 3 − 2 d d x ( ln ( 3 x ) ) 2 = 2 ( ln ( 3 x ) ) . 3 3 x = 2 ( ln ( 3 x ) ) x Calcule las siguientes derivadas: d d x ln ( 2 x 2 + x ) grandes. d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 d d x ln ( 2 x 2 + x ) = 4 x + 1 2 x 2 + x d d x ( ln ( x 3 ) ) 2 = 6 ln ( x 3 ) x Pista Aplique la fórmula de diferenciación que acabamos de proporcionar y utilice la regla de la cadena si es necesario. Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función ln | x | , podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir x < 0 . Entonces ( d / ( d x ) ) ln | x | = 1 / x . Esto da lugar a la conocida fórmula de integración. Integral de (1/ u ) du El logaritmo natural es la antiderivada de la función f ( u ) = 1 / u : ∫ 1 u d u = ln | u | + C . Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales Calcule la integral ∫ x x 2 + 4 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = x 2 + 4 . Entonces d u = 2 x d x y tenemos ∫ x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 2 + 4 | + C = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + C . Calcule la integral ∫ x 2 x 3 + 6 d x . ∫ x 2 x 3 + 6 d x = 1 3 ln | x 3 + 6 | + C Pista Aplique la fórmula de integración proporcionada anteriormente y utilice la sustitución u si es necesario. Aunque hemos llamado a nuestra función \"logaritmo\", en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí. Propiedades del logaritmo natural Si los valores de a , b > 0 y r es un número racional, entonces ln 1 = 0 ln ( a b ) = ln a + ln b ln ( a b ) = ln a − ln b ln ( a r ) = r ln a Prueba i. Por definición, ln 1 = ∫ 1 1 1 t d t = 0 . ii. Tenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t . Use la sustitución u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u = t / a . Entonces d u = ( 1 / a ) d t . Además, cuando t = a , u = 1 , y cuando t = a b , u = b . Así que obtenemos ln ( a b ) = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b 1 t d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ a a b a t . 1 a d t = ∫ 1 a 1 t d t + ∫ 1 b 1 u d u = ln a + ln b . iv. Tenga en cuenta que d d x ln ( x r ) = r x r − 1 x r = r x . Además, d d x ( r ln x ) = r x . Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos ln ( x r ) = r ln x + C para alguna constante C . Si tomamos x = 1 , obtenemos ln ( 1 r ) = r ln ( 1 ) + C 0 = r ( 0 ) + C C = 0 . Así que ln ( x r ) = r ln x y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de r más adelante en esta sección. La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio. □ Uso de las propiedades de los logaritmos Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) . Tenemos ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) = ln ( 3 2 ) − 2 ln 3 + ln ( 3 −1 ) = 2 ln 3 − 2 ln 3 − ln 3 = − ln 3 . Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo: ln 8 − ln 2 − ln ( 1 4 ) . 4 ln 2 Pista Aplique las propiedades de los logaritmos. Definición del número e Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número e . Definición El número e se define como el número real tal que ln e = 1 . Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva y = 1 / t entre t = 1 y t = e ¿es 1 ( ). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. ( Pista : Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que ln x es creciente para demostrar su unicidad). El área bajo la curva de 1 al e es igual a uno. El número e puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin ). Su valor aproximado viene dado por e ≈ 2,71828182846 . La función exponencial Ahora nos centraremos en la función e x . Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por exp x . Entonces, exp ( ln x ) = x para x > 0 y ln ( exp x ) = x para todo x . La siguiente figura muestra los gráficos de exp x y ln x . Los gráficos de ln x y exp x . Nuestra hipótesis es que exp x = e x . Para valores racionales de x , esto es fácil de mostrar. Si los valores de x es racional, entonces tenemos ln ( e x ) = x ln e = x . Así, cuando x es racional, e x = exp x . Para valores irracionales de x , simplemente definimos e x como función inversa de ln x . Definición Para cualquier número real x , defina y = e x para ser el número para el que ln y = ln ( e x ) = x . Entonces tenemos e x = exp ( x ) para todo x , y por lo tanto e ln x = x para x > 0 y ln ( e x ) = x para todos los x . Propiedades de la función exponencial Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e , debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función e x . Propiedades de la función exponencial Si los valores de p y q son números reales cualquiera y r es un número racional, entonces e p e q = e p + q e p e q = e p − q ( e p ) r = e p r Prueba Observe que si p y q son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si p o q son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de e x y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos ln ( e p e q ) = ln ( e p ) + ln ( e q ) = p + q = ln ( e p + q ) . Dado que ln x es biunívoca, entonces e p e q = e p + q . □ Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r , y lo haremos al final de la sección. También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función y = e x . Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que y = e x . Entonces ln y = x d d x ln y = d d x x 1 y d y d x = 1 d y d x = y . Así, vemos d d x e x = e x como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración ∫ e x d x = e x + C . Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe las siguientes derivadas: d d t e 3 t e t 2 d d x e 3 x 2 Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario. d d t e 3 t e t 2 = d d t e 3 t + t 2 = e 3 t + t 2 ( 3 + 2 t ) grandes. d d x e 3 x 2 = e 3 x 2 6 x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( e x 2 e 5 x ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 d d x ( e x 2 e 5 x ) = e x 2 − 5 x ( 2 x − 5 ) grandes. d d t ( e 2 t ) 3 = 6 e 6 t Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y la regla de la cadena cuando sea necesario. Uso de las propiedades de las funciones exponenciales Evalúe la siguiente integral ∫ 2 x e – x 2 d x . Utilizando u −sustitución, supongamos que u = − x 2 . Entonces d u = –2 x d x , y tenemos ∫ 2 x e – x 2 d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x 2 + C . Evalúe la siguiente integral ∫ 4 e 3 x d x . ∫ 4 e 3 x d x = – 4 3 e −3 x + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Funciones logarítmicas y exponenciales generales Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a e . Las funciones exponenciales son funciones de la forma f ( x ) = a x . Tenga en cuenta que, a menos que a = e , todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función f ( x ) = a x en términos de la función exponencial e x . A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a e como funciones inversas de funciones exponenciales. Definición para cualquier a > 0 , y para cualquier número real x , defina y = a x de la siguiente forma: y = a x = e x ln a . Ahora, a x se define rigurosamente para todos los valores de x . Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de r . Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera. Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para a x . Tenemos d d x a x = d d x e x ln a = e x ln a ln a = a x ln a . La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente. Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x a x = a x ln a y ∫ a x d x = 1 ln a a x + C . Si los valores de a ≠ 1 , entonces la función a x es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por log a x . Entonces, y = log a x si y solo si x = a y . Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que y = log a x . Entonces, x = a y . Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos ln x = ln ( a y ) ln x = y ln a y = ln x ln a log a x = ln x ln a . Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base a . De nuevo, supongamos y = log a x . Entonces, d y d x = d d x ( log a x ) = d d x ( ln x ln a ) = ( 1 ln a ) d d x ( ln x ) = 1 ln a . 1 x = 1 x ln a . Derivadas de funciones logarítmicas generales Supongamos que a > 0 . Entonces, d d x log a x = 1 x ln a . Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales Evalúe las siguientes derivadas: d d t ( 4 t . 2 t 2 ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) Tenemos que aplicar la regla de la cadena según sea necesario. d d t ( 4 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t . 2 t 2 ) = d d t ( 2 2 t + t 2 ) = 2 2 t + t 2 ln ( 2 ) ( 2 + 2 t ) grandes. d d x log 8 ( 7 x 2 + 4 ) = 1 ( 7 x 2 + 4 ) ( ln 8 ) ( 14 x ) Evalúe las siguientes derivadas: d d t 4 t 4 d d x log 3 ( x 2 + 1 ) d d t 4 t 4 = 4 t 4 ( ln 4 ) ( 4 t 3 ) grandes. d d x log 3 ( x 2 + 1 ) = x ( ln 3 ) ( x 2 + 1 ) Pista Utilice las fórmulas y aplique la regla de la cadena cuando sea necesario. Integración de funciones exponenciales generales Evalúe la siguiente integral ∫ 3 2 3 x d x . Utilice la sustitución en u y supongamos que u = −3 x . Entonces d u = −3 d x y tenemos ∫ 3 2 3 x d x = ∫ 3 . 2 −3 x d x = − ∫ 2 u d u = − 1 ln 2 2 u + C = − 1 ln 2 2 −3 x + C . Evalúe la siguiente integral ∫ x 2 2 x 3 d x . ∫ x 2 2 x 3 d x = 1 3 ln 2 2 x 3 + C Pista Utilice las propiedades de las funciones exponenciales y u según sea necesario. Conceptos clave El manejo anterior de los logaritmos y las funciones exponenciales no definía las funciones de forma precisa y formal. Esta sección desarrolla los conceptos de forma matemáticamente rigurosa. La piedra angular del desarrollo es la definición del logaritmo natural en términos de una integral. La función e x se define entonces como la inversa del logaritmo natural. Las funciones exponenciales generales se definen en términos de e x , y las correspondientes funciones inversas son logaritmos generales. Las propiedades conocidas de los logaritmos y los exponentes siguen siendo válidas en este contexto más riguroso. Ecuaciones clave Función logarítmica natural ln x = ∫ 1 x 1 t d t Z Función exponencial y = e x ln y = ln ( e x ) = x Z Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y d x . y = ln ( 2 x ) grandes. 1 x y = ln ( 2 x + 1 ) grandes. y = 1 ln x − 1 x ( ln x ) 2 En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida. ∫ d t 3 t ∫ d x 1 + x ln ( x + 1 ) + C Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada d y / d x . (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta). [T] y = ln ( x ) x [T] y = x ln ( x ) grandes. ln ( x ) + 1 [T] y = log 10 x [T] y = ln ( sen x ) grandes. cot ( x ) [T] y = ln ( ln x ) [T] y = 7 ln ( 4 x ) grandes. 7 x [T] y = ln ( ( 4 x ) 7 ) [T] y = ln ( tan x ) grandes. csc ( x ) sec x [T] y = ln ( tan ( 3 x ) ) [T] y = ln ( cos 2 x ) grandes. −2 tan x En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida. ∫ 0 1 d x 3 + x ∫ 0 1 d t 3 + 2 t 1 2 ln ( 5 3 ) grandes. ∫ 0 2 x d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1 2 – 1 2 ln ( 5 ) grandes. ∫ 2 e d x x ln x ∫ 2 e d x x ( ln x ) 2 1 ln ( 2 ) − 1 ∫ cos x d x sen x ∫ 0 π / 4 tan x d x 1 2 ln ( 2 ) grandes. ∫ cot ( 3 x ) d x ∫ ( ln x ) 2 d x x 1 3 ( ln x ) 3 En los siguientes ejercicios, calcule d y / d x diferenciando ln y . y = x 2 + 1 y = x 2 + 1 x 2 – 1 2 x 3 x 2 + 1 x 2 – 1 y = e sen x y = x −1 / x x −2 − ( 1 / x ) ( ln x – 1 ) grandes. y = e ( e x ) grandes. y = x e e x e − 1 y = x ( e x ) grandes. y = x x 3 x 6 1 y = x −1 / ln x y = e − ln x − 1 x 2 En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método. ∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t ∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x π − ln ( 2 ) grandes. d d x ∫ x 1 d t t d d x ∫ x x 2 d t t 1 x d d x ln ( sec x + tan x ) En los siguientes ejercicios, utilice la función ln x . Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora. Halle el área de la región encerrada por x = 1 y y = 5 arriba y = ln x . e 5 − 6 al cuadrado 2 [T] Calcule la longitud de arco de ln x de x = 1 a x = 2 . Halle el área entre ln x y el eje x de x = 1 para x = 2 . ln ( 4 ) − 1 al cuadrado 2 Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde x = 1 para x = 2 alrededor del eje x , como se muestra aquí. [T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de x = 1 a x = 2 alrededor del eje x . 2,8656 Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora. Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por x = 2 y y = 2 arriba y = 1 / x . [T] Calcule la longitud de arco de y = 1 / x de x = 1 para x = 4 . 3,1502 Halle el área bajo y = 1 / x y por encima del eje x de x = 1 para x = 4 . En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas. d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x – a x + a ) = 2 a ( x 2 − a 2 ) grandes. d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2 d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2 ∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C", "section": "Integrales, funciones exponenciales y logaritmos", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Crecimiento y decaimiento exponencial Una de las aplicaciones más frecuentes de las funciones exponenciales es la de los modelos de crecimiento y decrecimiento. El crecimiento exponencial y el decrecimiento aparecen en multitud de aplicaciones naturales. Desde el crecimiento de la población y el interés capitalizado continuamente hasta el decaimiento radiactivo y la ley de enfriamiento de Newton, las funciones exponenciales son omnipresentes en la naturaleza. En esta sección, examinamos el crecimiento y el decrecimiento exponencial en el contexto de algunas de estas aplicaciones. Modelo de crecimiento exponencial Muchos sistemas presentan un crecimiento exponencial. Estos sistemas siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k es una constante positiva, denominada constante de crecimiento . Observe que en un modelo de crecimiento exponencial, tenemos y ′ = k y 0 e k t = k y . Es decir, la tasa de crecimiento es proporcional al valor actual de la función. Esta es una característica clave del crecimiento exponencial. La involucra derivadas y se denomina ecuación diferencial. Aprenderemos más sobre esto en Introducción a las ecuaciones diferenciales . Regla: modelo de crecimiento exponencial Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial aumentan según el modelo matemático y = y 0 e k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, denominada constante de crecimiento . El crecimiento de la población es un ejemplo común de crecimiento exponencial. Consideremos una población de bacterias, por ejemplo. Parece razonable que la tasa de crecimiento de la población sea proporcional al tamaño de la misma. Al fin y al cabo, cuantas más bacterias haya para reproducirse, más rápido crecerá la población. La y la representan el crecimiento de una población de bacterias con una población inicial de 200 y una constante de crecimiento de 0,02 . Observe que después de apenas 2 horas ( 120 minutos), ¡la población es 10 veces su tamaño original! Un ejemplo de crecimiento exponencial de las bacterias. Crecimiento exponencial de una población bacteriana Tiempo (min) Tamaño de la población (n.º de bacterias) 10 244 20 298 30 364 40 445 50 544 60 664 70 811 80 991 90 1.210 100 1.478 110 1.805 120 2.205 Tenga en cuenta que estamos utilizando una función continua para modelar lo que es esencialmente un comportamiento discreto. En cualquier momento, la población del mundo real contiene un número entero de bacterias, aunque el modelo adopta valores no enteros. Cuando se utilizan modelos de crecimiento exponencial, siempre hay que tener cuidado de interpretar los valores de la función en el contexto del fenómeno que estamos modelando. Crecimiento de la población Consideremos la población de bacterias descrita anteriormente. Esta población crece según la función f ( t ) = 200 e 0,02 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias están presentes en la población después de 5 horas ( 300 minutos)? ¿Cuándo alcanza la población 100.000 bacterias? Tenemos f ( t ) = 200 e 0,02 t . Entonces f ( 300 ) = 200 e 0,02 ( 300 ) ≈ 80686 . Hay 80686 bacterias en la población después de 5 horas. Para saber cuándo la población alcanza 100.000 bacterias, resolvemos la ecuación 100.000 = 200 e 0,02 t 500 = e 0,02 t ln 500 = 0,02 t t = ln 500 0,02 ≈ 310,73. La población alcanza 100.000 bacterias después de 310,73 minutos. Consideremos una población de bacterias que crece según la función f ( t ) = 500 e 0,05 t , donde t se mide en minutos. ¿Cuántas bacterias hay en la población después de 4 horas? ¿Cuándo alcanza la población 100 millones de bacterias? Hay 81377396 bacterias en la población después de 4 horas. La población alcanza 100 millones de bacterias después de 244,12 minutos. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Pasemos ahora a una aplicación financiera: el interés compuesto . El interés que no se capitaliza se denomina interés simple . El interés simple se paga una vez, al final del periodo especificado (normalmente 1 año). Así que, si ponemos $ 1.000 en una cuenta de ahorros ganando el 2 % de interés simple anual, entonces al final del año tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 ) = $ 1.020 . El interés compuesto se paga varias veces al año, según el periodo de capitalización. Por lo tanto, si el banco compone los intereses cada 6 meses, acredita la mitad de los intereses del año en la cuenta después de 6 meses. En la segunda mitad del año, la cuenta devenga intereses no solo por el importe inicial de $ 1.000 , sino también sobre los intereses obtenidos durante el primer semestre. Matemáticamente hablando, al final del año, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 2 ) 2 = $ 1020,10 . Del mismo modo, si los intereses se capitalizan cada 4 meses, tendremos 1.000 ( 1 + 0,02 3 ) 3 = $ 1020,13 , y si el interés se capitaliza diariamente ( 365 veces al año), tenemos $ 1020,20 . Si ampliamos este concepto de manera que el interés se capitalice continuamente, después de t años tendremos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t . Ahora vamos a manipular esta expresión para tener una función de crecimiento exponencial. Recordemos que el número e puede expresarse como un límite: e = lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m . Con base en esto, queremos que la expresión dentro del paréntesis tenga la forma ( 1 + 1 / m ) . Supongamos que n = 0,02 m . Tenga en cuenta que como n → ∞ , m → ∞ también. Entonces obtenemos 1.000 lím n → ∞ ( 1 + 0,02 n ) n t = 1.000 lím m → ∞ ( 1 + 0,02 0,02 m ) 0,02 m t = 1.000 [ lím m → ∞ ( 1 + 1 m ) m ] 0,02 t . Reconocemos el límite dentro de los paréntesis como el número e . Entonces, el saldo de nuestra cuenta bancaria después de t años viene dado por 1.000 e 0,02 t . Al generalizar este concepto, vemos que si una cuenta bancaria con un saldo inicial de $ P gana intereses a una tasa de r % , capitalizado continuamente; entonces el saldo de la cuenta después de t años es Saldo = P e r t . Interés compuesto A un estudiante de 25 años se le ofrece la oportunidad de invertir algo de dinero en una cuenta de jubilación que paga 5 % interés anual capitalizado continuamente. ¿Cuánto necesita invertir hoy el estudiante para tener $ 1 millón cuando se jubile a la edad de 65 ? ¿Y si más bien pudiera ganar 6 % interés anual capitalizado continuamente? Tenemos 1.000.000 = P e 0,05 ( 40 ) P = 135.335,28. Debe invertir $ 135.335,28 a las 5 % interés. Si en cambio puede ganar 6 % , entonces la ecuación se convierte en 1.000.000 = P e 0,06 ( 40 ) P = 90.717,95. En este caso, solo necesita invertir $ 90.717,95 . Esto es aproximadamente dos tercios de la cantidad que necesita invertir al 5 % . El hecho de que el interés se capitalice de forma continua magnifica en gran medida el efecto del 1 % de aumento de la tasa de interés. Supongamos que en vez de invertir a la edad de 25 , el estudiante espera hasta la edad de 35 . ¿Cuánto tendría que invertir al 5 % ? A 6 % ? A 5 % interés, debe invertir $ 223130.16 . A 6 % interés, debe invertir $ 165298.89 . Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo que tarda en duplicarse permanece constante. En otras palabras, una población de bacterias tarda el mismo tiempo en crecer de 100 a 200 que el que tarda para crecer de 10.000 al 20.000 bacterias. Este tiempo se denomina tiempo de duplicación. Para calcular el tiempo de duplicación, tenemos que saber cuándo la cantidad alcanza el doble de su tamaño original. Así que tenemos 2 y 0 = y 0 e k t 2 = e k t ln 2 = k t t = ln 2 k . Definición Si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse. Viene dado por Tiempo de duplicación = ln 2 k . Uso del tiempo de duplicación Supongamos que una población de peces crece exponencialmente. Un estanque se abastece inicialmente con 500 peces. Después de 6 meses, hay 1.000 peces en el estanque. El propietario permitirá a sus amigos y vecinos pescar en su estanque cuando la población de peces alcance 10.000 . ¿Cuándo podrán pescar los amigos del propietario? Sabemos que la población de peces tarda 6 meses para duplicar su número. Así, si t representa el tiempo en meses, por la fórmula del tiempo de duplicación, tenemos 6 = ( ln 2 ) / k . Entonces, k = ( ln 2 ) / 6 . Así, la población viene dada por y = 500 e ( ( ln 2 ) / 6 ) t . Para saber cuándo la población alcanza 10.000 peces, debemos resolver la siguiente ecuación: 10.000 = 500 e ( ln 2 / 6 ) t 20 = e ( ln 2 / 6 ) t ln 20 = ( ln 2 6 ) t t = 6 ( ln 20 ) ln 2 ≈ 25,93. Los amigos del dueño tienen que esperar 25,93 meses (un poco más de 2 años) para pescar en el estanque. Supongamos que se necesita 9 meses para que la población de peces en el alcance 1.000 peces. En estas circunstancias, ¿cuánto tiempo tienen que esperar los amigos del propietario? 38,90 meses Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Modelo de decrecimiento exponencial Las funciones exponenciales también pueden usarse para modelar poblaciones que se reducen (por ejemplo, a causa de una enfermedad) o compuestos químicos que se descomponen con el tiempo. Decimos que tales sistemas exhiben un decrecimiento exponencial en vez de un crecimiento exponencial. El modelo es casi el mismo, excepto que hay un signo negativo en el exponente. Así, para alguna constante positiva k , tenemos y = y 0 e − k t . Al igual que con el crecimiento exponencial, existe una ecuación diferencial asociada al decrecimiento exponencial. Tenemos y ′ = − k y 0 e − k t = − k y . Regla: modelo de decrecimiento exponencial Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial se comportan según el modelo y = y 0 e − k t , donde y 0 representa el estado inicial del sistema y k > 0 es una constante, llamada constante de decrecimiento . La siguiente figura muestra un gráfico de una función representativa de decrecimiento exponencial. Ejemplo de decrecimiento exponencial. Veamos una aplicación física del decrecimiento exponencial. La ley de enfriamiento de Newton dice que un objeto se enfría a una velocidad proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. En otras palabras, si T representa la temperatura del objeto y T a representa la temperatura ambiente en una habitación, entonces T ′ = − k ( T − T a ) . Hay que tener en cuenta que este no es el modelo correcto para el decrecimiento exponencial. Queremos que la derivada sea proporcional a la función, y esta expresión tiene el término adicional T a . Por suerte podemos hacer un cambio de variables que resuelva este problema. Supongamos que y ( t ) = T ( t ) − T a . Entonces y ′ ( t ) = T ′ ( t ) − 0 = T ′ ( t ) , y nuestra ecuación se convierte en y ′ = − k y . Por nuestro trabajo anterior, sabemos que esta relación entre y y su derivada conduce a un decrecimiento exponencial. Por lo tanto, y = y 0 e − k t , y vemos que T − T a = ( T 0 − T a ) e − k t T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a donde T 0 representa la temperatura inicial. Apliquemos esta fórmula en el siguiente ejemplo. Ley de enfriamiento de Newton Según los baristas experimentados, la temperatura óptima para servir el café está entre 155 ° F y 175 ° F . Supongamos que el café se vierte a una temperatura de 200 ° F , y después de 2 minutos en una habitación a 70 ° F el café se enfría a 180 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. Tenemos T = ( T 0 − T a ) e − k t + T a 180 = ( 200 − 70 ) e − k ( 2 ) + 70 110 = 130 e −2 k 11 13 = e −2 k ln 11 13 = −2 k ln 11 − ln 13 = −2 k k = ln 13 − ln 11 2 . Entonces, el modelo es T = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 . El café alcanza 175 ° F cuando 175 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 105 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 21 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 21 26 = ln 11 − ln 13 2 t ln 21 − ln 26 = ln 11 − ln 13 2 t t = 2 ( ln 21 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 2,56. El café puede servirse alrededor de 2,5 minutos después de ser vertido. El café alcanza 155 ° F en 155 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t + 70 85 = 130 e ( ln 11 − ln 13 2 ) t 17 26 = e ( ln 11 − ln 13 2 ) t ln 17 − ln 26 = ( ln 11 − ln 13 2 ) t t = 2 ( ln 17 − ln 26 ) ln 11 − ln 13 ≈ 5,09. El café está demasiado frío para ser servido cerca de 5 minutos después de ser vertido. Supongamos que la habitación está más cálida ( 75 ° F ) y, después de 2 minutos, el café se ha enfriado solo a 185 ° F . ¿Cuándo se enfría el café lo suficiente por primera vez para servirlo? ¿Cuándo está demasiado frío para servirlo? Redondee las respuestas al medio minuto más cercano. El café se enfría lo suficiente como para servirlo alrededor de 3,5 minutos después de ser vertido. El café está demasiado frío para servir cerca de 7 minutos después de ser vertido. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Al igual que los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante. Para calcular la vida media, queremos saber cuándo la cantidad llega a la mitad de su tamaño original. Por lo tanto, tenemos y 0 2 = y 0 e − k t 1 2 = e − k t − ln 2 = − k t t = ln 2 k . Nota : Esta es la misma expresión que se nos ocurrió para duplicar el tiempo. Definición Si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que la misma tarda en reducirse a la mitad. Viene dado por Semivida = ln 2 k . Datación por radiocarbono Una de las aplicaciones más comunes de un modelo de decrecimiento exponencial es la datación por carbono El carbono- 14 decae (emite una partícula radiactiva) a un ritmo exponencial regular y constante. Por lo tanto, si sabemos cuánto carbono había originalmente en un objeto y cuánto carbono queda, podemos determinar la edad del objeto. La semivida del carbono- 14 es, aproximadamente, 5730 años, lo que significa que después de tantos años, la mitad del material se ha convertido del carbono- 14 original al nuevo y no radiactivo nitrógeno 14 . Si tenemos 100 g carbono- 14 hoy, cuánto quedará en 50 años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 10 g de carbono, ¿qué edad tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Tenemos 5730 = ln 2 k k = ln 2 5730 . Entonces, el modelo dice y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t . En 50 años, tenemos y = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) ( 50 ) ≈ 99,40 . Por lo tanto, en 50 años, 99,40 g de carbono- 14 permanecerán. Para determinar la edad del artefacto, debemos resolver 10 = 100 e − ( ln 2 / 5730 ) t 1 10 = e − ( ln 2 / 5730 ) t t ≈ 19.035. El artefacto tiene aproximadamente 19.000 años. Si tenemos 100 g de carbono- 14 , ¿cuánto queda después de t años? Si un artefacto que originalmente contenía 100 g de carbono contiene ahora 20 g de carbono, ¿cuántos años tiene? Redondee la respuesta a la centena de años más cercana. Un total de 94,13 g de carbono. El artefacto tiene aproximadamente 13.300 años. Pista Utilice el proceso del ejemplo anterior. Conceptos clave El crecimiento y el decrecimiento exponencial son dos de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales. Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t . En el crecimiento exponencial, la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente. En otras palabras, y ′ = k y . Los sistemas que presentan un crecimiento exponencial tienen un tiempo de duplicación constante, que viene dado por ( ln 2 ) / k . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t . Los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial tienen una vida media constante, que viene dada por ( ln 2 ) / k . ¿ Verdadero o falso ? Si es cierto, demuéstrelo. Si es falso, halle la respuesta correcta. El tiempo de duplicación para y = e c t ¿es ( ln ( 2 ) ) / ( ln ( c ) ) . Si invierte $ 500 , a una tasa de interés anual de 3 % obtiene más dinero en el primer año que a 2,5 % de interés continuo. Verdadero Si deja una tetera a 100 ° C a temperatura ambiente ( 25 ° C ) y una olla idéntica en el refrigerador ( 5 ° C ) , con la k = 0,02 , el té en el refrigerador alcanza una temperatura potable ( 70 ° C ) en más de 5 minutos antes que el té a temperatura ambiente. Dada una vida media de t años, la constante k por y = e k t se calcula mediante k = ln ( 1 / 2 ) / t . Falso; k = ln ( 2 ) t En los siguientes ejercicios, utilice y = y 0 e k t . Si un cultivo de bacterias se duplica en 3 horas, ¿cuántas horas se tarda para multiplicarse por 10 ? Si las bacterias se multiplican por 10 en 10 horas, ¿cuántas horas necesitan para aumentar por 100 ? 20 horas ¿Qué antigüedad tiene un cráneo que contiene la quinta parte de radiocarbono de un cráneo moderno? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. Si una reliquia contiene el 90 % de radiocarbono que contendría un material nuevo, ¿podría proceder de la época de Cristo (hace aproximadamente 2000 años)? Tenga en cuenta que la vida media del radiocarbono es 5730 años. No. La reliquia tiene aproximadamente 871 años. La población de El Cairo creció de 5 millones a 10 millones en 20 años. Utilice un modelo exponencial para encontrar en qué momento la población fue de 8 millones de dólares. Las poblaciones de Nueva York y Los Ángeles crecen a 1 % y 1,4 % al año, respectivamente. A partir de 8 millones (Nueva York) y 6 millones (Los Ángeles), ¿cuándo se igualan las poblaciones? 71,92 años Supongamos que el valor de $ 1 en yenes japoneses disminuye en 2 % por año. A partir de $ 1 = ¥ 250 , ¿cuándo serán $ 1 = ¥ 1 ? El efecto de la publicidad decrece exponencialmente. Si los valores de 40 % de la población recuerda un nuevo producto después de 3 días, ¿cuánto tiempo el 20 % lo recordará? 5 días 6 horas 27 minutos Si los valores de y = 1.000 a las t = 3 y y = 3.000 a las t = 4 , ¿cuál era y 0 en t = 0 ? Si y = 100 a las t = 4 en tanto que y = 10 a las t = 8 , ¿cuándo es y = 1 ? 12 Si un banco ofrece un interés anual de 7,5 % o un interés continuo de 7,25 % , ¿cuál tiene el mejor rendimiento anual? ¿Qué tipo de interés continuo tiene el mismo rendimiento que un interés anual de 9 % ? 8,618 % Si deposita $ 5.000 al 8 % interés anual, en cuántos años se puede retirar $ 500 (a partir del primer año) sin quedarse sin dinero? Usted está tratando de ahorrar $ 50 000 en 20 años para la matrícula universitaria de su hijo. Si se trata de un interés continuo al 10 % , ¿cuál es el monto de la inversión inicial? $ 6766,76 Usted está enfriando un pavo que al sacarlo del horno tenía una temperatura interna de 165 ° F . Después de 10 minutos de reposo del pavo en un apartamento a 70 ° F su temperatura alcanza 155 ° F . ¿Cuál es la temperatura del pavo 20 minutos después de sacarlo del horno? Está intentando descongelar unas verduras que están a una temperatura de 1 ° F . Para descongelar las verduras de forma segura, hay que ponerlas en el refrigerador, que tiene una temperatura de 44 ° F . Revisa sus verduras 2 horas después de ponerlas en el refrigerador para encontrar que ahora están a 12 ° F . Trace la curva de temperatura resultante y utilícela para determinar el momento en que las verduras alcanzan 33 ° F . 9 horas 13 minutos Es un arqueólogo y le dan un hueso que supuestamente es de un tiranosaurio Rex. Usted sabe que esos dinosaurios vivieron durante la Era Cretácea ( 146 millones de años a 65 millones de años), y descubre por la datación por radiocarbono que hay un 0,000001 % de radiocarbono. ¿El hueso es del Cretáceo? El combustible que consume un reactor nuclear contiene plutonio-239, que tiene una vida media de 24.000 años. Si los valores de 1 barril que contiene 10 kg de plutonio-239 está sellado, ¿cuántos años deben pasar hasta que solo queden 10 g de plutonio-239? 239.179 años En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población mundial por décadas. Años desde 1950 Población (millones) 0 2.556 10 3.039 20 3.706 30 4.453 40 5.279 50 6.083 60 6.849 Fuente : http://www.factmonster.com/ipka/A0762181.html. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 2.686 e 0,01604 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? P ′ ( t ) = 43 e 0,01604 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde aumenta y qué significa este aumento? [T] Halle la fecha prevista en la que la población alcanza 10 mil millones. Utilizando sus respuestas anteriores sobre la primera y la segunda derivada, explique por qué el crecimiento exponencial no sirve para predecir el futuro. La población alcanza 10 mil millones de personas en 2027 . En la siguiente serie de ejercicios utilice la tabla correspondiente, que muestra la población de San Francisco en el siglo XIX. Años desde 1850 Población (miles) 0 21,00 10 56,80 20 149,5 30 234,0 Fuente : http://www.sfgenealogy.com/sf/history/hgpop.htm. [T] La curva exponencial mejor ajustada a los datos de la forma P ( t ) = a e b t viene dada por P ( t ) = 35,26 e 0,06407 t . Utilice una calculadora gráfica para graficar los datos y la curva exponencial juntos. [T] Calcule y grafique la derivada y ′ de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? ¿Hay algún valor en el que el aumento sea máximo? P ′ ( t ) = 2,259 e 0,06407 t . La población siempre aumenta. [T] Calcule y grafique la segunda derivada de su ecuación. ¿Dónde está aumentando? ¿Qué significa este aumento? tiempo de duplicación si una cantidad crece exponencialmente, el tiempo de duplicación es el tiempo que tarda la cantidad en duplicarse, y viene dado por ( ln 2 ) / k decrecimiento exponencial los sistemas que presentan un decrecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e − k t crecimiento exponencial los sistemas que presentan un crecimiento exponencial siguen un modelo de la forma y = y 0 e k t semivida si una cantidad decrece exponencialmente, la vida media es el tiempo que dicha cantidad tarda en reducirse a la mitad. 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{"text": "Cálculo de las funciones hiperbólicas En Introducción a funciones y gráficos se presentaron las funciones hiperbólicas, junto con algunas de sus propiedades básicas. En esta sección veremos las fórmulas de diferenciación e integración de las funciones hiperbólicas y sus inversas. Derivadas e integrales de las funciones hiperbólicas Recordemos que el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico se definen como senoh x = e x − e – x 2 y cosh x = e x + e – x 2 . Las otras funciones hiperbólicas se definen entonces en términos de senoh x y cosh x . Los gráficos de las funciones hiperbólicas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas. Es fácil desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si se observa senoh x tenemos d d x ( senoh x ) = d d x ( e x − e – x 2 ) = 1 2 [ d d x ( e x ) − d d x ( e – x ) ] = 1 2 [ e x + e – x ] = cosh x . De la misma manera, ( d / d x ) cosh x = senoh x . Resumimos las fórmulas de diferenciación de las funciones hiperbólicas en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh x cosh x cosh x senoh x tanh x sech 2 x coth x − csch 2 x sech x − sech x tanh x csch x − csch x coth x Comparemos las derivadas de las funciones hiperbólicas con las derivadas de las funciones trigonométricas estándar. Hay muchas similitudes, pero también diferencias. Por ejemplo, las derivadas de las funciones seno coinciden: ( d / d x ) sen x = cos x y ( d / d x ) senoh x = cosh x . Las derivadas de las funciones coseno, sin embargo, difieren en el signo: ( d / d x ) cos x = − sen x , pero ( d / d x ) cosh x = senoh x . A medida que continuamos nuestro examen de las funciones hiperbólicas, debemos tener en cuenta sus similitudes y diferencias con las funciones trigonométricas estándar. Estas fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas conducen directamente a las siguientes fórmulas integrales. ∫ senoh u d u = cosh u + C ∫ csch 2 u d u = − coth u + C ∫ cosh u d u = senoh u + C ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C ∫ sech 2 u d u = tanh u + C ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Diferenciación de funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh ( x 2 ) ) grandes. d d x ( cosh x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos d d x ( senoh ( x 2 ) ) = cosh ( x 2 ) . 2 x d d x ( cosh x ) 2 = 2 cosh x senoh x Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) d d x ( tanh ( x 2 + 3 x ) ) = ( sech 2 ( x 2 + 3 x ) ) ( 2 x + 3 ) grandes. d d x ( 1 ( senoh x ) 2 ) = d d x ( senoh x ) −2 = −2 ( senoh x ) −3 cosh x Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas Evalúe las siguientes integrales: ∫ x cosh ( x 2 ) d x ∫ tanh x d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = x 2 . Entonces, d u = 2 x d x y ∫ x cosh ( x 2 ) d x = ∫ 1 2 cosh u d u = 1 2 senoh u + C = 1 2 senoh ( x 2 ) + C . Supongamos que u = cosh x . Entonces, d u = senoh x d x y ∫ tanh x d x = ∫ senoh x cosh x d x = ∫ 1 u d u = ln | u | + C = ln | cosh x | + C . Observe que cosh x > 0 para todo x , por lo que podemos eliminar los signos de valor absoluto y obtener ∫ tanh x d x = ln ( cosh x ) + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ senoh 3 x cosh x d x ∫ sech 2 ( 3 x ) d x ∫ senoh 3 x cosh x d x = senoh 4 x 4 + C ∫ sech 2 ( 3 x ) d x = tanh ( 3 x ) 3 + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u si es necesario. Cálculo de funciones hiperbólicas inversas Observando los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que con las restricciones de rango adecuadas, todos tienen inversas. La mayoría de las restricciones de rango necesarias se pueden discernir examinando de cerca los gráficos. Los dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas se resumen en la siguiente tabla. Dominios y rangos de las funciones hiperbólicas inversas Función Dominio Rango senoh −1 x ( − ∞ , ∞ ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. cosh −1 x [ 1 , ∞ ) grandes. [ 0 , ∞ ) grandes. tanh −1 x ( –1 , 1 ) grandes. ( − ∞ , ∞ ) grandes. coth −1 x ( − ∞ , –1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. sech −1 x ( 0 , 1 ] [ 0 , ∞ ) grandes. csch −1 x ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) grandes. ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Los gráficos de las funciones hiperbólicas inversas se muestran en la siguiente figura. Gráficos de las funciones hiperbólicas inversas. Para calcular las derivadas de las funciones inversas, utilizamos la diferenciación implícita. Tenemos y = senoh −1 x senoh y = x d d x senoh y = d d x x cosh y d y d x = 1 . Recordemos que cosh 2 y − senoh 2 y = 1 , por lo que cosh y = 1 + senoh 2 y . Entonces, d y d x = 1 cosh y = 1 1 + senoh 2 y = 1 1 + x 2 . Podemos derivar fórmulas de diferenciación para las otras funciones hiperbólicas inversas de forma similar. Estas fórmulas de diferenciación se resumen en la siguiente tabla. Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas f ( x ) grandes. d d x f ( x ) grandes. senoh −1 x 1 1 + x 2 cosh −1 x 1 x 2 – 1 tanh −1 x 1 1 − x 2 coth −1 x 1 1 − x 2 sech −1 x −1 x 1 − x 2 csch −1 x −1 | x | 1 + x 2 Observe que las derivadas de tanh −1 x y coth −1 x son los mismos. Así, cuando integramos 1 / ( 1 − x 2 ) , tenemos que seleccionar la antiderivada adecuada en función del dominio de las funciones y de los valores de x . Las fórmulas de integración que involucran a las funciones hiperbólicas inversas se resumen de la siguiente manera. ∫ 1 1 + u 2 d u = senoh −1 u + C ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − sech −1 | u | + C ∫ 1 u 2 – 1 d u = cosh −1 u + C ∫ 1 u 1 + u 2 d u = − csch −1 | u | + C ∫ 1 1 − u 2 d u = { tanh −1 u + C si | u | < 1 coth −1 u + C si | u | > 1 Diferenciación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) grandes. d d x ( tanh −1 x ) 2 Utilizando las fórmulas de la y la regla de la cadena, obtenemos los siguientes resultados: d d x ( senoh −1 ( x 3 ) ) = 1 3 1 + x 2 9 = 1 9 + x 2 d d x ( tanh −1 x ) 2 = 2 ( tanh −1 x ) 1 − x 2 Evalúe las siguientes derivadas: d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) grandes. d d x ( coth −1 x ) 3 d d x ( cosh −1 ( 3 x ) ) = 3 9 x 2 – 1 d d x ( coth −1 x ) 3 = 3 ( coth −1 x ) 2 1 − x 2 Pista Utilice las fórmulas de la y aplique la regla de la cadena si es necesario. Integrales con funciones hiperbólicas inversas Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 4 x 2 – 1 d x ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x Podemos utilizar la sustitución en u en ambos casos. Supongamos que u = 2 x . Entonces, d u = 2 d x y tenemos ∫ 1 4 x 2 – 1 d x = ∫ 1 2 u 2 – 1 d u = 1 2 cosh −1 u + C = 1 2 cosh −1 ( 2 x ) + C . Supongamos que u = 3 x . Entonces, d u = 3 d x y obtenemos ∫ 1 2 x 1 − 9 x 2 d x = 1 2 ∫ 1 u 1 − u 2 d u = − 1 2 sech −1 | u | + C = − 1 2 sech −1 | 3 x | + C . Evalúe las siguientes integrales: ∫ 1 x 2 − 4 d x , x > 2 ∫ 1 1 − e 2 x d x ∫ 1 x 2 − 4 d x = cosh −1 ( x 2 ) + C ∫ 1 1 − e 2 x d x = − sech −1 ( e x ) + C (carbono 14). Pista Utilice las fórmulas anteriores y aplique la sustitución en u según sea necesario. Aplicaciones Una aplicación física de las funciones hiperbólicas es la de los cables colgantes . Si un cable de densidad uniforme está suspendido entre dos soportes sin más carga que su propio peso, el cable forma una curva llamada catenaria . Los cables de alto voltaje, las cadenas que cuelgan entre dos postes y los hilos de una tela de araña forman catenarias. La siguiente figura muestra cadenas que cuelgan de una fila de postes. Las cadenas entre estos postes adoptan la forma de una catenaria (créditos: modificación del trabajo de OKFoundryCompany, Flickr). Las funciones hiperbólicas pueden utilizarse para modelar catenarias. En concreto, las funciones de la forma y = a cosh ( x / a ) son catenarias. La muestra el gráfico de y = 2 cosh ( x / 2 ) . Una función coseno hiperbólico tiene la forma de una catenaria. Uso de una catenaria para calcular la longitud de un cable Supongamos que un cable colgante tiene la forma 10 cosh ( x / 10 ) por −15 ≤ x ≤ 15 , donde x se mide en pies. Determine la longitud del cable (en pies). Recuerde de la sección 2.4 que la fórmula de la longitud de arco es Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x . Tenemos f ( x ) = 10 cosh ( x / 10 ) , por lo que f ′ ( x ) = senoh ( x / 10 ) . Entonces Longitud de arco = ∫ a b 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x . Recordemos que 1 + senoh 2 x = cosh 2 x , por lo que tenemos Longitud de arco = ∫ −15 15 1 + senoh 2 ( x 10 ) d x = ∫ −15 15 cosh ( x 10 ) d x = 10 senoh ( x 10 ) | −15 15 = 10 [ senoh ( 3 2 ) − senoh ( − 3 2 ) ] = 20 senoh ( 3 2 ) ≈ 42,586 pies . Supongamos que un cable colgante tiene la forma 15 cosh ( x / 15 ) por −20 ≤ x ≤ 20 . Determine la longitud del cable (en pies). 52,95 pies Pista Utilice el procedimiento del ejemplo anterior. Conceptos clave Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales. La diferenciación término a término permite obtener fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas. Estas fórmulas de diferenciación dan lugar, a su vez, a fórmulas de integración. Con las restricciones de rango adecuadas, todas las funciones hiperbólicas tienen inversas. La diferenciación implícita da lugar a fórmulas de diferenciación para las funciones hiperbólicas inversas, que a su vez dan lugar a fórmulas de integración. Las aplicaciones físicas más comunes de las funciones hiperbólicas son los cálculos con catenarias. [T] Halle expresiones para cosh x + senoh x y cosh x − senoh x . Utilice una calculadora para representar gráficamente estas funciones y asegúrese de que su expresión sea correcta. e x y e – x A partir de las definiciones de cosh ( x ) y senoh ( x ) , calcule sus antiderivadas. Demuestre que cosh ( x ) y senoh ( x ) satisfacen y ″ = y . Las respuestas pueden variar Utilice la regla del cociente para verificar que tanh ( x ) ′ = sech 2 ( x ) . Derive cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) = cosh ( 2 x ) de la definición. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para senoh ( 2 x ) . Pruebe que senoh ( x + y ) = senoh ( x ) cosh ( y ) + cosh ( x ) senoh ( y ) cambiando la expresión a exponenciales. Las respuestas pueden variar Tome la derivada de la expresión anterior para hallar una expresión para cosh ( x + y ) . En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones y gráfico dados junto con la función para garantizar que su respuesta sea correcta. [T] cosh ( 3 x + 1 ) grandes. 3 senoh ( 3 x + 1 ) [T] senoh ( x 2 ) [T] 1 cosh ( x ) grandes. − tanh ( x ) sech ( x ) [T] senoh ( ln ( x ) ) [T] cosh 2 ( x ) + senoh 2 ( x ) grandes. 4 cosh ( x ) senoh ( x ) [T] cosh 2 ( x ) − senoh 2 ( x ) [T] tanh ( x 2 + 1 ) grandes. x sech 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 [T] 1 + tanh ( x ) 1 − tanh ( x ) [T] senoh 6 ( x ) grandes. 6 senoh 5 ( x ) cosh ( x ) [T] ln ( sech ( x ) + tanh ( x ) ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones dadas. cosh ( 2 x + 1 ) grandes. 1 2 senoh ( 2 x + 1 ) + C tanh ( 3 x + 2 ) grandes. x cosh ( x 2 ) grandes. 1 2 senoh 2 ( x 2 ) + C 3 x 3 tanh ( x 4 ) grandes. cosh 2 ( x ) senoh ( x ) grandes. 1 3 cosh 3 ( x ) + C tanh 2 ( x ) sech 2 ( x ) grandes. senoh ( x ) 1 + cosh ( x ) grandes. ln ( 1 + cosh ( x ) ) + C coth ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) grandes. cosh ( x ) + senoh ( x ) + C ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n En los siguientes ejercicios, calcule las derivadas de las funciones. tanh −1 ( 4 x ) grandes. 4 1 − 16 x 2 senoh −1 ( x 2 ) grandes. senoh −1 ( cosh ( x ) ) grandes. senoh ( x ) cosh 2 ( x ) + 1 cosh −1 ( x 3 ) grandes. tanh −1 ( cos ( x ) ) grandes. − csc ( x ) grandes. e senoh −1 ( x ) grandes. ln ( tanh −1 ( x ) ) grandes. − 1 ( x 2 – 1 ) tanh −1 ( x ) En los siguientes ejercicios, calcule las antiderivadas de las funciones. ∫ d x 4 − x 2 ∫ d x a 2 − x 2 1 a tanh −1 ( x a ) + C ∫ d x x 2 + 1 ∫ x d x x 2 + 1 x 2 + 1 + C ∫ − d x x 1 − x 2 ∫ e x e 2 x – 1 cosh −1 ( e x ) + C ∫ − 2 x x 4 − 1 En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que un cuerpo que cae con fricción igual a la velocidad al cuadrado obedece a la ecuación d v / d t = g − v 2 . Demuestre que v ( t ) = g tanh ( ( g ) t ) satisface esta ecuación. Las respuestas pueden variar Derive la expresión anterior para v ( t ) integrando d v g − v 2 = d t . [T] Estime la caída de un cuerpo en 12 segundos calculando el área bajo la curva de v ( t ) . 37,30 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un cable que cuelga por su propio peso tiene una pendiente S = d y / d x que satisface d S / d x = c 1 + S 2 . La constante c es la relación entre la densidad del cable y la tensión. Demuestre que S = senoh ( c x ) satisface esta ecuación. Integre d y / d x = senoh ( c x ) para calcular la altura del cable y ( x ) si y ( 0 ) = 1 / c . y = 1 c cosh ( c x ) Haga un dibujo del cable y determine hasta qué punto se hunde en x = 0 . En los siguientes ejercicios, resuelva cada problema. [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen 2 m de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 2 cosh ( x / 2 ) − 1 . Calcule la pendiente de la catenaria en el poste de la valla de la izquierda. −0,521095 [T] Una cadena cuelga de dos postes que tienen cuatro metros de separación para formar una catenaria descrita por la ecuación y = 4 cosh ( x / 4 ) − 3 . Calcule la longitud total de la catenaria (longitud de arco). [T] Una línea eléctrica de alto voltaje es una catenaria descrita por y = 10 cosh ( x / 10 ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Qué observa? 10 Una línea telefónica es una catenaria descrita por y = a cosh ( x / a ) . Calcule la relación entre el área bajo la catenaria y su longitud de arco. ¿Confirma esto su respuesta a la pregunta anterior? Demuestre la fórmula de la derivada de y = senoh −1 ( x ) diferenciando x = senoh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = cosh −1 ( x ) diferenciando x = cosh ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Demuestre la fórmula de la derivada de y = sech −1 ( x ) diferenciando x = sech ( y ) . ( Pista: Utilice las identidades trigonométricas hiperbólicas). Compruebe que ( cosh ( x ) + senoh ( x ) ) n = cosh ( n x ) + senoh ( n x ) . Demuestre la expresión para senoh −1 ( x ) . Multiplique x = senoh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y + e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Demuestre la expresión para cosh −1 ( x ) . Multiplique x = cosh ( y ) = ( 1 / 2 ) ( e y − e − y ) entre 2 e y , a la vez que resolvemos para y . ¿Coincide su expresión con el libro de texto? Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La cantidad de trabajo para bombear el agua de un cilindro medio lleno es la mitad de la cantidad de trabajo para bombear el agua del cilindro lleno. Falso Si la fuerza es constante, la cantidad de trabajo para mover un objeto de x = a a x = b ¿es F ( b – a ) . El método de disco puede utilizarse en cualquier situación en la que el método de las arandelas sirva para calcular el volumen de un sólido de revolución. Falso Si la semivida del seaborgio- 266 ¿es 360 ms, entonces k = ( ln ( 2 ) ) / 360 . En los siguientes ejercicios, utilice el método solicitado para determinar el volumen del sólido. El volumen que tiene como base la elipse x 2 / 4 + y 2 / 9 = 1 y secciones transversales de un triángulo equilátero perpendicular al eje y . Utilice el método de rebanadas. 32 3 y = x 2 − x , de x = 1 para x = 4 , girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas x = y 2 y x = 3 y girado alrededor del eje y mediante el método de las arandelas 162 π 5 x = 2 y 2 − y 3 , x = 0 , y y = 0 girado alrededor del eje x mediante capas cilíndricas En los siguientes ejercicios, calcule el área de la región, el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje x , y el volumen del sólido cuando se gira alrededor del eje y . Utilice el método que le parezca más adecuado. y = x 3 , x = 0 , y = 0 , y x = 2 a. 4 , b. 128 π 7 , c. 64 π 5 y = x 2 − x y x = 0 [T] y = ln ( x ) + 2 y y = x a. 1,949 , b. 21,952 , c. 17,099 y = x 2 y y = x y = 5 + x , y = x 2 , x = 0 , y x = 1 a. 31 6 , b. 452 π 15 , c. 31 π 6 Por debajo de x 2 + y 2 = 1 y por encima de y = 1 − x Encuentre la masa de ρ = e – x en un disco centrado en el origen con radio 4 . 245,282 Halle el centro de masa para ρ = tan 2 x sobre x ∈ ( − π 4 , π 4 ) . Calcule la masa y el centro de masa de ρ = 1 en la región delimitada por y = x 5 y la intersección y = x . Masa: 1 2 , centro de masa: ( 18 35 , 9 22 ) En los siguientes ejercicios, calcule las longitudes de arco solicitadas. La longitud de x por y = cosh ( x ) de x = 0 a x = 2 . La longitud de y para x = 3 − y a partir de y = 0 al y = 4 17 + 1 8 ln ( 33 + 8 17 ) En los siguientes ejercicios, calcule el área superficial y el volumen cuando las curvas dadas giran alrededor del eje especificado. La forma creada al girar la región entre y = 4 + x , y = 3 − x , x = 0 , y x = 2 girado alrededor del eje y . El altavoz creado por al girar y = 1 / x de x = 1 a x = 4 alrededor del eje x . Volumen: 3 π 4 , área superficial: π ( 2 − senoh −1 ( 1 ) + senoh −1 ( 16 ) − 257 16 ) Para este ejercicio, consideremos la presa Karun-3 en Irán. Su forma puede aproximarse a la de un triángulo isósceles invertido que atraviesa el río, con una altura de 205 m y un ancho (en la parte superior de la presa) de 388 m. Supongamos que la profundidad actual del agua es de 180 m. La densidad del agua es de 1.000 kg/m 3 . Calcule la fuerza total sobre la pared de la presa. Usted es un investigador de la escena del crimen que intenta determinar la hora de la muerte de una víctima. Es mediodía y hace 45 ° F afuera y la temperatura del cuerpo es 78 ° F . Sabe que la constante de enfriamiento es k = 0,00824 ° F/min . ¿Cuándo murió la víctima, suponiendo que la temperatura de un ser humano es 98 ° F ? 11:02 a.m. En el siguiente ejercicio, considere la caída de la bolsa en 1929 en Estados Unidos. La tabla muestra el promedio industrial del Dow Jones por año hasta la caída. Años después de 1920 Valor ($) 1 63,90 3 100 5 110 7 160 9 381,17 Fuente: http://stockcharts.com/freecharts/historical/djia19201940.html [T] La curva exponencial que mejor se ajusta a estos datos viene dada por y = 40,71 + 1,224 x . ¿Por qué cree que las ganancias del mercado fueron insostenibles? Utilice las derivadas primera y segunda para justificar su respuesta. ¿Cuál sería la predicción de este modelo para el promedio industrial de Dow Jones en 2014 ? En los siguientes ejercicios, considera la catenoide, el único sólido de revolución que tiene una superficie mínima, o curvatura promedio de cero. Una catenoide en la naturaleza puede encontrarse al estirar el jabón entre dos anillos. Calcule el volumen de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 para x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x , como se muestra aquí. π ( 1 + senoh ( 1 ) cosh ( 1 ) ) Calcule el área superficial de la catenoide y = cosh ( x ) de x = −1 a x = 1 que se crea al girar esta curva alrededor del eje x . catenaria una curva con la forma de la función y = a cosh ( x / a ) es una catenaria; un cable de densidad uniforme suspendido entre dos soportes adopta la forma de una catenaria", "section": "Cálculo de las funciones hiperbólicas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción Una cuidadosa planificación de las señales de tráfico puede evitar o reducir el número de accidentes en las intersecciones más concurridas (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr). En una ciudad grande se producen accidentes a una tasa promedio de uno cada tres meses en una intersección especialmente concurrida. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de ocho meses sin accidentes es fruto de la casualidad? Exploraremos esta pregunta más adelante en este capítulo y veremos que la integración es una parte esencial para determinar la respuesta (vea el ). En el capítulo anterior vimos lo importante que puede ser la integración para todo tipo de temas: desde el cálculo de volúmenes hasta las tasas de flujo, y desde el uso de una función de velocidad para determinar una posición hasta la ubicación de centros de masa. No es de extrañar, pues, que sea importante conocer las técnicas para hallar antiderivadas (o integrales indefinidas) para todo aquel que las utilice. Ya hemos hablado de algunas fórmulas básicas de integración y del método de integración por sustitución. En este capítulo estudiamos algunas técnicas adicionales, incluidas algunas formas de aproximar integrales definidas cuando las técnicas normales no funcionan.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integración por partes A estas alturas ya tenemos un procedimiento bastante completo sobre cómo evaluar muchas integrales básicas. Sin embargo, aunque podemos integrar ∫ x sen ( x 2 ) d x utilizando la sustitución, u = x 2 , algo tan simple como ∫ x sen x d x nos desafía. Muchos estudiantes quieren saber si existe una regla del producto para la integración. No la hay, pero existe una técnica basada en la regla del producto para la diferenciación que nos permite cambiar una integral por otra. A esta técnica la llamamos integración por partes . La fórmula de integración por partes Si, h ( x ) = f ( x ) g ( x ) , entonces utilizando la regla del producto, obtenemos h ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) . Aunque al principio pueda parecer contraproducente, integremos ahora ambos lados de esta ecuación: ∫ h ′ ( x ) d x = ∫ ( g ( x ) f ′ ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) ) d x . Esto nos da h ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ∫ g ( x ) f ′ ( x ) d x + ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x . Ahora resolvemos para ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x : ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ g ( x ) f ′ ( x ) d x . Al hacer las sustituciones u = f ( x ) y v = g ( x ) , que a su vez forman d u = f ′ ( x ) d x y d v = g ′ ( x ) d x , tenemos la forma más compacta ∫ u d v = u v − ∫ v d u . Integración por partes Supongamos que u = f ( x ) y v = g ( x ) son funciones con derivadas continuas. Entonces, la fórmula de integración por partes para la integral que involucra estas dos funciones es: ∫ u d v = u v − ∫ v d u . La ventaja de utilizar la fórmula de integración por partes es que podemos usarla para cambiar una integral por otra, posiblemente más fácil. El siguiente ejemplo ilustra su uso. Utilizar la integración por partes Utilice la integración por partes con u = x y d v = sen x d x para evaluar ∫ x sen x d x . Al elegir u = x , tenemos d u = 1 d x . Dado que d v = sen x d x , obtenemos v = ∫ sen x d x = − cos x . Es conveniente llevar la cuenta de estos valores de la siguiente manera: u = x d v = sen x d x d u = 1 d x v = ∫ sen x d x = − cos x . Aplicando la fórmula de integración por partes se obtiene ∫ x sen x d x = ( x ) ( − cos x ) − ∫ ( − cos x ) ( 1 d x ) Sustituya . = − x cos x + ∫ cos x d x Simplifique . = − x cos x + sen x + C . Utilice ∫ cos x d x = sen x + C . Análisis Llegados a este punto, probablemente haya que aclarar algunos puntos. En primer lugar, puede que tenga curiosidad por saber qué habría pasado si hubiéramos elegido u = sen x y d v = x . Si lo hubiéramos hecho, entonces tendríamos d u = cos x dx y v = 1 2 x 2 . Así, tras aplicar la integración por partes, tenemos ∫ ​ x sen x d x = 1 2 x 2 sen x − ∫ ​ 1 2 x 2 cos x d x . Desafortunadamente, con la nueva integral, no estamos en mejor posición que antes. Es importante tener en cuenta que cuando aplicamos la integración por partes, es posible que tengamos que probar varias opciones para u y d v antes de encontrar una opción que funcione. En segundo lugar, puede preguntarse por qué, cuando calculamos v = ∫ ​ sen x d x = − cos x , no utilizamos v = − cos x + K . Para ver que no hay diferencia, podemos volver a hacer el problema utilizando v = − cos x + K : ∫ x sen x d x = ( x ) ( − cos x + K ) − ∫ ( − cos x + K ) ( 1 d x ) = − x cos x + K x + ∫ cos x d x − ∫ K d x = − x cos x + K x + sen x − K x + C = − x cos x + sen x + C . Como puede ver, no hay diferencia en la solución final. Por último, podemos comprobar que nuestra antiderivada es correcta diferenciando − x cos x + sen x + C : d d x ( − x cos x + sen x + C ) = ( –1 ) cos x + ( − x ) ( − sen x ) + cos x = x sen x . Por lo tanto, la antiderivada es correcta. Vea este video y visite este sitio web para ver ejemplos de integración por partes. Evalúe ∫ ​ x e 2 x d x utilizando la fórmula de integración por partes con u = x y d v = e 2 x d x . ∫ ​ x e 2 x d x = 1 2 x e 2 x – 1 4 e 2 x + C Pista Calcule d u y v , y utilice el ejemplo anterior como guía. La pregunta natural que hay que hacerse en este punto es: ¿cómo sabemos elegir u y d v ? A veces es una cuestión de ensayo y error; sin embargo, el acrónimo LIATE puede ayudar a menudo a eliminar algunas de las conjeturas de nuestras elecciones. Este acrónimo significa funciones L ogarítmicas, funciones trigonométricas I nversas, funciones A lgebraicas, funciones T rigonométricas y funciones E xponenciales Esta nemotecnia sirve de ayuda para determinar una elección adecuada para u . El tipo de función en la integral que aparece primero en la lista debe ser nuestra primera opción de u . Por ejemplo, si una integral contiene una función logarítmica y una función algebraica , debemos elegir que u sea la función logarítmica, porque L viene antes de A en LIATE. La integral en el tiene una función trigonométrica ( sen x ). y una función algebraica ( x ) . Como A va antes que T en LIATE, elegimos que u sea la función algebraica. Cuando hayamos elegido u , d v se selecciona para que sea la parte restante de la función a integrar, junto con d x . ¿Por qué funciona esta nemotecnia? Recuerde que todo lo que elijamos para que sea d v debe ser algo que podamos integrar. Como no tenemos fórmulas de integración que nos permitan integrar funciones logarítmicas simples y funciones trigonométricas inversas, tiene sentido que no se elijan como valores para d v . En consecuencia, deberían estar de primero en la lista como opciones para u . Por lo tanto, ponemos LI al principio de la nemotecnia (también podríamos haber empezado con IL, ya que estos dos tipos de funciones no aparecerán juntas en un problema de integración por partes). Las funciones exponenciales y trigonométricas están al final de nuestra lista porque son bastante fáciles de integrar y son buenas opciones para d v . Por lo tanto, tenemos TE al final de nuestra nemotecnia. (También podríamos haber utilizado ET al final, ya que cuando este tipo de funciones aparecen juntas no suele importar realmente cuál es u y cuál es d v . ) Las funciones algebraicas son, por lo general, fáciles tanto de integrar como de diferenciar, y se encuentran en el centro de la nemotecnia. Utilizar la integración por partes Evalúe ∫ ln x x 3 d x . Empiece por reescribir la integral: ∫ ln x x 3 d x = ∫ ​ x −3 ln x d x . Como esta integral contiene la función algebraica x −3 y la función logarítmica ln x , elija u = ln x , ya que la L va antes de la A en LIATE. Después de haber elegido u = ln x , debemos elegir d v = x −3 d x . A continuación, ya que u = ln x , tenemos d u = 1 x d x . También, v = ∫ ​ x −3 d x = − 1 2 x −2 . Resumiendo, u = ln x d v = x −3 d x d u = 1 x d x v = ∫ ​ x −3 d x = − 1 2 x −2 . Sustituyendo en la fórmula de integración por partes ( ) se obtiene ∫ ln x x 3 d x = ∫ ​ x −3 ln x d x = ( ln x ) ( − 1 2 x −2 ) − ∫ ​ ( − 1 2 x −2 ) ( 1 x d x ) = − 1 2 x −2 ln x + ∫ ​ 1 2 x −3 d x Simplifique . = − 1 2 x −2 ln x – 1 4 x −2 + C Integre . = − 1 2 x 2 ln x – 1 4 x 2 + C . Reescriba con enteros positivos. Evalúe ∫ ​ x ln x d x . 1 2 x 2 ln x – 1 4 x 2 + C Pista Utilice u = ln x y d v = x d x . En algunos casos, como en los dos ejemplos siguientes, puede ser necesario aplicar la integración por partes más de una vez. Aplicar la integración por partes más de una vez Evalúe ∫ ​ x 2 e 3 x d x . Utilizando LIATE, elija u = x 2 y d v = e 3 x d x . Por lo tanto, d u = 2 x d x y v = ∫ e 3 x d x = ( 1 3 ) e 3 x . Por lo tanto, u = x 2 d v = e 3 x d x d u = 2 x d x v = ∫ e 3 x d x = 1 3 e 3 x . Sustituyendo en la se obtiene ∫ x 2 e 3 x d x = 1 3 x 2 e 3 x − ∫ 2 3 x e 3 x d x . Todavía no podemos integrar ∫ 2 3 x e 3 x d x directamente, pero la integral tiene ahora una potencia menor en x . Podemos evaluar esta nueva integral utilizando de nuevo la integración por partes. Para ello, elija u = x y d v = 2 3 e 3 x d x . Por lo tanto, d u = d x y v = ∫ ( 2 3 ) e 3 x d x = ( 2 9 ) e 3 x . Ahora tenemos u = x d v = 2 3 e 3 x d x d u = d x v = ∫ 2 3 e 3 x d x = 2 9 e 3 x . Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene ∫ ​ x 2 e 3 x d x = 1 3 x 2 e 3 x − ( 2 9 x e 3 x − ∫ ​ 2 9 e 3 x d x ) . Tras evaluar la última integral y simplificar, obtenemos ∫ x 2 e 3 x d x = 1 3 x 2 e 3 x − 2 9 x e 3 x + 2 27 e 3 x + C . Aplicar la integración por partes cuando LIATE no funciona del todo Evalúe ∫ ​ t 3 e t 2 d t . Si utilizamos una interpretación estricta de la nemotecnia LIATE para hacer nuestra elección de u , terminamos con u = t 3 y d v = e t 2 d t . Desafortunadamente, esta opción no funciona porque no podemos evaluar ∫ ​ e t 2 d t . Sin embargo, como podemos evaluar ∫ ​ t e t 2 d x , podemos intentar elegir u = t 2 y d v = t e t 2 d t . Con estas opciones tenemos u = t 2 d v = t e t 2 d t d u = 2 t d t v = ∫ ​ t e t 2 d t = 1 2 e t 2 . Así, obtenemos ∫ t 3 e t 2 d t = 1 2 t 2 e t 2 − ∫ 1 2 e t 2 2 t d t = 1 2 t 2 e t 2 – 1 2 e t 2 + C . Aplicar la integración por partes más de una vez Evalúe ∫ ​ sen ( ln x ) d x . Esta integral parece tener una sola función, es decir, sen ( ln x ) , sin embargo, siempre podemos utilizar la función constante 1 como la otra función. En este ejemplo, vamos a elegir u = sen ( ln x ) y d v = 1 d x . (La decisión de utilizar u = sen ( ln x ) es fácil. No podemos elegir d v = sen ( ln x ) d x porque si pudiéramos integrarla, ¡no estaríamos usando la integración por partes en primer lugar!). En consecuencia, d u = ( 1 / x ) cos ( ln x ) d x y v = ∫ ​ 1 d x = x . Tras aplicar la integración por partes a la integral y simplificar, tenemos ∫ ​ sen ( ln x ) d x = x sen ( ln x ) − ∫ ​ cos ( ln x ) d x . Desafortunadamente, este proceso nos deja una nueva integral muy parecida a la original. Sin embargo, veamos qué ocurre cuando aplicamos de nuevo la integración por partes. Esta vez vamos a elegir u = cos ( ln x ) y d v = 1 d x , que da d u = − ( 1 / x ) sen ( ln x ) d x y v = ∫ ​ 1 d x = x . Sustituyendo, tenemos ∫ ​ sen ( ln x ) d x = x sen ( ln x ) − ( x cos ( ln x ) — ∫ ​ − sen ( ln x ) d x ) . Tras simplificar, obtenemos ∫ ​ sen ( ln x ) d x = x sen ( ln x ) − x cos ( ln x ) − ∫ ​ sen ( ln x ) d x . La última integral es ahora la misma que la original. Puede parecer que simplemente hemos entrado en un círculo, pero ahora podemos evaluar realmente la integral. Para ver cómo se hace esto más claramente, sustituya I = ∫ ​ sen ( ln x ) d x . Así, la ecuación se convierte en I = x sen ( ln x ) − x cos ( ln x ) − I . En primer lugar, sume I a ambos lados de la ecuación para obtener 2 I = x sen ( ln x ) − x cos ( ln x ) . A continuación, divida entre 2: I = 1 2 x sen ( ln x ) − 1 2 x cos ( ln x ) . Sustituyendo I = ∫ ​ sen ( ln x ) d x de nuevo, tenemos ∫ ​ sen ( ln x ) d x = 1 2 x sen ( ln x ) − 1 2 x cos ( ln x ) . De ello se desprende que ( 1 / 2 ) x sen ( ln x ) − ( 1 / 2 ) x cos ( ln x ) es una antiderivada de sen ( ln x ) d x . Para la antiderivada más general, sume + C : ∫ ​ sen ( ln x ) d x = 1 2 x sen ( ln x ) − 1 2 x cos ( ln x ) + C . Análisis Si este método resulta un poco extraño al principio, podemos comprobar la respuesta por diferenciación: d d x ( 1 2 x sen ( ln x ) − 1 2 x cos ( ln x ) ) = 1 2 ( sen ( ln x ) ) + cos ( ln x ) . 1 x . 1 2 x − ( 1 2 cos ( ln x ) − sen ( ln x ) . 1 x . 1 2 x ) = sen ( ln x ) . Evalúe ∫ ​ x 2 sen x d x . − x 2 cos x + 2 x sen x + 2 cos x + C Pista Esto es similar a . Integración por partes para integrales definidas Ahora que hemos utilizado con éxito la integración por partes para evaluar integrales indefinidas , pasamos a estudiar las integrales definidas. La técnica de integración es realmente la misma, solo que añadimos un paso para evaluar la integral en los límites superior e inferior de la integración. Integración por partes para integrales definidas Supongamos que u = f ( x ) y v = g ( x ) sean funciones con derivadas continuas en [ a , b ] . Entonces ∫ a b u d v = u v | a b − ∫ a b v d u . Cálculo del área de una región Halle el área de la región delimitada arriba por el gráfico de y = tan −1 x y abajo por el eje x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Esta región se muestra en la . Para hallar el área, debemos evaluar ∫ 0 1 tan −1 x d x . Para hallar el área de la región sombreada, tenemos que utilizar la integración por partes. Para esta integral, vamos a elegir u = tan −1 x y d v = d x , lo que nos da d u = 1 x 2 + 1 d x y v = x . Tras aplicar la fórmula de integración por partes ( ) obtenemos Área = x tan −1 x | 0 1 − ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x . Utilice la sustitución en u para obtener ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x = 1 2 ln | x 2 + 1 | 0 1 . Por lo tanto, Área = x tan − 1 x | 0 1 − 1 2 ln | x 2 + 1 | | 0 1 = π 4 − 1 2 ln 2. Llegados a este punto, no sería mala idea hacer una \"evaluación realista\" sobre cuán razonable es nuestra solución. Dado que π 4 − 1 2 ln 2 ≈ 0,4388 , y a partir de la esperamos que nuestra área sea ligeramente inferior a 0,5, esta solución parece razonable. Cálculo de un volumen de revolución Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = e – x , el eje x , el eje y y la línea x = 1 alrededor del eje y . La mejor opción para resolver este problema es utilizar el método de capas cilíndricas. Comience por dibujar la región que va a girar, junto con un rectángulo típico (vea el siguiente gráfico). Podemos utilizar el método de capas cilíndricas para calcular un volumen de revolución. Para calcular el volumen utilizando capas cilíndricas, debemos evaluar 2 π ∫ 0 1 x e – x d x . Para ello, supongamos que u = x y d v = e – x . Estas elecciones nos llevan a d u = d x y v = ∫ ​ e – x = − e – x . Sustituyendo en la , obtenemos Volumen = 2 π ∫ 0 1 x e – x d x = 2 π ( − x e – x | 0 1 + ∫ 0 1 e – x d x ) Utilice la integración por partes . = −2 π x e – x | 0 1 − 2 π e – x | 0 1 Evalúe ∫ 0 1 e – x d x = − e – x | 0 1 . = 2 π − 4 π e . Evalúe y simplifique . Análisis Una vez más, es conveniente comprobar si nuestra solución es razonable. Observamos que el sólido tiene un volumen ligeramente inferior al de un cilindro de radio 1 y altura 1 / e sumado al volumen de un cono de radio de base 1 y altura 1 − 1 e . En consecuencia, el sólido debe tener un volumen un poco menor que π ( 1 ) 2 1 e + ( π 3 ) ( 1 ) 2 ( 1 − 1 e ) = 2 π 3 e + π 3 ≈ 1,8177 . Dado que 2 π − 4 π e ≈ 1,6603 , vemos que nuestro volumen calculado es razonable. Evalúe ∫ 0 π / 2 x cos x d x . π 2 – 1 Pista Utilice con u = x y d v = cos x d x . Conceptos clave La fórmula de integración por partes permite cambiar una integral por otra, posiblemente más sencilla. La integración por partes se aplica tanto a las integrales definidas como a las indefinidas. Ecuaciones clave Fórmula de integración por partes ∫ u d v = u v − ∫ v d u Integración por partes para integrales definidas ∫ a b u d v = u v | a b − ∫ a b v d u Al utilizar la técnica de integración por partes, hay que elegir cuidadosamente cuál expresión es u. Para cada uno de los siguientes problemas, utilice las directrices de esta sección para elegir u. No evalúe las integrales. ∫ x 3 e 2 x d x u = x 3 ∫ x 3 ln ( x ) d x ∫ y 3 cos y d y u = y 3 ∫ x 2 arctan x d x ∫ e 3 x sen ( 2 x ) d x u = sen ( 2 x ) Calcule la integral utilizando el método más sencillo. No todos los problemas requieren integración por partes. ∫ v sen v d v ∫ ln x d x ( Pista: ∫ ln x d x equivale a ∫ 1 . ln ( x ) d x . ) grandes. − x + x ln x + C ∫ x cos x d x ∫ tan −1 x d x x tan −1 x – 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ x 2 e x d x ∫ x sen ( 2 x ) d x − 1 2 x cos ( 2 x ) + 1 4 sen ( 2 x ) + C ∫ x e 4 x d x ∫ x e – x d x e – x ( −1 − x ) + C ∫ x cos 3 x d x ∫ x 2 cos x d x 2 x cos x + ( −2 + x 2 ) sen x + C ∫ x ln x d x ∫ ln ( 2 x + 1 ) d x 1 2 ( 1 + 2 x ) ( –1 + ln ( 1 + 2 x ) ) + C ∫ x 2 e 4 x d x ∫ e x sen x d x 1 2 e x ( − cos x + sen x ) + C ∫ e x cos x d x ∫ x e – x 2 d x − e – x 2 2 + C ∫ x 2 e – x d x ∫ sen ( ln ( 2 x ) ) d x − 1 2 x cos [ ln ( 2 x ) ] + 1 2 x sen [ ln ( 2 x ) ] + C ∫ c o s ( ln x ) d x ∫ ( ln x ) 2 d x 2 x − 2 x ln x + x ( ln x ) 2 + C ∫ ln ( x 2 ) d x ∫ x 2 ln x d x ( − x 3 9 + 1 3 x 3 ln x ) + C ∫ sen −1 x d x ∫ cos −1 ( 2 x ) d x − 1 2 1 − 4 x 2 + x cos −1 ( 2 x ) + C ∫ x arctan x d x ∫ x 2 sen x d x − ( −2 + x 2 ) cos x + 2 x sen x + C ∫ x 3 cos x d x ∫ x 3 sen x d x − x ( −6 + x 2 ) cos x + 3 ( −2 + x 2 ) sen x + C ∫ x 3 e x d x ∫ x sec −1 x d x 1 2 x ( − 1 − 1 x 2 + x . sec −1 x ) + C ∫ x sec 2 x d x ∫ x cosh x d x − cosh x + x senoh x + C Calcule las integrales definidas. Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus respuestas. ∫ 1 / e 1 ln x d x ∫ 0 1 x e −2 x d x (Exprese la respuesta en forma exacta). 1 4 − 3 4 e 2 ∫ 0 1 e x d x ( supongamos que u = x ) grandes. ∫ 1 e ln ( x 2 ) d x 2 ∫ 0 π x cos x d x ∫ − π π x sen x d x (Exprese la respuesta en forma exacta). 2 π ∫ 0 3 ln ( x 2 + 1 ) d x (Exprese la respuesta en forma exacta). ∫ 0 π / 2 x 2 sen x d x (Exprese la respuesta en forma exacta). −2 + π ∫ 0 1 x 5 x d x (Exprese la respuesta utilizando cinco dígitos significativos). Evalúe ∫ cos x ln ( sen x ) d x − sen ( x ) + ln [ sen ( x ) ] sen x + C Derive las siguientes fórmulas utilizando la técnica de integración por partes. Suponga que n es un número entero positivo. Estas fórmulas se llaman fórmulas de reducción porque el exponente del término x se ha reducido en uno en cada caso. La segunda integral es más sencilla que la integral original. ∫ x n e x d x = x n e x − n ∫ x n – 1 e x d x ∫ x n cos x d x = x n sen x − n ∫ x n – 1 sen x d x Las respuestas varían ∫ x n sen x d x = ______ Integre ∫ 2 x 2 x − 3 d x utilizando dos métodos: Utilizando la integración por partes, suponiendo que d v = 2 x − 3 d x Sustitución, suponiendo que u = 2 x − 3 a. 2 5 ( 1 + x ) ( −3 + 2 x ) 3 / 2 + C b. 2 5 ( 1 + x ) ( −3 + 2 x ) 3 / 2 + C Indique si utilizaría la integración por partes para evaluar la integral. Si es así, identifique u y dv . Si no es así, describa la técnica utilizada para realizar la integración sin resolver realmente el problema. ∫ x ln x d x ∫ ln 2 x x d x No utilice la integración por partes. Elija u para que sea ln x , y la integral sea de la forma ∫ u 2 d u . ∫ x e x d x ∫ x e x 2 − 3 d x No utilice la integración por partes. Supongamos que u = x 2 − 3 , y la integral se puede poner en la forma ∫ e u d u . ∫ x 2 sen x d x ∫ x 2 sen ( 3 x 3 + 2 ) d x No utilice la integración por partes. Elija u para que sea u = 3 x 3 + 2 y la integral se puede poner en la forma ∫ sen ( u ) d u . Dibuje la región delimitada arriba por la curva, el eje x y x = 1 , y halle el área de la región. Proporcione la forma exacta o redondee las respuestas al número de decimales indicados. y = 2 x e – x (Aproxime la respuesta a cuatro decimales). y = e – x sen ( π x ) (Aproxime la respuesta a cinco decimales). El área bajo el gráfico es 0,39535 Calcule el volumen generado al girar la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la línea especificada. Exprese las respuestas de forma exacta o aproximada al número de decimales indicado. y = sen x , y = 0 , x = 2 π , x = 3 π alrededor del eje y (exprese la respuesta en forma exacta). y = e – x y = 0 , x = –1 x = 0 ; alrededor de x = 1 (Exprese la respuesta en forma exacta). 2 π e Una partícula que se mueve en línea recta tiene una velocidad de v ( t ) = t 2 e − t después de t segundos. ¿Qué distancia recorre en los primeros 2 segundos? (Asuma que las unidades están en pies y exprese la respuesta en forma exacta). Halle el área bajo el gráfico de y = sec 3 x de x = 0 a x = 1 . (Redondee la respuesta a dos dígitos significativos). 2,05 Halle el área entre y = ( x − 2 ) e x y el eje x de x = 2 hasta x = 5 . (Exprese la respuesta en forma exacta). Halle el área de la región delimitada por la curva y = x cos x y el eje x para 11 π 2 ≤ x ≤ 13 π 2 . (Exprese la respuesta en forma exacta). 12 π Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región delimitada por la curva y = ln x , el eje x y la línea vertical x = e 2 alrededor del eje x . (Exprese la respuesta en forma exacta). Calcule el volumen del sólido generado cuando se gira la región delimitada por la curva y = 4 cos x y el eje x , π 2 ≤ x ≤ 3 π 2 , alrededor del eje x . (Exprese la respuesta en forma exacta). 8 π 2 Calcule el volumen del sólido generado al girar la región del primer cuadrante delimitada por y = e x y el eje x , de x = 0 hasta x = ln ( 7 ) , alrededor del eje y . (Exprese la respuesta en forma exacta). integración por partes técnica de integración que permite intercambiar una integral por otra mediante la fórmula ∫ ​ u d v = u v − ∫ ​ v d u", "section": "Integración por partes", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integrales trigonométricas En esta sección veremos cómo integrar una variedad de productos de funciones trigonométricas. Estas integrales se llaman integrales trigonométricas . Son una parte importante de la técnica de integración llamada sustitución trigonométrica , que aparece en Sustitución trigonométrica . Esta técnica nos permite convertir expresiones algebraicas que tal vez no podamos integrar en expresiones que implican funciones trigonométricas, que podremos integrar utilizando las técnicas descritas en esta sección. Además, este tipo de integrales aparecen con frecuencia cuando estudiamos más adelante los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Comencemos nuestro estudio con los productos de sen x y cos x . Integración de productos y potencias de sen x y cos x Una idea clave de la estrategia utilizada para integrar combinaciones de productos y potencias de sen x y cos x implica reescribir estas expresiones como sumas y diferencias de integrales de la forma ∫ sen j x cos x d x o ∫ cos j x sen x d x . Después de reescribir estas integrales, las evaluamos utilizando la sustitución en u . Antes de describir el proceso general en detalle, veamos los siguientes ejemplos. Integración de ∫ cos j x sen x d x Evalúe ∫ cos 3 x sen x d x . Utilice la sustitución en u y supongamos que u = cos x . En este caso, d u = − sen x d x . Por lo tanto, ∫ cos 3 x sen x d x = − ∫ u 3 d u = − 1 4 u 4 + C = − 1 4 cos 4 x + C . Evalúe ∫ sen 4 x cos x d x . 1 5 sen 5 x + C Pista Supongamos que u = sen x . Un ejemplo preliminar: Integración de ∫ cos j x sen k x d x donde k es impar Evalúe ∫ cos 2 x sen 3 x d x . Para convertir esta integral en integrales de la forma ∫ cos j x sen x d x , reescriba sen 3 x = sen 2 x sen x y haga la sustitución sen 2 x = 1 − cos 2 x . Por lo tanto, ∫ cos 3 x sen 3 x d x = ∫ cos 2 x ( 1 − cos 2 x ) sen x d x Supongamos que u = cos x ; entonces d u = − sen x d x . = − ∫ u 2 ( 1 − u 2 ) d u = ∫ ( u 4 − u 2 ) d u = 1 5 u 5 − 1 3 u 3 + C = 1 5 cos 5 x – 1 3 cos 3 x + C . Evalúe ∫ cos 3 x sen 2 x d x . 1 3 sen 3 x – 1 5 sen 5 x + C Pista Escriba cos 3 x = cos 2 x cos x = ( 1 − sen 2 x ) cos x y supongamos que u = sen x . En el siguiente ejemplo, vemos la estrategia que debe aplicarse cuando solo hay potencias pares de sen x y cos x . Para las integrales de este tipo, las identidades sen 2 x = 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) = 1 − cos ( 2 x ) 2 y cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos ( 2 x ) = 1 + cos ( 2 x ) 2 son inestimables. Estas identidades se conocen a veces como identidades de reducción de potencia y pueden derivarse de la identidad de doble ángulo cos ( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x y la identidad pitagórica cos 2 x + sen 2 x = 1 . Integración de una potencia par de sen x Evalúe ∫ sen 2 x d x . Para evaluar esta integral, utilicemos la identidad trigonométrica sen 2 x = 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) . Por lo tanto, ∫ sen 2 x d x = ∫ ( 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) ) d x = 1 2 x – 1 4 sen ( 2 x ) + C . Evalúe ∫ cos 2 x d x . 1 2 x + 1 4 sen ( 2 x ) + C Pista cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos ( 2 x ) El proceso general de integración de productos de potencias de sen x y cos x se resume en el siguiente conjunto de directrices. Estrategia para la resolución de problemas: Integración de productos y potencias de sen x y cos x Para integrar ∫ cos j x sen k x d x utilice las siguientes estrategias: Si k es impar, reescriba sen k x = sen k − 1 x sen x y utilice la identidad sen 2 x = 1 − cos 2 x para reescribir sen k − 1 x en términos de cos x . Integre utilizando la sustitución u = cos x . Esta sustitución hace que d u = − sen x d x . Si j es impar, reescriba cos j x = cos j − 1 x cos x y utilice la identidad cos 2 x = 1 − sen 2 x para reescribir cos j − 1 x en términos de sen x . Integre utilizando la sustitución u = sen x . Esta sustitución hace que d u = cos x d x . ( Nota : Si ambos j y k son impares, se puede utilizar la estrategia 1 o la estrategia 2). Si ambos j y k son pares, utilice sen 2 x = ( 1 / 2 ) − ( 1 / 2 ) cos ( 2 x ) y cos 2 x = ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) cos ( 2 x ) . Después de aplicar estas fórmulas, simplifique y vuelva a aplicar las estrategias 1 a 3 según corresponda. Integración de ∫ cos j x sen k x d x donde k es impar Evalúe ∫ cos 8 x sen 5 x d x . Dado que la potencia en sen x es impar, utilice la estrategia 1. Por lo tanto, ∫ cos 8 x sen 5 x d x = ∫ cos 8 x sen 4 x sen x d x Desprenda sen x . = ∫ cos 8 x ( sen 2 x ) 2 sen x d x Reescriba sen 4 x = ( sen 2 x ) 2 . = ∫ cos 8 x ( 1 − cos 2 x ) 2 sen x d x Sustituya sen 2 x = 1 − cos 2 x . = ∫ u 8 ( 1 − u 2 ) 2 ( − d u ) Supongamos que u = cos x y d u = − sen x d x . = ∫ ( − u 8 + 2 u 10 − u 12 ) d u Expanda . = − 1 9 u 9 + 2 11 u 11 − 1 13 u 13 + C Evalúe la integral . = − 1 9 cos 9 x + 2 11 cos 11 x – 1 13 cos 13 x + C . Sustituya u = cos x . Integración de ∫ cos j x sen k x d x donde k y j son pares Evalúe ∫ sen 4 x d x . Dado que la potencia en sen x es par ( k = 4 ) y la potencia en cos x es par ( j = 0 ) , debemos utilizar la estrategia 3. Por lo tanto, ∫ sen 4 x d x = ∫ ( sen 2 x ) 2 d x Reescriba sen 4 x = ( sen 2 x ) 2 . = ∫ ( 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) ) 2 d x Sustituya sen 2 x = 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) . = ∫ ( 1 4 − 1 2 cos ( 2 x ) + 1 4 cos 2 ( 2 x ) ) d x Expanda ( 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) ) 2 . = ∫ ( 1 4 − 1 2 cos ( 2 x ) + 1 4 ( 1 2 + 1 2 cos ( 4 x ) ) d x . Dado que cos 2 ( 2 x ) tiene una potencia par, sustituya cos 2 ( 2 x ) = 1 2 + 1 2 cos ( 4 x ) : = ∫ ( 3 8 − 1 2 cos ( 2 x ) + 1 8 cos ( 4 x ) ) d x Simplifique . = 3 8 x – 1 4 sen ( 2 x ) + 1 32 sen ( 4 x ) + C Evalúe la integral . Evalúe ∫ cos 3 x d x . sen x – 1 3 sen 3 x + C Pista Utilice la estrategia 2. Escriba cos 3 x = cos 2 x cos x y sustituya cos 2 x = 1 − sen 2 x . Evalúe ∫ cos 2 ( 3 x ) d x . 1 2 x + 1 12 sen ( 6 x ) + C Pista Utilice la estrategia 3. Sustituya cos 2 ( 3 x ) = 1 2 + 1 2 cos ( 6 x ) En algunas áreas de la física, como la mecánica cuántica, el procesamiento de señales y el cálculo de series de Fourier, a menudo es necesario integrar productos que incluyen sen ( a x ) , sen ( b x ) , cos ( a x ) , y cos ( b x ) . Estas integrales se evalúan aplicando las identidades trigonométricas, como se indica en la siguiente regla. Regla: integración de productos de senos y cosenos de diferentes ángulos Para integrar productos que implican sen ( a x ) , sen ( b x ) , cos ( a x ) , y cos ( b x ) , utilice las sustituciones sen ( a x ) sen ( b x ) = 1 2 cos ( ( a − b ) x ) − 1 2 cos ( ( a + b ) x ) grandes. sen ( a x ) cos ( b x ) = 1 2 sen ( ( a − b ) x ) + 1 2 sen ( ( a + b ) x ) grandes. cos ( a x ) cos ( b x ) = 1 2 cos ( ( a − b ) x ) + 1 2 cos ( ( a + b ) x ) Estas fórmulas pueden derivarse de las fórmulas de suma de ángulos para el seno y el coseno. Evaluación de ∫ sen ( a x ) cos ( b x ) d x Evalúe ∫ sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) d x . Aplique la identidad sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) = 1 2 sen ( 2 x ) + 1 2 cos ( 8 x ) . Por lo tanto, ∫ sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) d x = ∫ 1 2 sen ( 2 x ) dx + ∫ 1 2 sen ( 8 x ) dx = − 1 4 cos ( 2 x ) − 1 16 cos ( 8 x ) + C . Evalúe ∫ cos ( 6 x ) cos ( 5 x ) d x . 1 2 sen x + 1 22 sen ( 11 x ) + C Pista Sustituya cos ( 6 x ) cos ( 5 x ) = 1 2 cos x + 1 2 cos ( 11 x ) . Integración de productos y potencias de tan x y sec x Antes de hablar de la integración de productos y potencias de tan x y sec x , es útil recordar las integrales que implican tan x y sec x que ya hemos aprendido: ∫ sec 2 x d x = tan x + C ∫ sec x tan x d x = sec x + C ∫ tan x d x = ln | sec x | + C ∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | + C . Para la mayoría de las integrales de productos y potencias de tan x y sec x , reescribimos la expresión que queremos integrar como la suma o diferencia de integrales de la forma ∫ tan j x sec 2 x d x o ∫ sec j x tan x d x . Como vemos en el siguiente ejemplo, podemos evaluar estas nuevas integrales utilizando la sustitución en u . Evaluación de ∫ sec j x tan x d x Evalúe ∫ sec 5 x tan x d x . Empiece por reescribir sec 5 x tan x como sec 4 x sec x tan x . ∫ sec 5 x tan x d x = ∫ sec 4 x sec x tan x d x Supongamos que u = sec x ; entonces , d u = sec x tan x d x . = ∫ u 4 d u Evalúe la integral . = 1 5 u 5 + C Sustituya sec x = u . = 1 5 sec 5 x + C En este sitio web puede leer una información interesante para conocer una integral común en la que interviene la secante. Evalúe ∫ tan 5 x sec 2 x d x . 1 6 tan 6 x + C Pista Supongamos que u = tan x y d u = sec 2 x . A continuación, analizamos las distintas estrategias de integración de productos y potencias de sec x y tan x . Estrategia para la resolución de problemas: Integración de ∫ tan k x sec j x d x Para integrar ∫ tan k x sec j x d x , utilice las siguientes estrategias: Si los valores de j es par y j ≥ 2 , reescriba sec j x = sec j − 2 x sec 2 x y usamos sec 2 x = tan 2 x + 1 para reescribir sec j − 2 x en términos de tan x . Supongamos que u = tan x y d u = sec 2 x dx . Si los valores de k es impar y j ≥ 1 , reescriba tan k x sec j x = tan k − 1 x sec j − 1 x sec x tan x y usamos tan 2 x = sec 2 x – 1 para reescribir tan k − 1 x en términos de sec x . Supongamos que u = sec x y d u = sec x tan x d x . ( Nota : Si los valores de j es par y k es impar, entonces se puede utilizar la estrategia 1 o la estrategia 2). Si los valores de k es impar donde k ≥ 3 y j = 0 , reescriba tan k x = tan k − 2 x tan 2 x = tan k − 2 x ( sec 2 x – 1 ) = tan k − 2 x sec 2 x − tan k − 2 x . Puede ser necesario repetir este proceso en el término tan k − 2 x . Si los valores de k es par y j es impar, entonces utilice tan 2 x = sec 2 x – 1 para expresar tan k x en términos de sec x . Utilice la integración por partes para integrar potencias impares de sec x . Integración de ∫ tan k x sec j x d x cuando j es par Evalúe ∫ tan 6 x sec 4 x d x . Dado que la potencia en sec x es par, reescriba sec 4 x = sec 2 x sec 2 x y usamos sec 2 x = tan 2 x + 1 para reescribir la primera sec 2 x en términos de tan x . Por lo tanto, ∫ tan 6 x sec 4 x d x = ∫ tan 6 x ( tan 2 x + 1 ) sec 2 x d x Supongamos que u = tan x y d u = sec 2 x dx . = ∫ u 6 ( u 2 + 1 ) d u Expanda . = ∫ ( u 8 + u 6 ) d u Evalúe la integral . = 1 9 u 9 + 1 7 u 7 + C Sustituya tan x = u . = 1 9 tan 9 x + 1 7 tan 7 x + C . Integración de ∫ tan k x sec j x d x cuando k es impar Evalúe ∫ tan 5 x sec 3 x d x . Dado que la potencia en tan x es impar, comience por reescribir tan 5 x sec 3 x = tan 4 x sec 2 x sec x tan x . Por lo tanto, tan 5 x sec 3 x = tan 4 x sec 2 x sec x tan x . Escriba tan 4 x = ( tan 2 x ) 2 . ∫ tan 5 x sec 3 x d x = ∫ ( tan 2 x ) 2 sec 2 x sec x tan x d x Utilice tan 2 x = sec 2 x − 1 = ∫ ( sec 2 x – 1 ) 2 sec 2 x sec x tan x d x Supongamos que u = sec x y d u = sec x tan x d x . = ∫ ( u 2 – 1 ) 2 u 2 d u Expanda . = ∫ ( u 6 − 2 u 4 + u 2 ) d u Integre . = 1 7 u 7 − 2 5 u 5 + 1 3 u 3 + C Sustituya sec x = u . = 1 7 sec 7 x − 2 5 sec 5 x + 1 3 sec 3 x + C . Integración de ∫ tan k x d x donde k es impar y k ≥ 3 Evalúe ∫ tan 3 x d x . Comience por reescribir tan 3 x = tan x tan 2 x = tan x ( sec 2 x – 1 ) = tan x sec 2 x − tan x . Por lo tanto, ∫ tan 3 x d x = ∫ ( tan x sec 2 x − tan x ) d x = ∫ tan x sec 2 x d x − ∫ tan x d x = 1 2 tan 2 x − ln | sec x | + C . Para la primera integral, utilice la sustitución u = tan x . Para la segunda integral, utilice la fórmula. Integración de ∫ sec 3 x d x Integre ∫ sec 3 x d x . Esta integral requiere la integración por partes. Para empezar, supongamos que u = sec x y d v = sec 2 x dx . Estas elecciones hacen que d u = sec x tan x y v = tan x . Por lo tanto, ∫ sec 3 x d x = sec x tan x − ∫ tan x sec x tan x d x = sec x tan x − ∫ tan 2 x sec x d x Simplifique . = sec x tan x − ∫ ( sec 2 x – 1 ) sec x d x Sustituya tan 2 x = sec 2 x − 1 = sec x tan x + ∫ sec x d x − ∫ sec 3 x d x Reescriba . = sec x tan x + ln | sec x + tan x | − ∫ sec 3 x d x . Evalúe ∫ sec x d x . Ahora tenemos ∫ sec 3 x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | − ∫ sec 3 x d x . Dado que la integral ∫ sec 3 x d x ha vuelto a aparecer en el lado derecho, podemos resolver para ∫ sec 3 x d x sumándola a ambos lados. Al hacerlo, obtenemos 2 ∫ sec 3 x d x = sec x tan x + ln | sec x + tan x | . Dividiendo entre 2, llegamos a ∫ sec 3 x d x = 1 2 sec x tan x + 1 2 ln | sec x + tan x | + C . Evalúe ∫ tan 3 x sec 7 x d x . 1 9 sec 9 x – 1 7 sec 7 x + C Fórmulas de reducción Evaluación de ∫ sec n x d x para los valores de n donde n es impar requiere la integración por partes. Además, también debemos conocer el valor de ∫ sec n – 2 x d x para evaluar ∫ sec n x d x . La evaluación de ∫ tan n x d x también requiere poder integrar ∫ tan n – 2 x d x . Para facilitar el proceso, podemos derivar y aplicar las siguientes fórmulas de reducción de potencias . Estas reglas nos permiten sustituir la integral de una potencia de sec x o tan x por la integral de una potencia inferior de sec x o tan x . Regla: fórmulas de reducción para ∫ sec n x d x y ∫ tan n x d x ∫ sec n x d x = 1 n – 1 sec n – 2 x tan x + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 x d x ∫ tan n x d x = 1 n – 1 tan n – 1 x − ∫ tan n – 2 x d x La primera regla de reducción de potencias puede verificarse aplicando la integración por partes. La segunda puede verificarse siguiendo la estrategia expuesta para integrar las potencias impares de tan x . Repasando ∫ sec 3 x d x Aplique una fórmula de reducción para evaluar ∫ sec 3 x d x . Aplicando la primera fórmula de reducción, obtenemos ∫ sec 3 x d x = 1 2 sec x tan x + 1 2 ∫ sec x d x = 1 2 sec x tan x + 1 2 ln | sec x + tan x | + C . Utilizar una fórmula de reducción Evalúe ∫ tan 4 x d x . Aplicando la fórmula de reducción de ∫ tan 4 x d x tenemos ∫ tan 4 x d x = 1 3 tan 3 x − ∫ tan 2 x d x = 1 3 tan 3 x − ( tan x − ∫ tan 0 x d x ) Aplique la fórmula de reducción a ∫ tan 2 x d x . = 1 3 tan 3 x − tan x + ∫ 1 d x Simplifique . = 1 3 tan 3 x − tan x + x + C . Evalúe ∫ 1 d x . Aplique la fórmula de reducción a ∫ sec 5 x d x . ∫ sec 5 x d x = 1 4 sec 3 x tan x + 3 4 ∫ sec 3 x Pista Utilice la fórmula de reducción 1 y supongamos que n = 5 . Conceptos clave Las integrales de las funciones trigonométricas pueden evaluarse mediante el uso de varias estrategias. Estas estrategias incluyen Aplicar las identidades trigonométricas para reescribir la integral de manera que pueda ser evaluada mediante sustitución en u Utilizar la integración por partes Aplicar las identidades trigonométricas para reescribir productos de senos y cosenos con diferentes argumentos como la suma de funciones individuales de senos y cosenos Aplicar fórmulas de reducción Ecuaciones clave Para integrar productos que implican sen ( a x ) , sen ( b x ) , cos ( a x ) , y cos ( b x ) , utilice las sustituciones. Productos del seno sen ( a x ) sen ( b x ) = 1 2 cos ( ( a − b ) x ) − 1 2 cos ( ( a + b ) x ) Productos del seno y coseno sen ( a x ) cos ( b x ) = 1 2 sen ( ( a − b ) x ) + 1 2 sen ( ( a + b ) x ) Productos del coseno cos ( a x ) cos ( b x ) = 1 2 cos ( ( a − b ) x ) + 1 2 cos ( ( a + b ) x ) Fórmula de reducción de potencias ∫ sec n x d x = 1 n – 1 sec n – 1 x + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 x d x Fórmula de reducción de potencias ∫ tan n x d x = 1 n – 1 tan n – 1 x − ∫ tan n – 2 x d x Rellene el espacio en blanco para que la afirmación sea verdadera. sen 2 x + _______ = 1 cos 2 x sec 2 x – 1 = _______ Utilice una identidad para reducir la potencia de la función trigonométrica a una función trigonométrica elevada a la primera potencia. sen 2 x = _______ 1 − cos ( 2 x ) 2 cos 2 x = _______ Evalúe cada una de las siguientes integrales por sustitución en u . ∫ sen 3 x cos x d x sen 4 x 4 + C ∫ cos x sen x d x ∫ tan 5 ( 2 x ) sec 2 ( 2 x ) d x 1 12 tan 6 ( 2 x ) + C ∫ sen 7 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x ∫ tan ( x 2 ) sec 2 ( x 2 ) d x sec 2 ( x 2 ) + C ∫ tan 2 x sec 2 x d x Calcule las siguientes integrales utilizando las directrices para integrar potencias de funciones trigonométricas. Utilice un CAS para comprobar las soluciones. ( Nota : Algunos de los problemas pueden realizarse utilizando técnicas de integración aprendidas anteriormente). ∫ sen 3 x d x − cos x + 1 3 cos 2 x + C ∫ cos 3 x d x ∫ sen x cos x d x − 1 2 cos 2 x + C o 1 2 sen 2 x + C ∫ cos 5 x d x ∫ sen 5 x cos 2 x d x − 1 3 cos 3 x + 2 5 cos 5 x − 1 7 cos 7 x + C ∫ sen 3 x cos 3 x d x ∫ sen x cos x d x 2 3 ( sen x ) 3 2 + C ∫ sen x cos 3 x d x ∫ sec x tan x d x sec x + C ∫ tan ( 5 x ) d x ∫ tan 2 x sec x d x 1 2 sec x tan x – 1 2 ln ( sec x + tan x ) + C ∫ tan x sec 3 x d x ∫ sec 4 x d x 2 tan x 3 + 1 3 sec ( x ) 2 tan x = tan x + tan 3 x 3 + C ∫ cot x d x ∫ csc x d x − ln | cot x + csc x | + C ∫ tan 3 x sec x d x En los siguientes ejercicios, halle una fórmula general para las integrales. ∫ sen 2 a x cos a x d x sen 3 ( a x ) 3 a + C ∫ sen a x cos a x d x . Utilice las fórmulas del ángulo doble para evaluar las siguientes integrales. ∫ 0 π sen 2 x d x π 2 ∫ 0 π sen 4 x d x ∫ cos 2 3 x d x x 2 + 1 12 sen ( 6 x ) + C ∫ sen 2 x cos 2 x d x ∫ sen 2 x d x + ∫ cos 2 x d x x + C ∫ sen 2 x cos 2 ( 2 x ) d x En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales definidas. Exprese las respuestas en forma exacta siempre que sea posible. ∫ 0 2 π cos x sen 2 x d x 0 ∫ 0 π sen 3 x sen 5 x d x ∫ 0 π cos ( 99 x ) sen ( 101 x ) d x 0 ∫ − π π cos 2 ( 3 x ) d x ∫ 0 2 π sen x sen ( 2 x ) sen ( 3 x ) d x 0 ∫ 0 4 π cos ( x / 2 ) sen ( x / 2 ) d x ∫ π / 6 π / 3 cos 3 x sen x d x (Redondee esta respuesta a tres decimales). Aproximadamente 0,239 ∫ − π / 3 π / 3 sec 2 x – 1 d x ∫ 0 π / 2 1 − cos ( 2 x ) d x 2 Calcule el área de la región delimitada por los gráficos de las ecuaciones y = sen x , y = sen 3 x , x = 0 , y x = π 2 . Calcule el área de la región delimitada por los gráficos de las ecuaciones y = cos 2 x , y = sen 2 x , x = − π 4 , y x = π 4 . 1,0 Una partícula se mueve en línea recta con la función de velocidad v ( t ) = sen ( ω t ) cos 2 ( ω t ) . Halle su función de posición x = f ( t ) si f ( 0 ) = 0 . Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = sen 2 x cos 3 x en el intervalo [ − π , π ] . 0 En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones diferenciales. d y d x = sen 2 x . La curva pasa por el punto ( 0 , 0 ) . d y d θ = sen 4 ( π θ ) grandes. 3 θ 8 − 1 4 π sen ( 2 π θ ) + 1 32 π sen ( 4 π θ ) + C = f ( x ) Halle la longitud de la curva y = ln ( csc x ) , π 4 ≤ x ≤ π 2 . Halle la longitud de la curva y = ln ( sen x ) , π 3 ≤ x ≤ π 2 . ln ( 3 ) Calcule el volumen generado al girar la curva y = cos ( 3 x ) alrededor del eje x , 0 ≤ x ≤ π 36 . En los siguientes ejercicios, utilice esta información: El producto interior de dos funciones f y g en [ a , b ] se define por f ( x ) . g ( x ) = 〈 f , g 〉 = ∫ a b f . g d x . Se dice que dos funciones distintas f y g son ortogonales si 〈 f , g 〉 = 0 . Demuestre que { sen ( 2 x ) , cos ( 3 x ) } son ortogonales en el intervalo [ − π , π ] . ∫ − π π sen ( 2 x ) cos ( 3 x ) d x = 0 Evalúe ∫ − π π sen ( m x ) cos ( n x ) d x . Integre y ′ = tan x sec 4 x . tan ( x ) x ( 8 tan x 21 + 2 7 sec x 2 tan x ) + C = f ( x ) Para cada par de integrales, determine cuál es más difícil de evaluar. Explique su razonamiento. ∫ sen 456 x cos x d x o ∫ sen 2 x cos 2 x d x ∫ tan 350 x sec 2 x d x o ∫ tan 350 x sec x d x La segunda integral es más difícil porque la primera integral es simplemente un tipo de sustitución en u . fórmula de reducción de potencias regla que permite intercambiar una integral de una potencia de una función trigonométrica por una integral que implique una potencia inferior integral trigonométrica integral con potencias y productos de funciones trigonométricas", "section": "Integrales trigonométricas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Sustitución trigonométrica En esta sección, exploramos las integrales que contienen expresiones de la forma a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , y x 2 − a 2 , donde los valores de a son positivos. Ya hemos encontrado y evaluado integrales que contienen algunas expresiones de este tipo, pero muchas siguen siendo inaccesibles. La técnica de la sustitución trigonométrica es muy útil para evaluar estas integrales. Esta técnica utiliza la sustitución para reescribir estas integrales como integrales trigonométricas. Integrales que implican a 2 − x 2 Antes de desarrollar una estrategia general para las integrales que contienen a 2 − x 2 , considere la integral ∫ 9 − x 2 d x . Esta integral no puede evaluarse con ninguna de las técnicas sobre las que hemos hablado hasta ahora. Sin embargo, si hacemos la sustitución x = 3 sen θ , tenemos d x = 3 cos θ d θ . Después de sustituir en la integral, tenemos ∫ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 − ( 3 sen θ ) 2 3 cos θ d θ . Tras simplificar, tenemos ∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 1 − sen 2 θ cos θ d θ . Supongamos que 1 − sen 2 θ = cos 2 θ , ahora tenemos ∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 cos 2 θ cos θ d θ . Suponiendo que cos θ ≥ 0 , tenemos ∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 cos 2 θ d θ . En este punto, podemos evaluar la integral utilizando las técnicas desarrolladas para integrar potencias y productos de funciones trigonométricas. Antes de completar este ejemplo, echemos un vistazo a la teoría general que hay detrás de esta idea. Para evaluar las integrales que implican a 2 − x 2 , hacemos la sustitución x = a sen θ y d x = a cos θ . Para ver que esto realmente tiene sentido, considere el siguiente argumento: El dominio de a 2 − x 2 es [ − a , a ] . Por lo tanto, − a ≤ x ≤ a . En consecuencia, −1 ≤ x a ≤ 1 . Dado que el rango de sen x en [ − ( π / 2 ) , π / 2 ] es [ −1 , 1 ] , hay un ángulo único θ que satisface − ( π / 2 ) ≤ θ ≤ π / 2 por lo que sen θ = x / a , o, de forma equivalente, de modo que x = a sen θ . Si sustituimos x = a sen θ en a 2 − x 2 , obtenemos a 2 − x 2 = a 2 − ( a sen θ ) 2 Supongamos que x = a sen θ donde − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Simplifique. = a 2 − a 2 sen 2 θ Saque el factor común a 2 . = a 2 ( 1 − sen 2 θ ) Sustituya 1 − sen 2 x = cos 2 x . = a 2 cos 2 θ Tome la raíz cuadrada. = | a cos θ | = a cos θ . Dado que cos θ ≥ 0 en − π 2 ≤ θ ≤ π 2 y a > 0 , | a cos θ | = a cos θ . Podemos ver, a partir de esta discusión, que al hacer la sustitución x = a sen θ , podemos convertir una integral que implique un radical en una integral que incluya funciones trigonométricas. Después de evaluar la integral, podemos volver a convertir la solución en una expresión que implique x . Para ver cómo hacer esto, vamos a empezar por suponer que 0 < x < a . En este caso, 0 < θ < π 2 . Dado que sen θ = x a , podemos dibujar el triángulo de referencia en la como ayuda para expresar los valores de cos θ , tan θ , y las funciones trigonométricas restantes en términos de x . Se puede demostrar que este triángulo produce realmente los valores correctos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ para todo θ que satisface − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Es útil observar que la expresión a 2 − x 2 aparece en realidad como la longitud de un lado del triángulo. Por último, si θ aparece solo, utilizamos θ = sen −1 ( x a ) . Un triángulo de referencia puede ayudar a expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ en términos de x . Lo esencial de este debate se resume en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a 2 − x 2 Una buena idea es asegurarse de que la integral no se puede evaluar fácilmente de otra manera. Por ejemplo, si bien este método puede aplicarse a integrales de la forma ∫ 1 a 2 − x 2 d x , ∫ x a 2 − x 2 d x , y ∫ x a 2 − x 2 d x , cada una de ellas se puede integrar directamente mediante fórmula o mediante una simple sustitución en u . Realice la sustitución x = a sen θ y d x = a cos θ d θ . Nota : Esta sustitución da como resultado a 2 − x 2 = a cos θ . Simplifique la expresión. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas. Utilice el triángulo de referencia de la para reescribir el resultado en términos de x . Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ = sen −1 ( x a ) . El siguiente ejemplo demuestra la aplicación de esta estrategia de resolución de problemas. Integración de una expresión que implica a 2 − x 2 Evalúe ∫ ​ 9 − x 2 d x . Comience por hacer las sustituciones x = 3 sen θ y d x = 3 cos θ d θ . Dado que sen θ = x 3 , podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura. Se puede construir un triángulo de referencia para el . Por lo tanto, ∫ ​ 9 − x 2 d x = ∫ ​ 9 − ( 3 sen θ ) 2 3 cos θ d θ Sustituya x = 3 sen θ y d x = 3 cos θ d θ . = ∫ ​ 9 ( 1 − sen 2 θ ) 3 cos θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 9 cos 2 θ 3 cos θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ . = ∫ ​ 3 | cos θ | 3 cos θ d θ Tome la raíz cuadrada. = ∫ ​ 9 cos 2 θ d θ Simplifique. Dado que − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , cos θ ≥ 0 y | cos θ | = cos θ . = ∫ ​ 9 ( 1 2 + 1 2 cos ( 2 θ ) ) d θ Utilice la estrategia para integrar una potencia par de cos θ . = 9 2 θ + 9 4 sen ( 2 θ ) + C Evalúe la integral. = 9 2 θ + 9 4 ( 2 sen θ cos θ ) + C Sustituya sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ . = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + 9 2 . x 3 . 9 − x 2 3 + C Sustituya sen −1 ( x 3 ) = θ y sen θ = x 3 . Utilice el triángulo de referencia para ver que cos θ = 9 − x 2 3 y haga esta sustitución. = 9 2 sen −1 ( x 3 ) + x 9 − x 2 2 + C . Simplifique. Integración de una expresión que implica a 2 − x 2 Evalúe ∫ 4 − x 2 x d x . Primero haga las sustituciones x = 2 sen θ y d x = 2 cos θ d θ . Dado que sen θ = x 2 , podemos construir el triángulo de referencia que se muestra en la siguiente figura. Se puede construir un triángulo de referencia para el . Por lo tanto, ∫ 4 − x 2 x d x = ∫ 4 − ( 2 sen θ ) 2 2 sen θ 2 cos θ d θ Sustituya x = 2 sen θ y = 2 cos θ d θ . = ∫ 2 cos 2 θ sen θ d θ Sustituya cos 2 θ = 1 − sen 2 θ y simplifique. = ∫ 2 ( 1 − sen 2 θ ) sen θ d θ Sustituya sen 2 θ = 1 − cos 2 θ . = ∫ ​ ( 2 csc θ − 2 sen θ ) d θ Separe el numerador, simplifique y utilice csc θ = 1 sen θ . = 2 ln | csc θ − cot θ | + 2 cos θ + C Evalúe la integral. = 2 ln | 2 x − 4 − x 2 x | + 4 − x 2 + C . Utilice el triángulo de referencia para reescribir la expresión en términos de x y simplifique. En el siguiente ejemplo, vemos que a veces podemos elegir entre varios métodos. Integración de una expresión que implica a 2 − x 2 Dos maneras Evalúe ∫ ​ x 3 1 − x 2 d x de dos maneras: primero utilizando la sustitución u = 1 − x 2 y luego utilizando una sustitución trigonométrica. Método 1 Supongamos que u = 1 − x 2 y por lo tanto x 2 = 1 − u . Por lo tanto, d u = –2 x d x . En este caso, la integral se convierte en ∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = − 1 2 ∫ ​ x 2 1 − x 2 ( −2 x d x ) Haga la sustitución. = − 1 2 ∫ ​ ( 1 − u ) u d u Amplíe la expresión. = − 1 2 ∫ ( u 1 / 2 − u 3 / 2 ) d u Evalúe la integral. = − 1 2 ( 2 3 u 3 / 2 − 2 5 u 5 / 2 ) + C Reescriba en términos de x . = − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 + C . Método 2 Supongamos que x = sen θ . En este caso, d x = cos θ d θ . Mediante esta sustitución, tenemos ∫ ​ x 3 1 − x 2 d x = ∫ ​ sen 3 θ cos 2 θ d θ = ∫ ​ ( 1 − cos 2 θ ) cos 2 θ sen θ d θ Supongamos que u = cos θ . Por lo tanto, d u = − sen θ d θ . = ∫ ​ ( u 4 − u 2 ) d u = 1 5 u 5 − 1 3 u 3 + C Sustituya cos θ = u . = 1 5 cos 5 θ − 1 3 cos 3 θ + C Utilice un triángulo de referencia para ver que cos θ = 1 − x 2 . = 1 5 ( 1 − x 2 ) 5 / 2 – 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 + C . Reescriba la integral ∫ x 3 25 − x 2 d x utilizando la sustitución trigonométrica adecuada (no evalúe la integral). ∫ ​ 125 sen 3 θ d θ Pista Sustituya x = 5 sen θ y d x = 5 cos θ d θ . Integración de expresiones que implican a 2 + x 2 Para las integrales que contienen a 2 + x 2 , consideremos primero el dominio de esta expresión. Dado que a 2 + x 2 se define para todos los valores reales de x , limitamos nuestra elección a aquellas funciones trigonométricas que tienen un rango de todos los números reales. Por lo tanto, nuestra elección se limita a seleccionar x = a tan θ o x = a cot θ . Cualquiera de estas sustituciones podría funcionar, pero la sustitución estándar es x = a tan θ o, de forma equivalente, tan θ = x / a . Con esta sustitución, suponemos que − ( π / 2 ) < θ < π / 2 , por lo que también tenemos θ = tan –1 ( x / a ) . El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Integración de expresiones que implican a 2 + x 2 Compruebe si la integral se puede evaluar fácilmente utilizando otro método. En algunos casos, es más conveniente utilizar un método alternativo. Sustituya x = a tan θ y d x = a sec 2 θ d θ . Esta sustitución da como resultado a 2 + x 2 = a 2 + ( a tan θ ) 2 = a 2 ( 1 + tan 2 θ ) = a 2 sec 2 θ = | a sec θ | = a sec θ . (Dado que − π 2 < θ < π 2 y sec θ > 0 en este intervalo, | a sec θ | = a sec θ . ) Simplifique la expresión. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas. Utilice el triángulo de referencia de la para reescribir el resultado en términos de x . Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ = tan –1 ( x a ) . ( Nota : El triángulo de referencia se basa en la suposición de que x > 0 ; sin embargo, las razones trigonométricas producidas a partir del triángulo de referencia son las mismas que las razones para las que x ≤ 0, ) Se puede construir un triángulo de referencia para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ en términos de x . Integración de una expresión que implica a 2 + x 2 Evalúe ∫ d x 1 + x 2 y diferencie para comprobar la solución. Comience con la sustitución x = tan θ y d x = sec 2 θ d θ . Dado que tan θ = x , dibuje el triángulo de referencia en la siguiente figura. El triángulo de referencia para el . Por lo tanto, ∫ d x 1 + x 2 = ∫ sec 2 θ sec θ d θ Sustituya x = tan θ y d x = sec 2 θ d θ . Esta sustitución hace que 1 + x 2 = sec θ . Simplifique. = ∫ ​ sec θ d θ Evalúe la integral. = ln | sec θ + tan θ | + C Utilice el triángulo de referencia para expresar el resultado en términos de x . = ln | 1 + x 2 + x | + C . Para comprobar la solución, diferencie: d d x ( ln | 1 + x 2 + x | ) = 1 1 + x 2 + x . ( x 1 + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 + x . x + 1 + x 2 1 + x 2 = 1 1 + x 2 . Dado que 1 + x 2 + x > 0 para todos los valores de x , podríamos reescribir ln | 1 + x 2 + x | + C = ln ( 1 + x 2 + x ) + C , si se desea. Evaluar ∫ d x 1 + x 2 Utilizando una sustitución diferente Utilice la sustitución x = senoh θ para evaluar ∫ d x 1 + x 2 . Porque senoh θ tiene un rango de todos los números reales y 1 + senoh 2 θ = cosh 2 θ , también podemos utilizar la sustitución x = senoh θ para evaluar esta integral. En este caso, d x = cosh θ d θ . En consecuencia, ∫ d x 1 + x 2 = ∫ cosh θ 1 + senoh 2 θ d θ Sustituya x = senoh θ y d x = cosh θ d θ . Sustituya 1 + senoh 2 θ = cosh 2 θ . = ∫ cosh θ cosh 2 θ d θ cosh 2 θ = | cosh θ | = ∫ cosh θ | cosh θ | d θ | cosh θ | = cosh θ dado que cosh θ > 0 para todo θ . = ∫ cosh θ cosh θ d θ Simplifique. = ∫ ​ 1 d θ Evalúe la integral. = θ + C Dado que x = senoh θ , sabemos que θ = senoh −1 x . = senoh −1 x + C . Análisis Esta respuesta es muy diferente a la obtenida mediante la sustitución x = tan θ . Para ver que las soluciones son las mismas, establezca y = senoh −1 x . Por lo tanto, senoh y = x . De esta ecuación obtenemos: e y − e − y 2 = x . Después de multiplicar ambos lados por 2 e y y reescribiendo, esta ecuación se convierte en: e 2 y − 2 x e y − 1 = 0 . Utilice la ecuación cuadrática para resolver e y : e y = 2 x ± 4 x 2 + 4 2 . Simplificando, tenemos: e y = x ± x 2 + 1 . Dado que x – x 2 + 1 < 0 , el caso debe ser que e y = x + x 2 + 1 . Por lo tanto, y = ln ( x + x 2 + 1 ) . Por último, obtenemos senoh −1 x = ln ( x + x 2 + 1 ) . Después de hacer la observación final de que, como x + x 2 + 1 > 0 , ln ( x + x 2 + 1 ) = ln | 1 + x 2 + x | , vemos que los dos métodos diferentes producen soluciones equivalentes. Hallar una longitud de arco Calcule la longitud de la curva y = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 2 ] . Debido a que d y d x = 2 x , la longitud de arco está dada por ∫ 0 1 / 2 1 + ( 2 x ) 2 d x = ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x . Para evaluar esta integral, utilice la sustitución x = 1 2 tan θ y d x = 1 2 sec 2 θ d θ . También tenemos que cambiar los límites de la integración. Si x = 0 , entonces θ = 0 y si x = 1 2 , entonces θ = π 4 . Por lo tanto, ∫ 0 1 / 2 1 + 4 x 2 d x = ∫ 0 π / 4 1 + tan 2 θ 1 2 sec 2 θ d θ Después de la sustitución, 1 + 4 x 2 = tan θ . Sustituya 1 + tan 2 θ = sec 2 θ y simplifique. = 1 2 ∫ 0 π / 4 sec 3 θ d θ Derivamos esta integral en la sección anterior. = 1 2 ( 1 2 s θ tan θ + 1 2 ln | sec θ + tan θ | ) | 0 π / 4 Evalúe y simplifique. = 1 4 ( 2 + ln ( 2 + 1 ) ) . Reescriba ∫ ​ x 3 x 2 + 4 d x utilizando una sustitución que implique tan θ . ∫ ​ 32 tan 3 θ sec 3 θ d θ Pista Utilice la sustitución en x = 2 tan θ y d x = 2 sec 2 θ d θ . Integración de expresiones que implican x 2 − a 2 El dominio de la expresión x 2 − a 2 es ( − ∞ , − a ] ∪ [ a , + ∞ ) . Por lo tanto, o bien x ≤ − a o x ≥ a . Por lo tanto, x a ≤ − 1 o x a ≥ 1 . Dado que estos intervalos corresponden al rango de sec θ en el conjunto [ 0 , π 2 ) ∪ ( π 2 , π ] , tiene sentido utilizar la sustitución sec θ = x a o, de forma equivalente, x = a sec θ , donde 0 ≤ θ < π 2 o π 2 < θ ≤ π . La sustitución correspondiente para d x es d x = a sec θ tan θ d θ . El procedimiento para utilizar esta sustitución se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Integrales que implican x 2 − a 2 Compruebe si la integral no se puede evaluar utilizando otro método. Si es así, podemos considerar la aplicación de una técnica alternativa. Sustituya x = a sec θ y d x = a sec θ tan θ d θ . Esta sustitución da produce x 2 − a 2 = ( a sec θ ) 2 − a 2 = a 2 ( sec 2 θ − 1 ) = a 2 tan 2 θ = | a tan θ | . Para x ≥ a , | a tan θ | = a tan θ y para x ≤ − a , | a tan θ | = − a tan θ . Simplifique la expresión. Evalúe la integral utilizando las técnicas de la sección de integrales trigonométricas. Utilice los triángulos de referencia de la para reescribir el resultado en términos de x . Es posible que también tenga que utilizar algunas identidades trigonométricas y la relación θ = sec −1 ( x a ) . ( Nota : Necesitamos ambos triángulos de referencia, ya que los valores de algunas de las razones trigonométricas son diferentes dependiendo de si x ≥ a o x ≤ − a . ) Utilice el triángulo de referencia adecuado para expresar las funciones trigonométricas evaluadas en θ en términos de x . Hallar el área de una región Halle el área de la región entre el gráfico de f ( x ) = x 2 − 9 y el eje x en el intervalo [ 3 , 5 ] . En primer lugar, dibuje un gráfico aproximado de la región descrita en el problema, como se muestra en la siguiente figura. El cálculo del área de la región sombreada requiere evaluar una integral con una sustitución trigonométrica. Podemos ver que el área es A = ∫ 3 5 x 2 − 9 d x . Para evaluar esta integral definida, sustituya x = 3 sec θ y d x = 3 sec θ tan θ d θ . También debemos cambiar los límites de la integración. Si x = 3 , entonces 3 = 3 sec θ y por lo tanto θ = 0 . Si x = 5 , entonces θ = sec −1 ( 5 3 ) . Después de hacer estas sustituciones y simplificar, tenemos Área = ∫ 3 5 x 2 − 9 d x = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 tan 2 θ sec θ d θ Utilice tan 2 θ = 1 − sec 2 θ . = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 2 θ − 1 ) sec θ d θ Expanda. = ∫ 0 sec −1 ( 5 / 3 ) 9 ( sec 3 θ − sec θ ) d θ Evalúe la integral. = ( 9 2 ln | sec θ + tan θ | + 9 2 s θ tan θ ) − 9 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Simplifique. = 9 2 s θ tan θ − 9 2 ln | sec θ + tan θ | | 0 sec −1 ( 5 / 3 ) Evalúe. Utilice sec ( sec −1 5 3 ) = 5 3 y tan ( sec −1 5 3 ) = 4 3 . = 9 2 . 5 3 . 4 3 − 9 2 ln | 5 3 + 4 3 | − ( 9 2 . 1 . 0 − 9 2 ln | 1 + 0 | ) = 10 − 9 2 ln 3 . Evalúe ∫ d x x 2 − 4 . Supongamos que x > 2 . ln | x 2 + x 2 − 4 2 | + C Pista Sustituya x = 2 s θ y d x = 2 s θ tan θ d θ . Conceptos clave Para integrales que implican a 2 − x 2 , utilice la sustitución x = a sen θ y d x = a cos θ d θ . Para integrales que implican a 2 + x 2 , utilice la sustitución x = a tan θ y d x = a sec 2 θ d θ . Para integrales que implican x 2 − a 2 , sustituya x = a sec θ y d x = a sec θ tan θ d θ . Simplifique las siguientes expresiones escribiendo cada una de ellas con una sola función trigonométrica. 4 − 4 sen 2 θ 9 sec 2 θ − 9 9 tan 2 θ a 2 + a 2 tan 2 θ a 2 + a 2 senoh 2 θ a 2 cosh 2 θ 16 cosh 2 θ − 16 Utilice la técnica de completar el cuadrado para expresar cada trinomio como el cuadrado de un binomio o el cuadrado de un binomio más una constante. 4 x 2 − 4 x + 1 4 ( x – 1 2 ) 2 2 x 2 − 8 x + 3 − x 2 − 2 x + 4 − ( x + 1 ) 2 + 5 Integre utilizando el método de sustitución trigonométrica. Exprese la respuesta final en términos de la variable. ∫ d x 4 − x 2 ∫ d x x 2 − a 2 ln | x + − a 2 + x 2 | + C ∫ 4 − x 2 d x ∫ d x 1 + 9 x 2 1 3 ln | 9 x 2 + 1 + 3 x | + C ∫ x 2 d x 1 − x 2 ∫ d x x 2 1 − x 2 − 1 − x 2 x + C ∫ d x ( 1 + x 2 ) 2 ∫ x 2 + 9 d x 9 [ x x 2 + 9 18 + 1 2 l n | x 2 + 9 3 + x 3 | ] + C ∫ x 2 − 25 x d x ∫ θ 3 d θ 9 − θ 2 − 1 3 9 − θ 2 ( 18 + θ 2 ) + C ∫ d x x 6 − x 2 ∫ x 6 − x 8 d x ( –1 + x 2 ) ( 2 + 3 x 2 ) x 6 − x 8 15 x 3 + C ∫ d x ( 1 + x 2 ) 3 / 2 ∫ d x ( x 2 − 9 ) 3 / 2 − x 9 −9 + x 2 + C ∫ 1 + x 2 d x x ∫ x 2 d x x 2 – 1 1 2 ( ln | x + x 2 – 1 | + x x 2 – 1 ) + C ∫ x 2 d x x 2 + 4 ∫ d x x 2 x 2 + 1 − 1 + x 2 x + C ∫ x 2 d x 1 + x 2 ∫ –1 1 ( 1 − x 2 ) 3 / 2 d x 1 8 ( x ( 5 − 2 x 2 ) 1 − x 2 + 3 arcsen x ) + C En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones x = senoh θ , cosh θ , o tanh θ . Exprese las respuestas finales en términos de la variable x. ∫ d x x 2 – 1 ∫ d x x 1 − x 2 ln x − ln | 1 + 1 − x 2 | + C ∫ x 2 – 1 d x ∫ x 2 – 1 x 2 d x − −1 + x 2 x + ln | x + −1 + x 2 | + C ∫ d x 1 − x 2 ∫ 1 + x 2 x 2 d x − 1 + x 2 x + arcsenh x + C Utilice la técnica de completar el cuadrado para evaluar las siguientes integrales. ∫ 1 x 2 − 6 x d x ∫ 1 x 2 + 2 x + 1 d x − 1 1 + x + C ∫ 1 − x 2 + 2 x + 8 d x ∫ 1 − x 2 + 10 x d x 2 −10 + x x ln | −10 + x + x | ( 10 − x ) x + C ∫ 1 x 2 + 4 x − 12 d x Evalúe la integral sin usar cálculo: ∫ −3 3 9 − x 2 d x . 9 π 2 ; área de un semicírculo de radio 3 Halle el área encerrada por la elipse x 2 4 + y 2 9 = 1 . Evalúe la integral ∫ d x 1 − x 2 utilizando dos sustituciones diferentes. En primer lugar, supongamos que x = cos θ y evalúe utilizando la sustitución trigonométrica. En segundo lugar, supongamos que x = sen θ y utilice la sustitución trigonométrica. ¿Las respuestas son las mismas? arcsen ( x ) + C es la respuesta habitual. Evalúe la integral ∫ d x x x 2 – 1 utilizando la sustitución x = sec θ . A continuación, evalúe la misma integral utilizando la sustitución x = csc θ . Demuestre que los resultados son equivalentes. Evalúe la integral ∫ x x 2 + 1 d x utilizando la forma ∫ 1 u d u . A continuación, evalúe la misma integral utilizando x = tan θ . ¿Los resultados son los mismos? 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C es el resultado utilizando cualquiera de los dos métodos. Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral ∫ x x 2 + 1 d x . ¿Por qué ha elegido este método? Indique el método de integración que utilizaría para evaluar la integral ∫ x 2 x 2 – 1 d x . ¿Por qué ha elegido este método? Utilice la sustitución trigonométrica. Supongamos que x = sec ( θ ) . Evalúe ∫ –1 1 x d x x 2 + 1 Halle la longitud de arco de la curva en el intervalo especificado: y = ln x , [ 1 , 5 ] . Redondee la respuesta a tres decimales. 4,367 Halle el área superficial del sólido que se genera al girar la región delimitada por los gráficos de y = x 2 , y = 0 , x = 0 , y x = 2 alrededor del eje x . (Redondee la respuesta a tres decimales). La región delimitada por el gráfico de f ( x ) = 1 1 + x 2 y el eje x entre x = 0 y x = 1 se gira alrededor del eje x . Calcule el volumen del sólido que se genera. π 2 8 + π 4 Resuelva el problema de valor inicial de y en función de x . ( x 2 + 36 ) d y d x = 1 , y ( 6 ) = 0 ( 64 − x 2 ) d y d x = 1 , y ( 0 ) = 3 y = 1 16 ln | x + 8 x − 8 | + 3 Halle el área delimitada por y = 2 64 − 4 x 2 , x = 0 , y = 0 , y x = 2 . Un tanque de almacenamiento de petróleo puede describirse como el volumen generado cuando se gira el área delimitada por y = 16 64 + x 2 , x = 0 , y = 0 , x = 2 alrededor del eje x . Calcule el volumen del tanque (en metros cúbicos). 24,6 m 3 Durante cada ciclo, la velocidad v (en pies por segundo) de un dispositivo robotizado de soldadura está dada por v = 2 t − 14 4 + t 2 , donde t es el tiempo en segundos. Determine la expresión del desplazamiento s (en pies) en función de t si s = 0 cuando t = 0 . Halle la longitud de la curva y = 16 − x 2 entre x = 0 y x = 2 . 2 π 3 sustitución trigonométrica una técnica de integración que convierte una integral algebraica que contiene expresiones de la forma a 2 − x 2 , a 2 + x 2 , o x 2 − a 2 en una integral trigonométrica", "section": "Sustitución trigonométrica", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Fracciones parciales Hemos visto algunas técnicas que nos permiten integrar funciones racionales específicas. Por ejemplo, sabemos que ∫ d u u = ln | u | + C y ∫ d u u 2 + a 2 = 1 a tan –1 ( u a ) + C . Sin embargo, aún no disponemos de una técnica que nos permita abordar cocientes arbitrarios de este tipo. Por lo tanto, no es inmediatamente obvio cómo evaluar ∫ 3 x x 2 − x − 2 d x . Sin embargo, sabemos por el material desarrollado anteriormente que ∫ ( 1 x + 1 + 2 x − 2 ) d x = ln | x + 1 | + 2 ln | x − 2 | + C . De hecho, al obtener un denominador común, vemos que 1 x + 1 + 2 x − 2 = 3 x x 2 − x − 2 . En consecuencia, ∫ 3 x x 2 − x − 2 d x = ∫ ( 1 x + 1 + 2 x − 2 ) d x . En esta sección, examinamos el método de descomposición en fracciones parciales , que nos permite descomponer funciones racionales en sumas de funciones racionales más simples y fáciles de integrar. Utilizando este método, podemos reescribir una expresión como: 3 x x 2 − x − 2 en la forma 1 x + 1 + 2 x − 2 . La clave del método de descomposición en fracciones parciales es poder anticipar la forma que adoptará la descomposición de una función racional. Como veremos, esta forma es predecible y muy dependiente de la factorización del denominador de la función racional. También es muy importante tener en cuenta que la descomposición en fracciones parciales se puede aplicar a una función racional P ( x ) Q ( x ) solo si deg ( P ( x ) ) < deg ( Q ( x ) ) . En el caso de que deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) ) , debemos realizar primero la división larga para reescribir el cociente P ( x ) Q ( x ) en la forma A ( x ) + R ( x ) Q ( x ) , donde deg ( R ( x ) ) < deg ( Q ( x ) ) . A continuación, hacemos una descomposición en fracciones parciales de R ( x ) Q ( x ) . El siguiente ejemplo, aunque no requiere la descomposición en fracciones parciales, ilustra nuestra aproximación a las integrales de funciones racionales de la forma ∫ P ( x ) Q ( x ) d x , donde deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) ) . Integración de ∫ P ( x ) Q ( x ) d x , donde deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) ) Evalúe ∫ x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x . Dado que deg ( x 2 + 3 x + 5 ) ≥ deg ( x + 1 ) , realizamos la división larga para obtener x 2 + 3 x + 5 x + 1 = x + 2 + 3 x + 1 . Por lo tanto, ∫ x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x = ∫ ( x + 2 + 3 x + 1 ) d x = 1 2 x 2 + 2 x + 3 ln | x + 1 | + C . Visite este sitio web para repasar la división larga de polinomios. Evalúe ∫ x − 3 x + 2 d x . x − 5 ln | x + 2 | + C Pista Utilice la división larga para obtener x − 3 x + 2 = 1 − 5 x + 2 . Para integrar ∫ P ( x ) Q ( x ) d x , donde deg ( P ( x ) ) < deg ( Q ( x ) ) , hay que empezar por factorizar Q ( x ) . Factores lineales no repetidos Si Q ( x ) se puede factorizar como ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) … ( a n x + b n ) , donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes A 1 , A 2 ,… A n que satisfacen P ( x ) Q ( x ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + ⋯ + A n a n x + b n . La prueba de que tales constantes existen está fuera del alcance de este curso. En el siguiente ejemplo, vemos cómo utilizar fracciones parciales para integrar una función racional de este tipo. Fracciones parciales con factores lineales no repetidos Evalúe ∫ 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x d x . Dado que deg ( 3 x + 2 ) < deg ( x 3 − x 2 − 2 x ) , comenzamos por factorizar el denominador de 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x . Podemos ver que x 3 − x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) ( x + 1 ) . Por lo tanto, hay constantes A , B , y C que satisfacen 3 x + 2 x ( x − 2 ) ( x + 1 ) = A x + B x − 2 + C x + 1 . Ahora debemos hallar estas constantes. Para ello, empezamos por obtener un denominador común a la derecha. Por lo tanto, 3 x + 2 x ( x − 2 ) ( x + 1 ) = A ( x − 2 ) ( x + 1 ) + B x ( x + 1 ) + C x ( x − 2 ) x ( x − 2 ) ( x + 1 ) . Ahora, fijamos los numeradores iguales entre sí, obteniendo 3 x + 2 = A ( x − 2 ) ( x + 1 ) + B x ( x + 1 ) + C x ( x − 2 ) . Hay dos estrategias diferentes para hallar los coeficientes A , B , y C . Nos referimos a ellos como el método de igualar coeficientes y el método de sustitución estratégica . Regla: método de igualar coeficientes Reescriba la en la forma 3 x + 2 = ( A + B + C ) x 2 + ( − A + B − 2 C ) x + ( −2 A ) . Al igualar los coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones A + B + C = 0 − A + B − 2 C = 3 − 2 A = 2. Para resolver este sistema, primero observamos que −2 A = 2 ⇒ A = −1 . Sustituyendo este valor en las dos primeras ecuaciones obtenemos el sistema B + C = 1 B − 2 C = 2. Multiplicando la segunda ecuación por −1 y sumando la ecuación resultante a la primera se obtiene −3 C = 1 , lo que a su vez implica que C = − 1 3 . Sustituyendo este valor en la ecuación B + C = 1 se obtiene B = 4 3 . Así, al resolver estas ecuaciones se obtiene A = −1 , B = 4 3 , y C = − 1 3 . Es importante señalar que el sistema producido por este método es consistente si y solo si hemos establecido la descomposición correctamente. Si el sistema es inconsistente, hay un error en nuestra descomposición. Regla: método de sustitución estratégica El método de sustitución estratégica se basa en el supuesto de que hemos establecido la descomposición correctamente. Si la descomposición se establece correctamente, debe haber valores de A , B , y C que satisfacen la para todos los valores de x . Es decir, esta ecuación debe ser cierta para cualquier valor de x que nos interesa sustituir en ella. Por lo tanto, al elegir los valores de x con cuidado y sustituyéndolos en la ecuación, podemos hallar A , B , y C fácilmente. Por ejemplo, si sustituimos x = 0 , la ecuación se reduce a 2 = A ( −2 ) ( 1 ) . Si resolvemos para A se obtiene A = −1 . A continuación, sustituyendo x = 2 , la ecuación se reduce a 8 = B ( 2 ) ( 3 ) , o su equivalente B = 4 / 3 . Por último, sustituimos x = −1 en la ecuación y obtenemos −1 = C ( –1 ) ( −3 ) . Resolviendo, tenemos C = − 1 3 . Es importante tener en cuenta que si intentamos utilizar este método con una descomposición que no se ha establecido correctamente, todavía podemos hallar valores para las constantes, pero estas constantes no tienen sentido. Si optamos por utilizar el método de la sustitución estratégica, conviene comprobar el resultado recombinando los términos algebraicamente. Ahora que tenemos los valores de A , B , y C , reescribimos la integral original: ∫ 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x d x = ∫ ( − 1 x + 4 3 . 1 ( x − 2 ) − 1 3 . 1 ( x + 1 ) ) d x . Evaluando la integral obtenemos ∫ 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x d x = − ln | x | + 4 3 ln | x − 2 | − 1 3 ln | x + 1 | + C . En el siguiente ejemplo, integramos una función racional en la que el grado del numerador no es menor que el grado del denominador. Dividir antes de aplicar las fracciones parciales Evalúe ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 d x . Dado que grado ( x 2 + 3 x + 1 ) ≥ grado ( x 2 − 4 ) , debemos realizar la división larga de polinomios. Esto da como resultado x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 = 1 + 3 x + 5 x 2 − 4 . A continuación, realizamos una descomposición en fracciones parciales de 3 x + 5 x 2 − 4 = 3 x + 5 ( x + 2 ) ( x − 2 ) . Tenemos 3 x + 5 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = A x − 2 + B x + 2 . Por lo tanto, 3 x + 5 = A ( x + 2 ) + B ( x − 2 ) . Al resolver para A y B utilizando cualquiera de los dos métodos, obtenemos A = 11 / 4 y B = 1 / 4 . Reescribiendo la integral original, tenemos ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 d x = ∫ ( 1 + 11 4 . 1 x − 2 + 1 4 . 1 x + 2 ) d x . La evaluación de la integral produce ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 d x = x + 11 4 ln | x − 2 | + 1 4 ln | x + 2 | + C . Como vemos en el siguiente ejemplo, puede ser posible aplicar la técnica de descomposición en fracciones parciales a una función no racional. El truco consiste en convertir la función no racional en una función racional mediante una sustitución. Aplicar fracciones parciales tras una sustitución Evalúe ∫ cos x sen 2 x − sen x d x . Empecemos por suponer que u = sen x . En consecuencia, d u = cos x d x . Después de hacer estas sustituciones, tenemos ∫ cos x sen 2 x − sen x d x = ∫ d u u 2 − u = ∫ d u u ( u − 1 ) . Aplicando la descomposición en fracciones parciales a 1 / u ( u − 1 ) da como resultado 1 u ( u − 1 ) = − 1 u + 1 u − 1 . Por lo tanto, ∫ cos x sen 2 x − sen x d x = − ln | u | + ln | u − 1 | + C = − ln | sen x | + ln | sen x – 1 | + C . Evalúe ∫ x + 1 ( x + 3 ) ( x − 2 ) d x . 2 5 ln | x + 3 | + 3 5 ln | x − 2 | + C Pista x + 1 ( x + 3 ) ( x − 2 ) = A x + 3 + B x − 2 Factores lineales repetidos Para algunas aplicaciones, necesitamos integrar expresiones racionales que tienen denominadores con factores lineales repetidos, es decir, funciones racionales con al menos un factor de la forma ( a x + b ) n , donde n es un número entero positivo mayor o igual a 2 . Si el denominador contiene el factor lineal repetido ( a x + b ) n , entonces la descomposición debe contener A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + ⋯ + A n ( a x + b ) n . Como vemos en nuestro siguiente ejemplo, la técnica básica utilizada para resolver los coeficientes es la misma, pero requiere más álgebra para determinar los numeradores de las fracciones parciales. Fracciones parciales con factores lineales repetidos Evalúe ∫ x − 2 ( 2 x – 1 ) 2 ( x – 1 ) d x . Tenemos grado ( x − 2 ) < grado ( ( 2 x – 1 ) 2 ( x – 1 ) ) , por lo que podemos proceder a la descomposición. Dado que ( 2 x – 1 ) 2 es un factor lineal repetido, incluya A 2 x – 1 + B ( 2 x – 1 ) 2 en la descomposición. Por lo tanto, x − 2 ( 2 x – 1 ) 2 ( x – 1 ) = A 2 x – 1 + B ( 2 x – 1 ) 2 + C x – 1 . Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, tenemos x − 2 = A ( 2 x – 1 ) ( x – 1 ) + B ( x – 1 ) + C ( 2 x – 1 ) 2 . A continuación, utilizamos el método de igualar coeficientes para hallar los valores de A , B , y C . x − 2 = ( 2 A + 4 C ) x 2 + ( −3 A + B − 4 C ) x + ( A − B + C ) . Igualando los coeficientes se obtiene 2 A + 4 C = 0 , −3 A + B − 4 C = 1 , y A − B + C = –2 . Resolviendo este sistema se obtiene A = 2 , B = 3 , y C = −1 . Como alternativa, podemos utilizar el método de la sustitución estratégica. En este caso, sustituyendo x = 1 y x = 1 / 2 en la produce fácilmente los valores B = 3 y C = −1 . A estas alturas, puede parecer que nos hemos quedado sin buenas opciones para x , sin embargo, como ya tenemos valores para B y C , podemos sustituir estos valores y elegir cualquier valor para x no utilizado anteriormente. El valor x = 0 es una buena opción. En este caso, obtenemos la ecuación −2 = A ( –1 ) ( –1 ) + 3 ( –1 ) + ( –1 ) ( –1 ) 2 o, de forma equivalente, A = 2 . Ahora que tenemos los valores de A , B , y C , reescribimos la integral original y la evaluamos: ∫ x − 2 ( 2 x – 1 ) 2 ( x – 1 ) d x = ∫ ( 2 2 x – 1 + 3 ( 2 x – 1 ) 2 – 1 x – 1 ) d x = ln | 2 x – 1 | − 3 2 ( 2 x – 1 ) − ln | x – 1 | + C . Establezca la descomposición en fracciones parciales para ∫ x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x − 4 ) 2 d x . (No halle los coeficientes ni complete la integración). x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x − 4 ) 2 = A x + 3 + B ( x + 3 ) 2 + C ( x + 3 ) 3 + D ( x − 4 ) + E ( x − 4 ) 2 Pista Utilice el método de resolución de problemas de como orientación. El método general Ahora que empezamos a hacernos una idea de cómo funciona la técnica de descomposición en fracciones parciales, vamos a esbozar el método básico en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Descomposición en fracciones parciales Para descomponer la función racional P ( x ) / Q ( x ) , utilice los siguientes pasos: Asegúrese de que grado ( P ( x ) ) < grado ( Q ( x ) ) . Si no es así, realice la división larga de polinomios. Factorice Q ( x ) en el producto de factores lineales y cuadráticos irreducibles. Un cuadrático irreducible es un cuadrático que no tiene ceros reales. Suponiendo que deg ( P ( x ) ) < deg ( Q ( x ) ) , los factores de Q ( x ) determinan la forma de la descomposición de P ( x ) / Q ( x ) . Si Q ( x ) se puede factorizar como ( a 1 x + b 1 ) ( a 2 x + b 2 ) … ( a n x + b n ) , donde cada factor lineal es distinto, entonces es posible hallar las constantes A 1 , A 2 , . . . A n que satisfacen P ( x ) Q ( x ) = A 1 a 1 x + b 1 + A 2 a 2 x + b 2 + ⋯ + A n a n x + b n . Si Q ( x ) contiene el factor lineal repetido ( a x + b ) n , entonces la descomposición debe contener A 1 a x + b + A 2 ( a x + b ) 2 + ⋯ + A n ( a x + b ) n . Para cada factor cuadrático irreducible a x 2 + b x + c que Q ( x ) contiene, la descomposición debe incluir A x + B a x 2 + b x + c . Para cada factor cuadrático irreducible repetido ( a x 2 + b x + c ) n , la descomposición debe incluir A 1 x + B 1 a x 2 + b x + c + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + ⋯ + A n x + B n ( a x 2 + b x + c ) n . Una vez que determine la descomposición adecuada, halle las constantes. Por último, reescriba la integral en su forma descompuesta y evalúela utilizando las técnicas desarrolladas anteriormente o las fórmulas de integración. Factores cuadráticos simples Ahora vamos a ver la integración de una expresión racional en la que el denominador contiene un factor cuadrático irreducible. Recordemos que el factor cuadrático a x 2 + b x + c es irreducible si a x 2 + b x + c = 0 no tiene ceros reales, es decir, si b 2 − 4 a c < 0 . Expresiones racionales con un factor cuadrático irreductible Evalúe ∫ 2 x − 3 x 3 + x d x . Dado que deg ( 2 x − 3 ) < deg ( x 3 + x ) , factorice el denominador y proceda a la descomposición en fracciones parciales. Dado que x 3 + x = x ( x 2 + 1 ) contiene el factor cuadrático irreducible x 2 + 1 , incluya A x + B x 2 + 1 como parte de la descomposición, junto con C x para el término lineal x . Así, la descomposición tiene la forma 2 x − 3 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x 2 + 1 + C x . Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, obtenemos la ecuación 2 x − 3 = ( A x + B ) x + C ( x 2 + 1 ) . Al resolver para A , B , y C , obtenemos A = 3 , B = 2 , y C = −3 . Por lo tanto, 2 x − 3 x 3 + x = 3 x + 2 x 2 + 1 − 3 x . Sustituyendo de nuevo en la integral, obtenemos ∫ 2 x − 3 x 3 + x d x = ∫ ( 3 x + 2 x 2 + 1 − 3 x ) d x = 3 ∫ x x 2 + 1 d x + 2 ∫ 1 x 2 + 1 d x − 3 ∫ 1 x d x Separe la integral. = 3 2 ln | x 2 + 1 | + 2 tan −1 x − 3 ln | x | + C . Evalúe cada integral. Nota : Podemos reescribir ln | x 2 + 1 | = ln ( x 2 + 1 ) , si lo deseamos, ya que x 2 + 1 > 0 . Fracciones parciales con un factor cuadrático irreductible Evalúe ∫ d x x 3 − 8 . Podemos empezar por factorizar x 3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) . Vemos que el factor cuadrático x 2 + 2 x + 4 es irreducible ya que 2 2 − 4 ( 1 ) ( 4 ) = −12 < 0 . Utilizando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos 1 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = A x − 2 + B x + C x 2 + 2 x + 4 . Tras obtener un denominador común e igualar los numeradores, esto se convierte en 1 = A ( x 2 + 2 x + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 2 ) . Aplicando cualquiera de los dos métodos, obtenemos A = 1 12 , B = − 1 12 , y C = − 1 3 . Reescribiendo ∫ d x x 3 − 8 , tenemos ∫ d x x 3 − 8 = 1 12 ∫ 1 x − 2 d x – 1 12 ∫ x + 4 x 2 + 2 x + 4 d x . Podemos ver que ∫ 1 x − 2 d x = ln | x − 2 | + C , pero ∫ x + 4 x 2 + 2 x + 4 d x requiere un poco más de esfuerzo. Empecemos por completar el cuadrado en x 2 + 2 x + 4 para obtener x 2 + 2 x + 4 = ( x + 1 ) 2 + 3 . Suponiendo que u = x + 1 y en consecuencia d u = d x , vemos que ∫ x + 4 x 2 + 2 x + 4 d x = ∫ x + 4 ( x + 1 ) 2 + 3 d x Complete el cuadrado en el denominador. = ∫ u + 3 u 2 + 3 d u Sustituya u = x + 1 , x = u − 1 , y d u = d x . = ∫ u u 2 + 3 d u + ∫ 3 u 2 + 3 d u Separe el numerador. = 1 2 ln | u 2 + 3 | + 3 3 tan −1 u 3 + C Evalúe cada integral. = 1 2 ln | x 2 + 2 x + 4 | + 3 tan –1 ( x + 1 3 ) + C . Reescriba en términos de x y simplifique. Sustituyendo de nuevo en la integral original y simplificando da como resultado ∫ ​ d x x 3 − 8 = 1 12 ln | x − 2 | − 1 24 ln | x 2 + 2 x + 4 | − 3 12 tan –1 ( x + 1 3 ) + C . También en este caso podemos dejar de lado el valor absoluto si lo deseamos, ya que x 2 + 2 x + 4 > 0 para todo x . Cálculo de un volumen Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región encerrada por el gráfico de f ( x ) = x 2 ( x 2 + 1 ) 2 y el eje x en el intervalo [ 0 , 1 ] alrededor del eje y . Empecemos por dibujar la región que se va a girar (vea la ). A partir del dibujo, vemos que el método de capas cilíndricas es una buena opción para resolver este problema. Podemos utilizar el método de capas cilíndricas para calcular el volumen de revolución obtenido al girar la región mostrada alrededor del eje y . El volumen está dado por V = 2 π ∫ 0 1 x . x 2 ( x 2 + 1 ) 2 d x = 2 π ∫ 0 1 x 3 ( x 2 + 1 ) 2 d x . Dado que deg ( ( x 2 + 1 ) 2 ) = 4 > 3 = deg ( x 3 ) , podemos proceder a la descomposición en fracciones parciales. Tenga en cuenta que ( x 2 + 1 ) 2 es un factor cuadrático irreducible repetido. Utilizando la descomposición descrita en la estrategia de resolución de problemas, obtenemos x 3 ( x 2 + 1 ) 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D ( x 2 + 1 ) 2 . Hallando un denominador común e igualando los numeradores se obtiene x 3 = ( A x + B ) ( x 2 + 1 ) + C x + D . Resolviendo, obtenemos A = 1 , B = 0 , C = −1 , y D = 0 . Sustituyendo de nuevo en la integral, tenemos V = 2 π ∫ 0 1 x 3 ( x 2 + 1 ) 2 d x = 2 π ∫ 0 1 ( x x 2 + 1 − x ( x 2 + 1 ) 2 ) d x = 2 π ( 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + 1 2 . 1 x 2 + 1 ) | 0 1 = π ( ln 2 – 1 2 ) . Establezca la descomposición en fracciones parciales para ∫ x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 d x . x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 = A x + 2 + B x − 3 + C ( x − 3 ) 2 + D x + E x 2 + 4 + F x + G ( x 2 + 4 ) 2 Pista Utilice la estrategia para la resolución de problemas. Conceptos clave La descomposición en fracciones parciales es una técnica que se utiliza para descomponer una función racional en una suma de funciones racionales simples que pueden integrarse utilizando técnicas previamente aprendidas. Al aplicar la descomposición en fracciones parciales, debemos asegurarnos de que el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si no es así, tenemos que realizar la división larga antes de intentar la descomposición en fracciones parciales. La forma que adopta la descomposición depende del tipo de factores en el denominador. Los tipos de factores incluyen factores lineales no repetidos, factores lineales repetidos, factores cuadráticos irreducibles no repetidos y factores cuadráticos irreducibles repetidos. Exprese la función racional como una suma o diferencia de dos expresiones racionales más sencillas. 1 ( x − 3 ) ( x − 2 ) grandes. x 2 + 1 x ( x + 1 ) ( x + 2 ) grandes. − 2 x + 1 + 5 2 ( x + 2 ) + 1 2 x 1 x 3 − x 3 x + 1 x 2 1 x 2 + 3 x 3 x 2 x 2 + 1 ( Pista: Utilice primero la división larga) 2 x 4 x 2 − 2 x 2 x 2 + 4 x + 8 + 16 x − 2 1 ( x – 1 ) ( x 2 + 1 ) grandes. 1 x 2 ( x – 1 ) grandes. − 1 x 2 – 1 x + 1 x – 1 x x 2 − 4 1 x ( x – 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) grandes. − 1 2 ( x − 2 ) + 1 2 ( x – 1 ) − 1 6 x + 1 6 ( x − 3 ) grandes. 1 x 4 − 1 = 1 ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x 2 + 1 ) grandes. 3 x 2 x 3 − 1 = 3 x 2 ( x – 1 ) ( x 2 + x + 1 ) grandes. 1 x – 1 + 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 x ( x + 2 ) 2 3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2 2 x + 1 + x x 2 + 4 − 1 ( x 2 + 4 ) 2 Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar cada una de las siguientes integrales. ∫ d x ( x − 3 ) ( x − 2 ) grandes. ∫ 3 x x 2 + 2 x − 8 d x − ln | 2 − x | + 2 ln | 4 + x | + C ∫ d x x 3 − x ∫ x x 2 − 4 d x 1 2 ln | 4 − x 2 | + C ∫ d x x ( x – 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) grandes. ∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x 2 ( x + 1 3 arctan ( 1 + x 3 ) ) + C ∫ d x x 2 − 5 x + 6 ∫ 2 − x x 2 + x d x 2 ln | x | − 3 ln | 1 + x | + C ∫ 2 x 2 − x − 6 d x ∫ d x x 3 − 2 x 2 − 4 x + 8 1 16 ( − 4 −2 + x − ln | −2 + x | + ln | 2 + x | ) + C ∫ d x x 4 − 10 x 2 + 9 Evalúe las siguientes integrales que tienen factores cuadráticos irreducibles. ∫ 2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x 1 30 ( −2 5 arctan [ 1 + x 5 ] + 2 ln | −4 + x | − ln | 6 + 2 x + x 2 | ) + C ∫ x 2 x 3 − x 2 + 4 x − 4 d x ∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x − 3 x + 4 ln | x + 2 | + x + C ∫ x ( x – 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x Utilice el método de las fracciones parciales para evaluar las siguientes integrales. ∫ 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 − x ) d x − ln | 3 − x | + 1 2 ln | x 2 + 4 | + C ∫ 2 ( x + 2 ) 2 ( 2 − x ) d x ∫ 3 x + 4 x 3 − 2 x − 4 d x ( Pista: Utilice el teorema de la raíz racional). ln | x − 2 | − 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + C Utilice la sustitución para convertir las integrales en integrales de funciones racionales. A continuación, utilice las fracciones parciales para evaluar las integrales. ∫ 0 1 e x 36 − e 2 x d x (Indique la respuesta exacta y el equivalente decimal. Redondee a cinco decimales). ∫ e x d x e 2 x − e x d x − x + ln | 1 − e x | + C ∫ sen x d x 1 − cos 2 x ∫ sen x cos 2 x + cos x − 6 d x 1 5 ln | cos x + 3 cos x − 2 | + C ∫ 1 − x 1 + x d x ∫ d t ( e t − e − t ) 2 1 2 − 2 e 2 t + C ∫ 1 + e x 1 − e x d x ∫ d x 1 + x + 1 2 1 + x − 2 ln | 1 + 1 + x | + C ∫ d x x + x 4 ∫ cos x sen x ( 1 − sen x ) d x ln | sen x 1 − sen x | + C ∫ e x ( e 2 x − 4 ) 2 d x ∫ 1 2 1 x 2 4 − x 2 d x 3 4 ∫ 1 2 + e – x d x ∫ 1 1 + e x d x x − ln ( 1 + e x ) + C Utilice la sustitución dada para convertir la integral en una integral de una función racional, y luego evalúela. ∫ 1 t − t 3 d t t = x 3 ∫ 1 x + x 3 d x ; x = u 6 6 x 1 / 6 − 3 x 1 / 3 + 2 x − 6 ln ( 1 + x 1 / 6 ) + C Grafique la curva y = x 1 + x en el intervalo [ 0 , 5 ] . A continuación, halle el área de la región limitada por la curva, el eje x y la línea x = 4 . Calcule el volumen del sólido generado cuando la región delimitada por y = 1 / x ( 3 − x ) , y = 0 , x = 1 , y x = 2 se gira alrededor del eje x . 4 3 π arctanh [ 1 3 ] = 1 3 π ln 4 La velocidad de una partícula que se mueve a lo largo de una línea es una función del tiempo dada por v ( t ) = 88 t 2 t 2 + 1 . Calcule la distancia que ha recorrido la partícula después de t = 5 seg. Resuelva el problema de valor inicial para x en función de t. ( t 2 − 7 t + 12 ) d x d t = 1 , ( t > 4 , x ( 5 ) = 0 ) grandes. x = − ln | t − 3 | + ln | t − 4 | + ln 2 ( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > − 5 , x ( 1 ) = tan 1 ( 2 t 3 − 2 t 2 + t − 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0 x = ln | t − 1 | − 2 arctan ( 2 t ) − 1 2 ln ( t 2 + 1 2 ) + 2 arctan ( 2 2 ) + 1 2 ln 4,5 Halle la coordenada x del centroide del área delimitada por y ( x 2 − 9 ) = 1 , y = 0 , x = 4 , y x = 5 . (Redondee la respuesta a dos decimales). Calcule el volumen generado al girar el área delimitada por y = 1 x 3 + 7 x 2 + 6 x , x = 1 , x = 7 , y y = 0 alrededor del eje y . 2 5 π ln 28 13 Halle el área delimitada por y = x − 12 x 2 − 8 x − 20 , y = 0 , x = 2 , y x = 4 . (Redondee la respuesta a la centésima más cercana). Evalúe la integral ∫ d x x 3 + 1 . arctan [ –1 + 2 x 3 ] 3 + 1 3 ln | 1 + x | − 1 6 ln | 1 − x + x 2 | + C Para los siguientes problemas, utilice las sustituciones tan ( x 2 ) = t , d x = 2 1 + t 2 d t , sen x = 2 t 1 + t 2 , y cos x = 1 − t 2 1 + t 2 . ∫ d x 3 − 5 sen x Halle el área bajo la curva y = 1 1 + sen x entre x = 0 y x = π . (Asuma que las dimensiones están en pulgadas). 2,0 in 2 Dada tan ( x 2 ) = t , derive las fórmulas d x = 2 1 + t 2 d t , sen x = 2 t 1 + t 2 , y cos x = 1 − t 2 1 + t 2 . Evalúe ∫ x − 8 3 x d x . 3 ( −8 + x ) 1 / 3 −2 3 arctan [ –1 + ( −8 + x ) 1 / 3 3 ] −2 ln [ 2 + ( −8 + x ) 1 / 3 ] + ln [ 4 – 2 ( −8 + x ) 1 / 3 + ( −8 + x ) 2 / 3 ] + C descomposición en fracciones parciales técnica utilizada para descomponer una función racional en la suma de funciones racionales simples", "section": "Fracciones parciales", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Otras estrategias de integración Además de las técnicas de integración que ya hemos visto, hay otras herramientas ampliamente disponibles para ayudar en el proceso de integración. Entre estas herramientas se encuentran las tablas de integración , que están disponibles en muchos libros, incluidos los apéndices de este. También están disponibles los sistemas de álgebra computacional (CAS) , que se encuentran en las calculadoras y en muchos laboratorios informáticos de los campus y son gratuitos en línea. Tablas de integrales Las tablas de integración, si se utilizan de forma correcta, pueden ser una forma práctica de evaluar o comprobar una integral rápidamente. Tenga en cuenta que al utilizar una tabla para comprobar una respuesta, es posible que dos soluciones completamente correctas parezcan muy diferentes. Por ejemplo, en la Sustitución trigonométrica , encontramos que, utilizando la sustitución x = tan θ , podemos llegar a ∫ d x 1 + x 2 = ln ( x + x 2 + 1 ) + C . Sin embargo, utilizando x = senoh θ , obtuvimos una solución diferente, concretamente, ∫ d x 1 + x 2 = senoh −1 x + C . Posteriormente demostramos algebraicamente que las dos soluciones son equivalentes. Es decir, demostramos que senoh −1 x = ln ( x + x 2 + 1 ) . En este caso, las dos antiderivadas que encontramos son realmente iguales. Esto no tiene por qué ser así. Sin embargo, mientras la diferencia de las dos antiderivadas sea una constante, son equivalentes. Uso de una fórmula de una tabla para evaluar una integral Utilice la fórmula de la tabla ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − a 2 − u 2 u − sen −1 u a + C para evaluar ∫ 16 − e 2 x e x d x . Si observamos las tablas de integración, veremos que varias fórmulas contienen expresiones de la forma a 2 − u 2 . Esta expresión es en realidad similar a 16 − e 2 x , donde a = 4 y u = e x . Tenga en cuenta que también debemos tener d u = e x dx . Multiplicando el numerador y el denominador de la integral dada por e x debería ayudar a poner esta integral en una forma útil. Por lo tanto, ahora tenemos ∫ 16 − e 2 x e x d x = ∫ 16 − e 2 x e 2 x e x d x . Sustituyendo u = e x y d u = e x dx produce ∫ a 2 − u 2 u 2 d u . A partir de la tabla de integración (N.º 88 del Apéndice A ), ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − a 2 − u 2 u − sen −1 u a + C . Por lo tanto, ∫ 16 − e 2 x e x d x = ∫ 16 − e 2 x e 2 x e x d x Sustituya u = e x y d u = e x d x . = ∫ 4 2 − u 2 u 2 d u Aplique la fórmula utilizando a = 4 . = – 4 2 − u 2 u − sen −1 u 4 + C Sustituya u = e x . = − 16 − e 2 x u − sen −1 ( e x 4 ) + C . Sistemas de álgebra computacional Si está disponible, un CAS es una alternativa más rápida que una tabla para resolver un problema de integración. Muchos de estos sistemas están ampliamente disponibles y son, en general, bastante fáciles de usar. Uso de un sistema de álgebra computacional para evaluar una integral Utilice un sistema de álgebra computacional para evaluar ∫ d x x 2 − 4 . Compare este resultado con ln | x 2 − 4 2 + x 2 | + C , un resultado que podríamos haber obtenido si hubiéramos utilizado la sustitución trigonométrica. Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos ∫ d x x 2 − 4 = ln | x 2 − 4 + x | + C . Observe que ln | x 2 − 4 2 + x 2 | + C = ln | x 2 − 4 + x 2 | + C = ln | x 2 − 4 + x | − ln 2 + C . Como estas dos antiderivadas solo difieren en una constante, las soluciones son equivalentes. También podríamos haber demostrado que cada una de estas antiderivadas es correcta diferenciándolas. Puede acceder a una calculadora de integrales para ver más ejemplos. Uso de un CAS para evaluar una integral Evalúe ∫ ​ sen 3 x d x utilizando un CAS. Compare el resultado con 1 3 cos 3 x − cos x + C , el resultado que podríamos haber obtenido mediante la técnica de integración de potencias impares de sen x que ya se ha comentado en este capítulo. Si utilizamos Wolfram Alpha, obtenemos ∫ sen 3 x d x = 1 12 ( cos ( 3 x ) − 9 cos x ) + C . Esto parece bastante diferente de 1 3 cos 3 x − cos x + C . Para ver que estas antiderivadas son equivalentes, podemos hacer uso de algunas identidades trigonométricas: 1 12 ( cos ( 3 x ) − 9 cos x ) = 1 12 ( cos ( x + 2 x ) − 9 cos x ) = 1 12 ( cos ( x ) cos ( 2 x ) − sen ( x ) sen ( 2 x ) − 9 cos x ) = 1 12 ( cos x ( 2 cos 2 x – 1 ) − sen x ( 2 sen x cos x ) − 9 cos x ) = 1 12 ( 2 cos 3 x − cos x − 2 cos x ( 1 − cos 2 x ) − 9 cos x ) = 1 12 ( 4 cos 3 x − 12 cos x ) = 1 3 cos 3 x − cos x . Por lo tanto, las dos antiderivadas son idénticas. También podemos utilizar un CAS para comparar los gráficos de las dos funciones, como se muestra en la siguiente figura. Los gráficos de y = 1 3 cos 3 x − cos x como y = 1 12 ( cos ( 3 x ) − 9 cos x ) son idénticos. Utilice un CAS para evaluar ∫ d x x 2 + 4 . Las posibles soluciones incluyen senoh −1 ( x 2 ) + C y ln | x 2 + 4 + x | + C . Pista Las respuestas pueden variar. Conceptos clave Se puede utilizar una tabla de integración para evaluar integrales indefinidas. Se puede utilizar un CAS (o sistema de álgebra computacional) para evaluar integrales indefinidas. Puede ser necesario un esfuerzo para conciliar las soluciones equivalentes obtenidas con métodos diferentes. Utilice una tabla de integrales para evaluar las siguientes integrales. ∫ 0 4 x 1 + 2 x d x ∫ x + 3 x 2 + 2 x + 2 d x 1 2 ln | x 2 + 2 x + 2 | + 2 arctan ( x + 1 ) + C ∫ x 3 1 + 2 x 2 d x ∫ 1 x 2 + 6 x d x cosh −1 ( x + 3 3 ) + C ∫ x x + 1 d x ∫ x . 2 x 2 d x 2 x 2 – 1 ln 2 + C ∫ 1 4 x 2 + 25 d x ∫ d y 4 − y 2 arcsen ( y 2 ) + C ∫ sen 3 ( 2 x ) cos ( 2 x ) d x ∫ csc ( 2 w ) cot ( 2 w ) d w − 1 2 csc ( 2 w ) + C ∫ 2 y d y ∫ 0 1 3 x d x x 2 + 8 9 − 6 2 ∫ −1 / 4 1 / 4 sec 2 ( π x ) tan ( π x ) d x ∫ 0 π / 2 tan 2 ( x 2 ) d x 2 − π 2 ∫ cos 3 x d x ∫ tan 5 ( 3 x ) d x 1 12 tan 4 ( 3 x ) − 1 6 tan 2 ( 3 x ) + 1 3 ln | sec ( 3 x ) | + C ∫ sen 2 y cos 3 y d y Utilice un CAS para evaluar las siguientes integrales. También se pueden utilizar tablas para verificar las respuestas. [T] ∫ d w 1 + sec ( w 2 ) grandes. 2 cot ( w 2 ) − 2 csc ( w 2 ) + w + C [T] ∫ d w 1 − cos ( 7 w ) [T] ∫ 0 t d t 4 cos t + 3 sen t 1 5 ln | 2 ( 5 + 4 sen t − 3 cos t ) 4 cos t + 3 sen t | [T] ∫ x 2 − 9 3 x d x [T] ∫ d x x 1 / 2 + x 1 / 3 6 x 1 / 6 − 3 x 1 / 3 + 2 x − 6 ln [ 1 + x 1 / 6 ] + C [T] ∫ d x x x – 1 [T] ∫ x 3 sen x d x − x 3 cos x + 3 x 2 sen x + 6 x cos x − 6 sen x + C [T] ∫ x x 4 − 9 d x [T] ∫ x 1 + e – x 2 d x 1 2 ( x 2 + ln | 1 + e – x 2 | ) + C [T] ∫ 3 − 5 x 2 x d x [T] ∫ d x x x – 1 2 arctan ( x – 1 ) + C [T] ∫ e x cos −1 ( e x ) d x Utilice una calculadora o un CAS para evaluar las siguientes integrales. [T] ∫ 0 π / 4 cos ( 2 x ) d x 0,5 = 1 2 [T] ∫ 0 1 x . e – x 2 d x [T] ∫ 0 8 2 x x 2 + 36 d x 8,0 [T] ∫ 0 2 / 3 1 4 + 9 x 2 d x [T] ∫ d x x 2 + 4 x + 13 1 3 arctan ( 1 3 ( x + 2 ) ) + C [T] ∫ d x 1 + sen x Utilice las tablas para evaluar las integrales. Es posible que tenga que completar el cuadrado o cambiar las variables para poner la integral en la forma dada en la tabla. ∫ d x x 2 + 2 x + 10 1 3 arctan ( x + 1 3 ) + C ∫ d x x 2 − 6 x ∫ e x e 2 x − 4 d x ln ( e x + 4 + e 2 x ) + C ∫ cos x sen 2 x + 2 sen x d x ∫ arctan ( x 3 ) x 4 d x ln x – 1 6 ln ( x 6 + 1 ) − arctan ( x 3 ) 3 x 3 + C ∫ ln | x | arcsen ( ln | x | ) x d x Utilice las tablas para realizar la integración. ∫ d x x 2 + 16 ln | x + 16 + x 2 | + C ∫ 3 x 2 x + 7 d x ∫ d x 1 − cos ( 4 x ) grandes. − 1 4 cot ( 2 x ) + C ∫ d x 4 x + 1 Halle el área delimitada por y ( 4 + 25 x 2 ) = 5 , x = 0 , y = 0 , y x = 4 . Utilice una tabla de integrales o un CAS. 1 2 arctan 10 La región delimitada entre la curva y = 1 1 + cos x , 0,3 ≤ x ≤ 1,1 , y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Utilice una tabla de integrales para calcular el volumen del sólido generado. (Redondee la respuesta a dos decimales). Utilice la sustitución y una tabla de integrales para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y = e x , 0 ≤ x ≤ 3 , alrededor del eje x . (Redondee la respuesta a dos decimales). 1276,14 [T] Utilice una tabla de integrales y una calculadora para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y = x 2 2 , 0 ≤ x ≤ 1 , alrededor del eje x . (Redondee la respuesta a dos decimales). [T] Utilice un CAS o tablas para hallar el área de la superficie generada al girar la curva y = cos x , 0 ≤ x ≤ π 2 , alrededor del eje x . (Redondee la respuesta a dos decimales). 7,21 Halle la longitud de la curva y = x 2 4 en [ 0 , 8 ] . Halle la longitud de la curva y = e x en [ 0 , ln ( 2 ) ] . 5 − 2 + ln | 2 + 2 2 1 + 5 | Halle el área de la superficie formada al girar el gráfico de y = 2 x en el intervalo [ 0 , 9 ] alrededor del eje x . Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = 1 x 2 + 1 en el intervalo [ −3 , 3 ] . 1 3 arctan ( 3 ) ≈ 0,416 Aproxime la longitud de arco de la curva y = tan ( π x ) en el intervalo [ 0 , 1 4 ] . (Redondee la respuesta a tres decimales). sistema de álgebra computacional (CAS) tecnología utilizada para realizar muchas tareas matemáticas, incluida la integración tabla de integración una tabla que enumera las fórmulas de integración", "section": "Otras estrategias de integración", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integración numérica Las antiderivadas de muchas funciones no se pueden expresar o no se pueden expresar fácilmente en forma cerrada (es decir, en términos de funciones conocidas). En consecuencia, en vez de evaluar directamente las integrales definidas de estas funciones, recurrimos a diversas técnicas de integración numérica para aproximar sus valores. En esta sección exploramos varias de estas técnicas. Además, examinamos el proceso de estimación del error al utilizar estas técnicas. La regla del punto medio Anteriormente en este texto hemos definido la integral definida de una función sobre un intervalo como el límite de las sumas de Riemann . En general, cualquier suma de Riemann de una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] puede verse como una estimación de ∫ a b f ( x ) d x . Recordemos que la suma de Riemann de una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] se obtiene seleccionando una partición P = { x 0 , x 1 , x 2 ,… , x n } , donde a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b y un conjunto S = { x 1 * , x 2 * ,… , x n * } , donde x i − 1 ≤ x i * ≤ x i para todo i . La suma de Riemann correspondiente a la partición P y el conjunto S está dado por ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x i , donde Δ x i = x i − x i − 1 , la longitud del i −ésimo subintervalo. La regla del punto medio para estimar una integral definida utiliza una suma de Riemann con subintervalos de igual ancho y los puntos medios, m i , de cada subintervalo en vez de x i * . Formalmente, enunciamos un teorema relativo a la convergencia de la regla del punto medio de la siguiente forma. La regla del punto medio Supongamos que f ( x ) es continua en [ a , b ] . Supongamos que n es un número entero positivo y Δ x = b – a n . Si [ a , b ] se divide en n subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δ x , y m i es el punto medio del i −ésimo subintervalo, establezca M n = ∑ i = 1 n f ( m i ) Δ x . Entonces lím n → ∞ M n = ∫ a b f ( x ) d x . Como podemos ver en la , si f ( x ) ≥ 0 en [ a , b ] , entonces ∑ i = 1 n f ( m i ) Δ x corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos que aproximan el área entre el gráfico de f ( x ) y el eje x en [ a , b ] . El gráfico muestra los rectángulos correspondientes a M 4 para una función no negativa en un intervalo cerrado [ a , b ] . La regla del punto medio aproxima el área entre el gráfico de f ( x ) y el eje x sumando las áreas de los rectángulos con puntos medios que son puntos en f ( x ) . Usar la regla del punto medio con M 4 Utilice la regla del punto medio para estimar ∫ 0 1 x 2 d x utilizando cuatro subintervalos. Compare el resultado con el valor real de esta integral. Cada subintervalo tiene una longitud Δ x = 1 − 0 4 = 1 4 . Por lo tanto, los subintervalos están compuestos por [ 0 , 1 4 ] , [ 1 4 , 1 2 ] , [ 1 2 , 3 4 ] , y [ 3 4 , 1 ] . Los puntos medios de estos subintervalos son { 1 8 , 3 8 , 5 8 , 7 8 } . Por lo tanto, M 4 = 1 4 f ( 1 8 ) + 1 4 f ( 3 8 ) + 1 4 f ( 5 8 ) + 1 4 f ( 7 8 ) = 1 4 . 1 64 + 1 4 . 9 64 + 1 4 . 25 64 + 1 4 . 49 64 = 21 64 . Dado que ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 y | 1 3 − 21 64 | = 1 192 ≈ 0,0052 , vemos que la regla del punto medio produce una estimación algo cercana al valor real de la integral definida. Usar la regla del punto medio con M 6 Utilice M 6 para estimar la longitud de la curva y = 1 2 x 2 en [ 1 , 4 ] . La longitud de y = 1 2 x 2 en [ 1 , 4 ] es ∫ 1 4 1 + ( d y d x ) 2 d x . Dado que d y d x = x , esta integral se convierte en ∫ 1 4 1 + x 2 d x . Si [ 1 , 4 ] se divide en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud Δ x = 4 − 1 6 = 1 2 y los puntos medios de los subintervalos son { 5 4 , 7 4 , 9 4 , 11 4 , 13 4 , 15 4 } . Si establecemos que f ( x ) = 1 + x 2 , M 6 = 1 2 f ( 5 4 ) + 1 2 f ( 7 4 ) + 1 2 f ( 9 4 ) + 1 2 f ( 11 4 ) + 1 2 f ( 13 4 ) + 1 2 f ( 15 4 ) ≈ 1 2 ( 1,6008 + 2,0156 + 2,4622 + 2,9262 + 3,4004 + 3,8810 ) = 8,1431. Utilice la regla del punto medio con n = 2 para estimar ∫ 1 2 1 x d x . 24 35 Pista Δ x = 1 2 , m 1 = 5 4 , y m 2 = 7 4 . La regla trapezoidal También podemos aproximar el valor de una integral definida utilizando trapecios en vez de rectángulos. En la , el área bajo la curva se aproxima mediante trapecios en vez de rectángulos. Los trapecios pueden utilizarse para aproximar el área bajo una curva, aproximando así la integral definida. La regla trapezoidal para estimar integrales definidas utiliza trapecios en vez de rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Para comprender la forma final de la regla, consideremos los trapecios que se muestran en la . Suponemos que la longitud de cada subintervalo está dada por Δ x . En primer lugar, recordemos que el área de un trapecio con una altura h y bases de longitud b 1 como de b 2 está dada por Área = 1 2 h ( b 1 + b 2 ) . Vemos que el primer trapecio tiene una altura Δ x y bases paralelas de longitud f ( x 0 ) y f ( x 1 ) . Por lo tanto, el área del primer trapecio en la es 1 2 Δ x ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) . Las áreas de los tres trapecios restantes son 1 2 Δ x ( f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ) , 1 2 Δ x ( f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ) , y 1 2 Δ x ( f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) . En consecuencia, ∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 2 Δ x ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) + 1 2 Δ x ( f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ) + 1 2 Δ x ( f ( x 2 ) + f ( x 3 ) ) + 1 2 Δ x ( f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) . Después de sacar un factor común de 1 2 Δ x y combinando términos semejantes, tenemos ∫ a b f ( x ) d x ≈ 1 2 Δ x ( f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 2 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) . Generalizando, enunciamos formalmente la siguiente regla. La regla trapezoidal Supongamos que f ( x ) es continua en [ a , b ] . Supongamos que n es un número entero positivo y Δ x = b – a n . Supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δ x , con puntos finales en P = { x 0 , x 1 , x 2 … , x n } . Establezca que T n = 1 2 Δ x ( f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + ⋯ + 2 f ( x n – 1 ) + f ( x n ) ) . Entonces, lím n → + ∞ T n = ∫ a b f ( x ) d x . Antes de continuar, hagamos algunas observaciones sobre la regla trapezoidal. En primer lugar, es útil señalar que T n = 1 2 ( L n + R n ) donde L n = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x y R n = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x . Es decir, L n y R n aproximan la integral utilizando los puntos extremos izquierdo y derecho de cada subintervalo, respectivamente. Además, un análisis cuidadoso de la nos lleva a hacer las siguientes observaciones sobre el uso de las reglas trapezoidales y las reglas del punto medio para estimar la integral definida de una función no negativa. La regla trapezoidal tiende a sobreestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y a subestimar el valor de una integral definida sistemáticamente en los intervalos donde la función es cóncava hacia abajo. Por otro lado, la regla del punto medio tiende a promediar un poco estos errores al sobrestimar y subestimar parcialmente el valor de la integral definida en estos mismos tipos de intervalos. Esto nos lleva a plantear la hipótesis de que, en general, la regla del punto medio tiende a ser más precisa que la regla trapezoidal. La regla trapezoidal tiende a ser menos precisa que la regla del punto medio. Uso de la regla trapezoidal Utilice la regla trapezoidal para estimar ∫ 0 1 x 2 d x utilizando cuatro subintervalos. Los puntos finales de los subintervalos están formados por elementos del conjunto P = { 0 , 1 4 , 1 2 , 3 4 , 1 } y Δ x = 1 − 0 4 = 1 4 . Por lo tanto, ∫ 0 1 x 2 d x ≈ 1 2 . 1 4 ( f ( 0 ) + 2 f ( 1 4 ) + 2 f ( 1 2 ) + 2 f ( 3 4 ) + f ( 1 ) ) = 1 8 ( 0 + 2 . 1 16 + 2 . 1 4 + 2 . 9 16 + 1 ) = 11 32 . Utilice la regla trapezoidal con n = 2 para estimar ∫ 1 2 1 x d x . 17 24 Pista Establezca Δ x = 1 2 . Los puntos finales de los subintervalos son los elementos del conjunto P = { 1 , 3 2 , 2 } . Error absoluto y relativo Un aspecto importante de la utilización de estas reglas de aproximación numérica consiste en calcular el error cuando se utilizan para estimar el valor de una integral definida. Primero tenemos que definir el error absoluto y el error relativo . Definición Si B es nuestra estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de A , entonces el error absoluto está dado por | A − B | . El error relativo es el error en porcentaje del valor absoluto y está dado por | A − B A | = | A − B A | . 100 % . Cálculo del error en la regla del punto medio Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de ∫ 0 1 x 2 d x utilizando la regla del punto medio, que se encuentra en el . El valor calculado es ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 y nuestra estimación del ejemplo es M 4 = 21 64 . Por lo tanto, el error absoluto está dado por | ( 1 3 ) − ( 21 64 ) | = 1 192 ≈ 0,0052 . El error relativo es 1 / 192 1 / 3 = 1 64 ≈ 0,015625 ≈ 1,6 % . Cálculo del error en la regla trapezoidal Calcule el error absoluto y relativo en la estimación de ∫ 0 1 x 2 d x utilizando la regla trapezoidal, que se encuentra en el . El valor calculado es ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 y nuestra estimación del ejemplo es T 4 = 11 32 . Por lo tanto, el error absoluto está dado por | 1 3 − 11 32 | = 1 96 ≈ 0,0104 . El error relativo está dado por 1 / 96 1 / 3 = 0,03125 ≈ 3,1 % . En un punto de control anterior, estimamos ∫ 1 2 1 x d x para que fuera 24 35 utilizando T 2 . El valor real de esta integral es ln 2 . Utilizando 24 35 ≈ 0,6857 y ln 2 ≈ 0,6931 , calcule el error absoluto y el error relativo. 0,0074, 1,1 % Pista Utilice los ejemplos anteriores como guía. En los dos ejemplos anteriores, pudimos comparar nuestra estimación de una integral con el valor real de la misma; sin embargo, no solemos tener este lujo. En general, si estamos aproximando una integral, lo hacemos porque no podemos calcular fácilmente el valor exacto de la propia integral. Por lo tanto, a menudo es útil poder determinar un límite superior para el error en una aproximación de una integral. El siguiente teorema proporciona límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal. El teorema se enuncia sin pruebas. Límites de error para las reglas del punto medio y trapezoidal Supongamos que f ( x ) es una función continua en [ a , b ] , que tiene una segunda derivada f ″ ( x ) en este intervalo. Si M es el valor máximo de | f ″ ( x ) | en [ a , b ] , entonces los límites superiores para el error en el uso de M n y T n para estimar ∫ a b f ( x ) d x son Error en M n ≤ M ( b – a ) 3 24 n 2 y Error en T n ≤ M ( b – a ) 3 12 n 2 . Podemos utilizar estos límites para determinar el valor de n necesario para garantizar que el error de una estimación sea inferior a un valor específico. Determinación del número de intervalos a utilizar ¿Qué valor de n debe utilizarse para garantizar que una estimación de ∫ 0 1 e x 2 d x tiene una precisión de 0,01 si utilizamos la regla del punto medio? Empezamos por determinar el valor de M , el valor máximo de | f ″ ( x ) | en [ 0 , 1 ] para f ( x ) = e x 2 . Dado que f ′ ( x ) = 2 x e x 2 , tenemos f ″ ( x ) = 2 e x 2 + 4 x 2 e x 2 . Por lo tanto, | f ″ ( x ) | = 2 e x 2 ( 1 + 2 x 2 ) ≤ 2 . e . 3 = 6 e . A partir del límite de error en la , tenemos Error en M n ≤ M ( b – a ) 3 24 n 2 ≤ 6 e ( 1 − 0 ) 3 24 n 2 = 6 e 24 n 2 . Ahora resolvemos la siguiente inecuación para n : 6 e 24 n 2 ≤ 0,01 . Por lo tanto, n ≥ 600 e 24 ≈ 8,24 . Dado que n debe ser un número entero que satisfaga esta inecuación, una elección de n = 9 garantizaría que | ∫ 0 1 e x 2 d x − M n | < 0,01 . Análisis Podríamos haber estado tentados de redondear 8,24 hacia abajo y elegir n = 8 , pero esto sería incorrecto porque debemos tener un número entero mayor o igual a 8,24 . Debemos tener en cuenta que las estimaciones de error solo proporcionan un límite superior para el error. De hecho, la estimación real puede ser una aproximación mucho mejor de lo que indica el límite de error. Utilice la para hallar un límite superior para el error al utilizar M 4 para estimar ∫ 0 1 x 2 d x . 1 192 Pista f ″ ( x ) = 2 , así que M = 2 . Regla de Simpson Con la regla del punto medio, estimamos las áreas de las regiones bajo las curvas utilizando rectángulos. En cierto sentido, aproximamos la curva con funciones constantes a trozos. Con la regla trapezoidal, aproximamos la curva utilizando funciones lineales a trozos. ¿Y si, en cambio, aproximáramos una curva utilizando funciones cuadráticas a trozos? Con la regla de Simpson hacemos precisamente esto. Partimos el intervalo en un número par de subintervalos, cada uno de ellos de igual ancho. En el primer par de subintervalos aproximamos ∫ x 0 x 2 f ( x ) d x con ∫ x 0 x 2 p ( x ) d x , donde p ( x ) = A x 2 + B x + C es la función cuadrática que pasa por ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , y ( x 2 , f ( x 2 ) ) ( ). En el siguiente par de subintervalos aproximamos ∫ x 2 x 4 f ( x ) d x con la integral de otra función cuadrática que pasa por ( x 2 , f ( x 2 ) ) , ( x 3 , f ( x 3 ) ) , y ( x 4 , f ( x 4 ) ) . Este proceso se continúa con cada par sucesivo de subintervalos. Con la regla de Simpson aproximamos una integral definida integrando una función cuadrática a trozos. Para entender la fórmula que obtenemos para la regla de Simpson, empezamos por derivar una fórmula para esta aproximación sobre los dos primeros subintervalos. A medida que avanzamos en la derivación, debemos tener en cuenta las siguientes relaciones: f ( x 0 ) = p ( x 0 ) = A x 0 2 + B x 0 + C f ( x 1 ) = p ( x 1 ) = A x 1 2 + B x 1 + C f ( x 2 ) = p ( x 2 ) = A x 2 2 + B x 2 + C x 2 − x 0 = 2 Δ x , donde Δ x es la longitud de un subintervalo. x 2 + x 0 = 2 x 1 , dado que x 1 = ( x 2 + x 0 ) 2 . Por lo tanto, ∫ x 0 x 2 f ( x ) d x ≈ ∫ x 0 x 2 p ( x ) d x = ∫ x 0 x 2 ( A x 2 + B x + C ) d x = A 3 x 3 + B 2 x 2 + C x | x 2 x 0 Calcule la antiderivada. = A 3 ( x 2 3 − x 0 3 ) + B 2 ( x 2 2 − x 0 2 ) + C ( x 2 − x 0 ) Evalúe la antiderivada. = A 3 ( x 2 − x 0 ) ( x 2 2 + x 2 x 0 + x 0 2 ) + B 2 ( x 2 − x 0 ) ( x 2 + x 0 ) + C ( x 2 − x 0 ) = x 2 − x 0 6 ( 2 A ( x 2 2 + x 2 x 0 + x 0 2 ) + 3 B ( x 2 + x 0 ) + 6 C ) Saque el factor común x 2 − x 0 6 . = Δ x 3 ( ( A x 2 2 + B x 2 + C ) + ( A x 0 2 + B x 0 + C ) + A ( x 2 2 + 2 x 2 x 0 + x 0 2 ) + 2 B ( x 2 + x 0 ) + 4 C ) = Δ x 3 ( f ( x 2 ) + f ( x 0 ) + A ( x 2 + x 0 ) 2 + 2 B ( x 2 + x 0 ) + 4 C ) Reordene los términos. Factorice y sustituya f ( x 2 ) = A x 2 2 + B x 2 + C y f ( x 0 ) = A x 0 2 + B x 0 + C . = Δ x 3 ( f ( x 2 ) + f ( x 0 ) + A ( 2 x 1 ) 2 + 2 B ( 2 x 1 ) + 4 C ) Sustituya x 2 + x 0 = 2 x 1 . = Δ x 3 ( f ( x 2 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 0 ) ) . Expanda y sustituya f ( x 1 ) = A x 1 2 + B x 1 + C . Si aproximamos ∫ x 2 x 4 f ( x ) d x utilizando el mismo método, vemos que tenemos ∫ x 0 x 4 f ( x ) d x ≈ Δ x 3 ( f ( x 4 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 2 ) ) . Combinando estas dos aproximaciones, obtenemos ∫ x 0 x 4 f ( x ) d x = Δ x 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + f ( x 4 ) ) . El patrón continúa a medida que añadimos pares de subintervalos a nuestra aproximación. La regla general puede ser la siguiente. Regla de Simpson Supongamos que f ( x ) es continua en [ a , b ] . Supongamos que n es un número entero par positivo y Δ x = b – a n . Supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos, cada uno de ellos de longitud Δ x , con puntos finales en P = { x 0 , x 1 , x 2 ,… , x n } . Establezca que S n = Δ x 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + ⋯ + 2 f ( x n – 2 ) + 4 f ( x n – 1 ) + f ( x n ) ) . Entonces, lím n → + ∞ S n = ∫ a b f ( x ) d x . Al igual que la regla trapezoidal es el promedio de las reglas de la izquierda y de la derecha para estimar integrales definidas, la regla de Simpson puede obtenerse a partir de las reglas del punto medio y de la trapezoidal utilizando un promedio ponderado. Se puede demostrar que S 2 n = ( 2 3 ) M n + ( 1 3 ) T n . También es posible poner un límite al error cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar una integral definida. El límite del error viene dado por la siguiente regla: Regla: límite de error para la regla de Simpson Supongamos que f ( x ) es una función continua en [ a , b ] que tiene una cuarta derivada, f ( 4 ) ( x ) , en este intervalo. Si M es el valor máximo de | f ( 4 ) ( x ) | en [ a , b ] , entonces el límite superior del error al utilizar S n para estimar ∫ a b f ( x ) d x está dada por Error en S n ≤ M ( b – a ) 5 180 n 4 . Aplicación de la regla de Simpson 1 Utilice S 2 para aproximar a ∫ 0 1 x 3 d x . Estime un límite para el error en S 2 . Dado que [ 0 , 1 ] se divide en dos intervalos, cada subintervalo tiene una longitud Δ x = 1 − 0 2 = 1 2 . Los puntos finales de estos subintervalos son { 0 , 1 2 , 1 } . Si establecemos que f ( x ) = x 3 , entonces S 4 = 1 3 . 1 2 ( f ( 0 ) + 4 f ( 1 2 ) + f ( 1 ) ) = 1 6 ( 0 + 4 . 1 8 + 1 ) = 1 4 . Dado que f ( 4 ) ( x ) = 0 y en consecuencia M = 0 , vemos que Error en S 2 ≤ 0 ( 1 ) 5 180 ⋅ 2 4 = 0 . Este límite indica que el valor obtenido mediante la regla de Simpson es exacto. Una comprobación rápida lo verificará, de hecho, ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 . Aplicación de la regla de Simpson 2 Utilice S 6 para estimar la longitud de la curva y = 1 2 x 2 en [ 1 , 4 ] . La longitud de y = 1 2 x 2 en [ 1 , 4 ] es ∫ 1 4 1 + x 2 d x . Si dividimos [ 1 , 4 ] en seis subintervalos, entonces cada subintervalo tiene una longitud Δ x = 4 − 1 6 = 1 2 , y los puntos finales de los subintervalos son { 1 , 3 2 , 2 , 5 2 , 3 , 7 2 , 4 } . Si establecemos que f ( x ) = 1 + x 2 , S 6 = 1 3 . 1 2 ( f ( 1 ) + 4 f ( 3 2 ) + 2 f ( 2 ) + 4 f ( 5 2 ) + 2 f ( 3 ) + 4 f ( 7 2 ) + f ( 4 ) ) . Tras la sustitución, tenemos S 6 = 1 6 ( 1,4142 + 4 . 1,80278 + 2 . 2,23607 + 4 . 2,69258 + 2 . 3,16228 + 4 . 3,64005 + 4,12311 ) ≈ 8,14594. Utilice S 2 para estimar ∫ 1 2 1 x d x . 25 36 Pista S 2 = ( 1 3 Δ x ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ) Conceptos clave Podemos utilizar la integración numérica para estimar los valores de las integrales definidas cuando una forma cerrada de la integral es difícil de calcular o cuando solo se necesita un valor aproximado de la integral definida. Las técnicas más utilizadas para la integración numérica son la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson. La regla del punto medio aproxima la integral definida utilizando regiones rectangulares mientras que la regla trapezoidal aproxima la integral definida utilizando aproximaciones con trapecios. La regla de Simpson aproxima la integral definida aproximando primero la función original mediante funciones cuadráticas a trozos. Ecuaciones clave Regla del punto medio M n = ∑ i = 1 n f ( m i ) Δ x Regla trapezoidal T n = 1 2 Δ x ( f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + ⋯ + 2 f ( x n – 1 ) + f ( x n ) ) Regla de Simpson S n = Δ x 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + 4 f ( x 5 ) + ⋯ + 2 f ( x n – 2 ) + 4 f ( x n – 1 ) + f ( x n ) ) Límite de error para la regla del punto medio Error en M n ≤ M ( b – a ) 3 24 n 2 Límite de error para la regla trapezoidal Error en T n ≤ M ( b – a ) 3 12 n 2 Límite de error para la regla de Simpson Error en S n ≤ M ( b – a ) 5 180 n 4 Aproxime las siguientes integrales utilizando la regla del punto medio, la regla trapezoidal o la regla de Simpson, según se indique (redondee las respuestas a tres decimales). ∫ 1 2 d x x ; regla trapezoidal; n = 5 0,696 ∫ 0 3 4 + x 3 d x ; regla trapezoidal; n = 6 ∫ 0 3 4 + x 3 d x ; regla trapezoidal; n n = 3 9,298 ∫ 0 12 x 2 d x ; regla del punto medio; n = 6 ∫ 0 1 sen 2 ( π x ) d x ; regla del punto medio; n n = 3 0,5000 Utilice la regla del punto medio con ocho subdivisiones para estimar ∫ 2 4 x 2 d x . Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar ∫ 2 4 x 2 d x . T 4 = 18,75 Halle el valor exacto de ∫ 2 4 x 2 d x . Calcule el error de aproximación entre el valor exacto y el valor calculado mediante la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones. Dibuje un gráfico para ilustrarlo. Aproxime la integral a tres decimales utilizando la regla indicada. ∫ 0 1 sen 2 ( π x ) d x ; regla trapezoidal; n = 6 0,500 ∫ 0 3 1 1 + x 3 d x ; regla trapezoidal; n = 6 ∫ 0 3 1 1 + x 3 d x ; regla trapezoidal; n n = 3 1,2819 ∫ 0 0,8 e – x 2 d x ; regla trapezoidal; n = 4 ∫ 0 0,8 e – x 2 d x ; regla de Simpson; n = 4 0,6577 ∫ 0 0,4 sen ( x 2 ) d x ; regla trapezoidal; n = 4 ∫ 0 0,4 sen ( x 2 ) d x ; regla de Simpson; n = 4 0,0213 ∫ 0,1 0,5 cos x x d x ; regla trapezoidal; n = 4 ∫ 0,1 0,5 cos x x d x ; regla de Simpson; n = 4 1,5629 Evalúe ∫ 0 1 d x 1 + x 2 exactamente y demuestre que el resultado es π / 4 . A continuación, halle el valor aproximado de la integral utilizando la regla trapezoidal con n = 4 subdivisiones. Utilice el resultado para aproximar el valor de π . Aproxime ∫ 2 4 1 ln x d x utilizando la regla del punto medio con cuatro subdivisiones y redondee a cuatro decimales. 1,9133 Aproxime ∫ 2 4 1 ln x d x utilizando la regla trapezoidal con ocho subdivisiones y redondee a cuatro decimales. Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar ∫ 0 0,8 x 3 d x con cuatro decimales. T(4) = 0,1088 Utilice la regla trapezoidal con cuatro subdivisiones para estimar ∫ 0 0,8 x 3 d x . Compare este valor con el valor exacto y calcule la estimación del error. Utilizando la regla de Simpson con cuatro subdivisiones, calcule ∫ 0 π / 2 cos ( x ) d x . 1,0 Demuestre que el valor exacto de ∫ 0 1 x e – x d x = 1 − 2 e . Calcule el error absoluto si aproxima la integral utilizando la regla del punto medio con 16 subdivisiones. Dada ∫ 0 1 x e – x d x = 1 − 2 e , utilice la regla trapezoidal con 16 subdivisiones para aproximar la integral y hallar el error absoluto. El error aproximado es de 0,000325. Halle un límite superior para el error de estimación ∫ 0 3 ( 5 x + 4 ) d x utilizando la regla trapezoidal con seis pasos. Halle un límite superior para el error de estimación ∫ 4 5 1 ( x – 1 ) 2 d x utilizando la regla trapezoidal con siete subdivisiones. 1 7938 Halle un límite superior para el error de estimación ∫ 0 3 ( 6 x 2 – 1 ) d x utilizando la regla de Simpson con n = 10 pasos. Halle un límite superior para el error de estimación ∫ 2 5 1 x – 1 d x utilizando la regla de Simpson con n = 10 pasos. 81 25 , 000 Halle un límite superior para el error de estimación ∫ 0 π 2 x cos ( x ) d x utilizando la regla de Simpson con cuatro pasos. Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral ∫ 1 4 ( 5 x 2 + 8 ) d x con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal. 475 Determine un valor n tal que la regla trapezoidal aproxime la integral ∫ 0 1 1 + x 2 d x con un error no superior a 0,01. Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral ∫ 2 3 ( 2 x 3 + 4 x ) d x con un error de magnitud inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal. 174 Estime el número mínimo de subintervalos necesarios para aproximar la integral ∫ 3 4 1 ( x – 1 ) 2 d x con una magnitud de error inferior a 0,0001 utilizando la regla trapezoidal. Utilice la regla de Simpson con cuatro subdivisiones para aproximar el área bajo la función de densidad de probabilidad y = 1 2 π e – x 2 / 2 de x = 0 hasta x = 0,4 . 0,1544 Utilice la regla de Simpson con n = 14 para aproximar (con tres decimales) el área de la región delimitada por los gráficos de y = 0 , x = 0 , y x = π / 2 . La longitud de un arco de la curva y = 3 sen ( 2 x ) está dada por L = ∫ 0 π / 2 1 + 36 cos 2 ( 2 x ) d x . Estime L utilizando la regla trapezoidal con n = 6 . 6,2807 La longitud de la elipse x = a cos ( t ) , y = b sen ( t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π está dada por L = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − e 2 cos 2 ( t ) d t , donde e es la excentricidad de la elipse. Utilice la regla de Simpson con n = 6 subdivisiones para estimar la longitud de la elipse cuando a = 2 y e = 1 / 3 . Estime el área superficial generada cuando se gira la curva y = cos ( 2 x ) , 0 ≤ x ≤ π 4 alrededor del eje x . Utilice la regla trapezoidal con seis subdivisiones. 4,606 Estime el área superficial generada cuando se gira la curva y = 2 x 2 , 0 ≤ x ≤ 3 alrededor del eje x . Utilice la regla de Simpson con n = 6 . La tasa de crecimiento de un determinado árbol (en pies) está dada por y = 2 t + 1 + e − t 2 / 2 , donde t es el tiempo en años. Estime el crecimiento del árbol hasta el final del segundo año utilizando la regla de Simpson con dos subintervalos (redondee la respuesta a la centésima más cercana). 3,41 pies [T] Use una calculadora para aproximar ∫ 0 1 sen ( π x ) d x utilizando la regla del punto medio con 25 subdivisiones. Calcule el error relativo de aproximación. [T] Dada ∫ 1 5 ( 3 x 2 − 2 x ) d x = 100 , aproxime el valor de esta integral utilizando la regla trapezoidal con 16 subdivisiones y determine el error absoluto. T 16 = 100,125 ; error absoluto = 0,125 Dado que conocemos el teorema fundamental del cálculo, ¿por qué querríamos desarrollar métodos numéricos para integrales definidas? La tabla representa las coordenadas ( x , ​ y ) que dan el límite de un terreno. Las unidades de medida son metros. Utilice la regla trapezoidal para estimar el número de metros cuadrados de terreno que hay en este terreno. x y x y 0 125 600 95 100 125 700 88 200 120 800 75 300 112 900 35 400 90 1.000 0 500 90 unos 89.250 m 2 Elija la respuesta correcta. Cuando se utiliza la regla de Simpson para aproximar la integral definida, es necesario que el número de particiones sea____ un número par un número impar un número par o impar un múltiplo de 4 La suma de \"Simpson\" se basa en el área bajo un ____. parábola La fórmula de error de la regla de Simpson depende de___. f ( x ) grandes. f ′ ( x ) grandes. f ( 4 ) ( x ) el número de pasos error absoluto si B estimación de alguna cantidad que tiene un valor real de A , entonces el error absoluto está dado por | A − B | regla del punto medio regla que utiliza una suma de Riemann de la forma M n = ∑ i = 1 n f ( m i ) Δ x , donde m i es el punto medio del i −ésimo subintervalo para aproximar ∫ a b f ( x ) d x integración numérica variedad de métodos numéricos utilizados para estimar el valor de una integral definida, incluidas la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson error relativo error como porcentaje del valor absoluto, dado por | A − B A | = | A − B A | . 100 % regla de Simpson regla que aproxima ∫ a b f ( x ) d x utilizando las integrales de una función cuadrática a trozos. La aproximación S n a ∫ a b f ( x ) d x está dada por S n = Δ x 3 ( f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + 2 f ( x 4 ) + 4 f ( x 5 ) + ⋯ + 2 f ( x n – 2 ) + 4 f ( x n – 1 ) + f ( x n ) ) regla trapezoidal regla que aproxima ∫ a b f ( x ) d x utilizando trapecios", "section": "Integración numérica", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Integrales impropias El área entre el gráfico de f ( x ) = 1 x y el eje x en el intervalo [ 1 , + ∞ ) ¿es finita o infinita? Si esta misma región se hace girar alrededor del eje x , ¿el volumen es finito o infinito? Sorprendentemente, el área de la región descrita es infinita, pero el volumen del sólido obtenido al girar esta región alrededor del eje x es finito. En esta sección, definimos las integrales en un intervalo infinito, así como las integrales de funciones que contienen una discontinuidad en el intervalo. Las integrales de este tipo se llaman integrales impropias. Examinamos varias técnicas para evaluar integrales impropias, todas las cuales implican tomar límites. Integración en un intervalo infinito ¿Cómo podemos definir una integral del tipo ∫ a + ∞ f ( x ) d x ? Podemos integrar ∫ a t f ( x ) d x para cualquier valor de t , por lo que es razonable observar el comportamiento de esta integral a medida que sustituimos valores mayores de t . La muestra que ∫ a t f ( x ) d x puede interpretarse como área para varios valores de t . En otras palabras, podemos definir una integral impropia como un límite, tomado a medida que uno de los límites de integración aumenta o disminuye sin límite. Para integrar una función en un intervalo infinito, consideramos el límite de la integral a medida que el límite superior aumenta sin límite. Definición Supongamos que f ( x ) es continua en un intervalo de la forma [ a , + ∞ ) . Entonces ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x , siempre que exista este límite. Supongamos que f ( x ) es continua en un intervalo de la forma ( − ∞ , b ] . Entonces ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lím t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x , siempre que exista este límite. En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge. Supongamos que f ( x ) es continua en ( − ∞ , + ∞ ) . Entonces ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x , siempre que ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x y ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x ambas convergen. Si cualquiera de estas dos o ambas integrales divergen, entonces ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x diverge. (Se puede demostrar que, de hecho, ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ a f ( x ) d x + ∫ a + ∞ f ( x ) d x para cualquier valor de a . ) En nuestro primer ejemplo, volvemos a la pregunta que planteamos al principio de esta sección: El área entre el gráfico de f ( x ) = 1 x y el eje x en el intervalo [ 1 , + ∞ ) ¿es finita o infinita? Hallar un área Determine si el área entre el gráfico de f ( x ) = 1 x y el eje x en el intervalo [ 1 , + ∞ ) es finita o infinita. En primer lugar, hacemos un dibujo rápido de la región en cuestión, como se muestra en el siguiente gráfico. Podemos hallar el área entre la curva f ( x ) = 1 / x y el eje x en un intervalo infinito. Podemos ver que el área de esta región está dada por A = ∫ 1 ∞ 1 x d x . Entonces tenemos A = ∫ 1 ∞ 1 x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x d x Reescriba la integral impropia como un límite. = lím t → + ∞ ln | x | | 1 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ln | t | − ln 1 ) Evalúe la antiderivada. = + ∞ . Evalúe el límite. Como la integral impropia diverge a + ∞ , el área de la región es infinita. Calcular un volumen Calcule el volumen del sólido obtenido cuando se gira la región delimitada por el gráfico de f ( x ) = 1 x y el eje x en el intervalo [ 1 , + ∞ ) alrededor del eje x . El sólido se muestra en la . Utilizando el método del disco, vemos que el volumen V es V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x . El sólido de revolución puede generarse girando un área infinita alrededor del eje x . Entonces tenemos V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x = π lím t → + ∞ ∫ 1 t 1 x 2 d x Reescriba como un límite. = π lím t → + ∞ − 1 x | 1 t Calcule la antiderivada. = π lím t → + ∞ ( − 1 t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = π . La integral impropia converge a π . Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es π . En conclusión, aunque el área de la región entre el eje x y el gráfico de f ( x ) = 1 / x en el intervalo [ 1 , + ∞ ) es infinita, el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje x es finito. El sólido generado se conoce como el cuerno de Gabriel . Visite este sitio web para leer más sobre el cuerno de Gabriel. Inicio del capítulo: Accidentes de tráfico en una ciudad (créditos: modificación del trabajo de David McKelvey, Flickr). En el inicio del capítulo, planteamos el siguiente problema: supongamos que en una intersección muy concurrida se producen accidentes de tráfico a una tasa promedio de uno cada tres meses. Tras las quejas de los vecinos, se modificaron los semáforos de la intersección. Ya han pasado ocho meses desde que se hicieron los cambios y no ha habido ningún accidente. ¿Fueron efectivos los cambios o el intervalo de 8 meses sin accidentes es fruto de la casualidad? La teoría de la probabilidad nos dice que si el tiempo promedio entre eventos es k , la probabilidad de que X , el tiempo entre eventos, esté entre a y b está dada por P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x donde f ( x ) = { 0 si x < 0 k e − k x si x ≥ 0 . Por lo tanto, si los accidentes se producen a una tasa de uno cada 3 meses, la probabilidad de que X , el tiempo entre accidentes, esté entre a y b está dada por P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ a b f ( x ) d x donde f ( x ) = { 0 si x < 0 3 e −3 x si x ≥ 0 . Para responder la pregunta, debemos calcular P ( X ≥ 8 ) = ∫ 8 + ∞ 3 e −3 x d x y decidir si es probable que hayan pasado 8 meses sin que se produzca un accidente si no hubiera mejorado la situación del tráfico. Tenemos que calcular la probabilidad como una integral impropia: P ( X ≥ 8 ) = ∫ 8 + ∞ 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ ∫ 8 t 3 e −3 x d x = lím t → + ∞ − e −3 x | 8 t = lím t → + ∞ ( − e −3 t + e −24 ) ≈ 3,8 × 10 −11 . El valor 3,8 × 10 −11 representa la probabilidad de que no haya accidentes en 8 meses en las condiciones iniciales. Como este valor es muy, muy pequeño, es razonable concluir que los cambios fueron efectivos. Evaluación de una integral impropia en un intervalo infinito Evalúe ∫ − ∞ 0 1 x 2 + 4 d x . Indique si la integral impropia converge o diverge. Comience por reescribir ∫ − ∞ 0 1 x 2 + 4 d x como límite utilizando la de la definición. Por lo tanto, ∫ − ∞ 0 1 x 2 + 4 d x = lím x → − ∞ ∫ t 0 1 x 2 + 4 d x Reescriba como un límite. = lím t → − ∞ 1 2 tan −1 x 2 | t 0 Calcule la antiderivada. = 1 2 lím t → − ∞ ( tan −1 0 − tan −1 t 2 ) Evalúe la antiderivada. = π 4 . Evalúe el límite y simplifique. La integral impropia converge a π 4 . Evaluación de una integral impropia en ( − ∞ , + ∞ ) Evalúe ∫ − ∞ + ∞ x e x d x . Indique si la integral impropia converge o diverge. Empiece por dividir la integral: ∫ − ∞ + ∞ x e x d x = ∫ − ∞ 0 x e x d x + ∫ 0 + ∞ x e x d x . Si cualquiera de ∫ − ∞ 0 x e x d x o ∫ 0 + ∞ x e x d x diverge, entonces ∫ − ∞ + ∞ x e x d x diverge. Calcule cada integral por separado. Para la primera integral, ∫ − ∞ 0 x e x d x = lím t → − ∞ ∫ t 0 x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → − ∞ ( x e x − e x ) | t 0 Utilice la integración por partes para hallar la antiderivada. (Aquí u = x y d v = e x dx . ) = lím t → − ∞ ( −1 − t e t + e t ) Evalúe la antiderivada. = −1 . Evalúe el límite. Nota: lím t → − ∞ t e t es indeterminado de la forma 0 . ∞ . Por lo tanto, lím t → − ∞ t e t = lím t → − ∞ t e − t = lím t → − ∞ −1 e − t = lím t → − ∞ − e t = 0 por La regla de L'Hôpital. La primera integral impropia converge. Para la segunda integral, ∫ 0 + ∞ x e x d x = lím t → + ∞ ∫ 0 t x e x d x Reescriba como un límite. = lím t → + ∞ ( x e x − e x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → + ∞ ( t e t − e t + 1 ) Evalúe la antiderivada. = lím t → + ∞ ( ( t − 1 ) e t + 1 ) Reescriba. ( t e t − e t es indeterminado). = + ∞ . Evalúe el límite. Por lo tanto, ∫ 0 + ∞ x e x d x diverge. Dado que esta integral diverge, ∫ − ∞ + ∞ x e x d x también diverge. Evalúe ∫ −3 + ∞ e – x d x . Indique si la integral impropia converge o diverge. e 3 , converge Pista ∫ −3 + ∞ e – x d x = lím t → + ∞ ∫ −3 t e – x d x Integración de un integrando discontinuo Ahora vamos a examinar las integrales de funciones que contienen una discontinuidad infinita en el intervalo sobre el que se produce la integración. Consideremos una integral de la forma ∫ a b f ( x ) d x , donde f ( x ) es continua en [ a , b ) y discontinua en b . Dado que la función f ( x ) es continua en [ a , t ] para todos los valores de t que satisface a < t < b , la integral ∫ a t f ( x ) d x se define para todos esos valores de t . Por lo tanto, tiene sentido considerar los valores de ∫ a t f ( x ) d x a medida que t se acerca a b para a < t < b . Es decir, definimos ∫ a b f ( x ) d x = lím t → b − ∫ a t f ( x ) d x , siempre que exista este límite. La ilustra ∫ a t f ( x ) d x como áreas de regiones para valores de t que se acercan a b . A medida que t se acerca a b por la izquierda, el valor del área de a a t se acerca al área de a a b . Utilizamos un enfoque similar para definir ∫ a b f ( x ) d x , donde f ( x ) es continua en ( a , b ] y discontinua en a . Procedemos ahora a una definición formal. Definición Supongamos que f ( x ) es continua en [ a , b ) . Entonces, ∫ a b f ( x ) d x = lím t → b − ∫ a t f ( x ) d x . Supongamos que f ( x ) es continua en ( a , b ] . Entonces, ∫ a b f ( x ) d x = lím t → a + ∫ t b f ( x ) d x . En cada caso, si el límite existe, se dice que la integral impropia converge. Si el límite no existe, se dice que la integral impropia diverge. Si los valores de f ( x ) es continua en [ a , b ] excepto en un punto c en ( a , b ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x , siempre que ambas ∫ a c f ( x ) d x y ∫ c b f ( x ) d x converjan. Si cualquiera de estas integrales diverge, entonces ∫ a b f ( x ) d x diverge. Los siguientes ejemplos demuestran la aplicación de esta definición. Integración de un integrando discontinuo Evalúe ∫ 0 4 1 4 − x d x , si es posible. Indique si la integral converge o diverge. La función f ( x ) = 1 4 − x es continua en [ 0 , 4 ) y discontinua en 4. Utilizando la de la definición, reescriba ∫ 0 4 1 4 − x d x como límite: ∫ 0 4 1 4 − x d x = lím t → 4 − ∫ 0 t 1 4 − x d x Reescriba como un límite. = lím t → 4 − ( −2 4 − x ) | 0 t Calcule la antiderivada. = lím t → 4 − ( −2 4 − t + 4 ) Evalúe la antiderivada. = 4 . Evalúe el límite. La integral impropia converge. Integración de un integrando discontinuo Evalúe ∫ 0 2 x ln x d x . Indique si la integral converge o diverge. Dado que f ( x ) = x ln x es continua en ( 0 , 2 ] y es discontinua en cero, podemos reescribir la integral en forma de límite utilizando la : ∫ 0 2 x ln x d x = lím t → 0 + ∫ t 2 x ln x d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 + ( 1 2 x 2 ln x – 1 4 x 2 ) | t 2 Evalúe ∫ ​ x ln x d x utilizando la integración por partes con u = ln x y d v = x dx . = lím t → 0 + ( 2 ln 2 – 1 − 1 2 t 2 ln t + 1 4 t 2 ) . Evalúe la antiderivada. = 2 ln 2 – 1 . Evalúe el límite. lím t → 0 + t 2 ln t es indeterminada. Para evaluarla, reescríbala como un cociente y aplique la regla de L'Hôpital. La integral impropia converge. Integración de un integrando discontinuo Evalúe ∫ –1 1 1 x 3 d x . Indique si la integral impropia converge o diverge. Dado que f ( x ) = 1 / x 3 es discontinua en cero, utilizando la , podemos escribir ∫ –1 1 1 x 3 d x = ∫ −1 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 1 x 3 d x . Si cualquiera de las dos integrales diverge, entonces la integral original diverge. Comience con ∫ −1 0 1 x 3 d x : ∫ −1 0 1 x 3 d x = lím t → 0 − ∫ −1 t 1 x 3 d x Reescriba como un límite. = lím t → 0 − ( − 1 2 x 2 ) | −1 t Calcule la antiderivada. = lím t → 0 − ( − 1 2 t 2 + 1 2 ) Evalúe la antiderivada. = + −∞ . Evalúe el límite. Por lo tanto, ∫ −1 0 1 x 3 d x diverge. Dado que ∫ −1 0 1 x 3 d x diverge, ∫ –1 1 1 x 3 d x diverge. Evalúe ∫ 0 2 1 x d x . Indique si la integral converge o diverge. + ∞ , diverge Pista Escriba ∫ 0 2 1 x d x en forma de límite utilizando la . Un teorema de comparación No siempre es fácil, o incluso posible, evaluar directamente una integral impropia; sin embargo, comparándola con otra integral elegida cuidadosamente, puede ser posible determinar su convergencia o divergencia. Para ver esto, considere dos funciones continuas f ( x ) y g ( x ) que satisface 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) para x ≥ a ( ). En este caso, podemos ver integrales de estas funciones en intervalos de la forma [ a , t ] como áreas, por lo que tenemos la relación 0 ≤ ∫ a t f ( x ) d x ≤ ∫ a t g ( x ) d x para t ≥ a . Si los valores de 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) para x ≥ a , entonces para t ≥ a , ∫ a t f ( x ) d x ≤ ∫ a t g ( x ) d x . Por lo tanto, si ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x = + ∞ , entonces ∫ a + ∞ g ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t g ( x ) d x = + ∞ también. Es decir, si el área de la región entre el gráfico de f ( x ) y el eje x en [ a , + ∞ ) es infinita, entonces el área de la región entre el gráfico de g ( x ) y el eje x en [ a , + ∞ ) también es infinita. Por otro lado, si ∫ a + ∞ g ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t g ( x ) d x = L para algún número real L , entonces ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x debe converger a algún valor menor o igual a L , dado que ∫ a t f ( x ) d x aumenta a medida que t aumenta y ∫ a t f ( x ) d x ≤ L para todo t ≥ a . Si el área de la región entre el gráfico de g ( x ) y el eje x en [ a , + ∞ ) es finita, entonces el área de la región entre el gráfico de f ( x ) y el eje x en [ a , + ∞ ) también es finita. Estas conclusiones se resumen en el siguiente teorema. Un teorema de comparación Supongamos que f ( x ) y g ( x ) es continua en [ a , + ∞ ) . Supongamos que 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) para x ≥ a . Si los valores de ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x = + ∞ , entonces ∫ a + ∞ g ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t g ( x ) d x = + ∞ . Si los valores de ∫ a + ∞ g ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t g ( x ) d x = L , donde L es un número real, entonces ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x = M para algún número real M ≤ L . Aplicación del teorema de comparación Utilice una comparación para demostrar que ∫ 1 + ∞ 1 x e x d x converge. Podemos ver que 0 ≤ 1 x e x ≤ 1 e x = e – x , por lo que si ∫ 1 + ∞ e – x d x converge, entonces también lo hace ∫ 1 + ∞ 1 x e x d x . Para evaluar ∫ 1 + ∞ e – x d x , reescríbala primero como un límite: ∫ 1 + ∞ e – x d x = lím t → + ∞ ∫ 1 t e – x d x = lím t → + ∞ ( − e – x ) | t 1 = lím t → + ∞ ( − e − t + e −1 ) = e −1 . Dado que ∫ 1 + ∞ e – x d x converge, también lo hace ∫ 1 + ∞ 1 x e x d x . Aplicación del teorema de comparación Utilice el teorema de la comparación para demostrar que ∫ 1 + ∞ 1 x p d x diverge para todo p < 1 . Para p < 1 , 1 / x ≤ 1 / ( x p ) en [ 1 , + ∞ ) . En el , demostramos que ∫ 1 + ∞ 1 x d x = + ∞ . Por lo tanto, ∫ 1 + ∞ 1 x p d x diverge para todo p < 1 . Utilice una comparación para demostrar que ∫ e + ∞ ln x x d x diverge. Dado que ∫ e + ∞ 1 x d x = + ∞ , ∫ e + ∞ ln x x d x diverge. Pista 1 x ≤ ln x x en [ e , + ∞ ) Transformadas de Laplace En los últimos capítulos hemos visto varias formas de utilizar la integración para resolver problemas del mundo real. Para el siguiente proyecto, vamos a explorar una aplicación más avanzada de la integración: las transformadas integrales. En concreto, describimos la transformada de Laplace y algunas de sus propiedades. La transformada de Laplace se utiliza en ingeniería y física para simplificar los cálculos necesarios para resolver algunos problemas. Toma funciones expresadas en términos de tiempo y las transforma en funciones expresadas en términos de frecuencia. Resulta que, en muchos casos, los cálculos necesarios para resolver problemas en el ámbito de la frecuencia son mucho más sencillos que los requeridos en el ámbito del tiempo. La transformada de Laplace se define en términos de una integral como L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t . Tenga en cuenta que la entrada de una transformada de Laplace es una función del tiempo, f ( t ) , y la salida es una función de la frecuencia, F ( s ) . Aunque muchos ejemplos del mundo real requieren el uso de números complejos (que implican el número imaginario i = −1 ) , en este proyecto nos limitamos a funciones de números reales. Empecemos con un ejemplo sencillo. Aquí calculamos la transformada de Laplace de f ( t ) = t . Tenemos L { t } = ∫ 0 ∞ t e − s t d t . Esta es una integral impropia, por lo que la expresamos en términos de un límite, lo que da L { t } = ∫ 0 ∞ t e − s t d t = lím z → ∞ ∫ 0 z t e − s t d t . Ahora utilizamos la integración por partes para evaluar la integral. Observe que estamos integrando con respecto a t , por lo que tratamos la variable s como una constante. Tenemos u = t d v = e − s t d t d u = d t v = − 1 s e − s t . Entonces obtenemos lím z → ∞ ∫ 0 z t e − s t d t = lím z → ∞ [ [ − t s e − s t ] | 0 z + 1 s ∫ 0 z e − s t d t ] = lím z → ∞ [ [ − z s e − s z + 0 s e −0 s ] + 1 s ∫ 0 z e − s t d t ] = lím z → ∞ [ [ − z s e − s z + 0 ] − 1 s [ e − s t s ] | 0 z ] = lím z → ∞ [ [ − z s e − s z ] − 1 s 2 [ e − s z – 1 ] ] = lím z → ∞ [ − z s e s z ] − lím z → ∞ [ 1 s 2 e s z ] + lím z → ∞ 1 s 2 = 0 − 0 + 1 s 2 = 1 s 2 . Calcule la transformada de Laplace de f ( t ) = 1 . Calcule la transformada de Laplace de f ( t ) = e −3 t . Calcule la transformada de Laplace de f ( t ) = t 2 . (Observe que tendrá que integrar por partes dos veces). Las transformadas de Laplace se utilizan a menudo para resolver ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales no se tratan en detalle hasta más adelante en este libro; pero, por ahora, veamos la relación entre la transformada de Laplace de una función y la transformada de Laplace de su derivada. Comencemos con la definición de la transformada de Laplace. Tenemos L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t = lím z → ∞ ∫ 0 z e − s t f ( t ) d t . Utilice la integración por partes para evaluar lím z → ∞ ∫ 0 z e − s t f ( t ) d t . (Supongamos que u = f ( t ) y d v = e − s t d t . ) Después de integrar por partes y evaluar el límite, debería ver que L { f ( t ) } = f ( 0 ) s + 1 s [ L { f ′ ( t ) } ] . Entonces, L { f ′ ( t ) } = s L { f ( t ) } − f ( 0 ) . Por lo tanto, la diferenciación en el ámbito del tiempo se simplifica a la multiplicación por s en el ámbito de la frecuencia. Lo último que vemos en este proyecto es cómo las transformadas de Laplace de f ( t ) y su antiderivada están relacionadas. Supongamos que g ( t ) = ∫ 0 t f ( u ) d u . Entonces, L { g ( t ) } = ∫ 0 ∞ e − s t g ( t ) d t = lím z → ∞ ∫ 0 z e − s t g ( t ) d t . Utilice la integración por partes para evaluar lím z → ∞ ∫ 0 z e − s t g ( t ) d t . (Supongamos que u = g ( t ) y d v = e − s t d t . Por cierto, observe que hemos definido g ( t ) , d u = f ( t ) d t . ) Como es de esperar, debería ver que L { g ( t ) } = 1 s . L { f ( t ) } . La integración en el ámbito del tiempo se simplifica a la división por s en el ámbito de la frecuencia. Conceptos clave Las integrales de funciones en intervalos infinitos se definen en términos de límites. Las integrales de funciones en un intervalo para el que la función tiene una discontinuidad en un punto final pueden definirse en términos de límites. La convergencia o divergencia de una integral impropia puede determinarse comparándola con el valor de una integral impropia cuya convergencia o divergencia se conoce. Ecuaciones clave Integrales impropias ∫ a + ∞ f ( x ) d x = lím t → + ∞ ∫ a t f ( x ) d x ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lím t → − ∞ ∫ t b f ( x ) d x ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ 0 f ( x ) d x + ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x Evalúe las siguientes integrales. Si la integral no es convergente, responda \"divergente\" ∫ 2 4 d x ( x − 3 ) 2 divergente ∫ 0 ∞ 1 4 + x 2 d x ∫ 0 2 1 4 − x 2 d x π 2 ∫ 1 ∞ 1 x ln x d x ∫ 1 ∞ x e – x d x 2 e ∫ − ∞ ∞ x x 2 + 1 d x Sin integrar, determine si la integral ∫ 1 ∞ 1 x 3 + 1 d x converge o diverge comparando la función f ( x ) = 1 x 3 + 1 con g ( x ) = 1 x 3 . Converge Sin integrar, determine si la integral ∫ 1 ∞ 1 x + 1 d x converge o diverge. Determine si las integrales impropias convergen o divergen. Si es posible, determine el valor de las integrales que convergen. ∫ 0 ∞ e – x cos x d x Converge a 1/2. ∫ 1 ∞ ln x x d x ∫ 0 1 ln x x d x −4 ∫ 0 1 ln x d x ∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x π ∫ 1 5 d x x – 1 ∫ −2 2 d x ( 1 + x ) 2 diverge ∫ 0 ∞ e – x d x ∫ 0 ∞ sen x d x diverge ∫ − ∞ ∞ e x 1 + e 2 x d x ∫ 0 1 d x x 3 1,5 ∫ 0 2 d x x 3 ∫ −1 2 d x x 3 diverge ∫ 0 1 d x 1 − x 2 ∫ 0 3 1 x – 1 d x diverge ∫ 1 ∞ 5 x 3 d x ∫ 3 5 5 ( x − 4 ) 2 d x diverge Determine la convergencia de cada una de las siguientes integrales por comparación con la integral dada. Si la integral converge, halle el número al que converge. ∫ 1 ∞ d x x 2 + 4 x ; compare con ∫ 1 ∞ d x x 2 . ∫ 1 ∞ d x x + 1 ; compare con ∫ 1 ∞ d x 2 x . Ambas integrales divergen. Evalúe las integrales. Si la integral diverge, responda \"diverge\". ∫ 1 ∞ d x x e ∫ 0 1 d x x π diverge ∫ 0 1 d x 1 − x ∫ 0 1 d x 1 − x diverge ∫ − ∞ 0 d x x 2 + 1 ∫ –1 1 d x 1 − x 2 π ∫ 0 1 ln x x d x ∫ 0 e ln ( x ) d x 0,0 ∫ 0 ∞ x e – x d x ∫ − ∞ ∞ x ( x 2 + 1 ) 2 d x 0,0 ∫ 0 ∞ e x d x Evalúe las integrales impropias. Cada una de estas integrales tiene una discontinuidad infinita, ya sea en un punto final o en un punto interior del intervalo. ∫ 0 9 d x 9 − x 6,0 ∫ −27 1 d x x 2 / 3 ∫ 0 3 d x 9 − x 2 π 2 ∫ 6 24 d t t t 2 − 36 ∫ 0 4 x ln ( 4 x ) d x 8 ln ( 16 ) − 4 ∫ 0 3 x 9 − x 2 d x Evalúe ∫ 0,5 1 d x 1 − x 2 . (¡Cuidado!) (Exprese su respuesta con tres decimales). 1,047 Evalúe ∫ 1 4 d x x 2 – 1 . (Exprese la respuesta en forma exacta). Evalúe ∫ 2 ∞ d x ( x 2 – 1 ) 3 / 2 . −1 + 2 3 Halla el área de la región en el primer cuadrante entre la curva y = e −6 x y el eje x . Halle el área de la región delimitada por la curva y = 7 x 2 , el eje x , y a la izquierda por x = 1 . 7,0 Halle el área bajo la curva y = 1 ( x + 1 ) 3 / 2 , delimitada a la izquierda por x = 3 . Halle el área bajo y = 5 1 + x 2 en el primer cuadrante. 5 π 2 Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región bajo la curva y = 3 x de x = 1 a x = ∞ . Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y la región bajo la curva y = 6 e −2 x en el primer cuadrante. 3 π Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x el área bajo la curva y = 3 e – x en el primer cuadrante. La transformada de Laplace de una función continua en el intervalo [ 0 , ∞ ) se define por F ( s ) = ∫ 0 ∞ e − s x f ( x ) d x (vea el proyecto estudiantil). Esta definición se utiliza para resolver algunos problemas importantes de valor inicial en ecuaciones diferenciales, como se verá más adelante. El dominio de F es el conjunto de todos los números reales s tales que la integral impropia converge. Calcule la transformada de Laplace F de cada una de las siguientes funciones e indique el dominio de F . f ( x ) = 1 1 s , s > 0 f ( x ) = x f ( x ) = cos ( 2 x ) grandes. s s 2 + 4 , s > 0 f ( x ) = e a x Utilice la fórmula de la longitud de arco para demostrar que la circunferencia del círculo x 2 + y 2 = 1 es 2 π . Las respuestas variarán. Una función no negativa es una función de densidad de probabilidad si satisface la siguiente definición ∫ − ∞ ∞ f ( t ) d t = 1 . La probabilidad de que una variable aleatoria x se encuentre entre a y b está dada por P ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ a b f ( t ) d t . Demuestre que f ( x ) = { 0 si x < 0 7 e −7 x si x ≥ 0 es una función de densidad de probabilidad. Calcule la probabilidad de que x esté entre 0 y 0,3. (Utilice la función definida en el problema anterior). Utilice una exactitud de cuatro decimales. 0,8775 Ejercicios de repaso del capítulo En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. ∫ e x sen ( x ) d x no puede integrarse por partes. ∫ 1 x 4 + 1 d x no se puede integrar utilizando fracciones parciales. Falso En la integración numérica, el aumento del número de puntos disminuye el error. Con la integración por partes siempre se puede obtener la integral. Falso En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando el método especificado. ∫ x 2 sen ( 4 x ) d x utilizando la integración por partes ∫ 1 x 2 x 2 + 16 d x utilizando la sustitución trigonométrica − x 2 + 16 16 x + C ∫ x ln ( x ) d x utilizando la integración por partes ∫ 3 x x 3 + 2 x 2 − 5 x − 6 d x utilizando fracciones parciales 1 10 ( 4 ln ( 2 − x ) + 5 ln ( x + 1 ) − 9 ln ( x + 3 ) ) + C ∫ x 5 ( 4 x 2 + 4 ) 5 / 2 d x utilizando la sustitución trigonométrica ∫ 4 − sen 2 ( x ) sen 2 ( x ) cos ( x ) d x utilizando una tabla de integrales o un CAS − 4 − sen 2 ( x ) sen ( x ) − x 2 + C En los siguientes ejercicios, integre utilizando cualquier método que elija. ∫ sen 2 ( x ) cos 2 ( x ) d x ∫ x 3 x 2 + 2 d x 1 15 ( x 2 + 2 ) 3 / 2 ( 3 x 2 − 4 ) + C ∫ 3 x 2 + 1 x 4 – 2 x 3 − x 2 + 2 x d x ∫ 1 x 4 + 4 d x 1 16 ln ( x 2 + 2 x + 2 x 2 − 2 x + 2 ) − 1 8 tan –1 ( 1 − x ) + 1 8 tan –1 ( x + 1 ) + C ∫ 3 + 16 x 4 x 4 d x En los siguientes ejercicios, aproxime las integrales utilizando la regla del punto medio, la regla trapezoidal y la regla de Simpson con cuatro subintervalos y redondeando a tres decimales. [T] ∫ 1 2 x 5 + 2 d x M 4 = 3,312 , T 4 = 3,354 , S 4 = 3,326 [T] ∫ 0 π e − sen ( x 2 ) d x [T] ∫ 1 4 ln ( 1 / x ) x d x M 4 = −0,982 , T 4 = −0,917 , S 4 = −0,952 En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales, si es posible. ∫ 1 ∞ 1 x n d x , ¿para qué valores de n esta integral converge o diverge? ∫ 1 ∞ e – x x d x aproximadamente 0,2194 En los siguientes ejercicios, considere la función gamma dada por Γ ( a ) = ∫ 0 ∞ e − y y a − 1 d y . Demuestre que Γ ( a ) = ( a − 1 ) Γ ( a − 1 ) . Amplíe para demostrar que Γ ( a ) = ( a − 1 ) ! , asumiendo que a es un número entero positivo. El automóvil más rápido del mundo, el Bugati Veyron, puede alcanzar una velocidad máxima de 408 km/h. El gráfico representa su velocidad. [T] Utilice el gráfico para estimar la velocidad cada 20 segundos y ajústela a un gráfico de la forma v ( t ) = a exp b x sen ( c x ) + d . ( Pista: Considere las unidades de tiempo). [T] Utilizando su función del problema anterior, calcule exactamente la distancia que recorrió el Bugati Veyron en los 1 min 40 s incluidos en el gráfico. Las respuestas pueden variar. Ej.: 9,405 km integral impropia integral en un intervalo infinito o integral de una función que contiene una discontinuidad infinita en el intervalo; una integral impropia se define en términos de un límite. La integral impropia converge si este límite es un número real finito; en caso contrario, la integral impropia diverge", "section": "Integrales impropias", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción El ciervo de cola blanca (Odocoileus virginianus ) del este de Estados Unidos. Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para estudiar las poblaciones de animales (créditos: modificación del trabajo de Rachel Kramer, Flickr). Muchos fenómenos del mundo real pueden modelarse matemáticamente mediante ecuaciones diferenciales. El crecimiento de la población, el decaimiento radiactivo, los modelos de depredador-presa y los sistemas masa resorte son cuatro ejemplos de estos fenómenos. En este capítulo estudiamos algunas de estas aplicaciones. Supongamos que queremos estudiar una población de ciervos a lo largo del tiempo y determinar el número total de animales en una zona determinada. Primero podemos observar la población durante un tiempo determinado, estimar el número total de ciervos y, a continuación, utilizar varias suposiciones para derivar un modelo matemático para diferentes escenarios. Algunos factores que se suelen tener en cuenta son el impacto ambiental, los valores umbrales de la población y los depredadores. En este capítulo veremos cómo se pueden utilizar las ecuaciones diferenciales para predecir poblaciones a lo largo del tiempo (vea el ). Otro objetivo de este capítulo es desarrollar técnicas de solución para diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. A medida que las ecuaciones se complican, las técnicas de solución también se complican, y de hecho se podría dedicar un curso entero al estudio de estas ecuaciones. En este capítulo estudiamos varios tipos de ecuaciones diferenciales y sus correspondientes métodos de solución.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Fundamentos de las ecuaciones diferenciales El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Así, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida y = f ( x ) y su derivada, conocida como ecuación diferencial . La resolución de estas ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite comprender cómo y por qué se producen los cambios. Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, como la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por computadora. En este capítulo presentamos las ideas principales y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles. Ecuaciones diferenciales generales Considere la ecuación y ′ = 3 x 2 , que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables x como y : y es una función desconocida de x . Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de y . Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación de la siguiente manera: Comience con alguna función y = f ( x ) y tome su derivada. La respuesta debe ser igual a 3 x 2 . ¿Qué función tiene una derivada que es igual a 3 x 2 ? Una de estas funciones es y = x 3 , por lo que esta función se considera una solución a una ecuación diferencial . Definición Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función desconocida y = f ( x ) y una o varias de sus derivadas. Una solución de una ecuación diferencial es una función y = f ( x ) que satisface la ecuación diferencial cuando f y sus derivadas se sustituyen en la ecuación. Visite este sitio web para saber más sobre este tema. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones aparecen en la . Ejemplos de ecuaciones diferenciales y sus soluciones Ecuación Solución y ′ = 2 x y = x 2 y ′ + 3 y = 6 x + 11 y = e −3 x + 2 x + 3 y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 24 e −2 x y = 3 e x − 4 e 2 x + 2 e −2 x Observe que una solución de una ecuación diferencial no es necesariamente única, principalmente porque la derivada de una constante es cero. Por ejemplo, y = x 2 + 4 es también una solución de la primera ecuación diferencial en la . Volveremos a esta idea un poco más adelante en esta sección. Por ahora, vamos a centrarnos en lo que significa que una función sea una solución de una ecuación diferencial. Verificación de soluciones de ecuaciones diferenciales Verifique que la función y = e −3 x + 2 x + 3 es una solución de la ecuación diferencial y ′ + 3 y = 6 x + 11 . Para verificar la solución, primero calculamos y ′ utilizando la regla de la cadena para las derivadas. Esto da y ′ = −3 e −3 x + 2 . A continuación sustituimos y y y ′ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial: ( −3 e −3 x + 2 ) + 3 ( e −3 x + 2 x + 3 ) . La expresión resultante puede simplificarse distribuyendo primero para eliminar los paréntesis, dando −3 e −3 x + 2 + 3 e −3 x + 6 x + 9 . Combinando términos semejantes se obtiene la expresión 6 x + 11 , que es igual al lado derecho de la ecuación diferencial. Este resultado verifica que y = e −3 x + 2 x + 3 es una solución de la ecuación diferencial. Verifique que y = 2 e 3 x − 2 x − 2 es una solución de la ecuación diferencial y ′ − 3 y = 6 x + 4 . Pista Calcule primero y ′ luego sustituya ambas y ′ y y en el lado izquierdo. Es conveniente definir características de las ecuaciones diferenciales que faciliten hablar de ellas y clasificarlas. La característica más básica de una ecuación diferencial es su orden. Definición El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación. Identificación del orden de una ecuación diferencial ¿Cuál es el orden de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales? y ′ − 4 y = x 2 − 3 x + 4 x 2 y ‴ − 3 x y ″ + x y ′ − 3 y = sen x 4 x y ( 4 ) − 6 x 2 y ″ + 12 x 4 y = x 3 − 3 x 2 + 4 x − 12 La derivada más alta de la ecuación es y ′ , por lo que el orden es 1 . La derivada más alta de la ecuación es y ‴ , por lo que el orden es 3 . La derivada más alta de la ecuación es y ( 4 ) , por lo que el orden es 4 . ¿Cuál es el orden de la siguiente ecuación diferencial? ( x 4 − 3 x ) y ( 5 ) − ( 3 x 2 + 1 ) y ′ + 3 y = sen x cos x 5 Pista ¿Cuál es la derivada más alta de la ecuación? Soluciones generales y particulares Ya hemos señalado que la ecuación diferencial y ′ = 2 x tiene al menos dos soluciones: y = x 2 y y = x 2 + 4 . La única diferencia entre estas dos soluciones es el último término, que es una constante. ¿Y si el último término es una constante diferente? ¿Esta expresión seguirá siendo una solución de la ecuación diferencial? De hecho, cualquier función de la forma y = x 2 + C , donde C representa cualquier constante, es también una solución. La razón es que la derivada de x 2 + C es 2 x , independientemente del valor de C . Se puede demostrar que cualquier solución de esta ecuación diferencial debe ser de la forma y = x 2 + C . Este es un ejemplo de solución general de una ecuación diferencial. Un gráfico de algunas de estas soluciones se ofrece en la . ( Nota : En este gráfico hemos utilizado valores enteros pares para C , que oscila entre −4 y 4 . De hecho, no hay ninguna restricción en el valor de C ; puede ser un número entero o no). Familia de soluciones de la ecuación diferencial y ′ = 2 x . En este ejemplo, somos libres de elegir cualquier solución que deseemos; por ejemplo, y = x 2 − 3 es un miembro de la familia de soluciones de esta ecuación diferencial. Esto se llama una solución particular de la ecuación diferencial. A menudo se puede identificar una solución concreta de forma exclusiva si se nos da información adicional sobre el problema. Hallar una solución particular Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 2 x que pasa por el punto ( 2 , 7 ) . Cualquier función de la forma y = x 2 + C es una solución de esta ecuación diferencial. Para determinar el valor de C , sustituimos los valores x = 2 y y = 7 en esta ecuación y resolvemos para C : y = x 2 + C 7 = 2 2 + C = 4 + C C = 3. Por lo tanto, la solución particular que pasa por el punto ( 2 , 7 ) es y = x 2 + 3 . Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 4 x + 3 que pasa por el punto ( 1 , 7 ) , dado que y = 2 x 2 + 3 x + C es una solución general de la ecuación diferencial. y = 2 x 2 + 3 x + 2 Pista Primero sustituya x = 1 y y = 7 en la ecuación, y luego resuelva para C . Problemas de valor inicial Normalmente, una ecuación diferencial dada tiene un número infinito de soluciones, por lo que es natural preguntarse cuál queremos utilizar. Para elegir una solución, se necesita más información. Una información específica que puede ser útil es un valor inicial , que es un par ordenado que se utiliza para hallar una solución particular. Una ecuación diferencial con uno o varios valores iniciales se denomina problema de valor inicial . La regla general es que el número de valores iniciales necesarios para un problema de valor inicial es igual al orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si tenemos la ecuación diferencial y ′ = 2 x , entonces y ( 3 ) = 7 es un valor inicial, y cuando se toman juntas, estas ecuaciones forman un problema de valor inicial. La ecuación diferencial y ″ − 3 y ′ + 2 y = 4 e x es de segundo orden, por lo que necesitamos dos valores iniciales. En los problemas de valor inicial de orden superior a uno, se debe utilizar el mismo valor para la variable independiente. Un ejemplo de valores iniciales para esta ecuación de segundo orden sería y ( 0 ) = 2 y y ′ ( 0 ) = −1 . Estos dos valores iniciales junto con la ecuación diferencial forman un problema de valor inicial. Estos problemas se llaman así porque a menudo la variable independiente de la función desconocida es t , que representa el tiempo. Así, un valor de t = 0 representa el principio del problema. Verificación de la solución de un problema de valor inicial Verifique que la función y = 2 e −2 t + e t es una solución al problema de valor inicial y ′ + 2 y = 3 e t , y ( 0 ) = 3 . Para que una función satisfaga un problema de valor inicial, debe satisfacer tanto la ecuación diferencial como la condición inicial. Para demostrar que y satisface la ecuación diferencial, empezamos por calcular y ′ . Esto da como resultado y ′ = −4 e −2 t + e t . A continuación sustituimos ambas y y y ′ en el lado izquierdo de la ecuación diferencial y simplificamos: y ′ + 2 y = ( −4 e −2 t + e t ) + 2 ( 2 e −2 t + e t ) = −4 e −2 t + e t + 4 e −2 t + 2 e t = 3 e t . Esto es igual al lado derecho de la ecuación diferencial, por lo que y = 2 e −2 t + e t resuelve la ecuación diferencial. A continuación calculamos y ( 0 ) : y ( 0 ) = 2 e −2 ( 0 ) + e 0 = 2 + 1 = 3 . Este resultado verifica el valor inicial. Por lo tanto, la función dada satisface el problema de valor inicial. Verifique que y = 3 e 2 t + 4 sen t es una solución al problema de valor inicial y ′ − 2 y = 4 cos t − 8 sen t , y ( 0 ) = 3 . Pista Primero verifique que y resuelve la ecuación diferencial. A continuación, compruebe el valor inicial. En el , el problema de valor inicial constaba de dos partes. La primera parte era la ecuación diferencial y ′ + 2 y = 3 e x , y la segunda parte era el valor inicial y ( 0 ) = 3 . Estas dos ecuaciones forman en conjunto el problema de valor inicial. Lo mismo ocurre en general. Un problema de valor inicial constará de dos partes: la ecuación diferencial y la condición inicial. La ecuación diferencial tiene una familia de soluciones, y la condición inicial determina el valor de C . La familia de soluciones de la ecuación diferencial en el está dada por y = 2 e −2 t + C e t . Esta familia de soluciones se muestra en la , con la solución particular y = 2 e −2 t + e t marcada. Una familia de soluciones de la ecuación diferencial y ′ + 2 y = 3 e t . La solución particular y = 2 e −2 t + e t está marcada. Resolución de un problema de valor inicial Resuelva el siguiente problema de valor inicial: y ′ = 3 e x + x 2 − 4 , y ( 0 ) = 5 . El primer paso para resolver este problema de valor inicial es hallar una familia general de soluciones. Para ello, calculamos una antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial ∫ y ′ d x = ∫ ( 3 e x + x 2 − 4 ) d x , es decir, y + C 1 = 3 e x + 1 3 x 3 − 4 x + C 2 . Podemos integrar ambos lados porque el término y aparece solo. Observe que hay dos constantes de integración C 1 y C 2 . Resolviendo la para y da y = 3 e x + 1 3 x 3 − 4 x + C 2 − C 1 . Debido a que C 1 y C 2 son ambas constantes, C 2 − C 1 también es una constante. Por lo tanto, podemos definir C = C 2 − C 1 , lo que lleva a la ecuación y = 3 e x + 1 3 x 3 − 4 x + C . A continuación, determinamos el valor de C . Para ello, sustituimos x = 0 y y = 5 en la y resolvemos para C : 5 = 3 e 0 + 1 3 0 3 − 4 ( 0 ) + C 5 = 3 + C C = 2 . Ahora sustituimos el valor C = 2 en la . La solución del problema de valor inicial es y = 3 e x + 1 3 x 3 − 4 x + 2 . Análisis La diferencia entre una solución general y una solución particular es que una solución general implica una familia de funciones, definidas explícita o implícitamente, de la variable independiente. El valor o los valores iniciales determinan qué solución concreta de la familia de soluciones satisface las condiciones deseadas. Resuelva el problema de valor inicial y ′ = x 2 − 4 x + 3 − 6 e x , y ( 0 ) = 8 . y = 1 3 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 6 e x + 14 Pista Primero tome la antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial. Luego sustituya x = 0 y y = 8 en la ecuación resultante y resuelva para C . En las aplicaciones de la física y la ingeniería, a menudo consideramos las fuerzas que actúan sobre un objeto y utilizamos esta información para comprender el movimiento resultante que puede producirse. Por ejemplo, si empezamos con un objeto en la superficie de la Tierra, la fuerza principal que actúa sobre ese objeto es la gravedad. Los físicos e ingenieros pueden utilizar esta información, junto con la segunda ley del movimiento de Newton (en forma de ecuación F = m a , donde F representa la fuerza, m representa la masa y a representa la aceleración), para derivar una ecuación que se pueda resolver. Para una pelota de béisbol que cae en el aire, la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (sin tener en cuenta la resistencia del aire). En la asumimos que la única fuerza que actúa sobre una pelota de béisbol es la fuerza de la gravedad. Esta suposición ignora la resistencia del aire (la fuerza debido a la resistencia del aire se considera en una discusión posterior). La aceleración debido a la gravedad en la superficie de la Tierra, g , es, aproximadamente, 9,8 m/s 2 . Introducimos un marco de referencia, donde la superficie de la Tierra está a una altura de 0 metros. Supongamos que v ( t ) representa la velocidad del objeto en metros por segundo. Si v ( t ) > 0 , la pelota está subiendo, y si v ( t ) < 0 , la pelota está cayendo ( ). Posibles velocidades de la pelota de béisbol que sube/baja. Nuestro objetivo es resolver la velocidad v ( t ) en cualquier tiempo t . Para ello, planteamos un problema de valor inicial. Supongamos que la masa de la pelota es m , donde m se mide en kilogramos. Utilizamos la segunda ley de Newton, que establece que la fuerza que actúa sobre un objeto es igual a su masa por su aceleración ( F = m a ) . La aceleración es la derivada de la velocidad, por lo que a ( t ) = v ′ ( t ) . Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la pelota de béisbol está dada por F = m v ′ ( t ) . Sin embargo, esta fuerza debe ser igual a la fuerza de gravedad que actúa sobre el objeto, que (de nuevo utilizando la segunda ley de Newton) está dada por F g = − m g , ya que esta fuerza actúa en sentido descendente. Por lo tanto, obtenemos la ecuación F = F g , que se convierte en m v ′ ( t ) = − m g . Dividiendo ambos lados de la ecuación entre m da la ecuación v ′ ( t ) = − g . Observe que esta ecuación diferencial sigue siendo la misma independientemente de la masa del objeto. Ahora necesitamos un valor inicial. Como estamos resolviendo la velocidad, tiene sentido en el contexto del problema asumir que conocemos la velocidad inicial , o la velocidad en el momento t = 0 . Esto se denota como v ( 0 ) = v 0 . Velocidad de una pelota de béisbol en movimiento Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de 3 metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 10 m/s , y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. La pelota tiene una masa de 0,15 kg en la superficie de la Tierra. Calcule la velocidad v ( t ) de la pelota de béisbol en el momento t . ¿Cuál es su velocidad después de 2 segundos? A partir de la discusión anterior, la ecuación diferencial que se aplica en esta situación es v ′ ( t ) = − g , donde g = 9,8 m/s 2 . La condición inicial es v ( 0 ) = v 0 , donde v 0 = 10 m/s . Por lo tanto, el problema de valor inicial es v ′ ( t ) = −9,8 m/s 2 , v ( 0 ) = 10 m/s . El primer paso para resolver este problema de valor inicial es tomar la antiderivada de ambos lados de la ecuación diferencial. Esto da ∫ v ′ ( t ) d t = ∫ −9,8 d t v ( t ) = −9,8 t + C . El siguiente paso es resolver para C . Para ello, sustituya t = 0 y v ( 0 ) = 10 : v ( t ) = −9,8 t + C v ( 0 ) = −9,8 ( 0 ) + C 10 = C . Por lo tanto C = 10 y la función de la velocidad está dada por v ( t ) = −9,8 t + 10 . Para calcular la velocidad después de 2 segundos, sustituya t = 2 en v ( t ) . v ( t ) = −9,8 t + 10 v ( 2 ) = −9,8 ( 2 ) + 10 v ( 2 ) = −9,6. Las unidades de velocidad son metros por segundo. Como la respuesta es negativa, el objeto está cayendo a una velocidad de 9,6 m/s . Supongamos que una roca cae en reposo desde una altura de 100 metros y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. Halle una ecuación para la velocidad v ( t ) en función del tiempo, medida en metros por segundo. v ( t ) = −9,8 t Pista ¿Cuál es la velocidad inicial de la roca? Utilice esto con la ecuación diferencial en para formar un problema de valor inicial, luego resuelva para v ( t ) . Una pregunta natural que se hace después de resolver este tipo de problemas es a qué altura estará el objeto sobre la superficie de la Tierra en un momento determinado. Supongamos que s ( t ) denota la altura sobre la superficie terrestre del objeto, medida en metros. Como la velocidad es la derivada de la posición (en este caso la altura), esta suposición da la ecuación s ′ ( t ) = v ( t ) . Es necesario un valor inicial; en este caso funciona bien la altura inicial del objeto. Supongamos que la altura inicial sea dada por la ecuación s ( 0 ) = s 0 . En conjunto, estas suposiciones dan el problema de valor inicial s ′ ( t ) = v ( t ) , s ( 0 ) = s 0 . Si se conoce la función de velocidad, entonces es posible resolver también la función de posición. Altura de una pelota de béisbol en movimiento Una pelota de béisbol se lanza hacia arriba desde una altura de 3 metros sobre la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 10 m/s , y la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad. La pelota tiene una masa de 0,15 kilos en la superficie de la Tierra. Halle la posición s ( t ) de la pelota de béisbol en el momento t . ¿Cuál es su altura después de 2 segundos? Ya sabemos que la función de velocidad para este problema es v ( t ) = −9,8 t + 10 . La altura inicial de la pelota de béisbol es 3 metros, así que s 0 = 3 . Por lo tanto, el problema de valor inicial para este ejemplo es Para resolver el problema de valor inicial, primero calculamos las antiderivadas ∫ s ′ ( t ) d t = ∫ −9,8 t + 10 d t s ( t ) = −4,9 t 2 + 10 t + C . A continuación sustituimos t = 0 y resolvemos para C : s ( t ) = −4,9 t 2 + 10 t + C s ( 0 ) = −4,9 ( 0 ) 2 + 10 ( 0 ) + C 3 = C . Por lo tanto, la función de posición es s ( t ) = −4,9 t 2 + 10 t + 3 . La altura de la pelota de béisbol después de 2 s está dado por s ( 2 ) : s ( 2 ) = −4,9 ( 2 ) 2 + 10 ( 2 ) + 3 = −4,9 ( 4 ) + 23 = 3,4. Por lo tanto, la pelota de béisbol está a 3,4 metros sobre la superficie de la Tierra después de 2 segundos. Cabe destacar que la masa de la pelota se anula completamente en el proceso de resolución del problema. Conceptos clave Una ecuación diferencial es una ecuación que implica una función y = f ( x ) y una o varias de sus derivadas. Una solución es una función y = f ( x ) que satisface la ecuación diferencial cuando f y sus derivadas se sustituyen en la ecuación. El orden de una ecuación diferencial es el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparece en la ecuación. Una ecuación diferencial acoplada a un valor inicial se denomina problema de valor inicial. Para resolver un problema de valor inicial, primero hay que hallar la solución general de la ecuación diferencial y luego determinar el valor de la constante. Los problemas de valor inicial tienen muchas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería. Determine el orden de las siguientes ecuaciones diferenciales. y ′ + y = 3 y 2 1 ( y ′ ) 2 = y ′ + 2 y y ‴ + y ″ y ′ = 3 x 2 3 y ′ = y ″ + 3 t 2 d y d t = t 1 d y d x + d 2 y d x 2 = 3 x 4 ( d y d t ) 2 + 8 d y d t + 3 y = 4 t 1 Verifique que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación diferencial dada. y = x 3 3 resuelve y ′ = x 2 y = 2 e – x + x – 1 resuelve y ′ = x − y y = e 3 x − e x 2 resuelve y ′ = 3 y + e x y = 1 1 − x resuelve y ′ = y 2 y = e x 2 / 2 resuelve y ′ = x y y = 4 + ln x resuelve x y ′ = 1 y = 3 − x + x ln x resuelve y ′ = ln x y = 2 e x – x – 1 resuelve y ′ = y + x y = e x + sen x 2 − cos x 2 resuelve y ′ = cos x + y y = π e − cos x resuelve y ′ = y sen x Verifique las siguientes soluciones generales y halle la solución particular. Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 4 x 2 que pasa por ( −3 , −30 ) , dado que y = C + 4 x 3 3 es una solución general. Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 3 x 3 que pasa por ( 1 , 4,75 ) , dado que y = C + 3 x 4 4 es una solución general. y = 4 + 3 x 4 4 Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 3 x 2 y que pasa por ( 0 , 12 ) , dado que y = C e x 3 es una solución general. Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = 2 x y que pasa por ( 0 , 1 2 ) , dado que y = C e x 2 es una solución general. y = 1 2 e x 2 Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ = ( 2 x y ) 2 que pasa por ( 1 , − 1 2 ) , dado que y = − 3 C + 4 x 3 es una solución general. Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ x 2 = y que pasa por ( 1 , 2 e ) , dado que y = C e − 1 / x es una solución general. y = 2 e − 1 / x Halle la solución particular de la ecuación diferencial 8 d x d t = −2 cos ( 2 t ) − cos ( 4 t ) que pasa por ( π , π ) , dado que x = C − 1 8 sen ( 2 t ) − 1 32 sen ( 4 t ) es una solución general. Halle la solución particular de la ecuación diferencial d u d t = tan u que pasa por ( 1 , π 2 ) , dado que u = sen −1 ( e C + t ) es una solución general. u = sen −1 ( e −1 + t ) Halle la solución particular de la ecuación diferencial d y d t = e ( t + y ) que pasa por ( 1 , 0 ) , dado que y = − ln ( C − e t ) es una solución general. Halle la solución particular de la ecuación diferencial y ′ ( 1 − x 2 ) = 1 + y que pasa por ( 0 , –2 ) , dado que y = C x + 1 1 − x – 1 es una solución general. y = − x + 1 1 − x – 1 Para los siguientes problemas, halle la solución general de la ecuación diferencial. y ′ = 3 x + e x y ′ = ln x + tan x y = C − x + x ln x − ln ( cos x ) grandes. y ′ = sen x e cos x y ′ = 4 x y = C + 4 x ln ( 4 ) grandes. y ′ = sen −1 ( 2 x ) grandes. y ′ = 2 t t 2 + 16 y = 2 3 t 2 + 16 ( t 2 + 16 ) + C x ′ = coth t + ln t + 3 t 2 x ′ = t 4 + t x = 2 15 4 + t ( 3 t 2 + 4 t − 32 ) + C y ′ = y y ′ = y x y = C x Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial y ( 0 ) = 1 y y ( 0 ) = −1 . Dibuje ambas soluciones en el mismo gráfico. d y d t = 2 t d y d t = − t y = 1 − t 2 2 , y = − t 2 2 – 1 d y d t = 2 y d y d t = − y y = e − t , y = − e − t d y d t = 2 Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial y 0 = 10 . ¿En qué tiempo y aumenta a 100 o baja a 1 ? d y d t = 4 t y = 2 ( t 2 + 5 ) , t = 3 5 d y d t = 4 y d y d t = –2 y y = 10 e −2 t , t = − 1 2 ln ( 1 10 ) grandes. d y d t = e 4 t d y d t = e −4 t y = 1 4 ( 41 − e −4 t ) , nunca Recuerde que una familia de soluciones incluye soluciones de una ecuación diferencial que difieren en una constante. Para los siguientes problemas, utilice su calculadora para graficar una familia de soluciones de la ecuación diferencial dada. Utilice las condiciones iniciales de y ( t = 0 ) = −10 a y ( t = 0 ) = 10 aumentando en 2 . ¿Hay algún punto crítico en el que el comportamiento de la solución empiece a cambiar? [T] y ′ = y ( x ) [T] x y ′ = y La solución cambia de creciente a decreciente en y ( 0 ) = 0 [T] y ′ = t 3 [T] y ′ = x + y ( Pista: y = C e x – x – 1 es la solución general) La solución cambia de creciente a decreciente en y ( 0 ) = 0 [T] y ′ = x ln x + sen x Halle la solución general para describir la velocidad de una pelota de masa 1 lb que se lanza hacia arriba a una velocidad a ft/s. v ( t ) = −32 t + a En el problema anterior, si la velocidad inicial de la pelota lanzada al aire es a = 25 ft/s, escriba la solución particular de la velocidad de la pelota. Resuelva para calcular el momento en que la pelota toca el suelo. Se lanzan dos objetos con masas diferentes m 1 y m 2 hacia arriba en el aire con la misma velocidad inicial a ft/s. ¿Cuál es la diferencia en su velocidad después de 1 segundo? 0 ft/s. [T] Se lanza una pelota de masa 1 kilogramo hacia arriba con una velocidad de a = 25 m/s en Marte, donde la fuerza de gravedad es g = −3,711 m/s 2 . Utilice su calculadora para aproximar cuánto tiempo más está la pelota en el aire en Marte a comparación de en la Tierra, donde . g = – 9 . 8 m / s 2 . [T] Para el problema anterior, utilice su calculadora para aproximar cuánto más subió la pelota en Marte, donde g = – 9 . 8 m / s 2 . 4,86 metros [T] Un automóvil en la autopista acelera según a = 15 cos ( π t ) , donde t se mide en horas. Plantee y resuelva la ecuación diferencial para determinar la velocidad del automóvil si tiene una velocidad inicial de 51 mph. Después de 40 minutos de conducción, ¿cuál es la velocidad del conductor? [T] Para el automóvil del problema anterior, halle la expresión de la distancia que ha recorrido el automóvil en el tiempo t , suponiendo una distancia inicial de 0 . ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en recorrer 100 millas? Redondee su respuesta a horas y minutos. x = 50 t − 15 π 2 cos ( π t ) + 3 π 2 , 2 horas 1 minuto [T] Para el problema anterior, calcule la distancia total recorrida en la primera hora. Sustituya y = B e 3 t en y ′ − y = 8 e 3 t para hallar una solución particular. y = 4 e 3 t Sustituya y = a cos ( 2 t ) + b sen ( 2 t ) en y ′ + y = 4 sen ( 2 t ) para hallar una solución particular. Sustituya y = a + b t + c t 2 en y ′ + y = 1 + t 2 para hallar una solución particular. y = 3 − 2 t + t 2 Sustituya y = a e t cos t + b e t sen t en y ′ = 2 e t cos t para hallar una solución particular. Resuelva y ′ = e k t con la condición inicial y ( 0 ) = 0 y resuelva y ′ = 1 con la misma condición inicial. A medida que k se acerca a 0 , ¿qué observa? y = 1 k ( e k t − 1 ) y de y = x ecuación diferencial ecuación que implica una función y = y ( x ) y una o varias de sus derivados solución general (o familia de soluciones) conjunto de soluciones de una ecuación diferencial dada valor(es) inicial(es) valor o conjunto de valores que satisface una solución de una ecuación diferencial para un valor fijo de la variable independiente velocidad inicial velocidad en el momento t = 0 problema de valor inicial ecuación diferencial junto con uno o varios valores iniciales orden de una ecuación diferencial el mayor orden de cualquier derivada de la función desconocida que aparezca en la ecuación solución particular miembro de una familia de soluciones de una ecuación diferencial que satisface una determinada condición inicial solución de una ecuación diferencial una función y = f ( x ) que satisface una ecuación diferencial dada", "section": "Fundamentos de las ecuaciones diferenciales", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Campos de direcciones y métodos numéricos En el resto de este capítulo nos centraremos en diversos métodos para resolver ecuaciones diferenciales y analizar el comportamiento de las soluciones. En algunos casos es posible predecir las propiedades de una solución de una ecuación diferencial sin conocer la solución real. También estudiaremos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales, que pueden programarse utilizando diversos lenguajes informáticos o incluso utilizando un programa de hoja de cálculo, como Microsoft Excel. Creación de campos de direcciones Los campos de direcciones (también llamados campos de pendiente) son útiles para investigar las ecuaciones diferenciales de primer orden. En particular, consideramos una ecuación diferencial de primer orden de la forma y ′ = f ( x , y ) . Un ejemplo aplicado de este tipo de ecuación diferencial aparece en la ley de enfriamiento de Newton, que resolveremos explícitamente más adelante en este capítulo. Primero, sin embargo, vamos a crear un campo de direcciones para la ecuación diferencial T ′ ( t ) = −0,4 ( T − 72 ) . Aquí T ( t ) representa la temperatura (en grados Fahrenheit) de un objeto en el tiempo t , y la temperatura ambiente es 72 ° F . La muestra el campo de direcciones para esta ecuación. Campo de direcciones para la ecuación diferencial T ′ ( t ) = −0,4 ( T − 72 ) . Se representan dos soluciones: una con temperatura inicial inferior a 72 ° F y la otra con temperatura inicial superior a 72 ° F . La idea de un campo de direcciones es el hecho de que la derivada de una función evaluada en un punto determinado es la pendiente de la línea tangente al gráfico de esa función en el mismo punto. Otros ejemplos de ecuaciones diferenciales para las que podemos crear un campo de direcciones son y ′ = 3 x + 2 y − 4 y ′ = x 2 − y 2 y ′ = 2 x + 4 y − 2 . Para crear un campo de dirección, empezamos con la primera ecuación: y ′ = 3 x + 2 y − 4 . Suponemos que ( x 0 , y 0 ) es cualquier par ordenado, y sustituimos estos números en el lado derecho de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si elegimos x = 1 y y = 2 , sustituyendo en el lado derecho de la ecuación diferencial se obtiene y ′ = 3 x + 2 y − 4 = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) − 4 = 3. Esto nos dice que si una solución de la ecuación diferencial y ′ = 3 x + 2 y − 4 pasa por el punto ( 1 , 2 ) , entonces la pendiente de la solución en ese punto debe ser igual a 3 . Para empezar a crear el campo de direcciones, ponemos un segmento de línea corto en el punto ( 1 , 2 ) con pendiente 3 . Podemos hacer esto para cualquier punto del dominio de la función f ( x , y ) = 3 x + 2 y − 4 , que consiste en todos los pares ordenados ( x , y ) en ℝ 2 . Por lo tanto, cualquier punto del plano cartesiano tiene asociada una pendiente, suponiendo que por ese punto pasa una solución de la ecuación diferencial. El campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = 3 x + 2 y − 4 se muestra en la . Campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = 3 x + 2 y − 4 . Podemos generar un campo de direcciones de este tipo para cualquier ecuación diferencial de la forma y ′ = f ( x , y ) . Definición Un campo de direcciones (campo de pendiente) es un objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. En cada punto de un campo de direcciones aparece un segmento de línea cuya pendiente es igual a la de la solución de la ecuación diferencial que pasa por ese punto. Uso de los campos de direcciones Podemos utilizar un campo de direcciones para predecir el comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial sin conocer la solución real. Por ejemplo, el campo de direcciones en la sirve de guía para el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial y ′ = 3 x + 2 y − 4 . Para utilizar un campo de direcciones, empezamos eligiendo cualquier punto del campo. El segmento de línea en ese punto sirve como señal que nos indica la dirección que debemos tomar a partir de ahí. Por ejemplo, si una solución de la ecuación diferencial pasa por el punto ( 0 , 1 ) , entonces la pendiente de la solución que pasa por ese punto viene dada por y ′ = 3 ( 0 ) + 2 ( 1 ) − 4 = –2 . Ahora supongamos que x aumenta ligeramente, digamos que a x = 0,1 . Utilizando el método de aproximaciones lineales se obtiene una fórmula para el valor aproximado de y para x = 0,1 . En particular, L ( x ) = y 0 + f ′ ( x 0 ) ( x – x 0 ) = 1 − 2 ( x − 0 ) = 1 − 2 x . Sustituyendo x = 0,1 en L ( x ) da un valor y aproximado de 0,8 . En este punto la pendiente de la solución cambia (de nuevo según la ecuación diferencial). Podemos seguir avanzando, recalculando la pendiente de la solución a medida que damos pequeños pasos hacia la derecha, y observando el comportamiento de la solución. La muestra un gráfico de la solución que pasa por el punto ( 0 , 1 ) . Campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = 3 x + 2 y − 4 con la solución que pasa por el punto ( 0 , 1 ) . La curva es el gráfico de la solución del problema de valor inicial y ′ = 3 x + 2 y − 4 , y ( 0 ) = 1 . Esta curva se denomina curva solución que pasa por el punto ( 0 , 1 ) . La solución exacta de este problema de valor inicial es y = − 3 2 x + 5 4 − 1 4 e 2 x , y el gráfico de esta solución es idéntico a la curva en la . Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = x 2 − y 2 y dibuje una curva solución que pase por el punto ( –1 , 2 ) . Pista Utilice la sustitución en x como y que van desde −5 a 5 . Para cada par de coordenadas, calcule y ′ utilizando el lado derecho de la ecuación diferencial. Vaya a este sitio web para ver más sobre los campos de pendiente. Consideremos ahora el campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) , se muestra en la . Este campo de direcciones tiene varias propiedades interesantes. En primer lugar, en y = −2 y y = 2 , aparecen guiones horizontales en todo el gráfico. Esto significa que si y = –2 , entonces y ′ = 0 . Sustituyendo esta expresión en el lado derecho de la ecuación diferencial se obtiene ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) = ( x − 3 ) ( ( −2 ) 2 − 4 ) = ( x − 3 ) ( 0 ) = 0 = y ′ . Por lo tanto, y = −2 es una solución de la ecuación diferencial. De la misma manera, y = 2 es una solución de la ecuación diferencial. Estas son las únicas soluciones de valor constante de la ecuación diferencial, como podemos ver en el siguiente argumento. Supongamos que y = k es una solución constante de la ecuación diferencial. Entonces y ′ = 0 . Sustituyendo esta expresión en la ecuación diferencial se obtiene 0 = ( x − 3 ) ( k 2 − 4 ) . Esta ecuación debe ser cierta para todos los valores de x , por lo que el segundo factor debe ser igual a cero. Este resultado produce la ecuación k 2 − 4 = 0 . Las soluciones de esta ecuación son k = −2 y k = 2 , que son las soluciones constantes ya mencionadas. Estas son las llamadas soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial. Campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) mostrando dos soluciones. Estas soluciones están muy próximas, pero una de ellas está apenas por encima de la solución de equilibrio x = −2 y la otra está apenas por debajo de la misma solución de equilibrio. Definición Consideremos la ecuación diferencial y ′ = f ( x , y ) . Una solución de equilibrio es cualquier solución de la ecuación diferencial de la forma y = c , donde c es una constante. Para determinar las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial y ′ = f ( x , y ) , iguale el lado derecho a cero. Una solución de equilibrio de la ecuación diferencial es cualquier función de la forma y = k tal que f ( x , k ) = 0 para todos los valores de x en el dominio de f . Una característica importante de las soluciones de equilibrio es si se acercan o no a la línea y = k como asíntota para valores grandes de x . Definición Consideremos la ecuación diferencial y ′ = f ( x , y ) , y supongamos que todas las soluciones de esta ecuación diferencial están definidas para x ≥ x 0 . Supongamos que y = k sea una solución de equilibrio de la ecuación diferencial. y = k es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial si existe ε > 0 tal que para cualquier valor c ∈ ( k − ε , k + ε ) la solución del problema de valor inicial y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = c se acerca a k como x se acerca al infinito. y = k es una solución asintóticamente inestable de la ecuación diferencial si existe ε > 0 tal que para cualquier valor c ∈ ( k − ε , k + ε ) la solución del problema de valor inicial y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = c nunca se acerca a k como x se acerca al infinito. y = k es una solución asintóticamente semiestable de la ecuación diferencial si no es ni asintóticamente estable ni asintóticamente inestable. Ahora volvemos a la ecuación diferencial y ′ = ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) , con la condición inicial y ( 0 ) = 0,5 . El campo de direcciones para este problema de valores iniciales, junto con la solución correspondiente, se muestra en la . Campo de direcciones para el problema de valor inicial y ′ = ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) , y ( 0 ) = 0,5 . Los valores de la solución de este problema de valor inicial se mantienen entre y = −2 y y = 2 , que son las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial. Sin embargo, un problema de valor inicial que comienza con – 2 < y < 2 nunca puede cruzar las soluciones de equilibrio y = 2 y y = −2 . Por lo tanto, dado que y 2 – 4 < 0 y para x > 3 , y ' = ( x – 3 ) ( y 2 – 4 ) < 0 , y es decreciente y por eso se acerca a y = – 2 . Por lo tanto, y = – 2 es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial. ¿Qué ocurre cuando el valor inicial es inferior a y = −2 ? Este escenario se ilustra en la , con el valor inicial y ( 0 ) = −3 . Campo de direcciones para el problema de valor inicial y ′ = ( x − 3 ) ( y 2 − 4 ) , y ( 0 ) = −3 . Podemos ver que para los valores iniciales y < – 2 por x > 3 , y ' ( x – 3 ) ( y 2 – 4 ) > 0 y y es creciente y por eso se acerca a y = – 2 . Esto reafirma que y = – 2 es una solución asintóticamente estable de la ecuación diferencial. Estabilidad de una solución de equilibrio Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = ( y − 3 ) 2 ( y 2 + y − 2 ) e identifique cualquier solución de equilibrio. Clasifique cada una de las soluciones de equilibrio como estable, inestable o semiestable. El campo de direcciones se muestra en la . Campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = ( y − 3 ) 2 ( y 2 + y − 2 ) . Las soluciones de equilibrio son y = –2 , y = 1 , y y = 3 . Para clasificar cada una de las soluciones, fíjese en la flecha que hay justo encima o debajo de cada uno de estos valores. Por ejemplo, en y = −2 las flechas situadas justo debajo de esta solución apuntan hacia arriba, y las flechas situadas justo encima de la solución apuntan hacia abajo. Por lo tanto, todas las condiciones iniciales cercanas a y = −2 se acercan a y = –2 , y la solución es estable. Para la solución y = 1 , todas las condiciones iniciales arriba y abajo de y = 1 se repelen (se alejan) de y = 1 , por lo que esta solución es inestable. La solución y = 3 es semiestable, porque para condiciones iniciales ligeramente superiores a 3 , la solución se acerca al infinito, y para condiciones iniciales ligeramente inferiores a 3 , la solución se acerca a y = 3 . Análisis Es posible hallar las soluciones de equilibrio de la ecuación diferencial igualando el lado derecho a cero y resolviendo para y . Este enfoque da las mismas soluciones de equilibrio que las que vimos en el campo de direcciones. Cree un campo de direcciones para la ecuación diferencial y ′ = ( x + 5 ) ( y + 2 ) ( y 2 − 4 y + 4 ) e identifique cualquier solución de equilibrio. Clasifique cada una de las soluciones de equilibrio como estable, inestable o semiestable. Las soluciones de equilibrio son y = −2 y y = 2 . Para esta ecuación, y = −2 es una solución de equilibrio inestable, e y = 2 es una solución de equilibrio semiestable. Pista Primero cree el campo de direcciones y busque guiones horizontales que lo atraviesen. A continuación, examine las líneas de pendiente directamente por encima y por debajo de las soluciones de equilibrio. Método de Euler Consideremos el problema de valor inicial y ′ = 2 x − 3 , y ( 0 ) = 3 . Integrando ambos lados de la ecuación diferencial se obtiene y = x 2 − 3 x + C , y resolviendo para C se obtiene la solución particular y = x 2 − 3 x + 3 . La solución de este problema de valor inicial aparece como la parábola en la . Método de Euler para el problema de valor inicial y ′ = 2 x − 3 , y ( 0 ) = 3 . El gráfico rojo está compuesto por segmentos de línea que se aproximan a la solución del problema de valor inicial. El gráfico comienza con el mismo valor inicial de ( 0 , 3 ) . Entonces la pendiente de la solución en cualquier punto está determinada por el lado derecho de la ecuación diferencial, y la longitud del segmento de la línea se determina aumentando el valor x por 0,5 cada vez (el tamaño del paso ). Este enfoque es la base del método de Euler. Antes de enunciar el método de Euler como un teorema, consideremos otro problema de valor inicial: y ′ = x 2 − y 2 , y ( –1 ) = 2 . La idea de los campos de direcciones también puede aplicarse a este problema para estudiar el comportamiento de su solución. Por ejemplo, en el punto ( –1 , 2 ) , la pendiente de la solución está dada por y ′ = ( –1 ) 2 − 2 2 = −3 , por lo que la pendiente de la línea tangente a la solución en ese punto también es igual a −3 . Ahora definimos x 0 = –1 y y 0 = 2 . Como la pendiente de la solución en este punto es igual a −3 , podemos utilizar el método de aproximación lineal para aproximar y cerca de ( –1 , 2 ) . L ( x ) = y 0 + f ′ ( x 0 ) ( x – x 0 ) . Aquí x 0 = −1 , y 0 = 2 , y f ′ ( x 0 ) = −3 , por lo que la aproximación lineal se convierte en L ( x ) = 2 − 3 ( x − ( –1 ) ) = 2 − 3 x − 3 = −3 x − 1 Ahora elegimos un tamaño de paso . El tamaño del paso es un valor pequeño, normalmente 0,1 o menos, que sirve de incremento para x ; se representa con la variable h . En nuestro ejemplo, supongamos que h = 0,1 . Incrementando x 0 por h da nuestro siguiente valor x : x 1 = x 0 + h = −1 + 0,1 = −0,9 . Podemos sustituir x 1 = −0,9 en la aproximación lineal para calcular y 1 . y 1 = L ( x 1 ) = −3 ( −0,9 ) − 1 = 1,7. Por lo tanto, el valor aproximado y de la solución cuando x = −0,9 es y = 1,7 . Podemos entonces repetir el proceso, utilizando x 1 = −0,9 y y 1 = 1,7 para calcular x 2 y y 2 . La nueva pendiente está dada por y ′ = ( −0,9 ) 2 − ( 1,7 ) 2 = −2,08 . Primero, x 2 = x 1 + h = −0,9 + 0,1 = −0,8 . Utilizando la aproximación lineal se obtiene L ( x ) = y 1 + f ′ ( x 1 ) ( x – x 1 ) = 1,7 − 2,08 ( x − ( −0,9 ) ) = 1,7 − 2,08 x − 1,872 = −2,08 x − 0,172. Por último, sustituimos x 2 = −0,8 en la aproximación lineal para calcular y 2 . y 2 = L ( x 2 ) = −2,08 x 2 − 0,172 = −2,08 ( −0,8 ) − 0,172 = 1,492. Por tanto, el valor aproximado de la solución de la ecuación diferencial es y = 1,492 cuando x = −0,8 . Lo que acabamos de mostrar es la idea en la que se basa el método de Euler . Repitiendo estos pasos se obtiene una lista de valores para la solución. Estos valores se muestran en la , redondeados a cuatro decimales. Usar el método de Euler para aproximar soluciones a una ecuación diferencial n 0 1 2 3 4 5 x n −1 −0,9 −0,8 −0,7 −0,6 −0,5 y n 2 1,7 1,492 1,3334 1,2046 1,0955 n 6 7 8 9 10 x n −0,4 −0,3 −0,2 −0,1 0 y n 1,0004 1,9164 1,8414 1,7746 1,7156 Método de Euler Consideremos el problema de valor inicial y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = y 0 . Para aproximar una solución a este problema utilizando el método de Euler, defina x n = x 0 + n h y n = y n – 1 + h f ( x n – 1 , y n – 1 ) . Aquí h > 0 representa el tamaño de paso y n es un número entero, empezando por 1 . El número de pasos dados se cuenta con la variable n . Normalmente h es un valor pequeño, por ejemplo 0,1 o 0,05 . Cuanto menor sea el valor de h , más cálculos se necesitan. Cuanto mayor sea el valor de h , menos cálculos se necesitan. Sin embargo, la compensación resulta en un menor grado de exactitud para un tamaño de paso mayor, como se ilustra en la . Método de Euler para el problema de valor inicial y ′ = 2 x − 3 , y ( 0 ) = 3 con (a) un tamaño de paso de h = 0,5 ; y (b) un tamaño de paso de h = 0,25 . Uso del método de Euler Consideremos el problema de valor inicial y ′ = 3 x 2 − y 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 . Utilice el método de Euler con un tamaño de paso de 0,1 para generar una tabla de valores de la solución para valores de x entre 0 y 1 . Nos dan h = 0,1 y f ( x , y ) = 3 x 2 − y 2 + 1 . Además, la condición inicial y ( 0 ) = 2 da como resultado x 0 = 0 y y 0 = 2 . Utilizando la con n = 0 , podemos generar la . Usar el método de Euler para aproximar soluciones a una ecuación diferencial n x n y n = y n – 1 + h f ( x n – 1 , y n – 1 ) grandes. 0 0 2 1 0,1 y 1 = y 0 + h f ( x 0 , y 0 ) = 1,7 2 0,2 y 2 = y 1 + h f ( x 1 , y 1 ) = 1,514 3 0,3 y 3 = y 2 + h f ( x 2 , y 2 ) = 1,3968 4 0,4 y 4 = y 3 + h f ( x 3 , y 3 ) = 1,3287 5 0,5 y 5 = y 4 + h f ( x 4 , y 4 ) = 1,3001 6 0,6 y 6 = y 5 + h f ( x 5 , y 5 ) = 1,3061 7 0,7 y 7 = y 6 + h f ( x 6 , y 6 ) = 1,3435 8 0,8 y 8 = y 7 + h f ( x 7 , y 7 ) = 1,4100 9 0,9 y 9 = y 8 + h f ( x 8 , y 8 ) = 1,5032 10 1,0 y 10 = y 9 + h f ( x 9 , y 9 ) = 1,6202 Con diez cálculos, podemos aproximar los valores de la solución del problema de valor inicial para valores de x entre 0 y 1 . Para obtener más información sobre el método de Euler utilice esta miniaplicación. Consideremos el problema de valor inicial y ′ = x 3 + y 2 , y ( 1 ) = –2 . Utilizando un tamaño de paso de 0,1 , genere una tabla con los valores aproximados de la solución del problema de valor inicial para los valores de x entre 1 y 2 . n x n y n = y n – 1 + h f ( x n – 1 , y n – 1 ) grandes. 0 1 −2 1 1,1 y 1 = y 0 + h f ( x 0 , y 0 ) = −1,5 2 1,2 y 2 = y 1 + h f ( x 1 , y 1 ) = –1,1419 3 1.3 y 3 = y 2 + h f ( x 2 , y 2 ) = –0,8387 4 1,4 y 4 = y 3 + h f ( x 3 , y 3 ) = –0,5487 5 1,5 y 5 = y 4 + h f ( x 4 , y 4 ) = –0,2442 6 1,6 y 6 = y 5 + h f ( x 5 , y 5 ) = 0,0993 7 1,7 y 7 = y 6 + h f ( x 6 , y 6 ) = 0,5099 8 1,8 y 8 = y 7 + h f ( x 7 , y 7 ) = 1,0272 9 1,9 y 9 = y 8 + h f ( x 8 , y 8 ) = 1,7159 10 2 y 10 = y 9 + h f ( x 9 , y 9 ) = 2,6962 Pista Comience por identificar el valor de h , y luego averigüe qué es f ( x , y ) . A continuación, utilice la fórmula del método de Euler para calcular y 1 , y 2 , y así sucesivamente. Visite este sitio web para ver una aplicación práctica del material de esta sección. Conceptos clave Un campo de direcciones es un objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden. El método de Euler es una técnica numérica que puede utilizarse para aproximar soluciones a una ecuación diferencial. Ecuaciones clave Método de Euler x n = x 0 + n h y n = y n – 1 + h f ( x n – 1 , y n – 1 ) , donde h es el tamaño del paso Para los siguientes problemas, utilice el siguiente campo de direcciones de la ecuación diferencial y ′ = –2 y . Dibuje el gráfico de la solución para las condiciones iniciales dadas. y ( 0 ) = 1 y ( 0 ) = 0 y ( 0 ) = –1 ¿Existe algún equilibrio? ¿Cuáles son sus estabilidades? y = 0 es un equilibrio estable Para los siguientes problemas, utilice el siguiente campo de direcciones de la ecuación diferencial y ′ = y 2 − 2 y . Dibuje el gráfico de la solución para las condiciones iniciales dadas. y ( 0 ) = 3 y ( 0 ) = 1 y ( 0 ) = –1 ¿Existe algún equilibrio? ¿Cuáles son sus estabilidades? y = 0 es un equilibrio estable y y = 2 es inestable Dibuje el campo de direcciones para las siguientes ecuaciones diferenciales, luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuje su solución sobre el campo de direcciones. ¿Su solución sigue las flechas de su campo de direcciones? y ′ = t 3 y ′ = e t d y d x = x 2 cos x d y d t = t e t d x d t = cosh ( t ) Dibuje el campo de direcciones para las siguientes ecuaciones diferenciales. ¿Qué puede decir sobre el comportamiento de la solución? ¿Existen equilibrios? ¿Qué estabilidad tienen estos equilibrios? y ′ = y 2 – 1 y ′ = y − x y ′ = 1 − y 2 − x 2 y ′ = t 2 sen y y ′ = 3 y + x y Haga coincidir el campo de direcciones con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones. y ′ = −3 y y ′ = −3 t E y ′ = e t y ′ = 1 2 y + t A y ′ = − t y Haga coincidir el campo de direcciones con las ecuaciones diferenciales dadas. Explique sus selecciones. y ′ = t sen y B y ′ = − t cos y y ′ = t tan y A y ′ = sen 2 y y ′ = y 2 t 3 C Estime las siguientes soluciones mediante el método de Euler con n = 5 pasos sobre el intervalo t = [ 0 , 1 ] . Si es capaz de resolver el problema de valor inicial exactamente, compare su solución con la solución exacta. Si no puede resolver el problema de valor inicial, se le proporcionará la solución exacta para que la compare con el método de Euler. ¿Qué precisión tiene el método de Euler? y ′ = −3 y , y ( 0 ) = 1 y ′ = t 2 2,24 , exacta: 3 y ′ = 3 t − y , y ( 0 ) = 1 . La solución exacta es y = 3 t + 4 e − t − 3 y ′ = y + t 2 , y ( 0 ) = 3 . La solución exacta es y = 5 e t − 2 − t 2 − 2 t 7,739364 , exacta: 5 ( e − 1 ) grandes. y ′ = 2 t , y ( 0 ) = 0 [T] y ′ = e ( x + y ) , y ( 0 ) = −1 . La solución exacta es y = − ln ( e + 1 − e x ) grandes. −0,2535 exacta: 0 y ′ = y 2 ln ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 1 . La solución exacta es y = − 1 ( x + 1 ) ( ln ( x + 1 ) − 1 ) grandes. y ′ = 2 x , y ( 0 ) = 0 , La solución exacta es y = 2 x – 1 ln ( 2 ) grandes. 1,345 , exacta: 1 ln ( 2 ) grandes. y ′ = y , y ( 0 ) = −1 . La solución exacta es y = − e x . y ′ = −5 t , y ( 0 ) = –2 . La solución exacta es y = − 5 2 t 2 − 2 −4 , exacta: − 1 / 2 Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para modelar epidemias de enfermedades . En el siguiente conjunto de problemas, examinamos el cambio de tamaño de dos subpoblaciones de personas que viven en una ciudad: los individuos infectados y los individuos susceptibles a la infección. S representa el tamaño de la población susceptible, e I representa el tamaño de la población infectada. Suponemos que si una persona susceptible interactúa con una persona infectada, existe una probabilidad c que la persona susceptible se infecte. Cada persona infectada se recupera de la infección a una tasa r y vuelve a ser susceptible. Consideramos el caso de la gripe, en el que suponemos que nadie muere por la enfermedad, por lo que suponemos que el tamaño total de la población de las dos subpoblaciones es un número constante, N . Las ecuaciones diferenciales que modelan estos tamaños de población son S ′ = r I − c S I y I ′ = c S I − r I . Aquí c representa la tasa de contacto y r es la tasa de recuperación. Demuestre que, por nuestra suposición de que el tamaño total de la población es constante ( S + I = N ) , se puede reducir el sistema a una única ecuación diferencial en I : I ′ = c ( N − I ) I − r I . Suponiendo que los parámetros sean c = 0,5 , N = 5 , y r = 0,5 , dibuje el campo de direcciones resultante. [T] Utilice un programa de computadora o una calculadora para calcular la solución del problema de valor inicial y ′ = t y , y ( 0 ) = 2 utilizando el método de Euler con el tamaño de paso dado h . Halle la solución en t = 1 . A modo de pista, aquí se presenta el \"pseudocódigo\" de cómo escribir un programa de computadora para realizar el Método de Euler para y ′ = f ( t , y ) , y ( 0 ) = 2 : Cree la función f ( t , y ) Defina los parámetros y ( 1 ) = y 0 , t ( 0 ) = 0 , tamaño de paso h , y número total de pasos, N Escriba un bucle for: para k = 1 hasta N fn = f ( t ( k ) , y ( k ) ) grandes. y ( k+1 ) = y ( k ) + h*fn t ( k+1 ) = t ( k ) + h Resuelva el problema de valor inicial para la solución exacta. y ′ = 2 e t 2 / 2 Dibuje el campo de direcciones h = 1 2 [T] h = 10 [T] h = 100 3,2756 [T] h = 1.000 [T] Evalúe la solución exacta en t = 1 . Haga una tabla de errores para el error relativo entre la solución del método de Euler y la solución exacta. ¿Cuánto cambia el error? ¿Puede explicarlo? 2 e Tamaño de paso Error h = 1 0,3935 h = 10 0,06163 h = 100 0,006612 h = 1.000 0,0006661 Consideremos el problema de valor inicial y ′ = –2 y , y ( 0 ) = 2 . Demuestre que y = 2 e −2 x resuelve este problema de valor inicial. Dibuje el campo de direcciones de esta ecuación diferencial. [T] A mano o con calculadora o computadora, aproxime la solución mediante el método de Euler en t = 10 utilizando h = 5 . [T] Con una calculadora o una computadora, aproxime la solución mediante el método de Euler a t = 10 utilizando h = 100 . 4,0741 e −10 [T] Grafique la respuesta exacta y cada aproximación de Euler (para h = 5 y h = 100 ) en cada h en el campo de direcciones ¿Qué observa? solución asintóticamente semiestable y = k si no es asintóticamente estable ni asintóticamente inestable solución asintóticamente estable y = k si existe ε > 0 tal que para cualquier valor c ∈ ( k − ε , k + ε ) la solución del problema de valor inicial y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = c se acerca a k como x se acerca al infinito solución asintóticamente inestable y = k si existe ε > 0 tal que para cualquier valor c ∈ ( k − ε , k + ε ) la solución del problema de valor inicial y ′ = f ( x , y ) , y ( x 0 ) = c nunca se acerca a k como x se acerca al infinito campo de direcciones (campo de pendiente) objeto matemático utilizado para representar gráficamente las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden; en cada punto de un campo de direcciones aparece un segmento de línea cuya pendiente es igual a la pendiente de la solución de la ecuación diferencial que pasa por ese punto solución de equilibrio cualquier solución de la ecuación diferencial de la forma y = c , donde c es una constante Método de Euler técnica numérica utilizada para aproximar soluciones a un problema de valor inicial curva de solución curva graficada en un campo de direcciones que corresponde a la solución del problema de valor inicial que pasa por un punto determinado del campo de direcciones tamaño de paso el incremento h que se suma al valor x en cada paso del método de Euler", "section": "Campos de direcciones y métodos numéricos", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Ecuaciones separables A continuación examinamos una técnica de solución para hallar soluciones exactas a una clase de ecuaciones diferenciales conocidas como ecuaciones diferenciales separables. Estas ecuaciones son comunes en una gran variedad de disciplinas, como la física, la química y la ingeniería. Al final de la sección ilustramos algunas aplicaciones. Separación de variables Comenzamos con una definición y algunos ejemplos. Definición Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma y ′ = f ( x ) g ( y ) . El término \"separable\" se refiere al hecho de que el lado derecho de la ecuación puede separarse en una función de x veces una función de y . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales separables son y ′ = ( x 2 − 4 ) ( 3 y + 2 ) y ′ = 6 x 2 + 4 x y ′ = sec y + tan y y ′ = x y + 3 x − 2 y − 6. La segunda ecuación es separable con f ( x ) = 6 x 2 + 4 x y g ( y ) = 1 , la tercera ecuación es separable con f ( x ) = 1 y g ( y ) = sec y + tan y , y el lado derecho de la cuarta ecuación se puede factorizar como ( x – 2 ) ( y + 3 ) , por lo que también es separable. La tercera ecuación también se llama ecuación diferencial autónoma porque el lado derecho de la ecuación es una función de y sola. Si una ecuación diferencial es separable, entonces es posible resolver la ecuación utilizando el método de separación de variables . Estrategia para la resolución de problemas: Separación de variables Compruebe si hay valores de y que hacen g ( y ) = 0 . Estos corresponden a soluciones constantes. Reescriba la ecuación diferencial en la forma d y g ( y ) = f ( x ) d x . Integre ambos lados de la ecuación. Resuelva la ecuación resultante para y si es posible. Si existe una condición inicial, sustituya los valores adecuados por x como y en la ecuación y resuelva la constante. Observe que el paso 4 indica \"Resolver la ecuación resultante para y si es posible\" No siempre es posible obtener y como función explícita de x . Muy a menudo tenemos que conformarnos con hallar y como función implícita de x . Uso de la separación de variables Halle una solución general a la ecuación diferencial y ′ = ( x 2 − 4 ) ( 3 y + 2 ) utilizando el método de separación de variables. Siga el método de separación de variables en cinco pasos. En este ejemplo, f ( x ) = x 2 − 4 y g ( y ) = 3 y + 2 . Si establecemos que g ( y ) = 0 da como resultado y = − 2 3 como solución constante. Reescriba la ecuación diferencial en la forma d y 3 y + 2 = ( x 2 − 4 ) d x . Integre ambos lados de la ecuación: ∫ d y 3 y + 2 = ∫ ( x 2 − 4 ) d x . Supongamos que u = 3 y + 2 . Entonces d u = 3 d y d x d x , por lo que la ecuación se convierte en 1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 x 3 − 4 x + C 1 3 ln | u | = 1 3 x 3 − 4 x + C 1 3 ln | 3 y + 2 | = 1 3 x 3 − 4 x + C . Para resolver esta ecuación para y , multiplique primero ambos lados de la ecuación por 3 . ln | 3 y + 2 | = x 3 − 12 x + 3 C Ahora utilizamos algo de lógica cuando tratamos con la constante C . Dado que C representa una constante arbitraria, 3 C también representa una constante arbitraria. Si llamamos a la segunda constante arbitraria C 1 , la ecuación se convierte en ln | 3 y + 2 | = x 3 − 12 x + C 1 . Ahora potencie ambos lados de la ecuación (es decir, haga de cada lado de la ecuación el exponente de la base e ) . e ln | 3 y + 2 | = e x 3 − 12 x + C 1 | 3 y + 2 | = e C 1 e x 3 − 12 x De nuevo, defina una constante nueva C 2 = e c 1 (observe que C 2 > 0 ) : | 3 y + 2 | = C 2 e x 3 − 12 x . Esto corresponde a dos ecuaciones distintas: 3 y + 2 = C 2 e x 3 − 12 x y 3 y + 2 = − C 2 e x 3 − 12 x . La solución de cualquiera de las dos ecuaciones puede escribirse en la forma y = −2 ± C 2 e x 3 − 12 x 3 . Dado que C 2 > 0 , no importa si usamos el más o el menos, por lo que la constante puede tener cualquiera de los dos signos. Además, el subíndice de la constante C es totalmente arbitrario y se puede omitir. Por lo tanto, la solución puede escribirse como y = −2 + C e x 3 − 12 x 3 . No se impone ninguna condición inicial, por lo que hemos terminado. Utilice el método de separación de variables para hallar una solución general a la ecuación diferencial y ′ = 2 x y + 3 y − 4 x − 6 . y = 2 + C e x 2 + 3 x Pista Primero factorice el lado derecho de la ecuación mediante la agrupación, y luego utilice la estrategia de cinco pasos de separación de variables. Resolución de un problema de valor inicial Utilizando el método de separación de variables, resuelva el problema de valor inicial y ′ = ( 2 x + 3 ) ( y 2 − 4 ) , y ( 0 ) = −1 . Siga el método de separación de variables en cinco pasos. En este ejemplo, f ( x ) = 2 x + 3 y g ( y ) = y 2 − 4 . Si establecemos que g ( y ) = 0 da como resultado y = ± 2 como soluciones constantes. Divida ambos lados de la ecuación entre y 2 − 4 y multiplique por d x . Esto da la ecuación d y y 2 − 4 = ( 2 x + 3 ) d x . A continuación, integre ambos lados: ∫ 1 y 2 − 4 d y = ∫ ( 2 x + 3 ) d x . Para evaluar el lado izquierdo, utilice el método de descomposición en fracciones parciales. Esto nos lleva a la identidad 1 y 2 − 4 = 1 4 ( 1 y − 2 – 1 y + 2 ) . Entonces la se convierte en 1 4 ∫ ( 1 y − 2 – 1 y + 2 ) d y = ∫ ( 2 x + 3 ) d x 1 4 ( ln | y − 2 | − ln | y + 2 | ) = x 2 + 3 x + C . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por 4 y sustituyendo 4 C con C 1 da ln | y − 2 | − ln | y + 2 | = 4 x 2 + 12 x + C 1 ln | y − 2 y + 2 | = 4 x 2 + 12 x + C 1 . Es posible resolver esta ecuación para y . Primero potencie ambos lados de la ecuación y defina C 2 = e C 1 : | y − 2 y + 2 | = C 2 e 4 x 2 + 12 x . A continuación podemos eliminar el valor absoluto y suponer que C 2 es positivo o negativo. A continuación, multiplique ambos lados por y + 2 . y − 2 = C 2 ( y + 2 ) e 4 x 2 + 12 x y − 2 = C 2 y e 4 x 2 + 12 x + 2 C 2 e 4 x 2 + 12 x . Ahora reúna todos los términos que involucren a y en un lado de la ecuación y resuelva para y : y − C 2 y e 4 x 2 + 12 x = 2 + 2 C 2 e 4 x 2 + 12 x y ( 1 − C 2 e 4 x 2 + 12 x ) = 2 + 2 C 2 e 4 x 2 + 12 x y = 2 + 2 C 2 e 4 x 2 + 12 x 1 − C 2 e 4 x 2 + 12 x . Para determinar el valor de C 2 , sustituya x = 0 y y = −1 en la solución general. Alternativamente, podemos poner los mismos valores en una ecuación anterior, es decir, la ecuación y − 2 y + 2 = C 2 e 4 x 2 + 12 . Esto es mucho más fácil de resolver para C 2 : y − 2 y + 2 = C 2 e 4 x 2 + 12 x −1 − 2 −1 + 2 = C 2 e 4 ( 0 ) 2 + 12 ( 0 ) C 2 = −3 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es y = 2 − 6 e 4 x 2 + 12 x 1 + 3 e 4 x 2 + 12 x . Un gráfico de esta solución aparece en la . Gráfico de la solución del problema de valor inicial y ′ = ( 2 x + 3 ) ( y 2 − 4 ) , y ( 0 ) = −1 . Halle la solución del problema de valor inicial 6 y ′ = ( 2 x + 1 ) ( y 2 − 2 y − 8 ) , y ( 0 ) = −3 utilizando el método de separación de variables. y = 4 + 14 e x 2 + x 1 − 7 e x 2 + x Pista Siga los pasos de la separación de variables para resolver el problema de valores iniciales. Aplicaciones de la separación de variables Muchos problemas interesantes pueden describirse mediante ecuaciones separables. Ilustramos dos tipos de problemas: las concentraciones de soluciones y la ley de Newton del enfriamiento. Concentraciones de soluciones Considere un tanque que se llena con una solución salina. Queremos determinar la cantidad de sal presente en el tanque en función del tiempo. Podemos aplicar el proceso de separación de variables para resolver este problema y otros similares que impliquen concentraciones de soluciones . Determinación de la concentración de sal en el tiempo Un tanque que contiene 100 L de una solución de salmuera tiene inicialmente 4 kg de sal disuelta en la solución. En el tiempo t = 0 , otra solución de salmuera fluye hacia el tanque a una tasa de 2 L/min . Esta solución de salmuera contiene una concentración de 0,5 kg/L de sal. Al mismo tiempo, se abre una llave de paso en el fondo del tanque, lo que permite que la solución combinada salga a una tasa de 2 L/min , para que el nivel de líquido en el depósito se mantenga constante ( ). Calcule la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo (medido en minutos) y la cantidad límite de sal en el tanque, suponiendo que la solución en el tanque está bien mezclada en todo momento. Un tanque de salmuera con una cantidad inicial de solución salina admite un flujo de entrada y emite un flujo de salida. ¿Cómo cambia la cantidad de sal con el tiempo? Primero definimos una función u ( t ) que representa la cantidad de sal en kilogramos en el tanque en función del tiempo. Entonces d u d t representa la tasa a la que cambia la cantidad de sal en el tanque en función del tiempo. También, u ( 0 ) representa la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t = 0 , que es 4 kilogramos. El planteamiento general de la ecuación diferencial que vamos a resolver es de la forma d u d t = TASA DE FLUJO DE ENTRADA − TASA DE FLUJO DE SALIDA . La TASA DE FLUJO DE ENTRADA representa la tasa a la que la sal entra en el tanque y la TASA DE FLUJO DE SALIDA representa la tasa a la que la sal sale del tanque. Debido a que la solución entra en el tanque a una tasa de 2 L/min, y cada litro de solución contiene 0,5 kilo de sal, cada minuto 2 ( 0,5 ) = 1 kilo de sal entra en el tanque. Por lo tanto, la TASA DE FLUJO DE ENTRADA = 1 . Para calcular la tasa a la que la sal sale del tanque, necesitamos la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo. Dado que la cantidad real de sal varía con el tiempo, también lo hace la concentración de sal. Sin embargo, el volumen de la solución se mantiene fijo en 100 litros. El número de kilogramos de sal en el tanque en el tiempo t es igual a u ( t ) . Así, la concentración de sal es u ( t ) 100 kg/L, y la solución sale del tanque a una tasa de 2 L/min. Por lo tanto, la sal sale del tanque a una tasa de u ( t ) 100 . 2 = u ( t ) 50 kg/min, y la TASA DE FLUJO DE SALIDA es igual a u ( t ) 50 . Por lo tanto, la ecuación diferencial se convierte en d u d t = 1 − u 50 , y la condición inicial es u ( 0 ) = 4 . El problema de valor inicial a resolver es d u d t = 1 − u 50 , u ( 0 ) = 4 . La ecuación diferencial es una ecuación separable, por lo que podemos aplicar la estrategia de cinco pasos para la solución. Paso 1. Si establecemos que 1 − u 50 = 0 da como resultado u = 50 como solución constante. Dado que la cantidad inicial de sal en el tanque es 4 kilogramos, esta solución no se aplica. Paso 2. Reescriba la ecuación como d u d t = 50 − u 50 . A continuación, multiplique ambos lados por d t y divida ambos lados entre 50 − u : d u 50 − u = d t 50 . Paso 3. Integre ambos lados: ∫ d u 50 − u = ∫ d t 50 − ln | 50 − u | = t 50 + C . Paso 4. Resuelva para u ( t ) : ln | 50 − u | = − t 50 − C e ln | 50 − u | = e − ( t / 50 ) − C | 50 − u | = C 1 e − t / 50 . Elimine el valor absoluto permitiendo que la constante sea positiva o negativa: 50 − u = C 1 e − t / 50 . Por último, resuelva para u ( t ) : u ( t ) = 50 − C 1 e − t / 50 . Paso 5. Resuelva para C 1 : u ( 0 ) = 50 − C 1 e −0 / 50 4 = 50 − C 1 C 1 = 46 . La solución del problema de valor inicial es u ( t ) = 50 − 46 e − t / 50 . Para calcular la cantidad límite de sal en el tanque, tome el límite como t se acerca al infinito: lím t → ∞ u ( t ) = 50 − 46 e − t / 50 = 50 − 46 ( 0 ) = 50 . Observe que esta era la solución constante de la ecuación diferencial. Si la cantidad inicial de sal en el tanque es 50 kilogramos, entonces se mantiene constante. Si comienza con menos de 50 kilogramos, con el tiempo se acerca a los 50 kilogramos. Un tanque contiene 3 kilogramos de sal disuelta en 75 litros de agua. Una solución salina de 0,4 kg de sal/L se bombea al tanque a una tasa de 6 L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo t . Suponga que el tanque está bien mezclado en todo momento. Problema de valor inicial: d u d t = 2,4 − 2 u 25 , u ( 0 ) = 3 Solución: u ( t ) = 30 − 27 e − t / 50 Pista Siga los pasos de y determine una expresión para el FLUJO DE ENTRADA y el FLUJO DE SALIDA. Formule un problema de valor inicial y resuélvalo. Ley del enfriamiento de Newton La ley del enfriamiento de Newton establece que la tasa de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura ambiente (es decir, la temperatura de su entorno). Supongamos que T ( t ) representa la temperatura de un objeto en función del tiempo, entonces d T d t representa la tasa a la que cambia esa temperatura. La temperatura del entorno del objeto puede representarse mediante T s . Entonces la ley del enfriamiento de Newton se puede escribir en la forma d T d t = k ( T ( t ) − T s ) o simplemente d T d t = k ( T − T s ) . La temperatura del objeto al comienzo de cualquier experimento es el valor inicial del problema de valor inicial. Llamamos a esta temperatura T 0 . Por tanto, el problema de valor inicial que hay que resolver tiene la forma d T d t = k ( T − T s ) , T ( 0 ) = T 0 , donde k es una constante que debe se debe dar o determinar en el contexto del problema. Utilizamos estas ecuaciones en el . Esperar a que se enfríe una pizza Se saca una pizza del horno después de hornearla bien y su temperatura al salir del horno es 350 ° F . La temperatura de la cocina es 75 ° F , y después de 5 minutos la temperatura de la pizza es 340 ° F . Nos gustaría esperar hasta que la temperatura de la pizza alcance 300 ° F antes de cortarla y servirla ( ). ¿Cuánto tiempo más tendremos que esperar? Por la ley del enfriamiento de Newton, si la pizza se enfría 10 ° F en 5 minutos, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se enfríe a 300 ° F? La temperatura ambiente (temperatura del entorno) es 75 ° F , así que T s = 75 . La temperatura de la pizza al salir del horno es 350 ° F , la cual es la temperatura inicial (es decir, el valor inicial), por lo que T 0 = 350 . Por lo tanto, la se convierte en d T d t = k ( T − 75 ) , T ( 0 ) = 350 . Para resolver la ecuación diferencial, utilizamos la técnica de cinco pasos para resolver ecuaciones separables. Si el lado derecho es igual a cero, se obtiene T = 75 como solución constante. Como la pizza empieza en 350 ° F , esta no es la solución que buscamos. Reescriba la ecuación diferencial multiplicando ambos lados por d t y dividiendo ambos lados entre T − 75 : d T T − 75 = k d t . Integre ambos lados: ∫ d T T − 75 = ∫ k d t ln | T − 75 | = k t + C . Resuelva para T potenciando primero ambos lados: e ln | T − 75 | = e k t + C | T − 75 | = C 1 e k t T − 75 = C 1 e k t T ( t ) = 75 + C 1 e k t . Resuelva para C 1 utilizando la condición inicial T ( 0 ) = 350 : T ( t ) = 75 + C 1 e k t T ( 0 ) = 75 + C 1 e k ( 0 ) 350 = 75 + C 1 C 1 = 275 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es T ( t ) = 75 + 275 e k t . Para determinar el valor de k , tenemos que utilizar el hecho de que después de 5 minutos la temperatura de la pizza es 340 ° F . Por lo tanto T ( 5 ) = 340 . Sustituyendo esta información en la solución del problema de valor inicial, tenemos T ( t ) = 75 + 275 e k t T ( 5 ) = 340 = 75 + 275 e 5 k 265 = 275 e 5 k e 5 k = 53 55 ln e 5 k = ln ( 53 55 ) 5 k = ln ( 53 55 ) k = 1 5 ln ( 53 55 ) ≈ − 0,007408. 0,007408 t Así que ahora tenemos T ( t ) = 75 + 275 e . ¿Cuándo es la temperatura 300 ° F? Si resolvemos para t , tenemos T ( t ) = 75 + 275 e − 0 . 007408 t 300 = 75 + 275 e − 0 . 007408 t 225 = 275 e − 0 . 007408 t e − 0 . 007408 t = 9 11 ln e − 0 . 007408 t = ln 9 11 − 0 . 007408 t = ln 9 11 t = − 1 0 . 007408 ln 9 11 ≈ 27 . 1 . Por lo tanto, tenemos que esperar 22,1 minutos adicionales (después de que la temperatura de la pizza alcance 340 ° F ) . Eso debería ser el tiempo suficiente para terminar este cálculo. Se retira un pastel del horno después de hornearlo completamente y la temperatura del pastel cuando sale del horno es 450 ° F . La temperatura de la cocina es 70 ° F , y después de 10 minutos la temperatura del pastel es 330 ° F . Escriba el problema de valor inicial correspondiente para describir esta situación. Resuelva el problema de valor inicial para T ( t ) . ¿Cuánto tiempo pasará hasta que la temperatura del pastel tenga una diferencia menor que 5 ° F de la temperatura ambiente? Problema del valor inicial d T d t = k ( T − 70 ) , T ( 0 ) = 450 T ( t ) = 70 + 380 e k t Aproximadamente 114 minutos. Pista Determine los valores de T s y T 0 y luego utilice . Conceptos clave Una ecuación diferencial separable es cualquier ecuación que puede escribirse en la forma y ′ = f ( x ) g ( y ) . El método de separación de variables se utiliza para hallar la solución general de una ecuación diferencial separable. Ecuaciones clave Ecuación diferencial separable y ′ = f ( x ) g ( y ) Concentración de solución d u d t = TASA DE FLUJO DE ENTRADA − TASA DE FLUJO DE SALIDA Ley del enfriamiento de Newton d T d t = k ( T − T s ) Resuelva los siguientes problemas de valor inicial con la condición inicial y 0 = 0 y grafique la solución. d y d t = y + 1 y = e t − 1 d y d t = y − 1 d y d t = y + 1 y = 1 − C e − t d y d t = − y − 1 Halle la solución general de la ecuación diferencial. x 2 y ′ = ( x + 1 ) y y = C x e −1 / x y ′ = tan ( y ) x y ′ = 2 x y 2 y = 1 C − x 2 d y d t = y cos ( 3 t + 2 ) grandes. 2 x d y d x = y 2 y = − 2 C + ln x y ′ = e y x 2 ( 1 + x ) y ′ = ( x + 2 ) ( y − 1 ) grandes. y = C e x ( x + 1 ) + 1 d x d t = 3 t 2 ( x 2 + 4 ) grandes. t d y d t = 1 − y 2 y = sen ( ln t + C ) grandes. y ′ = e x e y Halle la solución del problema de valor inicial. y ′ = e y − x , y ( 0 ) = 0 y = − ln ( e – x ) grandes. y ′ = y 2 ( x + 1 ) , y ( 0 ) = 2 d y d x = y 3 x e x 2 , y ( 0 ) = 1 y = 1 2 − e x 2 d y d t = y 2 e x sen ( 3 x ) , y ( 0 ) = 1 y ′ = x sech 2 y , y ( 0 ) = 0 y = tanh −1 ( x 2 2 ) grandes. y ′ = 2 x y ( 1 + 2 y ) , y ( 0 ) = –1 d x d t = ln ( t ) 1 − x 2 , x ( 1 ) = 0 x = sen ( 1 – t + t ln t ) grandes. y ′ = 3 x 2 ( y 2 + 4 ) , y ( 0 ) = 0 y ′ = e y 5 x , y ( 0 ) = ln ( ln ( 5 ) ) grandes. y = ln ( ln ( 5 ) ) − ln ( 2 − 5 x ) grandes. y ′ = –2 x tan ( y ) , y ( 0 ) = π 2 Para los siguientes problemas, utilice un programa de computadora o su calculadora para generar los campos de direcciones. Resuelva de manera explícita y dibuje las curvas de solución para varias condiciones iniciales. ¿Existen algunas condiciones iniciales críticas que cambien el comportamiento de la solución? [T] y ′ = 1 − 2 y y = C e −2 x + 1 2 [T] y ′ = y 2 x 3 [T] y ′ = y 3 e x y = 1 2 C − e x [T] y ′ = e y [T] y ′ = y ln ( x ) grandes. y = C e – x x x La mayoría de los fármacos en el torrente sanguíneo se descomponen según la ecuación y ′ = c y , donde y es la concentración del fármaco en el torrente sanguíneo. Si la vida media de un fármaco es de 2 horas, ¿qué fracción de la dosis inicial queda después de 6 ¿horas? Un medicamento se administra por vía intravenosa a un paciente a una tasa de r mg/h y se elimina del organismo a una tasa proporcional a la cantidad de fármaco aún presente en el cuerpo, d Plantee y resuelva la ecuación diferencial, suponiendo que no hay ningún fármaco inicialmente presente en el cuerpo. y = r d ( 1 − e − d t ) [T] ¿Con qué frecuencia debe tomarse un medicamento si su dosis es 3 mg, se elimina a una tasa de c = 0,1 mg/h y 1 mg es necesario que esté en el torrente sanguíneo en todo momento? Un tanque contiene 1 kilogramo de sal disuelta en 100 litros de agua. Una solución salina de 0,1 kg de sal/L se bombea en el tanque a una tasa de 2 L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la concentración de sal en el tiempo t . Supongamos que el tanque está bien mezclado. y ( t ) = 10 − 9 e – x / 50 Un tanque que contiene 10 kilogramos de sal disuelta en 1.000 litros de agua se le bombean dos soluciones salinas. La primera solución de 0,2 kg de sal/L se bombea a una tasa de 20 L/min y la segunda solución de 0,05 kg de sal/L se bombea a una tasa de 5 L/min. El tanque drena a 25 L/min. Supongamos que el tanque está bien mezclado. Calcule la concentración de sal en el tiempo t . [T] Para el problema anterior, calcule la cantidad de sal que hay en el tanque 1 hora después del inicio del proceso. 134,3 kilogramos La ley de Torricelli establece que para un tanque de agua con un agujero en el fondo que tiene una sección transversal de A y con una altura de agua h por encima del fondo del tanque, la tasa de cambio del volumen de agua que fluye del tanque es proporcional a la raíz cuadrada de la altura del agua, según d V d t = − A 2 g h , donde g es la aceleración debida a la gravedad. Tenga en cuenta que d V d t = A d h d t . Resuelva el problema de valor inicial resultante para la altura del agua, suponiendo que el tanque tiene un agujero de radio 2 pies. La altura inicial del agua es 100 pies. Para el problema anterior, determine el tiempo que tarda el tanque en vaciarse. 720 segundos Para los siguientes problemas, utilice la ley del enfriamiento de Newton. La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de 200 ° F antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de 0 ° F . Después de 1 hora, la temperatura de la base del helado ha disminuido a 140 ° F . Formule y resuelva el problema de valor inicial para determinar la temperatura del helado. [T] La base líquida de un helado tiene una temperatura inicial de 210 ° F antes de colocarla en un congelador con una temperatura constante de 20 ° F . Después de 2 horas, la temperatura de la base del helado ha disminuido a 170 ° F . ¿A qué hora estará listo el helado para comerlo? (Supongamos que 30 ° F es la temperatura óptima para comerlo). 24 horas 57 minutos [T] Está organizando una fiesta de helados. La temperatura exterior es 80 ° F y el helado está a 10 ° F . Después de 10 minutos, la temperatura del helado ha aumentado 10 ° F . ¿Cuánto tiempo más puede esperar antes de que el helado se derrita a 40 ° F? Tiene una taza de café a una temperatura de 70 ° C y la temperatura ambiente en la habitación es 20 ° C . Si suponemos una tasa de enfriamiento k de 0,125 , escriba y resuelva la ecuación diferencial para describir la temperatura del café con respecto al tiempo. T ( t ) = 20 + 50 e −0,125 t [T] Tiene una taza de café a una temperatura de 70 ° C que coloca en el exterior, donde la temperatura ambiente es 0 ° C . Después de 5 minutos, ¿cuánto se ha enfriado el café? Tiene una taza de café a una temperatura de 70 ° C y vierte inmediatamente 1 porción de leche por 5 porciones de café. La leche está inicialmente a una temperatura de 1 ° C . Escriba y resuelva la ecuación diferencial que determina la temperatura de este café. T ( t ) = 20 + 38,5 e −0,125 t Tiene una taza de café a una temperatura de 70 ° C , que deja enfriar 10 minutos antes de verter la misma cantidad de leche a 1 ° C como en el problema anterior. ¿Cómo se compara la temperatura con la taza anterior después de 10 minutos? Resuelva el problema genérico y ′ = a y + b con condición inicial y ( 0 ) = c . y = ( c + b a ) e a x − b a Demuestre la ecuación básica de interés compuesto continuo. Si suponemos un depósito inicial de P 0 y una tasa de interés de r , plantee y resuelva una ecuación para el interés compuesto continuo. Supongamos una cantidad inicial de nutrientes de I kilogramos en un tanque con L litros. Supongamos una concentración de c kg/L que se bombea a una tasa de r L/min. El tanque está bien mezclado y se vacía a una tasa de r L/min. Halle la ecuación que describe la cantidad de nutrientes en el tanque. y ( t ) = c L + ( I − c L ) e − r t / L Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de 2 g/cm 2 /año y también se descomponen a una tasa de 90 % por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal, suponiendo que en el tiempo 0 no hay hojarasca en el suelo. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor? Las hojas se acumulan en el suelo del bosque a una tasa de 4 g/cm 2 /año. Estas hojas se descomponen a una tasa de 10 % por año. Escriba una ecuación diferencial que determine el número de gramos de hojarasca por centímetro cuadrado de suelo forestal. ¿Se acerca esta cantidad a un valor estable? ¿Cuál es ese valor? y = 40 ( 1 − e −0,1 t ) , 40 g/cm 2 ecuación diferencial autónoma una ecuación en la que el lado derecho es una función de y sola ecuación diferencial separable cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma y ′ = f ( x ) g ( y ) separación de variables un método utilizado para resolver una ecuación diferencial separable", "section": "Ecuaciones separables", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "La ecuación logística Las ecuaciones diferenciales pueden utilizarse para representar el tamaño de una población a medida que varía en el tiempo. Esto lo vimos en un capítulo anterior en la sección de crecimiento y decaimiento exponencial, que es el modelo más simple. Un modelo más realista incluye otros factores que afectan al crecimiento de la población. En esta sección, estudiamos la ecuación diferencial logística y vemos cómo se aplica al estudio de la dinámica de poblaciones en el contexto de la biología. Crecimiento de la población y capacidad de carga Para modelar el crecimiento de la población mediante una ecuación diferencial, primero tenemos que introducir algunas variables y términos relevantes. La variable t . representará el tiempo. Las unidades de tiempo pueden ser horas, días, semanas, meses o incluso años. Cualquier problema dado debe especificar las unidades utilizadas en ese problema en particular. La variable P representará a la población. Como la población varía con el tiempo, se entiende que es una función del tiempo. Por lo tanto, utilizamos la notación P ( t ) para la población en función del tiempo. Si P ( t ) es una función diferenciable, entonces la primera derivada d P d t representa la tasa instantánea de cambio de la población en función del tiempo. En Crecimiento y decaimiento exponencial , estudiamos el crecimiento y decaimiento exponencial de poblaciones y sustancias radiactivas. Un ejemplo de función de crecimiento exponencial es P ( t ) = P 0 e r t . En esta función, P ( t ) representa la población en el momento t , P 0 representa la población inicial (población en el tiempo t = 0 ) , y la constante r > 0 se denomina tasa de crecimiento . La muestra un gráfico de P ( t ) = 100 e 0,03 t . Aquí P 0 = 100 y r = 0,03 . Un modelo de crecimiento exponencial de la población. Podemos comprobar que la función P ( t ) = P 0 e r t satisface el problema de valor inicial d P d t = r P , P ( 0 ) = P 0 . Esta ecuación diferencial tiene una interpretación interesante. El lado izquierdo representa la tasa de aumento (o disminución) de la población. El lado derecho es igual a una constante positiva multiplicada por la población actual. Por lo tanto, la ecuación diferencial establece que la tasa de aumento de la población es proporcional a la población en ese tiempo. Además, afirma que la constante de proporcionalidad nunca cambia. Un problema de esta función es su predicción de que, a medida que pasa el tiempo, la población crece sin límites. Esto es poco realista en el mundo real. Diversos factores limitan la tasa de crecimiento de una población concreta, como la tasa de natalidad, la tasa de mortalidad, el suministro de alimentos, los depredadores, etc. La constante de crecimiento r suele tener en cuenta las tasas de natalidad y mortalidad, pero ninguno de los demás factores, y puede interpretarse como una tasa de crecimiento porcentual neta (natalidad menos mortalidad) por unidad de tiempo. Una pregunta natural es si la tasa de crecimiento de la población se mantiene constante o si cambia con el tiempo. Los biólogos han comprobado que, en muchos sistemas biológicos, la población crece hasta que se alcanza una determinada población en estado estacionario. Esta posibilidad no se tiene en cuenta con el crecimiento exponencial. Sin embargo, el concepto de capacidad de carga permite la posibilidad de que en una zona determinada solo pueda prosperar un cierto número de un organismo o animal determinado sin que se produzcan problemas de recursos. Definición La capacidad de carga de un organismo en un ambiente determinado se define como la población máxima de ese organismo que el ambiente puede sostener indefinidamente. Utilizamos la variable K para denotar la capacidad de carga. La tasa de crecimiento está representada por la variable r . Utilizando estas variables, podemos definir la ecuación diferencial logística. Definición Supongamos que K representa la capacidad de carga de un organismo concreto en un ambiente determinado, y que r es un número real que representa la tasa de crecimiento. La función P ( t ) representa la población de este organismo en función del tiempo t , y la constante P 0 representa la población inicial (población del organismo en el tiempo t = 0 ) . Entonces la ecuación diferencial logística es d P d t = r P ( 1 – P K ) Consulte este sitio web para obtener más información sobre la ecuación logística. La ecuación logística fue publicada por primera vez por Pierre Verhulst en 1845 . Esta ecuación diferencial se puede acoplar con la condición inicial P ( 0 ) = P 0 para formar un problema de valor inicial para P ( t ) . Supongamos que la población inicial es pequeña en relación con la capacidad de carga. Entonces P K es pequeña, posiblemente cercana a cero. Por lo tanto, la cantidad entre paréntesis en el lado derecho de la está cerca de 1 , y el lado derecho de esta ecuación está cerca de r P . Si r > 0 , entonces la población crece rápidamente, asemejándose a un crecimiento exponencial. Sin embargo, a medida que la población crece, el cociente P K también crece, porque K es constante. Si la población se mantiene por debajo de la capacidad de carga, entonces P K es menor que 1 , así que 1 – P K > 0 . Por lo tanto, el lado derecho de la sigue siendo positivo, pero la cantidad entre paréntesis se reduce y, en consecuencia, la tasa de crecimiento disminuye. Si P = K entonces el lado derecho es igual a cero, y la población no cambia. Supongamos ahora que la población comienza con un valor superior a la capacidad de carga. Entonces P K > 1 , y 1 – P K < 0 . Entonces el lado derecho de la es negativo, y la población disminuye. Siempre que P > K , la población disminuye. En realidad nunca llega a K porque d P d t será cada vez más pequeña, pero la población se acerca a la capacidad de carga a medida que t se acerca al infinito. Este análisis puede representarse visualmente mediante una línea de fase. Una línea de fase describe el comportamiento general de una solución de una ecuación diferencial autónoma, en función de la condición inicial. Para el caso de una capacidad de carga en la ecuación logística, la línea de fase es como se muestra en la . Una línea de fase para la ecuación diferencial d P d t = r P ( 1 – P K ) . Esta línea de fase muestra que cuando P es menor que cero o mayor que K , la población disminuye con el tiempo. Cuando P está entre 0 y K , la población aumenta con el tiempo. Inicio del capítulo: Examen de la capacidad de carga de una población de ciervos (créditos: modificación del trabajo de Rachel Kramer, Flickr). Consideremos la población de ciervos de cola blanca ( Odocoileus virginianus ) en el estado de Kentucky. El Departamento de Recursos de Pesca y Vida Silvestre de Kentucky (Kentucky Department of Fish and Wildlife Resources, KDFWR) establece las directrices para la caza y la pesca en el estado. Antes de la temporada de caza de 2004 , estimó una población de 900.000 ciervos. Johnson señala: \"Una población de ciervos que tiene mucho que comer y no es cazada por los humanos u otros depredadores se duplicará cada tres años\" (George Johnson, “The Problem of Exploding Deer Populations Has No Attractive Solutions”, enero 12 , 2001 , consultado el 9 de abril de 2015, http://www.txtwriter.com/onscience/Articles/deerpops.html). Esta observación corresponde a una tasa de aumento r = ln ( 2 ) 3 = 0,2311 , por lo que la tasa de crecimiento aproximada es 23,11 % por año . (Esto supone que la población crece exponencialmente, lo cual es razonable, al menos a corto plazo, con un suministro abundante de alimentos y sin depredadores). El KDFWR también informa sobre las densidades de población de ciervos para 32 condados de Kentucky, cuyo promedio es de aproximadamente 27 ciervos por milla cuadrada. Supongamos que esta es la densidad de ciervos para todo el estado ( 39.732 millas cuadradas). La capacidad de carga K es 39.732 millas cuadradas por 27 ciervos por milla cuadrada, o 1.072.764 ciervos . Para esta aplicación, tenemos P 0 = 900.000 , K = 1.072.764 , y r = 0,2311 . Sustituya estos valores en la y plantee el problema de valor inicial. Resuelva el problema de valor inicial de la parte a. Según este modelo, ¿cuál será la población en 3 años? Recordemos que el tiempo de duplicación previsto por Johnson para la población de ciervos era 3 años. ¿Cómo se comparan estos valores? Supongamos que la población logra alcanzar 1.200.000 ciervos. ¿Qué predice la ecuación logística que ocurrirá con la población en este escenario? El problema de valor inicial es d P d t = 0,2311 P ( 1 – P 1.072.764 ) , P ( 0 ) = 900.000. La ecuación logística es una ecuación diferencial autónoma, por lo que podemos utilizar el método de separación de variables. Paso 1: Si el lado derecho es igual a cero, se obtiene P = 0 y P = 1.072.764 . Esto significa que si la población comienza en cero nunca cambiará, y si comienza en la capacidad de carga, nunca cambiará. Paso 2: Reescriba la ecuación diferencial y multiplique ambos lados por d P d t = 0,2311 P ( 1.072.764 − P 1.072.764 ) d P = 0,2311 P ( 1.072.764 − P 1.072.764 ) d t . Divida ambos lados entre P ( 1.072.764 − P ) : d P P ( 1.072.764 − P ) = 0,2311 1.072.764 d t . Paso 3: Integre ambos lados de la ecuación utilizando la descomposición de fracciones parciales: ∫ d P P ( 1.072.764 − P ) = ∫ 0,2311 1.072.764 d t 1 1.072.764 ∫ ( 1 P + 1 1.072.764 − P ) d P = 0,2311 t 1.072.764 + C 1 1.072.764 ( ln | P | − ln | 1.072.764 − P | ) = 0,2311 t 1.072.764 + C . Paso 4: Multiplique ambos lados por 1.072.764 y utilice la regla del cociente para los logaritmos: ln | P 1.072.764 − P | = 0,2311 t + C 1 . Aquí C 1 = 1.072.764 C . A continuación potencie ambos lados y elimine el valor absoluto: e ln | P 1.072.764 − P | = e 0,2311 t + C 1 | P 1.072.764 − P | = C 2 e 0,2311 t P 1.072.764 − P = C 2 e 0,2311 t . Aquí C 2 = e C 1 pero después de eliminar el valor absoluto, también puede ser negativo. Ahora resuelva para: P = C 2 e 0,2311 t ( 1.072.764 − P ) . P = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t − C 2 P e 0,2311 t P + C 2 P e 0,2311 t = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t P ( 1 + C 2 e 0,2311 t ) = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t P ( t ) = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t 1 + C 2 e 0,2311 t . Paso 5: Para determinar el valor de C 2 , en realidad es más fácil retroceder un par de pasos hasta donde se definió C 2 . En particular, utilice la ecuación P 1.072.764 − P = C 2 e 0,2311 t . La condición inicial es P ( 0 ) = 900.000 . Sustituya P con 900.000 y t con cero: P 1.072.764 − P = C 2 e 0,2311 t 900.000 1.072.764 − 900.000 = C 2 e 0,2311 ( 0 ) 900.000 172.764 = C 2 C 2 = 25.000 4.799 ≈ 5,209 . Por lo tanto P ( t ) = 1.072.764 ( 25.000 4.799 ) e 0,2311 t 1 + ( 25.000 4.799 ) e 0,2311 t = 1.072.764 ( 25.000 ) e 0,2311 t 4.799 + 25.000 e 0,2311 t . Dividiendo el numerador y el denominador entre 25.000 da P ( t ) = 1.072.764 e 0,2311 t 0,19196 + e 0,2311 t . La es un gráfico de esta ecuación Curva logística para la población de ciervos con una población inicial de 900.000 ciervos. Con este modelo podemos predecir la población en 3 años. P ( 3 ) = 1.072.764 e 0,2311 ( 3 ) 0,19196 + e 0,2311 ( 3 ) ≈ 978.830 ciervos Esto es mucho menos que el doble de la población inicial de 900.000 . Recuerde que el tiempo de duplicación se basa en el supuesto de que la tasa de crecimiento nunca cambia, pero el modelo logístico tiene en cuenta esta posibilidad. Si la población alcanzara 1.200.000 ciervos, entonces el nuevo problema de valor inicial sería d P d t = 0,2311 P ( 1 – P 1.072.764 ) , P ( 0 ) = 1.200.000. La solución general de la ecuación diferencial seguiría siendo la misma P ( t ) = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t 1 + C 2 e 0,2311 t Para determinar el valor de la constante, vuelva a la ecuación P 1.072.764 − P = C 2 e 0,2311 t . Sustituyendo los valores t = 0 y P = 1.200.000 , se obtiene C 2 e 0,2311 ( 0 ) = 1.200.000 1.072.764 − 1.200.000 C 2 = − 100.000 10.603 ≈ − 9,431 . Por lo tanto P ( t ) = 1.072.764 C 2 e 0,2311 t 1 + C 2 e 0,2311 t = 1.072.764 ( − 100.000 10.603 ) e 0,2311 t 1 + ( − 100.000 10.603 ) e 0,2311 t = − 107.276.400.000 e 0,2311 t 100.000 e 0,2311 t − 10.603 ≈ 10.117.551 e 0,2311 t 9,43129 e 0,2311 t − 1 . Esta ecuación se representa gráficamente en la . Curva logística para la población de ciervos con una población inicial de 1.200.000 ciervos. Resolución de la ecuación diferencial logística La ecuación diferencial logística es una ecuación diferencial autónoma, por lo que podemos utilizar la separación de variables para hallar la solución general, como acabamos de hacer en el . Paso 1: Si el lado derecho es igual a cero, se obtiene P = 0 y P = K como soluciones constantes. La primera solución indica que cuando no hay organismos presentes, la población nunca crecerá. La segunda solución indica que cuando la población comienza en la capacidad de carga, nunca cambiará. Paso 2: Reescriba la ecuación diferencial en la forma d P d t = r P ( K − P ) K . A continuación, multiplique ambos lados por d t y divida ambos lados entre P ( K − P ) . Esto lleva a d P P ( K − P ) = r K d t . Multiplique ambos lados de la ecuación por K e integre: ∫ K P ( K − P ) d P = ∫ r d t . El lado izquierdo de esta ecuación puede integrarse utilizando la descomposición en fracciones parciales. Le dejamos que verifique que K P ( K − P ) = 1 P + 1 K − P . Entonces la ecuación se convierte en ∫ 1 P + 1 K − P d P = ∫ r d t ln | P | − ln | K − P | = r t + C ln | P K − P | = r t + C . Ahora potencie ambos lados de la ecuación para eliminar el logaritmo natural: e ln | P K − P | = e r t + C | P K − P | = e C e r t . Definimos C 1 = e c y, observando que K , P > 0 y P < K , de modo que P K − P > 0 podemos eliminar el signo del valor absoluto, de modo que la ecuación se convierte en P K − P = C 1 e r t . Para resolver esta ecuación para P ( t ) , multiplique primero ambos lados por K − P y reúna los términos que contienen P en el lado izquierdo de la ecuación: P = C 1 e r t ( K − P ) P = C 1 K e r t − C 1 P e r t P + C 1 P e r t = C 1 K e r t . A continuación, factorice P del lado izquierdo y divida ambos lados entre el otro factor: P ( 1 + C 1 e r t ) = C 1 K e r t P ( t ) = C 1 K e r t 1 + C 1 e r t . El último paso es determinar el valor de C 1 . La forma más sencilla de hacerlo es sustituir t = 0 y P 0 en vez de P en la y resolver para C 1 : P K − P = C 1 e r t P 0 K − P 0 = C 1 e r ( 0 ) C 1 = P 0 K − P 0 . Por último, sustituya la expresión de C 1 en la : P ( t ) = C 1 K e r t 1 + C 1 e r t = P 0 K − P 0 K e r t 1 + P 0 K − P 0 e r t Ahora multiplique el numerador y el denominador del lado derecho por ( K − P 0 ) y simplifique: P ( t ) = P 0 K − P 0 K e r t 1 + P 0 K − P 0 e r t = P 0 K − P 0 K e r t 1 + P 0 K − P 0 e r t . K − P 0 K − P 0 = P 0 K e r t ( K − P 0 ) + P 0 e r t . Enunciamos este resultado como un teorema. Solución de la ecuación diferencial logística Consideremos la ecuación diferencial logística sujeta a una población inicial de P 0 con capacidad de carga K y tasa de crecimiento r . La solución del correspondiente problema de valor inicial viene dada por P ( t ) = P 0 K e r t ( K − P 0 ) + P 0 e r t . Ahora que tenemos la solución del problema de valor inicial, podemos elegir valores para P 0 , r , y K y estudiar la curva de solución. Por ejemplo, en el utilizamos los valores r = 0,2311 , K = 1.072.764 , y una población inicial de 900.000 ciervos. Esto nos lleva a la solución P ( t ) = P 0 K e r t ( K − P 0 ) + P 0 e r t = 900.000 ( 1.072.764 ) e 0,2311 t ( 1.072.764 − 900.000 ) + 900.000 e 0,2311 t = 900.000 ( 1.072.764 ) e 0,2311 t 172.764 + 900.000 e 0,2311 t . Dividiendo la parte superior e inferior entre 900.000 da P ( t ) = 1.072.764 e 0,2311 t 0,19196 + e 0,2311 t . Esto es lo mismo que la solución original. El gráfico de esta solución se muestra de nuevo en azul en la , superpuesto al gráfico del modelo de crecimiento exponencial con población inicial 900.000 y tasa de crecimiento 0,2311 (que aparece en verde). La línea roja discontinua representa la capacidad de carga, y es una asíntota horizontal para la solución de la ecuación logística. Una comparación del crecimiento exponencial frente al logístico para la misma población inicial de 900.000 organismos y tasa de crecimiento de 23,11 % . Trabajando bajo el supuesto de que la población crece según la ecuación diferencial logística, este gráfico predice que aproximadamente 20 años antes ( 1984 ) , el crecimiento de la población fue muy cercano al exponencial. La tasa de crecimiento neto en ese momento habría sido de alrededor de 23,1 % por año. A medida que pasa el tiempo, los dos gráficos se separan. Esto sucede porque la población aumenta, y la ecuación diferencial logística establece que la tasa de crecimiento disminuye a medida que aumenta la población. En el momento en que se midió la población ( 2004 ) , estaba cerca de la capacidad de carga, y la población estaba empezando a estabilizarse. La solución de la ecuación diferencial logística tiene un punto de inflexión. Para hallar este punto, se establece la segunda derivada igual a cero: P ( t ) = P 0 K e r t ( K − P 0 ) + P 0 e r t P ′ ( t ) = r P 0 K ( K − P 0 ) e r t ( ( K − P 0 ) + P 0 e r t ) 2 P ″ ( t ) = r 2 P 0 K ( K − P 0 ) 2 e r t − r 2 P 0 2 K ( K − P 0 ) e 2 r t ( ( K − P 0 ) + P 0 e r t ) 3 = r 2 P 0 K ( K − P 0 ) e r t ( ( K − P 0 ) − P 0 e r t ) ( ( K − P 0 ) + P 0 e r t ) 3 . Igualando el numerador a cero, r 2 P 0 K ( K − P 0 ) e r t ( ( K − P 0 ) − P 0 e r t ) = 0 . Siempre que P 0 ≠ K , la cantidad total antes e incluyendo e r t es distinta de cero, así que podemos dividirla: ( K − P 0 ) − P 0 e r t = 0 . Resolviendo para t , P 0 e r t = K − P 0 e r t = K − P 0 P 0 ln e r t = ln K − P 0 P 0 r t = ln K − P 0 P 0 t = 1 r ln K − P 0 P 0 . Tenga en cuenta que si P 0 > K , entonces esta cantidad es indefinida, y el gráfico no tiene un punto de inflexión. En el gráfico logístico, el punto de inflexión puede verse como el punto en el que el gráfico cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo. Aquí es donde empieza a producirse la \"nivelación\", porque la tasa de crecimiento neto se hace más lenta a medida que la población empieza a acercarse a la capacidad de carga. Se observa que una población de conejos en una pradera es de 200 conejos para el tiempo t = 0 . Al cabo de un mes, se observa que la población de conejos ha aumentado en 4 % . Si utilizamos una población inicial de 200 y una tasa de crecimiento de 0,04 , con una capacidad de carga de 750 conejos, Escriba la ecuación diferencial logística y la condición inicial para este modelo. Dibuje un campo de pendiente para esta ecuación diferencial logística y dibuje la solución correspondiente a una población inicial de 200 conejos. Resuelva el problema de valor inicial para P ( t ) . Utilice la solución para predecir la población después de 1 año. d P d t = 0,04 ( 1 – P 750 ) , P ( 0 ) = 200 P ( t ) = 3.000 e 0,04 t 11 + 4 e 0,04 t Después de 12 meses, la población será P ( 12 ) ≈ 278 conejos. Pista En primer lugar, determine los valores de r , K , y P 0 . A continuación, cree el problema de valor inicial, dibuje el campo de direcciones y resuelva el problema. Proyecto estudiantil: Ecuación logística con un umbral de población Una mejora del modelo logístico incluye un umbral de población . El umbral de población se define como la población mínima necesaria para que la especie sobreviva. Utilizamos la variable T para representar el umbral de población. Una ecuación diferencial que incorpora tanto el umbral de población T y la capacidad de carga K es d P d t = − r P ( 1 – P K ) ( 1 – P T ) donde r representa la tasa de crecimiento, como antes. El umbral de población es útil para los biólogos y puede utilizarse para determinar si una especie determinada debe incluirse en la lista de especies en peligro. Un grupo de investigadores australianos afirma haber determinado el umbral de población para que cualquier especie sobreviva: 5.000 adultos. (Catherine Clabby, \"A Magic Number\", American Scientist 98(1): 24, doi:10.1511/2010.82.24., consultado el 9 de abril de 2015, http://www.americanscientist.org/issues/pub/a-magic-number). Por lo tanto, utilizamos T = 5.000 como umbral de población en este proyecto. Supongamos que la capacidad de carga ambiental en Montana para los alces es 25.000 . Plantee la utilizando la capacidad de carga de 25.000 y el umbral de población de 5.000 . Supongamos una tasa de crecimiento neto anual de 18 % . Dibuje el campo de direcciones para la ecuación diferencial del paso 1 , junto con varias soluciones para diferentes poblaciones iniciales. ¿Cuáles son las soluciones constantes de la ecuación diferencial? ¿A qué corresponden estas soluciones en el modelo de población original (es decir, en un contexto biológico)? ¿Cuál es la población límite para cada población inicial que ha elegido en el paso 2 ? (Pista: Utilice el campo de pendiente para ver lo que sucede para varias poblaciones iniciales, es decir, busque las asíntotas horizontales de sus soluciones). Esta ecuación puede resolverse mediante el método de separación de variables. Sin embargo, es muy difícil obtener la solución como una función explícita de t . Si utilizamos una población inicial de 18.000 alces, resuelva el problema de valor inicial y exprese la solución como una función implícita de t , o resuelva el problema general de valor inicial, hallando una solución en términos de r , K , T , y P 0 . Conceptos clave Cuando se estudian las funciones de la población, diferentes supuestos (como el crecimiento exponencial, el crecimiento logístico o el umbral de población) conducen a diferentes tasas de crecimiento. La ecuación diferencial logística incorpora el concepto de capacidad de carga. Este valor es un valor límite de la población para un ambiente determinado. La ecuación diferencial logística puede resolverse para cualquier tasa de crecimiento positiva, población inicial y capacidad de carga. Ecuaciones clave Ecuación diferencial logística y problema de valor inicial d P d t = r P ( 1 – P K ) , P ( 0 ) = P 0 Solución de la ecuación diferencial logística/problema de valor inicial P ( t ) = P 0 K e r t ( K − P 0 ) + P 0 e r t Modelo de umbral de población d P d t = − r P ( 1 – P K ) ( 1 – P T ) Para los siguientes problemas, considere la ecuación logística en la forma P ′ = C P − P 2 . Dibuje el campo de direcciones y halle la estabilidad de los equilibrios. C = 3 C = 0 P = 0 semiestable C = −3 Resuelva la ecuación logística para C = 10 y una condición inicial de P ( 0 ) = 2 . P = 10 e 10 x e 10 x + 4 Resuelva la ecuación logística para C = −10 y una condición inicial de P ( 0 ) = 2 . Una población de ciervos dentro de un parque tiene una capacidad de carga de 200 y una tasa de crecimiento de 2 % . Si la población inicial es de 50 ciervos, ¿cuál es la población de ciervos en un tiempo dado? P ( t ) = 10.000 e 0,02 t 150 + 50 e 0,02 t Una población de ranas en un estanque tiene una tasa de crecimiento de 5 % . Si la población inicial es de 1.000 ranas y la capacidad de carga es 6.000 , ¿cuál es la población de ranas en un tiempo dado? [T] Las bacterias crecen a una tasa de 20 % por hora en una placa de Petri. Si inicialmente hay una bacteria y una capacidad de carga de 1 millón de células, ¿cuánto tiempo tarda en llegar a 500.000 células? 69 horas 5 minutos [T] Los conejos de un parque tienen una población inicial de 10 y crece a una tasa de 4 % por año. Si la capacidad de carga es 500 , ¿en qué tiempo la población alcanza 100 conejos? [T] Dos monos son colocados en una isla. Después de 5 años, hay 8 monos, y la capacidad de carga estimada es de 25 monos. ¿Cuándo alcanza la población 16 monos? 8 años 11 meses [T] Se construye un santuario de mariposas que puede albergar 2000 mariposas, y 400 mariposas se trasladan inicialmente. Si después de 2 meses hay ahora 800 mariposas, ¿cuándo llega la población a 1,500 mariposas? Los siguientes problemas consideran la ecuación logística con un término añadido de agotamiento, ya sea por muerte o por emigración. [T] La población de truchas en un estanque está dada por P ′ = 0,4 P ( 1 – P 10.000 ) − 400 , donde 400 truchas son capturadas al año. Utilice tu calculadora o un programa de computadora para dibujar un campo de direcciones y dibuje algunas soluciones de ejemplo. ¿Qué espera del comportamiento? En el problema anterior, ¿cuáles son las estabilidades de los equilibrios 0 < P 1 < P 2 ? [T] Para el problema anterior, utilice un software para generar un campo de direcciones para el valor f = 400 . ¿Cuáles son las estabilidades de los equilibrios? P 1 semiestable [T] Para los problemas anteriores, utilice un software para generar un campo de direcciones para el valor f = 600 . ¿Cuáles son las estabilidades de los equilibrios? [T] Para los problemas anteriores, considere el caso en el que se agrega un cierto número de peces al estanque, o f = −200 . ¿Cuáles son los equilibrios no negativos y sus estabilidades? P 2 > 0 estable Es más probable que la cantidad de pesca se rija por el número actual de peces presentes, por lo que en vez de un número constante de peces capturados, la tasa es proporcional al número actual de peces, con la constante de proporcionalidad k , como P ′ = 0,4 P ( 1 – P 10.000 ) − k P . [T] Para el problema de pesca anterior, dibuje un campo de direcciones suponiendo que k = 0,1 . Dibuje algunas soluciones que presentan este comportamiento. ¿Cuáles son los equilibrios y cuáles son sus estabilidades? [T] Utilice un software o una calculadora para dibujar campos de direcciones para k = 0,4 . ¿Cuáles son los equilibrios no negativos y sus estabilidades? P 1 = 0 es semiestable [T] Utilice un software o una calculadora para dibujar campos de direcciones para k = 0,6 . ¿Cuáles son los equilibrios y sus estabilidades? Resuelva esta ecuación, si asumimos un valor de k = 0,05 y una condición inicial de 2000 peces. y = −20 4 × 10 −6 − 0,002 e 0,01 t Resuelva esta ecuación, si asumimos un valor de k = 0,05 y una condición inicial de 5.000 peces. Los siguientes problemas agregan un valor umbral mínimo para que la especie sobreviva, T , que cambia la ecuación diferencial a P ′ ( t ) = r P ( 1 – P K ) ( 1 − T P ) . Dibuje el campo de direcciones de la ecuación logística del umbral, suponiendo que K = 10 , r = 0,1 , T = 2 . ¿Cuándo sobrevive la población? ¿Cuándo se extingue? Para el problema anterior, resuelva la ecuación del umbral logístico, suponiendo la condición inicial P ( 0 ) = P 0 . Los tigres de Bengala en un parque de conservación tienen una capacidad de carga de 100 y necesitan un mínimo de 10 para sobrevivir. Si crecen en población a una tasa de 1 % por año, con una población inicial de 15 tigres, calcule el número de tigres presentes. P ( t ) = 850 + 500 e 0,009 t 85 + 5 e 0,009 t Un bosque con lémures de cola anillada en Madagascar tiene el potencial de mantener 5.000 individuos, y la población de lémures crece a una tasa de 5 % por año. Un mínimo de 500 individuos es necesario para que los lémures sobrevivan. Dada una población inicial de 600 lémures, calcule la población de lémures. La población de leones de montaña en el norte de Arizona tiene una capacidad de carga estimada de 250 y crece a una tasa de 0,25 % por año y debe haber 25 para que la población sobreviva. Con una población inicial de 30 leones de montaña, ¿cuántos años serán necesarios para que los leones de montaña salgan de la lista de especies en peligro de extinción (al menos 100 ) ? 13 años meses Las siguientes preguntas consideran la ecuación de Gompertz , una modificación para el crecimiento logístico, que se utiliza a menudo para modelar el crecimiento del cáncer, específicamente el número de células tumorales. La ecuación de Gompertz está dada por P ( t ) ′ = α ln ( K P ( t ) ) P ( t ) . Dibuje los campos de direcciones para esta ecuación suponiendo que todos los parámetros son positivos y que K = 1 . Supongamos que para una población K = 1.000 y α = 0,05 . Dibuje el campo de direcciones asociado a esta ecuación diferencial y dibuje algunas soluciones. ¿Cuál es el comportamiento de la población? Resuelva la ecuación de Gompertz para el genérico α y K y P ( 0 ) = P 0 . [T] La ecuación de Gompertz se ha utilizado para modelar el crecimiento de los tumores en el cuerpo humano. A partir de una célula tumoral en el día 1 y asumiendo que α = 0,1 y una capacidad de carga de 10 millones de células, ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar la fase de \"detección\" en 5 millones de células? 31,465 días [T] Se estima que la población humana mundial alcanzó 3 mil millones de personas en 1959 y 6 mil millones en 1999 . Suponiendo una capacidad de carga de 16 mil millones de seres humanos, escriba y resuelva la ecuación diferencial para el crecimiento logístico, y determine en qué año la población alcanzó 7 mil millones. [T] Se estima que la población humana mundial alcanzó 3 mil millones de personas en 1959 y 6 mil millones en 1999 . Suponiendo una capacidad de carga de 16 mil millones de seres humanos, escriba y resuelva la ecuación diferencial del crecimiento de Gompertz, y determine en qué año la población alcanzó 7 mil millones. ¿Fue más preciso el crecimiento logístico o el crecimiento de Gompertz, teniendo en cuenta la población mundial alcanzó 7 mil millones el 31 de octubre d e 2011 ? Septiembre de 2008 Demuestre que la población crece más rápidamente cuando alcanza la mitad de la capacidad de carga para la ecuación logística P ′ = r P ( 1 – P K ) . ¿Cuándo aumenta más rápido la población en la ecuación logística del umbral P ′ ( t ) = r P ( 1 – P K ) ( 1 − T P ) ? K + T 2 ¿Cuándo aumenta más rápido la población para la ecuación de Gompertz P ( t ) ′ = α ln ( K P ( t ) ) P ( t ) ? A continuación se muestra una tabla de las poblaciones de grullas trompeteras de 1940 a 2000 . La población se recuperó desde su casi extinción tras el inicio de los esfuerzos de conservación. Los siguientes problemas consideran la aplicación de modelos de población para ajustar los datos. Supongamos una capacidad de carga de 10.000 grullas. Ajuste los datos asumiendo los años desde 1940 (por lo que su población inicial en el momento 0 sería 22 grullas). Año (años desde el inicio de la conservación) Población de grullas trompeteras 1940 ( 0 ) grandes. 22 1950 ( 10 ) grandes. 31 1960 ( 20 ) grandes. 36 1970 ( 30 ) grandes. 57 1980 ( 40 ) grandes. 91 1990 ( 50 ) grandes. 159 2000 ( 60 ) grandes. 256 Fuente: https://www.savingcranes.org/images/stories/site_images/conservation/whooping_crane/pdfs/historic_wc_numbers.pdf Halle la ecuación y el parámetro r que mejor se ajustan a los datos de la ecuación logística. r = 0,0405 Halle la ecuación y los parámetros r y T que mejor se ajustan a los datos para la ecuación logística del umbral. Halle la ecuación y el parámetro α que mejor se ajustan a los datos de la ecuación de Gompertz. α = 0,0081 Grafique las tres soluciones y los datos en el mismo gráfico. ¿Qué modelo parece ser más preciso? Utilizando las tres ecuaciones halladas en los problemas anteriores, estime la población en 2010 (año 70 después de la conservación). La población real medida en ese momento era 437 . ¿Qué modelo es más preciso? Logística: 361 , Umbral: 436 , Gompertz: 309 . capacidad de carga la población máxima de un organismo que el ambiente puede mantener indefinidamente tasa de crecimiento la constante r > 0 en la función de crecimiento exponencial P ( t ) = P 0 e r t población inicial población en el tiempo t = 0 ecuación diferencial logística ecuación diferencial que incorpora la capacidad de carga K y tasa de crecimiento r en un modelo de población línea de fase representación visual del comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial autónoma sujeta a diversas condiciones iniciales umbral de población población mínima necesaria para que una especie sobreviva", "section": "La ecuación logística", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Ecuaciones lineales de primer orden Previamente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de v 0 ft/s, entonces se plantea un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de t segundos viene dada por d v d t = −32 , v ( 0 ) = v 0 . Este modelo supone que la única fuerza que actúa sobre la pelota es la gravedad. Ahora añadimos al problema la posibilidad de que la resistencia del aire actúe sobre la pelota. La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto se eleva, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente ( ). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es igual numéricamente a alguna constante k veces v . Para objetos más grandes (p. ej., del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a v 1,5 , o v 0,9 , o alguna otra potencia de v . Fuerzas que actúan sobre una pelota de béisbol en movimiento: la gravedad actúa en dirección descendente y la resistencia del aire actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Trabajaremos con la aproximación lineal para la resistencia del aire. Si asumimos k > 0 , entonces la expresión para la fuerza F A debido a la resistencia del aire está dada por F A = − k v . Por tanto, la suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto es igual a la suma de la fuerza gravitatoria y la fuerza debida a la resistencia del aire. Esto, a su vez, es igual a la masa del objeto multiplicada por su aceleración en el tiempo t (segunda ley de Newton). Esto nos da la ecuación diferencial m d v d t = − k v − m g . Por último, imponemos una condición inicial v ( 0 ) = v 0 , donde v 0 es la velocidad inicial medida en metros por segundo. Esto hace que g = 9,8 m/s 2 . El problema de valor inicial se convierta en m d v d t = − k v − m g , v ( 0 ) = v 0 . La ecuación diferencial de este problema de valor inicial es un ejemplo de ecuación diferencial lineal de primer orden (recuerde que una ecuación diferencial es de primer orden si la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación es 1 ) En esta sección, estudiamos las ecuaciones lineales de primer orden y examinamos un método para hallar una solución general a este tipo de ecuaciones, así como para resolver problemas de valor inicial que las involucran. Definición Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si se puede escribir de la forma a ( x ) y ′ + b ( x ) y = c ( x ) , donde a ( x ) , b ( x ) , y c ( x ) son funciones arbitrarias de x . Recuerde que la función desconocida y depende de la variable x ; es decir, x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden son ( 3 x 2 − 4 ) y ′ + ( x − 3 ) y = sen x ( sen x ) y ′ − ( cos x ) y = cot x 4 x y ′ + ( 3 ln x ) y = x 3 − 4 x . Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden son ( y ′ ) 4 − ( y ′ ) 3 = ( 3 x − 2 ) ( y + 4 ) 4 y ′ + 3 y 3 = 4 x − 5 ( y ′ ) 2 = sen y + cos x . Estas ecuaciones son no lineales debido a términos como ( y ′ ) 4 , y 3 , etc. Debido a estos términos, es imposible poner estas ecuaciones en la misma forma que la . Forma estándar Considere la ecuación diferencial ( 3 x 2 − 4 ) y ′ + ( x − 3 ) y = sen x . Nuestro objetivo principal en esta sección es derivar un método de solución para ecuaciones de esta forma. Es útil que el coeficiente de y ′ sea igual a 1 . Para ello, dividimos ambos lados entre 3 x 2 − 4 . y ′ + ( x − 3 3 x 2 − 4 ) y = sen x 3 x 2 − 4 Esto se llama la forma estándar de la ecuación diferencial. La utilizaremos más adelante cuando hallemos la solución de una ecuación diferencial lineal general de primer orden. Volviendo a la , podemos dividir ambos lados de la ecuación entre a ( x ) . Esto nos lleva a la ecuación y ′ + b ( x ) a ( x ) y = c ( x ) a ( x ) . Ahora defina p ( x ) = b ( x ) a ( x ) como q ( x ) = c ( x ) a ( x ) . Entonces la se convierte en y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . Podemos escribir cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden en esta forma, y esto se conoce como la forma estándar para una ecuación diferencial lineal de primer orden. Escribir ecuaciones lineales de primer orden en forma estándar Escriba cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma estándar. Identifique p ( x ) como q ( x ) para cada ecuación. y ′ = 3 x − 4 y 3 x y ′ 4 y − 3 = 2 (aquí x ≠ 0 ) grandes. y = 3 y ′ − 4 x 2 + 5 Añadir 4 y a ambos lados: y ′ + 4 y = 3 x . En esta ecuación, p ( x ) = 4 y q ( x ) = 3 x . Multiplique ambos lados por 4 y − 3 , y luego reste 8 y de cada lado: 3 x y ′ 4 y − 3 = 2 3 x y ′ = 2 ( 4 y − 3 ) 3 x y ′ = 8 y − 6 3 x y ′ − 8 y = −6 . Finalmente, divida ambos lados entre 3 x para que el coeficiente de y ′ sea igual a 1 : y ′ − 8 3 x y = − 2 x . Esto se permite porque en el planteamiento original de este problema asumimos que x ≠ 0 . (Si x = 0 entonces la ecuación original se convierte en 0 = 2 , lo que es claramente una afirmación falsa). En esta ecuación, p ( x ) = − 8 3 x y q ( x ) = − 2 3 x . Reste y de cada lado y sume 4 x 2 − 5 : 3 y ′ − y = 4 x 2 − 5 . A continuación, divida ambos lados entre 3 : y ′ − 1 3 y = 4 3 x 2 − 5 3 . En esta ecuación, p ( x ) = − 1 3 y q ( x ) = 4 3 x 2 − 5 3 . Escriba la ecuación ( x + 3 ) y ′ 2 x − 3 y − 4 = 5 en forma estándar e identifique p ( x ) como q ( x ) . y ′ + 15 x + 3 y = 10 x − 20 x + 3 ; p ( x ) = 15 x + 3 y q ( x ) = 10 x − 20 x + 3 Pista Multiplique ambos lados por el denominador común, y luego reúna todos los términos que impliquen y en un lado. Factores de integración Ahora desarrollamos una técnica de solución para cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden. Comenzamos con la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden: y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . El primer término del lado izquierdo de la es la derivada de la función desconocida, y el segundo término es el producto de una función conocida por la función desconocida. Esto recuerda en cierto modo a la regla del producto de la sección Reglas de diferenciación . Si multiplicamos la por una función aún por determinar μ ( x ) , entonces la ecuación se convierte en μ ( x ) y ′ + μ ( x ) p ( x ) y = μ ( x ) q ( x ) . El lado izquierdo de la se puede igualar perfectamente a la regla del producto: d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Si se iguala término a término, se obtiene y = f ( x ) , g ( x ) = μ ( x ) , y g ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) . Tomando la derivada de g ( x ) = μ ( x ) e igualándola al lado derecho de g ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) nos lleva a μ ′ ( x ) = μ ( x ) p ( x ) . Esta es una ecuación diferencial separable de primer orden para μ ( x ) . Sabemos que p ( x ) porque aparece en la ecuación diferencial que estamos resolviendo. Separando las variables e integrando se obtiene μ ′ ( x ) μ ( x ) = p ( x ) ∫ μ ′ ( x ) μ ( x ) d x = ∫ p ( x ) d x ln | μ ( x ) | = ∫ p ( x ) d x + C e ln | μ ( x ) | = e ∫ p ( x ) d x + C | μ ( x ) | = C 1 e ∫ p ( x ) d x μ ( x ) = C 2 e ∫ p ( x ) d x . Aquí C 2 puede ser una constante arbitraria (positiva o negativa). Esto nos lleva a un método general para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. Primero multiplicamos ambos lados de la por el factor de integración μ ( x ) . Esto da μ ( x ) y ′ + μ ( x ) p ( x ) y = μ ( x ) q ( x ) . El lado izquierdo de la se puede reescribir como d d x ( μ ( x ) y ) . d d x ( μ ( x ) y ) = μ ( x ) q ( x ) . A continuación, integre ambos lados de la con respecto a x . ∫ d d x ( μ ( x ) y ) d x = ∫ μ ( x ) q ( x ) d x μ ( x ) y = ∫ μ ( x ) q ( x ) d x . Divida ambos lados de la entre μ ( x ) : y = 1 μ ( x ) [ ∫ μ ( x ) q ( x ) d x + C ] . Dado que μ ( x ) se calculó previamente, ya hemos terminado. Una nota importante sobre la constante de integración C : Puede parecer que somos incoherentes en el uso de la constante de integración. Sin embargo, la integral que implica p ( x ) es necesaria para hallar un factor de integración para la . Solo se necesita un factor de integración para resolver la ecuación; por lo tanto, es seguro asignar un valor para C para esta integral. Elegimos C = 0 . Cuando calculamos la integral dentro de los paréntesis en la , es necesario mantener nuestras opciones abiertas para el valor de la constante de integración, porque nuestro objetivo es hallar una familia general de soluciones a la . Este factor de integración garantiza precisamente eso. Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de una ecuación diferencial lineal de primer orden Escriba la ecuación en forma estándar e identifique p ( x ) como q ( x ) . Calcule el factor de integración μ ( x ) = e ∫ p ( x ) d x . Multiplique ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) . Integre ambos lados de la ecuación obtenida en el paso 3 , y divida ambos lados entre μ ( x ) . Si hay una condición inicial, determine el valor de C . Resolución de una ecuación lineal de primer orden Halle una solución general para la ecuación diferencial x y ′ + 3 y = 4 x 2 − 3 x . Asuma que x > 0 . Para escribir esta ecuación diferencial en forma estándar, divida ambos lados entre x : y ′ + 3 x y = 4 x − 3 . Por lo tanto p ( x ) = 3 x y q ( x ) = 4 x − 3 . El factor de integración es μ ( x ) = e ∫ ( 3 / x ) d x = e 3 ln x = x 3 . Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) nos da x 3 y ′ + x 3 ( 3 x ) y = x 3 ( 4 x − 3 ) x 3 y ′ + 3 x 2 y = 4 x 4 − 3 x 3 d d x ( x 3 y ) = 4 x 4 − 3 x 3 . Integre ambos lados de la ecuación. ∫ d d x ( x 3 y ) d x = ∫ 4 x 4 − 3 x 3 d x x 3 y = 4 x 5 5 − 3 x 4 4 + C y = 4 x 2 5 − 3 x 4 + C x −3 . No hay valor inicial, por lo que el problema está completo. Análisis Habrá notado la condición que se impuso a la ecuación diferencial; es decir, x > 0 . Para cualquier valor distinto de cero de C , la solución general no está definida en x = 0 . Además, cuando x < 0 , el factor de integración cambia. El factor de integración viene dado por la como f ( x ) = e ∫ p ( x ) d x . Para esta p ( x ) obtenemos e ∫ p ( x ) d x = e ∫ ( 3 / x ) d x = e 3 ln | x | = | x | 3 , dado que x < 0 . El comportamiento de la solución general cambia en x = 0 en gran medida por el hecho de que p ( x ) no se define allí. Halle la solución general de la ecuación diferencial ( x − 2 ) y ′ + y = 3 x 2 + 2 x . Asuma que x > 2 . y = x 3 + x 2 + C x − 2 Pista Utilice el método descrito en la estrategia de resolución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Ahora utilizamos la misma estrategia para hallar la solución a un problema de valor inicial. Un problema de valor inicial lineal de primer orden Resuelva el problema de valor inicial y ′ + 3 y = 2 x – 1 , y ( 0 ) = 3 . Esta ecuación diferencial ya está en forma estándar con p ( x ) = 3 y q ( x ) = 2 x – 1 . El factor de integración es μ ( x ) = e ∫ 3 d x = e 3 x . Multiplicando ambos lados de la ecuación diferencial por μ ( x ) da e 3 x y ′ + 3 e 3 x y = ( 2 x – 1 ) e 3 x d d x [ y e 3 x ] = ( 2 x – 1 ) e 3 x . Integre ambos lados de la ecuación: ∫ d d x [ y e 3 x ] d x = ∫ ( 2 x – 1 ) e 3 x d x y e 3 x = e 3 x 3 ( 2 x – 1 ) − ∫ 2 3 e 3 x d x y e 3 x = e 3 x ( 2 x – 1 ) 3 − 2 e 3 x 9 + C y = 2 x – 1 3 − 2 9 + C e −3 x y = 2 x 3 − 5 9 + C e −3 x . Ahora sustituya x = 0 y y = 3 en la solución general y resuelva para C : y = 2 3 x − 5 9 + C e −3 x 3 = 2 3 ( 0 ) − 5 9 + C e −3 ( 0 ) 3 = − 5 9 + C C = 32 9 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es y = 2 3 x − 5 9 + 32 9 e −3 x . Resuelva el problema de valor inicial y ′ − 2 y = 4 x + 3 y ( 0 ) = –2 . y = – 2 x – 5 2 + 1 2 e 2 x Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Estudiamos dos aplicaciones diferentes de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. La primera tiene que ver con la resistencia del aire en relación con los objetos que suben o bajan; la segunda, con un circuito eléctrico. Hay muchas otras aplicaciones, pero la mayoría se resuelve de forma similar. Caída libre con resistencia del aire Al principio de esta sección hablamos de la resistencia del aire. El siguiente ejemplo muestra cómo aplicar este concepto para una pelota en movimiento vertical. Hay otros factores que pueden afectar a la fuerza de resistencia del aire, como el tamaño y la forma del objeto, pero los ignoramos aquí. Una pelota con resistencia del aire Una pelota de ráquetbol es golpeada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 2 m/s. La masa de una pelota de ráquetbol es aproximadamente 0,0427 kg. La resistencia del aire actúa sobre la pelota con una fuerza igual numéricamente a 0,5 v , donde v representa la velocidad de la pelota en el tiempo t . Calcule la velocidad de la pelota en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? Si la pelota se golpea desde una altura inicial de 1 metro, ¿qué altura alcanzará? La masa m = 0,0427 kg , k = 0,5 , y g = 9,8 m/s 2 . La velocidad inicial es v 0 = 2 m/s. Por lo tanto, el problema de valor inicial es 0,0427 d v d t = −0,5 v − 0,0427 ( 9,8 ) , v 0 = 2 . Dividiendo la ecuación diferencial entre 0,0427 da d v d t = −11,7096 v − 9,8 , v 0 = 2 . La ecuación diferencial es lineal. Usar la estrategia de resolución de problemas para ecuaciones diferenciales lineales: Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como d v d t + 11,7096 v = −9,8 . Esto da p ( t ) = 11,7096 y q ( t ) = −9,8 Paso 2. El factor de integración es μ ( t ) = e ∫ 11,7096 d t = e 11,7096 t . Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por μ ( t ) : e 11,7096 t d v d t + 11,7096 v e 11,7096 t = −9,8 e 11,7096 t d d t [ v e 11,7096 t ] = −9,8 e 11,7096 t . Paso 4. Integre ambos lados: ∫ d d t [ v e 11,7096 t ] d t = ∫ −9,8 e 11,7096 t d t v e 11,7096 t = −9,8 11,7096 e 11,7096 t + C v ( t ) = −0,8369 + C e −11,7096 t . Paso 5. Resuelva para C utilizando la condición inicial v 0 = v ( 0 ) = 2 : v ( t ) = −0,8369 + C e −11,7096 t v ( 0 ) = −0,8369 + C e −11,7096 ( 0 ) 2 = −0,8369 + C C = 2,8369. Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es v ( t ) = 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 . La pelota alcanza su altura máxima cuando la velocidad es igual a cero. La razón es que cuando la velocidad es positiva, está subiendo, y cuando es negativa, está bajando. Por lo tanto, cuando es cero, no está subiendo ni bajando, y está en su altura máxima: 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 = 0 2,8369 e −11,7096 t = 0,8369 e −11,7096 t = 0,8369 2,8369 ≈ 0,295 ln e −11,7096 t = ln 0,295 ≈ − 1,221 −11,7096 t = −1,221 t ≈ 0,104. Por lo tanto, se necesita aproximadamente 0,104 segundos para alcanzar la altura máxima. Para hallar la altura de la pelota en función del tiempo, se utiliza el hecho de que la derivada de la posición es la velocidad, es decir, si h ( t ) representa la altura en el tiempo t , entonces h ′ ( t ) = v ( t ) . Porque conocemos v ( t ) y la altura inicial, podemos formar un problema de valor inicial: h ′ ( t ) = 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 , h ( 0 ) = 1 . Integrando ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a t da ∫ h ′ ( t ) d t = ∫ 2,8369 e −11,7096 t − 0,8369 d t h ( t ) = − 2,8369 11,7096 e −11,7096 t − 0,8369 t + C h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + C . Resuelva para C utilizando la condición inicial: h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + C h ( 0 ) = −0,2423 e −11,7096 ( 0 ) − 0,8369 ( 0 ) + C 1 = −0,2423 + C C = 1,2423. Por lo tanto h ( t ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + 1,2423 . Después de 0,104 segundos, la altura está dada por h ( 0,104 ) = −0,2423 e −11,7096 t − 0,8369 t + 1,2423 ≈ 1,0836 metros. El peso de un centavo es 2,5 gramos (Casa de la Moneda de Estados Unidos, “Coin Specifications”, consultado el 9 de abril de 2015, http://www.usmint.gov/about_the_mint/?action=coin_specifications) y la plataforma de observación superior del Empire State Building es de 369 metros sobre la calle. Como el centavo es un objeto pequeño y relativamente liso, la resistencia del aire que actúa sobre este es en realidad bastante pequeña. Suponemos que la resistencia del aire es igual numéricamente a 0,0025 v . Además, el centavo se deja caer sin que se le aplique una velocidad inicial. Plantee un problema de valor inicial que represente el centavo que cae. Resuelva el problema para v ( t ) . Cuál es la velocidad límite del centavo (es decir, calcule el límite de la velocidad a medida que t se acerca al infinito)? d v d t = − v − 9,8 v ( 0 ) = 0 v ( t ) = 9,8 ( e − t − 1 ) grandes. lím t → ∞ v ( t ) = lím t → ∞ ( 9,8 ( e − t − 1 ) ) = −9,8 m/s ≈ − 21,922 mph Pista Plantee la ecuación diferencial de la misma manera que . Recuerde convertir de gramos a kilogramos. Circuitos eléctricos Una fuente de fuerza electromotriz (p. ej., una batería o un generador) produce un flujo de corriente en un circuito cerrado, y esta corriente produce una caída de voltaje en cada resistor, inductor y condensador del circuito. La ley de las tensiones de Kirchhoff establece que la suma de las caídas de voltaje en los resistores, inductores y condensadores es igual a la fuerza electromotriz total en un circuito cerrado. Tenemos los tres resultados siguientes: La caída de voltaje a través de una resistencia está dada por E R = R i , donde R es una constante de proporcionalidad llamada resistencia, y i es la corriente. La caída de voltaje en un inductor está dada por E L = L i ′ , donde L es una constante de proporcionalidad llamada inductancia , y i denota de nuevo la corriente. La caída de voltaje en un condensador está dada por E C = 1 C q , donde C es una constante de proporcionalidad llamada capacidad , y q es la carga instantánea del condensador. La relación entre i y q es i = q ′ . Utilizamos unidades de voltios ( V ) para medir el voltaje E , amperios ( A ) para medir la corriente i , culombios ( C ) para medir la carga q , ohmios ( Ω ) para medir la resistencia R , henrios ( H ) para medir la inductancia L , y faradios ( F ) para medir la capacidad C . Considere el circuito en la . Un circuito eléctrico típico, que contiene un generador de tensión ( V S ) , condensador ( C ) , inductor ( L ) , y el resistor ( R ) . Aplicando la ley de ley de las tensiones de Kirchhoff a este circuito, suponemos que E denota la fuerza electromotriz suministrada por el generador de voltaje. Entonces E L + E R + E C = E . Sustituyendo las expresiones para E L , E R , y E C en esta ecuación, obtenemos L i ′ + R i + 1 C q = E . Si no hay ningún condensador en el circuito, la ecuación se convierte en L i ′ + R i = E . Se trata de una ecuación diferencial de primer orden en i . El circuito se denomina un circuito L R . A continuación, supongamos que no hay ningún inductor en el circuito, pero sí un condensador y un resistor, por lo que L = 0 , R ≠ 0 , y C ≠ 0 . Entonces la puede reescribirse como R q ′ + 1 C q = E , que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. Esto se denomina circuito RC . En cualquier caso, podemos plantear y resolver un problema de valores iniciales. Calcular la corriente en un circuito eléctrico RL Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E = 50 sen 20 t V , un resistor de 5 Ω , y un inductor de 0,4 H . Si la corriente inicial es 0 , calcule la corriente en el momento t > 0 . Tenemos un resistor y un inductor en el circuito, por lo que utilizamos la . La caída de voltaje a través del resistor está dada por E R = R i = 5 i . La caída de voltaje en el inductor está dada por E L = L i ′ = 0,4 i ′ . La fuerza electromotriz se convierte en el lado derecho de la . Por lo tanto, la se convierte en 0,4 i ′ + 5 i = 50 sen 20 t . Dividiendo ambos lados entre 0,4 da la ecuación i ′ + 12,5 i = 125 sen 20 t . Como la corriente inicial es 0, este resultado da una condición inicial de i ( 0 ) = 0 . Podemos resolver este problema de valor inicial utilizando la estrategia de cinco pasos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Paso 1. Reescriba la ecuación diferencial como i ′ + 12,5 i = 125 sen 20 t . Esto da p ( t ) = 12,5 y q ( t ) = 125 sen 20 t . Paso 2. El factor de integración es μ ( t ) = e ∫ 12,5 d t = e 12,5 t . Paso 3. Multiplique la ecuación diferencial por μ ( t ) : e 12,5 t i ′ + 12,5 e 12,5 t i = 125 e 12,5 t sen 20 t d d t [ i e 12,5 t ] = 125 e 12,5 t sen 20 t . Paso 4. Integre ambos lados: ∫ d d t [ i e 12,5 t ] d t = ∫ 125 e 12,5 t sen 20 t d t i e 12,5 t = ( 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 ) e 12,5 t + C i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + C e −12,5 t . Paso 5. Resuelva para C utilizando la condición inicial v ( 0 ) = 2 : i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + C e −12,5 t i ( 0 ) = 250 sen 20 ( 0 ) − 400 cos 20 ( 0 ) 89 + C e −12,5 ( 0 ) 0 = − 400 89 + C C = 400 89 . Por lo tanto, la solución del problema de valor inicial es i ( t ) = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t + 400 e −12,5 t 89 = 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 + 400 e −12,5 t 89 . El primer término puede reescribirse como una función coseno simple. Primero, multiplique por y divida entre 250 2 + 400 2 = 50 89 : 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 89 = 50 89 89 ( 250 sen 20 t − 400 cos 20 t 50 89 ) = − 50 89 89 ( 8 cos 20 t 89 − 5 sen 20 t 89 ) . A continuación, defina φ para que sea un ángulo agudo tal que cos φ = 8 89 . Entonces sen φ = 5 89 y − 50 89 89 ( 8 cos 20 t 89 − 5 sen 20 t 89 ) = − 50 89 89 ( cos φ cos 20 t − sen φ sen 20 t ) = − 50 89 89 cos ( 20 t + φ ) . Por lo tanto, la solución puede escribirse como i ( t ) = − 50 89 89 cos ( 20 t + φ ) + 400 e −12,5 t 89 . El segundo término se denomina término de atenuación , porque desaparece rápidamente a medida que t aumenta. El desplazamiento de fase está dado por φ , y la amplitud de la corriente en estado estacionario está dada por 50 89 89 . El gráfico de esta solución aparece en la : Un circuito en serie tiene una fuerza electromotriz dada por E = 20 sen 5 t V, un condensador con capacidad 0,02 F , y un resistor de 8 Ω . Si la carga inicial es 4 C , calcule la carga en el tiempo t > 0 . Problema de valor inicial: 8 q ′ + 1 0,02 q = 20 sen 5 t , q ( 0 ) = 4 q ( t ) = 10 sen 5 t − 8 cos 5 t + 172 e −6,25 t 41 Pista Utilice para un circuito R C para plantear un problema de valor inicial. Conceptos clave Cualquier ecuación diferencial lineal de primer orden puede escribirse en la forma y ′ + p ( x ) y = q ( x ) . Podemos utilizar una estrategia de resolución de problemas en cinco pasos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede o no incluir un valor inicial. Las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden incluyen determinar el movimiento de un objeto que se eleva o cae con resistencia del aire y calcular la corriente en un circuito eléctrico. Ecuaciones clave forma estándar y ′ + p ( x ) y = q ( x ) factor de integración μ ( x ) = e ∫ p ( x ) d x ¿Las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales? Explique su razonamiento. d y d x = x 2 y + sen x d y d t = t y Sí d y d t + y 2 = x y ′ = x 3 + e x Sí y ′ = y + e y Escriba las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden en forma estándar. y ′ = x 3 y + sen x y ′ − x 3 y = sen x y ′ + 3 y − ln x = 0 − x y ′ = ( 3 x + 2 ) y + x e x y ′ + ( 3 x + 2 ) x y = − e x d y d t = 4 y + t y + tan t d y d t = y x ( x + 1 ) grandes. d y d t − y x ( x + 1 ) = 0 ¿Cuáles son los factores de integración de las siguientes ecuaciones diferenciales? y ′ = x y + 3 y ′ + e x y = sen x e x y ′ = x ln ( x ) y + 3 x d y d x = tanh ( x ) y + 1 − ln ( cosh x ) grandes. d y d t + 3 t y = e t y Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando factores de integración. y ′ = 3 y + 2 y = C e 3 x − 2 3 y ′ = 2 y − x 2 x y ′ = 3 y − 6 x 2 y = C x 3 + 6 x 2 ( x + 2 ) y ′ = 3 x + y y ′ = 3 x + x y y = C e x 2 / 2 − 3 x y ′ = x + y sen ( x ) y ′ = y + 2 x y = C tan ( x 2 ) − 2 x + 4 tan ( x 2 ) ln ( sen ( x 2 ) ) grandes. y ′ = y + e x x y ′ = 3 y + x 2 y = C x 3 − x 2 y ′ + ln x = y x Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales. Utilice su calculadora para dibujar una familia de soluciones. ¿Hay ciertas condiciones iniciales que cambian el comportamiento de la solución? [T] ( x + 2 ) y ′ = 2 y − 1 y = C ( x + 2 ) 2 + 1 2 [T] y ′ = 3 e t / 3 − 2 y [T] x y ′ + y 2 = sen ( 3 t ) grandes. y = C x + 2 sen ( 3 t ) [T] x y ′ = 2 cos x x − 3 y [T] ( x + 1 ) y ′ = 3 y + x 2 + 2 x + 1 y = C ( x + 1 ) 3 − x 2 − 2 x – 1 [T] sen ( x ) y ′ + cos ( x ) y = 2 x [T] x 2 + 1 y ′ = y + 2 y = C e senoh −1 x − 2 [T] x 3 y ′ + 2 x 2 y = x + 1 Resuelva los siguientes problemas de valor inicial utilizando factores de integración. y ′ + y = x , y ( 0 ) = 3 y = x + 4 e x – 1 y ′ = y + 2 x 2 , y ( 0 ) = 0 x y ′ = y − 3 x 3 , y ( 1 ) = 0 y = − 3 x 2 ( x 2 – 1 ) grandes. x 2 y ′ = x y − ln x , y ( 1 ) = 1 ( 1 + x 2 ) y ′ = y − 1 , y ( 0 ) = 0 y = 1 − e tan −1 x x y ′ = y + 2 x ln x , y ( 1 ) = 5 ( 2 + x ) y ′ = y + 2 + x , y ( 0 ) = 0 y = ( x + 2 ) ln ( x + 2 2 ) grandes. y ′ = x y + 2 x e x , y ( 0 ) = 2 x y ′ = y + 2 x , y ( 0 ) = 1 y = 2 e 2 x − 2 x − 2 x – 1 y ′ = 2 y + x e x , y ( 0 ) = –1 Un objeto de masa m que cae puede alcanzar la velocidad límite cuando la fuerza de arrastre es proporcional a su velocidad, con la constante de proporcionalidad k . Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad si la velocidad inicial es 0 . v ( t ) = g m k ( 1 − e − k t / m ) Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? ( Pista: Examine el comportamiento límite; ¿la velocidad se acerca a un valor?) [T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.000 metros si la masa es 100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,8 m/s 2 la constante de proporcionalidad es 4 ? 40,451 segundos Una forma más precisa de describir la velocidad límite es que la fuerza de arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, con una constante de proporcionalidad k . Plantee la ecuación diferencial y calcule la velocidad. Si utilizamos su expresión del problema anterior, ¿cuál es la velocidad límite? ( Pista: Examine el comportamiento límite: ¿la velocidad se aproxima a un valor?) g m k [T] Si utilizamos su ecuación para la velocidad límite, resuelva la distancia caída. Cuánto tiempo tarda en caer 5.000 metros si la masa es 100 kilogramos, la aceleración debida a la gravedad es 9,8 m/s 2 y la constante de proporcionalidad es 4 ? ¿Se tarda más o menos tiempo que su estimación inicial? Para los siguientes problemas, determine cómo el parámetro a afecta a la solución. Resuelva la ecuación genérica y ′ = a x + y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? y = C e x – a ( x + 1 ) Resuelva la ecuación genérica y ′ = a y + x . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? Resuelva la ecuación genérica y ′ = a x + x y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? y = C e x 2 / 2 − a Resuelva la ecuación genérica y ′ = x + a x y . ¿Cómo la variación de a cambia el comportamiento? Resuelva y ′ − y = e k t con la condición inicial y ( 0 ) = 0 . A medida que k se acerca a 1 , ¿qué ocurre con su fórmula? y = e k t − e t k − 1 Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. La ecuación diferencial y ′ = 3 x 2 y − cos ( x ) y ″ es lineal. La ecuación diferencial y ′ = x − y es separable. F Se pueden resolver explícitamente todas las ecuaciones diferenciales de primer orden por separación o por el método de integración de factores. Se puede determinar el comportamiento de todas las ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando campos de direcciones o el método de Euler. T Para los siguientes problemas, halle la solución general de las ecuaciones diferenciales. y ′ = x 2 + 3 e x − 2 x y ′ = 2 x + cos −1 x y ( x ) = 2 x ln ( 2 ) + x cos −1 x – 1 − x 2 + C y ′ = y ( x 2 + 1 ) grandes. y ′ = e − y sen x y ( x ) = ln ( C − cos x ) grandes. y ′ = 3 x − 2 y y ′ = y ln y y ( x ) = e e C + x Para los siguientes problemas, halle la solución del problema de valor inicial. y ′ = 8 x − ln x − 3 x 4 , y ( 1 ) = 5 y ′ = 3 x − cos x + 2 , y ( 0 ) = 4 y ( x ) = 4 + 3 2 x 2 + 2 x − sen x x y ′ = y ( x − 2 ) , y ( 1 ) = 3 y ′ = 3 y 2 ( x + cos x ) , y ( 0 ) = –2 y ( x ) = − 2 1 + 3 ( x 2 + 2 sen x ) grandes. ( x – 1 ) y ′ = y − 2 , y ( 0 ) = 0 y ′ = 3 y − x + 6 x 2 , y ( 0 ) = –1 y ( x ) = –2 x 2 − 2 x – 1 3 − 2 3 e 3 x Para los siguientes problemas, dibuje el campo de direcciones asociado a la ecuación diferencial y luego resuelva la ecuación diferencial. Dibuje una solución de ejemplo en el campo de direcciones. y ′ = 2 y – y 2 y ′ = 1 x + ln x − y , para x > 0 y ( x ) = C e – x + ln x Para los siguientes problemas, utilice el método de Euler con n = 5 pasos sobre el intervalo t = [ 0 , 1 ] . Luego resuelva el problema de valor inicial exactamente. ¿Qué tan cerca está su estimación del Método de Euler? y ′ = –4 y x , y ( 0 ) = 1 y ′ = 3 x − 2 y , y ( 0 ) = 0 Euler: 0,6939 , solución exacta: y ( x ) = 3 x − e −2 x 2 + ln ( 3 ) Para los siguientes problemas, plantee y resuelva las ecuaciones diferenciales. Un auto circula por una autopista, acelerando según a = 5 sen ( π t ) , donde t representa el tiempo en minutos. Calcule la velocidad en cualquier tiempo t , suponiendo que el auto arranca con una velocidad inicial de 60 mph. Se lanza una pelota de masa 2 kilogramos en el aire con una velocidad ascendente de 8 m/s. Calcule exactamente el tiempo que la pelota permanecerá en el aire, suponiendo que la gravedad está dada por g = 9,8 m/s 2 . 40 49 segundos Se deja caer una pelota con una masa de 5 kilogramos por la ventana de un avión a una altura de 5.000 m. ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al suelo? Se deja caer la misma pelota de masa 5 kilogramos por la misma ventana del avión a la misma altura, solo que esta vez se supone una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad de la pelota, utilizando una constante de proporcionalidad de 3 y la pelota alcanza la velocidad límite. Calcule la distancia caída en función del tiempo. ¿Cuánto tarda la pelota en llegar al suelo? x ( t ) = 5.000 + 245 9 − 49 3 t − 245 9 e − 5 / 3 t , t = 307,8 segundos Un fármaco se administra a un paciente cada 24 horas y se elimina a una tasa proporcional a la cantidad de fármaco que queda en el cuerpo, con una constante de proporcionalidad 0,2 . Si el paciente necesita que haya un nivel de referencia de 5 mg en el torrente sanguíneo en todo momento, ¿cuál debe ser la dosis? Un tanque de 1,000 litros contiene agua pura y una solución de 0,2 kg de sal/L se bombea en el tanque a una tasa de 1 L/min y se drena a la misma tasa. Calcule la cantidad total de sal en el tanque en el tiempo t . T ( t ) = 200 ( 1 − e − t / 1.000 ) Se hierve agua para hacer té. Cuando se vierte el agua en la tetera, la temperatura es 100 °C. Después de 5 minutos en su habitación a 15 °C , la temperatura del té es 85 °C. Resuelva la ecuación para determinar las temperaturas del té en el tiempo t . ¿Cuánto tiempo hay que esperar hasta que el té esté a una temperatura que se pueda beber? ( 72 °C )? La población humana (en miles) de Nevada en 1950 fue aproximadamente 160 . Si la capacidad de carga se estima en 10 millones de individuos, y suponiendo una tasa de crecimiento de 2 % por año, desarrolle un modelo de crecimiento logístico y calcule la población de Nevada en cualquier tiempo (utilice 1950 como tiempo = 0). ¿Qué población predice su modelo para 2000 ? ¿Qué tan cerca está su predicción del valor real de 1998257 ? P ( t ) = 1.600.000 e 0,02 t 9840 + 160 e 0,02 t Repita el problema anterior, pero utilice el modelo de crecimiento de Gompertz. ¿Cuál es más preciso? factor de integración cualquier función f ( x ) que se multiplica en ambos lados de una ecuación diferencial para que el lado que implica la función desconocida sea igual a la derivada de un producto de dos funciones lineal descripción de una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma a ( x ) y ′ + b ( x ) y = c ( x ) forma estándar forma de una ecuación diferencial lineal de primer orden que se obtiene al escribir la ecuación diferencial en la forma y ′ + p ( x ) y = q ( x )", "section": "Ecuaciones lineales de primer orden", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción El copo de nieve de Koch se construye mediante un proceso iterativo. A partir de un triángulo equilátero, en cada paso del proceso se elimina el tercio central de cada segmento de línea y se sustituye por un triángulo equilátero que apunta hacia fuera. El copo de nieve de Koch se construye a partir de un número infinito de triángulos equiláteros no superpuestos. En consecuencia, podemos expresar su área como una suma de infinitos términos. ¿Cómo sumamos un número infinito de términos? ¿Puede ser finita una suma de un número infinito de términos? Para responder estas preguntas, debemos introducir el concepto de serie infinita, una suma con infinitos términos. Una vez que se han definido las herramientas necesarias, podremos calcular el área del copo de nieve de Koch (vea el ). El tema de las series infinitas puede parecer ajeno al cálculo diferencial e integral. De hecho, una serie infinita cuyos términos implican potencias de una variable es una herramienta poderosa que podemos utilizar para expresar funciones como \"polinomios infinitos\" Podemos utilizar las series infinitas para evaluar funciones complicadas, aproximar integrales definidas y crear nuevas funciones. Además, las series infinitas se utilizan para resolver ecuaciones diferenciales que modelan el comportamiento físico, desde pequeños circuitos electrónicos hasta satélites en órbita terrestre.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Secuencias En esta sección, introducimos las secuencias y definimos lo que significa que una secuencia converja o diverja. Se muestra cómo calcular los límites de las secuencias que convergen, a menudo utilizando las propiedades de los límites de las funciones discutidas anteriormente. Cerramos esta sección con el teorema de convergencia monótona, una herramienta que podemos utilizar para demostrar que ciertos tipos de secuencias convergen. Terminología de las secuencias Para trabajar con este nuevo tema, necesitamos algunos términos y definiciones nuevos. En primer lugar, una secuencia infinita es una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 , a 3 ,… , a n ,… . Cada uno de los números de la secuencia se llama término. El símbolo n se llama la variable de índice de la secuencia. Utilizamos la notación { a n } n = 1 ∞ , o simplemente { a n } , para denotar esta secuencia. Se utiliza una notación similar para los conjuntos, pero una secuencia es una lista ordenada, mientras que un conjunto no está ordenado. Porque un número determinado a n existe para cada entero positivo n , también podemos definir una secuencia como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Consideremos la lista infinita y ordenada 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ,… . Se trata de una secuencia en la que el primer, segundo y tercer término están dados por a 1 = 2 , a 2 = 4 , y a 3 = 8 . Probablemente pueda ver que los términos de esta secuencia tienen el siguiente patrón: a 1 = 2 1 , a 2 = 2 2 , a 3 = 2 3 , a 4 = 2 4 , y a 5 = 2 5 . Suponiendo que este patrón continúe, podemos escribir el ené simo término de la secuencia por la fórmula explícita a n = 2 n . Utilizando esta notación, podemos escribir esta secuencia como { 2 n } n = 1 ∞ o { 2 n } . También podemos describir esta secuencia de otra manera. Dado que cada término es el doble del término anterior, esta secuencia puede definirse en forma repetida expresando el ené −ésimo término a n en términos del término anterior a n – 1 . En particular, podemos definir esta secuencia como la secuencia { a n } donde a 1 = 2 y para todo n ≥ 2 , cada término a n se define por la relación de recurrencia a n = 2 a n – 1 . Definición Una secuencia infinita { a n } es una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 ,… , a n ,… . El subíndice n se llama la variable de índice de la secuencia. Cada número a n es un término de la secuencia. A veces las secuencias se definen mediante fórmulas explícitas , en cuyo caso a n = f ( n ) para alguna función f ( n ) definido sobre los enteros positivos. En otros casos, las secuencias se definen utilizando una relación de recurrencia . En una relación de recurrencia, un término (o más) de la secuencia se da explícitamente, y los términos subsiguientes se definen en términos de términos anteriores de la secuencia. Tenga en cuenta que el índice no tiene que empezar en n = 1 pero podría empezar con otros enteros. Por ejemplo, una secuencia dada por la fórmula explícita a n = f ( n ) podría empezar en n = 0 , en cuyo caso la secuencia sería a 0 , a 1 , a 2 ,… . Del mismo modo, para una secuencia definida por una relación de recurrencia, el término a 0 puede darse explícitamente, y los términos a n para n ≥ 1 puede definirse en términos de a n – 1 . Ya que una secuencia { a n } tiene exactamente un valor por cada entero positivo n , se puede describir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. En consecuencia, tiene sentido hablar del gráfico de una secuencia. El gráfico de una secuencia { a n } se compone de todos los puntos ( n , a n ) para todos los enteros positivos n . La muestra el gráfico de { 2 n } . Los puntos trazados son un gráfico de la secuencia { 2 n } . Hay dos tipos de secuencias que se dan con frecuencia y que reciben nombres especiales: las secuencias aritméticas y las secuencias geométricas. En una secuencia aritmética , la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma. Por ejemplo, consideremos la secuencia 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,… . Se puede ver que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es 4 . Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia aritmética. Se puede describir utilizando la relación de recurrencia { a 1 = 3 a n = a n – 1 + 4 para n ≥ 2 . Tenga en cuenta que a 2 = 3 + 4 a 3 = 3 + 4 + 4 = 3 + 2 . 4 a 4 = 3 + 4 + 4 + 4 = 3 + 3 . 4 . Así, la secuencia también puede describirse mediante la fórmula explícita a n n = 3 + 4 ( n – 1 ) = 4 n – 1 . En general, una secuencia aritmética es cualquier secuencia de la forma a n = c n + b . En una secuencia geométrica , el cociente de cada par de términos consecutivos es el mismo. Por ejemplo, consideremos la secuencia 2 , − 2 3 , 2 9 , − 2 27 , 2 81 ,… . Vemos que el cociente de cualquier término con el término anterior es − 1 3 . Suponiendo que este patrón continúe, esta secuencia es una secuencia geométrica. Se puede definir de manera repetida como a 1 = 2 a n = − 1 3 . a n – 1 para n ≥ 2 . Como alternativa, ya que a 2 = − 1 3 . 2 a 3 = ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( 2 ) = ( − 1 3 ) 2 . 2 a 4 = ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( − 1 3 ) ( 2 ) = ( − 1 3 ) 3 . 2 , vemos que la secuencia puede describirse utilizando la fórmula explícita a n = 2 ( − 1 3 ) n – 1 . La secuencia { 2 n } que comentamos anteriormente es una secuencia geométrica, donde el cociente de cualquier término con el anterior es 2 . En general, una secuencia geométrica es cualquier secuencia de la forma a n = c r n . Hallar fórmulas explícitas Para cada una de las siguientes secuencias, halle una fórmula explícita para el ené enésimo término de la secuencia. − 1 2 , 2 3 , − 3 4 , 4 5 , − 5 6 ,… 3 4 , 9 7 , 27 10 , 81 13 , 243 16 ,… En primer lugar, hay que tener en cuenta que la secuencia va alternando de negativo a positivo. Los términos impares de la secuencia son negativos y los pares son positivos. Por lo tanto, el ené simo término incluye un factor de ( –1 ) n . A continuación, consideremos la secuencia de numeradores { 1 , 2 , 3 ,… } y la secuencia de denominadores { 2 , 3 , 4 ,… } . Podemos ver que ambas secuencias son aritméticas. El simo término en la secuencia de numeradores es n , y el ené simo término en la secuencia de denominadores es n + 1 . Por lo tanto, la secuencia puede describirse mediante la fórmula explícita a n = ( –1 ) n n n + 1 . La secuencia de numeradores 3 , 9 , 27 , 81 , 243 ,… es una secuencia geométrica. El numerador del ené simo término es 3 n La secuencia de denominadores 4 , 7 , 10 , 13 , 16 ,… es una secuencia aritmética. El denominador del ené simo término es 4 + 3 ( n – 1 ) = 3 n + 1 . Por lo tanto, podemos describir la secuencia mediante la fórmula explícita a n n = 3 n 3 n + 1 . Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia { 1 5 , − 1 7 , 1 9 , − 1 11 ,… } . a n = ( –1 ) n + 1 3 + 2 n Pista Los denominadores forman una secuencia aritmética. Definida por relaciones de recurrencia Para cada una de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, halle una fórmula explícita para la secuencia. a 1 = 2 , a n = −3 a n – 1 para n ≥ 2 a 1 = 1 2 , a n = a n – 1 + ( 1 2 ) n para n ≥ 2 Escribiendo los primeros términos, tenemos a 1 = 2 a 2 = −3 a 1 = −3 ( 2 ) a 3 = −3 a 2 = ( −3 ) 2 2 a 4 = −3 a 3 = ( −3 ) 3 2 . En general, a n = 2 ( −3 ) n – 1 . Escriba los primeros términos: a 1 = 1 2 a 2 = a 1 + ( 1 2 ) 2 = 1 2 + 1 4 = 3 4 a 3 = a 2 + ( 1 2 ) 3 = 3 4 + 1 8 = 7 8 a 4 = a 3 + ( 1 2 ) 4 = 7 8 + 1 16 = 15 16 . A partir de este patrón, derivamos la fórmula explícita a n = 2 n – 1 2 n = 1 − 1 2 n . Halle una fórmula explícita para la secuencia definida de forma repetida tal que a 1 = −4 y a n = a n – 1 + 6 . a n = 6 n − 10 Pista Se trata de una secuencia aritmética. Límite de una secuencia Una cuestión fundamental que se plantea respecto a las secuencias infinitas es el comportamiento de los términos a medida que n se hace más grande. Dado que una secuencia es una función definida sobre los enteros positivos, tiene sentido hablar del límite de los términos como n → ∞ . Por ejemplo, considere las siguientes cuatro secuencias y sus diferentes comportamientos como n → ∞ (vea la ): { 1 + 3 n } = { 4 , 7 , 10 , 13 ,… } . Los términos 1 + 3 n se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ . En este caso, decimos que 1 + 3 n → ∞ a medida que n → ∞ . { 1 − ( 1 2 ) n } = { 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 ,… } . Los términos 1 − ( 1 2 ) n → 1 a medida que n → ∞ . { ( –1 ) n } = { − 1 , 1 , –1 , 1 ,… } . Los términos se alternan pero no se acercan a un único valor a medida que n → ∞ . { ( –1 ) n n } = { −1 , 1 2 , − 1 3 , 1 4 ,… } . Los términos se alternan también para esta secuencia, pero ( –1 ) n n → 0 a medida que n → ∞ . (a) Los términos de la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ . (b) Los términos en la secuencia se aproximan a 1 a medida que n → ∞ . (c) Los términos de la secuencia alternan entre 1 y −1 como n → ∞ . d) Los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos pero se acercan a 0 a medida que n → ∞ . A partir de estos ejemplos, vemos varias posibilidades de comportamiento de los términos de una secuencia a medida que n → ∞ . En dos de las secuencias, los términos se aproximan a un número finito a medida que n → ∞ . En las otras dos secuencias, los términos no lo hacen. Si los términos de una secuencia se acercan a un número finito L como n → ∞ , decimos que la secuencia es una secuencia convergente y el número real L es el límite de la secuencia. Aquí podemos dar una definición informal. Definición Dada una secuencia { a n } , si los términos a n se acercan arbitrariamente a un número finito L como n se hace lo suficientemente grande, decimos { a n } es una secuencia convergente y L es el límite de la secuencia . En este caso, escribimos lím n → ∞ a n = L . Si una secuencia { a n } no es convergente, decimos que es una secuencia divergente . En la , vemos que los términos de la secuencia { 1 − ( 1 2 ) n } se están acercando arbitrariamente a 1 a medida que n se hace muy grande. Concluimos que { 1 − ( 1 2 ) n } es una secuencia convergente y su límite es 1 . En cambio, en la , vemos que los términos de la secuencia 1 + 3 n no se acercan a un número finito a medida que n se hace más grande. Decimos que { 1 + 3 n } es una secuencia divergente. En la definición informal del límite de una secuencia, utilizamos los términos \"arbitrariamente cercano\" y \"suficientemente grande\" Aunque estas frases ayudan a ilustrar el significado de una secuencia convergente, son algo vagas. Para ser más precisos, presentamos ahora la definición más formal de límite para una secuencia y mostramos estas ideas gráficamente en la . Definición Una secuencia { a n } converge a un número real L si para todo ε > 0 , existe un número entero N tal que | a n − L | < ε si n ≥ N . El número L es el límite de la secuencia y escribimos lím n → ∞ a n = L o r a n → L . En este caso, decimos que la secuencia { a n } es una secuencia convergente. Si una sucesión no converge, es una secuencia divergente, y decimos que el límite no existe. Observamos que la convergencia o divergencia de una secuencia { a n } solo depende de lo que ocurra con los términos a n a medida que n → ∞ . Por lo tanto, si un número finito de términos b 1 , b 2 ,… , b N se colocan antes de a 1 para crear una nueva secuencia b 1 , b 2 ,… , b N , a 1 , a 2 ,… , esta nueva secuencia convergerá si { a n } converge y diverge si { a n } diverge. Además, si la secuencia { a n } converge a L , esta nueva secuencia también convergerá a L . A medida que n aumenta, los términos a n se acercan a L . Para los valores de n ≥ N , la distancia entre cada punto ( n , a n ) y la línea y = L es menor que ε . Como se ha definido anteriormente, si una secuencia no converge, se dice que es una secuencia divergente. Por ejemplo, las secuencias { 1 + 3 n } y { ( –1 ) n } que se muestra en la divergen. Sin embargo, diferentes secuencias pueden divergir de diferentes maneras. La secuencia { ( –1 ) n } diverge porque los términos se alternan entre 1 y −1 , pero no se acercan a un valor a medida que n → ∞ . Por otro lado, la secuencia { 1 + 3 n } diverge porque los términos 1 + 3 n → ∞ a medida que n → ∞ . Decimos que la secuencia { 1 + 3 n } diverge al infinito y la escribimos lím n → ∞ ( 1 + 3 n ) = ∞ . Es importante reconocer que esta notación no implica que el límite de la secuencia { 1 + 3 n } existe. La secuencia es, de hecho, divergente. Escribir que el límite es el infinito solo pretende dar más información sobre por qué la secuencia es divergente. Una secuencia también puede divergir hasta el infinito negativo. Por ejemplo, la secuencia { − 5 n + 2 } diverge al infinito negativo porque −5 n + 2 → − ∞ a medida que n → − ∞ . La escribimos como lím n → ∞ ( −5 n + 2 ) = → − ∞ . Como una secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, podemos utilizar las propiedades de los límites de las funciones para determinar si una secuencia converge. Por ejemplo, consideremos una secuencia { a n } y una función correspondiente f definidas en todos los números reales positivos tales que f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ 1 . Dado que el dominio de la secuencia es un subconjunto del dominio de f , si lím x → ∞ f ( x ) existe, entonces la secuencia converge y tiene el mismo límite. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 n } y la función correspondiente f ( x ) = 1 x . Dado que la función f definida en todos los números reales x > 0 satisface f ( x ) = 1 x → 0 cuando x → ∞ , la secuencia { 1 n } debe satisfacer 1 n → 0 a medida que n → ∞ . Límite de una secuencia definida por una función Considere una secuencia { a n } tal que a n = f ( n ) para todo n ≥ 1 . Si existe un número real L tal que lím x → ∞ f ( x ) = L , entonces { a n } converge y lím n → ∞ a n = L . Podemos utilizar este teorema para evaluar lím n → ∞ r n para 0 ≤ r ≤ 1 . Por ejemplo, consideremos la secuencia { ( 1 / 2 ) n } y la función exponencial correspondiente f ( x ) = ( 1 / 2 ) x . Dado que lím x → ∞ ( 1 / 2 ) x = 0 , concluimos que la secuencia { ( 1 / 2 ) n } converge y su límite es 0 . Del mismo modo, para cualquier número real r tal que 0 ≤ r < 1 , lím x → ∞ r x = 0 , y, por tanto, la secuencia { r n } converge. Por otro lado, si r = 1 , entonces lím x → ∞ r x = 1 , y por tanto el límite de la secuencia { 1 n } es 1 . Si r > 1 , lím x → ∞ r x = ∞ , y por lo tanto no podemos aplicar este teorema. Sin embargo, en este caso, al igual que la función r x crece sin límites a medida que n → ∞ , los términos r n en la secuencia se vuelven arbitrariamente grandes a medida que n → ∞ , y concluimos que la secuencia { r n } diverge al infinito si r > 1 . Resumimos estos resultados con respecto a la secuencia geométrica { r n } : r n → 0 si 0 < r < 1 r n → 1 si r = 1 r n → ∞ si r > 1 . Más adelante en esta sección se considera el caso en que r < 0 . Consideramos ahora secuencias un poco más complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia { ( 2 / 3 ) n + ( 1 / 4 ) n } . Los términos de esta secuencia son más complicados que los de otras secuencias que hemos discutido, pero afortunadamente el límite de esta secuencia está determinado por los límites de las dos secuencias { ( 2 / 3 ) n } y { ( 1 / 4 ) n } . Como describimos en las siguientes leyes de límites algebraicos, dado que { ( 2 / 3 ) n } y { 1 / 4 ) n } ambas convergen a 0 , la secuencia { ( 2 / 3 ) n + ( 1 / 4 ) n } converge a 0 + 0 = 0 . Así como pudimos evaluar un límite que implica una combinación algebraica de funciones f y g mirando los límites de f y g (vea Introducción a los límites ), podemos evaluar el límite de una secuencia cuyos términos son combinaciones algebraicas de a n y b n evaluando los límites de { a n } y { b n } . Leyes de límites algebraicos Secuencias dadas { a n } y { b n } y cualquier número real c , si existen constantes A y B tal que lím n → ∞ a n = A y lím n → ∞ b n = B , entonces lím n → ∞ c = c lím n → ∞ c a n = c lím n → ∞ a n = c A lím n → ∞ ( a n ± b n ) = lím n → ∞ a n ± lím n → ∞ b n = A ± B lím n → ∞ ( a n . b n ) = ( lím n → ∞ a n ) . ( lím n → ∞ b n ) = A . B lím n → ∞ ( a n b n ) = lím n → ∞ a n lím n → ∞ b n = A B , siempre que B ≠ 0 y cada b n ≠ 0 . Prueba Demostramos la parte iii. Supongamos que ϵ > 0 . Dado que lím n → ∞ a n = A , existe un número entero positivo constante N 1 tal que | a n – A | < ε 2 para todo n ≥ N 1 . Dado que lím n → ∞ b n = B , existe una constante N 2 tal que | b n − B | < ε / 2 para todo n ≥ N 2 . Supongamos que N es el mayor de N 1 y N 2 . Por lo tanto, para todo n ≥ N , | ( a n + b n ) − ( A + B ) | ≤ | a n − A | + | b n − B | < ε 2 + ε 2 = ε . □ Las leyes de límites algebraicos nos permiten evaluar los límites de muchas secuencias. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 n 2 } . Como se ha mostrado anteriormente, lím n → ∞ 1 / n = 0 . Del mismo modo, para cualquier número entero positivo k , podemos concluir que lím n → ∞ 1 n k = 0 . En el siguiente ejemplo, hacemos uso de este hecho junto con las leyes de límites para evaluar los límites de otras secuencias. Determinar convergencia y calcular límites Para cada una de las siguientes secuencias, determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite. { 5 − 3 n 2 } { 3 n 4 − 7 n 2 + 5 6 − 4 n 4 } { 2 n n 2 } { ( 1 + 4 n ) n } Sabemos que 1 / n → 0 . Utilizando este hecho, concluimos que lím n → ∞ 1 n 2 = lím n → ∞ ( 1 n ) . lím n → ∞ ( 1 n ) = 0 . Por lo tanto, lím n → ∞ ( 5 − 3 n 2 ) = lím n → ∞ 5 − 3 lím n → ∞ 1 n 2 = 5 − 3 . 0 = 5 . La secuencia converge y su límite es 5 . Factorizando n 4 fuera del numerador y del denominador y utilizando las leyes de límites anteriores, tenemos lím n → ∞ 3 n 4 − 7 n 2 + 5 6 − 4 n 4 = lím n → ∞ 3 − 7 n 2 + 5 n 4 6 n 4 − 4 = lím n → ∞ ( 3 − 7 n 2 + 5 n 4 ) lím n → ∞ ( 6 n 4 − 4 ) = ( lím n → ∞ ( 3 ) − lím n → ∞ 7 n 2 + lím n → ∞ 5 n 4 ) ( lím n → ∞ 6 n 4 − lím n → ∞ ( 4 ) ) = ( lím n → ∞ ( 3 ) − 7 . lím n → ∞ 1 n 2 + 5 . lím n → ∞ 1 n 4 ) ( 6 . lím n → ∞ 1 n 4 − lím n → ∞ ( 4 ) ) = 3 − 7 . 0 + 5 . 0 6 . 0 − 4 = − 3 4 . La secuencia converge y su límite es −3 / 4 . Considere la función correspondiente f ( x ) = 2 x / x 2 definida en todos los números reales x > 0 . Dado que 2 x → ∞ y x 2 → ∞ cuando x → ∞ , aplique la regla de L'Hôpital y escriba lím x → ∞ 2 x x 2 = lím x → ∞ 2 x ln 2 2 x Tome las derivadas del numerador y del denominador. = lím x → ∞ 2 x ( ln 2 ) 2 2 Vuelva a tomar las derivadas. = ∞ . Concluimos que la secuencia diverge. Considere la función f ( x ) = ( 1 + 4 x ) x definida en todos los números reales x > 0 . Esta función tiene la forma indeterminada 1 ∞ cuando x → ∞ . Supongamos que y = lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x . Ahora tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación, obtenemos ln ( y ) = ln [ lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x ] . Dado que la función f ( x ) = ln x es continua en su dominio, podemos intercambiar el límite y el logaritmo natural. Por lo tanto, ln ( y ) = lím x → ∞ [ ln ( 1 + 4 x ) x ] . Utilizando las propiedades de los logaritmos, escribimos lím x → ∞ [ ln ( 1 + 4 x ) x ] = lím x → ∞ x ln ( 1 + 4 x ) . Como el lado derecho de esta ecuación tiene la forma indeterminada ∞ . 0 , reescríbala como una fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Escriba lím x → ∞ x ln ( 1 + 4 x ) = lím x → ∞ ln ( 1 + 4 / x ) 1 / x . Como el lado derecho está ahora en la forma indeterminada 0 / 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Concluimos que lím x → ∞ ln ( 1 + 4 / x ) 1 / x = lím x → ∞ 4 1 + 4 / x = 4 . Por lo tanto, ln ( y ) = 4 en tanto que y = e 4 . Por lo tanto, dado que lím x → ∞ ( 1 + 4 x ) x = e 4 , podemos concluir que la secuencia { ( 1 + 4 n ) n } converge a e 4 . Considere la secuencia { ( 5 n 2 + 1 ) / e n } . Determine si la secuencia converge o no. Si converge, calcule su límite. La secuencia converge y su límite es 0 . Pista Use la regla de L'Hôpital. Recordemos que si f es una función continua en un valor L , entonces f ( x ) → f ( L ) cuando x → L . Esta idea se aplica también a las secuencias. Supongamos que una secuencia a n → L , y una función f es continua en L . Entonces f ( a n ) → f ( L ) . Esta propiedad nos permite a menudo hallar límites para secuencias complicadas. Por ejemplo, consideremos la secuencia 5 − 3 n 2 . Del a. conocemos la secuencia 5 − 3 n 2 → 5 . Dado que x es una función continua en x = 5 , lím n → ∞ 5 − 3 n 2 = lím n → ∞ ( 5 − 3 n 2 ) = 5 . Funciones continuas definidas en secuencias convergentes Considere una secuencia { a n } y supongamos que existe un número real L tal que la secuencia { a n } converge a L . Supongamos que f es una función continua en L . Entonces existe un número entero N tal que f se define en todos los valores a n para n ≥ N , y la secuencia { f ( a n ) } converge a f ( L ) ( ). Prueba Supongamos que ϵ > 0 . Dado que f es continua en L , existe δ > 0 tal que | f ( x ) − f ( L ) | < ε si | x − L | < δ . Ya que la secuencia { a n } converge a L , existe N tal que | a n − L | < δ para todo n ≥ N . Por lo tanto, para todo n ≥ N , | a n − L | < δ , lo que implica que | f ( a n ) − f ( L ) | < ε . Concluimos que la secuencia { f ( a n ) } converge a f ( L ) . □ Debido a que f es una función continua a medida que las entradas a 1 , a 2 , a 3 ,… se acercan a L , las salidas f ( a 1 ) , f ( a 2 ) , f ( a 3 ) ,… se acercan a f ( L ) . Límites de funciones continuas definidas en secuencias convergentes Determinar si la secuencia { cos ( 3 / n 2 ) } converge. Si converge, calcule su límite. Dado que la secuencia { 3 / n 2 } converge a 0 y cos x es continua en x = 0 , podemos concluir que la secuencia { cos ( 3 / n 2 ) } converge y lím n → ∞ cos ( 3 n 2 ) = cos ( 0 ) = 1 . Determine si la secuencia { 2 n + 1 3 n + 5 } converge. Si converge, calcule su límite. La secuencia converge y su límite es 2 / 3 . Pista Considere la secuencia { 2 n + 1 3 n + 5 } . Otro teorema que involucra límites de secuencias es una extensión del teorema del emparedado para límites que se discutió en Introducción a los límites . Teorema del emparedado para secuencias Considere las secuencias { a n } , { b n } , y { c n } . Supongamos que existe un número entero N tal que a n ≤ b n ≤ c n para todo n ≥ N . Si existe un número real L tal que lím n → ∞ a n = L = lím n → ∞ c n , entonces { b n } converge y lím n → ∞ b n = L ( ). Prueba Supongamos que ε > 0 . Ya que la secuencia { a n } converge a L , existe un número entero N 1 tal que | a n − L | < ε para todo n ≥ N 1 . Del mismo modo, dado que { c n } converge a L , existe un número entero N 2 tal que | c n − L | < ε para todo n ≥ N 2 . Por supuesto, existe un número entero N tal que a n ≤ b n ≤ c n para todo n ≥ N . Supongamos que M es el mayor de N 1 , N 2 , y N . Debemos demostrar que | b n − L | < ε para todo n ≥ M . Para todo n ≥ M , − ε < − | a n − L | ≤ a n − L ≤ b n − L ≤ c n − L ≤ | c n − L | < ε . Por lo tanto, − ε < b n − L < ε , y concluimos que | b n − L | < ε para todo n ≥ M , y concluimos que la secuencia { b n } converge a L . □ Cada término b n satisface a n ≤ b n ≤ c n y las secuencias { a n } y { c n } convergen al mismo límite, por lo que la secuencia { b n } debe converger también al mismo límite. Utilizar el teorema del emparedado Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias. { cos n n 2 } { ( − 1 2 ) n } Dado que −1 ≤ cos n ≤ 1 para todos los enteros n , tenemos − 1 n 2 ≤ cos n n 2 ≤ 1 n 2 . Dado que −1 / n 2 → 0 y 1 / n 2 → 0 , concluimos que cos n / n 2 → 0 también. Dado que − 1 2 n ≤ ( − 1 2 ) n ≤ 1 2 n para todos los enteros positivos n , −1 / 2 n → 0 y 1 / 2 n → 0 , podemos concluir que ( −1 / 2 ) n → 0 . Calcule lím n → ∞ 2 n − sen n n . 2 Pista Utilice el hecho de que −1 ≤ sen n ≤ 1 . Utilizando la idea del b. concluimos que r n → 0 para cualquier número real r tal que −1 < r < 0 . Si r < − 1 , la secuencia { r n } diverge porque los términos oscilan y se vuelven arbitrariamente más grandes en magnitud. Si r = −1 , la secuencia { r n } = { ( –1 ) n } diverge, como ya se ha comentado. A continuación, un resumen de las propiedades de las secuencias geométricas. r n → 0 si | r | < 1 r n → 1 si r = 1 r n → ∞ si r > 1 { r n } diverge si r ≤ − 1 Secuencias delimitadas Ahora nos centraremos en uno de los teoremas más importantes sobre las secuencias: el teorema de convergencia monótona. Antes de enunciar el teorema, debemos introducir algo de terminología y motivación. Empezamos por definir lo que significa que una secuencia esté delimitada. Definición Una secuencia { a n } está delimitada por encima si existe un número real M tal que a n ≤ M para todos los enteros positivos n . Una secuencia { a n } está delimitada por debajo si existe un número real M tal que M ≤ a n para todos los enteros positivos n . Una secuencia { a n } es una secuencia delimitada si está delimitada por encima y por debajo. Si una secuencia no está delimitada, es una secuencia no delimitada . Por ejemplo, la secuencia { 1 / n } está delimitada por encima porque 1 / n ≤ 1 para todos los enteros positivos n . También está delimitada por debajo porque 1 / n ≥ 0 para todos los enteros positivos n. Por lo tanto, { 1 / n } es una secuencia delimitada. Por otro lado, consideremos la secuencia { 2 n } . Dado que 2 n ≥ 2 para todo n ≥ 1 , la secuencia está delimitada por debajo. Sin embargo, la secuencia no está delimitada por encima. Por lo tanto, { 2 n } es una secuencia no delimitada. Ahora discutimos la relación entre la delimitación y la convergencia. Supongamos que una secuencia { a n } no está delimitada. Entonces no está delimitada por encima, o no está delimitada por debajo, o por ninguna de las dos partes. En cualquier caso, hay términos a n que son arbitrariamente grandes en magnitud a medida que n se hace más grande. Como resultado, la secuencia { a n } no puede converger. Por lo tanto, estar delimitada es una condición necesaria para que una secuencia converja. Las secuencias convergentes están delimitadas Si una secuencia { a n } converge, entonces está delimitada. Observe que el hecho de que una secuencia esté delimitada no es condición suficiente para que una secuencia converja. Por ejemplo, la secuencia { ( –1 ) n } está delimitada, pero la secuencia diverge porque la secuencia oscila entre 1 y −1 y nunca se acerca a un número finito. Ahora discutimos una condición suficiente (pero no necesaria) para que una secuencia delimitada converja. Consideremos una secuencia delimitada { a n } . Supongamos que la secuencia { a n } es creciente. Es decir, a 1 ≤ a 2 ≤ a 3 … . Como la secuencia es creciente, los términos no son oscilantes. Por lo tanto, hay dos posibilidades. La secuencia podría divergir hasta el infinito, o podría converger. Sin embargo, dado que la secuencia está delimitada, está delimitada por encima y la secuencia no puede divergir al infinito. Concluimos que { a n } converge. Por ejemplo, consideremos la secuencia { 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,… } . Como esta secuencia es creciente y delimitada por encima, converge. A continuación, consideremos la secuencia { 2 , 0 , 3 , 0 , 4 , 0 , 1 , − 1 2 , − 1 3 , − 1 4 ,… } . Aunque la secuencia no es creciente para todos los valores de n , vemos que −1 / 2 < − 1 / 3 < − 1 / 4 < ⋯ . Por lo tanto, a partir del octavo término, a 8 = −1 / 2 , la secuencia es creciente. En este caso, decimos que la secuencia es eventualmente creciente. Como la secuencia está delimitada por encima, converge. También es cierto que si una secuencia es decreciente (o eventualmente decreciente) y delimitada por debajo, también converge. Definición Una secuencia { a n } es creciente para todo n ≥ n 0 si a n ≤ a n + 1 para todo n ≥ n 0 . Una secuencia { a n } es decreciente para todo n ≥ n 0 si a n ≥ a n + 1 para todo n ≥ n 0 . Una secuencia { a n } es una secuencia monótona para todo n ≥ n 0 si es creciente para todo n ≥ n 0 o decreciente para todo n ≥ n 0 . Ahora tenemos las definiciones necesarias para enunciar el teorema de convergencia monótona, que da una condición suficiente para la convergencia de una secuencia. Teorema de convergencia monótona Si { a n } es una secuencia delimitada y existe un número entero positivo n 0 tal que { a n } es monótona para todo n ≥ n 0 , entonces { a n } converge. La demostración de este teorema está fuera del alcance de este texto. En su lugar, proporcionamos un gráfico para mostrar intuitivamente por qué este teorema tiene sentido ( ). Dado que la secuencia { a n } es creciente y delimitada por encima, debe converger. En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede utilizar el teorema de convergencia monótona para demostrar la convergencia de una secuencia. Uso del teorema de convergencia monótona Para cada una de las siguientes secuencias, utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que la secuencia converge y calcule su límite. { 4 n n ! } { a n } definidas de forma repetida tal que a 1 = 2 y a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n para todo n ≥ 2 . Escribiendo los primeros términos, vemos que { 4 n n ! } = { 4 , 8 , 32 3 , 32 3 , 128 15 ,… } . Al principio, los términos aumentan. Sin embargo, a partir del tercer término, los términos disminuyen. De hecho, los términos disminuyen para todo n ≥ 3 . Podemos demostrarlo de la siguiente manera. a n + 1 = 4 n + 1 ( n + 1 ) ! = 4 n + 1 . 4 n n ! = 4 n + 1 . a n ≤ a n i f n ≥ 3 . Por lo tanto, la secuencia es decreciente para todo n ≥ 3 . Además, la secuencia está delimitada por 0 porque 4 n / n ! ≥ 0 para todos los enteros positivos n . Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia converge. Para calcular el límite, utilizamos el hecho de que la secuencia converge y suponemos que L = lím n → ∞ a n . Ahora, tenga en cuenta esta importante observación. Considere lím n → ∞ a n + 1 . Dado que { a n + 1 } = { a 2 , a 3 , a 4 ,… } , la única diferencia entre las secuencias { a n + 1 } y { a n } es que { a n + 1 } omite el primer término. Dado que un número finito de términos no afecta a la convergencia de una secuencia, lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ a n = L . Combinando este hecho con la ecuación a n + 1 = 4 n + 1 a n y tomando el límite de ambos lados de la ecuación lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ 4 n + 1 a n , podemos concluir que L = 0 . L = 0 . Escribiendo los primeros términos, { 2 , 5 4 , 41 40 , 3281 3280 ,… } . podemos conjeturar que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo por 1 . Para demostrar que la secuencia está delimitada por debajo de 1 , podemos demostrar que a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 . Para demostrarlo, primero hay que reescribir a n 2 + 1 2 a n = a n 2 + 1 2 a n . Dado que a 1 > 0 y a 2 se define como una suma de términos positivos, a 2 > 0 . Del mismo modo, todos los términos a n > 0 . Por lo tanto, a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 si y solo si a n 2 + 1 ≥ 2 a n . Reescribiendo la inecuación a n 2 + 1 ≥ 2 a n como a n 2 − 2 a n + 1 ≥ 0 , y utilizando el hecho de que a n 2 − 2 a n + 1 = ( a n – 1 ) 2 ≥ 0 porque el cuadrado de cualquier número real es no negativo, podemos concluir que a n 2 + 1 2 a n ≥ 1 . Para demostrar que la secuencia es decreciente, debemos demostrar que a n + 1 ≤ a n para todo n ≥ 1 . Dado que 1 ≤ a n 2 , se deduce que a n 2 + 1 ≤ 2 a n 2 . Dividiendo ambos lados entre 2 a n , obtenemos a n 2 + 1 2 a n ≤ a n . Utilizando la definición de a n + 1 , concluimos que a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n ≤ a n . Dado que { a n } está delimitada por debajo y es decreciente, por el teorema de convergencia monótona, converge. Para calcular el límite, supongamos que L = lím n → ∞ a n . Entonces, utilizando la relación de recurrencia y el hecho de que lím n → ∞ a n = lím n → ∞ a n + 1 , tenemos lím n → ∞ a n + 1 = lím n → ∞ ( a n 2 + 1 2 a n ) , y por lo tanto L = L 2 + 1 2 L . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por 2 L , llegamos a la ecuación 2 L 2 = L 2 + 1 . Si resolvemos esta ecuación para L , concluimos que L 2 = 1 , lo que implica que L = ± 1 . Como todos los términos son positivos, el límite L = 1 . Considere la secuencia { a n } definida de forma repetida de manera que a 1 = 1 , a n = a n – 1 / 2 . Utilice el teorema de convergencia monótona para demostrar que esta secuencia converge y calcule su límite. 0 . Pista Demuestre que la secuencia es decreciente y está delimitada por debajo. Serie de Fibonacci La serie de Fibonacci está definida de forma repetida por la secuencia { F n } donde F 0 = 0 , F 1 = 1 y para n ≥ 2 , F n = F n – 1 + F n – 2 . Aquí veremos las propiedades de la serie de Fibonacci. Escriba los veinte primeros números de la serie de Fibonacci. Halle una fórmula cerrada para la secuencia de Fibonacci mediante los siguientes pasos. Considere la secuencia definida de forma repetida { x n } donde x o = c y x n + 1 = a x n . Demuestre que esta secuencia puede describirse mediante la fórmula cerrada x n = c a n para todo n ≥ 0 . Utilizando el resultado de la parte a. como motivación, halle una solución de la ecuación F n = F n – 1 + F n – 2 de la forma F n = c λ n . Determine cuáles dos valores para λ permitirán que F n satisfaga esta ecuación. Considere las dos soluciones de la parte b.: λ 1 y λ 2 . Supongamos que F n = c 1 λ 1 n + c 2 λ 2 n . Utilice las condiciones iniciales F 0 y F 1 para determinar los valores de las constantes c 1 y c 2 y escriba la fórmula cerrada F n . Utilice la respuesta en 2 c. para demostrar que lím n → ∞ F n + 1 F n = 1 + 5 2 . El número ϕ = ( 1 + 5 ) / 2 se conoce como el numero áureo ( y ) Las semillas de un girasol presentan patrones en espiral que se curvan hacia la izquierda y hacia la derecha. El número de espirales en cada dirección es siempre un número de Fibonacci (créditos: modificación del trabajo de Esdras Calderan, Wikimedia Commons). El número áureo aparece en muchos ejemplos famosos de arte y arquitectura. El antiguo templo griego conocido como el Partenón fue diseñado con estas proporciones, y la proporción aparece de nuevo en muchos de los detalles más pequeños (créditos: modificación del trabajo de TravelingOtter, Flickr). Conceptos clave Para determinar la convergencia de una secuencia dada por una fórmula explícita a n = f ( n ) , utilizamos las propiedades de los límites de las funciones. Si { a n } y { b n } son secuencias convergentes que convergen a A y B , respectivamente, y c es un número real cualquiera, entonces la secuencia { c a n } converge a c . A , las secuencias { a n ± b n } convergen a A ± B , la secuencia { a n . b n } converge a A . B , y la secuencia { a n / b n } converge a A / B , siempre que B ≠ 0 . Si una secuencia está delimitada y monótona, entonces converge, pero no todas las secuencias convergentes son monótonas. Si una secuencia está delimitada, diverge, pero no todas las secuencias divergentes no están delimitadas. La secuencia geométrica { r n } converge si y solo si | r | < 1 o r = 1 . Halle los seis primeros términos de cada una de las siguientes secuencias, empezando por n = 1 . a n = 1 + ( –1 ) n para n ≥ 1 a n = 0 si n es impar y a n = 2 si n es par a n = n 2 – 1 para n ≥ 1 a 1 = 1 y a n = a n – 1 + n para n ≥ 2 { a n } = { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 ,… } a 1 = 1 , a 2 = 1 y a n + 2 = a n + a n + 1 para n ≥ 1 Halle una fórmula explícita para a n donde a 1 = 1 y a n = a n – 1 + n para n ≥ 2 . a n = n ( n + 1 ) 2 Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a 1 = 1 tal que a n + 1 − a n = 17 para n ≥ 1 . Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia aritmética cuyo primer término es a 1 = −3 tal que a n + 1 − a n = 4 para n ≥ 1 . a n = 4 n − 7 Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a 1 = 1 tal que a n + 1 a n = 10 para n ≥ 1 . Halle una fórmula a n para el ené simo término de la secuencia geométrica cuyo primer término es a 1 = 3 tal que a n + 1 a n = 1 / 10 para n ≥ 1 . a n = 3,10 1 − n = 30,10 − n Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia cuyos primeros términos son { 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , 35 , 48 , 63 , 80 , 99 ,… } . ( Pista: Primero añada uno a cada término). Halle una fórmula explícita para el ené simo término de la secuencia que satisface a 1 = 0 y a n = 2 a n – 1 + 1 para n ≥ 2 . a n = 2 n – 1 − 1 Halle una fórmula para el término general a n de cada una de las siguientes secuencias. { 1 , 0 , –1 , 0 , 1 , 0 , –1 , 0 ,… } ( Pista: Halle el valor donde sen x toma estos valores) { 1 , − 1 / 3 , 1 / 5 , − 1 / 7 ,… } a n = ( –1 ) n – 1 2 n – 1 Calcule una función f ( n ) que identifique el ené −ésimo término a n de las siguientes secuencias definidas de forma repetida, como a n = f ( n ) . a 1 = 1 y a n + 1 = − a n para n ≥ 1 a 1 = 2 y a n + 1 = 2 a n para n ≥ 1 f ( n ) = 2 n a 1 = 1 y a n + 1 = ( n + 1 ) a n para n ≥ 1 a 1 = 2 y a n + 1 = ( n + 1 ) a n / 2 para n ≥ 1 f ( n ) = n ! / 2 n – 2 a 1 = 1 y a n + 1 = a n / 2 n para n ≥ 1 Grafique los primeros N términos de cada secuencia. Indique si la evidencia gráfica sugiere que la secuencia converge o diverge. [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , y para n ≥ 2 , a n = 1 2 ( a n – 1 + a n – 2 ) ; N = 30 Los términos oscilan por encima y por debajo de 5 / 3 y parecen converger a 5 / 3 . [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 y para n ≥ 4 , a n = 1 3 ( a n – 1 + a n – 2 + a n − 3 ) , N = 30 [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , y para n ≥ 3 , a n = a n – 1 a n – 2 ; N = 30 Los términos oscilan por encima y por debajo de y ≈ 1,57 ... y parecen converger a un límite. [T] a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , y para n ≥ 4 , a n = a n – 1 a n – 2 a n − 3 ; N = 30 Supongamos que lím n → ∞ a n = 1 , lím n → ∞ b n = −1 , y 0 < − b n < a n para todo n . Evalúe cada uno de los siguientes límites, o afirme que el límite no existe, o afirme que no hay suficiente información para determinar si el límite existe. lím n → ∞ ( 3 a n − 4 b n ) grandes. 7 lím n → ∞ ( 1 2 b n – 1 2 a n ) grandes. lím n → ∞ a n + b n a n − b n 0 lím n → ∞ a n − b n a n + b n Calcule el límite de cada una de las siguientes secuencias, utilizando la regla de L'Hôpital cuando sea adecuado. n 2 2 n 0 ( n – 1 ) 2 ( n + 1 ) 2 n n + 1 1 n 1 / n ( Pista: n 1 / n = e 1 n ln n ) Para cada una de las siguientes secuencias, cuyos ené −ésimos se indican, especifique si la secuencia está delimitada y si es eventualmente monótona, creciente o decreciente. n / 2 n , n ≥ 2 delimitada, decreciente para n ≥ 1 ln ( 1 + 1 n ) grandes. sen n delimitada, no monótona cos ( n 2 ) grandes. n 1 / n , n ≥ 3 delimitada, decreciente n −1 / n , n ≥ 3 tan n no monótona, no delimitada Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite. a 1 = 2 , a 2 = 2 2 , a 3 = 2 2 2 etc. Determine si la secuencia definida de la siguiente forma tiene un límite. Si lo tiene, calcule el límite. a 1 = 3 , a n = 2 a n – 1 , n = 2 , 3 ,… . a n es decreciente y está delimitada por debajo de 2 . El límite a debe satisfacer a = 2 a así que a = 2 , independiente del valor inicial. Utilice el teorema del emparedado para calcular el límite de cada una de las siguientes secuencias. n sen ( 1 / n ) grandes. cos ( 1 / n ) − 1 1 / n 0 a n = n ! n n a n = sen n sen ( 1 / n ) grandes. 0 : | sen x | ≤ | x | y | sen x | ≤ 1 así que − 1 n ≤ a n ≤ 1 n ) . Para las siguientes secuencias, grafique los primeros 25 términos de la secuencia y diga si la evidencia gráfico sugiere que la secuencia converge o diverge. [T] a n = sen n [T] a n = cos n El gráfico oscila y no sugiere ningún límite. Determine el límite de la secuencia o demuestre que la secuencia diverge. Si converge, calcule su límite. a n = tan –1 ( n 2 ) grandes. a n = ( 2 n ) 1 / n − n 1 / n n 1 / n → 1 y 2 1 / n → 1 , así que a n → 0 a n = ln ( n 2 ) ln ( 2 n ) grandes. a n = ( 1 − 2 n ) n Dado que ( 1 + 1 / n ) n → e , se tiene ( 1 − 2 / n ) n ≈ ( 1 + k ) −2 k → e −2 como k → ∞ . a n = ln ( n + 2 n 2 − 3 ) grandes. a n = 2 n + 3 n 4 n 2 n + 3 n ≤ 2 . 3 n y 3 n / 4 n → 0 a medida que n → ∞ , así que a n → 0 a medida que n → ∞ . a n = ( 1.000 ) n n ! a n = ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! a n + 1 a n = n ! / ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( 2 n ) = 1 . 2 . 3 ⋯ n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ⋯ ( 2 n ) < 1 / 2 n . En particular, a n + 1 / a n ≤ 1 / 2 , así que a n → 0 a medida que n → ∞ . El método de Newton busca aproximar una solución f ( x ) = 0 que parte de una aproximación inicial x 0 y define sucesivamente una secuencia x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) . Para la elección dada de f y x 0 , escriba la fórmula para x n + 1 . Si la secuencia parece converger, escriba una fórmula exacta para la solución x , luego identifique el límite x con una precisión de cuatro decimales y el n más pequeño n tal que x n coincida con x hasta cuatro decimales. [T] f ( x ) = x 2 − 2 , x 0 = 1 [T] f ( x ) = ( x – 1 ) 2 − 2 , x 0 = 2 x n + 1 = x n − ( ( x n – 1 ) 2 − 2 ) / 2 ( x n – 1 ) ; x = 1 + 2 , x ≈ 2,4142 , n = 5 [T] f ( x ) = e x − 2 , x 0 = 1 [T] f ( x ) = ln x – 1 , x 0 = 2 x n + 1 = x n – x n ( ln ( x n ) − 1 ) ; x = e , x ≈ 2,7183 , n = 5 [T] Supongamos que comienza con un litro de vinagre y remueve repetidamente 0,1 L, sustituye con agua, mezcla y repite. Halle una fórmula para la concentración después de n pasos. ¿Después de cuántos pasos la mezcla contiene menos de 10 % de vinagre? [T] Un lago contiene inicialmente 2000 peces. Supongamos que en ausencia de depredadores u otras causas de eliminación, la población de peces aumenta en 6 % cada mes. Sin embargo, teniendo en cuenta todas las causas, 150 peces se pierden cada mes. Explique por qué la población de peces después de n meses está modelada por P n = 1,06 P n – 1 − 150 con P 0 = 2000 . ¿Cuántos peces habrá en el estanque después de un año? a. Sin pérdidas, la población obedecería P n = 1,06 P n – 1 . La sustracción de 150 contabiliza las pérdidas de peces. b. Después de 12 meses, tenemos P 12 ≈ 1.494 . [T] Una cuenta bancaria gana 5 % de intereses compuestos mensualmente. Supongamos que se deposita inicialmente $ 1.000 en la cuenta, pero que se retiran $ 10 cada mes. Demuestre que el saldo de la cuenta después de n meses es A n = ( 1 + 0,05 / 12 ) A n – 1 − 10 ; A 0 = 1.000 dólares. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de 1 año? ¿El saldo aumenta o disminuye? Supongamos que en vez de $ 10 dólares, una cantidad fija de d dólares se retira cada mes. Halle un valor de d de manera que el saldo de la cuenta después de cada mes siga siendo $ 1.000 dólares. ¿Qué pasa si d es mayor que este saldo? [T] Un estudiante pide un préstamo universitario de $ 10.000 a una tasa anual equivalente de 6 % , compuesto mensualmente. Si el estudiante realiza pagos de $ 100 al mes, ¿cuánto debe el estudiante después de 12 meses? ¿Después de cuántos meses se pagará el préstamo? a. El estudiante debe $ 9.383 después de 12 meses. b. El préstamo se pagará en su totalidad después de 139 meses u once años y medio. [T] Considere una serie que combina el crecimiento geométrico y la disminución aritmética. Supongamos que a 1 = 1 . Establezca a > 1 y 0 < b < a . Establezca a n + 1 = a . a n − b . Halle una fórmula para a n + 1 en términos de a n , a , y b y una relación entre a y b tal que a n converge. [T] La representación binaria x = 0 . b 1 b 2 b 3 ... de un número x entre 0 y 1 puede definirse de la siguiente forma. Supongamos que b 1 = 0 si x < 1 / 2 y b 1 = 1 si 1 / 2 ≤ x < 1 . Supongamos que x 1 = 2 x − b 1 . Supongamos que b 2 = 0 si x 1 < 1 / 2 y b 2 = 1 si 1 / 2 ≤ x < 1 . Supongamos que x 2 = 2 x 1 − b 2 y en general, x n = 2 x n – 1 − b n y b n – 1 = 0 si x n < 1 / 2 y b n – 1 = 1 si 1 / 2 ≤ x n < 1 . Calcule la expansión binaria de 1 / 3 . b 1 = 0 , x 1 = 2 / 3 , b 2 = 1 , x 2 = 4 / 3 − 1 = 1 / 3 , para que el patrón se repita, y 1 / 3 = 0,010101 … . [T] Para calcular una aproximación para π , establezca a 0 = 2 + 1 , a 1 = 2 + a 0 , y, en general, a n + 1 = 2 + a n . Por último, establezca p n = 3,2 n 2 − a n . Halle los diez primeros términos de p n y compare los valores con π . En los dos ejercicios siguientes, suponga que tiene acceso a un programa de computadora o un recurso en internet que puede generar una lista de ceros y unos de la longitud que desee. Los generadores de números pseudoaleatorios (Pseudorandom number generator, PRNG) desempeñan un papel importante en la simulación del ruido aleatorio en los sistemas físicos, ya que crean secuencias de ceros y unos que parecen el resultado de lanzar una moneda repetidamente. Uno de los tipos más simples de PRNG define de forma repetida una secuencia de aspecto aleatorio de N enteros a 1 , a 2 ,… , a N fijando dos enteros especiales K y M y suponiendo que a n + 1 es el resto después de dividir K . a n en M , crea entonces una secuencia de bits de ceros y unos cuyo ené −ésimo término b n es igual a uno si a n es impar e igual a cero si a n es par. Si los bits b n son pseudoaleatorios, entonces el comportamiento de su promedio ( b 1 + b 2 + ⋯ + b N ) / N debe ser similar al comportamiento de los promedios de los bits realmente generados al azar. [T] A partir de K = 16.807 y M = 2.147.483.647 , utilizando diez valores iniciales diferentes de a 1 , calcule secuencias de bits b n hasta n = 1.000 , y compare sus promedios con diez secuencias de este tipo generadas por un generador de bits aleatorio. Para los valores iniciales a 1 = 1 , a 2 = 2 ,… , a 1 = 10 , los correspondientes promedios de bits calculados por el método indicado son 0,5220 , 0,5000 , 0,4960 , 0,4870 , 0,4860 , 0,4680 , 0,5130 , 0,5210 , 0,5040 , y 0,4840 . Aquí hay un ejemplo de diez promedios correspondientes de cadenas de 1.000 bits generados por un generador de números aleatorios 0,4880 , 0,4870 , 0,5150 , 0,5490 , 0,5130 , 0,5180 , 0,4860 , 0,5030 , 0,5050 , 0,4980 . No hay un patrón real en ninguno de los dos tipos de promedio. Los promedios generados por números aleatorios oscilan entre 0,4860 y 0,5490 , un rango de 0,0630 , mientras que los promedios de bits de PRNG calculados oscilan entre 0,4680 y 0,5220 , un rango de 0,0540 . [T] Halle los primeros 1.000 dígitos de π utilizando un programa de computadora o un recurso en Internet. Cree una secuencia de bits b n suponiendo que b n = 1 si el ené simo dígito de π es impar y b n = 0 si el ené simo dígito de π es par. Calcule el valor promedio de b n y el valor promedio de d n = | b n + 1 − b n | , n = 1 ,... , 999 . ¿La secuencia b n parece aleatoria? ¿Las diferencias entre los elementos sucesivos de b n parece aleatoria? secuencia aritmética una secuencia en la que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es la misma, se llama secuencia aritmética delimitada por encima de una secuencia { a n } está delimitada por encima si existe una constante M tal que a n ≤ M para todos los enteros positivos n delimitada por debajo una secuencia { a n } está delimitada por debajo si existe una constante M tal que M ≤ a n para todos los enteros positivos n secuencia delimitada una secuencia { a n } está delimitada si existe una constante M tal que | a n | ≤ M para todos los enteros positivos n secuencia convergente una secuencia convergente es una secuencia { a n } para la que existe un número real L tal que a n está arbitrariamente cerca de L siempre y cuando n es lo suficientemente grande secuencia divergente una secuencia que no es convergente, es divergente fórmula explícita una secuencia puede ser definida por una fórmula explícita tal que a n = f ( n ) secuencia geométrica una secuencia { a n } , en la que la relación a n + 1 / a n es la misma para todos los enteros positivos, n se llama secuencia geométrica variable de índice el subíndice utilizado para definir los términos de una secuencia se llama índice límite de una secuencia el número real L a la que converge una secuencia se llama límite de la secuencia secuencia monótona una secuencia creciente o decreciente relación de recurrencia una relación de recurrencia es una relación en la que un término a n en una secuencia se define en términos de términos anteriores en la secuencia secuencia una lista ordenada de números de la forma a 1 , a 2 , a 3 ,… es una secuencia término el número a n en la secuencia { a n } se llama el ené simo término de la secuencia secuencia no delimitada una secuencia que no está delimitada se llama no delimitada", "section": "Secuencias", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Serie infinita Hemos visto que una secuencia es un conjunto ordenado de términos. Si se suman estos términos, se obtiene una serie. En esta sección definimos una serie infinita y mostramos cómo las series están relacionadas con las secuencias. También definimos lo que significa que una serie converja o diverja. Introducimos uno de los tipos más importantes de series: las series geométricas. En el próximo capítulo utilizaremos las series geométricas para escribir ciertas funciones como polinomios con un número infinito de términos. Este proceso es importante porque nos permite evaluar, diferenciar e integrar funciones complicadas utilizando polinomios que son más fáciles de manejar. También discutimos la serie armónica, posiblemente la serie divergente más interesante porque simplemente no converge. Sumas y series Una serie infinita es una suma de infinitos términos y se escribe de la forma ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ . ¿Pero qué significa esto? No podemos sumar un número infinito de términos de la misma manera que podemos sumar un número finito de términos. En cambio, el valor de una serie infinita se define en términos del límite de las sumas parciales. Una suma parcial de una serie infinita es una suma finita de la forma ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k . Para ver cómo utilizamos las sumas parciales para evaluar series infinitas, considere el siguiente ejemplo. Supongamos que el petróleo se filtra en un lago de tal manera que 1.000 galones entran en el lago la primera semana. Durante la segunda semana, 500 galones adicionales de petróleo entran en el lago. La tercera semana, 250 más galones entra en el lago. Supongamos que este patrón se mantiene de forma que cada semana entra en el lago la mitad de petróleo que la semana anterior. Si esto continúa para siempre, ¿qué podemos decir de la cantidad de petróleo en el lago? ¿Seguirá aumentando la cantidad de petróleo de forma arbitraria o es posible que se acerque a una cantidad finita? Para responder esta pregunta, observamos la cantidad de petróleo en el lago después de k semanas. Suponiendo que S k denota la cantidad de petróleo en el lago (medido en miles de galones) tras k semanas, vemos que S 1 = 1 S 2 = 1 + 0,5 = 1 + 1 2 S 3 = 1 + 0,5 + 0,25 = 1 + 1 2 + 1 4 S 4 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 S 5 = 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 . Observando este patrón, vemos que la cantidad de petróleo en el lago (en miles de galones) tras k semanas es S k = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ + 1 2 k − 1 = ∑ n = 1 k ( 1 2 ) n – 1 . Nos interesa lo que ocurre a medida que k → ∞ . Simbólicamente, la cantidad de petróleo en el lago a medida que k → ∞ está dada por la serie infinita ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ . Al mismo tiempo, a medida que k → ∞ , la cantidad de petróleo en el lago puede calcularse evaluando lím k → ∞ S k . Por lo tanto, el comportamiento de la serie infinita se puede determinar observando el comportamiento de la secuencia de sumas parciales { S k } . Si la secuencia de sumas parciales { S k } converge, decimos que la serie infinita converge, y su suma está dada por lím k → ∞ S k . Si la secuencia { S k } diverge, decimos que la serie infinita diverge. Ahora nos centramos en determinar el límite de esta secuencia { S k } . En primer lugar, simplificando algunas de estas sumas parciales, vemos que S 1 = 1 S 2 = 1 + 1 2 = 3 2 S 3 = 1 + 1 2 + 1 4 = 7 4 S 4 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 = 15 8 S 5 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 = 31 16 . Trazando algunos de estos valores en la , parece que la secuencia { S k } podría acercarse a 2. El gráfico muestra la secuencia de sumas parciales { S k } . Parece que la secuencia se acerca al valor 2 . Busquemos pruebas más convincentes. En la siguiente tabla, enumeramos los valores de S k para varios valores de k . k 5 10 15 20 S k 1,9375 1,998 1,999939 1,999998 Estos datos aportan más pruebas que sugieren que la secuencia { S k } converge a 2 . Más adelante proporcionaremos un argumento analítico que puede utilizarse para demostrar que lím k → ∞ S k = 2 . Por ahora, nos basamos en los datos numéricos y gráficos para convencernos de que la secuencia de sumas parciales converge realmente a 2 . Como esta secuencia de sumas parciales converge a 2 , decimos que la serie infinita converge a 2 y escribimos ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 2 . Volviendo a la pregunta sobre el petróleo en el lago, como esta serie infinita converge a 2 , concluimos que la cantidad de petróleo en el lago se acercará arbitrariamente a 2000 galones a medida que el tiempo es lo suficientemente grande. Esta serie es un ejemplo de serie geométrica. Más adelante hablaremos de las series geométricas con más detalle. En primer lugar, resumimos lo que significa que una serie infinita converja. Definición Una serie infinita es una expresión de la forma ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ . Para cada número entero positivo k , la suma S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k se llama k enésimo suma parcial de la serie infinita. Las sumas parciales forman una secuencia { S k } . Si la secuencia de sumas parciales converge a un número real S , la serie infinita converge. Si podemos describir la convergencia de una serie a S , llamamos S la suma de la serie, y escribimos ∑ n = 1 ∞ a n = S . Si la secuencia de sumas parciales diverge, tenemos la divergencia de una serie . Tenga en cuenta que el índice de una serie no tiene por qué empezar por n = 1 sino que puede comenzar con cualquier valor. Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 también puede escribirse como ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 ) n o ∑ n = 5 ∞ ( 1 2 ) n − 5 . A menudo es conveniente que el índice comience en 1 , por lo que si por alguna razón comienza en un valor diferente, podemos cambiar el índice haciendo un cambio de variables. Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Introduciendo la variable m = n – 1 , por lo que n = m + 1 , podemos reescribir la serie como ∑ m = 1 ∞ 1 ( m + 1 ) 2 . Evaluación de límites de secuencias de sumas parciales Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ n n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = 1 2 S 2 = 1 2 + 2 3 S 3 = 1 2 + 2 3 + 3 4 S 4 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 . Observe que cada término añadido es mayor que 1 / 2 . Como resultado, vemos que S 1 = 1 2 S 2 = 1 2 + 2 3 > 1 2 + 1 2 = 2 ( 1 2 ) S 3 = 1 2 + 2 3 + 3 4 > 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3 ( 1 2 ) S 4 = 1 2 + 2 3 + 3 4 + 4 5 > 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 4 ( 1 2 ) . De este patrón podemos ver que S k > k ( 1 2 ) para cada número entero k . Por lo tanto, { S k } no está delimitada y, en consecuencia, es divergente. Por lo tanto, la serie infinita ∑ n = 1 ∞ n / ( n + 1 ) diverge. La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = −1 S 2 = −1 + 1 = 0 S 3 = −1 + 1 − 1 = −1 S 4 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 . De este patrón podemos ver que la secuencia de sumas parciales es { S k } = { −1 , 0 , –1 , 0 ,… } . Como esta secuencia diverge, la serie infinita ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n diverge. La secuencia de sumas parciales { S k } satisface S 1 = 1 1 . 2 = 1 2 S 2 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 = 1 2 + 1 6 = 2 3 S 3 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 = 1 2 + 1 6 + 1 12 = 3 4 S 4 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 + 1 4 . 5 = 4 5 S 5 = 1 1 . 2 + 1 2 . 3 + 1 3 . 4 + 1 4 . 5 + 1 5 . 6 = 5 6 . A partir de este patrón, podemos ver que la k −ésimo suma parcial está dada por la fórmula explícita S k = k k + 1 . Dado que k / ( k + 1 ) → 1 , concluimos que la secuencia de sumas parciales converge, y por tanto la serie infinita converge a 1 . Tenemos ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1 . Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) / n converge o diverge. La serie diverge porque la k −ésima suma parcial S k > k . Pista Mire la secuencia de sumas parciales. La serie armónica Una serie útil de conocer es la serie armónica . La serie armónica se define como ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . Esta serie es interesante porque diverge, pero diverge muy lentamente. Con esto queremos decir que los términos de la secuencia de sumas parciales { S k } se acercan al infinito, pero lo hacen muy lentamente. Demostraremos que la serie diverge, pero primero ilustramos el crecimiento lento de los términos de la secuencia { S k } en la siguiente tabla. k 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 S k 2,92897 5,18738 7,48547 9,78761 12,09015 14,39273 Incluso después de 1.000.000 de términos, la suma parcial sigue siendo relativamente pequeña. De esta tabla no se desprende que esta serie sea realmente divergente. Sin embargo, podemos demostrar analíticamente que la secuencia de sumas parciales diverge, y por tanto la serie diverge. Para demostrar que la secuencia de sumas parciales diverge, mostramos que la secuencia de sumas parciales no es limitada. Comenzamos escribiendo las primeras sumas parciales: S 1 = 1 S 2 = 1 + 1 2 S 3 = 1 + 1 2 + 1 3 S 4 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 . Observe que para los dos últimos términos de S 4 , 1 3 + 1 4 > 1 4 + 1 4 . Por lo tanto, concluimos que S 4 > 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) = 1 + 1 2 + 1 2 = 1 + 2 ( 1 2 ) . Utilizando la misma idea para S 8 , vemos que S 8 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 > 1 + 1 2 + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 + 3 ( 1 2 ) . A partir de este patrón, vemos que S 1 = 1 , S 2 = 1 + 1 / 2 , S 4 > 1 + 2 ( 1 / 2 ) , y S 8 > 1 + 3 ( 1 / 2 ) . De forma más general, se puede demostrar que S 2 j > 1 + j ( 1 / 2 ) para todo j > 1 . Dado que 1 + j ( 1 / 2 ) → ∞ , concluimos que la secuencia { S k } no está delimitada y, por tanto, es divergente. En la sección anterior, afirmamos que las secuencias convergentes están delimitadas. Por lo tanto, dado que { S k } no está delimitada, es divergente. Así, la serie armónica diverge. Propiedades algebraicas de las series convergentes Dado que la suma de una serie infinita convergente se define como límite de una secuencia, las propiedades algebraicas de las series que se enumeran a continuación se derivan directamente de las propiedades algebraicas de las secuencias. Propiedades algebraicas de las series convergentes Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n son series convergentes. Entonces se cumplen las siguientes propiedades algebraicas. La serie ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n + ∑ n = 1 ∞ b n . (Regla de la suma) La serie ∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n − b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 ∞ b n . (Regla de la diferencia) Para cualquier número real c , la serie ∑ n = 1 ∞ c a n converge y ∑ n = 1 ∞ c a n = c ∑ n = 1 ∞ a n . (Regla del múltiplo constante) Uso de las propiedades algebraicas de las series convergentes Evalúe ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] . Ya hemos demostrado que ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = 1 y ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 2 . Como ambas series convergen, podemos aplicar las para evaluar ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] . Utilizando la regla de la suma, escriba ∑ n = 1 ∞ [ 3 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) n – 2 ] = ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 2 . Entonces, utilizando la regla del múltiplo constante y las sumas anteriores, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 2 = 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) + ( 1 2 ) −1 ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 3 ( 1 ) + ( 1 2 ) −1 ( 2 ) = 3 + 2 ( 2 ) = 7. Evalúe ∑ n = 1 ∞ 5 2 n – 1 . 10 . Pista Reescriba como ∑ n = 1 ∞ 5 ( 1 2 ) n – 1 . Serie geométrica Una serie geométrica es cualquier serie que podamos escribir en la forma a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 . Como el cociente entre cada término de esta serie y el término anterior es r , el número r se razón. Nos referimos a a como el término inicial porque es el primer término de la serie. Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n – 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ es una serie geométrica con término inicial a = 1 y cociente r = 1 / 2 . En general, ¿cuándo converge una serie geométrica? Consideremos la serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 cuando a > 0 . Su secuencia de sumas parciales { S k } está dada por S k = ∑ n = 1 k a r n – 1 = a + a r + a r 2 + ⋯ + a r k − 1 . Considere el caso cuando r = 1 . En ese caso, S k = a + a ( 1 ) + a ( 1 ) 2 + ⋯ + a ( 1 ) k − 1 = a k . Dado que a > 0 , sabemos que a k → ∞ como k → ∞ . Por lo tanto, la secuencia de sumas parciales no está delimitada y, por lo tanto, diverge. En consecuencia, la serie infinita diverge para r = 1 . Para r ≠ 1 , para hallar el límite de { S k } , multiplique la por 1 − r . Haciendo esto, vemos que ( 1 − r ) S k = a ( 1 − r ) ( 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k − 1 ) = a [ ( 1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k − 1 ) − ( r + r 2 + r 3 + ⋯ + r k ) ] = a ( 1 − r k ) . Todos los demás términos se anulan. Por lo tanto, S k = a ( 1 − r k ) 1 − r para r ≠ 1 . De nuestra discusión en la sección anterior, sabemos que la secuencia geométrica r k → 0 si | r | < 1 y que r k diverge si | r | > 1 o r = ± 1 . Por lo tanto, para | r | < 1 , S k → a / ( 1 − r ) y tenemos ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r si | r | < 1 . Si | r | ≥ 1 , S k diverge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 diverge si | r | ≥ 1 . Definición Una serie geométrica es una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ . Si | r | < 1 , la serie converge, y ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r para | r | < 1 . Si | r | ≥ 1 , la serie diverge. Las series geométricas aparecen a veces con formas un poco diferentes. Por ejemplo, a veces el índice comienza en un valor distinto de n = 1 o el exponente implica una expresión lineal para n que no sea n – 1 . Mientras podamos reescribir la serie en la forma dada por la , es una serie geométrica. Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n + 2 . Para ver que se trata de una serie geométrica, escribimos los primeros términos: ∑ n = 0 ∞ ( 2 3 ) n + 2 = ( 2 3 ) 2 + ( 2 3 ) 3 + ( 2 3 ) 4 + ⋯ = 4 9 + 4 9 . ( 2 3 ) + 4 9 . ( 2 3 ) 2 + ⋯ . Vemos que el término inicial es a = 4 / 9 y la razón es r = 2 / 3 . Por lo tanto, la serie se puede escribir como ∑ n = 1 ∞ 4 9 . ( 2 3 ) n – 1 . Dado que r = 2 / 3 < 1 , esta serie converge, y su suma está dada por ∑ n = 1 ∞ 4 9 . ( 2 3 ) n – 1 = 4 / 9 1 − 2 / 3 = 4 3 . Determinación de la convergencia o divergencia de una serie geométrica Determine si cada una de las siguientes series geométricas converge o diverge, y si converge, calcule su suma. ∑ n = 1 ∞ ( −3 ) n + 1 4 n – 1 ∑ n = 1 ∞ e 2 n Escribiendo los primeros términos de la serie, tenemos ∑ n = 1 ∞ ( −3 ) n + 1 4 n – 1 = ( −3 ) 2 4 0 + ( −3 ) 3 4 + ( −3 ) 4 4 2 + ⋯ = ( −3 ) 2 + ( −3 ) 2 . ( −3 4 ) + ( −3 ) 2 . ( −3 4 ) 2 + ⋯ = 9 + 9 . ( −3 4 ) + 9 . ( −3 4 ) 2 + ⋯ . El término inicial a = −3 y el cociente r = −3 / 4 . Dado que | r | = 3 / 4 < 1 , la serie converge a 9 1 − ( −3 / 4 ) = 9 7 / 4 = 36 7 . Escribiendo esta serie como e 2 ∑ n = 1 ∞ ( e 2 ) n – 1 podemos ver que se trata de una serie geométrica donde r = e 2 > 1 . Por lo tanto, la serie diverge. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( −2 5 ) n – 1 converge o diverge. Si converge, calcule su suma. 5 / 7 Pista r = −2 / 5 Ahora nos centramos en una bonita aplicación de las series geométricas. Mostramos cómo pueden utilizarse para escribir decimales repetidos como fracciones de enteros. Escribir decimales repetidos como fracciones de enteros Utilice una serie geométrica para escribir 3, 26 — como fracción de enteros. Dado que 3, 26 — = 3,262626 … , primero escribimos 3,262626 … = 3 + 26 100 + 26 10.000 + 26 1.000.000 + ⋯ = 3 + 26 10 2 + 26 10 4 + 26 10 6 + ⋯ . Ignorando el término 3, el resto de esta expresión es una serie geométrica con término inicial a = 26 / 10 2 y cociente r = 1 / 10 2 . Por lo tanto, la suma de esta serie es 26 / 10 2 1 − ( 1 / 10 2 ) = 26 / 10 2 99 / 10 2 = 26 99 . Por lo tanto, 3,262626 … = 3 + 26 99 = 323 99 . Escriba 5,2 7 − como fracción de enteros. 475 / 90 Pista Expresando este número en forma de serie, calcule una serie geométrica con término inicial a = 7 / 100 y cociente r = 1 / 10 . Inicio del capítulo: Halle el área del copo de nieve Koch Defina una secuencia de figuras { F n } de forma repetida de la siguiente forma ( ). Supongamos que F 0 es un triángulo equilátero con lados de longitud 1 . Para n ≥ 1 , supongamos que F n es la curva creada al eliminar el tercio medio de cada lado de F n – 1 y sustituyéndolo por un triángulo equilátero apuntando hacia fuera. La figura delimitante a medida que n → ∞ se conoce como el copo de nieve de Koch . Las cuatro primeras figuras, F 0 , F 1 , F 2 , y F 3 , en la construcción del copo de nieve de Koch. Halle la longitud L n del perímetro de F n . Evalúe lím n → ∞ L n para hallar la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch. Halle el área A n de la figura F n . Evalúe lím n → ∞ A n para hallar el área del copo de nieve de Koch. Supongamos que N n denota el número de lados de la figura F n . Dado que F 0 es un triángulo, N 0 = 3 . Supongamos que l n denota la longitud de cada lado de F n . Dado que F 0 es un triángulo equilátero con lados de longitud l 0 = 1 , ahora tenemos que determinar N 1 y l 1 . Dado que F 1 se crea eliminando el tercio medio de cada lado y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea, para cada lado de F 0 , obtenemos cuatro lados en F 1 . Por lo tanto, el número de lados para F 1 es N 1 = 4 . 3 . Como la longitud de cada uno de estos nuevos segmentos de línea es 1 / 3 de la longitud de los segmentos de línea en F 0 , la longitud de los segmentos de línea para F 1 está dada por l 1 = 1 3 . 1 = 1 3 . Del mismo modo, para F 2 , ya que el tercio medio de cada lado de F 1 se elimina y se sustituye por dos segmentos de línea, el número de lados en F 2 está dada por N 2 = 4 N 1 = 4 ( 4 . 3 ) = 4 2 . 3 . Como la longitud de cada uno de estos lados es 1 / 3 de la longitud de los lados de F 1 , la longitud de cada lado de la figura F 2 está dada por l 2 = 1 3 . l 1 = 1 3 . 1 3 = ( 1 3 ) 2 . En términos más generales, ya que F n se crea eliminando el tercio medio de cada lado de F n – 1 y sustituyendo ese segmento de línea por dos segmentos de línea de longitud 1 3 l n – 1 en forma de triángulo equilátero, sabemos que N n = 4 N n – 1 y l n = l n – 1 3 . Por lo tanto, el número de lados de la figura F n es N n = 4 n . 3 y la longitud de cada lado es l n = ( 1 3 ) n . Por lo tanto, para calcular el perímetro de F n , multiplicamos el número de lados N n y la longitud de cada lado l n . Concluimos que el perímetro de F n está dada por L n = N n . l n n = 3 . ( 4 3 ) n . Por lo tanto, la longitud del perímetro del copo de nieve de Koch es L = lím n → ∞ L n = ∞ . Supongamos que T n denota el área de cada nuevo triángulo creado al formar F n . Para n = 0 , T 0 es el área del triángulo equilátero original. Por lo tanto, T 0 = A 0 = 3 / 4 . Para n ≥ 1 , ya que las longitudes de los lados del triángulo nuevo son 1 / 3 de la longitud de los lados de F n – 1 , tenemos T n = ( 1 3 ) 2 T n – 1 = 1 9 . T n – 1 . Por lo tanto, T n = ( 1 9 ) n . 3 4 . Como se forma un triángulo nuevo en cada lado de F n – 1 , A n = A n – 1 + N n – 1 . T n = A n – 1 + ( 3 . 4 n – 1 ) . ( 1 9 ) n . 3 4 = A n – 1 + 3 4 . ( 4 9 ) n . 3 4 . Escribiendo los primeros términos A 0 , A 1 , A 2 , vemos que A 0 = 3 4 A 1 = A 0 + 3 4 . ( 4 9 ) . 3 4 = 3 4 + 3 4 . ( 4 9 ) . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) ] A 2 = A 1 + 3 4 . ( 4 9 ) 2 . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) ] + 3 4 . ( 4 9 ) 2 . 3 4 = 3 4 [ 1 + 3 4 . ( 4 9 ) + 3 4 . ( 4 9 ) 2 ] . De manera más general, A n n = 3 4 [ 1 + 3 4 ( 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n ) ] . Factorizando 4 / 9 de cada término dentro del paréntesis interior, reescribimos nuestra expresión como A n n = 3 4 [ 1 + 1 3 ( 1 + 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 ) ] . La expresión 1 + ( 4 9 ) + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 es una suma geométrica. Como se ha mostrado anteriormente, esta suma satisface 1 + 4 9 + ( 4 9 ) 2 + ⋯ + ( 4 9 ) n – 1 = 1 − ( 4 / 9 ) n 1 − ( 4 / 9 ) . Sustituyendo esta expresión en la expresión anterior y simplificando, concluimos que A n n = 3 4 [ 1 + 1 3 ( 1 − ( 4 / 9 ) n 1 − ( 4 / 9 ) ) ] = 3 4 [ 8 5 − 3 5 ( 4 9 ) n ] . Por lo tanto, el área del copo de nieve de Koch es A = lím n → ∞ A n = 2 3 5 . Análisis El copo de nieve de Koch es interesante porque tiene un área finita, pero un perímetro infinito. Aunque al principio esto pueda parecer imposible, recuerde que hemos visto ejemplos similares anteriormente en el texto. Por ejemplo, consideremos la región delimitada por la curva y = 1 / x 2 y el eje x en el intervalo [ 1 , ∞ ) . Dado que la integral impropia ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x converge, el área de esta región es finita, aunque el perímetro sea infinito. Serie telescópica Considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) . Discutimos esta serie en el , mostrando que la serie converge escribiendo las primeras sumas parciales S 1 , S 2 ,… , S 6 y observando que todas son de la forma S k = k k + 1 . Aquí utilizamos una técnica diferente para demostrar que esta serie converge. Utilizando fracciones parciales, podemos escribir 1 n ( n + 1 ) = 1 n – 1 n + 1 . Por lo tanto, la serie se puede escribir como ∑ n = 1 ∞ [ 1 n – 1 n + 1 ] = ( 1 + 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ . Escribiendo los primeros términos de la secuencia de sumas parciales { S k } , vemos que S 1 = 1 − 1 2 S 2 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) = 1 − 1 3 S 3 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) = 1 − 1 4 . En general, S k = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 k − 1 k + 1 ) = 1 − 1 k + 1 . Observamos que los términos intermedios se anulan entre sí, dejando solo los primeros y últimos términos. En cierto sentido, la serie se colapsa como un catalejo con tubos que desaparecen entre sí para acortar el telescopio. Por esta razón, llamamos serie telescópica a una serie que tiene esta propiedad. Para esta serie, dado que S k = 1 − 1 / ( k + 1 ) y 1 / ( k + 1 ) → 0 a medida que k → ∞ , la secuencia de sumas parciales converge a 1 , y por tanto la serie converge a 1 . Definición Una serie telescópica es una serie en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales, dejando solo algunos de los primeros términos y algunos de los últimos. Por ejemplo, cualquier serie de la forma ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ( b 3 − b 4 ) + ⋯ es una serie telescópica. Podemos ver esto escribiendo algunas de las sumas parciales. En particular, vemos que S 1 = b 1 − b 2 S 2 = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) = b 1 − b 3 S 3 = ( b 1 − b 2 ) + ( b 2 − b 3 ) + ( b 3 − b 4 ) = b 1 − b 4 . En general, la k −ésima suma parcial de esta serie es S k = b 1 − b k + 1 . Como la k −ésima suma parcial puede simplificarse a la diferencia de estos dos términos, la secuencia de sumas parciales { S k } convergerá si y solo si la secuencia { b k + 1 } converge. Además, si la secuencia b k + 1 converge a algún número finito B , entonces la secuencia de sumas parciales converge a b 1 − B , y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = b 1 − B . En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar estas ideas para analizar una serie telescópica de esta forma. Evaluación de una serie telescópica Determine si la serie telescópica ∑ n = 1 ∞ [ cos ( 1 n ) − cos ( 1 n + 1 ) ] converge o diverge. Si converge, calcule su suma. Al escribir los términos de la secuencia de sumas parciales, podemos ver que S 1 = cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) S 2 = ( cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) ) + ( cos ( 1 2 ) − cos ( 1 3 ) ) = cos ( 1 ) − cos ( 1 3 ) S 3 = ( cos ( 1 ) − cos ( 1 2 ) ) + ( cos ( 1 2 ) − cos ( 1 3 ) ) + ( cos ( 1 3 ) − cos ( 1 4 ) ) = cos ( 1 ) − cos ( 1 4 ) . En general, S k = cos ( 1 ) − cos ( 1 k + 1 ) . Dado que 1 / ( k + 1 ) → 0 a medida que k → ∞ y cos x es una función continua, cos ( 1 / ( k + 1 ) ) → cos ( 0 ) = 1 . Por lo tanto, concluimos que S k → cos ( 1 ) − 1 . La serie telescópica converge y la suma está dada por ∑ n = 1 ∞ [ cos ( 1 n ) − cos ( 1 n + 1 ) ] = cos ( 1 ) − 1 . Determine si ∑ n = 1 ∞ [ e 1 / n − e 1 / ( n + 1 ) ] converge o diverge. Si converge, calcule su suma. e − 1 Pista Escriba la secuencia de sumas parciales para ver qué términos se cancelan. Constante de Euler Hemos demostrado que la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge. Aquí investigamos el comportamiento de las sumas parciales S k como k → ∞ . En particular, mostramos que se comportan como la función logarítmica natural demostrando que existe una constante γ tal que ∑ n = 1 k 1 n − ln k → γ a medida que k → ∞ . Esta constante γ se conoce como la constante de Euler . Supongamos que T k = ∑ n = 1 k 1 n − ln k . Evalúe T k para varios valores de k . Para T k tal y como se define en la parte 1. demuestre que la secuencia { T k } converge mediante los siguientes pasos Demuestre que la secuencia { T k } es monótona decreciente. ( Pista: Demuestre que ln ( 1 + 1 / k > 1 / ( k + 1 ) ) ) Demuestre que la secuencia { T k } está delimitada por debajo de cero. ( Pista: Exprese ln k como integral definida). Utilice el teorema de convergencia monótona para concluir que la secuencia { T k } converge. El límite γ es la constante de Euler. Ahora cuán lejos está T k de γ para un número entero dado k . Demuestre que para k ≥ 1 , 0 < T k − γ ≤ 1 / k mediante los siguientes pasos Demuestre que ln ( k + 1 ) − ln k < 1 / k . Utilice el resultado de la parte a. para demostrar que para cualquier número entero k , T k − T k + 1 < 1 k − 1 k + 1 . Para cualquier número entero k y j tal que j > k , exprese T k − T j como una suma telescópica escribiendo T k − T j = ( T k − T k + 1 ) + ( T k + 1 − T k + 2 ) + ( T k + 2 − T k + 3 ) + ⋯ + ( T j − 1 − T j ) . Utilice el resultado de la parte b. combinado con esta suma telescópica para concluir que T k − T j < 1 k − 1 j . Aplique el límite a ambos lados de la inecuación de la parte c. para concluir que T k − γ ≤ 1 k . Estime γ con una exactitud de 0,001 . Conceptos clave Dada la serie infinita ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ y la correspondiente secuencia de sumas parciales { S k } donde S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k , la serie converge si y solo si la secuencia { S k } converge. La serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 converge si | r | < 1 y diverge si | r | ≥ 1 . Para | r | < 1 , ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r . La serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ diverge. Una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = [ b 1 − b 2 ] + [ b 2 − b 3 ] + [ b 3 − b 4 ] + ⋯ + [ b n − b n + 1 ] + ⋯ es una serie telescópica. La k −ésimo suma parcial de esta serie está dada por S k = b 1 − b k + 1 . La serie convergerá si y solo si lím k → ∞ b k + 1 existe. En ese caso, ∑ n = 1 ∞ [ b n − b n + 1 ] = b 1 − lím k → ∞ ( b k + 1 ) . Ecuaciones clave Serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ Suma de una serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a 1 − r para | r | < 1 Utilizando la notación sigma, escriba las siguientes expresiones como series infinitas. 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ... ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n sen 1 + sen 1 / 2 + sen 1 / 3 + sen 1 / 4 + ⋯ Calcule las cuatro primeras sumas parciales S 1 ,… , S 4 para la serie que tiene el ené −ésimo término a n empezando por n = 1 de la siguiente forma. a n = n 1 , 3 , 6 , 10 a n = 1 / n a n = sen ( n π / 2 ) grandes. 1 , 1 , 0 , 0 a n = ( –1 ) n En los siguientes ejercicios, calcule el término general a n de la serie con la suma parcial dada S n . Si la secuencia de sumas parciales converge, halle su límite S . S n = 1 − 1 n , n ≥ 2 a n = S n − S n – 1 = 1 n – 1 − 1 n . La serie converge a S = 1 . S n = n ( n + 1 ) 2 , n ≥ 1 S n = n , n ≥ 2 a n = S n − S n – 1 = n − n – 1 = 1 n – 1 + n . La serie diverge porque las sumas parciales no están delimitadas. S n = 2 − ( n + 2 ) / 2 n , n ≥ 1 Para cada una de las siguientes series, utilice la secuencia de sumas parciales para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ n n + 2 S 1 = 1 / 3 , S 2 = 1 / 3 + 2 / 4 > 1 / 3 + 1 / 3 = 2 / 3 , S 3 = 1 / 3 + 2 / 4 + 3 / 5 > 3 . ( 1 / 3 ) = 1 . En general S k > k / 3 . La serie diverge. ∑ n = 1 ∞ ( 1 − ( –1 ) n ) ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( Pista: Utilice una descomposición en fracciones parciales como la de ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) . ) grandes. S 1 = 1 / ( 2,3 ) = 1 / 6 = 2 / 3 − 1 / 2 , S 2 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) = 2 / 12 + 1 / 12 = 1 / 4 = 3 / 4 − 1 / 2 , S 3 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 = 3 / 10 = 4 / 5 − 1 / 2 , S 4 = 1 / ( 2,3 ) + 1 / ( 3,4 ) + 1 / ( 4,5 ) + 1 / ( 5,6 ) = 10 / 60 + 5 / 60 + 3 / 60 + 2 / 60 = 1 / 3 = 5 / 6 − 1 / 2 . El patrón es S k = ( k + 1 ) / ( k + 2 ) − 1 / 2 y la serie converge a 1 / 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 ( Pista: Siga el razonamiento de ∑ n = 1 ∞ 1 n . ) Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n = 1 , que ∑ n = 1 ∞ b n = −1 , que a 1 = 2 , y b 1 = −3 . Calcule la suma de las series indicadas. ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) grandes. 0 ∑ n = 1 ∞ ( a n – 2 b n ) grandes. ∑ n = 2 ∞ ( a n − b n ) grandes. −3 ∑ n = 1 ∞ ( 3 a n + 1 − 4 b n + 1 ) Indique si la serie dada converge y explique por qué. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1.000 ( Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice). diverge, ∑ n = 1.001 ∞ 1 n ∑ n = 1 ∞ 1 n + 10 80 ( Pista: Reescriba utilizando un cambio de índice). 1 + 1 10 + 1 100 + 1 1.000 + ⋯ series geométricas convergentes, r = 1 / 10 < 1 1 + e π + e 2 π 2 + e 3 π 3 + ⋯ 1 + π e 2 + π 2 e 4 + π 3 e 6 + π 4 e 8 + ⋯ series geométricas convergentes, r = π / e 2 < 1 1 − π 3 + π 2 9 − π 3 27 + ⋯ Para a n como sigue, escriba la suma como una serie geométrica de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n . Indique si la serie converge y, si lo hace, halle el valor de ∑ a n . a 1 = –1 y a n / a n + 1 = −5 para n ≥ 1 . ∑ n = 1 ∞ 5 . ( −1 / 5 ) n , converge a −5 / 6 a 1 = 2 y a n / a n + 1 = 1 / 2 para n ≥ 1 . a 1 = 10 y a n / a n + 1 = 10 para n ≥ 1 . ∑ n = 1 ∞ 100 . ( 1 / 10 ) n , converge a 100 / 9 a 1 = 1 / 10 y a n / a n + 1 = −10 para n ≥ 1 . Utilice la identidad 1 1 − y = ∑ n = 0 ∞ y n para expresar la función como una serie geométrica en el término indicado. x 1 + x en x x ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 x n x 1 − x 3 / 2 en x 1 1 + sen 2 x en sen x ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n sen 2 n ( x ) grandes. sec 2 x en sen x Evalúe la siguiente serie telescópica o indique si la serie diverge. ∑ n = 1 ∞ 2 1 / n – 2 1 / ( n + 1 ) grandes. S k = 2 − 2 1 / ( k + 1 ) → 1 como k → ∞ . ∑ n = 1 ∞ 1 n 13 − 1 ( n + 1 ) 13 ∑ n = 1 ∞ ( n − n + 1 ) grandes. S k = 1 − k + 1 diverge ∑ n = 1 ∞ ( sen n − sen ( n + 1 ) ) Exprese la siguiente serie como una suma telescópica y evalúe su enésima suma parcial. ∑ n = 1 ∞ ln ( n n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ln n − ln ( n + 1 ) , S k = − ln ( k + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 ( n 2 + n ) 2 ( Pista: Factorice el denominador y utilice fracciones parciales). ∑ n = 2 ∞ ln ( 1 + n 1 ) ln n ln ( n + 1 ) grandes. a n = 1 ln n – 1 ln ( n + 1 ) y S k = 1 ln ( 2 ) − 1 ln ( k + 1 ) → 1 ln ( 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) n ( n + 1 ) 2 n + 1 ( Pista: Mire 1 / ( n 2 n ) . ) Una serie telescópica general es aquella en la que todos los términos, excepto los primeros, se anulan tras sumar un número determinado de términos sucesivos. Supongamos que a n = f ( n ) − 2 f ( n + 1 ) + f ( n + 2 ) , en la que f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Calcule ∑ n = 1 ∞ a n . ∑ n = 1 ∞ a n = f ( 1 ) − f ( 2 ) grandes. a n = f ( n ) − f ( n + 1 ) − f ( n + 2 ) + f ( n + 3 ) , en la que f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Calcule ∑ n = 1 ∞ a n . Supongamos que a n = c 0 f ( n ) + c 1 f ( n + 1 ) + c 2 f ( n + 2 ) + c 3 f ( n + 3 ) + c 4 f ( n + 4 ) , donde f ( n ) → 0 a medida que n → ∞ . Halle una condición sobre los coeficientes c 0 ,… , c 4 que la convierten en una serie telescópica general. c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 0 Evalúe ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( Pista: 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2 n – 1 n + 1 + 1 2 ( n + 2 ) ) Evalúe ∑ n = 2 ∞ 2 n 3 − n . 2 n 3 − 1 = 1 n – 1 − 2 n + 1 n + 1 , S n = ( 1 − 1 + 1 / 3 ) + ( 1 / 2 − 2 / 3 + 1 / 4 ) + ( 1 / 3 − 2 / 4 + 1 / 5 ) + ( 1 / 4 – 2 / 5 + 1 / 6 ) + ⋯ = 1 / 2 Halle una fórmula para ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + N ) donde N es un número entero positivo. [T] Defina una secuencia t k = ∑ n = 1 k − 1 ( 1 / k ) − ln k . Utilice el gráfico de 1 / x para verificar que t k es creciente. Grafique t k para k = 1 … 100 y afirme si parece que la secuencia converge. t k converge a 0,57721 … t k es una suma de rectángulos de altura 1 / k en el intervalo [ k , k + 1 ] que se encuentran por encima del gráfico de 1 / x . [T] Supongamos que N bloques rectangulares iguales y uniformes se apilan uno encima de otro, dejando que sobresalga un poco. La ley de Arquímedes de la palanca implica que la pila de N bloques es estable siempre que el centro de masa de los ( N − 1 ) bloques superiores se encuentre en el borde del bloque inferior. Supongamos que x denota la posición del borde del bloque inferior, y piense en su posición como relativa al centro del bloque que le sigue. Esto implica que ( N − 1 ) x = ( 1 2 − x ) o x = 1 / ( 2 N ) . Utilice esta expresión para calcular el saliente máximo (la posición del borde del bloque superior sobre el borde del bloque inferior). Vea la siguiente figura. Cada una de las siguientes series infinitas converge al múltiplo dado de π o 1 / π . En cada caso, halle el valor mínimo de N tal que la N −ésima suma parcial de la serie se aproxime exactamente al lado izquierdo con el número de decimales dado, e indique el valor aproximado deseado. Hasta 15 decimales, π = 3,141592653589793... . [T] π = −3 + ∑ n = 1 ∞ n 2 n n ! 2 ( 2 n ) ! , error < 0,0001 N = 22 , S N = 6,1415 [T] π 2 = ∑ k = 0 ∞ k ! ( 2 k + 1 ) ! ! = ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! 2 ( 2 k + 1 ) ! , error < 10 −4 [T] 9.801 2 π = 4 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1.103 + 26.390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k , error < 10 −12 N = 3 , S N = 1,559877597243667 ... [T] 1 12 π = ∑ k = 0 ∞ ( –1 ) k ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 640320 3 k + 3 / 2 , error < 10 −15 [T] Una moneda justa es aquella que tiene probabilidad 1 / 2 de salir cara cuando se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda justa salga cruz? n veces seguidas? Calcule la probabilidad de que una moneda salga cara por primera vez en el último lanzamiento de un número par de lanzamientos. a. La probabilidad de cualquier secuencia ordenada de resultados para n lanzamientos de monedas es 1 / 2 n . b. La probabilidad de salir cara por primera vez en el n −ésimo lanzamiento es la probabilidad de la secuencia T T … T H que es 1 / 2 n . La probabilidad de salir cara por primera vez en un lanzamiento par es ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 2 n o 1 / 3 . [T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa se lance un múltiplo de tres veces antes de salir cara. [T] Calcule la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez después de un número par de lanzamientos. 5 / 9 [T] Calcule una serie que exprese la probabilidad de que una moneda justa salga cara por segunda vez en un múltiplo de tres lanzamientos. [T] El número esperado de veces que una moneda justa saldrá cara se define como la suma sobre n = 1 , 2 ,… de n veces la probabilidad de que la moneda salga cara exactamente n veces seguidas, o n / 2 n + 1 . Calcule el número esperado de veces consecutivas que una moneda justa saldrá cara. E = ∑ n = 1 ∞ n / 2 n + 1 = 1 , como puede demostrarse utilizando la suma por partes [T] Una persona deposita $ 10 dólares al principio de cada trimestre en una cuenta bancaria que gana 4 % de interés anual compuesto trimestralmente (cuatro veces al año). Demuestre que los intereses acumulados después de n trimestres son $ 10 ( 1,01 n + 1 − 1 0,01 − n ) . Halle los ocho primeros términos de la secuencia. ¿Cuántos intereses se han acumulado después de 2 años? [T] Supongamos que la cantidad de un medicamento en el sistema de un paciente disminuye en un factor multiplicativo r < 1 cada hora. Supongamos que se administra una nueva dosis cada N horas. Halle una expresión que indique la cantidad A ( n ) en el sistema del paciente después de n horas para cada n en cuanto a la dosis d y el cociente r . ( Pista: Escriba n = m N + k , donde 0 ≤ k < N , y sume los valores de las diferentes dosis administradas). La parte de la primera dosis después de n horas es d r n , la parte de la segunda dosis es d r n − N , y, en general, la parte que queda de la m sima dosis es d r n − m N , así que A ( n ) = ∑ l = 0 m d r n − l N = ∑ l = 0 m d r k + ( m − l ) N = ∑ q = 0 m d r k + q N = d r k ∑ q = 0 m r N q = d r k 1 − r ( m + 1 ) N 1 − r N , n = k + m N . [T] Un determinado fármaco es eficaz para un paciente promedio solo si hay al menos 1 mg por kg en el sistema del paciente, mientras que solo es seguro si hay como máximo 2 mg por kg en el sistema de un paciente promedio. Supongamos que la cantidad en el sistema del paciente disminuye en un factor multiplicativo de 0,9 cada hora después de la administración de una dosis. Halle el intervalo máximo N de horas entre dosis, y el rango de dosis correspondiente d (en mg/kg) para este N que permitirá que el uso del medicamento sea seguro y eficaz a largo plazo. Supongamos que a n ≥ 0 es una secuencia de números. Explique por qué la secuencia de sumas parciales de a n es creciente. S N + 1 = a N + 1 + S N ≥ S N [T] Supongamos que a n es una secuencia de números positivos y la secuencia S n de sumas parciales de a n está delimitada por encima. Explique por qué ∑ n = 1 ∞ a n converge. ¿Sigue siendo cierta la conclusión si eliminamos la hipótesis a n ≥ 0 ? [T] Supongamos que a 1 = S 1 = 1 y que, para números dados S > 1 y 0 < k < 1 , se define a n + 1 = k ( S − S n ) y S n + 1 = a n + 1 + S n . ¿ S n converge? Si es así, ¿a qué? ( Pista: Primero argumente que S n < S para todo n y S n es creciente). Dado que S > 1 , a 2 > 0 , y dado que k < 1 , S 2 = 1 + a 2 < 1 + ( S − 1 ) = S . Si S n > S para algún n , entonces hay un n más pequeño. Para este n , S > S n – 1 , así que S n = S n – 1 + k ( S − S n – 1 ) = k S + ( 1 − k ) S n – 1 < S , una contradicción. Así, S n < S y a n + 1 > 0 para todo n , por lo que S n es creciente y está delimitada por S . Supongamos que S ∗ = lím S n . Si S ∗ < S , entonces δ = k ( S − S ∗ ) > 0 , pero podemos hallar n tal que S * − S n < δ / 2 , lo que implica que S n + 1 = S n + k ( S − S n ) > S * + δ / 2 , lo que contradice que S n está aumentando a S ∗ . Así que S n → S . [T] Una versión del crecimiento de von Bertalanffy puede utilizarse para estimar la edad de un individuo en una especie homogénea a partir de su longitud si el incremento anual en el año n + 1 satisface a n + 1 = k ( S − S n ) , con S n como la longitud en el año n , S como longitud límite, y k como constante de crecimiento relativo. Si S 1 = 3 , S = 9 , y k = 1 / 2 , estime numéricamente el valor más pequeño de n tal que S n ≥ 8 . Observe que S n + 1 = S n + a n + 1 . Calcule el n correspondiente cuando k = 1 / 4 . [T] Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie convergente de términos positivos. Explique por qué lím N → ∞ ∑ n = N + 1 ∞ a n = 0 . Supongamos que S k = ∑ n = 1 k a n y S k → L . Entonces S k finalmente se acerca arbitrariamente a L , lo que significa que L − S N = ∑ n = N + 1 ∞ a n se vuelve arbitrariamente pequeño a medida que N → ∞ . [T] Calcule la longitud de la trayectoria en zigzag de la siguiente figura. [T] Calcule la longitud total de la trayectoria discontinua en la siguiente figura L = ( 1 + 1 2 ) ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n n = 3 2 . [T] El triángulo de Sierpinski se obtiene a partir de un triángulo suprimiendo el cuarto triángulo central como se indica en el primer paso, suprimiendo los cuartos triángulos centrales de los tres triángulos congruentes restantes en el segundo paso, y en general suprimiendo los cuartos triángulo centrales de los triángulos restantes en cada paso sucesivo. Suponiendo que el triángulo original se muestra en la figura, halle las áreas de las partes restantes del triángulo original después de N pasos y calcule la longitud total de todos los triángulos limítrofes después de N pasos. [T] La alfombra de Sierpinski se obtiene dividiendo el cuadrado unitario en nueve subcuadrados iguales, eliminando el cuadrado del medio y haciendo lo mismo en cada etapa con los subcuadrados restantes. La figura muestra el conjunto restante después de cuatro iteraciones. Calcule el área total eliminada después de N etapas y calcule la longitud el perímetro total del conjunto restante después de N etapas. En la primera fase, un cuadrado de área 1 / 9 se retira, en la etapa 2 se retiran 8 cuadrados de área 1 / 9 2 , en la tercera etapa se eliminan 8 2 cuadrados de área 1 / 9 3 , y así sucesivamente. El área total eliminada después de N etapas es ∑ n = 0 N − 1 8 N / 9 N + 1 = 1 8 ( 1 − ( 8 / 9 ) N ) / ( 1 − 8 / 9 ) → 1 a medida que N → ∞ . El perímetro total es 4 + 4 ∑ n = 0 8 N / 3 N + 1 → ∞ . convergencia de una serie una serie converge si la secuencia de sumas parciales de esa serie converge divergencia de una serie una serie diverge si la secuencia de sumas parciales de esa serie diverge serie geométrica una serie geométrica es una serie que se puede escribir de la forma ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ serie armónica la serie armónica toma la forma ∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ serie infinita una serie infinita es una expresión de la forma a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ a n suma parcial la k −ésima suma parcial de la serie infinita ∑ n = 1 ∞ a n es la suma finita S k = ∑ n = 1 k a n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k serie telescópica una serie telescópica es aquella en la que la mayoría de los términos se cancelan en cada una de las sumas parciales", "section": "Serie infinita", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Las pruebas de divergencia e integral En el apartado anterior, determinamos la convergencia o divergencia de varias series calculando explícitamente el límite de la secuencia de sumas parciales { S k } . En la práctica, calcular explícitamente este límite puede ser difícil o imposible. Por suerte, existen varias pruebas que nos permiten determinar la convergencia o divergencia de muchos tipos de series. En esta sección, discutimos dos de estas pruebas: la prueba de divergencia y la prueba de la integral. En el resto de este capítulo examinaremos otras pruebas y luego resumiremos cómo y cuándo utilizarlas. Prueba de divergencia Para que una serie ∑ n = 1 ∞ a n converja, la ené −ésimo término a n debe satisfacer a n → 0 a medida que n → ∞ . Por lo tanto, a partir de las propiedades del límite algebraico de las secuencias, lím k → ∞ a k = lím k → ∞ ( S k − S k − 1 ) = lím k → ∞ S k − lím k → ∞ S k − 1 = S − S = 0 . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ a n converge, el ené −ésimo término a n → 0 a medida que n → ∞ . Una consecuencia importante de este hecho es la siguiente afirmación: Si a n ↛ 0 a medida que n → ∞ , ∑ n = 1 ∞ a n diverge . Esta prueba se conoce como prueba de divergencia porque proporciona una forma de demostrar que una serie diverge. Prueba de divergencia Si lím n → ∞ a n = c ≠ 0 o lím n → ∞ a n no existe, entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Es importante señalar que la inversa de este teorema no es cierta. Es decir, si lím n → ∞ a n = 0 , no podemos hacer ninguna conclusión sobre la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Por ejemplo, lím n → ∞ ( 1 / n ) = 0 , pero la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. En esta sección y en las restantes de este capítulo, mostramos muchos más ejemplos de este tipo de series. En consecuencia, aunque podemos utilizar la prueba de divergencia para demostrar que una serie diverge, no podemos utilizarla para demostrar que una serie converge. En concreto, si a n → 0 , la prueba de divergencia no es concluyente. Utilización de la prueba de divergencia Para cada una de las siguientes series, aplique la prueba de divergencia. Si la prueba de divergencia demuestra que la serie es divergente, indíquelo. En caso contrario, indique que la prueba de divergencia no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ n 3 n – 1 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ∑ n = 1 ∞ e 1 / n 2 Dado que n / ( 3 n – 1 ) → 1 / 3 ≠ 0 , por la prueba de divergencia, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ n 3 n – 1 diverge. Dado que 1 / n 3 → 0 , la prueba de divergencia no es concluyente. Dado que e 1 / n 2 → 1 ≠ 0 , por la prueba de divergencia, la serie ∑ n = 1 ∞ e 1 / n 2 diverge. ¿Qué nos dice la prueba de divergencia sobre la serie ∑ n = 1 ∞ cos ( 1 / n 2 ) ? La serie diverge. Pista Mire lím n → ∞ cos ( 1 / n 2 ) . Prueba de la integral En la sección anterior, demostramos que la serie armónica diverge observando la secuencia de sumas parciales { S k } y demostrando que S 2 k > 1 + k / 2 para todos los enteros positivos k . En esta sección utilizamos una técnica diferente para demostrar la divergencia de la serie armónica. Esta técnica es importante porque se utiliza para demostrar la divergencia o convergencia de muchas otras series. Esta prueba, llamada prueba de la integral , compara una suma infinita con una integral impropia. Es importante señalar que esta prueba solo puede aplicarse cuando consideramos una serie cuyos términos son todos positivos. Para ilustrar cómo funciona la prueba de la integral, utilice la serie armónica como ejemplo. En la , representamos la serie armónica dibujando una secuencia de rectángulos con áreas 1 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 ,… junto con la función f ( x ) = 1 / x . En el gráfico vemos que ∑ n = 1 k 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k > ∫ 1 k + 1 1 x d x . Por lo tanto, para cada k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln x | 1 k + 1 = ln ( k + 1 ) − ln ( 1 ) = ln ( k + 1 ) . Dado que lím k → ∞ ln ( k + 1 ) = ∞ , vemos que la secuencia de sumas parciales { S k } no está delimitada. Por lo tanto, { S k } diverge y, en consecuencia, la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n también diverge. La suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el área entre la curva f ( x ) = 1 / x y el eje x para x ≥ 1 . Como el área delimitada por la curva es infinita (calculada por una integral impropia), la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita. Ahora consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Mostramos cómo se puede utilizar una integral para demostrar que esta serie converge. En la , dibujamos una secuencia de rectángulos con áreas 1 , 1 / 2 2 , 1 / 3 2 ,… junto con la función f ( x ) = 1 / x 2 . En el gráfico vemos que ∑ n = 1 k 1 n 2 = 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 k 2 < 1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x . Por lo tanto, para cada k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n 2 < 1 + ∫ 1 k 1 x 2 d x = 1 − 1 x | 1 k = 1 − 1 k + 1 = 2 – 1 k < 2 . Concluimos que la secuencia de sumas parciales { S k } está delimitada. También vemos que { S k } es una secuencia creciente: S k = S k − 1 + 1 k 2 para k ≥ 2 . Dado que { S k } es creciente y está delimitada, por el teorema de convergencia monótona, converge. Por lo tanto, la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. La suma de las áreas de los rectángulos es menor que la suma del área del primer rectángulo y el área entre la curva f ( x ) = 1 / x 2 y el eje x para x ≥ 1 . Como el área delimitada por la curva es finita, la suma de las áreas de los rectángulos también lo es. Podemos extender esta idea para demostrar la convergencia o divergencia de muchas series diferentes. Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n tal que existe una función continua, positiva y decreciente f donde f ( n ) = a n para todos los enteros positivos. Entonces, como en la (a), para cualquier número entero k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k < a 1 + ∫ 1 k f ( x ) d x < a 1 + ∫ 1 ∞ f ( x ) d x . Por lo tanto, si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x converge, entonces la secuencia de sumas parciales { S k } está delimitada. Dado que { S k } es una secuencia creciente, si además es una secuencia delimitada, entonces por el teorema de convergencia monótona, converge. Concluimos que si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x converge, entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n también converge. Por otra parte, a partir de la (b), para cualquier número entero k , la k −ésima suma parcial S k satisface S k = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a k > ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x . Si lím k → ∞ ∫ 1 k + 1 f ( x ) d x = ∞ , entonces { S k } es una secuencia no delimitada y por lo tanto diverge. Como resultado, la serie ∑ n = 1 ∞ a n también diverge. Concluimos que si ∫ 1 ∞ f ( x ) d x diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. (a) Si podemos inscribir rectángulos dentro de una región delimitada por una curva y = f ( x ) y la intersección en eje x , y el área delimitada por esas curvas para x ≥ 1 es finita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es finita. (b) Si un conjunto de rectángulos circunscribe la región delimitada por y = f ( x ) y la intersección en eje x para x ≥ 1 y la región tiene un área infinita, entonces la suma de las áreas de los rectángulos también es infinita. Prueba de la integral Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n . Supongamos que existe una función f y un número entero positivo N de manera que se cumplan las tres condiciones siguientes: f es continua, f es decreciente y f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ N . Entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ N ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen (vea la ). Si bien la convergencia de ∫ N ∞ f ( x ) d x implica la convergencia de las series relacionadas ∑ n = 1 ∞ a n , no implica que el valor de la integral y de la serie sea el mismo. Pueden ser diferentes, y a menudo lo son. Por ejemplo, ∑ n = 1 ∞ ( 1 e ) n = 1 e + ( 1 e ) 2 + ( 1 e ) 3 + ⋯ es una serie geométrica con término inicial a = 1 / e y cociente r = 1 / e , que converge a 1 / e 1 − ( 1 / e ) = 1 / e ( e − 1 ) / e = 1 e − 1 . Sin embargo, la integral relacionada ∫ 1 ∞ ( 1 / e ) x d x satisface ∫ 1 ∞ ( 1 e ) x d x = ∫ 1 ∞ e – x d x = lím b → ∞ ∫ 1 b e – x d x = lím b → ∞ − e – x | 1 b = lím b → ∞ [ − e − b + e −1 ] = 1 e . Uso de la prueba de la integral Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba integral para determinar si la serie converge o diverge. Supongamos que se cumplen todas las condiciones de la prueba de la integral. ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n – 1 Compare ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 y ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x . Tenemos ∫ 1 ∞ 1 x 3 d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 x 3 d x = lím b → ∞ [ − 1 2 x 2 | 1 b ] = lím b → ∞ [ − 1 2 b 2 + 1 2 ] = 1 2 . Así, la integral ∫ 1 ∞ 1 / x 3 d x converge, y por lo tanto también lo hace la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 . Compare ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 y ∫ 1 ∞ 1 2 x – 1 d x . Dado que ∫ 1 ∞ 1 2 x – 1 d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 2 x – 1 d x = lím b → ∞ 2 x – 1 | 1 b = lím b → ∞ [ 2 b − 1 − 1 ] = ∞ , la integral ∫ 1 ∞ 1 / 2 x – 1 d x diverge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 diverge. Utilice la prueba integral para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n 3 n 2 + 1 converge o diverge. La serie diverge. Pista Compare con la integral ∫ 1 ∞ x 3 x 2 + 1 d x . La serie p La serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n y la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 son ambos ejemplos de un tipo de serie llamada serie p . Definición Para cualquier número real p , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n p se llama serie p . Sabemos que la serie p converge si p = 2 y diverge si p = 1 . ¿Qué pasa con otros valores de p ? En general, es difícil, si no imposible, calcular el valor exacto de la mayoría de las series p . Sin embargo, podemos utilizar las pruebas presentadas hasta ahora para demostrar si una serie p converge o diverge. Si p < 0 , entonces 1 / n p → ∞ , y si p = 0 , entonces 1 / n p → 1 . Por lo tanto, por la prueba de divergencia, ∑ n = 1 ∞ 1 / n p diverge si p ≤ 0 . Si p > 0 , entonces f ( x ) = 1 / x p es una función positiva, continua y decreciente. Por lo tanto, para p > 0 , utilizamos la prueba integral, comparando ∑ n = 1 ∞ 1 n p y ∫ 1 ∞ 1 x p d x . Ya hemos considerado el caso cuando p = 1 . Aquí consideramos el caso cuando p > 0 , p ≠ 1 . Para este caso, ∫ 1 ∞ 1 x p d x = lím b → ∞ ∫ 1 b 1 x p d x = lím b → ∞ 1 1 – p x 1 – p | 1 b = lím b → ∞ 1 1 – p [ b 1 – p − 1 ] . Dado que b 1 – p → 0 si p > 1 y b 1 – p → ∞ si p < 1 , concluimos que ∫ 1 ∞ 1 x p d x = { 1 p − 1 si p > 1 ∞ si p ≤ 1 . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 y diverge si 0 < p < 1 . En resumen, ∑ n = 1 ∞ 1 n p { converge si p > 1 diverge si p ≤ 1 . Pruebas de convergencia de las series p Para cada una de las siguientes series, determine si converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 / 3 Se trata de una serie p con p = 4 > 1 , para que la serie converja. Dado que p = 2 / 3 < 1 , la serie diverge. ¿La serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 4 converge o diverge? La serie converge. Pista p = 5 / 4 Estimar el valor de una serie Supongamos que sabemos que una serie ∑ n = 1 ∞ a n converge y queremos estimar la suma de esa serie. Ciertamente podemos aproximar esa suma utilizando cualquier suma finita ∑ n = 1 N a n donde N es cualquier número entero positivo. La cuestión que abordamos aquí es, para una serie convergente ∑ n = 1 ∞ a n , ¿qué tan buena es la aproximación ∑ n = 1 N a n ? Más concretamente, si suponemos que R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n es el resto cuando la suma de una serie infinita se aproxima por la N simo suma parcial, ¿qué tan grande es R N ? Para algunos tipos de series, podemos utilizar las ideas de la prueba de la integral para estimar R N . Estimación del resto de la prueba de la integral Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie convergente con términos positivos. Supongamos que existe una función f que satisface las tres condiciones siguientes: f es continua, f es decreciente y f ( n ) = a n para todos los enteros n ≥ 1 . Supongamos que S N es la enésima suma parcial de ∑ n = 1 ∞ a n . Para todos los enteros positivos N , S N + ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < ∑ n = 1 ∞ a n < S N + ∫ N ∞ f ( x ) d x . En otras palabras, el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − S N = ∑ n = N + 1 ∞ a n satisface la siguiente estimación: ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Es lo que se conoce como estimación del resto . Ilustramos la en la . En particular, al representar el resto R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ como la suma de las áreas de los rectángulos, vemos que el área de esos rectángulos está delimitada por encima por ∫ N ∞ f ( x ) d x y delimitada por debajo por ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x . En otras palabras, R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ > ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x y R N = a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Concluimos que ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . Dado que ∑ n = 1 ∞ a n = S N + R N , donde S N es la ené simo suma parcial, concluimos que S N + ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < ∑ n = 1 ∞ a n < S N + ∫ N ∞ f ( x ) d x . Dada una función continua, positiva y decreciente f y una secuencia de términos positivos a n tal que a n = f ( n ) para todos los enteros positivos n , (a) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ < ∫ N ∞ f ( x ) d x , o (b) las áreas a N + 1 + a N + 2 + a N + 3 + ⋯ > ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x . Por lo tanto, la integral es una sobreestimación o una subestimación del error. Estimar el valor de una serie Considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 . Calcule S 10 = ∑ n = 1 10 1 / n 3 y estime el error. Determine el menor valor de N necesario para que S N estime ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 con una precisión de 0,001 . Utilizando una herramienta de cálculo, tenemos S 10 = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ + 1 10 3 ≈ 1,19753 . Por la estimación del resto, sabemos que R N < ∫ N ∞ 1 x 3 d x . Tenemos ∫ 10 ∞ 1 x 3 d x = lím b → ∞ ∫ 10 b 1 x 3 d x = lím b → ∞ [ − 1 2 x 2 ] N b = lím b → ∞ [ − 1 2 b 2 + 1 2 N 2 ] = 1 2 N 2 . Por lo tanto, el error es R 10 < 1 / 2 ( 10 ) 2 = 0,005 . Calcule N tal que R N < 0,001 . En la parte a. demostramos que R N < 1 / 2 N 2 . Por lo tanto, el resto R N < 0,001 siempre y cuando 1 / 2 N 2 < 0,001 . Es decir, necesitamos 2 N 2 > 1.000 . Resolviendo esta inecuación para N , vemos que necesitamos N > 22,36 . Para asegurarnos de que el resto está dentro de la cantidad deseada, tenemos que redondear al entero más cercano. Por lo tanto, el valor mínimo necesario es N = 23 . Para ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 , calcule S 5 y estime el error R 5 . S 5 ≈ 1,09035 , R 5 < 0,00267 Pista Utilice la estimación del resto R N < ∫ N ∞ 1 / x 4 d x . Conceptos clave Si lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si lím n → ∞ a n = 0 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n puede converger o divergir. Si ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos positivos a n y f es una función continua y decreciente tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen. Además, si ∑ n = 1 ∞ a n converge, entonces la ené simo aproximación de la suma parcial S N es precisa a un error R N donde ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x . La serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1 . Ecuaciones clave Prueba de divergencia Si a n ↛ 0 a medida que n → ∞ , ∑ n = 1 ∞ a n diverge . serie p ∑ n = 1 ∞ 1 n p { converge si p > 1 diverge si p ≤ 1 Estimación del resto de la prueba de la integral ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x Para cada una de las siguientes series, si se aplica la prueba de divergencia, indique que lím n → ∞ a n no existe o halle lím n → ∞ a n . Si la prueba de divergencia no aplica, explique por qué. a n = n n + 2 a n = n 5 n 2 − 3 lím n → ∞ a n = 0 . La prueba de divergencia no aplica. a n = n 3 n 2 + 2 n + 1 a n = ( 2 n + 1 ) ( n – 1 ) ( n + 1 ) 2 lím n → ∞ a n = 2 . La serie diverge. a n = ( 2 n + 1 ) 2 n ( 3 n 2 + 1 ) n a n = 2 n 3 n / 2 lím n → ∞ a n = ∞ (no existe). La serie diverge. a n = 2 n + 3 n 10 n / 2 a n = e −2 / n lím n → ∞ a n = 1 . La serie diverge. a n = cos n a n = tan n lím n → ∞ a n no existe. La serie diverge. a n = 1 − cos 2 ( 1 / n ) sen 2 ( 2 / n ) grandes. a n = ( 1 − 1 n ) 2 n lím n → ∞ a n = 1 / e 2 . La serie diverge. a n = ln n n a n = ( ln n ) 2 n lím n → ∞ a n = 0 . La prueba de divergencia no aplica. Indique si la serie p converge. ∑ n = 1 ∞ 1 n ∑ n = 1 ∞ 1 n n La serie converge, p > 1 . ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 3 ∑ n = 1 ∞ 1 n 4 3 La serie converge, p = 4 / 3 > 1 . ∑ n = 1 ∞ n e n π ∑ n = 1 ∞ n π n 2 e La serie converge, p = 2 e − π > 1 . Utilice la prueba de la integral para determinar si las siguientes sumas convergen. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 5 3 La serie diverge por comparación con ∫ 1 ∞ d x ( x + 5 ) 1 / 3 . ∑ n = 2 ∞ 1 n ln n ∑ n = 1 ∞ n 1 + n 2 La serie diverge por comparación con ∫ 1 ∞ x 1 + x 2 d x . ∑ n = 1 ∞ e n 1 + e 2 n ∑ n = 1 ∞ 2 n 1 + n 4 La serie converge por comparación con ∫ 1 ∞ 2 x 1 + x 4 d x . ∑ n = 2 ∞ 1 n ln 2 n Exprese las siguientes sumas como series p y determine si cada una converge. ∑ n = 1 ∞ 2 − ln n ( Pista: 2 − ln n = 1 / n ln 2 ). 2 − ln n = 1 / n ln 2 . Dado que ln 2 < 1 , diverge por la serie p . ∑ n = 1 ∞ 3 − ln n ( Pista: 3 − ln n = 1 / n ln 3 ). ∑ n = 1 ∞ n 2 −2 ln n 2 −2 ln n = 1 / n 2 ln 2 . Dado que 2 ln 2 – 1 < 1 , diverge por la serie p . ∑ n = 1 ∞ n 3 −2 ln n Utilice la estimación R N ≤ ∫ N ∞ f ( t ) d t para calcular un límite para el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n donde a n = f ( n ) . ∑ n = 1 1.000 1 n 2 R 1.000 ≤ ∫ 1.000 ∞ d t t 2 = − 1 t | 1.000 ∞ = 0,001 ∑ n = 1 1.000 1 n 3 ∑ n = 1 1.000 1 1 + n 2 R 1.000 ≤ ∫ 1.000 ∞ d t 1 + t 2 = tan −1 ∞ − tan –1 ( 1.000 ) = π / 2 − tan –1 ( 1.000 ) ≈ 0,000999 ∑ n = 1 100 n / 2 n [T] Halle el valor mínimo de N tal que la estimación del resto ∫ N + 1 ∞ f < R N < ∫ N ∞ f garantice que ∑ n = 1 N a n estima ∑ n = 1 ∞ a n , con una precisión dentro del error dado. a n = 1 n 2 , error < 10 −4 R N < ∫ N ∞ d x x 2 = 1 / N , N > 10 4 a n = 1 n 1,1 , error < 10 −4 a n = 1 n 1,01 , error < 10 −4 R N < ∫ N ∞ d x x 1,01 = 100 N −0,01 , N > 10 600 a n = 1 n ln 2 n , error < 10 −3 a n = 1 1 + n 2 , error < 10 −3 R N < ∫ N ∞ d x 1 + x 2 = π / 2 − tan –1 ( N ) , N > tan ( π / 2 − 10 −3 ) ≈ 1.000 En los siguientes ejercicios, halle un valor de N tal que R N sea menor que el error deseado. Calcule la suma correspondiente ∑ n = 1 N a n y compárela con la estimación dada de la serie infinita. a n = 1 n 11 , error < 10 −4 , ∑ n = 1 ∞ 1 n 11 = 1,000494 … a n = 1 e n , error < 10 −5 , ∑ n = 1 ∞ 1 e n = 1 e − 1 = 0,581976 … R N < ∫ N ∞ d x e x = e − N , N > 5 ln ( 10 ) , está bien si N = 12 ; ∑ n = 1 12 e − n = 0,581973... . La estimación coincide con 1 / ( e − 1 ) con cinco decimales. a n = 1 e n 2 , error < 10 −5 , ∑ n = 1 ∞ n / e n 2 = 0,40488139857 … a n = 1 / n 4 , error < 10 −4 , ∑ n = 1 ∞ 1 / n 4 = π 4 / 90 = 1,08232 ... R N < ∫ N ∞ d x / x 4 = 1 / 3 N 3 , N > ( 10 4 / 3 ) 1 / 3 , está bien si N = 15 ; ∑ n = 1 15 1 / n 4 = 1,08226 … . La estimación coincide con la suma con precisión de tres decimales. a n = 1 / n 6 , error < 10 −6 , ∑ n = 1 ∞ 1 / n 4 = π 6 / 945 = 1,01734306... , Calcule el límite a medida que n → ∞ de 1 n + 1 n + 1 + ⋯ + 1 2 n . ( Pista: Compare con ∫ n 2 n 1 t d t . ). grandes. ln ( 2 ) Calcule el límite a medida que n → ∞ de 1 n + 1 n + 1 + ⋯ + 1 3 n Los siguientes ejercicios pretenden dar una idea de las aplicaciones en las que surgen las sumas parciales de las series armónicas. En ciertas aplicaciones de la probabilidad, como el llamado estimador de Watterson para predecir las tasas de mutación en genética de poblaciones, es importante tener una estimación precisa del número H k = ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 k ) . Recordemos que T k = H k − ln k es decreciente. Calcule T = lím k → ∞ T k con cuatro decimales. ( Pista: 1 k + 1 < ∫ k k + 1 1 x d x ). T = 0,5772 ... [T] El muestreo completo con reemplazo, a veces llamado problema del recolector de cupones se plantea de la siguiente manera: Suponga que tiene N artículos únicos en una papelera. En cada paso, se elige un artículo al azar, se identifica y se devuelve a la papelera. El problema pregunta cuál es el número esperado de pasos E ( N ) que se necesita para sacar cada artículo único al menos una vez. Resulta que E ( N ) = N . H N = N ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 N ) . Calcule E ( N ) para N = 10 , 20 , y 50 . [T] La forma más sencilla de barajar las cartas es tomar la carta superior e insertarla en un lugar aleatorio del mazo, lo que se llama inserción aleatoria superior, y luego repetir. Consideraremos que un mazo se baraja aleatoriamente una vez que se han realizado suficientes inserciones aleatorias en la parte superior como para que la carta que estaba originalmente en la parte inferior haya llegado a la parte superior y haya sido insertada aleatoriamente. Si el mazo tiene n cartas, entonces la probabilidad de que la inserción esté por debajo de la carta inicialmente en la parte inferior (llamémosla carta B ) es 1 / n . Así, el número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que B ya no esté en el fondo es n . Una vez que una carta esté por debajo de B , hay dos lugares debajo de B y la probabilidad de que una carta insertada al azar quede por debajo de B es 2 / n . El número esperado de inserciones aleatorias superiores antes de que esto ocurra es n / 2 . Las dos cartas debajo de B están ahora en orden aleatorio. Siguiendo así, halle una fórmula para el número esperado de inserciones aleatorias superiores necesarias para considerar que el mazo se barajea al azar. El número esperado de inserciones aleatorias para que B llegue a la parte superior es n + n / 2 + n / 3 + ⋯ + n / ( n – 1 ) . Entonces una inserción más pone B de nuevo en una posición aleatoria. Por lo tanto, el número esperado de barajadas para que el mazo quede distribuido de manera aleatoria es n ( 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / n ) . Supongamos que un scooter puede viajar 100 km con el depósito lleno. Suponiendo que el combustible se puede transferir de un scooter a otro, pero solo se puede llevar en el depósito, presente un procedimiento que permita a uno de los scooters viajar 100 H N km, donde H N = 1 + 1 / 2 + ⋯ + 1 / N . Demuestre que para que la estimación del resto se aplique en [ N , ∞ ) es suficiente que f ( x ) sea decreciente en [ N , ∞ ) , pero f no tiene por qué ser decreciente en [ 1 , ∞ ) . Establezca b n = a n + N y g ( t ) = f ( t + N ) tal que f es decreciente en [ t , ∞ ) . [T] Utilice la estimación del resto y la integración por partes para aproximar ∑ n = 1 ∞ n / e n con un error menor que 0,0001 . ¿ ∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? La serie converge para p > 1 por la prueba de la integral utilizando el cambio de variable. [T] Supongamos que una computadora puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente ∑ n = 1 N 1 n . Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100 . [T] Una computadora rápida puede sumar un millón de términos por segundo de la serie divergente ∑ n = 2 N 1 n ln n . Utilice la prueba de la integral para aproximar cuántos segundos tardará en sumar suficientes términos para que la suma parcial supere 100 . N = e e 100 ≈ e 10 43 términos son necesarios. prueba de divergencia si lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces la serie ∑ n = 1 ∞ a n diverge prueba de la integral para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos a n , si existe una función continua y decreciente f tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ambas convergen o ambas divergen serie p una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ 1 / n p estimación del resto para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos a n y una función continua y decreciente f tal que f ( n ) = a n para todos los enteros positivos n , el resto R N = ∑ n = 1 ∞ a n − ∑ n = 1 N a n satisface la siguiente estimación: ∫ N + 1 ∞ f ( x ) d x < R N < ∫ N ∞ f ( x ) d x", "section": "Las pruebas de divergencia e integral", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Pruebas de comparación Hemos visto que la prueba de la integral nos permite determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una integral impropia relacionada. En esta sección, mostramos cómo utilizar las pruebas de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie comparándola con una serie cuya convergencia o divergencia se conoce. Normalmente, estas pruebas se utilizan para determinar la convergencia de las series que son similares a las series geométricas o a las series p . Prueba de comparación En las dos secciones anteriores, hemos hablado de dos grandes clases de series: las series geométricas y las series p . Sabemos exactamente cuándo estas series convergen y cuándo divergen. Aquí mostramos cómo utilizar la convergencia o divergencia de estas series para demostrar la convergencia o divergencia de otras series, utilizando un método llamado prueba de comparación . Por ejemplo, consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 . Esta serie es similar a la serie convergente ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . Como los términos de cada una de las series son positivos, la secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente. Además, como 0 < 1 n 2 + 1 < 1 n 2 para todos los enteros positivos n , la k −ésima suma parcial S k de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n 2 + 1 < ∑ n = 1 k 1 n 2 < ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 . (Vea la (a) y la ). Como la serie de la derecha converge, la secuencia { S k } está delimitada por encima. Concluimos que { S k } es una secuencia monótona creciente que está delimitada por encima. Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, { S k } converge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 converge. Del mismo modo, consideremos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 . Esta serie se parece a la serie divergente ∑ n = 1 ∞ 1 n . La secuencia de sumas parciales de cada serie es monótona creciente y 1 n – 1 / 2 > 1 n > 0 para cada número entero positivo n . Por lo tanto, la k −ésima suma parcial S k de ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 satisface S k = ∑ n = 1 k 1 n – 1 / 2 > ∑ n = 1 k 1 n . (Vea la (b) y la ). Dado que la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge al infinito, la secuencia de sumas parciales ∑ n = 1 k 1 / n no está delimitada. En consecuencia, { S k } es una secuencia no delimitada, y por lo tanto diverge. Concluimos que ∑ n = 1 ∞ 1 n – 1 / 2 diverge. (a) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es menor que la correspondiente suma parcial de la serie . (b) Cada una de las sumas parciales de la serie dada es mayor que la correspondiente suma parcial de la serie armónica divergente. Comparación de una serie con una serie p ( p = 2) k 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ n = 1 k 1 n 2 + 1 0,5 0,7 0,8 0,8588 0,8973 0,9243 0,9443 0,9597 ∑ n = 1 k 1 n 2 1 1,25 1,3611 1,4236 1,4636 1,4914 1,5118 1,5274 Comparación de una serie con la serie armónica k 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ n = 1 k 1 n – 1 / 2 2 2,6667 3,0667 3,3524 3,5746 3,7564 3,9103 4,0436 ∑ n = 1 k 1 n 1 1,5 1,8333 2,0933 2,2833 2,45 2,5929 2,7179 Prueba de comparación Supongamos que existe un número entero N tal que 0 ≤ a n ≤ b n para todo n ≥ N . Si ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que existe un número entero N tal que a n ≥ b n ≥ 0 para todo n ≥ N . Si ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba Demostramos la parte i. La prueba de la parte ii. es el contrapositivo de la parte i. Supongamos que { S k } es la secuencia de sumas parciales asociadas a ∑ n = 1 ∞ a n , y supongamos que L = ∑ n = 1 ∞ b n . Dado que los términos a n ≥ 0 , S k = a 1 + a 2 + ⋯ + a k ≤ a 1 + a 2 + ⋯ + a k + a k + 1 = S k + 1 . Por tanto, la secuencia de sumas parciales es creciente. Además, como a n ≤ b n para todo n ≥ N , entonces ∑ n = N k a n ≤ ∑ n = N k b n ≤ ∑ n = 1 ∞ b n = L . Por lo tanto, para todo k ≥ 1 , S k = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 ) + ∑ n = N k a n ≤ ( a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 ) + L . Dado que a 1 + a 2 + ⋯ + a N − 1 es un número finito, concluimos que la secuencia { S k } está delimitada por encima. Por lo tanto, { S k } es una secuencia creciente que está delimitada por encima. Por el teorema de convergencia monótona, concluimos que { S k } converge, y por tanto la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge. □ Para utilizar la prueba de comparación para determinar la convergencia o divergencia de una serie ∑ n = 1 ∞ a n , es necesario hallar una serie adecuada con la que compararla. Dado que conocemos las propiedades de convergencia de las series geométricas y de las series p , estas series se utilizan a menudo. Si existe un número entero N tal que para todo n ≥ N , cada término a n es menor que cada término correspondiente de una serie convergente conocida, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Del mismo modo, si existe un número entero N tal que para todo n ≥ N , cada término a n es mayor que cada término correspondiente de una serie divergente conocida, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Uso de la prueba de comparación Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 3 n + 1 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 ∑ n = 2 ∞ 1 ln ( n ) Compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 es una serie p con p = 3 , converge. Además, 1 n 3 + 3 n + 1 < 1 n 3 para cada número entero positivo n . Por lo tanto, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 3 n + 1 converge. Compare con ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n . Dado que ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ) n es una serie geométrica con r = 1 / 2 y | 1 / 2 | < 1 , converge. También, 1 2 n + 1 < 1 2 n para cada número entero positivo n . Por lo tanto, vemos que ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 converge. Compare con ∑ n = 2 ∞ 1 n . Dado que 1 ln ( n ) > 1 n para cada número entero n ≥ 2 y ∑ n = 2 ∞ 1 / n diverge, tenemos que ∑ n = 2 ∞ 1 ln ( n ) diverge. Utilice la prueba de comparación para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n n 3 + n + 1 converge o diverge. La serie converge. Pista Halle un valor p tal que n n 3 + n + 1 ≤ 1 n p . Prueba de comparación de límites La prueba de comparación funciona bien si podemos hallar una serie comparable que satisfaga la hipótesis de la prueba. Sin embargo, a veces puede ser difícil hallar una serie adecuada. Considere la serie ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 . Es natural comparar esta serie con la serie convergente ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Sin embargo, esta serie no satisface la hipótesis necesaria para utilizar la prueba de comparación porque 1 n 2 – 1 > 1 n 2 para todos los enteros n ≥ 2 . Aunque podríamos buscar otra serie con la que comparar ∑ n = 2 ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) , en cambio, mostramos cómo podemos utilizar la prueba de comparación de límites para comparar ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 y ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 . Examinemos la idea detrás de la prueba de comparación de límites. Consideremos dos series ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n . con términos positivos a n y b n y evaluemos lím n → ∞ a n b n . Si lím n → ∞ a n b n = L ≠ 0 , entonces, para n suficientemente grande, a n ≈ L b n . Por lo tanto, o ambas series convergen o ambas series divergen. Para la serie ∑ n = 2 ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) y ∑ n = 2 ∞ 1 / n 2 , vemos que lím n → ∞ 1 / ( n 2 – 1 ) 1 / n 2 = lím n → ∞ n 2 n 2 – 1 = 1 . Dado que ∑ n = 2 ∞ 1 / n 2 converge, concluimos que ∑ n = 2 ∞ 1 n 2 – 1 converge. La prueba de comparación de límites puede utilizarse en otros dos casos. Supongamos que lím n → ∞ a n b n = 0 . En este caso, { a n / b n } es una secuencia delimitada. Como resultado, existe una constante M tal que a n ≤ M b n . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Por otro lado, supongamos que lím n → ∞ a n b n = ∞ . En este caso, { a n / b n } es una secuencia no delimitada. Por lo tanto, para cada constante M existe un número entero N tal que a n ≥ M b n para todo n ≥ N . Por lo tanto, si ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n también diverge. Prueba de comparación de límites Supongamos que a n , b n ≥ 0 para todo n ≥ 1 . Si lím n → ∞ a n / b n = L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen. Si lím n → ∞ a n / b n = 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si lím n → ∞ a n / b n = ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Observe que si a n / b n → 0 y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Del mismo modo, si a n / b n → ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n converge, la prueba tampoco proporciona información. Por ejemplo, consideremos las dos series ∑ n = 1 ∞ 1 / n y ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Estas series son ambas series p con p = 1 / 2 y p = 2 , respectivamente. Dado que p = 1 / 2 < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. Por otra parte, dado que p = 2 > 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. Sin embargo, supongamos que intentamos aplicar la prueba de comparación de límites, utilizando la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n 3 como nuestra serie de comparación. En primer lugar, vemos que 1 / n 1 / n 3 = n 3 n = n 5 / 2 → ∞ a medida que n → ∞ . Del mismo modo, vemos que 1 / n 2 1 / n 3 = n → ∞ a medida que n → ∞ . Por lo tanto, si a n / b n → ∞ cuando ∑ n = 1 ∞ b n converge, no obtenemos ninguna información sobre la convergencia o divergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Uso de la prueba de comparación de límites Para cada una de las siguientes series, utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie converge o diverge. Si la prueba no aplica, indíquelo. ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 3 n ∑ n = 1 ∞ ln ( n ) n 2 Compare esta serie con ∑ n = 1 ∞ 1 n . Calcule lím n → ∞ 1 / ( n + 1 ) 1 / n = lím n → ∞ n n + 1 = lím n → ∞ 1 1 + 1 / n = 1 . Por la prueba de comparación de límites, dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 diverge. Compare esta serie con ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n . Vemos que lím n → ∞ ( 2 n + 1 ) / 3 n 2 n / 3 n = lím n → ∞ 2 n + 1 3 n . 3 n 2 n = lím n → ∞ 2 n + 1 2 n = lím n → ∞ [ 1 + ( 1 2 ) n ] = 1 . Por lo tanto, lím n → ∞ ( 2 n + 1 ) / 3 n 2 n / 3 n = 1 . Dado que ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n converge, concluimos que ∑ n = 1 ∞ 2 n + 1 3 n converge. Dado que ln n < n , compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n . Vemos que lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n = lím n → ∞ ln n n 2 . n 1 = lím n → ∞ ln n n . Para evaluar lím n → ∞ ln n / n , evalúe el límite a medida que x → ∞ de la función de valor real ln ( x ) / x . Estos dos límites son iguales, y hacer este cambio nos permite utilizar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 1 x = 0 . Por lo tanto, lím n → ∞ ln n / n = 0 , y, en consecuencia, lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n = 0 . Dado que el límite es 0 pero ∑ n = 1 ∞ 1 n diverge, la prueba de comparación de límites no proporciona ninguna información. Compare con ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 en su lugar. En este caso, lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n 2 = lím n → ∞ ln n n 2 . n 2 1 = lím n → ∞ ln n = ∞ . Dado que el límite es ∞ pero ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 converge, la prueba sigue sin proporcionar ninguna información. Así que ahora probamos una serie entre las dos que ya hemos probado. Si elegimos la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 , vemos que lím n → ∞ ln n / n 2 1 / n 3 / 2 = lím n → ∞ ln n n 2 . n 3 / 2 1 = lím n → ∞ ln n n . Como en el caso anterior, para evaluar lím n → ∞ ln n / n , evalúe el límite a medida que x → ∞ de la función de valor real ln x / x . Usando la regla de L'Hôpital, lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 2 x x = lím x → ∞ 2 x = 0 . Dado que el límite es 0 y ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 / 2 converge, podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ ln n n 2 converge. Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ 5 n 3 n + 2 converge o diverge. La serie diverge. Pista Compare con una serie geométrica. Conceptos clave Las pruebas de comparación se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de series con términos positivos. Al utilizar las pruebas de comparación, una serie ∑ n = 1 ∞ a n se compara a menudo con una serie geométrica o p . Utilice la prueba de comparación para determinar si las siguientes series convergen. ∑ n = 1 ∞ a n donde a n = 2 n ( n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ a n donde a n = 1 n ( n + 1 / 2 ) Converge por comparación con 1 / n 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 2 ( n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 2 n – 1 Diverge por comparación con la serie armónica, dado que 2 n – 1 ≥ n . ∑ n = 2 ∞ 1 ( n ln n ) 2 ∑ n = 1 ∞ n ! ( n + 2 ) ! a n = 1 / ( n + 1 ) ( n + 2 ) < 1 / n 2 . Converge por comparación con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ 1 n ! ∑ n = 1 ∞ sen ( 1 / n ) n sen ( 1 / n ) ≤ 1 / n , por lo que converge por comparación con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ sen 2 n n 2 ∑ n = 1 ∞ sen ( 1 / n ) ( n ) 3 sen ( 1 / n ) ≤ 1 , por lo que converge por comparación con la serie p , p = 3 / 2 . ∑ n = 1 ∞ n 1,2 − 1 n 2,3 + 1 ∑ n = 1 ∞ n + 1 − n n Dado que n + 1 − n = 1 / ( n + 1 + n ) ≤ 2 / n , la serie converge por comparación con la serie p para p = 1,5. ∑ n = 1 ∞ n 4 n 4 + n 2 3 Utilice la prueba de comparación de límites para determinar si cada una de las siguientes series converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( ln n n ) 2 Converge por comparación de límites con la serie p para p > 1 . ∑ n = 1 ∞ ( ln n n 0,6 ) 2 ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n ) n Converge por comparación de límites con la serie p , p = 2 . ∑ n = 1 ∞ ln ( 1 + 1 n 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 4 n − 3 n Converge por comparación de límites con 4 − n . ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 − n sen n ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1,1 ) n − 3 n Converge por comparación de límites con 1 / e 1,1 n . ∑ n = 1 ∞ 1 e ( 1,01 ) n − 3 n ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n Diverge por comparación de límites con la serie armónica. ∑ n = 1 ∞ 1 2 1 + 1 / n n 1 + 1 / n ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − sen ( 1 n ) ) Converge por comparación de límites con la serie p , p = 3 . ∑ n = 1 ∞ ( 1 − cos ( 1 n ) ) grandes. ∑ n = 1 ∞ 1 n ( π 2 − tan −1 n ) Converge por comparación de límites con la serie p , p = 3 . ∑ n = 1 ∞ ( 1 − 1 n ) n . n ( Pista: ( 1 − 1 n ) n → 1 / e . ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( 1 − e −1 / n ) ( Pista: 1 / e ≈ ( 1 − 1 / n ) n , así que 1 − e −1 / n ≈ 1 / n . ) Diverge por comparación de límites con 1 / n . ¿ ∑ n = 2 ∞ 1 ( ln n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? ¿ ∑ n = 1 ∞ ( ( ln n ) n ) p converge si p es lo suficientemente grande? Si es así, ¿para cuáles p ? Converge para p > 1 en comparación con una serie p para un p un poco más pequeño p . ¿Para cuáles p la serie ∑ n = 1 ∞ 2 p n / 3 n converge? ¿Para cuáles p > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ n p 2 n converge? Converge para todo p > 0 . ¿Para cuáles r > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ r n 2 2 n converge? ¿Para cuáles r > 0 la serie ∑ n = 1 ∞ 2 n r n 2 converge? Converge para todo r > 1 . Si r > 1 entonces r n > 4 , digamos, una vez n > ln ( 2 ) / ln ( r ) y entonces la serie converge por comparación de límites con una serie geométrica con razón 1 / 2 . Halle todos los valores de p y q tal que ∑ n = 1 ∞ n p ( n ! ) q converge. ¿ ∑ n = 1 ∞ sen 2 ( n r / 2 ) n converge o diverge? Explique. El numerador es igual a 1 cuando n es impar y 0 cuando n es par, por lo que la serie se puede reescribir ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 , que diverge por comparación de límites con la serie armónica. Explique por qué, para cada n , al menos uno de { | sen n | , | sen ( n + 1 ) | ,... , | sen n + 6 | } es mayor que 1 / 2 . Utilice esta relación para comprobar la convergencia de ∑ n = 1 ∞ | sen n | n . Supongamos que a n ≥ 0 y b n ≥ 0 y que ∑ n = 1 ∞ a 2 n y ∑ n = 1 ∞ b 2 n convergen. Demuestre que ∑ n = 1 ∞ a n b n converge y ∑ n = 1 ∞ a n b n ≤ 1 2 ( ∑ n = 1 ∞ a n 2 + ∑ n = 1 ∞ b n 2 ) . ( a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2 o a 2 + b 2 ≥ 2 a b , por lo que la convergencia se deduce de la comparación de 2 a n b n con a 2 n + b 2 n . Como las sumas parciales de la izquierda están delimitadas por las de la derecha, la desigualdad se mantiene para la serie infinita. ¿ ∑ n = 1 ∞ 2 − ln ln n converge? ( Pista: Escriba 2 ln ln n como potencia de ln n . ) ¿ ∑ n = 1 ∞ ( ln n ) − ln n converge? ( Pista: Utilice n = e ln ( n ) para comparar con una serie . ) grandes. ( ln n ) − ln n = e − ln ( n ) ln ln ( n ) . Si n es lo suficientemente grande, entonces ln ln n > 2 , tal que ( ln n ) − ln n < 1 / n 2 , y la serie converge por comparación con una serie . ¿ ∑ n = 2 ∞ ( ln n ) − ln ln n converge? ( Pista: Compare a n a 1 / n . ) Demuestre que si a n ≥ 0 y ∑ n = 1 ∞ a n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge. Si ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge, ¿ ∑ n = 1 ∞ a n converge necesariamente? a n → 0 , así que a 2 n ≤ | a n | para n . La convergencia se desprende de la comparación de límites. ∑ 1 / n 2 converge, pero ∑ 1 / n no lo hace, por lo que el hecho de que ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge no implica que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que a n > 0 para todo n y que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de ceros y unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n converge necesariamente? Supongamos que a n > 0 para todo n y que ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de ceros y unos con infinitos términos iguales a uno. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n necesariamente diverge? No. ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge. Supongamos que b k = 0 a menos que k = n 2 para algunos n . Entonces ∑ k b k / k = ∑ 1 / k 2 converge. Complete los detalles del siguiente argumento: Si ∑ n = 1 ∞ 1 n converge a una suma finita s , entonces 1 2 s = 1 2 + 1 4 + 1 6 + ⋯ y s − 1 2 s = 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ . ¿Por qué esto lleva a una contradicción? Demuestre que si a n ≥ 0 y ∑ n = 1 ∞ a 2 n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ sen 2 ( a n ) converge. | sen t | ≤ | t | , por lo que el resultado se desprende de la prueba de comparación. Supongamos que a n / b n → 0 en la prueba de comparación, donde a n ≥ 0 y b n ≥ 0, Demuestre que si ∑ b n converge, entonces ∑ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia infinita de ceros y unos. ¿Cuál es el mayor valor posible de x = ∑ n = 1 ∞ b n / 2 n ? Por la prueba de comparación, x = ∑ n = 1 ∞ b n / 2 n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 / 2 n = 1 Supongamos que d n es una secuencia infinita de dígitos, es decir d n toma valores en { 0 , 1 ,… , 9 } . ¿Cuál es el mayor valor posible de x = ∑ n = 1 ∞ d n / 10 n que converge? Explique por qué, si x > 1 / 2 , entonces x no se puede escribir x = ∑ n = 2 ∞ b n 2 n ( b n = 0 o 1 , b 1 = 0 ) . Si b 1 = 0 , entonces, en comparación, x ≤ ∑ n = 2 ∞ 1 / 2 n = 1 / 2 . [T] Evelyn tiene una balanza perfecta, un número ilimitado de pesos de 1 −kg y una de 1 / 2 −kg , 1 / 4 −kg , 1 / 8 −kg , y así sucesivamente. Desea pesar un meteorito de origen no especificado con una precisión arbitraria. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas? [T] Robert quiere saber su masa corporal con una precisión arbitraria. Tiene una balanza grande que funciona perfectamente, una colección ilimitada de pesos de 1 −kg y nueve de 0,1 −kg, 0,01 −kg , 0,001 −kg, y así sucesivamente. Suponiendo que la escala sea lo suficientemente grande, ¿puede hacerlo? ¿Qué tiene que ver esto con las series infinitas? Sí. Siga añadiendo pesos de 1 −kg hasta que la balanza se incline hacia el lado de los pesos. Si se equilibra perfectamente, con Robert de pie en el otro lado, deténgase. En caso contrario, elimine uno de los pesos de 1 −kg y añada pesos de 0,1 −kg uno a la vez. Si se equilibra después de añadir algunos de estos, deténgase. De lo contrario, si se inclina hacia los pesos, retire el último peso de 0,1 −kg . Empiece a añadir pesos de 0,01 −kg . Si se equilibra, deténgase. Si se inclina hacia el lado con los pesos, retire el último peso de 0,01 −kg que se añadió. Continúe así para los pesos de 0,001 −kg y así sucesivamente. Después de un número finito de pasos, se tiene una serie finita de la forma A + ∑ n = 1 N s n / 10 n donde A es el número de pesos completos en kg y d n es el número de pesos de 1 / 10 n −kg que se añadieron. Si en algún estado esta serie es el peso exacto de Robert, el proceso se detendrá. En caso contrario, representa la enésima simo suma parcial de una serie infinita que da el peso exacto de Robert, y el error de esta suma es como máximo 1 / 10 N . La serie ∑ n = 1 ∞ 1 2 n es la mitad de la serie armónica y, por esto, diverge. Se obtiene a partir de la serie armónica eliminando todos los términos en los que n es impar. Supongamos que m > 1 es fijo. Demuestre, de forma más general, que la eliminación de todos los términos 1 / n donde n = m k para algún número entero k también da como resultado una serie divergente. A la vista del ejercicio anterior, puede sorprender que una subserie de la serie armónica en la que se suprime aproximadamente uno de cada cinco términos pueda converger. Una serie armónica agotada es una serie obtenida a partir de ∑ n = 1 ∞ 1 n eliminando cualquier término 1 / n si una cifra determinada, por ejemplo 9 , aparece en la expansión decimal de n . Argumente que esta serie armónica agotada converge respondiendo a las siguientes preguntas. ¿Cuántos números enteros n tienen d dígitos? ¿Cuántos números enteros con dígitos d h ( d ) . no contienen 9 como uno o más de sus dígitos? ¿Cuál es el menor número con dígitos d m ( d ) ? Explique por qué la serie armónica suprimida está delimitada por ∑ d = 1 ∞ h ( d ) m ( d ) . Demuestre que ∑ d = 1 ∞ h ( d ) m ( d ) converge. a. 10 d − 10 d − 1 < 10 d b. h ( d ) < 9 d c. m ( d ) = 10 d − 1 + 1 d. Agrupe los términos de la serie armónica eliminada por el número de dígitos h ( d ) delimita el número de términos, y cada término es como máximo 1 / m ( d ) . ∑ d = 1 ∞ h ( d ) / m ( d ) ≤ ∑ d = 1 ∞ 9 d / ( 10 ) d − 1 ≤ 90. En realidad se puede utilizar la comparación para estimar el valor a menor que 80 . El valor real es menor que 23 . Supongamos que una secuencia de números a n > 0 tiene la propiedad de que a 1 = 1 y a n + 1 = 1 n + 1 S n , donde S n = a 1 + ⋯ + a n . ¿Puede determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge? ( Pista: S n es monótona). Supongamos que una secuencia de números a n > 0 tiene la propiedad de que a 1 = 1 y a n + 1 = 1 ( n + 1 ) 2 S n , donde S n = a 1 + ⋯ + a n . ¿Puede determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge? ( Pista: S 2 = a 2 + a 1 = a 2 + S 1 = a 2 + 1 = 1 + 1 / 4 = ( 1 + 1 / 4 ) S 1 , S 3 = 1 3 2 S 2 + S 2 = ( 1 + 1 / 9 ) S 2 = ( 1 + 1 / 9 ) ( 1 + 1 / 4 ) S 1 , etc. Mire ln ( S n ) , y utilice ln ( 1 + t ) ≤ t , t > 0 . ) Siguiendo la pista, da S N = ( 1 + 1 / N 2 ) ( 1 + 1 / ( N − 1 ) 2 … ( 1 + 1 / 4 ) ) . Entonces ln ( S N ) = ln ( 1 + 1 / N 2 ) + ln ( 1 + 1 / ( N − 1 ) 2 ) + ⋯ + ln ( 1 + 1 / 4 ) . Dado que ln ( 1 + t ) está delimitada por una constante de t veces t , cuando 0 < t < 1 se tiene ln ( S N ) ≤ C ∑ n = 1 N 1 n 2 , que converge por comparación con la serie p para p = 2 . prueba de comparación si 0 ≤ a n ≤ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge; si a n ≥ b n ≥ 0 para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge prueba de comparación de límites supongamos que a n , b n ≥ 0 para todo n ≥ 1 . Si lím n → ∞ a n / b n → L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen; si lím n → ∞ a n / b n → 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si lím n → ∞ a n / b n → ∞ , y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge", "section": "Pruebas de comparación", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Series alternadas Hasta ahora en este capítulo, hemos hablado principalmente de series con términos positivos. En esta sección introducimos las series alternadas, es decir, aquellas series cuyos términos alternan su signo. En un capítulo posterior mostraremos que estas series surgen a menudo cuando se estudian las series de potencias. Después de definir las series alternadas, introducimos la prueba de las series alternadas para determinar si una serie de este tipo converge. La prueba de las series alternadas Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternada . Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( − 1 2 ) n = − 1 2 + 1 4 − 1 8 + 1 16 − ⋯ y ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ son ambas series alternadas. Definición Toda serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alternada. Una serie alternada puede escribirse de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n = − b 1 + b 2 − b 3 + b 4 − ⋯ Donde b n > 0 para todos los enteros positivos n . La serie (1), que se muestra en la , es una serie geométrica. Dado que | r | = | − 1 / 2 | < 1 , la serie converge. La serie (2), que se muestra en la , se denomina serie armónica alternada. Demostraremos que mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternada converge. Para demostrarlo, observamos la secuencia de sumas parciales { S k } ( ). Prueba Considere los términos impares S 2 k + 1 para k ≥ 0 . Dado que 1 / ( 2 k + 1 ) < 1 / 2 k , S 2 k + 1 = S 2 k − 1 − 1 2 k + 1 2 k + 1 < S 2 k − 1 . Por lo tanto, { S 2 k + 1 } es una secuencia decreciente. También, S 2 k + 1 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 2 k − 1 − 1 2 k ) + 1 2 k + 1 > 0 . Por lo tanto, { S 2 k + 1 } está delimitada por debajo. Dado que { S 2 k + 1 } es una secuencia decreciente que está delimitada por debajo, por el teorema de convergencia monótona, { S 2 k + 1 } converge. Del mismo modo, los términos pares { S 2 k } forman una secuencia creciente que está delimitada por encima porque S 2 k = S 2 k − 2 + 1 2 k − 1 − 1 2 k > S 2 k − 2 y S 2 k = 1 + ( − 1 2 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 2 k − 2 + 1 2 k − 1 ) − 1 2 k < 1 . Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia { S 2 k } también converge. Dado que S 2 k + 1 = S 2 k + 1 2 k + 1 , sabemos que lím k → ∞ S 2 k + 1 = lím k → ∞ S 2 k + lím k → ∞ 1 2 k + 1 . Suponiendo que S = lím k → ∞ S 2 k + 1 y utilizando el hecho de que 1 / ( 2 k + 1 ) → 0 , concluimos que lím k → ∞ S 2 k = S . Dado que los términos pares e impares de la secuencia de sumas parciales convergen al mismo límite S , se puede demostrar que la secuencia de sumas parciales converge a S , y por tanto la serie armónica alternada converge a S . También se puede demostrar que S = ln 2 , y podemos escribir ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = ln ( 2 ) . Para la serie armónica alternada, los términos impares S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k son crecientes y están delimitados por encima. □ De forma más general, cualquier serie alternada de la forma (3) ( ) o (4) ( ) converge siempre que b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ y b n → 0 ( ). La prueba es similar a la de la serie armónica alternada. Para una serie alternada b 1 − b 2 + b 3 − ⋯ en la que b 1 > b 2 > b 3 > ⋯ , los términos impares S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k son crecientes y están delimitados por encima. Prueba de series alternadas Una serie alternada de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n converge si 0 < b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ 1 y lím n → ∞ b n = 0 . Esto se conoce como la prueba de series alternadas . Observamos que este teorema es cierto de forma más general siempre que exista algún número entero N tal que 0 < b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ N . Convergencia de las series alternadas Para cada una de las siguientes series alternadas, determine si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / ( n + 1 ) Dado que 1 ( n + 1 ) 2 < 1 n 2 y 1 n 2 → 0 , la serie converge. Dado que n / ( n + 1 ) ↛ 0 a medida que n → ∞ , no podemos aplicar la prueba de series alternadas. En su lugar, utilizamos la prueba del enésimo término para la divergencia. Dado que lím n → ∞ ( –1 ) n + 1 n n + 1 ≠ 0 , la serie diverge. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / 2 n converge o diverge. La serie converge. Pista ¿Es { n / 2 n } decreciente? ¿Cuál es el lím n → ∞ n / 2 n ? Resto de una serie alternada Es difícil calcular de manera explícita la suma de la mayoría de las series alternadas, por lo que normalmente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que S denota la suma de esta serie y { S k } sea la secuencia correspondiente de sumas parciales. En la vemos que para cualquier número entero N ≥ 1 , el resto R N satisface | R N | = | S − S N | ≤ | S N + 1 − S N | = b n + 1 . Resto de series alternadas Consideremos una serie alternada de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que S denota la suma de la serie y S N denota la ené −ésima suma parcial. Para cualquier número entero N ≥ 1 , el resto R N = S − S N satisface | R N | ≤ b N + 1 . En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternadas, entonces el error de aproximación de la serie infinita por la ené −ésima suma parcial S N es, como máximo, del tamaño del siguiente término b N + 1 . Estimación del resto de una serie alternada Consideremos la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 2 . Utilice la estimación del resto para determinar un límite en el error R 10 si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial S 10 . A partir del teorema anterior, | R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265 . Halle un límite para R 20 cuando se aproxima ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n por S 20 . 0,04762 Pista | R 20 | ≤ b 21 Convergencia absoluta y condicional Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n y la serie relacionada ∑ n = 1 ∞ | a n | . Aquí hablamos sobre las posibilidades de la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, consideremos la serie armónica alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n . La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, dado que ∑ n = 1 ∞ | ( –1 ) n + 1 / n | = ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Como la serie armónica alternada converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternada presenta una convergencia condicional. En comparación, considere la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 . La serie cuyos términos son los valores absolutos de los términos de esta serie es la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Como ambas series convergen, decimos que la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 presenta una convergencia absoluta. Definición Una serie ∑ n = 1 ∞ a n presenta una convergencia absoluta si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Una serie ∑ n = 1 ∞ a n presenta una convergencia condicional si ∑ n = 1 ∞ a n converge, pero ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge. Como muestra la serie armónica alternada, una serie ∑ n = 1 ∞ a n puede converger, pero ∑ n = 1 ∞ | a n | puede divergir. En el siguiente teorema, sin embargo, demostramos que si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. La convergencia absoluta implica convergencia Si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Prueba Supongamos que ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Lo demostramos utilizando el hecho de que a n = | a n | o a n = − | a n | y por lo tanto | a n | + a n = 2 | a n | o | a n | + a n = 0 . Por lo tanto, 0 ≤ | a n | + a n ≤ 2 | a n | . En consecuencia, por la prueba de comparación, dado que 2 ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, la serie ∑ n = 1 ∞ ( | a n | + a n ) converge. Utilizando las propiedades algebraicas para las series convergentes, concluimos que ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ ( | a n | + a n ) − ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. □ Convergencia absoluta y condicional Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / ( 3 n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ cos ( n ) / n 2 Podemos ver que ∑ n = 1 ∞ | ( –1 ) n + 1 3 n + 1 | = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 1 diverge utilizando la prueba de comparación de límites con la serie armónica. De hecho, lím n → ∞ 1 / ( 3 n + 1 ) 1 / n = 1 3 . Por lo tanto, la serie no converge absolutamente. Sin embargo, como 1 3 ( n + 1 ) + 1 < 1 3 n + 1 y 1 3 n + 1 → 0 , la serie converge. Podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / ( 3 n + 1 ) converge condicionalmente. Si observamos que | cos n | ≤ 1 , para determinar si la serie converge absolutamente, compare ∑ n = 1 ∞ | cos n n 2 | con la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge, por la prueba de comparación, ∑ n = 1 ∞ | cos n / n 2 | converge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ cos n / n 2 converge absolutamente. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / ( 2 n 3 + 1 ) converge absolutamente, condicionalmente o diverge. La serie converge absolutamente. Pista Compruebe primero la convergencia absoluta. Para ver la diferencia entre la convergencia absoluta y la condicional, observe lo que ocurre cuando reordenamos los términos de la serie armónica alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n . Demostramos que podemos reordenar los términos para que la nueva serie sea divergente. Seguramente, si reordenamos los términos de una suma finita, la suma no cambia. Sin embargo, cuando trabajamos con una suma infinita, pueden ocurrir cosas interesantes. Comience sumando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que algún número real M > 0 . Por ejemplo, supongamos que M = 10 , y halle un número entero k tal que 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ + 1 2 k − 1 > 10 . (Podemos hacerlo porque la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / ( 2 n – 1 ) diverge hasta el infinito) A continuación, reste 1 / 2 . Luego, sume más términos positivos hasta que la suma llegue a 100. Es decir, halle otro número entero j > k tal que 1 + 1 3 + ⋯ + 1 2 k − 1 − 1 2 + 1 2 k + 1 + ⋯ + 1 2 j + 1 > 100 . A continuación, reste 1 / 4 . Continuando de esta manera, hemos encontrado una forma de reordenar los términos de la serie armónica alternada de manera que la secuencia de sumas parciales para la serie reordenada no está delimitada y por lo tanto es divergente. Los términos de la serie armónica alternada también pueden reordenarse para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el , mostramos cómo reordenar los términos para crear una nueva serie que converja a 3 ln ( 2 ) / 2 . Señalamos que la serie armónica alternada puede reordenarse para crear una serie que converja a cualquier número real r ; sin embargo, la prueba de este hecho está fuera del alcance de este texto. En general, cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n que converge condicionalmente se puede reordenar para que la nueva serie diverja o converja a un número real diferente. Una serie que converge absolutamente no tiene esta propiedad. Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n que converge absolutamente, el valor de ∑ n = 1 ∞ a n es el mismo para cualquier reordenación de los términos. Este resultado se conoce como el de Riemann sobre la reordenación, que está fuera del alcance de este libro. Reorganización de la serie Utilice el hecho de que 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln 2 para reordenar los términos de la serie armónica alternada de modo que la suma de la serie reordenada sea 3 ln ( 2 ) / 2 . Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 − 1 8 + ⋯ . Dado que ∑ n = 1 ∞ a n = ln ( 2 ) , por las propiedades algebraicas de las series convergentes, ∑ n = 1 ∞ 1 2 a n = 1 2 – 1 4 + 1 6 − 1 8 + ⋯ = 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n = ln 2 2 . Ahora introduzca la serie ∑ n = 1 ∞ b n tal que para todo n ≥ 1 , b 2 n – 1 = 0 y b 2 n = a n / 2 . Entonces ∑ n = 1 ∞ b n = 0 + 1 2 + 0 − 1 4 + 0 + 1 6 + 0 − 1 8 + ⋯ = ln 2 2 . Entonces, utilizando las propiedades del límite algebraico de las series convergentes, dado que ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n convergen, la serie ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n + ∑ n = 1 ∞ b n = ln 2 + ln 2 2 = 3 ln 2 2 . Ahora sumando los términos correspondientes, a n y b n , vemos que ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ( 1 + 0 ) + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( 1 3 + 0 ) + ( − 1 4 − 1 4 ) + ( 1 5 + 0 ) + ( − 1 6 + 1 6 ) + ( 1 7 + 0 ) + ( 1 8 − 1 8 ) + ⋯ = 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + ⋯ . Observamos que la serie a la derecha del signo de igualdad es una reordenación de la serie armónica alternada. Dado que ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = 3 ln ( 2 ) / 2 , concluimos que 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + ⋯ = 3 ln ( 2 ) 2 . Por lo tanto, hemos encontrado un reordenamiento de la serie armónica alternada que tiene la propiedad deseada. Conceptos clave Para una serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n , si b k + 1 ≤ b k para todo k y b k → 0 a medida que k → ∞ , la serie alternada converge. Si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Ecuaciones clave Series alternadas ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n = − b 1 + b 2 − b 3 + b 4 − ⋯ Indique si cada una de las siguientes series converge absolutamente, condicionalmente o no converge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n + 1 n + 3 No converge por la prueba de divergencia. Los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 1 n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n + 3 n Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas, dado que n + 3 / n es decreciente. No converge absolutamente por comparación con la serie p , p = 1 / 2 . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 1 n ! ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 3 n n ! Converge absolutamente por comparación de límites a 3 n / 4 n , por ejemplo. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n – 1 n ) n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 n ) n Diverge por la prueba de divergencia dado que lím n → ∞ | a n | = e . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 n No converge. Los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 ( 1 / n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 ( 1 / n ) grandes. lím n → ∞ cos 2 ( 1 / n ) = 1 . Diverge por la prueba de divergencia. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ln ( 1 / n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ln ( 1 + 1 n ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 2 1 + n 4 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n e 1 + n π Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas. No converge absolutamente por comparación de límites con la serie p , p = π − e ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 2 1 / n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 1 / n Diverge; los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ( 1 − n 1 / n ) ( Pista: n 1 / n ≈ 1 + ln ( n ) / n para n . ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n ( 1 − cos ( 1 n ) ) ( Pista: cos ( 1 / n ) ≈ 1 − 1 / n 2 para n . ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 − n ) ( Pista: racionalice el numerador). ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 1 n – 1 n + 1 ) ( Pista: halle el denominador común y luego racionalice el numerador). Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p , p = 3 / 2 , después de aplicar la pista. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( ln ( n + 1 ) − ln n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n ( tan –1 ( n + 1 ) − tan −1 n ) ( Pista: utilice el teorema de valor medio). Converge por la prueba de series alternadas ya que n ( tan –1 ( n + 1 ) − tan −1 n ) es decreciente hasta cero para n No converge absolutamente por comparación de límites con la serie armónica después de aplicar la pista. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( ( n + 1 ) 2 − n 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 1 n – 1 n + 1 ) Converge absolutamente, ya que a n = 1 n – 1 n + 1 son términos de una serie telescópica. ∑ n = 1 ∞ cos ( n π ) n ∑ n = 1 ∞ cos ( n π ) n 1 / n Los términos no tienden a cero. La serie diverge por la prueba de divergencia. ∑ n = 1 ∞ 1 n sen ( n π 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ sen ( n π / 2 ) sen ( 1 / n ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica. En cada uno de los siguientes problemas, utilice la estimación | R N | ≤ b N + 1 para hallar un valor de N que garantice que la suma de los primeros términos N de la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n difiera de la suma infinita como máximo en el error dado. Calcule la suma parcial S N para este N . [T] b n = 1 / n , error < 10 −5 [T] b n = 1 / ln ( n ) , n ≥ 2 , error < 10 −1 ln ( N + 1 ) > 10 , N + 1 > e 10 , N ≥ 22026 ; S 22026 = −0,9743 … [T] b n = 1 / n , error < 10 −3 [T] b n = 1 / 2 n , error < 10 −6 2 N + 1 > 10 6 o N + 1 > 6 ln ( 10 ) / ln ( 2 ) = 19,93 . o N ≥ 19 ; S 19 = 0,333333969 … [T] b n = ln ( 1 + 1 n ) , error < 10 −3 [T] b n = 1 / n 2 , error < 10 −6 ( N + 1 ) 2 > 10 6 o N > 999 ; S 1.000 ≈ 0,822466 . En los siguientes ejercicios, indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que lo sea. Si b n ≥ 0 es decreciente y lím n → ∞ b n = 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ ( b 2 n – 1 − b 2 n ) converge absolutamente. Si b n ≥ 0 es decreciente, entonces ∑ n = 1 ∞ ( b 2 n – 1 − b 2 n ) converge absolutamente. Verdadero. b n no necesita tender a cero ya que si c n = b n − lím b n , entonces c 2 n – 1 − c 2 n = b 2 n – 1 − b 2 n . Si b n ≥ 0 y lím n → ∞ b n = 0 entonces ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ( b 3 n – 2 + b 3 n – 1 ) − b 3 n ) converge. Si b n ≥ 0 es decreciente y ∑ n = 1 ∞ ( b 3 n – 2 + b 3 n – 1 − b 3 n ) converge, entonces ∑ n = 1 ∞ b 3 n – 2 converge. Verdadero. b 3 n – 1 − b 3 n ≥ 0 , por lo que la convergencia de ∑ b 3 n – 2 se deduce de la prueba de comparación. Si b n ≥ 0 es decreciente y ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 b n converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces b n no tiende a cero. Supongamos que a n + = a n si a n ≥ 0 y a n − = − a n si a n < 0 . (También, a n + = 0 si a n < 0 y a n − = 0 si a n ≥ 0 . ) Si ∑ n = 1 ∞ a n converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces ni ∑ n = 1 ∞ a n + ni ∑ n = 1 ∞ a n − convergen. Verdadero. Si una de ellas converge, la otro también debe hacerlo, lo que implica una convergencia absoluta. Supongamos que a n es una secuencia de números reales positivos y que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de unos y menos unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n converge necesariamente? Supongamos que a n es una secuencia tal que ∑ n = 1 ∞ a n b n converge para cualquier secuencia posible b n de ceros y unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente? Sí. Tome b n = 1 si a n ≥ 0 y b n = 0 si a n < 0 . Entonces ∑ n = 1 ∞ a n b n = ∑ n : a n ≥ 0 a n converge. Del mismo modo, se puede mostrar que ∑ n : a n < 0 a n converge. Como ambas series convergen, la serie debe converger absolutamente. Las siguientes series no satisfacen las hipótesis de la prueba de series alternadas, tal y como se indica. En cada caso, indique cuál hipótesis no se satisface. Indique si la serie converge absolutamente. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 n n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 n n No disminuye. No converge absolutamente. 1 + 1 2 – 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯ 1 + 1 2 – 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯ No es alternada. Puede expresarse como ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n – 2 + 1 3 n – 1 − 1 3 n ) , que diverge en comparación con ∑ 1 3 n – 2 . Demuestre que la serie alternada 1 − 1 2 + 1 2 – 1 4 + 1 3 − 1 6 + 1 4 − 1 8 + ⋯ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple? Supongamos que ∑ a n converge absolutamente. Demuestre que la serie formada por los términos positivos a n también converge. Supongamos que a + n = a n si a n ≥ 0 y a + n = 0 si a n < 0 . Entonces a + n ≤ | a n | para todo n por lo que la secuencia de sumas parciales de a + n es creciente y está delimitada por encima por la secuencia de sumas parciales de | a n | , que converge; por esto, ∑ n = 1 ∞ a + n converge. Demuestre que la serie alternada 2 3 − 3 5 + 4 7 − 5 9 + ⋯ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple? La fórmula cos θ = 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto | R N | ≤ b N + 1 para hallar un límite para el error de estimación cos θ por la quinta suma parcial 1 − θ 2 / 2 ! + θ 4 / 4 ! − θ 6 / 6 ! + θ 8 / 8 ! para θ = 1 , θ = π / 6 , y θ = π . Para N = 5 se tiene | R N | b 6 = θ 10 / 10 ! . Cuando θ = 1 , R 5 ≤ 1 / 10 ! ≈ 2,75 × 10 −7 . Cuando θ = π / 6 , R 5 ≤ ( π / 6 ) 10 / 10 ! ≈ 4,26 × 10 −10 . Cuando θ = π , R 5 ≤ π 10 / 10 ! = 0,0258 . La fórmula sen θ = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto | R N | ≤ b N + 1 para hallar un límite para el error de estimación sen θ por la quinta suma parcial θ − θ 3 / 3 ! + θ 5 / 5 ! − θ 7 / 7 ! + θ 9 / 9 ! para θ = 1 , θ = π / 6 , y θ = π . ¿Cuántos términos en cos θ = 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯ son necesarios para aproximar cos 1 con un error máximo de 0,00001 ? Supongamos que b n = 1 / ( 2 n – 2 ) ! . Entonces R N ≤ 1 / ( 2 N ) ! < 0,00001 cuando ( 2 N ) ! > 10 5 o N = 5 y 1 − 1 2 ! + 1 4 ! − 1 6 ! + 1 8 ! = 0,540325 … , mientras que cos 1 = 0,5403023 … ¿Cuántos términos en sen θ = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ son necesarios para aproximar sen 1 con un error máximo de 0,00001 ? A veces la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 b n converge a una determinada fracción de una serie absolutamente convergente ∑ n = 1 ∞ b n a una tasa más rápida. Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 , calcule 12 = 1 − 1 2 2 + 1 3 2 – 1 4 2 + ⋯ . ¿Cuál de las series 6 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 y S ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n 2 ofrece una mejor estimación de π 2 utilizando 1.000 términos? Supongamos que T = ∑ 1 n 2 . Entonces T − S = 1 2 T , así que S = T / 2 . 6 × ∑ n = 1 1.000 1 / n 2 = 3,140638 … ; 12 × ∑ n = 1 1.000 ( –1 ) n – 1 / n 2 = 3,141591 … ; π = 3,141592 … . Las series alternadas son más precisas para 1.000 términos. Las siguientes series alternadas convergen a múltiplos determinados de π . Halle el valor de N que se predice mediante la estimación del resto, de manera que la ené simo suma parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo dentro del error dado. Halle el N mínimo para los que el límite de error se mantiene e indique el valor aproximado deseado en cada caso. Hasta 15 decimales, π = 3,141592653589793 … . [T] π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 n + 1 , error < 0,0001 [T] π 12 = ∑ k = 0 ∞ ( −3 ) − k 2 k + 1 , error < 0,0001 N = 6 , S N = 0,9068 [T] La serie ∑ n = 0 ∞ sen ( x + π n ) x + π n desempeña un papel importante en el procesamiento de señales. Demuestre que ∑ n = 0 ∞ sen ( x + π n ) x + π n converge siempre que 0 < x < π . ( Pista: utilice la fórmula del seno de una suma de ángulos). [T] Si ∑ n = 1 N ( –1 ) n – 1 1 n → ln 2 , ¿qué es 1 + 1 3 + 1 5 − 1 2 – 1 4 − 1 6 + 1 7 + 1 9 + 1 11 − 1 8 − 1 10 − 1 12 + ⋯ ? ln ( 2 ) . La 3 ené simo suma parcial es la misma que la de la serie armónica alternada. [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n para 0 ≤ x < 1 . Explique por qué ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n diverge cuando x = 0 , 1 . ¿Cómo se comporta la serie para otros x ? [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 sen ( 2 π n x ) n para 0 ≤ x < 1 y comente su comportamiento La serie salta rápidamente cerca de los puntos finales. Para x lejos de los puntos finales, el gráfico tiene el siguiente aspecto π ( 1 / 2 − x ) . [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n 2 para 0 ≤ x < 1 y describa su gráfico. [T] La serie armónica alternada converge debido a la cancelación entre sus términos. Su suma se conoce porque la cancelación puede describirse de manera explícita. Una serie armónica aleatoria es una de la forma ∑ n = 1 ∞ S n n , donde s n es una secuencia generada aleatoriamente de ± 1 's en la que los valores ± 1 son igualmente probables. Utilice un generador de números aleatorios para producir 1.000 aleatorio ± 1 s y grafique las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N s n n de su secuencia armónica aleatoria para N = 1 a 1.000 . Compare con un gráfico de las primeras 1.000 sumas parciales de la serie armónica. Este es un resultado típico. La curva superior está formada por sumas parciales de las series armónicas. La curva inferior representa sumas parciales de una serie armónica aleatoria. [T] Las estimaciones de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 se pueden acelerar escribiendo sus sumas parciales como ∑ n = 1 N 1 n 2 = ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 N 1 n 2 ( n + 1 ) y recordando que ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) = 1 − 1 N + 1 converge a uno cuando N → ∞ . Compare la estimación de π 2 / 6 utilizando las sumas ∑ n = 1 1.000 1 n 2 con la estimación utilizando 1 + ∑ n = 1 1.000 1 n 2 ( n + 1 ) . [T] La transformada de Euler reescribe S = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n b n como S = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 − n – 1 ∑ m = 0, 0 n ( n m ) b n − m . Para la serie armónica alternada, toma la forma ln ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n . Calcule las sumas parciales de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n hasta que se aproximen ln ( 2 ) con una precisión de 0,0001 . ¿Cuántos términos se necesitan? Compare esta respuesta con el número de términos de la serie armónica alternada que son necesarios para estimar ln ( 2 ) . Por la prueba de series alternadas, | S n − S | ≤ b n + 1 , por lo que se necesitan 10 4 términos de la serie armónica alternada para estimar ln ( 2 ) con una precisión de 0,0001 . Las primeras 10 sumas parciales de la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n son (hasta cuatro decimales) 0,5000 , 0,6250 , 0,6667 , 0,6823 , 0,6885 , 0,6911 , 0,6923 , 0,6928 , 0,6930 , 0,6931 y la décima suma parcial está dentro de 0,0001 de ln ( 2 ) = 0,6931 … . [T] En el texto se dijo que una serie convergente condicionalmente se puede reordenar para converger a cualquier número. A continuación, presentamos un hecho algo más sencillo, pero similar. Si a n ≥ 0 es tal que a n → 0 a medida que n → ∞ pero ∑ n = 1 ∞ a n diverge, entonces, dado cualquier número A hay una secuencia s n de ± 1 's tal que ∑ n = 1 ∞ a n s n → A . Muestre esto para A > 0 de la siguiente forma. Defina de manera repetida s n por s n = 1 si S n – 1 = ∑ k = 1 n – 1 a k s k < A y s n = −1 por lo contrario. Explique por qué eventualmente S n ≥ A , y para cualquier m mayor que este n , A − a m ≤ S m ≤ A + a m . Explique por qué esto implica que S n → A a medida que n → ∞ . convergencia absoluta si la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, la serie ∑ n = 1 ∞ a n se dice que converge absolutamente series alternadas una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n , donde b n ≥ 0 , se denomina serie alternada prueba de series alternadas para una serie alternada de cualquier forma, si b n + 1 ≤ b n para todos los enteros n ≥ 1 como de b n → 0 , entonces una serie alternada converge convergencia condicional si la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge, pero la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge, la serie ∑ n = 1 ∞ a n se dice que converge condicionalmente", "section": "Series alternadas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Criterios del cociente y la raíz En esta sección, demostramos las dos últimas pruebas de convergencia de las series: el criterio del cociente y el criterio de la raíz. Estas pruebas son especialmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. El criterio del cociente será especialmente útil en la discusión de las series de potencias en el próximo capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia utilizar para una serie determinada. Criterio del cociente Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n . De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que lím n → ∞ a n = 0 no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos a n → 0 , sino que necesitamos a n → 0 lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n y la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Sabemos que 1 / n → 0 y 1 / n 2 → 0 . Sin embargo, solo la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. La serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge porque los términos de la secuencia { 1 / n } no se acercan a cero lo suficientemente rápido a medida que n → ∞ . Aquí introducimos el criterio del cociente , que proporciona una forma de medir la rapidez con la que los términos de una serie se acercan a cero. Criterio del cociente Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos distintos de cero. Supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Prueba Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos distintos de cero. Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso, ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | < 1 . Dado que 0 ≤ ρ < 1 , existe R tal que 0 ≤ ρ < R < 1 . Supongamos que ε = R − ρ > 0 . Por la definición de límite de una secuencia, existe algún número entero N tal que | | a n + 1 a n | − ρ | < ε para todo n ≥ N . Por lo tanto, | a n + 1 a n | < ρ + ε = R para todo n ≥ N y, por lo tanto, | a N + 1 | < R | a N | | a N + 2 | < R | a N + 1 | < R 2 | a N | | a N + 3 | < R | a N + 2 | < R 2 | a N + 1 | < R 3 | a N | | a N + 4 | < R | a N + 3 | < R 2 | a N + 2 | < R 3 | a N + 1 | < R 4 | a N | ⋮ . Dado que R < 1 , la serie geométrica R | a N | + R 2 | a N | + R 3 | a N | + ⋯ converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie | a N + 1 | + | a N + 2 | + | a N + 3 | + | a N + 4 | + ⋯ converge. Por lo tanto, ya que ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∑ n = 1 N | a n | + ∑ n = N + 1 ∞ | a n | donde ∑ n = 1 N | a n | es una suma finita y ∑ n = N + 1 ∞ | a n | converge, concluimos que ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Para la parte ii. ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | > 1 . Dado que ρ > 1 , existe R tal que ρ > R > 1 . Supongamos que ε = ρ − R > 0 . Por la definición de límite de una secuencia, existe un número entero N tal que | | a n + 1 a n | − ρ | < ε para todo n ≥ N . Por lo tanto, R = ρ − ε < | a n + 1 a n | para todo n ≥ N , y, por lo tanto, | a N + 1 | > R | a N | | a N + 2 | > R | a N + 1 | > R 2 | a N | | a N + 3 | > R | a N + 2 | > R 2 | a N + 1 | > R 3 | a N | | a N + 4 | > R | a N + 3 | > R 2 | a N + 2 | > R 3 | a N + 1 | > R 4 | a N | . Dado que R > 1 , la serie geométrica R | a N | + R 2 | a N | + R 3 | a N | + ⋯ diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie | a N + 1 | + | a N + 2 | + | a N + 3 | + ⋯ diverge, y por lo tanto la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge. Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ = 1 considerando la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p . Para cualquier número real p , ρ = lím n → ∞ 1 / ( n + 1 ) p 1 / n p = lím n → ∞ n p ( n + 1 ) p = 1 . Sin embargo, sabemos que si p ≤ 1 , la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p diverge, mientras que ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 . □ El criterio del cociente es particularmente útil para las series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde el cociente de los términos simplifica la expresión. El criterio del cociente es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información sobre la convergencia. Utilización del criterio del cociente Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio del cociente para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! ∑ n = 1 ∞ n n n ! ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! A partir del criterio del cociente, podemos ver que ρ = lím n → ∞ 2 n + 1 / ( n + 1 ) ! 2 n / n ! = lím n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! 2 n . Dado que ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) . n ! , ρ = lím n → ∞ 2 n + 1 = 0 . Dado que ρ < 1 , la serie converge. Podemos ver que ρ = lím n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 / ( n + 1 ) ! n n / n ! = lím n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! n n = lím n → ∞ ( n + 1 n ) n = lím n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e . Dado que ρ > 1 , la serie diverge. Dado que | ( –1 ) n + 1 ( ( n + 1 ) ! ) 2 / ( 2 ( n + 1 ) ) ! ( –1 ) n ( n ! ) 2 / ( 2 n ) ! | = ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( 2 n + 2 ) ! . ( 2 n ) ! n ! n ! = ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) vemos que ρ = lím n → ∞ ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = 1 4 . Dado que ρ < 1 , la serie converge. Utilice el criterio del cociente para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n 3 3 n converge o diverge. La serie converge. Pista Evalúe lím n → ∞ ( n + 1 ) 3 3 n + 1 . 3 n n 3 . Criterio de la raíz El enfoque del criterio de la raíz es similar al del criterio del cociente. Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n tal que lím n → ∞ | a n | n = ρ para algún número real ρ . Entonces para N suficientemente grande, | a N | ≈ ρ N . Por lo tanto, podemos aproximar ∑ n = N ∞ | a n | escribiendo | a N | + | a N + 1 | + | a N + 2 | + ⋯ ≈ ρ N + ρ N + 1 + ρ N + 2 + ⋯ . La expresión del lado derecho es una serie geométrica. Al igual que en el criterio del cociente, la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente si 0 ≤ ρ < 1 y la serie diverge si ρ ≥ 1 . Si ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p , ∑ n = 1 ∞ 1 / n p , vemos que ρ = lím n → ∞ | 1 n p | n = lím n → ∞ 1 n p / n . Para evaluar este límite, utilizamos la función del logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que ln ρ = ln ( lím n → ∞ 1 n p / n ) = lím n → ∞ ln ( 1 n ) p / n = lím n → ∞ p n . ln ( 1 n ) = lím n → ∞ p ln ( 1 / n ) n . Utilizando la regla de L'Hôpital, se deduce que ln ρ = 0 , y por lo tanto ρ = 1 para todo p . Sin embargo, sabemos que la serie p solo converge si p > 1 y diverge si p < 1 . Criterio de la raíz Considere la serie ∑ n = 1 ∞ a n . Supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos incluyen exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos a n satisfacen | a n | = b n n , entonces | a n | n = b n y solo tenemos que evaluar lím n → ∞ b n . Uso del criterio de la raíz Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( n 2 + 3 n ) n ( 4 n 2 + 5 ) n ∑ n = 1 ∞ n n ( ln ( n ) ) n Para aplicar el criterio de la raíz, calculamos ρ = lím n → ∞ ( n 2 + 3 n ) n / ( 4 n 2 + 5 ) n n = lím n → ∞ n 2 + 3 n 4 n 2 + 5 = 1 4 . Dado que ρ < 1 , la serie converge absolutamente. Tenemos ρ = lím n → ∞ n n / ( ln n ) n n = lím n → ∞ n ln n = ∞ por la regla de L'Hôpital . Dado que ρ = ∞ , la serie diverge. Utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n n converge o diverge. La serie converge. Pista Evalúe lím n → ∞ 1 / n n n utilizando la regla de L'Hôpital. Elegir una prueba de convergencia En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas pueden utilizarse para todas las series. Ante una serie, debemos determinar qué prueba es mejor utilizar. He aquí una estrategia para encontrar la mejor prueba a aplicar. Estrategia para la resolución de problemas: Cómo elegir una prueba de convergencia para una serie Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n . En los siguientes pasos, esbozamos una estrategia para determinar si la serie converge. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n es una serie conocida? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alternada (que converge)? ¿Es una serie p o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia p o el cociente r para determinar si la serie converge. ¿Es una serie alternada? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa saber si la serie converge, aplique la prueba de series alternadas. Si estamos interesados en la convergencia absoluta, procedemos al paso 3 , considerando la serie de valores absolutos ∑ n = 1 ∞ | a n | . ¿Es la serie similar a una serie p o a una serie geométrica? Si es así, intente la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites. ¿Los términos de la serie contienen un factorial o una potencia? Si los términos son potencias tales que a n = b n n , intente primero el criterio del raíz. Si no es así, intente primero el criterio del cociente. Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, intente la prueba de la integral. Visite este sitio web para obtener más información sobre la comprobación de la convergencia de las series, además de información general sobre secuencias y series. Uso de las pruebas de convergencia Para cada una de las siguientes series, determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué. A continuación, determine si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alternada, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge. ∑ n = 1 ∞ n 2 + 2 n n 3 + 3 n 2 + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 3 n + 1 ) n ! ∑ n = 1 ∞ e n n 3 ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) n Paso 1. La serie no es una serie p ni una serie geométrica. Paso 2. La serie no es alternada. Paso 3. Para valores grandes de n , aproximamos la serie mediante la expresión n 2 + 2 n n 3 + 3 n 2 + 1 ≈ n 2 n 3 = 1 n . Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites utilizando la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Utilizando la prueba de comparación de límites, vemos que lím n → ∞ ( n 2 + 2 n ) / ( n 3 + 3 n 2 + 1 ) 1 / n = lím n → ∞ n 3 + 2 n 2 n 3 + 3 n 2 + 1 = 1 . Dado que la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge, esta serie también diverge. Paso 1. La serie no es una serie conocida. Paso 2. La serie es alternada. Como nos interesa la convergencia absoluta, considere la serie ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) ! . Paso 3. La serie no es similar a una serie p ni a una serie geométrica. Paso 4. Como cada término contiene un factorial, aplique el criterio del cociente. Vemos que lím n → ∞ ( 3 ( n + 1 ) ) / ( n + 1 ) ! ( 3 n + 1 ) / n ! = lím n → ∞ 3 n + 3 ( n + 1 ) ! . n ! 3 n + 1 = lím n → ∞ 3 n + 3 ( n + 1 ) ( 3 n + 1 ) = 0 . Por lo tanto, esta serie converge, y concluimos que la serie original converge absolutamente, y por lo tanto converge. Paso 1. Esta serie no es una serie conocida. Paso 2. No se trata de una serie alternada. Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie. Paso 4. No hay ningún factorial. Hay una potencia, pero no es una situación ideal para el criterio del cociente. Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que lím n → ∞ e n n 3 = ∞ . Por lo tanto, por la prueba de divergencia, la serie diverge. Paso 1. Esta serie no es una serie conocida. Paso 2. No se trata de una serie alternada. Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie. Paso 4. Como cada término es una potencia de n , podemos aplicar el criterio del cociente. Dado que lím n → ∞ ( 3 n + 1 ) n n = lím n → ∞ 3 n + 1 = 0 , por el criterio del cociente, concluimos que la serie converge. Para la serie ∑ n = 1 ∞ 2 n 3 n + n , determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué. La prueba de comparación porque 2 n / ( 3 n + n ) < 2 n / 3 n para todos los enteros positivos n . También podría utilizarse la prueba de comparación de límites. Pista La serie es similar a la serie geométrica ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n . En la , resumimos las pruebas de convergencia y cuándo puede aplicarse cada una de ellas. Observe que mientras la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba de la integral requieren que la serie ∑ n = 1 ∞ a n tenga términos no negativos, si ∑ n = 1 ∞ a n tiene términos negativos, estas pruebas pueden aplicarse a ∑ n = 1 ∞ | a n | para comprobar la convergencia absoluta. Resumen de las pruebas de convergencia Serie o prueba Conclusiones Comentarios Prueba de divergencia Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n , evalúe lím n → ∞ a n . Si lím n → ∞ a n = 0 , la prueba no es concluyente. Esta prueba no puede demostrar la convergencia de una serie. Si los valores de lím n → ∞ a n ≠ 0 , la serie diverge. Serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 Si | r | < 1 , la serie converge a a / ( 1 − r ) . Se puede cambiar el índice de cualquier serie geométrica para escribirla en la forma a + a r + a r 2 + ⋯ , donde a es el término inicial y r es el cociente. Si los valores de | r | ≥ 1 , la serie diverge. Serie p ∑ n = 1 ∞ 1 n p Si p > 1 , la serie converge. Para p = 1 , tenemos la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Si p ≤ 1 , la serie diverge. Prueba de comparación Para ∑ n = 1 ∞ a n con términos no negativos, compare con una serie conocida ∑ n = 1 ∞ b n . Si los valores de a n ≤ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie p . A veces puede ser difícil encontrar una serie adecuada. Si los valores de a n ≥ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba de comparación de límites Para ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos, compare con una serie ∑ n = 1 ∞ b n evaluando L = lím n → ∞ a n b n . Si los valores de L es un número real y L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen. Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie p . A menudo es más fácil de aplicar que la prueba de comparación. Si los valores de L = 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si los valores de L = ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba de la integral Si existe una función positiva, continua y decreciente f tal que a n = f ( n ) para todo n ≥ N , evalúe ∫ N ∞ f ( x ) d x . ∫ N ∞ f ( x ) d x y ∑ n = 1 ∞ a n ambas convergen o ambas divergen. Limitado a aquellas series para las que la función correspondiente f puede integrarse fácilmente. Series alternadas ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n Si b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ 1 como de b n → 0 , entonces la serie converge. Solo se aplica a las series alternadas. Criterio del cociente Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos distintos de cero, supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente. A menudo se utiliza para series que implican factoriales o exponenciales. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no es concluyente. Criterio de la raíz Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n , supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente. A menudo se utiliza para series en las que | a n | = b n n . Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no es concluyente. Serie que converge a π y 1 / π Existen decenas de series que convergen a π o una expresión algebraica que contenga π . Aquí vemos varios ejemplos y comparamos sus órdenes de convergencia. Por orden de convergencia se entiende el número de términos necesarios para que una suma parcial se sitúe dentro de una determinada cantidad del valor real. Las representaciones en serie de π en los dos primeros ejemplos puede explicarse utilizando las series de Maclaurin, que se analizan en el siguiente capítulo. El tercer ejemplo se basa en material que va más allá del alcance de este texto. La serie π = 4 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 2 n – 1 = 4 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − ⋯ fue descubierta por Gregory y Leibniz a finales de 1.600 II . Este resultado se desprende de la serie de Maclaurin para f ( x ) = tan −1 x . Hablaremos de esta serie en el próximo capítulo. Demuestre que esta serie converge. Evalúe las sumas parciales S n para n = 10 , 20 , 50 , 100 . Utilice la estimación del resto de las series alternadas para obtener un límite en el error R n . ¿Cuál es el valor más pequeño de N que garantiza | R N | < 0,01 ? Evalúe S N . La serie π = 6 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 2 4 n + 1 ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) = 6 ( 1 2 + 1 2 . 3 ( 1 2 ) 3 + 1 . 3 2 . 4 . 5 . ( 1 2 ) 5 + 1 . 3 . 5 2 . 4 . 6 . 7 ( 1 2 ) 7 + ⋯ ) se ha atribuido a Newton a finales del siglo XV II . La prueba de este resultado utiliza la serie de Maclaurin para f ( x ) = sen −1 x . Demuestra que la serie converge. Evalúe las sumas parciales S n para n = 5 , 10 , 20 . Compare S n a π para n = 5 , 10 , 20 y discuta el número de decimales correctos. La serie 1 π = 8 9801 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( 1.103 + 26390 n ) ( n ! ) 4 396 4 n fue descubierta por Ramanujan a principios del siglo 1900 X . William Gosper, Jr., utilizó esta serie para calcular π con una exactitud de más de 17 millones de dígitos a mediados de 19 80 . En ese momento, eso era un récord mundial. Desde entonces, esta serie y otras de Ramanujan han llevado a los matemáticos a encontrar muchas otras representaciones en serie para π y 1 / π . Demuestre que esta serie converge. Evalúe el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de π en una herramienta de cálculo. ¿Con cuántos decimales coinciden estos dos números? ¿Y si sumamos los dos primeros términos de la serie? Investigue sobre la vida de Srinivasa Ramanujan ( 1887 − 1920 ) y escriba un breve resumen. Ramanujan es una de las historias más fascinantes de la historia de las matemáticas. Fue básicamente autodidacta, sin educación formal en matemáticas, y sin embargo contribuyó de forma muy original a muchas áreas avanzadas de las matemáticas. Conceptos clave Para el criterio del cociente, consideramos ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si ρ < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales. Para el criterio de la raíz, consideramos ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si ρ < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias. Para una serie que es similar a una serie geométrica o una serie p, considere una de las pruebas de comparación. Utilice el criterio del cociente para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, donde a n en los siguientes problemas. Indique si el criterio del cociente no es concluyente. a n = 1 / n ! a n + 1 / a n → 0 . Converge. a n = 10 n / n ! a n = n 2 / 2 n a n + 1 a n = 1 2 ( n + 1 n ) 2 → 1 / 2 < 1 . Converge. a n = n 10 / 2 n ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! a n + 1 a n → 1 / 27 < 1 . Converge. ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n a n + 1 a n → 4 / e 2 < 1 . Converge. ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( 2 n ) n ∑ n = 1 ∞ n ! ( n / e ) n a n + 1 a n → 1 . El criterio del cociente no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( n / e ) 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n n ! ) 2 ( 2 n ) 2 n a n a n + 1 → 1 / e 2 . Converge. Utilice el criterio de la raíz para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, donde a n es el siguiente. a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k a k = ( 2 k 2 – 1 k 2 + 3 ) k ( a k ) 1 / k → 2 > 1 . Diverge. a n = ( ln n ) 2 n n n a n = n / 2 n ( a n ) 1 / n → 1 / 2 < 1 . Converge. a n = n / e n a k = k e e k ( a k ) 1 / k → 1 / e < 1 . Converge. a k = π k k π a n = ( 1 e + 1 n ) n a n 1 / n = 1 e + 1 n → 1 e < 1 . Converge. a k = 1 ( 1 + ln k ) k a n = ( ln ( 1 + ln n ) ) n ( ln n ) n a n 1 / n = ( ln ( 1 + ln n ) ) ( ln n ) → 0 por la regla de L'Hôpital. Converge. En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente o el criterio de la raíz, según corresponda, para determinar si la serie ∑ k = 1 ∞ a k con términos dados a k converge, o bien indique si la prueba no es concluyente. a k = k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) grandes. a k = 2 . 4 . 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! a k + 1 a k = 1 2 k + 1 → 0 . Converge por el criterio del cociente. a k = 1 . 4 . 7 ⋯ ( 3 k − 2 ) 3 k k ! a n = ( 1 − 1 n ) n 2 ( a n ) 1 / n → 1 / e . Converge por el criterio de la raíz. a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 2 k ) k ( Pista: Compare a k 1 / k a ∫ k 2 k d t t . ) grandes. a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 3 k ) k a k 1 / k → ln ( 3 ) > 1 . Diverge por el criterio de la raíz. a n = ( n 1 / n – 1 ) n Utilice el criterio del cociente para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, o bien indique si el criterio del cociente no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 2 n 3 a n + 1 a n = 3 2 n + 1 2 3 n 2 + 3 n + 1 → 0 . Converge. ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n n n ! Utilice el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge. a n = 1 / x n n donde x n + 1 = 1 2 x n + 1 x n , x 1 = 1 ( Pista: Calcule el límite de { x n } . ) Converge por el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites ya que x n → 2 . En los siguientes ejercicios, utilice una prueba adecuada para determinar si la serie converge. ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n 3 + n 2 + n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 ) n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, p = 2 . ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 n 3 + ( 1,1 ) n ∑ n = 1 ∞ ( n – 1 ) n ( n + 1 ) n lím n → ∞ a n = 1 / e 2 ≠ 0 . La serie diverge. a n = ( 1 + 1 n 2 ) n ( Pista: ( 1 + 1 n 2 ) n 2 ≈ e . ) grandes. a k = 1 / 2 sen 2 k Los términos no tienden a cero: a k ≥ 1 / 2 , dado que sen 2 x ≤ 1 . a k = 2 − sen ( 1 / k ) grandes. a n = 1 / ( n + 2 n ) donde ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! a n = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) , que converge por comparación con la serie p para p = 2 . a k = 1 / ( 2 k k ) grandes. a k = 2 k / ( 3 k k ) grandes. a k = 2 k 1 . 2 ⋯ k ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) ⋯ 3 k ≤ ( 2 / 3 ) k converge por comparación con la serie geométrica. a k = ( k k + ln k ) k ( Pista: a k = ( 1 + ln k k ) − ( k / ln k ) ln k ≈ e − ln k . ) grandes. a k = ( k k + ln k ) 2 k ( Pista: a k = ( 1 + ln k k ) − ( k / ln k ) ln k 2 . ) grandes. a k ≈ e − ln k 2 = 1 / k 2 . La serie converge por comparación de límites con la serie p, p = 2 . Las siguientes series convergen por el criterio del cociente. Utilice la suma por partes, ∑ k = 1 n a k ( b k + 1 − b k ) = [ a n + 1 b n + 1 − a 1 b 1 ] − ∑ k = 1 n b k + 1 ( a k + 1 − a k ) , para calcular la suma de la serie dada. ∑ k = 1 ∞ k 2 k ( Pista: Tome a k = k y b k = 2 1 − k . ) grandes. ∑ k = 1 ∞ k c k , donde c > 1 ( Pista: Tome a k = k y b k = c 1 − k / ( c − 1 ) . ) Si b k = c 1 − k / ( c − 1 ) y a k = k , entonces b k + 1 − b k = − c − k y ∑ n = 1 ∞ k c k = a 1 b 1 + 1 c − 1 ∑ k = 1 ∞ c − k = c ( c − 1 ) 2 . ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 2 n 6 + 4 + 1 = 11 El k −ésimo término de cada una de las siguientes series tiene un factor x k . Calcule el rango de x para los que el criterio del cociente implica que la serie converge. ∑ k = 1 ∞ x k k 2 ∑ k = 1 ∞ x 2 k k 2 | x | ≤ 1 ∑ k = 1 ∞ x 2 k 3 k ∑ k = 1 ∞ x k k ! | x | < ∞ ¿Existe un número p tal que ∑ n = 1 ∞ 2 n n p converja? Supongamos que 0 < r < 1 . ¿Para qué números reales p ∑ n = 1 ∞ n p r n converge? Todos los números reales p mediante el criterio del cociente. Supongamos que lím n → ∞ | a n + 1 a n | = p . ¿Para cuáles valores de p debe ∑ n = 1 ∞ 2 n a n converger? Supongamos que lím n → ∞ | a n + 1 a n | = p . ¿Para cuáles valores de r > 0 se garantiza la convergencia de ∑ n = 1 ∞ r n a n ? r < 1 / p Supongamos que | a n + 1 a n | ≤ ( n + 1 ) p para todo n = 1 , 2 ,… donde p es un número real fijo. ¿Para qué valores de p se garantiza la convergencia de ∑ n = 1 ∞ n ! a n ? ¿Para qué valores de r > 0 , si es que los hay, ∑ n = 1 ∞ r n converge? ( Pista: ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ k = 1 ∞ ∑ n = k 2 ( k + 1 ) 2 – 1 a n . ) grandes. 0 < r < 1 . Observe que los criterios del cociente y la raíz no son concluyentes. Utilizando la pista, hay 2 k términos r n para k 2 ≤ n < ( k + 1 ) 2 , y para r < 1 cada término es de al menos r k . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ r n = ∑ k = 1 ∞ ∑ n = k 2 ( k + 1 ) 2 – 1 r n ≥ ∑ k = 1 ∞ 2 k r k , que converge mediante el criterio del cociente para r < 1 . Para r ≥ 1 la serie diverge por la prueba de divergencia. Supongamos que | a n + 2 a n | ≤ r < 1 para todo n . ¿Puede concluir que ∑ n = 1 ∞ a n converge? Supongamos que a n = 2 − [ n / 2 ] donde [ x ] es el mayor número entero menor o igual a x . Determine si ∑ n = 1 ∞ a n converge y justifique su respuesta. Se tiene a 1 = 1 , a 2 = a 3 = 1 / 2 ,… a 2 n = a 2 n + 1 = 1 / 2 n . El criterio del cociente no aplica porque a n + 1 / a n = 1 si n es par. Sin embargo, a n + 2 / a n = 1 / 2 , por lo que la serie converge según el ejercicio anterior. Por supuesto, la serie es solo una serie geométrica duplicada. Los siguientes ejercicios avanzados utilizan un criterio del cociente generalizado para determinar la convergencia de algunas series que surgen en aplicaciones particulares cuando las pruebas de este capítulo, incluso los criterios del cociente y la raíz, no son lo suficientemente convincentes para determinar su convergencia. La prueba establece que si lím n → ∞ a 2 n a n < 1 / 2 , entonces ∑ a n converge, mientras que si lím n → ∞ a 2 n + 1 a n > 1 / 2 , entonces ∑ a n diverge. Supongamos que a n = 1 4 3 6 5 8 ⋯ 2 n – 1 2 n + 2 = 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n – 1 ) 2 n ( n + 1 ) ! . Explique por qué el criterio del cociente no puede determinar la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Utilice el hecho de que 1 − 1 / ( 4 k ) está aumentando k para estimar lím n → ∞ a 2 n a n . Supongamos que a n = 1 1 + x 2 2 + x ⋯ n n + x 1 n = ( n – 1 ) ! ( 1 + x ) ( 2 + x ) ⋯ ( n + x ) . Demuestre que a 2 n / a n ≤ e – x / 2 / 2 . ¿Para cuál x > 0 el criterio del cociente generalizado implica la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n ? ( Pista: Escriba 2 a 2 n / a n como producto de n factores cada vez más pequeños que 1 / ( 1 + x / ( 2 n ) ) . ) grandes. a 2 n / a n = 1 2 . n + 1 n + 1 + x n + 2 n + 2 + x ⋯ 2 n 2 n + x . La inversa del k −ésimo factor es ( n + k + x ) / ( n + k ) > 1 + x / ( 2 n ) para que el producto sea menor que ( 1 + x / ( 2 n ) ) − n ≈ e – x / 2 . Por lo tanto, para x > 0 , a 2 n a n ≤ 1 2 e – x / 2 . La serie converge para x > 0 . Supongamos que a n = n ln n ( ln n ) n . Demuestre que a 2 n a n → 0 a medida que n → ∞ . Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Si los valores de lím n → ∞ a n = 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. falso Si los valores de lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. verdadero Si los valores de ∑ n = 1 ∞ 2 n a n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ ( −2 ) n a n converge. ¿Es la secuencia delimitada, monótona y convergente o divergente? Si es convergente, calcule el límite. a n n = 3 + n 2 1 − n no delimitada, no monótona, divergente a n = ln ( 1 n ) grandes. a n = ln ( n + 1 ) n + 1 delimitada, monótona, convergente, 0 a n = 2 n + 1 5 n a n = ln ( cos n ) n no delimitada, no monótona, divergente ¿La serie es convergente o divergente? ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 5 n + 4 ∑ n = 1 ∞ ln ( n + 1 n ) diverge ∑ n = 1 ∞ 2 n n 4 ∑ n = 1 ∞ e n n ! converge ∑ n = 1 ∞ n − ( n + 1 / n ) ¿La serie es convergente o divergente? Si es convergente, ¿es absolutamente convergente? ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n converge, pero no absolutamente ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! 3 n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! n n converge absolutamente ∑ n = 1 ∞ sen ( n π 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ cos ( π n ) e − n converge absolutamente Evalúe ∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 7 n ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) grandes. 1 2 Una leyenda de la India cuenta que un matemático inventó el ajedrez para un rey. El rey disfrutó tanto del juego que permitió al matemático exigir cualquier pago. El matemático pidió un grano de arroz para la primera casilla del tablero, dos granos de arroz para la segunda casilla del tablero, cuatro granos de arroz para la tercera casilla del tablero, y así sucesivamente. Halle una expresión exacta para el pago total (en granos de arroz) solicitado por el matemático. Suponiendo que haya 30,000 granos de arroz en 1 libra, y 2,000 libras en 1 tonelada, ¿cuántas toneladas de arroz intentó recibir el matemático? Los siguientes problemas consideran un modelo de población simple de la mosca doméstica, que puede ser exhibido mediante la fórmula recursiva x n + 1 = b x n , donde x n es la población de moscas domésticas en la generación n , y b es el número promedio de crías por mosca doméstica que sobreviven a la siguiente generación. Supongamos una población inicial x 0 . Halle lím n → ∞ x n si b > 1 , b < 1 , y b = 1 . ∞ , 0 , x 0 Halle una expresión para S n = ∑ i = 0 n x i en términos de b y x 0 . ¿Qué representa físicamente? Si los valores de b = 3 4 y x 0 = 100 , calcule S 10 y lím n → ∞ S n S 10 ≈ 383 , lím n → ∞ S n = 400 ¿Para qué valores de b la serie converge y diverge? ¿A qué converge la serie? criterio del cociente para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos distintos de cero, supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 / a n | ; si 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente; si ρ > 1 , la serie diverge; si ρ = 1 , la prueba no es concluyente criterio de la raíz para una serie ∑ n = 1 ∞ a n , supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n ; si 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente; si ρ > 1 , la serie diverge; si ρ = 1 , la prueba no es concluyente", "section": "Criterios del cociente y la raíz", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción Si usted gana la lotería, ¿obtiene más dinero si acepta un pago único o si acepta pagos fijos a lo largo del tiempo? (créditos: modificación del trabajo de Robert Huffstutter, Flickr). Cuando se gana la lotería, a veces se tiene la opción de recibir las ganancias en un solo pago o de recibir pagos más pequeños en intervalos de tiempo fijos. Por ejemplo, puede tener la opción de recibir 20 millones de dólares hoy o recibir 1,5 millones de dólares cada año durante los próximos 20 años. ¿Cuál es la mejor oferta? Ciertamente, 1,5 millones de dólares en 20 años equivalen a 30 millones de dólares. Sin embargo, recibir los 20 millones de dólares hoy le permitiría invertir el dinero. Por otro lado, ¿qué pasaría si se le garantizara recibir 1 millón de dólares cada año de forma indefinida (extendiéndose a sus herederos) o recibir 20 millones de dólares hoy mismo? ¿Cuál sería la mejor oferta? Para responder estas preguntas, es necesario saber cómo utilizar las series infinitas para calcular el valor de los pagos periódicos a lo largo del tiempo en términos de dólares actuales (vea ). Una serie infinita de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n se conoce como una serie de potencias. Como los términos contienen la variable x, las series de potencias pueden utilizarse para definir funciones. Pueden utilizarse para representar funciones dadas, pero también son importantes porque nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que como \"polinomios infinitos\" Además, las series de potencias se pueden diferenciar e integrar fácilmente, por lo que son útiles para resolver ecuaciones diferenciales e integrar funciones complicadas. Una serie infinita también se puede truncar, dando como resultado un polinomio finito que podemos utilizar para aproximar valores funcionales. Las series de potencias tienen aplicaciones en una variedad de campos, como la física, la química, la biología y la economía. Como veremos en este capítulo, la representación de funciones mediante series de potencias nos permite resolver problemas matemáticos que no se pueden resolver con otras técnicas.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Series y funciones de potencia Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que incluyen una variable. Más concretamente, si la variable es x , entonces todos los términos de la serie implican potencias de x . En consecuencia, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos las series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias. Forma de una serie de potencia Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ , donde x es una variable y los coeficientes c n son constantes, se conoce como una serie de potencias . La serie 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n es un ejemplo de serie de potencias. Dado que esta es una serie geométrica con cociente r = x , sabemos que converge si | x | < 1 y diverge si | x | ≥ 1 . Definición Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = 0 . Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = a . Para precisar esta definición, estipulamos que x 0 = 1 y ( x – a ) 0 = 1 incluso cuando x = 0 y x = a , respectivamente. La serie ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ y ∑ n = 0 ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯ son ambas series de potencias centradas en x = 0 . La serie ∑ n = 0 ∞ ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n = 1 + x − 2 2 . 3 + ( x − 2 ) 2 3 . 3 2 + ( x − 2 ) 3 4 . 3 3 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = 2 . Convergencia de una serie de potencias Como los términos de una serie de potencias implican una variable x , la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x . Para una serie de potencias centrada en x = a , el valor de la serie en x = a está dado por c 0 . Por lo tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen solo en ese valor de x . Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x . En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todo x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica ∑ n = 0 ∞ x n converge para todo x en el intervalo ( –1 , 1 ) , pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general. Convergencia de una serie de potencias Consideremos la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n . La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades: La serie converge en x = a y diverge para todo x ≠ a . La serie converge para todos los números reales x . Existe un número real R > 0 tal que la serie converge si | x – a | < R y diverge si | x – a | > R . En los valores x donde | x – a | = R , la serie puede converger o divergir. Prueba Supongamos que la serie de potencias está centrada en a = 0 . (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene suponiendo que y = x – a y considerando la serie ∑ n = 1 ∞ c n y n . ) Primero debemos demostrar el siguiente hecho: Si existe un número real d ≠ 0 tal que ∑ n = 0 ∞ c n d n converge, entonces la serie ∑ n = 0 ∞ c n x n converge absolutamente para todo x tal que | x | < | d | . Dado que ∑ n = 0 ∞ c n d n converge, el enésimo término c n d n → 0 a medida que n → ∞ . Por lo tanto, existe un número entero N tal que | c n d n | ≤ 1 para todo n ≥ N . Escribiendo | c n x n | = | c n d n | | x d | n , concluimos que, para todo n ≥ N , | c n x n | ≤ | x d | n . La serie ∑ n = N ∞ | x d | n es una serie geométrica que converge si | x d | < 1 . Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que ∑ n = N ∞ c n x n también converge para | x | < | d | . Como podemos añadir un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge para | x | < | d | . Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Consideremos la serie ∑ n = 0 ∞ a n x n y supongamos que S es el conjunto de números reales para los que converge la serie. Supongamos que el conjunto S = { 0 } . Entonces la serie entra en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie entra en el caso ii. Supongamos que S ≠ { 0 } y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real x * ≠ 0 tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para cualquier x tal que | x | > | x * | . Por tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se desprende de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en los cursos de análisis real). Llamemos a ese límite superior más pequeño R . Dado que S ≠ { 0 } , el número R > 0 . Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que | x | < R , y la serie entra en el caso iii. □ Si una serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n entra en el caso iii. de , entonces la serie converge para todo x tal que | x – a | < R para algunos R > 0 , y diverge para todo x tal que | x – a | > R . La serie puede converger o divergir en los valores x donde | x – a | = R . El conjunto de valores x para los que la serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n converge se conoce como el intervalo de convergencia . Dado que la serie diverge para todos los valores x donde | x – a | > R , la longitud del intervalo es 2 R , y por lo tanto, el radio del intervalo es R . El valor R se llama radio de convergencia . Por ejemplo, dado que la serie ∑ n = 0 ∞ x n converge para todos los valores x en el intervalo ( –1 , 1 ) y diverge para todos los valores x tales que | x | ≥ 1 , el intervalo de convergencia de esta serie es ( –1 , 1 ) . Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1. Definición Consideremos la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n . El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real R > 0 tal que la serie converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R , entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge solo en x = a , decimos que el radio de convergencia es R = 0 . Si la serie converge para todos los números reales x , decimos que el radio de convergencia es R = ∞ ( ). Para una serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en R = 0 , el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en R = ∞ , y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R . Para el gráfico (c) observamos que la serie puede converger o no en los puntos finales x = a + R y x = a − R . Para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias, solemos aplicar el criterio del cociente. En el , mostramos las tres posibilidades diferentes ilustradas en la . Hallar el intervalo y el radio de convergencia Para cada una de las siguientes series, halle el intervalo y el radio de convergencia. ∑ n = 0 ∞ x n n ! ∑ n = 0 ∞ n ! x n ∑ n = 0 ∞ ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n Para comprobar la convergencia, aplique el criterio del cociente. Tenemos ρ = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) ! x n n ! | = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! x n | = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) . n ! . n ! x n | = lím n → ∞ | x n + 1 | = | x | lím n → ∞ 1 n + 1 = 0 < 1 para todos los valores de x . Por lo tanto, la serie converge para todos los números reales x . El intervalo de convergencia es ( − ∞ , ∞ ) y el radio de convergencia es R = ∞ . Aplique el criterio del cociente. Para x ≠ 0 , vemos que ρ = lím n → ∞ | ( n + 1 ) ! x n + 1 n ! x n | = lím n → ∞ | ( n + 1 ) x | = | x | lím n → ∞ ( n + 1 ) = ∞ . Por lo tanto, la serie diverge para todo x ≠ 0 . Como la serie está centrada en x = 0 , debe converger allí, por lo que la serie converge solo para x = 0 . El intervalo de convergencia es el valor único x = 0 y el radio de convergencia es R = 0 . Para aplicar el criterio del cociente, considere ρ = lím n → ∞ | ( x − 2 ) n + 1 ( n + 2 ) 3 n + 1 ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n | = lím n → ∞ | ( x − 2 ) n + 1 ( n + 2 ) 3 n + 1 . ( n + 1 ) 3 n ( x − 2 ) n | = lím n → ∞ | ( x − 2 ) ( n + 1 ) 3 ( n + 2 ) | = | x − 2 | 3 . El cociente ρ < 1 si | x − 2 | < 3 . Dado que | x − 2 | < 3 implica que −3 < x − 2 < 3 , la serie converge absolutamente si −1 < x < 5 . El cociente ρ > 1 si | x − 2 | > 3 . Por lo tanto, la serie diverge si x < −1 o x > 5 . El criterio del cociente no es concluyente si ρ = 1 . El cociente ρ = 1 si y solo si x = −1 o x = 5 . Tenemos que probar estos valores de x por separado. Para x = −1 , la serie está dada por ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n n + 1 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ . Como se trata de la serie armónica alternada, converge. Así, la serie converge en x = −1 . Para x = 5 , la serie está dada por ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . Esta es la serie armónica, que es divergente. Por lo tanto, la serie de potencias diverge en x = 5 . Concluimos que el intervalo de convergencia es [ −1 , 5 ) y el radio de convergencia es R = 3 . Halle el intervalo y el radio de convergencia de la serie ∑ n = 1 ∞ x n n . El intervalo de convergencia es [ −1 , 1 ) . El radio de convergencia es R = 1 . Pista Aplique el criterio del cociente para comprobar la convergencia absoluta. Representación de funciones como series de potencias Poder representar una función mediante un \"polinomio infinito\" es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las más fáciles de analizar, ya que solo implican las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos utilizar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos utilizar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es: ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias? Consideremos de nuevo la serie geométrica 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n . Recordemos que la serie geométrica a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ converge si y solo si | r | < 1 . En ese caso, converge a a 1 − r . Por lo tanto, si | x | < 1 , la serie en el converge a 1 1 − x y escribimos 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = 1 1 − x para | x | < 1 . Como resultado, podemos representar la función f ( x ) = 1 1 − x mediante la serie de potencias 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ cuando | x | < 1 . Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación para la función f ( x ) = 1 1 − x comparando el gráfico de f con los gráficos de varias de las sumas parciales de esta serie infinita. Graficar una función y las sumas parciales de sus series de potencias Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 1 − x y los gráficos de las sumas parciales correspondientes S N ( x ) = ∑ n = 0 N x n para N = 2 , 4 , 6 en el intervalo ( –1 , 1 ) . Comente sobre la aproximación S N a medida que aumenta N . En el gráfico de la se ve que a medida que aumenta N , S N se convierte en una mejor aproximación para f ( x ) = 1 1 − x para x en el intervalo ( –1 , 1 ) . El gráfico muestra una función y tres aproximaciones de la misma mediante sumas parciales de una serie de potencias. Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 1 − x 2 y las sumas parciales correspondientes S N ( x ) = ∑ n = 0 N x 2 n para N = 2 , 4 , 6 en el intervalo ( –1 , 1 ) . Pista S N ( x ) = 1 + x 2 + ⋯ + x 2 N = 1 − x 2 ( N + 1 ) 1 − x 2 A continuación consideramos funciones que implican una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones utilizando series de potencias. Representar una función con una serie de potencias Utilice una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones f . Halle el intervalo de convergencia. f ( x ) = 1 1 + x 3 f ( x ) = x 2 4 − x 2 Debe reconocer esta función f como la suma de una serie geométrica, porque 1 1 + x 3 = 1 1 − ( − x 3 ) . Utilizando el hecho de que, para | r | < 1 , a 1 − r es la suma de la serie geométrica ∑ n = 0 ∞ a r n = a + a r + a r 2 + ⋯ , vemos que, para | − x 3 | < 1 , 1 1 + x 3 = 1 1 − ( − x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x 3 ) n = 1 − x 3 + x 6 − x 9 + ⋯ . Dado que esta serie converge si y solo si | − x 3 | < 1 , el intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) , y tenemos 1 1 + x 3 = 1 − x 3 + x 6 − x 9 + ⋯ para | x | < 1 . Esta función no tiene la forma exacta de una suma de una serie geométrica. Sin embargo, con un poco de manipulación algebraica, podemos relacionar f con una serie geométrica. Factorizando 4 de los dos términos del denominador, obtenemos x 2 4 − x 2 = x 2 4 ( 1 − x 2 4 ) = x 2 4 ( 1 − ( x 2 ) 2 ) . Por lo tanto, tenemos x 2 4 − x 2 = x 2 4 ( 1 − ( x 2 ) 2 ) = x 2 4 1 − ( x 2 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 4 ( x 2 ) 2 n . La serie converge siempre que | ( x 2 ) 2 | < 1 (tenga en cuenta que cuando | ( x 2 ) 2 | = 1 la serie no converge). Resolviendo esta inecuación, concluimos que el intervalo de convergencia es ( –2 , 2 ) y x 2 4 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 4 n + 1 = x 2 4 + x 4 4 2 + x 6 4 3 + ⋯ para | x | < 2 . Represente la función f ( x ) = x 3 2 − x utilizando una serie de potencias y halle el intervalo de convergencia. ∑ n = 0 ∞ x n + 3 2 n + 1 con intervalo de convergencia ( –2 , 2 ) Pista Reescriba f en la forma f ( x ) = g ( x ) 1 − h ( x ) para algunas funciones g y h . En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones en series de potencias para muchas otras funciones, y cómo podemos hacer uso de estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar diversas funciones. Conceptos clave Para una serie de potencias centrada en x = a , se cumple una de las tres propiedades siguientes: La serie de potencias solo converge en x = a . En este caso, decimos que el radio de convergencia es R = 0 . La serie de potencias converge para todos los números reales x . En este caso, decimos que el radio de convergencia es R = ∞ . Existe un número real R tal que la serie converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R . En este caso, el radio de convergencia es R . Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales. El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia. La serie geométrica ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x para | x | < 1 nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas. Ecuaciones clave Serie de potencias centrada en x = 0 ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ Serie de potencias centrada en x = a ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + ⋯ En los siguientes ejercicios, indique si cada afirmación es verdadera o dé un ejemplo para demostrar que es falsa. Si los valores de ∑ n = 1 ∞ a n x n converge, entonces a n x n → 0 a medida que n → ∞ . Verdadero. Si una serie converge, sus términos tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ a n x n converge en x = 0 para cualquier número real a n . Dada cualquier secuencia a n , siempre hay algún R > 0 , posiblemente muy pequeño, de manera que ∑ n = 1 ∞ a n x n converge en ( − R , R ) . Falso. Esto implicaría que a n x n → 0 para | x | < R . Si a n = n n , entonces a n x n = ( n x ) n no tiende a cero para cualquier x ≠ 0 . Si los valores de ∑ n = 1 ∞ a n x n tiene un radio de convergencia R > 0 y si | b n | ≤ | a n | para todo n , entonces el radio de convergencia de ∑ n = 1 ∞ b n x n es mayor o igual que R . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n ( x − 3 ) n converge en x = 6 . ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si ∑ a n ( x − c ) n converge en x , entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x . x = 1 x = 2 x = 3 x = 0 x = 5,99 x = 0,000001 Debe converger en ( 0 , 6 ] y por lo tanto en: a. x = 1 ; b. x = 2 ; c. x = 3 ; d. x = 0 ; e. x = 5,99 ; y f. x = 0,000001 . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n converge en x = –2 . ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si ∑ a n ( x − c ) n converge en x , entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x . x = 2 x = –1 x = −3 x = 0 x = 0,99 x = 0,000001 En los siguientes ejercicios, supongamos que | a n + 1 a n | → 1 a medida que n → ∞ . Halle el radio de convergencia de cada serie. ∑ n = 0 ∞ a n 2 n x n | a n + 1 2 n + 1 x n + 1 a n 2 n x n | = 2 | x | | a n + 1 a n | → 2 | x | así que R = 1 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n 2 n ∑ n = 0 ∞ a n π n x n e n | a n + 1 ( π e ) n + 1 x n + 1 a n ( π e ) n x n | = π | x | e | a n + 1 a n | → π | x | e así que R = e π ∑ n = 0 ∞ a n ( –1 ) n x n 10 n ∑ n = 0 ∞ a n ( –1 ) n x 2 n | a n + 1 ( –1 ) n + 1 x 2 n + 2 a n ( –1 ) n x 2 n | = | x 2 | | a n + 1 a n | → | x 2 | así que R = 1 ∑ n = 0 ∞ a n ( –4 ) n x 2 n En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia R y el intervalo de convergencia para ∑ a n x n con los coeficientes dados a n . ∑ n = 1 ∞ ( 2 x ) n n a n = 2 n n así que a n + 1 x a n → 2 x . así que R = 1 2 . Cuando x = 1 2 la serie es armónica y divergente. Cuando x = − 1 2 la serie es armónica alternada y converge. El intervalo de convergencia es I = [ − 1 2 , 1 2 ) . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n x n n ∑ n = 1 ∞ n x n 2 n a n = n 2 n así que a n + 1 x a n → x 2 así que R = 2 . Cuando x = ± 2 la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es I = ( –2 , 2 ) . ∑ n = 1 ∞ n x n e n ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 n a n = n 2 2 n así que R = 2 . Cuando x = ± 2 la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es I = ( –2 , 2 ) . ∑ k = 1 ∞ k e x k e k ∑ k = 1 ∞ π k x k k π a k = π k k π así que R = 1 π . Cuando x = ± 1 π la serie es una serie p absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es I = [ − 1 π , 1 π ] . ∑ n = 1 ∞ x n n ! ∑ n = 1 ∞ 10 n x n n ! a n = 10 n n ! , a n + 1 x a n = 10 x n + 1 → 0 < 1 por lo que la serie converge para todo x por el criterio del cociente e I = ( − ∞ , ∞ ) . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n x n ln ( 2 n ) En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de cada serie. ∑ k = 1 ∞ ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) ! a k = ( k ! ) 2 ( 2 k ) ! así que a k + 1 a k = ( k + 1 ) 2 ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) → 1 4 así que R = 4 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! x n n 2 n ∑ k = 1 ∞ k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) x k a k = k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) así que a k + 1 a k = k + 1 2 k + 1 → 1 2 así que R = 2 ∑ k = 1 ∞ 2 . 4 . 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k ∑ n = 1 ∞ x n ( 2 n n ) donde ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! a n = 1 ( 2 n n ) así que a n + 1 a n = ( ( n + 1 ) ! ) 2 ( 2 n + 2 ) ! 2 n ! ( n ! ) 2 = ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) → 1 4 así que R = 4 ∑ n = 1 ∞ sen 2 n x n En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente para determinar el radio de convergencia de cada serie. ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n a n + 1 a n = ( n + 1 ) 3 ( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 ) → 1 27 así que R = 27 ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n ∑ n = 1 ∞ n ! n n x n a n = n ! n n así que a n + 1 a n = ( n + 1 ) ! n ! n n ( n + 1 ) n + 1 = ( n n + 1 ) n → 1 e así que R = e ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n x n En los siguientes ejercicios, dado que 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n con convergencia en ( –1 , 1 ) , calcule la serie de potencias para cada función con el centro a dado, e identifique su intervalo de convergencia. f ( x ) = 1 x ; a = 1 ( Pista: 1 x = 1 1 − ( 1 − x ) ) grandes. f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n en I = ( 0 , 2 ) grandes. f ( x ) = 1 1 − x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 1 − x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 en I = ( –1 , 1 ) grandes. f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 2 en I = ( –1 , 1 ) grandes. f ( x ) = 1 2 − x ; a = 1 f ( x ) = 1 1 − 2 x ; a = 0 . ∑ n = 0 ∞ 2 n x n en ( − 1 2 , 1 2 ) grandes. f ( x ) = 1 1 − 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n + 2 en ( − 1 2 , 1 2 ) grandes. f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 ; a = 2 Utilice el siguiente ejercicio para hallar el radio de convergencia de las series dadas en los ejercicios posteriores. Explique por qué, si | a n | 1 / n → r > 0 , entonces | a n x n | 1 / n → | x | r < 1 siempre que | x | < 1 r y, por tanto, el radio de convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n x n es R = 1 r . | a n x n | 1 / n = | a n | 1 / n | x | → | x | r a medida que n → ∞ y | x | r < 1 cuando | x | < 1 r . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ a n x n converge cuando | x | < 1 r por el criterio de la enésima raíz. ∑ n = 1 ∞ x n n n ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k así que ( a k ) 1 / k → 1 2 < 1 así que R = 2 ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 – 1 k 2 + 3 ) k x k ∑ n = 1 ∞ a n = ( n 1 / n – 1 ) n x n a n = ( n 1 / n – 1 ) n así que ( a n ) 1 / n → 0 así que R = ∞ Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n tal que a n = 0 si n es impar. Explique por qué p ( x ) = − p ( − x ) . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n tal que a n = 0 si n es par. Explique por qué p ( x ) = p ( − x ) . Podemos reescribir p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1 y p ( x ) = p ( − x ) dado que x 2 n + 1 = − ( − x ) 2 n + 1 . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n converge en ( –1 , 1 ] . Halle el intervalo de convergencia de p ( A x ) . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n converge en ( –1 , 1 ] . Halle el intervalo de convergencia de p ( 2 x – 1 ) . Si los valores de x ∈ [ 0 , 1 ] , entonces y = 2 x – 1 ∈ [ −1 , 1 ] así que p ( 2 x – 1 ) = p ( y ) = ∑ n = 0 ∞ a n y n converge. En los siguientes ejercicios, supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n satisface lím n → ∞ a n + 1 a n = 1 donde a n ≥ 0 para cada n . Indique si cada serie converge en el intervalo completo ( –1 , 1 ) , o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea adecuado. ∑ n = 0 ∞ a n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n Converge en ( –1 , 1 ) por el criterio del cociente ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( Pista : x = ± x 2 ) grandes. ∑ n = 0 ∞ a n 2 x n 2 ( Pista: Supongamos que b k = a k si k = n 2 para algún n , en caso contrario b k = 0 . ) Considere la serie ∑ b k x k donde b k = a k si k = n 2 y b k = 0 por lo contrario. Entonces b k ≤ a k y así la serie converge en ( –1 , 1 ) por la prueba de comparación. Supongamos que p ( x ) es un polinomio de grado N . Halle el radio y el intervalo de convergencia de ∑ n = 1 ∞ p ( n ) x n . [T] Dibuje los gráficos de 1 1 − x y de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N x n para n = 10 , 20 , 30 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente sobre la aproximación de 1 1 − x por S N cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . La aproximación es más precisa cerca de x = −1 . Las sumas parciales siguen 1 1 − x más de cerca a medida que aumenta N , pero nunca son precisas cerca de x = 1 ya que la serie diverge allí. [T] Dibuje los gráficos de − ln ( 1 − x ) y de las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N x n n para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S n = ∑ n = 1 N x n n 2 para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos x = ± 1 . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N sen n x n para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N ( –1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! para n n = 3 , 5 , 10 en el intervalo [ −2 π , 2 π ] . Comente cómo se aproximan estos gráficos sen x a medida que aumenta N . Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de sen x hasta su grado y luego los polinomios divergen de sen x . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N ( –1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! para n n = 3 , 5 , 10 en el intervalo [ −2 π , 2 π ] . Comente cómo se aproximan estos gráficos cos x a medida que aumenta N . intervalo de convergencia conjunto de números reales x para los que converge una serie de potencias serie de potencias una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n es una serie de potencias centrada en x = 0 ; una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n es una serie de potencias centrada en x = a radio de convergencia si existe un número real R > 0 tal que una serie de potencias centrada en x = a converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R , entonces R es el radio de convergencia; si la serie de potencias solo converge en x = a , el radio de convergencia es R = 0 ; si la serie de potencias converge para todos los números reales x , el radio de convergencia es R = ∞", "section": "Series y funciones de potencia", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Propiedades de las series de potencia En la sección anterior sobre las series de potencias y las funciones mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias. En esta sección discutimos cómo las series de potencias pueden combinarse, diferenciarse o integrarse para crear nuevas series de potencias. Esta capacidad es especialmente útil por un par de razones. En primer lugar, nos permite hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones elementales, escribiendo esas funciones en términos de funciones con series de potencias conocidas. Por ejemplo, dada la representación en serie de potencias para f ( x ) = 1 1 − x , podemos hallar una representación en serie de potencias para f ′ ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 . En segundo lugar, poder crear series de potencias nos permite definir nuevas funciones que no pueden escribirse en términos de funciones elementales. Esta capacidad es especialmente útil para resolver ecuaciones diferenciales para las que no hay solución en términos de funciones elementales. Combinación de series de potencias Si tenemos dos series de potencias con el mismo intervalo de convergencia, podemos sumar o restar las dos series para crear una nueva serie de potencias, también con el mismo intervalo de convergencia. Del mismo modo, podemos multiplicar una serie de potencias por una potencia de x o evaluar una serie de potencias en x m para un número entero positivo m para crear una nueva serie de potencias. Esto nos permite hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones utilizando representaciones en series de potencias de otras funciones. Por ejemplo, dado que conocemos la representación en series de potencias para f ( x ) = 1 1 − x , podemos hallar representaciones en series de potencias para funciones relacionadas, como y = 3 x 1 − x 2 y y = 1 ( x – 1 ) ( x − 3 ) . En exponemos los resultados relativos a la adición o sustracción de series de potencias, la composición de una serie de potencias y la multiplicación de una serie de potencias por una potencia de la variable. Para simplificar, enunciamos el teorema para las series de potencias centradas en x = 0 . Resultados similares son válidos para las series de potencia centradas en x = a . Combinación de series de potencias Supongamos que las dos series de potencias ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n convergen a las funciones f y g , respectivamente, en un intervalo común I . La serie de potencias ∑ n = 0 ∞ ( c n x n ± d n x n ) converge a f ± g en I . Para cualquier número entero m ≥ 0 y cualquier número real b , la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ b x m c n x n converge a b x m f ( x ) en I . Para cualquier número entero m ≥ 0 y cualquier número real b , la serie ∑ n = 0 ∞ c n ( b x m ) n converge a f ( b x m ) para todo x tal que b x m está en I . Prueba Demostramos i. en el caso de la serie ∑ n = 0 ∞ ( c n x n + d n x n ) . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n convergen a las funciones f y g , respectivamente, en el intervalo I . Supongamos que x es un punto en I y que S N ( x ) y T N ( x ) denotan las enésimas sumas parciales de la serie ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n , respectivamente. Entonces la secuencia { S N ( x ) } converge a f ( x ) y la secuencia { T N ( x ) } converge a g ( x ) . Además, la enésima suma parcial de ∑ n = 0 ∞ ( c n x n + d n x n ) es ∑ n = 0 N ( c n x n + d n x n ) = ∑ n = 0 N c n x n + ∑ n = 0 N d n x n = S N ( x ) + T N ( x ) . Dado que lím N → ∞ ( S N ( x ) + T N ( x ) ) = lím N → ∞ S N ( x ) + lím N → ∞ T N ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , concluimos que la serie ∑ n = 0 ∞ ( c n x n + d n x n ) converge a f ( x ) + g ( x ) . □ Examinaremos los productos de las series de potencias en un teorema posterior. Primero, mostramos varias aplicaciones de y cómo hallar el intervalo de convergencia de una serie de potencias dado el intervalo de convergencia de una serie de potencias relacionada. Combinación de series de potencias Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) , y supongamos que ∑ n = 0 ∞ b n x n es una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia es ( –2 , 2 ) . Halle el intervalo de convergencia de la serie ∑ n = 0 ∞ ( a n x n + b n x n ) . Halle el intervalo de convergencia de la serie ∑ n = 0 ∞ a n 3 n x n . Dado que el intervalo ( –1 , 1 ) es un intervalo común de convergencia de la serie ∑ n = 0 ∞ a n x n y ∑ n = 0 ∞ b n x n , el intervalo de convergencia de la serie ∑ n = 0 ∞ ( a n x n + b n x n ) es ( –1 , 1 ) . Dado que ∑ n = 0 ∞ a n x n es una serie de potencias centrada en cero con radio de convergencia 1, converge para todo x en el intervalo ( –1 , 1 ) . Por , la serie ∑ n = 0 ∞ a n 3 n x n = ∑ n = 0 ∞ a n ( 3 x ) n converge si 3 x está en el intervalo ( –1 , 1 ) . Por tanto, la serie converge para todo x en el intervalo ( − 1 3 , 1 3 ) . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n tiene un intervalo de convergencia de ( –1 , 1 ) . Halle el intervalo de convergencia de ∑ n = 0 ∞ a n ( x 2 ) n . El intervalo de convergencia es ( –2 , 2 ) . Pista Halle los valores de x tales que x 2 esté en el intervalo ( –1 , 1 ) . En el siguiente ejemplo, mostramos cómo utilizar y la serie de potencias de una función f para construir series de potencias de funciones relacionadas con f . En concreto, consideramos las funciones relacionadas con la función f ( x ) = 1 1 − x y utilizamos el hecho de que 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ para | x | < 1 . Construcción de series de potencias a partir de series de potencia conocidas Utilice la representación en series de potencias para f ( x ) = 1 1 − x combinada con para construir una serie de potencias para cada una de las siguientes funciones. Halle el intervalo de convergencia de la serie de potencias. f ( x ) = 3 x 1 + x 2 f ( x ) = 1 ( x – 1 ) ( x − 3 ) Primero escriba f ( x ) como f ( x ) = 3 x ( 1 1 − ( − x 2 ) ) . Utilizando la representación en serie de potencias para f ( x ) = 1 1 − x y las partes ii. y iii. de , hallamos que una representación en serie de potencias para f está dada por ∑ n = 0 ∞ 3 x ( − x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ 3 ( –1 ) n x 2 n + 1 . Dado que el intervalo de convergencia de la serie para 1 1 − x es ( –1 , 1 ) , el intervalo de convergencia de esta nueva serie es el conjunto de números reales x tales que | x 2 | < 1 . Por lo tanto, el intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) . Para hallar la representación en serie de potencias, utilice fracciones parciales para escribir f ( x ) = 1 ( x – 1 ) ( x − 3 ) como la suma de dos fracciones. Tenemos 1 ( x – 1 ) ( x − 3 ) = − 1 / 2 x – 1 + 1 / 2 x − 3 = 1 / 2 1 − x – 1 / 2 3 − x = 1 / 2 1 − x – 1 / 6 1 − x 3 . En primer lugar, utilizando la parte ii. de , obtenemos 1 / 2 1 − x = ∑ n = 0 ∞ 1 2 x n para | x | < 1 . Entonces, utilizando las partes ii. y iii. de , tenemos 1 / 6 1 − x / 3 = ∑ n = 0 ∞ 1 6 ( x 3 ) n para | x | < 3 . Como estamos combinando estas dos series de potencias, el intervalo de convergencia de la diferencia debe ser el menor de estos dos intervalos. Utilizando este hecho y la parte i. de , tenemos 1 ( x – 1 ) ( x − 3 ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 – 1 6 . 3 n ) x n donde el intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) . Utilice la serie para f ( x ) = 1 1 − x en | x | < 1 para construir una serie para 1 ( 1 − x ) ( x − 2 ) . Determine el intervalo de convergencia. ∑ n = 0 ∞ ( –1 + 1 2 n + 1 ) x n . El intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) . Pista Utilice fracciones parciales para reescribir 1 ( 1 − x ) ( x − 2 ) como la diferencia de dos fracciones. En el , mostramos cómo calcular series de potencias para ciertas funciones. En el mostramos cómo hacer lo contrario: dada una serie de potencias, determinar qué función representa. Hallar la función representada por una serie de potencias dada Consideremos la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ 2 n x n . Halle la función f representada por esta serie. Determine el intervalo de convergencia de la serie. Escribiendo la serie dada como ∑ n = 0 ∞ 2 n x n = ∑ n = 0 ∞ ( 2 x ) n , podemos reconocer esta serie como la serie de potencias para f ( x ) = 1 1 − 2 x . Como se trata de una serie geométrica, la serie converge si y solo si | 2 x | < 1 . Por lo tanto, el intervalo de convergencia es ( − 1 2 , 1 2 ) . Halle la función representada por la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ 1 3 n x n . Determine su intervalo de convergencia. f ( x ) = 3 3 − x . El intervalo de convergencia es ( −3 , 3 ) . Pista Escriba 1 3 n x n = ( x 3 ) n . Recordemos las preguntas planteadas en el inicio del capítulo sobre cuál es la mejor forma de recibir los pagos de los premios de la lotería. A continuación, retomamos estas preguntas y mostramos cómo utilizar las series para comparar los valores de los pagos a lo largo del tiempo con el pago de una suma global en la actualidad. Calcularemos cuánto valen los pagos futuros en términos de dólares de hoy, suponiendo que tenemos la capacidad de invertir las ganancias y ganar intereses. El valor de los pagos futuros en términos de dólares de hoy se conoce como el valor actual de esos pagos. Inicio del capítulo: Valor actual de las ganancias futuras (créditos: modificación del trabajo de Robert Huffstutter, Flickr). Supongamos que gana la lotería y le dan las tres opciones siguientes: (1) Recibir 20 millones de dólares hoy; (2) recibir 1,5 millones de dólares al año durante los próximos 20 años; o (3) recibir 1 millón de dólares al año de forma indefinida (pasando a sus herederos). ¿Cuál es la mejor oferta, suponiendo que el tipo de interés anual es del 5 %? Respondemos a esto mediante la siguiente secuencia de preguntas. ¿Cuánto valen los 1,5 millones de dólares recibidos anualmente a lo largo de 20 años en términos de dólares actuales, suponiendo un tipo de interés anual del 5 %? Utilice la respuesta de la parte a. para hallar una fórmula general para el valor actual de los pagos de C dólares recibidos cada año durante los próximos n años, suponiendo un tipo de interés anual promedio r . Halle una fórmula para el valor actual si los pagos anuales de C dólares continúan indefinidamente, asumiendo una tasa de interés anual promedio r . Utilice la respuesta de la parte c. para determinar el valor actual de 1 millón de dólares pagados anualmente de forma indefinida. Utilice sus respuestas de las partes a. y d. para determinar cuál de las tres opciones es la mejor. Considere el pago de 1,5 millones de dólares realizado al final del primer año. Si pudiera recibir ese pago hoy en vez de dentro de un año, podría invertir ese dinero y ganar un 5 % de interés. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero P 1 satisface P 1 ( 1 + 0,05 ) = 1,5 millones de dólares . Concluimos que P 1 = 1,5 1,05 = $ 1,429 millones de dólares . Del mismo modo, considere el pago de 1,5 millones de dólares realizado al final del segundo año. Si pudiera recibir ese pago hoy, podría invertir ese dinero durante dos años, ganando un 5 % de interés, compuesto anualmente. Por lo tanto, el valor actual de ese dinero P 2 satisface P 2 ( 1 + 0,05 ) 2 = 1,5 millones de dólares . Concluimos que P 2 = 1,5 ( 1,05 ) 2 = $ 1,361 millones de dólares . El valor de los pagos futuros hoy es la suma de los valores actuales P 1 , P 2 , … , P 20 de cada uno de esos pagos anuales. El valor actual P k satisface P k = 1,5 ( 1,05 ) k . Por lo tanto, P = 1,5 1,05 + 1,5 ( 1,05 ) 2 + ⋯ + 1,5 ( 1,05 ) 20 = $ 18,693 millones de dólares . Utilizando el resultado de la parte a. vemos que el valor actual P de C dólares pagados anualmente en el transcurso de n años, suponiendo un tipo de interés anual r , está dado por P = C 1 + r + C ( 1 + r ) 2 + ⋯ + C ( 1 + r ) n dólares . Utilizando el resultado de la parte b. vemos que el valor actual de una anualidad que continúa indefinidamente está dado por la serie infinita P = ∑ n = 0 ∞ C ( 1 + r ) n + 1 . Podemos ver el valor actual como una serie de potencias en r , que converge siempre que | 1 1 + r | < 1 . Dado que r > 0 , esta serie converge. Reescribiendo la serie como P = C ( 1 + r ) ∑ n = 0 ∞ ( 1 1 + r ) n , reconocemos esta serie como la serie de potencias para f ( r ) = 1 1 − ( 1 1 + r ) = 1 ( r 1 + r ) = 1 + r r . Concluimos que el valor actual de esta anualidad es P = C 1 + r . 1 + r r = C r . Del resultado de la parte c. concluimos que el valor actual P de C = 1 millón de dólares pagado cada año indefinidamente, suponiendo un tipo de interés anual r = 0,05 , está dada por P = 1 0,05 = 20 millones de dólares . De la parte a. vemos que recibir 1,5 millones de dólares en el transcurso de 20 años tiene un valor de 18,693 millones de dólares en dólares de hoy. De la parte d. vemos que recibir 1 millón de dólares al año de forma indefinida tiene un valor de 20 millones de dólares en dólares de hoy. Por lo tanto, tanto recibir un pago único de 20 millones de dólares hoy como recibir 1 millón de dólares indefinidamente tienen el mismo valor actual. Multiplicación de series de potencias También podemos crear nuevas series de potencias multiplicando series de potencias. La posibilidad de multiplicar dos series de potencias proporciona otra forma de hallar representaciones en series de potencias para las funciones. La forma de multiplicarlas es similar a la de multiplicar polinomios. Por ejemplo, supongamos que queremos multiplicar ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ y ∑ n = 0 ∞ d n x n = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + ⋯ . Parece que el producto debería satisfacer ( ∑ n = 0 ∞ c n x n ) ( ∑ n = −0 ∞ d n x n ) = ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ ) . ( d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + ⋯ ) = c 0 d 0 + ( c 1 d 0 + c 0 d 1 ) x + ( c 2 d 0 + c 1 d 1 + c 0 d 2 ) x 2 + ⋯ . En exponemos el resultado principal sobre la multiplicación de series de potencias, mostrando que si ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n convergen en un intervalo común I , entonces podemos multiplicar las series de esta manera, y la serie resultante también converge en el intervalo I . Multiplicación de series de potencias Supongamos que la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n convergen a f y g , respectivamente, en un intervalo común I . Supongamos que e n = c 0 d n + c 1 d n – 1 + c 2 d n – 2 + ⋯ + c n – 1 d 1 + c n d 0 = ∑ k = 0 n c k d n − k . Entonces ( ∑ n = 0 ∞ c n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ d n x n ) = ∑ n = 0 ∞ e n x n y ∑ n = 0 ∞ e n x n converge a f ( x ) . g ( x ) en I . La serie ∑ n = 0 ∞ e n x n se conoce como el producto Cauchy de la serie ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n . Omitimos la demostración de este teorema, ya que va más allá del nivel de este texto y suele tratarse en un curso más avanzado. A continuación, ofrecemos un ejemplo de este teorema encontrando la representación en serie de potencias para f ( x ) = 1 ( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) utilizando las representaciones en series de potencias para y = 1 1 − x y y = 1 1 − x 2 . Multiplicación de series de potencias Multiplique la representación en serie de potencias 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ para | x | < 1 con la representación en serie de potencias 1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( x 2 ) n = 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ para | x | < 1 para construir una serie de potencias para f ( x ) = 1 ( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) en el intervalo ( –1 , 1 ) . Tenemos que multiplicar ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ ) . Escribiendo los primeros términos, vemos que el producto está dado por ( 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ⋯ ) + ( x + x 3 + x 5 + x 7 + ⋯ ) + ( x 2 + x 4 + x 6 + x 8 + ⋯ ) + ( x 3 + x 5 + x 7 + x 9 + ⋯ ) = 1 + x + ( 1 + 1 ) x 2 + ( 1 + 1 ) x 3 + ( 1 + 1 + 1 ) x 4 + ( 1 + 1 + 1 ) x 5 + ⋯ = 1 + x + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 3 x 5 + ⋯ . Dado que las series para y = 1 1 − x como y = 1 1 − x 2 convergen ambas en el intervalo ( –1 , 1 ) , la serie del producto también converge en el intervalo ( –1 , 1 ) . Multiplique la serie 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n por sí misma para construir una serie para 1 ( 1 − x ) ( 1 − x ) . 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ⋯ Pista Multiplique los primeros términos de ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) . Diferenciación e integración de series de potencias Consideremos una serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ que converge en algún intervalo I , y supongamos que f es la función definida por esta serie. Aquí abordamos dos preguntas sobre f . ¿Es f diferenciable, y si es así, cómo determinamos la derivada f ′ ? ¿Cómo evaluamos la integral indefinida ∫ f ( x ) d x ? Sabemos que, para un polinomio con un número finito de términos, podemos evaluar la derivada diferenciando cada término por separado. Del mismo modo, podemos evaluar la integral indefinida integrando cada término por separado. Aquí mostramos que podemos hacer lo mismo para las series de potencias convergentes. Es decir, si f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ converge en algún intervalo I , entonces f ′ ( x ) = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + ⋯ y ∫ f ( x ) d x = C + c 0 x + c 1 x 2 2 + c 2 x 3 3 + ⋯ converge en I La evaluación de la derivada y la integral indefinida de este modo se denomina diferenciación término a término de una serie de potencias e integración término a término de una serie de potencias , respectivamente. La capacidad de diferenciar e integrar las series de potencias término a término también nos permite utilizar representaciones en series de potencias conocidas para hallar representaciones en series de potencias para otras funciones. Por ejemplo, dada la serie de potencias para f ( x ) = 1 1 − x , podemos diferenciar término a término para calcular la serie de potencias para f ′ ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 . Del mismo modo, utilizando la serie de potencias para g ( x ) = 1 1 + x , podemos integrar término a término para calcular la serie de potencias para G ( x ) = ln ( 1 + x ) , una antiderivada de g . Le mostramos cómo hacerlo en el y el . En primer lugar, enunciamos la , que proporciona el principal resultado concerniente a la diferenciación e integración de series de potencias. Diferenciación e integración término a término de las series de potencias Supongamos que la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n converge en el intervalo ( a − R , a + R ) para algunos R > 0 . Supongamos que f es la función definida por la serie f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + c 3 ( x – a ) 3 + ⋯ para | x – a | < R . Entonces f es diferenciable en el intervalo ( a − R , a + R ) y podemos hallar f ′ diferenciando la serie término a término: f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n c n ( x – a ) n – 1 = c 1 + 2 c 2 ( x – a ) + 3 c 3 ( x – a ) 2 + ⋯ para | x – a | < R . Además, para hallar ∫ f ( x ) d x , podemos integrar la serie término a término. La serie resultante converge en ( a − R , a + R ) , y tenemos ∫ f ( x ) d x = C + ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n + 1 n + 1 = C + c 0 ( x – a ) + c 1 ( x – a ) 2 2 + c 2 ( x – a ) 3 3 + ⋯ para | x – a | < R . La demostración de este resultado está fuera del alcance del texto y se omite. Obsérvese que aunque la garantiza el mismo radio de convergencia cuando una serie de potencias se diferencia o integra término a término, no dice nada sobre lo que ocurre en los puntos finales. Es posible que las series de potencias diferenciadas e integradas tengan un comportamiento diferente en los puntos finales que la serie original. Vemos este comportamiento en los siguientes ejemplos. Diferenciación de series de potencias Utilice la representación en serie de potencias f ( x ) = 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ para | x | < 1 para hallar una representación en serie de potencias para g ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 en el intervalo ( –1 , 1 ) . Determine si la serie resultante converge en los puntos finales. Utilice el resultado de la parte a. para evaluar la suma de la serie ∑ n = 0 ∞ n + 1 4 n . Dado que g ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 es la derivada de f ( x ) = 1 1 − x , podemos hallar una representación en serie de potencias para g diferenciando la serie de potencias para f término a término. El resultado es g ( x ) = 1 ( 1 − x ) 2 = d d x ( 1 1 − x ) = ∑ n = 0 ∞ d d x ( x n ) = d d x ( 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ ) = 0 + 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n para | x | < 1 . La no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie en los puntos finales. Comprobando los puntos finales mediante la prueba de divergencia, encontramos que la serie diverge en ambos puntos finales x = ± 1 . Observe que este es el mismo resultado que se halló en el . De la parte a. sabemos que ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n = 1 ( 1 − x ) 2 . Por lo tanto, ∑ n = 0 ∞ n + 1 4 n = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) ( 1 4 ) n = 1 ( 1 − 1 4 ) 2 = 1 ( 3 4 ) 2 = 16 9 . Diferencie las series 1 ( 1 − x ) 2 = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n término a término para hallar una representación en serie de potencias para 2 ( 1 − x ) 3 en el intervalo ( –1 , 1 ) . ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n Pista Escriba los primeros términos y aplique la regla de la potencia. Integración de series de potencias Para cada una de las siguientes funciones f , halle una representación en serie de potencias para f integrando la serie de potencias para f ′ y halle su intervalo de convergencia. f ( x ) = ln ( 1 + x ) grandes. f ( x ) = tan −1 x Para f ( x ) = ln ( 1 + x ) , la derivada es f ′ ( x ) = 1 1 + x . Sabemos que 1 1 + x = 1 1 − ( − x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x ) n = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ para | x | < 1 . Para hallar la fórmula de una serie de potencias para f ( x ) = ln ( 1 + x ) , integramos la serie término a término ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ ( 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ ) d x = C + x – x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ Dado que f ( x ) = ln ( 1 + x ) es una antiderivada de 1 1 + x , queda por resolver la constante C . Ya que ln ( 1 + 0 ) = 0 , tenemos C = 0 . Por lo tanto, una representación en serie de potencias para f ( x ) = ln ( 1 + x ) es ln ( 1 + x ) = x – x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 x n n para | x | < 1 . La no garantiza nada sobre el comportamiento de esta serie de potencias en los puntos finales. Sin embargo, al comprobar los puntos finales, hallamos que en x = 1 la serie es la serie armónica alternada, que converge. Además, en x = −1 , la serie es la serie armónica, que diverge. Es importante señalar que, aunque esta serie converge en x = 1 , la no garantiza que la serie converja realmente a ln ( 2 ) . De hecho, la serie converge a ln ( 2 ) , pero demostrar este hecho requiere técnicas más avanzadas. (El teorema de Abel, tratado en textos más avanzados, se ocupa de este punto más técnico). El intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ] . La derivada de f ( x ) = tan −1 x es f ′ ( x ) = 1 1 + x 2 . Sabemos que 1 1 + x 2 = 1 1 − ( − x 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x 2 ) n = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + ⋯ para | x | < 1 . Para hallar la fórmula de una serie de potencias para f ( x ) = tan −1 x , integramos esta serie término a término. ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ ( 1 − x 2 + x 4 − x 6 + ⋯ ) d x = C + x – x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ Dado que tan –1 ( 0 ) = 0 , tenemos C = 0 . Por lo tanto, una representación en serie de potencias para f ( x ) = tan −1 x es tan −1 x = x – x 3 3 + x 5 5 − x 7 7 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 para | x | < 1 . De nuevo, la no garantiza nada sobre la convergencia de esta serie en los puntos finales. Sin embargo, comprobando los puntos finales y utilizando la prueba de series alternadas, hallamos que la serie converge en x = 1 y x = −1 . Como se discutió en la parte a., utilizando el teorema de Abel, se puede demostrar que la serie realmente converge a tan –1 ( 1 ) y tan –1 ( –1 ) en x = 1 y x = −1 , respectivamente. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es [ −1 , 1 ] . Integre la serie de potencias ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 x n n término a término para evaluar ∫ ln ( 1 + x ) d x . ∑ n = 2 ∞ ( –1 ) n x n n ( n – 1 ) Pista Utilice el hecho de que x n + 1 ( n + 1 ) n es una antiderivada de x n n . Hasta ahora, hemos mostrado varias técnicas para hallar representaciones en series de potencias para funciones. Sin embargo, ¿cómo sabemos que estas series de potencias son únicas? Es decir, dada una función f y una serie de potencias para f en a , ¿es posible que exista una serie de potencias diferente para f en a que podríamos haber hallado si hubiéramos utilizado una técnica diferente? La respuesta a esta pregunta es no. Este hecho no debería parecer sorprendente si pensamos en las series de potencias como polinomios con un número infinito de términos. Intuitivamente, si c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ = d 0 + d 1 x + d 2 x 2 + ⋯ para todos los valores x en algún intervalo abierto I alrededor de cero, entonces los coeficientes c n deben ser iguales a d n para n ≥ 0 . Ahora exponemos este resultado formalmente en la . Singularidad de las series de potencias Supongamos que ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n y ∑ n = 0 ∞ d n ( x – a ) n sean dos series de potencias convergentes tales que ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = ∑ n = 0 ∞ d n ( x – a ) n para todo x en un intervalo abierto que contiene a . Entonces c n = d n para todo n ≥ 0 . Prueba Supongamos que f ( x ) = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + c 3 ( x – a ) 3 + ⋯ = d 0 + d 1 ( x – a ) + d 2 ( x – a ) 2 + d 3 ( x – a ) 3 + ⋯ . Entonces f ( a ) = c 0 = d 0 . Mediante la , podemos diferenciar ambas series término a término. Por lo tanto, f ′ ( x ) = c 1 + 2 c 2 ( x – a ) + 3 c 3 ( x – a ) 2 + ⋯ = d 1 + 2 d 2 ( x – a ) + 3 d 3 ( x – a ) 2 + ⋯ , y así, f ′ ( a ) = c 1 = d 1 . De la misma manera, f ″ ( x ) = 2 c 2 + 3 . 2 c 3 ( x – a ) + ⋯ = 2 d 2 + 3 . 2 d 3 ( x – a ) + ⋯ implica que f ″ ( a ) = 2 c 2 = 2 d 2 , y por lo tanto, c 2 = d 2 . Más generalmente, para cualquier número entero n ≥ 0 , f ( n ) ( a ) = n ! c n = n ! d n , y en consecuencia, c n = d n para todo n ≥ 0 . □ En esta sección hemos mostrado cómo hallar representaciones en series de potencias para ciertas funciones usando diversas operaciones algebraicas, diferenciación o integración. Sin embargo, en este punto todavía estamos limitados en cuanto a las funciones para las que podemos hallar representaciones en series de potencias. A continuación, mostramos cómo hallar representaciones en series de potencias para muchas más funciones introduciendo series de Taylor. Conceptos clave Dadas dos series de potencias ∑ n = 0 ∞ c n x n y ∑ n = 0 ∞ d n x n que convergen a las funciones f y g en un intervalo común I , la suma y la diferencia de las dos series convergen a f ± g , respectivamente, en I . Además, para cualquier número real b y entero m ≥ 0 , la serie ∑ n = 0 ∞ b x m c n x n converge a b x m f ( x ) y la serie ∑ n = 0 ∞ c n ( b x m ) n converge a f ( b x m ) siempre que bx m esté en el intervalo I . Dadas dos series de potencias que convergen en un intervalo ( − R , R ) , el producto de Cauchy de las dos series de potencias converge en el intervalo ( − R , R ) . Dada una serie de potencias que converge a una función f en un intervalo ( − R , R ) , la serie se puede diferenciar término a término y la serie resultante converge a f ′ en ( − R , R ) . La serie también se puede integrar término a término y la serie resultante converge a ∫ f ( x ) d x en ( − R , R ) . Si f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! y g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n n ! , halle la fórmula de la serie de potencias de 1 2 ( f ( x ) + g ( x ) ) y de 1 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) . 1 2 ( f ( x ) + g ( x ) ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! y 1 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . Si C ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! y S ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , halle la fórmula de la serie de potencias de C ( x ) + S ( x ) y de C ( x ) − S ( x ) . En los siguientes ejercicios, utilice fracciones parciales para calcular la serie de potencias de cada función. 4 ( x − 3 ) ( x + 1 ) grandes. 4 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 1 x − 3 − 1 x + 1 = − 1 3 ( 1 − x 3 ) − 1 1 − ( − x ) = − 1 3 ∑ n = 0 ∞ ( x 3 ) n − ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n = ∑ n = 0 ∞ ( ( –1 ) n + 1 − 1 3 n + 1 ) x n 3 ( x + 2 ) ( x – 1 ) grandes. 5 ( x 2 + 4 ) ( x 2 – 1 ) grandes. 5 ( x 2 + 4 ) ( x 2 – 1 ) = 1 x 2 – 1 − 1 4 1 1 + ( x 2 ) 2 = − ∑ n = 0 ∞ x 2 n – 1 4 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( x 2 ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ ( ( –1 ) + ( –1 ) n + 1 1 2 n + 2 ) x 2 n 30 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 9 ) En los siguientes ejercicios, exprese cada serie como una función racional. ∑ n = 1 ∞ 1 x n 1 x ∑ n = 0 ∞ 1 x n = 1 x 1 1 − 1 x = 1 x – 1 ∑ n = 1 ∞ 1 x 2 n ∑ n = 1 ∞ 1 ( x − 3 ) 2 n – 1 1 x − 3 1 1 − 1 ( x − 3 ) 2 = x − 3 ( x − 3 ) 2 – 1 ∑ n = 1 ∞ ( 1 ( x − 3 ) 2 n – 1 − 1 ( x − 2 ) 2 n – 1 ) Los siguientes ejercicios exploran las aplicaciones de las anualidades . Calcule los valores actuales P de una anualidad en la que se van a pagar 10.000 dólares anuales durante un periodo de 20 años, suponiendo unas tasas de interés de r = 0,03 , r = 0,05 , y r = 0,07 . P = P 1 + ⋯ + P 20 donde P k = 10.000 1 ( 1 + r ) k . Entonces P = 10.000 ∑ k = 1 20 1 ( 1 + r ) k = 10.000 1 − ( 1 + r ) −20 r . Cuando r = 0,03 , P ≈ 10.000 × 14,8775 = 148.775 . Cuando r = 0,05 , P ≈ 10.000 × 12,4622 = 124.622 . Cuando r = 0,07 , P ≈ 105.940 . Calcule los valores actuales P de las anualidades en las que se pagarán 9.000 dólares anuales perpetuamente, suponiendo tasas de interés de r = 0,03 , r = 0,05 y r = 0,07 . Calcule los pagos anuales C que se darán durante 20 años en las anualidades que tienen un valor actual de 100.000 dólares suponiendo unas tasas de interés respectivas de r = 0,03 , r = 0,05 , y r = 0,07 . En general, P = C ( 1 − ( 1 + r ) − N ) r para N años de pagos, o C = P r 1 − ( 1 + r ) − N . Para N = 20 y P = 100.000 , se tiene C = 6721,57 cuando r = 0,03 ; C = 8.024,26 cuando r = 0,05 ; y C ≈ 9.439,29 cuando r = 0,07 . Calcule los pagos anuales C que se darán perpetuamente en las anualidades que tienen un valor actual de 100.000 dólares suponiendo unas tasas de interés respectivas de r = 0,03 , r = 0,05 , y r = 0,07 . Supongamos que una anualidad tiene un valor actual P = 1 millón de dólares . ¿Qué tasa de interés r permitiría realizar pagos anuales perpetuos de 50.000 dólares? En general, P = C r . Por lo tanto, r = C P = 5 × 10 4 10 6 = 0,05 . Supongamos que una anualidad tiene un valor actual P = 10 millones de dólares . ¿Qué tasa de interés r permitiría realizar pagos anuales perpetuos de 100.000 dólares? En los siguientes ejercicios, exprese la suma de cada serie de potencias en términos de series geométricas, y luego exprese la suma como una función racional. x + x 2 − x 3 + x 4 + x 5 − x 6 + ⋯ ( Pista: Agrupe las potencias x 3 k , x 3 k − 1 , y x 3 k − 2 . ) grandes. ( x + x 2 − x 3 ) ( 1 + x 3 + x 6 + ⋯ ) = x + x 2 − x 3 1 − x 3 x + x 2 − x 3 − x 4 + x 5 + x 6 − x 7 − x 8 + ⋯ ( Pista: Agrupe las potencias x 4 k , x 4 k − 1 , etc.). x – x 2 − x 3 + x 4 − x 5 − x 6 + x 7 − ⋯ ( Pista: Agrupe las potencias x 3 k , x 3 k − 1 , y x 3 k − 2 . ) grandes. ( x – x 2 − x 3 ) ( 1 + x 3 + x 6 + ⋯ ) = x – x 2 − x 3 1 − x 3 x 2 + x 2 4 − x 3 8 + x 4 16 + x 5 32 − x 6 64 + ⋯ ( Pista: Agrupe las potencias ( x 2 ) 3 k , ( x 2 ) 3 k − 1 , y ( x 2 ) 3 k − 2 . ) En los siguientes ejercicios, halle la serie de potencias de f ( x ) g ( x ) dadas f y g como se definen. f ( x ) = 2 ∑ n = 0 ∞ x n , g ( x ) = ∑ n = 0 ∞ n x n a n = 2 , b n = n así que c n = ∑ k = 0 n b k a n − k = 2 ∑ k = 0 n k = ( n ) ( n + 1 ) y f ( x ) g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n ( n + 1 ) x n f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ x n , g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n . Exprese los coeficientes de f ( x ) g ( x ) en términos de H n = ∑ k = 1 n 1 k . f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( x 2 ) n a n = b n = 2 − n así que c n = ∑ k = 1 n b k a n − k = 2 − n ∑ k = 1 n 1 = n 2 n y f ( x ) g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n ( x 2 ) n f ( x ) = g ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n x n En los siguientes ejercicios, diferencie la expansión en serie dada de f término a término para obtener la correspondiente expansión en serie de la derivada de f . f ( x ) = 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n La derivada de f es − 1 ( 1 + x ) 2 = − ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( n + 1 ) x n . f ( x ) = 1 1 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n En los siguientes ejercicios, integre la expansión en serie dada de f término a término desde cero hasta x para obtener la correspondiente expansión en serie de la integral indefinida de f . f ( x ) = 2 x ( 1 + x 2 ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ( 2 n ) x 2 n – 1 La integral indefinida de f es 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n . f ( x ) = 2 x 1 + x 2 = 2 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 1 En los siguientes ejercicios, evalúe cada serie infinita identificándola como el valor de una derivada o integral de serie geométrica. Evalúe ∑ n = 1 ∞ n 2 n como f ′ ( 1 2 ) donde f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n . f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x ; f ′ ( 1 2 ) = ∑ n = 1 ∞ n 2 n – 1 = d d x ( 1 − x ) −1 | x = 1 / 2 = 1 ( 1 − x ) 2 | x = 1 / 2 = 4 así que ∑ n = 1 ∞ n 2 n = 2 . Evalúe ∑ n = 1 ∞ n 3 n como f ′ ( 1 3 ) donde f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n . Evalúe ∑ n = 2 ∞ n ( n – 1 ) 2 n como f ″ ( 1 2 ) donde f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n . f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x ; f ″ ( 1 2 ) = ∑ n = 2 ∞ n ( n – 1 ) 2 n – 2 = d 2 d x 2 ( 1 − x ) −1 | x = 1 / 2 = 2 ( 1 − x ) 3 | x = 1 / 2 = 16 así que ∑ n = 2 ∞ n ( n – 1 ) 2 n = 4 . Evalúe ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 n + 1 como ∫ 0 1 f ( t ) d t donde f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n = 1 1 + x 2 . En los siguientes ejercicios, dado que 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n , utilice la diferenciación término a término o la integración para hallar series de potencias para cada función centrada en el punto dado. f ( x ) = ln x centrada en x = 1 ( Pista: x = 1 − ( 1 − x ) ) grandes. ∫ ∑ ( 1 − x ) n d x = ∫ ∑ ( –1 ) n ( x – 1 ) n d x = ∑ ( –1 ) n ( x – 1 ) n + 1 n + 1 ln ( 1 − x ) en x = 0 ln ( 1 − x 2 ) en x = 0 − ∫ t = 0 x 2 1 1 − t d t = − ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 x 2 t n d x − ∑ n = 0 ∞ x 2 ( n + 1 ) n + 1 = − ∑ n = 1 ∞ x 2 n n f ( x ) = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 en x = 0 f ( x ) = tan –1 ( x 2 ) en x = 0 ∫ 0 x 2 d t 1 + t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ∫ 0 x 2 t 2 n d t = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 2 n + 1 2 n + 1 | t = 0 x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 4 n + 2 2 n + 1 f ( x ) = ln ( 1 + x 2 ) en x = 0 f ( x ) = ∫ 0 x ln t d t donde ln ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 ( x – 1 ) n n La integración término a término da ∫ 0 x ln t d t = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 ( x – 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 ( 1 n – 1 n + 1 ) ( x – 1 ) n + 1 = ( x – 1 ) ln x + ∑ n = 2 ∞ ( –1 ) n ( x – 1 ) n n = x ln x – x . [T] Evalúe la expansión en serie de potencias ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 x n n en x = 1 para demostrar que ln ( 2 ) es la suma de las series armónicas alternadas. Utilice la prueba de series alternadas para determinar cuántos términos de la suma son necesarios para estimar ln ( 2 ) con una precisión de 0,001, y calcule dicha aproximación. [T] Reste la serie infinita de ln ( 1 − x ) de ln ( 1 + x ) para obtener una serie de potencias para ln ( 1 + x 1 − x ) . Evalúe en x = 1 3 . ¿Cuál es el menor N tal que la enésima suma parcial de esta serie se aproxime a ln ( 2 ) con un error inferior a 0,001? Tenemos ln ( 1 − x ) = − ∑ n = 1 ∞ x n n así que ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 x n n . Por lo tanto, ln ( 1 + x 1 − x ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 + ( –1 ) n – 1 ) x n n = 2 ∑ n = 1 ∞ x 2 n – 1 2 n – 1 . Cuando x = 1 3 obtenemos ln ( 2 ) = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 3 2 n – 1 ( 2 n – 1 ) . Tenemos 2 ∑ n = 1 3 1 3 2 n – 1 ( 2 n – 1 ) = 0,69300 … , mientras 2 ∑ n = 1 4 1 3 2 n – 1 ( 2 n – 1 ) = 0,69313 … y ln ( 2 ) = 0,69314 … ; por lo tanto, N = 4 . En los siguientes ejercicios, utilizando una sustitución si se indica, exprese cada serie en términos de funciones elementales y calcule el radio de convergencia de la suma. ∑ k = 0 ∞ ( x k − x 2 k + 1 ) grandes. ∑ k = 1 ∞ x 3 k 6 k ∑ k = 1 ∞ x k k = − ln ( 1 − x ) así que ∑ k = 1 ∞ x 3 k 6 k = − 1 6 ln ( 1 − x 3 ) . El radio de convergencia es igual a 1 por el criterio del cociente. ∑ k = 1 ∞ ( 1 + x 2 ) − k utilizando y = 1 1 + x 2 ∑ k = 1 ∞ 2 − k x utilizando y = 2 − x Si y = 2 − x , entonces ∑ k = 1 ∞ y k = y 1 − y = 2 − x 1 − 2 − x = 1 2 x – 1 . Si a k = 2 − k x , entonces a k + 1 a k = 2 − x < 1 cuando x > 0 . Así que la serie converge para todo x > 0 . Demuestre que, hasta las potencias x 3 y y 3 , E ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! satisface E ( x + y ) = E ( x ) E ( y ) . Diferencie las series E ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n n ! término a término para demostrar que E ( x ) es igual a su derivada. Las respuestas variarán. Demuestre que si f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n es una suma de potencias pares, es decir, a n = 0 si n es impar, entonces F = ∫ 0 x f ( t ) d t es una suma de potencias impares, mientras que si f es una suma de potencias impares, entonces F es una suma de potencias pares. [T] Supongamos que los coeficientes a n de la serie ∑ n = 0 ∞ a n x n se definen por la relación de recurrencia a n = a n – 1 n + a n – 2 n ( n – 1 ) . Para a 0 = 0 y a 1 = 1 , calcule y grafique las sumas S N = ∑ n = 0 N a n x n para N = 2 , 3 , 4 , 5 en [ −1 , 1 ] . La curva sólida es S 5 . La curva discontinua es S 2 , la punteada es S 3 y la punteada es S 4 [T] Supongamos que los coeficientes a n de la serie ∑ n = 0 ∞ a n x n se definen por la relación de recurrencia a n = a n – 1 n − a n – 2 n ( n – 1 ) . Para a 0 = 1 y a 1 = 0 , calcule y grafique las sumas S N = ∑ n = 0 N a n x n para N = 2 , 3 , 4 , 5 en [ −1 , 1 ] . [T] Dada la expansión en serie de potencias ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 x n n , determine cuántos términos N de la suma evaluada en x = −1 / 2 son necesarios para aproximar ln ( 2 ) con una precisión de 1/1.000. Evalúe la suma parcial correspondiente ∑ n = 1 N ( –1 ) n – 1 x n n . Cuando x = − 1 2 , − ln ( 2 ) = ln ( 1 2 ) = − ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n . Dado que ∑ n = 11 ∞ 1 n 2 n < ∑ n = 11 ∞ 1 2 n = 1 2 10 , se tiene ∑ n = 1 10 1 n 2 n = 0,69306 … mientras que ln ( 2 ) = 0,69314 … ; por lo tanto, N = 10 . [T] Dada la expansión en serie de potencias tan –1 ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( –1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 , utilice la prueba de series alternadas para determinar cuántos términos N de la suma evaluada en x = 1 son necesarios para aproximar tan –1 ( 1 ) = π 4 con una precisión de 1/1000. Evalúe la suma parcial correspondiente ∑ k = 0 N ( –1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 . [T] Recordemos que tan –1 ( 1 3 ) = π 6 . Suponiendo un valor exacto de ( 1 3 ) , estime π 6 mediante la evaluación de sumas parciales S N ( 1 3 ) de la expansión en serie de potencias tan –1 ( x ) = ∑ k = 0 ∞ ( –1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 en x = 1 3 . ¿Cuál es el menor número N tal que 6 S N ( 1 3 ) se aproxime a π con una precisión de 0,001? ¿Cuántos términos se necesitan para tener una exactitud de 0,00001? 6 S N ( 1 3 ) = 2 3 ∑ n = 0 N ( –1 ) n 1 3 n ( 2 n + 1 ) . Se tiene π − 6 S 4 ( 1 3 ) = 0,00101 … y π − 6 S 5 ( 1 3 ) = 0,00028 … así que N = 5 es la suma parcial más pequeña con una exactitud de 0,001. También, π − 6 S 7 ( 1 3 ) = 0,00002 … mientras π − 6 S 8 ( 1 3 ) = –0,000007 … así que N = 8 es el N más pequeño para obtener una exactitud de 0,00001. diferenciación término a término de una serie de potencias técnica para evaluar la derivada de una serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n evaluando la derivada de cada término por separado para crear la nueva serie de potencias ∑ n = 1 ∞ n c n ( x – a ) n – 1 integración término a término de una serie de potencias técnica para integrar una serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n integrando cada término por separado para crear la nueva serie de potencias C + ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n + 1 n + 1", "section": "Propiedades de las series de potencia", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Series de Taylor y Maclaurin En las dos secciones anteriores hemos discutido cómo hallar representaciones en series de potencias para ciertos tipos de funciones, en concreto, funciones relacionadas con series geométricas. A continuación, discutiremos las representaciones en series de potencias para otros tipos de funciones. En particular, abordamos las siguientes preguntas: ¿Qué funciones pueden representarse mediante series de potencias y cómo podemos hallar dichas representaciones? Si podemos hallar una representación en serie de potencias para una función particular f y la serie converge en algún intervalo, ¿cómo demostramos que la serie realmente converge a f ? Resumen de la serie de Taylor/Maclaurin Considere una función f que tiene una representación en serie de potencias en x = a . Entonces la serie tiene la forma ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + ⋯ . ¿Cuáles deberían ser los coeficientes? Por ahora, ignoramos los temas de convergencia y nos centramos en lo que debería ser la serie, si es que existe. Volveremos a hablar de la convergencia más adelante en esta sección. Si la serie de la es una representación para f en x = a , ciertamente queremos que la serie sea igual a f ( a ) en x = a . Si evaluamos la serie en x = a , vemos que ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( a − a ) + c 2 ( a − a ) 2 + ⋯ = c 0 . Por lo tanto, la serie es igual a f ( a ) si el coeficiente c 0 = f ( a ) . Además, queremos que la primera derivada de la serie de potencias sea igual a f ′ ( a ) en x = a . Diferenciando la término a término, vemos que d d x ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = c 1 + 2 c 2 ( x – a ) + 3 c 3 ( x – a ) 2 + ⋯ . Por lo tanto, en x = a , la derivada es d d x ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = c 1 + 2 c 2 ( a − a ) + 3 c 3 ( a − a ) 2 + ⋯ = c 1 . Por lo tanto, la derivada de la serie es igual a f ′ ( a ) si el coeficiente c 1 = f ′ ( a ) . Si continuamos de este modo, buscamos coeficientes c n tales que todas las derivadas de la serie de potencias de la coincidan con todas las derivadas correspondientes de f en x = a . La segunda y tercera derivadas de la están dadas por d 2 d x 2 ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = 2 c 2 + 3 . 2 c 3 ( x – a ) + 4 . 3 c 4 ( x – a ) 2 + ⋯ y d 3 d x 3 ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = 3 . 2 c 3 + 4 . 3 . 2 c 4 ( x – a ) + 5 . 4 . 3 c 5 ( x – a ) 2 + ⋯ . Por lo tanto, en x = a , la segunda y tercera derivadas d 2 d x 2 ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = 2 c 2 + 3 . 2 c 3 ( a − a ) + 4 . 3 c 4 ( a − a ) 2 + ⋯ = 2 c 2 y d 3 d x 3 ( ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n ) = 3 . 2 c 3 + 4 . 3 . 2 c 4 ( a − a ) + 5 . 4 . 3 c 5 ( a − a ) 2 + ⋯ = 3 . 2 c 3 igual a f ″ ( a ) y f ‴ ( a ) , respectivamente, si c 2 = f ″ ( a ) 2 y c 3 = f ‴ ( a ) 3 . 2 . De forma más general, vemos que si f tiene una representación en serie de potencias en x = a , entonces los coeficientes deben ser dados por c n = f ( n ) ( a ) n ! . Es decir, la serie debe ser ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + f ‴ ( a ) 3 ! ( x – a ) 3 + ⋯ . Esta serie de potencias para f se conoce como la serie de Taylor para f en a . Si a = 0 , entonces esta serie se conoce como la serie de Maclaurin para f . Definición Si f tiene derivadas de todos los órdenes en x = a , entonces la serie de Taylor para la función f en a es ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n + ⋯ . La serie de Taylor para f en 0 se conoce como la serie de Maclaurin para f . Más adelante en esta sección, mostraremos ejemplos de cómo calcular series de Taylor y hablaremos de las condiciones bajo las cuales la serie de Taylor para una función convergerá a esa función. Aquí exponemos un resultado importante. Recordemos de la que las representaciones en serie de potencias son únicas. Por lo tanto, si una función f tiene una serie de potencias en a , entonces debe ser la serie de Taylor para f en a . Singularidad de la serie de Taylor Si una función f tiene una serie de potencias en a que converge a f en algún intervalo abierto que contenga a , entonces esa serie de potencias es la serie de Taylor para f en a . La prueba se deduce directamente de la . Para determinar si una serie de Taylor converge, tenemos que mirar su secuencia de sumas parciales. Estas sumas parciales son polinomios finitos, conocidos como polinomios de Taylor . Visite el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor para leer breves biografías de Brook Taylor y Colin Maclaurin y cómo desarrollaron los conceptos que llevan su nombre. Polinomios de Taylor La enésima suma parcial de la serie de Taylor para una función f en a se conoce como el enésimo polinomio de Taylor. Por ejemplo, las sumas parciales 0, 1, 2 y 3 de la serie de Taylor están dadas por p 0 ( x ) = f ( a ) , p 1 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) , p 2 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 , p 3 ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + f ‴ ( a ) 3 ! ( x – a ) 3 , respectivamente. Estas sumas parciales se conocen como los polinomios 0, 1, 2 y 3 de Taylor de f en a , respectivamente. Si a = 0 , entonces estos polinomios se conocen como polinomios de Maclaurin para f . Ahora ofrecemos una definición formal de los polinomios de Taylor y Maclaurin para una función f . Definición Si f tiene n derivadas en x = a , entonces el enésimo polinomio de Taylor para f en a es p n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + f ‴ ( a ) 3 ! ( x – a ) 3 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n . El enésimo polinomio de Taylor para f en 0 se conoce como el enésimo polinomio de Maclaurin para f . Ahora mostramos cómo utilizar esta definición para calcular varios polinomios de Taylor para f ( x ) = ln x en x = 1 . Calcular polinomios de Taylor Calcule los polinomios de Taylor p 0 , p 1 , p 2 y p 3 para f ( x ) = ln x en x = 1 . Utilice una herramienta gráfica para comparar el gráfico de f con los gráficos de p 0 , p 1 , p 2 y p 3 . Para calcular estos polinomios de Taylor, necesitamos evaluar f y sus tres primeras derivadas en x = 1 . f ( x ) = ln x f ( 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 1 x f ′ ( 1 ) = 1 f ″ ( x ) = − 1 x 2 f ″ ( 1 ) = −1 f ‴ ( x ) = 2 x 3 f ‴ ( 1 ) = 2 Por lo tanto, p 0 ( x ) = f ( 1 ) = 0 , p 1 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x – 1 ) = x – 1 , p 2 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x – 1 ) + f ″ ( 1 ) 2 ( x – 1 ) 2 = ( x – 1 ) − 1 2 ( x – 1 ) 2 , p 3 ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x – 1 ) + f ″ ( 1 ) 2 ( x – 1 ) 2 + f ‴ ( 1 ) 3 ! ( x – 1 ) 3 = ( x – 1 ) − 1 2 ( x – 1 ) 2 + 1 3 ( x – 1 ) 3 . Los gráficos de y = f ( x ) y los tres primeros polinomios de Taylor se muestran en la . La función y = ln x y los polinomios de Taylor p 0 , p 1 , p 2 y p 3 en x = 1 están trazadas en este gráfico. Calcule los polinomios de Taylor p 0 , p 1 , p 2 y p 3 para f ( x ) = 1 x 2 en x = 1 . p 0 ( x ) = 1 ; p 1 ( x ) = 1 − 2 ( x – 1 ) ; p 2 ( x ) = 1 − 2 ( x – 1 ) + 3 ( x – 1 ) 2 ; p 3 ( x ) = 1 − 2 ( x – 1 ) + 3 ( x – 1 ) 2 − 4 ( x – 1 ) 3 Pista Calcule las tres primeras derivadas de f y evalúelas en x = 1 . Ahora mostramos cómo calcular los polinomios de Maclaurin para e x , sen x , y cos x . Como ya se ha dicho, los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor centrados en cero. Cálculo de polinomios de Maclaurin Para cada una de las siguientes funciones, halle las fórmulas de los polinomios de Maclaurin p 0 , p 1 , p 2 y p 3 . Halle una fórmula para el enésimo polinomio de Maclaurin y escríbala utilizando la notación sigma. Utilice una herramienta gráfica para comparar los gráficos de p 0 , p 1 , p 2 y p 3 con f . f ( x ) = e x f ( x ) = sen x f ( x ) = cos x Dado que f ( x ) = e x , sabemos que f ( x ) = f ′ ( x ) = f ″ ( x ) = ⋯ = f ( n ) ( x ) = e x para todos los enteros positivos n . Por lo tanto, f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = f ″ ( 0 ) = ⋯ = f ( n ) ( 0 ) = 1 para todos los enteros positivos n . Por lo tanto, tenemos p 0 ( x ) = f ( 0 ) = 1 , p 1 ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x = 1 + x , p 2 ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 = 1 + x + 1 2 x 2 , p 3 ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 x 2 + f ‴ ( 0 ) 3 ! x 3 = 1 + x + 1 2 x 2 + 1 3 ! x 3 , p n ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 x 2 + f ‴ ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! = ∑ k = 0 n x k k ! . La función y los tres primeros polinomios de Maclaurin se muestran en la . El gráfico muestra la función y = e x y los polinomios de Maclaurin p 0 , p 1 , p 2 y p 3 . Para f ( x ) = sen x , los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en x = 0 se dan de la siguiente manera: f ( x ) = sen x f ( 0 ) = 0 f ′ ( x ) = cos x f ′ ( 0 ) = 1 f ″ ( x ) = − sen x f ″ ( 0 ) = 0 f ‴ ( x ) = − cos x f ‴ ( 0 ) = −1 f ( 4 ) ( x ) = sen x f ( 4 ) ( 0 ) = 0, Como la cuarta derivada es sen x , el patrón se repite. Es decir, f ( 2 m ) ( 0 ) = 0 y f ( 2 m + 1 ) ( 0 ) = ( –1 ) m para m ≥ 0 . Por lo tanto, tenemos p 0 ( x ) = 0 , p 1 ( x ) = 0 + x = x , p 2 ( x ) = 0 + x + 0 = x , p 3 ( x ) = 0 + x + 0 − 1 3 ! x 3 = x – x 3 3 ! , p 4 ( x ) = 0 + x + 0 − 1 3 ! x 3 + 0 = x – x 3 3 ! , p 5 ( x ) = 0 + x + 0 − 1 3 ! x 3 + 0 + 1 5 ! x 5 = x – x 3 3 ! + x 5 5 ! , y para m ≥ 0 , p 2 m + 1 ( x ) = p 2 m + 2 ( x ) = x – x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ + ( –1 ) m x 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! = ∑ k = 0 m ( –1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! . Los gráficos de la función y sus polinomios de Maclaurin se muestran en la . El gráfico muestra la función y = sen x y los polinomios de Maclaurin p 1 , p 3 y p 5 . Para f ( x ) = cos x , los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en x = 0 se dan de la siguiente manera: f ( x ) = cos x f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = − sen x f ′ ( 0 ) = 0 f ″ ( x ) = − cos x f ″ ( 0 ) = −1 f ‴ ( x ) = sen x f ‴ ( 0 ) = 0 f ( 4 ) ( x ) = cos x f ( 4 ) ( 0 ) = 1 Como la cuarta derivada es cos x , el patrón se repite. En otras palabras, f ( 2 m ) ( 0 ) = ( –1 ) m y f ( 2 m + 1 ) = 0 para m ≥ 0 . Por lo tanto, p 0 ( x ) = 1 , p 1 ( x ) = 1 + 0 = 1 , p 2 ( x ) = 1 + 0 − 1 2 ! x 2 = 1 − x 2 2 ! , p 3 ( x ) = 1 + 0 − 1 2 ! x 2 + 0 = 1 − x 2 2 ! , p 4 ( x ) = 1 + 0 − 1 2 ! x 2 + 0 + 1 4 ! x 4 = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! , p 5 ( x ) = 1 + 0 − 1 2 ! x 2 + 0 + 1 4 ! x 4 + 0 = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! , y para n ≥ 0 , p 2 m ( x ) = p 2 m + 1 ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ + ( –1 ) m x 2 m ( 2 m ) ! = ∑ k = 0 m ( –1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! . Los gráficos de la función y los polinomios de Maclaurin aparecen en la . La función y = cos x y los polinomios de Maclaurin p 0 , p 2 y p 4 están trazados en este gráfico. Halle fórmulas para los polinomios de Maclaurin p 0 , p 1 , p 2 y p 3 para f ( x ) = 1 1 + x . Halle una fórmula para el enésimo polinomio de Maclaurin. Escriba su respuesta utilizando la notación sigma. p 0 ( x ) = 1 ; p 1 ( x ) = 1 − x ; p 2 ( x ) = 1 − x + x 2 ; p 3 ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 ; p n ( x ) = 1 − x + x 2 − x 3 + ⋯ + ( –1 ) n x n = ∑ k = 0 n ( –1 ) k x k Pista Evalúe las cuatro primeras derivadas de f y busque un patrón. Teorema de Taylor con resto Recordemos que el enésimo polinomio de Taylor para una función f en a es la enésima suma parcial de la serie de Taylor para f en a . Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge, necesitamos determinar si la secuencia de polinomios de Taylor { p n } converge. Sin embargo, no solo queremos saber si la secuencia de polinomios de Taylor converge, sino que queremos saber si converge a f . Para responder esta pregunta, definimos el resto R n ( x ) como R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) . Para que la secuencia de polinomios de Taylor converja a f , necesitamos que el resto R n converja a cero. Para determinar si R n converge a cero, introducimos el teorema de Taylor con resto . Este teorema no solo es útil para demostrar que una serie de Taylor converge a su función correspondiente, sino que también nos permitirá la aproximación del enésimo polinomio de Taylor a la función. Aquí buscamos un límite en | R n | . Considere el caso más sencillo: n = 0 . Supongamos que p 0 es el polinomio 0 de Taylor en a para una función f . El resto R 0 satisface R 0 ( x ) = f ( x ) − p 0 ( x ) = f ( x ) − f ( a ) . Si f es diferenciable en un intervalo I que contiene a y x , entonces por el teorema de valor medio existe un número real c entre a y x tal que f ( x ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( x – a ) . Por lo tanto, R 0 ( x ) = f ′ ( c ) ( x – a ) . Utilizando el teorema de valor medio con un argumento similar, podemos demostrar que si f es n veces diferenciable en un intervalo I que contiene a y x , entonces el enésimo resto R n satisface R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 para algún número real c entre a y x . Es importante señalar que el valor c en el numerador anterior no es el centro a , sino un valor desconocido c entre a y x . Esta fórmula nos permite obtener un límite en el resto R n . Si sabemos que | f ( n + 1 ) ( x ) | está delimitada por algún número real M en este intervalo I , entonces | R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1 para todo x en el intervalo I . Enunciamos ahora el teorema de Taylor, que estipula la relación formal entre una función f y su polinomio de Taylor de enésimo orden p n ( x ) . Este teorema nos permite acotar el error cuando se utiliza un polinomio de Taylor para aproximar el valor de una función y será importante para demostrar que una serie de Taylor para f converge a f . Teorema de Taylor con resto Supongamos que f es una función que se puede diferenciar n + 1 veces en un intervalo I que contiene el número real a . Supongamos que p n es el enésimo polinomio de Taylor de f en a y que R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) es el enésimo resto. Entonces, para cada x en el intervalo I , existe un número real c entre a y x tal que R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 . Si existe un número real M tal que | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M para todo x ∈ I , entonces | R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1 para todo x en I . Prueba Fije un punto x ∈ I e introduzca la función g tal que g ( t ) = f ( x ) − f ( t ) − f ′ ( t ) ( x − t ) − f ″ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 − ⋯ − f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n − R n ( x ) ( x − t ) n + 1 ( x – a ) n + 1 . Afirmamos que g satisface los criterios del teorema de Rolle. Como g es una función polinómica (en t ), es una función diferenciable. Además, g es cero en t = a y t = x porque g ( a ) = f ( x ) − f ( a ) − f ′ ( a ) ( x – a ) − f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n − R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) − R n ( x ) = 0 , g ( x ) = f ( x ) − f ( x ) − 0 − ⋯ − 0 = 0, Por lo tanto, g satisface el teorema de Rolle, y en consecuencia, existe c entre a y x tal que g ′ ( c ) = 0 . Ahora calculamos g ′ . Utilizando la regla del producto, observamos que d d t [ f ( n ) ( t ) n ! ( x − t ) n ] = − f ( n ) ( t ) ( n – 1 ) ! ( x − t ) n – 1 + f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n . En consecuencia, g ′ ( t ) = − f ′ ( t ) + [ f ′ ( t ) − f ″ ( t ) ( x − t ) ] + [ f ″ ( t ) ( x − t ) − f ‴ ( t ) 2 ! ( x − t ) 2 ] + ⋯ + [ f ( n ) ( t ) ( n – 1 ) ! ( x − t ) n – 1 − f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n ] + ( n + 1 ) R n ( x ) ( x − t ) n ( x – a ) n + 1 . Observe que hay un efecto telescópico. Por lo tanto, g ′ ( t ) = − f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n + ( n + 1 ) R n ( x ) ( x − t ) n ( x – a ) n + 1 . Por el teorema de Rolle, concluimos que existe un número c entre a y x tal que g ′ ( c ) = 0 . Dado que g ′ ( c ) = − f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n + ( n + 1 ) R n ( x ) ( x − c ) n ( x – a ) n + 1 concluimos que − f ( n + 1 ) ( c ) n ! ( x − c ) n + ( n + 1 ) R n ( x ) ( x − c ) n ( x – a ) n + 1 = 0 . Sumando el primer término del lado izquierdo a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados de la ecuación entre ( n + 1 ) ( x – c ) n ( x – a ) n + 1 , concluimos que R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 como se deseaba. A partir de este hecho, se deduce que si existe M tal que | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M para todo x en I , entonces | R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1 . □ El teorema de Taylor no solo nos permite demostrar que una serie de Taylor converge a una función, sino que también nos permite estimar la exactitud de los polinomios de Taylor en la aproximación de los valores de las funciones. Empezamos por ver las aproximaciones lineales y cuadráticas de f ( x ) = x 3 en x = 8 y determinamos la exactitud de estas aproximaciones para estimar 11 3 . Uso de aproximaciones lineales y cuadráticas para estimar los valores de funciones Considere la función f ( x ) = x 3 . Calcule el primer y segundo polinomio de Taylor para f en x = 8 . Utilice una herramienta gráfica para comparar estos polinomios con f cerca de x = 8 . Utilice estos dos polinomios para estimar 11 3 . Utilice el teorema de Taylor para acotar el error. Para f ( x ) = x 3 , los valores de la función y sus dos primeras derivadas en x = 8 son los siguientes: f ( x ) = x 3 f ( 8 ) = 2 f ′ ( x ) = 1 3 x 2 / 3 f ′ ( 8 ) = 1 12 f ″ ( x ) = −2 9 x 5 / 3 f ″ ( 8 ) = − 1 144 . Por lo tanto, los polinomios de Taylor de primer y segundo orden en x = 8 están dados por p 1 ( x ) = f ( 8 ) + f ′ ( 8 ) ( x − 8 ) = 2 + 1 12 ( x − 8 ) p 2 ( x ) = f ( 8 ) + f ′ ( 8 ) ( x − 8 ) + f ″ ( 8 ) 2 ! ( x − 8 ) 2 = 2 + 1 12 ( x − 8 ) − 1 288 ( x − 8 ) 2 . La función y los polinomios de Taylor se muestran en la . Los gráficos de f ( x ) = x 3 y las aproximaciones lineales y cuadráticas p 1 ( x ) y p 2 ( x ) . Utilizando el polinomio de Taylor de primer orden en x = 8 , podemos estimar 11 3 ≈ p 1 ( 11 ) = 2 + 1 12 ( 11 − 8 ) = 2,25 . Utilizando el polinomio de Taylor de segundo orden en x = 8 , obtenemos 11 3 ≈ p 2 ( 11 ) = 2 + 1 12 ( 11 − 8 ) − 1 288 ( 11 − 8 ) 2 = 2,21875 . Por el existe un c en el intervalo ( 8 , 11 ) tal que el resto cuando se aproxima a 11 3 por el polinomio de Taylor de primer orden satisface R 1 ( 11 ) = f ″ ( c ) 2 ! ( 11 − 8 ) 2 . No conocemos el valor exacto de c , por lo que hallamos un límite superior en R 1 ( 11 ) determinando el valor máximo de f ″ en el intervalo ( 8 , 11 ) . Dado que f ″ ( x ) = − 2 9 x 5 / 3 , el mayor valor para | f ″ ( x ) | en ese intervalo se produce en x = 8 . Si utilizamos el hecho de que f ″ ( 8 ) = − 1 144 , obtenemos | R 1 ( 11 ) | ≤ 1 144 . 2 ! ( 11 − 8 ) 2 = 0,03125 . Del mismo modo, para estimar R 2 ( 11 ) , utilizamos el hecho de que R 2 ( 11 ) = f ‴ ( c ) 3 ! ( 11 − 8 ) 3 . Dado que f ‴ ( x ) = 10 27 x 8 / 3 , el valor máximo de f ‴ en el intervalo ( 8 , 11 ) es f ‴ ( 8 ) ≈ 0,0014468 . Por lo tanto, tenemos | R 2 ( 11 ) | ≤ 0,0011468 3 ! ( 11 − 8 ) 3 ≈ 0,0065104 . Calcule el primer y segundo polinomio de Taylor para f ( x ) = x en x = 4 . Utilice estos polinomios para estimar 6 . Utilice el teorema de Taylor para acotar el error. p 1 ( x ) = 2 + 1 4 ( x − 4 ) ; p 2 ( x ) = 2 + 1 4 ( x − 4 ) − 1 64 ( x − 4 ) 2 ; p 1 ( 6 ) = 2,5 ; p 2 ( 6 ) = 2,4375 ; | R 1 ( 6 ) | ≤ 0,0625 ; | R 2 ( 6 ) | ≤ 0,015625 Pista Evalúe f ( 4 ) , f ′ ( 4 ) , y f ″ ( 4 ) . Aproximación de sen x mediante polinomios de Maclaurin Del b., los polinomios de Maclaurin para sen x están dados por p 2 m + 1 ( x ) = p 2 m + 2 ( x ) = x – x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ + ( –1 ) m x 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! para m = 0, 0 , 1 , 2 , … . Utilice el polinomio de Maclaurin de quinto orden para sen x para aproximar a sen ( π 18 ) y acotar el error. Para qué valores de x el polinomio de Maclaurin de quinto orden se aproxima a sen x con una exactitud de 0,0001? El polinomio de Maclaurin de quinto orden es p 5 ( x ) = x – x 3 3 ! + x 5 5 ! . Utilizando este polinomio, podemos estimar lo siguiente: sen ( π 18 ) ≈ p 5 ( π 18 ) = π 18 − 1 3 ! ( π 18 ) 3 + 1 5 ! ( π 18 ) 5 ≈ 0,173648. Para estimar el error, utilice el hecho de que el polinomio de Maclaurin de sexto orden es p 6 ( x ) = p 5 ( x ) y calcule un límite para R 6 ( π 18 ) . Por la , el resto es R 6 ( π 18 ) = f ( 7 ) ( c ) 7 ! ( π 18 ) 7 para algún c entre 0 y π 18 . Si utilizamos el hecho de que | f ( 7 ) ( x ) | ≤ 1 para todo x , hallamos que la magnitud del error es como máximo 1 7 ! . ( π 18 ) 7 ≤ 9,8 × 10 −10 . Necesitamos hallar los valores de x tales que 1 7 ! | x | 7 ≤ 0,0001 . Resolviendo esta inecuación para x , tenemos que el polinomio de Maclaurin de quinto orden da una estimación con una precisión de 0,0001 siempre que | x | < 0,907 . Utilice el polinomio de Maclaurin de cuarto orden para el cos x para aproximar a cos ( π 12 ) . 0,96593 Pista El polinomio de Maclaurin de cuarto orden es p 4 ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! . Ahora que podemos acotar el resto R n ( x ) , podemos utilizar este límite para demostrar que una serie de Taylor para f en a converge a f . Representación de funciones con series de Taylor y Maclaurin Ahora discutiremos los problemas de convergencia de las series de Taylor. Comenzamos mostrando cómo calcular una serie de Taylor para una función y cómo calcular su intervalo de convergencia. Cálculo de una serie de Taylor Calcule la serie de Taylor para f ( x ) = 1 x en x = 1 . Determine el intervalo de convergencia. Para f ( x ) = 1 x , los valores de la función y sus cuatro primeras derivadas en x = 1 son f ( x ) = 1 x f ( 1 ) = 1 f ′ ( x ) = − 1 x 2 f ′ ( 1 ) = −1 f ″ ( x ) = 2 x 3 f ″ ( 1 ) = 2 ! f ‴ ( x ) = − 3 . 2 x 4 f ‴ ( 1 ) = −3 ! f ( 4 ) ( x ) = 4 . 3 . 2 x 5 f ( 4 ) ( 1 ) = 4 !. Es decir, tenemos f ( n ) ( 1 ) = ( –1 ) n n ! para todo n ≥ 0 . Por lo tanto, la serie de Taylor para f en x = 1 está dada por ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 1 ) n ! ( x – 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( x – 1 ) n . Para hallar el intervalo de convergencia, utilizamos el criterio del cociente. Tenemos que | a n + 1 | | a n | = | ( –1 ) n + 1 ( x – 1 ) n + 1 | | ( –1 ) n ( x – 1 ) n | = | x – 1 | . Así, la serie converge si | x – 1 | < 1 . Es decir, la serie converge para 0 < x < 2 . A continuación, tenemos que comprobar los extremos. En x = 2 , vemos que ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 2 – 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n diverge por la prueba de divergencia. Asimismo, en x = 0 , ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 0 − 1 ) n = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ 1 diverge. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es ( 0 , 2 ) . Calcule la serie de Taylor para f ( x ) = 1 2 x en x = 2 y determine su intervalo de convergencia. ∑ n = 0 ∞ ( 2 − x 2 n + 2 ) n . El intervalo de convergencia es ( 0 , 4 ) . Pista f ( n ) ( 2 ) = ( –1 ) n n ! 2 n + 1 Sabemos que la serie de Taylor calculada en este ejemplo converge en el intervalo ( 0 , 2 ) , pero ¿cómo sabemos que realmente converge a f ? Consideraremos esta pregunta de forma más general en un momento, pero para este ejemplo, podemos responder esta pregunta escribiendo f ( x ) = 1 x = 1 1 − ( 1 − x ) . Es decir, f puede representarse mediante la serie geométrica ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n . Como se trata de una serie geométrica, converge a 1 x siempre y cuando | 1 − x | < 1 . Por lo tanto, la serie de Taylor calculada en el sí converge a f ( x ) = 1 x en ( 0 , 2 ) . Consideramos ahora la pregunta más general: si una serie de Taylor para una función f converge en algún intervalo, ¿cómo podemos determinar si realmente converge a f ? Para responder esta pregunta, recordemos que una serie converge a un valor determinado si y solo si su secuencia de sumas parciales converge a ese valor. Dada una serie de Taylor para f en a , la enésima suma parcial está dada por el enésimo polinomio de Taylor p n . Por lo tanto, para determinar si la serie de Taylor converge a f , tenemos que determinar si lím n → ∞ p n ( x ) = f ( x ) . Dado que el resto R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) , la serie de Taylor converge a f si y solo si lím n → ∞ R n ( x ) = 0 . Ahora enunciamos este teorema formalmente. Convergencia de las series de Taylor Supongamos que f tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo I que contiene a . Entonces la serie de Taylor ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n converge a f ( x ) para todo x en I si y solo si lím n → ∞ R n ( x ) = 0 para todo x en I . Con este teorema, podemos demostrar que una serie de Taylor para f en a converge a f si podemos demostrar que el resto R n ( x ) → 0 . Para demostrar que R n ( x ) → 0 , solemos utilizar el límite | R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1 del teorema de Taylor con resto. En el siguiente ejemplo, calcularemos la serie de Maclaurin para e x y sen x y demostraremos que estas series convergen a las funciones correspondientes para todos los números reales demostrando que los restos R n ( x ) → 0 para todos los números reales x . Cálculo de serie de Maclaurin Para cada una de las siguientes funciones, calcule la serie de Maclaurin y su intervalo de convergencia. Utilice el para demostrar que la serie de Maclaurin para f converge a f en ese intervalo. e x sen x Utilizando el enésimo polinomio de Maclaurin para e x calculado en el a., determinamos que la serie de Maclaurin para e x está dada por ∑ n = 0 ∞ x n n ! . Para determinar el intervalo de convergencia, utilizamos el criterio del cociente. Dado que | a n + 1 | | a n | = | x | n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! | x | n = | x | n + 1 , tenemos lím n → ∞ | a n + 1 | | a n | = lím n → ∞ | x | n + 1 = 0 para todo x . Por lo tanto, la serie converge absolutamente para todo x , y así, el intervalo de convergencia es ( − ∞ , ∞ ) . Para demostrar que la serie converge a e x para todo x , utilizamos el hecho de que f ( n ) ( x ) = e x para todo n ≥ 0 y e x es una función creciente en ( − ∞ , ∞ ) . Por lo tanto, para cualquier número real b , el valor máximo de e x para todo | x | ≤ b es e b . Por lo tanto, | R n ( x ) | ≤ e b ( n + 1 ) ! | x | n + 1 . Como acabamos de mostrar que ∑ n = 0 ∞ | x | n n ! converge para todo x , por la prueba de divergencia, sabemos que lím n → ∞ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! = 0 para cualquier número real x . Combinando este hecho con el teorema del emparedado, el resultado es lím n → ∞ R n ( x ) = 0 . Utilizando el enésimo polinomio de Maclaurin para sen x calculado en el b., determinamos que la serie de Maclaurin para sen x está dado por ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! . Para aplicar el criterio del cociente, considere | a n + 1 | | a n | = | x | 2 n + 3 ( 2 n + 3 ) ! . ( 2 n + 1 ) ! | x | 2 n + 1 = | x | 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) . Dado que lím n → ∞ | x | 2 ( 2 n + 3 ) ( 2 n + 2 ) = 0 para todo x , obtenemos el intervalo de convergencia como ( − ∞ , ∞ ) . Para demostrar que la serie de Maclaurin converge a sen x , observe el R n ( x ) . Para cada x existe un número real c entre 0 y x tal que R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! x n + 1 . Dado que | f ( n + 1 ) ( c ) | ≤ 1 para todos los enteros n y todos los números reales c , tenemos | R n ( x ) | ≤ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! para todos los números reales x . Utilizando la misma idea que en la parte a., el resultado es lím n → ∞ R n ( x ) = 0 para todo x , y por lo tanto, la serie de Maclaurin para sen x converge a sen x para todo x real. Calcule la serie de Maclaurin para f ( x ) = cos x . Utilice el criterio del cociente para demostrar que el intervalo de convergencia es ( − ∞ , ∞ ) . Demuestre que la serie de Maclaurin converge a cos x para todos los números reales x . ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! Mediante el criterio del cociente, el intervalo de convergencia es ( − ∞ , ∞ ) . Dado que | R n ( x ) | ≤ | x | n + 1 ( n + 1 ) ! , la serie converge a cos x para todo x real. Pista Utilice los polinomios de Maclaurin para cos x . Demostrar que e es irracional En este proyecto, utilizamos los polinomios de Maclaurin para e x para demostrar que e es irracional. La prueba se basa en suponer que e es racional y llegar a una contradicción. Por lo tanto, en los siguientes pasos, suponemos e = r / s para algunos enteros r y s donde s ≠ 0 . Escriba los polinomios de Maclaurin p 0 ( x ) , p 1 ( x ) , p 2 ( x ) , p 3 ( x ) , p 4 ( x ) para e x . Evalúe p 0 ( 1 ) , p 1 ( 1 ) , p 2 ( 1 ) , p 3 ( 1 ) , p 4 ( 1 ) para estimar e . Supongamos que R n ( x ) denota el resto cuando se utiliza p n ( x ) para estimar e x . Por lo tanto, R n ( x ) = e x − p n ( x ) , y R n ( 1 ) = e − p n ( 1 ) . Suponiendo que e = r s para los enteros r y s , evalúe R 0 ( 1 ) , R 1 ( 1 ) , R 2 ( 1 ) , R 3 ( 1 ) , R 4 ( 1 ) . Utilizando los resultados de la parte 2, demuestre que para cada resto R 0 ( 1 ) , R 1 ( 1 ) , R 2 ( 1 ) , R 3 ( 1 ) , R 4 ( 1 ) , podemos hallar un número entero k tal que k R n ( 1 ) es un número entero para n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . Escriba la fórmula del enésimo polinomio de Maclaurin p n ( x ) para e x y el resto correspondiente R n ( x ) . Demuestre que s n ! R n ( 1 ) es un número entero. Utilice el teorema de Taylor para escribir una fórmula explícita para R n ( 1 ) . Concluya que R n ( 1 ) ≠ 0 , y por lo tanto, s n ! R n ( 1 ) ≠ 0 . Utilice el teorema de Taylor para calcular una estimación de R n ( 1 ) . Utilice esta estimación combinada con el resultado de la parte 5 para demostrar que | s n ! R n ( 1 ) | < s e n + 1 . Concluya que si n es suficientemente grande, entonces | s n ! R n ( 1 ) | < 1 . Por lo tanto, s n ! R n ( 1 ) es un número entero de magnitud inferior a 1. Por lo tanto, s n ! R n ( 1 ) = 0 . Pero a partir de la parte 5, sabemos que s n ! R n ( 1 ) ≠ 0 . Hemos llegado a una contradicción, y en consecuencia, la suposición original de que e es racional debe ser falsa. Conceptos clave Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cercanas a un valor x = a . Los polinomios de Maclaurin son polinomios de Taylor en x = 0 . Los polinomios de Taylor de enésimo orden para una función f son las sumas parciales de las series de Taylor para f . Si una función f tiene una representación en serie de potencias en x = a , entonces está dada por su serie de Taylor en x = a . Una serie de Taylor para f converge a f si y solo si lím n → ∞ R n ( x ) = 0 donde R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) . La serie de Taylor, para e x , sen x , y cos x a las funciones respectivas para todo x real. Ecuaciones clave La serie de Taylor para la función f en el punto x = a ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n + ⋯ En los siguientes ejercicios, calcule los polinomios de Taylor de orden dos que aproximan la función dada centrada en el punto dado. f ( x ) = 1 + x + x 2 en a = 1 f ( x ) = 1 + x + x 2 en a = –1 f ( –1 ) = 1 ; f ′ ( –1 ) = −1 ; f ″ ( –1 ) = 2 ; f ( x ) = 1 − ( x + 1 ) + ( x + 1 ) 2 f ( x ) = cos ( 2 x ) en a = π f ( x ) = sen ( 2 x ) en a = π 2 f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ; f ″ ( x ) = −4 sen ( 2 x ) ; p 2 ( x ) = −2 ( x − π 2 ) grandes. f ( x ) = x en a = 4 f ( x ) = ln x en a = 1 f ′ ( x ) = 1 x ; f ″ ( x ) = − 1 x 2 ; p 2 ( x ) = 0 + ( x – 1 ) − 1 2 ( x – 1 ) 2 f ( x ) = 1 x en a = 1 f ( x ) = e x en a = 1 p 2 ( x ) = e + e ( x – 1 ) + e 2 ( x – 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, verifique que la elección dada de n en la estimación del resto | R n | ≤ M ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 , donde M es el valor máximo de | f ( n + 1 ) ( z ) | en el intervalo entre a y el punto indicado, produce | R n | ≤ 1 1.000 . Halle el valor del polinomio de Taylor p n de f en el punto indicado. [T] 10 ; a = 9 , n n = 3 [T] ( 28 ) 1 / 3 ; a = 27 , n = 1 d 2 d x 2 x 1 / 3 = − 2 9 x 5 / 3 ≥ −0,00092 … cuando x ≥ 28 por lo que la estimación del resto se aplica a la aproximación lineal x 1 / 3 ≈ p 1 ( 27 ) = 3 + x − 27 27 , que da ( 28 ) 1 / 3 ≈ 3 + 1 27 = 3, 037 ¯ , mientras ( 28 ) 1 / 3 ≈ 3,03658 . [T] sen ( 6 ) ; a = 2 π , n = 5 [T] e 2 ; a = 0 , n = 9 Utilizando la estimación 2 10 10 ! < 0,000283 podemos utilizar la expansión de Taylor de orden 9 para estimar e x en x = 2 . como e 2 ≈ p 9 ( 2 ) = 1 + 2 + 2 2 2 + 2 3 6 + ⋯ + 2 9 9 ! = 7,3887 … mientras que e 2 ≈ 7,3891 . [T] cos ( π 5 ) ; a = 0 , n = 4 [T] ln ( 2 ) ; a = 1 , n = 1.000 Dado que d n d x n ( ln x ) = ( –1 ) n – 1 ( n – 1 ) ! x n , R 1.000 ≈ 1 1001 . Se tiene p 1.000 ( 1 ) = ∑ n = 1 1.000 ( –1 ) n – 1 n ≈ 0,6936 mientras que ln ( 2 ) ≈ 0,6931 ⋯ . Integre la aproximación sen t ≈ t − t 3 6 + t 5 120 − t 7 5040 evaluada en πt para aproximar ∫ 0 1 sen π t π t d t . Integre la aproximación e x ≈ 1 + x + x 2 2 + ⋯ + x 6 720 evaluada en - x 2 para aproximar ∫ 0 1 e – x 2 d x . ∫ 0 1 ( 1 − x 2 + x 4 2 − x 6 6 + x 8 24 − x 10 120 + x 12 720 ) d x = 1 − 1 3 3 + 1 5 10 − 1 7 42 + 1 9 9 . 24 − 1 11 120 . 11 + 1 13 720 . 13 ≈ 0,74683 mientras que ∫ 0 1 e – x 2 d x ≈ 0,74682 . En los siguientes ejercicios, halle el menor valor de n tal que la estimación del resto | R n | ≤ M ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 , donde M es el valor máximo de | f ( n + 1 ) ( z ) | en el intervalo entre a y el punto indicado, produce | R n | ≤ 1 1.000 en el intervalo indicado. f ( x ) = sen x en [ − π , π ] , a = 0 f ( x ) = cos x en [ − π 2 , π 2 ] , a = 0 Dado que f ( n + 1 ) ( z ) es sen z o cos z , tenemos M = 1 . Dado que | x − 0 | ≤ π 2 , buscamos el n más pequeño tal que π n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ≤ 0,001 . El valor más pequeño es n = 7 . La estimación del resto es R 7 ≤ 0,00092 . f ( x ) = e −2 x en [ −1 , 1 ] , a = 0 f ( x ) = e – x en [ −3 , 3 ] , a = 0 Dado que f ( n + 1 ) ( z ) = ± e − z se tiene M = e 3 . Dado que | x − 0 | ≤ 3 , se busca el menor n tal que 3 n + 1 e 3 ( n + 1 ) ! ≤ 0,001 . El valor más pequeño es n = 14 . La estimación del resto es R 14 ≤ 0,000220 . En los siguientes ejercicios, el máximo del lado derecho del resto estimado | R 1 | ≤ max | f ″ ( z ) | 2 R 2 en [ a − R , a + R ] se produce en a o a ± R . Estime el valor máximo de R tal que max | f ″ ( z ) | 2 R 2 ≤ 0,1 en [ a − R , a + R ] trazando este máximo en función de R . [T] e x aproximado por 1 + x , a = 0 [T] sen x aproximado por x , a = 0 Dado que sen x es creciente para x pequeño y como se n ″ x = − sen x , la estimación se aplica siempre que R 2 sen ( R ) ≤ 0,2 , lo cual aplica hasta R = 0,596 . [T] ln x aproximado por x – 1 , a = 1 [T] cos x aproximado por 1 , a = 0 Dado que la segunda derivada de cos x es − cos x y dado que cos x es decreciente y se aleja de x = 0 , la estimación aplica cuando R 2 cos R ≤ 0,2 o R ≤ 0,447 . En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor de la función dada centrada en el punto indicado. x 4 en a = –1 1 + x + x 2 + x 3 en a = –1 ( x + 1 ) 3 − 2 ( x + 1 ) 2 + 2 ( x + 1 ) grandes. sen x en a = π cos x en a = 2 π Los valores de las derivadas son los mismos que para x = 0 así que cos x = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( x − 2 π ) 2 n ( 2 n ) ! sen x en x = π 2 cos x en x = π 2 cos ( π 2 ) = 0 , − sen ( π 2 ) = −1 así que cos x = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n + 1 ( x − π 2 ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! , que también es − cos ( x − π 2 ) . e x en a = –1 e x en a = 1 Las derivadas son f ( n ) ( 1 ) = e así que e x = e ∑ n = 0 ∞ ( x – 1 ) n n ! . 1 ( x – 1 ) 2 en a = 0 ( Pista: Diferencie 1 1 − x . ) grandes. 1 ( x – 1 ) 3 en a = 0 1 ( x – 1 ) 3 = − ( 1 2 ) d 2 d x 2 1 1 − x = − ∑ n = 0 ∞ ( ( n + 2 ) ( n + 1 ) x n 2 ) grandes. F ( x ) = ∫ 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t n ( 2 n ) ! en a = 0 ( Nota : f es la serie de Taylor de cos ( t ) . ) En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor de cada función alrededor de x = 1 . f ( x ) = 2 − x 2 − x = 1 − ( x – 1 ) grandes. f ( x ) = x 3 f ( x ) = ( x − 2 ) 2 ( ( x – 1 ) − 1 ) 2 = ( x – 1 ) 2 − 2 ( x – 1 ) + 1 f ( x ) = ln x f ( x ) = 1 x 1 1 − ( 1 − x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( x – 1 ) n f ( x ) = 1 2 x – x 2 f ( x ) = x 4 x − 2 x 2 – 1 x ∑ n = 0 ∞ 2 n ( 1 − x ) 2 n = ∑ n = 0 ∞ 2 n ( x – 1 ) 2 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ 2 n ( x – 1 ) 2 n f ( x ) = e – x f ( x ) = e 2 x e 2 x = e 2 ( x – 1 ) + 2 = e 2 ∑ n = 0 ∞ 2 n ( x – 1 ) n n ! [T] En los siguientes ejercicios, identifique el valor de x tal que la serie dada ∑ n = 0 ∞ a n sea el valor de la serie Maclaurin de f ( x ) en x . Aproxime el valor de f ( x ) utilizando S 10 = ∑ n = 0 10 a n . ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ∑ n = 0 ∞ 2 n n ! x = e 2 ; S 10 = 34.913 4725 ≈ 7,3889947 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 2 π ) 2 n ( 2 n ) ! ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 2 π ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! sen ( 2 π ) = 0 ; S 10 = 8,27 × 10 −5 Los siguientes ejercicios hacen uso de las funciones S 5 ( x ) = x – x 3 6 + x 5 120 y C 4 ( x ) = 1 − x 2 2 + x 4 24 en [ − π , π ] . [T] Grafique sen 2 x − ( S 5 ( x ) ) 2 en [ − π , π ] . Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para sen x . [T] Grafique cos 2 x − ( C 4 ( x ) ) 2 en [ − π , π ] . Compare la diferencia máxima con el cuadrado de la estimación del resto de Taylor para cos x . La diferencia es pequeña en el interior del intervalo pero se acerca a 1 cerca de los extremos. La estimación del resto es | R 4 | = π 5 120 ≈ 2,552 . [T] Grafique | 2 S 5 ( x ) C 4 ( x ) − sen ( 2 x ) | en [ − π , π ] . [T] Compare S 5 ( x ) C 4 ( x ) sobre [ −1 , 1 ] a tan x . Compare esto con la estimación del resto de Taylor para la aproximación de tan x por x + x 3 3 + 2 x 5 15 . La diferencia es del orden de 10 −4 en [ −1 , 1 ] mientras que el error de aproximación de Taylor es de alrededor 0,1 cerca de ± 1 . La curva superior es un gráfico de tan 2 x − ( S 5 ( x ) C 4 ( x ) ) 2 y el gráfico inferior de líneas discontinuas muestra t 2 − ( S 5 C 4 ) 2 . [T] Grafique e x − e 4 ( x ) donde e 4 ( x ) = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 en [ 0 , 2 ] . Compare el error máximo con la estimación del resto de Taylor. (Aproximaciones de Taylor y cálculo de raíces). Recordemos que el método de Newton x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) aproxima las soluciones de f ( x ) = 0 cerca de la entrada x 0 . Si f y g son funciones inversas, explique por qué una solución de g ( x ) = a es el valor f ( a ) de f . Supongamos que p N ( x ) es el polinomio de Maclaurin de ené −ésimo orden de e x . Utilice el método de Newton para aproximar las soluciones de p N ( x ) − 2 = 0 para N = 4 , 5 , 6 . Explique por qué las raíces aproximadas de p N ( x ) − 2 = 0 son valores aproximados de ln ( 2 ) . a. Las respuestas variarán. b. Los siguientes son los valores x n después de 10 iteraciones del método de Newton para aproximar una raíz de p N ( x ) − 2 = 0 : para N = 4 , x = 0,6939... ; para N = 5 , x = 0,6932... ; para N = 6 , x = 0,69315... ; . ( Nota: ln ( 2 ) = 0,69314 ... ) c. Las respuestas variarán. En los siguientes ejercicios, utilice el hecho de que si q ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n ( x − c ) n converge en un intervalo que contiene c , entonces lím x → c q ( x ) = a 0 para evaluar cada límite mediante la serie de Taylor. lím x → 0 cos x – 1 x 2 lím x → 0 ln ( 1 − x 2 ) x 2 ln ( 1 − x 2 ) x 2 → − 1 lím x → 0 e x 2 − x 2 – 1 x 4 lím x → 0 + cos ( x ) − 1 2 x cos ( x ) − 1 2 x ≈ ( 1 − x 2 + x 2 4 ! − ⋯ ) − 1 2 x → − 1 4 Polinomio de Maclaurin un polinomio de Taylor centrado en 0; el enésimo polinomio de Taylor para f en 0 es el enésimo polinomio de Maclaurin para f serie de Maclaurin una serie de Taylor para una función f en x = 0 se conoce como serie de Maclaurin para f polinomios de Taylor el enésimo polinomio de Taylor para f en x = a es p n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x – a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x – a ) n serie de Taylor una serie de potencias en a que converge a una función f en algún intervalo abierto que contenga a teorema de Taylor con resto para una función f y el enésimo polinomio de Taylor para f en x = a , el resto R n ( x ) = f ( x ) − p n ( x ) satisface R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ( x – a ) n + 1 para algún c entre x y a ; si existe un intervalo I que contiene a y un número real M tal que | f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M para todo x en I , entonces | R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1", "section": "Series de Taylor y Maclaurin", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Trabajar con la serie de Taylor En la sección anterior, definimos las series de Taylor y mostramos cómo calcular las series de Taylor para varias funciones comunes calculando explícitamente los coeficientes de los polinomios de Taylor. En esta sección mostramos cómo utilizar esas series de Taylor para derivar series de Taylor para otras funciones. A continuación, presentamos dos aplicaciones comunes de las series de potencias. En primer lugar, mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales. En segundo lugar, mostramos cómo pueden utilizarse las series de potencias para evaluar integrales cuando la antiderivada del integrando no puede expresarse en términos de funciones elementales. En un ejemplo, consideramos ∫ e – x 2 d x , una integral que surge con frecuencia en la teoría de la probabilidad. La serie binomial Nuestro primer objetivo en esta sección es determinar la serie de Maclaurin para la función f ( x ) = ( 1 + x ) r para todos los números reales r . La serie de Maclaurin para esta función se conoce como serie binomial . Empezamos considerando el caso más sencillo: r es un número entero no negativo. Recordemos que, para r = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , f ( x ) = ( 1 + x ) r puede escribirse como f ( x ) = ( 1 + x ) 0 = 1 , f ( x ) = ( 1 + x ) 1 = 1 + x , f ( x ) = ( 1 + x ) 2 = 1 + 2 x + x 2 , f ( x ) = ( 1 + x ) 3 = 1 + 3 x + 3 x 2 + x 3 , f ( x ) = ( 1 + x ) 4 = 1 + 4 x + 6 x 2 + 4 x 3 + x 4 . Las expresiones del lado derecho se conocen como expansiones binomiales y los coeficientes se conocen como coeficientes binomiales. De forma más general, para cualquier número entero no negativo r , el coeficiente binomial de x n en la expansión binomial de ( 1 + x ) r está dada por ( r n ) = r ! n ! ( r − n ) ! y f ( x ) = ( 1 + x ) r = ( r 0 ) 1 + ( r 1 ) x + ( r 2 ) x 2 + ( r 3 ) x 3 + ⋯ + ( r r − 1 ) x r − 1 + ( r r ) x r = ∑ n = 0 r ( r n ) x n . Por ejemplo, utilizando esta fórmula para r = 5 , vemos que f ( x ) = ( 1 + x ) 5 = ( 5 0 ) 1 + ( 5 1 ) x + ( 5 2 ) x 2 + ( 5 3 ) x 3 + ( 5 4 ) x 4 + ( 5 5 ) x 5 = 5 ! 0 ! 5 ! 1 + 5 ! 1 ! 4 ! x + 5 ! 2 ! 3 ! x 2 + 5 ! 3 ! 2 ! x 3 + 5 ! 4 ! 1 ! x 4 + 5 ! 5 ! 0 ! x 5 = 1 + 5 x + 10 x 2 + 10 x 3 + 5 x 4 + x 5 . Consideremos ahora el caso en que el exponente r es cualquier número real, no necesariamente un entero no negativo. Si r no es un número entero no negativo, entonces f ( x ) = ( 1 + x ) r no puede escribirse como un polinomio finito. Sin embargo, podemos calcular una serie de potencias para f . En concreto, buscamos la serie Maclaurin para f . Para ello, calculamos las derivadas de f y evalúelas en x = 0 . f ( x ) = ( 1 + x ) r f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = r ( 1 + x ) r − 1 f ′ ( 0 ) = r f ″ ( x ) = r ( r − 1 ) ( 1 + x ) r − 2 f ″ ( 0 ) = r ( r − 1 ) f ‴ ( x ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ( 1 + x ) r − 3 f ‴ ( 0 ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) f ( n ) ( x ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n + 1 ) ( 1 + x ) r − n f ( n ) ( 0 ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n + 1 ) Concluimos que los coeficientes de la serie binomial están dados por f ( n ) ( 0 ) n ! = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n + 1 ) n ! . Observamos que si r es un número entero no negativo, entonces la derivada ( r + 1 ) f ( r + 1 ) es la función cero, y la serie termina. Además, si r es un número entero no negativo, entonces la para los coeficientes coincide con la para los coeficientes, y la fórmula de la serie binomial coincide con la para la expansión binomial finita. De forma más general, para denotar los coeficientes binomiales de cualquier número real r , definimos ( r n ) = r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n + 1 ) n ! . Con esta notación, podemos escribir la serie binomial para ( 1 + x ) r como ∑ n = 0 ∞ ( r n ) x n = 1 + r x + r ( r − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + r ( r − 1 ) ⋯ ( r − n + 1 ) n ! x n + ⋯ . Ahora tenemos que determinar el intervalo de convergencia de la serie binomial de la . Aplicamos el criterio del cociente. Por lo tanto, consideramos | a n + 1 | | a n | = | r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n ) | x | | n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! | r ( r − 1 ) ( r − 2 ) ⋯ ( r − n + 1 ) | | x | n = | r − n | | x | | n + 1 | . Dado que lím n → ∞ | a n + 1 | | a n | = | x | < 1 si y solo si | x | < 1 , concluimos que el intervalo de convergencia para la serie binomial es ( –1 , 1 ) . El comportamiento en los puntos finales depende de r . Se puede demostrar que para r ≥ 0 la serie converge en ambos puntos finales; para −1 < r < 0 , la serie converge en x = 1 y diverge en x = −1 ; y para r < −1 , la serie diverge en ambos puntos finales. La serie binomial sí converge a ( 1 + x ) r en ( –1 , 1 ) para todos los números reales r , pero probar este hecho mostrando que el resto R n ( x ) → 0 es difícil. Definición Para cualquier número real r , la serie de Maclaurin para f ( x ) = ( 1 + x ) r es la serie binomial. Converge a f para | x | < 1 , y escribimos ( 1 + x ) r = ∑ n = 0 ∞ ( r n ) x n = 1 + r x + r ( r − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + r ( r − 1 ) ⋯ ( r − n + 1 ) n ! x n + ⋯ para | x | < 1 . Podemos utilizar esta definición para calcular la serie binomial de f ( x ) = 1 + x y utilizar la serie para aproximar 1,5 . Cálculo de series binomiales Calcule la serie binomial para f ( x ) = 1 + x . Utilice el polinomio de Maclaurin de tercer orden p 3 ( x ) para estimar 1,5 . Utilice el teorema de Taylor para acotar el error. Utilice una herramienta gráfica para comparar los gráficos de f y p 3 . Aquí r = 1 2 . Utilizando la definición de la serie binomial, obtenemos 1 + x = 1 + 1 2 x + ( 1 / 2 ) ( − 1 / 2 ) 2 ! x 2 + ( 1 / 2 ) ( − 1 / 2 ) ( − 3 / 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ = 1 + 1 2 x – 1 2 ! 1 2 2 x 2 + 1 3 ! 1 . 3 2 3 x 3 − ⋯ + ( –1 ) n + 1 n ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n − 3 ) 2 n x n + ⋯ = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n − 3 ) 2 n x n . A partir del resultado de la parte a. el polinomio de Maclaurin de tercer orden es p 3 ( x ) = 1 + 1 2 x – 1 8 x 2 + 1 16 x 3 . Por lo tanto, 1,5 = 1 + 0,5 ≈ 1 + 1 2 ( 0,5 ) − 1 8 ( 0,5 ) 2 + 1 16 ( 0,5 ) 3 ≈ 1,2266. A partir del teorema de Taylor, el error satisface R 3 ( 0,5 ) = f ( 4 ) ( c ) 4 ! ( 0,5 ) 4 para algunos c entre 0 y 0,5 . Dado que f ( 4 ) ( x ) = − 15 2 4 ( 1 + x ) 7 / 2 , y el valor máximo de | f ( 4 ) ( x ) | en el intervalo ( 0 , 0,5 ) se produce en x = 0 , tenemos | R 3 ( 0,5 ) | ≤ 15 4 ! 2 4 ( 0,5 ) 4 ≈ 0,00244 . La función y el polinomio de Maclaurin p 3 se grafican en la . El polinomio de Maclaurin de tercer orden p 3 ( x ) proporciona una buena aproximación para f ( x ) = 1 + x para x cerca de cero. Calcule la serie binomial para f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 2 . ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( n + 1 ) x n Pista Utilice la definición de serie binomial para r = –2 . Funciones comunes expresadas como series de Taylor En este punto, hemos derivado las series de Maclaurin para funciones exponenciales, trigonométricas y logarítmicas, así como para funciones de la forma f ( x ) = ( 1 + x ) r . En la , resumimos los resultados de estas series. Observamos que la convergencia de la serie de Maclaurin para f ( x ) = ln ( 1 + x ) en el punto final x = 1 y la serie de Maclaurin para f ( x ) = tan −1 x en los puntos finales x = 1 y x = −1 se basa en un teorema más avanzado que el que presentamos aquí. (Consulte el teorema de Abel para ver este punto más técnico). Serie de Maclaurin para funciones comunes Función Serie de Maclaurin Intervalo de convergencia f ( x ) = 1 1 − x ∑ n = 0 ∞ x n −1 < x < 1 f ( x ) = e x ∑ n = 0 ∞ x n n ! – ∞ < x < ∞ f ( x ) = sen x ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! – ∞ < x < ∞ f ( x ) = cos x ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! – ∞ < x < ∞ f ( x ) = ln ( 1 + x ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 x n n −1 < x ≤ 1 f ( x ) = tan −1 x ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 −1 ≤ x ≤ 1 f ( x ) = ( 1 + x ) r ∑ n = 0 ∞ ( r n ) x n −1 < x < 1 Anteriormente en el capítulo, mostramos cómo se pueden combinar las series de potencias para crear nuevas series de potencias. Aquí utilizamos estas propiedades, combinadas con las series de Maclaurin en la , para crear series de Maclaurin para otras funciones. Derivar series de Maclaurin a partir de una serie conocida Calcule la serie de Maclaurin de cada una de las siguientes funciones utilizando una de las series que aparecen en la . f ( x ) = cos x f ( x ) = senoh x Utilizando la serie de Maclaurin para cos x calculamos que la serie de Maclaurin para cos x está dado por ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( x ) 2 n ( 2 n ) ! = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n ( 2 n ) ! = 1 − x 2 ! + x 2 4 ! − x 3 6 ! + x 4 8 ! − ⋯ . Esta serie converge a cos x para todos los valores x en el dominio de cos x ; es decir, para todo x ≥ 0 . Para calcular la serie de Maclaurin para senoh x , utilizamos el hecho de que senoh x = e x − e – x 2 . Utilizando la serie de Maclaurin para e x , vemos que el ené simo término de la serie de Maclaurin para senoh x está dado por x n n ! − ( − x ) n n ! . Para n par, este término es cero. Para n impar, este término es 2 x n n ! . Por lo tanto, la serie de Maclaurin para senoh x solo tiene términos de orden impar y está dada por ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ . Calcule la serie de Maclaurin para sen ( x 2 ) . ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 4 n + 2 ( 2 n + 1 ) ! Pista Utilice la serie de Maclaurin para sen x . También mostramos anteriormente en este capítulo cómo las series de potencias pueden diferenciarse término a término para crear una nueva serie de potencias. En el , diferenciamos la serie binomial para 1 + x término a término para calcular la serie binomial para 1 1 + x . Observe que podríamos construir la serie binomial para 1 1 + x directamente de la definición, pero diferenciando la serie binomial para 1 + x es un cálculo más fácil. Diferenciar una serie para calcular una nueva serie Utilice la serie binomial para 1 + x para calcular la serie binomial para 1 1 + x . Las dos funciones están relacionadas por d d x 1 + x = 1 2 1 + x , por lo que la serie binomial para 1 1 + x está dada por 1 1 + x = 2 d d x 1 + x = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n – 1 ) 2 n x n . Calcule la serie binomial para f ( x ) = 1 ( 1 + x ) 3 / 2 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n – 1 ) 2 n x n Pista Diferenciar la serie para 1 1 + x . En este ejemplo, diferenciamos una serie de Taylor conocida para construir una serie de Taylor para otra función. La capacidad de diferenciar las series de potencias término a término las convierte en una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales. A continuación mostramos cómo se logra esto. Resolución de ecuaciones diferenciales con series de potencias Considere la ecuación diferencial y ′ ( x ) = y . Recordemos que se trata de una ecuación separable de primer orden y su solución es y = C e x . Esta ecuación se resuelve fácilmente utilizando las técnicas discutidas anteriormente en el texto. Sin embargo, para la mayoría de las ecuaciones diferenciales aún no disponemos de herramientas analíticas para resolverlas. Las series de potencias son una herramienta extremadamente útil para resolver muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En esta técnica, buscamos una solución de la forma y = ∑ n = 0 ∞ c n x n y determinar cuáles serían los coeficientes necesarios. En el siguiente ejemplo, consideramos un problema de valor inicial que implica y ′ = y para ilustrar la técnica. Solución en serie de potencias de una ecuación diferencial Utilice la serie de potencias para resolver el problema de valor inicial y ′ = y , y ( 0 ) = 3 . Supongamos que existe una solución en serie de potencias y ( x ) = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ . Diferenciando esta serie término a término, obtenemos y ′ = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + 4 c 4 x 3 + ⋯ . Si y satisface la ecuación diferencial, entonces c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + 4 c 3 x 3 + ⋯ . Utilizando la sobre la singularidad de las representaciones en series de potencias, sabemos que estas series solo pueden ser iguales si sus coeficientes son iguales. Por lo tanto, c 0 = c 1 , c 1 = 2 c 2 , c 2 = 3 c 3 , c 3 = 4 c 4 , ⋮ . Utilizando la condición inicial y ( 0 ) = 3 combinada con la representación en serie de potencias y ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ , hallamos que c 0 = 3 . Ahora estamos preparados para resolver el resto de los coeficientes. Si utilizamos el hecho de que c 0 = 3 , tenemos c 1 = c 0 = 3 = 3 1 ! , c 2 = c 1 2 = 3 2 = 3 2 ! , c 3 = c 2 3 = 3 3 . 2 = 3 3 ! , c 4 = c 3 4 = 3 4 . 3 . 2 = 3 4 ! . Por lo tanto, y = 3 [ 1 + 1 1 ! x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 1 4 ! x 4 + ⋯ ] = 3 ∑ n = 0 ∞ x n n ! . Puede que reconozca ∑ n = 0 ∞ x n n ! como la serie de Taylor para e x . Por lo tanto, la solución es y = 3 e x . Utilice las series de potencias para resolver y ′ = 2 y , y ( 0 ) = 5 . y = 5 e 2 x Pista Las ecuaciones de los primeros coeficientes c n satisfarán c 0 = 2 c 1 , c 1 = 2 . 2 c 2 , c 2 = 2 . 3 c 3 ,…. En general, para todo n ≥ 0 , c n = 2 ( n + 1 ) C n + 1 . Consideramos ahora un ejemplo que involucra una ecuación diferencial que no podemos resolver con los métodos discutidos previamente. Esta ecuación diferencial y ′ − x y = 0 se conoce como la ecuación de Airy . Tiene muchas aplicaciones en física matemática, como el modelado de la difracción de la luz. Aquí mostramos cómo resolverla utilizando series de potencias. Solución en series de potencias de la ecuación de Airy Utilice las series de potencias para resolver y ″ − x y = 0 con las condiciones iniciales y ( 0 ) = a y y ′ ( 0 ) = b . Buscamos una solución de la forma y = ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + ⋯ . Diferenciando esta función término a término, obtenemos y ′ = c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + 4 c 4 x 3 + ⋯ , y ″ = 2 . 1 c 2 + 3 . 2 c 3 x + 4 . 3 c 4 x 2 + ⋯ . Si y satisface la ecuación y ″ = x y , entonces 2 . 1 c 2 + 3 . 2 c 3 x + 4 . 3 c 4 x 2 + ⋯ = x ( c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ ) . Utilizando la sobre la singularidad de las representaciones en series de potencias, sabemos que los coeficientes del mismo orden deben ser iguales. Por lo tanto, 2 . 1 c 2 = 0 , 3 . 2 c 3 = c 0 , 4 . 3 c 4 = c 1 , 5 . 4 c 5 = c 2 , ⋮ . En general, para n ≥ 3 , tenemos n . ( n – 1 ) c n = c n − 3 . De hecho, todos los coeficientes se pueden escribir en términos de c 0 y c 1 . Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que c 2 = 0 . Entonces c 3 = c 0 3 . 2 , c 4 = c 1 4 . 3 . Para c 5 , c 6 , c 7 , vemos que c 5 = c 2 5 . 4 = 0 , c 6 = c 3 6 . 5 = c 0 6 . 5 . 3 . 2 , c 7 = c 4 7 . 6 = c 1 7 . 6 . 4 . 3 . Por lo tanto, la solución en serie de la ecuación diferencial está dada por y = c 0 + c 1 x + 0 . x 2 + c 0 3 . 2 x 3 + c 1 4 . 3 x 4 + 0 . x 5 + c 0 6 . 5 . 3 . 2 x 6 + c 1 7 . 6 . 4 . 3 x 7 + ⋯ . La condición inicial y ( 0 ) = a implica c 0 = a . Diferenciando esta serie término a término y utilizando el hecho de que y ′ ( 0 ) = b , concluimos que c 1 = b . Por lo tanto, la solución de este problema de valor inicial es y = a ( 1 + x 3 3 . 2 + x 6 6 . 5 . 3 . 2 + ⋯ ) + b ( x + x 4 4 . 3 + x 7 7 . 6 . 4 . 3 + ⋯ ) . Utilice las series de potencias para resolver y ″ + x 2 y = 0 con la condición inicial y ( 0 ) = a y y ′ ( 0 ) = b . y = a ( 1 − x 4 3 . 4 + x 8 3 . 4 . 7 . 8 − ⋯ ) + b ( x – x 5 4 . 5 + x 9 4 . 5 . 8 . 9 − ⋯ ) Pista Los coeficientes satisfacen c 0 = a , c 1 = b , c 2 = 0 , c 3 = 0 , y para n ≥ 4 , n ( n – 1 ) c n = − c n − 4 . Evaluación de integrales no elementales La resolución de ecuaciones diferenciales es una aplicación común de las series de potencias. Pasamos ahora a una segunda aplicación. Mostramos cómo se pueden utilizar las series de potencias para evaluar integrales en las que intervienen funciones cuyas antiderivadas no se pueden expresar mediante funciones elementales. Una integral que surge con frecuencia en las aplicaciones de la teoría de la probabilidad es ∫ e – x 2 d x . Desafortunadamente, la antiderivada del integrando e – x 2 no es una función elemental. Por función elemental entendemos una función que puede escribirse mediante un número finito de combinaciones algebraicas o composiciones de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas o potencias. Observamos que el término \"función elemental\" no es sinónimo de función no complicada. Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 − 3 x + e x 3 − sen ( 5 x + 4 ) es una función elemental, aunque no es una función que se vea muy sencilla. Cualquier integral de la forma ∫ f ( x ) d x donde la antiderivada de f no se pueda escribir como una función elemental se considera una integral no elemental . Las integrales no elementales no pueden evaluarse con las técnicas básicas de integración que se han comentado anteriormente. Una forma de evaluar estas integrales es expresando el integrando como una serie de potencias e integrando término a término. Demostramos esta técnica considerando ∫ e – x 2 d x . Uso de las series de Taylor para evaluar una integral definida Exprese ∫ e – x 2 d x como una serie infinita. Evalúe ∫ 0 1 e – x 2 d x con un error de 0,01 . La serie de Maclaurin para e – x 2 está dada por e – x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − x 2 ) n n ! = 1 − x 2 + x 4 2 ! − x 6 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n x 2 n n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n n ! . Por lo tanto, ∫ e – x 2 d x = ∫ ( 1 − x 2 + x 4 2 ! − x 6 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n x 2 n n ! + ⋯ ) d x = C + x – x 3 3 + x 5 5 . 2 ! − x 7 7 . 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n ! + ⋯ . Utilizando el resultado de la parte a. tenemos ∫ 0 1 e – x 2 d x = 1 − 1 3 + 1 10 − 1 42 + 1 216 − ⋯ . La suma de los cuatro primeros términos es aproximadamente 0,74 . Mediante la prueba de series alternadas, esta estimación es precisa con un error inferior a 1 216 ≈ 0,0046296 < 0,01 . Exprese ∫ cos x d x como una serie infinita. Evalúe ∫ 0 1 cos x d x con un error de 0,01 . C + ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 x n n ( 2 n – 2 ) ! La integral definida es aproximadamente 0,514 con un error de 0,01 . Pista Utilice la serie que se encuentra en . Como se ha mencionado anteriormente, la integral ∫ e – x 2 d x surge a menudo en la teoría de la probabilidad. En concreto, se utiliza cuando se estudian conjuntos de datos que se distribuyen normalmente, lo que significa que los valores de los datos se encuentran bajo una curva en forma de campana. Por ejemplo, si un conjunto de valores de datos se distribuye normalmente con la media μ y desviación típica σ , entonces la probabilidad de que un valor elegido al azar se encuentre entre x = a y x = b está dada por 1 σ 2 π ∫ a b e − ( x – μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) d x . (Vea la ). Si los valores de los datos se distribuyen normalmente con la media μ y desviación típica σ , la probabilidad de que un valor de datos seleccionado al azar esté entre a y b es el área bajo la curva y = 1 σ 2 π e − ( x – μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) entre x = a y x = b . Para simplificar esta integral, por lo general suponemos que z = x – μ σ . Esta cantidad z se conoce como la puntuación z de un valor de datos. Con esta simplificación, la integral de la se convierte en 1 2 π ∫ ( a − μ ) / σ ( b − μ ) / σ e − z 2 / 2 d z . En el , mostramos cómo podemos utilizar esta integral en el cálculo de probabilidades. Uso de las series de Maclaurin para aproximar una probabilidad Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ = 100 y desviación típica σ = 50 . Utilice la y los seis primeros términos de la serie de Maclaurin para e – x 2 / 2 para aproximar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre x = 100 y x = 200 . Utilice la prueba de las series alternadas para determinar la precisión de su aproximación. Dado que μ = 100 , σ = 50 , y estamos tratando de determinar el área bajo la curva de a = 100 a b = 200 , la integral de la se convierte en 1 2 π ∫ 0 2 e − z 2 / 2 d z . La serie de Maclaurin para e – x 2 / 2 está dada por e – x 2 / 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − x 2 2 ) n n ! = 1 − x 2 2 1 . 1 ! + x 4 2 2 . 2 ! − x 6 2 3 . 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n x 2 n 2 n . n ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n 2 n . n ! . Por lo tanto, 1 2 π ∫ e − z 2 / 2 d z = 1 2 π ∫ ( 1 − z 2 2 1 . 1 ! + z 4 2 2 . 2 ! − z 6 2 3 . 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n z 2 n 2 n . n ! + ⋯ ) d z = 1 2 π ( C + z − z 3 3 . 2 1 . 1 ! + z 5 5 . 2 2 . 2 ! − z 7 7 . 2 3 . 3 ! + ⋯ + ( –1 ) n z 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) 2 n . n ! + ⋯ ) 1 2 π ∫ 0 2 e − z 2 / 2 d z = 1 2 π ( 2 − 8 6 + 32 40 − 128 336 + 512 3456 − 2 11 11 . 2 5 . 5 ! + ⋯ ) . Utilizando los cinco primeros términos, estimamos que la probabilidad es aproximadamente 0,4922 . Mediante la prueba de las series alternadas, vemos que esta estimación es exacta con una precisión de 1 2 π 2 13 13 . 2 6 . 6 ! ≈ 0,00546 . Análisis Si está familiarizado con la teoría de la probabilidad, sabrá que la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre dentro de dos desviaciones típicas de la media es aproximadamente 95 % . Aquí calculamos la probabilidad de que un valor de los datos se encuentre entre la media y dos desviaciones típicas por encima de la media, por lo que la estimación debería estar en torno a 47,5 % . La estimación, combinada con el límite de la exactitud, se encuentra dentro de este rango. Utilice los cinco primeros términos de la serie de Maclaurin para e – x 2 / 2 para estimar la probabilidad de que la puntuación de una prueba seleccionada al azar esté entre 100 y 150 . Utilice la prueba de series alternadas para determinar la exactitud de esta estimación. La estimación es de aproximadamente 0,3414 . Esta estimación tiene una precisión de 0,0000094 . Pista Evalúe ∫ 0 1 e − z 2 / 2 d z utilizando los cinco primeros términos de la serie de Maclaurin para e − z 2 / 2 . Otra aplicación en la que surge una integral no elemental es el periodo de un péndulo. La integral es ∫ 0 π / 2 d θ 1 − k 2 sen 2 θ . Una integral de esta forma se conoce como integral elíptica de primer tipo. Las integrales elípticas surgieron originalmente cuando se intentaba calcular la longitud de arco de una elipse. Ahora mostramos cómo utilizar las series de potencias para aproximar esta integral. Periodo de un péndulo El periodo de un péndulo es el tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación completa de ida y vuelta. Para un péndulo con longitud L que forma un ángulo máximo θ max con la vertical, su periodo T está dada por T = 4 L g ∫ 0 π / 2 d θ 1 − k 2 sen 2 θ donde g es la aceleración debido a la gravedad y k = sen ( θ máx. 2 ) (vea la ). (Observamos que esta fórmula para el periodo surge de un modelo no linealizado de un péndulo. En algunos casos, para simplificar, se utiliza un modelo linealizado y sen θ se aproxima por θ . ) Utilice la serie binomial 1 1 + x = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n – 1 ) 2 n x n para estimar el periodo de este péndulo. Específicamente, aproxime el periodo del péndulo si se utiliza solo el primer término de la serie binomial, y se utilizan los dos primeros términos de la serie binomial Este péndulo tiene una longitud L y forma un ángulo máximo θ max con la vertical. Utilizamos la serie binomial, sustituyendo x con − k 2 sen 2 θ . Entonces podemos escribir el periodo como T = 4 L g ∫ 0 π / 2 ( 1 + 1 2 k 2 sen 2 θ + 1 . 3 2 ! 2 2 k 4 sen 4 θ + ⋯ ) d θ . Utilizando solo el primer término del integrando, la estimación de primer orden es T ≈ 4 L g ∫ 0 π / 2 d θ = 2 π L g . Si θ max es pequeño, entonces k = sen ( θ máx. 2 ) es pequeño. Afirmamos que cuando k es pequeño, es una buena estimación. Para justificar esta afirmación, considere ∫ 0 π / 2 ( 1 + 1 2 k 2 sen 2 θ + 1 . 3 2 ! 2 2 k 4 sen 4 θ + ⋯ ) d θ . Dado que | sen x | ≤ 1 , esta integral está delimitada por ∫ 0 π / 2 ( 1 2 k 2 + 1.3 2 ! 2 2 k 4 + ⋯ ) d θ < π 2 ( 1 2 k 2 + 1 . 3 2 ! 2 2 k 4 + ⋯ ) . Además, se puede demostrar que cada coeficiente del lado derecho es menor que 1 y, por tanto, que esta expresión está delimitada por π k 2 2 ( 1 + k 2 + k 4 + ⋯ ) = π k 2 2 . 1 1 − k 2 , que es pequeño para k pequeño. Para valores mayores de θ max , podemos aproximar T utilizando más términos en el integrando. Utilizando los dos primeros términos de la integral, llegamos a la estimación T ≈ 4 L g ∫ 0 π / 2 ( 1 + 1 2 k 2 sen 2 θ ) d θ = 2 π L g ( 1 + k 2 4 ) . Las aplicaciones de las series de Taylor en esta sección pretenden destacar su importancia. En general, las series de Taylor son útiles porque nos permiten representar funciones conocidas mediante polinomios, proporcionándonos así una herramienta para aproximar valores de funciones y estimar integrales complicadas. Además, nos permiten definir nuevas funciones como series de potencias, lo que nos proporciona una herramienta poderosa para resolver ecuaciones diferenciales. Conceptos clave La serie binomial es la serie de Maclaurin para f ( x ) = ( 1 + x ) r . Converge para | x | < 1 . Las series de Taylor para las funciones pueden derivarse a menudo mediante operaciones algebraicas con una serie de Taylor conocida o diferenciando o integrando una serie de Taylor conocida. Las series de potencias pueden utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales. Las series de Taylor pueden utilizarse para ayudar a aproximar integrales que no pueden evaluarse por otros medios. En los siguientes ejercicios, utilice las sustituciones adecuadas para escribir la serie de Maclaurin para el binomio dado. ( 1 − x ) 1 / 3 ( 1 + x 2 ) –1 / 3 ( 1 + x 2 ) –1 / 3 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 3 n ) x 2 n ( 1 − x ) 1,01 ( 1 − 2 x ) 2 / 3 ( 1 − 2 x ) 2 / 3 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 n ( 2 3 n ) x n En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución ( b + x ) r = ( b + a ) r ( 1 + x – a b + a ) r en la expansión binomial para calcular la serie de Taylor de cada función con el centro dado. x + 2 en a = 0 x 2 + 2 en a = 0 2 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ 2 ( 1 / 2 ) − n ( 1 2 n ) x 2 n ; ( | x 2 | < 2 ) grandes. x + 2 en a = 1 2 x – x 2 en a = 1 ( Pista: 2 x – x 2 = 1 − ( x – 1 ) 2 ) grandes. 2 x – x 2 = 1 − ( x – 1 ) 2 así que 2 x – x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 1 2 n ) ( x – 1 ) 2 n ( x − 8 ) 1 / 3 en a = 9 x en a = 4 x = 2 1 + x − 4 4 así que x = ∑ n = 0 ∞ 2 1 − 2 n ( 1 2 n ) ( x − 4 ) n x 1 / 3 en a = 27 x en x = 9 x = ∑ n = 0 ∞ 3 1 − 3 n ( 1 2 n ) ( x − 9 ) n En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para estimar cada número, calculando suficientes términos para obtener una estimación precisa con un error de como máximo 1 / 1.000 dólares. [T] ( 15 ) 1 / 4 utilizando ( 16 − x ) 1 / 4 [T] ( 1001 ) 1 / 3 utilizando ( 1.000 + x ) 1 / 3 10 ( 1 + x 1.000 ) 1 / 3 = ∑ n = 0 ∞ 10 1 − 3 n ( 1 3 n ) x n . Utilizando, por ejemplo, una estimación de cuarto orden en x = 1 da como resultado ( 1001 ) 1 / 3 ≈ 10 ( 1 + ( 1 3 1 ) 10 −3 + ( 1 3 2 ) 10 −6 + ( 1 3 3 ) 10 −9 + ( 1 3 4 ) 10 −12 ) = 10 ( 1 + 1 3,10 3 − 1 9,10 6 + 5 81,10 9 − 10 243,10 12 ) = 10,00333222... mientras que ( 1001 ) 1 / 3 = 10,00332222839093 .... Dos términos serían suficientes para una exactitud de tres dígitos. En los siguientes ejercicios, utilice la aproximación binomial 1 − x ≈ 1 − x 2 − x 2 8 − x 3 16 − 5 x 4 128 − 7 x 5 256 para | x | < 1 para aproximar cada número. Compare este valor con el valor dado por una calculadora científica. [T] 1 2 utilizando x = 1 2 en ( 1 − x ) 1 / 2 [T] 5 = 5 × 1 5 utilizando x = 4 5 en ( 1 − x ) 1 / 2 La aproximación es 2,3152 ; el valor del CAS es 2,23 … . [T] 3 = 3 3 utilizando x = 2 3 en ( 1 − x ) 1 / 2 [T] 6 utilizando x = 5 6 en ( 1 − x ) 1 / 2 La aproximación es 2,583 … ; el valor del CAS es 2,449 … . Integre la aproximación binomial de 1 − x para calcular una aproximación de ∫ 0 x 1 − t d t . [T] Recordemos que el gráfico de 1 − x 2 es un semicírculo superior de radio 1 . Integre la aproximación binomial de 1 − x 2 al orden 8 de x = −1 a x = 1 para estimar π 2 . 1 − x 2 = 1 − x 2 2 − x 4 8 − x 6 16 − 5 x 8 128 + ⋯ . Por lo tanto, ∫ –1 1 1 − x 2 d x = x – x 3 6 − x 5 40 − x 7 7 . 16 − 5 x 9 9 . 128 + ⋯ | −1 1 ≈ 2 – 1 3 − 1 20 – 1 56 − 10 9 . 128 + error = 1,590 ... mientras que π 2 = 1,570 ... En los siguientes ejercicios, utilice la expansión ( 1 + x ) 1 / 3 = 1 + 1 3 x – 1 9 x 2 + 5 81 x 3 − 10 243 x 4 + ⋯ para escribir los cinco primeros términos (no necesariamente un polinomio cuaternario) de cada expresión. ( 1 + 4 x ) 1 / 3 ; a = 0 ( 1 + 4 x ) 4 / 3 ; a = 0 ( 1 + 4 x ) 4 / 3 = ( 1 + 4 x ) ( 1 + 4 x ) 1 / 3 = ( 1 + 4 x ) ( 1 + 4 x 3 – 16 x 3 9 + 320 x 3 81 – 2.560 x 4 243 ) = 1 + 16 3 x + 32 9 x 2 – 256 81 x 3 + 1280 243 x 4 – 10240 243 x 5 ( 3 + 2 x ) 1 / 3 ; a = –1 ( x 2 + 6 x + 10 ) 1 / 3 ; a = −3 ( 1 + ( x + 3 ) 2 ) 1 / 3 = 1 + 1 3 ( x + 3 ) 2 – 1 9 ( x + 3 ) 4 + 5 81 ( x + 3 ) 6 − 10 243 ( x + 3 ) 8 + ⋯ Utilice ( 1 + x ) 1 / 3 = 1 + 1 3 x – 1 9 x 2 + 5 81 x 3 − 10 243 x 4 + ⋯ con x = 1 para aproximar a 2 1 / 3 . Utilice la aproximación ( 1 − x ) 2 / 3 = 1 − 2 x 3 − x 2 9 − 4 x 3 81 − 7 x 4 243 − 14 x 5 729 + ⋯ para | x | < 1 para aproximar a 2 1 / 3 = 2,2 −2 / 3 . El doble de la aproximación es 1,260 … mientras que 2 1 / 3 = 1,2599. ... Calcule la 25 −ésima derivada de f ( x ) = ( 1 + x 2 ) 13 en x = 0 . Calcule la 99 −ésima derivada de f ( x ) = ( 1 + x 4 ) 25 . f ( 99 ) ( 0 ) = 0 En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de cada función. f ( x ) = x e 2 x f ( x ) = 2 x ∑ n = 0 ∞ ( ln ( 2 ) x ) n n ! f ( x ) = sen x x f ( x ) = sen ( x ) x , ( x > 0 ) , Para x > 0 , sen ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x ( 2 n + 1 ) / 2 x ( 2 n + 1 ) ! = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n ( 2 n + 1 ) ! . f ( x ) = sen ( x 2 ) grandes. f ( x ) = e x 3 e x 3 = ∑ n = 0 ∞ x 3 n n ! f ( x ) = cos 2 x utilizando la identidad cos 2 x = 1 2 + 1 2 cos ( 2 x ) grandes. f ( x ) = sen 2 x utilizando la identidad sen 2 x = 1 2 – 1 2 cos ( 2 x ) grandes. sen 2 x = − ∑ k = 1 ∞ ( –1 ) k 2 2 k − 1 x 2 k ( 2 k ) ! En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin de F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t integrando la serie de Maclaurin de f término a término. Si f no está estrictamente definida en cero, puede sustituir el valor de la serie de Maclaurin en cero. F ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t ; f ( t ) = e − t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 2 n n ! F ( x ) = tan −1 x ; f ( t ) = 1 1 + t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 2 n tan −1 x = ∑ k = 0 ∞ ( –1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 F ( x ) = tanh −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ n = 0 ∞ t 2 n F ( x ) = sen −1 x ; f ( t ) = 1 1 − t 2 = ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 k ) t 2 k k ! sen −1 x = ∑ n = 0 ∞ ( 1 2 n ) x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) n ! F ( x ) = ∫ 0 x sen t t d t ; f ( t ) = sen t t = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 1 ) ! F ( x ) = ∫ 0 x cos ( t ) d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n ( 2 n ) ! F ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x n + 1 ( n + 1 ) ( 2 n ) ! F ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos t t 2 d t ; f ( t ) = 1 − cos t t 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 2 n ( 2 n + 2 ) ! F ( x ) = ∫ 0 x ln ( 1 + t ) t d t ; f ( t ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t n n + 1 F ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 x n n 2 En los siguientes ejercicios, calcule al menos los tres primeros términos distintos de cero (no necesariamente un polinomio cuadrático) de la serie de Maclaurin de f . f ( x ) = sen ( x + π 4 ) = sen x cos ( π 4 ) + cos x sen ( π 4 ) grandes. f ( x ) = tan x x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ f ( x ) = ln ( cos x ) grandes. f ( x ) = e x cos x 1 + x – x 3 3 − x 4 6 + ⋯ f ( x ) = e sen x f ( x ) = sec 2 x 1 + x 2 + 2 x 4 3 + 17 x 6 45 + ⋯ f ( x ) = tanh x f ( x ) = tan x x (vea la expansión para tan x ) Utilizando la expansión para tan x da como resultado 1 + x 3 + 2 x 2 15 . En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de la serie de Maclaurin de cada función. ln ( 1 + x ) grandes. 1 1 + x 2 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n así que R = 1 mediante el criterio del cociente. tan −1 x ln ( 1 + x 2 ) grandes. ln ( 1 + x 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n x 2 n así que R = 1 mediante el criterio del cociente. Calcule la serie de Maclaurin de senoh x = e x − e – x 2 . Calcule la serie de Maclaurin de cosh x = e x + e – x 2 . Sume la serie de e x y e – x término por término. Los términos impares se anulan y cosh x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! . Diferencie término a término la serie de Maclaurin de senoh x y compare el resultado con la serie de Maclaurin de cosh x . [T] Supongamos que S n ( x ) = ∑ k = 0 n ( –1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! y C n ( x ) = ∑ n = 0 n ( –1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! denotan los respectivos polinomios de Maclaurin de orden 2 n + 1 de sen x y orden 2 n de cos x . Grafique los errores S n ( x ) C n ( x ) − tan x para n = 1 , .. , 5 y compárelos con x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 − tan x en ( − π 4 , π 4 ) . La razón S n ( x ) C n ( x ) aproxima tan x mejor que lo hace p 7 ( x ) = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + 17 x 7 315 para N ≥ 3 . Las curvas discontinuas son S n C n − tan para n = 1 , 2 . La curva punteada corresponde a n n = 3 , y la curva punteada y con rayas corresponde a n = 4 . La curva continua es p 7 − tan x . Utilice la identidad 2 sen x cos x = sen ( 2 x ) para calcular la expansión en serie de la potencia de sen 2 x en x = 0 . ( Pista: Integre la serie de Maclaurin de sen ( 2 x ) término a término). Si y = ∑ n = 0 ∞ a n x n , calcule las expansiones en serie de potencias de x y ′ y x 2 y ″ . Por el teorema de diferenciación término a término, y ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n – 1 así que y ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n – 1 x y ′ = ∑ n = 1 ∞ n a n x n , mientras que y ′ = ∑ n = 2 ∞ n ( n – 1 ) a n x n – 2 así que x y ″ = ∑ n = 2 ∞ n ( n – 1 ) a n x n . [T] Supongamos que y = ∑ k = 0 ∞ a k x k satisface y ′ = –2 x y y y ( 0 ) = 0 . Demuestre que a 2 k + 1 = 0 para todo k y que a 2 k + 2 = − a 2 k k + 1 . Grafique la suma parcial S 20 de y en el intervalo [ −4 , 4 ] . [T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ = 100 y desviación típica σ = 10 . Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre 90 y 110 y utilice la integral del orden 10 Polinomio de Maclaurin de 1 2 π e – x 2 / 2 para estimar esta probabilidad. La probabilidad es p = 1 2 π ∫ ( a − μ ) / σ ( b − μ ) / σ e – x 2 / 2 d x donde a = 90 y b = 100 , es decir, p = 1 2 π ∫ –1 1 e – x 2 / 2 d x = 1 2 π ∫ –1 1 ∑ n = 0 5 ( –1 ) n x 2 n 2 n n ! d x = 2 2 π ∑ n = 0 5 ( –1 ) n 1 ( 2 n + 1 ) 2 n n ! ≈ 0,6827 . [T] Supongamos que un conjunto de puntuaciones de pruebas estandarizadas se distribuye normalmente con la media μ = 100 y desviación típica σ = 10 . Determine una integral que represente la probabilidad de que la puntuación de un examen esté entre 70 y 130 y utilice la integral del orden 50 Polinomio de Maclaurin de 1 2 π e – x 2 / 2 para estimar esta probabilidad. [T] Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n converge a una función f ( x ) tal que f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 0 , y f ″ ( x ) = − f ( x ) . Halle una fórmula para a n y grafique la suma parcial S N para N = 20 en [ −5 , 5 ] . Como en el problema anterior se obtiene a n = 0 si n es impar y a n = − ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 si n es par, así que a 0 = 1 nos lleva a a 2 n = ( –1 ) n ( 2 n ) ! . [T] Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n converge a una función f ( x ) tal que f ( 0 ) = 0 , f ′ ( 0 ) = 1 , y f ″ ( x ) = − f ( x ) . Halle una fórmula para a n y grafique la suma parcial S N para N = 10 en [ −5 , 5 ] . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n converge a una función y tal que y ″ − y ′ + y = 0 donde y ( 0 ) = 1 y y ′ ( 0 ) = 0 . Halle una fórmula que relacione a n + 2 , a n + 1 , y a n y calcule a 0 , ... , a 5 . y ″ = ∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n y y ′ = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) a n + 1 x n así que y ″ − y ′ + y = 0 implica que ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 − ( n + 1 ) a n + 1 + a n = 0 o a n = a n – 1 n − a n – 2 n ( n – 1 ) para todo n . y ( 0 ) = a 0 = 1 y y ′ ( 0 ) = a 1 = 0 , así que a 2 = 1 2 , a 3 = 1 6 , a 4 = 0 , y a 5 = − 1 120 . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n x n converge a una función y tal que y ″ − y ′ + y = 0 donde y ( 0 ) = 0 y y ′ ( 0 ) = 1 . Halle una fórmula que relacione a n + 2 , a n + 1 , y a n y calcule a 1 , ... , a 5 . El error de aproximación de la integral ∫ a b f ( t ) d t por la de una aproximación de Taylor ∫ a b P n ( t ) d t es como máximo ∫ a b R n ( t ) d t . En los siguientes ejercicios, la estimación del resto de Taylor R n ≤ M ( n + 1 ) ! | x – a | n + 1 garantiza que la integral del polinomio de Taylor del orden dado se aproxima a la integral de f con un error inferior a 1 10 . Evalúe la integral del polinomio de Taylor correspondiente y verifique que se aproxima al valor del CAS con un error inferior a 1 100 . Compare la exactitud de la estimación de la integral polinómica con la estimación del resto. [T] ∫ 0 π sen t t d t ; P s = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + x 8 9 ! (Puede suponer que el valor absoluto de la novena derivada de sen t t está delimitada por 0,1 . ) a. (Prueba) b. Tenemos R s ≤ 0,1 ( 9 ) ! π 9 ≈ 0,0082 < 0,01 . Tenemos ∫ 0 π ( 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + x 8 9 ! ) d x = π − π 3 3 . 3 ! + π 5 5 . 5 ! − π 7 7 . 7 ! + π 9 9 . 9 ! = 1,852... , mientras que ∫ 0 π sen t t d t = 1,85194... , por lo que el error real es aproximadamente 0,00006 . [T] ∫ 0 2 e – x 2 d x ; p 11 = 1 − x 2 + x 4 2 − x 6 3 ! + ⋯ − x 22 11 ! (Puede suponer que el valor absoluto de la 23 .º derivada de e – x 2 es menor que 2 × 10 14 . ) Los siguientes ejercicios tratan con las integrales de Fresnel . Las integrales de Fresnel están definidas por C ( x ) = ∫ 0 x cos ( t 2 ) d t y S ( x ) = ∫ 0 x sen ( t 2 ) d t . Calcule la serie de potencias de C ( x ) y S ( x ) y grafique las sumas C N ( x ) y S N ( x ) de los primeros N = 50 términos distintos de cero en [ 0 , 2 π ] . Dado que cos ( t 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 4 n ( 2 n ) ! y sen ( t 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n t 4 n + 2 ( 2 n + 1 ) ! , se tiene S ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 4 n + 3 ( 4 n + 3 ) ( 2 n + 1 ) ! y C ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 4 n + 1 ( 4 n + 1 ) ( 2 n ) ! . Las sumas de los primeros 50 términos distintos de cero se representan a continuación con C 50 ( x ) la curva sólida y S 50 ( x ) la curva discontinua. [T] Las integrales de Fresnel se utilizan en aplicaciones de diseño de carreteras y ferrocarriles y otras aplicaciones debido a las propiedades de curvatura de la curva con coordenadas ( C ( t ) , S ( t ) ) . Grafique la curva ( C 50 , S 50 ) para 0 ≤ t ≤ 2 π , cuyas coordenadas se calcularon en el ejercicio anterior. Estime ∫ 0 1 / 4 x – x 2 d x aproximando 1 − x utilizando la aproximación binomial 1 − x 2 − x 2 8 − x 3 16 − 5 x 4 2128 − 7 x 5 256 . ∫ 0 1 / 4 x ( 1 − x 2 − x 2 8 − x 3 16 − 5 x 4 128 − 7 x 5 256 ) d x = 2 3 2 −3 − 1 2 2 5 2 −5 − 1 8 2 7 2 −7 − 1 16 2 9 2 −9 − 5 128 2 11 2 −11 − 7 256 2 13 2 −13 = 0,0767732 ... mientras que ∫ 0 1 / 4 x – x 2 d x = 0,076773 . [T] Utilice la aproximación de Newton del binomio 1 − x 2 para aproximar a π de la siguiente forma. El círculo centrado en ( 1 2 , 0 ) con radio 1 2 tiene un semicírculo superior y = x 1 − x . El sector de este círculo delimitado por el eje x entre x = 0 y x = 1 2 y por la línea que une ( 1 4 , 3 4 ) corresponde a 1 6 del círculo y tiene área π 24 . Este sector es la unión de un triángulo rectángulo con altura 3 4 y base 1 4 y la región por debajo del gráfico entre x = 0 y x = 1 4 . Para hallar el área de esta región se puede escribir y = x 1 − x = x × ( expansión binomial de 1 − x ) e integrar término a término. Utilice este enfoque con la aproximación binomial del ejercicio anterior para estimar π . Utilice la aproximación T ≈ 2 π L g ( 1 + k 2 4 ) para aproximar el periodo de un péndulo que tiene una longitud de 10 metros y un ángulo máximo de θ max = π 6 donde k = sen ( θ máx. 2 ) . Compare esto con la estimación del ángulo pequeño T ≈ 2 π L g . T ≈ 2 π 10 9,8 ( 1 + sen 2 ( θ / 12 ) 4 ) ≈ 6,453 segundos. La estimación del ángulo pequeño es T ≈ 2 π 10 9,8 ≈ 6,347 . El error relativo es de alrededor de 2 por ciento. Supongamos que un péndulo debe tener un periodo de 2 segundos y un ángulo máximo de θ max = π 6 . Utilice T ≈ 2 π L g ( 1 + k 2 4 ) para aproximar la longitud deseada del péndulo. ¿Qué longitud se predice con la estimación del ángulo pequeño T ≈ 2 π L g ? Evalúe ∫ 0 π / 2 sen 4 θ d θ en la aproximación T = 4 L g ∫ 0 π / 2 ( 1 + 1 2 k 2 sen 2 θ + 3 8 k 4 sen 4 θ + ⋯ ) d θ para obtener una estimación mejorada de T . ∫ 0 π / 2 sen 4 θ d θ = 3 π 16 . Por esto T ≈ 2 π L g ( 1 + k 2 4 + 9 256 k 4 ) . [T] Una fórmula equivalente para el periodo de un péndulo con amplitud θ max es T ( θ max ) = 2 2 L g ∫ 0 θ max d θ cos θ − cos ( θ max ) donde L es la longitud del péndulo y g es la constante de aceleración gravitatoria. Cuando θ max = π 3 obtenemos 1 cos t − 1 / 2 ≈ 2 ( 1 + t 2 2 + t 4 3 + 181 t 6 720 ) . Integre esta aproximación para estimar T ( π 3 ) en términos de L y g . Suponiendo que g = 9,806 metros por segundo al cuadrado, halle una longitud aproximada L tal que T ( π 3 ) = 2 segundos. Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? En los siguientes ejercicios, justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Si el radio de convergencia de una serie de potencias ∑ n = 0 ∞ a n x n es 5 , entonces el radio de convergencia de la serie ∑ n = 1 ∞ n a n x n – 1 también es 5 . Verdadero Las series de potencias pueden utilizarse para demostrar que la derivada de e x es e x . ( Pista: Recordemos que e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n . ) Para valores pequeños de x , sen x ≈ x . Verdadero El radio de convergencia de la serie de Maclaurin de f ( x ) = 3 x es 3 . En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de las series dadas. ∑ n = 0 ∞ n 2 ( x – 1 ) n Radio de convergencia (Radius of Convergence, ROC): 1 ; IOC: ( 0 , 2 ) grandes. ∑ n = 0 ∞ x n n n ∑ n = 0 ∞ 3 n x n 12 n ROC: 12 ; IOC: ( −16 , 8 ) grandes. ∑ n = 0 ∞ 2 n e n ( x − e ) n En los siguientes ejercicios, halle la representación en serie de potencias para la función dada. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de esa serie. f ( x ) = x 2 x + 3 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 3 n + 1 x n ; ROC: 3 ; IOC: ( −3 , 3 ) grandes. f ( x ) = 8 x + 2 2 x 2 − 3 x + 1 En los siguientes ejercicios, calcule la serie de potencias de la función dada utilizando la diferenciación término a término o la integración. f ( x ) = tan –1 ( 2 x ) integración: ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 n + 1 ( 2 x ) 2 n + 1 f ( x ) = x ( 2 + x 2 ) 2 En los siguientes ejercicios, evalúe la expansión en serie de Taylor de orden cuatro para la función dada en el punto especificado. ¿Cuál es el error de la aproximación? f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 4 , a = −3 p 4 ( x ) = ( x + 3 ) 3 − 11 ( x + 3 ) 2 + 39 ( x + 3 ) − 41 ; exacta f ( x ) = e 1 / ( 4 x ) , a = 4 En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada. f ( x ) = cos ( 3 x ) grandes. ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 3 x ) 2 n 2 n ! f ( x ) = ln ( x + 1 ) En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Taylor en el valor dado. f ( x ) = sen x , a = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 2 n ) ! ( x − π 2 ) 2 n f ( x ) = 3 x , a = 1 En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para la función dada. f ( x ) = e – x 2 – 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! x 2 n f ( x ) = cos x – x sen x En los siguientes ejercicios, calcule la serie de Maclaurin para F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t integrando la serie de Maclaurin de f ( x ) término por término. f ( x ) = sen x x F ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 f ( x ) = 1 − e x Utilice las series de potencias para demostrar la fórmula de Euler : e i x = cos x + i sen x Las respuestas pueden variar. En los siguientes ejercicios se consideran los problemas de los pagos de las anualidades . Para las anualidades con un valor actual de $ 1 millón de dólares, calcule los pagos anuales que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 % , 5 % , y 10 % . Un ganador de la lotería tiene una renta vitalicia con un valor actual de $ 10 millones. ¿Qué tipo de interés necesitarían para vivir con pagos anuales perpetuos de $ 250.000 ? 2,5 % Calcule el valor actual necesario de una renta vitalicia para respaldar pagos anuales de $ 15.000 que se entregan durante 25 años asumiendo tasas de interés de 1 % , 5 % , y 10 % . serie binomial la serie de Maclaurin para f ( x ) = ( 1 + x ) r ; está dada por ( 1 + x ) r = ∑ n = 0 ∞ ( r n ) x n = 1 + r x + r ( r − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + r ( r − 1 ) ⋯ ( r − n + 1 ) n ! x n + ⋯ para | x | < 1 integral no elemental integral para la que la antiderivada del integrando no puede expresarse como una función elemental", "section": "Trabajar con la serie de Taylor", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Introducción El Nautilus pompilius es un animal marino que vive en el océano Pacífico tropical. Los científicos creen que han existido en su mayor parte sin cambios durante unos 500 millones de años (créditos: modificación del trabajo de Jitze Couperus, Flickr). El Nautilus pompilius es una criatura fascinante. Este animal se alimenta de cangrejos ermitaños, peces y otros crustáceos. Tiene un caparazón duro con muchas cámaras conectadas en forma de espiral y puede retraerse en su caparazón para evitar a los depredadores. Cuando se corta una parte de la concha, queda al descubierto una espiral perfecta, con cámaras en su interior que se asemejan a los anillos de crecimiento de un árbol. La función matemática que describe una espiral puede expresarse utilizando coordenadas rectangulares (o cartesianas). Sin embargo, si cambiamos nuestro sistema de coordenadas a algo que funcione un poco mejor con los patrones circulares, la función se vuelve mucho más sencilla de describir. El sistema de coordenadas polares es muy adecuado para describir este tipo de curvas. ¿Cómo podemos utilizar este sistema de coordenadas para describir espirales y otras figuras radiales? (Vea el ). En este capítulo también estudiamos las ecuaciones paramétricas, que nos dan una forma conveniente de describir curvas, o de estudiar la posición de una partícula u objeto en dos dimensiones en función del tiempo. Utilizaremos ecuaciones paramétricas y coordenadas polares para describir muchos temas más adelante en este texto.", "section": "Introducción", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Ecuaciones paramétricas En esta sección examinamos las ecuaciones paramétricas y sus gráficos. En el sistema de coordenadas bidimensional, las ecuaciones paramétricas son útiles para describir curvas que no son necesariamente funciones. El parámetro es una variable independiente de la que dependen tanto x como y , y a medida que el parámetro aumenta, los valores de x y y trazan una trayectoria a lo largo de una curva plana. Por ejemplo, si el parámetro es t (una elección común), entonces t podría representar el tiempo. Entonces x y y se definen como funciones del tiempo, y ( x ( t ) , y ( t ) ) puede describir la posición en el plano de un objeto determinado mientras se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Ecuaciones paramétricas y sus gráficos Consideremos la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Nuestro año dura aproximadamente 365,25 días, pero para esta discusión utilizaremos 365 días. El 1 de enero de cada año, la ubicación física de la Tierra con respecto al Sol es prácticamente la misma, excepto en los años bisiestos, en los que el desfase introducido por el 1 4 día de tiempo orbital se incorpora en el calendario. Llamamos al 1 de enero \"día 1\" del año. Entonces, por ejemplo, el día 31 es el 31 de enero, el día 59 es el 28 de febrero, y así sucesivamente. El número del día en un año puede considerarse una variable que determina la posición de la Tierra en su órbita. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su ubicación física cambia con respecto a este. Después de un año completo, volvemos al punto de partida y comienza un nuevo año. Según las leyes del movimiento planetario de Kepler, la forma de la órbita es elíptica, con el Sol en un foco de la elipse. Estudiamos esta idea con más detalle en Secciones cónicas . La órbita de la Tierra alrededor del Sol en un año. La representa la órbita de la Tierra alrededor del Sol durante un año. El punto marcado como F 2 es uno de los focos de la elipse; el otro foco lo ocupa el Sol. Si superponemos los ejes de coordenadas sobre este gráfico, podemos asignar pares ordenados a cada punto de la elipse ( ). Entonces cada valor de x en el gráfico es un valor de posición en función del tiempo, y cada valor de y es también un valor de posición en función del tiempo. Por lo tanto, cada punto del gráfico corresponde a un valor de la posición de la Tierra en función del tiempo. Ejes de coordenadas superpuestos a la órbita de la Tierra. Podemos determinar las funciones para x ( t ) y de y ( t ) , parametrizando así la órbita de la Tierra alrededor del Sol. La variable t se denomina parámetro independiente y, en este contexto, representa el tiempo relativo al comienzo de cada año. Una curva en el plano ( x , y ) se puede representar con ecuaciones paramétricas. Las ecuaciones que se utilizan para definir la curva se denominan ecuaciones paramétricas . Definición Si x y y son funciones continuas de t en un intervalo I , entonces las ecuaciones x = x ( t ) y y = y ( t ) se llaman ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro . El conjunto de puntos ( x , y ) que se obtienen al variar t sobre el intervalo I se denomina gráfico de las ecuaciones paramétricas. El gráfico de las ecuaciones paramétricas se llama curva paramétrica o curva plana , y se indica como C . Observe en esta definición que x y y se utilizan de dos maneras. La primera es como funciones de la variable independiente t. Cuando se varía t en el intervalo I , las funciones x ( t ) y de y ( t ) generan un conjunto de pares ordenados ( x , y ) . Este conjunto de pares ordenados genera el gráfico de las ecuaciones paramétricas. En este segundo uso, para designar los pares ordenados, x y y son variables. Es importante distinguir las variables x y y de las funciones x ( t ) y de y ( t ) . Graficar una curva definida con ecuaciones paramétricas Dibuje las curvas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas: x ( t ) = t − 1 , y ( t ) = 2 t + 4 , −3 ≤ t ≤ 2 x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t + 1 , –2 ≤ t ≤ 3 x ( t ) = 4 cos t , y ( t ) = 4 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π Para crear un gráfico de esta curva, primero hay que crear una tabla de valores. Dado que la variable independiente en ambos x ( t ) y de y ( t ) es t , supongamos que t aparece en la primera columna. Entonces x ( t ) y de y ( t ) aparecerá en la segunda y tercera columna de la tabla t x ( t ) grandes. y ( t ) −3 −4 −2 −2 −3 0 −1 −2 2 0 −1 4 1 0 6 2 1 8 La segunda y la tercera columna de esta tabla proporcionan un conjunto de puntos que hay que graficar. El gráfico de estos puntos aparece en la . Las flechas del gráfico indican la orientación del mismo, es decir, la dirección en que se mueve un punto en el gráfico cuando t varía de -3 a 2 Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a. Para crear un gráfico de esta curva, vuelva a establecer una tabla de valores t x ( t ) grandes. y ( t ) −2 1 −3 −1 −2 −1 0 −3 1 1 −2 3 2 1 5 3 6 7 La segunda y la tercera columna de esta tabla dan un conjunto de puntos para graficar ( ). El primer punto del gráfico (correspondiente a t = −2 ) tiene coordenadas ( 1 , −3 ) , y el último punto (correspondiente a t = 3 ) tiene coordenadas ( 6 , 7 ) . A medida que t avanza de -2 a 3, el punto de la curva recorre una parábola. La dirección en la que se mueve el punto se llama de nuevo orientación y se indica en el gráfico. Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b. En este caso, utilice múltiplos de π / 6 para t y crear otra tabla de valores t x ( t ) grandes. y ( t ) t x ( t ) grandes. y ( t ) 0 4 0 7 π 6 −2 3 ≈ −3,5 2 π 6 2 3 ≈ 3,5 2 4 π 3 −2 −2 3 ≈ −3,5 π 3 2 2 3 ≈ 3,5 3 π 2 0 −4 π 2 0 4 5 π 3 2 −2 3 ≈ −3,5 2 π 3 −2 2 3 ≈ 3,5 11 π 6 2 3 ≈ 3,5 2 5 π 6 −2 3 ≈ −3,5 2 2 π 4 0 π −4 0 El gráfico de esta curva plana aparece en el siguiente gráfico. Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte c. Este es el gráfico de un círculo de radio 4 centrado en el origen, con una orientación contraria a las agujas del reloj. Los puntos inicial y final de la curva tienen coordenadas ( 4 , 0 ) . Dibuje la curva descrita por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = 3 t + 2 , y ( t ) = t 2 – 1 , −3 ≤ t ≤ 2 . Pista Haga una tabla de valores para x ( t ) y de y ( t ) utilizando los valores t de -3 a 2. Eliminar el parámetro Para entender mejor el gráfico de una curva representada con ecuaciones paramétricas es útil reescribir las dos ecuaciones como una única ecuación que relaciona las variables x y y. Entonces podemos aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que describen la curva plana en el b. son x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t + 1 , –2 ≤ t ≤ 3 . Resolviendo la segunda ecuación para t se obtiene t = y − 1 2 . Esto se puede sustituir en la primera ecuación: x = ( y − 1 2 ) 2 − 3 = y 2 − 2 y + 1 4 − 3 = y 2 − 2 y − 11 4 . Esta ecuación describe a x como una función de y. Estos pasos son un ejemplo de la eliminación del parámetro . El gráfico de esta función es una parábola que se abre hacia la derecha. Recordemos que la curva del plano comenzó en ( 1 , −3 ) y terminó en ( 6 , 7 ) . Estas terminaciones se deben a la restricción del parámetro t. Eliminar el parámetro Elimine el parámetro de cada una de las curvas planas descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante. x ( t ) = 2 t + 4 , y ( t ) = 2 t + 1 , –2 ≤ t ≤ 6 x ( t ) = 4 cos t , y ( t ) = 3 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π Para eliminar el parámetro, podemos resolver cualquiera de las ecuaciones para t. Por ejemplo, resolviendo la primera ecuación para t se obtiene x = 2 t + 4 x 2 = 2 t + 4 x 2 − 4 = 2 t t = x 2 − 4 2 . Observe que cuando elevamos al cuadrado ambos lados es importante señalar que x ≥ 0 . Sustituyendo t = x 2 − 4 2 en y ( t ) se obtiene y ( t ) = 2 t + 1 y = 2 ( x 2 − 4 2 ) + 1 y = x 2 − 4 + 1 y = x 2 − 3, Esta es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Sin embargo, existe una restricción de dominio debido a los límites del parámetro t . Cuando t = –2 , x = 2 ( −2 ) + 4 = 0 , y cuando t = 6 , x = 2 ( 6 ) + 4 = 4 . El gráfico de esta curva plana es el siguiente Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a. A veces es necesario ser un poco creativo para eliminar el parámetro. Las ecuaciones paramétricas de este ejemplo son x ( t ) = 4 cos t y y ( t ) = 3 sen t . Resolver directamente cualquiera de las dos ecuaciones para t no es aconsejable porque el seno y el coseno no son funciones uno a uno. Sin embargo, dividiendo la primera ecuación entre 4 y la segunda entre 3 (y suprimiendo la t ) nos da cos t = x 4 y sen t = y 3 . Ahora use la identidad pitagórica cos 2 t + sen 2 t = 1 y sustituya las expresiones para sen t y cos t con las expresiones equivalentes en términos de x ye y . Esto da ( x 4 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1 x 2 16 + y 2 9 = 1 Esta es la ecuación de una elipse horizontal centrada en el origen, con semieje mayor 4 y semieje menor 3 como se muestra en el siguiente gráfico Gráfico de la curva plana descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b. A medida que t avanza de 0 a 2 π , un punto de la curva atraviesa la elipse una vez, en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol también es elíptica. Este es un ejemplo perfecto de la utilización de curvas paramétricas para modelar un fenómeno del mundo real. Elimine el parámetro de la curva plana definida por las siguientes ecuaciones paramétricas y describa el gráfico resultante. x ( t ) = 2 + 3 t , y ( t ) = t − 1 , 2 ≤ t ≤ 6 x = 2 + 3 y + 1 , o y = −1 + 3 x − 2 . Esta ecuación describe una parte de una hipérbola rectangular centrada en ( 2 , –1 ) . Pista Resuelva una de las ecuaciones para t y sustitúyala en la otra ecuación. Hasta ahora hemos visto el método de eliminación del parámetro, suponiendo que conocemos un conjunto de ecuaciones paramétricas que describen una curva plana. ¿Y si queremos empezar con la ecuación de una curva y determinar un par de ecuaciones paramétricas para esa curva? Esto es ciertamente posible, y de hecho es posible hacerlo de muchas maneras diferentes para una curva determinada. El proceso se conoce como parametrización de una curva . Parametrizar una curva Halle dos pares de ecuaciones paramétricas diferentes para representar el gráfico de y = 2 x 2 − 3 . En primer lugar, siempre es posible parametrizar una curva definiendo x ( t ) = t , luego sustituyendo x por t en la ecuación para y ( t ) . Esto nos da la parametrización x ( t ) = t , y ( t ) = 2 t 2 − 3 . Dado que no hay restricción en el dominio en el gráfico original, no hay restricción en los valores de t. Tenemos total libertad en la elección de la segunda parametrización. Por ejemplo, podemos elegir x ( t ) = 3 t − 2 . Lo único que tenemos que comprobar es que no hay restricciones impuestas a x ; es decir, el rango de x ( t ) son todos números reales. Este es el caso de x ( t ) = 3 t − 2 . Ahora, dado que y = 2 x 2 − 3 , podemos sustituir x ( t ) = 3 t − 2 para x. Esto da y ( t ) = 2 ( 3 t − 2 ) 2 − 3 = 2 ( 9 t 2 − 12 t + 4 ) − 3 = 18 t 2 − 24 t + 8 − 3 = 18 t 2 − 24 t + 5. Por lo tanto, una segunda parametrización de la curva puede escribirse como x ( t ) = 3 t − 2 y y ( t ) = 18 t 2 − 24 t + 5 . Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para representar el gráfico de y = x 2 + 2 x . Una posibilidad es x ( t ) = t , y ( t ) = t 2 + 2 t . Otra posibilidad es x ( t ) = 2 t − 3 , y ( t ) = ( 2 t − 3 ) 2 + 2 ( 2 t − 3 ) = 4 t 2 − 8 t + 3 . De hecho, hay un número infinito de posibilidades. Pista Siga los pasos en . Recuerde que tenemos libertad para elegir la parametrización de x ( t ) . Cicloides y otras curvas paramétricas Imagine que va a dar un paseo en bicicleta por el campo. Los neumáticos permanecen en contacto con la carretera y giran siguiendo un patrón predecible. Ahora supongamos que una hormiga muy decidida está cansada después de un largo día y quiere llegar a casa. Así que se aferra al lado del neumático y consigue un viaje gratis. El camino que recorre esta hormiga por una carretera recta se llama cicloide ( ). Una cicloide generada por un círculo (o rueda de bicicleta) de radio a viene dada por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = a ( t − sen t ) , y ( t ) = a ( 1 − cos t ) . Para ver por qué esto es cierto, considere la trayectoria que sigue el centro de la rueda. El centro se mueve a lo largo del eje x a una altura constante igual al radio de la rueda. Si el radio es a , entonces las coordenadas del centro pueden ser dadas por las ecuaciones x ( t ) = a t , y ( t ) = a para cualquier valor de t . A continuación, consideremos la hormiga, que gira alrededor del centro siguiendo una trayectoria circular. Si la bicicleta se mueve de izquierda a derecha, las ruedas giran en el sentido de las agujas del reloj. Una posible parametrización del movimiento circular de la hormiga (respecto al centro de la rueda) está dada por x ( t ) = − a sen t , y ( t ) = − a cos t . (El signo negativo es necesario para invertir la orientación de la curva. Si no existiera el signo negativo, tendríamos que imaginar que la rueda gira en sentido contrario a las agujas del reloj). Sumando estas ecuaciones se obtienen las ecuaciones de la cicloide. x ( t ) = a ( t − sen t ) , y ( t ) = a ( 1 − cos t ) . Una rueda que se desplaza por una carretera sin resbalar; la punta del borde de la rueda traza una cicloide. Supongamos ahora que la rueda de la bicicleta no se desplaza por una carretera recta, sino que se mueve por el interior de una rueda mayor, como en la . En este gráfico, el círculo verde se desplaza alrededor del círculo azul en sentido contrario a las agujas del reloj. Un punto en el borde del círculo verde traza el gráfico rojo, que se llama hipocicloide . Gráfico de la hipocicloide descrita por las ecuaciones paramétricas indicadas. Las ecuaciones paramétricas generales de una hipocicloide son x ( t ) = ( a − b ) cos t + b cos ( a − b b ) t y ( t ) = ( a − b ) sen t − b sen ( a − b b ) t . Estas ecuaciones son un poco más complicadas, pero la derivación es algo similar a las ecuaciones de la cicloide. En este caso suponemos que el radio del círculo mayor es a y el del menor es b. Entonces el centro de la rueda se desplaza a lo largo de un círculo de radio a − b . Este hecho explica el primer término de cada ecuación anterior. El periodo de la segunda función trigonométrica en ambas x ( t ) y de y ( t ) es igual a 2 π b a − b . El cociente a b está relacionado con el número de cúspides del gráfico (las cúspides son las esquinas o extremos puntiagudos del gráfico), como se ilustra en la . Esta razón puede dar lugar a algunos gráficos muy interesantes, dependiendo de si la relación es racional o no. La corresponde a a = 4 y b = 1 . El resultado es una hipocicloide con cuatro cúspides. La muestra otras posibilidades. Las dos últimas hipocicloides tienen valores irracionales para a b . En estos casos las hipocicloides tienen un número infinito de cúspides, por lo que nunca vuelven a su punto de partida. Estos son ejemplos de lo que se conoce como curvas de relleno de espacio . Gráfico de varias hipocicloides correspondientes a diferentes valores de a / b . La bruja de Agnesi Muchas curvas planas de las matemáticas llevan el nombre de las personas que las investigaron por primera vez, como el folium de Descartes (hoja de Descartes) o la espiral de Arquímedes. Sin embargo, quizá el nombre más extraño para una curva sea el de la bruja de Agnesi . ¿Por qué una bruja? María Gaetana Agnesi (1718-1799) fue una de las pocas mujeres matemáticas reconocidas de la Italia del siglo XVIII. Escribió un popular libro sobre geometría analítica, publicado en 1748, que incluía una interesante curva que había sido estudiada por Fermat en 1630. El matemático Guido Grandi demostró en 1703 cómo construir esta curva, a la que más tarde llamó \"versoria\", término latino que designa una cuerda utilizada en la navegación. Agnesi utilizó el término italiano para esta cuerda, \"versiera\", pero en latín, esta misma palabra significa \"duende femenino\" Cuando el libro de Agnesi se tradujo al inglés en 1801, el traductor utilizó el término \"bruja\" para la curva, en vez de cuerda. El nombre de \"bruja de Agnesi\" se ha mantenido desde entonces. La bruja de Agnesi es una curva definida de la siguiente forma: Comience con un círculo de radio a para que los puntos ( 0 , 0 ) y ( 0 , 2 a ) sean puntos en el círculo ( ). Supongamos que O es el origen. Elija cualquier otro punto A del círculo y dibuje la línea secante OA . Supongamos que B es el punto de intersección de la línea OA con la línea horizontal que pasa por ( 0 , 2 a ) . La línea vertical que pasa por B interseca la línea horizontal que pasa por A en el punto P . Al variar el punto A , el camino que recorre el punto P es el de la curva de Agnesi para el círculo dado. Las curvas de la bruja de Agnesi tienen aplicaciones en física, incluido el modelado de las ondas de agua y las distribuciones de las líneas espectrales. En teoría de la probabilidad, la curva describe la función de densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy. En este proyecto usted parametrizará estas curvas. A medida que el punto A se mueve alrededor del círculo, el punto P traza curva de la bruja de Agnesi para el círculo dado. En la figura, marque los siguientes puntos, longitudes y ángulos: C es el punto del eje x con la misma coordenada x que A . x es la coordenada x de P y y es la coordenada y de P . E es el punto ( 0 , a ) . F es el punto del segmento de línea OA tal que el segmento de línea EF es perpendicular al segmento de línea OA . b es la distancia de O a F . c es la distancia de F a A . d es la distancia de O a B . θ es la medida del ángulo ∠ C O A . El objetivo de este proyecto es parametrizar la bruja utilizando θ como parámetro. Para ello, escriba las ecuaciones de x y y en términos de solo θ . Demuestre que d = 2 a sen θ . Tenga en cuenta que x = d cos θ . Demuestre que x = 2 a cot θ . Al hacer esto, habrá parametrizado la coordenada x de la curva con respecto a θ . Si puede obtener una ecuación similar para y , habrá parametrizado la curva. En términos de θ , cuál es el ángulo ∠ E O A ? Demuestre que b + c = 2 a cos ( π 2 − θ ) . Demuestre que y = 2 a cos ( π 2 − θ ) sen θ . Demuestre que y = 2 a sen 2 θ . Ahora ha parametrizado la coordenada y de la curva con respecto a θ . Concluya que una parametrización de la curva de bruja dada es x = 2 a cot θ , y = 2 a sen 2 θ , − ∞ < θ < ∞ . Utilice su parametrización para demostrar que la curva de bruja dada es el gráfico de la función f ( x ) = 8 a 3 x 2 + 4 a 2 . Viajes con mi hormiga: Las cicloides acortadas y alargadas. Anteriormente en esta sección, vimos las ecuaciones paramétricas para una cicloide, que es la trayectoria que un punto en el borde de una rueda traza cuando rueda a lo largo de una trayectoria recta. En este proyecto estudiamos dos variantes diferentes de la cicloide, denominadas cicloide acortada y cicloide alargada. En primer lugar, revisemos la derivación de las ecuaciones paramétricas de una cicloide. Recordemos que consideramos a una hormiga tenaz que intentaba llegar a casa colgándose del borde de una rueda de bicicleta. Hemos supuesto que la hormiga se subió al neumático en el mismo borde, donde el neumático toca el suelo. Cuando la rueda gira, la hormiga se mueve con el borde del neumático ( ). Como hemos comentado, tenemos mucha flexibilidad a la hora de parametrizar una curva. En este caso dejamos que nuestro parámetro t represente el ángulo que ha girado el neumático. Al observar la , vemos que después de que el neumático haya girado un ángulo t , la posición del centro de la rueda, C = ( x C , y C ) , está dada por x C = a t y y C = a . Además, supongamos que A = ( x A , y A ) denota la posición de la hormiga, observamos que x C − x A = a sen t y y C − y A = a cos t . Entonces x A = x C − a sen t = a t − a sen t = a ( t − sen t ) y A = y C − a cos t = a − a cos t = a ( 1 − cos t ) . (a) La hormiga se aferra al borde del neumático de la bicicleta mientras esta rueda por el suelo. (b) Se utiliza la geometría para determinar la posición de la hormiga después de que el neumático haya girado un ángulo t . Observe que son las mismas representaciones paramétricas que teníamos antes, pero ahora hemos asignado un significado físico a la variable paramétrica t . Al cabo de un rato la hormiga se marea de dar vueltas y más vueltas sobre el borde del neumático. Así que sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. Al subir hacia el centro de la rueda, la hormiga ha cambiado su trayectoria de movimiento. La nueva trayectoria tiene menos movimiento ascendente y descendente y se denomina cicloide acortada ( ). Como se muestra en la figura, suponemos que b denota la distancia a lo largo del radio desde el centro de la rueda hasta la hormiga. Como antes, suponemos que t representa el ángulo que ha girado el neumático. Asimismo, suponemos que C = ( x C , y C ) representa la posición del centro de la rueda y A = ( x A , y A ) representa la posición de la hormiga. (a) La hormiga sube por uno de los radios hacia el centro de la rueda. (b) La trayectoria del movimiento de la hormiga después de acercarse al centro de la rueda. Esto se conoce como cicloide acortada. (c) La nueva disposición, ahora que la hormiga se ha acercado al centro de la rueda. ¿Cuál es la posición del centro de la rueda después de que el neumático haya girado un ángulo t ? Utilice la geometría para hallar expresiones para x C − x A y para y C − y A . A partir de sus respuestas de las partes 1 y 2, ¿cuáles son las ecuaciones paramétricas que representan la cicloide acortada? Una vez que la cabeza de la hormiga se aclara, se da cuenta de que el ciclista ha hecho un giro y ahora está viajando lejos de su casa. Así que deja la rueda de la bicicleta y mira a su alrededor. Afortunadamente, hay un conjunto de vías de tren cerca, que se dirigen de nuevo en la dirección correcta. Así que la hormiga se dirige a las vías del tren para esperar. Al cabo de un rato, pasa un tren que va en la dirección correcta, y la hormiga consigue saltar y alcanzar el borde de la rueda del tren (¡sin aplastarse!). La hormiga sigue preocupada por si se marea, pero la rueda del tren es resbaladiza y no tiene radios por los cuales subir, así que decide agarrarse al borde de la rueda y esperar lo mejor. Ahora, las ruedas de los trenes tienen un reborde para mantener la rueda en las vías. Por lo tanto, en este caso, como la hormiga está colgada del mismo extremo del reborde, la distancia del centro de la rueda a la hormiga es realmente mayor que el radio de la rueda ( ). El planteamiento aquí es esencialmente el mismo que cuando la hormiga subió por el radio de la rueda de la bicicleta. Suponemos que b denota la distancia desde el centro de la rueda a la hormiga, y que t representa el ángulo que ha girado el neumático. Asimismo, suponemos que C = ( x C , y C ) representa la posición del centro de la rueda y A = ( x A , y A ) representa la posición de la hormiga ( ). Cuando la distancia del centro de la rueda a la hormiga es mayor que el radio de la rueda, su trayectoria de movimiento se llama cicloide alargada . En la figura se muestra el gráfico de una cicloide alargada (a) La hormiga se cuelga del reborde de la rueda del tren. (b) El nuevo planteamiento, ahora que la hormiga ha saltado a la rueda del tren. (c) La hormiga se desplaza por una cicloide alargada. Usando el mismo enfoque que usó en las partes 1 a 3, halle las ecuaciones paramétricas para la trayectoria del movimiento de la hormiga. ¿Qué observa en su respuesta a la parte 3 y en su respuesta a la parte 4? Fíjese en que la hormiga en realidad está viajando hacia atrás en algunos momentos (los \"bucles\" del gráfico), aunque el tren siga avanzando. Probablemente estará muy mareada cuando llegue a casa Conceptos clave Las ecuaciones paramétricas ofrecen una forma conveniente de describir una curva. Un parámetro puede representar el tiempo o alguna otra cantidad significativa. A menudo es posible eliminar el parámetro en una curva parametrizada para obtener una función o relación que describa esa curva. Siempre hay más de una forma de parametrizar una curva. Las ecuaciones paramétricas pueden describir curvas complicadas que son difíciles o quizás imposibles de describir utilizando coordenadas rectangulares. En los siguientes ejercicios, dibuje las siguientes curvas eliminando el parámetro t . Indique la orientación de la curva. x = t 2 + 2 t , y = t + 1 orientación: de abajo a arriba x = cos ( t ) , y = sen ( t ) , ( 0 , 2 π ] x = 2 t + 4 , y = t − 1 orientación: de izquierda a derecha x = 3 − t , y = 2 t − 3 , 1,5 ≤ t ≤ 3 En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro y dibuje los gráficos. x = 2 t 2 , y = t 4 + 1 y = x 2 4 + 1 En los siguientes ejercicios, utilice un dispositivo tecnológico (CAS o calculadora) para graficar las ecuaciones paramétricas. [T] x = t 2 + t , y = t 2 – 1 [T] x = e − t , y = e 2 t − 1 [T] x = 3 cos t , y = 4 sen t [T] x = sec t , y = cos t En los siguientes ejercicios, dibuje las ecuaciones paramétricas eliminando el parámetro. Indique las asíntotas del gráfico. x = e t , y = e 2 t + 1 x = 6 sen ( 2 θ ) , y = 4 cos ( 2 θ ) x = cos θ , y = 2 sen ( 2 θ ) grandes. x = 3 − 2 cos θ , y = −5 + 3 sen θ x = 4 + 2 cos θ , y = −1 + sen θ x = sec t , y = tan t Las asíntotas son y = x como y = − x x = ln ( 2 t ) , y = t 2 x = e t , y = e 2 t x = e −2 t , y = e 3 t x = t 3 , y = 3 ln t x = 4 sec θ , y = 3 tan θ En los siguientes ejercicios, convierta las ecuaciones paramétricas de una curva en forma rectangular. No es necesario ningún dibujo. Indique el dominio de la forma rectangular. x = t 2 – 1 , y = t 2 y = x + 1 2 ; dominio: x ∈ [ 1 , −∞ ) . x = 1 t + 1 , y = t 1 + t , t > −1 x = 4 cos θ , y = 3 sen θ , θ ∈ ( 0 , 2 π ] x 2 16 + y 2 9 = 1 ; dominio x ∈ [ −4 , 4 ] . x = cosh t , y = senoh t x = 2 t − 3 , y = 6 t − 7 y = 3 x + 2 ; dominio: todos los números reales. x = t 2 , y = t 3 x = 1 + cos t , y = 3 − sen t ( x – 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 1 ; dominio: x ∈ [ 0 , 2 ] . x = t , y = 2 t + 4 x = sec t , y = tan t , π ≤ t < 3 π 2 y = x 2 – 1 ; dominio: x ∈ ( −∞ , −1 ] . x = 2 cosh t , y = 4 senoh t x = cos ( 2 t ) , y = sen t y 2 = 1 − x 2 ; dominio: x ∈ [ 2 , ∞ ) ∪ ( − ∞ , −2 ] . x = 4 t + 3 , y = 16 t 2 − 9 x = t 2 , y = 2 ln t , t ≥ 1 y = ln x ; dominio: x ∈ [ 1 , ∞ ) . x = t 3 , y = 3 ln t , t ≥ 1 x = t n , y = n ln t , t ≥ 1 , donde n es un número natural y = ln x ; dominio: x ∈ ( 0 , ∞ ) . x = ln ( 5 t ) y = ln ( t 2 ) donde 1 ≤ t ≤ e x = 2 sen ( 8 t ) y = 2 cos ( 8 t ) grandes. x 2 + y 2 = 4 ; dominio: x ∈ [ −2 , 2 ] . x = tan t y = sec 2 t − 1 En los siguientes ejercicios, los pares de ecuaciones paramétricas representan rectas, parábolas, círculos, elipses o hipérbolas. Nombre el tipo de curva básica que representa cada par de ecuaciones. x = 3 t + 4 y = 5 t − 2 línea x − 4 = 5 t y + 2 = t x = 2 t + 1 y = t 2 − 3 parábola x = 3 cos t y = 3 sen t x = 2 cos ( 3 t ) y = 2 sen ( 3 t ) círculo x = cosh t y = senoh t x = 3 cos t y = 4 sen t elipse x = 2 cos ( 3 t ) y = 5 sen ( 3 t ) grandes. x = 3 cosh ( 4 t ) y = 4 senoh ( 4 t ) hipérbola x = 2 cosh t y = 2 senoh t Demuestre que x = h + r cos θ y = k + r sen θ representa la ecuación de un círculo. Utilice las ecuaciones del problema anterior para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una circunferencia cuyo radio es 5 y cuyo centro es ( –2 , 3 ) . En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la curva representada por las ecuaciones paramétricas e identifique la curva a partir de su ecuación. [T] x = θ + sen θ y = 1 − cos θ Las ecuaciones representan una cicloide. [T] x = 2 t − 2 sen t y = 2 − 2 cos t [T] x = t − 0,5 sen t y = 1 − 1,5 cos t Un avión que viaja horizontalmente a 100 m/s sobre un terreno plano a una altura de 4.000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete está dada por x = 100 t , y = −4,9 t 2 + 4.000 , t ≥ 0 donde el origen es el punto en el suelo directamente debajo del avión en el momento de la liberación. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo debe soltar el paquete para dar en el blanco? La trayectoria de una bala está dada por x = v 0 ( cos α ) t , y = v 0 ( sen α ) t − 1 2 g t 2 donde v 0 = 500 m/s, g = 9,8 = 9,8 m/s 2 , y α = 30 grados . ¿Cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué distancia de la pistola la bala llegará al suelo? 22.092 metros a aproximadamente 51 segundos. [T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar la curva representada por x = sen ( 4 t ) , y = sen ( 3 t ) , 0 ≤ t ≤ 2 π . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar x = 2 tan ( t ) , y = 3 sec ( t ) , − π < t < π . Dibuje la curva conocida como epitrocoide que da la trayectoria de un punto en un círculo de radio b cuando rueda por el exterior de un círculo de radio a . Las ecuaciones son x = ( a + b ) cos t − c . cos [ ( a + b ) t b ] y = ( a + b ) sen t − c . sen [ ( a + b ) t b ] . Supongamos que a = 1 , b = 2 , c = 1 . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para dibujar la curva en espiral dada por x = t cos ( t ) , y = t sen ( t ) de −2 π ≤ t ≤ 2 π . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar la curva dada por las ecuaciones paramétricas x = 2 cot ( t ) , y = 1 − cos ( 2 t ) , − π / 2 ≤ t ≤ π / 2 . Esta curva se conoce como la bruja de Agnesi. [T] Dibújela curva dada por las ecuaciones paramétricas x = cosh ( t ) y = senoh ( t ) , donde −2 ≤ t ≤ 2 . cicloide curva trazada por un punto del neumático de una rueda circular cuando esta rueda a lo largo de una línea recta sin deslizarse cúspide extremo o parte puntiaguda donde se juntan dos curvas orientación dirección en la que se mueve un punto en un gráfico cuando aumenta el parámetro parámetro una variable independiente de la que dependen tanto x como y en una curva paramétrica; normalmente representada por la variable t curva paramétrica gráfico de las ecuaciones paramétricas x ( t ) y de y ( t ) en un intervalo a ≤ t ≤ b combinado con las ecuaciones ecuaciones paramétricas las ecuaciones x = x ( t ) y de y = y ( t ) que definen una curva paramétrica parametrización de una curva reescribir la ecuación de una curva definida por una función y = f ( x ) como ecuaciones paramétricas", "section": "Ecuaciones paramétricas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Cálculo de curvas paramétricas Ahora que hemos introducido el concepto de curva parametrizada, nuestro siguiente paso es aprender a trabajar con este concepto en el contexto del cálculo. Por ejemplo, si conocemos una parametrización de una curva determinada, ¿es posible calcular la pendiente de una línea tangente a la curva? ¿Y la longitud de arco de la curva? ¿O el área bajo la curva? Otro escenario: supongamos que queremos representar la ubicación de una pelota de béisbol después de que la bola salga de la mano del lanzador. Si la posición de la pelota de béisbol está representada por la curva plana ( x ( t ) , y ( t ) ) , entonces deberíamos ser capaces de utilizar el cálculo para calcular la velocidad de la pelota en cualquier momento. Además, deberíamos ser capaces de calcular la distancia que ha recorrido esa pelota en función del tiempo. Derivadas de ecuaciones paramétricas Empezamos preguntando cómo calcular la pendiente de una línea tangente a una curva paramétrica en un punto. Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = 2 t + 3 , y ( t ) = 3 t − 4 , –2 ≤ t ≤ 3 . El gráfico de esta curva aparece en la . Es un segmento de línea que comienza en ( –1 , –10 ) y termina en ( 9 , 5 ) . Gráfico del segmento de línea descrito por las ecuaciones paramétricas dadas. Podemos eliminar el parámetro resolviendo primero la ecuación x ( t ) = 2 t + 3 para t : x ( t ) = 2 t + 3 x − 3 = 2 t t = x − 3 2 . Sustituyendo esto en y ( t ) , obtenemos y ( t ) = 3 t − 4 y = 3 ( x − 3 2 ) − 4 y = 3 x 2 − 9 2 − 4 y = 3 x 2 − 17 2 . La pendiente de esta línea está dada por d y d x = 3 2 . A continuación calculamos x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) . Esto da x ′ ( t ) = 2 y y ′ ( t ) = 3 . Observe que d y d x = d y / d t d x / d t = 3 2 . Esto no es casualidad, como se indica en el siguiente teorema. Derivada de ecuaciones paramétricas Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) y de y = y ( t ) . Supongamos que x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) existen, y supongamos que x ′ ( t ) ≠ 0 . Entonces la derivada d y d x está dada por d y d x = d y / d t d x / d t = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Prueba Este teorema se puede demostrar utilizando la regla de la cadena. En particular, supongamos que el parámetro t se puede eliminar, obteniendo una función diferenciable y = F ( x ) . Entonces y ( t ) = F ( x ( t ) ) . Diferenciando ambos lados de esta ecuación mediante la regla de la cadena produce y ′ ( t ) = F ′ ( x ( t ) ) x ′ ( t ) , así que F ′ ( x ( t ) ) = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Pero F ′ ( x ( t ) ) = d y d x , lo cual demuestra el teorema. □ La puede utilizarse para calcular las derivadas de las curvas planas, así como los puntos críticos. Recordemos que un punto crítico de una función diferenciable y = f ( x ) es cualquier punto x = x 0 de manera que f ′ ( x 0 ) = 0 o f ′ ( x 0 ) no existe. La da una fórmula para la pendiente de una línea tangente a una curva definida paramétricamente independientemente de que la curva pueda ser descrita por una función y = f ( x ) o no. Cálculo de la derivada de una curva paramétrica Calcule la derivada d y d x para cada una de las siguientes curvas planas definidas paramétricamente y ubique cualquier punto crítico en sus respectivos gráficos. x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 x ( t ) = 2 t + 1 , y ( t ) = t 3 − 3 t + 4 , –2 ≤ t ≤ 5 x ( t ) = 5 cos t , y ( t ) = 5 sen t , 0 ≤ t ≤ 2 π Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 t y ′ ( t ) = 2. A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 2 2 t d y d x = 1 t . Esta derivada es indefinida cuando t = 0 . Si calculamos x ( 0 ) y de y ( 0 ) da como resultado x ( 0 ) = ( 0 ) 2 − 3 = −3 y y ( 0 ) = 2 ( 0 ) − 1 = −1 , que corresponde al punto ( −3 , –1 ) en el gráfico. El gráfico de esta curva es una parábola que se abre hacia la derecha, y el punto ( −3 , –1 ) es su vértice como se muestra Gráfico de la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte a. Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 y ′ ( t ) = 3 t 2 − 3, A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 3 t 2 − 3 2 . Esta derivada es cero cuando t = ±1 . Cuando t = −1 tenemos x ( –1 ) = 2 ( –1 ) + 1 = −1 y y ( –1 ) = ( –1 ) 3 − 3 ( –1 ) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6 , que corresponde al punto ( –1 , 6 ) en el gráfico. Cuando t = 1 tenemos x ( 1 ) = 2 ( 1 ) + 1 = 3 y y ( 1 ) = ( 1 ) 3 − 3 ( 1 ) + 4 = 1 − 3 + 4 = 2 , que corresponde al punto ( 3 , 2 ) en el gráfico. El punto ( 3 , 2 ) es un mínimo relativo y el punto ( –1 , 6 ) es un máximo relativo, como se ve en el siguiente gráfico Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte b. Para aplicar la , primero hay que calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = −5 sen t y ′ ( t ) = 5 cos t . A continuación, sustituya esto en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 5 cos t −5 sen t d y d x = − cot t . Esta derivada es cero cuando cos t = 0 y es indefinida cuando sen t = 0 . Esto da t = 0 , π 2 , π , 3 π 2 , y 2 π como puntos críticos para t. Sustituyendo cada uno de ellos en x ( t ) y de y ( t ) , obtenemos t x ( t ) grandes. y ( t ) 0 5 0 π 2 0 5 π −5 0 3 π 2 0 −5 2 π 5 0 Estos puntos corresponden a los lados, la parte superior y la parte inferior del círculo representado por las ecuaciones paramétricas ( ). En los bordes izquierdo y derecho del círculo, la derivada es indefinida, y en la parte superior e inferior, la derivada es igual a cero. Gráfico de la curva descrita por las ecuaciones paramétricas de la parte c. Calcule la derivada d y / d x para la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 3 y ubique cualquier punto crítico en su gráfico. x ′ ( t ) = 2 t − 4 en tanto que y ′ ( t ) = 6 t 2 − 6 , así que d y d x = 6 t 2 − 6 2 t − 4 = 3 t 2 − 3 t − 2 . Esta expresión es indefinida cuando t = 2 e igual a cero cuando t = ±1 . Pista Calcule x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) y utilice la . Hallar una línea tangente Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 cuando t = 2 . En primer lugar, halle la pendiente de la línea tangente utilizando la , lo que significa calcular x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) : x ′ ( t ) = 2 t y ′ ( t ) = 2. A continuación, sustitúyalas en la ecuación: d y d x = d y / d t d x / d t d y d x = 2 2 t d y d x = 1 t . Cuando t = 2 , d y d x = 1 2 , así que esta es la pendiente de la línea tangente. Si calculamos x ( 2 ) y de y ( 2 ) da x ( 2 ) = ( 2 ) 2 − 3 = 1 y y ( 2 ) = 2 ( 2 ) − 1 = 3 , que corresponde al punto ( 1 , 3 ) en el gráfico ( ). Ahora utilice la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea para hallar la ecuación de la línea tangente: y – y 0 = m ( x – x 0 ) y − 3 = 1 2 ( x – 1 ) y − 3 = 1 2 x – 1 2 y = 1 2 x + 5 2 . Línea tangente a la parábola descrita por las ecuaciones paramétricas dadas cuando t = 2 . Halle la ecuación de la línea tangente a la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 10 cuando t = 5 . La ecuación de la línea tangente es y = 24 x + 100 . Pista Calcule x ′ ( t ) y de y ′ ( t ) y utilice la . Derivadas de segundo orden Nuestro siguiente objetivo es ver cómo tomar la segunda derivada de una función definida paramétricamente. La segunda derivada de una función y = f ( x ) se define como la derivada de la primera derivada; es decir, d 2 y d x 2 = d d x [ d y d x ] . Dado que d y d x = d y / d t d x / d t , podemos sustituir la y en ambos lados de esta ecuación por d y d x . Esto nos da d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t . Si conocemos d y / d x en función de t, entonces esta fórmula es fácil de aplicar. Calcular una segunda derivada Calcule la segunda derivada d 2 y / d x 2 para la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 − 3 , y ( t ) = 2 t − 1 , −3 ≤ t ≤ 4 . Del sabemos que d y d x = 2 2 t = 1 t . Utilizando la , obtenemos d 2 y d x 2 = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t = ( d / d t ) ( 1 / t ) 2 t = − t −2 2 t = − 1 2 t 3 . Calcule la segunda derivada d 2 y / d x 2 para la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 2 − 4 t , y ( t ) = 2 t 3 − 6 t , –2 ≤ t ≤ 3 y ubique cualquier punto crítico en su gráfico. d 2 y d x 2 = 3 t 2 − 12 t + 3 2 ( t − 2 ) 3 . Puntos críticos ( 5 , 4 ) , ( −3 , –4 ) , y ( −4 , 4 ) . Pista Empiece con la solución del punto de control anterior y utilice la . Integrales con ecuaciones paramétricas Ahora que hemos visto cómo calcular la derivada de una curva plana, la siguiente pregunta es la siguiente: ¿Cómo hallar el área bajo una curva definida paramétricamente? Recordemos la cicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = t − sen t , y ( t ) = 1 − cos t . Supongamos que queremos hallar el área de la región sombreada en el siguiente gráfico. Gráfico de una cicloide con el arco sobre [ 0 , 2 π ] resaltado. Para derivar una fórmula para el área bajo la curva definida por las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b , asumimos que x ( t ) es creciente en el intervalo t ∈ [ a , b ] y x ( t ) es diferenciable y comienza con una partición igual del intervalo a ≤ t ≤ b . Supongamos que t 0 = a < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = b y considere el siguiente gráfico. Aproximación del área bajo una curva definida paramétricamente. Utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo la curva. La altura del i −ésimo rectángulo es y ( t i − 1 ) , por lo que una aproximación del área es ∑ i = 1 n y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) = ∑ i = 1 n y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) → ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t como máx. { ( t i – t i – 1 ) } → 0 Esto se deduce de los resultados obtenidos en Cálculo 1 para la función y ( t i – 1 ) ( x ( t i ) – x ( t i – 1 ) ( t i – t i – 1 ) . Entonces una suma de Riemann para el área es A n = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) ) . Multiplicando y dividiendo cada área por t i – t i − 1 da A n = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) t i – t i − 1 ) ( t i – t i − 1 ) = ∑ i = 1 n y ( x ( t − i ) ) ( x ( t i ) − x ( t i − 1 ) Δ t ) Δ t . Si tomamos el límite a medida que n se acerca al infinito da A = lím n → ∞ A n = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t . Si los valores de x es una función decreciente para a ≤ t ≤ b , una derivación similar mostrará que el área viene dada por – ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t = ∫ a b y ( t ) x ' ( t ) d t Esto nos lleva al siguiente teorema. Área bajo una curva paramétrica Considere la curva plana que no se interseca definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b y asuma que x ( t ) es diferenciable. El área bajo esta curva está dada por A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t . Cálculo del área bajo una curva paramétrica Halle el área bajo la curva de la cicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = t − sen t , y ( t ) = 1 − cos t , 0 ≤ t ≤ 2 π . Utilizando la , tenemos A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − cos t ) ( 1 − cos t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos t + cos 2 t ) d t = ∫ 0 2 π ( 1 − 2 cos t + 1 + cos 2 t 2 ) d t = ∫ 0 2 π ( 3 2 − 2 cos t + cos 2 t 2 ) d t = 3 t 2 − 2 sen t + sen 2 t 4 | 0 2 π = 3 π . Halle el área bajo la curva de la hipocicloide definida por las ecuaciones x ( t ) = 3 cos t + cos 3 t , y ( t ) = 3 sen t − sen 3 t , 0 ≤ t ≤ π . A = 3 π (Observe que la fórmula de la integral da en realidad una respuesta negativa. Esto se debe a que x ( t ) es una función decreciente en el intervalo [ 0 , 2 π ] ; es decir, la curva se traza de derecha a izquierda). Pista Utilice la , junto con las identidades sen α sen β = 1 2 [ cos ( α − β ) − cos ( α + β ) ] y sen 2 t = 1 − cos 2 t 2 . Longitud de arco de una curva paramétrica Además de hallar el área bajo una curva paramétrica, a veces necesitamos hallar la longitud de arco de una curva paramétrica. En el caso de un segmento de línea, la longitud de arco es igual a la distancia entre los puntos extremos. Si una partícula viaja del punto A al punto B a lo largo de una curva, la distancia que recorre esa partícula es la longitud del arco. Para desarrollar una fórmula para la longitud de arco, comenzamos con una aproximación por segmentos de línea como se muestra en el siguiente gráfico. Aproximación de una curva mediante segmentos de línea. Dada una curva plana definida por las funciones x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b , empezamos por dividir el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales: t 0 = a < t 1 < t 2 < ⋯ < t n = b . El ancho de cada subintervalo está dado por Δ t = ( b – a ) / n . Podemos calcular la longitud de cada segmento de línea: d 1 = ( x ( t 1 ) − x ( t 0 ) ) 2 + ( y ( t 1 ) − y ( t 0 ) ) 2 d 2 = ( x ( t 2 ) − x ( t 1 ) ) 2 + ( y ( t 2 ) − y ( t 1 ) ) 2 etc . A continuación, súmelos. Suponemos que s denota la longitud de arco exacta y s n denota la aproximación mediante n segmentos de línea: s ≈ ∑ k = 1 n s k = ∑ k = 1 n ( x ( t k ) − x ( t k − 1 ) ) 2 + ( y ( t k ) − y ( t k − 1 ) ) 2 . Si asumimos que x ( t ) y de y ( t ) son funciones diferenciables de t, entonces se aplica el teorema de valor medio ( Introducción a las aplicaciones de las derivadas ), por lo que en cada subintervalo [ t k − 1 , t k ] existen t ^ k y t ˜ k tal que x ( t k ) − x ( t k − 1 ) = x ′ ( t ^ k ) ( t k − t k − 1 ) = x ′ ( t ^ k ) Δ t y ( t k ) − y ( t k − 1 ) = y ′ ( t ˜ k ) ( t k − t k − 1 ) = y ′ ( t ˜ k ) Δ t . Por lo tanto, la se convierte en s ≈ ∑ k = 1 n s k = ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) Δ t ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) Δ t ) 2 = ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 ( Δ t ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ( Δ t ) 2 = ( ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ) Δ t . Se trata de una suma de Riemann que aproxima la longitud de arco sobre una partición del intervalo [ a , b ] . Si además asumimos que las derivadas son continuas y suponemos que el número de puntos de la partición aumenta sin límite, la aproximación se acerca a la longitud de arco exacta. Esto da s = lím n → ∞ ∑ k = 1 n s k = lím n → ∞ ( ∑ k = 1 n ( x ′ ( t ^ k ) ) 2 + ( y ′ ( t ˜ k ) ) 2 ) Δ t = ∫ a b ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Cuando se toma el límite, los valores de t ^ k y t ˜ k están contenidos en el mismo intervalo de ancho cada vez menor Δ t , por lo que deben converger al mismo valor. Podemos resumir este método en el siguiente teorema. Longitud de arco de una curva paramétrica Considere la curva plana definida por las ecuaciones paramétricas x = x ( t ) , y = y ( t ) , t 1 ≤ t ≤ t 2 y asuma que x ( t ) y de y ( t ) son funciones diferenciables de t. Entonces la longitud de arco de esta curva está dada por s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . En este punto, una derivación lateral nos lleva a una fórmula previa para la longitud de arco. En particular, supongamos que se puede eliminar el parámetro, lo que resulta en una función y = F ( x ) . Entonces y ( t ) = F ( x ( t ) ) y la regla de la cadena da y ′ ( t ) = F ′ ( x ( t ) ) x ′ ( t ) . Sustituyendo esto en la se obtiene s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( F ′ ( x ) d x d t ) 2 d t = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 ( 1 + ( F ′ ( x ) ) 2 ) d t = ∫ t 1 t 2 x ′ ( t ) 1 + ( d y d x ) 2 d t . Aquí hemos asumido que x ′ ( t ) > 0 , lo cual es una suposición razonable. La regla de la cadena da d x = x ′ ( t ) d t , y suponiendo que a = x ( t 1 ) y b = x ( t 2 ) obtenemos la fórmula s = ∫ a b 1 + ( d y d x ) 2 d x , que es la fórmula de la longitud de arco obtenida en la Introducción a las aplicaciones de la integración . Hallar la longitud de arco de una curva paramétrica Halle la longitud de arco del semicírculo definido por las ecuaciones x ( t ) = 3 cos t , y ( t ) = 3 sen t , 0 ≤ t ≤ π . Los valores t = 0 a t = π trazan la curva roja en la . Para determinar su longitud, utilice la : s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ 0 π ( −3 sen t ) 2 + ( 3 cos t ) 2 d t = ∫ 0 π 9 sen 2 t + 9 cos 2 t d t = ∫ 0 π 9 ( sen 2 t + cos 2 t ) d t = ∫ 0 π 3 d t = 3 t | 0 π = 3 π . Observe que la fórmula de la longitud de arco de un semicírculo es π r y el radio de este círculo es 3. Este es un gran ejemplo de cómo utilizar el cálculo para derivar una fórmula conocida de una cantidad geométrica. La longitud de arco del semicírculo es igual a su radio por π. Halle la longitud de arco de la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = 3 t 2 , y ( t ) = 2 t 3 , 1 ≤ t ≤ 3 . s = 2 ( 10 3 / 2 − 2 3 / 2 ) ≈ 57,589 Pista Utilice la . Volvemos ahora al problema planteado al principio de la sección sobre una pelota de béisbol que sale de la mano del lanzador. Ignorando el efecto de la resistencia del aire (¡a menos que sea una pelota curva!), la pelota recorre una trayectoria parabólica. Suponiendo que la mano del lanzador está en el origen y que la pelota se desplaza de izquierda a derecha en la dirección del eje x positivo, las ecuaciones paramétricas de esta curva pueden escribirse como x ( t ) = 140 t , y ( t ) = –16 t 2 + 2 t donde t representa el tiempo. Primero calculamos la distancia que recorre la pelota en función del tiempo. Esta distancia está representada por la longitud de arco. Podemos modificar ligeramente la fórmula de la longitud de arco. Primero hay que reescribir las funciones x ( t ) y de y ( t ) utilizando v como variable independiente, para eliminar cualquier confusión con el parámetro t : x ( v ) = 140 v , y ( v ) = −16 v 2 + 2 v . Luego escribimos la fórmula de la longitud de arco de la siguiente forma: s ( t ) = ∫ 0 t ( d x d v ) 2 + ( d y d v ) 2 d v = ∫ 0 t 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v . La variable v actúa como una variable ficticia que desaparece después de la integración, dejando la longitud de arco en función del tiempo t. Para integrar esta expresión podemos utilizar una fórmula del Apéndice A , ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln | u + a 2 + u 2 | + C . Hemos establecido a = 140 y u = −32 v + 2 . Esto da d u = −32 d v , así que d v = − 1 32 d u . Por lo tanto ∫ 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v = − 1 32 ∫ a 2 + u 2 d u = − 1 32 [ ( –32 v + 2 ) 2 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 + 140 2 2 ln | ( –32 v + 2 ) + 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 | ] + C y s ( t ) = − 1 32 [ ( −32 t + 2 ) 2 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 + 140 2 2 ln | ( −32 t + 2 ) + 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 | ] + 1 32 [ 140 2 + 2 2 + 140 2 2 ln | 2 + 140 2 + 2 2 | ] = ( t 2 – 1 32 ) 1024 t 2 − 128 t + 19604 − 1.225 4 ln | ( −32 t + 2 ) + 1024 t 2 − 128 t + 19604 | + 19604 32 + 1.225 4 ln ( 2 + 19604 ) . Esta función representa la distancia recorrida por la pelota en función del tiempo. Para calcular la velocidad, tome la derivada de esta función con respecto a t. Aunque esto puede parecer una tarea desalentadora, es posible obtener la respuesta directamente del teorema fundamental del cálculo: d d x ∫ a x f ( u ) d u = f ( x ) . Por lo tanto, s ′ ( t ) = d d t [ s ( t ) ] = d d t [ ∫ 0 t 140 2 + ( –32 v + 2 ) 2 d v ] = 140 2 + ( −32 t + 2 ) 2 = 1024 t 2 − 128 t + 19604 = 2 256 t 2 − 32 t + 4.901 . Un tercio de segundo después de que la pelota salga de la mano del lanzador, la distancia que recorre es igual a s ( 1 3 ) = ( 1 / 3 2 – 1 32 ) 1024 ( 1 3 ) 2 − 128 ( 1 3 ) + 19604 − 1.225 4 ln | ( −32 ( 1 3 ) + 2 ) + 1024 ( 1 3 ) 2 − 128 ( 1 3 ) + 19604 | + 19604 32 + 1.225 4 ln ( 2 + 19604 ) ≈ 46,69 pies . Este valor se encuentra a poco más de tres cuartos del camino hacia la base del bateador. La velocidad de la pelota es s ′ ( 1 3 ) = 2 256 ( 1 3 ) 2 − 16 ( 1 3 ) + 4.901 ≈ 140,34 ft/s . Esta velocidad se traduce en unas 95 mph, una bola rápida de las grandes ligas. Área superficial generada por una curva paramétrica Recordemos el problema de hallar el área superficial de un volumen de revolución. En Longitud de la curva y área superficial , derivamos una fórmula para hallar el área superficial de un volumen generado por una función y = f ( x ) de x = a a x = b , que giraba alrededor del eje x : S = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x . Ahora consideramos un volumen de revolución generado al girar una curva definida paramétricamente x = x ( t ) , y = y ( t ) , a ≤ t ≤ b alrededor del eje x como se muestra en la siguiente figura. Una superficie de revolución generada por una curva definida paramétricamente. La fórmula análoga para una curva definida paramétricamente es S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t siempre que y ( t ) no sea negativa en [ a , b ] . Cálculo del área superficial Halle el área superficial de una esfera de radio r centrada en el origen. Partimos de la curva definida por las ecuaciones x ( t ) = r cos t , y ( t ) = r sen t , 0 ≤ t ≤ π . Esto genera un semicírculo superior de radio r centrado en el origen como se muestra en el siguiente gráfico. Un semicírculo generado por ecuaciones paramétricas. Cuando esta curva gira alrededor del eje x , genera una esfera de radio r . Para calcular el área superficial de la esfera, utilizamos la : S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π r sen t ( − r sen t ) 2 + ( r cos t ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π r sen t r 2 sen 2 t + r 2 cos 2 t d t = 2 π ∫ 0 π r sen t r 2 ( sen 2 t + cos 2 t ) d t = 2 π ∫ 0 π r 2 sen t d t = 2 π r 2 ( − cos t | 0 π ) = 2 π r 2 ( − cos π + cos 0 ) = 4 π r 2 . Esta es, de hecho, la fórmula del área superficial de una esfera. Halle el área superficial generada cuando la curva plana definida por las ecuaciones x ( t ) = t 3 , y ( t ) = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 se gira alrededor del eje x . A = π ( 494 13 + 128 ) 1.215 Pista Utilice la . Cuando evalúe la integral, utilice una sustitución en u . Conceptos clave La derivada de la curva definida paramétricamente x = x ( t ) y de y = y ( t ) se puede calcular mediante la fórmula d y d x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) . Utilizando la derivada, podemos hallar la ecuación de una línea tangente a una curva paramétrica. El área entre una curva paramétrica y el eje x puede determinarse mediante la fórmula A = ∫ t 1 t 2 y ( t ) x ′ ( t ) d t . La longitud de arco de una curva paramétrica se puede calcular mediante la fórmula s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . La superficie de un volumen de revolución que gira alrededor del eje x está dada por S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Si la curva gira alrededor del eje y , entonces la fórmula es S = 2 π ∫ a b x ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t . Ecuaciones clave Derivada de ecuaciones paramétricas d y d x = d y / d t d x / d t = y ′ ( t ) x ′ ( t ) Derivada de segundo orden de ecuaciones paramétricas d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) = ( d / d t ) ( d y / d x ) d x / d t Área bajo una curva paramétrica A = ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) d t Longitud de arco de una curva paramétrica s = ∫ t 1 t 2 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t Área superficial generada por una curva paramétrica S = 2 π ∫ a b y ( t ) ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t En los siguientes ejercicios, cada conjunto de ecuaciones paramétricas representa una línea. Sin eliminar el parámetro, halle la pendiente de cada línea. x = 3 + t , y = 1 − t x = 8 + 2 t , y = 1 0 x = 4 − 3 t , y = −2 + 6 t x = −5 t + 7 , y = 3 t − 1 −3 5 En los siguientes ejercicios, determine la pendiente de la línea tangente y, a continuación, halle la ecuación de la línea tangente en el valor dado del parámetro. x = 3 sen t , y = 3 cos t , t = π 4 x = cos t , y = 8 sen t , t = π 2 Pendiente = 0 ; y = 8 . x = 2 t , y = t 3 , t = –1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , t = 1 La pendiente no está definida; x = 2 . x = t , y = 2 t , t = 4 En los siguientes ejercicios, halle todos los puntos de la curva que tengan la pendiente dada. x = 4 cos t , y = 4 sen t , pendiente = 0,5 tan t = – 2 ( 4 5 , –8 5 ) , ( 4 5 , –8 5 ) . x = 2 cos t , y = 8 sen t , pendiente = –1 x = t + 1 t , y = t − 1 t , pendiente = 1 No hay puntos posibles; expresión indefinida. x = 2 + t , y = 2 − 4 t , pendiente = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea tangente en coordenadas cartesianas para el parámetro t dado. x = e t , y = 1 − ln t 2 , t = 1 y = − ( 4 e ) x + 5 x = t ln t , y = sen 2 t , t = π 4 x = e t , y = ( t − 1 ) 2 , en ( 1 , 1 ) grandes. y = −2 x + 3 Para x = sen ( 2 t ) , y = 2 sen t donde 0 ≤ t < 2 π . Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente horizontal. Para x = sen ( 2 t ) , y = 2 sen t donde 0 ≤ t < 2 π . Halle todos los valores de t en los que existe una línea tangente vertical. π 4 , 5 π 4 , 3 π 4 , 7 π 4 Halle todos los puntos de la curva x = 4 sen ( t ) , y = 4 cos ( t ) que tienen la pendiente 0,5 Halle d y d x para x = sen ( t ) , y = cos ( t ) . d y d x = − tan ( t ) Halle la ecuación de la línea tangente a x = sen ( t ) , y = cos ( t ) en t = π 4 . Para la curva x = 4 t , y = 3 t − 2 , halle la pendiente y la concavidad de la curva en t = 3 . d y d x = 3 4 y d 2 y d x 2 = 0 , para que la curva no sea ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en t = 3 . Por lo tanto, el gráfico es lineal y tiene una pendiente constante pero ninguna concavidad. Para la curva paramétrica cuya ecuación es x = 4 cos θ , y = 4 sen θ , halle la pendiente y la concavidad de la curva en θ = π 4 . Halle la pendiente y la concavidad de la curva cuya ecuación es x = 2 + sec θ , y = 1 + 2 tan θ en θ = π 6 . d y d x = 4 , d 2 y d x 2 = –6 3 ; la curva es cóncava hacia abajo en θ = π 6 . Halle todos los puntos de la curva x = t + 4 , y = t 3 − 3 t en los que hay tangentes verticales y horizontales. Halle todos los puntos de la curva x = sec θ , y = tan θ en los que hay tangentes horizontales y verticales. No hay tangentes horizontales. Tangentes verticales en ( 1 , 0 ) , ( –1 , 0 ) . En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y / d x 2 . x = t 4 − 1 , y = t − t 2 x = sen ( π t ) , y = cos ( π t ) grandes. − sec 2 ( π t ) grandes. x = e − t , y = t e 2 t En los siguientes ejercicios, halle los puntos de la curva en los que la línea tangente es horizontal o vertical. x = t ( t 2 − 3 ) , y = 3 ( t 2 − 3 ) Horizontal ( 0 , –9 ) ; vertical ( ± 2 , –6 ) . x = 3 t 1 + t 3 , y = 3 t 2 1 + t 3 En los siguientes ejercicios, calcule d y / d x al valor del parámetro. x = cos t , y = sen t , t = 3 π 4 1 x = t , y = 2 t + 4 , t = 9 x = 4 cos ( 2 π s ) , y = 3 sen ( 2 π s ) , s = − 1 4 0 En los siguientes ejercicios, calcule d 2 y / d x 2 en el punto dado sin eliminar el parámetro. x = 1 2 t 2 , y = 1 3 t 3 , t = 2 x = t , y = 2 t + 4 , t = 1 4 Halle los intervalos t en los que la curva x = 3 t 2 , y = t 3 − t es cóncava hacia arriba y hacia abajo. Determine la concavidad de la curva x = 2 t + ln t , y = 2 t − ln t . Cóncava hacia arriba en t > 0 . Dibuje y halle el área bajo un arco de la cicloide x = r ( θ − sen θ ) , y = r ( 1 − cos θ ) . Halle el área delimitada por la curva x = cos t , y = e t , 0 ≤ t ≤ π 2 y las líneas y = 1 y x = 0 . e 1 2 − 1 2 Halle el área encerrada por la elipse x = a cos θ , y = b sen θ , 0 ≤ θ < 2 π . Halle el área de la región delimitada por x = 2 sen 2 θ , y = 2 sen 2 θ tan θ , para 0 ≤ θ ≤ π 2 . 3 π 2 En los siguientes ejercicios, halle el área de las regiones delimitadas por las curvas paramétricas y los valores indicados del parámetro. x = 2 cot θ , y = 2 sen 2 θ , 0 ≤ θ ≤ π [T] x = 2 a cos t − a cos ( 2 t ) , y = 2 a sen t − a sen ( 2 t ) , 0 ≤ t < 2 π 6 π a 2 [T] x = a sen ( 2 t ) , y = b sen ( t ) , 0 ≤ t < 2 π (el \"reloj de arena\") [T] x = 2 a cos t − a sen ( 2 t ) , y = b sen t , 0 ≤ t < 2 π (la \"lágrima\") 2 π a b En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo indicado del parámetro. x = 4 t + 3 , y = 3 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 2 x = 1 3 t 3 , y = 1 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 1 3 ( 2 2 – 1 ) grandes. x = cos ( 2 t ) , y = sen ( 2 t ) , 0 ≤ t ≤ π 2 x = 1 + t 2 , y = ( 1 + t ) 3 , 0 ≤ t ≤ 1 7,075 x = e t cos t , y = e t sen t , 0 ≤ t ≤ π 2 (Utilice un CAS para esto y exprese la respuesta como un decimal redondeado a tres decimales). x = a cos 3 θ , y = a sen 3 θ en el intervalo [ 0 , 2 π ) (la hipocicloide) 6 a Halle la longitud de un arco de la cicloide x = 4 ( t − sen t ) , y = 4 ( 1 − cos t ) . Calcule la distancia recorrida por una partícula con posición ( x , y ) a medida que t varía en el intervalo de tiempo dado: x = sen 2 t , y = cos 2 t , 0 ≤ t ≤ 3 π . 6 2 Halle la longitud de un arco de la cicloide x = θ − sen θ , y = 1 − cos θ . Demuestre que la longitud total de la elipse x = 4 sen θ , y = 3 cos θ es L = 16 ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sen 2 θ d θ , donde e = c a y c = a 2 − b 2 . Calcule la longitud de la curva x = e t − t , y = 4 e t / 2 , −8 ≤ t ≤ 3 . En los siguientes ejercicios, halle el área superficial que se obtiene cuando se gira la curva dada alrededor del eje x . x = t 3 , y = t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 2 π ( 247 13 + 64 ) 1.215 x = a cos 3 θ , y = a sen 3 θ , 0 ≤ θ ≤ π 2 [T] Utilice un CAS para hallar el área superficial generada al girar x = t + t 3 , y = t − 1 t 2 , 1 ≤ t ≤ 2 alrededor del eje x . (Respuesta redondeada a tres decimales). 59,101 Halle el área superficial obtenida al girar x = 3 t 2 , y = 2 t 3 , 0 ≤ t ≤ 5 alrededor del eje y . Halle el área superficial generada al girar x = t 2 , y = 2 t , 0 ≤ t ≤ 4 alrededor del eje x . 8 π 3 ( 17 17 − 1 ) Halle el área superficial generada al girar x = t 2 , y = 2 t 2 , 0 ≤ t ≤ 1 alrededor del eje y .", "section": "Cálculo de curvas paramétricas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Coordenadas polares El sistema de coordenadas rectangulares (o plano cartesiano) proporciona un medio para asignar puntos a pares ordenados y pares ordenados a puntos. Esto se llama un mapeo biunívoco de puntos en el plano a pares ordenados. El sistema de coordenadas polares ofrece un método alternativo para asignar puntos a pares ordenados. En esta sección vemos que, en algunas circunstancias, las coordenadas polares pueden ser más útiles que las coordenadas rectangulares. Definición de coordenadas polares Para hallar las coordenadas de un punto en el sistema de coordenadas polares, considere la . El punto P tiene coordenadas cartesianas ( x , y ) . El segmento de línea que conecta el origen con el punto P mide la distancia desde el origen hasta P y tiene longitud r . El ángulo entre el eje x positivo y el segmento de línea tiene medida θ . Esta observación sugiere una correspondencia natural entre el par de coordenadas ( x , y ) y los valores r y θ . Esta correspondencia es la base del sistema de coordenadas polares . Observe que cada punto del plano cartesiano tiene dos valores (de ahí el término par ordenado ) asociados. En el sistema de coordenadas polares, cada punto tiene también dos valores asociados: r y θ . Un punto arbitrario en el plano cartesiano. Utilizando la trigonometría del triángulo rectángulo, las siguientes ecuaciones son verdaderas para el punto P : cos θ = x r así que x = r cos θ sen θ = y r así que y = r sen θ . Además, r 2 = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Cada punto ( x , y ) en el sistema de coordenadas cartesianas puede representarse, por tanto, como un par ordenado ( r , θ ) en el sistema de coordenadas polares. La primera coordenada se llama coordenada radial y la segunda coordenada se llama coordenada angular . Cada punto del plano puede representarse de esta forma. Observe que la ecuación tan θ = y / x tiene un número infinito de soluciones para cualquier par ordenado ( x , y ) . Sin embargo, si restringimos las soluciones a valores entre 0 y 2 π entonces podemos asignar una solución única al cuadrante en el que el punto original ( x , y ) se encuentra. Entonces el valor correspondiente de r es positivo, por lo que r 2 = x 2 + y 2 . Conversión de puntos entre sistemas de coordenadas Dado un punto P en el plano con coordenadas cartesianas ( x , y ) y coordenadas polares ( r , θ ) , las siguientes fórmulas de conversión son válidas: x = r cos θ y y = r sen θ , r 2 = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Estas fórmulas pueden utilizarse para convertir de coordenadas rectangulares a polares o de polares a rectangulares. Conversión entre coordenadas rectangulares y polares Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas polares. ( 1 , 1 ) grandes. ( −3 , 4 ) grandes. ( 0 , 3 ) grandes. ( 5 3 , −5 ) Convierta cada uno de los siguientes puntos en coordenadas rectangulares. ( 3 , π / 3 ) grandes. ( 2 , 3 π / 2 ) grandes. ( 6 , −5 π / 6 ) Utilice la sustitución en x = 1 y y = 1 en la : r 2 = x 2 + y 2 = 1 2 + 1 2 r = 2 y tan θ = y x = 1 1 = 1 θ = π 4 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 2 , π 4 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = −3 y y = 4 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( −3 ) 2 + ( 4 ) 2 r = 5 y tan θ = y x = – 4 3 θ = – arctan ( 4 3 ) ≈ 2 . 21 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 5 , 2,21 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = 0 y y = 3 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( 3 ) 2 + ( 0 ) 2 = 9 + 0 r = 3 y tan θ = y x = 3 0 . La aplicación directa de la segunda ecuación conduce a la división entre cero. Graficando el punto ( 0 , 3 ) en el sistema de coordenadas rectangulares revela que el punto está situado en el eje y positivo. El ángulo entre el eje x positivo y el eje y positivo es π 2 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 3 , π 2 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en x = 5 3 y y = −5 en la : r 2 = x 2 + y 2 = ( 5 3 ) 2 + ( −5 ) 2 = 75 + 25 r = 10 y tan θ = y x = −5 5 3 = − 3 3 θ = − π 6 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 10 , − π 6 ) en coordenadas polares. Utilice la sustitución en r = 3 y θ = π 3 en la : x = r cos θ = 3 cos ( π 3 ) = 3 ( 1 2 ) = 3 2 y y = r sen θ = 3 sen ( π 3 ) = 3 ( 3 2 ) = 3 3 2 . Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 3 2 , 3 3 2 ) en coordenadas rectangulares. Utilice la sustitución en r = 2 y θ = 3 π 2 en la : x = r cos θ = 2 cos ( 3 π 2 ) = 2 ( 0 ) = 0 y y = r sen θ = 2 sen ( 3 π 2 ) = 2 ( –1 ) = –2. Por lo tanto, este punto se puede representar como ( 0 , –2 ) en coordenadas rectangulares. Utilice la sustitución en r = 6 y θ = − 5 π 6 en la : x = r cos θ = 6 cos ( − 5 π 6 ) = 6 ( − 3 2 ) = −3 3 y y = r sen θ = 6 sen ( − 5 π 6 ) = 6 ( − 1 2 ) = –3. Por lo tanto, este punto se puede representar como ( −3 3 , −3 ) en coordenadas rectangulares. Convierta ( –8 , −8 ) en coordenadas polares y ( 4 , 2 π 3 ) en coordenadas rectangulares. ( 8 2 , 5 π 4 ) y ( –2 , 2 3 ) Pista Utilice la y la . Asegúrese de comprobar el cuadrante cuando calcule θ . La representación polar de un punto no es única. Por ejemplo, las coordenadas polares ( 2 , π 3 ) y ( 2 , 7 π 3 ) representan ambas el punto ( 1 , 3 ) en el sistema rectangular. Además, el valor de r puede ser negativo. Por lo tanto, el punto con coordenadas polares ( –2 , 4 π 3 ) también representa el punto ( 1 , 3 ) en el sistema rectangular, como podemos ver utilizando la : x = r cos θ = −2 cos ( 4 π 3 ) = −2 ( − 1 2 ) = 1 y y = r sen θ = –2 sen ( 4 π 3 ) = −2 ( − 3 2 ) = 3 . Cada punto del plano tiene un número infinito de representaciones en coordenadas polares. Sin embargo, cada punto del plano solo tiene una representación en el sistema de coordenadas rectangulares. Tenga en cuenta que la representación polar de un punto en el plano también tiene una interpretación visual. En particular, r es la distancia dirigida que el punto tiene al origen y θ mide el ángulo que forma el segmento de línea desde el origen hasta el punto con el eje x positivo. Los ángulos positivos se miden en el sentido contrario a las agujas del reloj y los negativos en el sentido de las agujas del reloj. El sistema de coordenadas polares aparece en la siguiente figura. El sistema de coordenadas polares. El segmento de línea que parte del centro del gráfico hacia la derecha (llamado eje x positivo en el sistema cartesiano) es el eje polar . El punto central es el polo , u origen, del sistema de coordenadas y corresponde a r = 0 . El círculo más interno que se muestra en la contiene todos los puntos a una distancia de 1 unidad del polo, y está representado por la ecuación r = 1 . Entonces r = 2 es el conjunto de puntos a 2 unidades del polo, y así sucesivamente. Los segmentos de línea que emanan del polo corresponden a ángulos fijos. Para trazar un punto en el sistema de coordenadas polares, comience con el ángulo. Si el ángulo es positivo, mida el ángulo desde el eje polar en sentido contrario a las agujas del reloj. Si es negativo, mida en el sentido de las agujas del reloj. Si el valor de r es positivo, mueve esa distancia a lo largo de la semirrecta del ángulo. Si es negativo, mueva a lo largo de la semirrecta opuesta a la semirrecta terminal del ángulo dado. Trazado de puntos en el plano polar Trace cada uno de los siguientes puntos en el plano polar. ( 2 , π 4 ) grandes. ( −3 , 2 π 3 ) grandes. ( 4 , 5 π 4 ) Los tres puntos se representan en la siguiente figura. Tres puntos trazados en el sistema de coordenadas polares. Trace ( 4 , 5 π 3 ) y ( −3 , − 7 π 2 ) en el plano polar. Pista Comience con θ , y luego utilice r . Curvas polares Ahora que sabemos cómo trazar puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos hablar de cómo trazar curvas. En el sistema de coordenadas rectangulares, podemos graficar una función y = f ( x ) y crear una curva en el plano cartesiano. De forma similar, podemos graficar una curva generada por una función r = f ( θ ) . La idea general de graficar una función en coordenadas polares es la misma que la de graficar una función en coordenadas rectangulares. Comience con una lista de valores para la variable independiente ( θ en este caso) y calcule los valores correspondientes de la variable dependiente r . Este proceso genera una lista de pares ordenados, que pueden ser trazados en el sistema de coordenadas polares. Por último, conecte los puntos y aproveche los patrones que puedan aparecer. La función puede ser periódica, por ejemplo, lo que indica que solo se necesita un número limitado de valores para la variable independiente. Estrategia de resolución de problemas: Trazado de una curva en coordenadas polares Cree una tabla con dos columnas. La primera columna es para θ , y la segunda columna es para r . Cree una lista de valores para θ . Calcule los valores r correspondientes para cada θ . Trace cada par ordenado ( r , θ ) en los ejes de coordenadas. Conecte los puntos y busque un patrón. Vea este video para obtener más información sobre el trazado de curvas polares. Graficar una función en coordenadas polares Grafique la curva definida por la función r = 4 sen θ . Identifique la curva y reescriba la ecuación en coordenadas rectangulares. Como la función es un múltiplo de la función de seno, es periódica con periodo 2 π , por lo que hay que utilizar los valores de θ entre 0 y 2 π . El resultado de los pasos del 1 al 3 aparece en la siguiente tabla. La muestra el gráfico basado en esta tabla. θ r = 4 sen θ θ r = 4 sen θ 0 0 π 0 π 6 2 7 π 6 −2 π 4 2 2 ≈ 2,8 5 π 4 −2 2 ≈ –2,8 π 3 2 3 ≈ 3,4 4 π 3 −2 3 ≈ –3,4 π 2 4 3 π 2 –4 2 π 3 2 3 ≈ 3,4 5 π 3 −2 3 ≈ –3,4 3 π 4 2 2 ≈ 2,8 7 π 4 −2 2 ≈ –2,8 5 π 6 2 11 π 6 −2 2 π 0 El gráfico de la función r = 4 sen θ es un círculo. Este es el gráfico de un círculo. La ecuación r = 4 sen θ se puede convertir en coordenadas rectangulares multiplicando primero ambos lados por r . Esto da la ecuación r 2 = 4 r sen θ . A continuación, utilice los hechos que r 2 = x 2 + y 2 y y = r sen θ . Esto da x 2 + y 2 = 4 y . Para poner esta ecuación en forma estándar, reste 4 y de ambos lados de la ecuación y complete el cuadrado: x 2 + y 2 − 4 y = 0 x 2 + ( y 2 − 4 y ) = 0 x 2 + ( y 2 − 4 y + 4 ) = 0 + 4 x 2 + ( y − 2 ) 2 = 4. Esta es la ecuación de un círculo con radio 2 y centro ( 0 , 2 ) en el sistema de coordenadas rectangulares. Cree un gráfico de la curva definida por la función r = 4 + 4 cos θ . El nombre de esta forma es cardioide, que estudiaremos más adelante en esta sección. Pista Siga la estrategia de resolución de problemas para crear un gráfico en coordenadas polares. El gráfico en el era el de un círculo. La ecuación del círculo puede transformarse en coordenadas rectangulares utilizando las fórmulas de transformación de coordenadas en la . El da algunos ejemplos más de funciones para transformar de coordenadas polares a rectangulares. Transformación de ecuaciones polares a coordenadas rectangulares Reescriba cada una de las siguientes ecuaciones en coordenadas rectangulares e identifique el gráfico. θ = π 3 r = 3 r = 6 cos θ − 8 sen θ Tome la tangente de ambos lados. Esto da tan θ = tan ( π / 3 ) = 3 . Dado que tan θ = y / x podemos sustituir el lado izquierdo de esta ecuación por y / x . Esto da como resultado y / x = 3 , que se puede reescribir como y = x 3 . Es la ecuación de una línea recta que pasa por el origen con pendiente 3 . En general, cualquier ecuación polar de la forma θ = K representa una línea recta que pasa por el polo con pendiente igual a tan K . Primero, eleve al cuadrado ambos lados de la ecuación. Esto da r 2 = 9 . Reemplace a continuación r 2 con x 2 + y 2 . Esto da la ecuación x 2 + y 2 = 9 , que es la ecuación de un círculo centrado en el origen con radio 3. En general, cualquier ecuación polar de la forma r = k donde k es una constante positiva representa un círculo de radio k centrado en el origen. ( Nota : Al elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es posible introducir nuevos puntos sin querer. Esto debe tenerse siempre en cuenta. Sin embargo, en este caso no introducimos puntos nuevos). Por ejemplo, ( −3 , π 3 ) es el mismo punto que ( 3 , 4 π 3 ) . ) Multiplique ambos lados de la ecuación por r . Esto lleva a r 2 = 6 r cos θ − 8 r sen θ . A continuación, utilice las fórmulas r 2 = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y = r sen θ . Esto da r 2 = 6 ( r cos θ ) − 8 ( r sen θ ) x 2 + y 2 = 6 x − 8 y . Para poner esta ecuación en forma estándar, primero hay que mover las variables del lado derecho de la ecuación al lado izquierdo, y luego completar el cuadrado. x 2 + y 2 = 6 x − 8 y x 2 − 6 x + y 2 + 8 y = 0 ( x 2 − 6 x ) + ( y 2 + 8 y ) = 0 ( x 2 − 6 x + 9 ) + ( y 2 + 8 y + 16 ) = 9 + 16 ( x − 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 25. Esta es la ecuación de un círculo con centro en ( 3 , –4 ) y radio 5. Observe que el círculo pasa por el origen ya que el centro está a 5 unidades. Reescriba la ecuación r = sec θ tan θ en coordenadas rectangulares e identifique su gráfico. y = x 2 , que es la ecuación de una parábola que se abre hacia arriba. Pista Convierta a seno y coseno, luego multiplique ambos lados por el coseno. Ya hemos visto varios ejemplos de dibujo de gráficos de curvas definidas por ecuaciones polares . En las tablas siguientes se ofrece un resumen de algunas curvas comunes. En cada ecuación, a y b son constantes arbitrarias. Una cardioide es un caso especial de un caracol , en el que a = b o a = − b . La rosa es una curva muy interesante. Observe que el gráfico de r = 3 sen 2 θ tiene cuatro pétalos. Sin embargo, el gráfico de r = 3 sen 3 θ tiene tres pétalos como se muestra. Gráfico de r = 3 sen 3 θ . Si el coeficiente de θ es par, el gráfico tiene el doble de pétalos que el coeficiente. Si el coeficiente de θ es impar, entonces el número de pétalos es igual al coeficiente. Se le anima a explorar por qué ocurre esto. Los gráficos son aún más interesantes cuando el coeficiente de θ no es un número entero. Por ejemplo, si es racional, entonces la curva es cerrada; es decir, termina finalmente donde empezó ( (a)). Sin embargo, si el coeficiente es irracional, la curva nunca se cierra ( (b)). Aunque pueda parecer que la curva está cerrada, un examen más detallado revela que los pétalos situados justo encima del eje x positivo son ligeramente más gruesos. Esto se debe a que el pétalo no coincide del todo con el punto de partida. Gráficos de rosa polar de funciones con (a) coeficiente racional y (b) coeficiente irracional. Observe que la rosa de la parte (b) llenaría realmente todo el círculo si se trazara en su totalidad. Dado que la curva definida por el gráfico de r = 3 sen ( π θ ) nunca se cierra, la curva representada en la (b) es solo una representación parcial. De hecho, este es un ejemplo de curva de relleno de espacio . Una curva de relleno de espacio es aquella que de hecho ocupa un subconjunto bidimensional del plano real. En este caso la curva ocupa el círculo de radio 3 centrado en el origen. Inicio del capítulo: Describir una espiral Recordemos el Nautilus pompilius que se presentó en el primer capítulo. Esta criatura muestra una espiral cuando se corta la mitad del caparazón exterior. Es posible describir una espiral utilizando coordenadas rectangulares. La muestra una espiral en coordenadas rectangulares. ¿Cómo podemos describir esta curva matemáticamente? ¿Cómo podemos describir matemáticamente un gráfico en espiral? A medida que el punto P recorre la espiral en sentido contrario a las agujas del reloj, su distancia d al origen aumenta. Supongamos que la distancia d es un múltiplo constante k del ángulo θ que el segmento de línea OP forma con el eje x positivo. Por lo tanto, d ( P , O ) = k θ , donde O es el origen. Ahora utilice la fórmula de distancia y algo de trigonometría: d ( P , O ) = k θ ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 = k arctan ( y x ) x 2 + y 2 = k arctan ( y x ) arctan ( y x ) = x 2 + y 2 k y = x tan ( x 2 + y 2 k ) . Si bien esta ecuación describe la espiral, no es posible resolverla directamente ni para x ni para y . Sin embargo, si utilizamos coordenadas polares, la ecuación se simplifica mucho. En particular, d ( P , O ) = r , y θ es la segunda coordenada. Por lo tanto, la ecuación de la espiral se convierte en r = k θ . Tenga en cuenta que cuando θ = 0 también tenemos r = 0 , por lo que la espiral emana del origen. Podemos eliminar esta restricción añadiendo una constante a la ecuación. Entonces la ecuación de la espiral se convierte en r = a + k θ para constantes arbitrarias a y k . Se denomina espiral de Arquímedes , en honor al matemático griego Arquímedes. Otro tipo de espiral es la espiral logarítmica, descrita por la función r = a . b θ . Un gráfico de la función r = 1,2 ( 1,25 θ ) se encuentra en la . Esta espiral describe la forma de la concha del Nautilus pompilius . Una espiral logarítmica es similar a la forma de la concha del Nautilus pompilius (créditos: modificación del trabajo de Jitze Couperus, Flickr). Supongamos que una curva se describe en el sistema de coordenadas polares mediante la función r = f ( θ ) . Como tenemos fórmulas de conversión de coordenadas polares a rectangulares dadas por x = r cos θ y = r sen θ , es posible reescribir estas fórmulas utilizando la función x = f ( θ ) cos θ y = f ( θ ) sen θ . Este paso da una parametrización de la curva en coordenadas rectangulares utilizando θ como parámetro. Por ejemplo, la fórmula de la espiral r = a + b θ de la se convierte en x = ( a + b θ ) cos θ y = ( a + b θ ) sen θ . Suponiendo que θ va desde − ∞ a ∞ , genera toda la espiral. Simetría en coordenadas polares Al estudiar la simetría de las funciones en coordenadas rectangulares (es decir, en la forma y = f ( x ) ) , hablamos de simetría con respecto al eje y y de simetría con respecto al origen. En particular, si f ( − x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función par y su gráfico es simétrico con respecto al eje y . Si los valores de f ( − x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f , entonces f es una función impar y su gráfico es simétrico con respecto al origen. Al determinar qué tipos de simetría presenta un gráfico, podemos saber más sobre su forma y apariencia. La simetría también puede revelar otras propiedades de la función que genera el gráfico. La simetría en las curvas polares funciona de forma similar. Simetría en curvas y ecuaciones polares Consideremos una curva generada por la función r = f ( θ ) en coordenadas polares. La curva es simétrica respecto al eje polar si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , − θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica al sustituir θ con − θ . La curva es simétrica respecto al polo si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , π + θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica al sustituir r con − r , o θ con π + θ . La curva es simétrica respecto a la línea vertical θ = π 2 si para cada punto ( r , θ ) en el gráfico, el punto ( r , π − θ ) también está en el gráfico. Del mismo modo, la ecuación r = f ( θ ) no se modifica cuando θ se sustituye por π − θ . La siguiente tabla muestra ejemplos de cada tipo de simetría. Uso de la simetría para graficar una ecuación polar Halle la simetría de la rosa definida por la ecuación r = 3 sen ( 2 θ ) y cree un gráfico. Supongamos que el punto ( r , θ ) está en el gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) . Para comprobar la simetría con respecto al eje polar, intente primero sustituir θ con − θ . Esto da r = 3 sen ( 2 ( − θ ) ) = −3 sen ( 2 θ ) . Como esto cambia la ecuación original, esta prueba no se satisface. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo r con − r y θ con π − θ se obtiene − r = 3 sen ( 2 ( π − θ ) ) − r = 3 sen ( 2 π − 2 θ ) − r = 3 sen ( −2 θ ) − r = −3 sen 2 θ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por −1 da como resultado r = 3 sen 2 θ , que es la ecuación original. Esto demuestra que el gráfico es simétrico con respecto al eje polar. Para comprobar la simetría con respecto al polo, primero hay que sustituir r con − r , que da como resultado − r = 3 sen ( 2 θ ) . Multiplicando ambos lados por –1 se obtiene r = −3 sen ( 2 θ ) , que no coincide con la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación no pasa la prueba de esta simetría. Sin embargo, volviendo a la ecuación original y sustituyendo θ con θ + π da como resultado r = 3 sen ( 2 ( θ + π ) ) = 3 sen ( 2 θ + 2 π ) = 3 ( sen 2 θ cos 2 π + cos 2 θ sen 2 π ) = 3 sen 2 θ . Como esto coincide con la ecuación original, el gráfico es simétrico respecto al polo. Para comprobar la simetría con respecto a la línea vertical θ = π 2 , sustituya primero ambos r con − r y θ con − θ . − r = 3 sen ( 2 ( − θ ) ) − r = 3 sen ( −2 θ ) − r = −3 sen 2 θ . Multiplicando ambos lados de esta ecuación por −1 da como resultado r = 3 sen 2 θ , que es la ecuación original. Por lo tanto, el gráfico es simétrico respecto a la línea vertical θ = π 2 . Este gráfico tiene simetría con respecto al eje polar, el origen y la línea vertical que pasa por el polo. Para graficar la función, tabule los valores de θ entre 0 y π / 2 y luego refleje el gráfico resultante. θ r 0 0 π 6 3 3 2 ≈ 2,6 π 4 3 π 3 3 3 2 ≈ 2,6 π 2 0 Esto da un pétalo de la rosa, como se muestra en el siguiente gráfico. El gráfico de la ecuación entre θ = 0 y θ = π / 2 . Reflejando esta imagen en los otros tres cuadrantes se obtiene el gráfico completo que se muestra. El gráfico completa de la ecuación se llama rosa de cuatro pétalos. Determine la simetría del gráfico determinado por la ecuación r = 2 cos ( 3 θ ) y cree un gráfico. Simetría con respecto al eje polar Pista Utilice . Conceptos clave El sistema de coordenadas polares ofrece una forma alternativa de localizar puntos en el plano. Convierta puntos entre coordenadas rectangulares y polares mediante las fórmulas x = r cos θ y y = r sen θ y r = x 2 + y 2 y tan θ = y x . Para dibujar una curva polar a partir de una función polar dada, haga una tabla de valores y aproveche las propiedades periódicas. Utilice las fórmulas de conversión para convertir ecuaciones entre coordenadas rectangulares y polares. Identifique la simetría en las curvas polares, que puede darse a través del polo, del eje horizontal o del eje vertical. En los siguientes ejercicios, trace el punto cuyas coordenadas polares están dadas construyendo primero el ángulo θ y luego marcando la distancia r a lo largo del rayo. ( 3 , π 6 ) ( –2 , 5 π 3 ) grandes. ( 0 , 7 π 6 ) ( −4 , 3 π 4 ) grandes. ( 1 , π 4 ) ( 2 , 5 π 6 ) grandes. ( 1 , π 2 ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico polar que aparece a continuación. Da dos conjuntos de coordenadas polares para cada punto. Coordenadas del punto A . Coordenadas del punto B . B ( 3 , − π 3 ) B ( −3 , 2 π 3 ) Coordenadas del punto C . Coordenadas del punto D . D ( 5 , 7 π 6 ) D ( −5 , π 6 ) En los siguientes ejercicios, se dan las coordenadas rectangulares de un punto. Halle dos conjuntos de coordenadas polares para el punto en ( 0 , 2 π ] . Redondee a tres decimales. ( 2 , 2 ) grandes. ( 3 , –4 ) grandes. ( 5 , –0,927 ) ( −5 , −0,927 + π ) grandes. ( 8 , 15 ) grandes. ( –6 , 8 ) grandes. ( 10 , –0,927 ) ( –10 , −0,927 + π ) grandes. ( 4 , 3 ) grandes. ( 3 , − 3 ) grandes. ( 2 3 , –0,524 ) ( −2 3 , −0,524 + π ) En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas rectangulares para el punto dado en coordenadas polares. ( 2 , 5 π 4 ) grandes. ( –2 , π 6 ) grandes. ( − 3 , –1 ) grandes. ( 5 , π 3 ) grandes. ( 1 , 7 π 6 ) grandes. ( − 3 2 , −1 2 ) grandes. ( −3 , 3 π 4 ) grandes. ( 0 , π 2 ) grandes. ( 0 , 0 ) grandes. ( –4,5 , 6,5 ) En los siguientes ejercicios, determine si los gráficos de la ecuación polar son simétricos respecto al eje x , al eje y o al origen. r = 3 sen ( 2 θ ) Simetría con respecto al eje x , al eje y y al origen. r 2 = 9 cos θ r = cos ( θ 5 ) Simetría con respecto al eje x solamente. r = 2 s θ r = 1 + cos θ Simetría con respecto al eje x solamente. En los siguientes ejercicios, describa el gráfico de cada ecuación polar. Confirme cada descripción convirtiéndola en una ecuación rectangular. r = 3 θ = π 4 La línea y = x r = sec θ r = csc θ y = 1 En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico. x 2 + y 2 = 16 x 2 − y 2 = 16 Hipérbola; forma polar r 2 cos ( 2 θ ) = 16 o r 2 = 16 sec ( 2 θ ) . x = 8 En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación rectangular en forma polar y dibuje su gráfico. 3 x − y = 2 r = 2 3 cos θ − sen θ y 2 = 4 x En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar en forma rectangular y dibuje su gráfico. r = 4 sen θ x 2 + y 2 = 4 y r = 6 cos θ r = θ x tan x 2 + y 2 = y r = cot θ csc θ En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la ecuación polar e identifique cualquier simetría. r = 1 + sen θ simetría del eje y r = 3 − 2 cos θ r = 2 − 2 sen θ simetría del eje y r = 5 − 4 sen θ r = 3 cos ( 2 θ ) simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo r = 3 sen ( 2 θ ) grandes. r = 2 cos ( 3 θ ) simetría del eje x r = 3 cos ( θ 2 ) grandes. r 2 = 4 cos ( 2 θ ) simetría de los ejes x y y y simetría con respecto al polo r 2 = 4 sen θ r = 2 θ sin simetría [T] El gráfico de r = 2 cos ( 2 θ ) sec ( θ ) . se denomina estrofoide. Utilice una herramienta gráfica para dibujar el gráfico y, a partir de este, determine la asíntota. [T] Utilice una herramienta gráfica y dibuje el gráfico de r = 6 2 sen θ − 3 cos θ . una línea [T] Utilice una herramienta gráfica para graficar r = 1 1 − cos θ . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = e sen ( θ ) − 2 cos ( 4 θ ) . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = sen ( 3 θ 7 ) (utilice el intervalo 0 ≤ θ ≤ 14 π ) . Sin utilizar ningún dispositivo tecnológico, dibuje la curva polar θ = 2 π 3 . [T] Utilice una herramienta gráfica para trazar r = θ sen θ para − π ≤ θ ≤ π . [T] Utilice un dispositivo tecnológico para graficar r = e –0,1 θ para −10 ≤ θ ≤ 10 . [T] Hay una curva conocida como el \" agujero negro \". Utilice un dispositivo tecnológico para trazar r = e –0,01 θ para –100 ≤ θ ≤ 100 . [T] Utilice los resultados de los dos problemas anteriores para explorar los gráficos de r = e –0,001 θ y r = e –0,0001 θ para | θ | > 100 . Las respuestas varían. Una posibilidad es que las líneas espirales se acerquen y el número total de espirales aumente. coordenada angular θ el ángulo formado por un segmento de línea que une el origen a un punto del sistema de coordenadas polares con el eje radial ( x ) positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj cardioide curva plana trazada por un punto en el perímetro de un círculo que está rodando alrededor de un círculo fijo del mismo radio; la ecuación de una cardioide es r = a ( 1 + sen θ ) o r = a ( 1 + cos θ ) caracol gráfico de la ecuación r = a + b sen θ o r = a + b cos θ . Si a = b entonces el gráfico es una cardioide eje polar el eje horizontal en el sistema de coordenadas polares correspondiente a r ≥ 0 sistema de coordenadas polares sistema de localización de puntos en el plano. Las coordenadas son r , la coordenada radial, y θ , la coordenada angular ecuación polar ecuación o función que relaciona la coordenada radial con la coordenada angular en el sistema de coordenadas polares polo punto central del sistema de coordenadas polares equivalente al origen de un sistema cartesiano coordenada radial r coordenada en el sistema de coordenadas polares que mide la distancia de un punto del plano al polo rosa gráfico de la ecuación polar r = a cos 2 θ o r = a sen 2 θ para una constante positiva a curva de relleno de espacio curva que ocupa completamente un subconjunto bidimensional del plano real", "section": "Coordenadas polares", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Área y longitud de arco en coordenadas polares En el sistema de coordenadas rectangulares, la integral definida proporciona una forma de calcular el área bajo una curva. En particular, si tenemos una función y = f ( x ) definida a partir de x = a a x = b donde f ( x ) > 0 en este intervalo, el área entre la curva y el eje x está dada por A = ∫ a b f ( x ) d x . Este hecho, junto con la fórmula para evaluar esta integral, se resume en el teorema fundamental del cálculo. Del mismo modo, la longitud de arco de esta curva está dada por L = ∫ a b 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x . En esta sección, estudiamos fórmulas análogas para el área y la longitud de arco en el sistema de coordenadas polares. Áreas de regiones delimitadas por curvas polares Hemos estudiado las fórmulas del área bajo una curva definida en coordenadas rectangulares y de las curvas definidas paramétricamente. Ahora nos centraremos en derivar una fórmula para el área de una región delimitada por una curva polar. Recordemos que en la demostración del teorema fundamental del cálculo se utilizó el concepto de suma de Riemann para aproximar el área bajo una curva utilizando rectángulos. Para las curvas polares volvemos a utilizar la suma de Riemann, pero los rectángulos se sustituyen por sectores de un círculo. Consideremos una curva definida por la función r = f ( θ ) , donde α ≤ θ ≤ β . Nuestro primer paso es dividir el intervalo [ α , β ] en n subintervalos de igual ancho. El ancho de cada subintervalo está dado por la fórmula Δ θ = ( β − α ) / n , y el i −ésimo punto de partición θ i está dado por la fórmula θ i = α + i Δ θ . Cada punto de partición θ = θ i define una línea con pendiente tan θ i que pasa por el polo como se muestra en el siguiente gráfico. Una partición de una curva típica en coordenadas polares. Los segmentos de la línea están conectados por arcos de radio constante. Esto define sectores cuyas áreas pueden calcularse mediante una fórmula geométrica. El área de cada sector se utiliza entonces para aproximar el área entre los segmentos de línea sucesivos. A continuación, sumamos las áreas de los sectores para aproximarnos al área total. Este enfoque da una aproximación de la suma de Riemann para el área total. La fórmula del área de un sector del círculo se ilustra en la siguiente figura. El área de un sector de un círculo está dada por A = 1 2 θ r 2 . Recordemos que el área de un círculo es A = π r 2 . Al medir los ángulos en radianes, 360 grados es igual a 2 π radianes. Por lo tanto, una fracción de un círculo se puede medir por el ángulo central θ . La fracción del círculo está dada por θ 2 π , por lo que el área del sector es esta fracción multiplicada por el área total: A = ( θ 2 π ) π r 2 = 1 2 θ r 2 . Dado que el radio de un sector típico en la está dado por r i = f ( θ i ) , el área del i −ésimo sector está dada por A i = 1 2 ( Δ θ ) ( f ( θ i ) ) 2 . Por lo tanto, una suma de Riemann que aproxima el área está dada por A n = ∑ i = 1 n A i ≈ ∑ i = 1 n 1 2 ( Δ θ ) ( f ( θ i ) ) 2 . Tomamos el límite a medida que n → ∞ para obtener el área exacta: A = lím n → ∞ A n = 1 2 ∫ α β ( f ( θ ) ) 2 d θ . Esto da el siguiente teorema. Área de una región delimitada por una curva polar Supongamos que f es continua y no negativa en el intervalo α ≤ θ ≤ β con 0 < β − α ≤ 2 π . El área de la región delimitada por el gráfico de r = f ( θ ) entre las líneas radiales θ = α y θ = β es A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ α β r 2 d θ . Hallar el área de una región polar Halle el área de un pétalo de la rosa definida por la ecuación r = 3 sen ( 2 θ ) . El gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) es el siguiente. El gráfico de r = 3 sen ( 2 θ ) . Cuando θ = 0 tenemos r = 3 sen ( 2 ( 0 ) ) = 0 . El siguiente valor para el que r = 0 es θ = π / 2 . Esto se puede ver resolviendo la ecuación 3 sen ( 2 θ ) = 0 para θ . Por lo tanto, los valores θ = 0 a θ = π / 2 traza el primer pétalo de la rosa. Para hallar el área dentro de este pétalo, utilice la con f ( θ ) = 3 sen ( 2 θ ) , α = 0 , y β = π / 2 : A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 [ 3 sen ( 2 θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π / 2 9 sen 2 ( 2 θ ) d θ . Para evaluar esta integral, utilice la fórmula sen 2 α = ( 1 − cos ( 2 α ) ) / 2 con α = 2 θ : A = 1 2 ∫ 0 π / 2 9 sen 2 ( 2 θ ) d θ = 9 2 ∫ 0 π / 2 ( 1 − cos ( 4 θ ) ) 2 d θ = 9 4 ( ∫ 0 π / 2 1 − cos ( 4 θ ) d θ ) = 9 4 ( θ − sen ( 4 θ ) 4 ) 0 π / 2 = 9 4 ( π 2 − sen 2 π 4 ) − 9 4 ( 0 − sen 4 ( 0 ) 4 ) = 9 π 8 . Halle el área dentro de la cardioide definida por la ecuación r = 1 − cos θ . A = 3 π / 2 Pista Utilice . Asegúrese de determinar los límites correctos de integración antes de evaluar. El implicaba hallar el área dentro de una curva. También podemos utilizar para hallar el área entre dos curvas polares. Sin embargo, a menudo necesitamos hallar los puntos de intersección de las curvas y determinar qué función define la curva exterior o la curva interna entre estos dos puntos. Hallar el área entre dos curvas polares Halle el área fuera de la cardioide r = 2 + 2 sen θ y dentro del círculo r = 6 sen θ . Primero dibuje un gráfico que contenga ambas curvas como se muestra. La región entre las curvas r = 2 + 2 sen θ y r = 6 sen θ . Para determinar los límites de la integración, primero hay que hallar los puntos de intersección fijando las dos funciones iguales entre sí y resolviendo para θ : 6 sen θ = 2 + 2 sen θ 4 sen θ = 2 sen θ = 1 2 . Esto da las soluciones θ = π 6 y θ = 5 π 6 , que son los límites de la integración. El círculo r = 3 sen θ es el gráfico rojo, que es la función exterior, y la cardioide r = 2 + 2 sen θ es el gráfico azul, que es la función interna. Para calcular el área entre las curvas, comience con el área dentro del círculo entre θ = π 6 y θ = 5 π 6 , luego reste el área dentro de la cardioide entre θ = π 6 y θ = 5 π 6 : A = círculo − cardioide = 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 6 sen θ ] 2 d θ − 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 2 + 2 sen θ ] 2 d θ = 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 36 sen 2 θ d θ − 1 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 4 + 8 sen θ + 4 sen 2 θ ] d θ = 18 ∫ π / 6 5 π / 6 1 − cos ( 2 θ ) 2 d θ − 2 ∫ π / 6 5 π / 6 [ 1 + 2 sen θ + 1 − cos ( 2 θ ) 2 ] d θ = 9 [ θ − sen ( 2 θ ) 2 ] π / 6 5 π / 6 − 2 [ 3 θ 2 − 2 cos θ − sen ( 2 θ ) 4 ] π / 6 5 π / 6 = 9 ( 5 π 6 − sen 2 ( 5 π / 6 ) 2 ) − 9 ( π 6 − sen 2 ( π / 6 ) 2 ) − ( 3 ( 5 π 6 ) − 4 cos 5 π 6 − sen 2 ( 5 π / 6 ) 2 ) + ( 3 ( π 6 ) − 4 cos π 6 − sen 2 ( π / 6 ) 2 ) = 4 π . Halle el área dentro del círculo r = 4 cos θ y fuera del círculo r = 2 . A = 4 π 3 + 4 3 Pista Utilice y aproveche la simetría. En el hallamos el área dentro del círculo y fuera de la cardioide hallando primero sus puntos de intersección. Observe que al resolver la ecuación directamente para θ ha aportado dos soluciones θ = π 6 y θ = 5 π 6 . Sin embargo, en el gráfico hay tres puntos de intersección. El tercer punto de intersección es el origen. La razón por la que este punto no aparece como solución es porque el origen está en ambos gráficos pero para diferentes valores de θ . Por ejemplo, para la cardioide obtenemos 2 + 2 sen θ = 0 sen θ = −1 , por lo que los valores de θ que resuelven esta ecuación son θ = 3 π 2 + 2 n π , donde n es un número entero cualquiera. Para el círculo obtenemos 6 sen θ = 0 . Las soluciones de esta ecuación son de la forma θ = n π para cualquier valor entero de n. Estos dos conjuntos de soluciones no tienen puntos en común. Independientemente de este hecho, las curvas se cruzan en el origen. Este caso debe tenerse siempre en cuenta. Longitud del arco en curvas polares Aquí derivamos una fórmula para la longitud de arco de una curva definida en coordenadas polares. En coordenadas rectangulares, la longitud de arco de una curva parametrizada ( x ( t ) , y ( t ) ) para a ≤ t ≤ b está dada por L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . En coordenadas polares definimos la curva mediante la ecuación r = f ( θ ) , donde α ≤ θ ≤ β . Para adaptar la fórmula de la longitud de arco para una curva polar, utilizamos las ecuaciones x = r cos θ = f ( θ ) cos θ y y = r sen θ = f ( θ ) sen θ , y sustituimos el parámetro t por θ . Entonces d x d θ = f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ d y d θ = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ . Reemplazamos d t por d θ , y los límites inferior y superior de integración son α y β , respectivamente. Entonces la fórmula de la longitud de arco se convierte en L = ∫ a b ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t = ∫ α β ( d x d θ ) 2 + ( d y d θ ) 2 d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ ) 2 + ( f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ ) 2 d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) ) 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) + ( f ( θ ) ) 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) d θ = ∫ α β ( f ′ ( θ ) ) 2 + ( f ( θ ) ) 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Esto nos da el siguiente teorema. Longitud de arco de una curva definida por una función polar Supongamos que f es una función cuya derivada es continua en un intervalo α ≤ θ ≤ β . La longitud del gráfico de r = f ( θ ) de θ = α a θ = β es L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Hallar la longitud del arco de una curva polar Halle la longitud de arco de la cardioide r = 2 + 2 cos θ . Cuando θ = 0 , r = 2 + 2 cos 0 = 4. Además, como θ va de 0 a 2 π , la cardioide se traza exactamente una vez. Por lo tanto, estos son los límites de la integración. Al usar f ( θ ) = 2 + 2 cos θ , α = 0 , y β = 2 π , la se convierte en L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ 0 2 π [ 2 + 2 cos θ ] 2 + [ − 2 sen θ ] 2 d θ = ∫ 0 2 π 4 + 8 cos θ + 4 cos 2 θ + 4 sen 2 θ d θ = ∫ 0 2 π 4 + 8 cos θ + 4 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) d θ = ∫ 0 2 π 8 + 8 cos θ d θ = 2 ∫ 0 2 π 2 + 2 cos θ d θ . A continuación, utilizando la identidad cos ( 2 α ) = 2 cos 2 α − 1 , sume 1 a ambos lados y multiplique por 2. Esto da 2 + 2 cos ( 2 α ) = 4 cos 2 α . Sustituyendo α = θ / 2 da como resultado 2 + 2 cos θ = 4 cos 2 ( θ / 2 ) , por lo que la integral se convierte en L = 2 ∫ 0 2 π 2 + 2 cos θ d θ = 2 ∫ 0 2 π 4 cos 2 ( θ 2 ) d θ = 2 ∫ 0 2 π 2 | cos ( θ 2 ) | d θ . El valor absoluto es necesario porque el coseno es negativo para algunos valores en su dominio. Para resolver este problema, cambie los límites de 0 a π y duplique la respuesta. Esta estrategia funciona porque el coseno es positivo entre 0 y π 2 . Por lo tanto, L = 4 ∫ 0 2 π | cos ( θ 2 ) | d θ = 8 ∫ 0 π cos ( θ 2 ) d θ = 8 ( 2 sen ( θ 2 ) ) 0 π = 16. Halle la longitud de arco total de r = 3 sen θ . s = 3 π Pista Utilice . Para determinar los límites correctos, haga una tabla de valores. Conceptos clave El área de una región en coordenadas polares definida por la ecuación r = f ( θ ) con α ≤ θ ≤ β está dada por la integral A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ . Para hallar el área entre dos curvas en el sistema de coordenadas polares, primero hay que hallar los puntos de intersección y luego restar las áreas correspondientes. La longitud de arco de una curva polar definida por la ecuación r = f ( θ ) con α ≤ θ ≤ β está dada por la integral L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ . Ecuaciones clave Área de una región delimitada por una curva polar A = 1 2 ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 d θ = 1 2 ∫ α β r 2 d θ Longitud de arco de una curva polar L = ∫ α β [ f ( θ ) ] 2 + [ f ′ ( θ ) ] 2 d θ = ∫ α β r 2 + ( d r d θ ) 2 d θ En los siguientes ejercicios, determine una integral definida que represente el área. Región delimitada por r = 4 Región delimitada por r = 3 sen θ 9 2 ∫ 0 π sen 2 θ d θ Región en el primer cuadrante dentro de la cardioide r = 1 + sen θ Región delimitada por un pétalo de r = 8 sen ( 2 θ ) grandes. 32 ∫ 0 π / 2 sen 2 ( 2 θ ) d θ Región delimitada por un pétalo de r = cos ( 3 θ ) Región por debajo del eje polar y delimitada por r = 1 − sen θ 1 2 ∫ π 2 π ( 1 − sen θ ) 2 d θ Región del primer cuadrante delimitada por r = 2 − cos θ Región delimitada por el lazo interno de r = 2 − 3 sen θ ∫ sen −1 ( 2 / 3 ) π / 2 ( 2 − 3 sen θ ) 2 d θ Región delimitada por el lazo interno de r = 3 − 4 cos θ Región delimitada por r = 1 − 2 cos θ y fuera del lazo interno ∫ π / 3 π ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ − ∫ 0 π / 3 ( 1 − 2 cos θ ) 2 d θ Región común a r = 3 sen θ y r = 2 − sen θ Región común a r = 2 y r = 4 cos θ 4 ∫ 0 π / 3 d θ + 16 ∫ π / 3 π / 2 ( cos 2 θ ) d θ Región común a r = 3 cos θ y r = 3 sen θ En los siguientes ejercicios, halle el área de la región descrita. Delimitada por r = 6 sen θ 9 π Por encima del eje polar delimitado por r = 2 + sen θ Por debajo del eje polar y delimitado por r = 2 − cos θ 9 π 4 Delimitada por un pétalo de r = 4 cos ( 3 θ ) Delimitada por un pétalo de r = 3 cos ( 2 θ ) grandes. 9 π 8 Delimitada por r = 1 + sen θ Delimitada por el lazo interno de r = 3 + 6 cos θ 18 π − 27 3 2 Delimitada por r = 2 + 4 cos θ y fuera del lazo interno Interior común de r = 4 sen ( 2 θ ) y r = 2 4 3 ( 4 π − 3 3 ) Interior común de r = 3 − 2 sen θ y r = −3 + 2 sen θ Interior común de r = 6 sen θ y r = 3 3 2 ( 4 π − 3 3 ) Dentro de r = 1 + cos θ y fuera de r = cos θ Interior común de r = 2 + 2 cos θ y r = 2 sen θ 2 π − 4 En los siguientes ejercicios, calcule una integral definida que represente la longitud del arco. r = 4 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = 1 + sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π ∫ 0 2 π ( 1 + sen θ ) 2 + cos 2 θ d θ r = 2 s θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 3 r = e θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 1 2 ∫ 0 1 e θ d θ En los siguientes ejercicios, halle la longitud de la curva en el intervalo dado. r = 6 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = e 3 θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 10 3 ( e 6 − 1 ) grandes. r = 6 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 r = 8 + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 32 r = 1 − sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ 2 π En los siguientes ejercicios, utilice las funciones de integración de una calculadora para aproximar la longitud de la curva. [T] r = 3 θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 6,238 [T] r = 2 θ en el intervalo π ≤ θ ≤ 2 π [T] r = sen 2 ( θ 2 ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 2 [T] r = 2 θ 2 en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π [T] r = sen ( 3 cos θ ) en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π 4,39 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar el área de la región descrita y luego confirme utilizando la integral definida. r = 3 sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π A = π ( 2 2 ) 2 = π 2 y 1 2 ∫ 0 π ( 1 + 2 sen θ cos θ ) d θ = π 2 r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula conocida en geometría para hallar la longitud de la curva y luego confirme utilizando la integral definida. r = 3 sen θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π C = 2 π ( 3 2 ) = 3 π y ∫ 0 π 3 d θ = 3 π r = sen θ + cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π r = 6 sen θ + 8 cos θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π C = 2 π ( 5 ) = 10 π y ∫ 0 π 10 d θ = 10 π Compruebe que si y = r sen θ = f ( θ ) sen θ entonces d y d θ = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ . En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de una línea tangente a una curva polar r = f ( θ ) . Supongamos que x = r cos θ = f ( θ ) cos θ y y = r sen θ = f ( θ ) sen θ , por lo que la ecuación polar r = f ( θ ) se escribe ahora en forma paramétrica. Utilice la definición de la derivada d y d x = d y / d θ d x / d θ y la regla del producto para calcular la derivada de una ecuación polar. d y d x = f ′ ( θ ) sen θ + f ( θ ) cos θ f ′ ( θ ) cos θ − f ( θ ) sen θ r = 1 − sen θ ; ( 1 2 , π 6 ) grandes. r = 4 cos θ ; ( 2 , π 3 ) La pendiente es 1 3 . r = 8 sen θ ; ( 4 , 5 π 6 ) grandes. r = 4 + sen θ ; ( 3 , 3 π 2 ) La pendiente es 0. r = 6 + 3 cos θ ; ( 3 , π ) grandes. r = 4 cos ( 2 θ ) ; puntas de las hojas En ( 4 , 0 ) , la pendiente es indefinida. En ( −4 , π 2 ) , la pendiente es 0. r = 2 sen ( 3 θ ) ; puntas de las hojas r = 2 θ ; ( π 2 , π 4 ) La pendiente es indefinida en θ = π 4 . Halle los puntos del intervalo − π ≤ θ ≤ π en los que la cardioide r = 1 − cos θ tiene una línea tangente vertical u horizontal. Para la cardioide r = 1 + sen θ , halle la pendiente de la línea tangente cuando θ = π 3 . Pendiente = –1. En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de la línea tangente a la curva polar dada en el punto dado por el valor de θ . r = 3 cos θ , θ = π 3 r = θ , θ = π 2 La pendiente es −2 π . r = ln θ , θ = e [T] Utilice un dispositivo tecnológico: r = 2 + 4 cos θ en θ = π 6 Respuesta de la calculadora: –0,836. En los siguientes ejercicios, halle los puntos en los que las siguientes curvas polares tienen una línea tangente horizontal o vertical. r = 4 cos θ r 2 = 4 cos ( 2 θ ) Tangente horizontal en ( ± 2 , π 6 ) , ( ± 2 , − π 6 ) . r = 2 sen ( 2 θ ) La cardioide r = 1 + sen θ Tangentes horizontales en π 2 , 7 π 6 , 11 π 6 . Tangentes verticales en π 6 , 5 π 6 y también en el polo ( 0 , 0 ) . Demuestre que la curva r = sen θ tan θ (llamada cisoide de Diocles ) tiene la línea x = 1 como asíntota vertical.", "section": "Área y longitud de arco en coordenadas polares", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Secciones cónicas Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos y se consideraban un concepto matemático importante. Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menecmo, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas. Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura. En esta sección discutimos las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones. Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse mediante la intersección de un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica denominadas hojas . Una hoja es lo que la mayoría de la gente entiende por \"cono\", con forma de sombrero de fiesta. Se puede generar un cono circular recto haciendo girar una línea que pasa por el origen alrededor del eje y , como se muestra. Un cono generado al girar la línea y = 3 x alrededor del eje y . Las secciones cónicas se generan mediante la intersección de un plano con un cono ( ). Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y ), la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generatriz, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano interseca una hoja en un ángulo con el eje (que no sea 90 ° ) , entonces la sección cónica es una elipse. Las cuatro secciones cónicas. Cada sección cónica está determinada por el ángulo que forma el plano con el eje del cono. Parábolas Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora. En este caso, el plano interseca solo una de las hojas. Una parábola también puede definirse en términos de distancias. Definición Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado foco , es igual a la distancia a una línea fija, llamada directriz . El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice de la parábola. El gráfico de una parábola típica aparece en la . Utilizando este diagrama junto con la fórmula de la distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola. Recordemos la fórmula de la distancia: Dado un punto P con coordenadas ( x 1 , y 1 ) y el punto Q con coordenadas ( x 2 , y 2 ) , la distancia entre ellos está dada por la fórmula d ( P , Q ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . Entonces, a partir de la definición de parábola y de la , obtenemos d ( F , P ) = d ( P , Q ) ( 0 − x ) 2 + ( p − y ) 2 = ( x – x ) 2 + ( − p − y ) 2 . Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando se obtiene x 2 + ( p − y ) 2 = 0 2 + ( − p − y ) 2 x 2 + p 2 − 2 p y + y 2 = p 2 + 2 p y + y 2 x 2 − 2 p y = 2 p y x 2 = 4 p y . Una parábola típica en la que la distancia del foco al vértice está representada por la variable p . Ahora supongamos que queremos reubicar el vértice. Utilizamos las variables ( h , k ) para denotar las coordenadas del vértice. Entonces, si el foco está directamente sobre el vértice, tiene coordenadas ( h , k + p ) y la directriz tiene la ecuación y = k − p . Si se realiza la misma derivación se obtiene la fórmula ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) . Resolviendo esta ecuación para y se llega al siguiente teorema. Ecuaciones de las parábolas Dada una parábola que se abre hacia arriba con el vértice situado en ( h , k ) y foco situado en ( h , k + p ) , donde p es una constante, la ecuación de la parábola está dada por y = 1 4 p ( x − h ) 2 + k . Esta es la forma estándar de una parábola. También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha. La ecuación para cada uno de estos casos también puede escribirse en forma estándar como se muestra en los siguientes gráficos. Cuatro parábolas, que se abren en varias direcciones, junto con sus ecuaciones en forma estándar. Además, la ecuación de una parábola puede escribirse en la forma general , aunque en esta forma los valores de h , k y p no son inmediatamente reconocibles. La forma general de una parábola se escribe como a x 2 + b x + c y + d = 0 o a y 2 + b x + c y + d = 0 . La primera ecuación representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. La segunda ecuación representa una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Para poner la ecuación en forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Conversión de la ecuación de una parábola de la forma general a la forma estándar Escriba la ecuación x 2 − 4 x − 8 y + 12 = 0 en forma estándar y grafique la parábola resultante. Como y no está elevada al cuadrado en esta ecuación, sabemos que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, tenemos que resolver esta ecuación para y, lo que pondrá la ecuación en forma estándar. Para ello, sume primero 8 y a ambos lados de la ecuación: 8 y = x 2 − 4 x + 12 . El siguiente paso es completar el cuadrado del lado derecho. Empiece por agrupar los dos primeros términos del lado derecho utilizando paréntesis: 8 y = ( x 2 − 4 x ) + 12 . A continuación, determine la constante que, sumada dentro del paréntesis, hace que la cantidad dentro del paréntesis sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, se toma la mitad del coeficiente de x y se eleva al cuadrado. Esto da ( −4 2 ) 2 = 4 . Sume 4 dentro del paréntesis y reste 4 fuera del paréntesis, por lo que el valor de la ecuación no cambia: 8 y = ( x 2 − 4 x + 4 ) + 12 − 4 . Ahora combine los términos semejantes y factorice la cantidad dentro del paréntesis: 8 y = ( x − 2 ) 2 + 8 . Por último, divida entre 8: y = 1 8 ( x − 2 ) 2 + 1 . Esta ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = 2 , k = 1 , y p = 2 . La parábola se abre, con vértice en ( 2 , 1 ) , foco en ( 2 , 3 ) , y directriz y = −1 . El gráfico de esta parábola es el siguiente. La parábola en el . Escriba la ecuación 2 y 2 − x + 12 y + 16 = 0 en forma estándar y grafique la parábola resultante. x = 2 ( y + 3 ) 2 − 2 Pista Resuelva para x . Compruebe en qué dirección se abre la parábola. El eje de simetría de una parábola vertical (que se abre hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice. La parábola tiene una propiedad interesante de reflexión. Supongamos que tenemos una antena parabólica con una sección transversal parabólica. Si un haz de ondas electromagnéticas, como la luz o las ondas de radio, llega a la antena parabólica en línea recta desde un satélite (paralelo al eje de simetría), las ondas se reflejan en la antena y se acumulan en el foco de la parábola, como se muestra. Consideremos una antena parabólica diseñada para recoger las señales de un satélite en el espacio. La antena parabólica se orienta directamente hacia el satélite y un receptor se sitúa en el foco de la parábola. Las ondas de radio procedentes del satélite se reflejan en la superficie de la parábola hasta el receptor, que recoge y descodifica las señales digitales. Esto permite que un pequeño receptor recoja señales de un ángulo amplio del cielo. Las linternas y los faros de los automóviles funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de luz (es decir, la bombilla) está situada en el foco y la superficie reflectante del espejo parabólico enfoca el haz de luz hacia delante. Esto permite que una pequeña bombilla ilumine un ángulo amplio de espacio delante de la linterna o del automóvil. Elipses Una elipse también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices. Más adelante veremos las directrices con más detalle. Definición Una elipse es el conjunto de todos los puntos para los que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Una elipse típica en la que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El gráfico de una elipse típica se muestra en la . En esta figura los focos están marcados como F y F ′ . Ambas están a la misma distancia fija del origen, y esta distancia se representa con la variable c . Por lo tanto, las coordenadas de F son ( c , 0 ) y las coordenadas de F ′ son ( − c , 0 ) . Los puntos P y P ′ están situados en los extremos del eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas ( a , 0 ) y ( − a , 0 ) , respectivamente. El eje mayor es siempre la distancia más larga de la elipse y puede ser horizontal o vertical. Por tanto, la longitud del eje mayor de esta elipse es 2 a. Además, P y P ′ se llaman los vértices de la elipse. Los puntos Q y Q ′ están situados en los extremos del eje menor de la elipse, y tienen coordenadas ( 0 , b ) y ( 0 , − b ) , respectivamente. El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse. El eje menor es perpendicular al eje mayor. Según la definición de la elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias de este punto a los dos focos es constante. Supongamos que elegimos el punto P. Como las coordenadas del punto P son ( a , 0 ) , la suma de las distancias es d ( P , F ) + d ( P , F ′ ) = ( a − c ) + ( a + c ) = 2 a . Por tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas ( x , y ) también es igual a 2 a. Utilizando la fórmula de la distancia, obtenemos d ( A , F ) + d ( A , F ′ ) = 2 a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a . Reste el segundo radical de ambos lados y eleve al cuadrado ambos lados: ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x + c ) 2 + y 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 x 2 − 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 − 2 c x = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x . Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado: − 2 c x = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x 4 a ( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 c x ( x + c ) 2 + y 2 = a + c x a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + c 2 + y 2 = a 2 + c 2 x 2 a 2 . Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho: x 2 − c 2 x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 ( a 2 − c 2 ) x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 . Divida ambos lados entre a 2 − c 2 . Esto da la ecuación x 2 a 2 + y 2 a 2 − c 2 = 1 . Si volvemos a la , entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de la línea verde es igual a a . Esto es cierto porque la suma de las distancias del punto Q a los focos F y F ′ es igual a 2 a , y las longitudes de estos dos segmentos de línea son iguales. Este segmento de línea forma un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa a y longitudes de catetos b y c . A partir del teorema de Pitágoras, a 2 = b 2 = c 2 y b 2 + a 2 − c 2 . Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Por último, si el centro de la elipse se desplaza del origen a un punto ( h , k ) , tenemos la siguiente forma estándar de una elipse. Ecuación de una elipse en forma estándar Consideremos la elipse con centro ( h , k ) , un eje mayor horizontal de longitud 2 a y un eje menor vertical de longitud 2 b . Entonces la ecuación de esta elipse en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . Las ecuaciones de las directrices son x = h ± a 2 c . Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la elipse se convierte en ( x − h ) 2 b 2 + ( y − k ) 2 a 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . Las ecuaciones de las directrices en este caso son y = k ± a 2 c . Si el eje mayor es horizontal, la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la elipse se llama vertical. La ecuación de una elipse está en forma general si tiene la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , donde A y B son ambos positivos o ambos negativos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Hallar la forma estándar de una elipse Escriba la ecuación 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y + 36 = 0 en forma estándar y grafique la elipse resultante. Primero reste 36 a ambos lados de la ecuación: 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y = –36 . A continuación, agrupe los términos x y los términos y y factorice los factores comunes: ( 9 x 2 − 36 x ) + ( 4 y 2 + 24 y ) = −36 9 ( x 2 − 4 x ) + 4 ( y 2 + 6 y ) = −36. Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ( −4 2 ) 2 = 4 . En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ( 6 2 ) 2 = 9 . Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, sumamos 36 al segundo conjunto también. Por lo tanto, la ecuación se convierte en 9 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 4 ( y 2 + 6 y + 9 ) = −36 + 36 + 36 9 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 4 ( y 2 + 6 y + 9 ) = 36. Ahora factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 36: 9 ( x − 2 ) 2 + 4 ( y + 3 ) 2 = 36 9 ( x − 2 ) 2 36 + 4 ( y + 3 ) 2 36 = 1 ( x − 2 ) 2 4 + ( y + 3 ) 2 9 = 1 La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = 2 , k = −3 , a = 3 , y b = 2 . Se trata de una elipse vertical con centro en ( 2 , −3 ) , eje mayor 6 y eje menor 4. El gráfico de esta elipse es el siguiente. La elipse en el . Escriba la ecuación 9 x 2 + 16 y 2 + 18 x − 64 y − 71 = 0 en forma estándar y grafique la elipse resultante. ( x + 1 ) 2 16 + ( y − 2 ) 2 9 = 1 Pista Mueva la constante y complete el cuadrado. Según la primera ley de Kepler del movimiento planetario, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos, como se muestra en la (a). Como la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año. Una idea errónea muy extendida es que la Tierra está más cerca del Sol en verano. De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno. La diferencia de estación se debe a la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital. Los cometas que orbitan alrededor del Sol, como el cometa Halley, también tienen órbitas elípticas, al igual que las lunas que orbitan los planetas y los satélites que orbitan la Tierra. Las elipses también tienen propiedades interesantes de reflexión: Un rayo de luz que emana de un foco pasa por el otro foco después de la reflexión del espejo en la elipse. Lo mismo ocurre con una onda sonora. La Sala Nacional de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos en Washington, DC, es una famosa sala de forma elíptica, como se muestra en la (b). Esta sala sirvió como lugar de reunión de la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años. La ubicación de los dos focos de esta sala semielíptica están claramente identificados por marcas en el suelo, e incluso si la sala está llena de visitantes, cuando dos personas se sitúan en estos puntos y hablan entre sí, pueden oírse mutuamente con mucha más claridad de la que pueden oír a alguien que esté cerca. Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio situado en uno de los focos y podía escuchar a todos los demás en la Cámara sin necesidad de ponerse de pie. Aunque es una buena historia, es poco probable que sea cierta, porque el techo original producía tanto eco que hubo que poner alfombras en toda la sala para amortiguar el ruido. El techo fue reconstruido en 1902 y solo entonces surgió el ahora famoso efecto de susurro. Otro famoso gabinete de secretos, sitio de muchas propuestas de matrimonio, se encuentra en la estación Grand Central de Nueva York. (a) La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de sus focos. (b) La Sala de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos es una galería de secretos con una sección transversal elíptica. Hipérbolas Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas. Definición Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en los que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. El gráfico de una hipérbola típica es la siguiente. Una hipérbola típica en la que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El eje transversal también se llama eje mayor, y el eje conjugado también se llama eje menor. La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse. Un pequeño inconveniente radica en la definición: La diferencia entre dos números es siempre positiva. Supongamos que P es un punto de la hipérbola con coordenadas ( x , y ) . Entonces la definición de la hipérbola da | d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) | = constante . Para simplificar la derivación, se supone que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto se eliminan. Si está en la rama izquierda, la resta se invierte. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas ( a , 0 ) , así que d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) = ( c + a ) − ( c − a ) = 2 a . Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas ( x , y ) para P : d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) = 2 a ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a . Sume el segundo radical de ambos lados y eleve ambos lados al cuadrado: ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a + ( x + c ) 2 + y 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 x 2 − 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 − 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x . Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado: − 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x 4 a ( x + c ) 2 + y 2 = −4 a 2 − 4 c x ( x + c ) 2 + y 2 = − a − c x a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + c 2 + y 2 = a 2 + c 2 x 2 a 2 . Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho: x 2 − c 2 x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 ( a 2 − c 2 ) x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 . Finalmente, divida ambos lados entre a 2 − c 2 . Esto da la ecuación x 2 a 2 + y 2 a 2 − c 2 = 1 . Ahora definimos b de manera que b 2 = c 2 − a 2 . Esto es posible porque c > a . Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 . Por último, si el centro de la hipérbola se desplaza del origen al punto ( h , k ) , tenemos la siguiente forma estándar de una hipérbola. Ecuación de una hipérbola en forma estándar Consideremos la hipérbola con centro ( h , k ) , un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta elipse es ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± b a ( x − h ) . Las ecuaciones de las directrices son x = k ± a 2 a 2 + b 2 = h ± a 2 c . Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la hipérbola se convierte en ( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± a b ( x − h ) . Las ecuaciones de las directrices son y = k ± a 2 a 2 + b 2 = k ± a 2 c . Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la hipérbola se llama vertical. La ecuación de una hipérbola está en forma general si tiene la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Hallar la forma estándar de una hipérbola Escriba la ecuación 9 x 2 − 16 y 2 + 36 x + 32 y − 124 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas? Primero sume 124 a ambos lados de la ecuación: 9 x 2 − 16 y 2 + 36 x + 32 y = 124 . A continuación, agrupe los términos x y los términos y y luego factorice los factores comunes: ( 9 x 2 + 36 x ) − ( 16 y 2 − 32 y ) = 124 9 ( x 2 + 4 x ) − 16 ( y 2 − 2 y ) = 124. Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ( 4 2 ) 2 = 4 . En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ( −2 2 ) 2 = 1 . Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, restamos 16 al segundo conjunto de paréntesis. Por lo tanto, la ecuación se convierte en 9 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 16 ( y 2 − 2 y + 1 ) = 124 + 36 − 16 9 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 16 ( y 2 − 2 y + 1 ) = 144. A continuación, factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 144: 9 ( x + 2 ) 2 − 16 ( y − 1 ) 2 = 144 9 ( x + 2 ) 2 144 − 16 ( y − 1 ) 2 144 = 1 ( x + 2 ) 2 16 − ( y − 1 ) 2 9 = 1 La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = –2 , k = 1 , a = 4 , y b = 3 . Se trata de una hipérbola horizontal con centro en ( –2 , 1 ) y las asíntotas dadas por las ecuaciones y = 1 ± 3 4 ( x + 2 ) . El gráfico de esta hipérbola aparece en la siguiente figura. Gráfico de la hipérbola en el . Escriba la ecuación 4 y 2 − 9 x 2 + 16 y + 18 x − 29 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas? ( y + 2 ) 2 9 − ( x – 1 ) 2 4 = 1 . Se trata de una hipérbola vertical. Asíntotas y = −2 ± 3 2 ( x – 1 ) . Pista Mueva la constante y complete el cuadrado. Compruebe en qué dirección se abre la hipérbola. Las hipérbolas también tienen propiedades interesantes de reflexión. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la siguiente figura. Un espejo hiperbólico utilizado para recoger la luz de las estrellas lejanas. Esta propiedad de la hipérbola tiene aplicaciones importantes. Se utiliza en la radiogoniometría (ya que la diferencia de las señales de dos torres es constante a lo largo de las hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de los telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico hacia el ocular). Otro hecho interesante sobre las hipérbolas es que para un cometa que entra en el sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar de la atracción gravitatoria del Sol, entonces la trayectoria que toma el cometa a su paso por el sistema solar es hiperbólica. Excentricidad y directriz Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de forma única esa sección cónica. Definición La excentricidad e de una sección cónica se define como la distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana. Este valor es constante para cualquier sección cónica, y puede definir también la sección cónica: Si e = 1 , la sección cónica es una parábola. Si e < 1 , es una elipse. Si e > 1 , es una hipérbola. La excentricidad de un círculo es cero. La directriz de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica. Las hipérbolas y las elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas. Las parábolas tienen un foco y una directriz. Las tres secciones cónicas con sus directrices aparecen en la siguiente figura. Las tres secciones cónicas con sus focos y directrices. Recordemos de la definición de parábola que la distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1. Las ecuaciones de las directrices de una elipse horizontal son x = ± a 2 c . El vértice derecho de la elipse se encuentra en ( a , 0 ) y el foco derecho es ( c , 0 ) . Por tanto, la distancia del vértice al foco es a − c y la distancia del vértice a la directriz derecha es a 2 c − a . Esto da la excentricidad como e = a − c a 2 c − a = c ( a − c ) a 2 − a c = c ( a − c ) a ( a − c ) = c a . Dado que c < a , este paso demuestra que la excentricidad de una elipse es menor que 1. Las directrices de una hipérbola horizontal también se encuentran en x = ± a 2 c , y un cálculo similar muestra que la excentricidad de una hipérbola es también e = c a . Sin embargo, en este caso tenemos c > a , por lo que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. Determinación de la excentricidad de una sección cónica Determine la excentricidad de la elipse descrita por la ecuación ( x − 3 ) 2 16 + ( y + 2 ) 2 25 = 1 . De la ecuación vemos que a = 5 y b = 4 . El valor de c puede calcularse mediante la ecuación a 2 = b 2 + c 2 para una elipse. Sustituyendo los valores de a y b y resolviendo para c se obtiene c = 3 . Por lo tanto la excentricidad de la elipse es e = c a = 3 5 = 0,6 . Determine la excentricidad de la hipérbola descrita por la ecuación ( y − 3 ) 2 49 − ( x + 2 ) 2 25 = 1 . e = c a = 74 7 ≈ 1,229 Pista Primero halle los valores de a y b , luego determine c usando la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Ecuaciones polares de secciones cónicas A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica p se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), c es la distancia del origen al foco y e es la excentricidad. En el caso de una parábola, a representa la distancia del vértice al foco. Excentricidades y parámetros focales de las secciones cónicas Sección cónica e p Elipse 0 < e < 1 a 2 − c 2 c = a 2 ( 1 − e 2 ) e Parábola e = 1 2 a Hipérbola e > 1 c 2 − a 2 c = a ( e 2 – 1 ) e Utilizando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, suponemos que uno de los focos de una sección cónica dada se encuentra en el polo. Entonces, utilizando la definición de las distintas secciones cónicas en términos de distancias, es posible demostrar el siguiente teorema. Ecuación polar de las secciones cónicas La ecuación polar de una sección cónica con parámetro focal p está dada por r = e p 1 ± e cos θ o r = e p 1 ± e sen θ . En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero hay que hacer que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción entre la constante que aparece delante del más o del menos en el denominador. Entonces el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la sección cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la sección cónica es horizontal. Si aparece el seno, entonces la sección cónica es vertical. Si aparecen ambos, los ejes se giran. El centro de sección cónica no está necesariamente en el origen. El centro está en el origen solo si la sección cónica es un círculo (es decir, e = 0 ) . Graficar una sección cónica en coordenadas polares Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación r = 3 1 + 2 cos θ . El término constante en el denominador es 1, por lo que la excentricidad de la sección cónica es 2. Esto es una hipérbola. El parámetro focal p puede calcularse mediante la ecuación e p = 3 . Dado que e = 2 , esto da p = 3 2 . La función coseno aparece en el denominador, por lo que la hipérbola es horizontal. Elija algunos valores para θ y cree una tabla de valores. Entonces podemos graficar la hipérbola ( ). θ r θ r 0 1 π −3 π 4 3 1 + 2 ≈ 1,2426 5 π 4 3 1 − 2 ≈ –7,2426 π 2 3 3 π 2 3 3 π 4 3 1 − 2 ≈ –7,2426 7 π 4 3 1 + 2 ≈ 1,2426 Gráfico de la hipérbola descrita en el . Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación r = 4 1 − 0,8 sen θ . Aquí e = 0,8 y p = 5 . Esta sección cónica es una elipse Pista Primero halle los valores de e y p , y luego cree una tabla de valores. Ecuaciones generales de grado dos Una ecuación general de grado dos puede escribirse de la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 . El gráfico de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si B ≠ 0 entonces los ejes de coordenadas se giran. Para identificar la sección cónica, utilizamos el discriminante de la sección cónica 4 A C − B 2 . Uno de los siguientes casos debe ser cierto: 4 A C − B 2 > 0 . Si es así, el gráfico es una elipse. 4 A C − B 2 = 0 . Si es así, el gráfico es una parábola. 4 A C − B 2 < 0 . Si es así, el gráfico es una hipérbola. El ejemplo más sencillo de una ecuación de segundo grado que incluye un término cruzado es x y = 1 . Esta ecuación puede ser resuelta para y para obtener y = 1 x . El gráfico de esta función se llama hipérbola rectangular , como se muestra. Gráfico de la ecuación x y = 1 ; Las líneas rojas indican los ejes girados. Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes de coordenadas x y y . Para determinar el ángulo θ de rotación de la sección cónica, utilizamos la fórmula cot 2 θ = A − C B . En este caso A = C = 0 y B = 1 , así que cot 2 θ = ( 0 − 0 ) / 1 = 0 y θ = 45 ° . El método para graficar una sección cónica con ejes rotados implica determinar los coeficientes de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado. Los nuevos coeficientes se marcan como A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ , y están dados por las fórmulas A ′ = A cos 2 θ + B cos θ sen θ + C sen 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos 2 θ D ′ = D cos θ + E sen θ E ′ = − D sen θ + E cos θ F ′ = F . El procedimiento para graficar una sección cónica girada es el siguiente: Identifique la sección cónica utilizando el discriminante 4 A C − B 2 . Determine θ utilizando la fórmula cot 2 θ = A − C B . Calcule A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ . Reescriba la ecuación original utilizando A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ . Dibuje un gráfico utilizando la ecuación girada. Identificación de una sección cónica girada Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación 13 x 2 − 6 3 x y + 7 y 2 − 256 = 0 . En esta ecuación, A = 13 , B = –6 3 , C = 7 , D = 0 , E = 0 , y F = –256 . El discriminante de esta ecuación es 4 A C − B 2 = 4 ( 13 ) ( 7 ) − ( −6 3 ) 2 = 364 − 108 = 256 . Por lo tanto esta sección cónica es una elipse. Para calcular el ángulo de rotación de los ejes, utilice cot 2 θ = A − C B . Esto da cot 2 θ = A − C B = 13 − 7 −6 3 = − 3 3 . Por lo tanto, 2 θ = 120 o y θ = 60 o , que es el ángulo de rotación de los ejes. Para determinar los coeficientes rotados, utilice las fórmulas indicadas anteriormente: A ′ = A cos 2 θ + B cos θ sen θ + C sen 2 θ = 13 cos 2 60 + ( −6 3 ) cos 60 sen 60 + 7 sen 2 60 = 13 ( 1 2 ) 2 − 6 3 ( 1 2 ) ( 3 2 ) + 7 ( 3 2 ) 2 = 4, B ′ = 0 , C ′ = A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos 2 θ = 13 sen 2 60 + ( −6 3 ) sen 60 cos 60 = 7 cos 2 60 = ( 3 2 ) 2 + 6 3 ( 3 2 ) ( 1 2 ) + 7 ( 1 2 ) 2 = 16, D ′ = D cos θ + E sen θ = ( 0 ) cos 60 + ( 0 ) sen 60 = 0, E ′ = − D sen θ + E cos θ = − ( 0 ) sen 60 + ( 0 ) cos 60 = 0, F ′ = F = –256. La ecuación de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado es 4 ( x ′ ) 2 + 16 ( y ′ ) 2 = 256 ( x ′ ) 2 64 + ( y ′ ) 2 16 = 1 Un gráfico de esta sección cónica es el siguiente. Gráfico de la elipse descrita por la ecuación 13 x 2 − 6 3 x y + 7 y 2 − 256 = 0 . Los ejes se rotan 60 ° . Las líneas rojas discontinuas indican los ejes rotados. Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación 3 x 2 + 5 x y − 2 y 2 − 125 = 0 . La sección cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es θ = 22,5 ° . Pista Siga los pasos 1 y 2 del método de cinco pasos descrito anteriormente. Conceptos clave La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es y = 1 4 p ( x − h ) 2 + k donde p es la distancia del vértice al foco y ( h , k ) son las coordenadas del vértice. La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 donde el centro tiene coordenadas ( h , k ) , el eje mayor tiene longitud 2 a, el eje menor tiene longitud 2 b y las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 donde el centro tiene coordenadas ( h , k ) , los vértices se encuentran en ( h ± a , k ) , y las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1 y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0. La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es r = e p 1 ± e cos θ o r = e p 1 ± e sen θ , donde p representa el parámetro focal. Para identificar una sección cónica generada por la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , primero calcule el discriminante D = 4 A C − B 2 . Si D > 0 entonces la sección cónica es una elipse, si D = 0 entonces la cónica es una parábola, y si D < 0 entonces la cónica es una hipérbola. En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola utilizando la información dada. Foco ( 4 , 0 ) y directriz x = –4 y 2 = 16 x Foco ( 0 , −3 ) y directriz y = 3 Foco ( 0 , 0,5 ) y directriz y = −0,5 x 2 = 2 y Foco ( 2 , 3 ) y directriz x = –2 Foco ( 0 , 2 ) y directriz y = 4 x 2 = −4 ( y − 3 ) Foco ( –1 , 4 ) y directriz x = 5 Foco ( −3 , 5 ) y directriz y = 1 ( x + 3 ) 2 = 8 ( y − 3 ) Foco ( 5 2 , –4 ) y directriz x = 7 2 En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la elipse utilizando la información dada. Puntos finales del eje mayor en ( 4 , 0 ) , ( −4 , 0 ) y focos situados en ( 2 , 0 ) , ( –2 , 0 ) grandes. x 2 16 + y 2 12 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( 0 , 5 ) , ( 0 , −5 ) y focos situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) Puntos finales del eje menor en ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) y focos situados en ( 3 , 0 ) , ( −3 , 0 ) grandes. x 2 13 + y 2 4 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( −3 , 3 ) , ( 7 , 3 ) y focos situados en ( –2 , 3 ) , ( 6 , 3 ) Puntos finales del eje mayor en ( −3 , 5 ) , ( −3 , −3 ) y focos situados en ( −3 , 3 ) , ( −3 , –1 ) grandes. ( y − 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( 0 , 0 ) , ( 0 , 4 ) y focos situados en ( 5 , 2 ) , ( −5 , 2 ) Focos situados en ( 2 , 0 ) , ( –2 , 0 ) y excentricidad de 1 2 x 2 16 + y 2 12 = 1 Focos situados en ( 0 , −3 ) , ( 0 , 3 ) y excentricidad de 3 4 En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada. Vértices situados en ( 5 , 0 ) , ( −5 , 0 ) y focos situados en ( 6 , 0 ) , ( –6 , 0 ) grandes. x 2 25 − y 2 11 = 1 Vértices situados en ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) y focos situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) Puntos finales del eje conjugado situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) y focos situados en ( 4 , 0 ) , ( −4 , 0 ) grandes. x 2 7 − y 2 9 = 1 Vértices situados en ( 0 , 1 ) , ( 6 , 1 ) y foco situado en ( 8 , 1 ) Vértices situados en ( –2 , 0 ) , ( –2 , –4 ) y foco situado en ( –2 , −8 ) grandes. ( y + 2 ) 2 4 − ( x + 2 ) 2 32 = 1 Puntos finales del eje conjugado situados en ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) y foco situado en ( 3 , 7 ) Focos situados en ( 6 , –0 ) , ( 6 , 0 ) y excentricidad de 3 x 2 4 − y 2 32 = 1 ( 0 , 10 ) , ( 0 , –10 ) y excentricidad de 2,5 En los siguientes ejercicios, considere las siguientes ecuaciones polares de secciones cónicas. Determine la excentricidad e identifique la sección cónica. r = −1 1 + cos θ e = 1 , parábola r = 8 2 − sen θ r = 5 2 + sen θ e = 1 2 , elipse r = 5 −1 + 2 sen θ r = 3 2 − 6 sen θ e = 3 , hipérbola r = 3 −4 + 3 sen θ En los siguientes ejercicios, halle una ecuación polar de la sección cónica con foco en el origen y excentricidad y directriz dadas. Directriz: x = 4 ; e = 1 5 r = 4 5 + cos θ Directriz: x = −4 ; e = 5 Directriz: y = 2 ; e = 2 r = 4 1 + 2 sen θ Directriz: y = −2 ; e = 1 2 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada sección cónica. r = 1 1 + sen θ r = 1 1 − cos θ r = 4 1 + cos θ r = 10 5 + 4 sen θ r = 15 3 − 2 cos θ r = 32 3 + 5 sen θ r ( 2 + sen θ ) = 4 r = 3 2 + 6 sen θ r = 3 −4 + 2 sen θ x 2 9 + y 2 4 = 1 x 2 4 + y 2 16 = 1 4 x 2 + 9 y 2 = 36 25 x 2 − 4 y 2 = 100 x 2 16 − y 2 9 = 1 x 2 = 12 y y 2 = 20 x 12 x = 5 y 2 Para las siguientes ecuaciones, determine cuál de las secciones cónicas se describe. x y = 4 x 2 + 4 x y − 2 y 2 − 6 = 0 Hipérbola x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 − 6 = 0 x 2 − x y + y 2 − 2 = 0 Elipse 34 x 2 − 24 x y + 41 y 2 − 25 = 0 52 x 2 − 72 x y + 73 y 2 + 40 x + 30 y − 75 = 0 Elipse El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por x 2 = 4 y . ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla? Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor? En el punto 2,25 pies por encima del vértice. Consideremos la antena parabólica del problema anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor? Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad. 0,5625 pies Los gabinetes de secretos son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona situada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si un gabinete de secretos tiene una longitud de 120 pies y los focos están situados a 30 pies del centro, halle la altura del techo en el centro. Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en un gabinete de secretos. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería? La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26,53 pies. En los siguientes ejercicios, determine la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se indica en unidades astronómicas (UA). Cometa Halley: longitud del eje mayor = 35,88, excentricidad = 0,967 Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor = 525,91, excentricidad = 0,995 r = 2,616 1 + 0,995 cos θ Marte: longitud del eje mayor = 3,049, excentricidad = 0,0934 Júpiter: longitud del eje mayor = 10,408, excentricidad = 0,0484 r = 5,192 1 + 0,0484 cos θ Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Las coordenadas rectangulares del punto ( 4 , 5 π 6 ) son ( 2 3 , –2 ) . Las ecuaciones x = cosh ( 3 t ) , y = 2 senoh ( 3 t ) representan una hipérbola. Verdadero. La longitud de arco de la espiral dada por r = θ 2 para 0 ≤ θ ≤ 3 π es 9 4 π 3 . Dada x = f ( t ) y de y = g ( t ) , si d x d y = d y d x , entonces f ( t ) = g ( t ) + C, donde C es una constante. Falso. Imagine y = t + 1 , x = − t + 1 . En los siguientes ejercicios, dibuje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva. x = 1 + t , y = t 2 – 1 , −1 ≤ t ≤ 1 x = e t , y = 1 − e 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 y = 1 − x 3 x = sen θ , y = 1 − csc θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π x = 4 cos ϕ , y = 1 − sen ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π x 2 16 + ( y − 1 ) 2 = 1 En los siguientes ejercicios, dibuje la curva polar y determine qué tipo de simetría existe, si es que existe. r = 4 sen ( θ 3 ) grandes. r = 5 cos ( 5 θ ) Simetría alrededor del eje polar En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la curva dada como ecuación cartesiana. x + y = 5 y 2 = 4 + x 2 r 2 = 4 sen 2 θ − cos 2 θ En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafique la función y su línea tangente. x = ln ( t ) , y = t 2 – 1 , t = 1 r = 3 + cos ( 2 θ ) , θ = 3 π 4 y = 3 2 2 + 1 5 ( x + 3 2 2 ) Halle d y d x , d x d y , y d 2 x d y 2 de y = ( 2 + e − t ) , x = 1 − sen ( t ) En los siguientes ejercicios, halle el área de la región. x = t 2 , y = ln ( t ) , 0 ≤ t ≤ e e 2 2 r = 1 − sen θ en el primer cuadrante En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo dado. x = 3 t + 4 , y = 9 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 3 9 10 r = 6 cos θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Compruebe su respuesta utilizando la geometría. En los siguientes ejercicios, halle la ecuación cartesiana que describe las formas dadas. Una parábola con foco ( 2 , −5 ) y directriz x = 6 ( y + 5 ) 2 = −8 x + 32 Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en ( –7 , 2 ) y ( 1 , 2 ) Una hipérbola con vértices en ( 3 , –2 ) y ( −5 , –2 ) y focos en ( –2 , –6 ) y ( –2 , 4 ) grandes. ( y + 1 ) 2 16 − ( x + 2 ) 2 9 = 1 En los siguientes ejercicios, determine la excentricidad e identifique la sección cónica. Dibuje la sección cónica. r = 6 1 + 3 cos ( θ ) grandes. r = 4 3 − 2 cos θ e = 2 3 , elipse r = 7 5 − 5 cos θ Determine la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es de 39,26 UA y la del eje menor de 38,07 UA. ¿Cuál es la excentricidad? y 2 19,03 2 + x 2 19,63 2 = 1 , e = 0,2447 El cometa C/1980 E1 fue observado en 1980. Dada una excentricidad de 1,057 y un perihelio (punto de máxima aproximación al Sol) de 3,364 UA, halle las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Está garantizado que volveremos a ver este cometa? ( Pista : Considere el Sol en el punto ( 0 , 0 ) . ) sección cónica cualquier curva formada por la intersección de un plano con un cono de dos hojas directriz línea utilizada para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene una directriz; las elipses y las hipérbolas tienen dos discriminante el valor 4 A C − B 2 , que se utiliza para identificar una sección cónica cuando la ecuación contiene un término que implica x y , se llama discriminante foco punto utilizado para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene un foco; una elipse y una hipérbola tienen dos excentricidad distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana parámetro focal distancia de un foco de una sección cónica a la directriz más cercana forma general ecuación de una sección cónica escrita como una ecuación general de segundo grado eje mayor el eje mayor de una sección cónica pasa por el vértice en el caso de una parábola o por los dos vértices en el caso de una elipse o una hipérbola; también es un eje de simetría de la sección cónica; también se llama eje transversal eje menor el eje menor es perpendicular al eje mayor y corta al eje mayor en el centro de la sección cónica, o en el vértice en el caso de la parábola; también se llama eje conjugado hoja la mitad de un cono doble forma estándar una ecuación de una sección cónica que muestra sus propiedades, como la ubicación del vértice o las longitudes de los ejes mayor y menor vértice punto extremo de una sección cónica; una parábola tiene un vértice en su punto de inflexión. Una elipse tiene dos vértices, uno en cada extremo del eje mayor; una hipérbola tiene dos vértices, uno en el punto de inflexión de cada rama", "section": "Secciones cónicas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Tabla de integrales Integrales básicas 1. ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 2. ∫ d u u = ln | u | + C 3. ∫ e u d u = e u + C 4. ∫ a u d u = a u ln a + C 5. ∫ sin u d u = −cos u + C 6. ∫ cos u d u = sen u + C 7. ∫ sec 2 u d u = tan u + C 8. ∫ csc 2 u d u = −cot u + C 9. ∫ sec u tan u d u = sec u + C 10. ∫ csc u cot u d u = −csc u + C 11. ∫ tan u d u = ln | sec u | + C 12. ∫ cot u d u = ln | sin u | + C 13. ∫ sec u d u = ln | sec u + tan u | + C 14. ∫ csc u d u = ln | csc u − cot u | + C 15. ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u a + C 16. ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C 17. ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 u a + C Integrales trigonométricas 18. ∫ sen 2 u d u = 1 2 u − 1 4 sen 2 u + C 19. ∫ cos 2 u d u = 1 2 u + 1 4 sen 2 u + C 20. ∫ tan 2 u d u = tan u − u + C 21. ∫ cot 2 u d u = − cot u − u + C 22. ∫ sen 3 u d u = − 1 3 ( 2 + sen 2 u ) cos u + C 23. ∫ cos 3 u d u = 1 3 ( 2 + cos 2 u ) sin u + C 24. ∫ tan 3 u d u = 1 2 tan 2 u + ln | cos u | + C 25. ∫ cot 3 u d u = − 1 2 cot 2 u − ln | sin u | + C 26. ∫ sec 3 u d u = 1 2 sec u tan u + 1 2 ln | sec u + tan u | + C 27. ∫ csc 3 u d u = − 1 2 csc u cot u + 1 2 ln | csc u − cot u | + C 28. ∫ sin n u d u = − 1 n sen n – 1 u cos u + n – 1 n ∫ sin n – 2 u d u 29. ∫ cos n u d u = 1 n cos n – 1 u sin u + n – 1 n ∫ cos n – 2 u d u 30. ∫ tan n u d u = 1 n – 1 tan n – 1 u − ∫ tan n – 2 u d u 31. ∫ cot n u d u = −1 n – 1 cot n – 1 u − ∫ cot n – 2 u d u 32. ∫ sec n u d u = 1 n – 1 tan u sec n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 u d u 33. ∫ csc n u d u = −1 n – 1 cot u csc n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ csc n – 2 u d u 34. ∫ sen a u sin b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) − sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 35. ∫ cos a u cos b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) + sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 36. ∫ sen a u cos b u d u = − cos ( a − b ) u 2 ( a − b ) − cos ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 37. ∫ u sin u d u = sen u − u cos u + C 38. ∫ u cos u d u = cos u + u sin u + C 39. ∫ u n sin u d u = − u n cos u + n ∫ u n – 1 cos u d u 40. ∫ u n cos u d u = u n sin u − n ∫ u n – 1 sin u d u 41. ∫ sin n u cos m u d u = − sen n – 1 u cos m + 1 u n + m + n – 1 n + m ∫ sin n – 2 u cos m u d u = sen n + 1 u cos m − 1 u n + m + m − 1 n + m ∫ sin n u cos m − 2 u d u Integrales exponenciales y logarítmicas 42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 ( a u − 1 ) e a u + C 43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u − n a ∫ u n – 1 e a u d u 44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a sin b u − b cos b u ) + C 45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a cos b u + b sin b u ) + C 46. ∫ ln u d u = u ln u − u + C 47. ∫ u n ln u d u = u n + 1 ( n + 1 ) 2 [ ( n + 1 ) ln u − 1 ] + C 48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C Integrales hiperbólicas 49. ∫ senoh u d u = cosh u + C 50. ∫ cosh u d u = senoh u + C 51. ∫ tanh u d u = ln cosh u + C 52. ∫ coth u d u = ln | senoh u | + C 53. ∫ sech u d u = tan −1 | senoh u | + C 54. ∫ csch u d u = ln | tanh 1 2 u | + C 55. ∫ sech 2 u d u = tanh u + C 56. ∫ csch 2 u d u = − coth u + C 57. ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C 58. ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Integrales trigonométricas inversas 59. ∫ sen −1 u d u = u sin −1 u + 1 − u 2 + C 60. ∫ cos −1 u d u = u cos −1 u − 1 − u 2 + C 61. ∫ tan −1 u d u = u tan −1 u − 1 2 ln ( 1 + u 2 ) + C 62. ∫ u sin −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 sin −1 u + u 1 − u 2 4 + C 63. ∫ u cos −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 cos −1 u − u 1 − u 2 4 + C 64. ∫ u tan −1 u d u = u 2 + 1 2 tan −1 u − u 2 + C 65. ∫ u n sin −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 sin −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 66. ∫ u n cos −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 cos −1 u + ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 67. ∫ u n tan −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 tan −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 + u 2 ] , n ≠ − 1 Integrales que implican a 2 + u 2 , a > 0 68. ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 69. ∫ u 2 a 2 + u 2 d u = u 8 ( a 2 + 2 u 2 ) a 2 + u 2 − a 4 8 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 70. ∫ a 2 + u 2 u d u = a 2 + u 2 − a ln | a + a 2 + u 2 u | + C 71. ∫ a 2 + u 2 u 2 d u = − a 2 + u 2 u + ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 72. ∫ d u a 2 + u 2 = ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 73. ∫ u 2 d u a 2 + u 2 = u 2 ( a 2 + u 2 ) − a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 74. ∫ d u u a 2 + u 2 = − 1 a ln | a 2 + u 2 + a u | + C 75. ∫ d u u 2 a 2 + u 2 = − a 2 + u 2 a 2 u + C 76. ∫ d u ( a 2 + u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 + u 2 + C Integrales que implican u 2 - a 2 , a > 0 77. ∫ u 2 − a 2 d u = u 2 u 2 − a 2 − a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 78. ∫ u 2 u 2 − a 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) u 2 − a 2 − a 4 8 ln | u + u 2 − a 2 | + C 79. ∫ u 2 − a 2 u d u = u 2 − a 2 − a cos −1 a | u | + C 80. ∫ u 2 − a 2 u 2 d u = − u 2 − a 2 u + ln | u + u 2 − a 2 | + C 81. ∫ d u u 2 − a 2 = ln | u + u 2 − a 2 | + C 82. ∫ u 2 d u u 2 − a 2 = u 2 u 2 − a 2 + a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 83. ∫ d u u 2 u 2 − a 2 = u 2 − a 2 a 2 u + C 84a. ∫ d u ( u 2 − a 2 ) 3 / 2 = − u a 2 u 2 − a 2 + C 84b. ∫ d u u 2 − a 2 = 1 2 a ln u − a u + a + C Integrales que implican a 2 - u 2 , a > 0 85. ∫ a 2 − u 2 d u = u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 86. ∫ u 2 a 2 − u 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) a 2 − u 2 + a 4 8 sin −1 u a + C 87. ∫ a 2 − u 2 u d u = a 2 − u 2 − a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 88. ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − 1 u a 2 − u 2 − sin −1 u a + C 89. ∫ u 2 d u a 2 − u 2 = − u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 90. ∫ d u u a 2 − u 2 = − 1 a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 91. ∫ d u u 2 a 2 − u 2 = − 1 a 2 u a 2 − u 2 + C 92. ∫ ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 d u = − u 8 ( 2 u 2 − 5 a 2 ) a 2 − u 2 + 3 a 4 8 sin −1 u a + C 93a. ∫ d u ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 − u 2 + C 93b. ∫ d u a 2 − u 2 = 1 2 a ln u + a u − a + C Integrales que implican 2 au - u 2 , a > 0 94. ∫ 2 a u − u 2 d u = u − a 2 2 a u − u 2 + a 2 2 cos −1 ( a − u a ) + C 95. ∫ d u 2 a u − u 2 = cos −1 ( a − u a ) + C 96. ∫ u 2 a u − u 2 d u = 2 u 2 − a u − 3 a 2 6 2 a u − u 2 + a 3 2 cos −1 ( a − u a ) + C 97. ∫ d u u 2 a u − u 2 = − 2 a u − u 2 a u + C Integrales que implican a + bu , a ≠ 0 98. ∫ u d u a + b u = 1 b 2 ( a + b u − a ln | a + b u | ) + C 99. ∫ u 2 d u a + b u = 1 2 b 3 [ ( a + b u ) 2 − 4 a ( a + b u ) + 2 a 2 ln | a + b u | ] + C 100. ∫ d u u ( a + b u ) = 1 a ln | u a + b u | + C 101. ∫ d u u 2 ( a + b u ) = − 1 a u + b a 2 ln | a + b u u | + C 102. ∫ u d u ( a + b u ) 2 = a b 2 ( a + b u ) + 1 b 2 ln | a + b u | + C 103. ∫ u d u u ( a + b u ) 2 = 1 a ( a + b u ) − 1 a 2 ln | a + b u u | + C 104. ∫ u 2 d u ( a + b u ) 2 = 1 b 3 ( a + b u − a 2 a + b u − 2 a ln | a + b u | ) + C 105. ∫ u a + b u d u = 2 15 b 2 ( 3 b u − 2 a ) ( a + b u ) 3 / 2 + C 106. ∫ u d u a + b u = 2 3 b 2 ( b u − 2 a ) a + b u + C 107. ∫ u 2 d u a + b u = 2 15 b 3 ( 8 a 2 + 3 b 2 u 2 − 4 a b u ) a + b u + C 108. ∫ d u u a + b u = 1 a ln | a + b u − a a + b u + a | + C , si a > 0 = 2 − a tan − 1 a + b u − a + C , si a < 0 109. ∫ a + b u u d u = 2 a + b u + a ∫ d u u a + b u 110. ∫ a + b u u 2 d u = − a + b u u + b 2 ∫ d u u a + b u 111. ∫ u n a + b u d u = 2 b ( 2 n + 3 ) [ u n ( a + b u ) 3 / 2 − n a ∫ u n – 1 a + b u d u ] 112. ∫ u n d u a + b u = 2 u n a + b u b ( 2 n + 1 ) − 2 n a b ( 2 n + 1 ) ∫ u n – 1 d u a + b u 113. ∫ d u u n a + b u = − a + b u a ( n – 1 ) u n – 1 − b ( 2 n − 3 ) 2 a ( n – 1 ) ∫ d u u n – 1 a + b u", "section": "Tabla de integrales", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Tabla de derivadas Fórmulas generales 1. d d x ( c ) = 0 2. d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) 3. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) 4. d d x ( x n ) = n x n – 1 , para los números reales n 5. d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) 6. d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) 7. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 8. d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) · g ′ ( x ) Funciones trigonométricas 9. d d x ( sen x ) = cos x 10. d d x ( tan x ) = sec 2 x 11. d d x ( sec x ) = sec x tan x 12. d d x ( cos x ) = − sen x 13. d d x ( cot x ) = − csc 2 x 14. d d x ( csc x ) = −csc x cot x Funciones trigonométricas inversas 15. d d x ( sin −1 x ) = 1 1 − x 2 16. d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 17. d d x ( sec −1 x ) = 1 | x | x 2 – 1 18. d d x ( cos −1 x ) = − 1 1 − x 2 19. d d x ( cot −1 x ) = − 1 1 + x 2 20. d d x ( csc −1 x ) = − 1 | x | x 2 – 1 Funciones exponenciales y logarítmicas 21. d d x ( e x ) = e x 22. d d x ( ln | x | ) = 1 x 23. d d x ( b x ) = b x ln b 24. d d x ( log b x ) = 1 x ln b Funciones hiperbólicas 25. d d x ( senoh x ) = cosh x 26. d d x ( tanh x ) = sech 2 x 27. d d x ( sech x ) = −sech x tanh x 28. d d x ( cosh x ) = senh x 29. d d x ( coth x ) = − csch 2 x 30. d d x ( csch x ) = −csch x coth x Funciones hiperbólicas inversas 31. d d x ( senoh −1 x ) = 1 x 2 + 1 32. d d x ( tanh −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | < 1 ) 33. d d x ( sech −1 x ) = − 1 x 1 − x 2 ( 0 < x < 1 ) 34. d d x ( cosh −1 x ) = 1 x 2 – 1 ( x > 1 ) 35. d d x ( coth −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | > 1 ) 36. d d x ( csch −1 x ) = − 1 | x | 1 + x 2 ( x ≠ 0 )", "section": "Tabla de derivadas", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Repaso de Precálculo Fórmulas de geometría Los términos A = área , V = Volumen , y S = área superficial lateral Fórmulas de álgebra Leyes de los exponentes Los términos x m x n = x m + n x m x n = x m − n ( x m ) n = x m n x − n = 1 x n ( x y ) n = x n y n ( x y ) n = x n y n x 1 / n = x n x y n = x n y n x y n = x n y n x m / n = x m n = ( x n ) m Factorizaciones especiales Los términos x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) Fórmula cuadrática Si los valores de a x 2 + b x + c = 0 , entonces x = − b ± b 2 − 4 c a 2 a . Teorema del binomio Los términos ( a + b ) n = a n + ( n 1 ) a n – 1 b + ( n 2 ) a n – 2 b 2 + ⋯ + ( n n – 1 ) a b n – 1 + b n , donde ( n k ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! k ! ( n − k ) ! Fórmulas de trigonometría Trigonometría de ángulo recto Los términos sen θ = opp hyp csc θ = hyp opp cos θ = adj hyp sec θ = hyp adj tan θ = opp adj cot θ = adj opp Funciones trigonométricas de ángulos importantes Los términos θ Los términos Radianes Los términos sen θ Los términos cos θ Los términos tan θ Los términos 0 ° Los términos 0 Los términos 0 Los términos 1 Los términos 0 Los términos 30 ° Los términos π / 6 Los términos 1 / 2 Los términos 3 / 2 Los términos 3 / 3 Los términos 45 ° Los términos π / 4 Los términos 2 / 2 Los términos 2 / 2 Los términos 1 Los términos 60 ° Los términos π / 3 Los términos 3 / 2 Los términos 1 / 2 Los términos 3 Los términos 90 ° Los términos π / 2 Los términos 1 Los términos 0 — Identidades fundamentales Los términos sen 2 θ + cos 2 θ = 1 sen ( − θ ) = − sen θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ cos ( − θ ) = cos θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ tan ( − θ ) = − tan θ sin ( π 2 − θ ) = cos θ sin ( θ + 2 π ) = sen θ cos ( π 2 − θ ) = sen θ cos ( θ + 2 π ) = cos θ tan ( π 2 − θ ) = cot θ tan ( θ + π ) = tan θ Ley de senos Los términos sin A a = sin B b = sin C c Ley de los cosenos Los términos a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C Fórmulas de suma y resta Los términos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sen x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y Fórmulas del ángulo doble Los términos sen 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 − 2 sen 2 x tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x Fórmulas de ángulo mitad Los términos sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2", "section": "Repaso de Precálculo", "book": "Cálculo volumen 2", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/cálculo-volumen-2"}
{"text": "Prefacio Bienvenido a Introducción a la estadística , un recurso de OpenStax. Este libro de texto fue escrito para aumentar el acceso de los estudiantes a material de aprendizaje de alta calidad, a la vez que se mantienen los más altos estándares de rigor académico a bajo costo o sin costo. La base de este libro de texto es Collaborative Statistics [Estadística de colaboración] , de Barbara Illowsky y Susan Dean. Se han añadido temas adicionales, ejemplos e innovaciones en la terminología y las aplicaciones prácticas, todo ello con el objetivo de aumentar la relevancia y la accesibilidad para los estudiantes. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP ® ) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Introducción a la estadística está autorizado conforme a la licencia Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY), lo que significa que se puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada puede ponerse a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en OpenStax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en la web, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en OpenStax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en OpenStax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en la página web o en PDF a través de OpenStax.org, y en ediciones impresas de bajo costo y en iBooks. Acerca de Introducción a la estadística Introducción a la estadística sigue los requisitos de alcance y secuencia de un curso de Introducción a la estadística de un semestre y está orientado a los estudiantes que se especializan en campos distintos de las matemáticas o la ingeniería. El texto asume algunos conocimientos de álgebra intermedia y se centra en la aplicación de la estadística por encima de la teoría. Introducción a la estadística incluye innovadoras aplicaciones prácticas que hacen que el texto sea relevante y accesible, así como ejercicios de colaboración, problemas de integración tecnológica y laboratorios de Estadística. Cobertura y alcance Capítulo 1 Muestreo y datos Capítulo 2 Estadística descriptiva Capítulo 3 Temas de probabilidad Capítulo 4 Variables aleatorias discretas Capítulo 5 Variables aleatorias continuas Capítulo 6 La distribución normal Capítulo 7 El teorema del límite central Capítulo 8 Intervalos de confianza Capítulo 9 Pruebas de hipótesis con una muestra Capítulo 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras Capítulo 11 La distribución chi-cuadrado Capítulo 12 Regresión lineal y correlación Capítulo 13 Distribución F y ANOVA de una vía Secuencia alternativa Introducción a la estadística fue concebido y escrito para adaptarse a una secuencia temática concreta, pero puede utilizarse de forma flexible para acomodar otras estructuras de curso. A continuación, se presenta una de estas posibles estructuras, que se ajusta razonablemente bien al contenido del libro de texto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los capítulos no se escribieron para ser completamente independientes, y que la secuencia alternativa propuesta debe considerarse cuidadosamente para la preparación de los estudiantes y la coherencia del texto. Capítulo 1 Muestreo y datos Capítulo 2 Estadística descriptiva Capítulo 12 Regresión lineal y correlación Capítulo 3 Temas de probabilidad Capítulo 4 Variables aleatorias discretas Capítulo 5 Variables aleatorias continuas Capítulo 6 La distribución normal Capítulo 7 El teorema del límite central Capítulo 8 Intervalos de confianza Capítulo 9 Pruebas de hipótesis con una muestra Capítulo 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras Capítulo 11 La distribución chi-cuadrado Capítulo 13 Distribución F y ANOVA de una vía Fundamentos y características pedagógicas Los ejemplos se ubican estratégicamente a lo largo del texto para mostrar a los estudiantes el proceso paso a paso de interpretación y resolución de problemas estadísticos. Para que el texto siga siendo relevante para los estudiantes, los ejemplos se extraen de un amplio espectro de temas prácticos, que incluyen ejemplos sobre la vida universitaria y el aprendizaje, la salud y la medicina, el comercio y los negocios, y los deportes y el entretenimiento. Los problemas de práctica de la sección Ejercicio siguen inmediatamente a muchos ejemplos y dan a los estudiantes la oportunidad de practicar mientras leen el texto. Suelen basarse en temas prácticos y familiares, como los propios Ejemplos . Los ejercicios de colaboración proporcionan un escenario en clase para que los estudiantes trabajen juntos para explorar los conceptos presentados. El uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ muestra a los estudiantes instrucciones paso a paso para introducir problemas en su calculadora. El ícono de tecnología indica dónde se recomienda el uso de una calculadora TI o de un software de computadora. Los problemas de las secciones Práctica, Tarea para la casa y Resúmalo todo ofrecen al estudiante situaciones con distintos grados de dificultad, a la vez que incluyen escenarios del mundo real para atraerlos. Laboratorios de estadística Barbara Illowsky y Susan Dean desarrollaron estas innovadoras actividades para ofrecer a los estudiantes la experiencia de diseñar, aplicar e interpretar análisis estadísticos. Se basan en experimentos y procesos de recopilación de datos reales y ofrecen una experiencia práctica y colaborativa única. Los laboratorios proporcionan una base para el aprendizaje posterior y la interacción en el aula que producirá una aplicación significativa de la estadística. Los laboratorios de Estadística aparecen al final de cada capítulo y comienzan con los resultados de aprendizaje de los estudiantes, las estimaciones generales de tiempo en la tarea y cualquier nota de aplicación global. Luego, los estudiantes cuentan con una guía paso a paso, incluidas las tablas de datos de las muestras y las indicaciones de cálculo. La asistencia detallada ayudará a los estudiantes a aplicar con éxito los conceptos del texto y a sentar las bases para futuros trabajos colaborativos o individuales. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para estudiantes como para instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y láminas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, la cual puede solicitar al iniciar sesión o crear su cuenta en OpenStax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asocia con el Instituto para el Estudio de la Administración del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax, de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus cursos, lo que incluye anexos adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad, tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para comunicarse con los centros comunitarios (Community Hubs), visite www.oercommons.org/hubs/OpenStax . Recursos asociados Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos asociados a su texto, visite la página de su libro en OpenStax.org. Sobre los autores Autores principales Barbara Illowsky, De Anza College Susan Dean, De Anza College Autores colaboradores Daniel Birmajer, Nazareth College Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Sheri Boyd, Rollins College Matthew Einsohn, Prescott College James Helmreich, Marist College Lynette Kenyon, Collin County Community College Sheldon Lee, Viterbo University Jeff Taub, Maine Maritime Academy Revisores Birgit Aquilonius, West Valley College Charles Ashbacher, Upper Iowa University, Cedar Rapids Abraham Biggs, Broward Community College Roberta Bloom, De Anza College Ernest Bonat, Portland Community College Sarah Boslaugh, Kennesaw State University David Bosworth, Hutchinson Community College George Bratton, University of Central Arkansas Jing Chang, College of Saint Mary Laurel Chiappetta, University of Pittsburgh Lenore Desilets, De Anza College Ann Flanigan, Kapiolani Community College David French, Tidewater Community College Mo Geraghty, De Anza College Larry Green, Lake Tahoe Community College Michael Greenwich, College of Southern Nevada Inna Grushko, De Anza College Valier Hauber, De Anza College Janice Hector, De Anza College Robert Henderson, Stephen F. Austin State University Mel Jacobsen, Snow College Mary Jo Kane, De Anza College Charles Klein, De Anza College Alexander Kolovos Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Vladimir Logvenenko, De Anza College Jim Lucas, De Anza College Lisa Markus, De Anza College Miriam Masullo, SUNY Purchase Diane Mathios, De Anza College Robert McDevitt, Germanna Community College Mark Mills, Central College Cindy Moss, Skyline College Nydia Nelson, St. Petersburg College Benjamin Ngwudike, Jackson State University Jonathan Oaks, Macomb Community College Carol Olmstead, De Anza College Adam Pennell, Greensboro College Kathy Plum, De Anza College Lisa Rosenberg, Elon University Sudipta Roy, Kankakee Community College Javier Rueda, De Anza College Yvonne Sandoval, Pima Community College Rupinder Sekhon, De Anza College Travis Short, St. Petersburg College Frank Snow, De Anza College Abdulhamid Sukar, Cameron University Mary Teegarden, San Diego Mesa College John Thomas, College of Lake County Philip J. Verrecchia, York College of Pennsylvania Dennis Walsh, Middle Tennessee State University Cheryl Wartman, University of Prince Edward Island Carol Weideman, St. Petersburg College Andrew Wiesner, Pennsylvania State University", "section": "Prefacio", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Nos encontramos con estadísticas en nuestra vida diaria más a menudo de lo que probablemente pensamos y de muchas fuentes diferentes, como las noticias (créditos: David Sim). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y diferenciar los términos clave. Aplicar diversos tipos de métodos de muestreo a la recolección de datos. Crear e interpretar tablas de frecuencia. Probablemente se esté preguntando: “¿Cuándo y dónde voy a utilizar la estadística?”. Si lee cualquier periódico, ve la televisión o utiliza internet, verá información estadística. Hay estadísticas sobre delincuencia, deportes, educación, política y bienes raíces. Normalmente, cuando se lee un artículo de periódico o se ve un programa de noticias de televisión se da una información de muestra. Con esta información, puede tomar una decisión sobre la corrección de una declaración, afirmación o “hecho”. Los métodos estadísticos pueden ayudarlo a hacer una “mejor estimación”. Como sin duda recibirá información estadística en algún momento de su vida, necesita conocer algunas técnicas para analizar la información de forma reflexiva. Piense en la compra de una casa o en la gestión de un presupuesto. Piense en la profesión que ha elegido. Economía, Negocios, Psicología, Educación, Biología, Derecho, Informática, Política y Desarrollo de la Primera Infancia son campos de conocimiento que requieren, al menos, un curso de Estadística. En este capítulo se incluyen las ideas y palabras básicas de probabilidad y estadística. Pronto entenderá que la estadística y la probabilidad trabajan juntas. También aprenderá cómo se recopilan los datos y qué datos “buenos” pueden distinguirse de los “malos”.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave La ciencia de la Estadística se ocupa de la recopilación, del análisis, de la interpretación y de la presentación de datos . Vemos y utilizamos datos en nuestra vida cotidiana. Intente este ejercicio en clase. Pida a sus compañeros de clase que anoten el tiempo promedio (en horas, redondeado a la media hora más cercana) que duermen por noche. Su instructor registrará los datos. A continuación, cree un gráfico sencillo (llamado diagrama de puntos ) de los datos. Un diagrama de puntos consiste en una línea numérica y puntos (o pequeños círculos) colocados sobre la línea numérica. Por ejemplo, considere los siguientes datos: 5 5,5 6 6 6 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 8 8 9 El diagrama de puntos para estos datos sería el siguiente: ¿Su diagrama de puntos es igual o diferente al del ejemplo? ¿Por qué? Si realizara el mismo ejercicio en una clase de inglés con el mismo número de estudiantes, ¿cree que los resultados serían los mismos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Dónde parecen conglomerarse sus datos? ¿Cómo podría interpretar el conglomerado? Las preguntas anteriores le piden que analice e interprete sus datos. Con este ejemplo, ha comenzado su estudio de la estadística. En este curso aprenderá a organizar y resumir datos. La organización y el resumen de los datos se denominan Estadística Descriptiva . Dos formas de resumir los datos son la elaboración de gráficos y el uso de números (por ejemplo, hallar un promedio). Después de haber estudiado la probabilidad y las distribuciones de probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones de los datos “buenos”. Los métodos formales se denominan Estadística Inferencial . La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar el grado de confianza que podemos tener en que nuestras conclusiones son correctas. La interpretación eficaz de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos de producción de datos y en examinarlos de forma reflexiva. Se encontrará con lo que le parecerá un exceso de fórmulas matemáticas para interpretar los datos. La meta de la Estadística no es realizar numerosos cálculos con las fórmulas, sino comprender los datos. Los cálculos se pueden hacer con una calculadora o una computadora. La comprensión debe venir de usted. Si puede comprender a fondo los fundamentos de la Estadística, podrá tener más confianza en las decisiones que tome en la vida. Probabilidad La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es 1 2 o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson , que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción 996 2000 es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada. La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, como el póquer. Las predicciones adoptan la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto, de que llueva o de que obtenga una A en este curso utilizamos las probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna provoque la enfermedad que se supone que debe prevenir. Un agente de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Puede utilizar la probabilidad para decidir si compra un billete de lotería o no. En su estudio de la Estadística, utilizará el poder de las Matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar sus datos. Términos clave En estadística, generalmente queremos estudiar una población . Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra . La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población. Como se necesita mucho tiempo y dinero para examinar toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si desea calcular el promedio general de calificaciones de su escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de estudiantes que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de las calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de sondeos de opinión de 1.000 a 2.000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa el punto de vista de las personas de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas en lata toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada. A partir de los datos de la muestra podemos calcular un estadístico. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de Matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de Matemáticas, el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes de esa clase de Matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de un estadístico. El estadístico es una estimación de un parámetro de población. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante un estadístico. Dado que consideramos que todas las clases de Matemáticas son la población, el número promedio de puntos obtenidos por estudiante en todas las clases de Matemáticas es un ejemplo de parámetro. Una de las principales preocupaciones en el campo de la Estadística es la precisión con la que un estadístico estima un parámetro. La precisión depende realmente de lo bien que la muestra represente a la población. La muestra debe contener las características de la población para ser una muestra representativa . En la Estadística Inferencial nos interesa tanto el estadístico de la muestra como el parámetro de la población. En un capítulo posterior utilizaremos el estadístico de la muestra para comprobar la validez del parámetro poblacional establecido. Una variable , generalmente anotada con letras mayúsculas como X e Y , es una característica o medida que puede determinarse para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas . Las variables numéricas toman valores con unidades iguales, como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas sitúan a la persona o cosa en una categoría. Si suponemos que X equivale al número de puntos obtenidos por un estudiante de Matemáticas al final de un trimestre, entonces X es una variable numérica. Si suponemos que Y es la afiliación de una persona a un partido, entonces algunos ejemplos de Y incluyen republicano, demócrata e independiente. Y es una variable categórica. Podríamos hacer algunos cálculos con valores de X (calcular el promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer cálculos con valores de Y (calcular un promedio de afiliación a un partido no tiene sentido). Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o palabras. El dato es un valor único. Dos palabras que aparecen a menudo en estadística son media y proporción . Si presenta tres exámenes de sus clases de Matemáticas y obtiene calificaciones de 86, 75 y 92, calcularía su calificación media sumando las tres calificaciones de los exámenes y dividiéndolas entre tres (su calificación media sería 84,3 con un decimal). Si en su clase de Matemáticas hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes hombres es 22 40 y la proporción de estudiantes mujeres es 18 40 . La media y la proporción se tratan con más detalle en capítulos posteriores. NOTA Las palabras “ media ” y “ promedio ” suelen utilizarse indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio (media) de dinero que gastan los estudiantes de primer año del ABC College en material escolar que no incluya libros. Encuestamos al azar a 100 estudiantes de primer año del ABC College. Tres de esos estudiantes gastaron 150, 200 y 225 dólares, respectivamente. La población está formada por todos los estudiantes de primer año que asisten al ABC College este trimestre. La muestra podría ser todos los estudiantes inscritos en una sección de un curso de Estadística para principiantes en el ABC College (aunque esta muestra podría no representar a toda la población). El parámetro es la cantidad promedio (media) de dinero (sin libros) que gastan los estudiantes de primer año del ABC College este trimestre. El estadístico es la cantidad promedio de dinero gastado (sin libros) por los estudiantes de primer año en la muestra. La variable podría ser la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año. Supongamos que X = la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año que asiste al ABC College. Los datos son los montos en dólares gastados por los estudiantes de primer año. Los datos son, por ejemplo, 150, 200 y 225 dólares. Ejercicio Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio de dinero que gastan cada año en uniformes escolares las familias con hijos en Knoll Academy. Encuestamos al azar a 100 familias con hijos en la escuela. Tres de las familias gastaron 65, 75 y 95 dólares, respectivamente. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Se ha realizado un estudio en un instituto universitario local para analizar el promedio de calificaciones (Grade Point Average, GPA) acumulado de los estudiantes que se graduaron el año pasado. Marque la letra de la oración que mejor describa cada uno de los elementos siguientes. 1. Población_____ 2. Estadística _____ 3. Parámetro _____ 4. Muestra _____ 5. Variable _____ 6. Datos _____ todos los estudiantes que cursaron educación superior el año pasado el GPA acumulado de un estudiante que se graduó de la educación superior el año pasado 3,65, 2,80, 1,50, 3,90 un grupo de estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado seleccionados al azar el GPA acumulado de los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado todos los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado el GPA acumulado de los estudiantes del estudio que se graduaron de la educación superior el año pasado 1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Como parte de un estudio diseñado para probar la seguridad de los automóviles, la Junta Nacional de Seguridad del Transporte recopiló y revisó datos sobre los efectos de un choque de automóviles en maniquíes de prueba. Este es el criterio que utilizaron: Velocidad a la que chocan los autos Ubicación de los \"conductores\" (es decir, los maniquíes) 35 millas/hora Asiento delantero Los automóviles con maniquíes en los asientos delanteros se estrellaron contra un muro a una velocidad de 35 millas por hora. Queremos saber la proporción de maniquíes en el asiento del conductor que habrían tenido lesiones en la cabeza, si hubieran sido conductores reales. Empezamos con una muestra aleatoria simple de 75 automóviles. La población son todos los automóviles que contienen maniquíes en el asiento delantero. La muestra son los 75 automóviles seleccionados por muestreo aleatorio simple. El parámetro es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la población. El estadístico es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la muestra. La variable X = si un maniquí conductor (si hubiese sido una persona real) habría sufrido lesiones en la cabeza. Los datos son: sí, tuvo una lesión en la cabeza, o no, no la tuvo. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Una compañía de seguros desea determinar la proporción de todos los médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia. La compañía selecciona 500 médicos al azar de un directorio profesional y determina el número de la muestra que se ha visto envuelto en una demanda por negligencia. La población son todos los médicos que figuran en el directorio profesional. El parámetro es la proporción de médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia en la población. La muestra son los 500 médicos seleccionados al azar del directorio profesional. El estadístico es la proporción de médicos que han estado implicados en una o más demandas por negligencia en la muestra. La variable X = si un médico individual ha estado involucrado en una demanda por negligencia. Los datos son: sí, estuvo involucrado en una o más demandas por negligencia, o no, no lo estuvo. Realice el siguiente ejercicio en colaboración con un máximo de cuatro personas por grupo. Halle una población, una muestra, el parámetro, la estadística, una variable y los datos para el siguiente estudio: Se quiere determinar el número promedio de vasos de leche que beben los estudiantes universitarios al día. Supongamos que ayer, en su clase de Inglés, les preguntó a cinco estudiantes cuántos vasos de leche bebieron el día anterior. Las respuestas fueron 1, 0, 1, 3 y 4 vasos de leche. Referencias The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo La teoría matemática de la estadística es más fácil de aprender cuando se conoce el lenguaje. Este módulo presenta términos importantes que se utilizarán a lo largo del texto. Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un conjunto diferente de 40 pacientes con sida desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recogen los siguientes datos (en meses). Investigador A: 3 4 11 15 16 17 22 44 37 16 14 24 25 15 26 27 33 29 35 44 13 21 22 10 12 8 40 32 26 27 31 34 29 17 8 24 18 47 33 34 Investigador B: 3 14 11 5 16 17 28 41 31 18 14 14 26 25 21 22 31 2 35 44 23 21 21 16 12 18 41 22 16 25 33 34 29 13 18 24 23 42 33 29 Determine a qué se refieren los términos clave en el ejemplo del investigador A. población Pacientes con sida. muestra parámetro La duración promedio (en meses) de la vida de los pacientes con sida después del tratamiento. estadística variable X = el tiempo (en meses) que viven los pacientes con sida después del tratamiento. TAREA PARA LA CASA Para cada uno de los ocho ejercicios siguientes, identifique: a. la población, b. la muestra, c. el parámetro, d. el estadístico, e. la variable y f. los datos. Dé ejemplos cuando sea necesario. Un centro de acondicionamiento físico está interesado en la cantidad media de tiempo que un cliente hace ejercicio en el centro cada semana. Las estaciones de esquí se interesan por la edad media a la que los niños toman sus primeras clases de esquí y snowboard. Necesitan esta información para planificar sus clases de esquí de forma óptima. todos los niños que reciben clases de esquí o snowboard un grupo de estos niños la edad media de la población de los niños que toman su primera clase de snowboard la edad de la media muestral de los niños que toman su primera clase de snowboard X = la edad de un niño que toma su primera clase de esquí o snowboard valores para X , como 3, 7, etc. Una cardióloga está interesada en el periodo medio de recuperación de sus pacientes que han sufrido infartos. Las compañías de seguros se interesan por los costos sanitarios medios anuales de sus clientes para poder determinar los costos del seguro de enfermedad. los clientes de las compañías de seguros un grupo de los clientes los costos de salud medios de los clientes los costos de salud medios de la muestra X = los costos de salud de un cliente valores para X , como 34, 9, 82, etc. A un político le interesa la proporción de votantes de su distrito que piensan que está haciendo un buen trabajo. Una consejera matrimonial está interesada en la proporción de clientes a los que asesora que siguen casados. todos los clientes de esta consejera un grupo de clientes de esta consejera matrimonial la proporción de todos sus clientes que permanecen casados la proporción de la muestra de clientes de la consejera que permanecen casados X = el número de parejas que siguen casadas sí, no Los encuestadores políticos pueden estar interesados en la proporción de personas que votarán por una causa particular. Una compañía de mercadeo está interesada en la proporción de personas que comprarán un determinado producto. todas las personas (tal vez en una zona geográfica determinada, como Estados Unidos) un grupo de personas la proporción de personas que comprarán el producto la proporción de la muestra que comprará el producto X = el número de personas que lo comprarán comprar, no comprar Use la siguiente información para responder los tres próximos ejercicios: Una instructora del Lake Tahoe Community College está interesado en el número medio de días que los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College se ausentan de clase durante un trimestre. ¿Cuál es la población que le interesa? todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes de Inglés del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College en sus clases todos los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College Considere lo siguiente: X = número de días de ausencia de un estudiante de Matemáticas del Lake Tahoe Community College En este caso, X es un ejemplo de a: variable. población. estadístico. datos. a La muestra de la instructora arroja una media de días de ausencia de 3,5 días. Este valor es un ejemplo de: parámetro. datos. estadístico. variable. Promedio también llamada media; número que describe la tendencia central de los datos Variable categórica variables que toman valores que son nombres o identificadores Datos un conjunto de observaciones (un conjunto de resultados posibles); la mayoría de los datos se pueden clasificar en dos grupos: cualitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un identificador) o cuantitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un número). Los datos cuantitativos se pueden dividir en dos subgrupos: discretos y continuos . Los datos son discretos si son el resultado de contar (como el número de estudiantes de un determinado grupo étnico en una clase o el número de libros en una estantería). Los datos son continuos si son el resultado de una medición (como la distancia recorrida o el peso del equipaje). Variable numérica variables que toman valores indicados por números Parámetro un número que se utiliza para representar una característica de la población y que generalmente no se puede determinar fácilmente Población todos las personas, objetos o medidas cuyas propiedades se estudian Probabilidad un número entre cero y uno, ambos inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico Proporción el número de aciertos dividido entre el número total de la muestra Muestra representativa un subconjunto de la población que tiene las mismas características que la población Muestra un subconjunto de la población estudiada Estadístico una característica numérica de la muestra; un estadístico estima el parámetro poblacional correspondiente. Variable una característica de interés para cada persona u objeto de una población", "section": "Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Datos, muestreo y variación de datos y muestreo Los datos pueden proceder de una población o de una muestra. Letras minúsculas como x o y se utilizan generalmente para representar valores de datos. La mayoría de los datos se pueden clasificar en las siguientes categorías: Cualitativa Cuantitativa Los datos cualitativos son el resultado de categorizar o describir los atributos de una población. Los datos cualitativos también suelen denominarse datos categóricos . El color del pelo, el tipo de sangre, el grupo étnico, el automóvil que conduce una persona y la calle en la que vive son ejemplos de datos cualitativos. Los datos cualitativos suelen describirse con palabras o letras. Por ejemplo, el color del cabello puede ser negro, castaño oscuro, castaño claro, rubio, gris o rojo. El tipo de sangre puede ser AB+, O– o B+. Los investigadores suelen preferir los datos cuantitativos a los cualitativos porque se prestan más al análisis matemático. Por ejemplo, no tiene sentido hallar un color de cabello o un tipo de sangre promedio. Los datos cuantitativos son siempre números. Los datos cuantitativos son el resultado de contar o medir los atributos de una población. La cantidad de dinero, la frecuencia del pulso, el peso, el número de personas que viven en su ciudad y el número de estudiantes que cursan Estadística son ejemplos de datos cuantitativos. Los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos . Todos los datos que son el resultado de contar se denominan datos discretos cuantitativos . Estos datos solo adoptan ciertos valores numéricos. Si cuenta el número de llamadas telefónicas que recibe cada día de la semana, puede obtener valores como cero, uno, dos o tres. Los datos que no solo se componen de números para contar, sino que pueden incluir fracciones, decimales o números irracionales, se denominan datos cuantitativos continuos . Los datos continuos suelen ser el resultado de mediciones como longitudes, pesos o tiempos. Una lista de la duración en minutos de todas las llamadas telefónicas que realiza en una semana, con números como 2,4; 7,5; u 11,0, sería un dato cuantitativo continuo. Muestra de datos cuantitativos discretos Los datos son el número de libros que los estudiantes llevan en sus mochilas. Usted toma una muestra de cinco estudiantes. Dos estudiantes llevan tres libros, un estudiante lleva cuatro, un estudiante lleva dos y un estudiante lleva uno. Los números de libros (tres, cuatro, dos y uno) son los datos cuantitativos discretos. Ejercicio Los datos son el número de máquinas de un gimnasio. Usted tiene muestras de cinco gimnasios. Un gimnasio tiene 12 máquinas, otro tiene 15, otro tiene diez, otro tiene 22 y el otro tiene 20. ¿De qué tipo de datos se trata? Muestra de datos cuantitativos continuos Los datos son los pesos de mochilas que contienen libros. La muestra es de los mismos cinco estudiantes. Los pesos (en libras) de sus mochilas son 6,2; 7; 6,8; 9,1 y 4,3. Tome en cuenta que las mochilas que llevan tres libros pueden tener pesos diferentes. Los pesos son datos cuantitativos continuos. Ejercicio Los datos son las superficies de césped en pies cuadrados. Su muestra es de cinco casas. Las superficies de los céspedes son 144, 160, 190, 180 y 210 pies cuadrados respectivamente. ¿De qué tipo de datos se trata? Va al supermercado y compra tres latas de sopa (19 onzas de sopa de tomate, 14,1 onzas de lentejas y 19 onzas de boda italiana), dos paquetes de frutos secos (nueces y cacahuetes), cuatro tipos de vegetales diferentes (brócoli, coliflor, espinacas y zanahorias) y dos postres (16 onzas de helado de pistacho y 32 onzas de galletas de chocolate). Nombre los conjuntos de datos que son cuantitativos discretos, cuantitativos continuos y cualitativos. Una posible solución: Las tres latas de sopa, los dos paquetes de frutos secos, las cuatro clases de vegetales y los dos postres son datos cuantitativos discretos porque usted los cuenta. Los pesos de las sopas (19 onzas, 14,1 onzas y 19 onzas) son datos cuantitativos continuos porque mide los pesos con la mayor precisión posible. Los tipos de sopas, frutos secos, vegetales y postres son datos cualitativos porque son categóricos. Intente identificar otros conjuntos de datos en este ejemplo. Los datos son los colores de las mochilas. Una vez más, la muestra son los mismos cinco estudiantes. Un estudiante tiene una mochila roja, las de dos estudiantes son negras, la de un estudiante es verde y la de otro es gris. Los colores rojo, negro, verde y gris son datos cualitativos. Ejercicio Los datos son los colores de las casas. Su muestra es de cinco casas. Los colores de las casas son blanco, amarillo, blanco, rojo y blanco. ¿De qué tipo de datos se trata? Nota Puede recopilar los datos en forma de números y presentarlos categóricamente. Por ejemplo, las calificaciones de los exámenes de cada estudiante se registran a lo largo del trimestre. Al final del trimestre, las calificaciones de los cuestionarios se presentan como A, B, C, D o F. Trabaje en colaboración para determinar el tipo de datos correcto (cuantitativo o cualitativo). Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Pista: Los datos que son discretos suelen empezar con las palabras \"el número de\". el número de pares de zapatos que tiene el tipo de automóvil que conduce la distancia que hay desde su casa hasta la tienda de comestibles más cercana el número de clases que se imparten por año escolar. el tipo de calculadora que utiliza pesos de luchadores de sumo número de respuestas correctas en un cuestionario Calificaciones de IQ (esto puede provocar alguna discusión). Los ítems a, d y g son cuantitativamente discretos; los ítems c, f y h son cuantitativamente continuos; los ítems b y e son cualitativos o categóricos. Ejercicio Determine el tipo de dato correcto (cuantitativo o cualitativo) para el número de automóviles en un estacionamiento. Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Una profesora de Estadística recopila información sobre la clasificación de sus estudiantes en primer y segundo años, júnior y sénior. Los datos que recopila se resumen en el gráfico circular . ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Este gráfico circular muestra los estudiantes de cada año, que son datos cualitativos (o categóricos) . Ejercicio El registrador de la universidad estatal mantiene un registro del número de horas de crédito que los estudiantes completan cada semestre. Los datos que recopila se resumen en el histograma. Los límites de las clases son de 10 a menos de 13, de 13 a menos de 16, de 16 a menos de 19, de 19 a menos de 22 y de 22 a menos de 25. ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Discusión de datos cualitativos A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College. Otoño 2007 (día del censo) De Anza College Foothill College Número Porcentaje Número Porcentaje Tiempo completo 9.200 40,9% Tiempo completo 4.059 28,6% Tiempo parcial 13.296 59,1% Tiempo parcial 10.124 71,4% Total 22.496 100 % Total 14.183 100 % Las tablas son una buena forma de organizar y mostrar datos. Pero los gráficos pueden ser aun más útiles para entender los datos. No hay reglas estrictas en cuanto a los gráficos que hay que utilizar. Dos gráficos que se utilizan para mostrar datos cualitativos son los gráficos circulares y los de barras. En un gráfico circular las categorías de datos se representan mediante cuñas en un círculo y su tamaño es proporcional al porcentaje de personas de cada categoría. En un gráfico de barras la longitud de la barra para cada categoría es proporcional al número o porcentaje de personas en cada categoría. Las barras pueden ser verticales u horizontales. Un diagrama de Pareto está formado por barras que se ordenan por el tamaño de la categoría (de mayor a menor). Observe la y la y determine qué gráfico (circular o de barras) cree que muestra mejor las comparaciones. Es una buena idea observar una variedad de gráficos para ver cuál es el más útil para mostrar los datos. Según los datos y el contexto, podemos elegir el “mejor” gráfico. Nuestra elección también depende del uso que hagamos de los datos. Porcentajes que suman más (o menos) que el 100 % A veces, los porcentajes suman más del 100 % (o menos del 100 %). En el gráfico, los porcentajes suman más del 100 % porque los estudiantes pueden estar en más de una categoría. Un gráfico de barras es apropiado para comparar el tamaño relativo de las categorías. No se puede utilizar un gráfico circular. Tampoco podía utilizarse si los porcentajes sumaban menos del 100 %. De Anza College, primavera de 2010 Característica/Categoría Porcentaje Estudiantes a tiempo completo 40,9% Estudiantes que pretenden transferirse a una institución educativa de 4 años 48,6% Estudiantes menores de 25 años 61,0% TOTAL 150,5% Omisión de categorías/falta de datos La tabla muestra el origen étnico de los estudiantes pero falta la categoría “otros/desconocidos”. En esta categoría se ubican las personas que no se consideraron incluidas en ninguna de las categorías étnicas o que se negaron a responder. Observe que las frecuencias no suman el número total de estudiantes. En esta situación, cree un gráfico de barras y no un gráfico circular. Origen étnico de los estudiantes del De Anza College, otoño de 2007 (día del censo) Frecuencia Porcentaje Asiáticos 8.794 36,1% Negros 1.412 5,8% Filipinos 1.298 5,3% Hispanos 4.180 17,1% Nativos de Estados Unidos 146 0,6 % Isleños del Pacífico 236 1,0% Blancos 5.978 24,5% TOTAL 22.044 de 24.382 90,4 % del 100 % El siguiente gráfico es igual que el anterior, pero se ha incluido el porcentaje de “otros/desconocidos” (9,6 %). La categoría “otros/desconocidos” es grande en comparación con algunas de las otras categorías (nativos de Estados Unidos, 0,6 %, isleños del Pacífico, 1,0 %). Es importante saber esto cuando pensamos en lo que nos dicen los datos. Este gráfico de barras particular en la puede ser difícil de entender visualmente. El gráfico de la es un diagrama de Pareto. El diagrama de Pareto tiene las barras ordenadas de mayor a menor y es más fácil de leer e interpretar. Gráfico de barras con la categoría otros/desconocidos Diagrama de Pareto con barras ordenadas por tamaño Gráficos circulares: no faltan datos Los siguientes gráficos circulares incluyen la categoría “otros/desconocidos” (ya que los porcentajes deben sumar el 100 %). El gráfico en la (b) está organizado por el tamaño de cada porción, lo que lo convierte en un gráfico visualmente más informativo que el gráfico sin clasificar en la (a). Muestreo Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa. La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de muestreo aleatorio . En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama muestra aleatoria simple . Cualquier grupo de n personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de n personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen. Por ejemplo, supongamos que Lisa quiere formar un grupo de estudio de cuatro personas (ella y otras tres) de su clase de precálculo, que tiene 31 miembros sin incluir a Lisa. Para elegir una muestra aleatoria simple de tamaño tres entre los demás miembros de su clase, Lisa podría poner los 31 nombres en un sombrero, agitar el sombrero, cerrar los ojos y elegir tres nombres. Una forma más tecnológica es que Lisa enumere primero los apellidos de los miembros de su clase junto con un número de dos dígitos, como en la : Lista de clases ID Nombre ID Nombre ID Nombre 00 Anselmo 11 King 21 Roquero 01 Bautista 12 Legeny 22 Roth 02 Bayani 13 Lundquist 23 Rowell 03 Cheng 14 Macierz 24 Salangsang 04 Cuarismo 15 Motogawa 25 Slade 05 Cuningham 16 Okimoto 26 Stratcher 06 Fontecha 17 Patel 27 Tallai 07 Hong 18 Price 28 Tran 08 Hoobler 19 Quizon 29 Wai 09 Jiao 20 Reyes 30 Madera 10 Khan Lisa puede utilizar una tabla de números aleatorios (que se encuentra en muchos libros de estadística y manuales de matemáticas), una calculadora o una computadora para generar números aleatorios. Para este ejemplo, supongamos que Lisa elige generar números aleatorios con una calculadora. Los números generados son los siguientes: 0,94360 0,99832 0,14669 0,51470 0,40581 0,73381 0,04399 Lisa lee grupos de dos dígitos hasta que haya elegido tres miembros de la clase (es decir, lee 0,94360 como los grupos 94, 43, 36, 60). Cada número aleatorio solo puede aportar un miembro de la clase. De ser necesario, Lisa podría haber generado más números aleatorios. Los números aleatorios 0,94360 y 0,99832 no contienen números de dos dígitos adecuados. Sin embargo, el tercer número aleatorio, 0,14669, contiene 14 (el cuarto número aleatorio también contiene 14), el quinto número aleatorio contiene 05 y el séptimo número aleatorio contiene 04. El número de dos dígitos 14 corresponde a Macierz, el 05 a Cuningham y el 04 a Cuarismo. Aparte de ella, el grupo de Lisa estará formado por Marcierz, Cuningham y Cuarismo. Para generar números aleatorios: Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt(. Introduzca 0, 30). Pulse ENTER para el primer número aleatorio. Pulse ENTER dos veces más para los otros 2 números aleatorios. Si hay una repetición pulse de nuevo ENTER. Nota: randInt(0, 30, 3) generará 3 números aleatorios. Además del muestreo aleatorio simple, existen otras formas de muestreo que implican un proceso de azar para obtener la muestra. Otros métodos de muestreo aleatorio bien conocidos son la muestra estratificada, la muestra por conglomerados y la muestra sistemática. Para seleccionar una muestra estratificada , hay que dividir la población en grupos llamados estratos y, a continuación, tomar un número proporcional de cada estrato. Por ejemplo, podría estratificar (agrupar) la población de su instituto universitario por departamentos y luego seleccionar una muestra aleatoria simple proporcional de cada estrato (cada departamento) para obtener una muestra aleatoria estratificada. Para seleccionar una muestra aleatoria simple de cada departamento, numere cada miembro del primer departamento, numere cada miembro del segundo departamento y haga lo mismo con los departamentos restantes. Luego, utilice un muestreo aleatorio simple para seleccionar números proporcionales del primer departamento y haga lo mismo con cada uno de los departamentos restantes. Esos números seleccionados del primer departamento y del segundo departamento, y así sucesivamente, representan los miembros que componen la muestra estratificada. Para seleccionar una muestra por conglomerados hay que dividir la población en conglomerados (grupos) y luego seleccionar al azar algunos de los conglomerados. Todos los miembros de estos grupos están en la muestra por conglomerados. Por ejemplo, si toma una muestra aleatoria de cuatro departamentos de la población de su instituto universitario, los cuatro departamentos constituyen la muestra por conglomerados. Divida el profesorado de su instituto universitario por departamento. Los departamentos son los conglomerados. Numere cada departamento y, a continuación, elija cuatro números diferentes mediante un muestreo aleatorio simple. Todos los miembros de los cuatro departamentos con esos números son la muestra de conglomerado. Para seleccionar una muestra sistemática , seleccione al azar un punto de partida y tome cada n. ª (enésima) pieza de datos de una lista de la población. Por ejemplo, supongamos que tiene que hacer una encuesta telefónica. Su directorio telefónico contiene 20.000 listas de residencias. Debe seleccionar 400 nombres para la muestra. Numere la población de 1 a 20.000 y luego utilice una muestra aleatoria simple para seleccionar un número que represente el primer nombre de la muestra. Luego, elija cada quincuagésimo nombre hasta que tenga un total de 400 nombres (puede que tenga que volver al principio de su lista de teléfonos). El muestreo sistemático se elige con frecuencia porque es un método sencillo. Un tipo de muestreo que no es aleatorio es el muestreo de conveniencia. El muestreo de conveniencia implica el uso de resultados que están fácilmente disponibles. Por ejemplo, una tienda de softwares realiza un estudio de mercadeo mediante entrevistas con los clientes potenciales que se encuentran en la tienda mirando softwares disponibles. Los resultados del muestreo de conveniencia pueden ser muy buenos en algunos casos y muy sesgados (favorecer ciertos resultados) en otros. El muestreo de datos debe hacerse con mucho cuidado. Recolectar datos sin cuidado puede causar resultados devastadores. Las encuestas enviadas por correo a los hogares y luego devueltas pueden estar muy sesgadas (pueden favorecer a un determinado grupo). Es mejor que la persona que realiza la encuesta seleccione la muestra de encuestados. El muestreo aleatorio verdadero se realiza con reemplazo . Es decir, una vez que se selecciona un miembro, ese miembro vuelve a la población y, por tanto, lo pueden escoger más de una vez. Sin embargo, por razones prácticas, en la mayoría de las poblaciones el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo . Las encuestas suelen hacerse sin reemplazo. Es decir, un miembro de la población solo lo pueden seleccionar una vez. La mayoría de las muestras se toman de poblaciones grandes y la muestra tiende a ser pequeña en comparación con la población. En este caso, el muestreo sin reemplazo es, aproximadamente, igual al muestreo con reemplazo, ya que la probabilidad de seleccionar a la misma persona más de una vez con reemplazo es muy baja. En una población universitaria de 10.000 personas, supongamos que se quiere seleccionar una muestra de 1.000 al azar para una encuesta. Para cualquier muestra particular de 1.000 , si se hace un muestreo con reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente para esta muestra es de 999 entre 10.000 (0,0999); la probabilidad de volver a seleccionar a la misma persona es de 1 entre 10.000 (muy baja). Si se trata de un muestreo sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona para cualquier muestra específica es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de 999 entre 9.999 (0,0999); no se sustituye la primera persona antes de seleccionar la siguiente. Compare las fracciones 999/10.000 y 999/9.999. Para lograr más exactitud, lleve las respuestas decimales a cuatro cifras. Con cuatro decimales, estos números son equivalentes (0,0999). El muestreo sin reemplazo en vez del muestreo con reemplazo se convierte en una cuestión matemática solo cuando la población es pequeña. Por ejemplo, si la población es de 25 personas, la muestra es de diez y se realiza un muestreo con reemplazo para cualquier muestra particular , entonces la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de nueve entre 25 (se reemplaza la primera persona). Si se hace una muestra sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar la segunda persona (que es diferente) es de nueve entre 24 (no se reemplaza la primera persona). Compare las fracciones 9/25 y 9/24. Con cuatro decimales, 9/25 = 0,3600 y 9/24 = 0,3750. Con cuatro decimales, estos números no son equivalentes. Al analizar los datos, es importante tener en cuenta los errores de muestreo y los errores ajenos al muestreo. El propio proceso de muestreo provoca errores de muestreo. Por ejemplo, la muestra puede no ser lo suficientemente grande. Los factores no relacionados con el proceso de muestreo provocan errores ajenos al muestreo . Un dispositivo de recuento defectuoso puede causar un error ajeno al muestreo. En realidad, una muestra nunca será exactamente representativa de la población, por lo que siempre habrá algún error de muestreo. Por regla general, cuanto mayor sea la muestra, menor será el error de muestreo. En estadística, se crea un sesgo de muestreo cuando se recopila una muestra de una población y algunos de sus miembros no tienen la misma probabilidad de que los seleccionen que otros (recuerde que cada miembro de la población debe tener la misma probabilidad de que lo seleccionen). Cuando se produce un sesgo de muestreo, se pueden extraer conclusiones incorrectas sobre la población que se está estudiando. Evaluación crítica Tenemos que evaluar los estudios estadísticos que leemos de forma crítica y analizarlos antes de aceptar sus resultados. Los problemas más comunes que hay que tener en cuenta son: Problemas con las muestras: una muestra debe ser representativa de la población. Una muestra que no es representativa de la población está sesgada. Las muestras sesgadas que no son representativas de la población dan resultados inexactos y no válidos. Muestras autoseleccionadas: las respuestas de las personas que deciden responder, como las encuestas telefónicas, suelen ser poco fiables. Problemas de tamaño de la muestra: las muestras demasiado pequeñas pueden ser poco fiables. Si es posible, las muestras más grandes son mejores. En algunas situaciones, es inevitable contar con muestras pequeñas y, aun así, se pueden usar para sacar conclusiones. Ejemplos: pruebas de choques de automóviles o pruebas médicas para detectar condiciones poco comunes. Influencia indebida: recopilar datos o hacer preguntas de forma que influyan en la respuesta. Falta de respuesta o negativa del sujeto a participar: las respuestas recogidas pueden dejar de ser representativas de la población. A menudo, personas con fuertes opiniones positivas o negativas pueden responder las encuestas, lo que puede afectar los resultados. Causalidad: una relación entre dos variables no significa que una cause la otra. Pueden estar relacionadas (correlacionadas) debido a su relación a través de una variable diferente. Estudios autofinanciados o de interés propio: estudio realizado por una persona u organización para respaldar su afirmación. ¿El estudio es imparcial? Lea atentamente el estudio para evaluar el trabajo. No asuma automáticamente que el estudio es bueno, pero tampoco asuma automáticamente que es deficiente. Valórelo por sus méritos y el trabajo realizado. Uso engañoso de datos: gráficos mal presentados, datos incompletos o falta de contexto. Confusión: cuando los efectos de múltiples factores sobre una respuesta no se pueden separar. Los factores de confusión dificultan o impiden sacar conclusiones válidas sobre el efecto de cada uno de ellos. En clase, determine si las siguientes muestras son representativas o no. Si no lo son, analice las razones. Para hallar el promedio de GPA de todos los estudiantes de una universidad, utilice todos los estudiantes de honor de la universidad como muestra. Para saber cuál es el cereal más popular entre los niños menores de diez años, sitúese en la puerta de un gran supermercado durante tres horas y hable con cada veinte niños menores de diez años que entren en él. Para hallar la renta promedio anual de todos los adultos de Estados Unidos, tome una muestra de congresistas estadounidenses. Cree una muestra por conglomerados considerando cada estado como un estrato (grupo). Mediante un muestreo aleatorio simple, se seleccionan los estados que formarán parte del conglomerado. Entonces, haga una encuesta a todos los congresistas del grupo. Para determinar la proporción de personas que utilizan el transporte público para ir al trabajo, haga una encuesta a 20 personas en la ciudad de Nueva York. Realice la encuesta sentándose en Central Park en un banco y entrevistando a todas las personas que se sienten a su lado. Para determinar el costo promedio de una estancia de dos días en un hospital de Massachusetts, se realiza una encuesta en 100 hospitales de todo el estado mediante un muestreo aleatorio simple. Se realiza un estudio para determinar la matrícula promedio que los estudiantes de educación superior del estado de San José pagan por semestre. En las siguientes muestras se pregunta a cada estudiante cuánto pagó de matrícula en el semestre de otoño. ¿Cuál es el tipo de muestreo en cada caso? Se toma una muestra de 100 estudiantes de educación superior del estado de San José y se organizan los nombres de los estudiantes por clasificación (primero y segundo años, júnior y sénior) y se seleccionan 25 estudiantes de cada uno. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar un estudiante de la lista alfabética de todos los estudiantes de pregrado en el semestre de otoño. A partir de ese estudiante, se elige cada 50 estudiantes hasta incluir 75 en la muestra. Se utiliza un método completamente aleatorio para seleccionar 75 estudiantes. Cada estudiante de educación superior del semestre de otoño tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen en cualquier fase del proceso de muestreo. Los de primero, segundo, júnior y sénior años están numerados como uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar dos de esos años. Todos los estudiantes de esos dos años están en la muestra. Se le pide a un asistente administrativo que se sitúe un miércoles frente a la biblioteca y les pregunte a los 100 primeros estudiantes de educación superior que calculen cuánto han pagado de matrícula en el semestre de otoño. Esos 100 estudiantes son la muestra. a. estratificado; b. sistemático; c. aleatoria simple; d. por conglomerados; e. de conveniencia Ejercicio Utilice el generador de números aleatorios para generar diferentes tipos de muestras a partir de los datos. Esta tabla muestra seis conjuntos de puntuaciones de pruebas (cada prueba cuenta con 10 puntos) para una clase de Estadística elemental. N.º 1 N.º 2 N.º 3 N.º 4 N.º 5 N.º 6 5 7 10 9 8 3 10 5 9 8 7 6 9 10 8 6 7 9 9 10 10 9 8 9 7 8 9 5 7 4 9 9 9 10 8 7 7 7 10 9 8 8 8 8 9 10 8 8 9 7 8 7 7 8 8 8 10 9 8 7 Instrucciones: Utilice el generador de números aleatorios para elegir las muestras. Cree una muestra estratificada por columna. Escoja tres puntuaciones de la prueba al azar de cada columna Numere cada fila del uno al diez. En su calculadora, pulse Math y la flecha encima de PRB. En la columna 1, pulse 5:randInt( e introduzca 1,10). Pulse ENTER. Anote el número. Pulse ENTER 2 veces más (incluso las repeticiones). Registre estos números. Anote en la columna 1 las tres puntuaciones del cuestionario que corresponden a estos tres números. Repita la operación para las columnas dos a seis. Estas 18 puntuaciones de las pruebas son una muestra estratificada. Cree una muestra de conglomerados eligiendo dos de las columnas. Utilice los números de la columna: del uno al seis. Pulse MATH y vaya a PRB. Pulse 5:randInt( e introduzca 1,6). Pulse ENTER. Anote el número. Pulse ENTER y registre ese número. Los dos números son para dos de las columnas. Las puntuaciones de las pruebas (20 de ellas) en estas 2 columnas son la muestra por conglomerados. Cree una muestra aleatoria simple de 15 puntuaciones de pruebas Utilice la numeración del uno al 60. Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt (e introduzca 1, 60). Pulsa ENTER 15 veces y anote los números. Anote las puntuaciones de las pruebas que corresponden a estos números. Estas 15 puntuaciones de las pruebas son la muestra sistemática. Cree una muestra sistemática de 12 puntuaciones de pruebas Utilice la numeración del uno al 60. Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt (e introduzca 1, 60). Pulse ENTER. Anote el número y la puntuación del primer examen. A partir de ese número, cuente diez puntuaciones de la prueba y anote esa puntuación de la prueba. Siga contando diez puntuaciones de pruebas y registrando su puntuación hasta que tenga una muestra de 12 puntuaciones de pruebas. Puede retomar todo (volver al principio). Determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). Un entrenador de fútbol selecciona seis jugadores de un grupo de niños entre ocho y diez años, siete jugadores de un grupo de niños entre 11 y 12 años y tres jugadores de un grupo de niños entre 13 y 14 años para formar un equipo de fútbol recreativo. Un encuestador entrevista a todo el personal de Recursos Humanos de cinco compañías diferentes de alta tecnología. Un investigador educativo de escuela secundaria entrevista a 50 maestras y a 50 maestros de escuela secundaria. Un investigador médico entrevista a uno de cada tres pacientes de cáncer de una lista de enfermos de cáncer de un hospital local. El consejero de una escuela secundaria utiliza una computadora para generar 50 números al azar y luego toma a los estudiantes cuyos nombres se corresponden con los números. Un estudiante entrevista a los compañeros de su clase de Álgebra para determinar cuántos jeans posee un estudiante, en promedio. a. estratificado; b. por conglomerados; c. estratificado; d. sistemático; e. aleatorio simple; f. de conveniencia Ejercicio Determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). El director de una escuela encuesta a 50 estudiantes de primer año, 50 de segundo, 50 en el año júnior y 50 del año sénior sobre los cambios en la política de actividades extraescolares. Si examinamos dos muestras que representen a la misma población, aunque utilicemos métodos de muestreo aleatorio para las muestras, no serán exactamente iguales. Al igual que hay variación en los datos, hay variación en las muestras. A medida que se acostumbre a la toma de muestras, la variabilidad empezará a parecer natural. Supongamos que el ABC College tiene 10.000 estudiantes a tiempo parcial (la población). Estamos interesados en la cantidad promedio de dinero que un estudiante a tiempo parcial gasta en libros en el trimestre de otoño. Preguntarles a los 10.000 estudiantes es una tarea casi imposible. Supongamos que tomamos dos muestras diferentes. En primer lugar, utilizamos un muestreo de conveniencia y encuestamos a diez estudiantes de una clase de Química Orgánica del primer trimestre. Muchos de estos estudiantes están cursando el primer trimestre de Cálculo además de la clase de Química Orgánica. Gastan la siguiente cantidad de dinero en libros: $128 $87 $173 $116 $130 $204 $147 $189 $93 $153 La segunda muestra se toma a partir de una lista de personas mayores que asisten a clases de Educación Física y se toma una de cada cinco personas mayores de la lista, lo que supone un total de diez personas mayores. Gastan: $50 $40 $36 $15 $50 $100 $40 $53 $22 $22 Es poco probable que algún estudiante esté en ambas muestras. a. ¿Cree que alguna de estas muestras es representativa de (o es característica de) toda la población de 10.000 estudiantes a tiempo parcial? a. No. La primera muestra se compone probablemente de estudiantes orientados a la ciencia. Además del curso de Química, algunos de ellos también están cursando el primer trimestre de Cálculo. Los libros para estas clases suelen ser costosos. Es más que probable que la mayoría de estos estudiantes estén pagando más por sus libros que el promedio de los estudiantes a tiempo parcial. La segunda muestra es un grupo de personas mayores que, muy probablemente, están tomando cursos por salud e interés. La cantidad de dinero que gastan en libros es probablemente mucho menor que la del estudiante promedio a tiempo parcial. Ambas muestras están sesgadas. Además, en ambos casos, no todos los estudiantes tienen la oportunidad de estar en una u otra muestra. b. Dado que estas muestras no son representativas de toda la población, ¿es prudente utilizar los resultados para describir a toda la población? b. No. En estas muestras, cada miembro de la población no tenía la misma probabilidad de que lo seleccionaran. Ahora, supongamos que tomamos una tercera muestra. Seleccionamos diez estudiantes diferentes a tiempo parcial de las disciplinas de Química, Matemáticas, Inglés, Psicología, Sociología, Historia, Enfermería, Educación Física, Arte y Desarrollo Infantil (suponemos que estas son las únicas disciplinas en las que están inscritos los estudiantes a tiempo parcial del ABC College y que hay un número igual de estudiantes a tiempo parcial en cada una de las disciplinas). Cada estudiante se selecciona mediante un muestreo aleatorio simple. Con una calculadora se generan números aleatorios y se selecciona un estudiante de una determinada disciplina si tiene el número correspondiente. Los estudiantes gastan las siguientes cantidades: $180 $50 $150 $85 $260 $75 $180 $200 $200 $150 c. ¿La muestra está sesgada? c. La muestra es sin sesgos, pero se recomendaría una muestra mayor para aumentar la probabilidad de que sea casi representativa de la población. Sin embargo, para una técnica de muestreo sesgada, incluso una muestra grande corre el riesgo de no ser representativa de la población. Los estudiantes suelen preguntar si es “suficiente” tomar una muestra, en vez de encuestar a toda la población. Si la encuesta está bien hecha, la respuesta es sí. Ejercicio Una emisora de radio local tiene una base de 20.000 oyentes. La emisora quiere saber si su audiencia prefiere más música o más programas de debate. Preguntarles a los 20.000 oyentes es una tarea casi imposible. La emisora utiliza un muestreo de conveniencia y encuesta a las primeras 200 personas que encuentra en uno de los conciertos musicales de la emisora. 24 personas dijeron que preferirían más programas de debate, y 176 personas dijeron que preferirían más música. ¿Cree que esta muestra es representativa (o característica) de toda la población de 20.000 oyentes? Variación de los datos La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida: 15,8 16,1 15,2 14,8 15,8 15,9 16,0 15,5 Las medidas de la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas pueden variar porque diferentes personas hacen las mediciones o porque no se puso la cantidad exacta, 16 onzas de líquido, en las latas. Los fabricantes realizan regularmente pruebas para determinar si la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas está dentro del rango deseado. Tenga en cuenta que, al tomar los datos, estos pueden variar en cierta medida con respecto a los datos que otra persona está tomando para el mismo fin. Esto es completamente natural. Sin embargo, si dos o más de ustedes toman los mismos datos y obtienen resultados muy diferentes, es hora de que usted y los demás reevalúen sus métodos de toma de datos y su exactitud. Variación en las muestras Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población , tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado. Piense en lo que contribuye a que las muestras de Doreen y Jung sean diferentes. Si Doreen y Jung tomaran muestras más grandes (es decir, el número de valores de los datos se incrementa), los resultados de su muestra (la cantidad promedio de tiempo que duerme un estudiante) podrían estar más cerca del promedio real de la población. Pero aun así, sus muestras serían, con toda probabilidad, diferentes entre sí. Nunca se insistirá lo suficiente en esta variabilidad en las muestras . Tamaño de la muestra El tamaño de la muestra (a menudo llamado número de observaciones) es importante. Los ejemplos que ha visto en este libro hasta ahora han sido pequeños. Muestras de solo unos cientos de observaciones, o incluso más pequeñas, son suficientes para muchos propósitos. En los sondeos, las muestras que van de 1.200 a 1.500 observaciones se consideran suficientemente grandes y buenas si la encuesta es aleatoria y está bien hecha. Aprenderá por qué cuando estudie intervalos de confianza. Tenga en cuenta que muchas muestras grandes están sesgadas. Por ejemplo, las encuestas con llamadas están invariablemente sesgadas porque la gente decide responder o no. Divídanse en grupos de dos, tres o cuatro. El instructor dará a cada grupo un dado de seis caras. Pruebe este experimento dos veces. Tire un dado justo (de seis caras) 20 veces. Anote el número de unos, dos, tres, cuatro, cinco y seis que obtiene en la y la (\"frecuencia\" es el número de veces que aparece una cara concreta del dado): Primer experimento (20 tiradas) Cara del dado Frecuencia 1 2 3 4 5 6 Segundo experimento (20 tiradas) Cara del dado Frecuencia 1 2 3 4 5 6 ¿Los dos experimentos obtuvieron los mismos resultados? Probablemente no. Si hiciera el experimento por tercera vez, ¿espera que los resultados sean idénticos a los del primer o segundo experimento? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué experimento obtuvo los resultados correctos? Ambos. El trabajo del estadístico es ver a través de la variabilidad y sacar las conclusiones adecuadas. Referencias Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/default.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/methodology.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.gallup.com/poll/146822/gallup-healthways-index-questions.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de http://www.bookofodds.com/Relationships-Society/Articles/A0374-How-George-Gallup-Picked-the-President Dominic Lusinchi, “President’ Landon and the 1936 Literary Digest Poll: Were Automobile and Telephone Owners to Blame?” Social Science History 36, n.º 1: 23-54 (2012), http://ssh.dukejournals.org/content/36/1/23.abstract (consultado el 1.º de mayo de 2013). “The Literary Digest Poll,” Virtual Laboratories in Probability and Statistics http://www.math.uah.edu/stat/data/LiteraryDigest.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Gallup Presidential Election Trial-Heat Trends, 1936-2008”, Gallup Politics http://www.gallup.com/poll/110548/gallup-presidential-election-trialheat-trends-19362004.aspx#4 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/USCrime.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). LBCC Distance Learning (DL) program data in 2010-2011, http://de.lbcc.edu/reports/2010-11/future/highlights.html#focus (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José Repaso del capítulo Los datos son elementos individuales de información que provienen de una población o muestra. Los datos se clasifican en cualitativos (categóricos), cuantitativos continuos o cuantitativos distintos. Como no es práctico medir toda la población en un estudio, los investigadores utilizan muestras para representar a la población. Una muestra aleatoria es un grupo representativo de la población elegido mediante un método que da a cada persona de la población la misma oportunidad de que la incluyan en la muestra. Los métodos de muestreo aleatorio incluyen muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático. El muestreo de conveniencia es un método no aleatorio de elección de una muestra que suele producir datos sesgados. Las muestras que contienen personas diferentes generan datos diferentes. Esto es así incluso cuando las muestras están bien elegidas y son representativas de la población. Cuando se seleccionan adecuadamente, las muestras más grandes modelan la población con más precisión que las más pequeñas. Hay muchos problemas potenciales que pueden afectar la fiabilidad de una muestra. Los datos estadísticos se deben analizar críticamente, no simplemente aceptarlos. Practica “Número de veces por semana”, ¿qué tipo de datos son? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad, el número de veces por semana y la duración (cantidad de tiempo) de los residentes que utilizan un parque local en San Antonio, Texas. Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y, a continuación, se entrevistó al residente de una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque. El método de muestreo fue a. aleatorio simple b. sistemático c. estratificado d. por conglomerado b La “duración (cantidad de tiempo)”, ¿qué tipo de dato es? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo Los colores de las casas que rodean el parque, ¿qué tipo de datos son? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo a La población es ______________________ La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de los terremotos desde el 2000 hasta el 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Utilice la para responder las siguientes preguntas. ¿Cuál es la proporción de muertes entre el 2007 y el 2012? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo antes del 2001? ¿Cuál es el porcentaje de muertes ocurridas en el 2003 o después del 2010? ¿Cuál es la fracción de muertes ocurridas antes del 2012? ¿Qué tipo de datos es el número de muertes? Los terremotos se cuantifican según la cantidad de energía que producen (ejemplos: 2,1, 5,0, 6,7). ¿Qué tipo de datos son? ¿Qué contribuyó al gran número de muertes en el 2010? ¿En el 2004? Explique. 0,5242 0,03% 6,86% 823.088 823.856 cuantitativo discreto cuantitativo continuo En ambos años, los terremotos submarinos produjeron enormes tsunamis. Para los cuatro ejercicios siguientes, determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). Un grupo de sujetos de prueba se divide en doce grupos; luego se eligen cuatro de los grupos al azar. Un investigador de mercado encuesta a una de cada diez personas que entran en una tienda. sistemático Se encuesta a las primeras 50 personas que entran en un evento deportivo sobre sus preferencias televisivas. Una computadora genera 100 números aleatorios y se eligen 100 personas cuyos nombres se corresponden con los números de la lista. simple aleatorio Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un grupo diferente de 40 pacientes con SIDA desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recopilan los siguientes datos (en meses) Investigador A: 3; 4; 11; 15; 16; 17; 22; 44; 37; 16; 14; 24; 25; 15; 26; 27; 33; 29; 35; 44; 13; 21; 22; 10; 12; 8; 40; 32; 26; 27; 31; 34; 29; 17; 8; 24; 18; 47; 33; 34 Investigador B: 3; 14; 11; 5; 16; 17; 28; 41; 31; 18; 14; 14; 26; 25; 21; 22; 31; 2; 35; 44; 23; 21; 21; 16; 12; 18; 41; 22; 16; 25; 33; 34; 29; 13; 18; 24; 23; 42; 33; 29 Complete las tablas con los datos proporcionados: Investigador A Duración de la supervivencia (en meses) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0,5–6,5 6,5–12,5 12,5–18,5 18.5–24.5 24,5–30,5 30,5–36,5 36.5–42.5 42.5–48.5 Investigador B Duración de la supervivencia (en meses) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0,5–6,5 6,5–12,5 12,5–18,5 18.5–24.5 24,5–30,5 30,5–36,5 36,5-45,5 Determine a qué se refiere el término clave datos en el ejemplo anterior para el investigador A. valores para X , como 3, 4, 11, etc. Enumere dos razones por las que los datos pueden discrepar. ¿Puede decir si un investigador está en lo correcto y el otro no? ¿Por qué? No, no tenemos suficiente información para hacer tal afirmación. ¿Espera que los datos sean idénticos? ¿Por qué sí o por qué no? Proponga al menos dos métodos que los investigadores podrían utilizar para recopilar datos aleatorios. Tome una muestra aleatoria simple de cada grupo. Una forma es asignar un número a cada paciente y utilizar un generador de números aleatorios para seleccionarlos al azar. Supongamos que el primer investigador realiza su encuesta eligiendo al azar un estado de la nación y luego escogiendo al azar 40 pacientes de ese estado. ¿Qué método de muestreo habría utilizado ese investigador? Supongamos que el segundo investigador realiza su encuesta eligiendo a 40 pacientes que conoce. ¿Qué método de muestreo habría utilizado ese investigador? ¿Qué preocupaciones tendría sobre este conjunto de datos, según el método de recopilación de datos? Esto sería un muestreo de conveniencia y no es aleatorio. Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Dos investigadores están recopilando datos sobre las horas de videojuegos que juegan los niños en edad escolar y los adultos jóvenes. Cada uno de ellos toma una muestra aleatoria de diferentes grupos de 150 estudiantes de la misma escuela. Recopilan los siguientes datos. Investigador A Horas jugadas por semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0–2 26 0,17 0,17 2–4 30 0,20 0,37 4–6 49 0,33 0,70 6–8 25 0,17 0,87 8–10 12 0,08 0,95 10–12 8 0,05 1 Investigador B Horas jugadas por semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0–2 48 0,32 0,32 2–4 51 0,34 0,66 4–6 24 0,16 0,82 6–8 12 0,08 0,90 8–10 11 0,07 0,97 10–12 4 0,03 1 Explique por qué los datos pueden ser diferentes. ¿El tamaño de la muestra sería lo suficientemente grande si los estudiantes de la escuela fueran la población? Sí, el tamaño de la muestra de 150 sería lo suficientemente grande como para reflejar una población de una escuela. ¿El tamaño de la muestra sería lo suficientemente grande si los niños en edad escolar y los adultos jóvenes de Estados Unidos fueran la población? El investigador A concluye que la mayoría de los estudiantes juegan a los videojuegos entre cuatro y seis horas a la semana. El investigador B concluye que la mayoría de los estudiantes juegan a los videojuegos entre dos y cuatro horas a la semana. ¿Quién tiene razón? Aunque los datos específicos apoyan las conclusiones de cada investigador, los diferentes resultados sugieren que es necesario recopilar más datos antes de que los investigadores puedan llegar a una conclusión. Como forma de recompensar a los estudiantes por participar en la encuesta, los investigadores dieron a cada uno de ellos una tarjeta regalo para una tienda de videojuegos. ¿Esto afectaría los datos si los estudiantes conocieran el premio antes del estudio? Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Se han realizado un par de estudios para medir la eficacia de un nuevo software diseñado para ayudar a los pacientes que sufrieron un ictus a recuperar su capacidad de resolución de problemas. Se pidió a los pacientes que utilizaran el software dos veces al día, una por la mañana y otra por la noche. Los estudios observaron a 200 pacientes con ictus que se recuperaban durante un periodo de varias semanas. El primer estudio recopiló los datos en la . El segundo estudio recopiló los datos en la . Grupo Ha mostrado una mejora No hay mejora Deterioro Programa usado 142 43 15 No utilizó programa 72 110 18 Grupo Ha mostrado una mejora No hay mejora Deterioro Programa usado 105 74 19 No utilizó programa 89 99 12 Teniendo en cuenta lo que sabe, ¿qué estudio es el correcto? No se da suficiente información para juzgar si uno de los dos es correcto o incorrecto. El primer estudio lo realizó la compañía que diseñó el software. El segundo estudio lo realizó la Asociación Médica Americana. ¿Qué estudio es más fiable? Los dos grupos que realizaron el estudio concluyeron que el software funciona. ¿Es esto correcto? El software parece funcionar, ya que el segundo estudio muestra que hay más pacientes que mejoran cuando lo utilizan que cuando no lo hacen. Aunque la diferencia no es tan grande como la del primer estudio, los resultados del segundo son probablemente más fiables y siguen mostrando una mejora. La compañía considera los dos estudios como prueba de que su software causa una mejora mental en los pacientes con ictus. ¿Esta afirmación es correcta? Los pacientes que utilizaron el software también formaron parte de un programa de ejercicios, mientras que los que no lo utilizaron no lo hicieron. ¿Cambia esto la validez de las conclusiones del ? Sí, porque no podemos saber si la mejora se debe al software o al ejercicio; los datos están confundidos y no se puede sacar una conclusión fiable. Deberían realizarse nuevos estudios. ¿Un tamaño de muestra de 1000 es una medida fiable para una población de 5000? ¿Es una muestra de 500 voluntarios una medida fiable para una población de 2500? No, aunque la muestra sea lo suficientemente grande, el hecho de que la muestra esté formada por voluntarios la convierte en una muestra autoseleccionada, que no es confiable. Una pregunta de una encuesta dice: \"¿Prefiere el delicioso sabor de la marca X o el de la marca Y?\" ¿Es una pregunta correcta? ¿Una muestra de dos personas es representativa de una población de cinco? No, aunque la muestra sea una gran parte de la población, dos respuestas no son suficientes para justificar ninguna conclusión. Como la población es tan pequeña, sería mejor incluir a todos los habitantes para obtener los datos más precisos. ¿Es posible que dos experimentos bien realizados con tamaños de muestra similares obtengan datos diferentes? TAREA PARA LA CASA En los siguientes ejercicios identifique el tipo de datos que se utilizaría para describir una respuesta (cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa) y dé un ejemplo de los datos. número de entradas vendidas para un concierto cuantitativa discreta, 150 porcentaje de grasa corporal equipo de béisbol favorito cualitativo, Oakland A’s tiempo en la fila para comprar alimentos número de estudiantes inscritos en el Evergreen Valley College cuantitativo discreto, 11.234 estudiantes programa de televisión más visto marca de pasta de dientes cualitativo, Crest distancia a la sala de cine más cercana edad de los ejecutivos de las compañías de la lista Fortune 500 cuantitativo continuo, 47,3 años número de paquetes de software de hojas de cálculo de la competencia Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada 8.ª casa del vecindario que rodea el parque. “Número de veces por semana”, ¿qué tipo de datos son? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo continuo b La “duración (cantidad de tiempo)”, ¿qué tipo de dato es? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo continuo Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. Supongamos que una compañía aérea realiza una encuesta. Durante el fin de semana de Acción de Gracias realiza una encuesta en seis vuelos de Boston a Salt Lake City para determinar el número de bebés que hay en los vuelos. Esto determina la cantidad de equipos de seguridad necesarios según el resultado de ese estudio. Use oraciones completas y enumere tres cosas que no funcionan en la forma en que se realizó la encuesta. Use oraciones completas y enumere tres formas en las que mejoraría la encuesta si se repitiera. La encuesta se realizó en seis vuelos similares. La encuesta no sería una representación real de toda la población de viajeros aéreos. Realizar la encuesta durante un fin de semana festivo no producirá resultados representativos. Realizar la encuesta en diferentes épocas del año. Llevar a cabo la encuesta en vuelos de ida y vuelta a varios lugares. Realizar la encuesta en diferentes días de la semana. Suponga que quiere determinar el número medio de estudiantes por clase de Estadística en su estado. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Suponga que quiere determinar el número medio de latas de gaseosas que beben cada mes los estudiantes de veinte años de su escuela. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: podría utilizar un método de muestreo sistemático. Detenga a la décima persona al salir de uno de los edificios de la escuela a las 9:50 de la mañana. Luego, detenga a la décima persona cuando salga de otro edificio de la escuela a la 1:50 de la tarde. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta telefónica. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta por correo. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: Muchas personas no responden a las encuestas por correo. Si lo hacen, no se puede estar seguro de quién responde. Además, las listas de correo pueden estar incompletas. Con sus compañeros de clase haga una lluvia de ideas sobre cómo podría superar estos problemas si tuviera que realizar una encuesta telefónica o por correo. La instructora toma su muestra recopilando datos de cinco estudiantes seleccionados al azar de cada clase de Matemáticas del colegio comunitario Lake Tahoe. El tipo de muestreo que utilizó es muestreo por conglomerados muestreo estratificado muestreo aleatorio simple muestreo de conveniencia b Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque. El método de muestreo fue: simple aleatorio sistemático estratificado conglomerado Nombre el método de muestreo utilizado en cada una de las siguientes situaciones: Una mujer en el aeropuerto está repartiendo cuestionarios a los viajeros pidiéndoles que evalúen el servicio del aeropuerto. No les pregunta a los viajeros que se apresuran a pasar por el aeropuerto con las manos llenas de equipaje, sino a todos los que están sentados cerca de las puertas de embarque y no toman una siesta mientras esperan. Una maestra quiere saber si sus estudiantes están haciendo sus tareas para la casa, así que selecciona al azar las filas dos y cinco y luego llama a todos los estudiantes de la fila dos y a todos los de la fila cinco para que presenten a la clase las soluciones de los problemas de las tareas para la casa. El gerente de mercadeo de una cadena de tiendas de electrónica quiere información sobre la edad de sus clientes. Durante las dos semanas siguientes, en cada establecimiento, se les entregan cuestionarios a 100 clientes seleccionados al azar para que los rellenen; se les pide información sobre la edad, así como sobre otras variables de interés. La bibliotecaria de una biblioteca pública quiere determinar qué proporción de sus usuarios son niños. La bibliotecaria tiene una hoja de registro en la que marca si los libros se prestan a adultos o a niños. Registra estos datos para uno de cada cuatro clientes que pide libros prestados. Un partido político quiere conocer la reacción de los votantes ante un debate entre los candidatos. El día después del debate, el personal de sondeos del partido llama a 1.200 números de teléfono seleccionados al azar. Si un votante registrado contesta el teléfono o está disponible para tomar la llamada, se le pregunta por quién piensa votar y si el debate ha cambiado su opinión sobre los candidatos. de conveniencia conglomerado estratificado sistemático simple aleatorio Se realizó una “encuesta aleatoria” a 3.274 personas de la “generación del microprocesador” (personas nacidas a partir de 1971, año en que se inventó el microprocesador). Se informó que el 48 % de los encuestados declararon que, si tuvieran 2.000 dólares para gastar, los utilizarían para equipos de computación. Además, el 66 % de los encuestados se consideran usuarios relativamente expertos en usar una computadora. ¿Considera que el tamaño de la muestra es suficiente para un estudio de este tipo? ¿Por qué sí o por qué no? Basándose en su “intuición”, ¿cree que los porcentajes reflejan con exactitud la población estadounidense de las personas que nacieron desde 1971? Si no es así, ¿cree que los porcentajes de la población son realmente mayores o menores que las estadísticas de la muestra? ¿Por qué? Información adicional: la encuesta, realizada por Intel Corporation, la contestaron personas que visitaron el Centro de Convenciones de Los Ángeles para ver la presentación itinerante del Smithsonian Institute llamada “America’s Smithsonian”. Con esta información adicional, ¿cree que todos los grupos demográficos y étnicos estuvieron representados por igual en el evento? ¿Por qué sí o por qué no? Con la información adicional, comente con qué precisión cree que las estadísticas de la muestra reflejan los parámetros de la población. El Índice de Bienestar es una encuesta que sigue periódicamente las tendencias de los residentes en EE. UU. La encuesta abarca seis áreas de salud y bienestar: evaluación de la vida, salud emocional, salud física, comportamiento saludable, ambiente laboral y acceso básico. A continuación se enumeran algunas de las preguntas utilizadas para medir el Índice. Identifique el tipo de datos obtenidos de cada pregunta utilizada en esta encuesta: cualitativos, cuantitativos discretos o cuantitativos continuos. ¿Tiene algún problema de salud que le impida hacer alguna de las cosas que la gente de su edad puede hacer normalmente? Durante los 30 días pasados, ¿cuántos días no pudo hacer sus actividades habituales debido a condiciones de salud deficientes? Durante los siete días pasados, ¿cuántos días hizo ejercicio por 30 minutos o más? ¿Tiene seguro médico? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo discreto cualitativo Antes de las elecciones presidenciales de 1936, una revista titulada Literary Digest publicó los resultados de un sondeo de opinión que predecía que el candidato republicano Alf Landon ganaría por un amplio margen. La revista envió tarjetas postales a unos 10.000.000 de posibles votantes. Estos posibles votantes se seleccionaron de la lista de suscriptores de la revista y de listas de registro de automóviles, telefónicas y de socios de clubes. Aproximadamente 2.300.000 personas enviaron sus respuestas. Piense en la situación de Estados Unidos en 1936. Explique por qué una muestra elegida a partir de listas de suscripción a revistas, de registro de automóviles, de directorios telefónicos y de socios de clubes no era representativa de la población de Estados Unidos en aquella época. ¿Qué efecto tiene la baja tasa de respuesta en la fiabilidad de la muestra? ¿Estos problemas son ejemplos de error de muestreo o de error ajeno al muestreo? Ese mismo año, George Gallup realizó su propio sondeo entre 30.000 posibles votantes. Estos investigadores utilizaron un método que denominaron “muestreo por cuotas” para obtener respuestas a la encuesta de subconjuntos específicos de la población. ¿El muestreo por cuotas es ejemplo de cuál método de muestreo de los que se describen en este módulo? Las estadísticas demográficas y relacionadas con la delincuencia de 47 estados de EE. UU. en 1960 se recopilaron de organismos gubernamentales, incluido el Informe Uniforme sobre Delincuencia del FBI. Un análisis de estos datos halló una fuerte conexión entre educación y delincuencia e indicó que los niveles más altos de educación en una comunidad se corresponden con índices de delincuencia más altos. ¿Cuál de los posibles problemas con las muestras que se comentan en la 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo podría explicar esta conexión? Causalidad: El hecho de que dos variables estén relacionadas no garantiza que una de ellas influya en la otra. No podemos asumir que la tasa de criminalidad influye en el nivel de educación o que el nivel de educación influye en la tasa de criminalidad. Confusión: Hay muchos factores que definen una comunidad, además del nivel educativo y el índice de criminalidad. Las comunidades con altos índices de delincuencia y altos niveles de educación pueden tener otras variables ocultas que las distinguen de las comunidades con índices de delincuencia y niveles de educación más bajos. Como no podemos aislar estas variables de interés, no podemos sacar conclusiones válidas sobre la conexión entre educación y delincuencia. Entre las posibles variables ocultas se encuentran gastos policiales, niveles de desempleo, región, edad promedio y tamaño. YouPolls es un sitio web que permite a cualquiera crear y responder a sondeos. Una pregunta publicada el 15 de abril plantea: “¿Se siente complacido pagando sus impuestos cuando a miembros de la administración Obama se les permite ignorar sus obligaciones fiscales?” (lastbaldeagle. 2013. On Tax Day, House to Call for Firing Federal Workers Who Owe Back Taxes. Sondeo de opinión publicada en línea en: http://www.youpolls.com/details.aspx?id=12328 (consultada el 1.º de mayo de 2013) . Hasta el 25 de abril, 11 personas respondieron esta pregunta. Todos los participantes respondieron: “¡NO!”. ¿Cuál de los posibles problemas analizados con las muestras en este módulo podría explicar esta conexión? Un artículo académico sobre tasas de respuesta comienza con la siguiente cita: \"El descenso de las tasas de contacto y cooperación en las encuestas telefónicas nacionales de marcación aleatoria (random digit dial, RDD) plantea serias dudas sobre la validez de las estimaciones extraídas de dichas investigaciones\" (Scott Keeter et al., \"Gauging the Impact of Growing Nonresponse on Estimates from a National RDD Telephone Survey\", Public Opinion Quarterly 70 no. 5 (2006), http://poq.oxfordjournals.org/content/70/5/759.full (consultado el 1 de mayo de 2013) El Pew Research Center for People and the Press admite: “El porcentaje de personas que entrevistamos —de todas las que intentamos entrevistar— ha ido disminuyendo durante la década pasada o más” (Frequently Asked Questions, Pew Research Center for the People & the Press, http://www.people-press.org/methodology/frequently-asked-questions/#dont-you-have-trouble-getting-people-to-answer-your-polls (consultado el 1.º de mayo de 2013) . ¿Cuáles son algunos de los motivos de la disminución del índice de respuesta durante la década pasada? Explique por qué los investigadores están preocupados por el efecto de la disminución del índice de respuesta en los sondeos de opinión pública. Posibles motivos: aumento del uso del identificador de llamadas, disminución del uso de teléfonos fijos, aumento del uso de números privados, buzón de voz, administradores de privacidad, carácter agitado de las agendas personales, disminución de la disposición a ser entrevistado. Cuando un gran número de personas se niega a participar, la muestra puede no tener las mismas características de la población. Tal vez la mayoría de las personas que están dispuestas a participar lo hacen porque se sienten muy identificadas con el tema de la encuesta. Resúmalo todo Setecientos setenta y un estudiantes de educación a distancia del Long Beach City College respondieron a las encuestas en el año académico 2010-11. Los aspectos más destacados del informe de síntesis figuran en la . Resultados de la encuesta sobre el aprendizaje a distancia de Long Beach City College (LBCC) Tener computadora en casa 96% Imposibilidad de acudir al campus para asistir a las clases 65% Edad de 41 años o más 24 % Me gustaría que LBCC ofreciera más cursos de aprendizaje a distancia (distance learning, DL) 95 % Tomó clases de DL debido a una discapacidad 17 % Vive a un mínimo de 16 millas del campus 13 % Tomó cursos de DL para cumplir con los requisitos de transferencia 71 % ¿Qué porcentaje de los estudiantes encuestados no tiene computadora en casa? Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes de la encuesta viven a más de 16 millas del campus? Si la misma encuesta se realizara en el Great Basin College de Elko (Nevada), ¿cree que los porcentajes serían los mismos? ¿Por qué? Varios vendedores de libros de texto en línea anuncian que tienen precios más bajos que las librerías del campus. Sin embargo, un factor importante es si los minoristas de internet tienen realmente en stock los libros de texto que los estudiantes necesitan. Los estudiantes necesitan obtener los libros de texto con prontitud al comienzo del curso universitario. Si el libro no está disponible, el estudiante no podrá obtener el libro de texto en absoluto, o podría recibir una entrega retrasada si el libro tiene un pedido pendiente. Un reportero de un periódico universitario investiga la disponibilidad de los libros de texto en las tiendas online. Decide investigar un libro de texto para cada una de las siete asignaturas siguientes: Cálculo, Biología, Química, Física, Estadística, Geología e Ingeniería general. Consulta los datos de ventas de la industria de libros de texto y selecciona el libro de texto más popular a nivel nacional en cada una de estas asignaturas. Visita los sitios web de una muestra aleatoria de los principales vendedores de libros de texto en línea y busca cada uno de estos siete libros de texto para ver si están disponibles en stock para una entrega rápida a través de estos minoristas. Con base en su investigación, escribe un artículo en el que saca conclusiones sobre la disponibilidad general de todos los libros de texto universitarios a través de los minoristas de libros de texto en línea Escriba un análisis de su estudio que aborde las siguientes cuestiones: ¿Su muestra representativa de la población es de todos los libros de texto universitarios? Explique por qué sí o por qué no. Describa algunas posibles fuentes de sesgo en este estudio y cómo estas podrían afectar los resultados. Dé algunas sugerencias sobre lo que se podría hacer para mejorar el estudio. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: La muestra no es representativa de la población de todos los libros de texto universitarios. Dos razones por las que no es representativo son que el investigador solo tomó una muestra de siete sujetos y que solo investigó un libro de texto en cada asignatura. Hay varias fuentes posibles de sesgo en el estudio. Las siete asignaturas que investigó son todas de Matemáticas y Ciencias; hay muchas asignaturas de Humanidades, Ciencias Sociales y otras áreas temáticas, (por ejemplo: Literatura, Arte, Historia, Psicología, Sociología o Negocios) que no investigó en absoluto. Puede ser que las diferentes áreas temáticas presenten diferentes patrones de disponibilidad de libros de texto, pero su muestra no detectaría tales resultados. También se fijó solo en el libro de texto más popular en cada una de las asignaturas que investigó. La disponibilidad de los libros de texto más populares puede discrepar de la disponibilidad de otros libros de texto de una de estas dos maneras: los libros de texto más populares pueden estar más disponibles en línea, porque se imprimen más copias nuevas y más estudiantes de todo el país están vendiendo sus copias usadas O los libros de texto más populares pueden ser más difíciles de encontrar en línea, porque la mayor demanda de los estudiantes agota la oferta más rápidamente. En realidad, muchos estudiantes universitarios no utilizan el libro de texto más popular de su asignatura y este estudio no ofrece información útil sobre la situación de los libros de texto menos populares. Para mejorar este estudio se podría: ampliar la selección de temas que investiga para que sea más representativa de todas las asignaturas que estudian los universitarios, y ampliar la selección de libros de texto que se investiga dentro de cada asignatura para incluir una representación mixta de los libros de texto más populares y menos populares. Muestreo por conglomerados un método para seleccionar una muestra aleatoria y dividir la población en grupos (conglomerados); usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un conjunto de conglomerados. Todas las personas de los grupos elegidos se incluyen en la muestra. Variable aleatoria continua una variable aleatoria (random variable, RV) cuyos resultados se miden; la altura de los árboles en el bosque es una RV continua. Muestreo de conveniencia un método no aleatorio de selección de una muestra; este método selecciona personas que son fácilmente accesibles y puede generar datos sesgados. Variable aleatoria discreta una variable aleatoria (RV) cuyos resultados se cuentan Error ajeno al muestreo un problema que afecta la fiabilidad de los datos del muestreo, aparte de la variación natural; incluye una variedad de errores humanos, como un diseño deficiente del estudio, métodos de muestreo sesgados, información inexacta proporcionada por los participantes en el estudio, errores de introducción de datos y un análisis deficiente. Datos cualitativos Consulte datos . Datos cuantitativos Consulte datos . Muestreo aleatorio un método de selección de una muestra que da a cada miembro de la población la misma oportunidad de que lo seleccionen. Sesgo de muestreo no todos los miembros de la población tienen la misma probabilidad de que los seleccionen. Error de muestreo la variación natural que resulta de la selección de una muestra para representar una población mayor; esta variación disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, por lo que la selección de muestras más grandes reduce el error de muestreo. Muestreo con reemplazo una vez que se selecciona un miembro de la población para incluirlo en una muestra, ese miembro se devuelve a la población para la selección de la siguiente persona. Muestreo sin reemplazo a un miembro de la población lo pueden elegir para incluirlo en una muestra solo una vez. Si se elige, el miembro no se devuelve a la población antes de la siguiente selección. Muestreo aleatorio simple un método sencillo para seleccionar una muestra aleatoria; dar a cada miembro de la población un número. Usa un generador de números aleatorios para seleccionar un conjunto de identificadores. Estos identificadores seleccionados al azar precisan los miembros de su muestra. Muestreo estratificado método de selección de una muestra aleatoria utilizado para garantizar que los subgrupos de la población estén representados adecuadamente; divide la población en grupos (estratos). Usa el muestreo aleatorio simple para identificar un número proporcional de personas de cada estrato. Muestreo sistemático un método para seleccionar una muestra aleatoria; enumera los miembros de la población. Usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un punto de partida en la población. Supongamos que k = (número de personas de la población)/(número de personas necesarios en la muestra). Elija cada “k-ésima” persona de la lista empezando por la que se seleccionó al azar. Si es necesario, vuelva al principio de la lista de población para completar su muestra.", "section": "Datos, muestreo y variación de datos y muestreo", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible. Respuestas y redondeo Una forma sencilla de redondear las respuestas es llevar la respuesta final a un decimal más de los que aparecen en los datos originales. Redondee solo la respuesta final. Si es posible, no redondee los resultados intermedios. Si es necesario redondear los resultados intermedios, llévelos al menos al doble de decimales que la respuesta final. Por ejemplo, el promedio de las tres puntuaciones de un cuestionario que son cuatro, seis y nueve es 6,3, redondeada a la décima más cercana, porque los datos son números enteros. La mayoría de las respuestas se redondearán de esta manera. No es necesario reducir la mayoría de las fracciones en este curso. Especialmente en Temas de probabilidad , el capítulo sobre la probabilidad, es más útil dejar las respuestas como fracciones no reducidas. Niveles de medición La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición . Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel): Nivel de escala nominal Nivel de escala ordinal Nivel de escala de intervalos Nivel de escala de cociente Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos) . Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido. Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos. Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida. Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0. Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido. Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina. Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92. Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20. Frecuencia Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 5 6 3 3 2 4 7 5 2 3 5 6 5 4 4 3 5 2 5 3 . La enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA 2 3 3 5 4 3 5 6 6 2 7 1 Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra. Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA 2 3 3 20 o 0,15 3 5 5 20 o 0,25 4 3 3 20 o 0,15 5 6 6 20 o 0,30 6 2 2 20 o 0,10 7 1 1 20 o 0,05 La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la es 20 20 , o 1. La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la . Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas y acumuladas VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 2 3 3 20 o 0,15 0,15 3 5 5 20 o 0,25 0,15 + 0,25 = 0,40 4 3 3 20 o 0,15 0,40 + 0,15 = 0,55 5 6 6 20 o 0,30 0,55 + 0,30 = 0,85 6 2 2 20 o 0,10 0,85 + 0,10 = 0,95 7 1 1 20 o 0,05 0,95 + 0,05 = 1,00 La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos. NOTA Debido al redondeo, es posible que la columna de frecuencia relativa no sume siempre uno, y que la última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada no sea uno. Sin embargo, cada uno de ellos debería estar cerca de uno. La representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales. Tabla de frecuencias de la altura de los jugadores de fútbol ALTURAS (PULGADAS) FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 59.95–61.95 5 5 100 = 0,05 0,05 61.95–63.95 3 3 100 = 0,03 0,05 + 0,03 = 0,08 63.95–65.95 15 15 100 = 0,15 0,08 + 0,15 = 0,23 65.95–67.95 40 40 100 = 0,40 0,23 + 0,40 = 0,63 67.95–69.95 17 17 100 = 0,17 0,63 + 0,17 = 0,80 69.95–71.95 12 12 100 = 0,12 0,80 + 0,12 = 0,92 71.95–73.95 7 7 100 = 0,07 0,92 + 0,07 = 0,99 73.95–75.95 1 1 100 = 0,01 0,99 + 0,01 = 1,00 Total = 100 Total = 1,00 Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos: de 59,95 a 61,95 pulgadas de 61,95 a 63,95 pulgadas de 63,95 a 65,95 pulgadas de 65,95 a 67,95 pulgadas de 67,95 a 69,95 pulgadas de 69,95 a 71,95 pulgadas de 71,95 a 73,95 pulgadas de 73,95 a 75,95 pulgadas Nota Este ejemplo se vuelve a utilizar en Estadística descriptiva , donde se explicará el método utilizado para calcular los intervalos. En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que son inferiores a 65,95 pulgadas. Si se observan la primera, la segunda y la tercera filas, las alturas son todas inferiores a 65,95 pulgadas. Hay 5 + 3 + 15 = 23 jugadores cuya altura es inferior a 65,95 pulgadas. El porcentaje de alturas inferiores a 65,95 pulgadas es entonces 23 100 o el 23 %. Este porcentaje es la entrada de frecuencia relativa acumulada en la tercera fila. Ejercicio La muestra la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. Precipitación (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2,95-4,97 6 6 50 = 0,12 0,12 4,97-6,99 7 7 50 = 0,14 0,12 + 0,14 = 0,26 6,99-9,01 15 15 50 = 0,30 0,26 + 0,30 = 0,56 9,01-11,03 8 8 50 = 0,16 0,56 + 0,16 = 0,72 11,03-13,05 9 9 50 = 0,18 0,72 + 0,18 = 0,90 13,05-15,07 5 5 50 = 0,10 0,90 + 0,10 = 1,00 Total = 50 Total = 1,00 A partir de la , calcule el porcentaje de precipitación que es inferior a 9,01 pulgadas. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que se encuentran entre 61,95 y 65,95 pulgadas. Sume las frecuencias relativas en la segunda y tercera filas: 0,03 + 0,15 = 0,18 o 18 %. Ejercicio A partir de la , calcule el porcentaje de precipitaciones que se encuentra entre 6,99 y 13,05 pulgadas. Utilice las alturas de los 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales en la . Rellene los espacios en blanco y compruebe sus respuestas. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 71,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 73,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas superiores a 65,95 pulgadas es: ____. El número de jugadores de la muestra que miden entre 61,95 y 71,95 pulgadas es: ____. ¿Qué tipo de datos son las alturas? Describa cómo podría reunir estos datos (las alturas) para que los datos sean característicos de todos los jugadores hombres de fútbol semiprofesionales. Recuerde, usted cuentas frecuencias . Para hallar la frecuencia relativa, divida la frecuencia entre el número total de valores de datos. Para hallar la frecuencia relativa acumulada se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual. 29 % 36 % 77 % 87 cuantitativo continuo obtener las listas de cada equipo y elegir una muestra aleatoria simple de cada uno Ejercicio A partir de la , halle el número de ciudades que tienen precipitaciones entre 2,95 y 9,01 pulgadas. En su clase, pida a alguien que realice una encuesta sobre el número de hermanos (mujeres y hombres) que tiene cada estudiante. Cree una tabla de frecuencias. Añada una columna de frecuencia relativa y otra de frecuencia relativa acumulada. Responda las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje de estudiantes de su clase no tiene hermanos? ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene de uno a tres hermanos? ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de tres hermanos? Se les preguntó a diecinueve personas cuántas millas recorren cada día para ir al trabajo, con una aproximación de una milla. Los datos son los siguientes: 2 5 7 3 2 10 18 15 20 7 10 18 5 12 13 12 4 5 10 . Se produjo la : Frecuencia de las distancias de desplazamiento DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 3 3 3 19 0,1579 4 1 1 19 0,2105 5 3 3 19 0,1579 7 2 2 19 0,2632 10 3 4 19 0,4737 12 2 2 19 0,7895 13 1 1 19 0,8421 15 1 1 19 0,8948 18 1 1 19 0,9474 20 1 1 19 1,0000 ¿La tabla es correcta? Si no es correcta, ¿qué está errado? Verdadero o falso: El tres por ciento de los encuestados se desplazan tres millas. Si la afirmación es incorrecta, ¿cuál debería serlo? Si la tabla es incorrecta, haga las correcciones. ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza cinco o siete millas? ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza 12 millas o más? ¿Menos de 12 millas? ¿Entre cinco y 13 millas (sin incluir cinco y 13 millas)? No. La columna de frecuencia suma 18, no 19. No todas las frecuencias relativas acumuladas son correctas. Falso. La frecuencia para tres millas debería ser una; para dos millas (omitidas), dos. La columna de frecuencia relativa acumulada debe decir: 0,1052, 0,1579, 0,2105, 0,3684, 0,4737, 0,6316, 0,7368, 0,7895, 0,8421, 0,9474, 1,0000. 5 19 7 19 , 12 19 , 7 19 Ejercicio La representa la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. ¿Qué fracción de las ciudades recibe entre 11,03 y 13,05 pulgadas de lluvia al año? La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de terremotos en el periodo comprendido entre 2000 y 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2006 hasta 2009? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2009? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2003 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2004? ¿Qué tipo de datos son los números de las muertes? La escala de Richter se utiliza para cuantificar la energía producida por un terremoto. Ejemplos de números de la escala de Richter son 2,3; 4,0; 6,1 y 7,0. ¿Qué tipo de datos son estas cifras? 97.118 (11,8 %) 41,6 % 67.092/823.356 o 0,081 o 8,1 % 27,8 % Discreto cuantitativo Cuantitativo continuo Ejercicio La contiene el número total de accidentes mortales de tráfico de vehículos de motor en Estados Unidos para el periodo de 1994 a 2011. Año Número total de accidentes Año Número total de accidentes 1994 36.254 2004 38.444 1995 37.241 2005 39.252 1996 37.494 2006 38.648 1997 37.324 2007 37.435 1998 37.107 2008 34.172 1999 37.140 2009 30.862 2000 37.526 2010 30.296 2001 37.862 2011 29.757 2002 38.491 Total 653.782 2003 38.477 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2000 hasta 2004? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2006? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2000 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2011? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada en 2006? Explique qué le dice este número sobre los datos. Referencias “State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana. Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes. Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas. ¿Qué tipo de escala de medición se utiliza? Nominal, ordinal, de intervalo o de cociente. Los jugadores de fútbol de la escuela secundaria se clasifican por su capacidad atlética: Superior, promedio, por encima del promedio Las temperaturas de cocción para varios platos principales: 350, 400, 325, 250, 300 Los colores de los lápices de colores en una caja de 24 lápices Los números de la seguridad social Los ingresos medidos en dólares Una encuesta de satisfacción de un sitio web social por número: 1 = muy satisfecho, 2 = algo satisfecho, 3 = no satisfecho La perspectiva política: extrema izquierda, centro-izquierda, centro-derecha, extrema derecha La hora del día en un reloj analógico La distancia en millas a la tienda de comestibles más cercana Las fechas 1066, 1492, 1644, 1947 y 1944 La altura de las mujeres de 21 a 65 años Notas con letras comunes: A, B, C, D y F ordinal intervalo nominal nominal cociente ordinal nominal intervalo cociente intervalo cociente ordinal TAREA PARA LA CASA Se les preguntó a cincuenta estudiantes a tiempo parcial cuántos cursos estaban tomando este trimestre. Los resultados (incompletos) se muestran a continuación: Carga lectiva de los estudiantes a tiempo parcial Número de cursos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 30 0,6 2 15 3 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de estudiantes toman exactamente dos cursos? ¿Qué porcentaje de estudiantes toman uno o dos cursos? Antes de emitir el diagnóstico se les preguntó a sesenta adultos con enfermedades de las encías el número de veces por semana que utilizaban el hilo dental. Los resultados (incompletos) se muestran en la . Frecuencia de uso del hilo dental en adultos con enfermedades de las encías N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 1 18 3 0,9333 6 3 0,0500 7 1 0,0167 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de adultos utiliza el hilo dental seis veces por semana? ¿Qué porcentaje utiliza el hilo dental como máximo tres veces por semana? N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 0,4500 1 18 0,3000 0,7500 3 11 0,1833 0,9333 6 3 0,0500 0,9833 7 1 0,0167 1 5,00 % 93,33 % Se les preguntó a diecinueve inmigrantes en EE. UU. cuántos años, con una aproximación de un año, han vivido en EE. UU. Los datos son los siguientes: 2 5 7 2 2 10 20 15 0 7 0 20 5 12 15 12 4 5 10 . Se produjo la . Frecuencia de las respuestas de los inmigrantes a la encuesta Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 2 2 19 0,1053 2 3 3 19 0,2632 4 1 1 19 0,3158 5 3 3 19 0,4737 7 2 2 19 0,5789 10 2 2 19 0,6842 12 2 2 19 0,7895 15 1 1 19 0,8421 20 1 1 19 1,0000 Corrija los errores en la . Además, explique cómo alguien podría haber llegado a los números incorrectos. Explique qué está errado en esta afirmación: “El 47 % de los encuestados lleva 5 años viviendo en EE. UU.”. Corrija el enunciado en b para que sea correcto. ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. cinco o siete años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido como máximo 12 años en EE. UU.? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. menos de 12 años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. de cinco a 20 años, ambos inclusive? ¿Cuánto tiempo se tarda en ir al trabajo? La muestra el tiempo medio de desplazamiento por estado para los trabajadores de, al menos, 16 años que no trabajan en casa. Calcule el tiempo medio de traslado, y redondee la respuesta correctamente. 24,0 24,3 25,9 18,9 27,5 17,9 21,8 20,9 16,7 27,3 18,2 24,7 20,0 22,6 23,9 18,0 31,4 22,3 24,0 25,5 24,7 24,6 28,1 24,9 22,6 23,6 23,4 25,7 24,8 25,5 21,2 25,7 23,1 23,0 23,9 26,0 16,3 23,1 21,4 21,5 27,0 27,0 18,6 31,7 23,3 30,1 22,9 23,3 21,7 18,6 La suma de los tiempos de viaje es de 1.173,1. Divida la suma entre 50 para calcular el valor medio: 23,462. Dado que el tiempo de viaje de cada estado se midió a la décima más cercana, redondee este cálculo a la centésima más cercana: 23,46. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de al menos 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. La muestra la edad de los directores generales de las primeras 60 compañías clasificadas. Edad Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 40-44 3 45-49 11 50-54 13 55-59 16 60-64 10 65-69 6 70-74 1 ¿Cuál es la frecuencia para los directores generales entre 54 y 65 años? ¿Qué porcentaje de directores generales tienen 65 años o más? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las edades inferiores a 50 años? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los directores generales menores de 55 años? ¿Qué gráfico muestra la frecuencia relativa y cuál la frecuencia relativa acumulada? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta. Frecuencia de los impactos directos de los huracanes Categoría Número de impactos directos Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 1 109 0,3993 0,3993 2 72 0,2637 0,6630 3 71 0,2601 4 18 0,9890 5 3 0,0110 1,0000 Total = 273 ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron huracanes de categoría 4? 0,0768 0,0659 0,2601 No hay suficiente información para calcular b ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron COMO MÁXIMO una tormenta de categoría 3? 0,3480 0,9231 0,2601 0,3370 Frecuencia relativa acumulada el término se aplica a un conjunto ordenado de observaciones de menor a mayor. La frecuencia relativa acumulada es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores que son menores o iguales al valor dado. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados con el número total de resultados", "section": "Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Diseño experimental y ética ¿La aspirina reduce el riesgo de infarto? ¿Una marca de abono es más eficaz para el cultivo de rosas que otra? ¿El cansancio es tan peligroso para un conductor como la influencia del alcohol? Este tipo de preguntas se responden con experimentos aleatorios. En este módulo aprenderá aspectos importantes del diseño experimental. Un diseño adecuado del estudio garantiza la obtención de datos fiables y precisos. El propósito de un experimento es investigar la relación entre dos variables. Cuando una variable provoca un cambio en otra, llamamos a la primera variable la variable explicativa . La variable afectada se denomina variable de respuesta . En un experimento aleatorio, el investigador manipula los valores de la variable explicativa y mide los cambios resultantes en la variable de respuesta. Los diferentes valores de la variable explicativa se denominan tratamientos . Una unidad experimental es un único objeto o persona que se va a medir. Quiere investigar la eficacia de la vitamina E en la prevención de enfermedades. Usted recluta a un grupo de sujetos y les pregunta si toman regularmente vitamina E. Observa que los sujetos que toman vitamina E, en promedio, presentan una salud mejor que quienes no la toman. ¿Esto prueba que la vitamina E es eficaz en la prevención de enfermedades? No es así. Hay muchas diferencias entre los dos grupos comparados, además del consumo de vitamina E. Las personas que toman vitamina E con regularidad suelen tomar otras medidas para mejorar su salud: ejercicio, dieta, otros suplementos vitamínicos, elección de no fumar, etc. Cualquiera de estos factores podría estar influyendo en la salud. Como se ha descrito, este estudio no demuestra que la vitamina E sea la clave para la prevención de enfermedades. Las variables adicionales que pueden enturbiar un estudio se denominan variables ocultas . Para demostrar que la variable explicativa provoca un cambio en la variable de respuesta, es necesario aislar la variable explicativa. La investigadora debe diseñar su experimento de forma que solo haya una diferencia entre los grupos que se comparan: los tratamientos previstos. Esto se consigue mediante la asignación aleatoria de unidades experimentales a grupos de tratamiento. Cuando los sujetos se asignan a los tratamientos de forma aleatoria, todas las variables ocultas potenciales se reparten por igual entre los grupos. En este punto, la única diferencia entre los grupos es la impuesta por el investigador. Los diferentes resultados medidos en la variable de respuesta, por tanto, deben ser una consecuencia directa de los diferentes tratamientos. De este modo, un experimento puede demostrar una conexión causa-efecto entre las variables explicativas y las de respuesta. El poder de la sugestión puede tener una importante influencia en el resultado de un experimento. Los estudios han demostrado que la expectativa del participante en el estudio puede ser tan importante como el medicamento real. En un estudio sobre fármacos que mejoran el desempeño, los investigadores señalaron: Los resultados mostraron que creer que se había tomado la sustancia provocaba tiempos de [ desempeño ] casi tan rápidos como los asociados al consumo del propio fármaco. Por el contrario, la toma del fármaco sin conocimiento no produjo un aumento significativo del desempeño. McClung, M. Collins, D. “Because I know it will!”: placebo effects of an ergogenic aid on athletic performance. Journal of Sport & Exercise Psychology. Junio de 2007. 29(3):382-94. Web. 30 de abril de 2013. Cuando la participación en un estudio provoca una respuesta física del participante, es difícil aislar los efectos de la variable explicativa. Para contrarrestar el poder de la sugestión, los investigadores reservaron un grupo de tratamiento como grupo de control . Este grupo recibe un tratamiento placebo , es decir, un tratamiento que no puede influir en la variable de respuesta. El grupo de control ayuda a los investigadores a equilibrar los efectos de estar en un experimento con los efectos de los tratamientos activos. Por supuesto, si usted participa en un estudio y sabe que está recibiendo una píldora que no contiene ningún medicamento real, entonces el poder de la sugestión ya no es un factor. Que un experimento aleatorio sea ciego preserva el poder de la sugestión. Cuando una persona participa en un estudio de investigación ciego, no sabe quién recibe el tratamiento activo y quién el placebo. Un experimento doble ciego es aquel en el que tanto los sujetos como los investigadores que participan en él no conocen la información del fármaco. Los investigadores quieren investigar si tomar aspirina con regularidad reduce el riesgo de infarto. Se reclutan como participantes 400 hombres de entre 50 y 84 años. Los hombres se dividen aleatoriamente en dos grupos: un grupo tomará aspirina y el otro un placebo. Cada hombre toma una píldora al día durante tres años, pero no sabe si está tomando aspirina o el placebo. Al final del estudio, los investigadores cuentan el número de hombres de cada grupo que han sufrido infartos. Identifique los siguientes valores para este estudio: población, muestra, unidades experimentales, variable explicativa, variable de respuesta y tratamientos. La población es de hombres de 50 a 84 años. La muestra son los 400 hombres que participaron. Las unidades experimentales son los hombres por individual del estudio. La variable explicativa es el medicamento oral. Los tratamientos son la aspirina y un placebo. La variable de respuesta es si el sujeto ha sufrido un infarto. La Fundación para el Tratamiento y la Investigación del Olfato y el Gusto realizó un estudio para investigar si el olor puede afectar el aprendizaje. Los sujetos completaron laberintos varias veces con máscaras puestas. Completaron los laberintos de lápiz y papel tres veces con máscaras con aroma floral y tres veces con máscaras sin aroma. Los participantes se asignaron al azar a ponerse la máscara floral durante los tres primeros ensayos o durante los tres últimos. En cada ensayo, los investigadores registraron el tiempo que se tardaban en completar el laberinto y la impresión de los sujetos sobre el olor de la máscara: positivo, negativo o neutro. Describa las variables explicativas y de respuesta de este estudio. ¿Cuáles son los tratamientos? Identifique cualquier variable oculta que pueda interferir en este estudio. ¿Es posible que este estudio se haga ciego? La variable explicativa es el olor y la variable de respuesta es el tiempo que se tarda en completar el laberinto. Hay dos tratamientos: una máscara con aroma floral y otra sin aroma. Todos los sujetos experimentaron ambos tratamientos. El orden de los tratamientos se asignó al azar, por lo que no hubo diferencias entre los grupos de tratamiento. La asignación aleatoria elimina el problema de las variables ocultas. Los sujetos sabrán claramente si pueden oler las flores o no, por lo que no es un estudio ciego para los participantes. Sin embargo, para los investigadores que cronometran los laberintos sí puede ser ciego. El investigador que observa a un sujeto no sabrá qué máscara se está usando. Un investigador quiere estudiar los efectos del orden de nacimiento en la personalidad. Explique por qué este estudio no pudo realizarse como un experimento aleatorio. ¿Cuál es el principal problema de un estudio que no puede ser diseñado como un experimento aleatorio? La variable explicativa es el orden de nacimiento. No se puede asignar al azar el orden de nacimiento de una persona. La asignación aleatoria elimina el impacto de las variables ocultas. Cuando no se pueden asignar a los sujetos a los grupos de tratamiento de forma aleatoria, habrá diferencias entre los grupos además de la variable explicativa. Ejercicio Le preocupan los efectos del envío de mensajes de texto en el rendimiento de la conducción. Diseñe un estudio para comprobar el tiempo de respuesta de los conductores mientras envían mensajes de texto y mientras conducen solamente ¿Cuántos segundos tarda un conductor en reaccionar cuando el automóvil que va delante pisa el freno? Describa las variables explicativas y de respuesta del estudio. ¿Cuáles son los tratamientos? ¿Qué hay que tener en cuenta a la hora de seleccionar a los participantes? Su socio de investigación quiere dividir a los participantes al azar en dos grupos: uno que conduzca sin distracciones y otro que envíe mensajes de texto y conduzca simultáneamente. ¿Es una buena idea? ¿Por qué sí o por qué no? Identifique cualquier variable oculta que pueda interferir en este estudio. ¿Cómo se puede utilizar el experimento ciego en este estudio? Ética El mal uso y la tergiversación generalizados de la información estadística suelen dar mala fama a este campo. Algunos dicen que \"los números no mienten\", pero las personas que utilizan los números para apoyar sus afirmaciones a menudo lo hacen. Una reciente investigación sobre el famoso psicólogo social Diederik Stapel ha llevado a la retractación de sus artículos en algunas de las principales revistas del mundo, como Journal of Experimental Social Psychology, Social Psychology, Basic and Applied Social Psychology, British Journal of Social Psychology y la revista Science . Diederik Stapel es un antiguo profesor de la Universidad de Tilburg (Países Bajos). En los últimos dos años, una amplia investigación en la que han participado tres universidades en las que ha trabajado Stapel ha concluido que el psicólogo es culpable de un fraude a escala colosal. Los datos falsificados contaminaron más de 55 artículos de su autoría y 10 tesis doctorales que supervisó. Stapel no negó que su engaño estuviera motivado por la ambición. Pero me dijo que era más complicado que eso. Insistió en que le encantaba la psicología social, pero que se sentía frustrado por el desorden de los datos experimentales, que rara vez conducían a conclusiones claras. Su obsesión de toda la vida por la elegancia y el orden, según él, le llevó a inventar resultados sexys que las revistas encontraban atractivos. \"Era una búsqueda de la estética, de la belleza, en lugar de la verdad\", dijo. Describió su comportamiento como una adicción que le llevaba a realizar actos de fraude cada vez más atrevidos, como un drogadicto que busca un estímulo mayor y mejor. Yudhijit Bhattacharjee, \"The Mind of a Con Man\", Magazine, New York Times, 26 de abril de 2013. Disponible en línea en: http://www.nytimes.com/2013/04/28/magazine/diederik-stapels-audacious-academic-fraud.html?src=dayp&_r=2 (consultado el 1.º de mayo de 2013). La comisión que investiga a Stapel concluyó que es culpable de varias prácticas, entre ellas crear conjuntos de datos, que confirmaron en gran medida las expectativas previas, alterar los datos de los conjuntos de datos existentes, cambiar los instrumentos de medición sin informar del cambio, y tergiversar el número de sujetos experimentales. Está claro que nunca es aceptable falsear los datos de la forma en que lo hizo este investigador. Sin embargo, a veces las violaciones de la ética no son tan fáciles de detectar. Los investigadores tienen la responsabilidad de verificar que se siguen los métodos adecuados. El informe que describe la investigación del fraude de Stapel afirma que \"los fallos estadísticos revelaron con frecuencia una falta de familiaridad con las estadísticas elementales”. “Flawed Science: The Fraudulent Research Practices of Social Psychologist Diederik Stapel\", Universidad de Tillburg, 28 de noviembre de 2012, http://www.tilburguniversity.edu/upload/064a10cd-bce5-4385-b9ff-05b840caeae6_120695_Rapp_nov_2012_UK_web.pdf (consultado el 1 de mayo de 2013). Muchos de los coautores de Stapel deberían haber detectado irregularidades en sus datos. Desgraciadamente, no sabían mucho de análisis estadístico y se limitaban a confiar en que recopilaba y comunicaba los datos correctamente. Muchos tipos de fraude estadístico son difíciles de detectar. Algunos investigadores simplemente dejan de recopilar datos una vez que tienen los suficientes para demostrar lo que esperaban comprobar. No quieren arriesgarse a que un estudio más extenso les complique la vida produciendo datos que contradigan su hipótesis. Las organizaciones profesionales, como la American Statistical Association, definen claramente las expectativas de los investigadores. Incluso hay leyes en el código federal sobre el uso de datos de investigación. Cuando un estudio estadístico utiliza participantes humanos, como en los estudios médicos, tanto la ética como la ley dictan que los investigadores deben tener en cuenta la seguridad de sus sujetos de investigación. El Departamento de Salud y Servicios Humanos de EE. UU. supervisa la normativa federal de los estudios de investigación con el objetivo de proteger a los participantes. Cuando una universidad u otra institución de investigación se dedica a la investigación, debe garantizar la seguridad de todos los sujetos humanos. Por esta razón, las instituciones de investigación establecen comités de supervisión conocidos como Juntas de Revisión Institucional (Institutional Review Boards, IRB) . Todos los estudios previstos deben ser aprobados previamente por la IRB. Entre las principales protecciones que impone la ley se encuentran las siguientes: Los riesgos para los afiliados deben ser mínimos y razonables con respecto a los beneficios previstos. Los participantes deben dar su consentimiento informado . Esto significa que los riesgos de la participación deben explicarse claramente a los sujetos del estudio. Los sujetos deben dar su consentimiento por escrito y los investigadores están obligados a conservar la documentación de su consentimiento. Los datos recogidos de las personas deben ser custodiados cuidadosamente para proteger su privacidad. Estas ideas pueden parecer fundamentales, pero pueden ser muy difíciles de verificar en la práctica. ¿Es suficiente eliminar el nombre de un participante del registro de datos para proteger la privacidad? Tal vez se pueda descubrir la identidad de la persona a partir de los datos que quedan. ¿Qué ocurre si el estudio no se desarrolla como estaba previsto y surgen riesgos que no se habían considerado? ¿Cuándo es realmente necesario el consentimiento informado? Supongamos que su médico quiere una muestra de sangre para comprobar su nivel de colesterol. Una vez analizada la muestra, espera que el laboratorio se deshaga de la sangre restante. En ese momento la sangre se convierte en un residuo biológico. ¿Tiene un investigador derecho a tomarla para utilizarla en un estudio? Es importante que los estudiantes de Estadística dediquen tiempo a considerar las cuestiones éticas que surgen en los estudios estadísticos. ¿Cuál es la prevalencia del fraude en los estudios estadísticos? Puede que se sorprenda y se decepcione. Existe un sitio web dedicado a catalogar las retractaciones de artículos de estudios que se han demostrado fraudulentos. Un rápido vistazo mostrará que el mal uso de las estadísticas es un problema más grande de lo que la mayoría de la gente cree. La vigilancia contra el fraude requiere conocimientos. El aprendizaje de la teoría básica de la estadística le capacitará para analizar críticamente los estudios estadísticos. Describa el comportamiento poco ético en cada ejemplo y cómo podría afectar la fiabilidad de los datos resultantes. Explique cómo se debe corregir el problema. Una investigadora está recopilando datos en una comunidad. Elige una cuadra en la que se siente cómoda caminando porque conoce a muchas de las personas que viven en la calle. Parece que no hay nadie en las cuatro casas de su ruta. No anota las direcciones y no vuelve más tarde para intentar encontrar a los residentes en sus casas. Se salta cuatro casas de su ruta porque llega tarde a una cita. Cuando llega a casa, rellena los formularios seleccionando respuestas al azar de otros residentes del vecindario. Al seleccionar una muestra conveniente, el investigador está seleccionando intencionadamente una muestra que podría estar sesgada. Afirmar que esta muestra representa a la comunidad es engañoso. El investigador debe seleccionar zonas de la comunidad al azar. La omisión intencionada de datos relevantes creará un sesgo en la muestra. Supongamos que la investigadora está recopilando información sobre los puestos de trabajo y el cuidado de los niños. Al ignorar a las personas que no están en casa, puede estar perdiendo datos de familias trabajadoras que son relevantes para su estudio. Debe hacer todo lo posible por entrevistar a todos los miembros de la muestra objetivo. Nunca es aceptable falsificar datos. Aunque las respuestas que utiliza son respuestas \"reales\" proporcionadas por otros participantes, la duplicación es fraudulenta y puede crear una alteración en los datos. Tiene que trabajar con diligencia para entrevistar a todos los de su ruta. Ejercicio Describa el comportamiento poco ético, si lo hay, en cada ejemplo y describa cómo podría afectar a la fiabilidad de los datos resultantes. Explique cómo se debe corregir el problema. Se encarga un estudio para determinar la marca favorita de jugo de frutas entre los adolescentes de California. La encuesta ha sido encargada por el vendedor de una popular marca de jugo de manzana. Solo hay dos tipos de jugo incluidos en el estudio: el de manzana y el de arándanos. Los investigadores permiten a los participantes ver la marca del jugo mientras se vierten las muestras para una prueba de sabor. El 25 % de los participantes prefiere la marca X, el 33 % prefiere la marca Y y el 42 % no tiene preferencia entre las dos marcas. La marca X hace referencia al estudio en un anuncio que dice “a la mayoría de los adolescentes les gusta la marca X tanto o más que la marca Y”. Referencias “Vitamin E and Health”, Nutrition Source, Harvard School of Public Health, http://www.hsph.harvard.edu/nutritionsource/vitamin-e/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Stan Reents. “Don’t Underestimate the Power of Suggestion,” athleteinme.com, http://www.athleteinme.com/ArticleView.aspx?id=1053 (consultado el 1.º de mayo de 2013). Ankita Mehta. “Daily Dose of Aspiring Helps Reduce Heart Attacks: Study,” International Business Times, 21 de julio de 2011. También disponible en línea en http://www.ibtimes.com/daily-dose-aspirin-helps-reduce-heart-attacks-study-300443 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/ScentsandLearning.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). M. L. Jacskon et al., “Cognitive Components of Simulated Driving Performance: Sleep Loss effect and Predictors”, Accident Analysis and Prevention Journal, Enero n.º 50 (2013), http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22721550 (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Earthquake Information by Year”, U.S. Geological Survey. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqarchives/year/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Fatality Analysis Report Systems (FARS) Encyclopedia”, National Highway Traffic and Safety Administration. http://www-fars.nhtsa.dot.gov/Main/index.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.businessweek.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.forbes.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). “America’s Best Small Companies”, http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). U.S. Department of Health and Human Services, Code of Federal Regulations Title 45 Public Welfare Department of Health and Human Services Part 46 Protection of Human Subjects, revisado el 15 de enero de 2009. Section 46.111:Criteria for IRB Approval of Research. “April 2013 Air Travel Consumer Report”, U.S. Department of Transportation, 11 de abril (2013), http://www.dot.gov/airconsumer/april-2013-air-travel-consumer-report (consultado el 1.º de mayo de 2013). Lori Alden, “Statistics can be Misleading”, econoclass.com, http://www.econoclass.com/misleadingstats.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). María de los A. Medina, “Ethics in Statistics”, basado en “Building an Ethics Module for Business, Science, and Engineering Students” de José A. Cruz-Cruz y William Frey, Connexions, http://cnx.org/content/m15555/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un estudio de diseño deficiente no producirá datos fiables. Hay ciertos componentes clave que deben incluirse en cada experimento. Para eliminar las variables ocultas los sujetos deben ser asignados aleatoriamente a diferentes grupos de tratamiento. Uno de los grupos debe actuar como grupo de control, con lo que se demuestra lo que ocurre cuando no se aplica el tratamiento activo. Los participantes del grupo de control reciben un tratamiento placebo que es exactamente igual a los tratamientos activos, pero que no puede influir en la variable de respuesta. Para preservar la integridad del placebo, tanto los investigadores como los sujetos pueden estar sin conocimiento del fármaco. Cuando un estudio se diseña correctamente la única diferencia entre los grupos de tratamiento es la impuesta por el investigador. Por lo tanto, cuando los grupos responden de forma diferente a los distintos tratamientos, la diferencia debe ser por la influencia de la variable explicativa. “Un problema de ética surge cuando se plantea una acción que le beneficia a usted o a alguna causa que apoya, perjudica o reduce los beneficios de otras personas y viola alguna norma” (Andrew Gelman, “Open Data and Open Methods”, Ethics and Statistics, http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/ChanceEthics1.pdf [consultado el 1.º de mayo de 2013]) . Las violaciones de la ética en las estadísticas no siempre son fáciles de detectar. Asociaciones profesionales y agencias federales publican directrices sobre la conducta adecuada. Es importante que aprenda los procedimientos estadísticos básicos para que pueda reconocer un análisis de datos adecuado. Diseñe un experimento. Identifique las variables explicativas y de respuesta. Describa la población estudiada y las unidades experimentales. Explique los tratamientos que se utilizarán y cómo se asignarán a las unidades experimentales. Describa cómo se puede utilizar el experimento ciego y los placebos para contrarrestar el poder de la sugestión. Discuta las posibles violaciones de la norma que exige el consentimiento informado. A los reclusos de un centro penitenciario se les ofrece un crédito por buen comportamiento a cambio de su participación en un estudio. Se ha diseñado un estudio de investigación para investigar un nuevo medicamento contra la alergia infantil. A los participantes en un estudio se les dice que el nuevo medicamento que se está probando es muy prometedor, pero no se les dice que solo una pequeña parte de los participantes recibirá el nuevo medicamento. Otros recibirán tratamientos placebo y tratamientos tradicionales. Es posible que los reclusos no se sientan cómodos rechazando la participación o que se sientan obligados a aprovechar las ventajas prometidas. Es posible que no se sientan realmente libres para rechazar la participación. Los padres pueden dar el consentimiento en nombre de sus hijos, pero los niños no son competentes para darlo por sí mismos. Todos los riesgos y beneficios deben estar claramente expuestos. Los participantes en el estudio deben ser informados de los aspectos relevantes del mismo para poder dar el consentimiento adecuado. TAREA PARA LA CASA ¿Cómo la privación de sueño afecta su capacidad para conducir? Un estudio reciente midió los efectos en 19 conductores profesionales. Cada conductor participó en dos sesiones experimentales: una tras un sueño normal y otra tras 27 horas de privación total de sueño. Los tratamientos se asignaron en orden aleatorio. En cada sesión, se midió el rendimiento en una serie de tareas que incluían una simulación de conducción. Utilice los términos clave de este módulo para describir el diseño de este experimento. Variable explicativa: cantidad de sueño Variable de respuesta: rendimiento medido en las tareas asignadas Tratamientos: sueño normal y 27 horas de privación total de sueño Unidades experimentales: 19 conductores profesionales Variables ocultas: ninguna. Todos los conductores participaron en ambos tratamientos Asignación aleatoria: los tratamientos se asignaron en orden aleatorio; esto eliminó el efecto de cualquier \"aprendizaje\" que pudiera tener lugar durante la primera sesión experimental Control/Placebo: completar la sesión experimental en condiciones normales de sueño Ciego: los investigadores que evalúan el rendimiento de los sujetos no deben saber qué tratamiento se está aplicando en ese momento. Un anuncio de Acme Investments muestra los dos gráficos en la para mostrar el valor del producto de Acme en comparación con el producto de Other Guy. Describa el efecto visual potencialmente engañoso de estos gráficos de comparación. ¿Cómo se puede corregir esto? ¡Como muestran los gráficos, Acme supera sistemáticamente a Other Guys! El gráfico de la muestra el número de quejas de seis aerolíneas diferentes, según lo comunicado al Departamento de Transporte de Estados Unidos en febrero de 2013. Alaska, Pinnacle y Airtran Airlines tienen muchas menos quejas que American, Delta y United. ¿Podemos concluir que American, Delta y United son las peores compañías aéreas, ya que son las que tienen más quejas? No se puede suponer que el número de quejas refleje la calidad de las compañías aéreas. Las aerolíneas que aparecen con el mayor número de quejas son las que tienen más pasajeros. Hay que tener en cuenta la idoneidad de los métodos de presentación de los datos; en este caso, mostrar los totales resulta engañoso. Variable explicativa la variable independiente en un experimento; el valor controlado por los investigadores Tratamientos diferentes valores o componentes de la variable explicativa aplicada en un experimento Variable de respuesta la variable dependiente en un experimento; es el valor que se mide para el cambio al final de un experimento Unidad experimental cualquier persona u objeto que se va a medir Variable oculta una variable que tiene un efecto en un estudio, aunque no sea ni una variable explicativa ni una variable de respuesta Asignación aleatoria el acto de organizar las unidades experimentales en grupos de tratamiento con métodos aleatorios Grupo de control un grupo en un experimento aleatorio que recibe un tratamiento inactivo pero que se gestiona exactamente igual que los demás grupos Consentimiento informado todo sujeto humano que participe en un estudio de investigación debe ser consciente de los riesgos o los costos asociados al estudio. El sujeto tiene derecho a conocer la naturaleza de los tratamientos incluidos en el estudio, sus posibles riesgos y sus posibles beneficios. El consentimiento debe ser dado libremente por un participante informado y apropiado. Junta de Revisión Institucional un comité encargado de supervisar los programas de investigación con seres humanos Placebo un tratamiento inactivo que no tiene ningún efecto real sobre la variable explicativa Ciego no decirles a los participantes qué tratamiento está recibiendo un sujeto Doble ciego cuando tanto los sujetos de un experimento como los investigadores que trabajan con ellos no saben cuál es el fármaco que se administra", "section": "Diseño experimental y ética", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Experimento de recopilación de datos Experimento de recopilación de datos Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará la técnica de muestreo sistemático. El estudiante construirá tablas de frecuencias relativas. El estudiante interpretará los resultados y sus diferencias a partir de diferentes agrupaciones de datos. Encuesta de la película Pregunte a cinco compañeros de otra clase cuántas películas vieron en el cine el mes pasado. No se incluyen las películas alquiladas. Registre los datos. En clase, elija al azar a una persona. En la lista de la clase, marque el nombre de esa persona. Desplace hacia abajo cuatro nombres en la lista de la clase. Marque el nombre de esa persona. Continúe haciendo esto hasta que haya marcado 12 nombres. Es posible que tenga que volver al principio de la lista. Para cada nombre marcado registre los cinco valores de los datos. Ahora tiene un total de 60 valores de datos. En cada nombre marcado, anote los datos. ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ Ordene los datos Complete las dos tablas de frecuencias relativas que aparecen a continuación utilizando los datos de su clase. Frecuencia del número de películas vistas Número de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 1 2 3 4 5 6 7+ Frecuencia del número de películas vistas Número de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0–1 2–3 4–5 6–7+ Utilice las tablas para calcular el porcentaje de datos que son dos como máximo. ¿Qué tabla ha utilizado y por qué? Utilice las tablas para calcular el porcentaje de datos que son como máximo tres. ¿Qué tabla ha utilizado y por qué? Utilice las tablas para calcular el porcentaje de datos que son más de dos. ¿Qué tabla ha utilizado y por qué? Utilice las tablas para calcular el porcentaje de datos que son más de tres. ¿Qué tabla ha utilizado y por qué? Preguntas para el debate ¿Es una de las tablas \"más correcta\" que la otra? ¿Por qué sí o por qué no? En general, ¿cómo podría agrupar los datos de forma diferente? ¿Hay alguna ventaja en cualquiera de las dos formas de agrupar los datos? ¿Por qué cambió de mesa, si lo hizo, al responder la pregunta anterior?", "section": "Experimento de recopilación de datos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Experimento de muestreo Experimento de muestreo Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará las técnicas de muestreo aleatorio simple, sistemático, estratificado y por conglomerados. El estudiante explicará los detalles de cada procedimiento utilizado. En este laboratorio, se le pedirá que elija varias muestras aleatorias de restaurantes. En cada caso, describa brevemente su procedimiento; incluya la forma en que podría haber utilizado el generador de números aleatorios y a continuación enumere los restaurantes de la muestra que ha obtenido. Nota La siguiente sección contiene restaurantes estratificados por ciudad en columnas y agrupados horizontalmente por costo de entrada (conglomerados). Restaurantes utilizados en la muestra Restaurantes estratificados por ciudad y costo de la entrada Costo de la entrada Menos de 10 dólares De 10 a 15 dólares De 15 a 20 dólares Más de 20 dólares San José El Abuelo Taq, Pasta Mia, Emma's Express, Bamboo Hut Emperor’s Guard, Creekside Inn Agenda, Gervais, Miro's Blake's, Eulipia, Hayes Mansion, Germania Palo Alto Senor Taco, Olive Garden, Taxi's Ming's, P.A. Joe's, Stickney's Scott's Seafood, Poolside Grill, Fish Market Sundance Mine, Maddalena's, Spago's Los Gatos Mary's Patio, Mount Everest, Sweet Pea's, Andele Taqueria Lindsey's, Willow Street Toll House Charter House, La Maison Du Cafe Mountain View Maharaja, New Ma's, Thai-Rific, Garden Fresh Amber Indian, La Fiesta, Fiesta del Mar, Dawit Austin's, Shiva's, Mazeh Le Petit Bistro Cupertino Hobees, Hung Fu, Samrat, Panda Express Santa Barb. Grill, Mand. Gourmet, Bombay Oven, Kathmandu West Fontana’s, Blue Pheasant Hamasushi, Helios Sunnyvale Chekijababi, Taj India, Full Throttle, Tia Juana, Lemon Grass Pacific Fresh, Charley Brown's, Cafe Cameroon, Faz, Aruba's Lion & Compass, The Palace, Beau Sejour Santa Clara Rangoli, Armadillo Willy's, Thai Pepper, Pasand Arthur's, Katie's Cafe, Pedro's, La Galleria Birk's, Truya Sushi, Valley Plaza Lakeside, Mariani's Muestra aleatoria simple Elija una muestra aleatoria simple de 15 restaurantes. Describa su procedimiento. Rellene la tabla con su muestra. 1. __________ 6. __________ 11. __________ 2. __________ 7. __________ 12. __________ 3. __________ 8. __________ 13. __________ 4. __________ 9. __________ 14. __________ 5. __________ 10. __________ 15. __________ Muestra sistemática Elija una muestra sistemática de 15 restaurantes. Describa su procedimiento. Rellene la tabla con su muestra. 1. __________ 6. __________ 11. __________ 2. __________ 7. __________ 12. __________ 3. __________ 8. __________ 13. __________ 4. __________ 9. __________ 14. __________ 5. __________ 10. __________ 15. __________ Una muestra estratificada Elija una muestra estratificada , por ciudad, de 20 restaurantes. Use el 25 % de los restaurantes de cada estrato. Redondee al número natural más cercano. Describa su procedimiento. Rellene la tabla con su muestra. 1. __________ 6. __________ 11. __________ 16. __________ 2. __________ 7. __________ 12. __________ 17. __________ 3. __________ 8. __________ 13. __________ 18. __________ 4. __________ 9. __________ 14. __________ 19. __________ 5. __________ 10. __________ 15. __________ 20. __________ Muestra estratificada Elija una muestra estratificada , por el costo del plato principal, de 21 restaurantes. Use el 25 % de los restaurantes de cada estrato. Redondee al número natural más cercano. Describa su procedimiento. Rellene la tabla con su muestra. 1. __________ 6. __________ 11. __________ 16. __________ 2. __________ 7. __________ 12. __________ 17. __________ 3. __________ 8. __________ 13. __________ 18. __________ 4. __________ 9. __________ 14. __________ 19. __________ 5. __________ 10. __________ 15. __________ 20. __________ 21. __________ Muestra por conglomerados Elija una muestra por conglomerados de restaurantes de dos ciudades. El número de restaurantes variará. Describa su procedimiento. Rellene la tabla con su muestra. 1. ________ 6. ________ 11. ________ 16. ________ 21. ________ 2. ________ 7. ________ 12. ________ 17. ________ 22. ________ 3. ________ 8. ________ 13. ________ 18. ________ 23. ________ 4. ________ 9. ________ 14. ________ 19. ________ 24. ________ 5. ________ 10. ________ 15. ________ 20. ________ 25. ________", "section": "Experimento de muestreo", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Cuando tenga grandes cantidades de datos, tendrá que organizarlos de forma que tengan sentido. Estas papeletas de una elección se enrollan junto con otras similares para mantenerlas organizadas (créditos: William Greeson). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Representar los datos gráficamente e interpretar los gráficos: gráficos de tallo, histogramas y diagramas de caja. Reconocer, describir y calcular las medidas de localización de datos: cuartiles y percentiles. Reconocer, describir y calcular las medidas del centro de los datos: media, mediana y moda. Reconocer, describir y calcular las medidas de dispersión de los datos: varianza, desviación típica y rango. Una vez que haya recopilado los datos, ¿qué hará con ellos? Los datos se pueden describir y presentar en muchos formatos diferentes. Por ejemplo, supongamos que está interesado en comprar una casa en una zona determinada. Es posible que no tenga ni idea de los precios de las viviendas, por lo que puede pedirle a su agente inmobiliario que le dé un conjunto de datos de muestra de los precios. Mirar todos los precios de la muestra suele ser abrumador. Una mejor forma sería observar la mediana del precio y la variación de los precios. La mediana y la variación son solo dos formas que aprenderá para describir los datos. Su agente también puede proporcionarle un gráfico de los datos. En este capítulo estudiará las formas numéricas y gráficas de describir y mostrar sus datos. Esta área de la estadística se llama “Estadística Descriptiva”. Aprenderá a calcular y, lo que es más importante, a interpretar estas medidas y gráficos. Un gráfico estadístico es una herramienta que ayuda a conocer la forma o la distribución de una muestra o de una población. Un gráfico puede ser una forma más eficaz de presentar los datos que una masa de números porque podemos ver dónde se agrupan los datos y dónde hay solo unos pocos valores de datos. Los periódicos e internet utilizan gráficos para mostrar tendencias y permitir a los lectores comparar rápidamente datos y cifras. Los estadísticos suelen hacer primero un gráfico de los datos para hacerse una idea de lo que arrojan. Luego, se pueden aplicar herramientas más formales. Algunos de los tipos de gráficos que se utilizan para resumir y organizar los datos son el diagrama de puntos, el gráfico de barras, el histograma, el diagrama de tallo y hojas, el polígono de frecuencias (un tipo de gráfico de líneas discontinuas), el gráfico circular y el diagrama de caja. En este capítulo veremos brevemente gráficos de tallo y hoja, gráficos de líneas y gráficos de barras, así como polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales. Haremos hincapié en los histogramas y los diagramas de caja. NOTA Este libro contiene instrucciones para construir un histograma y un diagrama de caja para las calculadoras TI-83+ y TI-84. El sitio web de Texas Instruments (TI) proporciona instrucciones adicionales para utilizar estas calculadoras.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo , procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo . Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo. En la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean las calificaciones del primer examen fueron las siguientes (de menor a mayor): 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Gráfico de tallo y hoja Tallo Hoja 3 3 4 2 9 9 5 3 5 5 6 1 3 7 8 8 9 9 7 2 3 4 8 8 0 3 8 8 8 9 0 2 4 4 4 4 6 10 0 El gráfico de tallo muestra que la mayoría de las calificaciones fueron de 60, 70, 80 y 90. Ocho de las 31 calificaciones, es decir, aproximadamente el 26 % ( 8 31 ) estaban en los 90 o 100, un número bastante alto de calificaciones con A. Ejercicio Para el equipo de baloncesto de Park City los resultados de los últimos 30 partidos fueron los siguientes (de menor a mayor): 32; 32; 33; 34; 38; 40; 42; 42; 43; 44; 46; 47; 47; 48; 48; 48; 49; 50; 50; 51; 52; 52; 52; 53; 54; 56; 57; 57; 60; 61 Construya un diagrama de tallo para los datos. El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante. Los datos son las distancias (en kilómetros) de un hogar a supermercados locales. Cree un diagrama de tallo con los datos: 1,1; 1,5; 2,3; 2,5; 2,7; 3,2; 3,3; 3,3; 3,5; 3,8; 4,0; 4,2; 4,5; 4,5; 4,7; 4,8; 5,5; 5,6; 6,5; 6,7; 12,3 ¿Los datos parecen tener alguna concentración de valores? NOTA Las hojas están a la derecha del decimal. El valor 12,3 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en los tres y cuatro kilómetros. Tallo Hoja 1 1 5 2 3 5 7 3 2 3 3 5 8 4 0 2 5 5 7 8 5 5 6 6 5 7 7 8 9 10 11 12 3 Ejercicio Los siguientes datos muestran las distancias (en millas) desde los hogares de los estudiantes de Estadística fuera del campus hasta el instituto universitario. Cree un diagrama de tallo con los datos e identifique los valores atípicos: 0,5; 0,7; 1,1; 1,2; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,5; 1,7; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,2; 2,5; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 3,5; 3,8; 4,4; 4,8; 4,9; 5,2; 5,5; 5,7; 5,8; 8,0 El diagrama de tallo y hoja bilateral permite comparar los dos conjuntos de datos en dos columnas. En el diagrama de tallo y hoja bilateral dos conjuntos de hojas comparten el mismo tallo. Las hojas están a la izquierda y a la derecha de los tallos. La y la muestran las edades de los presidentes en su investidura y al momento de su muerte. Construya un diagrama de tallo y hoja bilateral utilizando estos datos. Edades en la investidura Edades al momento de la muerte 9 9 8 7 7 7 6 3 2 4 6 9 8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 0 5 3 6 6 7 7 8 9 8 5 4 4 2 1 1 1 0 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 0 1 1 1 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Edades de los presidentes en su investidura Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 57 Lincoln 52 Hoover 54 J. Adams 61 A. Johnson 56 F. Roosevelt 51 Jefferson 57 Grant 46 Truman 60 Madison 57 Hayes 54 Eisenhower 62 Monroe 58 Garfield 49 Kennedy 43 J. Q. Adams 57 Arthur 51 L. Johnson 55 Jackson 61 Cleveland 47 Nixon 56 Van Buren 54 B. Harrison 55 Ford 61 W. H. Harrison 68 Cleveland 55 Carter 52 Tyler 51 McKinley 54 Reagan 69 Polk 49 T. Roosevelt 42 G. H. W. Bush 64 Taylor 64 Taft 51 Clinton 47 Fillmore 50 Wilson 56 G. W. Bush 54 Pierce 48 Harding 55 Obama 47 Buchanan 65 Coolidge 51 Edad del presidente al momento de su muerte Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 67 Lincoln 56 Hoover 90 J. Adams 90 A. Johnson 66 F. Roosevelt 63 Jefferson 83 Grant 63 Truman 88 Madison 85 Hayes 70 Eisenhower 78 Monroe 73 Garfield 49 Kennedy 46 J. Q. Adams 80 Arthur 56 L. Johnson 64 Jackson 78 Cleveland 71 Nixon 81 Van Buren 79 B. Harrison 67 Ford 93 W. H. Harrison 68 Cleveland 71 Reagan 93 Tyler 71 McKinley 58 Polk 53 T. Roosevelt 60 Taylor 65 Taft 72 Fillmore 74 Wilson 67 Pierce 64 Harding 57 Buchanan 77 Coolidge 60 La tabla muestra el número de victorias y derrotas que han tenido los Atlanta Hawks en 42 temporadas. Cree un gráfico de tallo y hoja de estas victorias y derrotas. Pérdidas Victorias Año Pérdidas Victorias Año 34 48 1968–1969 41 41 1989–1990 34 48 1969–1970 39 43 1990–1991 46 36 1970–1971 44 38 1991–1992 46 36 1971–1972 39 43 1992–1993 36 46 1972–1973 25 57 1993–1994 47 35 1973–1974 40 42 1994–1995 51 31 1974–1975 36 46 1995–1996 53 29 1975–1976 26 56 1996–1997 51 31 1976–1977 32 50 1997–1998 41 41 1977–1978 19 31 1998–1999 36 46 1978–1979 54 28 1999–2000 32 50 1979–1980 57 25 2000–2001 51 31 1980–1981 49 33 2001–2002 40 42 1981–1982 47 35 2002–2003 39 43 1982–1983 54 28 2003–2004 42 40 1983–1984 69 13 2004–2005 48 34 1984–1985 56 26 2005–2006 32 50 1985–1986 52 30 2006–2007 25 57 1986–1987 45 37 2007–2008 32 50 1987–1988 35 47 2008–2009 30 52 1988–1989 29 53 2009–2010 Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas . En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje x (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje y (eje vertical) por puntos de frecuencia . Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea. En una encuesta, se preguntó a 40 madres cuántas veces a la semana hay que recordarle a un adolescente que haga sus tareas. Los resultados se muestran en la y en la . Número de veces que se le recuerda al adolescente Frecuencia 0 2 1 5 2 8 3 14 4 7 5 4 Ejercicio En una encuesta, se preguntó a 40 personas cuántas veces al año llevaban su automóvil al taller para repararlo. Los resultados se muestran en la . Construya un gráfico de líneas. Número de veces en el taller Frecuencia 0 7 1 10 2 14 3 9 Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el tiene los grupos de edad representados en el eje x y las proporciones en el eje y . A finales de 2011, Facebook tenía más de 146 millones de usuarios en Estados Unidos. La muestra tres grupos de edad, el número de usuarios en cada grupo de edad y la proporción (%) de usuarios en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras con estos datos. Grupos de edad Número de usuarios de Facebook Proporción (%) de usuarios de Facebook 13-25 65.082.280 45 % 26-44 53.300.200 36 % 45-64 27.885.100 19 % Ejercicio La población de Park City se compone de niños, adultos en edad de trabajar y jubilados. La muestra los tres grupos de edad, el número de personas de cada grupo en la ciudad y la proporción (%) de personas en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras que muestre las proporciones. Grupos de edad Número de personas Proporción de la población Niños 67.059 19 % Adultos en edad de trabajar 152.198 43 % Jubilados 131.662 38 % Las columnas de la contienen la raza o el origen étnico de los estudiantes de escuelas públicas de EE. UU. para la clase de 2011, los porcentajes para la población examinada de Colocación Avanzada para esa clase y los porcentajes para la población estudiantil en general. Cree un gráfico de barras con la raza o el origen étnico de los estudiantes (datos cualitativos) en el eje x y los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada en el eje y . Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total 1 = asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,3 % 5,7 % 2 = negro o afroamericano 9,0 % 14,7 % 3 = hispano o latino 17,0 % 17,6 % 4 = amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,1 % 5 = blanco 57,1 % 59,2 % 6 = no informado/otro 6,0 % 1,7% Ejercicio Park City se divide en seis distritos electorales. La tabla muestra el porcentaje de la población total de votantes registrados que vive en cada distrito, así como el porcentaje total de la población entera que vive en cada distrito. Construya un gráfico de barras que muestre la población de votantes registrados por distrito. Distrito Población de votantes registrados Población total de la ciudad 1 15,5 % 19,4 % 2 12,2 % 15,6 % 3 9,8 % 9,0 % 4 17,4 % 18,5 % 5 22,8 % 20,7 % 6 22,3 % 16,8 % Referencias Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013). “9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013). “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Repaso del capítulo Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos. Para cada uno de los siguientes conjuntos de datos, cree un gráfico de tallo e identifique los valores atípicos. A continuación, se muestran los índices de millas por galón de 30 coches (de menor a mayor). 19, 19, 19, 20, 21, 21, 25, 25, 25, 26, 26, 28, 29, 31, 31, 32, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 37, 38, 38, 38, 38, 41, 43, 43 Tallo Hoja 1 9 9 9 2 0 1 1 5 5 5 6 6 8 9 3 1 1 2 2 3 4 5 6 7 7 8 8 8 8 4 1 3 3 A continuación, se muestra la altura en pies de 25 árboles (de menor a mayor). 25, 27, 33, 34, 34, 34, 35, 37, 37, 38, 39, 39, 39, 40, 41, 45, 46, 47, 49, 50, 50, 53, 53, 54, 54 Los datos son los precios de diferentes computadoras portátiles en una tienda de electrónica. Redondee cada valor a la decena más cercana. 249, 249, 260, 265, 265, 280, 299, 299, 309, 319, 325, 326, 350, 350, 350, 365, 369, 389, 409, 459, 489, 559, 569, 570, 610 Tallo Hoja 2 5 5 6 7 7 8 3 0 0 1 2 3 3 5 5 5 7 7 9 4 1 6 9 5 6 7 7 6 1 Los datos son las temperaturas máximas diarias en una ciudad durante un mes. 61, 61, 62, 64, 66, 67, 67, 67, 68, 69, 70, 70, 70, 71, 71, 72, 74, 74, 74, 75, 75, 75, 76, 76, 77, 78, 78, 79, 79, 95 Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas. En una encuesta se preguntó a 40 personas cuántas veces habían visitado una tienda antes de hacer una compra importante. Los resultados se muestran en la . Número de veces en la tienda Frecuencia 1 4 2 10 3 16 4 6 5 4 En una encuesta se preguntó a varias personas cuántos años hacía que no compraban un colchón. Los resultados se muestran en la . Años desde la última compra Frecuencia 0 2 1 8 2 13 3 22 4 16 5 9 Se preguntó a varios niños cuántos programas de televisión ven al día. Los resultados de la encuesta se muestran en la . Número de programas de televisión Frecuencia 0 12 1 18 2 36 3 7 4 2 Los estudiantes de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez cumplen años en cada una de las cuatro estaciones. La muestra las cuatro estaciones, el número de estudiantes que cumplen años en cada estación y el porcentaje (%) de estudiantes en cada grupo. Construya un gráfico de barras que muestre el número de estudiantes. Estaciones Número de estudiantes Proporción de la población Primavera 8 24 % Verano 9 26 % Otoño 11 32 % Invierno 6 18 % Use los datos de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez suministrados en el y construya un gráfico de barras que muestre los porcentajes. El condado de David tiene seis escuelas secundarias. Cada escuela envió a sus estudiantes a participar en un concurso de Ciencias de todo el condado. La muestra el desglose porcentual de los competidores de cada escuela y el porcentaje de toda la población estudiantil del condado que va a cada escuela. Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de los competidores de cada escuela. Escuela Secundaria Población de la competición científica Población estudiantil total Alabaster 28,9 % 8,6 % Concordia 7,6 % 23,2 % Genoa 12,1 % 15,0 % Mocksville 18,5 % 14,3 % Tynneson 24,2 % 10,1 % West End 8,7 % 28,8 % Utilice los datos del concurso de Ciencias del condado de David que se facilitan en el . Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de todo el condado de los estudiantes en cada escuela. Tarea para la casa Las notas de los estudiantes en un examen de Química fueron: 77, 78, 76, 81, 86, 51, 79, 82, 84, 99 Construya un gráfico de tallo y hoja de los datos. ¿Hay posibles valores atípicos? Si es así, ¿qué puntuaciones son? ¿Por qué los considera atípicos? La contiene las tasas de obesidad de 2010 en estados de EE. UU. y en Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Utilice un generador de números aleatorios para elegir al azar ocho estados. Construya un gráfico de barras con las tasas de obesidad de esos ocho estados. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “A”. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “M”. Solución de ejemplo para utilizar el generador de números aleatorios de la calculadora TI-84+ para generar una muestra aleatoria simple de 8 estados. Las instrucciones son las siguientes. Numere las entradas de la tabla 1-51 (incluye Washington, DC; numeradas verticalmente) Pulse MATH Flecha hacia PRB Pulse 5:randInt( Introduzca 51,1,8) Se generan ocho números (utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por los números). Los números corresponden a los estados numerados (para este ejemplo: {47 21 9 23 51 13 25 4}. Si algún número se repite, genere un número diferente utilizando 5:randInt(51,1)). Aquí, los estados (y Washington, DC) son {Arkansas, Washington DC, Idaho, Maryland, Michigan, Misisipi, Virginia, Wyoming}. Los porcentajes correspondientes son {30,1; 22,2; 26,5; 27,1; 30,9; 34,0; 26,0; 25,1}.", "section": "Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más. Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos. La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida por el número total de valores de datos de la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si: f = frecuencia n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y RF = frecuencia relativa, entonces: RF = e n Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF = e n = 3 40 = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas. Para construir un histograma , primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos. Los siguientes datos son las estaturas (en pulgadas con una aproximación de media pulgada) de 100 jugadores hombres de fútbol semiprofesional. Las alturas son datos continuos , ya que la altura se mide. 60; 60,5; 61; 61; 61,5 63,5; 63,5; 63,5 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5 68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70,5; 70,5; 70,5; 71; 71; 71 72; 72; 72; 72,5; 72,5; 73; 73,5 74 El valor de datos más pequeño es 60. Como los datos con más decimales tienen un decimal (por ejemplo, 61,5), queremos que nuestro punto de partida tenga dos decimales. Dado que los números 0,5, 0,05, 0,005, etc. son números convenientes, utilice 0,05 y réstelo a 60, el valor más pequeño, para el punto de partida conveniente. 60 – 0,05 = 59,95 que es más preciso que, por ejemplo, 61,5 por un decimal. El punto de partida es, pues, 59,95. El valor mayor es 74, por lo que 74 + 0,05 = 74,05 es el valor final. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Para calcular este ancho, reste el punto inicial del valor final y divídalo entre el número de barras (debe elegir el número de barras que desee). Suponga que elige ocho barras. 74,05 - 59,95 = 14,1 14,1 ÷ 8 = 1,76 NOTA Redondearemos a dos y haremos que cada barra o intervalo de clase tenga dos unidades de ancho. Redondear a dos es una forma de evitar que un valor caiga en un límite. El redondeo al número siguiente es a menudo necesario, incluso si va en contra de las reglas estándar de redondeo. Para este ejemplo, utilizar 1,76 como ancho también funcionaría. Una pauta que siguen algunos para el número de barras o intervalos de clase es tomar la raíz cuadrada del número de valores de datos y luego redondear al número entero más cercano, si es necesario. Por ejemplo, si hay 150 valores de datos, tome la raíz cuadrada de 150 y redondee a 12 barras o intervalos. Los límites son: 59,95 59,95 + 2 = 61,95 61,95 + 2 = 63,95 63,95 + 2 = 65,95 65,95 + 2 = 67,95 67,95 + 2 = 69,95 69,95 + 2 = 71,95 71,95 + 2 = 73,95 73,95 + 2 = 75,95 Las alturas de 60 a 61,5 pulgadas están en el intervalo de 59,95 a 61,95. Las alturas que son 63,5 están en el intervalo de 61,95 a 63,95. Las alturas que van de 64 a 64,5 están en el intervalo de 63,95 a 65,95. Las alturas de 66 a 67,5 están en el intervalo de 65,95 a 67,95. Las alturas de 68 a 69,5 están en el intervalo de 67,95 a 69,95. Las alturas de 70 a 71 están en el intervalo de 69,95 a 71,95. Las alturas de 72 a 73,5 están en el intervalo de 71,95 a 73,95. La altura 74 está en el intervalo de 73,95 a 75,95. El siguiente histograma muestra las alturas en el eje x y la frecuencia relativa en el eje y . Ejercicio Los siguientes datos son las tallas de los zapatos de 50 estudiantes hombres. Las tallas son datos discretos, ya que el tamaño del calzado se mide solo en unidades enteras y medias. Construya un histograma y calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Suponga que elige seis barras. 9; 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12,5; 12,5; 12,5; 12,5; 14 Cree un histograma para los siguientes datos: el número de libros comprados por 50 estudiantes universitarios a tiempo parcial en el ABC College. El número de libros es un dato discreto , ya que los libros se cuentan. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5; 5 6; 6 Once estudiantes compran un libro. Diez estudiantes compran dos libros. Dieciséis estudiantes compran tres libros. Seis estudiantes compran cuatro libros. Cinco estudiantes compran cinco libros. Dos estudiantes compran seis libros. Como los datos son enteros, reste 0,5 a 1, el valor más pequeño de los datos, y sume 0,5 a 6, el valor más grande de los datos. Entonces el punto de partida es 0,5 y el valor final es 6,5. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Si los datos son discretos y no hay demasiados valores diferentes, lo más conveniente es un ancho que sitúe los valores de los datos en el centro del intervalo de barras o clases. Dado que los datos consisten en los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el punto de partida es 0,5, un ancho de uno sitúa el 1 en el centro del intervalo de 0,5 a 1,5, el 2 en el centro del intervalo de 1,5 a 2,5, el 3 en el centro del intervalo de 2,5 a 3,5, el 4 en el centro del intervalo de _______ a _______, el 5 en el centro del intervalo de _______ a _______ y el _______ en el centro del intervalo de _______ a _______. de 3,5 a 4,5 de 4,5 a 5,5 6 de 5,5 a 6,5 Calcule el número de barras de la siguiente manera: 6,5 - 0,5 = 6 6 ÷ 1 = 6 donde 1 es el ancho de una barra. Por lo tanto, barras = 6. El siguiente histograma muestra el número de libros en el eje x y la frecuencia en el eje y . Diríjase al G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+ G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+. Hay instrucciones de la calculadora para introducir datos y para crear un histograma personalizado. Cree el histograma para el . Pulse Y=. Pulse CLEAR para borrar las ecuaciones. Pulse STAT 1:EDIT. Si L1 tiene datos, flecha hacia arriba en el nombre L1, pulse CLEAR y luego flecha hacia abajo. Si es necesario, haga lo mismo con L2. En L1, introduzca 1, 2, 3, 4, 5, 6. En L2, introduzca 11, 10, 16, 6, 5, 2. Pulse WINDOW. Escriba Xmin = 0,5, Xmax = 6,5, Xscl = (6,5 – 0.5)/6, Ymin = –1, Ymax = 20, Yscl = 1, Xres = 1. Pulse 2. º Y =. Comience pulsando 4:Plotsoff ENTER. Pulse 2. º Y =. Pulse 1: Plot1. Pulse ENTER. Flecha hacia abajo para TYPE. Flecha hacia la 3.ª imagen (histograma). Pulse ENTER. Flecha hacia abajo a Xlist: Introduzca L1 (2, º 1). Flecha hacia abajo hasta Freq. Introduzca L2 ( 2.º 2). Pulse GRAPH. Utilice la tecla TRACE y las teclas de flecha para examinar el histograma. Ejercicio Los siguientes datos son el número de deportes practicados por 50 estudiantes deportistas. El número de deportes es un dato discreto, ya que los deportes se cuentan. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 20 estudiantes deportistas practican un deporte. 22 estudiantes deportistas practican dos deportes. Ocho estudiantes deportistas practican tres deportes. Rellene los espacios en blanco de la siguiente oración. Como los datos consisten en los números 1, 2, 3, y el punto de partida es 0,5, una anchura de uno sitúa el 1 en el centro del intervalo 0,5 a _____, el 2 en el centro del intervalo de _____ a _____, y el 3 en el centro del intervalo de _____ a _____. Con este conjunto de datos construya un histograma. Número de horas que mis compañeros de clase pasan jugando a los videojuegos los fines de semana 9,95 10 2,25 16,75 0 19,5 22,5 7,5 15 12,75 5,5 11 10 20,75 17,5 23 21,9 24 23,75 18 20 15 22,9 18,8 20,5 Algunos valores de este conjunto de datos caen en los límites de los intervalos de clase. Un valor se cuenta en un intervalo de clase si cae en el límite izquierdo, pero no si cae en el límite derecho. Diferentes investigadores pueden establecer histogramas para los mismos datos de diferentes maneras. Hay más de una forma correcta de configurar un histograma. Ejercicio Los siguientes datos representan el número de empleados de varios restaurantes de la ciudad de Nueva York. Con estos datos, cree un histograma. 22 35 15 26 40 28 18 20 25 34 39 42 24 22 19 27 22 34 40 20 38 y 28 Utilice 10-19 como primer intervalo. Cuente el dinero (billetes y monedas) que lleva en el bolsillo o en el bolso. Su instructor registrará las cantidades. En clase, construya un histograma que muestre los datos. Analice cuántos intervalos cree que son apropiados. Puede experimentar con el número de intervalos. Polígonos de frecuencia Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias. Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y . Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos. Se construyó un polígono de frecuencias a partir de la tabla de frecuencias que aparece a continuación. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 La primera etiqueta del eje x es 44,5. Esto representa un intervalo que va de 39,5 a 49,5. Dado que la calificación más baja de la prueba es 54,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto identificado como 54,5 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo “real” de la tabla, y contiene cinco calificaciones. Este razonamiento se sigue para cada uno de los intervalos restantes, con el punto 104,5 que representa el intervalo de 99,5 a 109,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Ejercicio Construya un polígono de frecuencias de las edades de los presidentes de EE. UU. en el momento de la investidura que se muestra en la . Edad en la investidura Frecuencia 41,5-46,5 4 46,5-51,5 11 51,5-56,5 14 56,5-61,5 9 61,5-66,5 4 66,5-71,5 2 Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos. Construiremos un polígono de frecuencias superpuestas comparando las puntuaciones del con la nota numérica final de los estudiantes. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 Distribución de frecuencias de las notas finales de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 10 10 59,5 69,5 10 20 69,5 79,5 30 50 79,5 89,5 45 95 89,5 99,5 5 100 Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado. Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales. Construcción de un gráfico de series temporales Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados . Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen. Los siguientes datos muestran el Índice de Precios del Consumidor (IPC) Anual, cada mes, durante diez años. Construya un gráfico de series temporales solo para los datos del Índice de Precios del Consumidor Anual. Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul 2003 181,7 183,1 184,2 183,8 183,5 183,7 183,9 2004 185,2 186,2 187,4 188,0 189,1 189,7 189,4 2005 190,7 191,8 193,3 194,6 194,4 194,5 195,4 2006 198,3 198,7 199,8 201,5 202,5 202,9 203,5 2007 202,416 203,499 205,352 206,686 207,949 208,352 208,299 2008 211,080 211,693 213,528 214,823 216,632 218,815 219,964 2009 211,143 212,193 212,709 213,240 213,856 215,693 215,351 2010 216,687 216,741 217,631 218,009 218,178 217,965 218,011 2011 220,223 221,309 223,467 224,906 225,964 225,722 225,922 2012 226,665 227,663 229,392 230,085 229,815 229,478 229,104 Año Ago Sep Oct Nov Dic Anual 2003 184,6 185,2 185,0 184,5 184,3 184,0 2004 189,5 189,9 190,9 191,0 190,3 188,9 2005 196,4 198,8 199,2 197,6 196,8 195,3 2006 203,9 202,9 201,8 201,5 201,8 201,6 2007 207,917 208,490 208,936 210,177 210,036 207,342 2008 219,086 218,783 216,573 212,425 210,228 215,303 2009 215,834 215,969 216,177 216,330 215,949 214,537 2010 218,312 218,439 218,711 218,803 219,179 218,056 2011 226,545 226,889 226,421 226,230 225,672 224,939 2012 230,379 231,407 231,317 230,221 229,601 229,594 Ejercicio La siguiente tabla es una parte de un conjunto de datos de www.worldbank.org. Utilice la tabla para construir un gráfico de la serie temporal de las emisiones de CO 2 de Estados Unidos. Emisiones de CO2 Ucrania Reino Unido Estados Unidos 2003 352.259 540.640 5.681.664 2004 343.121 540.409 5.790.761 2005 339.029 541.990 5.826.394 2006 327.797 542.045 5.737.615 2007 328.357 528.631 5.828.697 2008 323.657 522.247 5.656.839 2009 272.176 474.579 5.299.563 Usos de un gráfico de series temporales Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias. Referencias Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker “Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013). “Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013). “Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013). “CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013). “Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013). Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach . CRC Press: 1980. “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Repaso del capítulo Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y , y la frecuencia se representa en el eje x . Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Rellene la tabla. Valor de datos (N.º de vehículos) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia en la ? ¿Por qué? 65 ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa en la ? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa y la frecuencia de cada valor de los datos en la ? La frecuencia relativa muestra la proporción de puntos de datos que tiene cada valor. La frecuencia indica el número de puntos de datos que tiene cada valor. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa acumulada y la frecuencia relativa de cada valor de los datos? Para construir el histograma de los datos en la , determine los valores mínimos y máximos de x y y y la escala. Dibuje el histograma. Identifique los ejes horizontal y vertical con palabras. Incluya la escala numérica. Las respuestas variarán. Se muestra un posible histograma: Construya un polígono de frecuencias para lo siguiente: Frecuencia cardiaca de las mujeres Frecuencia 60-69 12 70-79 14 80-89 11 90-99 1 100-109 1 110-119 0 120-129 1 Velocidad real en una zona de 30 MPH (48,28 km) Frecuencia 42-45 25 46-49 14 50-53 7 54-57 3 58-61 1 Alquitrán (mg) en cigarrillos no filtrados Frecuencia 10-13 1 14-17 0 18-21 15 22-25 7 26-29 2 Construya un polígono de frecuencias a partir de la distribución de frecuencias para los 50 países con más puntos en cuanto a la magnitud del hambre. Magnitud del hambre Frecuencia 230-259 21 260-289 13 290-319 5 320-349 7 350-379 1 380-409 1 410-439 1 Calcule el punto medio de cada clase. Estos se graficarán en el eje x . Los valores de la frecuencia se graficarán en los valores del eje y . Utilice las dos tablas de frecuencia para comparar la esperanza de vida de hombres y mujeres de 20 países seleccionados al azar. Incluya un polígono de frecuencias superpuesto y analice las formas de las distribuciones, el centro, la dispersión y cualquier valor atípico. ¿Qué podemos concluir sobre la esperanza de vida de las mujeres en comparación con la de los hombres? Esperanza de vida al nacer: mujeres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 3 77-83 8 84-90 2 Esperanza de vida al nacer: hombres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 1 77-83 7 84-90 5 Construya un gráfico de series temporales para (a) el número de nacimientos de hombres; (b) el número de nacimientos de mujeres; y (c) el número total de nacimientos. Sexo/Año 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 Mujeres 45.545 49.582 50.257 50.324 51.915 51.220 52.403 Hombres 47.804 52.239 53.158 53.694 54.628 54.409 54.606 Total 93.349 101.821 103.415 104.018 106.543 105.629 107.009 Sexo/Año 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 Mujeres 51.812 53.115 54.959 54.850 55.307 55.527 56.292 55.033 Hombres 55.257 56.226 57.374 58.220 58.360 58.517 59.222 58.321 Total 107.069 109.341 112.333 113.070 113.667 114.044 115.514 113.354 Sexo/Año 1870 1871 1872 1873 1874 1875 Mujeres 56.431 56.099 57.472 58.233 60.109 60.146 Hombres 58.959 60.029 61.293 61.467 63.602 63.432 Total 115.390 116.128 118.765 119.700 123.711 123.578 Los siguientes conjuntos de datos enumeran los policías a tiempo completo por cada 100.000 ciudadanos junto con los homicidios por cada 100.000 ciudadanos para la ciudad de Detroit, Michigan, durante el periodo de 1961 a 1973. Año 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 Policía 260,35 269,8 272,04 272,96 272,51 261,34 268,89 Homicidios 8,6 8,9 8,52 8,89 13,07 14,57 21,36 Año 1968 1969 1970 1971 1972 1973 Policía 295,99 319,87 341,43 356,59 376,69 390,19 Homicidios 28,03 31,49 37,39 46,26 47,24 52,33 Construya un gráfico de serie temporal doble utilizando un eje x común para ambos conjuntos de datos. ¿Qué variable aumentó más rápido? Explique. ¿El aumento de policías en Detroit tuvo un efecto en la tasa de homicidios? Explique. Tarea para la casa Supongamos que tres editoriales se interesan por el número de libros de ficción de tapa blanda que compran los consumidores adultos al mes. Cada editorial realizó una encuesta. En la encuesta se les preguntó a los consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados son los siguientes: Editorial A N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 10 1 12 2 16 3 12 4 8 5 6 6 2 8 2 Editorial B N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 Editorial C N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0–1 20 2–3 35 4–5 12 6–7 2 8–9 1 Calcule las frecuencias relativas de cada encuesta. Escríbalas en las tablas. Utilizando una calculadora gráfica, una computadora o a mano, utilice la columna de frecuencias para construir un histograma de la encuesta de cada editor. Para las editoriales A y B, haga el ancho de las barras de uno. Para la editorial C, haga las barras con un ancho de dos. En oraciones completas, indique dos razones por las que los gráficos de las editoriales A y B no son idénticos. ¿Habría esperado que el gráfico de la editorial C se pareciera a los otros dos gráficos? ¿Por qué sí o por qué no? Haga nuevos histogramas para la editorial A y la editorial B. Esta vez, haga barras con un ancho de dos. Ahora, compare el gráfico de la editorial C con los nuevos gráficos de las editoriales A y B. ¿los gráficos son más parecidos o más distintos? Explique su respuesta. A menudo, los cruceros realizan todas las transacciones a bordo sin dinero en efectivo, a excepción de los juegos de azar. Al final del crucero, los huéspedes pagan una sola factura que cubre todas las transacciones a bordo. Supongamos que se encuestaron 60 viajeros solteros y 70 parejas sobre sus facturas a bordo para un crucero de siete días desde Los Ángeles a la riviera mexicana. A continuación, un resumen de las facturas de cada grupo. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Rel. Frecuencia 51-100 5 101-150 10 151-200 15 201-250 15 251-300 10 301-350 5 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Rel. Frecuencia 100-150 5 201-250 5 251-300 5 301-350 5 351-400 10 401-450 10 451-500 10 501-550 10 551-600 5 601-650 5 Rellene la frecuencia relativa de cada grupo. Construya un histograma para el grupo de solteros. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Construya un histograma para el grupo de parejas. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare los dos gráficos: Enumere dos similitudes entre los gráficos. Enumere dos diferencias entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? Construya un nuevo gráfico a mano para las parejas. Dado que cada pareja paga por dos personas, en vez de escalar el eje x a 50 dólares, escálelo a 100 dólares. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Enumere dos similitudes entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? ¿Cómo ha cambiado la escala del gráfico de parejas en comparación con el gráfico de solteros? Basándose en los gráficos, ¿cree que las personas gastan la misma cantidad, más o menos como solteros que como pareja? Explique por qué en una o dos oraciones completas. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 0,08 101-150 10 0,17 151-200 15 0,25 201-250 15 0,25 251-300 10 0,17 301-350 5 0,08 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 0,07 201-250 5 0,07 251-300 5 0,07 301-350 5 0,07 351-400 10 0,14 401-450 10 0,14 451-500 10 0,14 501-550 10 0,14 551-600 5 0,07 601-650 5 0,07 Vea la y la . En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen ambos valores del límite). En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen los valores de ambos límites). Compare los dos gráficos: Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos utilizan intervalos de clase con un ancho igual a 50 dólares. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: El gráfico de parejas tiene un intervalo de clase sin valores. Se necesita casi el doble de intervalos de clase para mostrar los datos de las parejas. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Los gráficos son más similares que diferentes porque los patrones generales de los gráficos son iguales. Compruebe la solución del estudiante. Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos muestran intervalos de 6 clases. Ambos gráficos muestran el mismo patrón general. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Aunque el ancho de los intervalos de clase de las parejas es el doble que la de los intervalos de clase de los solteros, los gráficos son más similares que diferentes. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Puede comparar los gráficos intervalo por intervalo. Es más fácil comparar los patrones generales con la nueva escala del gráfico de las parejas. Como una pareja representa a dos personas, la nueva escala permite una comparación más precisa. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Según los histogramas, parece que el gasto no varía mucho entre los solteros y las personas que forman parte de una pareja. Los patrones generales son iguales. El rango de gasto de las parejas es aproximadamente el doble que el de personas individuales. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes. N.º de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una. El porcentaje de personas que tienen como máximo tres camisetas que cuestan más de 19 dólares cada una es aproximadamente: 21 59 41 No se puede determinar c Si los datos se recopilaron al preguntarles a las primeras 111 personas que entraron en la tienda, entonces el tipo de muestreo es: conglomerado simple aleatorio estratificado de conveniencia A continuación se muestran las tasas de obesidad de 2010 por estados de EE. UU. y Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Construya un gráfico de barras de las tasas de obesidad de su estado y de los cuatro estados más cercanos al suyo. Pista: Identifique el eje x con los estados. Las respuestas variarán. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Histograma una representación gráfica en forma de x - y de la distribución de los datos en un conjunto de datos; x representa los datos y y representa la frecuencia o la frecuencia relativa. El gráfico está formado por rectángulos contiguos. Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados", "section": "Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Medidas de la ubicación de los datos Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q 1 , es igual que el percentil 25 , y el tercer cuartil, Q 3 , es igual que el percentil 75 . La mediana, M , se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50 . Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación. Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75 . Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220. Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo. La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos. 6,8 + 7,2 = 14 14 ÷ 2 = 7 La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete. Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q 1 , es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q 3 , es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8 El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil . Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos. La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve. El tercer cuartil , Q 3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo. El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil ( Q 3 ) y el primer cuartil ( Q 1 ). IQR = Q 3 – Q 1 El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos . Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)( IQR ) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)( IQR ) por encima del tercer cuartil . Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda. NOTA Un valor atípico potencial es un punto de datos que es significativamente diferente de los otros puntos de datos. Estos puntos de datos especiales pueden ser errores o algún tipo de anormalidad o pueden ser una clave para entender los datos. Para los siguientes 13 precios de bienes raíces, calcule el IQR y determine si algún precio es un posible valor atípico. Los precios están en dólares. 389.950; 230.500; 158.000; 479.000; 639.000; 114.950; 5.500.000; 387.000; 659.000; 529.000; 575.000; 488.800; 1.095.000 Ordene los datos de menor a mayor. 114.950; 158.000; 230.500; 387.000; 389.950; 479.000; 488.800; 529.000; 575.000; 639.000; 659.000; 1.095.000; 5.500.000 M = 488.800 Q 1 = 230.500 + 387.000 2 = 308.750 Q 3 = 639.000 + 659.000 2 = 649.000 IQR = 649.000 – 308.750 = 340.250 (1,5)( IQR ) = (1,5)(340.250) = 510.375 Q 1 – (1,5)( IQR ) = 308.750 – 510.375 = –201.625 Q 3 + (1,5)( IQR ) = 649.000 + 510.375 = 1.159.375 Ningún precio de la vivienda es inferior a –201.625. Sin embargo, 5.500.000 son más que 1.159.375. Por lo tanto, 5.500.000 es un posible valor atípico . Ejercicio Para los siguientes 11 salarios, calcule el IQR y determine si algún salario es un valor atípico. Los sueldos son en dólares. $33.000 $64.500 $28.000 $54.000 $72.000 $68.500 $69.000 $42.000 $54.000 $120.000 $40.500 Para los dos conjuntos de datos del ejemplo de las calificaciones de los exámenes , halle lo siguiente: El rango intercuartil. Compare los dos rangos intercuartiles. Cualquier valor atípico en cualquier conjunto. El resumen de cinco números para las clases diurnas y nocturnas es Mínimo Q 1 Mediana Q 3 Máximo Día 32 56 74,5 82,5 99 Noche 25,5 78 81 89 98 El IQR para el grupo de día es Q 3 – Q 1 = 82,5 – 56 = 26,5 El IQR para el grupo nocturno es Q 3 – Q 1 = 89 – 78 = 11 El rango intercuartil (la dispersión o variabilidad) para la clase diurna es mayor que el IQR de la clase nocturna. Esto sugiere que se hallarán más variaciones en los resultados de las pruebas de la clase diurna. Los valores atípicos de la clase diurna se encuentran utilizando la regla del IQR por 1,5. Así que, Q 1 – IQR (1,5) = 56 – 26,5(1,5) = 16,25 Q 3 + IQR (1,5) = 82,5 + 26,5(1,5) = 122,25 Dado que los valores mínimos y máximos de la clase diurna son superiores a 16,25 e inferiores a 122,25, no hay valores atípicos. Los valores atípicos de la clase nocturna se calculan como: Q 1 – IQR (1,5) = 78 – 11(1,5) = 61,5 Q 3 + IQR(1,5) = 89 + 11(1,5) = 105,5 Para esta clase, cualquier calificación de la prueba inferior a 61,5 es un valor atípico. Por lo tanto, las calificaciones de 45 y 25,5 son valores atípicos. Dado que ninguna calificación de la prueba es superior a 105,5, no hay ningún valor atípico en el extremo superior. Ejercicio Calcule el rango intercuartil para los dos conjuntos de datos siguientes y compárelos. Resultados de las pruebas de la clase A 69; 96; 81; 79; 65; 76; 83; 99; 89; 67; 90; 77; 85; 98; 66; 91; 77; 69; 80; 94 Resultados de las pruebas de la clase B 90; 72; 80; 92; 90; 97; 92; 75; 79; 68; 70; 80; 99; 95; 78; 73; 71; 68; 95; 100 Se les preguntó a cincuenta estudiantes de Estadística cuánto dormían por noche de escuela (redondeado a la hora más cercana). Los resultados fueron: CANTIDAD DE SUEÑO POR NOCHE DE ESCUELA (HORAS) FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 4 2 0,04 0,04 5 5 0,10 0,14 6 7 0,14 0,28 7 12 0,24 0,52 8 14 0,28 0,80 9 7 0,14 0,94 10 3 0,06 1,00 Calcule el percentil 28 . Fíjese en el 0,28 de la columna “frecuencia relativa acumulada”. El veintiocho por ciento de 50 valores de datos son 14 valores. Hay 14 valores inferiores al percentil 28 . Incluyen los dos 4, los cinco 5 y los siete 6. El percentil 28 está entre los seis últimos y los siete primeros. El percentil 28 es 6,5. Calcule la mediana . Observe de nuevo la columna de “frecuencia relativa acumulada” y halle 0,52. La mediana es el percentil 50 o el segundo cuartil. El 50 % de 50 es 25. Hay 25 valores inferiores a la mediana. Incluyen los dos 4, los cinco 5, los siete 6 y once de los 7. La mediana o el percentil 50 está entre los valores 25 , o siete, y 26 , o siete. La mediana es siete. Calcule el tercer cuartil . El tercer cuartil es lo mismo que el percentil 75 . Puede dar esta respuesta “al ojo”. Si observa la columna de “frecuencia relativa acumulada”, verá 0,52 y 0,80. Cuando tiene todos los cuatros, cincos, seises y sietes tiene el 52 % de los datos. Cuando incluye todos los 8, tiene el 80 % de los datos. El percentil 75 , entonces, debe ser un ocho . Otra forma de ver el problema es hallar el 75 % de 50, que es 37,5, y redondear a 38. El tercer cuartil, Q 3 , es el valor 38 , que es un ocho. Puede comprobar esta respuesta contando los valores (hay 37 valores por debajo del tercer cuartil y 12 valores por encima). Ejercicio Se les ha preguntado a cuarenta conductores de autobús cuántas horas dedican cada día a recorrer sus rutas (redondeadas a la hora más cercana). Calcule el percentil 65 . Cantidad de tiempo invertido en la ruta (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 12 0,30 0,30 3 14 0,35 0,65 4 10 0,25 0,90 5 4 0,10 1,00 Mediante la : Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 90 . Calcule el primer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el primer cuartil? Al usar los datos de la tabla de frecuencias, tenemos: El percentil 80 está entre los ocho últimos y los nueve primeros de la tabla (entre los valores 40 y 41 ). Por lo tanto, tenemos que tomar la media de los valores 40 y 41 . El percentil 80 = 8 + 9 2 = 8,5 El percentil 90 será el valor del dato 45 (la ubicación es 0,90(50) = 45) y el valor del dato 45 es nueve. El Q 1 es también el percentil 25 . El cálculo de la ubicación del percentil 25 es: P 25 = 0,25(50) = 12,5 ≈ 13 el valor del dato 13 . Así, el percentil 25 es seis. Ejercicio Consulte la . Calcule el tercer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el tercer cuartil? El instructor o un miembro de la clase preguntará a todos los asistentes cuántos suéteres poseen. Responda las siguientes preguntas ¿A cuántos estudiantes se encuestó? ¿Qué tipo de muestreo realizó? Construya dos histogramas diferentes. Para cada uno, valor inicial = _____ valor final = ____. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Construya una tabla con los datos para hallar lo siguiente el percentil 10 el percentil 70 el porcentaje de estudiantes que poseen menos de cuatro suéteres Una fórmula para hallar el percentil k Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas. k = el percentil k . Puede o no formar parte de los datos. i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos) n = el número total de datos Ordene los datos de menor a mayor. Calcule i = k 100 ( n + 1 ) Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 70 . Calcule el percentil 83 . k = 70 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 70 100 )(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años. k = percentil 83 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 83 100 )(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años. Ejercicio Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 20 y el percentil 55 . NOTA Puede calcular los percentiles con calculadoras y computadoras. Hay una gran variedad de calculadoras en línea. Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos Ordene los datos de menor a mayor. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil. n = el número total de datos. Calcule x + 0,5 y n (100). Luego, redondee al número entero más cercano. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 58. Calcule el percentil de 25. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58. x = 18 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 18 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 63,80. 58 es el percentil 64 . Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25. x = 3 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 3 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12 . Ejercicio Se enumeran las 30 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31, 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Halle los percentiles de 47 y 31. Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15 . Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos. Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor. Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto. NOTA Al escribir la interpretación de un percentil en el contexto de los datos dados, la oración debe contener la siguiente información. información sobre el contexto de la situación considerada. el valor del dato (valor de la variable) que representa el percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por debajo del percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por encima del percentil. En un examen de Matemáticas cronometrado, el primer cuartil del tiempo que se tardó en terminar el examen fue de 35 minutos. Interprete el primer cuartil en el contexto de esta situación. El veinticinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o menos. El setenta y cinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o más. Un percentil bajo podría considerarse bueno, ya que es deseable terminar más rápido en un examen cronometrado (si tarda demasiado, es posible que no pueda terminar). Ejercicio En los 100 metros planos, el tercer cuartil de los tiempos para terminar la carrera fue de 11,5 segundos. Interprete el tercer cuartil en el contexto de la situación. En un examen de Matemáticas de 20 preguntas, el percentil 70 del número de respuestas correctas fue de 16. Interprete el percentil 70 en el contexto de esta situación. Ejercicio En una asignación escrita de 60 puntos, el percentil 80 del número de puntos obtenidos fue de 49. Interprete el percentil 80 en el contexto de esta situación. En un colegio comunitario se comprobó que el percentil 30 de unidades de crédito en las que se inscriben los estudiantes es de siete unidades. Interprete el percentil 30 en el contexto de esta situación. Ejercicio Durante una temporada, el percentil 40 de puntos anotados por jugador en un partido es de ocho. Interprete el percentil 40 en el contexto de esta situación. La escuela intermedia Sharpe está solicitando una subvención que se utilizará para añadir equipos de acondicionamiento físico para el gimnasio. El director encuestó 15 estudiantes anónimos para determinar cuántos minutos al día dedican los estudiantes a hacer ejercicio. Se muestran los resultados de los 15 estudiantes anónimos. 0 minutos; 40 minutos; 60 minutos; 30 minutos; 60 minutos 10 minutos; 45 minutos; 30 minutos; 300 minutos; 90 minutos; 30 minutos; 120 minutos; 60 minutos; 0 minutos; 20 minutos Determine los cinco valores siguientes. Mín. = 0 Q 1 = 20 Med. = 40 Q 3 = 60 Máx. = 300 Si usted fuera el director, ¿se justificaría la compra de nuevos equipos de acondicionamiento físico? Dado que el 75 % de los estudiantes hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día, y que el IQR es de 40 minutos (60 – 20 = 40), sabemos que la mitad de los estudiantes encuestados hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Esto parece una cantidad razonable de tiempo de ejercicio, por lo que el director estaría justificado en la compra del nuevo equipamiento. Sin embargo, el director debe tener cuidado. El valor 300 parece ser un posible valor atípico. Q 3 + 1,5( IQR ) = 60 + (1,5)(40) = 120. El valor 300 es mayor que 120, por lo que es un posible valor atípico. Si lo eliminamos y calculamos los cinco valores, obtenemos los siguientes valores: Mín. = 0 Q 1 = 20 Q 3 = 60 Máx. = 120 Todavía tenemos un 75 % de los estudiantes que hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día y la mitad de los estudiantes que hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Sin embargo, 15 estudiantes es una muestra pequeña y el director debería encuestar más estudiantes para estar seguro de los resultados de su encuesta. Referencias Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013). Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013). “1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de la Revista Time ; encuesta de Yankelovich Partners, Inc. Repaso del capítulo Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil ( Q 1 ) es el percentil 25, el segundo cuartil ( Q 2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil ( Q 3 ) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q 1 de Q 3 , y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes. Q 3 + IQR (1,5) Q 1 – IQR (1,5) Revisión de la fórmula i = ( k 100 ) ( n + 1 ) donde i = la clasificación o posición de un valor de datos, k = el percentil k, n = número total de datos. Expresión para hallar el percentil de un valor de datos: ( x + 0,5 y n ) (100) donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo, y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil, n = número total de datos Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 78. El percentil 40 es 37 años. El percentil 78 es 70 años. Se enumeran las 32 edades de los mejores actores ganadores de los Premios de la Academia (Oscar) en orden de menor a mayor. 18; 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 31; 33; 36; 37; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 37. Calcule el percentil de 72. Jesse ocupó el puesto 37 de su promoción de 180 estudiantes. ¿En qué percentil se encuentra Jesse? Jesse se graduó en el puesto 37 de una clase de 180 estudiantes. Hay 180 – 37 = 143 estudiantes clasificados por debajo de Jesse. Hay un rango de 37. x = 143 y y = 1 x + 0,5 y n (100) = 143 + 0,5 ( 1 ) 180 (100) = 79,72. El puesto 37 de Jesse le sitúa en el percentil 80 . Para los corredores en una carrera un tiempo bajo significa una carrera más rápida. Los ganadores de una carrera tienen los tiempos de carrera más cortos. ¿Es más deseable tener un tiempo de llegada con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 20 de los tiempos de carrera en una determinada carrera es de 5,2 minutos. Escriba una oración con la interpretación del percentil 20 en el contexto de la situación. Un ciclista en el percentil 90 de una carrera la terminó en 1 hora y 12 minutos. ¿Está entre los ciclistas más rápidos o más lentos de la carrera? Escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera una mayor velocidad significa una carrera más rápida. ¿Es más deseable tener una velocidad con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 40 de las velocidades en una carrera particular es de 7,5 millas por hora. Escriba una oración con la interpretación del percentil 40 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera es más deseable tener un percentil alto de velocidad. Un percentil alto significa una mayor velocidad, lo cual es más rápida. El 40 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o menos (más lento). El 60 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o más (más rápido). En un examen, ¿sería más deseable obtener una calificación con un percentil alto o bajo? Explique. Mina está esperando en la fila del Departamento de Vehículos Motorizados (Department of Motor Vehicles, DMV). Su tiempo de espera de 32 minutos está en el percentil 85 de los tiempos de espera. ¿Es eso bueno o malo? Escriba una oración con la interpretación del percentil 85 en el contexto de esta situación. Cuando se espera en la fila del DMV, el percentil 85 sería un tiempo de espera largo en comparación con las demás personas que esperan. El 85 % de las personas tuvieron tiempos de espera más cortos que Mina. En este contexto, Mina preferiría un tiempo de espera correspondiente a un percentil inferior. El 85 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o menos. El 15 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o más. En una encuesta en la que se recopilan datos sobre los salarios que ganan los recién graduados universitarios, Li descubrió que su sueldo estaba en el percentil 78 . ¿Li debe alegrarse o molestarse por este resultado? Explique. En un estudio en el que se recopilan datos sobre costos de reparación por daños sufridos por automóviles en un determinado tipo de pruebas de choque, un determinado modelo de automóvil sufrió daños por valor de 1.700 dólares y se situó en el percentil 90 . ¿El fabricante y el consumidor deben estar satisfechos o molestos por este resultado? Explique y escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de este problema. El fabricante y el consumidor estarían molestos. Este es un gran costo de reparación de daños en comparación con los otros automóviles de la muestra. INTERPRETACIÓN: El 90 % de los automóviles sometidos a pruebas de choque tuvieron costos de reparación de daños de 1.700 dólares o menos; solo el 10 % tuvo costos de reparación de daños de 1.700 dólares o más. La Universidad de California (UC) tiene dos criterios que se utilizan para establecer las normas de admisión de los estudiantes de primer año de educación superior en el sistema UC: Los GPA de los estudiantes y las calificaciones de los exámenes estandarizados (SAT y ACT) se introducen en una fórmula que calcula una calificación de “índice de admisión”. La calificación del índice de admisión se utiliza para establecer normas de elegibilidad destinadas a cumplir la meta de admitir el 12 % de los mejores estudiantes de escuela secundaria del estado. En este contexto, ¿qué percentil representa el 12 % superior? Los estudiantes cuyos GPA se sitúan en o sobre el percentil 96 de todos los estudiantes de su escuela secundaria son elegibles (denominados elegibles en el contexto local), aunque no se encuentren en el 12 % superior de todos los estudiantes del estado. ¿Qué porcentaje de estudiantes de cada escuela secundaria son “elegibles en el contexto local”? Supongamos que va a comprar una casa. Usted y su agente inmobiliario han determinado que la casa más costosa que puede permitirse es la del percentil 34 . El percentil 34 de los precios de la vivienda es de 240.000 dólares en la ciudad a la que quiere mudarse. En esta ciudad, ¿puede permitirse el 34 % de las casas o el 66 % de las casas? Puede permitirse el 34 % de las casas. El 66 % de las casas son demasiado costosas para su presupuesto. INTERPRETACIÓN: El 34 % de las casas cuestan 240.000 dólares o menos. El 66 % de las casas cuestan 240.000 dólares o más. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Primer cuartil = _______ Segundo cuartil = mediana = percentil 50 = _______ 4 Tercer cuartil = _______ Rango intercuartil ( IQR ) = _____ – _____ = _____ 6 – 4 = 2 percentil 10 = _______ percentil 70 = _______ 6 Tarea para la casa La edad media de las personas negras en Estados Unidos es actualmente de 30,9 años; la de las personas blancas es de 42,3 años. Basándose en esta información, indique dos razones por las que la edad media de las personas negras podría ser inferior a la de las personas blancas. ¿La menor edad media de las personas negras significa necesariamente que estas mueren más jóvenes que las personas blancas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo es posible que las personas negras y las blancas mueran aproximadamente a la misma edad, pero que la edad media de las personas blancas sea mayor? A seiscientos estadounidenses adultos se les preguntó mediante un sondeo telefónico: “¿Qué cree usted que constituye un ingreso de clase media?”. Los resultados están en la . Además, se incluye el extremo izquierdo, pero no el derecho. Salario (dólares) Frecuencia relativa < 20.000 0,02 20.000-25.000 0,09 25.000-30.000 0,19 30.000-40.000 0,26 40.000-50.000 0,18 50.000-75.000 0,17 75.000-99.999 0,02 100.000 o más 0,01 ¿Qué porcentaje de la encuesta respondió “no estoy seguro”? ¿Qué porcentaje cree que la clase media es de 25.000 a 50.000 dólares? Construya un histograma de los datos. ¿Según los datos, todas las barras deben tener el mismo ancho? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se deben tratar los intervalos <20.000 y más de 100.000? ¿Por qué? Calcule el percentil 40 y el percentil 80 Construya un gráfico de barras de los datos 1 – (0,02 + 0,09 + 0,19 + 0,26 + 0,18 + 0,17 + 0,02 + 0,01) = 0,06 0,19 + 0, 26 + 0,18 = 0,63 Compruebe la solución del estudiante. El percentil 40 se situará entre 30.000 y 40.000 El percentil 80 estará entre 50.000 y 75.000 Compruebe la solución del estudiante. Dado el siguiente diagrama de caja: ¿cuál es el trimestre con menor dispersión de datos? ¿Cuál es esa dispersión? ¿cuál es el trimestre con mayor dispersión de datos? ¿Cuál es esa dispersión? calcule el rango intercuartil( IQR ). ¿hay más datos en el intervalo 5-10 o en el intervalo 10-13? ¿Cómo lo sabe? ¿qué intervalo tiene menos datos? ¿Cómo lo sabe? 0–2 2–4 10–12 12–13 necesito más información El siguiente diagrama de caja muestra la población de Estados Unidos en 1990, el último año disponible. ¿Hay menos o más niños (de 17 años o menos) que personas mayores (de 65 años o más)? ¿Cómo lo sabe? El 12,6 % tiene 65 años o más. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de la población son adultos en edad de trabajar (desde los 17 hasta los 65 años)? más niños; el bigote de la izquierda muestra que el 25 % de la población son niños de 17 años o menos. El bigote de la derecha muestra que el 25 % de la población son adultos de 50 años o más, por lo que los adultos de 65 años o más representan menos del 25 %. 62.4% Rango intercuartil o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos; el IQR se encuentra al restar el primer cuartil del tercer cuartil. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos Percentil un número que divide los datos ordenados en centésimas; los percentiles pueden o no formar parte de los datos. La mediana de los datos es el segundo cuartil y el percentil 50 . El primer y tercer cuartil son el percentil 25 y el percentil 75 , respectivamente. Cuartiles los números que separan los datos en cuartos; los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. El segundo cuartil es la mediana de los datos.", "section": "Medidas de la ubicación de los datos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Diagramas de caja Los diagramas de caja (también llamados diagramas de caja y bigotes o gráficos de caja y bigotes ) ofrecen una buena imagen gráfica de la concentración de los datos. También muestran lo lejos que están los valores extremos de la mayoría de los datos. Un diagrama de caja se construye a partir de cinco valores: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Utilizamos estos valores para comparar la proximidad de otros valores de datos. Para construir un diagrama de caja, utilice una línea numérica horizontal o vertical y una caja rectangular. Los valores de datos más pequeños y más grandes marcan los puntos finales del eje. El primer cuartil marca un extremo de la caja y el tercer cuartil marca el otro extremo de la caja. Aproximadamente el 50 % de los datos están dentro de la caja. Los \"bigotes\" se extienden desde los extremos de la caja hasta los valores de datos más pequeños y más grandes. La mediana o el segundo cuartil pueden estar entre el primer y el tercer cuartil, o puede ser uno, el otro, o ambos. El diagrama de caja ofrece una buena y rápida imagen de los datos. NOTA Es posible que encuentre diagramas de caja y bigotes con puntos que marcan los valores atípicos. En esos casos, los bigotes no se extienden hasta los valores mínimos y máximos. Consideremos, de nuevo, este conjunto de datos. 1 1 2 2 4 6 6,8 7,2 8 8,3 9 10 10 11,5 El primer cuartil es dos, la mediana es siete y el tercer cuartil es nueve. El valor más pequeño es uno y el más grande es 11,5. La siguiente imagen muestra el diagrama de caja construido. NOTA Consulte las instrucciones de la calculadora en el sitio web de TI o en el apéndice. Los dos bigotes se extienden desde el primer cuartil hasta el valor más pequeño y desde el tercer cuartil hasta el valor más grande. La mediana se muestra con una línea discontinua. NOTA Es importante comenzar un diagrama de caja con una línea numérica a escala . De lo contrario, el diagrama de caja puede no ser útil. Los siguientes datos son las estaturas de 40 estudiantes en una clase de Estadística. 59 60 61 62 62 63 63 64 64 64 65 65 65 65 65 65 65 65 65 66 66 67 67 68 68 69 70 70 70 70 70 71 71 72 72 73 74 74 75 77 Construya un diagrama de caja con las siguientes propiedades; las instrucciones de la calculadora para los valores mínimo y máximo, así como los cuartiles, siguen el ejemplo. Valor mínimo = 59 Valor máximo = 77 Q 1: Primer cuartil = 64,5 Q 2: Segundo cuartil o mediana= 66 Q 3: Tercer cuartil = 70 Cada trimestre tiene aproximadamente el 25 % de los datos. Los diferenciales de los cuatro trimestres son 64,5 - 59 = 5,5 (primer trimestre), 66 - 64,5 = 1,5 (segundo trimestre), 70 - 66 = 4 (tercer trimestre) y 77 - 70 = 7 (cuarto trimestre). Así, el segundo trimestre tiene el menor diferencial y el cuarto el mayor. Rango = valor máximo - el valor mínimo = 77 - 59 = 18 Rango intercuartil: IQR = Q 3 – Q 1 = 70 - 64,5 = 5,5. El intervalo 59-65 tiene más del 25 % de los datos, por lo que tiene más datos que el intervalo 66-70, que tiene el 25 % de los datos. El 50 % de los datos (la mitad) tiene un rango de 5,5 pulgadas. Para calcular el mínimo, el máximo y los cuartiles: Introduzca los datos en el editor de listas (Pres STAT 1:EDIT). Si necesita borrar la lista, pulse flecha hacia arriba hasta el nombre L1, pulse BORRAR y luego flecha hacia abajo. Ponga los valores de los datos en la lista L1. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats. Ingrese L1. Pulse ENTER. Utilice las teclas de flecha hacia abajo y hacia arriba para desplazarse. Valor más pequeño = 59. Valor más alto = 77. Q 1 : Primer cuartil = 64,5. Q 2 : Segundo cuartil o mediana = 66. Q 3 : Tercer cuartil = 70 Para construir el diagrama de caja: Pulse 4:Plotsoff. Pulse ENTER. Con la flecha hacia abajo y luego con la tecla de flecha hacia la derecha se pasa a la quinta imagen, que es el diagrama de caja. Pulse ENTER. Flecha hacia abajo a Xlist: Pulse el segundo 1 para L1 Flecha hacia abajo a Freq: Pulse ALPHA. Pulse 1. Pulse Zoom. Pulse 9: ZoomStat. Pulse TRACE y utilice las teclas de flecha para examinar el diagrama de caja. Ejercicio Los siguientes datos son el número de páginas de 40 libros en una estantería. Construya un diagrama de caja utilizando una calculadora gráfica e indique el rango intercuartílico. 136 140 178 190 205 215 217 218 232 234 240 255 270 275 290 301 303 315 317 318 326 333 343 349 360 369 377 388 391 392 398 400 402 405 408 422 429 450 475 512 En algunos conjuntos de datos, el valor más grande, el valor más pequeño, el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil pueden ser los mismos. Por ejemplo, puede tener un conjunto de datos en el que la mediana y el tercer cuartil son iguales. En este caso, el diagrama no tendría una línea de puntos dentro de la caja que muestra la mediana. El lado derecho del cuadro mostraría tanto el tercer cuartil como la mediana. Por ejemplo, si el valor más pequeño y el primer cuartil fuesen ambos uno, la mediana y el tercer cuartil fuesen ambos cinco, y el valor más grande fuese siete, el diagrama de caja tendría el siguiente aspecto: En este caso, al menos el 25 % de los valores son iguales a uno. El 25 % de los valores están entre uno y cinco, ambos inclusive. Al menos el 25 % de los valores son iguales a cinco. El 25 % de los valores más altos se sitúan entre el cinco y el siete, ambos inclusive. Los resultados de las pruebas de una clase de Estadística universitaria impartida durante el día son: 99 56 78 55,5 32 90 80 81 56 59 45 77 84,5 84 70 72 68 32 79 90 Los resultados de las pruebas de una clase de Estadística universitaria que se imparte por la noche son: 98 78 68 83 81 89 88 76 65 45 98 90 80 84,5 85 79 78 98 90 79 81 25,5 Calcule los valores más pequeños y más grandes, la mediana y el primer y tercer cuartil en la clase del día. Calcule los valores más pequeños y más grandes, la mediana y el primer y tercer cuartil para la clase nocturna. En cada conjunto de datos, ¿qué porcentaje de los datos está entre el valor más pequeño y el primer cuartil? ¿El primer cuartil y la mediana? ¿La mediana y el tercer cuartil? ¿El tercer cuartil y el valor más grande? ¿Qué porcentaje de los datos está entre el primer cuartil y el valor más grande? Cree un diagrama de caja en cada conjunto de datos. Utilice una línea numérica en ambos gráficos de caja. ¿Qué diagrama de caja tiene la mayor dispersión para el 50 % medio de los datos (los datos entre el primer y el tercer cuartil)? ¿Qué significa esto en ese conjunto de datos en comparación con el otro conjunto de datos? Mín. = 32 Q 1 = 56 M = 74,5 Q 3 = 82,5 Máx. = 99 Mín. = 25,5 Q 1 = 78 M = 81 Q 3 = 89 Máx. = 98 Clase diurna: hay seis valores de datos que van de 32 a 56: 30 %. Hay seis valores de datos que van de 56 a 74,5: 30 %. Hay cinco valores de datos que van de 74,5 a 82,5: 25 %. Hay cinco valores de datos que van de 82,5 a 99: 25 %. Hay 16 valores de datos entre el primer cuartil, 56, y el valor más grande, 99: 75 %. Clase nocturna: El primer conjunto de datos tiene la mayor dispersión para el 50 % de los datos. El IQR del primer conjunto de datos es mayor que el IQR del segundo conjunto. Esto significa que hay más variabilidad en el 50 % medio del primer conjunto de datos. Ejercicio El siguiente conjunto de datos muestra las estaturas en pulgadas de los chicos de una clase de 40 estudiantes. 66; 66; 67; 67; 68; 68; 68; 68; 68; 69; 69; 69; 70; 71; 72; 72; 72; 73; 73; 74 El siguiente conjunto de datos muestra las alturas en pulgadas de las chicas de una clase de 40 estudiantes. 61; 61; 62; 62; 63; 63; 63; 65; 65; 65; 66; 66; 66; 67; 68; 68; 68; 69; 69; 69 Construya un diagrama de caja utilizando una calculadora gráfica para cada conjunto de datos, e indique qué diagrama de caja tiene la mayor dispersión para el 50 % medio de los datos. Grafique un diagrama de caja y bigote para los valores de los datos que se muestran a continuación. 10 10 10 15 35 75 90 95 100 175 420 490 515 515 790 Los cinco números utilizados para crear un diagrama de caja y bigotes son: Mín.: 10 Q 1 : 15 Med.: 95 Q 3 : 490 Máx.: 790 El siguiente gráfico muestra el diagrama de cajas y bigotes. Ejercicio Siga los pasos que utilizó para graficar un diagrama de caja y bigotes para los valores de datos que se muestran a continuación. 0 5 5 15 30 30 45 50 50 60 75 110 140 240 330 Referencias Datos de la Revista West . Repaso del capítulo Los gráficos de caja son un tipo de gráfico que puede ayudar a organizar los datos visualmente. Para elaborar un diagrama de caja se deben calcular los siguientes puntos de datos: el valor mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el valor máximo. Una vez que el diagrama de caja se ha graficado, se pueden visualizar y comparar las distribuciones de los datos. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Construya un diagrama de caja a continuación. Utilice una regla para medir con una escala exacta. Al observar el diagrama de caja, ¿parece que los datos están concentrados juntos, repartidos uniformemente, o concentrados en algunas zonas, pero no en otras? ¿Cómo se puede saber? Más del 25 % de los vendedores venden cuatro automóviles en una semana normal. Puede ver esta concentración en el diagrama de caja porque el primer cuartil es igual a la mediana. El 25 % superior y el 25 % inferior están repartidos uniformemente; los bigotes tienen la misma longitud. Tarea para la casa En una encuesta realizada a personas de 20 años en China, Alemania y Estados Unidos, se les preguntó por el número de países extranjeros que habían visitado en su vida. Los siguientes diagramas de caja muestran los resultados. En oraciones completas, describa lo que la forma de cada diagrama de caja implica sobre la distribución de los datos recogidos. ¿Más estadounidenses o más alemanes encuestados han estado en más de ocho países extranjeros? Compare los tres diagramas de caja. ¿Qué implican los viajes al extranjero de los residentes de 20 años de los tres países cuando se comparan entre sí? Dado el siguiente diagrama de caja, responda las preguntas. Piense en un ejemplo (con palabras) en el que los datos puedan ajustarse al diagrama de caja anterior. Escriba el ejemplo en unas 2 a 5 oraciones. ¿Qué significa que el primer y el segundo cuartil estén tan juntos, mientras que el segundo y el tercer cuartil están bastante separados? Las respuestas variarán. Posible respuesta La Universidad Estatal realizó una encuesta para comprobar el grado de implicación de sus estudiantes en el servicio a la comunidad. El diagrama de caja muestra el número de horas de servicio comunitario registradas por los participantes durante el último año. Dado que el primer y el segundo cuartil están próximos, los datos de este trimestre son muy similares. No hay mucha variación en los valores. Los datos del tercer trimestre son mucho más variables, o dispersos. Esto está claro porque el segundo cuartil está muy lejos del tercer cuartil. Dados los siguientes gráficos de caja, responda las preguntas. Explique en oraciones completas, por qué cada afirmación es falsa Datos 1 tiene más valores de datos por encima de 2 que Datos 2 . Los conjuntos de datos no pueden tener el mismo modo. En los Datos 1 , hay más valores de datos por debajo de cuatro que por encima de cuatro. ¿En qué grupo, Datos 1 o Datos 2, es más probable que el valor de \"7\" sea un valor atípico? Explique con oraciones completas. Se realizó una encuesta a 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 3 de BMW, 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 5 de BMW y 130 compradores de automóviles nuevos de la serie 7 de BMW. En esta, se preguntaba a las personas, la edad que tenían cuando compraron su automóvil. Los siguientes diagramas de caja muestran los resultados. En oraciones completas, describa lo que la forma de cada diagrama de caja implica sobre la distribución de los datos recopilados para esa serie de automóviles. ¿Qué grupo tiene más probabilidades de tener un valor atípico? Explique cómo lo determinó. Compare los tres diagramas de caja. ¿Qué implican sobre la edad de compra de un BMW de la serie cuando se comparan entre sí? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué trimestre tiene la menor dispersión de datos? ¿Cuál es la dispersión? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué trimestre tiene la mayor dispersión de datos? ¿Cuál es la dispersión? Mire la serie 5 de BMW. Estime el rango intercuartil (IQR). Mire la serie 5 de BMW. ¿Hay más datos en el intervalo 31 a 38 o en el intervalo 45 a 55? ¿Cómo lo sabe? Mire la serie 5 de BMW. ¿Qué intervalo tiene menos datos? ¿Cómo lo sabe? 31–35 38–41 41–64 Cada diagrama de caja se extiende más en los valores mayores. Cada gráfico está distorsionado hacia la derecha, de modo que las edades del 50 % de los compradores que compran más son más variables que las del 50 % de los que compran menos. La serie 3 de BMW es la que tiene más probabilidades de tener un valor atípico. Tiene el bigote más largo. Comparando las edades medias, los más jóvenes tienden a comprar la serie 3 de BMW, mientras que los mayores tienden a comprar la serie 7 de BMW. Sin embargo, esto no es una regla, porque hay mucha variabilidad en cada conjunto de datos. El segundo trimestre es el que presenta el menor diferencial. Parece que solo hay una diferencia de tres años entre el primer cuartil y la mediana. El tercer trimestre es el que presenta la mayor dispersión. Parece que hay una diferencia de aproximadamente 14 años entre la mediana y el tercer cuartil. IQR ~ 17 años No hay suficiente información para decirlo. Cada intervalo se encuentra dentro de un trimestre, por lo que no podemos saber exactamente dónde se concentran los datos de ese trimestre. El intervalo de 31 a 35 años es el que presenta menos valores de datos. El 25 % de los valores se encuentran en el intervalo de 38 a 41, y el 25 % entre 41 y 64. Dado que el 25 % de los valores están entre 31 y 38, sabemos que menos del 25 % están entre 31 y 35. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un diagrama de caja de los datos. Resúmalo todo El condado de Santa Clara, CA, tiene aproximadamente 27.873 japoneses-americanos. Sus edades son las siguientes: Grupo de edad Porcentaje de la comunidad 0–17 18,9 18–24 8,0 25–34 22,8 35–44 15,0 45–54 13,1 55–64 11,9 65+ 10,3 Construya un histograma de la comunidad japonesa-americana en el condado de Santa Clara, CA. En este ejemplo, las barras no tendrán la misma anchura. ¿Por qué no? ¿Qué impacto tiene esto en la fiabilidad del gráfico? ¿Qué porcentaje de la comunidad es menor de 35 años? ¿Qué diagrama de caja se parece más a la información anterior? Para el gráfico, compruebe la solución del estudiante. El 49,7 % de la comunidad tiene menos de 35 años. A partir de la información de la tabla, el gráfico (a) es el que mejor representa los datos. Diagrama de caja gráfico que ofrece una imagen rápida del 50 % de los datos Primer cuartil valor que es la mediana de la mitad inferior del conjunto de datos ordenados Polígono de frecuencia parece un gráfico de líneas, pero utiliza intervalos para mostrar rangos de grandes cantidades de datos Intervalo también llamado intervalo de clase; un intervalo representa un rango de datos y se utiliza cuando se muestran grandes conjuntos de datos Conjunto de datos emparejados dos conjuntos de datos que tienen una relación de uno a uno para que ambos conjuntos de datos tienen el mismo tamaño, y cada punto de datos de un conjunto de datos coincide exactamente con un punto del otro conjunto. Distorsionado se utiliza para describir datos que no son simétricos; cuando el lado derecho de un gráfico parece \"cortado\" en comparación con el lado izquierdo, decimos que está \"distorsionado a la izquierda\" Cuando el lado izquierdo del gráfico parece \"cortado\" en comparación con el lado derecho, decimos que los datos están \" distorsionado a la derecha\" Alternativamente: cuando los valores más bajos de los datos están más repartidos, decimos que los datos están distorsionados a la izquierda. Cuando los valores mayores están más repartidos, los datos están distorsionados hacia la derecha.", "section": "Diagramas de caja", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Medidas del centro de los datos El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana . Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Para calcular la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro. NOTA Las palabras “media” y “promedio” se suelen usar indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x ”): x ¯ . La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población . Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria. Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4 x ¯ = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2,7 x ¯ = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 5 ( 4 ) 11 = 2,7 En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5. Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión n + 1 2 . La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. La mediana es el 49. º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50. º y 51. º . La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor. Los datos sobre el sida que indican el número de meses que vive un paciente con sida después de tomar un nuevo medicamento con anticuerpos son los siguientes (de menor a mayor): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; Calcule la media y la mediana. El cálculo de la media es: x ¯ = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23,6 Para hallar la mediana, M , primero hay que utilizar la fórmula de la ubicación. La ubicación es: n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20,5 A partir del valor más pequeño, la mediana se sitúa entre los valores 20. º y 21. º (los dos 24): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; M = 24 + 24 2 = 24 Calcular la media y la mediana: Borre lista L1. Pulse STAT 4:ClrList. Introduzca el 2.º 1 para la lista L1. Pulse ENTER. Introduzca los datos en el editor de listas. Pulse STAT 1:EDIT. Ponga los valores de los datos en la lista L1. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats. Pulse el 2.º 1 para L1 y luego ENTER. Pulse las teclas de flecha hacia abajo y hacia arriba para desplazarse. x ¯ = 23,6, M = 24 Ejercicio Los siguientes datos muestran el número de meses que los pacientes suelen esperar en una lista de trasplantes antes de ser operados. Los datos están ordenados de menor a mayor. Calcule la media y la mediana. 3 4 5 7 7 7 7 8 8 9 9 10 10 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 17 17 18 19 19 19 21 21 22 22 23 24 24 24 24 Supongamos que en una pequeña ciudad de 50 personas una de ellas gana 5.000.000 de dólares al año y las otras 49 ganan 30.000 dólares cada una. ¿Cuál es la mejor medida del “centro”: la media o la mediana? x ¯ = 5 , 000 , 000 + 49 ( 30 , 000 ) 50 = 129.400 M = 30.000 (Hay 49 personas que ganan 30.000 dólares y una persona que gana 5.000.000 de dólares). La mediana es una mejor medida del “centro” que la media porque 49 de los valores son 30.000 y uno es 5.000.000. El 5.000.000 es un valor atípico. Los 30.000 nos dan una mejor idea del centro de los datos. Ejercicio En una muestra de 60 hogares, una casa vale 2.500.000 dólares. Veintinueve casas valen 280.000 dólares y todas las demás valen 315.000 dólares. ¿Cuál es la mejor medida del \"centro\": la media o la mediana? Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal. Las calificaciones de los exámenes de Estadística de 20 estudiantes son las siguientes: 50 53 59 59 63 63 72 72 72 72 72 76 78 81 83 84 84 84 90 93 Calcule la moda. La calificación más frecuente es 72, que aparece cinco veces. Moda = 72. Ejercicio El número de libros retirados de la biblioteca por 25 estudiantes es el siguiente: 0 0 0 1 2 3 3 4 4 5 5 7 7 7 7 8 8 8 9 10 10 11 11 12 12 Calcule la moda. Las cinco calificaciones del examen sobre bienes raíces son 430, 430, 480, 480, 495. El conjunto de datos es bimodal porque las calificaciones 430 y 480 aparecen dos veces cada una. ¿Cuándo la moda es la mejor medida del “centro”? Piense en un programa de adelgazamiento que anuncia una pérdida media de peso de seis libras la primera semana del programa. La moda podría indicar que la mayoría de las personas pierden dos libras la primera semana, lo que hace que el programa sea menos atractivo. NOTA La moda puede calcularse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. Por ejemplo, si el conjunto de datos es: rojo, rojo, rojo, verde, verde, amarillo, púrpura, negro, azul, la moda es rojo. El software estadístico calculará fácilmente la media, la mediana y la moda. Algunas calculadoras gráficas también pueden realizar estos cálculos. En el mundo real, la gente hace estos cálculos utilizando softwares. Ejercicio Las cinco puntuaciones de crédito son 680, 680, 700, 720, 720. El conjunto de datos es bimodal porque las puntuaciones 680 y 720 aparecen dos veces. Consideremos los ingresos anuales de los trabajadores de una fábrica. La modalidad es de 25.000 dólares y se produce 150 veces de cada 301. La mediana es de 50.000 dólares y la media de 47.500 dólares. ¿Cuál sería la mejor medida del \"centro\"? La ley de los grandes números y la media La ley de los grandes números dice que, si se toman muestras de tamaño cada vez mayor de cualquier población, entonces la media x ¯ de la muestra es muy probable que se acerque cada vez más a µ. Esto se analiza con más detalle más adelante en el texto. Distribuciones muestrales y estadística de una distribución muestral Se puede pensar en una distribución de muestreo como una distribución de frecuencia relativa con un gran número de muestras (vea la sección Muestreo y datos para hacer un repaso de la frecuencia relativa). Supongamos que se pregunta a treinta estudiantes seleccionados al azar el número de películas que vieron la semana anterior. Los resultados se encuentran en la tabla de frecuencias relativas que se muestra a continuación. N.º de películas Frecuencia relativa 0 5 30 1 15 30 2 6 30 3 3 30 4 1 30 Si se deja que el número de muestras sea muy grande (por ejemplo, 300 millones o más), la tabla de frecuencias relativas se convierte en una distribución de frecuencias relativas . Una estadística es un número calculado a partir de una muestra. Algunos ejemplos de estadísticas son la media, la mediana y la moda, entre otros. La media muestral x ¯ es un ejemplo de estadística que estima la media poblacional μ . Cálculo de la media de las tablas de frecuencias agrupadas Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = suma de los datos número de los valores de los datos Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias. Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es límite inferior + límite superior 2 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea Tabla de media de la frecuencia = ∑ e m ∑ e donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo. Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase. Intervalo de grado Número de estudiantes 50–56,5 1 56,5–62,5 0 62,5–68,5 4 68,5–74,5 4 74,5–80,5 2 80,5–86,5 3 86,5–92,5 4 92,5–98,5 1 Calcule los puntos medios de todos los intervalos Intervalo de grado Punto medio 50–56,5 53,25 56,5–62,5 59,5 62,5–68,5 65,5 68,5–74,5 71,5 74,5–80,5 77,5 80,5–86,5 83,5 86,5–92,5 89,5 92,5–98,5 95,5 Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio. ∑ ​ e m 53,25 ( 1 ) + 59,5 ( 0 ) + 65,5 ( 4 ) + 71,5 ( 4 ) + 77,5 ( 2 ) + 83,5 ( 3 ) + 89,5 ( 4 ) + 95,5 ( 1 ) = 1460,25 μ = ∑ e m ∑ e = 1460,25 19 = 76,86 Ejercicio Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos: Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos Número de adolescentes 0–3,5 3 3,5–7,5 7 7,5–11,5 12 11,5–15,5 7 15,5–19,5 9 ¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos? Referencias Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto. Revisión de la fórmula μ = ∑ e m ∑ e Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo. Calcule la media de las siguientes tablas de frecuencia. Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor: 16 17 19 20 20 21 23 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 37 39 40 Calcule la media. Media: 16 + 17 + 19 + 20 + 20 + 21 + 23 + 24 + 25 + 25 + 25 + 26 + 26 + 27 + 27 + 27 + 28 + 29 + 30 + 32 + 33 + 33 + 34 + 35 + 37 + 39 + 40 = 738; 738 27 = 27,33 Identifique la mediana. Identifique la moda. Las esloras más frecuentes son 25 y 27, que aparecen tres veces. Moda = 25, 27 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente: media muestral = x ¯ = _______ mediana = _______ 4 moda = _______ Tarea para la casa Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en el siguiente cuadro. Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cómo se compara Estados Unidos con otros países? La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 El porcentaje de la media, x ¯ = 1.328,65 50 = 26,75 Resúmalo todo Javier y Ercilia son supervisores en un centro comercial. A cada uno se le encomendó la tarea de estimar la distancia media a la que viven los compradores del centro comercial. Cada uno de ellos encuestó al azar a 100 compradores. Las muestras arrojaron la siguiente información. Javier Ercilia x ¯ 6,0 millas 6,0 millas s 4,0 millas 7,0 millas ¿Cómo se puede determinar cuál es la encuesta correcta? Explique qué implica la diferencia de los resultados de las encuestas sobre los datos. Si los dos histogramas representan la distribución de valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Si los dos diagramas de caja representan la distribución de los valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios : estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección. Número de años Frecuencia Número de años Frecuencia 7 1 22 1 14 3 23 1 15 1 26 1 18 1 40 2 19 4 42 2 20 3 Total = 20 ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? 8 11 15 35 a ¿Cuál es la moda? 19 19,5 14 y 20 22,65 ¿Se trata de una muestra o de toda la población? muestra toda la población ninguna b Tabla de frecuencias una representación de datos en la que se muestran los datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes Media un número que mide la tendencia central de los datos; un nombre común para la media es 'promedio'. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Mediana número que separa los datos ordenados en mitades; la mitad de los valores son del mismo número o menores que la mediana y la mitad de los valores son del mismo número o mayores que la mediana. La mediana puede o no formar parte de los datos. Punto medio la media de un intervalo en una tabla de frecuencia Moda el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos", "section": "Medidas del centro de los datos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distorsión y media, mediana y moda Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10 Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo. El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana. El histograma de los datos: 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 (que se muestra en la ) no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más. El histograma de los datos: 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10 , tampoco es simétrico. Es distorsionada a la derecha . La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor . De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión. Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media. La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores. Las estadísticas se utilizan para comparar y a veces identificar a los autores. Las siguientes listas muestran una simple muestra aleatoria que compara los recuentos de letras de tres autores. Terry: 7; 9; 3; 3; 3; 4; 1; 3; 2; 2 Davis: 3; 3; 3; 4; 1; 4; 3; 2; 3; 1 Maris: 2; 3; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 8; 3 Haga un gráfico de puntos para los tres autores y compare las formas. Calcule la media de cada uno. Calcule la mediana de cada uno. Describa cualquier patrón que observe entre la forma y las medidas del centro. La distribución de Terry tiene una inclinación hacia la derecha (positiva). La distribución de Davis tiene una distorsión a la izquierda (negativo). La distribución de Maris tiene una forma simétrica. La media de Terry es de 3,7, la de Davis de 2,7 y la de Maris de 4,6. La mediana de Terry es tres, la de Davis es tres. La mediana de Maris es de cuatro. Parece que la mediana está siempre más cerca del punto alto (la moda), mientras que la media tiende a estar más lejos en la cola. En una distribución simétrica, la media y la mediana están situadas en el centro, cerca del punto más alto de la distribución. Ejercicio Analice la media, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes problemas. ¿Existe un patrón entre la forma y la medida del centro? a. b. Las edades en que murieron los expresidentes de EE. UU. 4 6 9 5 3 6 7 7 7 8 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 1 1 2 3 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Clave: 8|0 significa 80. c. Repaso del capítulo Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones . Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la . Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha. 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 Los datos son simétricos. La mediana es 3 y la media es 2,85. Están cerca, y la moda se encuentra cerca del centro de los datos, por lo que los datos son simétricos. 16 17 19 22 22 22 22 22 23 87 87 87 87 87 88 89 89 90 91 Los datos están distorsionados a la derecha. La mediana es de 87,5 y la media de 88,2. Aunque están cerca, la moda se encuentra a la izquierda del centro de los datos, y hay muchos más casos de 87 que de cualquier otro número, por lo que los datos están distorsionados a la derecha. Cuando los datos están distorsionados a la izquierda, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana están cerca o son iguales. ¿Qué palabra describe una distribución que tiene dos modas? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la derecha porque luce desplazada hacia la derecha. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media es de 4,1 y es ligeramente superior a la mediana, que es de cuatro. Describa la forma de esta distribución. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. La moda y la mediana son iguales. En este caso, las dos son cinco. ¿La media y la mediana son exactamente iguales en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la izquierda porque luce desplazada hacia la izquierda. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media y la mediana son seis. La media y la mediana de los datos son iguales. 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 ¿Los datos son perfectamente simétricos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la mayor, la media, la moda o la mediana del conjunto de datos? 11 11 12 12 12 12 13 15 17 22 22 22 La moda es 12, la mediana es 12,5 y la media es 15,1. La media es la mayor. ¿Cuál es menor, la media, la moda y la mediana del conjunto de datos? 56 56 56 58 59 60 62 64 64 65 67 De las tres medidas, ¿cuál tiende a reflejar más la distorsión: la media, la moda o la mediana? ¿Por qué? La media tiende a reflejar más la distorsión porque es la más afectada por los valores atípicos. En una distribución perfectamente simétrica, ¿cuándo la moda sería diferente de la media y la mediana? Tarea para la casa La edad media de la población de EE. UU. en 1980 era de 30,0 años. En 1991, la edad media era de 33,1 años. ¿Qué significa que la edad media aumente? Dé dos razones por las que la edad media podría aumentar. Para que la edad media aumente, ¿el número real de niños es menor en 1991 que en 1980? ¿Por qué sí o por qué no?", "section": "Distorsión y media, mediana y moda", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Medidas de la dispersión de los datos Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media. La desviación típica proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media. La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación. Supongamos que estudiamos el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B . El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A , la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B , la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos. Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B . En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media. Supongamos que Rosa y Binh compran en el supermercado A . Rosa espera en la caja siete minutos y Binh espera un minuto. En el supermercado A , el tiempo medio de espera es de cinco minutos y la desviación típica es de dos minutos. La desviación típica se puede usar para determinar si un valor de los datos está cerca o lejos de la media. Rosa espera siete minutos: Siete son dos minutos más que el promedio de cinco; dos minutos equivalen a una desviación típica. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, es dos minutos más largo que el promedio de cinco minutos. El tiempo de espera de Rosa, de siete minutos, está una desviación típica por encima del promedio de cinco minutos. Binh espera un minuto. Uno es cuatro minutos menos que el promedio de cinco; cuatro minutos equivalen a dos desviaciones típicas. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, es cuatro minutos menos que el promedio de cinco minutos. El tiempo de espera de Binh, de un minuto, está dos desviaciones típicas por debajo del promedio de cinco minutos. Un valor de los datos que está a dos desviaciones típicas del promedio está justo en el límite de lo que muchos estadísticos considerarían alejado del promedio. Plantearse que los datos están lejos de la media si están a más de dos desviaciones típicas es más una \"regla general\" aproximada que una regla rígida. En general, la forma de la distribución de los datos afecta a la cantidad de datos que se encuentran más allá de dos desviaciones típicas. (En los capítulos siguientes aprenderá más sobre este punto). La recta numérica puede ayudarlo a entender la desviación típica. Si ponemos el cinco y el siete en una recta numérica, el siete está a la derecha del cinco. Decimos, entonces, que siete está una desviación típica a la derecha de cinco porque 5 + (1)(2) = 7. Si el número uno también formara parte del conjunto de datos, entonces estaría dos desviaciones típicas a la izquierda de cinco porque 5 + (-2)(2) = 1. En general, un valor = media + (n.º de STDEV) (número de STandard DEViation, o desviación típica) donde n.º de STDEV = el número de desviaciones típicas El n.º de STDEV no tiene que ser un número entero Uno es dos desviaciones típicas menos que la media de cinco porque: 1 = 5 + (-2)(2). La ecuación valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) puede expresarse para una muestra y para una población. muestra: x = x ¯ + ( n.º o e S T D E V ) ( s ) Población: x = μ + ( n.º o e S T D E V ) ( σ ) La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. El símbolo x ¯ es la media muestral y el símbolo griego μ es la media de la población. Cálculo de la desviación típica Si x es un número, la diferencia \" x – media\" se llama su desviación . En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ . Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – x ¯ . El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ . Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – x ¯ para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ 2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s 2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones. Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N , el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre n – 1 , uno menos que el número de elementos de la muestra. Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x ¯ ) 2 n – 1 o s = Σ e ( x – x ¯ ) 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra MENOS 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ e ( x – μ ) 2 N Para la desviación típica de la población el denominador es N , el número de elementos de la población. En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres. Variabilidad muestral de una estadística La estadística de una distribución muestral se trató en Estadística descriptiva: medidas del centro de los datos . El grado de variación de la estadística de una muestra a otra se conoce como variabilidad muestral de una estadística . Normalmente se mide la variabilidad muestral de una estadística por su error estándar. El error estándar de la media es un ejemplo de error estándar. Es una desviación típica especial y se conoce como la desviación típica de la distribución muestral de la media. El error estándar de la media se tratará en el capítulo El teorema del límite central en otro momento. La notación para el error estándar de la media es σ n donde σ es la desviación típica de la población y n es el tamaño de la muestra. NOTA En la práctica, UTILICE UNA CALCULADORA O UN SOFTWARE DE COMPUTADORA PARA CALCULAR LA DESVIACIÓN TÍPICA. Si está utilizando una calculadora TI-83, 83+ u 84+, debe seleccionar la desviación típica σ x o s x correspondiente de las estadísticas de resumen. Nos centraremos en la utilización e interpretación de la información que nos proporciona la desviación típica. Sin embargo, debería estudiar el siguiente ejemplo paso a paso para entender cómo la desviación típica mide la variación de la media. (Las instrucciones de la calculadora aparecen al final de este ejemplo). En una clase de quinto grado la maestra estaba interesada en la edad promedio y la desviación típica de la muestra de las edades de sus estudiantes. Los siguientes datos son las edades de una MUESTRA de n = 20 estudiantes de quinto grado. Las edades están redondeadas al medio año más cercano: 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; x ¯ = 9 + 9 ,5(2) + 10(4) + 10 ,5(4) + 11(6) + 11 ,5(3) 20 = 10,525 La edad promedio es de 10,53 años, redondeada a dos cifras. La varianza se puede calcular mediante una tabla. A continuación se calcula la desviación típica tomando la raíz cuadrada de la varianza. Explicaremos las partes de la tabla después de calcular s . Datos Frec. Desviaciones Desviaciones 2 (Frecuencia)( Desviaciones 2 ) x f ( x – x ¯ ) ( x – x ¯ ) 2 ( f )( x – x ¯ ) 2 9 1 9 – 10,525 = –1,525 (–1,525) 2 = 2,325625 1 × 2,325625 = 2,325625 9,5 2 9,5 – 10,525 = –1,025 (–1,025) 2 = 1,050625 2 × 1,050625 = 2,101250 10 4 10 – 10,525 = –0,525 (–0,525) 2 = 0,275625 4 × 0,275625 = 1,1025 10,5 4 10,5 – 10,525 = –0,025 (–0,025) 2 = 0,000625 4 × 0,000625 = 0,0025 11 6 11 – 10,525 = 0,475 (0,475) 2 = 0,225625 6 × 0,225625 = 1,35375 11,5 3 11,5 – 10,525 = 0,975 (0,975) 2 = 0,950625 3 × 0,950625 = 2,851875 El total es 9,7375 La varianza de la muestra, s 2 , es igual a la suma de la última columna (9,7375) dividida entre el número total de valores de datos menos uno (20 – 1): s 2 = 9,7375 20 – 1 = 0,5125 La desviación típica de la muestra s es igual a la raíz cuadrada de la varianza de la muestra: s = 0,5125 = 0,715891 , que se redondea a dos decimales, s = 0,72. Normalmente, el cálculo de la desviación típica se realiza en la calculadora o en la computadora . Los resultados intermedios no están redondeados para mayor exactitud. En los siguientes problemas, recuerde que valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica) . Compruebe la media y la desviación típica con una calculadora o una computadora. Para una muestra: X = x ¯ + (n.º de STDEV)( s ) Para una población: x = μ + (n.º de STDEV)( σ ) Para este ejemplo, utilice x = x ¯ + (n.º de STDEV)( s ) porque los datos son de una muestra. Compruebe la media y la desviación típica en su calculadora o computadora. Halle el valor que está una desviación típica por encima de la media. Calcule ( x ¯ + 1s). Halle el valor que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Calcule ( x ¯ – 2s). Halle los valores que están a 1,5 desviaciones típicas de (por debajo y por encima) la media. Borre las listas L1 y L2. Pulse STAT 4:ClrList. Introduzca el 2nd 1 para L1, la coma (,), y el 2nd 2 para L2. Introduzca los datos en el editor de listas. Pulse STAT 1:EDIT. Si es necesario, borre las listas subiendo con la flecha hasta el nombre. Pulse CLEAR y mueva la flecha hacia abajo. Ponga los valores de los datos (9, 9,5, 10, 10,5, 11, 11,5) en la lista L1 y las frecuencias (1, 2, 4, 4, 6, 3) en la lista L2. Utilice las teclas de flecha para moverse. Pulse STAT y la flecha hacia CALC. Pulse 1:1-VarStats e introduzca L1 (2nd 1), L2 (2nd 2). No olvide la coma. Pulse ENTER. x ¯ = 10,525 Utilice Sx porque se trata de datos de muestra (no de una población): Sx=0,715891 ( x ¯ + 1s) = 10,53 + (1)(0,72) = 11,25 ( x ¯ – 2 s ) = 10,53 - (2)(0,72) = 9,09 ( x ¯ – 1,5 s ) = 10,53 - (1,5)(0,72) = 9,45 ( x ¯ + 1,5 s ) = 10,53 + (1,5)(0,72) = 11,61 Ejercicio En un equipo de béisbol, las edades de cada uno de los jugadores son las siguientes: 21; 21; 22; 23; 24; 24; 25; 25; 28; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 35; 36; 36; 36; 36; 38; 38; 38; 40 Utilice su calculadora o computadora para hallar la media y la desviación típica. A continuación, halle el valor que está dos desviaciones típicas por encima de la media. Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado. La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos. Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra , se divide entre el tamaño de la muestra menos uno ( n – 1). ¿Por qué no dividir entre n ? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre ( n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población. NOTA Debe concentrarse en lo que la desviación típica nos dice sobre los datos. La desviación típica es un número que mide la dispersión de los datos con respecto a la media. Efectúe la aritmética con una calculadora o una computadora. La desviación típica, s o σ , es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes. La desviación típica, cuando se presenta por primera vez, puede parecer poco clara. Al graficar los datos, puede tener una mejor \"percepción\" de las desviaciones y la desviación típica. Encontrará que en las distribuciones simétricas la desviación típica puede ser muy útil, pero en las distribuciones sesgadas, es posible que la desviación típica no sea de mucha ayuda. La razón es que los dos lados de una distribución sesgada tienen diferentes márgenes. En una distribución sesgada, es mejor fijarse en el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil, el valor más pequeño y el valor más grande. Como los números pueden ser confusos, siempre hay que hacer un gráfico de los datos . Visualice sus datos en un histograma o un diagrama de caja y bigotes. Utilice los siguientes datos (calificaciones del primer examen) de la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean: 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Cree un gráfico que contenga los datos, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas con tres decimales. Calcule lo siguiente con un decimal utilizando una calculadora TI-83+ o TI-84: La media muestral La desviación típica de la muestra La mediana El primer cuartil El tercer cuartil IQR Construya un diagrama de caja y bigotes y un histograma en el mismo conjunto de ejes. Comente sobre el diagrama de caja y bigotes, el histograma y el gráfico. Vea la La media muestral = 73,5 La desviación típica de la muestra = 17,9 La mediana = 73 El primer cuartil = 61 El tercer cuartil = 90 IQR = 90 – 61 = 29 El eje x va de 32,5 a 100,5; el eje y va de –2,4 a 15 en el histograma. El número de intervalos es cinco, por lo que la anchura de un intervalo es (100,5 – 32,5) dividida entre cinco, es igual a 13,6. Los puntos finales de los intervalos son los siguientes: el punto de partida es 32,5, 32,5 + 13,6 = 46,1, 46,1 + 13,6 = 59,7, 59,7 + 13,6 = 73,3, 73,3 + 13,6 = 86,9, 86,9 + 13,6 = 100,5 = el valor final; ningún valor de los datos cae en un límite de intervalo. Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 33 1 0,032 0,032 42 1 0,032 0,064 49 2 0,065 0,129 53 1 0,032 0,161 55 2 0,065 0,226 61 1 0,032 0,258 63 1 0,032 0,29 67 1 0,032 0,322 68 2 0,065 0,387 69 2 0,065 0,452 72 1 0,032 0,484 73 1 0,032 0,516 74 1 0,032 0,548 78 1 0,032 0,580 80 1 0,032 0,612 83 1 0,032 0,644 88 3 0,097 0,741 90 1 0,032 0,773 92 1 0,032 0,805 94 4 0,129 0,934 96 1 0,032 0,966 100 1 0,032 0,998 (¿Por qué este valor no es 1?) El largo bigote izquierdo del diagrama de caja y bigotes se refleja en la parte izquierda del histograma. La dispersión de las calificaciones del examen en el 50 % inferior es mayor (73 - 33 = 40) que la dispersión en el 50 % superior (100 - 73 = 27). El histograma, el diagrama de caja y bigotes y el gráfico lo reflejan. Hay un número considerable de notas A y B (80, 90 y 100). El histograma lo muestra claramente. El diagrama de caja y bigotes nos muestra que el 50 % de las calificaciones del examen ( IQR = 29) son D, C y B. El diagrama de caja también nos muestra que el 25 % inferior de las puntuaciones del examen son D y F. Ejercicio Los siguientes datos muestran los diferentes tipos de alimentos para mascotas que tienen las tiendas de la zona. 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 11; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 12; Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra con un decimal utilizando una calculadora TI-83+ o TI-84. Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula Tabla de media de la frecuencia = ∑ e m ∑ e donde e = frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo. Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media. Calcule la desviación típica de los datos en la . Clase Frecuencia, f Punto medio, m m 2 x ¯ 2 fm 2 Desviación típica 0–2 1 1 1 7,58 1 3,5 3–5 6 4 16 7,58 96 3,5 6–8 10 7 49 7,58 490 3,5 9–11 7 10 100 7,58 700 3,5 12–14 0 13 169 7,58 0 3,5 15–17 2 16 256 7,58 512 3,5 Para este conjunto de datos, tenemos la media, x ¯ = 7,58 y la desviación típica, s x = 3,5. Esto significa que se espera que un valor de datos seleccionado al azar se aleje 3,5 unidades de la media. Si observamos la primera clase, vemos que el punto medio de la clase es igual a uno. Esto supone casi dos desviaciones típicas completas de la media, ya que 7,58 - 3,5 - 3,5 = 0,58. La fórmula para calcular la desviación típica no es complicada, s x = e ( m – x ¯ ) 2 n – 1 donde s x = desviación típica de la muestra, x ¯ = media muestral, los cálculos son tediosos. Por lo general, lo mejor es utilizar la tecnología para realizar los cálculos. Ejercicio Calcule la desviación típica de los datos del ejemplo anterior Clase Frecuencia, f 0–2 1 3–5 6 6–8 10 9–11 7 12–14 0 15–17 2 Primero, pulse la tecla STAT y seleccione 1:Edit Introduzca los valores del punto medio en L1 y las frecuencias en L2 Seleccione STAT , CALC , y 1: 1-Var Stats Seleccione 2 nd luego 1 luego, 2 nd y por último, 2 Enter Verá que se muestra tanto la desviación típica de la población, σ x , como la desviación típica de la muestra, s x . Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa. Calcule cuántas desviaciones típicas se alejan de su media para cada valor de los datos. Utilice la fórmula: valor = media + (n.º de STDEV)(desviación típica); resuelva para n.º de STDEVs. n.º o e S T D E V s = valor - media desviación típica Compare los resultados de este cálculo. N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z ”; podemos utilizar el símbolo z . En símbolos, las fórmulas se convierten en: Muestra x = x ¯ + zs z = x – x ¯ s Población x = μ + zσ z = x – μ σ Dos estudiantes, John y Ali, de diferentes escuelas secundarias, querían averiguar quién tenía el mejor GPA en comparación con su escuela. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con su escuela? Estudiante GPA Media de las calificaciones escolares (Grade Point Average, GPA) Desviación típica de la escuela John 2,85 3,0 0,7 Ali 77 80 10 Para cada estudiante, determine cuántas desviaciones típicas (n.º de STDEV) se aleja su GPA del promedio, para su escuela. Preste mucha atención a los signos al comparar e interpretar la respuesta. z = N.º de STDEV = valor – media desviación típica = x – μ σ Para John, z = n.º o e S T D E V s = 2,85 – 3,0 0,7 = – 0,21 Para Ali, z = n.º o e S T D E V s = 77 – 80 10 = – 0,3 John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela porque su GPA está 0,21 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela mientras que el GPA de Ali está 0,3 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela. La puntuación z de John, de –0,21, es mayor que la puntuación z de Ali, de –0,3. Para el GPA, los valores más altos son mejores, por lo que concluimos que John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela. Ejercicio Dos nadadoras, Angie y Beth, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el tiempo más rápido en los 50 metros libres en comparación con su equipo. ¿Qué nadadora tuvo el mejor tiempo en comparación con su equipo? Nadadora Tiempo (segundos) Tiempo medio del equipo Desviación típica del equipo Angie 26,2 27,2 0,8 Beth 27,3 30,1 1,4 Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos. Para CUALQUIER conjunto de datos, no importa cuál sea la distribución de los datos: Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla de Chebyshev. Para los datos que tienen una distribución en FORMA DE CAMPANA y SIMÉTRICA: Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla empírica. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores. Referencias Datos de Microsoft Bookshelf. King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos. s = ∑ ​ ( x – x ¯ ) 2 n – 1 o s = ∑ ​ e ( x – x ¯ ) 2 n – 1 es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ , y la fórmula σ = ∑ ​ ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ ​ e ( x – μ ) 2 N . Revisión de la fórmula s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 donde s x = desviación típica de la muestra x ¯ = media muestral Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios : Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150 Utilice una calculadora gráfica o una computadora para hallar la desviación típica y redondee a la décima más cercana. s = 34,5 Calcule el valor que está una desviación típica por debajo de la media. Dos jugadores de béisbol, Fredo y Karl, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo. ¿Cuál jugador de béisbol tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo? Jugador de béisbol Promedio de bateo Promedio de bateo del equipo Desviación típica del equipo Fredo 0,158 0,166 0,012 Karl 0,177 0,189 0,015 Para Fredo: z = 0,158 – 0,166 0,012 = -0,67 Para Karl: z = 0,177 – 0,189 0,015 = -0,8 La puntuación z de Fredo, de –0,67, es mayor que la puntuación z de Karl, de –0,8. Para el promedio de bateo, los valores más altos son mejores, por lo que Fredo tiene un mejor promedio de bateo en comparación con su equipo. Utilice la para hallar el valor que tiene tres desviaciones típicas: por encima de la media por debajo de la media Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 . Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 193157,45 30 – 79,5 2 = 10,88 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 380945,3 101 – 60,94 2 = 7,62 s x = ∑ e m 2 n – x ¯ 2 = 440051,5 86 – 70,66 2 = 11,14 Tarea para la casa Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005. μ = 1.000 FTES mediana = 1.014 FTES σ = 474 FTES primer cuartil = 528,5 FTES tercer cuartil = 1.447,5 FTES n = 29 años Se toma una muestra de 11 años. ¿Cuántos se espera que tengan un FTES de 1.014 o más? Explique cómo ha determinado su respuesta. El valor de la mediana es el valor medio en la lista ordenada de valores de datos. El valor mediano de un conjunto de 11 será el 6.º número en orden. Seis años tendrán totales iguales o inferiores a la mediana. El 75 % de todos los años tiene un FTES: en o por debajo de: _____ en o por encima de: _____ La desviación típica de la población = _____ 474 FTES ¿Qué porcentaje de FTES fue de 528,5 a 1.447,5? ¿Cómo lo sabe? ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? ¿Qué representa el IQR ? 919 ¿A cuántas desviaciones típicas de la media está la mediana? Información adicional: La población FTES para 2005-2006 hasta 2010-2011 se dio en un informe actualizado. Los datos se presentan aquí. Año 2005-2006 2006–07 2007–08 2008–09 2009–10 2010–11 Total de FTES 1.585 1.690 1.735 1.935 2.021 1.890 Calcule la media, la mediana, la desviación típica, el primer cuartil, el tercer cuartil y el IQR . Redondee a un decimal. media = 1.809,3 mediana = 1.812,5 desviación típica = 151,2 primer cuartil = 1.690 tercer cuartil = 1.935 IQR = 245 ¿Qué información adicional se necesita para construir un diagrama de cajas para los FTES de 2005-2006 a 2010-2011 y para los FTES de 1976-1977 a 2004-2005? Compare el IQR de los FTES de 1976-1977 a 2004-2005 con el IQR de los FTES de 2005-2006 a 2010-2011. ¿Por qué cree que los IQR son tan diferentes? Pista: Piense en el número de años que abarca cada periodo y en lo que ocurrió con la educación superior durante esos periodos. Tres estudiantes solicitaban el ingreso en la misma escuela de posgrado. Venían de escuelas con sistemas de calificación diferentes. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con otros estudiantes de su escuela? Explique cómo ha determinado su respuesta. Estudiante GPA GPA de la escuela Desviación típica de la escuela Thuy 2,7 3,2 0,8 Vichet 87 75 20 Kamala 8,6 8 0,4 Una escuela de música presupuestó la compra de tres instrumentos musicales. Planean comprar un piano que cuesta 3.000 dólares, una guitarra que cuesta 550 dólares y una batería que cuesta 600 dólares. El costo medio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. El costo medio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. El costo medio de la batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? ¿Qué costo es el más elevado en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? Justifique su respuesta. En el caso de los pianos, el costo está 0,4 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. En el caso de las guitarras, el costo está 0,25 desviaciones típicas POR ENCIMA de la media. En el caso de la batería, el costo está 1,0 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. De los tres, la batería es el instrumento que menos cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. La guitarra es la que más cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. Una clase de escuela primaria corrió una milla con una media de 11 minutos y una desviación típica de tres minutos. Rachel, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. Una clase de escuela secundaria júnior corrió una milla con una media de nueve minutos y una desviación típica de dos minutos. Kenji, un estudiante de la clase, corrió 1 milla en 8,5 minutos. Una clase de escuela secundaria corrió una milla con una media de siete minutos y una desviación típica de cuatro minutos. Nedda, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. ¿Por qué se considera a Kenji mejor corredor que Nedda, a pesar de que esta corría más rápido que él? ¿Quién es el corredor más rápido con respecto a su clase? Explique por qué. Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en la tabla 14 . Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? ¿Cuál es la desviación típica de las tasas de obesidad indicadas? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cuán “inusual” es la tasa de obesidad de Estados Unidos en comparación con la tasa promedio? Explique. x ¯ = 23,32 Utilizando la TI 83/84, obtenemos una desviación típica de: s x = 12,95. La tasa de obesidad de Estados Unidos es un 10,58 % superior a la tasa promedio de obesidad. Dado que la desviación típica es 12,95, vemos que 23,32 + 12,95 = 36,27 es el porcentaje de obesidad que está a una desviación típica de la media. La tasa de obesidad de Estados Unidos es ligeramente inferior a una desviación típica de la media. Por lo tanto, podemos suponer que Estados Unidos, aunque tenga un 34 % de obesos, no tiene un porcentaje inusualmente alto de personas obesas. La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuáles intervalos podrían considerarse inusuales? Explique. Resúmalo todo Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Calcule la media muestral x ¯ . Calcule la desviación típica aproximada de la muestra, s . 1,48 1,12 Se preguntó a cuarenta estudiantes seleccionados al azar el número de pares de zapatillas que tenían. Supongamos que X = el número de pares de zapatillas que tienen. Los resultados son los siguientes: X Frecuencia 1 2 2 5 3 8 4 12 5 12 6 0 7 1 Calcule la media muestral x ¯ Calcule la desviación típica de la muestra, s Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Calcule el primer cuartil. Calcule la mediana. Calcule el tercer cuartil. Construya un diagrama de caja de los datos. ¿Qué porcentaje de estudiantes tenía al menos cinco pares? Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 90 . Construya un gráfico de líneas de los datos Construya un diagrama de tallo de los datos A continuación se muestran los pesos publicados (en libras) de todos los miembros del equipo de los San Francisco 49ers de un año anterior. 177; 205; 210; 210; 232; 205; 185; 185; 178; 210; 206; 212; 184; 174; 185; 242; 188; 212; 215; 247; 241; 223; 220; 260; 245; 259; 278; 270; 280; 295; 275; 285; 290; 272; 273; 280; 285; 286; 200; 215; 185; 230; 250; 241; 190; 260; 250; 302; 265; 290; 276; 228; 265 Organice los datos de menor a mayor valor. Calcule la mediana. Calcule el primer cuartil. Calcule el tercer cuartil. Construya un diagrama de caja de los datos. El 50 % de los pesos son de _______ a _______. Si nuestra población fueran todos los jugadores de fútbol americano profesionales, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Si nuestra población incluyera a todos los miembros del equipo que alguna vez jugaron con los San Francisco 49ers, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Supongamos que la población fuera los 49ers de San Francisco. Calcule: la media de la población, μ . la desviación típica de la población, σ . el peso que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Cuando Steve Young, mariscal de campo, jugaba fútbol americano pesaba 205 libras. ¿Cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media estaba? Ese mismo año, el peso medio de los Dallas Cowboys era de 240,08 libras con una desviación típica de 44,38 libras. Emmit Smith pesó 209 libras. Con respecto a su equipo, ¿quién era más liviano, Smith o Young? ¿Cómo determinó su respuesta? 174; 177; 178; 184; 185; 185; 185; 185; 188; 190; 200; 205; 205; 206; 210; 210; 210; 212; 212; 215; 215; 220; 223; 228; 230; 232; 241; 241; 242; 245; 247; 250; 250; 259; 260; 260; 265; 265; 270; 272; 273; 275; 276; 278; 280; 280; 285; 285; 286; 290; 290; 295; 302 241 205,5 272,5 205,5, 272,5 muestra población 236,34 37,50 161,34 0,84 de desviación típica por debajo de la media Young Cien maestros asistieron a un seminario sobre resolución de problemas matemáticos. Se midieron las actitudes de una muestra representativa de 12 de los maestros antes y después del seminario. Un número positivo para el cambio de actitud indica que la actitud del maestro hacia las Matemáticas se volvió más positiva. Las 12 calificaciones de los cambios son las siguientes: 3 8 -1 2 0 5 -3 1 -1 6 5 -2 ¿Cuál es la puntuación media del cambio? ¿Cuál es la desviación típica de esta población? ¿Cuál es la calificación media de los cambios? Calcule la calificación de cambio que está 2,2 desviaciones típicas por debajo de la media. Consulte la y determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explique su solución a cada parte con oraciones completas. Las medianas de los tres gráficos son iguales. No podemos determinar si alguna de las medias de los tres gráficos es diferente. La desviación típica del gráfico b es mayor que la desviación típica del gráfico a. No podemos determinar si alguno de los terceros cuartiles de los tres gráficos es diferente. Verdadero Verdadero Verdadero Falso En un número reciente de la revista IEEE Spectrum , se anunciaron 84 conferencias de ingeniería. Cuatro conferencias duraron dos días. Treinta y seis duraron tres días. Dieciocho dudaron cuatro días. Diecinueve dudaron cinco días. Cuatro duraron seis días. Una duró siete días. Una duró ocho días. Una duró nueve días. Supongamos que X = la duración (en días) de una conferencia de ingeniería. Organice los datos en un gráfico. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Calcule el percentil 65 . Calcule el percentil 10 . Construya un diagrama de caja de los datos. El 50 % del centro de las conferencias duran entre _______ y _______. Calcule la media muestral de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la desviación típica de la muestra de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la moda. Si estuviera planificando una conferencia de ingeniería, ¿qué elegiría como su duración: la media, la mediana o la moda? Explique por qué tomó esa decisión. Dé dos razones por las que piense que la duración de las conferencias de ingeniería parece ser de tres a cinco días. Una encuesta sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6414; 1550; 2109; 9350; 21828; 4300; 5944; 5722; 2825; 2044; 5481; 5200; 5853; 2750; 10012; 6357; 27000; 9414; 7681; 3200; 17500; 9200; 7380; 18314; 6557; 13713; 17768; 7493; 2771; 2861; 1263; 7285; 28165; 5080; 11622 Organice los datos en un gráfico con cinco intervalos de igual ancho. Identifique las dos columnas “inscripción” y “frecuencia”. Construya un histograma de los datos. Si tuviera que construir un nuevo colegio comunitario, ¿qué información sería más valiosa: la moda o la media? Calcule la media muestral. Calcule la desviación típica de la muestra. Una escuela con una matrícula de 8.000 estudiantes, ¿a cuántas desviaciones típicas de la media se refiere? Inscripción Frecuencia 1.000-5.000 10 5.000-10.000 16 10.000-15.000 3 150.00-20.000 3 20.000-25.000 1 25.000-30.000 2 Compruebe la solución del estudiante. moda 8628,74 6943,88 -0,09 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio. x Frecuencia 0 3 1 12 2 33 3 28 4 11 5 9 6 4 El percentil 80 es _____ 5 80 3 4 El número que está 1,5 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media es aproximadamente _____ 0,7 4,8 -2,8 No se puede determinar a Supongamos que una editorial realiza una encuesta en la que pregunta a consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados se resumen en la . N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice una prueba numérica adecuada que incluya el IQR para identificar valores atípicos, si los hay, y exponga claramente su conclusión. Si un valor de los datos se identifica como un valor atípico, ¿qué hay que hacer con él? ¿Hay algún valor de los datos que se aleje más de dos desviaciones típicas de la media? En algunas situaciones, los estadísticos pueden utilizar este criterio para identificar valores de datos que son inusuales, en comparación con los demás valores de datos (observe que este criterio es más apropiado para utilizarlo con datos en forma de montículo y simétricos, que con datos distorsionados). ¿Las partes a y c de este problema dan la misma respuesta? Examine la forma de los datos. ¿Qué parte, a o c, de esta pregunta da un resultado más apropiado para estos datos? Según la forma de los datos, ¿cuál es la medida de centro más adecuada para estos datos: media, mediana o moda? Desviación típica número igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media, o el cuadrado de la desviación típica; para un conjunto de datos, una desviación puede representarse como x – x ¯ donde x es un valor de los datos y x ¯ es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.", "section": "Medidas de la dispersión de los datos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Estadística descriptiva Estadística descriptiva Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante construirá un histograma y un diagrama de caja. El estudiante calculará estadísticas univariantes. El estudiante examinará los gráficos para interpretar lo que implican los datos. Recopilación de datos Registre el número de pares de zapatos que tiene. Encueste al azar a 30 compañeros de clase sobre el número de pares de zapatos que poseen. Registre sus valores. Resultados de la encuesta _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz y escale los ejes. Calcule los siguientes valores x ¯ = _____ s = _____ ¿Los datos son discretos o continuos? ¿Cómo lo sabe? Describa con frases completas la forma del histograma. ¿Hay posibles valores atípicos? Enumere los valores que podrían ser valores atípicos. Utilice una fórmula para comprobar los valores finales y determinar si son posibles valores atípicos. Analice los datos Determine los siguientes valores Mín. = _____ M = _____ Máx. = _____ Q 1 = _____ Q 3 = _____ IQR = _____ Construir un diagrama de caja de los datos ¿Qué implica la forma del diagrama de caja sobre la concentración de datos? Utilice oraciones completas. Con el diagrama de caja, ¿cómo puede determinar si hay posibles valores atípicos? ¿Cómo le ayuda la desviación típica a determinar la concentración de los datos y si existen o no posibles valores atípicos? ¿Qué representa el IQR en este problema? Muestre su trabajo para hallar el valor que es 1,5 desviaciones típicas por encima de la media. por debajo de la media.", "section": "Estadística descriptiva", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Las lluvias de meteoros son poco comunes, pero se puede calcular la probabilidad de que se produzcan (créditos: Navicore/flickr). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Comprender y utilizar la terminología de la probabilidad. Determinar si dos eventos son mutuamente excluyentes y si dos eventos son independientes. Calcular las probabilidades utilizando las reglas de adición y de multiplicación. Construir e interpretar tablas de contingencia. Construir e interpretar diagramas de Venn. Construir e interpretar diagramas de árbol. A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo. Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático. Su instructor hará una encuesta en su clase. Cuente el número de estudiantes que hay hoy en la clase. Levante la mano quien tenga algunas monedas en el bolsillo o en el bolso. Anote el número de manos levantadas. Levante la mano quien haya viajado en autobús en el último mes. Anote el número de manos levantadas. Levante la mano quien haya respondido \"sí\" a AMBAS preguntas. Anote el número de manos levantadas. Utilice los datos de la clase como estimaciones de las siguientes probabilidades. P (monedas) significa la probabilidad de que una persona elegida al azar en su clase tenga monedas en su bolsillo o bolso. P (autobús) significa la probabilidad de que una persona elegida al azar de su clase haya viajado en autobús en el último mes y así sucesivamente. Discuta sus respuestas. Calcule P (monedas). Calcule P (autobús). Calcule P (monedas Y autobús). Calcule la probabilidad de que un estudiante de su clase elegido al azar tenga monedas en su bolsillo o bolso y haya viajado en autobús durante el mes pasado. Calcule P (monedas|autobús). Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar tenga monedas dado que ha viajado en autobús durante el mes pasado. Cuente todos los estudiantes que han viajado en autobús. Del grupo de estudiantes que han viajado en autobús, cuente a los que tienen monedas. La probabilidad es igual a la de los que tienen monedas y han viajado en autobús dividida por la de los que han viajado en autobús.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Terminología La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito . Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento. El producto de un experimento se llama resultado . El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = { H , T } donde H = cara y T = cruz son los resultados. Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P ( A ). La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P ( A ) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P ( A ) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P ( A ) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara). Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara ( H ) que de que salga cruz ( T ). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta. Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es { HH , TH , HT , TT } donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición { HT , TH }, por lo que P ( A ) = 2 4 = 0,5. Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P ( E ) = 2 6 . Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general, 2 6 de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente 2 6 . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de 2 6 a medida que el número de repeticiones aumenta. Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números , que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado). Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados . Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables. Evento \"O\": Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B . Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista. Evento \"Y\": Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A Y B = {4, 5}. El complemento del evento A se denomina A′ (léase “ A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A . Observe que P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P ( A ) = 4 6 , P ( A′ ) = 2 6 y P ( A ) + P ( A′ ) = 4 6 + 2 6 = 1 La probabilidad condicional de A dada B se escribe P ( A | B ). P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral . Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B . La fórmula para calcular P ( A | B ) es P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) donde P ( B ) es mayor que cero. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P ( A | B ) contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S ). Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados. P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = ( el número de resultados que son 2 o 3 o par en S ) 6 ( el número de resultados que son pares en S ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 Entender la terminología y los símbolos Es importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay. El espacio muestral S son los números enteros a partir de uno y menores de 20. S = _____________________________ Supongamos que el evento A = los números pares y el evento B = los números mayores de 13. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A Y B = ____________________, A O B = ________________ P ( A Y B ) = _________, P ( A O B ) = _____________ A′ = _____________, P ( A′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ) = 9 19 , P ( B ) = 6 19 A Y B = {14,16,18}, A O B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A Y B ) = 3 19 , P ( A O B ) = 12 19 A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P ( A′ ) = 10 19 P ( A ) + P ( A′ ) = 1 ( 9 19 + 10 19 = 1) P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = 3 6 , P ( B | A ) = P ( A Y B ) P ( A ) = 3 9 , No Ejercicio El espacio muestral S son todos los pares ordenados de dos números enteros, el primero de uno a tres y el segundo de uno a cuatro (ejemplo: (1, 4)). S = _____________________________ Supongamos que el evento A = la suma es par y el evento B = el primer número es primo. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A Y B = ____________________, A O B = ________________ P ( A Y B ) = _________, P ( A O B ) = _____________ B′ = _____________, P ( B′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? Se lanza un dado imparcial de seis lados. Describa el espacio muestral S , identifique cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcule su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen). Evento T = el resultado es dos. Evento A = el resultado es un número par. Evento B = el resultado es inferior a cuatro. El complemento de A . A DADO B B DADO A A Y B A O B A O B′ Evento N = el resultado es un número primo. Evento I = el resultado es siete. T = {2}, P ( T ) = 1 6 A = {2, 4, 6}, P ( A ) = 1 2 B = {1, 2, 3}, P ( B ) = 1 2 A′ = {1, 3, 5}, P ( A′ ) = 1 2 A | B = {2}, P ( A | B ) = 1 3 B | A = {2}, P ( B | A ) = 1 3 A Y B = {2}, P ( A Y B ) = 1 6 A O B = {1, 2, 3, 4, 6}, P ( A O B ) = 5 6 A O B′ = {2, 4, 5, 6}, P ( A O B′ ) = 2 3 N = {2, 3, 5}, P ( N ) = 1 2 Un dado de seis lados no tiene siete puntos. P (7) = 0. La describe la distribución de una muestra aleatoria S de 100 personas, organizada por sexo y por si son diestras o zurdas. Diestro Zurdo Hombres 43 9 Mujeres 44 4 Denotamos los eventos M = el sujeto es hombre, F = el sujeto es mujer, R = el sujeto es diestro, L = el sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades: P ( M ) P ( F ) P ( R ) P ( L ) P ( M Y R ) P ( F Y L ) P ( M O F ) P ( M O R ) P ( F O L ) P ( M' ) P ( R | M ) P ( F | L ) P ( L | F ) P ( M ) = 0,52 P ( F ) = 0,48 P ( R ) = 0,87 P ( L ) = 0,13 P ( M Y R ) = 0,43 P ( F Y L ) = 0,04 P ( M O F ) = 1 P ( M O R ) = 0,96 P ( F O L ) = 0,57 P ( M' ) = 0,48 P ( R | M ) = 0,8269 (redondeado a cuatro decimales) P ( F | L ) = 0,3077 (redondeado a cuatro decimales) P ( L | F ) = 0,0833 Referencias “Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive. Revisión de la fórmula A y B son eventos P ( S ) = 1 donde S es el espacio muestral 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) En una determinada clase de un instituto universitario hay estudiantes hombres y mujeres. Algunos estudiantes tienen el cabello largo y otros tienen el cabello corto. Escriba los símbolos de las probabilidades de los eventos de las partes de la a a la j (tenga en cuenta que aquí no puede hallar respuestas numéricas. Todavía no se le ha dado suficiente información para hallar ningún valor de probabilidad; concéntrese en entender los símbolos). Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que M es el evento en el que un estudiante es hombre. Supongamos que S es el evento en el que un estudiante tiene el cabello corto. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante no tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre o tenga el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea una mujer y tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre, dado que el estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo, dado que el estudiante es hombre. De todas las estudiantes mujeres, la probabilidad de que una estudiante tenga el cabello corto. De todos los estudiantes con cabello largo, la probabilidad de que un estudiante sea mujer. La probabilidad de que un estudiante sea mujer o tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea un hombre con el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea mujer. P ( L′ ) = P ( S ) P ( M O S ) P ( F Y L ) P ( M | L ) P ( L | M ) P ( S | F ) P ( F | L ) P ( F O L ) P ( M Y S ) P ( F ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti. Calcule P ( H ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 15 42 = 5 14 = 0,36 Calcule P ( F ). Calcule P ( C ). P ( C ) = 5 42 = 0,12 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla. Calcule P ( B ). Calcule P ( G ). P ( G ) = 20 150 = 2 15 = 0,13 Calcule P ( P ). Calcule P ( R ). P ( R ) = 22 150 = 11 75 = 0,15 Calcule P ( Y ). Calcule P ( O ). P ( O ) = 150 – 22 – 38 – 20 – 28 – 26 150 = 16 150 = 8 75 = 0,11 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur. Calcule P ( A ). Calcule P ( E ). P ( E ) = 47 194 = 0,24 Calcule P ( F ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 23 194 = 0,12 Calcule P ( O ). Calcule P ( S ). P ( S ) = 12 194 = 6 97 = 0,06 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta roja en un mazo estándar de 52 cartas? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol en un mazo estándar de 52 cartas? 13 52 = 1 4 = 0,25 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? 3 6 = 1 2 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área. Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo. Si cae en Y , se lleva el premio mayor. Calcule P ( Y ). Si cae en rojo, no recibe premio. ¿Qué es P ( R )? P ( R ) = 4 8 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador no sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un jardinero o un gran bateador. P ( O O H ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo y no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un gran bateador, dado que el jugador es un jugador de campo. P ( H | I ) Escriba los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jugador de campo, dado que el jugador es un gran bateador. Escriba los símbolos para la probabilidad de que, de todos los jardineros, un jugador no sea un gran bateador. P ( N | O ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que, de todos los grandes bateadores, un jugador sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo o no sea un gran bateador. P ( I O N ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jardinero y sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo. P ( I ) ¿Cómo se denomina el conjunto de todos los resultados posibles? ¿Qué es la probabilidad condicional? La probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro. En una estantería caben 12 libros. Ocho son de ficción y el resto no lo son. Cada uno es un libro diferente con un título único. Los libros de ficción están numerados del uno al ocho. Los libros que no son de ficción están numerados del uno al cuatro. Seleccione al azar un libro. Supongamos que F = evento en el que el libro es de ficción Supongamos que N = evento en el que el libro no es de ficción ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la suma de las probabilidades de un evento y su complemento? 1 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres. ¿Qué significa P ( E | M ) en palabras? ¿Qué significa P ( E O M ) en palabras? la probabilidad de caer en un número par o en un múltiplo de tres Tarea para la casa El gráfico de la muestra el tamaño de la muestra y los porcentajes de personas de diferentes grupos de edad y sexo que fueron consultadas sobre su aprobación de las acciones del alcalde Ford en el cargo. El número total de la muestra de todos los grupos de edad es de 1.045. Defina tres eventos en el gráfico. Describa con palabras lo que significa la entrada 40. Describa con palabras el complemento de la entrada de la pregunta 2. Describa con palabras lo que significa la entrada 30. De los hombres y las mujeres, ¿qué porcentaje son hombres? De las mujeres, ¿qué porcentaje desaprueba al alcalde Ford? De todos los grupos de edad, ¿qué porcentaje aprueba al alcalde Ford? Calcule P (Aprobar|Hombre). De los grupos de edad, ¿qué porcentaje tiene más de 44 años? Calcule P (Aprobar|Edad < 35). Explique qué es incorrecto en las siguientes afirmaciones. Utilice oraciones completas. Si hay un 60 % de probabilidad de lluvia el sábado y un 70 % de probabilidad de lluvia el domingo, entonces hay un 130 % de probabilidad de lluvia durante el fin de semana. La probabilidad de que un jugador de béisbol batee un jonrón es mayor que la probabilidad de que haga un batazo imparable. No se puede calcular la probabilidad conjunta conociendo la probabilidad de que se produzcan ambos eventos, que no está en la información dada; las probabilidades deben multiplicarse, no sumarse; y la probabilidad nunca es superior al 100 % Un jonrón, por definición, es un batazo imparable exitoso, así que debe tener, al menos, tantos batazos imparables exitosos como jonrones. Probabilidad condicional la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido Igual de probable cada resultado de un experimento tiene la misma probabilidad Evento un subconjunto del conjunto de todos los resultados de un experimento; el conjunto de todos los resultados de un experimento se denomina espacio muestral y se suele denotar por una S . Un evento es un subconjunto arbitrario en S . Puede contener un resultado, dos resultados, ningún resultado (subconjunto vacío), todo el espacio muestral y similares. Las anotaciones estándar para los eventos son letras mayúsculas como A , B , C , etc. Experimento una actividad planificada y realizada en condiciones controladas Resultado un producto particular de un experimento Probabilidad un número entre cero y uno, inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico; el fundamento de la estadística viene dado por los siguientes 3 axiomas (por A. N. Kolmogorov, década de los años 30 del siglo XX): Supongamos que S es el espacio muestral y A y B son dos eventos en S . Entonces 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P ( A O B ) = P ( A ) + P (B). P ( S ) = 1 Espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento El evento Y Un resultado está en el evento A Y B si el resultado está en A Y B al mismo tiempo. Complemento del evento el complemento del evento A consiste en todos los resultados que NO están en A . La probabilidad condicional de A DADO B P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. El evento O Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B .", "section": "Terminología", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Eventos mutuamente excluyentes e independientes Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo. Eventos independientes Dos eventos son independientes si lo siguiente es cierto: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes . El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo . Con reemplazo : si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda. Sin reemplazo : cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes. Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario . Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. a. Muestreo con reemplazo: Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son { Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas. b. Muestreo sin reemplazo: Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son { K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. Se sacan tres cartas al azar. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y Q de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y J de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP , 1 D , 1 T , QD . Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC , 7 D , 6 D , KC . ¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo? a. Sin reemplazo; b. Con reemplazo Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que se muestrean cuatro cartas sin reemplazo. ¿Cuál de los siguientes resultados es posible? Responda la misma pregunta para el muestreo con reemplazo. QP , 1 D , 1 T , QD KC , 7 D , 6 D , KC QP , 7 D , 6 D , KP Eventos mutuamente excluyentes A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P ( A Y B ) = 0. Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A Y B = {4, 5}. P ( A Y B ) = 2 10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P ( A Y C ) = 0. Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes. Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario . Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos. Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento). El espacio muestral es { HH , HT , TH , TT } donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH , HT , TH y TT . Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara. Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como { HH , HT , TH }. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno. Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como { TT }. B es el complemento de A , por lo que B = A′ . Además, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Las probabilidades para A y para B son P ( A ) = 3 4 y P ( B ) = 1 4 . Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = { HH }. Como B = { TT }, P ( B Y C ) = 0. B y C son mutuamente excluyentes. ( B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo). Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = { TT }. P ( D ) = 1 4 Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = { HT , HH }. P ( E ) = 2 4 Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = { HT , TH , TT }. P ( F ) = 3 4 Ejercicio Saque dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas con reemplazo. Calcule la probabilidad de obtener una carta negra como mínimo. Lance dos monedas imparciales Calcule las probabilidades de los eventos. Supongamos que F = el evento de obtener como máximo una cruz (cero o una cruz). Supongamos que G = el evento de obtener dos caras iguales. Supongamos que H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o una cruz en el segundo lanzamiento. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? Supongamos que J = el evento de obtener siempre cruces. ¿ J y H son mutuamente excluyentes? Observe el espacio muestral en el . Cero (0) o una (1) cruz se producen cuando aparecen los resultados HH , TH , HT . P ( F ) = 3 4 Dos lados son iguales si aparece HH o TT . P ( G ) = 2 4 Una cara en la primera lanzada seguida de una cara o cruz en la segunda lanzada ocurre cuando aparece HH o HT . P ( H ) = 2 4 F y G comparten HH por lo que P ( F Y G ) no es igual a cero (0). F y G no son mutuamente excluyentes. Obtener siempre cruces se produce cuando aparecen cruces en ambas monedas ( TT ). Los resultados de H son HH y HT . J y H no tienen nada en común por lo que P ( J Y H ) = 0. J y H son mutuamente excluyentes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: Supongamos que F = el evento de obtener la pelota blanca dos veces. Supongamos que G = el evento de obtener dos pelotas de colores diferentes. Supongamos que H = el evento de obtener blanco en la primera elección. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? ¿ G y H son mutuamente excluyentes? Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}. Calcule el complemento de A , A′ . El complemento de A , A′ , es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Además, P ( A ) = 3 6 y P ( B ) = 3 6 . Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4}. P ( C Y D ) = 0 porque no se puede tener una cara par e impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes. Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}. ¿ C y E son eventos mutuamente excluyentes? (Responda sí o no). ¿Por qué sí o por qué no? No. C = {3, 5} y E = {1, 2, 3, 4}. P ( C Y E ) = 1 6 . Para que sean mutuamente excluyentes, P ( C Y E ) debe ser cero. Calcule P ( C | A ). Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar P ( C | A ), calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A . Ha reducido el espacio muestral del espacio muestral original {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Por tanto, P ( C | A ) = 2 3 . Ejercicio Supongamos que el evento A = aprender español. Supongamos que el evento B = aprender alemán. Entonces A Y B = aprender español y alemán. Supongamos que P ( A ) = 0,4 y P ( B ) = 0,2. P ( A Y B ) = 0,08. ¿Los eventos A y B son independientes? Pista: Debe demostrar UNO de los siguientes aspectos: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) = 0, 08 0,2 = 0 0,4 = P ( A ) Los eventos son independientes porque P ( A | B ) = P ( A ). Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G Y H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que P ( G ) = 0,6, P ( H ) = 0,5, y P ( G Y H ) = 0,3. ¿Son G y H independientes? Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas: P ( G | H ) = P ( G ) P ( H | G ) = P ( H ) P ( G Y H ) = P ( G ) P ( H ) NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Puede elegir cualquiera de los métodos aquí porque tiene la información necesaria. a. Demuestre que P ( G | H ) = P ( G ). P ( G | H ) = P ( G Y H ) P ( H ) = 0 0,3 0 0,5 = 0,6 = P ( G ) b. Demuestre que P ( G Y H ) = P ( G ) P ( H ). P ( G ) P ( H ) = (0,6)(0,5) = 0,3 = P ( G Y H ) Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para practicar, demuestre que P ( H | G ) = P ( H ) para demostrar que G y H son eventos independientes. Ejercicio En una bolsa hay seis canicas rojas y cuatro verdes. Las canicas rojas están marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las canicas verdes están marcadas con los números 1, 2, 3 y 4. R = una canica roja (red) G = una canica verde (green) O = una canica impar (odd) El espacio muestral es S = { R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, G 1, G 2, G 3, G 4}. S tiene diez resultados. ¿Qué es P ( G Y O )? Supongamos que el evento C = tomar una clase de Inglés. Supongamos que el evento D = tomar una clase de oratoria. Supongamos que P ( C ) = 0,75, P ( D ) = 0,3, P ( C | D ) = 0,75 y P ( C AND D ) = 0,225. Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas. ¿ C y D son independientes? ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Qué es P ( D | C )? Sí, porque P ( C | D ) = P ( C ). No, porque P ( C Y D ) no es igual a cero. P ( D | C ) = P ( C Y D ) P ( C ) = 0 0,225 0,75 = 0,3 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( B Y D ) = 0,20. Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D | B ). ¿ B y D son independientes? ¿ B y D son mutuamente excluyentes? En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta. Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even). El espacio muestral S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. S tiene ocho resultados. P ( R ) = 3 8 . P ( B ) = 5 8 . P ( R Y B ) = 0. (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez). P ( E ) = 3 8 . (Hay tres cartas con números pares, R 2, B 2 y B 4). P ( E | B ) = 2 5 . (Hay cinco tarjetas azules: B 1, B 2, B 3, B 4 y B 5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B 2 y B 4). P ( B | E ) = 2 3 . (Hay tres tarjetas con números pares: R 2, B 2 y B 4. De las tarjetas pares, dos son azules; B 2 y B 4). Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque P ( R Y B ) = 0. Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = { B 4, B 5}. P ( G ) = 2 8 . Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = { B 1, B 2, B 3, B 4}. P ( G | H ) = 1 4 . (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B 4). Dado que 2 8 = 1 4 , P ( G ) = P ( G | H ), lo que significa que G y H son independientes. Ejercicio En un estadio de baloncesto, El 70 % de los aficionados apoyan al equipo local. El 25 % de los aficionados están vestidos de color azul. El 20 % de los aficionados están vestidos de color azul y animan al equipo visitante. El 67 % de los aficionados que apoyan al equipo visitante están vestidos de color azul. Supongamos que A es el evento en el que un aficionado apoya al equipo visitante. Supongamos que B es el evento en el que un aficionado esté vestido de color azul. ¿Los eventos de animar al equipo visitante y vestir de color azul son eventos independientes? ¿Son mutuamente excluyentes? En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes? En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades: P ( F ) = 0,60; P ( L ) = 0,50 P ( F Y L ) = 0,45 P ( L | F ) = 0,75 NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P ( F | L ), por lo que no puede utilizar la segunda condición. >Compruebe si P ( F Y L ) = P ( F ) P ( L ). Se nos ha dado que P ( F Y L ) = 0,45, pero P ( F ) P ( L ) = (0,60)(0,50) = 0,30. Los eventos de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P ( F Y L ) no es igual a P ( F ) P ( L ). Compruebe si P ( L | F ) es igual a P ( L ). Nos dan que P ( L | F ) = 0,75, pero P ( L ) = 0,50; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo. Ejercicio Mark está decidiendo qué ruta tomar para ir al trabajo. Sus opciones son la I = Interestatal y la F = Fifth Street P ( I ) = 0,44 y P ( F ) = 0,56 P ( I Y F ) = 0 porque Mark solo tomará una ruta para ir al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de P ( I O F )? Lanza una moneda imparcial (la moneda tiene dos caras, H y T ). Los resultados son ________. Cuente los resultados. Hay ____ resultados. Lanza un dado imparcial de seis caras (el dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en una cara). Los resultados son ________________. Cuente los resultados. Hay ___ resultados. Multiplique los dos números de los resultados. La respuesta es _______. Si se lanza una moneda y se sigue con el lanzamiento de un dado justo de seis caras, la respuesta en la parte c. es el número de resultados (tamaño del espacio muestral). ¿Cuáles son los resultados? (Pista: dos de los resultados son H 1 y T 6). Evento A = cara ( H ) en la moneda seguida de un número par (2, 4, 6) en el dado. A = {_________________}. Calcule P ( A ). Evento B = cara en la moneda seguida de un tres en el dado. B = {________}. Calcule P ( B ). ¿ A y B son mutuamente excluyentes? (Pista: ¿Qué es P ( A Y B )? Si P ( A Y B ) = 0, entonces A y B son mutuamente excluyentes) ¿ A y B son independientes? (Pista: ¿Es P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B )? Si P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ), entonces A y B son independientes. Si no es así, entonces son dependientes). H y T ; 2 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6 2(6) = 12 T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6 A = { H 2, H 4, H 6}; P ( A ) = 3 12 B = { H 3}; P ( B ) = 1 12 Sí, porque P ( A Y B ) = 0 P ( A Y B ) = 0. P ( A ) P ( B ) = ( 3 12 ) ( 1 12 ) . P ( A Y B ) no es igual a P ( A ) P ( B ), por lo que A y B son dependientes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Supongamos que T es el evento de obtener la pelota blanca dos veces, F el evento de sacar la pelota blanca primero y S el evento de sacar la pelota blanca en la segunda extracción. Calcule P ( T ). Calcule P ( T | F ). ¿ T y F son independientes?. ¿ F y S son mutuamente excluyentes? ¿ F y S son independientes? Referencias Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes. Revisión de la fórmula Si A y B son independientes, P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ), P ( A | B ) = P ( A ) and P ( B | A ) = P ( B ). Si A y B son mutuamente excluyentes, P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) y P ( A Y B ) = 0. E y F son eventos mutuamente excluyentes. P ( E ) = 0,4; P ( F ) = 0,5. Calcule P ( E ∣ F ). J y K son eventos independientes. P ( J | K ) = 0,3. Calcule P ( J ). P ( J ) = 0,3 U y V son eventos mutuamente excluyentes. P ( U ) = 0,26; P ( V ) = 0,37. Calcule: P ( U Y V ) = P ( U | V ) = P ( U O V ) = Q y R son eventos independientes. P ( Q ) = 0,4 y P ( Q Y R ) = 0,1. Calcule P ( R ). P ( Q Y R ) = P ( Q ) P ( R ) 0,1 = (0,4) P ( R ) P ( R ) = 0,25 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. El gráfico mostrado se basa en más de 170.000 entrevistas realizadas por Gallup que se llevaron a cabo entre enero y diciembre de 2012. La muestra está formada por estadounidenses de 18 años o más con empleo. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 82,7. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 81,0. 0 Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea superior a 81. Calcule la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional esté entre 80,5 y 82. 0,3571 Si sabemos que la calificación del Índice de Salud Emocional es de 81,5 o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea 82,7? ¿Cuál es la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea 80,7 u 82,7? 0,2142 ¿Cuál es la probabilidad de que la calificación del Índice de Salud Emocional sea inferior a 80,2 dado que ya es inferior a 81? ¿Qué ocupación tiene la calificación más alta del índice emocional? Médico (83,7) ¿Qué ocupación tiene la calificación más baja del índice emocional? ¿Cuál es el rango de los datos? 83,7 − 79,6 = 4,1 Calcule el promedio de la Calificación del Índice de Salud Emocional (Emotional Health Index Score, EHIS). Si todas las ocupaciones son igualmente probables para una determinada persona, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una ocupación con un EHIS inferior al promedio? P (ocupación < 81,3) = 0,5 Resúmalo todo Un año antes, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilan en la . N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 290≤ 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Si tener un número de camisa del uno al 33 y pesar como máximo 210 libras fueran eventos independientes, entonces, ¿qué debería ser cierto sobre P (N.º de camisa 1–33|≤ 210 libras)? La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba arroje un resultado de cáncer cuando no lo tiene) es de 0,51. Algunas de las siguientes preguntas no tienen suficiente información para responderlas. Escriba “no hay suficiente información” en esas respuestas. Supongamos que C = un hombre desarrolla cáncer en su vida y P = el hombre tiene al menos un falso positivo P ( C ) = ______ P ( P | C ) = ______ P ( P | C' ) = ______ Si una prueba da positivo, con base en los valores numéricos, ¿se puede asumir que ese hombre tiene cáncer? Justifique numéricamente y explique por qué sí o por qué no. P ( C ) = 0,4567 no hay suficiente información no hay suficiente información No, porque más de la mitad (0,51) de los hombres tienen, al menos, una prueba con resultado falso positivo. Dados los eventos G y H : P ( G ) = 0,43; P ( H ) = 0,26; P ( H Y G ) = 0,14 Calcule P ( H O G ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H Y G ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H O G ). Dados los eventos J y K : P ( J ) = 0,18; P ( K ) = 0,37; P ( J O K ) = 0,45 Calcule P ( J Y K ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J Y K ). Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J O K ). P ( J O K ) = P ( J ) + P ( K ) − P ( J Y K ); 0,45 = 0,18 + 0,37 - P ( J Y K ); resuelva para calcular P ( J Y K ) = 0,10 P (NO ( J Y K )) = 1 - P ( J Y K ) = 1 – 0,10 = 0,90 P (NO ( J O K )) = 1 - P ( J O K ) = 1 – 0,45 = 0,55 Eventos dependientes si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes Muestreo con reemplazo si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Muestreo sin reemplazo cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. La probabilidad condicional de un evento dado otro evento P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. La “O” de dos eventos Un resultado está en el evento A O B si el resultado está en A , está en B , o está tanto en A como en B .", "section": "Eventos mutuamente excluyentes e independientes", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Dos reglas básicas de la probabilidad Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no. La regla de multiplicación Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral , entonces: P ( A Y B ) = P ( B ) P ( A | B ). Esta regla también puede escribirse como: P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) (La probabilidad de A dada B es igual a la probabilidad de A y B dividida por la probabilidad de B ) Si A y B son independientes , entonces P ( A | B ) = P ( A ). Entonces P ( A Y B ) = P ( A | B ) P ( B ) se convierte en P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ). La regla de adición Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces: P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ). Si A y B son mutuamente excluyentes , entonces P ( A Y B ) = 0. Entonces P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) se convierte en P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ). Klaus está tratando de elegir dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son: A = Nueva Zelanda y B = Alaska Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad de que elija A es P ( A ) = 0,6 y la probabilidad de que elija B es P ( B ) = 0,35. P ( A Y B ) = 0 porque Klaus solo puede permitirse unas vacaciones Por tanto, la probabilidad de que elija Nueva Zelanda o Alaska es P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,6 + 0,35 = 0,95. Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún sitio de vacaciones debe ser de 0,05. Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P ( A ) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P ( B ) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol DADO que hizo el primero, es de 0,90 a. ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles? b. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo? c. ¿ A y B son independientes? d. ¿ A y B son mutuamente excluyentes? a. El problema le pide que calcule P ( A “Y” B ) = P ( B “Y” A ). Ya que P ( B | A ) = 0,90: P ( B Y A ) = P ( B | A ) P ( A ) = (0,90)(0,65) = 0,585 Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585. b. El problema le pide que calcule P ( A O B ). P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) = 0,65 + 0,65 - 0,585 = 0,715 Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715. c. No, no lo son, porque P ( B Y A ) = 0,585. P ( B ) P ( A ) = (0,65)(0,65) = 0,423 0,423 ≠ 0,585 = P ( B Y A ) Por tanto, P ( B Y A ) no es igual a P ( B ) P ( A ). d. No, no lo son porque P ( A y B ) = 0,585. Para que sean mutuamente excluyentes, P ( A Y B ) debe ser igual a cero. Ejercicio Helen juega baloncesto. En cuanto a los tiros libres, acierta el tiro el 75 % de las veces. Helen debe intentar ahora dos tiros libres. C = el evento en el que Helen anota el primer tiro. P ( C ) = 0,75. D = el evento en el que Helen anota el segundo tiro. P ( D ) = 0,75. La probabilidad de que Helen anote el segundo tiro libre dado que anotó el primero es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen anote ambos tiros libres? Un equipo de natación comunitario tiene 150 miembros. Setenta y cinco de los miembros son nadadores avanzados. Cuarenta y siete son nadadores intermedios. El resto son nadadores principiantes. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces por semana. Treinta de los nadadores de nivel intermedio practican cuatro veces por semana. Diez de los nadadores principiantes practican cuatro veces por semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador principiante? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces por semana? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces por semana? d. ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? e. ¿Ser un nadador principiante y practicar cuatro veces a la semana son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? a. 28 150 b. 80 150 c. 40 150 d. P (avanzado E intermedio) = 0, por lo que son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo e. No, no son eventos independientes. P (novato Y práctica cuatro veces por semana) = 0,0667 P (novato) P (práctica cuatro veces por semana) = 0,0996 0,0667 ≠ 0,0996 Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes sénior, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año se tome un año sabático? Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de Matemáticas es de 0,2 y la probabilidad de que lo haga en una clase de Oratoria es de 0,65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de Matemáticas DADO que se inscribe en la clase de Oratoria es de 0,25. Supongamos que: M = clase de Matemáticas, S = clase de Oratoria, M | S = Matemáticas dado Oratoria ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en Matemáticas y Oratoria? Calcule P ( M Y S ) = P ( M | S ) P ( S ). ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de Matemáticas o de Oratoria? Calcule P ( M O S ) = P ( M ) + P ( S ) - P ( M Y S ). ¿ M y S son independientes? ¿ P ( M | S ) es = P ( M )? ¿ M y S son mutuamente excluyentes? ¿ P ( M Y S ) es = 0? a. 0,1625, b. 0,6875, c. No, d. No Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos los eventos B = el estudiante pide un libro prestado y D = el estudiante pide un DVD prestado. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B Y D ). Calcule P ( B O D ). Los estudios demuestran que una de cada siete mujeres (aproximadamente el 14,3 %) que viven hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de las mujeres que desarrollan cáncer de mama el resultado de la prueba es negativo en el 2 % de las ocasiones. Supongamos también que en la población general de mujeres, el resultado de la prueba de cáncer de mama es negativo en el 85 % de las ocasiones. Supongamos que B = la mujer desarrolla cáncer de mama y supongamos que N = el resultado de la prueba es negativo. Supongamos que se selecciona una mujer al azar. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer obtenga un resultado negativo? b. Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y el resultado de la prueba sea negativo? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o de que el resultado de la prueba sea negativo? e. ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son eventos independientes? f. ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son mutuamente excluyentes? a. P ( B ) = 0,143; P ( N ) = 0,85 b. P ( N | B ) = 0,02 c. P ( B Y N ) = P ( B ) P ( N | B ) = (0,143)(0,02) = 0,0029 d. P ( B O N ) = P ( B ) + P ( N ) - P ( B Y N ) = 0,143 + 0,85 - 0,0029 = 0,9901 e. No. P ( N ) = 0,85; P ( N | B ) = 0,02. Por tanto, P ( N | B ) no es igual a P ( N ). f. No. P ( B Y N ) = 0,0029. Para que B y N sean mutuamente excluyentes, P ( B Y N ) debe ser cero. Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes sénior, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año vaya al instituto universitario y practique deportes? Consulte la información en el . P = pruebas con resultado positivo. Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( P | B ) = 1 - P ( N | B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( B Y P ) = P ( P | B ) P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama? Calcule P ( B′ ) = 1 – P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga un resultado positivo en la prueba de cáncer de mama? Calcule P ( P ) = 1 – P ( N ). a. 0,98; b. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B′ ). Calcule P ( D Y B ). Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D Y B′ ). Calcule P ( D | B′ ). Referencias DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). “Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013). Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del Wall Street Journal. Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B , así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A , B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común. Revisión de la fórmula La regla de multiplicación: P ( A Y B ) = P ( A | B ) P ( B ) La regla de adición: P ( A O B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A Y B ) Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos. En este problema supongamos que: C = californianos (votantes registrados) que prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. L = californianos latinos Supongamos que se selecciona al azar un californiano. Calcule P ( C ). Calcule P ( L ). 0,376 Calcule P ( C | L ). En palabras, ¿qué es C | L ? C | L significa, dado que la persona elegida es un californiano latino, es un votante registrado que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional para una persona condenada por asesinato en primer grado. Calcule P ( L Y C ). En palabras, ¿qué es L Y C ? L Y C es el caso de que la persona elegida sea un votante latino registrado en California que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. ¿ L y C son eventos independientes? Demuestre por qué sí o por qué no. Calcule P ( L O C ). 0,6492 En palabras, ¿qué es L O C ? ¿ L y C son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. No, porque P ( L Y C ) no es igual a 0. Tarea para la casa El 28 de febrero de 2013, una encuesta de Field Poll informó que el 61 % de los votantes registrados en California aprobaba que se les permitiera a dos personas del mismo sexo casarse y que rigieran las leyes regulares de matrimonio para ellos. Entre los jóvenes de 18 a 39 años (votantes registrados en California), el índice de aprobación fue del 78 %. Seis de cada diez votantes registrados en California dijeron que el próximo fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California era “muy importante” o “algo importante” para ellos. De los votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo, el 75 % dijeron que la sentencia es “importante” para ellos. En este problema, supongamos que: C = votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo. B = votantes registrados en California que dicen que el fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California es “muy importante” o “algo importante” para ellos. A = Votantes registrados en California que tienen entre 18 y 39 años Calcule P ( C ). Calcule P ( B ). Calcule P ( C | A ). Calcule P ( B | C ). En palabras, ¿qué es C | A ? En palabras, ¿qué es B | C ? Calcule P ( C Y B ). En palabras, ¿qué es C Y B ? Calcule P ( C O B ). ¿ C y B son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. Después de que Rob Ford, el alcalde de Toronto, anunciara sus planes de recortar los gastos presupuestarios a finales de 2011, el Forum Research hizo un sondeo entre 1.046 personas para medir su popularidad. Todos los consultados expresaron su aprobación o desaprobación. Estos son los resultados de su sondeo: A principios de 2011, el 60 % de la población aprobaba la actuación del alcalde Ford en el cargo. A mediados de 2011, el 57 % de la población aprobaba sus acciones. A finales de 2011, el porcentaje de aprobación popular se medía en un 42 %. ¿Cuál es el tamaño de la muestra de este estudio? ¿Qué proporción del sondeo desaprueba al alcalde Ford, según los resultados de finales de 2011? ¿Cuántas personas consultadas respondieron que aprobaban al alcalde Ford a finales de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a mediados de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a principios de 2011? Forum Research encuestó a 1.046 toronteses. 58% 42 % de 1.046 = 439 (redondeando al número entero más cercano) 0,57 0,60. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango. (créditos: film8ker/wikibooks). Enumere el espacio muestral de los 38 resultados posibles en la ruleta. Usted apuesta por el rojo. Calcule P (rojo). Apuesta por -1.º 12- (1.ª docena). Calcule P (-1.º 12-). Apuesta por un número par. Calcule P (número par). ¿Obtener un número impar es el complemento de obtener un número par? ¿Por qué? Halle dos eventos mutuamente excluyentes. ¿Los eventos par y 1.ª docena son independientes? Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a dos líneas que se tocan en la mesa como en 1-2-3-4-5-6 Apostar a tres números en una línea, como en 1-2-3 Apostar a un número Apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado, como en 10-11-13-14 Apostar a dos números que se tocan en la mesa, como 10-11 o 10-13 Apostar a 0-00-1-2-3 Apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3 P (apostar a dos líneas que se tocan en la mesa) = 6 38 P (apostar a tres números en una línea) = 3 38 P (apostar a un número) = 1 38 P (apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado) = 4 38 P (apostar a dos números que se tocan en la mesa) = 2 38 P (apostar a 0-00-1-2-3) = 5 38 P (apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3) = 3 38 Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a un color Apostar a uno de los doce grupos Apostar al rango de números del 1 al 18 Apostar al rango de números del 19 al 36 Apostar a una de las columnas Apostar a un número par o impar (excluye el cero) Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cinco cartas verdes están numeradas como 1, 2, 3, 4 y 5. Las tres cartas amarillas están numeradas como 1, 2 y 3. Las cartas están bien barajadas. Saca una carta al azar. G = la carta que sacó es verde E = la carta extraída es par Enumere el espacio muestral. P ( G ) = _____ P ( G | E ) = _____ P ( G Y E ) = _____ P ( G O E ) = _____ ¿ G y E son mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente. { G 1, G 2, G 3, G 4, G 5, Y 1, Y 2, Y 3} 5 8 2 3 2 8 6 8 No, porque P ( G Y E ) no es igual a 0. Lanza dos dados imparciales por separado. Cada dado tiene seis caras. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de un número par. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que la suma de las dos lanzadas sea como máximo siete. Calcule P ( B ). En palabras, explique qué representa “ P ( A | B )”. Calcule P ( A | B ). ¿ A y B son eventos mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. ¿ A y B son eventos independientes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Un mazo especial tiene diez cartas. Cuatro son verdes, tres azules y tres rojas. Cuando se elige una carta se registra su color. El experimento consiste en elegir primero una carta y luego lanzar una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que se elija primero una carta azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que se elija una roja o una verde seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Supongamos que C es el evento para que se elija una roja o una azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y C son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. NOTA El lanzamiento de la moneda es independiente de la carta que se sacó primero. {( G , H ) ( G , T ) ( B , H ) ( B , T ) ( R , H ) ( R , T )} P ( A ) = P (azul) P (cara) = ( 3 10 ) ( 1 2 ) = 3 20 Sí, A y B son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo; no puede elegir una carta que sea azul y también (roja o verde). P (A Y B ) = 0 No, A y C no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo. De hecho, C incluye todos los resultados de A ; si la carta que se sacó es azul, también lo es (roja o azul). P ( A Y C ) = P ( A ) = 3 20 El experimento consiste en lanzar primero un dado y luego una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de que salga una cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. El experimento consiste en lanzar una moneda de cinco centavos, una de diez y una de veinticinco. Nos interesa el lado en el que cae la moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que haya dos cruces como mínimo. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta con una o tres oraciones completas incluida la justificación. S = {( HHH ), ( HHT ), ( HTH ), ( HTT ), ( THH ), ( THT ), ( TTH ), ( TTT )} 4 8 Sí, porque si se ha producido A , es imposible obtener dos cruces. En otras palabras, P ( A Y B ) = 0. Considere el siguiente escenario: Supongamos que P ( C ) = 0,4. Supongamos que P ( D ) = 0,5. Supongamos que P ( C | D ) = 0,6 Calcule P ( C Y D ). ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿ C y D son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule P ( C O D ). Calcule P ( D | C ). Y y Z son eventos independientes. Reescriba la regla básica de adición P ( Y O Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y Y Z ) utilizando la información de que Y y Z son eventos independientes. Utilice la regla reescrita para calcular P ( Z ) si P ( Y O Z ) = 0,71 y P ( Y ) = 0,42. Si “Y” y Z son independientes, entonces P ( “Y” Y Z ) = P ( “Y” ) P ( Z ), por lo que P ( “Y” O Z ) = P ( “Y” ) + P ( Z ) - P ( “Y” ) P ( Z ). 0,5 G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = 0,5 P ( H ) = 0,3 Explique por qué la siguiente afirmación DEBE ser falsa: P ( H | G ) = 0,4. Calcule P ( H O G ). ¿ G y H son eventos independientes o dependientes? Explique en una oración completa. En Estados Unidos viven 281.000.000 de personas mayores de cinco años aproximadamente. De estas personas, 55.000.000 hablan una lengua distinta del inglés en casa. De los que hablan otro idioma en casa, el 62,3 % habla español. Supongamos que: E = habla inglés en casa; E′ = habla otro idioma en casa; S = habla español; Termine cada enunciado de probabilidad y haga coincidir la respuesta correcta. Declaraciones de probabilidad Respuestas a. P ( E′ ) = i. 0,8043 b. P ( E ) = ii. 0,623 c. P ( S y E′ ) = iii. 0,1957 d. P ( S | E′ ) = iv. 0,1219 iii i iv ii En 1994, el gobierno de EE. UU. convocó un sorteo para expedir 55.000 tarjetas verdes (permisos para que los que no son ciudadanos puedan trabajar legalmente en EE. UU.). Renate Deutsch, de Alemania, fue una de las aproximadamente 6,5 millones de personas que participaron en este sorteo. Supongamos que G = obtener la tarjeta verde. ¿Qué posibilidades tenía Renate de obtener la tarjeta verde? Escriba su respuesta en forma de declaración de probabilidad. En el verano de 1994, Renate recibió una carta en la que se le comunicaba que era una de las 110.000 finalistas elegidas. Una vez elegidos los finalistas, suponiendo que cada uno de ellos tuviera las mismas posibilidades de obtenerla, ¿cuál era la probabilidad de Renate de obtener una tarjeta verde? Escriba su respuesta como una declaración de probabilidad condicional. Supongamos que F = ser finalista. ¿ G y F son eventos independientes o dependientes? Justifique su respuesta numéricamente y explique también por qué. ¿ G y F son eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente y explique por qué. Tres profesores de la Universidad George Washington hicieron un experimento para determinar si los economistas son más interesados que otras personas. Dejaron caer 64 sobres con sello y dirección con 10 dólares en efectivo en diferentes aulas del campus de George Washington. Se devolvió el 44 % en total. De las clases de Economía se devolvió el 56 % de los sobres. De las clases de Negocios, Psicología e Historia se devolvió el 31 %. Supongamos que: R = dinero devuelto; E = clases de Economía; O = otras clases Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje global de dinero devuelto. Escriba un enunciado de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las clases de Economía. Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las otras clases. ¿La devolución del dinero es independientemente de la clase? Justifique su respuesta numéricamente y explíquela. Basándose en este estudio, ¿cree que los economistas son más interesados que otras personas? Explique por qué sí o por qué no. Incluya números para justificar su respuesta. P ( R ) = 0,44 P ( R | E ) = 0,56 P ( R | O ) = 0,31 No, el hecho de que se devuelva el dinero no es independiente de la clase en la que se haya colocado el dinero. Hay varias formas de justificar esto matemáticamente, pero una de ellas es que el dinero colocado en las clases de Economía no se devuelve a la misma tasa global; P ( R | E ) ≠ P ( R ). No, este estudio definitivamente no apoya esa noción de hecho sino que sugiere lo contrario. El dinero colocado en las aulas de Economía se devolvió en una proporción mayor que el dinero colocado en todas las clases colectivamente; P ( R | E ) > P ( R ). La siguiente tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de los batazos imparables de cuatro jugadores. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón Total de batazos imparables Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 Total 8.471 1.577 583 1.720 12.351 ¿Son eventos independientes “el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron” y “el batazo imparable que es un doble”? Sí, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable de Hank Aaron) No, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) ≠ P (batazo imparable es un doble) No, porque P (batazo imparable de Hank Aaron|batazo imparable es un doble) ≠ P (batazo imparable de Hank Aaron) Sí, porque P (batazo imparable es de Hank Aaron|batazo imparable un doble) = P (batazo imparable es un doble) United Blood Services es un banco de sangre que presta servicio a más de 500 hospitales en 18 estados. Según su sitio web, una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Sus datos muestran que el 43 % de las personas tienen sangre del tipo O y el 15 % del factor Rh–; el 52 % de las personas tienen el tipo O o el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona tenga tanto sangre del tipo O como el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona NO tenga ni sangre del tipo O ni el factor Rh–. P (tipo “O” O Rh-) = P (tipo O) + P (Rh-) - P (tipo “O” Y Rh-) 0,52 = 0,43 + 0,15 - P (tipo “O” Y Rh-); resolver para hallar P (tipo “O” Y Rh-) = 0,06 El 6 % de las personas tienen sangre del tipo O, Rh– P (NO(tipo “O” Y Rh-)) = 1 - P (tipo “O” Y Rh-) = 1 - 0,06 = 0,94 El 94 % de las personas no tienen sangre del tipo O, Rh– En un instituto universitario, el 72 % de los cursos tienen exámenes finales y el 46 % requieren trabajos de investigación. Supongamos que el 32 % de los cursos tienen un trabajo de investigación y un examen final. Supongamos que F es el evento en el que un curso tiene un examen final. Supongamos que R es el evento en el que un curso requiere un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso tenga un examen final o un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso no tenga NINGUNO de estos dos requisitos. En una caja de galletas variadas, el 36 % tiene chocolate y el 12 % tiene frutos secos. En la caja, el 8 % contiene tanto chocolate como frutos secos. Sean es alérgico al chocolate y a los frutos secos. Calcule la probabilidad de que una galleta contenga chocolate o frutos secos (no puede comerla). Calcule la probabilidad de que una galleta no contenga ni chocolate ni frutos secos (puede comerla). Supongamos que C = el evento en el que la galleta contiene chocolate. Supongamos que N = el evento en el que la galleta contiene frutos secos. P ( C O N ) = P ( C ) + P ( N ) - P ( C Y N ) = 0,36 + 0,12 - 0,08 = 0,40 P (NI chocolate NI nueces) = 1 - P ( C O N ) = 1 - 0,40 = 0,60 Un instituto universitario descubre que el 10 % de los estudiantes ha tomado una clase a distancia y que el 40 % de los estudiantes es a tiempo parcial. De los estudiantes a tiempo parcial, el 20 % ha tomado una clase a distancia. Supongamos que D = el evento en el que un estudiante tomó una clase a distancia y E = el evento en el que un estudiante es un estudiante a tiempo parcial Calcule P ( D Y E ). Calcule P ( E | D ). Calcule P ( D O E ). Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son independientes. Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son mutuamente excluyentes. Eventos independientes la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro evento. Los eventos A y B son independientes si una de las siguientes afirmaciones es cierta: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ) Mutuamente excluyente dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es cero Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P ( A Y B ) = 0.", "section": "Dos reglas básicas de la probabilidad", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Tablas de contingencia Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera. Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios: Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Total Utiliza el teléfono móvil mientras conduce 25 280 305 No utiliza el teléfono móvil mientras conduce 45 405 450 Total 70 685 755 El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755. Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades. a. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil). b. Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). c. Calcule P (El conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado Y era usuario de teléfono móvil). d. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil O el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). e. Calcule P (El conductor es un usuario de teléfono móvil DADO que el conductor tuvo una infracción durante el año pasado). f. Calcule P (El conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado DADO que el conductor no usaba el teléfono móvil). a. número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755 b. número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755 c. 280 755 d. ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755 e. 25 70 (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción). f 405 450 (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles). Ejercicio La muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado. Lesión durante el año pasado Ninguna lesión durante el año pasado Total Hace estiramientos 55 295 350 No hace estiramientos 231 219 450 Total 286 514 800 ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio)? ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio|no se ha lesionado durante el año pasado)? La presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 ___ 45 Hombres ___ ___ 14 55 Total ___ 41 ___ ___ a. Rellene la tabla. a. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 11 45 Hombres 16 25 14 55 Total 34 41 25 100 b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes? Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa. Calcule P ( F Y C ). Calcule P ( F ) P ( C ) ¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes. b. P ( F Y C ) = 18 100 = 0,18 P ( F ) P ( C ) = ( 45 100 ) ( 34 100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153 P ( F Y C ) ≠ P ( F )P ( C ), por lo que los eventos F y C no son independientes c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. ¿Qué palabra le dice que es un condicional? Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P (___|___) = ___. ¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es? c. La expresión “dado que” indica que se trata de una condición. P ( M | L ) = 25 41 No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos. d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas. Calcule P ( F ). Calcule P ( P ). Calcule P ( F Y P ). Calcule P ( F O P ). d. P ( F ) = 45 100 P ( P ) = 25 100 P ( F Y P ) = 11 100 P ( F O P ) = 45 100 + 25 100 - 11 100 = 59 100 Ejercicio La presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas. Sexo Lake Path Hilly Path Wooded Path Total Mujeres 45 38 27 110 Hombres 26 52 12 90 Total 71 90 39 200 Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas? ¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes? El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es 1 5 y la probabilidad de que no sea atrapado es 4 5 . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es 1 4 y la probabilidad de que no sea atrapado es 3 4 . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es 1 2 y la probabilidad de que no atrape a Muddy es 1 2 . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es 1 3 . Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 ____ No atrapado 4 15 3 12 1 6 ____ Total ____ ____ ____ 1 La primera entrada 1 15 = ( 1 5 ) ( 1 3 ) es P (Puerta uno Y atrapado) La entrada 4 15 = ( 4 5 ) ( 1 3 ) es P (Puerta uno Y no Atrapado) Verifique las entradas restantes. a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1. b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy? c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno o la puerta dos dado que Muddy es atrapado por Alissa? a. Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 19 60 No atrapado 4 15 3 12 1 6 41 60 Total 5 15 4 12 2 6 1 b. 41 60 c. 9 19 La contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU. Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 Año Robo con violencia Robo Violación Vehículo Total 2008 145,7 732,1 29,7 314,7 2009 133,1 717,7 29,1 259,2 2010 119,3 701 27,7 239,1 2011 113,7 702,2 26,8 229,6 Total TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7 Calcule P (2009 Y Robo). Calcule P (2010 Y Robo con allanamiento de morada). Calcule P (2010 O Robo con allanamiento de morada). Calcule P (2011|Violación). Calcule P (Vehículo|2008). a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575 Ejercicio La relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación. Peso/Estatura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 Normal 20 51 28 Bajo peso 12 25 9 Totales Calcule el total de cada fila y columna Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso. ¿Los eventos obeso y alto son independientes? Referencias “Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013). Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013). Haiman, Christopher A., Daniel O. Stram, Lynn R. Wilkens, Malcom C. Pike, Laurence N. Kolonel, Brien E. Henderson y Loīc Le Marchand. “Ethnic and Racial Differences in the Smoking-Related Risk of Lung Cancer”. The New England Journal of Medicine, 2013. Disponible en línea en http://www.nejm.org/doi/full/10.1056/NEJMoa033250 (consultado el 2 de mayo de 2013). “Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. Disponible en línea en http://www.unitedbloodservices.org/learnMore.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Samuel, T. M. “Strange Facts about RH Negative Blood”. eHow Health, 2013. Disponible en línea en http://www.ehow.com/facts_5552003_strange-rh-negative-blood.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “United States: Uniform Crime Report – State Statistics from 1960-2011”. The Disaster Center. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/crime/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay varias herramientas que pueden ayudar a organizar y clasificar datos cuando se calculan probabilidades. Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos. Sexo Autodidacta Estudió en la escuela Instrucción privada Total Mujeres 12 38 22 72 Hombres 19 24 15 58 Total 31 62 37 130 Calcule P (el músico es una mujer). Calcule P (el músico es un hombre Y tuvo instrucción privada). P (el músico es un hombre Y ha tenido clases particulares) = 15 130 = 3 26 = 0,12 Calcule P (el músico es una mujer O es autodidacta). ¿Los eventos “ser una mujer música” y “aprender música en la escuela” son eventos mutuamente excluyentes? Los eventos no son mutuamente excluyentes. Es posible ser una mujer música que aprendió música en la escuela. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la New England Journal of Medicine , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban entre 11 y 20 cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban entre 21 y 30 cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla con los datos proporcionados. Hábito de fumar por grupo étnico Nivel de fumadores Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses Blancos TOTALES 1-10 11-20 21-30 31 o más TOTALES Supongamos que se selecciona al azar una persona del estudio. Calcule la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos al día. 35.065 100.450 Calcule la probabilidad de que la persona sea latina. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano Y que fume de 21 a 30 cigarrillos al día”. Además, encuentra la probabilidad. Elegir a una persona del estudio que sea japonés americano Y que fume entre 21 y 30 cigarrillos al día significa que la persona tiene que cumplir ambos criterios: ser japonés americano y fumar entre 21 y 30 cigarrillos. El espacio muestral debe incluir a todas las personas del estudio. La probabilidad es 4.715 100.450 . En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea \"japonesa-americana O que fume de 21 a 30 cigarrillos al día. Además, encuentra la probabilidad. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea \"japonesa-americana, dado que esa persona fuma de 21 a 30 cigarrillos al día. Además, encuentra la probabilidad. Elegir una persona del estudio que sea japonés americano dado que fuma entre 21 y 30 cigarrillos al día, significa que la persona debe cumplir ambos criterios y el espacio muestral se reduce a los que fuman entre 21 y 30 cigarrillos al día. La probabilidad es 4715 15.273 . Demostrar que el hábito de fumar/día y la etnia son eventos dependientes. Tarea para la casa Utilice la información de la para responder los próximos ocho ejercicios. La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección. Se presenta a la reelección: Partido Demócrata Partido Republicano Otros Total Noviembre de 2014 20 13 0 Noviembre de 2016 10 24 0 Total ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar tenga una afiliación de “otro”? 0 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador elegido al azar se presente a la reelección en noviembre de 2016? ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea demócrata y se presente a la reelección en noviembre de 2016? 10 67 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea republicano o se presente a la reelección en noviembre de 2014? Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. Dado que el senador seleccionado al azar se presenta a la reelección en noviembre de 2016, ¿cuál es la probabilidad de que este senador sea demócrata? 10 34 Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el senador se presente a la reelección en noviembre de 2014, sabiendo que este senador es republicano? Los eventos “republicano” y “se presenta a la reelección en 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. d Los eventos “otro” y “se presenta a la reelección en noviembre de 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. La da el número de participantes en la reciente Encuesta Nacional de Salud que habían sido tratados por cáncer en los 12 meses anteriores. Los resultados se clasifican por edad, raza (blanca o negra) y sexo. Nos interesan las posibles relaciones entre la edad, la raza y el sexo. Raza y sexo 15-24 25-40 41-65 Más de 65 años TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 9.129 Negro, hombre 142 194 384 824 Negro, mujer 131 290 486 1.061 Todos los demás TOTALES 2.792 5.279 9.354 21.081 No incluya “todos los demás” para las partes f y g. Rellene la columna correspondiente al tratamiento del cáncer para personas mayores de 65 años. Rellene la fila de todas las demás razas. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea una mujer negra. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea negra Halle la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar sea hombre. De las personas mayores de 65 años, calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco o negro. Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 156 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 278 517 721 156 1.672 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 8.395 21.081 ≈ 0,3982 1.061 21.081 ≈ 0,0503 1.885 21.081 ≈ 0,0894 9.219 21.081 ≈ 0,4373 1.595 3.656 ≈ 0,4363 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. NOMBRE Sencillo Doble Triple Jonrón TOTAL DE BATAZOS IMPARABLES Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 TOTAL 8.471 1.577 583 1.720 12.351 Calcule P (Babe Ruth hizo el batazo imparable). 1518 2873 2873 12351 583 12351 4189 12351 Calcule P (Ty Cobb hizo el batazo imparable|el batazo imparable fue un jonrón). 4189 12351 114 1720 1720 4189 114 12351 b La identifica un grupo de niños por uno de los cuatro colores de cabello, y por el tipo de cabello. Tipo de cabello Brown Rubio Negros Rojo Totales Ondulado 20 15 3 43 Liso 80 15 12 Totales 20 215 Rellene la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño o rubio? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello rojo, dado que tiene el cabello liso? Si B es el evento en el que un niño tenga el cabello castaño, calcule la probabilidad del complemento de B . En palabras, ¿qué representa el complemento de B ? En un año anterior, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilaron en la siguiente tabla. N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 > 290 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Calcule la probabilidad de que el número de su camiseta sea del 1 al 33. Calcule la probabilidad de que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa esté entre el 1 y el 33 Y que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33 O que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33, DADO que pesa como máximo 210 libras. 26 106 33 106 21 106 ( 26 106 ) + ( 33 106 ) - ( 21 106 ) = ( 38 106 ) 21 33 tabla de contingencia el método de mostrar una distribución de frecuencias como una tabla con filas y columnas para mostrar cómo dos variables pueden ser dependientes (contingentes) entre sí; la tabla proporciona una manera fácil de calcular probabilidades condicionales.", "section": "Tablas de contingencia", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Diagramas de árbol y de Venn A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol y los diagramas de Venn son dos herramientas que pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol. En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas ( R ) y ocho azules( B ). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo . “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles. Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121 El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R 1, R 2 y R 3 y cada pelota azul como B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 y B 8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como: R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 2 R 3 R 3 Los demás resultados son similares. Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral . a. Enumere los 24 resultados de RB : B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, ... b. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RR ). c. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( RB O BR ). d. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( R en la primera extracción Y B en la segunda). e. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción). f. Use el diagrama de árbol y calcule P ( BB ). g. Utilizando el diagrama de árbol, calcule P ( B en la segunda extracción dado R en la primera extracción). a. B 1 R 1 B 1 R 2 B 1 R 3 B 2 R 1 B 2 R 2 B 2 R 3 B 3 R 1 B 3 R 2 B 3 R 3 B 4 R 1 B 4 R 2 B 4 R 3 B 5 R 1 B 5 R 2 B 5 R 3 B 6 R 1 B 6 R 2 B 6 R 3 B 7 R 1 B 7 R 2 B 7 R 3 B 8 R 1 B 8 R 2 B 8 R 3 b. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 3 11 ) = 9 121 c. P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) + ( 8 11 ) ( 3 11 ) = 48 121 d. P ( R en la primera extracción Y B en la segunda) = P ( RB ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) = 24 121 e. P ( R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción) = P ( R en la segunda extracción| B en la primera extracción) = 24 88 = 3 11 Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB ). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR . 24 88 = 3 11 . f. P ( BB ) = 64 121 g. P ( B en la segunda extracción| R en la primera extracción) = 8 11 Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB ). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces 24 33 . Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F ) y 40 cartas no lo son (evento N ). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P ( FF ). En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 . Total = 56 + 24 + 24 + 6 110 = 110 110 = 1 NOTA Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo , de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna. Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol. a. P ( RR ) = ________ b. Rellene los espacios en blanco: P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + (___)(___) = 48 110 c. P ( R en la segunda| B en la primera) = d. Complete los espacios en blanco. P ( R en la primera Y B en la segunda) = P ( RB ) = (___)(___) = 24 110 e. Calcule P ( BB ). f. Calcule P ( B en la segunda| R en la primera). a. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 b. P ( RB O BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + ( 8 11 ) ( 3 10 ) = 48 110 c. P ( R en la segunda| B en la primera) = 3 10 d. P ( R en la primera Y B en la segunda) = P ( RB ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) = 24 110 e. P ( BB ) = ( 8 11 ) ( 7 10 ) f. Utilizando el diagrama de árbol, P ( B en la segunda| R en la primera) = P ( R | B ) = 8 10 . Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general. P ( R | R ) significa aquí P ( R en la 2.ª| R en la 1.ª) P ( B | R ) significa aquí P ( B en la 2.ª| R en la 1.ª) P ( R | B ) significa aquí P ( R en la 2.ª| B en la 1.ª) P ( B | B ) significa aquí P ( B en la 2.ª| B en la 1.ª) Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura ( F ) y 40 cartas no lo son ( N ). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles. Calcule P ( FN O NF ). Calcule P ( N | F ). Calcule P (como máximo una carta de figura). Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura. Calcule P (al menos una carta de figura). Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura. Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados? a. ( 1 2 ) ( 1 2 ) b. ( 4 9 ) ( 4 9 ) c. ( 4 9 ) ( 3 8 ) d. ( 4 9 ) ( 5 9 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color? a. ( 4 9 ) ( 5 9 ) b. ( 4 9 ) ( 5 8 ) c. ( 4 9 ) ( 5 9 ) + ( 5 9 ) ( 4 9 ) d. ( 4 9 ) ( 5 8 ) + ( 5 9 ) ( 4 8 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero? ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color? a. c, b. d, c. 4 8 , d. 32 72 Ejercicio Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color? Diagrama de Venn Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A Y B = {6} y A O B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Supongamos que un experimento tiene los resultados negro, blanco, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento C = {verde, azul, morado} y el evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces C Y P = {azul} y C O P = {verde, azul, morado, rojo, amarillo}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = { TT , TH } y B = { TT , HT }. Por lo tanto, A Y B = { TT }. A O B = { TH , TT , HT }. El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = { HH , HT , TH , TT }. El resultado HH no es NI A NI B . El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Usted lanza un dado imparcial de seis lados. Supongamos que A = se obtiene un número primo de puntos. Supongamos que B = se obtiene un número impar de puntos. Entonces A = {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, A Y B = {3, 5}. A O B = {1, 2, 3, 5}. El espacio muestral para lanzar un dado imparcial es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial. Si se selecciona un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P ( C ) = 0,40 la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P ( PT ) = 0,50 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial. P ( C Y PT ) = 0,05 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. P ( C | P T ) = P ( C Y P T ) P ( P T ) = 0,05 0,50 = 0,1 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club O trabaje a tiempo parcial. P ( C O PT ) = P ( C ) + P ( PT ) - P ( C Y PT ) = 0,40 + 0,50 - 0,05 = 0,85 Ejercicio El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica tiene un segundo empleo, el 25 % tiene un cónyuge que también trabaja, el 5 % tiene un segundo empleo y un cónyuge que también trabaja. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que W = trabaja en un segundo empleo y S = el cónyuge también trabaja. Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O. El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–. Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–. P ( O ) = ___________ P ( R ) = ___________ P ( O Y R ) = ___________ P ( O O R ) = ____________ En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo. a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–. Ejercicio En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es de 0,6, y la de que compre un libro que no es de ficción es de 0,4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es de 0,2. Dibuje un diagrama de Venn que represente la situación. Calcule la probabilidad de que el cliente compre una novela o un libro que no sea de ficción. En el diagrama de Venn describa con una oración completa la zona de solapamiento. Supongamos que algunos clientes solo compran discos compactos. Dibuje un óvalo en su diagrama de Venn que represente este evento. Referencias Datos del Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Datos de The Data and Story Library, 1996. Disponible en línea en http://lib.stat.cmu.edu/DASL/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Administración Federal de Carreteras, que forma parte del Departamento de Transporte de Estados Unidos. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos, que forma parte del Departamento de Comercio de Estados Unidos. Datos de USA Today. “Environment”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/topic/environment (consultado el 2 de mayo de 2013). “Search for Datasets”. Roper Center: Public Opinion Archives, University of Connecticut, 2013. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/data_access/data/search_for_datasets.html (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas. Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar el evento O, el evento Y y el complemento de un evento, y para entender las probabilidades condicionales. La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba dé un resultado de cáncer cuando el hombre no lo tiene) es de 0,51. Supongamos que: C = un hombre desarrolla un cáncer en su vida; P = el hombre tiene, al menos, un falso positivo. Construya un diagrama de árbol de la situación. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas ( R ), cuatro amarillas ( Y ) y cinco azules ( B ). Para la moneda, P ( H ) = 2 3 y P ( T ) = 1 3 donde H es cara y T es cruz. Calcule P (lanzando una cara en la moneda Y una cuenta roja) 2 3 5 15 6 36 5 36 Calcule P (cuenta azul). 15 36 10 36 10 12 6 36 a Una caja de galletas contiene tres de chocolate y siete de mantequilla. Miguel elige al azar una galleta y se la come. Luego selecciona al azar otra galleta y se la come (¿cuántas galletas ha tomado?). Dibuje el árbol que representa las posibilidades de las selecciones de galletas. Escriba las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. ¿Las probabilidades del sabor de la SEGUNDA galleta que elige Miguel es independientes de su primera selección? Explique. Para cada trayectoria completa a través del árbol, escriba el evento que representa y calcule las probabilidades. Supongamos que S es el evento en el que las dos galletas seleccionadas sean del mismo sabor. Calcule P ( S ). Supongamos que T es el evento en el que las galletas seleccionadas sean de distinto sabor. Calcule P ( T ) por dos métodos diferentes: utilizando la regla del complemento y utilizando las ramas del árbol. Sus respuestas deberían ser las mismas con ambos métodos. Supongamos que U es el evento en el que la segunda galleta seleccionada sea una galleta de mantequilla. Calcule P ( U ). Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas. Supongamos que toma al azar dos cartas, una a la vez, con reemplazo . Supongamos que G 1 = la primera carta es verde Supongamos que G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Calcule P ( G 1 Y G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Calcule P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. P ( GG ) = ( 5 8 ) ( 5 8 ) = 25 64 P (al menos una verde) = P ( GG ) + P ( GY ) + P ( YG ) = 25 64 + 15 64 + 15 64 = 55 64 P ( G | G ) = 5 8 Sí, son independientes porque la primera carta se vuelve a colocar en la bolsa antes de que se extraiga la segunda; la composición de las cartas en la bolsa sigue siendo la misma desde la primera hasta la segunda extracción. Supongamos que saca al azar dos cartas, una a la vez, sin reemplazo . G 1 = la primera carta es verde G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Calcule P ( G 1 Y G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Calcule P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más. Complete lo siguiente. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Calcule P (el conductor es una mujer). Calcule P (el conductor tiene 65 años o más|el conductor es una mujer). Calcule P (el conductor tiene 65 años o más “Y” es mujer). En palabras, explique la diferencia entre las probabilidades de la parte c y la parte d. Calcule P (el conductor tiene 65 años o más). ¿Ser mayor de 65 años y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes? ¿Cómo lo sabe? <20 20–64 >64 Totales Mujer 0,0244 0,3954 0,0661 0,486 Hombre 0,0259 0,4186 0,0695 0,514 Totales 0,0503 0,8140 0,1356 1 P ( F ) = 0,486 P (>64| F ) = 0,1361 P (>64 y F ) = P ( F ) P (>64| F ) = (0,486)(0,1361) = 0,0661 P (>64| F ) es el porcentaje de conductoras que tienen 65 años o más y P (>64 y F ) es el porcentaje de conductores que son mujeres y tienen 65 años o más. P (> 64 ) = P (>64 y F ) + P (>64 y M ) = 0,1356 No, ser mujer y tener 65 años o más no son mutuamente excluyentes porque pueden darse al mismo tiempo P(>64 y F ) = 0,0661. Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 10.000 conductores con licencia en EE. UU. ¿Cuántos espera que sean hombres? Utilizando la tabla o el diagrama de árbol, construya una tabla de contingencia de sexo versus grupo de edad. Utilizando la tabla de contingencia, calcule la probabilidad de que, del grupo de 20 a 64 años, un conductor seleccionado al azar sea mujer. Aproximadamente el 86,5 % de los estadounidenses se desplazan al trabajo en automóvil, camioneta o van. De ese grupo, el 84,6 % conduce solo y el 15,4 % lo hace en automóvil compartido. Aproximadamente el 3,9 % va a pie al trabajo y el 5,3 % utiliza el transporte público. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Incluya una rama para todos los demás modos de transporte al trabajo. Suponiendo que los que caminan van solos, ¿qué porcentaje de todos los que van al trabajo los hacen solos? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántas personas se desplazan solas al trabajo? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántos espera que conduzcan un automóvil compartido? Automóvil, camioneta o furgoneta Caminar Transporte público Otros Totales Solo 0,7318 Acompañado 0,1332 Totales 0,8650 0,0390 0,0530 0,0430 1 Si asumimos que todos los caminantes están solos y que ninguno de los otros dos grupos se traslada solo (lo cual es un gran supuesto) tenemos: P (solos) = 0,7318 + 0,0390 = 0,7708. Haciendo las mismas suposiciones que en (b) tenemos: (0,7708)(1.000) = 771 (0,1332)(1.000) = 133 Cuando se introdujo la moneda de euro en 2002, dos profesores de Matemáticas hicieron que sus estudiantes de Estadística comprobaran si la moneda belga de un euro era una moneda imparcial. Hicieron girar la moneda en vez de lanzarla y descubrieron que de 250 giros, 140 mostraron una cara (evento H ) mientras que 110 mostraron una cruz (evento T ). Sobre esta base, afirmaron que no es una moneda imparcial. A partir de los datos dados, halle P ( H ) y P ( T ). Utilice un árbol para hallar las probabilidades de cada resultado posible para el experimento de lanzar la moneda dos veces. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara en dos lanzamientos de la moneda. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener, al menos, una cara. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Los siguientes son datos reales del condado de Santa Clara, CA. Hasta cierto momento, había un total de 3059 casos documentados de SIDA en el condado. Se agruparon en las siguientes categorías: * incluye consumidores de drogas intravenosas homosexuales/bisexuales Homosexual/bisexual Consumidor de drogas por vía intravenosa* Contacto heterosexual Otros Totales Mujeres 0 70 136 49 ____ Hombres 2.146 463 60 135 ____ Totales ____ ____ ____ ____ ____ Supongamos que se selecciona al azar una persona con SIDA en el condado de Santa Clara. Calcule P (la persona es mujer). Calcule P (La persona tiene un factor de riesgo contacto heterosexual). Calcule P (La persona es mujer O tiene un factor de riesgo de usuario de drogas intravenosas). Calcule P (La persona es mujer Y tiene un factor de riesgo homosexual/bisexual). Calcule P (La persona es hombre Y tiene un factor de riesgo de consumidor de drogas por vía intravenosa). Calcule P (La persona DADA es una mujer se contagió de la enfermedad por contacto heterosexual). Construya un diagrama de Venn. Haga que un grupo sea de mujeres y el otro de contactos heterosexuales. La tabla de contingencia completada es la siguiente: * incluye consumidores de drogas intravenosas homosexuales/bisexuales Homosexual/bisexual Consumidor de drogas por vía intravenosa* Contacto heterosexual Otros Totales Mujeres 0 70 136 49 255 Hombres 2.146 463 60 135 2.804 Totales 2.146 533 196 184 3.059 255 3.059 196 3.059 718 3.059 0 463 3.059 136 196 Responda a estas preguntas utilizando las reglas de la probabilidad. NO utilice la tabla de contingencia. En el condado de Santa Clara, California, se habían registrado 3059 casos de SIDA hasta una fecha determinada. Esos casos serán nuestra población. De esos casos, el 6,4 % contrajo la enfermedad por contacto heterosexual y el 7,4 % son mujeres. De las mujeres con la enfermedad, el 53,3 % se contagió por contacto heterosexual. Calcule P (la persona es mujer). Calcule P (La persona contrajo la enfermedad por contacto heterosexual). Calcule P (La persona DADA es una mujer que adquirió la enfermedad por contacto heterosexual) Construya un diagrama de Venn que represente esta situación. Haga que un grupo sea de mujeres y el otro de contactos heterosexuales. Rellene todos los valores como probabilidades. Diagrama de árbol la útil representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de “árbol” con ramas marcadas por los posibles resultados junto con las probabilidades asociadas (frecuencias, frecuencias relativas, etc.) Diagrama de Venn la representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de círculos u óvalos que muestran sus intersecciones", "section": "Diagramas de árbol y de Venn", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Temas de probabilidad Temas de probabilidad Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante utilizará métodos teóricos y empíricos para estimar probabilidades. El estudiante valorará las diferencias entre las dos estimaciones. El estudiante demostrará que comprende las frecuencias relativas a largo plazo. Haga el experimento Cuente 40 M&M® de colores variados, lo que equivale aproximadamente a una bolsa pequeña. Registre el número de cada color en la . Utilice la información de esta tabla para completar la . A continuación, ponga los M&M en una taza. El experimento consiste en elegir dos M&M, uno a la vez. No los mire mientras los agarra. La primera vez, reemplace el primer M&M antes de agarrar el segundo. Registre los resultados en la columna “Con reemplazo\" de la . Hágalo 24 veces. La segunda vez, después de tomar el primer M&M, no lo reemplace antes de tomar el segundo. Entonces, elija el segundo. Registre los resultados en la sección de la columna \"Sin reemplazo\" de la . Después de registrar la selección, vuelva a poner los dos M&M. Hágalo también un total de 24 veces. Utilice los datos de la para calcular las preguntas de probabilidad empírica. Deje sus respuestas en forma fraccionaria no reducida. No multiplique ninguna fracción. Población Color Cantidad Amarillo( Y ) Verde( G ) Azul( BL ) Marrón( B ) Naranja( O ) Rojo( R ) Probabilidades teóricas Con reemplazo Sin reemplazo P (2 rojos) P ( R 1 B 2 O B 1 R 2 ) P ( R 1 Y G 2 ) P ( G 2 | R 1 ) P (sin amarillos) P (dobles) P (sin dobles) Nota G 2 = verde en la segunda selección; R 1 = rojo en la primera selección; B 1 = marrón en la primera selección; B 2 = marrón en la segunda selección; dobles = ambas selecciones son del mismo color. Resultados empíricos Con reemplazo Sin reemplazo ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) ( __ , __ ) Probabilidades empíricas Con reemplazo Sin reemplazo P (2 rojos) P ( R 1 B 2 O B 1 R 2 ) P ( R 1 Y G 2 ) P ( G 2 | R 1 ) P (sin amarillos) P (dobles) P (sin dobles) Preguntas para el debate ¿Por qué son diferentes las probabilidades “con reemplazo\" y “sin reemplazo\"? Convierta P (sin amarillas) a formato decimal tanto para la Teórica “con reemplazo\" como para la Empírica “con reemplazo\". Redondee a cuatro decimales. Teórico “con reemplazo\": P (sin amarillos) = _______ Empírico \"con reemplazo\": P (sin amarillos) = _______ ¿Están los valores decimales \"cerca\"? ¿Esperabas que estuvieran más cerca o más lejos? ¿Por qué? Si aumenta el número de veces que elige dos M&M a 240 veces, ¿por qué cambiarían los valores de probabilidad empírica? ¿Este cambio (vea la parte 3) haría que las probabilidades empíricas y las teóricas se acercaran o se alejaran? ¿Cómo lo sabe? Explique las diferencias que representan P ( G 1 Y R 2 ) y P ( R 1 | G 2 ). Pista: Piense en el espacio muestral de cada probabilidad.", "section": "Temas de probabilidad", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Puede utilizar probabilidad y variables aleatorias discretas para calcular la probabilidad de que un rayo llegue al suelo cinco veces durante una tormenta de media hora (créditos: Leszek Leszczynski). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y comprender las funciones de distribución de probabilidad discreta, en general. Calcular e interpretar los valores esperados. Reconocer la distribución de probabilidad binomial y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad de Poisson y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución geométrica de la probabilidad y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad hipergeométrica y aplicarla adecuadamente. Clasificar los problemas de palabras discretas por sus distribuciones. Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %? Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico? Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento. Notación de la variable aleatoria Las letras mayúsculas como X o Y denotan una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria, entonces X se escribe con palabras y x se da como un número. Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT ; THH ; HTH ; HHT ; HTT ; THT ; TTH ; HHH . Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta. Lance una moneda diez veces y anote el número de caras. Después de que todos los miembros de la clase hayan realizado el experimento (lanzar una moneda diez veces y contar el número de caras), rellene la . Supongamos que X = el número de caras en diez lanzamientos de la moneda. x Frecuencia de x Frecuencia relativa de x ¿Qué valor(es) de x se ha(n) producido con mayor frecuencia? Si lanza una moneda 1000 veces, ¿qué valores podría tomar x ? ¿Qué valor(es) de x cree que se daría(n) con más frecuencia? ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa? Variable aleatoria (RV) una característica de interés en una población que se estudia; la notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,...; la notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x, y , z . Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3,.... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Podemos saber qué valor específico x toma la variable aleatoria X solo después de realizar el experimento.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta Una función de distribución de probabilidad discreta tiene dos características: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno. Un psicólogo infantil se interesa por el número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. Para una muestra aleatoria de 50 madres, se obtuvo la siguiente información. Supongamos que X = el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de la medianoche. En este ejemplo, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. P ( x ) = probabilidad de que X tome un valor x . x P ( x ) 0 P ( x = 0) = 2 50 1 P ( x = 1) = 11 50 2 P ( x = 2) = 23 50 3 P ( x = 3) = 9 50 4 P ( x = 4) = 4 50 5 P ( x = 5) = 1 50 X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Esta es una PDF discreta porque: Cada P ( x ) está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno, es decir, 2 50 + 11 50 + 23 50 + 9 50 + 4 50 + 1 50 = 1 Ejercicio Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. Supongamos que X = el número de veces que un paciente llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para este ejercicio, x = 0, 1, 2, 3, 4, 5. P ( x ) = la probabilidad de que X tome el valor x . ¿Por qué esta es una función de distribución de probabilidad discreta (dos razones)? X P ( x ) 0 P ( x = 0) = 4 50 1 P ( x = 1) = 8 50 2 P ( x = 2) = 16 50 3 P ( x = 3) = 14 50 4 P ( x = 4) = 6 50 5 P ( x = 5) = 2 50 Supongamos que Nancy tiene clases tres días a la semana. Asiste a clases tres días a la semana el 80 % del tiempo, dos días el 15 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 1 % del tiempo. Supongamos que se selecciona una semana al azar. a. Supongamos que X = el número de días que Nancy ____________________. b. ¿Qué valores asume X ? c. Supongamos que se elige una semana al azar. Construya una tabla de distribución de probabilidades (llamada tabla PDF) como la que aparece en el . La tabla debe tener dos columnas denominadas x y P ( x ). ¿A cuánto asciende la columna P ( x )? a. Supongamos que X = el número de días que Nancy asiste a clase por semana b. 0, 1, 2 y 3 c. x P ( x ) 0 0,01 1 0,04 2 0,15 3 0,80 Ejercicio Jeremiah tiene entrenamiento de baloncesto dos días a la semana. El noventa por ciento de las veces, asiste a ambos entrenamientos. El 8 % de las veces, asiste a un entrenamiento. El 2 % de las veces no asiste a ninguno de los dos entrenamientos. ¿Qué es X y qué valores adquiere? Repaso del capítulo Las características de una función de distribución de probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta son las siguientes: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive ( inclusive significa incluir el cero y el uno). La suma de las probabilidades es uno. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 0,10 5 0,10 6 0,05 P ( x = 4) = _______ P ( x ≥ 5) = _______ 0,10 + 0,05 = 0,15 ¿Cuánto tiempo en promedio espera que un nuevo empleado permanezca en la compañía? ¿A cuánto asciende la columna “ P ( x )”? 1 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad. x P ( x ) 1 0,15 2 0,35 3 0,40 4 0,10 Defina la variable aleatoria X . ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda más de un lote? P ( x > 1) = _______ 0,35 + 0,40 + 0,10 = 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? P ( x = 1) = _______ En promedio, ¿cuántos lotes debe hacer el panadero? 1(0,15) + 2(0,35) + 3(0,40) + 4(0,10) = 0,15 + 0,70 + 1,20 + 0,40 = 2,45 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. Defina la variable aleatoria X . Construya una tabla de distribución de probabilidades para los datos. x P ( x ) 0 0,03 1 0,04 2 0,08 3 0,85 Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es uno. ¿Cuál es la otra característica? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo. Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de eventos en los que Javier es voluntario cada mes. ¿Qué valores toma x ? Construir una tabla de PDF. x P ( x ) 0 0,05 1 0,05 2 0,10 3 0,20 4 0,25 5 0,35 Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en menos de tres eventos al mes. P ( x < 3) = _______ Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en, al menos, un evento cada mes. P ( x > 0) = _______ 1 – 0,05 = 0,95 Tarea para la casa Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener una licenciatura en ciencias (Bachelor of Science B.S.) se da en la . x P ( x ) 3 0,05 4 0,40 5 0,30 6 0,15 7 0,10 Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Qué significa que los valores cero, uno y dos no están incluidos para x en la PDF? Función de distribución de probabilidad (PDF) una descripción matemática de una variable aleatoria ( RV ) discreta, dada en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.", "section": "Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Media o valor esperado y desviación típica El valor esperado suele denominarse media o promedio \"a largo plazo\". Esto significa que a largo plazo de hacer un experimento una y otra vez, se esperaría este promedio. Se lanza una moneda y se anota el resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara? Si lanza una moneda dos veces, ¿la probabilidad le dice que estos lanzamientos darán como resultado una cara y una cruz? Puede lanzar una moneda diez veces y registrar nueve caras. Como aprendió en el 3 - TEMAS DE PROBABILIDAD , la probabilidad no describe los resultados a corto plazo de un experimento. Ofrece información sobre lo que cabe esperar a largo plazo. ¡Para demostrarlo, Karl Pearson lanzó una vez una moneda justa 24.000 veces! Registró los resultados de cada lanzamiento, obteniendo cara 12.012 veces. En su experimento, Pearson ilustró la ley de los grandes números . La ley de los grandes números establece que, a medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la frecuencia relativa se aproxima a cero (la probabilidad teórica y la frecuencia relativa se acercan cada vez más) . Al evaluar los resultados a largo plazo de los experimentos estadísticos, a menudo queremos conocer el resultado del “promedio\". Este “promedio a largo plazo” se conoce como la media o valor esperado del experimento y se denota con la letra griega μ . En otras palabras, después de realizar muchos ensayos de un experimento, se esperaría este valor promedio. NOTA Para hallar el valor esperado o promedio a largo plazo, μ , basta con multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su probabilidad y sumar los productos. Un equipo de fútbol masculino juega al fútbol en cero, en uno o en dos días a la semana. La probabilidad de que jueguen cero días es de 0,2, la de que jueguen un día es de 0,5 y la de que jueguen dos días es de 0,3. Calcule el promedio a largo plazo o el valor esperado, μ , del número de días por semana que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para resolver el problema, primero dejemos la variable aleatoria X = el número de días que el equipo de fútbol masculino juega al fútbol por semana. X toma los valores 0, 1, 2 Construya una tabla PDF añadiendo una columna x * P ( x ). En esta columna, multiplicará cada valor de x por su probabilidad. Tabla de valores esperados Esta tabla se denomina tabla de valores esperados. La tabla le ayuda a calcular el valor esperado o promedio a largo plazo. x P ( x ) x * P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 Añada la última columna x * P ( x ) para hallar las intersecciones en el promedio a largo plazo o el valor esperado: (0)(0,2) + (1)(0,5) + (2)(0,3) = 0 + 0,5 + 0,6 = 1,1. El valor esperado es 1,1. El equipo de fútbol masculino tendría, en promedio, que jugar al fútbol 1,1 días por semana. El número 1,1 es el promedio a largo plazo o el valor esperado si el equipo de fútbol masculino juega al fútbol semana tras semana. Decimos que μ = 1,1. Calcule el valor esperado del número de veces que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. El valor esperado es el número de veces por semana que el llanto de un recién nacido despierta a su madre después de medianoche. Calcule también la desviación típica de la variable. Se espera que un recién nacido despierte a su madre después de la medianoche 2,1 veces a la semana, en promedio. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 P ( x = 0) = 2 50 (0) ( 2 50 ) = 0 (0 – 2,1) 2 ⋅ 0,04 = 0,1764 1 P ( x = 1) = ( 11 50 ) (1) ( 11 50 ) = 11 50 (1 – 2,1) 2 ⋅ 0,22 = 0,2662 2 P ( x = 2) = 23 50 (2) ( 23 50 ) = 46 50 (2 – 2,1) 2 ⋅ 0,46 = 0,0046 3 P ( x = 3) = 9 50 (3) ( 9 50 ) = 27 50 (3 – 2,1) 2 ⋅ 0,18 = 0,1458 4 P ( x = 4) = 4 50 (4) ( 4 50 ) = 16 50 (4 – 2,1) 2 ⋅ 0,08 = 0,2888 5 P ( x = 5) = 1 50 (5) ( 1 50 ) = 5 50 (5 – 2,1) 2 ⋅ 0,02 = 0,1682 Sume los valores de la tercera columna de la tabla para hallar el valor esperado de X : μ = Valor esperado = 105 50 = 2,1 Utilice μ para completar la tabla. La cuarta columna de esta tabla le proporcionará los valores que necesita para calcular la desviación típica. Para cada valor x , multiplique el cuadrado de su desviación por su probabilidad. (Cada desviación tiene el formato x – μ ). Añada los valores en la cuarta columna de la tabla: 0,1764 + 0,2662 + 0,0046 + 0,1458 + 0,2888 + 0,1682 = 1,05 La desviación típica de X es la raíz cuadrada de esta suma: σ = 1,05 ≈ 1,0247 La media, μ , de una función de probabilidad discreta es el valor esperado. μ = ∑ ( x ∙ P x ) La desviación típica, Σ, de la PDF es la raíz cuadrada de la varianza. σ = ∑ [ x – μ 2 ∙ Ρ x ] Cuando todos los resultados de la distribución de probabilidad son igualmente probables, estas fórmulas coinciden con la media y la desviación típica del conjunto de resultados posibles. Ejercicio Un investigador de un hospital se interesa por el número de veces que el paciente promedio de posoperatorio llama al personal de enfermería durante un turno de 12 horas. Para una muestra aleatoria de 50 pacientes se obtuvo la siguiente información. ¿Cuál es el valor esperado? x P ( x ) 0 P ( x = 0) = 4 50 1 P ( x = 1) = 8 50 2 P ( x = 2) = 16 50 3 P ( x = 3) = 14 50 4 P ( x = 4) = 6 50 5 P ( x = 5) = 2 50 Suponga que juega a un juego de azar en el que se eligen cinco números entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Una computadora selecciona al azar cinco números del cero al nueve con reemplazo. Usted paga 2 dólares para jugar y podría ganar 100.000 dólares si acierta los cinco números en orden (recupera sus 2 dólares más 100.000 dólares). A largo plazo, ¿cuál es el ganancia que espera obtener del juego? Para resolver este problema, establezca una tabla de valor esperado para la cantidad de dinero que puede ganar. Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana. Los valores de x no son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como le interesa su ganancia (o pérdida), los valores de x son 100.000 dólares y –2 dólares. Para ganar, debe acertar los cinco números, en orden. La probabilidad de elegir un número correcto es 1 10 porque hay diez números. Puede elegir un número más de una vez. La probabilidad de elegir los cinco números correctamente y en orden es ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) = ( 1 ) ( 10 – 5 ) = 0,00001. Por lo tanto, la probabilidad de ganar es 0,00001 y la de perder es 1 – 0,00001 = 0,99999. La tabla de valores esperados es la siguiente: Sume la última columna. –1,99998 + 1 = –0,99998 x P ( x ) x * P ( x ) Pérdidas -2 0,99999 (-2)(0,99999) = -1,99998 Ganancias 100.000 0,00001 (100000)(0,00001) = 1 Dado que -0,99998 es aproximadamente -1, esperaría, en promedio, perder aproximadamente $1 por cada juego que juegue. Sin embargo, cada vez que juega, pierde 2 dólares o gana 100.000 dólares. Un dólar es el promedio o la PÉRDIDA esperada por partida después de jugar este juego una y otra vez. Ejercicio Está jugando a un juego de azar en el que se extraen cuatro cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Adivine el palo de cada carta antes de que se extraiga. Las cartas se sustituyen en la baraja en cada sorteo. Paga un dólar para jugar. Si adivina el palo correcto todas las veces, le devuelven el dinero y 256 dólares. ¿Cuál es el ganancia que espera obtener del juego a largo plazo? Supongamos que juega una partida con una moneda sesgada. Se juega cada partida lanzando la moneda una vez. P (caras) = 2 3 y P (cruz) = 1 3 . Si lanza una cara, paga 6 dólares. Si lanza una cruz, gana 10 dólares. Si juega muchas veces a este juego, ¿saldrá ganando? a. Defina una variable aleatoria X . b. Rellene la siguiente tabla de valores esperados. x ____ ____ GANA 10 1 3 ____ PIERDE ____ ____ –12 3 c. ¿Cuál es el valor esperado, μ ? ¿Usted sale ganando? a. X = monto de la ganancia b. x P ( x ) xP ( x ) GANA 10 1 3 10 3 PIERDE -6 2 3 –12 3 c. Sume la última columna de la tabla. El valor esperado μ = – 2 3 . Pierde, en promedio, aproximadamente 67 céntimos cada vez que juega, por lo que no sale ganando. Ejercicio Supongamos que juega un juego con una ruleta. Se juega cada partida haciendo girar la ruleta una vez. P (rojo) = 2 5 , P (azul) = 2 5 , y P (verde) = 1 5 . Si cae en rojo, paga 10 dólares. Si cae en azul, no paga ni gana nada. Si cae en verde, gana 10 dólares. Rellene la siguiente tabla de valores esperados. x P ( x ) Rojo – 20 5 Azul 2 5 Verde 10 Al igual que los datos, las distribuciones de probabilidad tienen desviaciones típicas. Para calcular la desviación típica (σ ) de una distribución de probabilidad, halle cada desviación de su valor esperado, elévela al cuadrado, multiplíquela por su probabilidad, sume los productos y calcule la raíz cuadrada. Para entender cómo hacer el cálculo, observe la tabla del número de días por semana que un equipo de fútbol masculino juega al fútbol. Para calcular la desviación típica, sume las entradas de la columna marcada como ( x – μ ) 2 P ( x ) y calcule la raíz cuadrada. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 0 0,2 (0)(0,2) = 0 (0 – 1,1) 2 (0,2) = 0,242 1 0,5 (1)(0,5) = 0,5 (1 – 1,1) 2 (0,5) = 0,005 2 0,3 (2)(0,3) = 0,6 (2 – 1,1) 2 (0,3) = 0,243 Sume la última columna de la tabla. 0,242 + 0,005 + 0,243 = 0,490. La desviación típica es la raíz cuadrada de 0,49, es decir, σ = 0,49 = 0,7 Generalmente, para las distribuciones de probabilidad, utilizamos una calculadora o una computadora para calcular μ y σ para reducir el error de redondeo. Para algunas distribuciones de probabilidad, existen fórmulas abreviadas para calcular μ y σ . Lance un dado justo de seis caras dos veces. Supongamos que X = el número de caras que muestran un número par. Construya una tabla como la y calcule la media μ y la desviación típica σ de X . Lanzar dos veces un dado justo de seis caras tiene el mismo espacio muestral que lanzar dos dados justos de seis caras. El espacio muestral tiene 36 resultados: (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Utilice el espacio muestral para completar la siguiente tabla: Cálculo de μ y σ . x P ( x ) x P ( x ) ( x – μ ) 2 ⋅ P ( x ) 0 9 36 0 (0 – 1) 2 ⋅ 9 36 = 9 36 1 18 36 18 36 (1 – 1) 2 ⋅ 18 36 = 0 2 9 36 18 36 (1 – 1) 2 ⋅ 9 36 = 9 36 Sume los valores de la tercera columna para hallar el valor esperado: μ = 36 36 = 1. Utilice este valor para completar la cuarta columna. Sume los valores de la cuarta columna y calcule la raíz cuadrada de la suma: σ = 18 36 ≈ 0.7071. El 11 de mayo de 2013 a las 09:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Irán era de aproximadamente el 21,42 %. Suponga que hace una apuesta a que se producirá un terremoto moderado en Irán durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 50 dólares. Si pierde la apuesta, paga 20 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. P (ganar) = P (se producirá un terremoto moderado) = 21,42 % P (pérdida) = P ( no se producirá un terremoto moderado) = 100 % - 21,42 % Si apuesta muchas veces, ¿saldrá ganando? Explique su respuesta en una frase completa utilizando números. ¿Cuál es la desviación típica de X ? Construya una tabla similar a la y la para ayudarse a responder a estas preguntas. x P(x) x (Px) ( x – μ ) 2 P ( x ) gana 50 0,2142 10,71 [50 – (-5,006)] 2 (0,2142) = 648,0964 pérdida -20 0,7858 -15,716 [-20 – (-5,006)] 2 (0,7858) = 176,6636 Media = Valor esperado = 10,71 + (-15,716) = -5,006. Si hace esta apuesta muchas veces en las mismas condiciones, su resultado a largo plazo será una pérdida promedio de 5,01 dólares por apuesta. Desviación típica = 648,0964 + 176,6636 ≈ 28,7186 Ejercicio El 11 de mayo de 2013 a las 9:30 p. m., la probabilidad de que se produjera una actividad sísmica moderada (un terremoto moderado) en las próximas 48 horas en Japón era de aproximadamente 1,08 %. Al igual que en el , se apuesta por que se produzca un terremoto moderado en Japón durante este periodo. Si gana la apuesta, gana 100 dólares. Si pierde la apuesta, paga 10 dólares. Supongamos que X = el monto de ganancia de una apuesta. Calcule la media y la desviación típica de X . Algunas de las funciones de probabilidad discreta más comunes son la binomial, la geométrica, la hipergeométrica y la de Poisson. La mayoría de los cursos elementales no cubren la geométrica, la hipergeométrica y la Poisson. Su instructor le hará saber si desea cubrir estas distribuciones. Una función de distribución de probabilidad es un patrón. Intente adaptar un problema de probabilidad en un patrón o distribución para realizar los cálculos necesarios. Estas distribuciones son herramientas que facilitan la resolución de problemas de probabilidad. Cada distribución tiene sus propias características especiales. Aprender las características le permite distinguir entre las diferentes distribuciones. Referencias Catálogo de clases en la Universidad Estatal de Florida. Disponible en línea en https://apps.oti.fsu.edu/RegistrarCourseLookup/SearchFormLegacy (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El valor esperado, o media, de una variable aleatoria discreta predice los resultados a largo plazo de un experimento estadístico que se ha repetido muchas veces. La desviación típica de una distribución de probabilidad se utiliza para medir la variabilidad de los posibles resultados. Revisión de la fórmula Media o valor esperado: μ = ∑ ​ x ∈ X x P ( x ) Desviación típica: σ = ∑ ​ x ∈ X ( x – μ ) 2 P ( x ) Complete la tabla de valores esperados. x P ( x ) x * P ( x ) 0 0,2 1 0,2 2 0,4 3 0,2 Halle el valor esperado en la tabla de valores esperados. x P ( x ) x * P ( x ) 2 0,1 2(0,1) = 0,2 4 0,3 4(0,3) = 1,2 6 0,4 6(0,4) = 2,4 8 0,2 8(0,2) = 1,6 0,2 + 1,2 + 2,4 + 1,6 = 5,4 Calcule la desviación típica. x P ( x ) x * P ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 2 0,1 2(0,1) = 0,2 (2–5,4) 2 (0,1) = 1,156 4 0,3 4(0,3) = 1,2 (4–5,4) 2 (0,3) = 0,588 6 0,4 6(0,4) = 2,4 (6–5,4) 2 (0,4) = 0,144 8 0,2 8(0,2) = 1,6 (8–5,4) 2 (0,2) = 1,352 Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,15 0,15 2 0,25 0,50 3 0,30 0,90 4 0,20 0,80 5 0,15 0,75 Los valores de P ( x ) no suman uno. Identifique el error en la tabla de distribución de probabilidades. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,15 0,15 2 0,25 0,40 3 0,25 0,65 4 0,20 0,85 5 0,15 1 Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un profesor de física quiere saber qué porcentaje de los estudiantes de Física dedicarán los próximos años a la investigación de posgrado. Tiene la siguiente distribución de probabilidad. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,35 2 0,20 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de años que un licenciado en física dedicará a la investigación de posgrado. Defina P ( x ) o la probabilidad de x . Halle la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante cuatro años. P ( x = 4) = _______ 1 – 0,35 – 0,20 – 0,15 – 0,10 – 0,05 = 0,15 Calcule la probabilidad de que un estudiante de física haga investigación de posgrado durante un máximo de tres años. P ( x ≤ 3) = _______ En promedio, ¿cuántos años espera que un estudiante de física pase haciendo investigación de posgrado? 1(0,35) + 2(0,20) + 3(0,15) + 4(0,15) + 5(0,10) + 6(0,05) = 0,35 + 0,40 + 0,45 + 0,60 + 0,50 + 0,30 = 2,6 años Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: A una profesora de ballet le interesa saber qué porcentaje de la clase de cada año continuará en el siguiente, para poder planificar qué clases ofrecer. A lo largo de los años, ha establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un estudiante estudiará ballet con la maestra. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un estudiante estudie ballet x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) x * P ( x ) 1 0,10 2 0,05 3 0,10 4 5 0,30 6 0,20 7 0,10 Defina la variable aleatoria X en palabras. X es el número de años que un estudiante estudia ballet con la maestra. P ( x = 4) = _______ P ( x < 4) = _______ 0,10 + 0,05 + 0,10 = 0,25 En promedio, ¿cuántos años espera que un niño estudie ballet con esta maestra? ¿Qué suma la columna \" P ( x )\" y por qué? La suma de las probabilidades suma uno porque es una distribución de probabilidad. ¿Qué suma la columna \" x * P ( x )\" y por qué? Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Cuál es el valor esperado del juego? – 2 ( 40 52 ) + 30 ( 12 52 ) = – 1,54 + 6,92 = 5,38 Está en un juego de cartas en el que saca una carta de un mazo estándar y la sustituye. Si la carta es de figura, gana 30 dólares. Si no es una carta de figura, paga 2 dólares. En un mazo de 52 cartas hay 12 cartas de figura. ¿Debe jugar el juego? TAREA PARA LA CASA Un grupo de teatro organiza una recaudación de fondos. Vende 100 boletos de rifa a 5 dólares cada uno. Supongamos que usted compra cuatro entradas. El premio consiste en dos pases para un espectáculo de Broadway, por un valor total de 150 dólares. ¿Qué le interesa aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Construya una PDF. Si esta recaudación de fondos se repite a menudo y siempre se compran cuatro boletos, ¿cuál sería el promedio de ganancias esperada por rifa? El juego consiste en seleccionar una carta de una baraja normal de 52 cartas y lanzar una moneda. La moneda es justa y tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz. Si la carta es de figura y la moneda sale cara, gana 6 dólares. Si la carta es de figura y la moneda cae en cruz, gana 2 dólares. Si la carta no es de figura, pierde 2 dólares, sin importar lo que muestre la moneda. Calcule el valor esperado para este juego (ganancia o pérdida neta esperada). Explique lo que indican sus cálculos sobre sus ganancias y pérdidas promedio a largo plazo en este juego. ¿Debe jugar a este juego para ganar dinero? La variable de interés es X , es decir, la ganancia o pérdida, en dólares. Las cartas de figura sota, reina y rey. Hay (3)(4) = 12 cartas de figura y 52 - 12 = 40 cartas que no son de figura. Primero tenemos que construir la distribución de probabilidad para X . Utilizamos los eventos de la tarjeta y la moneda para determinar la probabilidad de cada resultado, pero utilizamos el valor monetario de X para determinar el valor esperado. Evento con cartas X ganancia o pérdida neta P ( X ) Carta de figura y cara 6 ( 12 52 ) ( 1 2 ) = ( 6 52 ) Carta de figura y cruz 2 ( 12 52 ) ( 1 2 ) = ( 6 52 ) (No es una carta de figura) y (H o T) -2 ( 40 52 ) ( 1 ) = ( 40 52 ) Valor esperado = ( 6 ) ( 6 52 ) + ( 2 ) ( 6 52 ) + ( – 2 ) ( 40 52 ) = – 32 52 Valor esperado = -0,62 dólares, redondeados al céntimo más cercano Si juega a este juego repetidamente, durante una larga serie de partidas, esperaría perder 62 céntimos por partida, en promedio. No debe jugar a este juego para ganar dinero porque el valor esperado indica una pérdida promedio esperada. Compra un billete de lotería que cuesta 10 dólares. Solo hay 100 boletos a la venta en esta lotería. Hay un premio de 500 dólares, dos premios de 100 dólares y cuatro premios de 25 dólares. Calcule su ganancia o pérdida esperada. Complete la PDF y responda las preguntas. x P ( x ) x P ( x ) 0 0,3 1 0,2 2 3 0,4 Calcule la probabilidad de que x = 2. Calcule el valor esperado. 0,1 1,6 Suponga que le ofrecen el siguiente \"trato\" Lance un dado. Si saca un seis, gana 10 dólares. Si saca un cuatro o un cinco, gana 5 dólares. Si saca un uno, dos o tres, paga 6 dólares. ¿Qué le interesa en última instancia (el valor de la tirada o el dinero que gana)? Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Construya una PDF. A lo largo de este juego, ¿cuál es el promedio de ganancias que espera obtener por partida? Con base en los valores numéricos, ¿debería aceptar el trato? Explique su decisión con frases completas. Un inversionista de capital de riesgo, dispuesto a invertir 1.000.000 de dólares, tiene tres inversiones para elegir. La primera inversión, una compañía de software, tiene un 10 % de posibilidades de devolver 5.000.000 de dólares de ganancia, un 30 % de posibilidades de devolver 1.000.000 de dólares de ganancia y un 60 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La segunda compañía, una compañía de hardware, tiene un 20 % de posibilidades de obtener 3.000.000 de dólares de ganancia, un 40 % de posibilidades de obtener 1.000.000 de dólares de ganancia y un 40 % de posibilidades de perder el millón de dólares. La tercera compañía, una compañía de biotecnología, tiene un 10 % de posibilidades de obtener 6.000.000 de dólares de ganancia, un 70 % de no obtener ganancias ni pérdidas y un 20 % de perder el millón de dólares. Construya una PDF para cada inversión. Calcule el valor esperado para cada inversión. ¿Cuál es la inversión más segura? ¿Por qué cree que es así? ¿Cuál es la inversión más arriesgada? ¿Por qué cree que es así? ¿Qué inversión tiene la mayor rentabilidad esperada, en promedio? Compañía de software x P ( x ) 5.000.000 0,10 1.000.000 0,30 –1.000.000 0,60 Compañía de hardware x P ( x ) 3.000.000 0,20 1.000.000 0,40 –1,000,00 0,40 Empresa de biotecnología x P ( x ) 6,00,000 0,10 0 0,70 –1.000.000 0,20 $200.000; $600.000; $400.000 La tercera inversión porque tiene la menor probabilidad de pérdida La primera inversión porque tiene la mayor probabilidad de pérdida La segunda inversión Supongamos que 20.000 adultos casados de Estados Unidos son encuestados al azar sobre el número de hijos que tienen. Los resultados se recopilan y se utilizan como probabilidades teóricas. Supongamos que X = el número de hijos que tienen las personas casadas. x P ( x ) x P ( x ) 0 0,10 1 0,20 2 0,30 3 4 0,10 5 0,05 6 (o más) 0,05 Calcule la probabilidad de que un adulto casado tenga tres hijos. En palabras, ¿qué representa el valor esperado en este ejemplo? Calcule el valor esperado. ¿Es más probable que un adulto casado tenga de dos a tres hijos o de cuatro a seis? ¿Cómo lo sabe? Supongamos que la PDF del número de años que se tarda en obtener un título de licenciado en ciencias (Bachelor of Science, B.S.) se da en la . x P ( x ) 3 0,05 4 0,40 5 0,30 6 0,15 7 0,10 En promedio, ¿cuántos años cree que tarda una persona en obtener una licenciatura en Ciencias? 4,85 años Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. En la siguiente tabla se da la distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go. En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. Otra tienda, Entertainment Headquarters, alquila DVD y videojuegos. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en esta tienda es la siguiente. También tienen un límite de cinco DVD por cliente. x P ( x ) 0 0,35 1 0,25 2 0,20 3 0,10 4 0,05 5 0,05 ¿En qué tienda es mayor el número esperado de DVD alquilados por cliente? Si Video to Go calcula que tendrá 300 clientes la próxima semana, ¿cuántos DVD espera alquilar la próxima semana? Responda en forma de frase. Si Video to Go espera 300 clientes la próxima semana, y Entertainment HQ proyecta que tendrá 420 clientes, ¿en qué tienda es mayor el número esperado de alquileres de DVD para la próxima semana? Explique. ¿Cuál de los dos videoclubs experimenta más variación en el número de alquileres de DVD por cliente? ¿Cómo lo sabe? Un “amigo” le ofrece el siguiente “trato”. Por una tarifa de 10 dólares, puede elegir un sobre de una caja que contiene 100 sobres aparentemente idénticos. Sin embargo, cada sobre contiene un cupón para un regalo. Diez de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 6 dólares. Ochenta de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 8 dólares. Seis de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 12 dólares. Cuatro de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 40 dólares. Según la ganancia o la pérdida financiera a largo plazo, ¿debería jugar el juego? Sí, espero ganar dinero. No, espero perder dinero. No importa. Espero llegar a un punto de equilibrio. b La Universidad Estatal de Florida tiene 14 clases de Estadística programadas para su trimestre de verano 2013. Una clase tiene cupos para 30 estudiantes, ocho clases tienen cupos para 60 estudiantes, una clase tiene cupos para 70 estudiantes y cuatro clases tienen cupos para 100 estudiantes. ¿Cuál es el tamaño promedio de las clases, suponiendo que cada una de ellas esté llena? Hay cupos para 980 estudiantes. Supongamos que el cupo de cada clase está completo y seleccionamos un estudiante de Estadística al azar. Supongamos que la variable aleatoria X igual al tamaño de la clase del estudiante. Definir la PDF para X . Calcule la media de X . Calcule la desviación típica de X . En una lotería, hay 250 premios de 5 dólares, 50 premios de 25 dólares y diez premios de 100 dólares. Suponiendo que se emitan y vendan 10.000 billetes, ¿cuál es el precio justo que se debe cobrar para alcanzar el equilibrio? Supongamos que X = la cantidad de dinero que se gana con un billete. La siguiente tabla muestra la PDF para X . x P ( x ) 0 0,969 5 250 10.000 = 0,025 25 50 10.000 = 0,005 100 10 10.000 = 0,001 Calcule el valor esperado de X . 0(0,969) + 5(0,025) + 25(0,005) + 100(0,001) = 0,35 El precio justo de un billete es de 0,35 dólares. Cualquier precio superior a 0,35 dólares permitirá a la lotería recaudar dinero. Valor esperado promedio aritmético esperado cuando un experimento se repite muchas veces; también se denomina media. Notaciones: μ . En una variable aleatoria discreta (RV) con función de distribución de probabilidad P ( x ), la definición también puede escribirse en la forma μ = ∑ x P ( x ). Media número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es 'promedio' El término \"media\" es una forma abreviada de \"media aritmética\" Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todo valores en la muestra Número de valores en la muestra y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todo valores en la población Número de valores en la población . Media de una distribución de probabilidad el promedio a largo plazo de muchos ensayos de un experimento estadístico Desviación típica de una distribución de probabilidad número que mide la distancia de los resultados de un experimento estadístico con respecto a la media de la distribución σ = ∑ [ x – μ 2 ∙ Ρ x ] La ley de los grandes números A medida que aumenta el número de ensayos en un experimento de probabilidad, la diferencia entre la probabilidad teórica de un evento y la probabilidad de frecuencia relativa se aproxima a cero.", "section": "Media o valor esperado y desviación típica", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución binomial El experimento binomial tiene tres características. Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p denota la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fracaso en un ensayo. p + q = 1. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de Estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto ( p = 0,6) y su probabilidad de fallo ( q = 0,4) siguen siendo las mismas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial . La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media, μ , y la varianza, σ 2 , de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ 2 = npq . La desviación típica, σ , es entonces σ = n p q . Cualquier experimento que tenga las características dos y tres y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que, a finales de 1600, los estudió ampliamente). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli. En el Colegio ABC, la tasa de abandono de un curso de Física elemental es del 30 % en cualquier trimestre. Esto implica que, en cualquier trimestre, el 70 % de los estudiantes permanecen en la clase durante todo el trimestre. Un “acierto\" podría definirse como un individuo que se retira. La variable aleatoria X = el número de estudiantes que se retiran de la clase de Física elemental seleccionada al azar. Ejercicio El consejo estatal de salud está preocupado por la cantidad de fruta disponible en los almuerzos escolares. El 48 % de las escuelas del estado ofrecen fruta en sus almuerzos todos los días. Esto implica que el 52 % no lo hace. ¿Qué sería un “acierto\" en este caso? Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P ( x = 15). Ejercicio Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Ejercicio Se lanza un dado justo de seis caras diez veces. Cada tirada es independiente. Quiere calcular la probabilidad de sacar un uno más de tres veces. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar. a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo. b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X ? c. ¿Qué valores toma x ? d. ¿Qué es un “fallo” en palabras? e. Si p + q = 1, ¿qué es q ? f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P ( x ____ 40)? a. fallo b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo c. 0, 1, 2, …, 50 d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo. La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50 e. q = 0,30 f. mayor o igual que (≥) La pregunta de probabilidad es P ( x ≥ 40). Ejercicio El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial. Notación para el binomio: B = Función de distribución de la probabilidad binomial X ~ B ( n , p ) Léase esto como \" X es una variable aleatoria con una distribución binomial\". Los parámetros son n y p ; n = número de ensayos, p = probabilidad de acierto en cada ensayo. Se ha afirmado que alrededor del 41 % de los trabajadores adultos tienen un diploma de secundaria, pero no siguen ningún tipo de educación. Si se seleccionan al azar 20 trabajadores adultos, halle la probabilidad de que como máximo 12 de ellos tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación. ¿Cuántos trabajadores adultos espera que tengan un título de secundaria, pero que no sigan estudiando? Supongamos que X = el número de trabajadores que tienen un diploma de secundaria, pero que no siguen ningún tipo de educación. X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 donde n = 20, p = 0,41 y q = 1 - 0,41 = 0,59. X ~ B (20, 0,41) Halle P ( x ≤ 12). P ( x ≤ 12) = 0,9738. (calculadora o computadora) Vaya a 2 nd DISTR. La sintaxis de las instrucciones es la siguiente: Para calcular ( x = valor): binompdf( n , p , número) si se omite \"número\", el resultado es la tabla de probabilidad binomial. Para calcular P ( x ≤ valor): binomcdf( n , p , número) si se omite \"número\", el resultado es la tabla de probabilidad binomial acumulada. Para este problema: una vez que esté en 2 nd DISTR, use la flecha hacia abajo hasta binomcdf. Pulse ENTER. Introduzca 20,0.41,12). El resultado es P (x ≤ 12) = 0,9738. NOTA Si quiere hallar P ( x = 12), utilice la pdf (binompdf). Si quiere hallar P ( x > 12), utilice 1 - binomcdf(20; 0,41;12). La probabilidad de que como máximo 12 trabajadores tengan un diploma de secundaria, pero no sigan ningún tipo de educación es de 0,9738. El gráfico de X ~ B (20, 0,41) es el siguiente: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de trabajadores que solo tienen un diploma de secundaria. El número de trabajadores adultos que se espera que tengan un diploma de secundaria, pero que no sigan ningún tipo de educación es la media, μ = np = (20)(0,41) = 8,2. La fórmula de la varianza es σ 2 = npq . La desviación típica es σ = n p q . σ = ( 20 ) ( 0,41 ) ( 0,59 ) = 2.20. Ejercicio Alrededor del 32 % de los estudiantes participan en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Si se seleccionan 30 estudiantes al azar, calcule la probabilidad de que como máximo 14 de ellos participen en un programa de voluntariado comunitario fuera de la escuela. Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. El catálogo de suministros de arte Jerry's Artarama del 2013 tiene 560 páginas. Ocho de las páginas incluyen artistas reconocidos. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 100 páginas. Supongamos que X = el número de páginas en las que aparecen artistas reconocidos. ¿Qué valores toma x ? ¿Cuál es la distribución de probabilidad? Calcule las siguientes probabilidades la probabilidad de que dos páginas presenten artistas reconocidos la probabilidad de que como máximo seis páginas presenten artistas reconocidos la probabilidad de que en más de tres páginas aparezcan artistas reconocidos. Con las fórmulas, calcule la (i) media y la (ii) desviación típica. x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 X ~ B ( 100 , 8 560 ) P ( x = 2) = binompdf ( 100 , 8 560 , 2 ) = 0,2466 P ( x ≤ 6) = binomcdf ( 100 , 8 560 , 6 ) = 0,9994 P ( x > 3) = 1 - P ( x ≤ 3) = 1 - binomcdf ( 100 , 8 560 , 3 ) = 1 – 0,9443 = 0,0557 Media = np = (100) ( 8 560 ) = 800 560 ≈ 1,4286 Desviación típica = n p q = ( 100 ) ( 8 560 ) ( 552 560 ) ≈ 1,1867 Ejercicio Según una encuesta de Gallup, el 60 % de los adultos estadounidenses prefieren ahorrar a gastar. Supongamos que X = el número de adultos estadounidenses de una muestra aleatoria de 50 que prefieren ahorrar a gastar. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Utilice su calculadora para hallar las siguientes probabilidades la probabilidad de que 25 adultos de la muestra prefieran ahorrar a gastar la probabilidad de que como máximo 20 adultos prefieran ahorrar la probabilidad de que más de 30 adultos prefieran ahorrar Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 200 personas. Supongamos que X = el número de personas que desarrollarán cáncer de páncreas. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Utilice su calculadora para hallar la probabilidad de que como máximo ocho personas desarrollen cáncer de páncreas ¿Es más probable que cinco o seis personas desarrollen un cáncer de páncreas? Justifique su respuesta numéricamente. Ejercicio Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Utilice su calculadora para hallar la probabilidad de que DeAndre marque con 60 de estos tiros. Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros. El siguiente ejemplo ilustra un problema que no es binomial. Viola la condición de independencia. El Colegio ABC cuenta con un comité consultivo de estudiantes formado por diez miembros del personal y seis estudiantes. El comité desea elegir un presidente y un secretario. ¿Cuál es la probabilidad de que el presidente y el registrador sean ambos estudiantes? Los nombres de todos los miembros de la comisión se introducen en una urna y se extraen dos nombres sin reemplazo . El primer nombre extraído determina el presidente y el segundo el registrador. Hay dos ensayos. Sin embargo, los ensayos no son independientes porque el resultado del primer ensayo afecta al resultado del segundo. La probabilidad de que un estudiante salga en la primera extracción es 6 16 . La probabilidad de que un estudiante salga en la segunda extracción es 5 15 , cuando en la primera extracción se selecciona a un estudiante. La probabilidad es 6 15 , cuando en la primera extracción se selecciona a un miembro del personal. La probabilidad de sacar el nombre de un estudiante cambia en cada uno de los ensayos y, por tanto, viola la condición de independencia. Ejercicio Un equipo de lacrosse elige un capitán. Los nombres de todos los mayores se meten en un sombrero y los tres primeros que se extraigan serán los capitanes. Los nombres no se reemplazan una vez extraídos (una persona no puede ser dos capitanes). Quiere ver si los capitanes juegan todos en la misma posición. Indique si se trata de una probabilidad binomial o no y explique por qué. Referencias “Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015). “Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013). “NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013). Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011 . Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np , y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = n p q . Revisión de la fórmula X ~ B ( n , p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p . X = el número de aciertos en n ensayos independientes n = el número de ensayos independientes X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media de X es μ = np . La desviación típica de X es σ = n p q . Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = número de respuestas afirmativas X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). x P ( x ) En promedio ( μ ), ¿cuántos esperaría que respondieran afirmativamente? 5,7 ¿Cuál es la desviación típica ( σ )? ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? 0,4151 ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? TAREA PARA LA CASA Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, ... 25 Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 0,0165 En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es . En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. X = el número de DVD que alquila un cliente de Video to Go 0,12 0,11 0,77 Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades? Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes. Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos. El número esperado de victorias para ese mes es: 1,67 12 382 1043 4,43 d. 4,43 Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes? 0,1476 0,2336 0,7664 0,8903 ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes? 0,3694 0,5266 0,4734 0,2305 c Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas. Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas. X = número de preguntas contestadas correctamente X ~ B ( 32, 1 3 ) Nos interesa que MÁS DEL 75 % de las 32 preguntas sean correctas. El 75 % de 32 es 24. Queremos hallar P ( x > 24). El evento “más de 24” es el complemento de “menos de o igual a 24”. Con el menú de distribución de su calculadora: 1 - binomcdf ( 32, 1 3 , 24 ) P ( x > 24) = 0 La probabilidad de acertar más del 75 % de las 32 preguntas cuando se estima al azar es muy pequeña y prácticamente cero. Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno? Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno. ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente. Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos? Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos. ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa. X = el número de institutos universitarios y universidades que ofrecen cursos en línea. 0, 1, 2, …, 13 X ~ B (13, 0,96) 12,48 0,0135 P ( x = 12) = 0,3186 P ( x = 13) = 0,5882. Más probabilidades de obtener 13. Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación? Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente. En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal? Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente. X = el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal 0, 1, 2, 3,... 25 X ~ B (25, 0,40) 10 0,0442 La probabilidad de que los 25 no utilicen el florete es casi cero. Por lo tanto, sería muy sorprendente. Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años? Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto. Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces. X = el número de auditorías en un periodo de 20 años 0, 1, 2, …, 20 X ~ B (20, 0,02) 0,4 0,6676 0,0071 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos? ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué? ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos? Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Enumere los valores que puede adoptar Y . Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades. Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador. Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador. Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa. X = el número de coincidencias 0, 1, 2, 3 X ~ B ( 3 , 1 6 ) En dólares: −1, 1, 2, 3 1 2 Multiplique cada valor Y por la probabilidad X correspondiente de la tabla de PDF. La respuesta es −0,0787. Usted pierde unos ocho céntimos, en promedio, por juego. La casa tiene la ventaja. Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X . Utilice su calculadora para calcular la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas. Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir? X ~ B (15, 0,281) Media = μ = np = 15(0,281) = 4,215 Desviación típica = σ = n p q = 15 ( 0,281 ) ( 0,719 ) = 1,7409 P ( x > 5) = 1 - P ( x ≤ 5) = 1 - binomcdf(15, 0,281, 5) = 1 - 0,7754 = 0,2246 P ( x = 3) = binompdf(15, 0,281, 3) = 0,1927 P ( x = 4) = binompdf(15, 0,281, 4) = 0,2259 Es más probable que cuatro personas sepan leer y escribir que tres. Experimento binomial un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Ensayos de Bernoulli un experimento con las siguientes características: Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo). Distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n − x .", "section": "Distribución binomial", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución geométrica Hay tres características principales de un experimento geométrico. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) = 0,0804 X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P ( x = 5). Ejercicio Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X ? Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P ( x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”). Ejercicio Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente? Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas? Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de acierto sigue siendo la misma cada vez que le pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante). a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí. b. ¿Qué valores toma X ? c. ¿Qué son p y q ? d. La pregunta de probabilidad es P (_______). a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí. b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes) c. p = 0,55; q = 0,45 d. P ( x = 4) Ejercicio Tiene que hallar una tienda que tenga una tinta especial para impresoras. Sabe que de las tiendas que tienen tinta para impresoras, el 10 % tiene la tinta especial. Llame al azar a cada tienda hasta que una tenga la tinta que necesita. ¿Qué son p y q ? Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica X ~ G ( p ) Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica” . El parámetro es p ; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo. Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso? Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto. X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02) Calcule P ( x = 7). P ( x = 7) = 0,0177. Hallar la probabilidad de que x = 7, Introduzca 2 nd , DISTR Desplácese hacia abajo y seleccione geometpdf( Pulse ENTER Introduzca 0,02, 7); pulse ENTER para ver el resultado: P ( x = 7) = 0,0177 Para hallar la probabilidad de que x ≤ 7, siga las mismas instrucciones EXCEPTO que seleccione E:geometcdf(como la función de distribución. La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177. El gráfico de X ~ G(0,02) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de componentes informáticos probados. El número de componentes que se espera probar hasta hallar el primero defectuoso es la media, μ = 50 . La fórmula de la media es μ = 1 p = 1 0,02 = 50 La fórmula de la varianza es σ 2 = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0,02 ) ( 1 0,02 – 1 ) = 2.450 La desviación típica es σ = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0, 02 ) ( 1 0, 02 – 1 ) = 49,5 Ejercicio La probabilidad de que haya una varilla de acero defectuosa es de 0,01. Las varillas de acero se seleccionan al azar. Halle la probabilidad de que el primer defecto se produzca en la novena varilla de acero. Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta hasta que una dice que tiene cáncer de páncreas. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) o X ~ G (0,0128). ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a diez personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . P ( x = 10) = geometpdf(0,0128, 10) = 0,0114 P ( x = 20) = geometpdf(0,0128, 20) = 0,01 Media = μ = 1 p = 1 0,0128 = 78 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,0128 0,0128 2 ≈ 77,6234 Ejercicio La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en Afganistán es del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres afganas a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Referencias “Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay tres características de un experimento geométrico: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo son iguales para cada ensayo. En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G ( p ) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo. La media de la distribución geométrica X ~ G ( p ) es μ = 1 p y la desviación típica es σ ( 1 – p ) p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Revisión de la fórmula X ~ G( p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p . X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto X toma los valores x = 1, 2, 3, ... p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media es μ = 1 p . La desviación típica es σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de estudiantes de primer año seleccionados del estudio hasta que uno respondió “sí” a que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 1,2,… Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6. x P ( x ) 1 2 3 4 5 6 En promedio ( μ ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”? 1,4 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año? TAREA PARA LA CASA Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil? Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios. Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios. Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón? Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas. Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas. X = el número de adultos en Estados Unidos encuestados hasta que uno dice que verá el supertazón. X ~ G (0,40) 2,5 0,0187 0,2304 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas? Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella? ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado? X = el número de páginas que anuncian calzado X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 X ~ B (20, 29 192 ) 3,02 No 0,9997 X = el número de páginas que debemos inspeccionar hasta hallar una que anuncie calzado. X ~ G ( 29 192 ) 0,3881 6,6207 páginas Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado. p = probabilidad de acierto (se produce el evento F ) q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce) Escriba la descripción de la variable aleatoria X . ¿Cuáles son los valores que puede asumir X ? Calcule los valores de p y q . Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo. Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2 y 3 El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”. ”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH. Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas? Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X . Según un reciente sondeo de Pew Research, el 75 % de los mileniales (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social. Describa la distribución de X . Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas? X ~ G (0,25) Media = μ = 1 p = 1 0,25 = 4 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0 0,25 0,25 2 ≈ 3,4641 P ( x = 10) = geometpdf(0,25, 10) = 0,0188 P ( x = 20) = geometpdf(0,25, 20) = 0,0011 P ( x ≤ 5) = geometcdf(0,25, 5) = 0,7627 Distribución geométrica una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. Notación: X ~ G ( p ). La media es μ = 1 p y la desviación típica es σ = 1 p ( 1 p – 1 ) . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P ( X = x ) = p (1 - p )x - 1 . Experimento geométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo no cambian de un ensayo a otro.", "section": "Distribución geométrica", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución hipergeométrica Hay cinco características de un experimento hipergeométrico. Se toman muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Se toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Por ejemplo, quiere elegir un equipo de softball entre un grupo combinado de 11 hombres y 13 mujeres. El equipo está formado por diez jugadores. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. En el ejemplo del sóftbol, la probabilidad de elegir primero a una mujer es 13 24 . La probabilidad de elegir a un hombre en segundo lugar es 11 23 si se eligió a una mujer primero. Es 10 23 si se eligió a un hombre primero. La probabilidad de la segunda elección depende de lo que haya ocurrido en la primera. No se trata de ensayos de Bernoulli. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica . La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. Un plato de caramelos contiene 100 gominolas y 80 chicles. Se eligen 50 caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 35 de los 50 sean chicles? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Como la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de seleccionar un chicle, el grupo de interés (primer grupo) es el de los chicles. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 80. El tamaño del segundo grupo es de 100. El tamaño de la muestra es de 50 (gominolas o chicles). Supongamos que X = el número de chicles en la muestra de 50. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 50. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente? P ( x = 35) Ejercicio Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra? Supongamos que se sabe que un envío de 100 reproductores de DVD tiene diez reproductores defectuosos. Un inspector elige al azar 12 para la inspección. Le interesa determinar la probabilidad de que, entre los 12 reproductores de DVD, a lo sumo dos estén defectuosos. Los dos grupos son los 90 reproductores de DVD no defectuosos y los 10 reproductores de DVD defectuosos. El grupo de interés (primer grupo) es el grupo defectuoso porque la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de que haya como máximo dos reproductores de DVD defectuosos. El tamaño de la muestra es de 12 reproductores de DVD. (Pueden estar o no defectuosos.). Supongamos que X = el número de reproductores de DVD defectuosos en la muestra de 12. X toma los valores 0, 1, 2, ..., 10. X no puede tomar los valores 11 o 12. El tamaño de la muestra es de 12, pero solo hay 10 reproductores de DVD defectuosos. Escriba el enunciado de la probabilidad matemáticamente. P ( x ≤ 2) Ejercicio Una caja de huevos contiene 144 huevos. Se sabe que una caja en particular tiene 12 huevos rotos. Un inspector elige al azar 15 para la inspección. Quiere saber la probabilidad de que, entre los 15, a lo sumo tres estén agrietados. ¿Qué es X y qué valores adquiere? Usted es el presidente de una organización de eventos especiales en el campus. Necesita un comité de siete estudiantes para planificar una fiesta de cumpleaños especial para el presidente del instituto universitario. Su organización está formada por 18 mujeres y 15 hombres. Le interesa el número de hombres en su comité. Si los miembros del comité se seleccionan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su comité tenga más de cuatro hombres? Se trata de un problema hipergeométrico porque se está eligiendo el comité entre dos grupos (hombres y mujeres). a. ¿Está eligiendo con o sin reemplazo? b. ¿Cuál es el grupo de interés? c. ¿Cuántos hay en el grupo de interés? d. ¿Cuántos hay en el otro grupo? e. Supongamos que X = _________ en el comité. ¿Qué valores toma X ? f. La pregunta de probabilidad es P (_______). a. sin b. los hombres c. 15 hombres d. 18 mujeres e. Supongamos que X = el número de hombres del comité. x = 0, 1, 2, ..., 7 f. P ( x > 4) Ejercicio Una paleta tiene 200 cartones de leche. De los 200 cartones, se sabe que diez de ellos se filtraron y no se pueden vender. Un empleado de almacén elige al azar 18 para su inspección. Quiere saber la probabilidad de que entre los 18, no haya más de dos cartones con fugas. Dé cinco razones por las que este es un problema hipergeométrico. Notación para el hipergeométrico: H = Función de distribución de la probabilidad hipergeométrica X ~ H ( r , b , n ) Léala como \" X es una variable aleatoria con una distribución hipergeométrica\". Los parámetros son r , b y n ; r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, n = el tamaño de la muestra elegida. El comité escolar se elegirá al azar entre seis hombres y cinco mujeres. Si el comité está formado por cuatro miembros elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean hombres? ¿Cuántos hombres espera que haya en el comité? Supongamos que X = el número de hombres del comité de cuatro. Los hombres son el grupo de interés (primer grupo). X toma los valores 0, 1, 2, 3, 4, donde r = 6 , b = 5 y n = 4 . X ~ H (6, 5, 4) Calcule P ( x = 2). P ( x = 2) = 0,4545 (calculadora o computadora) NOTA Actualmente, la TI-83+ y la TI-84 no tienen funciones de probabilidad hipergeométrica. Hay varios paquetes informáticos, como Microsoft Excel, que lo hacen. La probabilidad de que haya dos hombres en el comité es de aproximadamente 0,45. El gráfico de X ~ H (6, 5, 4) es: El eje y contiene la probabilidad de X , donde X = el número de hombres en el comité. Es de esperar que haya m = 2,18 (unos dos) hombres en el comité. La fórmula de la media es μ = n r r + b = ( 4 ) ( 6 ) 6 + 5 = 2,18 Ejercicio Se elegirá un equipo de baloncesto intramuros al azar entre 15 chicos y 12 chicas. El equipo tiene diez plazas. Quiere saber la probabilidad de que ocho de los jugadores sean chicos. ¿Cuál es el grupo de interés y la muestra? Repaso del capítulo Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. No se trata de ensayos de Bernoulli. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. La distribución de X se denota como X ~ H ( r , b , n ), donde r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo, y n = el tamaño de la muestra elegida. Se deduce que n ≤ r + b . La media de X es μ = n r r + b y la desviación típica es σ = r b n ( r + b – n ) ( r + b ) 2 ( r + b – 1) . Revisión de la fórmula X ~ H ( r , b , n ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad hipergeométrica con r = el tamaño del grupo de interés (primer grupo), b = el tamaño del segundo grupo y n = el tamaño de la muestra elegida. X = el número de elementos del grupo de interés que están en la muestra elegida, y X puede tomar los valores x = 0, 1, ..., hasta el tamaño del grupo de interés. (El valor mínimo de X puede ser mayor que cero en algunos casos) n ≤ r + b La media de X viene dada por la fórmula μ = n r r + b y la desviación típica es = r b n ( r + b – n ) ( r + b ) 2 ( r + b – 1) . Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de especialidades en Negocios en la muestra. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Calcule la desviación típica. Por término medio( μ ), ¿cuántos esperaría que fueran estudiantes de negocios? 6,26 TAREA PARA LA CASA Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? Calcule la desviación típica. X = el número de páginas que anuncian calzado 0, 1, 2, 3, ..., 20 X ~ H (29, 163, 20); r = 29, b = 163, n = 20 3,03 1,5197 Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes? Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes. Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes. Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo? X = el número de Patriots elegidos 0, 1, 2, 3, 4 X ~ H (4, 8, 9) Sin reemplazo Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón? ¿Cuál es el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el otro grupo? Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X ? La pregunta de probabilidad es P (_______). Calcule la probabilidad en cuestión. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Experimento hipergeométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada elección de un jugador no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. No se trata de ensayos de Bernoulli. Probabilidad hipergeométrica una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por: Un número fijo de ensayos. La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro. Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos. Notación: X ~ H ( r , b , n ), donde r = el número de elementos en el grupo de interés, b = el número de elementos en el grupo que no es de interés, y n = el número de elementos elegidos.", "section": "Distribución hipergeométrica", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución de Poisson Hay dos características principales de un experimento de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es \"pequeña\" (del orden de 0,01) y el número de intentos es \"grande\" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto\". La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. El número promedio de panes colocados en un estante de una panadería en un periodo de media hora es de 12. Es interesante el número de panes que se ponen en la estantería en cinco minutos. El intervalo de tiempo de interés es de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de panes, seleccionados al azar, puestos en la estantería en cinco minutos sea tres? Supongamos que X = el número de barras de pan puestas en la estantería en cinco minutos. Si el número promedio de panes colocados en el estante en 30 minutos (media hora) es 12, entonces el número promedio de panes colocados en el estante en cinco minutos es ( 5 30 ) (12) = 2 panes. La pregunta de probabilidad le pide que halle P ( x = 3). Ejercicio El número promedio de peces capturados en una hora es de ocho. Es interesante el número de peces capturados en 15 minutos. El intervalo de tiempo de interés es de 15 minutos. ¿Cuál es el número promedio de peces capturados en 15 minutos? Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad. P ( x < 5) Ejercicio Una tienda de electrónica espera tener un promedio de diez devoluciones al día. El administrador quiere saber la probabilidad de que la tienda reciba menos de ocho devoluciones en un día determinado. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión? Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión. a. ¿Cuál es el intervalo de interés? b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión? c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X ? d. La pregunta de probabilidad es P (______). a. una emisión b. 2 c. Supongamos que X = el número de veces que el reportero de noticias dice “eh\" durante una emisión. x = 0, 1, 2, 3, ... d. P ( x > 2) Ejercicio La sala de urgencias de un determinado hospital recibe un promedio de cinco pacientes por hora. Un médico quiere saber la probabilidad de que Urgencias reciba más de cinco pacientes por hora. Indique la razón por la que se trata de una distribución de Poisson. Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson X ~ P ( μ ) Se lee como “ X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ ); μ (o λ ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ =√ μ El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos? Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 hora) x = 0, 1, 2, 3, ... Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema. X ~ P (0,75) Calcule P ( x > 1). P ( x > 1) = 0,1734 (calculadora o computadora) Pulse 1 y luego pulse 2. º DISTR. Pulse la flecha hacia abajo y seleccione poissoncdf. Pulse ENTER. Introduzca (0,75,1). El resultado es P ( x > 1) = 0,1734. Nota Las calculadoras de TI utilizan λ (lambda) para la media. La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734: P ( x > 1) = 1 - poissoncdf(0,75, 1). El gráfico de X ~ P (0,75) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de llamadas durante 15 minutos. Ejercicio Un centro de atención al cliente recibe unos diez correos electrónicos cada media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de atención al cliente reciba más de cuatro correos electrónicos en los próximos seis minutos? Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. Según Baydin, una compañía de gestión de correo electrónico, un usuario de correo electrónico recibe, en promedio, 147 correos electrónicos al día. Supongamos que X = el número de correos electrónicos que recibe un usuario por día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (147). La media es de 147 correos electrónicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 160 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 160 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la desviación típica? P ( x = 160) = poissonpdf(147, 160) ≈ 0,0180 P ( x ≤ 160) = poissoncdf(147, 160) ≈ 0,8666 Desviación típica = σ = μ = 147 ≈ 12,1244 Ejercicio Según una encuesta reciente del Pew Internet Project, las chicas de entre 14 y 17 años envían un promedio de 187 mensajes de texto al día. Supongamos que X = el número de mensajes de texto que una chica de 14 a 17 años envía al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (187). La media es de 187 mensajes de texto. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe exactamente 175 mensajes de texto al día? ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe como máximo 150 mensajes de texto al día? ¿Cuál es la desviación típica? Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora? Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es 41,5 24 ≈ 1,7292. X ~ P (1,7292), por lo que P ( x = 2) = poissonpdf(1,7292, 2) ≈ 0,2653 P ( x > 2) = 1 – P ( x ≤ 2) = 1 – poissoncdf(1,7292, 2) ≈ 1 - 0,7495 = 0,2505 Ejercicio El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más concurrido del mundo. En promedio, cada día hay 2.500 llegadas y salidas. ¿Cuántos aviones llegan y salen del aeropuerto por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 100 llegadas y salidas en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 100 llegadas y salidas en una hora? El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja. Mediante la distribución binomial: P ( x = 10) = binompdf(200, 0,0102, 10) ≈ 0,000039 Mediante la distribución de Poisson: Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04 P ( x = 10) = poissonpdf(2,04, 10) ≈ 0,000045 Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0. Ejercicio El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó de que la probabilidad de actividad sísmica moderada para las próximas 48 horas en las islas Kuriles, frente a la costa de Japón, era de alrededor del 1,43 %. Utilice esta información para los próximos 100 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en cinco de los próximos 100 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Referencias “ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 18 de febrero de 2019). Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013). “Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013). “How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volum is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es \"pequeña\" (menor o igual a 0,05) y el número de intentos es \"grande\" (mayor o igual a 20). Revisión de la fórmula X ~ P ( μ ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ... La media μ normalmente está dada. La varianza es σ 2 = μ , y la desviación típica es σ = μ . Cuando se utiliza P ( μ ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X . ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, … ¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día? ¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día. 0,0485 ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas? 0,0214 ¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos de motor al día. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, ... Para los valores dados de la variable aleatoria X , rellene las probabilidades correspondientes. ¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. No ¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. TAREA PARA LA CASA La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía. Calcule la media y la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía? Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía? ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía? X ~ P (5,5); μ = 5,5; σ = 5,5 ≈ 2,3452 P ( x ≤ 6) = poissoncdf(5,5, 6) ≈ 0,6860 Hay un 15,7 % de probabilidad de que el personal jurídico reciba más llamadas de las que puede atender. P ( x > 8) = 1 – P ( x ≤ 8) = 1 – poissoncdf(5,5, 8) ≈ 1 - 0,8944 = 0,1056 La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora. Calcule la media y la desviación típica de X . Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora? Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson. Supongamos que X = el número de bombillas defectuosas en una cadena. Mediante la distribución de Poisson: μ = np = 100(0,03) = 3 X ~ P (3) P ( x ≤ 4) = poissoncdf(3, 4) ≈ 0,8153 Mediante la distribución binomial: X ~ B (100, 0,03) P ( x ≤ 4) = binomcdf(100, 0,03, 4) ≈ 0,8179 La aproximación de Poisson es muy buena: la diferencia entre las probabilidades es de solo 0,0026. El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas. El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas. X = el número de hijos de una española 0, 1, 2, 3,... X ~ P (1,47) 0,2299 0,5679 0,4321 Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca: Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Demuestre la distribución de X . X ~ _______ Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año. La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional? Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional. Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional. A medida que aumenta n , ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas. X = el número de galletas de la fortuna que tienen suerte adicional 0, 1, 2, 3,... 144 X ~ B (144, 0,03) o P (4,32) 4,32 0,0124 o 0,0133 0,6300 o 0,6264 A medida que n aumenta, las probabilidades se acercan. Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Dada la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas se espera que sufran anorexia? Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia. Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Use una distribución de Poisson para responder las siguientes preguntas. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que se hayan auditado? Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado. Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados. X = número de personas auditadas en un año 0, 1, 2, ..., 100 X ~ P (2) 2 0,1353 0,3233 Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel? Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles? Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué? X = el número de trozos de cáscara en un pastel 0, 1, 2, 3,... X ~ P (1,5) 1,5 0,2231 0,0001 Sí Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. En palabras, la variable aleatoria X = _________________ el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan. Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana. 0,5000 0,9329 0,0378 0,0671 d Distribución de probabilidad de Poisson una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos. Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. Notación: X ~ P ( μ ). La media es μ = np . La desviación típica es σ = μ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r intentos es P ( X = x ) = ( e – μ ) μ x x ! . La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es \"grande\" y p es \"pequeña\" (una regla general es que n debe ser mayor o igual a 20 y p debe ser menor o igual a 0,05).", "section": "Distribución de Poisson", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución discreta (experimento con cartas) Distribución discreta (experimento con cartas) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si un experimento cotidiano se ajusta a una distribución discreta. El estudiante comparará la simulación generada por la tecnología y una distribución teórica. El estudiante demostrará que comprende las probabilidades a largo plazo. Suministros Una baraja completa de cartas Una calculadora de programación Procedimiento El procedimiento experimental para los datos empíricos consiste en elegir una carta de una baraja. La probabilidad teórica de escoger un diamante de una baraja es _________. Baraje un mazo de cartas. Elija una carta. Anote si era o no un diamante. Vuelva a poner la carta en su sitio y baraje de nuevo. Haga esto un total de diez veces. Anote el número de diamantes extraídos. Supongamos que X = número de diamantes. Teóricamente, X ~ B (_____,_____) Organice los datos Registre el número de diamantes extraídos para su clase con las cartas en la . A continuación, calcule la frecuencia relativa. x Frecuencia Frecuencia relativa 0 __________ __________ 1 __________ __________ 2 __________ __________ 3 __________ __________ 4 __________ __________ 5 __________ __________ 6 __________ __________ 7 __________ __________ 8 __________ __________ 9 __________ __________ 10 __________ __________ Calcule lo siguiente: x ¯ = ________ s = ________ Construya un histograma de los datos empíricos. Distribución teórica Construya el gráfico PDF teórico basado en la distribución de la sección Procedimiento . x P ( x ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Calcule lo siguiente: μ = ____________ σ = ____________ Construya un histograma de la distribución teórica. Uso de los datos NOTA RF = frecuencia relativa (relative frequency, RF) Utilice la tabla de la sección Distribución teórica para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales. P ( x = 3) = _______________________ P (1 < x < 4) = _______________________ P ( x ≥ 8) = _______________________ Utilice los datos de la sección Organizar los datos para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales RF ( x = 3) = _______________________ RF (1 < x < 4) = _______________________ RF ( x ≥ 8) = _______________________ Preguntas para el debate Para las preguntas 1 y 2, piense en las formas de los dos gráficos, las probabilidades, las frecuencias relativas, las medias y las desviaciones típicas. Sabiendo que los datos varían, describa tres similitudes entre los gráficos y las distribuciones teóricas, empíricas y de simulación. Utilice oraciones completas. Describa las tres diferencias más significativas entre los gráficos o las distribuciones teórica, empírica y de simulación. Utilizando sus respuestas a las preguntas 1 y 2, ¿le parece que los dos conjuntos de datos se ajustan a la distribución teórica? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. Supongamos que el experimento se ha repetido 500 veces. ¿Espera que la o la cambien, y cómo lo harían? ¿Por qué? ¿Por qué no cambiarían la(s) otra(s) tabla(s)?", "section": "Distribución discreta (experimento con cartas)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte) Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si un juego de azar Tet se ajusta a una distribución discreta. El estudiante demostrará que comprende las probabilidades a largo plazo. Suministros un juego de “Dados de la Suerte” o tres dados normales Procedimiento Redondee las respuestas a los problemas de frecuencia relativa y probabilidad con cuatro decimales. El procedimiento experimental consiste en apostar por un objeto. A continuación, lance los tres Dados de la Suerte y cuente el número de aciertos. Según el número de aciertos se decidirá su ganancia. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que un dado coincida con el objeto? Elija un objeto para hacer una apuesta. Lance los tres dados de la suerte. Cuente el número de coincidencias. Supongamos que X = número de aciertos. Teóricamente, X ~ B (______,______) Supongamos que Y = ganancia por juego. Organice los datos En la , rellene el valor de y que corresponde a cada valor de x . A continuación, anote el número de juegos elegidos para su clase. A continuación, calcule la frecuencia relativa. Rellene la tabla. x y Frecuencia Frecuencia relativa 0 1 2 3 Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s x = ________ y ¯ = _______ s y = _______ Explique qué representa la x ¯ . Explique qué representa la y ¯ . Con base en el experimento, ¿Cuál fue la ganancia promedio por juego? ¿Representa esto una promedio de victorias o derrotas por juego? ¿Cómo lo sabe? Responda con oraciones completas. Construya un histograma de los datos empíricos. Distribución teórica Construya el gráfico de la PDF teórica para x y “y” basándose en la distribución de la sección Procedimiento . x y P ( x ) = P ( y ) 0 1 2 3 Calcule lo siguiente: μ x = _______ σ x = _______ μ x = _______ Explique lo que μ x representa. Explique lo que μ y representa. Con base en la teoría, ¿Cuál era la ganancia esperada por juego? ¿La ganancia esperada representó un promedio de juegos que ganó o perdió? ¿Cómo lo sabe? Responda con oraciones completas. Construya un histograma de la distribución teórica. Utilizar los datos Nota RF = frecuencia relativa (relative frequency, RF) Utilice los datos de la sección Distribución teórica para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales P ( x = 3) = _________________ P (0 < x < 3) = _________________ P ( x ≥ 2) = _________________ Utilice los datos de la sección Organizar los datos para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales. RF (x = 3) = _________________ RF (0 < x < 3) = _________________ RF ( x ≥ 2) = _________________ Pregunta de debate Para las preguntas 1 y 2, considere los gráficos, las probabilidades, las frecuencias relativas, las medias y las desviaciones típicas. Sabiendo como los datos varían, describa tres similitudes entre los gráficos de las distribuciones teóricas y empíricas. Utilice oraciones completas. Describa las tres diferencias más significativas entre los gráficos de las distribuciones teóricas y empíricas. Pensando en sus respuestas a las preguntas 1 y 2, ¿parece que los datos se ajustan a la distribución teórica? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. Supongamos que el experimento se ha repetido 500 veces. ¿Espera que la o la cambien, y cómo lo harían? ¿Por qué? ¿Por qué la otra mesa no cambiaría?", "section": "Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Las alturas de estas plantas de rábano son variables aleatorias continuas. (créditos: Rev Stan). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y comprender las funciones de densidad de probabilidad continuas en general. Reconocer la distribución de probabilidad uniforme y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad exponencial y aplicarla adecuadamente. Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas. Nota Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante. Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf ). Utilizamos el símbolo f ( x ) para representar la curva. f ( x ) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f ( x ) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa ( cdf ). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Los resultados se miden, no se cuentan. Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno. La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x . P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d . P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x , a la derecha de c y a la izquierda de d . P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero. P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área. Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto. Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera. En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones. El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis. El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro. El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos. Distribución uniforme una variable aleatoria continua (RV) que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b . Notación: X ~ U ( a , b ). La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . Distribución exponencial variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, la duración del tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital; la notación es X ~ Exp (m ). La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me −mx , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 - e −mx", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Funciones de probabilidad continuas Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f ( x ). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f ( x ) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA. Consideremos la función f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive. f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20. El área entre f ( x ) = 1 20 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 1 20 . ÁREA = 20 ( 1 20 ) = 1 Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 0 < x < 2. ÁREA = ( 2 – 0 ) ( 1 20 ) = 0,1 ( 2 – 0 ) = 2 = base de un rectángulo Recordatorio área de un rectángulo = (base)(altura). El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P (0 < x < 2) = P ( x < 2) = 0,1. Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 4 < x < 15. ÁREA = ( 15 – 4 ) ( 1 20 ) = 0,55 ( 15 – 4 ) = 11 = la base de un rectángulo El área corresponde a la probabilidad P (4 < x < 15) = 0,55. Supongamos que queremos hallar P ( x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P ( x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) = 0 P ( X ≤ x ), que también se puede escribir como P ( X < x ) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P ( X > x ). La cdf da el “área a la izquierda” y P ( X > x ) da el “área a la derecha”. Calculamos P ( X > x ) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Identifique el gráfico con f ( x ) y x . Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y . f ( x ) = 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20. Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo. P ( 2,3 < x < 12,7 ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,7 – 2,3 ) ( 1 20 ) = 0,52 Ejercicio Consideremos la función f ( x ) = 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f ( x ) y calcule P (2,5 < x < 7,5). Repaso del capítulo La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f ( x ) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f ( x ) es uno. El área debajo del gráfico de f ( x ) y entre los valores a y b da la probabilidad P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P ( X ≤ x ). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x . Revisión de la fórmula Función de densidad de probabilidad (pdf) f ( x ): f ( x ) ≥ 0 El área total debajo de la curva f ( x ) es uno. Función de distribución acumulativa (cdf): P ( X ≤ x ) ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución uniforme ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución normal ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) P (6 < x < 7) Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 15. ¿Qué es P ( x > 15)? ¿Cuál es el área debajo de f ( x ) si la función es una función de densidad de probabilidad continua? uno Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 10. ¿Qué es P ( x = 7)? Una función de probabilidad continua se restringe a la parte comprendida entre x = 0 y 7. ¿Qué es P ( x = 10)? cero f ( x ) para una función de probabilidad continua es 1 5 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 5. ¿Qué es P ( x < 0)? f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 12 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 12. ¿Qué es P (0 < x < 12)? uno Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. 0,625 Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 3 y la función se restringe a 1 ≤ x ≤ 4. Describa P ( x > 3 2 ) . La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f ( x ) = 1 3 . Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos? ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos? Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué? La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada.", "section": "Funciones de probabilidad continuas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La distribución uniforme La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos. Los datos en la son 55 tiempos de sonrisa, en segundos, de un bebé de ocho semanas. 10,4 19,6 18,8 13,9 17,8 16,8 21,6 17,9 12,5 11,1 4,9 12,8 14,8 22,8 20,0 15,9 16,3 13,4 17,1 14,5 19,0 22,8 1.3 0,7 8,9 11,9 10,9 7,3 5,9 3,7 17,9 19,2 9,8 5,8 6,9 2,6 5,8 21,7 11,8 3,4 2,1 4,5 6,3 10,7 8,9 9,4 9,4 7,6 10,0 3,3 6,7 7,8 11,6 13,8 18,6 La media muestral = 11,49 y la desviación típica de la muestra = 6,23. Supondremos que los tiempos de sonrisa, en segundos, siguen una distribución uniforme entre cero y 23 segundos, ambos inclusive. Esto significa que cualquier tiempo de sonrisa desde cero hasta 23 segundos inclusive es igualmente probable . El histograma que se construyó a partir de la muestra es una distribución empírica que se acerca mucho a la distribución uniforme teórica. Supongamos que X = la duración, en segundos, de la sonrisa de un bebé de ocho semanas. La notación para la distribución uniforme es X ~ U ( a , b ) donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . En este ejemplo, X ~ U (0, 23) y f ( x ) = 1 23 – 0 para 0 ≤ X ≤ 23. Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 En este problema, la media teórica y la desviación típica son μ = 0 + 23 2 = 11,50 segundos y σ = ( 23 – 0 ) 2 12 = 6,64 segundos. Observe que en este ejemplo la media teórica y la desviación típica se aproximan a la media muestral y a la desviación típica. Ejercicio Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b . Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica. 1 12 4 10 4 14 11 7 11 4 13 2 4 6 3 10 0 12 6 9 10 5 13 4 10 14 12 11 6 10 11 0 11 13 2 a. Consulte el . ¿Cuál es la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría entre dos y 18 segundos? P (2 < x < 18) = (base)(altura) = (18 - 2) ( 1 23 ) = 16 23 . b. Halle el percentil 90 para el tiempo de sonrisa de un bebé de ocho semanas. b. El noventa por ciento de los tiempos de sonrisa están por debajo del percentil 90 , k , por lo que P ( x < k ) = 0,90. P ( x < k ) = 0,90 ( base ) ( altura ) = 0,90 ( k – 0 ) ( 1 23 ) = 0,90 k = ( 23 ) ( 0,90 ) = 20,7 c. Halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría más de 12 segundos SABIENDO que el bebé sonríe MÁS DE OCHO SEGUNDOS . c. Esta pregunta de probabilidad es un condicional . Se le pide que halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas sonría más de 12 segundos cuando ya sabe que el bebé ha sonreído durante más de ocho segundos. Halle P ( x > 12| x > 8) Hay dos maneras de efectuar el problema. En la primera forma , utilice el hecho de que se trata de un condicional y esto cambia el espacio muestral. El gráfico ilustra el nuevo espacio muestral. Ya sabe que el bebé sonrió más de ocho segundos. Escriba una nueva f ( x ): f ( x ) = 1 23 – 8 = 1 15 para 8 < x < 23 P ( x > 12| X > 8) = (23 - 12) ( 1 15 ) = 11 15 En la segunda forma , utilice la fórmula condicional de Temas de probabilidad con la distribución original X ~ U (0, 23): P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) En este problema, A es ( x > 12) y B es ( x > 8). Así, P ( x > 12 | x > 8) = ( x > 12 Y x > 8 ) P ( x > 8 ) = P ( x > 12 ) P ( x > 8 ) = 11 23 15 23 = 11 15 El área sombreada más oscura representa P(x > 12). Toda el área sombreada muestra P(x > 8). Ejercicio Una distribución está dada como X ~ U (0, 20). ¿Cuál es la P (2 < X < 18)? Calcule el percentil 90 . La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos? b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ , y la desviación típica, σ . c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces? Esto pide calcular el percentil 90 . a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U (0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 15 – 0 = 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15. Calcule P ( x < 12,5). Dibuje un gráfico. P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,5 – 0 ) ( 1 15 ) = 0,8333 La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333. b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos. σ = ( b – a ) 2 12 = ( 15 – 0 ) 2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos. c. Calcule el percentil 90 . Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90 . P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( k – 0 ) ( 1 15 ) 0,90 = ( k ) ( 1 15 ) k = ( 0,90 ) ( 15 ) = 13,5 k se denomina a veces valor crítico. El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos. Ejercicio La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive. Calcule a y b y describa lo que representan. Escriba la distribución. Calcule la media y la desviación típica. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas? ¿Cuál es el percentil 65 de la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011? Supongamos que el tiempo que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla está entre 0,5 y 4 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla. Entonces X ~ U (0,5, 4). a. La probabilidad de que un niño de nueve años seleccionado al azar se coma una rosquilla en al menos dos minutos es _______. a. 0,5714 b. Halle la probabilidad de que otro niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos. La segunda pregunta tiene una probabilidad condicional . Se le pide que halle la probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya lleva comiendo la rosquilla más de 1,5 minutos. Resuelva el problema de dos formas diferentes (vea el ). Debe reducir el espacio de la muestra. Primera forma : Como sabe que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos, ya no empieza en a = 0,5 minutos. Su punto de partida es 1,5 minutos. Escriba una nueva f ( x ): f ( x ) = 1 4 – 1,5 = 2 5 para 1,5 ≤ x ≤ 4. Halle P ( X > 2| x > 1,5). Dibuje un gráfico. P ( X > 2 | x > 1,5) = (base)(nueva altura) = (4 - 2) ( 2 5 ) = 4 5 b. 4 5 La probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiendo la rosquilla durante más de 1,5 minutos, es 4 5 . Segunda forma: Dibuje el gráfico original para X ~ U (0,5, 4). Utilice la fórmula condicional P ( x > 2| x > 1,5) = P ( x > 2 Y x > 1,5 ) P ( x > 1 0,5 ) = P ( x > 2 ) P ( x > 1,5 ) = 2 3,5 2,5 3,5 = 0 0,8 = 4 5 Ejercicio Supongamos que el tiempo que tarda un estudiante en terminar un examen se distribuye uniformemente entre 6 y 15 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en terminar un examen. Entonces X ~ U (6, 15). Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar necesite al menos ocho minutos para completar la prueba. A continuación, halle la probabilidad de que otro estudiante necesite al menos ocho minutos para terminar el cuestionario, dado que ya se ha tomado más de siete minutos. La compañía Ace Heating and Air Conditioning Service considera que el tiempo que necesita un técnico para arreglar un horno se distribuye uniformemente entre 1,5 y 4 horas. Supongamos que x = el tiempo necesario para arreglar un horno. Entonces X ~ U (1,5, 4). Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera más de dos horas. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera menos de tres horas. Halle el percentil 30 de los tiempos de reparación de hornos. El 25 % de los tiempos más largos de reparación de hornos ¿cuánto tiempo toma al menos? (En otras palabras: halle el tiempo mínimo para el 25 % más largo de los tiempos de reparación). ¿Qué percentil representa esto? Halle la desviación media y la típica a. Para hallar f ( x ): f ( x ) = 1 4 – 1,5 = 1 2,5 por lo que f ( x ) = 0,4 P ( x > 2) = (base)(altura) = (4 - 2)(0,4) = 0,8 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre dos y cuatro que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea superior a dos b. P ( x < 3) = (base)(altura) = (3 - 1,5)(0,4) = 0,6 El gráfico del rectángulo que muestra toda la distribución seguiría siendo el mismo. Sin embargo, el gráfico debe estar sombreado entre x = 1,5 y x = 3. Observe que la zona sombreada comienza en x = 1,5 y no en x = 0; como X ~ U (1,5, 4), x no puede ser menor que 1,5. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre 1,5 y 3 que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea inferior a tres. c. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,30 sombreada a la izquierda, que representa el 30 % más corto de los tiempos de reparación. P ( x < k ) = 0,30 P ( x < k ) = (base)(altura) = ( k – 1,5)(0,4) 0,3 = ( k – 1,5) (0,4) ; resuelva para hallar k : 0,75 = k - 1,5, que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4 k = 2,25 , que se obtuvo sumando 1,5 a ambos lados El percentil 30 de los tiempos de reparación es de 2,25 horas. El 30 % de los tiempos de reparación es de 2,25 horas o menos. d. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,25 sombreada a la derecha que representa el 25 % más largo de los tiempos de reparación. P ( x > k ) = 0,25 P ( x > k ) = (base)(altura) = (4 – k )(0,4) 0,25 = (4 – k )(0,4) ; resuelva para k : 0,625 = 4 − k , que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4 −3,375 = − k , que se obtuvo restando cuatro a ambos lados: k = 3,375 El 25 % de las reparaciones de hornos más largas tardan al menos 3,375 horas (3,375 horas o más). Nota: Dado que el 25 % de los tiempos de reparación es de 3,375 horas o más, eso significa que el 75 % de los tiempos de reparación son de 3,375 horas o menos. 3,375 horas es el percentil 75 de los tiempos de reparación de hornos. e. μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 μ = 1,5 + 4 2 = 2,75 horas y σ = ( 4 – 1,5 ) 2 12 = 0,7217 horas Ejercicio El tiempo que necesita un técnico de servicio para cambiar el aceite de un auto se distribuye uniformemente entre 11 y 21 minutos. Supongamos que X = el tiempo necesario para cambiar el aceite de un auto. Escriba en palabras la variable aleatoria X . X = __________________. Escriba la distribución. Grafique la distribución. Halle P ( x > 19). Calcule el percentil 50 . Repaso del capítulo Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b , entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b ). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U ( a , b ). La media de X es μ = a + b 2 . La desviación típica de X es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . X es continua. La probabilidad de P ( c < X < d ) se puede hallar calculando el área bajo f ( x ), entre c y d . Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura. Revisión de la fórmula X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b ). a = X más pequeño; b = X más grande X ~ U (a, b) La media es μ = a + b 2 La desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 Función de densidad de probabilidad: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ X ≤ b Área a la izquierda de x : P ( X < x ) = ( x – a ) ( 1 b – a ) Área a la derecha de x : P ( X > x ) = ( b – x ) ( 1 b – a ) Área entre c y d : P ( c < x < d ) = (base)(altura) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Uniforme: X ~ U ( a , b ) donde a < x < b pdf: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b cdf: P ( X ≤ x ) = x – a b – a media µ = a + b 2 desviación típica σ = ( b – a ) 2 12 P ( c < X < d ) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Referencias McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995. Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas. 1,5 2,4 3,6 2,6 1,6 2,4 2,0 3,5 2,5 1,8 2,4 2,5 3,5 4,0 2,6 1,6 2,2 1,8 3,8 2,5 1,5 2,8 1,8 4,5 1,9 1,9 3,1 1,6 La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302. La distribución se puede escribir como X ~ U (1,5, 4,5). ¿Qué tipo de distribución es esta? En esta distribución, los resultados son igualmente probables. ¿Qué significa esto? Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5. ¿Cuál es la altura de f ( x ) para la distribución de probabilidad continua? ¿Cuáles son las limitaciones para los valores de x ? 1,5 ≤ x ≤ 4,5 Gráfico de P (2 < x < 3). ¿Qué es P (2 < x < 3)? 0,3333 ¿Qué es P (x < 3,5| x < 4)? ¿Qué es P ( x = 1,5)? cero ¿Cuál es el percentil 90 de los pies cuadrados de las viviendas? Calcule la probabilidad de que una casa seleccionada al azar tenga más de 3.000 pies cuadrados dado que ya se sabe que la casa tiene más de 2.000 pies cuadrados. 0,6 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U (0, 12). ¿Qué es a ? ¿Qué representa? ¿Qué es b ? ¿Qué representa? b es 12, y representa el valor más alto de x . ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuál es la media teórica? seis ¿Cuál es la desviación típica teórica? Dibuje el gráfico de la distribución para P ( x > 9). Calcule P ( x > 9). Calcule el percentil 40. 4,8 Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años. ¿Qué se mide aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal ¿Los datos son discretos o continuos? El intervalo de valores de x es ______. de 0,5 a 9,5 La distribución de X es ______. Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive. Grafique la distribución de probabilidad. Dibuje el gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los siguientes valores: El valor más bajo para x ¯ : _______ El valor más alto para x ¯ : _______ Altura del rectángulo: _______ Identifique para el eje x (en palabras): _______ Identifique para el eje y (en palabras): _______ Calcule la edad promedio de los automóviles en el estacionamiento. μ = 5 Calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4) = _______ Considerando solo los automóviles de menos de 7,5 años, calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico, sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4| x < 7,5) = _______ Compruebe la solución del estudiante. 3,5 7 ¿Qué ha cambiado en los dos problemas anteriores para que las soluciones sean diferentes? Calcule el tercer cuartil de edades de los automóviles en el estacionamiento. Esto significa que tendrá que hallar el valor tal que 3 4 , o el 75 %, de los automóviles tienen como máximo (menos o igual) esa edad. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,75. El tercer cuartil es _______ Compruebe la solución del estudiante. k = 7,25 7,25 Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Los nacimientos se distribuyen de forma aproximadamente uniforme a lo largo del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de 0 a 2 (extensión de 52 semanas). X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que termina la semana 19. Es decir, calcule P ( x = 19) = _________ P (2 < x < 31) = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40. P (12 < x | x < 28) = _________ Calcule el percentil 70 . Halle el mínimo para el cuarto superior. Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme. X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ P (3,5 < x < 7,25) = _________ P ( x > 5,67) P ( x > 5| x > 3) = _________ Calcule el percentil 90 . X ~ U (1, 9) Compruebe la solución del estudiante. e ( x ) = 1 8 donde 1 ≤ x ≤ 9 cinco 2,3 15 32 333 800 2 3 8,2 Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa en vivo de pérdida de peso, las personas que siguen su programa pierden entre seis y 15 libras al mes hasta acercarse al peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes. Defina la variable aleatoria. X = _________ X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes. Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes. P (7 < x < 13| x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Un tren del metro llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme. Defina la variable aleatoria. X = _______ X ~ _______ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _______ μ = _______ σ = _______ Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto. Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos. ¿Cuál es el tiempo máximo que el sesenta por ciento de los viajeros espera a que llegue el tren? Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja. X ~ U (0, 8) Grafique la distribución de probabilidad. e ( x ) = 1 8 donde 0 ≤ x ≤ 8 cuatro 2,31 1 8 1 8 3,2 La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase. Defina la variable aleatoria. X = _________ X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años. Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años. Halle el percentil 70 para la edad de los estudiantes de primer grado el 1 de septiembre en la escuela primaria Garden. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)? cero dos tres cuatro d Halle el percentil 30 de los tiempos de espera (en minutos). dos 2,4 2,75 tres ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos? 0,125 0,25 0,5 0,75 b El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f ( x ) = 1 20 donde x va de 25 a 45 minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________ X ~ ________ Grafique la distribución de probabilidad. La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua). μ = ________ σ = ________ Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. P (25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Calcule el percentil 90 . Esto significa que el 90 % de las veces, el tiempo es inferior a _____ minutos. Halle el percentil 75 . Exponga en una frase completa lo que esto significa. (Consulte la parte j.) Calcule la probabilidad de que el tiempo sea superior a 40 minutos dado (o sabiendo que) es de al menos 30 minutos. Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares. Halle el cuartil superior (el 25 % de todos los días que la acción está por encima de ¿qué valor?). Dibuje el gráfico. Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares. La función de densidad de probabilidad de X es 1 25 – 16 = 1 9 . P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3 . P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3 . Esta debe ser 0,25, y 0,25 = (ancho) ( 1 9 ) , por lo que la anchura = (0,25)(9) = 2,25. Así, el valor es 25 - 2,25 = 22,75. Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21| X > 18). Puede responderla de dos maneras: Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 ( 25 – 18 ) = 1 7 Entonces, P ( x > 21| x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) = 4/7. Utilice la fórmula: P ( x > 21| x > 18) = P ( x > 21 Y x > 18 ) P ( x > 18 ) = P ( x > 21 ) P ( x > 18 ) = ( 25 – 21 ) ( 25 – 18 ) = 4 7 . Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme. Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos. El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día. Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día. Al menos, ¿cuántas millas recorre el camionero en el 10 % de los días con recorridos más lejanos? P ( X > 650) = 700 – 650 700 – 300 = 50 400 = 1 8 = 0,125. P (400 < X < 650) = 650 – 400 700 – 300 = 250 400 = 0,625 0,10 = ancho 700 – 300 , por lo que la anchura = 400(0,10) = 40. Como 700 - 40 = 660, los conductores recorren al menos 660 millas en el 10 % de los días de recorridos más lejanos. Probabilidad condicional la probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro.", "section": "La distribución uniforme", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La distribución exponencial La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas comerciales de larga distancia, y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un auto. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, la cantidad de dinero que los clientes gastan en un viaje al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. Sea X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con su cliente. Se sabe que el tiempo tiene una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos. X es una variable aleatoria continua ya que el tiempo se mide. Se da que μ = 4 minutos. Para hacer cualquier cálculo, hay que conocer m , el parámetro de decaimiento. m = 1 μ . Por lo tanto, m = 1 4 = 0,25. La desviación típica, σ , es la misma que la media. μ = σ La notación de la distribución es X ~ Exp ( m ). Por lo tanto, X ~ Exp (0,25). La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me - mx . El número e = 2,71828182846... Es un número que se utiliza a menudo en matemáticas. Las calculadoras científicas tienen la clave \" e x \". Si introduce uno para x , la calculadora mostrará el valor e . La curva es: f ( x ) = 0,25 e –0,25 x donde x es al menos cero y m = 0,25. Por ejemplo, f (5) = 0,25 e (–0,25)(5) = 0,072. El valor 0,072 es la altura de la curva cuando x = 5. En el a continuación, aprenderá a calcular las probabilidades utilizando el parámetro de decaimiento. El gráfico es el siguiente: Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0, f ( x ) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m . El valor máximo en el eje y es m . Ejercicio El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución. a. Utilizando la información del , halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar. a. Calcule P (4 < x < 5). La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda. P ( x < x ) = 1 – e –mx P ( x < 5) = 1 – e (−0,25)(5) = 0,7135 and P ( x < 4) = 1 – e (–0,25)(4) = 0,6321 NOTA Puede hacer estos cálculos fácilmente en una calculadora. La probabilidad de que un empleado de correos pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar es P (4 < x < 5) = P ( x < 5) – P ( x < 4) = 0,7135 – 0,6321 = 0,0814. En la pantalla de inicio, ingrese (1 – e^(–0,25*5))–(1-e^(–0,25*4)) o ingrese e^(–0,25*4) – e^(–0,25*5). b. ¿La mitad de los clientes terminan en cuánto tiempo? (Calcule el percentil 50 ) b. Calcule el percentil 50 . P ( x < k ) = 0,50, k = 2,8 minutos (calculadora o computadora) La mitad de los clientes terminan en 2,8 minutos. También puede hacer el cálculo de la siguiente manera: P ( x < k ) = 0,50 y P ( x < k ) = 1 – e –0,25 k Por lo tanto, 0,50 = 1 − e −0,25 k y e −0,25 k = 1 − 0,50 = 0,5 Tome los logaritmos naturales: ln ( e –0,25 k ) = ln (0,50). Entonces, -0,25 k = ln (0,50) Al resolver k : k = l n ( 0,50 ) – 0,25 = 2,8 minutos. La calculadora simplifica el cálculo del percentil k . Vea las dos notas siguientes. Nota Una fórmula para el percentil k es k = l n ( 1 – A r e a T o T h e L e e t ) – m donde ln es el logaritmo natural. En la pantalla de inicio, introduzca ln(1 - 0,50)/-0,25. Pulse el (-) para el negativo. c. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? c. De la parte b, la mediana o percentil 50 es de 2,8 minutos. La media teórica es de cuatro minutos. La media es mayor. Ejercicio El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros? Haga que cada miembro de la clase cuente el cambio que tiene en su bolsillo o monedero. Su instructor registrará las cantidades en dólares y centavos. Construya un histograma de los datos tomados por la clase. Utilice cinco intervalos. Dibuje una curva suave a través de las barras. El gráfico debe tener un aspecto aproximadamente exponencial. A continuación, calcule la media. Sea X = la cantidad de dinero que un estudiante de su clase tiene en su bolsillo o monedero. La distribución de X es aproximadamente exponencial con media, μ = _______ y m = _______. La desviación típica, σ = ________. Dibuje el gráfico exponencial adecuado. Deberá etiquetar los ejes X e Y, la tasa de decaimiento y la media. Sombrea el área que representa la probabilidad de que un estudiante tenga menos de 0,40 dólares en su bolsillo o bolso. (Sombree P ( x < 0,40)). En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años? a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora. μ = 10 por lo que m = 1 μ = 1 10 = 0,1 Calcule P ( x > 7). Dibuje el gráfico. P ( x > 7) = 1 – P ( x < 7). Como P ( X < x ) = 1 – e –mx entonces P ( X > x ) = 1 – (1 – e –mx ) = e –mx P ( x > 7) = e (–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966. En la pantalla de inicio, ingrese e^(-.1*7). b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra? b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años. c. El ochenta por ciento de las piezas de las computadoras duran como máximo ¿cuánto tiempo? c. Calcule el percentil 80 . Dibuje el gráfico. Supongamos que k = el percentil 80 . Al resolver k k = l n ( 1 – 0,80 ) – 0,1 = 16,1 años El ochenta de las piezas de las computadoras duran como máximo 16,1 años. En la pantalla de inicio, ingrese ln ( 1 – 0,80 ) – 0,1 d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años? d. Calcule P (9 < x < 11). Dibuje el gráfico. P (9 < x < 11) = P ( x < 11) – P ( x < 9) = (1 – e (–0,1)(11) ) – (1 – e (–0,1)(9) ) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737. En la pantalla de inicio, ingrese e^ (-0,1*9) - e^ (-0,1*11). Ejercicio En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días? Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 . Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos. ¿Qué son m , μ y σ ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______. m = 1 12 μ = 12 σ = 12 P ( x > 5) = 0,6592 Ejercicio Supongamos que la distancia, en millas, que la gente está dispuesta a recorrer para ir al trabajo es una variable aleatoria exponencial con un parámetro de decaimiento 1 20 . Supongamos que X = la distancia que la gente está dispuesta a recorrer en millas. ¿Qué son m , μ y σ ? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté dispuesta a recorrer más de 25 millas? El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas? Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes? Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar. ¿El setenta por ciento de los clientes llegan antes de cuántos minutos después del cliente anterior? ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación? Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = 1 2 = 0,5. Por lo tanto, X ∼ Exp (0,5). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e (-0,5)(x) . Por lo tanto, P ( X < 1) = 1 - e (-0,5)(1) ≈ 0,3935. 1 - e ^(–0,5) ≈ 0,3935 P ( X > 5) = 1 - P ( X < 5) = 1 - (1 - e (-0,50)(5) ) = e -2,5 ≈ 0,0821. 1 - (1 - e^((-0,50)(5))) o e^( - 5*0,5) Queremos resolver 0,70 = P ( X < x ) para x . Sustituyendo la función de distribución acumulativa se obtiene 0,70 = 1 – e –0,5 x , por lo que e –0,5x = 0,30. Convirtiendo esto en forma logarítmica se obtiene –0,5 x = ln (0,30), o x = l n ( 0,30 ) – 0,5 ≈ 2,41 minutos. Así, el setenta por ciento de los clientes llega antes de los 2,41 minutos del cliente anterior. Usted calcula el percentil 70 k por lo que puede utilizar la fórmula k = l n ( 1 – A r e a _ T o _ T h e _ L e e t _ O e _ k ) ( – m ) k = l n ( 1 – 0,70 ) ( – 0,5 ) ≈ 2,41 minutos Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras. Ejercicio Supongamos que en un determinado tramo de autopista los autos pasan a una tasa promedio de cinco autos por minuto. Supongamos que la duración del tiempo entre autos sucesivos sigue la distribución exponencial. En promedio, ¿cuántos segundos transcurren entre dos autos sucesivos? Después de que pase un auto, ¿cuánto tiempo, en promedio, tardarán en pasar otros siete autos? Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente pase en los siguientes 20 segundos. Calcule la probabilidad de que después de que pase un auto, el siguiente no pase durante al menos otros 15 segundos. La falta de memoria de la distribución exponencial En el recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos ( X ~ Exp (0,5)). Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria . Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t ) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0 Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior. P ( X > 5 + 1 | X > 5) = P ( X > 1) = e ( – 0,5 ) ( 1 ) ≈ 0,6065. Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior. La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de una computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años ( X ~ Exp (0,1)). La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P ( X > 17| X > 10) = P ( X > 7) = 0,4966. Consulte el donde el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal? El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 = 0,25, por lo que X ∼ Exp (0,25). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e –0,25 x . Queremos despejar P ( X > 7| X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P ( X > 7| X > 4) = P ( X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal. Esto es P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 – (1 – e –0,25⋅3 ) = e –0,75 ≈ 0,4724. 1-(1-e^(-0,25*3)) = e^(-0,25*3). Ejercicio Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Si una bombilla ya ha durado 12 años, calcule la probabilidad de que dure un total de más de 19 años. Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con media λ = 1/μ. Recordemos del capítulo de Variables aleatorias discretas que si X tiene la distribución de Poisson con media λ , entonces P ( X = k ) = λ k e – λ k ! . Por el contrario, si el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson, entonces la cantidad de tiempo entre eventos sigue la distribución exponencial.( k ! = k *( k –1*)( k –2)*( k –3)*…3*2*1) Supongamos que X tiene la distribución de Poisson con media λ . Calcule P ( X = k ) introduciendo 2 nd , VARS(DISTR), C: poissonpdf (λ , k ). Para calcular P (X ≤ k ), ingrese 2 nd , VARS (DISTR), D:poissoncdf( λ , k ). En una comisaría de Policía de una gran ciudad las llamadas llegan a una tasa promedio de cuatro llamadas por minuto. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. Hay que tener en cuenta que solo nos preocupa el ritmo de entrada de las llamadas, y que ignoramos el tiempo que se pasa al teléfono. También debemos suponer que los tiempos transcurridos entre las llamadas son independientes. Esto significa que un retraso particularmente largo entre dos llamadas no significa que habrá un periodo de espera más corto para la siguiente llamada. Podemos deducir entonces que el número total de llamadas recibidas durante un periodo tiene la distribución de Poisson. Calcule el tiempo promedio entre dos llamadas sucesivas. Calcule la probabilidad de que después de recibir una llamada, la siguiente se produzca en menos de diez segundos. Calcule la probabilidad de que se produzcan exactamente cinco llamadas en un minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de cinco llamadas en un minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan más de 40 llamadas en un periodo de ocho minutos. En promedio se producen cuatro llamadas por minuto, es decir, 15 segundos, o 15 60 = 0,25 minutos transcurren en promedio entre las sucesivas llamadas. Supongamos que T = tiempo transcurrido entre llamadas. De la parte a, μ = 0,25, por lo que m = 1 0,25 = 4. Por lo tanto, T ∼ Exp (4). La función de distribución acumulativa es P ( T < t ) = 1 – e –4 t . La probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en menos de diez segundos (diez segundos = 1/6 de minuto) es P ( T < 1 6 ) = 1 – e ( – 4 ) ( 1 6 ) ≈ 0,4866. Supongamos que X = el número de llamadas por minuto. Como ya se ha dicho, el número de llamadas por minuto tiene una distribución de Poisson, con una media de cuatro llamadas por minuto. Por lo tanto, X ∼ Poisson (4), y así P ( X = 5) = 4 5 e – 4 5 ! ≈ 0,1563. (5! = (5)(4)(3)(2)(1)) poissonpdf(4, 5) = 0,1563. Tenga en cuenta que X debe ser un número entero, por lo que P ( X < 5) = P ( X ≤ 4). Para calcular esto, podríamos tomar P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4). Utilizando la tecnología, vemos que P ( X ≤ 4) = 0,6288. poisssoncdf(4, 4) = 0,6288 Sea Y = el número de llamadas que se producen durante un periodo de ocho minutos. Como hay un promedio de cuatro llamadas por minuto, hay un promedio de (8)(4) = 32 llamadas durante cada periodo de ocho minutos. Por lo tanto, Y ∼ Poisson (32). Por tanto, P ( Y > 40) = 1 – P ( Y ≤ 40) = 1 – 0,9294 = 0,0707. 1 - poissoncdf(32, 40). = 0,0707 Ejercicio En una ciudad pequeña, el número de accidentes de tráfico se produce con una distribución de Poisson a un promedio de tres por semana. Calcule la probabilidad de que se produzcan como máximo 2 accidentes en una semana determinada. ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos dos semanas entre dos accidentes? Repaso del capítulo Si X tiene una distribución exponencial con media μ , entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ , y escribimos X ∼ Exp ( m ) donde x ≥ 0 y m > 0 . La función de densidad de probabilidad de X es f ( x ) = me –mx (o equivalentemente e ( x ) = 1 μ e – x / μ . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = 1 – e – mx . La distribución exponencial tiene la propiedad de falta de memoria , que indica que las probabilidades futuras no dependen de ninguna información pasada. Matemáticamente, dice que P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ). Si T representa el tiempo de espera entre eventos, y si T ∼ Exp ( λ ), entonces el número de eventos X por unidad de tiempo sigue la distribución de Poisson con media λ . La función de densidad de probabilidad de X es P ( X = k ) = λ k e – k k ! . Se puede calcular con las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ con el comando poissonpdf( λ , k ). La función de distribución acumulativa P ( X ≤ k ) puede calcularse con las calculadoras TI-83, 83+,84 u 84+ con el comando poissoncdf( λ , k ). Revisión de la fórmula Exponencial: X ~ Exp ( m ) donde m = el parámetro de decaimiento pdf: f ( x ) = me (– mx ) donde x ≥ 0 y m > 0 cdf: P ( X ≤ x ) = 1 – e (– mx ) media µ = 1 m desviación típica σ = µ percentil k : k = l n ( 1 – A r e a T o T h e L e e t O e k ) ( – m ) Además P ( X > x ) = e (– mx ) P ( a < X < b ) = e (– ma ) – e (– mb ) Propiedad de falta de memoria: P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ) Probabilidad de Poisson: P ( X = k ) = λ k e – k k ! con media λ k ! = k *( k -1)*( k -2)*( k -3)*…3*2*1 Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013). “No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013). Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013). Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp (0,2) ¿Qué tipo de distribución es esta? ¿Los resultados son igualmente probables en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo. ¿Qué es m ? ¿Qué representa? ¿Cuál es la media? cinco ¿Cuál es la desviación típica? Indique la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 0,2e –0,2 x Grafique la distribución. Calcule P (2 < x < 10). 0,5350 Calcule P ( x > 6). Calcule el percentil 70 . 6,02 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp (0,75). ¿Qué es m ? ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? f ( x ) = 0,75 e –0,75 x ¿Qué es la función de distribución acumulativa? Dibuje la distribución. Calcule P ( x < 4). Calcule el percentil 30 . 0,4756 Calcule la mediana. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 ≈ 1,33 , que es superior a 0,9242. Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14. ¿Qué se mide aquí? ¿Los datos son discretos o continuos? continuos Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Cuál es la tasa de descomposición ( m )? m = 0,000121 La distribución de X es ______. Calcule la cantidad (porcentaje de un gramo) de carbono-14 que dura menos de 5.730 años. Es decir, calcule P ( x < 5.730). Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 5.730) = __________ Compruebe la solución del estudiante. P ( x < 5.730) = 0,5001 Calcule el porcentaje de carbono-14 que dura más de 10.000 años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x > 10.000) = ________ ¿En cuántos años se descompone el treinta por ciento (30 %) del carbono-14? Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,30. Compruebe la solución del estudiante. k = 2.947,73 Tarea para la casa Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué? Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil? ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra? Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses. ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías? X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses. X es continua. X ~ Exp (0,025) 40 meses 360 meses 0,4066 14,27 El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12. Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8. ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %? ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %? El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? X ~ = ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65? En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún? X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años X es continua. X ~ Exp ( 1 5 ) cinco cinco Compruebe la solución del estudiante. 0,1353 antes 18,3 El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. X ~ = ________ μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. La tasa de decaimiento es: 0,3333 0,5000 2 3 a ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra? 0,8647 0,4866 0,2212 0,9997 ¿Cuál es la mediana de la vida de estos teléfonos (en años)? 0,1941 1,3863 2,0794 5,5452 c Supongamos que X ~ Exp (0,1). tasa de decaimiento = ________ μ = ________ Representar gráficamente la función de distribución de la probabilidad. En el gráfico, sombree el área correspondiente a P ( x < 6) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P (3 < x < 6) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente a P ( x < 7) y calcule la probabilidad. Dibuje un nuevo gráfico, sombree el área correspondiente al percentil 40 y calcule el valor. Calcule el valor promedio de x . Supongamos que la longevidad de una bombilla es exponencial con una vida media de ocho años. Calcule la probabilidad de que una bombilla dure menos de un año. Calcule la probabilidad de que una bombilla dure entre seis y diez años. El setenta por ciento de las bombillas duran al menos ¿cuánto tiempo? Una compañía decide ofrecer una garantía para devolver el dinero a las bombillas cuya vida útil está entre el dos por ciento más bajo de todas las bombillas. ¿Cuál es la fecha límite para que se aplique la garantía? Si una bombilla ha durado siete años, ¿cuál es la probabilidad de que falle en el octavo año? Supongamos que T = el tiempo de vida de una bombilla. El parámetro de decaimiento es m = 1/8, y T ∼ Exp(1/8). La función de distribución acumulativa es P ( T < t ) = 1 – e – t 8 Por lo tanto, P ( T < 1) = 1 – e – 1 8 ≈ 0,1175. Queremos calcular P (6 < t < 10). Para ello, P (6 < t < 10) – P ( t < 6) = ( 1 – e – 1 8 * 10 ) – ( 1 – e – 1 8 * 6 ) ≈ 0,7135 – 0,5276 = 0,1859 Queremos calcular 0,70 = P ( T > t ) = 1 – ( 1 – e – t 8 ) = e – t 8 . Al resolver t , e – t 8 = 0,70, por lo que – t 8 = ln (0,70), y t = -8 ln (0,70) ≈ 2,85 años. O utilice t = l n (área_a_la_derecha) ( – m ) = l n (0 0,70) – 1 8 ≈ 2. 85 años . Queremos calcular 0,02 = P ( T < t ) = 1 – e – t 8 . Al resolver t , e – t 8 = 0,98, por lo que – t 8 = ln (0,98), y t = -8 ln (0,98) ≈ 0,1616 años, es decir, aproximadamente dos meses. La garantía debería cubrir las bombillas que duran menos de 2 meses. O utilice ln (área_a_la_derecha) ( – m) = ln (1 – 0,2 ) – 1 8 = 0,1616. Debemos hallar P ( T < 8| T > 7). Observe que por la regla de los eventos complementarios, P ( T < 8| T > 7) = 1 – P ( T > 8| T > 7). Por la propiedad de falta de memoria ( P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t )). Así que P ( T > 8| T > 7) = P ( T > 1) = 1 – ( 1 – e – 1 8 ) = e – 1 8 ≈ 0,8825 Por lo tanto, P ( T < 8| T > 7) = 1 – 0,8825 = 0,1175. Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas? Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse. ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior? Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora. En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables? Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada? Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3. Por lo tanto, ( X = 0) = 3 0 e – 3 0 ! = e –3 ≈ 0,0498 NOTA Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 . Por lo tanto, m = 1 μ = 3 y T ∼ Exp (3). La probabilidad deseada es P ( T > 1) = 1 – P ( T < 1) = 1 – (1 – e –3 ) = e –3 ≈ 0,0498. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P ( T > 2| T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P ( T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0,3528. Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes? Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014? Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B? 100 9 = 11,11 P ( X > 10) = 1 – P ( X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P ( X < x ) = 1 – e – x 9 . Así que, P ( X > 20) = 1 – P ( X ≤ 20) = 1 – ( 1 – e – 20 9 ) ≈ 0,1084. Nota También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 ≈ 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo). Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos. ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas? Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes? Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora. En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos? Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora. Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 . La cdf es P ( T < t ) = 1 – e t 7 P ( T < 2) = 1 – 1 – e – 2 7 ≈ 0,2485. P ( T > 15) = 1 – P ( T < 15 ) = 1 – ( 1 – e – 15 7 ) ≈ e – 15 7 ≈ 0,1173 . P ( T > 15| T > 10) = P ( T > 5) = 1 – ( 1 – e – 5 7 ) = e – 5 7 ≈ 0,4895 . Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) . Calcule P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0,0311. parámetro de decaimiento el parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de x . Es el valor m en la función de densidad de probabilidad f ( x ) = me (– mx ) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a m = 1 μ , donde μ es la media de la variable aleatoria. propiedad de falta de memoria para una variable aleatoria exponencial X , la propiedad de falta de memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto significa que la probabilidad de que X supere a x + k , dado que ha superado a x , es la misma que la probabilidad de que X supere a k si no tuviéramos conocimiento de ello. En símbolos decimos que P ( X > x + k | X > x ) = P ( X > k ). Distribución de Poisson Si se conoce un promedio de eventos λ que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos X que ocurren en una unidad de tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que se produzcan k eventos en una unidad de tiempo es igual a P ( X = k ) = λ k e – λ k ! .", "section": "La distribución exponencial", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución continua Distribución continua Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará y contrastará los datos empíricos de un generador de números aleatorios con la distribución uniforme. Recopilación de datos Utilice un generador de números aleatorios para generar 50 valores entre cero y uno (incluidos). Indíquelos en la . Redondee los números a cuatro decimales o ajuste el MODO de la calculadora a cuatro posiciones. Rellene la tabla. __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s = _______ primer cuartil = _______ tercer cuartil = _______ mediana = _______ Organice los datos Construya un histograma de los datos empíricos. Realice ocho barras. Construya un histograma de los datos empíricos. Realice cinco barras. Describa los datos En dos o tres frases completas, describa la forma de cada gráfico. (No se complique. ¿El gráfico es recto, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.? Una forma de ayudarle a determinar la forma es dibujar una curva suave que pase aproximadamente por la parte superior de las barras). Describa cómo el cambio del número de barras puede modificar la forma. Distribución teórica En palabras, X = _____________________________________. La distribución teórica de X es X ~ U (0,1). En teoría, basándose en la distribución X ~ U (0,1), complete lo siguiente. μ = ______ σ = ______ primer cuartil = ______ tercer cuartil = ______ mediana = __________ ¿Se acercan los valores empíricos (los datos) de la sección titulada Recopilación de datos a los valores teóricos correspondientes? ¿Por qué sí o por qué no? Trace los datos Construya un diagrama de caja de los datos. Asegúrese de utilizar una regla para escalar con precisión y dibujar bordes rectos. ¿Nota algún valor atípico potencial? Si es así, ¿qué valores son? En cualquier caso, justifique su respuesta numéricamente (recordemos que cualquier DATO que sea inferior a Q 1 – 1,5 ( IQR ) o superior a Q 3 + 1.5 ( IQR ) son posibles valores atípicos. IQR significa rango intercuartil). Compare los datos Para cada una de las siguientes partes, comente con una frase completa cómo se compara el valor obtenido de los datos con el valor teórico que esperaba de la distribución en el apartado titulado Distribución teórica . valor mínimo: _______ primer cuartil: _______ mediana: _______ tercer cuartil: _______ valor máximo: _______ anchura del IQR : _______ forma general: _______ Basándose en sus comentarios en la sección titulada Recopilación de datos , ¿cómo se ajusta o no el diagrama de caja a lo que esperaría de la distribución en la sección titulada Distribución teórica ? Pregunta de debate Supongamos que el número de valores generados es de 500 y no de 50. ¿Cómo afectaría eso a los datos empíricos y a la forma de su gráfico?", "section": "Distribución continua", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer la distribución de probabilidad normal y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad normal estándar y aplicarla adecuadamente. Comparar las probabilidades normales convirtiendo a la distribución normal estándar. La normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. En este capítulo, estudiará la distribución normal, la distribución normal estándar y las aplicaciones asociadas a ellas. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media ( μ ) y la desviación típica ( σ ). Si X es una cantidad a medir que tiene una distribución normal con media ( μ ) y desviación típica ( σ ), la designamos escribiendo La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice . No es necesario. f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 La función de distribución acumulativa es P ( X < x ). Se calcula con una calculadora o una computadora, o se busca en una tabla. La tecnología ha hecho que las tablas queden prácticamente obsoletas. Por ese motivo, así como por el hecho de que existen varios formatos de tabla, no incluimos las instrucciones de la tabla. La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ . En teoría, la media es la misma que la mediana, porque el gráfico es simétrico con respecto a μ . Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Dado que el área debajo de la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ , provoca un cambio en la forma de la curva; la curva se vuelve más gorda o delgada dependiendo de σ . Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar . Su instructor registrará las estaturas de los hombres y las mujeres de su clase, por separado. Dibuje histogramas de sus datos. A continuación, dibuje una curva suave a través de cada histograma. ¿Cada curva tiene una forma de campana? ¿Cree que si hubiera registrado 200 valores de datos para hombres y 200 para mujeres, las curvas tendrían forma de campana? Calcule la media de cada conjunto de datos. Escriba las medias en el eje de x del gráfico correspondiente debajo del pico. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que un hombre elegido aleatoriamente sea más alto que 72 pulgadas. Sombree el área aproximada que representa la probabilidad de que una mujer elegida aleatoriamente tenga menos de 60 pulgadas. Si el área total bajo cada curva es uno, ¿parece que alguna de las probabilidades es superior a 0,5? Revisión de la fórmula X ∼ N ( μ , σ ) μ = la media σ = la desviación típica Distribución normal una variable aleatoria continua (RV) con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 σ 2 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria (random variable, RV) se denomina distribución normal estándar .", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La distribución normal estándar La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z . Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. Por ejemplo, si la media de una distribución normal es cinco y la desviación típica es dos, el valor 11 está tres desviaciones típicas por encima (o a la derecha) de la media. El cálculo es el siguiente: x = μ + ( z )( σ ) = 5 + (3)(2) = 11 La puntuación z es tres. La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. La transformación z = x – μ σ produce la distribución Z ~ N (0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal con una media μ y una desviación típica σ . Puntuaciones z Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ) , entonces la puntuación z es: z = x – μ σ La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ . Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero. Supongamos que X ~ N(5, 6) . Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces: z = x – μ σ = 17 – 5 6 = 2 Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2 σ ) por encima o a la derecha de la media μ = 5. Observe que: 5 + (2)(6) = 17 (el patrón es μ + zσ = X ) Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x – μ σ = 1 – 5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales) Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67 σ ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5. Observe que: 5 + (-0,67)(6) es aproximadamente igual a uno (esto presenta el patrón μ + (-0,67)σ = 1) Resumiendo, cuando z es positiva, x está por encima o a la derecha de μ y cuando z es negativa, x está a la izquierda o por debajo de μ . O bien, cuando z es positiva, x es mayor que μ , y cuando z es negativa x es menor que μ . Ejercicio ¿Cuál es la puntuación z de x , cuando x = 1 y X ~ N (12,3)? Algunos médicos creen que una persona puede perder cinco libras, en promedio, en un mes si reduce su consumo de grasas y hace ejercicio de manera constante. Supongamos que la pérdida de peso tiene una distribución normal. Supongamos que X = la cantidad de peso perdida (en libras) por una persona en un mes. Utilice una desviación típica de dos libras. X ~ N (5, 2). Complete los espacios en blanco. a. Supongamos que una persona pierde diez libras en un mes. La puntuación z cuando x = 10 libras es z = 2,5 (verifique). Esta puntuación z le indica que x = 10 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). a. Esta puntuación z le indica que x = 10 está a 2,5 desviaciones típicas a la derecha de la media cinco . b. Supongamos que una persona ha ganado tres libras (una pérdida de peso negativa). Entonces z = __________. Esta puntuación z le indica que x = –3 está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. b. z = -4 . Esta puntuación z le indica que x = –3 está a cuatro desviaciones típicas a la izquierda de la media. c. Supongamos que las variables aleatorias X y Y tienen las siguientes distribuciones normales: X ~ N (5, 6) y Y ~ N (2, 1). Si X = 17, entonces z = 2. (Se mostró anteriormente.) Si y = 4, ¿cuál es z ? c. z = y – μ σ = 4 – 2 1 = 2 donde µ = 2 y σ = 1. La puntuación z para y = 4 es z = 2. Esto significa que cuatro está z = 2 desviaciones típicas a la derecha de la media. Por lo tanto, x = 17 y y = 4 son dos desviaciones típicas (por sí mismas ) a la derecha de sus respectivas medias. La puntuación z nos permite comparar datos con escalas diferentes. Para entender el concepto, supongamos que X ~ N (5, 6) representa el aumento de peso de un grupo de personas que intentan subir de peso en un periodo de seis semanas y Y ~ N (2, 1) mide el mismo aumento de peso de un segundo grupo de personas. Un aumento de peso negativo sería una pérdida de peso. Como x = 17 y y = 4 están cada una a dos desviaciones típicas a la derecha de sus medias, representan el mismo aumento de peso estandarizado relativo a sus medias . Ejercicio Complete los espacios en blanco. Jerome tiene un promedio de 16 puntos por partido con una desviación típica de cuatro puntos. X ~ N (16,4). Supongamos que Jerome anota diez puntos en un partido. La puntuación z cuando X = 10 es -1,5. Esta puntuación nos indica que x = 10 está a _____ desviaciones típicas a la ______(derecha o izquierda) de la media______ (¿Cuál es la media?). La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ , la regla empírica dice lo siguiente: Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1 σ y +1 σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media). Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2 σ y +2 σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media). Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3 σ y +3 σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Las puntuaciones z para +1 σ y –1 σ son +1 y –1, respectivamente. Las puntuaciones z para +2 σ y –2 σ son +2 y –2, respectivamente. Las puntuaciones z para +3 σ y –3 σ son +3 y –3, respectivamente. La regla empírica también se conoce como la regla del 68-95-99,7. La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N (170, 6,28). a. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 168 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando X = 168 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 168 está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). b. Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = 1,27. ¿Cuál es la altura de los hombres? La puntuación z ( z = 1,27) indica que la estatura de ese hombre se sitúa en ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. a. -0,32, 0,32, izquierda, 170 b. 177,98 cm, 1,27, derecha Ejercicio Utilice la información del para responder a las siguientes preguntas. Supongamos que un hombre de 15 a 18 años de Chile mide 176 cm entre 2009 y 2010. La puntuación z cuando x = 176 cm es z = _______. Esta puntuación z le indica que x = 176 cm está a ________ desviaciones típicas a la ________ (derecha o izquierda) de la media _____ (¿Cuál es la media?). Supongamos que la estatura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 tiene una puntuación z de z = –2. ¿Cuál es la altura del hombre? La puntuación z ( z = –2) indica que la estatura del hombre está a ________ desviaciones típicas a la __________ (derecha o izquierda) de la media. Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años de 1984 a 1985. Entonces Y ~ N (172,36; 6,34). La estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010 fue de 170 cm con una desviación típica de 6,28 cm. Se sabe que la altura de los hombres sigue una distribución normal. Supongamos que X = la altura de un hombre de 15 a 18 años de Chile de 2009 a 2010. Entonces X ~ N (170, 6,28). Halle las puntuaciones z para x = 160,58 cm y y = 162,85 cm. Interprete cada puntuación z . ¿Qué puede decir sobre x = 160,58 cm e y = 162,85 cm en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas? La puntuación z para x = -160,58 es z = –1,5. La puntuación z para y = 162,85 es z = –1,5. Tanto x = 160,58 como y = 162,85 desvían el mismo número de desviaciones típicas de sus respectivas medias y en la misma dirección. Ejercicio En 2012, 1.664.479 estudiantes realizaron la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). La distribución de las puntuaciones en la sección verbal del SAT tenía una media µ = 496 y una desviación típica σ = 114. Supongamos que X = la puntuación de la sección verbal de la prueba SAT en 2012. Entonces X ~ N (496, 114). Halle las puntuaciones z para x 1 = 325 y x 2 = 366,21. Interprete cada puntuación z . ¿Qué puede decir sobre x 1 = 325 y x 2 = 366,21 en comparación con sus respectivas medias y desviaciones típicas? Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6. Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1 σ = (–1)(6) = –6 y 1 σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente. Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2 σ = (–2)(6) = –12 y 2 σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de X se encuentran entre -3 σ = (–3)(6) = –18 y 3 σ = (3)(6) = 18 de la media de 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típicas de la media de 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente. Ejercicio Supongamos que X tiene una distribución normal con una media de 25 y una desviación típica de 5. ¿Entre qué valores de x se encuentra el 68 % de los valores? Entre 1984 y 1985, la estatura media de los hombres de 15 a 18 años de Chile era de 172,36 cm, y la desviación típica era de 6,34 cm. Supongamos que Y = la altura de los hombres de 15 a 18 años en 1984 a 1985. Entonces Y ~ N (172,36; 6,34). ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________ respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. Aproximadamente el 68 % de los valores se sitúan entre 166,02 cm y 178,7 cm. Las puntuaciones z son –1 y 1. Aproximadamente el 95 % de los valores se sitúan entre 159,68 cm y 185,04 cm. Las puntuaciones z son –2 y 2. Aproximadamente el 99,7 % de los valores se sitúan entre 153,34 cm y 191,38 cm. Las puntuaciones z son –3 y 3. Ejercicio Las puntuaciones de una prueba de acceso a la universidad tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 52 puntos y una desviación típica, σ = 11 puntos. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 68 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 95 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. ¿Qué dos valores se encuentran entre el 99,7 % de los valores de y ? Estos valores son ________________. Las puntuaciones z son ________________, respectivamente. Referencias “Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013). “The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013). “2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013). “Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de The World Almanac and Book of Facts . “List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N (0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N ( µ , σ ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ . Revisión de la fórmula z = un valor estandarizado (puntuación z ) media = 0; desviación típica = 1 Para hallar el valor observado, x , cuando se conocen las puntuaciones z : x = μ + ( z ) σ puntuación z : z = x – μ σ Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z Una botella de agua contiene 12,05 onzas líquidas con una desviación típica de 0,01 onzas. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ____________. onzas de agua en una botella Una distribución normal tiene una media de 61 y una desviación típica de 15. ¿Cuál es la mediana? X ~ N (1, 2) σ = _______ 2 Una compañía fabrica pelotas de goma. El diámetro medio de una pelota es de 12 cm con una desviación típica de 0,2 cm. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ______________. X ~ N (–4, 1) ¿Cuál es la mediana? -4 X ~ N (3, 5) σ = _______ X ~ N (–2, 1) μ = _______ -2 ¿Qué mide una puntuación z ? ¿Qué hace la estandarización de una distribución normal con la media? La media se convierte en cero. ¿ X ~ N (0, 1) es una distribución normal estandarizada? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la puntuación z de x = 12, si está dos desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2 ¿Cuál es la puntuación z de x = 9, si está 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? ¿Cuál es la puntuación z de x = –2, si está a 2,78 desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2,78 ¿Cuál es la puntuación z de x = 7, si está a 0,133 desviaciones típicas a la izquierda de la media? Supongamos que X ~ N (2, 6). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de tres? x = 20 Supongamos que X ~ N (8, 1). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –2,25? Supongamos que X ~ N (9, 5). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,5? x = 6,5 Supongamos que X ~ N (2, 3). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,67? Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1 Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a dos desviaciones típicas a la derecha de la media? Supongamos que X ~ N (8, 9). ¿Qué valor de x está a 0,67 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1,97 Supongamos que X ~ N (–1, 2). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? Supongamos que X ~ N (12, 6). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? z = –1.67 Supongamos que X ~ N (9, 3). ¿Cuál es la puntuación z de x = 9? Supongamos que una distribución normal tiene una media de seis y una desviación típica de 1,5. ¿Cuál es la puntuación z de x = 5,5? z ≈ –0,33 En una distribución normal, x = 5 y z = –1,25. Esto le dice que x = 5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = 3 y z = 0,67. Esto le dice que x = 3 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 0,67, derecha En una distribución normal, x = –2 y z = 6. Esto le dice que x = –2 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = –5 y z = –3,14. Esto le dice que x = –5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 3,14, izquierda En una distribución normal, x = 6 y z = –1,7. Esto le dice que x = 6 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de una desviación típica (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? alrededor del 68 % Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de dos desviaciones típicas (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la segunda y la tercera desviación típica (en ambos lados)? alrededor del 4 % Supongamos que X ~ N (15, 3). ¿Entre qué valores de x está el 68,27 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, 15). Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 95,45 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, –3). entre –5 y –1 Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 34,14 % de los datos? ¿Aproximadamente qué porcentaje de los valores de x están entre la media y tres desviaciones típicas? alrededor del 50 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la media y una desviación típica? Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la segunda desviación típica de la media (en ambos lados)? alrededor del 27 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la tercera desviación típica (en ambos lados)? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = _______________. La vida útil de un reproductor de CD de Sunshine se mide en años. X ~ _____(_____,_____) Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación? 2,7 5,3 7,4 2,1 ¿Cuál es la puntuación z de un paciente que tarda diez días en recuperarse? 1,5 0,2 2,2 7,3 c El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Los datos no pueden seguir la distribución uniforme. Los datos no pueden seguir la distribución exponencial. Los datos no pueden seguir la distribución normal. I solo II solo III solo I, II y III Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas. 77 pulgadas 85 pulgadas Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = –0,5141. La altura de 77 pulgadas es 0,5141 desviaciones típicas por debajo de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 77 pulgadas es más bajo que el promedio. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = 1,5424. La altura 85 pulgadas es 1,5424 desviaciones típicas por encima de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 85 pulgadas es más alto que el promedio. Altura = 79 + 3,5(3,89) = 92,615 pulgadas, los cual es más alto que 7 pies y 8 pulgadas. Hay muy pocos jugadores de la NBA tan altos, así que la respuesta es no, no es probable. La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal. Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres. Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría? El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14). ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)? La presión arterial sistólica de Kyle es de 175. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres. Calcule la presión arterial de Kyle. iv La presión arterial de Kyle es igual a 125 + (1,75)(14) = 149,5. La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N (10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas. 11 kg 7,9 kg 12,2 kg En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115. Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa. ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT? En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó? Supongamos que X = una calificación de Matemáticas de la SAT y Y = una calificación de Matemáticas del ACT. X = 720 720 – 520 15 = 1,74. La calificación del examen de 720 está 1,74 desviaciones típicas por encima de la media de 520. z = 1,5. La calificación de la SAT de Matemáticas es 520 + 1,5(115) ≈ 692,5. La calificación del examen de 692,5 está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de 520. X – μ σ = 700 – 514 117 ≈ 1,59, la puntuación z de la SAT. Y – μ σ = 30 – 21 5,3 ≈ 1,70, las puntuaciones z del ACT. Con respecto a la prueba que tomaron, la persona que presentó el ACT obtuvo mejores resultados (tiene la puntuación z más alta). Distribución normal estándar una variable aleatoria continua (RV) X ~ N (0, 1); cuando X sigue la distribución normal estándar, suele anotarse como Z ~ N (0, 1). puntuación z la transformación lineal de la forma z = x – μ σ ; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal X ~ N ( μ , σ ) el resultado es la distribución normal estándar Z ~ N (0,1). Si esta transformación se aplica a cualquier valor específico x de la RV con media μ y desviación típica σ , el resultado se denomina puntuación z de x . La puntuación z nos permite comparar datos que se distribuyen normalmente, pero que se escalan de forma diferente.", "section": "La distribución normal estándar", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Uso de la distribución normal El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x . Esta área está representada por la probabilidad P ( X < x ). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P ( X < x ). El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X ≤ x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( X ≥ x ) para distribuciones continuas. Cálculo de probabilidades Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84. NOTA Para calcular la probabilidad, utilice las tablas de probabilidad proporcionadas en H - TABLAS sin utilizar la tecnología. Las tablas incluyen instrucciones para su uso. Si el área de la izquierda es 0,0228, el área de la derecha es 1 - 0,0228 = 0,9772. Ejercicio Si el área a la izquierda de x es 0,012, ¿cuál es el área a la derecha? Las calificaciones del examen final de una clase de estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco. a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen. a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N (63, 5), donde μ = 63 y σ = 5. Dibuje un gráfico. Entonces, calcule P ( x > 65). P ( x > 65) = 0,3446 La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446. Entra en 2nd DISTR . Después de pulsar 2nd DISTR , pulse 2:normalcdf . La sintaxis de las instrucciones es la siguiente: normalcdf(valor inferior, valor superior, media, desviación típica). Para este problema: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0,3446. Se obtiene 1E99 (= 10 99 ) al pulsar 1 , la EE tecla (una segunda tecla) y luego 99 . O bien, puede ingresar 10^99 en su lugar. El número 10 99 está en la cola derecha de la curva normal. Estamos calculando el área entre 65 y 10 99 . En algunos casos, el número inferior del área puede ser -1E99 (= -10 99 ). El número -10 99 está en la cola izquierda de la curva normal. Nota histórica El programa de probabilidad de TI calcula una puntuación z y luego la probabilidad a partir de la puntuación z . Antes de la tecnología, la puntuación z se buscaba en una tabla de probabilidad normal (porque la matemática implicada es demasiado engorrosa) para calcular la probabilidad. En este ejemplo, se utilizó una tabla normal estándar con el área a la izquierda de la puntuación z . Se calcula la puntuación z y se busca el área a la izquierda. La probabilidad es el área de la derecha. z = 65 – 63 5 = 0,4 El área de la izquierda es 0,6554. P ( x > 65) = P ( z > 0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446 Calcule el percentil de un estudiante con una puntuación de 65: * Pulse 2nd Distr * Pulse 2:normalcdf ( * Ingrese el límite inferior, límite superior, media, desviación típica seguido de ) * Pulse ENTER . Para este ejemplo, los pasos son 2nd Distr 2:normalcdf (65,1,2nd EE,99,63,5) ENTER La probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65 es de 0,3446. Para hallar la probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65, reste el percentil a 1. b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85. b. Dibuje un gráfico. Luego calcule P ( x < 85), y sombree el gráfico. Con una computadora o una calculadora, calcule P ( x < 85) = 1. normalcdf(0,85,63,5) = 1 (redondee a uno) La probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %). c. Calcule el percentil 90 (es decir, halle la puntuación k que tiene el 90 % de las puntuaciones por debajo de k y el 10 % de las puntuaciones por encima de k ). c. Calcule el percentil 90 . Para cada problema o parte de un problema, dibuje un nuevo gráfico. Dibuje el eje x . Sombree el área que corresponde al percentil 90 . Supongamos que k = el percentil 90 . La variable k se sitúa en el eje x . P ( x < k ) es el área a la izquierda de k . El percentil 90 k separa las puntuaciones del examen en las que son iguales o inferiores a k y las que son iguales o superiores. El noventa por ciento de los resultados de las pruebas son iguales o inferiores a k , y el diez por ciento son iguales o superiores. La variable k suele llamarse valor crítico . k = 69,4 El percentil 90 es de 69,4. Esto significa que el 90 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 69,4 y el 10 % en un nivel igual o superior. Para obtener esta respuesta en la calculadora, siga este paso: invNorm pulgada 2nd DISTR . invNorm(área a la izquierda, media, desviación típica) Para este problema, invNorm(0,90;63;5) = 69,4 d. Calcule el percentil 70 (es decir, halle la puntuación k tal que el 70 % de las puntuaciones esté por debajo de k y el 30 % de las puntuaciones esté por encima de k ). d. Calcule el percentil 70 . Dibuje un nuevo gráfico y márquelo adecuadamente. k = 65,6 El percentil 70 es de 65,6. Esto significa que el 70 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 65,5 y el 30 % en un nivel igual o superior. invNorm(0,70;63;5) = 65,6 Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65. Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora. a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día. a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N (2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5. Calcule P (1,8 < x < 2,75). La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P (1,8 < x < 2,75) = 0,5886 normalcdf(1,8;2,75;2;0,5) = 0,5886 La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886 b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse. b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25 , k , donde P ( x < k ) = 0,25. invNorm(0,25;2;0,5) = 1,66 El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas. Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70. En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años. b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años. c. Calcule el percentil 80 de esta distribución e interprételo en una frase completa. a. normalcdf(23;64,7;36,9;13,9) = 0,8186 b. normalcdf(-10 99 ;50,8;36,9;13,9) = 0,8413 c. invNorm(0,80;36,9;13,9) = 48,6 El percentil 80 es de 48,6 años. El 80 % de los usuarios de teléfonos inteligentes en el rango de edad de 13 a 55+ años tienen 48,6 años o menos. Ejercicio Utilice la información del para responder las siguientes preguntas. Calcule el percentil 30 , e interprételo en una frase completa. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad de un usuario de un teléfono inteligente seleccionado aleatoriamente en el rango de 13 a 55+ sea inferior a 27 años? En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. Con esta información, responda a las siguientes preguntas (redondee las respuestas a un decimal) a. Calcule el rango intercuartil ( IQR ). b. ¿Qué edad tiene el 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años? a. IQR = Q 3 – Q 1 Calcule el Q 3 = percentil 75 y Q 1 = percentil 25 . invNorm(0,75;36,9;13,9) = Q 3 = 46,2754 invNorm(0,25;36,9;13,9) = Q 1 = 27,5246 IQR = Q 3 – Q 1 = 18,8 b. Calcule k donde P ( x ≥ k ) = 0,40 (\"al menos\" se traduce en \"mayor o igual que\") 0,40 = la zona de la derecha. Área a la izquierda = 1 - 0,40 = 0,60. El área a la izquierda de k = 0,60. invNorm(0,60;36,9;13,9) = 40,4215. k = 40,4. El 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años tienen al menos 40,4 años. Ejercicio Dos mil estudiantes hicieron un examen. Las puntuaciones del examen tienen una distribución normal aproximada con una media μ = 81 puntos y una desviación típica σ = 15 puntos. Calcule las puntuaciones del primer y tercer cuartil de este examen. ¿El 50 % de las puntuaciones del examen se encuentran entre qué dos valores? Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm. a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico. b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______. c. Calcule el percentil 90 de los diámetros de las mandarinas e interprételo en una frase completa. a. normalcdf(6;10^99;5,85;0,24) = 0,2660 b. 1 – 0,20 = 0,80 Las colas del gráfico de la distribución normal tienen un área de 0,40 cada una. Calcule k1 , el percentil 40 , y k2 , el percentil 60 (0,40 + 0,20 = 0,60). k1 = invNorm(0,40;5,85;0,24) = 5,79 cm k2 = invNorm(0,60;5,85;0,24) = 5,91 cm c. 6,16: El 90 % del diámetro de las mandarinas es como máximo de 6,16 cm. Ejercicio Utilizando la información del , responda a lo siguiente: El 40 % medio de las mandarinas de esta finca está entre ______ y ______. Calcule el percentil 16 e interprételo en una frase completa. Referencias “Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013). “403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013). “Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013). “Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013). “Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ . Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z . Su media es cero y su desviación típica es uno. Revisión de la fórmula Distribución normal: X ~ N ( µ , σ ) donde µ es la media y σ es la desviación típica. Distribución normal estándar: Z ~ N (0, 1). Función de cálculo de la probabilidad: normalcdf (valor x inferior del área, valor x superior del área, media, desviación típica) Función de cálculo del percentil k : k = invNorm (área a la izquierda de k , media, desviación típica) ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en un enunciado de probabilidad? P ( x < 1) ¿Cuál es el área a la derecha de uno? ¿ P ( x < 1) es igual a P ( x ≤ 1)? ¿Por qué? Sí, porque son iguales en una distribución continua: P ( x = 1) = 0 ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en un enunciado de probabilidad? ¿Cuál es el área a la derecha de tres? 1 – P ( x < 3) o P ( x > 3) Si el área a la izquierda de x en una distribución normal es 0,123, ¿cuál es el área a la derecha de x ? Si el área a la derecha de x en una distribución normal es 0,543, ¿cuál es el área a la izquierda de x ? 1 – 0,543 = 0,457 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: X ~ N (54, 8) Calcule la probabilidad de que x > 56. Calcule la probabilidad de que x < 30. 0,0013 Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 60 . 56,03 X ~ N (6, 2) Calcule la probabilidad de que x esté entre tres y nueve. X ~ N (–3, 4) Calcule la probabilidad de que x esté entre uno y cuatro. 0,1186 X ~ N (4, 5) Calcule el máximo de x en el cuartil inferior. Use la siguiente información para responder el próximo ejercicio: La vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD se averíe durante el periodo de garantía. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (0 < x < ____________) = ___________ (use el cero para el valor mínimo de x .) Compruebe la solución del estudiante. 3; 0,1979 Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2,8 y seis años. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (__________ < x < __________) = __________ Calcule el percentil 70 de la distribución para el tiempo que dura un reproductor de CD. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente al 70 % inferior. P ( x < k ) = __________ Por lo tanto, k = _________ Compruebe la solución del estudiante. 0,70, 4,78 años Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación? 0,0580 0,8447 0,0553 0,9420 ¿El percentil 90 de los tiempos de recuperación es? 8,89 7,07 7,99 4,32 c Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento? Sí No No se puede determinar Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento. 0,0001 0,9270 0,1862 0,0668 d El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento? 1,24 2,41 3,95 6,05 Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente. X ~ N (66; 2,5) 0,5404 No, la probabilidad de que un hombre asiático mida más de 72 pulgadas es de 0,0082 El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿El 50 % de los coeficientes intelectuales se sitúan entre qué dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar. Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (36, 10) La probabilidad de que una persona consuma más del 40 % de sus calorías en forma de grasa es de 0,3446. Aproximadamente el 25 % de las personas consumen menos del 29,26 % de sus calorías en forma de grasa. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____) Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución de los batazos de aire. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión? ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños? X = número de horas que un niño chino de cuatro años en una zona rural está sin supervisión durante el día. X ~ N (3, 1,5) La probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión es de 0,0918. La probabilidad de que un niño pase más de diez horas al día sin supervisión es inferior a 0,0001. 2,21 horas En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral. Indique la distribución aproximada de X . ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe? Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton. Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo? X = la distribución del número de días que durará un determinado tipo de juicio penal X ~ N (21, 7) La probabilidad de que un juicio seleccionado al azar dure más de 24 días es de 0,3336. 22,77 Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos. El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____. El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos. Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La muestra los datos reales ordenados (en minutos): 0,50 4,25 5 6 7,25 1,75 4,25 5,25 6 7,25 2 4,25 5,25 6,25 7,25 2,25 4,25 5,5 6,25 7,75 2,25 4,5 5,5 6,5 8 2,5 4,75 5,5 6,5 8,25 2,75 4,75 5,75 6,5 9,5 3,25 4,75 5,75 6,75 9,5 3,75 5 6 6,75 9,75 3,75 5 6 6,75 10,75 Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____) Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos. Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas? Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión. media = 5,51, s = 2,15 Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. X ~ N (5,51; 2,15) 0,6029 La frecuencia acumulada para menos de 6,1 minutos es de 0,64. Las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales, ya que la distribución normal es solo una aproximación a la real. Las respuestas de las partes f y g son cercanas, ya que una distribución normal es una excelente aproximación cuando el tamaño de la muestra es superior a 30. La aproximación habría sido menos precisa porque el menor tamaño de la muestra hace que los datos no se ajusten tan bien a la curva normal. Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa. El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita. Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero. Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario. La muestra la capacidad máxima (número máximo de espectadores) de los estadios deportivos. La tabla no incluye los hipódromos de carreras de caballos o estadios de carrera de automóviles. 40.000 40.000 45.050 45.500 46.249 48.134 49.133 50.071 50.096 50.466 50.832 51.100 51.500 51.900 52.000 52.132 52.200 52.530 52.692 53.864 54.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.082 57.000 58.008 59.680 60.000 60.000 60.492 60.580 62.380 62.872 64.035 65.000 65.050 65.647 66.000 66.161 67.428 68.349 68.976 69.372 70.107 70.585 71.594 72.000 72.922 73.379 74.500 75.025 76.212 78.000 80.000 80.000 82.300 Calcule la media muestral y la desviación típica muestral de la capacidad máxima de los estadios deportivos (los datos). Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras del histograma. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____). Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores. Determine la frecuencia relativa acumulada de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores. Pista: Ordene los datos y cuente los estadios deportivos que tienen una capacidad máxima inferior a 67.000. Divida por el número total de estadios deportivos de la muestra. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? media = 60.136 s = 10.468 Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. X ~ N (60136, 10468) 0,7440 La frecuencia relativa acumulada es 43/60 = 0,717. Las respuestas para la parte f y la parte g no son las mismas, porque la distribución normal es solo una aproximación. Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad. La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra. n = 100; p = 0,1; q = 0,9 μ = np = (100)(0,10) = 10 σ = n p q = (100)(0 0,1)(0 0,9) = 3 z = ±1: x 1 = µ + zσ = 10 + 1(3) = 13 y x 2 = µ – zσ = 10 – 1(3) = 7. El 68 % de los autos defectuosos estarán entre siete y 13. z = ±2: x 1 = µ + zσ = 10 + 2(3) = 16 and x 2 = µ – zσ = 10 – 2(3) = 4. El 95 % de los autos defectuosos estarán entre 4 y 16 z = ±3: x 1 = µ + zσ = 10 + 3(3) = 19 and x 2 = µ – zσ = 10 – 3(3) = 1. El 99,7 % de los coches defectuosos estarán entre uno y 19. Lanzamos una moneda 100 veces ( n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % ( p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente: Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32. Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya entre 34 y 54 premios. entre 54 y 64 premios. más de 64 premios. n = 190; p = 1 5 = 0,2; q = 0,8 μ = np = (190)(0,2) = 38 σ = n p q = (190)(0 0,2)(0 0,8) = 5,5136 Para este problema: P (34 < x < 54) = normalcdf(34;54;48;5,5136) = 0,7641 Para este problema: P (54 < x < 64) = normalcdf(54;64;48;5,5136) = 0,0018 Para este problema: P ( x > 64) = normalcdf(64,10 99 ,48,5.5136) = 0,0000012 (aproximadamente 0) Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio. En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento. Calcule la probabilidad de que el porcentaje de personas de 18 a 34 años que revisan Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana sea al menos del 30. Calcule el percentil 95 y expréselo en una frase.", "section": "Uso de la distribución normal", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución normal (tiempos de vuelta) Distribución normal (tiempos de vuelta) Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante comparará y contrastará datos empíricos y una distribución teórica para determinar si los tiempos de vuelta de Terry Vogel se ajustan a una distribución continua. Instrucciones Redondee las frecuencias relativas y las probabilidades a cuatro decimales. Lleve todas las demás respuestas decimales a dos cifras. Recopilación de datos Utilice los datos del Apéndice C . Use un método de muestreo estratificado por vueltas (carreras 1 a 20) y un generador de números aleatorios para elegir seis tiempos de vuelta de cada estrato. Registre los tiempos de las vueltas dos a siete. _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Escriba una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. (No se complique. ¿El gráfico va en línea recta, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.?) Analice la distribución Utilizando la media muestral, la desviación típica muestral y el histograma como apoyo, ¿cuál es la distribución teórica aproximada de los datos? X ~ _____(_____,_____) ¿Cómo el histograma lo ayuda a llegar a la distribución aproximada? Describa los datos Utilice los datos que ha recopilado para completar los siguientes enunciados. El IQR va de __________ a __________. IQR = __________. ( IQR = Q 3 – Q 1 ) El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. La probabilidad empírica de que un tiempo de vuelta elegido al azar sea superior a 130 segundos es de _______. Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Distribución teórica Complete las siguientes afirmaciones con la distribución teórica. Debe utilizar una aproximación normal con base en los datos de la muestra. El IQR va de __________ a __________. IQR = _______. El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. La probabilidad de que un tiempo de vuelta elegido al azar sea superior a 130 segundos es de _______. Explique el significado del percentil 85 de esta distribución. Preguntas para el debate ¿Los datos de la sección titulada Recopilación de datos se aproximan a la distribución teórica en la sección titulada Análisis de la distribución ? En oraciones completas y comparando el resultado en las secciones tituladas Describir los datos y Distribución teórica , explique por qué sí o por qué no.", "section": "Distribución normal (tiempos de vuelta)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución normal (longitud del meñique) Distribución normal (longitud del meñique) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si los datos del experimento siguen una distribución continua. Recopilación de datos Mida la longitud de su dedo meñique (en centímetros). Encueste aleatoriamente a 30 adultos para conocer la longitud de sus dedos meñiques. Redondee las longitudes a los 0,5 cm más cercanos. _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente. x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras superiores del histograma. Escriba una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. (No se complique. ¿El gráfico va en línea recta, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.?) Analice la distribución Utilizando la media de la muestra, la desviación típica de la muestra y el histograma, ¿cuál fue la distribución teórica aproximada de los datos que recogió? X ~ _____(_____,_____) ¿Cómo el histograma lo ayuda a llegar a la distribución aproximada? Describa los datos Con los datos que ha recogido, complete las siguientes afirmaciones. (Sugerencia: ordene los datos) Recuerde ( IQR = Q 3 – Q 1 ) IQR = _______ El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que la longitud de un meñique elegido al azar sea superior a 6,5 cm? Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Distribución teórica Complete las siguientes afirmaciones con la distribución teórica. Utilice una aproximación normal basada en la media y la desviación típica de la muestra. IQR = _______ El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que la longitud de un meñique elegido al azar sea superior a 6,5 cm? Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Preguntas para el debate ¿Los datos que ha recogido ofrecen una aproximación a la distribución teórica? En oraciones completas y comparando los resultados en las secciones tituladas Describa los datos y Distribución teórica , explique por qué sí o por qué no.", "section": "Distribución normal (longitud del meñique)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Si quiere determinar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, utilizando el teorema del límite central y suponiendo que su muestra es lo suficientemente grande, encontrará que la distribución es normal y tiene forma de campana (créditos: John Lodder). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer los problemas del teorema central del límite. Clasificar los problemas de palabras continuas por sus distribuciones. Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las medias. Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las sumas. ¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo estudiará las medias y el teorema del límite central . El teorema del límite central (central limit theorem, TLC) es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. Hay dos formas alternativas del teorema, y ambas alternativas se refieren a la extracción de muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ , y una desviación típica conocida, σ . La primera alternativa indica que si recogemos muestras de tamaño n con una \" n suficientemente grande\", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma de campana normal aproximada. La segunda alternativa indica que si volvemos a recoger muestras de tamaño n que sean \"suficientemente grandes\", calculamos la suma de cada muestra y creamos un histograma, entonces el histograma resultante volverá a tener una forma de campana normal. El tamaño de la muestra, n , que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, se necesitan más observaciones para que las medias o sumas de la muestra sean normales. El muestreo se realiza con sustitución. Sería difícil exagerar la importancia del teorema del límite central en la teoría estadística. Saber que los datos, aunque su distribución no sea normal, se comportan de forma predecible es una herramienta poderosa. Supongamos que ocho de ustedes tiran un dado justo diez veces, siete de ustedes tiran dos dados justos diez veces, nueve de ustedes tiran cinco dados justos diez veces y 11 de ustedes tiran diez dados justos diez veces. Cada vez que una persona tira más de un dado, calcule la media muestral de las caras que aparecen. Por ejemplo, una persona puede tirar cinco dados justos y obtener 2, 2, 3, 4, 6 en una tirada. La media es 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 = 3,4. El 3,4 es una media cuando se tiran cinco dados justos. Esta misma persona lanzaría los cinco dados nueve veces más y calcularía otras nueve medias para un total de diez medias. Su instructor repartirá los dados entre varias personas. Tire los dados diez veces. Para cada tiro, anote las caras y halle la media. Redondee al 0,5 más cercano. Su instructor (y posiblemente usted) dibujará un gráfico (puede ser un histograma) para un dado, un gráfico para dos dados, un gráfico para cinco dados y un gráfico para diez dados. Dado que la \"media\" al lanzar un dado es solo la cara de este, ¿qué distribución parecen representar estas medias ? Dibuje el gráfico de las medias utilizando dos dados. ¿Las medias de las muestras muestran algún tipo de patrón? Dibuje el gráfico de las medias utilizando cinco dados. ¿Ve algún patrón emergente? Por último, dibuje el gráfico de las medias utilizando diez dados. ¿Ve algún patrón en el gráfico? ¿Qué puede concluir al aumentar el número de dados? A medida que el número de dados lanzados aumenta de uno a dos y de cinco a diez, ocurre lo siguiente: La media de las medias de las muestras sigue siendo aproximadamente la misma. La dispersión de las medias muestrales (la desviación típica de las medias muestrales) se reduce. El gráfico parece más inclinado y delgado. Acaba de demostrar el teorema del límite central (TLC). El teorema del límite central indica que, a medida que aumenta el número de dados, las medias de las muestras tienden a una distribución normal (la distribución de muestreo). Distribución de muestreo dadas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población determinada con una característica medida como la media, la proporción o la desviación típica para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se llama distribución de muestreo.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Teorema del límite central de medias muestrales (promedios) Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos: μ X = la media de X σ X = la desviación típica de X Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , a medida que n aumenta, la variable aleatoria x ¯ que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y x ¯ ~ N ( μ x , σ X n ) . El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n . La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento. Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , la distribución de la variable aleatoria x ¯ , que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media . La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n , el tamaño de la muestra . La variable aleatoria x ¯ tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X . La media x ¯ es el valor de x ¯ en una muestra. z = x ¯ – μ x ( σ X n ) μ X es el promedio de X y x ¯ . σ x ¯ = σ X n = desviación típica de x ¯ y se denomina error estándar de la media. Para calcular las probabilidades de las medias en la calculadora, siga estos pasos. 2.º DISTR 2:normalcdf n o r m a l c d e ( valor más bajo del área, valor más alto del área, media, desviación típica tamaño de la muestra ) donde: la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación típica de 15. Las muestras de tamaño n = 25 se extraen aleatoriamente de la población. a. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92. a. Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de la muestra . Supongamos que x ¯ = la media de una muestra de tamaño 25. Dado que μ X = 90, σ X = 15 y n = 25, x ¯ ~ N ( 90 , 15 25 ) . Calcule P (85 < x ¯ < 92). Dibuje un gráfico. P (85 < x ¯ < 92) = 0,6997 La probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92 es de 0,6997. normalcdf (valor inferior, valor superior, media, error estándar de la media) La lista de parámetros se abrevia (valor inferior, valor superior, μ , σ n ) normalcdf (85,92,90, 15 25 ) = 0,6997 b. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado, 90, de la media de la muestra. b. Para calcular el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado 90, utilice la fórmula: valor = μ x + (#deTSDEVs) ( σ x n ) valor = 90 + 2 ( 15 25 ) = 96 El valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado es 96. El error estándar de la media es σ x n = 15 25 = 3. Recordemos que el error estándar de la media es una descripción de la distancia (en promedio) que la media de la muestra estará de la media de la población en muestras aleatorias simples repetidas de tamaño n . Ejercicio Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación típica de ocho. Las muestras de tamaño n = 30 se extraen aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 42 y 50. El tiempo, en horas, que tarda un grupo de personas \"mayores de 40 años\" en jugar un partido de fútbol se distribuye normalmente con una media de dos horas y una desviación típica de 0,5 horas. Una muestra de tamaño n = 50 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 1,8 horas y 2,3 horas. Supongamos que X = el tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de tiempo de la muestra, en horas , que se necesita para jugar un partido de fútbol. Supongamos que x ¯ = la media de tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol. Si μ X = _________, σ X = __________, y n = X ¯ ~ N (______, ______) por el teorema del límite central para las medias muestrales μ X = 2, σ X = 0,5, n = 50, y X ~ N ( 2, 0,5 50 ) Calcule P (1,8 < x ¯ < 2,3). Dibuje un gráfico. P (1,8 < x ¯ < 2,3) = 0,9977 normalcdf ( 1. 8,2 .3,2, 0,5 50 ) = 0,9977 La probabilidad de que la media de tiempo esté entre 1,8 horas y 2,3 horas es de 0,9977. Ejercicio La duración de la prueba SAT para un grupo de estudiantes se distribuye normalmente con una media de 2,5 horas y una desviación típica de 0,25 horas. Una muestra de tamaño n = 60 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre dos horas y tres horas. Para calcular los percentiles de las medias en la calculadora, siga estos pasos. 2 nd DIStR 3:invNorm k = invNorm ( área a la izquierda de k , media, s t a n d a t d d e v i a t i o n s a m p l e s i c e ) donde: k = el percentil k la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación típica es de 15 años. Tome una muestra de tamaño n = 100. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra de edades medias de los usuarios de tabletas? ¿Cómo es la distribución? Calcule la probabilidad de que la media de edad de la muestra sea superior a 30 años (la media de edad declarada de los usuarios de tabletas en este estudio en particular). Calcule el percentil 95 de la edad media de la muestra (con un decimal). Como la media muestral tiende a apuntar a la media poblacional, tenemos μ χ = μ = 34. La desviación típica de la muestra viene dada por σ χ = σ n = 15 100 = 15 10 = 1,5 El teorema del límite central establece que para tamaños de muestra grandes ( n ), la distribución de la muestra será aproximadamente normal. La probabilidad de que la edad media de la muestra sea superior a 30 años viene dada por P ( X ¯ > 30 ) = normalcdf (30,E99,34;1,5) = 0,9962 Supongamos que k = el percentil 95 . k = invNorm ( 0, 95,34, 15 100 ) = 36,5 Ejercicio En un artículo del blog de Flurry, se identifica una brecha en el mercadeo del juego para los hombres de entre 30 y 40 años. Investiga un juego de una empresa emergente dirigido al público de 35 años. Su idea es desarrollar un juego de estrategia que puedan jugar hombres de entre 20 y 30 años. Según los datos del artículo, la investigación del sector muestra que el jugador promedio de estrategia tiene 28 años, con una desviación típica de 4,8 años. Se toma una muestra de 100 jugadores seleccionados aleatoriamente. Si su mercado objetivo es de 29 a 35 años, ¿debe seguir con su estrategia de desarrollo? El número medio de minutos de participación en la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de 60. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra del número de la media de participación en aplicaciones por parte de un usuario de tableta? ¿Cuál es el error estándar de la media? Calcule el percentil 90 para la media de tiempo de la muestra para la participación en la aplicación para un usuario de la tableta. Interprete este valor en una oración completa. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 8 minutos y 8,5 minutos. μ x ¯ = μ = 8,2 σ x ¯ = σ n = 1 60 = 0,13 Esto nos permite calcular la probabilidad de que las medias muestrales estén a una determinada distancia de la media, en muestras repetidas de tamaño 60. Supongamos que k = el percentil 90 k = invNorm ( 0, 90.8 0,2, 1 60 ) = 8.37. Estos valores indican que el 90 por ciento del tiempo promedio de interacción en la aplicación para los usuarios de la mesa es inferior a 8,37 minutos. P (X < 5) x ¯ < 8,5) = normalcdf ( 8.8 .5,8 0,2, 1 60 ) = 0,9293 Ejercicio Las latas de una bebida de cola dicen contener 16 onzas. Se miden las cantidades de una muestra y la estadística es n = 34, x ¯ = 16,01 onzas. Si las latas se llenan de forma que μ = 16,00 onzas (como se indica en la etiqueta) y σ = 0,143 onzas, halle la probabilidad de que una muestra de 34 latas tenga una cantidad promedio superior a 16,01 onzas. ¿Los resultados sugieren que las latas se llenan con una cantidad superior a las 16 onzas? Referencias Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. Repaso del capítulo En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño ( n ) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( n ). Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las medias muestrales: x ¯ ~ N ( μ x , σ x n ) La media X ¯ : μ x Teorema del límite central para las medias muestrales con puntuación z y error estándar de la media: z = x ¯ – μ x ( σ x n ) Error estándar de la media (desviación típica ( X ¯ )): σ x n Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Yoonie es administrador de personal en una gran empresa. Cada mes debe revisar a 16 de los empleados. Por experiencia, ha comprobado que las revisiones le llevan aproximadamente cuatro horas cada una, con una desviación típica de la población de 1,2 horas. Supongamos que Χ sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda en completar una revisión. Supongamos que Χ se distribuye normalmente. Supongamos que x ¯ es la variable aleatoria que representa la media de tiempo para completar las 16 revisiones. Supongamos que las 16 opiniones representan un conjunto aleatorio de opiniones. ¿Cuál es la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra? media = 4 horas; desviación típica = 1,2 horas; tamaño de la muestra = 16 Complete las distribuciones. X ~ _____(_____,_____) X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que una revisión le lleve a Yoonie de 3,5 a 4,25 horas. Dibuje el gráfico, identifique y escale el eje horizontal. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (________ < x < ________) = _______ a. Compruebe la solución del estudiante. b. 3,5; 4,25; 0,2441 Calcule la probabilidad de que la media de las revisiones de un mes lleve a Yoonie de 3,5 a 4,25 horas. Dibuje el gráfico, identifique y escale el eje horizontal. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (________________) = _______ ¿Qué hace que las probabilidades en el y el sean diferentes? El hecho de que las dos distribuciones sean diferentes explica las distintas probabilidades. Calcule el percentil 95 para la media de tiempo para completar las revisiones de un mes. Dibuje el gráfico. El percentil 95 =____________ Tarea para la casa Anteriormente, los estudiantes de Estadística de De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de Estadística durante el día se distribuye exponencialmente con una media de 0,88 dólares. Supongamos que elegimos al azar a 25 estudiantes diurnos de Estadística. En palabras, Χ = ____________ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X ¯ = ____________ x ¯ ~ ______ (______, ______) Calcule la probabilidad de que una persona tenga entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Calcule la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes esté entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f. Χ = cantidad de cambio que llevan los estudiantes Χ ~ E (0,88; 0,88) x ¯ = cantidad promedio de cambio que lleva a cabo una muestra de 25 estudiantes. x ¯ ~ N (0,88; 0,176) 0,0819 0,1882 Las distribuciones son diferentes. La parte a es exponencial y la parte b es normal. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Tomamos una muestra aleatoria de 49 batazos de aire. Si los valores de x ¯ = distancia promedio en pies para 49 batazos de aire, entonces x ¯ ~ _______(_______,_______) ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 pelotas hayan volado un promedio de menos de 240 pies? Dibuje el gráfico. Escala el eje horizontal para x ¯ . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 batazos de aire. Según el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio que tarda una persona en terminar (llevar un registro, aprender, preparar, copiar, recopilar y enviar) el formulario 1040 del IRS es de 10,53 horas (sin los anexos). La distribución es desconocida. Supongamos que la desviación típica es de dos horas. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 36 contribuyentes. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) ¿Le sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su formulario 1040 en un promedio de más de 12 horas? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. ¿Le sorprendería que un contribuyente terminara su formulario 1040 en más de 12 horas? Explique por qué en una oración completa. tiempo que tarda una persona en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. duración media de una muestra de 36 contribuyentes en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. N ( 10 0,53, 1 3 ) Sí. Me sorprendería, porque la probabilidad es casi 0. No. No me sorprendería del todo porque la probabilidad es de 0,2312 Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Considere 49 de las carreras. Supongamos que x ¯ el promedio de las 49 carreras. X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el corredor tenga un promedio entre 142 y 146 minutos en estos 49 maratones. Calcule el percentil 80 del promedio de estos 49 maratones. Calcule la mediana de los tiempos promedio de ejecución. La duración de las canciones en la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3,5 minutos. Supongamos que elegimos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco álbumes. En palabras, Χ = _________ Χ ~ _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule el primer cuartil para la duración promedio de la canción, X ¯ . El IQR (rango intercuartil) para la longitud promedio de la canción, X ¯ , es de ___ - ___. la duración de una canción, en minutos, en la colección U (2, 3,5) la duración promedio, en minutos, de las canciones de una muestra de cinco álbumes de la colección N (2,75; 0,0660) 2,71 minutos 0,09 minutos En 1940, el tamaño promedio de una granja en EE. UU. era de 174 acres. Digamos que la desviación típica era de 55 acres. Supongamos que encuestamos al azar a 38 agricultores de 1940. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) El IQR para x ¯ es de _______ acres a _______ acres. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Luego, justifique sus respuestas con oraciones completas. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de X ¯ es aproximadamente igual a la media de Χ . Cuando el tamaño de la muestra es grande, x ¯ se distribuye aproximadamente normal. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación típica de x ¯ es aproximadamente igual a la desviación típica de Χ . Verdadero. La media de una distribución del muestreo de las medias es aproximadamente la media de la distribución de los datos. Verdadero. Según el teorema del límite central, cuanto mayor sea la muestra, más se aproxima a la normalidad la distribución del muestreo de las medias. La desviación típica de la distribución del muestreo de las medias disminuirá haciéndola aproximadamente igual a la desviación típica de X a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El porcentaje de calorías de grasa que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de diez aproximadamente. Supongamos que se eligen 16 personas al azar. Supongamos que x ¯ = porcentaje promedio de calorías de grasa. x ¯ ~ ______(______, ______) Para el grupo de 16, calcule la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasa consumidas sea superior a cinco. Grafique la situación y sombree la zona a determinar. Calcule el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa. La distribución de los ingresos en algunos países del tercer mundo se considera en forma de cuña (mucha gente muy pobre, muy poca gente con ingresos medios y aún menos gente rica). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Supongamos que el salario promedio es de 2.000 dólares al año con una desviación típica de 8.000 dólares. Encuestamos al azar a 1.000 residentes de ese país. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) ¿Cómo es posible que la desviación típica sea mayor que el promedio? ¿Por qué es más probable que el promedio de los 1.000 residentes sea de 2.000 a 2.100 dólares que de 2.100 a 2.200 dólares? X = los ingresos anuales de alguien en un país del tercer mundo el salario promedio de las muestras de 1.000 residentes de un país del tercer mundo X ¯ ∼ N ( 2000, 8000 1.000 ) Las diferencias muy amplias en los valores de los datos pueden tener promedios más pequeños que las desviaciones típicas. La distribución de la media muestral tendrá mayores probabilidades de acercarse a la media de la población. P (2.000 < x ¯ < 2.100) = 0,1537 P (2.100 < x ¯ < 2200) = 0,1317 ¿Cuál de las siguientes opciones NO ES CIERTA sobre la distribución de los promedios? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. La distribución que se va a usar para el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras es X ¯ ~ N (4,59; 0,10) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 0,10 16 ) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) b Promedio un número que describe la tendencia central de los datos; existen varios promedios especializados, como la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. Teorema del límite central dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y desviación típica conocida, σ , estamos muestreando con tamaño n , y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ , y la suma de la muestra, ΣΧ . Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) y ΣΧ ~ N ( nμ , ( n )( σ )). Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales y la distribución de las sumas muestrales se aproximarán a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media de la población, y la media de las sumas muestrales será igual a n veces la media de la población. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media. Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: Χ ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Error estándar de la media la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, o σ n .", "section": "Teorema del límite central de medias muestrales (promedios)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "El teorema del límite central para las sumas Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos que: μ X = la media de Χ σ Χ = la desviación típica de X Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , a medida que aumenta n , la variable aleatoria Σ X formada por sumas tiende a distribuirse normalmente y Σ Χ ~ N (( n )( μ Χ ), ( n )( σ Χ )). El teorema del límite central para las sumas indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calcula la suma de cada muestra, estas sumas tienden a seguir una distribución normal. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación típica igual a la desviación típica original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. La variable aleatoria Σ X tiene asociada la siguiente puntuación z : Σ x es una suma. z = Σ x – ( n ) ( μ X ) ( n ) ( σ X ) ( n )( μ X ) = la media de Σ X ( n ) ( σ X ) = desviación típica de Σ X Para calcular las probabilidades de las sumas en la calculadora, siga estos pasos. 2.º DISTR 2: normalcdf normalcdf (valor inferior del área, valor superior del área, ( n )(media), ( n )(desviación típica)) donde: la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original tamaño de la muestra = n Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación típica de 15. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 80 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 80 valores (o el total de los 80 valores) sea superior a 7.500. Calcule la suma que está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de las sumas. Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la suma (o el total de) 80 valores. Σ X = la suma o el total de 80 valores. Como μ X = 90, σ X = 15, y n = 80, Σ X ~ N ((80)(90), ( 80 )(15)) media de las sumas =( n )( μ X ) = (80)(90) = 7.200 desviación típica de las sumas = ( n )( σ X ) = ( 80 ) (15) suma de 80 valores = Σx = 7.500 a. Calcule P (Σ x > 7.500) P (Σ x > 7.500) = 0,0127 normalcdf (valor inferior, valor superior, media de las sumas, stdev de sumas) La lista de parámetros se abrevia (inferior, superior, ( n )( μ X , ( n ) ( σ X )) normalcdf (7500,1E99,(80)(90), ( 80 ) (15)) = 0,0127 Recordatorio 1E99 = 10 99 . Pulse EE para E. b. Calcule Σ x donde z = 1,5. Σ x = ( n )( μ X ) + ( z ) ( n ) ( σ Χ ) = (80)(90) + (1,5)( 80 )(15) = 7.401,2 Ejercicio Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación típica de ocho. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 50 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 50 valores sea superior a 2.400. Para calcular los percentiles de las sumas en la calculadora, siga estos pasos. 2 nd DIStR 3:invNorm k = invNorm (área a la izquierda de k , ( n )(media), ( n ) (desviación típica)) donde: k es el percentil k la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación típica es de 15 años. La muestra es de tamaño 50. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la suma de las edades de usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución? Calcule la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1.500 y 1.800 años. Calcule el percentil 80 para la suma de las edades de 50. μ Σx = nμ x = 50(34) = 1.700 y σ Σx = n σ x = ( 50 ) (15) = 106,07 La distribución es normal para las sumas por el teorema del límite central. P (1500 < Σ x < 1800) = normalcdf (1.500, 1.800, (50)(34), ( 50 ) (15)) = 0,7974 Supongamos que k = el percentil 80 . k = invNorm (0,80,(50)(34), ( 50 ) (15)) = 1.789,3 Ejercicio En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas era de 35 años. Supongamos que la desviación típica es de diez años. El tamaño de la muestra es de 39. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la suma de las edades de usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución? Calcule la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1.400 y 1.500 años. Calcule el percentil 90 para la suma de las edades de 39. El número medio de minutos de participación en la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de tamaño 70. ¿Cuáles son la media y la desviación típica de las sumas? Calcule el percentil 95 para la suma de la muestra. Interprete este valor en una oración completa. Calcule la probabilidad de que la suma de la muestra sea de al menos diez horas. μ Σx = nμ x = 70(8,2) = 574 minutos y σ Σx = ( n ) ( σ x ) = ( 70 ) (1) = 8,37 minutos Supongamos que k = el percentil 95 . k = invNorm (0,95,(70)(8,2), ( 70 ) (1)) = 587,76 minutos El noventa y cinco por ciento de las sumas de los tiempos de participación en la aplicación son como máximo 587,76 minutos. diez horas = 600 minutos P (Σ x ≥ 600) = normalcdf (600,E99,(70)(8,2), ( 70 ) (1)) = 0,0009 El número de la media de minutos de participación en la aplicación por el uso de una mesa es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de tamaño 70. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de la muestra esté entre siete y diez horas? ¿Qué significa esto en el contexto del problema? Calcule los percentiles 84 y 16 para la suma de la muestra. Interprete estos valores en su contexto. Referencias Farago, Peter. The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences [La verdad sobre los gatos y los perros: Diferencias entre el uso de smartphones vs tabletas]. The Flurry Blog, 2013. Publicado el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El teorema del límite central nos indica que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En otras palabras, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse a una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Además, si la población original tiene una media de μ X y una desviación típica de σ x , la media de las sumas es nμ x y la desviación típica es ( n ) ( σ x ) donde n es el tamaño de la muestra. Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las sumas: ∑X ~ N [( n )( μ x ),( n )( σ x )] Media de las sumas ( ∑X ): ( n )( μ x ) Teorema del límite central para las sumas de puntuación z y desviación típica para las sumas: z para la media de la muestra = Σ x – ( n ) ( μ X ) ( n ) ( σ X ) Desviación típica para las sumas ( ∑X ): ( n ) ( σ x ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 80 y una desviación típica de 12. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 95 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 95 valores sea superior a 7.650. 0,3345 Calcule la probabilidad de que la suma de los 95 valores sea menor a 7.400. Calcule la suma que está dos desviaciones típicas por encima de la media de las sumas. 7833.92 Calcule la suma que está a 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La distribución de los resultados de una prueba de colesterol tiene una media de 180 y una desviación típica de 20. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 40. Calcule la probabilidad de que la suma de los 40 valores sea superior a 7.500. 0,0089 Calcule la probabilidad de que la suma de los 40 valores sea menor a 7.000. Calcule la suma que está una desviación típica por encima de la media de las sumas. 7326.49 Calcule la suma que está a 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas. Calcule el porcentaje de sumas entre 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas y una desviación típica por encima de la media de las sumas. 77,45% Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un investigador mide la cantidad de azúcar en varias latas del mismo refresco. La media es de 39,01 con una desviación típica de 0,5. El investigador selecciona aleatoriamente una muestra de 100. Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores sea superior a 3.910. Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores sea menor a 3.900. 0,4207 Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores esté entre los números que ha encontrado en el y el . Calcule la suma con una puntuación z de -2,5. 3888.5 Calcule la suma con una puntuación z de 0,5. Calcule la probabilidad de que las sumas estén entre las puntuaciones z -2 y 1. 0,8186 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 12 y una desviación típica de uno. Se toma una muestra de tamaño 25. Supongamos que X = el objeto de interés. ¿Cuál es la media de ΣX ? ¿Cuál es la desviación típica de ΣX ? 5 ¿Qué es P ( Σx = 290)? ¿Qué es P ( Σx > 290)? 0,9772 Verdadero o falso: solo las sumas de las distribuciones normales son también distribuciones normales. Para que las sumas de una distribución se aproximen a una distribución normal, ¿qué debe ser cierto? El tamaño de la muestra, n , aumenta. ¿Qué tres cosas debe saber sobre una distribución para calcular la probabilidad de las sumas? Una distribución desconocida tiene una media de 25 y una desviación típica de seis. Supongamos que X = un objeto de esta distribución. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si la desviación típica de ΣX es de 42? 49 Una distribución desconocida tiene una media de 19 y una desviación típica de 20. Supongamos que X = el objeto de interés. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si la media de ΣX es de 15.200? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un investigador de mercado analiza cuántos aparatos electrónicos compran los clientes en una sola compra. La distribución tiene una media de tres con una desviación típica de 0,7. Tome muestras de 400 clientes. ¿Cuál es la puntuación z para Σx = 840? 26,00 ¿Cuál es la puntuación z para Σx = 1.186? ¿Qué es P ( Σx < 1.186)? 0,1587 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 100, una desviación típica de 100 y un tamaño de muestra de 100. Supongamos que X = un objeto de interés. ¿Cuál es la media de ΣX ? ¿Cuál es la desviación típica de ΣX ? 1.000 ¿Qué es P ( Σx > 9.000)? Tarea para la casa ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO ES VERDADERA sobre la distribución teórica de las sumas? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal tiene una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Tomamos una muestra aleatoria de nueve juicios. En palabras, ΣX = ______________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la duración total de los nueve juicios sea de al menos 225 días. El noventa por ciento del total de nueve de estos tipos de juicios durará al menos ¿cuánto tiempo? la duración total de nueve juicios penales N (189, 21) 0,0432 162,09; el noventa por ciento del total de nueve juicios de este tipo durará 162 días o más. Supongamos que el peso de las cajas de cereales abiertas en un hogar con niños se distribuye uniformemente de dos a seis libras con una media de cuatro libras y una desviación típica de 1,1547. Encuestamos al azar a 64 hogares con niños. En palabras, X = _____________ La distribución es _______. En palabras, ΣX = _______________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el peso total de las cajas abiertas sea inferior a 250 libras. Calcule el percentil 35 del peso total de las cajas de cereales abiertas. Los salarios de los maestros de un determinado distrito escolar de primaria se distribuyen normalmente, con una media de 44.000 dólares y una desviación típica de 6.500 dólares. Encuestamos al azar a diez maestros de ese distrito. En palabras, X = ______________ X ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _____________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que los maestros ganen en total más de 400.000 dólares. Calcule el percentil 90 del salario de un solo maestro Calcule el percentil 90 de la suma de los salarios de diez maestros. Si encuestáramos a 70 maestros en lugar de diez, gráficamente, ¿cómo cambiaría la distribución de la parte d? Si cada uno de los 70 maestros recibiera un aumento de 3.000 dólares, gráficamente, ¿cómo cambiaría la distribución de la parte b? X = el salario de un maestro de primaria en el distrito X ~ N (44.000, 6.500) ΣX ~ suma de los salarios de diez maestros de primaria de la muestra ΣX ~ N (44000, 20554,80) 0,9742 $52.330,09 466342.04 El muestreo de 70 maestros en lugar de diez haría que la distribución estuviera más repartida. Sería una curva normal más simétrica. Si cada maestro recibiera un aumento de 3.000 dólares, la distribución de X se desplazaría hacia la derecha en 3.000 dólares. En otras palabras, tendría una media de 47.000 dólares.", "section": "El teorema del límite central para las sumas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Uso del teorema del límite central Es importante que entienda cuándo utilizar el teorema del límite central . Si se le pide que halle la probabilidad de la media, utilice el TLC para la media. Si se le pide que halle la probabilidad de una suma o un total, utilice el TLC para sumas. Esto también se aplica a los percentiles para las medias y las sumas. NOTA Si se le pide que halle la probabilidad de un valor individual , no utilice el TLC. Utilice la distribución de su variable aleatoria. Ejemplos del teorema del límite central Ley de los grandes números La ley de los grandes números indica que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media x ¯ de la muestra tiende a acercarse cada vez más a μ . Por el teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n , menor será la desviación típica (recuerde que la desviación típica para X ¯ es σ n ). Esto significa que la media muestral x ¯ debe estar cerca de la media poblacional μ . Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números. Teorema del límite central para los ejemplos de media y suma Se realiza un estudio sobre el estrés entre los estudiantes de un campus universitario. Las puntuaciones de estrés siguen una distribución uniforme con la puntuación de estrés más baja igual a uno y la más alta igual a cinco. Utilizando una muestra de 75 estudiantes, calcule: La probabilidad de que la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes sea inferior a dos. El percentil 90 de la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes. La probabilidad de que el total de las 75 puntuaciones de estrés sea inferior a 200. El percentil 90 de la puntuación total de estrés de los 75 estudiantes. Supongamos que X = una puntuación de estrés. En los problemas a y b se pide calcular una probabilidad o un percentil para una media . En los problemas c y d se pide calcular una probabilidad o un percentil para un total o una suma . El tamaño de la muestra, n , es igual a 75. Dado que las puntuaciones individuales de estrés siguen una distribución uniforme, X ~ U (1, 5) donde a = 1 y b = 5 (vea Variables aleatorias continuas para una explicación de la distribución uniforme). μ X = a + b 2 = 1 + 5 2 = 3 σ X = ( b – a ) 2 12 = ( 5 – 1) 2 12 = 1,15 Para los problemas a. y b., sea X ¯ = la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes. Entonces, X ¯ ∼ N ( 3, 1 0,15 75 ) a. Halle P ( x ¯ < 2). Dibuje el gráfico. a. P ( x ¯ < 2) = 0 La probabilidad de que la puntuación media de estrés sea inferior a dos es aproximadamente cero. normalcdf ( 1,2,3, 1 0,15 75 ) = 0 Recordatorio La menor puntuación de estrés es uno. b. Calcule el percentil 90 para la media de 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico. b. Supongamos que k = el percentil 90 . Calcule k , donde P ( x ¯ < k ) = 0,90. k = 3,2 El percentil 90 de la media de las 75 puntuaciones es de aproximadamente 3,2. Esto nos indica que el 90 % de todas las medias de 75 puntuaciones de estrés son como máximo 3,2, y que el 10 % son como mínimo 3,2. invNorm ( 0 .90,3, 1,15 75 ) = 3,2 Para los problemas c y d, sea ΣX = la suma de las 75 puntuaciones de tensión. Entonces, ΣX ~ N [(75)(3), ( 75 ) (1,15)] c. Calcule P ( Σx < 200). Dibuje el gráfico. c. La media de la suma de las 75 puntuaciones de estrés es (75)(3) = 225 La desviación típica de la suma de 75 puntuaciones de estrés es ( 75 ) (1,15) = 9,96 P ( Σx < 200) = 0 La probabilidad de que el total de 75 puntuaciones sea inferior a 200 es aproximadamente cero. normalcdf (75.200,(75)(3), ( 75 ) (1,15)). Recordatorio El total más pequeño de 75 puntuaciones de estrés es 75, porque la puntuación individual más pequeña es uno. d. Calcule el percentil 90 para el total de las 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico. d. Supongamos que k = el percentil 90 . Calcule k donde P (Σx < k ) = 0,90. k = 237,8 El percentil 90 de la suma de las 75 puntuaciones es de aproximadamente 237,8. Esto nos indica que el 90 % de todas las sumas de 75 puntuaciones no son superiores a 237,8 y el 10 % no son inferiores a 237,8. invNorm (0,90,(75)(3), ( 75 ) (1,15)) = 237,8 Ejercicio Utilice la información del , pero utilice un tamaño de muestra de 55 para responder las siguientes preguntas. Halle P ( x ¯ < 7). Calcule P ( Σx > 170). Calcule el percentil 80 para la media de 55 puntuaciones. Calcule el percentil 85 para la suma de 55 puntuaciones. Supongamos que un analista de investigación de mercado de una compañía de telefonía móvil realiza un estudio sobre sus clientes que superan el tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil; el analista descubre que, para las personas que superan el tiempo incluido en su contrato básico, el exceso de tiempo utilizado sigue una distribución exponencial con una media de 22 minutos. Consideremos una muestra aleatoria de 80 clientes que superan el límite de tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil. Supongamos que X = el exceso de tiempo utilizado por un cliente de telefonía móvil INDIVIDUAL que supera su asignación de tiempo contratada. X ∼ Exp ( 1 22 ) . Por los capítulos anteriores, sabemos que μ = 22 y σ = 22. Supongamos que X ¯ = el exceso de la media de tiempo utilizado por una muestra de n = 80 clientes que superan el tiempo contratado. X ¯ ~ N ( 22, 22 80 ) por el teorema del límite central para las medias muestrales Utilice el TLC para calcular la probabilidad Calcule la probabilidad de que el exceso de la media de tiempo utilizado por los 80 clientes de la muestra sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P( x ¯ > 20). Dibuje el gráfico. Supongamos que se selecciona aleatoriamente un cliente que supera el límite de tiempo de su contrato de telefonía móvil. Calcule la probabilidad de que el exceso de tiempo de este cliente individual sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P (x > 20). Explique por qué las probabilidades de las partes a y b son diferentes. Calcule: P ( x ¯ > 20) P ( x ¯ > 20) = 0,79199 utilizando normalcdf ( 20,1E99,22, 22 80 ) La probabilidad de que el exceso de tiempo medio utilizado sea superior a 20 minutos es de 0,7919, para una muestra de 80 clientes que superan el tiempo contratado. Recordatorio 1E99 = 10 99 y –1E99 = –10 99 . Pulse EE la tecla para la E. O simplemente utilice 10 99 en lugar de 1E99. Calcule P (x > 20). Recuerde utilizar la distribución exponencial para un individuo: X ~ E x p ( 1 22 ) . P ( x > 20 ) = e ( – ( 1 22 ) ( 20 ) ) o e (-0,04545(20)) = 0,4029 P (x > 20) = 0,4029 pero P ( x ¯ > 20) = 0,7919 Las probabilidades no son iguales porque utilizamos diferentes distribuciones para calcular la probabilidad de los individuos y de las medias. Cuando se le pida que calcule la probabilidad de un valor individual, utilice la distribución indicada de su variable aleatoria; no utilice el TLC. Utilice el TLC con la distribución normal cuando le pidan calcular la probabilidad de una media. Uso del TLC para calcular percentiles Calcule el percentil 95 de la media muestral del exceso de tiempo para las muestras de 80 clientes que exceden sus asignaciones de tiempo de contrato básico. Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 95 . Calcule k donde P ( x ¯ < k ) = 0,95 k = 26,0 utilizando invNorm ( 0 .95,22 , 22 80 ) = 26,0 El percentil 95 de la media muestral del exceso de tiempo utilizado es de unos 26,0 minutos para muestras aleatorias de 80 clientes que superan su tiempo permitido por contrato. El noventa y cinco por ciento de esas muestras tendrían medias inferiores a 26 minutos; solo el cinco por ciento de esas muestras tendrían medias superiores a 26 minutos. Ejercicio Utilice la información del , pero cambie el tamaño de la muestra a 144. Calcule P (20 < x ¯ < 30). Calcule P ( Σx es al menos 3.000). Calcule el percentil 75 para la media muestral del exceso de tiempo de 144 clientes. Calcule el percentil 85 para la suma de los 144 excesos de tiempo utilizados por los clientes. En Estados Unidos, alguien sufre una agresión sexual cada dos minutos, en promedio, según varios estudios. Supongamos que la desviación típica es de 0,5 minutos y el tamaño de la muestra es de 100. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la media de tiempo de la muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la suma de los tiempos de muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos. Calcule la probabilidad de que una agresión sexual se produzca en un promedio de entre 1,75 y 1,85 minutos. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima de la media de la muestra. Calcule el IQR para la suma de los tiempos de la muestra. Tenemos, μ x = μ = 2 y σ x = σ n = 0,5 10 = 0,05. Por lo tanto: Percentil 50 = μ x = μ = 2 Percentil 25 = invNorm (0,25;2;0,05) = 1,97 Percentil 75 = invNorm (0,75;2;0,05) = 2,03 Tenemos μ Σx = n ( μ x ) = 100(2) = 200 y σ μx = n ( σ x ) = 10(0,5) = 5. Por lo tanto, Percentil 50 = μ Σx = n ( μ x ) = 100(2) = 200 Percentil 25 = invNorm(0,25;200;5) = 196,63 Percentil 75 = invNorm(0,75;200;5) = 203,37 P (1,75 < x ¯ < 1,85) = normalcdf (1.75,1.85,2,0.05) = 0,0013 Usando la ecuación de la puntuación z , z = x ¯ – μ x ¯ σ x ¯ , y resolver x , tenemos x = 2(0,05) + 2 = 2,1 El IQR es percentil 75 - percentil 25 = 203,37 - 196,63 = 6,74 Ejercicio Según los datos de la Encuesta Nacional de Salud, las mujeres de entre 18 y 24 años tienen una presión arterial sistólica promedio (en mm Hg) de 114,8 con una desviación típica de 13,1. La presión arterial sistólica de las mujeres de entre 18 y 24 años sigue una distribución normal. Si se selecciona aleatoriamente una mujer de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica sea superior a 120. Si se seleccionan aleatoriamente 40 mujeres de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica media sea superior a 120. Si la muestra fuera de cuatro mujeres de entre 18 y 24 años y no conociéramos la distribución original, ¿se podría utilizar el teorema del límite central? Se realizó un estudio sobre la violencia contra las prostitutas y los síntomas del estrés postraumático que desarrollaron. El rango de edad de las prostitutas era de 14 a 61 años. La edad media era de 30,9 años, con una desviación típica de nueve años. En una muestra de 25 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de edad de las prostitutas sea inferior a 35 años? ¿Es probable que la media de edad del grupo de la muestra sea superior a 50 años? Interprete los resultados. En una muestra de 49 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las edades no sea inferior a 1.600? ¿Es probable que la suma de las edades de las 49 prostitutas sea como máximo 1.595? Interprete los resultados. Calcule el percentil 95 de la media de edad de la muestra de 65 prostitutas. Interprete los resultados. Calcule el percentil 90 de la suma de las edades de 65 prostitutas. Interprete los resultados. P ( x ¯ < 35) = normalcdf (- E 99,35,30.9,1.8) = 0,9886 P ( x ¯ > 50) = normalcdf (50, E 99,30.9,1.8) ≈ 0. Para este grupo de muestra es casi imposible que el promedio de edad del grupo sea superior a 50 años. Sin embargo, todavía es posible que un individuo de este grupo tenga una edad superior a los 50 años. P ( Σx ≥ 1.600) = normalcdf (1600,E99,1514.10,63) = 0,0864 P ( Σx ≤ 1.595) = normalcdf (-E99,1595,1514.10,63) = 0,9005. Esto significa que hay un 90 % de posibilidades de que la suma de las edades para el grupo de muestra n = 49 sea como máximo 1595. El percentil 95 = invNorm (0.95,30.9,1.1) = 32,7. Esto indica que el 95 % de las prostitutas de la muestra de 65 son menores de 32,7 años, en promedio. El percentil 90 = invNorm (0.90,2008.5,72.56) = 2101,5. Esto indica que el 90 % de las prostitutas de la muestra de 65 tienen una suma de edades inferior a 2.101,5 años. Ejercicio Según los datos de Boeing, el avión 757 transporta 200 pasajeros y tiene puertas con una altura de 72 pulgadas. Supongamos que para una determinada población de hombres tenemos una altura media de 69,0 pulgadas y una desviación típica de 2,8 pulgadas. ¿Qué altura de la puerta permitiría al 95 % de los hombres entrar en el avión sin agacharse? Supongamos que la mitad de los 200 pasajeros son hombres. ¿Qué altura media de la puerta satisface la condición de que existe una probabilidad de 0,95 de que esta altura sea mayor que la altura media de 100 hombres? Para los ingenieros que diseñan el 757, ¿qué resultado es más relevante: la altura de la parte a o la de la parte b? ¿Por qué? NOTA HISTÓRICA Aproximación normal a la binomial Históricamente, poder calcular las probabilidades binomiales era una de las aplicaciones más importantes del teorema del límite central. Las probabilidades binomiales con un valor pequeño para n (digamos, 20) se mostraban en una tabla en un libro. Para calcular las probabilidades con valores grandes de n , había que utilizar la fórmula binomial, que podía ser muy complicada. El uso de la aproximación normal a la distribución binomial simplificó el proceso. Para calcular la aproximación normal a la distribución binomial, tome una muestra aleatoria simple de una población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial : hay un cierto número n de ensayos independientes los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p Recordemos que si X es la variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n, p ). La forma de la distribución binomial debe ser similar a la de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser mayores que cinco ( np > 5 y nq > 5; la aproximación es mejor si ambas son mayores o iguales a 10). Entonces la binomial puede ser aproximada por la distribución normal con media μ = np y desviación típica σ = n p q . Recuerde que q = 1 - p . Para obtener la mejor aproximación, sume 0,5 a x o reste 0,5 a x (utilice x + 0,5 o x - 0,5). El número 0,5 se denomina factor de corrección de continuidad y se utiliza en el siguiente ejemplo. Supongamos que en un distrito escolar local desde kínder hasta 12. º grado (K-12), el 53 % de la población está a favor de una escuela chárter de kínder a 5.º grado (K-5). Se realiza una encuesta con una muestra aleatoria simple de 300 personas. Calcule la probabilidad de que al menos 150 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que como máximo 160 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que más de 155 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que menos de 147 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que exactamente 175 estén a favor de una escuela chárter. Supongamos que X = el número de los que están a favor de una escuela chárter de K-5. X ~ B ( n, p ) donde n = 300 y p = 0,53. Como np > 5 y nq > 5, utilice la aproximación normal a la binomial. Las fórmulas para la media y la desviación típica son μ = np y σ = n p q . La media es de 159 desviación típica es de 8,6447. La variable aleatoria de la distribución normal es Y . Y ~ N (159; 8,6447). Consulte La distribución normal para obtener ayuda con las instrucciones de la calculadora. Para la parte a, se incluye 150 por lo que P ( X ≥ 150) tiene aproximación normal P (Y ≥ 149,5) = 0,8641. normalcdf (149,5,10^99,159,8.6447) = 0,8641. Para la parte b, se incluye 160 por lo que P ( X ≤ 160) tiene una aproximación normal P (Y ≤ 160,5) = 0,5689. normalcdf (0,160.5,159,8.6447) = 0,5689 Para la parte c, se excluye 155 por lo que P ( X > 155) tiene una aproximación normal P ( y > 155,5) = 0,6572. normalcdf (155,5,10^99,159,8.6447) = 0,6572. Para la parte d, se excluye 147 por lo que P ( X < 147) tiene una aproximación normal P ( Y < 146,5) = 0,0741. normalcdf (0,146.5,159,8.6447) = 0,0741 Para la parte e, P ( X = 175) tiene una aproximación normal P (174,5 < Y < 175,5) = 0,0083. normalcdf (174.5,175.5,159,8.6447) = 0,0083 Gracias a las calculadoras y a los softwares que permiten calcular fácilmente las probabilidades binomiales para grandes valores de n , no es necesario utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, siempre que se tenga acceso a estas herramientas tecnológicas. La mayoría de los laboratorios escolares disponen de Microsoft Excel, un ejemplo de software que calcula probabilidades binomiales. Muchos estudiantes tienen acceso a las calculadoras de la serie TI-83 u 84, y calculan fácilmente las probabilidades de la distribución binomial. Si escribe \"cálculo de la distribución de probabilidad binomial\" en un navegador de internet, podrá encontrar al menos una calculadora en línea para la binomial. Para el , las probabilidades se calculan utilizando la siguiente distribución binomial: ( n = 300 y p = 0,53). Compare las respuestas de la distribución binomial y la normal. Vea Variables aleatorias discretas para ayudar con las instrucciones de la calculadora para la binomial. P ( X ≥ 150) : 1 – binomialcdf (300,0.53,149) = 0,8641 P ( X ≤ 160) : binomialcdf (300,0.53,160) = 0,5684 P ( X > 155) : 1 – binomialcdf (300,0.53,155) = 0,6576 P ( X < 147) : binomialcdf (300,0.53,146) = 0,0742 P (X = 175) : (Se utiliza la función de densidad de probabilidad [probability density function, pdf] binomial). binomialpdf (300,0.53,175) = 0,0083 Ejercicio En una ciudad, el 46 % de la población está a favor del titular, Dawn Morgan, para la alcaldía. Se toma una muestra aleatoria simple de 500 personas. Utilizando el factor de corrección de la continuidad, halle la probabilidad de que al menos 250 favorezcan a Dawn Morgan como alcaldesa. Referencias Datos del Wall Street Journal. “National Health and Nutrition Examination Survey”. Center for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 17 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral x ¯ llega a μ . Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas. ¿Cuál es la distribución de los pesos de una pesa de 25 libras? ¿Cuál es la media y la desviación estándar? ¿Cuál es la distribución del peso medio de 100 pesas de 25 libras? Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea inferior a 24,9. U (24, 26), 25, 0,5774 N (25, 0,0577) 0,0416 Dibuje el gráfico del Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea mayor que 25,2. 0,0003 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso medio de las 100 pesas. 25,07 Dibuje el gráfico de la ¿Cuál es la distribución de la suma de los pesos de 100 pesas de 25 libras? Calcule P ( Σx < 2.450). N (2.500; 5,7735) 0 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso total de las 100 pesas. 2.507,40 Dibuje el gráfico de la Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es el parámetro m ? 10 1 10 ¿Cuál es la distribución de la duración de una batería? ¿Cuál es la distribución de la duración media de 64 baterías? N ( 10, 10 8 ) ¿Cuál es la distribución de la duración total de 64 baterías? Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre siete y 11. 0,7799 Calcule el percentil 80 para la duración total de 64 baterías. Calcule el IQR para la media de tiempo que duran 64 baterías. 1,69 Calcule el 80 % del centro para el tiempo total de duración de 64 baterías. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas. Calcule P ( Σx > 420). 0,0072 Calcule el percentil 90 de las sumas. Calcule el percentil 15 de las sumas. 391,54 Calcule el primer cuartil de las sumas. Calcule el tercer cuartil para las sumas. 405,51 Calcule el percentil 80 de las sumas. Tarea para la casa La capacidad de atención de un niño de dos años se distribuye exponencialmente con una media de unos ocho minutos. Supongamos que encuestamos aleatoriamente a 60 niños de dos años. En palabras, Χ = _______ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X ¯ = ____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) Antes de hacer cálculos, ¿cuál cree que será más alta? Explique por qué. La probabilidad de que la capacidad de atención de un individuo sea inferior a diez minutos. ¿La probabilidad de que el promedio de atención de los 60 niños sea inferior a diez minutos? Calcule las probabilidades en la parte e. Explique por qué la distribución de X ¯ no es exponencial. Los precios de cierre de las acciones de 35 fabricantes de semiconductores de Estados Unidos son los siguientes. 8,625 30,25 27,625 46,75 32,875 18,25 5 0,125 2,9375 6,875 28,25 24,25 21 1,5 30,25 71 43,5 49,25 2,5625 31 16,5 9,5 18,5 18 9 10,5 16,625 1,25 18 12,87 7 12,875 2,875 60,25 29,25 En palabras, Χ = ______________ x ¯ = _____ s x = _____ n = _____ Construya un histograma de la distribución de los promedios. Comience en x = 0,0005. Utilice anchos de barra de diez. En palabras, describa la distribución de los precios de las acciones. Promedio aleatorio de los precios de cinco acciones (utilice un generador de números aleatorios). Continúe promediando cinco piezas juntas hasta que tenga diez promedios. Enumere esos diez promedios. Utilice los diez promedios de la parte e para calcular lo siguiente. x ¯ = _____ s x = _____ Construya un histograma de la distribución de los promedios. Comience en x = -0,0005. Utilice anchos de barra de diez. ¿Este histograma se parece al gráfico de la parte c? En una o dos frases completas, explique por qué los gráficos son iguales o diferentes Basado en la teoría del teorema central del límite , X ¯ ~ _____(_____,____) X = los precios de cierre de las acciones de los fabricantes de semiconductores de Estados Unidos i. 20,71 dólares; ii. 17,31 dólares; iii. 35 Distribución exponencial, Χ ~ Exp ( 1 20,71 ) Las respuestas variarán. i. 20,71 dólares; ii. 11,14 dólares Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. N ( 20 0,71, 17,31 5 ) Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega. Χ ~ _____(_____,_____) U (0,4) U (10,2) Eχp (2) N (2,1) El tiempo promedio de espera es: una hora. dos horas. dos horas y media. cuatro horas. b Supongamos que es pasado el mediodía de un día de entrega. La probabilidad de que una persona deba esperar al menos una hora y media más es: 1 4 1 2 3 4 3 8 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: El tiempo de espera de un determinado autobús rural se distribuye uniformemente de cero a 75 minutos. Se toma una muestra aleatoria de cien ciclistas para saber cuánto tiempo han esperado. El tiempo promedio de espera de la muestra del percentil 90 (en minutos) para una muestra de 100 usuarios es: 315,0 40,3 38,5 65,2 b ¿Le sorprendería, basándose en cálculos numéricos, que el tiempo promedio de espera de la muestra (en minutos) para 100 pasajeros fuera inferior a 30 minutos? sí no No hay suficiente información. Utilice lo siguiente para responder los dos ejercicios siguientes: El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que el precio promedio de 16 gasolineras sea superior a 4,69 dólares? casi cero 0,1587 0,0943 desconocido a Calcule la probabilidad de que el precio promedio de 30 gasolineras sea inferior a 4,55 dólares. 0,6554 0,3446 0,0142 0,9858 0 Supongamos que en un distrito escolar local desde kínder hasta 12. º grado (K-12), el 53 % de la población está a favor de una escuela chárter de kínder a 5.º grado (K-5). Se realiza una encuesta con una muestra aleatoria simple de 300 personas. Calcule lo siguiente utilizando la aproximación normal a la distribución binomial. Calcule la probabilidad de que menos de 100 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que 170 o más estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que no más de 140 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que haya menos de 130 que estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que exactamente 150 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Si tiene acceso a una calculadora o a un software adecuado, intente calcular estas probabilidades con esta tecnología. 0 0,1123 0,0162 0,0003 0,0268 Cuatro amigas, Janice, Barbara, Kathy y Roberta, decidieron compartir el auto para ir a la escuela. Cada día se elegiría al conductor seleccionando al azar uno de los cuatro nombres. Comparten el auto para ir a la escuela durante 96 días. Utilice la aproximación normal a la binomial para calcular las siguientes probabilidades. Redondee la desviación típica a cuatro decimales. Calcule la probabilidad de que Janice sea la conductora como máximo 20 días. Calcule la probabilidad de que Roberta sea la conductora más de 16 días. Calcule la probabilidad de que Bárbara conduzca exactamente 24 de esos 96 días. X ~ N (60, 9). Supongamos que se forman muestras aleatorias de 25 de esta distribución. Supongamos que X ¯ sea la variable aleatoria de los promedios. Supongamos que ΣX sea la variable aleatoria de las sumas. Para las partes c a f, dibuje el gráfico, sombree la región, identifique y escale el eje horizontal para X ¯ , y calcule la probabilidad. Dibuje las distribuciones de X y X ¯ en el mismo gráfico. X ¯ ~ _____(_____,_____) P ( x ¯ < 60) = _____ Calcule el percentil 30 para la media. P (56 < x ¯ < 62) = _____ P (18 < x ¯ < 58) = _____ Σx ~ _____(_____,_____) Calcule el valor mínimo del cuartil superior de la suma. P (1.400 < Σx < 1.550) = _____ Compruebe la solución del estudiante. X ¯ ~ N ( 60, 9 25 ) 0,5000 59,06 0,8536 0,1333 N (1500, 45) 1530,35 0,6877 Supongamos que la longitud de los trabajos de investigación se distribuye uniformemente de diez a 25 páginas. Estudiamos una clase en la que se entregaron 55 trabajos de investigación a un profesor. Los 55 trabajos de investigación se consideran una colección aleatoria de todos los trabajos. Nos interesa la longitud promedio de los trabajos de investigación. En palabras, X = _____________ X ~ _____(_____,_____) μ x = _____ σ x = _____ En palabras, X ¯ = ______________ X ¯ ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _____________ ΣX ~ _____(_____,_____) Sin hacer ningún cálculo, ¿cree que es probable que el profesor tenga que leer un total de más de 1.050 páginas? ¿Por qué? Calcule la probabilidad de que el profesor tenga que leer un total de más de 1.050 páginas. ¿Por qué es tan improbable que la longitud promedio de los trabajos sea inferior a 12 páginas? Los salarios de los maestros de un determinado distrito escolar de primaria se distribuyen normalmente, con una media de 44.000 dólares y una desviación típica de 6.500 dólares. Encuestamos al azar a diez maestros de ese distrito. Calcule el percentil 90 del salario de un solo maestro. Calcule el percentil 90 del salario promedio de los maestros. $52.330 $46.634 Se dice que la duración promedio de la estancia por maternidad en un hospital estadounidense es de 2,4 días, con una desviación típica de 0,9 días. Encuestamos de forma aleatoria a 80 mujeres que habían dado a luz recientemente en un hospital de Estados Unidos. En palabras, X = _____________ En palabras, X ¯ = ___________________ X ¯ ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _______________ ΣX ~ _____(_____,_____) ¿Es probable que un individuo haya permanecido más de cinco días en el hospital? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Es probable que la estancia promedio de las 80 mujeres fuera de más de cinco días? ¿Por qué sí o por qué no? Lo que es más probable: Un individuo permaneció más de cinco días. la estancia promedio de 80 mujeres fue de más de cinco días. Si tuviéramos que resumir las estancias de las mujeres, ¿es probable que, en conjunto, hayan pasado más de un año en el hospital? ¿Por qué sí o por qué no? Para cada problema, siempre que sea posible, proporcione gráficos y utilice la calculadora. Las baterías NeverReady han diseñado una nueva batería AAA de mayor duración. La compañía afirma que esta batería tiene una duración promedio de 17 horas con una desviación típica de 0,8 horas. Su clase de estadística cuestiona esta afirmación. Como clase, selecciona aleatoriamente 30 baterías y descubre que la media de vida de la muestra es de 16,7 horas. Si el proceso funciona correctamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de 30 baterías en la que la vida media de la muestra sea de 16,7 horas o menos? ¿Es razonable la reclamación de la compañía? Tenemos μ = 17, σ = 0,8, x ¯ = 16,7, y n = 30. Para calcular la probabilidad, utilizamos normalcdf (inferior, superior, μ , σ n ) = normalcdf ( E – 99,16 .7,17, 0, 8 30 ) = 0,0200. Si el proceso funciona correctamente, la probabilidad de que una muestra de 30 baterías tenga como máximo 16,7 horas de vida útil es solo del 2 %. Por lo tanto, estaba justificado que la clase cuestionara la reclamación. Los hombres tienen un peso promedio de 172 libras con una desviación típica de 29 libras. Calcule la probabilidad de que 20 hombres seleccionados aleatoriamente tengan una suma de peso superior a 3.600 lb. Si la suma de 20 hombres es superior a 3500 libras, su peso total supera los límites de seguridad para los taxis acuáticos. Basándose en (a), ¿es esto un problema de seguridad? Explique. Las bolsas grandes de caramelos M&M tienen un peso neto declarado de 396,9 g. La desviación típica del peso de cada caramelo es de 0,017 g. La siguiente tabla procede de un experimento estadístico realizado por una clase de estadística. Rojo Naranja Amarilla Marrón Azul Verde 0,751 0,735 0,883 0,696 0,881 0,925 0,841 0,895 0,769 0,876 0,863 0,914 0,856 0,865 0,859 0,855 0,775 0,881 0,799 0,864 0,784 0,806 0,854 0,865 0,966 0,852 0,824 0,840 0,810 0,865 0,859 0,866 0,858 0,868 0,858 1,015 0,857 0,859 0,848 0,859 0,818 0,876 0,942 0,838 0,851 0,982 0,868 0,809 0,873 0,863 0,803 0,865 0,809 0,888 0,932 0,848 0,890 0,925 0,842 0,940 0,878 0,793 0,832 0,833 0,905 0,977 0,807 0,845 0,850 0,841 0,852 0,830 0,932 0,778 0,856 0,833 0,814 0,842 0,881 0,791 0,778 0,818 0,810 0,786 0,864 0,881 0,853 0,825 0,864 0,855 0,873 0,942 0,880 0,825 0,882 0,869 0,931 0,912 0,887 La bolsa contenía 465 caramelos y los pesos de la tabla procedían de caramelos seleccionados aleatoriamente. Cuente los pesos. Calcule el peso de la media de la muestra y la desviación típica de los pesos de las muestras de caramelos en la tabla. Calcule la suma de los pesos de la muestra en la tabla y la desviación típica de la suma de los pesos. Si se seleccionan 465 M&M aleatoriamente, calcule la probabilidad de que sus pesos sumen al menos 396,9. ¿Es correcto el etiquetado de los M&M de la compañía Mars? Para la muestra, tenemos n = 100, x ¯ = 0,862, s = 0,05 Σ x ¯ = 85,65, Σs = 5,18 normalcdf (396,9 ,E 99,(465)(0,8565),(0,05)( 465 )) ≈ 1 Como la probabilidad de que una muestra de tamaño 465 tenga al menos una suma media de 396,9 es aproximadamente 1, podemos concluir que Mars está etiquetando correctamente sus paquetes de M&M. La compañía Screw Right afirma que sus tornillos de 3 4 pulgadas están dentro de ±0,23 del diámetro medio declarado de 0,750 pulgadas con una desviación típica de 0,115 pulgadas. Se registraron los siguientes datos. 0,757 0,723 0,754 0,737 0,757 0,741 0,722 0,741 0,743 0,742 0,740 0,758 0,724 0,739 0,736 0,735 0,760 0,750 0,759 0,754 0,744 0,758 0,765 0,756 0,738 0,742 0,758 0,757 0,724 0,757 0,744 0,738 0,763 0,756 0,760 0,768 0,761 0,742 0,734 0,754 0,758 0,735 0,740 0,743 0,737 0,737 0,725 0,761 0,758 0,756 Los tornillos se seleccionaron aleatoriamente en la tienda local de reparaciones domésticas. Calcule el diámetro de la media y la desviación típica de la muestra Calcule la probabilidad de que 50 tornillos seleccionados al azar estén dentro de los niveles de tolerancia establecidos. ¿Es creíble la afirmación del diámetro de la compañía? Su compañía tiene un contrato para realizar el mantenimiento preventivo de miles de aparatos de aire acondicionado en una gran ciudad. Según los registros de servicio de años anteriores, el tiempo que un técnico dedica a la revisión de una unidad en promedio es de una hora, con una desviación típica de una hora. En la próxima semana, su compañía prestará servicio a una muestra aleatoria simple de 70 unidades en la ciudad. Tiene previsto presupuestar un promedio de 1,1 horas por técnico para completar el trabajo. ¿Será suficiente tiempo? Utilice normalcdf ( E – 99,1 .1,1, 1 70 ) = 0,7986. Esto significa que hay un 80 % de posibilidades de que el tiempo de servicio sea inferior a 1,1 horas. Podría ser prudente programar más tiempo, ya que hay un 20 % de posibilidades asociadas de que el tiempo de mantenimiento sea superior a 1,1 horas. Un adulto típico tiene una puntuación promedio de IQ de 105 con una desviación típica de 20. Si se somete a 20 adultos seleccionados aleatoriamente a una prueba de IQ, ¿cuál es la probabilidad de que las puntuaciones medias de la muestra estén entre 85 y 125 puntos? Algunas monedas tienen un peso promedio de 5,201 gramos con una desviación típica de 0,065 g. Si una máquina expendedora está diseñada para aceptar monedas cuyo peso oscila entre 5,111 g y 5,291 g, ¿cuál es el número esperado de monedas rechazadas cuando se introducen en la máquina 280 monedas seleccionadas al azar? Suponemos que los pesos de las monedas se distribuyen normalmente en la población. Ya que tenemos normalcdf ( 5. 111,5 .291,5 0,201, 0, 065 280 ) ≈ 0,8338, esperamos que se rechacen (1 - 0,8338)280 ≈ 47 monedas. Distribución exponencial una variable aleatoria (Random Variable, RV) continua que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital, notación: X ~ Exp ( m ). La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me -mx , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 - e -mx . Media un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria (random variable, RV) se denomina distribución normal estándar . Distribución uniforme una variable aleatoria (RV) continua que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b ; a menudo se denomina Distribución rectangular porque el gráfico de la pdf tiene la forma de un rectángulo. Notación: X ~ U ( a , b ). La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es e ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a .", "section": "Uso del teorema del límite central", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Teorema del límite central (monedas en el bolsillo) Teorema del límite central (monedas en el bolsillo) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará y comparará las propiedades del teorema del límite central. Nota Este laboratorio funciona mejor cuando se toman muestras de varias clases y se combinan los datos. Recopilación de datos Cuente las monedas en su bolsillo (no incluya los billetes). Encuesta al azar a 30 compañeros de clase. Registre los valores de las monedas en la . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente ( n = 1; encuestando a una persona cada vez): x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Recopilación de promedios de pares Repita los pasos del uno al cinco de la sección Recopilación de datos con una excepción. En vez de registrar las monedas de 30 compañeros, registre el promedio de las monedas de 30 parejas. Encuesta aleatoria a 30 parejas de compañeros de clase. Registre los valores del promedio de sus monedas en la . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Escale los ejes usando la misma escala que usó para la sección titulada Recopilación de datos . Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Calcule lo siguiente ( n = 2; encuestando a dos personas a la vez): x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de las barras superiores del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Recopilación de promedios de grupos de cinco Repita los pasos del uno al cinco (de la sección titulada Recopilación de datos ) con una excepción. En vez de registrar las monedas de 30 compañeros, registre el promedio de las monedas de 30 grupos de cinco. Encueste aleatoriamente a 30 grupos de cinco compañeros. Registre los valores del promedio de sus monedas __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Escale los ejes usando la misma escala que usó para la sección titulada Recopilación de datos . Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Calcule lo siguiente ( n = 5; encuestando a cinco personas a la vez) x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de las barras superiores del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Preguntas para el debate ¿Por qué cambió la forma de la distribución de los datos al cambiar n ? Utilice una o dos oraciones completas para explicar lo sucedido. En la sección titulada Recopilación de datos , ¿cuál fue la distribución aproximada de los datos? X ~ _____(_____,_____) En la sección titulada Recopilación de promedios de grupos de cinco , ¿cuál era la distribución aproximada de los promedios? X ¯ ~ _____(_____,_____) En una o dos frases completas, explique las diferencias en sus respuestas a las dos preguntas anteriores.", "section": "Teorema del límite central (monedas en el bolsillo)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Teorema del límite central (recetas de galletas) Teorema del límite central (recetas de galletas) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará y comparará las propiedades del teorema del límite central. Dado X = tiempo (en días) que duró una receta de galletas en el Olmstead Homestead. (Supongamos que cada una de las diferentes recetas resulta en la misma cantidad de galletas). N.º de receta X N.º de receta X N.º de receta X N.º de receta X 1 1 16 2 31 3 46 2 2 5 17 2 32 4 47 2 3 2 18 4 33 5 48 11 4 5 19 6 34 6 49 5 5 6 20 1 35 6 50 5 6 1 21 6 36 1 51 4 7 2 22 5 37 1 52 6 8 6 23 2 38 2 53 5 9 5 24 5 39 1 54 1 10 2 25 1 40 6 55 1 11 5 26 6 41 1 56 2 12 1 27 4 42 6 57 4 13 1 28 1 43 2 58 3 14 3 29 6 44 6 59 6 15 2 30 2 45 2 60 5 Calcule lo siguiente: μ x = _______ σ x = _______ Recopilación de datos Utilice un generador de números aleatorios para seleccionar al azar cuatro muestras de tamaño n = 5 de la población dada. Registre sus muestras en la . A continuación, para cada muestra, calcule la media a la décima más cercana. Anótelos en los espacios previstos. Anote las medias muestrales para el resto de la clase. Rellene la tabla: Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Medias muestrales de otros grupos: Medias: x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s x ¯ = _______ De nuevo, utilice un generador de números aleatorios para seleccionar al azar cuatro muestras de la población. Esta vez, haga las muestras de tamaño n = 10. Registre las muestras en la . Como ya lo hizo, calcule la media a la décima más cercana en cada ejemplo. Anótelos en los espacios previstos. Anote las medias muestrales para el resto de la clase. Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Medias muestrales de otros grupos Medias: x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ Calcule lo siguiente: x ¯ = ______ s x ¯ = ______ Para la población original, construya un histograma. Haga intervalos con un ancho de barra que represente un día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Repita el procedimiento para n = 5 Para la muestra de n = 5 días promediados juntos, construya un histograma de los promedios (sus medias junto con las de los otros grupos). Haga intervalos con anchos de barra de 1 2 al día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Repita el procedimiento para n = 10 Para la muestra de n = 10 días promediados juntos, construya un histograma de los promedios (sus medias junto con las de los otros grupos). Haga intervalos con anchos de barra de 1 2 al día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Preguntas para el debate Compare los tres histogramas que ha hecho, el de la población y los dos de las medias muestrales. En tres o cinco oraciones, describa las similitudes y diferencias. Indique las distribuciones teóricas según el teorema del límite central (Central Limit Theorem, CLT) para las medias muestrales n = 5: x ¯ ~ _____(_____,_____) n = 10: x ¯ ~ _____(_____,_____) Las medias muestrales de n = 5 y n = 10, ¿están \"próximas\" a la media teórica, μ x ? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál de las dos distribuciones de las medias muestrales tiene la menor desviación típica? ¿Por qué? Al cambiar n , ¿por qué cambió la forma de la distribución de los datos? Utilice una o dos oraciones completas para explicar lo sucedido.", "section": "Teorema del límite central (recetas de galletas)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción ¿Se ha preguntado alguna vez cuál es el promedio de M&M que hay en una bolsa en el supermercado? Puede usar los intervalos de confianza para responder esta pregunta (créditos: comedy_nose/flickr). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Calcular e interpretar los intervalos de confianza para estimar una media poblacional y una proporción poblacionales. Interpretar la distribución de probabilidad t de Student a medida que cambia el tamaño de la muestra. Discriminar los problemas aplicando la distribución normal y la t de Student. Calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar una media poblacional y una proporción poblacional dado un nivel de confianza y un margen de error deseados. Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción real. Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial . Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija. Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, x ¯ , y la desviación típica de la muestra, s . Usaría x ¯ para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, x ¯ , es la estimación puntual de la media de la población, μ . La desviación típica de la muestra, s , es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ . Cada uno de x ¯ Cada y s se llama estadística. Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. Proporciona un rango de valores razonables en el que esperamos que se ubique el parámetro de la población. No hay garantía de que un determinado intervalo de confianza capte el parámetro, pero hay una probabilidad de éxito predecible. Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ , pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica para la media de la muestra es σ n = 1 100 = 0,1 . La regla empírica , que se aplica a las distribuciones en forma de campana, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, x ¯ , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ . Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral x ¯ es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ . Dado que x ¯ está dentro de 0,2 unidades de μ , que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de x ¯ en el 95 % de las muestras. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre x ¯ – 0 0,2 y x ¯ + 0 0,2 en el 95 % de las muestras. Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral x ¯ = 2 . Entonces la media poblacional desconocida μ está entre x ¯ – 0,2 = 2 – 0,2 = 1,8 y x ¯ + 0,2 = 2 + 0,2 = 2,2 Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ o nuestra muestra produjo un x ¯ que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ . La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de las muestras (95 a 100 %). Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ . Los intervalos de confianza para algunos parámetros tienen la forma: (estimación puntual - margen de error, estimación puntual + margen de error ) El margen de error depende del nivel o porcentaje de confianza y del error estándar de la media. Cuando lea los periódicos y revistas, algunos informes utilizarán la frase \"margen de error\". Otros informes no utilizan esa frase, sino que incluyen un intervalo de confianza como la estimación puntual más o menos el margen de error. Son dos formas de expresar el mismo concepto. Nota Aunque el texto solo contempla los intervalos de confianza simétricos, existen intervalos de confianza no simétricos (por ejemplo, un intervalo de confianza para la desviación típica). Haga que su instructor registre el número de comidas que cada estudiante de su clase come fuera en una semana. Supongamos que se sabe que la desviación típica es de tres comidas. Construya un intervalo de confianza aproximado del 95 % para el número de la media real de comidas que los estudiantes comen fuera de casa cada semana. Calcule la media muestral. Sea σ = 3 y n = el número de estudiantes encuestados. Construya el intervalo ( x ¯ – 2 ⋅ σ n , x ¯ + 2 ⋅ σ n ) . Decimos que tenemos aproximadamente un 95 % de confianza en que la media real del número de comidas que los estudiantes comen fuera de casa a la semana está entre __________ y ___________. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de el nivel de confianza deseado, información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, la desviación típica conocida), la muestra y su tamaño. Estadística Inferencial también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico muestral. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas, podríamos deducir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa. Parámetro una característica numérica de una población Estimación puntual un número único calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de la población", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La media de una población utilizando la distribución normal Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x ¯ = 10 y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Cálculo del intervalo de confianza Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ , cuando se conoce la desviación típica de la población , necesitamos x ¯ como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error ( EBM ) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado EBM ). La media muestral x ¯ es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ . La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma: (estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) El margen de error ( EBM ) depende del nivel de confianza ( Confidence Level, CL ). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones. Existe otra probabilidad llamada alfa ( α ). α está relacionada con el nivel de confianza, CL . α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, α + CL = 1. Supongamos que hemos recogido datos de una muestra. Conocemos la media de la muestra, pero no conocemos la media de toda la población. La media de la muestra es 7 y el límite de error de la media es 2,5. x ¯ = 7 y EBM = 2,5 El intervalo de confianza es (7 - 2,5; 7 + 2,5), y el cálculo de los valores da (4,5; 9,5). Si el nivel de confianza ( CL ) es del 95 %, entonces decimos que \"estimamos con un 95 % de confianza que el verdadero valor de la media poblacional está entre 4,5 y 9,5\". Ejercicio Supongamos que tenemos datos de una muestra. La media de la muestra es 15, y el límite de error para la media es 3,2. ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media de la población? Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en el hecho de que las medias muestrales siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x ¯ = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal. Para captar el 90 % central, debemos salir 1,645 \"desviaciones típicas\" a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha. Es importante que la \"desviación típica\" utilizada sea la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a las medias muestrales, que es σ n . La fracción σ n , se denomina comúnmente \"error estándar de la media\" para distinguir claramente desviación típica de una media de la desviación típica de la población σ . En resumen, como resultado del teorema del límite central: X ¯ se distribuye normalmente, es decir, X ¯ ~ N ( μ X , σ n ) . Cuando se conoce la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal para calcular el límite de error. Cálculo del intervalo de confianza Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son: Calcular la media muestral x ¯ de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección ya conocemos la desviación típica de la población σ . Calcule la puntuación z que corresponde al nivel de confianza. Calcular el límite de error EBM . Construir el intervalo de confianza. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. (Explique lo que significa el intervalo de confianza, en las palabras del problema). Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos. Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado Cuando conocemos la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). El nivel de confianza, CL , es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α , por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a α 2 . La puntuación z que tiene un área a la derecha de α 2 se denota por z α 2 . Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y α 2 = 0,025; escribimos z α 2 = z 0,025 . El área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. z α 2 = z 0, 025 = 1 0,96 , utilizando una calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar. invNorm (0,975, 0, 1) = 1,96 Nota Recuerde utilizar el área a la IZQUIERDA de z α 2 ; en este capítulo las dos últimas entradas en el comando invNorm son 0, 1, porque se está utilizando una distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). Cálculo del límite de error ( EBM ) La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) Construcción del intervalo de confianza La estimación del intervalo de confianza tiene el formato ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) . El gráfico da una idea de toda la situación. CL + α 2 + α 2 = CL + α = 1. Redacción de la interpretación La interpretación debe indicar claramente el nivel de confianza ( CL ), explicar qué parámetro de la población se está estimando (en este caso, una media de la población ), e indicar el intervalo de confianza (ambos puntos finales). \"Estimamos con un ___% de confianza que la verdadera media de la población (incluya el contexto del problema) está entre ___ y ___ (incluya las unidades adecuadas)\". Supongamos que las puntuaciones de los exámenes de estadística se distribuyen normalmente con una media poblacional desconocida y una desviación típica de la población de tres puntos. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntuaciones y se obtiene una media muestral (puntuación media de la muestra) de 68. Calcule una estimación del intervalo de confianza para la calificación media del examen de la población (la calificación media de todos los exámenes). Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la media real (poblacional) de las calificaciones de los exámenes de Estadística. Puede utilizar la tecnología para calcular directamente el intervalo de confianza. La primera solución se muestra paso a paso. La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83, 83+ y 84+ Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 90 % ( CL = 0,90) CL = 0,90 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05 z α 2 = z 0,05 El área a la derecha de z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. z α 2 = z 0,05 = 1 0,645 utilizando invNorm(0,95; 0, 1) en las calculadoras TI-83,83+ y 84+. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar. EBM = (1,645) ( 3 36 ) = 0,8225 x ¯ – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775 x ¯ + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225 El intervalo de confianza del 90 % es (67,1775; 68,8225) Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 7:ZInterval . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo e introduzca tres para σ , 68 para x ¯ , 36 para n , y 0,90 para C-level . Desplace la flecha hacia abajo Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (con tres decimales) (67,178; 68,822). Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que la verdadera calificación media del examen de la población para todos los estudiantes de Estadística está entre 67,18 y 68,82. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contienen la verdadera puntuación media del examen estadístico. Por ejemplo, si construyéramos 100 de estos intervalos de confianza, esperaríamos que 90 de ellos contuvieran la verdadera puntuación media del examen de la población. Ejercicio Supongamos que los tiempos promedio de entrega de las pizzas se distribuyen normalmente con una media poblacional desconocida y una desviación típica desviación típica de la población de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 28 pizzerías y se obtiene una media de tiempo de entrega de 36 minutos. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de entrega de la población. (34,1347, 37,8653) La tasa de absorción específica (Specific Absorption Rate, SAR) de un teléfono móvil mide la cantidad de energía de radiofrecuencia (Radio Frequency, RF) que absorbe el cuerpo del usuario cuando utiliza el teléfono. Todos los teléfonos móviles emiten energía de radiofrecuencia. Los diferentes modelos de teléfono tienen diferentes medidas de SAR. Para recibir la certificación de la Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) para su venta en los Estados Unidos, el nivel de SAR de un teléfono móvil no debe ser superior a 1,6 vatios por kilogramo. La muestra el nivel SAR más alto de una selección aleatoria de modelos de teléfonos móviles según las mediciones de la FCC. Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR iPhone 4S de Apple 1,11 LG Ally 1,36 Pantech Laser 0,74 BlackBerry Pearl 8120 1,48 LG AX275 1,34 Samsung Character 0,5 BlackBerry Tour 9630 1,43 LG Cosmos 1,18 Samsung Epic 4G Touch 0,4 Cricket TXTM8 1.3 LG CU515 1.3 Samsung M240 0,867 HP/Palm Centro 1,09 LG Trax CU575 1,26 Samsung Messager III SCH-R750 0,68 HTC One V 0,455 Motorola Q9h 1,29 Samsung Nexus S 0,51 HTC Touch Pro 2 1,41 Motorola Razr2 V8 0,36 Samsung SGH-A227 1,13 Huawei M835 Ideos 0,82 Motorola Razr2 V9 0,52 SGH-a107 GoPhone 0,3 Kyocera DuraPlus 0,78 Motorola V195s 1,6 Sony W350a 1,48 Kyocera K127 Marbl 1,25 Nokia 1680 1,39 T-Mobile Concord 1,38 Calcule un intervalo de confianza del 98 % para la media verdadera (de la población) de las tasas de absorción específica (SAR) de los teléfonos celulares. Supongamos que la desviación típica de la población es σ = 0,337. Para hallar el intervalo de confianza, hay que empezar por calcular la estimación puntual: la media de la muestra. x ¯ = 1,024 A continuación, calcule el EBM . Como está creando un intervalo de confianza del 98 %, CL = 0,98. Se necesita calcular z 0,01 que tenga la propiedad de que el área bajo la curva de densidad normal a la derecha de z 0,01 es 0,01 y el área a la izquierda es 0,99. Utilice su calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar para calcular z 0,01 = 2,326. E B M = ( z 0,01 ) σ n = ( 2,326 ) 0,337 30 = 0,1431 Para calcular el intervalo de confianza del 98 %, calcule x ¯ ± E B M . x ¯ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 0,8809 x ¯ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 1,1671 Estimamos con un 98 % de confianza que la verdadera media de SAR para la población de teléfonos móviles en Estados Unidos está entre 0,8809 y 1,1671 vatios por kilogramo. Pulse STAT y desplace la flecha hasta TESTS. Desplace la flecha hacia abajo hasta 7:ZInterval. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo e introduzca los siguientes valores: σ : 0,337 x ¯ : 1,024 n : 30 Nivel C : 0,98 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (con tres decimales) (0,881; 1,167). Ejercicio La muestra un muestreo aleatorio de 20 modelos de teléfonos móviles. Utilice estos datos para calcular un intervalo de confianza del 93 % para la verdadera media de SAR de los teléfonos móviles certificados para su uso en Estados Unidos. Como en el caso anterior, supongamos que la desviación típica de la población es σ = 0,337. Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR Blackberry Pearl 8120 1,48 Nokia E71x 1,53 HTC Evo Design 4G 0,8 Nokia N75 0,68 HTC Freestyle 1,15 Nokia N79 1,4 LG Ally 1,36 Sagem Puma 1,24 LG Fathom 0,77 Samsung Fascinate 0,57 LG Optimus Vu 0,462 Samsung Infuse 4G 0,2 Motorola Cliq XT 1,36 Samsung Nexus S 0,51 Motorola Droid Pro 1,39 Samsung Replenish 0,3 Motorola Droid Razr M 1.3 Sony W518a Walkman 0,73 Nokia 7705 Twist 0,7 ZTE C79 0,869 Observe la diferencia en los intervalos de confianza calculados en el y en el siguiente Ejercicio . Estos intervalos son diferentes por varias razones: se calcularon a partir de muestras diferentes, las muestras eran de distinto tamaño y los intervalos se calcularon para distintos niveles de confianza. Aunque los intervalos son diferentes, no aportan información contradictoria. Los efectos de este tipo de cambios son el tema de la siguiente sección de este capítulo. Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra Supongamos que cambiamos el problema original en el utilizando un nivel de confianza del 95 %. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la calificación media real (poblacional) del examen estadístico. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 95 % ( CL = 0,95). CL = 0,95 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 z α 2 = z 0,025 El área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. z α 2 = z 0,025 = 1,96 cuando se utiliza invnorm(0,975,0,1) en las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ (esto también se puede encontrar utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, utilizando una computadora o utilizando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar). EBM = (1,96) ( 3 36 ) = 0,98 x ¯ - EBM = 68 - 0,98 = 67,02 x ¯ + EBM = 68 + 0,98 = 68,98 Observe que el EBM es mayor para un nivel de confianza del 95 % en el problema original. Estimamos con un 95 % de confianza que la verdadera media poblacional de todas las puntuaciones de los exámenes de estadística está entre 67,02 y 68,98. Explicación del nivel de confianza del 95 %: El 95 % de todos los intervalos de confianza construidos de este modo contienen el verdadero valor de la puntuación media del examen estadístico de la población. Comparar los resultados: El intervalo de confianza del 90 % es (67,18; 68,82). El intervalo de confianza del 95 % es (67,02; 68,98). El intervalo de confianza del 95 % es más amplio. Si observa los gráficos, como el área 0,95 es mayor que el área 0,90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95 % sea más amplio. Para estar más seguro de que el intervalo de confianza contiene realmente el verdadero valor de la media de la población para todas las calificaciones de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza tiene que ser necesariamente más amplio. Resumen: efecto de la modificación del nivel de confianza Al aumentar el nivel de confianza se incrementa el límite de error, lo que hace que el intervalo de confianza sea más amplio. La disminución del nivel de confianza reduce el límite de error, lo que hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. Ejercicio Vuelva a consultar el Ejercicio de entrega de pizzas. La desviación típica de la población es de seis minutos y la media de la muestra del tiempo de entrega es de 36 minutos. Utilice un tamaño de muestra de 20. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 95 % para la media real del tiempo de entrega de la pizza. Supongamos que cambiamos el problema original en el para ver qué ocurre con el límite de error si se cambia el tamaño de la muestra. Deje todo igual excepto el tamaño de la muestra. Utilice el nivel de confianza original del 90 %. ¿Qué ocurre con el límite de error y el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y utilizamos n = 100 en lugar de n = 36? ¿Qué ocurre si disminuimos el tamaño de la muestra a n = 25 en vez de n = 36? x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; el nivel de confianza es del 90 % ( CL =0,90); z α 2 = z 0,05 = 1,645. Si aumentamos el tamaño de la muestra n a 100, disminuimos el límite de error. Cuando n = 100: EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) = (1,645) ( 3 100 ) = 0,4935. Si disminuimos el tamaño de la muestra n a 25, aumentamos el límite de error. Cuando n = 25: EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) = (1,645) ( 3 25 ) = 0,987. Resumen: efecto de la modificación del tamaño de la muestra El aumento del tamaño de la muestra hace que el límite de error disminuya, haciendo que el intervalo de confianza sea más estrecho. La disminución del tamaño de la muestra hace que el límite de error aumente, haciendo que el intervalo de confianza sea más amplio. Ejercicio Vuelva a consultar el Ejercicio de entrega de pizzas. La media de tiempo de entrega es de 36 minutos y la desviación típica de la población es de seis minutos. Supongamos que el tamaño de la muestra se cambia a 50 restaurantes con la misma media muestral. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de entrega de la población. Hacer el cálculo a la inversa para calcular el límite de error o la media de la muestra Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y lo utilizamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces, cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos hacer el cálculo a la inversa para hallar tanto el límite de error como la media de la muestra. Calcular el límite de error Del valor superior del intervalo, reste la media de la muestra. O, del valor superior del intervalo, reste el valor inferior. A continuación, divida la diferencia entre dos. Calcular la media de la muestra Reste el límite de error del valor superior del intervalo de confianza. O, promedie los puntos finales superior e inferior del intervalo de confianza. Observe que hay dos métodos para realizar cada cálculo. Puede elegir el método que sea más fácil de utilizar con la información que conoce. Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (67,18; 68,82) y queremos calcular el límite de error. Puede que sepamos que la media de la muestra es 68, o puede que nuestra fuente solo haya dado el intervalo de confianza y no nos haya dicho el valor de la media de la muestra. Calcule el límite de error: Si sabemos que la media de la muestra es de 68 EBM = 68,82 - 68 = 0,82. Si no conocemos la media de la muestra: EBM = ( 68,82 – 67,18 ) 2 = 0,82. Calcule la media de la muestra: Si conocemos el límite de error: x ¯ = 68,82 – 0,82 = 68 Si no conocemos el límite de error: x ¯ = ( 67,18 + 68,82 ) 2 = 68. Ejercicio Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (42,12; 47,88). Encuentra el límite de error y la media muestral. Cálculo del tamaño de la muestra n Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra. La fórmula del límite de error para una media poblacional cuando se conoce la desviación típica de la población es EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) . La fórmula del tamaño de la muestra es n = z 2 σ 2 E B M 2 , que se encuentra resolviendo la fórmula del límite de error para n . En esta fórmula, z es z α 2 , correspondiente al nivel de confianza deseado. Un investigador que planifique un estudio y desee un nivel de confianza y un límite de error específicos puede utilizar esta fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria para el estudio. La desviación típica de la población para la edad de los estudiantes de Foothill College es de 15 años. Si queremos tener un 95 % de confianza en que la media de edad de la muestra está dentro de los dos años de la verdadera media de edad de la población de estudiantes de Foothill College, ¿cuántos estudiantes de Foothill College seleccionados al azar deben encuestarse? Por el problema, sabemos que σ = 15 y EBM = 2. z = z 0,025 = 1,96, porque el nivel de confianza es del 95 %. n = z 2 σ 2 E B M 2 = ( 1,96 ) 2 ( 15 ) 2 2 2 = 216,09 utilizando la ecuación del tamaño de la muestra. Utilice n = 217: Redondee siempre la respuesta al número entero superior para asegurarse de que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Por lo tanto, habría que encuestar a 217 estudiantes de Foothill College para estar seguros en un 95 % de que estamos dentro de los dos años de la verdadera edad media de la población de estudiantes del Foothill College. Ejercicio La desviación típica de la población para la altura de los jugadores de baloncesto de la escuela secundaria es de tres pulgadas. Si queremos tener un 95 % de confianza en que la estatura media de la muestra está dentro de una pulgada de la estatura media real de la población, ¿cuántos estudiantes seleccionados al azar deben ser encuestados? Referencias “American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013). “Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Headcount Enrollment Trends by Student Demographics Ten-Year Fall Trends to Most Recently Completed Fall”. Foothill De Anza Community College District. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/FH_Demo_Trends/FoothillDemographicTrends.htm (consultado el 30 de septiembre de 2013). Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 CDC Growth Charts for the United States: Methods and Development”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/growthcharts/2000growthchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). La, Lynn, Kent German. “Cell Phone Radiation Levels”. c|net parte de CBX Interactive Inc. 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Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido a calcular el intervalo de confianza para una media poblacional única cuando se conoce la desviación típica de la población. Al estimar una media poblacional, el margen de error se denomina límite de error para una media poblacional ( EBM ). Un intervalo de confianza tiene la forma general: (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM , estimación puntual + EBM ) El cálculo de EBM depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El nivel de confianza es el porcentaje de todas las muestras posibles que se puede esperar que incluyan el verdadero parámetro de la población. A medida que aumenta el nivel de confianza, aumenta también el EBM correspondiente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el EBM disminuye. Por el teorema del límite central, E B M = z σ n Dado un intervalo de confianza, se puede hacer el cálculo a la inversa para hallar el límite de error (EBM ) o la media de la muestra. Para calcular el límite de error, halle la diferencia del límite superior del intervalo y la media. Si no conoce la media de la muestra, puede hallar el límite de error calculando la mitad de la diferencia de los límites superior e inferior. Para hallar la media muestral dado un intervalo de confianza, calcule la diferencia del límite superior y el límite de error. Si se desconoce el límite de error, se promedian los límites superior e inferior del intervalo de confianza para hallar la media muestral. A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula EBM para n para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo: n = z 2 σ 2 E B M 2 Revisión de la fórmula X ¯ ~ N ( μ X , σ n ) La distribución de las medias muestrales se distribuye normalmente con una media igual a la media de la población y una desviación típica dada por la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM , estimación puntual + EBM ) = ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) = ( x ¯ – z σ n , x ¯ + z σ n ) EBM = z σ n = el límite de error para la media, o el margen de error para una única media poblacional; esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población. CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional z α 2 = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es ∝ 2 esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL . n = z 2 σ 2 E B M 2 = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra ( n ) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado Forma general de un intervalo de confianza (valor inferior, valor superior) = (estimación puntual-límite de error, estimación puntual + límite de error) Para calcular el límite de error cuando se conoce el intervalo de confianza límite de error = estimación del punto de valor superior O límite de error = valor superior – valor inferior 2 Media de una población, desviación típica conocida, distribución normal Utilice la distribución normal para las medias, la desviación típica de la población es conocida EBM = z α 2 ⋅ σ n El intervalo de confianza tiene el formato ( x ¯ - EBM , x ¯ + EBM ). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras. Identifique lo siguiente: x ¯ = _____ σ = _____ n = _____ 244 15 50 En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? N ( 244 , 15 50 ) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de la población de elefantes recién nacidos. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el intervalo de confianza obtenido si se pesan 500 elefantes recién nacidos en vez de 50? ¿Por qué? A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menos variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal. Identifique lo siguiente: x ¯ = _____ σ = _____ n = _____ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . X es el tiempo en minutos que se tarda en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. X ¯ es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para rellenar los formularios. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (7,9441; 8,4559) EBM = 0,26 Si el censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si el censo realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara solo a 50 personas en vez de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? El nivel de confianza disminuiría porque la disminución de n hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que a igual límite de error, el nivel de confianza disminuye. Supongamos que el censo necesita tener un 98 % de confianza en la duración media de la población. ¿El censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras. Identifique lo siguiente: x ¯ = ______ σ = ______ n = ______ x ¯ = 2,2 σ = 0,2 n = 20 Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . X ¯ es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. EBM = 0,07 CI: (2,1264; 2,2736) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza en el es mayor que en el . El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar la cantidad de área que se calcula para la distribución normal. Por lo tanto, un nivel de confianza mayor genera áreas e intervalos más amplios. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo en el . ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el límite de error siguiera siendo el mismo? El nivel de confianza aumentaría. ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el nivel de confianza siguiera siendo el mismo? Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College. x ¯ = _____ 30,4 n = _____ ________ = 15 σ En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . ¿Cuál es el x ¯ estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. normal Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios . ¿Cuánta superficie hay en ambas cruces (combinadas)? α =________ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 =________ 0,025 Identifique las siguientes especificaciones límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es: __________________. (24,52;36,28) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College está entre 24,52 y 36,28. Utilizando las mismas media, desviación típica y nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 25. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando las mismas media, desviación típica y tamaño de la muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? El límite de error para la media disminuiría porque a medida que el nivel de confianza (Confidence Level, CL) disminuye, se necesita menos área debajo de la curva normal (lo que se traduce en un intervalo más pequeño) para capturar la verdadera media de la población. Tarea para la casa Se sabe que la desviación típica de las alturas entre los distintos grupos étnicos es de tres pulgadas aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de los hombres suecos. Se encuestaron cuarenta y ocho hombres suecos. La media muestral es de 71 pulgadas. La desviación típica de la muestra es de 2,8 pulgadas. x ¯ =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de la población de hombres suecos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué pasará con el nivel de confianza obtenido si se encuestan 1.000 hombres suecos en vez de 48? ¿Por qué? 71 3 48 X es la altura de un hombre suizo, y es la altura media de una muestra de 48 hombres suizos. Normal. Conocemos la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es superior a 30. CI: (70,151; 71,49) EBM = 0,849 El intervalo de confianza disminuirá en tamaño porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población. Los anuncios de las 84 próximas conferencias de ingeniería se eligieron al azar de una pila de revistas IEEE Spectrum. La duración media de las conferencias fue de 3,94 días, con una desviación típica de 1,28 días. Supongamos que la población subyacente es normal. En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de las conferencias de ingeniería Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Supongamos que una compañía de contabilidad hace un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta al azar a 100 personas. La media muestral es de 23,6 horas. Existe una desviación típica conocida de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal. x ¯ =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para completar los formularios de impuestos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si la compañía quisiera aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si la compañía realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara 49 personas solamente, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? Supongamos que la compañía decide que necesita tener, al menos, el 96 % de confianza de la media de la población que se tarda una hora. ¿Cómo cambiaría el número de personas que la compañía encuesta? ¿Por qué? x ¯ = 23,6 σ = 7 n = 100 X es el tiempo necesario para rellenar un formulario de impuestos individual. X ¯ es el tiempo medio para rellenar los formularios de impuestos de una muestra de 100 clientes. N ( 23,6 , 7 100 ) porque conocemos sigma. (22,228; 24,972) EBM = 1,372 Tendrá que cambiar el tamaño de la muestra. La compañía debe determinar cuál debe ser el nivel de confianza y, a continuación, aplicar la fórmula del límite de error para determinar el tamaño de la muestra necesario. El nivel de confianza aumentaría como consecuencia de un intervalo mayor. Muestras de menor tamaño generan mayor variabilidad. Para capturar la verdadera media de la población necesitamos un intervalo mayor. Según la fórmula del límite de error, la compañía necesita encuestar 206 personas. Dado que aumentamos el nivel de confianza, tenemos que aumentar nuestro límite de error o el tamaño de la muestra. Se seleccionó una muestra de 16 bolsas pequeñas de caramelos de la misma marca. Supongamos que la distribución poblacional de los pesos de las bolsas es normal. Luego se registró el peso de cada bolsa. El peso medio fue de dos onzas, con una desviación típica de 0,12 onzas. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,1 onzas. x ¯ =________ σ =________ s x =________ Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de los caramelos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Construya un intervalo de confianza del 98 % para el peso medio poblacional de los caramelos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza de la parte f es mayor que el de la parte e. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo de la parte f. El director de un campamento está interesado en el número medio de cartas que envía cada niño durante su sesión de campamento. Se conoce que la desviación típica de la población es de 2,5. Se realiza una encuesta entre 20 campistas. La media muestral es de 7,9, con una desviación típica de la muestra de 2,8. x ¯ =________ σ =________ n =________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional del número de cartas que los campistas envían a casa Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestan 500 campistas? ¿Por qué? 7,9 2,5 20 X es el número de cartas que un solo campista enviará a casa. X ¯ es el número medio de cartas enviadas a casa de una muestra de 20 campistas. N 7,9 ( 2,5 20 ) CI: (6,98; 8,82) EBM : 0,92 El límite de error y el intervalo de confianza disminuirán. ¿Qué significa el término “90 % de confianza” cuando se construye un intervalo de confianza para una media? Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de las muestras producirían el mismo intervalo de confianza. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían la media muestral. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían el verdadero valor de la media poblacional. Si tomáramos muestras repetidas, la media muestral sería igual a la media de la población en el 90 % de las muestras aproximadamente. La Comisión Federal de Elecciones recopila información sobre los aportes y los desembolsos para la campaña de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Durante la temporada de campaña de 2012, hubo 1.619 candidatos a la Cámara de Representantes en Estados Unidos que recibieron aportes de particulares. La muestra el total de ingresos procedentes de particulares para una selección aleatoria de 40 candidatos a la Cámara de Representantes, redondeado a los 100 dólares más cercanos. La desviación típica de estos datos a la centena más cercana es σ = 909.200 dólares. $3.600 $1.243.900 $10.900 $385.200 $581.500 $7.400 $2.900 $400 $3.714.500 $632.500 $391.000 $467.400 $56.800 $5.800 $405.200 $733.200 $8.000 $468.700 $75.200 $41.000 $13.300 $9.500 $953.800 $1.113.500 $1.109.300 $353.900 $986.100 $88.600 $378.200 $13.200 $3.800 $745.100 $5.800 $3.072.100 $1.626.700 $512.900 $2.309.200 $6.600 $202.400 $15.800 Calcule la estimación puntual de la media de la población. Use el 95 % de confianza y calcule el límite de error. Cree un intervalo de confianza del 95 % para la media de los aportes individuales totales. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. x ¯ = $568.873 CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 z α 2 = 1,96 EBM = z 0,025 σ n = 1,96 909200 40 = $281.764 x ¯ – EBM = 568.873 – 281.764 = 287.109 x ¯ + EBM = 568.873 + 281.764 = 850.637 Solución alternativa: Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 7:ZInterval . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo e introduzca los siguientes valores: σ : 909.200 x ¯ : 568.873 n : 40 CL : 0,95 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (287.114 dólares, 850.632 dólares). Observe la pequeña diferencia entre las dos soluciones: estas diferencias se deben simplemente al error de redondeo en los cálculos manuales. Estimamos con el 95 % de confianza que la media de los aportes que recibieron los candidatos a la Cámara de Representantes de parte de todas las personas está entre 287.109 dólares y 850.637 dólares. La Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense (American Community Survey, ACS), que forma parte de la Oficina del Censo de Estados Unidos, realiza un censo anual similar al que se hace cada diez años, pero con un porcentaje de participantes menor. La encuesta más reciente estima, con el 90 % de confianza, que los ingresos medios de los hogares en EE. UU. se sitúa entre 69.720 y 69.922 dólares. Calcule la estimación puntual de los ingresos medios de los hogares de EE. UU. y su límite de error. La estatura promedio de los hombres adultos jóvenes tiene una distribución normal, con una desviación típica de 2,5 pulgadas. Quiere estimar la altura media de los estudiantes de su instituto universitario o universidad con un margen de una pulgada, con el 93 % de confianza. ¿Cuántos estudiantes hombres hay que medir? Utilice la fórmula del EBM , resuelta para n : n = z 2 σ 2 E B M 2 Por el enunciado del problema, se sabe que σ = 2,5, y se necesita EBM = 1. z = z 0,035 = 1,812 (Este es el valor de z para el que el área bajo la curva de densidad a la derecha de z es 0,035) n = z 2 σ 2 E B M 2 = 1,812 2 2,5 2 1 2 ≈ 20,52 Es necesario medir al menos 21 estudiantes hombres para lograr su objetivo. Nivel de confianza (CL) la expresión porcentual de la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero parámetro poblacional; por ejemplo, si el CL = 90 %, entonces en 90 de cada 100 muestras la estimación del intervalo encerrará el verdadero parámetro poblacional. Límite de error para una media poblacional ( EBM ) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la desviación típica de la población conocida o estimada.", "section": "La media de una población utilizando la distribución normal", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La media de una población utilizando la distribución t de Student En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza. William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student . El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de \"Student\". Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de como máximo 30. Con las calculadoras gráficas y las computadoras, la práctica actual es utilizar la distribución t de Student siempre que se utilice s como estimación de σ . Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población que tiene una distribución aproximadamente normal con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t = x ¯ – μ ( s n ) , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad . La puntuación t t iene la misma interpretación que la puntuación z . Mide cuán lejos está x ¯ es de su media μ . Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente. Los grados de libertad , n – 1 , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra s . En el H - TABLAS , utilizamos n desviaciones ( x – x ¯ valores ) para calcular s . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras n – 1 desviaciones. Las otras n – 1 desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número n - 1 los grados de libertad (df). Propiedades de la distribución t de Student El gráfico de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica con respecto a cero. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ . El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si tiene forma de campana (normal), la hipótesis se cumple y no es necesario discutirla. Se supone que el muestreo es aleatorio, pero ese es un supuesto completamente distinto de la normalidad. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. Las TI-83,83+ y 84+ tienen una función tcdf para calcular la probabilidad para valores dados de t . La gramática del comando tcdf es tcdf (límite inferior, límite superior, grados de libertad). Sin embargo, para los intervalos de confianza, necesitamos utilizar la probabilidad inversa para calcular el valor de t cuando conocemos la probabilidad. Para la TI-84+ puede utilizar el comando invT del menú DISTRibution. El comando invT funciona de forma similar al invnorm. El comando invT requiere dos entradas: invT (área a la izquierda, grados de libertad). La salida es la puntuación t que corresponde al área que especificamos. Las TI-83 y 83+ no tienen el comando invT (la TI-89 tiene un comando T inverso). También se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). (la TI-86 no tiene un programa o comando invT, por lo que si está utilizando esa calculadora, deberá utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student) Al utilizar una tabla t , tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Una tabla t de Student (vea el H - TABLAS ) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La mesa es muy limitada. Las calculadoras y las computadoras pueden calcular fácilmente cualquier probabilidad t de Student. La notación para la distribución t de Student (utilizando T como variable aleatoria) es: T ~ t df donde df = n – 1. Por ejemplo, si tenemos una muestra de tamaño n = 20 elementos, entonces calculamos los grados de libertad como df = n - 1 = 20 - 1 = 19 y escribimos la distribución como T ~ t 19 . Si no se conoce la desviación típica de la población , el límite de error para una media poblacional es: E B M = ( t α 2 ) ( s n ) , t σ 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , utilizar df = n - 1 grados de libertad, y s = desviación típica de la muestra. El formato del intervalo de confianza es: ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) . Para calcular directamente el intervalo de confianza: Pulse STAT. Flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo a 8:TInterval y pulse ENTER (o simplemente pulse 8). Supongamos que se hace un estudio sobre la acupuntura para determinar su eficacia para aliviar el dolor. Se miden los índices sensoriales de 15 sujetos con los resultados dados. Utilice los datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 95 % para la tasa sensorial media de la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. La solución se muestra paso a paso y se usan las calculadoras TI-83, 83+ u 84+. 8,6 9,4 7,9 6,8 8,3 7,3 9,2 9,6 8,7 11,4 10,3 5,4 8,1 5,5 6,9 La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83+ y TI-84. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 8,2267 s = 1,6722 n = 15 df = 15 - 1 = 14 CL por lo que α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 t α 2 = t 0,025 El área a la derecha de t 0,025 es 0,025, y el área a la izquierda de t 0,025 es 1 - 0,025 = 0,975 t α 2 = t 0,025 = 2,14 utilizando invT(.975,14) en la calculadora TI-84+. E B M = ( t α 2 ) ( s n ) E B M = ( 2,14 ) ( 1,6722 15 ) = 0,924 x ¯ - EBM = 8,2267 - 0,9240 = 7,3 x ¯ + EBM = 8,2267 + 0,9240 = 9,15 El intervalo de confianza del 95 % es (7,30, 9,15). Estimamos, con un 95 % de confianza, que la verdadera tasa sensorial media de la población está entre 7,30 y 9,15. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo y pulse ENTER (o simplemente puede pulsar 8 ). Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Lista e introduzca el nombre de la lista en la que puso los datos. Debería haber un 1 después de Frecuencia . Desplace la flecha hacia abajo C-level e introduzca 0,95 Presione la flecha abajo hacia Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza del 95 % es (7,3006, 9,1527) Nota Al calcular el límite de error, también se puede utilizar una tabla de probabilidad para la distribución t de Student para calcular el valor de t . La tabla ofrece puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y a los grados de libertad (fila); la puntuación t se encuentra donde la fila y la columna se cruzan en la tabla. Ejercicio Usted hace un estudio sobre la hipnoterapia para determinar su eficacia a la hora de aumentar el número de horas de sueño de los sujetos cada noche. Se miden las horas de sueño de 12 sujetos con los siguientes resultados. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media de horas dormidas para la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. 8,2; 9,1; 7,7; 8,6; 6,9; 11,2; 10,1; 9,9; 8,9; 9,2; 7,5; 10,5 El proyecto Human Toxome Project (HTP) trabaja para comprender el alcance de la contaminación industrial en el cuerpo humano. Las sustancias químicas industriales pueden entrar en el cuerpo a través de la contaminación o como ingredientes de productos de consumo. En octubre de 2008, los científicos de HTP analizaron muestras de sangre del cordón umbilical de 20 recién nacidos en Estados Unidos. La sangre del cordón umbilical del grupo \"en útero/recién nacido\" se analizó en busca de 430 compuestos industriales, contaminantes y otras sustancias químicas, entre ellas las relacionadas con la toxicidad del cerebro y el sistema nervioso, la toxicidad del sistema inmunitario y la toxicidad reproductiva y los problemas de fertilidad. Los efectos de algunas sustancias químicas sobre el cerebro y el sistema nervioso son motivo de preocupación para la salud. La muestra cuántas de las sustancias químicas seleccionadas se encontraron en la sangre del cordón umbilical de cada bebé. 79 145 147 160 116 100 159 151 156 126 137 83 156 94 121 144 123 114 139 99 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para el número de la media de sustancias químicas industriales específicas que se encuentran en la sangre de un bebé. A partir de la muestra, se puede calcular x ¯ = 127,45 y s = 25,965. Hay 20 bebés en la muestra, por lo que n = 20, y df = 20 – 1 = 19. Se le pide que calcule un intervalo de confianza del 90 %: CL = 0,90, por lo que α = 1 - CL = 1 - 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05, t α 2 = t 0,05 Por definición, el área a la derecha de t 0,05 es 0,05 y, por tanto, el área a la izquierda de t 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para calcular que t 0,05 = 1,729. E B M = t α 2 ( s n ) = 1,729 ( 25,965 20 ) ≈ 10,038 x ¯ - EBM = 127,45 - 10,038 = 117,412 x ¯ + EBM = 127,45 + 10,038 = 137,488 Estimamos, con un 90 % de confianza, que el número de la media de todas las sustancias químicas industriales específicas encontradas en la sangre del cordón umbilical en los Estados Unidos está entre 117,412 y 137,488. Introduzca los datos en forma de lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo y pulse ENTER (o simplemente puede pulsar 8 ). Vaya a Data y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Lista e introduzca el nombre de la lista en la que puso los datos. Desplace la flecha hacia abajo hasta Frecuencia e introduzca 1. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-level e ingrese 0,90 Flecha abajo hacia Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza del 90 % es (117,41, 137,49). Ejercicio Se pidió a una muestra aleatoria de estudiantes de estadística que estimaran el número total de horas que pasan viendo televisión en una semana promedio. Las respuestas se registran en la . Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 98 % para el número medio de horas que los estudiantes de estadística pasarán viendo televisión en una semana. 0 3 1 20 9 5 10 1 10 4 14 2 4 4 5 Referencias “America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013). Datos de Microsoft Bookshelf . Datos de http://www.businessweek.com/. Datos de http://www.forbes.com/. “Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013). “Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ , de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s , como estimación de σ . La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ , pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula: t = x ¯ – μ s n La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con EBM = ( t α 2 ) s n donde t α 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar t α 2 para una α determinada. Revisión de la fórmula s = la desviación típica de los valores de la muestra. t = x ¯ – μ s n es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra T ~ t df es la variable aleatoria, T , tiene una distribución t de Student con df grados de libertad E B M = t α 2 s n = el límite de error para la media de la población cuando la desviación típica de la población es desconocida t α 2 es la puntuación t en la distribución t de Student con un área a la derecha igual a α 2 La forma general de un intervalo de confianza para una media única, desviación típica de la población desconocida, t de Student viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual – EBM , estimación puntual + EBM ) = ( x ¯ – t s n , x ¯ + t s n ) Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas. Identifique lo siguiente: x ¯ =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. X es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de que lo llamen para examinarlo. X ¯ es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de emergencias. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (1,3808, 1,6192) EBM = 0,12 Explique con oraciones completas qué significa el intervalo de confianza (confidence interval, CI). Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. Identifique lo siguiente: x ¯ =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ x ¯ = 151 s x = 32 n = 108 n – 1 = 107 Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. X ¯ es el número medio de horas que se dedican a ver la televisión al mes en una muestra de 108 estadounidenses. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de horas dedicadas a ver televisión al mes. (a) Indique el intervalo de confianza, (b) dibuje el gráfico y (c) calcule el límite de error. CI: (142,92, 159,08) EBM = 8,08 ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional. X Frec. 1 1 2 7 3 18 4 7 5 6 Calcule lo siguiente: x ¯ =______ s x =______ n =______ 3,26 1,02 39 Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Cuál es el x ¯ estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. t 38 Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales. ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,025 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es _____. (2,93, 3,59) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que el número medio real de colores de las banderas nacionales está entre 2,93 y 3,59 colores. Utilizando el mismo x ¯ , s x , y el nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 39. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? El límite de error sería EBM = 0,245. Este límite de error disminuye porque a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media real. Utilizando el mismo x ¯ , s x , y n = 39, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? Tarea para la casa En seis bolsas de “The Flintstones® Real Fruit Snacks” había cinco bocadillos Bam-Bam. El número total de bocadillos en las seis bolsas era de 68. Queremos calcular un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección Calcule p ′. Construya un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam por bolsa. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Cree que seis paquetes de bocadillos de fruta aportan suficientes datos para obtener resultados precisos? ¿Por qué sí o por qué no? Una encuesta aleatoria sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6.414; 1.550; 2.109; 9.350; 21.828; 4.300; 5.944; 5.722; 2.825; 2.044; 5.481; 5.200; 5.853; 2.750; 10.012; 6.357; 27.000; 9.414; 7.681; 3.200; 17.500; 9.200; 7.380; 18.314; 6.557; 13.713; 17.768; 7.493; 2.771; 2.861; 1.263; 7.285; 28.165; 5.080; 11.622. Supongamos que la población subyacente es normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de inscripción en los colegios comunitarios de Estados Unidos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué ocurriría con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestaran 500 colegios comunitarios? ¿Por qué? 8629 6944 35 34 t 34 CI: (6244, 11.014) EB = 2385 Se hará más pequeño Supongamos que una comisión estudia si hay o no pérdida de tiempo en nuestro sistema judicial. Se interesa por la cantidad media de tiempo que las personas pierden en el juzgado a la espera de que los llamen para ser jurado. El comité encuestó de forma aleatoria a 81 personas que habían prestado servicio como jurado recientemente. El tiempo de espera de las medias muestrales fue de ocho horas, con una desviación típica de la muestra de cuatro horas. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de tiempo perdido. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en una oración completa qué significa el intervalo de confianza. Una compañía farmacéutica fabrica tranquilizantes. Se supone que la distribución del tiempo que duran es aproximadamente normal. Los investigadores de un hospital utilizaron el fármaco en una muestra aleatoria de nueve pacientes. El periodo efectivo del tranquilizante para cada paciente (en horas) fue el siguiente: 2,7; 2,8; 3,0; 2,3; 2,3; 2,2; 2,8; 2,1; y 2,4. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de tiempo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué significa tener el “95 % de confianza” en este problema? x ¯ = 2,51 s x = 0,318 n = 9 n – 1 = 8 la duración efectiva de un tranquilizante la duración media efectiva de los tranquilizantes de una muestra de nueve pacientes Tenemos que utilizar una distribución t de Student, porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (2,27, 2,76) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,25 Si tomáramos una muestra de muchos grupos de nueve pacientes, el 95 % de las muestras contendrían la verdadera duración media de la población. Supongamos que se hace una encuesta a 14 niños que están aprendiendo a montar en bicicleta para determinar cuánto tiempo han tenido que utilizar las ruedas de entrenamiento. Se reveló que las utilizaron un promedio de seis meses con una desviación típica de la muestra de tres meses. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de la duración del tiempo de uso de las ruedas de entrenamiento. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? La Comisión Federal de Elecciones (Federal Election Commission, FEC) recopila información sobre los aportes y los desembolsos de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Un Comité de Acción Política (Political Action Committee, PAC) es un comité formado para recaudar dinero para candidatos y campañas. Un PAC de Liderazgo es un PAC formado por un político federal (senador o representante) para recaudar dinero para ayudar a las campañas de otros candidatos. La FEC presentó información financiera de 556 PAC de Liderazgo que operaron durante el ciclo electoral 2011-2012. La siguiente tabla muestra los ingresos totales durante este ciclo para una selección aleatoria de 30 PAC de Liderazgo. $46.500,00 $0 $40.966,50 $105.887,20 $5.175,00 $29.050,00 $19.500,00 $181.557,20 $31.500,00 $149.970,80 $2.555.363,20 $12.025,00 $409.000,00 $60.521,70 $18.000,00 $61.810,20 $76.530,80 $119.459,20 $0 $63.520,00 $6.500,00 $502.578,00 $705.061,10 $708.258,90 $135.810,00 $2.000,00 $2.000,00 $0 $1.287.933,80 $219.148,30 x ¯ = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 96 % para la cantidad media de dinero recaudado por todos los PAC de liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012. Use la distribución t de Student. x ¯ = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Observe que no se nos da la desviación típica de la población, solo la desviación típica de la muestra. Hay 30 medidas en la muestra, por lo que n = 30, y df = 30 – 1 = 29 CL = 0,96, por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,96 = 0,04 α 2 = 0,02 t α 2 = t 0,02 = 2,150 E B M = t α 2 ( s n ) = 2,150 ( 521 , 130,41 30 ) ~ $ 204 , 561,66 x ¯ – EBM = $251.854,23 – $204.561,66 = $47.292,57 x ¯ + EBM = $251.854,23 + $204.561,66 = $456.415,89 Estimamos con un 96 % de confianza que la cantidad media de dinero recaudada por todos los PAC de Liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012 está entre 47.292,57 y 456.415,89 dólares. Solución alternativa Introduzca los datos en forma de lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 8:TIntervalo . Pulse ENTER . Vaya a Data y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca el nombre de la lista donde se almacenan los datos. Enter Frecuencia : 1 Enter C-Level : 0,96 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse Enter . El intervalo de confianza del 96 % es (47.262 dólares, 456.447 dólares). La diferencia entre las soluciones se debe a las diferencias de redondeo. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de, al menos, 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. En la se muestran las edades de directores generales corporativos de una muestra aleatoria de estas compañías. 48 58 51 61 56 59 74 63 53 50 59 60 60 57 46 55 63 57 47 55 57 43 61 62 49 67 67 55 55 49 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para la edad media de los directores generales de estas pequeñas compañías principales. Use la distribución t de Student. Los asientos desocupados en los vuelos hacen que las aerolíneas pierdan ingresos. Supongamos que una gran compañía aérea quiere estimar su número medio de asientos desocupados por vuelo durante el año pasado. Para ello, se seleccionan al azar los registros de 225 vuelos y se anota el número de asientos no ocupados de cada uno de los vuelos de la muestra. La media muestral es de 11,6 asientos y la desviación típica de la muestra es de 4,1 asientos. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la media poblacional del número de asientos desocupados por vuelo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. x ¯ = 11,6 s x = 4,1 n = 225 n – 1 = 224 X es el número de asientos no ocupados en un solo vuelo. X ¯ es el número medio de asientos no ocupados de una muestra de 225 vuelos. Usaremos una distribución t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (11,12 , 12,08) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,48 En una muestra reciente de 84 costos de venta de automóviles usados, la media muestral fue de 6.425 dólares con una desviación típica de 3.156 dólares. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Defina la variable aleatoria X ¯ en palabras. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el costo de la media poblacional de un auto usado. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 95 %” para este estudio. Se seleccionaron al azar seis marcas nacionales diferentes de galletas de chocolate en el supermercado. Los gramos de grasa por porción son los siguientes: 8; 8; 10; 7; 9; 9. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media de la población de gramos de grasa por porción de galletas de chocolate que se venden en los supermercados. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si se quería un límite de error menor manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué se debería haber cambiado en el estudio antes de realizarlo? Va a la tienda y registra los gramos de grasa por porción de seis marcas de galletas de chocolate. Calcule la media. ¿La media está dentro del intervalo que ha calculado en la parte a? ¿Esperaba que estuviese? ¿Por qué sí o por qué no? CI: (7,64 , 9,36) EBM : 0,86 La muestra debería haber aumentado. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Se realizó un estudio sobre el número medio de céntimos de descuento que ofrecen los cupones, se revisó al azar un cupón por página de las secciones de cupones del número más reciente de The Mercury News de San José. Se recopilaron los siguientes datos: 20¢; 75¢; 50¢; 65¢; 30¢; 55¢; 40¢; 40¢; 30¢; 55¢; $1,50; 40¢; 65¢; 40¢. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. x ¯ = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional del valor de los cupones. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si se toman muchas muestras aleatorias con un tamaño de 14, ¿qué porcentaje de los intervalos de confianza construidos debe contener la media poblacional de los cupones? Explique por qué. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera media poblacional de la cantidad de gaseosa servida. (12,42, 14,18) (12,32, 14,29) (12,50, 14,10) Imposible de determinar b ¿Cuál es el límite de error? 0,87 1,98 0,99 1,74 Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que pueden variar libremente Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población Distribución t de Student investigado y presentado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student; las principales características de la variable aleatoria (RV) son: Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Sin embargo, tiene más dispersión y es más plana en el vértice que la distribución normal. Se acerca a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una \"familia\" de distribuciones t: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad que es uno menos que el número de elementos de datos.", "section": "La media de una población utilizando la distribución t de Student", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Una proporción de la población Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43: (0,40 – 0,03, 0,40 + 0,03). Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales. El procedimiento para calcular el intervalo de confianza, el tamaño de la muestra, el límite de error y el nivel de confianza para una proporción es similar al de la media de la población, pero las fórmulas son diferentes. ¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente es una distribución binomial . (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n , p ) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción, tome X , la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n , el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (lea \"P primo\") es esa proporción, P ′ = X n (a veces, la variable aleatoria se denota como P ^ , que se lee “estimador de P”). Cuando n es grande y p no se acerca a cero o a uno, podemos utilizar la distribución normal para aproximar la binomial. X ~ N ( n p , n p q ) Si dividimos la variable aleatoria, la media y la desviación típica por n , obtenemos una distribución normal de proporciones con P′ , llamada proporción estimada, como variable aleatoria (recordemos que una proporción es el número de aciertos dividido por n ). X n = P ′ ~ N ( n p n , n p q n ) Uso del álgebra para simplificar: n p q n = p q n P′ sigue una distribución normal para las proporciones : X n = P ′ ~ N ( n p n , n p q n ) El intervalo de confianza tiene la forma ( p′ - EBP , p′ + EBP ). EBP es el límite de error para la proporción. p′ = x n p′ = la proporción estimada de aciertos ( p′ es una estimación puntual de p , la proporción verdadera). x = el número de aciertos n = el tamaño de la muestra El límite de error para una proporción es E B P = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) donde q′ = 1 - p′ Esta fórmula es similar a la fórmula del límite de error para una media, excepto que la \"desviación típica apropiada\" es diferente. Para una media, cuando se conoce la desviación típica de la población, la desviación típica adecuada que utilizamos es σ n . Para una proporción, la desviación típica adecuada es p q n . Sin embargo, en la fórmula del límite de error, utilizamos p ′ q ′ n como la desviación típica, en lugar de p q n . En la fórmula del límite de error, las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Las proporciones muestrales p′ y q′ se calculan a partir de los datos: p′ es la proporción estimada de aciertos, y q′ es la proporción estimada de fallos. El intervalo de confianza solo puede utilizarse si el número de aciertos np′ y el número de fallos nq′ son ambos superiores a cinco. Nota Para la distribución normal de proporciones, la fórmula de la puntuación z es la siguiente Si P ′ ~ N ( valor , p q n ) entonces la fórmula de la puntuación z es z = p ′ – p p q n Supongamos que se contrata a una compañía de estudios de mercado para que estime el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuestan quinientos residentes adultos seleccionados al azar en esta ciudad para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas encuestadas, 421 respondieron que sí: tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84. Supongamos que X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos móviles. X es binomial. X ~ B ( 500 , 421 500 ) . Para calcular el intervalo de confianza, debe calcular p′ , q′ y EBP . n = 500 x = número de aciertos = 421 p ′ = x n = 421 500 = 0,842 p′ = 0,842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población. q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158 Como CL = 0,95, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 ( α 2 ) = 0,025. Entonces z α 2 = z 0,025 = 1,96 Utilice el comando invNorm(0,975, 0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para calcular z 0,025 . Recuerde que el área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 0,975. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar. E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,96 ) ( 0,842 ) ( 0,158 ) 500 = 0,032 p ' – E B P = 0,842 – 0,032 = 0,81 p ′ + E B P = 0,842 + 0,032 = 0,874 El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es ( p′ - EBP , p′ + EBP ) = (0,810, 0,874). Interpretación Estimamos con el 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles. Explicación del nivel de confianza del 95 %: El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contendrían el valor real de la proporción de población de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta x e introduzca 421. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e introduzca 500. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-Level e introduzca 0,95. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (0,81003, 0,87397). Ejercicio Supongamos que se encuestan 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declararon que tienen una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que tienen tabletas. Para un proyecto de clase, un estudiante de Ciencias Políticas de una gran universidad quiere calcular el porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes. Hace una encuesta entre 500 estudiantes y descubre que 300 están registrados como votantes. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están registrados como votantes, e interprete el intervalo de confianza. La primera solución es paso a paso. La segunda solución utiliza una función de las calculadoras TI-83, 83+ u 84. x = 300 y n = 500 p ′ = x n = 300 500 = 0,600 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,600 = 0,400 Como CL = 0,90, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,90 = 0,10 ( α 2 ) = 0,05 z α 2 = z 0,05 = 1,645 Utilice el comando invNorm(0,95,0,1) de las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ para hallar z 0,05 . Recuerde que el área a la derecha de z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z 0,05 es 0,95. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora, o una tabla de probabilidad normal estándar. E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,645 ) ( 0,60 ) ( 0,40 ) 500 = 0,036 p ′ – E B P = 0,60 – 0,036 = 0,564 p ′ + E B P = 0,60 + 0,036 = 0,636 El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es ( p′ - EBP , p′ + EBP ) = (0,564, 0,636). Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes que están registrados como votantes está entre el 56,4 % y el 63,6 %. Redacción alternativa: Estimamos con un 90 % de confianza que entre el 56,4 % y el 63,6 % de TODOS los estudiantes están registrados como votantes. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor verdadero del porcentaje de población de estudiantes que están registrados como votantes. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta x e introduzca 300. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e introduzca 500. Desplace la flecha hacia abajo hasta C-Level e introduzca 0,90. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (0,564; 0,636). Ejercicio Un estudiante hace un sondeo en su escuela para ver si los estudiantes del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación relativa a los uniformes escolares. Hace una encuesta entre 600 estudiantes y halla que 480 están en contra de la nueva legislación. a. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación e interprete el intervalo de confianza. b. En una muestra de 300 estudiantes, el 68 % dijo que tenían un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que tienen un iPod y un teléfono inteligente. Intervalo de confianza \"más cuatro\" para p En el proceso de cálculo de un intervalo de confianza para una proporción se introduce una cierta cantidad de error. Dado que no conocemos la verdadera proporción de la población, nos vemos obligados a utilizar estimaciones puntuales para calcular la desviación típica adecuada de la distribución muestral. Los estudios han demostrado que la estimación resultante de la desviación típica puede ser errónea. Afortunadamente, existe un sencillo ajuste que nos permite producir intervalos de confianza más precisos. Simplemente pretendemos que tenemos cuatro observaciones adicionales. Dos de estas observaciones son aciertos y dos son fallos. El nuevo tamaño de la muestra, entonces, es n + 4, y el nuevo recuento de aciertos es x + 2. Los estudios informáticos han demostrado la eficacia de este método. Debe utilizarse cuando el nivel de confianza deseado es de al menos el 90 % y el tamaño de la muestra es de al menos diez. Se preguntó a una muestra aleatoria de 25 estudiantes de estadística: \"¿Ha fumado un cigarrillo en la última semana?\" Seis estudiantes declararon haber fumado en la última semana. Utilice el método \"más cuatro\" para calcular un intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman. Seis de los 25 estudiantes declararon haber fumado en la última semana, por lo que x = 6 y n = 25. Como estamos utilizando el método \"más cuatro\", utilizaremos x = 6 + 2 = 8 y n = 25 + 4 = 29. p ′ = x n = 8 29 ≈ 0,276 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,276 = 0,724 Como CL = 0,95, sabemos que α = 1 - 0,95 = 0,05 y α 2 = 0,025. z 0,025 = 1,96 E P B = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = ( 1,96 ) 0,276 ( 0,724 ) 29 ≈ 0,163 p′ - EPB = 0,276 - 0,163 = 0,113 p′ + EPB = 0,276 + 0,163 = 0,439 Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de estudiantes de estadística que fuman cigarrillos está entre 0,113 y 0,439. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Desplace la flecha hacia abajo a A:1-PropZint. Pulse ENTER Recordatorio Recuerde que el método más cuatro supone cuatro ensayos adicionales: dos aciertos y dos fallos. No es necesario cambiar el proceso de cálculo del intervalo de confianza; basta con actualizar los valores de x y n para reflejar estos ensayos adicionales. Desplace la flecha hacia abajo a la x e introduce el ocho. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e ingrese 29. Desplace la flecha hacia abajo al nivel C e introduzca 0,95. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (0,113; 0,439) Ejercicio De una muestra aleatoria de 65 estudiantes de primer año de la Universidad Estatal, 31 estudiantes han declarado una especialidad. Utilice el método \"más cuatro\" para calcular un intervalo de confianza del 96 % para la verdadera proporción de estudiantes de primer año de la Universidad Estatal que han declarado una especialidad. El Berkman Center for Internet & Society de Harvard ha realizado recientemente un estudio en el que se analizan los hábitos de gestión de la privacidad de los usuarios adolescentes de internet. En un grupo de 50 adolescentes, 13 declararon tener más de 500 amigos en Facebook. Utilice el método del \"más cuatro\" para calcular un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adolescentes que declararían tener más de 500 amigos en Facebook. Utilizando \"más cuatro\", tenemos x = 13 + 2 = 15 y n = 50 + 4 = 54. p ' = 15 54 ≈ 0,278 q ' = 1 – p ' = 1 – 0,241 = 0,722 Como CL = 0,90, sabemos que α = 1 - 0,90 = 0,10 y α 2 = 0,05. z 0,05 = 1,645 E P B = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) = ( 1,645 ) ( ( 0,278 ) ( 0,722 ) 54 ) ≈ 0,100 p′ - EPB = 0,278 - 0,100 = 0,178 p′ + EPB = 0,278 + 0,100 = 0,378 Estamos seguros en un 90 % de que entre el 17,8 % y el 37,8 % de todos los adolescentes declaran tener más de 500 amigos en Facebook. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Desplace la flecha hacia abajo hasta A:1-PropZint. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta x e ingrese 15. Desplace la flecha hacia abajo hasta n e ingrese 54. Desplace la flecha hacia abajo al nivel C e introduzca 0,90. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (0,178; 0,378). Ejercicio El estudio del Centro Berkman al que se hace referencia en el habló con adolescentes en grupos de discusión más pequeños, pero también entrevistó a otros adolescentes por teléfono. Al finalizar el estudio, 588 adolescentes habían respondido a la pregunta sobre sus amigos de Facebook, y 159 dijeron que tenían más de 500 amigos. Utilice el método de \"más cuatro\" para hallar un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adolescentes que declararían tener más de 500 amigos en Facebook basándose en esta muestra más amplia. Compare los resultados con los del . Cálculo del tamaño de la muestra n Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra. La fórmula del límite de error para una proporción de población es E B P = ( z α 2 ) ( p ′ q ′ n ) Al resolver n se obtiene una ecuación para el tamaño de la muestra. n = ( z α 2 ) 2 ( p ′ q ′ ) E B P 2 Supongamos que una compañía de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes de más de 50 años que utilizan mensajería de texto en sus teléfonos móviles. ¿Cuántos clientes de más de 50 años debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles? A partir del problema, sabemos que EBP = 0,03 (3 %=0,03) y z α 2 z 0,05 = 1,645 porque el nivel de confianza es del 90 %. Sin embargo, para hallar n , necesitamos conocer la proporción (muestra) estimada p ′. Recuerde que q ′ = 1 – p ′. Pero, aun no conocemos p ′. Como multiplicamos p ′ y q ′ juntos, hacemos que ambos sean iguales a 0,5 porque p ′ q ′ = (0,5)(0,5) = 0,25 da como resultado el mayor producto posible. (Pruebe otros productos: (0,6)(0,4) = 0,24; (0,3)(0,7) = 0,21; (0,2)(0,8) = 0,16 y así sucesivamente). El mayor producto posible nos da el mayor n . Esto nos da una muestra lo suficientemente grande como para que podamos tener el 90 % de confianza de que estamos dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población. Para calcular el tamaño de la muestra n , utilice la fórmula y haga las sustituciones. n = z 2 p ′ q ′ E B P 2 da como resultado n = 1,645 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,03 2 = 751,7 Redondee la respuesta al valor inmediatamente superior. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos móviles de más de 50 años para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de todos los clientes de más de 50 años que utilizan mensajes de texto en sus teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que una compañía de mercadeo en internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada está dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes? Referencias Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013). Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013). “52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento. Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n , donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′ . Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula: (límite inferior, límite superior) = ( p ′ – E B P , p ′ + E B P ) = ( p ′ – z p ′ q ′ n , p ′ + z p ′ q ′ n ) El método \"más cuatro\" para calcular los intervalos de confianza es un intento de equilibrar el error introducido al utilizar las estimaciones de la proporción de la población cuando se calcula la desviación típica de la distribución de muestreo. Imaginemos simplemente cuatro ensayos adicionales en el estudio; dos son aciertos y dos son fallos. Calcule p ′ = x + 2 n + 4 , y proceder a calcular el intervalo de confianza. Cuando el tamaño de las muestras es pequeño, se ha demostrado que este método proporciona intervalos de confianza más precisos que la fórmula estándar utilizada para muestras más grandes. Revisión de la fórmula p′ = x / n donde x representa el número de aciertos y n representa el tamaño de la muestra. La variable p ′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población. q ′ = 1 – p ′ p ′ ~ N ( valor , p q n ) La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí. EBP = el límite de error para una proporción = z α 2 p ′ q ′ n Intervalo de confianza para una proporción: (límite inferior, límite superior) = ( p ′ – E B P , p ′ + E B P ) = ( p ′ – z p ′ q ′ n , p ′ + z p ′ q ′ n ) n = z α 2 2 p ′ q ′ E B P 2 proporciona el número de participantes necesarios para estimar la proporción de la población con confianza 1 - α y margen de error EBP . Utilice la distribución normal para una proporción de población única p ′ = x n E B P = ( z α 2 ) p ′ q ′ n p ′ + q ′ = 1 El intervalo de confianza tiene el formato ( p′ – EBP , p′ + EBP ). x ¯ es una estimación puntual de μ p′ es una estimación puntual de ρ s es una estimación puntual de σ Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 90 % de confianza en que la proporción de población se estima con un margen del 0,05? Si más adelante se determinara que es importante tener más de un 90 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que hay que encuestar? ¿Por qué? El tamaño de la muestra necesaria aumentaría. A medida que aumenta el nivel de confianza, α disminuye y z ( a 2 ) aumenta. Para mantener el mismo límite de error, es necesario aumentar el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Identifique lo siguiente: x = ______ n = ______ p′ = ______ Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras. X es el número de “aciertos” en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. P ′ es el porcentaje de hogares de la muestra en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,5321, 0,6679) EBM : 0,0679 Enumere dos dificultades que podría tener la compañía para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizara por correo electrónico. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. X es el número de “aciertos” en los que un ejecutivo prefiere una camioneta. P ′ es el porcentaje de ejecutivos de la muestra que prefieren una camioneta. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 %. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,19432, 0,33068) EBM : 0,0707 Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo indicado en la encuesta es de ±2 %. Explique qué significa el ±2 %. El error de muestreo significa que la media real puede estar un 2 % por encima o por debajo de la media muestral. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante. Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. P ′ es la proporción de votantes de la muestra que dijeron que la economía es el asunto más importante en las próximas elecciones. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 %, e indique el intervalo de confianza y el límite de error. CI: (0,62735, 0,67265) EBM : 0,02265 ¿Qué ocurriría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población. ¿Qué se cuenta? El número de niñas entre 8 y 12 años en la clase de iniciación al patinaje sobre hielo de los lunes a las 5 p. m. Defina la variable aleatoria X en palabras. Calcule lo siguiente: x = _______ n = _______ p ′ = _______ x = 64 n = 80 p ′ = 0,8 Indique la distribución estimada de X . X ~________ Defina una nueva variable aleatoria P ′. ¿Qué estima p ′? p Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. Indique la distribución estimada de P ′. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que comienzan las clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet. P ′ ~ N ( 0,8 , ( 0,8 ) ( 0,2 ) 80 ) . (0,72171, 0,87829). ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,04 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 92 % es _______. (0,72; 0,88) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Con el 92 % de confianza estimamos que la proporción de niñas de 8 a 12 años que asisten a una clase de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet se sitúa entre el 72 % y el 88 %. Utilizando la misma p ′ y el mismo nivel de confianza, supongamos que n se aumenta a 100. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando la misma p ′ y n = 80, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98 %? ¿Por qué? El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantienen constantes, a medida que el nivel de confianza aumenta, el área debajo de la curva correspondiente al nivel de confianza se hace más grande, lo que crea un intervalo más amplio y, por tanto, un error mayor. Si se disminuye el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)? Tarea para la casa Las compañías de seguros están interesadas en conocer el porcentaje de conductores que siempre se abrochan el cinturón antes de manejar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de la población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 95 % de confianza en que la proporción de la población se estima con un margen del 0,03? Si más adelante se determinara que es importante tener más del 95 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría eso el número mínimo que habría que encuestar? ¿Por qué? 1.068 Sería necesario aumentar el tamaño de la muestra, ya que el valor crítico aumenta a medida que lo hace el nivel de confianza. Supongamos que las compañías de seguros hicieran una encuesta. Encuestaron al azar 400 conductores y descubrieron que 320 afirmaban que siempre se abrochaban el cinturón. Nos interesa la proporción de conductores que afirman abrocharse siempre el cinturón. x = __________ n = __________ p ′ = __________ Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población que afirma que siempre se abrocha el cinturón Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si esta encuesta se realizara por teléfono, enumere tres dificultades que podrían tener las compañías para obtener resultados aleatorios. Según una reciente encuesta realizada a 1.200 personas, el 61 % consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Nos interesa la proporción de población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. X = el número de personas que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable; P ′ = la proporción de personas de una muestra que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. N ( 0,61 , ( 0,61 ) ( 0,39 ) 1.200 ) CI: (0,59, 0,63) Compruebe la solución del estudiante EBM : 0,02 Recientemente apareció un artículo sobre citas y matrimonios interraciales en el Washington Post. . De los 1.709 adultos seleccionados al azar, 315 se identificaron como latinos, 323 como negros, 254 como asiáticos y 779 como blancos. En esta encuesta, el 86 % de las personas negras afirmaron que acogerían a una persona blanca en su familia. Entre los asiáticos, el 77 % acogería a una persona blanca en su familia, el 71 % a un latino y el 66 % a una persona negra. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de adultos negros que acogerían a una persona blanca en su familia. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Consulte la información en el . Construya tres intervalos de confianza del 95 %. porcentaje de todos los asiáticos que acogerían a una persona blanca en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a un latino en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a una persona negra en su familia. Aunque las tres estimaciones puntuales son diferentes, ¿hay superposición en alguno de los intervalos de confianza? ¿Cuál? Para los intervalos donde hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? Para los intervalos donde no hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? (0,72, 0,82) (0,65, 0,76) (0,60, 0,72) Sí, en los intervalos (0,72, 0,82) y (0,65, 0,76) hay superposición, y en los intervalos (0,65, 0,76) y (0,60, 0,72) hay superposición. Podemos decir que no parece haber una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca en sus familias y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona latina en sus familias. Podemos decir que hay una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona negra. La Universidad de Stanford realizó un estudio sobre si correr es saludable para hombres y mujeres mayores de 50 años. Durante los primeros ocho años del estudio, el 1,5 % de los 451 miembros de la 50-Plus Fitness Association murieron. Nos interesa la proporción de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 97 % para la proporción poblacional de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 97 %” para este estudio. Un sondeo telefónico realizado a 1.000 estadounidenses adultos se publicó en un número de la Revista Time. . Una de las preguntas que se hicieron fue: “¿Cuál es el principal problema del país?”. El veinte por ciento respondió que era la “delincuencia”. Nos interesa la proporción de población de los estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. X = el número de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema; P′ = la proporción de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Como estamos estimando una proporción, dado que P′ = 0,2 y n = 1.000, la distribución que debemos utilizar es N ( 0,2 , ( 0,2 ) ( 0,8 ) 1.000 ) . CI: (0,18, 0,22) Compruebe la solución del estudiante. EBM : 0,02 Una forma de reducir el error de muestreo es aumentar el tamaño de la muestra. El “± 3 %” indicado representa el límite máximo de error. Esto significa que los que hacen el estudio informan de un error máximo del 3 %. Así, estiman que el porcentaje de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema se sitúa entre el 18 % y el 22 %. Consulte el . Otra de las preguntas del sondeo era “¿[Cuánto le preocupa] la calidad de la educación en nuestras escuelas?”. El sesenta y tres por ciento respondió que “mucho”. Nos interesa la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado. Una estimación puntual de la verdadera proporción de la población es: 0,90 1,27 0,79 400 c Un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población es _______. (0,761, 0,820) (0,125, 0,188) (0,755, 0,826) (0,130, 0,183) El límite de error es aproximadamente _____. 1,581 0,791 0,059 0,030 d Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no. Calcule el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 90 % para la verdadera proporción de población de los hogares de la comunidad del sur de California que cumplen, al menos, las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos. (0,2975, 0,3796) (0,6270, 0,6959) (0,3041, 0,3730) (0,6204, 0,7025) La estimación puntual de la proporción de viviendas que no cumplen las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos es ______. 0,6614 0,3386 173 338 a El 23 de mayo de 2013, Gallup informó de que, de las 1.005 personas encuestadas, el 76 % de los trabajadores estadounidenses cree que seguirá trabajando más allá de la edad de jubilación. El nivel de confianza de este estudio fue del 95 % con un margen de error del ±3 %. Determine la proporción estimada de la muestra. Determine el tamaño de la muestra. Identifique CL y α . Calcule el límite de error basándose en la información proporcionada. Compare el límite de error de la parte d con el margen de error informado por Gallup. Explique las diferencias entre los valores. Cree un intervalo de confianza para los resultados de este estudio. Un periodista está cubriendo la publicación de este estudio para una emisora de noticias local. ¿Cómo debe explicar el intervalo de confianza a su público? El 13 de mayo de 2013, Rasmussen Reports realizó una encuesta nacional a 1.000 adultos. Concluyó con el 95 % de confianza que entre el 49 % y el 55 % de los estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen el proceso de la educación superior. Calcule la estimación puntual y el límite de error para este intervalo de confianza. ¿Podemos concluir (con el 95 % de confianza) que más de la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? Utilice la estimación puntual de la parte a y n = 1.000 para calcular un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen la educación superior. ¿Podemos concluir (con el 75 % de confianza) que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? p′ = (0 0,55 + 0 0,49) 2 = 0,52; EBP = 0,55 – 0,52 = 0,03 No, el intervalo de confianza incluye valores menores de 0,50 o iguales. Es posible que menos de la mitad de la población lo crea. CL = 0,75, por lo que α = 1 – 0,75 = 0,25 y α 2 = 0,125 z α 2 = 1,150 . (el área a la derecha de esta z es 0,125, por lo que el área a la izquierda es 1 – 0,125 = 0,875) E B P = ( 1,150 ) 0,52 ( 0,48 ) 1 , 000 ≈ 0,018 ( p ′ – EBP , p ′ + EBP ) = (0,52 – 0,018, 0,52 + 0,018) = (0,502, 0,538) Solución alternativa STAT TESTS A: 1-PropZinterval con x = (0,52)(1.000), n = 1.000, CL = 0,75. La respuesta es (0,502, 0,538) Sí; este intervalo no cae por debajo de 0,50, por lo que podemos concluir que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes colegios universitarios corrompen la educación, pero lo hacemos con el 75 % de confianza solamente. Public Policy Polling realizó recientemente una encuesta en la que se le preguntó a adultos de EE. UU. sobre sus preferencias musicales. Cuando se les preguntó, 80 de los 571 participantes admitieron que habían descargado música ilegalmente. Cree un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera proporción de adultos estadounidenses que han descargado música ilegalmente. Esta encuesta se realizó mediante entrevistas telefónicas automatizadas los días 6 y 7 de mayo de 2013. El límite de error de la encuesta compensa el error de muestreo, o la variabilidad natural entre muestras. Enumere algunos factores que podrían afectar al resultado de la encuesta y que no están cubiertos por el margen de error. Sin realizar ningún cálculo, describa cómo cambiaría el intervalo de confianza si el nivel de confianza cambiara del 99 % al 90 %. Tiene previsto realizar una encuesta en el campus de su instituto universitario para conocer la conciencia política de los estudiantes. Quiere estimar la verdadera proporción de estudiantes de su campus que votaron en las elecciones presidenciales de 2012, con el 95 % de confianza y un margen de error no superior al cinco por ciento. ¿A cuántos estudiantes debe entrevistar? CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 z α 2 = 1,96. Utilice p′ = q′ = 0,5. n = z α 2 2 p ′ q ′ E B P 2 = 1,96 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,05 2 = 384,16 Necesita entrevistar al menos a 385 estudiantes para estimar la proporción con un 5 % de confianza del 95 %. En una reciente encuesta de Zogby International, nueve de los 48 encuestados calificaron de \"probable\" o \"muy probable\" la posibilidad de un atentado terrorista en su comunidad. Utilice el método \"más cuatro\" para crear un intervalo de confianza del 97 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que un ataque terrorista en su comunidad es probable o muy probable. Explica qué significa este intervalo de confianza en el contexto del problema. Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = n x p x q n – x . Proporción del límite de error de la población (EBP) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la proporción estimada (a partir de la muestra) de aciertos.", "section": "Una proporción de la población", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Intervalo de confianza (costos de hogares) Intervalo de confianza (costos de hogares) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará el intervalo de confianza del 90 % para el costo medio de una vivienda en la zona en la que se encuentra esta escuela. El estudiante interpretará los intervalos de confianza. El estudiante determinará los efectos de las condiciones cambiantes en el intervalo de confianza. Recopilación de datos Consulte la sección inmobiliaria de su periódico local. Registre los precios de venta de 35 viviendas seleccionadas al azar que han sido puestas en venta recientemente en el condado. Nota Muchos periódicos los publican solo un día a la semana. Además, supondremos que las viviendas se ponen a la venta de forma aleatoria. Rellene la tabla: __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Describa los datos Calcule lo siguiente: x ¯ = _____ s x = _____ n = _____ En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . Indique la distribución estimada a utilizar. Utilice tanto palabras como símbolos. Calcule el intervalo de confianza Calcule el intervalo de confianza y el límite de error. Intervalo de confianza: _____ Límite de error: _____ ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? α = _____ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 = _____ Rellene los espacios en blanco del gráfico con el área de cada sección. A continuación, rellene la línea numérica con los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media de la muestra. Algunos estudiantes piensan que un intervalo de confianza del 90 % contiene el 90 % de los datos. Utilice la lista de datos de la primera página y cuente cuántos de los valores de los datos se encuentran dentro del intervalo de confianza. ¿Qué porcentaje es este? ¿Este porcentaje se acerca al 90 %? Explique por qué este porcentaje debe o no acercarse al 90 %. Describa el intervalo de confianza En dos o tres frases completas, explique qué significa un intervalo de confianza (en general), como si estuviera hablando con alguien que no ha cursado estadística. En una o dos oraciones completas, explique qué significa este intervalo de confianza para este estudio en particular. Utilice los datos para construir intervalos de confianza Utilizando la información dada, construya un intervalo de confianza para cada nivel de confianza dado. Nivel de confianza EBM/límite de error Intervalo de confianza 50 % 80 % 95 % 99 % ¿Qué ocurre con el EBM a medida que aumenta el nivel de confianza? ¿El ancho del intervalo de confianza aumenta o disminuye? Explique por qué ocurre esto.", "section": "Intervalo de confianza (costos de hogares)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Intervalo de confianza (lugar de nacimiento) Intervalo de confianza (lugar de nacimiento) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará el intervalo de confianza del 90 % de la proporción de estudiantes de esta escuela que han nacido en este estado. El estudiante interpretará los intervalos de confianza. El estudiante determinará los efectos de las condiciones cambiantes en el intervalo de confianza. Recopilación de datos Haga una encuesta a los estudiantes de su clase, preguntándoles si han nacido en este estado. Supongamos que X = el número de personas que han nacido en este estado n = ____________ x = ____________ En palabras, defina la variable aleatoria P′ . Indique la distribución estimada a utilizar. Hallar el intervalo de confianza y el límite de error Calcule el intervalo de confianza y el límite de error. Intervalo de confianza: _____ Límite de error: _____ ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? α = _____ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 = _____ Rellene los espacios en blanco del gráfico con el área de cada sección. A continuación, rellene la recta numérica con los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Describa el intervalo de confianza En dos o tres frases completas, explique qué significa un intervalo de confianza (en general), como si estuviera hablando con alguien que no ha cursado estadística. En una o dos oraciones completas, explique qué significa este intervalo de confianza para este estudio en particular. Construya un intervalo de confianza para cada nivel de confianza dado. Nivel de confianza EBP/límite de error Intervalo de confianza 50 % 80 % 95 % 99 % ¿Qué ocurre con el EBP a medida que aumenta el nivel de confianza? ¿El ancho del intervalo de confianza aumenta o disminuye? Explique por qué ocurre esto.", "section": "Intervalo de confianza (lugar de nacimiento)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Intervalo de confianza (altura de las mujeres) Intervalo de confianza (altura de las mujeres) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará un intervalo de confianza del 90 % utilizando los datos dados. El estudiante determinará la relación entre el nivel de confianza y el porcentaje de intervalos construidos que contienen la media poblacional. Dada: Estatura de 100 mujeres (en pulgadas) 59,4 71,6 69,3 65,0 62,9 66,5 61,7 55,2 67,5 67,2 63,8 62,9 63,0 63,9 68,7 65,5 61,9 69,6 58,7 63,4 61,8 60,6 69,8 60,0 64,9 66,1 66,8 60,6 65,6 63,8 61,3 59,2 64,1 59,3 64,9 62,4 63,5 60,9 63,3 66,3 61,5 64,3 62,9 60,6 63,8 58,8 64,9 65,7 62,5 70,9 62,9 63,1 62,2 58,7 64,7 66,0 60,5 64,7 65,4 60,2 65,0 64,1 61,1 65,3 64,6 59,2 61,4 62,0 63,5 61,4 65,5 62,3 65,5 64,7 58,8 66,1 64,9 66,9 57,9 69,8 58,5 63,4 69,2 65,9 62,2 60,0 58,1 62,5 62,4 59,1 66,4 61,2 60,4 58,7 66,7 67,5 63,2 56,6 67,7 62,5 La enumera las estaturas de 100 mujeres. Utilice un generador de números aleatorios para seleccionar diez valores de datos aleatorios. Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Supongamos que se sabe que la desviación típica de la población es de 3,3 pulgadas. Con estos valores, construya un intervalo de confianza del 90 % para su muestra de diez valores. Escriba el intervalo de confianza que obtuvo en el primer espacio de la . Ahora escriba su intervalo de confianza en la pizarra. Mientras los demás miembros de la clase escriben sus intervalos de confianza en la pizarra, cópielos en la . Intervalos de confianza del 90 % __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Preguntas para el debate La media real de la población para las 100 estaturas dadas en la es μ = 63,4. Utilizando el listado de clase de los intervalos de confianza, cuente cuántos de ellos contienen la media poblacional μ ; es decir, para cuántos intervalos el valor de μ se encuentra entre los puntos extremos del intervalo de confianza Divida este número por el número total de intervalos de confianza generados por la clase para determinar el porcentaje de intervalos de confianza que contiene la media μ . Escriba este porcentaje aquí: _____________. El porcentaje de intervalos de confianza que contienen la media poblacional μ , ¿se acerca al 90 %? Supongamos que hemos generado 100 intervalos de confianza. ¿Qué cree que pasaría con el porcentaje de intervalos de confianza que contienen la media de la población? Cuando construimos un intervalo de confianza del 90 %, decimos que tenemos un 90 % de confianza en que la verdadera media de la población se encuentra dentro del intervalo de confianza. Utilizando oraciones completas, explique lo que queremos decir con esta frase. Algunos estudiantes piensan que un intervalo de confianza del 90 % contiene el 90 % de los datos. Use la lista de datos dada (las estaturas de las mujeres) y cuente cuántos de los valores de los datos se encuentran dentro del intervalo de confianza que ha generado a partir de dichos datos. ¿Cuántos de los 100 valores de los datos se encuentran dentro de su intervalo de confianza? ¿Qué porcentaje es este? ¿Este porcentaje se acerca al 90 %? Explique por qué no tiene sentido contar los valores de los datos que se encuentran en un intervalo de confianza. Piense en la variable aleatoria que se utiliza en el problema. Supongamos que obtiene las estaturas de diez mujeres y calcula un intervalo de confianza a partir de esta información. Sin conocer la media de la población μ , ¿tendría alguna forma de saber con certeza si su intervalo contiene realmente el valor de μ ? Explique.", "section": "Intervalo de confianza (altura de las mujeres)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Puede utilizar una prueba de hipótesis para decidir si la afirmación de un criador de perros de que todos los dálmatas tienen 35 manchas es estadísticamente correcta. (créditos: Robert Neff). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Diferenciar los errores tipo I y de tipo II. Describir las pruebas de hipótesis en general y en la práctica. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una media poblacional única, conocida la desviación típica de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una media poblacional única, desconocida la desviación típica de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para una proporción de población única. Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre un parámetro. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año. Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis” . Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula. En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas. La prueba de hipótesis consiste en dos hipótesis o afirmaciones contradictorias, una decisión basada en los datos y una conclusión. Para realizar una prueba de hipótesis, un estadístico: Establecerá dos hipótesis contradictorias. Recogerá los datos de la muestra (en los problemas de tareas para la casa, se le darán los datos o las estadísticas resumidas). Determinará la distribución correcta para realizar la prueba de hipótesis. Analizará los datos de la muestra realizando los cálculos que, en última instancia, le permitirán rechazar o no la hipótesis nula. Tomará una decisión y escribirá una conclusión significativa. Nota Haga copias de las hojas de solución especiales correspondientes para realizar los problemas de tarea para la casa de prueba de hipótesis de este capítulo y de capítulos posteriores. Consulte el Apéndice E . Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de El nivel de confianza deseado. Información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación típica conocida). La muestra y su tamaño. Prueba de hipótesis a partir de las pruebas de la muestra, un procedimiento para determinar si la hipótesis planteada es una afirmación razonable y no se debe rechazar, o es irrazonable y se debe rechazar.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Hipótesis nula y alternativa La prueba real comienza considerando dos hipótesis . Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa . Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos. H 0 : La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción. H a : La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H 0 y lo que concluimos cuando rechazamos H 0 . Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar. Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra. Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son \"rechazar H 0 \" si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o \"no rechazar H 0 \" o \"negarse a rechazar H 0 \" si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula. Símbolos matemáticos utilizados en H 0 y H a : H 0 H a igual (=) no igual (≠) o mayor que (>) o menor que (<) mayor o igual que (≥) menor que (<) menor o igual que (≤) mayor que (>) Nota H 0 siempre tiene un símbolo con un igual. H a nunca tiene un símbolo con un igual en él. La elección del símbolo depende del enunciado de la prueba de hipótesis. Sin embargo, tenga en cuenta que muchos investigadores (incluyendo uno de los coautores del trabajo de investigación) utilizan = en la hipótesis nula, incluso con > o < como símbolo en la hipótesis alternativa. Esta práctica es aceptable porque solo tomamos la decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula. H 0 : No más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p ≤ 30 H a : Más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p > 30 Ejercicio Se realiza un ensayo médico para comprobar si un nuevo medicamento reduce el colesterol en un 25 %. Indique las hipótesis nula y alternativa. Queremos comprobar si la media del GPA de los estudiantes de los institutos universitarios estadounidenses es diferente de 2,0 (sobre 4,0). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ = 2,0 H a : μ ≠ 2,0 Ejercicio Queremos comprobar si la altura media de los estudiantes de octavo grado es de 66 pulgadas. Indique las hipótesis nula y alternativa. Escriba el símbolo correcto (=, ≠, ≥, <, ≤, >) para las hipótesis nula y alternativa H 0 : μ __ 66 H a : μ __ 66 Queremos comprobar si los estudiantes de institutos universitarios tardan menos de cinco años en graduarse, en promedio. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ ≥ 5 H a : μ < 5 Ejercicio Queremos comprobar si se tarda menos de 45 minutos en impartir una clase. Indique las hipótesis nula y alternativa. Escriba el símbolo correcto (=, ≠, ≥, <, ≤, >) para las hipótesis nula y alternativa H 0 : μ __ 45 H a : μ __ 45 En un número de U. S. News and World Report , un artículo sobre los estándares escolares afirmaba que aproximadamente la mitad de los estudiantes de Francia, Alemania e Israel se presentan a exámenes de nivel avanzado y un tercio los aprueba. El mismo artículo afirma que el 6,6 % de los estudiantes estadounidenses se presentan a los exámenes de nivel avanzado y el 4,4 % los aprueba. Pruebe si el porcentaje de estudiantes estadounidenses que realizan exámenes de nivel avanzado es superior al 6,6 %. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p ≤ 0,066 H a : p > 0,066 Ejercicio En el examen estatal de conducir, alrededor del 40 % aprueba el examen en el primer intento. Queremos comprobar si más del 40 % aprueba en el primer intento. Escriba el símbolo correcto (=, ≠, ≥, <, ≤, >) para las hipótesis nula y alternativa H 0 : p __ 0,40 H a : p __ 0,40 Traiga a clase un periódico, algunas revistas de noticias y algunos artículos de internet. En grupos, busquen artículos a partir de los cuales su grupo pueda escribir las hipótesis nula y alternativa. Discuta sus hipótesis con el resto de la clase. Repaso del capítulo En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros: Evalúe la hipótesis nula , normalmente denotada con H 0 . La nulidad no se rechaza, a menos que la prueba de hipótesis demuestre lo contrario. La declaración nula debe contener siempre alguna forma de igualdad (=, ≤ o ≥) Escriba siempre la hipótesis alternativa , generalmente denotada con H a o H 1 , utilizando los símbolos de diferente, mayor que, o menor que (es decir, ≠, >, o <). Si rechazamos la hipótesis nula, podemos suponer que hay suficientes pruebas para apoyar la hipótesis alternativa. No diga nunca que una afirmación está probada como verdadera o falsa. Tenga en cuenta el hecho subyacente de que las pruebas de hipótesis se basan en leyes de probabilidad; por lo tanto, solo podemos hablar en términos de certezas no absolutas. Revisión de la fórmula H 0 y H a son contradictorias. Si H o tiene: igual (=) mayor o igual que (≥) menor o igual que (≤) entonces H a tiene: no igual (≠) o mayor que (>) o menor que (<) menor que (<) mayor que (>) Si α ≤ valor p , entonces no rechace H 0 . Si α > valor p , entonces rechace H 0 . α es preconcebido. Su valor se establece antes de que comience la prueba de hipótesis. El valor p se calcula a partir de los datos. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la velocidad media de internet en megabits por segundo. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. Indique las hipótesis nula y alternativa. La familia estadounidense tiene un promedio de dos hijos. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es el número medio de hijos que tiene una familia estadounidense. El salario medio de un empleado en una compañía es de 58.000 dólares. Usted cree que es mayor para los profesionales de tecnología de la información (TI) en la compañía. Indique las hipótesis nula y alternativa. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Hay que probar para ver si la proporción es realmente menor. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la proporción de personas elegidas al azar en Times Square que visitan la ciudad. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Quiere comprobar si la afirmación es correcta. Indique las hipótesis nula y alternativa. En una población de peces, aproximadamente el 42 % son hembras. Se realiza una prueba para ver si, efectivamente, la proporción es menor. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p = 0,42 H a : p < 0,42 Supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en la cárcel un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de 3 años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Si realiza una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo en prisión ha aumentado, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? La distribución de la población es normal. H 0 : ________ H a : ________ Una encuesta aleatoria realizada a 75 condenados a muerte reveló que la duración media en el pabellón de los condenados a muerte es de 17,4 años, con una desviación típica de 6,3 años. Si estuviera realizando una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio de la población en el pabellón de los condenados a muerte podría ser de 15 años, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : __________ H a : __________ H 0 : μ = 15 H a : μ ≠ 15 El Instituto Nacional de Salud Mental publicó un artículo en el que se afirma que, en cualquier periodo de un año, aproximadamente el 9,5 % de los adultos estadounidenses sufren depresión o una enfermedad depresiva. Supongamos que en una encuesta realizada a 100 personas de una determinada ciudad, siete de ellas sufren depresión o una enfermedad depresiva. Si realizara una prueba de hipótesis para determinar si la verdadera proporción de personas de esa ciudad que sufren depresión o una enfermedad depresiva es inferior al porcentaje de la población general adulta estadounidense, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : ________ H a : ________ Tarea para la casa Algunas de las siguientes afirmaciones se refieren a la hipótesis nula, otras a la hipótesis alternativa. Enuncie la hipótesis nula, H 0 y la hipótesis alternativa. H a , en términos del parámetro apropiado ( μ o p ). La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. El costo medio de la matrícula de las universidades privadas supera los 20.000 dólares anuales. H 0 : μ = 34; H a : μ ≠ 34 H 0 : p ≤ 0,60; H a : p > 0,60 H 0 : μ ≥ 100.000; H a : μ < 100.000 H 0 : p = 0,29; H a : p ≠ 0,29 H 0 : p = 0,05; H a : p < 0,05 H 0 : μ ≤ 10; H a : μ > 10 H 0 : p = 0,50; H a : p ≠ 0,50 H 0 : μ = 6; H a : μ ≠ 6 H 0 : p ≥ 0,11; H a : p < 0,11 H 0 : μ ≤ 20.000; H a : μ > 20.000 En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del treinta por ciento de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? La hipótesis alternativa es: p < 0,30 p ≤ 0,30 p ≥ 0,30 p > 0,30 Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y descubre que 11 asistieron a la proyección de medianoche. Una hipótesis alternativa adecuada es: p = 0,20 p > 0,20 p < 0,20 p ≤ 0,20 c Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. Las hipótesis nula y alternativa son: H o : x ¯ = 4,5, H a : x ¯ > 4,5 H o : μ ≥ 4,5, H a : μ < 4,5 H o : μ = 4,75, H a : μ > 4,75 H o : μ = 4,5, H a : μ > 4,5 Referencias Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm. Hipótesis una afirmación sobre el valor de un parámetro de la población, en caso de dos hipótesis, la afirmación que se supone verdadera se llama hipótesis nula (notación H 0 ) y la afirmación contradictoria se llama hipótesis alternativa (notación H a ).", "section": "Hipótesis nula y alternativa", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Resultados y errores de tipo I y II Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H 0 y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro: ACCIÓN H 0 EN REALIDAD ES ... Verdadero Falso No rechazar H 0 Resultado correcto Error tipo II Rechazar H 0 Error de tipo I Resultado correcto Los cuatro resultados posibles en la tabla son: La decisión es no rechazar H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión correcta). La decisión es rechazar H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión incorrecta conocida como error de tipo I ). La decisión es no rechazar H 0 cuando, de hecho, H 0 es falsa (decisión incorrecta conocida como error de tipo II ). La decisión es rechazar H 0 cuando H 0 es falsa ( decisión correcta cuya probabilidad se denomina potencia de la prueba ). Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades. α = probabilidad de un error de tipo I = P (error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera. β = probabilidad de un error tipo II = P (error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. Pocas veces son cero. La potencia de la prueba es 1 - β . Lo ideal es que queramos una potencia alta que se acerque lo más posible a uno. Aumentar el tamaño de la muestra puede aumentar la potencia de la prueba. Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: El equipo de escalada de Frank es seguro. Error tipo I : Frank piensa que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. Error tipo II : Frank cree que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. α = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. β = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. Observe que, en este caso, el error con mayores consecuencias es el tipo II (si Frank cree que su equipo de escalada es seguro, lo utilizará). Ejercicio Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: los hemocultivos no contienen rastros del patógeno X . Indique los errores de tipo I y de tipo II. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: La víctima de un accidente de tráfico está viva cuando llega a la sala de urgencias de un hospital. Error tipo I : El equipo de emergencia cree que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva. Error tipo II : El equipo de emergencia no sabe si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta. α = probabilidad de que el equipo de emergencias piense que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva = P (error tipo I). β = probabilidad de que el equipo de emergencias no sepa si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta = P (error tipo II). El error con mayores consecuencias es el error tipo I (si el equipo de emergencia cree que la víctima está muerta, no la atenderán). Ejercicio Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es un paciente no está enfermo. ¿Qué tipo de error tiene mayores consecuencias, el tipo I o el tipo II? Los laboratorios genéticos It’s a Boy afirman poder aumentar la probabilidad de elegir el sexo del bebé, en ese caso, masculino. Los estadísticos quieren poner a prueba esta afirmación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: Los laboratorios genéticos It’s a Boy no tienen efecto en el resultado del sexo. Error tipo I : Esto resulta cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. En el contexto de este escenario, afirmaríamos que creemos que los laboratorios genéticos It’s a Boy influyen en el resultado del sexo, cuando en realidad no tienen ningún efecto. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega alfa, α . Error tipo II : Esto se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. En el contexto, afirmaríamos que los laboratorios genéticos It’s a Boy no influyen en el resultado del sexo de un bebé cuando, de hecho, sí lo hacen. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega beta, β . El error de mayor consecuencia sería el tipo I, ya que las parejas utilizarían el producto de los laboratorios genéticos It’s a Boy con la esperanza de aumentar las posibilidades de concebir un bebé de sexo masculino. Ejercicio La “marea roja” es una floración de algas productoras de veneno, algunas especies diferentes de un tipo de plancton llamado dinoflagelado. Cuando las condiciones meteorológicas y del agua provocan estas floraciones, los mariscos, como las almejas que viven en la zona, desarrollan niveles peligrosos de una toxina que induce parálisis. En Massachusetts, la División de Pesquerías Marinas (Division of Marine Fisheries, DMF) controla los niveles de la toxina en los mariscos mediante muestreos regulares de mariscos a lo largo de la costa. Si el nivel medio de toxina en las almejas supera los 800 μg (microgramos) de toxina por kg de carne de almeja en cualquier zona, se prohíbe la recolección de almejas de allí hasta que la floración haya terminado y los niveles de toxina en las almejas disminuyan. Describa un error tipo I y uno tipo II en este contexto e indique qué error tiene mayores consecuencias. Un determinado fármaco experimental afirma tener una tasa de curación de, al menos, el 75 % para los hombres con cáncer de próstata. Describa los errores tipo I y tipo II en su contexto. ¿Cuál error es más grave? Tipo I : Un paciente con cáncer cree que la tasa de curación del fármaco es inferior al 75 %, cuando en realidad es de, al menos, el 75 %. Tipo II : Un paciente con cáncer cree que el fármaco experimental tiene un índice de curación de, al menos, el 75 % cuando su índice de curación es inferior al 75 %. En este escenario, el error tipo II contiene la consecuencia más grave. Si un paciente cree que el fármaco funciona, al menos, el 75 % de las veces, lo más probable es que esto influya en la elección del paciente (y del médico) sobre la conveniencia de utilizar el fármaco como opción de tratamiento. Ejercicio Determine los errores de tipo I y de tipo II para el siguiente escenario: Supongamos una hipótesis nula, H 0 , que afirma que el porcentaje de adultos con empleo es al menos del 88 %. Identifique los errores de tipo I y de tipo II de estas cuatro afirmaciones. No rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de adultos que tienen trabajo es al menos del 88 % cuando ese porcentaje es realmente inferior al 88 % No rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de adultos que tienen trabajo es de al menos el 88 % cuando el porcentaje es realmente de al menos el 88 %. Rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de adultos que tienen trabajo es de al menos el 88 % cuando el porcentaje es realmente de al menos el 88 %. Rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de adultos que tienen trabajo es al menos del 88 % cuando ese porcentaje es realmente inferior al 88 %. Repaso del capítulo En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β , para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β , cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia. Revisión de la fórmula α = probabilidad de un error de tipo I = P (error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera. β = probabilidad de un error tipo II = P (error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. El precio medio de los automóviles de tamaño medio en una región es de 32.000 dólares. Se realiza una prueba para ver si la afirmación es cierta. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El precio medio de los automóviles de tamaño medio es de 32.000 dólares, pero concluimos que no es de 32.000 dólares. Tipo II: El precio medio de los automóviles de tamaño medio no es de 32.000 dólares, pero concluimos que es de 32.000 dólares. Un saco de dormir está probado para soportar temperaturas de –15 °F. Usted cree que el saco no puede soportar temperaturas tan bajas. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Para el ejercicio 9.12 , ¿qué son α y β en palabras? α = la probabilidad de que piense que la bolsa no puede soportar –15 grados F, cuando en realidad sí puede β = la probabilidad de que crea que la bolsa puede soportar –15 grados F, cuando en realidad no puede En palabras, describa 1 – β para el ejercicio 9.12 . Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El procedimiento saldrá bien, pero los médicos creen que no. Tipo II: El procedimiento no saldrá bien, pero los médicos creen que sí. Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? La potencia de una prueba es de 0,981. ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo II? 0,019 Un grupo de buzos está explorando un viejo barco hundido. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: el barco hundido no contiene un tesoro enterrado. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra no contiene E-coli . La probabilidad de que la muestra no contenga E-coli , pero el microbiólogo cree que sí la contiene, es de 0,012. La probabilidad de que la muestra contenga E-coli , pero el microbiólogo piense que no es así, es de 0,002. ¿Cuál es la potencia de esta prueba? 0,998 Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra contiene E-coli . ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? Tarea para la casa Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas dadas las siguientes afirmaciones. La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. Las universidades privadas suponen un costo de matrícula de más de 20.000 dólares al año. Error tipo I: concluimos que la media no es de 34 años, cuando realmente es de 34 años. Error tipo II: concluimos que la media es de 34 años, cuando en realidad no son 34 años. Error tipo I: concluimos que más del 60 % de los estadounidenses votan en las elecciones presidenciales, cuando el porcentaje real es como máximo del 60 %. Error tipo II: concluimos que, como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales cuando, en realidad, lo hace más del 60 %. Error tipo I: concluimos que el salario medio inicial es inferior a 100.000 dólares, cuando en realidad es de, al menos, 100.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el salario medio inicial es de, al menos, 100.000 dólares, cuando, en realidad, es inferior a 100.000 dólares. Error tipo I: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes no es del 29 %, cuando realmente es del 29 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes es del 29 % cuando, en realidad, no es del 29 %. Error tipo I: concluimos que menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles, cuando el porcentaje que lo hace es realmente del 5 % o más. Error tipo II: concluimos que el 5 % o más de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles cuando, en realidad, lo hace menos del 5 %. Error tipo I: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida es superior a 10, cuando en realidad no es más de 10. Error tipo II: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a 10 cuando, en realidad, sí es más de 10. Error tipo I: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades no es cerca de la mitad, aunque la proporción real es de aproximadamente la mitad. Error tipo II: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades es la mitad cuando, en realidad, no es la mitad. Error tipo I: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos no es de seis semanas, cuando en realidad sí lo es. Error tipo II: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos es de seis semanas cuando, en realidad, no es así. Error tipo I: concluimos que la proporción es inferior al 11 %, cuando en realidad es como mínimo el 11 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de mujeres que desarrollan cáncer de mama es de, al menos, el 11 %, cuando en realidad es menos del 11 %. Error tipo I: concluimos que el costo promedio de la matrícula en las universidades privadas es superior a 20.000 dólares, aunque en realidad es como máximo de 20.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el costo promedio de la matrícula en universidades privadas es como máximo de 20.000 dólares, cuando en realidad es de más de 20.000 dólares. Para los enunciados de la a a la j del ejercicio 9.109 , responda a lo siguiente con oraciones completas. Indique una consecuencia de cometer un error tipo I. Indique una consecuencia de cometer un error tipo II. Cuando se crea un nuevo medicamento la compañía farmacéutica debe someterlo a pruebas antes de recibir el permiso necesario de la Administración de Alimentos y Medicamentos (Food and Drug Administration, FDA) para comercializarlo. Supongamos que la hipótesis nula es “el medicamento no es seguro”. ¿Cuál es el error tipo II? Concluir que el fármaco es seguro cuando, en realidad, es inseguro. No concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. Concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. No concluir que el medicamento es inseguro cuando, de hecho, lo es. b Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron al estreno de la última película de Harry Potter a medianoche. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. El error tipo I consiste en concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron es ________. al menos el 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. 20 %, cuando en realidad es el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es, al menos, el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? El error tipo II consiste en no rechazar que el número medio de horas de sueño de los estudiantes del LTCC por noche es de, al menos, siete cuando, en realidad, el número medio de horas es más de siete horas. es, como máximo, siete horas. es de, al menos, siete horas. es inferior a siete horas. d Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Al realizar una prueba de hipótesis, el error tipo I es: concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es superior concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es igual. concluir que la media de horas semanales es actualmente de 4,5, cuando en realidad es mayor concluir que la media de horas semanales actualmente no es superior a 4,5, cuando en realidad no es superior Error de tipo 1 la decisión es rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es verdadera. Error de tipo 2 la decisión es no rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es falsa.", "section": "Resultados y errores de tipo I y II", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis A principios del curso, hemos hablado de las distribuciones de muestreo. Las distribuciones particulares están asociadas a la comprobación de hipótesis. Realice pruebas de una media poblacional utilizando una distribución normal o una distribución t de Student (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población sea desconocida y la distribución de la media de la muestra sea aproximadamente normal). Realizamos pruebas de una proporción poblacional utilizando una distribución normal (normalmente n es grande). Si se está probando la media de una sola población , la distribución para la prueba es para las medias : X ¯ ~ N ( μ X , σ X n ) o t d e El parámetro de la población es μ . El valor estimado (estimación puntual) para μ es x ¯ , la media de la muestra. Si está probando una sola proporción de la población , la distribución para la prueba es para proporciones o porcentajes: P ′ ~ N ( valor , valor ⋅ q n ) El parámetro poblacional es p . El valor estimado (estimación puntual) de p es p′ . p′ = x n donde x es el número de aciertos y n es el tamaño de la muestra. Supuestos Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional μ utilizando una distribución t de estudiantes (a menudo llamada prueba t), hay supuestos fundamentales que deben cumplirse para que la prueba funcione correctamente. Sus datos deben ser una muestra aleatoria simple que provenga de una población que se distribuya de forma normal aproximadamente. Se utiliza la desviación típica de la muestra para aproximar la desviación típica de la población (tenga en cuenta que si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, una prueba t funcionará incluso si la población no está distribuida de forma aproximadamente normal). Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única media poblacional μ utilizando una distribución normal (a menudo denominada prueba z ) , se toma una muestra aleatoria simple de la población. La población que está probando se distribuye normalmente o el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Se conoce el valor de la desviación típica de la población que, en realidad, pocas veces se conoce. Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una única proporción poblacional p , se toma una muestra aleatoria simple de la población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial que son: hay un cierto número n de ensayos independientes, los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos, y cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p . La forma de la distribución binomial tiene que ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser ambas mayores que cinco ( np > 5 y nq > 5). Entonces la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) puede aproximarse por la distribución normal con μ = p y σ = p q n . Recuerde que q = 1 - p . Repaso del capítulo Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos. Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional: Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica conocida. Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos proceden de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número de la media de aciertos y el número de la media de fallos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un acierto y q es la probabilidad de un fallo. Revisión de la fórmula Si no hay un α preconcebido, entonces utilice α = 0,05. Tipos de pruebas de hipótesis Media poblacional única, varianza poblacional conocida (o desviación típica): Prueba normal . Media poblacional única, varianza poblacional desconocida (o desviación típica): Prueba t de Student . Proporción de población única: Prueba normal . Para una media poblacional única , podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Medios: μ = μ x ¯ y σ x ¯ = σ x n Una proporción poblacional única , podemos utilizar una distribución normal con la siguiente media y desviación típica. Proporciones: µ = p y σ = p q n . ¿Qué dos distribuciones puede usar para las pruebas de hipótesis de este capítulo? Una distribución normal o una distribución t de Student ¿Qué distribución se utiliza cuando se comprueba la media de una población y se conoce la desviación típica de la población? Supongamos una distribución normal, con n ≥ 30. ¿Qué distribución se utiliza cuando no se conoce la desviación típica y se está comprobando la media de una población? Supongamos que el tamaño de la muestra es grande. Utilice una distribución t de Student La media de la población es 13. La media muestral es de 12,8 y la desviación típica de la muestra es de dos. El tamaño de la muestra es de 20. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? Supongamos que la población subyacente es normal. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de 5. La media muestral es 24 y el tamaño de la muestra es 108. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? una distribución normal para una única media poblacional Se cree que el 42 % de los encuestados en una prueba de sabor preferirían la marca A . En una prueba particular de 100 personas, el 39 % prefirió la marca A . ¿Qué distribución debería usar para hacer una prueba de hipótesis? Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. ¿Qué debe suponer sobre la distribución de los datos? Se debe distribuir aproximadamente normal. Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. Los datos no proceden de una simple muestra aleatoria. ¿Puede hacer la prueba de la hipótesis con precisión? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿Qué debe ser cierto sobre las cantidades de np y nq ? Ambos deben ser mayores que cinco. Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. Se descubre que np es menor que cinco. ¿Qué hay que hacer para poder realizar una prueba de hipótesis válida? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿De qué distribución proceden los datos? distribución binomial Tarea para la casa Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? La distribución que se utilizará para esta prueba es X ¯ ~ ________________ N ( 7,24 , 1,93 22 ) N ( 7,24 , 1,93 ) t 22 t 21 d Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli. Hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial Χ se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B(n, p) μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n – x . Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Distribución t de Student investigado y presentado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student. Las principales características de la variable aleatoria (RV) son Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Sin embargo, tiene más dispersión y es más plana en el vértice que la distribución normal. Se aproxima a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una \"familia\" de distribuciones t: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad que es uno menos que el número de elementos de datos.", "section": "Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión Establecer el tipo de distribución, el tamaño de la muestra y la desviación típica conocida o desconocida puede ayudarle a averiguar cómo realizar una prueba de hipótesis. Sin embargo, hay otros factores que debe tener en cuenta a la hora de elaborar una prueba de hipótesis. Eventos poco comunes Suponga que hace una suposición sobre una propiedad de la población (esta suposición es la hipótesis nula ). A continuación, recoja los datos de la muestra de forma aleatoria. Si la muestra tiene propiedades que sería muy improbable que ocurrieran si la suposición es cierta, entonces concluiría que su suposición sobre la población es probablemente incorrecta. (Recuerde que es solo una suposición , no es un hecho y puede o no ser cierta. Pero los datos de su muestra son reales y los datos le muestran un hecho que parece contradecir su suposición). Por ejemplo, Didi y Ali están en la fiesta de cumpleaños de un amigo muy rico. Se apresuran a ser los primeros de la fila para ganar un premio de una cesta alta que no pueden ver en su interior porque tendrán los ojos vendados. Hay 200 burbujas de plástico en la cesta y a Didi y Ali les han dicho que solo hay una con un billete de 100 dólares. Didi es la primera persona que mete la mano en la cesta y saca una burbuja. Su burbuja contiene un billete de 100 dólares. La probabilidad de que esto ocurra es 1 200 = 0,005. Como esto es tan improbable, Ali espera que lo que les dijeron a los dos esté equivocado y haya más billetes de 100 dólares en la cesta. Se ha producido un \"evento poco común\" (que Didi consiga el billete de 100 dólares), por lo que Ali duda de la suposición de que solo haya un billete de 100 dólares en la cesta. Uso de la muestra para probar la hipótesis nula Utilice los datos de la muestra para calcular la probabilidad real de obtener el resultado de la prueba, denominada valor p . El valor p es la probabilidad de que, si la hipótesis nula es cierta, los resultados de otra muestra seleccionada al azar sean tan extremos o más extremos que los resultados obtenidos en la muestra dada. Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula . Cuanto más pequeño sea el valor p , más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra. Dibuje un gráfico que muestre el valor p . La prueba de hipótesis es más fácil de realizar si se utiliza un gráfico porque se ve el problema con más claridad. Supongamos que un panadero afirma que la altura de su pan es superior a 15 cm, en promedio. Varios de sus clientes no le creen. Para convencer a sus clientes de que tiene razón, el panadero decide hacer una prueba de hipótesis. Hornea 10 panes. La altura media de los panes de la muestra es de 17 cm. El panadero sabe, por haber horneado cientos de panes, que la desviación típica de la altura es de 0,5 cm. y que la distribución de las alturas es normal. La hipótesis nula podría ser H 0 : μ ≤ 15. La hipótesis alternativa es H a : μ > 15 Las palabras \"es mayor que\" se traduce como un \">\" por lo que \" μ > 15\" va en la hipótesis alternativa. La hipótesis nula debe contradecir la hipótesis alternativa. Como σ se conoce ( σ = 0,5 cm.), se sabe que la distribución para la población es normal con media μ = 15 y desviación típica σ n = 0,5 10 = 0,16 . Supongamos que la hipótesis nula es verdadera (la altura media de los panes no es superior a 15 cm). Entonces, ¿la altura media (17 cm) calculada a partir de la muestra es inesperadamente grande? La prueba de hipótesis funciona planteando la pregunta de cuán improbable sería la media de la muestra si la hipótesis nula fuera cierta. El gráfico muestra lo alejada que está la media de la muestra en la curva normal. El valor p es la probabilidad de que, si tomáramos otras muestras, cualquier otra media muestral caería al menos tan lejos como 17 cm. El valor p , por tanto, es la probabilidad de que una media muestral sea igual o superior a 17 cm. cuando la media de la población es, en realidad, de 15 cm. Podemos calcular esta probabilidad utilizando la distribución normal para las medias. valor p = P ( x ¯ > 17) que es aproximadamente cero. Un valor p de aproximadamente cero nos dice que es muy poco probable que una barra de pan no suba más de 15 cm, en promedio. Es decir, casi el 0 % de todas las barras de pan tendrían una altura mínima de 17 cm. por pura CASUALIDAD si la altura media de la población hubiera sido realmente de 15 cm. Dado que el resultado de 17 cm. es tan improbable (lo que significa que no se produce solo por azar) , concluimos que las pruebas están fuertemente en contra de la hipótesis nula (la altura media es como máximo de 15 cm). Hay pruebas suficientes de que la verdadera altura media de la población de panes de la panadería es superior a 15 cm. Ejercicio Una distribución normal tiene una desviación típica de 1. Queremos verificar una afirmación de que la media es mayor que 12. Se toma una muestra de 36 con una media muestral de 12,5. H 0 : μ ≤ 12 H a : μ > 12 El valor p es 0,0013 Dibuje un gráfico que muestre el valor p . Decisión y conclusión Una forma sistemática de tomar la decisión de rechazar o no la hipótesis nula es comparar el valor p y un α preestablecido o preconcebido (también llamado \"nivel de significación\"). Un α preestablecido es la probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema. Cuando tome una decisión de rechazar o no rechazar H 0 , haga lo siguiente: Si α > valor p , rechaza H 0 . Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H 0 es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa , H a , puede ser correcta. Si α ≤ valor p , no rechace H 0 . Los resultados de los datos de la muestra no son significativos. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa, H a , pueda ser correcta. Cuando \"no se rechaza H 0 \", no significa que se deba creer que H 0 es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para arrojar serias dudas sobre la veracidad de H o. Conclusión: Una vez tomada la decisión, escriba una conclusión reflexiva sobre las hipótesis en función del problema planteado. Cuando se utiliza el valor p para evaluar una prueba de hipótesis, a veces es útil utilizar el siguiente mecanismo de memoria. Si el valor p es bajo, la hipótesis nula debe rechazarse. Si el valor p es alto, la hipótesis nula no debe rechazarse. Esta ayuda de memoria relaciona un valor p menor que el alfa establecido (la p es baja) como rechazo de la hipótesis nula y, del mismo modo, relaciona un valor p mayor que el alfa establecido (la p es alta) como no rechazo de la hipótesis nula. Complete los espacios en blanco. Rechace la hipótesis nula cuando ______________________________________. Los resultados de los datos de la muestra _____________________________________. No rechace la hipótesis nula cuando __________________________________________. Los resultados de los datos de la muestra ____________________________________________. Rechace la hipótesis nula cuando el valor p sea inferior al valor alfa establecido . Los resultados de los datos de la muestra apoyan la hipótesis alternativa . No rechace la hipótesis nula cuando el valor p sea superior al valor alfa establecido . Los resultados de los datos de la muestra no apoyan la hipótesis alternativa . Ejercicio It’s a Boy Genetics Labs afirman que sus procedimientos mejoran las posibilidades de que nazca un niño. Los resultados para una prueba de una sola proporción de población son los siguientes: H 0 : p = 0,50, H a : p > 0,50 α = 0,01 valor p = 0,025 Interprete los resultados y exponga una conclusión en términos sencillos y no técnicos. Repaso del capítulo Cuando la probabilidad de que ocurra un evento es baja, y ocurre, se denomina evento poco común. Es importante tener en cuenta los eventos pocos comunes en las pruebas de hipótesis porque pueden informar de su voluntad de no rechazar o rechazar una hipótesis nula. Para probar una hipótesis nula, calcule el valor p para los datos de la muestra y grafique los resultados. A la hora de decidir si se rechaza o no la hipótesis nula, hay que tener en cuenta estos dos parámetros: α > valor p , rechaza la hipótesis nula α ≤ valor p , no rechaza la hipótesis nula ¿Cuándo se rechaza la hipótesis nula? La probabilidad de ganar el gran premio en un juego de feria en particular es de 0,005. ¿El resultado de ganar es muy probable o improbable? El resultado de ganar es muy improbable. La probabilidad de ganar el gran premio en un juego de feria en particular es de 0,005. Michele gana el gran premio. ¿Se considera un evento poco común o común? ¿Por qué? Se cree que la altura media de los estudiantes de secundaria que juegan baloncesto en el equipo escolar es de 73 pulgadas con una desviación típica de 1,8 pulgadas. Se elige una muestra aleatoria de 40 jugadores. La media de la muestra fue de 71 pulgadas, y la desviación típica de la muestra fue de 1,5 años. ¿Apoyan los datos la afirmación de que la altura media es inferior a 73 pulgadas? El valor p es casi cero. Indique las hipótesis nula y alternativa e interprete el valor p . H 0 : μ > = 73 H a : μ < 73 El valor p es casi cero, lo que significa que hay datos suficientes para concluir que la altura media de los estudiantes de secundaria que juegan baloncesto en el equipo escolar es inferior a 73 pulgadas al nivel del 5 %. Los datos apoyan la afirmación. La edad media de los estudiantes de posgrado de una universidad es como máximo de 31 años, con una desviación típica de dos años. Se toma una muestra aleatoria de 15 estudiantes de posgrado. La media de la muestra es de 32 años y la desviación típica de la muestra es de tres años. ¿Los datos son significativos al nivel del 1 %? El valor p es de 0,0264. Indique las hipótesis nula y alternativa e interprete el valor p . ¿La región sombreada representa un valor p bajo o alto en comparación con un nivel de significación del 1 %? La región sombreada muestra un valor p bajo. ¿Qué debe hacer cuando α > valor p ? ¿Qué debe hacer si α = valor p ? No rechaza H 0 . Si no se rechaza la hipótesis nula, entonces debe ser cierta. ¿Esta afirmación es correcta? Indique por qué sí o por qué no en oraciones completas. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en prisión un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de tres años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo de encarcelamiento ha aumentado. Supongamos que la distribución de los tiempos en prisión es aproximadamente normal. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? medias ¿Qué símbolo representa la variable aleatoria de esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. el tiempo medio de permanencia en prisión de 26 ladrones condenados por primera vez ¿Se conoce σ y, si es así, cuál es? Calcule lo siguiente: x ¯ _______ σ _______ s x _______ n _______ 3 1,5 1,8 26 Dado que tanto σ como s x se dan, ¿cuál debe utilizarse? En una o dos frases completas, explique por qué. Indique la distribución que se debe usar para la prueba de hipótesis. X ¯ ~ N ( 2,5 , 1,5 26 ) Una encuesta aleatoria realizada a 75 condenados a muerte reveló que la duración media en el pabellón de los condenados a muerte es de 17,4 años, con una desviación típica de 6,3 años. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la media poblacional de tiempo en el corredor de la muerte podría ser de 15 años. ¿Se trata de una prueba de una media o de una proporción? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : ____________________ H a : ____________________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Qué símbolo representa la variable aleatoria de esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. ¿Se conoce la desviación típica de la población y, en caso afirmativo, cuál es? Calcule lo siguiente: x ¯ = _____________ s = ____________ n = ____________ ¿Qué prueba debe utilizarse? Indique la distribución que se debe usar para la prueba de hipótesis. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): Tarea para la casa El Instituto Nacional de Salud Mental publicó un artículo en el que se afirma que, en cualquier periodo de un año, aproximadamente el 9,5 % de los adultos estadounidenses sufren depresión o una enfermedad depresiva. Supongamos que en una encuesta realizada a 100 personas de una determinada ciudad, siete de ellas sufren depresión o una enfermedad depresiva. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la verdadera proporción de personas de esa ciudad que sufren depresión o una enfermedad depresiva es inferior al porcentaje de la población general adulta estadounidense. ¿Se trata de una prueba de una media o de una proporción? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : ____________________ H a : ____________________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Qué símbolo representa la variable aleatoria de esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. Calcule lo siguiente: x = ________________ n = ________________ p ′ = _____________ Calcule σ x = __________. Muestre la configuración de la fórmula. Indique la distribución que se debe usar para la prueba de hipótesis. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): Nivel de significación de la prueba probabilidad de un error tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera). Notación: α. En las pruebas de hipótesis, el nivel de significación se denomina α preconcebido o α preestablecido. valor p la probabilidad de que un evento ocurra por pura casualidad, suponiendo que la hipótesis nula sea cierta. Cuanto menor sea el valor p , más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula.", "section": "Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas En un problema de prueba de hipótesis , puede ver palabras como \"el nivel de significación es del 1 %\". El \"1 %\" es el α preconcebido o preestablecido. El estadístico que establece la prueba de hipótesis selecciona el valor de α que va a utilizar antes de recoger los datos de la muestra. Si no se indica ningún nivel de significación, una norma común que se utiliza es α = 0,05. Cuando se calcula el valor p y se dibuja el cuadro, el valor p es el área de la cola izquierda, de la cola derecha o dividida por igual entre las dos colas. Por esta razón, llamamos a la prueba de hipótesis de la izquierda, de la derecha o de dos colas. La hipótesis alternativa , H a , le indica si la prueba es de cola izquierda, derecha o doble. Es la clave para realizar la prueba adecuada. H a nunca tiene un símbolo que contenga un signo igual. Pensar en el significado del valor p : Un analista de datos (y cualquier otra persona) debería confiar más en que ha tomado la decisión correcta de rechazar la hipótesis nula con un valor p menor (por ejemplo, 0,001 frente a 0,04), incluso si se utiliza el nivel 0,05 para el alfa. Del mismo modo, para un valor p mayor, como 0,4, frente a un valor p de 0,056 (alfa = 0,05 es menor que cualquiera de los dos números), el analista de datos debería confiar más en que tomó la decisión correcta al no rechazar la hipótesis nula. Esto hace que el analista de datos haga uso de su discernimiento en lugar de aplicar reglas sin sentido. Los siguientes ejemplos ilustran una prueba de cola izquierda, derecha y de dos colas. H o : μ = 5, H a : μ < 5 Prueba de una media poblacional única. H a le indica que la prueba es de cola izquierda. La imagen del valor p es la siguiente: Ejercicio H 0 : μ = 10, H a : μ < 10 Supongamos que el valor p es 0,0935. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . H 0 : p ≤ 0,2 H a : p > 0,2 Se trata de una prueba de una sola proporción de población. H a le indica que la prueba es de cola derecha . La imagen del valor p es la siguiente: Ejercicio H 0 : μ ≤ 1, H a : μ > 1 Supongamos que el valor p es 0,1243. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . H 0 : p = 50 H a : p ≠ 50 Se trata de una prueba de la media de una sola población. H a le indica que la prueba es de dos colas . La imagen del valor p es la siguiente. Ejercicio H 0 : p = 0,5, H a : p ≠ 0,5 Supongamos que el valor p es 0,2564. ¿De qué tipo de prueba se trata? Haga el dibujo del valor p . Ejemplos de pruebas de hipótesis completas Cuando Jeffrey tenía ocho años estableció un tiempo medio de 16,43 segundos al nadar las 25 yardas en estilo libre, con una desviación típica de 0,8 segundos . Su padre, Frank, pensó que Jeffrey podría nadar más rápido las 25 yardas en estilo libre si utilizaba gafas para nadar. Frank le compró a Jeffrey un nuevo par de gafas para nadar costosas y cronometró 15 veces que nadó las 25 yardas en estilo libre . En las 15 veces, el tiempo medio de Jeffrey fue de 16 segundos. Frank pensó que las gafas para nadar ayudaron a Jeffrey a nadar más rápido que los 16,43 segundos. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que los tiempos de natación de las 25 yardas en estilo libre son normales. Establezca la prueba de la hipótesis: Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional . H 0 : μ = 16,43 H a : μ < 16,43 Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo debiera ser inferior a 16,43 segundos. El “<” indica que es de cola izquierda. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = el tiempo medio para nadar las 25 yardas de estilo libre. Distribución para la prueba: X ¯ es normal (se conoce la desviación típica de la población: σ = 0,8) X ¯ ~ N ( μ , σ X n ) Por lo tanto, X ¯ ~ N ( 16,43 , 0,8 15 ) μ = 16,43 procede de H 0 y no de los datos. σ = 0,8, y n = 15. Calcule el valor p con la distribución normal para una media: valor p = P ( x ¯ < 16) = 0,0187 donde la media de la muestra en el problema se da como 16. valor p = 0,0187 (se denomina nivel de significación real ). El valor p es el área a la izquierda de la media de la muestra se da como 16. Gráfico: μ = 16,43 proviene de H 0 . Nuestra hipótesis es μ = 16,43. Interpretación del valor p : Si H 0 es cierta , hay una probabilidad de 0,0187 (1,87 %) de que la media de tiempo de Jeffrey para nadar las 25 yardas estilo libre sea de 16 segundos o menos. Dado que una probabilidad del 1,87 % es pequeña, es poco probable que el tiempo medio de 16 segundos o menos haya ocurrido aleatoriamente. Es un evento poco común. Compare α y el valor p : α = 0,05 valor p = 0,0187 α > valor p Tome una decisión: Dado que α > valor p , se rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ = 16,43. En otras palabras, no cree que Jeffrey nade las 25 yardas estilo libre en 16,43 segundos, sino más rápido con las nuevas gafas. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, concluimos que Jeffrey nada más rápido con las nuevas gafas. Los datos de la muestra indican que hay pruebas suficientes de que la media de tiempo de Jeffrey para nadar las 25 yardas en estilo libre es inferior a 16,43 segundos. El valor p se calcula fácilmente. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 1:Z-Test . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Flecha abajo e introduzca 16,43 para μ 0 (hipótesis nula), 0,8 para σ , 16 para la media muestral y 15 para n . Flecha abajo a μ : (hipótesis alternativa) y flecha arriba a < μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,0187), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra. μ < 16,43 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = –2,08 (estadístico de prueba) y p = 0,0187 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Cuando la calculadora hace una prueba Z , el Prueba z halle el valor p con un cálculo de probabilidad normal mediante el teorema del límite central : P ( x ¯ < 16 ) = 2.° DISTR normcdf ( – 10 ^ 99 , 16 , 16,43 , 0,8 / 15 ) . Los errores tipo I y tipo II para este problema son los siguientes: El error tipo I consiste en concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en 16,43 segundos (rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error de tipo II consiste en que no hay pruebas para concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, sí nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa). Ejercicio La distancia media de lanzamiento de un balón de fútbol para Marco, un mariscal de campo de primer año de escuela secundaria, es de 40 yardas, con una desviación típica de dos yardas. El entrenador del equipo le dice a Marco que ajuste su agarre para conseguir más distancia. El entrenador registra las distancias de 20 lanzamientos. En los 20 lanzamientos, la distancia media de Marco fue de 45 yardas. El entrenador pensó que el agarre diferente ayudó a Marco a lanzar más allá de las 40 yardas. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que las distancias de lanzamiento de los balones son normales. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Pulse 1: prueba Z. Flecha hacia STATS y pulse ENTER. Flecha abajo e introduzca 40 para μ 0 (hipótesis nula), 2 para σ , 45 para la media muestral y 20 para n . Flecha hacia abajo hasta μ : (hipótesis alternativa) y establézcala como <, ≠, o >. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. La calculadora no solamente calcula el valor p , sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra. Seleccione <, ≠, o > para la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha a Draw (Dibujar) (en vez de Calculate [calcular]). Pulse ENTER. Aparece un gráfico sombreado con el estadístico de prueba y el valor p . Cuando utilice Draw (Dibujar) verifique que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y que los gráficos estén apagados. Nota histórica ( ) La forma tradicional de comparar las dos probabilidades, α y el valor p , consiste en comparar el valor crítico (puntuación z de α ) con el estadístico de prueba (puntuación z de los datos). El estadístico de prueba calculado para el valor p es de –2,08. (A partir del teorema del límite central, la fórmula del estadístico de prueba es z = x ¯ – μ X ( σ X n ) . Para este problema, x ¯ = 16, μ X = 16,43 a partir de la hipótesis nula es, σ X = 0,8 y n = 15.) Puede calcular el valor crítico para α = 0,05 en la tabla normal (vea 15. Tablas en el Índice). La puntuación z para un área a la izquierda igual a 0,05 está a medio camino entre –1,65 y –1,64 (0,05 está a medio camino entre 0,0505 y 0,0495). La puntuación z es de –1,645. Dado que –1,645 > –2,08 (lo que demuestra que α > valor p ), rechaza H 0 . Tradicionalmente, la decisión de rechazar o no rechazar se hacía de esta manera. Hoy en día, la comparación de las dos probabilidades α y el valor p es muy común. En este problema, el valor p , 0,0187 es considerablemente menor que α , 0,05. Puede estar seguro de su decisión de rechazo. El gráfico muestra α , el valor p , así como el estadístico de prueba y el valor crítico. Un entrenador de fútbol universitario registra que el peso medio que sus jugadores pueden levantar pesas es de 275 libras , con una desviación típica de 55 libras . Tres de sus jugadores pensaron que el peso medio era superior a esa cantidad. Preguntaron a 30 de sus compañeros de equipo por su elevación máxima estimada en el ejercicio de levantamiento de pesas. Los datos oscilaban entre las 205 libras y las 385 libras. Los pesos reales diferentes fueron (las frecuencias están entre paréntesis) 205(3) 215(3) 225(1) 241(2) 252(2) 265(2) 275(2) 313(2) 316(5) 338(2) 341(1) 345(2) 368(2) 385(1) . Realice una prueba de hipótesis a un nivel de significación del 2,5 % para determinar si la media del levantamiento de pesas es superior a 275 libras . Establezca la prueba de la hipótesis: Ya que el problema es sobre un peso medio, se trata de una prueba de una sola media poblacional . H 0 : μ = 275 H a : μ > 275 Esta es una prueba de cola derecha. Calcule la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = el peso medio, en libras, levantado por los futbolistas. Distribución para la prueba: Es normal porque σ es conocido. X ¯ ~ N ( 275 , 55 30 ) x ¯ = 286,2 libras (a partir de los datos). σ = 55 libras (Utilice siempre σ si lo conoce). Asumimos que μ = 275 libras, a no ser que nuestros datos nos muestren lo contrario. Calcule el valor p con la distribución normal para una media y con la media de la muestra como entrada (vea el G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+ para utilizar los datos como entrada): valor p = P ( x ¯ > 286,2 ) = 0,1323 . Interpretación del valor p : Si H 0 es verdadera, entonces hay una probabilidad de 0,1331 (13,23 %) de que los futbolistas levanten un peso medio de 286,2 libras o más. Dado que una probabilidad del 13,23 % es lo suficientemente grande, un levantamiento de peso medio de 286,2 libras o más no es un evento poco común. Compare α y el valor p : α = 0,025 valor p = 0,1323 Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 2,5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el verdadero peso medio levantado sea superior a 275 libras. El valor p se calcula fácilmente. Ponga los datos y las frecuencias en listas. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 1:Z-Test . Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca 275 para μ 0 , 55 para σ , el nombre de la lista donde pone los datos y el nombre de la lista donde pone las frecuencias. Flecha abajo hasta μ: y flecha arriba hasta > μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,1331, un poco diferente del cálculo anterior. En este utilizamos la media de la muestra redondeada a un decimal en lugar de los datos), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación z ) para la media de la muestra, la media de la muestra y la desviación típica de la muestra. μ > 275 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = 1,112 (estadístico de prueba) y p = 0,1331 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Los estudiantes de estadística creen que la puntuación media en el primer examen de estadística es de 65. Un instructor de Estadística cree que la puntuación media es superior a 65. Tome una muestra de diez estudiantes de Estadística y obtiene las puntuaciones 65 65 70 67 66 63 63 68 72 71 . Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Se supone que los datos proceden de una distribución normal. Establezca la prueba de la hipótesis: El nivel de significación del 5 % significa que α = 0,05. Se trata de una prueba de la media de una sola población . H 0 : μ = 65 H a : μ > 65 Ya que el instructor cree que la puntuación promedio es más alta, utiliza un \">\". El \">\" significa que la prueba es de cola derecha. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X ¯ = puntuación promedio en la primera prueba de Estadística. Distribución para la prueba: Si lee el problema con atención, se dará cuenta de que no se da la desviación típica de la población . Solamente se dan n = 10 valores de datos de muestra. Observe también que los datos proceden de una distribución normal. Esto significa que la distribución para la prueba es una t de Student. Utilice t df . En consecuencia, la distribución para la prueba es t 9 donde n = 10 and df = 10 - 1 = 9. Calcule el valor p con la distribución t de Student: valor p = P ( x ¯ > 67) = 0,0396 donde la media y la desviación típica de la muestra se calculan como 67 y 3,1972 a partir de los datos. Interpretación del valor p : Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,0396 (3,96 %) de que la media de la muestra sea igual o superior a 65. Compare α y el valor p : Dado que α = 0,05 y el valor p = 0,0396. α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , se rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ = 65. En otras palabras, cree que la puntuación promedio de los exámenes es superior a 65. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra aportan suficientes pruebas de que la puntuación media (promedio) de la prueba es superior a 65, tal y como piensa el instructor de Matemáticas. El valor p se calcula fácilmente. Ponga los datos en una lista. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 2:T-Test . Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e introduzca 65 para μ 0 , el nombre de la lista donde se ponen los datos, y 1 para Frec: . Flecha hacia abajo, hasta μ : y flecha hacia arriba, hasta > μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora no solo calcula el valor p ( p = 0,0396), sino que también calcula el estadístico de prueba (puntuación t ) para la media de la muestra, la media de la muestra y la desviación típica de la muestra. μ > 65 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con t = 1,9781 (estadístico de prueba) y p = 0,0396 (valor p ). Asegúrese de que cuando use Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Ejercicio Se cree que el precio de las acciones de una determinada compañía crecerá a un ritmo de 5 dólares por semana con una desviación típica de 1 dólar. Un inversor cree que las acciones no crecerán tan rápido. Las variaciones en el precio de las acciones se registran durante diez semanas y son las siguientes: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1 y 2 dólares. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Plantee las hipótesis nula y alternativa, halle el valor p , exponga su conclusión e identifique los errores de tipo I y tipo II. Joon cree que el 50 % de las novias primerizas en Estados Unidos son más jóvenes que sus novios. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 50 % . Joon toma muestras de 100 novias primerizas y 53 responden que son más jóvenes que sus novios. Para la prueba de la hipótesis, utilice un nivel de significación del 1 %. Establezca la prueba de la hipótesis: El nivel de significación del 1 % indica que α = 0,01. Se trata de una prueba de una sola proporción de población . H 0 : p = 0,50 H a : p ≠ 0,50 Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas. Calcule la distribución necesaria: Variable aleatoria: P′ = el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios. Distribución para la prueba: el problema no contiene ninguna mención a la media. La información se da en términos de porcentajes. Utilice la distribución para P′ , la proporción estimada. P ′ ~ N ( valor , valor ⋅ q n ) Por lo tanto, P ′ ~ N ( 0,5 , 0,5 ⋅ 0,5 100 ) donde p = 0,50, q = 1− p = 0,50 y n = 100 Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones: valor p = P (p′ < 0,47 o p′ > 0,53) = 0,5485 donde x = 53, p′ = x n = 53 100 = 0,53. Interpretación del valor p : Si la hipótesis nula es verdadera, existe una probabilidad de 0,5485 (54,85 %) de que la proporción muestral (estimada) valor ' sea igual o superior a 0,53 O igual o inferior a 0,47 (vea el gráfico en la ). μ = p = 0,50 proviene de H 0 , la hipótesis nula. p′ = 0,53. Dado que la curva es simétrica y la prueba es de dos colas, la p′ de la cola izquierda es igual a 0,50 - 0,03 = 0,47, donde μ = p = 0,50. (0,03 es la diferencia entre 0,53 y 0,50). Compare α y el valor p : Dado que α = 0,01 y el valor p = 0,5485. α < valor p . Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no muestran pruebas suficientes de que el porcentaje de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios sea diferente del 50 %. El valor p se calcula fácilmente. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 5:1-PropZTest . Introduzca 0,5 para p 0 , 53 para x y 100 para n . Desplace la flecha hacia abajo hasta Prop y la flecha hacia no es igual a p 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . La calculadora calcula el valor p (p = 0,5485) y el estadístico de prueba (puntuación z ). Prop diferente a 0,5 es la hipótesis alternativa. Vuelva a realizar este conjunto de instrucciones, excepto la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Aparece un gráfico sombreado con z = 0,6 (estadístico de prueba) y p = 0,5485 (valor p ). Cuando utilice Dibujar que no haya otras ecuaciones resaltadas en Y = y los diagramas estén apagados. Los errores tipo I y II son los siguientes: El error tipo I consiste en concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error tipo II es que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de novias primerizas que son más jóvenes que sus novios difiere del 50 % cuando, de hecho, la proporción sí difiere del 50 %. (No rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa). Ejercicio Un maestro cree que el 85 % de los estudiantes de la clase querrán ir de excursión al zoológico local. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 85 %. El maestro hace un muestreo de 50 estudiantes y 39 responden que querrían ir al zoológico. Para la prueba de hipótesis utilice un nivel de significación del 1 %. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Supongamos que un grupo de consumidores presume que la proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles es del 30 %. Una compañía de telefonía móvil tiene razones para creer que la proporción no es del 30 %. Antes de iniciar una gran campaña publicitaria realizan una prueba de hipótesis. Su personal de mercadeo realiza una encuesta en 150 hogares con el resultado de que 43 de ellos tienen tres teléfonos móviles. a. El valor que determina el valor p es p′ . Calcule p′ . b. ¿Cuál es el acierto de este problema? c. ¿Cuál es el nivel de significación? d. Dibuje el gráfico de este problema. Dibuje el eje horizontal. Marque y sombree adecuadamente. Calcule el valor p . e. Tome una decisión. _____________(rechazar o no rechazar) H 0 porque____________. Establezca la prueba de la hipótesis: H 0 : p = 0,30 H a : p ≠ 0,30 Determine la distribución necesaria: La variable aleatoria es P′ = proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles. La distribución para la prueba de hipótesis es P ' ~ N ( 0,30 , ( 0,30 ) ⋅ ( 0,70 ) 150 ) a. p′ = x n donde x es el número de aciertos y n es el número total de la muestra. x = 43, n = 150 p′ = 43 150 b. Un acierto es tener tres teléfonos móviles en un hogar. c. El nivel de significación es el α preestablecido. Ya que no se da α , se supone que α = 0,05. d. valor p = 0,7216 e. Suponiendo que α = 0,05, α < valor p . La decisión es no rechazar H 0 porque no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares que tienen tres teléfonos móviles no sea del 30 %. Ejercicio Los expertos en mercadeo creen que el 92 % de los adultos de Estados Unidos tienen un teléfono móvil. Un fabricante de teléfonos móviles cree que esa cifra es en realidad inferior. Se encuestó a 200 adultos estadounidenses, de los cuales 174 declararon tener teléfonos móviles. Utilice un nivel de significación del 5 %. Plantee la hipótesis nula y la alternativa, calcule el valor p , plantee su conclusión e identifique los errores tipo I y tipo II. El siguiente ejemplo es un poema escrito por una estudiante de Estadística llamada Nicole Hart. La solución del problema sigue al poema. Observe que la prueba de hipótesis es para una única proporción poblacional. Esto significa que las hipótesis nula y alternativa utilizan el parámetro p . La distribución para la prueba es normal. La proporción estimada p′ es la proporción de pulgas matadas respecto al total de pulgas encontradas en Fido. Esta es una información de muestra. El problema da una α prestablecida = 0,01, para comparar, y un cálculo del intervalo de confianza del 95 %. El poema es ingenioso y humorístico, así que disfrútelo Mi perro tiene muchas pulgas, No salen con facilidad. En cuanto al champú, he probado muchos tipos Incluso uno llamado Bubble Hype, que solo mataba el 25 % de las pulgas, Desgraciadamente, no me gustó. He usado todo tipo de jabón, Ya había perdido la esperanza Hasta que un día vi Un anuncio que me dejó asombrada. Un champú utilizado para perros Llamado GOOD ENOUGH to Clean a Hog (Lo bastante bueno para matar a un cerdo). Garantizado para matar más pulgas. Le di a Fido un baño Después de hacer las cuentas La cantidad de pulgas ¡Comenzó a bajar por 3! Antes de su champú conté 42. Al final de su baño, volví a contar El champú había matado 17 pulgas. Así que ahora estaba complacida. Ahora es el momento de divertirse Dado el nivel de significación 0,01, Debe ayudarme a averiguar ¿Usar el nuevo champú o prescindir de este? Establezca la prueba de la hipótesis: H 0 : p ≤ 0,25 H a : p > 0,25 Determine la distribución necesaria: En palabras, indique CLARAMENTE qué representa su variable aleatoria X ¯ o P′ representa. P′ = La proporción de pulgas que elimina el nuevo champú Indique la distribución que se utilizará para la prueba. Normal: N ( 0,25 , ( 0,25 ) ( 1 – 0,25 ) 42 ) Estadístico de prueba: z = 2,3163 Calcule el valor p con la distribución normal para las proporciones: valor p = 0,0103 En una o dos frases completas, explique qué significa el valor p para este problema. Si la hipótesis nula es verdadera (la proporción es 0,25), entonces hay una probabilidad de 0,0103 de que la proporción muestral (estimada) sea 0,4048 ( 17 42 ) o más. Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Compare α y el valor p : Indique la decisión correcta (\"rechazar\" o \"no rechazar\" la hipótesis nula), la razón para ello y escriba una conclusión adecuada, en frases completas. alfa decisión motivo de la decisión 0,01 No rechazar H 0 α < valor p . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, los datos de la muestra no indican pruebas suficientes de que el porcentaje de pulgas que elimina el nuevo champú sea superior al 25 %. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media o la proporción verdaderas. Incluya un esquema del gráfico de la situación. Etiquete la estimación puntual y los límites inferior y superior del intervalo de confianza. Intervalo de confianza: (0,26,0,55) Tenemos un 95 % de confianza en que la verdadera proporción poblacional p de pulgas que son eliminadas por el nuevo champú está entre el 26 % y el 55 %. Nota: El resultado de esta prueba no es muy definitivo, ya que el valor p está muy cerca de alfa. En realidad, probablemente se harían más pruebas y se bañaría otra vez al perro después de que las pulgas hayan tenido la oportunidad de volver. El Instituto Nacional de Normas y Tecnología proporciona datos exactos sobre las propiedades de conductividad de los materiales. A continuación se muestran las mediciones de conductividad de 11 piezas seleccionadas al azar de un tipo de vidrio en particular. 1,11; 1,07; 1,11; 1,07; 1,12; 1,08; 0,98; 0,98; 1,02; 0,95; 0,95. ¿Hay pruebas convincentes de que la conductividad promedio de este tipo de vidrio sea superior a uno? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que la población es normal. Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística. Plantee la pregunta : Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Plan : estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida. Por lo tanto, tenemos que utilizar una distribución t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal. Haga los cálculos : Introduciremos los datos de la muestra en la TI-83 de la siguiente manera. Plantee las conclusiones : Dado que el valor p ( p = 0,036) es inferior a nuestro valor alfa, rechazaremos la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno. En un estudio de 420.019 usuarios de teléfonos móviles, 172 de los sujetos desarrollaron cáncer cerebral. Pruebe la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles desarrollaron cáncer cerebral a una tasa mayor que la de los no usuarios de teléfonos móviles (la tasa de cáncer cerebral para los no usuarios de teléfonos móviles es del 0,0340 %). Dado que se trata de un asunto crítico utilice un nivel de significación de 0,005. Explique por qué el nivel de significación debe ser tan bajo en términos de un error tipo I. Seguiremos el proceso de cuatro pasos. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán H 0 : p ≤ 0,00034 H a : p > 0,00034 Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np = 420.019(0,00034) = 142,8, nq = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de acierto p = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población. Los resultados de TI asociados son Dado que el valor p = 0,0073 es mayor que nuestro valor alfa = 0,005, no podemos rechazar la nulidad. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que no hay pruebas suficientes para respaldar la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles tienen mayores tasas de cáncer cerebral. Según el censo de EE. UU. hay aproximadamente 268.608.618 residentes de 12 años o más. Las estadísticas de la Red Nacional de Violación, Maltrato e Incesto indican que cada año se producen un promedio de 207.754 violaciones (de hombres y mujeres) a personas de 12 años o más. Esto se traduce en un porcentaje de agresiones sexuales del 0,078 %. En el condado de Daviess, KY, se denunciaron 11 violaciones para una población de 37.937 habitantes. Realice una prueba de hipótesis adecuada para determinar si existe una diferencia estadísticamente significativa entre el porcentaje local de agresiones sexuales y el porcentaje nacional de agresiones sexuales. Utilice un nivel de significación de 0,01. Seguiremos el plan de cuatro pasos. Tenemos que comprobar si la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, KY es significativamente diferente del promedio nacional. Ya que se trata de proporciones, utilizaremos la prueba z de una proporción. Las hipótesis de la prueba serán: H 0 : p = 0,00078 H a : p ≠ 0,00078 Las siguientes capturas de pantalla muestran el resumen estadístico de la prueba de hipótesis. Dado que el valor p , p = 0,00063, es inferior al nivel alfa de 0,01, los datos de la muestra indican que debemos rechazar la hipótesis nula. En conclusión, los datos de la muestra apoyan la afirmación de que la proporción de agresiones sexuales en el condado de Daviess, Kentucky, es diferente de la proporción nacional promedio. Repaso del capítulo La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera Determine H 0 y H a . Recuerde que son contradictorios. Determine la variable aleatoria. Determine la distribución para la prueba. Dibuje un gráfico, calcule el estadístico de la prueba y utilícelo para calcular el valor p . (La puntuación z y la puntuación t son ejemplos de estadísticos de prueba). Compare el α prestablecido con el valor p , tome una decisión (rechazar o no rechazar H 0 ) y escriba una conclusión clara con frases en inglés. Observe que al realizar la prueba de hipótesis, se utiliza α y no β . β es necesaria para determinar el tamaño de la muestra de los datos que se utiliza en el cálculo del valor p . Recuerde que la cantidad 1 - β recibe el nombre de potencia de la prueba . Es deseable una alta potencia. Si la potencia es demasiado baja, los estadísticos suelen aumentar el tamaño de la muestra al mantener igual el α . Si la potencia es baja, es posible que no se rechace la hipótesis nula cuando debería hacerlo. Supongamos que H 0 : μ = 9 y H a : μ < 9. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que H 0 : μ ≤ 6 y H a : μ > 6. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que H 0 : p = 0,25 y H a : p ≠ 0,25. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Dibuje el gráfico general de una prueba de cola izquierda. Dibuje el gráfico de una prueba de dos colas. La etiqueta de una botella de agua indica que contiene 16 onzas líquidas de agua. Usted cree que es menos que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Su amigo afirma que su puntuación media en el golf es de 63. Quiere demostrar que es más que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola derecha En una báscula de baño se señala que puede identificar correctamente cualquier peso dentro de una libra. Usted cree que no puede ser tan precisa. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Lanza una moneda y anota si sale cara o cruz. Sabe que la probabilidad de salir cara es del 50 %, pero cree que es menor para esta moneda en particular. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola izquierda ¿Sabe qué tipo de prueba debe utilizar si la hipótesis alternativa tiene un símbolo de diferente (≠)? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es, al menos, 18. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es como máximo 12. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es igual a 88. La hipótesis alternativa afirma que la media es diferente a 88. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Tarea para la casa En cada uno de los problemas, utilice una hoja de soluciones para comprobar la hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota: Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente. (Sin embargo, en general, primero hay que demostrar ese supuesto). Una marca particular de neumáticos afirma que su neumático de lujo recorre un promedio de 50.000 millas antes de necesitar reemplazo. Por estudios anteriores de este neumático, se sabe que la desviación típica es de 8.000. Se realiza una encuesta entre los propietarios de ese diseño de neumático. De los 28 neumáticos revisados la vida media fue de 46.500 millas con una desviación típica de 9.800 millas. Utilizando alfa = 0,05, ¿los datos son altamente incoherentes con la afirmación? H 0 : μ ≥ 50.000 H a : μ < 50.000 Supongamos que X ¯ = la vida promedio de unos neumáticos de marca. distribución normal z = –2,315 valor p = 0,0103 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que la vida media de los neumáticos sea inferior a 50.000 millas. (43.537, 49.463) De una generación a otra, la edad media en que los fumadores empiezan a fumar varía. Sin embargo, la desviación típica de esa edad se mantiene constante en torno a los 2,1 años. Se hizo una encuesta a 40 fumadores de esta generación para comprobar si la edad media de inicio es de, al menos, 19 años. La media muestral fue de 18,1 con una desviación típica de la muestra de 1,3. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 5 %? El costo de un diario varía de una ciudad a otra. Sin embargo, la variación entre los precios se mantiene estable con una desviación típica de 20 centavos. Se realizó un estudio para comprobar la afirmación de que el costo medio de un diario es de 1,00 dólar. Doce costos dan un costo medio de 95 centavos con una desviación típica de 18 centavos. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 1 %? H 0 : μ = $1,00 H a : μ ≠ $1,00 Supongamos que X ¯ = el costo promedio de un diario. distribución normal z = –0,866 valor p = 0,3865 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,01 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,01. Conclusión: hay pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el costo medio de los diarios es de 1 dólar. El costo medio podría ser de 1 dólar. ($0,84, $1,06) Un artículo de The Mercury News de San José afirmaba que los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan un promedio de 4,5 años en graduarse. Supongamos que cree que el tiempo medio es mayor. Usted realiza una encuesta a 49 estudiantes y obtiene una media muestral de 5,1 con una desviación típica de la muestra de 1,2. ¿Los datos apoyan su afirmación al nivel del 1 %? Se cree que el número medio de días por permiso de enfermedad que toma un empleado al año es de unos diez. Los miembros de un departamento de personal no creen en esta cifra. Encuestan al azar a ocho empleados. El número de días por permiso de enfermedad que tomaron el año pasado es el siguiente: 12; 4; 15; 3; 11; 8; 6; 8. Supongamos que x = el número de días por permiso de enfermedad que tomaron durante el año pasado. ¿El equipo de personal debería creer que la media es diez? H 0 : μ = 10 H a : μ ≠ 10 Supongamos que X ¯ la media de días por permiso de enfermedad que un empleado toma al año. Distribución t de Student t = –1,12 valor p = 0,300 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: a un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de días por permiso de enfermedad no es diez. (4,9443, 11,806) En 1955, la revista Life informó que la joven de 25 años, madre de tres hijos, trabajaba un promedio de 80 horas semanales. Recientemente, muchos grupos han estudiado si el movimiento feminista ha provocado o no un aumento de la semana laboral promedio de las mujeres (combinación de empleo y trabajo en casa). Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la semana laboral media ha aumentado. Se encuestaron 81 mujeres con los siguientes resultados. La media muestral fue de 83; la desviación típica de la muestra fue de diez. ¿Parece que la semana laboral media ha aumentado para las mujeres al nivel del 5 %? Su instructora de estadística afirma que el 60 % de los estudiantes que asisten a su clase de Estadística Elemental pasan por la vida sintiéndose más enriquecidos. Por algún motivo que ella no puede entender la mayoría de las personas no le cree. Usted decide comprobarlo por su cuenta. Hace una encuesta al azar a 64 de sus antiguos estudiantes de Estadística Elemental y descubre que 34 se sienten más enriquecidos como consecuencia de su clase. Ahora, ¿qué cree? H 0 : p ≥ 0,6 H a : p < 0,6 Supongamos que P′ = la proporción de estudiantes que se sienten más enriquecidos como consecuencia de cursar Estadística Elemental. normal para una sola proporción 1,12 valor p = 0,1308 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 60 % de sus estudiantes se sienten más enriquecidos. Intervalo de confianza: (0,409, 0,654) El intervalo de confianza “más 4” es (0,411, 0,648) Un anuncio de Nissan Motor Corporation decía: “El coeficiente intelectual del hombre promedio es 107. El coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es 4. Entonces, ¿por qué el hombre no puede pescar truchas marrones?”. Supongamos que cree que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es superior a cuatro. Ha capturado 12 truchas marrones. Un psicólogo especializado en peces determina el coeficiente intelectual de la siguiente manera: 5; 4; 7; 3; 6; 4; 5; 3; 6; 3; 8; 5. Realice una prueba de hipótesis de su creencia. Consulte el ejercicio 9.119 . Realice una prueba de hipótesis para ver si su decisión y conclusión cambiarían si su creencia fuera que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no es cuatro. H 0 : μ = 4 H a : μ ≠ 4 Supongamos que X ¯ el coeficiente intelectual en promedio de un conjunto de truchas marrones. distribución t de Student de dos colas t = 1,95 valor p = 0,076 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no sea de cuatro. (3.8865,5.9468) Según un artículo de Newsweek , el cociente natural de niñas y niños es de 100:105. En China, el cociente de natalidad es 100: 114 (46,7 % niñas). Supongamos que no cree en las cifras que se dan a conocer sobre el porcentaje de niñas nacidas en China. Realiza un estudio. En este estudio, cuenta el número de niñas y niños nacidos en 150 nacimientos recientes elegidos al azar. De los 150 han nacido 60 niñas y 90 niños. Basándose en su estudio, ¿cree que el porcentaje de niñas nacidas en China es del 46,7? Un sondeo realizado para Newsweek reveló que el 13 % de los estadounidenses ha visto o percibido la presencia de un ángel. Un contingente tiene dudas sobre que el porcentaje sea realmente tan alto. Realiza su propia encuesta. De los 76 estadounidenses encuestados, solo dos habían visto o sentido la presencia de un ángel. Como resultado de la encuesta del contingente, ¿está usted de acuerdo con el sondeo de Newsweek ? En oraciones completas, indique también tres justificaciones por las que los dos sondeos podrían dar resultados diferentes. H 0 : p ≥ 0,13 H a : p < 0,13 Supongamos que P′ = la proporción de estadounidenses que han visto o percibido ángeles. normal para una sola proporción -2,688 valor p = 0,0036 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estadounidenses que han visto o sentido un ángel es inferior al 13 %. (0, 0,0623). El intervalo de confianza “más 4” es (0,0022, 0,0978) Se cree que la semana laboral media de los ingenieros de una compañía emergente es de unas 60 horas. Un ingeniero recién contratado espera que sea más corto. Pregunta a diez amigos ingenieros de compañías emergentes por la duración de sus semanas de trabajo medias. Con base en los resultados siguientes, ¿debe contar con que la semana laboral media sea inferior a 60 horas? Datos (duración de la semana laboral media): 70; 45; 55; 60; 65; 55; 55; 60; 50; 55. Utilice los datos de \"tiempo de vuelta\" con la vuelta 4 (ver C - CONJUNTOS DE DATOS ) para probar la afirmación de que Terri termina la vuelta 4, en promedio, en menos de 129 segundos. Utilice las veinte carreras dadas. H 0 : μ ≥ 129 H a : μ < 129 Supongamos que X ¯ = el tiempo promedio en segundos en que Terri termina la vuelta 4. Distribución t de Student t = 1,209 0,8792 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de Terri es inferior a 129 segundos. (128,63, 130,37) Utilice los datos de la \"Oferta Pública Inicial\" (vea C - CONJUNTOS DE DATOS ) para comprobar la afirmación de que el precio medio de la oferta fue de 18 dólares por acción. No utilice todos los datos. Utilice su generador de números aleatorios para encuestar al azar 15 precios. Nota: Las siguientes preguntas las escribieron antiguos estudiantes. ¡Son problemas excelentes! \"Reunión familiar asiática\", de Chau Nguyen Cada dos años se celebra. Nos reunimos todos los de diferentes ciudades. En mi honesta opinión No es la típica reunión familiar. Ni cuarenta, ni cincuenta, ni sesenta ¡Sino setenta compañeros! Los niños jugaban, gritaban y vociferaban En un momento están contentos y en otro hacen pucheros. Los adolescentes miraban, miraban fijamente y comparaban Desde su aspecto hasta su vestimenta. Los hombres hablaban de sus negocios Que ganan más, pero nunca menos. El dinero es siempre su tema Y siempre se habla de más proyectos nuevos. Las mujeres se cansan de todas las charlas Se dirigen a la cocina para poner los manteles individuales. Algunos se sentaban y otros se ponían de pie Comían y hablaban con los platos en las manos. Luego vienen los juegos y las canciones Y de repente, ¡todo el mundo se lleva bien! Con todas esas risas, es triste decir que Que siempre termina de la misma manera. Se abrazan, se besan y se despiden ¡Y entonces todos se ponen a llorar! Yo digo que el 60 por ciento lloró Pero mi madre contó 35 personas este año. Dijo que los niños y los hombres siempre tendrán su orgullo Así que nunca los veremos llorar. No creo que tenga razón Así que, ¿podría probar este problema para saber si lo objeta? H 0 : p = 0,60 H a : p < 0,60 Sea P′ = la proporción de familiares que derraman lágrimas en un reencuentro. normal para una sola proporción -1,71 0,0438 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de familiares que lloran en una reunión es inferior a 0,60. Sin embargo, la prueba es débil porque el valor p y el alfa están bastante cerca, por lo que habría que hacer otras pruebas. Estamos seguros en un 95 % de que entre el 38,29 % y el 61,71 % de los familiares llorarán en una reunión familiar. (0,3829, 0,6171). El intervalo de confianza \"más 4\" (vea el capítulo 8) es (0,3861, 0,6139). Observe que aquí la prueba 1 – PropZTest de \"muestra grande\" proporciona el valor p aproximado de 0,0438. Siempre que un valor p basado en una aproximación normal se acerque al nivel de significación, deberá calcularse el valor p exacto con base en probabilidades binomiales, siempre que sea posible. Esto va más allá del ámbito de aplicación de este curso. \"El problema con los ángeles\", de Cyndy Dowling Aunque este problema es totalmente mío El catalizador vino de la revista Time. En la portada de la revista encontré El reino de los ángeles hace cosquillas en mi mente. En el interior, el 69 % me pareció que En los ángeles, los estadounidenses sí creen. Entonces, llegó el momento de estar a la altura. A noventa y cinco estudiantes de escuela secundaria y universitarios sí les pregunté. Veo a todos como un solo grupo Muestreo aleatorio para obtener la primicia. Así que le pedí a cada uno que fuera honesto. \"¿Cree en los ángeles?\" ¡Dígame, hágalo! Hipótesis de partida Creo totalmente en mi corazón Que la proporción que dijo que sí Sería igual en esta prueba. ¡Sorpresa! Llegaron setenta y tres De la muestra de noventa y cinco. Ahora su trabajo acaba de empezar Resuelva este problema y diviértase. \"Hacer burbujas\", de Sondra Prull Estudiar las estadísticas me puso tensa Tenía que encontrar alguna defensa sana. Algún juego ligero y sencillo para animarme Para desvanecer mi ansiedad por las matemáticas. Hacer burbujas me eleva Lleva mis problemas al cielo. ¡POP! Se van, con todo mi estrés La terapia de burbujas es lo mejor. La etiqueta decía que cada vez que soplaba El número promedio de burbujas sería de al menos 22. Soplé y soplé y me di cuenta que A partir de 64 soplos, ¡todos son redondos! Pero el número de burbujas en 64 soplos Esto lo sé, es muy variado. 20 por soplo se convirtió en la media Se desviaron por 6 y no por 16. Al contar burbujas, seguro que me relajé Pero ahora le doy su tarea. ¿22 era una suposición razonable? ¡Busque la respuesta y pase esta prueba! H 0 : μ ≥ 22 H a : μ < 22 Supongamos que X ¯ = la media de burbujas por soplo. Distribución t de Student -2,667 valor p = 0,00486 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que el número de la media de burbujas por soplo es inferior a 22. (18,501, 21,499) \"La pena de los dálmatas\", de Kathy Sparling Un codicioso criador de perros llamado Spreckles Crio cachorros con numerosas pecas Los dálmatas que buscaba Tenían manchas sobre manchas Cuantas más manchas, pensó, más dinero. Sus competidores no estaban de acuerdo En que las pecas aumenten la tarifa. Dijeron: \"Las manchas son bastante agradables Pero no afectan al precio Hay que criar para mejorar el pedigrí\". Los criadores decidieron probar Esta estrategia fue un movimiento equivocado. Criar solo para las manchas Causaría estragos, pensaron. Su teoría quieren refutarla. Le propusieron un concurso a Spreckles Compararon los precios de los perros con pecas. En los registros buscaron Ciento un cachorros: Los dálmatas que más dinero han obtenido. Le pidieron al Sr. Spreckles que nombrara Un recuento promedio de manchas que reclamaría Para traer grandes cantidades de dinero. Dijo Spreckles, \"Bueno, Es por el ciento uno que apunto\". Dijo un estadístico aficionado Que quería ayudar en esta misión. \"Veintiuno para la muestra La desviación típica es amplia: Examinaron ciento un Dálmatas que alcanzaron una buena suma. Contaron cada mancha, Marca, peca y punto Y se ha contabilizado cada una de ellas. En lugar de ciento un manchas Tienen un promedio de noventa y seis puntos ¿Pueden contener la obsesión de Spreckles por las pecas basado en todos los datos de los perros que tienen? \"¡Macarrones con queso, por favor!\" de Nedda Misherghi y Rachelle Hall Como estudiante pobre y hambriento no tengo mucho dinero para gastar ni siquiera para las necesidades más básicas. Así que mi alimento básico favorito y principal son los macarrones con queso. Tiene un gran sabor y un bajo costo y valor nutricional. Un día, mientras me sentaba a determinar el sentido de la vida, tuve un gran antojo de este, oh, tan importante, alimento de mi vida. Así que bajé a Greatway para comprar una caja de macarrones con queso, ¡pero era TAN caro! ¡¡¡2,02 dólares!!! ¿Pueden creerlo? Me hizo detenerme y pensar. El mundo está cambiando rápidamente. Había pensado que el costo de la media de una caja (del tamaño normal, no de un paquete supergigante de valor familiar) era como mucho de 1 dólar, pero ahora no estaba tan seguro. Sin embargo, estaba decidido a averiguarlo. Fui a 53 de las tiendas de comestibles más cercanas y comprobé los precios de los macarrones con queso. Aquí están los datos que escribí en mi cuaderno: Precio por caja de Mac and Cheese: 5 tiendas a 2,02 dólares 15 tiendas a 0,25 dólares 3 tiendas a 1,29 dólares 6 tiendas a 0,35 dólares 4 tiendas a 2,27 dólares 7 tiendas a 1,50 dólares 5 tiendas a 1,89 dólares 8 tiendas a 0,75. Pude ver que el costo variaba, pero tuve que sentarme para averiguar si tenía razón o no. Si resulta que este apetitoso plato cuesta como mucho un dólar, entonces haré una gran fiesta con queso en nuestro próximo laboratorio de estadística, con suficientes macarrones con queso para mí solo (después de todo, como pobre estudiante hambriento no se puede esperar que alimente a nuestra clase de animales) H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Supongamos que X ¯ = el coste medio en dólares de los macarrones con queso en una determinada ciudad. Distribución t de Student t = 0,340 valor p = 0,36756 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: el costo de la media podría ser de un dólar, o menos. Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el precio de la media de una caja de macarrones con queso es superior a 1 dólar. (0,8291, 1,241) \"William Shakespeare: La tragedia de Hamlet, príncipe de Dinamarca\", de Jacqueline Ghodsi LOS PERSONAJES (por orden de aparición): HAMLET, príncipe de Dinamarca y estudiante de Estadística POLONIO, tutor de Hamlet HORACIO, amigo de Hamlet y compañero de estudios Escena: la gran biblioteca del castillo, en la que Hamlet toma sus lecciones Acto I (El día es hermoso, pero el rostro de Hamlet está nublado. Se pasea por la gran sala. Su tutor, Polonio, reprende a Hamlet en relación con la experiencia reciente de este. Horacio está sentado en la mesa grande a la derecha del escenario) POLONIO: Mi señor, ¡cómo no puedes admitir que has visto un fantasma! No es más que un producto de su imaginación HAMLET: Siento discrepar; sé con certeza que cinco y setenta en cien de nosotros, condenados a los azotes y desprecios del tiempo como estamos, hemos contemplado un espíritu de salud, o un duende maldito, sean sus intenciones perversas o caritativas. POLONIO: Si insistes en tu miserable visión, déjame invertir tu tiempo; sé fiel a tu trabajo y háblame a través de la razón de las hipótesis nulas y alternativas (se dirige a Horacio). ¿Acaso no dijo el propio Hamlet: \"Qué obra es el hombre, qué noble de razón, qué infinito de facultades? Entonces, que no persista esta tontería. Ve, Horacio, haz una encuesta de tres y sesenta y descubre cuál es la verdadera proporción. Por mi parte, nunca sucumbiré a esta fantasía, sino que considero al hombre desprovisto de toda razón en caso de que se cumpla tu propuesta de al menos cinco y setenta entre cien. HORACIO (a Hamlet): ¿Qué debemos hacer, mi Señor? HAMLET: Ve a tu propósito, Horacio. HORACIO: ¿Con qué fin, mi Señor? HAMLET: Que debes enseñarme. Pero permíteme que te conjure por los derechos de nuestra confraternidad, por la consonancia de nuestra juventud, pero por la obligación de nuestro amor siempre conservado, que seas ecuánime y directo conmigo, tenga o no tenga razón. (Horacio sale, seguido de Polonio, y dejan a Hamlet reflexionando solo). Acto II (Al día siguiente, Hamlet espera ansiosamente la presencia de su amigo, Horacio. Polonio entra y coloca algunos libros sobre la mesa justo un momento antes de que entre Horacio) POLONIO: Entonces, Horacio, ¿qué es lo que revelaste en tus deliberaciones? HORACIO: En una encuesta aleatoria, para la que tú mismo me enviaste, descubrí que uno y cuarenta creen fervientemente que los espíritus de los muertos caminan con nosotros. Ante mi Dios, no podría creer esto, sin el testimonio sensible y verdadero de mis propios ojos. POLONIO: No des ninguna voz a tus propios pensamientos, Horacio (Polonio se vuelve hacia Hamlet). Pero mire lo que le encargo, mi Señor. Vamos Horacio, vayamos juntos, pues esta no es nuestra prueba (Horacio y Polonio se van juntos). HAMLET: Rechazar o no rechazar, esa es la cuestión: si es más noble para la mente sufrir las adversidades de las estadísticas escandalosas, o tomar las armas contra un mar de datos y, oponiéndose, acabar con ellos (Hamlet atiende con resignación su tarea). (Cae el telón) \"Sin título\", de Stephen Chen A menudo me he preguntado cómo se lanza y se vende el software al público. Irónicamente, trabajo para una compañía que vende productos con problemas conocidos. Por desgracia, la mayoría de los problemas son difíciles de crear, lo que hace que sean difíciles de solucionar. Suelo utilizar el programa de pruebas X, que prueba el producto, para intentar crear un problema específico. Cuando se ejecuta el programa de prueba para que se produzca un error, la probabilidad de generar un error es del 1 %. Así que, armado con este conocimiento, escribí un nuevo programa de prueba Y que generará el mismo error que crea el programa de prueba X, pero con más frecuencia. Para saber si mi programa de prueba es mejor que el original, y así poder convencer a la dirección de que tengo razón, he ejecutado mi programa de prueba para saber con qué frecuencia puedo generar el mismo error. Cuando ejecuté mi programa de prueba 50 veces, generé el error dos veces. Aunque esto no parezca mucho mejor, creo que puedo convencer a la dirección de que utilice mi programa de pruebas en lugar del programa de pruebas original. ¿Estoy en lo cierto? H 0 : p = 0,01 H a : p > 0,01 Sea P′ = la proporción de errores generados Normal para una sola proporción 2,13 0,0165 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: al nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de errores generados es superior al 0,01. Intervalo de confianza: (0, 0,094). El intervalo de confianza \"más 4\" es (0,004, 0,144). \"Nombres de niñas japonesas\" de Kumi Furuichi Antes era muy típico que los nombres de las niñas japonesas terminaran con \"ko\" (la tendencia podría haber comenzado alrededor de la generación de mis abuelas y su punto álgido podría haber sido alrededor de la generación de mi madre). \"Ko\" significa \"niña\" en caracteres chinos. Los padres nombran a sus hijas con \"ko\" unido a otros caracteres chinos que tienen el significado que quieren que tengan sus hijas, como Sachiko, niña feliz, Yoshiko, niña buena, Yasuko, niña sana, etc. Sin embargo, recientemente me he dado cuenta de que solo dos de mis nueve amigas japonesas de esta escuela tienen nombres que terminan en \"ko\" Cada vez más, los padres parecen haberse vuelto creativos, modernizados y, a veces, occidentalizados a la hora de poner nombres a sus hijos. Tengo la sensación de que, mientras que el 70 % o más de la generación de mi madre tendría nombres con \"ko\" al final, la proporción ha disminuido entre mis compañeras. Anoté todos los nombres de mis amigas, excompañeras de clase, compañeras de trabajo y conocidas japonesas que podía recordar. Los siguientes son los nombres. (Algunos son repetidos.) Compruebe si la proporción ha disminuido para esta generación. Ai, Akemi, Akiko, Ayumi, Chiaki, Chie, Eiko, Eri, Eriko, Fumiko, Harumi, Hitomi, Hiroko, Hiroko, Hidemi, Hisako, Hinako, Izumi, Izumi, Junko, Junko, Kana, Kanako, Kanayo, Kayo, Kayoko, Kazumi, Keiko, Keiko, Kei, Kumi, Kumiko, Kyoko, Kyoko, Madoka, Maho, Mai, Maiko, Maki, Miki, Miki, Mikiko, Mina, Minako, Miyako, Momoko, Nana, Naoko, Naoko, Naoko, Noriko, Rieko, Rika, Rika, Rumiko, Rei, Reiko, Reiko, Sachiko, Sachiko, Sachiyo, Saki, Sayaka, Sayoko, Sayuri, Seiko, Shiho, Shizuka, Sumiko, Takako, Takako, Tomoe, Tomoe, Tomoko, Touko, Yasuko, Yasuko, Yasuyo, Yoko, Yoko, Yoko, Yoshiko, Yoshiko, Yoshiko, Yuka, Yuki, Yuki, Yukiko, Yuko, Yuko. \"El deseo de Phillip\", de Suzanne Osorio A mi sobrino le gusta jugar Perseguir a las chicas le alegra el día. Le preguntó a su madre Si le parece bien Hacerse un piercing en la oreja. Ella exclamó: \"¡De ninguna manera!\" Que te hagas un agujero en la oreja No es lo que quiero para ti, querido. Argumentó muy bien su punto de vista Lo dice incluso mi amigo macho, Mel Se lo hizo. Todo es solo por diversión. Vamos, por favor, mamá, por favor, qué demonios. De nuevo Phillip se quejó con su madre Dice que la mitad de sus amigos (incluidos sus hermanos) Se perforan las orejas Y no tienen miedo Quiere ser como los demás. Ella dijo: \"Creo que es mucho menos. Debemos hacer una prueba de hipótesis. Y si tienes razón No me voy a resistir. Pero, si no, entonces mantengo mi postura\". Procedimos a llamar a cincuenta chicos Para determinar de quién era la predicción correcta. Diecinueve de los cincuenta Dijeron que hacerse un piercing era estupendo Y que compraban aros de vez en cuando. Luego están los otros treinta y uno Quienes dijeron que nunca se lo harían. Así que ahora este poema está terminado. ¿Sus esperanzas se disminuirán? ¿O mi sobrino se divertirá? H 0 : p = 0,50 H a : p < 0,50 Sea P′ = la proporción de amigos que tiene una oreja perforada. normal para una sola proporción -1,70 valor p = 0,0448 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. (Sin embargo, están muy cerca). Conclusión: hay pruebas suficientes para respaldar la afirmación de que menos del 50 % de sus amigos tienen orejas perforadas. Intervalo de confianza: (0,245, 0,515): el intervalo de confianza \"más 4\" es (0,259, 0,519). \"El derrotado\", de Mark Salangsang Érase una vez, en una mañana triste En la clase de Estadística estaba débil y cansado. Reflexionaba sobre las tareas de anoche Cuyas respuestas estaban ahora en la pizarra Esto lo hice y nada más. Mientras yo asentía casi durmiendo la siesta De repente, se oyó un golpeteo. Como alguien que rapea suavemente, Golpeaba mi cabeza mientras ronco. Dijo el maestro: \"No duermas más\". “En cada clase te quedas dormido”. El maestro dijo, su voz era profunda. \"Así que un recuento que he empezado a llevar De todas las clases en las que duermes la siesta y roncas. El porcentaje es de cuarenta y cuatro\". \"Mi estimado maestro debo confesar, Si bien dormir es lo que mejor hago. El porcentaje, creo, debe ser menor Un porcentaje inferior a cuarenta y cuatro\" Esto lo he dicho y nada más. \"Ya veremos\", dijo y se alejó. Y cincuenta clases desde ese día Contó hasta el mes de mayo Las clases en las que dormía la siesta y roncaba. El número que calculó fue veinticuatro. Con un nivel de significación de 0,05 Por favor, dígame si todavía estoy vivo. ¿Acaso mis calificaciones cayeron en picada? ¿Bajaron mucho? A usted le imploro. Toastmasters International cita un informe de Gallop Poll que indica que el 40 % de los estadounidenses temen hablar en público. Una estudiante cree que menos del 40 % de los estudiantes de su escuela temen hablar en público. Encuesta aleatoriamente a 361 compañeros de clase y descubre que 135 dicen que temen hablar en público. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje en su escuela es inferior al 40 %. H 0 : p = 0,40 H a : p < 0,40 Sea P′ = la proporción de compañeros que temen hablar en público. normal para una sola proporción -1,01 valor p = 0,1563 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes que respalden la afirmación de que menos del 40 % de los estudiantes de la escuela temen hablar en público. Intervalo de confianza: (0,3241, 0,4240): el intervalo de confianza \"más 4\" es (0,3257, 0,4250). El sesenta y ocho por ciento de los cursos en línea de colegios comunitarios de todo el país fueron impartidos por profesores a tiempo completo. Para comprobar si el 68 % también representa el porcentaje de California de profesores a tiempo completo que imparten clases en línea se seleccionó al azar el Long Beach City College (LBCC) de California para realizar una comparación. Ese mismo año, 34 de los 44 cursos en línea que ofrecía el LBCC los impartieron profesores a tiempo completo. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el 68 % es representativo de California. NOTA: Para obtener resultados más precisos, utilice más colegios comunitarios de California y los datos del año pasado. Según un artículo de Bloomberg Businessweek , la tasa de fumadores adultos más reciente de la ciudad de Nueva York es del 14 %. Supongamos que se hace una encuesta para determinar la tasa de este año. Nueve de los 70 residentes de la ciudad de Nueva York elegidos al azar responden que fuman. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la tasa sigue siendo del 14 % o si ha disminuido. H 0 : p = 0,14 H a : p < 0,14 Supongamos que P′ = la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman. normal para una sola proporción -0,2756 valor p = 0,3914 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman es inferior al 0,14. Intervalo de confianza: (0,0502, 0,2070): El intervalo de confianza “más 4” (consulte el capítulo 8) es (0,0676, 0,2297). La edad media de los estudiantes del De Anza College en un trimestre anterior era de 26,6 años. Un instructor cree que la edad media de los estudiantes en línea es mayor de 26,6 años. Encuesta al azar a 56 estudiantes en línea y halla que la media muestral es de 29,4 con una desviación típica de 2,1. Realice una prueba de hipótesis. Los enfermeros registrados ganan un salario promedio anual de 69.110 dólares. Para ese mismo año, se realizó una encuesta a 41 enfermeros registrados de California para determinar si el salario anual es superior a 69.110 dólares para los enfermeros de California. El promedio muestral fue de 71.121 dólares, con una desviación típica de la muestra de 7.489 dólares. Realice una prueba de hipótesis. H 0 : μ = 69.110 H a : μ > 69.110 Supongamos que X ¯ = el salario medio en dólares de los enfermeros registrados de California. Distribución t de Student t = 1,719 valor p : 0,0466 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario medio de los enfermeros registrados de California supera los 69.110 dólares. ($68.757, $73.485) La Leche League International informa que la edad media de destete de un niño de la lactancia materna es de cuatro a cinco años en todo el mundo. En Estados Unidos, la mayoría de las madres lactantes destetan a sus hijos mucho antes. Supongamos que se realiza una encuesta aleatoria a 21 madres de EE. UU. que han destetado recientemente a sus hijos. La edad media de destete fue de nueve meses (3/4 de año) con una desviación típica de 4 meses. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la edad media de destete en EE. UU. es inferior a los cuatro años. En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? Después de realizar la prueba, su decisión y conclusión son: Rechazar H 0 : hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. Rechazar H 0 : Hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. c Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. A un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es: No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de Evergreen Valley College (EVC) que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es superior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es de, al menos, el 20 %. Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. A un nivel de significación de a = 0,05, ¿cuál es la conclusión correcta? Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,75 Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,75 c Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes. Indique la hipótesis nula y la alternativa. Indique el valor p . Indique alfa. ¿Cuál es su decisión? Escriba una conclusión. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema. Según el sitio web del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, en 2011, al menos, el 18 % de los estudiantes de secundaria han fumado un cigarrillo. Una clase de Introducción a la estadística en el condado de Davies, Kentucky llevó a cabo una prueba de hipótesis en la escuela secundaria local (una ciudad de tamaño demográfico medio, de aproximadamente 1.200 estudiantes) para determinar si el porcentaje de la escuela secundaria local era menor. Se eligieron al azar ciento cincuenta estudiantes y se les encuestó. De los 150 estudiantes encuestados, 82 han fumado. Utilice un nivel de significación de 0,05 y, mediante las pruebas estadísticas adecuadas, realice una prueba de hipótesis y exponga las conclusiones. Una encuesta reciente del New York Times Almanac indica que el 48,8 % de las familias poseen acciones. Un corredor de acciones quería determinar si esta encuesta podía ser válida. Consultó a una muestra aleatoria de 250 familias y descubrió que 142 poseían algún tipo de acciones. A un nivel de significación del 0,05, ¿puede considerarse que la encuesta es precisa? H 0 : p = 0,488 H a : p ≠ 0,488 valor p = 0,0114 alfa = 0,05 rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que el 48,8 % de las familias poseen acciones. La encuesta no parece ser precisa. El error del conductor puede figurar como la causa de aproximadamente el 54 % de todos los accidentes automovilísticos mortales, según la Asociación Americana del Automóvil (AAA). Se examinan treinta accidentes mortales seleccionados al azar y se determina que 14 fueron causados por un error del conductor. Utilizando α = 0,05, ¿la proporción de la AAA es exacta? El Departamento de Energía de Estados Unidos informó que el 51,7 % de los hogares se calentaban con gas natural. En una muestra aleatoria de 221 hogares de Kentucky se comprobó que 115 se calentaban con gas natural. ¿La evidencia apoya la afirmación de Kentucky en el nivel α = 0,05 en Kentucky? ¿Los resultados son aplicables en todo el país? ¿Por qué? H 0 : p = 0,517 H a : p ≠ 0,517 valor p = 0,9203. alfa = 0,05. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares de Kentucky que se calientan con gas natural es de 0,517. Sin embargo, no podemos generalizar este resultado para toda la nación. Primero, la población de la muestra es solo el estado de Kentucky. Segundo, es razonable suponer que los hogares de los extremos norte y sur tendrán un uso extremadamente alto y bajo, respectivamente. Tendríamos que ampliar nuestra base muestral para incluir estas posibilidades si quisiéramos generalizar esta afirmación para toda la nación. En cuanto a los estadounidenses que utilizan servicios de las bibliotecas, la Asociación Americana de Bibliotecas afirma que, como máximo, el 67 % de los usuarios piden libros en préstamo. La directora de la biblioteca de Owensboro, Kentucky cree que esto no es cierto, así que pidió a una clase de Estadística de un instituto universitario local que realizara una encuesta. La clase seleccionó al azar 100 usuarios y descubrió que 82 pidieron libros prestados. ¿La clase demostró que el porcentaje era mayor en Owensboro, Kentucky? Utilice el nivel de significación α = 0,01. ¿Cuál es la posible proporción de usuarios que piden prestados libros de la Biblioteca de Owensboro? Weather Underground informó de que la cantidad media de lluvias en verano para el noreste de EE. UU. es de, al menos, 11,52 pulgadas. Se seleccionan aleatoriamente diez ciudades del noreste y se calcula que la cantidad media de lluvia es de 7,42 pulgadas con una desviación típica de 1,3 pulgadas. Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que el promedio de las lluvias fue inferior al promedio comunicado? ¿Y si α = 0,01? Supongamos que la cantidad de lluvia de verano sigue una distribución normal. H 0 : µ ≥ 11,52 H a : µ < 11,52 valor p = 0,000002 que es casi 0. alfa = 0,05. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que la cantidad promedio de lluvia en verano en el noreste de EE. UU. es inferior a 11,52 pulgadas, en promedio. Llegaríamos a la misma conclusión si alfa fuera del 1 % porque el valor p es casi 0. Una encuesta publicada en el New York Times Almanac revela que el tiempo medio de desplazamiento (en un sentido) es de 25,4 minutos en las 15 principales ciudades de EE. UU. La cámara de comercio de Austin, TX considera que el tiempo de desplazamiento de Austin es menor y quiere dar a conocer este hecho. La media de 25 viajeros seleccionados al azar es de 22,1 minutos, con una desviación típica de 5,3 minutos. Al nivel α = 0,10, ¿el viaje al trabajo de Austin, TX es significativamente menor que la media del tiempo de viaje de las 15 ciudades más grandes de EE. UU.? Un informe de Gallup Poll reveló que una mujer visita a su médico, en promedio, como máximo 5,8 veces al año. Una muestra aleatoria de 20 mujeres da como resultado estos totales de visitas anuales 3 2 1 3 7 2 9 4 6 6 8 0 5 6 4 2 1 3 4 1 Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que la media muestral es superior a 5,8 visitas al año? H 0 : µ ≤ 5,8 H a : µ > 5,8 valor p = 0,9987 alfa = 0,05 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que una mujer visita a su médico, en promedio, más de 5,8 veces al año. Según el New York Times Almanac , el tamaño medio de las familias en EE. UU. es de 3,18. Una muestra de una clase de Matemáticas de un instituto universitario dio como resultado los siguientes tamaños de familia: 5 4 5 4 4 3 6 4 3 3 5 5 6 3 3 2 7 4 5 2 2 2 3 2 Al nivel α = 0,05, ¿el tamaño medio de las familias de la clase es mayor que el promedio nacional? ¿Sigue siendo válido el resultado del New York Times Almanac? ¿Por qué? El grupo académico de estudiantes de un campus de un instituto universitario afirma que los estudiantes de primer año estudian, al menos, 2,5 horas al día en promedio. Una clase de Introducción a la estadística era escéptica. La clase tomó una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año y halló una media de tiempo de estudio de 137 minutos con una desviación típica de 45 minutos. Al nivel α = 0,01, ¿la afirmación del grupo académico de estudiantes es correcta? H 0 : µ ≥ 150 H a : µ < 150 valor p = 0,0622 alfa = 0,01 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 1 % no hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de primer año estudian menos de 2,5 horas al día en promedio. La afirmación del grupo académico de estudiantes parece ser correcta. Referencias Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC. Datos de Bloomberg Businessweek . Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html. Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman. Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html. Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm. Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013) Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/. Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1. Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013). Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013). “Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf. Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013). Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013). Teorema del límite central Dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y la desviación típica conocida σ. Estamos muestreando con un tamaño n y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ , y la suma de la muestra, Σ X . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) y Σ X ~ N ( n μ , n σ ) . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales y la distribución de las sumas muestrales se aproximarán a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media de la población, y la media de las sumas muestrales será igual a n veces la media de la población. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media.", "section": "Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante seleccionará las distribuciones adecuadas para utilizar en cada caso. El estudiante realizará pruebas de hipótesis e interpretará los resultados. Encuesta de televisión En una encuesta reciente, se afirma que los estadounidenses ven televisión un promedio de cuatro horas al día. Supongamos que σ = 2. Utilizando su clase como muestra, realice una prueba de hipótesis para determinar si el promedio de los estudiantes de su escuela es inferior. H 0 : _____________ H a : _____________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = ______________________ La distribución que se va a usar para la prueba es _______________________. Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y márquelo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta lingüística Alrededor del 42,3 % de los californianos y el 19,6 % de todos los estadounidenses mayores de cinco años hablan un idioma distinto del inglés en casa. Utilizando su clase como muestra, realice una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje de estudiantes de su escuela que hablan un idioma distinto del inglés en casa es diferente del 42,3 %. H 0 : ___________ H a : ___________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = _______________ La distribución a utilizar para la prueba es ________________ Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta sobre pantalones vaqueros Supongamos que los adultos jóvenes tienen un promedio de tres pares de vaqueros. Encueste a ocho personas de su clase para determinar si el promedio es superior a tres. Supongamos que la población es normal. H 0 : _____________ H a : _____________ En palabras, defina la variable aleatoria. __________ = ______________________ La distribución que se va a usar para la prueba es _______________________. Determine el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Determine el valor p . ¿Rechaza o no la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa.", "section": "Pruebas de hipótesis de una sola media y una sola proporción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción Si quiere probar una afirmación que involucra dos grupos (los tipos de desayunos que se consumen al este y al oeste del río Misisipi) puede utilizar una técnica ligeramente diferente al realizar una prueba de hipótesis (créditos: Chloe Lim). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Clasificar las pruebas de hipótesis por tipo. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos medias poblacionales, conocidas las desviaciones típicas de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos medias poblacionales, desconocidas las desviaciones típicas de la población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para dos proporciones de población. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas. Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años. Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones. Ha aprendido a realizar pruebas de hipótesis sobre medias y proporciones únicas. En este capítulo se ampliará la información. Comparará dos medias o dos proporciones entre sí. El procedimiento general sigue siendo el mismo, pero ampliado. Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes . Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban utilizando grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población. NOTA Este capítulo se basa en una calculadora o una computadora para calcular los grados de libertad, los estadísticos de prueba y los valores p . Se incluyen las instrucciones para la TI-83+ y la TI-84, así como las fórmulas de los estadísticos de prueba. Cuando se utiliza una calculadora TI-83+ o TI-84, no es necesario separar dos medias poblacionales, grupos independientes o varianzas poblacionales desconocidas en tamaños de muestra grandes y pequeños. Sin embargo, la mayoría de los softwares de estadística tienen la capacidad de diferenciar estas pruebas. Este capítulo trata de las siguientes pruebas de hipótesis: Grupos independientes (las muestras son independientes) Prueba de dos medias poblacionales. Prueba de dos proporciones poblacionales. Muestras coincidentes o emparejadas (las muestras son dependientes) Prueba de las dos proporciones de la población mediante la prueba de una media poblacional de diferencias.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas Las dos muestras independientes son simples muestras aleatorias de dos poblaciones distintas. Para las dos poblaciones distintas si los tamaños de las muestras son pequeños, las distribuciones son importantes (deben ser normales) si los tamaños de las muestras son grandes, las distribuciones no son importantes (no tienen por qué ser normales) NOTA La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin Welch desarrolló la fórmula de los grados de libertad. La comparación de dos medias poblacionales es muy común. La diferencia entre las dos muestras depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. Para tener en cuenta la variación, tomamos la diferencia de las medias de la muestra, X ¯ 1 – X ¯ 2 , y dividimos entre el error estándar para normalizar la diferencia. El resultado es un estadístico de prueba de puntuación t. Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar , de la diferencia de las medias muestrales , X ¯ 1 – X ¯ 2 . El error estándar es: ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación t ) se calcula como sigue: ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 donde: s 1 y s 2 , las desviaciones típicas de la muestra, son estimaciones de σ 1 y σ 2 , respectivamente. σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas desconocidas de la población. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. El número de grados de libertad ( df ) requiere un cálculo algo complicado. Sin embargo, la computadora o la calculadora lo calculan fácilmente. Los df no son siempre un número entero. El estadístico de prueba calculado anteriormente se determina aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera: Grados de libertad d e = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 - 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 Cuando los tamaños de las muestras n 1 y n 2 son cinco o más, la aproximación t de Student es bastante apropiada. Observe que las varianzas muestrales ( s 1 ) 2 y ( s 2 ) 2 no están agrupadas. (Si se plantea la cuestión, no agrupe las varianzas). NOTA No es necesario calcularlo a mano. La calculadora o la computadoras lo harán fácilmente. Grupos independientes Se cree que el promedio de tiempo que los niños y niñas de entre siete y once años practican deportes cada día es la misma. Se hace un estudio y se recopilan datos, lo que da como resultado los datos en la . Cada población tiene una distribución normal. Tamaño de la muestra Promedio de horas de práctica deportiva al día Desviación típica de la muestra Niñas 9 2 0,866 Niños 16 3,2 1,00 ¿Hay diferencia en la media de tiempo que los niños y las niñas de 7 a 11 años practican deportes cada día? Prueba al nivel de significación del 5%. No se conocen las desviaciones típicas de la población. Sea g el subíndice de las niñas y b el de los niños. Entonces, μ g es la media poblacional de las chicas y μ b es la de los niños. Se trata de una prueba de dos grupos independientes y dos medias poblacionales . Variable aleatoria : X ¯ g – X ¯ b = diferencia en la media muestral de tiempo que las niñas y los niños practican deportes cada día. H 0 : μ g = μ b H 0 : μ g – μ b = 0 H a : μ g ≠ μ b H a : μ g – μ b ≠ 0 Las palabras “igual que” le dicen que H 0 tiene un “=”. Ya que no hay otras palabras que indiquen H a , asumamos que dice: \"es diferente\". Esta es una prueba de dos colas. Distribución para la prueba: Utilice t df donde df se calcula con la fórmula df para grupos independientes, dos medias poblacionales. Con el empleo de la calculadora, los df son aproximadamente 18,8462. No agrupe las varianzas. Calcule el valor p con la distribución t de Student: valor p = 0,0054 Gráfico: s g = 0,866 s b = 1 Así que, x ¯ g – x ¯ b = 2 – 3.2 = –1.2 La mitad del valor p es inferior a -1,2 y la otra mitad es superior a 1,2. Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Esto significa que se rechaza μ g = μ b . Las medias son diferentes. Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 4:2-SampTTest . Flecha hacia STATS y pulse ENTER . Flecha hacia abajo e ingrese 2 para la primera media muestral, 0,866 para Sx1, 9 para n1, 3,2 para la segunda media muestral, 1 para Sx2, y 16 para n2. Flecha hacia abajo a μ1: y flecha a no es igual a μ2. Pulse ENTER . Flecha hacia abajo a Pooled: y No . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,0054, los dfs son aproximadamente 18,8462 y el estadístico de prueba es -3,14. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate (Calcular) ejecute Draw (Dibujar). Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra indican que hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas que las niñas y los niños de siete a once años practican deportes al día es diferente (la media de horas que los niños de siete a once años practican deportes al día es mayor que el de las niñas practican O la media de horas que las niñas de siete a once años practican deportes al día es mayor que el de los niños). Ejercicio En la se indican dos muestras. Ambas tienen distribuciones normales. Se cree que las medias de las dos poblaciones son las mismas. ¿Hay alguna diferencia en las medias? Prueba al nivel de significación del 5 %. Tamaño de la muestra Media muestral Desviación típica de la muestra Población A 25 5 1 Población B 16 4,7 1,2 NOTA Cuando la suma de los tamaños de las muestras es mayor que 30 ( n 1 + n 2 > 30), se puede utilizar la distribución normal para calcular aproximadamente la t de Student. Un grupo comunitario realiza un estudio en dos institutos universitarios vecinos para determinar cuál de ellos gradúa a los estudiantes con más clases de Matemáticas. La universidad A toma una muestra de 11 graduados. Su promedio es de cuatro clases de Matemáticas con desviación típica de 1,5. La universidad B toma una muestra de nueve graduados. Su promedio es de 3,5 clases de Matemáticas con desviación típica de una clase de Matemáticas. El grupo comunitario cree que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario A ha tomado más clases de Matemáticas, en promedio. Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Responda las siguientes preguntas: a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? a. dos medias b. ¿Las desviaciones típicas de las poblaciones son conocidas o desconocidas? b. desconocidas c. ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? c. t de Student. d. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. X ¯ A – X ¯ B e. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. e H o : μ A ≤ μ B H a : μ A > μ B f. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. derecha g. ¿Cuál es el valor p ? g. 0,1928 h. ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? h. No rechazar. i. Conclusión: i. Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario A haya tomado más clases de Matemáticas, en promedio, que un estudiante que se gradúa en el instituto universitario B. Ejercicio Se realiza un estudio para determinar si la compañía A retiene a sus trabajadores más tiempo que la compañía B. La compañía A toma una muestra de 15 trabajadores, y su tiempo promedio en la compañía es de cinco años con desviación típica de 1,2. La compañía B cuenta con una muestra de 20 trabajadores, cuyo promedio de antigüedad en la compañía es de 4,5 años con desviación típica de 0,8. Las poblaciones se distribuyen normalmente. ¿Se conocen las desviaciones típicas de la población? Realice una prueba de hipótesis apropiada. A un nivel de significación del 5 %, ¿cuál es su conclusión? Un profesor de una gran universidad comunitaria quería determinar si existe una diferencia en las medias de las puntuaciones de los exámenes finales entre los estudiantes que tomaron su curso de estadística en línea y los que tomaron la clase presencial. Creía que la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea sería inferior a la de la clase presencial. ¿Estaba en lo correcto el profesor? Las 30 puntuaciones de los exámenes finales de cada grupo, seleccionadas al azar, figuran en la y la . Clase en línea 67,6 41,2 85,3 55,9 82,4 91,2 73,5 94,1 64,7 64,7 70,6 38,2 61,8 88,2 70,6 58,8 91,2 73,5 82,4 35,5 94,1 88,2 64,7 55,9 88,2 97,1 85,3 61,8 79,4 79,4 Clase presencial 77,9 95,3 81,2 74,1 98,8 88,2 85,9 92,9 87,1 88,2 69,4 57,6 69,4 67,1 97,6 85,9 88,2 91,8 78,8 71,8 98,8 61,2 92,9 90,6 97,6 100 95,3 83,5 92,9 89,4 ¿Es la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea inferior a la media de clase presencial? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Responda a las siguientes preguntas: ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? ¿Las desviaciones típicas de la población son conocidas o desconocidas? ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. ¿Esta prueba es a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, ______ (es/no es) evidencia suficiente para concluir que ______. (Vea la conclusión en el , y escriba la suya de forma similar). Primero ponga los datos de cada grupo en dos listas (como L1 y L2). Pulse STAT. Flecha hacia TESTS y pulse 4:2SampTTest. Asegúrese de que Data (Datos) esté resaltado y pulse ENTER. Flecha hacia abajo; introduzca L1 para la primera lista y L2 para la segunda. Desplace la flecha hacia abajo hasta μ 1 : y la flecha hacia < μ 2 (menos que). Pulse ENTER. Flecha hacia abajo a Pooled: No. Pulse ENTER. Flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular); pulse ENTER. Nota: ¡No mezcle la información del Grupo 1 y del Grupo 2! dos medias desconocido t de Student. X ¯ 1 – X ¯ 2 H 0 : μ 1 = μ 2 Hipótesis nula: las medias de las puntuaciones de los exámenes finales son iguales para las clases de estadística en línea y presenciales. H a : μ 1 < μ 2 Hipótesis alternativa: la media de las puntuaciones del examen final de la clase en línea es menor que la de la clase presencial. cola izquierda valor p = 0,0011 Rechace la hipótesis nula. El profesor estaba en lo correcto. Las pruebas revelan que la media de las puntuaciones de los exámenes finales de la clase en línea es inferior a la de la clase presencial. Al nivel de significación del 5 % , a partir de los datos de la muestra, hay (hay/no hay) pruebas suficientes para concluir que la media de las puntuaciones de los exámenes finales de la clase en línea es menor que la de la clase presencial. Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto con base en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande. Tamaños de los efectos de los criterios de Cohen Tamaño del efecto d Pequeño 0,2 Mediano 0,5 Grande 0,8 La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 - 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Calcule la d de Cohen para el . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. μ 1 = 4 s 1 = 1.5 n 1 = 11 μ 2 = 3.5 s 2 = 1 n 2 = 9 d = 0.384 El efecto es pequeño porque 0,384 está entre el valor de Cohen de 0,2 para un tamaño de efecto pequeño y 0,5 para un tamaño de efecto mediano. El tamaño de las diferencias de las medias de las dos universidades es pequeño, lo que indica que no hay ninguna diferencia significativa entre estas. Calcule la d de Cohen para el . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. d = 0,834; grande, porque 0,834 es mayor que el 0,8 de Cohen para un tamaño de efecto grande. El tamaño de las diferencias entre las medias de las puntuaciones de los exámenes finales de los estudiantes en línea y los estudiantes en la clase presencial es grande, lo que indica una diferencia significativa. Ejercicio El alfa ponderado es una medida del rendimiento ajustado al riesgo de las acciones durante un periodo de un año. Un alfa ponderado positivo alto significa una acción cuyo precio ha subido, mientras que un alfa ponderado positivo pequeño indica un precio de la acción sin cambios durante el periodo. El alfa ponderado se utiliza para identificar compañías con fuertes tendencias al alza o a la baja. El alfa ponderado de los 30 principales títulos valores de los bancos del noreste y del oeste identificados por el Nasdaq el 24 de mayo de 2013 figura en la y la , respectivamente. Noreste 94,2 75,2 69,6 52,0 48,0 41,9 36,4 33,4 31,5 27,6 77,3 71,9 67,5 50,6 46,2 38,4 35,2 33,0 28,7 26,5 76,3 71,7 56,3 48,7 43,2 37,6 33,7 31,8 28,5 26,0 Oeste 126,0 70,6 65,2 51,4 45,5 37,0 33,0 29,6 23,7 22,6 116,1 70,6 58,2 51,2 43,2 36,0 31,4 28,7 23,5 21,6 78,2 68,2 55,6 50,3 39,0 34,1 31,0 25,3 23,4 21,5 ¿Existe alguna diferencia en el alfa ponderado de los 30 principales títulos valores de los bancos del noreste y del oeste? Pruebe a un nivel de significación del 5 %. Responda las siguientes preguntas: ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? ¿Las desviaciones típicas de la población son conocidas o desconocidas? ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? ¿Cuál es la variable aleatoria? ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba las hipótesis nula y alternativa con palabras y con símbolos. ¿Esta prueba es a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, ______ (es/no es) evidencia suficiente para concluir que ______. Calcule la d de Cohen e interprétela. Referencias Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com Datos de Microsoft Bookshelf . Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013). “Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013). “Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013). “Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013). “Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población. Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = la diferencia de las medias muestrales Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar). Repaso de la fórmula Error estándar: SE = ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Estadístico de prueba (puntuación t ): t = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Grados de libertad: d e = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 donde: s 1 y s 2 son las desviaciones típicas de la muestra, n 1 y n 2 son los tamaños de la muestra. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para: medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se cree que el 70 % de los hombres aprueban el examen de conducir en el primer intento, comparado con el 65 % de las mujeres. Nos interesa saber si las proporciones son realmente iguales. dos proporciones Se prueba un nuevo detergente para la ropa en consumidores. Nos interesa la proporción de consumidores que prefieren la nueva marca sobre el competidor principal. Se realiza un experimento para comprobarlo. Un nuevo tratamiento para parabrisas pretende repeler el agua con mayor eficacia. Se prueban diez parabrisas simulando lluvia sin el nuevo tratamiento. A continuación, se tratan los mismos parabrisas y se repite el experimento. Se realiza una prueba de hipótesis. muestras coincidentes o emparejadas La desviación típica conocida del salario de todos los profesionales de nivel intermedio en el sector financiero es de 11.000 dólares. La compañía A y la compañía B pertenecen al sector financiero. Supongamos que se toman muestras de profesionales de nivel intermedio en las compañías A y B. El salario en la media muestral de los profesionales de nivel intermedio en la compañía A es de 80.000 dólares. El salario medio de la muestra para los profesionales de nivel intermedio en la compañía B es de 96.000 dólares. Las gerencias de las compañías A y B quieren saber si la remuneración de sus profesionales de nivel intermedio es diferente, en promedio. El trabajador promedio en Alemania cuenta con ocho semanas de vacaciones remuneradas. media sencilla Según un anuncio de televisión, el 80 % de los dentistas coinciden en que la pasta de dientes Ultrafresh es la mejor en el mercado. Se cree que el promedio de calificación en un ensayo en inglés en un sistema escolar concreto es más alto en las mujeres que en los hombres. La muestra aleatoria de 31 mujeres obtuvo una puntuación media de 82 con desviación típica de tres, mientras que la muestra aleatoria de 25 hombres obtuvo una puntuación media de 76 con desviación típica de cuatro. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas El promedio de bateo de la liga es de 0,280 con desviación típica conocida de 0,06. Los Rattlers y los Vikingos pertenecen a la liga. El promedio de bateo de una muestra de ocho jugadores de los Rattlers es de 0,210, mientras que el de los Vikingos es de 0,260. Hay 24 jugadores en el equipo de los Rattlers y 19 en el de los Vikingos. ¿Es el promedio de bateo de los Rattlers y de los Vikingos estadísticamente diferente? En una muestra aleatoria de 100 bosques en Estados Unidos, 56 eran de coníferas o contenían coníferas. En una muestra aleatoria de 80 bosques en México, 40 eran de coníferas o contenían coníferas. ¿La proporción de coníferas en Estados Unidos es estadísticamente mayor que en México? dos proporciones Se dice que un nuevo medicamento mejora el sueño. Se elige a ocho personas al azar y se les suministra el medicamento. Se registraron las horas medias de sueño de cada persona antes y después de comenzar la medicación. Se cree que los adolescentes duermen más que los adultos en promedio. Se realiza un experimento para comprobarlo. Una muestra de 16 adolescentes tiene una media de 8,9 horas de sueño con desviación típica de 1,2. Una muestra de 12 adultos tiene una media de 6,9 horas de sueño con una desviación típica de 0,6. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Los atletas universitarios practican un promedio de cinco veces a la semana. Una muestra de 12 programas de posgrado en el estado de la escuela A tiene una matrícula media de 64.000 dólares con desviación típica de 8.000 dólares. En la escuela B, una muestra de 16 programas de posgrado en el estado tiene una media de 80.000 dólares con desviación típica de 6.000 dólares. En promedio, ¿son diferentes las matrículas medias? medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Se ofrece a los consumidores un nuevo amplificador de alcance de wifi. Un investigador prueba el alcance nativo de 12 enrutadores diferentes en las mismas condiciones. Los rangos se registran. A continuación, el investigador utiliza el nuevo amplificador de alcance de wifi y registra los nuevos alcances. ¿El nuevo amplificador de alcance de wifi funciona mejor? El director de un escuela secundaria afirma que el 30 % de los estudiantes atletas van en automóvil a la escuela, comparado con el 4% de los que no son atletas. En una muestra de 20 estudiantes atletas, el 45 % va en automóvil a la escuela. En una muestra de 35 estudiantes que no son atletas, el 6 % va en automóvil a la escuela. ¿Es mayor el porcentaje de estudiantes atletas que se desplazan en automóvil a la escuela que el de los estudiantes que no son atletas? dos proporciones Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. ¿Las desviaciones típicas son conocidas o desconocidas? ¿Cuál es la variable aleatoria? La variable aleatoria es la diferencia entre las cantidades medias de azúcar de las dos bebidas gaseosas. ¿Es una prueba de una o dos colas? Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? medias Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : __________ H a : __________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? dos colas En símbolos, ¿cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? En palabras, defina la variable aleatoria de interés para esta prueba. la diferencia entre la duración media de la vida de personas blancas y personas que no son blancas ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el . Se trata de una comparación de dos medias poblacionales con desviaciones típicas poblacionales desconocidas. Calcule el estadístico de la prueba y el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Etiquete el eje horizontal. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): Rechace la hipótesis nula. valor p < 0,05 No hay pruebas suficientes al nivel de significación del 5 % para respaldar la afirmación de que la esperanza de vida en la década de 1900 es diferente entre los blancos y los no blancos. ¿Parece que las medias son iguales? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el apéndice E . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro, se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. NOTA Si utiliza la distribución t de Student para un problema de tarea en lo que sigue, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente. (Sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar esa suposición). Se cree que el número medio de cursos de inglés que toman en un periodo de dos años los estudiantes universitarios hombres y mujeres es aproximadamente el mismo. Se realiza un experimento y se recopilan datos de 29 hombres y 16 mujeres. Los hombres tomaron tres cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 0,8. Las mujeres tomaron cuatro cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 1,0. ¿Son las medias estadísticamente iguales? Un estudiante de una universidad de cuatro años afirma que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años en Estados Unidos. Se realizan dos encuestas. De los 35 institutos universitarios de dos años encuestados la media de matriculación era de 5.068, con desviación típica de 4.777. De los 35 institutos universitarios de cuatro años encuestados, la media de matriculación era de 5.466, con desviación típica de 8.191. Subíndices: 1: colegios universitarios de dos años; 2: universidades de cuatro años H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de matriculación en los institutos universitarios de dos años y en las universidades de cuatro años. t de Student estadístico de prueba: –0,2480 valor p : 0,4019 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechazar. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años. En la fiesta del 11. º cumpleaños de Rachel se cronometró el tiempo (en segundos) que ocho niñas podían aguantar la respiración en posición relajada. Tras un descanso de dos minutos, se cronometraron mientras saltaban. Las niñas pensaron que la diferencia media entre sus tiempos de salto y de relajación sería cero. Compruebe su hipótesis. Tiempo de relajación (segundos) Tiempo de salto (segundos) 26 21 47 40 30 28 22 21 23 25 45 43 37 35 29 32 Se cree que la media de los salarios iniciales de los graduados universitarios con títulos de Ingeniería Mecánica y de Ingeniería Eléctrica es aproximadamente igual. Una oficina de contratación cree que el salario medio de los ingenieros mecánicos es en realidad más bajo que el de los ingenieros eléctricos. La oficina de contratación encuesta aleatoriamente a 50 ingenieros mecánicos de y a 60 ingenieros eléctricos de nivel inicial. Sus salarios medios fueron de 46.100 dólares y 46.700 dólares, respectivamente. Sus desviaciones típicas fueron de 3.450 dólares y 4.210 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si está de acuerdo en que el salario medio inicial de los ingenieros mecánicos es inferior al de los ingenieros eléctricos. Subíndices: 1: ingeniería mecánica; 2: ingeniería eléctrica H 0 : µ 1 ≥ µ 2 H a : µ 1 < µ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos y los ingenieros eléctricos. t 108 estadístico de prueba: t = –0,82 valor p : 0,2061 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos es inferior a la de los ingenieros eléctricos. Compañías de mercadeo han recopilado datos que implican que las adolescentes utilizan más tonos de llamada en sus teléfonos móviles que sus pares masculinos. En un estudio particular de 40 adolescentes elegidos al azar (20 de cada sexo) con teléfonos móviles, el número medio de tonos de llamada para las chicas era de 3,2 con desviación típica de 1,5. La media de los chicos fue de 1,7 con desviación típica de 0,8. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son aproximadamente iguales o si la media de las chicas es mayor que la de los chicos. Utilice la información de C - CONJUNTOS DE DATOS para responder los cuatro ejercicios siguientes. Con solo los datos de la vuelta 1, realice una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es el mismo que en los entrenamientos. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 20,32 estadístico de prueba: –4,70 valor p : 0,0001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. Repita la prueba del Ejercicio 10.83 , pero esta vez utilice los datos de la vuelta 5. Repita la prueba del Ejercicio 10.83 , pero esta vez combine los datos de las vueltas 1 y 5. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 40,94 estadístico de prueba: –5,08 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. En dos o tres oraciones completas, explique detalladamente cómo podría utilizar los datos sobre Terri Vogel para responder la siguiente pregunta. “¿Terri Vogel conduce más rápido en las carreras que en los entrenamientos?” Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales. Oeste Este Los Ángeles 9 DC United 9 FC Dallas 3 Chicago 8 Chivas USA 4 Columbus 7 Real Salt Lake 3 Nueva Inglaterra 6 Colorado 4 MetroStars 5 San José 4 Kansas City 3 Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes. La distribución exacta para la prueba de hipótesis es: la distribución normal la distribución t de Student la distribución uniforme la distribución exponencial Si el nivel de significación es 0,05, la conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen más goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No se puede determinar. c Supongamos que un instructor de estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron de 75,86 y 16,91. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. La conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes nocturnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes diurnos. No hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes diurnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes nocturnos. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los nocturnos en el examen 2. Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Elijah quiere saber si los costos de los libros de texto son diferentes para las distintas carreras. Selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Sociología ofrecidos en un popular sitio web. El precio medio de su muestra es de 74,64 dólares, con una desviación típica de 49,36 dólares. A continuación, selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Matemáticas y Ciencias del mismo sitio. El precio medio de esta muestra es de 111,56 dólares, con una desviación típica de 66,90 dólares. ¿El precio medio de un libro de texto de Sociología es inferior al de un libro de Matemáticas o Ciencias? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Ejercicio: dos medias muestrales independientes, desviaciones típicas poblacionales desconocidas. μ 1 = el precio medio de un libro de texto de Sociología en el sitio seleccionado. μ 2 = el precio medio de un libro de texto de Matemáticas/Ciencias en el sitio seleccionado. Variable aleatoria: X 1 ¯ – X 1 ¯ = la diferencia en el precio medio de los libros de texto de la muestra entre los libros de texto de Sociología y los de Matemáticas y Ciencias. Hipótesis: H 0 : μ 1 – μ 2 = 0 , H a : μ 1 – μ 2 < μ 2 que puede expresarse como H 0 s : μ 1 – μ 2 , Ha μ 1 < μ 2 . Distribución para la prueba: Utilice la sustitución en t d e ; porque cada muestra tiene más de 30 observaciones, d e = n 1 + n 2 – 2 = 33 + 33 – 2 = 64 . Estime el valor crítico en la tabla t utilizando los grados de libertad disponibles más próximos, 60. El valor crítico, 2,660, se halla en la columna de 0,0005. Calcule el estadístico de prueba: t c = ( X ¯ 1 – X ¯ 2 ) – 0 s 1 2 n 2 + s 2 2 n 2 = ( 74 . 64 – 111 . 56 ) – 0 49 . 36 2 33 + 66 . 90 2 33 = – 2 . 55 . Utilizando una calculadora con t c = – 2 . 55 y d e = 64 , el valor p de cola izquierda: Decisión: Rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, hay suficientes pruebas para concluir que el precio medio de los libros de texto de Sociología es inferior al precio medio de los libros de texto de Matemáticas/Ciencias. Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Es interesante saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. El grupo de la dieta en polvo tuvo una media de pérdida de peso de 42 libras con desviación típica de 12 libras. El grupo de la dieta líquida tuvo una media de pérdida de peso de 45 libras con desviación típica de 14 libras. Supongamos que una instructora de Estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron 75,86 y 16,91, respectivamente. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. Otra hipótesis adecuada para la prueba de hipótesis es: μ día > μ noche μ día < μ noche μ día = μ noche μ día ≠ μ noche d Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que varían libremente. Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Variable (variable aleatoria) característica de interés en una población estudiada. La notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,... La notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x , y , z ,... Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3, ... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello, entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Solo podemos saber qué valor concreto toma x de la variable aleatoria X después de realizar el experimento.", "section": "Medias de dos poblaciones con desviaciones típicas desconocidas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas Aunque esta situación no es probable (conocer las desviaciones típicas de la población no es probable), el siguiente ejemplo ilustra la prueba de hipótesis para medias independientes, conociendo las desviaciones típicas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal y ambas poblaciones deben ser normales. La variable aleatoria es X 1 ¯ – X 2 ¯ . La distribución normal tiene el siguiente formato: La distribución normal es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ~ N [ μ 1 – μ 2 , ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 ] La desviación típica es: ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación z ) es: z = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera . Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la . Cera Muestra del número medio de meses que dura la cera del suelo Desviación típica de la población 1 3 0,33 2 2,9 0,36 ¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2 ? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas. Variable aleatoria : X ¯ 1 – X ¯ 2 = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2 , en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Utilizando la fórmula, la distribución es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ~ N ( 0 , 0,33 2 20 + 0,36 2 20 ) Como μ 1 ≤ μ 2 entonces μ 1 - μ 2 ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1799 Gráfico: X ¯ 1 – X ¯ 2 = 3 – 2,9 = 0,1 Compare α y el valor p : α = 0,05 y valor p = 0,1799. Por lo tanto, α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2. Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 3:2-SampZTest . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0,33 para sigma1, 0,36 para sigma2, 3 para la primera media muestral, 20 para n1, 2,9 para la segunda media muestral, y 20 para n2. Desplace la flecha hacia abajo hasta μ 1: y la flecha hacia > μ 2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,1799 y el estadístico de prueba es 0,9157. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar . Ejercicio Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Motor Número de media de RPM de la muestra Desviación típica de la población 1 1.500 50 2 1.600 60 Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años. ¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos. H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H 0 : µ 1 – µ 2 ≤ 0 H a : µ 1 > µ 2 H a : µ 1 – µ 2 > 0 Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: la distribución es la aproximación normal a la t de Student para medias, grupos independientes. Utilizando la fórmula, la distribución es: X ¯ 1 – X ¯ 2 ∼ N [ 0 , ( 9,55 ) 2 30 + ( 10,17 ) 2 30 ] Como µ 1 ≤ µ 2 , µ 1 - µ 2 ≤ 0 y la media de la distribución normal es cero. (Calcular el valor p utilizando la distribución normal da un valor p = 0,4955) Gráfico: Compare α y el valor p : α = 0,05 y valor p = 0,4955. Por lo tanto, α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos. Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013). “Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013). Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013). “State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013). “Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características: Variable aleatoria: X ¯ 1 – X ¯ 2 = la diferencia de las medias Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Distribución normal: X ¯ 1 – X ¯ 2 ∼ N [ μ 1 – μ 2 , ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 ] . Generalmente µ 1 – µ 2 = 0. Estadístico de prueba (puntuación z ): z = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – ( μ 1 – μ 2 ) ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Generalmente µ 1 - µ 2 = 0. donde: σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas poblacionales conocidas. n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida. Lanzador Muestra de la velocidad media de los lanzamientos (mph) Desviación típica de la población Wesley 86 3 Rodríguez 91 7 ¿Cuál es la variable aleatoria? La diferencia en las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de los dos lanzadores Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico de prueba? -2,46 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Al nivel de significación del 1 %, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay datos suficientes para concluir que la velocidad media de la pelota rápida de Rodríguez es más rápida que la de Wesley. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas. Grupo de plantas Muestra de la altura media de las plantas (pulgadas) Desviación típica de la población Con alimento 16 2,5 Sin alimento 14 1,5 ¿La desviación típica de la población es conocida o desconocida? Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = comida, 2 = sin comida H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 ¿Cuál es el valor p ? Dibuje el gráfico del valor p . Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente. Muestra de las temperaturas medias de fusión (°F) Desviación típica de la población Aleación gamma 800 95 Aleación zeta 900 105 Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = gamma, 2 = zeta H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 ¿Se trata de una prueba a la derecha, a la izquierda o de dos colas? ¿Cuál es el valor p ? 0,0062 Dibuje el gráfico del valor p . Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Hay pruebas suficientes para rechazar la hipótesis nula. Los datos apoyan que el punto de fusión de la aleación zeta es diferente del punto de fusión de la aleación gamma. Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar ese supuesto). Se hace un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse, en promedio, que los estudiantes inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. Supongamos que, a partir de años de investigación, se sabe que las desviaciones típicas de la población son 1,5811 años y 1 año, respectivamente. Se recopilan los siguientes datos. Los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardaron un promedio de 4,5 años, con una desviación típica de 0,8. Los estudiantes de universidades privadas tardaron un promedio de 4,1 años, con una desviación típica de 0,3. Los padres de los adolescentes se quejan a menudo de que el seguro de automóvil cuesta más, en promedio, para los hombres que para las mujeres. Un grupo de padres preocupados examina una muestra aleatoria de facturas de seguros. El costo medio anual para 36 adolescentes hombres fue de 679 dólares. Para 23 adolescentes mujeres fueron 559 dólares. De los años anteriores, se sabe que la desviación típica de la población para cada grupo es de 180 dólares. Determine si cree que el costo medio del seguro de automóvil para los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes mujeres. Subíndices: 1 = hombres, 2 = mujeres H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H a : µ 1 > µ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de los costos de los seguros de automóviles de hombres y mujeres. normal estadístico de prueba: z = 2,50 valor p : 0,0062 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el costo medio del seguro de automóvil de los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes. Un grupo de estudiantes que van a transferirse se preguntaba si gastarían la misma cantidad media en textos y materiales cada año en su universidad de cuatro años que en su colegio comunitario. Realizaron una encuesta aleatoria a 54 estudiantes de su colegio comunitario y a 66 estudiantes de su universidad de cuatro años local. Las medias muestrales fueron 947 y 1.011 dólares, respectivamente. Se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 254 y 87 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son estadísticamente iguales. Algunos fabricantes afirman que los vehículos tipo sedán no híbridos tienen una media de millas por galón (mpg) inferior a los híbridos. Supongamos que los consumidores prueban 21 sedanes híbridos y obtienen una media de 31 mpg con una desviación típica de siete mpg. Treinta y un sedanes no híbridos obtienen una media de 22 mpg con una desviación típica de cuatro mpg. Supongamos que se sabe que las desviaciones típicas de la población son seis y tres, respectivamente. Haga una prueba de hipótesis para evaluar la afirmación del fabricante. Subíndices: 1 = sedanes no híbridos, 2 = sedanes híbridos H 0 : µ 1 ≥ µ 2 H a : µ 1 < µ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de millas por galón de los sedanes no híbridos y los sedanes híbridos. normal estadístico de prueba: 6,36 valor p : 0 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la media de millas por galón de los sedanes no híbridos es inferior a la de los híbridos. Un aficionado al béisbol quería saber si existe una diferencia entre el número de partidos jugados en una Serie Mundial cuando la Liga Americana gana la serie versus cuando la Liga Nacional gana la serie. Desde 1922 hasta 2012, la desviación típica de la población de los partidos ganados por la Liga Americana fue de 1,14, y la de los partidos ganados por la Liga Nacional fue de 1,11. De los 19 partidos de las Series Mundiales seleccionados al azar que ganó la Liga Americana, la media de partidos ganados fue de 5,76. La media de los 17 partidos seleccionados al azar que ganó la Liga Nacional fue de 5,42. Realice una prueba de hipótesis. Una de las preguntas de un estudio sobre la satisfacción conyugal de las parejas con dos carreras era valorar la afirmación: “Estoy satisfecho con la forma en que dividimos las responsabilidades del cuidado de los hijos”. Las valoraciones iban del uno (muy de acuerdo) al cinco (muy en desacuerdo). La contiene diez de las respuestas emparejadas de esposos y esposas. Realice una prueba de hipótesis para ver si la diferencia media en el nivel de satisfacción de los esposos versus el de las esposas es negativo (lo que significa que, dentro de la pareja, el esposo es más feliz que la esposa). Puntuación de la esposa 2 2 3 3 4 2 1 1 2 4 Puntuación del esposo 2 2 1 3 2 1 1 1 2 4 H 0 : µ d = 0 H a : µ d < 0 La variable aleatoria X d es la diferencia promedio entre el nivel de satisfacción del esposo y de la esposa. t 9 estadístico de prueba: t = –1,86 valor p : 0,0479 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula, pero realiza otra prueba. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Se trata de una prueba débil porque alfa y el valor p están cerca. Sin embargo, no hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media es negativa.", "section": "Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Comparación de dos proporciones de población independientes Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características: Las dos muestras independientes son muestras aleatorias simples que son independientes. El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras. La literatura creciente establece que la población debe ser al menos diez o veinte veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y se obtengan resultados incorrectos. La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar. Una prueba de hipótesis puede ayudar a determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las proporciones de la población. La diferencia de dos proporciones sigue una distribución normal aproximada. En general, la hipótesis nula afirma que las dos proporciones son iguales. Es decir, H 0 : p A = p B . Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p c . La proporción combinada se calcula de la siguiente manera: p c = x A + x B n A + n B La distribución de las diferencias es: P ′ A – P ′ B ~ N [ 0 , p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) ] El estadístico de prueba (puntuación z ) es: z = ( p ′ A – p ′ B ) – ( p A – p B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) Se prueban dos tipos de medicamentos para la urticaria con el fin de determinar si existe una diferencia en las proporciones de las reacciones de los pacientes adultos. Veinte de una muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento A seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomarla. Doce de otra muestra aleatoria de 200 adultos a los que se les administró el medicamento B seguían teniendo urticaria 30 minutos después de tomar la medicación. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. El problema pide una diferencia de proporciones, por lo que es una prueba de dos proporciones. Supongamos que A y B sean los subíndices del medicamento A y el medicamento B, respectivamente. Entonces p A y p B son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: P′ A - P′ B = diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos a los medicamentos A y B. H 0 : p A = p B p A – p B = 0 H a : p A ≠ p B p A – p B ≠ 0 Las palabras “es una diferencia” le indican que la prueba es de dos colas. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones poblacionales binomiales, la distribución es normal: p c = x A + x B n A + n B = 20 + 12 200 + 200 = 0,08 1 – p c = 0,92 P ′ A – P ′ B ~ N [ 0 , ( 0,08 ) ( 0,92 ) ( 1 200 + 1 200 ) ] P′ A - P′ B sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,1404. Proporción estimada para el grupo A: p ′ A = x A n A = 20 200 = 0,1 Proporción estimada para el grupo B: p ′ B = x B n B = 12 200 = 0,06 Gráfico: P′ A – P′ B = 0,1 – 0,06 = 0,04. La mitad del valor p es inferior a –0,04, y la otra mitad es superior a 0,04. Compare α y el valor p : α = 0,01 y el valor p = 0,1404. α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no rechaza H 0 . Conclusión: A un nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las proporciones de pacientes adultos que no reaccionaron después de 30 minutos al medicamento A y al medicamento B . Pulse STAT . Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest . Desplace la flecha hacia abajo y pulse ENTER 20 para x1, 200 para n1, 12 para x2, y 200 para n2. Desplace la flecha hacia abajo p1 : y la flecha hacia diferente a p2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es p = 0,1404 y el estadístico de prueba es 1,47. Vuelva a realizar el procedimiento, pero en vez de Calculate presione Dibujar . Ejercicio Se están probando dos tipos de válvulas para determinar si hay una diferencia en las tolerancias de presión. Quince de una muestra aleatoria de 100 de la válvula A se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Seis de una muestra aleatoria de 100 de la válvula B se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se realizó un estudio de investigación sobre las diferencias de género en el \"sexteo\" El investigador cree que la proporción de chicas implicadas en el \"sexteo\" es menor que la de chicos. Los datos recogidos en la primavera de 2010 entre una muestra aleatoria de estudiantes de secundaria y preparatoria en un gran distrito escolar del sur de Estados Unidos se resumen en la . ¿La proporción de chicas que envían mensajes con contenido sexual (sexts) es menor que la de chicos que \"sextean\"? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Hombres Mujeres Envío de \"mensajes con contenido sexual\" 183 156 Número total de encuestados 2.231 2.169 Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que M y F sean los subíndices para los hombres y las mujeres. Entonces p M y p F son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: p′ F - p′ M = diferencia en las proporciones de hombres y mujeres que enviaron \"mensajes con contenido sexual\" H 0 : p F = p M H 0 : p F – p M = 0 H a : p F < p M H a : p F – p M < 0 Las palabras \"menos que\" indican que la prueba es de cola izquierda. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones de población, la distribución es normal: p c = x F + x M n F + n M = 156 + 183 2.169 + 2.231 = 0 0,077 1 – p c = 0,923 Por lo tanto, p ′ F – p ′ M ∼ N ( 0 , ( 0,077 ) ( 0,923 ) ( 1 2.169 + 1 2.231 ) ) p′ F - p′ M sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: Valor p = 0,1045 Proporción estimada para las mujeres: 0,0719 Proporción estimada para los hombres: 0,082 Gráfico: Decisión: Dado que α < valor p , no rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de chicas que envían \"mensajes con contenido sexual\" sea menor que la proporción de chicos que envían estos mensajes. Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 156 para x1, 2169 para n1, 183 para x2 y 2231 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a menos de p2. Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor p es P = 0,1045 y el estadístico de prueba es z = –1,256. Los investigadores realizaron un estudio sobre el uso de los teléfonos inteligentes entre los adultos. Una compañía de telefonía móvil afirma que los teléfonos inteligentes iPhone son más populares entre los blancos (no hispanos) que entre los afroamericanos. Los resultados de la encuesta indican que de los 232 propietarios de teléfonos móviles afroamericanos incluidos en la muestra aleatoria, el 5 % tiene un iPhone. De los 1.343 propietarios de teléfonos móviles blancos incluidos en la muestra aleatoria, el 10 % tiene un iPhone. Prueba al nivel de significación del 5 %. ¿Es mayor la proporción de propietarios de iPhone blancos que la de afroamericanos? Se trata de una prueba de dos proporciones de población. Supongamos que W y A sean los subíndices de los blancos y los afroamericanos. Entonces p W y p A son las proporciones poblacionales deseadas. Variable aleatoria: p′ W - p′ A = diferencia en las proporciones de usuarios blancos y afroamericanos de telefonos celulares que tienen iPhones. H 0 : p W = p A H 0 : p W – p A = 0 H a : p W > p A H a : p W – p A > 0 Las palabras \"más popular\" indican que la prueba es de cola derecha. Distribución para la prueba: la distribución es aproximadamente normal: p c = x W + x A n W + n A = 134 + 12 1343 + 232 = 0,0927 1 – p c = 0,9073 Por lo tanto, p ′ W – p ′ A ∽ N ( 0 , ( 0,0927 ) ( 0,9073 ) ( 1 1343 + 1 232 ) ) p ′ W – p ′ A sigue una distribución normal aproximada. Calcule el valor p utilizando la distribución normal: valor p = 0,0077 Proporción estimada para el grupo A: 0,10 Proporción estimada para el grupo B: 0,05 Gráfico: Decisión: Dado que α > valor p , rechace el H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de teléfonos móviles blancos utilizan iPhones que los afroamericanos. TI-83+ y TI-84: Pulse STAT. Desplace la flecha hacia TESTS y pulse 6:2-PropZTest. Desplace la flecha hacia abajo e ingrese 135 para x1, 1343 para n1, 12 para x2 y 232 para n2. Desplace la flecha hacia abajo a p1: y flecha a mayor de p2. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El valor P es P = 0,0092 y el estadístico de prueba es Z = 2,33. Ejercicio Un grupo de ciudadanos preocupados quería saber si la proporción de violaciones en Texas era diferente en 2011 que en 2010. Su investigación mostró que de los 113.231 delitos violentos en Texas en 2010, 7.622 de ellos fueron violaciones. En 2011, 7.439 de los 104.873 delitos violentos pertenecían a la categoría de violación. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Responda las siguientes preguntas: a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? b. ¿Qué distribución usa para realizar la prueba? c. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? Escriba la hipótesis nula y alternativa en símbolos. e. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. ¿Cuál es el valor p ? g. ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? h. En el nivel de significación ___, a partir de los datos de la muestra, (hay/no hay) ______ pruebas suficientes para concluir que ____________. Referencias Datos de Educational Resources , catálogo de diciembre. Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994. “State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013). “West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes Variable aleatoria: p ^ A – p ^ B = diferencia entre las dos proporciones estimadas Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Proporción combinada: pc = x F + x M n F + n M Distribución de las diferencias: p ′ A – p ′ B ∼ N [ 0 , p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) ] donde la hipótesis nula es H 0 : p A = p B o H 0 : p A – p B = 0. Estadístico de prueba (puntuación z ): z = ( p ′ A – p ′ B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde la hipótesis nula es H 0 : p A = p B o H 0 : p A − p B = 0. donde p′ A y p′ B son las proporciones de la muestra, p A y p B son las proporciones de la población, P c es la proporción combinada, y n A y n B son los tamaños de las muestras. Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS 2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS 1 . ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? ¿Cuál es la variable aleatoria? P ′ OS1 – P ′ OS2 = diferencia en las proporciones de teléfonos que tuvieron fallos del sistema durante las primeras ocho horas de funcionamiento con OS 1 y OS 2 . Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el valor p ? 0,1018 ¿Qué puede concluir sobre los dos sistemas operativos? Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? proporciones Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : _________ H a : _________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Cómo lo sabe? cola derecha ¿Cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. La variable aleatoria es la diferencia de proporciones (porcentajes) de las poblaciones que son de dos o más razas en Nevada y Dakota del Norte. ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el Ejercicio 10.56 . El tamaño de nuestras muestras es muy superior a cinco, por lo que utilizamos la distribución normal para dos proporciones para esta prueba de hipótesis. Calcule el estadístico de prueba. Dibuje un gráfico de la situación. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Calcule el valor p . Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): rechaza la hipótesis nula. valor p < alfa Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la proporción (porcentaje) de la población que es de dos o más razas en Nevada es estadísticamente mayor que la de Dakota del Norte. ¿Parece que la proporción de nevadenses de dos o más razas es mayor que la de los habitantes de Dakota del Norte? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (Sin embargo, en general, primero hay que demostrar ese supuesto). Una reciente encuesta sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre estudiantes locales de último año de escuela secundaria en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 estudiantes de último año de escuela secundaria locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. Localmente, 65 estudiantes de último año de escuela secundaria declararon haber consumido drogas o alcohol durante el mes anterior, mientras que el número nacional fue de 60. Nos interesa saber si las proporciones de mujeres víctimas de suicidio entre 15 y 24 años son iguales para las razas blanca y negra en Estados Unidos. Elegimos al azar un año, 1992, para comparar las razas. El número de suicidios estimado en Estados Unidos en 1992 para mujeres blancas es de 4.930. Quinientos ochenta tenían entre 15 y 24 años. La estimación para las mujeres negras es de 330. Cuarenta tenían entre 15 y 24 años. Supondremos que las mujeres víctimas de suicidio sean nuestra población. H 0 : P W = P B H a : P W ≠ P B La variable aleatoria es la diferencia en las proporciones de víctimas de suicidio blancas y negras, de 15 a 24 años. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –0,1944 valor p : 0,8458 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de mujeres blancas y negras víctimas de suicidio, de entre 15 y 24 años, sean diferentes. Elizabeth Mjelde, profesora de Historia del Arte, estaba interesada en saber si el valor de la fórmula del número áureo, ( dimensión mayor + menor mayor dimensión ) era el mismo en la exposición del Whitney para las obras de 1900 a 1919 que para las de 1920 a 1942. Se muestrearon treinta y siete obras tempranas, con una media de 1,74 con una desviación típica de 0,11. Se muestrearon sesenta y cinco obras finales, con una media de 1,746 con una desviación típica de 0,1064. ¿Cree que hay una diferencia significativa en el cálculo del número áureo? Se eligió al azar un año reciente desde 1985 hasta el presente. En ese año, había 2.051 estudiantes hispanos en el Cabrillo College de un total de 12.328 estudiantes. En el Lake Tahoe College, había 321 estudiantes hispanos de un total de 2.441 estudiantes. En general, ¿cree que el porcentaje de estudiantes hispanos en los dos institutos universitarios es básicamente igual o diferente? Subíndices: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La variable aleatoria es la diferencia entre las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y el Lake Tahoe College. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 4,29 valor p : 0,00002 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y en el Lake Tahoe College son diferentes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada. “2011” subíndice: grupo 2011. “2010” subíndice: grupo 2010 Esto es: una prueba de dos proporciones una prueba de dos medias independientes una prueba de una sola media una prueba de pares coincidentes. Una hipótesis nula adecuada es: p 2011 ≤ p 2010 p 2011 ≥ p 2010 μ 2011 ≤ μ 2010 p 2011 > p 2010 a El valor p es de 0,0022. Con un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es Hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es menor que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. No hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es más que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. No hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es menor que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. Hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2011 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental es más que la proporción de personas en los Estados Unidos en 2010 que contrajeron la enfermedad neuroinvasiva del Nilo Occidental. Unos investigadores hicieron un estudio para averiguar si existe una diferencia en el uso de lectores de libros electrónicos por parte de distintos grupos de edad. Los participantes seleccionados al azar se dividieron en dos grupos de edad. En el grupo de 16 a 29 años, el 7 % de los 628 encuestados utilizan lectores de libros electrónicos, así como el 11 % de los 2.309 participantes de 30 años o más Prueba: dos proporciones de muestras independientes. Variable aleatoria: p ′ 1 – p ′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos es diferente para los usuarios de 16 a 29 años que para los de 30 o más. Gráfico: de dos colas valor p : 0,0033 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos de 16 a 29 años es diferente de la proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos de 30 años o más. Se seleccionaron aleatoriamente adultos de 18 años o más para una encuesta sobre obesidad. Se considera que los adultos son obesos si su índice de masa corporal (IMC) es de al menos 30. Los investigadores querían determinar si la proporción de mujeres obesas en el sur es menor que la proporción de hombres del sur que son obesos. Los resultados se muestran en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Número de personas obesas Tamaño de la muestra Hombres 42.769 155.525 Mujeres 67.169 248.775 Dos usuarios de computadoras estaban hablando sobre tabletas. La proporción de personas de 16 a 29 años que utilizan tabletas es mayor que la de las personas de 30 años o más. La detalla el número de propietarios de tabletas para cada grupo de edad. Pruebe al nivel de significación del 1 %. de 16 a 29 años 30 años o más Tienen una tableta 69 231 Tamaño de la muestra 628 2.309 Prueba: dos proporciones de muestras independientes Variable aleatoria: p′ 1 − p′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 > p 2 La proporción de propietarios de tabletas es mayor entre 16 y 29 años que entre 30 y más. Gráfico: cola derecha valor p : 0,2354 Decisión: No rechace la H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 1 % a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de tabletas tenga entre 16 y 29 años que 30 años o más. Un grupo de amigos debatía sobre si hay más hombres que usan teléfonos inteligentes que mujeres. Consultaron un estudio de investigación sobre el uso de teléfonos inteligentes entre adultos. Los resultados de la encuesta indican que de los 973 hombres incluidos en la muestra aleatoria, 379 utilizan teléfonos inteligentes. En el caso de las mujeres, 404 de las 1.304 incluidas en la muestra aleatoria utilizan teléfonos inteligentes. Prueba al nivel de significación del 5 %. Mientras su esposo se pasaba 2½ horas eligiendo nuevos altavoces, una estadística decidió determinar si el porcentaje de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que el porcentaje de mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. La población eran los compradores del sábado por la tarde. De los 67 hombres, 24 dijeron que disfrutaban de la actividad. Ocho de las 24 mujeres encuestadas afirmaron que disfrutaban de la actividad. Interprete los resultados de la encuesta. Subíndices: 1: hombres; 2: mujeres H 0 : p 1 ≤ p 2 H a : p 1 > p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 0,22 valor p : 0,4133 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que la de mujeres. Nos interesa saber si los softwares educativos para niños cuestan menos, en promedio, que los de entretenimiento para niños. Se eligieron al azar treinta y seis títulos de software educativo de un catálogo. El costo medio fue de 31,14 dólares, con una desviación típica de 4,69 dólares. Se eligieron al azar treinta y cinco títulos de software de entretenimiento del mismo catálogo. El costo medio fue de 33,86 dólares, con una desviación típica de 10,87 dólares. Decida si el software educativo para niños cuesta menos, en promedio, que el software de entretenimiento para niños. Joan Nguyen afirmó recientemente que la proporción de hombres en edad universitaria con al menos una oreja perforada es tan alta como la proporción de mujeres universitarias. Hizo una encuesta en sus clases. De los 107 hombres, 20 tenían, al menos, una oreja perforada. De las 92 mujeres, 47 tenían, al menos, una oreja perforada. ¿Cree que la proporción de hombres ha alcanzado a la de mujeres? H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que tienen, al menos, una oreja perforada. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –4,82 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de hombres y mujeres con, al menos, una oreja perforada son diferentes. Utilice los conjuntos de datos que se encuentran en el C - CONJUNTOS DE DATOS para responder este ejercicio. ¿La proporción de vueltas en la carrera que Terri completa más lento que 130 segundos es menor que la proporción de vueltas de práctica que completa más lento que 135 segundos? “¿Desayunar o no desayunar?”, por Richard Ayore En la sociedad estadounidense, los cumpleaños son uno de esos días que todo el mundo espera con ilusión. Personas de diferentes edades y grupos de compañeros se reúnen para celebrar los cumpleaños: 18, 20, etc. Durante este tiempo, uno mira hacia atrás para ver lo que ha conseguido durante el año pasado y también se centra en el futuro para ver lo que está por venir. Si, por casualidad, me invitan a una de estas fiestas, mi experiencia es siempre diferente. En vez de bailar con mis amigos mientras la música retumba, me dejo llevar por los recuerdos de mi familia en Kenia. Recuerdo los buenos momentos que pasé con mis hermanos y mi hermana mientras llevábamos a cabo nuestra rutina diaria. Recuerdo que todas las mañanas íbamos a la shamba (huerto) a desherbar nuestros cultivos. Recuerdo que un día discutí con mi hermano por qué siempre se quedaba atrás para reunirse con nosotros una hora más tarde. En su defensa, dijo que prefería esperar a desayunar antes de venir a desherbar. Dijo: “¡Por eso siempre trabajo más horas que ustedes!”. Así que, para demostrar que estaba equivocado o que tenía razón, decidimos probarlo. Un día fuimos a trabajar como de costumbre sin desayunar, y registramos el tiempo que podíamos trabajar antes de cansarnos y parar. Al día siguiente, todos desayunamos antes de ir a trabajar. Registramos el tiempo que trabajamos de nuevo antes de cansarnos y parar. Nos interesa saber el aumento medio del tiempo de trabajo. Aunque no estoy seguro, mi hermano insistió en que fueron más de dos horas. Use los datos de la y resuelva nuestro problema. Horas de trabajo con desayuno Horas de trabajo sin desayuno 8 6 7 5 9 5 5 4 9 7 8 7 10 7 7 5 6 6 9 5 H 0 : µ d = 0 H a : µ d > 0 La variable aleatoria X d es la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna. t 9 estadístico de prueba: 4,8963 valor p : 0,0004 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna ha aumentado. Proporción combinada estimación del valor común de p 1 y p 2 .", "section": "Comparación de dos proporciones de población independientes", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Muestras coincidentes o emparejadas Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas, deben darse las siguientes características: Se utiliza un muestreo aleatorio simple. El tamaño de las muestras suele ser pequeño. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal. En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, se comprueba la media poblacional de las diferencias, μ d , mediante una prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias. El estadístico de prueba (puntuación t ) es: t = x ¯ d – μ d ( s d n ) Se realizó un estudio para investigar la eficacia del hipnotismo en la reducción del dolor. Los resultados de los sujetos seleccionados al azar se muestran en la . Una calificación más baja indica menos dolor. El valor “antes” es coincidente con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Las medidas sensoriales son, en promedio, más bajas después del hipnotismo? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Sujeto: A B C D E F G H Antes 6,6 6,5 9,0 10,3 11,3 8,1 6,3 11,6 Después 6,8 2,4 7,4 8,5 8,1 6,1 3,4 2,0 Los valores correspondientes de “antes” y “después” forman pares coincidentes (calcule “después” – “antes”). Después de los datos Antes de los datos Diferencia 6,8 6,6 0,2 2,4 6,5 -4,1 7,4 9 -1,6 8,5 10,3 -1,8 8,1 11,3 -3,2 6,1 8,1 -2 3,4 6,3 -2,9 2 11,6 -9,6 Los datos para la prueba son las diferencias: {0,2; –4,1; –1,6; –1,8; –3,2; –2; –2,9; –9,6} La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x ¯ d = -3,13 y s d = 2,91 Verifique estos valores. Supongamos que μ d es la media poblacional de las diferencias. Utilizamos el subíndice d para denotar “diferencias”. Variable aleatoria: X ¯ d = la diferencia media de las mediciones sensoriales H 0 : μ d ≥ 0 La hipótesis nula es cero o positiva, lo que significa que se siente el mismo o más dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto no muestra ninguna mejora ( μ d es la media poblacional de las diferencias). H a : μ d < 0 La hipótesis alternativa es negativa, lo que significa que se siente menos dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto muestra una mejora. La calificación debería ser menor después del hipnotismo, por lo que la diferencia debería ser negativa para indicar una mejora. Distribución para la prueba: La distribución es una t de Student con df = n – 1 = 8 – 1 = 7. Use t 7 (observe que la prueba es para una única media poblacional) Calcule el valor p utilizando la distribución t de Student: valor p = 0,0095 Gráfico: X ¯ d es la variable aleatoria de las diferencias. La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x ¯ d = -3,13 s ¯ d = 2,91 Compare α y el valor p : α = 0,05 y valor p = 0,0095. α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Esto significa que μ d < 0 y que hay una mejora. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que las mediciones sensoriales, en promedio, son más bajas después del hipnotismo. El hipnotismo parece ser eficaz para reducir el dolor. Nota: Para las calculadoras TI-83+ y TI-84, puede calcular las diferencias por adelantado ( después - antes ) y poner las diferencias en una lista o puede poner los datos después en una primera lista y los datos antes en una segunda lista. A continuación, vaya a una tercera lista y desplace la flecha hacia arriba hasta el nombre. Ingrese el 1. ° nombre de la lista - 2. º nombre de la lista. La calculadora hará la resta, y tendrá las diferencias en la tercera lista. Utilice su lista de diferencias como datos. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Pulse 2:T-Test . Desplace la flecha hacia Datos y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo y presione ENTER 0 para μ 0 , el nombre de la lista donde se ponen los datos, y 1 para Frec:. Desplace la flecha hacia abajo μ : y flecha hacia < μ 0 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . El valor p es 0,0094, y el estadístico de prueba es –3,04. Vuelva a realizar estas instrucciones, excepto desplazar la flecha hacia Dibujar (en vez de Calculate (Calcular) ). Pulse ENTER . Ejercicio Se realizó un estudio para investigar la eficacia de una nueva dieta para reducir el colesterol. Los resultados de los sujetos seleccionados aleatoriamente se muestran en la tabla. Las diferencias tienen una distribución normal. ¿Los niveles de colesterol de los sujetos son más bajos en promedio después de la dieta? Prueba al nivel del 5 %. Sujeto A B C D E F G H I Antes 209 210 205 198 216 217 238 240 222 Después 199 207 189 209 217 202 211 223 201 Un entrenador de fútbol universitario estaba interesado en saber si la clase de desarrollo de fuerza del instituto universitario aumentaba el levantamiento máximo (en libras) de sus jugadores en el ejercicio de empuje en banca. Les pidió a cuatro de sus jugadores que participaran en un estudio. La cantidad de peso que podía levantar cada uno se registró antes de que tomaran la clase de desarrollo de fuerza. Tras completar la clase, se midió de nuevo la cantidad de peso que podía levantar cada uno. Los datos son los siguientes: Peso (en libras) Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Cantidad de peso levantado antes de la clase 205 241 338 368 Cantidad de peso levantado después de la clase 295 252 330 360 El entrenador quiere saber si la clase de desarrollo de fuerza hace que sus jugadores sean más fuertes, en promedio. Registre los datos de las diferencias . Para calcular las diferencias reste la cantidad de peso levantado antes de la clase del peso levantado después de terminar la clase. Los datos de las diferencias son: {90, 11, –8, –8}. Supongamos que las diferencias tienen una distribución normal. Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra. x ¯ d = 21,3, s d = 46,7 Nota: Los datos presentados aquí indicarían que la distribución es realmente asimétrica. ¿La diferencia de 90 puede ser un valor extremo? La media de la muestra es de 21,3 (positivo). Las medias de los otros tres datos son realmente negativas. Utilizando los datos de la diferencia, esto se convierte en una prueba de un solo __________ (rellene el espacio en blanco). Defina la variable aleatoria: X ¯ d diferencia media en la elevación máxima por jugador. La distribución para la prueba de hipótesis es t 3 . H 0 : μ d ≤ 0, H a : μ d > 0 Gráfico: Calcule el valor p : El valor p es de 0,2150 Decisión: si el nivel de significación es del 5 %, la decisión es no rechazar la hipótesis nula, porque α < valor p . ¿Cuál es la conclusión? A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la clase de desarrollo de fuerza ayudó a hacer más fuertes a los jugadores, en promedio. Ejercicio Se ha diseñado una nueva clase de preparación para mejorar los resultados de la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT). Se seleccionaron cinco estudiantes aleatoriamente. Se registraron sus puntuaciones en dos exámenes de práctica, uno antes de la clase y otro después. Los datos registrados en la . ¿Los resultados, en promedio, son más altos después de la clase? Prueba a un nivel del 5 %. Resultados de prueba SAT Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4 Puntuación antes de la clase 1840 1960 1920 2150 Puntuación después de la clase 1920 2160 2200 2100 Siete estudiantes de octavo grado de la escuela Media Kennedy midieron hasta dónde podían empujar el lanzamiento de peso con su mano dominante (la que escribe) y su mano más débil (la que no escribe). Pensaban que podían empujar distancias iguales con cualquier mano. Los datos se recogieron y registraron en la . Distancia (en pies) con Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4 Estudiante 5 Estudiante 6 Estudiante 7 Mano dominante 30 26 34 17 19 26 20 Mano más débil 28 14 27 18 17 26 16 Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre las manos dominantes y las débiles de los niños es significativa. Registre los datos de las diferencias . Calcule las diferencias restando las distancias con la mano más débil de las distancias con la mano dominante. Los datos de las diferencias son: {2, 12, 7, -1, 2, 0, 4}. Las diferencias tienen una distribución normal. Utilizando los datos de las diferencias, calcule la media y la desviación típica de la muestra. x ¯ d = 3,71, s d = 4,5. Variable aleatoria: X ¯ d = diferencia media de las distancias entre las manos. Distribución para la prueba de hipótesis: t 6 H 0 : μ d = 0 H a : μ d ≠ 0 Gráfico: Calcule el valor p : El valor p es de 0,0716 (utilizando los datos directamente). (estadístico de prueba = 2,18. valor p = 0,0719 utilizando ( x ¯ d = 3,71 , s d = 4,5. ) Decisión: supongamos que α = 0,05. Dado que α < valor p , no rechaza H 0 . Conclusión: al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las manos más débiles y dominantes de los niños para empujar el lanzamiento de peso. Ejercicio Cinco jugadores de béisbol creen que pueden lanzar la misma distancia con su mano dominante (lanzando) y con la mano contraria (atrapando). Los datos se recogieron y registraron en la . Realice una prueba de hipótesis para determinar si la diferencia media de las distancias entre la mano dominante y la mano no dominante es significativa. Prueba al nivel del 5 %. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Jugador 5 Mano dominante 120 111 135 140 125 Mano no dominante 105 109 98 111 99 Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características: Compruebe las diferencias restando una medida de la otra Variable aleatoria: x ¯ d = media de las diferencias Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos. Las muestras son dependientes. Revisión de la fórmula Estadístico de prueba (puntuación t ): t = x ¯ d – μ d ( s d n ) donde: x ¯ d es la media de las diferencias de la muestra. μ d es la media de las diferencias de la población. s d es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Instalación A B C D E F G H Antes 3 6 4 2 5 8 2 6 Después 1 5 2 0 1 0 2 2 ¿Cuál es la variable aleatoria? la diferencia media de los fallos del sistema Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el valor p ? 0,0067 Dibuje el gráfico del valor p . ¿Qué conclusión puede sacar sobre el parche de software? Con un valor p de 0,0067, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay suficientes pruebas que demuestran que el parche de software es eficaz para reducir el número de fallos del sistema. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Sujeto A B C D E F Antes 3 4 3 2 4 5 Después 4 5 6 4 5 7 Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el valor p ? 0,0021 ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? Dibuje el gráfico del valor p . ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la clase de malabares? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %. Paciente A B C D E F Antes 161 162 165 162 166 171 Después 158 159 166 160 167 169 Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : μ d ≥ 0 H a : μ d < 0 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,0699 ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? ¿Cuál es la conclusión? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que respalden la eficacia del medicamento. Tarea para la casa INSTRUCCIONES: Para cada uno de los problemas de palabras use una hoja de soluciones para hacer la prueba de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el apéndice E . No dude en hacer copias de las hojas de soluciones. Para la versión en línea del libro se sugiere copiar los archivos .doc o .pdf. Nota: Si usa una distribución t de Student para los problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente. (sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar ese supuesto). Diez personas siguieron una dieta baja en grasas durante 12 semanas para reducir el colesterol. Los datos se registran en la . ¿Cree que sus niveles de colesterol se redujeron significativamente? Nivel de colesterol inicial Nivel de colesterol final 140 140 220 230 110 120 240 220 200 190 180 150 190 200 360 300 280 300 260 240 valor p = 0,1494 Con un nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el medicamento reduzca los niveles de colesterol después de 12 semanas. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual. Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado. Las hipótesis adecuadas son: H 0 : p t < p nt y H a : p t ≥ p nt H 0 : p t ≤ p nt y H a : p t > p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t ≠ p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t < p nt Si el valor p es 0,0062, ¿cuál es la conclusión (utilice α = 0,05)? El método no tiene ningún efecto. Hay pruebas suficientes para concluir que el método reduce la proporción de pacientes seropositivos que desarrollan el sida al cabo de cuatro años. Existen pruebas suficientes para concluir que el método aumenta la proporción de pacientes seropositivos que desarrollan el sida al cabo de cuatro años. No hay pruebas suficientes para concluir que el método reduce la proporción de pacientes seropositivos que desarrollan el sida al cabo de cuatro años. b Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados x ¯ d = −10,2 s d = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento. La distribución para la prueba es: t 5 t 6 N (−10,2; 8,4) N(−10,2, 8,4 6 ) Si α = 0,05, el valor p y la conclusión son 0,0014; hay pruebas suficientes para concluir que la presión arterial disminuyó después del entrenamiento. 0,0014; hay pruebas suficientes para concluir que la presión arterial aumentó después del entrenamiento. 0,0155; hay pruebas suficientes para concluir que la presión arterial disminuyó después del entrenamiento. 0,0155; hay pruebas suficientes para concluir que la presión arterial aumentó después del entrenamiento. c Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Toma cuatro nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 La decisión correcta es: Rechaza H 0 . No rechace la H 0 . Un grupo local de apoyo al cáncer cree que la estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. El grupo comparó las estimaciones de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres por estados del sur en 2012 y en 2013. Los resultados están en la . Estados del sur 2012 2013 Alabama 3.450 3.720 Arkansas 2.150 2.280 Florida 15.540 15.710 Georgia 6.970 7.310 Kentucky 3.160 3.300 Luisiana 3.320 3.630 Misisipi 1.990 2.080 Carolina del Norte 7.090 7.430 Oklahoma 2.630 2.690 Carolina del Sur 3.570 3.580 Tennessee 4.680 5.070 Texas 15.050 14.980 Virginia 6.190 6.280 Prueba: dos pares coincidentes o muestras emparejadas ( prueba t ) Variable aleatoria: X ¯ d Distribución: t 12 H 0 : μ d = 0 H a : μ d > 0 La media de las diferencias de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur entre 2013 y 2012 es mayor de cero. La estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. Gráfico: cola derecha valor p : 0,0004 Decisión: rechaza H 0 Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que hubo una mayor estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en 2013 que en 2012. Un viajero quería saber si los precios de los hoteles son diferentes en las diez ciudades que visita con más frecuencia. La lista de las ciudades con los precios correspondientes de sus dos cadenas hoteleras favoritas está en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Ciudades Precios del Hyatt Regency en dólares Precios del Hilton en dólares Atlanta 107 169 Boston 358 289 Chicago 209 299 Dallas 209 198 Denver 167 169 Indianápolis 179 214 Los Ángeles 179 169 Ciudad de Nueva York 625 459 Filadelfia 179 159 Washington, DC 245 239 Un político les pidió a sus colaboradores que determinaran si la tasa de subempleo en el noreste disminuyó de 2011 a 2012. Los resultados están en la . Estados del noreste 2011 2012 Connecticut 17,3 16,4 Delaware 17,4 13,7 Maine 19,3 16,1 Maryland 16,0 15,5 Massachusetts 17,6 18,2 Nuevo Hampshire 15,4 13,5 Nueva Jersey 19,2 18,7 Nueva York 18,5 18,7 Ohio 18,2 18,8 Pensilvania 16,5 16,9 Rhode Island 20,7 22,4 Vermont 14,7 12,3 Virginia Occidental 15,5 17,3 Prueba: muestras coincidentes o emparejadas (prueba t ) Datos de diferencia: {–0,9; –3,7; –3,2; –0,5; 0,6; –1,9; –0,5; 0,2; 0,6; 0,4; 1,7; –2,4; 1,8} Variable aleatoria: X ¯ d Distribución: H 0 : μ d = 0 H a : μ d < 0 La media de las diferencias de la tasa de subempleo en los estados del noreste entre 2012 y 2011 es inferior a cero. La tasa de subempleo bajó de 2011 a 2012. Gráfico: cola izquierda. valor p : 0,1207 Decisión: No rechaza H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que hubo una disminución en las tasas de subempleo de los estados del noreste de 2011 a 2012. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Las desviaciones típicas de la población son de dos y tres libras, respectivamente. Nos interesa saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. Se hace una prueba de sabor de una nueva barra de chocolate entre consumidores. Nos interesa saber si la proporción de niños a quienes les gusta la nueva barra de chocolate es mayor que la de adultos. e Se cree que el número medio de cursos de inglés realizados en un periodo de dos años por los estudiantes de educación superior hombres y mujeres es aproximadamente igual. Se realiza un experimento y se recopilan datos de nueve hombres y 16 mujeres. Una liga de fútbol informó que la media de anotaciones por partido era de cinco. Se hace un estudio para determinar si el número medio de anotaciones ha disminuido. d Se realiza un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse que los inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. A partir de años de investigación se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 1,5811 años y de un año, respectivamente. Según un boletín del Centro de Crisis por Violación de la Asociación Cristiana de Mujeres Jóvenes (Young Women's Christian Association, YWCA), el 75 % de las víctimas de violación conocen a sus agresores. Se realiza un estudio para comprobarlo. e Según un estudio reciente, las compañías estadounidenses tienen una ausencia media por maternidad de seis semanas. Una encuesta reciente sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre los estudiantes de secundaria locales en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 jóvenes locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. e Un nuevo curso de estudio de la SAT se pone a prueba en 12 personas. Se registran las calificaciones antes y después del curso. Nos interesa el aumento medio de las calificaciones de la SAT. Se recopilan los siguientes datos: Calificación antes del curso Calificación después del curso 1 300 960 920 1010 1.100 840 880 1.100 1070 1250 1320 860 860 1330 1370 790 770 990 1040 1110 1.200 740 850 Investigadores de la Universidad de Michigan informaron en la Revista del Instituto Nacional del Cáncer que dejar de fumar es especialmente beneficioso para los menores de 49 años. En este estudio de la Sociedad Americana del Cáncer, el riesgo (probabilidad) de morir de cáncer de pulmón era prácticamente igual que el de quienes nunca habían fumado. e Lesley E. Tan investigó la relación entre ser zurdo o diestro y la competencia motriz en niños de preescolar. Se realizaron varias pruebas de habilidades motrices a muestras aleatorias de 41 niños de preescolar zurdos y 41 diestros para determinar si hay pruebas de una diferencia entre los niños basada en este experimento. El experimento produjo las medias y las desviaciones típicas que se muestran en la . Determine la prueba adecuada y la mejor distribución que debe utilizar para esa prueba. Zurdo Diestro Tamaño de la muestra 41 41 Media muestral 97,5 98,1 Desviación típica de la muestra 17,5 19,2 Dos medias independientes, distribución normal Dos medias independientes, distribución t de Student Muestras coincidentes o emparejadas, distribución t de Student Dos proporciones de población, distribución normal Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Lleva a cuatro (4) nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes: . Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 Esto es: una prueba de dos medias independientes. una prueba de dos proporciones. una prueba de una sola media. una prueba de una sola proporción. a", "section": "Muestras coincidentes o emparejadas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante seleccionará las distribuciones adecuadas para utilizar en cada caso. El estudiante realizará pruebas de hipótesis e interpretará los resultados. Suministros: la sección de negocios de los periódicos de dos días consecutivos tres paquetes pequeños de M&M®. cinco paquetes pequeños de Reese's Pieces®. Encuesta sobre el aumento de las acciones Observe la sección de negocios del periódico de ayer. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la proporción de acciones de la Bolsa de Nueva York (New York Stock Exchange, NYSE) que aumentó es mayor que la proporción de acciones de Cotizaciones Automatizadas de la Asociación Nacional de Agentes de Valores (National Association of Securities Dealers Automated Quotations, NASDAQ) que aumentó. De la forma más aleatoria posible, elija 40 acciones de la NYSE y 32 de NASDAQ y complete las siguientes afirmaciones. H 0 : _________ H a : _________ En palabras, defina la variable aleatoria. La distribución que se va a usar para la prueba es _____________. Calcule el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Calcule el valor p . ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta sobre la disminución de las acciones Elija al azar ocho acciones del periódico. Utilizando las secciones comerciales de dos días consecutivos, compruebe si las acciones bajaron, en promedio, el segundo día. H 0 : ________ H a : ________ En palabras, defina la variable aleatoria. La distribución que se va a usar para la prueba es _____________. Calcule el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Calcule el valor p : ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta sobre caramelos Compre tres paquetes pequeños de M&M y cinco paquetes pequeños de Reese's Pieces (el mismo peso neto que los M&M). Compruebe si el número medio de caramelos por paquete es el mismo para las dos marcas. H 0 : ________ H a : ________ En palabras, defina la variable aleatoria. ¿Qué distribución debería utilizarse para esta prueba? Calcule el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Calcule el valor p . ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa. Encuesta sobre zapatos Compruebe si las mujeres tienen, en promedio, más pares de zapatos que los hombres. Incluya todas las formas de zapatillas deportivas, zapatos, sandalias y botas. Utilice su clase como muestra. H 0 : ________ H a : ________ En palabras, defina la variable aleatoria. La distribución que debería utilizar para la prueba es ________________. Calcule el estadístico de prueba con sus datos. Dibuje un gráfico y etiquételo adecuadamente. Sombree el nivel de significación real. Gráfico: Calcule el valor p . ¿Rechaza o no rechaza la hipótesis nula? ¿Por qué? Escriba una conclusión clara con una oración completa.", "section": "Prueba de hipótesis para dos medias y dos proporciones", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción La distribución chi-cuadrado se puede usar para hallar relaciones entre dos cosas, como los precios de los comestibles en diferentes tiendas (créditos: Pete/flickr). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Interpretar la distribución de probabilidad chi-cuadrado a medida que cambia el tamaño de la muestra. Realizar e interpretar las pruebas de hipótesis de bondad de ajuste de chi-cuadrado. Realizar e interpretar las pruebas de hipótesis de independencia de la prueba chi-cuadrado. Realizar e interpretar las pruebas de hipótesis de homogeneidad de chi-cuadrado. Realizar e interpretar las pruebas de hipótesis de varianza única de chi-cuadrado. ¿Alguna vez se ha preguntado si los números de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis. Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado. En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado la prueba de bondad de ajuste, que determina si los datos se ajustan a una determinada distribución, como en el ejemplo de la lotería la prueba de independencia, que determina si los eventos son independientes, como en el ejemplo de la película la prueba de una sola varianza, que comprueba la variabilidad, como en el ejemplo del café NOTA Aunque la distribución chi-cuadrado depende de calculadoras o computadoras para la mayoría de los cálculos existe una tabla disponible (vea el G - NOTAS PARA LAS CALCULADORAS TI-83, 83+, 84, 84+ ). Las instrucciones de las calculadoras TI-83+ y TI-84 se incluyen en el texto. Ejercicio de colaboración en el salón de clases Busca en la sección de deportes de un periódico o en Internet algunos datos deportivos (promedios de béisbol, resultados de baloncesto, resultados de torneos de golf, probabilidades de fútbol, tiempos de natación y similares). Trace un histograma y un diagrama de caja y bigotes con tus datos. Compruebe si puede determinar una distribución de probabilidad a la que se ajusten sus datos. Debata con la clase sobre su elección.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Datos sobre la distribución chi-cuadrado La notación para la distribución chi-cuadrado es: χ ∼ χ d e 2 donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente). Para la distribución χ 2 , la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es σ = 2 ( d e ) . La variable aleatoria se muestra como χ 2 , aunque puede ser cualquier letra mayúscula. La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes. χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + ... + ( Z k ) 2 La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df . El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~ χ 1.000 2 la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ = 2 ( 1.000 ) = 44,7. Por tanto, X ~ N (1.000, 44,7), aproximadamente. La media, μ , se encuentra justo a la derecha del pico. Referencias Datos de la Revista Parade . “HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011. Repaso del capítulo La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población. Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad. La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df . Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha. Revisión de la fórmula χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + … ( Z df ) 2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado μ χ 2 = df distribución chi-cuadrado media de la población σ χ 2 = 2 ( d e ) Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población Si el número de grados de libertad de una distribución chi-cuadrado es 25, ¿cuál es la media y la desviación típica de la población? media = 25 y desviación típica = 7,0711 Si df > 90, la distribución es _____________. Si df = 15, la distribución es ________________. ¿Cuándo se aproxima la curva chi-cuadrado a una distribución normal? cuando el número de grados de libertad es superior a 90 ¿Dónde se ubica μ en una curva de chi-cuadrado? ¿Es más probable que el df sea 90, 20 o dos en el gráfico? df = 2 Tarea para la casa Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A medida que aumenta el número de grados de libertad, el gráfico de la distribución chi-cuadrado parece cada vez más simétrico. verdadero La desviación típica de la distribución chi-cuadrado es el doble de la media. La media y la mediana de la distribución chi-cuadrado son iguales si df = 24. falso", "section": "Datos sobre la distribución chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de bondad de ajuste En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades. El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es: Σ k ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados (datos) E = valores esperados (de la teoría) k = el número de celdas o categorías de datos diferentes Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma ( O – E ) 2 E . El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1). La prueba de bondad de ajuste es casi siempre de cola derecha. Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado. Nota El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco para poder utilizar esta prueba. El ausentismo de los estudiantes universitarios a las clases de Matemáticas es una de las principales preocupaciones de los instructores de Matemáticas, ya que ausentarse de clase parece aumentar la tasa de abandono. Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la tasa real de ausentismo de los estudiantes sigue la percepción del profesorado. El profesorado esperaba que un grupo de 100 estudiantes se ausentara de clase según se indica en la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9–11 6 12+ 2 Luego, se realizó una encuesta aleatoria en todos los cursos de Matemáticas para determinar el número real (observado) de ausencias en un curso. El gráfico de la muestra los resultados de esa encuesta. Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9–11 1 12+ 4 Determine las hipótesis nula y alternativa necesarias para realizar una prueba de bondad de ajuste. H 0 : El ausentismo de los estudiantes se ajusta a la percepción del profesorado. La hipótesis alternativa es la opuesta a la hipótesis nula. H a : El ausentismo de los estudiantes no se ajusta a la percepción del profesorado. a. ¿Puede utilizar la información tal y como aparece en los gráficos para realizar la prueba de bondad de ajuste? a. No. Tome nota que el número de ausencias previsto para la entrada “más de 12” es inferior a cinco (es dos). Combine ese grupo con el de “9-11” para crear nuevas tablas en las que el número de estudiantes de cada entrada sea de cinco como mínimo. Los nuevos resultados están en la y la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9+ 8 Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9+ 5 b. ¿Cuál es el número de grados de libertad ( df )? b. Hay cuatro “celdas” o categorías en cada una de las nuevas tablas. df = número de celdas – 1 = 4 – 1 = 3 Ejercicio El gerente de una fábrica necesita saber cuántos productos son defectuosos frente a cuántos se producen. El número de defectos previstos figura en la . Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 6 201–300 7 301–400 8 401–500 10 Se tomó una muestra aleatoria para determinar el número real de defectos. La muestra los resultados de la encuesta. Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 7 201–300 8 301–400 9 401–500 11 Indique las hipótesis nula y alternativa necesarias para llevar a cabo una prueba de bondad de ajuste, e indique los grados de libertad. Los empleadores quieren saber qué días de la semana se ausentan los empleados en una semana laboral de cinco días. La mayoría de los empleadores quiere creer que los empleados se ausentan por igual durante la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 60 gerentes qué día de la semana tienen el mayor número de ausencias de empleados. Los resultados se distribuyeron como en la . Para la población de empleados, ¿los días de mayor número de ausencias se producen con igual frecuencia durante una semana laboral de cinco días? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Día de la semana en que los empleados estuvieron más ausentes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Número de ausencias 15 12 9 9 15 Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Los días ausentes se producen con igual frecuencia, es decir, se ajustan a una distribución uniforme. H a : Los días ausentes se producen con frecuencias desiguales, es decir, no se ajustan a una distribución uniforme. Si los días de ausencia se producen con igual frecuencia, entonces, de los 60 días de ausencia (el total de la muestra: 15 + 12 + 9 + 9 + 15 = 60), habría 12 ausencias el lunes, 12 el martes, 12 el miércoles, 12 el jueves y 12 el viernes. Estos números son los valores esperados ( E ). Los valores de la tabla son los valores o datos observados ( O ). Esta vez, calcule el estadístico de prueba χ 2 a mano. Haga un cuadro con los siguientes títulos y rellene las columnas: Valores esperados ( E ) (12, 12, 12, 12, 12) Valores observados ( O ) (15, 12, 9, 9, 15) ( O – E ) ( O – E ) 2 ( O – E ) 2 E Ahora, añada (sume) la última columna. La suma es de tres. Se trata del estadístico de prueba χ 2 . Para hallar el valor p , calcule P ( χ 2 > 3). Esta prueba es de cola derecha. (Utilice una computadora o una calculadora para hallar el valor p . Debería obtener un valor p = 0,5578) Los dfs son el número de celdas - 1 = 5 - 1 = 4 Pulse 2nd DISTR . Flecha hacia abajo χ 2 cdf . Pulse ENTER . Enter (3,10^99,4) . Redondeado a cuatro decimales, debería ver 0,5578, que es el valor p. Luego, complete un gráfico como el siguiente con el identificado y el sombreado adecuados (debería sombrear la cola derecha). La decisión es no rechazar la hipótesis nula. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que los días de ausencia no se producen con igual frecuencia. Las calculadoras TI-83+ y algunas TI-84 no tienen un programa especial para el estadístico de prueba para la prueba de bondad de ajuste. El tiene las instrucciones de la calculadora. Las nuevas calculadoras TI-84 tienen en STAT TESTS la prueba Chi2 GOF . Para ejecutar la prueba, ponga los valores observados (los datos) en una primera lista y los valores esperados (los valores que espera si la hipótesis nula es verdadera) en una segunda lista. Pulse STAT TESTS y Chi2 GOF . Introduzca los nombres de la lista observada y de la lista esperada. Introduzca los grados de libertad y pulse calculate (calcular) o draw (dibujar) . Asegúrese de borrar cualquier lista antes de empezar. Para borrar las listas en las calculadoras: Entre en STAT EDIT y pulse la flecha hacia arriba hasta el área del nombre de la lista en particular. Pulse CLEAR y luego la flecha hacia abajo. La lista se borrará. Como alternativa, puede pulsar STAT y pulsar 4 (para ClrList ). Introduzca el nombre de la lista y pulse ENTER . Ejercicio Los maestros quieren saber qué noche de la semana sus estudiantes hacen la mayor parte de las tareas para la casa. La mayoría de los maestros piensan que los estudiantes hacen las tareas para la casa por igual a lo largo de la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 56 estudiantes en qué noche de la semana hacen más tareas para la casa. Los resultados se distribuyeron como en la . Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Número de estudiantes 11 8 10 7 10 5 5 De la población de estudiantes, ¿las noches en las que el mayor número de estudiantes hace la mayoría de sus tareas para la casa ocurren con igual frecuencia durante una semana? ¿Qué tipo de prueba de hipótesis debe utilizar? Un estudio indica que el número de televisores que tienen las familias estadounidenses se distribuye (esta es la distribución dada para la población estadounidense) como en la . Número de televisores Porcentaje 0 10 1 16 2 55 3 11 4+ 8 La tabla contiene los porcentajes esperados ( E ). Una muestra aleatoria de 600 familias del extremo oeste de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de televisores Frecuencia 0 66 1 119 2 340 3 60 4+ 15 Total = 600 La tabla contiene los valores de frecuencia observados ( O ). Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución de la población estadounidense en su conjunto? Este problema le pide que compruebe si la distribución de las familias del extremo oeste de Estados Unidos se ajusta a la distribución de las familias del resto del país. Esta prueba es siempre de cola derecha. La primera tabla contiene los porcentajes previstos. Para obtener las frecuencias esperadas ( E ), multiplique el porcentaje por 600. Las frecuencias esperadas se muestran en la . Número de televisores Porcentaje Frecuencia esperada 0 10 (0,10)(600) = 60 1 16 (0,16)(600) = 96 2 55 (0,55)(600) = 330 3 11 (0,11)(600) = 66 más de 3 8 (0,08)(600) = 48 Por lo tanto, las frecuencias esperadas son 60, 96, 330, 66 y 48. En las calculadoras TI, puede dejar que estas hagan los cálculos. Por ejemplo, en lugar de 60, introduzca 0,10*600. H 0 : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es igual a la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. H a : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. Distribución para la prueba: χ 4 2 donde df = (el número de celdas) – 1 = 5 – 1 = 4. Nota df ≠ 600 - 1 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 29,65 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ 2 > 29,65) = 0,000006 Compare α y el valor p : α = 0,01 valor p = 0,000006 Así que, α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechace H o . Esto significa que usted rechaza la creencia de que la distribución para los estados del extremo oeste es igual a la de la población estadounidense en su conjunto. Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del “número de televisores” para el extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” para el conjunto de la población estadounidense. Pulse STAT y ENTER . Borre las listas L1 , L2 , y L3 si tienen datos en ellas (vea la nota al final del ). En L1 , ponga las frecuencias observadas 66 , 119 , 340 , 60 , 15 . En L2 , ponga las frecuencias esperadas .10*600, .16*600 , .55*600 , .11*600 , .08*600 . Flecha hacia la lista L3 y hasta el área de nombres \"L3\" . Enter (L1-L2)^2/L2 y ENTER . Pulse 2nd QUIT . Pulse 2nd LIST y flecha hacia MATH . Pulse 5 . Debería ver \"sum\" (Introduzca L3) . Redondeando a 2 decimales, debería ver 29,65 . Pulse 2nd DISTR . Pulse 7 o flecha hacia abajo a 7:χ2cdf y pulse ENTER . Enter (29.65,1E99,4) . Redondeado a cuatro cifras, debería ver 5.77E-6 = 0,000006 (redondeado a seis decimales), que es el valor p. Las nuevas calculadoras TI-84 tienen en STAT TESTS la prueba Chi2 GOF . Para ejecutar la prueba, ponga los valores observados (los datos) en una primera lista y los valores esperados (los valores que espera si la hipótesis nula es verdadera) en una segunda lista. Pulse STAT TESTS y Chi2 GOF . Introduzca los nombres de la lista observada y de la lista esperada. Introduzca los grados de libertad y pulse calculate (calcular) o draw (dibujar) . Asegúrese de borrar cualquier lista antes de empezar. Ejercicio El porcentaje esperado del número de mascotas que tienen los estudiantes en sus hogares se distribuye (es la distribución dada para la población estudiantil de Estados Unidos) como en la . Número de mascotas Porcentaje 0 18 1 25 2 30 3 18 4+ 9 Una muestra aleatoria de 1.000 estudiantes del este de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de mascotas Frecuencia 0 210 1 240 2 320 3 140 4+ 90 Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución “número de mascotas” de los estudiantes del este de Estados Unidos es diferente de la distribución para el conjunto de la población estudiantil de Estados Unidos? ¿Cuál es el valor p ? Supongamos que lanza dos monedas 100 veces. Los resultados son 20 HH , 27 HT , 30 TH y 23 TT . ¿Las monedas son imparciales? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Este problema se puede plantear como un problema de bondad de ajuste. El espacio muestral para lanzar dos monedas imparciales es { HH , HT , TH , TT }. De cada 100 lanzamientos, se esperan 25 HH , 25 HT , 25 TH y 25 TT . Esta es la distribución esperada. La pregunta “¿las monedas son imparciales?” es lo mismo que decir “¿la distribución de las monedas (20 HH , 27 HT , 30 TH , 23 TT ) se ajusta a la distribución esperada?”. Variable aleatoria: Supongamos que X = el número de caras en un lanzamiento de las dos monedas. X toma los valores 0, 1, 2 (hay 0, 1 o 2 caras en el lanzamiento de dos monedas). Por lo tanto, el número de celdas es tres . Como X = el número de caras, las frecuencias observadas son 20 (para dos caras), 57 (para una cara) y 23 (para cero caras o dos cruces). Las frecuencias esperadas son 25 (para dos caras), 50 (para una cara) y 25 (para cero caras o dos cruces). Esta prueba es de cola derecha. H 0 : Las monedas son imparciales. H a : Las monedas no son imparciales. Distribución para la prueba: χ 2 2 donde df = 3 – 1 = 2. Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 2,14 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ 2 > 2,14) = 0,3430 Compare α y el valor p : α = 0,05 valor p = 0,3430 α < valor p . Tome una decisión: Dado que α < valor p , no se rechaza H 0 . Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las monedas no son imparciales. Pulse STAT y ENTER . Borre las listas L1 , L2 , y L3 si tienen datos en ellas. En L1 , ponga las frecuencias observadas 20 , 57 , 23 . En L2 , ponga las frecuencias esperadas 25 , 50 , 25 . Flecha hacia la lista L3 y hasta el área de nombres \"L3\" . Enter (L1-L2)^2/L2 y ENTER . Pulse 2nd QUIT . Pulse 2nd LIST y flecha hacia MATH . Pulse 5 . Debería ver \"sum\" . Introduzca L3 . Redondeado a dos decimales, debería ver 2,14 . Pulse 2nd DISTR . Flecha hacia abajo 7:χ2cdf (o pulse 7 ). Pulse ENTER . Enter 2,14, 1E99,2) . Redondeado a cuatro cifras, debería ver 0,3430 , que es el valor p. Las nuevas calculadoras TI-84 tienen en STAT TESTS la prueba Chi2 GOF . Para ejecutar la prueba, ponga los valores observados (los datos) en una primera lista y los valores esperados (los valores que espera si la hipótesis nula es verdadera) en una segunda lista. Pulse STAT TESTS y Chi2 GOF . Introduzca los nombres de la lista observada y de la lista esperada. Introduzca los grados de libertad y pulse calculate (calcular) o draw (dibujar) . Asegúrese de borrar cualquier lista antes de empezar. Ejercicio Los estudiantes de una clase de estudios sociales plantean la hipótesis de que las tasas de alfabetización en todo el mundo para cada región son del 82 %. La muestra las tasas reales de alfabetización en todo el mundo desglosadas por regiones. ¿Cuáles son el estadístico de prueba y los grados de libertad? Región de los Objetivos de Desarrollo del Milenio (ODM) Tasa de alfabetización de adultos (%) Regiones desarrolladas 99,0 Comunidad de Estados Independientes 99,5 Norte de África 67,3 África subsahariana 62,5 América Latina y el Caribe 91,0 Asia oriental 93,8 Asia meridional 61,9 Sudeste de Asia 91,9 Asia occidental 84,5 Oceanía 66,4 Referencias Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com. Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports. Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92. Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ k ( O – E ) 2 E estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O : valores observados E : valores esperados k : número de celdas o categorías de datos diferentes df = k − 1 grados de libertad Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una arqueóloga está calculando la distribución de la frecuencia del número de objetos que encuentra en una excavación. Basándose en excavaciones anteriores, la arqueóloga crea una distribución prevista desglosada por secciones de la cuadrícula en el lugar de la excavación. Una vez que el yacimiento se ha excavado por completo, compara el número real de objetos encontrados en cada sección de la cuadrícula para determinar si sus expectativas eran correctas. Un economista está elaborando un modelo para predecir los resultados del mercado de valores. Crea una lista de puntos esperados en el índice bursátil para las próximas dos semanas. Al cierre de cada jornada registra los puntos reales del índice. Quiere ver hasta qué punto su modelo coincide con lo que realmente ocurrió. una prueba de bondad de ajuste Una entrenadora personal está preparando un programa de levantamiento de pesas para sus clientes. Para un programa de 90 días espera que cada cliente levante un peso máximo específico cada semana. A medida que avanza registra los pesos máximos reales que levantan sus clientes. Quiere saber si sus expectativas se ajustan a lo observado. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la . Grado Proporción A 0,25 B 0,30 C 0,35 D 0,10 La distribución real para una clase de 20 está en la . Grado Frecuencia A 7 B 7 C 5 D 1 d e = ______ 3 Indique las hipótesis nula y alternativa. estadístico de prueba χ 2 = ______ 2,04 valor p = ______ Al nivel de significación del 5 %, ¿qué puede concluir? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que sugieran que las calificaciones observadas en las pruebas sean significativamente diferentes de las esperadas. Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la . Etnia Número de casos Blancos 2.229 Hispanos 1.157 Negros/Afroamericanos 457 Asiáticos, isleños del Pacífico 232 Total = 4.075 El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la . Etnia Porcentaje de la población total del condado Número esperado (redondeado a dos decimales) Blancos 42,9% 1.748,18 Hispanos 26,7% Negros/Afroamericanos 2,6% Asiáticos, isleños del Pacífico 27,8 % Total = 100 % Si las etnias de las víctimas de sida aparecen según las etnias de la población total del condado, rellene el número esperado de casos por grupo étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si la aparición de casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H 0 : _______ H 0 : la distribución de los casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H a : _______ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? cola derecha grados de libertad = _______ estadístico de prueba χ 2 = _______ 2016,136 valor p = _______ Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al valor p . Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________________ Motivo de la decisión: ________________ Conclusión (escriba en oraciones completas): ________________ Gráfico: Compruebe la solución del estudiante. Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión (escriba en oraciones completas): La composición de los casos de SIDA no se ajusta a las etnias de la población general del condado de Santa Clara. ¿Parece que el patrón de casos de sida en el condado de Santa Clara se corresponde con la distribución de los grupos étnicos en este condado? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. Se lanza un dado de seis caras 120 veces. Rellene la columna de frecuencia prevista. Luego, realice una prueba de hipótesis para determinar si el dado es imparcial. Los datos de la son el resultado de las 120 lanzamientos. Valor nominal Frecuencia Frecuencia esperada 1 15 2 29 3 16 4 15 5 30 6 15 La distribución del estado civil de la población de hombres de EE. UU. de 15 años o más es la que se muestra en la . Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada soltero 31,3 casado 56,1 viudo 2,5 divorciado/separado 10,1 Supongamos que una muestra aleatoria de 400 hombres adultos jóvenes de EE. UU. de 18 a 24 años arroja la siguiente distribución de frecuencias. Nos interesa saber si este grupo de edad de hombres se ajusta a la distribución de la población adulta de EE. UU. Calcule la frecuencia que cabría esperar al encuestar a 400 personas. Rellene la , redondeando a dos decimales. Estado civil Frecuencia soltero 140 casado 238 viudo 2 divorciado/separado 20 Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada soltero 31,3 125,2 casado 56,1 224,4 viudo 2,5 10 divorciado/separado 10,1 40,4 Los datos se ajustan a la distribución. Los datos no se ajustan a la distribución. 3 distribución chi-cuadrado con df = 3 19,27 0,0002 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: Rechazar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Los datos no se ajustan a la distribución. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP. Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total Frecuencia de la encuesta Asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,2% 5,4% 113 Negro o afroamericano 8,2% 14,5% 94 Hispano o latino 15,5 % 15,9% 136 Amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,2% 10 Blancos 59,4% 61,6% 604 No informado/otro 6,1% 1,4% 43 Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población estudiantil general de EE. UU. con base en el origen étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. con base en su origen étnico. H 0 : Los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. H a : Los resultados locales no siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. df = 5 distribución chi-cuadrado con df = 5 estadístico de prueba chi-cuadrado = 13,4 valor p = 0,0199 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: Rechazar la hipótesis nula cuando a = 0,05 Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Los datos locales no se ajustan a la distribución de los examinados de AP. Decisión: No rechaza la nulidad cuando a = 0,01 Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que los datos locales no siguen la distribución de los examinados de AP de EE. UU. La ciudad de South Lake Tahoe, California tiene una población asiática de 1.419 personas, de una población total de 23.609. Supongamos que una encuesta realizada a 1.419 asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan (Nueva York) arroja los datos de la . Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los subgrupos de asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan se ajustan a los de la zona del Lake Tahoe. Raza Frecuencia de Lake Tahoe Frecuencia de Manhattan Indio asiático 131 174 Chino 118 557 Filipinos 1.045 518 Japonés 80 54 Coreano 12 29 Vietnamita 9 21 Otro 24 66 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en The Chronicle of Higher Education (2 feb 2006). . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Mujeres - especialidad esperada Mujeres - especialidad real Arte y Humanidades 14,0% 670 Ciencias Biológicas 8,4% 410 Negocios 13,1% 685 Educación 13,0% 650 Ingeniería 2,6% 145 Ciencias Físicas 2,6% 125 Profesional 18,9% 975 Ciencias Sociales 13,0% 605 Técnica 0,4% 15 Otro 5,8% 300 Indecisos 8,0% 420 H 0 : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas H a : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan no se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas df = 10 distribución chi-cuadrado con df = 10 estadístico de prueba = 11,48 valor p = 0,3211 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No rechazar la hipótesis nula cuando a = 0,05 y a = 0,01 Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan no se ajusta a la distribución de sus especialidades esperadas. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de los hombres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Hombres - especialidad esperada Hombres - especialidad real Arte y Humanidades 11,0% 600 Ciencias Biológicas 6,7% 330 Negocios 22,7% 1130 Educación 5,8% 305 Ingeniería 15,6 % 800 Ciencias Físicas 3,6% 175 Profesional 9,3% 460 Ciencias Sociales 7,6 % 370 Técnica 1,8% 90 Otro 8,2% 400 Indecisos 6,6% 340 Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. En una prueba de bondad de ajuste, los valores esperados son los valores que esperaríamos si la hipótesis nula fuera cierta. verdadero En general, si los valores observados y los valores esperados de una prueba de bondad de ajuste no están cerca, el estadístico de prueba puede ser muy grande y en un gráfico estará muy lejos en la cola derecha. Utilice una prueba de bondad de ajuste para determinar si los directores de las escuelas secundarias creen que los estudiantes se ausentan por igual durante la semana o no. verdadero La prueba que se va a usar para determinar si un dado de seis caras es imparcial es una prueba de bondad de ajuste. En una prueba de bondad de ajuste, si el valor p es 0,0113, en general, no rechaza la hipótesis nula. falso Se encuestó una muestra de 212 compañías comerciales para el reciclaje de una materia prima; una materia prima significa aquí cualquier tipo de material reciclable como plástico o aluminio. La muestra las categorías de compañías en la encuesta, el tamaño de la muestra de cada categoría y el número de compañías en cada categoría que reciclan una materia prima. Según el estudio, se espera que un promedio de la mitad de las compañías reciclen una materia prima. Como resultado, la última columna muestra el número esperado de compañías de cada categoría que reciclan una materia prima. Al nivel de significación del 5 % realice una prueba de hipótesis para determinar si el número observado de compañías que reciclan una materia prima sigue la distribución uniforme de los valores esperados. Tipo de negocio Número en la clase Número observado que recicla una materia prima Número esperado que reciclan una materia prima Oficina 35 19 17,5 Comercio minorista/mayorista 48 27 24 Alimentación/restauración 53 35 26,5 Fabricación/médico 52 21 26 Hotel/mixto 24 9 12 La contiene información procedente de una encuesta realizada a 499 participantes clasificados según sus grupos de edad. La segunda columna muestra el porcentaje de personas obesas por clase de edad entre los participantes en el estudio. La última columna procede de un estudio nacional diferente que muestra los porcentajes correspondientes de personas obesas en las mismas clases de edad en EE. UU. Realice una prueba de hipótesis al nivel de significación del 5 % para determinar si los participantes en la encuesta son una muestra representativa de la población obesa de Estados Unidos. Grupo etario (años) Obesos (porcentaje) Promedio previsto en EE. UU. (porcentaje) 20–30 15,0 32,6 31–40 26,5 32,6 41–50 13,6 36,6 51–60 21,9 36,6 61–70 21,0 39,7 Las hipótesis para la prueba de bondad de ajuste son: H 0 : Los obesos encuestados se ajustan a la distribución de los obesos esperados H a : Los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de los obesos esperados Utilice una distribución chi-cuadrado con df = 4 para evaluar los datos. El estadístico de prueba es X 2 = 9,85 El valor p = 0,0431. Al nivel de significación del 5 %, = 0,05. Para estos datos, P < α. rechaza la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de obesos esperada.", "section": "Prueba de bondad de ajuste", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de independencia Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos). El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste: Σ ( i ⋅ j ) ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados E = valores esperados i = el número de filas de la tabla j = el número de columnas de la tabla Hay i ⋅ j términos de la forma ( O – E ) 2 E . Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que se topó con el término independencia fue en Temas de probabilidad . A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. Nota El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco para poder utilizar esta prueba. Supongamos que A = una infracción por exceso de velocidad en el último año y B = un usuario de teléfono móvil mientras conduce. Si A y B son independientes, entonces P (A Y B ) = P ( A ) P ( B ). A Y B es el evento en que un conductor recibió una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también utilizaba el teléfono móvil mientras conducía. Supongamos que se encuestaron 755 personas en un estudio sobre conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad durante el año pasado que usaron el teléfono móvil mientras conducían. De los 755, 70 tenían una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaba el teléfono móvil mientras conducían y 450 no. Supongamos que y = número esperado de conductores que usaron un teléfono móvil mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad. Si A y B son independientes, entonces P ( A Y B ) = P ( A ) P ( B ). Por sustitución, y 755 = ( 70 755 ) ( 305 755 ) Resuelva para y : y = ( 70 ) ( 305 ) 755 = 28,3 Se espera que unas 28 personas de la muestra usen teléfonos móviles mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad. En una prueba de independencia planteamos las hipótesis nula y alternativa con palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores , la hipótesis nula afirma que los factores son independientes y la hipótesis alternativa afirma que no son independientes (dependientes) . Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es: H 0 : Hablar por el teléfono móvil mientras se conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son eventos independientes. Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que unas 28 personas usaran el móvil mientras conducen y recibieran una infracción por exceso de velocidad. La prueba de independencia es siempre de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están cerca, entonces el estadístico de prueba es muy grande y se encuentra en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, al igual que en una bondad de ajuste. El número de grados de libertad para la prueba de independencia es: df = (número de columnas – 1)(número de filas – 1) La siguiente fórmula calcula el número esperado ( E ): E = (total de filas)(total de columnas) número total de encuestados Ejercicio Se toma una muestra de 300 estudiantes. De los estudiantes encuestados, 50 estudiaban música, mientras que 250 no. Un total de 97 estaban en el cuadro de honor, mientras que 203 no. Si suponemos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son hechos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor? En un grupo de voluntariado, los adultos de 21 años o más se ofrecen como voluntarios de una a nueve horas cada semana para pasar el tiempo con una persona mayor discapacitada. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes de institutos universitarios de cuatro años y no estudiantes. En la se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que ofrecen a la semana. Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (observado). La tabla contiene valores (datos) observados (O) . Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Total de la fila Estudiantes de colegios comunitarios 111 96 48 255 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 96 133 61 290 No estudiantes 91 150 53 294 Total de la columna 298 379 162 839 ¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario? La tabla observada y la pregunta al final del problema: “¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?”, le indican que se trata de una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario . Esta prueba es siempre de cola derecha. H 0 : El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario. H a : El número de horas de voluntariado depende del tipo de voluntario. Los resultados esperados están en la . Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (previsto) Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Estudiantes de colegios comunitarios 90,57 115,19 49,24 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 103,00 131,00 56,00 No estudiantes 104,42 132,81 56,77 La tabla contiene los valores (datos) esperados ( E ). Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es E = ( total de la fila ) ( total de la columna ) número total de encuestados = ( 255 ) ( 298 ) 839 = 90,57 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 12,99 (calculadora o computadora) Distribución para la prueba: χ 4 2 df = (3 columnas – 1)(3 filas – 1) = (2)(2) = 4 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ 2 > 12,99) = 0,0113 Compare α y el valor p : Ya que no se da α , suponga que α = 0,05. valor p = 0,0113. α > valor p . Tome una decisión: Dado el valor de α > p , se rechaza H 0 . Esto significa que los factores no son independientes. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntariado dependen el uno del otro. Para el ejemplo de la , de haber otro tipo de voluntarios, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad? Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 3 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila, desde la . Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Si es necesario, utilice las teclas de flecha para mover el cursor después de Observed: (Observado:) y pulse 2nd MATRX . Pulse 1:[A] para seleccionar la matriz A. No es necesario introducir los valores esperados. La matriz que aparece después de Expected: (Previsto:) puede estar en blanco. Flecha hacia abajo Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 12,9909 y el valor p = 0,0113. Repita el procedimiento, pero con la flecha hacia abajo a Dibujar en vez de calcular . Ejercicio La Oficina de Estadísticas Laborales recopila datos sobre empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos de EE. UU. que trabajan en uno de varios sectores industriales a lo largo del tiempo. La muestra los resultados: Sector industrial 2000 2010 2020 Total Sueldos y salarios no agrícolas 13.243 13.044 15.018 41.305 Producción de bienes, excluida la agricultura 2.457 1.771 1.950 6.178 Prestación de servicios 10.786 11.273 13.068 35.127 Agricultura, silvicultura, pesca y caza 240 214 201 655 Autónomos no agrícolas y trabajadores familiares no remunerados 931 894 972 2.797 Empleos secundarios asalariados en agricultura e industrias domésticas privadas 14 11 11 36 Trabajos secundarios como autónomo o trabajador familiar no remunerado 196 144 152 492 Total 27.867 27.351 31.372 86.590 Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en los años. Indique las hipótesis nula y alternativa y los grados de libertad. El De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 estudiantes realizó una prueba que medía el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. La muestra los resultados. El De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela son eventos independientes. Necesidad de tener éxito en la escuela versus nivel de ansiedad Necesidad de tener éxito en la escuela Ansiedad alta Ansiedad media-alta Ansiedad media Ansiedad media-baja Ansiedad baja Total de la fila Necesidad alta 35 42 53 15 10 155 Necesidad media 18 48 63 33 31 193 Necesidad baja 4 5 11 15 17 52 Total de la columna 57 95 127 63 58 400 a. ¿Cuántos estudiantes con alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela? a. El total de la columna para un alto nivel de ansiedad es de 57. El total de filas para la alta necesidad de tener éxito en la escuela es de 155. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 155 ⋅ 57 400 = 22,09 El número esperado de estudiantes que tienen un alto nivel de ansiedad y una alta necesidad de tener éxito en la escuela es de unos 22. b. Si las dos variables son independientes, ¿cuántos estudiantes espera que tengan una baja necesidad de tener éxito en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad? b. El total de la columna para un nivel de ansiedad medio-bajo es de 63. El total de filas para una baja necesidad de éxito en la escuela es de 52. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = ________ c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 8,19 d. El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad medio-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es aproximadamente ________. d. 8 Ejercicio Consulte la información en el INTÉNTELO 11.6 . ¿Cuántos puestos de trabajo en el sector de los servicios se espera que haya en 2020? ¿Cuántos empleos asalariados no relacionados con la agricultura se espera que haya en 2020? Referencias DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013) “Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5. Revisión de la fórmula Prueba de independencia El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1). El estadístico de prueba es Σ ( i ⋅ j ) ( O – E ) 2 E donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados . Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una compañía farmacéutica está interesada en la relación entre edad y presentación de síntomas de una infección viral común. Se toma una muestra aleatoria de 500 personas con la infección en diferentes grupos de edad. una prueba de independencia El propietario de un equipo de béisbol está interesado en la relación entre salarios de los jugadores y porcentaje de victorias del equipo. Toma una muestra aleatoria de 100 jugadores de diferentes organizaciones. Un corredor de maratón se interesa por la relación entre la marca de zapatillas que usan los corredores y sus tiempos de carrera. Toma una muestra aleatoria de 50 corredores y registra sus tiempos de carrera, así como la marca de zapatillas que llevaban. una prueba de independencia Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar. Distancia de recorrido Tercera clase Segunda clase Primera clase Total de 1 a 100 millas 21 14 6 41 de 101 a 200 millas 18 16 8 42 de 201 a 300 millas 16 17 15 48 de 301 a 400 millas 12 14 21 47 de 401 a 500 millas 6 6 10 22 Total 73 67 60 200 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ df = _______ 8 ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 201 y 300 millas y compren billetes de segunda clase? ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 401 y 500 millas y compren billetes de primera clase? 6,6 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,0435 ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla. Hábito de fumar por grupo étnico (observado) Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos TOTALES 1-10 11-20 21-30 31 o más TOTALES Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses Blancos Totales 1-10 9.886 2.745 12.831 8.378 7.650 41.490 11-20 6.514 3.062 4.932 10.680 9.877 35.065 21-30 1.671 1.419 1.406 4.715 6.062 15.273 31 o más 759 788 800 2.305 3.970 8.622 Totales 18.830 8.014 19.969 26.078 27.559 10.0450 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ Introduzca los valores esperados en la . Redondee a dos decimales. Calcule los siguientes valores: Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses Blancos 1-10 7.777,57 3.310,11 8.248,02 10.771,29 11.383,01 11-20 6.573,16 2.797,52 6.970,76 9.103,29 9.620,27 21-30 2.863,02 1.218,49 3.036,20 3.965,05 4.190,23 31 o más 1.616,25 687,87 1.714,01 2.238,37 2.365,49 df = _______ χ 2 estadístico de prueba = ______ 10.301,8 valor p = ______ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? Explique por qué. derecha Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al valor p . Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ rechazar la hipótesis nula. valor p < alfa Hay pruebas suficientes para concluir que el hábito de fumar depende del grupo étnico. α = 0,01 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ Tarea para la casa Para cada problema use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al Apéndice E para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. Un reciente debate sobre dónde los esquiadores creen que se esquía mejor en Estados Unidos generó la siguiente encuesta. Pruebe para ver si la mejor área de esquí es independiente del nivel del esquiador. Área de esquí de EE. UU. Principiante Intermedio Avanzado Tahoe 20 30 40 Utah 10 30 60 Colorado 10 40 50 Hay fabricantes de automóviles que están interesados en saber si hay una relación entre el tamaño del automóvil que conduce una persona y el número de personas que componen su familia (es decir, si el tamaño del automóvil y el de la familia son independientes). Para comprobarlo, supongamos que se encuestó aleatoriamente a 800 propietarios de automóviles, lo cual arrojó los resultados que están en la . Haga una prueba de independencia. Tamaño de la familia Sub y compacto Tamaño medio Tamaño completo Van y camioneta 1 20 35 40 35 2 20 50 70 80 3–4 20 50 100 90 Más de 5 20 30 70 70 H 0 : El tamaño del automóvil es independiente del tamaño de la familia. H a : El tamaño del automóvil depende del tamaño de la familia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,8284 valor p = 0,0706 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el tamaño del automóvil y el tamaño de la familia son dependientes. Los estudiantes universitarios pueden estar interesados en saber si sus especialidades tienen algún efecto sobre los salarios iniciales después de graduarse. Supongamos que se ha encuestado a 300 recién graduados sobre sus especialidades universitarias y sus salarios iniciales tras la graduación. La muestra los datos. Haga una prueba de independencia. Especialidad < $50.000 $50.000 – $68.999 $69.000 + Inglés 5 20 5 Ingeniería 10 30 60 Enfermería 10 15 15 Negocios 10 20 30 Psicología 20 30 20 Algunas agencias de viajes afirman que los lugares más visitados para la luna de miel varían según la edad de la novia. Supongamos que se entrevista a 280 novias recientes para saber dónde han pasado su luna de miel. La información se ofrece en la . Haga una prueba de independencia. Lugar 20–29 30–39 40–49 50 años o más Cataratas del Niágara 15 25 25 20 Poconos 15 25 25 10 Europa 10 25 15 5 Islas Vírgenes 20 25 15 5 H 0 : Los lugares de la luna de miel son independientes de la edad de la novia. H a : Los lugares de la luna de miel dependen de la edad de la novia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,7027 valor p = 0,0734 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el lugar de la luna de miel y la edad de la novia son dependientes. El gerente de un club deportivo guarda información sobre el deporte principal en el que participan los socios y sus edades. Para comprobar si existe una relación entre la edad de un socio y su elección de deporte se seleccionan aleatoriamente 643 socios del club deportivo. Haga una prueba de independencia. Deporte 18 - 25 26 - 30 31 - 40 41 años o más racquetball 42 58 30 46 tenis 58 76 38 65 nadando 72 60 65 33 Un importante fabricante de alimentos está preocupado porque las ventas de sus papas fritas delgadas han disminuido. Como parte de un estudio de viabilidad, la compañía realiza una investigación sobre los tipos de papas fritas que se venden en todo el país para determinar si el tipo de papas fritas que se venden es independiente de la zona del país. Los resultados del estudio se muestran en la . Haga una prueba de independencia. Tipo de papas fritas Noreste Sur Centro Oeste papas fritas delgadas 70 50 20 25 papas fritas rizadas 100 60 15 30 papas horneadas 20 40 10 10 H 0 : Los tipos de papas fritas que se venden son independientes del lugar. H a : Los tipos de papas fritas que se venden dependen del lugar. df = 6 distribución chi-cuadrado con df = 6 estadístico de prueba =18,8369 valor p = 0,0044 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes de que los tipos de papas fritas y los lugares son dependientes. De acuerdo con los datos suministrados por Dan Lenard, agente de seguros independiente de la zona de Buffalo (Nueva York), a continuación se desglosa el monto de los seguros de vida adquiridos por hombres de los siguientes grupos de edad. Le interesa saber si la edad del hombre y el monto del seguro de vida adquirido son hechos independientes. Haga una prueba de independencia. Edad de los hombres Ninguno < $200.000 $200.000–$400,000 $401.001–$1,000,000 $1,000,001+ 20–29 40 15 40 0 5 30–39 35 5 20 20 10 40–49 20 0 30 0 30 50 o más 40 30 15 15 10 Supongamos que se encuestaron 600 personas de treinta años para determinar si existe o no una relación entre el nivel de estudios de una persona y su salario. Haga una prueba de independencia. Salario anual No se graduó de escuela secundaria Graduado de escuela secundaria Graduado universitario Maestría o doctorado < $30.000 15 25 10 5 $30.000–$40,000 20 40 70 30 $40.000–$50,000 10 20 40 55 $50.000–$60,000 5 10 20 60 más de $60.000 0 5 10 150 H 0 : El salario es independiente del nivel de estudios. H a : El salario depende del nivel de estudios. df = 12 distribución chi-cuadrado con df = 12 estadístico de prueba = 255,7704 valor p = 0 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario y el nivel de estudios son dependientes. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. El número de grados de libertad para una prueba de independencia es igual al tamaño de la muestra menos uno. La prueba de independencia utiliza tablas de valores de datos observados y esperados. verdadero La prueba que hay que usar para determinar si el instituto universitario o la universidad que elige un estudiante está relacionado con su estatus socioeconómico es una prueba de independencia. En una prueba de independencia, el número esperado es igual al total de filas multiplicado por el total de columnas dividido entre el total encuestado. verdadero Un fabricante de helados hace una encuesta nacional sobre los sabores de helado favoritos en distintas zonas geográficas de EE. UU. Según la , ¿los números sugieren que la ubicación geográfica es independiente de los sabores de helado favoritos? Prueba al nivel de significación del 5 %. Región de EE. UU./Sabor Fresa Chocolate Vainilla Chocolate con nueces Chispitas de menta y chocolate Pistacho Total de la fila Oeste 12 21 22 19 15 8 97 Medio Oeste 10 32 22 11 15 6 96 Este 8 31 27 8 15 7 96 Sur 15 28 30 8 15 6 102 Total de la columna 45 112 101 46 60 27 391 La ofrece una encuesta reciente sobre emprendedores en línea más jóvenes cuyo patrimonio neto se estima en un millón de dólares o más. Sus edades oscilan entre los 17 y los 30 años. Cada celda del cuadro ilustra el número de emprendedores que corresponden al grupo de edad específico y su patrimonio neto. ¿La edad y el patrimonio neto son independientes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Grupo etario / Valor del patrimonio neto (en millones de dólares) 1–5 6–24 ≥25 Total de la fila 17–25 8 7 5 20 26–30 6 5 9 20 Total de la columna 14 12 14 40 H 0 : La edad es independiente del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. H a : La edad depende del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. df = 2 distribución chi-cuadrado con df = 2 estadístico de prueba = 1,76 valor p 0,4144 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la edad y el patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes sean dependientes. Un sondeo realizado en 2013 en California consulto a personas sobre los impuestos a las bebidas azucaradas. Los resultados se presentan en la , y están clasificados por grupo étnico y tipo de respuesta. ¿Las respuestas del sondeo son independientes del grupo étnico de los participantes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Opinión/Etnia Asiático americano Blanco/No Hispano Afroamericano Latinos Total de la fila Contra el impuesto 48 433 41 160 682 A favor del impuesto 54 234 24 147 459 Sin opinión 16 43 16 19 94 Total de la columna 118 710 81 326 1235 Tabla de contingencia una tabla que muestra los valores de dos factores diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí; facilita la determinación de probabilidades condicionales.", "section": "Prueba de independencia", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de homogeneidad La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad , se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia. Nota El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco para poder utilizar esta prueba. Hipótesis H 0 : Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H a : Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales. Estadístico de prueba Utilice un χ 2 estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia. Grados de libertad ( df ) df = número de columnas – 1 Requisitos Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Usos comunes Comparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la . ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Distribución de la situación de vivienda de hombres y mujeres universitarios Dormitorio Apartamento Con los padres Otra Hombres 72 84 49 45 Mujeres 91 86 88 35 H 0 : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias. H a : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3 Distribución de la prueba: χ 3 2 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 10,1287 (calculadora o computadora) Enunciado de probabilidad: valor p = P ( χ 2 >10,1287) = 0,0175 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 2 ENTER 4 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 10,1287 y el valor p = 0,0175. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Compare α y el valor p : Como no se da α , suponga que α = 0,05. Valor p = 0,0175. α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Esto significa que las distribuciones no son iguales. Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales. Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias. Ejercicio ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la . ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05. Deporte Sedán Utilitario Camioneta Van/suv Familia 5 15 35 17 28 Sencillo 45 65 37 46 7 Tanto antes como después de un reciente terremoto, se realizaron encuestas en las que se preguntaba a los votantes por cuál de los tres candidatos pensaban votar en las próximas elecciones al ayuntamiento. ¿Hubo algún cambio después del terremoto? Utilice un nivel de significación de 0,05. La muestra los resultados de la encuesta. ¿Ha habido un cambio en la distribución de las preferencias de los votantes desde el terremoto? Pérez Chung Stevens Antes 167 128 135 Después 214 197 225 H 0 : La distribución de las preferencias de los votantes fue la misma antes y después del terremoto. H a : La distribución de las preferencias de los votantes no fue la misma antes y después del terremoto. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas - 1 = 3 - 1 = 2 Distribución para la prueba: χ 2 2 Calcule el estadístico de prueba : χ 2 = 3,2603 (calculadora o computadora) Enunciado de probabilidad: valor p = P ( χ 2 > 3,2603) = 0,1959 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 2 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 3,2603 y el valor p = 0,1959. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Compare α y el valor p : α = 0,05 y el valor p = 0,1959. α < valor p . Tome una decisión: Como α < valor p , no se rechaza H o . Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos no hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las preferencias de los votantes no era la misma antes y después del terremoto. Ejercicio Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada. Tipo de solicitud aceptada Brown Columbia Cornell Dartmouth Penn Yale Regular 2.115 1.792 5.306 1.734 2.685 1.245 Decisión anticipada 577 627 1.228 444 1.195 761 Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de la prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad. Referencias Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013). “Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos df = ( i −1)( j −1) Grados de libertad Una maestra de Matemáticas quiere ver si dos de sus clases tienen la misma distribución de resultados en los exámenes. ¿Qué prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para el ? Un investigador de mercado quiere ver si dos tiendas diferentes tienen la misma distribución de ventas a lo largo del año. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad Una meteoróloga quiere saber si el este y el oeste de Australia tienen la misma distribución de tormentas. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? ¿Qué condición debe cumplirse para utilizar la prueba de homogeneidad? Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la . 20–30 30–40 40–50 50–60 Práctica privada 16 40 38 6 Hospital 8 44 59 39 Indique las hipótesis nula y alternativa. df = _______ 3 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,00005 ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. Un psicólogo está interesado en comprobar si existe una diferencia en la distribución de los tipos de personalidad de los estudiantes de Negocios y de Ciencias Sociales. Los resultados del estudio se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Abierto Meticuloso Extrovertido Agradable Neurótico Negocios 41 52 46 61 58 Ciencias Sociales 72 75 63 80 65 H 0 : La distribución de los tipos de personalidad es la misma para ambas especialidades. H a : La distribución de los tipos de personalidad no es la misma para ambas especialidades. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 3,01 valor p = 0,5568 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de los tipos de personalidad es diferente para las especialidades de Negocios y Ciencias Sociales. ¿Los hombres y las mujeres seleccionan desayunos diferentes? Los desayunos pedidos por hombres y mujeres seleccionados al azar en un lugar popular de desayunos se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. Tostadas francesas Panqueques Waffles Tortillas Hombres 47 35 28 53 Mujeres 65 59 55 60 Un pescador está interesado en saber si la distribución de los peces capturados en el lago Green Valley es la misma que la de los peces capturados en el lago Echo. De los 191 peces capturados al azar en el lago Green Valley, 105 eran truchas arco iris, 27 otras truchas, 35 lubinas y 24 bagres. De los 293 peces capturados al azar en el lago Echo, 115 eran truchas arco iris, 58 otras truchas, 67 lubinas y 53 bagres. Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. H 0 : La distribución de los peces capturados es igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. H a : La distribución de los peces capturados no igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. 3 chi-cuadrado con df = 3 11,75 valor p = 0,0083 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas para concluir que la distribución de los peces capturados es diferente en el lago Green Valley y en el lago Echo En 2007, EE. UU. contaba con 1,5 millones de estudiantes educados en casa, según el Centro Nacional de Estadísticas Educativas de EE. UU. En la se puede ver que los padres deciden educar a sus hijos en casa por diferentes razones, y algunas razones son clasificadas por los padres como más importantes que otras. Según los resultados de la encuesta que se muestran en la tabla, ¿la distribución de las razones aplicables es la misma que la distribución de la razón más importante? Proporcione su evaluación con un nivel de significación del 5 %. ¿Esperaba el resultado que ha obtenido? Razones para educar en casa Razón aplicable (en miles de encuestados) Razón más importante (en miles de encuestados) Total de la fila Preocupación por el ambiente de otras escuelas 1.321 309 1.630 Insatisfacción con la enseñanza académica en otras escuelas 1.096 258 1.354 Proporcionar instrucción religiosa o moral 1.257 540 1.797 El niño tiene necesidades especiales, aparte de las físicas o mentales 315 55 370 Enfoque no tradicional de la educación de los niños 984 99 1.083 Otras razones (p. ej., finanzas, viajes, tiempo en familia, etc.) 485 216 701 Total de la columna 5.458 1.477 6.935 Al examinar el consumo de energía, a menudo nos interesa detectar las tendencias a lo largo del tiempo y su correlación entre los distintos países. La información de la muestra el uso promedio de energía (en unidades de kg de equivalente de petróleo per cápita) en EE. UU. y los países conjuntos de la Unión Europea (UE) para el periodo de seis años de 2005 a 2010. ¿Los valores de uso de energía en estas dos áreas provienen de la misma distribución? Haga el análisis al nivel de significación del 5 %. Año Unión Europea Estados Unidos Total de la fila 2010 3.413 7.164 10.557 2009 3.302 7.057 10.359 2008 3.505 7.488 10.993 2007 3.537 7.758 11.295 2006 3.595 7.697 11.292 2005 3.613 7.847 11.460 Total de la columna 20.965 45.011 65.976 H 0 : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos es igual que en Europa entre 2005 y 2010. H a : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos no es igual que en Europa entre 2005 y 2010. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 2,7434 valor p = 0,7395 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que los valores medios de uso de energía en EE. UU. y la UE no proceden de distribuciones diferentes para el periodo de 2005 a 2010. El Instituto de Seguros para la Seguridad en las Carreteras recopila cada año información sobre la seguridad de todo tipo de automóviles y publica un informe de los Mejores Selecciones de Seguridad entre todos los automóviles, marcas y modelos. La presenta el número de Mejores Selecciones de Seguridad en seis categorías de automóviles para los años 2009 y 2013. Analice los datos de la tabla para concluir si la distribución de los automóviles que obtuvieron el premio de seguridad de Mejores Selecciones de Seguridad se ha mantenido igual entre 2009 y 2013. Derive sus resultados al nivel de significación del 5 %. Año \\ Tipo de auto Pequeño Mediano Grande SUV pequeña SUV mediana SUV grande Total de la fila 2009 12 22 10 10 27 6 87 2013 31 30 19 11 29 4 124 Total de la columna 43 52 29 21 56 10 211", "section": "Prueba de homogeneidad", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Comparación de las pruebas chi-cuadrado Ha visto el estadístico de prueba χ 2 utilizado en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen que le ayudará a decidir qué prueba χ 2 es la adecuada. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : La población se ajusta a la distribución dada. H a : La población no se ajusta a la distribución dada. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos variables (factores) son independientes. H a : Las dos variables (factores) son dependientes. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H a : Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes. Repaso del capítulo La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida. ¿Qué prueba se usa para decidir si una distribución observada es la misma que una distribución esperada? una prueba de bondad de ajuste ¿Cuál es la hipótesis nula para el tipo de prueba de ? ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos factores tienen una relación? una prueba de independencia ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos poblaciones tienen la misma distribución? ¿En qué se parecen las pruebas de independencia a las pruebas de homogeneidad? Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: tanto las pruebas de independencia como las de homogeneidad calculan el estadístico de prueba de la misma manera ∑ ( i j ) ( O – E ) 2 E . Además, todos los valores deben ser mayores o iguales a cinco. ¿En qué se diferencian las pruebas de independencia de las pruebas de homogeneidad? Tarea para la casa Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. ¿Existe una diferencia entre la distribución de los estudiantes de Estadística de colegios comunitarios y la distribución de los estudiantes de Estadística de universidades en cuanto a la tecnología que utilizan en sus tareas para la casa? De algunos estudiantes de colegios universitarios comunitarios seleccionados al azar, 43 utilizaron una computadora, 102 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 65 una tabla de libro de texto. De algunos estudiantes de universidades seleccionados al azar, 28 utilizaron una computadora, 33 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 40 una tabla de libro de texto. Haga una prueba de hipótesis adecuada utilizando un nivel de significación de 0,05. H 0 : La distribución del uso de la tecnología es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios y para los estudiantes universitarios. H a : La distribución del uso de la tecnología no es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios que para los estudiantes universitarios. 2 chi-cuadrado con df = 2 7,05 valor p = 0,0294 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del uso de la tecnología para las tareas en casa de Estadística no es la misma para los estudiantes de Estadística en colegios universitarios comunitarios y en universidades. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. Si df = 2, la distribución chi-cuadrado tiene una forma que recuerda a la exponencial. Resúmalo todo Explique por qué una prueba de bondad de ajuste y una prueba de independencia suelen ser pruebas de cola derecha. Si hiciera una prueba de cola izquierda, ¿qué estaría probando? El estadístico de prueba siempre es positivo y si los valores esperados y observados no están próximos, el estadístico de prueba es grande y se rechazará la hipótesis nula. Comprobación para verificar si los datos se ajustan a la distribución “demasiado bien” o son demasiado perfectos.", "section": "Comparación de las pruebas chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de una sola varianza Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal . Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población (o desviación típica de la población). El estadístico de prueba es: ( n – 1 ) s 2 σ 2 donde: n = el número total de datos s 2 = varianza de la muestra σ 2 = varianza de la población Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población. A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio. Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Aunque se nos da la desviación típica de la población podemos establecer la prueba utilizando la varianza de la población de la siguiente manera. H 0 : σ 2 = 5 2 H a : σ 2 > 5 2 Ejercicio Un instructor de buceo quiere registrar las profundidades colectivas a las que se sumerge cada uno de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos descubre que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes distribuidos normalmente el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única fila principal de espera y descubre que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, los tiempos de espera de los clientes tienen una desviación típica de 3,5 minutos. Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una fila única provoca una menor variación entre los tiempos de espera (tiempos de espera más cortos) para los clientes . Dado que la afirmación es que una sola fila causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza de la población, σ 2 , o la desviación típica de la población, σ . Variable aleatoria: La desviación típica de la muestra, s , es la variable aleatoria. Supongamos que s = desviación típica de los tiempos de espera. H 0 : σ 2 = 7,2 2 H a : σ 2 < 7,2 2 La palabra “menos” indica que se trata de una prueba de cola izquierda. Distribución para la prueba: χ 24 2 , donde: n = el número de clientes muestreados df = n – 1 = 25 – 1 = 24 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 2 = ( 25 – 1 ) ( 3,5 ) 2 7,2 2 = 5,67 donde n = 25, s = 3,5 y σ = 7,2. Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ 2 < 5,67) = 0,000042 Compare α y el valor p : α = 0,05 valor p = 0,000042 α > valor p Tome una decisión: Dado el valor de α > p , se rechaza H 0 . Esto significa que rechaza σ 2 = 7,2 2 . En otras palabras, no cree que la variación de los tiempos de espera sea de 7,2 minutos; cree que la variación de los tiempos de espera es menor. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que una sola fila provoca una menor variación entre los tiempos de espera o que con una sola fila, los tiempos de espera de los clientes varían menos de 7,2 minutos. En 2nd DISTR Utilice 7:χ2cdf . La sintaxis es (inferior, superior, df) para la lista de parámetros. Para el , χ2cdf(-1E99,5,67,24) . El valor p = 0,000042. Ejercicio La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %. Referencias “AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012. Repaso del capítulo Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica). Revisión de la fórmula χ 2 = ( n – 1 ) ⋅ s 2 σ 2 Prueba de una estadística de varianza única, donde: n : tamaño de la muestra s : desviación típica de la muestra σ : desviación típica de la población df = n – 1 grado de libertad Prueba de una sola varianza Utilice la prueba para determinar la variación. Los grados de libertad son el número de muestras – 1. El estadístico de prueba es ( n – 1 ) ⋅ s 2 σ 2 , donde n = el número total de datos, s 2 = la varianza de la muestra y σ 2 = la varianza de la población. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? una prueba de cola izquierda Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 2 = 0,81 2 ; H a : σ 2 > 0,81 2 df = ________ Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,0542 ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. ¿El viajero está discutiendo el reclamo sobre el promedio o sobre la varianza? Una desviación típica de la muestra de 15 minutos es lo mismo que una varianza de la muestra de __________ minutos. 225 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? H 0 : __________ H 0 : σ 2 ≤ 150 df = ________ estadístico de prueba chi-cuadrado = ________ 36 valor p = ________ Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree el valor p . Compruebe la solución del estudiante. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________ Conclusión (escribir en una oración completa.): ________ ¿Cómo supo que debía analizar la varianza en vez de la media? La afirmación es que la varianza no es superior a 150 minutos. Si se realizara una prueba adicional sobre la reclamación del retraso promedio, ¿qué distribución utilizaría? Si se hiciera una prueba adicional sobre la afirmación del retraso promedio, pero se encuestaran 45 vuelos, ¿qué distribución utilizaría? una distribución t de Student o normal Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. A la gerente de una planta le preocupa que su equipo necesite recalibración. Parece que el peso real de las cajas de cereales de 15 oz que llena ha estado fluctuando. La desviación típica debe ser como máximo de 0,5 oz. Para determinar si es necesario recalibrar la máquina, se pesaron 84 cajas de cereales seleccionadas al azar de la producción del día siguiente. La desviación típica de las 84 cajas fue de 0,54. ¿Es necesario recalibrar la máquina? Los consumidores pueden estar interesados en saber si el costo de una calculadora particular varía de una tienda a otra. Sobre la base de una encuesta realizada en 43 tiendas, que arrojó una media muestral de 84 dólares y una desviación típica de la muestra de 12 dólares, pruebe la afirmación de que la desviación típica es mayor de 15 dólares. H 0 : σ = 15 H a : σ > 15 df = 42 chi-cuadrado con df = 42 estadístico de prueba = 26,88 valor p = 0,9663 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a 15. Isabella, una consumada corredora de Bay to Breakers , afirma que la desviación típica de su tiempo para correr las 7,5 millas es de tres minutos como máximo. Para probar su afirmación, Rupinder ve cinco de sus tiempos de carrera. Son 55 minutos, 61 minutos, 58 minutos, 63 minutos y 57 minutos. Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. También se interesan por la variación del número de bebés. Supongamos que un ejecutivo de una compañía aérea cree que el número promedio de bebés en los vuelos es de seis, con una varianza de nueve como máximo. La compañía aérea recopila los datos. Los resultados de los 18 vuelos investigados dan un promedio muestral de 6,4 con una desviación típica de la muestra de 3,9. Realice una prueba de hipótesis sobre la creencia del ejecutivo de la aerolínea. H 0 : σ ≤ 3 H a : σ > 3 df = 17 distribución chi-cuadrado con df = 17 estadístico de prueba = 28,73 valor p = 0,0371 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a tres. El número de nacimientos por mujer en China es de 1,6, versus los 5,91 de 1966. Esta tasa de fecundidad se ha atribuido a la ley aprobada en 1979 que restringe los nacimientos a uno por mujer. Supongamos que un grupo de estudiantes estudia si la desviación típica de los nacimientos por mujer es o no superior a 0,75. Les preguntaron a 50 mujeres de toda China el número de partos que habían tenido. Los resultados se muestran en la . ¿La encuesta de los estudiantes indica que la desviación típica es superior a 0,75? N.º de nacimientos Frecuencia 0 5 1 30 2 10 3 5 Según un ávido piscicultor, el número promedio de peces en un tanque de 20 galones es de 10, con una desviación típica de dos. Su amigo, también piscicultor, no cree que la desviación típica sea de dos. Cuenta el número de peces en otras 15 peceras de 20 galones. Basándose en los siguientes resultados, ¿cree que la desviación típica es diferente de dos? Datos: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11 H 0 : σ = 2 H a : σ ≠ 2 df = 14 distribución chi-cuadrado con df = 14 estadístico de prueba chi-cuadrado = 5,2094 valor p = 0,0346 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es diferente de 2. Al gerente de Frenchies le preocupa que los clientes no reciban siempre la misma cantidad de papas fritas con cada orden. El chef afirma que la desviación típica de una orden de diez onzas de papas fritas es como máximo de 1,5 oz, pero el gerente cree que puede ser mayor. Pesa aleatoriamente 49 órdenes de papas fritas, lo que arroja una media de 11 onzas y una desviación típica de dos onzas. Quiere comprar una computadora específica. Un representante de ventas del fabricante afirma que las tiendas minoristas venden esta computadora a un precio promedio de 1.249 dólares con una desviación típica muy estrecha de 25 dólares. Encuentra un sitio web que tiene una comparación de precios para la misma computadora en una serie de tiendas de la siguiente manera: 1.299; 1.229,99; 1.193,08; 1.279; 1.224,95; 1.229,99; 1.269,95; y 1.249 dólares. ¿Puede argumentar que los precios tienen una desviación típica mayor que la que afirma el fabricante? Utilice el nivel de significación del 5 %. Como comprador potencial, ¿cuál sería la conclusión práctica de su análisis? La desviación típica de la muestra es de 34,29 dólares. H 0 : σ 2 = 25 2 H a : σ 2 > 25 2 df = n – 1 = 7. estadístico de prueba: x 2 = x 7 2 = ( n – 1 ) s 2 25 2 = ( 8 – 1 ) ( 34,29 ) 2 25 2 = 13,169 ; valor p : P ( x 7 2 > 13,169 ) = 1 – P ( x 7 2 ≤ 13,169 ) = 0,0681 Alfa: 0,05 Decisión: No rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: al nivel del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza es superior a 625. Una compañía empaqueta manzanas por peso. Uno de los grados de peso es el de las manzanas de clase A. Las manzanas de clase A tienen un peso medio de 150 g, y existe una tolerancia de peso máxima permitida del 5 % por encima o por debajo de la media para las manzanas del mismo paquete de consumo. Se selecciona un lote de manzanas para incluirlo en un paquete de manzanas de clase A. Teniendo en cuenta los siguientes pesos de las manzanas del lote, ¿la fruta cumple con los requisitos de tolerancia de peso de la clase A? Realice una prueba de hipótesis adecuada. (a) al nivel de significación del 5 % (b) al nivel de significación del 1 % Pesos en el lote de manzanas seleccionado (en gramos): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;", "section": "Prueba de una sola varianza", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante evaluará los datos recogidos para determinar si se ajustan a las distribuciones uniforme o exponencial. Recopilación de datos Vaya a su supermercado local. Pregunte a 30 personas al salir por el monto total de sus recibos de compra. (O bien, pregunte a tres cajeros por los últimos diez montos. Incluya la caja rápida, si está abierta). Nota Es posible que tenga que combinar dos categorías para que cada celda tenga un valor esperado de al menos cinco. Anote los valores. __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma de los datos. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente: x ¯ = ________ s = ________ s 2 = ________ Distribución uniforme Compruebe si los recibos de la compra siguen la distribución uniforme. Con sus valores más bajos y más altos, X ~ U (_______, _______) Divida la distribución en quintos. Calcule lo siguiente: valor más bajo = _________ percentil 20 = _________ percentil 40 = _________ percentil 60 = _________ percentil 80 = _________ valor más alto = _________ Para cada quinto, cuente el número observado de recibos y anótelo. Luego, determine el número previsto de recibos y anótelo. Quinto Observado Esperado 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Distribución exponencial Comprobación para determinar si los recibos de caja siguen la distribución exponencial con parámetro de decaimiento 1 x ¯ . Utilizando 1 x ¯ como parámetro de decaimiento, X ~ Exp (_________). Calcule lo siguiente: valor más bajo = ________ primer cuartil = ________ percentil 37 = ________ mediana = ________ percentil 63 = ________ cuartil 3 = ________ valor más alto = ________ Para cada celda, cuente el número observado de recibos y anótelo. Luego, determine el número previsto de recibos y anótelo. Celda Observado Esperado 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Preguntas para el debate ¿Se ajustan sus datos a alguna de las dos distribuciones? Si es así, ¿a cuál? En general, ¿cree que sea probable que los datos se ajusten a más de una distribución? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas.", "section": "Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante evaluará si existe una relación significativa entre el tipo de merienda favorita y el género. Recopilación de datos Utilizando su clase como muestra, complete el siguiente cuadro. Pregúntense mutuamente cuál es su merienda favorita y sume los resultados. Nota Es posible que tenga que combinar dos categorías de alimentos para que cada celda tenga un valor esperado de al menos cinco. Tipo de merienda favorita dulces (caramelos y productos de pastelería) helado papas fritas y pretzels frutas y vegetales Total hombre mujer Total Al observar la , ¿le parece que hay una dependencia entre el género y el tipo de merienda favorita? ¿Por qué sí o por qué no? Prueba de hipótesis Realice una prueba de hipótesis para determinar si los factores son independientes: H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Preguntas para el debate ¿La conclusión de su estudio es igual o diferente a su respuesta a la segunda pregunta de la sección Recopilación de datos ? ¿Por qué cree que es así?", "section": "Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción La regresión lineal y la correlación pueden ayudarlo a determinar si el salario de un mecánico de automóviles está relacionado con su experiencia laboral (créditos: Joshua Rothhaas). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Debatir sobre las ideas básicas de la regresión lineal y la correlación. Crear e interpretar la línea de mejor ajuste. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Calcular e interpretar los valores atípicos. Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es? En otro ejemplo, puede que sus ingresos los determinen su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora. Los datos que se describen en los ejemplos son bivariados : \"bi\" de dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes , es decir, muchas variables. En este capítulo, se estudiará la forma más sencilla de regresión: la \"regresión lineal\" con una variable independiente ( x ). Se trata de datos que se ajustan a una línea en dos dimensiones. También estudiará la correlación, que mide la fuerza de la relación.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Ecuaciones lineales La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma y = a + bx donde a y b son números constantes. La variable x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente. Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales. y = 3 + 2x y = -0,01 + 1,2x Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? y = –0,125 – 3,5 x El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta . Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación. Grafique la ecuación y = –1 + 2 x . Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? Aaron's Word Processing Service (AWPS) se encarga del procesamiento de textos. La tarifa de los servicios es de 32 dólares por hora, más un cargo único de 31,50 dólares. El costo total para un cliente depende del número de horas que se tarda en realizar el trabajo. Calcule la ecuación que expresa el costo total en términos del número de horas necesarias para completar el trabajo. Supongamos que x = el número de horas que se necesita para realizar el trabajo. Supongamos que y = el costo total para el cliente. Los 31,50 dólares son un costo fijo. Si se tarda x horas en completar el trabajo, entonces (32)( x ) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es: y = 31,50 + 32 x Ejercicio Emma's Extreme Sports contrata a los instructores de ala delta y les paga una cuota de 50 dólares por clase, así como 20 dólares por estudiante en la clase. El costo total que paga Emma depende del número de estudiantes de una clase. Halle la ecuación que exprese el costo total en función del número de estudiantes de una clase. Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal Para la ecuación lineal y = a + bx , b = pendiente y a = intersección en y . De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a ) donde la línea cruza el eje y . Tres posibles gráficos de y = a + bx . (a) Si b > 0, la línea tiene pendiente ascendente hacia la derecha. (b) Si b = 0, la línea es horizontal. (c) Si b < 0, la línea tiene pendiente descendente hacia la derecha. Svetlana da clases particulares para ganar dinero adicional para sus estudios superiores. Por cada sesión de tutoría cobra una cuota única de 25 dólares más 15 dólares por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión de tutoría es y = 25 + 15 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La variable independiente ( x ) es el número de horas que Svetlana da sesiones de tutoría. La variable dependiente ( y ) es la cantidad, en dólares, que gana Svetlana por cada sesión. La intersección en y es 25 ( a = 25). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 15 ( b = 15). En cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora de tutoría. Ejercicio Ethan repara electrodomésticos como lavavajillas y frigoríficos. Por cada visita, cobra 25 dólares más 20 dólares por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Ethan por visita es y = 25 + 20 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. Referencias Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia. Repaso del capítulo El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma y = mx + b , donde m y b son constantes, x es la variable independiente y es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma y = a + bx , donde a y b son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx , la constante b , llamada coeficiente, representa la pendiente . La constante a recibe el nombre de intersección en y . La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ) , en promedio. La intersección en y se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Revisión de la fórmula y = a + bx donde a es la intersección en y y b es la pendiente. La variable x es la variable independiente, a la vez que la y es la variable dependiente. Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios . Un centro vacacional alquila equipos de buceo a buceadores certificados. El complejo cobra una tarifa inicial de 25 dólares y otra de 12,50 dólares por hora. ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes? variable dependiente: monto de la tarifa; variable independiente: tiempo Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de horas de alquiler del equipo. Grafique la ecuación del . Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . Una compañía de tarjetas de crédito cobra 10 dólares por cada pago retrasado y 5 dólares por cada día de mora. Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de días de retraso en el pago. Grafique la ecuación del . ¿Es lineal la ecuación y = 10 + 5 x - 3 x 2 ? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? a. y = 6 x + 8 b. y + 7 = 3 x c. y - x = 8 x 2 d. 4 y = 8 y = 6 x + 8, 4 y = 8, and y + 7 = 3 x son todas ecuaciones lineales. ¿Muestra el gráfico una ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? La contiene datos reales de las dos primeras décadas de presentación de informes sobre la gripe. Solo adultos y adolescentes, Estados Unidos Año N.º casos de gripe diagnosticados N.º muertes por gripe Antes de 1981 91 29 1981 319 121 1982 1.170 453 1983 3.076 1.482 1984 6.240 3.466 1985 11.776 6.878 1986 19.032 11.987 1987 28.564 16.162 1988 35.447 20.868 1989 42.674 27.591 1990 48.634 31.335 1991 59.660 36.560 1992 78.530 41.055 1993 78.834 44.730 1994 71.874 49.095 1995 68.505 49.456 1996 59.347 38.510 1997 47.149 20.736 1998 38.393 19.005 1999 25.174 18.454 2000 25.522 17.347 2001 25.643 17.402 2002 26.464 16.371 Total 802.118 489.093 Utilice las columnas \"año\" y \"N.º casos diagnosticados de gripe\". ¿Por qué el \"año\" es la variable independiente y el \"N.º de casos diagnosticados de gripe\" la variable dependiente (en lugar de la inversa)? El número de casos de gripe depende del año. Por lo tanto, el año se convierte en la variable independiente y el número de casos de gripe es la variable dependiente. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . Una compañía de limpieza especializada cobra una tarifa por el equipo y una tarifa por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa el monto total de la tarifa que la compañía cobra por cada sesión es y = 50 + 100 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La intersección em y es 50 ( a = 50). Al comienzo de la limpieza, la compañía cobra una tarifa única de 50 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 100 ( b = 100). Por cada sesión, la compañía cobra 100 dólares por cada hora de limpieza. Use la siguiente información para responder las próximas tres preguntas . Debido a la erosión, la orilla de un río pierde varios miles de libras de suelo cada año. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de suelo perdido por año es y = 12.000 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuántas libras de suelo pierde la costa en un año? 12.000 libras de suelo ¿Cuál es la intersección en y ? Interprete su significado. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . El precio de una sola emisión de acciones puede fluctuar a lo largo del día. Una ecuación lineal que representa el precio de las acciones de Shipment Express es y = 15 - 1,5 x donde x es el número de horas transcurridas en un día de ocho horas de negociación. ¿Cuáles son la pendiente y la intersección en y ? Interprete su significado. La pendiente es –1,5 ( b = –1,5). Esto significa que las acciones se desvalorizan a un ritmo de 1,50 dólares por hora. La intersección en y es de 15 dólares ( a = 15). Esto significa que el precio de las acciones antes del día de negociación era de 15 dólares. Si tuviera esta acción, ¿querría una pendiente positiva o negativa? ¿Por qué? Tarea para la casa Para cada una de las siguientes situaciones, indique la variable independiente y la variable dependiente. Se realiza un estudio para determinar si los conductores de edad avanzada están implicados en más accidentes de tráfico que otros conductores. El número de víctimas mortales por cada 100.000 conductores se compara con la edad de los conductores. Se realiza un estudio para determinar si la factura semanal de la compra de comestibles cambia en función del número de integrantes de la familia. Las compañías de seguros basan las primas de los seguros de vida parcialmente en la edad del solicitante. Las facturas de los servicios públicos varían según el consumo de energía. Se realiza un estudio para determinar si la educación superior reduce el índice de delincuencia en una población. variable independiente: edad; variable dependiente: víctimas mortales variable independiente: número de integrantes de la familia; variable dependiente: factura de compra de comestibles variable independiente: edad del solicitante; variable dependiente: prima de seguro variable independiente: consumo de energía; variable dependiente: factura de servicio variable independiente: educación superior (años); variable dependiente: índices de delincuencia Los sistemas de pago a destajo son planes de pago de incentivos ampliamente debatidos. En un estudio reciente sobre la eficacia de los agentes de crédito, se examinó el siguiente sistema de pago a destajo: % alcanzado de la meta < 80 80 100 120 Incentivo n/a 4.000 dólares, con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual entre el 81 y el 99 % 6.500 dólares, con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual entre el 101 y el 119 % 9.500 dólares con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual a partir del 121 % Si un agente de crédito alcanza el 95 % de su meta, escriba la función lineal que se aplica en función de la tabla del plan de incentivos. En el contexto, explique la intersección en y , así como la pendiente.", "section": "Ecuaciones lineales", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Diagramas de dispersión Antes de retomar el análisis de la regresión lineal y la correlación, necesitamos examinar una forma de mostrar la relación entre dos variables de la x y de la y . La forma más común y sencilla es el diagrama de dispersión . El siguiente ejemplo ilustra un diagrama de dispersión. En Europa y Asia, el comercio móvil es muy popular. Los usuarios del comercio móvil disponen de teléfonos móviles especiales que funcionan como monederos electrónicos y ofrecen servicios de telefonía e internet. Los usuarios pueden hacer de todo: desde pagar el estacionamiento hasta comprar un televisor o una gaseosa en una máquina, pasando por realizar operaciones bancarias o consultar los resultados deportivos en internet. En el periodo que va desde 2000 hasta 2004, ¿existe alguna relación entre el año y el número de usuarios de comercio móvil? Construya un diagrama de dispersión. Supongamos que la x = el año y la y = el número de usuarios de comercio móvil, en millones. x (año) y (número de usuarios) 2000 0,5 2002 20,0 2003 33,0 2004 47,0 Tabla que muestra el número de usuarios de comercio móvil (en millones) por año. Diagrama de dispersión que muestra el número de usuarios de comercio móvil (en millones) por año. Para crear un diagrama de dispersión: Introduzca sus datos X en la lista L1 y sus datos Y en la lista L2. Pulse 2nd STATPLOT ENTER para utilizar Plot 1. En la pantalla de entrada de PLOT 1, resalte On y pulse ENTER. (Asegúrese de que los otros gráficos estén deshabilitados). Para TYPE: resalte el primer ícono, que es el diagrama de dispersión, y pulse ENTER. Para Xlist:, introduzca L1 ENTER y para Ylist: L2 ENTER. Para Mark: no importa qué símbolo resalte, aunque el cuadrado es el más visible. Pulse ENTER. Verifique que no haya otras ecuaciones que puedan trazarse. Pulse Y = y borre las ecuaciones. Pulse la tecla ZOOM y luego el número 9 (para la opción de menú \"ZoomStat\"); la calculadora ajustará la ventana a los datos. Puede pulsar WINDOW para ver la escala de los ejes. Ejercicio Amelia juega baloncesto en su escuela secundaria. Quiere mejorar para jugar a nivel universitario. Se da cuenta de que el número de puntos que anota en un partido aumenta en respuesta al número de horas que practica su lanzamiento en suspensión cada semana. Ella anota los siguientes datos: X (horas practicando el lanzamiento en suspensión) Y (puntos anotados en un partido) 5 15 7 22 9 28 10 31 11 33 12 36 Construya un diagrama de dispersión e indique si lo que piensa Amelia sería cierto. El diagrama de dispersión muestra la dirección de una relación entre las variables. Una dirección clara ocurre cuando hay: Valores altos de una variable que se producen con valores altos de la otra variable o valores bajos de una variable que se producen con valores bajos de la otra variable. Valores altos de una variable que se producen con valores bajos de la otra variable. Puede determinar la fuerza de la relación al observar en diagrama de dispersión lo cerca que están los puntos de una línea, una función de potencia, una función exponencial o algún otro tipo de función. Para la relación lineal hay una excepción. Considere un diagrama de dispersión en el que todos los puntos caen sobre una línea horizontal que proporciona un \"ajuste perfecto\". De hecho, la línea horizontal no mostraría ninguna relación. Cuando se observa un diagrama de dispersión, hay que fijarse en el patrón general y en las desviaciones del patrón. Los siguientes ejemplos de diagramas de dispersión ilustran estos conceptos. En este capítulo, nos interesan los diagramas de dispersión que muestran un patrón lineal. Los patrones lineales son bastante comunes. La relación lineal es fuerte si los puntos se acercan a una línea recta, excepto en el caso de una línea horizontal donde no hay relación. Si pensamos que los puntos muestran una relación lineal, nos gustaría dibujar una línea en el diagrama de dispersión. Esta línea se calcula mediante un proceso denominado regresión lineal . Sin embargo, solo calculamos una línea de regresión si una de las variables explica o predice la otra variable. Si la x es la variable independiente, mientras que la y es la variable dependiente, podemos utilizar una línea de regresión para predecir la y para un valor dado de la x Repaso del capítulo Los diagramas de dispersión son especialmente útiles cuando queremos ver si existe una relación lineal entre los puntos de datos. Indican tanto la dirección de la relación entre las variables x y las variables y , como la fuerza de la relación. Calculamos la fuerza de la relación entre una variable independiente y una variable dependiente mediante una regresión lineal. ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? Los datos parecen ser lineales con una fuerte correlación positiva. ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? Los datos parecen no tener correlación. Tarea para la casa La Paridad de Poder Adquisitivo (PPA) del Producto Interno Bruto (PIB) es una indicación del valor de la moneda de un país en comparación con otro. La muestra la PPA del PIB de Cuba en comparación con los dólares estadounidenses. Construya un diagrama de dispersión de los datos. Año PPA de Cuba Año PPA de Cuba 1999 1.700 2006 4.000 2000 1.700 2007 11.000 2002 2.300 2008 9.500 2003 2.900 2009 9.700 2004 3.000 2010 9.900 2005 3.500 Compruebe la solución del estudiante. La siguiente tabla muestra los índices de pobreza y el uso del teléfono móvil en Estados Unidos. Construya un diagrama de dispersión de los datos Año Índice de pobreza Uso del teléfono móvil per cápita 2003 12,7 54,67 2005 12,6 74,19 2007 12 84,86 2009 12 90,82 ¿El mayor costo de la matrícula se traduce en empleos mejor pagados? La tabla muestra las diez mejores universidades en función del salario de mitad de carrera y los costos asociados de matrícula anual. Construya un diagrama de dispersión de los datos. Escuela Salario a mitad de carrera (en miles) Matrícula anual Princeton 137 28.540 Harvey Mudd 135 40.133 CalTech 127 39.900 Academia Naval de EE. UU. 122 0 West Point 120 0 MIT 118 42.050 Universidad de Lehigh 118 43.220 NYU-Poly 117 39.565 Babson College 117 40.400 Stanford 114 54.506 Para el gráfico: compruebe la solución del estudiante. Tenga en cuenta que la matrícula es la variable independiente y el salario es la variable dependiente. Si el nivel de significación es 0,05 y el valor p es 0,06, ¿a qué conclusión llega? Si hay 15 puntos de datos en un conjunto de datos, ¿cuál es el número de grados de libertad? 13", "section": "Diagramas de dispersión", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La ecuación de regresión Los datos rara vez se ajustan exactamente a una línea recta. Por lo general, hay que conformarse con predicciones aproximadas. Normalmente, se tiene un conjunto de datos cuyo diagrama de dispersión parece \"ajustarse\" a una línea recta. Esto se llama línea de mejor ajuste o línea de mínimos cuadrados . Si conoce la longitud del dedo meñique (el más pequeño) de una persona, ¿cree que podría predecir su altura? Recopile los datos de su clase (longitud del dedo meñique, en pulgadas). La variable independiente, x , es la longitud del dedo meñique y la variable dependiente, y , es la altura. Para cada conjunto de datos, trace los puntos en papel cuadriculado. Haga su gráfico lo suficientemente grande y utilice una regla . Luego, \"a ojo\", dibuja una línea que parezca \"ajustarse\" a los datos. Para su línea, elija dos puntos convenientes y utilícelos para calcular la pendiente de la línea. Halle la intersección y de la línea extendiendo su línea para que cruce el eje y . Con las pendientes y las intersecciones en y , escriba su ecuación de \"mejor ajuste\". ¿Cree que todos tendrán la misma ecuación? ¿Por qué sí o por qué no? Según su ecuación, ¿cuál es la altura prevista para una longitud del meñique de 2,5 pulgadas? Una muestra aleatoria de 11 estudiantes de Estadística produjo los siguientes datos, donde x es la calificación del tercer examen sobre 80, y y es la calificación del examen final sobre 200. ¿Puede predecir la nota del examen final de un estudiante al azar si conoce la nota del tercer examen? x (calificación del tercer examen) y (calificación del examen final) 65 175 67 133 71 185 71 163 66 126 75 198 67 153 70 163 71 159 69 151 69 159 Tabla que muestra las calificaciones del examen final basadas en las calificaciones del tercer examen. Diagrama de dispersión que muestra las calificaciones del examen final con base en las del tercer examen. Ejercicio Los buceadores tienen tiempos máximos de inmersión que no pueden superar cuando van a diferentes profundidades. Los datos en la muestran diferentes profundidades con los tiempos máximos de inmersión en minutos. Use su calculadora para hallar la línea de regresión de mínimos cuadrados y predecir el tiempo máximo de inmersión para 110 pies. X (profundidad en pies) Y (tiempo máximo de inmersión) 50 80 60 55 70 45 80 35 90 25 100 22 La puntuación del tercer examen, x , es la variable independiente y la puntuación del examen final, y , es la variable dependiente. Trazaremos la línea de regresión que mejor se \"ajuste\" a los datos. Si cada uno de ustedes ajustara una línea \"a ojo\", trazarían líneas diferentes. Podemos utilizar lo que se llama una línea de regresión por mínimos cuadrados para obtener la línea de mejor ajuste. Considere el siguiente diagrama. Cada punto de los datos tiene la forma ( x , y ) y cada punto de la línea de mejor ajuste utilizando la regresión lineal por mínimos cuadrados tiene la forma ( x , ŷ ). La ŷ se lee \"estimador de y \" , a la vez que es el valor estimado de y . Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. Generalmente no es igual a la y de los datos. El término y 0 – ŷ 0 = ε 0 se denomina \"error\" o residual . No es un error en el sentido de una equivocación. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y , además del valor estimado de y . En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea. Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y . Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y . En el diagrama de la , y 0 - ŷ 0 = ε 0 es el residual del punto mostrado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo. ε = la letra griega épsilon Para cada punto de datos, puede calcular los residuales o errores, y i - ŷ i = ε i para i = 1, 2, 3, ..., 11. Cada | ε | es una distancia vertical. Para el ejemplo de las puntuaciones del tercer examen y del examen final de los 11 estudiantes de Estadística, hay 11 puntos de datos. Por lo tanto, hay 11 valores ε . Si se eleva al cuadrado cada ε y se suma, se obtiene ( ε 1 ) 2 + ( ε 2 ) 2 + ... + ( ε 11 ) 2 = Σ i = 1 11 ε 2 Esto se denomina suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) . Utilizando el cálculo, puede determinar los valores de a y b que hacen que la SSE sea un mínimo. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación: y ^ = a + b x donde a = y ¯ – b x ¯ y b = Σ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) Σ ( x – x ¯ ) 2 . Las medias muestrales de los valores x y los valores y son x ¯ y y ¯ , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto ( x ¯ , y ¯ ) . La pendiente b puede escribirse como b = r ( s y s x ) donde s y = la desviación típica de los valores de y y s x = la desviación típica de los valores x . r es el coeficiente de correlación, que se analiza en la siguiente sección. Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina regresión lineal . La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados . Nota Las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente la línea de mejor ajuste y crear los gráficos. Los cálculos suelen ser tediosos si se hacen a mano. Al final de esta sección se muestran las instrucciones para utilizar las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+ para hallar la línea de mejor ajuste y crear un diagrama de dispersión. EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL: El gráfico de la línea de mejor ajuste para el ejemplo del tercer examen o examen final es el siguiente: La línea de regresión de mínimos cuadrados (línea de mejor ajuste) para el ejemplo del tercer examen o examen final viene dada por la ecuación: y ^ = – 173,51 + 4,83 x Recordatorio Recuerde que siempre es importante trazar primero un diagrama de dispersión. Si el diagrama de dispersión indica que existe una relación lineal entre las variables, entonces es razonable utilizar una línea de mejor ajuste para hacer predicciones para y dada x dentro del dominio de los valores de x en los datos de la muestra, pero no necesariamente para los valores de x fuera de ese dominio . Podría utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final de un estudiante que obtuvo una puntuación de 73 en el tercer examen. NO debería utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final de un estudiante que obtuvo una puntuación de 50 en el tercer examen, porque 50 no está dentro del dominio de los valores de x de los datos de la muestra, que están entre 65 y 75. ENTENDER LA PENDIENTE La pendiente de la línea, b , describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo. INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE: La pendiente de la línea de mejor ajuste nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ), en promedio. EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL Pendiente: La pendiente de la línea es b = 4,83. Interpretación: Por un aumento de un punto en la puntuación del tercer examen, la puntuación del examen final aumenta en 4,83 puntos, en promedio. Uso de la prueba T de regresión lineal: LinRegTTest En el editor de listas STAT introduzca los datos X en la lista L1 y los datos Y en la lista L2 emparejados de forma que los valores ( x , y ) correspondientes estén uno al lado del otro en las listas (si un par de valores concreto se repite, introdúzcalo tantas veces como aparezca en los datos). En el menú STAT TESTS, desplácese hacia abajo con el cursor para seleccionar LinRegTTest (tenga cuidado al seleccionar LinRegTTest, ya que algunas calculadoras pueden tener también un elemento diferente llamado LinRegTInt). En la pantalla de entrada de LinRegTTest introduzca: Xlist: L1 ; Ylist: L2 ; Freq: 1 En la línea siguiente, en la indicación β o ρ , resalte \"≠ 0\" y pulse ENTER. Deje en blanco la línea \"RegEq:\" Resalte Calculate (Calcular) y pulse ENTER. La pantalla de salida contiene mucha información. Por ahora nos centraremos en algunos elementos de la salida, y volveremos más tarde a los demás elementos. La segunda línea señala y = a + bx . Desplácese hacia abajo para hallar los valores a = –173,513, y b = 4,8273; la ecuación de la línea de mejor ajuste es ŷ = –173,51 + 4,83 x Los dos elementos de la parte inferior son r 2 = 0,43969 y r = 0,663. Por ahora, basta con observar dónde hallar estos valores; los analizaremos en las dos próximas secciones. Graficar el diagrama de dispersión y la línea de regresión Suponemos que sus datos X ya están introducidos en la lista L1 y sus datos Y están en la lista L2 Pulse 2nd STATPLOT ENTER para utilizar Plot 1 En la pantalla de entrada de PLOT 1, resalte On , y pulse ENTER Para TYPE: resalte el primer ícono que es el diagrama de dispersión y pulse ENTER. Indique Xlist: L1 y Ylist: L2 Para Mark: no importa el símbolo que resalte. Pulse la tecla ZOOM y luego el número 9 (para la opción de menú \"ZoomStat\"); la calculadora ajustará la ventana a los datos Para graficar la línea de mejor ajuste, presione la tecla \"Y=\" y escriba la ecuación –173,5 + 4,83X en la ecuación Y1 (la tecla X está inmediatamente a la izquierda de la tecla STAT). Vuelva a pulsar ZOOM 9 para graficarla. Opcional: Si desea cambiar la ventana de visualización, pulse la tecla WINDOW. Introduzca la ventana deseada mediante Xmin, Xmax, Ymin, Ymax NOTA Otra forma de graficar la línea después de crear un diagrama de dispersión es utilizar LinRegTTest Asegúrese de haber hecho el diagrama de dispersión. Compruébelo en su pantalla. Vaya a LinRegTTest e introduzca las listas. En RegEq: pulse VARS y la flecha hacia Y-VARS. Pulse 1 para 1:Function. Pulse 1 para 1:Y1. A continuación, use la fecha hacia abajo a Calculate y haga el cálculo de la línea de mejor ajuste. Pulse Y = (verá la ecuación de regresión). Pulse GRAPH. Se trazará la línea\". El coeficiente de correlación r Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre x y y . El coeficiente de correlación, r , desarrollado por Karl Pearson a principios del siglo XX, es numérico y proporciona una medida de la fuerza y la dirección de la asociación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y . El coeficiente de correlación se calcula como r = n Σ ( x y ) – ( Σ x ) ( Σ y ) [ n Σ x 2 – ( Σ x ) 2 ] [ n Σ y 2 – ( Σ y ) 2 ] donde n = el número de puntos de datos. Si se sospecha que existe una relación lineal entre x y y , entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal. Lo que nos dice el VALOR de r : El valor de r está siempre entre -1 y +1: -1 ≤ r ≤ 1. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre x y y . Los valores de r cercanos a -1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre x y y . Si r = 0 es probable que no haya correlación lineal. Sin embargo, es importante ver el diagrama de dispersión, porque los datos que muestran un patrón curvo u horizontal pueden tener una correlación de 0. Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir. Lo que nos dice el SIGNO de r Un valor positivo de r significa que cuando x aumenta, y tiende a aumentar y cuando x disminuye, y tiende a disminuir (correlación positiva) . Un valor negativo de r significa que cuando x aumenta, y tiende a disminuir y cuando x disminuye, y tiende a aumentar (correlación negativa) . El signo de r es el mismo que el de la pendiente, b , de la línea de mejor ajuste. Nota Una fuerte correlación no sugiere que x sea la causa de y o que y sea la causa de x . Decimos que “la correlación no implica causalidad”. (a) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación positiva. 0 < r < 1 (b) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación negativa. -1 < r < 0 (c) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación cero. r = 0 La fórmula de r parece formidable. Sin embargo, las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente r . El coeficiente de correlación r es el elemento inferior de las pantallas de salida de LinRegTTest en las calculadoras TI-83, TI-83+ o TI-84+ (vea la sección anterior para las instrucciones). El coeficiente de determinación La variable r 2 se denomina el coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos: r 2 , cuando se expresa en porcentaje, representa el porcentaje de variación de la variable dependiente (predicha) y que puede explicarse por la variación de la variable independiente (explicativa) x utilizando la línea de regresión (de mejor ajuste). 1 – r 2 , cuando se expresa como porcentaje, representa el porcentaje de variación en y que NO se explica por la variación en x utilizando la línea de regresión. Esto puede verse como la dispersión de los puntos de datos observados en torno a la línea de regresión. Considere el ejemplo del tercer examen o examen final introducido en la sección anterior La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83x El coeficiente de correlación es r = 0,6631 El coeficiente de determinación es r 2 = 0,6631 2 = 0,4397 Interpretación de r 2 en el contexto de este ejemplo: Aproximadamente el 44 % de la variación (0,4397 es aproximadamente 0,44) en las notas del examen final puede explicarse por la variación en las notas del tercer examen, utilizando la línea de regresión de mejor ajuste. Por lo tanto, aproximadamente el 56 % de la variación (1 – 0,44 = 0,56) en las notas del examen final NO puede explicarse por la variación en las notas del tercer examen, utilizando la línea de regresión de mejor ajuste. (Esto se ve como la dispersión de los puntos alrededor de la línea). Repaso del capítulo Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados \"errores\", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y . La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos. El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y . La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r 2 , es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r 2 representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión. Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios . Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares). x y x y 0 2 5 12 3 8 4 9 2 7 3 9 1 3 0 3 5 13 4 10 Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la regresión para hallar la ecuación de la línea de mejor ajuste. ŷ = 2,23 + 1,99 x Dibuje la línea de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mejor ajuste? ¿Qué representa? La pendiente es de 1,99 ( b = 1,99). Significa que por cada contrato de patrocinio que consigue un jugador profesional, obtiene un promedio de otros 1,99 millones de dólares de sueldo cada año. ¿Cuál es la intersección en y de la línea de mejor ajuste? ¿Qué representa? ¿Qué significa un valor r de cero? Significa que no hay correlación entre los conjuntos de datos. Cuando n = 2 y r = 1, ¿son los datos significativos? Explique. Cuando n = 100 y r = -0,89, ¿existe una correlación significativa? Explique. Sí, hay suficientes puntos de datos y el valor de r es lo suficientemente fuerte como para mostrar que hay una fuerte correlación negativa entre los conjuntos de datos. Tarea para la casa ¿Cuál es el proceso mediante el cual podemos calcular una línea que atraviesa un diagrama de dispersión con un patrón lineal? Explique qué significa que una correlación tenga un r 2 de 0,72. Significa que el 72 % de la variación de la variable dependiente ( y ) puede explicarse por la variación de la variable independiente ( x ). ¿Puede un coeficiente de determinación ser negativo? ¿Por qué sí o por qué no? Coeficiente de correlación medida desarrollada por Karl Pearson (a principios del siglo XX), que da la fuerza de asociación entre la variable independiente y la variable dependiente; la fórmula es: r = n Σ ( x y ) – ( Σ x ) ( Σ y ) [ n Σ x 2 – ( Σ x ) 2 ] [ n Σ y 2 – ( Σ y ) 2 ] donde n es el número de puntos de datos. El coeficiente no puede ser mayor que 1 ni menor que -1. Cuanto más se acerque el coeficiente a ±1, mayor será la evidencia de una relación lineal significativa entre x y y .", "section": "La ecuación de regresión", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación El coeficiente de correlación, r , nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre la x y la y . Sin embargo, la fiabilidad del modelo lineal también depende del número de puntos de datos observados en la muestra. Tenemos que observar tanto el valor del coeficiente de correlación r como el tamaño de la muestra n , conjuntamente. Realizamos una prueba de hipótesis de la \"significación del coeficiente de correlación\" para decidir si la relación lineal en los datos de la muestra es lo suficientemente fuerte como para utilizarla para modelar la relación en la población. Los datos de la muestra se utilizan para calcular r , el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r , es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido. El símbolo del coeficiente de correlación de la población es ρ , la letra griega \"rho\". ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido) r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra) La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es \"significativo\". Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre la x y la y . Podemos utilizar la línea de regresión para modelar la relación lineal entre la x y la y en la población. Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”. Conclusión: \"No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero\". Lo que significa la conclusión: No existe una relación lineal significativa entre la x y la y . Por lo tanto, NO podemos utilizar la línea de regresión para modelar una relación lineal entre la x y la y en la población. Nota Si r es significativo y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea puede utilizarse para predecir el valor de la y para los valores de la x que están dentro del dominio de los valores observados de la x . Si r es despreciable O si el diagrama de dispersión no muestra ninguna tendencia lineal, la línea no debería utilizarse para la predicción. Si r es significativo y si el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, puede que la línea NO sea apropiada o fiable para la predicción FUERA del dominio de los valores de la x observados en los datos. COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS Hipótesis nula: H 0 : ρ = 0 Hipótesis alternativa: H a : ρ ≠ 0 SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS: Hipótesis nula H 0 : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población. Hipótesis alternativa H a : El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población. SACAR UNA CONCLUSIÓN: Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado. Método 1: Utilizar el valor p Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05 Nota Con el método del valor p , puede elegir cualquier nivel de significación apropiado que desee; no está limitado a utilizar α = 0,05. Sin embargo, la tabla de valores críticos proporcionada en este libro de texto supone que estamos utilizando un nivel de significación del 5 %, α = 0,05. (Si quisiéramos utilizar un nivel de significación diferente al 5 % con el método del valor crítico, necesitaríamos diferentes tablas de valores críticos que no se proporcionan en este libro de texto). MÉTODO 1: Utilizar un valor p para tomar una decisión Para calcular el valor p con la función LinRegTTEST: En la pantalla de entrada de LinRegTTEST, en la línea que pide β o ρ , resalte \" ≠ 0 \" La pantalla de salida muestra el valor p en la línea que dice \"p =\". (La mayoría de los softwares de estadística pueden calcular el valor p ). Si el valor p es inferior al nivel de significación( α = 0,05): Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: \"Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero\". Si el valor p NO es inferior al nivel de significación ( α = 0,05) Decisión: NO RECHAZAR la hipótesis nula. Conclusión: \"No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación NO es significativamente diferente de cero\". Notas de cálculo: Utilizará la tecnología para calcular el valor p . A continuación se describen los cálculos para estimar los estadísticos de prueba y el valor p : El valor p se calcula mediante una distribución t con n – 2 grados de libertad. La fórmula para el estadístico de prueba es t = r n – 2 1 – r 2 . El valor del estadístico de prueba, t , se muestra en la salida de la computadora o de la calculadora junto con el valor p . El estadístico de prueba t tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación r . El valor p es el área combinada en ambas colas. Otra manera de calcular el valor p (p) dado por LinRegTTest es el comando 2*tcdf(abs(t),10^99, n-2) en 2nd DISTR. EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor p Considere el ejemplo del tercer examen/examen final . La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83 x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor x ), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor y predicho)? H 0 : ρ = 0 H a : ρ ≠ 0 α = 0,05 El valor p es de 0,026 (a partir de la prueba LinRegTT en su calculadora o del software). El valor p , 0,026, es inferior al nivel de significación de α = 0,05. Decisión: Rechazar la hipótesis nula H 0 Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la nota del tercer examen ( x ) y la nota del examen final ( y ) porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Como r es significativa y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea de regresión se puede usar para predecir calificaciones del examen final. MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión. Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de r es significativo o no lo es . Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción. Suponga que ha calculado r = 0,801 utilizando n = 10 puntos de datos. df = n - 2 = 10 - 2 = 8. Los valores críticos asociados a df = 8 son -0,632 y + 0,632. Si r < valor crítico negativo o r > valor crítico positivo, entonces r es significativo. Como r = 0,801 y 0,801 > 0,632, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción. Si ve este ejemplo en una línea numérica, le ayudará. r es despreciable entre -0,632 y +0,632. r = 0,801 > +0,632. Por lo tanto, r es significativo. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, ha calculado que r = 0,6501 utilizando n = 12 puntos de datos y el valor crítico es 0,576. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Suponga que ha calculado r = -0,624 con 14 puntos de datos. df = 14 - 2 = 12. Los valores críticos son -0,532 y 0,532. Dado que -0,624 < -0,532, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción. r = -0,624 < -0,532. Por lo tanto, r es significativo. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = 0,5204 utilizando n = 9 puntos de datos, y el valor crítico es 0,666. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Suponga que ha calculado r = 0,776 y n = 6. df = 6 - 2 = 4. Los valores críticos son −0,811 y 0,811. Dado que -0,811 < 0,776 < 0,811, r es despreciable, por lo que la línea no debería utilizarse para la predicción. -0,811 < r = 0,776 < 0,811. Por lo tanto, r es despreciable. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = -0,7204 utilizando n = 8 puntos de datos, y el valor crítico es = 0,707. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico Considere el ejemplo del tercer examen/examen final . La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83 x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen ( valor x ), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor y predicho)? H 0 : ρ = 0 H a : ρ ≠ 0 α = 0,05 Utilice la tabla del \"valor crítico al 95 %\" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9. Los valores críticos son -0,602 y +0,602 Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo. Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen ( x ) y la calificación del examen final ( y ) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero. Como r es significativo y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea de regresión se puede usar para predecir calificaciones del examen final. Supongamos que ha calculado los siguientes coeficientes de correlación. Con la tabla del final del capítulo, determine si r es significativo y la línea de mejor ajuste asociada a cada r puede utilizarse para predecir un valor de y . Si le sirve, dibuje una línea numérica. r = -0,567 y el tamaño de la muestra, n , es 19. Los df = n - 2 = 17. El valor crítico es -0,456. -0,567 < -0,456 por lo que r es significativo. r = 0,708 y el tamaño de la muestra, n , es nueve. Los df = n - 2 = 7. El valor crítico es 0,666. 0,708 > 0,666 por lo que r es significativo. r = 0,134 y el tamaño de la muestra, n , es 14. Los df = 14 - 2 = 12. El valor crítico es 0,532. 0,134 está entre -0,532 y 0,532 por lo que r es despreciable. r = 0 y el tamaño de la muestra, n , es cinco. No importa cuáles sean los dfs, r = 0 está entre los dos valores críticos, por lo que r es despreciable. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = 0 utilizando n = 100 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población. La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite Los supuestos en los que se basa la prueba de significación son: Existe una relación lineal en la población que modela el valor promedio de la y para valores variables de la x . En otras palabras, el valor esperado de la y para cada valor en particular se encuentra en una línea recta en la población. (No conocemos la ecuación para la línea en la población. Nuestra línea de regresión de la muestra es nuestra mejor estimación de esta línea en la población). Los valores de la y para cualquier valor en particular de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea. Esto implica que hay más valores de la y dispersos cerca de la línea que los que están más lejos. El supuesto (1) implica que estas distribuciones normales están centradas en la línea: las medias de estas distribuciones normales de los valores de la y se encuentran en la línea. Las desviaciones típicas de los valores de la y de la población en torno a la línea son iguales para cada valor de la x . En otras palabras, cada una de estas distribuciones normales de los valores de la y tiene la misma forma y dispersión sobre la línea. Los errores residuales son mutuamente independientes (sin patrón). Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio. Los valores de la y para cada valor de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea con la misma desviación típica. Para cada valor de la x , la media de los valores de la y se encuentra en la línea de regresión. Hay más valores de la y cerca de la línea que los que están dispersos más lejos. Repaso del capítulo La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son: Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x . Independiente Se supone que los residuales son independientes. Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x . Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x . Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio. La pendiente b y la intersección a de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y , σ , utilice la desviación típica de los residuales, s . s = S E E n – 2 . La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H 0 : ρ = valor hipotetizado , utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H 0 : ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest). Revisión de la fórmula Línea de mínimos cuadrados o línea de mejor ajuste: y ^ = a + b x donde a = intersección en y b = pendiente Desviación típica de los residuales: s = S E E n – 2 . donde SSE = suma de errores al cuadrado n = el número de puntos de datos Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis nula? Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis alternativa? H a : ρ ≠ 0 Si el nivel de significación es 0,05 y el valor p es 0,04, ¿qué conclusión puede sacar?", "section": "Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Predicción Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final . Examinamos el diagrama de dispersión y mostramos que el coeficiente de correlación es significativo. Hallamos la ecuación de la línea de mejor ajuste para la calificación del examen final como una función de la calificación del tercer examen. Ahora podemos utilizar la línea de regresión por mínimos cuadrados para la predicción. Suponga que quiere estimar, o predecir, la calificación media del examen final de los estudiantes de Estadística que obtuvieron 73 en el tercer examen. Las calificaciones del examen (valores x ) oscilan entre 65 y 75. Dado que 73 está entre los valores de x 65 y 75 , sustituya x = 73 en la ecuación. Entonces: y ^ = – 173,51 + 4,83 ( 73 ) = 179,08 Predecimos que los estudiantes de Estadística que obtienen una calificación de 73 en el tercer examen obtendrán una calificación de 179,08 en el examen final, en promedio. Recuerde el ejemplo del tercer examen o examen final . a. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 66 en el tercer examen? b. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 90 en el tercer examen? a. 145,27 b. Los valores de x en los datos están entre 65 y 75. Noventa está fuera del dominio de los valores de x observados en los datos (variable independiente), por lo que no se puede predecir de forma fiable la calificación del examen final de este estudiante. (Aunque es posible introducir 90 en la ecuación para la x y calcular el valor correspondiente de la y , el valor de la y que se obtiene no será fiable). Para entender realmente lo poco fiable que puede ser la predicción fuera de los valores de la x que se observan en los datos, haga la sustitución x = 90 en la ecuación. y ^ = -173,51 + 4,83 ( 90 ) = 261,19 Se prevé que la calificación del examen final sea de 261,19. La mayor calificación del examen final puede ser 200. Nota El proceso de predicción dentro de los valores de la x que se observan en los datos se denomina interpolación . El proceso de predicción fuera de los valores de la x que se observan en los datos se denomina extrapolación . Ejercicio Se recopilan datos sobre la relación entre el número de horas semanales de práctica de un instrumento musical y las puntuaciones en un examen de Matemáticas. La línea de mejor ajuste es la siguiente: ŷ = 72,5 + 2,8 x ¿Cuál predeciría que sería la puntuación en un examen de Matemáticas de un estudiante que practica un instrumento musical durante cinco horas a la semana? Referencias Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia. Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/compendia/statab/cats/transportation/motor_vehicle_accidents_and_fatalities.html Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud. Repaso del capítulo Después de determinar la presencia de un fuerte coeficiente de correlación y calcular la línea de mejor ajuste, puede utilizar la línea de regresión de mínimos cuadrados para hacer predicciones sobre sus datos. Utilice la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un minorista de productos electrónicos utilizó la regresión para hallar un modelo sencillo que prediga el crecimiento de las ventas en el primer trimestre del nuevo año (de enero a marzo). El modelo es válido para 90 días, donde x es el día. El modelo puede escribirse como sigue: ŷ = 101,32 + 2,48 x donde ŷ está en miles de dólares. ¿Cuál es la previsión de ventas para el día 60? $250.120 ¿Cuál es la previsión de ventas para el día 90? Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios . Una compañía de jardinería es contratada para cortar el césped de varios inmuebles grandes. El área total combinado de los inmuebles es de 1.345 acres. El ritmo al que una persona puede cortar el césped es el siguiente: ŷ = 1350 - 1,2 x donde x es el número de horas y ŷ representa el número de acres que quedan por cortarles el césped. ¿Cuántos acres quedarán por cortarles el césped después de 20 horas de trabajo? 1.326 acres ¿Cuántos acres quedarán por cortarles el césped después de 100 horas de trabajo? ¿Cuántas horas se necesitan para cortar todo el césped? (¿Cuándo es ŷ = 0?) 1.125 horas, o cuando x = 1.125 La contiene datos reales de las dos primeras décadas de notificación de casos de gripe. Solo adultos y adolescentes, Estados Unidos Año N.º casos de gripe diagnosticados N.º muertes por gripe Antes de 1981 91 29 1981 319 121 1982 1.170 453 1983 3.076 1.482 1984 6.240 3.466 1985 11.776 6.878 1986 19.032 11.987 1987 28.564 16.162 1988 35.447 20.868 1989 42.674 27.591 1990 48.634 31.335 1991 59.660 36.560 1992 78.530 41.055 1993 78.834 44.730 1994 71.874 49.095 1995 68.505 49.456 1996 59.347 38.510 1997 47.149 20.736 1998 38.393 19.005 1999 25.174 18.454 2000 25.522 17.347 2001 25.643 17.402 2002 26.464 16.371 Total 802.118 489.093 Grafique el \"año\" frente al \"N.º de casos diagnosticados de gripe\" (trace el diagrama de dispersión). No incluya datos anteriores a 1981. Realice una regresión lineal. ¿Cuál es la ecuación lineal? Redondee al número natural más cercano. Compruebe la solución del estudiante. Halle el coeficiente de correlación. r = ________ Resuelva. Cuando x = 1985, ŷ = _____ Cuando x = 1990, ŷ =_____ Cuando x = 1970, ŷ =______ ¿Por qué no tiene sentido esta respuesta? Cuando x = 1985, ŷ = 25,52 Cuando x = 1990, ŷ = 34.275 Cuando x = 1970, ŷ = -725 ¿Por qué no tiene sentido esta respuesta? El rango de valores de x fue de 1981 a 2002; el año 1970 no está en este rango. La ecuación de regresión no se aplica, porque la predicción para el año 1970 es una extrapolación, que requiere otro proceso. Además, una cifra negativa no tiene sentido en este contexto, en el que estamos prediciendo los casos diagnosticados de gripe. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.? Además, la correlación r = 0,4526. Si se compara r con el valor de los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra, porque r > 0,423, r es significativa, y se podría pensar que la línea podría utilizarse para la predicción. Pero el diagrama de dispersión indica lo contrario. Trace los dos puntos dados en el siguiente gráfico. Luego, conecte los dos puntos para formar la línea de regresión. Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación: ŷ= ____________ y ^ = -3.448.225 + 1750 x Dibuje a mano una curva suave en el gráfico que muestre el flujo de los datos. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Hasta 1993 se produjo un aumento de los casos diagnosticados de gripe. Desde 1993 hasta 2002, el número de casos diagnosticados de gripe disminuyó cada año. No es apropiado utilizar una línea de regresión lineal para ajustar los datos. ¿Cree que lo mejor es un ajuste lineal? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica la correlación sobre la relación entre el tiempo (años) y el número de casos de gripe diagnosticados en EE. UU.? Dado que no existe ninguna asociación lineal entre el año y el número de casos diagnosticados de gripe, no es apropiado calcular un coeficiente de correlación lineal. Cuando existe una asociación lineal y conviene calcular una correlación, no podemos decir que una variable \"causa\" la otra. Gráfico \"año\" frente a \"N.º casos diagnosticados de gripe\" No incluya los anteriores a 1981. Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Los datos anteriores a 1981 no deberían incluirse. ¿Por qué? Escriba la ecuación lineal, redondeando a cuatro decimales: No sabemos si los datos anteriores a 1981 se recogieron en un solo año. Así que no tenemos un valor de la x exacto para esta cifra. Ecuación de regresión: ŷ (N.º casos de gripe) = -3.448.225 + 1749,777 (año) Coeficientes Intersección -3.448.225 X Variable 1 1.749,777 Halle el coeficiente de correlación. correlación = _____ Tarea para la casa Recientemente, el número anual de muertes de conductores por cada 100.000 para los grupos etarios seleccionados fue el siguiente: Edad Número de muertes de conductores por cada 100.000 16–19 38 20–24 36 25–34 24 35–54 20 55–74 18 75+ 28 Por cada grupo etario, elija el punto medio del intervalo para el valor de la x . (En el grupo de más de 75 años, utilice 80). Utilizando \"edades\" como variable independiente y \"Número de muertes de conductores por cada 100.000\" como variable dependiente, haga un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste). Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Prediga el número de muertes para las edades de 40 y 60 años. Con base en los datos suministrados, ¿existe una relación lineal entre la edad de un conductor y la tasa de mortalidad de los conductores? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Edad Número de muertes de conductores por cada 100.000 16–19 38 20–24 36 25–34 24 35–54 20 55–74 18 75+ 28 Compruebe la solución del estudiante. ŷ = 35,5818045 - 0,19182491 x r = –0,57874 Para cuatro df y alfa = 0,05, el LinRegTTest da un valor p = 0,2288, por lo que no rechazamos la hipótesis nula; no hay ninguna relación lineal significativa entre las muertes y la edad. Utilizando la tabla de valores críticos para el coeficiente de correlación, con cuatro df , el valor crítico es 0,811. El coeficiente de correlación r = -0,57874 no es inferior a -0,811, por lo que no rechazamos la hipótesis nula. No existe ninguna relación lineal entre las dos variables, como lo demuestra un valor p superior a 0,05. La señala la expectativa de vida de alguien nacido en Estados Unidos en determinados años. Año de nacimiento Expectativa de vida 1930 59,7 1940 62,9 1950 70,2 1965 69,7 1973 71,4 1982 74,5 1987 75 1992 75,7 2010 78,7 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los pares ordenados. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule la expectativa de vida para alguien nacido en 1950 y para otro nacido en 1982. ¿Por qué las respuestas a la parte e no coinciden con los valores de la que corresponden a esos años? Utilice los dos puntos de la parte e para trazar la línea de mínimos cuadrados en su gráfico de la parte b. Según los datos, ¿existe una relación lineal entre el año de nacimiento y la expectativa de vida? ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilizando la línea de mínimos cuadrados, calcule la expectativa de vida estimada para alguien nacido en 1850. ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El valor máximo de descuento de la tarjeta Entertainment® para la sección \"Alta Cocina\", décima edición, para varias páginas se da en la Número de página Valor máximo ($) 4 16 14 19 25 15 32 17 43 19 57 15 72 16 85 15 90 17 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los pares ordenados. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule los valores máximos para los restaurantes de las páginas 10 y 70. ¿Parece que los restaurantes que dan el máximo valor se colocan al principio de la sección \"Alta Cocina\"? ¿Cómo ha llegado a su respuesta? Supongamos que hay 200 páginas de restaurantes. ¿Cuál estima que es el valor máximo de un restaurante de la página 200? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para la página 200? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Nos preguntamos si los mejores descuentos aparecen antes en el libro, así que seleccionamos la página como X y el descuento como Y . Compruebe la solución del estudiante. ŷ = 17,21757 - 0,01412 x r = –0,2752 Para siete df y alfa = 0,05, utilizando la función LinRegTTest, el valor p = 0,4736 por lo que no lo rechazamos; no hay ninguna relación lineal significativa entre la página y el descuento. Utilizando la tabla de valores críticos para el coeficiente de correlación, con siete df , el valor crítico es 0,666. El coeficiente de correlación xi = -0,2752 no es inferior a 0,666 por lo que no lo rechazamos. No hay ninguna correlación lineal significativa, por lo que parece que no hay relación entre la página y el monto del descuento. A medida que se aumenta una página, el descuento disminuye en 0,01412 La da los tiempos de las medallas de oro de todos los demás Juegos Olímpicos de Verano para los 100 metros libres femeninos (natación). Año Tiempo (segundos) 1912 82,2 1924 72,4 1932 66,8 1952 66,8 1960 61,2 1968 60,0 1976 55,65 1984 55,92 1992 54,64 2000 53,8 2008 53,1 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativa la disminución de los tiempos? Calcule el tiempo estimado de la medalla de oro de 1932. Calcule el tiempo estimado para 1984. ¿Por qué las respuestas de la parte f son diferentes de los valores de la tabla? ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el tiempo de la medalla de oro de los próximos Juegos Olímpicos de Verano. ¿Cree que su respuesta es razonable? ¿Por qué sí o por qué no? Estado N.º de letras en el nombre Año de entrada en la Unión Rango para entrar en la Unión Superficie (millas cuadradas) Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 Nos interesa saber si el número de letras del nombre de un estado depende o no del año en que ingresó en la Unión. Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Qué implica esto sobre la importancia de la relación? Calcule el número aproximado de letras (al número entero más cercano) que tendría un estado si entrara en la Unión en 1900. Calcule el número aproximado de letras que tendría un estado si entrara en la Unión en 1940. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el número de letras que tendría un nuevo estado que entrara en la Unión este año. ¿Se puede utilizar la línea de mínimos cuadrados para predecirlo? ¿Por qué sí o por qué no? El año es la variable independiente o x ; el número de letras es la variable dependiente o y . Compruebe la solución del estudiante. no ŷ = 47,03 - 0,0216 x –0,4280 El valor r indica que no existe ninguna correlación significativa entre el año en que el estado entró en la unión y el número de letras del nombre. No, la relación no parece ser lineal; la correlación es despreciable.", "section": "Predicción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Valores atípicos En algunos conjuntos de datos, hay valores (puntos de datos observados) , llamados valores atípicos . Los valores atípicos son puntos de datos observados que se alejan de la línea de mínimos cuadrados. Tienen grandes \"errores\", donde el \"error\" o residual es la distancia vertical de la línea al punto. Los valores atípicos deben examinarse de cerca. A veces, por una u otra razón, no deben incluirse en el análisis de los datos. Es posible que un valor atípico sea el resultado de datos erróneos. Otras veces, un valor atípico puede contener información valiosa sobre la población estudiada y debe seguir incluyéndose en los datos. La clave está en examinar cuidadosamente las causas de que un punto de datos sea un valor atípico. Además de los valores atípicos, una muestra puede contener uno o varios puntos que se denominan puntos influyentes . Se trata de puntos de datos observados que están alejados de los demás en la dirección horizontal. Estos puntos pueden tener un gran efecto en la pendiente de la línea de regresión. Para empezar a identificar un punto influyente, puede eliminarlo del conjunto de datos y ver si la pendiente de la línea de regresión cambia significativamente. Se pueden utilizar computadoras y muchas calculadoras para identificar los valores atípicos de los datos. Los resultados de computadoras del análisis de regresión identifican tanto los valores atípicos como los puntos influyentes para que pueda examinarlos. Identificar los valores atípicos Podríamos adivinar los valores atípicos al observar un gráfico del diagrama de dispersión y la línea de mejor ajuste. Sin embargo, nos gustaría contar con alguna directriz sobre la distancia que debe tener un punto para considerarse un valor atípico. Como regla general, podemos señalar como valor atípico cualquier punto que esté situado más de dos desviaciones típicas por encima o por debajo de la línea de mejor ajuste. La desviación típica utilizada es la de los residuales o errores. Podemos hacerlo visualmente en el diagrama de dispersión al dibujar un par de líneas adicionales que estén dos desviaciones típicas por encima y por debajo de la línea de mejor ajuste. Todos los puntos de datos que se encuentren fuera de este par de líneas adicionales se marcan como posibles valores atípicos. Alternativamente, podemos hacerlo numéricamente, al calcular cada residual y compararlo con el doble de la desviación típica. En la TI-83, 83+ u 84+, el enfoque gráfico es más fácil. En primer lugar se muestra el procedimiento gráfico, seguido de los cálculos numéricos. Por lo general, solo tendrá que utilizar uno de estos métodos. En el ejemplo del tercer examen o examen final , se puede determinar si hay un valor atípico o no. Si hay un valor atípico, como ejercicio, elimínelo y ajuste los datos restantes a una nueva línea. En este ejemplo, la nueva línea debería ajustarse mejor a los datos restantes. Esto significa que el SSE debería ser menor y el coeficiente de correlación debería estar más cerca de 1 o –1. Identificación gráfica de los valores atípicos Con las calculadoras gráficas TI-83, 83+ u 84+ es fácil identificar los valores atípicos de forma gráfica y visual. Si midiéramos la distancia vertical de cualquier punto de datos al punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera igual a 2 s o más, entonces consideraríamos que el punto de datos está \"demasiado lejos\" de la línea de mejor ajuste. Tenemos que calcular y graficar las líneas que están dos desviaciones típicas por debajo y por encima de la línea de regresión. Los puntos que estén fuera de estas dos líneas son valores atípicos. Llamaremos a estas líneas Y2 y Y3: Al igual que hicimos con la ecuación de la línea de regresión y el coeficiente de correlación, utilizaremos la tecnología para calcular esta desviación típica. Utilizando la función LinRegTTest con estos datos, desplácese por las pantallas de salida hasta hallar s = 16,412 . Línea Y2 = -173,5 + 4,83 x -2(16,4) y línea Y3 = -173,5 + 4,83 x + 2(16,4) donde ŷ = -173,5 + 4,83 x es la línea de mejor ajuste. Y2 y Y3 tienen la misma pendiente que la línea de mejor ajuste. Grafique el diagrama de dispersión con la línea de mejor ajuste en la ecuación Y1, luego introduzca las dos líneas adicionales como Y2 y Y3 en el editor de ecuaciones \"Y=\" y pulse ZOOM 9. Encontrará que el único punto de datos que no está entre las líneas Y2 y Y3 es el punto x = 65, y = 175. En la pantalla de la calculadora está apenas fuera de estas líneas. El valor atípico es el estudiante que obtuvo una calificación de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; este punto está a más de dos desviaciones típicas lejos de la línea de mejor ajuste. A veces, un punto está tan cerca de las líneas utilizadas para marcar los valores atípicos en el gráfico que es difícil saber si el punto está entre las líneas o fuera de ellas. En una computadora, ampliar el gráfico puede ayudar; en la pantalla de una calculadora pequeña, el zoom puede hacer que el gráfico sea más claro. Tenga en cuenta que, cuando el gráfico no ofrece una imagen suficientemente clara, puede utilizar las comparaciones numéricas para identificar los valores atípicos. Ejercicio Identifique el posible valor atípico en el diagrama de dispersión. La desviación típica de los residuales o errores es de aproximadamente 8,6. Identificación numérica de los valores atípicos En la , las dos primeras columnas son los datos del tercer examen y del examen final. La tercera columna muestra los valores ŷ predichos, calculados a partir de la línea de mejor ajuste: ŷ = -173,5 + 4,83 x . Los residuales, o errores, se han calculado en la cuarta columna de la tabla: valor y observado - valor y predicho = y - ŷ . s es la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε donde n = el número total de puntos de datos. Si se calcula cada residual, se eleva al cuadrado y se suman los resultados, se obtiene la suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE). La desviación típica de los residuales se calcula a partir de la SSE como: s = S S E n – 2 Nota Dividimos entre ( n - 2) porque el modelo de regresión implica dos estimaciones. En vez de calcular el valor de s nosotros mismos, podemos calcular s con la computadora o la calculadora. Para este ejemplo, la función de la calculadora LinRegTTest calculó s = 16,4 como la desviación típica de los residuales 35 -17 16 -6 -19 9 3 -1 -10 -9 -1 . x y ŷ y - ŷ 65 175 140 175 – 140 = 35 67 133 150 133 – 150= -17 71 185 169 185 – 169 = 16 71 163 169 163 – 169 = -6 66 126 145 126 – 145 = -19 75 198 189 198 – 189 = 9 67 153 150 153 – 150 = 3 70 163 164 163 – 164 = -1 71 159 169 159 – 169 = -10 69 151 160 151 – 160 = -9 69 159 160 159 – 160 = -1 Buscamos todos los puntos de datos cuyo residual sea mayor que 2 s = 2(16,4) = 32,8 o menor que –32.8. Compare estos valores con los residuales de la cuarta columna de la tabla. El único dato de este tipo es el del estudiante que tuvo una nota de 65 en el tercer examen y 175 en el examen final; el residual de este estudiante es 35. ¿Cómo afecta el valor atípico la línea de mejor ajuste? Numérica y gráficamente, hemos identificado el punto (65, 175) como un valor atípico. Deberíamos repasar los datos de este punto para ver si hay algún problema con estos. Si hay un error, debemos corregirlo si es posible o eliminar los datos. Si son correctos, los dejaríamos en el conjunto de datos. Para este problema, supondremos que examinamos y descubrimos que estos datos atípicos son un error. Por lo tanto, seguiremos adelante y eliminaremos el valor atípico, para poder explorar cómo afecta los resultados, como experiencia de aprendizaje. Calcule una nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación con los diez puntos restantes: En las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+, elimine el valor atípico de L1 y L2. Con la función LinRegTTest, la nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son: ŷ = –355,19 + 7,39 x y r = 0,9121 La nueva línea con r = 0,9121 es una correlación más fuerte que la original ( r = 0,6631) porque r = 0,9121 está más cerca de uno. Esto significa que la nueva línea se ajusta mejor a los diez valores de datos restantes. La línea puede predecir mejor la puntuación del examen final, dada la puntuación del tercer examen. Identificación numérica de valores atípicos: Calcular s y buscar valores atípicos manualmente Si no tiene la función LinRegTTest, puede calcular el valor atípico del primer ejemplo; haga lo siguiente. Primero, eleve al cuadrado cada | y - ŷ | Las potencias al cuadrado son: 35 2 17 2 16 2 6 2 19 2 9 2 3 2 1 2 10 2 9 2 1 2 A continuación, añada (sume) todos los términos | y - ŷ | al cuadrado mediante la fórmula: Σ i = 1 11 ( | y i – y ^ i | ) 2 = Σ i = 1 11 ε i 2 (Recordemos que y i – ŷ i = ε i ). = 35 2 + 17 2 + 16 2 + 6 2 + 19 2 + 9 2 + 3 2 + 1 2 + 10 2 + 9 2 + 1 2 = 2440 = SSE . El resultado, SSE , es la suma de errores al cuadrado. A continuación, calcule s , la desviación típica de todos los valores y - ŷ = ε , donde n = el número total de puntos de datos. El cálculo es s = SSE n – 2 . Para el problema del tercer examen o examen final: s = 2440 11 – 2 = 16,47 . A continuación, multiplique s por 2: (2)(16,47) = 32,94 32,94 está 2 desviaciones típicas lejos de la media de los valores y - ŷ . Si midiéramos la distancia vertical desde cualquier punto de datos hasta el punto correspondiente de la línea de mejor ajuste y esa distancia fuera de al menos 2 s , entonces consideraríamos que el punto de datos está \"demasiado lejos\" de la línea de mejor ajuste. A ese punto lo llamamos un potencial valor atípico . Para el ejemplo, si alguno de los valores de y – ŷ | es al menos 32,94, el punto de datos correspondiente ( x , y ) es un posible valor atípico. Para el problema del tercer examen o examen final, todos los | y – ŷ | son menores que 31,29, excepto el primero que es 35. 35 > 31,29 Es decir, | y – ŷ | ≥ (2)(s) El punto que corresponde a | y – ŷ | = 35 es (65, 175). Por lo tanto, el punto de datos (65, 175) es un potencial valor atípico. Para este ejemplo, lo borraremos. (Recuerde que no siempre eliminamos un valor atípico). Nota Cuando se eliminan los valores atípicos, el investigador debería dejar constancia de que se han eliminado los datos y por qué, o bien debería proporcionar los resultados con y sin los datos eliminados. Si los datos son erróneos y se conocen los valores correctos (por ejemplo, el estudiante uno obtuvo realmente una puntuación de 70 en lugar de 65), se puede realizar esta corrección en los datos. El siguiente paso es calcular una nueva línea de mejor ajuste con los diez puntos restantes. La nueva línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación son: ŷ = –355,19 + 7,39 x y r = 0,9121 Con esta nueva línea de mejor ajuste (basada en los diez puntos de datos restantes en el ejemplo del tercer examen o examen final ), ¿qué esperaría recibir en el examen final un estudiante que obtiene 73 en el tercer examen? ¿Es lo mismo que la predicción realizada con la línea original? Con la nueva línea de mejor ajuste, ŷ = -355,19 + 7,39(73) = 184,28. Un estudiante que haya obtenido 73 puntos en el tercer examen esperaría obtener 184 puntos en el examen final. La línea original predecía ŷ = -173,51 + 4,83(73) = 179,08 por lo que la predicción utilizando la nueva línea con el valor atípico eliminado difiere de la predicción original. Ejercicio Los puntos de datos para el gráfico del ejemplo del tercer examen o examen final son los siguientes: (1, 5), (2, 7), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (4, 13), (5, 18), (6, 19), (7, 12) y (7, 21). Elimine el valor atípico y vuelva a calcular la línea de mejor ajuste. Calcule el valor de ŷ cuando x = 10. El índice de precios al consumidor (IPC) mide la variación promedio en el tiempo de los precios que pagan los consumidores urbanos por los bienes y servicios de consumo. El IPC afecta a casi todos los estadounidenses debido a las múltiples formas en que se utiliza. Uno de sus mayores usos es como medida de la inflación. Al suministrar información sobre la evolución de los precios en la economía nacional al gobierno, las empresas y los trabajadores, el IPC permite tomar decisiones económicas. El Presidente, el Congreso y la Junta de la Reserva Federal utilizan las tendencias del IPC para formular políticas monetarias y fiscales. En la siguiente tabla, x es el año y y es el IPC. Datos x y x y 1915 10,1 1969 36,7 1926 17,7 1975 49,3 1935 13,7 1979 72,6 1940 14,7 1980 82,4 1947 24,1 1986 109,6 1952 26,5 1991 130,7 1964 31,0 1999 166,6 Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Escriba la ecuación en la forma ŷ = a + bx . Dibuje la línea en el diagrama de dispersión. Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? ¿Cuál es el IPC promedio del año 1990? Vea la . ŷ = -3204 + 1,662 x es la ecuación de la línea de mejor ajuste. r = 0,8694 El número de puntos de datos es n = 14. Utilice los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra que aparecen al final del Capítulo 12. n - 2 = 12. El valor crítico correspondiente es 0,532. Dado que 0,8694 > 0,532, r es significativo. ŷ = -3204 + 1,662(1990) = 103,4 IPC Con la función LinRegTTest de la calculadora hallamos que s = 25,4 ; al graficar las líneas Y2 = –3.204 + 1,662X – 2(25,4) y Y3 = –204 + 1,662X + 2(25,4) se observa que ningún valor de los datos está fuera de esas líneas, por lo cual se identifica que no hay valores atípicos. (Observe que el año 1999 estaba muy cerca de la línea superior, pero todavía dentro de ella). Nota En el ejemplo, observe el patrón de los puntos en comparación con la línea. Aunque el coeficiente de correlación es significativo, el patrón del diagrama de dispersión indica que una curva sería el modelo más apropiado que una línea. En este ejemplo, un estadístico preferiría utilizar otros métodos para ajustar una curva a estos datos, en lugar de modelar los datos con la línea que hemos hallado. Además de realizar los cálculos, siempre es importante observar el diagrama de dispersión para decidir si un modelo lineal es adecuado. Si le interesa ver más años de datos, visite la página web del IPC de la Oficina de Estadísticas Laborales ftp://ftp.bls.gov/pub/special.requests/cpi/cpiai.txt; nuestros datos están tomados de la columna titulada \"Annual Avg.\" (tercera columna de la derecha). Por ejemplo, podría añadir más años de datos actuales. Sume los años más recientes: 2004: IPC = 188,9; 2008: IPC = 215,3; 2011: IPC = 224,9. Vea cómo incide en el modelo. (Compruebe: ŷ = -4436 + 2,295 x ; r = 0,9018. ¿Es r significativo? ¿Se ha mejorado el ajuste con la adición de los nuevos puntos)? Ejercicio El siguiente cuadro muestra el desarrollo económico medido en renta per cápita RPC. Año Producto Interno Bruto (PIB) Año Producto Interno Bruto (PIB) 1870 340 1920 1050 1880 499 1930 1170 1890 592 1940 1364 1900 757 1950 1836 1910 927 1960 2132 ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? Dibuje un diagrama de dispersión. Utilice la regresión para hallar la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación. Interprete la importancia del coeficiente de correlación. ¿Existe una relación lineal entre las variables? Calcule el coeficiente de determinación e interprételo. ¿Cuál es la pendiente de la ecuación de regresión? ¿Qué significa? Utilice la línea de mejor ajuste para estimar la RPC para el año 1900, para el año 2000. Determine si hay valores atípicos. Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra Grados de libertad: n - 2 Valores críticos: (+ y -) 1 0,997 2 0,950 3 0,878 4 0,811 5 0,754 6 0,707 7 0,666 8 0,632 9 0,602 10 0,576 11 0,555 12 0,532 13 0,514 14 0,497 15 0,482 16 0,468 17 0,456 18 0,444 19 0,433 20 0,423 21 0,413 22 0,404 23 0,396 24 0,388 25 0,381 26 0,374 27 0,367 28 0,361 29 0,355 30 0,349 40 0,304 50 0,273 60 0,250 70 0,232 80 0,217 90 0,205 100 0,195 Referencias Datos de la Comisión de Medios y Arbitrios de la Cámara de Representantes, el Departamento de Salud y Servicios Humanos. Datos de Microsoft Bookshelf. Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales. Datos del Manual de Médico, 1990. Datos del Departamento del Trabajo de Estados Unidos, Oficina de Estadísticas Laborales. Repaso del capítulo Para determinar si un punto es un valor atípico, realice una de las siguientes acciones: Introduzca las siguientes ecuaciones en la TI 83, 83+, 84, 84+: y 1 = a + b x y 2 = a + b x + 2 s y 3 = a + b x – 2 s donde s es la desviación típica de los residuales Si algún punto está por encima de y 2 o por debajo de y 3 , se considera un valor atípico. Utilice los residuales y compare sus valores absolutos con 2 s , donde s es la desviación típica. Si el valor absoluto de cualquier residual es mayor o igual a 2 s , el punto correspondiente es un valor atípico. Nota: La función de la calculadora LinRegTTest (STATS TESTS LinRegTTest) calcula s . Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El diagrama de dispersión muestra la relación entre las horas dedicadas al estudio y los resultados de los exámenes. La línea que se muestra es la línea calculada de mejor ajuste. El coeficiente de correlación es de 0,69. ¿Parece haber algún valor atípico? Sí, parece que hay un valor atípico en (6, 58). Se elimina un punto y se vuelve a calcular la línea de mejor ajuste. El nuevo coeficiente de correlación es de 0,98. ¿El punto luce como un valor atípico? ¿Por qué? ¿Qué efecto tuvo el posible valor atípico en la línea de mejor ajuste? El posible valor atípico aplanó la pendiente de la línea de mejor ajuste porque estaba por debajo del conjunto de datos. Hizo que la línea de mejor ajuste fuera menos precisa como predictor de los datos. ¿Confía más o menos en la capacidad de predicción de la nueva línea de mejor ajuste? La suma de errores al cuadrado para un conjunto de datos de 18 números es 49. ¿Cuál es la desviación típica? s = 1,75 La desviación típica de la suma de errores al cuadrado de un conjunto de datos es de 9,8. ¿Cuál es el límite de la distancia vertical a la que puede estar un punto de la línea de mejor ajuste para considerarlo un valor atípico? Tarea para la casa La altura (de la acera al tejado) de los edificios altos más notables de Estados Unidos se compara con el número de pisos del edificio (empezando por el nivel de la calle). Altura (en pies) Pisos 1.050 57 428 28 362 26 529 40 790 60 401 22 380 38 1.454 110 1.127 100 700 46 Utilizando \"pisos\" como variable independiente y \"altura\" como variable dependiente, haga un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Halle las alturas estimadas para 32 pisos y para 94 pisos. Según los datos de la , ¿existe una relación lineal entre el número de pisos de los edificios altos y su altura? ¿Existen valores atípicos en los datos? En caso afirmativo, ¿qué puntos? ¿Cuál es la altura estimada de un edificio de seis pisos? ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa de la altura? Explique por qué sí o por qué no. Con base en la línea de mínimos cuadrados, se predice que añadir un piso más añadirá aproximadamente cuántos pies a un edificio? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Los ornitólogos, científicos que estudian las aves, marcan a los gavilanes en 13 colonias diferentes para estudiar su población. Recogen datos sobre el porcentaje de nuevos gavilanes en cada colonia y el porcentaje de los que han regresado de la migración. Porcentaje de retorno: 74; 66; 81; 52; 73; 62; 52; 45; 62; 46; 60; 46; 38 Porcentaje nuevo: 5; 6; 8; 11; 12; 15; 16; 17; 18; 18; 19; 20; 20 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. Un ecologista quiere predecir cuántos pájaros se unirán a otra colonia de gavilanes a la que han regresado el 70 % de los adultos del año anterior. ¿Cuál es la predicción? a. y b. Compruebe la solución del estudiante. c. La pendiente de la línea de regresión es –0,3031 con una intersección en y de 31,93. En el contexto, la intersección en y indica que, cuando no haya gavilanes que regresen, habrá casi un 32 % de gavilanes nuevos. Esto no tiene sentido, ya que si no hay aves que regresen, entonces el nuevo porcentaje tendría que ser del 100 % (este es un ejemplo de por qué no extrapolamos). La pendiente nos indica que, por cada incremento porcentual de aves que regresan, el porcentaje de aves nuevas en la colonia disminuye en un 30,3 %. d. Si examinamos r2, vemos que solo el 57,52 % de la variación en el porcentaje de aves nuevas se explica por el modelo y el coeficiente de correlación, r = -,7584 solo indica una correlación algo fuerte entre los porcentajes de retorno y los nuevos. e. El par ordenado (66, 6) genera el mayor residuo de 6,0. Esto significa que cuando el porcentaje de retorno observado es del 66 %, nuestro nuevo porcentaje observado, el 6 %, es casi un 6 % menos que el nuevo valor predicho del 11,98 %. Si eliminamos este par de datos, solo vemos una pendiente ajustada de -0,2789 y un intersección ajustada de 30,9816. En otras palabras, aunque este dato genera el mayor residual, no es un valor atípico, ni el par de datos es un punto influyente. f. Si hay un 70 % de aves que regresan, esperaríamos ver y = -,2789(70) + 30,9816 = 0,114 o 11,4 % de aves nuevas en la colonia. La siguiente tabla muestra datos sobre el consumo promedio de café per cápita y la tasa de cardiopatías en una muestra aleatoria de 10 países. Consumo anual de café en litros 2,5 3,9 2,9 2,4 2,9 0,8 9,1 2,7 0,8 0,7 Muerte por cardiopatías 221 167 131 191 220 297 71 172 211 300 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. ¿Proporcionan los datos pruebas convincentes de que existe una relación lineal entre la cantidad de café consumido y la tasa de mortalidad por cardiopatías? Lleve a cabo una prueba adecuada con un nivel de significación de 0,05 como ayuda para responder esta pregunta. La siguiente tabla consiste en el tiempo de un estudiante atleta (en minutos) para nadar 2000 yardas y la frecuencia cardíaca (latidos por minuto) después de nadar en una muestra aleatoria de 10 días: Tiempo de natación Ritmo cardíaco 34,12 144 35,72 152 34,72 124 34,05 140 34,13 152 35,73 146 36,17 128 35,57 136 35,37 144 35,57 148 Introduzca los datos en su calculadora y haga un diagrama de dispersión. Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión de la parte a. Explique con palabras lo que nos dicen la pendiente y la intersección en y de la línea de regresión. ¿Qué tan bien se ajusta la línea de regresión a los datos? Explique su respuesta. ¿Cuál punto tiene el mayor residuo? Explique el significado del residuo en su contexto. ¿Este punto es un valor atípico? ¿Un punto de influencia? Explique. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Tenemos una pendiente de –1,4946 con una intersección en y de 193,88. La pendiente, en contexto, indica que, por cada minuto adicional que se añada al tiempo de natación, la frecuencia cardíaca disminuirá en 1,5 latidos por minuto. Si el estudiante no está nadando en absoluto, la intersección en y indica que su frecuencia cardíaca será de 193,88 latidos por minuto. Mientras que la pendiente tiene sentido (cuanto más tiempo se tarda en nadar 2.000 metros, menos esfuerzo hace el corazón), la intersección en y no tiene sentido. Si el atleta no está nadando (descansando), su frecuencia cardíaca debe ser muy baja. Dado que solo el 1,5 % de la variación de la frecuencia cardíaca se explica mediante esta ecuación de regresión, debemos concluir que esta asociación no se explica con una relación lineal. El punto (34,72, 124) genera el mayor residuo de -11,82. Esto significa que nuestra frecuencia cardíaca observada es casi 12 latidos menos que nuestra frecuencia prevista de 136 latidos por minuto. Cuando se elimina este punto, la pendiente se convierte en –2,953 y la intersección en y cambia a 247,1616. Aunque la asociación lineal sigue siendo muy débil, vemos que el par de datos eliminado puede considerarse un punto influyente en el sentido de que la intersección en y adquiere mayor significado. Un investigador estudia si la población influye en la tasa de homicidios. Utiliza datos demográficos de Detroit, MI, para comparar las tasas de homicidio y el número de habitantes que son hombres blancos. Tamaño de la población Tasa de homicidios por cada 100.000 habitantes 558.724 8,6 538.584 8,9 519.171 8,52 500.457 8,89 482.418 13,07 465.029 14,57 448.267 21,36 432.109 28,03 416.533 31,49 401.518 37,39 387.046 46,26 373.095 47,24 359.647 52,33 Utilice su calculadora para construir un diagrama de dispersión de los datos. ¿Cuál debería ser la variable independiente? ¿Por qué? Utilice la función de regresión de su calculadora para hallar la ecuación de la línea de regresión por mínimos cuadrados. Añada esto a su diagrama de dispersión. Comente el significado de lo siguiente en su contexto. La pendiente de la ecuación de regresión La intersección en y de la ecuación de regresión La correlación r El coeficiente de determinación r2. ¿Aportan los datos pruebas convincentes de que exista una relación lineal entre el tamaño de la población y la tasa de homicidios? Lleve a cabo una prueba adecuada con un nivel de significación de 0,05 como ayuda para responder esta pregunta. Escuela Salario a mitad de carrera (en miles) Matrícula anual Princeton 137 28.540 Harvey Mudd 135 40.133 CalTech 127 39.900 Academia Naval de EE. UU. 122 0 West Point 120 0 MIT 118 42.050 Universidad de Lehigh 118 43.220 NYU-Poly 117 39.565 Babson College 117 40.400 Stanford 114 54.506 Utilice los datos para determinar la ecuación de la línea de regresión lineal con los valores atípicos eliminados. ¿Existe una correlación lineal para el conjunto de datos con los valores atípicos eliminados? Justifique su respuesta. Si eliminamos las dos academias de servicio (la matrícula es de 0,00 dólares), construimos una nueva ecuación de regresión de y = -0,0009x + 160 con un coeficiente de correlación de 0,71397 y un coeficiente de determinación de 0,50976. Esto nos permite afirmar que existe una asociación lineal bastante fuerte entre los costos de matrícula y los salarios si se eliminan las academias de servicio del conjunto de datos. Resúmalo todo. El promedio de los integrantes de una familia que asistió a la universidad durante varios años se indica en la . Año Número de integrantes de la familia que asisten a la universidad 1969 4,0 1973 3,6 1975 3,2 1979 3,0 1983 3,0 1988 3,0 1991 2,9 Utilizando \"año\" como variable independiente y \"número de integrantes de la familia que asisten a la universidad\" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Elija dos años entre 1969 y 1991 y calcule aproximadamente el número de integrantes de la familia que asisten a la universidad. Según los datos de la , ¿existe una relación lineal entre el año y el número promedio de integrantes de la familia que toman educación universitaria? Utilizando la línea de mínimos cuadrados, estime el número de integrantes de la familia que asisten a la universidad para 1960 y 1995. ¿Da la línea de mínimos cuadrados una estimación precisa para esos años? Explique por qué sí o por qué no. ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es el número promedio estimado de integrantes de la familia que toman educación universitaria para 1986? ¿La línea de mínimos cuadrados da una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El porcentaje de trabajadoras asalariadas que cobran tarifas por hora se indica en la para los años 1979 a 1992. Año Porcentaje de trabajadoras que cobran tarifas por hora 1979 61,2 1980 60,7 1981 61,3 1982 61,3 1983 61,8 1984 61,7 1985 61,8 1986 62,0 1987 62,7 1990 62,8 1992 62,9 Utilizando el \"año\" como variable independiente y \"porcentaje\" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule los porcentajes estimados para 1991 y 1988. Según los datos, ¿existe una relación lineal entre el año y el porcentaje de mujeres asalariadas que cobran tarifas por hora? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es el porcentaje estimado para el año 2050? ¿Da la línea de mínimos cuadrados una estimación precisa para ese año? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Compruebe la solución del estudiante. sí ŷ = -266,8863+0,1656x 0,9448; Sí 62,8233; 62,3265 sí no; (1987, 62,7) 72,5937; no pendiente = 0,1656. A medida que el año se incrementa en uno, el porcentaje de trabajadoras que cobran una tarifa por hora tiende a aumentar en 0,1656. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El costo de un detergente líquido líder en el mercado en diferentes tamaños se indica en la . Tamaño (onzas) Costo (dólares) Costo por onza 16 3,99 32 4,99 64 5,99 200 10,99 Utilizando \"tamaño\" como variable independiente y \"costo\" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Si el detergente para la ropa se vendiera en un tamaño de 40 onzas, calcule el costo estimado. Si el detergente para la ropa se vendiera en un tamaño de 90 onzas, calcule el costo estimado. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos dados? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para predecir lo que costaría un tamaño de 300 onzas de detergente para la ropa? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Complete la para el costo por onza de los diferentes tamaños. Utilizando el \"tamaño\" como variable independiente y el \"costo por onza\" como variable dependiente, dibuje un diagrama de dispersión. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Si el detergente se vendiera en un tamaño de 40 onzas, calcule el costo estimado por onza. Si el detergente se vendiera en un tamaño de 90 onzas, calcule el costo estimado por onza. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Es válida la línea de mínimos cuadrados para predecir lo que costaría por onza un tamaño de 300 onzas de detergente? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Tamaño (onzas) Costo (dólares) centavos / onza 16 3,99 24,94 32 4,99 15,59 64 5,99 9,36 200 10,99 5,50 Compruebe la solución del estudiante. Existe una relación lineal para los tamaños 16 a 64, pero esa tendencia lineal no continúa hasta el tamaño de 200 onzas. ŷ = 20,2368 - 0,0819x r = -0,8086 40-oz: 16,96 centavos / onza 90-oz: 12,87 centavos / onza La relación no es lineal; la línea de mínimos cuadrados no es apropiada. no hay valores atípicos No, estaría extrapolando. El tamaño de 300 onzas está fuera del rango de x . pendiente = -0,08194; por cada onza adicional de tamaño, el costo por onza disminuye en 0,082 centavos. Según un folleto de un representante de la compañía de seguros Prudential, los costos aproximados de los honorarios e impuestos sucesorios para determinados patrimonios netos gravables son los siguientes: Patrimonio neto gravable (dólares) Tasas e impuestos sucesorios aproximados (dólares) 600.000 30.000 750.000 92.500 1.000.000 203.000 1.500.000 438.000 2.000.000 688.000 2.500.000 1.037.000 3.000.000 1.350.000 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx . Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule el costo total estimado para un próximo patrimonio gravable de 1.000.000 de dólares. Calcule el costo para 2.500.000 dólares. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? Con base en estos resultados, ¿cuáles serían los honorarios e impuestos sucesorios para un patrimonio sin ningún activo? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Los siguientes son los precios de venta anunciados de televisores a color en Anderson's. Tamaño (pulgadas) Precio de venta (dólares) 9 147 20 197 27 297 31 447 35 1177 40 2177 60 2497 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule el precio estimado de venta de un televisor de 32 pulgadas. Calcule el costo de un televisor de 50 pulgadas. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. El tamaño es x , la variable independiente, el precio es y , la variable dependiente. Compruebe la solución del estudiante. La relación no parece ser lineal. ŷ = -745,252 + 54,75569 x r = 0,8944, sí es significativo 32 pulgadas: 1006,93 dólares, 50 pulgadas: 1992,53 dólares No, la relación no parece ser lineal. Sin embargo, r es significativo. no, el televisor de 60 pulgadas Por cada pulgada adicional, el precio aumenta en 54,76 dólares La muestra la estatura promedio de los niños estadounidenses en 1990. Edad (años) Altura (cm) nacimiento 50,8 2 83,8 3 91,4 5 106,6 7 119,3 10 137,1 14 157,5 Decida cuál variable debe ser la independiente y cuál la dependiente. Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Es significativo? Calcule la altura promedio estimada para un niño de un año. Calcule la altura promedio estimada para un niño de once años. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar la altura promedio de un hombre de sesenta y dos años. ¿Cree que su respuesta es razonable? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la pendiente de la línea de mínimos cuadrados (de mejor ajuste)? Interprete la pendiente. Estado N.º de letras en el nombre Año de entrada en la Unión Clasificación de entrada a la Unión Superficie (millas cuadradas) Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 Nos interesa saber si existe una relación entre la clasificación de un estado y su área. ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cómo cree que será el diagrama de dispersión? Haga un diagrama de dispersión de los datos. ¿Se desprende de la inspección que existe una relación entre las variables? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule la línea de mínimos cuadrados. Ponga la ecuación en la forma de: ŷ = a + bx Halle el coeficiente de correlación. ¿Qué implica esto sobre la importancia de la relación? Calcule las áreas estimadas para Alabama y Colorado. ¿Están cerca de las áreas reales? Utilice los dos puntos de la parte f para trazar la línea de mínimos cuadrados en su gráfico de la parte b. ¿Parece que una línea es la mejor forma de ajustar los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Hay valores atípicos? Utilice la línea de mínimos cuadrados para estimar el área de un nuevo estado que entra en la Unión. ¿Se puede utilizar la línea de mínimos cuadrados para predecirla? ¿Por qué sí o por qué no? Elimine \"Hawái\" y sustituya por \"Alaska\". Alaska es el cuadragésimo noveno estado, con un área de 656.424 millas cuadradas. Calcule la nueva línea de mínimos cuadrados. Calcule el área estimada para Alabama. ¿Está más cerca del área real con esta nueva línea de mínimos cuadrados o con la anterior que incluía a Hawái? ¿Por qué cree que es así? ¿Cree que, en general, los estados más nuevos son más grandes que los originales? Supongamos que la clasificación es la variable independiente y el área la variable dependiente. Compruebe la solución del estudiante. Parece haber una relación lineal, con un valor atípico. ŷ (área) = 24177,06 + 1010,478 x r = 0,50047, r no es significativa por lo que no hay relación entre las variables. Alabama: 46407,576 Colorado: 62575,224 La estimación de Alabama está más cerca que la de Colorado. Si se elimina el valor atípico, existe una relación lineal. Hay un caso atípico (Hawái). clasificación 51: 75711,4; no Alabama 7 1819 22 52.423 Colorado 8 1876 38 104.100 Hawái 6 1959 50 10.932 Iowa 4 1846 29 56.276 Maryland 8 1788 7 12.407 Misuri 8 1821 24 69.709 Nueva Jersey 9 1787 3 8.722 Ohio 4 1803 17 44.828 Carolina del Sur 13 1788 8 32.008 Utah 4 1896 45 84.904 Wisconsin 9 1848 30 65.499 ŷ = -87065,3 + 7828,532x Alabama: 85.162,404; la estimación anterior estaba más cerca. Alaska es un caso atípico. sí, con la excepción de Hawái. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos", "section": "Valores atípicos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Regresión (distancia desde la escuela) Regresión (distancia desde la escuela) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Utilice ocho integrantes de su clase para la muestra. Recopile datos bivariados (la distancia a la que vive alguien desde la escuela, el costo de los suministros para el trimestre en curso). Rellene la tabla. Distancia desde la escuela Costo de los suministros este trimestre ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Gráfico de \"distancia\" vs. \"costo\". Trace los puntos en el gráfico. Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal y redondee a cuatro decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: ŷ = ______ ¿La correlación es significativa? ¿Por qué sí o por qué no? (Responda con una a tres frases completas). Responda en relación con las siguientes situaciones: Para alguien que vive a ocho millas del campus, prediga el costo total de los suministros este trimestre: Para alguien que vive a ochenta millas del campus, prediga el costo total de los suministros este trimestre: Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Dibuje la línea de regresión. Preguntas para el debate Responda a cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué? ¿Qué implica la correlación en torno a la relación entre la distancia y el costo? ¿Hay valores atípicos? Si es así, ¿cuál punto es un valor atípico? ¿El valor atípico se debe eliminar si es que existe? ¿Por qué sí o por qué no?", "section": "Regresión (distancia desde la escuela)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Regresión (costo de los libros de texto) Regresión (costo de los libros de texto) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Haga una encuesta sobre diez libros de texto. Recopile datos bivariados (número de páginas del libro de texto, costo). Rellene la tabla. Número de páginas Costo del libro de texto ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Gráfico \"páginas\" en función del \"costo\". Trace los puntos en el gráfico en Analice los datos . Identifique ambos ejes con palabras. Escale ambos ejes. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal y redondee a cuatro decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: y = ______ ¿La correlación es significativa? ¿Por qué sí o por qué no? (Responda con frases completas). Responda las siguientes situaciones: De un libro de texto de 400 páginas, prediga el costo. De un libro de texto de 600 páginas, prediga el costo. Obtenga el gráfico en su calculadora o en su computadora. Dibuje la línea de regresión. Preguntas para el debate Responda a cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué? ¿Qué implica esta correlación sobre la relación entre el número de páginas y el costo? ¿Hay valores atípicos? En caso afirmativo, ¿qué punto o puntos son atípicos? ¿El valor atípico se debe eliminar si es que existe? ¿Por qué sí o por qué no?", "section": "Regresión (costo de los libros de texto)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Regresión (eficiencia del combustible) Regresión (eficiencia del combustible) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante calculará y proyectará la línea que mejor se ajuste entre las dos variables. El estudiante evaluará la relación entre las dos variables para determinar si dicha relación es significativa. Recopilación de datos Busque una fuente de confianza que proporcione información sobre la eficiencia total del combustible (en millas por galón) y el peso (en libras) de los nuevos modelos de automóviles con transmisión automática. Utilizaremos estos datos para determinar la relación, si es que la hay, entre la eficiencia del combustible de un automóvil y su peso. Con su generador de números aleatorios, seleccione al azar 20 automóviles de la lista y anote su peso y eficiencia de combustible en la . Peso Eficiencia de combustible ¿Cuál variable debe ser la dependiente y cuál la independiente? ¿Por qué? Haga a mano un diagrama de dispersión del \"peso\" frente a la \"eficiencia de combustible\". Trace los puntos en papel cuadriculado. Identifique ambos ejes con palabras. Lleve a escala ambos ejes con precisión. Analice los datos Introduzca los datos en su calculadora o en su computadora. Escriba la ecuación lineal, redondeando a 4 decimales. Calcule lo siguiente: a = ______ b = ______ correlación = ______ n = ______ ecuación: ŷ = ______ Obtenga el gráfico de la línea de regresión en su calculadora. Dibuje la línea de regresión en los mismos ejes que el diagrama de dispersión. Preguntas para el debate ¿La correlación es significativa? Explique en frases completas cómo lo ha determinado. ¿La relación es positiva o negativa? Explique cómo puede saberlo y qué significa esto en términos de peso y eficiencia de combustible. En una o dos frases completas, ¿cuál es la interpretación práctica de la pendiente de la línea de mínimos cuadrados en términos de eficiencia de combustible y peso? Para un automóvil que pesa 4.000 libras, prediga su eficiencia de combustible. Incluya las unidades. ¿Podemos predecir la eficiencia de combustible de un automóvil que pesa 10.000 libras utilizando la línea de mínimos cuadrados? Explique por qué sí o por qué no. Responda cada pregunta con frases completas. ¿Parece que la línea se ajusta a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué implica esta correlación sobre la relación entre la eficiencia de combustible y el peso de un automóvil? ¿Es esto lo que esperaba? ¿Hay valores atípicos? Si es así, ¿cuál punto es un valor atípico?", "section": "Regresión (eficiencia del combustible)", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Introducción El ANOVA de una vía se utiliza para medir la información de varios grupos. Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Interpretar la distribución de probabilidad F a medida que cambia el número de grupos y el tamaño de la muestra. Debatir sobre dos usos de la distribución F : ANOVA de una vía y la prueba de dos varianzas. Realizar e interpretar el ANOVA de una vía. Realizar e interpretar pruebas de hipótesis de dos varianzas. Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos. Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado \"análisis de la varianza\" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F , utilizada para el ANOVA de una vía, y la prueba de dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. Estudiará este tema con mucho más detalle en futuros cursos de Estadística. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "ANOVA de una vía El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas) . El factor es una variable categórica. La respuesta es una variable numérica. Hipótesis nula y alternativa La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k : H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = ... = μ k H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 , ..., μ k no son iguales. Es decir, μ i ≠ μ j para algún i ≠ j . Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones. Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde). (a) H 0 es verdadero. Todas las medias son iguales; las diferencias se deben a la variación aleatoria. (b) H 0 no es verdadero. Todas las medias no son iguales; las diferencias son demasiado grandes para deberse a una variación aleatoria. Repaso del capítulo El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son? Escriba un supuesto. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Escriba otro supuesto. Escriba un tercer supuesto. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Escriba un cuarto supuesto. Escriba el supuesto final. La respuesta es un valor numérico. Indique la hipótesis nula para el ANOVA de una vía si hay cuatro grupos. Indique la hipótesis alternativa para el ANOVA de una vía si hay tres grupos. H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 no son iguales. ¿Cuándo se utiliza el ANOVA? Tarea para la casa Se han probado tres rutas de tráfico diferentes para el tiempo medio de conducción. Las entradas de la son los tiempos de conducción en minutos en las tres rutas diferentes. Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 30 27 16 32 29 41 27 28 22 35 36 31 Indique la SS entre , la SS dentro y el estadístico F . SS entre = 26 SS dentro = 441 F = 0,2653 Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Plantee las hipótesis. H 0 : ____________ H a : ____________ Análisis de varianza también denominado ANOVA, es un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no. El método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . ANOVA de una vía un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no; el método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. hay una variable independiente y una variable dependiente. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media; el cuadrado de la desviación típica. Para un conjunto de datos, una desviación se puede representar como x – x ¯ donde x es un valor de los datos y x ¯ es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.", "section": "ANOVA de una vía", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "La distribución F y el cociente F La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se llama distribución F , en honor al estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador. Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F 4, 10 . Nota La distribución F se deriva de la distribución t de Student. Los valores de la distribución F son los cuadrados de los valores correspondientes de la distribución t . El ANOVA de una vía amplía la prueba t para comparar más de dos grupos. El alcance de esa derivación está más allá del nivel de este curso. Es preferible utilizar el ANOVA cuando hay más de dos grupos en lugar de realizar pruebas t por pares porque la realización de pruebas múltiples introduce la probabilidad de cometer un error de tipo 1. Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza. Varianza entre muestras : Una estimación de σ 2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada. Varianza dentro de las muestras : Una estimación de σ 2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada. SS entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras SS dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar. Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza de la muestra y la desviación típica de la muestra en Estadística Descriptiva . MS significa “ media cuadrática “ (mean square, MS). MS entre es la varianza entre grupos y MS dentro es la varianza dentro de los grupos. Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática k = el número de grupos diferentes n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑ n j ) x = un valor: ∑ x = ∑ s j Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑ x 2 Variabilidad entre grupos: SS total = ∑ x 2 – ( ∑ x 2 ) n Suma total de cuadrados: ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras: SS entre = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: S S dentro = S S total – S S entre df de diferentes grupos ( df para el numerador): df = k – 1 Ecuación para los errores dentro de las muestras ( df para el denominador): df dentro = n – k Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS entre = S S entre d e entre Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS dentro = S S dentro d e dentro MS entre y MS dentro se pueden escribir como sigue: M S entre = S S entre d e entre = S S entre k – 1 M S w i t h i n = S S w i t h i n d e w i t h i n = S S w i t h i n n – k La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS dentro . La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS entre como MS dentro deberían estimar el mismo valor. Nota La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales. El cociente F o estadístico F F = M S entre M S dentro Si MS entre y MS dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H 0 es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS entre será generalmente mayor que MS dentro . Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS dentro sea mayor en una muestra determinada. Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como: Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño F = n ⋅ s x ¯ 2 s 2 combinada donde... n = el tamaño de la muestra df numerador = k – 1 df denominador = n – k s 2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) s x ¯ 2 = la varianza de las medias muestrales Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares. Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) SS (factor) k – 1 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) F = MS (Factor)/ MS (Error) Error SS (error) n – k MS (error) = SS (error)/( n – k ) Total SS (total) n – 1 Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Plan 1: n 1 = 4 Plan 2: n 2 = 3 Plan 3: n 3 = 3 5 3,5 8 4,5 7 4 4 3,5 3 4,5 s 1 = 16,5, s 2 =15, s 3 = 15,5 A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis. S S ( b e t w e e n ) = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n = s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 – ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10 donde n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 3 y n = n 1 + n 2 + n 3 = 10 = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 – ( 16,5 + 15 + 15,5 ) 2 10 S S ( b e t w e e n ) = 2,2458 S ( t o t a l ) = ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n = ( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 ) – ( 5 + 4,5 + 4 + 3 + 3,5 + 7 + 4,5 + 8 + 4 + 3,5 ) 2 10 = 244 – 47 2 10 = 244 – 220,9 S S ( t o t a l ) = 23,1 S S ( w i t h i n ) = S S ( t o t a l ) – S S ( b e t w e e n ) = 23,1 – 2,2458 S S ( w i t h i n ) = 20,8542 Tabla de ANOVA de una vía: Las fórmulas para SS (total), SS (factor) = SS (entre) y SS (error) = SS (dentro) como se ha mostrado anteriormente. La misma información es proporcionada por la función de prueba de hipótesis de la calculadora TI ANOVA en STAT TESTS (la sintaxis es ANOVA(L1, L2, L3) donde L1, L2, L3 tienen los datos del Plan 1, Plan 2, Plan 3 respectivamente). Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) SS (factor) = SS (entre) = 2,2458 k – 1 = 3 grupos – 1 = 2 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) = 2,2458/2 = 1,1229 F = MS (Factor)/ MS (Error) = 1,1229/2,9792 = 0,3769 Error SS (error) = SS = 20,8542 n – k = 10 datos totales – 3 grupos = 7 MS (error) = SS (error)/( n – k ) = 20,8542/7 = 2,9792 Total SS (total) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1 n – 1 = 10 datos totales – 1 = 9 Ejercicio Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos suelo desnudo cubierta de suelo comercial plástico negro paja compost Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas: Desnudo: n 1 = 3 Cubierta del suelo: n 2 = 3 Plástico: n 3 = 3 Paja: n 4 = 3 Compost: n 5 = 3 2.625 5.348 6.583 7.285 6.277 2.997 5.682 8.560 6.897 7.818 4.915 5.482 3.830 9.230 8.677 Cree la tabla ANOVA de una vía. La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H 0 . Notación La notación para la distribución F es F ~ F df ( num ), df ( denom ) donde df ( num ) = df entre y df ( denom ) = df dentro La media de la distribución F es μ = d e ( d e n o m ) d e ( d e n o m ) – 2 Referencias Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante) Repaso del capítulo El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA. Revisión de la fórmula S S entre = ∑ ​ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ ​ s j ) 2 n S S total = ∑ ​ x 2 – ( ∑ ​ x ) 2 n S S dentro = S S total – S S entre df entre = df ( num ) = k – 1 df dentro = df(denom) = n – k MS entre = S S entre d e entre MS dentro = S S dentro d e dentro F = M S entre M S dentro Cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño: F = n s x ¯ 2 s 2 p o o l e d Media de la distribución F : µ = d e ( n u m ) d e ( d e n o m ) – 2 donde: k = el número de grupos n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados x = un valor (una observación) de los datos s x ¯ 2 = la varianza de las medias muestrales s 2 p o o l e d = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 216 202 170 198 213 165 240 284 182 187 228 197 176 210 201 ¿Cuál es el factor de la suma de cuadrados? 4.939,2 ¿Cuál es el error de la suma de los cuadrados? ¿Cuál es la df del numerador? 2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es el factor de la media cuadrática? 2.469,6 ¿Cuál es el error cuadrático medio? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,7416 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las entradas de la tabla son los goles por partido de los diferentes equipos. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 1 2 0 3 2 3 1 4 0 2 1 4 3 4 0 3 2 4 0 2 ¿Cuál es SS entre ? ¿Cuál es la df del numerador? 3 ¿Cuál es MS entre ? ¿Cuál es SS dentro ? 13,2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es MS dentro ? 0,825 ¿Cuál es el estadístico F ? A juzgar por el estadístico F , ¿cree que es probable o improbable que se rechace la hipótesis nula? Dado que el ANOVA de una vía siempre tiene cola derecha, un estadístico F alto corresponde a un valor p bajo, por lo que es probable que rechacemos la hipótesis nula. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Hα : Al menos dos de las medias de grupo µ 1 , µ 2 , …, µ 5 no son iguales. grados de libertad – numerador: df ( num ) = _________ grados de libertad – denominador: df ( denom ) = ________ df ( denom ) = 15 estadístico F = ________", "section": "La distribución F y el cociente F", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Datos sobre la distribución F Estos son algunos datos sobre la distribución F . La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha. Hay una curva diferente para cada conjunto de df . El estadístico F es mayor o igual a cero. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se normaliza. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo. Volvamos al ejercicio de los tomates bola en la sección INTÉNTELO 13.1 . Las medias de los rendimientos de los tomates en las cinco condiciones de cubierta están representadas por μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 , μ 5 . Realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si todas las medias son iguales o al menos una es diferente. Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia en los rendimientos medios entre los cinco grupos contra la hipótesis alternativa de que, al menos, una media es diferente del resto. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36.648.561 4 = 9.162.140 9.162.140 2.044.672 0,6 = 4 0,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20.446.726 10 = 2.044.672 0,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 Distribución para la prueba: F 4, 10 df ( num ) = 5 – 1 = 4 df ( denom ) = 15 – 5 = 10 Estadístico de prueba: F = 4,4810 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 4,481) = 0,0248. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,0248 Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechazamos H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 % tenemos pruebas razonablemente sólidas de que las diferencias en los rendimientos medios de las plantas de tomate de corte cultivadas en diferentes condiciones de cubierta de suelo es poco probable que se deban únicamente al azar. Podemos concluir que, al menos, algunas de las cubiertas produjeron diferentes rendimientos medios. Para calcular estos resultados en la calculadora: Pulse STAT. Pulse 1:EDIT. Introduzca los datos en las listas L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 . Pulse STAT, y la flecha hacia TESTS, y la flecha abajo hacia ANOVA. Pulse ENTER, y a continuación introduzca L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 ). Pulse ENTER. Verá que la calculadora arroja fácilmente los valores de la tabla ANOVA anterior, incluso el estadístico de prueba y el valor p . La calculadora muestra: F = 4,4810 p = 0,0248 (valor p ) Factor df = 4 SS = 36648560,9 MS = 9162140,23 Error df = 10 SS = 20446726 MS = 2044672,6 Ejercicio El SARM, o Staphylococcus aureus resistente a la meticilina , puede causar una grave infección bacteriana en pacientes del hospital. La muestra varios recuentos de colonias de diferentes pacientes que pueden o no tener SARM. Los datos de la tabla se representan en la Figura 13.5. Conc. = 0,6 Conc. = 0,8 Conc. = 1,0 Conc. = 1,2 Conc. = 1,4 9 16 22 30 27 66 93 147 199 168 98 82 120 148 132 Gráfico de los datos para las diferentes concentraciones: Compruebe si el número medio de colonias es igual o es diferente. Construya la tabla de ANOVA (a mano o con las calculadoras TI-83, 83+ u 84+), calcule el valor p y exponga su conclusión. Utilice un nivel de significación del 5 %. Cuatro hermandades de mujeres tomaron una muestra aleatoria de hermanas en relación con su media de calificaciones para el último trimestre. Los resultados se indican en la . NOTAS MEDIAS DE CUATRO HERMANDADES DE MUJERES Hermandad 1 Hermandad 2 Hermandad 3 Hermandad 4 2,17 2,63 2,63 3,79 1,85 1,77 3,78 3,45 2,83 3,25 4,00 3,08 1,69 1,86 2,55 2,26 3,33 2,21 2,45 3,18 Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿existe una diferencia en las notas medias entre las hermandades? Supongamos que μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son las medias poblacionales de las hermandades de mujeres. Recuerde que la hipótesis nula afirma que los grupos de hermandades de mujeres proceden de la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de hermandades de mujeres proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Observe que los cuatro tamaños de muestra son cinco cada uno. Nota Este es un ejemplo de diseño equilibrado , ya que cada factor (es decir, la hermandad) tiene el mismo número de observaciones. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : No todas las medias μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son iguales. Distribución para la prueba: F 3,16 donde k = 4 grupos y n = 20 muestras en total df ( num )= k – 1 = 4 – 1 = 3 df ( denom ) = n – k = 20 – 4 = 16 Calcule el estadístico de prueba: F = 2,23 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 2,23) = 0,1241 Compare α y el valor p : α = 0,01 valor p = 0,1241 α < valor p Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las notas medias de las hermandades de mujeres. Introduzca los datos en las listas L 1 , L 2 , L 3 , and L 4 . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo F:ANOVA . Pulse ENTER e introduzca ( L1,L2,L3,L4 ). La calculadora muestra la estadística F, el valor p y los valores de la tabla ANOVA de una vía: F = 2,2303 p = 0,1241 (valor p ) Factor df = 3 SS = 2,88732 MS = 0,96244 Error df = 16 SS = 6,9044 MS = 0,431525 Ejercicio Cuatro equipos deportivos tomaron una muestra aleatoria de jugadores en relación con su GPA del año pasado. Los resultados se indican en la . GPA PARA CUATRO EQUIPOS DEPORTIVOS Baloncesto Béisbol Hockey Lacrosse 3,6 2,1 4,0 2,0 2,9 2,6 2,0 3,6 2,5 3,9 2,6 3,9 3,3 3,1 3,2 2,7 3,8 3,4 3,2 2,5 Use un nivel de significación del 5 % y determine si existe una diferencia en el GPA entre los equipos. Una clase de cuarto grado está estudiando el ambiente. Una de las tareas consiste en cultivar plantas de judías en diferentes suelos. Tommy eligió cultivar sus plantas de judías en la tierra que encontró fuera de su aula mezclada con pelusa de secadora. Tara decidió cultivar sus plantas de judías en tierra para macetas comprada en el vivero local. Nick decidió cultivar sus plantas de judías en la tierra del jardín de su madre. No se utilizó ningún producto químico en las plantas, solo agua. Se cultivaron en el interior del aula junto a un gran ventanal. Cada niño cultivó cinco plantas. Al final del periodo de crecimiento se midió cada planta y se obtuvieron los datos (en pulgadas) que están en la . Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick 24 25 23 21 31 27 23 23 22 30 20 30 23 28 20 ¿Parece que los tres medios en los que se cultivaron las plantas de judías producen la misma altura media? Pruebe con un nivel de significación del 3 %. Esta vez, realizaremos los cálculos que conducen al estadístico F' . Observe que cada grupo tiene el mismo número de plantas, por lo que utilizaremos la fórmula F' = n ⋅ s x ¯ 2 s 2 combinada . Primero, calcule la media muestral y la varianza de cada grupo. Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick Media muestral 24,2 25,4 24,4 Varianza de la muestra 11,7 18,3 16,3 Luego, calcule la varianza de las medias de los tres grupos (calcule la varianza de 24,2, 25,4 y 24,4). Varianza de las medias de los grupos = 0,413 = s x ¯ 2 Entonces MS entre = n s x ¯ 2 = (5)(0,413) donde n = 5 es el tamaño de la muestra (número de plantas que cultivó cada niño). Calcule la media de las tres varianzas de la muestra (calcule la media de 11,7, 18,3 y 16,3). Media de las varianzas de la muestra = 15,433 = s 2 combinada Entonces MS dentro = s 2 combinado = 15,433. El estadístico F (o cociente F ) es F = M S entre M S dentro = n s x ¯ 2 s 2 p o o l e d = ( 5 ) ( 0,413 ) 15,433 = 0,134 Los dfs para el numerador = el número de grupos – 1 = 3 – 1 = 2. El dfs para el denominador = el número total de muestras – el número de grupos = 15 – 3 = 12 La distribución de la prueba es F 2, 12 y el estadístico F es F = 0,134 El valor p es P ( F > 0,134) = 0,8759. Decisión: Dado que α = 0,03 y el valor p = 0,8759, no se rechaza H 0 . (¿Por qué?) Conclusión: Con un nivel de significación del 3 %, a partir de los datos de la muestra, las pruebas no son suficientes para concluir que las alturas medias de las plantas de judías son diferentes. Para calcular el valor p : * Pulse 2nd DISTR *Flecha hacia abajo a Fcdf (y pulse ENTER . *Introduzca 0,134, E99 , 2, 12) * Pulse ENTER El valor p es de 0,8759. Ejercicio Otro estudiante de cuarto grado también cultivó plantas de judías, pero esta vez en una masa gelatinosa. Las alturas fueron (en pulgadas) 24, 28, 25, 30 y 32. Haga una prueba de ANOVA de una vía en los cuatro grupos. ¿Son diferentes las alturas de las plantas de judías? Utilice el mismo método que se muestra en el . A partir de la clase, cree cuatro grupos del mismo tamaño como sigue: hombres menores de 22 años, hombres de al menos 22 años, mujeres menores de 22 años, mujeres de al menos 22 años. Haga que cada miembro de cada grupo registre el número de estados de Estados Unidos que ha visitado. Realice un ANOVA para determinar si el promedio de estados visitados en los cuatro grupos es el mismo. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Utilice una de las hojas de solución en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . Referencias Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118. “MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012. Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association , 268, 1578-1580. Repaso del capítulo El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F . Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 13.2 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Mire siempre con cuidado sus datos! ¿Qué valores puede tener un estadístico F ? ¿Qué ocurre con las curvas a medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador? Las curvas se aproximan a la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 36 32 48 38 41 42 35 50 44 39 51 38 39 46 40 ¿Cuál es el df(num) ? ¿Cuál es el df(denom) ? diez ¿Cuáles son los factores de la suma de los cuadrados y de las medias cuadráticas? ¿Cuáles son la suma de los cuadrados y los errores de la media cuadrática? SS = 237,33; MS = 23,73 ¿Cuál es el estadístico F ? ¿Cuál es el valor p ? 0,1614 Al nivel de significación del 5 %, ¿hay una diferencia en la altura media de los saltos entre los equipos? Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la Grupo A Grupo B Grupo C 101 151 101 108 149 109 98 160 198 107 112 186 111 126 160 ¿Cuál es el df(num) ? dos ¿Cuál es el df(denom) ? ¿Cuáles son la SS entre y la MS entre ? SS = 5.700,4; MS = 2.850,2 ¿Cuáles son la SS dentro y la MS dentro ? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,6101 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 10 %, ¿las puntuaciones entre los distintos grupos son diferentes? Sí, hay pruebas suficientes para demostrar que las calificaciones entre los grupos son estadísticamente significativas al nivel del 10 %. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Introduzca los datos en su calculadora o computadora. valor p = ______ Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ α = 0,01 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ Tarea para la casa INSTRUCCIONES Utilice una hoja de soluciones para realizar las siguientes pruebas de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta las suyas con la fórmula B y Javier con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Use un nivel de significación del 10 % y pruebe la hipótesis de que las tres fórmulas producen el mismo aumento de peso medio. Peso de las ratas de laboratorio de los estudiantes Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 H 0 : µ L = µ T = µ J H a : al menos dos de las medias son diferentes df ( num ) = 2; df ( denom ) = 12 Distribución F 0,67 0,5305 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No rechazar la hipótesis nula; conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las medias son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados están en la . Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que las tres medias de las millas de desplazamiento son iguales. clase trabajadora profesionales (ingresos medios) profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. decoración del hogar noticias salud computadoras 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que los cuatro tipos de revistas tienen la misma extensión media. Elimine un tipo de revista que ahora considere que tiene una extensión media diferente a las demás. Vuelva a realizar la prueba de hipótesis para probar que las tres medias restantes son estadísticamente iguales. Use una nueva hoja de soluciones. Según esta prueba, ¿las extensiones medias de las tres revistas restantes son estadísticamente iguales? H a : µ c = µ n = µ h Al menos dos de las revistas tienen extensiones medias diferentes. df ( num ) = 2, df ( denom ) = 12 Distribución F F = 15,28 valor p = 0,0005 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las longitudes medias de las revistas son diferentes. Un investigador quiere saber si los tiempos medios (en minutos) que las personas ven su canal de noticias favorito son iguales. Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. CNN FOX Local 45 15 72 12 43 37 18 68 56 38 50 60 23 31 51 35 22 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Las medias de los exámenes finales son iguales para todos los tipos de clases de Estadística? La muestra las calificaciones de los exámenes finales de varias clases seleccionadas al azar que utilizaron los diferentes tipos de entrega. En línea Híbrido En persona 72 83 80 84 73 78 77 84 84 80 81 81 81 86 79 82 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ o = μ h = μ f Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 13 F 2,13 0,64 0,5437 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Las calificaciones medias de la entrega de las distintas clases no son diferentes. ¿El número medio de veces al mes que una persona come fuera es el mismo para personas blancas, negras, hispanas y asiáticas? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Blancos Negros Hispanos Asiáticos 6 4 7 8 8 1 3 3 2 5 5 5 4 2 4 1 6 6 7 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Los números medios de visitantes diarios a una estación de esquí son iguales para los tres tipos de condiciones de nieve? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. En polvo De máquina Comprimida 1.210 2.107 2.846 1.080 1.149 1.638 1.537 862 2.019 941 1.870 1.178 1.528 2.233 1.382 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ p = μ m = μ h Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 12 F 2,12 3,13 0,0807 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que el número medio de visitantes diarios sea diferente. Sanjay hizo aviones de papel idénticos con tres pesos diferentes de papel: ligero, medio y pesado. Hizo cuatro aviones con cada uno de los pesos y los lanzó él mismo por la habitación. Aquí están las distancias (en metros) que volaron sus aviones. Tipo de papel / ensayo Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Pesado 5,1 metros 3,1 metros 4,7 metros 5,3 metros Medio 4 metros 3,5 metros 4,5 metros 6,1 metros Ligero 3,1 metros 3,3 metros 2,1 metros 1,9 metros Observe los datos del gráfico. Observe la dispersión de los datos para cada grupo (ligero, medio y pesado). ¿Parece razonable suponer una distribución normal con la misma varianza para cada grupo? Sí o no. ¿Por qué es un diseño equilibrado? Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra para cada grupo. ¿El peso del papel influye en la distancia que recorrerá el avión? Use un nivel de significación del 1 %. Complete la prueba utilizando el método mostrado en el ejemplo de la planta de judías en el . varianza de las medias de los grupos __________ MS entre = ___________ media de las tres varianzas de la muestra ___________ MS dentro = _____________ estadístico F = ____________ df(num) = __________, df(denom) = ___________ número de grupos _______ número de observaciones _______ valor p = __________ ( P ( F > _______) = __________) Grafique el valor p . decisión: _______________________ conclusión: _______________________________________________________________ El dicloro difenil tricloroetano (DDT) es un pesticida cuyo uso se ha prohibido en Estados Unidos y en la mayoría de las zonas del mundo. Es bastante eficaz, pero persiste en el medio ambiente y, con el tiempo, se considera perjudicial para los organismos superiores. Se cree que las cáscaras de los huevos de las águilas y otras aves rapaces son más finas y propensas a romperse en el nido debido a la ingestión de DDT en la cadena alimentaria de las aves. Se realizó un experimento sobre el número de huevos (fecundidad) puestos por las hembras de la mosca de la fruta. Hay tres grupos de moscas. Un grupo fue criado para ser resistente al DDT (el grupo RS). Otro fue criado para ser especialmente susceptible al DDT (SS). Por último, había una línea de control de moscas de la fruta no seleccionadas o típicas (NS). Aquí están los datos: RS SS NS RS SS NS 12,8 38,4 35,4 22,4 23,1 22,6 21,6 32,9 27,4 27,5 29,4 40,4 14,8 48,5 19,3 20,3 16 34,4 23,1 20,9 41,8 38,7 20,1 30,4 34,6 11,6 20,3 26,4 23,3 14,9 19,7 22,3 37,6 23,7 22,9 51,8 22,6 30,2 36,9 26,1 22,5 33,8 29,6 33,4 37,3 29,5 15,1 37,9 16,4 26,7 28,2 38,6 31 29,5 20,3 39 23,4 44,4 16,9 42,4 29,3 12,8 33,7 23,2 16,1 36,6 14,9 14,6 29,2 23,6 10,8 47,4 27,3 12,2 41,7 Los valores son el número promedio de huevos puestos diariamente por cada una de las 75 moscas (25 en cada grupo) durante los primeros 14 días de su vida. Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿son diferentes las tasas medias de selección de huevos para las tres cepas de mosca de la fruta? Si es así, ¿de qué manera? Específicamente, los investigadores estaban interesados en saber si las cepas criadas selectivamente eran diferentes de la línea no seleccionada, y si las dos líneas seleccionadas eran diferentes entre sí. A continuación se muestra un gráfico de los tres grupos: Los datos parecen normalmente distribuidos en el gráfico y una dispersión similar. No parece haber ningún valor atípico grave, por lo que podemos seguir con nuestros cálculos de ANOVA, para ver si tenemos buenas pruebas de una diferencia entre los tres grupos. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 ; H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j . Defina μ 1 , μ 2 , μ 3 , como la media poblacional del número de huevos puestos por los tres grupos de moscas de la fruta. estadístico F = 8,6657; valor p = 0,0004 Decisión: como el valor p es inferior al nivel de significación de 0,01, rechazamos la hipótesis nula. Conclusión: tenemos buenas pruebas de que el número promedio de huevos puestos durante los primeros 14 días de vida de estas tres cepas de moscas de la fruta son diferentes. Curiosamente, si se realiza una prueba t de dos muestras para comparar los grupos RS y NS, son significativamente diferentes ( p = 0,0013). Asimismo, SS y NS son significativamente diferentes ( p = 0,0006). Sin embargo, los dos grupos seleccionados, RS y SS, no son significativamente diferentes ( p = 0,5176). Por lo tanto, parece que tenemos buenas pruebas de que la selección para la resistencia o para la susceptibilidad implica una tasa reducida de producción de huevos (para estas cepas específicas) en comparación con las moscas que no fueron seleccionadas para la resistencia o la susceptibilidad al DDT. Aquí, la selección genética ha implicado aparentemente una pérdida de fecundidad. Los datos que se muestran son las temperaturas corporales registradas de 130 sujetos estimadas a partir de histogramas disponibles. Tradicionalmente se nos enseña que la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 °F. Esto no es del todo correcto para todos. ¿Las temperaturas medias son diferentes entre los cuatro grupos? Calcule los intervalos de confianza del 95 % para la temperatura corporal media en cada grupo y comente los intervalos de confianza. FL FH ML MH FL FH ML MH 96,4 96,8 96,3 96,9 98,4 98,6 98,1 98,6 96,7 97,7 96,7 97 98,7 98,6 98,1 98,6 97,2 97,8 97,1 97,1 98,7 98,6 98,2 98,7 97,2 97,9 97,2 97,1 98,7 98,7 98,2 98,8 97,4 98 97,3 97,4 98,7 98,7 98,2 98,8 97,6 98 97,4 97,5 98,8 98,8 98,2 98,8 97,7 98 97,4 97,6 98,8 98,8 98,3 98,9 97,8 98 97,4 97,7 98,8 98,8 98,4 99 97,8 98,1 97,5 97,8 98,8 98,9 98,4 99 97,9 98,3 97,6 97,9 99,2 99 98,5 99 97,9 98,3 97,6 98 99,3 99 98,5 99,2 98 98,3 97,8 98 99,1 98,6 99,5 98,2 98,4 97,8 98 99,1 98,6 98,2 98,4 97,8 98,3 99,2 98,7 98,2 98,4 97,9 98,4 99,4 99,1 98,2 98,4 98 98,4 99,9 99,3 98,2 98,5 98 98,6 100 99,4 98,2 98,6 98 98,6 100,8", "section": "Datos sobre la distribución F", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prueba de dos varianzas Otro uso de la distribución F es la prueba de dos varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación de la tapa y del recipiente debe ser la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que se cumplan estas condiciones: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. A diferencia de la mayoría de otras pruebas de este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, la prueba puede dar valores p más altos o más bajos de lo debido de forma imprevisible. Muchos textos sugieren a los estudiantes que no utilicen esta prueba en absoluto, pero en aras de la exhaustividad la incluimos aquí. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que σ 1 2 y σ 2 2 son las varianzas de la población y s 1 2 y s 2 2 sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n 1 y n 2 . Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F : F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) donde n 1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n 2 – 1 son los grados de libertad del denominador. Si la hipótesis nula es σ 1 2 = σ 2 2 , entonces el cociente F se convierte en F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 . Nota El cociente F también podría ser ( s 2 ) 2 ( s 1 ) 2 . Depende de H a y de qué varianza de la muestra es mayor. Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces s 1 2 y s 2 2 tienen valores cercanos y F = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes, s 1 2 y s 2 2 también suelen ser muy diferentes. Al elegir s 1 2 ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 sea mayor que uno. Si s 1 2 y s 2 2 están muy separados, entonces F = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 es un número grande. Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. Una prueba de dos varianzas puede ser de cola izquierda, derecha o de dos colas. Dos instructores de institutos universitarios están interesados en saber si existe alguna variación en la forma de calificar los exámenes de Matemáticas. Cada uno de ellos califica el mismo conjunto de 30 exámenes. Las notas del primer instructor tienen una varianza de 52,3. Las notas del segundo instructor tienen una varianza de 89,9. Pruebe la afirmación de que la varianza del primer instructor es menor (en la mayoría de los institutos universitarios es deseable que las varianzas de las notas de los exámenes sean casi iguales entre los instructores). El nivel de significación es del 10 %. Supongamos que 1 y 2 son los subíndices que indican el primer y el segundo instructor, respectivamente. n 1 = n 2 = 30. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 y H a : σ 1 2 < σ 2 2 Calcule el estadístico de prueba: Según la hipótesis nula ( σ 1 2 = σ 2 2 ) , el estadístico F es: F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 = 52,3 89,9 = 0,5818 Distribución para la prueba: F 29,29 donde n 1 – 1 = 29 y n 2 – 1 = 29. Gráfico: Esta prueba es de cola izquierda. Dibuje el gráfico marcando y sombreando adecuadamente. Enunciado de probabilidad: valor p = P ( F < 0,5818) = 0,0753 Compare α y el valor p : α = 0,10 α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 10 %, a partir de los datos hay pruebas suficientes para concluir que la varianza de las notas del primer instructor es menor. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo D:2-SampFTest . Pulse ENTER . Mueva la flecha hasta STATS y pulse ENTER . Para Sx1 , n1 , Sx2 , y n2 , introduzca ( 52,3 ) , 30 , ( 89,9 ) , y 30 . Pulse ENTER después de cada uno. Mueva la flecha hasta σ1: y σ2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . F = 0,5818 y valor p = 0,0753. Vuelva a realizar el procedimiento y pruebe con Dibujar en vez de Calculate . Ejercicio La Sociedad Coral de Nueva York divide a los cantantes hombres en cuatro categorías, desde las voces más altas hasta las más bajas: tenor 1, tenor 2, bajo 1, bajo 2. En la tabla están las estaturas de los hombres de los grupos tenor 1 y bajo 2. Uno sospecha que los hombres más altos tendrán voces más graves, y que la varianza de la altura puede subir también con las voces más graves. ¿Tenemos pruebas fehacientes de que la varianza de las alturas de los cantantes en cada uno de estos dos grupos (tenor 1 y bajo 2) es diferente? Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 69 72 67 72 68 67 72 75 70 74 67 70 71 67 65 70 64 70 66 75 72 66 69 76 74 70 68 72 74 72 68 75 71 71 72 64 68 74 66 74 73 70 75 68 72 66 72 Referencias “MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true. Repaso del capítulo La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F , con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. Revisión de la fórmula F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) F = s 1 2 σ 1 2 s 2 2 σ 2 2 Si σ 1 = σ 2 , entonces F = s 1 2 s 2 2 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas. Nombre un supuesto que deba ser cierto. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. ¿Cuál es el otro supuesto que debe ser verdadero? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 1 = σ 2 H a : σ 1 < σ 2 o H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 < σ 2 2 ¿Cuál es s 1 en este problema? ¿Cuál es s 2 en este problema? 4,11 ¿Cuál es n ? ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7159 ¿Cuál es el valor p ? ¿La afirmación es correcta? No, al nivel de significación del 10 %, no rechazamos la hipótesis nula y afirmamos que los datos no muestran que la variación de los tiempos de conducción del primer trabajador sea menor que la variación de los tiempos de conducción del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 2,8674 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 5 %, ¿rechazamos la hipótesis nula? rechaza la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para decir que la varianza de las notas del primer estudiante es mayor que la del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7414 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué podemos decir sobre las varianzas de los ciclistas? Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta a sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta a las suyas con la fórmula B y Javier lo hace con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo a cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 Determine si la varianza en el aumento de peso es estadísticamente igual entre las ratas de Javier y las de Linda. Pruebe con un nivel de significación del 10 %. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( num ) = 4; df ( denom ) = 4 F 4, 4 3,00 2(0,1563) = 0,3126. Utilizando la función 2-SampFtest en la TI-83+/84+ se obtiene el estadístico de prueba como 2,9986 y el valor p directamente como 0,3127. Si se introducen las listas en un orden diferente, se obtiene un estadístico de prueba de 0,3335, pero el valor p permanece igual porque se trata de una prueba de dos colas. Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se rechaza la hipótesis nula; conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados son los siguientes. clase trabajadora profesionales (ingresos medios) profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Determine si la varianza del millaje conducido es estadísticamente igual entre los grupos de clase trabajadora y los de profesionales (ingresos medios). Utilice un nivel de significación del 5 %. ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen la misma varianza de longitud? ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen diferentes varianzas de longitud? Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Las revistas de decoración del hogar y las de noticias tienen diferentes varianzas. ¿La varianza de la cantidad de dinero, en dólares, que los compradores gastan los sábados en el centro comercial es igual a la que gastan los domingos en el centro comercial? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Sábado Domingo Sábado Domingo 75 44 62 137 18 58 0 82 150 61 124 39 94 19 50 127 62 99 31 141 73 60 118 73 89 ¿Las varianzas de los ingresos en la costa este y en la costa oeste son iguales? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Los ingresos se indican en miles de dólares. Supongamos que ambas distribuciones son normales. Utilice un nivel de significación de 0,05. Este Oeste 38 71 47 126 30 42 82 51 75 44 52 90 115 88 67 H 0 : = σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( n ) = 7, df ( d ) = 6 F 7,6 0,8117 0,7825 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. A treinta hombres universitarios se les enseñó un método de golpeteo con los dedos. Se les asignó aleatoriamente a tres grupos de diez, y cada uno recibió una de las tres dosis de cafeína: 0 mg, 100 mg, 200 mg. Una taza de café puede contener 100 mg y dos tazas de café, 200 mg. Dos horas después de ingerir la cafeína, se registró el ritmo de golpeteo de los dedos por minuto de los hombres. El experimento era de doble ciego, por lo que ni los que anotaban ni los estudiantes sabían en qué grupo estaban. ¿La cafeína afecta a la velocidad de golpeteo? y, si es así, ¿cómo? Aquí están los datos: 0 mg 100 mg 200 mg 0 mg 100 mg 200 mg 242 248 246 245 246 248 244 245 250 248 247 252 247 248 248 248 250 250 242 247 246 244 246 248 246 243 245 242 244 250 El rey Manuel I Komnenus gobernó el Imperio Bizantino desde Constantinopla (Estambul) desde el año 1145 hasta el año 1180 d.C. El imperio fue muy poderoso durante su reinado, pero decayó considerablemente después. Las monedas acuñadas durante su época se encontraron en Chipre, una isla del mar Mediterráneo oriental. Nueve monedas eran de su primera acuñación, siete de la segunda, cuatro de la tercera y siete de una cuarta. Abarcaban la mayor parte de su reinado. Tenemos datos sobre el contenido de plata de las monedas: Primera acuñación Segunda acuñación Tercera acuñación Cuarta acuñación 5,9 6,9 4,9 5,3 6,8 9,0 5,5 5,6 6,4 6,6 4,6 5,5 7,0 8,1 4,5 5,1 6,6 9,3 6,2 7,7 9,2 5,8 7,2 8,6 5,8 6,9 6,2 ¿El contenido de plata de las monedas cambió a lo largo del reinado de Manuel? Aquí están las medias y las varianzas de cada acuñación. Los datos están desequilibrados. Nombre Segunda Tercera Cuarta Media 6,7444 8,2429 4,875 5,6143 Varianza 0,2953 1,2095 0,2025 0,1314 Se muestra un gráfico de bandas del contenido de plata de las monedas: Aunque hay diferencias en la dispersión, no es descabellado utilizar técnicas del ANOVA. Aquí está la tabla de ANOVA completa: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 37,748 4 – 1 = 3 12,5825 26,272 Error (dentro) 11,015 27 – 4 = 23 0,4789 Total 48,763 27 – 1 = 26 P ( F > 26,272) = 0; Rechazar la hipótesis nula para toda alfa. Hay pruebas suficientes para concluir que el contenido medio de plata entre las cuatro acuñaciones es diferente. Del gráfico de bandas se desprende que las primeras y segundas acuñaciones tenían mayor contenido de plata que las terceras y cuartas. La Liga Americana y la Liga Nacional del Béisbol de Grandes Ligas (Major League Baseball, MLB) están segmentadas en tres divisiones cada una: Este, Centro y Oeste. En muchos años los aficionados hablan de que algunas divisiones son más fuertes (tienen mejores equipos) que otras. Esto puede tener consecuencias para la postemporada. Por ejemplo, en 2012 Tampa Bay ganó 90 partidos y no jugó la postemporada, mientras que Detroit solo ganó 88 y sí jugó la postemporada. Puede que haya sido una rareza, pero ¿hay pruebas fehacientes de que en la temporada 2012 las divisiones de la Liga Americana fueran significativamente diferentes en cuanto a registros generales? Use los siguientes datos para comprobar si el número medio de victorias por equipo en las tres divisiones de la Liga Americana es igual o no. Tenga en cuenta que los datos no están equilibrados, ya que dos divisiones tenían cinco equipos, mientras que una tenía cuatro solamente. División Equipo Victorias Este NY Yankees 95 Este Baltimore 93 Este Tampa Bay 90 Este Toronto 73 Este Boston 69 División Equipo Victorias Centro Detroit 88 Centro Chicago Sox 85 Centro Kansas City 72 Centro Cleveland 68 Centro Minnesota 66 División Equipo Victorias Oeste Oakland 94 Oeste Texas 93 Oeste LA Angels 89 Oeste Seattle 75 Se muestra un gráfico de bandas con el número de victorias de los 14 equipos de la Liga Americana para la temporada 2012. Aunque la dispersión parece similar, puede haber alguna duda sobre la normalidad de los datos, dadas las grandes diferencias en el medio cerca de la marca de 0,500 de 82 partidos (los equipos juegan 162 partidos cada temporada en el MLB). Sin embargo, el ANOVA de una vía es robusto. Aquí está la tabla de ANOVA para los datos: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 344,16 3 – 1 = 2 172,08 Error (dentro) 1.219,55 14 – 3 = 11 110,87 1,5521 Total 1.563,71 14 – 1 = 13 P ( F > 1,5521) = 0,2548. Ya que el valor p es tan grande, no hay una buena evidencia contra la hipótesis nula de igualdad de medias. No rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, para 2012, no hay ninguna buena evidencia de una diferencia significativa en el número medio de victorias entre las divisiones de la Liga Americana.", "section": "Prueba de dos varianzas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Laboratorio: ANOVA de una vía ANOVA de una vía Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante llevará a cabo una prueba simple de ANOVA de una vía que incluya tres variables. Recopilación de datos Anote el precio por libra de ocho frutas, ocho vegetales y ocho panes en su supermercado local. Frutas Vegetales Panes Explique de qué manera podría recopilar los datos de forma aleatoria. Analice los datos y compruebe la hipótesis Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Calcule lo siguiente: Frutas: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Vegetales: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Panes: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Calcule lo siguiente: df ( num ) = ______ df ( denom ) = ______ Indique la distribución aproximada de la prueba. Estadístico de prueba: F = ______ Dibuje un gráfico de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . valor p = ______ Pruebe para α = 0,05. Exponga su decisión y su conclusión. Decisión: ¿Por qué ha tomado esta decisión? Conclusión (escriba una frase completa). Según los resultados de su estudio, ¿es necesario investigar los precios de alguno de los grupos alimenticios? ¿Por qué sí o por qué no?", "section": "Laboratorio: ANOVA de una vía", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Ejercicios de repaso (caps. 3-13) Estos ejercicios de repaso están diseñados para proporcionar una práctica adicional sobre los conceptos aprendidos antes de un capítulo en particular. Por ejemplo, los ejercicios de repaso del Capítulo 3, cubren el material aprendido en los capítulos 1 y 2. Capítulo 3 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: En un estudio de 100 acciones del NASDAQ, el porcentaje promedio de aumento del año pasado fue del 9 % para las acciones del NASDAQ. 1 . El “incremento promedio\" de todas las acciones del NASDAQ es la: población estadística parámetro muestra variable 2. Todas las acciones del NASDAQ son la: población estadística parámetro muestra variable 3. El 9 % es la: población estadística parámetro muestra variable 4. Las 100 acciones del NASDAQ incluidas en la encuesta son la: población estadística parámetro muestra variable 5. El porcentaje de aumento de una acción en la encuesta es la: población estadística parámetro muestra variable 6. ¿Los datos recogidos serán cualitativos, cuantitativos discretos o cuantitativos continuos? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Treinta personas pasaron dos semanas en el Mardi Gras en Nueva Orleans. Su aumento de peso en dos semanas es el siguiente. (Nota: la pérdida de peso se muestra con un aumento de peso negativo). Aumento de peso Frecuencia -2 3 -1 5 0 2 1 4 4 13 6 2 11 1 7. Calcule los siguientes valores: el promedio de aumento de peso durante las dos semanas la desviación típica los cuartiles primero, segundo y tercero 8. Construya un histograma y un diagrama de caja y bigotes de los datos. Capítulo 4 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Una encuesta reciente sobre tarjetas de crédito reveló que el 35 % de los encuestados utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan. El 30 % de los encuestados cobra más de 2.000 dólares al mes. De los encuestados que cargan más de 2.000 dólares, el 80 % utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan. 9. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado seleccionado al azar gaste más de 2.000 dólares Y utilice una tarjeta de crédito que le dé una milla de viaje en avión por cada dólar que cargue? (0,30)(0,35) (0,80)(0,35) (0,80)(0,30) (0,80) 10. ¿Utiliza una tarjeta de crédito que da una milla de viaje en avión por cada dólar gastado Y carga más de 2.000 dólares al mes en eventos independientes? Sí No, y tampoco son mutuamente excluyentes. No, pero son mutuamente excluyentes. No se da suficiente información para determinar la respuesta. 11. Una socióloga quiere conocer la opinión de las mujeres adultas empleadas sobre la financiación gubernamental de las guarderías. Obtiene una lista de 520 miembros de un club local de mujeres empresarias y profesionales y envía un cuestionario a 100 de estas mujeres seleccionadas al azar. Se han devuelto 68 cuestionarios. ¿Cuál es la población de este estudio? todas las mujeres adultas empleadas todas las integrantes de un club local de mujeres de negocios y profesionales las 100 mujeres que recibieron el cuestionario todas las mujeres empleadas con hijos Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Las dos siguientes preguntas se refieren a lo siguiente: Un artículo de The Mercury News de San José se preocupaba por el mestizaje racial de los 1.500 estudiantes de la escuela secundaria Prospect en Saratoga (California). El cuadro resume los resultados. (Los valores de hombres y mujeres son aproximados). Supongamos que se selecciona al azar un estudiante de la escuela secundaria Prospect. Sexo / grupo étnico Blancos Asiáticos Hispanos Negros Nativos estadounidenses Hombres 400 468 115 35 16 Mujeres 440 132 140 40 14 12. Halle la probabilidad de que un estudiante sea asiático u hombre. 13. Halle la probabilidad de que una estudiante sea negra, dado que es mujer. 14. Una muestra de los libras perdidas, en un mes determinado, por cada uno de los integrantes de una clínica de reducción de peso arrojó las siguientes estadísticas: Media = 5 lb. Mediana = 4,5 lb. Moda = 4 lb. Desviación típica = 3,8 lb. Primer cuartil = 2 lb. Tercer cuartil = 8,5 lb. La afirmación correcta es: Una cuarta parte de los integrantes rebajó exactamente dos libras. El 50 % de los integrantes rebajó de 2 a 8,5 lb. La mayoría rebajó entre 3,5 y 4,5 lb. Todas las opciones anteriores son correctas. 15. ¿Qué significa que un conjunto de datos tenga una desviación típica igual a cero? Todos los valores de los datos aparecen con la misma frecuencia. La media de los datos también es cero. Todos los datos tienen el mismo valor. Para empezar, no hay datos. 16. El enunciado que describe la ilustración es: la media es igual a la mediana. No hay un primer cuartil. El valor más bajo de los datos es la mediana. La mediana es igual a Q 1 + Q 3 2 . 17. Según un artículo reciente en The Mercury News de San José, el promedio de recién nacidos con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente 2 por cada 1.000 en la sala de bebés sanos. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en la sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. 18. Un “amigo” le ofrece el siguiente “trato”. Por una tarifa de 10 dólares, puede elegir un sobre de una caja que contiene 100 sobres aparentemente idénticos. Sin embargo, cada sobre contiene un cupón para un regalo. Diez de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 6 dólares. Ochenta de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 8 dólares. Seis de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 12 dólares. Cuatro de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 40 dólares. Según la ganancia o la pérdida financiera a largo plazo, ¿debería jugar el juego? Sí, espero ganar dinero. No, espero perder dinero. No importa. Espero llegar a un punto de equilibrio. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Recientemente, un enfermero comentó que, cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un molesto resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. 19. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. 20. Indique la distribución de X . 21. Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 22. En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Los distintos tipos de escritura se distinguen a veces por el número de letras de las palabras utilizadas. Un estudiante interesado en este hecho quiere estudiar el número de letras de las palabras que utiliza Tom Clancy en sus novelas. Abre una novela de Clancy al azar y anota el número de letras de las primeras 250 palabras de la página. 23. ¿Qué tipo de datos se recopilaron? cualitativo continuo cuantitativo cuantitativo discreto 24. ¿Cuál es la población objeto de estudio? Capítulo 5 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Un estudio reciente sobre las madres de estudiantes de secundaria júnior en el condado de Santa Clara informó de que el 76 % de ellas están empleadas en puestos remunerados. De las madres que trabajan, el 64 % lo hace a tiempo completo (más de 35 horas semanales) y el 36 % a tiempo parcial. Sin embargo, de todas las madres de la población, el 49 % trabaja a tiempo completo. La población objeto de estudio está formada por las madres de estudiantes de escuela secundaria júnior en el condado de Santa Clara. Sea que E = empleado y F = empleo a tiempo completo. 25. Calcule el porcentaje de todas las madres de la población que NO están empleadas. Calcule el porcentaje de madres de la población que están empleadas a tiempo parcial. 26. ¿Qué clase de datos se considera \"tipo de empleo\"? 27. Calcule la probabilidad de que una madre seleccionada al azar trabaje a tiempo parcial, dado que está empleada. 28. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la población esté empleada o trabaje a tiempo completo. 29. Estar empleado y trabajar a tiempo parcial: ¿eventos mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información adicional para responder los próximos dos ejercicios. Elegimos al azar diez madres de la población anterior. Nos interesa conocer el número de madres que están empleadas. Suponga que X = número de madres empleadas. 30. Indique la distribución de X . 31. Calcule la probabilidad de que al menos seis estén empleadas. 32. Esperamos que el tablero de discusión de estadísticas tenga, en promedio, 14 preguntas publicadas por semana. Nos interesa el número de preguntas publicadas al día. Defina X . ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable aleatoria? Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que de 10 a 14 (inclusive) preguntas se envíen al listserv en un día elegido al azar. 33. Una persona invierte 1.000 dólares en acciones de una compañía que espera incursionar en el mercado bursátil en un año. La probabilidad de que la persona pierda todo su dinero al cabo de un año (es decir, que sus acciones no valgan nada) es del 35 %. La probabilidad de que las acciones de esta persona sigan teniendo un valor de 1.000 dólares al cabo de un año (es decir, sin ganancias ni pérdidas) es del 60 %. La probabilidad de que las acciones de la persona aumenten su valor en 10.000 dólares al cabo de un año (es decir, que valgan 11.000 dólares) es del 5 %. Halle la ganancia esperado al cabo de un año. 34. El piano de Rachel costó 3.000 dólares. El costo promedio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. La guitarra de Becca costó 550 dólares. El costo promedio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. La batería de Matt costó 600 dólares. El costo promedio de una batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con su propio instrumento? 35. Explique por qué cada afirmación es verdadera o falsa, teniendo en cuenta el diagrama de caja y bigotes de la . El 25 % de los datos es como máximo cinco. Hay la misma cantidad de datos de 4 a 5 que de 5 a 7. No hay valores de datos de tres. El cincuenta por ciento de los datos son cuatro. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Se preguntó a 64 miembros de la facultad el número de automóviles que poseían (incluidos los del cónyuge y los de los hijos). Los resultados se recopilan en el siguiente gráfico: 36. Calcule el número aproximado de respuestas que fueron tres. 37. Halle los cuartiles primero, segundo y tercero. Utilícelos para construir un diagrama de caja y bigotes de los datos. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: la muestra los datos recogidos de 15 chicas del equipo de fútbol Snow Leopard cuando se les preguntó cómo les gustaba llevar el cabello. Suponga que una chica del equipo es seleccionada al azar. Estilo de cabello / color de cabello Rubio Marrón Negros Cola de caballo 3 2 5 Liso 2 2 1 38. Calcule la probabilidad de que la chica tenga el cabello negro, dado que lleva una cola de caballo. 39. Calcule la probabilidad de que la chica lleve el cabelo liso O tenga el cabello castaño. 40. Calcule la probabilidad de que la chica tenga el cabello rubio Y que lleve el cabello liso. Capítulo 6 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: X ~ U (3, 13) 41. Explique cuáles de los siguientes enunciados son falsos y cuáles son verdaderos. f ( x ) = 1 10 , 3 ≤ x ≤ 13 No tiene moda. La mediana es menor que la media. P ( x > 10) = P ( x ≤ 6) 42. Calcule: la media. la mediana. el percentil 65 . 43. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para el gráfico de caja y bigotes en la ? El 25 % de los datos son como máximo cinco. Hay más o menos la misma cantidad de datos de 4 a 5 que de 5 a 7. No hay valores de datos de tres. El cincuenta por ciento de los datos son cuatro. 44. Si P ( G | H ) = P ( G ), ¿cuál de las siguientes opciones es correcta? G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = P ( H ) Saber que H ha ocurrido afectará la posibilidad de que G ocurra. G y H son eventos independientes. 45. Si P ( J ) = 0,3, P ( K ) = 0,63, y J y K son eventos independientes, explique cuáles son correctos y cuáles incorrectos. P ( J Y K ) = 0 P ( J O K ) = 0,9 P (J O K ) = 0,72 P ( J ) ≠ P ( J | K ) 46. En promedio, cinco estudiantes de cada clase de la escuela secundaria obtienen becas completas para institutos universitarios de cuatro años. Supongamos que la mayoría de las clases de la escuela secundaria tienen unos 500 estudiantes. X = el número de estudiantes de una clase de bachillerato que obtienen becas completas en escuelas de cuatro años. ¿Cuál de las siguientes es la distribución de X ? P (5) B (500, 5) Exp ( 1 5 ) N ( 5 , ( 0,01 ) ( 0,99 ) 500 ) Capítulo 7 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega. 47. X ~ _________ U (0, 4) U (10, 20) Exp (2) N (2, 1) 48. El tiempo promedio de espera es: 1 hora. 2 horas. 2,5 horas. 4 horas. 49. Supongamos que es pasado el mediodía de un día de entrega. La probabilidad de que una persona deba esperar al menos 1,5 horas más es: 1 4 1 2 3 4 3 8 50. Dada: X ~ Exp ( 1 3 ) Calcule P ( x > 1). Calcule el valor mínimo del cuartil superior. Calcule P ( x = 1 3 ) 51. El 40 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 4 años en graduarse. El 30 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 5 años en graduarse. El 20 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 6 años en graduarse. El 10 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 7 años en graduarse. El tiempo previsto para que los estudiantes a tiempo completo se gradúen es: 4 años 4,5 años 5 años 5,5 años 52. ¿Cuál de las siguientes distribuciones se describe con el siguiente ejemplo? Muchas personas pueden correr una distancia corta de menos de dos millas. Sin embargo, a medida que la distancia aumenta, menos personas pueden correr esa distancia. binomial uniforme exponencial normal 53. En general, se considera que el tiempo que se tarda en cepillarse los dientes tiene una distribución exponencial con una media de 3 4 minutos. Halle la probabilidad de que una persona seleccionada al azar se cepille los dientes menos de 3 4 minutos. 0,5 3 4 0,43 0,63 54. ¿Qué distribución describe con exactitud la siguiente situación? La probabilidad de que un adolescente dé regularmente un beso de buenas noches a su madre es de un 20 %. Se encuesta a 14 adolescentes al azar. Sea que X = el número de adolescentes que dan regularmente un beso de buenas noches a su madre B (14; 0,20) P (2,8) N (2,8; 2,24) Exp ( 1 0,20 ) 55. Un informe de 2008 sobre el uso de la tecnología afirma que aproximadamente el 20 % de los hogares estadounidenses no han enviado nunca un correo electrónico. Supongamos que seleccionamos una muestra aleatoria de catorce hogares estadounidenses. Sea que X = el número de hogares de una muestra de 2008 de 14 hogares que nunca han enviado un correo electrónico B (14; 0,20) P (2,8) N (2,8; 2,24) Exp ( 1 0,20 ) Capítulo 8 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Supongamos que una muestra de 15 personas elegidas al azar se somete a una dieta especial para bajar de peso. La cantidad de peso rebajado, en libras, sigue una distribución desconocida con media igual a 12 libras y desviación típica igual a tres libras. Supongamos que la distribución de la pérdida de peso es normal. 56. Para calcular la probabilidad de que la cantidad media de peso que rebajen 15 personas no sea superior a 14 libras, la variable aleatoria debe ser: número de personas que han rebajado con la dieta especial para bajar de peso. el número de personas que seguían la dieta. la cantidad media del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. la cantidad total del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. 57. Calcule la probabilidad que se pide en la pregunta 56 . 58. Calcule el 90. o de la media de pérdida de peso de 15 personas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El momento en que se produce el primer accidente durante la hora pico de tráfico en una intersección importante se distribuye uniformemente entre el intervalo de tres horas que va de las 4:00 p. m. a las 7:00 p. m. Sea que X = la cantidad de tiempo (horas) que tarda en producirse el primer accidente. 59. ¿Cuál es la probabilidad de que la hora de ocurrencia se encuentre dentro de la primera media hora o de la última hora del periodo comprendido entre las 4:00 p. m. y las 7:00 p. m.? no se puede determinar a partir de la información dada 1 6 1 2 1 3 60. ¿El 20. o percentil se produce después de cuántas horas? 0,20 0,60 0,50 1 61. Supongamos que Ramón ha llevado la cuenta de las horas en que se producen los primeros accidentes durante 40 días diferentes. Sea que C = el tiempo total acumulado. Entonces, ¿a qué distribución se ajusta C ? U (0,3) Exp (13) N (60; 5,477) N (1,5, 0,01875) 62. Utilizando la información de la pregunta 61 , calcule la probabilidad de que el tiempo total para que se produzcan todos los primeros accidentes sea superior a 43 horas. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: El tiempo que los padres deben esperar a que sus hijos limpien su habitación se distribuye uniformemente en el intervalo de tiempo de uno a 15 días. 63. ¿Cuánto tiempo deben esperar los padres para que sus hijos limpien su habitación? ocho días tres días 14 días seis días 64. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres esperen más de seis días, dado que ya han pasado más de tres días? 0,5174 0,0174 0,7500 0,2143 Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: El 20 % de los estudiantes de un colegio comunitario local viven en un radio de cinco millas del campus. El 30 % de los estudiantes del mismo colegio comunitario reciben algún tipo de ayuda financiera. De los que viven a menos de cinco millas del campus, el 75 % recibe algún tipo de ayuda financiera. 65. Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar en el colegio comunitario local no viva a menos de cinco millas del campus. 80% 20% 30% no se puede determinar 66. Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar en el colegio comunitario local viva a menos de cinco millas del campus o reciba algún tipo de ayuda económica. 50% 35% 27,5% 75% 67. ¿Vivir en una vivienda estudiantil a menos de cinco millas del campus y recibir algún tipo de ayuda financiera son dos elementos que se excluyen mutuamente? sí no no se puede determinar 68. El tipo de interés que se aplica a la ayuda financiera es un dato _______. cuantitativo discreto continuo cuantitativo cualitativo discreto cualitativo 69. La siguiente información se refiere a los estudiantes que reciben ayuda financiera en el colegio comunitario local. 1.º cuartil = 250 dólares 2.º cuartil = 700 dólares 3.º cuartil = 1.200 dólares Estas cantidades son para el año escolar. Si se toma una muestra de 200 estudiantes, ¿cuántos se espera que reciban 250 dólares o más? 50 250 150 no se puede determinar Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: P ( A ) = 0,2, P ( B ) = 0,3; A y B son acontecimientos independientes. 70. P ( A Y B ) = ______ 0,5 0,6 0 0,06 71. P ( A O B ) = _______ 0,56 0,5 0,44 1 72. Si H y D son eventos mutuamente excluyentes, P ( H ) = 0,25, P ( D ) = 0,15, entonces P ( H | D ). 1 0 0,40 0,0375 Capítulo 9 73. Rebecca y Matt son gemelos de 14 años. La altura de Matt está dos desviaciones típicas por debajo de la media de la altura de los chicos de 14 años. La estatura de Rebeca está 0,10 desviaciones típicas por encima de la media de la estatura de las chicas de 14 años. Interprete esto. Matt es 2,1 pulgadas más bajo que Rebecca. Rebecca es muy alta en comparación con otras chicas de 14 años. Rebecca es más alta que Matt. Matt es más bajo que el promedio de los niños de 14 años. 74. Construya un histograma de los datos de la OPI (vea el C - CONJUNTOS DE DATOS ). Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se preguntó a 90 propietarios de viviendas el número de presupuestos que obtuvieron antes de fumigar sus casas. Suponga que X = el número de presupuestos. x Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 0,3 2 0,2 4 0,4 5 0,1 75. Complete la columna de frecuencia acumulada. 76. Calcule la media de la muestra (a), la desviación típica de la muestra (b) y el porcentaje de los presupuestos que están por debajo de cuatro (c). 77. Calcule la mediana, M , el primer cuartil, Q 1 , el tercer cuartil, Q 3 . A continuación, construya un gráfico de caja y bigotes de los datos. 78. El 50 % de los datos están entre _____ y _____. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se preguntó a 70 estudiantes de 5. o y 6. o grado cuál era su cena favorita. Pizza Hamburguesas Espaguetis Camarones fritos Estudiantes de 5.º grado 15 6 9 0 Estudiantes de 6.º grado 15 7 10 8 79. Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar curse el sexto grado y prefiera los camarones fritos. 32 70 8 32 8 8 8 70 80. Calcule la probabilidad de que un niño no prefiera la pizza. 30 70 30 40 40 70 1 81. Calcule la probabilidad de que un niño esté en el 5. o grado, dado que prefiere los espaguetis. 9 19 9 70 9 30 19 70 82. Una muestra de conveniencia es una muestra aleatoria. verdadero falso 83. Una estadística es un número que es una propiedad de la población. verdadero falso 84. Siempre hay que descartar los datos que son atípicos. verdadero falso 85. Lee hace tartas para un pequeño restaurante en Felton, California. Hornea un promedio de 20 tartas al día. Nos interesa el número de tartas que hornea cada día. Defina la variable aleatoria X . Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que Lee hornee más de 25 tartas en un día determinado. 86. Se seleccionaron al azar seis marcas diferentes de aderezo italiano para ensaladas en un supermercado. Los gramos de grasa por porción son 7, 7, 9, 6, 8, 5. Supongamos que la distribución subyacente es normal. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de gramos de grasa por porción de aderezo para ensalada italiana que se vende en los supermercados. 87. Dadas: distribuciones uniforme, exponencial y normal. Relacione cada una de ellas con una de las siguientes afirmaciones. media = mediana ≠ moda media > mediana > moda media = mediana = moda Capítulo 10 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: En una encuesta realizada en la estación de esquí de Kirkwood se registró la siguiente información: 0–10 11-20 21–40 más de 40 años Esquí 10 12 30 8 Tabla sobre nieve 6 17 12 5 Supongamos que se selecciona al azar una persona de la . 88. Calcule la probabilidad de que la persona sea esquiadora o tenga entre 11 y 20 años. 89. Calcule la probabilidad de que la persona sea tablista sobre nieve, dado que tiene entre 21 y 40 años. 90. Explique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. El deporte y la edad son eventos independientes. El esquí y la edad de 11 a 20 años son eventos mutuamente excluyentes. P (Esquí Y edad 21-40) < P (Esquí | edad 21-40) P (Snowboard O edad 0-10) < P (Snowboard | edad 0-10) 91. El tiempo promedio que una persona con una pierna fracturada lleva un yeso es de aproximadamente seis semanas. La desviación típica es de unas tres semanas. Se entrevistó a 30 personas que se habían curado recientemente de una fractura de pierna. Indique la distribución que refleje con mayor exactitud el tiempo total de curación de las 30 personas. 92. La distribución de X es uniforme. ¿Qué podemos decir con certeza sobre la distribución para X ¯ cuando n = 1? La distribución para X ¯ sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con una media y una desviación típica diferentes a las de la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con la misma media pero con una desviación típica mayor que la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con la misma media pero con una desviación típica menor que la distribución de X . 93. La distribución de X es uniforme. ¿Qué podemos decir con certeza sobre la distribución para ∑ X cuando n = 50? La distribución para ∑ X sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con la misma media, pero una desviación típica mayor que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con una media y una desviación típica mayores que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con la misma media pero con una desviación típica menor que la distribución de X . Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Un grupo de estudiantes midió la longitud de todas las zanahorias de una bolsa de 5 libras de zanahorias bebé. Calcularon que la longitud promedio de las zanahorias bebé era de 2,0 pulgadas, con una desviación típica de 0,25 pulgadas. Supongamos que encuestamos al azar 16 bolsas de zanahorias bebé de 5 libras. 94. Indique la distribución aproximada para X ¯ , la distribución de las longitudes promedio de las zanahorias bebé en 16 bolsas de 5 libras. X ¯ ~ ______ 95. Explique por qué no podemos hallar la probabilidad de que una zanahoria individual elegida al azar sea mayor que 2,25 pulgadas. 96. Calcule la probabilidad de que x ¯ esté entre dos y 2,25 pulgadas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Al principio del curso, el tiempo que un estudiante espera en la fila de la tienda del campus se distribuye normalmente con una media de 5 minutos y una desviación típica de 2 minutos. 97. Calcule el percentil 90 del tiempo de espera en minutos. 98. Calcule la mediana del tiempo de espera para un estudiante. 99. Calcule la probabilidad de que el tiempo promedio de espera de 40 estudiantes sea de al menos 4,5 minutos. Capítulo 11 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Supongamos que el tiempo que los propietarios conservan sus automóviles (comprados nuevos) se distribuye normalmente con una media de 7 años y una desviación típica de 2 años. Nos interesa saber cuánto tiempo conserva una persona su automóvil (comprado nuevo). Nuestra población está conformada por personas que compran sus automóviles nuevos. 100. ¿El 60 % de las personas conserva su automóvil cuántos años como máximo ? 101. Supongamos que encuestamos al azar a una persona. Calcule la probabilidad de que una persona conserve su automóvil menos de 2,5 años. 102. Si elegimos a las personas de diez en diez, calcule la distribución para la media del tiempo de propiedad del automóvil. 103. Si elegimos a 10 personas, calcule la probabilidad de que la suma de su tiempo de propiedad sea superior a 55 años. 104. ¿En qué distribución la mediana no es igual a la media? Uniforme Exponencial Normal t de Student 105. Compare la distribución normal estándar con la distribución t de Student, centrada en cero. Explique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. A medida que aumenta el número de encuestados, el área a la izquierda de -1 de la distribución t de Student se aproxima al área de la distribución normal estándar. A medida que disminuyen los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Si el número de encuestados es 15, no se debe utilizar nunca la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Nos interesa el saldo en cuenta corriente de los estudiantes universitarios de veinte años. Encuestamos al azar a 16 estudiantes universitarios de 20 años. Obtenemos una media muestral de 640 dólares y una desviación típica muestral de 150 dólares. Sea que X = el saldo de la cuenta corriente de un estudiante universitario de 20 años. 106. Explique por qué no podemos determinar la distribución de X . 107. Si tuviera que crear un intervalo de confianza o comprobar una hipótesis para el saldo medio en cuenta corriente de la población de estudiantes universitarios de veinte años, ¿qué distribución utilizaría? 108. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la media real del saldo en cuenta corriente de un estudiante universitario de 20 años. 109. ¿Qué tipo de datos se considera el saldo en cuenta corriente? 110. ¿Qué tipo de datos se considera el número de estudiantes de 20 años? 111. En promedio, un servicio de urgencias muy concurrido atiende a un paciente con una herida de escopeta aproximadamente una vez a la semana. Nos interesa el número de pacientes con una herida de escopeta que atiende el servicio de urgencias cada 28 días. Defina la variable aleatoria X . Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que la sala de emergencias no atienda a ningún paciente con heridas de escopeta en los próximos 28 días. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que una determinada máquina tragaperras devuelva el dinero cuando se introduce una moneda de 25 centavos es de 0,30. Supongamos que cada jugada de la máquina tragaperras es independiente de las demás. Una persona pone 15 cuartos de dólar para 15 jugadas. 112. ¿El número esperado de jugadas de la máquina tragaperras que devolverá el dinero es mayor, menor o igual que la mediana? Explique su respuesta. 113. ¿Es probable que exactamente ocho de las 15 jugadas devuelvan el dinero? Justifique su respuesta numéricamente. 114. Se juega una partida con las siguientes reglas: cuesta 10 dólares participar. una moneda imparcial se lanza cuatro veces. si no obtiene cuatro caras o cuatro cruces, pierde sus 10 dólares. si saca cuatro caras o cuatro cruces, recupera sus 10 dólares, más 30 dólares más. A largo plazo de jugar a este juego, ¿cuáles son sus ganancias esperadas? 115. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Raquel fue de 74, con una desviación típica de cinco. Rachel obtuvo un 80. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Becca fue de 47, con una desviación típica de dos. Becca obtuvo un 51. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Matt fue de 70, con una desviación típica de ocho. Matt obtuvo un 83. Calcule la mejor puntuación en comparación con su propia clase. Justifique su respuesta numéricamente. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se preguntó a una muestra aleatoria de 70 jugadores compulsivos el número de días que van a los casinos a la semana. Los resultados se recopilan en el siguiente gráfico: 116. Calcule el número de respuestas que fueron 5. 117. Calcule la media, la desviación típica, la mediana, el primer cuartil, el tercer cuartil y el rango intercuartil (Interquartile Range, IQR) . 118. Según las investigaciones realizadas en el De Anza College, se cree que alrededor del 19 % de la población estudiantil habla un idioma distinto del inglés en casa. Supongamos que este año se realiza un estudio para ver si ese porcentaje ha disminuido. Se encuestó aleatoriamente a 98 estudiantes con los siguientes resultados. Catorce respondieron que hablan un idioma distinto del inglés en casa. Plantee una hipótesis nula adecuada. Plantee una hipótesis alternativa adecuada. Defina la variable aleatoria P ′. Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Con un nivel de decisión del 5 %, ¿cuál es su decisión sobre la hipótesis nula? ¿Qué es el error tipo I? ¿Qué es el error tipo II? 119. Suponga que es usted un paramédico de emergencias llamado a rescatar a las víctimas de un accidente. Tiene que ayudar a un paciente que sangra profusamente. También se considera que el paciente tiene un alto riesgo de contraer SIDA. Supongamos que la hipótesis nula es que el paciente no tiene el virus del VIH. ¿Cuál es un error de tipo I? 120. Se dice que los californianos son más despreocupados que el resto de los estadounidenses. Supongamos que se realiza una encuesta para ver si la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo es mayor que la proporción de profesionales no californianos. Se encuestaron 50 de cada uno con los siguientes resultados. Quince californianos van en jeans al trabajo y seis no californianos lo hacen. Supongamos que C = profesional californiano; NC = profesional no californiano Plantee las hipótesis nula y alternativa adecuadas. Defina la variable aleatoria. Calcule el estadístico de prueba y el valor p . Con un nivel de significación del 5 %, ¿cuál es su decisión? ¿Qué es el error tipo I? ¿Qué es el error tipo II? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Un grupo de estudiantes de Estadística ha desarrollado una técnica que, según ellos, reduce su nivel de ansiedad en los exámenes. Midieron su nivel de ansiedad al principio del trimestre y de nuevo al final. Se registran los datos emparejados en ese orden: (1.000, 900); (1.200, 1.050); (600, 700); (1.300, 1.100); (1.000, 900); (900, 900). 121. Esta es una prueba de (elija la mejor respuesta): muestras grandes, medias independientes muestras pequeñas, medias independientes medias dependientes 122. Indique la distribución que se utilizará para la prueba. Capítulo 12 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Una encuesta reciente sobre el embarazo precoz en Estados Unidos fue contestada por 720 chicas de entre 12 y 19 años. El 6 % de las chicas encuestadas dijeron que habían estado embarazadas. Nos interesa conocer la verdadera proporción de chicas estadounidenses, de 12 a 19 años, que han estado embarazadas. 123. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción de niñas estadounidenses, de 12 a 19 años, que han estado embarazadas. 124. El informe también indica que los resultados de la encuesta tienen una precisión de ±3,7 % con un nivel de confianza del 95 %. Supongamos que se va a realizar otro estudio. Se desea una precisión del 2 % del nivel de confianza del 95 %. ¿Cuál es el número mínimo de personas que deberían encuestarse? 125. Dada: X ~ Exp ( 1 3 ) . Dibuje el gráfico que representa: P ( x > 1). Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se sabe que la cantidad de dinero que un cliente gasta cuando va al supermercado tiene una distribución exponencial. Supongamos que la cantidad media de dinero que gasta un cliente en un viaje al supermercado es de 72 dólares. 126. Calcule la probabilidad de que un cliente gaste menos de 72 dólares en un viaje al supermercado. 127. Supongamos que cinco clientes ponen en común su dinero. ¿Cuánto dinero en total espera que gasten los cinco clientes en un solo viaje al supermercado (en dólares)? 128. Indique la distribución que debe utilizar si quiere calcular la probabilidad de que la cantidad media que gastan cinco clientes en un viaje al supermercado sea inferior a 60 dólares. Capítulo 13 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que se produzca una sequía en cualquier año independiente es del 20 %. De los años en los que se produce una sequía, la probabilidad de racionamiento de agua es del 10 %. Sin embargo, en cualquier año, la probabilidad de racionamiento de agua es del 5 %. 129. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca tanto una sequía como racionamiento de agua? 130. De los años con racionamiento de agua, calcule la probabilidad de que haya una sequía. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Manzana Calabaza Pecanas Mujeres 40 10 30 Hombres 20 30 10 131. Supongamos que se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que la tarta favorita de la persona sea de manzana o de que la persona sea hombre. 132. Supongamos que se elige a un hombre al azar. Calcule la probabilidad de que su tarta favorita sea la de pecanas. 133. Realice una comprobación de hipótesis para determinar si el tipo de tarta favorita y el sexo son independientes. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que un adulto vea las noticias, al menos, una vez a la semana sea de 0,60. 134. Encuestamos 14 personas al azar. En promedio, ¿cuántas personas esperamos que vean las noticias al menos una vez a la semana? 135. Encuestamos 14 personas al azar. Nos interesa el número de personas que ven las noticias al menos una vez a la semana. Indique la distribución de X . X ~ _____ 136. ¿Qué distribución de muestreo es probable que haya generado el siguiente histograma? Chi-cuadrado Geométrica Uniforme Binomial 137. Se sabe que la edad de los estudiantes nocturnos de De Anza se distribuye normalmente con una media poblacional de 40 y una desviación típica poblacional de seis. Una muestra de seis estudiantes nocturnos de De Anza declararon sus edades (en años) como: 28; 35; 47; 45; 30; 50. Calcule la probabilidad de que la media de seis edades de estudiantes elegidos al azar sea inferior a 35 años. Sugerencia: Calcule la media de la muestra. 138. Se realizó un examen de Matemáticas a todos los niños de quinto grado que asisten a Country School. Se tomaron dos muestras aleatorias de calificaciones. La hipótesis nula es que las puntuaciones medias en Matemáticas de niños y niñas en quinto grado son iguales. Realice una prueba de hipótesis. n x ¯ s 2 Niños 55 82 29 Niñas 60 86 46 139. En una encuesta realizada a 80 hombres, 55 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. De las 70 mujeres encuestadas, 25 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. Nos interesa saber si la proporción de hombres es mayor que la de mujeres. Realice una prueba de hipótesis. 140. ¿Cuál de las siguientes opciones es preferible a la hora de diseñar una prueba de hipótesis? Maximizar α y minimizar β Minimizar α y maximizar β Maximizar α y β Minimizar α y β Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se encuestó a 120 personas sobre su bebida favorita (sin alcohol). Los resultados son los siguientes. Bebida / edad 0–9 10–19 20–29 más de 30 años Totales Leche 14 10 6 0 30 Gaseosa 3 8 26 15 52 Jugo 7 12 12 7 38 Totales 24 330 44 22 120 141. Son los elementos leche y más de 30 años: ¿eventos independientes? Justifique su respuesta. ¿eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta. 142. Supongamos que se elige a una persona al azar. Calcule la probabilidad de que la persona tenga de 10 a 19 años, dado que prefiere el jugo. 143. ¿Son eventos independientes la \"bebida preferida\" y la \"edad\"? Realice una prueba de hipótesis. 144. Dado el siguiente histograma, ¿de qué distribución es más probable que procedan los datos? uniforme exponencial normal chi-cuadrado Soluciones Capítulo 3 1. c. parámetro 2. a. población 3. b. estadística 4. d. muestra 5. e. variable 6. cuantitativo continuo 7. 2,27 3,04 -1, 4, 4 8. Las respuestas variarán. Capítulo 4 9. c. (0,80)(0,30) 10. b. No, y tampoco son mutuamente excluyentes. 11. a. todas las mujeres adultas empleadas 12. 0,5773 13. 0,0522 14. b. El 50 % de los integrantes rebajó de 2 a 8,5 lb. 15. c. Todos los datos tienen el mismo valor. 16. c. El valor más bajo de los datos es la mediana. 17. 0,279 18. b. No, espero perder dinero. 19. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, …25 20. B (25, 0,04) 21. 0,0165 22. 1 23. c. cuantitativo discreto 24. todas las palabras utilizadas por Tom Clancy en sus novelas Capítulo 5 25. 24 % 27% 26. cualitativo 27. 0,36 28. 0,7636 29. No No 30. B (10, 0,76) 31. 0,9330 32. X = el número de preguntas enviadas al día a listserv de estadísticas. X = 0, 1, 2,… X ~ P (2) 0 33. $150 34. Matt 35. falso verdadero falso falso 36. 16 37. primer cuartil: 2 segundo cuartil: 2 tercer cuartil: 3 38. 0,5 39. 7 15 40. 2 15 Capítulo 6 41. verdadero verdadero Falso; la mediana y la media son iguales para esta distribución simétrica. verdadero 42. 8 8 P ( x < k ) = 0,65 = ( k - 3) ( 1 10 ) . k = 9,5 43. Falso; 3 4 de los datos son como máximo cinco. Verdadero; cada cuartil tiene el 25 % de los datos. Falso; eso es desconocido. Falso; el 50 % de los datos son cuatro o menos. 44. d. G y H son eventos independientes. 45. Falso; J y K son independientes, por lo que no son mutuamente excluyentes, lo que implicaría dependencia (lo que significa que P ( J Y K ) no es 0). Falso; ver respuesta c. Verdadero; P ( J O K ) = P ( J ) + P ( K ) - P ( J Y K ) = P ( J ) + P ( K ) - P ( J ) P ( K ) = 0,3 + 0,6 - (0,3)(0,6) = 0,72. Observe que P ( J Y K ) = P ( J ) P ( K ) porque J y K son independientes. Falso; J y K son independientes por lo que P ( J ) = P ( J | K ) 46. a. P (5) Capítulo 7 47. a. U (0, 4) 48. b. 2 horas 49. a. 1 4 50. 0,7165 4,16 0 51. c. 5 años 52. c. exponencial 53. 0,63 54. B (14; 0,20) 55. B (14; 0,20) Capítulo 8 56. c. la cantidad media del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. 57. 0,9951 58. 12,99 59. c. 1 2 60. b. 0,60 61. c. N (60; 5,477) 62. 0,9990 63. a. ocho días 64. c. 0,7500 65. a. 80% 66. b. 35% 67. b. no 68. b. cuantitativo continuo 69. c. 150 70. d. 0,06 71. c. 0,44 72. b. 0 Capítulo 9 73. d. Matt es más bajo que el promedio de los niños de 14 años. 74. Las respuestas variarán. 75. x Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 0,3 0,3 2 0,2 0,2 4 0,4 0,4 5 0,1 0,1 76. 2,8 1,48 90% 77. M = 3; Q 1 = 1; Q 3 = 4 78. 1 y 4 79. d. 8 70 80. c. 40 70 81. a. 9 19 82. b. falso 83. b. falso 84. b. falso 85. X = el número de tartas que Lee hornea cada día. P (20) 0,1122 86. CI: (5,25, 8,48) 87. uniforme exponencial normal Capítulo 10 88. 77 100 89. 12 42 90. falso falso verdadero falso 91. N (180, 16,43) 92. a. La distribución para X ¯ sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . 93. c. La distribución para ∑ X es normal con una media y una desviación típica mayores que la distribución de X . 94. N ( 2 , 0,25 16 ) 95. Las respuestas variarán. 96. 0,5000 97. 7,6 98. 5 99. 0,9431 Capítulo 11 100. 7,5 101. 0,0122 102. N (7, 0,63) 103. 0,9911 104. b. Exponencial 105. verdadero falso falso 106. Las respuestas variarán. 107. t de Student con df = 15 108. (560,07, 719,93) 109. datos cuantitativos continuos 110. datos cuantitativos discretos 111. X = número de pacientes con heridas de escopeta que atiende el servicio de urgencias cada 28 días P (4) 0,0183 112. mayor que 113. No; P ( x = 8) = 0,0348 114. Perderá 5 dólares. 115. Becca 116. 14 117. Media de la muestra = 3,2 Desviación típica de la muestra = 1,85 Mediana = 3 Q 1 = 2 Q 3 = 5 IQR = 3 118. d. z = -1,19 e. 0,1171 f. no rechazar la hipótesis nula. 119. Llegamos a la conclusión de que el paciente tiene el virus del VIH cuando, en realidad, no lo tiene. 120. c. z = 2,21; p = 0,0136 d. Rechazar la hipótesis nula. e. Llegamos a la conclusión de que la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo es mayor que la proporción de profesionales no californianos cuando, en realidad, no es mayor. f. No podemos concluir que la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo sea mayor que la proporción de profesionales no californianos cuando, de hecho, es mayor. 121. c. medias dependientes 122. t 5 Capítulo 12 123. (0,0424, 0,0770) 124. 2.401 125. Compruebe la solución del estudiante. 126. 0,6321 127. $360 128. N ( 72 , 72 5 ) Capítulo 13 129. 0,02 130. 0,40 131. 100 140 132. 10 60 133. valor p = 0; rechazar la hipótesis nula; concluir que son eventos dependientes 134. 8,4 135. B (14, 0,60) 136. d. Binomial 137. 0,3669 138. valor p = 0,0006; rechazar la hipótesis nula; concluir que los promedios no son iguales 139. valor p = 0; rechazar la hipótesis nula; concluir que la proporción de hombres es mayor 140. Minimizar α y β 141. No Sí, P ( M Y más de 30 años) = 0 142. 12 38 143. No; valor p = 0 144. a. uniforme Referencias Datos de The Mercury News de San José. Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email” (El 20 % de los estadounidenses nunca ha utilizado el correo electrónico). Webguild.org, 2010. Disponible en línea en: http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de octubre de 2013). 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{"text": "Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales Prueba práctica 1 1.1: Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un supermercado está interesado en saber cuánto dinero, en promedio, gastan sus clientes en cada visita al departamento de productos agrícolas. Obtienen una muestra de 1.000 visitas de sus registros de la tienda y calculan el gasto promedio de cada cliente en productos agrícolas. 1 . Identifique la población, la muestra, el parámetro, la estadística, la variable y los datos de este ejemplo. población muestra parámetro estadística variable datos 2 . ¿Qué tipo de datos son la \"cantidad de dinero que se gasta en productos por visita\"? cualitativo cuantitativo-continuo cuantitativo-discreto 3 . El estudio concluye que la media de gasto en productos agrícolas por visita de los clientes de la muestra es de 12,84 dólares. Este es un ejemplo de una: población muestra parámetro estadística variable 1.2: Datos, muestreo y variación de datos y muestreo Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un club de salud está interesado en saber cuántas veces utiliza el club un socio típico en una semana. Deciden pedirle a uno de cada diez clientes en un día determinado que rellene una breve encuesta que incluya información sobre la cantidad de veces que ha visitado el club durante la semana anterior. 4 . ¿Qué tipo de diseño de muestreo es este? conglomerado estratificado simple aleatorio sistemático 5 . \"Número de visitas por semana\", ¿qué tipo de datos son? cualitativo cuantitativo-continuo cuantitativo-discreto 6 . Describa una situación en la que calcularía un parámetro, en lugar de una estadística. 7 . El gobierno federal de EE. UU. lleva a cabo una encuesta con estudiantes de último año de secundaria sobre sus planes de educación y empleo en el futuro. Una de las preguntas se refiere a si tienen previsto asistir a un instituto universitario de cuatro años o a una universidad el año siguiente. El 50 % responde afirmativamente a esta pregunta; ese 50 % es un: parámetro estadística variable datos 8 . Imagine que el gobierno federal de EE. UU. tuviera los medios para encuestar a todos los estudiantes sénior de secundaria del país sobre sus planes de educación y empleo futuros y descubriera que el 50 % tenía previsto asistir a un instituto universitario o a una universidad de 4 años el año siguiente. Este 50 % es un ejemplo de un: parámetro estadística variable datos Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. En una encuesta realizada a una muestra aleatoria de 100 enfermeros que trabajaban en un gran hospital se les preguntó cuántos años llevaban trabajando en la profesión. Sus respuestas se resumen en la siguiente tabla (incompleta). 9 . Rellene los espacios en blanco de la tabla y redondee sus respuestas a dos decimales para las celdas de frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada. N.º de años Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada < 5 25 5–10 30 > 10 vacío 10 . ¿Qué proporción de enfermeros tiene cinco o más años de experiencia? 11 . ¿Qué proporción de enfermeros tiene diez o menos años de experiencia? 12 . Describa cómo podría obtener una muestra aleatoria de 30 estudiantes de una clase de 200 estudiantes. 13 . Describa cómo podría obtener una muestra estratificada de estudiantes de institutos universitarios en la que los estratos sean sus años de estudio (primero y segundo años, júnior o sénior). 14 . Un administrador quiere obtener una muestra, sin reemplazo, de 30 empleados de una plantilla de 150. Describa cómo cambia la probabilidad de que lo seleccionen a lo largo de la extracción de la muestra. 15 . El gerente de unos grandes almacenes decide medir la satisfacción de los empleados para lo cual selecciona cuatro departamentos al azar y hace entrevistas a todos los empleados de esos cuatro departamentos. ¿De qué tipo de diseño de encuesta se trata? conglomerado estratificado simple aleatorio sistemático 16 . Un popular programa deportivo de televisión estadounidense hace un sondeo entre los espectadores para saber qué equipo creen que ganará el campeonato de la Liga Nacional de Fútbol Americano (National Football League, NFL) este año. Los espectadores votan a través de un número de teléfono que aparece en la pantalla de su televisor y le dicen al operador qué equipo creen que va a ganar. ¿Cree que los que participan en este sondeo son representativos de todos los aficionados al fútbol en Estados Unidos? 17 . Dos investigadores que estudian tasas de vacunación obtienen muestras de forma independiente de 50 niños entre 3 y 18 meses de una gran zona urbana y determinan si están al día en sus vacunas. Una investigadora halla que el 84 % de los niños de su muestra están al día, y el otro halla que el 86 % de los de su muestra están al día. Suponiendo que ambos hayan seguido los procedimientos de muestreo adecuados y hayan hecho sus cálculos correctamente, ¿cuál es la explicación probable de esta discrepancia? 18 . Una escuela secundaria aumentó la duración de la jornada escolar de 6,5 a 7,5 horas. Los estudiantes que deseaban asistir a esta escuela secundaria debían firmar contratos en los que se comprometían a esforzarse al máximo en su trabajo escolar y a obedecer las reglas de la escuela; si no deseaban hacerlo, podían asistir a otra escuela secundaria del distrito. Al cabo de un año, el desempeño de los estudiantes en las pruebas estatales había aumentado en diez puntos porcentuales con respecto al año anterior. ¿Esta mejora prueba que una jornada escolar más larga mejora el rendimiento de los estudiantes? 19 . Usted lee un artículo de prensa en el que se informa que comer almendras aumenta la satisfacción en la vida. El estudio lo hizo la Asociación de Cultivadores de Almendras y se basó en una encuesta aleatoria en la que se le preguntaba a la gente sobre su consumo de diversos alimentos, entre ellos las almendras, y también sobre su satisfacción con diferentes aspectos de su vida. ¿Hay algo en este sondeo que lo lleve a cuestionar su conclusión? 20 . ¿Por qué la falta de respuesta es un problema en las encuestas? 1.3: Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición 21 . Calcule la media de los siguientes números y presente su respuesta con un decimal más de los que están en los datos originales: 14, 5, 18, 23, 6 1.4: Diseño experimental y ética 22 . Un psicólogo está interesado en saber si el tamaño de la vajilla (boles, platos, etc.) influye en cuánto comen los estudiantes universitarios. Asigna aleatoriamente a 100 estudiantes de universitarios a uno de los dos grupos: al primero se le sirve una comida con una vajilla de tamaño normal, mientras que al segundo se le sirve la misma comida, pero con una vajilla un 20 % más pequeña de lo normal. Registra la cantidad de comida que consume cada grupo. Identifique los siguientes componentes de este estudio. población muestra unidades experimentales variable explicativa tratamiento variable de respuesta 23 . Un investigador analiza los resultados de la Prueba de Aptitud Académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) durante un periodo de cinco años y descubre que los estudiantes hombres obtienen una calificación promedio más alta en la sección de Matemáticas, y las mujeres una calificación promedio más alta en la sección verbal. Concluye que estas diferencias observadas en el desempeño de las pruebas se deben a factores genéticos. Explique cómo las variables ocultas podrían ofrecer una explicación alternativa a las diferencias observadas en las calificaciones de los exámenes. 24 . Explique por qué no sería posible utilizar la asignación aleatoria para estudiar los efectos del hábito de fumar sobre la salud. 25 . Una profesora hace una encuesta telefónica entre la población de una ciudad mediante una muestra de números del directorio telefónico y les pide a sus estudiantes ayudantes que llamen una vez a cada uno de los números seleccionados para administrar la encuesta. ¿Cuáles son las fuentes de sesgo de esta encuesta? 26 . Una profesora ofrece créditos adicionales a estudiantes que participan en sus estudios de investigación. ¿Qué problema ético plantea este método de reclutamiento de sujetos? 2.1: Gráficos de tallo y hoja (diagramas de tallo), de líneas y de barras Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Las notas del examen de Química de mitad de semestre, en una escala del 0 al 100, fueron las siguientes: 62, 64, 65, 65, 68, 70, 72, 72, 74, 75, 75, 75, 76,78, 78, 81, 83, 83, 84, 85, 87, 88, 92, 95, 98, 98, 100, 100, 740 27 . ¿Ve algún valor atípico en estos datos? Si es así, ¿cómo abordaría la situación? 28 . Construya un diagrama de tallo para estos datos y use solo los valores del rango entre 0 y 100. 29 . Describa la distribución de las calificaciones de los exámenes. 2.2: Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales 30 . En un aula de 35 estudiantes siete de ellos obtuvieron calificaciones en el rango entre 70 y 79. ¿Cuál es la frecuencia relativa de las calificaciones en este rango? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Usted lleva a cabo un sondeo entre 30 estudiantes para saber cuántas clases van a tomar este trimestre. Sus resultados son: 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5 31 . Usted decide construir un histograma de estos datos. ¿Cuál será el rango de su primera barra y cuál será el punto central? 32 . ¿Cuáles serán los anchos y los puntos centrales de las otras barras? 33 . ¿Cuál barra de este histograma será la más alta y cuál será su altura? 34 . Usted obtiene los datos de la Oficina del Censo de EE. UU. sobre la mediana de la renta de los hogares de su ciudad y decide mostrarlos gráficamente. ¿Cuál es la mejor opción para estos datos, un gráfico de barras o un histograma? 35 . Usted recopila datos sobre el color de los automóviles que conducen los estudiantes de su clase de estadística y quiere mostrar esta información de forma gráfica. ¿Cuál es la mejor opción para estos datos, un gráfico de barras o un histograma? 2.3: Medidas de la ubicación de los datos 36 . Su hija lleva a casa los resultados de los exámenes que muestran que ha obtenido una calificación para su curso en el percentil 80 en Matemáticas y en el percentil 76 en lectura. Interprete estas calificaciones. 37 . Hay que esperar 90 minutos en la sala de urgencias de un hospital antes de que un médico lo atienda. Se entera de que su tiempo de espera estaba en el percentil 82 de todos los tiempos de espera. Explique qué significa esto y si cree que es bueno o no. 2.4: Diagramas de caja Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 6; 7; 7; 8; 9 38 . ¿Cuál es la mediana de estos datos? 39 . ¿Cuál es el primer cuartil de estos datos? 40 . ¿Cuál es el tercer cuartil de estos datos? Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Este diagrama de caja representa las calificaciones del examen final de una clase de Física. 41 . ¿Cuál es la mediana de estos datos y cómo lo sabe? 42 . ¿Cuáles son el primer y el tercer cuartil de estos datos y cómo lo sabe? 43 . ¿Cuál es el rango intercuartil de estos datos? 44 . ¿Cuál es el rango de estos datos? 2.5: Medidas del centro de los datos 45 . En un maratón, la mediana del tiempo de llegada fue de 3:35:04 (tres horas, 35 minutos y cuatro segundos). Usted llegó en el tiempo 3:34:10. Interprete el significado de la mediana del tiempo y analice su tiempo en relación con ella. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El valor, en miles de dólares, de las casas de una manzana, son: 45; 47; 47,5; 51; 53,5; 125. 46 . Calcule la media de estos datos. 47 . Calcule la mediana de estos datos. 48 . ¿Cuál cree que refleja mejor el valor promedio de las viviendas de esta manzana? 2.6: Distorsión y media, mediana y moda 49 . En una distribución con asimetría a la izquierda, ¿cuál es mayor? la media la mediana la moda 50 . En una distribución con asimetría a la derecha, ¿cuál es mayor? la media la mediana la moda 51 . En una distribución simétrica, ¿cuál será la relación entre la media, la mediana y la moda? 2.7: Medidas de la dispersión de los datos Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. 10; 11; 15; 15; 17; 22 52 . Calcule la media y la desviación típica de estos datos mediante la fórmula de la muestra para la desviación típica. 53 . ¿Qué número está dos desviaciones típicas por encima de la media de estos datos? 54 . Exprese el número 13,7 en términos de la media y la desviación típica de estos datos. 55 . En una clase de Biología, las calificaciones del examen final se distribuyen normalmente, con una media de 85 y una desviación típica de cinco. Susan obtuvo una calificación de 95 en el examen final. Exprese el resultado de su examen como una puntuación z , e interprete su significado. 3.1: Terminología Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Tiene un frasco lleno de canicas: 50 son rojas, 25 azules y 15 amarillas. Supongamos que saca una canica al azar en cada ensayo y la sustituye antes del siguiente. Supongamos que P ( R ) = la probabilidad de sacar una canica roja. Supongamos que P ( B ) = la probabilidad de sacar una canica azul. Supongamos que P ( Y ) = la probabilidad de sacar una canica amarilla. 56 . Calcule P ( B ). 57 . ¿Qué es más probable, sacar una canica roja o una canica amarilla? Justifique su respuesta numéricamente. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Las siguientes son probabilidades que describen un grupo de estudiantes de educación superior. Supongamos que P ( M ) = la probabilidad de que el estudiante sea hombre. Supongamos que P ( F ) = la probabilidad de que el estudiante sea mujer. Supongamos que P ( E ) = la probabilidad de que el estudiante se especialice en Educación. Supongamos que P ( S ) = la probabilidad de que el estudiante se especialice en Ciencias. 58 . Escriba los símbolos de la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, sea a la vez mujer y con especialidad en Ciencias. 59 . Escriba los símbolos de la probabilidad de que el estudiante se especialice en Educación, y el valor dado es que es hombre. 3.2: Eventos mutuamente excluyentes e independientes 60 . Los eventos A y B son independientes. Si P ( A ) = 0,3 y P ( B ) = 0,5, halle P ( A Y B ). 61 . C y D son eventos mutuamente excluyentes. Si P ( C ) = 0,18 y P ( D ) = 0,03; halle P (C O D ). 3.3: Dos reglas básicas de la probabilidad 62 . En una promoción de 300 estudiantes de escuela secundaria, 200 van a ir a un instituto universitario, 40 piensan trabajar a tiempo completo y 80 se toman un año sabático. ¿Son estos eventos mutuamente excluyentes? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Una arquera acierta en el centro del blanco (la diana) el 70 % de las veces. Sin embargo, es una tiradora de rachas, y si acierta el centro en un tiro, su probabilidad de acertar en el tiro inmediatamente posterior es de 0,85. Escrito en notación probabilística: P ( A ) = P ( B ) = P (acertar el centro en un tiro) = 0,70 P ( B | A ) = P(acertar el centro en un segundo tiro, dado que ella lo hizo en el primero) = 0,85 63 . Calcule la probabilidad de que acierte en el centro del blanco en dos lanzamientos consecutivos. 64 . ¿ P ( A ) y P ( B ) son independientes en este ejemplo? 3.4: Tablas de contingencia Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La siguiente tabla de contingencia muestra el número de estudiantes que declaran haber estudiado, al menos, 15 horas a la semana y cuántos estuvieron en el cuadro de honor el semestre pasado. Cuadro de honor No están en el cuadro de honor Total Estudian, al menos, 15 horas a la semana 200 Estudian menos de 15 horas a la semana 125 193 Total 1.000 65 . Rellene la tabla. 66 . Calcule P (cuadro de honor|estudian, al menos, 15 horas a la semana). 67 . ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante estudie menos de 15 horas a la semana? 68 . ¿Los eventos “estudian, al menos, 15 horas a la semana” y “estar en el cuadro de honor” son independientes? Justifique su respuesta numéricamente. 3.5: Diagramas de árbol y de Venn 69 . En una escuela secundaria algunos estudiantes juegan en el equipo de tenis y otros en el de fútbol, pero ninguno juega tanto tenis como fútbol. Dibuje un diagrama de Venn que lo ilustre. 70 . En una escuela secundaria algunos estudiantes juegan tenis, otros fútbol y otros ambas cosas. Dibuje un diagrama de Venn que lo ilustre. Soluciones de la prueba de práctica 1 1.1: Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave 1 . población: todas las visitas de compra de todos los clientes de la tienda muestra: las 1.000 visitas extraídas para el estudio parámetro: el gasto promedio en productos agrícolas por visita de todos los clientes de la tienda estadística: el gasto promedio en productos agrícolas por visita de la muestra de 1.000 variable: el gasto en productos agrícolas para cada visita datos: los montos en dólares gastados en productos agrícolas; por ejemplo, 15,40 dólares, 11,53 dólares, etc. 2 . c 3 . d 1.2: Datos, muestreo y variación de datos y muestreo 4 . d 5 . c 6 . Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: Cualquier solución en la que se utilicen datos de toda la población es aceptable. Por ejemplo, una profesora puede calcular la calificación promedio de los exámenes de su clase: como en el cálculo se usaron las calificaciones de todos los miembros de la clase, el promedio es un parámetro. 7 . b 8 . a 9 . N.º de años Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada < 5 25 0,25 0,25 5–10 30 0,30 0,55 > 10 45 0,45 1,00 10 . 0,75 11 . 0,55 12 . Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: Una posibilidad es obtener la lista de la clase y asignar a cada estudiante un número del 1 al 200. Luego, usar un generador de números aleatorios o una tabla de números aleatorios para generar 30 números entre 1 y 200 y seleccionar a los estudiantes que coinciden con los números aleatorios. También sería aceptable escribir el nombre de cada estudiante en una tarjeta, mezclarlas en una caja y sacar 30 nombres al azar. 13 . Una posibilidad sería obtener una lista de estudiantes inscritos en el instituto universitario e incluir la categoría de cada estudiante. Luego, extraería una muestra aleatoria proporcional de cada clase (por ejemplo, si el 30 % de los estudiantes del instituto universitario son de primer año, el 30 % de la muestra se extraería de la clase de primer año). 14 . Para la primera persona elegida, la probabilidad de que cada una sea seleccionada es de una en 150. Para la segunda persona, es una de cada 149, para la tercera es una en 148 y así sucesivamente. Para la 30.ª persona seleccionada, la probabilidad de selección es de una en 121. 15 . a 16 . No. Hay, al menos, dos posibilidades de sesgo. Primero, los espectadores de este programa en particular pueden no ser representativos de los aficionados al fútbol americano en su conjunto. Segundo, la muestra será autoseleccionada, ya que las personas tienen que hacer una llamada telefónica para participar, y esas personas probablemente no sean representativas de la población de aficionados al fútbol americano en su conjunto. 17 . Estos resultados (84 % en una muestra, 86 % en la otra) se deben probablemente a la variabilidad del muestreo. Cada investigador extrajo una muestra diferente de niños, y no cabe esperar que obtengan exactamente el mismo resultado, aunque sí que los resultados sean similares, como ocurre en este caso. 18 . No. La mejora también se podría deber a la autoselección: solo estudiantes motivados estaban dispuestos a firmar el contrato, y lo habrían hecho bien incluso en una escuela con jornadas de 6,5 horas. Como ambos cambios se implementaron al mismo tiempo, no es posible separar su influencia. 19 . Al menos dos aspectos de este sondeo son problemáticos. El primero es que fue realizada por un grupo que se beneficiaría del resultado: es probable que las ventas de almendras aumenten si las personas creen que comerlas las hará más felices. El segundo es que este sondeo halló que el consumo de almendras y la satisfacción vital están correlacionados, pero no establece que comer almendras cause satisfacción. Es igualmente posible, por ejemplo, que personas con mayores ingresos sean más propensas a comer almendras y también estén más satisfechas con su vida. 20 . Se desea que la muestra de personas que participan en una encuesta sea representativa de la población de la que se extrae. Las personas que se niegan a participar en una encuesta suelen tener opiniones diferentes a las de las que sí participan, por lo que incluso una muestra aleatoria puede producir resultados sesgados si un gran porcentaje de los seleccionados se niega a participar en una encuesta. 1.3: Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición 21 . 13,2 1.4: Diseño experimental y ética 22 . población: todos los estudiantes de institutos universitarios muestra: los 100 estudiantes del instituto universitario del estudio unidades experimentales: cada estudiante del instituto universitario que participó variable explicativa: el tamaño de la vajilla tratamiento: vajilla un 20 % más pequeña de lo normal variable de respuesta: la cantidad de alimentos ingeridos 23 . Hay muchas variables ocultas que podrían influir en las diferencias observadas en las calificaciones de los exámenes. Tal vez los niños, en promedio, hayan tomado más cursos de Matemáticas que las niñas, y las niñas hayan tomado más clases de Inglés que los niños. Quizás sus familias y sus maestros hayan animado a los niños a prepararse para una carrera en Matemáticas y Ciencias, y por eso se han esforzado más en estudiar Matemáticas, mientras que a las niñas se las ha animado a prepararse para campos como la Comunicación y la Psicología, más centrados en el uso del lenguaje. El diseño de un estudio tendría que controlar estas y otras posibles variables ocultas (cualquier cosa que pudiera explicar la diferencia observada en las calificaciones de las pruebas, aparte de la explicación genética) para poder sacar una conclusión científicamente sólida sobre diferencias genéticas. 24 . Para poner en práctica la asignación aleatoria, habría que poder asignar a las personas a fumar o no fumar. Dado que el hábito de fumar tiene muchos efectos nocivos, no sería un experimento ético. En cambio, estudiamos a personas que han elegido fumar y las comparamos con otras que han elegido no fumar, e intentamos controlar las otras formas en que esos dos grupos pueden diferir (variables ocultas). 25 . Las fuentes de sesgo incluyen el hecho de que no todas las personas tienen un teléfono, que los números de teléfono móvil, a menudo, no figuran en los directorios publicados y que una persona puede no estar en casa en el momento de la llamada telefónica; todos estos factores hacen que sea probable que los encuestados no sean representativos del conjunto de la población. 26 . No se debe coaccionar a los sujetos de la investigación a que participen, y ofrecer créditos adicionales a cambio de la participación podría interpretarse como coacción. Además, este método ocasionará una muestra voluntaria que no puede suponerse representativa del conjunto de la población. 2.1: Gráficos de tallo y hoja (diagramas de tallo), de líneas y de barras 27 . El valor 740 es un valor atípico porque los exámenes se calificaron en una escala de 0 a 100, y 740 está muy lejos de ese rango. Puede tratarse de un error de introducción de datos siendo la calificación real de 74, por lo que el profesor debería volver a revisar ese examen para ver cuál fue la calificación real. 28 . Tallo Hoja 6 2 4 5 5 8 7 0 2 2 4 5 5 5 6 8 8 8 1 3 3 4 5 7 8 9 2 5 8 8 10 0 0 29 . La mayoría de las calificaciones de este examen se situaron en el rango de 70 a 89, con unas pocas calificaciones en el rango de 60 a 69 y unas pocas en el rango de 90 a 100. 2.2: Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales 30 . R F = 7 35 = 0,2 31 . El rango será de 0,5 a 1,5, y el punto central será 1. 32 . Rango de 1,5 a 2,5, punto central 2; rango de 2,5 a 3,5, punto central 3; rango de 3,5 a 4,5, punto central 4; rango de 4,5 a 5,5, punto central 5. 33 . La barra de 3,5 a 4,5, con un punto central de 4, será la más alta; su altura será de nueve, ya que hay nueve estudiantes que toman cuatro cursos. 34 . El histograma es una mejor opción porque los ingresos son una variable continua. 35 . Un gráfico de barras es la mejor opción porque estos datos son categóricos y no continuos. 2.3: Medidas de la ubicación de los datos 36 . Su hija obtuvo una calificación mejor que el 80 % de los estudiantes de su grado en Matemáticas y mejor que el 76 % de los estudiantes en Lectura. Ambas calificaciones son muy buenas y la sitúan en el cuartil superior, pero su calificación en Matemáticas es ligeramente mejor en relación con sus compañeros que su calificación en Lectura. 37 . Tuvo un tiempo de espera inusualmente largo, lo cual es deficiente: El 82 % de los pacientes tuvo un tiempo de espera más corto que el suyo, y solo el 18 % tuvo un tiempo de espera más largo. 2.4: Diagramas de caja 38 . 5 39 . 3 40 . 7 41 . La mediana es de 86, representada por la línea vertical del recuadro. 42 . El primer cuartil es 80 y el tercer cuartil es 92, tal y como se representa en los límites izquierdo y derecho del recuadro. 43 . IQR = 92 – 80 = 12 44 . Rango = 100 – 75 = 25 2.5: Medidas del centro de los datos 45 . La mitad de los corredores que terminaron el maratón corrieron un tiempo más rápido que 3:35:04, y la mitad corrieron un tiempo más lento que 3:35:04. Su tiempo es más rápido que la mediana del tiempo, por lo que lo ha hecho mejor que más de la mitad de los corredores de esta carrera. 46 . 61,5, o 61.500 dólares 47 . 49,25 o 49.250 dólares 48 . La mediana, porque la media está distorsionada por el alto valor de una casa. 2.6: Distorsión y media, mediana y moda 49 . c 50 . a 51 . Todos ellos estarán bastante cerca unos de otros. 2.7: Medidas de la dispersión de los datos 52 . Media: 15 Desviación típica: 4,3 μ = 10 + 11 + 15 + 15 + 17 + 22 6 = 15 s = ∑ ( x – x ¯ ) 2 n – 1 = 94 5 = 4,3 53 . 15 + (2)(4,3) = 23,6 54 . 13,7 es una desviación típica por debajo de la media de estos datos, porque 15 - 4,3 = 10,7 55 . z = 95 – 85 5 = 2,0 La puntuación z de Susan fue de 2,0, lo que significa que obtuvo dos desviaciones típicas por encima de la media de la clase en el examen final. 3.1: Terminología 56 . P ( B ) = 25 90 = 0,28 57 . Es más probable sacar una canica roja. P ( R ) = 50 80 = 0,62 P ( Y ) = 15 80 = 0,19 58 . P ( F Y S ) 59 . P ( E | M ) 3.2: Eventos mutuamente excluyentes e independientes 60 . P ( A Y B ) = (0,3)(0,5) = 0,15 61 . P ( C O D ) = 0,18 + 0,03 = 0,21 3.3: Dos reglas básicas de la probabilidad 62 . No, no pueden ser mutuamente excluyentes, porque suman más de 300. Por lo tanto, algunos estudiantes deben encajar en dos o más categorías (p. ej., ir a un instituto universitario y trabajar a tiempo completo). 63 . P ( A y B ) = ( P ( B | A ))( P ( A )) = (0,85)(0,70) = 0,595 64 . No. Si fueran independientes, P ( B ) sería igual que P ( B | A ). Sabemos que no es así, porque P ( B ) = 0,70 y P ( B | A ) = 0,85. 3.4: Tablas de contingencia 65 . Cuadro de honor No están en el cuadro de honor Total Estudian, al menos, 15 horas a la semana 482 200 682 Estudian menos de 15 horas a la semana 125 193 318 Total 607 393 1.000 66 . P (cuadro de honor | estudiar al menos 15 horas palabra por semana) = 482 1.000 = 0,482 67 . P ( estudiar menos de 15 horas palabra por semana) = 125 + 193 1.000 = 0,318 68 . Supongamos que P ( S ) = estudia, al menos, 15 horas a la semana. Supongamos que P ( H ) = está en el cuadro de honor. De la tabla, P ( S ) = 0,682, P ( H ) = 0,607 y P ( S Y H ) = 0,482. Si P ( S ) y P ( H ) fueran independientes, entonces P ( S Y H ) sería igual a ( P ( S ))( P ( H )). Sin embargo, ( P ( S ))( P ( H )) = (0,682)(0,607) = 0,414, mientras que P ( S Y H ) = 0,482. Por lo tanto, P ( S ) y P ( H ) no son independientes. 3.5: Diagramas de árbol y de Venn 69 . 70 . Prueba de práctica 2 4.1: Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Usted realiza una encuesta entre una muestra aleatoria de estudiantes de una determinada universidad. Los datos recopilados incluyen su especialidad, el número de clases que tomaron el semestre anterior y la cantidad de dinero que gastaron en libros comprados para las clases en el semestre anterior. 1. Si X = la especialidad del estudiante, ¿cuál es el dominio de X ? 2. Si Y = el número de clases tomadas en el semestre anterior, ¿cuál es el dominio de Y ? 3 . Si Z = la cantidad de dinero gastada en libros en el semestre anterior, ¿cuál es el dominio de Z ? 4 . ¿Por qué X , Y y Z son variables aleatorias en el ejemplo anterior? 5 . Después de recopilar los datos, halla que para un caso Z = –7. ¿Este es un valor posible para Z ? 6 . ¿Cuáles son las dos características esenciales de una distribución de probabilidad discreta? Use esta distribución de probabilidad discreta representada en esta tabla para responder las próximas seis preguntas. La biblioteca de la universidad registra el número de libros prestados por cada usuario a lo largo de un día, con el siguiente resultado: x P ( x ) 0 0,20 1 0,45 2 0,20 3 0,10 4 0,05 7 . Defina la variable aleatoria X para este ejemplo. 8 . ¿Qué es P ( x > 2)? 9 . ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente pida prestado al menos un libro? 10 . ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no pida prestado más de tres libros? 11 . Si en la tabla aparece P ( x ) como 0,15, ¿cómo sabría que hay un error? 12 . ¿Cuál es el número promedio de libros que pide prestado un cliente? 4.2: Media o valor esperado y desviación típica Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. En una compañía hay tres puestos de trabajo vacantes: uno en el departamento de contabilidad, otro en el de recursos humanos y otro en el de ventas. El puesto de trabajo de Contabilidad recibe 30 solicitantes, el Departamento de Recursos Humanos recibe 40 solicitantes y el Departamento de Recursos Humanos y Ventas recibe 60 solicitantes. 13 . Si X = el número de solicitudes para un puesto de trabajo, utilice esta información para rellenar la . x P ( x ) x P ( x ) 14 . ¿Cuál es el número medio de solicitantes por cada departamento? 15 . ¿Cuál es la Función de Distribución de Probabilidad (Probability Distribution Function, PDF) de X ? 16 . Añada una cuarta columna a la tabla, para ( x – μ ) 2 P ( x ). 17 . ¿Cuál es la desviación típica de X ? 4.3: Distribución binomial 18 . En un experimento binomial, si p = 0,65, ¿a qué equivale q ? 19 . ¿Cuáles son las características necesarias de un experimento binomial? 20 . Joe realiza un experimento para ver cuántas veces tiene que lanzar una moneda antes de obtener cuatro caras seguidas. ¿Califica esto como un experimento binomial? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. En una comunidad en particular, el 65 % de los hogares tienen, al menos, una persona que se ha graduado de un instituto universitario. Usted toma una muestra aleatoria de 100 hogares de esta comunidad. Supongamos que X = el número de hogares donde al menos uno de sus integrantes tiene un título universitario. 21 . Describa la distribución de probabilidad de X . 22 . ¿Cuál es la media de X ? 23 . ¿Cuál es la desviación típica de X ? Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Joe es la estrella del equipo de béisbol de su escuela. Su promedio de bateo es de 0,400, lo que significa que por cada diez veces que le toca batear (turno al bate), cuatro de esas veces ejecuta un batazo imparable. Usted decide seguir su desempeño de bateo en sus próximos 20 turnos al bate. 24 . Defina la variable aleatoria X en este experimento. 25 . Suponiendo que la probabilidad de Joe de ejecutar un batazo imparable es independiente e idéntica en los 20 turnos al bate, describa la distribución de X . 26 . Dada esta información, ¿qué número de aciertos predice que obtendrá Joe? 27 . ¿Cuál es la desviación típica de X ? 4.4: Distribución geométrica 28 . ¿Cuáles son las tres principales características de un experimento geométrico? 29 . Decide realizar un experimento geométrico lanzando una moneda hasta que salga cara. Esto requiere cinco ensayos. Represente los resultados de este ensayo mediante H para cara y T para cruz. 30 . Está realizando un experimento geométrico sacando cartas de un mazo regular de 52 cartas, con reemplazo, hasta sacar la reina de corazones. ¿Cuál es el dominio de X para este experimento? 31 . Está realizando un experimento geométrico sacando cartas de un mazo regular de 52 cartas, sin reemplazo, hasta que saque una carta roja. ¿Cuál es el dominio de X para este experimento? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. En una universidad en particular el 27 % de los estudiantes se especializan en Ingeniería. Decide seleccionar estudiantes al azar hasta que elige a uno que se especializa en Ingeniería. Supongamos que X = el número de estudiantes que selecciona hasta hallar uno que se especialice en Ingeniería. 32 . ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? 33 . ¿Cuál es la media de X ? 34 . ¿Cuál es la desviación típica de X ? 4.5: Distribución hipergeométrica 35 . Usted extrae una muestra aleatoria de diez estudiantes para que participen en una encuesta de un grupo de 30 formado por 16 niños y 14 niñas. Le interesa la probabilidad de que siete de los estudiantes seleccionados sean niños. ¿Califica esto como un experimento hipergeométrico? Enumere las condiciones y si se cumplen o no. 36 . Usted saca cinco cartas, sin reemplazo, de un mazo regular de 52 cartas y está interesado en la probabilidad de que dos de las cartas sean picas. ¿Cuáles son el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra para este ejemplo? 4.6: Distribución de Poisson 37 . ¿Cuáles son las principales características de la distribución de Poisson? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El número de conductores que llegan a una cabina de peaje en una hora se puede modelar mediante la distribución de Poisson. 38 . Si X = el número de conductores, y el promedio de conductores por hora es de cuatro, ¿cómo expresaría esta distribución? 39 . ¿Cuál es el dominio de X ? 40 . ¿Cuáles son la media y la desviación típica de X ? 5.1: Funciones de probabilidad continuas 41 . Lleva a cabo una encuesta entre los estudiantes para ver cuántos libros compraron el semestre anterior, la cantidad total que pagaron por esos libros, el número que vendieron una vez terminó el semestre y la cantidad de dinero que recibieron por los libros que vendieron. ¿Cuáles variables de esta encuesta son discretas y cuáles son continuas? 42 . Con las variables aleatorias continuas nunca calculamos la probabilidad de que X tenga un valor determinado, sino que siempre hablamos en términos de la probabilidad de que X tenga un valor dentro de un rango determinado. ¿Por qué? 43 . Para una variable aleatoria continua, ¿por qué P ( x < c ) y P ( x ≤ c ) son afirmaciones equivalentes? 44 . Para una función de probabilidad continua, P ( x < 5) = 0,35. ¿Qué es P ( x > 5), y cómo lo sabe? 45 . Describa cómo dibujaría la distribución de probabilidad continua descrita por la función e ( x ) = 1 10 para 0 ≤ x ≤ 10 . ¿Qué tipo de distribución es esta? 46 . Para la distribución de probabilidad continua descrita por la función e ( x ) = 1 10 para 0 ≤ x ≤ 10 , ¿cuál es la P (0 < x < 4)? 5.2: La distribución uniforme 47 . Para la distribución de probabilidad continua descrita por la función e ( x ) = 1 10 para 0 ≤ x ≤ 10 , ¿cuál es la P (2 < x < 5)? Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El número de minutos que un paciente espera en una clínica médica para ser atendido por un médico se representa mediante una distribución uniforme entre cero y 30 minutos, ambos inclusive. 48 . Si X es igual al número de minutos que espera una persona, ¿cuál es la distribución de X ? 49 . Escriba la función de densidad de probabilidad de esta distribución. 50 . ¿Cuál es la media y la desviación típica del tiempo de espera? 51 . ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente espere menos de diez minutos? 5.3: La distribución exponencial 52 . La distribución de la variable X , que representa el tiempo promedio hasta el fallo de una batería de automóvil, puede escribirse como X ~ Exp ( m ). Describa esta distribución con palabras. 53 . Si el valor de m para una distribución exponencial es diez, ¿cuáles son la media y la desviación típica de la distribución? 54 . Escriba la función de densidad de probabilidad para una variable distribuida como: X ~ Exp (0,2). 6.1: La distribución normal estándar 55 . Traslade a palabras esta afirmación sobre la distribución de una variable aleatoria X : X ~ (100, 15). 56 . Si la variable X tiene la distribución normal estándar, expréselo simbólicamente. Use la siguiente información para los próximos seis ejercicios. Según la Organización Mundial de la Salud, la altura en centímetros para niñas de cinco años y cero meses se distribuye de la siguiente manera: X ~ N (109, 4,5). 57 . ¿Cuál es la puntuación z para una altura de 112 pulgadas? 58 . ¿Cuál es la puntuación z para una altura de 100 centímetros? 59 . Calcule la puntuación z para una altura de 105 centímetros y explique lo que significa en el contexto de la población. 60 . ¿Qué altura corresponde a una puntuación z de 1,5 en esta población? 61 . Mediante la regla empírica esperamos que, aproximadamente, el 68 % de los valores de una distribución normal se sitúen dentro de una desviación típica por encima o por debajo de la media. En términos de un rango específico de valores, ¿qué significa esto para esta distribución? 62 . Mediante la regla empírica, ¿aproximadamente qué porcentaje de alturas en esta distribución espera que estén entre 95,5 cm y 122,5 cm? 6.2: Uso de la distribución normal Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. El distribuidor de billetes de lotería afirma que el 20 % de los billetes son ganadores. Se extrae una muestra de 500 billetes para probar esta proposición. 63 . ¿Puede usar la aproximación normal a la binomial para sus cálculos? Por qué sí o por qué no. 64 . ¿Cuáles son la media y la desviación típica esperadas para su muestra, suponiendo que la afirmación del distribuidor sea cierta? 65 . ¿Cuál es la probabilidad de que su muestra tenga una media superior a 100? 66 . Si la puntuación z del resultado de su muestra es –2,00, explique qué significa esto mediante la regla empírica. 7.1: Teorema del límite central de medias muestrales (promedios) 67 . ¿Qué dice el teorema del límite central con respecto a la distribución de medias muestrales? 68 . La distribución de los resultados al lanzar una moneda imparcial es uniforme: la cara y la cruz tienen la misma probabilidad en cualquier lanzamiento y, en un gran número de pruebas, se espera aproximadamente el mismo número de caras y de cruces. Sin embargo, si se realiza un estudio lanzando 30 monedas, se registra el número de caras y se repite 100 veces, la distribución de la media del número de caras será aproximadamente normal. ¿Cómo es posible? 69 . La media de una población distribuida normalmente es 50, y la desviación típica es cuatro. Si extrae 100 muestras de tamaño 40 de esta población, describa lo que esperaría ver en términos de la distribución del muestreo de la media muestral. 70 . X es una variable aleatoria con una media de 25 y una desviación típica de dos. Escriba la distribución para la media muestral de muestras de tamaño 100 extraídas de esta población. 71 . Su amigo está haciendo un experimento extrayendo muestras de tamaño 50 de una población con una media de 117 y una desviación típica de 16. Este tamaño de muestra es lo suficientemente grande como para permitir el uso del teorema del límite central, por lo que dice que la desviación típica de la distribución del muestreo de la media muestral también será 16. Explique por qué es un error y calcule el valor correcto. 72 . Está leyendo un artículo de investigación que hace referencia al “error estándar de la media”. ¿Qué significa esto y cómo se calcula? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Se extraen repetidamente muestras de n = 100 de una población con una media de 75 y una desviación típica de 4,5. 73 . ¿Cuál es la distribución esperada de las medias muestrales? 74 . Uno de sus amigos intenta convencerlo de que el error estándar de la media debe ser 4,5. Explique qué error cometió su amigo. 75 . ¿Cuál es la puntuación z para una media muestral de 76? 76 . ¿Cuál es la puntuación z para una media muestral de 74,7? 77 . ¿Qué media muestral corresponde a una puntuación z de 1,5? 78 . Si se reduce el tamaño de la muestra a 50, ¿el error estándar de la media será menor o mayor? ¿Cuál sería su valor? Use la siguiente información para responder las dos próximas preguntas. Usamos la regla empírica para analizar los datos de muestras de tamaño 60 extraídas de una población con una media de 70 y una desviación típica de 9. 79 . ¿Qué rango de valores se espera que incluya el 68 % de las medias muestrales? 80 . Si aumenta el tamaño de la muestra a 100, ¿qué rango esperaría que contuviera el 68 % de las medias muestrales mediante la regla empírica? 7.2: El teorema del límite central para las sumas 81 . ¿Cómo se aplica el teorema del límite central a las sumas de variables aleatorias? 82 . Explique en qué se parecen las reglas que aplican el teorema del límite central a las medias muestrales y a las sumas de una variable aleatoria. 83 . Si se extraen repetidamente muestras de tamaño 50 de una población con una media de 80 y una desviación típica de cuatro y se calcula la suma de cada muestra, ¿cuál es la distribución esperada de estas sumas? Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Se extrae una muestra de tamaño 40 de una población con una media de 125 y una desviación típica de siete. 84 . Calcule la suma. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de su muestra sea inferior a 5.000? 85 . Si toma muestras de este tamaño repetidamente, calculando la suma cada vez, ¿qué rango de valores esperaría que contuviera el 95 % de las sumas de las muestras? 86 . ¿Qué valor es una desviación típica por debajo de la media? 87 . ¿Qué valor corresponde a una puntuación z de 2,2? 7.3: Uso del teorema del límite central 88 . ¿Qué dice la ley de los grandes números sobre la relación entre la media muestral y la media de la población? 89 . Al aplicar la ley de los grandes números, ¿qué media muestral se acercaría más a la media de la población, una muestra de tamaño diez o una muestra de tamaño 100? Use esta información para las próximas tres preguntas. Un fabricante hace tornillos con un diámetro medio de 0,15 cm (centímetros) y un rango de 0,10 cm a 0,20 cm; dentro de ese rango, la distribución es uniforme. 90 . Si X = el diámetro de un tornillo, ¿cuál es la distribución de X ? 91 . Supongamos que se extraen repetidamente muestras de tamaño 100 y se calcula su media. Al aplicar el teorema del límite central, ¿cuál es la distribución de estas medias muestrales? 92 . Supongamos que extrae repetidamente muestras de 60 y calcula su suma. Al aplicar el teorema del límite central, ¿cuál es la distribución de estas sumas muestrales? Soluciones de la prueba de práctica 2 Función de Distribución de Probabilidad (PDF) para una variable aleatoria discreta 1 . El dominio de X = {Inglés, Matemáticas, ...}, es decir, una lista de todas las especialidades que se ofrecen en la universidad, más “sin declarar”. 2 . El dominio de Y = {0, 1, 2, ...}, es decir, los enteros desde 0 hasta el límite superior de las clases permitidas por la universidad. 3 . El dominio de Z = cualquier cantidad de dinero a partir de 0. 4 . Porque pueden tomar cualquier valor dentro de su dominio, y su valor para cualquier caso particular no se conoce hasta que se termina la encuesta. 5 . No, porque el dominio de Z solo incluye números positivos (no se puede gastar una cantidad negativa de dinero). Posiblemente el valor –7 sea un error de introducción de datos, o un código especial para indicar que el estudiante no ha respondido la pregunta. 6 . Las probabilidades deben sumar 1,0, y las probabilidades de cada evento deben estar entre 0 y 1, ambos inclusive. 7 . Supongamos que X = el número de libros sacados por un cliente. 8 . P ( x > 2) = 0,10 + 0,05 = 0,15 9 . P ( x ≥ 0) = 1 – 0,20 = 0,80 10 . P ( x ≤ 3) = 1 – 0,05 = 0,95 11 . Las probabilidades sumarían 1,10, y la probabilidad total en una distribución debe ser siempre igual a 1,0. 12 . x ¯ = 0(0,20) + 1(0,45) + 2(0,20) + 3(0,10) + 4(0,05) = 1,35 Media o valor esperado y desviación típica 13 . x P ( x ) x P ( x ) 30 30/130 6,92 40 40/130 12,31 60 60/130 27,69 14 . x ¯ = 6,92 + 12,31 + 27,69 = 46,92 15 . P ( x = 30) = 0,23 P ( x = 40) = 0,31 P ( x = 60) = 0,46 16 . x P ( x ) xP ( x ) ( x – μ ) 2 P ( x ) 30 0,23 6,92 (30 – 46,92) 2 (0,23) = 66,09 40 0,31 12,31 (40 – 46,92) 2 (0,31) = 14,75 60 0,46 46,92 (60 – 46,92) 2 (0,46) = 78,93 ∑ x = ( 66,09 + 14,75 + 78,93 ) = 12,64 Distribución binomial 18 . q = 1 - 0,65 = 0,35 19 . Hay un número fijo de ensayos. Solo hay dos resultados posibles, y suman 1. Los ensayos son independientes y se realizan en condiciones idénticas. 20 . No, porque no hay un número fijo de ensayos 21 . X ~ B (100, 0,65) 22 . μ = np = 100(0,65) = 65 23 . σ x = n p q = 100 ( 0,65 ) ( 0,35 ) = 4,77 24 . X = Joe ejecuta un batazo imparable en un turno al bate (en una ocasión en la que viene a batear) 25 . X ~ B (20, 0,4) 26 . μ = np = 20(0,4) = 8 27 . σ x = n p q = 20 ( 0,40 ) ( 0,60 ) = 2,19 4.4: Distribución geométrica 28 . Se realizan una serie de ensayos de Bernoulli hasta que uno de ellos es un acierto, y entonces el experimento se detiene. Se realiza al menos un ensayo, pero no hay un límite máximo al número de ensayos. La probabilidad de acierto o fallo es igual para cada ensayo. 29 . T T T T H 30 . El dominio de X = {1, 2, 3, 4, 5, ....n}. Como está haciendo la extracción sin reemplazo, no hay un límite superior para el número de extracciones que pueden ser necesarias. 31 . El dominio de X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8., 9, 10, 11, 12...27}. Como está haciendo la extracción sin reemplazo, y 26 de las 52 cartas son rojas, tiene que extraer una carta roja dentro de las primeras 17 extracciones. 32 . X ~ G (0,24) 33 . μ = 1 p = 1 0,27 = 3,70 34 . σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,27 0,27 2 = 3,16 4.5: Distribución hipergeométrica 35 . Sí, porque está haciendo el muestreo de una población compuesta por dos grupos (niños y niñas), tiene un grupo de interés (niños) y está haciendo el muestreo sin reemplazo (por lo tanto, las probabilidades cambian con cada elección, y no está realizando ensayos de Bernoulli). 36 . El grupo de interés son las cartas que son picas, el tamaño del grupo de interés es 13 y el tamaño de la muestra es cinco. 4.6: Distribución de Poisson 37 . Una distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando los eventos son independientes y la tasa promedio de los eventos es conocida. 38 . X ~ P (4) 39 . El dominio de X = {0, 1, 2, 3, .....) es decir, cualquier número entero a partir de 0. 40 . μ = 4 σ = 4 = 2 5.1: Funciones de probabilidad continuas 41 . Las variables discretas son el número de libros comprados y el número de libros vendidos al final del semestre. Las variables continuas son la cantidad de dinero gastada por los libros y la cantidad de dinero recibida cuando se vendieron. 42 . Porque para una variable aleatoria continua, P ( x = c ) = 0, donde c es un valor cualquiera. En cambio, calculamos P ( c < x < d ), es decir, la probabilidad de que el valor de x esté entre los valores c y d . 43 . Porque P ( x = c ) = 0 para cualquier variable aleatoria continua. 44 . P ( x > 5) = 1 – 0,35 = 0,65, porque la probabilidad total de una función de probabilidad continua es siempre 1. 45 . Se trata de una distribución de probabilidad uniforme. Se dibujaría como un rectángulo con los lados verticales en 0 y 20, y los lados horizontales en 1 10 y 0. 46 . P ( 0 < x < 4 ) = ( 4 – 0 ) ( 1 10 ) = 0,4 5.2: La distribución uniforme 47 . P ( 2 < x < 5 ) = ( 5 – 2 ) ( 1 10 ) = 0,3 48 . X ~ U (0, 15) 49 . e ( x ) = 1 b – a para ( a ≤ x ≤ b ) así que e ( x ) = 1 30 para ( 0 ≤ x ≤ 30 ) 50 . μ = a + b 2 = 0 + 30 5 = 15,0 σ = ( b – a ) 2 12 = ( 30 – 0 ) 2 12 = 8,66 51 . P ( x < 10 ) = ( 10 ) ( 1 30 ) = 0,33 5.3: La distribución exponencial 52 . X tiene una distribución exponencial con parámetro de decaimiento m y media y desviación típica 1 m . En esta distribución, habrá un número relativamente grande de valores pequeños, y los valores serán menos comunes a medida que sean más grandes. 53 . μ = σ = 1 m = 1 10 = 0,1 54 . f ( x ) = 0,2 e –0,2 x donde x ≥ 0. 6.1: La distribución normal estándar 55 . La variable aleatoria X tiene una distribución normal con una media de 100 y una desviación típica de 15. 56 . X ~ N (0,1) 57 . z = x – μ σ así que z = 112 – 109 4,5 = 0,67 58 . z = x – μ σ así que z = 100 – 109 4,5 = – 2,00 59 . z = 105 – 109 4,5 = −0,89 Esta niña es más baja que el promedio para su edad, en 0,89 desviaciones típicas. 60 . 109 + (1,5)(4,5) = 115,75 cm 61 . Se espera que alrededor del 68 % de las estaturas de las niñas de cinco años y cero meses estén entre 104,5 cm y 113,5 cm. 62 . Esperamos que el 99,7 % de las alturas de esta distribución se sitúen entre 95,5 cm y 122,5 cm porque ese rango representa los valores de tres desviaciones típicas por encima y por debajo de la media. 6.2: Uso de la distribución normal 63 . Sí, porque tanto np como nq son mayores que cinco. np = (500)(0,20) = 100 y nq = 500(0,80) = 400 64 . μ = n p = ( 500 ) ( 0,20 ) = 100 σ = n p q = 500 ( 0,20 ) ( 0,80 ) = 8,94 65 . Cincuenta por ciento, porque en una distribución normal la mitad de los valores están por encima de la media. 66 . Los resultados de nuestra muestra estaban dos desviaciones típicas por debajo de la media, lo que sugiere que es poco probable que el 20 % de los boletos de lotería sean ganadores, como afirma el distribuidor, y que el verdadero porcentaje de ganadores es menor. Al aplicar la regla empírica, si esa afirmación fuera cierta, esperaríamos ver un resultado tan inferior a la media solo un 2,5 % de las veces. 7.1: Teorema del límite central de medias muestrales (promedios) 67 . El teorema del límite central afirma que si se extraen muestras de tamaño suficiente de una población, la distribución de las medias muestrales será normal, incluso si la distribución poblacional no lo es. 68 . El tamaño de la muestra de 30 es lo suficientemente grande en este ejemplo para aplicar el teorema del límite central. Este teorema ] establece que para muestras de tamaño suficiente extraídas de una población, la distribución del muestreo de la media muestral se acerca a la normalidad, independientemente de la distribución poblacional de la que se extrajeron las muestras. 69 . No se puede esperar que cada muestra tenga una media de 50 debido a la variabilidad del muestreo. Sin embargo, es de esperar que la distribución del muestreo de la media muestral se agrupe en torno a 50, con una distribución aproximadamente normal, de modo que los valores cercanos a 50 sean más comunes que los valores más alejados de 50. 70 . X ¯ ∼ N ( 25 , 0,2 ) porque X ¯ ∼ N ( μ x , σ x n ) 71 . La desviación típica de la distribución del muestreo de la media muestral se puede calcular mediante la fórmula ( σ x n ) , que en este caso es ( 16 50 ) . Por tanto, el valor correcto de la desviación típica de la distribución del muestreo de la media muestral es 2,26. 72 . El error estándar de la media es otro nombre para la desviación típica de la distribución del muestreo de la media muestral. Dadas muestras de tamaño n extraídas de una población con desviación típica σ x , el error estándar de la media es ( σ x n ) . 73 . X ~ N (75, 0,45) 74 . Su amigo olvidó dividir la desviación típica entre la raíz cuadrada de n . 75 . z = x ¯ – μ x σ x = 76 – 75 4,5 = 2,2 76 . z = x ¯ – μ x σ x = 74,7 – 75 4,5 = −0,67 77 . 75 + (1,5)(0,45) = 75,675 78 . El error estándar de la media será mayor porque estará dividiendo entre un número menor. El error estándar de la media para muestras de tamaño n = 50 es: ( σ x n ) = 4,5 50 = 0,64 79 . Es de esperar que este rango incluya valores de hasta una desviación típica por encima o por debajo de la media muestral. En este caso: 70 + 9 60 = 71,16 y 70 – 9 60 = 68,84 por lo que cabría esperar que el 68 % de las medias muestrales estuvieran entre 68,84 y 71,16. 80 . 70 + 9 100 = 70,9 y 70 – 9 100 = 69,1 por lo que cabría esperar que el 68 % de las medias muestrales estuvieran entre 69,1 y 70,9. Observe que se trata de un intervalo más estrecho debido al mayor tamaño de la muestra. 7.2: El teorema del límite central para las sumas 81 . Para una variable aleatoria X , la variable aleatoria ΣX tenderá a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño n de las muestras utilizadas para calcular la suma. 82 . Ambas reglas establecen que la distribución de una cantidad (la media o la suma) calculada sobre muestras extraídas de una población tenderá a tener una distribución normal, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, independientemente de la distribución poblacional de la que se extraen las muestras. 83 . Σ X ∼ N ( n μ x , ( n ) ( σ x ) ) así que Σ X ∼ N ( 4.000 , 28,3 ) 84 . La probabilidad es 0,50, porque 5.000 es la media de la distribución muestral de las sumas de tamaño 40 de esta población. Las sumas de las variables aleatorias calculadas a partir de una muestra de tamaño suficiente se distribuyen normalmente y, en una distribución normal, la mitad de los valores están por debajo de la media. 85 . Al usar la regla empírica, se esperaría que el 95 % de los valores estuvieran dentro de las dos desviaciones típicas de la media. El uso de la fórmula de la desviación típica es para una suma de muestras: ( n ) ( σ x ) = ( 40 ) ( 7 ) = 44,3 por lo que cabría esperar que el 95 % de los valores estuvieran entre 5.000 + (2)(44,3) y 5.000 - (2)(44,3), o entre 4.911,4 y 588,6. 86 . μ – ( n ) ( σ x ) = 5000 – ( 40 ) ( 7 ) = 4955,7 87 . 5000 + ( 2,2 ) ( 40 ) ( 7 ) = 5097,4 7.3: Uso del teorema del límite central 88 . La ley de los grandes números dice que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la media muestral tiende a acercarse cada vez más a la media de la población. 89 . Es de esperar que la media de una muestra de tamaño 100 esté más cerca de la media de la población, porque la ley de los grandes números dice que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la media muestral tiende a acercarse a la media de la población. 90 . X ~ N (0,10, 0,20) 91 . X ¯ ∼ N ( μ x , σ x n ) y la desviación típica de una distribución uniforme es b – a 12 . En este ejemplo, la desviación típica de la distribución es b – a 12 = 0,10 12 = 0,03 así que X ¯ ∼ N ( 0,15 , 0,003 ) 92 . Σ X ∼ N ( ( n ) ( μ x ) , ( n ) ( σ x ) ) así que Σ X ∼ N ( 9,0 , 0,23 ) Prueba práctica 3 8.1: Intervalo de confianza, media de población única, desviación típica de la población conocida, normal Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Se extrae una muestra de tamaño 30 de una población distribuida normalmente y una desviación típica de cuatro. 1 . ¿Cuál es el error estándar de la media muestral en este caso redondeado a dos decimales? 2 . ¿Cuál es la distribución de la media muestral? 3 . Si quiere construir un intervalo de confianza del 95 % doble, ¿cuál será la probabilidad en cada cola de la distribución? 4 . ¿Cuál es la puntuación z y el límite de error o margen de error de la población (Error Bound for a population Mean, EBM ) apropiados para un intervalo de confianza del 95 % para estos datos? 5 . Al redondear a dos decimales, ¿cuál es el intervalo de confianza del 95 % si la media muestral es 41? 6 . ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90 % si la media muestral es 41? Redondear a dos decimales 7 . Supongamos que el tamaño de la muestra en este estudio hubiera sido de 50, en vez de 30. ¿Cuál sería el intervalo de confianza del 95 % si la media muestral es 41? Redondee su respuesta a dos decimales. 8 . Para cualquier conjunto de datos y situación de muestreo dados, ¿qué esperaría que fuera más amplio: un intervalo de confianza del 95 % o un intervalo de confianza del 99 %? 8.2: Intervalo de confianza, media de población única, desviación típica desconocida, t de Student 9 . Al comparar los gráficos de la distribución normal estándar (distribución z ) y una distribución t con 15 grados de libertad (degrees of freedom, df ), ¿en qué se diferencian? 10 . Al comparar los gráficos de la distribución normal estándar (distribución z ) y una distribución t con 15 grados de libertad ( df ), ¿en qué se parecen? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se sabe que la temperatura corporal se distribuye normalmente entre adultos sanos. Como no se conoce la desviación típica de la población, se utiliza la distribución t para estudiar la temperatura corporal. Usted recopila datos de una muestra aleatoria de 20 adultos sanos y halla que las temperaturas de su muestra tienen una media de 98,4 y una desviación típica de la muestra de 0,3 (ambas en grados Fahrenheit). 11 . ¿Cuáles son los grados de libertad ( df ) de este estudio? 12 . Para un intervalo de confianza del 95 % de dos colas, ¿cuál es el valor t apropiado que se debe usar en la fórmula? 13 . ¿Qué es el intervalo de confianza del 95 %? 14 . ¿Qué es el intervalo de confianza del 99 %? Redondee a dos decimales. 15 . Supongamos que el tamaño de la muestra hubiera sido de 30 en vez de 20. ¿Cuál sería entonces el intervalo de confianza del 95 %? Redondear a dos decimales 8.3: Intervalo de confianza para una proporción de la población Use esta información para responder los próximos cuatro ejercicios. Usted realiza un sondeo entre 500 residentes de la ciudad seleccionados al azar para preguntarles si tienen automóvil. 280 dicen que poseen automóvil y 220 que no. 16 . Calcule la proporción y la desviación típica de la muestra para estos datos. 17 . ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95 % doble? Redondee a cuatro decimales. 18 . Calcule el intervalo de confianza del 90 %. Redondee a cuatro decimales. 19 . Calcule el intervalo de confianza del 99 %. Redondee a cuatro decimales. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Está planeando hacer un sondeo entre miembros de la comunidad mayores de 65 años para determinar cuántos tienen teléfonos móviles. Quiere producir una estimación cuyo intervalo de confianza del 95 % esté dentro de los cuatro puntos porcentuales (más o menos) de la verdadera proporción de la población. Utilice una proporción de población estimada de 0,5. 20 . ¿Qué tamaño de muestra necesita? 21 . Supongamos que usted sabe, por una investigación previa, que la proporción de la población es de 0,6. ¿Qué tamaño de muestra necesita? 22 . Supongamos que quiere un intervalo de confianza del 95 % dentro de tres puntos porcentuales de la población. Supongamos que la proporción de la población es de 0,5. ¿Qué tamaño de muestra necesita? 9.1: Hipótesis nula y alternativa 23 . En su estado, el 58 % de los votantes registrados en una comunidad están registrados como republicanos. Le interesa hacer un estudio para ver si esto también ocurre en su comunidad. Indique las hipótesis nula y alternativa para comprobarlo. 24 . Cree que, al menos, el 58 % de los votantes registrados en una comunidad están registrados como republicanos. Indique las hipótesis nula y alternativa para comprobarlo. 25 . El valor medio de un hogar en una ciudad es de 268.000 dólares. Cree que el valor medio de un hogar de un determinado vecindario es inferior al promedio de la ciudad. Escriba las hipótesis nula y alternativa para comprobarlo. 26 . Indique la hipótesis alternativa adecuada a esta hipótesis nula: H 0 : μ = 107 27 . Indique la hipótesis alternativa adecuada a esta hipótesis nula: H 0 : p < 0,25 9.2: Resultados y errores de tipo I y II 28 . Si se rechaza H 0 cuando H 0 es correcta, ¿de qué tipo de error se trata? 29 . Si no se rechaza H 0 cuando H 0 es falsa, ¿de qué tipo de error se trata? 30 . ¿Cuál es la relación entre el error de tipo II y la potencia de una prueba? 31 . Se está desarrollando un nuevo análisis de sangre para detectar cáncer en los pacientes. Los resultados positivos son seguidos por una prueba más precisa (y costosa). Se supone que el paciente no tiene cáncer. Describa la hipótesis nula, los errores de tipo I y de tipo II para esta situación y explique qué tipo de error es más grave. 32 . Explique con palabras qué significa que una prueba de detección de TB tenga un nivel α de 0,10. La hipótesis nula es que el paciente no tiene tuberculosis (TB). 33 . Explique con palabras qué significa que una prueba de detección de TB tenga un nivel β de 0,20. La hipótesis nula es que el paciente no tiene tuberculosis (TB). 34 . Explique con palabras qué significa que una prueba de detección de TB tenga una potencia de 0,80. 9.3: Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis 35 . Si está realizando una prueba de hipótesis de una media de población única y no conoce la varianza poblacional, ¿qué prueba utilizará si el tamaño de la muestra es 10 y la población es normal? 36 . Si está realizando una prueba de hipótesis de una única media poblacional, y conoce la varianza poblacional, ¿qué prueba utilizará? 37 . Si está realizando una prueba de hipótesis de una única proporción poblacional, con np y nq mayores o iguales a cinco, ¿qué prueba utilizará y con qué parámetros? 38 . La información publicada indica que, en promedio, los estudiantes de educación superior dedican menos de 20 horas a estudiar a la semana. Usted extrae una muestra de 25 estudiantes de su instituto universitario y halla que la media muestral es de 18,5 horas, con una desviación típica de 1,5 horas. ¿Qué distribución utilizará para comprobar si los hábitos de estudio en su instituto universitario son iguales al promedio nacional, y por qué? 39 . Un estudio publicado dice que el 95 % de los niños estadounidenses están vacunados contra el sarampión, con una desviación típica del 1,5 %. Usted toma una muestra de 100 niños de su comunidad y comprueba sus registros de vacunación, para ver si la tasa de vacunación en su comunidad es igual al promedio nacional. ¿Qué distribución utilizará para esta prueba y por qué? 9.4: Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión 40 . Usted está realizando un estudio con un nivel α de 0,05. Si obtiene un resultado con un valor p de 0,07, ¿cuál será su decisión? 41 . Está realizando un estudio con α = 0,01. Si obtiene un resultado con un valor p de 0,006, ¿cuál será su decisión? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Según la Organización Mundial de la Salud, la altura promedio de un niño de un año es de 29”. Usted cree que los niños que padecen una determinada enfermedad son más pequeños que el promedio, así que toma una muestra de 20 niños con esta enfermedad y halla una altura promedio de 27,5” y una desviación típica de la muestra de 1,5”. 42 . ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 43 . ¿Qué distribución utilizará para comprobar su hipótesis y por qué? 44 . ¿Cuál es el estadístico de prueba y el valor p ? 45 . Con base en los resultados de su muestra, ¿cuál es su decisión? 46 . Suponga que la media de su muestra es de 25,0. Vuelva a hacer los cálculos y describa cuál sería su decisión. 9.5: Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas 47 . Usted realiza un estudio utilizando α = 0,05. ¿Cuál es el nivel de significación de este estudio? 48 . Usted lleva a cabo un estudio basado en una muestra extraída de una población distribuida normalmente y varianza conocida, con las siguientes hipótesis: H 0 : μ = 35,5 H a : μ ≠ 35,5 ¿Realizará una prueba de una o dos colas? 49 . Usted lleva a cabo un estudio basado en una muestra extraída de una población distribuida normalmente y varianza conocida, con las siguientes hipótesis: H 0 : μ ≥ 35,5 H a : μ < 35,5 ¿Realizará una prueba de una o dos colas? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El 80 % de los adultos de todo el país tienen automóvil. Le interesa saber si en su comunidad se mantiene esa proporción. Toma una muestra de 100 personas y halla que el 75 % tiene automóvil. 50 . ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 51 . ¿Qué prueba utilizará y por qué? 10.1: Comparación de dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas 52 . Usted lleva a cabo un sondeo de opinión política y entrevista a los dos miembros de 50 matrimonios. ¿Los grupos de este estudio son independientes o coincidentes? 53 . Usted está probando un nuevo medicamento para tratar el insomnio. Se asignan aleatoriamente 80 sujetos voluntarios a las condiciones experimental (nuevo fármaco) o de control (tratamiento estándar). ¿Los grupos de este estudio son independientes o coincidentes? 54 . Usted investiga la eficacia de un nuevo libro de texto de Matemáticas para estudiantes de escuela secundaria. Se administra una prueba previa a un grupo de estudiantes al principio del semestre y una prueba posterior al final de un año de instrucción utilizando este libro de texto, y se comparan los resultados. ¿Los grupos de este estudio son independientes o coincidentes? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted realiza un estudio sobre la diferencia de tiempo en dos institutos universitarios para la finalización de la carrera. En el instituto universitario A, los estudiantes tardan un promedio de 4,8 años en alcanzar su título, mientras que en el instituto universitario B tardan un promedio de 4,2 años. La desviación típica combinada de estos datos es de 1,6 años 55 . Calcule la d de Cohen e interprétela. 56 . Supongamos que el tiempo medio para obtener un título en el instituto universitario A es de 5,2 años. Calcule el tamaño del efecto e interprételo. 57 . Lleva a cabo una prueba t de muestras independientes con un tamaño de muestra de diez en cada uno de los dos grupos. Si realiza una prueba de hipótesis de dos colas con α = 0,01, ¿qué valores p le harán rechazar la hipótesis nula? 58 . Usted realiza una prueba t de muestras independientes con un tamaño de muestra de 15 en cada grupo, con las siguientes hipótesis: H 0 : μ ≥ 110 H a : μ < 110. Si α = 0,05, ¿qué valores t le harán rechazar la hipótesis nula? 10.2: Comparación de dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales conocidas Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Los estudiantes de Ciencias de institutos universitarios suelen quejarse de que deben gastar más en libros de texto cada semestre que los estudiantes de Humanidades. Para comprobarlo, toma muestras aleatorias de 50 estudiantes de Ciencias y 50 de Humanidades de su instituto universitario y registra cuánto gastó cada uno de ellos durante el semestre pasado en libros de texto. Considere que los estudiantes de Ciencias son el grupo uno y los de Humanidades el grupo dos. 59 . ¿Cuál es la variable aleatoria de este estudio? 60 . ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 61 . Si los 50 estudiantes de Ciencias gastaron un promedio de 530 dólares con una desviación típica de la muestra de 20 dólares y los 50 estudiantes de Humanidades gastaron un promedio de 380 dólares con una desviación típica de la muestra de 15 dólares, ¿aceptaría o rechazaría la hipótesis nula? Utilice un nivel alfa de 0,05. ¿Cuál es su conclusión? 62 . ¿Cuál sería su decisión si utilizara α = 0,01? 10.3: Comparación de dos proporciones de población independientes Use la información para responder los próximos seis ejercicios. Quiere saber si la proporción de hogares con servicio de televisión por cable difiere entre la comunidad A y la comunidad B. Para comprobarlo, extrae una muestra aleatoria de 100 para cada una y registra si tienen servicio de cable. 63 . ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 64 . Si 65 hogares de la comunidad A y 78 hogares de la comunidad B tienen servicio de cable, ¿cuál es la proporción combinada? 65 . Con α = 0,03, ¿rechazará la hipótesis nula? ¿Cuál es su conclusión? 65 hogares de la comunidad A y 78 hogares de la comunidad B tienen servicio de cable. Se encuestaron 100 hogares de cada comunidad. 66 . Utilizando un valor alfa de 0,01, ¿rechazaría la hipótesis nula? ¿Cuál es su conclusión? 65 hogares de la comunidad A y 78 hogares de la comunidad B tienen servicio de cable. Se encuestaron 100 hogares de cada comunidad. 10.4: Muestras coincidentes o emparejadas Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Le interesa saber si un programa de ejercicios en particular ayuda a la gente a perder peso. Usted lleva a cabo un estudio en el que pesa a los participantes al principio del estudio y de nuevo al final, después de que hayan participado en el programa de ejercicios durante seis meses. Se comparan los resultados utilizando una prueba t de pares coincidentes, en la que los datos son {peso al final – peso al inicio}. Cree que, en promedio, los participantes habrán perdido peso después de seis meses en el programa de ejercicios. 67 . ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 68 . Calcule el estadístico de prueba, suponiendo que x ¯ d = -5, s d = 6, y n = 30 (pares). 69 . ¿Cuáles son los grados de libertad de esta estadística? 70 . Utilizando α = 0,05, ¿cuál es su decisión respecto a la eficacia de este programa para provocar la pérdida de peso? ¿Cuál es la conclusión? 71 . ¿Qué significaría que la estadística t hubiera sido 4,56 y cuál habría sido su decisión en ese caso? 11.1: Datos sobre la distribución chi-cuadrado 72 . ¿Cuál es la media y la desviación típica de una distribución chi-cuadrado con 20 grados de libertad? 11.2: Prueba de bondad de ajuste Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. En todo el país, alrededor del 66 % de los graduados de la escuela secundaria se inscriben en la enseñanza superior. Hace una prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado para determinar si esta misma proporción se aplica a la clase más reciente de 200 graduados de su escuela secundaria. Su hipótesis nula es que la distribución nacional también se aplica a su escuela secundaria. 73 . ¿Cuál es el número previsto de estudiantes de su clase de graduados de la escuela secundaria inscritos y no inscritos en la educación superior? 74 . Rellene el resto de esta tabla. Observado ( O ) Esperado ( E ) O - E ( O - E )2 ( O – E ) 2 z Inscritos 145 No inscritos 55 75 . ¿Cuáles son los grados de libertad de esta prueba de chi-cuadrado? 76 . ¿Cuál es el estadístico de prueba de chi-cuadrado y el valor p ? Al nivel de significación del 5 %, ¿qué conclusión obtiene? 77 . Para una distribución chi-cuadrado con 92 grados de libertad, la curva _____________. 78 . Para una distribución chi-cuadrado con cinco grados de libertad, la curva es ______________. 11.3: Prueba de independencia Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Está considerando realizar una prueba de independencia de chi-cuadrado para los datos de esta tabla que muestra datos sobre la posesión de teléfonos móviles de los estudiantes de primer y último año de una escuela secundaria. Su hipótesis nula es que la posesión de teléfonos móviles es independiente de la posición de clase. 79 . Calcule los valores esperados para las celdas. Móvil = Sí Móvil = No Primer año 100 150 Último año 200 50 80 . Calcule ( O – E ) 2 z por cada móvil, donde O = observado y E = esperado. 81 . ¿Cuál es el estadístico de chi-cuadrado y los grados de libertad de este estudio? 82 . Con un nivel de significación α = 0,5, ¿cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? 11.4: Prueba de homogeneidad 83 . Usted realiza una prueba de homogeneidad de chi-cuadrado para los datos de una tabla de cinco por dos. ¿Cuáles son los grados de libertad de esta prueba? 11.5: Resumen comparativo de las pruebas chi-cuadrado: Bondad de ajuste, independencia y homogeneidad 84 . Un sondeo realizado en 2013 en el estado de California encuestó a personas sobre los impuestos a las bebidas azucaradas. Los resultados se presentan en la siguiente tabla y están clasificados por grupo étnico y tipo de respuesta. ¿Las respuestas del sondeo son independientes del grupo étnico de los participantes? Haga una prueba de hipótesis al nivel de significación del 5 %. Grupo étnico/Tipo de respuesta Aprueba Desaprueba Sin opinión Total de la fila Blanco/no hispano 234 433 43 710 Latinos 147 106 19 272 Afroamericanos 24 41 6 71 Asiático americano 54 48 16 118 Total de la columna 459 628 84 1171 85 . En una prueba de homogeneidad, ¿qué debe ser cierto sobre el valor esperado de cada celda? 86 . En términos generales, ¿cuáles son las hipótesis nula y alternativa de la prueba de independencia chi-cuadrado? 87 . En términos generales, ¿cuáles son las hipótesis nula y alternativa de la prueba de homogeneidad chi-cuadrado? 11.6: Prueba de una sola varianza 88 . Una prueba de laboratorio pretende tener una varianza de no más de cinco. Usted cree que la varianza es mayor. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para comprobarlo? Soluciones de la prueba de práctica 3 8.1: Intervalo de confianza, media de población única, desviación típica de la población conocida, normal 1 . σ n = 4 30 = 0,73 2 . normal 3 . 0,025 o 2,5 %; un intervalo de confianza del 95 % contiene el 95 % de la probabilidad y excluye el 5 %, y el 5 % excluido se reparte por igual entre las colas superior e inferior de la distribución. 4 . puntuación z = 1,96; E B M = z α 2 ( σ n ) = ( 1,96 ) ( 0,73 ) = 1,4308 5 . 41 ± 1,43 = (39,57, 42,43); utilizando la función Zinterval de la calculadora, la respuesta es (40,74, 41,26. Las respuestas difieren debido al redondeo. 6 . El valor z para un intervalo de confianza del 90 % es 1,645, por lo que EBM = 1,645(0,73) = 1,20085. El intervalo de confianza del 90 % es 41 ± 1,20 = (39,80; 42,20). La respuesta de la función Zinterval de la calculadora es (40,78; 41,23). Las respuestas difieren debido al redondeo. 7 . El error estándar de medición es: σ n = 4 50 = 0,57 E B M = z α 2 ( σ n ) = ( 1,96 ) ( 0,57 ) = 1,12 El intervalo de confianza del 95 % es 41 ± 1,12 = (39,88; 42,12). La respuesta de la función Zinterval de la calculadora es (40,84; 41,16). Las respuestas difieren debido al redondeo. 8 . El intervalo de confianza del 99 % porque incluye todo el porcentaje de la distribución, menos el uno. El intervalo de confianza del 95 % será más estrecho, porque excluye el cinco por ciento de la distribución. 8.2: Intervalo de confianza, media de población única, desviación típica desconocida, t de Student 9 . La distribución t tendrá más probabilidad en sus colas (“colas más gruesas”) y menos probabilidad cerca de la media de la distribución (“más corta en el centro”). 10 . Ambas distribuciones son simétricas y están centradas en cero. 11 . df = n - 1 = 20 - 1 = 19 12 . Puede obtener el valor t de una tabla de probabilidades o de una calculadora. En este caso, para una distribución t con 19 grados de libertad, y un intervalo de confianza del 95 % doble, el valor es 2,093, es decir, t α 2 = 2,093 . La función de la calculadora es invT(0,975, 19). 13 . E B M = t α 2 ( s n ) = ( 2,093 ) ( 0,3 20 ) = 0,140 98,4 ± 0,14 = (98,26, 98,54). La respuesta de la función de calculadora Tinterval es (98,26; 98,54). 14 . t α 2 = 2,861. La función de la calculadora es invT(0,995, 19) E B M = t α 2 ( s n ) = ( 2,861 ) ( 0,3 20 ) = 0,192 98,4 ± 0,19 = (98,21, 98,59). La respuesta de la función Tinterval de la calculadora es (98,21, 98,59). 15 . df = n - 1 = 30 - 1 = 29. t α 2 = 2,045 E B M = z t ( s n ) = ( 2,045 ) ( 0,3 30 ) = 0,112 98,4 ± 0,11 = (98,29, 98,51). La respuesta de la función Tinterval de la calculadora es (98,29; 98,51). 8.3: Intervalo de confianza para una proporción de la población 16 . p ′ = 280 500 = 0,56 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,56 = 0,44 s = p q n = 0,56 ( 0,44 ) 500 = 0,0222 17 . Porque está usando la aproximación normal a la binomial, z α 2 = 1,96 . Calcule el límite de error de la población ( error bound for the population, EBP ): E B P = z a 2 p q n = 1,96 ( 0,222 ) = 0,0435 Calcule el intervalo de confianza del 95 %: 0,56 ± 0,0435 = (0,5165, 0,6035). La respuesta de la función 1-PropZint de la calculadora es (0,5165; 0,6035). 18 . z α 2 = 1,64 E B P = z a 2 p q n = 1,64 ( 0,0222 ) = 0,0364 0,56 ± 0,03 = (0,5236, 0,5964). La respuesta de la función de calculadora 1-PropZint es (0,5235; 0,5965) 19 . z α 2 = 2,58 E B P = z a 2 p q n = 2,58 ( 0,0222 ) = 0,0573 0,56 ± 0,05 = (0,5127, 0,6173). La respuesta de la función 1-PropZint de la calculadora es (0,5028; 0,6172). 20 . EBP = 0,04 (porque 4 % = 0,04) z α 2 = 1,96 para un intervalo de confianza del 95 % n = z 2 p q E B P 2 = 1,96 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,04 2 = 0,9604 0,0016 = 600,25 Necesita 601 sujetos (redondeando hacia arriba desde 600,25). 21 . n = n 2 p q E B P 2 = 1,96 2 ( 0,6 ) ( 0,4 ) 0,04 2 = 0,9220 0,0016 = 576,24 Necesita 577 sujetos (redondeando hacia arriba desde 576,24). 22 . n = n 2 p q E B P 2 = 1,96 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,03 2 = 0,9604 0,0009 = 1067,11 Necesita 1.068 sujetos (redondeando hacia arriba desde 1.067,11). 9.1: Hipótesis nula y alternativa 23 . H 0 : p = 0,58 H a : p ≠ 0,58 24 . H 0 : p ≥ 0,58 H a : p < 0,58 25 . H 0 : μ ≥ 268.000 dólares H a : μ < 268.000 dólares 26 . H a : μ ≠ 107 27 . H a : p ≥ 0,25 9.2: Resultados y errores de tipo I y II 28 . un error de tipo I 29 . un error de tipo II 30 . Potencia = 1 – β = 1 – P (error de tipo II). 31 . La hipótesis nula es que el paciente no tiene cáncer. Un error de tipo I sería detectar un cáncer cuando no está presente. Un error de tipo II sería no detectar el cáncer cuando está presente. Un error de tipo II es más grave, ya que el hecho de no detectar el cáncer podría impedir que el paciente reciba el tratamiento adecuado. 32 . La prueba de detección tiene un diez por ciento de probabilidad de error de tipo I, lo que significa que el diez por ciento de las veces detectará TB cuando no esté presente. 33 . La prueba de detección tiene una probabilidad de error de tipo II del 20 %, lo que significa que el 20 % de las veces no detectará TB cuando en realidad está presente. 34 . El ochenta por ciento de las veces, la prueba de detección detectará TB cuando esté realmente presente. 9.3: Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis 35 . La distribución t de Student. 36 . La distribución normal o prueba z . 37 . La distribución normal con μ = p y σ = p q n 38 . t 24 . Se utiliza la distribución t porque no se conoce la desviación típica de la población, y los grados de libertad son 24 porque df = n – 1. 39 . X ¯ ~ N ( 0,95 , 0,051 100 ) Como se conoce la desviación típica de la población y se tiene una muestra grande, se puede utilizar la distribución normal. 9.4: Eventos poco comunes, la muestra, decisión y conclusión 40 . No se rechaza la hipótesis nula porque α ≤ p 41 . Rechaza la hipótesis nula porque α ≥ p . 42 . H 0 : μ ≥ 29,0” H a : μ < 29,0” 43 . t 19 . Como no se conoce la desviación típica de la población, se utiliza la distribución t . Los grados de libertad son 19, porque df = n – 1. 44 . El estadístico de prueba es –4,4721 y el valor p es 0,00013 con la función TTEST de la calculadora. 45 . Con α = 0,05, se rechaza la hipótesis nula. 46 . Con α = 0,05, el valor p es casi cero utilizando la función TTEST de la calculadora, por lo que se rechaza la hipótesis nula. 9.5: Información adicional y ejemplos de pruebas de hipótesis completas 47 . El nivel de significación es del cinco por ciento. 48 . dos colas 49 . una cola 50 . H 0 : p = 0,8 H a : p ≠ 0,8 51 . Utiliza la prueba normal para una proporción poblacional única porque np y nq son mayores que cinco. 10.1: Comparación de dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas 52 . Son coincidentes (emparejados), porque usted entrevistó a parejas casadas. 53 . Son independientes, porque los participantes se asignaron al azar a los grupos. 54 . Son coincidentes (emparejados), porque se han recopilado datos dos veces de cada persona. 55 . d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d = 4,8 – 4,2 1,6 = 0,375 Se trata de un tamaño del efecto pequeño, ya que 0,375 se sitúa entre los tamaños del efecto pequeño (0,2) y medio (0,5) de Cohen. 56 . d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d = 5,2 – 4,2 1,6 = 0,625 El tamaño del efecto es de 0,625. Según la norma de Cohen, se trata de un tamaño del efecto medio, ya que se sitúa entre los tamaños del efecto medio (0,5) y grande (0,8). 57 . valor p < 0,01. 58 . Solo rechazará la hipótesis nula si obtiene un valor significativamente inferior a la media hipotética de 110. 10.2: Comparación de dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales conocidas 59 . X ¯ 1 – X ¯ 2 , es decir, la diferencia media de la cantidad gastada en libros de texto para los dos grupos. 60 . H 0 : X ¯ 1 – X ¯ 2 ≤ 0 H a : X ¯ 1 – X ¯ 2 > 0 Esto también se podría escribir como: H 0 : X ¯ 1 ≤ X ¯ 2 H a : X ¯ 1 > X ¯ 2 61 . Use la función 2-SampTest de la calculadora y rechace la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de Ciencias gastan más en libros de texto que los de Humanidades. 62 . Use la función 2-SampTest de la calculadora y rechace la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 1 %, hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de Ciencias gastan más en libros de texto que los de Humanidades. 10.3: Comparación de dos proporciones de población independientes 63 . H 0 : p A = p B H a : p A ≠ p B 64 . p c = x A + x A n A + n A = 65 + 78 100 + 100 = 0,715 65 . Con la función de la calculadora 2-PropZTest el valor p = 0,0417. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 3 %, hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las proporciones de hogares de las dos comunidades que tienen servicio de cable. 66 . Con la función 2-PropZTest de la calculadora, el valor p = 0,0417. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 1 % no hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las proporciones de hogares de las dos comunidades que tienen servicio de cable. 10.4: Muestras coincidentes o emparejadas 67 . H 0 : x ¯ d ≥ 0 H a : x ¯ d < 0 68 . t = - 4,5644 69 . df = 30 – 1 = 29. 70 . Con la función TTEST de la calculadora, el valor p = 0,00004, por lo que se rechaza la hipótesis nula. Al nivel del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que los participantes perdieron peso, en promedio. 71 . Un estadístico t positivo significaría que los participantes, en promedio, aumentaron de peso durante los seis meses. 11.1: Datos sobre la distribución chi-cuadrado 72 . μ = df = 20 σ = 2 ( d e ) = 40 = 6,32 11.2: Prueba de bondad de ajuste 73 . Inscritos = 200(0,66) = 132. No inscritos = 200(0,34) = 68 74 . Observado (O) Esperado (E) O – E (O – E)2 ( O – E ) 2 z Inscritos 145 132 145 – 132 = 13 169 169 132 = 1,280 No inscritos 55 68 55 – 68 = -13 169 169 68 = 2,485 75 . df = n - 1 = 2 – 1 = 1. 76 . Con la función de la calculadora Chi-square GOF – Test (en STAT TESTS), el estadístico de prueba es 3,7656 y el valor p es 0,0523. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de la clase de graduados más recientes de la escuela secundaria de inscritos y no inscritos no se ajusta a la de la distribución nacional. 77 . se aproxima a la normal 78 . asimetría a la derecha 11.3: Prueba de independencia 79 . Móvil = Sí Móvil = No Total Primer año 250 ( 300 ) 500 = 150 250 ( 200 ) 500 = 100 250 Último año 250 ( 300 ) 500 = 150 250 ( 200 ) 500 = 100 250 Total 300 200 500 80 . ( 100 – 150 ) 2 150 = 16,67 ( 150 – 100 ) 2 100 = 25 ( 200 – 100 ) 2 150 = 16,67 ( 50 – 100 ) 2 100 = 25 81 . Chi-cuadrado = 16,67 + 25 + 16,67 + 25 = 83,34. df = ( r – 1)( c – 1) = 1 82 . valor p = P (Chi-cuadrado, 83,34) = 0 Rechaza la hipótesis nula. También puede usar la función de la calculadora STAT TESTS Chi-Square – Test. 11.4: Prueba de homogeneidad 83 . La tabla tiene cinco filas y dos columnas. df = ( r – 1)( c – 1) = (4)(1) = 4. 11.5: Resumen comparativo de las pruebas chi-cuadrado: Bondad de ajuste, independencia y homogeneidad 84 . Con la función de la calculadora (STAT TESTS) Chi-Square Test, el valor p = 0. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las respuestas del sondeo son independientes del grupo étnico de los participantes. 85 . El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco. 86 . H 0 : Las variables son independientes. H a : Las variables no son independientes. 87 . H 0 : Las poblaciones tienen la misma distribución. H a : Las poblaciones no tienen la misma distribución. 11.6: Prueba de una sola varianza 88 . H 0 : σ 2 ≤ 5 H a : σ 2 > 5 Prueba práctica 4 12.1 Ecuaciones lineales 1 . ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? y = –3 x y = 0,2 + 0,74 x y = –9,4 – 2 x A y B A, B y C 2 . Para completar un trabajo de pintura se necesitan cuatro horas de preparación más una hora por cada 1.000 pies cuadrados. ¿Cómo expresaría esta información en una ecuación lineal? 3 . Se paga a un instructor de estadística una tarifa por clase de 2.000 dólares más 100 dólares por cada estudiante de la clase. ¿Cómo expresaría esta información en una ecuación lineal? 4 . Una escuela de tutoría requiere que los estudiantes paguen una cuota de inscripción única de 500 dólares más una matrícula de 3.000 dólares al año. Exprese esta información en una ecuación. 12.2: Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Por los costos de mano de obra de las reparaciones un mecánico de automóviles cobra una tarifa fija de 75 dólares por automóvil, más una tarifa por hora de 55 dólares. 5 . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes de esta situación? 6 . Escriba la ecuación e identifique la pendiente y la intersección. 7 . ¿Cuál es el costo de la mano de obra para un trabajo que tarda 3,5 horas en terminarse? 8 . Un trabajo tarda 2,4 horas en terminarse, mientras que otro tarda 6,3 horas. ¿Cuál es la diferencia en los costos de mano de obra de estos dos trabajos? 12.3: Diagramas de dispersión 9 . Describa el patrón de este diagrama de dispersión y decida si las variables X y Y serían buenas candidatas para la regresión lineal. 10 . Describa el patrón de este diagrama de dispersión y decida si las variables X y Y serían buenas candidatas para la regresión lineal. 11 . Describa el patrón de este diagrama de dispersión y decida si las variables X y Y serían buenas candidatas para la regresión lineal. 12 . Describa el patrón de este diagrama de dispersión y decida si las variables X y Y serían buenas candidatas para la regresión lineal. 12.4: La ecuación de regresión Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La estatura (en pulgadas) y el peso (en libras) en una muestra de hombres de institutos universitarios de primer año que tienen una relación lineal con las siguientes estadísticas resumidas: x ¯ = 68,4 y ¯ = 141,6 s x = 4,0 s y = 9,6 r = 0,73. Supongamos que Y = peso y X = estatura, y escriba la ecuación de regresión en la forma: y ^ = a + b x 13 . ¿Cuál es el valor de la pendiente? 14 . ¿Cuál es el valor de la intersección en y ? 15 . Escriba la ecuación de regresión que predice el peso a partir de la estatura en este conjunto de datos, y calcule el peso predicho para alguien de 68 pulgadas de alto. 12.5: Coeficiente de correlación y coeficiente de determinación 16 . La correlación entre el peso de la carrocería y la eficiencia del combustible (medida en millas por galón) para una muestra de 2.012 modelos de automóviles es de –0,56. Calcule el coeficiente de determinación de estos datos y explique su significado. 17 . La correlación entre el promedio de calificaciones (Grade Point Average, GPA) de la escuela secundaria y el GPA del primer año del instituto universitario para una muestra de 200 estudiantes de educación superior es de 0,32. ¿Cuánta variación en el GPA del primer año de instituto universitario no se explica por el GPA de la escuela secundaria? 18 . Redondeado a dos decimales, ¿qué correlación entre dos variables es necesaria para tener un coeficiente de determinación de, al menos, 0,50? 12.6: Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación 19 . Escriba las hipótesis nula y alternativa de un estudio para determinar si dos variables están significativamente correlacionadas. 20 . En una muestra de 30 casos, dos variables tienen una correlación de 0,33. Haga una prueba t para ver si este resultado es significativo al nivel α = 0,05. Use la fórmula t = r n – 2 1 – r 2 21 . En una muestra de 25 casos, dos variables tienen una correlación de 0,45. Haga una prueba t para ver si este resultado es significativo al nivel α = 0,05. Use la fórmula t = r n – 2 1 – r 2 12.7: Predicción Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Un estudio que relaciona los gramos de potasio ( Y ) con los gramos de fibra ( X ) por porción en productos de harina enriquecida (pan, panecillos, etc.) produjo la ecuación: y ^ = 25 + 16 x 22 . Para un producto con cinco gramos de fibra por ración, ¿cuáles son los gramos de potasio esperados por ración? 23 . Al comparar dos productos, uno con tres gramos de fibra por ración y otro con seis gramos de fibra por ración, ¿cuál es la diferencia esperada en gramos de potasio por ración? 12.8: Valores atípicos 24 . En el contexto del análisis de regresión, ¿cuál es la definición de un valor atípico y cuál es la regla general para evaluar si un valor dado en un conjunto de datos es un valor atípico? 25 . En el contexto del análisis de regresión, ¿cuál es la definición de punto influyente y en qué se diferencia un punto influyente de un valor atípico? 26 . La línea de regresión de mínimos cuadrados para un conjunto de datos es y ^ = 5 + 0,3 x y la desviación típica de los residuos es de 0,4. ¿Un caso con los valores x = 2 y = 6,2 se considera un valor atípico? 27 . La línea de regresión de mínimos cuadrados para un conjunto de datos es y ^ = 2,3 – 0,1 x y la desviación típica de los residuos es de 0,13. ¿Un caso con los valores x = 4,1 y = 2,34 se considera un valor atípico? 13.1: ANOVA de una vía 28 . ¿Cuáles son los cinco supuestos básicos que hay que cumplir si se quiere hacer un análisis de varianza (ANalysis Of VAriance, ANOVA) de una vía? 29 . Usted está hacer un ANOVA de una vía para comparar la eficacia de cuatro fármacos en la reducción de la presión arterial en pacientes hipertensos. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? 30 . ¿Cuál es la principal diferencia entre la prueba t de muestras independientes y el ANOVA de una vía? 31 . Está comparando los resultados de tres métodos de enseñanza de geometría para estudiantes de escuela secundaria. Las calificaciones del examen final X 1 , X 2 , X 3 , para las muestras impartidas por los diferentes métodos tienen las siguientes distribuciones: X 1 ~ N (85; 3,6) X 1 ~ N (82; 4,8) X 1 ~ N (79; 2,9). Cada muestra incluye 100 estudiantes, y las calificaciones del examen final tienen un rango de 0 a 100. Suponiendo que las muestras sean independientes y seleccionadas al azar, ¿se han cumplido los requisitos para realizar un ANOVA de una vía? Explique por qué sí o por qué no para cada supuesto. 32 . Usted realiza un estudio en el que se compara la eficacia de cuatro tipos de fertilizantes para aumentar el rendimiento de los cultivos en sembradíos de trigo. Al examinar los resultados de la muestra, se halla que dos de las muestras tienen una distribución aproximadamente normal, y dos tienen una distribución aproximadamente uniforme. ¿Esto es una violación de los supuestos para realizar un ANOVA de una vía? 13.2: La distribución F Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Está realizando un estudio sobre tres tipos de suplementos alimenticios para el ganado vacuno para comprobar su eficacia a la hora de producir un aumento de peso entre los terneros, cuya alimentación incluye uno de los suplementos. Tiene cuatro grupos de 30 terneros (uno es un grupo de control que recibe el alimento habitual, pero sin suplemento). Llevará a cabo un ANOVA de una vía después de un año para ver si hay diferencias en el peso medio de los cuatro grupos. 33 . ¿Cuál es la suma de los cuadrados (Sum of Squares, SS) SS dentro en este experimento y qué significa? 34 . ¿Cuál es la SS entre en este experimento y qué significa? 35 . ¿Qué son k y i para este experimento? 36 . Si SS dentro = 374,5 y SS total = 621,4 para estos datos, ¿qué es SS entre ? 37 . ¿Qué son MS entre y MS dentro para este experimento? 38 . ¿Cuál es la estadística F para estos datos? 39 . Si hubiera habido 35 terneros en cada grupo, en vez de 30, y las sumas de los cuadrados siguieran siendo iguales, ¿sería el estadístico F mayor o menor? 13.3: Datos sobre la distribución F 40 . ¿Cuáles de los siguientes números son posibles estadísticas F ? 2,47 5,95 -3,61 7,28 0,97 41 . Los histogramas F 1 y F 2 que aparecen a continuación muestran la distribución de los casos de las muestras de dos poblaciones, una distribuida F 3, 15 y otra distribuida F 5, 500 . ¿Qué muestra procede de qué población? 42 . El estadístico F de un experimento con k = 3 y n = 50 es 3,67. Con α = 0,05, ¿rechazará la hipótesis nula? 43 . El estadístico F de un experimento con k = 4 y n = 100 es 4,72. Con α = 0,01, ¿rechazará la hipótesis nula? 13.4: Prueba de dos varianzas 44 . ¿Qué supuestos deben cumplirse para realizar la prueba F de dos varianzas? 45 . Cree que hay mayor varianza en las notas otorgadas por el Departamento de Matemáticas de su universidad que en el de Inglés. Usted recopila todas las notas de las clases de grado en los dos departamentos durante un semestre, calcula la varianza de cada una y realiza una prueba F de dos varianzas. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa de este estudio? Soluciones de la prueba de práctica 4 12.1 Ecuaciones lineales 1 . e. A, B y C. Las tres son ecuaciones lineales de la forma y = mx + b . 2 . Supongamos que y = el número total de horas necesarias, y x son los pies cuadrados, medidos en unidades de 1.000. La ecuación es: y = x + 4 3 . Supongamos que y = el pago total y x es el número de estudiantes de una clase. La ecuación es: y = 100( x ) + 2.000 4 . Supongamos que y = el costo total de la asistencia, y x es el número de años inscritos. La ecuación es: y = 3.000( x ) + 500 12.2: Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal 5 . La variable independiente son las horas trabajadas en un automóvil. La variable dependiente es el total de gastos de mano de obra para arreglar un automóvil. 6 . Supongamos que y = la carga total, y x es el número de horas necesarias. La ecuación es: y = 55 x + 75 La pendiente es 55 y la intersección es 75. 7 . y = 55(3,5) + 75 = 267,50 8 . Dado que la intersección está incluida en ambas ecuaciones, mientras que usted solo está interesado en la diferencia de costos, no necesita incluir la intersección en la solución. La diferencia en el número de horas requeridas es: 6,3 – 2,4 = 3,9. Multiplique esta diferencia por el costo por hora: 55(3,9) = 214,5. La diferencia de costo entre los dos trabajos es de 214,50 dólares. 12.3: Diagramas de dispersión 9 . Las variables X y Y tienen una fuerte relación lineal. Estas variables serían buenas candidatas para el análisis con regresión lineal. 10 . Las variables X y Y tienen una fuerte relación lineal negativa. Estas variables serían buenas candidatas para el análisis con regresión lineal. 11 . No hay una relación lineal clara entre las variables X y Y , por lo que no son buenas candidatas para la regresión lineal. 12 . Las variables X y Y tienen una fuerte relación positiva, pero es curvilínea y en vez de lineal. Estas variables no son buenas candidatas para la regresión lineal. 12.4: La ecuación de regresión 13 . r ( s y s x ) = 0,73 ( 9,6 4,0 ) = 1,752 ≈ 1,75 14 . a = y ¯ – b x ¯ = 141,6 – 1,752 ( 68,4 ) = 21,7632 ≈ 21,76 15 . y ^ = 21,76 + 1,75 ( 68 ) = 140,76 12.5: Coeficiente de correlación y coeficiente de determinación 16 . El coeficiente de determinación es el cuadrado de la correlación, o r 2 . Para estos datos, r 2 = (–0,56)2 = 0,3136 ≈ 0,31 o 31 %. Esto significa que el 31 % de la variación en la eficiencia del combustible se puede explicar por el peso de la carrocería del automóvil. 17 . El coeficiente de determinación = 0,32 2 = 0,1024. Esta es la cantidad de variación en el GPA de estudiantes de primer año del instituto universitario que puede ser explicada por el GPA de la escuela secundaria. La cantidad que no se puede explicar es 1 – 0,1024 = 0,8976 ≈ 0,90. Por lo tanto, cerca del 90 % de la varianza en el GPA de los estudiantes de instituto universitario de primer año en estos datos no se explica por el GPA de la escuela secundaria. 18 . r = r 2 0,5 = 0,707106781 ≈ 0,71 Se necesita una correlación de 0,71 o superior para tener un coeficiente de determinación de, al menos, 0,5. 12.6: Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación 19 . H 0 : ρ = 0 H a : ρ ≠ 0 20 . t = r n – 2 1 – r 2 = 0,33 30 – 2 1 – 0,33 2 = 1,85 El valor crítico para α = 0,05 para una prueba de dos colas utilizando la distribución t 29 es 2,045. Su valor es menor que este, por lo que no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el estudio no produjo ninguna evidencia de que las variables estén significativamente correlacionadas. Con la función tcdf de la calculadora, el valor p es 2tcdf(1,85; 10^99; 29) = 0,0373. No se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el estudio no ha aportado pruebas de que las variables estén significativamente correlacionadas. 21 . t = r n – 2 1 – r 2 = 0,45 25 – 2 1 – 0,45 2 = 2,417 El valor crítico para α = 0,05 para una prueba de dos colas utilizando la distribución t 24 es 2,064. Su valor es mayor que este, por lo que se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el estudio produjo evidencia de que las variables están significativamente correlacionadas. Con la función tcdf de la calculadora, el valor p es 2tcdf(2,417; 10^99; 24) = 0,0118. Rechace la hipótesis nula y concluya que el estudio produjo evidencia de que las variables están significativamente correlacionadas. 12.7: Predicción 22 . y ^ = 25 + 16 ( 5 ) = 105 23 . Como la intersección aparece en ambos valores esperados, puede ignorarla al calcular una puntuación de diferencia prevista. La diferencia en gramos de fibra por ración es de 6 – 3 = 3 y la diferencia prevista en gramos de potasio por ración es de (16)(3) = 48. 12.8: Valores atípicos 24 . Un valor atípico es un valor observado que se aleja de la línea de regresión de mínimos cuadrados. Una regla general es que un punto con más de dos desviaciones típicas de los residuos respecto a su valor predicho en la línea de regresión de mínimos cuadrados es un valor atípico. 25 . Un punto influyente es un valor observado en un conjunto de datos que está alejado de otros puntos del conjunto de datos, en una dirección horizontal. A diferencia de un valor atípico, un punto influyente se determina por su relación con otros valores del conjunto de datos, no por su relación con la línea de regresión. 26 . El valor previsto para y es: y ^ = 5 + 0,3 x = 5,6 . El valor de 6,2 está a menos de dos desviaciones típicas del valor previsto, por lo que no se considera un valor atípico. Residual para (2; 6,2): 6,2 – 5,6 = 0,6 (0,6 < 2(0,4)) 27 . El valor previsto para y es: y ^ = 2,3 – 0.1(4,1) = 1,89. El valor de 2,32 está a más de dos desviaciones típicas del valor previsto, por lo que se considera un valor atípico. Residual para (4,1; 2,34): 2,32 – 1,89 = 0,43 (0,43 > 2(0,13)) 13.1: ANOVA de una vía 28 . Cada muestra se extrae de una población distribuida normalmente Todas las muestras son independientes y se seleccionan al azar. Las poblaciones de las que se extraen las muestras tienen desviaciones típicas iguales. El factor es una variable categórica. La respuesta es una variable numérica. 29 . H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1, μ 2, μ 3, μ 4 no son iguales. 30 . La prueba t de muestras independientes solo puede comparar las medias de dos grupos, mientras que el ANOVA de una vía puede comparar las medias de más de dos grupos. 31 . Cada muestra parece haber sido extraída de una población distribuida normalmente, el factor es una variable categórica (método), el resultado es una variable numérica (calificación de la prueba) y se le dijo que las muestras eran independientes y seleccionadas al azar, por lo que se cumplen esos requisitos. Sin embargo, cada muestra tiene una desviación típica diferente, y esto sugiere que las poblaciones de las que se extrajeron también tienen desviaciones típicas diferentes, lo que supone una violación de un supuesto del ANOVA de una vía. Serán necesarios más estadísticos de prueba para comprobar el supuesto de igualdad de varianza antes de continuar con el análisis. 32 . Uno de los supuestos de un ANOVA de una vía es que las muestras proceden de poblaciones distribuidas normalmente. Dado que dos de sus muestras tienen una distribución aproximadamente uniforme, esto pone en duda que se cumpla esta hipótesis. Serán necesarios más estadísticos de prueba para determinar si puede continuar con el análisis. 13.2: La distribución F 33 . La SS dentro es la suma de los cuadrados dentro de los grupos, lo que representa la variación en el resultado que no puede atribuirse a los diferentes suplementos alimenticios, sino que se debe a factores individuales o al azar entre los terneros de cada grupo. 34 . La SS entre es la suma de los cuadrados entre los grupos, lo que representa la variación en el resultado que puede atribuirse a los diferentes suplementos alimenticios. 35 . k = el número de grupos = 4 n 1 = el número de casos del grupo 1 = 30 n = el número total de casos = 4(30) = 120 36 . SS total = SS dentro + SS entre por lo que SS entre = SS total – SS dentro 621,4 – 374,5 = 246,9 37 . Las medias cuadráticas en un ANOVA se hallan al dividir cada suma de cuadrados entre sus respectivos grados de libertad ( df ). Para SS total , df = n – 1 = 120 – 1 = 119. Para SS entre , df = k - 1 = 4 - 1 = 3. Para SS dentro , df = 120 – 4 = 116. MS entre = 246,9 3 = 82,3 MS dentro = 374,5 116 = 3,23 38 . F = M S b e t w e e n M S w i t h i n = 82,3 3,23 = 25,48 39 . Sería mayor, porque estaría dividiendo entre un número menor. El valor de MS entre no cambiaría con un cambio en el tamaño de la muestra, pero el valor de MS dentro sería menor, porque se estaría dividiendo entre un número mayor ( df dentro sería 136, no 116). Dividir una constante entre un número menor produce un resultado mayor. 13.3: Datos sobre la distribución F 40 . Todas menos la opción c, –3,61. Las estadísticas F son siempre mayores o iguales a 0. 41 . A medida que aumentan los grados de libertad en una distribución F , la distribución casi se normaliza. El histograma F 2 se acerca más a una distribución normal que el histograma F 1, por lo que la muestra que aparece en el histograma F 1 se extrajo de la población F 3, 15 , y la muestra que aparece en el histograma F 2 se extrajo de la población F 5, 500 . 42 . Con la función Fcdf de la calculadora, el valor p = Fcdf(3,67; 1E; 3,50) = 0,0182. rechazar la hipótesis nula. 43 . Con la función Fcdf de la calculadora, el valor p = Fcdf(4,72; 1E; 4; 100) = 0,0016. Rechaza la hipótesis nula. 13.4: Prueba de dos varianzas 44 . Las muestras se deben extraer de poblaciones distribuidas normalmente y de poblaciones independientes. 45 . Supongamos que σ M 2 = varianza en las notas de Matemáticas y σ E 2 = varianza en las notas de Inglés. H 0 : σ M 2 ≤ σ E 2 H a : σ M 2 > σ E 2 Práctica del examen final 1 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: El experimento consiste en lanzar dos dados de 12 caras (los números 1 a 12 están impresos en las caras de cada dado). Sea que el evento A = ambos dados muestran un número par. Sea que el evento B = ambos dados muestran un número superior a ocho. 1 . Los eventos A y B son: mutuamente excluyentes. independientes. mutuamente excluyentes e independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. 2 . Calcule P ( A | B ). 2 4 16 144 4 16 2 144 3 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es VERDADERA cuando comprobamos una hipótesis sobre muestras coincidentes o emparejadas? El tamaño de las muestras casi nunca es pequeño. Se toman dos medidas del mismo par de personas u objetos. Se comparan dos medias muestrales entre sí. Las opciones de respuesta b y c son ambas verdaderas. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: A ciento dieciocho estudiantes se les preguntó de qué tipo de color estaban pintadas sus habitaciones: colores claros, oscuros o llamativos. Los resultados se tabularon según el sexo. Colores claros Colores oscuros Colores llamativos Mujeres 20 22 28 Hombres 10 30 8 4 . Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea hombre o tenga un dormitorio pintado con colores claros. 10 118 68 118 48 118 10 48 5 . Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea hombre, dado que su dormitorio está pintado con colores oscuros. 30 118 30 48 22 118 30 52 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Nos interesa el número de veces que hay que recordarle a un adolescente que haga sus tareas cada semana. Se realizó una encuesta a 40 madres. La muestra los resultados de la encuesta. x P ( x ) 0 2 40 1 5 40 2 3 14 40 4 7 40 5 4 40 6 . Calcule la probabilidad de que a un adolescente se le recuerde dos veces que haga sus tareas. 8 8 40 6 40 2 7 . Calcule el número de veces que se le recuerda a un adolescente que haga sus tareas. 15 2,78 1,0 3,13 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: En un día cualquiera, aproximadamente el 37,5 % de los automóviles en el garaje de De Anza están estacionados en posición incorrecta. Seleccionamos al azar a 22 automóviles. Estamos interesados en el número de automóviles que están estacionados en posición incorrecta. 8 . Por cada 22 automóviles, ¿cuántos se espera que estén aparcados en posición incorrecta, en promedio? 8,25 11 18 7,5 9 . ¿Cuál es la probabilidad de que al menos diez de los 22 automóviles estén aparcados en posición incorrecta? 0,1263 0,1607 0,2870 0,8393 10 . Queremos hacer una prueba de hipótesis con una muestra de 15 calificaciones de la escala de inteligencia Stanford-Binet. Nuestra afirmación es que la calificación media de la escala de inteligencia Stanford-Binet es superior a 100. Se sabe que la desviación típica de todas las calificaciones de la escala de inteligencia Stanford-Binet es de 15 puntos. La distribución correcta que se utiliza para la comprobación de la hipótesis es: Binomial t de Student Normal Uniforme Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El instituto universitario De Anza mantiene estadísticas sobre el índice de aprobados de los estudiantes que se inscriben en las clases de Matemáticas. En una muestra de 1.795 estudiantes inscritos en Matemáticas 1A (Cálculo del 1.er trimestre), 1.428 aprobaron el curso. En una muestra de 856 estudiantes inscritos en Matemáticas 1B (Cálculo del 2.º trimestre), 662 aprobaron. En general, ¿los índices de aprobados de Matemáticas 1A y Matemáticas 1B son estadísticamente iguales? Supongamos que A = el subíndice de Matemáticas 1A y B = el subíndice de Matemáticas 1B. 11 . Si se realizara una comprobación adecuada, la hipótesis alternativa sería: H a : p A = p B H a : p A > p B H o : p A = p B H a : p A ≠ p B 12 . El error de tipo I: concluye que el índice de aprobados de Matemáticas 1A es igual al de Matemáticas 1B cuando, en realidad, los índices de aprobados son diferentes. concluye que el porcentaje de aprobados de Matemáticas 1A es diferente al de Matemáticas 1B cuando, en realidad, los porcentajes de aprobados son iguales. concluye que el porcentaje de aprobados de Matemáticas 1A es mayor que el de Matemáticas 1B cuando, en realidad, el porcentaje de aprobados de Matemáticas 1A es menor que el de Matemáticas 1B. concluye que el porcentaje de aprobados de Matemáticas 1A es igual al de Matemáticas 1B cuando, en realidad, son iguales. 13 . La decisión correcta es: rechaza H 0 no rechaza H 0 No hay suficiente información para hacer la prueba de la hipótesis. Kia, Alejandra e Iris son corredoras en los equipos de atletismo de tres escuelas diferentes. Sus tiempos de carrera, en minutos, y las estadísticas de los equipos de atletismo de sus respectivas escuelas para una carrera de una milla figuran en la siguiente tabla: Tiempo de ejecución Tiempo promedio de carrera de la escuela Desviación típica de la escuela Kia 4,9 5,2 0,15 Alejandra 4,2 4,6 0,25 Iris 4,5 4,9 0,12 14 . ¿Cuál es la MEJOR estudiante en comparación con las demás corredoras de su escuela? Kia Alejandra Iris Imposible de determinar Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Los siguientes precios de sudaderas de esquí para adultos son del catálogo de invierno de Gorsuch Ltd.: 212, 292, 278, 199, 280 y 236 dólares. Supongamos que la población subyacente del precio de la sudadera es aproximadamente normal. La hipótesis nula es que el precio medio de las sudaderas de esquí para adultos de Gorsuch Ltd. es de 275 dólares como mínimo. 15 . La distribución correcta que debería utilizarse para comprobar la hipótesis es Normal Binomial t de Student Exponencial 16 . La prueba de la hipótesis: es de dos colas. es de cola izquierda. es de cola derecha. no tiene colas. 17 . Sara, estudiante de estadística, quería determinar la media del número de libros que los profesores de institutos universitarios tienen en su oficina. Seleccionó al azar dos edificios del campus y le preguntó a cada profesor de los edificios seleccionados cuántos libros hay en su oficina. Sara encuestó a 25 profesores. El tipo seleccionado de muestreo es muestreo aleatorio simple. muestreo sistemático. muestreo por conglomerados. muestreo estratificado. 18 . ¿Una tienda de ropa utilizaría qué medida del centro de datos al hacer pedidos para el típico cliente \"medio\"? media mediana moda IQR 19 . En una comprobación de la hipótesis, el valor p es la probabilidad de que un resultado de los datos ocurra por pura casualidad cuando la hipótesis nula es verdadera. llamado el alfa preconcebido. comparado con beta para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula. Las opciones de respuesta A y B son ambas verdaderas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Un colegio comunitario ofrece clases 6 días a la semana: de lunes a sábado. María realizó un estudio de los estudiantes de sus clases para determinar cuántos días a la semana acuden al campus los estudiantes que están en sus clases. En cada una de sus 5 clases seleccionó al azar a 10 estudiantes y les preguntó cuántos días acudían al campus para asistir a clases. Todas sus clases son del mismo tamaño. Los resultados de su encuesta se resumen en la . Número de días en el campus Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 2 2 12 0,24 3 10 0,20 4 0,98 5 0 6 1 0,02 1,00 20 . Además del muestreo de conveniencia, ¿qué otra técnica de muestreo utilizó María? simple aleatorio sistemático conglomerado estratificado 21 . ¿Cuántos estudiantes acuden al campus para recibir clases cuatro días a la semana? 49 25 30 13 22 . ¿Cuál es el percentil 60 de estos datos? 2 3 4 5 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Los siguientes datos son los resultados de una encuesta aleatoria realizada a 110 reservistas llamados a servicio activo para aumentar la seguridad en aeropuertos de California. Número de dependientes Frecuencia 0 11 1 27 2 33 3 20 4 19 23 . Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional real del número de dependientes de los reservistas llamados a servicio activo para aumentar la seguridad en aeropuertos de California. (1,85, 2,32) (1,80, 2,36) (1,97, 2,46) (1,92, 2,50) 24 . El intervalo de confianza del 95 % significa: El cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera no contendrán el verdadero número promedio de dependientes de la población. Tenemos un 95 % de confianza para que el número de la media real de la población de dependientes caiga en el intervalo. Las dos opciones de respuesta anteriores son correctas. Ninguna de las anteriores. 25 . X ~ U (4; 10). Calcule el percentil 30 . 0,3000 3 5,8 6,1 26 . Si X ~ Ex p(0,8), entonces P ( x < μ ) = __________ 0,3679 0,4727 0,6321 no se puede determinar 27 . La vida útil de un tablero de circuito de computadora se distribuye normalmente con una media de 2.500 horas y una desviación típica de 60 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que un tablero seleccionado al azar dure como máximo 2.560 horas? 0,8413 0,1587 0,3461 0,6539 28 . Se realizó una encuesta entre 123 reservistas llamados a servicio activo como consecuencia de los atentados del 11 de septiembre de 2001 para determinar la proporción de los que estaban casados. Ochenta y seis declararon estar casados. Construya un intervalo de confianza del 98 % para la verdadera proporción de la población de reservistas llamados al servicio activo que están casados. (0,6030, 0,7954) (0,6181, 0,7802) (0,5927, 0,8057) (0,6312, 0,7672) 29 . Los tiempos de victoria en los maratones de 26 millas de corredores de talla mundial tienen un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Se recopila una muestra de los últimos diez tiempos de los ganadores de maratones. Supongamos que x = los tiempos medios de victoria en diez maratones. La distribución para x es: N ( 145 , 14 10 ) N ( 145 , 14 ) t 9 t 10 30 . Supongamos que Phi Beta Kappa distingue al uno por ciento de los mejores estudiantes de último año de institutos universitarios y universidades. Suponga que la media del promedio de calificaciones (GPA) en un instituto universitario determinado se distribuye normalmente con una media de 2,5 y una desviación típica de 0,5. ¿Cuál sería el GPA mínimo necesario para ser miembro de Phi Beta Kappa en esa universidad? 3,99 1,34 3,00 3,66 El número de personas que viven en granjas en Estados Unidos ha disminuido constantemente durante el siglo XX . Estos son los datos sobre la población agrícola (en millones de personas) de 1935 a 1980. Año 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 Población 32,1 30,5 24,4 23,0 19,1 15,6 12,4 9,7 8,9 7,2 31 . La ecuación de regresión lineal es y ^ = 1166,93 - 0,5868 x . ¿Cuál era la población agrícola prevista (en millones de personas) para 1980? 7,2 5,1 6,0 8,0 32 . En la regresión lineal, ¿cuál es la mejor SSE posible? 13,46 18,22 24,05 16,33 33 . En el análisis de regresión, si el coeficiente de correlación es cercano a uno, ¿qué se puede decir de la línea de mejor ajuste? Es una línea horizontal. Por lo tanto, no podemos utilizarla. Hay un fuerte patrón lineal. Por lo tanto, es muy probable que sea un buen modelo para utilizar. El coeficiente de correlación está cerca del límite. Por lo tanto, es difícil tomar una decisión. No tenemos la ecuación. Por lo tanto, no podemos decir nada al respecto. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: En un estudio sobre los planes de carrera de mujeres y hombres jóvenes se enviaron cuestionarios a los 722 miembros de la clase de último año de la Facultad de Administración y Negocios de la Universidad de Illinois. Una de las preguntas se refería a la especialidad que el estudiante había elegido dentro del programa de Negocios. Estos son los datos de los estudiantes que respondieron. ¿Los datos sugieren que existe una relación entre el sexo de los estudiantes y su elección de especialidad? Mujeres Hombres Contabilidad 68 56 Administración 91 40 Economía 5 6 Finanzas 61 59 34 . La distribución para la prueba es: Chi 2 8 . Chi 2 3 . t 721 . N ( 0 , 1 ) . 35 . El número previsto de mujeres que eligen las finanzas es: 37. 61. 60. 70. 36 . El valor p es 0,0127 y el nivel de significación es 0,05. La conclusión de la prueba es: no hay pruebas suficientes para concluir que la elección de la especialidad y el sexo del estudiante no son independientes entre sí. hay pruebas suficientes para concluir que la elección de la especialidad y el sexo del estudiante no son independientes entre sí. hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes hallan la economía muy difícil. hay pruebas suficientes para concluir que hay más mujeres que prefieren la administración que los hombres. 37 . Una agencia informó que la fuerza laboral en todo el país está compuesta por un 10 % de profesionales, un 10 % de administrativos, un 30 % de trabajadores cualificados, un 15 % de trabajadores de servicios y un 35 % de trabajadores semicualificados. Una muestra aleatoria de 100 residentes en San José indicó que había 15 profesionales, 15 administrativos, 40 trabajadores cualificados, 10 trabajadores de servicios y 20 trabajadores semicualificados. Con α = 0,10, ¿parece que la fuerza laboral de San José es coherente con el informe de la agencia para el país? ¿Qué tipo de prueba es? Bondad de ajuste de chi 2 Prueba de independencia de chi 2 Proporciones de grupos independientes No se puede determinar Soluciones del examen final de práctica 1 Soluciones 1 . b. independiente 2 . c. 4 16 3 . b. Se toman dos medidas del mismo par de personas u objetos. 4 . b. 68 118 5 . d. 30 52 6 . b. 8 40 7 . b. 2,78 8 . a. 8,25 9 . c. 0,2870 10 . c. Normal 11 . d. H a : p A ≠ p B 12 . b. concluye que el porcentaje de aprobados de Matemáticas 1A es diferente al de Matemáticas 1B cuando, en realidad, los porcentajes de aprobados son iguales. 13 . b. no rechazar H 0 14 . c. Iris 15 . c. t de Student 16 . b. es de cola izquierda. 17 . c. muestreo por conglomerados 18 . b. mediana 19 . a. la probabilidad de que un resultado de los datos ocurra por pura casualidad cuando la hipótesis nula es verdadera. 20 . d. estratificado 21 . b. 25 22 . c. 4 23 . a. (1,85, 2,32) 24 . c. Ambas anteriores son correctas. 25 . c. 5,8 26 . c. 0,6321 27 . a. 0,8413 28 . a. (0,6030, 0,7954) 29 . a. N 145 14 10 30 . d. 3,66 31 . b. 5,1 32 . a. 13,46 33 . b. Hay un fuerte patrón lineal. Por lo tanto, es muy probable que sea un buen modelo para utilizar. 34 . b. Chi 2 3 . 35 . d. 70 36 . b. Hay pruebas suficientes para concluir que la elección de la especialidad y el sexo del estudiante no son independientes entre sí. 37 . a. Chi 2 bondad de ajuste Práctica del examen final 2 1 . Se hizo un estudio para determinar la proporción de adolescentes que tienen un automóvil. La proporción de población de adolescentes que tienen un automóvil es la: estadístico. parámetro. población. variable. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: valor frecuencia 0 1 1 4 2 7 3 9 6 4 2 . El diagrama de caja para los datos es: 3 . Si se suma seis a cada valor de los datos de la tabla, el percentil 15 de la nueva lista de valores es: seis uno siete ocho Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que se produzca una sequía en cualquier año independiente es del 20 %. De los años en los que se produce una sequía, la probabilidad de racionamiento de agua es del diez por ciento. Sin embargo, en cualquier año, la probabilidad de racionamiento de agua es del cinco por ciento. 4 . ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca tanto una sequía como racionamiento de agua? 0,05 0,01 0,02 0,30 5 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? La sequía y el racionamiento de agua son eventos independientes. La sequía y el racionamiento de agua son eventos mutuamente excluyentes. Ninguna de las anteriores. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Supongamos que una encuesta arroja los siguientes datos: Tarta favorita sexo manzana calabaza pacana mujer 40 10 30 hombre 20 30 10 6 . Supongamos que se elige una persona al azar. La probabilidad de que la tarta favorita de la persona sea de manzana o de que la persona sea hombre es _____. 40 60 60 140 120 140 100 140 7 . Supongamos que H 0 es: La tarta favorita y el sexo son independientes. El valor p es ______. ≈ 0 1 0,05 no se puede determinar Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que un adulto vea las noticias, al menos, una vez a la semana sea de 0,60. Encuestamos 14 personas al azar. Nos interesa el número de personas que ven las noticias, al menos, una vez por semana. 8 . ¿Cuál de los siguientes enunciados es FALSO? X ~ B (14 0,60) Los valores de x son: {1, 2, 3, ..., 14}. μ = 8,4 P ( X = 5) = 0,0408 9 . Calcule la probabilidad de que al menos seis adultos vean las noticias al menos una vez a la semana. 6 14 0,8499 0,9417 0,6429 10 . ¿Qué distribución de muestreo es probable que haya generado el siguiente histograma? chi-cuadrado con df = 6 exponencial uniforme binomial 11 . Se sabe que las edades de los estudiantes diurnos y nocturnos del campus se distribuyen normalmente. Una muestra de seis estudiantes diurnos y nocturnos del campus declararon sus edades (en años) como: {18, 35, 27, 45, 20, 20}. ¿Cuál es el límite de error para el intervalo de confianza del 90 % de la edad promedio real? 11,2 22,3 17,5 8,7 12 . Si una variable aleatoria con distribución normal tiene µ = 0 y σ = 1, entonces el 97,5 % de los valores de la población están por encima de: -1,96. 1,96. 1. -1. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se sabe que la cantidad de dinero que un cliente gasta cuando va al supermercado tiene una distribución exponencial. Supongamos que la cantidad promedio de dinero que gasta un cliente cuando va al supermercado es de 72 dólares. 13 . ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente gaste menos de 72 dólares en un viaje al supermercado? 0,6321 0,5000 0,3714 1 14 . ¿Cuánto dinero en total espera que gasten los próximos cinco clientes en un solo viaje al supermercado (en dólares)? 72 72 2 5 5184 360 15 . Si se quiere calcular la probabilidad de que la cantidad media de dinero que 50 clientes gastan en un viaje al supermercado sea inferior a 60 dólares, la distribución que debería utilizarse es: N (72, 72) N ( 72 , 72 50 ) Exp (72) E x p ( 1 72 ) Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que tarda un estudiante de cuarto grado en sacar la basura se distribuye uniformemente en el intervalo de uno a diez minutos. 16 . ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de cuarto grado elegido al azar tarde más de siete minutos en sacar la basura? 3 9 7 9 3 10 7 10 17 . ¿Qué gráfico muestra mejor la probabilidad de que un estudiante de cuarto grado elegido al azar tarde más de seis minutos en sacar la basura dado que ya ha tardado más de tres minutos? 18 . ¿Cuántos minutos deberíamos esperar que un estudiante de cuarto grado tarde en sacar la basura? 4,5 5,5 5 10 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Al principio del trimestre, el tiempo que un estudiante espera en la fila de la cafetería del campus se distribuye normalmente, con una media de cinco minutos y una desviación típica de 1,5 minutos. 19 . ¿Cuál es el percentil 90 de los tiempos de espera (en minutos)? 1,28 90 7,47 6,92 20 . La mediana de tiempo de espera (en minutos) para un estudiante es: 5. 50. 2,5. 1,5. 21 . Calcule la probabilidad de que el tiempo promedio de espera de diez estudiantes sea como máximo de 5,5 minutos. 0,6301 0,8541 0,3694 0,1459 22 . Se toma una muestra de 80 ingenieros de software en Silicon Valley y se comprueba que el 20 % de ellos gana 50.000 dólares al año aproximadamente. Una estimación puntual de la verdadera proporción de ingenieros en Silicon Valley que ganan 50.000 dólares al año es: 16. 0,2. 1. 0,95. 23 . Si P ( Z < z α ) = 0,1587 donde Z ~ N (0, 1), entonces α es igual a: -1. 0,1587. 0,8413. 1. 24 . Un profesor hizo una prueba a 35 estudiantes para determinar sus habilidades al inicio del curso. Al final del trimestre, tras completar el curso, se administró la misma prueba a los mismos 35 estudiantes para indagar sobre su mejora. Esta sería una prueba de: grupos independientes. dos proporciones. pares coincidentes, grupos dependientes. grupos exclusivos. Todos los niños de tercer grado que asisten a la escuela ABC presentaron un examen de Matemáticas. Se tomaron dos muestras aleatorias de calificaciones. n x ¯ s Niños 55 82 5 Niñas 60 86 7 25 . ¿Cuál de las siguientes opciones describe correctamente los resultados de la comprobación de hipótesis de la afirmación \"existe una diferencia entre las puntuaciones medias obtenidas por las niñas y los niños de tercer grado al nivel de significación del 5 %\"? No rechazar H 0 . No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las calificaciones medias. No rechazar H 0 . Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las calificaciones medias. Rechazar H 0 . No hay pruebas suficientes para concluir que no hay diferencias en las calificaciones medias. Rechazar H 0 . Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las calificaciones medias. 26 . En una encuesta realizada a 80 hombres, 45 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. De las 70 mujeres encuestadas, 25 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. Nos interesa saber si la proporción de hombres es mayor que la de mujeres. La conclusión correcta es que: no hay información suficiente para concluir que la proporción de hombres es igual a la de mujeres. no hay información suficiente para concluir que la proporción de hombres no es igual a la de mujeres. hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres es mayor que la de mujeres. no hay suficiente información para llegar a una conclusión. 27 . Por experiencia, un maestro de estadística ha comprobado que la calificación promedio en un examen parcial es de 81 con una desviación típica de 5,2. Este trimestre, una clase de 49 estudiantes tuvo una desviación típica de 5 en el examen parcial. ¿Los datos indican que debemos rechazar la afirmación del maestro de que la desviación típica es de 5,2? Utilice α = 0,05. Sí No No se da suficiente información para resolver el problema 28 . Se comparan tres máquinas de carga. Se tomaron diez muestras para cada máquina. La máquina I tardó un promedio de 31 minutos en cargar los paquetes con una desviación típica de dos minutos. La máquina II tardó un promedio de 28 minutos en cargar los paquetes con una desviación típica de 1,5 minutos. La máquina III tardó un promedio de 29 minutos en cargar los paquetes con una desviación típica de un minuto. Calcule el valor p al probar que el promedio de los tiempos de carga es el mismo. el valor p es cercano a cero el valor p es cercano a uno no se da suficiente información para resolver el problema Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Una compañía tiene oficinas en diferentes partes del país. Ha recopilado la siguiente información sobre el número de baños y el número de empleados en siete centros: Número de empleados x 650 730 810 900 102 107 1150 Número de baños y 40 50 54 61 82 110 121 29 . ¿Es significativa la correlación entre el número de empleados y el número de baños? Sí No No hay suficiente información para responder la pregunta 30 . La ecuación de regresión lineal es: ŷ = 0,0094 − 79,96 x ŷ = 79,96 + 0,0094 x ŷ = 79,96 − 0,0094 x ŷ = −0,0094 + 79,96 x 31 . Si un centro tiene 1.150 empleados, ¿cuántos baños debería tener aproximadamente? 69 91 91.954 Aquí no deberíamos hacer estimaciones. 32 . Supongamos que se recopila una muestra de tamaño diez, con x ¯ = 4,4 y s = 1,4. H 0 : σ 2 = 1,6 versus H a : σ 2 ≠ 1,6. ¿Qué gráfico describe mejor los resultados de la prueba? Se les preguntó a sesenta y cuatro mochileros sobre el número de días transcurridos desde su viaje más reciente. El número de días se indica en : Número de días 1 2 3 4 5 6 7 8 Frecuencia 5 9 6 12 7 10 5 10 33 . Realice una prueba adecuada para determinar si la distribución es uniforme. El valor p es > 0,10. No hay información suficiente para concluir que la distribución no es uniforme. El valor p es < 0,01. Hay suficiente información para concluir que la distribución no es uniforme. El valor p está entre 0,01 y 0,10, pero sin alfa ( α ) no hay suficiente información No hay ninguna prueba que se pueda realizar. 34 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta cuando se utiliza el ANOVA de una vía? Las poblaciones de las que se seleccionan las muestras tienen distribuciones diferentes. El tamaño de las muestras es grande. La prueba consiste en determinar si los diferentes grupos tienen las mismas medias. Existe una correlación entre los factores del experimento. Soluciones del examen final de práctica 2 Soluciones 1 . b. parámetro. 2 . a. 3 . c. siete 4 . c. 0,02 5 . c. ninguna de las anteriores 6 . d. 100 140 7 . a. ≈ 0 8 . b. Los valores de x son: {1, 2, 3,..., 14} 9 . c. 0,9417. 10 . d. binomial 11 . d. 8,7 12 . a. –1,96 13 . a. 0,6321 14 . d. 360 15 . b. N ( 72 , 72 50 ) 16 . a. 3 9 17 . d. 18 . b. 5,5 19 . d. 6,92 20 . a. 5 21 . b. 0,8541 22 . b. 0,2 23 . a. –1. 24 . c. pares coincidentes, grupos dependientes. 25 . d. Rechazar H 0 . Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia en las calificaciones medias. 26 . c. hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres es mayor que la de mujeres. 27 . b. no 28 . b. El valor p es cercano a 1. 29 . b. No 30 . c. y ^ = 79,96 x – 0,0094 31 . d. Aquí no deberíamos hacer estimaciones. 32 . a. 33 . a. El valor p es > 0,10. No hay información suficiente para concluir que la distribución no es uniforme. 34 . c. La prueba consiste en determinar si los diferentes grupos tienen las mismas medias.", "section": "Pruebas prácticas (de la 1 a la 4) y exámenes finales", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Conjuntos de datos Tiempos de vuelta Las siguientes tablas proporcionan los tiempos de vuelta del libro de registro de Terri Vogel. Los tiempos se registran en segundos para las vueltas de 2,5 millas completadas en una serie de carreras y carreras de práctica. Tiempos de vuelta de carrera (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Carrera 1 135 130 131 132 130 131 133 Carrera 2 134 131 131 129 128 128 129 Carrera 3 129 128 127 127 130 127 129 Carrera 4 125 125 126 125 124 125 125 Carrera 5 133 132 132 132 131 130 132 Carrera 6 130 130 130 129 129 130 129 Carrera 7 132 131 133 131 134 134 131 Carrera 8 127 128 127 130 128 126 128 Carrera 9 132 130 127 128 126 127 124 Carrera 10 135 131 131 132 130 131 130 Carrera 11 132 131 132 131 130 129 129 Carrera 12 134 130 130 130 131 130 130 Carrera 13 128 127 128 128 128 129 128 Carrera 14 132 131 131 131 132 130 130 Carrera 15 136 129 129 129 129 129 129 Carrera 16 129 129 129 128 128 129 129 Carrera 17 134 131 132 131 132 132 132 Carrera 18 129 129 130 130 133 133 127 Carrera 19 130 129 129 129 129 129 128 Carrera 20 131 128 130 128 129 130 130 Tiempos de vuelta de práctica (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Práctica 1 142 143 180 137 134 134 172 Práctica 2 140 135 134 133 128 128 131 Práctica 3 130 133 130 128 135 133 133 Práctica 4 141 136 137 136 136 136 145 Práctica 5 140 138 136 137 135 134 134 Práctica 6 142 142 139 138 129 129 127 Práctica 7 139 137 135 135 137 134 135 Práctica 8 143 136 134 133 134 133 132 Práctica 9 135 134 133 133 132 132 133 Práctica 10 131 130 128 129 127 128 127 Práctica 11 143 139 139 138 138 137 138 Práctica 12 132 133 131 129 128 127 126 Práctica 13 149 144 144 139 138 138 137 Práctica 14 133 132 137 133 134 130 131 Práctica 15 138 136 133 133 132 131 131 Precios de las acciones La siguiente tabla recoge los precios de las acciones de la oferta pública inicial (OPI) de todos los valores de 1999 que al menos duplicaron su valor durante el primer día de cotización. Precios de oferta de la OPI $17,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $26,00 $20,00 $22,00 $14,00 $15,00 $22,00 $18,00 $18,00 $21,00 $21,00 $19,00 $15,00 $21,00 $18,00 $17,00 $15,00 $25,00 $14,00 $30,00 $16,00 $10,00 $20,00 $12,00 $16,00 $17,44 $16,00 $14,00 $15,00 $20,00 $20,00 $16,00 $17,00 $16,00 $15,00 $15,00 $19,00 $48,00 $16,00 $18,00 $9,00 $18,00 $18,00 $20,00 $8,00 $20,00 $17,00 $14,00 $11,00 $16,00 $19,00 $15,00 $21,00 $12,00 $8,00 $16,00 $13,00 $14,00 $15,00 $14,00 $13,41 $28,00 $21,00 $17,00 $28,00 $17,00 $19,00 $16,00 $17,00 $19,00 $18,00 $17,00 $15,00 $14,00 $21,00 $12,00 $18,00 $24,00 $15,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $24,00 $20,00 $14,00 $14,00 $15,00 $14,00 $19,00 $16,00 $38,00 $20,00 $24,00 $16,00 $8,00 $18,00 $17,00 $16,00 $15,00 $7,00 $19,00 $12,00 $8,00 $23,00 $12,00 $18,00 $20,00 $21,00 $34,00 $16,00 $26,00 $14,00 Referencias Datos recopilados por Jay R. Ritter, de la Universidad de Florida, con datos de Securities Data Co. y Bloomberg .", "section": "Conjuntos de datos", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Proyectos de grupos y asociaciones Datos univariantes Objetivos de aprendizaje de los estudiantes El estudiante diseñará y realizará una encuesta. El estudiante analizará y representará gráficamente los resultados de la encuesta. Instrucciones A medida que vaya terminando cada una de las tareas que aparecen a continuación, márquelas. Responda a todas las preguntas de su resumen. ____ Decida qué datos va a considerar. Aquí hay dos ejemplos, pero NO puede usarlos: número de M&M por bolsa, número de lápices que los estudiantes tienen en sus mochilas. ____ ¿Sus datos son discretos o continuos? ¿Cómo lo sabe? ____ Decida cómo va a recoger los datos (por ejemplo, compre 30 bolsas de M&M; recoja datos de internet). ____ Describa su técnica de muestreo en detalle. Utilice muestreos por conglomerados, estratificado, sistemático o aleatorio simple (mediante un generador de números aleatorio). No use el muestreo de conveniencia. ¿Qué método utilizó? ¿Por qué eligió ese método? ____ Realice su encuesta. El tamaño de sus datos debe ser de al menos 30. ____ Resuma sus datos en un gráfico con columnas que muestren el valor de los datos, la frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada. Conteste lo siguiente (redondeado a dos decimales) x ¯ = _____ s = _____ Primer cuartil = _____ Mediana = _____ Percentil 70 = _____ ____ ¿Qué valor está dos desviaciones típicas por encima de la media? ____ ¿Qué valor está 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media? ____ Realice un histograma que muestre sus datos. ____ En frases completas, describa la forma de su gráfico. ____ ¿Nota algún valor atípico potencial? Si es así, ¿qué valores son? Muestre su trabajo sobre cómo utilizó la fórmula de valores atípicos potenciales para determinar si los valores podrían ser atípicos o no. ____ Realice un diagrama de caja y bigotes que muestre sus datos. ____ ¿El 50 % medio de los datos parece estar concentrado o disperso? Explique cómo lo determinó. ____ Observe tanto el histograma como el diagrama de caja y bigotes y discuta la distribución de sus datos. Lista de comprobación de asignaciones Entregue el siguiente paquete mecanografiado y engrapado, con las páginas en el siguiente orden: ____ Portada : nombre, hora de la clase y nombre de su estudio ____ Página de resumen : Debe contener párrafos escritos con frases completas. Debe incluir las respuestas a todas las preguntas anteriores. También debe incluir afirmaciones que describan la población estudiada, la muestra, el parámetro o los parámetros estudiados y la estadística o las estadísticas producidas. ____ URL de los datos, si sus datos proceden de internet ____ Cuadro de datos, frecuencia, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada ____ Página(s) de gráficos: histograma y diagrama de caja y bigotes Distribuciones continuas y teorema del límite central Objetivos de aprendizaje de los estudiantes El estudiante recogerá una muestra de datos continuos. El estudiante intentará ajustar la muestra de datos a varios modelos de distribución. El estudiante validará el teorema del límite central. Instrucciones A medida que vaya terminando cada una de las tareas que aparecen a continuación, márquelas. Responda a todas las preguntas en su resumen. Parte I: Muestreo ____ Decida qué datos continuos va a estudiar. (He aquí dos ejemplos, pero NO puede utilizarlos: la cantidad de dinero que un estudiante ha gastado en material universitario este trimestre, o la duración de una llamada telefónica a distancia). ____ Describa detalladamente su técnica de muestreo. Utilice muestreos por conglomerados, estratificado, sistemático o aleatorio simple (mediante un generador de números aleatorio). No use el muestreo de conveniencia. ¿Qué método utilizó? ¿Por qué eligió ese método? ____ Realice su encuesta. Reúna al menos 150 datos continuos y cuantitativos . ____ Defina (en palabras) la variable aleatoria de sus datos. X = _______ ____ Cree dos listas con sus datos: (1) datos no ordenados, (2) en orden de menor a mayor. ____ Halle la media muestral y la desviación típica de la muestra (redondeada a dos decimales). x ¯ = ______ s = ______ ____ Construya un histograma de sus datos que contenga de cinco a diez intervalos de igual anchura. El histograma debe ser una muestra representativa de sus datos. Identifíquelo y escálelo. Parte II: Distribuciones posibles ____ Supongamos que X sigue las siguientes distribuciones teóricas. Configure cada distribución utilizando la información apropiada de sus datos. ____ Uniforme: X ~ U ____________ Utilice los valores más bajos y más altos como a y b . ____ Normal: X ~ N ____________ Use x ¯ para estimar μ y s para estimar σ . ____ ¿Deben sus datos ajustarse a una de las distribuciones anteriores? Explique por qué sí o por qué no. ____ ¿Podrían los datos ajustarse a dos o tres de las distribuciones anteriores (al mismo tiempo)? Explique. ____ Calcule el valor k (un valor X ) que está 1,75 desviaciones típicas por encima de la media muestral. k = _________ (redondeado a dos decimales) Note que: k = x ¯ + (1,75 )s ____ Determine las frecuencias relativas (RF ) redondeadas a cuatro decimales. Nota R F = frecuencia número total de encuestados RF (X < k ) = ______ RF (X > k ) = ______ RF (X = k ) = ______ Nota Debe tener una página para la distribución uniforme, una para la distribución exponencial y otra para la distribución normal. ____ Indique la distribución: X ~ _________ ____ Dibuje un gráfico para cada una de las tres distribuciones teóricas. Rotule los ejes y márquelos adecuadamente. ____ Halle las siguientes probabilidades teóricas (redondeadas a cuatro decimales). P ( X < k ) = ______ P ( X > k ) = ______ P ( X = k ) = ______ ____ Compare las frecuencias relativas con las probabilidades correspondientes. ¿Los valores son cercanos? ____ ¿Parece que los datos se ajustan bien a la distribución? Justifique tu respuesta comparando las probabilidades con las frecuencias relativas y los histogramas con los gráficos teóricos. Parte III: Experimentos del CLT ______ A partir de sus datos originales (antes de ordenarlos), utilice un generador de números aleatorios para elegir 40 muestras de tamaño cinco. En cada muestra, calcule el promedio. ______ En una página separada, adjunta al resumen, incluya las 40 muestras de tamaño cinco, junto con los 40 promedios de las muestras. ______ Enumere los 40 promedios en orden de menor a mayor. ______ Defina la variable aleatoria, X ¯ , en palabras. X ¯ = _______________ ______ Indique la distribución teórica aproximada de X ¯ . X ¯ ~ ______________ ______ Base esto en la media y la desviación típica de sus datos originales. ______ Construya un histograma que muestre sus datos. Utilice de cinco a seis intervalos de igual anchura. Identifíquelo y escálelo. Calcule el valor k ¯ (un valor X ¯ ) que está 1,75 desviaciones típicas por encima de la media muestral. k ¯ = _____ (redondeado a dos decimales) Determine las frecuencias relativas ( RF ) redondeadas a cuatro decimales. RF ( X ¯ < k ¯ ) = _______ RF ( X ¯ > k ¯ ) = _______ RF ( X ¯ = k ¯ ) = _______ Halle las siguientes probabilidades teóricas (redondeadas a cuatro decimales). P ( X ¯ < k ¯ ) = _______ P ( X ¯ > k ¯ ) = _______ P ( X ¯ = k ¯ ) = _______ ______ Dibuje el gráfico de la distribución teórica de X . ______ Compare las frecuencias relativas con las probabilidades. ¿Los valores son cercanos? ______ ¿Parece que los datos de los promedios se ajustan bien a la distribución de X ¯ ? Justifique su respuesta comparando las probabilidades con las frecuencias relativas y el histograma con el gráfico teórico. Responda a las siguientes preguntas en tres o cinco frases completas para cada una. Dé explicaciones detalladas. ______ En resumen, ¿los datos originales parecen ajustarse a las distribuciones uniforme, exponencial o normal? Responda por qué sí o por qué no para cada distribución. Si los datos no se ajustan a ninguna de esas distribuciones, explique por qué. ______ ¿Qué ocurrió con la forma y la distribución cuando promedió sus datos? En teoría , ¿qué pudo haber pasado? En teoría, ¿siempre ocurriría \"eso\"? ¿Por qué sí o por qué no? ______ ¿Las frecuencias relativas comparadas con las probabilidades teóricas eran más cercanas al comparar las distribuciones X o X ¯ ? Explique su respuesta. Lista de comprobación de asignaciones Debe entregar el siguiente paquete mecanografiado y engrapado, con las páginas en el siguiente orden: ____ Portada : nombre, hora de clase y nombre de su estudio. ____ Páginas de resumen : Las páginas contener varios párrafos escritos con frases completas que describan el experimento, incluyendo lo que estudió y su técnica de muestreo, así como las respuestas a todas las preguntas formuladas anteriormente. ____ URL de los datos, si sus datos provienen de internet. ____ Páginas, una por cada distribución teórica , con la distribución indicada, el gráfico y las preguntas de probabilidad respondidas. ____ Páginas de los datos solicitados. ____ Todos los gráficos requeridos Artículo sobre la prueba de hipótesis Objetivos de aprendizaje de los estudiantes El estudiante identificará un problema de comprobación de hipótesis en versión impresa. El estudiante realizará una encuesta para verificar o rebatir los resultados de la prueba de hipótesis. El estudiante resumirá el artículo, el análisis y las conclusiones en un informe. Instrucciones Marque cada tarea a medida que la complete. Conteste todas las preguntas de su resumen. ____Busque un artículo de periódico, de una revista o en internet que haga una afirmación sobre UNA media poblacional o UNA proporción de la población. La afirmación puede basarse en una encuesta sobre la que el artículo informaba. Decida si esta afirmación es la hipótesis nula o la alternativa. ____ Copie o imprima el artículo e incluya una copia en su proyecto, junto con la fuente. ____ Indique cómo recogerá sus datos (el muestreo de conveniencia no es aceptable). ____ Realice su encuesta. Debe tener más de 50 respuestas en su muestra. Cuando entregue su proyecto final, adjunte la hoja de registro o el paquete de cuestionarios que utilizó para recoger los datos. Sus datos deben ser reales. ____ Indique los estadísticos resultado de su recopilación de datos: tamaño de la muestra, media muestral y desviación típica, O BIEN, tamaño de la muestra y número de éxitos. ____ Haga dos copias de la hoja de soluciones correspondiente. ____ Registre la prueba de hipótesis en la hoja de soluciones, con base en su experimento. Haga primero un BORRADOR de la solución en una de las hojas de solución y revísela cuidadosamente. Pídale a un compañero que verifique su solución. Tome su decisión utilizando un nivel de significación del 5 %. Incluya el intervalo de confianza del 95 % en la hoja de soluciones. ____ Realice un gráfico que ilustre sus datos. Puede ser un gráfico circular o de barras, o bien un histograma o un diagrama de caja, según la naturaleza de los datos. Elabore un gráfico que tenga sentido para sus datos y ofrezca información visual útil sobre ellos. Es posible que tenga que ver varios tipos de gráficos antes de decidir cuál es el más apropiado para el tipo de datos de su proyecto. ____ Escriba su resumen (en oraciones y párrafos completos, con gramática adecuada y ortografía correcta) que describa el proyecto. El resumen DEBE incluir: Breve análisis del artículo, incluyendo la fuente. Enunciado de la afirmación hecha en el artículo (una de las hipótesis). Descripción detallada de cómo, dónde y cuándo se recogieron los datos, incluida la técnica de muestreo; ¿se utilizó un muestreo por conglomerados, estratificado, sistemático o aleatorio simple (utilizando un generador de números aleatorios)? Como se mencionó anteriormente, no se acepta el muestreo de conveniencia. Conclusión sobre la afirmación del artículo a la luz de su prueba de hipótesis expuesta en palabras, en el contexto de la situación de su proyecto en forma de oraciones, como si estuviera escribiendo esta conclusión para un no estadístico. Oración que interprete su intervalo de confianza en el contexto de la situación de su proyecto. Lista de comprobación de asignaciones Entregue el siguiente paquete mecanografiado (12 puntos) y engrapado para su proyecto final: ____ Portada que contenga su(s) nombre(s), la hora de la clase y el nombre de su estudio ____ Resumen , que incluya todos los elementos enumerados en la lista de verificación del resumen ____ Hoja de solución organizada y completa. La hoja de soluciones no necesita ser mecanografiada. ____ Representación gráfica de sus datos , elaborada siguiendo las directrices ya expuestas; incluya sólo los gráficos que correspondan y sean útiles. ____ Datos brutos recogidos Y una tabla que resuma los datos de la muestra ( n , x ¯ y s ; o x , n , y p ’, según convenga para sus hipótesis); no es necesario que los datos brutos estén mecanografiados, pero sí el resumen. Entregue los datos tal y como los recogió. (Adjunte su hoja de recuento o un sobre con sus cuestionarios) Datos bivariantes, regresión lineal y datos univariantes Objetivos de aprendizaje de los estudiantes Los estudiantes recogerán una muestra de datos bivariantes mediante el uso de técnicas de muestreo adecuadas. El estudiante intentará ajustar los datos a un modelo lineal. El estudiante determinará la idoneidad del ajuste lineal del modelo. El estudiante analizará y graficará datos univariantes. Instrucciones A medida que vaya terminando cada una de las tareas que aparecen a continuación, márquelas. Responda a todas las preguntas en su introducción o resumen. Consulte el calendario del curso para conocer las fechas de entrega intermedias y finales. Los gráficos pueden elaborarse a mano o por computadora, a menos que su instructor le indique lo contrario. Todos los gráficos deben estar ordenados y ser precisos. Todas las demás respuestas deben elaborarse en la computadora. La claridad y calidad de las explicaciones se utilizan para determinar la nota final. Parte I: Datos bivariantes Introducción ____Indique los datos bivariantes que su grupo estudiará. Estos son dos ejemplos, pero NO puede utilizarlos: altura frente a peso y edad frente a distancia de carrera. ____Describa detalladamente su técnica de muestreo. Utilice un muestreo por conglomerados, estratificado, sistemático o aleatorio simple (utilizando un generador de números aleatorios). El muestreo de conveniencia NO es aceptable. ____Realice su encuesta. El número de pares debe ser al menos 30. ____Imprima una copia de sus datos. Análisis ____ En una hoja aparte, elabore un gráfico de dispersión de los datos. Rotule y escale ambos ejes. ____Establezca la línea de mínimos cuadrados y el coeficiente de correlación. ____En su diagrama de dispersión, con un color diferente, construya la línea de mínimos cuadrados. ____¿Es significativo el coeficiente de correlación? Explique y muestre cómo lo determinó. ____Interprete la pendiente de la recta de regresión lineal en el contexto de los datos de su proyecto. Relacione la explicación con sus datos y cuantifique lo que le dice la pendiente. ____¿La línea de regresión parece ajustarse a los datos? ¿Por qué sí o por qué no? Si los datos no parecen ser lineales, explique si algún otro modelo parece ajustarse mejor a los datos. ____¿Hay algún valor atípico? Si es así, ¿cuáles son? Muestre cómo utilizó la fórmula de valores atípicos potenciales en el capítulo de Regresión y correlación lineal (ya que tiene datos bivariantes) para determinar si algún par podría ser atípico o no. Parte II: Datos univariantes En esta sección, solo utilizará los datos de UNA variable. Elija la variable más interesante de analizar. Por ejemplo: si su variable independiente son datos secuenciales como años, presentando 30 años y un dato por año, sus valores x podrían ser 1971, 1972, 1973, 1974, ..., 2000. No sería interesante analizar esto. En ese caso, opte por utilizar la variable dependiente para analizar esta parte del proyecto. _____Resuma sus datos en un gráfico con columnas que muestren el valor de los datos, la frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada. _____Responda a la siguiente pregunta, redondeada a dos decimales: Media muestral = ______ Desviación típica de la muestra = ______ Primer cuartil = ______ Tercer cuartil = ______ Mediana = ______ Percentil 70 = ______ Valor que está 2 desviaciones típicas por encima de la media = ______ Valor que está 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media = ______ _____Elabore un histograma que muestre sus datos. Agrupe los datos en seis o diez intervalos de igual anchura. Elija intervalos regularmente espaciados que tengan sentido en relación con sus datos. Por ejemplo, NO agrupe los datos por edad como 20-26,27-33,34-40,41-47,48-54,55-61 . . . En su lugar, puede utilizar los grupos de edad 19,5-24,5, 24,5-29,5, . . . o 19,5-29,5, 29,5-39,5, 39,5-49,5, . . . _____Describa en frases completas la forma de su histograma. _____¿Hay algún valor atípico potencial? ¿Qué valores son? Muestre su trabajo y sus cálculos sobre cómo utilizó la fórmula de valores atípicos potenciales en Estadística descriptiva (ya que ahora está utilizando datos univariantes) para determinar qué valores podrían ser atípicos. _____Elabore un diagrama de caja y bigotes de sus datos. _____¿El 50 % central de sus datos parece estar concentrado o disperso? Explique cómo lo determinó. _____ Observe tanto el histograma como el diagrama de caja y bigotes, y analice la distribución de sus datos. Por ejemplo: ¿cómo se compara la dispersión del 50 % central de los datos con la dispersión del resto de los datos representados en el diagrama de caja y bigotes?, ¿cómo se corresponde eso con su descripción de la forma del histograma?, ¿cómo muestra la representación gráfica los valores atípicos que pudo haber encontrado?, ¿el histograma muestra espacios en los datos que no son visibles en el diagrama de caja y bigotes? ¿hay alguna característica interesante de sus datos que deba señalar? Fechas de entrega Parte I, Introducción: __________ (guarde una copia para sus archivos). Parte I, Análisis: __________ (guarde una copia para sus archivos). Proyecto completo, mecanografiado y engrapado: __________ ____ Portada: nombres, hora de la clase y nombre de su estudio ____ Parte I: rotule las secciones \"Introducción\" y \"Análisis\". ____ Parte II: ____ Página de resumen que contiene varios párrafos escritos con frases completas que describan el experimento, incluyendo lo que estudió y cómo recogió sus datos. La página de resumen también debe incluir las respuestas a TODAS las preguntas formuladas anteriormente. ____ Todos los gráficos solicitados en el proyecto. ____ Todos los cálculos solicitados para apoyar las preguntas en los datos- ____ Descripción: ¿qué aprendió al realizar este proyecto?, ¿qué retos se le presentaron?, ¿cómo los superó? Nota Incluya las respuestas a TODAS las preguntas formuladas, aunque no se repitan explícitamente en los puntos anteriores.", "section": "Proyectos de grupos y asociaciones", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Hojas de soluciones Prueba de hipótesis con una muestra Hora de clases: __________________________ Nombre: _____________________________________ H 0 : _______ H a : _______ En palabras, indique CLARAMENTE qué representa su variable aleatoria X ¯ o P ′ . Indique la distribución que se utilizará para la prueba. ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? En una o dos frases completas, explique qué significa el valor p en este problema. Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Indique la decisión correcta (\"rechazar\" o \"no rechazar\" la hipótesis nula), la razón para ello y escriba una conclusión adecuada, utilizando frases completas . Alfa: _______ Decisión: _______ Motivo de la decisión: _______ Conclusión: _______ Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media o la proporción verdaderas. Incluya un esquema del gráfico de la situación. Identifique la estimación puntual y los límites inferior y superior del intervalo de confianza. Prueba de hipótesis con dos muestras Hora de clases: __________________________ Nombre: _____________________________________ H 0 : _______ H a : _______ En palabras, indique claramente qué representa su variable aleatoria X ¯ 1 – X ¯ 2 , P ′ 1 – P ′ 2 o X ¯ d . Indique la distribución que se utilizará para la prueba. ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? En una o dos frases completas, explique qué significa el valor p en este problema. Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. Rotule y escale CLARAMENTE el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Indique la decisión correcta (\"rechazar\" o \"no rechazar\" la hipótesis nula), la razón para ello y escriba una conclusión adecuada, utilizando frases completas . Alfa: _______ Decisión: _______ Motivo de la decisión: _______ Conclusión: _______ Explique con frases completas cómo ha determinado qué distribución utilizar. La distribución chi-cuadrado Hora de clases: __________________________ Nombre: ____________________________________ H 0 : _______ H a : _______ ¿Cuáles son los grados de libertad? Indique la distribución que se utilizará para la prueba. ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? En una o dos oraciones completas explique qué significa el valor p para este problema. Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. Identifique y escale claramente el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Indique la decisión correcta (\"rechazar\" o \"no rechazar\" la hipótesis nula) y escriba las conclusiones adecuadas, utilizando frases completas. Alfa: _______ Decisión: _______ Motivo de la decisión: _______ Conclusión: _______ Distribución F y ANOVA de una vía Hora de clases: __________________________ Nombre: ____________________________________ H 0 : _______ H a : _______ df ( n ) = ______ df ( d ) = _______ Indique la distribución que se utilizará para la prueba. ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? Use la información anterior para dibujar una imagen de esta situación. Identifique y escale claramente el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . Indique la decisión correcta (\"rechazar\" o \"no rechazar\" la hipótesis nula) y escriba las conclusiones adecuadas, utilizando frases completas Alfa: _______ Decisión: _______ Motivo de la decisión: _______ Conclusión: _______", "section": "Hojas de soluciones", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas Oraciones en español escritas matemáticamente Cuando en español dice: Interprete esto como: X es, al menos, 4. X ≥ 4 El mínimo de X es 4. X ≥ 4 X no es inferior a 4. X ≥ 4 X es mayor o igual a 4. X ≥ 4 X es como máximo 4. X ≤ 4 El máximo de X es 4. X ≤ 4 X no es más que 4. X ≤ 4 X es menor o igual a 4. X ≤ 4 X no excede de 4. X ≤ 4 X es mayor que 4. X > 4 X es más de 4. X > 4 X supera a 4. X > 4 X es inferior a 4. X < 4 Hay menos X que 4. X < 4 X es 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X no es 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X es diferente de 4. X ≠ 4 Fórmulas Fórmula 1: Factorial n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) . . . ( 1 ) 0 ! = 1 Fórmula 2: Combinaciones ( n r ) = n ! ( n – r ) ! r ! Fórmula 3: Distribución binomial X ~ B ( n , p ) P ( X = x ) = ( n x ) p x q n – x , para x = 0 , 1 , 2 , . . . , n Fórmula 4: Distribución geométrica X ~ G ( p ) P ( X = x ) = q x – 1 p , para x = 1 , 2 , 3 , . . . Fórmula 5: Distribución hipergeométrica X ~ H ( r , b , n ) P ( X = x ) = ( ( r x ) ( b n – x ) ( r + b n ) ) Fórmula 6: Distribución de Poisson X ~ P ( μ ) P ( X = x ) = μ x e – μ x ! Fórmula 7: Distribución uniforme X ~ U ( a , b ) e ( X ) = 1 b – a , a < x < b Fórmula 8: Distribución exponencial X ~ E x p ( m ) e ( x ) = m e – m x m > 0 , x ≥ 0 Fórmula 9: Distribución normal X ~ N ( μ , σ 2 ) e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , – ∞ < x < ∞ Fórmula 10: Función gama Γ ( z ) = ∫ ​ ∞ 0 x z – 1 e – x d x z > 0 Γ ( 1 2 ) = π Γ ( m + 1 ) = m ! para m , un número entero no negativo de otro modo: Γ ( a + 1 ) = a Γ ( a ) Fórmula 11: Distribución t de Student X ~ t d e e ( x ) = ( 1 + x 2 n ) – ( n + 1 ) 2 Γ ( n + 1 2 ) nπ Γ ( n 2 ) X = Z Y n Z ~ N ( 0 , 1 ), Y ~ Χ d e 2 , n = grados de libertad Fórmula 12: Distribución chi-cuadrado X ~ Χ d e 2 e ( x ) = x n – 2 2 e – x 2 2 n 2 Γ ( n 2 ) , x > 0 , n = número entero positivo y grados de libertad Fórmula 13: Distribución F X ~ F d e ( n ) , d e ( d ) d e ( n ) = grados de libertad para el numerador d e ( d ) = grados de libertad para el denominador e ( x ) = Γ ( u + v 2 ) Γ ( u 2 ) Γ ( v 2 ) ( u v ) u 2 x ( u 2 – 1 ) [ 1 + ( u v ) x – 0,5 ( u + v ) ] X = Y u W v , Y , W son chi-cuadrado Símbolos y su significado Símbolos y su significado Capítulo (1er uso) Símbolo Se pronuncia Significado Muestreo y datos La raíz cuadrada de igual Muestreo y datos π Pi 3,14159... (un número específico) Estadística descriptiva Q 1 Cuartil uno el primer cuartil Estadística descriptiva Q 2 Cuartil dos el segundo cuartil Estadística descriptiva Q 3 Cuartil tres el tercer cuartil Estadística descriptiva IQR rango intercuartil Q 3 – Q 1 = IQR Estadística descriptiva x ¯ barra de x media muestral Estadística descriptiva μ mu media de la población Estadística descriptiva s s x sx s desviación típica de la muestra Estadística descriptiva s 2 s x 2 s al cuadrado varianza de la muestra Estadística descriptiva σ σ x σx sigma desviación típica de la población Estadística descriptiva σ 2 σ x 2 sigma al cuadrado varianza de la población Estadística descriptiva Σ sigma mayúscula suma Temas de probabilidad { } corchetes notación de conjunto Temas de probabilidad S S espacio muestral Temas de probabilidad A Evento A evento A Temas de probabilidad P ( A ) probabilidad de A probabilidad de que ocurra A Temas de probabilidad P ( A | B ) probabilidad de A dado que B probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B Temas de probabilidad P ( A O B ) probabilidad de A o B probabilidad de que se produzca A o B o ambos Temas de probabilidad P ( A Y B ) probabilidad de A y B probabilidad de que ocurran tanto A como B (al mismo tiempo) Temas de probabilidad A ′ A prima, complemento de A complemento de A, no A Temas de probabilidad P ( A ') probabilidad de complemento de A igual Temas de probabilidad G 1 verde en la primera selección igual Temas de probabilidad P ( G 1 ) probabilidad de verde en la primera selección igual Variables aleatorias discretas PDF función de distribución de probabilidad igual Variables aleatorias discretas X X la variable aleatoria X Variables aleatorias discretas X ~ la distribución de X igual Variables aleatorias discretas B distribución binomial igual Variables aleatorias discretas G distribución geométrica igual Variables aleatorias discretas H distribución hipergeométrica igual Variables aleatorias discretas P Distribución de Poisson igual Variables aleatorias discretas λ Lambda promedio de la distribución de Poisson Variables aleatorias discretas ≥ mayor que o igual a igual Variables aleatorias discretas ≤ menor que o igual a igual Variables aleatorias discretas = igual a igual Variables aleatorias discretas ≠ no es igual a igual Variables aleatorias continuas f ( x ) f de x función de x Variables aleatorias continuas pdf probabilidad de función de densidad igual Variables aleatorias continuas U distribución uniforme igual Variables aleatorias continuas Exp distribución exponencial igual Variables aleatorias continuas k k valor crítico Variables aleatorias continuas f ( x ) = f de x es igual a igual Variables aleatorias continuas m m tasa de decaimiento (para la dist. exp.) La distribución normal N distribución normal igual La distribución normal z puntuación z igual La distribución normal Z dist. normal estándar igual El teorema del límite central CLT Teorema del límite central igual El teorema del límite central X ¯ Barra de X la variable aleatoria de la barra de X El teorema del límite central μ x media de X el promedio de X El teorema del límite central μ x ¯ media de barra x el promedio de barra x El teorema del límite central σ x desviación típica de X igual El teorema del límite central σ x ¯ desviación típica de barra X igual El teorema del límite central Σ X suma de X igual El teorema del límite central Σ x suma de x igual Intervalos de confianza CL nivel de confianza igual Intervalos de confianza CI intervalo de confianza igual Intervalos de confianza EBM límite de error para una media igual Intervalos de confianza EBP límite de error para una proporción igual Intervalos de confianza t Distribución t de Student igual Intervalos de confianza df grados de libertad igual Intervalos de confianza t α 2 t de Student con área a /2 en la cola derecha igual Intervalos de confianza p ′ ; p ^ p prima; estimador de p proporción de aciertos de la muestra Intervalos de confianza q ′ ; q ^ q prima; estimador de q proporción de fallos de la muestra Prueba de hipótesis H 0 H -nada, H -sub 0 hipótesis nula Prueba de hipótesis H a H-a , H -sub a hipótesis alterna Prueba de hipótesis H 1 H -1, H -sub 1 hipótesis alterna Prueba de hipótesis α alfa probabilidad de error tipo I Prueba de hipótesis β beta probabilidad de error tipo II Prueba de hipótesis X 1 ¯ – X 2 ¯ Barra de X 1 menos barra de X 2 diferencia en las medias muestrales Prueba de hipótesis μ 1 – μ 2 mu -1 menos mu -2 diferencia de medias de la población Prueba de hipótesis P ′ 1 – P ′ 2 P 1-primo menos P 2-primo diferencia en las proporciones de la muestra Prueba de hipótesis p 1 – p 2 p 1 menos p 2 diferencia en las proporciones de la población Distribución chi-cuadrado Χ 2 Ky -cuadrado chi-cuadrado Distribución chi-cuadrado O Observado Frecuencia observada Distribución chi-cuadrado E Esperado Frecuencia esperada Regresión lineal y correlación y = a + bx y es igual a a más b–x ecuación de una línea Regresión lineal y correlación y ^ estimador de y valor estimado de y Regresión lineal y correlación r coeficiente de correlación igual Regresión lineal y correlación ε error igual Regresión lineal y correlación SSE Suma de errores al cuadrado igual Regresión lineal y correlación 1,9 s 1,9 veces s valor de corte para los valores atípicos Distribución F y ANOVA F Cociente F Cociente F", "section": "Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+ Consejos rápidos Leyenda representa la pulsación de un botón [ ] representa el comando amarillo o la letra verde detrás de una tecla < > representa elementos en la pantalla Para ajustar el contraste Pulse y, a continuación, mantenga pulsada la para aumentar el contraste o la para disminuir el contraste. Para escribir letras y palabras en mayúsculas Pulse para escribir una letra mayúscula, o pulse la , entonces para establecer todas los botones pulsados en mayúsculas. Puede volver a los valores del botón del nivel superior pulsando la de nuevo. Para corregir un error Si se equivoca de botón, solo tiene que pulsar la y empezar de nuevo. Para escribir en notación científica Los números en notación científica se expresan en la TI-83, 83+, 84 y 84+ utilizando la notación E, de forma que... 4,321 E 4 = 4 0,321 × 10 4 4,321 E –4 = 4 0,321 × 10 -4 Para transferir programas o ecuaciones de una calculadora a otra: Ambas calculadoras: Inserte el extremo correspondiente del cable de enlace y pulse la , luego [LINK] . Calculadora que recibe la información: Utilice las flechas para navegar y seleccionar <RECEIVE> Pulse . Calculadora que envía la información: Pulse el número o la letra correspondiente. Utilice las flechas hacia arriba y hacia abajo para acceder al elemento correspondiente. Pulse para seleccionar el elemento a transferir. Pulse la flecha derecha para navegar y seleccionar <TRANSMIT> . Pulse . Nota ERROR 35 LINK significa generalmente que los cables no se han conectado correctamente. Ambas calculadoras: Inserte su extremo correspondiente del cable de enlace en ambas calculadoras: pulse la , luego [QUIT] para salir cuando haya terminado. Manipulación de estadísticas con una sola variable Nota Estas instrucciones son para introducir datos con el programa estadístico incorporado. Datos de la muestra Estamos manipulando estadísticas de una variable. Datos Frecuencia -2 10 -1 3 0 4 1 5 3 8 Para comenzar: Encienda la calculadora Acceda a modo estadística. Seleccione <4:ClrList> para borrar los datos de las listas. , Ingrese la lista [L1] que va a eliminar. , [L1] , Pida mostrar la última instrucción. , [ENTRY] Continúe borrando las listas restantes de la misma manera si lo desea. , , [L2] , Acceda a modo estadística. Seleccione <1:Edit . . .> Introduzca los datos. Los valores de los datos van a [L1] . (Es posible que tenga que moverse con la fecha hacia [L1] ). Escriba un valor de datos e introdúzcalo. (Para los números negativos, utilice la teclanegativo (-) situada en la parte inferior del teclado). , , Continúe de la misma manera hasta introducir todos los valores de los datos. En [L2] , introduzca las frecuencias de cada valor de los datos en [L1] . Escriba una frecuencia e introdúzcala. (Si un valor de datos aparece solo una vez, la frecuencia es \"1\") , Continúe de la misma manera hasta introducir todos los valores de los datos. Acceda a modo estadística. Navegue hasta <CALC> . Acceda a <1:1-var Stats> Indique que los datos están en [L1] ... , [L1] , ...e indique que las frecuencias están en [L2] , [L2] , Deberían aparecer las estadísticas. Puede bajar la flecha para obtener las estadísticas restantes. Repita la operación si es necesario. Dibujar histogramas Nota Suponemos que ya se introdujeron los datos. Construiremos dos histogramas con la aplicación incorporada STATPLOT. La primera forma utilizará el ZOOM por defecto. La segunda forma implicará la personalización de un nuevo gráfico. Acceda a modo para graficar. , [STAT PLOT] Seleccione <1:plot 1> para acceder al trazado - primer gráfico. Utilice las flechas para ir a <ON> para cambiar a Plot 1 <ON> , Utilice las flechas para ir a la imagen del histograma y seleccione el histograma. Use las flechas para navegar a <Xlist> . Si “L1” no está seleccionado, selecciónelo. , [L1] , Use las flechas para navegar a <Freq> . Asigne las frecuencias a [L2] , [L2] , Regrese para acceder a otros gráficos. , [STAT PLOT] Use las flechas para desactivar los diagramas restantes. Asegúrese de desmarcar o borrar todas las ecuaciones antes de hacer el gráfico. Para anular la selección de ecuaciones: Acceda a la lista de ecuaciones. Seleccione cada signo de igual (=). Continúe hasta deseleccionar todas las ecuaciones. Para borrar las ecuaciones: Acceda a la lista de ecuaciones. Utilice las teclas de flecha para desplazarse a la derecha de cada signo de igual (=) y borrarlos. Repita la operación hasta eliminar todas las ecuaciones. Para dibujar el histograma por defecto: Acceda al menú ZOOM. Seleccione <9:ZoomStat> El histograma se mostrará con una ventana que se fija automáticamente. Para dibujar un histograma personalizado: Acceda al modo de ventana para ajustar los parámetros del gráfico. X min = -2,5 X max = 3,5 X s c l = 1 (anchura de las barras) Y min = 0 Y max = 10 Y s c l = 1 (espaciado de las marcas de verificación en el eje y ) X r e s = 1 Acceda al modo de gráficos para ver el histograma. Para dibujar diagramas de caja y bigotes: Acceda a modo para graficar. , [STAT PLOT] Seleccione <1:Plot 1> para acceder al primer gráfico Utilice las flechas para seleccionar <ON> y active Plot 1. Utilice las flechas para seleccionar el diagrama de caja y bigotes y habilitarlo. Use las flechas para navegar a <Xlist> . Si “L1” no está seleccionado, selecciónelo. , [L1] , Use las flechas para navegar a <Freq> . Indique que las frecuencias están en [L2] , [L2] , Regrese para acceder a otros gráficos. , [STAT PLOT] Asegúrese de deseleccionar o borrar todas las ecuaciones antes de hacer el gráfico utilizando el método mencionado anteriormente. Vea el diagrama de caja y bigotes. , [STAT PLOT] Regresión lineal Datos de la muestra Los siguientes datos son reales. El porcentaje de estudiantes declarados como minorías étnicas en el De Anza College para los años seleccionados de 1970 a 1995 fue: Año Porcentaje de estudiantes de minorías étnicas 1970 14,13 1973 12,27 1976 14,08 1979 18,16 1982 27,64 1983 28,72 1986 31,86 1989 33,14 1992 45,37 1995 53,1 La variable independiente es \"Año\", mientras que la variable independiente es \"Porcentaje de estudiantes de minorías étnicas\". Porcentaje de estudiantes de minorías étnicas A mano, verifique el diagrama de dispersión anterior. Nota La TI-83 incorpora una función de regresión lineal que permite editar los datos. Los valores x estarán en [L1] ; los valores y en [L2] . Para introducir datos y hacer una regresión lineal: Encienda la calculadora con ON. Antes de acceder a este programa, asegúrese de cerrar todos los gráficos. Acceda a modo para graficar. , [STAT PLOT] Cierre todos los gráficos. , Redondee a tres decimales. Para ello: Acceda al menú de modo. , [STAT PLOT] Navegue hasta <Float> y luego a la derecha a <3> Todas las cifras se redondearán a tres decimales hasta que se modifiquen. Entre en el modo de estadísticas y borre las listas [L1] y [L2] como se describió anteriormente. , Entre en el modo de edición para insertar los valores de x y y . , Introduzca cada valor. Pulse para continuar. Para mostrar el coeficiente de correlación: Acceda al catálogo. , [CATALOG] Flecha hacia abajo y seleccione <DiagnosticOn> ... , , r y r 2 se mostrarán durante los cálculos de regresión. Acceda a la regresión lineal Seleccione la forma de y = a + bx . , La pantalla mostrará: LinReg y = a + bx a = –3176,909 b = 1,617 r = 2 0,924 r = 0,961 Esto significa que la línea de mejor ajuste (línea de mínimos cuadrados) es y = -3176,909 + 1,617 x Porcentaje = -3176,909 + 1,617 (N.º de año) El coeficiente de correlación r = 0,961 Para ver el diagrama de dispersión: Acceda a modo para graficar. , [STAT PLOT] Seleccione <1:plot 1> Para acceder al trazado - primer gráfico. Navegue y seleccione <ON> para cambiar a Plot 1 <ON> Navegue hasta la primera imagen. Seleccione el diagrama de dispersión Navegue hasta <Xlist> . Si [L1] no está seleccionada, pulse la , [L1] para hacerlo. Confirme que los valores de los datos estén en [L1] <ON> Navegue hasta <Ylist> . Seleccione que las frecuencias estén en [L2] , [L2] , Regrese para acceder a otros gráficos. , [STAT PLOT] Use las flechas para desactivar los diagramas restantes. Acceda al modo de ventana para ajustar los parámetros del gráfico. X min = 1970 X max = 2000 X s c l = 10 (espaciado de las marcas de verificación en el eje x ) Y min = – 0,05 Y max = 60 Y s c l = 10 (espaciado de las marcas de verificación en el eje y ) X r e s = 1 Asegúrese de desmarcar o borrar todas las ecuaciones antes de hacer el gráfico siguiendo las instrucciones anteriores. Pulse el botón graph para ver el diagrama de dispersión. Para ver el gráfico de regresión: Acceda al menú de ecuaciones. La ecuación de regresión se pondrá en Y1. Acceda al menú vars y navegue hasta <5: Statistics> , Navegue hasta <EQ> . <1: RegEQ> contiene la ecuación de regresión que se introducirá en Y1. Pulse el botón del modo graficar. La línea de regresión se superpondrá al diagrama de dispersión Para ver los residuos y utilizarlos para calcular el punto crítico de un valor atípico: Acceda a la lista. RESID será un elemento del menú. Navegue hasta ese elemento. , [LISTA] , <RESID> Confirme dos veces para ver la lista de residuos. Utilice las flechas para seleccionarlos. , El punto crítico para un valor atípico es: 1,9 V SSE n - 2 donde: n = número de pares de datos SSE = suma de errores cuadrados (sum of squared errors) Σ residual 2 Almacene los residuos en [L3] , , [L3] , Calcule el Σresiduo 2 n - 2 . Observe que n - 2 = 8 , [L3] , , , Almacene este valor en [L4] , , [L4] , Calcule el valor crítico utilizando la ecuación anterior. , , , , , [V] , , [LISTA] , , , , [L4] , , , Compruebe que la calculadora muestre: 7,642669563. Este es el valor crítico. Compare el valor absoluto de cada valor residual en [L3] con 7,64. Si el valor absoluto es superior a 7,64, el punto (X, y) correspondiente es un valor atípico. En este caso, ninguno de los puntos es un valor atípico. Para obtener estimaciones de y para varios valores de x : Hay varias formas de determinar las estimaciones de \" y \". Una forma es sustituir los valores de \" x \" en la ecuación. Otra forma es utilizar la en el gráfico de la línea de regresión. Instrucciones para distribuciones y pruebas en la TI-83, 83+, 84, 84+ Distribuciones Acceda a DISTR (para \"Distribuciones\"). Para obtener asistencia técnica, visite el sitio web de Texas Instruments en http://www.ti.com e introduzca su modelo de calculadora en la casilla \"search\" (búsqueda). Distribución binomial binompdf( n , p , x ) corresponde a P (X = x ) binomcdf( n , p , x ) corresponde a P (X ≤ x) Para ver una lista de todas las probabilidades de x : 0, 1, . . . , n , omita el parámetro \" x \". Distribución de Poisson poissonpdf(λ, x ) corresponde a P (X = x ) poissoncdf(λ, x ) corresponde a P ( X ≤ x ) Distribuciones continuas (en general) – ∞ utiliza el valor -1EE99 para el límite izquierdo ∞ utiliza el valor 1EE99 para el límite derecho Distribución normal normalpdf( x , μ , σ ) produce un valor de la función de densidad de probabilidad (solo es útil para trazar la curva normal, en cuyo caso \" x “ es la variable) normalcdf(left bound, right bound, μ , σ ) corresponde a P (límite izquierdo < X < límite derecho) normalcdf(left bound, right bound) corresponde a P (límite izquierdo < Z < límite derecho) - normal estándar invNorm( p , μ , σ ) da el valor crítico, k : P ( X < k ) = p invNorm (p ) da el valor crítico, k : P (Z < k ) = p para la normal estándar Distribución t de Student tpdf( x , df ) produce el valor de la función de densidad de probabilidad (solo para trazar la curva t de Student, en cuyo caso \" x “ es la variable) tcdf(límite izquierdo, límite derecho, df ) corresponde a P (límite izquierdo < t < límite derecho) Distribución chi-cuadrado Χ 2 pdf( x , df ) produce el valor de la función de densidad de probabilidad (solo para trazar la curva chi2, en cuyo caso \" x “ es la variable) Χ 2 cdf(left bound, right bound, df ) corresponde a P (límite izquierdo < Χ 2 < límite derecho) Distribución F Fpdf( x , dfnum , dfdenom ) produce el valor de la función de densidad de probabilidad (solo para trazar la curva F , en cuyo caso \" x “ es la variable) Fcdf(left bound,right bound, dfnum , dfdenom ) corresponde a P (límite izquierdo < F < límite derecho) Pruebas e intervalos de confianza Acceda a STAT y TESTS . Para los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis, puede introducir los datos en las listas correspondientes y pulsar DATA para que la calculadora halle las medias muestrales y las desviaciones típicas, o puede introducir directamente las medias muestrales y las desviaciones típicas pulsando STAT una vez en las pruebas correspondientes. Intervalos de confianza ZInterval es el intervalo de confianza para la media cuando se conoce σ. TInterval es el intervalo de confianza para la media cuando σ es desconocida; s estima σ. 1-PropZInt es el intervalo de confianza de la proporción. Nota Los niveles de confianza deben indicarse en porcentajes (por ejemplo, introduzca \" 95 \" o \" 0,95 \" para un nivel de confianza del 95 %). Pruebas de hipótesis Z-Test es la prueba de hipótesis para una sola media cuando se conoce σ. T-Test es la prueba de hipótesis para una sola media cuando σ es desconocida; s estima σ. 2-SampZTest es la prueba de hipótesis para dos medias independientes cuando se conocen ambas σ. 2-SampTTest es la prueba de hipótesis para dos medias independientes cuando ambas σ son desconocidas. 1-PropZTest es la prueba de hipótesis para una sola proporción. 2-PropZTest es la prueba de hipótesis para dos proporciones. Χ 2 -Test es la prueba de hipótesis de independencia. Χ 2 GOF-Test es la prueba de hipótesis de bondad de ajuste (solo en la TI-84+). LinRegTTEST es la prueba de hipótesis para la Regresión Lineal (solo en la TI-84+). Nota Introduzca el valor de la hipótesis nula en la fila de abajo \" Inpt .\" En una prueba de una sola media, \" μ∅ “ representa la hipótesis nula. En una prueba de una sola proporción, \" p∅ “ representa la hipótesis nula. Introduzca la hipótesis alternativa en la fila inferior.", "section": "Notas para las calculadoras TI-83, 83+, 84 y 84+", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Tablas Este módulo contiene enlaces a las tablas de los sitios gubernamentales utilizados en las estadísticas. Tablas (NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, 3 de enero de 2009) Tabla de t de Student Tabla normal Tabla de chi-cuadrado Mesa F Se puede acceder a las cuatro tablas entrando en Valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra Valores críticos al 95 % del coeficiente de correlación muestral", "section": "Tablas", "book": "Introducción a la estadística", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística"}
{"text": "Prefacio Bienvenido a Introducción a la estadística empresarial , un recurso de OpenStax. Este libro de texto se escribió para ampliar el acceso de los estudiantes a material de aprendizaje de alta calidad, a la vez que se mantienen los más altos estándares de rigor académico a bajo costo o sin costo alguno. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP ® ) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y capacita a los estudiantes e instructores para tener éxito. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Introducción a la estadística empresarial está autorizado conforme a la licencia Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY), lo que significa que puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada puede ponerse a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la sección de Recursos para instructores de la página de su libro en OpenStax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en la web, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en OpenStax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en OpenStax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de OpenStax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Acerca de Introducción a la estadística empresarial Introducción a la estadística empresarial se destina a cumplir con los requisitos de alcance y secuencia del curso de Estadística de un semestre para las carreras de negocios, economía y afines. Los conceptos y conocimientos estadísticos básicos se han ampliado con ejemplos prácticos de negocios, escenarios y ejercicios. El resultado es la comprensión significativa de la disciplina que servirá a los estudiantes en sus carreras de negocios y experiencias en el mundo real. Cobertura y alcance Introducción a la estadística empresarial comenzó como una versión personalizada de OpenStax Introducción a la estadística de Barbara Illowsky y Susan Dean. Los profesores de Estadística de la Universidad de Oklahoma han utilizado la adaptación de la Estadística Empresarial durante varios años, y la autora la ha perfeccionado continuamente a raíz del logro estudiantil y con base en los comentarios del profesorado. El libro está estructurado de forma similar a la mayoría de los tradicionales libros de texto de estadística. Los cambios temáticos más significativos se producen en los últimos capítulos sobre el análisis de regresión. Las funciones de densidad de probabilidad discreta se han reordenado para ofrecer una progresión lógica desde las fórmulas de recuento simples hasta las distribuciones continuas más complejas. Se han añadido muchas tareas adicionales, así como nuevos ejemplos más matemáticos. Introducción a la estadística empresarial hace hincapié en el desarrollo y la aplicación práctica de las fórmulas para que los estudiantes tengan una comprensión más profunda de su interpretación y aplicación de los datos. Para lograr este enfoque único, la autora incorporó gran cantidad de material adicional y desestimó a propósito el uso de la calculadora científica. Entre los cambios específicos al empleo de la fórmula se encuentran: Debates ampliados sobre las fórmulas combinatorias, los factoriales y la notación sigma. Ajustes en las explicaciones de la regla de aceptación o rechazo de las pruebas de hipótesis, así como un enfoque en la terminología relativa a los intervalos de confianza. Profunda dependencia de las tablas estadísticas para el proceso de búsqueda de probabilidades (que no sería necesario si las probabilidades se basaran en calculadoras científicas). Enlaces continuos y enfatizados al teorema del límite central a lo largo del libro; Introducción a la estadística empresarial enlaza constantemente cada estadístico de prueba con este teorema fundamental en la estadística inferencial. Otro enfoque fundamental del libro es el vínculo entre la inferencia estadística y el método científico. Los modelos empresariales y económicos se fundamentan en supuestas relaciones de causa y efecto. Se desarrollan tanto para probar hipótesis como para predecir a partir de dichos modelos. Esto proviene de la creencia de que la estadística es el guardián que permite que algunas teorías permanezcan y que otras se desechen por una nueva perspectiva del mundo que nos rodea. Este punto de vista filosófico se presenta en detalle por todo el documento y aborda el método de presentar el modelo de regresión, en particular. El capítulo sobre correlación y regresión abarca intervalos de confianza para las predicciones, formas matemáticas alternativas para permitir la comprobación de variables categóricas y la presentación del modelo de regresión múltiple. Características pedagógicas Los ejemplos se ubican estratégicamente a lo largo del texto para mostrar a los estudiantes el proceso paso a paso de interpretación y resolución de problemas estadísticos. Para que el texto siga siendo relevante para los estudiantes, los ejemplos se extraen de un amplio espectro de temas prácticos; se incluyen ejemplos sobre la vida universitaria y el aprendizaje, la salud y la medicina, el comercio y los negocios, y los deportes y el entretenimiento. Las secciones Práctica, Tarea para la casa y Resúmalo todo ofrecen a los estudiantes problemas con distintos grados de dificultad, a la vez que presentan situaciones en el mundo real para atraer a los estudiantes. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para estudiantes como para instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y láminas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, la cual puede solicitar al iniciar sesión o crear su cuenta en OpenStax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asocia con el Instituto para el Estudio de la Administración del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax, de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus cursos, lo que incluye anexos adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más pertinentes para su docencia e investigación como una oportunidad, tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para comunicarse con los centros comunitarios (Community Hubs), visite www.oercommons.org/hubs/OpenStax.. Socios tecnológicos Como aliados que hacen accesibles materiales de aprendizaje de alta calidad, nuestros socios tecnológicos ofrecen herramientas opcionales de bajo costo que se integran con los libros de OpenStax. Para acceder a las opciones tecnológicas de su texto, visite la página de su libro en OpenStax.org. Sobre los autores Autores principales Alexander Holmes, The University of Oklahoma Barbara Illowsky, DeAnza College Susan Dean, DeAnza College Autores colaboradores Kevin Hadley, Analyst, Federal Reserve Bank of Kansas City Revisores Birgit Aquilonius, West Valley College Charles Ashbacher, Upper Iowa University - Cedar Rapids Abraham Biggs, Broward Community College Daniel Birmajer, Nazareth College Roberta Bloom, De Anza College Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Ernest Bonat, Portland Community College Sarah Boslaugh, Kennesaw State University David Bosworth, Hutchinson Community College Sheri Boyd, Rollins College George Bratton, University of Central Arkansas Franny Chan, Mt. San Antonio College Jing Chang, College of Saint Mary Laurel Chiappetta, University of Pittsburgh Lenore Desilets, De Anza College Matthew Einsohn, Prescott College Ann Flanigan, Kapiolani Community College David French, Tidewater Community College Mo Geraghty, De Anza College Larry Green, Lake Tahoe Community College Michael Greenwich, College of Southern Nevada Inna Grushko, De Anza College Valier Hauber, De Anza College Janice Hector, De Anza College Jim Helmreich, Marist College Robert Henderson, Stephen F. Austin State University Mel Jacobsen, Snow College Mary Jo Kane, De Anza College John Kagochi, University of Houston - Victoria Lynette Kenyon, Collin County Community College Charles Klein, De Anza College Alexander Kolovos Sheldon Lee, Viterbo University Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Vladimir Logvenenko, De Anza College Jim Lucas, De Anza College Suman Majumdar, University of Connecticut Lisa Markus, De Anza College Miriam Masullo, SUNY Purchase Diane Mathios, De Anza College Robert McDevitt, Germanna Community College John Migliaccio, Fordham University Mark Mills, Central College Cindy Moss, Skyline College Nydia Nelson, St. Petersburg College Benjamin Ngwudike, Jackson State University Jonathan Oaks, Macomb Community College Carol Olmstead, De Anza College Barbara A. Osyk, The University of Akron Adam Pennell, Greensboro College Kathy Plum, De Anza College Lisa Rosenberg, Elon University Sudipta Roy, Kankakee Community College Javier Rueda, De Anza College Yvonne Sandoval, Pima Community College Rupinder Sekhon, De Anza College Travis Short, St. Petersburg College Frank Snow, De Anza College Abdulhamid Sukar, Cameron University Jeffery Taub, Maine Maritime Academy Mary Teegarden, San Diego Mesa College John Thomas, College of Lake County Philip J. Verrecchia, York College of Pennsylvania Dennis Walsh, Middle Tennessee State University Cheryl Wartman, University of Prince Edward Island Carol Weideman, St. Petersburg College Kyle S. Wells, Dixie State University Andrew Wiesner, Pennsylvania State University", "section": "Prefacio", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Nos encontramos con estadísticas en nuestra vida diaria más a menudo de lo que probablemente pensamos y de muchas fuentes diferentes, como las noticias (créditos: David Sim). Probablemente se esté preguntando: “¿Cuándo y dónde voy a utilizar la estadística?”. Si lee cualquier periódico, ve la televisión o utiliza internet, verá información estadística. Hay estadísticas sobre delincuencia, deportes, educación, política y bienes raíces. Normalmente, cuando se lee un artículo de periódico o se ve un programa de noticias de televisión se da una información de muestra. Con esta información, puede tomar una decisión sobre la corrección de una declaración, afirmación o “hecho”. Los métodos estadísticos pueden ayudarlo a hacer una “mejor estimación”. Como sin duda recibirá información estadística en algún momento de su vida, necesita conocer algunas técnicas para analizar la información de forma reflexiva. Piense en la compra de una casa o en la gestión de un presupuesto. Piense en la profesión que ha elegido. Economía, Negocios, Psicología, Educación, Biología, Derecho, Informática, Política y Desarrollo de la Primera Infancia son campos de conocimiento que requieren, al menos, un curso de Estadística. En este capítulo se incluyen las ideas y palabras básicas de probabilidad y estadística. Pronto entenderá que la estadística y la probabilidad trabajan juntas. También aprenderá cómo se recopilan los datos y qué datos “buenos” pueden distinguirse de los “malos”.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave La ciencia de la Estadística se ocupa de la recopilación, del análisis, de la interpretación y de la presentación de datos . Vemos y utilizamos datos en nuestra vida cotidiana. En este curso aprenderá a organizar y resumir datos. La organización y el resumen de los datos se denominan Estadística Descriptiva . Dos formas de resumir los datos son la elaboración de gráficos y el uso de números (por ejemplo, hallar un promedio). Después de haber estudiado la probabilidad y las distribuciones de probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones de los datos “buenos”. Los métodos formales se denominan Estadística Inferencial . La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar el grado de confianza que podemos tener en que nuestras conclusiones son correctas. La interpretación eficaz de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos de producción de datos y en examinarlos de forma reflexiva. Se encontrará con lo que le parecerá un exceso de fórmulas matemáticas para interpretar los datos. La meta de la Estadística no es realizar numerosos cálculos con las fórmulas, sino comprender los datos. Los cálculos se pueden hacer con una calculadora o una computadora. La comprensión debe venir de usted. Si puede comprender a fondo los fundamentos de la Estadística, podrá tener más confianza en las decisiones que tome en la vida. Probabilidad La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es 1 2 o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson , que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción 996 2000 es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada. La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, como el póquer. Las predicciones adoptan la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto, de que llueva o de que obtenga una A en este curso utilizamos las probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna provoque la enfermedad que se supone que debe prevenir. Un agente de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Puede utilizar la probabilidad para decidir si compra un billete de lotería o no. En su estudio de la Estadística, utilizará el poder de las Matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar sus datos. Términos clave En estadística, generalmente queremos estudiar una población . Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra . La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población. Como se necesita mucho tiempo y dinero para examinar toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si desea calcular el promedio general de calificaciones de su escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de estudiantes que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de las calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de sondeos de opinión de 1.000 a 2.000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa el punto de vista de las personas de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas en lata toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada. A partir de los datos de la muestra podemos calcular un estadístico. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de Matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de Matemáticas, el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes de esa clase de Matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de un estadístico. La estadística es una estimación de un parámetro poblacional, en este caso la media. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante un estadístico. Dado que consideramos que todas las clases de Matemáticas son la población, el número promedio de puntos obtenidos por estudiante en todas las clases de Matemáticas es un ejemplo de parámetro. Una de las principales preocupaciones en el campo de la Estadística es la precisión con la que un estadístico estima un parámetro. La precisión depende realmente de lo bien que la muestra represente a la población. La muestra debe contener las características de la población para ser una muestra representativa . En la Estadística Inferencial nos interesa tanto el estadístico de la muestra como el parámetro de la población. En un capítulo posterior utilizaremos el estadístico de la muestra para comprobar la validez del parámetro poblacional establecido. Una variable , o variable aleatoria, que normalmente se anota con letras mayúsculas como la X y la Y , es una característica o medida que puede determinarse para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas . Las variables numéricas toman valores con unidades iguales, como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas sitúan a la persona o cosa en una categoría. Si suponemos que X equivale al número de puntos obtenidos por un estudiante de Matemáticas al final de un trimestre, entonces X es una variable numérica. Si suponemos que Y es la afiliación de una persona a un partido, entonces algunos ejemplos de Y incluyen republicano, demócrata e independiente. Y es una variable categórica. Podríamos hacer algunos cálculos con valores de X (calcular el promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer cálculos con valores de Y (calcular un promedio de afiliación a un partido no tiene sentido). Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o palabras. El dato es un valor único. Dos palabras que aparecen a menudo en estadística son media y proporción . Si presenta tres exámenes de sus clases de Matemáticas y obtiene calificaciones de 86, 75 y 92, calcularía su calificación media sumando las tres calificaciones de los exámenes y dividiéndolas entre tres (su calificación media sería 84,3 con un decimal). Si en su clase de Matemáticas hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes hombres es 22 40 y la proporción de estudiantes mujeres es 18 40 . La media y la proporción se tratan con más detalle en capítulos posteriores. NOTA Las palabras “ media ” y “ promedio ” suelen utilizarse indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio (media) de dinero que gastan los estudiantes de primer año del ABC College en material escolar que no incluya libros. Encuestamos al azar a 100 estudiantes de primer año del ABC College. Tres de esos estudiantes gastaron 150, 200 y 225 dólares, respectivamente. La población está formada por todos los estudiantes de primer año que asisten al ABC College este trimestre. La muestra podría ser todos los estudiantes inscritos en una sección de un curso de Estadística para principiantes en el ABC College (aunque esta muestra podría no representar a toda la población). El parámetro es la cantidad promedio (media) de dinero (sin libros) que gastan los estudiantes de primer año del ABC College este trimestre: la media de la población. El estadístico es la cantidad promedio de dinero gastado (sin libros) por los estudiantes de primer año en la muestra. La variable podría ser la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año. Supongamos que X = la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año que asiste al ABC College. Los datos son los montos en dólares gastados por los estudiantes de primer año. Los datos son, por ejemplo, 150, 200 y 225 dólares. Ejercicio Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio de dinero que gastan cada año en uniformes escolares las familias con hijos en Knoll Academy. Encuestamos al azar a 100 familias con hijos en la escuela. Tres de las familias gastaron 65, 75 y 95 dólares, respectivamente. Ejercicio Soluciones La población son todas las familias con hijos que asisten a Knoll Academy. La muestra es una selección aleatoria de 100 familias con hijos que asisten a esa academia. El parámetro es la cantidad promedio (media) de dinero que las familias con hijos en Knoll Academy gastan en uniformes escolares. El estadístico es la cantidad promedio (media) de dinero que las familias de la muestra gastan en uniformes escolares. La variable es la cantidad de dinero que gasta una familia. Supongamos que X = la cantidad de dinero gastada en uniformes escolares por una familia con hijos que asisten a Knoll Academy. Los datos son los importes en dólares gastados por las familias. Los datos son, por ejemplo, 65, 75 y 95 dólares. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Se ha realizado un estudio en un instituto universitario local para analizar el promedio de calificaciones (Grade Point Average, GPA) acumulado de los estudiantes que se graduaron el año pasado. Marque la letra de la oración que mejor describa cada uno de los elementos siguientes. 1. Población ____ 2. Estadística ____ 3. Parámetro ____ 4. Muestra ____ 5. Variable ____ 6. Datos ____ todos los estudiantes que cursaron educación superior el año pasado el GPA acumulado de un estudiante que se graduó de la educación superior el año pasado 3,65, 2,80, 1,50, 3,90 un grupo de estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado seleccionados al azar el GPA acumulado de los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado todos los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado el GPA acumulado de los estudiantes del estudio que se graduaron de la educación superior el año pasado 1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Como parte de un estudio diseñado para probar la seguridad de los automóviles, la Junta Nacional de Seguridad del Transporte recopiló y revisó datos sobre los efectos de un choque de automóviles en maniquíes de prueba. Este es el criterio que utilizaron: Velocidad a la que chocan los automóviles Ubicación del “conductor” (es decir, maniquíes) 35 millas/hora Asiento delantero Los automóviles con maniquíes en los asientos delanteros se estrellaron contra un muro a una velocidad de 35 millas por hora. Queremos saber la proporción de maniquíes en el asiento del conductor que habrían tenido lesiones en la cabeza, si hubieran sido conductores reales. Empezamos con una muestra aleatoria simple de 75 automóviles. La población son todos los automóviles que contienen maniquíes en el asiento delantero. La muestra son los 75 automóviles seleccionados por muestreo aleatorio simple. El parámetro es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la población. El estadístico es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la muestra. La variable X = si un maniquí conductor (si hubiese sido una persona real) habría sufrido lesiones en la cabeza. Los datos son: sí, tuvo una lesión en la cabeza, o no, no la tuvo. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Una compañía de seguros desea determinar la proporción de todos los médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia. La compañía selecciona 500 médicos al azar de un directorio profesional y determina el número de la muestra que se ha visto envuelto en una demanda por negligencia. La población son todos los médicos que figuran en el directorio profesional. El parámetro es la proporción de médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia en la población. La muestra son los 500 médicos seleccionados al azar del directorio profesional. El estadístico es la proporción de médicos que han estado implicados en una o más demandas por negligencia en la muestra. La variable X = si un médico individual ha estado involucrado en una demanda por negligencia. Los datos son: sí, estuvo involucrado en una o más demandas por negligencia, o no, no lo estuvo. Referencias The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo La teoría matemática de la estadística es más fácil de aprender cuando se conoce el lenguaje. Este módulo presenta términos importantes que se utilizarán a lo largo del texto. TAREA PARA LA CASA Para cada uno de los ocho ejercicios siguientes, identifique: a. la población, b. la muestra, c. el parámetro, d. el estadístico, e. la variable y f. los datos. Dé ejemplos cuando sea necesario. Un centro de acondicionamiento físico está interesado en la cantidad media de tiempo que un cliente hace ejercicio en el centro cada semana. Las estaciones de esquí se interesan por la edad media a la que los niños toman sus primeras clases de esquí y snowboard. Necesitan esta información para planificar sus clases de esquí de forma óptima. todos los niños que reciben clases de esquí o snowboard un grupo de estos niños la edad media de la población de los niños que toman su primera clase de snowboard la edad de la media muestral de los niños que toman su primera clase de snowboard X = la edad de un niño que toma su primera clase de esquí o snowboard valores para X , como 3, 7, etc. Una cardióloga está interesada en el periodo medio de recuperación de sus pacientes que han sufrido infartos. Las compañías de seguros se interesan por los costos sanitarios medios anuales de sus clientes para poder determinar los costos del seguro de enfermedad. los clientes de las compañías de seguros un grupo de los clientes los costos de salud medios de los clientes los costos de salud medios de la muestra X = los costos de salud de un cliente valores para X , como 34, 9, 82, etc. A un político le interesa la proporción de votantes de su distrito que piensan que está haciendo un buen trabajo. Una consejera matrimonial está interesada en la proporción de clientes a los que asesora que siguen casados. todos los clientes de esta consejera un grupo de clientes de esta consejera matrimonial la proporción de todos sus clientes que permanecen casados la proporción de la muestra de clientes de la consejera que permanecen casados X = el número de parejas que siguen casadas sí, no Los encuestadores políticos pueden estar interesados en la proporción de personas que votarán por una causa particular. Una compañía de mercadeo está interesada en la proporción de personas que comprarán un determinado producto. todas las personas (tal vez en una zona geográfica determinada, como Estados Unidos) un grupo de personas la proporción de personas que comprarán el producto la proporción de la muestra que comprará el producto X = el número de personas que lo comprarán comprar, no comprar Use la siguiente información para responder los tres próximos ejercicios: Una instructora del Lake Tahoe Community College está interesado en el número medio de días que los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College se ausentan de clase durante un trimestre. ¿Cuál es la población que le interesa? todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes de Inglés del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College en sus clases todos los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College Considere lo siguiente: X = número de días de ausencia de un estudiante de Matemáticas del Lake Tahoe Community College En este caso, X es un ejemplo de a: variable. población. estadístico. datos. a La muestra de la instructora arroja una media de días de ausencia de 3,5 días. Este valor es un ejemplo de: parámetro. datos. estadístico. variable. Promedio también llamada media o media aritmética; número que describe la tendencia central de los datos Variable categórica variables que toman valores que son nombres o identificadores Datos un conjunto de observaciones (un conjunto de resultados posibles); la mayoría de los datos se pueden clasificar en dos grupos: cualitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un identificador) o cuantitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un número). Los datos cuantitativos se pueden dividir en dos subgrupos: discretos y continuos . Los datos son discretos si son el resultado de contar (como el número de estudiantes de un determinado grupo étnico en una clase o el número de libros en una estantería). Los datos son continuos si son el resultado de una medición (como la distancia recorrida o el peso del equipaje). Modelos matemáticos una descripción de un fenómeno utilizando conceptos matemáticos, como ecuaciones, desigualdades, distribuciones, etc. Variable numérica variables que toman valores indicados por números Estudio de observación estudio en el que el investigador no manipula la variable independiente. Parámetro un número que se utiliza para representar una característica de la población y que generalmente no se puede determinar fácilmente Población todos las personas, objetos o medidas cuyas propiedades se estudian Probabilidad un número entre cero y uno, ambos inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico Proporción el número de aciertos dividido entre el número total de la muestra Muestra representativa un subconjunto de la población que tiene las mismas características que la población Muestra un subconjunto de la población estudiada Estadístico una característica numérica de la muestra; un estadístico estima el parámetro poblacional correspondiente. Modelos estadísticos descripción de un fenómeno mediante distribuciones de probabilidad que describen el comportamiento esperado del fenómeno y la variabilidad de las observaciones esperadas. Encuesta estudio en el que los datos se recogen tal y como los comunican los individuos. Variable una característica de interés para cada persona u objeto de una población", "section": "Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Datos, muestreo y variación de datos y muestreo Los datos pueden proceder de una población o de una muestra. Letras minúsculas como x o y se utilizan generalmente para representar valores de datos. La mayoría de los datos se pueden clasificar en las siguientes categorías: Cualitativa Cuantitativa Los datos cualitativos son el resultado de categorizar o describir los atributos de una población. Los datos cualitativos también suelen denominarse datos categóricos. El color del cabello, el tipo de sangre, la etnia, el automóvil que conduce una persona y la calle en la que vive son ejemplos de datos cualitativos (categóricos). Los datos cualitativos (categóricos) se describen con palabras o letras. Por ejemplo, el color del cabello puede ser negro, castaño oscuro, castaño claro, rubio, gris o rojo. El tipo de sangre puede ser AB+, O– o B+. Los investigadores prefieren los datos cuantitativos a los cualitativos (categóricos) porque se prestan más al análisis matemático. Por ejemplo, no tiene sentido hallar un color de cabello o un tipo de sangre promedio. Los datos cuantitativos son siempre números. Los datos cuantitativos son el resultado de contar o medir los atributos de una población. La cantidad de dinero, la frecuencia del pulso, el peso, el número de personas que viven en su ciudad y el número de estudiantes que cursan Estadística son ejemplos de datos cuantitativos. Los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos . Todos los datos que son el resultado de contar se denominan datos discretos cuantitativos . Estos datos solo adoptan ciertos valores numéricos. Si cuenta el número de llamadas telefónicas que recibe cada día de la semana, puede obtener valores como cero, uno, dos o tres. Los datos que no solo se componen de números para contar, sino que pueden incluir fracciones, decimales o números irracionales, se denominan datos cuantitativos continuos . Los datos continuos suelen ser el resultado de mediciones como longitudes, pesos o tiempos. Una lista de la duración en minutos de todas las llamadas telefónicas que realiza en una semana, con números como 2,4; 7,5; u 11,0, sería un dato cuantitativo continuo. Muestra de datos cuantitativos discretos Los datos son el número de libros que los estudiantes llevan en sus mochilas. Usted toma una muestra de cinco estudiantes. Dos estudiantes llevan tres libros, un estudiante lleva cuatro, un estudiante lleva dos y un estudiante lleva uno. Los números de libros (tres, cuatro, dos y uno) son los datos cuantitativos discretos. Ejercicio Los datos son el número de máquinas de un gimnasio. Usted tiene muestras de cinco gimnasios. Un gimnasio tiene 12 máquinas, otro tiene 15, otro tiene diez, otro tiene 22 y el otro tiene 20. ¿De qué tipo de datos se trata? Ejercicio Soluciones datos discretos cuantitativos Muestra de datos cuantitativos continuos Los datos son los pesos de mochilas que contienen libros. La muestra es de los mismos cinco estudiantes. Los pesos (en libras) de sus mochilas son 6,2; 7; 6,8; 9,1 y 4,3. Tome en cuenta que las mochilas que llevan tres libros pueden tener pesos diferentes. Los pesos son datos cuantitativos continuos. Ejercicio Los datos son las superficies de césped en pies cuadrados. Su muestra es de cinco casas. Las superficies de los céspedes son 144, 160, 190, 180 y 210 pies cuadrados respectivamente. ¿De qué tipo de datos se trata? Ejercicio Soluciones datos cuantitativos continuos Va al supermercado y compra tres latas de sopa (19 onzas de sopa de tomate, 14,1 onzas de lentejas y 19 onzas de boda italiana), dos paquetes de frutos secos (nueces y cacahuetes), cuatro tipos de vegetales diferentes (brócoli, coliflor, espinacas y zanahorias) y dos postres (16 onzas de helado de pistacho y 32 onzas de galletas de chocolate). Nombre los conjuntos de datos que son cuantitativos discretos, cuantitativos continuos y cualitativos (categóricos). Una posible solución: Las tres latas de sopa, los dos paquetes de frutos secos, las cuatro clases de vegetales y los dos postres son datos cuantitativos discretos porque usted los cuenta. Los pesos de las sopas (19 onzas, 14,1 onzas y 19 onzas) son datos cuantitativos continuos porque mide los pesos con la mayor precisión posible. Los tipos de sopas, frutos secos, vegetales y postres son datos cualitativos (categóricos) porque son categóricos. Intente identificar otros conjuntos de datos en este ejemplo. Los datos son los colores de las mochilas. Una vez más, la muestra son los mismos cinco estudiantes. Un estudiante tiene una mochila roja, las de dos estudiantes son negras, la de un estudiante es verde y la de otro es gris. Los colores rojo, negro, verde y gris son datos cualitativos (categóricos). Ejercicio Los datos son los colores de las casas. Su muestra es de cinco casas. Los colores de las casas son blanco, amarillo, blanco, rojo y blanco. ¿De qué tipo de datos se trata? Ejercicio Soluciones datos cualitativos (categóricos) Nota Puede recopilar los datos en forma de números y presentarlos categóricamente. Por ejemplo, las calificaciones de los exámenes de cada estudiante se registran a lo largo del trimestre. Al final del trimestre, las calificaciones de los cuestionarios se presentan como A, B, C, D o F. Trabaje en colaboración para determinar el tipo de datos correcto (cuantitativo o cualitativo). Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Pista: Los datos que son distintos empiezan con las palabras \"el número de\". el número de pares de zapatos que tiene el tipo de automóvil que conduce la distancia de su casa a la tienda de comestibles más cercana el número de clases que cursa por cada año escolar el tipo de calculadora que utiliza pesos de luchadores de sumo número de respuestas correctas en un cuestionario Calificaciones de IQ (esto puede provocar alguna discusión). Los ítems a, d y g son cuantitativamente discretos; los ítems c, f y h son cuantitativamente continuos; los ítems b y e son cualitativos o categóricos. Ejercicio Determine el tipo de dato correcto (cuantitativo o cualitativo) para el número de automóviles en un estacionamiento. Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Ejercicio Soluciones cuantitativo discreto Una profesora de Estadística recopila información sobre la clasificación de sus estudiantes en primer y segundo años, júnior y sénior. Los datos que recopila se resumen en el gráfico circular . ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Este gráfico circular muestra los estudiantes de cada año, que son datos cualitativos (o categóricos) . Ejercicio El registrador de la universidad estatal mantiene un registro del número de horas de crédito que los estudiantes completan cada semestre. Los datos que recopila se resumen en el histograma. Los límites de las clases son de 10 a menos de 13, de 13 a menos de 16, de 16 a menos de 19, de 19 a menos de 22 y de 22 a menos de 25. ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Ejercicio Soluciones El histograma se utiliza para mostrar datos cuantitativos: el número de horas de crédito completadas. Dado que los estudiantes solo pueden completar un número entero de horas (no se permiten fracciones de horas), estos datos son cuantitativamente distintos. Discusión de datos cualitativos A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College. Otoño 2007 (día del censo) De Anza College Foothill College Número Porcentaje Número Porcentaje Tiempo completo 9.200 40,9% Tiempo completo 4.059 28,6% Tiempo parcial 13.296 59,1% Tiempo parcial 10.124 71,4% Total 22.496 100 % Total 14.183 100 % Las tablas son una buena forma de organizar y mostrar datos. Pero los gráficos pueden ser aun más útiles para entender los datos. No hay reglas estrictas en cuanto a los gráficos que hay que utilizar. Dos gráficos que se utilizan para mostrar datos cualitativos (categóricos) son los gráficos circulares y los de barras. En un gráfico circular las categorías de datos se representan mediante cuñas en un círculo y su tamaño es proporcional al porcentaje de personas de cada categoría. En un gráfico de barras la longitud de la barra para cada categoría es proporcional al número o porcentaje de personas en cada categoría. Las barras pueden ser verticales u horizontales. Un diagrama de Pareto está formado por barras que se ordenan por el tamaño de la categoría (de mayor a menor). Observe la y la y determine qué gráfico (circular o de barras) cree que muestra mejor las comparaciones. Es una buena idea observar una variedad de gráficos para ver cuál es el más útil para mostrar los datos. Según los datos y el contexto, podemos elegir el “mejor” gráfico. Nuestra elección también depende del uso que hagamos de los datos. Porcentajes que suman más (o menos) que el 100 % A veces, los porcentajes suman más del 100 % (o menos del 100 %). En el gráfico, los porcentajes suman más del 100 % porque los estudiantes pueden estar en más de una categoría. Un gráfico de barras es apropiado para comparar el tamaño relativo de las categorías. No se puede utilizar un gráfico circular. Tampoco podía utilizarse si los porcentajes sumaban menos del 100 %. De Anza College, primavera de 2010 Característica/categoría Porcentaje Estudiantes a tiempo completo 40,9% Estudiantes que pretenden transferirse a una institución educativa de 4 años 48,6% Estudiantes menores de 25 años 61,0% TOTAL 150,5% Omisión de categorías/falta de datos La tabla muestra el origen étnico de los estudiantes pero falta la categoría “otros/desconocidos”. En esta categoría se ubican las personas que no se consideraron incluidas en ninguna de las categorías étnicas o que se negaron a responder. Observe que las frecuencias no suman el número total de estudiantes. En esta situación, cree un gráfico de barras y no un gráfico circular. Origen étnico de los estudiantes del De Anza College, otoño de 2007 (día del censo) Frecuencia Porcentaje Asiático 8.794 36,1% Negro 1.412 5,8% Filipino 1.298 5,3% Hispanos 4.180 17,1% Nativos de Estados Unidos 146 0,6% Isleños del Pacífico 236 1,0% Blancos 5.978 24,5% TOTAL 22.044 de 24.382 90.4 % del 100 % El siguiente gráfico es igual que el anterior, pero se ha incluido el porcentaje de “otros/desconocidos” (9,6 %). La categoría “otros/desconocidos” es grande en comparación con algunas de las otras categorías (nativos de Estados Unidos, 0,6 %, isleños del Pacífico, 1,0 %). Es importante saber esto cuando pensamos en lo que nos dicen los datos. Este gráfico de barras particular en la puede ser difícil de entender visualmente. El gráfico de la es un diagrama de Pareto. El diagrama de Pareto tiene las barras ordenadas de mayor a menor y es más fácil de leer e interpretar. Gráfico de barras con la categoría otros/desconocidos Diagrama de Pareto con barras ordenadas por tamaño Gráficos circulares: no faltan datos Los siguientes gráficos circulares incluyen la categoría “otros/desconocidos” (ya que los porcentajes deben sumar el 100 %). El gráfico en la (b) está organizado por el tamaño de cada porción, lo que lo convierte en un gráfico visualmente más informativo que el gráfico sin clasificar en la (a). Muestreo Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa. La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de muestreo aleatorio . En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama muestra aleatoria simple . Cualquier grupo de n personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de n personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen. Además del muestreo aleatorio simple, existen otras formas de muestreo que implican un proceso de azar para obtener la muestra. Otros métodos de muestreo aleatorio bien conocidos son la muestra estratificada, la muestra por conglomerados y la muestra sistemática. Para seleccionar una muestra estratificada , hay que dividir la población en grupos llamados estratos y, a continuación, tomar un número proporcional de cada estrato. Por ejemplo, podría estratificar (agrupar) la población de su instituto universitario por departamentos y luego seleccionar una muestra aleatoria simple proporcional de cada estrato (cada departamento) para obtener una muestra aleatoria estratificada. Para seleccionar una muestra aleatoria simple de cada departamento, numere cada miembro del primer departamento, numere cada miembro del segundo departamento y haga lo mismo con los departamentos restantes. Luego, utilice un muestreo aleatorio simple para seleccionar números proporcionales del primer departamento y haga lo mismo con cada uno de los departamentos restantes. Esos números seleccionados del primer departamento y del segundo departamento, y así sucesivamente, representan los miembros que componen la muestra estratificada. Para seleccionar una muestra por conglomerados hay que dividir la población en conglomerados (grupos) y luego seleccionar al azar algunos de los conglomerados. Todos los miembros de estos grupos están en la muestra por conglomerados. Por ejemplo, si toma una muestra aleatoria de cuatro departamentos de la población de su instituto universitario, los cuatro departamentos constituyen la muestra por conglomerados. Divida el profesorado de su instituto universitario por departamento. Los departamentos son los conglomerados. Numere cada departamento y, a continuación, elija cuatro números diferentes mediante un muestreo aleatorio simple. Todos los miembros de los cuatro departamentos con esos números son la muestra de conglomerado. Para seleccionar una muestra sistemática , seleccione al azar un punto de partida y tome cada n. ª (enésima) pieza de datos de una lista de la población. Por ejemplo, supongamos que tiene que hacer una encuesta telefónica. Su directorio telefónico contiene 20.000 listas de residencias. Debe seleccionar 400 nombres para la muestra. Numere la población de 1 a 20.000 y luego utilice una muestra aleatoria simple para seleccionar un número que represente el primer nombre de la muestra. Luego, elija cada quincuagésimo nombre hasta que tenga un total de 400 nombres (puede que tenga que volver al principio de su lista de teléfonos). El muestreo sistemático se elige con frecuencia porque es un método sencillo. Un tipo de muestreo que no es aleatorio es el muestreo de conveniencia. El muestreo de conveniencia implica el uso de resultados que están fácilmente disponibles. Por ejemplo, una tienda de softwares realiza un estudio de mercadeo mediante entrevistas con los clientes potenciales que se encuentran en la tienda mirando softwares disponibles. Los resultados del muestreo de conveniencia pueden ser muy buenos en algunos casos y muy sesgados (favorecer ciertos resultados) en otros. El muestreo de datos debe hacerse con mucho cuidado. Recolectar datos sin cuidado puede causar resultados devastadores. Las encuestas enviadas por correo a los hogares y luego devueltas pueden estar muy sesgadas (pueden favorecer a un determinado grupo). Es mejor que la persona que realiza la encuesta seleccione la muestra de encuestados. El muestreo aleatorio verdadero se realiza con reemplazo . Es decir, una vez que se selecciona un miembro, ese miembro vuelve a la población y, por tanto, lo pueden escoger más de una vez. Sin embargo, por razones prácticas, en la mayoría de las poblaciones el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo . Las encuestas suelen hacerse sin reemplazo. Es decir, un miembro de la población solo lo pueden seleccionar una vez. La mayoría de las muestras se toman de poblaciones grandes y la muestra tiende a ser pequeña en comparación con la población. En este caso, el muestreo sin reemplazo es, aproximadamente, igual al muestreo con reemplazo, ya que la probabilidad de seleccionar a la misma persona más de una vez con reemplazo es muy baja. En una población universitaria de 10.000 personas, supongamos que se quiere seleccionar una muestra de 1.000 al azar para una encuesta. Para cualquier muestra particular de 1.000 , si se hace un muestreo con reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente para esta muestra es de 999 entre 10.000 (0,0999); la probabilidad de volver a seleccionar a la misma persona es de 1 entre 10.000 (muy baja). Si se trata de un muestreo sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona para cualquier muestra específica es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de 999 entre 9.999 (0,0999); no se sustituye la primera persona antes de seleccionar la siguiente. Compare las fracciones 999/10.000 y 999/9.999. Para lograr más exactitud, lleve las respuestas decimales a cuatro cifras. Con cuatro decimales, estos números son equivalentes (0,0999). El muestreo sin reemplazo en vez del muestreo con reemplazo se convierte en una cuestión matemática solo cuando la población es pequeña. Por ejemplo, si la población es de 25 personas, la muestra es de diez y se realiza un muestreo con reemplazo para cualquier muestra particular , entonces la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de nueve entre 25 (se reemplaza la primera persona). Si se hace una muestra sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar la segunda persona (que es diferente) es de nueve entre 24 (no se reemplaza la primera persona). Compare las fracciones 9/25 y 9/24. Con cuatro decimales, 9/25 = 0,3600 y 9/24 = 0,3750. Con cuatro decimales, estos números no son equivalentes. Al analizar los datos, es importante tener en cuenta los errores de muestreo y los errores ajenos al muestreo. El propio proceso de muestreo provoca errores de muestreo. Por ejemplo, la muestra puede no ser lo suficientemente grande. Los factores no relacionados con el proceso de muestreo provocan errores ajenos al muestreo . Un dispositivo de recuento defectuoso puede causar un error ajeno al muestreo. En realidad, una muestra nunca será exactamente representativa de la población, por lo que siempre habrá algún error de muestreo. Por regla general, cuanto mayor sea la muestra, menor será el error de muestreo. En estadística, se crea un sesgo de muestreo cuando se recopila una muestra de una población y algunos de sus miembros no tienen la misma probabilidad de que los seleccionen que otros (recuerde que cada miembro de la población debe tener la misma probabilidad de que lo seleccionen). Cuando se produce un sesgo de muestreo, se pueden extraer conclusiones incorrectas sobre la población que se está estudiando. Evaluación crítica Tenemos que evaluar los estudios estadísticos que leemos de forma crítica y analizarlos antes de aceptar sus resultados. Los problemas más comunes que hay que tener en cuenta son: Problemas con las muestras: una muestra debe ser representativa de la población. Una muestra que no es representativa de la población está sesgada. Las muestras sesgadas que no son representativas de la población dan resultados inexactos y no válidos. Muestras autoseleccionadas: las respuestas de las personas que deciden responder, como las encuestas telefónicas, suelen ser poco fiables. Problemas de tamaño de la muestra: las muestras demasiado pequeñas pueden ser poco fiables. Si es posible, las muestras más grandes son mejores. En algunas situaciones, es inevitable contar con muestras pequeñas y, aun así, se pueden usar para sacar conclusiones. Ejemplos: pruebas de choques de automóviles o pruebas médicas para detectar condiciones poco comunes. Influencia indebida: recopilar datos o hacer preguntas de forma que influyan en la respuesta. Falta de respuesta o negativa del sujeto a participar: las respuestas recogidas pueden dejar de ser representativas de la población. A menudo, personas con fuertes opiniones positivas o negativas pueden responder las encuestas, lo que puede afectar los resultados. Causalidad: una relación entre dos variables no significa que una cause la otra. Pueden estar relacionadas (correlacionadas) debido a su relación a través de una variable diferente. Estudios autofinanciados o de interés propio: estudio realizado por una persona u organización para respaldar su afirmación. ¿El estudio es imparcial? Lea atentamente el estudio para evaluar el trabajo. No asuma automáticamente que el estudio es bueno, pero tampoco asuma automáticamente que es deficiente. Valórelo por sus méritos y el trabajo realizado. Uso engañoso de datos: gráficos mal presentados, datos incompletos o falta de contexto. Confusión: cuando los efectos de múltiples factores sobre una respuesta no se pueden separar. Los factores de confusión dificultan o impiden sacar conclusiones válidas sobre el efecto de cada uno de ellos. Se realiza un estudio para determinar la matrícula promedio que los estudiantes de educación superior del estado de San José pagan por semestre. En las siguientes muestras se pregunta a cada estudiante cuánto pagó de matrícula en el semestre de otoño. ¿Cuál es el tipo de muestreo en cada caso? Se toma una muestra de 100 estudiantes de educación superior del estado de San José y se organizan los nombres de los estudiantes por clasificación (primero y segundo años, júnior y sénior) y se seleccionan 25 estudiantes de cada uno. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar un estudiante de la lista alfabética de todos los estudiantes de pregrado en el semestre de otoño. A partir de ese estudiante, se elige cada 50 estudiantes hasta incluir 75 en la muestra. Se utiliza un método completamente aleatorio para seleccionar 75 estudiantes. Cada estudiante de educación superior del semestre de otoño tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen en cualquier fase del proceso de muestreo. Los de primero, segundo, júnior y sénior años están numerados como uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar dos de esos años. Todos los estudiantes de esos dos años están en la muestra. Se le pide a un asistente administrativo que se sitúe un miércoles frente a la biblioteca y les pregunte a los 100 primeros estudiantes de educación superior que calculen cuánto han pagado de matrícula en el semestre de otoño. Esos 100 estudiantes son la muestra. a. estratificado; b. sistemático; c. aleatoria simple; d. por conglomerados; e. de conveniencia Determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). Un entrenador de fútbol selecciona seis jugadores de un grupo de niños entre ocho y diez años, siete jugadores de un grupo de niños entre 11 y 12 años y tres jugadores de un grupo de niños entre 13 y 14 años para formar un equipo de fútbol recreativo. Un encuestador entrevista a todo el personal de Recursos Humanos de cinco compañías diferentes de alta tecnología. Un investigador educativo de escuela secundaria entrevista a 50 maestras y a 50 maestros de escuela secundaria. Un investigador médico entrevista a uno de cada tres pacientes de cáncer de una lista de enfermos de cáncer de un hospital local. El consejero de una escuela secundaria utiliza una computadora para generar 50 números al azar y luego toma a los estudiantes cuyos nombres se corresponden con los números. Un estudiante entrevista a los compañeros de su clase de Álgebra para determinar cuántos jeans posee un estudiante, en promedio. a. estratificado; b. por conglomerados; c. estratificado; d. sistemático; e. aleatorio simple; f. de conveniencia Si examinamos dos muestras que representen a la misma población, aunque utilicemos métodos de muestreo aleatorio para las muestras, no serán exactamente iguales. Al igual que hay variación en los datos, hay variación en las muestras. A medida que se acostumbre a la toma de muestras, la variabilidad empezará a parecer natural. Supongamos que el ABC College tiene 10.000 estudiantes a tiempo parcial (la población). Estamos interesados en la cantidad promedio de dinero que un estudiante a tiempo parcial gasta en libros en el trimestre de otoño. Preguntarles a los 10.000 estudiantes es una tarea casi imposible. Supongamos que tomamos dos muestras diferentes. En primer lugar, utilizamos un muestreo de conveniencia y encuestamos a diez estudiantes de una clase de Química Orgánica del primer trimestre. Muchos de estos estudiantes están cursando el primer trimestre de Cálculo además de la clase de Química Orgánica. Gastan la siguiente cantidad de dinero en libros: $128 $87 $173 $116 $130 $204 $147 $189 $93 $153 La segunda muestra se toma a partir de una lista de personas mayores que asisten a clases de Educación Física y se toma una de cada cinco personas mayores de la lista, lo que supone un total de diez personas mayores. Gastan: $50 $40 $36 $15 $50 $100 $40 $53 $22 $22 Es poco probable que algún estudiante esté en ambas muestras. a. ¿Cree que alguna de estas muestras es representativa de (o es característica de) toda la población de 10.000 estudiantes a tiempo parcial? a. No. La primera muestra se compone probablemente de estudiantes orientados a la ciencia. Además del curso de Química, algunos de ellos también están cursando el primer trimestre de Cálculo. Los libros para estas clases suelen ser costosos. Es más que probable que la mayoría de estos estudiantes estén pagando más por sus libros que el promedio de los estudiantes a tiempo parcial. La segunda muestra es un grupo de personas mayores que, muy probablemente, están tomando cursos por salud e interés. La cantidad de dinero que gastan en libros es probablemente mucho menor que la del estudiante promedio a tiempo parcial. Ambas muestras están sesgadas. Además, en ambos casos, no todos los estudiantes tienen la oportunidad de estar en una u otra muestra. b. Dado que estas muestras no son representativas de toda la población, ¿es prudente utilizar los resultados para describir a toda la población? b. No. En estas muestras, cada miembro de la población no tenía la misma probabilidad de que lo seleccionaran. Ahora, supongamos que tomamos una tercera muestra. Seleccionamos diez estudiantes diferentes a tiempo parcial de las disciplinas de Química, Matemáticas, Inglés, Psicología, Sociología, Historia, Enfermería, Educación Física, Arte y Desarrollo Infantil (suponemos que estas son las únicas disciplinas en las que están inscritos los estudiantes a tiempo parcial del ABC College y que hay un número igual de estudiantes a tiempo parcial en cada una de las disciplinas). Cada estudiante se selecciona mediante un muestreo aleatorio simple. Con una calculadora se generan números aleatorios y se selecciona un estudiante de una determinada disciplina si tiene el número correspondiente. Los estudiantes gastan las siguientes cantidades: $180 $50 $150 $85 $260 $75 $180 $200 $200 $150 c. ¿La muestra está sesgada? c. La muestra es sin sesgos, pero se recomendaría una muestra mayor para aumentar la probabilidad de que sea casi representativa de la población. Sin embargo, para una técnica de muestreo sesgada, incluso una muestra grande corre el riesgo de no ser representativa de la población. Los estudiantes suelen preguntar si es “suficiente” tomar una muestra, en vez de encuestar a toda la población. Si la encuesta está bien hecha, la respuesta es sí. Ejercicio Una emisora de radio local tiene una base de 20.000 oyentes. La emisora quiere saber si su audiencia prefiere más música o más programas de debate. Preguntarles a los 20.000 oyentes es una tarea casi imposible. La emisora utiliza un muestreo de conveniencia y encuesta a las primeras 200 personas que encuentra en uno de los conciertos musicales de la emisora. 24 personas dijeron que preferirían más programas de debate, y 176 personas dijeron que preferirían más música. ¿Cree que esta muestra es representativa (o característica) de toda la población de 20.000 oyentes? Ejercicio Soluciones La muestra probablemente conste de más personas que prefieren la música porque es un concierto. Además, la muestra representa solo a los que se presentaron al acto más que la mayoría. Es probable que la muestra no represente a toda la fanaticada y esté sesgada hacia los melómanos. Variación de los datos La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida: 15,8 16,1 15,2 14,8 15,8 15,9 16,0 15,5 Las medidas de la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas pueden variar porque diferentes personas hacen las mediciones o porque no se puso la cantidad exacta, 16 onzas de líquido, en las latas. Los fabricantes realizan regularmente pruebas para determinar si la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas está dentro del rango deseado. Tenga en cuenta que, al tomar los datos, estos pueden variar en cierta medida con respecto a los datos que otra persona está tomando para el mismo fin. Esto es completamente natural. Sin embargo, si dos o más de ustedes toman los mismos datos y obtienen resultados muy diferentes, es hora de que usted y los demás reevalúen sus métodos de toma de datos y su exactitud. Variación en las muestras Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población , tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado. Piense en lo que contribuye a que las muestras de Doreen y Jung sean diferentes. Si Doreen y Jung tomaran muestras más grandes (es decir, el número de valores de los datos se incrementa), los resultados de su muestra (la cantidad promedio de tiempo que duerme un estudiante) podrían estar más cerca del promedio real de la población. Pero aun así, sus muestras serían, con toda probabilidad, diferentes entre sí. Nunca se insistirá lo suficiente en esta variabilidad en las muestras . Tamaño de la muestra Es importante el tamaño de la muestra (a menudo llamado número de observaciones, normalmente con el símbolo n). Los ejemplos que ha visto en este libro hasta ahora han sido pequeños. Muestras de solo unos cientos de observaciones, o incluso más pequeñas, son suficientes para muchos propósitos. En los sondeos, las muestras que van de 1.200 a 1.500 observaciones se consideran suficientemente grandes y buenas si la encuesta es aleatoria y está bien hecha. Más adelante veremos que hasta los tamaños de muestra mucho más pequeños darán muy buenos resultados. Aprenderá por qué cuando estudie intervalos de confianza. Tenga en cuenta que muchas muestras grandes están sesgadas. Por ejemplo, las encuestas con llamadas están invariablemente sesgadas porque la gente decide responder o no. Referencias Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/default.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/methodology.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.gallup.com/poll/146822/gallup-healthways-index-questions.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de http://www.bookofodds.com/Relationships-Society/Articles/A0374-How-George-Gallup-Picked-the-President Dominic Lusinchi, “President’ Landon and the 1936 Literary Digest Poll: Were Automobile and Telephone Owners to Blame?” Social Science History 36, n.º 1: 23-54 (2012), http://ssh.dukejournals.org/content/36/1/23.abstract (consultado el 1.º de mayo de 2013). “The Literary Digest Poll,” Virtual Laboratories in Probability and Statistics http://www.math.uah.edu/stat/data/LiteraryDigest.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Gallup Presidential Election Trial-Heat Trends, 1936-2008”, Gallup Politics http://www.gallup.com/poll/110548/gallup-presidential-election-trialheat-trends-19362004.aspx#4 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/USCrime.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). LBCC Distance Learning (DL) program data in 2010-2011, http://de.lbcc.edu/reports/2010-11/future/highlights.html#focus (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José Repaso del capítulo Los datos son elementos individuales de información que provienen de una población o muestra. Los datos se clasifican en cualitativos (categóricos), cuantitativos continuos o cuantitativos distintos. Como no es práctico medir toda la población en un estudio, los investigadores utilizan muestras para representar a la población. Una muestra aleatoria es un grupo representativo de la población elegido mediante un método que da a cada persona de la población la misma oportunidad de que la incluyan en la muestra. Los métodos de muestreo aleatorio incluyen muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático. El muestreo de conveniencia es un método no aleatorio de elección de una muestra que suele producir datos sesgados. Las muestras que contienen personas diferentes generan datos diferentes. Esto es así incluso cuando las muestras están bien elegidas y son representativas de la población. Cuando se seleccionan adecuadamente, las muestras más grandes modelan la población con más precisión que las más pequeñas. Hay muchos problemas potenciales que pueden afectar la fiabilidad de una muestra. Los datos estadísticos se deben analizar críticamente, no simplemente aceptarlos. TAREA PARA LA CASA En los siguientes ejercicios identifique el tipo de datos que se utilizaría para describir una respuesta (cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa) y dé un ejemplo de los datos. número de entradas vendidas para un concierto cuantitativa discreta, 150 porcentaje de grasa corporal equipo de béisbol favorito cualitativo, Oakland A’s tiempo en la fila para comprar alimentos número de estudiantes inscritos en el Evergreen Valley College cuantitativo discreto, 11.234 estudiantes programa de televisión más visto marca de pasta de dientes cualitativo, Crest distancia a la sala de cine más cercana edad de los ejecutivos de las compañías de la lista Fortune 500 cuantitativo continuo, 47,3 años número de paquetes de software de hojas de cálculo de la competencia Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada 8.ª casa del vecindario que rodea el parque. “Número de veces por semana”, ¿qué tipo de datos son? cualitativo (categórico) cuantitativo discreto cuantitativo continuo b La “duración (cantidad de tiempo)”, ¿qué tipo de dato es? cualitativo (categórico) cuantitativo discreto cuantitativo continuo Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. Supongamos que una compañía aérea realiza una encuesta. Durante el fin de semana de Acción de Gracias realiza una encuesta en seis vuelos de Boston a Salt Lake City para determinar el número de bebés que hay en los vuelos. Esto determina la cantidad de equipos de seguridad necesarios según el resultado de ese estudio. Use oraciones completas y enumere tres cosas que no funcionan en la forma en que se realizó la encuesta. Use oraciones completas y enumere tres formas en las que mejoraría la encuesta si se repitiera. La encuesta se realizó en seis vuelos similares. La encuesta no sería una representación real de toda la población de viajeros aéreos. Realizar la encuesta durante un fin de semana festivo no producirá resultados representativos. Realizar la encuesta en diferentes épocas del año. Llevar a cabo la encuesta en vuelos de ida y vuelta a varios lugares. Realizar la encuesta en diferentes días de la semana. Suponga que quiere determinar el número medio de estudiantes por clase de Estadística en su estado. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Suponga que quiere determinar el número medio de latas de gaseosas que beben cada mes los estudiantes de veinte años de su escuela. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: podría utilizar un método de muestreo sistemático. Detenga a la décima persona al salir de uno de los edificios de la escuela a las 9:50 de la mañana. Luego, detenga a la décima persona cuando salga de otro edificio de la escuela a la 1:50 de la tarde. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta telefónica. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta por correo. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: Muchas personas no responden a las encuestas por correo. Si lo hacen, no se puede estar seguro de quién responde. Además, las listas de correo pueden estar incompletas. Con sus compañeros de clase haga una lluvia de ideas sobre cómo podría superar estos problemas si tuviera que realizar una encuesta telefónica o por correo. La instructora toma su muestra recopilando datos de cinco estudiantes seleccionados al azar de cada clase de Matemáticas del colegio comunitario Lake Tahoe. El tipo de muestreo que utilizó es muestreo por conglomerados muestreo estratificado muestreo aleatorio simple muestreo de conveniencia b Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque. El método de muestreo fue: simple aleatorio sistemático estratificado conglomerado Nombre el método de muestreo utilizado en cada una de las siguientes situaciones: Una mujer en el aeropuerto está repartiendo cuestionarios a los viajeros pidiéndoles que evalúen el servicio del aeropuerto. No les pregunta a los viajeros que se apresuran a pasar por el aeropuerto con las manos llenas de equipaje, sino a todos los que están sentados cerca de las puertas de embarque y no toman una siesta mientras esperan. Una maestra quiere saber si sus estudiantes están haciendo sus tareas para la casa, así que selecciona al azar las filas dos y cinco y luego llama a todos los estudiantes de la fila dos y a todos los de la fila cinco para que presenten a la clase las soluciones de los problemas de las tareas para la casa. El gerente de mercadeo de una cadena de tiendas de electrónica quiere información sobre la edad de sus clientes. Durante las dos semanas siguientes, en cada establecimiento, se les entregan cuestionarios a 100 clientes seleccionados al azar para que los rellenen; se les pide información sobre la edad, así como sobre otras variables de interés. La bibliotecaria de una biblioteca pública quiere determinar qué proporción de sus usuarios son niños. La bibliotecaria tiene una hoja de registro en la que marca si los libros se prestan a adultos o a niños. Registra estos datos para uno de cada cuatro clientes que pide libros prestados. Un partido político quiere conocer la reacción de los votantes ante un debate entre los candidatos. El día después del debate, el personal de sondeos del partido llama a 1.200 números de teléfono seleccionados al azar. Si un votante registrado contesta el teléfono o está disponible para tomar la llamada, se le pregunta por quién piensa votar y si el debate ha cambiado su opinión sobre los candidatos. de conveniencia conglomerado estratificado sistemático simple aleatorio Se realizó una “encuesta aleatoria” a 3.274 personas de la “generación del microprocesador” (personas nacidas a partir de 1971, año en que se inventó el microprocesador). Se informó que el 48 % de los encuestados declararon que, si tuvieran 2.000 dólares para gastar, los utilizarían para equipos de computación. Además, el 66 % de los encuestados se consideran usuarios relativamente expertos en usar una computadora. ¿Considera que el tamaño de la muestra es suficiente para un estudio de este tipo? ¿Por qué sí o por qué no? Basándose en su “intuición”, ¿cree que los porcentajes reflejan con exactitud la población estadounidense de las personas que nacieron desde 1971? Si no es así, ¿cree que los porcentajes de la población son realmente mayores o menores que las estadísticas de la muestra? ¿Por qué? Información adicional: la encuesta, realizada por Intel Corporation, la contestaron personas que visitaron el Centro de Convenciones de Los Ángeles para ver la presentación itinerante del Smithsonian Institute llamada “America’s Smithsonian”. Con esta información adicional, ¿cree que todos los grupos demográficos y étnicos estuvieron representados por igual en el evento? ¿Por qué sí o por qué no? Con la información adicional, comente con qué precisión cree que las estadísticas de la muestra reflejan los parámetros de la población. El Índice de Bienestar es una encuesta que sigue periódicamente las tendencias de los residentes en EE. UU. La encuesta abarca seis áreas de salud y bienestar: evaluación de la vida, salud emocional, salud física, comportamiento saludable, ambiente laboral y acceso básico. A continuación se enumeran algunas de las preguntas utilizadas para medir el Índice. Identifique el tipo de datos obtenidos de cada pregunta utilizada en esta encuesta: cualitativos (categóricos), cuantitativos distintos o cuantitativos continuos. ¿Tiene algún problema de salud que le impida hacer alguna de las cosas que la gente de su edad puede hacer normalmente? Durante los 30 días pasados, ¿cuántos días no pudo hacer sus actividades habituales debido a condiciones de salud deficientes? Durante los siete días pasados, ¿cuántos días hizo ejercicio por 30 minutos o más? ¿Tiene seguro médico? cualitativo (categórico) cuantitativo discreto cuantitativo discreto cualitativo (categórico) Antes de las elecciones presidenciales de 1936, una revista titulada Literary Digest publicó los resultados de un sondeo de opinión que predecía que el candidato republicano Alf Landon ganaría por un amplio margen. La revista envió tarjetas postales a unos 10.000.000 de posibles votantes. Estos posibles votantes se seleccionaron de la lista de suscriptores de la revista y de listas de registro de automóviles, telefónicas y de socios de clubes. Aproximadamente 2.300.000 personas enviaron sus respuestas. Piense en la situación de Estados Unidos en 1936. Explique por qué una muestra elegida a partir de listas de suscripción a revistas, de registro de automóviles, de directorios telefónicos y de socios de clubes no era representativa de la población de Estados Unidos en aquella época. ¿Qué efecto tiene la baja tasa de respuesta en la fiabilidad de la muestra? ¿Estos problemas son ejemplos de error de muestreo o de error ajeno al muestreo? Ese mismo año, George Gallup realizó su propio sondeo entre 30.000 posibles votantes. Estos investigadores utilizaron un método que denominaron “muestreo por cuotas” para obtener respuestas a la encuesta de subconjuntos específicos de la población. ¿El muestreo por cuotas es ejemplo de cuál método de muestreo de los que se describen en este módulo? Las estadísticas demográficas y relacionadas con la delincuencia de 47 estados de EE. UU. en 1960 se recopilaron de organismos gubernamentales, incluido el Informe Uniforme sobre Delincuencia del FBI. Un análisis de estos datos halló una fuerte conexión entre educación y delincuencia e indicó que los niveles más altos de educación en una comunidad se corresponden con índices de delincuencia más altos. ¿Cuál de los posibles problemas con las muestras que se comentan en la 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo podría explicar esta conexión? Causalidad: El hecho de que dos variables estén relacionadas no garantiza que una de ellas influya en la otra. No podemos asumir que la tasa de criminalidad influye en el nivel de educación o que el nivel de educación influye en la tasa de criminalidad. Confusión: Hay muchos factores que definen una comunidad, además del nivel educativo y el índice de criminalidad. Las comunidades con altos índices de delincuencia y altos niveles de educación pueden tener otras variables ocultas que las distinguen de las comunidades con índices de delincuencia y niveles de educación más bajos. Como no podemos aislar estas variables de interés, no podemos sacar conclusiones válidas sobre la conexión entre educación y delincuencia. Entre las posibles variables ocultas se encuentran gastos policiales, niveles de desempleo, región, edad promedio y tamaño. YouPolls es un sitio web que permite a cualquiera crear y responder a sondeos. Una pregunta publicada el 15 de abril plantea: “¿Se siente complacido pagando sus impuestos cuando a miembros de la administración Obama se les permite ignorar sus obligaciones fiscales?” (lastbaldeagle. 2013. On Tax Day, House to Call for Firing Federal Workers Who Owe Back Taxes. Sondeo de opinión publicada en línea en: http://www.youpolls.com/details.aspx?id=12328 (consultada el 1.º de mayo de 2013) . Hasta el 25 de abril, 11 personas respondieron esta pregunta. Todos los participantes respondieron: “¡NO!”. ¿Cuál de los posibles problemas analizados con las muestras en este módulo podría explicar esta conexión? Un artículo académico sobre tasas de respuesta comienza con la siguiente cita: \"El descenso de las tasas de contacto y cooperación en las encuestas telefónicas nacionales de marcación aleatoria (Random Digit Dial, RDD) plantea serias dudas sobre la validez de las estimaciones extraídas de dichas investigaciones\" (Scott Keeter et al., \"Gauging the Impact of Growing Nonresponse on Estimates from a National RDD Telephone Survey\", Public Opinion Quarterly 70 no. 5 (2006), http://poq.oxfordjournals.org/content/70/5/759.full (consultado el 1 de mayo de 2013) El Pew Research Center for People and the Press admite: “El porcentaje de personas que entrevistamos —de todas las que intentamos entrevistar— ha ido disminuyendo durante la década pasada o más” (Frequently Asked Questions, Pew Research Center for the People & the Press, http://www.people-press.org/methodology/frequently-asked-questions/#dont-you-have-trouble-getting-people-to-answer-your-polls (consultado el 1.º de mayo de 2013) . ¿Cuáles son algunos de los motivos de la disminución del índice de respuesta durante la década pasada? Explique por qué los investigadores están preocupados por el efecto de la disminución del índice de respuesta en los sondeos de opinión pública. Posibles motivos: aumento del uso del identificador de llamadas, disminución del uso de teléfonos fijos, aumento del uso de números privados, buzón de voz, administradores de privacidad, carácter agitado de las agendas personales, disminución de la disposición a ser entrevistado. Cuando un gran número de personas se niega a participar, la muestra puede no tener las mismas características de la población. Tal vez la mayoría de las personas que están dispuestas a participar lo hacen porque se sienten muy identificadas con el tema de la encuesta. Muestreo por conglomerados un método para seleccionar una muestra aleatoria y dividir la población en grupos (conglomerados); usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un conjunto de conglomerados. Todas las personas de los grupos elegidos se incluyen en la muestra. Variable aleatoria continua una variable aleatoria (random variable, RV) cuyos resultados se miden; la altura de los árboles en el bosque es una RV continua. Muestreo de conveniencia un método no aleatorio de selección de una muestra; este método selecciona personas que son fácilmente accesibles y puede generar datos sesgados. Variable aleatoria discreta una variable aleatoria (RV) cuyos resultados se cuentan Error ajeno al muestreo un problema que afecta la fiabilidad de los datos del muestreo, aparte de la variación natural; incluye una variedad de errores humanos, como un diseño deficiente del estudio, métodos de muestreo sesgados, información inexacta proporcionada por los participantes en el estudio, errores de introducción de datos y un análisis deficiente. Datos cualitativos Consulte datos . Datos cuantitativos Consulte datos . Muestreo aleatorio un método de selección de una muestra que da a cada miembro de la población la misma oportunidad de que lo seleccionen. Sesgo de muestreo no todos los miembros de la población tienen la misma probabilidad de que los seleccionen. Error de muestreo la variación natural que resulta de la selección de una muestra para representar una población mayor; esta variación disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, por lo que la selección de muestras más grandes reduce el error de muestreo. Muestreo con reemplazo una vez que se selecciona un miembro de la población para incluirlo en una muestra, ese miembro se devuelve a la población para la selección de la siguiente persona. Muestreo sin reemplazo a un miembro de la población lo pueden elegir para incluirlo en una muestra solo una vez. Si se elige, el miembro no se devuelve a la población antes de la siguiente selección. Muestreo aleatorio simple un método sencillo para seleccionar una muestra aleatoria; dar a cada miembro de la población un número. Usa un generador de números aleatorios para seleccionar un conjunto de identificadores. Estos identificadores seleccionados al azar precisan los miembros de su muestra. Muestreo estratificado método de selección de una muestra aleatoria utilizado para garantizar que los subgrupos de la población estén representados adecuadamente; divide la población en grupos (estratos). Usa el muestreo aleatorio simple para identificar un número proporcional de personas de cada estrato. Muestreo sistemático un método para seleccionar una muestra aleatoria; enumera los miembros de la población. Usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un punto de partida en la población. Supongamos que k = (número de personas de la población)/(número de personas necesarios en la muestra). Elija cada “k-ésima” persona de la lista empezando por la que se seleccionó al azar. 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{"text": "Niveles de medición Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible. Niveles de medición La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición . Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel): Nivel de escala nominal Nivel de escala ordinal Nivel de escala de intervalos Nivel de escala de cociente Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos) . Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido. Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos. Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida. Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0. Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido. Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina. Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92. Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20. Frecuencia Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 5 6 3 3 2 4 7 5 2 3 5 6 5 4 4 3 5 2 5 3 . La enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes Valor de los datos Frecuencia 2 3 3 5 4 3 5 6 6 2 7 1 Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra. Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas Valor de los datos Frecuencia Frecuencia relativa 2 3 3 20 o 0,15 3 5 5 20 o 0,25 4 3 3 20 o 0,15 5 6 6 20 o 0,30 6 2 2 20 o 0,10 7 1 1 20 o 0,05 La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la es 20 20 , o 1. La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la . Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas y acumuladas Valor de los datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 3 3 20 o 0,15 0,15 3 5 5 20 o 0,25 0,15 + 0,25 = 0,40 4 3 3 20 o 0,15 0,40 + 0,15 = 0,55 5 6 6 20 o 0,30 0,55 + 0,30 = 0,85 6 2 2 20 o 0,10 0,85 + 0,10 = 0,95 7 1 1 20 o 0,05 0,95 + 0,05 = 1,00 La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos. NOTA Debido al redondeo, es posible que la columna de frecuencia relativa no sume siempre uno, y que la última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada no sea uno. Sin embargo, cada uno de ellos debería estar cerca de uno. La representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales. Tabla de frecuencias de la altura de los jugadores de fútbol Estatura (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 59,95–61,95 5 5 100 = 0,05 0,05 61.95–63.95 3 3 100 = 0,03 0,05 + 0,03 = 0,08 63.95–65.95 15 15 100 = 0,15 0,08 + 0,15 = 0,23 65.95–67.95 40 40 100 = 0,40 0,23 + 0,40 = 0,63 67.95–69.95 17 17 100 = 0,17 0,63 + 0,17 = 0,80 69.95–71.95 12 12 100 = 0,12 0,80 + 0,12 = 0,92 71.95–73.95 7 7 100 = 0,07 0,92 + 0,07 = 0,99 73.95–75.95 1 1 100 = 0,01 0,99 + 0,01 = 1,00 Total = 100 Total = 1,00 Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos: de 59,95 a 61,95 pulgadas de 61,95 a 63,95 pulgadas de 63,95 a 65,95 pulgadas de 65,95 a 67,95 pulgadas de 67,95 a 69,95 pulgadas de 69,95 a 71,95 pulgadas de 71,95 a 73,95 pulgadas de 73,95 a 75,95 pulgadas En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que son inferiores a 65,95 pulgadas. Si se observan la primera, la segunda y la tercera filas, las alturas son todas inferiores a 65,95 pulgadas. Hay 5 + 3 + 15 = 23 jugadores cuya altura es inferior a 65,95 pulgadas. El porcentaje de alturas inferiores a 65,95 pulgadas es entonces 23 100 o el 23 %. Este porcentaje es la entrada de frecuencia relativa acumulada en la tercera fila. Ejercicio La muestra la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. Precipitaciones (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2,95-4,97 6 6 50 = 0,12 0,12 4,97-6,99 7 7 50 = 0,14 0,12 + 0,14 = 0,26 6,99-9,01 15 15 50 = 0,30 0,26 + 0,30 = 0,56 9,01-11,03 8 8 50 = 0,16 0,56 + 0,16 = 0,72 11,03-13,05 9 9 50 = 0,18 0,72 + 0,18 = 0,90 13,05-15,07 5 5 50 = 0,10 0,90 + 0,10 = 1,00 Total = 50 Total = 1,00 A partir de la , calcule el porcentaje de precipitación que es inferior a 9,01 pulgadas. Ejercicio Soluciones 0,56 o 56 % A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que se encuentran entre 61,95 y 65,95 pulgadas. Sume las frecuencias relativas en la segunda y tercera filas: 0,03 + 0,15 = 0,18 o 18 %. Ejercicio A partir de la , calcule el porcentaje de precipitaciones que se encuentra entre 6,99 y 13,05 pulgadas. Ejercicio Soluciones 0,30 + 0,16 + 0,18 = 0,64 o 64 % Utilice las alturas de los 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales en la . Rellene los espacios en blanco y compruebe sus respuestas. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 71,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 73,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas superiores a 65,95 pulgadas es: ____. El número de jugadores de la muestra que miden entre 61,95 y 71,95 pulgadas es: ____. ¿Qué tipo de datos son las alturas? Describa cómo podría reunir estos datos (las alturas) para que los datos sean característicos de todos los jugadores hombres de fútbol semiprofesionales. Recuerde, usted cuentas frecuencias . Para hallar la frecuencia relativa, divida la frecuencia entre el número total de valores de datos. Para hallar la frecuencia relativa acumulada se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual. 29 % 36 % 77 % 87 cuantitativo continuo obtener las listas de cada equipo y elegir una muestra aleatoria simple de cada uno Se les preguntó a diecinueve personas cuántas millas recorren cada día para ir al trabajo, con una aproximación de una milla. Los datos son los siguientes: 2 5 7 3 2 10 18 15 20 7 10 18 5 12 13 12 4 5 10 . Se produjo la : Frecuencia de las distancias de desplazamiento Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 3 3 3 19 0,1579 4 1 1 19 0,2105 5 3 3 19 0,1579 7 2 2 19 0,2632 10 3 4 19 0,4737 12 2 2 19 0,7895 13 1 1 19 0,8421 15 1 1 19 0,8948 18 1 1 19 0,9474 20 1 1 19 1,0000 ¿La tabla es correcta? Si no es correcta, ¿qué está errado? Verdadero o falso: El tres por ciento de los encuestados se desplazan tres millas. Si la afirmación es incorrecta, ¿cuál debería serlo? Si la tabla es incorrecta, haga las correcciones. ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza cinco o siete millas? ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza 12 millas o más? ¿Menos de 12 millas? ¿Entre cinco y 13 millas (sin incluir cinco y 13 millas)? No. La columna de frecuencia suma 18, no 19. No todas las frecuencias relativas acumuladas son correctas. Falso. La frecuencia para tres millas debería ser una; para dos millas (omitidas), dos. La columna de frecuencia relativa acumulada debe decir: 0,1052, 0,1579, 0,2105, 0,3684, 0,4737, 0,6316, 0,7368, 0,7895, 0,8421, 0,9474, 1,0000. 5 19 7 19 , 12 19 , 7 19 Ejercicio La representa la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. ¿Qué fracción de las ciudades recibe entre 11,03 y 13,05 pulgadas de lluvia al año? Ejercicio Soluciones 9 50 La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de terremotos en el periodo comprendido entre 2000 y 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2006 hasta 2009? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2009? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2003 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2004? ¿Qué tipo de datos son los números de las muertes? La escala de Richter se utiliza para cuantificar la energía producida por un terremoto. Ejemplos de números de la escala de Richter son 2,3; 4,0; 6,1 y 7,0. ¿Qué tipo de datos son estas cifras? 97.118 (11,8 %) 41,6 % 67.092/823.356 o 0,081 o 8,1 % 27,8 % Discreto cuantitativo Cuantitativo continuo Ejercicio La contiene el número total de accidentes mortales de tráfico de vehículos de motor en Estados Unidos para el periodo de 1994 a 2011. Año Número total de accidentes Año Número total de accidentes 1994 36.254 2004 38.444 1995 37.241 2005 39.252 1996 37.494 2006 38.648 1997 37.324 2007 37.435 1998 37.107 2008 34.172 1999 37.140 2009 30.862 2000 37.526 2010 30.296 2001 37.862 2011 29.757 2002 38.491 Total 653.782 2003 38.477 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2000 hasta 2004? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2006? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2000 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2011? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada en 2006? Explique qué le dice este número sobre los datos. Ejercicio Soluciones 190.800 (29,2%) 24,9% 260.086/653.782 o el 39,8 % 4,6% El 75,1 % de todos los accidentes de tránsito mortales en el periodo de 1994 a 2011 se produjeron entre 1994 y 2006. Referencias “State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana. Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes. Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas. TAREA PARA LA CASA Se les preguntó a cincuenta estudiantes a tiempo parcial cuántos cursos estaban tomando este trimestre. Los resultados (incompletos) se muestran a continuación: Carga lectiva de los estudiantes a tiempo parcial Número de cursos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 30 0,6 2 15 3 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de estudiantes toman exactamente dos cursos? ¿Qué porcentaje de estudiantes toman uno o dos cursos? Antes de emitir el diagnóstico se les preguntó a sesenta adultos con enfermedades de las encías el número de veces por semana que utilizaban el hilo dental. Los resultados (incompletos) se muestran en la . Frecuencia de uso del hilo dental en adultos con enfermedades de las encías N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 1 18 3 0,9333 6 3 0,0500 7 1 0,0167 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de adultos utiliza el hilo dental seis veces por semana? ¿Qué porcentaje utiliza el hilo dental como máximo tres veces por semana? N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 0,4500 1 18 0,3000 0,7500 3 11 0,1833 0,9333 6 3 0,0500 0,9833 7 1 0,0167 1 5,00 % 93,33 % Se les preguntó a diecinueve inmigrantes en EE. UU. cuántos años, con una aproximación de un año, han vivido en EE. UU. Los datos son los siguientes: 2 5 7 2 2 10 20 15 0 7 0 20 5 12 15 12 4 5 10 . Se produjo la . Frecuencia de las respuestas de los inmigrantes a la encuesta Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 2 2 19 0,1053 2 3 3 19 0,2632 4 1 1 19 0,3158 5 3 3 19 0,4737 7 2 2 19 0,5789 10 2 2 19 0,6842 12 2 2 19 0,7895 15 1 1 19 0,8421 20 1 1 19 1,0000 Corrija los errores en la . Además, explique cómo alguien podría haber llegado a los números incorrectos. Explique qué está errado en esta afirmación: “El 47 % de los encuestados lleva 5 años viviendo en EE. UU.”. Corrija el enunciado en b para que sea correcto. ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. cinco o siete años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido como máximo 12 años en EE. UU.? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. menos de 12 años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. de cinco a 20 años, ambos inclusive? ¿Cuánto tiempo se tarda en ir al trabajo? La muestra el tiempo medio de desplazamiento por estado para los trabajadores de, al menos, 16 años que no trabajan en casa. Calcule el tiempo medio de traslado, y redondee la respuesta correctamente. 24,0 24,3 25,9 18,9 27,5 17,9 21,8 20,9 16,7 27,3 18,2 24,7 20,0 22,6 23,9 18,0 31,4 22,3 24,0 25,5 24,7 24,6 28,1 24,9 22,6 23,6 23,4 25,7 24,8 25,5 21,2 25,7 23,1 23,0 23,9 26,0 16,3 23,1 21,4 21,5 27,0 27,0 18,6 31,7 23,3 30,1 22,9 23,3 21,7 18,6 La suma de los tiempos de viaje es de 1.173,1. Divida la suma entre 50 para calcular el valor medio: 23,462. Dado que el tiempo de viaje de cada estado se midió a la décima más cercana, redondee este cálculo a la centésima más cercana: 23,46. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de al menos 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. La muestra la edad de los directores generales de las primeras 60 compañías clasificadas. Edad Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 40-44 3 45-49 11 50-54 13 55-59 16 60-64 10 65-69 6 70-74 1 ¿Cuál es la frecuencia para los directores generales entre 54 y 65 años? ¿Qué porcentaje de directores generales tienen 65 años o más? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las edades inferiores a 50 años? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los directores generales menores de 55 años? ¿Qué gráfico muestra la frecuencia relativa y cuál la frecuencia relativa acumulada? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta. Frecuencia de los impactos directos de los huracanes Categoría Número de impactos directos Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 1 109 0,3993 0,3993 2 72 0,2637 0,6630 3 71 0,2601 4 18 0,9890 5 3 0,0110 1,0000 Total = 273 ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron huracanes de categoría 4? 0,0768 0,0659 0,2601 No hay suficiente información para calcular b ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron COMO MÁXIMO una tormenta de categoría 3? 0,3480 0,9231 0,2601 0,3370 Frecuencia relativa acumulada el término se aplica a un conjunto ordenado de observaciones de menor a mayor. La frecuencia relativa acumulada es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores que son menores o iguales al valor dado. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados con el número total de resultados", "section": "Niveles de medición", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Diseño experimental y ética ¿La aspirina reduce el riesgo de infarto? ¿Una marca de abono es más eficaz para el cultivo de rosas que otra? ¿El cansancio es tan peligroso para un conductor como la influencia del alcohol? Este tipo de preguntas se responden con experimentos aleatorios. En este módulo aprenderá aspectos importantes del diseño experimental. Un diseño adecuado del estudio garantiza la obtención de datos fiables y precisos. El propósito de un experimento es investigar la relación entre dos variables. Cuando una variable provoca un cambio en otra, llamamos a la primera variable la variable independiente o explicativa . La variable afectada se llama variable dependiente o variable de respuesta : estímulo, respuesta. En un experimento aleatorio, el investigador manipula los valores de la variable explicativa y mide los cambios resultantes en la variable de respuesta. Los diferentes valores de la variable explicativa se denominan tratamientos . Una unidad experimental es un único objeto o persona que se va a medir. Quiere investigar la eficacia de la vitamina E en la prevención de enfermedades. Usted recluta a un grupo de sujetos y les pregunta si toman regularmente vitamina E. Observa que los sujetos que toman vitamina E, en promedio, presentan una salud mejor que quienes no la toman. ¿Esto prueba que la vitamina E es eficaz en la prevención de enfermedades? No es así. Hay muchas diferencias entre los dos grupos comparados, además del consumo de vitamina E. Las personas que toman vitamina E con regularidad suelen tomar otras medidas para mejorar su salud: ejercicio, dieta, otros suplementos vitamínicos, elección de no fumar, etc. Cualquiera de estos factores podría estar influyendo en la salud. Como se ha descrito, este estudio no demuestra que la vitamina E sea la clave para la prevención de enfermedades. Las variables adicionales que pueden enturbiar un estudio se denominan variables ocultas . Para demostrar que la variable explicativa provoca un cambio en la variable de respuesta, es necesario aislar la variable explicativa. La investigadora debe diseñar su experimento de forma que solo haya una diferencia entre los grupos que se comparan: los tratamientos previstos. Esto se consigue mediante la asignación aleatoria de unidades experimentales a grupos de tratamiento. Cuando los sujetos se asignan a los tratamientos de forma aleatoria, todas las variables ocultas potenciales se reparten por igual entre los grupos. En este punto, la única diferencia entre los grupos es la impuesta por el investigador. Los diferentes resultados medidos en la variable de respuesta, por tanto, deben ser una consecuencia directa de los diferentes tratamientos. De este modo, un experimento puede demostrar una conexión causa-efecto entre las variables explicativas y las de respuesta. El poder de la sugestión puede tener una importante influencia en el resultado de un experimento. Los estudios han demostrado que la expectativa del participante en el estudio puede ser tan importante como el medicamento real. En un estudio sobre fármacos que mejoran el desempeño, los investigadores señalaron: Los resultados mostraron que creer que se había tomado la sustancia provocaba tiempos de [ desempeño ] casi tan rápidos como los asociados al consumo del propio fármaco. Por el contrario, la toma del fármaco sin conocimiento no produjo un aumento significativo del desempeño. (McClung, M. Collins, D. “Because I know it will!”: placebo effects of an ergogenic aid on athletic performance. Journal of Sport & Exercise Psychology. Junio de 2007. 29(3):382-94. Web. 30 de abril de 2013) . Cuando la participación en un estudio provoca una respuesta física del participante, es difícil aislar los efectos de la variable explicativa. Para contrarrestar el poder de la sugestión, los investigadores reservaron un grupo de tratamiento como grupo de control . Este grupo recibe un tratamiento placebo , es decir, un tratamiento que no puede influir en la variable de respuesta. El grupo de control ayuda a los investigadores a equilibrar los efectos de estar en un experimento con los efectos de los tratamientos activos. Por supuesto, si usted participa en un estudio y sabe que está recibiendo una píldora que no contiene ningún medicamento real, entonces el poder de la sugestión ya no es un factor. Que un experimento aleatorio sea ciego preserva el poder de la sugestión. Cuando una persona participa en un estudio de investigación ciego, no sabe quién recibe el tratamiento activo y quién el placebo. Un experimento doble ciego es aquel en el que tanto los sujetos como los investigadores que participan en él no conocen la información del fármaco. La Fundación para el Tratamiento y la Investigación del Olfato y el Gusto realizó un estudio para investigar si el olor puede afectar el aprendizaje. Los sujetos completaron laberintos varias veces con máscaras puestas. Completaron los laberintos de lápiz y papel tres veces con máscaras con aroma floral y tres veces con máscaras sin aroma. Los participantes se asignaron al azar a ponerse la máscara floral durante los tres primeros ensayos o durante los tres últimos. En cada ensayo, los investigadores registraron el tiempo que se tardaban en completar el laberinto y la impresión de los sujetos sobre el olor de la máscara: positivo, negativo o neutro. Describa las variables explicativas y de respuesta de este estudio. ¿Cuáles son los tratamientos? Identifique cualquier variable oculta que pueda interferir en este estudio. ¿Es posible que este estudio se haga ciego? La variable explicativa es el olor y la variable de respuesta es el tiempo que se tarda en completar el laberinto. Hay dos tratamientos: una máscara con aroma floral y otra sin aroma. Todos los sujetos experimentaron ambos tratamientos. El orden de los tratamientos se asignó al azar, por lo que no hubo diferencias entre los grupos de tratamiento. La asignación aleatoria elimina el problema de las variables ocultas. Los sujetos sabrán claramente si pueden oler las flores o no, por lo que no es un estudio ciego para los participantes. Sin embargo, para los investigadores que cronometran los laberintos sí puede ser ciego. El investigador que observa a un sujeto no sabrá qué máscara se está usando. Referencias “Vitamin E and Health”, Nutrition Source, Harvard School of Public Health, http://www.hsph.harvard.edu/nutritionsource/vitamin-e/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Stan Reents. “Don’t Underestimate the Power of Suggestion,” athleteinme.com, http://www.athleteinme.com/ArticleView.aspx?id=1053 (consultado el 1.º de mayo de 2013). Ankita Mehta. “Daily Dose of Aspiring Helps Reduce Heart Attacks: Study,” International Business Times, 21 de julio de 2011. También disponible en línea en http://www.ibtimes.com/daily-dose-aspirin-helps-reduce-heart-attacks-study-300443 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/ScentsandLearning.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). M. L. Jacskon et al., “Cognitive Components of Simulated Driving Performance: Sleep Loss effect and Predictors”, Accident Analysis and Prevention Journal, Enero n.º 50 (2013), http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/22721550 (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Earthquake Information by Year”, U.S. Geological Survey. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqarchives/year/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Fatality Analysis Report Systems (FARS) Encyclopedia”, National Highway Traffic and Safety Administration. http://www-fars.nhtsa.dot.gov/Main/index.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.businessweek.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de www.forbes.com (consultado el 1.º de mayo de 2013). “America’s Best Small Companies”, http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). U.S. Department of Health and Human Services, Code of Federal Regulations Title 45 Public Welfare Department of Health and Human Services Part 46 Protection of Human Subjects, revisado el 15 de enero de 2009. Section 46.111:Criteria for IRB Approval of Research. “April 2013 Air Travel Consumer Report”, U.S. Department of Transportation, 11 de abril (2013), http://www.dot.gov/airconsumer/april-2013-air-travel-consumer-report (consultado el 1.º de mayo de 2013). Lori Alden, “Statistics can be Misleading”, econoclass.com, http://www.econoclass.com/misleadingstats.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). María de los A. Medina, “Ethics in Statistics”, basado en “Building an Ethics Module for Business, Science, and Engineering Students” de José A. Cruz-Cruz y William Frey, Connexions, http://cnx.org/content/m15555/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un estudio de diseño deficiente no producirá datos fiables. Hay ciertos componentes clave que deben incluirse en cada experimento. Para eliminar las variables ocultas los sujetos deben ser asignados aleatoriamente a diferentes grupos de tratamiento. Uno de los grupos debe actuar como grupo de control, con lo que se demuestra lo que ocurre cuando no se aplica el tratamiento activo. Los participantes del grupo de control reciben un tratamiento placebo que es exactamente igual a los tratamientos activos, pero que no puede influir en la variable de respuesta. Para preservar la integridad del placebo, tanto los investigadores como los sujetos pueden estar sin conocimiento del fármaco. Cuando un estudio se diseña correctamente la única diferencia entre los grupos de tratamiento es la impuesta por el investigador. Por lo tanto, cuando los grupos responden de forma diferente a los distintos tratamientos, la diferencia debe ser por la influencia de la variable explicativa. “Un problema de ética surge cuando se plantea una acción que le beneficia a usted o a alguna causa que apoya, perjudica o reduce los beneficios de otras personas y viola alguna norma” (Andrew Gelman, “Open Data and Open Methods”, Ethics and Statistics, http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/ChanceEthics1.pdf [consultado el 1.º de mayo de 2013]) . Las violaciones de la ética en las estadísticas no siempre son fáciles de detectar. Asociaciones profesionales y agencias federales publican directrices sobre la conducta adecuada. Es importante que aprenda los procedimientos estadísticos básicos para que pueda reconocer un análisis de datos adecuado. Variable explicativa la variable independiente en un experimento; el valor controlado por los investigadores Tratamientos diferentes valores o componentes de la variable explicativa aplicada en un experimento Variable de respuesta la variable dependiente en un experimento; el valor que se mide para el cambio al final de un experimento Unidad experimental cualquier persona u objeto que se va a medir Variable oculta una variable que tiene un efecto en un estudio, aunque no sea ni una variable explicativa ni una variable de respuesta Asignación aleatoria el acto de organizar las unidades experimentales en grupos de tratamiento con métodos aleatorios Grupo de control un grupo en un experimento aleatorio que recibe un tratamiento inactivo pero que se gestiona exactamente igual que los demás grupos Consentimiento informado todo sujeto humano que participe en un estudio de investigación debe ser consciente de los riesgos o los costos asociados al estudio. El sujeto tiene derecho a conocer la naturaleza de los tratamientos incluidos en el estudio, sus posibles riesgos y sus posibles beneficios. El consentimiento debe ser dado libremente por un participante informado y apropiado. Junta de Revisión Institucional un comité encargado de supervisar los programas de investigación con seres humanos Placebo un tratamiento inactivo que no tiene ningún efecto real sobre la variable explicativa Ciego no decirles a los participantes qué tratamiento está recibiendo un sujeto Doble ciego cuando tanto los sujetos de un experimento como los investigadores que trabajan con ellos no saben cuál es el fármaco que se administra", "section": "Diseño experimental y ética", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Cuando tenga grandes cantidades de datos, tendrá que organizarlos de forma que tengan sentido. Estas papeletas de una elección se enrollan junto con otras similares para mantenerlas organizadas (créditos: William Greeson). Una vez que haya recopilado los datos, ¿qué hará con ellos? Los datos se pueden describir y presentar en muchos formatos diferentes. Por ejemplo, supongamos que está interesado en comprar una casa en una zona determinada. Es posible que no tenga ni idea de los precios de las viviendas, por lo que puede pedirle a su agente inmobiliario que le dé un conjunto de datos de muestra de los precios. Mirar todos los precios de la muestra suele ser abrumador. Una mejor forma sería observar la mediana del precio y la variación de los precios. La mediana y la variación son solo dos formas que aprenderá para describir los datos. Su agente también puede proporcionarle un gráfico de los datos. En este capítulo estudiará las formas numéricas y gráficas de describir y mostrar sus datos. Esta área de la estadística se llama “Estadística Descriptiva”. Aprenderá a calcular y, lo que es más importante, a interpretar estas medidas y gráficos. Un gráfico estadístico es una herramienta que ayuda a conocer la forma o la distribución de una muestra o de una población. Un gráfico puede ser una forma más eficaz de presentar los datos que una masa de números porque podemos ver dónde se agrupan los datos y dónde hay solo unos pocos valores de datos. Los periódicos e internet utilizan gráficos para mostrar tendencias y permitir a los lectores comparar rápidamente datos y cifras. Los estadísticos suelen hacer primero un gráfico de los datos para hacerse una idea de lo que arrojan. Luego, se pueden aplicar herramientas más formales. Algunos de los tipos de gráficos que se utilizan para resumir y organizar los datos son el diagrama de puntos, el gráfico de barras, el histograma, el diagrama de tallo y hojas, el polígono de frecuencias (un tipo de gráfico de líneas discontinuas), el gráfico circular y el diagrama de caja. En este capítulo veremos brevemente gráficos de tallo y hoja, gráficos de líneas y gráficos de barras, así como polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales. Haremos hincapié en los histogramas y los diagramas de caja.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Datos mostrados Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo , procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo . Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo. En la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean las calificaciones del primer examen fueron las siguientes (de menor a mayor): 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Gráfico de tallo y hoja Tallo Hoja 3 3 4 2 9 9 5 3 5 5 6 1 3 7 8 8 9 9 7 2 3 4 8 8 0 3 8 8 8 9 0 2 4 4 4 4 6 10 0 El gráfico de tallo muestra que la mayoría de las calificaciones fueron de 60, 70, 80 y 90. Ocho de las 31 calificaciones, es decir, aproximadamente el 26 % ( 8 31 ) estaban en los 90 o 100, un número bastante alto de calificaciones con A. Ejercicio Para el equipo de baloncesto de Park City los resultados de los últimos 30 partidos fueron los siguientes (de menor a mayor): 32; 32; 33; 34; 38; 40; 42; 42; 43; 44; 46; 47; 47; 48; 48; 48; 49; 50; 50; 51; 52; 52; 52; 53; 54; 56; 57; 57; 60; 61 Construya un diagrama de tallo para los datos. Tallo Hoja 3 2 2 3 4 8 4 0 2 2 3 4 6 7 7 8 8 8 9 5 0 0 1 2 2 2 3 4 6 7 7 6 0 1 El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante. Los datos son las distancias (en kilómetros) de un hogar a supermercados locales. Cree un diagrama de tallo con los datos: 1,1; 1,5; 2,3; 2,5; 2,7; 3,2; 3,3; 3,3; 3,5; 3,8; 4,0; 4,2; 4,5; 4,5; 4,7; 4,8; 5,5; 5,6; 6,5; 6,7; 12,3 ¿Los datos parecen tener alguna concentración de valores? NOTA Las hojas están a la derecha del decimal. El valor 12,3 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en los tres y cuatro kilómetros. Tallo Hoja 1 1 5 2 3 5 7 3 2 3 3 5 8 4 0 2 5 5 7 8 5 5 6 6 5 7 7 8 9 10 11 12 3 Ejercicio Los siguientes datos muestran las distancias (en millas) desde los hogares de los estudiantes de Estadística fuera del campus hasta el instituto universitario. Cree un diagrama de tallo con los datos e identifique los valores atípicos: 0,5; 0,7; 1,1; 1,2; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,5; 1,7; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,2; 2,5; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 3,5; 3,8; 4,4; 4,8; 4,9; 5,2; 5,5; 5,7; 5,8; 8,0 Tallo Hoja 0 5 7 1 1 2 2 3 3 5 5 7 7 8 9 2 0 2 5 6 8 8 8 3 5 8 4 4 8 9 5 2 5 7 8 6 7 8 0 El valor 8,0 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en una y dos millas. El diagrama de tallo y hoja bilateral permite comparar los dos conjuntos de datos en dos columnas. En el diagrama de tallo y hoja bilateral dos conjuntos de hojas comparten el mismo tallo. Las hojas están a la izquierda y a la derecha de los tallos. La y la muestran las edades de los presidentes en su investidura y al momento de su muerte. Construya un diagrama de tallo y hoja bilateral utilizando estos datos. Edades en la investidura Edades al momento de la muerte 9 9 8 7 7 7 6 3 2 4 6 9 8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 0 5 3 6 6 7 7 8 9 8 5 4 4 2 1 1 1 0 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 0 1 1 1 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Edades de los presidentes en su investidura Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 57 Lincoln 52 Hoover 54 J. Adams 61 A. Johnson 56 F. Roosevelt 51 Jefferson 57 Grant 46 Truman 60 Madison 57 Hayes 54 Eisenhower 62 Monroe 58 Garfield 49 Kennedy 43 J. Q. Adams 57 Arthur 51 L. Johnson 55 Jackson 61 Cleveland 47 Nixon 56 Van Buren 54 B. Harrison 55 Ford 61 W. H. Harrison 68 Cleveland 55 Carter 52 Tyler 51 McKinley 54 Reagan 69 Polk 49 T. Roosevelt 42 G. H. W. Bush 64 Taylor 64 Taft 51 Clinton 47 Fillmore 50 Wilson 56 G. W. Bush 54 Pierce 48 Harding 55 Obama 47 Buchanan 65 Coolidge 51 Edad del presidente al momento de su muerte Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 67 Lincoln 56 Hoover 90 J. Adams 90 A. Johnson 66 F. Roosevelt 63 Jefferson 83 Grant 63 Truman 88 Madison 85 Hayes 70 Eisenhower 78 Monroe 73 Garfield 49 Kennedy 46 J. Q. Adams 80 Arthur 56 L. Johnson 64 Jackson 78 Cleveland 71 Nixon 81 Van Buren 79 B. Harrison 67 Ford 93 W. H. Harrison 68 Cleveland 71 Reagan 93 Tyler 71 McKinley 58 Polk 53 T. Roosevelt 60 Taylor 65 Taft 72 Fillmore 74 Wilson 67 Pierce 64 Harding 57 Buchanan 77 Coolidge 60 Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas . En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje x (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje y (eje vertical) por puntos de frecuencia . Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea. En una encuesta, se preguntó a 40 madres cuántas veces a la semana hay que recordarle a un adolescente que haga sus tareas. Los resultados se muestran en la y en la . Número de veces que se le recuerda al adolescente Frecuencia 0 2 1 5 2 8 3 14 4 7 5 4 Ejercicio En una encuesta, se preguntó a 40 personas cuántas veces al año llevaban su automóvil al taller para repararlo. Los resultados se muestran en la . Construya un gráfico de líneas. Número de veces en el taller Frecuencia 0 7 1 10 2 14 3 9 Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el tiene los grupos de edad representados en el eje x y las proporciones en el eje y . A finales de 2011, Facebook tenía más de 146 millones de usuarios en Estados Unidos. La muestra tres grupos de edad, el número de usuarios en cada grupo de edad y la proporción (%) de usuarios en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras con estos datos. Grupos de edad Número de usuarios de Facebook Proporción (%) de usuarios de Facebook 13-25 65.082.280 45 % 26-44 53.300.200 36 % 45-64 27.885.100 19 % Ejercicio La población de Park City se compone de niños, adultos en edad de trabajar y jubilados. La muestra los tres grupos de edad, el número de personas de cada grupo en la ciudad y la proporción (%) de personas en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras que muestre las proporciones. Grupos de edad Número de personas Proporción de la población Niños 67.059 19 % Adultos en edad de trabajar 152.198 43 % Jubilados 131.662 38 % Las columnas de la contienen la raza o el origen étnico de los estudiantes de escuelas públicas de EE. UU. para la clase de 2011, los porcentajes para la población examinada de Colocación Avanzada para esa clase y los porcentajes para la población estudiantil en general. Cree un gráfico de barras con la raza o el origen étnico de los estudiantes (datos cualitativos) en el eje x y los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada en el eje y . Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total 1 = asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,3 % 5,7 % 2 = negro o afroamericano 9,0 % 14,7 % 3 = hispano o latino 17,0 % 17,6 % 4 = amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,1 % 5 = blanco 57,1 % 59,2 % 6 = no informado/otro 6,0 % 1,7% Ejercicio Park City se divide en seis distritos electorales. La tabla muestra el porcentaje de la población total de votantes registrados que vive en cada distrito, así como el porcentaje total de la población entera que vive en cada distrito. Construya un gráfico de barras que muestre la población de votantes registrados por distrito. Distrito Población de votantes registrados Población total de la ciudad 1 15,5 % 19,4 % 2 12,2 % 15,6 % 3 9,8 % 9,0 % 4 17,4 % 18,5 % 5 22,8 % 20,7 % 6 22,3 % 16,8 % A continuación, se presenta una tabla de dos vías que muestra los tipos de mascotas que poseen los hombres y las mujeres: Perros Gatos Peces Total Hombres 4 2 2 8 Mujeres 4 6 2 12 Total 8 8 4 20 Dados estos datos, calcule las distribuciones condicionales para la subpoblación de hombres que poseen cada tipo de mascota. Hombres que tienen perros = 4/8 = 0,5 Hombres que tienen gatos = 2/8 = 0,25 Hombres que tienen peces = 2/8 = 0,25 Nota: La suma de todas las distribuciones condicionales debe ser igual a uno. En este caso: 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1; por lo tanto, la solución \"se comprueba\". Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más. Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos. La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida entre el número total de valores de los datos en la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si: f = frecuencia n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y RF = frecuencia relativa, entonces: RF = e n Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF = e n = 3 40 = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas. Para construir un histograma , primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos. Los siguientes datos son las estaturas (en pulgadas con una aproximación de media pulgada) de 100 jugadores hombres de fútbol semiprofesional. Las alturas son datos continuos , ya que la altura se mide. 60; 60,5; 61; 61; 61,5 63,5; 63,5; 63,5 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5 68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70,5; 70,5; 70,5; 71; 71; 71 72; 72; 72; 72,5; 72,5; 73; 73,5 74 El valor de datos más pequeño es 60. Como los datos con más decimales tienen un decimal (por ejemplo, 61,5), queremos que nuestro punto de partida tenga dos decimales. Dado que los números 0,5, 0,05, 0,005, etc. son números convenientes, utilice 0,05 y réstelo a 60, el valor más pequeño, para el punto de partida conveniente. 60 – 0,05 = 59,95 que es más preciso que, por ejemplo, 61,5 por un decimal. El punto de partida es, pues, 59,95. El valor mayor es 74, por lo que 74 + 0,05 = 74,05 es el valor final. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Para calcular este ancho, reste el punto inicial del valor final y divídalo entre el número de barras (debe elegir el número de barras que desee). Suponga que elige ocho barras. 74,05 - 59,95 = 14,1 14,1 ÷ 8 = 1,76 NOTA Redondearemos a dos y haremos que cada barra o intervalo de clase tenga dos unidades de ancho. Redondear a dos es una forma de evitar que un valor caiga en un límite. El redondeo al número siguiente es a menudo necesario, incluso si va en contra de las reglas estándar de redondeo. Para este ejemplo, utilizar 1,76 como ancho también funcionaría. Una pauta que siguen algunos para el ancho de una barra o intervalo de clase es tomar la raíz cuadrada del número de valores de los datos y luego redondear al número entero más cercano, si es necesario. Por ejemplo, si hay 150 valores de datos, tome la raíz cuadrada de 150 y redondee a 12 barras o intervalos. Los límites son: 59,95 59,95 + 2 = 61,95 61,95 + 2 = 63,95 63,95 + 2 = 65,95 65,95 + 2 = 67,95 67,95 + 2 = 69,95 69,95 + 2 = 71,95 71,95 + 2 = 73,95 73,95 + 2 = 75,95 Las alturas de 60 a 61,5 pulgadas están en el intervalo de 59,95 a 61,95. Las alturas que son 63,5 están en el intervalo de 61,95 a 63,95. Las alturas que van de 64 a 64,5 están en el intervalo de 63,95 a 65,95. Las alturas de 66 a 67,5 están en el intervalo de 65,95 a 67,95. Las alturas de 68 a 69,5 están en el intervalo de 67,95 a 69,95. Las alturas de 70 a 71 están en el intervalo de 69,95 a 71,95. Las alturas de 72 a 73,5 están en el intervalo de 71,95 a 73,95. La altura 74 está en el intervalo de 73,95 a 75,95. El siguiente histograma muestra las alturas en el eje x y la frecuencia relativa en el eje y . Ejercicio Los siguientes datos son las tallas de los zapatos de 50 estudiantes hombres. Las tallas son datos continuos ya que se mide la talla de zapato. Construya un histograma y calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Suponga que elige seis barras. 9; 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12,5; 12,5; 12,5; 12,5; 14 El valor más pequeño es: 9 El valor más grande es: 14 El valor inicial conveniente es: 9 – 0,05 = 8,95 El valor final conveniente es: 14 + 0,05 = 14,05 14,05 – 8,95 6 = 0,85 Los cálculos sugieren utilizar 0,85 para el ancho de cada barra o intervalo de clase. También puede utilizar un intervalo con un ancho igual a uno. Cree un histograma para los siguientes datos: el número de libros comprados por 50 estudiantes universitarios a tiempo parcial en el ABC College. El número de libros es un dato discreto , ya que los libros se cuentan. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5; 5 6; 6 Once estudiantes compran un libro. Diez estudiantes compran dos libros. Dieciséis estudiantes compran tres libros. Seis estudiantes compran cuatro libros. Cinco estudiantes compran cinco libros. Dos estudiantes compran seis libros. Como los datos son enteros, reste 0,5 a 1, el valor más pequeño de los datos, y sume 0,5 a 6, el valor más grande de los datos. Entonces el punto de partida es 0,5 y el valor final es 6,5. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Si los datos son discretos y no hay demasiados valores diferentes, lo más conveniente es un ancho que sitúe los valores de los datos en el centro del intervalo de barras o clases. Dado que los datos consisten en los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el punto de partida es 0,5, un ancho de uno sitúa el 1 en el centro del intervalo de 0,5 a 1,5, el 2 en el centro del intervalo de 1,5 a 2,5, el 3 en el centro del intervalo de 2,5 a 3,5, el 4 en el centro del intervalo de _______ a _______, el 5 en el centro del intervalo de _______ a _______ y el _______ en el centro del intervalo de _______ a _______. de 3,5 a 4,5 de 4,5 a 5,5 6 de 5,5 a 6,5 Calcule el número de barras de la siguiente manera: 6,5 - 0,5 = 6 6 ÷ 1 = 6 donde 1 es el ancho de una barra. Por lo tanto, barras = 6. El siguiente histograma muestra el número de libros en el eje x y la frecuencia en el eje y . Con este conjunto de datos construya un histograma. Número de horas que mis compañeros de clase pasan jugando videojuegos los fines de semana 9,95 10 2,25 16,75 0 19,5 22,5 7,5 15 12,75 5,5 11 10 20,75 17,5 23 21,9 24 23,75 18 20 15 22,9 18,8 20,5 Algunos valores de este conjunto de datos caen en los límites de los intervalos de clase. Un valor se cuenta en un intervalo de clase si cae en el límite izquierdo, pero no si cae en el límite derecho. Diferentes investigadores pueden establecer histogramas para los mismos datos de diferentes maneras. Hay más de una forma correcta de configurar un histograma. Polígonos de frecuencia Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias. Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y . Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos. Se construyó un polígono de frecuencias a partir de la tabla de frecuencias que aparece a continuación. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 La primera etiqueta del eje x es 44,5. Esto representa un intervalo que va de 39,5 a 49,5. Dado que la calificación más baja de la prueba es 54,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto identificado como 54,5 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo “real” de la tabla, y contiene cinco calificaciones. Este razonamiento se sigue para cada uno de los intervalos restantes, con el punto 104,5 que representa el intervalo de 99,5 a 109,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Ejercicio Construya un polígono de frecuencias de las edades de los presidentes de EE. UU. en el momento de la investidura que se muestra en la . Edad en el momento de la investidura Frecuencia 41,5-46,5 4 46,5-51,5 11 51,5-56,5 14 56,5-61,5 9 61,5-66,5 4 66,5-71,5 2 La primera marca del eje x es 39. Esto representa un intervalo que va de 36,5 a 41,5. Dado que no hay edades inferiores a 41,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto marcado como 44 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo \"real\" de la tabla, y contiene cuatro puntuaciones. Este razonamiento se sigue en cada uno de los intervalos restantes, con el punto 74 que representa el intervalo de 71,5 a 76,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos. Construiremos un polígono de frecuencias superpuestas comparando las calificaciones del con la nota numérica final de los estudiantes. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 Distribución de frecuencias de las notas finales de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 10 10 59,5 69,5 10 20 69,5 79,5 30 50 79,5 89,5 45 95 89,5 99,5 5 100 Construcción de un gráfico de series temporales Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado. Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales. Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados . Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen. Los siguientes datos muestran el Índice de Precios del Consumidor (IPC) Anual, cada mes, durante diez años. Construya un gráfico de series temporales solo para los datos del Índice de Precios del Consumidor Anual. Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul 2003 181,7 183,1 184,2 183,8 183,5 183,7 183,9 2004 185,2 186,2 187,4 188,0 189,1 189,7 189,4 2005 190,7 191,8 193,3 194,6 194,4 194,5 195,4 2006 198,3 198,7 199,8 201,5 202,5 202,9 203,5 2007 202,416 203,499 205,352 206,686 207,949 208,352 208,299 2008 211,080 211,693 213,528 214,823 216,632 218,815 219,964 2009 211,143 212,193 212,709 213,240 213,856 215,693 215,351 2010 216,687 216,741 217,631 218,009 218,178 217,965 218,011 2011 220,223 221,309 223,467 224,906 225,964 225,722 225,922 2012 226,665 227,663 229,392 230,085 229,815 229,478 229,104 Año Ago Sep Oct Nov Dic Anual 2003 184,6 185,2 185,0 184,5 184,3 184,0 2004 189,5 189,9 190,9 191,0 190,3 188,9 2005 196,4 198,8 199,2 197,6 196,8 195,3 2006 203,9 202,9 201,8 201,5 201,8 201,6 2007 207,917 208,490 208,936 210,177 210,036 207,342 2008 219,086 218,783 216,573 212,425 210,228 215,303 2009 215,834 215,969 216,177 216,330 215,949 214,537 2010 218,312 218,439 218,711 218,803 219,179 218,056 2011 226,545 226,889 226,421 226,230 225,672 224,939 2012 230,379 231,407 231,317 230,221 229,601 229,594 Ejercicio La siguiente tabla es una parte de un conjunto de datos de www.worldbank.org. Utilice la tabla para construir un gráfico de la serie temporal de las emisiones de CO 2 de Estados Unidos. Emisiones de CO 2 Año Ucrania Reino Unido Estados Unidos 2003 352.259 540.640 5.681.664 2004 343.121 540.409 5.790.761 2005 339.029 541.990 5.826.394 2006 327.797 542.045 5.737.615 2007 328.357 528.631 5.828.697 2008 323.657 522.247 5.656.839 2009 272.176 474.579 5.299.563 Usos de un gráfico de series temporales Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias. Cómo NO mentir con las estadísticas Es importante recordar que la razón por la que desarrollamos una variedad de métodos para presentar los datos es para comprender el tema de lo que las observaciones representan. Queremos tener una \"sensación\" de los datos. ¿Las observaciones son todas muy parecidas o están repartidas en un amplio rango de valores, están agrupadas en un extremo del espectro o están distribuidas uniformemente, etc.? Intentamos obtener una representación visual de los datos numéricos. En breve desarrollaremos medidas matemáticas formales de los datos, pero nuestra presentación gráfica visual puede decir mucho. Desgraciadamente, también puede decir muchas cosas que distraen, confunden y simplemente son erróneas en cuanto a la impresión que lo visual deja. Hace muchos años, Darrell Huff escribió el libro How to Lie with Statistics [Cómo mentir con estadísticas] . Ha tenido más de 25 ediciones y ha vendido más de un millón y medio de ejemplares. Su perspectiva era dura y utilizaba muchos ejemplos reales destinados a engañar. Quería hacer que la gente fuera consciente de ese engaño, pero quizás lo más importante era educar para que otros no cometieran los mismos errores inadvertidamente. De nuevo, el objetivo es ilustrar con imágenes que cuenten la historia de los datos. Los gráficos circulares tienen una serie de problemas comunes cuando se utilizan para transmitir el mensaje de los datos. Demasiados trozos del pastel abruman al lector. Más de quizás cinco o seis categorías deberían dar una idea de la importancia relativa de cada trozo. Al fin y al cabo, este es el objetivo de un gráfico circular: qué subconjunto importa más en relación con los demás. Si hay más componentes que esto, tal vez sea mejor un enfoque alternativo o tal vez algunos puedan consolidarse en una categoría \"otros\". Los gráficos circulares no pueden mostrar los cambios a lo largo del tiempo, aunque vemos que esto se intenta con demasiada frecuencia. En los documentos financieros federales, estatales y municipales se suelen presentar gráficos circulares para mostrar los componentes de los ingresos de los que dispone el órgano de gobierno para su consignación: impuesto sobre la renta, impuesto sobre las ventas, impuestos sobre los vehículos de motor, etc. En sí misma es una información interesante y se puede hacer muy bien con un gráfico circular. El error se produce cuando se ponen dos años uno al lado del otro. Como los ingresos totales cambian de un año a otro, pero el tamaño del pastel es fijo, no se proporciona ninguna información real y no se puede comparar de forma significativa el tamaño relativo de cada trozo del pastel. Los histogramas pueden ser muy útiles para entender los datos. Si se presentan correctamente, pueden ser una forma visual rápida de presentar las probabilidades de las diferentes categorías mediante la simple visualización de la comparación de las áreas relativas en cada categoría. Aquí el error, intencionado o no, es variar la amplitud de las categorías. Por supuesto, esto hace imposible la comparación con las demás categorías. Adorna la importancia de la categoría con un ancho ampliado porque tiene un área mayor, de forma inapropiada, y así \"dice\" visualmente que esa categoría tiene una mayor probabilidad de ocurrencia. Los gráficos de series temporales tal vez sean de los que más se abusa. Un gráfico de alguna variable a lo largo del tiempo nunca debe presentarse en ejes que cambien en parte de la página, ya sea en la dimensión vertical u horizontal. Tal vez se cambie el marco temporal de años a meses. Probablemente esto se haga para ahorrar espacio o porque los datos mensuales no estaban disponibles para los primeros años. En cualquier caso, esto confunde la presentación y destruye cualquier valor del gráfico. Si esto no se hace para confundir a propósito al lector, entonces ciertamente es un trabajo perezoso o descuidado. Cambiar las unidades de medida del eje puede suavizar o acentuar una caída. Si quiere mostrar grandes cambios, mida la variable en unidades pequeñas, centavos en lugar de miles de dólares. Y, por supuesto, para continuar con el fraude, asegúrese de que el eje no comienza en cero, cero. Si comienza en cero, cero entonces se hace evidente que el eje ha sido manipulado. Tal vez tenga un cliente al que le preocupa la volatilidad de la cartera que usted gestiona. Una forma fácil de presentar los datos es utilizar periodos largos en el gráfico de la serie temporal. Utilice meses o, mejor, trimestres en lugar de datos diarios o semanales. Si eso no consigue reducir la volatilidad, entonces separe el eje temporal en relación con el eje de la tasa de rendimiento o de la valoración de la cartera. Si quiere mostrar un crecimiento dramático \"rápido\", entonces reduzca el eje temporal. Cualquier crecimiento positivo mostrará tasas de crecimiento visualmente \"altas\". Tenga en cuenta que si el crecimiento es negativo, este truco mostrará que la cartera se está hundiendo a un ritmo dramático. Una vez más, el objetivo de la Estadística Descriptiva es transmitir imágenes significativas que cuenten la historia de los datos. La manipulación intencionada es un fraude y una falta de ética en el peor de los casos, pero incluso en el mejor, cometer este tipo de errores llevará a la confusión del análisis. Referencias Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013). “9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013). “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker “Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013). “Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013). “Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013). “CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013). “Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013). Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach . CRC Press: 1980. “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Repaso del capítulo Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos. Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y , y la frecuencia se representa en el eje x . Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo. Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas. En una encuesta se preguntó a 40 personas cuántas veces habían visitado una tienda antes de hacer una compra importante. Los resultados se muestran en la . Número de veces en la tienda Frecuencia 1 4 2 10 3 16 4 6 5 4 En una encuesta se preguntó a varias personas cuántos años hacía que no compraban un colchón. Los resultados se muestran en la . Años desde la última compra Frecuencia 0 2 1 8 2 13 3 22 4 16 5 9 Se preguntó a varios niños cuántos programas de televisión ven al día. Los resultados de la encuesta se muestran en la . Número de programas de televisión Frecuencia 0 12 1 18 2 36 3 7 4 2 Los estudiantes de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez cumplen años en cada una de las cuatro estaciones. La muestra las cuatro estaciones, el número de estudiantes que cumplen años en cada estación y el porcentaje (%) de estudiantes en cada grupo. Construya un gráfico de barras que muestre el número de estudiantes. Estaciones Número de estudiantes Proporción de la población Primavera 8 24 % Verano 9 26 % Otoño 11 32 % Invierno 6 18 % Use los datos de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez suministrados en el y construya un gráfico de barras que muestre los porcentajes. El condado de David tiene seis escuelas secundarias. Cada escuela envió a sus estudiantes a participar en un concurso de Ciencias de todo el condado. La muestra el desglose porcentual de los competidores de cada escuela y el porcentaje de toda la población estudiantil del condado que va a cada escuela. Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de los competidores de cada escuela. Escuela secundaria Población de la competición científica Población estudiantil total Alabaster 28,9 % 8,6 % Concordia 7,6 % 23,2 % Genoa 12,1 % 15,0 % Mocksville 18,5 % 14,3 % Tynneson 24,2 % 10,1 % West End 8,7 % 28,8 % Utilice los datos del concurso de Ciencias del condado de David que se facilitan en el . Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de todo el condado de los estudiantes en cada escuela. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Rellene la tabla. Valor de los datos (n.º de vehículos) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia en la ? ¿Por qué? 65 ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa en la ? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa y la frecuencia de cada valor de los datos en la ? La frecuencia relativa muestra la proporción de puntos de datos que tiene cada valor. La frecuencia indica el número de puntos de datos que tiene cada valor. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa acumulada y la frecuencia relativa de cada valor de los datos? Para construir el histograma de los datos en la , determine los valores mínimos y máximos de x y y y la escala. Dibuje el histograma. Identifique los ejes horizontal y vertical con palabras. Incluya la escala numérica. Las respuestas variarán. Se muestra un posible histograma: Construya un polígono de frecuencias para lo siguiente: Pulsaciones de las mujeres Frecuencia 60-69 12 70-79 14 80-89 11 90-99 1 100-109 1 110-119 0 120-129 1 Velocidad real en una zona de 30 millas por hora (mph) Frecuencia 42-45 25 46-49 14 50-53 7 54-57 3 58-61 1 Alquitrán (mg) en cigarrillos sin filtro Frecuencia 10-13 1 14-17 0 18-21 15 22-25 7 26-29 2 Construya un polígono de frecuencias a partir de la distribución de frecuencias para los 50 países con más puntos en cuanto a la magnitud del hambre. Magnitud del hambre Frecuencia 230-259 21 260-289 13 290-319 5 320-349 7 350-379 1 380-409 1 410-439 1 Calcule el punto medio de cada clase. Estos se graficarán en el eje x . Los valores de la frecuencia se graficarán en los valores del eje y . Utilice las dos tablas de frecuencia para comparar la esperanza de vida de hombres y mujeres de 20 países seleccionados al azar. Incluya un polígono de frecuencias superpuesto y analice las formas de las distribuciones, el centro, la dispersión y cualquier valor atípico. ¿Qué podemos concluir sobre la esperanza de vida de las mujeres en comparación con la de los hombres? Esperanza de vida al nacer: mujeres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 3 77-83 8 84-90 2 Esperanza de vida al nacer: hombres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 1 77-83 7 84-90 5 Construya un gráfico de series temporales para (a) el número de nacimientos de hombres; (b) el número de nacimientos de mujeres; y (c) el número total de nacimientos. Sexo/Año 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 Mujeres 45.545 49.582 50.257 50.324 51.915 51.220 52.403 Hombres 47.804 52.239 53.158 53.694 54.628 54.409 54.606 Total 93.349 101.821 103.415 104.018 106.543 105.629 107.009 Sexo/Año 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 Mujeres 51.812 53.115 54.959 54.850 55.307 55.527 56.292 55.033 Hombres 55.257 56.226 57.374 58.220 58.360 58.517 59.222 58.321 Total 107.069 109.341 112.333 113.070 113.667 114.044 115.514 113.354 Sexo/Año 1870 1871 1872 1873 1874 1875 Mujeres 56.431 56.099 57.472 58.233 60.109 60.146 Hombres 58.959 60.029 61.293 61.467 63.602 63.432 Total 115.390 116.128 118.765 119.700 123.711 123.578 Los siguientes conjuntos de datos enumeran los policías a tiempo completo por cada 100.000 ciudadanos junto con los homicidios por cada 100.000 ciudadanos para la ciudad de Detroit, Michigan, durante el periodo de 1961 a 1973. Año 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 Policía 260,35 269,8 272,04 272,96 272,51 261,34 268,89 Homicidios 8,6 8,9 8,52 8,89 13,07 14,57 21,36 Año 1968 1969 1970 1971 1972 1973 Policía 295,99 319,87 341,43 356,59 376,69 390,19 Homicidios 28,03 31,49 37,39 46,26 47,24 52,33 Construya un gráfico de serie temporal doble utilizando un eje x común para ambos conjuntos de datos. ¿Qué variable aumentó más rápido? Explique. ¿El aumento de policías en Detroit tuvo un efecto en la tasa de homicidios? Explique. Tarea para la casa La contiene las tasas de obesidad de 2010 en estados de EE. UU. y en Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Utilice un generador de números aleatorios para elegir al azar ocho estados. Construya un gráfico de barras con las tasas de obesidad de esos ocho estados. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “A”. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “M”. Solución de ejemplo para utilizar el generador de números aleatorios de la calculadora TI-84+ para generar una muestra aleatoria simple de 8 estados. Las instrucciones son las siguientes. Numere las entradas de la tabla 1-51 (incluye Washington, DC; numeradas verticalmente) Pulse MATH Flecha hacia PRB Pulse 5:randInt( Introduzca 51,1,8) Se generan ocho números (utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por los números). Los números corresponden a los estados numerados (para este ejemplo: {47 21 9 23 51 13 25 4}. Si algún número se repite, genere un número diferente utilizando 5:randInt(51,1)). Aquí, los estados (y Washington, DC) son {Arkansas, Washington DC, Idaho, Maryland, Michigan, Misisipi, Virginia, Wyoming}. Los porcentajes correspondientes son {30,1; 22,2; 26,5; 27,1; 30,9; 34,0; 26,0; 25,1}. Supongamos que tres editoriales se interesan por el número de libros de ficción de tapa blanda que compran los consumidores adultos al mes. Cada editorial realizó una encuesta. En la encuesta se les preguntó a los consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados son los siguientes: Editorial A N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 10 1 12 2 16 3 12 4 8 5 6 6 2 8 2 Editorial B N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 Editorial C N.º de libros Frec. Frec. rel. 0–1 20 2–3 35 4–5 12 6–7 2 8–9 1 Calcule las frecuencias relativas de cada encuesta. Escríbalas en las tablas. Utilice la columna de frecuencias para construir un histograma de la encuesta de cada editor. Para las editoriales A y B, haga el ancho de las barras de uno. Para la editorial C, haga las barras con un ancho de dos. En oraciones completas, indique dos razones por las que los gráficos de las editoriales A y B no son idénticos. ¿Habría esperado que el gráfico de la editorial C se pareciera a los otros dos gráficos? ¿Por qué sí o por qué no? Haga nuevos histogramas para la editorial A y la editorial B. Esta vez, haga barras con un ancho de dos. Ahora, compare el gráfico de la editorial C con los nuevos gráficos de las editoriales A y B. ¿los gráficos son más parecidos o más distintos? Explique su respuesta. A menudo, los cruceros realizan todas las transacciones a bordo sin dinero en efectivo, a excepción de los juegos de azar. Al final del crucero, los huéspedes pagan una sola factura que cubre todas las transacciones a bordo. Supongamos que se encuestaron 60 viajeros solteros y 70 parejas sobre sus facturas a bordo para un crucero de siete días desde Los Ángeles a la riviera mexicana. A continuación, un resumen de las facturas de cada grupo. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 101-150 10 151-200 15 201-250 15 251-300 10 301-350 5 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 201-250 5 251-300 5 301-350 5 351-400 10 401-450 10 451-500 10 501-550 10 551-600 5 601-650 5 Rellene la frecuencia relativa de cada grupo. Construya un histograma para el grupo de solteros. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Construya un histograma para el grupo de parejas. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare los dos gráficos: Enumere dos similitudes entre los gráficos. Enumere dos diferencias entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? Construya un nuevo gráfico a mano para las parejas. Dado que cada pareja paga por dos personas, en vez de escalar el eje x a 50 dólares, escálelo a 100 dólares. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Enumere dos similitudes entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? ¿Cómo ha cambiado la escala del gráfico de parejas en comparación con el gráfico de solteros? Basándose en los gráficos, ¿cree que las personas gastan la misma cantidad, más o menos como solteros que como pareja? Explique por qué en una o dos oraciones completas. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 0,08 101-150 10 0,17 151-200 15 0,25 201-250 15 0,25 251-300 10 0,17 301-350 5 0,08 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 0,07 201-250 5 0,07 251-300 5 0,07 301-350 5 0,07 351-400 10 0,14 401-450 10 0,14 451-500 10 0,14 501-550 10 0,14 551-600 5 0,07 601-650 5 0,07 Vea la y la . En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen ambos valores del límite). En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen los valores de ambos límites). Compare los dos gráficos: Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos utilizan intervalos de clase con un ancho igual a 50 dólares. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: El gráfico de parejas tiene un intervalo de clase sin valores. Se necesita casi el doble de intervalos de clase para mostrar los datos de las parejas. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Los gráficos son más similares que diferentes porque los patrones generales de los gráficos son iguales. Compruebe la solución del estudiante. Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos muestran intervalos de 6 clases. Ambos gráficos muestran el mismo patrón general. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Aunque el ancho de los intervalos de clase de las parejas es el doble que la de los intervalos de clase de los solteros, los gráficos son más similares que diferentes. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Puede comparar los gráficos intervalo por intervalo. Es más fácil comparar los patrones generales con la nueva escala del gráfico de las parejas. Como una pareja representa a dos personas, la nueva escala permite una comparación más precisa. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Según los histogramas, parece que el gasto no varía mucho entre los solteros y las personas que forman parte de una pareja. Los patrones generales son iguales. El rango de gasto de las parejas es aproximadamente el doble que el de personas individuales. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes. N.º de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una. El porcentaje de personas que tienen como máximo tres camisetas que cuestan más de 19 dólares cada una es aproximadamente: 21 59 41 No se puede determinar c Si los datos se recopilaron al preguntarles a las primeras 111 personas que entraron en la tienda, entonces el tipo de muestreo es: conglomerado simple aleatorio estratificado de conveniencia A continuación se muestran las tasas de obesidad de 2010 por estados de EE. UU. y Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Construya un gráfico de barras de las tasas de obesidad de su estado y de los cuatro estados más cercanos al suyo. Pista: Identifique el eje x con los estados. Las respuestas variarán. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Histograma una representación gráfica en forma de x - y de la distribución de los datos en un conjunto de datos; x representa los datos y y representa la frecuencia o la frecuencia relativa. El gráfico está formado por rectángulos contiguos. Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados", "section": "Datos mostrados", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Medidas de la ubicación de los datos Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q 1 , es igual que el percentil 25 , y el tercer cuartil, Q 3 , es igual que el percentil 75 . La mediana, M , se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50 . Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación. Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75 . Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220. Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo. La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos. 6,8 + 7,2 = 14 14 ÷ 2 = 7 La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete. Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q 1 , es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q 3 , es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8 El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil . Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos. La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve. El tercer cuartil , Q 3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo. El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil ( Q 3 ) y el primer cuartil ( Q 1 ). IQR = Q 3 – Q 1 El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos . Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)( IQR ) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)( IQR ) por encima del tercer cuartil . Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda. NOTA Un valor atípico potencial es un punto de datos que es significativamente diferente de los otros puntos de datos. Estos puntos de datos especiales pueden ser errores o algún tipo de anormalidad o pueden ser una clave para entender los datos. Para los siguientes 13 precios de bienes raíces, calcule el IQR y determine si algún precio es un posible valor atípico. Los precios están en dólares. 389.950; 230.500; 158.000; 479.000; 639.000; 114.950; 5.500.000; 387.000; 659.000; 529.000; 575.000; 488.800; 1.095.000 Ordene los datos de menor a mayor. 114.950; 158.000; 230.500; 387.000; 389.950; 479.000; 488.800; 529.000; 575.000; 639.000; 659.000; 1.095.000; 5.500.000 M = 488.800 Q 1 = 230.500 + 387.000 2 = 308.750 Q 3 = 639.000 + 659.000 2 = 649.000 IQR = 649.000 – 308.750 = 340.250 (1,5)( IQR ) = (1,5)(340.250) = 510.375 Q 1 – (1,5)( IQR ) = 308.750 – 510.375 = –201.625 Q 3 + (1,5)( IQR ) = 649.000 + 510.375 = 1.159.375 Ningún precio de la vivienda es inferior a –201.625. Sin embargo, 5.500.000 son más que 1.159.375. Por lo tanto, 5.500.000 es un posible valor atípico . Para los dos conjuntos de datos del ejemplo de las calificaciones de los exámenes , halle lo siguiente: El rango intercuartil. Compare los dos rangos intercuartiles. Cualquier valor atípico en cualquier conjunto. El resumen de cinco números para las clases diurnas y nocturnas es Mínimo Q 1 Mediana Q 3 Máximo Día 32 56 74,5 82,5 99 Noche 25,5 78 81 89 98 El IQR para el grupo de día es Q 3 – Q 1 = 82,5 – 56 = 26,5 El IQR para el grupo nocturno es Q 3 – Q 1 = 89 – 78 = 11 El rango intercuartil (la dispersión o variabilidad) para la clase diurna es mayor que el IQR de la clase nocturna. Esto sugiere que se hallarán más variaciones en los resultados de las pruebas de la clase diurna. Los valores atípicos de la clase diurna se encuentran utilizando la regla del IQR por 1,5. Así que, Q 1 – IQR (1,5) = 56 – 26,5(1,5) = 16,25 Q 3 + IQR (1,5) = 82,5 + 26,5(1,5) = 122,25 Dado que los valores mínimos y máximos de la clase diurna son superiores a 16,25 e inferiores a 122,25, no hay valores atípicos. Los valores atípicos de la clase nocturna se calculan como: Q 1 – IQR (1,5) = 78 – 11(1,5) = 61,5 Q 3 + IQR(1,5) = 89 + 11(1,5) = 105,5 Para esta clase, cualquier calificación de la prueba inferior a 61,5 es un valor atípico. Por lo tanto, las calificaciones de 45 y 25,5 son valores atípicos. Dado que ninguna calificación de la prueba es superior a 105,5, no hay ningún valor atípico en el extremo superior. Se les preguntó a cincuenta estudiantes de Estadística cuánto dormían por noche de escuela (redondeado a la hora más cercana). Los resultados fueron: Cantidad de sueño por noche escolar (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 4 2 0,04 0,04 5 5 0,10 0,14 6 7 0,14 0,28 7 12 0,24 0,52 8 14 0,28 0,80 9 7 0,14 0,94 10 3 0,06 1,00 Calcule el percentil 28 . Fíjese en el 0,28 de la columna “frecuencia relativa acumulada”. El veintiocho por ciento de 50 valores de datos son 14 valores. Hay 14 valores inferiores al percentil 28 . Incluyen los dos 4, los cinco 5 y los siete 6. El percentil 28 está entre los seis últimos y los siete primeros. El percentil 28 es 6,5. Calcule la mediana . Observe de nuevo la columna de “frecuencia relativa acumulada” y halle 0,52. La mediana es el percentil 50 o el segundo cuartil. El 50 % de 50 es 25. Hay 25 valores inferiores a la mediana. Incluyen los dos 4, los cinco 5, los siete 6 y once de los 7. La mediana o el percentil 50 está entre los valores 25 , o siete, y 26 , o siete. La mediana es siete. Calcule el tercer cuartil . El tercer cuartil es lo mismo que el percentil 75 . Puede dar esta respuesta “al ojo”. Si observa la columna de “frecuencia relativa acumulada”, verá 0,52 y 0,80. Cuando tiene todos los cuatros, cincos, seises y sietes tiene el 52 % de los datos. Cuando incluye todos los 8, tiene el 80 % de los datos. El percentil 75 , entonces, debe ser un ocho . Otra forma de ver el problema es hallar el 75 % de 50, que es 37,5, y redondear a 38. El tercer cuartil, Q 3 , es el valor 38 , que es un ocho. Puede comprobar esta respuesta contando los valores (hay 37 valores por debajo del tercer cuartil y 12 valores por encima). Ejercicio Se les ha preguntado a cuarenta conductores de autobús cuántas horas dedican cada día a recorrer sus rutas (redondeadas a la hora más cercana). Calcule el percentil 65 . Cantidad de tiempo invertido en la ruta (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 12 0,30 0,30 3 14 0,35 0,65 4 10 0,25 0,90 5 4 0,10 1,00 El percentil 65 está entre los tres últimos y los cuatro primeros. El percentil 65 es de 3,5. Mediante la : Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 90 . Calcule el primer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el primer cuartil? Al usar los datos de la tabla de frecuencias, tenemos: El percentil 80 está entre los ocho últimos y los nueve primeros de la tabla (entre los valores 40 y 41 ). Por lo tanto, tenemos que tomar la media de los valores 40 y 41 . El percentil 80 = 8 + 9 2 = 8,5 El percentil 90 será el valor del dato 45 (la ubicación es 0,90(50) = 45) y el valor del dato 45 es nueve. El Q 1 es también el percentil 25 . El cálculo de la ubicación del percentil 25 es: P 25 = 0,25(50) = 12,5 ≈ 13 el valor del dato 13 . Así, el percentil 25 es seis. Una fórmula para hallar el percentil k Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas. k = el percentil k . Puede o no formar parte de los datos. i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos) n = el número total de puntos de datos u observaciones Ordene los datos de menor a mayor. Calcule i = k 100 ( n + 1 ) Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 70 . Calcule el percentil 83 . k = 70 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 70 100 )(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años. k = percentil 83 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 83 100 )(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años. Ejercicio Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 20 y el percentil 55 . k = 20. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 20 100 (29 + 1) = 6. La edad en la sexta posición es de 27 años. El percentil 20 es de 27 años. k = 55. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 55 100 (29 + 1) = 16,5. Redondee hacia abajo a 16 y hacia arriba a 17. La edad en el puesto 16 es de 52 años y la edad en el puesto 17 es de 55 años. El promedio de 52 y 55 es 53,5. El percentil 55 es de 53,5 años. Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos Ordene los datos de menor a mayor. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil. n = el número total de datos. Calcule x + 0,5 y n (100). Luego, redondee al número entero más cercano. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 58. Calcule el percentil de 25. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58. x = 18 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 18 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 63,80. 58 es el percentil 64 . Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25. x = 3 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 3 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12 . Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15 . Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos. Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor. Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto. NOTA Al escribir la interpretación de un percentil en el contexto de los datos dados, la oración debe contener la siguiente información. información sobre el contexto de la situación considerada. el valor del dato (valor de la variable) que representa el percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por debajo del percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por encima del percentil. En un examen de Matemáticas cronometrado, el primer cuartil del tiempo que se tardó en terminar el examen fue de 35 minutos. Interprete el primer cuartil en el contexto de esta situación. El veinticinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o menos. El setenta y cinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o más. Un percentil bajo podría considerarse bueno, ya que es deseable terminar más rápido en un examen cronometrado (si tarda demasiado, es posible que no pueda terminar). En un examen de Matemáticas de 20 preguntas, el percentil 70 del número de respuestas correctas fue de 16. Interprete el percentil 70 en el contexto de esta situación. El setenta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o menos preguntas. El treinta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o más preguntas. Un percentil más alto podría considerarse bueno, ya que es deseable responder correctamente más preguntas. Ejercicio En una asignación escrita de 60 puntos, el percentil 80 del número de puntos obtenidos fue de 49. Interprete el percentil 80 en el contexto de esta situación. El 80 % de los estudiantes obtuvo 49 puntos o menos. El 20 % de los estudiantes obtuvo 49 o más puntos. Un percentil más alto es bueno porque obtener más puntos en una tarea es deseable. En un colegio comunitario se comprobó que el percentil 30 de unidades de crédito en las que se inscriben los estudiantes es de siete unidades. Interprete el percentil 30 en el contexto de esta situación. El treinta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o menos unidades de crédito. El setenta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o más unidades de crédito. En este ejemplo, no hay un juicio de valor \"bueno\" o \"malo\" asociado a un percentil más alto o más bajo. Los estudiantes acuden a los colegios comunitarios por razones y necesidades diversas y su carga lectiva varía según sus necesidades. La escuela intermedia Sharpe está solicitando una subvención que se utilizará para añadir equipos de acondicionamiento físico para el gimnasio. El director encuestó 15 estudiantes anónimos para determinar cuántos minutos al día dedican los estudiantes a hacer ejercicio. Se muestran los resultados de los 15 estudiantes anónimos. 0 minutos; 40 minutos; 60 minutos; 30 minutos; 60 minutos 10 minutos; 45 minutos; 30 minutos; 300 minutos; 90 minutos; 30 minutos; 120 minutos; 60 minutos; 0 minutos; 20 minutos Determine los cinco valores siguientes. Mín. = 0 Q 1 = 20 Med. = 40 Q 3 = 60 Máx. = 300 Si usted fuera el director, ¿se justificaría la compra de nuevos equipos de acondicionamiento físico? Dado que el 75 % de los estudiantes hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día, y que el IQR es de 40 minutos (60 – 20 = 40), sabemos que la mitad de los estudiantes encuestados hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Esto parece una cantidad razonable de tiempo de ejercicio, por lo que el director estaría justificado en la compra del nuevo equipamiento. Sin embargo, el director debe tener cuidado. El valor 300 parece ser un posible valor atípico. Q 3 + 1,5( IQR ) = 60 + (1,5)(40) = 120. El valor 300 es mayor que 120, por lo que es un posible valor atípico. Si lo eliminamos y calculamos los cinco valores, obtenemos los siguientes valores: Mín. = 0 Q 1 = 20 Q 3 = 60 Máx. = 120 Todavía tenemos un 75 % de los estudiantes que hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día y la mitad de los estudiantes que hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Sin embargo, 15 estudiantes es una muestra pequeña y el director debería encuestar más estudiantes para estar seguro de los resultados de su encuesta. Referencias Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013). Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013). “1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de la Revista Time ; encuesta de Yankelovich Partners, Inc. Repaso del capítulo Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil ( Q 1 ) es el percentil 25, el segundo cuartil ( Q 2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil ( Q 3 ) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q 1 de Q 3 , y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes. Q 3 + IQR (1,5) Q 1 – IQR (1,5) Revisión de la fórmula i = ( k 100 ) ( n + 1 ) donde i = la clasificación o posición de un valor de datos, k = el percentil k, n = número total de datos. Expresión para hallar el percentil de un valor de datos: ( x + 0,5 y n ) (100) donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo, y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil, n = número total de datos Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 78. El percentil 40 es 37 años. El percentil 78 es 70 años. Se enumeran las 32 edades de los mejores actores ganadores de los Premios de la Academia (Oscar) en orden de menor a mayor. 18; 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 31; 33; 36; 37; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 37. Calcule el percentil de 72. Jesse ocupó el puesto 37 de su promoción de 180 estudiantes. ¿En qué percentil se encuentra Jesse? Jesse se graduó en el puesto 37 de una clase de 180 estudiantes. Hay 180 – 37 = 143 estudiantes clasificados por debajo de Jesse. Hay un rango de 37. x = 143 y y = 1 x + 0,5 y n (100) = 143 + 0,5 ( 1 ) 180 (100) = 79,72. El puesto 37 de Jesse le sitúa en el percentil 80 . Para los corredores en una carrera un tiempo bajo significa una carrera más rápida. Los ganadores de una carrera tienen los tiempos de carrera más cortos. ¿Es más deseable tener un tiempo de llegada con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 20 de los tiempos de carrera en una determinada carrera es de 5,2 minutos. Escriba una oración con la interpretación del percentil 20 en el contexto de la situación. Un ciclista en el percentil 90 de una carrera la terminó en 1 hora y 12 minutos. ¿Está entre los ciclistas más rápidos o más lentos de la carrera? Escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera una mayor velocidad significa una carrera más rápida. ¿Es más deseable tener una velocidad con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 40 de las velocidades en una carrera particular es de 7,5 millas por hora. Escriba una oración con la interpretación del percentil 40 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera es más deseable tener un percentil alto de velocidad. Un percentil alto significa una mayor velocidad, lo cual es más rápida. El 40 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o menos (más lento). El 60 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o más (más rápido). En un examen, ¿sería más deseable obtener una calificación con un percentil alto o bajo? Explique. Mina está esperando en la fila del Departamento de Vehículos Motorizados (Department of Motor Vehicles, DMV). Su tiempo de espera de 32 minutos está en el percentil 85 de los tiempos de espera. ¿Es eso bueno o malo? Escriba una oración con la interpretación del percentil 85 en el contexto de esta situación. Cuando se espera en la fila del DMV, el percentil 85 sería un tiempo de espera largo en comparación con las demás personas que esperan. El 85 % de las personas tuvieron tiempos de espera más cortos que Mina. En este contexto, Mina preferiría un tiempo de espera correspondiente a un percentil inferior. El 85 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o menos. El 15 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o más. En una encuesta en la que se recopilan datos sobre los salarios que ganan los recién graduados universitarios, Li descubrió que su sueldo estaba en el percentil 78 . ¿Li debe alegrarse o molestarse por este resultado? Explique. En un estudio en el que se recopilan datos sobre costos de reparación por daños sufridos por automóviles en un determinado tipo de pruebas de choque, un determinado modelo de automóvil sufrió daños por valor de 1.700 dólares y se situó en el percentil 90 . ¿El fabricante y el consumidor deben estar satisfechos o molestos por este resultado? Explique y escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de este problema. El fabricante y el consumidor estarían molestos. Este es un gran costo de reparación de daños en comparación con los otros automóviles de la muestra. INTERPRETACIÓN: El 90 % de los automóviles sometidos a pruebas de choque tuvieron costos de reparación de daños de 1.700 dólares o menos; solo el 10 % tuvo costos de reparación de daños de 1.700 dólares o más. La Universidad de California (UC) tiene dos criterios que se utilizan para establecer las normas de admisión de los estudiantes de primer año de educación superior en el sistema UC: Los GPA de los estudiantes y las calificaciones de los exámenes estandarizados (SAT y ACT) se introducen en una fórmula que calcula una calificación de “índice de admisión”. La calificación del índice de admisión se utiliza para establecer normas de elegibilidad destinadas a cumplir la meta de admitir el 12 % de los mejores estudiantes de escuela secundaria del estado. En este contexto, ¿qué percentil representa el 12 % superior? Los estudiantes cuyos GPA se sitúan en o sobre el percentil 96 de todos los estudiantes de su escuela secundaria son elegibles (denominados elegibles en el contexto local), aunque no se encuentren en el 12 % superior de todos los estudiantes del estado. ¿Qué porcentaje de estudiantes de cada escuela secundaria son “elegibles en el contexto local”? Supongamos que va a comprar una casa. Usted y su agente inmobiliario han determinado que la casa más costosa que puede permitirse es la del percentil 34 . El percentil 34 de los precios de la vivienda es de 240.000 dólares en la ciudad a la que quiere mudarse. En esta ciudad, ¿puede permitirse el 34 % de las casas o el 66 % de las casas? Puede permitirse el 34 % de las casas. El 66 % de las casas son demasiado costosas para su presupuesto. INTERPRETACIÓN: El 34 % de las casas cuestan 240.000 dólares o menos. El 66 % de las casas cuestan 240.000 dólares o más. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Primer cuartil = _______ Segundo cuartil = mediana = percentil 50 = _______ 4 Tercer cuartil = _______ Rango intercuartil ( IQR ) = _____ – _____ = _____ 6 – 4 = 2 percentil 10 = _______ percentil 70 = _______ 6 Tarea para la casa La edad media de las personas negras en Estados Unidos es actualmente de 30,9 años; la de las personas blancas es de 42,3 años. Basándose en esta información, indique dos razones por las que la edad media de las personas negras podría ser inferior a la de las personas blancas. ¿La menor edad media de las personas negras significa necesariamente que estas mueren más jóvenes que las personas blancas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo es posible que las personas negras y las blancas mueran aproximadamente a la misma edad, pero que la edad media de las personas blancas sea mayor? A seiscientos estadounidenses adultos se les preguntó mediante un sondeo telefónico: “¿Qué cree usted que constituye un ingreso de clase media?”. Los resultados están en la . Además, se incluye el extremo izquierdo, pero no el derecho. Salario (dólares) Frecuencia relativa < 20.000 0,02 20.000-25.000 0,09 25.000-30.000 0,19 30.000-40.000 0,26 40.000-50.000 0,18 50.000-75.000 0,17 75.000-99.999 0,02 100.000 o más 0,01 ¿Qué porcentaje de la encuesta respondió “no estoy seguro”? ¿Qué porcentaje cree que la clase media es de 25.000 a 50.000 dólares? Construya un histograma de los datos. ¿Según los datos, todas las barras deben tener el mismo ancho? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se deben tratar los intervalos <20.000 y más de 100.000? ¿Por qué? Calcule el percentil 40 y el percentil 80 Construya un gráfico de barras de los datos 1 – (0,02 + 0,09 + 0,19 + 0,26 + 0,18 + 0,17 + 0,02 + 0,01) = 0,06 0,19 + 0, 26 + 0,18 = 0,63 Compruebe la solución del estudiante. El percentil 40 se situará entre 30.000 y 40.000 El percentil 80 estará entre 50.000 y 75.000 Compruebe la solución del estudiante. Rango intercuartil o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos; el IQR se encuentra al restar el primer cuartil del tercer cuartil. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos Percentil un número que divide los datos ordenados en centésimas; los percentiles pueden o no formar parte de los datos. La mediana de los datos es el segundo cuartil y el percentil 50 . El primer y tercer cuartil son el percentil 25 y el percentil 75 , respectivamente. Cuartiles los números que separan los datos en cuartos; los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. El segundo cuartil es la mediana de los datos.", "section": "Medidas de la ubicación de los datos", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Medidas del centro de los datos El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana . Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Técnicamente es la media aritmética. Más adelante hablaremos de la media geométrica. Para hallar la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales, lo que significa un número igual de observaciones en cada lado. El peso de 25 personas está por debajo de ese peso y 25 personas están por encima de ese peso. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro. NOTA Las palabras “media” y “promedio” se suelen usar indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Formalmente, los matemáticos llaman a la media aritmética el primer momento de la distribución. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x ”): x – . La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población . Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria. Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4 x – = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2,7 x – = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 5 ( 4 ) 11 = 2,7 En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5. Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión n + 1 2 . La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. La mediana es el 49. º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50. º y 51. º . La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor. Los datos sobre el sida que indican el número de meses que vive un paciente con sida después de tomar un nuevo medicamento con anticuerpos son los siguientes (de menor a mayor): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; Calcule la media y la mediana. El cálculo de la media es: x – = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23,6 Para hallar la mediana, M , primero hay que utilizar la fórmula de la ubicación. La ubicación es: n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20,5 A partir del valor más pequeño, la mediana se sitúa entre los valores 20. º y 21. º (los dos 24): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; M = 24 + 24 2 = 24 Supongamos que en una pequeña ciudad de 50 personas una de ellas gana 5.000.000 de dólares al año y las otras 49 ganan 30.000 dólares cada una. ¿Cuál es la mejor medida del “centro”: la media o la mediana? x – = 5 , 000 , 000 + 49 ( 30 , 000 ) 50 = 129.400 M = 30.000 (Hay 49 personas que ganan 30.000 dólares y una persona que gana 5.000.000 de dólares). La mediana es una mejor medida del “centro” que la media porque 49 de los valores son 30.000 y uno es 5.000.000. El 5.000.000 es un valor atípico. Los 30.000 nos dan una mejor idea del centro de los datos. Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal. Las calificaciones de los exámenes de Estadística de 20 estudiantes son las siguientes: 50 53 59 59 63 63 72 72 72 72 72 76 78 81 83 84 84 84 90 93 Calcule la moda. La calificación más frecuente es 72, que aparece cinco veces. Moda = 72. Las cinco calificaciones del examen sobre bienes raíces son 430, 430, 480, 480, 495. El conjunto de datos es bimodal porque las calificaciones 430 y 480 aparecen dos veces cada una. ¿Cuándo la moda es la mejor medida del “centro”? Piense en un programa de adelgazamiento que anuncia una pérdida media de peso de seis libras la primera semana del programa. La moda podría indicar que la mayoría de las personas pierden dos libras la primera semana, lo que hace que el programa sea menos atractivo. NOTA La moda puede calcularse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. Por ejemplo, si el conjunto de datos es: rojo, rojo, rojo, verde, verde, amarillo, púrpura, negro, azul, la moda es rojo. Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = suma de los datos n u m b e r o f d a t a v a l u e s Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias. Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es límite inferior + límite superior 2 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea Tabla de media de la frecuencia = ∑ f m ∑ f donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo. Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase. Intervalo de grado Número de estudiantes 50–56,5 1 56,5–62,5 0 62,5–68,5 4 68,5–74,5 4 74,5–80,5 2 80,5–86,5 3 86,5–92,5 4 92,5–98,5 1 Calcule los puntos medios de todos los intervalos Intervalo de grado Punto medio 50–56,5 53,25 56,5–62,5 59,5 62,5–68,5 65,5 68,5–74,5 71,5 74,5–80,5 77,5 80,5–86,5 83,5 86,5–92,5 89,5 92,5–98,5 95,5 Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio. ∑ ​ f m 53,25 ( 1 ) + 59,5 ( 0 ) + 65,5 ( 4 ) + 71,5 ( 4 ) + 77,5 ( 2 ) + 83,5 ( 3 ) + 89,5 ( 4 ) + 95,5 ( 1 ) = 1460,25 μ = ∑ f m ∑ f = 1460,25 19 = 76,86 Ejercicio Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos: Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos Número de adolescentes 0–3,5 3 3,5–7,5 7 7,5–11,5 12 11,5–15,5 7 15,5–19,5 9 ¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos? Calcule el punto medio de cada intervalo, multiplíquelo por el número correspondiente de adolescentes, sume los resultados y luego divídalos entre el número total de adolescentes Los puntos medios son 1,75, 5,5, 9,5, 13,5, 17,5. Media = (1,75)(3) + (5,5)(7) + (9,5)(12) + (13,5)(7) + (17,5)(9) = 409,75/38 = 10,78 Referencias Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto. Revisión de la fórmula μ = ∑ f m ∑ f Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo. La media aritmética de una muestra (denominada x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra La media aritmética de una población (denominada μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población Calcule la media de las siguientes tablas de frecuencia. Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor: 16 17 19 20 20 21 23 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 37 39 40 Calcule la media. Media: 16 + 17 + 19 + 20 + 20 + 21 + 23 + 24 + 25 + 25 + 25 + 26 + 26 + 27 + 27 + 27 + 28 + 29 + 30 + 32 + 33 + 33 + 34 + 35 + 37 + 39 + 40 = 738; 738 27 = 27,33 Identifique la mediana. Identifique la moda. Las esloras más frecuentes son 25 y 27, que aparecen tres veces. Moda = 25, 27 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente: media muestral = x – = _______ mediana = _______ 4 moda = _______ Tarea para la casa Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en el siguiente cuadro. Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cómo se compara Estados Unidos con otros países? La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 El porcentaje de la media, x – = 1.328,65 50 = 26,75 Resúmalo todo Javier y Ercilia son supervisores en un centro comercial. A cada uno se le encomendó la tarea de estimar la distancia media a la que viven los compradores del centro comercial. Cada uno de ellos encuestó al azar a 100 compradores. Las muestras arrojaron la siguiente información. Javier Ercilia x – 6,0 millas 6,0 millas s 4,0 millas 7,0 millas ¿Cómo se puede determinar cuál es la encuesta correcta? Explique qué implica la diferencia de los resultados de las encuestas sobre los datos. Si los dos histogramas representan la distribución de valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios : estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección. Número de años Frecuencia Número de años Frecuencia 7 1 22 1 14 3 23 1 15 1 26 1 18 1 40 2 19 4 42 2 20 3 Total = 20 ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? 8 11 15 35 a ¿Cuál es la moda? 19 19,5 14 y 20 22,65 ¿Se trata de una muestra o de toda la población? muestra toda la población ninguna b Tabla de frecuencias una representación de datos en la que se muestran los datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes Media (aritmética) un número que mide la tendencia central de los datos; un nombre común para la media es 'promedio'. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Media (geométrica) medida de tendencia central que proporciona una medida de crecimiento geométrico promedio a lo largo de múltiples periodos. Mediana número que separa los datos ordenados en mitades; la mitad de los valores son del mismo número o menores que la mediana y la mitad de los valores son del mismo número o mayores que la mediana. La mediana puede o no formar parte de los datos. Punto medio la media de un intervalo en una tabla de frecuencia Moda el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos", "section": "Medidas del centro de los datos", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Notación sigma y cálculo de la media aritmética Fórmula de la media de la población μ = 1 N ∑ i = 1 N x i Fórmula de la media muestral x – = 1 n ∑ i = 1 n x i Esta unidad está aquí para recordarle el material que una vez estudió y en su momento dijo: “¡Estoy seguro de que nunca necesitaré esto!”. Estas son las fórmulas de la media poblacional y de la media muestral. La letra griega μ es el símbolo de la media poblacional y x – es el símbolo de la media muestral. Ambas fórmulas tienen un símbolo matemático que nos indica cómo hacer los cálculos. Se llama notación Sigma porque el símbolo es la letra griega mayúscula sigma: Σ. Como todos los símbolos matemáticos nos dice lo que hay que hacer: igual que el signo más nos dice que hay que sumar y la x nos dice que hay que multiplicar. Se denominan operadores matemáticos. El símbolo Σ nos dice que hay que añadir una lista específica de números. Supongamos que tenemos una muestra de animales del refugio de animales local y nos interesa su edad promedio. Si enumeramos cada valor, u observación, en una columna, se puede dar a cada uno un número de índice. El primer número será el número 1 y el segundo el número 2 y así sucesivamente. Animal Edad 1 9 2 1 3 8,5 4 10,5 5 10 6 8,5 7 12 8 8 9 1 10 9,5 Cada observación representa un animal concreto de la muestra. Purr es el animal número uno y es un gato de 9 años, Toto es el animal número 2 y es un cachorro de 1 año y así sucesivamente. Para calcular la media, la fórmula nos dice que debemos sumar todos estos números, las edades en este caso, y luego dividir la suma entre 10, el número total de animales de la muestra. El animal número uno, el gato Purr, se designa como X 1 , el animal número 2, Toto, se designa como X 2 y así sucesivamente hasta Dundee que es el animal número 10 y se designa como X 10 . La i de la fórmula nos indica cuál de las observaciones hay que sumar. En este caso es de X 1 a X 10 que son todos. Sabemos cuáles hay que añadir por la notación de indexación, la i = 1 y la n o N mayúscula de la población. Para este ejemplo la notación de indexación sería i = 1 y por tratarse de una muestra utilizamos una n pequeña en la parte superior del Σ que sería 10. La desviación típica requiere el mismo operador matemático, por lo que sería útil recordar este conocimiento de su pasado. La suma de las edades es de 78 y, dividiendo entre 10, la edad media de la muestra es de 7,8 años. Un grupo de 10 niños están en una búsqueda del tesoro para encontrar rocas de diferentes colores. Los resultados se muestran en la . La columna de la derecha muestra el número de colores de las piedras que tiene cada niño. ¿Cuál es el número medio de piedras? Niño Colores de las piedras 1 5 2 5 3 6 4 2 5 4 6 3 7 7 8 2 9 1 10 10 Se mide a un grupo de niños para determinar la estatura promedio del grupo. Los resultados se encuentran en la . ¿Cuál es la estatura media del grupo con una precisión de una centésima de pulgada? Niño Estatura en pulgadas Adam 45,21 Betty 39,45 Charlie 43,78 Donna 48,76 Earl 37,39 Fran 39,90 George 45,56 Heather 46,24 39,48 in. Una persona compara los precios de cinco automóviles. Los resultados están en la . ¿Cuál es el precio medio de los automóviles que la persona ha considerado? Precio $20.987 $22.008 $19.998 $23.433 $21.444 $21.574 Un servicio de protección al cliente ha obtenido 8 bolsas de caramelos que supuestamente contienen 16 onzas de caramelos cada una. Los caramelos se pesan para determinar si el peso promedio es al menos las 16 onzas declaradas. Los resultados figuran en la . ¿Cuál es el peso medio de una bolsa de caramelos en la muestra? Peso en onzas 15,65 16,09 16,01 15,99 16,02 16,00 15,98 16,08 15,98 onzas Un maestro registra las notas de una clase de 70, 72, 79, 81, 82, 82, 83, 90 y 95. ¿Cuál es la media de estas notas? 81,56 Se hace una encuesta a una familia para ver la media del número de horas al día que el televisor está encendido. Los resultados, empezando por el domingo, son 6, 3, 2, 3, 1, 3 y 7 horas. ¿Cuál es el número promedio de horas que la familia ha tenido la televisión encendida, redondeando al número entero más cercano? 4 horas Una ciudad recibió las siguientes precipitaciones en un año reciente. ¿Cuál es el número medio de pulgadas de lluvia que recibe la ciudad mensualmente, con una precisión de una centésima de pulgada? Utilice . Mes Precipitaciones en pulgadas Enero 2,21 Febrero 3,12 Marzo 4,11 Abril 2,09 May 0,99 Junio 1,08 Julio 2,99 Agosto 0,08 Septiembre 0,52 Octubre 1,89 Noviembre 2,00 Diciembre 3,06 2,01 pulgadas Un equipo de fútbol anotó los siguientes puntos en sus primeros 8 partidos de la nueva temporada. Empezando por el juego 1 y en orden los resultados son 14, 14, 24, 21, 7, 0, 38 y 28. ¿Cuál es el número medio de puntos que el equipo anotó en estos ocho partidos? 18,25 Tarea para la casa Se elige una muestra de 10 precios de una población de 100 artículos similares. Los valores obtenidos de la muestra, y los valores para la población, figuran en la y en la respectivamente. ¿La media de la muestra está a menos de 1 dólar de la media de la población? ¿Cuál es la diferencia entre las medias de la muestra y de la población? Precios de la muestra $21 $23 $21 $24 $22 $22 $25 $21 $20 $24 Precios de la población Frecuencia $20 20 $21 35 $22 15 $23 10 $24 18 $25 2 Sí La muestra es 0,5 más alta. Al principio del curso escolar se realiza una prueba estandarizada a diez personas, cuyos resultados se recogen en la . Al final del año se volvió a examinar a las mismas personas. ¿Cuál es la mejora promedio? ¿Importa si se restan las medias o si se restan los valores individuales? Estudiante Puntuación inicial Puntuación final 1 1.100 1.120 2 980 1.030 3 1.200 1.208 4 998 1.000 5 893 948 6 1.015 1.030 7 1.217 1.224 8 1.232 1.245 9 967 988 10 988 997 20 No Una clase pequeña de 7 estudiantes tiene una nota media de 82 en un examen. Si seis de las notas son 80, 82,86, 90, 90 y 95, ¿cuál es la otra nota? 51 Una clase de 20 estudiantes tiene una nota media de 80 en un examen. Diecinueve de los estudiantes tienen una nota media entre 79 y 82, ambas inclusive. ¿Cuál es la nota más baja posible de otro estudiante? ¿Cuál es la nota más alta posible de otro estudiante? 42 99 Si la media de 20 precios es de 10,39 dólares, y se muestrean 5 de los artículos con una media de 10,99 dólares, ¿cuál es la media de los otros 15 precios? $10,19", "section": "Notación sigma y cálculo de la media aritmética", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Media geométrica La media (aritmética), la mediana y la moda son medidas del \"centro\" de los datos, la \"media\". Todos intentan, a su manera, medir el punto \"común\" dentro de los datos, el que es \"normal\". En el caso de la media aritmética esto se resuelve encontrando el valor del que todos los puntos están a igual distancia lineal. Podemos imaginar que todos los valores de los datos se combinan mediante la adición y luego se distribuyen a cada punto de datos en cantidades iguales. La suma de todos los valores es lo que se redistribuye en cantidades iguales de manera que la suma total sigue siendo la misma. La media geométrica no redistribuye la suma de los valores, sino el producto de multiplicar todos los valores individuales y luego redistribuirlos en porciones iguales de manera que el producto total siga siendo el mismo. Esto se desprende de la fórmula de la media geométrica, x ~ : (Se dice “x tilde”) x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n donde π es otro operador matemático, que nos dice que hay que multiplicar todos los números x i de la misma manera que la sigma griega mayúscula nos dice que sumemos todos los números x i . Recuerde que un exponente fraccionario pide la raíz enésima del número por lo que un exponente de 1/3 es la raíz cúbica del número. La media geométrica responde a la pregunta \"si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para conseguir el mismo producto?”. La media geométrica recibe su nombre del hecho de que cuando se redistribuye de esta manera los lados forman una forma geométrica en la que todos tienen la misma longitud. Para verlo, tomemos el ejemplo de los números 10, 51,2 y 8. La media geométrica es el producto de multiplicar estos tres números entre sí (4.096) y sacar la raíz cúbica porque son tres los números entre los que hay que repartir este producto. Por tanto, la media geométrica de estos tres números es 16. Esto describe un cubo de 16x16x16 y tiene un volumen de 4.096 unidades. La media geométrica es relevante en Economía y Finanzas para tratar el crecimiento: el crecimiento de los mercados, de la inversión, de la población y de otras variables cuyo crecimiento interesa. Imagine que nuestra caja de 4096 unidades (quizás dólares) es el valor de una inversión al cabo de tres años y que los rendimientos de la inversión en porcentajes fueron los tres números de nuestro ejemplo. La media geométrica nos proporcionará la respuesta a la pregunta de cuál es la tasa promedio de rendimiento: 16 por ciento. La media aritmética de estas tres cifras es del 23,6 %. La razón de esta diferencia, 16 frente a 23,6, es que la media aritmética es aditiva y, por lo tanto, no tiene en cuenta el interés sobre el interés, el interés compuesto, implícito en el proceso de crecimiento de la inversión. La misma situación se plantea cuando se pregunta por la tasa promedio de crecimiento de una población o de las ventas o de la penetración en el mercado, etc., conociendo las tasas anuales de crecimiento. La fórmula de la tasa de rendimiento media geométrica, o de cualquier otra tasa de crecimiento, es: r s = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n − 1 Al manipular la fórmula de la media geométrica también se puede calcular la tasa promedio de crecimiento entre dos periodos conociendo solo el valor inicial a 0 y el valor final a n y el número de periodos, n . La siguiente fórmula proporciona esta información: ( a n a 0 ) 1 n = x ~ Por último, observamos que la fórmula de la media geométrica requiere que todos los números sean positivos, mayores que cero. La razón, por supuesto, es que la raíz de un número negativo no está definida para su uso fuera de la teoría matemática. Sin embargo, hay formas de evitar este problema. En el caso de las tasas de rendimiento y otros problemas de crecimiento simples, podemos convertir los valores negativos en valores equivalentes positivos significativos. Imagine que los rendimientos anuales de los últimos tres años son del +12 %, –8 % y +2 %. El uso de los multiplicadores decimales equivalentes a 1,12, 0,92 y 1,02 nos permite calcular una media geométrica de 1,0167. Al restar 1 a este valor se obtiene la media geométrica de +1,67 % como tasa neta de crecimiento de la población (o rendimiento financiero). De este ejemplo se desprende que la media geométrica nos proporciona esta fórmula para calcular la tasa de rendimiento geométrica (media) de una serie de tasas de rendimiento anuales: r s = x ~ - 1 donde r s es la tasa promedio de rendimiento y x ~ es la media geométrica de los rendimientos durante un cierto número de periodos. Tenga en cuenta que la duración de cada periodo debe ser la misma. Como regla general, hay que convertir los valores porcentuales en su equivalente decimal multiplicador. Es importante reconocer que cuando se trata de porcentajes, la media geométrica de los valores porcentuales no es igual a la media geométrica de los equivalentes del multiplicador decimal y es la media geométrica del multiplicador decimal la que es relevante. Revisión de la fórmula La media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n x i ) 1 n = x 1 · x 2 ··· x n n = ( x 1 · x 2 ··· x n ) 1 n ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 5, 10, 20 10 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 9,000, 15,00, 21,00 14,15 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 7,0, 10,0, 39,2 14 ¿Cuál es la media geométrica del conjunto de datos dado? 17,00, 10,00, 19,00 14,78 ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 1,0, 2,0, 1,5 44 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,80, 2,0, 5,0 100 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 0,90, 1,1, 1,2 6 % ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento de los valores que siguen? 4,2, 4,3, 4,5 33 % Tarea para la casa Una inversión pasa de 10.000 a 22.000 dólares en cinco años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento? 17 % Una inversión inicial de 20.000 dólares crece a un ritmo del 9 % durante cinco años. ¿Cuál es su valor final? $30.772,48 Un cultivo contiene 1300 bacterias. Las bacterias crecen hasta 2.000 en 10 horas. ¿Cuál es la tasa de crecimiento de las bacterias por hora, con una precisión de una décima de porcentaje? 4,4 % Una inversión de 3.000 dólares crece a un ritmo del 5 % durante un año, y luego a un ritmo del 8 % durante tres años. ¿Cuál es la tasa promedio de rendimiento con una precisión de una centésima? 7,24 % Una inversión de 10.000 dólares se reduce a 9.500 dólares en cuatro años. ¿Cuál es la rentabilidad promedio anual, con una precisión de una centésima? –1,27 %", "section": "Media geométrica", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distorsión y media, mediana y moda Considere el siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10 Este conjunto de datos se puede representar mediante el siguiente histograma. Cada intervalo tiene un ancho de uno y cada valor se sitúa en el centro de un intervalo. El histograma muestra una distribución simétrica de los datos. Una distribución es simétrica si se puede trazar una línea vertical en algún punto del histograma de manera que la forma a la izquierda y a la derecha de la línea vertical sean imágenes una espejo de la otra. La media, la mediana y la moda son siete para estos datos. En una distribución perfectamente simétrica, la media y la mediana son iguales. Este ejemplo tiene una moda (unimodal), y la moda es la misma que la media y la mediana. En una distribución simétrica que tiene dos modas (bimodal), las dos modas serían diferentes de la media y la mediana. El histograma de los datos: 4 5 6 6 6 7 7 7 7 8 que se muestra en la no es simétrico. El lado derecho parece “cortado” en comparación con el lado izquierdo. Una distribución de este tipo se denomina distorsionada a la izquierda porque se desplaza hacia la izquierda. Podemos medir formalmente la distorsión de una distribución del mismo modo que podemos medir matemáticamente el peso del centro de los datos o su \"velocidad\" general. La fórmula matemática de la distorsión es a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 . Cuanto mayor sea la desviación con respecto a cero, mayor será el grado de distorsión. Si la distorsión es negativa, la distribución está distorsionada a la izquierda, como en la . Una medida positiva de la distorsión indica distorsionada a la derecha, como en la . La media es 6,3, la mediana es 6,5 y la moda es siete. Observe que la media es menor que la mediana y ambas son menores que la moda. Tanto la media como la mediana reflejan la distorsión, pero la media lo refleja más. El histograma de los datos: 6 7 7 7 7 8 8 8 9 10 mostrados en la , tampoco es simétrico. Es con distorsión a la derecha . La media es 7,7, la mediana es 7,5 y la moda es siete. De las tres estadísticas, la media es la mayor, mientras que la moda es la menor . De nuevo, la media es la que más refleja la distorsión. Para resumir, generalmente si la distribución de los datos está distorsionada a la izquierda, la media es menor que la mediana, que suele ser menor que la moda. Si la distribución de los datos está distorsionada a la derecha, la moda suele ser menor que la mediana, que es menor que la media. Al igual que con la media, la mediana y la moda, y como veremos en breve, la varianza, existen fórmulas matemáticas que nos dan medidas precisas de estas características de la distribución de los datos. Volviendo a mirar la fórmula de la distorsión, vemos que se trata de una relación entre la media de los datos y las observaciones individuales al cubo. a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 donde s es la desviación típica muestral de los datos, X i , y x ¯ es la media aritmética y n es el tamaño de la muestra. Formalmente, la media aritmética se conoce como el primer momento de la distribución. El segundo momento que veremos es la varianza, y la distorsión es el tercer momento. La varianza mide las diferencias al cuadrado de los datos respecto a la media y la distorsión mide las diferencias al cubo de los datos respecto a la media. Mientras que una varianza nunca puede ser un número negativo, la medida de distorsión sí puede y así es como determinamos si los datos están distorsionados la derecha o a la izquierda. La distorsión de una distribución normal es cero, y cualquier dato simétrico debería tener una distorsión cercana a cero. Los valores negativos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la izquierda y los valores positivos de la distorsión indican que los datos están sesgados hacia la derecha. Por izquierda distorsionada, queremos decir que la cola izquierda es larga en relación con la cola derecha. Del mismo modo, la derecha distorsionada significa que la cola derecha es larga en relación con la cola izquierda. La distorsión caracteriza el grado de asimetría de una distribución en torno a su media. Mientras que la media y la desviación típica son magnitudes dimensionales (por eso tomaremos la raíz cuadrada de la varianza) es decir, tienen las mismas unidades que las magnitudes medidas X i , la distorsión se define convencionalmente de forma que sea adimensional . Es un número puro que caracteriza únicamente la forma de la distribución. Un valor positivo de distorsión significa una distribución con una cola asimétrica que se extiende hacia un X más positiva y un valor negativo significa una distribución cuya cola se extiende hacia X más negativa. Una medida cero de distorsión indicará una distribución simétrica. La distorsión y la simetría son importantes cuando hablemos de distribuciones de probabilidad en capítulos posteriores. Repaso del capítulo Observar la distribución de los datos puede revelar mucho sobre la relación entre la media, la mediana y la moda. Hay tres tipos de distribuciones. Una distribución distorsionada a la izquierda (o negativa) tiene una forma como la . Una distribución distorsionada a la derecha (o positiva) tiene una forma como la . Una distribución simétrica se parece a la . Revisión de la fórmula Fórmula para la distorsión: a 3 = ∑ ( x i – x ¯ ) 3 n s 3 Fórmula del coeficiente de variación C V = s x ¯ · 100 condicionado a x ¯ ≠ 0 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Indique si los datos son simétricos, distorsionados a la izquierda o distorsionados a la derecha. 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 Los datos son simétricos. La mediana es 3 y la media es 2,85. Están cerca, y la moda se encuentra cerca del centro de los datos, por lo que los datos son simétricos. 16 17 19 22 22 22 22 22 23 87 87 87 87 87 88 89 89 90 91 Los datos están distorsionados a la derecha. La mediana es de 87,5 y la media de 88,2. Aunque están cerca, la moda se encuentra a la izquierda del centro de los datos, y hay muchos más casos de 87 que de cualquier otro número, por lo que los datos están distorsionados a la derecha. Cuando los datos están distorsionados a la izquierda, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, ¿cuál es la relación típica entre la media y la mediana? Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana están cerca o son iguales. ¿Qué palabra describe una distribución que tiene dos modas? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la derecha porque luce desplazada hacia la derecha. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media es de 4,1 y es ligeramente superior a la mediana, que es de cuatro. Describa la forma de esta distribución. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. La moda y la mediana son iguales. En este caso, las dos son cinco. ¿La media y la mediana son exactamente iguales en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? Describa la forma de esta distribución. La distribución está distorsionada a la izquierda porque luce desplazada hacia la izquierda. Describa la relación entre la moda y la mediana de esta distribución. Describa la relación entre la media y la mediana de esta distribución. La media y la mediana son seis. La media y la mediana de los datos son iguales. 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 ¿Los datos son perfectamente simétricos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la mayor, la media, la moda o la mediana del conjunto de datos? 11 11 12 12 12 12 13 15 17 22 22 22 La moda es 12, la mediana es 12,5 y la media es 15,1. La media es la mayor. ¿Cuál es menor, la media, la moda y la mediana del conjunto de datos? 56 56 56 58 59 60 62 64 64 65 67 De las tres medidas, ¿cuál tiende a reflejar más la distorsión: la media, la moda o la mediana? ¿Por qué? La media tiende a reflejar más la distorsión porque es la más afectada por los valores atípicos. En una distribución perfectamente simétrica, ¿cuándo la moda sería diferente de la media y la mediana? Tarea para la casa La edad media de la población de EE. UU. en 1980 era de 30,0 años. En 1991, la edad media era de 33,1 años. ¿Qué significa que la edad media aumente? Dé dos razones por las que la edad media podría aumentar. Para que la edad media aumente, ¿el número real de niños es menor en 1991 que en 1980? ¿Por qué sí o por qué no?", "section": "Distorsión y media, mediana y moda", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Medidas de la dispersión de los datos Una característica importante de cualquier conjunto de datos es su variación. En algunos conjuntos de datos, los valores de los datos se concentran muy cerca de la media; en otros, están más dispersos de la media. La medida más común de variación, o dispersión, es la desviación típica. La desviación típica es un número que mide la distancia entre los valores de los datos y su media. La desviación típica proporciona una medida numérica de la cantidad global de variación en un conjunto de datos y se puede usar para determinar si un valor de datos determinado está cerca o lejos de la media. La desviación típica proporciona una medida de la variación global de un conjunto de datos La desviación típica es siempre positiva o cero. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media y muestran poca variación o dispersión. La desviación típica es mayor cuando los valores de los datos están más alejados de la media y muestran más variación. Supongamos que estamos estudiando el tiempo que los clientes esperan en la fila de la caja del supermercado A y del supermercado B . El tiempo promedio de espera en ambos supermercados es de cinco minutos. En el supermercado A , la desviación típica del tiempo de espera es de dos minutos; en el supermercado B , la desviación típica del tiempo de espera es de cuatro minutos. Como el supermercado B tiene una desviación típica más alta, sabemos que hay más variación en los tiempos de espera en el supermercado B . En general, los tiempos de espera en el supermercado B están más dispersos del promedio; los tiempos de espera en el supermercado A están más concentrados cerca del promedio. Cálculo de la desviación típica Si x es un número, la diferencia \" x menos la media\" se denomina su deviación . En un conjunto de datos hay tantas desviaciones como elementos en el conjunto de datos. Las desviaciones se utilizan para calcular la desviación típica. Si los números pertenecen a una población, en símbolos una desviación es x – μ . Para los datos de la muestra, en símbolos una desviación es x – x – . El procedimiento para calcular la desviación típica depende de si los números son toda la población o son datos de una muestra. Los cálculos son similares, pero no idénticos. Por tanto, el símbolo utilizado para representar la desviación típica depende de si se calcula a partir de una población o de una muestra. La letra minúscula s representa la desviación típica de la muestra y la letra griega σ (sigma, minúscula) representa la desviación típica de la población. Si la muestra tiene las mismas características que la población, entonces s debería ser una buena estimación de σ . Para calcular la desviación típica, tenemos que calcular primero la varianza. La varianza es el promedio de los cuadrados de las desviaciones (la x – x – para una muestra, o los valores x – μ para una población). El símbolo σ 2 representa la varianza de la población; la desviación típica de la población σ es la raíz cuadrada de la varianza de la población. El símbolo s 2 representa la varianza de la muestra; la desviación típica de la muestra s es la raíz cuadrada de la varianza de la muestra. Puede pensar en la desviación típica como un promedio especial de las desviaciones. Formalmente, la varianza es el segundo momento de la distribución o el primer momento alrededor de la media. Recuerde que la media es el primer momento de la distribución. Si las cifras proceden de un censo de toda la población y no de una muestra, cuando calculamos el promedio de las desviaciones al cuadrado para hallar la varianza, dividimos entre N , el número de elementos de la población. Si los datos proceden de una muestra y no de una población, al calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado, dividimos entre n – 1 , uno menos que el número de elementos de la muestra. Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x – ) 2 n – 1 o s = Σ f ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ( ∑ i = 1 n x 2 ) – n x – 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra menos 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ f ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ i = 1 N x i 2 N – μ 2 Para la desviación típica de la población el denominador es N , el número de elementos de la población. En estas fórmulas, f representa la frecuencia con la que aparece un valor. Por ejemplo, si un valor aparece una vez, f es uno. Si un valor aparece tres veces en el conjunto de datos o población, f es tres. Dos observaciones importantes sobre la varianza y la desviación típica: las desviaciones se miden a partir de la media y las desviaciones se elevan al cuadrado. En principio, las desviaciones podrían medirse desde cualquier punto, sin embargo, nuestro interés es la medición desde el peso central de los datos, lo que es el valor \"normal\" o más habitual de la observación. Más adelante trataremos de medir lo “inusual\" de una observación o de una media muestral y, por tanto, necesitamos una medida a partir de la media. La segunda observación es que las desviaciones son al cuadrado. Esto tiene dos efectos: primero, hace que las desviaciones sean todas positivas y segundo, cambia las unidades de medida de la media y de las observaciones originales. Si los datos son pesos, la media se mide en libras, pero la varianza se mide en libras al cuadrado. Una de las razones para utilizar la desviación típica es volver a las unidades de medida originales tomando la raíz cuadrada de la varianza. Además, cuando las desviaciones se elevan al cuadrado su valor aumenta en gran medida. Por ejemplo, una desviación de 10 de la media al cuadrado es 100, pero una desviación de 100 de la media es 10.000. Lo que hace esto es dar un gran peso a los valores atípicos al calcular la varianza. Tipos de variabilidad en las muestras Cuando se trata de estudiar una población, a menudo se utiliza una muestra, ya sea por conveniencia o porque no es posible acceder a toda la población. La variabilidad es el término utilizado para describir las diferencias que pueden darse en estos resultados. Los tipos de variabilidad más comunes son los siguientes: Variabilidad de observación o de medición Variabilidad natural Variabilidad inducida Variabilidad de la muestra He aquí algunos ejemplos para describir cada tipo de variabilidad. Ejemplo 1: Variabilidad de la medición La variabilidad de la medición se produce cuando hay diferencias en los instrumentos utilizados para medir o en las personas que utilizan esos instrumentos. Si recopilamos datos sobre el tiempo que tarda una pelota en caer desde una altura haciendo que los estudiantes midan el tiempo de la caída con un cronómetro, podemos experimentar una variabilidad en la medición si los dos cronómetros utilizados son de diferentes fabricantes: Por ejemplo, un cronómetro mide al segundo más cercano, mientras que el otro mide a la décima de segundo más cercana. También podemos experimentar la variabilidad de las mediciones porque dos personas diferentes recopilan los datos. Sus tiempos de reacción al pulsar el botón del cronómetro pueden ser diferentes, por lo que los resultados variarán en consecuencia. Las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de las mediciones. Ejemplo 2: Variabilidad natural La variabilidad natural surge de las diferencias que se producen de forma natural porque los miembros de una población difieren entre sí. Por ejemplo, si tenemos dos plantas de maíz idénticas y las exponemos a la misma cantidad de agua y luz solar, pueden crecer a ritmos diferentes simplemente porque son dos plantas de maíz diferentes. La diferencia de resultados puede explicarse por la variabilidad natural. Ejemplo 3: Variabilidad inducida La variabilidad inducida es la contrapartida de la variabilidad natural; se produce porque hemos inducido artificialmente un elemento de variación (que, por definición, no estaba presente de forma natural): Por ejemplo, asignamos personas a dos grupos diferentes para estudiar la memoria, e inducimos una variable en un grupo limitando la cantidad de sueño que tienen. La diferencia de resultados puede verse afectada por la variabilidad inducida. Ejemplo 4: Variabilidad de la muestra La variabilidad de la muestra se produce cuando se toman varias muestras aleatorias de la misma población. Por ejemplo, si se realizan cuatro encuestas a 50 personas seleccionadas al azar de una población determinada, las diferencias en los resultados pueden verse afectadas por la variabilidad de la muestra. En una clase de quinto grado la maestra estaba interesada en la edad promedio y la desviación típica de la muestra de las edades de sus estudiantes. Los siguientes datos son las edades de una MUESTRA de n = 20 estudiantes de quinto grado. Las edades están redondeadas al medio año más cercano: 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; x – = 9 + 9 ,5(2) + 10(4) + 10 ,5(4) + 11(6) + 11 ,5(3) 20 = 10,525 La edad promedio es de 10,53 años, redondeada a dos cifras. La varianza se puede calcular mediante una tabla. A continuación se calcula la desviación típica tomando la raíz cuadrada de la varianza. Explicaremos las partes de la tabla después de calcular s . Datos Frec. Desviaciones Desviaciones 2 (Frec.)(Desviaciones 2 ) x f ( x – x – ) ( x – x – ) 2 ( f )( x – x – ) 2 9 1 9 – 10,525 = –1,525 (–1,525) 2 = 2,325625 1 × 2,325625 = 2,325625 9,5 2 9,5 – 10,525 = –1,025 (–1,025) 2 = 1,050625 2 × 1,050625 = 2,101250 10 4 10 – 10,525 = –0,525 (–0,525) 2 = 0,275625 4 × 0,275625 = 1,1025 10,5 4 10,5 – 10,525 = –0,025 (–0,025) 2 = 0,000625 4 × 0,000625 = 0,0025 11 6 11 – 10,525 = 0,475 (0,475) 2 = 0,225625 6 × 0,225625 = 1,35375 11,5 3 11,5 – 10,525 = 0,975 (0,975) 2 = 0,950625 3 × 0,950625 = 2,851875 El total es 9,7375 La varianza de la muestra, s 2 , es igual a la suma de la última columna (9,7375) dividida entre el número total de valores de datos menos uno (20 – 1): s 2 = 9,7375 20 – 1 = 0,5125 La desviación típica de la muestra s es igual a la raíz cuadrada de la varianza de la muestra: s = 0,5125 = 0,715891 , que se redondea a dos decimales, s = 0,72. Explicación del cálculo de la desviación típica que aparece en la tabla Las desviaciones muestran la dispersión de los datos respecto a la media. El valor de los datos 11,5 está más alejado de la media que el valor de los datos 11, lo que se indica con las desviaciones 0,97 y 0,47. Una desviación positiva se produce cuando el valor de los datos es mayor que la media, mientras que una desviación negativa se produce cuando el valor de los datos es menor que la media. La desviación es de –1,525 para el noveno valor de los datos. Si se suman las desviaciones, la suma es siempre cero (según el , hay n = 20 desviaciones). Por lo tanto, no se puede simplemente sumar las desviaciones para obtener la dispersión de los datos. Al elevar al cuadrado las desviaciones se convierten en números positivos, y la suma también será positiva. La varianza, por tanto, es la desviación promedio al cuadrado. Al elevar al cuadrado las desviaciones, estamos penalizando en extremo las observaciones que se alejan de la media; estas observaciones tienen mayor peso en los cálculos de la varianza. Más adelante veremos que la varianza (desviación típica) desempeña un papel fundamental para determinar nuestras conclusiones en la estadística inferencial. Podemos empezar ahora utilizando la desviación típica como medida de lo \"inusual\": \"¿Cómo te fue en el examen?\" \"¡Fantástico! Dos desviaciones típicas por encima de la media\". Esto, como veremos, es una nota de examen excepcionalmente buena. La varianza es una medida al cuadrado y no tiene las mismas unidades que los datos. Calcular la raíz cuadrada resuelve el problema. La desviación típica mide la dispersión en las mismas unidades que los datos. Observe que en vez de dividir entre n = 20, el cálculo divide entre n – 1 = 20 – 1 = 19 porque los datos son una muestra. Para la varianza de la muestra , se divide entre el tamaño de la muestra menos uno ( n – 1). ¿Por qué no dividir entre n ? La respuesta tiene que ver con la varianza de la población. La varianza de la muestra es una estimación de la varianza de la población. Esta estimación nos obliga a utilizar una cifra estimada de la media de la población en lugar de la media real de la población. Basándose en la matemática teórica que hay detrás de estos cálculos, al dividir entre ( n – 1) da una mejor estimación de la varianza de la población. La desviación típica, s o σ , es cero o mayor que cero. La descripción de los datos con referencia a la dispersión se denomina “variabilidad”. La variabilidad de los datos depende del método con el que se obtienen los resultados; por ejemplo, por medición o por muestreo aleatorio. Cuando la desviación típica es cero, no hay dispersión; es decir, todos los valores de los datos son iguales entre sí. La desviación típica es pequeña cuando todos los datos se concentran cerca de la media, y es mayor cuando los valores de los datos muestran más variación con respecto a la media. Cuando la desviación típica es mucho mayor que cero, los valores de los datos están muy dispersos alrededor de la media; los valores atípicos pueden hacer que s o σ sean muy grandes. Utilice los siguientes datos (calificaciones del primer examen) de la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean: 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Cree un gráfico que contenga los datos, las frecuencias, las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas con tres decimales. Calcule lo siguiente con un decimal: La media muestral La desviación típica de la muestra La mediana El primer cuartil El tercer cuartil IQR Vea la La media muestral = 73,5 La desviación típica de la muestra = 17,9 La mediana = 73 El primer cuartil = 61 El tercer cuartil = 90 IQR = 90 – 61 = 29 Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 33 1 0,032 0,032 42 1 0,032 0,064 49 2 0,065 0,129 53 1 0,032 0,161 55 2 0,065 0,226 61 1 0,032 0,258 63 1 0,032 0,29 67 1 0,032 0,322 68 2 0,065 0,387 69 2 0,065 0,452 72 1 0,032 0,484 73 1 0,032 0,516 74 1 0,032 0,548 78 1 0,032 0,580 80 1 0,032 0,612 83 1 0,032 0,644 88 3 0,097 0,741 90 1 0,032 0,773 92 1 0,032 0,805 94 4 0,129 0,934 96 1 0,032 0,966 100 1 0,032 0,998 (¿Por qué este valor no es 1? RESPUESTA: Redondeo) Desviación típica de las tablas de frecuencia agrupadas Recordemos que para los datos agrupados no conocemos los valores individuales de los datos, por lo que no podemos describir el valor típico de los datos con precisión. En otras palabras, no podemos hallar la media, la mediana ni la moda exactas. Sin embargo, podemos determinar la mejor estimación de las medidas de centro al hallar la media de los datos agrupados con la fórmula Tabla de media de la frecuencia = ∑ f m ∑ f donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios del intervalo. Al igual que no podemos hallar la media exacta, tampoco podemos hallar la desviación típica exacta. Recuerde que la desviación típica describe numéricamente la desviación esperada que tiene un valor de datos con respecto a la media. En términos sencillos, la desviación típica nos permite comparar lo “inusual” que son los datos individuales en comparación con la media. Calcule la desviación típica de los datos en la . Clase Frecuencia, f Punto medio, m f · m f ( m – x – ) 2 0–2 1 1 1 · 1 = 1 1 ( 1 – 6,88 ) 2 = 34,57 3–5 6 4 6 · 4 = 24 6 ( 4 – 6,88 ) 2 = 49,77 6-8 10 7 10 · 7 = 70 10 ( 7 – 6,88 ) 2 = 0,14 9-11 7 10 7 · 10 = 70 7 ( 10 – 6,88 ) 2 = 68,14 12-14 0 13 0 · 13 = 0 0 ( 13 – 6,88 ) 2 = 0 n = 24 x – = 165 24 = 6,88 s 2 = 152,62 24 – 1 = 6,64 Para este conjunto de datos, tenemos la media, x – = 6,88 y la desviación típica, s x = 2,58. Esto significa que se espera que un valor de datos seleccionado al azar se aleje 2,58 unidades de la media. Si observamos la primera clase, vemos que el punto medio de la clase es igual a uno. Esto supone casi tres desviaciones típicas de la media. La fórmula para calcular la desviación típica no es complicada, s x = Σ ( m – x – ) 2 f n – 1 donde s x = desviación típica de la muestra, x – = media muestral, los cálculos son tediosos. Por lo general, lo mejor es utilizar la tecnología para realizar los cálculos. Comparación de valores de diferentes conjuntos de datos La desviación típica es útil cuando se comparan valores de datos que provienen de diferentes conjuntos de datos. Si los conjuntos de datos tienen medias y desviaciones típicas diferentes, la comparación directa de los valores de los datos puede ser engañosa. Para cada valor de los datos x, calcule a cuántas desviaciones típicas de su media se encuentra el valor. Utilice la fórmula: x = media + (n.º de STDEV)(de STandard DEViation o desviación típica); resuelva para n.º de STDEV. n.º d e S T D E V = x – media desviación típica Compare los resultados de este cálculo. N.º de STDEV suele llamarse “puntuación z ”; podemos utilizar el símbolo z . En símbolos, las fórmulas se convierten en: Muestra x = x – + zs z = x – x – s Población x = μ + zσ z = x – μ σ Dos estudiantes, John y Ali, de diferentes escuelas secundarias, querían averiguar quién tenía el mejor GPA en comparación con su escuela. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con su escuela? Estudiante GPA GPA media escolar Desviación típica escolar John 2,85 3,0 0,7 Ali 77 80 10 Para cada estudiante, determine cuántas desviaciones típicas (n.º de STDEV) se aleja su GPA del promedio, para su escuela. Preste mucha atención a los signos al comparar e interpretar la respuesta. z = N.º de STDEV = valor – media desviación típica = x – μ σ Para John, z = n.º d e S T D E V = 2,85 – 3,0 0,7 = – 0,21 Para Ali, z = n.º d e S T D E V = 77 – 80 10 = – 0,3 John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela porque su GPA está 0,21 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela mientras que el GPA de Ali está 0,3 desviaciones típicas por debajo de la media de su escuela. La puntuación z de John, de –0,21, es mayor que la puntuación z de Ali, de –0,3. Para el GPA, los valores más altos son mejores, por lo que concluimos que John tiene el mejor GPA en comparación con su escuela. Ejercicio Dos nadadoras, Angie y Beth, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el tiempo más rápido en los 50 metros libres en comparación con su equipo. ¿Qué nadadora tuvo el mejor tiempo en comparación con su equipo? Nadadora Tiempo (segundos) Tiempo medio del equipo Desviación típica del equipo Angie 26,2 27,2 0,8 Beth 27,3 30,1 1,4 Para Angie: z = 26 0,2 – 27 0,2 0 0,8 = -1,25 Para Beth: z = 27 0,3 – 30 0,1 1. 4 = -2 Las siguientes listas ofrecen algunos hechos que proporcionan un poco más de información sobre lo que la desviación típica nos dice sobre la distribución de los datos. Para CUALQUIER conjunto de datos, no importa cuál sea la distribución de los datos: Al menos el 75 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Al menos el 89 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Al menos el 95 % de los datos están dentro de 4,5 desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla de Chebyshev. Para los datos que tienen una distribución normal, que examinaremos en detalle más adelante: Aproximadamente el 68 % de los datos están dentro de una desviación típica de la media. Aproximadamente el 95 % de los datos están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Más del 99 % de los datos están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Esto se conoce como la regla empírica. Es importante señalar que esta regla solo se aplica cuando la forma de la distribución de los datos tiene forma de campana y es simétrica. Aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos la distribución de probabilidad “normal” o “gaussiana” en capítulos posteriores. Coeficiente de variación Otra forma útil de comparar distribuciones, además de las simples comparaciones de medias o desviaciones típicas, es ajustar las diferencias en la escala de los datos que se miden. Sencillamente, una gran variación en los datos con una media grande es diferente a la misma variación en los datos con una media pequeña. Para ajustar la escala de los datos subyacentes se ha desarrollado el coeficiente de variación (CV). Matemáticamente, el: C V = s x ¯ * 100 condicionado a x ¯ ≠ 0, donde s es la desviación típica de los datos y x ¯ es la media. Podemos ver que esto mide la variabilidad de los datos subyacentes como un porcentaje del valor medio; el peso central del conjunto de datos. Esta medida es útil para comparar el riesgo cuando se justifica un ajuste debido a las diferencias de escala de dos conjuntos de datos. En efecto, la escala se cambia a escala común, diferencias porcentuales, y permite la comparación directa de las dos o más magnitudes de variación de diferentes conjuntos de datos. Referencias Datos de Microsoft Bookshelf. King, Bill.“Graphically Speaking”. Institutional Research, Lake Tahoe Community College. Disponible en línea en http://www.ltcc.edu/web/about/institutional-research (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La desviación típica puede ayudarlo a calcular la dispersión de los datos. Existen diferentes ecuaciones para calcular la desviación típica de una muestra o de una población. La desviación típica nos permite comparar numéricamente datos individuales o clases con la media del conjunto de datos. s = ∑ ​ ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ∑ ​ e ( x – x – ) 2 n – 1 es la fórmula para calcular la desviación típica de una muestra. Para calcular la desviación típica de una población usaríamos la media de la población, μ , y la fórmula σ = ∑ ​ ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ ​ e ( x – μ ) 2 N . Revisión de la fórmula s x = ∑ e m 2 n – x – 2 donde s x = desviación típica de la muestra x – = media muestral Fórmulas para la desviación típica de la muestra s = Σ ( x – x – ) 2 n – 1 o s = Σ e ( x – x – ) 2 n – 1 o s = ( ∑ i = 1 n x 2 ) – n x – 2 n – 1 Para la desviación típica de la muestra, el denominador es n – 1 , es decir, el tamaño de la muestra – 1. Fórmulas para la desviación típica de la población σ = Σ ( x – μ ) 2 N o σ = Σ e ( x – μ ) 2 N o σ = ∑ i = 1 N x i 2 N – μ 2 Para la desviación típica de la población, el denominador es N , el número de elementos de la población. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios : Los siguientes datos son las distancias entre 20 tiendas minoristas y un gran centro de distribución. Las distancias están en millas. 29; 37; 38; 40; 58; 67; 68; 69; 76; 86; 87; 95; 96; 96; 99; 106; 112; 127; 145; 150 Utilice una calculadora gráfica o una computadora para hallar la desviación típica y redondee a la décima más cercana. s = 34,5 Calcule el valor que está una desviación típica por debajo de la media. Dos jugadores de béisbol, Fredo y Karl, de equipos diferentes, querían averiguar quién tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo. ¿Cuál jugador de béisbol tenía el promedio de bateo más alto en comparación con su equipo? Jugador de béisbol Promedio de bateo Promedio de bateo del equipo Desviación típica del equipo Fredo 0,158 0,166 0,012 Karl 0,177 0,189 0,015 Para Fredo: z = 0,158 – 0,166 0,012 = -0,67 Para Karl: z = 0,177 – 0,189 0,015 = -0,8 La puntuación z de Fredo, de –0,67, es mayor que la puntuación z de Karl, de –0,8. Para el promedio de bateo, los valores más altos son mejores, por lo que Fredo tiene un mejor promedio de bateo en comparación con su equipo. Utilice la para hallar el valor que tiene tres desviaciones típicas: a por encima de la media b por debajo de la media Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 . Calcule la desviación típica de las siguientes tablas de frecuencias utilizando la fórmula. Compruebe los cálculos con la TI 83/84 Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 193157,45 30 – 79,5 2 = 10,88 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 380945,3 101 – 60,94 2 = 7,62 s x = ∑ e m 2 n – x – 2 = 440051,5 86 – 70,66 2 = 11,14 Tarea para la casa Utilice la siguiente información para responder a los siguientes nueve ejercicios: Los parámetros de población que aparecen a continuación describen el número de estudiantes equivalentes a tiempo completo (full-time equivalent number of students, FTES) cada año en el Lake Tahoe Community College desde 1976-1977 hasta 2004-2005. μ = 1.000 FTES mediana = 1.014 FTES σ = 474 FTES primer cuartil = 528,5 FTES tercer cuartil = 1.447,5 FTES n = 29 años Se toma una muestra de 11 años. ¿Cuántos se espera que tengan un FTES de 1.014 o más? Explique cómo ha determinado su respuesta. El valor de la mediana es el valor medio en la lista ordenada de valores de datos. El valor mediano de un conjunto de 11 será el 6.º número en orden. Seis años tendrán totales iguales o inferiores a la mediana. El 75 % de todos los años tiene un FTES: en o por debajo de: _____ en o por encima de: _____ La desviación típica de la población = _____ 474 FTES ¿Qué porcentaje de FTES fue de 528,5 a 1.447,5? ¿Cómo lo sabe? ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? ¿Qué representa el IQR ? 919 ¿A cuántas desviaciones típicas de la media está la mediana? Información adicional: La población FTES para 2005-2006 hasta 2010-2011 se dio en un informe actualizado. Los datos se presentan aquí. Año 2005-2006 2006-2007 2007-2008 2008-2009 2009-2010 2010-2011 Total de FTES 1.585 1.690 1.735 1.935 2.021 1.890 Calcule la media, la mediana, la desviación típica, el primer cuartil, el tercer cuartil y el IQR . Redondee a un decimal. media = 1.809,3 mediana = 1.812,5 desviación típica = 151,2 primer cuartil = 1.690 tercer cuartil = 1.935 IQR = 245 Compare el IQR de los FTES de 1976-1977 a 2004-2005 con el IQR de los FTES de 2005-2006 a 2010-2011. ¿Por qué cree que los IQR son tan diferentes? Pista: Piense en el número de años que abarca cada periodo y en lo que ocurrió con la educación superior durante esos periodos. Tres estudiantes solicitaban el ingreso en la misma escuela de posgrado. Venían de escuelas con sistemas de calificación diferentes. ¿Cuál estudiante tiene el mejor GPA en comparación con otros estudiantes de su escuela? Explique cómo ha determinado su respuesta. Estudiante GPA GPA de la escuela Desviación típica de la escuela Thuy 2,7 3,2 0,8 Vichet 87 75 20 Kamala 8,6 8 0,4 Una escuela de música presupuestó la compra de tres instrumentos musicales. Planean comprar un piano que cuesta 3.000 dólares, una guitarra que cuesta 550 dólares y una batería que cuesta 600 dólares. El costo medio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. El costo medio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. El costo medio de la batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? ¿Qué costo es el más elevado en comparación con otros instrumentos del mismo tipo? Justifique su respuesta. En el caso de los pianos, el costo está 0,4 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. En el caso de las guitarras, el costo está 0,25 desviaciones típicas POR ENCIMA de la media. En el caso de la batería, el costo está 1,0 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media. De los tres, la batería es el instrumento que menos cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. La guitarra es la que más cuesta en comparación con el costo de otros instrumentos del mismo tipo. Una clase de escuela primaria corrió una milla con una media de 11 minutos y una desviación típica de tres minutos. Rachel, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. Una clase de escuela secundaria júnior corrió una milla con una media de nueve minutos y una desviación típica de dos minutos. Kenji, un estudiante de la clase, corrió 1 milla en 8,5 minutos. Una clase de escuela secundaria corrió una milla con una media de siete minutos y una desviación típica de cuatro minutos. Nedda, una estudiante de la clase, corrió una milla en ocho minutos. ¿Por qué se considera a Kenji mejor corredor que Nedda, a pesar de que esta corría más rápido que él? ¿Quién es el corredor más rápido con respecto a su clase? Explique por qué. Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en la tabla 14 . Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? ¿Cuál es la desviación típica de las tasas de obesidad indicadas? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cuán “inusual” es la tasa de obesidad de Estados Unidos en comparación con la tasa promedio? Explique. x – = 23,32 Utilizando la TI 83/84, obtenemos una desviación típica de: s x = 12,95. La tasa de obesidad de Estados Unidos es un 10,58 % superior a la tasa promedio de obesidad. Dado que la desviación típica es 12,95, vemos que 23,32 + 12,95 = 36,27 es el porcentaje de obesidad que está a una desviación típica de la media. La tasa de obesidad de Estados Unidos es ligeramente inferior a una desviación típica de la media. Por lo tanto, podemos suponer que Estados Unidos, aunque tenga un 34 % de obesos, no tiene un porcentaje inusualmente alto de personas obesas. La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuáles intervalos podrían considerarse inusuales? Explique. Resúmalo todo Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes: N.º de películas Frecuencia 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Calcule la media muestral x – . Calcule la desviación típica aproximada de la muestra, s . 1,48 1,12 Se preguntó a cuarenta estudiantes seleccionados al azar el número de pares de zapatillas que tenían. Supongamos que X = el número de pares de zapatillas que tienen. Los resultados son los siguientes: X Frecuencia 1 2 2 5 3 8 4 12 5 12 6 0 7 1 Calcule la media muestral x – Calcule la desviación típica de la muestra, s Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Calcule el primer cuartil. Calcule la mediana. Calcule el tercer cuartil. ¿Qué porcentaje de estudiantes tenía al menos cinco pares? Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 90 . Construya un gráfico de líneas de los datos Construya un diagrama de tallo de los datos A continuación se muestran los pesos publicados (en libras) de todos los miembros del equipo de los San Francisco 49ers de un año anterior. 177; 205; 210; 210; 232; 205; 185; 185; 178; 210; 206; 212; 184; 174; 185; 242; 188; 212; 215; 247; 241; 223; 220; 260; 245; 259; 278; 270; 280; 295; 275; 285; 290; 272; 273; 280; 285; 286; 200; 215; 185; 230; 250; 241; 190; 260; 250; 302; 265; 290; 276; 228; 265 Organice los datos de menor a mayor valor. Calcule la mediana. Calcule el primer cuartil. Calcule el tercer cuartil. El 50 % de los pesos son de _______ a _______. Si nuestra población fueran todos los jugadores de fútbol americano profesionales, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Si nuestra población incluyera a todos los miembros del equipo que alguna vez jugaron con los San Francisco 49ers, ¿los datos anteriores serían una muestra de pesos o la población de pesos? ¿Por qué? Supongamos que la población fuera los 49ers de San Francisco. Calcule: la media de la población, μ . la desviación típica de la población, σ . el peso que está dos desviaciones típicas por debajo de la media. Cuando Steve Young, mariscal de campo, jugaba fútbol americano pesaba 205 libras. ¿Cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media estaba? Ese mismo año, el peso medio de los Dallas Cowboys era de 240,08 libras con una desviación típica de 44,38 libras. Emmit Smith pesó 209 libras. Con respecto a su equipo, ¿quién era más liviano, Smith o Young? ¿Cómo determinó su respuesta? 174; 177; 178; 184; 185; 185; 185; 185; 188; 190; 200; 205; 205; 206; 210; 210; 210; 212; 212; 215; 215; 220; 223; 228; 230; 232; 241; 241; 242; 245; 247; 250; 250; 259; 260; 260; 265; 265; 270; 272; 273; 275; 276; 278; 280; 280; 285; 285; 286; 290; 290; 295; 302 241 205,5 272,5 205,5, 272,5 muestra población 236,34 37,50 161,34 0,84 de desviación típica por debajo de la media Young Cien maestros asistieron a un seminario sobre resolución de problemas matemáticos. Se midieron las actitudes de una muestra representativa de 12 de los maestros antes y después del seminario. Un número positivo para el cambio de actitud indica que la actitud del maestro hacia las Matemáticas se volvió más positiva. Las 12 calificaciones de los cambios son las siguientes: 3 8 -1 2 0 5 -3 1 -1 6 5 -2 ¿Cuál es la puntuación media del cambio? ¿Cuál es la desviación típica de esta población? ¿Cuál es la calificación media de los cambios? Calcule la calificación de cambio que está 2,2 desviaciones típicas por debajo de la media. Consulte la y determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explique su solución a cada parte con oraciones completas. Las medianas de ambos gráficos son iguales. No podemos determinar si alguna de las medias de ambos gráficos es diferente. La desviación típica del gráfico b es mayor que la desviación típica del gráfico a. No podemos determinar si alguno de los terceros cuartiles de ambos gráficos es diferente. Verdadero Verdadero Verdadero Falso En un número reciente de la revista IEEE Spectrum , se anunciaron 84 conferencias de ingeniería. Cuatro conferencias duraron dos días. Treinta y seis duraron tres días. Dieciocho dudaron cuatro días. Diecinueve dudaron cinco días. Cuatro duraron seis días. Una duró siete días. Una duró ocho días. Una duró nueve días. Supongamos que X = la duración (en días) de una conferencia de ingeniería. Organice los datos en un gráfico. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil. Calcule el percentil 65 . Calcule el percentil 10 . El 50 % del centro de las conferencias duran entre _______ y _______. Calcule la media muestral de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la desviación típica de la muestra de los días de conferencias de ingeniería. Calcule la moda. Si estuviera planificando una conferencia de ingeniería, ¿qué elegiría como su duración: la media, la mediana o la moda? Explique por qué tomó esa decisión. Dé dos razones por las que piense que la duración de las conferencias de ingeniería parece ser de tres a cinco días. Una encuesta sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6414; 1550; 2109; 9350; 21828; 4300; 5944; 5722; 2825; 2044; 5481; 5200; 5853; 2750; 10012; 6357; 27000; 9414; 7681; 3200; 17500; 9200; 7380; 18314; 6557; 13713; 17768; 7493; 2771; 2861; 1263; 7285; 28165; 5080; 11622 Organice los datos en un gráfico con cinco intervalos de igual ancho. Identifique las dos columnas “inscripción” y “frecuencia”. Construya un histograma de los datos. Si tuviera que construir un nuevo colegio comunitario, ¿qué información sería más valiosa: la moda o la media? Calcule la media muestral. Calcule la desviación típica de la muestra. Una escuela con una matrícula de 8.000 estudiantes, ¿a cuántas desviaciones típicas de la media se refiere? Inscripción Frecuencia 1.000-5.000 10 5.000-10.000 16 10.000-15.000 3 150.00-20.000 3 20.000-25.000 1 25.000-30.000 2 Compruebe la solución del estudiante. moda 8628,74 6943,88 -0,09 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. X = el número de días a la semana que 100 clientes utilizan un determinado centro de ejercicio. x Frecuencia 0 3 1 12 2 33 3 28 4 11 5 9 6 4 El percentil 80 es _____ 5 80 3 4 El número que está 1,5 desviaciones típicas POR DEBAJO de la media es aproximadamente _____ 0,7 4,8 -2,8 No se puede determinar a Supongamos que una editorial realiza una encuesta en la que pregunta a consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados se resumen en la . N.º de libros Frec. Rel. Frec. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 ¿Existen valores atípicos en los datos? Utilice una prueba numérica adecuada que incluya el IQR para identificar valores atípicos, si los hay, y exponga claramente su conclusión. Si un valor de los datos se identifica como un valor atípico, ¿qué hay que hacer con él? ¿Hay algún valor de los datos que se aleje más de dos desviaciones típicas de la media? En algunas situaciones, los estadísticos pueden utilizar este criterio para identificar valores de datos que son inusuales, en comparación con los demás valores de datos (observe que este criterio es más apropiado para utilizarlo con datos en forma de montículo y simétricos, que con datos distorsionados). ¿Las partes a y c de este problema dan la misma respuesta? Examine la forma de los datos. ¿Qué parte, a o c, de esta pregunta da un resultado más apropiado para estos datos? Según la forma de los datos, ¿cuál es la medida de centro más adecuada para estos datos: media, mediana o moda? Desviación típica número igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media, o el cuadrado de la desviación típica; para un conjunto de datos, una desviación puede representarse como x – x – donde x es un valor de los datos y x – es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.", "section": "Medidas de la dispersión de los datos", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Las lluvias de meteoros son poco comunes, pero se puede calcular la probabilidad de que se produzcan (créditos: Navicore/flickr). A menudo es necesario “estimar” el resultado de un evento para tomar una decisión. Los políticos estudian los sondeos para estimar sus posibilidades de ganar unas elecciones. Los maestros eligen un curso de estudio particular con base en lo que creen que los estudiantes pueden comprender. Los médicos eligen los tratamientos necesarios para las distintas enfermedades con base en su evaluación de los resultados probables. Es posible que haya visitado un casino en el que las personas participan en juegos elegidos por la creencia de que la probabilidad de ganar es buena. Es posible que haya elegido sus estudios según la probable disponibilidad de trabajo. Es más que posible que haya utilizado la probabilidad. De hecho, posiblemente tenga un sentido intuitivo de la probabilidad. La probabilidad se refiere a la posibilidad de que se produzca un evento. Cada vez que sopesa las probabilidades de hacer o no la tarea para la casa o de estudiar para un examen está utilizando la probabilidad. En este capítulo aprenderá a resolver problemas de probabilidad mediante un enfoque sistemático.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Terminología La probabilidad es una medida asociada a la certeza de los resultados de un determinado experimento o actividad. Un experimento es una operación planificada que se realiza en condiciones controladas. Si el resultado no está predeterminado, se dice que el experimento es fortuito . Lanzar una moneda imparcial dos veces es un ejemplo de experimento. El producto de un experimento se llama resultado . El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Tres formas de representar un espacio muestral son: hacer una lista de los posibles resultados, crear un diagrama de árbol o crear un diagrama de Venn. La letra S mayúscula se utiliza para denotar el espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial, S = { H , T } donde H = cara y T = cruz son los resultados. Un evento es cualquier combinación de resultados. Las letras mayúsculas como A y B representan eventos. Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda imparcial, el evento A podría obtener como máximo una cara. La probabilidad de un evento A se escribe P ( A ). La probabilidad de cualquier resultado es la frecuencia relativa a largo plazo de ese resultado. Las probabilidades están comprendidas entre el cero y el uno, ambos inclusive (es decir, el cero y el uno y todos los números entre estos valores). P ( A ) = 0 significa que el evento A no puede ocurrir nunca. P ( A ) = 1 significa que el evento A siempre ocurre. P ( A ) = 0,5 significa que el evento A tiene la misma probabilidad de ocurrir que de no ocurrir. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial repetidamente (de 20 a 2.000 a 20.000 veces) la frecuencia relativa de caras se acerca a 0,5 (la probabilidad de cara). Igual de probable significa que cada resultado de un experimento ocurre con igual probabilidad. Por ejemplo, si se lanza un dado imparcial de seis lados, cada lado (1, 2, 3, 4, 5 o 6) tiene la misma probabilidad de caer que cualquier otro. Si se lanza una moneda imparcial, hay la misma probabilidad de que salga cara ( H ) que de que salga cruz ( T ). Si estima al azar la respuesta a una pregunta de verdadero-falso en un examen, tiene la misma probabilidad de seleccionar una respuesta correcta o una incorrecta. Para calcular la probabilidad de un evento A cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables , cuente el número de resultados del evento A y divídalo entre el número total de resultados del espacio muestral. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial de diez centavos y una moneda justa de cinco centavos, el espacio muestral es { HH , TH , HT , TT } donde T = cruz y H = cara. El espacio muestral tiene cuatro resultados. A = obtener una cara. Hay dos resultados que cumplen esta condición { HT , TH }, por lo que P ( A ) = 2 4 = 0,5. Supongamos que lanza un dado imparcial de seis lados, con los números {1, 2, 3, 4, 5, 6} en sus lados. Supongamos que el evento E = lanzar un número que sea al menos cinco. Hay dos resultados {5, 6}. P ( E ) = 2 6 . Si lanzara el dado solo unas pocas veces, no se sorprendería si los resultados observados no coinciden con la probabilidad. Si se lanzara el dado un gran número de veces, se esperaría eso, en general, 2 6 de las lanzadas daría un resultado de “al menos cinco”. No se puede esperar exactamente 2 6 . La frecuencia relativa a largo plazo de obtener este resultado se acerca a la probabilidad teórica de 2 6 a medida que el número de repeticiones aumenta. Esta importante característica de los experimentos probabilísticos se conoce como la ley de los grandes números , que establece que, a medida que aumenta el número de repeticiones de un experimento, la frecuencia relativa obtenida tiende a acercarse cada vez más a la probabilidad teórica. Aunque los resultados no se produzcan según un patrón u orden determinado, en general, la frecuencia relativa observada a largo plazo se acerca a la probabilidad teórica (a menudo se utiliza la palabra empírica en vez de la palabra observado). Es importante darse cuenta de que, en muchas situaciones, los resultados no son igualmente probables. Una moneda o un dado pueden ser desiguales o sesgados . Dos profesores de Matemáticas de Europa hicieron que sus estudiantes de Estadística probaran la moneda belga de un euro y descubrieron que, en 250 ensayos, se obtenía una cara el 56 % de las veces y una cruz el 44 %. Los datos parecen mostrar que la moneda no es imparcial; más repeticiones serían útiles para obtener una conclusión más precisa sobre dicho sesgo. Algunos dados pueden estar sesgados. Observe los dados de un juego que tenga en casa; los puntos de cada lado suelen ser pequeños agujeros tallados y luego pintados para que sean visibles. Sus dados pueden o no estar sesgados; es posible que los resultados se vean afectados por las ligeras diferencias de peso debido al diferente número de agujeros en las caras. Los casinos ganan mucho dinero dependiendo de los resultados de los dados, por lo que los dados de los casinos se fabrican de forma diferente para eliminar el sesgo. Los dados de casino tienen lados planos; los agujeros se rellenan completamente con pintura de la misma densidad que el material del que están hechos los dados, de modo que cada cara tiene la misma probabilidad de ocurrir. Más adelante aprenderemos técnicas para trabajar con probabilidades para eventos que no son igualmente probables. \" ∪ ” Evento: La Unión Un resultado es en el caso A ∪ B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B . Por ejemplo, supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4, 5, 6, 7, 8}. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Observe que el 4 y el 5 NO aparecen dos veces en la lista. \" ∩ ” Evento: La intersección Un resultado es en el caso A ∩ B si el resultado está en A y B al mismo tiempo. Por ejemplo, que A y B sean {1, 2, 3, 4, 5} y {4, 5, 6, 7, 8}, respectivamente. Entonces A ∩ B = {4, 5}. El complemento del evento A se denomina A′ (léase “ A prima”). A′ consiste en todos los resultados que NO están en A . Observe que P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Por ejemplo, supongamos que S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que A = {1, 2, 3, 4}. Entonces, A′ = {5, 6}. P ( A ) = 4 6 , P ( A′ ) = 2 6 y P ( A ) + P ( A′ ) = 4 6 + 2 6 = 1 La probabilidad condicional de A dada B se escribe P ( A | B ). P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. Un condicional reduce el espacio muestral . Calculamos la probabilidad de A a partir del espacio muestral reducido B . La fórmula para calcular P ( A | B ) es P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) donde P ( B ) es mayor que cero. Por ejemplo, supongamos que lanzamos un dado imparcial de seis lados. El espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que A = el lado es 2 o 3 y B = el lado es par (2, 4, 6). Para calcular P ( A | B ), contamos el número de resultados 2 o 3 en el espacio muestral B = {2, 4, 6}. Luego lo dividimos entre el número de resultados B (en vez de S ). Obtenemos el mismo resultado utilizando la fórmula. Recuerde que S tiene seis resultados. P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = ( el número de resultados que son 2 o 3 o par en S ) 6 ( el número de resultados que son pares en S ) 6 = 1 6 3 6 = 1 3 Posibilidad Las probabilidades de un evento presentan la probabilidad como un cociente entre el éxito y el fracaso. Esto es común en varios formatos de juego. Matemáticamente, la posibilidad de un evento se define como: P ( A ) 1 – P ( A ) donde P ( A ) es la probabilidad de éxito y, por supuesto, 1 − P ( A ) es la probabilidad de fracaso. La posibilidad se expresa siempre como \"numerador a denominador\", por ejemplo: 2 a 1. En este caso, la probabilidad de ganar es el doble de la de perder; por ende, la probabilidad de ganar es de 0,66. Un 0,60 en la probabilidad de ganar generaría la posibilidad a favor de ganar de 3 a 2. Aunque el cálculo de la posibilidad pudiera servir en los locales de juegos de azar para determinar el monto del pago, es inútil para entender ni la probabilidad ni la teoría estadística. Entender la terminología y los símbolos Es importante leer detenidamente cada problema para reflexionar y comprender los eventos. Entender el enunciado es el primer paso muy importante para resolver problemas de probabilidad. Vuelva a leer el problema varias veces si es necesario. Identifique claramente el evento de interés. Determine si hay una condición establecida en el enunciado que indique que la probabilidad es condicional; identifique cuidadosamente la condición, si la hay. El espacio muestral S son los números enteros a partir de uno y menores de 20. S = _____________________________ Supongamos que el evento A = los números pares y el evento B = los números mayores de 13. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A ∩ B = ____________________, A O B = ________________ P ( A ∩ B ) = _________, P ( A ∪ B ) = _____________ A′ = _____________, P ( A′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, B = {14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ) = 9 19 , P ( B ) = 6 19 A ∩ B = {14,16,18}, A O B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19} P ( A ∩ B ) = 3 19 , P ( A ∪ B ) = 12 19 A′ = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; P ( A′ ) = 10 19 P ( A ) + P ( A′ ) = 1 ( 9 19 + 10 19 = 1) P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 3 6 , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) P ( A ) = 3 9 , No Ejercicio El espacio muestral S son todos los pares ordenados de dos números enteros, el primero de uno a tres y el segundo de uno a cuatro (ejemplo: (1, 4)). S = _____________________________ Supongamos que el evento A = la suma es par y el evento B = el primer número es primo. A = _____________________, B = _____________________ P ( A ) = _____________, P ( B ) = ________________ A ∩ B = ____________________, A ∪ B = ________________ P ( A ∩ B ) = _________, P ( A ∪ B ) = _____________ B′ = _____________, P ( B′ ) = _____________ P ( A ) + P ( A′ ) = ____________ P ( A | B ) = ___________, P ( B | A ) = _____________; ¿las probabilidades son iguales? S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} A = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3)} B = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} P ( A ) = 1 2 , P ( B ) = 2 3 A ∩ B = {(2,2), (2,4), (3,1), (3,3)} A ∪ B = {(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)} P ( A ∩ B ) = 1 3 , P ( A ∪ B ) = 5 6 B′ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4)}, P ( B′ ) = 1 3 P ( B ) + P ( B′ ) = 1 P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 1 2 , P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 2 3 , No. Se lanza un dado imparcial de seis lados. Describa el espacio muestral S , identifique cada uno de los siguientes eventos con un subconjunto de S y calcule su probabilidad (un resultado es el número de puntos que aparecen). Evento T = el resultado es dos. Evento A = el resultado es un número par. Evento B = el resultado es inferior a cuatro. El complemento de A . A | B B | A A ∩ B A ∪ B A ∪ B′ Evento N = el resultado es un número primo. Evento I = el resultado es siete. T = {2}, P ( T ) = 1 6 A = {2, 4, 6}, P ( A ) = 1 2 B = {1, 2, 3}, P ( B ) = 1 2 A′ = {1, 3, 5}, P ( A′ ) = 1 2 A | B = {2}, P ( A | B ) = 1 3 B | A = {2}, P ( B | A ) = 1 3 A ∩ B = {2}, P ( A ∩ B ) = 1 6 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}, P ( A ∪ B ) = 5 6 A ∪ B′ = {2, 4, 5, 6}, P (A ∪ B′ ) = 2 3 N = {2, 3, 5}, P ( N ) = 1 2 Un dado de seis lados no tiene siete puntos. P (7) = 0. La describe la distribución de una muestra aleatoria S de 100 personas, organizada por sexo y por si son diestras o zurdas. Diestro Zurdo Hombres 43 9 Mujeres 44 4 Denotamos los eventos M = el sujeto es hombre, F = el sujeto es mujer, R = el sujeto es diestro, L = el sujeto es zurdo. Calcule las siguientes probabilidades: P ( M ) P ( F ) P ( R ) P ( L ) P ( M ∩ R ) P ( F ∩ L ) P ( M ∪ F ) P ( M ∪ R ) P ( F ∪ L ) P ( M' ) P ( R | M ) P ( F | L ) P ( L | F ) P ( M ) = 0,52 P ( F ) = 0,48 P ( R ) = 0,87 P ( L ) = 0,13 P ( M ∩ R ) = 0,43 P ( F ∩ L ) = 0,04 P ( M ∪ F ) = 1 P ( M ∪ R ) = 0,96 P ( F ∪ L ) = 0,57 P ( M' ) = 0,48 P ( R | M ) = 0,8269 (redondeado a cuatro decimales) P ( F | L ) = 0,3077 (redondeado a cuatro decimales) P ( L | F ) = 0,0833 Referencias “Lista de países por continente”. Worldatlas, 2013. Disponible en línea en http://www.worldatlas.com/cntycont.htm (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido la terminología básica de la probabilidad. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral. Los eventos son subconjuntos del espacio muestral y se les asigna una probabilidad que es un número entre cero y uno, ambos inclusive. Revisión de la fórmula A y B son eventos P ( S ) = 1 donde S es el espacio muestral 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) En una determinada clase de un instituto universitario hay estudiantes hombres y mujeres. Algunos estudiantes tienen el cabello largo y otros tienen el cabello corto. Escriba los símbolos de las probabilidades de los eventos de las partes de la a a la j (tenga en cuenta que aquí no puede hallar respuestas numéricas. Todavía no se le ha dado suficiente información para hallar ningún valor de probabilidad; concéntrese en entender los símbolos). Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que M es el evento en el que un estudiante es hombre. Supongamos que S es el evento en el que un estudiante tiene el cabello corto. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante no tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre o tenga el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea una mujer y tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante sea hombre, dado que el estudiante tiene el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo, dado que el estudiante es hombre. De todas las estudiantes mujeres, la probabilidad de que una estudiante tenga el cabello corto. De todos los estudiantes con cabello largo, la probabilidad de que un estudiante sea mujer. La probabilidad de que un estudiante sea mujer o tenga el cabello largo. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar sea un hombre con el cabello corto. La probabilidad de que un estudiante sea mujer. P ( L′ ) = P ( S ) P ( M ∪ S ) P ( F ∩ L ) P ( M | L ) P ( L | M ) P ( S | F ) P ( F | L ) P ( F ∪ L ) P ( M ∩ S ) P ( F ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Una caja está llena de varios regalos de fiesta. Contiene 12 sombreros, 15 pitos, diez trampas para dedos y cinco bolsas de confeti. Se elegirá al azar un regalo de fiesta de la caja. Supongamos que H = el evento de sacar un sombrero. Supongamos que N = el evento de sacar un pito. Supongamos que F = el evento de sacar una trampa para dedos. Supongamos que C = el evento de sacar una bolsa de confeti. Calcule P ( H ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 15 42 = 5 14 = 0,36 Calcule P ( F ). Calcule P ( C ). P ( C ) = 5 42 = 0,12 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Una jarra de 150 gominolas contiene 22 rojas, 38 amarillas, 20 verdes, 28 moradas, 26 azules y el resto son anaranjadas. Se saca de la caja una gominola al azar. Supongamos que B = el evento de sacar una gominola azul. Supongamos que G = el evento de sacar una gominola verde. Supongamos que O = el evento de sacar una gominola anaranjada. Supongamos que P = el evento de sacar una gominola morada. Supongamos que R = el evento de sacar una gominola roja. Supongamos que Y = el evento de sacar una gominola amarilla. Calcule P ( B ). Calcule P ( G ). P ( G ) = 20 150 = 2 15 = 0,13 Calcule P ( P ). Calcule P ( R ). P ( R ) = 22 150 = 11 75 = 0,15 Calcule P ( Y ). Calcule P ( O ). P ( O ) = 150 – 22 – 38 – 20 – 28 – 26 150 = 16 150 = 8 75 = 0,11 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. Hay 23 países en América del Norte, 12 en América del Sur, 47 en Europa, 44 en Asia, 54 en África y 14 en Oceanía (región del Océano Pacífico). Supongamos que A = el evento en el que un país esté en Asia. Supongamos que E = el evento en el que un país esté en Europa. Supongamos que F = el evento en el que un país esté en África. Supongamos que N = el evento en el que un país esté en América del Norte. Supongamos que O = el evento en el que un país esté en Oceanía. Supongamos que S = el evento en el que un país esté en América del Sur. Calcule P ( A ). Calcule P ( E ). P ( E ) = 47 194 = 0,24 Calcule P ( F ). Calcule P ( N ). P ( N ) = 23 194 = 0,12 Calcule P ( O ). Calcule P ( S ). P ( S ) = 12 194 = 6 97 = 0,06 ¿Cuál es la probabilidad de sacar una carta roja en un mazo estándar de 52 cartas? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un trébol en un mazo estándar de 52 cartas? 13 52 = 1 4 = 0,25 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número par de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número primo de puntos con un dado imparcial de seis lados numerados del uno al seis? 3 6 = 1 2 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted ve un juego en una feria local. Tiene que lanzar un dardo a una rueda de colores. Cada sección de la rueda de color es de igual área. Supongamos que B = el evento de acertar al azul. Supongamos que R = el evento de acertar al rojo. Supongamos que G = el evento de acertar al verde. Supongamos que Y = el evento de acertar al amarillo. Si cae en Y , se lleva el premio mayor. Calcule P ( Y ). Si cae en rojo, no recibe premio. ¿Qué es P ( R )? P ( R ) = 4 8 = 0,5 Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. En un equipo de béisbol, hay jugadores de campo y jardineros. Algunos jugadores son grandes bateadores y otros no. Supongamos que I = el evento en el que un jugador es un jugador de campo. Supongamos que O = el evento en el que un jugador sea jardinero. Supongamos que H = el evento en el que un jugador sea un gran bateador. Supongamos que N = el evento en el que un jugador no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador no sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un jardinero o un gran bateador. P ( O ∪ H ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo y no sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea un gran bateador, dado que el jugador es un jugador de campo. P ( H | I ) Escriba los símbolos para la probabilidad de que un jugador sea un jugador de campo, dado que el jugador es un gran bateador. Escriba los símbolos para la probabilidad de que, de todos los jardineros, un jugador no sea un gran bateador. P ( N | O ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que, de todos los grandes bateadores, un jugador sea jardinero. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo o no sea un gran bateador. P ( I ∪ N ) Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jardinero y sea un gran bateador. Escriba los símbolos de la probabilidad de que un jugador sea jugador de campo. P ( I ) ¿Cómo se denomina el conjunto de todos los resultados posibles? ¿Qué es la probabilidad condicional? La probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro. En una estantería caben 12 libros. Ocho son de ficción y el resto no lo son. Cada uno es un libro diferente con un título único. Los libros de ficción están numerados del uno al ocho. Los libros que no son de ficción están numerados del uno al cuatro. Seleccione al azar un libro. Supongamos que F = evento en el que el libro es de ficción Supongamos que N = evento en el que el libro no es de ficción ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es la suma de las probabilidades de un evento y su complemento? 1 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Usted está lanzando un cubo numérico imparcial de seis lados. Supongamos que E = el evento en el que caiga en un número par. Supongamos que M = el evento en el que caiga en un múltiplo de tres. ¿Qué significa P ( E | M ) en palabras? ¿Qué significa P ( E ∪ M ) en palabras? la probabilidad de caer en un número par o en un múltiplo de tres Tarea para la casa El gráfico de la muestra el tamaño de la muestra y los porcentajes de personas de diferentes grupos de edad y sexo que fueron consultadas sobre su aprobación de las acciones del alcalde Ford en el cargo. El número total de la muestra de todos los grupos de edad es de 1.045. Defina tres eventos en el gráfico. Describa con palabras lo que significa la entrada 40. Describa con palabras el complemento de la entrada de la pregunta 2. Describa con palabras lo que significa la entrada 30. De los hombres y las mujeres, ¿qué porcentaje son hombres? De las mujeres, ¿qué porcentaje desaprueba al alcalde Ford? De todos los grupos de edad, ¿qué porcentaje aprueba al alcalde Ford? Calcule P (Aprueba | Hombre). De los grupos de edad, ¿qué porcentaje tiene más de 44 años? Calcule P (Aprueba | Edad < 35). Explique qué es incorrecto en las siguientes afirmaciones. Utilice oraciones completas. Si hay un 60 % de probabilidad de lluvia el sábado y un 70 % de probabilidad de lluvia el domingo, entonces hay un 130 % de probabilidad de lluvia durante el fin de semana. La probabilidad de que un jugador de béisbol batee un jonrón es mayor que la probabilidad de que haga un batazo imparable. No se puede calcular la probabilidad conjunta conociendo la probabilidad de que se produzcan ambos eventos, que no está en la información dada; las probabilidades deben multiplicarse, no sumarse; y la probabilidad nunca es superior al 100 % Un jonrón, por definición, es un batazo imparable exitoso, así que debe tener, al menos, tantos batazos imparables exitosos como jonrones. Probabilidad condicional la probabilidad de que un evento ocurra dado que otro evento ya ha ocurrido Igual de probable cada resultado de un experimento tiene la misma probabilidad Evento un subconjunto del conjunto de todos los resultados de un experimento; el conjunto de todos los resultados de un experimento se denomina espacio muestral y se suele denotar por una S . Un evento es un subconjunto arbitrario en S . Puede contener un resultado, dos resultados, ningún resultado (subconjunto vacío), todo el espacio muestral y similares. Las anotaciones estándar para los eventos son letras mayúsculas como A , B , C , etc. Experimento una actividad planificada y realizada en condiciones controladas Resultado un producto particular de un experimento Probabilidad un número entre cero y uno, inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico; el fundamento de la estadística viene dado por los siguientes 3 axiomas (por A. N. Kolmogorov, década de los años 30 del siglo XX): Supongamos que S es el espacio muestral y A y B son dos eventos en S . Entonces 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B). P ( S ) = 1 Espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento La intersección: el evento ∩ un resultado es en el caso A ∩ B si el resultado está en ambos A ∩ B al mismo tiempo. Complemento del evento el complemento del evento A consiste en todos los resultados que NO están en A . La probabilidad condicional de que A | B P ( A | B ) es la probabilidad de que ocurra el evento A dado que el evento B ya ha ocurrido. La Unión: el evento ∪ un resultado es en el caso A ∪ B si el resultado está en A o está en B o está tanto en A como en B .", "section": "Terminología", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Eventos mutuamente excluyentes e independientes Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo. Eventos independientes Dos eventos son independientes si uno de los siguientes es cierto: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes . El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo . Con reemplazo : si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda. Sin reemplazo : cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes. Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario . Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. a. Muestreo con reemplazo: Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son { Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas. b. Muestreo sin reemplazo: Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son { K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. La probabilidad de elegir el tres de diamantes se llama probabilidad condicional porque está condicionada a lo que se haya elegido primero. Esto es cierto también para la probabilidad de elegir la J de picas. La probabilidad de elegir la J de picas está realmente condicionada a las dos elecciones anteriores. Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. Se sacan tres cartas al azar. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y Q de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y J de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Con reemplazo No Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP , 1 D , 1 T , QD . Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC , 7 D , 6 D , KC . ¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo? a. Sin reemplazo; b. Con reemplazo Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que se muestrean cuatro cartas sin reemplazo. ¿Cuál de los siguientes resultados es posible? Responda la misma pregunta para el muestreo con reemplazo. QP , 1 D , 1 T , QD KC , 7 D , 6 D , KC QP , 7 D , 6 D , KP sin reemplazo: 1. Es posible; 2. Imposible, 3. Posible con reemplazo: 1. Es posible; 2. Es posible, 3. Posible Eventos mutuamente excluyentes A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho de otra manera, si A ocurrió entonces B no puede ocurrir y viceversa. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P ( A ∩ B ) = 0 . Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A ∩ B = {4, 5}. P ( A ∩ B ) = 2 10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P ( A ∩ C ) = 0 . Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes. Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario . Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos. Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento). El espacio muestral es { HH , HT , TH , TT } donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH , HT , TH y TT . Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara. Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como { HH , HT , TH }. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno. Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como { TT }. B es el complemento de A , por lo que B = A′ . Además, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Las probabilidades para A y para B son P ( A ) = 3 4 y P ( B ) = 1 4 . Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = { HH }. Dado que B = { TT }, P ( B ∩ C ) = 0 . B y C son mutuamente excluyentes. ( B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo). Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = { TT }. P ( D ) = 1 4 Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = { HT , HH }. P ( E ) = 2 4 Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = { HT , TH , TT }. P ( F ) = 3 4 Ejercicio Saque dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas con reemplazo. Calcule la probabilidad de obtener una carta negra como mínimo. Ejercicio Soluciones El espacio muestral de tomar dos cartas con reemplazo de un mazo estándar de 52 cartas con respecto al color [B: black (negro) y R: red (rojo] es { BB , BR , RB , RR }. Evento A = Obtener al menos una carta negra = { BB , BR , RB } P ( A ) = 3 4 = 0,75 Lance dos monedas imparciales Calcule las probabilidades de los eventos. Supongamos que F = el evento de obtener como máximo una cruz (cero o una cruz). Supongamos que G = el evento de obtener dos caras iguales. Supongamos que H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o una cruz en el segundo lanzamiento. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? Supongamos que J = el evento de obtener siempre cruces. ¿ J y H son mutuamente excluyentes? Observe el espacio muestral en el . Cero (0) o una (1) cruz se producen cuando aparecen los resultados HH , TH , HT . P ( F ) = 3 4 Dos lados son iguales si aparece HH o TT . P ( G ) = 2 4 Una cara en la primera lanzada seguida de una cara o cruz en la segunda lanzada ocurre cuando aparece HH o HT . P ( H ) = 2 4 F y G comparten HH así que P ( F ∩ G ) no es igual a cero (0). F y G no son mutuamente excluyentes. Obtener siempre cruces se produce cuando aparecen cruces en ambas monedas ( TT ). Los resultados de H son HH y HT . J y H no tienen nada en común así que P ( J ∩ H ) = 0. J y H son mutuamente excluyentes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: Supongamos que F = el evento de obtener la pelota blanca dos veces. Supongamos que G = el evento de obtener dos pelotas de colores diferentes. Supongamos que H = el evento de obtener blanco en la primera elección. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? ¿ G y H son mutuamente excluyentes? P ( F ) = 1 4 P ( G ) = 1 2 P ( H ) = 1 2 Sí No Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}. Calcule el complemento de A , A′ . El complemento de A , A′ , es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Además, P ( A ) = 3 6 y P ( B ) = 3 6 . Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4} P ( C ∩ D ) = 0 porque no se puede tener una cara par y otra impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes. Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}. ¿ C y E son eventos mutuamente excluyentes? (Responda sí o no). ¿Por qué sí o por qué no? No. C = {3, 5} y E = {1, 2, 3, 4}. P ( C ∩ E ) = 1 6 . Para poder ser mutuamente excluyentes, P ( C ∩ E ) debe ser cero. Halle P ( C | A ) . Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar P ( C | A ) , calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A . Ha reducido el espacio muestral del original espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Así que, P ( C | A ) = 2 3 . Ejercicio Supongamos que el evento A = aprender español. Supongamos que el evento B = aprender alemán. Entonces A ∩ B = aprender español y alemán. Supongamos que P ( A ) = 0,4 y P ( B ) = 0,2 . P ( A ∩ B ) = 0,08 . ¿Los eventos A y B son independientes? Pista: Debe demostrar UNO de los siguientes aspectos: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 0, 08 0,2 = 0 0,4 = P ( A ) Los eventos son independientes porque P ( A | B ) = P ( A ). Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G ∩ H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que P ( G ) = 0,6 , P ( H ) = 0,5 y P ( G ∩ H ) = 0,3 . ¿ G y H son independientes? Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas: P ( G | H ) = P ( G ) P ( H | G ) = P ( H ) P ( G ∩ H ) = P ( G ) P ( H ) NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Puede elegir cualquiera de los métodos aquí porque tiene la información necesaria. a. Demuestre que P ( G | H ) = P ( G ) . P ( G | H ) = P ( G ∩ H ) P ( H ) = 0 0,3 0 0,5 = 0,6 = P ( G ) b. Demuestre que P ( G ∩ H ) = P ( G ) P ( H ) . P ( G ) P ( H ) = ( 0,6 ) ( 0,5 ) = 0,3 = P ( G ∩ H ) Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para la práctica, demuestre que P ( H | G ) = P ( H ) para demostrar que G y H son eventos independientes. Ejercicio En una bolsa hay seis canicas rojas y cuatro verdes. Las canicas rojas están marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las canicas verdes están marcadas con los números 1, 2, 3 y 4. R = una canica roja (red) G = una canica verde (green) O = una canica impar (odd) El espacio muestral es S = { R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, G 1, G 2, G 3, G 4}. S tiene diez resultados. ¿Cuál es el P ( G ∩ O ) ? Evento G y O = { G 1, G 3} P ( G ∩ O ) = 2 10 = 0,2 Supongamos que el evento C = tomar una clase de Inglés. Supongamos que el evento D = tomar una clase de oratoria. Supongamos que P ( C ) = 0,75 , P ( D ) = 0,3 , P ( C | D ) = 0,75 y P ( C ∩ D ) = 0,225 . Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas. ¿ C y D son independientes? ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Cuál es el P ( D | C ) ? Sí, porque P ( C | D ) = P ( C ) . No, porque P ( C ∩ D ) no sea igual a cero. P ( D | C ) = P ( C ∩ D ) P ( C ) = 0 0,225 0,75 = 0,3 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40 , P ( D ) = 0,30 y P ( B ∩ D ) = 0,20 . Halle P ( B | D ) . Calcule P ( D | B ) . ¿ B y D son independientes? ¿ B y D son mutuamente excluyentes? P ( B | D ) = 0,6667 P ( D | B ) = 0,5 No No En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta. Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even). El espacio muestral S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. S tiene ocho resultados. P ( R ) = 3 8 . P ( B ) = 5 8 . P ( R ∩ B ) = 0 . (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez). P ( E ) = 3 8 . (Hay tres cartas con números pares, R 2, B 2 y B 4). P ( E | B ) = 2 5 . (Hay cinco tarjetas azules: B 1, B 2, B 3, B 4 y B 5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B 2 y B 4). P ( B | E ) = 2 3 . (Hay tres tarjetas con números pares: R 2, B 2 y B 4. De las tarjetas pares, dos son azules; B 2 y B 4). Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque P ( R ∩ B ) = 0 . Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = { B 4, B 5}. P ( G ) = 2 8 . Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = { B 1, B 2, B 3, B 4}. P ( G | H ) = 1 4 . (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B 4). Dado que 2 8 = 1 4 , P ( G ) = P ( G | H ) , lo que significa que G y H son independientes. Ejercicio En un estadio de baloncesto, El 70 % de los aficionados apoyan al equipo local. El 25 % de los aficionados están vestidos de color azul. El 20 % de los aficionados están vestidos de color azul y animan al equipo visitante. El 67 % de los aficionados que apoyan al equipo visitante están vestidos de color azul. Supongamos que A es el evento en el que un aficionado apoya al equipo visitante. Supongamos que B es el evento en el que un aficionado esté vestido de color azul. ¿Los eventos de animar al equipo visitante y vestir de color azul son eventos independientes? ¿Son mutuamente excluyentes? P ( B | A ) = 0,67 P ( B ) = 0,25 Así que P ( B ) no es igual a P ( B | A ) lo que significa que B y A no son independientes (vestir de azul y animar al equipo visitante no son independientes). Tampoco son mutuamente excluyentes, porque P ( B ∩ A ) = 0,20 , diferente de 0. En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes? En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades: P ( F ) = 0,60 ; P ( L ) = 0,50 P ( F ∩ L ) = 0,45 P ( L | F ) = 0,75 NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P ( F | L ), por lo que no puede utilizar la segunda condición. Compruebe si P ( F ∩ L ) = P ( F ) P ( L ) . Dado que P ( F ∩ L ) = 0,45 , pero P ( F ) P ( L ) = ( 0,60 ) ( 0,50 ) = 0,30 . El hecho de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P ( F ∩ L ) no es igual a P ( F ) P ( L ) . Compruebe si P ( L | F ) es igual a P ( L ) . Dado que P ( L | F ) = 0,75 , pero P ( L ) = 0,50 ; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes. Interpretación de los resultados Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo. Ejercicio Mark está decidiendo qué ruta tomar para ir al trabajo. Sus opciones son la I = Interestatal y la F = Fifth Street P ( I ) = 0,44 y P ( F ) = 0,56 P ( I ∩ F ) = 0 porque Mark solo tomará una ruta para ir al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de P ( I ∪ F ) ? Dado que P ( I ∩ F ) = 0 , P ( I ∪ F ) = P ( I ) + P ( F ) – P ( I ∩ F ) = 0,44 + 0,56 – 0 = 1 Lanza una moneda imparcial (la moneda tiene dos caras, H y T ). Los resultados son ________. Cuente los resultados. Hay ____ resultados. Lanza un dado imparcial de seis caras (el dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en una cara). Los resultados son ________________. Cuente los resultados. Hay ___ resultados. Multiplique los dos números de los resultados. La respuesta es _______. Si se lanza una moneda justa y se sigue con el lanzamiento de un dado justo de seis caras, la respuesta a c es el número de resultados (tamaño del espacio muestral). ¿Cuáles son los resultados? (Pista: dos de los resultados son H 1 y T 6). Evento A = cara ( H ) en la moneda seguida de un número par (2, 4, 6) en el dado. A = {_________________}. Calcule P ( A ). Evento B = cara en la moneda seguida de un tres en el dado. B = {________}. Calcule P ( B ). ¿ A y B son mutuamente excluyentes? (Pista: ¿Cuál es el P ( A ∩ B ) ? Si P ( A ∩ B ) = 0 , entonces A y B son mutuamente excluyentes). ¿ A y B son independientes? (Pista: ¿Es P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) ? Si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , entonces A y B son independientes. Si no es así, entonces son dependientes). H y T ; 2 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6 2(6) = 12 T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6 A = { H 2, H 4, H 6}; P ( A ) = 3 12 B = { H 3}; P ( B ) = 1 12 Sí, porque P ( A ∩ B ) = 0 P ( A ∩ B ) = 0 . P ( A ) P ( B ) = ( 3 12 ) . P ( A ∩ B ) no es igual a P ( A ) P ( B ) , así que A y B son dependientes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Supongamos que T es el evento de obtener la pelota blanca dos veces, F el evento de sacar la pelota blanca primero y S el evento de sacar la pelota blanca en la segunda extracción. Calcule P ( T ) . Calcule P ( T | F ) . ¿ T y F son independientes?. ¿ F y S son mutuamente excluyentes? ¿ F y S son independientes? P ( T ) = 1 4 P ( T | F ) = 1 2 No No Sí Referencias Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes. Revisión de la fórmula Si A y B son independientes, P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A | B ) = P ( A ) y P ( B | A ) = P ( B ) . Si A y B son mutuamente excluyentes, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) y P ( A ∩ B ) = 0 . E y F son eventos mutuamente excluyentes. P ( E ) = 0,4 ; P ( F ) = 0,5 . Calcule P ( E ∣ F ) . J y K son eventos independientes. P ( J | K ) = 0,3 . Calcule P ( J ) . P ( J ) = 0,3 U y V son eventos mutuamente excluyentes. P ( U ) = 0,26; P ( V ) = 0,37. Calcule: P ( U ∩ V ) = P ( U | V ) = P ( U ∪ V ) = Q y R son eventos independientes. P ( Q ) = 0,4 y P ( Q ∩ R ) = 0,1 . Calcule P ( R ) . P ( Q ∩ R ) = P ( Q ) P ( R ) 0,1 = (0,4) P ( R ) P ( R ) = 0,25 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. Entre enero y diciembre de 2012, Gallup entrevistó a más de 170.000 estadounidenses de 18 años o más con empleo. El gráfico que se muestra está elaborado a partir de datos recogidos por Gallup. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional. Calcule la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 82,7. Calcule la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 81,0. 0 Halle la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea superior a 81 Calcule la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada esté entre 80,5 y 82 0,3571 Si sabemos que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada es de 81,5 o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 82,7? ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 80,7 u 82,7? 0,2142 ¿Cuál es la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea inferior a 80,2 dado que ya es inferior a 81? ¿Qué ocupación tiene la calificación más alta del índice emocional? Médico (83,7) ¿Qué ocupación tiene la calificación más baja del índice emocional? ¿Cuál es el rango de los datos? 83,7 − 79,6 = 4,1 Calcule el promedio de la Calificación del Índice de Salud Emocional (Emotional Health Index Score, EHIS). Si todas las ocupaciones son igualmente probables para una determinada persona, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una ocupación con un EHIS inferior al promedio? P (ocupación < 81,3) = 0,5 Resúmalo todo Un año antes, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilan en la . N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 290≤ 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Si tener un número de camisa del uno al 33 y pesar como máximo 210 libras fueran eventos independientes, entonces, ¿qué debería ser cierto sobre P (N.º de camisa 1–33|≤ 210 libras)? La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba arroje un resultado de cáncer cuando no lo tiene) es de 0,51. Algunas de las siguientes preguntas no tienen suficiente información para responderlas. Escriba “no hay suficiente información” en esas respuestas. Supongamos que C = un hombre desarrolla cáncer en su vida y P = el hombre tiene al menos un falso positivo. P ( C ) = ______ P ( P | C ) = ______ P ( P | C' ) = ______ Si una prueba da positivo, con base en los valores numéricos, ¿se puede asumir que ese hombre tiene cáncer? Justifique numéricamente y explique por qué sí o por qué no. P ( C ) = 0,4567 no hay suficiente información no hay suficiente información No, porque más de la mitad (0,51) de los hombres tienen, al menos, una prueba con resultado falso positivo. Dados los eventos G y H : P ( G ) = 0,43; P ( H ) = 0,26 P ( H ∩ G ) = 0,14 Halle P ( H ∪ G ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H ∩ G ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H ∪ G ) . Dados los eventos J y K : P ( J ) = 0,18 ; P ( K ) = 0,37 ; P ( J ∪ K ) = 0,45 Halle P ( J ∩ K ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J ∩ K ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J ∩ K ) . ( J ∪ K ) = P ( J ) + P ( K ) – P ( J ∩ K ) ; 0,45 = 0,18 + 0,37 – P ( J ∩ K ) ; resuelva para hallar P ( J ∩ K ) = 0,10 P ( NO ( J ∩ K ) ) = 1 – P ( J ∩ K ) = 1 – 0,10 = 0,90 P ( NO ( J ∪ K ) ) = 1 – P ( J ∪ K ) = 1 – 0,45 = 0,55 Eventos dependientes si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes Muestreo con reemplazo si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Muestreo sin reemplazo cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez.", "section": "Eventos mutuamente excluyentes e independientes", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Dos reglas básicas de la probabilidad Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no. La regla de multiplicación Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral , entonces P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A | B ) . Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra \"y\". Esta regla también puede escribirse como: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Esta ecuación se lee como la probabilidad de A dado que B es igual a la probabilidad de A y B dividido entre la probabilidad de B . Si A y B son independientes , entonces P ( A | B ) = P ( A ) . Entonces P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) se convierte en P ( A ∩ B ) = P ( A ) ( B ) porque el P ( A | B ) = P ( A ) si A y B son independientes. Una forma fácil de recordar la regla de la multiplicación es que la palabra \"y\" significa que el evento tiene que satisfacer dos condiciones. Por ejemplo, el nombre extraído de la lista de la clase debe ser tanto una mujer como un estudiante de segundo año. Es más difícil satisfacer dos condiciones que una sola y, por supuesto, cuando multiplicamos fracciones el resultado es siempre menor. Esto refleja la creciente dificultad de satisfacer dos condiciones. La regla de adición Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) . Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra \"o\". La razón por la que restamos la intersección de A y B es para no contar dos veces los elementos que están en A y B . Si A y B se excluyen mutuamente , entonces P ( A ∩ B ) = 0 . Entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) se convierte en P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . Klaus está tratando de elegir dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son: A = Nueva Zelanda y B = Alaska Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad de que elija A es P ( A ) = 0,6 y la probabilidad de que elija B es P ( B ) = 0,35. P ( A ∩ B ) = 0 porque Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. Por lo tanto, la probabilidad de que elija Nueva Zelanda o Alaska es P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,6 + 0,35 = 0,95 . Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún sitio de vacaciones debe ser de 0,05. Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P ( A ) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P ( B ) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol | que haga el primer gol es 0,90. ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles? ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo? ¿ A y B son independientes? ¿ A y B son mutuamente excluyentes? El problema le pide que halle P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ) . Dado que P (B | A ) = 0,90: P ( B ∩ A ) = P (B | A ) P (A ) = (0,90)(0,65) = 0,585 Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585. El problema le pide que halle P (A ∪ B ). P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) = 0,65 + 0,65 - 0,585 = 0,715 Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715. No, no lo son, porque P (B ∩ A ) = 0,585. P ( B ) P ( A ) = (0,65)(0,65) = 0,423 0,423 ≠ 0,585 = P (B ∩ A ) Por lo tanto, P ( B ∩ A ) no es igual a P ( B ) P ( A ). No, no lo son porque P ( A ∩ B ) = 0,585. Para que sean mutuamente excluyentes, P ( A ∩ B ) debe ser igual a cero. Ejercicio Helen juega baloncesto. En cuanto a los tiros libres, acierta el tiro el 75 % de las veces. Helen debe intentar ahora dos tiros libres. C = el evento en el que Helen anota el primer tiro. P ( C ) = 0,75. D = el evento en el que Helen anota el segundo tiro. P ( D ) = 0,75. La probabilidad de que Helen anote el segundo tiro libre dado que anotó el primero es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen anote ambos tiros libres? P ( D | C ) = 0,85 P ( C ∩ D ) = P ( D ∩ C ) P ( D ∩ C ) = P ( D | C ) P ( C ) = (0,85)(0,75) = 0,6375 Helen lanza el primer y el segundo tiro libre con una probabilidad de 0,6375. Un equipo de natación comunitario tiene 150 miembros. Setenta y cinco de los miembros son nadadores avanzados. Cuarenta y siete son nadadores intermedios. El resto son nadadores principiantes. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces por semana. Treinta de los nadadores de nivel intermedio practican cuatro veces por semana. Diez de los nadadores principiantes practican cuatro veces por semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador principiante? ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces por semana? ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces por semana? ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Ser un nadador principiante y practicar cuatro veces a la semana son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? 28 150 80 150 40 150 P (avanzado ∩ intermedio) = 0, por lo que son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo. No, no son eventos independientes. P (novato ∩ practica cuatro veces por semana) = 0,0667 P (novato) P (practica cuatro veces por semana) = 0,0996 0,0667 ≠ 0,0996 Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año se tome un año sabático? P = 200 – 140 – 40 200 = 20 200 = 0,1 Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de Matemáticas es de 0,2 y la probabilidad de que lo haga en una clase de Oratoria es de 0,65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de Matemáticas | que se inscriba en la clase de Oratoria es de 0,25. Supongamos que: M = clase de Matemáticas, S = clase de Oratoria, M | S = discurso matemático dado ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en Matemáticas y Oratoria? Calcule P ( M ∩ S ) = P ( M | S ) P ( S ). ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de Matemáticas o de Oratoria? Calcule P ( M ∪ S ) = P ( M ) + P ( S ) - P ( M ∩ S ). ¿ M y S son independientes? ¿Es P ( M | S ) = P ( M )? ¿ M y S son mutuamente excluyentes? ¿Es P ( M ∩ S ) = 0? a. 0,1625, b. 0,6875, c. No, d. No Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos los eventos B = el estudiante pide un libro prestado y D = el estudiante pide un DVD prestado. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B ∩ D ). Calcule P ( B ∪ D ). P ( B ∩ D ) = P ( D | B ) P ( B ) = (0,5)(0,4) = 0,20. P ( B ∪ D ) = P ( B ) + P ( D ) - P ( B ∩ D ) = 0,40 + 0,30 - 0,20 = 0,50 Los estudios demuestran que una de cada siete mujeres (aproximadamente el 14,3 %) que viven hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de las mujeres que desarrollan cáncer de mama el resultado de la prueba es negativo en el 2 % de las ocasiones. Supongamos también que en la población general de mujeres, el resultado de la prueba de cáncer de mama es negativo en el 85 % de las ocasiones. Supongamos que B = la mujer desarrolla cáncer de mama y supongamos que N = el resultado de la prueba es negativo. Supongamos que se selecciona una mujer al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer obtenga un resultado negativo? Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y el resultado de la prueba sea negativo? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o de que el resultado de la prueba sea negativo? ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son eventos independientes? ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son mutuamente excluyentes? P ( B ) = 0,143; P ( N ) = 0,85 P ( N | B ) = 0,02 P ( B ∩ N ) = P ( B ) P ( N | B ) = (0,143)(0,02) = 0,0029 P ( B ∪ N ) = P ( B ) + P ( N ) - P ( B ∩ N ) = 0,143 + 0,85 - 0,0029 = 0,9901 No. P ( N ) = 0,85; P ( N | B ) = 0,02. Por lo tanto, P ( N | B ) no es igual a P ( N ). No. P ( B ∩ N ) = 0,0029. Para que B y N sean mutuamente excluyentes, P ( B ∩ N ) debe ser cero. Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año vaya al instituto universitario y practique deportes? Supongamos que A = el estudiante está en el último año de la universidad. Supongamos que B = el estudiante hace deporte. P ( B ) = 140 200 P ( B | A ) = 50 140 P ( A ∩ B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ∩ B ) = ( 140 200 ) ( 50 140 ) = 1 4 Consulte la información en el . P = pruebas con resultado positivo. Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( P | B ) = 1 - P ( N | B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( B ∩ P ) = P ( P | B ) P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama? Calcule P ( B′ ) = 1 – P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga un resultado positivo en la prueba de cáncer de mama? Calcule P ( P ) = 1 – P ( N ). a. 0,98; b. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B′ ). Calcule P ( D ∩ B ). Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D ∩ B′ ). Calcule P ( D | B′ ). P ( B′ ) = 0,60 P ( D ∩ B ) = P ( D | B ) P ( B ) = 0,20 P ( B | D ) = P ( B ∩ D ) P ( D ) = ( 0,20 ) (0 0,30) = 0,66 P ( D ∩ B′ ) = P ( D ) - P ( D ∩ B ) = 0,30 - 0,20 = 0,10 P ( D | B′ ) = P ( D ∩ B′ ) P ( B′ ) = ( P ( D ) - P ( D ∩ B ))(0,60) = (0,10)(0,60) = 0,06 Referencias DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). “Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013). Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del Wall Street Journal. Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B , así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A , B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común. Revisión de la fórmula La regla de multiplicación: P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) La regla de adición: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos. En este problema supongamos que: C = californianos (votantes registrados) que prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. L = californianos latinos Supongamos que se selecciona al azar un californiano. Calcule P ( C ). Calcule P ( L ). 0,376 Calcule P ( C | L ). En palabras, ¿qué es C ? | L ? C | L significa que, dado que la persona elegida es un californiano latino, entonces es un votante registrado que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional para una persona condenada por asesinato en primer grado. Calcule P ( L ∩ C ). En palabras, ¿qué es L ∩ C ? L ∩ C es el caso de que la persona elegida sea un votante latino registrado en California que prefiera la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. ¿ L y C son eventos independientes? Demuestre por qué sí o por qué no. Calcule P ( L ∪ C ). 0,6492 En palabras, ¿qué es L ∪ C ? ¿ L y C son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. No, porque P ( L ∩ C ) no es igual a 0. Tarea para la casa El 28 de febrero de 2013, una encuesta de Field Poll informó que el 61 % de los votantes registrados en California aprobaba que se les permitiera a dos personas del mismo sexo casarse y que rigieran las leyes regulares de matrimonio para ellos. Entre los jóvenes de 18 a 39 años (votantes registrados en California), el índice de aprobación fue del 78 %. Seis de cada diez votantes registrados en California dijeron que el próximo fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California era “muy importante” o “algo importante” para ellos. De los votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo, el 75 % dijeron que la sentencia es “importante” para ellos. En este problema, supongamos que: C = votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo. B = votantes registrados en California que dicen que el fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California es “muy importante” o “algo importante” para ellos. A = Votantes registrados en California que tienen entre 18 y 39 años Calcule P ( C ). Calcule P ( B ). Calcule P ( C | A ). Calcule P ( B | C ). En palabras, ¿qué es C ? | ¿A ? En palabras, ¿qué es B | C ? Calcule P ( C ∩ B ). En palabras, ¿qué es C ∩ B ? Calcule P ( C ∪ B ). ¿ C y B son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. Después de que Rob Ford, el alcalde de Toronto, anunciara sus planes de recortar los gastos presupuestarios a finales de 2011, el Forum Research hizo un sondeo entre 1.046 personas para medir su popularidad. Todos los consultados expresaron su aprobación o desaprobación. Estos son los resultados de su sondeo: A principios de 2011, el 60 % de la población aprobaba la actuación del alcalde Ford en el cargo. A mediados de 2011, el 57 % de la población aprobaba sus acciones. A finales de 2011, el porcentaje de aprobación popular se medía en un 42 por ciento. ¿Cuál es el tamaño de la muestra de este estudio? ¿Qué proporción del sondeo desaprueba al alcalde Ford, según los resultados de finales de 2011? ¿Cuántas personas consultadas respondieron que aprobaban al alcalde Ford a finales de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a mediados de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a principios de 2011? Forum Research encuestó a 1.046 toronteses. 58% 42 % de 1.046 = 439 (redondeando al número entero más cercano) 0,57 0,60. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango. (créditos: film8ker/wikibooks). Enumere el espacio muestral de los 38 resultados posibles en la ruleta. Usted apuesta por el rojo. Calcule P (rojo). Apuesta por -1.º 12- (1.ª docena). Calcule P (-1.º 12-). Apuesta por un número par. Calcule P (número par). ¿Obtener un número impar es el complemento de obtener un número par? ¿Por qué? Halle dos eventos mutuamente excluyentes. ¿Los eventos par y 1.ª docena son independientes? Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a dos líneas que se tocan en la mesa como en 1-2-3-4-5-6 Apostar a tres números en una línea, como en 1-2-3 Apostar a un número Apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado, como en 10-11-13-14 Apostar a dos números que se tocan en la mesa, como 10-11 o 10-13 Apostar a 0-00-1-2-3 Apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3 P (apostar a dos líneas que se tocan en la mesa) = 6 38 P (apostar a tres números en una línea) = 3 38 P (apostar a un número) = 1 38 P (apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado) = 4 38 P (apostar a dos números que se tocan en la mesa) = 2 38 P (apostar a 0-00-1-2-3) = 5 38 P (apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3) = 3 38 Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a un color Apostar a uno de los doce grupos Apostar al rango de números del 1 al 18 Apostar al rango de números del 19 al 36 Apostar a una de las columnas Apostar a un número par o impar (excluye el cero) Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cinco cartas verdes están numeradas como 1, 2, 3, 4 y 5. Las tres cartas amarillas están numeradas como 1, 2 y 3. Las cartas están bien barajadas. Saca una carta al azar. G = la carta que sacó es verde E = la carta extraída es par Enumere el espacio muestral. P ( G ) = _____ P ( G | E ) = _____ P ( G ∩ E ) = _____ P ( G ∪ E ) = _____ ¿ G y E son mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente. { G 1, G 2, G 3, G 4, G 5, Y 1, Y 2, Y 3} 5 8 2 3 2 8 6 8 No, porque P ( G ∩ E ) no es igual a 0. Lanza dos dados imparciales por separado. Cada dado tiene seis caras. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de un número par. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que la suma de las dos lanzadas sea como máximo siete. Calcule P ( B ). En palabras, explique qué representa \" P ( A | B )\". Calcule P ( A | B ). ¿ A y B son eventos mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. ¿ A y B son eventos independientes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Un mazo especial tiene diez cartas. Cuatro son verdes, tres azules y tres rojas. Cuando se elige una carta se registra su color. El experimento consiste en elegir primero una carta y luego lanzar una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que se elija primero una carta azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que se elija una roja o una verde seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Supongamos que C es el evento para que se elija una roja o una azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y C son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. NOTA El lanzamiento de la moneda es independiente de la carta que se sacó primero. {( G , H ) ( G , T ) ( B , H ) ( B , T ) ( R , H ) ( R , T )} P ( A ) = P (azul) P (cara) = ( 3 10 ) ( 1 2 ) = 3 20 Sí, A y B son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo; no puede elegir una carta que sea azul y también (roja o verde). P ( A ∩ B ) = 0 No, A y C no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo. De hecho, C incluye todos los resultados de A ; si la carta que se sacó es azul, también lo es (roja o azul). P ( A ∩ C ) = P ( A ) = 3 20 El experimento consiste en lanzar primero un dado y luego una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de que salga una cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. El experimento consiste en lanzar una moneda de cinco centavos, una de diez y una de veinticinco. Nos interesa el lado en el que cae la moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que haya dos cruces como mínimo. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta con una o tres oraciones completas incluida la justificación. S = {( HHH ), ( HHT ), ( HTH ), ( HTT ), ( THH ), ( THT ), ( TTH ), ( TTT )} 4 8 Sí, porque si se ha producido A , es imposible obtener dos cruces. En otras palabras, P ( A ∩ B ) = 0. Considere el siguiente escenario: Supongamos que P ( C ) = 0,4. Supongamos que P ( D ) = 0,5. Supongamos que P ( C | D ) = 0,6 Calcule P ( C ∩ D ). ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿ C y D son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule P ( C ∪ D ). Calcule P ( D | C ). Y y Z son eventos independientes. Reescriba la regla básica de adición P ( Y ∪ Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y ∩ Z ) utilizando la información de que Y y Z son eventos independientes. Utilice la regla reescrita para calcular P ( Z ) si P ( Y ∪ Z ) = 0,71 y P ( Y ) = 0,42. Si Y y Z son independientes, entonces P ( Y ∩ Z ) = P ( Y ) P ( Z ), por lo que P ( Y ∪ Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y ) P ( Z ). 0,5 G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = 0,5 P ( H ) = 0,3 Explique por qué la siguiente afirmación DEBE ser falsa: P ( H | G ) = 0,4. Halle P ( H ∪ G ). ¿ G y H son eventos independientes o dependientes? Explique en una oración completa. En Estados Unidos viven 281.000.000 de personas mayores de cinco años aproximadamente. De estas personas, 55.000.000 hablan una lengua distinta del inglés en casa. De los que hablan otro idioma en casa, el 62,3 % habla español. Supongamos que: E = habla inglés en casa; E′ = habla otro idioma en casa; S = habla español; Termine cada enunciado de probabilidad y haga coincidir la respuesta correcta. Declaraciones de probabilidad Respuestas a. P ( E′ ) = i. 0,8043 b. P ( E ) = ii. 0,623 c. P ( S ∩ E′ ) = iii. 0,1957 d. P ( S | E′ ) = iv. 0,1219 iii i iv ii En 1994, el gobierno de EE. UU. convocó un sorteo para expedir 55.000 tarjetas verdes (permisos para que los que no son ciudadanos puedan trabajar legalmente en EE. UU.). Renate Deutsch, de Alemania, fue una de las aproximadamente 6,5 millones de personas que participaron en este sorteo. Supongamos que G = obtener la tarjeta verde. ¿Qué posibilidades tenía Renate de obtener la tarjeta verde? Escriba su respuesta en forma de declaración de probabilidad. En el verano de 1994, Renate recibió una carta en la que se le comunicaba que era una de las 110.000 finalistas elegidas. Una vez elegidos los finalistas, suponiendo que cada uno de ellos tuviera las mismas posibilidades de obtenerla, ¿cuál era la probabilidad de Renate de obtener una tarjeta verde? Escriba su respuesta como una declaración de probabilidad condicional. Supongamos que F = ser finalista. ¿ G y F son eventos independientes o dependientes? Justifique su respuesta numéricamente y explique también por qué. ¿ G y F son eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente y explique por qué. Tres profesores de la Universidad George Washington hicieron un experimento para determinar si los economistas son más interesados que otras personas. Dejaron caer 64 sobres con sello y dirección con 10 dólares en efectivo en diferentes aulas del campus de George Washington. Se devolvió el 44 % en total. De las clases de Economía se devolvió el 56 % de los sobres. De las clases de Negocios, Psicología e Historia se devolvió el 31 %. Supongamos que: R = dinero devuelto; E = clases de Economía; O = otras clases Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje global de dinero devuelto. Escriba un enunciado de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las clases de Economía. Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las otras clases. ¿La devolución del dinero es independientemente de la clase? Justifique su respuesta numéricamente y explíquela. Basándose en este estudio, ¿cree que los economistas son más interesados que otras personas? Explique por qué sí o por qué no. Incluya números para justificar su respuesta. P ( R ) = 0,44 P ( R | E ) = 0,56 P ( R | O ) = 0,31 No, el hecho de que se devuelva el dinero no es independiente de la clase en la que se haya colocado el dinero. Hay varias formas de justificar esto matemáticamente; una de ellas es que el dinero colocado en las clases de economía no se devuelve a la misma tasa global; P ( R | E ) ≠ P ( R ). No, este estudio definitivamente no apoya esa noción de hecho sino que sugiere lo contrario. El dinero colocado en las aulas de Economía se devolvió en una proporción mayor que el dinero colocado en todas las clases colectivamente; P ( R | E ) > P ( R ). La siguiente tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de los batazos imparables de cuatro jugadores. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón Total de batazos imparables Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 Total 8.471 1.577 583 1.720 12.351 ¿Son eventos independientes “el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron” y “el batazo imparable que es un doble”? Sí, porque P (batazo imparable ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable ejecutado por Hank Aaron). No, porque P (el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) ≠ P (el batazo imparable es un doble) No, porque P (el batazo imparable es ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) ≠ P (el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron). Sí, porque P (el batazo imparable es ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable es un doble). United Blood Services es un banco de sangre que presta servicio a más de 500 hospitales en 18 estados. Según su sitio web, una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Sus datos muestran que el 43 % de las personas tienen sangre del tipo O y el 15 % del factor Rh–; el 52 % de las personas tienen el tipo O o el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona tenga tanto sangre del tipo O como el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona NO tenga ni sangre del tipo O ni el factor Rh–. P (tipo O ∪ Rh-) = P (tipo O) + P (Rh-) - P (tipo O ∩ Rh-) 0,52 = 0,43 + 0,15 - P (tipo O ∩ Rh–);resuelva para hallar P (tipo O ∩ Rh-) = 0,06 El 6 % de las personas tienen sangre del tipo O, Rh– P (NO (tipo O ∩ Rh-)) = 1 - P (tipo O ∩ Rh-) = 1 - 0,06 = 0,94 El 94 % de las personas no tienen sangre del tipo O, Rh– En un instituto universitario, el 72 % de los cursos tienen exámenes finales y el 46 % requieren trabajos de investigación. Supongamos que el 32 % de los cursos tienen un trabajo de investigación y un examen final. Supongamos que F es el evento en el que un curso tiene un examen final. Supongamos que R es el evento en el que un curso requiere un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso tenga un examen final o un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso no tenga NINGUNO de estos dos requisitos. En una caja de galletas variadas, el 36 % tiene chocolate y el 12 % tiene frutos secos. En la caja, el 8 % contiene tanto chocolate como frutos secos. Sean es alérgico al chocolate y a los frutos secos. Calcule la probabilidad de que una galleta contenga chocolate o frutos secos (no puede comerla). Calcule la probabilidad de que una galleta no contenga ni chocolate ni frutos secos (puede comerla). Supongamos que C = el evento en el que la galleta contiene chocolate. Supongamos que N = el evento en el que la galleta contiene frutos secos. P ( C ∪ N ) = P ( C ) + P ( N ) - P ( C ∩ N ) = 0,36 + 0,12 - 0,08 = 0,40 P (NI chocolate NI nueces) = 1 - P ( C ∪ N ) = 1 - 0,40 = 0,60 Un instituto universitario descubre que el 10 % de los estudiantes ha tomado una clase a distancia y que el 40 % de los estudiantes es a tiempo parcial. De los estudiantes a tiempo parcial, el 20 % ha tomado una clase a distancia. Supongamos que D = el evento en el que un estudiante tomó una clase a distancia y E = el evento en el que un estudiante es un estudiante a tiempo parcial Calcule P ( D ∩ E ). Calcule P ( E | D ). Calcule P ( D ∪ E ). Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son independientes. Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son mutuamente excluyentes. Eventos independientes la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro evento. Los eventos A y B son independientes si una de las siguientes afirmaciones es cierta: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Mutuamente excluyente dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es cero Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P ( A ∩ B ) = 0.", "section": "Dos reglas básicas de la probabilidad", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Tablas de contingencia y árboles de probabilidad Tablas de contingencia Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera. Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios: Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Total Utiliza el teléfono móvil mientras conduce 25 280 305 No utiliza el teléfono móvil mientras conduce 45 405 450 Total 70 685 755 El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755. Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades. Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado ∩ era usuario de teléfonos móviles). Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil ∪ el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil | el conductor tuvo una infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado | el conductor no era usuario de teléfono móvil) número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755 número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755 280 755 ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755 25 70 (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción). 405 450 (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles). Ejercicio La muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado. Lesión durante el año pasado Ninguna lesión durante el año pasado Total Hace estiramientos 55 295 350 No hace estiramientos 231 219 450 Total 286 514 800 ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio)? ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio | ninguna lesión durante el año pasado)? P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio) = 350 800 = 0,4375 P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio | ninguna lesión durante el año pasado) = 295 514 = 0,5739 La presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 ___ 45 Hombres ___ ___ 14 55 Total ___ 41 ___ ___ a. Rellene la tabla. a. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 11 45 Hombres 16 25 14 55 Total 34 41 25 100 b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes? Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa. Calcule P ( F ∩ C ) . Calcule P ( F ) P ( C ) ¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes. b. P ( F ∩ C ) = 18 100 = 0,18 P ( F ) P ( C ) = ( 45 100 ) ( 34 100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153 P ( F ∩ C ) ≠ P ( F ) P ( C ), por lo que los eventos F y C no son independientes. c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. ¿Qué palabra le dice que es un condicional? Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P (___ | ___) = ___. ¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es? c. La expresión “dado que” indica que se trata de una condición. P ( M | L ) = 25 41 No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos. d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas. Calcule P ( F ). Calcule P ( P ). Calcule P ( F ∩ P ) . Calcule P ( F ∪ P ) . d. P ( F ) = 45 100 P ( P ) = 25 100 P ( F ∩ P ) = 11 100 P ( F ∪ P ) = 45 100 + 25 100 - 11 100 = 59 100 Ejercicio La presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas. Sexo Camino del lago Sendero montañoso Camino arbolado Total Mujeres 45 38 27 110 Hombres 26 52 12 90 Total 71 90 39 200 Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas? ¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes? P ( H | M ) = 52 90 = 0,5778 Para que M y H sean independientes, demuestre que P ( H | M ) = P ( H ) P ( H | M ) = 0,5778, P ( H ) = 90 200 = 0,45 P ( H | M ) no es igual a P ( H ) so M y H NO son independientes. El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es 1 5 y la probabilidad de que no sea atrapado es 4 5 . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es 1 4 y la probabilidad de que no sea atrapado es 3 4 . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es 1 2 y la probabilidad de que no atrape a Muddy es 1 2 . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es 1 3 . Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 ____ No atrapado 4 15 3 12 1 6 ____ Total ____ ____ ____ 1 La primera entrada 1 15 = ( 1 5 ) ( 1 3 ) es P ( Puerta uno ∩ Atrapado ) La entrada 4 15 = ( 4 5 ) ( 1 3 ) es P ( Puerta uno ∩ No atrapado ) Verifique las entradas restantes. a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1. a. Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 19 60 No atrapado 4 15 3 12 1 6 41 60 Total 5 15 4 12 2 6 1 b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy? b. 41 60 c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno ∪ Puerta Dos dado que Muddy es atrapado por Alissa? c. 9 19 La contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU. Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 Año Robo con violencia Robo Violación Vehículo Total 2008 145,7 732,1 29,7 314,7 2009 133,1 717,7 29,1 259,2 2010 119,3 701 27,7 239,1 2011 113,7 702,2 26,8 229,6 Total TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7 Calcule P ( 2009 ∩ Robo con violencia ) . Calcule P ( 2010 ∩ Robo ) . Calcule P ( 2010 ∪ Robo ) . Calcule P (2011 | Violación). Calcule P (Vehículo | 2008). a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575 Ejercicio La relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación. Peso/altura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 Normal 20 51 28 Bajo peso 12 25 9 Totales Calcule el total de cada fila y columna Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso. ¿Los eventos obeso y alto son independientes? Peso/altura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 60 Normal 20 51 28 99 Bajo peso 12 25 9 46 Totales 50 104 51 205 Totales de las filas: 60, 99, 46. Total de las columnas: 50, 104, 51. P (Alto) = 50 205 = 0,244 P ( Obeso ∩ Alto ) = 18 205 = 0,088 P (Alto | Obeso) = 18 60 = 0,3 P (Obeso | Alto) = 18 50 = 0,36 P ( Alto ∩ Bajo peso ) = 12 205 = 0,0585 No. P (Alto) no es igual a P (Alto | Obeso). Diagramas de árbol A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol. En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas ( R ) y ocho azules( B ). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo . “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles. Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121 El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R 1, R 2 y R 3 y cada pelota azul como B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 y B 8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como: R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 2 R 3 R 3 Los demás resultados son similares. Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral . a. Enumere los 24 resultados de RB : B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, ... a. B 1 R 1 B 1 R 2 B 1 R 3 B 2 R 1 B 2 R 2 B 2 R 3 B 3 R 1 B 3 R 2 B 3 R 3 B 4 R 1 B 4 R 2 B 4 R 3 B 5 R 1 B 5 R 2 B 5 R 3 B 6 R 1 B 6 R 2 B 6 R 3 B 7 R 1 B 7 R 2 B 7 R 3 B 8 R 1 B 8 R 2 B 8 R 3 b. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RR ). b. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 3 11 ) = 9 121 c. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RB ∪ BR ) . c. P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) + ( 8 11 ) ( 3 11 ) = 48 121 d. Use el diagrama de árbol y calcule P ( R en la 1.ª extracción ∩ B en la 2.ª extracción ) . d. P ( R en la 1.ª extracción ∩ B en la 2.ª extracción ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) = 24 121 e. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P (R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª extracción). e. P (R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª extracción) = P ( R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª) = 24 88 = 3 11 Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB ). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR . 24 88 = 3 11 . f. Use el diagrama de árbol y calcule P ( BB ). f. P ( BB ) = 64 121 g. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P (B en la 2.ª extracción | R en la primera extracción). g. P (B en la segunda extracción | R en la 1.ª extracción) = 8 11 Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB ). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces 24 33 . Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F ) y 40 cartas no lo son (evento N ). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P ( FF ). El número total de resultados es 144 + 480 + 480 + 1600 = 2704. P ( FF ) = 144 144 + 480 + 480 + 1.600 = 144 2 , 704 = 9 169 En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 . Total = 56 + 24 + 24 + 6 110 = 110 110 = 1 NOTA Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo , de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna. Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol. a. P ( RR ) = ________ a. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 b. Rellene los espacios en blanco: P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + (___)(___) = 48 110 b. P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + ( 8 11 ) ( 3 10 ) = 48 110 c. P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) = c. P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) = 3 10 d. Complete los espacios en blanco. P ( R en la 1.ª ∩ B en la 2.ª ) = (___)(___) = 24 110 d. P ( R en la 1.ª ∩ B en la 2.ª ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) = 24 110 e. Calcule P ( BB ). e. P ( BB ) = ( 8 11 ) ( 7 10 ) f. Halle P ( B en la 2.ª extracción | R en la 1.ª). f. Utilizando el diagrama de árbol, P ( B en la 2.ª | R en la 1.ª) = P ( R | B ) = 8 10 . Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general. P ( R | R ) significa aquí P ( R en la 2.ª | R en la 1.ª) P ( B | R ) significa aquí P ( B en la 2.ª | R en la 1.ª) P ( R | B ) significa aquí P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) P ( B | B ) significa aquí P ( B en la 2.ª| B en la 1.ª) Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura ( F ) y 40 cartas no lo son ( N ). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles. Calcule P ( FN ∪ NF ) . Calcule P ( N | F ). Calcule P (como máximo una carta de figura). Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura. Calcule P (al menos una carta de figura). Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura. P ( FN ∪ NF ) = 480 2.652 + 480 2.652 = 960 2.652 = 80 221 P ( N | F ) = 40 51 P (a lo sumo una carta de figura) = (480 + 480 + 1.560) 2.652 = 2 , 520 2 , 652 P (al menos una carta de figura) = (132 + 480 + 480) 2.652 = 1.092 2.652 Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados? a. ( 1 2 ) ( 1 2 ) b. ( 4 9 ) ( 4 9 ) c. ( 4 9 ) ( 3 8 ) d. ( 4 9 ) ( 5 9 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color? a. ( 4 9 ) ( 5 9 ) b. ( 4 9 ) ( 5 8 ) c. ( 4 9 ) ( 5 9 ) + ( 5 9 ) ( 4 9 ) d. ( 4 9 ) ( 5 8 ) + ( 5 9 ) ( 4 8 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero? ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color? a. c, b. d, c. 4 8 , d. 32 72 Ejercicio Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color? ( 4 7 ) ( 3 6 ) + ( 3 7 ) ( 4 6 ) Referencias “Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013). Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013). “Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. 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Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes. Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas. Diagrama de árbol la útil representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de “árbol” con ramas marcadas por los posibles resultados junto con las probabilidades asociadas (frecuencias, frecuencias relativas, etc.) Tabla de contingencia el método de mostrar una distribución de frecuencias como una tabla con filas y columnas para mostrar cómo dos variables pueden ser dependientes (contingentes) entre sí; la tabla proporciona una manera fácil de calcular probabilidades condicionales.", "section": "Tablas de contingencia y árboles de probabilidad", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Diagramas de Venn Diagramas de Venn Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en un recuadro que representa el espacio muestral S junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan eventos. Los diagramas de Venn también nos ayudan a convertir palabras comunes del idioma en términos matemáticos que ayudan a agregar precisión. Los diagramas de Venn deben su nombre a su inventor, John Venn, profesor de matemáticas en Cambridge y ministro anglicano. Su trabajo principal se llevó a cabo a finales de la década de 1870 y dio lugar a toda una rama de las matemáticas y a una nueva forma de abordar los problemas de lógica. Desarrollaremos las reglas de probabilidad que acabamos de abarcar utilizando esta poderosa forma de demostrar los postulados de la probabilidad, que incluye la regla de la adición, la regla de la multiplicación, la regla del complemento, la independencia y la probabilidad condicional. Supongamos que un experimento tiene los resultados 1, 2, 3, ..., 12 donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y el evento B = {6, 7, 8, 9}. Entonces A interseca a B = A ∩ B = {6} y A unión B = A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. . El diagrama de Venn es el siguiente: La muestra la relación más básica entre estos números. En primer lugar, los números están en grupos llamados conjuntos; conjunto A y conjunto B. Algunos números están en ambos conjuntos; decimos que en el conjunto A ∩ en el conjunto B. La palabra “y” significa inclusivo, es decir, que tiene las características tanto de A como de B, o en este caso, que forma parte tanto de A como de B. Esta condición se llama INTERSECCIÓN de los dos conjuntos. Todos los miembros que forman parte de ambos conjuntos constituyen la intersección de los dos conjuntos. La intersección se escribe como A ∩ B donde ∩ es el símbolo matemático de la intersección. La afirmación A ∩ B se lee como \"A interseca B\". Puede recordarlo pensando en la intersección de dos calles. También están los números que forman un grupo que, para ser miembro, el número debe estar en uno u otro grupo. El número no tiene que estar en AMBOS grupos, sino solamente en uno de los dos. Estos números se llaman la UNIÓN de los dos conjuntos y en este caso son los números 1-5 (de A exclusivamente), 7-9 (del conjunto B exclusivamente) y también el 6, que está en ambos conjuntos A y B. El símbolo de la UNIÓN es ∪ , por lo tanto A ∪ B = los números 1-9, pero excluye los números 10, 11 y 12. Los valores 10, 11 y 12 forman parte del universo, pero no están en ninguno de los dos conjuntos. Traducir la palabra “Y” al símbolo lógico matemático ∩ , intersección, y la palabra \"O\" al símbolo matemático ∪ , la unión, proporciona una forma muy precisa de discutir los temas de la probabilidad y la lógica. La terminología general de las tres áreas del diagrama de Venn en la se muestra en la . Ejercicio Supongamos que un experimento tiene los resultados negro, blanco, rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul y morado, donde cada resultado tiene la misma probabilidad de ocurrir. Supongamos que el evento C = {verde, azul, morado} y el evento P = {rojo, amarillo, azul}. Entonces C ∩ P = {azul} y C ∪ P = {verde, azul, morado, rojo, amarillo} . Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Lance dos monedas imparciales Supongamos que A = cruz en la primera moneda. Supongamos que B = cruz en la segunda moneda. Entonces A = { TT , TH } y B = { TT , HT }. Por lo tanto, A ∩ B = {TT} . A ∪ B = {TH, TT, HT} . El espacio muestral al lanzar dos monedas imparciales es X = { HH , HT , TH , TT }. El resultado HH no es NI A NI B . El diagrama de Venn es el siguiente: Ejercicio Usted lanza un dado imparcial de seis lados. Supongamos que A = se obtiene un número primo de puntos. Supongamos que B = se obtiene un número impar de puntos. Entonces A = {2, 3, 5} y B = {1, 3, 5}. Por lo tanto, A ∩ B = {3, 5} . A ∪ B = {1, 2, 3, 5} . El espacio muestral para lanzar un dado imparcial es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dibuje un diagrama de Venn que represente esta situación. Una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. El cuatro por ciento de los afroamericanos tiene sangre del tipo O y un factor RH negativo, entre el 5 y el 10 % de los afroamericanos tiene el factor Rh– y el 51 % tiene sangre del tipo O. El círculo “O” representa a los afroamericanos con sangre del tipo O. El óvalo “Rh–” representa a los afroamericanos con el factor Rh–. Tomaremos el promedio del 5 % y del 10 % y utilizaremos el 7,5 % como el porcentaje de afroamericanos que tienen el factor Rh–. Supongamos que O = afroamericano con sangre tipo O y R = afroamericano con factor Rh–. P ( O ) = ___________ P ( R ) = ___________ P ( O ∩ R ) = ___________ P ( O ∪ R ) = ____________ En el diagrama de Venn, describa con una oración completa la zona de solapamiento. En el diagrama de Venn, describa con una oración completa el área que se encuentra en el rectángulo pero fuera del círculo y del óvalo. a. 0,51; b. 0,075; c. 0,04; d. 0,545; e. El área representa a los afroamericanos que tienen sangre del tipo O y el factor Rh–. f. La zona representa a los afroamericanos que no tienen sangre del tipo O ni el factor Rh–. El cuarenta por ciento de los estudiantes de un instituto universitario local pertenece a un club y el 50 % trabaja a tiempo parcial. El cinco por ciento de los estudiantes trabaja a tiempo parcial y pertenece a un club. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que C = el estudiante pertenece a un club y PT = el estudiante trabaja a tiempo parcial. Si se selecciona un estudiante al azar, calcule la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club. P ( C ) = 0,40 la probabilidad de que el estudiante trabaje a tiempo parcial. P ( PT ) = 0,50 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club Y trabaje a tiempo parcial P ( C ∩ PT ) = 0,05 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club dado que el estudiante trabaja a tiempo parcial. P ( C | P T ) = P ( C ∩ P T ) P ( P T ) = 0,05 0,50 = 0,1 la probabilidad de que el estudiante pertenezca a un club o trabaje a tiempo parcial P ( C ∪ PT ) = P ( C ) + P ( PT ) – P ( C ∩ PT ) = 0,40 + 0,50 – 0,05 = 0,85 Para resolver el tuvimos que recurrir al concepto de probabilidad condicional de la sección anterior. Allí utilizamos diagramas de árbol para seguir los cambios en las probabilidades, porque el espacio muestral cambiaba a medida que dibujábamos sin reemplazo. En resumen, la probabilidad condicional es la posibilidad de que algo ocurra dado que algún otro evento ya ha ocurrido. Dicho de otro modo, la probabilidad de que algo ocurra condicionada a la situación de que otra cosa también sea cierta. En el la probabilidad P ( C | PT ) es la probabilidad condicional de que el estudiante extraído al azar sea socio del club, condicionada al hecho de que el estudiante también trabaje a tiempo parcial. Esto nos permite ver la relación entre los diagramas de Venn y los postulados de probabilidad. Ejercicio El cincuenta por ciento de los trabajadores de una fábrica tiene un segundo empleo, el 25 % tiene un cónyuge que también trabaja, el 5 % tiene un segundo empleo y un cónyuge que también trabaja. Dibuje un diagrama de Venn que muestre las relaciones. Supongamos que W = trabaja en un segundo empleo y S = el cónyuge también trabaja. Ejercicio En una librería, la probabilidad de que el cliente compre una novela es de 0,6, y la de que compre un libro que no es de ficción es de 0,4. Supongamos que la probabilidad de que el cliente compre ambos es de 0,2. Dibuje un diagrama de Venn que represente la situación. Halle la probabilidad de que el cliente compre una novela o un libro que no sea de ficción. En el diagrama de Venn describa con una oración completa la zona de solapamiento. Supongamos que algunos clientes solo compran discos compactos. Dibuje un óvalo en su diagrama de Venn que represente este evento. a. y d. En el siguiente diagrama de Venn, el óvalo azul representa a los clientes que compran una novela, el óvalo rojo a los que compran productos que no son de ficción y el óvalo amarillo a los que compran discos compactos. b. P (novela o no ficción) = P (Azul ∪ Rojo) = P (Azul) + P (Rojo) - P (Azul ∩ Rojo) = 0,6 + 0,4 - 0,2 = 0,8. c. La zona de superposición del óvalo azul y el óvalo rojo representa a los clientes que compran tanto una novela como un libro que no sea de ficción. Se observa un conjunto de 20 perros pastores alemanes. 12 son machos, 8 son hembras, 10 tienen alguna coloración marrón y 5 tienen algunas secciones blancas de pelaje. Responda lo siguiente utilizando los diagramas de Venn. Dibuje un diagrama de Venn que muestre simplemente los conjuntos de perros machos y hembras. El siguiente diagrama de Venn demuestra la situación de eventos mutuamente excluyentes en la que los resultados son eventos independientes. Si un perro no puede ser a la vez macho y hembra, entonces no hay intersección. Ser macho excluye ser hembra y ser hembra excluye ser macho: en este caso, el sexo característico es, por tanto, mutuamente excluyente. Un diagrama de Venn muestra esto como dos conjuntos sin intersección. Se dice que la intersección es el conjunto nulo utilizando el símbolo matemático ∅. Dibuje un segundo diagrama de Venn que ilustre que 10 de los perros machos tienen coloración marrón. El siguiente diagrama de Venn muestra la superposición entre macho y marrón en el que se coloca el número 10. Esto representa Macho ∩ Marrón : macho y marrón. Es la intersección de estas dos características. La unión de macho y marrón, entonces es simplemente las dos áreas circuladas menos la superposición. En términos adecuados, Macho ∪ Marrón = Macho + Marrón – Macho ∩ Marrón nos dará el número de perros en la unión de estos dos conjuntos. Si no restáramos la intersección, habríamos contado dos veces algunos de los perros. Ahora dibuje una situación que represente un escenario en el que la región no sombreada represente \"Sin pelaje blanco y hembra\", o pelaje blanco′ ∩ Hembra. El primo arriba de “pelaje\" indica “sin pelaje blanco”. El primo por encima de un conjunto significa que no está en ese conjunto, por ejemplo A ′ significa que no A . A veces, la notación utilizada es una línea por encima de la letra. Por ejemplo, A ¯ = A ′ . La regla de la suma de probabilidades Antes conocimos la regla de la adición, pero sin la ayuda de los diagramas de Venn. Los diagramas de Venn ayudan a visualizar el proceso de recuento inherente al cálculo de la probabilidad. Para reafirmar la regla de la suma de probabilidades: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Recuerde que la probabilidad es simplemente la proporción de los objetos que nos interesan en relación con el número total de objetos. Por eso podemos ver la utilidad de los diagramas de Venn. El muestra cómo podemos utilizar los diagramas de Venn para contar el número de perros en la unión de marrón y macho recordándonos que hay que restar la intersección de marrón y macho. Podemos ver el efecto de esto directamente en las probabilidades en la regla de adición. Tomemos una muestra de 50 estudiantes que están en una clase de estadística. 20 son de primer año y 30 de segundo. 15 estudiantes obtienen una \"B\" en el curso, y 5 estudiantes obtienen una \"B\" y son de primer año. Halle la probabilidad de seleccionar un estudiante que obtenga una \"B\" o que sea de primer año. Estamos traduciendo la palabra O el símbolo matemático de la regla de adición, que es la unión de los dos conjuntos. Sabemos que hay 50 estudiantes en nuestra muestra, por lo que conocemos el denominador de nuestra fracción para darnos la probabilidad. Solo tenemos que hallar el número de estudiantes que cumplen las características que nos interesan, es decir, cualquier estudiante de primer año y cualquier estudiante que haya obtenido una calificación de \"B\". Con la regla de adición de la probabilidad, podemos pasar directamente a las probabilidades. Supongamos que \"A\" = el número de estudiantes de primer año y \"B\" = la calificación de \"B\". A continuación, podemos ver el proceso para utilizar los diagramas de Venn para resolver esto. La P ( A ) = 20 50 = 0,40 , P ( B ) = 15 50 = 0,30 y P ( A ∩ B ) = 5 50 = 0,10 . Por lo tanto, P ( A ∩ B ) = 0,40 + 0,30 – 0,10 = 0,60 . Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, como en el ejemplo en el que diagramamos los perros macho y hembra, la regla de adición se simplifica a solo P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – 0 . Esto es cierto porque, como vimos antes, la unión de eventos mutuamente excluyentes es el conjunto nulo, ∅. Los siguientes diagramas lo demuestran. La regla de la multiplicación de la probabilidad Reformulando la regla de multiplicación de la probabilidad utilizando la notación de los diagramas de Venn, tenemos: P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) ⋅ P ( B ) La regla de la multiplicación puede modificarse con un poco de álgebra en la siguiente regla condicional. A continuación, se pueden utilizar diagramas de Venn para demostrar el proceso. La regla condicional: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Utilizando los mismos datos del de arriba, halle la probabilidad de que alguien obtenga una \"B\" si es un \"novato\". P ( A | B ) = 0,10 0,30 = 1 3 La regla de multiplicación también debe modificarse si los dos eventos son independientes. Los eventos independientes se definen como una situación en la que la probabilidad condicional es simplemente la probabilidad del evento de interés. Formalmente, la independencia de los eventos se define como P ( A | B ) = P ( A ) o P ( B | A ) = P ( B ) . Al lanzar monedas, el resultado de la segunda tirada es independiente del resultado de la primera; las monedas no tienen memoria. La regla de multiplicación de la probabilidad para eventos independientes pasa a ser: P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) Una forma fácil de recordar esto es considerar lo que queremos decir con la palabra \"y\". Vemos que la regla de multiplicación ha traducido la palabra \"y\" a la notación Venn para intersección. Por lo tanto, el resultado debe cumplir las dos condiciones de primer año y nota de \"B\" en el ejemplo anterior. Es más difícil, menos probable, cumplir dos condiciones que una sola o alguna otra. Podemos intentar ver la lógica de la regla de la multiplicación de la probabilidad debido a que las fracciones multiplicadas entre sí se hacen más pequeñas. El desarrollo de las reglas de la probabilidad con el uso de los diagramas de Venn puede mostrarse como una ayuda al querer calcular probabilidades a partir de datos dispuestos en una tabla de contingencia. La es de una muestra de 200 personas a las que se les preguntó por su nivel de estudios. Las columnas representan la educación más alta que completaron y las filas separan a los individuos por hombres y mujeres. Menos de un grado de escuela secundaria Graduado de la escuela secundaria Algunos años de educación universitaria Graduado universitario Total Hombres 5 15 40 60 120 Mujeres 8 12 30 30 80 Total 13 27 70 90 200 Ahora, podemos utilizar esta tabla para responder a preguntas de probabilidad. Los siguientes ejemplos están diseñados para ayudar a entender el formato anterior, al tiempo que conectan los conocimientos con los diagramas de Venn y las reglas de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada haya terminado la universidad y sea mujer? Se trata de una tarea sencilla que consiste en hallar el valor en el que se cruzan las dos características en la tabla y, a continuación, aplicar el postulado de la probabilidad, que establece que la probabilidad de un evento es la proporción de resultados que coinciden con el evento en el que estamos interesados como proporción de todos los resultados posibles totales. P ( graduado universitario ∩ mujer ) = 30 200 = 0,15 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar a una mujer o a alguien que haya terminado la universidad? Esta tarea implica el uso de la regla de la suma para resolver esta probabilidad. P ( graduado universitario ∪ Mujer ) = P (F ) + P ( CG )- P ( F ∩ CG ) P ( graduado universitario ∪ mujer ) = 80 200 + 90 200 – 30 200 = 140 200 = 0,70 ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un graduado de secundaria si solo seleccionamos del grupo de hombres? Aquí debemos utilizar la regla de la probabilidad condicional (la regla de la multiplicación modificada) para resolver esta probabilidad. P ( Graduación escuela secundaria | Hombre = P ( Graduado de escuela secundaria ∩ Hombres ) P ( Hombres ) = ( 15 200 ) ( 120 200 ) = 15 120 = 0,125 ¿Podemos concluir que el nivel de educación alcanzado por estas 200 personas es independiente del sexo de la persona? Hay dos maneras de abordar esta prueba. El primer método trata de comprobar si la intersección de dos eventos es igual al producto de los eventos por separado recordando que si dos eventos son independientes entonces P ( A )* P ( B ) = P ( A ∩ B ). Para simplificar, podemos utilizar los valores calculados anteriormente. ¿P(Graduado universitario) ∩ Mujer) = P(Graduado universitario) ⋅ P(M)? 30 200 ≠ 90 200 ⋅ 80 200 porque 0,15 ≠ 0,18. Por lo tanto, aquí el sexo y la educación no son independientes. El segundo método consiste en comprobar si la probabilidad condicional de A dado B es igual a la probabilidad de A . De nuevo, para simplificar, podemos utilizar un valor ya calculado anteriormente. ¿P(Graduado de escuela secundaria | Hombre) = P(Graduado de escuela secundaria)? 15 120 ≠ 27 200 porque 0,125 ≠ 0,135. Por lo tanto, de nuevo el sexo y la educación no son independientes. Repaso del capítulo Un diagrama de Venn es una imagen que representa los resultados de un experimento. Generalmente consiste en una caja que representa el espacio muestral S o universo de los objetos de interés junto con círculos u óvalos. Los círculos u óvalos representan grupos de eventos llamados conjuntos. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar la ∪ de eventos, la ∩ de eventos, y el complemento de un evento y para entender las probabilidades condicionales. Un diagrama de Venn es especialmente útil para visualizar una Intersección de dos eventos, una Unión de dos eventos o un Complemento de un evento. Un sistema de diagramas de Venn también puede ayudar a entender las probabilidades condicionales. Los diagramas de Venn conectan el cerebro y los ojos haciendo coincidir la aritmética literal con una imagen. Es importante señalar que se necesita más de un diagrama de Venn para resolver las fórmulas de reglas de probabilidad introducidas en la Sección 3.3 . Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. La muestra una muestra aleatoria de músicos y cómo aprendieron a tocar sus instrumentos. Sexo Autodidacta Estudió en la escuela Instrucción privada Total Mujeres 12 38 22 72 Hombres 19 24 15 58 Total 31 62 37 130 Calcule P (el músico es una mujer). Halle P (el músico es un hombre ∩ tuvo instrucción privada). P (el músico es un hombre ∩ tuvo instrucción privada) = 15 130 = 3 26 = 0,12 Halle P (el músico es una mujer ∪ es autodidacta). ¿Los eventos “ser una mujer música” y “aprender música en la escuela” son eventos mutuamente excluyentes? Los eventos no son mutuamente excluyentes. Es posible ser una mujer música que aprendió música en la escuela. La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba dé un resultado de cáncer cuando el hombre no lo tiene) es de 0,51. Supongamos que: C = un hombre desarrolla un cáncer en su vida; P = el hombre tiene, al menos, un falso positivo. Construya un diagrama de árbol de la situación. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un artículo en la New England Journal of Medicine , informó sobre un estudio de fumadores en California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla con los datos proporcionados. Hábito de fumar por grupo étnico Nivel de hábito de fumar Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos TOTALES 1-10 11-20 21-30 31 o más TOTALES Supongamos que se selecciona al azar una persona del estudio. Calcule la probabilidad de que la persona haya fumado de 11 a 20 cigarrillos al día. 35.065 100.450 Calcule la probabilidad de que la persona sea latina. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano Y que fume de 21 a 30 cigarrillos al día”. Además, encuentra la probabilidad. Elegir a una persona del estudio que sea japonés americano Y que fume entre 21 y 30 cigarrillos al día significa que la persona tiene que cumplir ambos criterios: ser japonés americano y fumar entre 21 y 30 cigarrillos. El espacio muestral debe incluir a todas las personas del estudio. La probabilidad es 4.715 100.450 . En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano ∪ fuma de 21 a 30 cigarrillos al día\" Además, encuentra la probabilidad. En palabras, explique qué significa elegir una persona del estudio que sea “japonés americano | esa persona fuma de 21 a 30 cigarrillos al día\" Además, encuentra la probabilidad. Elegir una persona del estudio que sea japonés americano dado que fuma entre 21 y 30 cigarrillos al día, significa que la persona debe cumplir ambos criterios y el espacio muestral se reduce a los que fuman entre 21 y 30 cigarrillos al día. La probabilidad es 4715 15.273 . Demostrar que el hábito de fumar/día y la etnia son eventos dependientes. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cartas están bien barajadas. Supongamos que toma al azar dos cartas, una a la vez, con reemplazo . Supongamos que G 1 = la primera carta es verde Supongamos que G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Halle P ( G 1 ∩ G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Halle P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. P ( GG ) = ( 5 8 ) ( 5 8 ) = 25 64 P (al menos una verde) = P ( GG ) + P ( GY ) + P ( YG ) = 25 64 + 15 64 + 15 64 = 55 64 P ( G | G ) = 5 8 Sí, son independientes porque la primera carta se vuelve a colocar en la bolsa antes de que se extraiga la segunda; la composición de las cartas en la bolsa sigue siendo la misma desde la primera hasta la segunda extracción. Supongamos que saca al azar dos cartas, una a la vez, sin reemplazo . G 1 = la primera carta es verde G 2 = la segunda carta es verde Dibuje un diagrama de árbol de la situación. Halle P ( G 1 ∩ G 2 ). Calcule P (al menos una verde). Halle P ( G 2 | G 1 ). ¿ G 2 y G 1 son eventos independientes? Explique por qué sí o por qué no. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. El porcentaje de conductores de EE. UU. con licencia (de un año reciente) que son mujeres es del 48,60. De las mujeres, el 5,03 % tienen 19 años o menos; el 81,36 % tienen entre 20 y 64 años; el 13,61 % tienen 65 años o más. De los conductores hombres con licencia en EE. UU., el 5,04 % tiene 19 años o menos; el 81,43 % tiene entre 20 y 64 años; el 13,53 % tiene 65 años o más. Complete lo siguiente. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Calcule P (el conductor es una mujer). Calcule P (conductor de 65 años o más | la conductora es mujer). Calcule P (conductor de 65 años o más ∩ mujer). En palabras, explique la diferencia entre las probabilidades de la parte c y la parte d. Calcule P (el conductor tiene 65 años o más). ¿Ser mayor de 65 años y ser mujer son eventos mutuamente excluyentes? ¿Cómo lo sabe? <20 20–64 >64 Totales Mujer 0,0244 0,3954 0,0661 0,486 Hombres 0,0259 0,4186 0,0695 0,514 Totales 0,0503 0,8140 0,1356 1 P ( F ) = 0,486 P (>64 | F ) = 0,1361 P (>64 y F ) = P ( F ) P (>64| F ) = (0,486)(0,1361) = 0,0661 P (>64 | F ) es el porcentaje de conductoras de 65 años o más y P (>64 ∩ F ) es el porcentaje de conductores que son mujeres y tienen 65 años o más. P (> 64 ) = P (>64 ∩ F ) + P (>64 ∩ M ) = 0,1356 No, ser mujer y tener 65 años o más no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo P(>64 ∩ F ) = 0,0661. Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 10.000 conductores con licencia en EE. UU. ¿Cuántos espera que sean hombres? Utilizando la tabla o el diagrama de árbol, construya una tabla de contingencia de sexo versus grupo de edad. Utilizando la tabla de contingencia, calcule la probabilidad de que, del grupo de 20 a 64 años, un conductor seleccionado al azar sea mujer. Aproximadamente el 86,5 % de los estadounidenses se desplazan al trabajo en automóvil, camioneta o van. De ese grupo, el 84,6 % conduce solo y el 15,4 % lo hace en automóvil compartido. Aproximadamente el 3,9 % va a pie al trabajo y el 5,3 % utiliza el transporte público. Construya una tabla o un diagrama de árbol de la situación. Incluya una rama para todos los demás modos de transporte al trabajo. Suponiendo que los que caminan van solos, ¿qué porcentaje de todos los que van al trabajo los hacen solos? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántas personas se desplazan solas al trabajo? Supongamos que se seleccionan aleatoriamente 1.000 trabajadores. ¿Cuántos espera que conduzcan un automóvil compartido? Automóvil, camión o furgoneta Caminar Transporte público Otros Totales Solo 0,7318 Acompañado 0,1332 Totales 0,8650 0,0390 0,0530 0,0430 1 Si asumimos que todos los caminantes están solos y que ninguno de los otros dos grupos se traslada solo (lo cual es un gran supuesto) tenemos: P (solos) = 0,7318 + 0,0390 = 0,7708. Haciendo las mismas suposiciones que en (b) tenemos: (0,7708)(1.000) = 771 (0,1332)(1.000) = 133 Cuando se introdujo la moneda de euro en 2002, dos profesores de Matemáticas hicieron que sus estudiantes de Estadística comprobaran si la moneda belga de un euro era una moneda imparcial. Hicieron girar la moneda en vez de lanzarla y descubrieron que de 250 giros, 140 mostraron una cara (evento H ) mientras que 110 mostraron una cruz (evento T ). Sobre esta base, afirmaron que no es una moneda imparcial. A partir de los datos dados, halle P ( H ) y P ( T ). Utilice un árbol para hallar las probabilidades de cada resultado posible para el experimento de lanzar la moneda dos veces. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener exactamente una cara en dos lanzamientos de la moneda. Utilice el árbol para hallar la probabilidad de obtener, al menos, una cara. Tarea para la casa Utilice la información de la para responder los próximos ocho ejercicios. La tabla muestra la afiliación a un partido político de cada uno de los 67 miembros del Senado de EE. UU. en junio de 2012, y cuándo se presentan a la reelección. Se presenta a la reelección: Partido Demócrata Partido Republicano Otros Total Noviembre de 2014 20 13 0 Noviembre de 2016 10 24 0 Total ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar tenga una afiliación de “otro”? 0 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador elegido al azar se presente a la reelección en noviembre de 2016? ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea demócrata y se presente a la reelección en noviembre de 2016? 10 67 ¿Cuál es la probabilidad de que un senador seleccionado al azar sea republicano o se presente a la reelección en noviembre de 2014? Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. Dado que el senador seleccionado al azar se presenta a la reelección en noviembre de 2016, ¿cuál es la probabilidad de que este senador sea demócrata? 10 34 Supongamos que se selecciona al azar un miembro del Senado de Estados Unidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el senador se presente a la reelección en noviembre de 2014, sabiendo que este senador es republicano? Los eventos “republicano” y “se presenta a la reelección en 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. d Los eventos “otro” y “se presenta a la reelección en noviembre de 2016” son ________ mutuamente excluyentes. independiente. ambos se excluyen mutuamente y son independientes. no son mutuamente excluyentes ni independientes. La da el número de participantes en la reciente Encuesta Nacional de Salud que habían sido tratados por cáncer en los 12 meses anteriores. Los resultados se clasifican por edad, raza (blanca o negra) y sexo. Nos interesan las posibles relaciones entre la edad, la raza y el sexo. Supongamos que los suicidas son nuestra población. Raza y sexo 15-24 25-40 41-65 Más de 65 años TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 9.129 Negro, hombre 142 194 384 824 Negro, mujer 131 290 486 1.061 Todos los demás TOTALES 2.792 5.279 9.354 21.081 No incluya “todos los demás” para las partes f y g. Rellene la columna correspondiente al tratamiento del cáncer para personas mayores de 65 años. Rellene la fila de todas las demás razas. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea una mujer negra. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea negra. Halle la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar sea hombre. De las personas mayores de 65 años, calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea un hombre blanco o negro. Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 156 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 Raza y sexo 1-14 15-24 25-64 Más de 64 TOTALES Blanco, hombre 1.165 2.036 3.703 1.491 8.395 Blanco, mujer 1.076 2.242 4.060 1.751 9.129 Negro, hombre 142 194 384 104 824 Negro, mujer 131 290 486 154 1.061 Todos los demás 278 517 721 156 1.672 TOTALES 2.792 5.279 9.354 3.656 21.081 8.395 21.081 ≈ 0,3982 1.061 21.081 ≈ 0,0503 1.885 21.081 ≈ 0,0894 9.219 21.081 ≈ 0,4373 1.595 3.656 ≈ 0,4363 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de bateo de cuatro conocidos jugadores de béisbol. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón TOTAL DE BATAZOS IMPARABLES Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 TOTAL 8.471 1.577 583 1.720 12.351 Calcule P (Babe Ruth hizo el batazo imparable). 1518 2873 2873 12351 583 12351 4189 12351 Calcule P (Ty Cobb hizo el batazo imparable|el batazo imparable fue un jonrón). 4189 12351 114 1720 1720 4189 114 12351 b La identifica un grupo de niños por uno de los cuatro colores de cabello, y por el tipo de cabello. Tipo de cabello Marrón Rubio Negro Rojo Totales Ondulado 20 15 3 43 Liso 80 15 12 Totales 20 215 Rellene la tabla. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño o rubio? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello castaño ondulado? ¿Cuál es la probabilidad de que un niño seleccionado al azar tenga el cabello rojo, dado que tiene el cabello liso? Si B es el evento en el que un niño tenga el cabello castaño, calcule la probabilidad del complemento de B . En palabras, ¿qué representa el complemento de B ? En un año anterior, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilaron en la siguiente tabla. N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 > 290 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Calcule la probabilidad de que el número de su camiseta sea del 1 al 33. Calcule la probabilidad de que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa esté entre el 1 y el 33 Y que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33 O que pese como máximo 210 libras. Calcule la probabilidad de que el número de su camisa sea del 1 al 33, DADO que pesa como máximo 210 libras. 26 106 33 106 21 106 ( 26 106 ) + ( 33 106 ) - ( 21 106 ) = ( 38 106 ) 21 33 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Este diagrama de árbol muestra el lanzamiento de una moneda desigual seguido de la extracción de una cuenta de un vaso que contiene tres cuentas rojas ( R ), cuatro amarillas ( Y ) y cinco azules ( B ). Para la moneda, P ( H ) = 2 3 y P ( T ) = 1 3 donde H es cara y T es cruz. Calcule P (lanzando una cara en la moneda Y una cuenta roja) 2 3 5 15 6 36 5 36 Calcule P (cuenta azul). 15 36 10 36 10 12 6 36 a Una caja de galletas contiene tres de chocolate y siete de mantequilla. Miguel elige al azar una galleta y se la come. Luego selecciona al azar otra galleta y se la come (¿cuántas galletas ha tomado?). Dibuje el árbol que representa las posibilidades de las selecciones de galletas. Escriba las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. ¿Las probabilidades del sabor de la SEGUNDA galleta que elige Miguel es independientes de su primera selección? Explique. Para cada trayectoria completa a través del árbol, escriba el evento que representa y calcule las probabilidades. Supongamos que S es el evento en el que las dos galletas seleccionadas sean del mismo sabor. Calcule P ( S ). Supongamos que T es el evento en el que las galletas seleccionadas sean de distinto sabor. Calcule P ( T ) por dos métodos diferentes: utilizando la regla del complemento y utilizando las ramas del árbol. Sus respuestas deberían ser las mismas con ambos métodos. Supongamos que U es el evento en el que la segunda galleta seleccionada sea una galleta de mantequilla. Calcule P ( U ). Diagrama de Venn la representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de círculos u óvalos que muestran sus intersecciones", "section": "Diagramas de Venn", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Puede utilizar probabilidad y variables aleatorias discretas para calcular la probabilidad de que un rayo llegue al suelo cinco veces durante una tormenta de media hora (créditos: Leszek Leszczynski). Un estudiante responde un cuestionario de diez preguntas de verdadero-falso. Como el estudiante tenía una agenda tan apretada, no podía estudiar y estimaba al azar cada respuesta. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con, al menos, el 70 %? Hay pequeñas compañías que pueden estar interesadas en el número de llamadas telefónicas de larga distancia que hacen sus empleados en las horas pico del día. Supongamos que el promedio histórico es de 20 llamadas. ¿Cuál es la probabilidad de que los empleados hagan más de 20 llamadas de larga distancia durante las horas pico? Estos dos ejemplos ilustran dos tipos diferentes de problemas de probabilidad que implican variables aleatorias discretas. Recordemos que los datos discretos son datos que se pueden contar, es decir, la variable aleatoria solo puede tomar valores de números enteros. Una variable aleatoria describe con palabras los resultados de un experimento estadístico. Los valores de una variable aleatoria pueden variar con cada repetición de un experimento, a menudo llamado ensayo. Notación de la variable aleatoria La letra mayúscula X denota una variable aleatoria. Las letras minúsculas como x o y denotan el valor de una variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria, entonces X se escribe con palabras y x se da como un número. Por ejemplo, supongamos que X = el número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas imparciales. El espacio muestral para el lanzamiento de tres monedas imparciales es TTT ; THH ; HTH ; HHT ; HTT ; THT ; TTH ; HHH . Entonces, x = 0, 1, 2, 3. X está en palabras y x es un número. Observe que para este ejemplo los valores de x son resultados contables. Como se pueden contar los posibles valores como números enteros que puede tomar X y los resultados son aleatorios (los valores de x 0, 1, 2, 3), X es una variable aleatoria discreta. Funciones de densidad de probabilidad (pdf) para una variable aleatoria Una función de densidad de probabilidad o función de distribución de probabilidad tiene dos características: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive. La suma de las probabilidades es uno. Una función de densidad de probabilidad es una fórmula matemática que calcula las probabilidades de determinados tipos de eventos, lo que hemos llamado experimentos. La función de densidad de probabilidad (probability density function, pdf) es como una receta mágica, en parte porque la misma fórmula suele describir tipos de eventos muy diferentes. Por ejemplo, la pdf binomial calculará las probabilidades de lanzar monedas, de las preguntas de respuesta afirmativa o negativa en un examen, de las opiniones de los votantes en una encuesta de opinión a favor o en contra, en definitiva, de cualquier evento binario. Otras funciones de densidad de probabilidad proporcionarán probabilidades para el tiempo que falta para que una pieza falle, cuándo llegará un cliente a la cabina de peaje de la autopista, el número de llamadas que llegan a una central telefónica, la tasa de crecimiento de una bacteria, etc. Existen familias enteras de funciones de densidad de probabilidad que se utilizan en una gran variedad de aplicaciones, como la medicina, los negocios y las finanzas, la física y la ingeniería, entre otras. Para nuestro propósito aquí nos concentraremos en solo algunas funciones de densidad de probabilidad mientras desarrollamos las herramientas de la estadística inferencial. Fórmulas de recuento y fórmula combinatoria Recordemos que la probabilidad del evento A, P(A), es simplemente el número de formas en que el experimento dará como resultado A, en relación con el número total de resultados posibles del experimento. Como ecuación esto es: P ( A ) = número de formas de obtener A Número total de resultados posibles Cuando observamos el espacio muestral para lanzar 3 monedas, podemos escribir fácilmente el espacio muestral completo y, por lo tanto, podemos contar fácilmente el número de eventos que cumplen nuestro resultado deseado, por ejemplo, x = 1 , donde X es la variable aleatoria definida como el número de caras. A medida que tenemos un mayor número de elementos en el espacio muestral, como una baraja completa de 52 cartas, la posibilidad de escribir el espacio muestral se vuelve imposible. Vemos que las probabilidades no son más que contar los eventos de cada grupo que nos interesa y dividirlos por el número de elementos del universo, o espacio muestral. Esto es bastante fácil si contamos los estudiantes de segundo año de una clase de Estadística, pero en casos más complicados enumerar todos los posibles resultados puede llevarnos toda la vida. Hay, por ejemplo, 36 resultados posibles al lanzar solo dos dados de seis caras en los que la variable aleatoria es la suma del número de puntos de las caras que miran hacia arriba. Si hubiera cuatro dados, el número total de resultados posibles sería de 1.296. Hay más de 2,5 MILLONES de posibles manos de póker de 5 cartas en una baraja estándar de 52 cartas. Evidentemente, llevar la cuenta de todas estas posibilidades y contarlas para llegar a una única probabilidad sería, en el mejor de los casos, tedioso. Una alternativa a la enumeración del espacio muestral completo y al recuento del número de elementos que nos interesan, es saltarse el paso de enumerar el espacio muestral, y simplemente calcular el número de elementos que contiene y hacer la división correspondiente. Si buscamos una probabilidad, realmente no necesitamos ver todos y cada uno de los elementos del espacio muestral, solo necesitamos saber cuántos elementos hay. Las fórmulas de recuento se inventaron precisamente para eso. Nos indican el número de subconjuntos desordenados de un determinado tamaño que se pueden crear a partir de un conjunto de elementos únicos. Por desordenado se entiende que, por ejemplo, al repartir las cartas, no importa si tienes {as, as, as, as, rey} o {rey, as, as, as, as} o {as, rey, as, as, as} y así sucesivamente. Cada uno de estos subconjuntos es el mismo porque cada uno tiene 4 ases y un rey. Fórmula combinatoria n x = n C x = n ! x ! ( n – x ) ! Es la fórmula que indica el número de subconjuntos desordenados únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n elementos únicos. La fórmula se lee \"n combinatoria x\". A veces se lee como \"n elegir x\". El signo de exclamación \"!\" se llama factorial y nos dice que hay que tomar todos los números desde el 1 hasta el número que precede al ! y multiplicarlos juntos, por lo que 4! es 1-2-3-4=24. Por definición 0! = 1. La fórmula se denomina fórmula combinatoria. También se llama coeficiente binomial, por razones que se aclararán en breve. Aunque este concepto matemático se comprendió mucho antes de 1653, se atribuye a Blaise Pascal el mayor mérito por la demostración que publicó en ese año. Además, desarrolló un método generalizado de cálculo de los valores de las combinatorias que conocemos como el Triángulo de Pascal. Pascal fue uno de los genios de una época de extraordinarios avances intelectuales que incluyó la obra de Galileo, René Descartes, Isaac Newton, William Shakespeare y el perfeccionamiento del método científico, la propia razón de ser del tema de este texto. Vamos a encontrar por las malas el número total de combinaciones de los cuatro ases de una baraja de cartas si las tomamos de dos en dos. El espacio muestral sería: S={Picas, Corazón),(Picas, Diamante),(Picas, Tréboles), (Diamante, Tréboles),(Corazón, Diamante),(Corazón, Tréboles)} Hay 6 combinaciones; formalmente, seis subconjuntos desordenados únicos de tamaño 2 que se pueden crear a partir de 4 elementos únicos. Para utilizar la fórmula combinatoria resolveríamos la fórmula de la siguiente manera: 4 2 = 4 ! ( 4 – 2 ) ! 2 ! = 4 · 3 · 2 · 1 2 · 1 · 2 · 1 = 6 Si quisiéramos saber el número de manos únicas de póquer de 5 cartas que se pueden crear a partir de un mazo de 52 cartas, simplemente calcularíamos: 52 5 donde 52 es el número total de elementos únicos de los que estamos sacando y 5 es el grupo de tamaño en el que los estamos poniendo. Con la fórmula combinatoria podemos contar el número de elementos de un espacio muestral sin tener que escribir cada uno de ellos, lo que realmente es el trabajo de toda una vida para solo el número de 5 manos de cartas de una baraja de 52. Ahora podemos aplicar esta herramienta a una función de densidad de probabilidad muy importante, la distribución hipergeométrica. Recuerde que una función de densidad de probabilidad calcula las probabilidades por nosotros. Simplemente ponemos los números adecuados en la fórmula y obtenemos la probabilidad de eventos específicos. Sin embargo, para que estas fórmulas funcionen deben aplicarse solo a los casos para los que fueron diseñadas. Repaso del capítulo Las características de una distribución de probabilidad o función de densidad (PDF) son las siguientes: Cada probabilidad está entre cero y uno, ambos inclusive ( inclusive significa incluir el cero y el uno). La suma de las probabilidades es uno. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Una compañía quiere evaluar su tasa de deserción, es decir, el tiempo que los nuevos empleados permanecen en la compañía. A lo largo de los años han establecido la siguiente distribución de probabilidad. Supongamos que X = el número de años que un nuevo empleado permanecerá en la compañía. Supongamos que P ( x ) = la probabilidad de que un nuevo empleado permanezca en la compañía x años. Complete la con los datos proporcionados. x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 5 0,10 6 0,05 x P ( x ) 0 0,12 1 0,18 2 0,30 3 0,15 4 0,10 5 0,10 6 0,05 P ( x = 4) = _______ P ( x ≥ 5) = _______ 0,10 + 0,05 = 0,15 ¿Cuánto tiempo en promedio espera que un nuevo empleado permanezca en la compañía? ¿A cuánto asciende la columna “ P ( x )”? 1 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un panadero está decidiendo cuántos lotes de muffins va a hacer para vender en su panadería. Quiere hacer lo suficiente para venderlos todos y no menos. Mediante la observación, el panadero ha establecido una distribución de probabilidad. x P ( x ) 1 0,15 2 0,35 3 0,40 4 0,10 Defina la variable aleatoria X . ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda más de un lote? P ( x > 1) = _______ 0,35 + 0,40 + 0,10 = 0,85 ¿Cuál es la probabilidad de que el panadero venda exactamente un lote? P ( x = 1) = _______ En promedio, ¿cuántos lotes debe hacer el panadero? 1(0,15) + 2(0,35) + 3(0,40) + 4(0,10) = 0,15 + 0,70 + 1,20 + 0,40 = 2,45 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. Defina la variable aleatoria X . Construya una tabla de distribución de probabilidades para los datos. x P ( x ) 0 0,03 1 0,04 2 0,08 3 0,85 Sabemos que para que una función de distribución de probabilidad sea discreta, debe tener dos características. Una es que la suma de las probabilidades es uno. ¿Cuál es la otra característica? Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Javier es voluntario en eventos comunitarios cada mes. No realiza más de cinco eventos en un mes. Asiste exactamente a cinco eventos el 35 % del tiempo, a cuatro el 25 % del tiempo, a tres el 20 % del tiempo, a dos el 10 % del tiempo, a uno el 5 % del tiempo y a ninguno el 5 % del tiempo. Defina la variable aleatoria X . Supongamos que X = el número de eventos en los que Javier es voluntario cada mes. ¿Qué valores toma x ? Construir una tabla de PDF. x P ( x ) 0 0,05 1 0,05 2 0,10 3 0,20 4 0,25 5 0,35 Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en menos de tres eventos al mes. P ( x < 3) = _______ Calcule la probabilidad de que Javier sea voluntario en, al menos, un evento cada mes. P ( x > 0) = _______ 1 – 0,05 = 0,95 Variable aleatoria (RV) una característica de interés en una población que se estudia; la notación común para las variables son las letras latinas mayúsculas X , Y , Z ,...; la notación común para un valor específico del dominio (conjunto de todos los valores posibles de una variable) son las letras latinas minúsculas x, y , z . Por ejemplo, si X es el número de hijos de una familia, entonces x representa un número entero específico 0, 1, 2, 3,.... Las variables en estadística se diferencian de las variables en álgebra intermedia en los dos aspectos siguientes. El dominio de la variable aleatoria (RV) no es necesariamente un conjunto numérico; el dominio puede expresarse en palabras; por ejemplo, si X = color de cabello entonces el dominio es {negro, rubio, gris, verde, naranja}. Podemos saber qué valor específico x toma la variable aleatoria X solo después de realizar el experimento. Función de distribución de probabilidad (PDF) una descripción matemática de una variable aleatoria ( RV ) discreta, dada en forma de ecuación (fórmula) o en forma de tabla que enumera todos los resultados posibles de un experimento y la probabilidad asociada a cada resultado.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distribución hipergeométrica La función de densidad de probabilidad más sencilla es la hipergeométrica. Es la más básica porque se crea combinando nuestro conocimiento de las probabilidades a partir de los diagramas de Venn, las reglas de adición y multiplicación y la fórmula de recuento combinatorio. Para hallar el número de formas de obtener 2 ases de los cuatro que hay en la baraja, calculamos: 4 2 = 4 ! 2 ! ( 4 – 2 ) ! = 6 Y si no nos importara qué más tenemos en la mano para las otras tres cartas calcularíamos: 48 3 = 48 ! 3 ! 45 ! = 17.296 Uniendo todo esto, podemos calcular la probabilidad de obtener exactamente dos ases en una mano de póquer de 5 cartas como: 4 2 48 3 52 5 = 0,0399 Esta solución es en realidad la distribución de probabilidad conocida como hipergeométrica. La fórmula generalizada es: h ( x ) = A x N – A n – x N n donde x = el número que nos interesa procedente del grupo con A objetos. h(x) es la probabilidad de x aciertos, en n intentos, cuando los aciertos A (ases en este caso) están en una población que contiene N elementos. La distribución hipergeométrica es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta porque no hay posibilidad de éxito parcial, es decir, no puede haber manos de póquer con 2 1/2 ases. Dicho de otro modo, una variable aleatoria discreta tiene que ser un número entero, o que se pueda contar, solamente. Esta distribución de probabilidad funciona en los casos en que la probabilidad de éxito cambia con cada extracción de cartas. Otra forma de decir esto es que los eventos NO son independientes. Al utilizar una baraja de cartas, estamos haciendo un muestreo SIN reemplazo. Si volvemos a poner cada carta después de haberla sacado, la distribución hipergeométrica sería una pdf inadecuada. Para que el hipergeométrico funcione, la población debe ser divisible en dos y solo dos subconjuntos independientes (ases y no ases en nuestro ejemplo). La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. el experimento debe tener probabilidades cambiantes de éxito con cada experimento (el hecho de que las cartas no sean reemplazadas después de la extracción en nuestro ejemplo hace que esto sea cierto en este caso). Otra forma de decir esto es que se muestrea sin reemplazo y, por lo tanto, cada selección no es independiente. la variable aleatoria debe ser discreta, en lugar de continua. Un plato de caramelos contiene 30 gominolas y 20 pastillas de goma. Se eligen diez caramelos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los 10 sean pastillas de goma? Los dos grupos son gominolas y pastillas de goma. Dado que la pregunta de probabilidad pide la probabilidad de elegir gominolas, el grupo de interés (primer grupo A en la fórmula) son las gominolas. El tamaño del grupo de interés (primer grupo) es de 30. El tamaño del segundo grupo es de 20. El tamaño de la muestra es de 10 (gominolas o pastillas de goma). Supongamos que X = el número de pastillas de goma en la muestra de 10. X toma los valores x = 0, 1, 2, ..., 10. a. ¿Cuál es el enunciado de la probabilidad escrito matemáticamente? b. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad hipergeométrica escrita para resolver este problema? c. ¿Cuál es la respuesta a la pregunta \"¿Cuál es la probabilidad de extraer del plato 5 pastillas de goma en 10 intentos?\" a. P ( x = 5 ) b. P ( x = 5 ) = ( 5 30 ) ( 5 20 ) ( 10 50 ) c. P ( x = 5 ) = 0,215 Ejercicio Una bolsa contiene fichas de letras. Cuarenta y cuatro de las fichas son vocales y 56 son consonantes. Se eligen siete fichas al azar. Quiere saber la probabilidad de que cuatro de las siete fichas sean vocales. ¿Cuál es el grupo de interés, el tamaño del grupo de interés y el tamaño de la muestra? El grupo de interés son las fichas de letras vocales. El tamaño del grupo de interés es de 44. El tamaño de la muestra es de siete. Repaso del capítulo La fórmula combinatoria puede proporcionar el número de subconjuntos únicos de tamaño x que se pueden crear a partir de n objetos únicos para ayudarnos a calcular las probabilidades. La fórmula combinatoria es n x = n C x = n ! x ! ( n – x ) ! Un experimento hipergeométrico es un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Los resultados de un experimento hipergeométrico se ajustan a una distribución de probabilidad hipergeométrica. La variable aleatoria X = el número de elementos del grupo de interés. h ( x ) = A x N – A n – x N n . Revisión de la fórmula h ( x ) = A x N – A n – x N n Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que un grupo de estudiantes de Estadística se divide en dos grupos: estudiantes de especialidad en Negocios y estudiantes de especialidad que no son en Negocios. En el grupo hay 16 especialidades en Negocios y siete que no son en Negocios. Se toma una muestra aleatoria de nueve estudiantes. Nos interesa el número de especialidades en Negocios en la muestra. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de especialidades en Negocios en la muestra. ¿Qué valores toma X ? 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 TAREA PARA LA CASA Un grupo de estudiantes de artes marciales tiene previsto participar en una demostración en los próximos días. Seis son estudiantes de taekwondo; siete son estudiantes de karate Shotokan. Supongamos que se eligen al azar ocho estudiantes para participar en la primera demostración. Nos interesa el número de estudiantes de karate Shotokan en esa primera demostración. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de karate Shotokan esperamos que haya en esa primera demostración? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida como máximo una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? Calcule la desviación típica. X = el número de páginas que anuncian calzado 0, 1, 2, 3, ..., 20 3,03 1,5197 Supongamos que se está formando un grupo de trabajo sobre tecnología para estudiar el conocimiento de la tecnología entre instructores. Supongamos que diez personas serán elegidas al azar para formar parte del comité de un grupo de 28 voluntarios, 20 de los cuales tienen conocimientos técnicos y ocho no. Nos interesa el número de miembros del comité que no tienen conocimientos técnicos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos instructores espera que haya en el comité que no sean técnicamente competentes? Calcule la probabilidad de que, al menos, cinco miembros del comité no sean técnicamente competentes. Calcule la probabilidad de que como máximo tres miembros del comité no sean técnicamente competentes. Supongamos que nueve atletas de Massachusetts tienen previsto aparecer en un acto benéfico. Los nueve son elegidos al azar entre ocho voluntarios de los Boston Celtics y cuatro de los New England Patriots. Nos interesa el número de Patriots elegidos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Elige a los nueve atletas con o sin reemplazo? X = el número de Patriots elegidos 0, 1, 2, 3, 4 Sin reemplazo Una mano de bridge se define como 13 cartas sacadas al azar y sin reemplazo de un mazo de 52 cartas. En un mazo estándar hay 13 cartas de cada palo: corazones, picas, tréboles y diamantes. ¿Cuál es la probabilidad de que se reparta una mano que no contenga un corazón? ¿Cuál es el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el grupo de interés? ¿Cuántos hay en el otro grupo? Supongamos que X = _________. ¿Qué valores toma X ? La pregunta de probabilidad es P (_______). Calcule la probabilidad en cuestión. Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Experimento hipergeométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Toma muestras de dos grupos. Le interesa un grupo de interés, llamado primer grupo. Toma una muestra sin reemplazo de los grupos combinados. Cada selección no es independiente, ya que el muestreo es sin reemplazo. Probabilidad hipergeométrica una variable aleatoria (RV) discreta que se caracteriza por: Un número fijo de ensayos. La probabilidad de acierto no es la misma de un ensayo a otro. Tomamos muestras de dos grupos de elementos cuando solo nos interesa un grupo. X se define como el número de aciertos sobre el total de elementos elegidos.", "section": "Distribución hipergeométrica", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distribución binomial Una función de densidad de probabilidad más valiosa con muchas aplicaciones es la distribución binomial. Esta distribución calculará las probabilidades de cualquier proceso binomial. Un proceso binomial, a menudo llamado proceso de Bernoulli en honor a la primera persona que desarrolló plenamente sus propiedades, es cualquier caso en el que solo hay dos resultados posibles en cualquier ensayo, llamados éxitos y fracasos. Recibe su nombre del sistema numérico binario, en el que todos los números se reducen a 1 o 0, que es la base de la tecnología informática y de las grabaciones musicales en CD. Fórmula binomial b ( x ) = n x p x q n – x donde b(x) es la probabilidad de X aciertos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER ENSAYO es p. Y, por supuesto, q=(1-p) y es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo. Ahora podemos ver por qué la fórmula combinatoria se llama también coeficiente binomial, ya que vuelve a aparecer aquí en la función de probabilidad binomial. Para que la fórmula binomial funcione, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo debe ser la misma de un ensayo a otro, o en otras palabras, los resultados de cada ensayo deben ser independientes. Lanzar una moneda es un proceso binomial porque la probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento no depende de lo que haya ocurrido en los lanzamientos anteriores. (En este momento hay que señalar que utilizar p para el parámetro de la distribución binomial es una violación de la regla de que los parámetros de la población se designan con letras griegas. En muchos libros de texto se utiliza θ (pronunciado theta) en lugar de p y así es como debe ser. Al igual que un conjunto de datos, una función de densidad de probabilidad tiene una media y una desviación típica que describe el conjunto de datos. Para la distribución binomial vienen dadas por las fórmulas: μ = np σ = n p q Observe que p es el único parámetro en estas ecuaciones. La distribución binomial se considera, pues, de la familia de las distribuciones de probabilidad de un parámetro. En resumen, sabemos todo lo que hay que saber sobre la binomial una vez que conocemos p, la probabilidad de éxito en cualquier ensayo. En la teoría de la probabilidad, en determinadas circunstancias, una distribución de probabilidad puede utilizarse para aproximar otra. Decimos que una es la distribución límite de la otra. Si hay que extraer un número pequeño de una población grande, aunque no haya reemplazo, podemos utilizar la binomial, aunque no sea un proceso binomial. Si no hay reemplazo se viola la regla de independencia del binomio. Sin embargo, podemos utilizar la binomial para aproximar una probabilidad que es realmente una distribución hipergeométrica si extraemos menos del 10 por ciento de la población, es decir, n es menos del 10 por ciento de N en la fórmula de la función hipergeométrica. El fundamento de este argumento es que al extraer un pequeño porcentaje de la población no alteramos la probabilidad de éxito de un sorteo a otro de forma significativa. Imagine que saca una carta no de una baraja de 52 cartas, sino de 6 barajas de cartas. La probabilidad de sacar un as, por ejemplo, no cambia la probabilidad condicional de lo que ocurre en una segunda extracción de la misma manera que lo haría si solo hubiera 4 ases en lugar de los 24 que hay ahora para sacar. Esta capacidad de utilizar una distribución de probabilidad para estimar otras será muy valiosa para nosotros más adelante. Hay tres características de un experimento binomial Hay un número fijo de ensayos. Piense en los ensayos como repeticiones de un experimento. La letra n indica el número de ensayos. La variable aleatoria, x , número de aciertos, es discreta. Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, y q la probabilidad de fracaso en un ensayo cualquiera. p + q = 1. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Piense en esto como una extracción CON reemplazo. Como los n ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no ayuda a predecir el resultado de otro. Otra forma de decir esto es que para cada ensayo individual la probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo siguen siendo las mismas. Por ejemplo, estimar al azar una pregunta de estadística de verdadero-falso solo tiene dos resultados. Si un acierto es estimar correctamente, un fallo es estimar incorrectamente. Supongamos que Joe siempre acierta en cualquier pregunta de estadística de verdadero-falso con una probabilidad p = 0,6. Entonces, q = 0,4. Esto significa que para cada pregunta de estadística de verdadero-falso que responda Joe su probabilidad de acierto ( p = 0,6) y su probabilidad de fallo ( q = 0,4) siguen siendo las mismas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial . La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media, μ , y la varianza, σ 2 , de la distribución de probabilidad binomial son μ = np y σ 2 = npq . La desviación típica, σ , es entonces σ = n p q . Cualquier experimento que tenga las características tres y cuatro y en el que n = 1 se llama Ensayo de Bernoulli (llamado así por Jacob Bernoulli que los estudió ampliamente a finales de 1600. ). Un experimento binomial se produce cuando se cuenta el número de aciertos en uno o más ensayos de Bernoulli. Supongamos que está en un juego en el que solo puede ganar o perder. La probabilidad de que gane cualquier partido es del 55 %, y la de que pierda es del 45 %. Cada partido que se juega es independiente. Si juega el juego 20 veces, escriba la función que describa la probabilidad de que gane 15 de las 20 veces. Aquí, si se define X como el número de victorias, entonces X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 20. La probabilidad de acierto es p = 0,55. La probabilidad de fallo es q = 0,45. El número de ensayos es n = 20. La pregunta de la probabilidad se puede enunciar matemáticamente como P ( x = 15). Ejercicio Un entrenador está enseñando a un delfín a hacer trucos. La probabilidad de que el delfín acierte al desempeñar el truco es del 35 %, y la probabilidad de que el delfín no acierte al desempeñar el truco es del 65 %. De 20 intentos, se quiere hallar la probabilidad de que el delfín acierte 12 veces. Calcule la P(X=12) utilizando la pdf binomial. P ( x = 12) Una moneda imparcial se lanza 15 veces. Cada lanzada es independiente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de diez caras? Supongamos que X = el número de caras en 15 lanzamientos de la moneda imparcial. X toma los valores 0, 1, 2, 3, ..., 15. Como la moneda es imparcial, p = 0,5 y q = 0,5. El número de ensayos es n = 15. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. P ( x > 10) Aproximadamente el 70 % de los estudiantes de Estadística hacen sus tareas para la casa a tiempo para que sean recopiladas y calificadas. Cada estudiante lo hace de forma independiente. En una clase de Estadística de 50 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos, 40 hagan la tarea para la casa a tiempo? Los estudiantes son seleccionados al azar. a. Se trata de un problema binomial porque solo hay un acierto o un __________, hay un número fijo de ensayos y la probabilidad de acierto es de 0,70 para cada ensayo. a. fracaso b. Si nos interesa el número de estudiantes que hacen la tarea para la casa a tiempo, ¿cómo definimos X ? b. X = número de estudiantes de Estadística que hacen la tarea para la casa a tiempo c. ¿Qué valores toma x ? c. 0, 1, 2, …, 50 d. ¿Qué es un “fallo” en palabras? d. Fallo se define como un estudiante que no termina sus tareas para la casa a tiempo. La probabilidad de acierto es p = 0,70. El número de ensayos es n = 50 e. Si p + q = 1, ¿qué es q ? e. q = 0,30 f. ¿Como qué tipo de inecuación se traducen las palabras “al menos” para la pregunta de probabilidad P ( x ____ 40)? f. mayor o igual que (≥) La pregunta de probabilidad es P ( x ≥ 40). Ejercicio El sesenta y cinco por ciento de las personas aprueba el examen estatal de conducir en el primer intento. Se selecciona al azar un grupo de 50 personas que han tomado el examen de conducir. Dé dos justificaciones por las que este es un problema binomial. Se trata de un problema binomial porque solo hay un éxito o un fracaso, y hay un número determinado de ensayos. La probabilidad de éxito es la misma en cada ensayo. Ejercicio Durante la temporada regular de la NBA de 2013, DeAndre Jordan, de Los Ángeles Clippers, tuvo el mayor índice de finalización de tiros de campo de la liga. DeAndre anotó con el 61,3 % de sus tiros. Supongamos que se elige una muestra aleatoria de 80 tiros realizados por DeAndre durante la temporada 2013. Supongamos que X = el número de tiros que anotaron puntos. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que DeAndre anote con 60 de estos tiros. Calcule la probabilidad de que DeAndre acierte más de 50 de estos tiros. X ~ B (80, 0,613) Media = np = 80(0,613) = 49,04 Desviación típica = n p q = 80 ( 0,613 ) ( 0,387 ) ≈ 4,3564 P ( x = 60)= 0,0036 P ( x > 50) = 1 - P ( x ≤ 50) = 1 - 0,6282 = 0,3718 Referencias “Access to electricity (% of population)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.ELC.ACCS.ZS?order=wbapi_data_value_2009 %20wbapi_data_value%20wbapi_data_value-first&sort=asc (consultado el 15 de mayo de 2015). “Distance Education”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Distance_education (consultado el 15 de mayo de 2013). “NBA Statistics-2013”, ESPN NBA, 2013. Disponible en línea en http://espn.go.com/nba/statistics/_/seasontype/2 (consultado el 15 de mayo de 2013). Newport, Frank. “Americans Still Enjoy Saving Rather than Spending: Few demographic differences seen in these views other than by income”, GALLUP® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162368/americans-enjoy-saving-rather-spending.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011 . Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “What are the key statistics about pancreatic cancer?” American Cancer Society, 2013. Disponible en línea en http://www.cancer.org/cancer/pancreaticcancer/detailedguide/pancreatic-cancer-key-statistics (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Un experimento estadístico se puede clasificar como experimento binomial si se cumplen las siguientes condiciones: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto ” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Los resultados de un experimento binomial se ajustan a una distribución de probabilidad binomial. La variable aleatoria X = el número de aciertos obtenidos en los n ensayos independientes. La media de X se puede calcular mediante la fórmula μ = np , y la desviación típica viene dada por la fórmula σ = n p q . La fórmula de la función de densidad de probabilidad binomial es P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) Revisión de la fórmula X ~ B ( n , p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad binomial con n ensayos y probabilidad de acierto p . X = el número de aciertos en n ensayos independientes n = el número de ensayos independientes X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ..., n p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo de cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media de X es μ = np . La desviación típica de X es σ = n p q . P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! · p x q ( n – x ) donde P(X) es la probabilidad de X éxitos en n ensayos cuando la probabilidad de un éxito en CUALQUIER OTRO ENSAYO es p. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que elige al azar a ocho estudiantes de primer año a tiempo completo de la encuesta. Le interesa saber el número de personas que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = número de respuestas afirmativas X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). x P ( x ) En promedio ( μ ), ¿cuántos esperaría que respondieran afirmativamente? 5,7 ¿Cuál es la desviación típica ( σ )? ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, cinco de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? 0,4151 ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos de los estudiantes de primer año respondan que “sí”? TAREA PARA LA CASA Según un artículo reciente, el número promedio de bebés que nacen con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente dos por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados sana. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en una sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Recientemente, un enfermero comentó que cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un desagradable resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, ... 25 Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 0,0165 En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Las personas que acuden a los videoclubs suelen alquilar más de un DVD a la vez. La distribución de probabilidad de los alquileres de DVD por cliente en Video To Go es . En esta tienda hay un límite de cinco videos por cliente, por lo que nadie alquila nunca más de cinco DVD. x P ( x ) 0 0,03 1 0,50 2 0,24 3 4 0,07 5 0,04 Describa la variable aleatoria X con palabras. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile tres DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile al menos cuatro DVD. Calcule la probabilidad de que un cliente alquile como máximo dos DVD. X = el número de DVD que alquila un cliente de Video to Go 0,12 0,11 0,77 Un reportero del periódico escolar decide hacer una encuesta al azar a 12 estudiantes para ver si asistirán a las festividades del Tet (Año Nuevo vietnamita) este año. Basándose en años anteriores, sabe que el 18 % de los estudiantes asisten a las festividades del Tet. Estamos interesados en el número de estudiantes que asistirán a las festividades. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos de los 12 estudiantes esperamos que asistan a las festividades? Calcule la probabilidad de que asistan como máximo cuatro estudiantes. Calcule la probabilidad de que asistan más de dos estudiantes. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que los San José Sharks ganen un partido cualquiera es de 0,3694, basándose en un historial de 13 años de 382 victorias de 1.034 partidos jugados (a partir de una fecha determinada). El próximo calendario mensual contiene 12 partidos. El número esperado de victorias para ese mes es: 1,67 12 382 1043 4,43 d. 4,43 Supongamos que X = el número de partidos ganados en ese mes. ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen seis partidos en ese mes? 0,1476 0,2336 0,7664 0,8903 ¿Cuál es la probabilidad de que los San José Sharks ganen al menos cinco partidos en ese mes? 0,3694 0,5266 0,4734 0,2305 c Un estudiante toma una prueba de diez preguntas de verdadero-falso, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen con una calificación de, al menos, el 70 % de las preguntas correctas. Un estudiante toma un examen de 32 preguntas de opción múltiple, pero no ha estudiado y estima al azar cada respuesta. Cada pregunta tiene tres posibles opciones de respuesta. Calcule la probabilidad de que el estudiante estime correctamente más del 75 % de las preguntas. X = número de preguntas contestadas correctamente X ~ B ( 32, 1 3 ) Nos interesa que MÁS DEL 75 % de las 32 preguntas sean correctas. El 75 % de 32 es 24. Queremos hallar P ( x > 24). El evento “más de 24” es el complemento de “menos de o igual a 24”. P ( x > 24) = 0 La probabilidad de acertar más del 75 % de las 32 preguntas cuando se estima al azar es muy pequeña y prácticamente cero. Se lanzan seis dados de diferentes colores. Nos interesa el número de dados que muestran un uno. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos dados se espera que muestren un uno? Calcule la probabilidad de que los seis dados muestren un uno. ¿Es más probable que tres o que cuatro dados muestren un uno? Utilice números para justificar su respuesta numéricamente. Más del 96 % de los institutos universitarios y universidades más grandes (más de 15.000 inscritos en total) tienen alguna oferta en línea. Supongamos que se eligen al azar 13 de estas instituciones. Nos interesa el número de los que ofrecen cursos a distancia. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántas escuelas espera que ofrezcan este tipo de cursos? Calcule la probabilidad de que como máximo diez ofrezcan esos cursos. ¿Es más probable que 12 o 13 ofrezcan estos cursos? Utilice los números para justificar su respuesta numéricamente y responda con una oración completa. X = el número de institutos universitarios y universidades que ofrecen cursos en línea. 0, 1, 2, …, 13 X ~ B (13, 0,96) 12,48 0,0135 P ( x = 12) = 0,3186 P ( x = 13) = 0,5882. Más probabilidades de obtener 13. Supongamos que alrededor del 85 % de los estudiantes que se gradúan asisten a su graduación. Se elige al azar un grupo de 22 estudiantes que se gradúan. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que asistan a su graduación? Calcule la probabilidad de que asistan 17 o 18. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 22 asistieran a la graduación? Justifique su respuesta numéricamente. En The Fencing Center el 60 % de los esgrimistas utilizan el florete como arma principal. Encuestamos al azar a 25 esgrimistas de The Fencing Center. Nos interesa el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que no utilicen el florete como arma principal? Calcule la probabilidad de que seis no utilicen el florete como arma principal. Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que los 25 no utilizaran el florete como arma principal? Justifique su respuesta numéricamente. X = el número de esgrimistas que no utilizan el florete como arma principal 0, 1, 2, 3,... 25 X ~ B (25, 0,40) 10 0,0442 La probabilidad de que los 25 no utilicen el florete es casi cero. Por lo tanto, sería muy sorprendente. Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número que han participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Nos interesa el número esperado de auditorías que tiene una persona con esos ingresos en un periodo de 20 años. Supongamos que cada año es independiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas auditorías se esperan en un periodo de 20 años? Calcule la probabilidad de que una persona no sea auditada en absoluto. Calcule la probabilidad de que una persona sea auditada más de dos veces. X = el número de auditorías en un periodo de 20 años 0, 1, 2, …, 20 X ~ B (20, 0,02) 0,4 0,6676 0,0071 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que se encuesta al azar a 11 residentes de California. Nos interesa saber el número de personas que disponen de suministros adecuados para terremotos. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que, al menos, ocho tengan suministros adecuados para terremotos? ¿Es más probable que ninguno o que todos los residentes encuestados dispongan de suministros adecuados para terremotos? ¿Por qué? ¿Cuántos residentes espera que tengan suministros adecuados para terremotos? Hay dos juegos similares para el Año Nuevo chino y el Año Nuevo vietnamita. En la versión china, se utilizan dados imparciales con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 junto con un tablero con esos números. En la versión vietnamita, se utilizan dados de feria con dibujos de calabaza, pez, gallo, cangrejo, cangrejo de río y ciervo. El tablero también tiene esos seis objetos. Jugaremos con apuestas de 1 dólar. El jugador apuesta por un número u un objeto. La “casa” tira tres dados. Si ninguno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó, la casa se queda con el 1 dólar apostado. Si uno de los dados muestra el número u objeto al que se apostó (y los otros dos no lo muestran), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 1 dólar de ganancia. Si dos de los dados muestran el número u objeto al que se apostó (y el tercer dado no lo muestra), el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 2 dólares de ganancia. Si los tres dados muestran el número u objeto al que se apostó, el jugador recupera su apuesta de 1 dólar, más 3 dólares de ganancia. Supongamos que X = número de coincidencias y Y = ganancia por juego. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Enumere los valores que puede adoptar Y . Luego, construya una tabla de PDF que incluya tanto X como Y y sus probabilidades. Calcule el promedio de coincidencias esperadas a largo plazo de jugar este juego para el jugador. Calcule las ganancias promedio esperadas a largo plazo de este juego para el jugador. Determine quién tiene la ventaja, el jugador o la casa. X = el número de coincidencias 0, 1, 2, 3 En dólares: −1, 1, 2, 3 1 2 La respuesta es −0,0787. Usted pierde unos ocho céntimos, en promedio, por juego. La casa tiene la ventaja. Según el Banco Mundial, solo el 9 % de la población de Uganda tenía acceso a la electricidad en 2009. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 150 personas en Uganda. Supongamos que X = el número de personas que tienen acceso a la electricidad. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? Use las fórmulas y calcule la media y la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que 15 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que como máximo diez personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. Calcule la probabilidad de que más de 25 personas de la muestra tengan acceso a la electricidad. La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas de 15 años en adelante que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización en Afganistán es del 28,1 %. Supongamos que elige al azar a 15 personas en Afganistán. Supongamos que X = el número de personas alfabetizadas. Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . Use las fórmulas y calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . Calcule la probabilidad de que más de cinco personas de la muestra sepan leer y escribir. ¿Es más probable que tres o cuatro personas sepan leer y escribir? X ~ B (15, 0,281) Media = μ = np = 15(0,281) = 4,215 Desviación típica = σ = n p q = 15 ( 0,281 ) ( 0,719 ) = 1,7409 P ( x > 5)=1 - 0,7754 = 0,2246 P ( x = 3) = 0,1927 P ( x = 4) = 0,2259 Es más probable que cuatro personas sepan leer y escribir que tres. Experimento binomial un experimento estadístico que satisfaga las tres condiciones siguientes: Hay un número fijo de ensayos, n . Solo hay dos resultados posibles, llamados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La letra p indica la probabilidad de acierto en un ensayo, y la q la probabilidad de fallo en un ensayo. Los n ensayos son independientes y se repiten utilizando condiciones idénticas. Ensayos de Bernoulli un experimento con las siguientes características: Solo hay dos resultados posibles, denominados “acierto” y “fallo” para cada ensayo. La probabilidad p de un acierto es igual para cualquier ensayo (por lo que la probabilidad q = 1 − p de un fallo es la misma para cualquier ensayo). Distribución de probabilidad binomial una variable aleatoria discreta (RV) que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo uno) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n − x .", "section": "Distribución binomial", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distribución geométrica La función de densidad de probabilidad geométrica se basa en lo que hemos aprendido de la distribución binomial. En este caso, el experimento continúa hasta que se produce un éxito o un fracaso, en lugar de un número determinado de ensayos. Hay tres características principales de un experimento geométrico. Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En otras palabras, sigue repitiendo lo que está haciendo hasta el primer acierto. Entonces se detiene. Por ejemplo, se lanza un dardo a una diana hasta dar en ella. La primera vez que logra dar en la diana es un “acierto”, así que deja de lanzar el dardo. Puede que le lleve seis intentos hasta que acierte en la diana. Puede pensar en las pruebas como fallo, fallo, fallo, fallo, acierto, PARAR. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo es igual para cada ensayo. p + q = 1 y q = 1 – p . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un tres al lanzar un dado imparcial es 1 6 . Esto es cierto sin importar cuántas veces se lance el dado. Supongamos que quiere saber la probabilidad de obtener el primer tres en la quinta lanzada. En las lanzadas del uno al cuatro, no se obtiene un lado con un tres. La probabilidad de cada una de las lanzadas es q = 5 6 , la probabilidad de un fallo. La probabilidad de obtener un tres en la quinta lanzada es ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 5 6 ) ( 1 6 ) = 0,0804 X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Participa en un juego de azar que puede ganar o perder (no hay otras posibilidades) hasta que pierde. Su probabilidad de perder es p = 0,57. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten cinco jugadas para perder? Supongamos que X = el número de partidas que juega hasta que pierde (incluye la partida perdida). Entonces X toma los valores 1, 2, 3, ... (podría seguir indefinidamente). La pregunta de probabilidad es P ( x = 5). Ejercicio Se lanzan dardos a un tablero hasta dar con la zona central. Su probabilidad de acertar el área central es p = 0,17. Quiere hallar la probabilidad de que se necesiten ocho lanzamientos hasta que acierte al centro. ¿Qué valores toma X ? 1, 2, 3, 4, … n . Puede continuar indefinidamente. Una ingeniera de seguridad considera que el 35 % de los accidentes laborales en su planta se deben a que los empleados no siguen las instrucciones. Decide mirar los informes de accidentes (seleccionados al azar y sustituidos en la pila después de la lectura) hasta que encuentra uno que muestra un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. En promedio, ¿cuántos informes tendría que mirar la ingeniera de seguridad hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? ¿Cuál es la probabilidad de que la ingeniera de seguridad tenga que examinar al menos tres informes hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados? Supongamos que X = el número de accidentes que la ingeniera de seguridad debe examinar hasta hallar un informe que muestre un accidente causado por el incumplimiento de las instrucciones por parte de los empleados. X toma los valores 1, 2, 3, .... La primera pregunta le pide que calcule el valor esperado o la media. La segunda pregunta le pide que calcule P ( x ≥ 3). (“Al menos” se traduce en un símbolo “mayor o igual que”). Ejercicio Una instructora considera que el 15 % de los estudiantes obtienen menos de una C en su examen final. Decide revisar los exámenes finales (seleccionados al azar y sustituidos en el montón después de la lectura) hasta que halle uno que muestre una calificación inferior a C. Queremos saber la probabilidad de que la instructora tenga que examinar, al menos, diez exámenes hasta que halle uno con una calificación inferior a C. ¿Cuál es la pregunta de probabilidad enunciada matemáticamente? P ( x ≥ 10) Supongamos que busca a un estudiante de su instituto universitario que vive a menos de ocho millas de usted. Sabe que el 55 % de los 25.000 estudiantes viven a menos de ocho millas de usted. Contacta al azar con estudiantes del instituto universitario hasta que uno diga que vive a menos de ocho millas de usted. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que contactar cuatro personas? Este es un problema geométrico porque puede tener varios fallos antes de tener el único acierto que desea. Además, la probabilidad de éxito es aproximadamente la misma cada vez que pregunta a un estudiante si vive a menos de cinco millas de usted. No hay un número definido de ensayos (número de veces que le pregunta a un estudiante). a. Supongamos que X = el número de ____________ a los que debe preguntar ____________ uno dice que sí. a. Supongamos que X = el número de estudiantes a los que debe preguntar hasta que uno diga que sí b. ¿Qué valores toma X ? b. 1, 2, 3, ..., (número total de estudiantes) c. ¿Qué son p y q ? c. p = 0,55; q = 0,45 d. La pregunta de probabilidad es P (_______). d. P ( x = 4) Notación para la Geometría: G = Función de distribución de probabilidad geométrica X ~ G ( p ) Lea como “X es una variable aleatoria con una distribución geométrica” . El parámetro es p ; p = la probabilidad de acierto de cada ensayo. La pdf geométrica nos dice la probabilidad de que la primera ocurrencia de acierto requiera x número de ensayos independientes, cada uno con probabilidad de acierto p. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p , entonces la probabilidad de que el ensayo x ésimo (de x ensayos) sea el primer acierto es: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p para x = 1, 2, 3, .... El valor esperado de X, la media de esta distribución, es 1/p. Esto nos dice cuántos ensayos tenemos que esperar hasta obtener el primer acierto incluido en el recuento el ensayo que resulta en acierto. La forma anterior de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de ensayos hasta el primer acierto. El número de ensayos incluye el que es un acierto: x = todos los ensayos, incluido el que es un acierto. Esto se puede ver en la composición de la fórmula. Si X = número de ensayos incluido el acierto, entonces debemos multiplicar la probabilidad de fracaso, (1-p), por el número de fracasos, es decir, X-1. Por el contrario, la siguiente forma de la distribución geométrica se utiliza para modelar el número de fallos hasta el primer éxito: P ( X = x ) = ( 1 – p ) x p para x = 0, 1, 2, 3, .... En este caso el ensayo que es un éxito no se cuenta como un ensayo en la fórmula: x = número de fracasos. El valor esperado, la media, de esta distribución es μ = ( 1 – p ) p . Esto nos indica cuántos fracasos debemos esperar antes de tener un acierto. En cualquier caso, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica. Supongamos que la probabilidad de un componente informático defectuoso es de 0,02. Los componentes se seleccionan al azar. Calcule la probabilidad de que el primer defecto sea causado por el séptimo componente probado. ¿Cuántos componentes espera probar hasta que se halle uno defectuoso? Supongamos que X = el número de componentes informáticos probados hasta que se encuentra el primer defecto. X toma los valores 1, 2, 3, ... donde p = 0,02. X ~ G(0,02) Calcule P ( x = 7). Respuesta: P ( x = 7) = (1 – 0,02) 7-1 × 0,02 = 0,0177. La probabilidad de que el séptimo componente sea el primer defecto es de 0,0177. El gráfico de X ~ G(0,02) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de componentes informáticos probados. Observe que las probabilidades disminuyen en un incremento común. Este incremento es la misma proporción entre cada número y se llama progresión geométrica y de ahí el nombre de esta función de densidad de probabilidad. El número de componentes que se espera probar hasta encontrar el primer componente defectuoso es la media, μ = 50 . La fórmula de la media de la variable aleatoria definida como el número de fallos hasta el primer acierto es μ = 1 p = 1 0,02 = 50 Vea el para un ejemplo en el que la variable aleatoria geométrica se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. El valor esperado de esta fórmula para la geométrica será diferente de esta versión de la distribución. La fórmula de la varianza es σ 2 = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0,02 ) ( 1 0,02 – 1 ) = 2.450 La desviación típica es σ = ( 1 p ) ( 1 p – 1 ) = ( 1 0, 02 ) ( 1 0, 02 – 1 ) = 49,5 El riesgo de desarrollar cáncer de páncreas a lo largo de la vida es de alrededor de uno de cada 78 (1,28 %). Supongamos que X = el número de personas a las que se pregunta antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas. La variable aleatoria X , en este caso, incluye solo el número de ensayos que fueron un fracaso y no cuenta el ensayo que fue un acierto para hallar una persona que tuviera la enfermedad. La fórmula adecuada para esta variable aleatoria es la segunda presentada anteriormente. Entonces X es una variable aleatoria discreta con una distribución geométrica: X ~ G ( 1 78 ) o X ~ G (0,0128). ¿Cuál es la probabilidad de que se pregunte a 9 personas antes de que una diga que tiene cáncer de páncreas? Esto es preguntar: ¿cuál es la probabilidad de que pregunte a 9 personas sin acierto y la décima persona sea un acierto? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a 20 personas? Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . P ( x = 9) = (1 – 0,0128) 9 · 0,0128 = 0,0114 P ( x = 20) = (1 – 0,0128) 19 · 0,0128 =0,01 Media = μ = ( 1 – p ) p = ( 1 – 0,0128 ) 0,0128 = 77,12 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0,0128 0,0128 2 ≈ 77,62 Ejercicio La tasa de alfabetización de un país mide la proporción de personas mayores de 15 años que saben leer y escribir. La tasa de alfabetización de las mujeres en las Colonias Unidas de la Independencia era del 12 %. Supongamos que X = el número de mujeres a las que se pregunta hasta que una dice que sabe leer y escribir. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de X ? ¿Cuál es la probabilidad de que les pregunte a cinco mujeres antes de que una diga que sabe leer y escribir? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a diez mujeres? X ~ G (0,12) P ( x = 5) = 0,0720 P ( x = 10) = 0,0380 Un jugador de béisbol tiene un promedio de bateo de 0,320. Esta es la probabilidad general de que consiga un batazo imparable cada vez que esté al bate. ¿Cuál es la probabilidad de que consiga su primer batazo imparable en el tercer chance al bate? P ( x =3) = (1-0,32) 3-1 × 0,32 = 0,1480 En este caso, la secuencia es de fracaso, acierto, fracaso. ¿Cuántos turnos de bateo espera que necesite el bateador antes de conseguir un batazo imparable? μ = 1 p = 1 0,320 = 3,125 ≈ 3 Es simplemente el valor esperado de los aciertos y, por tanto, la media de la distribución. Hay un 80 % de posibilidades de que un perro dálmata tenga 13 manchas negras. Vas a una exposición canina y cuentas las manchas de los dálmatas. ¿Cuál es la probabilidad de que revise las manchas de 3 perros antes de encontrar uno que tenga 13 manchas negras? P ( x =3) = (1 – 0,80) 3 × 0,80 = 0,0064 Referencias “Millennials: A Portrait of Generation Next”, PewResearchCenter. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/files/2010/10/millennials-confident-connected-open-to-change.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Millennials: Confident. Connected. Open to Change”. Executive Summary by PewResearch Social & Demographic Trends, 2013. Disponible en línea en http://www.pewsocialtrends.org/2010/02/24/millennials-confident-connected-open-to-change/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). Pryor, John H., Linda DeAngelo, Laura Palucki Blake, Sylvia Hurtado, Serge Tran. The American Freshman: National Norms Fall 2011. Los Ángeles: Cooperative Institutional Research Program at the Higher Education Research Institute at UCLA, 2011. También disponible en línea en http://heri.ucla.edu/PDFs/pubs/TFS/Norms/Monographs/TheAmericanFreshman2011.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “Summary of the National Risk and Vulnerability Assessment 2007/8: A profile of Afghanistan,” The European Union and ICON-Institute. Disponible en línea en http://ec.europa.eu/europeaid/where/asia/documents/afgh_brochure_summary_en.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “The World FactBook”, Central Intelligence Agency. Disponible en línea en https://www.cia.gov/library/publications/the-world-factbook/geos/af.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “UNICEF reports on Female Literacy Centers in Afghanistan established to teach women and girls basic resading [sic] and writing skills,” UNICEF Television. Video disponible en línea en http://www.unicefusa.org/assets/video/afghan-female-literacy-centers.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Hay tres características de un experimento geométrico: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo son iguales para cada ensayo. En un experimento geométrico defina la variable aleatoria discreta X como el número de ensayos independientes hasta el primer acierto. Decimos que X tiene una distribución geométrica y escribimos X ~ G ( p ) donde p es la probabilidad de acierto en un solo ensayo. La media de la distribución geométrica X ~ G ( p ) es μ = 1 / p donde x = número de ensayos hasta el primer acierto de la fórmula P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 p donde el número de pruebas es hasta el primer acierto incluido. Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es: P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La forma más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Revisión de la fórmula P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x – 1 X ~ G( p ) significa que la variable aleatoria discreta X tiene una distribución de probabilidad geométrica con probabilidad de acierto en un único ensayo p . X = el número de ensayos independientes hasta el primer acierto X toma los valores x = 1, 2, 3, ... p = la probabilidad de acierto de cualquier ensayo q = la probabilidad de fallo para cualquier ensayo p + q = 1 q = 1 – p La media es μ = 1 p . La desviación típica es σ = 1 – p p 2 = 1 p ( 1 p – 1 ) . Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: El Instituto de Investigación de la Educación Superior de la Universidad de California en Los Ángeles (University of California, Los Angeles, UCLA) recopiló datos de 203.967 estudiantes de primer año a tiempo completo de 270 institutos universitarios de cuatro años en EE. UU. El 71,3 % de esos estudiantes respondieron que sí, que creen que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. Supongamos que selecciona al azar a un estudiante de primer año del estudio hasta que halle uno que responda “sí”. Le interesa el número de estudiantes de primer año a los que debe preguntar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de estudiantes de primer año seleccionados del estudio hasta que uno respondió “sí” a que las parejas del mismo sexo deberían tener derecho a un estado civil legal. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma la variable aleatoria X ? 1,2,… Construya la Función de Distribución de Probabilidad (PDF). Deténgase en x = 6. x P ( x ) 1 2 3 4 5 6 En promedio ( μ ), ¿a cuántos estudiantes de primer año tendría que preguntarles hasta hallar uno que responda “sí”? 1,4 ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntarles a menos de tres estudiantes de primer año? TAREA PARA LA CASA Una consumidora que quiera comprar un Miata rojo de segunda mano llamará a los concesionarios hasta que halle uno que tenga ese automóvil. Calcula que la probabilidad de que cualquier concesionario independiente tenga el automóvil será del 28 %. Nos interesa el número de concesionarios a los que debe llamar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿a cuántos concesionarios tendríamos que llamar hasta hallar uno que tenga el automóvil? Calcule la probabilidad de que tenga que llamar como máximo a cuatro concesionarios. Calcule la probabilidad de que deba llamar a tres o cuatro concesionarios. Supongamos que la probabilidad de que un adulto en Estados Unidos vea el supertazón es del 40 %. Cada persona se considera independiente. Nos interesa saber el número de adultos en Estados Unidos que debemos encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿A cuántos adultos en Estados Unidos espera encuestar hasta hallar uno que vea el supertazón? Calcule la probabilidad de que deba preguntar a siete personas. Calcule la probabilidad de que deba preguntar a tres o cuatro personas. X = el número de adultos en Estados Unidos encuestados hasta que uno dice que verá el supertazón. X ~ G (0,40) 2,5 0,0187 0,2304 Se ha calculado que solo un 30 % de los residentes de California tienen suministros adecuados para terremotos. Supongamos que nos interesa saber el número de residentes de California que debemos encuestar hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuál es la probabilidad de que tengamos que encuestar a uno o a dos residentes hasta que hallemos uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿Cuál es la probabilidad de que debamos encuestar, al menos, tres residentes de California hasta que hallemos uno que no tenga suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que no tenga los suministros adecuados para un terremoto? ¿A cuántos residentes de California hay que encuestar hasta que se halle uno que sí tenga los suministros adecuados para un terremoto? En uno de sus catálogos de primavera, L. L. Bean® anunciaba calzado en 29 de las 192 páginas de su catálogo. Supongamos que tomamos al azar 20 páginas. Nos interesa el número de páginas que anuncian calzado. Cada página puede ser elegida más de una vez. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas páginas espera que anuncien calzado? ¿Es probable que las veinte anuncien calzado en ellas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la probabilidad de que menos de diez anuncien calzado en ellas? Recordatorio: Una página puede ser elegida más de una vez. Nos interesa saber el número de páginas que debemos inspeccionar aleatoriamente hasta hallar una que tenga calzado anunciado. Defina la variable aleatoria X y dé su distribución. ¿Cuál es la probabilidad de que solo tenga que inspeccionar como máximo tres páginas para hallar una que anuncie calzado en ella? ¿Cuántas páginas espera tener que inspeccionar para hallar una que anuncie calzado? X = el número de páginas que anuncian calzado X toma los valores 0, 1, 2, ..., 20 X ~ B (20, 29 192 ) 3,02 No 0,9997 X = el número de páginas que debemos inspeccionar hasta hallar una que anuncie calzado. X ~ G ( 29 192 ) 0,3881 6,6207 páginas Suponga que está haciendo el experimento de probabilidad de lanzar un dado imparcial de seis lados. Supongamos que F es el evento de sacar un cuatro o un cinco. Le interesa saber cuántas veces tiene que lanzar el dado para obtener el primer cuatro o cinco como resultado. p = probabilidad de acierto (se produce el evento F ) q = probabilidad de fallo (el evento F no se produce) Escriba la descripción de la variable aleatoria X . ¿Cuáles son los valores que puede asumir X ? Calcule los valores de p y q . Calcule la probabilidad de que la primera ocurrencia del evento F (sacar un cuatro o un cinco) sea en el segundo ensayo. Ellen tiene práctica de música tres días a la semana. Practica los tres días el 85 % del tiempo, dos días el 8 % del tiempo, un día el 4 % del tiempo y ningún día el 3 % del tiempo. Se selecciona una semana al azar. ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2 y 3 El Banco Mundial registra la prevalencia del VIH en países de todo el mundo. Según sus datos, “la prevalencia del VIH se refiere al porcentaje de personas de 15 a 49 años que están infectadas por el VIH”. ”Prevalence of HIV, total (% of populations ages 15-49),” The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/SH.DYN.AIDS.ZS?order=wbapi_data_value_2011+wbapi_data_value+wbapi_data_value-last&sort=desc (consultado el 15 de mayo de 2013). En Sudáfrica, la prevalencia del VIH es del 17,3 %. Supongamos que X = el número de personas a quienes se les hace la prueba hasta hallar una persona infectada por el VIH. Dibuje un gráfico de la distribución de la variable aleatoria discreta X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que hacer la prueba a 30 personas para hallar una con el VIH? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a diez personas? Calcule la (i) media y (ii) desviación típica de la distribución de X . Según una reciente encuesta de Pew Research, el 75 % de los millenials (personas nacidas entre 1981 y 1995) tienen un perfil en una red social. Supongamos que X = el número de mileniales a quienes pregunta hasta hallar una persona sin perfil en una red social. Describa la distribución de X . Calcule (i) la media y (ii) la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a diez personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que haya que preguntar a 20 personas para hallar a una persona sin red social? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga que preguntar a un máximo de cinco personas? X ~ G (0,25) Media = μ = 1 p = 1 0,25 = 4 Desviación típica = σ = 1 – p p 2 = 1 – 0 0,25 0,25 2 ≈ 3,4641 P ( x = 10) = 0,0188 P ( x = 20) = 0,0011 P ( x ≤ 5) = 0,7627 Distribución geométrica una variable aleatoria (RV) discreta que surge de los ensayos de Bernoulli; los ensayos se repiten hasta el primer acierto. La variable geométrica X se define como el número de ensayos hasta el primer acierto. La media es μ = 1 p y la desviación típica es σ = 1 p ( 1 p – 1 ) . La probabilidad de que se produzcan exactamente x fallos antes del primer acierto viene dada por la fórmula P ( X = x ) = p (1 – p ) x – 1 donde se quiere conocer la probabilidad para el número de ensayos hasta el primer acierto: el x-ésimo ensayo es el primer acierto Una formulación alternativa de la distribución geométrica plantea la siguiente pregunta: ¿cuál es la probabilidad de x fracasos hasta el primer acierto? En esta formulación no se cuenta el ensayo que generó el primer acierto. La fórmula para esta presentación de la geométrica es P ( X = x ) = p ( 1 – p ) x El valor esperado en esta forma de la distribución geométrica es μ = 1 – p p La manera más fácil de mantener estas dos formas de la distribución geométrica es recordar que p es la probabilidad de acierto y (1-p) es la probabilidad de fracaso. En la fórmula los exponentes simplemente cuentan el número de aciertos y el número de fallos del resultado deseado del experimento. Por supuesto, la suma de estos dos números debe dar el número de ensayos del experimento. Experimento geométrico un experimento estadístico con las siguientes propiedades: Hay uno o más ensayos de Bernoulli con todos los fallos excepto el último, que es un acierto. En teoría, el número de pruebas podría ser eterno. Debe haber, al menos, un ensayo. La probabilidad, p , de un acierto y la probabilidad, q , de un fallo no cambian de un ensayo a otro.", "section": "Distribución geométrica", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distribución de Poisson Otra distribución de probabilidad útil es la distribución de Poisson o distribución del tiempo de espera. Esta distribución se utiliza para determinar cuántos empleados de caja son necesarios para mantener el tiempo de espera en la fila a niveles especificados, cuántas líneas telefónicas son necesarias para evitar que el sistema se sobrecargue, y muchas otras aplicaciones prácticas. Una modificación de la distribución de Poisson, la Pascal, inventada hace casi cuatro siglos, es utilizada hoy en día por las compañías de telecomunicaciones de todo el mundo para los factores de carga, los niveles de conexión de los satélites y los problemas de capacidad de internet. La distribución recibe su nombre de Simeón Poisson, que la presentó en 1837 como una extensión de la distribución binomial, que veremos que se puede estimar con la Poisson. Hay dos características principales de un experimento de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida. Los eventos son independientes del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas y se supone que no hay relación entre el momento en que se producen los errores ortográficos. La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad. P ( x < 5) Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión? Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión. a. ¿Cuál es el intervalo de interés? a. una emisión medida en minutos b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión? b. 2 c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X ? c. Sea X = el número de veces que el reportero de noticias dice “ah\" durante una emisión. x = 0, 1, 2, 3, ... d. La pregunta de probabilidad es P (______). d. P ( x > 2) Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson X ~ P ( μ ) Se lee como “ X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ ); μ (o λ ) = la media del intervalo de interés. La media es el número de ocurrencias que se producen por término promedio durante el periodo del intervalo. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X ) es la probabilidad de X aciertos, μ es el número esperado de aciertos basado en datos históricos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de aciertos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Para utilizar la distribución de Poisson, deben cumplirse ciertos supuestos. Estos son: la probabilidad de un éxito, μ, no cambia dentro del intervalo, no puede haber éxitos simultáneos dentro del intervalo y, por último, que la probabilidad de un éxito entre intervalos es independiente, el mismo supuesto de la distribución binomial. En cierto modo, la distribución de Poisson puede considerarse una forma inteligente de convertir una variable aleatoria continua, normalmente el tiempo, en una variable aleatoria discreta al dividir el tiempo en intervalos independientes discretos. Esta forma de pensar en la Poisson nos ayuda a entender por qué se puede utilizar para estimar la probabilidad de la variable aleatoria discreta de la distribución binomial. La Poisson pide la probabilidad de un número de aciertos durante un periodo mientras que la binomial pide la probabilidad de un número determinado de aciertos para un número dado de ensayos. El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos? Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 hora) x = 0, 1, 2, 3, ... Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema. X ~ P (0,75) Calcule P ( x > 1). P (x > 1) = 0,1734 La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734. El gráfico de X ~ P (0,75) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de llamadas durante 15 minutos. Según una encuesta, un profesor universitario recibe, en promedio, 7 correos electrónicos al día. Sea X = el número de correos electrónicos que recibe un profesor al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (7). La media es de 7 correos electrónicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 2 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la desviación típica? P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 7 2 e -7 2! = 0,022 P ( x ≤ 2 ) = 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! = 0,029 Desviación típica = σ = μ = 7 ≈ 2,65 Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora? Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es 41,5 24 ≈ 1,7292. P ( x = 2 ) = μ x e –μ x! = 1,729 2 e -1,729 2! = 0,265 P ( x > 2 ) = 1 – P ( x ≤ 2 ) = 1 – [ 7 0 e -7 0! + 7 1 e -7 1! + 7 2 e -7 2! ] = 0,250 El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja. Mediante la distribución binomial: P ( x = 10 ) = 200! 10! ( 200 – 10 ) ! × 0,0102 10 × 0,9898 190 = 0,000039 Mediante la distribución de Poisson: Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04 P ( x = 10 ) = μ x e –μ x! = 2,04 10 e -2,04 10! = 0,000045 Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0. Estimación de la distribución binomial con la distribución de Poisson Anteriormente comprobamos que la distribución binomial proporcionaba una aproximación a la distribución hipergeométrica. Ahora hallamos que la distribución de Poisson puede proporcionar una aproximación para la binomial. Decimos que la distribución binomial se acerca a la Poisson. La distribución binomial se aproxima a la distribución de Poisson es a medida que n se hace más grande y p es pequeño, de manera que np se convierte en un valor constante. Hay varias reglas generales sobre cuándo se puede decir que se va a utilizar una Poisson para estimar una binomial. Una de ellas sugiere que np , la media de la binomial, debe ser inferior a 25. Otro autor sugiere que debería ser inferior a 7. Y otro, observando que la media y la varianza de la Poisson son ambas iguales, sugiere que np y npq , la media y la varianza de la binomial, deben ser mayores que 5. No existe una regla general aceptada sobre cuándo se puede utilizar la Poisson para estimar la binomial. A medida que avanzamos por estas distribuciones de probabilidad, llegamos a distribuciones más sofisticadas que, en cierto sentido, contienen las distribuciones menos sofisticadas dentro de ellas. Esta proposición ha sido demostrada por los matemáticos. Esto nos lleva al nivel más alto de sofisticación en la siguiente distribución de probabilidad que puede ser usada como una aproximación a todas las que hemos discutido hasta ahora. Esta es la distribución normal. Una encuesta realizada a 500 estudiantes de último curso de la Price Business School arroja los siguientes datos. El 75 % empieza a trabajar directamente después de graduarse. El 15 % continúa para hacer su Maestría en Administración de Empresas (Master of Business Administration, MBA). El 9 % se queda para obtener un título en una asignatura secundaria en otro programa. El 1 % continúa en una Maestría en Finanzas. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 2 estudiantes de último año vayan a la escuela de posgrado para hacer una Maestría en Finanzas? Esto es claramente un problema de distribución de probabilidad binomial. Las opciones son binarias cuando definimos los resultados como \"Escuela de Postgrado en Finanzas\" frente a \"todas las demás opciones\". La variable aleatoria es discreta y los eventos son, podríamos suponer, independientes. Resolviendo como un problema binomial, tenemos: Solución binomial n · p = 500 · 0,01 = 5 = µ P ( 0 ) = 500 ! 0 ! ( 500 – 0 ) ! 0,01 0 ( 1 – 0,01 ) 500 – 0 = 0,00657 P ( 1 ) = 500 ! 1 ! ( 500 – 1 ) ! 0,01 1 ( 1 – 0,01 ) 500 – 1 = 0,03318 P ( 2 ) = 500 ! 2 ! ( 500 – 2 ) ! 0,01 2 ( 1 – 0,01 ) 500 – 2 = 0,08363 Sumando los 3 = 0,12339 1 – 0,12339 = 0,87661 Aproximación de Poisson n · p = 500 · 0,01 = 5 = μ n · p · ( 1 – p ) = 500 · 0,01 · ( 0,99 ) ≈ 5 = σ 2 = μ P ( X ) = e −np ( n p ) x x ! = { P ( 0 ) = e −5 · 5 0 0 ! } + { P ( 1 ) = e −5 · 5 1 1 ! } + { P ( 2 ) = e −5 · 5 2 2 ! } 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1247 1 – 0,1247 = 0,8753 Una aproximación de 1 milésima es sin duda una aproximación aceptable. Referencias “ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 6 de febrero de 2019). Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013). “Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013). “How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volume is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es \"pequeña\" (menor o igual a 0,01) y el número de ensayos es \"grande\" (mayor o igual a 25). También se sugieren otras reglas generales por parte de diferentes autores, pero todos reconocen que la distribución de Poisson es la distribución límite de la binomial a medida que n aumenta y p se acerca a cero. La fórmula para calcular las probabilidades que provienen de un proceso de Poisson es: P ( x ) = μ x e – μ x ! donde P(X) es la probabilidad de éxitos, μ (pronunciado mi) es el número esperado de éxitos, e es el logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718, y X es el número de éxitos por unidad, normalmente por unidad de tiempo. Revisión de la fórmula X ~ P ( μ ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ... Se suele dar la media μ o λ . La varianza es σ 2 = μ , y la desviación típica es σ = μ . Cuando se utiliza P ( μ ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo. P ( x ) = μ x e – μ x ! Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X . ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, … ¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día? ¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día. 0,0485 ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas? 0,0214 ¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos de motor al día. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, ... Para los valores dados de la variable aleatoria X , rellene las probabilidades correspondientes. ¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. No ¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. TAREA PARA LA CASA La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía. Calcule la media y la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía? Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía? ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía? X ~ P (5,5); μ = 5,5; σ = 5,5 ≈ 2,3452 P (x ≤ 6) ≈ 0,6860 Hay un 15,7 % de probabilidad de que el personal jurídico reciba más llamadas de las que puede atender. P ( x > 8) = 1 - P (x ≤ 8) ≈ 1 - 0,8944 = 0,1056 La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora. Calcule la media y la desviación típica de X . Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora? Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson. Supongamos que X = el número de bombillas defectuosas en una cadena. Mediante la distribución de Poisson: μ = np = 100(0,03) = 3 X ~ P (3) P (x ≤ 4) ≈ 0,8153 Mediante la distribución binomial: X ~ B (100, 0,03) P (x ≤ 4) = 0,8179 La aproximación de Poisson es muy buena: la diferencia entre las probabilidades es de solo 0,0026. El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas. El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas. X = el número de hijos de una española 0, 1, 2, 3,... 0,2299 0,5679 0,4321 Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca: Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Demuestre la distribución de X . X ~ _______ Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año. La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional? Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional. Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional. A medida que aumenta n , ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas. X = el número de galletas de la fortuna que tienen suerte adicional 0, 1, 2, 3,... 144 4,32 0,0124 o 0,0133 0,6300 o 0,6264 A medida que n aumenta, las probabilidades se acercan. Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Dada la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas se espera que sufran anorexia? Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia. Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Utilice una distribución de Poisson para responder a las siguientes preguntas. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos se espera que se hayan auditado? Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado. Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados. X = número de personas auditadas en un año 0, 1, 2, ..., 100 2 0,1353 0,3233 Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel? Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles? Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué? X = el número de trozos de cáscara en un pastel 0, 1, 2, 3,... 1,5 0,2231 0,0001 Sí Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. En palabras, la variable aleatoria X = _________________ el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan. Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana. 0,5000 0,9329 0,0378 0,0671 d Distribución de probabilidad de Poisson una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos. Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. La media es μ = np . La desviación típica es σ = μ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r ensayos es P ( x ) = μ x e – μ x ! . La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es \"grande\" y p es \"pequeño\" (una regla general es que np debe ser mayor o igual a 25 y p debe ser menor o igual a 0,01).", "section": "Distribución de Poisson", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Las alturas de estas plantas de rábano son variables aleatorias continuas. (créditos: Rev Stan). Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI, la duración de una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, la duración de un chip de computadora, las tasas de rendimiento de una inversión y las puntuaciones de la selectividad son solo algunos ejemplos. El campo de la fiabilidad depende de una variedad de variables aleatorias continuas, al igual que todos los ámbitos del análisis de riesgos. Nota Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. Ya conocimos este concepto cuando desarrollamos las frecuencias relativas con histogramas en el Capítulo 2 . El área relativa para un rango de valores era la probabilidad de extraer al azar una observación en ese grupo. De nuevo con la distribución de Poisson del Capítulo 4 , el gráfico del Ejemplo 4.14 utilizó cajas para representar la probabilidad de valores específicos de la variable aleatoria. En este caso, estábamos siendo poco estrictos porque las variables aleatorias de una distribución de Poisson son discretas, números enteros, y una caja tiene anchura. Observe que el eje horizontal, la variable aleatoria x, deliberadamente no marcó los puntos a lo largo del eje. La probabilidad de un valor específico de una variable aleatoria continua será cero porque el área bajo un punto es cero. La probabilidad es el área. La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf ). Utilizamos el símbolo f ( x ) para representar la curva. f ( x ) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f ( x ) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa ( cdf ). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Matemáticamente, la función de densidad de probabilidad acumulada es la integral de la pdf, y la probabilidad entre dos valores de una variable aleatoria continua será la integral de la pdf entre estos dos valores: el área bajo la curva entre estos valores. Recuerde que el área bajo la pdf para todos los valores posibles de la variable aleatoria es uno, la certeza. Por tanto, la probabilidad puede verse como el porcentaje relativo de certeza entre los dos valores de interés. Los resultados se miden, no se cuentan. Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno. La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x . P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d . P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x , a la derecha de c y a la izquierda de d . P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero. P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área. Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, el cálculo integral es necesario para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera. En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones. El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis. El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro. El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA. Consideremos la función f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive. f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20. El área entre f ( x ) = 1 20 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 1 20 . ÁREA = 20 ( 1 20 ) = 1 Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 0 < x < 2. ÁREA = ( 2 – 0 ) ( 1 20 ) = 0,1 ( 2 – 0 ) = 2 = base de un rectángulo Recordatorio área de un rectángulo = (base)(altura). El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P (0 < x < 2) = P ( x < 2) = 0,1. Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 4 < x < 15. ÁREA = ( 15 – 4 ) ( 1 20 ) = 0,55 ( 15 – 4 ) = 11 = la base de un rectángulo El área corresponde a la probabilidad P (4 < x < 15) = 0,55. Supongamos que queremos hallar P ( x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P ( x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) = 0 P ( X ≤ x ), que también se puede escribir como P ( X < x ) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P ( X > x ). La cdf da el “área a la izquierda” y P ( X > x ) da el “área a la derecha”. Calculamos P ( X > x ) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Identifique el gráfico con f ( x ) y x . Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y . f ( x ) = 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20. Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo. P ( 2,3 < x < 12,7 ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,7 – 2,3 ) ( 1 20 ) = 0,52 Ejercicio Consideremos la función f ( x ) = 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f ( x ) y calcule P (2,5 < x < 7,5). P (2,5 < x < 7,5) = 0,625 Repaso del capítulo La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f ( x ) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f ( x ) es uno. El área debajo del gráfico de f ( x ) y entre los valores a y b da la probabilidad P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P ( X ≤ x ). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x . Revisión de la fórmula Función de densidad de probabilidad (pdf) f ( x ): f ( x ) ≥ 0 El área total debajo de la curva f ( x ) es uno. Función de distribución acumulativa (cdf): P ( X ≤ x ) ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución uniforme ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución normal ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) P (6 < x < 7) Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 15. ¿Qué es P ( x > 15)? ¿Cuál es el área debajo de f ( x ) si la función es una función de densidad de probabilidad continua? uno Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 10. ¿Qué es P ( x = 7)? Una función de probabilidad continua se restringe a la parte comprendida entre x = 0 y 7. ¿Qué es P ( x = 10)? cero f ( x ) para una función de probabilidad continua es 1 5 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 5. ¿Qué es P ( x < 0)? f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 12 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 12. ¿Qué es P (0 < x < 12)? uno Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. 0,625 Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 3 y la función se restringe a 1 ≤ x ≤ 4. Describa P ( x > 3 2 ) . La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f ( x ) = 1 3 . Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos? ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos? Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué? La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada. Distribución uniforme variable aleatoria (RV) continua que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b ; a menudo se denomina distribución rectangular porque el gráfico de la pdf tiene la forma de un rectángulo. La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . Distribución exponencial variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital. La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 – e – m x o P ( X ≤ x ) = 1 – e – 1 μ x .", "section": "Propiedades de las funciones de densidad de probabilidad continuas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "La distribución uniforme La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o excluyentes de los extremos. El enunciado matemático de la distribución uniforme es f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x . Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 Ejercicio Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b . Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica. 1 12 4 10 4 14 11 7 11 4 13 2 4 6 3 10 0 12 6 9 10 5 13 4 10 14 12 11 6 10 11 0 11 13 2 a es cero; b es 14; X ~ U (0, 14); μ = 7 pasajeros; σ = 4,04 pasajeros La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos? a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U (0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 15 – 0 = 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15. Calcule P ( x < 12,5). Dibuje un gráfico. P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,5 – 0 ) ( 1 15 ) = 0,8333 La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333. b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ , y la desviación típica, σ . b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos. σ = ( b – a ) 2 12 = ( 15 – 0 ) 2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos. c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces? NOTA Esto pide calcular el percentil 90 . c. Calcule el percentil 90 . Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90 . P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( k – 0 ) ( 1 15 ) 0,90 = ( k ) ( 1 15 ) k = ( 0,90 ) ( 15 ) = 13,5 El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos. Ejercicio La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive. Calcule a y b y describa lo que representan. Escriba la distribución. Calcule la media y la desviación típica. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas? a es 447, y b es 521. a es la duración mínima de los partidos de un equipo para la temporada 2011, y b es la duración máxima de los partidos de un equipo para la temporada 2011. X ~ U (447, 521). μ = 484, y σ = 21,36 P (480 < x < 500) = 0,2703 Repaso del capítulo Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b , entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b ). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U ( a , b ). La media de X es μ = a + b 2 . La desviación típica de X es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . X es continua. La probabilidad de P ( c < X < d ) se puede hallar calculando el área bajo f ( x ), entre c y d . Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura. Revisión de la fórmula X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b ). a = X más pequeño; b = X más grande X ~ U (a, b) La media es μ = a + b 2 La desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 Función de densidad de probabilidad: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ X ≤ b Área a la izquierda de x : P ( X < x ) = ( x – a ) ( 1 b – a ) Área a la derecha de x : P ( X > x ) = ( b – x ) ( 1 b – a ) Área entre c y d : P ( c < x < d ) = (base)(altura) = ( d – c ) ( 1 b – a ) pdf: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b cdf: P ( X ≤ x ) = x – a b – a media µ = a + b 2 desviación típica σ = ( b – a ) 2 12 P ( c < X < d ) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Referencias McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995. Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas. 1,5 2,4 3,6 2,6 1,6 2,4 2,0 3,5 2,5 1,8 2,4 2,5 3,5 4,0 2,6 1,6 2,2 1,8 3,8 2,5 1,5 2,8 1,8 4,5 1,9 1,9 3,1 1,6 La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302. La distribución se puede escribir como X ~ U (1,5, 4,5). ¿Qué tipo de distribución es esta? En esta distribución, los resultados son igualmente probables. ¿Qué significa esto? Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5. ¿Cuál es la altura de f ( x ) para la distribución de probabilidad continua? ¿Cuáles son las limitaciones para los valores de x ? 1,5 ≤ x ≤ 4,5 Gráfico de P (2 < x < 3). ¿Qué es P (2 < x < 3)? 0,3333 ¿Qué es P (x < 3,5 | x < 4)? ¿Qué es P ( x = 1,5)? cero Calcule la probabilidad de que una casa seleccionada al azar tenga más de 3.000 pies cuadrados dado que ya se sabe que la casa tiene más de 2.000 pies cuadrados. 0,6 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U (0, 12). ¿Qué es a ? ¿Qué representa? ¿Qué es b ? ¿Qué representa? b es 12, y representa el valor más alto de x . ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuál es la media teórica? seis ¿Cuál es la desviación típica teórica? Dibuje el gráfico de la distribución para P ( x > 9). Calcule P ( x > 9). Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años. ¿Qué se mide aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal ¿Los datos son discretos o continuos? El intervalo de valores de x es ______. de 0,5 a 9,5 La distribución de X es ______. Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive. Grafique la distribución de probabilidad. Dibuje el gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los siguientes valores: El valor más bajo para x – : _______ El valor más alto para x – : _______ Altura del rectángulo: _______ Identifique para el eje x (en palabras): _______ Identifique para el eje y (en palabras): _______ Calcule la edad promedio de los automóviles en el estacionamiento. μ = 5 Calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4) = _______ Considerando solo los automóviles de menos de 7,5 años, calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico, sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4 | x < 7,5) = _______ Compruebe la solución del estudiante. 3,5 7 ¿Qué ha cambiado en los dos problemas anteriores para que las soluciones sean diferentes? Calcule el tercer cuartil de edades de los automóviles en el estacionamiento. Esto significa que tendrá que hallar el valor tal que 3 4 , o el 75 %, de los automóviles tienen como máximo (menos o igual) esa edad. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,75. El tercer cuartil es _______ Compruebe la solución del estudiante. k = 7,25 7,25 Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Los nacimientos se distribuyen de manera aproximadamente uniforme entre las 52 semanas del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de uno a 53 (repartición de 52 semanas). Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que comienza la semana 19. Es decir, calcule P ( x = 19) = _________ P (2 < x < 31) = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40. P (12 < x | x < 28) = _________ Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme. Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ P (3,5 < x < 7,25) = _________ P ( x > 5,67) P ( x > 5 | x > 3) = _________ Compruebe la solución del estudiante. e ( x ) = 1 8 donde 1 ≤ x ≤ 9 cinco 2,3 15 32 333 800 2 3 Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa de pérdida de peso en vivo en el Hospital de Santa Elena, las personas que siguen su programa pierden entre 6 y 15 libras al mes hasta acercarse a su peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes. Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes. P (7 < x < 13 | x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Un vagón de metro de la Red Line llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme. Defina la variable aleatoria. X = _______ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _______ μ = _______ σ = _______ Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto. Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja. Grafique la distribución de probabilidad. e ( x ) = 1 8 donde 0 ≤ x ≤ 8 cuatro 2,31 1 8 1 8 La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase. Defina la variable aleatoria. X = _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años. Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)? cero dos tres cuatro d ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos? 0,125 0,25 0,5 0,75 b El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f ( x ) = 1 20 donde x va de 25 a 45 minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________ Grafique la distribución de probabilidad. La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua). μ = ________ σ = ________ Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. P (25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares. Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares. La función de densidad de probabilidad de X es 1 25 – 16 = 1 9 . P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3 . P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3 . Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21 | x > 18). Puede responderla de dos maneras: Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 ( 25 – 18 ) = 1 7 Entonces, P ( x > 21 | x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) = 4/7. Utilice la fórmula: P ( x > 21 | x > 18) = P ( x > 21 ∩ x > 18 ) P ( x > 18 ) = P ( x > 21 ) P ( x > 18 ) = ( 25 – 21 ) ( 25 – 18 ) = 4 7 . Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme. Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos. El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día. Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día. P ( X > 650) = 700 – 650 700 – 300 = 50 400 = 1 8 = 0,125. P (400 < X < 650) = 650 – 400 700 – 300 = 250 400 = 0,625 Probabilidad condicional la probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro.", "section": "La distribución uniforme", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "La distribución exponencial La distribución exponencial suele referirse a la cantidad de tiempo que transcurre hasta que se produce algún evento específico. Por ejemplo, la cantidad de tiempo (que comienza ahora) hasta que se produzca un terremoto tiene una distribución exponencial. Otros ejemplos son la duración, en minutos, de las llamadas telefónicas de larga distancia comerciales y la cantidad de tiempo, en meses, que dura la batería de un automóvil. También se puede demostrar que el valor del cambio que se tiene en el bolsillo o en el monedero sigue una distribución exponencial aproximadamente. Los valores de una variable aleatoria exponencial se producen de la siguiente manera. Hay menos valores grandes y más valores pequeños. Por ejemplo, los estudios de marketing han demostrado que la cantidad de dinero que los clientes gastan en una visita al supermercado sigue una distribución exponencial. Hay más gente que gasta pequeñas cantidades de dinero y menos gente que gasta grandes cantidades de dinero. Las distribuciones exponenciales se utilizan habitualmente en cálculos de fiabilidad de productos, es decir, el tiempo que dura un producto. La variable aleatoria de la distribución exponencial es continua y suele medir el paso del tiempo, aunque puede utilizarse en otras aplicaciones. Las preguntas típicas pueden ser: \"¿cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra en los próximos x horas o días, o cuál es la probabilidad de que algún evento ocurra entre x 1 horas y x 2 horas, o cuál es la probabilidad de que el evento dure más de x 1 horas para llevarse a cabo\" En resumen, la variable aleatoria X es iguala ( a ) el tiempo entre eventos o( b ) el paso del tiempo para completar una acción, por ejemplo, esperar a un cliente. La función de densidad de probabilidad viene dada por: e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x donde μ es el tiempo promedio de espera histórico. y tiene una media y una desviación típica de 1/μ. Una forma alternativa de la fórmula de la distribución exponencial reconoce lo que suele llamarse el factor de decaimiento. El factor de decaimiento simplemente mide la rapidez con la que la probabilidad de un evento disminuye a medida que la variable aleatoria X aumenta. Cuando se utiliza la notación con el parámetro de decaimiento m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x donde m = 1 μ Para calcular las probabilidades de determinadas funciones de densidad de probabilidad, se utiliza la función de densidad acumulada. La función de densidad acumulativa (cdf) es simplemente la integral de la pdf y es: F ( x ) = ∫ 0 ∞ [ 1 μ e – x μ ] = 1 – e – x μ Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en minutos) que un empleado de correos pasa con un cliente. A partir de los datos históricos, se sabe que el tiempo promedio es de cuatro minutos. Dado que μ = 4 minutos, es decir, el tiempo promedio que el dependiente pasa con un cliente es de 4 minutos. Recuerde que seguimos calculando probabilidad y por tanto nos tienen que decir los parámetros poblacionales como la media. Para hacer cualquier cálculo, necesitamos conocer la media de la distribución: el tiempo histórico de prestación de un servicio, por ejemplo. Conocer la media histórica permite calcular el parámetro de decaimiento, m . m = 1 μ . Por lo tanto, m = 1 4 = 0,25 . Cuando la notación utiliza el parámetro de decaimiento, m , la función de densidad de probabilidad se presenta como e ( x ) = m e – m x , que es simplemente la fórmula original con m sustituido por 1 μ , o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x . Para calcular las probabilidades de una función de densidad de probabilidad exponencial, tenemos que utilizar la función de densidad acumulada. Como se muestra a continuación, la curva de la función de densidad acumulada es: f ( x ) = 0,25 e –0,25 x donde x es al menos cero y m = 0,25. Por ejemplo, f (5) = 0,25 e (–0,25)(5) = 0,072. Es decir, la función tiene un valor de 0,072 cuando x = 5. El gráfico es el siguiente: Observe que el gráfico es una curva descendente. Cuando x = 0, f ( x ) = 0,25 e (−0,25)(0) = (0,25)(1) = 0,25 = m . El valor máximo en el eje y es siempre m , uno dividido entre la media. Ejercicio El tiempo que los cónyuges dedican a la compra de tarjetas de aniversario se puede modelar mediante una distribución exponencial con un promedio de tiempo igual a ocho minutos. Escriba la distribución, indique la función de densidad de probabilidad y haga un gráfico de la distribución. X ~ Exp (0,125); f ( x ) = 0,125e –0,125 x ; a. Utilizando la información del , halle la probabilidad de que un empleado pase de cuatro a cinco minutos con un cliente seleccionado al azar. a. Calcule P (4 < x < 5). La función de distribución acumulativa (cumulative distribution function, cdf) da el área a la izquierda. P ( x < x ) = 1 – e –mx P ( x < 5) = 1 – e (–0,25)(5) = 0,7135 and P ( x < 4) = 1 – e (–0,25)(4) = 0,6321 P (4 < x < 5)= 0,7135 – 0,6321 = 0,0814 Ejercicio El número de días de antelación con el que los viajeros compran sus billetes de avión se puede modelar mediante una distribución exponencial con un tiempo promedio igual a 15 días. Calcule la probabilidad de que un viajero compre un billete con menos de diez días de antelación. ¿Cuántos días esperan la mitad de los viajeros? P ( x < 10) = 0,4866 El percentil 50 = 10,40 En promedio, una determinada pieza de computadora dura diez años. El tiempo que dura la parte de la computadora se distribuye exponencialmente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure más de 7 años? a. Supongamos que x = la cantidad de tiempo (en años) que dura una pieza de computadora. μ = 10 por lo que m = 1 μ = 1 10 = 0,1 Calcule P ( x > 7). Dibuje el gráfico. P ( x > 7) = 1 – P ( x < 7). Como P ( X < x ) = 1 – e –mx entonces P ( X > x ) = 1 – (1 – e –mx ) = e –mx P ( x > 7) = e (–0,1)(7) = 0,4966. La probabilidad de que una pieza de computadora dure más de siete años es de 0,4966. b. En promedio, ¿cuánto tiempo durarían cinco piezas de computadora si se utilizan una tras otra? b. En promedio, una pieza de computadora dura diez años. Por lo tanto, cinco piezas de computadora, si se utilizan una tras otra, durarían, en promedio, (5)(10) = 50 años. d. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años? d. Calcule P (9 < x < 11). Dibuje el gráfico. P (9 < x < 11) = P ( x < 11) – P ( x < 9) = (1 – e (–0,1)(11) ) – (1 – e (–0,1)(9) ) = 0,6671 – 0,5934 = 0,0737. La probabilidad de que una pieza de computadora dure entre nueve y 11 años es de 0,0737. Ejercicio En promedio, un par de zapatillas para correr puede durar 18 meses si se usan a diario. La duración de las zapatillas de correr se distribuye exponencialmente. ¿Cuál es la probabilidad de que un par de zapatillas para correr dure más de 15 meses? En promedio, ¿cuánto durarían seis pares de zapatillas para correr si se usan una tras otra? ¿Cuánto tiempo duran como máximo el ochenta por ciento de las zapatillas de correr si se usan todos los días? P ( x > 15) = 0,4346 Seis pares de zapatos para correr durarían 108 meses en promedio. El percentil 80 = 28,97 meses Supongamos que la duración de una llamada telefónica, en minutos, es una variable aleatoria exponencial con parámetro de decaimiento 1 12 . El decaimiento p[parámetro] es otra forma de ver 1/λ. Si otra persona llega a un teléfono público justo antes que usted, calcule la probabilidad de que tenga que esperar más de cinco minutos. Supongamos que X = la duración de una llamada telefónica en minutos. ¿Qué son m , μ y σ ? La probabilidad de que deba esperar más de cinco minutos es _______. m = 1 12 μ = 12 σ = 12 P ( x > 5) = 0,6592 El tiempo de espera entre eventos se suele modelar mediante la distribución exponencial. Por ejemplo, supongamos que a una tienda llegan un promedio de 30 clientes por hora y que el tiempo entre las llegadas se distribuye exponencialmente. ¿Cuántos minutos transcurren en promedio entre dos llegadas sucesivas? Cuando la tienda abre por primera vez, ¿cuánto tiempo en promedio tardan en llegar tres clientes? Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde menos de un minuto en llegar. Después de la llegada de un cliente, calcule la probabilidad de que el siguiente cliente tarde más de cinco minutos en llegar. ¿Es razonable una distribución exponencial para esta situación? Dado que esperamos que lleguen 30 clientes por hora (60 minutos), esperamos que llegue un cliente cada dos minutos en promedio. Dado que un cliente llega cada dos minutos, en promedio, tardarán seis minutos en promedio en llegar tres clientes. Supongamos que X = el tiempo entre llegadas en minutos. Por la parte a, μ = 2, por lo que m = 1 2 = 0,5. La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 - e (-0,5)(x) Por tanto, P ( X < 1) = 1 – e (–0,5)(1) = 0,3935. P ( X > 5) = 1 – P ( X < 5) = 1 – (1 – e (-0,5)(5) ) = e –2,5 ≈ 0,0821. Este modelo asume que un solo cliente llega a la vez, lo que puede ser irrazonable, ya que la gente puede comprar en grupos, lo que hace que varios clientes lleguen al mismo tiempo. También supone que el flujo de clientes no cambia a lo largo del día, lo que no es válido si algunas horas del día están más ocupadas que otras. La falta de memoria de la distribución exponencial Recordemos que la cantidad de tiempo entre clientes para el empleado de correos comentado anteriormente se distribuye exponencialmente con una media de dos minutos. Supongamos que han pasado cinco minutos desde que llegó el último cliente. Dado que ha transcurrido un tiempo inusualmente largo, parece más probable que un cliente llegue durante el próximo minuto. Con la distribución exponencial, esto no es así: el tiempo adicional de espera del siguiente cliente no depende del tiempo que haya transcurrido desde el último cliente. Esto se conoce como la propiedad de falta de memoria . Las funciones de densidad de probabilidad exponencial y geométrica son las únicas funciones de probabilidad que tienen la propiedad de falta de memoria. Específicamente, la propiedad de falta de memoria dice que P ( X > r + t | X > r ) = P ( X > t ) para todo r ≥ 0 y t ≥ 0 Por ejemplo, si han transcurrido cinco minutos desde la llegada del último cliente, la probabilidad de que transcurra más de un minuto antes de que llegue el siguiente cliente se calcula utilizando r = 5 y t = 1 en la ecuación anterior. P ( X > 5 + 1 | X > 5) = P ( X > 1) = e ( – 0,5 ) ( 1 ) = 0,6065. Es la misma probabilidad que la de esperar más de un minuto a que llegue un cliente después de la llegada anterior. La distribución exponencial se utiliza a menudo para modelar la longevidad de un dispositivo eléctrico o mecánico. En el , la vida útil de una determinada pieza de computadora tiene la distribución exponencial con una media de diez años. La propiedad de falta de memoria dice que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre probabilidades futuras. En este caso, significa que una pieza usada no tiene más probabilidades de estropearse en un momento determinado que una pieza nueva. En otras palabras, la pieza se mantiene como nueva hasta que se rompe de repente. Por ejemplo, si la pieza ya ha durado diez años, la probabilidad de que dure otros siete es P ( X > 17| X > 10) = P ( X > 7) = 0,4966, donde la línea vertical se lee como “dada\". Volvamos al caso del empleado de correos, en el que el tiempo que un empleado de correos pasa con su cliente tiene una distribución exponencial con una media de cuatro minutos. Supongamos que un cliente ha pasado cuatro minutos con un empleado de la oficina postal. ¿Cuál es la probabilidad de que pase, al menos, tres minutos más con el empleado de la oficina postal? El parámetro de decaimiento de X es m = 1 4 = 0,25, por lo que X ∼ Exp (0,25). La función de distribución acumulativa es P ( X < x ) = 1 – e –0,25 x . Queremos despejar P ( X > 7| X > 4). La propiedad de falta de memoria dice que P ( X > 7| X > 4) = P ( X > 3), así que solo tenemos que hallar la probabilidad de que un cliente pase más de tres minutos con un empleado de la oficina postal. Esto es P ( X > 3) = 1 – P ( X < 3) = 1 – (1 – e –0,25⋅3 ) = e –0,75 ≈ 0,4724. Relación entre la distribución de Poisson y la distribución exponencial Existe una relación interesante entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson. Supongamos que el tiempo que transcurre entre dos eventos sucesivos sigue la distribución exponencial con una media de μ unidades de tiempo. También se supone que estos tiempos son independientes, lo que significa que el tiempo entre eventos no se ve afectado por los tiempos entre eventos anteriores. Si se cumplen estos supuestos, el número de eventos por unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson con una media μ . Recordemos que si X tiene la distribución de Poisson con una media μ , entonces P ( X = x ) = μ x e – μ x ! . La fórmula de la distribución exponencial P ( X = x ) = m e – m x = 1 μ e – 1 μ x Donde m = el parámetro de la tasa, o μ = tiempo promedio entre ocurrencias. Vemos que la exponencial es la pariente de la distribución de Poisson y se relacionan a través de esta fórmula. Existen importantes diferencias que hacen que cada distribución sea relevante para diferentes tipos de problemas de probabilidad. En primer lugar, la Poisson tiene una variable aleatoria discreta, x, en la que el tiempo; una variable continua se divide artificialmente en trozos discretos. Vimos que el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de tiempo dado, x, sigue la distribución de Poisson. Por ejemplo, el número de veces que suena el teléfono por hora. En cambio, el tiempo entre ocurrencias sigue la distribución exponencial. Por ejemplo. El teléfono acaba de sonar, ¿cuánto tiempo pasará hasta que vuelva a sonar? Estamos midiendo la duración del intervalo, una variable aleatoria continua, exponencial, no los eventos durante un intervalo, Poisson. La distribución exponencial frente a la distribución de Poisson Una forma visual de mostrar tanto las similitudes como las diferencias entre estas dos distribuciones es con una línea del tiempo. La variable aleatoria de la distribución de Poisson es discreta y, por tanto, cuenta los eventos durante un periodo determinado, de t 1 a t 2 en la , y calcula la probabilidad de que se produzca ese número. El número de eventos, cuatro en el gráfico, se mide en números que se pueden contar; por lo tanto, la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta. La distribución de probabilidad exponencial calcula las probabilidades del paso del tiempo, una variable aleatoria continua. En la esto se muestra como el paréntesis desde t 1 hasta la siguiente ocurrencia del evento marcada con un triángulo. Las preguntas clásicas de la distribución de Poisson son \"¿cuántas personas llegarán a mi caja en la próxima hora?\". Las preguntas clásicas de la distribución exponencial son \"¿cuánto tiempo pasará hasta que llegue la siguiente persona?\", o una variante, \"¿cuánto tiempo permanecerá la persona una vez que haya llegado?\". De nuevo, la fórmula de la distribución exponencial es: e ( x ) = m e – m x o e ( x ) = 1 μ e – 1 μ x Vemos inmediatamente la similitud entre la fórmula exponencial y la fórmula de Poisson. P ( x ) = μ x e – μ x ! Ambas funciones de densidad de probabilidad se basan en la relación entre el tiempo y el crecimiento o decaimiento exponencial. La \"e\" de la fórmula es una constante con el valor aproximado de 2,71828 y es la base de la fórmula del crecimiento exponencial logarítmica natural. Cuando la gente dice que algo ha crecido exponencialmente, se refiere a esto. Un ejemplo de la exponencial y la Poisson dejará claras las diferencias entre ambas. También mostrará las interesantes aplicaciones que tienen. Distribución de Poisson Supongamos que históricamente llegan 10 clientes a las filas de espera en las cajas registradoras cada hora. Recuerde que esto es todavía una probabilidad, por lo que nos tienen que decir estos valores históricos. Vemos que se trata de un problema de probabilidad de Poisson. Podemos introducir esta información en la función de densidad de probabilidad de Poisson y obtener una fórmula general que calculará la probabilidad de que llegue algún número determinado de clientes en la próxima hora. La fórmula es para cualquier valor de la variable aleatoria que hayamos elegido y, por tanto, la x se pone en la fórmula. Esta es la fórmula: e ( x ) = 10 x e -10 x ! Como ejemplo, la probabilidad de que lleguen 15 personas a la caja registradora en la próxima hora sería P ( x = 15 ) = 10 15 e -10 15 ! = 0,0611 Aquí insertamos x = 15 y calculamos que la probabilidad de que en la próxima hora lleguen 15 personas es de 0,061. Distribución exponencial Si mantenemos los mismos hechos históricos de que llegan 10 clientes cada hora, pero ahora nos interesa el tiempo de servicio que pasa una persona en el mostrador, entonces utilizaríamos la distribución exponencial. La función de probabilidad exponencial para cualquier valor de x, la variable aleatoria, para estos datos históricos de la caja registradora es: e ( x ) = 1 0,1 e -x 0,1 = 10 e -10 x Para calcular µ, el tiempo promedio de servicio histórico, simplemente dividimos el número de personas que llegan por hora, 10, entre el periodo, una hora, y tenemos µ = 0,1. Históricamente, la gente pasa el 0,1 de una hora en la caja registradora, es decir, 6 minutos. Esto explica el 0,1 de la fórmula. Existe una confusión natural con µ tanto en las fórmulas de Poisson como en las exponenciales. Tienen significados diferentes, aunque tengan el mismo símbolo. La media de la exponencial es uno dividido entre la media de Poisson. Si se da el número histórico de llegadas se tiene la media de Poisson. Si se da una duración histórica entre eventos, se tiene la media de una exponencial. Siguiendo con nuestro ejemplo de la caja, si quisiéramos saber la probabilidad de que una persona tarde 9 minutos o menos en pasar por caja registradora, utilizaríamos esta fórmula. En primer lugar, convertimos a las mismas unidades de tiempo que son partes de una hora. Nueve minutos son 0,15 de una hora. A continuación, observamos que estamos pidiendo un rango de valores. Este es siempre el caso de una variable aleatoria continua. Escribimos la pregunta de probabilidad como p ( x ≤ 9 ) = 1 – 10 e -10 x Ahora podemos poner los números en la fórmula y obtenemos nuestro resultado. p ( x = 0,15 ) = 1 – 10 e -10 ( 0,15 ) = 0,7769 La probabilidad de que un cliente emplee 9 minutos o menos en pasar por caja es de 0,7769. Vemos que tenemos una alta probabilidad de salir en menos de nueve minutos y una mínima probabilidad de que lleguen 15 clientes en la próxima hora. Repaso del capítulo Si X tiene una distribución exponencial con media μ , entonces el parámetro de decaimiento es m = 1 μ . La función de densidad de probabilidad de X es f ( x ) = me –mx (o equivalentemente e ( x ) = 1 μ e – x / μ . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = 1 – e – mx . Revisión de la fórmula pdf: f ( x ) = me (– mx ) donde x ≥ 0 y m > 0 cdf: P ( X ≤ x ) = 1 – e (– mx ) media µ = 1 m desviación típica σ = µ Además P ( X > x ) = e (– mx ) P ( a < X < b ) = e (– ma ) – e (– mb ) Probabilidad de Poisson: P ( X = x ) = μ x e – μ x ! con una media y una varianza de μ Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Datos de World Earthquakes, 2013. Disponible en línea en http://www.world-earthquakes.com/ (consultado el 11 de junio de 2013). “No-hitter”. Baseball-Reference.com, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (consultado el 11 de junio de 2013). Zhou, Rick. “Exponential Distribution lecture slides”. Disponible en línea en www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (consultado el 11 de junio de 2013). Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Un representante del servicio de atención al cliente debe dedicar diferentes cantidades de tiempo a cada cliente para resolver varias preocupaciones. La cantidad de tiempo dedicado a cada cliente se puede modelar mediante la siguiente distribución: X ~ Exp (0,2) ¿Qué tipo de distribución es esta? ¿Los resultados son igualmente probables en esta distribución? ¿Por qué sí o por qué no? No, los resultados no son igualmente probables. En esta distribución más personas requieren poco tiempo y menos personas requieren mucho tiempo, por lo que es más probable que alguien requiera menos tiempo. ¿Qué es m ? ¿Qué representa? ¿Cuál es la media? cinco ¿Cuál es la desviación típica? Indique la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 0,2e –0,2 x Grafique la distribución. Calcule P (2 < x < 10). 0,5350 Calcule P ( x > 6). Calcule el percentil 70 . 6,02 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Una distribución está dada como X ~ Exp (0,75). ¿Qué es m ? ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? f ( x ) = 0,75 e –0,75 x ¿Qué es la función de distribución acumulativa? Dibuje la distribución. Calcule P ( x < 4). Calcule el percentil 30 . 0,4756 Calcule la mediana. ¿Qué es más grande, la media o la mediana? La media es mayor. La media es 1 m = 1 0,75 ≈ 1,33 , que es superior a 0,9242. Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios. El carbono-14 es un elemento radiactivo con una semivida de unos 5.730 años. Se dice que el carbono-14 se descompone exponencialmente. La tasa de descomposición es de 0,000121. Empezamos con un gramo de carbono-14. Nos interesa el tiempo (años) que tarda en descomponerse el carbono-14. ¿Qué se mide aquí? ¿Los datos son discretos o continuos? continuos Defina la variable aleatoria X en palabras. ¿Cuál es la tasa de descomposición ( m )? m = 0,000121 La distribución de X es ______. Calcule la cantidad (porcentaje de un gramo) de carbono-14 que dura menos de 5.730 años. Es decir, calcule P ( x < 5.730). Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 5.730) = __________ Compruebe la solución del estudiante. P ( x < 5.730) = 0,5001 Calcule el porcentaje de carbono-14 que dura más de 10.000 años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x > 10.000) = ________ ¿En cuántos años se descompone el treinta por ciento (30 %) del carbono-14? Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,30. Compruebe la solución del estudiante. k = 2.947,73 Tarea para la casa Supongamos que se sabe que la duración de las llamadas telefónicas de larga distancia, medida en minutos, tienen una distribución exponencial con la duración promedio de una llamada igual a ocho minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure menos de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure más de nueve minutos. Calcule la probabilidad de que una llamada telefónica dure entre siete y nueve minutos. Si se hacen 25 llamadas telefónicas una tras otra, en promedio, ¿cuál sería el total esperado? ¿Por qué? Supongamos que la vida útil de una determinada batería de automóvil, medida en meses, decae con el parámetro 0,025. Nos interesa la duración de la batería. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? En promedio, ¿cuánto tiempo espera que dure la batería de un automóvil? ¿Cuánto tiempo en promedio se puede esperar que duren nueve baterías de automóvil si se usan una tras otra? Calcule la probabilidad de que la batería de un automóvil dure más de 36 meses. ¿Cuánto tiempo duran, al menos, el setenta por ciento de las baterías? X = la vida útil de una determinada batería de automóvil medida en meses. X es continua. 40 meses 360 meses 0,4066 14,27 El porcentaje de personas (de cinco años en adelante) en cada estado que hablan un idioma en casa distinto del inglés se distribuye de forma aproximadamente exponencial con una media de 9,848. Supongamos que elegimos un estado al azar. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que el porcentaje sea menor que 12. Calcule la probabilidad de que el porcentaje esté entre ocho y 14. El porcentaje de todas las personas que viven en Estados Unidos que hablan un idioma distinto del inglés en casa es del 13,8. ¿Por qué este número es diferente del 9,848 %? ¿Qué haría que este número fuera superior al 9,848 %? El tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir los 60 años se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de unos cinco años. Supongamos que elegimos al azar una persona jubilada. Nos interesa el tiempo que transcurre desde los 60 años hasta la jubilación. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. ¿ X es continuo o discreto? μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que la persona se jubile después de los 70 años. ¿Se jubilan más personas antes de los 65 años o después de los 65? En una sala con 1.000 personas mayores de 80 años, ¿cuántas cree que NO se habrán jubilado aún? X = el tiempo (en años) que tarda una persona en jubilarse después de cumplir 60 años X es continua. cinco cinco Compruebe la solución del estudiante. 0,1353 antes 18,3 El costo de todo el mantenimiento de un automóvil durante su primer año se distribuye aproximadamente de forma exponencial con una media de 150 dólares. Defina la variable aleatoria. X = _________________________________. μ = ________ σ = ________ Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los ejes. Calcule la probabilidad de que un automóvil requiera más de 300 dólares para su mantenimiento durante su primer año. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. La vida promedio de un determinado teléfono móvil nuevo es de tres años. El fabricante sustituirá cualquier teléfono móvil que falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra. Se sabe que la vida útil de estos teléfonos móviles sigue una distribución exponencial. La tasa de decaimiento es: 0,3333 0,5000 2 3 a ¿Cuál es la probabilidad de que un teléfono falle durante los dos años siguientes a la fecha de compra? 0,8647 0,4866 0,2212 0,9997 ¿Cuál es la mediana de la vida de estos teléfonos (en años)? 0,1941 1,3863 2,0794 5,5452 c Las llamadas al 911 entran a una tasa promedio de una llamada cada dos minutos. Supongamos que el tiempo que transcurre entre una llamada y la siguiente tiene la distribución exponencial. En promedio, ¿cuánto tiempo pasa entre cinco llamadas consecutivas? Calcule la probabilidad de que, tras recibir una llamada, la siguiente tarde más de tres minutos en producirse. ¿El noventa por ciento de las llamadas se producen en los minutos siguientes a la llamada anterior? Supongamos que han transcurrido dos minutos desde la última llamada. Calcule la probabilidad de que la siguiente llamada se produzca en el próximo minuto. Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 20 llamadas en una hora. En el béisbol de las grandes ligas, un partido sin batazos imparables es aquel en el que un lanzador, o varios lanzadores, no reciben ningún batazo imparable en todo el partido. Los “sin batazos imparables” se producen a un ritmo de unos tres por temporada. Supongamos que la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que toda una temporada transcurra con un solo sin batazos imparables? Si transcurre una temporada entera sin batazos imparables, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ningún sin batazos imparables en la temporada siguiente? ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 3 sin batazos imparables en una misma temporada? Supongamos que X = el número de sin batazos imparables a lo largo de una temporada. Como la duración del tiempo entre los sin batazos imparables es exponencial, el número de sin batazos imparables por temporada es Poisson con media de λ = 3. Por lo tanto, ( X = 0) = 3 0 e – 3 0 ! = e –3 ≈ 0,0498 NOTA Podría dejar que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Como el tiempo es exponencial y hay 3 sin batazos imparables por temporada, entonces el tiempo entre sin batazos imparables es 1 3 por temporada. Para la exponencial, µ = 1 3 . Por lo tanto, m = 1 μ = 3 y T ∼ Exp (3). La probabilidad deseada es P ( T > 1) = 1 – P ( T < 1) = 1 – (1 – e –3 ) = e –3 ≈ 0,0498. Supongamos que T = duración del tiempo entre los sin batazos imparables. Hallamos P ( T > 2| T > 1), y por la propiedad de falta de memoria esto es simplemente P ( T > 1), que hallamos que es 0,0498 en la parte a. Supongamos que X = el número de sin batazos imparables es una temporada. Supongamos que X es Poisson con media de λ = 3. Entonces P ( X > 3) = 1 – P ( X ≤ 3) = 0,3528. Entre 1998 y 2012 se han producido un total de 29 terremotos de magnitud superior a 6,5 en Papúa Nueva Guinea. Supongamos que el tiempo que transcurre entre terremotos es exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo terremoto se produzca en los tres meses siguientes? Dado que han pasado seis meses sin que se produzca un terremoto en Papúa Nueva Guinea, ¿cuál es la probabilidad de que durante los próximos tres meses no se produzcan terremotos? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan cero terremotos en 2014? ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan, al menos, dos terremotos en 2014? Según la Cruz Roja Americana, una de cada nueve personas en EE. UU., aproximadamente, tiene sangre de tipo B. Supongamos que los tipos de sangre de las personas que llegan a una campaña de donación son independientes. En este caso, el número de tipos de sangre de tipo B que llegan sigue más o menos la distribución de Poisson. Si llegan 100 personas, ¿cuántas en promedio se espera que tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 personas de estas 100 tengan sangre de tipo B? ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 20 personas antes de encontrar una persona con sangre de tipo B? 100 9 = 11,11 P ( X > 10) = 1 – P ( X ≤ 10) = 1 – Poissoncdf(11,11; 10) ≈ 0,5532. El número de personas con sangre de tipo B encontradas sigue más o menos la distribución de Poisson, por lo que el número de personas X que llegan entre las sucesivas llegadas de tipo B es aproximadamente exponencial con media μ = 9 y m = 1 9 . La función de distribución acumulativa de X es P ( X < x ) = 1 – e – x 9 . Así que, P ( X > 20) = 1 – P ( X ≤ 20) = 1 – ( 1 – e – 20 9 ) ≈ 0,1084. Nota También podríamos deducir que cada persona que llega tiene una probabilidad de 8/9 de no tener sangre de tipo B. Así que la probabilidad de que ninguna de las primeras 20 personas que lleguen tenga sangre tipo B es ( 8 9 ) 20 ≈ 0,0948 . (la distribución geométrica es más apropiada que la exponencial porque el número de personas entre el tipo B es discreto en vez de continuo). Un sitio web experimenta un tráfico durante las horas normales de trabajo a un ritmo de 12 visitas por hora. Supongamos que la duración entre visitas tiene la distribución exponencial. Calcule la probabilidad de que la duración entre dos visitas sucesivas al sitio web sea superior a diez minutos. ¿De cuánto tiempo como mínimo son el 25 % de las duraciones más altas entre visitas? Supongamos que han pasado 20 minutos desde la última visita al sitio web. ¿Cuál es la probabilidad de que la próxima visita se produzca durante los 5 minutos siguientes? Calcule la probabilidad de que se produzcan menos de 7 visitas en un periodo de una hora. En un centro de atención de urgencias los pacientes llegan a una tasa promedio de un paciente cada siete minutos. Supongamos que la duración entre llegadas se distribuye exponencialmente. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea inferior a 2 minutos. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre dos visitas sucesivas al centro de atención de urgencias sea superior a 15 minutos. Si han pasado 10 minutos desde la última llegada, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente persona llegue durante los próximos cinco minutos? Calcule la probabilidad de que lleguen más de ocho pacientes durante un periodo de media hora. Supongamos que T = la duración (en minutos) entre visitas sucesivas. Dado que los pacientes llegan a un ritmo de un paciente cada siete minutos, μ = 7 y la constante de decaimiento es m = 1 7 . La cdf es P ( T < t ) = 1 – e t 7 P ( T < 2) = 1 – 1 – e – 2 7 ≈ 0,2485. P ( T > 15) = 1 – P ( T < 15 ) = 1 – ( 1 – e – 15 7 ) ≈ e – 15 7 ≈ 0,1173 . P ( T > 15| T > 10) = P ( T > 5) = 1 – ( 1 – e – 5 7 ) = e – 5 7 ≈ 0,4895 . Supongamos que X = número de pacientes que llegan durante un periodo de media hora. Entonces X tiene la distribución de Poisson con una media de 30 7 , X ∼ Poisson ( 30 7 ) . Calcule P ( X > 8) = 1 – P ( X ≤ 8) ≈ 0,0311. parámetro de decaimiento el parámetro de decaimiento describe la velocidad a la que las probabilidades decaen a cero para valores crecientes de x . Es el valor m en la función de densidad de probabilidad f ( x ) = me (– mx ) de una variable aleatoria exponencial. También es igual a m = 1 μ , donde μ es la media de la variable aleatoria. propiedad de falta de memoria para una variable aleatoria exponencial X , la propiedad de falta de memoria es la afirmación de que el conocimiento de lo que ha ocurrido en el pasado no tiene ningún efecto sobre las probabilidades futuras. Esto significa que la probabilidad de que X supere a x + t , dado que ha superado a x , es la misma que la probabilidad de que X supere a t si no tuviéramos conocimiento de ello. En símbolos decimos que P ( X > x + t | X > x ) = P ( X > t ). Distribución de Poisson si se conoce un promedio de eventos μ que ocurren por unidad de tiempo, y estos eventos son independientes entre sí, entonces el número de eventos X que ocurren en una unidad del tiempo tiene la distribución de Poisson. La probabilidad de que ocurran eventos x en una unidad del tiempo es igual a P ( X = x ) = μ x e – μ x ! .", "section": "La distribución exponencial", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Si le pregunta a un número suficiente de personas por su talla de calzado, comprobará que los datos representados en el gráfico tienen la forma de una curva de campana y se pueden describir como normalmente distribuidos (créditos: Ömer Ünlϋ). La función de densidad de probabilidad normal, una distribución continua, es la más importante de todas las distribuciones. Su uso está muy extendido y su abuso aun más. Su gráfico tiene forma de campana. La curva de campana se ve en casi todas las disciplinas. Algunas de ellas son Psicología, Negocios, Economía, Ciencias, Enfermería y, por supuesto, Matemáticas. Algunos de sus instructores pueden utilizar la distribución normal para ayudar a determinar su calificación. La mayoría de las calificaciones de coeficiente intelectual (Intelligence Quotient, IQ) se distribuyen normalmente. A menudo, los precios de los inmuebles se ajustan a una distribución normal. La distribución normal es muy importante, pero no se puede aplicar a todo en el mundo real. Recuerde que todavía estamos hablando de la distribución de los datos de la población. Se trata de una discusión sobre la probabilidad y, por tanto, son los datos de la población los que pueden estar distribuidos normalmente, y si lo están, entonces es así como podemos calcular las probabilidades de eventos específicos al igual que hicimos con los datos de la población que pueden tener una distribución binomial o de Poisson. Esta precaución se debe a que en el próximo capítulo veremos que la distribución normal describe algo muy diferente de los datos brutos y constituye la base de la estadística inferencial. La distribución normal tiene dos parámetros (dos medidas numéricas descriptivas): la media ( μ ) y la desviación típica ( σ ). Si X es una cantidad que se va a medir que tiene una distribución normal con media( μ ) y desviación típica( σ ), la designamos escribiendo la siguiente fórmula de la función de densidad de probabilidad normal: La función de densidad de probabilidad es una función bastante complicada. No la memorice . No es necesario. f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 La curva es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por la media, μ . La media es la misma que la mediana, que es la misma que la moda, porque el gráfico es simétrico respecto a μ . Como indica la notación, la distribución normal solo depende de la media y de la desviación típica. Observe que esto es diferente a varias funciones de densidad de probabilidad que ya hemos estudiado, como la de Poisson, donde la media es igual a μ y la desviación típica simplemente la raíz cuadrada de la media, o la binomial, donde p se utiliza para determinar tanto la media como la desviación típica. Dado que el área bajo la curva debe ser igual a uno, un cambio en la desviación típica, σ , provoca un cambio en la forma de la curva normal; la curva se vuelve más abultada y ancha o más delgada y alta dependiendo de σ . Un cambio en μ hace que el gráfico se desplace a la izquierda o a la derecha. Esto significa que hay un número infinito de distribuciones de probabilidad normales. Una de las más interesantes es la llamada distribución normal estándar . Revisión de la fórmula X ∼ N ( μ , σ ) μ = la media σ = la desviación típica Distribución normal una variable aleatoria continua (RV) con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 σ 2 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV, Z, se llama distribución normal estándar .", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "La distribución normal estándar La distribución normal estándar es una distribución normal de valores estandarizados llamados puntuaciones z . Una puntuación z se mide en unidades de la desviación típica. La media de la distribución normal estándar es cero y la desviación típica es uno. Lo que hace esto es simplificar drásticamente el cálculo matemático de las probabilidades. Tómese un momento y sustituya el cero y el uno en los lugares apropiados de la fórmula anterior y podrá ver que la ecuación se reduce a una que puede resolverse mucho más fácilmente utilizando el cálculo integral. La transformación z = x – μ σ produce la distribución Z ~ N (0, 1). El valor x en la ecuación dada proviene de una distribución normal conocida con media conocida μ y desviación típica conocida σ . La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas se aleja una determinada x de la media. Puntuaciones z Si X es una variable aleatoria normalmente distribuida y X ~ N(μ, σ) , entonces la puntuación z para una determinada x es: z = x – μ σ La puntuación z indica cuántas desviaciones típicas tiene el valor x por encima (a la derecha) o por debajo (a la izquierda) de la media, μ . Los valores de x que son mayores que la media tienen puntuaciones z positivas, y los valores de x que son menores que la media tienen puntuaciones z negativas. Si x es igual a la media, entonces x tiene una puntuación z de cero. Supongamos que X ~ N(5, 6) . Esto dice que X es una variable aleatoria normalmente distribuida, con media μ = 5 y desviación típica σ = 6. Supongamos que x = 17. Entonces: z = x – μ σ = 17 – 5 6 = 2 Esto significa que x = 17 está dos desviaciones típicas (2 σ ) por encima o a la derecha de la media μ = 5. Supongamos ahora que x = 1. Entonces: z = x – μ σ = 1 – 5 6 = –0,67 (redondeado a dos decimales) Esto significa que x = 1 está 0,67 desviaciones típicas (–0,67 σ ) por debajo o a la izquierda de la media μ = 5 La regla empírica Si X es una variable aleatoria y tiene una distribución normal con media µ y desviación típica σ , la regla empírica dice lo siguiente: Aproximadamente el 68 % de los valores de x se sitúan entre –1 σ y +1 σ de la media µ (dentro de una desviación típica de la media). Aproximadamente el 95 % de los valores de x se sitúan entre –2 σ y +2 σ de la media µ (dentro de dos desviaciones típicas de la media). Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se sitúan entre –3 σ y +3 σ de la media µ (dentro de las tres desviaciones típicas de la media). Observe que casi todos los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Las puntuaciones z para +1 σ y –1 σ son +1 y –1, respectivamente. Las puntuaciones z para +2 σ y –2 σ son +2 y –2, respectivamente. Las puntuaciones z para +3 σ y –3 σ son +3 y –3, respectivamente. Supongamos que x tiene una distribución normal con media 50 y desviación típica 6. Aproximadamente el 68 % de los valores de x están dentro de una desviación típica de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 68 % de los valores de x se encuentran entre –1 σ = (–1)(6) = –6 y 1 σ = (1)(6) = 6 de la media de 50. Los valores 50 – 6 = 44 y 50 + 6 = 56 están dentro de una desviación típica de la media 50. Las puntuaciones z son –1 y +1 para 44 y 56, respectivamente. Aproximadamente el 95 % de los valores de x están dentro de las dos desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 95 % de los valores de x se encuentran entre –2 σ = (–2)(6) = –12 y 2 σ = (2)(6) = 12. Los valores 50 – 12 = 38 y 50 + 12 = 62 están dentro de dos desviaciones típicas de la media 50. Las puntuaciones z son –2 y +2 para 38 y 62, respectivamente. Aproximadamente el 99,7 % de los valores de x están dentro de las tres desviaciones típicas de la media. Por lo tanto, aproximadamente el 99,7 % de los valores de x se encuentran entre –3 σ = (–3)(6) = –18 y 3 σ = (3)(6) = 18 de la media 50. Los valores 50 - 18 = 32 y 50 + 18 = 68 están dentro de las tres desviaciones típica de la media 50. Las puntuaciones z son –3 y +3 para 32 y 68, respectivamente. Referencias “Blood Pressure of Males and Females”. StatCruch, 2013. Disponible en línea en http://www.statcrunch.com/5.0/viewreport.php?reportid=11960 (consultado el 14 de mayo de 2013). “The Use of Epidemiological Tools in Conflict-affected populations: Open-access educational resources for policy-makers: Calculation of z-scores”. London School of Hygiene and Tropical Medicine, 2009. Disponible en línea en http://conflict.lshtm.ac.uk/page_125.htm (consultado el 14 de mayo de 2013). “2012 College-Bound Seniors Total Group Profile Report”. CollegeBoard, 2012. Disponible en línea en http://media.collegeboard.com/digitalServices/pdf/research/TotalGroup-2012.pdf (consultado el 14 de mayo de 2013). “Digest of Education Statistics: ACT score average and standard deviations by sex and race/ethnicity and percentage of ACT test takers, by selected composite score ranges and planned fields of study: Selected years, 1995 through 2009”. National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/programs/digest/d09/tables/dt09_147.asp (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de The World Almanac and Book of Facts . “List of stadiums by capacity”. Wikipedia. Disponible en línea en https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_stadiums_by_capacity (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos de la Asociación Nacional de Baloncesto. Disponible en línea en www.nba.com (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una puntuación z es un valor estandarizado. Su distribución es la normal estándar, Z ~ N (0, 1). La media de las puntuaciones z es cero y la desviación típica es uno. Si z es la puntuación z para un valor x de la distribución normal N ( µ , σ ), entonces z indica cuántas desviaciones típicas está x por encima (mayor que) o por debajo (menor que) de µ . Revisión de la fórmula Z ~ N (0, 1) z = un valor estandarizado (puntuación z ) media = 0; desviación típica = 1 Para hallar el percentil K de X , x , cuando se conocen las puntuaciones z : x = μ + ( z ) σ puntuación z : k = x – μ σ o z = | x – μ | σ Z = la variable aleatoria de las puntuaciones z Z ~ N (0, 1) Una botella de agua contiene 12,05 onzas líquidas con una desviación típica de 0,01 onzas. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ____________. onzas de agua en una botella Una distribución normal tiene una media de 61 y una desviación típica de 15. ¿Cuál es la mediana? X ~ N (1, 2) σ = _______ 2 Una compañía fabrica pelotas de goma. El diámetro medio de una pelota es de 12 cm con una desviación típica de 0,2 cm. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = ______________. X ~ N (–4, 1) ¿Cuál es la mediana? -4 X ~ N (3, 5) σ = _______ X ~ N (–2, 1) μ = _______ -2 ¿Qué mide una puntuación z ? ¿Qué hace la estandarización de una distribución normal con la media? La media se convierte en cero. ¿ X ~ N (0, 1) es una distribución normal estandarizada? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuál es la puntuación z de x = 12, si está dos desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2 ¿Cuál es la puntuación z de x = 9, si está 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? ¿Cuál es la puntuación z de x = –2, si está a 2,78 desviaciones típicas a la derecha de la media? z = 2,78 ¿Cuál es la puntuación z de x = 7, si está a 0,133 desviaciones típicas a la izquierda de la media? Supongamos que X ~ N (2, 6). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de tres? x = 20 Supongamos que X ~ N (8, 1). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –2,25? Supongamos que X ~ N (9, 5). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,5? x = 6,5 Supongamos que X ~ N (2, 3). ¿Qué valor de x tiene una puntuación z de –0,67? Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a 1,5 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1 Supongamos que X ~ N (4, 2). ¿Qué valor de x está a dos desviaciones típicas a la derecha de la media? Supongamos que X ~ N (8, 9). ¿Qué valor de x está a 0,67 desviaciones típicas a la izquierda de la media? x = 1,97 Supongamos que X ~ N (–1, 2). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? Supongamos que X ~ N (12, 6). ¿Cuál es la puntuación z de x = 2? z = –1.67 Supongamos que X ~ N (9, 3). ¿Cuál es la puntuación z de x = 9? Supongamos que una distribución normal tiene una media de seis y una desviación típica de 1,5. ¿Cuál es la puntuación z de x = 5,5? z ≈ –0,33 En una distribución normal, x = 5 y z = –1,25. Esto le dice que x = 5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = 3 y z = 0,67. Esto le dice que x = 3 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 0,67, derecha En una distribución normal, x = –2 y z = 6. Esto le dice que x = –2 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. En una distribución normal, x = –5 y z = –3,14. Esto le dice que x = –5 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. 3,14, izquierda En una distribución normal, x = 6 y z = –1,7. Esto le dice que x = 6 está a ____ desviaciones típicas a la ____ (derecha o izquierda) de la media. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de una desviación típica (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? alrededor del 68 % Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x de una distribución normal están dentro de dos desviaciones típicas (a la izquierda y a la derecha) de la media de dicha distribución? ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la segunda y la tercera desviación típica (en ambos lados)? alrededor del 4 % Supongamos que X ~ N (15, 3). ¿Entre qué valores de x está el 68,27 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, 15). Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 95,45 % de los datos? El rango de valores de x está centrado en la media de la distribución (es decir, –3). entre –5 y –1 Supongamos que X ~ N (–3, 1). ¿Entre qué valores de x está el 34,14 % de los datos? ¿Aproximadamente qué porcentaje de los valores de x están entre la media y tres desviaciones típicas? alrededor del 50 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la media y una desviación típica? Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la segunda desviación típica de la media (en ambos lados)? alrededor del 27 % ¿Qué porcentaje de los valores de x están entre la primera y la tercera desviación típica (en ambos lados)? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Defina la variable aleatoria X con palabras. X = _______________. La vida útil de un reproductor de CD de Sunshine se mide en años. X ~ _____(_____,_____) Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la mediana del tiempo de recuperación? 2,7 5,3 7,4 2,1 ¿Cuál es la puntuación z de un paciente que tarda diez días en recuperarse? 1,5 0,2 2,2 7,3 c El tiempo que se tarda en hallar un puesto para estacionar a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Si la media es significativamente mayor que la desviación típica, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? Los datos no pueden seguir la distribución uniforme. Los datos no pueden seguir la distribución exponencial. Los datos no pueden seguir la distribución normal. I solo II solo III solo I, II y III Las alturas de los 430 jugadores de la Asociación Nacional de Baloncesto (National Basketball Association, NBA) figuraban en las listas de los equipos al comienzo de la temporada 2005-2006. Las alturas de los jugadores de baloncesto tienen una distribución normal aproximada con una media, µ = 79 pulgadas y una desviación típica, σ = 3,89 pulgadas. Para cada una de las siguientes alturas, calcule la puntuación z e interprétala utilizando oraciones completas. 77 pulgadas 85 pulgadas Si un jugador de la NBA informara que su altura tiene una puntuación z de 3,5, ¿le creería? Explique su respuesta. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = –0,5141. La altura de 77 pulgadas es 0,5141 desviaciones típicas por debajo de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 77 pulgadas es más bajo que el promedio. Utilice la fórmula de la puntuación z . z = 1,5424. La altura 85 pulgadas es 1,5424 desviaciones típicas por encima de la media. Un jugador de la NBA cuya altura es de 85 pulgadas es más alto que el promedio. Altura = 79 + 3,5(3,89) = 92,615 pulgadas, los cual es más alto que 7 pies y 8 pulgadas. Hay muy pocos jugadores de la NBA tan altos, así que la respuesta es no, no es probable. La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. La presión arterial sistólica de los hombres sigue una distribución normal. Calcule las puntuaciones z para las presiones sistólicas de 100 y 150 milímetros en hombres. Si un amigo le dijera que cree que su presión arterial sistólica está 2,5 desviaciones típicas por debajo de la media, pero que cree que su presión arterial está entre 100 y 150 milímetros, ¿qué le diría? El médico de Kyle le dijo que la puntuación z de su presión arterial sistólica es de 1,75. ¿Cuál de las siguientes es la mejor interpretación de esta calificación estandarizada? La presión arterial sistólica (dada en milímetros) de los hombres tiene una distribución aproximadamente normal con media µ = 125 y desviación típica σ = 14. Si X = una calificación de presión arterial sistólica, entonces X ~ N (125, 14). ¿Qué respuesta(s) es(son) correcta(s)? La presión arterial sistólica de Kyle es de 175. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 veces la presión arterial promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyle es 1,75 por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres de su edad. La presión arterial sistólica de Kyles está 1,75 desviaciones típicas por encima de la presión arterial sistólica promedio de los hombres. Calcule la presión arterial de Kyle. iv La presión arterial de Kyle es igual a 125 + (1,75)(14) = 149,5. La altura y el peso son dos medidas que se utilizan para seguir el desarrollo del niño. La Organización Mundial de la Salud mide el desarrollo infantil comparando el peso de niños de la misma altura y del mismo sexo. En 2009, los pesos de todas las niñas de 80 cm de la población de referencia tenían una media µ = 10,2 kg y una desviación típica σ = 0,8 kg. Los pesos se distribuyen normalmente. X ~ N (10,2, 0,8). Calcule las puntuaciones z que corresponden a las siguientes ponderaciones e interprételas. 11 kg 7,9 kg 12,2 kg En 2005, 1.475.623 estudiantes que iban a continuar estudios superiores tomaron la SAT. La distribución de las calificaciones en la sección de Matemáticas de la SAT sigue una distribución normal con media µ = 520 y desviación típica σ = 115. Calcule la puntuación z para una calificación de la SAT de 720. Interprételo con una oración completa. ¿Qué calificación de la SAT de Matemáticas está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media? ¿Qué puede decir de esta calificación en la SAT? En 2012, la prueba de Matemáticas de la SAT tuvo una media de 514 y una desviación típica de 117. El examen de Matemáticas de la Prueba de Admisión en la Educación Superior de Estados Unidos (American College Testing, ACT) es una alternativa a la SAT y se distribuye aproximadamente normal, con una media de 21 y una desviación típica de 5,3. Si una persona toma el examen de Matemáticas de la SAT y obtiene 700 puntos y una segunda persona toma el examen de Matemáticas de la ACT y obtiene 30 puntos, ¿quién lo hizo mejor con respecto al examen que tomó? Supongamos que X = una calificación de Matemáticas de la SAT y Y = una calificación de Matemáticas del ACT. X = 720 720 – 520 15 = 1,74. La calificación del examen de 720 está 1,74 desviaciones típicas por encima de la media de 520. z = 1,5. La calificación de la SAT de Matemáticas es 520 + 1,5(115) ≈ 692,5. La calificación del examen de 692,5 está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de 520. X – μ σ = 700 – 514 117 ≈ 1,59, la puntuación z de la SAT. Y – μ σ = 30 – 21 5,3 ≈ 1,70, las puntuaciones z del ACT. Con respecto a la prueba que tomaron, la persona que presentó el ACT obtuvo mejores resultados (tiene la puntuación z más alta). Distribución normal estándar una variable aleatoria continua (RV) X ~ N (0, 1); cuando X sigue la distribución normal estándar, suele anotarse como Z ~ N (0, 1). puntuación z la transformación lineal de la forma z = x – μ σ o escrito como z = | x – μ | σ ; si esta transformación se aplica a cualquier distribución normal X ~ N ( μ , σ ) el resultado es la distribución normal estándar Z ~ N (0,1). Si esta transformación se aplica a cualquier valor específico x de la RV con media μ y desviación típica σ , el resultado se denomina puntuación z de x . La puntuación z nos permite comparar datos que se distribuyen normalmente, pero que se escalan de forma diferente. Una puntuación z es el número de desviaciones típicas que una determinada x se aleja de su valor medio.", "section": "La distribución normal estándar", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Uso de la distribución normal El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la derecha de x . Esta zona está representada por la probabilidad P (X > x ). Las tablas normales proporcionan la probabilidad entre la media, cero para la distribución normal estándar y un valor específico como x 1 . Esta es la parte no sombreada del gráfico desde la media hasta x 1 . Como la distribución normal es simétrica, si x 1 estuviera a la misma distancia a la izquierda de la media, el área (la probabilidad) en la cola izquierda, sería la misma que el área sombreada en la cola derecha. Además, hay que tener en cuenta que, debido a la simetría de esta distribución, la mitad de la probabilidad está a la derecha de la media y la otra mitad a la izquierda. Cálculo de probabilidades Para hallar la probabilidad de las funciones de densidad de probabilidad con una variable aleatoria continua necesitamos calcular el área bajo la función a través de los valores de X que nos interesan. Para la distribución normal esto parece una tarea difícil dada la complejidad de la fórmula. Sin embargo, hay una forma sencilla de conseguir lo que queremos. Aquí tenemos de nuevo la fórmula de la distribución normal: f ( x ) = 1 σ ⋅ 2 ⋅ π ⋅ e – 1 2 ⋅ ( x – μ σ ) 2 Al observar la fórmula de la distribución normal no está claro cómo vamos a resolver la probabilidad haciéndolo de la misma manera que lo hicimos con las funciones de probabilidad anteriores. Allí pusimos los datos en la fórmula e hicimos las cuentas. Para resolver este rompecabezas, desde el principio sabemos que el área bajo una función de densidad de probabilidad es la probabilidad. Esto demuestra que el área entre X 1 y X 2 es la probabilidad que se indica en la fórmula: P (X 1 ≤ x ≤ X 2 ) La herramienta matemática necesaria para calcular el área bajo una curva es el cálculo integral. La integral de la función de densidad de probabilidad normal entre los dos puntos x 1 y x 2 es el área bajo la curva entre estos dos puntos y es la probabilidad entre estos dos puntos. Hacer estas integrales no es divertido y puede llevar mucho tiempo. Pero ahora, recordando que hay un número infinito de distribuciones normales, podemos considerar la que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Esta particular distribución normal recibe el nombre de distribución normal estándar. Al poner estos valores en la fórmula se reduce a una ecuación muy sencilla. Ahora podemos calcular fácilmente todas las probabilidades para cualquier valor de x en esta distribución normal particular, que tiene una media de cero y una desviación típica de 1. Se han elaborado y están disponibles aquí en el apéndice del texto o en cualquier lugar de la web. Se presentan de varias maneras. La tabla de este texto es la presentación más habitual y se establece con las probabilidades de la mitad de la distribución, que comienza por el cero, la media, y moviéndose hacia fuera. El área sombreada en el gráfico de la parte superior de la tabla en Tablas estadísticas representa la probabilidad desde cero hasta el valor Z específico anotado en el eje horizontal, Z. El único problema es que, incluso con esta tabla, sería una ridícula coincidencia que nuestros datos tuvieran una media de cero y una desviación típica de uno. La solución es convertir la distribución que tenemos con su media y desviación típica a esta nueva distribución normal estándar. La normal estándar tiene una variable aleatoria llamada Z. Al usar la tabla normal estándar, que por lo general se llama tabla normal, para hallar la probabilidad de una desviación típica, vaya a la columna Z, lea hasta 1,0 y luego lea en la columna 0. Ese número, 0,3413 es la probabilidad de cero a 1 desviación típica. En la parte superior de la tabla se encuentra la zona sombreada de la distribución que es la probabilidad para una desviación típica. La tabla ha resuelto nuestro problema de cálculo integral, pero solo si nuestros datos tienen una media de cero y una desviación típica de 1. Sin embargo, el punto esencial aquí es que la probabilidad de una desviación típica en una distribución normal es la misma en todas las distribuciones normales. Si el conjunto de datos de la población tiene una media de 10 y una desviación típica de 5, entonces la probabilidad de 10 a 15, una desviación típica, es la misma que de cero a 1, una desviación típica en la distribución normal estándar. Para calcular las probabilidades, las áreas, para cualquier distribución normal, solo tenemos que convertir la distribución normal particular a la distribución normal estándar y buscar la respuesta en las tablas. Como revisión, aquí está de nuevo la fórmula de normalización : Z = x - μ σ donde Z es el valor de la distribución normal estándar, X es el valor de una distribución normal que se desea convertir a la normal estándar, μ y σ son, respectivamente, la media y la desviación típica de esa población. Tenga en cuenta que la ecuación utiliza μ y σ lo que denota parámetros poblacionales. Esto sigue tratando con la probabilidad, por lo que siempre estamos tratando con la población, con valores de parámetros conocidos y una distribución conocida . También es importante tener en cuenta que, como la distribución normal es simétrica, no importa si la puntuación z es positiva o negativa a la hora de calcular una probabilidad. Una desviación típica a la izquierda (puntuación Z negativa) cubre la misma área que una desviación típica a la derecha (puntuación Z positiva). Este hecho es la razón por la que las tablas de la normal estándar no proporcionan áreas para el lado izquierdo de la distribución. Debido a esta simetría, la fórmula de la puntuación Z se escribe a veces como Z = | x - μ | σ Las líneas verticales de la ecuación significan el valor absoluto del número. Lo que realmente hace la fórmula de estandarización es calcular el número de desviaciones típicas que tiene X respecto a la media de su propia distribución. La fórmula de estandarización y el concepto de contar desviaciones típicas de la media es el secreto de todo lo que haremos en esta clase de Estadística. La razón de esto es que toda la estadística se reduce a la variación, y el recuento de las desviaciones típicas es una medida de variación. Esta fórmula, con muchas apariencias, reaparecerá una y otra vez a lo largo de este curso. Las calificaciones del examen final de una clase de Estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco. a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen. b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85. a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N (63, 5), donde μ = 63 y σ = 5. Dibuje un gráfico. Entonces, calcule P ( x > 65). P ( x > 65) = 0,3446 Z 1 = x 1 – μ σ = 65 – 63 5 = 0,4 P ( x ≥ x 1 ) = P ( Z ≥ Z 1 ) = 0,3446 La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446. Así es como hemos hallado esta respuesta. La tabla normal proporciona probabilidades desde cero hasta el valor Z 1 . Para este problema la pregunta se puede escribir como P(X ≥ 65) = P(Z ≥ Z 1 ), que es el área de la cola. Para calcular esta área la fórmula sería 0,5 – P(X ≤ 65). La mitad de la probabilidad está por encima del valor medio porque se trata de una distribución simétrica. El gráfico muestra cómo hallar el área en la cola restando esa porción de la media, cero, al valor Z 1 . La respuesta final es: P(X ≥ 63) = P(Z ≥ 0,4) = 0,3446 z = 65 – 63 5 = 0,4 El área a la izquierda de Z 1 a la media de cero es 0,1554 P ( x > 65) = P ( z > 0,4) = 0,5 - 0,1554 = 0,3446 b. Z = x - μ σ = 85 - 63 5 = 4,4 que es mayor que el valor máximo de la tabla normalizada. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente de uno o del 100 %. Una calificación de 85 está a 4,4 desviaciones típicas de la media de 63, lo que está fuera del rango de la tabla normal estándar. Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante obtenga una calificación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %). Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65. normalcdf(0,65,68,3) = 0,1587 Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora. a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día. a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N (2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5. Calcule P (1,8 < x < 2,75). La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P (1,8 < x < 2,75) = 0,5886 P (1,8 ≤ x ≤ 2,75) = P ( Z i ≤ Z ≤ Z 2 ) La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886 b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse. b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25 , k , donde P ( x < k ) = 0,25. f ( Z ) = 0,5 – 0,25 = 0,25 , por lo que Z ≈ –0,675 ( o simplemente 0,67 utilizando la tabla ) Z = x – μ σ = x – 2 0,5 = –0,675 , por lo tanto x = –0,675 * 0,5 + 2 = 1,66 horas. El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas. Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70. normalcdf(66,70,68,3) = 0,4950 En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años. a. 0,8186 b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años. b. 0,8413 Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm. a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico. Z 1 = 6 – 5,85 0,24 = 0,625 P ( x ≥ 6) = P ( z ≥ 0,625) = 0,2670 b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______. f ( Z ) = 0,20 2 = 0,10 Por lo tanto, Z ≈ ± 0,25 Z = x – μ σ = x – 5,85 0,24 = ± 0,25 → ± 0,25 · 0,24 + 5,85 = ( 5,79 , 5,91 ) Referencias “Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013). “403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013). “Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013). “Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013). “Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013).", "section": "Uso de la distribución normal", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Estimación de la binomial con la distribución normal Ya hemos visto que varias funciones de densidad de probabilidad son las distribuciones límite de otras; por tanto, podemos estimar una con otra en determinadas circunstancias. Aquí veremos que la distribución normal puede utilizarse para estimar un proceso binomial. La Poisson se utilizó para estimar la binomial previamente, y la binomial se utilizó para estimar la distribución hipergeométrica. En el caso de la relación entre la distribución hipergeométrica y la binomial, tuvimos que reconocer que un proceso binomial asume que la probabilidad de un éxito permanece constante de un ensayo a otro: una cara en el último lanzamiento no puede tener un efecto en la probabilidad de una cara en el siguiente lanzamiento. En la distribución hipergeométrica esta es la esencia de la cuestión porque el experimento asume que cualquier \"extracción\" es sin reemplazo. Si se extrae sin reemplazo, todos las \"extracciones\" posteriores son probabilidades condicionales. Descubrimos que si el experimento hipergeométrico saca extrae un pequeño porcentaje del total de objetos, entonces podemos ignorar el impacto en la probabilidad de una extracción a otra. Imagine que hay 312 cartas en una baraja compuesta por 6 mazos normales. Si el experimento exigía extraer solo 10 cartas, menos del 5% del total, entonces aceptaremos la estimación binomial de la probabilidad, aunque en realidad se trata de una distribución hipergeométrica porque las cartas se extraen presumiblemente sin reemplazo. La Poisson también se consideró una estimación adecuada de la binomial en determinadas circunstancias. En el capítulo 4 encontramos que si el número de ensayos de interés es grande y la probabilidad de éxito es pequeña, tal que μ = n p < 7 , la Poisson puede utilizarse para estimar la binomial con buenos resultados. Una vez más, estas reglas empíricas no pretenden en modo alguno que la probabilidad real sea la que determina la estimación, sino que la diferencia está en el tercer o cuarto decimal y, por tanto, es de minimus . Aquí, de nuevo, encontramos que la distribución normal hace estimaciones particularmente precisas de un proceso binomial bajo ciertas circunstancias. La es una distribución de frecuencia de un proceso binomial para el experimento de lanzar tres monedas donde la variable aleatoria es el número de caras. El espacio muestral se encuentra debajo de la distribución. En el experimento se ha asumido que la probabilidad de éxito es de 0,5; por tanto, la probabilidad de fracaso, de cola, es también de 0,5. Al observar la nos llama la atención que la distribución sea simétrica. La raíz de este resultado es que las probabilidades de éxito y de fracaso son las mismas, 0,5. Si la probabilidad de éxito fuera inferior a 0,5, la distribución se vuelve sesgada hacia la derecha. De hecho, a medida que la probabilidad de éxito disminuye, el grado de asimetría aumenta. Si la probabilidad de éxito aumenta a partir de 0,5, la asimetría aumenta en la cola inferior, lo que da lugar a una distribución sesgada a la izquierda. La razón por la que la asimetría de la distribución binomial es importante es porque si se va a estimar con una distribución normal, entonces tenemos que reconocer que la distribución normal es simétrica. Cuanto más se acerque la distribución binomial subyacente a ser simétrica, mejor será la estimación producida por la distribución normal. La muestra una distribución normal simétrica transpuesta en un gráfico de una distribución binomial donde p = 0,2 y n = 5. La discrepancia entre la probabilidad estimada utilizando una distribución normal y la probabilidad de la distribución binomial original es evidente. El criterio para utilizar una distribución normal para estimar una binomial aborda, pues, este problema al exigir que TANTO np COMO n (1 - p ) sean mayores que cinco. De nuevo, se trata de una regla general, pero es eficaz y da lugar a estimaciones aceptables de la probabilidad binomial. Imagínese que se sabe que solo el 10 % de los cachorros de pastor australiano nacen con lo que se llama \"simetría perfecta\" en sus tres colores, negro, blanco y cobre. La simetría perfecta se define como una cobertura igual en todas las partes del perro cuando se mira en la cara y se mide a la izquierda y a la derecha por la línea central. Un criadero tendría una buena reputación en la cría de pastores australianos si tuviera un alto porcentaje de perros que cumplieran este criterio. Durante los últimos 5 años y de los 100 perros nacidos en Dundee Kennels, 16 han nacido con esta característica de coloración. ¿Cuál es la probabilidad de que, en 100 nacimientos, más de 16 tengan esta característica? Si suponemos que la coloración de un perro es independiente de la de los demás, una suposición un poco valiente, esto se convierte en un problema clásico de probabilidad binomial. El enunciado de la probabilidad solicitada es 1 - [ p ( X = 0) + p ( X = 1) + p ( X = 2) + ... + p ( X = 16)]. Para ello debemos calcular 17 fórmulas binomiales y sumarlas y luego restar a una para obtener la parte derecha de la distribución. Como alternativa, podemos utilizar la distribución normal para obtener una respuesta aceptable y en mucho menos tiempo. En primer lugar, tenemos que comprobar si la distribución binomial es lo suficientemente simétrica como para utilizar la distribución normal. Sabemos que la binomial de este problema está sesgada porque la probabilidad de éxito, 0,1, no es la misma que la probabilidad de fracaso, 0,9. Sin embargo, tanto np = 10 como n ( 1 – p ) = 90 son mayores que 5, el límite para utilizar la distribución normal para estimar la binomial. La a continuación muestra la distribución binomial y se marca el área que queremos conocer. También se marca la media de la binomial, 10, y se escribe la desviación típica en el lateral del gráfico: σ = n p q = 3. El área bajo la distribución de cero a 16 es la probabilidad solicitada, y se ha sombreado. Debajo de la distribución binomial hay una distribución normal que se utiliza para estimar esta probabilidad. Esa probabilidad también ha sido sombreada. Al estandarizar de la distribución binomial a la normal, como se hizo en el pasado, se muestra que estamos pidiendo la probabilidad de 16 a infinito positivo, o 100 en este caso. Tenemos que calcular el número de desviaciones típicas que 16 se aleja de la media: 10. Z = x – μ σ = 16 – 10 3 = 2 Estamos preguntando por la probabilidad más allá de dos desviaciones típicas, un evento muy improbable. Buscamos dos desviaciones típicas en la tabla normal estándar y encontramos que el área de cero a dos desviaciones típicas es 0,4772. Sin embargo, nos interesa la cola, así que restamos 0,4772 de 0,5 y así encontramos el área de la cola. Nuestra conclusión es que la probabilidad de que un criadero tenga 16 perros con \"simetría perfecta\" es de 0,0228. Dundee Kennels tiene un historial extraordinario en este sentido. Matemáticamente, lo escribimos como: 1 – [ p ( X = 0 ) + p ( X = 1 ) + p ( X = 2 ) + … + p ( X = 16 ) ] = p ( X > 16 ) = p ( Z > 2 ) = 0,0228 Repaso del capítulo La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ . Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z . Su media es cero y su desviación típica es uno. Revisión de la fórmula Distribución normal: X ~ N ( µ , σ ) donde µ es la media y σ es la desviación típica. Distribución normal estándar: Z ~ N (0, 1). ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en un enunciado de probabilidad? P ( x < 1) ¿Cuál es el área a la derecha de uno? ¿ P ( x < 1) es igual a P ( x ≤ 1)? ¿Por qué? Sí, porque son iguales en una distribución continua: P ( x = 1) = 0 ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en un enunciado de probabilidad? ¿Cuál es el área a la derecha de tres? 1 – P ( x < 3) o P ( x > 3) Si el área a la izquierda de x en una distribución normal es 0,123, ¿cuál es el área a la derecha de x ? Si el área a la derecha de x en una distribución normal es 0,543, ¿cuál es el área a la izquierda de x ? 1 – 0,543 = 0,457 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: X ~ N (54, 8) Calcule la probabilidad de que x > 56. Calcule la probabilidad de que x < 30. 0,0013 X ~ N (6, 2) Calcule la probabilidad de que x esté entre tres y nueve. X ~ N (–3, 4) Calcule la probabilidad de que x esté entre uno y cuatro. 0,1186 X ~ N (4, 5) Calcule el máximo de x en el cuartil inferior. Use la siguiente información para responder el próximo ejercicio: La vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD se averíe durante el periodo de garantía. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (0 < x < ____________) = ___________ (use el cero para el valor mínimo de x .) Compruebe la solución del estudiante. 3; 0,1979 Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2,8 y seis años. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (__________ < x < __________) = __________ Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 45 aciertos. 0,154 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y calcule la probabilidad de que el experimento tenga al menos 22 aciertos. 0,874 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 35 a 45 aciertos. 0,693 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga de 26 a 30 aciertos. 0,346 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,40 se repite 100 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,110 Un experimento con una probabilidad de acierto dada como 0,30 se repite 90 veces. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y calcule la probabilidad de que el experimento tenga como máximo 34 aciertos. 0,946 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 30 preguntas, pero no más de 32. 0,071 Una prueba de opción múltiple tiene una probabilidad de que cualquier pregunta se estime correctamente de 0,25. Hay 100 preguntas, y un estudiante las acierta todas. Utilice la distribución normal para aproximarse a la distribución binomial y determine la probabilidad de que se adivinen correctamente al menos 24 preguntas, pero no más de 28. 0,347 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación? 0,0580 0,8447 0,0553 0,9420 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento? Sí No No se puede determinar Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento. 0,0001 0,9270 0,1862 0,0668 d El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento? 1,24 2,41 3,95 6,05 Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente. ¿El 40% de las alturas se encuentra entre cuáles dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (66; 2,5) 0,5404 No, la probabilidad de que un hombre asiático mida más de 72 pulgadas es de 0,0082 El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar. Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (36, 10) La probabilidad de que una persona consuma más del 40 % de sus calorías en forma de grasa es de 0,3446. Aproximadamente el 25 % de las personas consumen menos del 29,26 % de sus calorías en forma de grasa. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____) Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión? ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños? X = número de horas que un niño chino de cuatro años en una zona rural está sin supervisión durante el día. X ~ N (3, 1,5) La probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión es de 0,0918. La probabilidad de que un niño pase más de diez horas al día sin supervisión es inferior a 0,0001. 2,21 horas En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral. Indique la distribución aproximada de X . ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe? Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton. Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo? X = la distribución del número de días que durará un determinado tipo de juicio penal X ~ N (21, 7) La probabilidad de que un juicio seleccionado al azar dure más de 24 días es de 0,3336. 22,77 Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos. El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____. El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos. Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La muestra los datos reales ordenados (en minutos): 0,50 4,25 5 6 7,25 1,75 4,25 5,25 6 7,25 2 4,25 5,25 6,25 7,25 2,25 4,25 5,5 6,25 7,75 2,25 4,5 5,5 6,5 8 2,5 4,75 5,5 6,5 8,25 2,75 4,75 5,75 6,5 9,5 3,25 4,75 5,75 6,75 9,5 3,75 5 6 6,75 9,75 3,75 5 6 6,75 10,75 Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____) Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos. Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas? Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión. media = 5,51, s = 2,15 Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. X ~ N (5,51; 2,15) 0,6029 La frecuencia acumulada para menos de 6,1 minutos es de 0,64. Las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales, ya que la distribución normal es solo una aproximación a la real. Las respuestas de las partes f y g son cercanas, ya que una distribución normal es una excelente aproximación cuando el tamaño de la muestra es superior a 30. La aproximación habría sido menos precisa porque el menor tamaño de la muestra hace que los datos no se ajusten tan bien a la curva normal. Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa. El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita. Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero. Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario. Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad. La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra. n = 100; p = 0,1; q = 0,9 μ = np = (100)(0,10) = 10 σ = n p q = (100)(0 0,1)(0 0,9) = 3 z = ± 1 : x 1 = µ + zσ = 10 + 1(3) = 13 y x 2 = µ – zσ = 10 – 1(3) = 7,68% de los automóviles defectuosos estará entre el siete y el 13. z = ± 2 : x 1 = µ + zσ = 10 + 2(3) = 16 como x 2 = µ – zσ = 10 – 2(3) = 4. 95% de los automóviles defectuosos caerán entre cuatro y 16 z = ± 3 : x 1 = µ + zσ = 10 + 3(3) = 19 como x 2 = µ – zσ = 10 – 3(3) = 1. 99,7% de los automóviles defectuosos estará entre uno y 19. Lanzamos una moneda 100 veces ( n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % ( p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente: Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32. Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya entre 34 y 54 premios. entre 54 y 64 premios. más de 64 premios. n = 190; p = 1 5 = 0,2; q = 0,8 μ = np = (190)(0,2) = 38 σ = n p q = (190)(0 0,2)(0 0,8) = 5,5136 Para este problema: P (34 < x < 54) = 0,7641 Para este problema: P (54 < x < 64) = 0,0018 Para este problema: P ( x > 64) = 0,0000012 (aproximadamente 0) Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio. En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento. Un hospital tiene 49 nacimientos en un año. Se considera igual de probable que un nacimiento sea un niño que una niña. ¿Cuál es la media? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 23 de los 49 nacimientos sean niños. 24,5 3,5 Sí 0,67 Históricamente, el examen final de un curso se aprueba con una probabilidad de 0,9. El examen se realiza a un grupo de 70 estudiantes. ¿Cuál es la media de la distribución binomial? ¿Cuál es la desviación típica? ¿Se puede aproximar esta distribución binomial con una distribución normal? Si es así, utilice la distribución normal para calcular la probabilidad de que al menos 60 de los estudiantes aprueben el examen 63 2,5 Sí 0,88 Un árbol de un huerto tiene 200 naranjas. De las naranjas, 40 no están maduras. Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial, y determina la probabilidad de que una caja que contiene 35 naranjas tenga como máximo dos naranjas que no estén maduras. 0,02 En una gran ciudad, uno de cada diez hidrantes necesita ser reparado. Si una cuadrilla examina 100 hidrantes en una semana, ¿cuál es la probabilidad de que encuentre menos de nueve hidrantes que necesiten reparación? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,37 En una línea de montaje se determina que el 85% de los productos ensamblados no tienen defectos. Si un día se ensamblan 50 artículos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 y no más de 8 estés defectuosos? Utilice la distribución normal para aproximar la distribución binomial. 0,50", "section": "Estimación de la binomial con la distribución normal", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Si quiere averiguar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, utilizando el teorema del límite central y suponiendo que su muestra es lo suficientemente grande, encontrará que la distribución es la función de densidad de probabilidad normal (créditos: John Lodder) ¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo, estudiará las medias y el teorema del límite central . El teorema del límite central es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. El teorema central del límite es un teorema, lo que significa que NO es una teoría o simplemente la idea de alguien sobre cómo funcionan las cosas. Como teorema, está a la altura del teorema de Pitágoras, o el teorema que nos dice que la suma de los ángulos de un triángulo debe sumar 180. Son hechos de las formas del mundo rigurosamente demostrados con precisión matemática y lógica. Como veremos, este poderoso teorema determinará lo que podemos y no podemos decir en la estadística inferencial. El teorema del límite central se ocupa de extraer muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ , y una desviación típica conocida, σ . La conclusión es que si recogemos muestras de tamaño n con un \" n suficientemente grande\", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma (distribución) de esas medias, la distribución resultante tenderá a tener una distribución normal aproximada. El resultado asombroso es que no importa cuál es la distribución de la población original, ni siquiera es necesario conocerla. El hecho importante es que la distribución de las medias muestrales tiende a seguir la distribución normal. El tamaño de la muestra, n , que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de la normal, se necesitan más observaciones para las medias de la muestra. El muestreo se realiza de forma aleatoria y con reemplazo en el modelo teórico. Distribución de muestreo dadas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población determinada con una característica medida como la media, la proporción o la desviación típica para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se llama distribución de muestreo.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Teorema del límite central de las medias muestrales La distribución muestral es una distribución teórica. Se crea tomando muchas muestras de tamaño n de una población. Cada media muestral se trata entonces como una única observación de esta nueva distribución, la distribución muestral. La genialidad de pensar de esta manera es que reconoce que cuando tomamos una muestra estamos creando una observación y esa observación debe provenir de alguna distribución particular. El teorema del límite central responde a la pregunta: ¿de qué distribución procede la media de una muestra? Si se descubre esto, entonces podemos tratar una media muestral como cualquier otra observación y calcular probabilidades sobre los valores que puede tomar. En efecto, hemos pasado del mundo de la estadística, en el que solo conocemos lo que tenemos de la muestra, al mundo de la probabilidad, en el que conocemos la distribución de la que procede la media muestral y los parámetros de esa distribución. Las razones por las que se toma una muestra de una población son obvias. El tiempo y el gasto de comprobar cada factura para determinar su validez o cada envío para ver si contiene todos los artículos puede superar con creces el coste de los errores de facturación o envío. En el caso de algunos productos, el muestreo requeriría su destrucción, lo que se denomina muestreo destructivo. Un ejemplo de ello es la medición de la capacidad de un metal para resistir la corrosión del agua salada en las piezas de los buques oceánicos. El muestreo plantea, pues, una cuestión importante: qué muestra se ha extraído. Incluso si la muestra se extrajera al azar, en teoría hay un número casi infinito de muestras. Con solo 100 artículos, se pueden extraer más de 75 millones de muestras únicas de tamaño cinco. Si hay seis en la muestra, el número de muestras posibles aumenta a algo más de mil millones. Entonces, de los 75 millones de muestras posibles, ¿cuál obtuvo? Si hay variación en los artículos que se van a muestrear, habrá variación en las muestras. Se podría extraer una muestra \"desafortunada\" y sacar conclusiones muy erróneas sobre la población. Este reconocimiento de que cualquier muestra que extraigamos es en realidad solo una de una distribución de muestras nos proporciona el que probablemente sea el teorema más importante de la estadística: el teorema del límite central . Sin el teorema del límite central sería imposible pasar a la estadística inferencial a partir de la teoría de la probabilidad simple. En su forma más básica, el teorema del límite central establece que, independientemente de la función de densidad de probabilidad subyacente de los datos de la población, la distribución teórica de las medias de las muestras de la población se distribuirá normalmente. En esencia, esto dice que la media de una muestra debe tratarse como una observación extraída de una distribución normal. El Teorema del Límite Central solo se cumple si el tamaño de la muestra es \"suficientemente grande\", lo que se ha demostrado que es de solo 30 observaciones o más. La muestra gráficamente esta importante propuesta. Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X. Se trata de las observaciones individuales de la población. Esta es la distribución desconocida de los valores de la población. El gráfico está dibujado a propósito de forma cuadriculada para mostrar que no importa lo extraña que sea en realidad. Recuerde que nunca sabremos cómo es esta distribución, ni su media ni su desviación típica. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como X – 's. Se trata de la distribución teórica denominada distribución muestral de las medias. Cada observación de esta distribución es una media muestral. Todas estas medias muestrales se calcularon a partir de muestras individuales con el mismo tamaño de muestra. La distribución muestral teórica contiene todos los valores medios muestrales de todas las muestras posibles que podrían haberse tomado de la población. Por supuesto, nadie tomaría realmente todas estas muestras, pero si lo hicieran, este es el aspecto que tendrían. Y el teorema del límite central dice que se distribuirán normalmente. El teorema del límite central va más allá y nos indica la media y la desviación típica de esta distribución teórica. Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de X – 's Media μ X – μ x – y E ( μ x – ) = μ Desviación típica σ s σ x – = σ n La importancia práctica del teorema del límite central es que ahora podemos calcular las probabilidades de obtener una media muestral, X – , de la misma manera que lo hicimos para extraer observaciones específicas, X's, cuando conocíamos la media y la desviación típica de la población y que los datos de la población estaban distribuidos normalmente. La fórmula de estandarización tiene que modificarse para reconocer que la media y la desviación típica de la distribución muestral, a veces llamada error estándar de la media, son diferentes de las de la distribución de la población, pero por lo demás no ha cambiado nada. La nueva fórmula de estandarización es Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ n Observe que µ X – en la primera fórmula se ha cambiado por simplemente µ en la segunda versión. La razón es que matemáticamente se puede demostrar que el valor esperado de µ X – es igual a µ. Esto se ha indicado en la anteriormente. Matemáticamente, el símbolo E(x) indica el \"valor esperado de x\". Esta fórmula se utilizará en la siguiente unidad para proporcionar estimaciones del parámetro poblacional desconocido μ. Referencias Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. Repaso del capítulo En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño ( n ) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( n ). Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las medias muestrales: X – ~ N ( μ x – , σ n ) Z = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ / n La media X – : μ x – Teorema del límite central de las medias muestrales de puntuación z z = x – – μ x – ( σ n ) Error estándar de la media (desviación típica ( X – )): σ n Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las medias: Z = x ¯ – μ σ n · N – n N – 1 Factor de corrección de la población finita para la distribución muestral de las proporciones: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Tarea para la casa Anteriormente, los estudiantes de Estadística de De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de Estadística durante el día se distribuye exponencialmente con una media de 0,88 dólares. Supongamos que elegimos al azar a 25 estudiantes diurnos de Estadística. En palabras, Χ = ____________ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X – = ____________ X – ~ ______ (______, ______) Calcule la probabilidad de que una persona tenga entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Calcule la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes esté entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f. Χ = cantidad de cambio que llevan los estudiantes Χ ~ E (0,88; 0,88) X – = cantidad de cambio promedio llevada por una muestra de 25 estudiantes. X – ~ N (0,88; 0,176) 0,0819 0,1882 Las distribuciones son diferentes. La parte a es exponencial y la parte b es normal. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Tomamos una muestra aleatoria de 49 batazos de aire. Si X – = distancia promedio en pies para 49 batazos de aire, entonces X – ~ _______(_______,_______) ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 pelotas hayan volado un promedio de menos de 240 pies? Dibuje el gráfico. Escala el eje horizontal para X – . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 batazos de aire. Según el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio que tarda una persona en terminar (llevar un registro, aprender, preparar, copiar, recopilar y enviar) el formulario 1040 del IRS es de 10,53 horas (sin los anexos). La distribución es desconocida. Supongamos que la desviación típica es de dos horas. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 36 contribuyentes. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Le sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su formulario 1040 en un promedio de más de 12 horas? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. ¿Le sorprendería que un contribuyente terminara su formulario 1040 en más de 12 horas? Explique por qué en una oración completa. tiempo que tarda una persona en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. duración media de una muestra de 36 contribuyentes en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. N ( 10 0,53, 1 3 ) Sí. Me sorprendería, porque la probabilidad es casi 0. No. No me sorprendería del todo porque la probabilidad es de 0,2312 Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Considere 49 de las carreras. Supongamos que X – el promedio de las 49 carreras. X – ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el corredor tenga un promedio entre 142 y 146 minutos en estos 49 maratones. Calcule el percentil 80 del promedio de estos 49 maratones. Calcule la mediana de los tiempos promedio de ejecución. La duración de las canciones en la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3,5 minutos. Supongamos que elegimos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco álbumes. En palabras, Χ = _________ Χ ~ _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) Calcule el primer cuartil para la duración promedio de la canción. El IQR (rango intercuartil) para la longitud promedio de la canción es de _______-_______. la duración de una canción, en minutos, en la colección U (2, 3,5) la duración promedio, en minutos, de las canciones de una muestra de cinco álbumes de la colección N (2,75, 0,066) 2,74 minutos 0,03 minutos En 1940, el tamaño promedio de una granja en EE. UU. era de 174 acres. Digamos que la desviación típica era de 55 acres. Supongamos que encuestamos al azar a 38 agricultores de 1940. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) El IQR para X – es de _______ acres a _______ acres. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Luego, justifique sus respuestas con oraciones completas. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de X – es aproximadamente igual a la media de Χ . Cuando el tamaño de la muestra es grande, X – se distribuye aproximadamente normal. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación típica de X – es aproximadamente igual a la desviación típica de Χ . Verdadero. La media de una distribución del muestreo de las medias es aproximadamente la media de la distribución de los datos. Verdadero. Según el teorema del límite central, cuanto mayor sea la muestra, más se aproxima a la normalidad la distribución del muestreo de las medias. La desviación típica de la distribución del muestreo de las medias disminuirá haciéndola aproximadamente igual a la desviación típica de X a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El porcentaje de calorías de grasa que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de diez aproximadamente. Supongamos que se eligen 16 personas al azar. Supongamos que X – = porcentaje promedio de calorías de grasa. X – ~ ______(______, ______) Para el grupo de 16, calcule la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasa consumidas sea superior a cinco. Grafique la situación y sombree la zona a determinar. Calcule el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa. La distribución de los ingresos en algunos países del tercer mundo se considera en forma de cuña (mucha gente muy pobre, muy poca gente con ingresos medios y aún menos gente rica). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Supongamos que el salario promedio es de 2.000 dólares al año con una desviación típica de 8.000 dólares. Encuestamos al azar a 1.000 residentes de ese país. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X – = _____________ X – ~ _____(_____,_____) ¿Cómo es posible que la desviación típica sea mayor que el promedio? ¿Por qué es más probable que el promedio de los 1.000 residentes sea de 2.000 a 2.100 dólares que de 2.100 a 2.200 dólares? X = los ingresos anuales de alguien en un país del tercer mundo el salario promedio de las muestras de 1.000 residentes de un país del tercer mundo X – ∼ N ( 2000, 8000 1.000 ) Las diferencias muy amplias en los valores de los datos pueden tener promedios más pequeños que las desviaciones típicas. La distribución de la media muestral tendrá mayores probabilidades de acercarse a la media de la población. P (2.000 < X – < 2.100) = 0,1537 P (2.100 < X – < 2200) = 0,1317 ¿Cuál de las siguientes opciones NO ES CIERTA sobre la distribución de los promedios? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. La distribución que se va a usar para el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras es X – ~ N (4,59; 0,10) X – ~ N ( 4 0,59, 0,10 16 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) X – ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) b Promedio un número que describe la tendencia central de los datos; existen varios promedios especializados, como la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. Teorema del límite central dada una variable aleatoria con media conocida μ y desviación típica conocida, σ , estamos muestreando con tamaño n , y nos interesan dos nuevas VR: la media muestral, X – . Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, entonces X – ~ N ( μ , σ n ). Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media. Error estándar de la media la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, o σ n .", "section": "Teorema del límite central de las medias muestrales", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Uso del teorema del límite central Ejemplos del teorema del límite central Ley de los grandes números La ley de los grandes números dice que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media de la distribución muestral, μ x – tiende a acercarse cada vez más a la verdadera media de la población, μ . A partir del teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n , menor será la desviación típica de la distribución muestral. (Recuerde que la desviación típica de la distribución muestral de X – es σ n ). Esto significa que la media muestral x – debe estar más cerca de la media poblacional μ a medida que n aumenta. Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números. Este concepto es tan importante y desempeña un papel tan decisivo en lo que sigue que merece un mayor desarrollo. De hecho, hay dos cuestiones críticas que se derivan del teorema del límite central y de la aplicación de la ley de los grandes números a este. Estos son La función de densidad de probabilidad de la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente independientemente de la distribución subyacente de las observaciones de la población y la desviación típica de la distribución muestral disminuye a medida que aumenta el tamaño de las muestras que se utilizaron para calcular las medias de la distribución muestral. Tomando estos en orden. Parece contradictorio que la población pueda tener cualquier distribución y que la distribución de las medias procedentes de ella se distribuya normalmente. Con el uso de computadoras, se pueden simular experimentos que muestren el proceso por el cual la distribución de muestreo cambia a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Estas simulaciones muestran visualmente los resultados de la demostración matemática del teorema del límite central. He aquí tres ejemplos de distribuciones poblacionales muy diferentes y la evolución de la distribución muestral hacia una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El panel superior en estos casos representa el histograma de los datos originales. Los tres paneles muestran los histogramas de 1000 muestras extraídas al azar para diferentes tamaños de muestra: n=10, n= 25 y n=50. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, y el número de muestras tomadas se mantiene constante, la distribución de las medias de 1000 muestras se acerca más a la línea suave que representa la distribución normal. La es para una distribución normal de las observaciones individuales y esperaríamos que la distribución de muestreo convergiera en la normal rápidamente. Los resultados lo demuestran y muestran que, incluso con un tamaño de muestra muy pequeño, la distribución se aproxima a la distribución normal. La es una distribución uniforme que, de forma un poco sorprendente, se acerca rápidamente a la distribución normal incluso con solo una muestra de 10. La es una distribución sesgada. Esta última podría ser una exponencial, geométrica o binomial con una pequeña probabilidad de éxito creando el sesgo en la distribución. En el caso de las distribuciones asimétricas, nuestra intuición nos dice que se necesitarán tamaños de muestra mayores para pasar a una distribución normal y de hecho, eso es lo que observamos en la simulación. Sin embargo, con un tamaño de muestra de 50, que no se considera muy grande, la distribución de las medias muestrales ha adquirido muy decididamente la forma de la distribución normal. El teorema del límite central proporciona algo más que la prueba de que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. También nos proporciona la media y la desviación típica de esta distribución. Además, como se ha comentado anteriormente, el valor esperado de la media, μ x – , es igual a la media de la población de los datos originales que es lo que nos interesa estimar a partir de la muestra que tomamos. Ya hemos insertado esta conclusión del teorema del límite central en la fórmula que utilizamos para estandarizar desde la distribución muestral a la distribución normal estándar. Y, por último, el teorema del límite central también ha proporcionado la desviación típica de la distribución muestral, σ x – = σ n , y esto es crítico para poder calcular las probabilidades de los valores de la nueva variable aleatoria, x – . La muestra una distribución de muestreo. La media se ha marcado en el eje horizontal de las x – y la desviación típica se ha escrito a la derecha sobre la distribución. Observe que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica original de la población, dividida entre el tamaño de la muestra. Ya hemos visto que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución muestral se acerca cada vez más a la distribución normal. Como esto ocurre, la desviación típica de la distribución muestral cambia de otra manera; la desviación típica disminuye a medida que n aumenta. Cuando n es muy grande, la desviación típica de la distribución muestral se hace muy pequeña y en el infinito colapsa sobre la media de la población. Esto es lo que significa que el valor esperado de µ x – es la media de la población, µ. En valores no extremos de n, esta relación entre la desviación típica de la distribución muestral y el tamaño de la muestra desempeña un papel muy importante en nuestra capacidad para estimar los parámetros que nos interesan. La muestra tres distribuciones de muestreo. El único cambio que se ha realizado es el tamaño de la muestra que se utilizó para obtener las medias muestrales de cada distribución. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, n pasa de 10 a 30 a 50, las desviaciones típicas de las respectivas distribuciones muestrales disminuyen porque el tamaño de la muestra está en el denominador de las desviaciones típicas de las distribuciones muestrales. Las implicaciones de esto son muy importantes. La muestra el efecto del tamaño de la muestra en la confianza que tendremos en nuestras estimaciones. Se trata de dos distribuciones muestrales de la misma población. Una distribución de muestreo se creó con muestras de tamaño 10 y la otra con muestras de tamaño 50. Si todo lo demás es constante, la distribución de muestreo con un tamaño de muestra de 50 tiene una desviación típica menor que hace que el gráfico sea más alto y estrecho. El efecto importante de esto es que para la misma probabilidad de una desviación típica de la media, esta distribución cubre mucho menos rango de valores posibles que la otra distribución. Una desviación típica está marcada en el eje X – para cada distribución. Esto se muestra con las dos flechas que son más o menos una desviación típica para cada distribución. Si la probabilidad de que la verdadera media esté a una desviación típica de la media, entonces para la distribución de muestreo con el tamaño de muestra más pequeño, el rango posible de valores es mucho mayor. Una pregunta sencilla es: ¿preferiría tener una media muestral de la distribución estrecha y ajustada o de la distribución plana y amplia como estimación de la media de la población? Su respuesta nos dice por qué la gente intuitivamente siempre elegirá datos de una muestra grande en lugar de una muestra pequeña. La media muestral que obtienen procede de una distribución más compacta. Este concepto será la base de lo que se llamará nivel de confianza en la siguiente unidad. Repaso del capítulo El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral x – llega a μ . Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas. ¿Cuál es la distribución de los pesos de una pesa de 25 libras? ¿Cuál es la media y la desviación típica? ¿Cuál es la distribución del peso medio de 100 pesas de 25 libras? Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea inferior a 24,9. U (24, 26), 25, 0,5774 N (25, 0,0577) 0,0416 Dibuje el gráfico del Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea mayor que 25,2. 0,0003 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso medio de las 100 pesas. 25,07 Dibuje el gráfico de la ¿Cuál es la distribución de la suma de los pesos de 100 pesas de 25 libras? Calcule P ( Σx < 2.450). N (2.500; 5,7735) 0 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso total de las 100 pesas. 2.507,40 Dibuje el gráfico de la Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es el parámetro m ? 10 1 10 ¿Cuál es la distribución de la duración de una batería? ¿Cuál es la distribución de la duración media de 64 baterías? N ( 10, 10 8 ) ¿Cuál es la distribución de la duración total de 64 baterías? Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre siete y 11. 0,7799 Calcule el percentil 80 para la duración total de 64 baterías. Calcule el IQR para la media de tiempo que duran 64 baterías. 1,69 Calcule el 80 % del centro para el tiempo total de duración de 64 baterías. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas. Calcule P ( Σx > 420). 0,0072 Calcule el percentil 90 de las sumas. Calcule el percentil 15 de las sumas. 391,54 Calcule el primer cuartil de las sumas. Calcule el tercer cuartil para las sumas. 405,51 Calcule el percentil 80 de las sumas. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de 2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 49, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 25, desviación típica = 2/7 Una población tiene una media de 48 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 36, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 48, desviación típica = 5/6 Una población tiene una media de 90 y una desviación típica de 6. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 64, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 90, desviación típica = 3/4 Una población tiene una media de 120 y una desviación típica de 2,4. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 40, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 120, desviación típica = 0,38 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 1,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 50, ¿cuál es la media y la desviación típica de las medias muestrales? Media = 17, desviación típica = 0,17 Una población tiene una media de 17 y una desviación típica de 0,2. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 16, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 17, desviación típica = 0,05 Una población tiene una media de 38 y una desviación típica de 3. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 48, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 38, desviación típica = 0,43 Una población tiene una media de 14 y una desviación típica de 5. Si se muestrea repetidamente con muestras de tamaño 60, ¿cuál es el valor esperado y la desviación típica de las medias muestrales? Valor esperado = 14, desviación típica = 0,65 Tarea para la casa Una gran población de 5000 estudiantes realiza un examen de práctica para preparar una prueba estandarizada. La media de la población es de 140 preguntas correctas y la desviación típica es de 80. ¿Qué tamaño de muestras debe tomar un investigador para obtener una distribución de medias de las muestras con una desviación típica de 10? 64 Una población grande tiene datos sesgados con una media de 70 y una desviación típica de 6. Se toman 100 muestras y se analiza la distribución de las medias de estas muestras. ¿La distribución de las medias se acercará más a una distribución normal que la distribución de la población? ¿Se mantendrá la media de las medias de las muestras cerca de 70? ¿La distribución de las medias tendrá una desviación típica menor? ¿Cuál es esa desviación típica? Sí Sí Sí 0,6 Un investigador observa los datos de una gran población con una desviación típica demasiado grande. Para concentrar la información, el investigador decide muestrear repetidamente los datos y utilizar la distribución de las medias de las muestras. En el primer esfuerzo se utilizó una muestra de un tamaño de 100. Pero la desviación típica era aproximadamente el doble del valor que quería el investigador. ¿Cuál es el tamaño más pequeño de las muestras que el investigador puede utilizar para solucionar el problema? 400 Un investigador observa un gran conjunto de datos y concluye que la población tiene una desviación típica de 40. Si se utilizan tamaños de muestra de 64, el investigador es capaz de centrar la media de las medias de la muestra en una distribución más estrecha en la que la desviación típica es de 5. Entonces, el investigador se da cuenta de que hubo un error en los cálculos originales, y la desviación típica inicial es realmente 20. Dado que la desviación típica de las medias de las muestras se obtuvo utilizando la desviación típica original, este valor también se ve afectado por el descubrimiento del error. ¿Cuál es el valor correcto de la desviación típica de las medias de las muestras? 2,5 Una población tiene una desviación típica de 50. Se muestrea con muestras de tamaño 100. ¿Cuál es la varianza de las medias de las muestras? 25 Media un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Factor de corrección de la población finita ajusta la varianza de la distribución del muestreo si la población es conocida y se está realizando muestras más del 5 % de la población. Distribución normal variable aleatoria continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria, Z, se llama distribución normal estándar . Error estándar de la proporción desviación típica de la distribución muestral de las proporciones", "section": "Uso del teorema del límite central", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Teorema del límite central de las proporciones El teorema del límite central nos dice que la estimación puntual de la media muestral, x ¯ , proviene de una distribución normal de x ¯ 's. Esta distribución teórica se denomina distribución muestral de x ¯ 's. Ahora investigamos la distribución de muestreo para otro parámetro importante que deseamos estimar; p de la función de densidad de probabilidad binomial. Si la variable aleatoria es discreta, como en el caso de los datos categóricos, el parámetro que deseamos estimar es la proporción de la población. Esta es, por supuesto, la probabilidad de obtener un éxito en cualquier sorteo aleatorio. A diferencia del caso que acabamos de discutir para una variable aleatoria continua en la que no conocíamos la distribución poblacional de las X, aquí sí conocemos la función de densidad de probabilidad subyacente para estos datos; es la binomial. La variable aleatoria es X = el número de aciertos y el parámetro que deseamos conocer es p, la probabilidad de sacar un acierto que es, por supuesto, la proporción de aciertos en la población. La pregunta que se plantea es: ¿a partir de qué distribución se obtuvo la proporción de la muestra, p' = x n extraída? El tamaño de la muestra es n y X es el número de aciertos encontrados en esa muestra. Se trata de una pregunta paralela a la que acaba de responder el teorema del límite central: ¿de qué distribución era la media de la muestra, x ¯ , extraída? Vimos que una vez que supimos que la distribución era la normal, pudimos crear intervalos de confianza para el parámetro poblacional: µ. También utilizaremos esta misma información para comprobar las hipótesis sobre la media de la población más adelante. Ahora queremos ser capaces de desarrollar intervalos de confianza para el parámetro poblacional \"p\" a partir de la función de densidad de probabilidad binomial. Para hallar la distribución de la que proceden las proporciones muestrales, necesitamos desarrollar la distribución muestral de las proporciones muestrales, al igual que hicimos con las medias muestrales. Imaginemos de nuevo que tomamos una muestra aleatoria de, por ejemplo, 50 personas y les preguntamos si apoyan la nueva emisión de bonos escolares. A partir de esto encontramos una proporción muestral, p', y la graficamos en el eje de las p'. Hacemos esto una y otra vez, etc., hasta que tengamos la distribución teórica de las p'. Algunas proporciones de la muestra presentarán una alta favorabilidad hacia la emisión de bonos y otras presentarán una baja favorabilidad porque el muestreo aleatorio reflejará la variación de opiniones dentro de la población. Lo que hemos hecho puede verse en la . El panel superior es la distribución poblacional de probabilidades para cada valor posible de la variable aleatoria X. Aunque no sabemos cómo es la distribución específica porque no conocemos p, el parámetro poblacional, sí sabemos que debe ser algo así. En realidad, no conocemos ni la media ni la desviación típica de esta distribución de la población, la misma dificultad a la que nos enfrentamos al analizar las X anteriormente. La sitúa la media en la distribución de probabilidades de la población como µ = n p pero, por supuesto, no conocemos realmente la media de la población porque no conocemos la probabilidad de éxito de la población, p . Debajo de la distribución de los valores de la población se encuentra la distribución muestral de p 's. De nuevo, el teorema del límite central nos dice que esta distribución se distribuye normalmente al igual que el caso de la distribución muestral para x ¯ 's. Esta distribución muestral también tiene una media, la media de p ', y una desviación típica, σ p ' . Es importante destacar que, en el caso del análisis de la distribución de las medias muestrales, el teorema del límite central nos indicó el valor esperado de la media de las medias muestrales en la distribución muestral, y la desviación típica de la distribución muestral. De nuevo, el teorema del límite central proporciona esta información para la distribución de muestreo de las proporciones. Las respuestas son El valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, µ p' , es la proporción de población, p. La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, σ p' , es la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra, n. Estas dos conclusiones son las mismas que hemos encontrado para la distribución de muestreo de las medias de las muestras. Sin embargo, en este caso, como la media y la desviación típica de la distribución binomial dependen de p , la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral requiere una manipulación algebraica para ser útil. Lo abordaremos en el próximo capítulo. A continuación, se ofrece la demostración de estas importantes conclusiones del teorema del límite central. E ( p ' ) = E ( x n ) = ( 1 n ) E ( x ) = ( 1 n ) n p = p (El valor esperado de X, E(x), es simplemente la media de la distribución binomial que sabemos que es np). σ p' 2 = Var ( p ' ) = Var ( x n ) = 1 n 2 ( Var ( x ) ) = 1 n 2 ( n p ( 1 – p ) ) = p ( 1 – p ) n La desviación típica de la distribución muestral de las proporciones es, por tanto, la siguiente σ p' = p ( 1 – P ) n Parámetro Distribución de la población Muestra Distribución muestral de las p Media µ = np p ' = x n p' y E(p') = p Desviación típica σ = n p q σ p' = p ( 1 – p ) n La resume estos resultados y muestra la relación entre la población, la muestra y la distribución muestral. Nótese el paralelismo entre esta Tabla y la Tabla 7.1 para el caso en que la variable aleatoria es continua y estábamos desarrollando la distribución muestral para las medias. Repasando la fórmula de la desviación típica de la distribución muestral para las proporciones vemos que a medida que n aumenta la desviación típica disminuye. Esta es la misma observación que hicimos para la desviación típica de la distribución de muestreo para las medias. De nuevo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, se observa que la estimación puntual de µ o p procede de una distribución cada vez más estrecha. Llegamos a la conclusión de que, con un nivel de probabilidad determinado, el rango del que procede la estimación puntual es menor a medida que aumenta el tamaño de la muestra, n. La figura 7.8 muestra este resultado para el caso de las medias muestrales. Simplemente sustituya p ' por x ¯ y podemos ver el impacto del tamaño de la muestra en la estimación de la proporción de la muestra. Repaso del capítulo El teorema del límite central también puede utilizarse para ilustrar que la distribución muestral de las proporciones de la muestra se distribuye normalmente con el valor esperado de p y una desviación típica de σ p' = p ( 1 – p ) n Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,23 Se hace una pregunta a una clase de 200 estudiantes de primer año y el 23 % de los estudiantes sabe la respuesta correcta. Si se toma repetidamente una muestra de 50 estudiantes, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,060 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/5 Un juego se juega repetidamente. Un jugador gana una quinta parte de las veces. Si se toman repetidamente 40 muestras por cada juego, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,063 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/3 Un virus ataca a una de cada tres personas expuestas a él. Toda una gran ciudad está expuesta. Si se toman muestras de 70 personas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,056 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es el valor esperado de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 1/10 Una compañía inspecciona productos que pasan por su proceso de producción y rechaza los productos detectados. Una décima parte de los artículos son rechazados. Si se toman muestras de 50 elementos, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,042 Tarea para la casa Un agricultor recoge calabazas en un campo extenso. El agricultor toma muestras de 260 calabazas y las inspecciona. Si una de cada cincuenta calabazas no es apta para el mercado y se guarda para semillas, ¿cuál es la desviación típica de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra? 0,0087 Una tienda encuesta a los clientes para ver si están satisfechos con el servicio que recibieron. Se toman muestras de 25 encuestas. Una de cada cinco personas está insatisfecha. ¿Cuál es la varianza de la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra para el número de clientes insatisfechos? ¿Cuál es la diferencia entre los clientes satisfechos? 0,0064, 0,0064 Una compañía hace una encuesta anónima a sus empleados para ver qué porcentaje de ellos está contento. La compañía es demasiado grande para comprobar cada respuesta, así que se toman muestras de 50, y la tendencia es que tres cuartas partes de los empleados están contentos. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, responda a las siguientes preguntas, si el tamaño de la muestra se duplica. ¿Cómo afecta esto a la media? ¿Cómo afecta esto a la desviación típica? ¿Cómo afecta esto a la varianza? No tiene ningún efecto. Se divide entre 2 . Se divide entre 2. Un encuestador hace una sola pregunta con solo un sí y un no como posibilidades de respuesta. La encuesta se realiza a nivel nacional, por lo que se toman muestras de 100 respuestas. Hay cuatro respuestas afirmativas para cada respuesta negativa en general. Para la media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra, halle lo siguiente para las respuestas afirmativas. El valor esperado. La desviación típica. La varianza. 4/5 0,04 0,0016 La media de la distribución muestral de las proporciones de la muestra tiene un valor de p de 0,3 y un tamaño de muestra de 40. ¿Hay alguna diferencia en el valor esperado si p y q invierten los roles? ¿Hay alguna diferencia en el cálculo de la desviación típica con la misma inversión? Sí No", "section": "Teorema del límite central de las proporciones", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Factor de corrección de población finita Hemos visto que el tamaño de la muestra tiene un efecto importante en la varianza y, por tanto, en la desviación típica de la distribución muestral. También es interesante la proporción de la población total que ha sido muestreada. Hemos asumido que la población es extremadamente grande y que hemos muestreado una pequeña parte de ella. A medida que la población se hace más pequeña y muestreamos un mayor número de observaciones, las observaciones de la muestra no son independientes entre sí. Para corregir el impacto de esto, se puede utilizar el factor de corrección finito para ajustar la varianza de la distribución de muestreo. Es apropiado cuando se muestrea más del 5 % de la población y esta tiene un tamaño poblacional conocido. Hay casos en los que se conoce la población, por lo que hay que aplicar el factor de corrección. El problema se plantea tanto para la distribución muestral de las medias como para la distribución muestral de las proporciones. El factor de corrección de la población finita para la varianza de las medias que aparece en la fórmula de normalización es: Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 y para la varianza de las proporciones es: σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas muestrales se ajustan mediante la fórmula anterior. Se sabe que la población de pastores alemanes blancos en EE. UU. es de 4.000 perros y el peso medio de los pastores alemanes es de 75,45 libras. También se sabe que la desviación típica de la población es de 10,37 libras. Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, halle la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera media probabilística en menos de 2 libras. N = 4.000 , n = 100 , σ = 10,37 , µ = 75,45 , ( x ¯ – µ ) = ± 2 Z = x ¯ – µ σ n · N – n N – 1 = ± 2 10,37 100 · 4.000 – 100 4.000 – 1 = ± 1,95 f ( Z ) = 0,4744 · 2 = 0,9488 Tenga en cuenta que \"difiere en menos\" hace referencia al área a ambos lados de la media dentro de 2 libras a la derecha o a la izquierda. Cuando un cliente hace un pedido a Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informático de información contable (accounting information system, AIS) comprueba automáticamente si el cliente ha superado su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de 0,06. Supongamos que en un día determinado se realizan 3.000 pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito? N = 3.000 , n = 360 , p = 0,06 σ p' = p ( 1 – p ) n × N – n N – 1 = 0,06 ( 1 – 0,06 ) 360 × 3.000 – 360 3.000 – 1 = 0,0117 p 1 = 10 360 = 0,0278 , p 2 = 20 360 = 0,0556 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0278 – 0,06 0,011744 = −2,74 Z = p ' – p p ( 1 – p ) n · N – n N – 1 = 0,0556 – 0,06 0,011744 = −0,38 p ( 0,0278 – 0,06 0,011744 < z < 0,0556 – 0,06 0,011744 ) = p ( −2,74 < z < −0,38 ) = 0,4969 – 0,1480 = 0,3489 Un barco pesquero lleva 1.000 peces a bordo, con un peso promedio de 120 libras y una desviación típica de 6,0 libras. Si se revisan tamaños de muestra de 50 peces, ¿cuál es la probabilidad de que los peces de una muestra tengan un peso medio dentro de 2,8 libras de la media real de la población? 0,999 Un jardín experimental cuenta con 500 plantas de girasol. Las plantas están siendo tratadas para que crezcan a alturas inusuales. La altura promedio es de 9,3 pies con una desviación típica de 0,5 pies. Si se toman muestras de 60 plantas, ¿cuál es la probabilidad de que las plantas de una muestra determinada tengan una altura promedio dentro de 0,1 pies de la media real de la población? 0,901 Una compañía tiene 800 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 123, con una desviación típica de 14 días. Se examinan muestras de 50 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 124 días? 0,301 Unos automóviles pasan por un dispositivo automático de control de velocidad que monitorea 2.000 automóviles en un día determinado. Esta población de automóviles tiene una velocidad media de 67 millas por hora con una desviación típica de 2 millas por hora. Si se toman muestras de 30 automóviles, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra dada tenga una velocidad promedio dentro de 0,50 millas por hora de la media de la población? 0,832 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 37 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que hayan llovido al menos 5 y como máximo 11 días? 0,483 Un fabricante de varas de medir tiene un problema de tinta que hace que las marcas se corran en el 4 % de las varas. La producción diaria es de 2.000 varas de medir. ¿Cuál es la probabilidad de que si se comprueba una muestra de 100 varas de medir, haya tinta corrida como máximo en 4 varas de medir? 0,500 Una escuela tiene 300 estudiantes. Normalmente, hay un promedio de 21 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,502 Una universidad hace una prueba de nivelación a 5.000 estudiantes de nuevo ingreso cada año. En promedio, 1.213 quedan en uno o más cursos de desarrollo. Si se toma una muestra de 50 de los 5.000, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 12 de los incluidos en la muestra tengan que hacer al menos un curso de desarrollo? 0,519 Tarea para la casa Una compañía tiene 1.000 empleados. El número promedio de días de trabajo entre ausencias por enfermedad es de 80, con una desviación típica de 11 días. Se examinan muestras de 80 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra tenga una media de días de trabajo sin ausencia por enfermedad de al menos 78 días y como máximo 84 días? 0,955 Unos camiones pasan por una báscula automática que controla 2.000 camiones. Esta población de camiones tiene un peso promedio de 20 toneladas con una desviación típica de 2 toneladas. Si se toma una muestra de 50 camiones, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra tenga un peso promedio dentro de la media de la población? 0,927 Un pueblo lleva un registro meteorológico. A partir de estos registros se ha determinado que llueve un promedio del 12 % de los días al año. Si se seleccionan 30 días al azar de un año, ¿cuál es la probabilidad de que como máximo 3 días hayan llovido? 0,648 Un fabricante de tarjetas de felicitación tiene un problema de tinta que hace que esta se corra en el 7 % de las tarjetas. La producción diaria es de 500 tarjetas. ¿Cuál es la probabilidad de que, si se revisa una muestra de 35 tarjetas, haya tinta manchada como máximo en 5 tarjetas? 0,101 Una escuela tiene 500 estudiantes. Por lo general, hay un promedio de 20 estudiantes que se ausentan. Si se toma una muestra de 30 estudiantes en un día determinado, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 estudiantes de la muestra estén ausentes? 0,273", "section": "Factor de corrección de población finita", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción ¿Se ha preguntado alguna vez cuál es el promedio de M&M que hay en una bolsa en el supermercado? Puede usar los intervalos de confianza para responder esta pregunta (créditos: comedy_nose/flickr). Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción verdadera del parámetro p en la función de densidad de probabilidad binomial. Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial . Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. Lo que la estadística nos proporciona, más allá de un simple promedio o estimación puntual, es una estimación a la que podemos atribuir una probabilidad de exactitud, lo que llamaremos un nivel de confianza. Hacemos inferencias con un nivel de probabilidad conocido. En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija. Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, x – , y la desviación típica de la muestra, s . Usaría x – para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, x – , es la estimación puntual de la media de la población, μ . La desviación típica de la muestra, s , es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ . x – y s se denominan cada uno una estadística. Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. El intervalo de números es un rango de valores calculado a partir de un conjunto determinado de datos de muestra. Es probable que el intervalo de confianza incluya el parámetro poblacional desconocido. Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ , pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica de la distribución muestral de las medias de la muestra es σ n = 1 100 = 0,1 . La regla empírica , que se aplica a la distribución normal, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, x – , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ . Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral x – es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ . Dado que x – está dentro de 0,2 unidades de μ , que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de x – con un 95 % de probabilidad. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre x – – 0 0,2 y x – + 0 0,2 en el 95 % de las muestras. Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral x – = 2 . Entonces con un 95 % de probabilidad la media poblacional desconocida μ está entre x – – 0,2 = 2 – 0,2 = 1,8 y x – + 0,2 = 2 + 0,2 = 2,2 Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). Tenga en cuenta que hablamos en términos de confianza del 95 % utilizando la regla empírica. La regla empírica para dos desviaciones típicas es solo aproximadamente el 95 % de la probabilidad bajo la distribución normal. Para ser precisos, dos desviaciones típicas en una distribución normal son en realidad el 95,44 % de la probabilidad. Para calcular el nivel de confianza exacto del 95 % utilizaríamos 1,96 desviaciones típicas. El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ, o bien nuestra muestra produjo un x – que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ . La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de todas las muestras (95 % menos 100 % = 5 %). Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ . Para el intervalo de confianza de una media la fórmula sería μ = X – ± Z α σ n O escrito de otra manera como: X – – Z α σ n ≤ μ ≤ X – + Z α σ n Donde X – es la media de la muestra. Z α se determina por el nivel de confianza deseado por el analista, y σ n es la desviación típica de la distribución muestral para las medias que nos da el teorema del límite central. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de el nivel de confianza deseado, información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, la desviación típica conocida), la muestra y su tamaño. Estadística Inferencial también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico muestral. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas, podríamos deducir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa. Parámetro una característica numérica de una población Estimación puntual un número único calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de la población", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Cálculo del intervalo de confianza Considere la fórmula de estandarización para la distribución de muestreo desarrollada en la discusión del Teorema del Límite Central: Z 1 = X – – μ X – σ X – = X – – μ σ n Observe que µ se sustituye por µ x – porque sabemos que el valor esperado de µ x – es µ del teorema del límite central y σ x – se sustituye por σ n , también del teorema del límite central. En esta fórmula sabemos X – , σ x – y n, el tamaño de la muestra. (En realidad, no conocemos la desviación típica de la población, pero tenemos una estimación puntual de la misma, s, a partir de la muestra que hemos tomado. Más adelante se hablará de esto). Lo que no sabemos es μ o Z 1 . Podemos resolver cualquiera de ellas en términos de la otra. Resolviendo para μ en términos de Z 1 se obtiene: μ = X – ± Z 1 σ n Recordando que el teorema del límite central nos dice que la distribución de X – 's, la distribución muestral para las medias, es normal, y que la distribución normal es simétrica, podemos reordenar los términos así: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) Esta es la fórmula de un intervalo de confianza para la media de una población. Observe que Z α ha sido sustituido por Z 1 en esta ecuación. Aquí es donde el estadístico debe hacer una elección. El analista debe decidir el nivel de confianza que desea imponer al intervalo de confianza. α es la probabilidad de que el intervalo no contenga la verdadera media de la población. El nivel de confianza se define como (1-α). Z α es el número de desviaciones típicas X – que se aleja de la media con una cierta probabilidad. Si elegimos Z α = 1,96, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 95 % porque estamos fijando en 0,95 la probabilidad de que la verdadera media se encuentre dentro del rango. Si fijamos Z α en 1,64, estamos pidiendo el intervalo de confianza del 90% porque hemos fijado la probabilidad en 0,90. Estos números pueden verificarse consultando la tabla estandarizada. Divida 0,95 o 0,90 por la mitad y encuentra esa probabilidad dentro del cuerpo de la tabla. A continuación, lea en los márgenes superior e izquierdo el número de desviaciones típicas que se necesitan para obtener este nivel de probabilidad. En realidad, podemos establecer cualquier nivel de confianza que deseemos simplemente cambiando el valor Z α en la fórmula. Es la elección del analista. La convención común en economía y en la mayoría de las ciencias sociales establece los intervalos de confianza en niveles del 90, 95 o 99 por ciento. Los niveles inferiores al 90% se consideran de poco valor. El nivel de confianza de una determinada estimación de intervalo se denomina (1-α). Una buena forma de ver el desarrollo de un intervalo de confianza es representar gráficamente la solución de un problema solicitando un intervalo de confianza. Esto se presenta en la para el ejemplo de la introducción relativo al número de descargas de iTunes. Ese caso era para un intervalo de confianza del 95%, pero se podrían haber elegido otros niveles de confianza con la misma facilidad, según la necesidad del analista. Sin embargo, el nivel de confianza DEBE estar preestablecido y no estar sujeto a revisión como resultado de los cálculos. Para este ejemplo, digamos que sabemos que el número de la media poblacional real de descargas de iTunes es de 2,1. La verdadera media de la población se encuentra dentro del rango del intervalo de confianza del 95%. No hay absolutamente nada que garantice que esto ocurra. Además, si la verdadera media queda fuera del intervalo, nunca la conoceremos. Debemos recordar siempre que nunca conoceremos la verdadera media. La estadística simplemente nos permite, con un determinado nivel de probabilidad (confianza), decir que la verdadera media está dentro del rango calculado. Esto es lo que se llamó en la introducción, el \"nivel de ignorancia admitido\". Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra Aquí está de nuevo la fórmula para un intervalo de confianza para una media poblacional desconocida asumiendo que conocemos la desviación típica de la población: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) Está claro que el intervalo de confianza se rige por dos cosas, el nivel de confianza elegido, Z α , y la desviación típica de la distribución muestral. La desviación típica de la distribución muestral se ve afectada además por dos cosas, la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra que hemos elegido para nuestros datos. Aquí queremos examinar los efectos de cada una de las elecciones que hemos hecho sobre el intervalo de confianza calculado, el nivel de confianza y el tamaño de la muestra. Por un momento debemos preguntarnos qué deseamos en un intervalo de confianza. Nuestro objetivo era estimar la media de la población a partir de una muestra. Hemos abandonado la esperanza de encontrar alguna vez la verdadera media de la población, y la desviación típica de la población, para cualquier caso, excepto cuando tenemos una población extremadamente pequeña y el coste de recopilar los datos de interés es muy pequeño. En todos los demás casos, debemos recurrir a las muestras. Con el teorema del límite central tenemos las herramientas para proporcionar un intervalo de confianza significativo con un nivel de confianza determinado, lo que significa una probabilidad conocida de estar equivocado. Por intervalo de confianza significativo entendemos uno que sea útil. Imagine que le piden un intervalo de confianza para las edades de sus compañeros. Ha tomado una muestra y encuentra una media de 19,8 años. Desea estar muy seguro, por lo que informa de un intervalo entre 9,8 años y 29,8 años. Este intervalo contendría sin duda la verdadera media de la población y tendría un nivel de confianza muy alto. Sin embargo, difícilmente puede calificarse de significativo. El mejor intervalo de confianza es el que es estrecho y a la vez de alta confianza. Existe una tensión natural entre estos dos objetivos. Cuanto más alto sea el nivel de confianza, más amplio será el intervalo de confianza, como en el caso de las edades de los estudiantes. Podemos ver esta tensión en la ecuación del intervalo de confianza. μ = x _ ± Z α ( σ n ) El intervalo de confianza aumentará el ancho a medida que Z α aumenta, Z α aumenta a medida que aumenta el nivel de confianza. Existe un compromiso entre el nivel de confianza y el ancho del intervalo. Ahora volvamos a ver la fórmula y veremos que el tamaño de la muestra también juega un papel importante en el ancho del intervalo de confianza. El tamaño de la muestra, n , aparece en el denominador de la desviación típica de la distribución muestral. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, disminuye la desviación típica de la distribución muestral y, por tanto, el ancho del intervalo de confianza, manteniendo constante el nivel de confianza. Esta relación se demostró en la . Una vez más, vemos la importancia de contar con muestras grandes para nuestro análisis, aunque entonces nos enfrentamos a una segunda limitación, el coste de la recopilación de datos. Cálculo del intervalo de confianza: un enfoque alternativo Otra forma de enfocar los intervalos de confianza es mediante el uso de algo llamado límite de error. El límite de error recibe su nombre del reconocimiento de que proporciona el límite del intervalo derivado del error estándar de la distribución muestral. En las ecuaciones anteriores se ve que el intervalo es simplemente la media estimada, la media muestral, más o menos algo. Ese algo es el límite de error y está impulsado por la probabilidad que deseamos mantener en nuestra estimación, Z α , por la desviación típica de la distribución muestral. El límite de error de una media recibe el nombre de media con límite de error (Error Bound Mean, EBM) . Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ , cuando se conoce la desviación típica de la población , necesitamos x – como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error ( EBM ) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado EBM ). La media muestral x – es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ . La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma: (estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, ( x – – E B M , x – + E B M ) La fórmula matemática de este intervalo de confianza es: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) El margen de error ( EBM ) depende del nivel de confianza ( Confidence Level, CL ). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones. Existe otra probabilidad llamada alfa ( α ). α está relacionada con el nivel de confianza, CL . α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, 1 - α = CL . Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en que la distribución muestral de las medias de la muestra sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x – = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal. Para captar el 90% central, debemos movernos 1,645 desviaciones típicas a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha. Es importante que la desviación típica utilizada debe ser la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a la distribución muestral para medias que estudiamos con el teorema del límite central y es, σ n . Cálculo del intervalo de confianza con el EMB Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son: Calcular la media muestral x – de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección conocemos la desviación típica de la población σ . Calcule la puntuación z de la tabla estandarizada que corresponde al nivel de confianza deseado. Calcular el límite de error EBM . Construir el intervalo de confianza. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos. Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado Cuando conocemos la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). El nivel de confianza, CL , es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α , por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a α 2 . La puntuación z que tiene un área a la derecha de α 2 se denota por Z α 2 . Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y α 2 = 0,025; escribimos Z α 2 = Z 0,025 . La zona a la derecha de Z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de Z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. Z α 2 = Z 0,025 = 1 0,96 , utilizando una tabla de probabilidad normal. Más adelante veremos que podemos utilizar una tabla de probabilidad diferente, la distribución t de Student, para encontrar el número de desviaciones típicas de los niveles de confianza más utilizados. Cálculo del límite de error ( EBM ) La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es EBM = ( Z α 2 ) ( σ n ) Construcción del intervalo de confianza La estimación del intervalo de confianza tiene el formato ( x – – E B M , x – + E B M ) o la fórmula: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) El gráfico da una idea de toda la situación. CL + α 2 + α 2 = CL + α = 1. Supongamos que estamos interesados en las puntuaciones medias de un examen. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntuaciones y se obtiene una media muestral (puntuación media muestral) de 68 ( X – = 68). En este ejemplo tenemos el conocimiento inusual de que la desviación típica de la población es de 3 puntos. No cuente con conocer los parámetros de la población fuera de los ejemplos de los libros de texto. Calcule una estimación del intervalo de confianza para la calificación media del examen de la población (la calificación media de todos los exámenes). Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la media real (poblacional) de las calificaciones de los exámenes de Estadística. La solución se muestra paso a paso. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x – , y el EBM . x – = 68 EBM = ( Z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 90 % ( CL = 0,90) CL = 0,90 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05 Z α 2 = z 0,05 El área a la derecha de Z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de Z 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. Z α 2 = Z 0,05 = 1 0,645 Esto se puede calcular utilizando una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar. Como los niveles de confianza habituales en las ciencias sociales son el 90 %, el 95 % y el 99 %, no tardará en familiarizarse con los números 1,645, 1,96 y 2,56 EBM = (1,645) ( 3 36 ) = 0,8225 x – – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775 x – + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225 El intervalo de confianza del 90 % es (67,1775; 68,8225) Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que la verdadera calificación media del examen de la población para todos los estudiantes de Estadística está entre 67,18 y 68,82. Supongamos que cambiamos el problema original en el utilizando un nivel de confianza del 95 %. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la calificación media real (poblacional) del examen estadístico. μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,96 ( 3 36 ) 67,02 ≤ μ ≤ 68,98 σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 95 % ( CL = 0,95). CL = 0,95 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05 Z α 2 = Z 0,025 = 1,96 Observe que el EBM es mayor para un nivel de confianza del 95 % en el problema original. Comparación de los resultados El intervalo de confianza del 90 % es (67,18; 68,82). El intervalo de confianza del 95 % es (67,02; 68,98). El intervalo de confianza del 95 % es más amplio. Si observa los gráficos, como el área 0,95 es mayor que el área 0,90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95 % sea más amplio. Para estar más seguro de que el intervalo de confianza contiene realmente el verdadero valor de la media de la población para todas las calificaciones de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza tiene que ser necesariamente más amplio. Esto demuestra un principio muy importante de los intervalos de confianza. Existe un equilibrio entre el nivel de confianza y la amplitud del intervalo. Nuestro deseo es tener un intervalo de confianza estrecho, los intervalos amplios proporcionan poca información que sea útil. Pero también nos gustaría tener un alto nivel de confianza en nuestro intervalo. Esto demuestra que no podemos tener ambas cosas. Resumen: efecto de la modificación del nivel de confianza El aumento del nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más ancho. La disminución del nivel de confianza hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. Y de nuevo aquí está la fórmula para un intervalo de confianza para una media desconocida asumiendo que tenemos la desviación típica de la población: X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) La desviación típica de la distribución muestral fue proporcionada por el teorema del límite central como σ n . Aunque rara vez podemos elegir el tamaño de la muestra, este desempeña un papel importante en el intervalo de confianza. Dado que el tamaño de la muestra está en el denominador de la ecuación, a medida que n aumenta hace que la desviación típica de la distribución muestral disminuya y, por tanto, el ancho del intervalo de confianza. Ya nos hemos encontrado con esto al revisar los efectos del tamaño de la muestra en el Teorema del Límite Central. Allí vimos que como a medida que n aumenta, la distribución de muestreo se estrecha hasta que en el límite colapsa sobre la verdadera media de la población. Supongamos que cambiamos el problema original en el para ver qué ocurre con el intervalo de confianza si se cambia el tamaño de la muestra. Deje todo igual excepto el tamaño de la muestra. Utilice el nivel de confianza original del 90 %. ¿Qué ocurre con el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y utilizamos n = 100 en lugar de n = 36? ¿Qué ocurre si disminuimos el tamaño de la muestra a n = 25 en vez de n = 36? μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,645 ( 3 100 ) 67,5065 ≤ μ ≤ 68,4935 Si aumentamos el tamaño de la muestra n a 100, disminuimos el ancho del intervalo de confianza en relación con el tamaño original de la muestra de 36 observaciones. μ = x _ ± Z α ( σ n ) μ = 68 ± 1,645 ( 3 25 ) 67,013 ≤ μ ≤ 68,987 Si disminuimos el tamaño de la muestra n a 25, aumentamos el ancho del intervalo de confianza en comparación con el tamaño original de la muestra de 36 observaciones. Resumen: efecto de la modificación del tamaño de la muestra El aumento del tamaño de la muestra hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. La disminución del tamaño de la muestra hace que el intervalo de confianza sea más ancho. Ya hemos visto este efecto cuando revisamos los efectos de cambiar el tamaño de la muestra, n , en el teorema del límite central. Consulte la para ver este efecto. Antes vimos que a medida que aumenta el tamaño de la muestra disminuye la desviación típica de la distribución muestral. Por eso elegimos una media muestral grande en comparación con la de una muestra pequeña, manteniendo el resto constante. Hasta ahora hemos asumido que conocíamos la desviación típica de la población. Esto prácticamente nunca será así. Sin embargo, tendremos la desviación típica de la muestra, s . Se trata de una estimación puntual de la desviación típica de la población y puede sustituirse en la fórmula de los intervalos de confianza para una media en determinadas circunstancias. Acabamos de ver el efecto que tiene el tamaño de la muestra en el ancho del intervalo de confianza y el impacto en la distribución muestral para nuestra discusión del teorema del límite central. Podemos invocar esto para sustituir la estimación puntual por la desviación típica si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Los estudios de simulación indican que 30 observaciones o más serán suficientes para eliminar cualquier sesgo significativo en el intervalo de confianza estimado. Las vacaciones de primavera pueden ser muy caras. Se ha encuestado a una muestra de 80 estudiantes y el monto promedio gastado por los estudiantes en viajes y bebidas es de 593,84 dólares. La desviación típica de la muestra es de aproximadamente 369,34 dólares. Construya un intervalo de confianza del 92% para la media poblacional de la cantidad de dinero gastada por los asistentes a las vacaciones de primavera. Comenzamos con el intervalo de confianza para una media. Utilizamos la fórmula de la media porque la variable aleatoria son los dólares gastados y esta es una variable aleatoria continua. La estimación puntual de la desviación típica de la población, s , se ha sustituido por la verdadera desviación típica de la población porque con 80 observaciones no hay preocupación por el sesgo en la estimación del intervalo de confianza. μ = x ¯ ± [ Z ( a / 2 ) s n ] Sustituyendo los valores en la fórmula, tenemos: μ = 593,84 ± [ 1,75 369,34 80 ] Z ( a / 2 ) se encuentra en la tabla normal estándar buscando 0,46 en el cuerpo de la tabla y encontrando el número de desviaciones típicas en el lado y la parte superior de la tabla; 1,75. La solución para el intervalo es así: μ = 593,84 ± 72,2636 = ( 521,57 , 666,10 ) $ 521,58 ≤ μ ≤ $ 666,10 Referencias “American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013). “Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. 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Revisión de la fórmula La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal, viene dada por X – – Z α ( σ n ) ≤ μ ≤ X – + Z α ( σ n ) Esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población. CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional z α 2 = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es ∝ 2 esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL . Nivel de confianza (CL) la expresión porcentual de la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero parámetro poblacional; por ejemplo, si el CL = 90 %, entonces en 90 de cada 100 muestras la estimación del intervalo encerrará el verdadero parámetro poblacional. Límite de error para una media poblacional ( EBM ) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la desviación típica de la población conocida o estimada.", "section": "Un intervalo de confianza para una desviación típica de la población, con un tamaño de muestra conocido o grande", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña En la práctica, pocas veces conocemos la desviación típica de la población. En el pasado, cuando el tamaño de la muestra era grande, esto no suponía un problema para los estadísticos. Utilizaron la desviación típica de la muestra s como una estimación de σ y procedieron como antes para calcular un intervalo de confianza con resultados suficientemente cercanos. Esto es lo que hicimos en el arriba. La estimación puntual de la desviación típica, s, se sustituyó en la fórmula del intervalo de confianza para la desviación típica de la población. En este caso hay 80 observaciones muy por encima de las 30 sugeridas para eliminar cualquier sesgo de una muestra pequeña. Sin embargo, los estadísticos se encontraron con problemas cuando el tamaño de la muestra era pequeño. El pequeño tamaño de la muestra provocó imprecisiones en el intervalo de confianza. William S. Goset (1876-1937), de la fábrica de cerveza Guinness de Dublín (Irlanda), se encontró con este problema. Sus experimentos con lúpulo y cebada produjeron muy pocas muestras. La simple sustitución de σ por s no produjo resultados precisos cuando intentó calcular un intervalo de confianza. Se dio cuenta de que no podía utilizar una distribución normal para el cálculo; descubrió que la distribución real depende del tamaño de la muestra. Este problema lo llevó a “descubrir” lo que se llama la distribución t de Student . El nombre proviene del hecho de que Gosset escribió bajo el seudónimo de \"Un estudiante\". Hasta mediados de los años 70, algunos estadísticos utilizaban la aproximación de la distribución normal para tamaños de muestra grandes y utilizaban la distribución t de Student solo para tamaños de muestra de un máximo de 30 observaciones. Si se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una población con media μ y desviación típica poblacional desconocida σ y se calcula la puntuación t t = x – – μ ( s n ) , entonces las puntuaciones t siguen una distribución t de Student con n – 1 grados de libertad . La puntuación t tiene la misma interpretación que la puntuación z . Mide la distancia en unidades de desviación típica x – es de su media μ . Para cada tamaño de muestra n existe una distribución t de Student diferente. Los grados de libertad , n – 1 , proceden del cálculo de la desviación típica de la muestra s . Recuerde que cuando calculamos por primera vez una desviación típica de la muestra, dividimos la suma de las desviaciones al cuadrado por n – 1, pero utilizamos n desviaciones ( x – x – valores ) para calcular s . Como la suma de las desviaciones es cero, podemos hallar la última desviación una vez que conocemos las otras n – 1 desviaciones. Las otras n – 1 desviaciones pueden cambiar o variar libremente. Llamamos al número n – 1 los grados de libertad (degrees of freedom, df) en reconocimiento de que uno se pierde en los cálculos. El efecto de la pérdida de un grado de libertad es que el valor t aumenta y el intervalo de confianza aumenta su anchura. Propiedades de la distribución t de Student La gráfica de la distribución t de Student es similar a la curva normal estándar y a infinitos grados de libertad es la distribución normal. Puede confirmarlo leyendo la línea inferior a infinitos grados de libertad para un nivel de confianza conocido, por ejemplo, en la columna 0,05, nivel de confianza del 95 %, encontramos el valor t de 1,96 a infinitos grados de libertad. La media de la distribución t de Student es cero y la distribución es simétrica respecto a cero, de nuevo como la distribución normal estándar. La distribución t de Student tiene más probabilidad en sus colas que la distribución normal estándar porque la dispersión de la distribución t es mayor que la dispersión de la normal estándar. Así, el gráfico de la distribución t de Student será más gruesa en las colas y más corta en el centro que el gráfico de la distribución normal estándar. La forma exacta de la distribución t de Student depende de los grados de libertad. A medida que aumentan los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Se supone que la población subyacente de observaciones individuales se distribuye normalmente, con una media poblacional desconocida μ y una desviación típica poblacional desconocida σ . Esta suposición proviene del teorema del límite central porque las observaciones individuales en este caso son las x ¯ de la distribución muestral. El tamaño de la población subyacente no suele ser relevante, a menos que sea muy pequeña. Si es normal, se cumple el supuesto y no es necesario discutirlo. Se utiliza una tabla de probabilidad para la distribución t de Student para calcular los valores t en varios niveles de confianza comúnmente utilizados. La tabla muestra las puntuaciones t que corresponden al nivel de confianza (columna) y los grados de libertad (fila). Al utilizar una tabla t , tenga en cuenta que algunas tablas están formateadas para mostrar el nivel de confianza en los títulos de las columnas, mientras que los títulos de las columnas de algunas tablas pueden mostrar solo el área correspondiente en una o ambas colas. Observe que en la parte inferior de la tabla aparecerá el valor t para infinitos grados de libertad. Matemáticamente, a medida que aumentan los grados de libertad, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. Puede encontrar los valores Z conocidos buscando en la columna alfa correspondiente y leyendo el valor en la última fila. Una tabla t de Student (vea el A - CUADROS ESTADÍSTICOS ) da las puntuaciones t dados los grados de libertad y la probabilidad de cola derecha. La distribución t de Student tiene una de las propiedades más deseables de la normal: es simétrica. Lo que hace la distribución t de Student es extender el eje horizontal, de modo que se necesita un mayor número de desviaciones típicas para capturar la misma cantidad de probabilidad. En realidad, hay un número infinito de distribuciones t de Student, una para cada ajuste del tamaño de la muestra. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t de Student se parece cada vez más a la distribución normal. Cuando el tamaño de la muestra llega a 30, la distribución normal suele sustituirse por la t de Student porque son muy parecidas. Esta relación entre la distribución t de Student y la distribución normal se muestra en la . Este es otro ejemplo de una distribución que limita a otra, en este caso la distribución normal es la distribución que limita a la t de Student cuando los grados de libertad en la t de Student se acercan a infinito. Esta conclusión proviene directamente de la derivación de la distribución t de Student realizada por el Sr. Gosset. Reconoció que el problema consistía en tener pocas observaciones y no estimar la desviación típica de la población. Sustituía la desviación típica de la muestra y obtenía resultados volátiles. Por lo tanto, creó la distribución t de Student como una relación entre la distribución normal y la distribución chi-cuadrado. La distribución chi-cuadrado es a su vez un cociente de dos varianzas, en este caso la varianza de la muestra y la varianza de la población desconocida. La distribución t de Student, por tanto, está ligada a la distribución normal, pero tiene grados de libertad que provienen de los de la distribución chi-cuadrado. La solución algebraica demuestra este resultado. Desarrollo de la distribución t de Student: t = z χ 2 v donde z es la variable normal estándar y χ 2 es la distribución chi-cuadrado con v grados de libertad. Sustituya los valores y simplifique: t = ( x ¯ – μ ) σ s 2 ( n – 1 ) σ 2 ( n – 1 ) = ( x ¯ – μ ) σ s 2 σ 2 = ( x ¯ – μ ) σ s σ = x ¯ – μ s n t = s n Hay que replantear la fórmula de un intervalo de confianza para la media para los casos en que el tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, σ: x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Aquí la estimación puntual de la desviación típica de la población, s ha sido sustituida por la desviación típica de la población, σ, y t ν ,α ha sido sustituida por Z α . La letra griega ν (pronunciada niu) se coloca en la fórmula general en reconocimiento de que hay muchas distribuciones de Student t v , una para cada tamaño de muestra. ν es el símbolo de los grados de libertad de la distribución y depende del tamaño de la muestra. A menudo se utiliza “df” para abreviar los grados de libertad. Para este tipo de problema, los grados de libertad son ν = n-1, donde n es el tamaño de la muestra. Para buscar una probabilidad en la tabla t de Student tenemos que conocer los grados de libertad del problema. El beneficio por acción (earnings per share, EPS) promedio de 10 acciones industriales seleccionadas al azar entre las que se cotizan en el Dow-Jones Industrial Average (DJIA) resultó ser X – = 1,85 con una desviación típica de s=0,395. Calcule un intervalo de confianza del 99 % para el EPS promedio de todas las empresas industriales que cotizan en el DJIA. x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Para ayudar a visualizar el proceso de cálculo de un intervalo de confianza, dibujamos la distribución apropiada para el problema. En este caso es la t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población y la muestra es pequeña, menos de 30. Para hallar el valor t adecuado se necesitan dos datos, el nivel de confianza deseado y los grados de libertad. La pregunta pedía un nivel de confianza del 99 %. En el gráfico esto se muestra donde (1-α), el nivel de confianza, está en el área no sombreada. Las colas, por tanto, tienen 0,005 de probabilidad cada una, α/2. Los grados de libertad para este tipo de problema son n-1= 9. En la tabla t de Student, en la fila marcada como 9 y en la columna marcada como 0,005, se halla el número de desviaciones típicas para capturar el 99 % de la probabilidad, 3,2498. A continuación, se colocan en el gráfico recordando que la t de Student es simétrica y que, por lo tanto, el valor t está tanto del lado más como del lado menos de la media. Al insertar estos valores en la fórmula se obtiene el resultado. Estos valores pueden colocarse en el gráfico para ver la relación entre la distribución de las medias muestrales, X – y la distribución t de Student. μ = X – ± t α/2,df=n-1 s n = 1,851 ± 3,2498 0,395 10 = 1,8551 ± 0,406 1,445 ≤ μ ≤ 2,257 La conclusión formal es la siguiente: Con un nivel de confianza del 99 %, el EPS promedio de todas las industrias que figuran en el DJIA es de 1,44 dólares a 2,26 dólares. Ejercicio Usted hace un estudio sobre la hipnoterapia para determinar su eficacia a la hora de aumentar el número de horas de sueño de los sujetos cada noche. Se miden las horas de sueño de 12 sujetos con los siguientes resultados. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media de horas dormidas para la población (que se supone normal) de la que ha tomado los datos. 8,2; 9,1; 7,7; 8,6; 6,9; 11,2; 10,1; 9,9; 8,9; 9,2; 7,5; 10,5 (8,1634, 9,8032) Referencias “America’s Best Small Companies”. Forbes, 2013. Disponible en línea en http://www.forbes.com/best-small-companies/list/ (consultado el 2 de julio de 2013). Datos de Microsoft Bookshelf . Datos de http://www.businessweek.com/. Datos de http://www.forbes.com/. “Disclosure Data Catalog: Leadership PAC and Sponsors Report, 2012”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Human Toxome Project: Mapping the Pollution in People”. Environmental Working Group. Disponible en línea en http://www.ewg.org/sites/humantoxome/participants/participant-group.php?group=in+utero%2Fnewborn (consultado el 2 de julio de 2013). “Metadata Description of Leadership PAC List”. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/finance/disclosure/metadata/metadataLeadershipPacList.shtml (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo En muchos casos, el investigador no conoce la desviación típica de la población, σ , de la medida estudiada. En estos casos, es habitual utilizar la desviación típica de la muestra, s , como estimación de σ . La distribución normal crea intervalos de confianza precisos cuando se conoce σ , pero no es tan precisa cuando se utiliza s como estimación. En este caso, la distribución t de Student es mucho mejor. Defina una puntuación t mediante la siguiente fórmula: t = x – – μ s n La puntuación t sigue la distribución t de Student con n – 1 grados de libertad. El intervalo de confianza bajo esta distribución se calcula con x – ± ( t α 2 ) s n donde t α 2 es la puntuación t con un área a la derecha igual a α 2 , s es la desviación típica de la muestra y n es el tamaño de la muestra. Utilice una tabla, una calculadora o una computadora para hallar t α 2 para una α determinada. Revisión de la fórmula s = la desviación típica de los valores de la muestra. t = x – – μ s n es la fórmula de la puntuación t que mide la distancia de una medida con respecto a la media de la población en la distribución t de Student df = n – 1; los grados de libertad para una distribución t de Student donde n representa el tamaño de la muestra T ~ t df es la variable aleatoria, T , tiene una distribución t de Student con df grados de libertad La forma general de un intervalo de confianza para una media única, una desviación típica de la población desconocida y un tamaño de muestra inferior a 30 t de Student viene dada por x – – t v,α ( s n ) ≤ μ ≤ x – + t v,α ( s n ) Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un hospital intenta reducir los tiempos de espera en la sala de emergencias. Se interesa por el tiempo que los pacientes deben esperar antes de que los llamen para examinarlos. Un comité de investigación encuestó al azar a 70 pacientes. La media muestral fue de 1,5 horas con una desviación típica de la muestra de 0,5 horas. Identifique lo siguiente: x – =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. X es el número de horas que un paciente espera en la sala de emergencias antes de que lo llamen para examinarlo. X – es el tiempo medio de espera de 70 pacientes en la sala de emergencias. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio de espera de la población. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (1,3808, 1,6192) EBM = 0,12 Explique con oraciones completas qué significa el intervalo de confianza (confidence interval, CI). Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: se encuestaron ciento ocho estadounidenses para determinar el número de horas que pasan viendo televisión cada mes. Se reveló que veían un promedio de 151 horas al mes con una desviación típica de 32 horas. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. Identifique lo siguiente: x – =_______ s x =_______ n =_______ n – 1 =_______ x – = 151 s x = 32 n = 108 n – 1 = 107 Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. X – es el número medio de horas que se dedican a ver la televisión al mes en una muestra de 108 estadounidenses. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de horas dedicadas a ver televisión al mes. (a) Indique el intervalo de confianza, (b) dibuje el gráfico y (c) calcule el límite de error. CI: (142,92, 159,08) EBM = 8,08 ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 13 ejercicios: los datos que figuran en la son el resultado de una encuesta aleatoria de 39 banderas nacionales (con reemplazo entre selecciones) de varios países. Estamos interesados en hallar un intervalo de confianza para el verdadero número medio de colores en una bandera nacional. Supongamos que X = el número de colores de una bandera nacional. X Frec. 1 1 2 7 3 18 4 7 5 6 Calcule lo siguiente: x – =______ s x =______ n =______ 3,26 1,02 39 Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Cuál es el x – estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. t 38 Construya un intervalo de confianza del 95 % para el número medio real de colores en las banderas nacionales. ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,025 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es _____. (2,93, 3,59) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que el número medio real de colores de las banderas nacionales está entre 2,93 y 3,59 colores. Utilizando el mismo x – , s x , y el nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 39. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? El límite de error sería EBM = 0,245. Este límite de error disminuye porque a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la variabilidad disminuye y necesitamos menos longitud de intervalo para capturar la media real. Utilizando el mismo x – , s x , y n = 39, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? Tarea para la casa En seis bolsas de “The Flintstones® Real Fruit Snacks” había cinco bocadillos Bam-Bam. El número total de bocadillos en las seis bolsas era de 68. Queremos calcular un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección Calcule p ′. Construya un intervalo de confianza del 96 % para la proporción poblacional de piezas de bocadillo Bam-Bam por bolsa. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Cree que seis paquetes de bocadillos de fruta aportan suficientes datos para obtener resultados precisos? ¿Por qué sí o por qué no? Una encuesta aleatoria sobre las inscripciones en 35 colegios comunitarios de Estados Unidos arrojó las siguientes cifras: 6.414; 1.550; 2.109; 9.350; 21.828; 4.300; 5.944; 5.722; 2.825; 2.044; 5.481; 5.200; 5.853; 2.750; 10.012; 6.357; 27.000; 9.414; 7.681; 3.200; 17.500; 9.200; 7.380; 18.314; 6.557; 13.713; 17.768; 7.493; 2.771; 2.861; 1.263; 7.285; 28.165; 5.080; 11.622. Supongamos que la población subyacente es normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de inscripción en los colegios comunitarios de Estados Unidos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué ocurriría con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestaran 500 colegios comunitarios? ¿Por qué? 8629 6944 35 34 t 34 CI: (6244, 11.014) Se hará más pequeño Supongamos que una comisión estudia si hay o no pérdida de tiempo en nuestro sistema judicial. Se interesa por la cantidad media de tiempo que las personas pierden en el juzgado a la espera de que los llamen para ser jurado. El comité encuestó de forma aleatoria a 81 personas que habían prestado servicio como jurado recientemente. El tiempo de espera de las medias muestrales fue de ocho horas, con una desviación típica de la muestra de cuatro horas. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de tiempo perdido. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique en una oración completa qué significa el intervalo de confianza. Una compañía farmacéutica fabrica tranquilizantes. Se supone que la distribución del tiempo que duran es aproximadamente normal. Los investigadores de un hospital utilizaron el fármaco en una muestra aleatoria de nueve pacientes. El periodo efectivo del tranquilizante para cada paciente (en horas) fue el siguiente: 2,7; 2,8; 3,0; 2,3; 2,3; 2,2; 2,8; 2,1; y 2,4. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de tiempo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué significa tener el “95 % de confianza” en este problema? x – = 2,51 s x = 0,318 n = 9 n – 1 = 8 la duración efectiva de un tranquilizante la duración media efectiva de los tranquilizantes de una muestra de nueve pacientes Tenemos que utilizar una distribución t de Student, porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (2,27, 2,76) Compruebe la solución del estudiante. Si tomáramos una muestra de muchos grupos de nueve pacientes, el 95 % de las muestras contendrían la verdadera duración media de la población. Supongamos que se hace una encuesta a 14 niños que están aprendiendo a montar en bicicleta para determinar cuánto tiempo han tenido que utilizar las ruedas de entrenamiento. Se reveló que las utilizaron un promedio de seis meses con una desviación típica de la muestra de tres meses. Supongamos que la distribución de la población subyacente es normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina la variable aleatoria X en palabras. Defina la variable aleatoria X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 99 % para la media poblacional de la duración del tiempo de uso de las ruedas de entrenamiento. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Por qué cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? La Comisión Federal de Elecciones (Federal Election Commission, FEC) recopila información sobre los aportes y los desembolsos de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Un Comité de Acción Política (Political Action Committee, PAC) es un comité formado para recaudar dinero para candidatos y campañas. Un PAC de Liderazgo es un PAC formado por un político federal (senador o representante) para recaudar dinero para ayudar a las campañas de otros candidatos. La FEC presentó información financiera de 556 PAC de Liderazgo que operaron durante el ciclo electoral 2011-2012. La siguiente tabla muestra los ingresos totales durante este ciclo para una selección aleatoria de 30 PAC de Liderazgo. $46.500,00 $0 $40.966,50 $105.887,20 $5.175,00 $29.050,00 $19.500,00 $181.557,20 $31.500,00 $149.970,80 $2.555.363,20 $12.025,00 $409.000,00 $60.521,70 $18.000,00 $61.810,20 $76.530,80 $119.459,20 $0 $63.520,00 $6.500,00 $502.578,00 $705.061,10 $708.258,90 $135.810,00 $2.000,00 $2.000,00 $0 $1.287.933,80 $219.148,30 x – = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 95 % para la cantidad media de dinero recaudado por todos los PAC de liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012. Use la distribución t de Student. x – = $ 251 , 854,23 s = $ 521 , 130,41 Observe que no se nos da la desviación típica de la población, solo la desviación típica de la muestra. Hay 30 medidas en la muestra, por lo que n = 30, y df = 30 – 1 = 29 CL = 0,96, por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,96 = 0,04 α 2 = 0,02 t α 2 = t 0,02 = 2,150 E B M = t α 2 ( s n ) = 2,150 ( 521 , 130,41 30 ) ~ $ 204 , 561,66 x – – EBM = $251.854,23 – $204.561,66 = $47.292,57 x – + EBM = $251.854,23 + $204.561,66 = $456.415,89 Estimamos con un 96 % de confianza que la cantidad media de dinero recaudada por todos los PAC de Liderazgo durante el ciclo electoral 2011-2012 está entre 47.292,57 y 456.415,89 dólares. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de, al menos, 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. En la se muestran las edades de directores generales corporativos de una muestra aleatoria de estas compañías. 48 58 51 61 56 59 74 63 53 50 59 60 60 57 46 55 63 57 47 55 57 43 61 62 49 67 67 55 55 49 Utilice estos datos de la muestra para construir un intervalo de confianza del 90 % para la edad media de los directores generales de estas pequeñas compañías principales. Use la distribución t de Student. Los asientos desocupados en los vuelos hacen que las aerolíneas pierdan ingresos. Supongamos que una gran compañía aérea quiere estimar su número medio de asientos desocupados por vuelo durante el año pasado. Para ello, se seleccionan al azar los registros de 225 vuelos y se anota el número de asientos no ocupados de cada uno de los vuelos de la muestra. La media muestral es de 11,6 asientos y la desviación típica de la muestra es de 4,1 asientos. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la media poblacional del número de asientos desocupados por vuelo. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. x – = 11,6 s x = 4,1 n = 225 n – 1 = 224 X es el número de asientos no ocupados en un solo vuelo. X – es el número medio de asientos no ocupados de una muestra de 225 vuelos. Usaremos una distribución t de Student porque no conocemos la desviación típica de la población. CI: (11,12 , 12,08) Compruebe la solución del estudiante. En una muestra reciente de 84 costos de venta de automóviles usados, la media muestral fue de 6.425 dólares con una desviación típica de 3.156 dólares. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Defina la variable aleatoria X – en palabras. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el costo de la media poblacional de un auto usado. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 95 %” para este estudio. Se seleccionaron al azar seis marcas nacionales diferentes de galletas de chocolate en el supermercado. Los gramos de grasa por porción son los siguientes: 8; 8; 10; 7; 9; 9. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media de la población de gramos de grasa por porción de galletas de chocolate que se venden en los supermercados. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si se quería un límite de error menor manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿qué se debería haber cambiado en el estudio antes de realizarlo? Va a la tienda y registra los gramos de grasa por porción de seis marcas de galletas de chocolate. Calcule la media. ¿La media está dentro del intervalo que ha calculado en la parte a? ¿Esperaba que estuviese? ¿Por qué sí o por qué no? CI: (7,64 , 9,36) La muestra debería haber aumentado. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Se realizó un estudio sobre el número medio de céntimos de descuento que ofrecen los cupones, se revisó al azar un cupón por página de las secciones de cupones del número más reciente de The Mercury News de San José. Se recopilaron los siguientes datos: 20¢; 75¢; 50¢; 65¢; 30¢; 55¢; 40¢; 40¢; 30¢; 55¢; $1,50; 40¢; 65¢; 40¢. Supongamos que la distribución subyacente es aproximadamente normal. x – = __________ s x = __________ n = __________ n – 1 = __________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional del valor de los cupones. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si se toman muchas muestras aleatorias con un tamaño de 14, ¿qué porcentaje de los intervalos de confianza construidos debe contener la media poblacional de los cupones? Explique por qué. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: un especialista en control de calidad de una cadena de restaurantes toma una muestra aleatoria de tamaño de 12 para comprobar la cantidad de gaseosa que se sirve en la porción de 16 oz. La media muestral es de 13,30 con una desviación típica de la muestra de 1,55. Supongamos que la población subyacente se distribuye normalmente. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera media poblacional de la cantidad de gaseosa servida. (12,42, 14,18) (12,32, 14,29) (12,50, 14,10) Imposible de determinar b Grados de libertad ( df ) el número de objetos de una muestra que pueden variar libremente Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 / 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población Distribución t de Student investigada y reportada por William S. Gossett en 1908 y publicada bajo el seudónimo de Student; las principales características de esta variable aleatoria (RV) son: Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Se acerca a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una \"familia\" de distribuciones t: cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad, que depende de la aplicación para la que se utiliza la distribución t.", "section": "Un intervalo de confianza para una desviación típica de población desconocida, caso de una muestra pequeña", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Un intervalo de confianza para una proporción de población Durante un año electoral vemos artículos en el periódico que indican intervalos de confianza en términos de proporciones o porcentajes. Por ejemplo, un sondeo para un candidato determinado que se presenta a las elecciones presidenciales puede mostrar que el candidato tiene el 40 % de los votos con una diferencia de tres puntos porcentuales (si la muestra es lo suficientemente grande). A menudo, las encuestas electorales se calculan con un 95 % de confianza, por lo que los encuestadores tendrían un 95 % de confianza en que la verdadera proporción de votantes que favorecen al candidato estaría entre el 0,37 y el 0,43. Los inversores en bolsa se interesan por la proporción real de acciones que suben y bajan cada semana. Las compañías que venden computadoras personales están interesadas en la proporción de hogares de Estados Unidos que tienen computadoras personales. Se pueden calcular intervalos de confianza para la proporción real de acciones que suben o bajan cada semana y para la proporción real de hogares en Estados Unidos que poseen computadoras personales. El procedimiento para calcular el intervalo de confianza de una proporción poblacional es similar al de la media poblacional, pero las fórmulas son un poco diferentes, aunque conceptualmente idénticas. Aunque las fórmulas son diferentes, se basan en el mismo fundamento matemático que nos proporciona el teorema central del límite. Por ello, veremos el mismo formato básico utilizando los mismos tres datos: el valor muestral del parámetro en cuestión, la desviación típica de la distribución muestral correspondiente y el número de desviaciones típicas que necesitamos para tener la confianza en nuestra estimación que deseamos. ¿Cómo sabe que está ante un problema de proporción? En primer lugar, la distribución subyacente tiene una variable aleatoria binaria y, por tanto, es una distribución binomial . (No se menciona la media o el promedio). Si X es una variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n , p ) donde n es el número de ensayos y p es la probabilidad de acierto Para formar una proporción de la muestra, tome X , la variable aleatoria para el número de aciertos y divídala por n , el número de ensayos (o el tamaño de la muestra). La variable aleatoria P′ (léase \"P prima\") es la proporción de la muestra, P ′ = X n (a veces, la variable aleatoria se denota como P ^ , que se lee “estimador de P”). p′ = la proporción estimada de éxitos o la proporción muestral de éxitos (p′ es una estimación puntual de p , la verdadera proporción poblacional, y, por tanto, q es la probabilidad de un fracaso en cualquier ensayo). x = número de aciertos en la muestra n = el tamaño de la muestra La fórmula del intervalo de confianza para una proporción de la población sigue el mismo formato que el de la estimación de una media de la población. Recordando la distribución de muestreo para la proporción del Capítulo 7 , se encontró que la desviación típica es: σ p' = p ( 1 – p ) n Por lo tanto, el intervalo de confianza para una proporción poblacional se convierte en p = p ′ ± [ Z ( a 2 ) p ′ ( 1 – p ′ ) n ] Z ( a 2 ) se fija en función del grado de confianza que deseemos y p ′ ( 1 – p ′ ) n es la desviación típica de la distribución muestral. Las proporciones muestrales p′ y q′ son estimaciones de las proporciones poblacionales desconocidas p y q . Se utilizan las proporciones estimadas p′ y q′ porque p y q no se conocen. Recuerde que a medida que p se aleja de 0,5 la distribución binomial se vuelve menos simétrica. Como estamos estimando la binomial con la distribución normal simétrica, cuanto más se aleje de la simetría la binomial, menos confianza tendremos en la estimación. Esta conclusión puede demostrarse mediante el siguiente análisis. Las proporciones se basan en la distribución de probabilidad binomial. Los posibles resultados son binarios, \"éxito\" o \"fracaso\". Esto da lugar a una proporción, es decir, el porcentaje de los resultados que son \"éxitos\". Se demostró que la distribución binomial podía entenderse completamente si solo conocíamos la probabilidad de éxito en un ensayo cualquiera, llamada p. Se encontró que la media y la desviación típica de la binomial eran: μ = np σ = np q También se demostró que la binomial podía ser estimada por la distribución normal si TANTO np COMO nq eran mayores que 5. A partir de la discusión anterior, se encontró que la fórmula de estandarización para la distribución binomial es: Z = p' – p ( p q n ) que no es más que un replanteamiento de la fórmula general de normalización con las sustituciones adecuadas para μ y σ del binomio. Podemos utilizar la distribución normal estándar, la razón por la que Z está en la ecuación, porque la distribución normal es la distribución limitante de la binomial. Este es otro ejemplo del teorema del límite central. Ya hemos visto que la distribución muestral de las medias se distribuye normalmente. Recordemos la extensa discusión del Capítulo 7 sobre la distribución muestral de las proporciones y las conclusiones del teorema del límite central. Ahora podemos manipular esta fórmula de la misma manera que hicimos para calcular los intervalos de confianza para una media, pero para calcular el intervalo de confianza para el parámetro poblacional binomial, p. p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Donde p′ = x/n, la estimación puntual de p tomada de la muestra. Observe que p′ sustituyó a p en la fórmula. Esto se debe a que no conocemos p, de hecho, esto es justo lo que estamos tratando de estimar. Lamentablemente, no existe un factor de corrección para los casos en los que el tamaño de la muestra es pequeño, por lo que np′ y nq' deben ser siempre superiores a 5 para desarrollar una estimación de intervalo para p. Supongamos que se contrata a una compañía de estudios de mercado para que estime el porcentaje de adultos que viven en una gran ciudad y que tienen teléfonos móviles. Se encuestan quinientos residentes adultos seleccionados al azar en esta ciudad para determinar si tienen teléfonos móviles. De las 500 personas incluidas en la muestra, 421 respondieron que sí: tienen teléfonos móviles. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. La solución paso a paso. Supongamos que X = el número de personas de la muestra que tienen teléfonos móviles. X es binomial: la variable aleatoria es binaria, la gente o tiene un teléfono móvil o no lo tiene. Para calcular el intervalo de confianza, debemos hallar p′ , q′ . n = 500 x = número de aciertos en la muestra = 421 p ′ = x n = 421 500 = 0,842 p′ = 0,842 es la proporción de la muestra; es la estimación puntual de la proporción de la población. q′ = 1 – p′ = 1 – 0,842 = 0,158 Como el nivel de confianza solicitado es CL = 0,95, entonces α = 1 - CL = 1 - 0,95 = 0,05 ( α 2 ) = 0,025. Entonces z α 2 = z 0,025 = 1,96 Esto se puede calcular utilizando la tabla de probabilidad normal estándar del A - CUADROS ESTADÍSTICOS . Esto también se puede encontrar en la tabla t de los estudiantes en la columna de 0,025 y en infinitos grados de libertad porque en infinitos grados de libertad la distribución t de los estudiantes se convierte en la distribución normal estándar, Z. El intervalo de confianza para la proporción poblacional binomial verdadera es p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Sustituyendo los valores anteriores encontramos que el intervalo de confianza es: 0,810 ≤ p ≤ 0,874 Interpretación Estimamos con el 95 % de confianza que entre el 81 % y el 87,4 % de todos los residentes adultos de esta ciudad tienen teléfonos móviles. Explicación del nivel de confianza del 95 % El noventa y cinco por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contendrían el valor real de la proporción de población de todos los residentes adultos de esta ciudad que tienen teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que se encuestan 250 personas seleccionadas al azar para determinar si tienen una tableta. De los 250 encuestados, 98 declararon que tienen una tableta. Utilizando un nivel de confianza del 95 %, calcule una estimación del intervalo de confianza para la verdadera proporción de personas que tienen tabletas. (0,3315, 0,4525) La Escuela de Adiestramiento Canino de Dundee tiene una proporción mayor que el promedio de clientes que compiten en eventos profesionales. Se construye un intervalo de confianza para la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales de 150 escuelas de adiestramiento diferentes. El límite inferior se determina en 0,08 y el superior en 0,16. Determine el nivel de confianza utilizado para construir el intervalo de la proporción poblacional de perros que compiten en eventos profesionales. Comenzamos con la fórmula de un intervalo de confianza para una proporción porque la variable aleatoria es binaria; el cliente compite en eventos caninos profesionales o no lo hace. p = p ′ ± [ Z ( a 2 ) p ′ ( 1 – p ′ ) n ] A continuación, calculamos la proporción de la muestra: p ′ = 0,08 + 0,16 2 = 0,12 El ± que compone el intervalo de confianza es, pues, 0,04; 0,12 + 0,04 = 0,16 y 0,12 - 0,04 = 0,08, los límites del intervalo de confianza. Por último, resolvemos para Z . [ Z ⋅ 0,12 ( 1 – 0,12 ) 150 ] = 0,04 , por lo que Z = 1,51 Y luego buscamos la probabilidad para 1,51 desviaciones típicas en la tabla normal estándar. p ( Z = 1,51 ) = 0,4345 , p ( Z ) ⋅ 2 = 0,8690 o 86,90 % . Un responsable financiero de una compañía quiere estimar el porcentaje de cuentas por cobrar que llevan más de 30 días de retraso. Analiza 500 cuentas y descubre que 300 tienen más de 30 días de retraso. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de cuentas por cobrar con más de 30 días de retraso, e interprete el intervalo de confianza. La solución paso a paso: x = 300 y n = 500 p ′ = x n = 300 500 = 0,600 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,600 = 0,400 Dado que el nivel de confianza = 0,90, entonces α = 1 - nivel de confianza = (1 - 0,90) = 0,10 ( α 2 ) = 0,05 Z α 2 = Z 0,05 = 1,645 Este valor Z se puede hallar utilizando una tabla de probabilidad normal. También se puede utilizar la tabla t de Student entrando en la tabla en la columna de 0,05 y leyendo en la línea de infinitos grados de libertad. La distribución t es la distribución normal con infinitos grados de libertad. Se trata de un truco práctico que hay que recordar para calcular los valores Z de los niveles de confianza más utilizados. Utilizamos esta fórmula para un intervalo de confianza para una proporción: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Sustituyendo los valores de arriba encontramos que el intervalo de confianza para la verdadera proporción poblacional binomial es 0,564 ≤ p ≤ 0,636 Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que el porcentaje real de todas las cuentas por cobrar con 30 días de retraso está entre el 56,4 % y el 63,6 %. Redacción alternativa: Estimamos, con un 90 % de confianza, que entre el 56,4 % y el 63,6 % de TODAS las cuentas tienen un retraso de 30 días. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de esta manera contienen el valor real del porcentaje de la población de cuentas por cobrar que tienen un retraso de 30 días. Ejercicio Un estudiante hace un sondeo en su escuela para ver si los estudiantes del distrito escolar están a favor o en contra de la nueva legislación relativa a los uniformes escolares. Hace una encuesta entre 600 estudiantes y halla que 480 están en contra de la nueva legislación. a. Calcule un intervalo de confianza del 90 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que están en contra de la nueva legislación e interprete el intervalo de confianza. (0,7731, 0,8269); estimamos con un 90 % de confianza que el verdadero porcentaje de todos los estudiantes del distrito que están en contra de la nueva legislación está entre el 77,31 % y el 82,69 %. b. En una muestra de 300 estudiantes, el 68 % dijo que tenían un iPod y un teléfono inteligente. Calcule un intervalo de confianza del 97 % para el verdadero porcentaje de estudiantes que tienen un iPod y un teléfono inteligente. Solución El 68 % de los estudiantes posee un iPod y un teléfono inteligente. p ′ = 0,68 q ′ = 1 – p ′ = 1 – 0,68 = 0,32 Como CL = 0,97, sabemos que α = 1 - 0,97 = 0,03 y α 2 = 0,015. El área a la izquierda de z 0,015 es 0,015, y el área a la derecha de z 0,015 es 1 - 0,015 = 0,985. Utilizar la función InvNorm(.985,0,1) de las calculadoras TI 83, 83+ u 84+, z 0,015 = 2,17 E P B = ( z α 2 ) p ′ q ′ n = 2,17 0,68 ( 0,32 ) 300 ≈ 0,0584 p′ - EPB = 0,68 - 0,0584 = 0,0584 p ′ + EPB = 0,68 + 0,0584 = 0,0584 Estamos seguros en un 97 % de que la verdadera proporción de todos los estudiantes que poseen un iPod y un teléfono inteligente está entre 0,6216 y 0,7384. Referencias Jensen, Tom. “Democrats, Republicans Divided on Opinion of Music Icons”. Public Policy Polling. Disponible en línea en http://www.publicpolicypolling.com/Day2MusicPoll.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Madden, Mary, Amanda Lenhart, Sandra Coresi, Urs Gasser, Maeve Duggan, Aaron Smith y Meredith Beaton. “Teens, Social Media, and Privacy”. PewInternet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/Reports/2013/Teens-Social-Media-And-Privacy.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). Prince Survey Research Associates International. “2013 Teen and Privacy Management Survey”. Pew Research Center: Internet and American Life Project. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media//Files/Questionnaire/2013/Methods%20and%20Questions_Teens%20and%20Social%20Media.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). Saad, Lydia. “Three in Four U.S. Workers Plan to Work Pas Retirement Age: Slightly more say they will do this by choice rather than necessity”. Gallup® Economy, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/162758/three-four-workers-plan-work-past-retirement-age.aspx (consultado el 2 de julio de 2013). The Field Poll. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/ (consultado el 2 de julio de 2013). Zogby. “New SUNYIT/Zogby Analytics Poll: Few Americans Worry about Emergency Situations Occurring in Their Community; Only one in three have an Emergency Plan; 70% Support Infrastructure ‘Investment’ for National Security”. Zogby Analytics, 2013. Disponible en línea en http://www.zogbyanalytics.com/news/299-americans-neither-worried-nor-prepared-in-case-of-a-disaster-sunyit-zogby-analytics-poll (consultado el 2 de julio de 2013). “52% Say Big-Time College Athletics Corrupt Education Process”. Rasmussen Reports, 2013. Disponible en línea en http://www.rasmussenreports.com/public_content/lifestyle/sports/may_2013/52_say_big_time_college_athletics_corrupt_education_process (consultado el 2 de julio de 2013). Repaso del capítulo Algunas medidas estadísticas, como muchas preguntas de las encuestas, miden datos cualitativos en vez de cuantitativos. En este caso, el parámetro poblacional que se estima es una proporción. Es posible crear un intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población siguiendo procedimientos similares a los utilizados para crear intervalos de confianza para las medias de la población. Las fórmulas son ligeramente diferentes, pero siguen el mismo razonamiento. Supongamos que p′ representa la proporción de la muestra, x/n , donde x representa el número de aciertos y n el tamaño de la muestra. Supongamos que q′ = 1 – p′ . Entonces el intervalo de confianza para una proporción poblacional viene dado por la siguiente fórmula: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n Revisión de la fórmula p′= x n donde x representa el número de aciertos en una muestra y n representa el tamaño de la muestra. La variable p ′ es la proporción de la muestra y sirve como estimación puntual de la verdadera proporción de la población. q ′ = 1 – p ′ La variable p′ tiene una distribución binomial que se puede aproximar con la distribución normal que se muestra aquí. El intervalo de confianza para la verdadera proporción de la población que viene dado por la fórmula: p' – Z α p'q' n ≤ p ≤ p' + Z α p'q' n n = Z α 2 2 p ′ q ′ e 2 proporciona el número de observaciones necesarias en la muestra para estimar la proporción poblacional, p , con confianza 1 - α y margen de error e . Donde e = la diferencia aceptable entre la proporción real de la población y la proporción de la muestra. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Compañías de mercadeo están interesadas en conocer el porcentaje de población femenina que toma la mayoría de las decisiones de compra en el hogar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 90 % de confianza en que la proporción de población se estima con un margen del 0,05? Si más adelante se determinara que es importante tener más de un 90 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría al número mínimo que hay que encuestar? ¿Por qué? El tamaño de la muestra necesaria aumentaría. A medida que aumenta el nivel de confianza, α disminuye y z ( a 2 ) aumenta. Para mantener el mismo límite de error, es necesario aumentar el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Supongamos que la compañía de mercadeo hace una encuesta. Encuestaron al azar 200 hogares y hallaron que en 120 de ellos la mujer tomaba la mayoría de las decisiones de compra. Nos interesa la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Identifique lo siguiente: x = ______ n = ______ p′ = ______ Defina las variables aleatorias X y P′ con palabras. X es el número de “aciertos” en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. P ′ es el porcentaje de hogares de la muestra en los que la mujer toma la mayoría de las decisiones de compra del hogar. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de hogares en los que las mujeres toman la mayoría de las decisiones de compra. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,5321, 0,6679) EBM : 0,0679 Enumere dos dificultades que podría tener la compañía para obtener resultados aleatorios, si esta encuesta se realizara por correo electrónico. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: de 1.050 adultos seleccionados al azar, 360 se identificaron como trabajadores manuales, 280 se identificaron como asalariados no manuales, 250 se identificaron como gerentes de nivel medio y 160 se identificaron como ejecutivos. En la encuesta, el 82 % de los trabajadores manuales prefieren camiones, así como el 62 % de los asalariados no manuales, el 54 % de los gerentes de nivel medio y el 26 % de los ejecutivos. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de ejecutivos que prefieren camiones. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. X es el número de “aciertos” en los que un ejecutivo prefiere una camioneta. P ′ es el porcentaje de ejecutivos de la muestra que prefieren una camioneta. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 95 %. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (0,19432, 0,33068) Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo indicado en la encuesta es de ±2 %. Explique qué significa el ±2 %. El error de muestreo significa que la media real puede estar un 2 % por encima o por debajo de la media muestral. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: un sondeo realizado a 1.200 votantes preguntaba cuál era el asunto más importante en las próximas elecciones. El sesenta y cinco por ciento respondió que la economía. Nos interesa la proporción de población de los votantes que consideran que la economía es lo más importante. Defina la variable aleatoria X con palabras. Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. P ′ es la proporción de votantes de la muestra que dijeron que la economía es el asunto más importante en las próximas elecciones. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 %, e indique el intervalo de confianza y el límite de error. CI: (0,62735, 0,67265) EBM : 0,02265 ¿Qué ocurriría con el intervalo de confianza si el nivel de confianza fuera del 95 %? Use la siguiente información para responder los próximos 16 ejercicios: el Ice Chalet ofrece docenas de clases de patinaje sobre hielo para principiantes. Todos los nombres de las clases se ponen en una cubeta. Se eligió la clase de patinaje sobre hielo para principiantes de 8 a 12 años a las 5 p. m. del lunes. En esa clase había 64 niñas y 16 niños. Supongamos que estamos interesados en la proporción real de niñas, de 8 a 12 años, en todas las clases de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet. Supongamos que los niños de la clase seleccionada son una muestra aleatoria de la población. ¿Qué se cuenta? El número de niñas entre 8 y 12 años en la clase de iniciación al patinaje sobre hielo de los lunes a las 5 p. m. Defina la variable aleatoria X en palabras. Calcule lo siguiente: x = _______ n = _______ p ′ = _______ x = 64 n = 80 p ′ = 0,8 Indique la distribución estimada de X . X ~________ Defina una nueva variable aleatoria P ′. ¿Qué estima p ′? p Defina la variable aleatoria P ′ en palabras. Indique la distribución estimada de P ′. Construya un intervalo de confianza del 92 % para la verdadera proporción de niñas de 8 a 12 años que comienzan las clases de patinaje sobre hielo en el Ice Chalet. P ′ ~ N ( 0,8 , ( 0,8 ) ( 0,2 ) 80 ) . (0,72171, 0,87829). ¿Cuánta superficie hay en ambas colas (combinadas)? ¿Cuánta superficie hay en cada cola? 0,04 Calcule lo siguiente: límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 92 % es _______. (0,72; 0,88) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la proporción de la muestra. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Con el 92 % de confianza estimamos que la proporción de niñas de 8 a 12 años que asisten a una clase de patinaje sobre hielo para principiantes en el Ice Chalet se sitúa entre el 72 % y el 88 %. Utilizando la misma p ′ y el mismo nivel de confianza, supongamos que n se aumenta a 100. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando la misma p ′ y n = 80, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se incrementara al 98 %? ¿Por qué? El límite de error aumentaría. Suponiendo que todas las demás variables se mantienen constantes, a medida que el nivel de confianza aumenta, el área debajo de la curva correspondiente al nivel de confianza se hace más grande, lo que crea un intervalo más amplio y, por tanto, un error mayor. Si se disminuye el límite de error permitido, ¿por qué aumentaría el tamaño mínimo de la muestra (manteniendo el mismo nivel de confianza)? Tarea para la casa Las compañías de seguros están interesadas en conocer el porcentaje de conductores que siempre se abrochan el cinturón antes de manejar. Al diseñar un estudio para determinar esta proporción de la población, ¿cuál es el número mínimo que necesitaría encuestar para tener el 95 % de confianza en que la proporción de la población se estima con un margen del 0,03? Si más adelante se determinara que es importante tener más del 95 % de confianza y se encargara una nueva encuesta, ¿cómo afectaría eso el número mínimo que habría que encuestar? ¿Por qué? 1.068 Sería necesario aumentar el tamaño de la muestra, ya que el valor crítico aumenta a medida que lo hace el nivel de confianza. Supongamos que las compañías de seguros hicieran una encuesta. Encuestaron al azar 400 conductores y descubrieron que 320 afirmaban que siempre se abrochaban el cinturón. Nos interesa la proporción de conductores que afirman abrocharse siempre el cinturón. x = __________ n = __________ p ′ = __________ Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población que afirma que siempre se abrocha el cinturón Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si esta encuesta se realizara por teléfono, enumere tres dificultades que podrían tener las compañías para obtener resultados aleatorios. Según una reciente encuesta realizada a 1.200 personas, el 61 % consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Nos interesa la proporción de población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población que considera que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. X = el número de personas que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable; P ′ = la proporción de personas de una muestra que consideran que el presidente está haciendo un trabajo aceptable. N ( 0,61 , ( 0,61 ) ( 0,39 ) 1.200 ) CI: (0,59, 0,63) Compruebe la solución del estudiante Recientemente apareció un artículo sobre citas y matrimonios interraciales en el Washington Post. . De los 1.709 adultos seleccionados al azar, 315 se identificaron como latinos, 323 como negros, 254 como asiáticos y 779 como blancos. En esta encuesta, el 86 % de los negros afirmaron que acogerían a una persona blanca en su familia. Entre los asiáticos, el 77 % acogería a una persona blanca en su familia, el 71 % a un latino y el 66 % a una persona negra. Nos interesa hallar el intervalo de confianza del 95 % para el porcentaje de adultos negros que acogerían a una persona blanca en su familia. Defina las variables aleatorias X y P ′ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Consulte la información en el . Construya tres intervalos de confianza del 95 %. porcentaje de todos los asiáticos que acogerían a una persona blanca en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a un latino en su familia. porcentaje de los asiáticos que acogerían a una persona negra en su familia. Aunque las tres estimaciones puntuales son diferentes, ¿hay superposición en alguno de los intervalos de confianza? ¿Cuál? Para los intervalos donde hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? Para los intervalos donde no hay superposición, en palabras, ¿qué implica esto sobre la importancia de las diferencias en las proporciones reales? (0,72, 0,82) (0,65, 0,76) (0,60, 0,72) Sí, en los intervalos (0,72, 0,82) y (0,65, 0,76) hay superposición, y en los intervalos (0,65, 0,76) y (0,60, 0,72) hay superposición. Podemos decir que no parece haber una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca en sus familias y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona latina en sus familias. Podemos decir que hay una diferencia significativa entre la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona blanca y la proporción de adultos asiáticos que dicen que sus familias acogerían a una persona negra. La Universidad de Stanford realizó un estudio sobre si correr es saludable para hombres y mujeres mayores de 50 años. Durante los primeros ocho años del estudio, el 1,5 % de los 451 miembros de la 50-Plus Fitness Association murieron. Nos interesa la proporción de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 97 % para la proporción poblacional de personas mayores de 50 años que corrieron y murieron en el mismo periodo de ocho años. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Explique qué significa un “intervalo de confianza del 97 %” para este estudio. Un sondeo telefónico realizado a 1.000 estadounidenses adultos se publicó en un número de la Revista Time. . Una de las preguntas que se hicieron fue: “¿Cuál es el principal problema del país?”. El veinte por ciento respondió que era la “delincuencia”. Nos interesa la proporción de población de los estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción poblacional de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Supongamos que queremos reducir el error de muestreo. ¿Cuál es una forma de lograrlo? El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. X = el número de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema; P′ = la proporción de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema. Como estamos estimando una proporción, dado que P′ = 0,2 y n = 1.000, la distribución que debemos utilizar es N ( 0,2 , ( 0,2 ) ( 0,8 ) 1.000 ) . CI: (0,18, 0,22) Compruebe la solución del estudiante. Una forma de reducir el error de muestreo es aumentar el tamaño de la muestra. El “± 3 %” indicado representa el límite máximo de error. Esto significa que los que hacen el estudio informan de un error máximo del 3 %. Así, estiman que el porcentaje de estadounidenses adultos que consideran que la delincuencia es el principal problema se sitúa entre el 18 % y el 22 %. Consulte el . Otra de las preguntas del sondeo era “¿[Cuánto le preocupa] la calidad de la educación en nuestras escuelas?”. El sesenta y tres por ciento respondió que “mucho”. Nos interesa la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Defina las variables aleatorias X y P ′ con palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la proporción de población adulta estadounidense que está muy preocupada por la calidad de la educación en nuestras escuelas. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. El error de muestreo dado por Yankelovich Partners, Inc. (que realizó el sondeo) es de ±3 %. Explique lo que representa el ±3 % en una, dos o tres oraciones completas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: según Field Poll, el 79 % de los adultos de California (los resultados reales son 400 de 506 encuestados) consideran que “la educación y nuestras escuelas” es uno de los principales problemas a los que se enfrenta California. Queremos construir un intervalo de confianza del 90 % para la verdadera proporción de adultos de California que piensan que la educación y las escuelas son uno de los principales problemas a los que se enfrenta el estado. Una estimación puntual de la verdadera proporción de la población es: 0,90 1,27 0,79 400 c Un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de la población es _______. (0,761, 0,820) (0,125, 0,188) (0,755, 0,826) (0,130, 0,183) Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: se encuestaron aleatoriamente quinientos once (511) hogares de una determinada comunidad del sur de California para averiguar si cumplen las recomendaciones mínimas de preparación ante un terremoto. Ciento setenta y tres (173) de las viviendas encuestadas cumplían las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos y 338 no. Calcule el intervalo de confianza con un nivel de confianza del 90 % para la verdadera proporción de población de los hogares de la comunidad del sur de California que cumplen, al menos, las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos. (0,2975, 0,3796) (0,6270, 0,6959) (0,3041, 0,3730) (0,6204, 0,7025) La estimación puntual de la proporción de viviendas que no cumplen las recomendaciones mínimas de preparación para terremotos es ______. 0,6614 0,3386 173 338 a El 23 de mayo de 2013, Gallup informó de que, de las 1.005 personas encuestadas, el 76 % de los trabajadores estadounidenses cree que seguirá trabajando más allá de la edad de jubilación. El nivel de confianza de este estudio fue del 95 % con un margen de error del ±3 %. Determine la proporción estimada de la muestra. Determine el tamaño de la muestra. Identifique CL y α . Calcule el límite de error basándose en la información proporcionada. Compare el límite de error de la parte d con el margen de error informado por Gallup. Explique las diferencias entre los valores. Cree un intervalo de confianza para los resultados de este estudio. Un periodista está cubriendo la publicación de este estudio para una emisora de noticias local. ¿Cómo debe explicar el intervalo de confianza a su público? El 13 de mayo de 2013, Rasmussen Reports realizó una encuesta nacional a 1.000 adultos. Concluyó con el 95 % de confianza que entre el 49 % y el 55 % de los estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen el proceso de la educación superior. Calcule la estimación puntual y el límite de error para este intervalo de confianza. ¿Podemos concluir (con el 95 % de confianza) que más de la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? Utilice la estimación puntual de la parte a y n = 1.000 para calcular un intervalo de confianza del 75 % para la proporción de adultos estadounidenses que creen que los programas deportivos de los grandes institutos universitarios corrompen la educación superior. ¿Podemos concluir (con el 75 % de confianza) que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses lo creen? p′ = (0 0,55 + 0 0,49) 2 = 0,52; EBP = 0,55 – 0,52 = 0,03 No, el intervalo de confianza incluye valores menores de 0,50 o iguales. Es posible que menos de la mitad de la población lo crea. CL = 0,75, por lo que α = 1 – 0,75 = 0,25 y α 2 = 0,125 z α 2 = 1,150 . (el área a la derecha de esta z es 0,125, por lo que el área a la izquierda es 1 – 0,125 = 0,875) E B P = ( 1,150 ) 0,52 ( 0,48 ) 1 , 000 ≈ 0,018 ( p ′ – EBP , p ′ + EBP ) = (0,52 – 0,018, 0,52 + 0,018) = (0,502, 0,538) Sí; este intervalo no cae por debajo de 0,50, por lo que podemos concluir que, al menos, la mitad de los adultos estadounidenses creen que los programas deportivos de los grandes colegios universitarios corrompen la educación, pero lo hacemos con el 75 % de confianza solamente. Public Policy Polling realizó recientemente una encuesta en la que se le preguntó a adultos de EE. UU. sobre sus preferencias musicales. Cuando se les preguntó, 80 de los 571 participantes admitieron que habían descargado música ilegalmente. Cree un intervalo de confianza del 99 % para la verdadera proporción de adultos estadounidenses que han descargado música ilegalmente. Esta encuesta se realizó mediante entrevistas telefónicas automatizadas los días 6 y 7 de mayo de 2013. El límite de error de la encuesta compensa el error de muestreo, o la variabilidad natural entre muestras. Enumere algunos factores que podrían afectar al resultado de la encuesta y que no están cubiertos por el margen de error. Sin realizar ningún cálculo, describa cómo cambiaría el intervalo de confianza si el nivel de confianza cambiara del 99 % al 90 %. Tiene previsto realizar una encuesta en el campus de su instituto universitario para conocer la conciencia política de los estudiantes. Quiere estimar la verdadera proporción de estudiantes de su campus que votaron en las elecciones presidenciales de 2012, con el 95 % de confianza y un margen de error no superior al cinco por ciento. ¿A cuántos estudiantes debe entrevistar? Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli; hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial X se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B ( n , p ). La media es μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = n x p x q n – x . Proporción del límite de error de la población (EBP) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la proporción estimada (a partir de la muestra) de aciertos.", "section": "Un intervalo de confianza para una proporción de población", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias Variables aleatorias continuas Normalmente no tenemos control sobre el tamaño de la muestra de un conjunto de datos. Sin embargo, si podemos fijar el tamaño de la muestra, como en los casos en los que realizamos una encuesta, es muy útil saber cuál debe ser su tamaño para proporcionar la máxima información. El muestreo puede ser muy costoso, tanto en tiempo como en producto. Las simples encuestas telefónicas cuestan aproximadamente 30 dólares cada una, por ejemplo, y algunos muestreos requieren la destrucción del producto. Si volvemos a nuestra fórmula de normalización de la distribución muestral para las medias, podemos ver que es posible resolverla para n. Si hacemos esto tenemos ( X – – μ ) en el denominador. n = Z α 2 σ 2 ( X – – μ ) 2 = Z α 2 σ 2 e 2 Como aún no hemos tomado una muestra, no conocemos ninguna de las variables de la fórmula, excepto que podemos establecer Z α al nivel de confianza que deseamos, tal como hicimos al determinar los intervalos de confianza. Si establecemos un error aceptable predeterminado, o tolerancia, para la diferencia entre X – y μ, denominado e en la fórmula, estamos mucho más lejos en la resolución del tamaño de la muestra n. Todavía no conocemos la desviación típica de la población, σ. En la práctica, se suele hacer una encuesta previa que permite afinar el cuestionario y que da una desviación típica de la muestra que se puede utilizar. En otros casos, se puede utilizar la información previa de otras encuestas para σ en la fórmula. Aunque es rudimentario, este método para determinar el tamaño de la muestra puede ayudar a reducir los costos de forma significativa. Serán los datos reales recogidos los que determinen las inferencias sobre la población, por lo que conviene ser cauteloso con el tamaño de la muestra exigiendo altos niveles de confianza y pequeños errores de muestreo. Variables aleatorias binarias Lo que se hizo en los casos en los que se buscaba la media de una distribución también se puede hacer cuando se hace un muestreo para determinar el parámetro poblacional p de las proporciones. La manipulación de la fórmula de normalización de las proporciones da como resultado: n = Z α 2 pq e 2 donde e = (p′-p), y es el error de muestreo aceptable, o tolerancia, para esta aplicación. Esto se medirá en puntos porcentuales. En este caso el propio objeto de nuestra búsqueda está en la fórmula, p, y por supuesto q porque q =1-p. Este resultado se produce porque la distribución binomial es una distribución de un parámetro. Si conocemos p entonces conocemos la media y la desviación típica. Por lo tanto, p aparece en la desviación típica de la distribución muestral que es de donde sacamos esta fórmula. Si en un exceso de precaución sustituimos p por 0,5, extraeremos el mayor tamaño de muestra necesario que proporcione el nivel de confianza especificado por Zα y la tolerancia que hemos seleccionado. Esto es cierto porque de todas las combinaciones de dos fracciones que suman uno, el mayor múltiplo es cuando cada una es 0,5. Sin ninguna otra información sobre el parámetro poblacional p, esta es la práctica habitual. Esto puede dar lugar a un sobremuestreo, pero ciertamente no a un submuestreo, por lo que se trata de un enfoque prudente. Existe un interesante equilibrio entre el nivel de confianza y el tamaño de la muestra que aparece aquí cuando se considera el costo del muestreo. La muestra el tamaño de la muestra apropiado para diferentes niveles de confianza y diferentes niveles de error aceptable, o tolerancia. Tamaño de la muestra requerido (90 %) Tamaño de la muestra requerido (95 %) Nivel de tolerancia 1691 2401 2% 752 1067 3% 271 384 5% 68 96 10% Esta tabla está diseñada para mostrar el tamaño máximo de la muestra requerido en diferentes niveles de confianza dado un supuesto p= 0,5 y q=0,5 como se comentó anteriormente. El error aceptable, denominado tolerancia en la tabla, se mide en valores más o menos de la proporción real. Por ejemplo, un error aceptable del 5 % significa que, si la proporción de la muestra es del 26 %, la conclusión sería que la proporción real de la población está entre el 21 % y el 31 % con un nivel de confianza del 90 % si se hubiera tomado una muestra de 271 personas. Asimismo, si el error aceptable se fijara en el 2 %, la proporción de la población se situaría entre el 24 % y el 28 % con un nivel de confianza del 90 %, pero exigiría aumentar el tamaño de la muestra de 271 a 1691. Si quisiéramos un mayor nivel de confianza, necesitaríamos una muestra de mayor tamaño. Pasar de un nivel de confianza del 90 % a un nivel del 95 % con una tolerancia de más o menos el 5 % requiere cambiar el tamaño de la muestra de 271 a 384. Un tamaño de muestra muy común que suele aparecer en las encuestas políticas es de 384. Con los resultados de las encuestas se suele decir que los resultados son buenos con un nivel de \"exactitud\" de más o menos el 5 %. Supongamos que una compañía de telefonía móvil quiere determinar el porcentaje actual de clientes de más de 50 años que utilizan mensajería de texto en sus teléfonos móviles. ¿Cuántos clientes de más de 50 años debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de clientes de más de 50 años que utilizan la mensajería de texto en sus teléfonos móviles? A partir del problema, sabemos que el error aceptable, e , es de 0,03 (3 %=0,03) y z α 2 z 0,05 = 1.645 porque el nivel de confianza es del 90 %. El error aceptable, e , es la diferencia entre la proporción poblacional real p , y la proporción muestral que esperamos obtener de la muestra. Sin embargo, para hallar n , necesitamos conocer la proporción (muestra) estimada p ′. Recuerde que q ′ = 1 – p ′. Pero, aun no conocemos p ′. Como multiplicamos p ′ y q ′ juntos, hacemos que ambos sean iguales a 0,5 porque p ′ q ′ = (0,5)(0,5) = 0,25 da como resultado el mayor producto posible. (Pruebe otros productos: (0,6)(0,4) = 0,24; (0,3)(0,7) = 0,21; (0,2)(0,8) = 0,16 y así sucesivamente). El mayor producto posible nos da el mayor n . Esto nos da una muestra lo suficientemente grande como para que podamos tener el 90 % de confianza de que estamos dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población. Para calcular el tamaño de la muestra n , utilice la fórmula y haga las sustituciones. n = z 2 p ′ q ′ e 2 da como resultado n = 1,645 2 ( 0,5 ) ( 0,5 ) 0,03 2 = 751,7 Redondee la respuesta al valor inmediatamente superior. El tamaño de la muestra debe ser de 752 clientes de teléfonos móviles de más de 50 años para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada (de la muestra) se encuentra dentro de los tres puntos porcentuales de la verdadera proporción de la población de todos los clientes de más de 50 años que utilizan mensajes de texto en sus teléfonos móviles. Ejercicio Supongamos que una compañía de mercadeo en internet quiere determinar el porcentaje actual de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes. ¿A cuántos clientes debería encuestar la compañía para tener el 90 % de confianza en que la proporción estimada está dentro de los cinco puntos porcentuales de la verdadera proporción de clientes que hacen clic en los anuncios de sus teléfonos inteligentes? 271 clientes deben ser encuestados. Consulte la sección de propiedad inmobiliaria de su localidad. Repaso del capítulo A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula del intervalo de confianza correspondiente para n a fin de descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo: n = Z α 2 σ 2 ( x – – μ ) 2 Si la variable aleatoria es binaria, la fórmula para el tamaño de muestra adecuado a fin de que se mantenga un nivel de confianza determinado con un nivel de tolerancia específico viene dada por n = Z α 2 pq e 2 Revisión de la fórmula n = Z 2 σ 2 ( x – – μ ) 2 = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra (n ) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado para una variable aleatoria continua n = Z α 2 pq e 2 = la fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra si la variable aleatoria es binaria Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras. Identifique lo siguiente: x – = _____ σ = _____ n = _____ 244 15 50 En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? N ( 244 , 15 50 ) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de la población de elefantes recién nacidos. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el intervalo de confianza obtenido si se pesan 500 elefantes recién nacidos en vez de 50? ¿Por qué? A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menos variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal. Identifique lo siguiente: x – = _____ σ = _____ n = _____ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . X es el tiempo en minutos que se tarda en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. X – es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para rellenar los formularios. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (7,9441; 8,4559) Si el censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si el censo realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara solo a 50 personas en vez de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? El nivel de confianza disminuiría porque la disminución de n hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que a igual límite de error, el nivel de confianza disminuye. Supongamos que el censo necesita tener un 98 % de confianza en la duración media de la población. ¿El censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras. Identifique lo siguiente: x – = ______ σ = ______ n = ______ x – = 2,2 σ = 0,2 n = 20 Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X – . X – es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. EBM = 0,07 CI: (2,1264; 2,2736) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza en el es mayor que en el . El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar la cantidad de área que se calcula para la distribución normal. Por lo tanto, un nivel de confianza mayor genera áreas e intervalos más amplios. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo en el . ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el límite de error siguiera siendo el mismo? El nivel de confianza aumentaría. ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el nivel de confianza siguiera siendo el mismo? Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College. x – = _____ 30,4 n = _____ ________ = 15 σ En palabras, defina la variable aleatoria X – . ¿Cuál es el x – estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. normal Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios . ¿Cuánta superficie hay en ambas cruces (combinadas)? α =________ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 =________ 0,025 Identifique las siguientes especificaciones límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es: __________________. (24,52;36,28) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College está entre 24,52 y 36,28. Utilizando las mismas media, desviación típica y nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 25. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando las mismas media, desviación típica y tamaño de la muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? El límite de error para la media disminuiría porque a medida que el nivel de confianza (Confidence Level, CL) disminuye, se necesita menos área debajo de la curva normal (lo que se traduce en un intervalo más pequeño) para capturar la verdadera media de la población. Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,60. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,650. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 2.185 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 96 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 5 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,70. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 1 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,50. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 6.765 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 94 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,65. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 95 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 4 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,45. Nota: Redondee todas las fracciones para n . 595 Calcule el valor del tamaño de la muestra necesario para que, si el intervalo de confianza es del 90 %, la proporción de la muestra y la proporción de la población se encuentren dentro del 2 % de cada una. La proporción de la muestra es de 0,3. Nota: Redondee todas las fracciones para n . Tarea para la casa Se sabe que la desviación típica de las alturas entre los distintos grupos étnicos es de tres pulgadas aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de los hombres suecos. Se encuestaron cuarenta y ocho hombres suecos. La media muestral es de 71 pulgadas. La desviación típica de la muestra es de 2,8 pulgadas. x – =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de la población de hombres suecos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué pasará con el nivel de confianza obtenido si se encuestan 1.000 hombres suecos en vez de 48? ¿Por qué? 71 2,8 48 X es la altura de un hombre sueco y x _ es la altura media de una muestra de 48 hombres suecos. Normal. Conocemos la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es superior a 30. CI: (70,151, 71,85) El intervalo de confianza disminuirá en tamaño porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población. Los anuncios de las 84 próximas conferencias de ingeniería se eligieron al azar de una pila de revistas IEEE Spectrum. La duración media de las conferencias fue de 3,94 días, con una desviación típica de 1,28 días. Supongamos que la población subyacente es normal. En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de las conferencias de ingeniería Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Supongamos que una compañía de contabilidad hace un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta al azar a 100 personas. La media muestral es de 23,6 horas. Existe una desviación típica conocida de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal. x – =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para completar los formularios de impuestos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Si la compañía quisiera aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si la compañía realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara 49 personas solamente, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? Supongamos que la compañía decide que necesita tener, al menos, el 96 % de confianza de la media de la población que se tarda una hora. ¿Cómo cambiaría el número de personas que la compañía encuesta? ¿Por qué? x – = 23,6 σ = 7 n = 100 X es el tiempo necesario para rellenar un formulario de impuestos individual. X – es el tiempo medio para rellenar los formularios de impuestos de una muestra de 100 clientes. N ( 23,6 , 7 100 ) porque conocemos sigma. (22,228; 24,972) Tendrá que cambiar el tamaño de la muestra. La compañía debe determinar cuál debe ser el nivel de confianza y, a continuación, aplicar la fórmula del límite de error para determinar el tamaño de la muestra necesario. El nivel de confianza aumentaría como consecuencia de un intervalo mayor. Muestras de menor tamaño generan mayor variabilidad. Para capturar la verdadera media de la población necesitamos un intervalo mayor. Según la fórmula del límite de error, la compañía necesita encuestar 206 personas. Dado que aumentamos el nivel de confianza, tenemos que aumentar nuestro límite de error o el tamaño de la muestra. Se seleccionó una muestra de 16 bolsas pequeñas de caramelos de la misma marca. Supongamos que la distribución poblacional de los pesos de las bolsas es normal. Luego se registró el peso de cada bolsa. El peso medio fue de dos onzas, con una desviación típica de 0,12 onzas. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,1 onzas. x – =________ σ =________ s x =________ Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X – . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de los caramelos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Construya un intervalo de confianza del 98 % para el peso medio poblacional de los caramelos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza de la parte f es mayor que el de la parte e. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo de la parte f. El director de un campamento está interesado en el número medio de cartas que envía cada niño durante su sesión de campamento. Se conoce que la desviación típica de la población es de 2,5. Se realiza una encuesta entre 20 campistas. La media muestral es de 7,9, con una desviación típica de la muestra de 2,8. x – =________ σ =________ n =________ Defina las variables aleatorias X y X – en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional del número de cartas que los campistas envían a casa Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. ¿Qué ocurrirá con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestan 500 campistas? ¿Por qué? 7,9 2,5 20 X es el número de cartas que un solo campista enviará a casa. X – es el número medio de cartas enviadas a casa de una muestra de 20 campistas. N 7,9 ( 2,5 20 ) CI: (6,98; 8,82) El límite de error y el intervalo de confianza disminuirán. ¿Qué significa el término “90 % de confianza” cuando se construye un intervalo de confianza para una media? Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de las muestras producirían el mismo intervalo de confianza. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían la media muestral. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían el verdadero valor de la media poblacional. Si tomáramos muestras repetidas, la media muestral sería igual a la media de la población en el 90 % de las muestras aproximadamente. La Comisión Federal de Elecciones recopila información sobre los aportes y los desembolsos para la campaña de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Durante la temporada de campaña de 2012, hubo 1.619 candidatos a la Cámara de Representantes en Estados Unidos que recibieron aportes de particulares. La muestra el total de ingresos procedentes de particulares para una selección aleatoria de 40 candidatos a la Cámara de Representantes, redondeado a los 100 dólares más cercanos. La desviación típica de estos datos a la centena más cercana es σ = 909.200 dólares. $3.600 $1.243.900 $10.900 $385.200 $581.500 $7.400 $2.900 $400 $3.714.500 $632.500 $391.000 $467.400 $56.800 $5.800 $405.200 $733.200 $8.000 $468.700 $75.200 $41.000 $13.300 $9.500 $953.800 $1.113.500 $1.109.300 $353.900 $986.100 $88.600 $378.200 $13.200 $3.800 $745.100 $5.800 $3.072.100 $1.626.700 $512.900 $2.309.200 $6.600 $202.400 $15.800 Calcule la estimación puntual de la media de la población. Use el 95 % de confianza y calcule el límite de error. Cree un intervalo de confianza del 95 % para la media de los aportes individuales totales. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. x – = $568.873 CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 z α 2 = 1,96 EBM = z 0,025 σ n = 1,96 909200 40 = $281.764 x – – EBM = 568.873 – 281.764 = 287.109 x – + EBM = 568.873 + 281.764 = 850.637 Estimamos con el 95 % de confianza que la media de los aportes que recibieron los candidatos a la Cámara de Representantes de parte de todas las personas está entre 287.109 dólares y 850.637 dólares. La Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense (American Community Survey, ACS), que forma parte de la Oficina del Censo de Estados Unidos, realiza un censo anual similar al que se hace cada diez años, pero con un porcentaje de participantes menor. La encuesta más reciente estima, con el 90 % de confianza, que los ingresos medios de los hogares en EE. UU. se sitúa entre 69.720 y 69.922 dólares. Calcule la estimación puntual de los ingresos medios de los hogares de EE. UU. y su límite de error. La estatura promedio de los hombres adultos jóvenes tiene una distribución normal, con una desviación típica de 2,5 pulgadas. Quiere estimar la altura media de los estudiantes de su instituto universitario o universidad con un margen de una pulgada, con el 93 % de confianza. ¿Cuántos estudiantes hombres hay que medir? Si se cambia el intervalo de confianza a una probabilidad más alta, ¿se produciría un tamaño mínimo de la muestra más bajo o más alto? Más alto Si la tolerancia se reduce a la mitad, ¿cómo afectaría esto al tamaño mínimo de la muestra? Aumentaría hasta cuatro veces el valor anterior. Si se reduce el valor de p , ¿se reduciría necesariamente el tamaño de la muestra necesaria? No, no podría afectar si cambiara a 1 - p , por ejemplo. Si se acerca a 0,5, el tamaño mínimo de la muestra aumentaría. ¿Es aceptable utilizar un tamaño de muestra mayor que el calculado por z 2 p q e 2 ? Sí Una compañía tiene una cadena de montaje en la que el 97,42 % de los productos fabricados son aceptables. Entonces, una pieza crítica se rompió. Después de las reparaciones se decidió ver si el número de productos defectuosos fabricados seguía siendo lo suficientemente cercano a la calidad de producción de siempre. Se seleccionaron muestras de 500 piezas al azar, y se comprobó que la tasa de defectos era del 0,025 % ¿Es este tamaño de muestra adecuado para afirmar que la compañía está comprobando dentro del intervalo de confianza del 90 %? ¿Y dentro del intervalo de confianza del 95 %? No No", "section": "Cálculo del tamaño de la muestra n: variables aleatorias continuas y binarias", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Puede utilizar una prueba de hipótesis para decidir si la afirmación de un criador de perros de que todos los dálmatas tienen 35 manchas es estadísticamente correcta. (créditos: Robert Neff) Ahora nos encontramos con el trabajo principal del estadístico: desarrollar y probar hipótesis. Es importante situar este material en un contexto más amplio para que se entienda completamente el método por el que se forma una hipótesis. El uso de ejemplos de libros de texto a menudo nubla el verdadero origen de las hipótesis estadísticas. Las pruebas estadísticas forman parte de un proceso mucho más amplio conocido como método científico. Este método se desarrolló hace más de dos siglos como la forma aceptada de crear nuevos conocimientos. Hasta entonces, y desgraciadamente aún hoy, entre algunos, el \"conocimiento\" podía crearse simplemente porque alguna autoridad dijera que algo era así, ipso dicta . La superstición y las teorías de la conspiración eran (¿son?) aceptadas sin crítica. El método científico, brevemente, establece que solo siguiendo un proceso cuidadoso y específico se puede incluir alguna afirmación en el cuerpo de conocimientos aceptado. Este proceso comienza con un conjunto de supuestos sobre los que se construye una teoría, a veces llamada modelo. Esta teoría, si tiene alguna validez, dará lugar a predicciones; lo que llamamos hipótesis. Por ejemplo, en Microeconomía la teoría de la elección del consumidor parte de ciertos supuestos relativos al comportamiento humano. A partir de estos supuestos se elabora una teoría de cómo los consumidores toman decisiones utilizando las curvas de indiferencia y la línea presupuestaria. Esta teoría dio lugar a una predicción muy importante, a saber, que existía una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada. Esta relación se conoce como curva de demanda. La pendiente negativa de la curva de demanda es en realidad una predicción, o una hipótesis, que puede comprobarse con herramientas estadísticas. A menos que cientos y cientos de pruebas estadísticas de esta hipótesis no hubieran confirmado esta relación, la llamada ley de la demanda habría sido descartada hace años. Este es el papel de la estadística, poner a prueba las hipótesis de diversas teorías para determinar si deben ser admitidas en el cuerpo de conocimientos aceptado; cómo entendemos nuestro mundo. Sin embargo, una vez admitidas, pueden ser descartadas posteriormente si aparecen nuevas teorías que hagan mejores predicciones. No hace mucho, dos científicos afirmaron que podían obtener más energía de un proceso que la que se introducía en este. Esto causó un tremendo revuelo por razones obvias. Aparecieron en la portada de Time y se les ofrecieron sumas extravagantes para que llevaran sus trabajos de investigación a la industria privada y a cualquier universidad. No pasó mucho tiempo hasta que su trabajo fue sometido a las rigurosas pruebas del método científico y se descubrió que era un fracaso. Ningún otro laboratorio pudo replicar sus hallazgos. En consecuencia, se han hundido en la oscuridad y su teoría fue descartada. Es posible que vuelva a salir a la luz cuando alguien pueda superar las pruebas de las hipótesis exigidas por el método científico, pero hasta entonces es solo una curiosidad. A lo largo del tiempo se han intentado muchos fraudes auténticos, pero la mayoría se han descubierto aplicando el proceso del método científico. Este debate pretende mostrar en qué punto de este proceso se encuentra la estadística. La estadística y los estadísticos no se dedican necesariamente a desarrollar teorías, sino a probar las teorías de otros. Las hipótesis proceden de estas teorías basadas en un conjunto explícito de supuestos y una lógica sólida. La hipótesis es lo primero, antes de recopilar los datos. Los datos no crean hipótesis, sino que se utilizan para probarlas. Si tenemos esto en cuenta al estudiar esta sección, el proceso de formación y comprobación de hipótesis tendrá más sentido. Uno de los trabajos de un estadístico es hacer inferencias estadísticas sobre las poblaciones a partir de muestras tomadas de la población. Los intervalos de confianza son una forma de estimar un parámetro poblacional. Otra forma de hacer una inferencia estadística es tomar una decisión sobre el valor de un parámetro específico. Por ejemplo, un concesionario de automóviles anuncia que su nueva camioneta pequeña recorre un promedio de 35 millas por galón. Un servicio de tutoría afirma que su método de enseñanza ayuda al 90 % de sus estudiantes a obtener una calificación A o B. Una compañía dice que las mujeres administradoras de su compañía ganan un promedio de 60.000 dólares al año. Un estadístico tomará una decisión sobre estas declaraciones. Este proceso se llama “prueba de hipótesis” . Una prueba de hipótesis consiste en recopilar datos de una muestra y evaluarlos. Luego, el estadístico decide si existen o no pruebas suficientes basándose en el análisis de los datos para rechazar la hipótesis nula. En este capítulo hará pruebas de hipótesis sobre medias simples y proporciones simples. También conocerá los errores asociados a estas pruebas. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de El nivel de confianza deseado. Información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, desviación típica conocida). La muestra y su tamaño. Prueba de hipótesis a partir de las pruebas de la muestra, un procedimiento para determinar si la hipótesis planteada es una afirmación razonable y no se debe rechazar, o es irrazonable y se debe rechazar.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Hipótesis nula y alternativa La prueba real comienza considerando dos hipótesis . Se denominan hipótesis nula e hipótesis alternativa . Estas hipótesis contienen puntos de vista opuestos. H 0 : La hipótesis nula: Es una afirmación de que no hay diferencia entre las variables: no están relacionadas. A menudo, esto puede considerarse el statu quo y, como resultado, si no se puede aceptar lo nulo, se requiere alguna acción. H a : La hipótesis alternativa: Es una afirmación sobre la población que es contradictoria con H 0 y lo que concluimos cuando no podemos aceptar H 0 . Esto es normalmente lo que el investigador está tratando de probar. La hipótesis alternativa es la contendiente y debe ganar con pruebas significativas para derrocar el statu quo . Este concepto se conoce a veces como la tiranía del statu quo porque, como veremos más adelante, para derribar la hipótesis nula se necesita normalmente un 90 % o más de confianza en que esta es la decisión correcta. Dado que las hipótesis nula y alternativa son contradictorias, debe examinar las pruebas para decidir si tiene suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula o no. Las pruebas se presentan en forma de datos de muestra. Una vez que haya determinado qué hipótesis apoya la muestra, tome una decisión. Hay dos opciones para tomar una decisión. Son “no puede aceptar H 0 ” si la información de la muestra favorece la hipótesis alternativa o “no se rechaza H 0 ” o “se declina rechazar H 0 ” si la información de la muestra es insuficiente para rechazar la hipótesis nula. Todas estas conclusiones se basan en un nivel de probabilidad, un nivel de significación, que establece el analista. La tabla 9.1 presenta las distintas hipótesis en los pares correspondientes. Por ejemplo, si la hipótesis nula es igual a algún valor, la alternativa no puede ser igual a ese valor. H 0 H a igual (=) no es igual (≠) mayor o igual que (≥) menor que (<) menor o igual que (≤) mayor que (>) Nota Como convención matemática, H 0 siempre tiene un símbolo con un igual. H a nunca tiene un símbolo con un igual en él. La elección del símbolo depende del enunciado de la prueba de hipótesis. H 0 : No más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p ≤ 30 H a : Más del 30 % de los votantes registrados en el condado de Santa Clara votaron en las elecciones primarias. p > 30 Queremos comprobar si la media del GPA de los estudiantes de los institutos universitarios estadounidenses es diferente de 2,0 (sobre 4,0). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ = 2,0 H a : μ ≠ 2,0 Queremos comprobar si los estudiantes de institutos universitarios tardan menos de cinco años en graduarse, en promedio. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ ≥ 5 H a : μ < 5 Repaso del capítulo En una prueba de hipótesis se evalúan los datos de la muestra para llegar a una decisión sobre algún tipo de afirmación. Si se cumplen determinadas condiciones sobre la muestra, la afirmación se puede evaluar para una población. En una prueba de hipótesis, nosotros: Evalúe la hipótesis nula , normalmente denotada con H 0 . La nulidad no se rechaza, a menos que la prueba de hipótesis demuestre lo contrario. La declaración nula debe contener siempre alguna forma de igualdad (=, ≤ o ≥) Escriba siempre la hipótesis alternativa , normalmente denotada con H a o H 1 , utilizando los símbolos de no es igual, menor que o mayor que, es decir, (≠, <, o >). Si rechazamos la hipótesis nula, podemos suponer que hay suficientes pruebas para apoyar la hipótesis alternativa. No diga nunca que una afirmación está probada como verdadera o falsa. Tenga en cuenta el hecho subyacente de que las pruebas de hipótesis se basan en leyes de probabilidad; por lo tanto, solo podemos hablar en términos de certezas no absolutas. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la velocidad media de internet en megabits por segundo. Está comprobando que la velocidad media de su conexión a internet por cable es superior a tres megabits por segundo. Indique las hipótesis nula y alternativa. La familia estadounidense tiene un promedio de dos hijos. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es el número medio de hijos que tiene una familia estadounidense. El salario medio de un empleado en una compañía es de 58.000 dólares. Usted cree que es mayor para los profesionales de tecnología de la información (TI) en la compañía. Indique las hipótesis nula y alternativa. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Hay que probar para ver si la proporción es realmente menor. ¿Cuál es la variable aleatoria? Descríbalo con palabras. La variable aleatoria es la proporción de personas elegidas al azar en Times Square que visitan la ciudad. Un sociólogo afirma que la probabilidad de que una persona elegida al azar en Times Square, en Nueva York, esté visitando la zona es de 0,83. Quiere comprobar si la afirmación es correcta. Indique las hipótesis nula y alternativa. En una población de peces, aproximadamente el 42 % son hembras. Se realiza una prueba para ver si, efectivamente, la proporción es menor. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p = 0,42 H a : p < 0,42 Supongamos que un artículo reciente afirma que la media de tiempo que pasa en la cárcel un ladrón condenado por primera vez es de 2,5 años. A continuación se realizó un estudio para comprobar si el tiempo medio ha aumentado en el nuevo siglo. Se eligió una muestra aleatoria de 26 ladrones condenados por primera vez en un año reciente. La media de tiempo en prisión de la encuesta fue de 3 años con una desviación típica de 1,8 años. Supongamos que se sabe de algún modo que la desviación típica de la población es 1,5. Si realiza una prueba de hipótesis para determinar si la duración media del tiempo en prisión ha aumentado, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? La distribución de la población es normal. H 0 : ________ H a : ________ Una encuesta aleatoria realizada a 75 condenados a muerte reveló que la duración media en el pabellón de los condenados a muerte es de 17,4 años, con una desviación típica de 6,3 años. Si estuviera realizando una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio de la población en el pabellón de los condenados a muerte podría ser de 15 años, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : __________ H a : __________ H 0 : μ = 15 H a : μ ≠ 15 El Instituto Nacional de Salud Mental publicó un artículo en el que se afirma que, en cualquier periodo de un año, aproximadamente el 9,5 % de los adultos estadounidenses sufren depresión o una enfermedad depresiva. Supongamos que en una encuesta realizada a 100 personas de una determinada ciudad, siete de ellas sufren depresión o una enfermedad depresiva. Si realizara una prueba de hipótesis para determinar si la verdadera proporción de personas de esa ciudad que sufren depresión o una enfermedad depresiva es inferior al porcentaje de la población general adulta estadounidense, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : ________ H a : ________ Tarea para la casa Algunas de las siguientes afirmaciones se refieren a la hipótesis nula, otras a la hipótesis alternativa. Enuncie la hipótesis nula, H 0 y la hipótesis alternativa. H a , en términos del parámetro apropiado ( μ o p ). La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. El costo medio de la matrícula de las universidades privadas supera los 20.000 dólares anuales. H 0 : μ = 34; H a : μ ≠ 34 H 0 : p ≤ 0,60; H a : p > 0,60 H 0 : μ ≥ 100.000; H a : μ < 100.000 H 0 : p = 0,29; H a : p ≠ 0,29 H 0 : p = 0,05; H a : p < 0,05 H 0 : μ ≤ 10; H a : μ > 10 H 0 : p = 0,50; H a : p ≠ 0,50 H 0 : μ = 6; H a : μ ≠ 6 H 0 : p ≥ 0,11; H a : p < 0,11 H 0 : μ ≤ 20.000; H a : μ > 20.000 En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del treinta por ciento de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? La hipótesis alternativa es: p < 0,30 p ≤ 0,30 p ≥ 0,30 p > 0,30 Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y descubre que 11 asistieron a la proyección de medianoche. Una hipótesis alternativa adecuada es: p = 0,20 p > 0,20 p < 0,20 p ≤ 0,20 c Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. Las hipótesis nula y alternativa son: H o : x ¯ = 4,5, H a : x ¯ > 4,5 H o : μ ≥ 4,5, H a : μ < 4,5 H o : μ = 4,75, H a : μ > 4,75 H o : μ = 4,5, H a : μ > 4,5 Referencias Datos del Instituto Nacional de Salud Mental. Disponible en línea en http://www.nimh.nih.gov/publicat/depression.cfm. Hipótesis una afirmación sobre el valor de un parámetro de la población, en caso de dos hipótesis, la afirmación que se supone verdadera se llama hipótesis nula (notación H 0 ) y la afirmación contradictoria se llama hipótesis alternativa (notación H a ).", "section": "Hipótesis nula y alternativa", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Resultados y errores de tipo I y II Cuando se realiza una prueba de hipótesis hay cuatro resultados posibles en según la verdad (o falsedad) de la hipótesis nula H 0 y de la decisión de rechazarla o no. Los resultados se resumen en el siguiente cuadro: Decisión estadística H 0 es en realidad... Verdadero Falso No se puede rechazar H 0 Resultado correcto Error tipo II No se puede aceptar H 0 Error de tipo I Resultado correcto Los cuatro resultados posibles en la tabla son: La decisión es que no rechaza H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión correcta). La decisión es no aceptar H 0 cuando H 0 es verdadera (decisión incorrecta, conocida como error de tipo I ). Este caso se describe como “rechazar un buen nulo”. Como veremos más adelante, es este tipo de error el que evitaremos al fijar la probabilidad de cometerlo. El objetivo es NO realizar ninguna acción que sea un error. La decisión es no rechazar H 0 cuando, de hecho, H 0 es falsa (decisión incorrecta, conocida como error de tipo II ). Esto se llama “aceptar un falso nulo”. En esta situación ha permitido que el statu quo siga en vigor cuando debió anularse. Como veremos, la hipótesis nula tiene ventaja en la competencia con la alternativa. La decisión es no aceptar H 0 cuando H 0 es falsa ( decisión correcta ). Cada uno de los errores se produce con una probabilidad determinada. Las letras griegas α y β representan las probabilidades. α = probabilidad de un error de tipo I = P (error de tipo I) = probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera: rechazar un buen nulo. β = probabilidad de un error tipo II = P (error tipo II) = probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa. (1 - β ) se denomina la potencia de la prueba . α y β deben ser lo más pequeños posible porque son probabilidades de error. La estadística nos permite establecer la probabilidad de que cometamos un error de tipo I. La probabilidad de cometer un error de tipo I es α. Recordemos que los intervalos de confianza en la última unidad se establecían al elegir un valor llamado Z α (o t α ) y el valor alfa determinaba el nivel de confianza de la estimación porque era la probabilidad de que el intervalo no captara la verdadera media (o parámetro de proporción p). Esta y aquella alfa son iguales. La forma más fácil de ver la relación entre el error alfa y el nivel de confianza es con la siguiente figura. En el centro de la hay una distribución normal de muestreo, marcada H 0 . Se trata de una distribución de muestreo de X – y por el teorema del límite central se distribuye normalmente. La distribución del centro se marca H 0 y representa la distribución para la hipótesis nula H 0 : µ = 100. Este es el valor que se está probando. Los enunciados formales de las hipótesis nula y alternativa se enumeran debajo de la figura. Las distribuciones a ambos lados de la distribución H 0 representan las que serían verdaderas si H 0 es falsa, bajo la hipótesis alternativa, indicada como H a . No sabemos cuál es la verdad, y nunca lo sabremos. De hecho, hay un número infinito de distribuciones de las que se podrían haber extraído los datos si H a es verdadera, pero solo dos de ellas están en la representando a todas las demás. Para comprobar una hipótesis, tomamos una muestra de la población y determinamos si proviene de la distribución hipotética con un nivel de significación aceptable. Este nivel de significación es el error alfa y está marcado en la como las áreas sombreadas en cada cola de la distribución H 0 . (Cada área es en realidad α/2 porque la distribución es simétrica y la hipótesis alternativa posibilita que el valor sea mayor o menor que el valor hipotético, la llamada prueba de dos colas). Si la media muestral está marcada como X – 1 está en la cola de la distribución de H 0 , entonces concluimos que la probabilidad de que provenga de la distribución H 0 es menor que alfa. En consecuencia, afirmamos que “la hipótesis nula no puede aceptarse con un nivel de significación (α)”. La verdad puede ser que este X – 1 sí provenía de la distribución H 0 , pero del extremo de la cola. Si es así, hemos rechazado falsamente una hipótesis nula verdadera y hemos cometido un error de tipo I. Lo que la estadística ha hecho es proporcionar una estimación sobre lo que sabemos y lo que controlamos, y esa es la probabilidad de que nos equivoquemos, α. También observamos en la que la media muestral sería realmente de una distribución H a , pero dentro del límite establecido por el nivel alfa. Este caso está marcado como X – 2 . Existe la probabilidad de que X – 2 en realidad provenga de H a pero aparece en el rango de H 0 entre las dos colas. Esta probabilidad es el error beta, la probabilidad de aceptar un falso nulo. Nuestro problema es que solo podemos fijar el error alfa porque hay un número infinito de distribuciones alternativas de las que podría haber salido la media que no son iguales a H 0 . En consecuencia, el estadístico recae la carga de la prueba en la hipótesis alternativa. Es decir, no rechazaremos una hipótesis nula, a no ser que haya una probabilidad superior al 90 % o al 95 %, e incluso al 99 %, de que la nula sea falsa: la carga de la prueba recae en la hipótesis alternativa. Por eso lo designamos anteriormente como la tiranía del statu quo . A modo de ejemplo, el sistema judicial estadounidense parte del supuesto de la “presunción de inocencia” del acusado. Este es el statu quo y es la hipótesis nula. El juez dirá al jurado que no puede declarar al acusado culpable, a no ser que las pruebas indiquen la culpabilidad más allá de una “duda razonable”, que se define en los casos penales como un 95 % de certeza de culpabilidad. Si el jurado no puede aceptar la nulidad, la inocencia, entonces se tomarán medidas, tiempo de cárcel. La carga de la prueba siempre recae en la hipótesis alternativa (en los casos civiles, el jurado solo necesita tener más del 50 % de certeza de que se ha cometido un delito para declarar la culpabilidad, lo que se denomina “preponderancia de las pruebas”). El ejemplo anterior era para una prueba de una media, pero la misma lógica se aplica a las pruebas de hipótesis para todos los parámetros estadísticos que uno quiera probar. Los siguientes son ejemplos de errores tipo I y tipo II. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: El equipo de escalada de Frank es seguro. Error tipo I : Frank piensa que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. Error tipo II : Frank cree que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. α = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede no ser seguro cuando, en realidad, sí lo es. β = probabilidad de que Frank piense que su equipo de escalada puede ser seguro cuando, en realidad, no lo es. Observe que, en este caso, el error con mayores consecuencias es el tipo II (si Frank cree que su equipo de escalada es seguro, lo utilizará). Esta es una situación que se describe como “aceptar un falso nulo”. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: La víctima de un accidente de tráfico está viva cuando llega a la sala de urgencias de un hospital. Esto es el statu quo y no requiere ninguna acción si es verdadero. Si no se puede aceptar la hipótesis nula, es necesario actuar y el hospital iniciará los procedimientos adecuados. Error tipo I : El equipo de emergencia cree que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva. Error tipo II : El equipo de emergencia no sabe si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta. α = probabilidad de que el equipo de emergencias piense que la víctima está muerta cuando, en realidad, está viva = P (error tipo I). β = probabilidad de que el equipo de emergencias no sepa si la víctima está viva cuando, en realidad, está muerta = P (error tipo II). El error con mayores consecuencias es el error tipo I (si el equipo de emergencia cree que la víctima está muerta, no la atenderán). Ejercicio Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es un paciente no está enfermo. ¿Qué tipo de error tiene mayores consecuencias, el tipo I o el tipo II? El error con mayores consecuencias es el de tipo II: se creerá que el paciente está bien cuando, en realidad, está enfermo, por lo que no recibirá tratamiento. Los laboratorios genéticos It’s a Boy afirman poder aumentar la probabilidad de elegir el sexo del bebé, en ese caso, masculino. Los estadísticos quieren poner a prueba esta afirmación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: Los laboratorios genéticos It’s a Boy no tienen efecto en el resultado del sexo. El statu quo es que la afirmación es falsa. La carga de la prueba recae siempre en la persona que hace el reclamo, en este caso el laboratorio genético. Error tipo I : Esto resulta cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. En el contexto de este escenario, afirmaríamos que creemos que los laboratorios genéticos It’s a Boy influyen en el resultado del sexo, cuando en realidad no tienen ningún efecto. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega alfa, α . Error tipo II : Esto se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. En el contexto, afirmaríamos que los laboratorios genéticos It’s a Boy no influyen en el resultado del sexo de un bebé cuando, de hecho, sí lo hacen. La probabilidad de que se produzca este error se denota con la letra griega beta, β . El error de mayor consecuencia sería el tipo I, ya que las parejas utilizarían el producto de los laboratorios genéticos It’s a Boy con la esperanza de aumentar las posibilidades de concebir un bebé de sexo masculino. Ejercicio La “marea roja” es una floración de algas productoras de veneno, algunas especies diferentes de un tipo de plancton llamado dinoflagelado. Cuando las condiciones meteorológicas y del agua provocan estas floraciones, los mariscos, como las almejas que viven en la zona, desarrollan niveles peligrosos de una toxina que induce parálisis. En Massachusetts, la División de Pesquerías Marinas (Division of Marine Fisheries, DMF) controla los niveles de la toxina en los mariscos mediante muestreos regulares de mariscos a lo largo de la costa. Si el nivel medio de toxina en las almejas supera los 800 μg (microgramos) de toxina por kg de carne de almeja en cualquier zona, se prohíbe la recolección de almejas de allí hasta que la floración haya terminado y los niveles de toxina en las almejas disminuyan. Describa un error tipo I y uno tipo II en este contexto e indique qué error tiene mayores consecuencias. En este escenario, una hipótesis nula adecuada sería H 0 : el nivel medio de toxinas es como máximo de 800 μ g, H 0 : μ 0 ≤ 800 μ g. Error tipo I : La DMF cree que los niveles de toxina siguen siendo demasiado altos cuando, en realidad, son como máximo de 800 μ g. La DMF mantiene la prohibición de recolección. Error tipo II : La DMF cree que los niveles de toxina están dentro del rango aceptable (son al menos 800 μ g) cuando, en realidad, siguen siendo demasiado altos (más de 800 μ g). La DMF levanta la prohibición de recolección. Este error podría ser el más grave. Si se levanta la prohibición y las almejas siguen siendo tóxicas, los consumidores podrían ingerir alimentos contaminados. En resumen, lo más peligroso sería cometer un error de tipo II, porque implica la disponibilidad de almejas contaminadas para el consumo. Un determinado fármaco experimental afirma tener una tasa de curación de, al menos, el 75 % para los hombres con cáncer de próstata. Describa los errores tipo I y tipo II en su contexto. ¿Cuál error es más grave? Tipo I : Un paciente con cáncer cree que la tasa de curación del fármaco es inferior al 75 %, cuando en realidad es de, al menos, el 75 %. Tipo II : Un paciente con cáncer cree que el fármaco experimental tiene un índice de curación de, al menos, el 75 % cuando su índice de curación es inferior al 75 %. En este escenario, el error tipo II contiene la consecuencia más grave. Si un paciente cree que el fármaco funciona, al menos, el 75 % de las veces, lo más probable es que esto influya en la elección del paciente (y del médico) sobre la conveniencia de utilizar el fármaco como opción de tratamiento. Repaso del capítulo En toda prueba de hipótesis, los resultados dependen de una interpretación correcta de los datos. Los cálculos incorrectos o el resumen de estadísticas mal entendidos pueden producir errores que afecten los resultados. Un error tipo I se produce cuando se rechaza una hipótesis nula verdadera. Un error tipo II se produce cuando no se rechaza una hipótesis nula falsa. Las probabilidades de estos errores se indican con las letras griegas α y β , para un error tipo I y el tipo II, respectivamente. La potencia de la prueba, 1 – β , cuantifica la probabilidad de que una prueba arroje el resultado correcto de que se acepte una hipótesis alternativa verdadera. Es deseable una alta potencia. El precio medio de los automóviles de tamaño medio en una región es de 32.000 dólares. Se realiza una prueba para ver si la afirmación es cierta. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El precio medio de los automóviles de tamaño medio es de 32.000 dólares, pero concluimos que no es de 32.000 dólares. Tipo II: El precio medio de los automóviles de tamaño medio no es de 32.000 dólares, pero concluimos que es de 32.000 dólares. Un saco de dormir está probado para soportar temperaturas de –15 °F. Usted cree que el saco no puede soportar temperaturas tan bajas. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Para el ejercicio 9.12 , ¿qué son α y β en palabras? α = la probabilidad de que piense que la bolsa no puede soportar –15 grados F, cuando en realidad sí puede β = la probabilidad de que crea que la bolsa puede soportar –15 grados F, cuando en realidad no puede En palabras, describa 1 – β para el ejercicio 9.12 . Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Tipo I: El procedimiento saldrá bien, pero los médicos creen que no. Tipo II: El procedimiento no saldrá bien, pero los médicos creen que sí. Un grupo de médicos está decidiendo si realizan o no una operación. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la intervención quirúrgica saldrá bien. ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? La potencia de una prueba es de 0,981. ¿Cuál es la probabilidad de un error tipo II? 0,019 Un grupo de buzos está explorando un viejo barco hundido. Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: el barco hundido no contiene un tesoro enterrado. Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas. Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra no contiene E-coli . La probabilidad de que la muestra no contenga E-coli , pero el microbiólogo cree que sí la contiene, es de 0,012. La probabilidad de que la muestra contenga E-coli , pero el microbiólogo piense que no es así, es de 0,002. ¿Cuál es la potencia de esta prueba? 0,998 Un microbiólogo está analizando una muestra de agua para identificar la presencia de E-coli . Supongamos que la hipótesis nula, H 0 , es: la muestra contiene E-coli . ¿Cuál es el error con mayores consecuencias? Tarea para la casa Indique los errores tipo I y tipo II en oraciones completas dadas las siguientes afirmaciones. La media de años que los estadounidenses trabajan antes de jubilarse es de 34. Como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales. El salario medio inicial de los graduados de la Universidad Estatal de San José es de, al menos, 100.000 dólares al año. El veintinueve por ciento de los estudiantes de último año de escuela secundaria se emborrachan cada mes. Menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles. El número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a diez. Aproximadamente la mitad de los estadounidenses prefieren vivir lejos de las ciudades, si pueden elegir. Los europeos tienen una media de seis semanas de vacaciones pagadas al año. La probabilidad de desarrollar cáncer de mama es inferior al 11 % para las mujeres. Las universidades privadas suponen un costo de matrícula de más de 20.000 dólares al año. Error tipo I: concluimos que la media no es de 34 años, cuando realmente es de 34 años. Error tipo II: concluimos que la media es de 34 años, cuando en realidad no son 34 años. Error tipo I: concluimos que más del 60 % de los estadounidenses votan en las elecciones presidenciales, cuando el porcentaje real es como máximo del 60 %. Error tipo II: concluimos que, como máximo, el 60 % de los estadounidenses vota en las elecciones presidenciales cuando, en realidad, lo hace más del 60 %. Error tipo I: concluimos que el salario medio inicial es inferior a 100.000 dólares, cuando en realidad es de, al menos, 100.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el salario medio inicial es de, al menos, 100.000 dólares, cuando, en realidad, es inferior a 100.000 dólares. Error tipo I: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes no es del 29 %, cuando realmente es del 29 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de estudiantes de último año de escuela secundaria que se emborrachan cada mes es del 29 % cuando, en realidad, no es del 29 %. Error tipo I: concluimos que menos del 5 % de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles, cuando el porcentaje que lo hace es realmente del 5 % o más. Error tipo II: concluimos que el 5 % o más de los adultos van en autobús al trabajo en Los Ángeles cuando, en realidad, lo hace menos del 5 %. Error tipo I: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida es superior a 10, cuando en realidad no es más de 10. Error tipo II: concluimos que el número medio de automóviles que posee una persona a lo largo de su vida no es superior a 10 cuando, en realidad, sí es más de 10. Error tipo I: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades no es cerca de la mitad, aunque la proporción real es de aproximadamente la mitad. Error tipo II: concluimos que la proporción de estadounidenses que prefieren vivir lejos de las ciudades es la mitad cuando, en realidad, no es la mitad. Error tipo I: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos no es de seis semanas, cuando en realidad sí lo es. Error tipo II: concluimos que la duración de las vacaciones pagadas al año para los europeos es de seis semanas cuando, en realidad, no es así. Error tipo I: concluimos que la proporción es inferior al 11 %, cuando en realidad es como mínimo el 11 %. Error tipo II: concluimos que la proporción de mujeres que desarrollan cáncer de mama es de, al menos, el 11 %, cuando en realidad es menos del 11 %. Error tipo I: concluimos que el costo promedio de la matrícula en las universidades privadas es superior a 20.000 dólares, aunque en realidad es como máximo de 20.000 dólares. Error tipo II: concluimos que el costo promedio de la matrícula en universidades privadas es como máximo de 20.000 dólares, cuando en realidad es de más de 20.000 dólares. Para los enunciados de la a a la j del ejercicio 9.109 , responda a lo siguiente con oraciones completas. Indique una consecuencia de cometer un error tipo I. Indique una consecuencia de cometer un error tipo II. Cuando se crea un nuevo medicamento la compañía farmacéutica debe someterlo a pruebas antes de recibir el permiso necesario de la Administración de Alimentos y Medicamentos (Food and Drug Administration, FDA) para comercializarlo. Supongamos que la hipótesis nula es “el medicamento no es seguro”. ¿Cuál es el error tipo II? Concluir que el fármaco es seguro cuando, en realidad, es inseguro. No concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. Concluir que el medicamento es seguro cuando, de hecho, lo es. No concluir que el medicamento es inseguro cuando, de hecho, lo es. b Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron al estreno de la última película de Harry Potter a medianoche. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. El error tipo I consiste en concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron es ________. al menos el 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. 20 %, cuando en realidad es el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es, al menos, el 20 %. menos del 20 %, cuando en realidad es menos del 20 %. Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? El error tipo II consiste en no rechazar que el número medio de horas de sueño de los estudiantes del LTCC por noche es de, al menos, siete cuando, en realidad, el número medio de horas es más de siete horas. es, como máximo, siete horas. es de, al menos, siete horas. es inferior a siete horas. d Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Al realizar una prueba de hipótesis, el error tipo I es: concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es superior concluir que la media actual de horas semanales es superior a 4,5, cuando en realidad es igual. concluir que la media de horas semanales es actualmente de 4,5, cuando en realidad es mayor concluir que la media de horas semanales actualmente no es superior a 4,5, cuando en realidad no es superior Error de tipo I la decisión es rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es verdadera. Error de tipo II la decisión es no rechazar la hipótesis nula cuando, de hecho, es falsa.", "section": "Resultados y errores de tipo I y II", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis Anteriormente, hemos hablado de las distribuciones muestrales. Las distribuciones particulares se asocian a la comprobación de la hipótesis. Realizaremos comprobaciones de hipótesis de una media poblacional con una distribución normal o una distribución t de Student (recuerde, utilice una distribución t de Student cuando la desviación típica de la población se desconozca y el tamaño de la muestra sea pequeño, donde se considera pequeño a menos de 30 observaciones). Realizamos pruebas de una proporción poblacional mediante una distribución normal cuando podemos suponer que lo sea. Consideramos que esto es cierto si la proporción de la muestra, p ' , por el tamaño de la muestra es superior a 5 y 1- p ' por el tamaño de la muestra también es mayor que 5. Se trata de la misma regla empírica que utilizamos al desarrollar la fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional. Comprobación de la hipótesis para la media Volviendo a la fórmula de estandarización, podemos derivar el estadístico de prueba para comprobar las hipótesis relativas a las medias. Z c = x – – μ 0 σ / n La fórmula de estandarización no se puede resolver tal cual porque no tenemos μ, la media poblacional. Sin embargo, si sustituimos el valor hipotético de la media, μ 0 en la fórmula anterior, podemos calcular un valor Z. Este es el estadístico de prueba con respecto a la comprobación de la hipótesis para una media y se presenta en la . Interpretamos este valor Z como la probabilidad asociada de que una muestra con una media muestral de X – provendría de una distribución con una media poblacional de H 0 y a este valor Z lo llamamos Z c por “calculado”. y muestran este proceso. En la se presentan dos de los tres resultados posibles. X – 1 y X – 3 están en las colas de la distribución hipotética de H 0 . Observe que el eje horizontal del panel superior está etiquetado como X – 's. Esta es la misma distribución teórica de X – 's, la distribución muestral, que el teorema del límite central nos indica que se distribuye normalmente. Por eso podemos dibujarlo con esta forma. El eje horizontal del panel inferior está etiquetado como Z y es la distribución normal estándar. Z α 2 y -Z α 2 , denominados valores críticos , están marcados en el panel inferior como los valores Z asociados a la probabilidad que el analista haya establecido como nivel de significación en la prueba, (α). Las probabilidades en las colas de ambos paneles son, por tanto, las mismas. Observe que para cada X – hay una Z c asociada, llamada Z calculada, que es el resultado de resolver la ecuación anterior. Esta Z calculada no es más que el número de desviaciones típicas que la media hipotética tiene con respecto a la media muestral. Si la media muestral está a “demasiadas” desviaciones típicas de la media hipotética, concluimos que la media muestral no proviene de la distribución con la media hipotética, dado el nivel de significación requerido. Esto podría venir de H 0 , pero se considera demasiado improbable. En la tanto X _ 1 y X _ 3 están en las colas de la distribución. Se considera que están “demasiado lejos” del valor hipotético de la media, dado el nivel de alfa elegido. Si en realidad esta media muestral provenía de H 0 , pero de la cola, hemos cometido un error de tipo I: hemos rechazado un buen nulo. Nuestro único consuelo real es que conocemos la probabilidad de cometer ese error, α, y podemos controlar el tamaño de α. La muestra la tercera posibilidad para la ubicación de la media muestral, x _ . Aquí la media muestral está dentro de los dos valores críticos. Es decir, dentro de la probabilidad de (1-α) y no podemos rechazar la hipótesis nula. Esto nos da la regla de decisión para comprobar una hipótesis en una prueba de dos colas: Regla de decisión: prueba de dos colas Si | Z c | < Z α 2 : entonces no RECHAZA H 0 Si | Z c | > Z α 2 : entonces RECHAZA H 0 Esta regla será siempre la misma, sin importar la hipótesis que estemos comprobando o las fórmulas que utilicemos para hacer la prueba. Lo único será cambiar el Z c por el símbolo apropiado para el estadístico de prueba con respecto al parámetro que se está probando. Expresando la regla de decisión de otra manera: si es improbable que la media muestral provenga de la distribución con la media hipotética, no podemos aceptar la hipótesis nula. Aquí definimos “improbable” como una probabilidad de ocurrir menor que alfa. Enfoque del valor P Se puede desarrollar una regla de decisión alternativa al calcular la probabilidad de que se encuentre una media muestral que resulte en un estadístico de prueba mayor que el hallado a partir de los datos de la muestra actual, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera. Aquí, la noción de “probable” e “improbable” se define por la probabilidad de extraer de una población una muestra con una media que hipotéticamente sea mayor o menor que la calculada en los datos de la muestra. En pocas palabras, el enfoque del valor p compara el nivel de significación deseado, α, con el valor p, que es la probabilidad de obtener una media muestral más alejada del valor hipotético que la media muestral real. Un valor p grande calculado a partir de los datos indica que no debemos rechazar la hipótesis nula . Cuanto más pequeño sea el valor p , más improbable es el resultado y más fuerte es la evidencia contra la hipótesis nula. Rechazaremos la hipótesis nula si las pruebas son contundentes en su contra. La relación entre la regla de decisión de comparar los valores calculados del estadístico de prueba, Z c , y el valor crítico, Z α , y utilizar el valor p se aprecia en la . El valor calculado del estadístico de prueba es Z c en este ejemplo y está marcado en el gráfico inferior de la distribución normal estándar porque es un valor Z. En este caso el valor calculado está en la cola y, por tanto, no podemos aceptar la hipótesis nula, la asociada X – es demasiado grande para creer que provenga de la distribución con una media de µ 0 y un nivel de significación de α. Si utilizamos la regla de decisión del valor p , necesitamos un paso más. Tenemos que encontrar en la tabla normalizada la probabilidad asociada al valor calculado del estadístico de prueba, Z c . A continuación, lo comparamos con el α asociado a nuestro nivel de confianza seleccionado. En la vemos que el valor p es menor que α, por lo que no podemos aceptar la nulidad. Sabemos que el valor p es menor que α porque el área bajo el valor p es menor que α/2. Cabe destacar que dos investigadores que extraigan al azar de la misma población pueden calcular dos valores P diferentes en sus muestras. Esto ocurre porque el valor P se calcula como la probabilidad en la cola más allá de la media muestral, asumiendo que la hipótesis nula sea correcta. Dado que las medias muestrales serán con toda probabilidad diferentes, esto creará dos valores P distintos. Sin embargo, las conclusiones en cuanto a la hipótesis nula deberían variar únicamente con el nivel de probabilidad de α. Esta es una forma sistemática de tomar una decisión sobre si se puede aceptar o rechazar una hipótesis nula si se utiliza el valor p y un α preestablecido o preconcebido (el “ nivel de significación ”). Un α preestablecido es la probabilidad de un error de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Puede que se le entregue o no al principio del problema. En cualquier caso, el valor de α es decisión del analista. Cuando tome la decisión de rechazar o no rechazar H 0 , haga lo siguiente: Si α > valor p , no se puede aceptar H 0 . Los resultados de los datos de la muestra son significativos. Hay pruebas suficientes para concluir que H 0 es una creencia incorrecta y que la hipótesis alternativa , H a , puede ser correcta. Si α ≤ valor p , no se puede rechazar H 0 . Los resultados de los datos de la muestra son despreciables. No hay pruebas suficientes para concluir que la hipótesis alternativa, H a , sea correcta. En este caso se mantiene el statu quo . Cuando “no puede rechazar H 0 ”, no significa que deba creer que H 0 es verdadera. Significa simplemente que los datos de la muestra no han aportado pruebas suficientes para poner en duda la veracidad de H 0 . Recuerde que el nulo es el statu quo y se necesita una alta probabilidad para derrocarlo. Este sesgo a favor de la hipótesis nula es lo que da lugar a la afirmación “tiranía del statu quo ” cuando se habla de la comprobación de hipótesis y del método científico. Ambas reglas de decisión darán lugar a la misma decisión y es cuestión de preferencia cuál se utiliza. Pruebas de una y dos colas El estudio de la a la se basó en las hipótesis nula y alternativa, presentadas en la . Se denominó prueba de dos colas porque la hipótesis alternativa permitía que la media proviniera de una población mayor o menor que la media hipotética en la hipótesis nula. Esto podría verse mediante el enunciado de la hipótesis alternativa como μ ≠ 100, en este ejemplo. Puede ser que al analista no le preocupe que el valor sea \"demasiado\" alto o \"demasiado\" bajo con respecto al valor hipotético. Si este es el caso, se convierte en una prueba de una cola y toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de una prueba de dos colas. Cualquier prueba de un reclamo será una prueba de una cola. Por ejemplo, un fabricante de automóviles afirma que su modelo 17B ofrece un consumo de gasolina superior a 25 millas por galón. Las hipótesis nula y alternativa serían: H 0 : µ ≤ 25 H a : µ > 25 La afirmación estaría en la hipótesis alternativa. La carga de la prueba en la comprobación de hipótesis recae en la alternativa. Esto se debe a que el no rechazar el nulo, el statu quo , deberá lograrse con un 90 % o 95 % de confianza en que no se pueda mantener. Dicho de otro modo, queremos tener solo un 5 % o 10 % de probabilidad de cometer un error de tipo I, rechazar un buen nulo y derrocar el statu quo . Esta es una prueba de una cola, donde toda la probabilidad alfa se coloca en una sola cola y no se divide entre α/2, como en el caso anterior de la prueba de dos colas. La muestra los dos casos posibles y la forma de las hipótesis nula y alternativa que los origina. donde μ 0 es el valor hipotético de la media poblacional. Estadísticas para la prueba de medias, tamaño de muestra variable, desviación típica de la población conocida o desconocida Tamaño de la muestra Estadístico de prueba < 30 (σ desconocido) t c = X – – μ 0 s / n < 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n > 30 (σ desconocido) Z c = X – – μ 0 s / n > 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n Efectos del tamaño de la muestra en el estadístico de prueba Al desarrollar los intervalos de confianza para la media de una muestra, encontramos que la mayoría de las veces no tenemos la desviación típica de la población, σ. Si el tamaño de la muestra fuera inferior a 30, podríamos sustituir simplemente la estimación puntual de σ, la desviación típica de la muestra, s, y utilizar la distribución t de Student para corregir esta falta de información. A la hora de comprobar las hipótesis nos topamos con este mismo problema y la solución es exactamente igual. A saber: Si se desconoce la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es inferior a 30, sustituya s, la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ, en la fórmula del estadístico de prueba y utilice la distribución t de Student. Todas las fórmulas y figuras anteriores no cambian, excepto esta sustitución y el cambio de la distribución Z por la distribución t de Student en el gráfico. Recuerde que la distribución t de Student solo puede calcularse si se conocen los grados de libertad adecuados para el problema. En este caso, los grados de libertad se calculan como antes con intervalos de confianza: df = (n-1). El valor t calculado se compara con el valor t asociado al nivel de confianza preestablecido y que se requiere en la prueba, t α , df , que se encuentra en las tablas t de Student. Si no conocemos σ, pero el tamaño de la muestra es de 30 o más, simplemente sustituimos s por σ y utilizamos la distribución normal. La resume estas normas. Un enfoque sistemático para comprobar una hipótesis Un enfoque sistemático de las pruebas de hipótesis sigue los siguientes pasos y en este orden. Esta plantilla servirá para todas las hipótesis que se pongan a prueba. Establezca las hipótesis nula y alternativa. Esta suele ser la parte más difícil del proceso. Aquí se revisa la cuestión planteada. Qué parámetro se está probando, una media, una proporción, diferencias de medias, etc. ¿Es una prueba de una cola o de dos colas? Decida el nivel de significación requerido para este caso particular y determine el valor crítico. Estos se pueden encontrar en la tabla estadística correspondiente. Los niveles de confianza típicos de las empresas son 80 %, 90 %, 95 %, 98 % y 99 %. Sin embargo, el nivel de significación es una decisión política y debería basarse en el riesgo de cometer un error de tipo I y rechazar un buen nulo. Considere las consecuencias de cometer un error de tipo I. A continuación, sobre la base de las hipótesis y el tamaño de la muestra, seleccione la estadística adecuada de la prueba y calcule el valor crítico pertinente: Z α , t α , etc. Dibujar la distribución de probabilidad correspondiente y marcar el valor crítico es siempre de gran ayuda. Haga coincidir el gráfico con la hipótesis, especialmente si se trata de una prueba de una cola. Tome una o varias muestras y calcule los parámetros pertinentes: media muestral, desviación típica o proporción. Con base en la fórmula del paso 2, calcule ahora el estadístico de prueba para este caso en particular; utilice los parámetros que acaba de calcular. Compare el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico. Si se marcan en el gráfico, se obtendrá una buena imagen visual de la situación. Ahora solo hay dos situaciones: El estadístico de prueba está en la cola: no se puede aceptar el nulo, la probabilidad de que esta media muestral (proporción) provenga de la distribución hipotética es demasiado pequeña para creer que sea el verdadero origen de estos datos muestrales. El estadístico de prueba no está en la cola: no se puede rechazar el nulo. los datos de la muestra son compatibles con el parámetro poblacional hipotético. Llegue a una conclusión. Es mejor articular la conclusión de dos maneras diferentes. En primer lugar, una conclusión estadística formal como: \"Con un nivel de significación del 5 %, no podemos aceptar las hipótesis nulas de que la media de la población es igual a XX (unidades de medida)\". El segundo enunciado de la conclusión es menos formal y enuncia la acción, o la falta de acción, requerida. Si la conclusión formal era la anterior, la informal podría ser: \"La máquina está estropeada y hay que apagarla y mandarla a reparar\". Todas las hipótesis probadas pasarán por este mismo proceso. Los únicos cambios son las fórmulas pertinentes y estas están determinadas por la hipótesis necesaria para responder la pregunta original. Repaso del capítulo Para que los resultados de una prueba de hipótesis se puedan generalizar a una población se deben cumplir ciertos requisitos. Cuando se hacen pruebas para una única media poblacional: Se debe utilizar una prueba t de Student si los datos proceden de una muestra aleatoria simple y la población se distribuye aproximadamente normal, o el tamaño de la muestra es grande, con una desviación típica desconocida. La prueba normal funcionará si los datos proceden de una muestra simple y aleatoria y la población se distribuye aproximadamente de forma normal o si el tamaño de la muestra es grande. Al comprobar una proporción poblacional única, utilice una prueba normal para una proporción poblacional única si los datos provienen de una muestra aleatoria simple, cumplen los requisitos de una distribución binomial y el número medio de éxitos y el número medio de fracasos satisfacen las condiciones: np > 5 y nq > 5, donde n es el tamaño de la muestra, p es la probabilidad de un éxito y q es la probabilidad de un fracaso. Revisión de la fórmula Estadísticas para la prueba de medias, tamaño de muestra variable, población conocida o desconocida Tamaño de la muestra Estadístico de prueba < 30 (σ desconocido) t c = X – – μ 0 s / n < 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n > 30 (σ desconocido) Z c = X – – μ 0 s / n > 30 (σ conocido) Z c = X – – μ 0 σ / n ¿Qué dos distribuciones puede usar para las pruebas de hipótesis de este capítulo? Una distribución normal o una distribución t de Student ¿Qué distribución se utiliza cuando se comprueba la media de una población y se conoce la desviación típica de la población? Supongamos que el tamaño de la muestra es grande. Supongamos una distribución normal con n ≥ 30. ¿Qué distribución se utiliza cuando no se conoce la desviación típica y se está comprobando la media de una población? Supongamos una distribución normal, con n ≥ 30. Utilice una distribución t de Student La media de la población es 13. La media muestral es de 12,8 y la desviación típica de la muestra es de dos. El tamaño de la muestra es de 20. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? Supongamos que la población subyacente es normal. Una población tiene una media de 25 y una desviación típica de cinco. La media muestral es 24 y el tamaño de la muestra es 108. ¿Qué distribución debe usar para hacer una prueba de hipótesis? una distribución normal para una única media poblacional Se cree que el 42 % de los encuestados en una prueba de sabor preferirían la marca A . En una prueba particular de 100 personas, el 39 % prefirió la marca A . ¿Qué distribución debería usar para hacer una prueba de hipótesis? Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. ¿Qué debe suponer sobre la distribución de los datos? Se debe distribuir aproximadamente normal. Está haciendo una prueba de hipótesis de una media poblacional única mediante una distribución t de Student. Los datos no proceden de una simple muestra aleatoria. ¿Puede hacer la prueba de la hipótesis con precisión? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿Qué debe ser cierto sobre las cantidades de np y nq ? Ambos deben ser mayores que cinco. Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. Se descubre que np es menor que cinco. ¿Qué hay que hacer para poder realizar una prueba de hipótesis válida? Usted está haciendo una prueba de hipótesis de una sola proporción de la población. ¿De qué distribución proceden los datos? distribución binomial Tarea para la casa Se cree que los estudiantes de Álgebra Intermedia del Lake Tahoe Community College (LTCC) duermen menos de siete horas por noche, en promedio. Una encuesta realizada a 22 estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC generó una media de 7,24 horas con una desviación típica de 1,93 horas. A un nivel de significación del 5 %, ¿los estudiantes de Álgebra Intermedia del LTCC duermen menos de siete horas por noche, en promedio? La distribución que se utilizará para esta prueba es X – ~ ________________ N ( 7,24 , 1,93 22 ) N ( 7,24 , 1,93 ) t 22 t 21 d Distribución binomial una variable aleatoria (RV) discreta que surge de ensayos de Bernoulli. Hay un número fijo, n , de ensayos independientes. “Independiente” significa que el resultado de cualquier ensayo (por ejemplo, el ensayo 1) no afecta los resultados de los ensayos siguientes, y que todos los ensayos se llevan a cabo en las mismas condiciones. En estas circunstancias, la RV binomial Χ se define como el número de aciertos en n ensayos. La notación es: X ~ B(n, p) μ = np y la desviación típica es σ = n p q . La probabilidad de obtener exactamente x aciertos en n ensayos es P ( X = x ) = ( n x ) p x q n – x . Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf f ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica, notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Desviación típica un número que es igual a la raíz cuadrada de la varianza y que mide lo lejos que están los valores de los datos de su media; notación: s para la desviación típica de la muestra y σ para la desviación típica de la población. Distribución t de Student investigado y presentado por William S. Gossett en 1908 y publicado bajo el seudónimo de Student. Las principales características de la variable aleatoria (RV) son Es continuo y asume cualquier valor real. La pdf es simétrica respecto a su media de cero. Sin embargo, tiene más dispersión y es más plana en el vértice que la distribución normal. Se aproxima a la distribución normal estándar a medida que n es mayor. Existe una \"familia\" de distribuciones t : cada representante de la familia está completamente definido por el número de grados de libertad, que es uno menos que el número de datos. Estadístico de prueba la fórmula que cuenta el número de desviaciones típicas en la distribución relevante en que el parámetro estimado se aleja del valor hipotético. Valor crítico el valor t o Z fijado por el investigador que mide la probabilidad de un error de tipo I, α.", "section": "Distribución necesaria para la comprobación de la hipótesis", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Ejemplos de pruebas de hipótesis completas Pruebas sobre las medias Cuando Jeffrey tenía ocho años estableció un tiempo medio de 16,43 segundos al nadar las 25 yardas en estilo libre, con una desviación típica de 0,8 segundos . Su padre, Frank, pensó que Jeffrey podría nadar más rápido las 25 yardas en estilo libre si utilizaba gafas para nadar. Frank le compró a Jeffrey un nuevo par de gafas para nadar costosas y cronometró 15 veces que nadó las 25 yardas en estilo libre . En las 15 veces, el tiempo medio de Jeffrey fue de 16 segundos. Frank pensó que las gafas para nadar ayudaron a Jeffrey a nadar más rápido que los 16,43 segundos. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Establezca la prueba de la hipótesis: Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional . Establezca las hipótesis nula y alternativa: En este caso hay una impugnación o reclamo implícitos. Esto es que las gafas reducirán el tiempo de natación. El efecto es formular la hipótesis como una prueba de una cola. El planteamiento siempre estará en la hipótesis alternativa porque la carga de la prueba siempre recae en la alternativa. Recuerde que el statu quo deberá derrotarse con un alto grado de confianza, en este caso del 95 %. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : μ ≥ 16,43 H a : μ < 16,43 Para que Jeffrey nade más rápido, su tiempo debiera ser inferior a 16,43 segundos. El “<” indica que es de cola izquierda. Determine la distribución necesaria: Variable aleatoria: X – = el tiempo medio para nadar las 25 yardas de estilo libre. Distribución para el estadístico de prueba: El tamaño de la muestra es inferior a 30 y no conocemos la desviación típica de la población, por lo que se trata de una prueba t y la fórmula adecuada es: t c = X – – μ 0 σ / n μ 0 = 16,43 proviene de H 0 y no de los datos. X – = 16. s = 0,8; y n = 15. Nuestro paso 2, establecer el nivel de significación, ya se ha determinado en el problema, 0,05 para un nivel de significación del 95 %. Merece la pena reflexionar sobre el significado de esta elección. El error tipo I consiste en concluir que Jeffrey nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en menos de 16,43 segundos cuando, en realidad, nada las 25 yardas en estilo libre, en promedio, en 16,43 segundos (rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). Para este caso, la única preocupación de un error de tipo I parece ser que el padre de Jeffery puede no apostar por la victoria de su hijo porque no le convence el efecto de las gafas. Para calcular el valor crítico tenemos que seleccionar la estadística apropiada de la prueba. Hemos llegado a la conclusión de que se trata de una prueba t en función del tamaño de la muestra y de que nos interesa una media poblacional. Ahora podemos dibujar el gráfico de la distribución t y marcar el valor crítico. Para este problema los grados de libertad son n-1, es decir, 14. Al buscar 14 grados de libertad en la columna 0,05 de la tabla t, hallamos 1,761. Este es el valor crítico y podemos ponerlo en nuestro gráfico. El paso 3 es el cálculo de la estadístico de la prueba con la fórmula seleccionada. Hallamos que el estadístico de prueba es 2,08, lo que significa que la media muestral está a 2,08 desviaciones típicas de la media hipotética de 16,43. t c = x – – μ 0 s n = 16 – 16,43 0,8 15 = -2,08 En el paso 4 tenemos que comparar el estadístico de prueba y el valor crítico y marcarlos en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola; por ende, pasamos al paso 4 y llegamos a una conclusión. La probabilidad de que el tiempo promedio de 16 minutos proceda de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos es demasiado improbable para que aceptemos la hipótesis nula. No podemos aceptar la hipótesis nula. El paso 5 nos hace exponer nuestras conclusiones primero de manera formal y luego de manera menos formal. La conclusión formal sería la siguiente: \"Con un nivel de significación del 95 %, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el tiempo de natación con gafas procede de una distribución con una media poblacional de 16,43 minutos\". De manera menos formal: \"Con un 95 % de significación, creemos que las gafas mejoran la velocidad de nado\". Si quisiéramos utilizar el sistema de valores p para llegar a una conclusión, calcularíamos la estadística y daríamos el paso adicional de la probabilidad de estar a 2,08 desviaciones típicas de la media en una distribución t. Este valor es de 0,0187. Al compararlo con el nivel α de 0,05, nos damos cuenta de que no podemos aceptar la hipótesis nula. El valor p se ha puesto en el gráfico como el área sombreada más allá de –2,08 y muestra que es menor que el área sombreada, que es el nivel alfa de 0,05. Con ambos métodos se llega a la misma conclusión de que no podemos aceptar la hipótesis nula. Ejercicio La distancia media de lanzamiento de un balón de fútbol para Marco, un mariscal de campo de primer año de escuela secundaria, es de 40 yardas, con una desviación típica de dos yardas. El entrenador del equipo le dice a Marco que ajuste su agarre para conseguir más distancia. El entrenador registra las distancias de 20 lanzamientos. En los 20 lanzamientos, la distancia media de Marco fue de 45 yardas. El entrenador pensó que el agarre diferente ayudó a Marco a lanzar más allá de las 40 yardas. Realice una prueba de hipótesis con un α preestablecido = 0,05. Supongamos que las distancias de lanzamiento de los balones son normales. En primer lugar, determine de qué tipo de prueba se trata, establezca la prueba de hipótesis, calcule el valor p , dibuje el gráfico y plantee su conclusión. Dado que el problema se refiere a una media, se trata de una prueba de una única media poblacional. H 0 : μ = 40 H a : μ > 40 p = 0,0062 Como p < α , rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para sugerir que el cambio de agarre mejoró la distancia de lanzamiento de Marco. Jane acaba de incorporarse al equipo de ventas de una compañía muy competitiva. En una muestra de 16 llamadas de ventas se comprobó que cerró el contrato por un valor promedio de 108 dólares con una desviación típica de 12 dólares. Pruebe al 5 % de significación que la media de la población es de al menos 100 dólares contra la alternativa de que es menor de 100 dólares. La política de la compañía exige que los nuevos integrantes del equipo de ventas superen un promedio de 100 dólares por contrato durante el periodo de prueba del empleo. ¿Podemos concluir que Jane ha cumplido este requisito con un nivel de significación del 95 %? H 0 : µ ≤ 100 H a : µ > 100 Las hipótesis nula y alternativa son para el parámetro µ porque el número de dólares de los contratos es una variable aleatoria continua. Además, se trata de una prueba de una cola porque a la compañía solo le interesa si el número de dólares por contacto está por debajo de una cifra determinada, no de una cifra \"demasiado alta\". Esto se considera una afirmación de que el requisito se cumple; por ende, está en la hipótesis alternativa. Estadístico de prueba: t c = x ¯ – µ 0 s n = 108 – 100 ( 12 16 ) = 2,67 Valor crítico: t a = 1,753 con n-1 grados de libertad = 15 El estadístico de prueba es una t de Student porque el tamaño de la muestra es inferior a 30; por ende, no podemos utilizar la distribución normal. Al comparar el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico de t ( t a ) a un nivel de significación del 5 %, vemos que el valor calculado está en la cola de la distribución. Así, concluimos que 108 dólares por contrato es significativamente mayor que el valor hipotético de 100; por ende, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay pruebas que apoyan que el desempeño de Jane cumple con los estándares de la compañía. Ejercicio Se cree que el precio de las acciones de una determinada compañía crecerá a un ritmo de 5 dólares por semana con una desviación típica de 1 dólar. Un inversor cree que las acciones no crecerán tan rápido. Las variaciones en el precio de las acciones se registran durante diez semanas y son las siguientes: 4, 3, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 1 y 2 dólares. Realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación del 5 %. Plantee las hipótesis nula y alternativa, exponga su conclusión e identifique los errores de tipo I. H 0 : μ = 5 H a : μ < 5 p = 0,0082 Como p < α , rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para sugerir que el precio de las acciones de la compañía crece a un ritmo inferior a 5 dólares por semana. Error de tipo I: Concluir que el precio de las acciones crece más lentamente que 5 dólares a la semana cuando, de hecho, crece a 5 dólares a la semana (rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera). Error de tipo II: Concluir que el precio de las acciones crece a un ritmo de 5 dólares a la semana cuando, en realidad, crece más lentamente que 5 dólares a la semana (no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa). Un fabricante de aderezos para ensaladas utiliza máquinas para dispensar ingredientes líquidos en frascos que se mueven a lo largo de una línea de llenado. La máquina que dispensa aderezos para ensaladas funciona correctamente cuando se dispensan 8 onzas. Supongamos que la cantidad promedio dispensada en una muestra concreta de 35 frascos es de 7,91 onzas con una varianza de 0,03 onzas al cuadrado, s 2 . ¿Hay pruebas de que la máquina debería detenerse y la producción debería esperar a que se repare? La pérdida de producción por una parada es potencialmente tan grande que la dirección considera que el nivel de significación en el análisis debería ser del 99 %. De nuevo, seguiremos los pasos de nuestro análisis de este problema. PASO 1 : Formule las hipótesis nula y alternativa. La variable aleatoria es la cantidad de líquido que se coloca en los frascos. Se trata de una variable aleatoria continua y el parámetro que nos interesa es la media. Por lo tanto, nuestra hipótesis se refiere a la media. En este caso, nos preocupa que la máquina no esté haciendo el llenado correctamente. Por lo que nos dicen, no importa si la máquina está llenando de más o de menos, ambos parecen ser un error igual de malo. Esto nos indica que se trata de una prueba de dos colas: si la máquina funciona mal, se apagará, sea por exceso o insuficiencia de llenado. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : μ = 8 H a : μ ≠ 8 PASO 2 : Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestra el valor crítico. Este problema ya ha fijado el nivel de significación en el 99 %. La decisión luce apropiada y muestra el proceso de reflexión al establecer el nivel de significación. La dirección quiere estar muy segura, tan segura como la probabilidad le permita, de que no esté cerrando una máquina que no necesita reparación. Para dibujar la distribución y el valor crítico, necesitamos saber qué distribución utilizar. Dado que se trata de una variable aleatoria continua y que nos interesa la media, y que el tamaño de la muestra es superior a 30, la distribución adecuada es la normal y el valor crítico pertinente es 2,575 de la tabla normal o la tabla t con una columna de 0,005 e infinitos grados de libertad. Dibujamos el gráfico y marcamos estos puntos. PASO 3 : Calcule los parámetros de la muestra y el estadístico de prueba. Los parámetros de la muestra se proporcionan, la media muestral es 7,91 y la varianza de la muestra es 0,03 y el tamaño de la muestra es 35. Hay que tener en cuenta que se proporcionó la varianza de la muestra y no la desviación típica de la muestra, que es lo que necesitamos para la fórmula. Al recordar que la desviación típica es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, sabemos, por ende, que la desviación típica de la muestra, s, es 0,173. Con esta información calculamos el estadístico de prueba como -3,07, y la marcamos en el gráfico. Z c = x – – μ 0 s n = 7,91 – 8 0,173 35 = -3,07 PASO 4 : Compare el estadístico de prueba y los valores críticos. Ahora comparamos el estadístico de prueba y el valor crítico al colocar el estadístico de prueba en el gráfico. Vemos que el estadístico de prueba está en la cola, decididamente mayor que el valor crítico de 2,575. Observamos que incluso la pequeña diferencia entre el valor hipotético y el valor de la muestra sigue siendo un gran número de desviaciones típicas. La media muestral solo difiere en 0,08 onzas del nivel requerido de 8 onzas, pero está a 3 desviaciones típicas más; en consecuencia, no podemos aceptar la hipótesis nula. PASO 5 : Llegue a una conclusión Tres desviaciones típicas del estadístico de prueba harán que la prueba falle. La probabilidad de que algo esté dentro de tres desviaciones típicas es casi cero. En realidad, es 0,0026 en la distribución normal, lo que ciertamente es casi cero en un sentido práctico. Nuestra conclusión formal sería: \"A un nivel de significación del 99 %, no podemos aceptar la hipótesis de que la media muestral procede de una distribución con una media de 8 onzas\". De manera menos formal, y yendo al grano: \"A un nivel de significación del 99 %, llegamos a la conclusión de que la máquina no llena bien las botellas y necesita reparación\". Prueba de hipótesis para las proporciones Al igual que existían intervalos de confianza para las proporciones, o más formalmente, el parámetro poblacional p de la distribución binomial, existe la posibilidad de contrastar hipótesis relativas a p . El parámetro poblacional para la binomial es p . El valor estimado (estimación puntual) para p es p′ donde p′ = x/n , x es el número de aciertos en la muestra y n es el tamaño de la muestra. Cuando se realiza una prueba de hipótesis de una proporción poblacional p , se toma una muestra aleatoria simple de la población. Deberán cumplirse las condiciones de la distribución binomial , a saber: que haya un cierto número n de ensayos independientes, lo que significa un muestreo aleatorio; que los resultados de cualquier ensayo sean binarios, éxito o fracaso, y que cada ensayo tenga la misma probabilidad de éxito p . La forma de la distribución binomial debe ser similar a la forma de la distribución normal. Para ello, las cantidades np′ y nq′ deben ser ambas mayores que cinco ( np′ > 5 y nq′ > 5). En este caso, la distribución binomial de una proporción muestral (estimada) se calcula aproximadamente por la distribución normal con μ = np y σ = npq . Recuerde que q = 1 – p . No hay ninguna distribución que corrija este pequeño sesgo de la muestra; por ende, si no se cumplen estas condiciones, simplemente no podemos probar la hipótesis con los datos disponibles en ese momento. Cumplimos esta condición cuando estimamos por primera vez los intervalos de confianza para p . Nuevamente, comenzamos con la fórmula normalizadora modificada porque se trata de la distribución de una binomial. Z = p' – p pq n Al sustituir p 0 , el valor hipotético de p , tenemos: Z c = p' – p 0 p 0 q 0 n Es el estadístico de prueba para comprobar los valores hipotéticos de p , cuando las hipótesis nula y alternativa adoptan una de las siguientes formas: Prueba de dos colas Prueba de una cola Prueba de una cola H 0 : p = p 0 H 0 : p ≤ p 0 H 0 : p ≥ p 0 H a : p ≠ p 0 H a : p > p 0 H a : p < p 0 La regla de decisión indicada anteriormente se aplica también en este caso: si el valor calculado de Z c muestra que la proporción de la muestra está a \"demasiadas\" desviaciones típicas de la proporción hipotética, no se puede aceptar la hipótesis nula. La decisión sobre lo que es \"demasiado\" está predeterminada por el analista en función del nivel de significación requerido en la prueba. El departamento de hipotecas de un gran banco se interesa por la naturaleza de los préstamos de prestatarios primerizos. Esta información se utilizará para adaptar su estrategia de mercadeo. Creen que el 50 % de los prestatarios primerizos piden préstamos más pequeños que los demás. Realizan una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 50 % . Toman una muestra de 100 prestatarios primerizos y concluyen que 53 de estos préstamos son menores que los demás. Para la prueba de la hipótesis, eligen un nivel de significación del 5 %. PASO 1 : Formule las hipótesis nula y alternativa. H 0 : p = 0,50 H a : p ≠ 0,50 Las palabras “es igual o diferente de” indican que se trata de una prueba de dos colas. Los errores tipo I y II son los siguientes: El error de tipo I consiste en concluir que la proporción de prestatarios es diferente del 50 % cuando, en realidad, la proporción es del 50 %. (Rechaza la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera). El error de tipo II consiste en que no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de prestatarios primerizos difiere del 50 % cuando, de hecho, sí difiere del 50 %. (No se rechaza la hipótesis nula cuando esta es falsa). PASO 2 : Decida el nivel de significación y dibuje el gráfico que muestre el valor crítico. El nivel de significación se ha fijado por el problema en el 95 %. Por tratarse de una prueba de dos colas, la mitad del valor alfa estará en la cola superior y la otra mitad en la cola inferior, como se muestra en el gráfico. El valor crítico de la distribución normal con un nivel de confianza del 95 % es de 1,96. Esto se halla fácilmente en la tabla t de Student en la parte inferior a infinitos grados de libertad, recordando que en el infinito la distribución t es la distribución normal. Por supuesto, el valor también se halla en la tabla normal, pero hay que buscar la mitad de 95 (0,475) dentro de la tabla y luego leer hacia los lados y la parte superior el número de desviaciones típicas. PASO 3 : Calcule los parámetros de la muestra y el valor crítico del estadístico de prueba. El estadístico de prueba es una distribución normal, Z, para probar proporciones y es: Z = p' – p 0 p 0 q 0 n = .53 – 0,50 0,5 ( 0,5 ) 100 = 0,60 En este caso, en la muestra de 100 se determinó que 53 prestatarios primerizos eran diferentes de los demás. La proporción muestral, p′ = 53/100 = 0,53. En consecuencia, la pregunta de la prueba es: \"¿Es 0,53 significativamente diferente de 0,50?\" Si introducimos estos valores en la fórmula del estadístico de prueba, hallamos que 0,53 está a solo 0,60 desviaciones típicas de 0,50. Esto apenas se aleja de la media de la distribución estándar normal de cero. No hay prácticamente ninguna diferencia entre la proporción de la muestra y la proporción hipotética en términos de desviaciones típicas. PASO 4 : Compare el estadístico de prueba y el valor crítico. El valor calculado se encuentra dentro de los valores críticos de ± 1,96 desviaciones típicas, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Para rechazar la hipótesis nula, la diferencia significativa entre el valor hipotético y el valor de la muestra tiene que ser evidente. En este caso, el valor de la muestra es muy parecido al valor hipotético medido en términos de desviaciones típicas. PASO 5 : Llegue a una conclusión La conclusión formal sería: \"A un nivel de significación del 95 %, no podemos rechazar la hipótesis nula de que el 50 % de los prestatarios primerizos tienen préstamos del mismo tamaño que los demás\". De manera menos formal, diríamos que: \"No hay pruebas de que la mitad de los prestatarios primerizos sean significativamente diferentes en cuanto al tamaño del préstamo de los demás\". Fíjese en lo lejos que llega la conclusión para incluir todas las condiciones correspondientes. Los estadísticos, a pesar de todas las críticas que reciben, se preocupan por ser muy específicos, incluso cuando esto parece trivial. Los estadísticos no pueden decir más de lo que saben y los datos obligan a que la conclusión esté dentro de los límites de los datos. Ejercicio Un maestro cree que el 85 % de los estudiantes de la clase querrán ir de excursión al zoológico local. Realiza una prueba de hipótesis para determinar si el porcentaje es igual o diferente del 85 %. El maestro hace un muestreo de 50 estudiantes y 39 responden que querrían ir al zoológico. Para la prueba de hipótesis utilice un nivel de significación del 1 %. Ya que el problema es de porcentajes, se trata de una prueba de proporciones de una sola población. H 0 : p = 0,85 H a : p ≠ 0,85 p = 0,7554 Como p > α , no rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que indiquen que la proporción de estudiantes que quieren ir al zoológico no sea del 85 %. Supongamos que un grupo de consumidores estima que la proporción de hogares que tienen tres o más teléfonos móviles es del 30 %. Una compañía de telefonía móvil tiene razones para creer que la proporción no es del 30 %. Antes de iniciar una gran campaña publicitaria realizan una prueba de hipótesis. Su personal de mercadeo realiza una encuesta en 150 hogares, con el resultado de que 43 tienen tres o más teléfonos móviles. He aquí una versión abreviada del sistema de resolución de pruebas de hipótesis, aplicado a una prueba de proporciones. H 0 : p = 0,3 H a : p ≠ 0,3 n = 150 p' = x n = 43 150 = 0,287 Z c = p' – p 0 p 0 q 0 n = 0,287 – 0,3 0,3 ( 0,7 ) 150 = 0,347 El Instituto Nacional de Normas y Tecnología proporciona datos exactos sobre las propiedades de conductividad de los materiales. A continuación se muestran las mediciones de conductividad de 11 piezas seleccionadas al azar de un tipo de vidrio en particular. 1,11; 1,07; 1,11; 1,07; 1,12; 1,08; 0,98; 0,98; 1,02; 0,95; 0,95. ¿Hay pruebas convincentes de que la conductividad promedio de este tipo de vidrio sea superior a uno? Utilice un nivel de significación de 0,05. Sigamos un proceso de cuatro pasos para responder esta pregunta estadística. Plantee la pregunta : Tenemos que determinar si, a un nivel de significación de 0,05, la conductividad promedio del vidrio seleccionado es mayor que uno. Nuestras hipótesis serán H 0 : μ ≤ 1 H a : μ > 1 Plan : Estamos probando una media muestral sin una desviación típica poblacional conocida con menos de 30 observaciones. Por consiguiente, tenemos que utilizar una distribución de la t de Student. Supongamos que la población subyacente es normal. Haga los cálculos y dibuje el gráfico . Plantee las conclusiones : No podemos aceptar la hipótesis nula. Es razonable afirmar que los datos apoyan la afirmación de que el nivel promedio de conductividad es superior a uno. En un estudio de 420.019 usuarios de teléfonos móviles, 172 de los sujetos desarrollaron cáncer cerebral. Pruebe la afirmación de que los usuarios de teléfonos móviles desarrollaron cáncer cerebral a una tasa mayor que la de los no usuarios de teléfonos móviles (la tasa de cáncer cerebral para los no usuarios de teléfonos móviles es del 0,0340 %). Dado que se trata de un asunto crítico utilice un nivel de significación de 0,005. Explique por qué el nivel de significación debe ser tan bajo en términos de un error tipo I. Tenemos que realizar una prueba de hipótesis sobre la tasa de cáncer declarada. Nuestras hipótesis serán H 0 : p ≤ 0,00034 H a : p > 0,00034 Si cometemos un error tipo I, estamos aceptando esencialmente una afirmación falsa. Dado que la afirmación describe entornos cancerígenos, queremos minimizar las posibilidades de identificar incorrectamente las causas del cáncer. Probemos una proporción de muestra con x = 172 y n = 420.019. La muestra es suficientemente grande porque tenemos np' = 420.019(0,00034) = 142,8; nq' = 420.019(0,99966) = 419.876,2, dos resultados independientes y una probabilidad fija de éxito p' = 0,00034. Así podremos generalizar nuestros resultados a la población. Repaso del capítulo La prueba de hipótesis en sí tiene un proceso establecido. Esto se sintetiza de la siguiente manera Determine H 0 y H a . Recuerde que son contradictorios. Determine la variable aleatoria. Determine la distribución para la prueba. Dibuje un gráfico y calcule el estadístico de prueba. Compare el estadístico de prueba con el valor crítico Z, determinado por el nivel de significación que se requiere en la prueba, tome una decisión (no puede rechazar H 0 o no puede aceptar H 0 ) y escriba una conclusión clara. Revisión de la fórmula Estadística de una prueba de hipótesis de proporciones: Z c = p ' – p 0 p 0 p 0 n Supongamos que H 0 : μ = 9 y H a : μ < 9. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que H 0 : μ ≤ 6 y H a : μ > 6. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que H 0 : p = 0,25 y H a : p ≠ 0,25. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Dibuje el gráfico general de una prueba de cola izquierda. Dibuje el gráfico de una prueba de dos colas. La etiqueta de una botella de agua indica que contiene 16 onzas líquidas de agua. Usted cree que es menos que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Su amigo afirma que su puntuación media en el golf es de 63. Quiere demostrar que es más que eso. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola derecha En una báscula de baño se señala que puede identificar correctamente cualquier peso dentro de una libra. Usted cree que no puede ser tan precisa. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? Lanza una moneda y anota si sale cara o cruz. Sabe que la probabilidad de salir cara es del 50 %, pero cree que es menor para esta moneda en particular. ¿Qué tipo de prueba utilizaría? una prueba de cola izquierda ¿Sabe qué tipo de prueba debe utilizar si la hipótesis alternativa tiene un símbolo de diferente (≠)? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es, al menos, 18. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de cola izquierda. Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es como máximo 12. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Supongamos que la hipótesis nula afirma que la media es igual a 88. La hipótesis alternativa afirma que la media es diferente a 88. ¿Es una prueba de cola izquierda, de cola derecha o de dos colas? Esta es una prueba de dos colas. Tarea para la casa Una marca particular de neumáticos afirma que su neumático de lujo recorre un promedio de 50.000 millas antes de necesitar reemplazo. Por estudios anteriores de este neumático, se sabe que la desviación típica es de 8.000. Se realiza una encuesta entre los propietarios de ese diseño de neumático. De los 28 neumáticos revisados la vida media fue de 46.500 millas con una desviación típica de 9.800 millas. Utilizando alfa = 0,05, ¿los datos son altamente incoherentes con la afirmación? H 0 : μ ≥ 50.000 H a : μ < 50.000 Supongamos que X ¯ = la vida promedio de unos neumáticos de marca. distribución normal z = –2,315 valor p = 0,0103 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: hay pruebas suficientes para concluir que la vida media de los neumáticos sea inferior a 50.000 millas. (43.537, 49.463) De una generación a otra, la edad media en que los fumadores empiezan a fumar varía. Sin embargo, la desviación típica de esa edad se mantiene constante en torno a los 2,1 años. Se hizo una encuesta a 40 fumadores de esta generación para comprobar si la edad media de inicio es de, al menos, 19 años. La media muestral fue de 18,1 con una desviación típica de la muestra de 1,3. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 5 %? El costo de un diario varía de una ciudad a otra. Sin embargo, la variación entre los precios se mantiene estable con una desviación típica de 20 centavos. Se realizó un estudio para comprobar la afirmación de que el costo medio de un diario es de 1,00 dólar. Doce costos dan un costo medio de 95 centavos con una desviación típica de 18 centavos. ¿Los datos apoyan la afirmación al nivel del 1 %? H 0 : μ = $1,00 H a : μ ≠ $1,00 Supongamos que X ¯ = el costo promedio de un diario. distribución normal z = –0,866 valor p = 0,3865 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,01 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,01. Conclusión: hay pruebas suficientes para apoyar la afirmación de que el costo medio de los diarios es de 1 dólar. El costo medio podría ser de 1 dólar. ($0,84, $1,06) Un artículo de The Mercury News de San José afirmaba que los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan un promedio de 4,5 años en graduarse. Supongamos que cree que el tiempo medio es mayor. Usted realiza una encuesta a 49 estudiantes y obtiene una media muestral de 5,1 con una desviación típica de la muestra de 1,2. ¿Los datos apoyan su afirmación al nivel del 1 %? Se cree que el número medio de días por permiso de enfermedad que toma un empleado al año es de unos diez. Los miembros de un departamento de personal no creen en esta cifra. Encuestan al azar a ocho empleados. El número de días por permiso de enfermedad que tomaron el año pasado es el siguiente: 12; 4; 15; 3; 11; 8; 6; 8. Supongamos que x = el número de días por permiso de enfermedad que tomaron durante el año pasado. ¿El equipo de personal debería creer que la media es diez? H 0 : μ = 10 H a : μ ≠ 10 Supongamos que X ¯ la media de días por permiso de enfermedad que un empleado toma al año. Distribución t de Student t = –1,12 valor p = 0,300 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: a un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de días por permiso de enfermedad no es diez. (4,9443, 11,806) En 1955, la revista Life informó que la joven de 25 años, madre de tres hijos, trabajaba un promedio de 80 horas semanales. Recientemente, muchos grupos han estudiado si el movimiento feminista ha provocado o no un aumento de la semana laboral promedio de las mujeres (combinación de empleo y trabajo en casa). Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la semana laboral media ha aumentado. Se encuestaron 81 mujeres con los siguientes resultados. La media muestral fue de 83; la desviación típica de la muestra fue de diez. ¿Parece que la semana laboral media ha aumentado para las mujeres al nivel del 5 %? Su instructora de estadística afirma que el 60 % de los estudiantes que asisten a su clase de Estadística Elemental pasan por la vida sintiéndose más enriquecidos. Por algún motivo que ella no puede entender la mayoría de las personas no le cree. Usted decide comprobarlo por su cuenta. Hace una encuesta al azar a 64 de sus antiguos estudiantes de Estadística Elemental y descubre que 34 se sienten más enriquecidos como consecuencia de su clase. Ahora, ¿qué cree? H 0 : p ≥ 0,6 H a : p < 0,6 Supongamos que P′ = la proporción de estudiantes que se sienten más enriquecidos como consecuencia de cursar Estadística Elemental. normal para una sola proporción 1,12 valor p = 0,1308 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 60 % de sus estudiantes se sienten más enriquecidos. Intervalo de confianza: (0,409, 0,654) El intervalo de confianza “más 4” es (0,411, 0,648) Un anuncio de Nissan Motor Corporation decía: “El coeficiente intelectual del hombre promedio es 107. El coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es 4. Entonces, ¿por qué el hombre no puede pescar truchas marrones?”. Supongamos que cree que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio es superior a cuatro. Ha capturado 12 truchas marrones. Un psicólogo especializado en peces determina el coeficiente intelectual de la siguiente manera: 5; 4; 7; 3; 6; 4; 5; 3; 6; 3; 8; 5. Realice una prueba de hipótesis de su creencia. Consulte el ejercicio 9.119 . Realice una prueba de hipótesis para ver si su decisión y conclusión cambiarían si su creencia fuera que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no es cuatro. H 0 : μ = 4 H a : μ ≠ 4 Supongamos que X ¯ el coeficiente intelectual en promedio de un conjunto de truchas marrones. distribución t de Student de dos colas t = 1,95 valor p = 0,076 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que el coeficiente intelectual de la trucha marrón promedio no sea de cuatro. (3.8865,5.9468) Según un artículo de Newsweek , el cociente natural de niñas y niños es de 100:105. En China, el cociente de natalidad es 100: 114 (46,7 % niñas). Supongamos que no cree en las cifras que se dan a conocer sobre el porcentaje de niñas nacidas en China. Realiza un estudio. En este estudio, cuenta el número de niñas y niños nacidos en 150 nacimientos recientes elegidos al azar. De los 150 han nacido 60 niñas y 90 niños. Basándose en su estudio, ¿cree que el porcentaje de niñas nacidas en China es del 46,7? Un sondeo realizado para Newsweek reveló que el 13 % de los estadounidenses ha visto o percibido la presencia de un ángel. Un contingente tiene dudas sobre que el porcentaje sea realmente tan alto. Realiza su propia encuesta. De los 76 estadounidenses encuestados, solo dos habían visto o sentido la presencia de un ángel. Como resultado de la encuesta del contingente, ¿está usted de acuerdo con el sondeo de Newsweek ? En oraciones completas, indique también tres justificaciones por las que los dos sondeos podrían dar resultados diferentes. H 0 : p ≥ 0,13 H a : p < 0,13 Supongamos que P′ = la proporción de estadounidenses que han visto o percibido ángeles. normal para una sola proporción -2,688 valor p = 0,0036 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estadounidenses que han visto o sentido un ángel es inferior al 13 %. (0, 0,0623). El intervalo de confianza “más 4” es (0,0022, 0,0978) Se cree que la semana laboral media de los ingenieros de una compañía emergente es de unas 60 horas. Un ingeniero recién contratado espera que sea más corto. Pregunta a diez amigos ingenieros de compañías emergentes por la duración de sus semanas de trabajo medias. Con base en los resultados siguientes, ¿debe contar con que la semana laboral media sea inferior a 60 horas? Datos (duración de la semana laboral media): 70; 45; 55; 60; 65; 55; 55; 60; 50; 55. El sesenta y ocho por ciento de los cursos en línea de colegios comunitarios de todo el país fueron impartidos por profesores a tiempo completo. Para comprobar si el 68 % también representa el porcentaje de California de profesores a tiempo completo que imparten clases en línea se seleccionó al azar el Long Beach City College (LBCC) de California para realizar una comparación. Ese mismo año, 34 de los 44 cursos en línea que ofrecía el LBCC los impartieron profesores a tiempo completo. Realice una prueba de hipótesis para determinar si el 68 % es representativo de California. NOTA: Para obtener resultados más precisos, utilice más colegios comunitarios de California y los datos del año pasado. Según un artículo de Bloomberg Businessweek , la tasa de fumadores adultos más reciente de la ciudad de Nueva York es del 14 %. Supongamos que se hace una encuesta para determinar la tasa de este año. Nueve de los 70 residentes de la ciudad de Nueva York elegidos al azar responden que fuman. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la tasa sigue siendo del 14 % o si ha disminuido. H 0 : p = 0,14 H a : p < 0,14 Supongamos que P′ = la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman. normal para una sola proporción -0,2756 valor p = 0,3914 Compruebe la solución del estudiante. alfa: 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es superior a 0,05. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de residentes de la ciudad de Nueva York que fuman es inferior al 0,14. Intervalo de confianza: (0,0502, 0,2070): El intervalo de confianza “más 4” (consulte el capítulo 8) es (0,0676, 0,2297). La edad media de los estudiantes del De Anza College en un trimestre anterior era de 26,6 años. Un instructor cree que la edad media de los estudiantes en línea es mayor de 26,6 años. Encuesta al azar a 56 estudiantes en línea y halla que la media muestral es de 29,4 con una desviación típica de 2,1. Realice una prueba de hipótesis. Los enfermeros registrados ganan un salario promedio anual de 69.110 dólares. Para ese mismo año, se realizó una encuesta a 41 enfermeros registrados de California para determinar si el salario anual es superior a 69.110 dólares para los enfermeros de California. El promedio muestral fue de 71.121 dólares, con una desviación típica de la muestra de 7.489 dólares. Realice una prueba de hipótesis. H 0 : μ = 69.110 H a : μ > 69.110 Supongamos que X ¯ = el salario medio en dólares de los enfermeros registrados de California. Distribución t de Student t = 1,719 valor p : 0,0466 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor p es inferior a 0,05. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario medio de los enfermeros registrados de California supera los 69.110 dólares. ($68.757, $73.485) La Leche League International informa que la edad media de destete de un niño de la lactancia materna es de cuatro a cinco años en todo el mundo. En Estados Unidos, la mayoría de las madres lactantes destetan a sus hijos mucho antes. Supongamos que se realiza una encuesta aleatoria a 21 madres de EE. UU. que han destetado recientemente a sus hijos. La edad media de destete fue de nueve meses (3/4 de año) con una desviación típica de 4 meses. Realice una prueba de hipótesis para determinar si la edad media de destete en EE. UU. es inferior a los cuatro años. En las décadas recientes los responsables de salud pública han examinado la relación entre la preocupación por el peso y el hábito de fumar de las adolescentes. Los investigadores encuestaron a un grupo de 273 niñas adolescentes seleccionadas al azar que vivían en Massachusetts (entre 12 y 15 años). Al cabo de cuatro años se volvió a encuestar a las niñas. Sesenta y tres dijeron que fumaban para mantenerse delgadas. ¿Existen pruebas fehacientes de que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas? Después de realizar la prueba, su decisión y conclusión son: Rechazar H 0 : hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. No rechazar H 0 : No hay pruebas suficientes para concluir que más del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. Rechazar H 0 : Hay pruebas suficientes para concluir que menos del 30 % de las adolescentes fuman para mantenerse delgadas. c Un instructor de Estadística cree que menos del 20 % de los estudiantes del Evergreen Valley College (EVC) asistieron a la proyección de medianoche de la última película de Harry Potter. Hace una encuesta entre 84 de sus estudiantes y halla que 11 de ellos asistieron a la proyección de medianoche. A un nivel de significación del 1 %, la conclusión adecuada es: No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de Evergreen Valley College (EVC) que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es superior al 20 %. Hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es inferior al 20 %. No hay pruebas suficientes para concluir que el porcentaje de estudiantes de EVC que asistieron a la proyección de Harry Potter a medianoche es de, al menos, el 20 %. Anteriormente, una organización informó que los adolescentes pasaban 4,5 horas a la semana, en promedio, al teléfono. La organización cree que, actualmente, la media es más alta. Se preguntó a quince adolescentes elegidos al azar cuántas horas a la semana pasaban al teléfono. La media muestral fue de 4,75 horas con una desviación típica de la muestra de 2,0. Realice una prueba de hipótesis. A un nivel de significación de a = 0,05, ¿cuál es la conclusión correcta? Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,75 Hay suficientes pruebas para concluir que el número medio de horas es superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,5 No hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas sea superior a 4,75 c Instrucciones: En los diez ejercicios siguientes, Comprobación de hipótesis: Responda cada una de las preguntas de los diez ejercicios siguientes. Indique la hipótesis nula y la alternativa. Indique el valor p . Indique alfa. ¿Cuál es su decisión? Escriba una conclusión. Responde cualquier otra pregunta que se le plantee en el problema. Según el sitio web del Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades, en 2011, al menos, el 18 % de los estudiantes de secundaria han fumado un cigarrillo. Una clase de Introducción a la estadística en el condado de Davies, Kentucky llevó a cabo una prueba de hipótesis en la escuela secundaria local (una ciudad de tamaño demográfico medio, de aproximadamente 1.200 estudiantes) para determinar si el porcentaje de la escuela secundaria local era menor. Se eligieron al azar ciento cincuenta estudiantes y se les encuestó. De los 150 estudiantes encuestados, 82 han fumado. Utilice un nivel de significación de 0,05 y, mediante las pruebas estadísticas adecuadas, realice una prueba de hipótesis y exponga las conclusiones. Una encuesta reciente del New York Times Almanac indica que el 48,8 % de las familias poseen acciones. Un corredor de acciones quería determinar si esta encuesta podía ser válida. Consultó a una muestra aleatoria de 250 familias y descubrió que 142 poseían algún tipo de acciones. A un nivel de significación del 0,05, ¿puede considerarse que la encuesta es precisa? H 0 : p = 0,488 H a : p ≠ 0,488 valor p = 0,0114 alfa = 0,05 rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que el 48,8 % de las familias poseen acciones. La encuesta no parece ser precisa. El error del conductor puede figurar como la causa de aproximadamente el 54 % de todos los accidentes automovilísticos mortales, según la Asociación Americana del Automóvil (AAA). Se examinan treinta accidentes mortales seleccionados al azar y se determina que 14 fueron causados por un error del conductor. Utilizando α = 0,05, ¿la proporción de la AAA es exacta? El Departamento de Energía de Estados Unidos informó que el 51,7 % de los hogares se calentaban con gas natural. En una muestra aleatoria de 221 hogares de Kentucky se comprobó que 115 se calentaban con gas natural. ¿La evidencia apoya la afirmación de Kentucky en el nivel α = 0,05 en Kentucky? ¿Los resultados son aplicables en todo el país? ¿Por qué? H 0 : p = 0,517 H a : p ≠ 0,517 valor p = 0,9203. alfa = 0,05. no rechazar la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hogares de Kentucky que se calientan con gas natural es de 0,517. Sin embargo, no podemos generalizar este resultado para toda la nación. Primero, la población de la muestra es solo el estado de Kentucky. Segundo, es razonable suponer que los hogares de los extremos norte y sur tendrán un uso extremadamente alto y bajo, respectivamente. Tendríamos que ampliar nuestra base muestral para incluir estas posibilidades si quisiéramos generalizar esta afirmación para toda la nación. En cuanto a los estadounidenses que utilizan servicios de las bibliotecas, la Asociación Americana de Bibliotecas afirma que, como máximo, el 67 % de los usuarios piden libros en préstamo. La directora de la biblioteca de Owensboro, Kentucky cree que esto no es cierto, así que pidió a una clase de Estadística de un instituto universitario local que realizara una encuesta. La clase seleccionó al azar 100 usuarios y descubrió que 82 pidieron libros prestados. ¿La clase demostró que el porcentaje era mayor en Owensboro, Kentucky? Utilice el nivel de significación α = 0,01. ¿Cuál es la posible proporción de usuarios que piden prestados libros de la Biblioteca de Owensboro? Weather Underground informó de que la cantidad media de lluvias en verano para el noreste de EE. UU. es de, al menos, 11,52 pulgadas. Se seleccionan aleatoriamente diez ciudades del noreste y se calcula que la cantidad media de lluvia es de 7,42 pulgadas con una desviación típica de 1,3 pulgadas. Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que el promedio de las lluvias fue inferior al promedio comunicado? ¿Y si α = 0,01? Supongamos que la cantidad de lluvia de verano sigue una distribución normal. H 0 : µ ≥ 11,52 H a : µ < 11,52 valor p = 0,000002 que es casi 0. alfa = 0,05. rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % hay suficientes pruebas para concluir que la cantidad promedio de lluvia en verano en el noreste de EE. UU. es inferior a 11,52 pulgadas, en promedio. Llegaríamos a la misma conclusión si alfa fuera del 1 % porque el valor p es casi 0. Una encuesta publicada en el New York Times Almanac revela que el tiempo medio de desplazamiento (en un sentido) es de 25,4 minutos en las 15 principales ciudades de EE. UU. La cámara de comercio de Austin, TX considera que el tiempo de desplazamiento de Austin es menor y quiere dar a conocer este hecho. La media de 25 viajeros seleccionados al azar es de 22,1 minutos, con una desviación típica de 5,3 minutos. Al nivel α = 0,10, ¿el viaje al trabajo de Austin, TX es significativamente menor que la media del tiempo de viaje de las 15 ciudades más grandes de EE. UU.? Un informe de Gallup Poll reveló que una mujer visita a su médico, en promedio, como máximo 5,8 veces al año. Una muestra aleatoria de 20 mujeres da como resultado estos totales de visitas anuales 3 2 1 3 7 2 9 4 6 6 8 0 5 6 4 2 1 3 4 1 Al nivel α = 0,05, ¿se puede concluir que la media muestral es superior a 5,8 visitas al año? H 0 : µ ≤ 5,8 H a : µ > 5,8 valor p = 0,9987 alfa = 0,05 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que una mujer visita a su médico, en promedio, más de 5,8 veces al año. Según el New York Times Almanac , el tamaño medio de las familias en EE. UU. es de 3,18. Una muestra de una clase de Matemáticas de un instituto universitario dio como resultado los siguientes tamaños de familia: 5 4 5 4 4 3 6 4 3 3 5 5 6 3 3 2 7 4 5 2 2 2 3 2 Al nivel α = 0,05, ¿el tamaño medio de las familias de la clase es mayor que el promedio nacional? ¿Sigue siendo válido el resultado del New York Times Almanac? ¿Por qué? El grupo académico de estudiantes de un campus de un instituto universitario afirma que los estudiantes de primer año estudian, al menos, 2,5 horas al día en promedio. Una clase de Introducción a la estadística era escéptica. La clase tomó una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año y halló una media de tiempo de estudio de 137 minutos con una desviación típica de 45 minutos. Al nivel α = 0,01, ¿la afirmación del grupo académico de estudiantes es correcta? H 0 : µ ≥ 150 H a : µ < 150 valor p = 0,0622 alfa = 0,01 no rechazar la hipótesis nula. Con un nivel de significación del 1 % no hay pruebas suficientes para concluir que los estudiantes de primer año estudian menos de 2,5 horas al día en promedio. La afirmación del grupo académico de estudiantes parece ser correcta. Referencias Datos de Amit Schitai. Director de tecnología educativa y aprendizaje a distancia. LBCC. Datos de Bloomberg Businessweek . Disponible en línea en http://www.businessweek.com/news/2011- 09-15/nyc-smoking-rate-falls-to-record-low-of-14-bloomberg-says.html. Datos de energy.gov. Disponible en línea en http://energy.gov (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Gallup®. Disponible en línea en www.gallup.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de Growing by Degrees de Allen y Seaman. Datos de La Leche League International. Disponible en línea en http://www.lalecheleague.org/Law/BAFeb01.html. Datos de la Asociación Americana del Automóvil. Disponible en línea en www.aaa.com (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Asociación Americana de Bibliotecas. Disponible en línea en www.ala.org (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina de Estadísticas Laborales. Disponible en línea en http://www.bls.gov/oes/current/oes291111.htm. Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Disponible en línea en www.cdc.gov (consultado el 27 de junio de 2013) Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., disponibles en línea en http://quickfacts.census.gov/qfd/states/00000.html (consultado el 27 de junio de 2013). Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/. Datos de Toastmasters International. Disponible en línea en http://toastmasters.org/artisan/detail.asp?CategoryID=1&SubCategoryID=10&ArticleID=429&Page=1. Datos de Weather Underground. Disponible en línea en www.wunderground.com (consultado el 27 de junio de 2013). Oficina Federal de Investigaciones. “Uniform Crime Reports and Index of Crime in Daviess in the State of Kentucky enforced by Daviess County from 1985 to 2005”. Disponible en línea en http://www.disastercenter.com/kentucky/crime/3868.htm (consultado el 27 de junio de 2013). “Foothill-De Anza Community College District”. De Anza College, invierno de 2006. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/DAdemofs/Fact_sheet_da_2006w.pdf. Johansen, C., J. Boice, Jr., J. McLaughlin, J. Olsen. “Cellular Telephones and Cancer—a Nationwide Cohort Study in Denmark”. Institute of Cancer Epidemiology and the Danish Cancer Society, 93(3):203-7. Disponible en línea en http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/11158188 (consultado el 27 de junio de 2013). Rape, Abuse & Incest National Network. “How often does sexual assault occur?”. RAINN, 2009. Disponible en línea en http://www.rainn.org/get-information/statistics/frequency-of-sexual-assault (consultado el 27 de junio de 2013). Teorema del límite central Dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y la desviación típica conocida σ. Estamos muestreando con un tamaño n y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) . Si el tamaño n de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales se aproximará a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. El valor esperado de la media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media.", "section": "Ejemplos de pruebas de hipótesis completas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción Si quiere probar una afirmación que involucra dos grupos (los tipos de desayunos que se consumen al este y al oeste del río Misisipi) puede utilizar una técnica ligeramente diferente al realizar una prueba de hipótesis (créditos: Chloe Lim). Los estudios suelen comparar dos grupos. Por ejemplo, los investigadores están interesados en el efecto que tiene la aspirina en la prevención de ataques al corazón. Durante los años recientes, los periódicos y las revistas han informado de varios estudios sobre la aspirina en los que participan dos grupos. Normalmente, un grupo recibe aspirina y el otro un placebo. Luego, se estudia la tasa de infarto durante varios años. Hay otras situaciones que tratan de la comparación de dos grupos. Por ejemplo, los estudios comparan varios programas de dieta y ejercicio. Los políticos comparan la proporción de personas de diferentes niveles de ingresos que podrían votar por ellos. Los estudiantes se interesan por saber si los cursos de preparación para la SAT o el Examen de Registro de Graduados (Graduate Record Exam, GRE) ayudan realmente a mejorar sus calificaciones. Muchas aplicaciones empresariales requieren la comparación de dos grupos. Puede tratarse de la rentabilidad de dos estrategias distintas de inversión o de las diferencias en la eficiencia de la producción de distintos estilos de gestión. Para comparar dos medias o dos proporciones, se trabaja con dos grupos. Los grupos se clasifican como independientes o pares coincidentes . Los grupos independientes consisten en dos muestras que son independientes, es decir, los valores de la muestra seleccionados de una población no están relacionados de ninguna manera con los valores de la muestra seleccionados de la otra población. Los pares coincidentes consisten en dos muestras que son dependientes. El parámetro que se comprueba utilizando pares coincidentes es la media de la población. Los parámetros que se prueban con grupos independientes son las medias de la población o las proporciones de la población de cada grupo. Grupos independientes dos muestras que se seleccionan de dos poblaciones, donde los valores de una población no están relacionados de ninguna manera con los de la otra población. Pares emparejados dos muestras que son dependientes. Las diferencias entre un escenario antes y después se comprueban con una media poblacional de diferencias.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Comparación de las medias de dos poblaciones independientes La comparación de dos medias poblacionales independientes es muy común y proporciona una forma de probar la hipótesis de que los dos grupos difieren entre sí. ¿Es el turno de noche menos productivo que el de día, las tasas de rendimiento de las inversiones en activos fijos son diferentes a las de las inversiones en acciones ordinarias, etc.? Una diferencia observada entre dos medias muestrales depende tanto de las medias como de las desviaciones típicas de la muestra. Pueden producirse medias muy diferentes por azar si hay una gran variación entre cada una de las muestras. El estadístico de prueba tendrá que tener en cuenta este hecho. La prueba que compara dos medias poblacionales independientes con desviaciones típicas poblacionales desconocidas y posiblemente desiguales se denomina prueba t de Aspin-Welch. Aspin-Welch ideó la fórmula de los grados de libertad que veremos más adelante. Cuando desarrollamos la prueba de hipótesis para la media y las proporciones, comenzamos con el teorema del límite central. Reconocemos que la media muestral procede de una distribución de medias muestrales, y las proporciones muestrales proceden de la distribución muestral de las proporciones muestrales. Esto convirtió nuestros parámetros, las medias y las proporciones muestrales, en variables aleatorias. Era importante para nosotros conocer la distribución de la que procedían estas variables aleatorias. El teorema del límite central nos dio la respuesta: la distribución normal. Nuestras estadísticas Z y t provienen de este teorema. Esto nos proporcionó la solución a nuestra pregunta de cómo medir la probabilidad de que la media muestral provenga de una distribución con un valor hipotético particular de la media o proporción. En ambos casos esa era la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que la media (o proporción) de nuestros datos muestrales proceda de una distribución poblacional con el valor hipotético que nos interesa? Ahora nos interesa saber si dos muestras tienen o no la misma media. Nuestra pregunta no ha cambiado: ¿Proceden estas dos muestras de la misma distribución poblacional? Para abordar este problema creamos una nueva variable aleatoria. Reconocemos que tenemos dos medias muestrales: una de cada conjunto de datos. Así, tenemos dos variables aleatorias, procedentes de dos distribuciones desconocidas. Para resolver el problema creamos una nueva variable aleatoria: la diferencia entre las medias muestrales. Dicha variable también tiene una distribución. Nuevamente, el teorema del límite central nos indica que esta nueva distribución se distribuye normalmente, sin importar las distribuciones subyacentes de los datos originales. Un gráfico despejaría este concepto. En la imagen aparecen dos distribuciones de datos, X 1 y X 2 , con medias y desviaciones típicas desconocidas. El segundo panel muestra la distribución muestral de la variable aleatoria recién creada ( X – 1 – X – 2 ). Esta es la distribución teórica de muchas medias muestrales de la población 1 menos las medias muestrales de la población 2. El teorema del límite central señala que esta distribución muestral teórica de las diferencias de las medias muestrales se distribuye normalmente, sin importar la distribución de los datos reales de la población que se muestran en el panel superior. Dado que la distribución del muestreo se distribuye normalmente, podemos desarrollar una fórmula de estandarización y calcular las probabilidades a partir de la distribución normal estándar del panel inferior, la distribución Z. Ya hemos visto este mismo análisis en la Figura 7.2 del Capítulo 7. El teorema del límite central, como antes, nos proporciona la desviación típica de la distribución muestral y, además, que el valor previsto de la media de la distribución de las diferencias de las medias muestrales es igual a las diferencias de las medias poblacionales. Matemáticamente, esto se formula de la siguiente manera: E ( µ x – 1 – µ x – 2 ) = µ 1 – µ 2 Ya que desconocemos las desviaciones típicas de la población, las calculamos con las dos desviaciones típicas de nuestras muestras independientes. En la prueba de hipótesis, calculamos la desviación típica o el error estándar , de la diferencia de las medias muestrales , X ¯ 1 – X ¯ 2 . El error estándar es: ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Recordemos que la sustitución de la varianza de la muestra por la varianza de la población cuando no teníamos la varianza de la población fue la técnica que utilizamos al construir el intervalo de confianza y el estadístico de prueba para comprobar la hipótesis con respecto a una sola media en Intervalos de confianza y Pruebas de hipótesis con una muestra . El estadístico de prueba (puntuación t ) se calcula como sigue: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 donde: s 1 y s 2 , las desviaciones típicas de la muestra, son estimaciones de σ 1 y σ 2 , respectivamente, y σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas desconocidas de la población. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales desconocidas. El número de grados de libertad ( df ) requiere un cálculo algo complicado. Los df no son siempre un número entero. El anterior estadístico de prueba se calcula aproximadamente mediante la distribución t de Student con df de la siguiente manera: El error estándar es: d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 - 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 Cuando los tamaños de las muestras n 1 y n 2 son de 30 o más, la aproximación de la t de Student es muy buena. Si cada muestra tiene más de 30 observaciones, los grados de libertad pueden calcularse como n1 + n2 - 2. El formato de la distribución muestral, las diferencias de medias muestrales, especifica que el formato de las hipótesis nula y alternativa es: H 0 : µ 1 – µ 2 = δ 0 H a : µ 1 – µ 2 ≠ δ 0 donde δ 0 es la diferencia hipotética entre las dos medias. Si la pregunta es simplemente: \"¿Hay alguna diferencia entre las medias?\", entonces δ 0 = 0 y las hipótesis nula y alternativa pasan a ser: H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 Un ejemplo de cuándo δ 0 puede no ser cero es cuando la comparación de los dos grupos requiere una diferencia específica para que la decisión sea significativa. Imagine que está haciendo una inversión de capital. Piensa en cambiar su modelo de máquina actual por otro. La productividad de sus máquinas se mide por la velocidad a la que producen el producto. Puede ser que un contendiente para sustituir al modelo antiguo sea más rápido en términos de rendimiento del producto, pero también es más caro. La segunda máquina también puede tener más costes de mantenimiento, de instalación, etc. La hipótesis nula se establecería de forma que la nueva máquina tendría que ser mejor que la antigua en la medida suficiente para cubrir estos costes adicionales en términos de velocidad y coste de producción. Esta forma de las hipótesis nula y alternativa muestra lo valiosa que puede ser esta comprobación de la hipótesis en particular. Para la mayor parte de nuestro trabajo, comprobaremos hipótesis simples al indagar si hay alguna diferencia entre las dos medias de distribución. Grupos independientes La empresa Kona Iki Corporation produce leche de coco. Toman los cocos, perforan un agujero, extraen la leche y la vierten en una cuba para su procesamiento. Disponen de un turno de día (el turno B) y otro de noche (el turno G) para realizar esta parte del proceso. Les gustaría saber si ambos turnos son igual de eficaces en el procesamiento de los cocos. Se realiza un estudio de muestreo de 9 turnos G y 16 turnos B. Los resultados del número de horas necesarias para procesar 100 libras de cocos se presentan en la . Se hace un estudio y se recopilan datos, lo que da como resultado los datos en la . Tamaño de la muestra Promedio de horas para procesar 100 libras de cocos Desviación típica de la muestra Turno G 9 2 0,866 Turno B 16 3,2 1,00 ¿Existe alguna diferencia en el tiempo medio de cada turno para procesar 100 libras de cocos? Prueba al nivel de significación del 5 %. Las desviaciones típicas de la población no se conocen y no se supone que sean iguales. Supongamos que g es el subíndice del turno G y b es el subíndice del turno B. Entonces, μ g es la media poblacional para el turno G y μ b es la media poblacional para el turno B. Se trata de una prueba de dos grupos independientes y dos medias poblacionales. Variable aleatoria : X ¯ g – X ¯ b = diferencia en la media de tiempo de la muestra entre el Turno G y el Turno B para procesar los cocos. H 0 : μ g = μ b H 0 : μ g – μ b = 0 H a : μ g ≠ μ b H a : μ g – μ b ≠ 0 Las palabras “igual que” le dicen que H 0 tiene un “=”. Ya que no hay otras palabras para indicar H a , es más rápido o más lento. Se trata de una prueba de dos colas. Distribución para la prueba: Utilice t df donde df se calcula con la fórmula df para grupos independientes, dos medias poblacionales arriba. Con el empleo de la calculadora, los df son aproximadamente 18,8462. Gráfico: t c = ( X – 1 – X – 2 ) – δ 0 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 = -3,01 A continuación, hallamos el valor crítico en la tabla t con los grados de libertad anteriores. El valor crítico, 2,093, se encuentra en la columna 0,025, es decir, α/2, con 19 grados de libertad. (La convención es redondear los grados de libertad para que la conclusión sea más conservadora). A continuación, calculamos el estadístico de prueba y lo marcamos en el gráfico de la distribución t. Tome una decisión: Ya que el valor t calculado está en la cola, no podemos aceptar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre los dos grupos. Las medias son diferentes. En el gráfico se incluye la distribución muestral de las diferencias de las medias muestrales para indicar cómo se alinea la distribución t con los datos de la distribución muestral. Vemos en el panel superior que la diferencia calculada en las dos medias es de –1,2 y el panel inferior muestra que es de 3,01 desviaciones típicas a partir de la media. Normalmente no necesitamos mostrar el gráfico de la distribución muestral y nos basamos en el gráfico del estadístico de prueba, la distribución t en este caso, para llegar a nuestra conclusión. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, los datos de la muestra apuntan a que hay pruebas suficientes para concluir que la media de horas que el turno G tarda en procesar 100 libras de cocos es diferente de la del turno B (la media de horas del turno B es mayor que la del turno G). NOTA Cuando la suma de los tamaños de las muestras es mayor que 30 ( n 1 + n 2 > 30), se puede utilizar la distribución normal para calcular aproximadamente la t de Student. Se realiza un estudio para determinar si la compañía A conserva a sus trabajadores durante más tiempo que la compañía B. Se cree que la compañía A tiene mayor retención que la compañía B. El estudio determina que el tiempo promedio en una muestra de 11 trabajadores de la compañía A es de cuatro años, con una desviación típica de 1,5 años. Una muestra de 9 trabajadores de la compañía B revela que el promedio del tiempo de permanencia fue de 3,5 años, con una desviación típica de 1 año. Pruebe esta proposición al nivel de significación del 1 %. a. ¿Se trata de una prueba de dos medias o de dos proporciones? a. Dos medias porque el tiempo es una variable aleatoria continua. b. ¿Las desviaciones típicas de las poblaciones son conocidas o desconocidas? b. desconocidas c. ¿Qué distribución utiliza para realizar la prueba? c. t de Student. d. ¿Cuál es la variable aleatoria? d. X ¯ A – X ¯ B e. ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa? e H o : μ A ≤ μ B H a : μ A > μ B f. ¿Esta prueba es de cola derecha, izquierda o doble? f. Prueba de cola derecha. g. ¿Cuál es el valor del estadístico de prueba? t c = ( X – 1 – X – 2 ) – δ 0 S 1 2 n 1 + S 2 2 n 2 = 0,89 h. ¿Puede aceptar o rechazar la hipótesis nula? h. No se puede rechazar la hipótesis nula de que no hay diferencia entre los dos grupos. El estadístico de prueba no está en la cola. El valor crítico de la distribución t es de 2,764 con 10 grados de libertad. Este ejemplo pone de manifiesto lo difícil que es rechazar una hipótesis nula con una muestra muy pequeña. Los valores críticos requieren estadísticas de la prueba muy grandes para alcanzar la cola. i. Conclusión: i. Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la retención de los trabajadores en la compañía A sea más grande que la de la compañía B, en promedio. Una pregunta interesante de la investigación es el efecto, si es que lo hay, que tienen los diferentes tipos de formatos de enseñanza en las calificaciones de los estudiantes. Para investigar esta cuestión se tomó una muestra de las notas en una clase híbrida y otra muestra de una clase magistral regular. Ambas clases eran para la misma asignatura. La calificación media porcentual para los 35 estudiantes híbridos es de 74, con una desviación típica de 16. La media de las notas de los 40 estudiantes de la clase magistral regular fue del 76 %, con desviación típica de 9. Pruebe al 5 % para ver si hay alguna diferencia significativa en las media de notas entre la clase magistral regular y la clase híbrida. Comenzamos por destacar que tenemos dos grupos: estudiantes de una clase híbrida y estudiantes de una clase magistral regular. También observamos que la variable aleatoria, lo que nos interesa, son las notas de los estudiantes, esto es, una variable aleatoria continua. Podríamos haber formulado la pregunta de investigación de otra manera y tener una variable aleatoria binaria. Por ejemplo, podríamos haber estudiado el porcentaje de estudiantes reprobados o con una calificación de A. Ambos serían binarios y, por lo tanto, sería una prueba de proporciones y no una de medias, como es el caso. Por último, no hay ninguna presunción sobre qué formato podría conducir a notas más altas, por lo que la hipótesis se plantea como una prueba de dos colas. H 0 : µ 1 = µ 2 H a : µ 1 ≠ µ 2 Como ocurre casi siempre, desconocemos las varianzas poblacionales de las dos distribuciones; por ende, nuestro estadístico de prueba es: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 s 2 n 1 + s 2 n 2 = ( 74 – 76 ) – 0 16 2 35 + 9 2 40 = –0,65 Para determinar el valor crítico de la t de Student necesitamos los grados de libertad. En este caso utilizamos: df = n1 + n2 – 2 = 35 + 40 –2 = 73. Esto es lo suficientemente grande como para considerarla la distribución normal, por lo que t a/2 = 1,96. De nuevo, como siempre, determinamos si el valor calculado está en la cola definida por el valor crítico. En este caso, ni siquiera es necesario buscar el valor crítico: el cálculo de la diferencia entre los dos promedios de notas no tiene ni siquiera una desviación típica. Ciertamente no en la cola. Conclusión: No se puede rechazar la nulidad a α=5 %. Por consiguiente, no existen pruebas que demuestren que las notas de la clase híbrida y las de la clase magistral regular sean diferentes. Referencias Datos de las carreras de Ingeniería e Informática. Disponible en línea en http://www.graduatingengineer.com Datos de Microsoft Bookshelf . Datos del sitio web del Senado de Estados Unidos, disponibles en línea en www.Senate.gov (consultado el 17 de junio de 2013). “Lista de los actuales senadores de Estados Unidos por edad”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_current_United_States_Senators_by_age (consultado el 17 de junio de 2013). “Sectorización por grupos industriales”. Nasdaq. Disponible en línea en http://www.nasdaq.com/markets/barchart-sectors.aspx?page=sectors&base=industry (consultado el 17 de junio de 2013). “Clubes de desnudistas: donde se da la prostitución y la trata”. Investigación y educación sobre la prostitución, 2013. Disponible en línea en www.prostitutionresearch.com/ProsViolPosttrauStress.html (consultado el 17 de junio de 2013). “Historia de las Series Mundiales”. Almanaque de béisbol, 2013. Disponible en línea en http://www.baseball-almanac.com/ws/wsmenu.shtml (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se desconocen las desviaciones típicas de la población. Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = la diferencia de las medias muestrales Distribución: Distribución t de Student con grados de libertad (varianzas sin agrupar). Repaso de la fórmula Error estándar: SE = ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Estadístico de prueba (puntuación t ): t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 Grados de libertad: d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) 2 + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 donde: s 1 y s 2 son las desviaciones típicas de la muestra, y n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x ¯ 1 y x ¯ 2 son las medias muestrales. Use la siguiente información para responder los próximos 15 ejercicios: Indique si la prueba de hipótesis es para: medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se cree que el 70 % de los hombres aprueban el examen de conducir en el primer intento, comparado con el 65 % de las mujeres. Nos interesa saber si las proporciones son realmente iguales. dos proporciones Se prueba un nuevo detergente para la ropa en consumidores. Nos interesa la proporción de consumidores que prefieren la nueva marca sobre el competidor principal. Se realiza un experimento para comprobarlo. Un nuevo tratamiento para parabrisas pretende repeler el agua con mayor eficacia. Se prueban diez parabrisas simulando lluvia sin el nuevo tratamiento. A continuación, se tratan los mismos parabrisas y se repite el experimento. Se realiza una prueba de hipótesis. muestras coincidentes o emparejadas La desviación típica conocida del salario de todos los profesionales de nivel intermedio en el sector financiero es de 11.000 dólares. La compañía A y la compañía B pertenecen al sector financiero. Supongamos que se toman muestras de profesionales de nivel intermedio en las compañías A y B. El salario en la media muestral de los profesionales de nivel intermedio en la compañía A es de 80.000 dólares. El salario medio de la muestra para los profesionales de nivel intermedio en la compañía B es de 96.000 dólares. Las gerencias de las compañías A y B quieren saber si la remuneración de sus profesionales de nivel intermedio es diferente, en promedio. El trabajador promedio en Alemania cuenta con ocho semanas de vacaciones remuneradas. media sencilla Según un anuncio de televisión, el 80 % de los dentistas coinciden en que la pasta de dientes Ultrafresh es la mejor en el mercado. Se cree que el promedio de calificación en un ensayo en inglés en un sistema escolar concreto es más alto en las mujeres que en los hombres. La muestra aleatoria de 31 mujeres obtuvo una puntuación media de 82 con desviación típica de tres, mientras que la muestra aleatoria de 25 hombres obtuvo una puntuación media de 76 con desviación típica de cuatro. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas El promedio de bateo de la liga es de 0,280 con desviación típica conocida de 0,06. Los Rattlers y los Vikingos pertenecen a la liga. El promedio de bateo de una muestra de ocho jugadores de los Rattlers es de 0,210, mientras que el de los Vikingos es de 0,260. Hay 24 jugadores en el equipo de los Rattlers y 19 en el de los Vikingos. ¿Es el promedio de bateo de los Rattlers y de los Vikingos estadísticamente diferente? En una muestra aleatoria de 100 bosques en Estados Unidos, 56 eran de coníferas o contenían coníferas. En una muestra aleatoria de 80 bosques en México, 40 eran de coníferas o contenían coníferas. ¿La proporción de coníferas en Estados Unidos es estadísticamente mayor que en México? dos proporciones Se dice que un nuevo medicamento mejora el sueño. Se elige a ocho personas al azar y se les suministra el medicamento. Se registraron las horas medias de sueño de cada persona antes y después de comenzar la medicación. Se cree que los adolescentes duermen más que los adultos en promedio. Se realiza un experimento para comprobarlo. Una muestra de 16 adolescentes tiene una media de 8,9 horas de sueño con desviación típica de 1,2. Una muestra de 12 adultos tiene una media de 6,9 horas de sueño con una desviación típica de 0,6. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Los atletas universitarios practican un promedio de cinco veces a la semana. Una muestra de 12 programas de posgrado en el estado de la escuela A tiene una matrícula media de 64.000 dólares con desviación típica de 8.000 dólares. En la escuela B, una muestra de 16 programas de posgrado en el estado tiene una media de 80.000 dólares con desviación típica de 6.000 dólares. En promedio, ¿son diferentes las matrículas medias? medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas Se ofrece a los consumidores un nuevo amplificador de alcance de wifi. Un investigador prueba el alcance nativo de 12 enrutadores diferentes en las mismas condiciones. Los rangos se registran. A continuación, el investigador utiliza el nuevo amplificador de alcance de wifi y registra los nuevos alcances. ¿El nuevo amplificador de alcance de wifi funciona mejor? El director de un escuela secundaria afirma que el 30 % de los estudiantes atletas van en automóvil a la escuela, comparado con el 4% de los que no son atletas. En una muestra de 20 estudiantes atletas, el 45 % va en automóvil a la escuela. En una muestra de 35 estudiantes que no son atletas, el 6 % va en automóvil a la escuela. ¿Es mayor el porcentaje de estudiantes atletas que se desplazan en automóvil a la escuela que el de los estudiantes que no son atletas? dos proporciones Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se realiza un experimento para determinar cuál de dos bebidas gaseosas tiene más azúcar. Hay 13 latas de la bebida A en una muestra y seis latas de la bebida B. La cantidad media de azúcar en la bebida A es de 36 gramos con desviación típica de 0,6 gramos. La cantidad media de azúcar en la bebida B es de 38 gramos con desviación típica de 0,8 gramos. Los investigadores creen que la bebida B tiene más azúcar que la bebida A, en promedio. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. ¿Las desviaciones típicas son conocidas o desconocidas? ¿Cuál es la variable aleatoria? La variable aleatoria es la diferencia entre las cantidades medias de azúcar de las dos bebidas gaseosas. ¿Es una prueba de una o dos colas? Utilice la siguiente información para responder los siguientes 12 ejercicios: El Centro para el Control y la Prevención de Enfermedades de EE. UU. informa que la esperanza de vida media era de 47,6 años para personas blancas nacidas en 1900 y de 33,0 años para las personas que no son blancas. Supongamos que usted realiza un estudio aleatorio de los registros de defunción de las personas nacidas en 1900 en un determinado condado. De las 124 personas blancas, la media de vida era de 45,3 años, con una desviación típica de 12,7 años. De las 82 personas que no son blancas, la media de vida era de 34,1 años, con una desviación típica de 15,6 años. Realice una prueba de hipótesis para ver si la media de vida en el condado es la misma para las personas blancas y las que no son blancas. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? medias Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : __________ H a : __________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? dos colas En símbolos, ¿cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? En palabras, defina la variable aleatoria de interés para esta prueba. la diferencia entre la duración media de la vida de personas blancas y personas que no son blancas ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el . Se trata de una comparación de dos medias poblacionales con desviaciones típicas poblacionales desconocidas. Calcule el estadístico de prueba. Dibuje un gráfico de la situación. Etiquete el eje horizontal. Marque la diferencia hipotética y la diferencia muestral. Sombree el área correspondiente al valor p . Compruebe la solución del estudiante. Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su: Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): No se puede aceptar la hipótesis nula valor p < 0,05 No hay pruebas suficientes al nivel de significación del 5 % para respaldar la afirmación de que la esperanza de vida en la década de 1900 es diferente entre los blancos y los no blancos. ¿Parece que las medias son iguales? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Se cree que el número medio de cursos de inglés realizados en un periodo de dos años por los estudiantes de educación superior hombres y mujeres es aproximadamente igual. Se realiza un experimento y se recopilan datos de 29 hombres y 16 mujeres. Los hombres tomaron tres cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 0,8. Las mujeres tomaron cuatro cursos de inglés en promedio, con desviación típica de 1,0. ¿Son las medias estadísticamente iguales? Un estudiante de una universidad de cuatro años afirma que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años en Estados Unidos. Se realizan dos encuestas. De los 35 institutos universitarios de dos años encuestados la media de matriculación era de 5.068, con desviación típica de 4.777. De los 35 institutos universitarios de cuatro años encuestados, la media de matriculación era de 5.466, con desviación típica de 8.191. Subíndices: 1: colegios universitarios de dos años; 2: universidades de cuatro años H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de matriculación en los institutos universitarios de dos años y en las universidades de cuatro años. t de Student estadístico de prueba: –0,2480 valor p : 0,4019 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, hay pruebas suficientes para concluir que la media de matriculación en las universidades de cuatro años es mayor que en los colegios universitarios de dos años. En la fiesta del 11. º cumpleaños de Rachel se cronometró el tiempo (en segundos) que ocho niñas podían aguantar la respiración en posición relajada. Tras un descanso de dos minutos, se cronometraron mientras saltaban. Las niñas pensaron que la diferencia media entre sus tiempos de salto y de relajación sería cero. Compruebe su hipótesis. Tiempo de relajación (segundos) Tiempo de salto (segundos) 26 21 47 40 30 28 22 21 23 25 45 43 37 35 29 32 Se cree que la media de los salarios iniciales de los graduados universitarios con títulos de Ingeniería Mecánica y de Ingeniería Eléctrica es aproximadamente igual. Una oficina de contratación cree que el salario medio de los ingenieros mecánicos es en realidad más bajo que el de los ingenieros eléctricos. La oficina de contratación encuesta aleatoriamente a 50 ingenieros mecánicos de y a 60 ingenieros eléctricos de nivel inicial. Sus salarios medios fueron de 46.100 dólares y 46.700 dólares, respectivamente. Sus desviaciones típicas fueron de 3.450 dólares y 4.210 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si está de acuerdo en que el salario medio inicial de los ingenieros mecánicos es inferior al de los ingenieros eléctricos. Subíndices: 1: ingeniería mecánica; 2: ingeniería eléctrica H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos y los ingenieros eléctricos. t 108 estadístico de prueba: t = –0,82 valor p : 0,2061 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la media de los salarios iniciales de los ingenieros mecánicos es inferior a la de los ingenieros eléctricos. Compañías de mercadeo han recopilado datos que implican que las adolescentes utilizan más tonos de llamada en sus teléfonos móviles que sus pares masculinos. En un estudio particular de 40 adolescentes elegidos al azar (20 de cada sexo) con teléfonos móviles, el número medio de tonos de llamada para las chicas era de 3,2 con desviación típica de 1,5. La media de los chicos fue de 1,7 con desviación típica de 0,8. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son aproximadamente iguales o si la media de las chicas es mayor que la de los chicos. Utilice la información del Conjunto de datos del Apéndice A: Tablas de estadísticas para responder los siguientes cuatro ejercicios. Con solo los datos de la vuelta 1, realice una prueba de hipótesis para determinar si el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es el mismo que en los entrenamientos. H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 X ¯ 1 – X ¯ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 20,32 estadístico de prueba: –4,70 valor p : 0,0001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. Repita la prueba en el , pero esta vez utilice los datos de la vuelta 5. Repita la prueba en el , pero esta vez combine los datos de las vueltas 1 y 5. H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 es la diferencia entre los tiempos medios para completar una vuelta en las carreras y en los entrenamientos. t 40,94 estadístico de prueba: –5,08 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: A un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio para completar una vuelta en las carreras es diferente al de los entrenamientos. En dos o tres oraciones completas, explique detalladamente cómo podría utilizar los datos sobre Terri Vogel para responder la siguiente pregunta. “¿Terri Vogel conduce más rápido en las carreras que en los entrenamientos?” Utilice la siguiente información para responder los dos ejercicios siguientes. Las conferencias Este y Oeste de la Liga Mayor de Fútbol cuentan con una nueva división de reserva que permite a los nuevos jugadores desarrollar sus habilidades. Los datos de una fecha elegida al azar mostraron los siguientes objetivos anuales. Oeste Este Los Ángeles 9 DC United 9 FC Dallas 3 Chicago 8 Chivas USA 4 Columbus 7 Real Salt Lake 3 Nueva Inglaterra 6 Colorado 4 MetroStars 5 San José 4 Kansas City 3 Realice una prueba de hipótesis para responder los dos ejercicios siguientes. La distribución exacta para la prueba de hipótesis es: la distribución normal la distribución t de Student la distribución uniforme la distribución exponencial Si el nivel de significación es 0,05, la conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen más goles en promedio que los equipos de la División Este . No hay pruebas suficientes para concluir que los equipos de la División Oeste marquen menos goles en promedio que los equipos de la División Este . No se puede determinar. c Supongamos que un instructor de estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron de 75,86 y 16,91. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. La conclusión es: Hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes nocturnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes diurnos. No hay pruebas suficientes para concluir que la media de los estudiantes diurnos de Estadística en el examen 2 sea mejor que la de los estudiantes nocturnos. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los nocturnos en el examen 2. Hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia significativa entre las medias de los estudiantes diurnos de Estadística y los estudiantes nocturnos en el examen 2. Elijah quiere saber si los costos de los libros de texto son diferentes para las distintas carreras. Selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Sociología ofrecidos en un popular sitio web. El precio medio de su muestra es de 74,64 dólares, con una desviación típica de 49,36 dólares. A continuación, selecciona una muestra aleatoria de 33 libros de texto de Matemáticas y Ciencias del mismo sitio. El precio medio de esta muestra es de 111,56 dólares, con una desviación típica de 66,90 dólares. ¿El precio medio de un libro de texto de Sociología es inferior al de un libro de Matemáticas o Ciencias? Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Ejercicio: dos medias muestrales independientes, desviaciones típicas poblacionales desconocidas. μ 1 = el precio medio de un libro de texto de Sociología en el sitio seleccionado. μ 2 = el precio medio de un libro de texto de Matemáticas/Ciencias en el sitio seleccionado. Variable aleatoria: X 1 ¯ – X 1 ¯ = la diferencia en el precio medio de los libros de texto de la muestra entre los libros de texto de Sociología y los de Matemáticas y Ciencias. Hipótesis: H 0 : μ 1 – μ 2 = 0 , H a : μ 1 – μ 2 < μ 2 que puede expresarse como H 0 s : μ 1 – μ 2 , Ha μ 1 < μ 2 . Distribución para la prueba: Utilice la sustitución en t d f ; porque cada muestra tiene más de 30 observaciones, d f = n 1 + n 2 – 2 = 33 + 33 – 2 = 64 . Estime el valor crítico en la tabla t utilizando los grados de libertad disponibles más próximos, 60. El valor crítico, 2,660, se halla en la columna de 0,0005. Calcule el estadístico de prueba: t c = ( X ¯ 1 – X ¯ 2 ) – 0 s 1 2 n 2 + s 2 2 n 2 = ( 74 . 64 – 111 . 56 ) – 0 49 . 36 2 33 + 66 . 90 2 33 = – 2 . 55 . Utilizando una calculadora con t c = – 2 . 55 y d f = 64 , el valor p : Decisión: Rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, hay suficientes pruebas para concluir que el precio medio de los libros de texto de Sociología es inferior al precio medio de los libros de texto de Matemáticas/Ciencias. Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Es interesante saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. El grupo de la dieta en polvo tuvo una media de pérdida de peso de 42 libras con desviación típica de 12 libras. El grupo de la dieta líquida tuvo una media de pérdida de peso de 45 libras con desviación típica de 14 libras. Supongamos que una instructora de Estadística cree que no hay ninguna diferencia significativa entre las puntuaciones medias de clase de los estudiantes de diurnos en el examen 2 y los estudiantes nocturnos. Toma muestras aleatorias de cada una de las poblaciones. La media y la desviación típica de los 35 estudiantes diurnos de Estadística fueron 75,86 y 16,91, respectivamente. La media y la desviación típica de 37 estudiantes nocturnos de Estadística fueron de 75,41 y 19,73. El subíndice “día” se refiere a los estudiantes diurnos. El subíndice “noche” se refiere a los estudiantes nocturnos. Otra hipótesis adecuada para la prueba de hipótesis es: μ día > μ noche μ día < μ noche μ día = μ noche μ día ≠ μ noche d d de Cohen medida del tamaño del efecto basada en las diferencias entre dos medias. Si d está entre 0 y 0,2, el efecto es pequeño. Si d se acerca a 0,5, el efecto es medio, y si d se aproxima a 0,8, es un efecto grande. Varianza agrupada promedio ponderado de dos varianzas, que se utiliza para calcular el error estándar.", "section": "Comparación de las medias de dos poblaciones independientes", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande La d de Cohen es una medida del \"tamaño del efecto\", basada en las diferencias entre dos medias. La d de Cohen, llamada así por el estadístico estadounidense Jacob Cohen, mide la fuerza relativa de las diferencias entre las medias de dos poblaciones a partir de los datos de la muestra. El valor calculado del tamaño del efecto se compara entonces con los criterios de Cohen de efecto de tamaño pequeño, mediano y grande. Tamaños de los efectos de los criterios de Cohen Tamaño del efecto d Pequeño 0,2 Medio 0,5 Grande 0,8 La d de Cohen es la medida de la diferencia entre dos medias dividida entre la desviación típica combinada: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s combinada donde s combinada = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 - 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos. Calcule la d de Cohen para el Ejemplo 10.2 . ¿El tamaño del efecto es pequeño, mediano o grande? Explique qué significa el tamaño del efecto para este problema. x̅ 1 = 4 s 1 = 1,5 n 1 = 11 x̅ 2 = 3,5 s 2 = 1 n 2 = 9 d = 0,384 El efecto es pequeño porque 0,384 está entre el valor de Cohen de 0,2 para un tamaño de efecto pequeño y 0,5 para un tamaño de efecto medio. El tamaño de las diferencias de las medias de las dos compañías es pequeño, lo que indica que no hay ninguna diferencia significativa entre sí. Repaso del capítulo La d de Cohen es una medida del \"tamaño del efecto\", basada en las diferencias entre dos medias. Cabe destacar que la d de Cohen no proporciona un nivel de confianza en cuanto al tamaño del efecto comparable a las otras comprobaciones de hipótesis que hemos estudiado. Los tamaños de los efectos son simplemente indicativos. Revisión de la fórmula La d de Cohen es la medida del tamaño del efecto: d = x ¯ 1 – x ¯ 2 s p o o l e d donde s p o o l e d = ( n 1 – 1 ) s 1 2 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2", "section": "Criterios de Cohen para efectos de tamaño pequeño, mediano y grande", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales Normalmente, nunca esperamos conocer ninguno de los parámetros de la población, la media, la proporción o la desviación típica. Cuando se comprueban hipótesis relativas a diferencias de medias, nos enfrentamos a la dificultad de dos varianzas desconocidas que desempeñan un papel fundamental en el estadístico de prueba. Hemos sustituido las varianzas de la muestra tal y como hicimos al comprobar las hipótesis para una única media. Tal como lo hicimos anteriormente, utilizamos una t de Student para compensar esta falta de información sobre la varianza de la población. Sin embargo, hay situaciones en las que no conocemos las varianzas de la población, aunque podemos asumir que las dos poblaciones tienen la misma varianza. Si esto es así, entonces la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de las muestras individuales. Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo. Las hipótesis nula y alternativa siguen siendo las mismas, pero el estadístico de prueba cambia a: t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) donde S p 2 es la varianza combinada dada por la fórmula: S p 2 = ( n 1 – 1 ) s 2 1 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2 Se intenta hacer un ensayo con un fármaco real y un placebo. Un total de 18 personas reciben el fármaco con la esperanza de aumentar la producción de endorfinas. Se ha comprobado que el aumento de endorfinas es de 8 microgramos por persona, en promedio, y la desviación típica de la muestra es de 5,4 microgramos. A 11 personas se les da el placebo, y su aumento promedio de endorfinas es de 4 microgramos con una desviación típica de 2,4. A partir de las investigaciones anteriores sobre las endorfinas se determina que se puede suponer que las varianzas dentro de las dos muestras son iguales. Pruebe al 5 % para ver si la media de la población para el fármaco tenía un impacto significativamente mayor en las endorfinas que la media de la población con el placebo. En primer lugar, se empieza por designar a uno de los dos grupos como Grupo 1 y al otro como Grupo 2. Esto será necesario para seguir la pista de las hipótesis nula y alternativa. Establezcamos que el Grupo 1 es el que recibió el nuevo medicamento que se está probando y, por ende, el Grupo 2 es el que recibió el placebo. Ahora podemos formular las hipótesis nula y alternativa como: H 0 : µ 1 ≤ µ 2 H 1 : µ 1 > µ 2 Esto se establece como una prueba de una cola, con la afirmación en la hipótesis alternativa de que el medicamento producirá más endorfinas que el placebo. Ahora calculamos el estadístico de prueba, lo que nos obliga a calcular la varianza conjunta, S p 2 , utilizando la fórmula anterior. t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) = ( 8 – 4 ) – 0 20,4933 ( 1 18 + 1 11 ) = 2,31 t α , nos permite comparar el estadístico de prueba y el valor crítico. t α = 1,703 a d e = n 1 + n 2 – 2 = 18 + 11 – 2 = 27 El estadístico de prueba está claramente en la cola, 2,31 es mayor que el valor crítico de 1,703; por consiguiente, no podemos mantener la hipótesis nula. Así, concluimos que hay pruebas significativas con un nivel de confianza del 95 % de que el nuevo medicamento produce el efecto deseado. Repaso del capítulo En situaciones en las que desconocemos las varianzas de la población, pero suponemos que son las mismas, la varianza de la muestra conjunta será menor que las varianzas de la muestra individual. Así se obtienen estimaciones más precisas y se reduce la probabilidad de descartar un buen nulo. Revisión de la fórmula t c = ( x ¯ 1 – x ¯ 2 ) – δ 0 S p 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) donde S p 2 es la varianza combinada dada por la fórmula: S p 2 = ( n 1 – 1 ) s 2 1 + ( n 2 – 1 ) s 2 2 n 1 + n 2 – 2", "section": "Prueba de diferencias de medias: suponer varianzas de población iguales", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Comparación de dos proporciones de población independientes Cuando se realiza una prueba de hipótesis que compara dos proporciones de población independientes se deben dar las siguientes características: Las dos muestras independientes son muestras aleatorias que son independientes. El número de aciertos es, al menos, cinco y el número de fallos es, al menos, cinco para cada una de las muestras. La bibliografía, cada vez más extensa, afirma que la población deberá ser, como mínimo, 10 y hasta 20 veces el tamaño de la muestra. Así se evita que cada población sea objeto de un muestreo excesivo y que los resultados sean sesgados. La comparación de dos proporciones, al igual que la comparación de dos medias, es de uso común. Si dos proporciones estimadas son diferentes, puede deberse a una diferencia en las poblaciones o al azar en el muestreo. La comprobación de la hipótesis permite determinar si una diferencia en las proporciones estimadas refleja una diferencia en las dos proporciones de la población. Al igual que en el caso de las diferencias de medias muestrales, construimos una distribución muestral para las diferencias de proporciones muestrales: ( p A ' - p B ' ) donde p A ' = X A n A y p B ' = X B n B son las proporciones de la muestra para los dos conjuntos de datos en cuestión. X A y X B son el número de aciertos en cada grupo de la muestra, respectivamente, y n A y n B son los tamaños de muestra respectivos de los dos grupos. De nuevo acudimos al teorema del límite central para hallar la distribución muestral con respecto a las diferencias en las proporciones de la muestra. También nos encontramos con que esta distribución muestral, al igual que las anteriores, se distribuye normalmente, tal y como demuestra el teorema del límite central, como se ve en la . En general, la hipótesis nula permite probar una diferencia de un valor determinado, 𝛿 0 , tal como hicimos para el caso de las diferencias de medias. H 0 : p 1 – p 2 = 𝛿 0 H 1 : p 1 – p 2 ≠ 𝛿 0 Sin embargo, lo más común es la prueba de que las dos proporciones son iguales. Esto es, H 0 : p A = p B H a : p A ≠ p B Para llevar a cabo la prueba utilizamos una proporción combinada, p c . La proporción combinada se calcula de la siguiente manera: p c = x A + x B n A + n B El estadístico de prueba (puntuación z ) es: Z c = ( p A ′ – p B ′ ) – δ 0 p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde δ 0 son las diferencias hipotéticas entre las dos proporciones y p c es la varianza agrupada de la fórmula anterior. Un banco acaba de adquirir otra sucursal, por lo que tiene clientes en este nuevo territorio. Les interesa la tasa de morosidad en su nuevo territorio. Desean comprobar la hipótesis de que la tasa de morosidad es diferente a la de su actual base de clientes. Hacen un muestreo de 200 expedientes en el área A, sus clientes actuales, y descubren que 20 han incumplido. En el área B, la de los nuevos clientes, otra muestra de 200 expedientes muestra que 12 han dejado de pagar sus préstamos. A un nivel de significación del 10 %, ¿podemos decir que los índices de impago son iguales o diferentes? Esto es una prueba de proporciones. Lo sabemos porque la variable aleatoria subyacente es binaria: impago o no impago. Además, sabemos que se trata de una prueba de diferencias de proporciones porque tenemos dos grupos de muestra, la base de clientes actual y la recién adquirida. Supongamos que A y B son los subíndices de los dos grupos de clientes. Entonces p A y p B son las dos proporciones de la población que deseamos probar. Variable aleatoria: P′ A – P′ B = diferencia en las proporciones de clientes con impago en los dos grupos. H 0 : p A = p B H a : p A ≠ p B Las palabras “es una diferencia” le indican que la prueba es de dos colas. Distribución para la prueba: como se trata de una prueba de dos proporciones poblacionales binomiales, la distribución es normal: p c = x A + x B n A + n B = 20 + 12 200 + 200 = 0,08 1 – p c = 0,92 ( p′ A – p′ B ) = 0,04 sigue una distribución normal aproximada. Proporción estimada para el grupo A: p ′ A = x A n A = 20 200 = 0,1 Proporción estimada para el grupo B: p ′ B = x B n B = 12 200 = 0,06 La diferencia estimada entre los dos grupos es: p′ A – p′ B = 0,1 – 0,06 = 0,04. Z c = ( P′ A – P′ B ) – δ 0 P c ( 1 – P c ) ( 1 n A + 1 n B ) = 1,47 El valor calculado del estadístico de prueba es de 1,47 y no se encuentra en la cola de la distribución. Tome una decisión: Dado que el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola de la distribución, no podemos rechazar H 0 . Conclusión: A un nivel de significación del 1 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia entre las proporciones de clientes con impagos en los dos grupos. Ejercicio Se están probando dos tipos de válvulas para determinar si hay una diferencia en las tolerancias de presión. Quince de una muestra aleatoria de 100 de la válvula A se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Seis de una muestra aleatoria de 100 de la válvula B se agrietaron por debajo de 4.500 psi. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. El valor p es 0,0379, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula. A un nivel de significación del 5 %, los datos respaldan que hay una diferencia en las tolerancias de presión entre las dos válvulas. Referencias Datos de Educational Resources , catálogo de diciembre. Datos de los Hoteles Hilton. Disponible en línea en http://www.hilton.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de los Hoteles Hyatt. Disponible en línea en http://hyatt.com (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de Estadísticas del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos de la Exposición del Whitney en préstamo al Museo de Arte de San José. Datos de la Sociedad Americana del Cáncer. Disponible en línea en http://www.cancer.org/index (consultado el 17 de junio de 2013). Datos de la Chancellor's Office, California Community Colleges, noviembre de 1994. “State of the States”. Gallup, 2013. Disponible en línea en http://www.gallup.com/poll/125066/State-States.aspx?ref=interactive (consultado el 17 de junio de 2013). “West Nile Virus”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/ncidod/dvbid/westnile/index.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Prueba de dos proporciones poblacionales a partir de muestras independientes Variable aleatoria: p' A – p' B = diferencia entre las dos proporciones estimadas Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Proporción combinada: pc = x A + x B n A + n B Estadístico de prueba (puntuación z ): Z c = ( p ′ A – p ′ B ) p c ( 1 – p c ) ( 1 n A + 1 n B ) donde p A ' y p B ' son las proporciones de la muestra, p A y p B son las proporciones de la población, P c es la proporción combinada, y n A y n B son los tamaños de las muestras. Use la siguiente información para los próximos cinco ejercicios. Se están probando dos tipos de sistemas operativos (operating system, OS) de teléfonos para determinar si hay una diferencia en las proporciones de fallos del sistema (caídas). Quince de una muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 1 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Nueve de otra muestra aleatoria de 150 teléfonos con OS 2 tuvieron fallos del sistema en las primeras ocho horas de funcionamiento. Se cree que el OS 2 es más estable (tiene menos fallos) que el OS 1 . ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? ¿Cuál es la variable aleatoria? P ′ OS1 – P ′ OS2 = diferencia en las proporciones de teléfonos que tuvieron fallos del sistema durante las primeras ocho horas de funcionamiento con OS 1 y OS 2 . Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Qué puede concluir sobre los dos sistemas operativos? Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios. En el reciente censo el tres por ciento de la población de EE. UU. declaró que era de dos o más razas. Sin embargo, el porcentaje varía enormemente de un estado a otro. Supongamos que se realizan dos encuestas aleatorias. En la primera encuesta aleatoria, de 1.000 habitantes de Dakota del Norte, solo nueve personas declararon que son de dos o más razas. En la segunda encuesta aleatoria, de 500 nevadenses, 17 personas declararon que son de dos o más razas. Realice una prueba de hipótesis para determinar si los porcentajes de población son iguales para los dos estados o si el porcentaje de Nevada es estadísticamente mayor que el de Dakota del Norte. ¿Se trata de una prueba de medias o de proporciones? proporciones Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : _________ H a : _________ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? ¿Cómo lo sabe? cola derecha ¿Cuál es la variable aleatoria de interés para esta prueba? Defina la variable aleatoria para esta prueba en palabras. La variable aleatoria es la diferencia de proporciones (porcentajes) de las poblaciones que son de dos o más razas en Nevada y Dakota del Norte. ¿Qué distribución (normal o t de Student) utilizaría para esta prueba de hipótesis? Explique por qué eligió la distribución que hizo para el Ejercicio 10.56 . El tamaño de nuestras muestras es muy superior a cinco, por lo que utilizamos la distribución normal para dos proporciones para esta prueba de hipótesis. Calcule el estadístico de prueba. Con un α preconcebido = 0,05, cuál es su: Decisión: Motivo de la decisión: Conclusión (escriba en una oración completa): No se puede aceptar la hipótesis nula valor p < alfa Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la proporción (porcentaje) de la población que es de dos o más razas en Nevada es estadísticamente mayor que la de Dakota del Norte. ¿Parece que la proporción de nevadenses de dos o más razas es mayor que la de los habitantes de Dakota del Norte? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Una reciente encuesta sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre estudiantes locales de último año de escuela secundaria en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 estudiantes de último año de escuela secundaria locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. Localmente, 65 estudiantes de último año de escuela secundaria declararon haber consumido drogas o alcohol durante el mes anterior, mientras que el número nacional fue de 60. Nos interesa saber si las proporciones de mujeres víctimas de suicidio entre 15 y 24 años son iguales para las razas blanca y negra en Estados Unidos. Elegimos al azar un año, 1992, para comparar las razas. El número de suicidios estimado en Estados Unidos en 1992 para mujeres blancas es de 4.930. Quinientos ochenta tenían entre 15 y 24 años. La estimación para las mujeres negras es de 330. Cuarenta tenían entre 15 y 24 años. Supondremos que las mujeres víctimas de suicidio sean nuestra población. H 0 : P W = P B H a : P W ≠ P B La variable aleatoria es la diferencia en las proporciones de víctimas de suicidio blancas y negras, de 15 a 24 años. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –0,1944 valor p : 0,8458 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de mujeres blancas y negras víctimas de suicidio, de entre 15 y 24 años, sean diferentes. Elizabeth Mjelde, profesora de Historia del Arte, estaba interesada en saber si el valor de la fórmula del número áureo, ( dimensión mayor + menor mayor dimensión ) era el mismo en la exposición del Whitney para las obras de 1900 a 1919 que para las de 1920 a 1942. Se muestrearon treinta y siete obras tempranas, con una media de 1,74 con una desviación típica de 0,11. Se muestrearon sesenta y cinco obras finales, con una media de 1,746 con una desviación típica de 0,1064. ¿Cree que hay una diferencia significativa en el cálculo del número áureo? Se eligió al azar un año reciente desde 1985 hasta el presente. En ese año, había 2.051 estudiantes hispanos en el Cabrillo College de un total de 12.328 estudiantes. En el Lake Tahoe College, había 321 estudiantes hispanos de un total de 2.441 estudiantes. En general, ¿cree que el porcentaje de estudiantes hispanos en los dos institutos universitarios es básicamente igual o diferente? Subíndices: 1 = Cabrillo College, 2 = Lake Tahoe College H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La variable aleatoria es la diferencia entre las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y el Lake Tahoe College. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 4,29 valor p : 0,00002 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de estudiantes hispanos en el Cabrillo College y en el Lake Tahoe College son diferentes. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El virus neuroinvasivo del Nilo Occidental es una enfermedad grave que afecta el sistema nervioso de las personas. Lo transmite la especie de mosquito Culex. En Estados Unidos en 2010 se registraron 629 casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental de un total de 1.021 casos notificados, y en 2011 se registraron 486 casos neuroinvasivos de un total de 712 casos. ¿La proporción de casos del virus neuroinvasivo del Nilo Occidental en 2011 es mayor que la proporción de casos de 2010? Use un nivel de significación del 1 % y haga una prueba de hipótesis adecuada. “2011” subíndice: grupo 2011. “2010” subíndice: grupo 2010 Esto es: una prueba de dos proporciones una prueba de dos medias independientes una prueba de una sola media una prueba de pares coincidentes. Una hipótesis nula adecuada es: p 2011 ≤ p 2010 p 2011 ≥ p 2010 μ 2011 ≤ μ 2010 p 2011 > p 2010 a Unos investigadores hicieron un estudio para averiguar si existe una diferencia en el uso de lectores de libros electrónicos por parte de distintos grupos de edad. Los participantes seleccionados al azar se dividieron en dos grupos de edad. En el grupo de 16 a 29 años, el 7 % de los 628 encuestados utilizan lectores de libros electrónicos, así como el 11 % de los 2.309 participantes de 30 años o más Prueba: dos proporciones de muestras independientes. Variable aleatoria: p ′ 1 – p ′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 La proporción de usuarios de lectores de libros electrónicos es diferente para los usuarios de 16 a 29 años que para los de 30 o más. Gráfico: de dos colas Se seleccionaron aleatoriamente adultos de 18 años o más para una encuesta sobre obesidad. Se considera que los adultos son obesos si su índice de masa corporal (IMC) es de al menos 30. Los investigadores querían determinar si la proporción de mujeres obesas en el sur es menor que la proporción de hombres del sur que son obesos. Los resultados se muestran en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Número de personas obesas Tamaño de la muestra Hombres 42.769 155.525 Mujeres 67.169 248.775 Dos usuarios de computadoras estaban hablando sobre tabletas. La proporción de personas de 16 a 29 años que utilizan tabletas es mayor que la de las personas de 30 años o más. La detalla el número de propietarios de tabletas para cada grupo de edad. Pruebe al nivel de significación del 1 %. de 16 a 29 años 30 años o más Poseer una tableta 69 231 Tamaño de la muestra 628 2.309 Prueba: dos proporciones de muestras independientes Variable aleatoria: p′ 1 − p′ 2 Distribución: H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 > p 2 La proporción de propietarios de tabletas es mayor entre 16 y 29 años que entre 30 y más. Gráfico: cola derecha No rechace la H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 1 % a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que una mayor proporción de propietarios de tabletas tenga entre 16 y 29 años que 30 años o más. Un grupo de amigos debatía sobre si hay más hombres que usan teléfonos inteligentes que mujeres. Consultaron un estudio de investigación sobre el uso de teléfonos inteligentes entre adultos. Los resultados de la encuesta indican que de los 973 hombres incluidos en la muestra aleatoria, 379 utilizan teléfonos inteligentes. En el caso de las mujeres, 404 de las 1.304 incluidas en la muestra aleatoria utilizan teléfonos inteligentes. Prueba al nivel de significación del 5 %. Mientras su esposo se pasaba 2½ horas eligiendo nuevos altavoces, una estadística decidió determinar si el porcentaje de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que el porcentaje de mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. La población eran los compradores del sábado por la tarde. De los 67 hombres, 24 dijeron que disfrutaban de la actividad. Ocho de las 24 mujeres encuestadas afirmaron que disfrutaban de la actividad. Interprete los resultados de la encuesta. Subíndices: 1: hombres; 2: mujeres H 0 : p 1 ≤ p 2 H a : p 1 > p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que disfrutan comprando equipos electrónicos. normal para dos proporciones estadístico de prueba: 0,22 valor p : 0,4133 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la proporción de hombres que disfrutan comprando equipos electrónicos es mayor que la de mujeres. Nos interesa saber si los softwares educativos para niños cuestan menos, en promedio, que los de entretenimiento para niños. Se eligieron al azar treinta y seis títulos de software educativo de un catálogo. El costo medio fue de 31,14 dólares, con una desviación típica de 4,69 dólares. Se eligieron al azar treinta y cinco títulos de software de entretenimiento del mismo catálogo. El costo medio fue de 33,86 dólares, con una desviación típica de 10,87 dólares. Decida si el software educativo para niños cuesta menos, en promedio, que el software de entretenimiento para niños. Joan Nguyen afirmó recientemente que la proporción de hombres en edad universitaria con al menos una oreja perforada es tan alta como la proporción de mujeres universitarias. Hizo una encuesta en sus clases. De los 107 hombres, 20 tenían, al menos, una oreja perforada. De las 92 mujeres, 47 tenían, al menos, una oreja perforada. ¿Cree que la proporción de hombres ha alcanzado a la de mujeres? H 0 : p 1 = p 2 H a : p 1 ≠ p 2 P ′ 1 – P ′ 2 es la diferencia entre las proporciones de hombres y mujeres que tienen, al menos, una oreja perforada. normal para dos proporciones estadístico de prueba: –4,82 valor p : cero Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que las proporciones de hombres y mujeres con, al menos, una oreja perforada son diferentes. “¿Desayunar o no desayunar?”, por Richard Ayore En la sociedad estadounidense, los cumpleaños son uno de esos días que todo el mundo espera con ilusión. Personas de diferentes edades y grupos de compañeros se reúnen para celebrar los cumpleaños: 18, 20, etc. Durante este tiempo, uno mira hacia atrás para ver lo que ha conseguido durante el año pasado y también se centra en el futuro para ver lo que está por venir. Si, por casualidad, me invitan a una de estas fiestas, mi experiencia es siempre diferente. En vez de bailar con mis amigos mientras la música retumba, me dejo llevar por los recuerdos de mi familia en Kenia. Recuerdo los buenos momentos que pasé con mis hermanos y mi hermana mientras llevábamos a cabo nuestra rutina diaria. Recuerdo que todas las mañanas íbamos a la shamba (huerto) a desherbar nuestros cultivos. Recuerdo que un día discutí con mi hermano por qué siempre se quedaba atrás para reunirse con nosotros una hora más tarde. En su defensa, dijo que prefería esperar a desayunar antes de venir a desherbar. Dijo: “¡Por eso siempre trabajo más horas que ustedes!”. Así que, para demostrar que estaba equivocado o que tenía razón, decidimos probarlo. Un día fuimos a trabajar como de costumbre sin desayunar, y registramos el tiempo que podíamos trabajar antes de cansarnos y parar. Al día siguiente, todos desayunamos antes de ir a trabajar. Registramos el tiempo que trabajamos de nuevo antes de cansarnos y parar. Nos interesa saber el aumento medio del tiempo de trabajo. Aunque no estoy seguro, mi hermano insistió en que fueron más de dos horas. Use los datos de la y resuelva nuestro problema. Horas de trabajo con desayuno Horas de trabajo sin desayuno 8 6 7 5 9 5 5 4 9 7 8 7 10 7 7 5 6 6 9 5 H 0 : µ d = 0 H a : µ d > 0 La variable aleatoria X d es la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna. t 9 estadístico de prueba: 4,8963 valor p : 0,0004 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media de los tiempos de trabajo en los días en que se desayuna y en los días en que no se desayuna ha aumentado.", "section": "Comparación de dos proporciones de población independientes", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas Aunque difícilmente se dé esta situación (conocer las desviaciones típicas de la población es improbable), el siguiente ejemplo ilustra las pruebas de hipótesis para medias independientes con desviaciones típicas conocidas de la población. La distribución muestral para la diferencia entre las medias es normal de acuerdo con el teorema del límite central. La variable aleatoria es X 1 – – X 2 – . La distribución normal tiene el siguiente formato: La desviación típica es: ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 El estadístico de prueba (puntuación z ) es: Z c = ( x - 1 – x – 2 ) – δ 0 ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 Grupos independientes, desviaciones típicas de la población conocidas: Se va a comparar el tiempo medio de duración de dos ceras para suelos de la competencia. Se asignan al azar veinte pisos para probar cada cera . Ambas poblaciones tienen una distribución normal. Los datos se registran en la . Cera Media muestral del número de meses que dura la cera para pisos Desviación típica de la población 1 3 0,33 2 2,9 0,36 ¿Los datos indican que la cera 1 es más eficaz que la cera 2 ? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales, desviaciones típicas poblacionales conocidas. Variable aleatoria : X – 1 – X – 2 = diferencia en el número medio de meses que duran las ceras para suelos de la competencia. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La expresión “es más eficaz” dice que la cera 1 dura más que la cera 2 , en promedio. “Más que” es el símbolo “>” y entra en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Distribución para la prueba: Las desviaciones típicas de la población son conocidas, por lo que la distribución es normal. Con la fórmula del estadístico de prueba calculamos el valor para el problema. Z c = ( μ 1 – μ 2 ) – δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 = 0,1 La diferencia estimada entre las dos medias es: X – 1 – X – 2 = 3 – 2,9 = 0,1 Compare el valor calculado, el valor crítico y Z α : Marcamos el valor calculado en el gráfico y determinamos que el valor calculado no está en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Tome una decisión: el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola, por lo que no se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que el tiempo medio de duración de la cera 1 sea mayor (la cera 1 es más eficaz) que el tiempo medio de duración de la cera 2. Ejercicio Hay que comparar las medias del número de revoluciones por minuto de dos motores en competencia. Treinta motores son asignados al azar para ser probados. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. ¿Los datos indican que el motor 2 tiene más RPM que el motor 1? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Motor Número de la media muestral de RPM Desviación típica de la población 1 1.500 50 2 1.600 60 El valor p es casi cero, por lo que rechazamos la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para concluir que el motor 2 funciona a un número de revoluciones mayor que el motor 1. Un ciudadano interesado quería saber si los senadores estadounidenses demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio. El 26 de mayo de 2013, la edad media de 30 senadores republicanos seleccionados al azar era de 61 años y 247 días (61,675 años) con una desviación típica de 10,17 años. La edad media de los 30 senadores demócratas seleccionados al azar era de 61 años y 257 días (61,704 años), con una desviación típica de 9,55 años. ¿Los datos indican que los senadores demócratas son más viejos que los republicanos, en promedio? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Se trata de una prueba de dos grupos independientes, dos medias poblacionales. Se desconocen las desviaciones típicas de la población, pero la suma de los tamaños de las muestras es 30 + 30 = 60, que es mayor que 30, por lo que podemos utilizar la aproximación normal a la distribución t de Student. Subíndices: 1: Senadores demócratas 2: Senadores republicanos Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = diferencia en la edad media de los senadores estadounidenses demócratas y republicanos. H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H 0 : μ 1 – μ 2 ≤ 0 H a : μ 1 > μ 2 H a : μ 1 – μ 2 > 0 Las palabras “mayor que” se traducen en un símbolo “>” y entran en H a . Por lo tanto, se trata de una prueba de cola derecha. Tome una decisión: El valor p es superior al 5 %, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Al calcular el estadístico de prueba, observamos que no cae en la cola, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula. Llegamos a la misma conclusión al utilizar cualquiera de los dos métodos para tomar esta decisión estadística. Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la edad media de los senadores demócratas sea mayor que la de los republicanos. Referencias Datos de la Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/prod/cen2010/briefs/c2010br-02.pdf Hinduja, Sameer. “Sexting Research and Gender Differences”. Cyberbulling Research Center, 2013. Disponible en línea en http://cyberbullying.us/blog/sexting-research-and-gender-differences/ (consultado el 17 de junio de 2013). “Smart Phone Users, By the Numbers”. Visually, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 17 de junio de 2013). Smith, Aaron. “35% of American adults own a Smartphone”. Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2011/PIP_Smartphones.pdf (consultado el 17 de junio de 2013). “State-Specific Prevalence of Obesity AmongAduls—Unites States, 2007”. MMWR, CDC. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/mmwr/preview/mmwrhtml/mm5728a1.htm (consultado el 17 de junio de 2013). “Texas Crime Rates 1960–1012”. FBI, Uniform Crime Reports, 2013. Disponible en línea en: http://www.disastercenter.com/crime/txcrime.htm (consultado el 17 de junio de 2013). Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis de dos medias poblacionales de muestras independientes en las que se conocen las desviaciones típicas de la población tendrá estas características: Variable aleatoria: X – 1 – X – 2 = la diferencia de las medias Distribución: distribución normal Revisión de la fórmula Estadístico de prueba (puntuación z ): Z c = ( x - 1 – x – 2 ) – δ 0 ( σ 1 ) 2 n 1 + ( σ 2 ) 2 n 2 donde: σ 1 y σ 2 son las desviaciones típicas conocidas de la población. n 1 y n 2 son los tamaños de las muestras. x - 1 y x – 2 son las medias muestrales. μ 1 y μ 2 son las medias poblacionales. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se van a comparar las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de dos lanzadores de béisbol diferentes. Se mide una muestra de 14 lanzamientos de pelotas rápidas de cada lanzador. Las poblaciones tienen distribuciones normales. La muestra el resultado. Los cazatalentos creen que Rodríguez lanza una pelota rápida más rápida. Lanzador Media muestral de la velocidad de los lanzamientos (mph) Desviación típica de la población Wesley 86 3 Rodríguez 91 7 ¿Cuál es la variable aleatoria? La diferencia en las velocidades medias de los lanzamientos de pelotas rápidas de los dos lanzadores Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico de prueba? -2,46 Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Al nivel de significación del 1 %, podemos rechazar la hipótesis nula. Hay datos suficientes para concluir que la velocidad media de la pelota rápida de Rodríguez es más rápida que la de Wesley. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Un investigador está probando los efectos de los alimentos para plantas en su crecimiento. Nueve plantas han recibido el alimento para plantas. Otras nueve plantas no han recibido el alimento para plantas. Las alturas de las plantas se registran después de ocho semanas. Las poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. El investigador cree que la comida hace que las plantas crezcan más altas. Grupo de plantas Media muestral de la altura de las plantas (pulgadas) Desviación típica de la población Con alimento 16 2,5 Sin alimento 14 1,5 ¿La desviación típica de la población es conocida o desconocida? Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = Con alimento, 2 = Sin alimento H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Se están considerando dos aleaciones metálicas como material para los rodamientos de pelotas. Hay que comparar el punto de fusión medio de las dos aleaciones. Se están probando 15 piezas de cada metal. Ambas poblaciones tienen distribuciones normales. El resultado está en la siguiente tabla. Se cree que la aleación zeta tiene un punto de fusión diferente. Media muestral de las temperaturas de fusión (°F) Desviación típica de la población Aleación gamma 800 95 Aleación zeta 900 105 Indique las hipótesis nula y alternativa. Subíndices: 1 = gamma, 2 = zeta H 0 : μ 1 = μ 2 H a : μ 1 ≠ μ 2 ¿Se trata de una prueba a la derecha, a la izquierda o de dos colas? Al nivel de significación del 1 %, ¿cuál es su conclusión? Hay suficientes pruebas, por lo que no podemos aceptar la hipótesis nula. Los datos apoyan que el punto de fusión de la aleación zeta es diferente del punto de fusión de la aleación gamma. Tarea para la casa Nota Si usa una distribución t de Student para uno de los siguientes problemas de tarea para la casa, incluso para datos emparejados, puede suponer que la población subyacente está distribuida normalmente (sin embargo, cuando se utilicen estas pruebas en una situación real, primero hay que demostrar ese supuesto). Se hace un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse, en promedio, que los estudiantes inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. Supongamos que, a partir de años de investigación, se sabe que las desviaciones típicas de la población son 1,5811 años y 1 año, respectivamente. Se recopilan los siguientes datos. Los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardaron un promedio de 4,5 años, con una desviación típica de 0,8. Los estudiantes de universidades privadas tardaron un promedio de 4,1 años, con una desviación típica de 0,3. Los padres de los adolescentes se quejan a menudo de que el seguro de automóvil cuesta más, en promedio, para los hombres que para las mujeres. Un grupo de padres preocupados examina una muestra aleatoria de facturas de seguros. El costo medio anual para 36 adolescentes hombres fue de 679 dólares. Para 23 adolescentes mujeres fueron 559 dólares. De los años anteriores, se sabe que la desviación típica de la población para cada grupo es de 180 dólares. Determine si cree que el costo medio del seguro de automóvil para los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes mujeres. Subíndices: 1 = hombres, 2 = mujeres H 0 : μ 1 ≤ μ 2 H a : μ 1 > μ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de los costos de los seguros de automóviles de hombres y mujeres. normal estadístico de prueba: z = 2,50 valor p : 0,0062 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el costo medio del seguro de automóvil de los adolescentes hombres es mayor que el de las adolescentes. Un grupo de estudiantes que van a transferirse se preguntaba si gastarían la misma cantidad media en textos y materiales cada año en su universidad de cuatro años que en su colegio comunitario. Realizaron una encuesta aleatoria a 54 estudiantes de su colegio comunitario y a 66 estudiantes de su universidad de cuatro años local. Las medias muestrales fueron 947 y 1.011 dólares, respectivamente. Se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 254 y 87 dólares, respectivamente. Realice una prueba de hipótesis para determinar si las medias son estadísticamente iguales. Algunos fabricantes afirman que los vehículos tipo sedán no híbridos tienen una media de millas por galón (mpg) inferior a los híbridos. Supongamos que los consumidores prueban 21 sedanes híbridos y obtienen una media de 31 mpg con una desviación típica de siete mpg. Treinta y un sedanes no híbridos obtienen una media de 22 mpg con una desviación típica de cuatro mpg. Supongamos que se sabe que las desviaciones típicas de la población son seis y tres, respectivamente. Haga una prueba de hipótesis para evaluar la afirmación del fabricante. Subíndices: 1 = sedanes no híbridos, 2 = sedanes híbridos H 0 : μ 1 ≥ μ 2 H a : μ 1 < μ 2 La variable aleatoria es la diferencia en la media de millas por galón de los sedanes no híbridos y los sedanes híbridos. normal estadístico de prueba: 6,36 valor p : 0 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que la media de millas por galón de los sedanes no híbridos es inferior a la de los híbridos. Un aficionado al béisbol quería saber si existe una diferencia entre el número de partidos jugados en una Serie Mundial cuando la Liga Americana gana la serie versus cuando la Liga Nacional gana la serie. Desde 1922 hasta 2012, la desviación típica de la población de los partidos ganados por la Liga Americana fue de 1,14, y la de los partidos ganados por la Liga Nacional fue de 1,11. De los 19 partidos de las Series Mundiales seleccionados al azar que ganó la Liga Americana, la media de partidos ganados fue de 5,76. La media de los 17 partidos seleccionados al azar que ganó la Liga Nacional fue de 5,42. Realice una prueba de hipótesis. Una de las preguntas de un estudio sobre la satisfacción conyugal de las parejas con dos carreras era valorar la afirmación: “Estoy satisfecho con la forma en que dividimos las responsabilidades del cuidado de los hijos”. Las valoraciones iban del uno (muy de acuerdo) al cinco (muy en desacuerdo). La contiene diez de las respuestas emparejadas de esposos y esposas. Realice una prueba de hipótesis para ver si la diferencia media en el nivel de satisfacción de los esposos versus el de las esposas es negativo (lo que significa que, dentro de la pareja, el esposo es más feliz que la esposa). Puntuación de la esposa 2 2 3 3 4 2 1 1 2 4 Puntuación del esposo 2 2 1 3 2 1 1 1 2 4 H 0 : µ d = 0 H a : µ d < 0 La variable aleatoria X d es la diferencia promedio entre el nivel de satisfacción del esposo y de la esposa. t 9 estadístico de prueba: t = –1,86 valor p : 0,0479 Compruebe la solución del estudiante Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula, pero hay que hacer otra prueba. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Se trata de una prueba débil porque alfa y el valor p están cerca. Sin embargo, no hay pruebas suficientes para concluir que la diferencia media es negativa.", "section": "Dos medias poblacionales con desviaciones típicas conocidas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Muestras coincidentes o emparejadas En la mayoría de los casos de datos económicos o empresariales tenemos poco o ningún control sobre la recopilación de los datos. En este sentido, los datos no son el resultado de un experimento controlado y planificado. Sin embargo, en algunos casos podemos generar datos que forman parte de un experimento controlado. Esto se da con frecuencia en situaciones de control de calidad. Imagine que las tasas de producción de dos máquinas construidas con el mismo diseño, pero en diferentes plantas de fabricación, se prueban para detectar diferencias en algún sistema de medición de la producción, como la velocidad de salida o el cumplimiento con alguna especificación, como la resistencia del producto. La prueba tiene el mismo formato que la que hemos estado probando, pero aquí podemos tener pares emparejados para los que podemos verificar si existen diferencias. Cada observación tiene su par emparejado con el que se calculan las diferencias. En primer lugar, hay que calcular las diferencias del indicador que se va a probar entre las dos listas de observaciones, lo que se suele etiquetar con la letra \"d\". A continuación, el promedio de estas diferencias emparejadas, X ¯ d se calcula al igual que su desviación típica, S d . Esperamos que la desviación típica de las diferencias de los pares emparejados sea menor que la de los pares no emparejados porque presumiblemente deberían existir menos diferencias debido a la correlación entre los dos grupos. Cuando se utiliza una prueba de hipótesis para muestras emparejadas o pareadas, pueden darse las siguientes características: Se utiliza un muestreo aleatorio simple. El tamaño de las muestras suele ser pequeño. Se toman dos medidas (muestras) del mismo par de personas u objetos. Las diferencias se calculan a partir de las muestras coincidentes o emparejadas. Las diferencias forman la muestra que se utiliza para la prueba de hipótesis. O bien los pares coincidentes tienen diferencias que provienen de una población que es normal o el número de diferencias es lo suficientemente grande como para que la distribución de la media muestral de las diferencias sea aproximadamente normal. En una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas los sujetos son coincidentes en pares y se calculan las diferencias. Las diferencias son los datos. A continuación, la media poblacional de las diferencias, μ d , se verifica con la prueba t de Student para una única media poblacional con n – 1 grados de libertad, donde n es el número de diferencias, es decir, el número de pares, no el número de observaciones. Las hipótesis nula y alternativa para esta prueba son: H 0 : µ d = 0 H a : µ d ≠ 0 El estadístico de prueba es: t c = x – d – μ d ( s d n ) Una compañía ha desarrollado un programa de formación para sus nuevos empleados porque le preocupa los resultados de la revisión semestral de los empleados. Esperan que el programa de formación dé lugar a mejores revisiones semestrales. Cada aprendiz constituye un \"par\", la puntuación de entrada que el empleado recibió al ingresar en la empresa y la puntuación otorgada en la revisión de los seis meses. Se calculó la diferencia de las dos puntuaciones de cada empleado y se calcularon las medias de antes y después del programa de formación. La media muestral antes del programa de formación era de 20,4 y la media muestral después del programa de formación fue de 23,9. La desviación típica de las diferencias entre las dos puntuaciones de los 20 empleados fue de 3,8 puntos. Compruebe al nivel de significación del 10 % la hipótesis nula de que las dos medias poblacionales son iguales frente a la alternativa de que el programa de formación mejora las puntuaciones de los empleados. El primer paso es identificar este caso como de dos muestras: antes y después de la formación. Esto diferencia este problema de los simples problemas de una muestra. En segundo lugar, determinamos que las dos muestras están \"emparejadas\". Cada observación de la primera muestra tiene una observación emparejada en la segunda muestra. Esta información nos revela que las hipótesis nula y alternativa deberían ser: H 0 : µ d ≤ 0 H a : µ d > 0 Esta forma refleja la afirmación implícita de que el curso de formación mejora las puntuaciones; la prueba es de una cola y la afirmación está en la hipótesis alternativa. Dado que el experimento se llevó a cabo como una muestra emparejada, en lugar de tomar simplemente las puntuaciones de las personas que realizaron el curso de formación de las que no lo hicieron, utilizamos el estadístico de prueba de pares emparejados: Estadístico de prueba: t c = X ¯ d – µ d S d n = ( 23,9 – 20,4 ) – 0 ( 3,8 20 ) = 4,12 Para resolver esta ecuación, hay que utilizar cada una las puntuaciones, el curso previo a la formación y el curso posterior a la formación para calcular cada una de las diferencias. A continuación, se promedian estas puntuaciones y se calcula la diferencia promedio: X ¯ d = x ¯ 1 – x ¯ 2 A partir de estas diferencias podemos calcular la desviación típica de cada una de las diferencias: S d = Σ ( d i – X ¯ d ) 2 n – 1 donde d i = x 1i – x 2i Ahora podemos comparar el valor calculado del estadístico de prueba, 4,12, con el valor crítico. El valor crítico es una t de Student con grados de libertad iguales al número de pares, no de observaciones, menos 1. En este caso 20 pares y con un nivel de confianza del 90% t a/2 = ±1,729 con df = 20 - 1 = 19. El valor calculado del estadístico de prueba se encuentra con toda seguridad en la cola de la distribución; por ende, no podemos aceptar la hipótesis nula de que no hay diferencias con el programa de formación. Las pruebas parecen indicar que la formación permite a los empleados a obtener mejores puntuaciones. Se realizó un estudio para investigar la eficacia del hipnotismo en la reducción del dolor. Los resultados de los sujetos seleccionados al azar se muestran en la . Una calificación más baja indica menos dolor. El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. ¿Las medidas sensoriales son, en promedio, más bajas después del hipnotismo? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Sujeto: A B C D E F G H Antes 6,6 6,5 9,0 10,3 11,3 8,1 6,3 11,6 Después 6,8 2,4 7,4 8,5 8,1 6,1 3,4 2,0 Los valores correspondientes de “antes” y “después” forman pares coincidentes (calcule “después” – “antes”). Datos de “Después” Datos de “Antes” Diferencia 6,8 6,6 0,2 2,4 6,5 -4,1 7,4 9 -1,6 8,5 10,3 -1,8 8,1 11,3 -3,2 6,1 8,1 -2 3,4 6,3 -2,9 2 11,6 -9,6 Los datos para la prueba son las diferencias: {0,2; –4,1; –1,6; –1,8; –3,2; –2; –2,9; –9,6} La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x – d = -3,13 y s d = 2,91 Verifique estos valores. Supongamos que μ d es la media poblacional de las diferencias. Utilizamos el subíndice d para denotar “diferencias”. Variable aleatoria: X – d = la diferencia media de las mediciones sensoriales H 0 : μ d ≥ 0 La hipótesis nula es cero o positiva, lo que significa que se siente el mismo o más dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto no muestra ninguna mejora ( μ d es la media poblacional de las diferencias). H a : μ d < 0 La hipótesis alternativa es negativa, lo que significa que se siente menos dolor después del hipnotismo. Eso significa que el sujeto muestra una mejora. La calificación debería ser menor después del hipnotismo, por lo que la diferencia debería ser negativa para indicar una mejora. Distribución para la prueba: La distribución es una t de Student con df = n – 1 = 8 – 1 = 7. Use t 7 (observe que la prueba es para una única media poblacional) Calcule el estadístico de prueba y busque el valor crítico con la distribución t de Student: El valor calculado del estadístico de prueba es 3,06 y el valor crítico de la distribución t con 7 grados de libertad al nivel de confianza del 5 % es 1,895 con una prueba de una cola. X – d es la variable aleatoria de las diferencias. La media muestral y la desviación típica de la muestra de las diferencias son: x – d = -3,13 s – d = 2,91 Compare el valor crítico de alfa con el valor calculado del estadístico de prueba. La conclusión de utilizar la comparación del valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico nos dará el resultado. En esta pregunta, el valor calculado del estadístico de prueba es 3,06 y el valor crítico es 1,895. Obviamente, el estadístico de prueba está en la cola; así, no podemos aceptar las hipótesis nulas de que no hay diferencia entre las dos situaciones: hipnotizados y no hipnotizados. Tome una decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula, H 0 . Esto significa que μ d < 0 y que hay una mejora estadísticamente significativa. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que las mediciones sensoriales, en promedio, son más bajas después del hipnotismo. El hipnotismo parece ser eficaz para reducir el dolor. Un entrenador de fútbol universitario estaba interesado en saber si la clase de desarrollo de fuerza del instituto universitario aumentaba el levantamiento máximo (en libras) de sus jugadores en el ejercicio de empuje en banca. Les pidió a cuatro de sus jugadores que participaran en un estudio. La cantidad de peso que podía levantar cada uno se registró antes de que tomaran la clase de desarrollo de fuerza. Tras completar la clase, se midió de nuevo la cantidad de peso que podía levantar cada uno. Los datos son los siguientes: Peso (en libras) Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Cantidad de peso levantado antes de la clase 205 241 338 368 Cantidad de peso levantado después de la clase 295 252 330 360 El entrenador quiere saber si la clase de desarrollo de fuerza hace que sus jugadores sean más fuertes, en promedio. Registre los datos de las diferencias . Para calcular las diferencias reste la cantidad de peso levantado antes de la clase del peso levantado después de terminar la clase. Los datos de las diferencias son: {90, 11, –8, –8}. x – d = 21,3, s d = 46,7 Utilizando los datos de diferencia, esto se convierte en una prueba de una sola media. Defina la variable aleatoria: X – d diferencia media en la elevación máxima por jugador. La distribución para la prueba de hipótesis es una t de Student con 3 grados de libertad. H 0 : μ d ≤ 0, H a : μ d > 0 Busque el valor calculado del estadístico de prueba y el valor crítico: El valor crítico del estadístico de prueba es 0,91. El valor crítico de la t de Student a un nivel de significación del 5 % y 3 grados de libertad es de 2,353. Decisión: Si el nivel de significación es del 5 %, no podemos rechazar la hipótesis nula, porque el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola. ¿Cuál es la conclusión? A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que la clase de desarrollo de fuerza ayudó a hacer más fuertes a los jugadores, en promedio. Repaso del capítulo Una prueba de hipótesis para muestras coincidentes o emparejadas (prueba t) tiene estas características: Compruebe las diferencias restando una medida de la otra Variable aleatoria: x – d = media de las diferencias Distribución: Distribución t de Student con n – 1 grados de libertad Si el número de diferencias es pequeño (menos de 30), las diferencias deben seguir una distribución normal. Se extraen dos muestras del mismo conjunto de objetos. Las muestras son dependientes. Revisión de la fórmula Estadístico de prueba (puntuación t ): t c = x – d – μ d ( s d n ) donde: x – d es la media de las diferencias de la muestra. μ d es la media de las diferencias de la población. s d es la desviación típica de la muestra de las diferencias. n es el tamaño de la muestra. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de un parche de software en la reducción de fallos del sistema durante un periodo de seis meses. Los resultados de instalaciones seleccionadas al azar se muestran en la . El valor “antes” se compara con un valor “después” y se calculan las diferencias. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Instalación A B C D E F G H Antes 3 6 4 2 5 8 2 6 Después 1 5 2 0 1 0 2 2 ¿Cuál es la variable aleatoria? la diferencia media de los fallos del sistema Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Qué conclusión puede sacar sobre el parche de software? Con un valor p de 0,0067, no podemos aceptar la hipótesis nula. Hay suficientes pruebas que demuestran que el parche de software es eficaz para reducir el número de fallos del sistema. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Se realizó un estudio para comprobar la eficacia de una clase de malabares. Antes de que empezara la clase seis sujetos hicieron malabares con todas las pelotas que pudieron a la vez. Después de la clase, los mismos seis sujetos hicieron todos los malabares que pudieron con las pelotas. Se calculan las diferencias en el número de pelotas. Las diferencias tienen una distribución normal. Prueba al nivel de significación del 1 %. Sujeto A B C D E F Antes 3 4 3 2 4 5 Después 4 5 6 4 5 7 Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la clase de malabares? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Un médico quiere saber si un medicamento para la presión arterial es eficaz. A seis sujetos se les toma la presión arterial y se registra. Después de doce semanas de uso del medicamento, se vuelve a tomar la presión arterial de los mismos seis sujetos. Para esta prueba, solo se considera la presión sistólica. Prueba al nivel de significación del 1 %. Paciente A B C D E F Antes 161 162 165 162 166 171 Después 158 159 166 160 167 169 Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : μ d ≥ 0 H a : μ d < 0 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es la diferencia de la media muestral? ¿Cuál es la conclusión? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que respalden la eficacia del medicamento. Tarea para la casa Diez personas siguieron una dieta baja en grasas durante 12 semanas para reducir el colesterol. Los datos se registran en la . ¿Cree que sus niveles de colesterol se redujeron significativamente? Nivel de colesterol inicial Nivel de colesterol final 140 140 220 230 110 120 240 220 200 190 180 150 190 200 360 300 280 300 260 240 valor p = 0,1494 Con un nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes para concluir que el medicamento reduzca los niveles de colesterol después de 12 semanas. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se probó un nuevo medicamento para la prevención del sida en un grupo de 224 pacientes con VIH positivo. Cuarenta y cinco pacientes desarrollaron sida después de cuatro años. En un grupo de control de 224 pacientes con VIH positivo, 68 desarrollaron sida al cabo de cuatro años. Queremos comprobar si el método de tratamiento reduce la proporción de pacientes que desarrollan sida al cabo de cuatro años o si las proporciones del grupo tratado y del grupo no tratado se mantienen igual. Supongamos que el subíndice t = paciente tratado y nt = paciente no tratado. Las hipótesis adecuadas son: H 0 : p t < p nt y H a : p t ≥ p nt H 0 : p t ≤ p nt y H a : p t > p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t ≠ p nt H 0 : p t = p nt y H a : p t < p nt Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Se realiza un experimento para demostrar que la presión arterial se puede reducir conscientemente en personas entrenadas en un “programa de ejercicios de biorrealimentación”. Se seleccionaron seis sujetos al azar y se registraron las mediciones de la presión arterial antes y después del entrenamiento. Se calculó la diferencia entre las presiones sanguíneas (después – antes) lo que arrojó los siguientes resultados x – d = −10,2 s d = 8,4. Use los datos y compruebe la hipótesis de que la presión arterial ha disminuido después del entrenamiento. La distribución para la prueba es: t 5 t 6 N (−10,2; 8,4) N(−10,2, 8,4 6 ) Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Toma cuatro nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes. Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 La decisión correcta es: Rechaza H 0 . No rechace la H 0 . Un grupo local de apoyo al cáncer cree que la estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. El grupo comparó las estimaciones de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres por estados del sur en 2012 y en 2013. Los resultados están en la . Estados del sur 2012 2013 Alabama 3.450 3.720 Arkansas 2.150 2.280 Florida 15.540 15.710 Georgia 6.970 7.310 Kentucky 3.160 3.300 Luisiana 3.320 3.630 Misisipi 1.990 2.080 Carolina del Norte 7.090 7.430 Oklahoma 2.630 2.690 Carolina del Sur 3.570 3.580 Tennessee 4.680 5.070 Texas 15.050 14.980 Virginia 6.190 6.280 Prueba: dos pares coincidentes o muestras emparejadas ( prueba t ) Variable aleatoria: X – d Distribución: t 12 H 0 : μ d = 0 H a : μ d > 0 La media de las diferencias de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur entre 2013 y 2012 es mayor de cero. La estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en el sur es mayor en 2013 que en 2012. Gráfico: cola derecha valor p : 0,0004 Decisión: No se puede aceptar H 0 Conclusión: Con un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, hay pruebas suficientes para concluir que hubo una mayor estimación de nuevos casos de cáncer de mama en mujeres en 2013 que en 2012. Un viajero quería saber si los precios de los hoteles son diferentes en las diez ciudades que visita con más frecuencia. La lista de las ciudades con los precios correspondientes de sus dos cadenas hoteleras favoritas está en la . Pruebe al nivel de significación del 1 %. Ciudades Precios del Hyatt Regency en dólares Precios del Hilton en dólares Atlanta 107 169 Boston 358 289 Chicago 209 299 Dallas 209 198 Denver 167 169 Indianápolis 179 214 Los Ángeles 179 169 Ciudad de Nueva York 625 459 Filadelfia 179 159 Washington, DC 245 239 Un político les pidió a sus colaboradores que determinaran si la tasa de subempleo en el noreste disminuyó de 2011 a 2012. Los resultados están en la . Estados del noreste 2011 2012 Connecticut 17,3 16,4 Delaware 17,4 13,7 Maine 19,3 16,1 Maryland 16,0 15,5 Massachusetts 17,6 18,2 Nuevo Hampshire 15,4 13,5 Nueva Jersey 19,2 18,7 Nueva York 18,5 18,7 Ohio 18,2 18,8 Pensilvania 16,5 16,9 Rhode Island 20,7 22,4 Vermont 14,7 12,3 Virginia Occidental 15,5 17,3 Prueba: muestras coincidentes o emparejadas (prueba t ) Datos de diferencia: {–0,9; –3,7; –3,2; –0,5; 0,6; –1,9; –0,5; 0,2; 0,6; 0,4; 1,7; –2,4; 1,8} Variable aleatoria: X – d Distribución: H 0 : μ d = 0 H a : μ d < 0 La media de las diferencias de la tasa de subempleo en los estados del noreste entre 2012 y 2011 es inferior a cero. La tasa de subempleo bajó de 2011 a 2012. Gráfico: cola izquierda. Decisión: No se puede rechazar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que hubo una disminución en las tasas de subempleo de los estados del noreste de 2011 a 2012. Resúmalo todo Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. Indique cuál de las siguientes opciones identifica mejor la prueba de hipótesis. medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas conocidas medias de grupos independientes, desviaciones típicas de la población o varianzas desconocidas muestras coincidentes o emparejadas media simple dos proporciones proporción única Se prueba una dieta en polvo en 49 personas, y una dieta líquida en 36 personas diferentes. Las desviaciones típicas de la población son de dos y tres libras, respectivamente. Nos interesa saber si la dieta líquida produce una mayor pérdida de peso media que la dieta en polvo. Se hace una prueba de sabor de una nueva barra de chocolate entre consumidores. Nos interesa saber si la proporción de niños a quienes les gusta la nueva barra de chocolate es mayor que la de adultos. e Se cree que el número medio de cursos de inglés realizados en un periodo de dos años por los estudiantes de educación superior hombres y mujeres es aproximadamente igual. Se realiza un experimento y se recopilan datos de nueve hombres y 16 mujeres. Una liga de fútbol informó que la media de anotaciones por partido era de cinco. Se hace un estudio para determinar si el número medio de anotaciones ha disminuido. d Se realiza un estudio para determinar si los estudiantes del sistema universitario estatal de California tardan más en graduarse que los inscritos en universidades privadas. Se encuestaron cien estudiantes del sistema universitario estatal de California y de universidades privadas. A partir de años de investigación se sabe que las desviaciones típicas de la población son de 1,5811 años y de un año, respectivamente. Según un boletín del Centro de Crisis por Violación de la Asociación Cristiana de Mujeres Jóvenes (Young Women's Christian Association, YWCA), el 75 % de las víctimas de violación conocen a sus agresores. Se realiza un estudio para comprobarlo. e Según un estudio reciente, las compañías estadounidenses tienen una ausencia media por maternidad de seis semanas. Una encuesta reciente sobre drogas mostró un aumento del consumo de drogas y alcohol entre los estudiantes de secundaria locales en comparación con el porcentaje nacional. Supongamos que se realiza una encuesta entre 100 jóvenes locales y 100 nacionales para ver si la proporción de consumo de drogas y alcohol es mayor localmente que en todo el país. e Un nuevo curso de estudio de la SAT se pone a prueba en 12 personas. Se registran las calificaciones antes y después del curso. Nos interesa el aumento medio de las calificaciones de la SAT. Se recopilan los siguientes datos: Calificación antes del curso Calificación después del curso 1 300 960 920 1010 1.100 840 880 1.100 1070 1250 1320 860 860 1330 1370 790 770 990 1040 1110 1.200 740 850 Investigadores de la Universidad de Michigan informaron en la Revista del Instituto Nacional del Cáncer que dejar de fumar es especialmente beneficioso para los menores de 49 años. En este estudio de la Sociedad Americana del Cáncer, el riesgo (probabilidad) de morir de cáncer de pulmón era prácticamente igual que el de quienes nunca habían fumado. e Lesley E. Tan investigó la relación entre ser zurdo o diestro y la competencia motriz en niños de preescolar. Se realizaron varias pruebas de habilidades motrices a muestras aleatorias de 41 niños de preescolar zurdos y 41 diestros para determinar si hay pruebas de una diferencia entre los niños basada en este experimento. El experimento produjo las medias y las desviaciones típicas que se muestran en la . Determine la prueba adecuada y la mejor distribución que debe utilizar para esa prueba. Zurdo Diestro Tamaño de la muestra 41 41 Media muestral 97,5 98,1 Desviación típica de la muestra 17,5 19,2 Dos medias independientes, distribución normal Dos medias independientes, distribución t de Student Muestras coincidentes o emparejadas, distribución t de Student Dos proporciones de población, distribución normal Una instructora de golf está interesada en determinar si su nueva técnica para mejorar los resultados de los jugadores de golf es eficaz. Lleva a cuatro (4) nuevos estudiantes. Registra sus calificaciones de 18 hoyos antes de aprender la técnica y después de haber tomado su clase. Realiza una prueba de hipótesis. Los datos son los siguientes: . Jugador 1 Jugador 2 Jugador 3 Jugador 4 Puntuación media antes de la clase 83 78 93 87 Puntuación media después de la clase 80 80 86 86 Esto es: una prueba de dos medias independientes. una prueba de dos proporciones. una prueba de una sola media. una prueba de una sola proporción. a", "section": "Muestras coincidentes o emparejadas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción La distribución chi-cuadrado se puede usar para hallar relaciones entre dos cosas, como los precios de los comestibles en diferentes tiendas (créditos: Pete/flickr). ¿Alguna vez se ha preguntado si los números ganadores de la lotería se distribuyen uniformemente o si algunos números se producen con mayor frecuencia? ¿Qué tal si los tipos de películas que prefiere las personas son diferentes en los distintos grupos de edad? ¿Y si una máquina de café dispensara aproximadamente la misma cantidad de café cada vez? Podría responder estas preguntas mediante una prueba de hipótesis. Ahora estudiará una nueva distribución, la cual se utiliza para determinar las respuestas de estas preguntas. Esta distribución se denomina distribución chi-cuadrado. En este capítulo aprenderá las tres principales aplicaciones de la distribución chi-cuadrado la prueba de bondad de ajuste, que determina si los datos se ajustan a una determinada distribución, como en el ejemplo de la lotería la prueba de independencia, que determina si los eventos son independientes, como en el ejemplo de la película la prueba de una sola varianza, que comprueba la variabilidad, como en el ejemplo del café", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Datos sobre la distribución chi-cuadrado La notación para la distribución chi-cuadrado es: χ ∼ χ d e 2 donde df = grados de libertad, lo cual depende de cómo se utilice el chi-cuadrado (si quiere practicar el cálculo de probabilidades chi-cuadrado, utilice df = n – 1. Los grados de libertad para los tres usos principales se calculan cada uno de forma diferente). Para la distribución χ 2 , la media poblacional es μ = df y la desviación típica poblacional es σ = 2 ( d e ) . La variable aleatoria se muestra como χ 2 . La variable aleatoria para una distribución chi-cuadrado con k grados de libertad es la suma de variables k normales cuadradas independientes. χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + ... + ( Z k ) 2 La curva no es simétrica y es asimétrica hacia la derecha. Hay una curva de chi-cuadrado diferente para cada df . El estadístico de prueba para cualquier prueba es siempre mayor o igual a cero. Cuando df > 90, la curva chi-cuadrado se aproxima a la distribución normal. Para X ~ χ 1.000 2 la media, μ = df = 1.000 y la desviación típica, σ = 2 ( 1.000 ) = 44,7. Por tanto, X ~ N (1.000, 44,7), aproximadamente. La media, μ , se encuentra justo a la derecha del pico. Referencias Datos de la Revista Parade . “HIV/AIDS Epidemiology Santa Clara County”, Departamento de Salud Pública del condado de Santa Clara, mayo de 2011. Repaso del capítulo La distribución chi-cuadrado es una herramienta útil para la evaluación en una serie de categorías de problemas. Estas categorías de problemas incluyen principalmente (i) si un conjunto de datos se ajusta a una determinada distribución; (ii) si las distribuciones de dos poblaciones son iguales; (iii) si dos eventos pueden ser independientes; y (iv) si hay una variabilidad diferente a la esperada dentro de una población. Un parámetro importante en una distribución chi-cuadrado son los grados de libertad df en un problema dado. La variable aleatoria en la distribución chi-cuadrado es la suma de cuadrados de df variables normales estándar, los cuales deben ser independientes. Las características clave de la distribución chi-cuadrado también dependen directamente de los grados de libertad. La curva de la distribución chi-cuadrado es asimétrica hacia la derecha, y su forma depende de los grados de libertad df . Para df > 90, la curva se aproxima a la distribución normal. Los estadísticos de prueba basados en la distribución chi-cuadrado son siempre mayores o iguales a cero. Estas pruebas de aplicación son casi siempre pruebas de cola derecha. Revisión de la fórmula χ 2 = ( Z 1 ) 2 + ( Z 2 ) 2 + … ( Z df ) 2 variable aleatoria de distribución chi-cuadrado μ χ 2 = df distribución chi-cuadrado media de la población σ χ 2 = 2 ( d e ) Distribución chi-cuadrado de la desviación típica de la población Si el número de grados de libertad de una distribución chi-cuadrado es 25, ¿cuál es la media y la desviación típica de la población? media = 25 y desviación típica = 7,0711 Si df > 90, la distribución es _____________. Si df = 15, la distribución es ________________. ¿Cuándo se aproxima la curva chi-cuadrado a una distribución normal? cuando el número de grados de libertad es superior a 90 ¿Dónde se ubica μ en una curva de chi-cuadrado? ¿Es más probable que el df sea 90, 20 o dos en el gráfico? df = 2 Tarea para la casa Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. A medida que aumenta el número de grados de libertad, el gráfico de la distribución chi-cuadrado parece cada vez más simétrico. verdadero La desviación típica de la distribución chi-cuadrado es el doble de la media. La media y la mediana de la distribución chi-cuadrado son iguales si df = 24. falso", "section": "Datos sobre la distribución chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de una sola varianza Hasta ahora nuestro interés se ha centrado exclusivamente en el parámetro poblacional μ o su contrapartida en la binomial, p. Seguramente la media de una población es el dato más crítico que se tiene, pero en algunos casos nos interesa la variabilidad de los resultados de alguna distribución. En casi todos los procesos de producción, la calidad se mide no solo por el grado de adecuación de la máquina al objetivo, sino también por la variabilidad del proceso. Si se llenaran bolsas con patas fritas, no solo interesaría el peso promedio de la bolsa, sino también la variación de los pesos. Nadie quiere que se le asegure que el peso promedio es exacto cuando su bolsa no tiene papas fritas. El voltaje eléctrico puede alcanzar cierto nivel promedio, pero una gran variabilidad, los picos, pueden causar graves daños a las máquinas eléctricas, especialmente a las computadoras. No solo me gustaría obtener una nota media alta en mis clases, sino también una baja variación en torno a esta media. En resumen, las pruebas estadísticas relativas a la varianza de una distribución tienen un gran valor y muchas aplicaciones. Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal . Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población . El estadístico de prueba es: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 donde: n = el número total de observaciones en los datos de la muestra s 2 = varianza de la muestra σ 0 2 = valor hipotético de la varianza de la población H 0 : σ 2 = σ 0 2 H a : σ 2 ≠ σ 0 2 Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población. A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio. Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Aunque se nos da la desviación típica de la población podemos establecer la prueba utilizando la varianza de la población de la siguiente manera. H 0 : σ 2 ≤ 5 2 H a : σ 2 > 5 2 Ejercicio Un instructor de submarinismo quiere registrar las profundidades colectivas de cada una de las inmersiones de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? H 0 : σ 2 = 3 2 H a : σ 2 < 3 2 Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos comprueba que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única línea de espera principal y concluye que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, el tiempo de espera tiene una desviación típica de 3,5 minutos un viernes por la tarde. Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una línea única provoca una variación menor entre los tiempos de espera de los clientes . Dado que la afirmación es que una sola fila causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza de la población, σ 2 . Variable aleatoria: La desviación típica de la muestra, s , es la variable aleatoria. Supongamos que s = desviación típica de los tiempos de espera. H 0 : σ 2 ≥ 7,2 2 H a : σ 2 < 7,2 2 La palabra “menos” indica que se trata de una prueba de cola izquierda. Distribución para la prueba: χ 24 2 , donde: n = el número de clientes muestreados df = n – 1 = 25 – 1 = 24 Calcule el estadístico de prueba: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 2 = ( 25 – 1 ) ( 3,5 ) 2 7,2 2 = 5,67 donde n = 25, s = 3,5 y σ = 7,2. El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con 24 grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05, 13,85. El valor crítico de 13,85 procede de la tabla de chi-cuadrado, que se lee de forma muy parecida a la tabla t de Student. La diferencia es que la distribución t de Student es simétrica y la distribución de chi-cuadrado no lo es. En la parte superior de la tabla de chi-cuadrado no solo vemos los valores conocidos 0,05, 0,10, etc., sino también 0,95, 0,975, etc. Estas son las columnas que se utilizan para hallar el valor crítico de la izquierda. El gráfico también marca el valor χ 2 calculado del estadístico de prueba de 5,67. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que se rechaza σ 2 ≥ 7,2 2 . En otras palabras, no cree que la variación de los tiempos de espera sea de 7,2 minutos o más, sino que es menor. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que una sola fila provoca una menor variación entre los tiempos de espera o que con una sola fila, los tiempos de espera de los clientes varían menos de 7,2 minutos. El profesor Hadley tiene debilidad por las donas rellenas de crema, pero cree que algunas panaderías no las rellenan adecuadamente. Una muestra de 24 donas revela una cantidad media de relleno igual a 0,04 tazas, y la desviación típica de la muestra es de 0,11 tazas. Obviamente, al profesor Hadley le interesa la cantidad promedio de relleno, pero le angustia el hecho de que una dona sea radicalmente diferente de otra. Al profesor Hadley no le gustan las sorpresas. Pruebe al 95% la hipótesis nula de que la varianza poblacional del relleno de las donas es significativamente diferente de la cantidad promedio de relleno. Es evidente que se trata de un problema que tiene que ver con las varianzas. En este caso, estamos analizando una sola muestra en lugar de comparar dos muestras de poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son las siguientes: H 0 : σ 2 = 0,04 H 0 : σ 2 ≠ 0,04 La prueba está configurada como de dos colas porque el profesor Hadley ha expresado su preocupación por una variación excesiva en el relleno, así como por una variación insuficiente: su disgusto por las sorpresas es cualquier nivel de relleno fuera del promedio previsto de 0,04 tazas. Se calcula que el estadístico de prueba es: χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ o 2 = ( 24 – 1 ) 0,11 2 0,04 2 = 6,9575 El valor calculado del estadístico de prueba χ 2 de 6,96 está en la cola y, por ende, a un nivel de significación de 0,05. No podemos aceptar la hipótesis nula de que la varianza en el relleno de las donas es igual a 0,04 tazas. Parece que el profesor Hadley está destinado a encontrarse con la decepción en cada bocado. Ejercicio La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, trace el gráfico de la distribución, marque el área asociada al nivel de confianza y extraiga una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %. H 0 : σ 2 = 12,2 2 H a : σ 2 > 12,2 2 df = 14 estadístico de prueba chi 2 = 16,39 El valor p es de 0,2902, por lo que rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes para sugerir que la varianza sea superior al 12,2 2 . Pulgadas 2nd DISTR , use7: χ2cdf . La sintaxis es (inferior, superior, df) para la lista de parámetros. χ2cdf(16,39; 10^99; 14) . El valor p = 0,2902. Referencias “AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012. Repaso del capítulo Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica). Revisión de la fórmula χ 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 Prueba de una estadística de varianza única donde: n : tamaño de la muestra s : desviación típica de la muestra σ 0 : valor hipotético de la desviación típica de la población df = n – 1 grado de libertad Prueba de una sola varianza Utilice la prueba para determinar la variación. Los grados de libertad son el número de muestras – 1. El estadístico de prueba es ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 , donde n = tamaño de la muestra, s 2 = varianza de la muestra y σ 2 = varianza de la población. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? una prueba de cola izquierda Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 2 = 0,81 2 ; H a : σ 2 > 0,81 2 df = ________ Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. ¿El viajero está discutiendo el reclamo sobre el promedio o sobre la varianza? Una desviación típica de la muestra de 15 minutos es lo mismo que una varianza de la muestra de __________ minutos. 225 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? H 0 : __________ H 0 : σ 2 ≤ 150 df = ________ estadístico de prueba chi-cuadrado = ________ 36 Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree el área asociada al nivel de confianza. Compruebe la solución del estudiante. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________ Conclusión (escribir en una oración completa.): ________ ¿Cómo supo que debía analizar la varianza en vez de la media? La afirmación es que la varianza no es superior a 150 minutos. Si se realizara una prueba adicional sobre la reclamación del retraso promedio, ¿qué distribución utilizaría? Si se hiciera una prueba adicional sobre la afirmación del retraso promedio, pero se encuestaran 45 vuelos, ¿qué distribución utilizaría? una distribución t de Student o normal A la gerente de una planta le preocupa que su equipo necesite recalibración. Parece que el peso real de las cajas de cereales de 15 oz que llena ha estado fluctuando. La desviación típica debe ser como máximo de 0,5 oz. Para determinar si es necesario recalibrar la máquina, se pesaron 84 cajas de cereales seleccionadas al azar de la producción del día siguiente. La desviación típica de las 84 cajas fue de 0,54. ¿Es necesario recalibrar la máquina? Los consumidores pueden estar interesados en saber si el costo de una calculadora particular varía de una tienda a otra. Sobre la base de una encuesta realizada en 43 tiendas, que arrojó una media muestral de 84 dólares y una desviación típica de la muestra de 12 dólares, pruebe la afirmación de que la desviación típica es mayor de 15 dólares. H 0 : σ = 15 H a : σ > 15 df = 42 chi-cuadrado con df = 42 estadístico de prueba = 26,88 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a 15. Isabella, una consumada corredora de Bay to Breakers , afirma que la desviación típica de su tiempo para correr las 7,5 millas es de tres minutos como máximo. Para probar su afirmación, Rupinder ve cinco de sus tiempos de carrera. Son 55 minutos, 61 minutos, 58 minutos, 63 minutos y 57 minutos. Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. También se interesan por la variación del número de bebés. Supongamos que un ejecutivo de una compañía aérea cree que el número promedio de bebés en los vuelos es de seis, con una varianza de nueve como máximo. La compañía aérea recopila los datos. Los resultados de los 18 vuelos investigados dan un promedio muestral de 6,4 con una desviación típica de la muestra de 3,9. Realice una prueba de hipótesis sobre la creencia del ejecutivo de la aerolínea. H 0 : σ ≤ 3 H a : σ > 3 df = 17 distribución chi-cuadrado con df = 17 estadístico de prueba = 28,73 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a tres. El número de nacimientos por mujer en China es de 1,6, versus los 5,91 de 1966. Esta tasa de fecundidad se ha atribuido a la ley aprobada en 1979 que restringe los nacimientos a uno por mujer. Supongamos que un grupo de estudiantes estudia si la desviación típica de los nacimientos por mujer es o no superior a 0,75. Les preguntaron a 50 mujeres de toda China el número de partos que habían tenido. Los resultados se muestran en la . ¿La encuesta de los estudiantes indica que la desviación típica es superior a 0,75? N.º de nacimientos Frecuencia 0 5 1 30 2 10 3 5 Según un ávido piscicultor, el número promedio de peces en un tanque de 20 galones es de 10, con una desviación típica de dos. Su amigo, también piscicultor, no cree que la desviación típica sea de dos. Cuenta el número de peces en otras 15 peceras de 20 galones. Basándose en los siguientes resultados, ¿cree que la desviación típica es diferente de dos? Datos: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11 H 0 : σ = 2 H a : σ ≠ 2 df = 14 distribución chi-cuadrado con df = 14 estadístico de prueba chi-cuadrado = 5,2094 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es diferente de 2. Al gerente de Frenchies le preocupa que los clientes no reciban siempre la misma cantidad de papas fritas con cada orden. El chef afirma que la desviación típica de una orden de diez onzas de papas fritas es como máximo de 1,5 oz, pero el gerente cree que puede ser mayor. Pesa aleatoriamente 49 órdenes de papas fritas, lo que arroja una media de 11 onzas y una desviación típica de dos onzas. Quiere comprar una computadora específica. Un representante de ventas del fabricante afirma que las tiendas minoristas venden esta computadora a un precio promedio de 1.249 dólares con una desviación típica muy estrecha de 25 dólares. Encuentra un sitio web que tiene una comparación de precios para la misma computadora en una serie de tiendas de la siguiente manera: 1.299; 1.229,99; 1.193,08; 1.279; 1.224,95; 1.229,99; 1.269,95; y 1.249 dólares. ¿Puede argumentar que los precios tienen una desviación típica mayor que la que afirma el fabricante? Utilice el nivel de significación del 5 %. Como comprador potencial, ¿cuál sería la conclusión práctica de su análisis? La desviación típica de la muestra es de 34,29 dólares. H 0 : σ 2 = 25 2 H a : σ 2 > 25 2 df = n – 1 = 7. estadístico de prueba: x 2 = x 7 2 = ( n – 1 ) s 2 25 2 = ( 8 – 1 ) ( 34,29 ) 2 25 2 = 13,169 ; Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: al nivel del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza es superior a 625. Una compañía empaqueta manzanas por peso. Uno de los grados de peso es el de las manzanas de clase A. Las manzanas de clase A tienen un peso medio de 150 g, y existe una tolerancia de peso máxima permitida del 5 % por encima o por debajo de la media para las manzanas del mismo paquete de consumo. Se selecciona un lote de manzanas para incluirlo en un paquete de manzanas de clase A. Teniendo en cuenta los siguientes pesos de las manzanas del lote, ¿la fruta cumple con los requisitos de tolerancia de peso de la clase A? Realice una prueba de hipótesis adecuada. (a) al nivel de significación del 5 % (b) al nivel de significación del 1 % Pesos en el lote de manzanas seleccionado (en gramos): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;", "section": "Prueba de una sola varianza", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de bondad de ajuste En este tipo de prueba de hipótesis se determina si los datos “se ajustan” a una determinada distribución o no. Por ejemplo, puede sospechar que sus datos desconocidos se ajustan a una distribución binomial. Se utiliza una prueba de chi-cuadrado (lo que significa que la distribución para la prueba de hipótesis es chi-cuadrado) para determinar si hay un ajuste o no. Las hipótesis nula y alternativa de esta prueba se pueden escribir en oraciones o plantear como ecuaciones o desigualdades. El estadístico de prueba para una prueba de bondad de ajuste es: Σ k ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados (datos) E = valores esperados (de la teoría) k = el número de celdas o categorías de datos diferentes Los valores observados son los valores de los datos y los valores esperados son los valores que se esperarían obtener si la hipótesis nula fuera cierta. Hay n términos de la forma ( O – E ) 2 E . El número de grados de libertad es df = (número de categorías – 1). La prueba de bondad de ajuste es casi siempre de cola derecha. Si los valores observados y los correspondientes valores esperados no se aproximan entre sí, el estadístico de prueba puede ser muy grande y se situará en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado. Nota El número de valores esperados dentro de cada celda debe ser al menos cinco para poder utilizar esta prueba. El ausentismo de los estudiantes universitarios a las clases de Matemáticas es una de las principales preocupaciones de los instructores de Matemáticas, ya que ausentarse de clase parece aumentar la tasa de abandono. Supongamos que se realiza un estudio para determinar si la tasa real de ausentismo de los estudiantes sigue la percepción del profesorado. El profesorado esperaba que un grupo de 100 estudiantes se ausentara de clase según se indica en la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9–11 6 12+ 2 Luego, se realizó una encuesta aleatoria en todos los cursos de Matemáticas para determinar el número real (observado) de ausencias en un curso. El gráfico de la muestra los resultados de esa encuesta. Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9–11 1 12+ 4 Determine las hipótesis nula y alternativa necesarias para realizar una prueba de bondad de ajuste. H 0 : El ausentismo de los estudiantes se ajusta a la percepción del profesorado. La hipótesis alternativa es la opuesta a la hipótesis nula. H a : El ausentismo de los estudiantes no se ajusta a la percepción del profesorado. a. ¿Puede utilizar la información tal y como aparece en los gráficos para realizar la prueba de bondad de ajuste? a. No. Tome nota que el número de ausencias previsto para la entrada “más de 12” es inferior a cinco (es dos). Combine ese grupo con el de “9-11” para crear nuevas tablas en las que el número de estudiantes de cada entrada sea de cinco como mínimo. Los nuevos resultados están en la y la . Número de ausencias por trimestre Número previsto de estudiantes 0–2 50 3–5 30 6–8 12 9+ 8 Número de ausencias por trimestre Número real de estudiantes 0–2 35 3–5 40 6–8 20 9+ 5 b. ¿Cuál es el número de grados de libertad ( df )? b. Hay cuatro “celdas” o categorías en cada una de las nuevas tablas. df = número de celdas – 1 = 4 – 1 = 3 Ejercicio El gerente de una fábrica necesita saber cuántos productos son defectuosos frente a cuántos se producen. El número de defectos previstos figura en la . Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 6 201–300 7 301–400 8 401–500 10 Se tomó una muestra aleatoria para determinar el número real de defectos. La muestra los resultados de la encuesta. Número producido Número defectuoso 0–100 5 101–200 7 201–300 8 301–400 9 401–500 11 Indique las hipótesis nula y alternativa necesarias para llevar a cabo una prueba de bondad de ajuste, e indique los grados de libertad. H 0 : El número de impagos se ajusta a las expectativas. H a : El número de impagos no se ajusta a las expectativas. df = 4 Los empleadores quieren saber qué días de la semana se ausentan los empleados en una semana laboral de cinco días. La mayoría de los empleadores quiere creer que los empleados se ausentan por igual durante la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 60 gerentes qué día de la semana tienen el mayor número de ausencias de empleados. Los resultados se distribuyeron como en la . Para la población de empleados, ¿los días de mayor número de ausencias se producen con igual frecuencia durante una semana laboral de cinco días? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Día de la semana en que los empleados estuvieron más ausentes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Número de ausencias 15 12 9 9 15 Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Los días ausentes se producen con igual frecuencia, es decir, se ajustan a una distribución uniforme. H a : Los días ausentes se producen con frecuencias desiguales, es decir, no se ajustan a una distribución uniforme. Si los días de ausencia se producen con igual frecuencia, entonces, de los 60 días de ausencia (el total de la muestra: 15 + 12 + 9 + 9 + 15 = 60), habría 12 ausencias el lunes, 12 el martes, 12 el miércoles, 12 el jueves y 12 el viernes. Estos números son los valores esperados ( E ). Los valores de la tabla son los valores o datos observados ( O ). Esta vez, calcule el estadístico de prueba χ 2 a mano. Haga un cuadro con los siguientes títulos y rellene las columnas: Valores esperados ( E ) (12, 12, 12, 12, 12) Valores observados ( O ) (15, 12, 9, 9, 15) ( O – E ) ( O – E ) 2 ( O – E ) 2 E Ahora, añada (sume) la última columna. La suma es de tres. Se trata del estadístico de prueba χ 2 . El valor calculado del estadístico de prueba es 3 y el valor crítico de la distribución χ 2 a 4 grados de libertad; el nivel de confianza de 0,05 es 9,48. Este valor se encuentra en la tabla χ 2 en la columna 0,05 de la fila 4 de grados de libertad. Los grados de libertad son el número de celdas – 1 = 5 – 1 = 4 Luego, complete un gráfico como el siguiente con el identificado y el sombreado adecuados (debería sombrear la cola derecha). χ c 2 = Σ k ( O – E ) 2 E = 3 La decisión es no rechazar la hipótesis nula porque el valor calculado del estadístico de prueba no está en la cola de la distribución. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos de la muestra, no hay pruebas suficientes para concluir que los días de ausencia no se producen con igual frecuencia. Ejercicio Los maestros quieren saber qué noche de la semana sus estudiantes hacen la mayor parte de las tareas para la casa. La mayoría de los maestros piensan que los estudiantes hacen las tareas para la casa por igual a lo largo de la semana. Supongamos que se pregunta a una muestra aleatoria de 56 estudiantes en qué noche de la semana hacen más tareas para la casa. Los resultados se distribuyeron como en la . Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Número de estudiantes 11 8 10 7 10 5 5 De la población de estudiantes, ¿las noches en las que el mayor número de estudiantes hace la mayoría de sus tareas para la casa ocurren con igual frecuencia durante una semana? ¿Qué tipo de prueba de hipótesis debe utilizar? df = 6 valor p = 0,6093 No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que demuestren que los estudiantes no hacen la mayoría de los deberes por igual a lo largo de la semana. Un estudio indica que el número de televisores que tienen las familias estadounidenses se distribuye (esta es la distribución dada para la población estadounidense) como en la . Número de televisores Porcentaje 0 10 1 16 2 55 3 11 4+ 8 La tabla contiene los porcentajes esperados ( E ). Una muestra aleatoria de 600 familias del extremo oeste de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de televisores Frecuencia 0 66 1 119 2 340 3 60 4+ 15 Total = 600 La tabla contiene los valores de frecuencia observados ( O ). Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución de la población estadounidense en su conjunto? Este problema le pide que compruebe si la distribución de las familias del extremo oeste de Estados Unidos se ajusta a la distribución de las familias del resto del país. Esta prueba es siempre de cola derecha. La primera tabla contiene los porcentajes previstos. Para obtener las frecuencias esperadas ( E ), multiplique el porcentaje por 600. Las frecuencias esperadas se muestran en la . Número de televisores Porcentaje Frecuencia esperada 0 10 (0,10)(600) = 60 1 16 (0,16)(600) = 96 2 55 (0,55)(600) = 330 3 11 (0,11)(600) = 66 más de 3 8 (0,08)(600) = 48 Por lo tanto, las frecuencias esperadas son 60, 96, 330, 66 y 48. H 0 : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es igual a la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. H a : La distribución del “número de televisores” de las familias del extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” de la población estadounidense. Distribución para la prueba: χ 4 2 donde df = (el número de celdas) – 1 = 5 – 1 = 4. Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 29,65 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 99 %, α = 0,01; 13,277. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba de chi-cuadrado en 29,65. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Dado que el estadístico de prueba está en la cola de la distribución, no podemos aceptar la hipótesis nula. Esto significa que usted rechaza la creencia de que la distribución para los estados del extremo oeste es igual a la de la población estadounidense en su conjunto. Conclusión: Al nivel de significación del 1 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del “número de televisores” para el extremo oeste de Estados Unidos es diferente de la distribución del “número de televisores” para el conjunto de la población estadounidense. Ejercicio El porcentaje esperado del número de mascotas que tienen los estudiantes en sus hogares se distribuye (es la distribución dada para la población estudiantil de Estados Unidos) como en la . Número de mascotas Porcentaje 0 18 1 25 2 30 3 18 4+ 9 Una muestra aleatoria de 1.000 estudiantes del este de Estados Unidos dio como resultado los datos que figuran en la . Número de mascotas Frecuencia 0 210 1 240 2 320 3 140 4+ 90 Al nivel de significación del 1 %, ¿parece que la distribución “número de mascotas” de los estudiantes del este de Estados Unidos es diferente de la distribución para el conjunto de la población estudiantil de Estados Unidos? Valor p = 0,0036 Rechazamos la hipótesis nula de que las distribuciones son iguales. Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución \"número de mascotas\" de los estudiantes en el este de Estados Unidos es diferente de la distribución para el conjunto de la población estudiantil de Estados Unidos. Supongamos que lanza dos monedas 100 veces. Los resultados son 20 HH , 27 HT , 30 TH y 23 TT . ¿Las monedas son imparciales? Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Este problema se puede plantear como un problema de bondad de ajuste. El espacio muestral para lanzar dos monedas imparciales es { HH , HT , TH , TT }. De cada 100 lanzamientos, se esperan 25 HH , 25 HT , 25 TH y 25 TT . Esta es la distribución esperada de probabilidad binomial. La pregunta “¿las monedas son imparciales?” es lo mismo que decir “¿la distribución de las monedas (20 HH , 27 HT , 30 TH , 23 TT ) se ajusta a la distribución esperada?”. Variable aleatoria: Supongamos que X = el número de caras en un lanzamiento de las dos monedas. X toma los valores 0, 1, 2 (hay 0, 1 o 2 caras en el lanzamiento de dos monedas). Por lo tanto, el número de celdas es tres . Como X = el número de caras, las frecuencias observadas son 20 (para dos caras), 57 (para una cara) y 23 (para cero caras o dos cruces). Las frecuencias esperadas son 25 (para dos caras), 50 (para una cara) y 25 (para cero caras o dos cruces). Esta prueba es de cola derecha. H 0 : Las monedas son imparciales. H a : Las monedas no son imparciales. Distribución para la prueba: χ 2 2 donde df = 3 – 1 = 2. Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 2,14 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con dos grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 5,991. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ 2 en 2,14. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las monedas no son justas: no podemos rechazar la hipótesis nula de que las monedas son justas. Referencias Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del College Board. Disponible en línea en http://www.collegeboard.com. Datos de la Oficina del Censo de EE. UU., Current Population Reports. Ma, Y., E. R. Bertone, E. J. Stanek III, G. W. Reed, J. R. Hebert, N. L. Cohen, P. A. Merriam, I. S. Ockene, “Association between Eating Patterns and Obesity in a Free-living US Adult Population”. American Journal of Epidemiology volume 158, n.º 1, pages 85-92. Ogden, Cynthia L., Margaret D. Carroll, Brian K. Kit, Katherine M. Flegal, “Prevalence of Obesity in the United States, 2009–2010”. NCHS Data Brief n.º 82, enero de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/data/databriefs/db82.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Stevens, Barbara J., “Multi-family and Commercial Solid Waste and Recycling Survey”. Condado de Arlington, VA. Disponible en línea en http://www.arlingtonva.us/departments/EnvironmentalServices/SW/file84429.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si un conjunto de datos se ajusta a una distribución específica, puede aplicar la prueba de hipótesis de bondad de ajuste que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que los datos proceden de la distribución supuesta. La prueba compara los valores observados con los valores que se esperarían tener si los datos siguieran la distribución supuesta. La prueba es casi siempre de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ k ( O – E ) 2 E estadístico de prueba de bondad de ajuste donde: O : valores observados E : valores esperados k : número de celdas o categorías de datos diferentes df = k − 1 grados de libertad Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una arqueóloga está calculando la distribución de la frecuencia del número de artefactos que encuentre en una excavación. Basándose en excavaciones anteriores, el arqueólogo crea una distribución prevista desglosada por secciones de la cuadrícula en el lugar de la excavación. Una vez que el yacimiento se ha excavado por completo, compara el número real de objetos encontrados en cada sección de la cuadrícula para determinar si sus expectativas eran correctas. Un economista está elaborando un modelo para predecir los resultados del mercado de valores. Crea una lista de puntos esperados en el índice bursátil para las próximas dos semanas. Al cierre de cada jornada registra los puntos reales del índice. Quiere ver hasta qué punto su modelo coincide con lo que realmente ocurrió. una prueba de bondad de ajuste Una entrenadora personal está preparando un programa de levantamiento de pesas para sus clientes. Para un programa de 90 días espera que cada cliente levante un peso máximo específico cada semana. A medida que avanza registra los pesos máximos reales que levantan sus clientes. Quiere saber si sus expectativas se ajustan a lo observado. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Un maestro predice cuál será la distribución de las notas del examen final y las registra en la . Grado Proporción A 0,25 B 0,30 C 0,35 D 0,10 La distribución real para una clase de 20 está en la . Grado Frecuencia A 7 B 7 C 5 D 1 d e = ______ 3 Indique las hipótesis nula y alternativa. estadístico de prueba χ 2 = ______ 2,04 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué puede concluir? No rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes que sugieran que las calificaciones observadas en las pruebas sean significativamente diferentes de las esperadas. Use la siguiente información para responder los próximos nueve ejercicios: los siguientes datos son reales. El número acumulado de casos de SIDA notificados en el condado de Santa Clara se desglosa por grupos étnicos como en la . Etnia Número de casos Blancos 2.229 Hispanos 1.157 Negros/Afroamericanos 457 Asiáticos, isleños del Pacífico 232 Total = 4.075 El porcentaje de cada grupo étnico en el condado de Santa Clara es el que figura en la . Etnia Porcentaje de la población total del condado Número esperado (redondeado a dos decimales) Blancos 42,9% 1.748,18 Hispanos 26,7% Negros/Afroamericanos 2,6% Asiáticos, isleños del Pacífico 27,8 % Total = 100 % Si las etnias de las víctimas de sida aparecen según las etnias de la población total del condado, rellene el número esperado de casos por grupo étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si la aparición de casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H 0 : _______ H 0 : la distribución de los casos de sida es según las etnias de la población general del condado de Santa Clara. H a : _______ ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? cola derecha grados de libertad = _______ estadístico de prueba χ 2 = _______ 2016,136 Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al nivel de confianza. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________________ Motivo de la decisión: ________________ Conclusión (escriba en oraciones completas): ________________ Gráfico: Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión (escriba en oraciones completas): La composición de los casos de SIDA no se ajusta a las etnias de la población general del condado de Santa Clara. ¿Parece que el patrón de casos de sida en el condado de Santa Clara se corresponde con la distribución de los grupos étnicos en este condado? ¿Por qué sí o por qué no? Tarea para la casa Se lanza un dado de seis caras 120 veces. Rellene la columna de frecuencia prevista. Luego, realice una prueba de hipótesis para determinar si el dado es imparcial. Los datos de la son el resultado de las 120 lanzamientos. Valor nominal Frecuencia Frecuencia esperada 1 15 2 29 3 16 4 15 5 30 6 15 La distribución del estado civil de la población de hombres de EE. UU. de 15 años o más es la que se muestra en la . Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada Soltero 31,3 Casado 56,1 Viudo 2,5 Divorciado/Separado 10,1 Supongamos que una muestra aleatoria de 400 hombres adultos jóvenes de EE. UU. de 18 a 24 años arroja la siguiente distribución de frecuencias. Nos interesa saber si este grupo de edad de hombres se ajusta a la distribución de la población adulta de EE. UU. Calcule la frecuencia que cabría esperar al encuestar a 400 personas. Rellene la , redondeando a dos decimales. Estado civil Frecuencia Soltero 140 Casado 238 Viudo 2 Divorciado/Separado 20 Estado civil Porcentaje Frecuencia esperada Soltero 31,3 125,2 Casado 56,1 224,4 Viudo 2,5 10 Divorciado/Separado 10,1 40,4 Los datos se ajustan a la distribución. Los datos no se ajustan a la distribución. 3 distribución chi-cuadrado con df = 3 19,27 0,0002 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula con un nivel de significación del 5 %. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Los datos no se ajustan a la distribución. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: las columnas de la contienen la raza/etnia de escuelas públicas de EE. UU. para un año reciente, los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada para esa clase y la población estudiantil general. Supongamos que la columna de la derecha contiene el resultado de una encuesta realizada a 1.000 estudiantes locales de ese año que presentaron un examen de AP. Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total Frecuencia de las encuestas Asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,2% 5,4% 113 Negro o afroamericano 8,2% 14,5% 94 Hispano o latino 15,5 % 15,9% 136 Amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,2% 10 Blancos 59,4% 61,6% 604 No informado/otro 6,1% 1,4% 43 Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población estudiantil general de EE. UU. con base en el origen étnico. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. con base en su origen étnico. H 0 : Los resultados locales siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. H a : Los resultados locales no siguen la distribución de la población de examinados de AP de EE. UU. df = 5 distribución chi-cuadrado con df = 5 estadístico de prueba chi-cuadrado = 13,4 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula cuando a = 0,05 Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Los datos locales no se ajustan a la distribución de los examinados de AP. Decisión: No rechaza la nulidad cuando a = 0,01 Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que los datos locales no siguen la distribución de los examinados de AP de EE. UU. La ciudad de South Lake Tahoe, California tiene una población asiática de 1.419 personas, de una población total de 23.609. Supongamos que una encuesta realizada a 1.419 asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan (Nueva York) arroja los datos de la . Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si los subgrupos de asiáticos autodeclarados en el área de Manhattan se ajustan a los de la zona del Lake Tahoe. Raza Frecuencia en el lago Tahoe Frecuencia en Manhattan Indio asiático 131 174 Chino 118 557 Filipino 1.045 518 Japonés 80 54 Coreano 12 29 Vietnamita 9 21 Otro 24 66 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: la UCLA realizó una encuesta a más de 263.000 estudiantes de primer año de 385 institutos universitarios en otoño de 2005. Los resultados de las especialidades esperadas de los estudiantes, por sexo, fueron presentado en The Chronicle of Higher Education (2 feb 2006). . Supongamos que el año pasado se realizó una encuesta de seguimiento a 5.000 mujeres y 5.000 hombres que se graduaron para determinar cuáles eran sus especialidades reales. Los resultados se muestran en las tablas del y del . La segunda columna de cada tabla no suma el 100 % debido al redondeo. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Mujeres: especialidad esperada Mujeres: especialidad real Arte y Humanidades 14,0% 670 Ciencias Biológicas 8,4% 410 Negocios 13,1% 685 Educación 13,0% 650 Ingeniería 2,6% 145 Ciencias Físicas 2,6% 125 Profesional 18,9% 975 Ciencias Sociales 13,0% 605 Técnica 0,4% 15 Otro 5,8% 300 Indecisos 8,0% 420 H 0 : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas H a : Las especialidades universitarias reales de las mujeres que se gradúan no se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas df = 10 distribución chi-cuadrado con df = 10 estadístico de prueba = 11,48 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula cuando a = 0,05 y a = 0,01 Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las especialidad real en los estudios universitarios de las mujeres que se gradúan se ajusta a la distribución de la especialidad esperada. Haga una prueba de bondad de ajuste para determinar si las especialidades universitarias reales de los hombres que se gradúan se ajustan a la distribución de sus especialidades esperadas. Especialidad Hombres: especialidad esperada Hombres: especialidad real Arte y Humanidades 11,0% 600 Ciencias Biológicas 6,7% 330 Negocios 22,7% 1130 Educación 5,8% 305 Ingeniería 15,6 % 800 Ciencias Físicas 3,6% 175 Profesional 9,3% 460 Ciencias Sociales 7,6 % 370 Técnica 1,8% 90 Otro 8,2% 400 Indecisos 6,6% 340 Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. En general, si los valores observados y los valores esperados de una prueba de bondad de ajuste no están cerca, el estadístico de prueba puede ser muy grande y en un gráfico estará muy lejos en la cola derecha. Utilice una prueba de bondad de ajuste para determinar si los directores de las escuelas secundarias creen que los estudiantes se ausentan por igual durante la semana o no. verdadero La prueba que se va a usar para determinar si un dado de seis caras es imparcial es una prueba de bondad de ajuste. En una prueba de bondad de ajuste, si el valor p es 0,0113, en general, no rechaza la hipótesis nula. falso Se encuestó una muestra de 212 compañías comerciales para el reciclaje de una materia prima; una materia prima significa aquí cualquier tipo de material reciclable como plástico o aluminio. La muestra las categorías de compañías en la encuesta, el tamaño de la muestra de cada categoría y el número de compañías en cada categoría que reciclan una materia prima. Según el estudio, se espera que un promedio de la mitad de las compañías reciclen una materia prima. Como resultado, la última columna muestra el número esperado de compañías de cada categoría que reciclan una materia prima. Al nivel de significación del 5 % realice una prueba de hipótesis para determinar si el número observado de compañías que reciclan una materia prima sigue la distribución uniforme de los valores esperados. Tipo de negocio Número en la clase Número observado que recicla una materia prima Número esperado que reciclan una materia prima Oficina 35 19 17,5 Comercio minorista/mayorista 48 27 24 Alimentación/restauración 53 35 26,5 Fabricación/médico 52 21 26 Hotel/mixto 24 9 12 La contiene información procedente de una encuesta realizada a 499 participantes clasificados según sus grupos de edad. La segunda columna muestra el porcentaje de personas obesas por clase de edad entre los participantes en el estudio. La última columna procede de un estudio nacional diferente que muestra los porcentajes correspondientes de personas obesas en las mismas clases de edad en EE. UU. Realice una prueba de hipótesis al nivel de significación del 5 % para determinar si los participantes en la encuesta son una muestra representativa de la población obesa de Estados Unidos. Grupo etario (años) Obesos (porcentaje) Promedio previsto en EE. UU. (porcentaje) 20–30 15,0 32,6 31–40 26,5 32,6 41–50 13,6 36,6 51–60 21,9 36,6 61–70 21,0 39,7 Las hipótesis para la prueba de bondad de ajuste son: H 0 : Los obesos encuestados se ajustan a la distribución de los obesos esperados H a : Los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de los obesos esperados Utilice una distribución chi-cuadrado con df = 4 para evaluar los datos. El estadístico de prueba es X 2 = 9,85 El valor p = 0,0431 Al nivel de significación del 5 %, = 0,05. Para estos datos, P < α. rechaza la hipótesis nula. Al nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que los obesos encuestados no se ajustan a la distribución de obesos esperada. Bondad de ajuste prueba de hipótesis que compara los valores esperados y los observados para buscar diferencias significativas dentro de una variable no paramétrica. Los grados de libertad utilizados equivalen al (número de categorías – 1).", "section": "Prueba de bondad de ajuste", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de independencia Las pruebas de independencia implican el uso de una tabla de contingencia de valores observados (datos). El estadístico de prueba de independencia es similar al de la prueba de bondad de ajuste: Σ ( i ⋅ j ) ( O – E ) 2 E donde: O = valores observados E = valores esperados i = el número de filas de la tabla j = el número de columnas de la tabla Hay i ⋅ j términos de la forma ( O – E ) 2 E . Una prueba de independencia determina si dos factores son independientes o no. La primera vez que vio el término independencia fue en la A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo . A modo de repaso, considere el siguiente ejemplo. Nota El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba. Supongamos que A = una infracción por exceso de velocidad en el último año y B = un usuario de teléfono móvil mientras conduce. Si A y B son independientes, entonces P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). A ∩ B es el caso de que un conductor recibiera una infracción por exceso de velocidad el año pasado y también utilizara un teléfono móvil mientras conducía. Supongamos que se encuestaron 755 personas en un estudio sobre conductores que recibieron infracciones por exceso de velocidad durante el año pasado que usaron el teléfono móvil mientras conducían. De los 755, 70 tenían una infracción por exceso de velocidad y 685 no; 305 usaba el teléfono móvil mientras conducían y 450 no. Supongamos que y = número esperado de conductores que usaron un teléfono móvil mientras conducían y recibieron infracciones por exceso de velocidad. Si A y B son independientes, entonces P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). Por sustitución, y 755 = ( 70 755 ) ( 305 755 ) Resuelva para y : y = ( 70 ) ( 305 ) 755 = 28,3 Se espera que unas 28 personas de la muestra usen teléfonos móviles mientras conducen y reciban infracciones por exceso de velocidad. En una prueba de independencia planteamos las hipótesis nula y alternativa con palabras. Dado que la tabla de contingencia consta de dos factores , la hipótesis nula afirma que los factores son independientes y la hipótesis alternativa afirma que no son independientes (dependientes) . Si hacemos una prueba de independencia usando el ejemplo, entonces la hipótesis nula es: H 0 : Ser usuario de un teléfono móvil mientras se conduce y recibir una infracción por exceso de velocidad son hechos independientes; en otras palabras, no tienen ningún efecto entre sí. Si la hipótesis nula fuera cierta, esperaríamos que unas 28 personas usaran el móvil mientras conducen y recibieran una infracción por exceso de velocidad. La prueba de independencia es siempre de cola derecha debido al cálculo del estadístico de prueba. Si los valores esperados y observados no están cerca, entonces el estadístico de prueba es muy grande y se encuentra en la cola derecha de la curva de chi-cuadrado, al igual que en una bondad de ajuste. El número de grados de libertad para la prueba de independencia es: df = (número de columnas – 1)(número de filas – 1) La siguiente fórmula calcula el número esperado ( E ): E = (total de filas)(total de columnas) número total de encuestados Ejercicio Se toma una muestra de 300 estudiantes. De los estudiantes encuestados, 50 estudiaban música, mientras que 250 no. Noventa y siete de los 300 encuestados estaban en el cuadro de honor, mientras que 203 no estaban. Si suponemos que ser estudiante de música y estar en el cuadro de honor son hechos independientes, ¿cuál es el número esperado de estudiantes de música que también están en el cuadro de honor? Se espera que unos 16 estudiantes sean estudiantes de música y estén en el cuadro de honor. Un grupo de voluntarios dedica de una a nueve horas cada semana a personas mayores con discapacidades. El programa recluta entre estudiantes de colegios comunitarios, estudiantes de institutos universitarios de cuatro años y no estudiantes. En la se encuentra una muestra de los voluntarios adultos y el número de horas que ofrecen a la semana. Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (observado) Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Total de la fila Estudiantes de colegios comunitarios 111 96 48 255 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 96 133 61 290 No estudiantes 91 150 53 294 Total de la columna 298 379 162 839 La tabla contiene los valores (datos) observados (O) . ¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario? La tabla observada y la pregunta al final del problema: “¿El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario?”, le indican que se trata de una prueba de independencia. Los dos factores son el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntario . Esta prueba es siempre de cola derecha. H 0 : El número de horas de voluntariado es independiente del tipo de voluntario. H a : El número de horas de voluntariado depende del tipo de voluntario. Los resultados esperados están en la . Número de horas trabajadas por semana por tipo de voluntario (previsto) Tipo de voluntario de 1 a 3 horas de 4 a 6 horas de 7 a 9 horas Estudiantes de colegios comunitarios 90,57 115,19 49,24 Estudiantes de institutos universitarios de cuatro años 103,00 131,00 56,00 No estudiantes 104,42 132,81 56,77 La tabla contiene los valores (datos) esperados ( E ). Por ejemplo, el cálculo de la frecuencia esperada para la celda superior izquierda es E = ( total de la fila ) ( total de la columna ) número total de encuestados = ( 255 ) ( 298 ) 839 = 90,57 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 12,99 (calculadora o computadora) Distribución para la prueba: χ 4 2 df = (3 columnas – 1)(3 filas – 1) = (2)(2) = 4 Gráfico: El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con cuatro grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 9,488. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ c 2 de 12,99. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que los factores no son independientes. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que el número de horas de voluntariado y el tipo de voluntariado dependen el uno del otro. Para el ejemplo de la , de haber otro tipo de voluntarios, adolescentes, ¿cuáles serían los grados de libertad? Ejercicio La Oficina de Estadísticas Laborales recopila datos sobre empleo en Estados Unidos. Se toma una muestra para calcular el número de ciudadanos de EE. UU. que trabajan en uno de varios sectores industriales a lo largo del tiempo. La muestra los resultados: Sector industrial 2000 2010 2020 Total Sueldos y salarios no agrícolas 13.243 13.044 15.018 41.305 Producción de bienes, excluida la agricultura 2.457 1.771 1.950 6.178 Prestación de servicios 10.786 11.273 13.068 35.127 Agricultura, silvicultura, pesca y caza 240 214 201 655 Autónomos no agrícolas y trabajadores familiares no remunerados 931 894 972 2.797 Empleos secundarios asalariados en agricultura e industrias domésticas privadas 14 11 11 36 Trabajos secundarios como autónomo o trabajador familiar no remunerado 196 144 152 492 Total 27.867 27.351 31.372 86.590 Queremos saber si el cambio en el número de empleos es independiente del cambio en los años. Indique las hipótesis nula y alternativa y los grados de libertad. H 0 : El número de empleos es independiente del año. H a : El número de empleos depende del año. df = 12 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 3 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 227,73 y el valor p = 5,90E – 42 = 0. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . El De Anza College está interesado en la relación entre el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. Una muestra aleatoria de 400 estudiantes realizó una prueba que medía el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela. La muestra los resultados. El De Anza College quiere saber si el nivel de ansiedad y la necesidad de tener éxito en la escuela son eventos independientes. Necesidad de tener éxito en la escuela versus nivel de ansiedad Necesidad de tener éxito en la escuela Ansiedad alta Ansiedad media alta Ansiedad media Ansiedad media baja Ansiedad baja Total de la fila Necesidad alta 35 42 53 15 10 155 Necesidad media 18 48 63 33 31 193 Necesidad baja 4 5 11 15 17 52 Total de la columna 57 95 127 63 58 400 a. ¿Cuántos estudiantes con alto nivel de ansiedad se espera que tengan una alta necesidad de tener éxito en la escuela? a. El total de la columna para un alto nivel de ansiedad es de 57. El total de filas para la alta necesidad de tener éxito en la escuela es de 155. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 155 ⋅ 57 400 = 22,09 El número esperado de estudiantes que tienen un alto nivel de ansiedad y una alta necesidad de tener éxito en la escuela es de unos 22. b. Si las dos variables son independientes, ¿cuántos estudiantes espera que tengan una baja necesidad de tener éxito en la escuela y un nivel medio-bajo de ansiedad? b. El total de la columna para un nivel de ansiedad medio-bajo es de 63. El total de filas para una baja necesidad de éxito en la escuela es de 52. El tamaño de la muestra o el total de encuestados es de 400. c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = ________ c. E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados = 8,19 d. El número esperado de estudiantes que tienen un nivel de ansiedad medio-bajo y una baja necesidad de tener éxito en la escuela es aproximadamente ________. d. 8 Referencias DiCamilo, Mark, Mervin Field, “Most Californians See a Direct Linkage between Obesity and Sugary Sodas. Two in Three Voters Support Taxing Sugar-Sweetened Beverages If Proceeds are Tied to Improving School Nutrition and Physical Activity Programs”. The Field Poll, publicado el 14 de febrero de 2013. Disponible en línea en http://field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2436.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Harris Interactive, “Favorite Flavor of Ice Cream”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/favorite-flavor-of-ice-cream (consultado el 24 de mayo de 2013) “Youngest Online Entrepreneurs List”. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/youngest-online-entrepreneur-list (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos factores son independientes o no, puede aplicar la prueba de independencia que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba afirma que los dos factores son independientes. La prueba compara valores observados con valores esperados. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, 5. Revisión de la fórmula Prueba de independencia El número de grados de libertad es igual a (número de columnas – 1)(número de filas – 1). El estadístico de prueba es ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E donde O = valores observados, E = valores esperados, i = el número de filas de la tabla y j = el número de columnas de la tabla. Si la hipótesis nula es verdadera, el número esperado E = (total de filas)(total de columnas) total de encuestados . Determine la prueba adecuada que se utilizará en los tres ejercicios siguientes. Una compañía farmacéutica está interesada en la relación entre edad y presentación de síntomas de una infección viral común. Se toma una muestra aleatoria de 500 personas con la infección en diferentes grupos de edad. una prueba de independencia El propietario de un equipo de béisbol está interesado en la relación entre salarios de los jugadores y porcentaje de victorias del equipo. Toma una muestra aleatoria de 100 jugadores de diferentes organizaciones. Un corredor de maratón se interesa por la relación entre la marca de zapatillas que usan los corredores y sus tiempos de carrera. Toma una muestra aleatoria de 50 corredores y registra sus tiempos de carrera, así como la marca de zapatillas que llevaban. una prueba de independencia Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Transit Railroads se interesa por la relación entre distancia de viaje y clase de billete adquirido. Se toma una muestra aleatoria de 200 pasajeros. La muestra los resultados. La compañía quiere saber si la elección de la clase de billete de un pasajero es independiente de la distancia que debe viajar. Distancia de viaje Tercera clase Segunda clase Primera clase Total de 1 a 100 millas 21 14 6 41 de 101 a 200 millas 18 16 8 42 de 201 a 300 millas 16 17 15 48 de 301 a 400 millas 12 14 21 47 de 401 a 500 millas 6 6 10 22 Total 73 67 60 200 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ df = _______ 8 ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 201 y 300 millas y compren billetes de segunda clase? ¿Cuántos pasajeros se espera que viajen entre 401 y 500 millas y compren billetes de primera clase? 6,6 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: en un artículo publicado en el New England Journal of Medicine, se habla de un estudio sobre los fumadores de California y Hawái. En una parte del informe se indicaba el origen étnico autodeclarado y la cantidad de cigarrillos por día. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 9.886 afroamericanos, 2.745 nativos de Hawái, 12.831 latinos, 8.378 japoneses americanos y 7.650 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 6.514 afroamericanos, 3.062 nativos de Hawái, 4.932 latinos, 10.680 japoneses americanos y 9.877 blancos. De las personas que fumaban como máximo diez cigarrillos al día, había 1.671 afroamericanos, 1.419 nativos de Hawái, 1.406 latinos, 4.715 japoneses americanos y 6.062 blancos. De las personas que fumaban al menos 31 cigarrillos al día, había 759 afroamericanos, 788 nativos de Hawái, 800 latinos, 2.305 japoneses americanos y 3.970 blancos. Rellene la tabla. Hábito de fumar por grupo étnico (observado) Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos Totales 1-10 11-20 21-30 31 o más Totales Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos Totales 1-10 9.886 2.745 12.831 8.378 7.650 41.490 11-20 6.514 3.062 4.932 10.680 9.877 35.065 21-30 1.671 1.419 1.406 4.715 6.062 15.273 31 o más 759 788 800 2.305 3.970 8.622 Totales 18.830 8.014 19.969 26.078 27.559 10.0450 Plantee las hipótesis. H 0 : _______ H a : _______ Introduzca los valores esperados en la . Redondee a dos decimales. Calcule los siguientes valores: Cantidad de cigarrillos por día Afroamericanos Nativos de Hawái Latinos Japoneses americanos Blancos 1-10 7.777,57 3.310,11 8.248,02 10.771,29 11.383,01 11-20 6.573,16 2.797,52 6.970,76 9.103,29 9.620,27 21-30 2.863,02 1.218,49 3.036,20 3.965,05 4.190,23 31 o más 1.616,25 687,87 1.714,01 2.238,37 2.365,49 df = _______ χ 2 estadístico de prueba = ______ 10.301,8 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? Explique por qué. derecha Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree en la región correspondiente al nivel de confianza. Indique la decisión y la conclusión (en una oración completa) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ No se puede aceptar la hipótesis nula El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Hay pruebas suficientes para concluir que el hábito de fumar depende del grupo étnico. α = 0,01 Decisión: ___________________ Motivo de la decisión: ___________________ Conclusión (escriba en una oración completa): ___________________ Tarea para la casa Un reciente debate sobre dónde los esquiadores creen que se esquía mejor en Estados Unidos generó la siguiente encuesta. Pruebe para ver si la mejor área de esquí es independiente del nivel del esquiador. Zona de esquí de EE. UU. Principiante Intermedio Avanzado Tahoe 20 30 40 Utah 10 30 60 Colorado 10 40 50 Hay fabricantes de automóviles que están interesados en saber si hay una relación entre el tamaño del automóvil que conduce una persona y el número de personas que componen su familia (es decir, si el tamaño del automóvil y el de la familia son independientes). Para comprobarlo, supongamos que se encuestó aleatoriamente a 800 propietarios de automóviles, lo cual arrojó los resultados que están en la . Haga una prueba de independencia. Tamaño de la familia Sub y compacto Tamaño medio Tamaño completo Van y camioneta 1 20 35 40 35 2 20 50 70 80 3–4 20 50 100 90 Más de 5 20 30 70 70 H 0 : El tamaño del automóvil es independiente del tamaño de la familia. H a : El tamaño del automóvil depende del tamaño de la familia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,8284 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el tamaño del automóvil y el tamaño de la familia son dependientes. Los estudiantes universitarios pueden estar interesados en saber si sus especialidades tienen algún efecto sobre los salarios iniciales después de graduarse. Supongamos que se ha encuestado a 300 recién graduados sobre sus especialidades universitarias y sus salarios iniciales tras la graduación. La muestra los datos. Haga una prueba de independencia. Especialidad < $50.000 $50.000 – $68.999 $69.000 + Inglés 5 20 5 Ingeniería 10 30 60 Enfermería 10 15 15 Negocios 10 20 30 Psicología 20 30 20 Algunas agencias de viajes afirman que los lugares más visitados para la luna de miel varían según la edad de la novia. Supongamos que se entrevista a 280 novias recientes para saber dónde han pasado su luna de miel. La información se ofrece en la . Haga una prueba de independencia. Lugar 20–29 30–39 40–49 50 años o más Cataratas del Niágara 15 25 25 20 Poconos 15 25 25 10 Europa 10 25 15 5 Islas Vírgenes 20 25 15 5 H 0 : Los lugares de la luna de miel son independientes de la edad de la novia. H a : Los lugares de la luna de miel dependen de la edad de la novia. df = 9 distribución chi-cuadrado con df = 9 estadístico de prueba = 15,7027 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que el lugar de la luna de miel y la edad de la novia son dependientes. El gerente de un club deportivo guarda información sobre el deporte principal en el que participan los socios y sus edades. Para comprobar si existe una relación entre la edad de un socio y su elección de deporte se seleccionan aleatoriamente 643 socios del club deportivo. Haga una prueba de independencia. Deporte 18 - 25 26 - 30 31 - 40 41 años o más Raquetbol 42 58 30 46 Tenis 58 76 38 65 Natación 72 60 65 33 Un importante fabricante de alimentos está preocupado porque las ventas de sus papas fritas delgadas han disminuido. Como parte de un estudio de viabilidad, la compañía realiza una investigación sobre los tipos de papas fritas que se venden en todo el país para determinar si el tipo de papas fritas que se venden es independiente de la zona del país. Los resultados del estudio se muestran en la . Haga una prueba de independencia. Tipo de papas fritas Noreste Sur Centro Oeste Patatas fritas delgadas 70 50 20 25 Papas fritas rizadas 100 60 15 30 Papas fritas gruesas 20 40 10 10 H 0 : Los tipos de papas fritas que se venden son independientes del lugar. H a : Los tipos de papas fritas que se venden dependen del lugar. df = 6 distribución chi-cuadrado con df = 6 estadístico de prueba =18,8369 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes de que los tipos de papas fritas y los lugares son dependientes. De acuerdo con los datos suministrados por Dan Lenard, agente de seguros independiente de la zona de Buffalo (Nueva York), a continuación se desglosa el monto de los seguros de vida adquiridos por hombres de los siguientes grupos de edad. Le interesa saber si la edad del hombre y el monto del seguro de vida adquirido son hechos independientes. Haga una prueba de independencia. Edad de los hombres Ninguno < $200.000 $200.000–$400,000 $401.001–$1,000,000 $1,000,001+ 20–29 40 15 40 0 5 30–39 35 5 20 20 10 40–49 20 0 30 0 30 50 o más 40 30 15 15 10 Supongamos que se encuestaron 600 personas de treinta años para determinar si existe o no una relación entre el nivel de estudios de una persona y su salario. Haga una prueba de independencia. Salario anual No se graduó de escuela secundaria Graduado de escuela secundaria Graduado universitario Maestría o doctorado < $30.000 15 25 10 5 $30.000–$40,000 20 40 70 30 $40.000–$50,000 10 20 40 55 $50.000–$60,000 5 10 20 60 más de $60.000 0 5 10 150 H 0 : El salario es independiente del nivel de estudios. H a : El salario depende del nivel de estudios. df = 12 distribución chi-cuadrado con df = 12 estadístico de prueba = 255,7704 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Con un nivel de significación del 5 % hay pruebas suficientes para concluir que el salario y el nivel de estudios son dependientes. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. El número de grados de libertad para una prueba de independencia es igual al tamaño de la muestra menos uno. La prueba de independencia utiliza tablas de valores de datos observados y esperados. verdadero La prueba que hay que usar para determinar si el instituto universitario o la universidad que elige un estudiante está relacionado con su estatus socioeconómico es una prueba de independencia. En una prueba de independencia, el número esperado es igual al total de filas multiplicado por el total de columnas dividido entre el total encuestado. verdadero Un fabricante de helados hace una encuesta nacional sobre los sabores de helado favoritos en distintas zonas geográficas de EE. UU. Según la , ¿los números sugieren que la ubicación geográfica es independiente de los sabores de helado favoritos? Prueba al nivel de significación del 5 %. Región de EE. UU./Sabor Fresa Chocolate Vainilla Chocolate con nueces Menta con chispas de chocolate Pistacho Total de la fila Oeste 12 21 22 19 15 8 97 Medio Oeste 10 32 22 11 15 6 96 Este 8 31 27 8 15 7 96 Sur 15 28 30 8 15 6 102 Total de la columna 45 112 101 46 60 27 391 La ofrece una encuesta reciente sobre emprendedores en línea más jóvenes cuyo patrimonio neto se estima en un millón de dólares o más. Sus edades oscilan entre los 17 y los 30 años. Cada celda del cuadro ilustra el número de emprendedores que corresponden al grupo de edad específico y su patrimonio neto. ¿La edad y el patrimonio neto son independientes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Grupo etario\\ Patrimonio neto (en millones de dólares) 1–5 6–24 ≥25 Total de la fila 17–25 8 7 5 20 26–30 6 5 9 20 Total de la columna 14 12 14 40 H 0 : La edad es independiente del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. H a : La edad depende del patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes. df = 2 distribución chi-cuadrado con df = 2 estadístico de prueba = 1,76 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la edad y el patrimonio neto de los emprendedores en línea más jóvenes sean dependientes. Un sondeo realizado en 2013 en California consulto a personas sobre los impuestos a las bebidas azucaradas. Los resultados se presentan en la , y están clasificados por grupo étnico y tipo de respuesta. ¿Las respuestas del sondeo son independientes del grupo étnico de los participantes? Haga una prueba de independencia al nivel de significación del 5 %. Opinión/Etnia Asiático americano Blanco/No Hispano Afroamericano Latinos Total de la fila Contra el impuesto 48 433 41 160 682 A favor del impuesto 54 234 24 147 459 Sin opinión 16 43 16 19 94 Total de la columna 118 710 81 326 1235 Tabla de contingencia una tabla que muestra los valores de dos factores diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí; facilita la determinación de probabilidades condicionales. Prueba de independencia prueba de hipótesis que compara los valores esperados y observados de las tablas de contingencia para comprobar la independencia entre dos variables. Los grados de libertad que se utilizan son iguales al (número de columnas – 1) multiplicado por el (número de filas – 1).", "section": "Prueba de independencia", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de homogeneidad La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad , se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia. Nota El valor esperado dentro de cada celda debe ser, al menos, cinco para que pueda usar esta prueba. Hipótesis H 0 : Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H a : Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales. Estadístico de prueba Utilice un χ 2 estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia. Grados de libertad ( df ) df = número de columnas – 1 Requisitos Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Usos comunes Comparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la . ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Distribución del tipo de vivienda para los hombres y mujeres universitarios Dormitorio Apartamento Con los padres Otra Hombres 72 84 49 45 Mujeres 91 86 88 35 H 0 : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias. H a : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3 Distribución de la prueba: χ 3 2 Calcule el estadístico de prueba: χ c 2 = 10,129 El gráfico de chi-cuadrado muestra la distribución y marca el valor crítico con tres grados de libertad a un nivel de confianza del 95 %, α = 0,05; 7,815. El gráfico también marca el valor calculado del estadístico de prueba χ 2 de 10,129. Al comparar el estadístico de prueba con el valor crítico, como hemos hecho con todas las demás pruebas de hipótesis, llegamos a la conclusión. Tome una decisión: Como el estadístico de prueba calculado está en la cola, no podemos aceptar H 0 . Esto significa que las distribuciones no son iguales. Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales. Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias. Ejercicio ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la . ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05. Deporte Sedán Utilitario Camioneta Van/suv Familia 5 15 35 17 28 Sencillo 45 65 37 46 7 Con un valor p de casi cero, rechazamos la hipótesis nula. Los datos muestran que la distribución de los automóviles no es la misma para las familias que para los solteros. Ejercicio Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada. Tipo de solicitud aceptada Brown Columbia Cornell Dartmouth Penn Yale Regular 2.115 1.792 5.306 1.734 2.685 1.245 Decisión anticipada 577 627 1.228 444 1.195 761 Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de prueba, dibuje el gráfico de la distribución χ 2 y muestre el valor crítico y el valor calculado del estadístico de prueba, y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad. H 0 : La distribución de las solicitudes regulares aceptadas es la misma que la de las solicitudes anticipadas aceptadas. H a : La distribución de las solicitudes regulares aceptadas no es la misma que la de las solicitudes anticipadas aceptadas. df = 5 χ 2 estadístico de prueba = 430,06 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 3 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 430,06 y el valor p = 9,80E-91. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Referencias Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013). “Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos df = ( i −1)( j −1) Grados de libertad Una maestra de Matemáticas quiere ver si dos de sus clases tienen la misma distribución de resultados en los exámenes. ¿Qué prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para el ? Un investigador de mercado quiere ver si dos tiendas diferentes tienen la misma distribución de ventas a lo largo del año. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad Una meteoróloga quiere saber si el este y el oeste de Australia tienen la misma distribución de tormentas. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? ¿Qué condición debe cumplirse para utilizar la prueba de homogeneidad? Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la . 20–30 30–40 40–50 50–60 Consulta privada 16 40 38 6 Hospital 8 44 59 39 Indique las hipótesis nula y alternativa. df = _______ 3 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Un psicólogo está interesado en comprobar si existe una diferencia en la distribución de los tipos de personalidad de los estudiantes de Negocios y de Ciencias Sociales. Los resultados del estudio se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Abierto Meticuloso Extrovertido Agradable Neurótico Negocios 41 52 46 61 58 Ciencias Sociales 72 75 63 80 65 H 0 : La distribución de los tipos de personalidad es la misma para ambas especialidades. H a : La distribución de los tipos de personalidad no es la misma para ambas especialidades. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 3,01 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de los tipos de personalidad es diferente para las especialidades de Negocios y Ciencias Sociales. ¿Los hombres y las mujeres seleccionan desayunos diferentes? Los desayunos pedidos por hombres y mujeres seleccionados al azar en un lugar popular de desayunos se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. Tostadas francesas Panqueques Waffles Tortillas Hombres 47 35 28 53 Mujeres 65 59 55 60 Un pescador está interesado en saber si la distribución de los peces capturados en el lago Green Valley es la misma que la de los peces capturados en el lago Echo. De los 191 peces capturados al azar en el lago Green Valley, 105 eran truchas arco iris, 27 otras truchas, 35 lubinas y 24 bagres. De los 293 peces capturados al azar en el lago Echo, 115 eran truchas arco iris, 58 otras truchas, 67 lubinas y 53 bagres. Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. H 0 : La distribución de los peces capturados es igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. H a : La distribución de los peces capturados no igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. 3 chi-cuadrado con df = 3 11,75 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Hay pruebas para concluir que la distribución de los peces capturados es diferente en el lago Green Valley y en el lago Echo En 2007, EE. UU. contaba con 1,5 millones de estudiantes educados en casa, según el Centro Nacional de Estadísticas Educativas de EE. UU. En la se puede ver que los padres deciden educar a sus hijos en casa por diferentes razones, y algunas razones son clasificadas por los padres como más importantes que otras. Según los resultados de la encuesta que se muestran en la tabla, ¿la distribución de las razones aplicables es la misma que la distribución de la razón más importante? Proporcione su evaluación con un nivel de significación del 5 %. ¿Esperaba el resultado que ha obtenido? Razones para educar en casa Razón aplicable (en miles de encuestados) Razón más importante (en miles de encuestados) Total de la fila Preocupación por el ambiente de otras escuelas 1.321 309 1.630 Insatisfacción con la enseñanza académica en otras escuelas 1.096 258 1.354 Proporcionar instrucción religiosa o moral 1.257 540 1.797 El niño tiene necesidades especiales, aparte de las físicas o mentales 315 55 370 Enfoque no tradicional de la educación de los niños 984 99 1.083 Otras razones (p. ej., finanzas, viajes, tiempo en familia, etc.) 485 216 701 Total de la columna 5.458 1.477 6.935 Al examinar el consumo de energía, a menudo nos interesa detectar las tendencias a lo largo del tiempo y su correlación entre los distintos países. La información de la muestra el uso promedio de energía (en unidades de kg de equivalente de petróleo per cápita) en EE. UU. y los países conjuntos de la Unión Europea (UE) para el periodo de seis años de 2005 a 2010. ¿Los valores de uso de energía en estas dos áreas provienen de la misma distribución? Haga el análisis al nivel de significación del 5 %. Año Unión Europea Estados Unidos Total de la fila 2010 3.413 7.164 10.557 2009 3.302 7.057 10.359 2008 3.505 7.488 10.993 2007 3.537 7.758 11.295 2006 3.595 7.697 11.292 2005 3.613 7.847 11.460 Total de la columna 20.965 45.011 65.976 H 0 : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos es igual que en Europa entre 2005 y 2010. H a : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos no es igual que en Europa entre 2005 y 2010. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 2,7434 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: El valor calculado de los estadísticos de prueba está dentro o fuera de la cola de la distribución. Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que los valores medios de uso de energía en EE. UU. y la UE no proceden de distribuciones diferentes para el periodo de 2005 a 2010. El Instituto de Seguros para la Seguridad en las Carreteras recopila cada año información sobre la seguridad de todo tipo de automóviles y publica un informe de los Mejores Selecciones de Seguridad entre todos los automóviles, marcas y modelos. La presenta el número de Mejores Selecciones de Seguridad en seis categorías de automóviles para los años 2009 y 2013. Analice los datos de la tabla para concluir si la distribución de los automóviles que obtuvieron el premio de seguridad de Mejores Selecciones de Seguridad se ha mantenido igual entre 2009 y 2013. Derive sus resultados al nivel de significación del 5 %. Año \\ Tipo de automóvil Pequeño Tamaño medio Grande SUV pequeña Vehículo utilitario deportivo mediano SUV grande Total de la fila 2009 12 22 10 10 27 6 87 2013 31 30 19 11 29 4 124 Total de la columna 43 52 29 21 56 10 211 Prueba de homogeneidad prueba utilizada para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Los grados de libertad que se utilizan equivalen al (número de columnas – 1).", "section": "Prueba de homogeneidad", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Comparación de las pruebas chi-cuadrado Anteriormente el estadístico de prueba χ 2 se utilizó en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen de qué prueba χ 2 es la adecuada para utilizar en diferentes circunstancias. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : La población se ajusta a la distribución dada. H a : La población no se ajusta a la distribución dada. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos variables (factores) son independientes. H a : Las dos variables (factores) son dependientes. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H a : Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes. Repaso del capítulo La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida. ¿Qué prueba se usa para decidir si una distribución observada es la misma que una distribución esperada? una prueba de bondad de ajuste ¿Cuál es la hipótesis nula para el tipo de prueba de ? ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos factores tienen una relación? una prueba de independencia ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos poblaciones tienen la misma distribución? ¿En qué se parecen las pruebas de independencia a las pruebas de homogeneidad? Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: tanto las pruebas de independencia como las de homogeneidad calculan el estadístico de prueba de la misma manera ∑ ( i j ) ( O – E ) 2 E . Además, todos los valores deben ser mayores o iguales a cinco. ¿En qué se diferencian las pruebas de independencia de las pruebas de homogeneidad? Tarea para la casa ¿Existe una diferencia entre la distribución de los estudiantes de Estadística de colegios comunitarios y la distribución de los estudiantes de Estadística de universidades en cuanto a la tecnología que utilizan en sus tareas para la casa? De algunos estudiantes de colegios universitarios comunitarios seleccionados al azar, 43 utilizaron una computadora, 102 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 65 una tabla de libro de texto. De algunos estudiantes de universidades seleccionados al azar, 28 utilizaron una computadora, 33 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 40 una tabla de libro de texto. Haga una prueba de hipótesis adecuada utilizando un nivel de significación de 0,05. H 0 : La distribución del uso de la tecnología es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios y para los estudiantes universitarios. H a : La distribución del uso de la tecnología no es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios que para los estudiantes universitarios. 2 chi-cuadrado con df = 2 7,05 valor p = 0,0294 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del uso de la tecnología para las tareas en casa de Estadística no es la misma para los estudiantes de Estadística en colegios universitarios comunitarios y en universidades. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. Si df = 2, la distribución chi-cuadrado tiene una forma que recuerda a la exponencial. Resúmalo todo Explique por qué una prueba de bondad de ajuste y una prueba de independencia suelen ser pruebas de cola derecha. Si hiciera una prueba de cola izquierda, ¿qué estaría probando? El estadístico de prueba siempre es positivo y si los valores esperados y observados no están próximos, el estadístico de prueba es grande y se rechazará la hipótesis nula. Comprobación para verificar si los datos se ajustan a la distribución “demasiado bien” o son demasiado perfectos.", "section": "Comparación de las pruebas chi-cuadrado", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción El ANOVA de una vía se utiliza para medir la información de varios grupos. Muchas aplicaciones estadísticas en Psicología, Ciencias Sociales, Administración y Negocios y Ciencias Naturales involucran varios grupos. Por ejemplo, un ecologista está interesado en saber si la cantidad promedio de contaminación varía en varias masas de agua. A un sociólogo le interesa saber si la cantidad de ingresos que obtiene una persona varía según su educación. Un consumidor que busca un automóvil nuevo puede comparar el rendimiento por milla promedio de gasolina de varios modelos. Para las pruebas de hipótesis que comparan promedios entre más de dos grupos, los estadísticos han desarrollado un método denominado \"análisis de la varianza\" (Analysis of Variance, ANOVA). En este capítulo estudiará la forma más simple de ANOVA llamada ANOVA de un factor o de una vía. También estudiará la distribución F , utilizada para el ANOVA de una vía y la prueba de diferencias entre dos varianzas. Esto es solo un breve resumen del ANOVA de una vía. El ANOVA de una vía, tal y como se presenta aquí, depende en gran medida de una calculadora o una computadora.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prueba de dos varianzas Este capítulo introduce una nueva función de densidad de probabilidad: la distribución F. Se utiliza para muchas aplicaciones, incluso el ANOVA y para probar la igualdad entre varias medias. Comenzamos con la distribución F y la prueba de la hipótesis de las diferencias en las varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación en la tapa y del recipiente debería ser aproximadamente la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. En finanzas, la varianza es una medida de riesgo; por ende, sería interesante comprobar la hipótesis de que dos carteras de inversión diferentes tienen la misma varianza: la volatilidad. Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que ocurra lo siguiente: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras tienen una distribución aproximadamente normal. Las dos poblaciones son independientes entre sí. A diferencia de la mayoría de las pruebas de hipótesis en este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, o se aproximan, la prueba puede dar un resultado sesgado para el estadístico de prueba. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que σ 1 2 y σ 2 2 son las varianzas poblacionales desconocidas y s 1 2 y s 2 2 sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n 1 y n 2 . Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F : F = [ s 1 2 σ 1 2 ] [ s 2 2 σ 2 2 ] F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) donde n 1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n 2 – 1 son los grados de libertad del denominador. Si la hipótesis nula es σ 1 2 = σ 2 2 , entonces el cociente F , el estadístico de prueba, se convierte en F c = [ s 1 2 σ 1 2 ] [ s 2 2 σ 2 2 ] = s 1 2 s 2 2 H 0 : σ 1 2 σ 2 2 = δ 0 H a : σ 1 2 σ 2 2 ≠ δ 0 si δ 0 = 1, luego H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 2 El estadístico de prueba es: F c = S 1 2 S 2 2 Las distintas formas de las hipótesis probadas son: Prueba de dos colas Prueba de una cola Prueba de una cola H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H 0 : σ 1 2 ≤ σ 2 2 H 0 : σ 1 2 ≥ σ 2 2 H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2 H 1 : σ 1 2 > σ 2 2 H 1 : σ 1 2 < σ 2 2 Una forma más general de las hipótesis nula y alternativa para una prueba de dos colas sería: H 0 : σ 1 2 σ 2 2 = δ 0 H a : σ 1 2 σ 2 2 ≠ δ 0 Donde si δ 0 = 1 es una simple prueba de la hipótesis de que las dos varianzas son iguales. Esta forma de la hipótesis tiene la ventaja de permitir pruebas que van más allá de las simples diferencias y puede dar cabida a pruebas de diferencias específicas, como hicimos con las diferencias de medias y las diferencias de proporciones. Esta forma de la hipótesis también muestra la relación entre la distribución F y la χ 2 : la F es un cociente de dos distribuciones de chi-cuadrado, que vimos en el capítulo anterior. Esto sirve para determinar los grados de libertad de la distribución F resultante. Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces s 1 2 y s 2 2 están cerca en valor y el estadístico de prueba, F c = s 1 2 s 2 2 está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes, s 1 2 y s 2 2 también suelen ser muy diferentes. Al elegir s 1 2 ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente s 1 2 s 2 2 sea mayor que uno. Si s 1 2 y s 2 2 están muy separados, entonces F c = s 1 2 s 2 2 es un número grande. Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. En esencia, nos preguntamos si el valor calculado del estadístico de prueba F es significativamente diferente de uno. Para determinar los puntos críticos tenemos que calcular F α , df1 , df2 . Consulte la tabla F en el Apéndice A. Esta tabla F tiene valores para varios niveles de significación de 0,1 a 0,001, designados como \"p\" en la primera columna. Elija el nivel de significación deseado y siga hacia abajo y a través para encontrar el valor crítico en la intersección de los dos grados de libertad diferentes. La distribución F tiene dos grados de libertad diferentes, uno asociado al numerador, df1 , y otro asociado al denominador, df2 . Para complicar las cosas, la distribución F no es simétrica y cambia el grado de asimetría a medida que cambian los grados de libertad. Los grados de libertad en el numerador son n 1 -1, donde n 1 es el tamaño de la muestra del grupo 1, y los grados de libertad en el denominador son n 2 -1, donde n 2 es el tamaño de la muestra del grupo 2. F α , df1 , df2 dará el valor crítico en el extremo superior de la distribución F. Para calcular el valor crítico para el extremo inferior de la distribución, invierta los grados de libertad y divida el valor F de la tabla entre el número uno. Valor crítico superior de la cola: F α , df1 , df2 Valor crítico inferior de la cola: 1/F α , df2 , df1 Cuando el valor calculado de F está entre los valores críticos, no en la cola, no podemos rechazar la hipótesis nula de que las dos varianzas proceden de una población con la misma varianza. Si el valor F calculado está en cualquiera de las dos colas, no podemos aceptar la hipótesis nula, tal y como hemos hecho en todas las pruebas de hipótesis anteriores. Una forma alternativa de calcular los valores críticos de la distribución F facilita el uso de la tabla F. Observamos en la tabla F que todos los valores de F son mayores que uno, por lo que el valor crítico de F para la cola de la izquierda siempre será menor que uno, porque para calcular el valor crítico en la cola de la izquierda dividimos un valor de F entre el número uno, como se muestra arriba. También observamos que si la varianza de la muestra en el numerador del estadístico de prueba es mayor que la varianza de la muestra en el denominador, el valor F resultante será mayor que uno. El método abreviado para esta prueba consiste en asegurarse de que la mayor de las dos varianzas de la muestra se coloque en el numerador para calcular el estadístico de prueba. Esto significará que solo habrá que calcular el valor crítico de la cola derecha en la tabla F. Dos instructores de institutos universitarios están interesados en saber si existe alguna variación en la forma de calificar los exámenes de Matemáticas. Cada uno de ellos califica el mismo conjunto de 10 exámenes. Las notas del primer instructor tienen una varianza de 52,3. Las notas del segundo instructor tienen una varianza de 89,9. Pruebe la afirmación de que la varianza del primer instructor es menor (en la mayoría de los institutos universitarios es deseable que las varianzas de las notas de los exámenes sean casi iguales entre los instructores). El nivel de significación es del 10 %. Supongamos que 1 y 2 son los subíndices que indican el primer y el segundo instructor, respectivamente. n 1 = n 2 = 10. H 0 : σ 1 2 ≥ σ 2 2 y H a : σ 1 2 < σ 2 2 Calcule el estadístico de prueba: Según la hipótesis nula ( σ 1 2 ≥ σ 2 2 ) , el estadístico F es: F c = s 2 2 s 1 2 = 89,9 52,3 = 1,719 Valor crítico de la prueba: F 9, 9 = 5,35 donde n 1 – 1 = 9 y n 2 – 1 = 9. Tome una decisión: Dado que el valor F calculado no está en la cola, no podemos rechazar H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 10 %, a partir de los datos, no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza de las notas del primer instructor sea menor. Ejercicio La Sociedad Coral de Nueva York divide a los cantantes hombres en cuatro categorías, desde las voces más altas hasta las más bajas: tenor 1, tenor 2, bajo 1, bajo 2. En la tabla están las estaturas de los hombres de los grupos tenor 1 y bajo 2. Uno sospecha que los hombres más altos tendrán voces más graves, y que la varianza de la altura puede subir también con las voces más graves. ¿Tenemos pruebas fehacientes de que la varianza de las alturas de los cantantes en cada uno de estos dos grupos (tenor 1 y bajo 2) es diferente? Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 69 72 67 72 68 67 72 75 70 74 67 70 71 67 65 70 64 70 66 75 72 66 69 76 74 70 68 72 74 72 68 75 71 71 72 64 68 74 66 74 73 70 75 68 72 66 72 Los histogramas no son tan normales como uno quisiera. Dibújelos para comprobarlo. Sin embargo, seguimos con la prueba en cualquier caso. Subíndices: T1 = tenor 1 y B2 = bajo 2 Las desviaciones típicas de las muestras son s T 1 = 3,3302 y s B 2 = 2,7208. Las hipótesis son: H 0 : σ T 1 2 = σ B 2 2 y H 0 : σ T 1 2 ≠ σ B 2 2 (prueba de dos colas) La estadística F es 1,4894 con 20 y 25 grados de libertad. El valor p es de 0,3430. Si suponemos que alfa es 0,05, no podemos rechazar la hipótesis nula. Los datos no demuestran que las alturas de los cantantes tenor 1 y bajo 2 tengan varianzas diferentes (a pesar de que hay una diferencia significativa en las alturas medias de unas 2,5 pulgadas). Referencias “MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true. Repaso del capítulo La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F , con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas. Nombre un supuesto que deba ser cierto. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. ¿Cuál es el otro supuesto que debe ser verdadero? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 1 = σ 2 H a : σ 1 < σ 2 o H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 < σ 2 2 ¿Cuál es s 1 en este problema? ¿Cuál es s 2 en este problema? 4,11 ¿Cuál es n ? ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7159 ¿Cuál es el valor crítico? ¿La afirmación es correcta? No, al nivel de significación del 10 %, no podemos rechazar la hipótesis nula y afirmar que los datos no muestran que la variación de los tiempos de conducción del primer trabajador sea menor que la variación de los tiempos de conducción del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 2,8674 ¿Cuál es el valor crítico? Al nivel de significación del 5 %, ¿rechazamos la hipótesis nula? No se puede aceptar la hipótesis nula Hay pruebas suficientes para decir que la varianza de las notas del primer estudiante es mayor que la del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7414 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué podemos decir sobre las varianzas de los ciclistas? Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta a sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta a las suyas con la fórmula B y Javier lo hace con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo a cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 Determine si la varianza en el aumento de peso es estadísticamente igual entre las ratas de Javier y las de Linda. Pruebe con un nivel de significación del 10 %. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( num ) = 4; df ( denom ) = 4 F 4, 4 3,00 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados son los siguientes. Clase trabajadora Profesionales (ingresos medios) Profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Determine si la varianza del millaje conducido es estadísticamente igual entre los grupos de clase trabajadora y los de profesionales (ingresos medios). Utilice un nivel de significación del 5 %. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La siguiente tabla muestra el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. Decoración del hogar Noticias Salud Computación 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen la misma varianza de longitud? ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen diferentes varianzas de longitud? Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Las revistas de decoración del hogar y las de noticias tienen diferentes varianzas. ¿La varianza de la cantidad de dinero, en dólares, que los compradores gastan los sábados en el centro comercial es igual a la que gastan los domingos en el centro comercial? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Sábado Domingo Sábado Domingo 75 44 62 137 18 58 0 82 150 61 124 39 94 19 50 127 62 99 31 141 73 60 118 73 89 ¿Las varianzas de los ingresos en la costa este y en la costa oeste son iguales? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Los ingresos se indican en miles de dólares. Supongamos que ambas distribuciones son normales. Utilice un nivel de significación de 0,05. Este Oeste 38 71 47 126 30 42 82 51 75 44 52 90 115 88 67 H 0 : = σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( n ) = 7, df ( d ) = 6 F 7,6 0,8117 0,7825 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: el valor calculado del estadístico de prueba no se encuentra en la cola de la distribución. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. A treinta hombres universitarios se les enseñó un método de golpeteo con los dedos. Se les asignó aleatoriamente a tres grupos de diez, y cada uno recibió una de las tres dosis de cafeína: 0 mg, 100 mg, 200 mg. Una taza de café puede contener 100 mg y dos tazas de café, 200 mg. Dos horas después de ingerir la cafeína, se registró el ritmo de golpeteo de los dedos por minuto de los hombres. El experimento era de doble ciego, por lo que ni los que anotaban ni los estudiantes sabían en qué grupo estaban. ¿La cafeína afecta a la velocidad de golpeteo? y, si es así, ¿cómo? Aquí están los datos: 0 mg 100 mg 200 mg 0 mg 100 mg 200 mg 242 248 246 245 246 248 244 245 250 248 247 252 247 248 248 248 250 250 242 247 246 244 246 248 246 243 245 242 244 250 El rey Manuel I Komnenus gobernó el Imperio Bizantino desde Constantinopla (Estambul) desde el año 1145 hasta el año 1180 d.C. El imperio fue muy poderoso durante su reinado, pero decayó considerablemente después. Las monedas acuñadas durante su época se encontraron en Chipre, una isla del mar Mediterráneo oriental. Nueve monedas eran de su primera acuñación, siete de la segunda, cuatro de la tercera y siete de una cuarta. Abarcaban la mayor parte de su reinado. Tenemos datos sobre el contenido de plata de las monedas: Primera acuñación Segunda acuñación Tercera acuñación Cuarta acuñación 5,9 6,9 4,9 5,3 6,8 9,0 5,5 5,6 6,4 6,6 4,6 5,5 7,0 8,1 4,5 5,1 6,6 9,3 6,2 7,7 9,2 5,8 7,2 8,6 5,8 6,9 6,2 ¿El contenido de plata de las monedas cambió a lo largo del reinado de Manuel? Aquí están las medias y las varianzas de cada acuñación. Los datos están desequilibrados. Nombre Segunda Tercera Cuarta Media 6,7444 8,2429 4,875 5,6143 Varianza 0,2953 1,2095 0,2025 0,1314 Se muestra un gráfico de bandas del contenido de plata de las monedas: Aunque hay diferencias en la dispersión, no es descabellado utilizar técnicas del ANOVA. Aquí está la tabla de ANOVA completa: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 37,748 4 – 1 = 3 12,5825 26,272 Error (dentro) 11,015 27 – 4 = 23 0,4789 Total 48,763 27 – 1 = 26 P ( F > 26,272) = 0; No se puede aceptar la hipótesis nula para ningún alfa. Hay pruebas suficientes para concluir que el contenido medio de plata entre las cuatro acuñaciones es diferente. Del gráfico de bandas se desprende que las primeras y segundas acuñaciones tenían mayor contenido de plata que las terceras y cuartas. La Liga Americana y la Liga Nacional del Béisbol de Grandes Ligas (Major League Baseball, MLB) están segmentadas en tres divisiones cada una: Este, Centro y Oeste. En muchos años los aficionados hablan de que algunas divisiones son más fuertes (tienen mejores equipos) que otras. Esto puede tener consecuencias para la postemporada. Por ejemplo, en 2012 Tampa Bay ganó 90 partidos y no jugó la postemporada, mientras que Detroit solo ganó 88 y sí jugó la postemporada. Puede que haya sido una rareza, pero ¿hay pruebas fehacientes de que en la temporada 2012 las divisiones de la Liga Americana fueran significativamente diferentes en cuanto a registros generales? Use los siguientes datos para comprobar si el número medio de victorias por equipo en las tres divisiones de la Liga Americana es igual o no. Tenga en cuenta que los datos no están equilibrados, ya que dos divisiones tenían cinco equipos, mientras que una tenía cuatro solamente. División Equipo Victorias Este NY Yankees 95 Este Baltimore 93 Este Tampa Bay 90 Este Toronto 73 Este Boston 69 División Equipo Victorias Centro Detroit 88 Centro Chicago Sox 85 Centro Kansas City 72 Centro Cleveland 68 Centro Minnesota 66 División Equipo Victorias Oeste Oakland 94 Oeste Texas 93 Oeste LA Angels 89 Oeste Seattle 75 Se muestra un gráfico de bandas con el número de victorias de los 14 equipos de la Liga Americana para la temporada 2012. Aunque la dispersión parece similar, puede haber alguna duda sobre la normalidad de los datos, dadas las grandes diferencias en el medio cerca de la marca de 0,500 de 82 partidos (los equipos juegan 162 partidos cada temporada en el MLB). Sin embargo, el ANOVA de una vía es robusto. Aquí está la tabla de ANOVA para los datos: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 344,16 3 – 1 = 2 172,08 Error (dentro) 1.219,55 14 – 3 = 11 110,87 1,5521 Total 1.563,71 14 – 1 = 13 P ( F > 1,5521) = 0,2548. Ya que el valor p es tan grande, no hay una buena evidencia contra la hipótesis nula de igualdad de medias. No podemos rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, para 2012, no hay ninguna buena evidencia de una diferencia significativa en el número medio de victorias entre las divisiones de la Liga Americana.", "section": "Prueba de dos varianzas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "ANOVA de una vía El propósito de una prueba de ANOVA de una vía es determinar la existencia de una diferencia estadísticamente significativa entre las medias de varios grupos. De hecho, la prueba usa varianzas para ayudar a determinar si las medias son iguales o no. Para realizar una prueba de ANOVA de una vía hay que cumplir cinco supuestos básicos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas) . El factor es una variable categórica. La respuesta es una variable numérica. Hipótesis nula y alternativa La hipótesis nula es simplemente que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis alternativa es que, al menos, un par de medias es diferente. Por ejemplo, si hay grupos k : H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = ... μ k H a : Al menos dos de las medias del grupo μ 1 , μ 2 , μ 3 , . . . , μ k no son iguales. Eso es, μ i ≠ μ j para algunos i ≠ j . Los gráficos, un conjunto de diagramas de caja y bigotes que representan la distribución de los valores con las medias de los grupos indicadas por una línea horizontal que atraviesa la caja, ayudan a comprender la prueba de hipótesis. En el primer gráfico (diagrama de caja y bigotes rojo), H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 y las tres poblaciones tienen la misma distribución si la hipótesis nula es verdadera. La varianza de los datos combinados es, aproximadamente, igual a la varianza de cada una de las poblaciones. Si la hipótesis nula es falsa, la varianza de los datos combinados es mayor, lo que se debe a las diferentes medias, como se muestra en el segundo gráfico (diagrama de caja verde). (a) H 0 es verdadero. Todas las medias son iguales; las diferencias se deben a la variación aleatoria. (b) H 0 no es verdadero. Todas las medias no son iguales; las diferencias son demasiado grandes para deberse a una variación aleatoria. Repaso del capítulo El análisis de varianza amplía la comparación de dos grupos a varios, cada uno de ellos un nivel de una variable categórica (factor). Las muestras de cada grupo son independientes y se deben seleccionar al azar a partir de poblaciones normales con varianzas iguales. Probamos la hipótesis nula de que las medias de la respuesta son iguales en todos los grupos versus la hipótesis alternativa de que las medias de uno o más grupos son diferentes a las de los demás. Una prueba de hipótesis de ANOVA de una vía determina si varias medias poblacionales son iguales. La distribución para la prueba es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Todas las muestras se seleccionan al azar y son independientes. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios. Hay cinco supuestos básicos que se deben cumplir para realizar una prueba de ANOVA de una vía. ¿Qué son? Escriba un supuesto. Se supone que cada población de la que se toma una muestra es normal. Escriba otro supuesto. Escriba un tercer supuesto. Se supone que las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales (o varianzas). Escriba un cuarto supuesto. Tarea para la casa Se han probado tres rutas de tráfico diferentes para el tiempo medio de conducción. Las entradas de la son los tiempos de conducción en minutos en las tres rutas diferentes. Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 30 27 16 32 29 41 27 28 22 35 36 31 Indique la SS entre , la SS dentro y el estadístico F . SS entre = 26 SS dentro = 441 F = 0,2653 Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x – = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Plantee las hipótesis. H 0 : ____________ H a : ____________ Análisis de varianza también denominado ANOVA, es un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no. El método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. hay una variable independiente y una variable dependiente. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . ANOVA de una vía un método para comprobar si las medias de tres o más poblaciones son iguales o no; el método es aplicable si: todas las poblaciones de interés se distribuyen normalmente. las poblaciones tienen desviaciones típicas iguales. las muestras (no necesariamente del mismo tamaño) se seleccionan de forma aleatoria e independiente de cada población. El estadístico de prueba para el análisis de varianza es el cociente F . Varianza media de las desviaciones al cuadrado de la media; el cuadrado de la desviación típica. Para un conjunto de datos, una desviación se puede representar como x – x – donde x es un valor de los datos y x – es la media muestral. La varianza de la muestra es igual a la suma de los cuadrados de las desviaciones dividida entre la diferencia del tamaño de la muestra y uno.", "section": "ANOVA de una vía", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "La distribución F y el cociente F La distribución utilizada para la prueba de hipótesis es nueva. Se trata de la distribución F , inventada por George Snedecor, pero bautizada en honor del estadístico inglés Sir Ronald Fisher. El estadístico F es un cociente (una fracción). Hay dos conjuntos de grados de libertad; uno para el numerador y otro para el denominador. Por ejemplo, si F sigue una distribución F y el número de grados de libertad para el numerador es cuatro y el número de grados de libertad para el denominador es diez, entonces F ~ F 4, 10 . Para calcular el cociente F se hacen dos estimaciones de la varianza. Varianza entre muestras : Una estimación de σ 2 que es la varianza de las medias muestrales multiplicada por n (cuando los tamaños de las muestras son iguales). Si las muestras son de diferentes tamaños, la varianza entre las muestras se pondera para tener en cuenta los diferentes tamaños de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al tratamiento o variación explicada. Varianza dentro de las muestras : Una estimación de σ 2 que es el promedio de las varianzas de la muestra (también conocida como varianza combinada). Cuando los tamaños de las muestras son diferentes, se pondera la varianza dentro de las muestras. La varianza también se denomina variación debido al error o variación no explicada. SS entre = la suma de los cuadrados que representa la variación entre las diferentes muestras SS dentro = la suma de los cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debido al azar. Hallar una “suma de cuadrados” significa sumar cantidades al cuadrado que, en algunos casos, pueden estar ponderadas. Utilizamos la suma de cuadrados para calcular la varianza y la desviación típica de la muestra en la 2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA . MS significa “ media cuadrática “ (mean square, MS). MS entre es la varianza entre grupos y MS dentro es la varianza dentro de los grupos. Cálculo de la suma de cuadrados y de la media cuadrática k = el número de grupos diferentes n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = número total de todos los valores combinados (tamaño total de la muestra: ∑ n j ) x = un valor: ∑ x = ∑ s j Suma de los cuadrados de todos los valores de cada grupo combinados: ∑ x 2 Variabilidad entre grupos: SS total = ∑ x 2 – ( ∑ x 2 ) n Suma total de cuadrados: ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n Variación explicada: suma de los cuadrados que representan la variación entre las diferentes muestras: SS entre = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n Variación no explicada: suma de cuadrados que representa la variación dentro de las muestras debida al azar: S S dentro = S S total – S S entre df de diferentes grupos ( df para el numerador): df = k – 1 Ecuación para los errores dentro de las muestras ( df para el denominador): df dentro = n – k Media cuadrática (estimación de la varianza) explicado por los diferentes grupos: MS entre = S S entre d e entre Media cuadrática (estimación de la varianza) que se debe al azar (no explicado): MS dentro = S S dentro d e dentro MS entre y MS dentro se pueden escribir como sigue: M S entre = S S entre d e entre = S S entre k – 1 M S w i t h i n = S S w i t h i n d e w i t h i n = S S w i t h i n n – k La prueba de ANOVA de una vía depende del hecho de que el MS entre puede estar influenciado por las diferencias poblacionales entre las medias de los distintos grupos. Dado que el MS dentro compara los valores de cada grupo con su propia media de grupo, el hecho de que las medias de los grupos puedan ser diferentes no afecta al MS dentro . La hipótesis nula dice que todos los grupos son muestras de poblaciones que tienen la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de la muestra proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Si la hipótesis nula es verdadera, tanto MS entre como MS dentro deberían estimar el mismo valor. Nota La hipótesis nula dice que todas las medias poblacionales del grupo son iguales. La hipótesis de igualdad de medias implica que las poblaciones tienen la misma distribución normal, ya que se supone que las poblaciones son normales y que tienen varianzas iguales. El cociente F o estadístico F F = M S entre M S dentro Si MS entre y MS dentro estiman el mismo valor (siguiendo la creencia de que H 0 es verdadera), entonces el cociente F debería ser aproximadamente igual a uno. En su mayoría, solo los errores de muestreo contribuirían a variaciones alejadas de uno. Resulta que MS entre consiste en la varianza de la población más una varianza producida por las diferencias entre las muestras. MS dentro es una estimación de la varianza de la población. Dado que las varianzas son siempre positivas, si la hipótesis nula es falsa, MS entre será generalmente mayor que MS dentro . Entonces el cociente F será mayor que uno. Sin embargo, si el efecto de la población es pequeño, no es improbable que MS dentro sea mayor en una muestra determinada. Los cálculos anteriores se hicieron con grupos de diferentes tamaños. Si los grupos son del mismo tamaño, los cálculos se simplifican un poco y el cociente F se puede escribir como: Fórmula del cociente F cuando los grupos son del mismo tamaño F = n ⋅ s x – 2 s 2 combinada donde... n = el tamaño de la muestra df numerador = k – 1 df denominador = n – k s 2 combinada = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) s x – 2 = la varianza de las medias muestrales Los datos se suelen poner en una tabla para facilitar su visualización. Los resultados del ANOVA de una vía suelen mostrarse de esta manera en softwares. Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) SS (factor) k – 1 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) F = MS (Factor)/ MS (Error) Error SS (error) n – k MS (error) = SS (error)/( n – k ) Total SS (total) n – 1 Se van a probar tres planes de dieta diferentes para la pérdida media de peso. Las entradas de la tabla son las pérdidas de peso de los diferentes planes. Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la . Plan 1: n 1 = 4 Plan 2: n 2 = 3 Plan 3: n 3 = 3 5 3,5 8 4,5 7 4 4 3,5 3 4,5 s 1 = 16,5, s 2 =15, s 3 = 15,5 A continuación se presentan los cálculos necesarios para completar la tabla de ANOVA de una vía. La tabla se utiliza para realizar una prueba de hipótesis. S S ( entre ) = ∑ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ s j ) 2 n = s 1 2 4 + s 2 2 3 + s 3 2 3 – ( s 1 + s 2 + s 3 ) 2 10 donde n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = 3 y n = n 1 + n 2 + n 3 = 10 = ( 16,5 ) 2 4 + ( 15 ) 2 3 + ( 15,5 ) 2 3 – ( 16,5 + 15 + 15,5 ) 2 10 S S ( entre ) = 2,2458 S ( t o t a l ) = ∑ x 2 – ( ∑ x ) 2 n = ( 5 2 + 4,5 2 + 4 2 + 3 2 + 3,5 2 + 7 2 + 4,5 2 + 8 2 + 4 2 + 3,5 2 ) – ( 5 + 4,5 + 4 + 3 + 3,5 + 7 + 4,5 + 8 + 4 + 3,5 ) 2 10 = 244 – 47 2 10 = 244 – 220,9 S S ( t o t a l ) = 23,1 S S ( dentro ) = S S ( t o t a l ) – S S ( entre ) = 23,1 – 2,2458 S S ( dentro ) = 20,8542 Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) SS (factor) = SS (entre) = 2,2458 k – 1 = 3 grupos – 1 = 2 MS (factor) = SS (factor)/( k – 1) = 2,2458/2 = 1,1229 F = MS (Factor)/ MS (Error) = 1,1229/2,9792 = 0,3769 Error SS (error) = SS = 20,8542 n – k = 10 datos totales – 3 grupos = 7 MS (error) = SS (error)/( n – k ) = 20,8542/7 = 2,9792 Total SS (total) = 2,2458 + 20,8542 = 23,1 n – 1 = 10 datos totales – 1 = 9 Ejercicio Como parte de un experimento para ver cómo los diferentes tipos de lechos de suelo afectarían la producción de tomates de corte, los estudiantes del Marist College cultivaron plantas de tomate en diferentes condiciones de lecho de suelo. Los grupos de tres plantas tenían, cada uno, uno de los siguientes tratamientos suelo desnudo cubierta de suelo comercial plástico negro paja compost Todas las plantas crecieron en las mismas condiciones y eran de la misma variedad. Los estudiantes registraron el peso (en gramos) de los tomates producidos por cada una de las n = 15 plantas: Desnudo: n 1 = 3 Cubierta del suelo: n 2 = 3 Plástico: n 3 = 3 Paja: n 4 = 3 Compost: n 5 = 3 2.625 5.348 6.583 7.285 6.277 2.997 5.682 8.560 6.897 7.818 4.915 5.482 3.830 9.230 8.677 Cree la tabla ANOVA de una vía. Introduzca los datos en las listas L1, L2, L3, L4 y L5. Pulse STAT y desplace la flecha hacia TESTS. Flecha hacia abajo a ANOVA. Pulse ENTER e introduzca L1, L2, L3, L4, L5). Pulse ENTER. La tabla se completó con los resultados de la calculadora. Tabla de ANOVA de una vía: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36 , 648 , 561 4 = 9 , 162 , 140 9 , 162 , 140 2 , 044 , 672,6 = 4,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20 , 446 , 726 10 = 2 , 044 , 672,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 La prueba de hipótesis del ANOVA de una vía es siempre de cola derecha porque los valores F más grandes están en la cola derecha de la curva de distribución F y tienden a hacernos rechazar H 0 . Volvamos al ejercicio de los tomates bola en la sección INTÉNTELO 12.2 . Las medias de los rendimientos de los tomates en las cinco condiciones de cubierta están representadas por μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 , μ 5 . Realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si todas las medias son iguales o al menos una es diferente. Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia en los rendimientos medios entre los cinco grupos contra la hipótesis alternativa de que, al menos, una media es diferente del resto. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36.648.561 4 = 9.162.140 9.162.140 2.044.672 0,6 = 4 0,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20.446.726 10 = 2.044.672 0,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 Distribución para la prueba: F 4, 10 df ( num ) = 5 – 1 = 4 df ( denom ) = 15 – 5 = 10 Estadístico de prueba: F = 4,4810 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 4,481) = 0,0248. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,0248 Tome una decisión: Dado que α > valor p , no podemos aceptar H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 % tenemos pruebas razonablemente sólidas de que las diferencias en los rendimientos medios de las plantas de tomate de corte cultivadas en diferentes condiciones de cubierta de suelo es poco probable que se deban únicamente al azar. Podemos concluir que, al menos, algunas de las cubiertas produjeron diferentes rendimientos medios. Ejercicio El SARM, o Staphylococcus aureus resistente a la meticilina , puede causar una grave infección bacteriana en pacientes del hospital. La muestra varios recuentos de colonias de diferentes pacientes que pueden o no tener SARM. Los datos de la tabla se representan en la . Conc. = 0,6 Conc. = 0,8 Conc. = 1,0 Conc. = 1,2 Conc. = 1,4 9 16 22 30 27 66 93 147 199 168 98 82 120 148 132 Gráfico de los datos para las diferentes concentraciones: Compruebe si el número medio de colonias es igual o es diferente. Construya la tabla de ANOVA, calcule el valor p y exponga su conclusión. Utilice un nivel de significación del 5 %. Aunque hay diferencias en los márgenes entre los grupos (consulte la ), no parecen ser tan grandes como para preocupar. Comprobamos la igualdad del número medio de colonias: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : μ i ≠ μ j algún i ≠ j Los resultados de la tabla ANOVA de una vía se muestran en la . Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática ( MS ) F Factor (entre) 10.233 5 – 1 = 4 10.233 4 = 2.558 0,25 2.558 0,25 4.194 0,9 = 0 0,6099 Error (dentro) 41.949 15 – 5 = 10 Total 52.182 15 – 1 = 14 41.949 10 = 4.194 0,9 Distribución para la prueba: F 4, 10 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 0,6099) = 0,6649. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,669, α > valor p Tome una decisión: Dado que α > valor p , no rechazamos H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 %, no hay pruebas suficientes a partir de estos datos de que los diferentes niveles de triptona causen una diferencia significativa en el número medio de colonias bacterianas. Cuatro hermandades de mujeres tomaron una muestra aleatoria de hermanas en relación con su media de calificaciones para el último trimestre. Los resultados se muestran en la . Media de notas de las cuatro hermandades Hermandad 1 Hermandad 2 Hermandad 3 Hermandad 4 2,17 2,63 2,63 3,79 1,85 1,77 3,78 3,45 2,83 3,25 4,00 3,08 1,69 1,86 2,55 2,26 3,33 2,21 2,45 3,18 Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿existe una diferencia en las notas medias entre las hermandades? Supongamos que μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son las medias poblacionales de las hermandades de mujeres. Recuerde que la hipótesis nula afirma que los grupos de hermandades de mujeres proceden de la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de hermandades de mujeres proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Observe que los cuatro tamaños de muestra son cinco cada uno. Nota Este es un ejemplo de diseño equilibrado , ya que cada factor (es decir, la hermandad) tiene el mismo número de observaciones. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : No todas las medias μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son iguales. Distribución para la prueba: F 3,16 donde k = 4 grupos y n = 20 muestras en total df ( num )= k – 1 = 4 – 1 = 3 df ( denom ) = n – k = 20 – 4 = 16 Calcule el estadístico de prueba: F = 2,23 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 2,23) = 0,1241 Compare α y el valor p : α = 0,01 valor p = 0,1241 α < valor p Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las notas medias de las hermandades de mujeres. Ejercicio Cuatro equipos deportivos tomaron una muestra aleatoria de jugadores en relación con su GPA del año pasado. Los resultados se muestran en la . Promedio general de los cuatro equipos deportivos Baloncesto Béisbol Hockey Lacrosse 3,6 2,1 4,0 2,0 2,9 2,6 2,0 3,6 2,5 3,9 2,6 3,9 3,3 3,1 3,2 2,7 3,8 3,4 3,2 2,5 Use un nivel de significación del 5 % y determine si existe una diferencia en el GPA entre los equipos. Con un valor p de 0,9271, no rechazamos la hipótesis nula. No hay pruebas suficientes para concluir que exista una diferencia entre el promedio general de los equipos deportivos. Una clase de cuarto grado está estudiando el ambiente. Una de las tareas consiste en cultivar plantas de judías en diferentes suelos. Tommy eligió cultivar sus plantas de judías en la tierra que encontró fuera de su aula mezclada con pelusa de secadora. Tara decidió cultivar sus plantas de judías en tierra para macetas comprada en el vivero local. Nick decidió cultivar sus plantas de judías en la tierra del jardín de su madre. No se utilizó ningún producto químico en las plantas, solo agua. Se cultivaron en el interior del aula junto a un gran ventanal. Cada niño cultivó cinco plantas. Al final del periodo de crecimiento se midió cada planta y se obtuvieron los datos (en pulgadas) que están en la . Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick 24 25 23 21 31 27 23 23 22 30 20 30 23 28 20 ¿Parece que los tres medios en los que se cultivaron las plantas de judías producen la misma altura media? Pruebe con un nivel de significación del 3 %. Esta vez, realizaremos los cálculos que conducen al estadístico F' . Observe que cada grupo tiene el mismo número de plantas, por lo que utilizaremos la fórmula F' = n ⋅ s x – 2 s 2 combinada . Primero, calcule la media muestral y la varianza de cada grupo. Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick Media muestral 24,2 25,4 24,4 Varianza de la muestra 11,7 18,3 16,3 Luego, calcule la varianza de las medias de los tres grupos (calcule la varianza de 24,2, 25,4 y 24,4). Varianza de las medias de los grupos = 0,413 = s x – 2 Entonces MS entre = n s x – 2 = (5)(0,413) donde n = 5 es el tamaño de la muestra (número de plantas que cultivó cada niño). Calcule la media de las tres varianzas de la muestra (calcule la media de 11,7, 18,3 y 16,3). Media de las varianzas de la muestra = 15,433 = s 2 combinada Entonces MS dentro = s 2 combinado = 15,433. El estadístico F (o cociente F ) es F = M S entre M S dentro = n s x – 2 s 2 p o o l e d = ( 5 ) ( 0,413 ) 15,433 = 0,134 Los dfs para el numerador = el número de grupos – 1 = 3 – 1 = 2. El dfs para el denominador = el número total de muestras – el número de grupos = 15 – 3 = 12 La distribución de la prueba es F 2, 12 y el estadístico F es F = 0,134 El valor p es P ( F > 0,134) = 0,8759. Decisión: Como α = 0,03 y el valor p = 0,8759, no se puede rechazar H 0 . (¿Por qué?) Conclusión: Con un nivel de significación del 3 %, a partir de los datos de la muestra, las pruebas no son suficientes para concluir que las alturas medias de las plantas de judías son diferentes. Notación La notación para la distribución F es F ~ F df ( num ), df ( denom ) donde df ( num ) = df entre y df ( denom ) = df dentro La media de la distribución F es μ = d e ( n u m ) d e ( d e n o m ) – 2 Referencias Datos sobre el tomate, Escuela de Ciencias del Marist College (investigación inédita de un estudiante) Repaso del capítulo El análisis de la varianza compara las medias de una variable de respuesta para varios grupos. El ANOVA compara la variación dentro de cada grupo con la variación de la media de cada grupo. El cociente de estos dos es el estadístico F de una distribución F con (número de grupos – 1) como grados de libertad del numerador y (número de observaciones – número de grupos) como grados de libertad del denominador. Estas estadísticas se resumen en la tabla de ANOVA. Revisión de la fórmula S S entre = ∑ ​ [ ( s j ) 2 n j ] – ( ∑ ​ s j ) 2 n S S total = ∑ ​ x 2 – ( ∑ ​ x ) 2 n S S dentro = S S total – S S entre df entre = df ( num ) = k – 1 df dentro = df(denom) = n – k MS entre = S S entre d e entre MS dentro = S S dentro d e dentro F = M S entre M S dentro k = el número de grupos n j = el tamaño del grupo j s j = la suma de los valores del grupo j n = el número total de todos los valores (observaciones) combinados x = un valor (una observación) de los datos s x – 2 = la varianza de las medias muestrales s 2 p o o l e d = la media de las varianzas de la muestra (varianza combinada) Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Se van a analizar grupos de hombres de tres zonas diferentes del país para determinar su peso medio. Las entradas en la son las ponderaciones de los diferentes grupos. Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 216 202 170 198 213 165 240 284 182 187 228 197 176 210 201 ¿Cuál es el factor de la suma de cuadrados? 4.939,2 ¿Cuál es el error de la suma de los cuadrados? ¿Cuál es la df del numerador? 2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es el factor de la media cuadrática? 2.469,6 ¿Cuál es el error cuadrático medio? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,7416 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Las niñas de cuatro equipos de fútbol diferentes se someterán a pruebas para conocer la media de goles marcados por partido. Las datos en la son los goles por partido de los diferentes equipos. Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 1 2 0 3 2 3 1 4 0 2 1 4 3 4 0 3 2 4 0 2 ¿Cuál es SS entre ? ¿Cuál es la df del numerador? 3 ¿Cuál es MS entre ? ¿Cuál es SS dentro ? 13,2 ¿Cuál es la df del denominador? ¿Cuál es MS dentro ? 0,825 ¿Cuál es el estadístico F ? A juzgar por el estadístico F , ¿cree que es probable o improbable que se rechace la hipótesis nula? Dado que una prueba ANOVA de una vía siempre tiene cola derecha, una estadística F alta corresponde a un valor p bajo, por lo que es probable que no aceptemos la hipótesis nula. Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x – = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 = µ 4 = µ 5 Hα : Al menos dos de las medias de grupo µ 1 , µ 2 , …, µ 5 no son iguales. grados de libertad – numerador: df ( num ) = _________ grados de libertad – denominador: df ( denom ) = ________ df ( denom ) = 15 estadístico F = ________", "section": "La distribución F y el cociente F", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Datos sobre la distribución F Estos son algunos datos sobre la distribución F . La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha. Hay una curva diferente para cada conjunto de grados de libertad. El estadístico F es mayor o igual a cero. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se aproxima a la normal, como puede verse en las dos figuras siguientes. La figura (b), con más grados de libertad, se acerca a la distribución normal mucho más, pero recuerde que la F no puede ser nunca menor que cero, por lo que la distribución no tiene una cola que llegue hasta el infinito por la izquierda, como ocurre con la distribución normal. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo. Referencias Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118. “MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012. Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association , 268, 1578-1580. Repaso del capítulo El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F . Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 12.3 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Siempre mire sus datos! ¿Qué valores puede tener un estadístico F ? ¿Qué ocurre con las curvas a medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador? Las curvas se aproximan a la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 36 32 48 38 41 42 35 50 44 39 51 38 39 46 40 ¿Cuál es el df(num) ? ¿Cuál es el df(denom) ? diez ¿Cuáles son los factores de la suma de los cuadrados y de las medias cuadráticas? ¿Cuáles son la suma de los cuadrados y los errores de la media cuadrática? SS = 237,33; MS = 23,73 ¿Cuál es el estadístico F ? ¿Cuál es el valor p ? 0,1614 Al nivel de significación del 5 %, ¿hay una diferencia en la altura media de los saltos entre los equipos? Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la Grupo A Grupo B Grupo C 101 151 101 108 149 109 98 160 198 107 112 186 111 126 160 ¿Cuál es el df(num) ? dos ¿Cuál es el df(denom) ? ¿Cuáles son la SS entre y la MS entre ? SS = 5.700,4; MS = 2.850,2 ¿Cuáles son la SS dentro y la MS dentro ? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,6101 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 10 %, ¿las puntuaciones entre los distintos grupos son diferentes? Sí, hay pruebas suficientes para demostrar que las calificaciones entre los grupos son estadísticamente significativas al nivel del 10 %. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Introduzca los datos en su calculadora o computadora. valor p = ______ Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ α = 0,01 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta las suyas con la fórmula B y Javier con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Use un nivel de significación del 10 % y pruebe la hipótesis de que las tres fórmulas producen el mismo aumento de peso medio. Peso de las ratas de laboratorio de los estudiantes Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 H 0 : µ L = µ T = µ J H a : al menos dos de las medias son diferentes df ( num ) = 2; df ( denom ) = 12 Distribución F 0,67 0,5305 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las medias son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados están en la . Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que las tres medias de las millas de desplazamiento son iguales. Clase trabajadora Profesionales (ingresos medios) Profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. Decoración del hogar Noticias Salud Computación 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que los cuatro tipos de revistas tienen la misma extensión media. Elimine un tipo de revista que ahora considere que tiene una extensión media diferente a las demás. Vuelva a realizar la prueba de hipótesis para probar que las tres medias restantes son estadísticamente iguales. Use una nueva hoja de soluciones. Según esta prueba, ¿las extensiones medias de las tres revistas restantes son estadísticamente iguales? H a : µ c = µ n = µ h Al menos dos de las revistas tienen extensiones medias diferentes. df ( num ) = 2, df ( denom ) = 12 Distribución F F = 15,28 valor p = 0,001 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede aceptar la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las longitudes medias de las revistas son diferentes. Un investigador quiere saber si los tiempos medios (en minutos) que las personas ven su canal de noticias favorito son iguales. Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. CNN FOX Local 45 15 72 12 43 37 18 68 56 38 50 60 23 31 51 35 22 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Las medias de los exámenes finales son iguales para todos los tipos de clases de Estadística? La muestra las calificaciones de los exámenes finales de varias clases seleccionadas al azar que utilizaron los diferentes tipos de entrega. En línea Híbrido En persona 72 83 80 84 73 78 77 84 84 80 81 81 81 86 79 82 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ o = μ h = μ f Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 13 F 2,13 0,64 0,5437 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Las calificaciones medias de la entrega de las distintas clases no son diferentes. ¿El número medio de veces al mes que una persona come fuera es el mismo para personas blancas, negras, hispanas y asiáticas? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Blancos Negros Hispanos Asiático 6 4 7 8 8 1 3 3 2 5 5 5 4 2 4 1 6 6 7 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Los números medios de visitantes diarios a una estación de esquí son iguales para los tres tipos de condiciones de nieve? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. En polvo De máquina Comprimida 1.210 2.107 2.846 1.080 1.149 1.638 1.537 862 2.019 941 1.870 1.178 1.528 2.233 1.382 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ p = μ m = μ h Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 12 F 2,12 3,13 0,0807 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No se puede rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que el número medio de visitantes diarios sea diferente. Sanjay hizo aviones de papel idénticos con tres pesos diferentes de papel: ligero, medio y pesado. Hizo cuatro aviones con cada uno de los pesos y los lanzó él mismo por la habitación. Aquí están las distancias (en metros) que volaron sus aviones. Tipo de papel/Ensayo Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Pesado 5,1 metros 3,1 metros 4,7 metros 5,3 metros Medio 4 metros 3,5 metros 4,5 metros 6,1 metros Ligero 3,1 metros 3,3 metros 2,1 metros 1,9 metros Observe los datos del gráfico. Observe la dispersión de los datos para cada grupo (ligero, medio y pesado). ¿Parece razonable suponer una distribución normal con la misma varianza para cada grupo? Sí o no. ¿Por qué es un diseño equilibrado? Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra para cada grupo. ¿El peso del papel influye en la distancia que recorrerá el avión? Use un nivel de significación del 1 %. Complete la prueba utilizando el método mostrado en el ejemplo de la planta de judías en el . varianza de las medias de los grupos __________ MS entre = ___________ media de las tres varianzas de la muestra ___________ MS dentro = _____________ estadístico F = ____________ df(num) = __________, df(denom) = ___________ número de grupos _______ número de observaciones _______ valor p = __________ ( P ( F > _______) = __________) Grafique el valor p . decisión: _______________________ conclusión: _______________________________________________________________ El dicloro difenil tricloroetano (DDT) es un pesticida cuyo uso se ha prohibido en Estados Unidos y en la mayoría de las zonas del mundo. Es bastante eficaz, pero persiste en el medio ambiente y, con el tiempo, se considera perjudicial para los organismos superiores. Se cree que las cáscaras de los huevos de las águilas y otras aves rapaces son más finas y propensas a romperse en el nido debido a la ingestión de DDT en la cadena alimentaria de las aves. Se realizó un experimento sobre el número de huevos (fecundidad) puestos por las hembras de la mosca de la fruta. Hay tres grupos de moscas. Un grupo fue criado para ser resistente al DDT (el grupo RS). Otro fue criado para ser especialmente susceptible al DDT (SS). Por último, había una línea de control de moscas de la fruta no seleccionadas o típicas (NS). Aquí están los datos: RS SS NS RS SS NS 12,8 38,4 35,4 22,4 23,1 22,6 21,6 32,9 27,4 27,5 29,4 40,4 14,8 48,5 19,3 20,3 16 34,4 23,1 20,9 41,8 38,7 20,1 30,4 34,6 11,6 20,3 26,4 23,3 14,9 19,7 22,3 37,6 23,7 22,9 51,8 22,6 30,2 36,9 26,1 22,5 33,8 29,6 33,4 37,3 29,5 15,1 37,9 16,4 26,7 28,2 38,6 31 29,5 20,3 39 23,4 44,4 16,9 42,4 29,3 12,8 33,7 23,2 16,1 36,6 14,9 14,6 29,2 23,6 10,8 47,4 27,3 12,2 41,7 Los valores son el número promedio de huevos puestos diariamente por cada una de las 75 moscas (25 en cada grupo) durante los primeros 14 días de su vida. Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿son diferentes las tasas medias de selección de huevos para las tres cepas de mosca de la fruta? Si es así, ¿de qué manera? Específicamente, los investigadores estaban interesados en saber si las cepas criadas selectivamente eran diferentes de la línea no seleccionada, y si las dos líneas seleccionadas eran diferentes entre sí. A continuación se muestra un gráfico de los tres grupos: Los datos parecen normalmente distribuidos en el gráfico y una dispersión similar. No parece haber ningún valor atípico grave, por lo que podemos seguir con nuestros cálculos de ANOVA, para ver si tenemos buenas pruebas de una diferencia entre los tres grupos. H 0 : µ 1 = µ 2 = µ 3 ; H a : µ i ≠ ; algunos i ≠ j Defina μ 1 , μ 2 , μ 3 , como la media poblacional del número de huevos puestos por los tres grupos de moscas de la fruta. estadístico F = 8,6657; valor p = 0,0004 Decisión: como el valor p es inferior al nivel de significación de 0,01, rechazamos la hipótesis nula. Conclusión: tenemos buenas pruebas de que el número promedio de huevos puestos durante los primeros 14 días de vida de estas tres cepas de moscas de la fruta son diferentes. Curiosamente, si se realiza una prueba t de dos muestras para comparar los grupos RS y NS, son significativamente diferentes ( p = 0,0013). Asimismo, SS y NS son significativamente diferentes ( p = 0,0006). Sin embargo, los dos grupos seleccionados, RS y SS, no son significativamente diferentes ( p = 0,5176). Por lo tanto, parece que tenemos buenas pruebas de que la selección para la resistencia o para la susceptibilidad implica una tasa reducida de producción de huevos (para estas cepas específicas) en comparación con las moscas que no fueron seleccionadas para la resistencia o la susceptibilidad al DDT. Aquí, la selección genética ha implicado aparentemente una pérdida de fecundidad. Los datos que se muestran son las temperaturas corporales registradas de 130 sujetos estimadas a partir de histogramas disponibles. Tradicionalmente se nos enseña que la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 °F. Esto no es del todo correcto para todos. ¿Las temperaturas medias son diferentes entre los cuatro grupos? Calcule los intervalos de confianza del 95 % para la temperatura corporal media en cada grupo y comente los intervalos de confianza. FL FH ML MH FL FH ML MH 96,4 96,8 96,3 96,9 98,4 98,6 98,1 98,6 96,7 97,7 96,7 97 98,7 98,6 98,1 98,6 97,2 97,8 97,1 97,1 98,7 98,6 98,2 98,7 97,2 97,9 97,2 97,1 98,7 98,7 98,2 98,8 97,4 98 97,3 97,4 98,7 98,7 98,2 98,8 97,6 98 97,4 97,5 98,8 98,8 98,2 98,8 97,7 98 97,4 97,6 98,8 98,8 98,3 98,9 97,8 98 97,4 97,7 98,8 98,8 98,4 99 97,8 98,1 97,5 97,8 98,8 98,9 98,4 99 97,9 98,3 97,6 97,9 99,2 99 98,5 99 97,9 98,3 97,6 98 99,3 99 98,5 99,2 98 98,3 97,8 98 99,1 98,6 99,5 98,2 98,4 97,8 98 99,1 98,6 98,2 98,4 97,8 98,3 99,2 98,7 98,2 98,4 97,9 98,4 99,4 99,1 98,2 98,4 98 98,4 99,9 99,3 98,2 98,5 98 98,6 100 99,4 98,2 98,6 98 98,6 100,8", "section": "Datos sobre la distribución F", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Introducción La regresión lineal y la correlación pueden ayudarlo a determinar si el salario de un mecánico de automóviles está relacionado con su experiencia laboral (créditos: Joshua Rothhaas). Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es? En otro ejemplo, sus ingresos pueden estar determinados por su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad, o su sexo o color. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora. Estos ejemplos pueden o no estar vinculados con un modelo, lo que significa que alguna teoría sugirió que existe una relación. Este vínculo entre causa y efecto, a menudo denominado modelo, es la base del método científico y constituye el núcleo de la forma en que determinamos lo que creemos sobre el funcionamiento del mundo. El empezar con una teoría y desarrollar un modelo de la relación teórica debería dar como resultado una predicción, lo que hemos llamado antes una hipótesis. Ahora la hipótesis se refiere a un conjunto completo de relaciones. Por ejemplo, en economía el modelo de elección del consumidor se basa en supuestos relativos al comportamiento humano: el deseo de maximizar algo llamado utilidad, el conocimiento de los beneficios de un producto sobre otro, lo que gusta y no gusta, denominados generalmente preferencias, etc. Estos se combinan para darnos la curva de demanda. De ello se desprende la predicción de que, a medida que los precios suben, la cantidad demandada disminuye. La economía dispone de modelos sobre la relación entre los precios que se cobran por los bienes y la estructura de mercado en la que opera la empresa, monopolio versus competencia, por ejemplo. Los modelos de quiénes serían los más elegidos para un puesto de trabajo, las repercusiones de los cambios en la política de la Reserva Federal y el crecimiento de la economía, y un largo etcétera. Los modelos no son exclusivos de la economía, incluso dentro de las ciencias sociales. En la ciencias políticas, por ejemplo, existen modelos que predicen el comportamiento de los burócratas ante diversos cambios de circunstancias, basados en suposiciones sobre los objetivos de los burócratas. Existen modelos de comportamiento político que abordan la toma de decisiones estratégicas tanto en las relaciones internacionales como en la política interior. Las llamadas ciencias duras son, por supuesto, el origen del método científico, ya que a lo largo de los siglos intentaron explicar el confuso mundo que nos rodea. Algunos de los primeros modelos hoy nos hacen reír; la generación espontánea de la vida, por ejemplo. Estos primeros modelos se ven hoy como poco más que los mitos fundacionales que desarrollamos para poner algo de orden en lo que parecía un caos. La base de toda construcción de modelos es la afirmación, quizá arrogante, de que sabemos qué ha causado el resultado que vemos. Esto se plasma en el simple enunciado matemático de la forma funcional que y = f(x). La respuesta, Y, está causada por el estímulo, X. Todo modelo acabará llegando a este lugar final y será aquí donde la teoría vivirá o morirá. ¿Apoyarán los datos esta hipótesis? Si es así, está bien, creeremos esta versión del mundo hasta que una teoría mejor venga a sustituirla. Este es el proceso por el que pasamos de la Tierra plana a la Tierra redonda, del sistema solar centrado en la Tierra al sistema solar centrado en el sol, y así sucesivamente. El método científico no confirma una teoría para siempre: no demuestra la \"verdad\". Todas las teorías están sujetas a revisión y pueden revocarse. Estas son las lecciones que aprendimos cuando elaboramos por primera vez el concepto de la prueba de hipótesis al principio de este libro. Al comenzar esta sección, estos conceptos merecen ser revisados porque la herramienta que desarrollaremos aquí es la piedra angular del método científico y lo que está en juego es mayor. Las teorías completas se elevarán o caerán gracias a esta herramienta estadística; la regresión y las versiones más avanzadas se llaman econometría. En este capítulo comenzaremos con la correlación, la investigación de las relaciones entre variables que pueden o no estar fundadas en un modelo de causa y efecto. Las variables simplemente se mueven en la misma dirección o dirección contraria. Es decir, no se mueven al azar. La correlación proporciona una medida del grado en que esto es verdadero. A partir de ahí, desarrollamos una herramienta para medir las relaciones de causa y efecto: el análisis de regresión. Podremos formular modelos y pruebas para determinar si son estadísticamente sólidas. Si se comprueba que es así, podemos utilizarlas para hacer predicciones: si por política cambiáramos el valor de esta variable, ¿qué pasaría con esta otra? Si impusiéramos un impuesto a la gasolina de 50 céntimos por galón, ¿cómo incidiría eso en las emisiones de carbono, en las ventas de Hummers/Híbridos, en el empleo del transporte público, etc.? La capacidad de dar respuesta a este tipo de preguntas es el valor de la regresión como herramienta que nos permite entender nuestro mundo y tomar decisiones políticas meditadas.", "section": "Introducción", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "El coeficiente de correlación r Al comenzar esta sección, observamos que el tipo de datos con los que vamos a trabajar ha cambiado. Tal vez no se note, pero todos los datos que hemos estado utilizando son para una sola variable. Puede ser de dos muestras, pero sigue siendo una variable univariante. El tipo de datos descrito en los ejemplos anteriores y para cualquier modelo de causa y efecto son datos bivariados ; \"bi\" para dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes , es decir, muchas variables. Para nuestro trabajo, podemos clasificar los datos en tres grandes categorías: de series temporales, de sección transversal y de panel. Aprendimos sobre los dos primeros al inicio. Los datos de series temporales miden una única unidad de observación a medida que pasa el tiempo, por ejemplo, una persona, una compañía o un país. Lo que se mide serán al menos dos características, por ejemplo, los ingresos de la persona, la cantidad de un determinado bien que compra y el precio que ha pagado. Se trataría de tres informaciones en un tiempo, digamos 1985. Si siguiéramos a esa persona a lo largo del tiempo, tendríamos esos mismos datos para 1985, 1986, 1987, etc. Esto constituiría un conjunto de datos de series temporales. Si hiciéramos esto durante 10 años, tendríamos 30 datos sobre los hábitos de consumo de este bien por parte de esta persona durante la última década y conoceríamos sus ingresos y el precio que ha pagado. Un segundo tipo de conjunto de datos es el de los datos transversales. En este caso, la variación no es a través del tiempo para una sola unidad de observación, sino a través de las unidades de observación durante un punto en el tiempo. Para un tiempo determinado, reuniríamos el precio pagado, la cantidad comprada y los ingresos de muchas personas por separado. Un tercer tipo de conjunto de datos son los datos de panel. Aquí se sigue un panel de unidades de observación a lo largo del tiempo. Si retomamos el ejemplo anterior, podríamos seguir a 500 personas, la unidad de observación, a lo largo del tiempo, diez años, y así observar sus ingresos, el precio pagado y la cantidad del bien adquirido. Si tuviéramos 500 personas y datos durante diez años sobre el precio, los ingresos y la cantidad comprada, tendríamos 15.000 datos. Este tipo de conjuntos de datos son muy costosos de construir y mantener. Sin embargo, proporcionan una enorme cantidad de información que puede utilizarse para responder preguntas muy importantes. Por ejemplo, ¿cuál es el efecto en la tasa de participación laboral de las mujeres a medida que su familia de origen, la madre y el padre, envejecen? ¿O existen efectos diferenciales en los resultados de salud, dependiendo de la edad a la que una persona empezó a fumar? Solo los datos de panel pueden dar respuesta a estas y otras cuestiones relacionadas, ya que debemos seguir a varias personas en el transcurso del tiempo. Sin embargo, el trabajo que realizamos aquí no será del todo apropiado para conjuntos de datos como estos. Partiendo de un conjunto de datos con dos variables independientes, nos preguntamos: ¿están relacionadas? Una forma de responder visualmente a esta pregunta es crear un gráfica de dispersión de los datos. Antes no podíamos hacerlo cuando hacíamos estadística descriptiva porque esos datos eran univariantes. Ahora tenemos datos bivariados, por lo que podemos trazar en dos dimensiones. Las tres dimensiones son posibles en un trozo de papel plano, pero resultan muy difíciles de conceptualizar por completo. Por supuesto, no se pueden representar gráficamente más de tres dimensiones, aunque las relaciones pueden medirse matemáticamente. Para dotar de precisión matemática a la medición de lo que vemos, utilizamos el coeficiente de correlación. La correlación nos dice algo sobre el movimiento conjunto de dos variables, pero nada sobre el motivo de este movimiento. Formalmente, en el análisis de correlación supone que las dos variables analizadas son independientes . Esto significa que ninguna de los dos provoca el movimiento de la otra. Además, significa que ninguna de las dos variables depende de la otra, ni de ninguna otra. Incluso con estas limitaciones, el análisis de correlación puede arrojar algunos resultados interesantes. El coeficiente de correlación, ρ (se pronuncia ro), es la estadística matemática para una población que nos proporciona una medida de la fuerza de una relación lineal entre las dos variables. Para una muestra de datos, la estadística r, desarrollada por Karl Pearson a principios de los 1900, es una estimación de la correlación de la población y se define matemáticamente como: r = 1 n – 1 Σ ( X 1 i – X – 1 ) ( X 2 i – X – 2 ) s x 1 s x 2 O r = Σ X 1 i X 2 i – n X – 1 – X – 2 ( Σ X 1 2 i – n X – 1 2 ) ( Σ X 2 2 i – n X – 2 2 ) donde s x1 y s x2 son las desviaciones típicas de las dos variables independientes X 1 y X 2 , X – 1 y X – 2 son las medias muestrales de las dos variables, y X 1i y X 2i son las observaciones individuales de X 1 y X 2 . El coeficiente de correlación r oscila entre -1 y 1. La segunda fórmula equivalente se utiliza a menudo porque puede ser más fácil de calcular. Aunque estas fórmulas parezcan espeluznantes, en realidad no son más que el cociente de la covarianza entre las dos variables y el producto de sus dos desviaciones típicas. Es decir, es una medida de las varianzas relativas. En la práctica, todos los análisis de regresión y correlación se realizarán mediante softwares diseñados para estos fines. Cualquier cosa que supere tal vez media docena de observaciones crea inmensos problemas computacionales. Por ello, la correlación y, más aun, la regresión, no fueron herramientas de investigación muy utilizadas hasta la llegada de las \"máquinas de computación\". En la actualidad, la potencia de cómputo necesaria para analizar los datos mediante paquetes de regresión se considera casi trivial en comparación con la de hace una década. Para visualizar cualquier relación lineal que pueda existir, vea el trazado de un diagrama de dispersión de los datos estandarizados. La presenta varios diagramas de dispersión y el valor calculado de r. Observe en los paneles (a) y (b) que los datos tienden generalmente a moverse juntos, (a) hacia arriba y (b) hacia abajo. El panel (a) es un ejemplo de correlación positiva y el panel (b) es un ejemplo de correlación o relación negativa. El signo del coeficiente de correlación nos indica si la relación es positiva o negativa (inversa). Si todos los valores de X 1 y X 2 se encuentran en una línea recta, el coeficiente de correlación será 1 o -1, dependiendo de si la línea tiene una pendiente positiva o negativa, y cuanto más se acerque a uno o a uno negativo, más fuerte será la relación entre las dos variables. RECUERDE SIEMPRE QUE EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN NO NOS INDICA LA PENDIENTE. Recuerde que lo único que nos señala el coeficiente de correlación es si los datos están o no relacionados linealmente. En el panel (d) las variables tienen obviamente algún tipo de relación muy específica entre sí, pero el coeficiente de correlación es cero, lo que indica que no existe ninguna relación lineal . Si se sospecha que existe una relación lineal entre X 1 y X 2 , entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal. Lo que nos dice el VALOR de r : El valor de r está siempre entre –1 y +1: –1 ≤ r ≤ 1. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre X 1 y X 2 . Los valores de r cercanos a –1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre X 1 y X 2 . Si r = 0, no hay ninguna relación lineal entre X 1 y X 2 (no hay correlación lineal) . Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta: CUALQUIER línea recta sin importar la pendiente. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir. Lo que nos dice el SIGNO de r Un valor positivo de r significa que, cuando X 1 aumenta, X 2 tiende a aumentar y cuando X 1 disminuye, X 2 tiende a disminuir (correlación positiva) . Un valor negativo de r significa que, cuando X 1 aumenta, X 2 tiende a disminuir y cuando X 1 disminuye, X 2 tiende a aumentar (correlación negativa) . Nota Una fuerte correlación no sugiere que X 1 cause X 2 o que X 2 cause X 1 . Decimos que “la correlación no implica causalidad”. Para tener un coeficiente de correlación entre los rasgos A y B, es necesario tener: un grupo de sujetos, algunos de los cuales poseen características del rasgo A, el restante posee las del rasgo B medidas del rasgo A en un grupo de sujetos y del rasgo B en otro grupo dos grupos de sujetos, uno que podría clasificarse como A o no A, y el otro como B o no B dos grupos de sujetos, uno que podría clasificarse como A o no A, y el otro como B o no B d Defina el coeficiente de correlación y dé un ejemplo único de su uso. Una medida del grado en que la variación de una variable está relacionada con la variación de otra u otras variables. El coeficiente de correlación más utilizado indica el grado en que la variación de una variable se describe mediante una relación de línea recta con otra variable. Supongamos que se dispone de información muestral sobre el ingreso familiar y los años de escolaridad del cabeza de familia. Un coeficiente de correlación = 0 indicaría que no hay ninguna asociación lineal entre estas dos variables. Una correlación de 1 indicaría una asociación lineal perfecta (en la que toda la variación del ingreso familiar podría estar asociada a la escolarización y viceversa). Si la correlación entre la edad de un automóvil y el dinero gastado en reparaciones es de +0,90 El 81 % de la variación del dinero gastado en reparaciones se explica por la edad del automóvil El 81 % del dinero gastado en reparaciones no se explica por la edad del automóvil El 90 % del dinero que se gasta en reparaciones se explica por la edad del automóvil Ninguna de las anteriores a. El 81 % de la variación del dinero gastado en reparaciones se explica por la edad del automóvil Supongamos que el promedio general de calificaciones del instituto universitario y la parte verbal de una prueba de coeficiente intelectual tienen una correlación de 0,40. ¿Qué porcentaje de la varianza tienen ambas en común? 20 16 40 80 b. 16 ¿Verdadero o falso? Si es falso, explique por qué: El coeficiente de determinación puede tener valores entre -1 y +1. El coeficiente de determinación es r··2 con 0 ≤ r··2 ≤ 1, ya que -1 ≤ r ≤ 1. Verdadero o falso: Siempre que se calcula r a partir de una muestra, el valor que obtenemos es solo una estimación del verdadero coeficiente de correlación que obtendríamos si lo calculáramos para toda la población. Verdadero Bajo un \"diagrama de dispersión\" se anota que el coeficiente de correlación es de 0,10. ¿Qué significa esto? más y menos el 10 % de la media incluye alrededor del 68 % de los casos una décima parte de la varianza de una variable se comparte con la otra variable una décima parte de una variable es causada por la otra variable en una escala de -1 a +1, el grado de relación lineal entre las dos variables es de +0,10 d. en una escala de -1 a +1, el grado de relación lineal entre las dos variables es +0,10 Se sabe que el coeficiente de correlación de la X y de la Y es cero. Entonces podemos concluir que: la X y la Y tienen distribuciones estándar las varianzas de la X y de la Y son iguales no existe ninguna relación entre la X y la Y no existe ninguna relación lineal entre la X y la Y ninguno de estos d. no existe ninguna relación lineal entre la X y la Y ¿Cuál cree que es el valor del coeficiente de correlación para el par de variables: \"número de horas de trabajo\" y \"número de unidades de trabajo realizadas\"? Aproximadamente 0,9 Aproximadamente 0,4 Aproximadamente 0,0 Aproximadamente -0,4 Aproximadamente -0,9 Aproximadamente 0,9 En un grupo determinado, la correlación entre la estatura en pies y el peso en libras es de +0,68. ¿Cuál de las siguientes opciones alteraría el valor de r? la altura se expresa en centímetros. el peso se expresa en kilogramos. ambos afectarán a r. ninguno de los cambios anteriores afectará a r. d. ninguno de los cambios anteriores afectará a r. Bivariante dos variables están presentes en el modelo, donde una es la \"causa\" o variable independiente y la otra es el \"efecto\" de la variable dependiente. Multivariante sistema o modelo en el que se utiliza más de una variable independiente para predecir un resultado. Solo puede haber una variable dependiente, aunque no hay límite en el número de variables independientes. R – Coeficiente de correlación un número entre −1 y 1 que representa la fuerza y la dirección de la relación entre la \"X\" y la \"Y\". El valor de \" r \" será igual a 1 o −1 solo si todos los puntos trazados forman una línea perfectamente recta. Lineal modelo que toma los datos y los convierte en una ecuación de línea recta.", "section": "El coeficiente de correlación r", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación El coeficiente de correlación, r , nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre X 1 y X 2 . Los datos de la muestra se utilizan para calcular r , el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r , es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido. ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido) r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra) La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es \"significativo\". Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre X 1 y X 2 porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre X 1 y X 2 . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”. Realización de la prueba de hipótesis Hipótesis nula: H 0 : ρ = 0 Hipótesis alternativa: H a : ρ ≠ 0 Lo que significan las hipótesis en palabras Hipótesis nula H 0 : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY una relación lineal significativa (correlación) entre X 1 y X 2 en la población. Hipótesis alternativa H a : El coeficiente de correlación de la población es significativamente diferente de cero. Existe una relación lineal significativa (correlación) entre X 1 y X 2 en la población. Llegar a una conclusión Hay dos métodos para tomar la decisión sobre la hipótesis. El estadístico de prueba para comprobar esta hipótesis es: t c = r ( 1 – r 2 ) ( n – 2 ) O t c = r n – 2 1 – r 2 Donde la segunda fórmula es una forma equivalente al estadístico de prueba, n es el tamaño de la muestra y los grados de libertad son n-2. Se trata de la estadística t y funciona de la misma manera que otras pruebas t. Calcule el valor t y compárelo con el valor crítico de la tabla t con los grados de libertad adecuados y el nivel de confianza que desee mantener. Si el valor calculado está en la cola, entonces no se puede aceptar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre estas dos variables aleatorias independientes. Si el valor t calculado NO está en la cola, entonces no se puede rechazar la hipótesis nula de que no existe ninguna relación lineal entre las dos variables. Una forma rápida de comprobar las correlaciones es la relación entre el tamaño de la muestra y la correlación. Si: | r | ≥ 2 n entonces esto implica que la correlación entre las dos variables demuestra que existe una relación lineal y es estadísticamente significativa a un nivel de significación aproximado de 0,05. Como indica la fórmula, existe una relación inversa entre el tamaño de la muestra y la correlación necesaria para la significación de una relación lineal. Con solo 10 observaciones, la correlación requerida para la significación es de 0,6325, para 30 observaciones la correlación requerida para la significación disminuye a 0,3651 y a 100 observaciones el nivel requerido es solo de 0,2000. Las correlaciones sirven para visualizar los datos, pero no se utilizan adecuadamente para \"explicar\" una relación entre dos variables. Tal vez no haya una estadística más mal utilizada que el coeficiente de correlación. Citar correlaciones entre las condiciones de salud y todo lo demás, desde el lugar de residencia hasta el color de los ojos, tiene el efecto de implicar una relación de causa y efecto. Esto no se logra con un coeficiente de correlación. El coeficiente de correlación es, por supuesto, inocente de esta mala interpretación. El analista tiene el deber de utilizar una estadística diseñada para comprobar las relaciones de causa y efecto y comunicar solo esos resultados si pretende hacer tal afirmación. El problema es que pasar esta prueba más rigurosa es difícil, por lo que los \"investigadores\" perezosos o inescrupulosos recurren a las correlaciones cuando no pueden presentar sus argumentos de forma legítima. Defina la prueba t de un coeficiente de regresión y dé un ejemplo único de su uso. Definición: La prueba t se obtiene al dividir el coeficiente de regresión entre el error estándar y comparar el resultado con los valores críticos de la t de Student con los df del error. Proporciona una prueba de la afirmación de que β i = 0 cuando se han incluido todas las demás variables en el modelo de regresión correspondiente. Ejemplo: Supongamos que se sospecha que 4 variables influyen en alguna respuesta. Supongamos que los resultados de la adaptación Y i = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + β 3 X 3 i + β 4 X 4 i + e i incluyen: Variable Coeficiente de regresión Error estándar del coeficiente regular 0,5 1 -3 0,4 2 +2 0,02 3 +1 0,6 4 -0,5 la t calculada para las variables 1, 2 y 3 sería de 5 o más en valor absoluto, mientras que la de la variable 4 sería inferior a 1. Para la mayoría de los niveles de significación, la hipótesis β 1 = 0 sería rechazada. No obstante, fíjese que esto es para el caso en que X 2 , X 3 y X 4 se han incluido en la regresión. Para la mayoría de los niveles de significación, la hipótesis β 4 = 0 se continuaría (se mantendría) para el caso en que X 1 , X 2 y X 3 están en la regresión. A menudo, este patrón de resultados ocasionará el cálculo de otra regresión que incluya solo X 1 , X 2 , X 3 , y el examen de los cocientes t producidos para ese caso. La correlación entre las puntuaciones en una prueba de neurosis y las puntuaciones en una prueba de ansiedad es alta y positiva; por lo tanto, la ansiedad causa neurosis. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación alta en la otra. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación baja en la otra. no se puede hacer ninguna predicción significativa de una prueba a la otra. c. los que obtienen una puntuación baja en una prueba tienden a obtener una puntuación baja en la otra.", "section": "Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Ecuaciones lineales La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma y = a + bx donde a y b son números constantes. La variable x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Otra forma de pensar en esta ecuación es una declaración de causa y efecto. La variable X es la causa y la variable Y es el efecto hipotético. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente. Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales. y = 3 + 2x y = -0,01 + 1,2x El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta . Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación. Grafique la ecuación y = –1 + 2 x . Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? No, el gráfico no es una línea recta; por lo tanto, no es una ecuación lineal. Aaron's Word Processing Service (AWPS) se encarga del procesamiento de textos. La tarifa de los servicios es de 32 dólares por hora, más un cargo único de 31,50 dólares. El costo total para un cliente depende del número de horas que se tarda en realizar el trabajo. Calcule la ecuación que expresa el costo total en términos del número de horas necesarias para completar el trabajo. Supongamos que x = el número de horas que se necesita para realizar el trabajo. Supongamos que y = el costo total para el cliente. Los 31,50 dólares son un costo fijo. Si se tarda x horas en completar el trabajo, entonces (32)( x ) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es: y = 31,50 + 32 x Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal Para la ecuación lineal y = a + bx , b = pendiente y a = intersección en y . De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a ) donde la línea cruza el eje y . Desde el cálculo, la pendiente es la primera derivada de la función. Para una función lineal la pendiente es dy / dx = b donde podemos leer la expresión matemática como \"el cambio en y ( dy ) que resulta de un cambio en x ( dx ) = b * dx \". Tres posibles gráficos de y = a + bx . (a) Si b > 0, la línea tiene pendiente ascendente hacia la derecha. (b) Si b = 0, la línea es horizontal. (c) Si b < 0, la línea tiene pendiente descendente hacia la derecha. Svetlana da clases particulares para ganar dinero adicional para sus estudios superiores. Por cada sesión de tutoría cobra una cuota única de 25 dólares más 15 dólares por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión de tutoría es y = 25 + 15 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La variable independiente ( x ) es el número de horas que Svetlana da sesiones de tutoría. La variable dependiente ( y ) es la cantidad, en dólares, que gana Svetlana por cada sesión. La intersección en y es 25 ( a = 25). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 15 ( b = 15). En cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora de tutoría. ¿Verdadero o falso? Si es falso, corríjalo: Supongamos un intervalo de confianza del 95 % para la pendiente β de la línea recta de regresión de Y sobre X viene dado por -3,5 < β < -0,5. Entonces una prueba de dos lados de la hipótesis H 0 : β = -1 provocaría el rechazo de H 0 al nivel de significación del 1 %. Falso. Dado que H 0 : β = -1 no se rechazaría a α = 0,05 , no se rechazaría a α = 0,01 . Verdadero o falso: Es más seguro interpretar los coeficientes de correlación como medidas de asociación y no de causalidad debido a la posibilidad de correlación espuria. Verdadero Nos interesa hallar la relación lineal entre el número de miniaplicaciones compradas de una vez y el coste por miniaplicación. Se han obtenido los siguientes datos: X: Número de miniaplicaciones compradas – 1, 3, 6, 10, 15 Y: Coste por miniaplicación (en dólares) – 55, 52, 46, 32, 25 Supongamos que la línea de regresión es y ^ = -2,5 x + 60 . Calculamos el precio promedio por miniaplicación si se compran 30 y observamos alguno de los siguientes elementos: y ^ = 15 dólares ; obviamente, estamos equivocados; la predicción y ^ es en realidad, +15 dólares. y ^ = 15 dólares , lo que parece razonable, a juzgar por los datos. y ^ = -15 dólares , lo cual es un sinsentido evidente. La línea de regresión debe ser incorrecta. y ^ = -15 dólares , lo cual es un sinsentido evidente. Esto nos recuerda que predecir la Y fuera del rango de valores de la X en nuestros datos es una práctica muy mala. d Comente brevemente la distinción entre correlación y causalidad. Algunas variables parecen estar relacionadas, de modo que conocer el estado de una de ellas nos permite predecir el estado de la otra. Esta relación puede medirse y se llama correlación. Sin embargo, una alta correlación entre dos variables no demuestra en absoluto que exista una relación de causa-efecto entre sí. Es muy posible que un tercer factor haga que ambas variables varíen juntas. Verdadero o falso: Si r se acerca a + o -1, diremos que hay una fuerte correlación, en el entendido tácito de que nos referimos a una relación lineal y nada más. Verdadero Repaso del capítulo El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma y = mx + b , donde m y b son constantes, x es la variable independiente y es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma y = a + bx , donde a y b son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx , la constante b , llamada coeficiente, representa la pendiente . La constante a se denomina intersección en y . La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ) , en promedio. La intersección en y se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Y - la variable dependiente además, el uso de la letra \"y\" representa valores reales, mientras que y ^ representa los valores previstos o estimados. Los valores predichos se obtienen al introducir los valores \"x\" observados en un modelo lineal. X - la variable independiente a veces se denominará variable \"predictora\", porque estos valores se midieron para determinar los posibles resultados que se podían predecir. a es el símbolo de la intersección en y a veces se escribe como b 0 , porque al escribir el modelo lineal teórico β 0 se utiliza para representar un coeficiente para una población. b es el símbolo de la pendiente la palabra coeficiente se utilizará regularmente para la pendiente, porque es un número que siempre estará junto a la letra \"x\" Se escribirá como b 1 cuando se utiliza una muestra, y β 1 se utilizará con una población o al escribir el modelo lineal teórico.", "section": "Ecuaciones lineales", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "La ecuación de regresión El análisis de regresión es una técnica estadística que permite comprobar la hipótesis de que una variable depende de otra u otras variables. Además, el análisis de regresión brinda una estimación de la magnitud del impacto de un cambio en una variable sobre otra. Por supuesto, esta última característica es de vital importancia para predecir los valores futuros. El análisis de regresión se basa en una relación funcional entre variables y supone, además, que la relación es lineal. Esta suposición de linealidad es necesaria porque, en su mayor parte, las propiedades estadísticas teóricas de la estimación no lineal no están aún bien elaboradas por los matemáticos y econometristas. Esto nos plantea algunas dificultades en el análisis económico porque muchos de nuestros modelos teóricos no son lineales. La curva de costo marginal, por ejemplo, es decididamente no lineal, al igual que la función de costo total, si creemos en el efecto de la especialización del trabajo y en la ley productividad marginal decreciente. Existen técnicas para superar algunas de estas dificultades, como la transformación exponencial y logarítmica de los datos. No obstante, debeos reconocer desde el principio que el típico análisis de regresión de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) siempre utilizará una función lineal para estimar lo que podría ser una relación no lineal. El modelo de regresión lineal general se puede enunciar mediante la ecuación: y i = β 0 + β 1 X 1 i + β 2 X 2 i + ⋯ + β k X k i + ε i donde β 0 es la intersección, β i 's es la pendiente entre Y y el X i apropiado, y ε (pronunciado épsilon), es el término de error que captura los errores en la medición de Y y el efecto sobre Y de cualquier variable que falte en la ecuación y que contribuiría a explicar las variaciones en Y. Esta ecuación es la ecuación teórica de la población y, por lo tanto, utiliza letras griegas. La ecuación que estimaremos tendrá los símbolos romanos equivalentes. Esto es paralelo a la forma en que antes hemos mantenido el seguimiento de los parámetros de la población y los parámetros de la muestra. El símbolo de la media poblacional era µ y el de la media muestral X – , para la desviación típica de la población fue σ y para la desviación típica de la muestra fue s. Luego, la ecuación que se estimará con una muestra de datos para dos variables independientes será: y i = b 0 + b 1 x 1 i + b 2 x 2 i + e i Al igual que nuestro trabajo anterior con las distribuciones de probabilidad, este modelo solo funciona si se cumplen ciertos supuestos. Estos son: que Y se distribuya normalmente, que los errores también se distribuyan normalmente con una media de cero y una desviación típica constante, y que los términos de error sean independientes del tamaño de X e independientes entre sí. Supuestos del modelo de regresión de mínimos cuadrados ordinarios Cada uno de estos supuestos requiere mayor explicación. Si uno de estos supuestos no se cumple, afectará a la calidad de las estimaciones. Algunas de las fallas de estos supuestos pueden solucionarse, mientras que otras dan lugar a estimaciones que, sencillamente, no aportan nada a las preguntas que el modelo intenta responder o, peor aún, dan lugar a estimaciones sesgadas. Las variables independientes, x i , se miden sin error, y son números fijos que son independientes del término de error. Esta suposición nos indica en efecto que Y es determinista, el resultado de un componente fijo \"X\" y un componente de error aleatorio \"ϵ\". El término de error es una variable aleatoria con una media de cero y una varianza constante. Esto significa que las varianzas de las variables independientes no se fundamentan en el valor de la variable. Consideremos la relación entre el ingreso personal y la cantidad de un bien comprado como ejemplo de un caso en el que la varianza depende del valor de la variable independiente, el ingreso. Es plausible que, a medida que aumentan los ingresos, la variación en torno a la cantidad comprada también aumente simplemente por la flexibilidad que proporcionan los niveles de ingresos más altos. El supuesto es de varianza constante con respecto a la magnitud de la variable independiente, llamada homoscedasticidad. Si el supuesto falla, se denomina heteroscedasticidad. La muestra el caso de la homoscedasticidad en el que las tres distribuciones tienen la misma varianza en torno al valor predicho de Y, sin importar la magnitud de X. Si bien las variables independientes son todas valores fijos, provienen de una distribución de probabilidad que se distribuye normalmente. Esto puede verse en la por la forma de las distribuciones situadas en la línea de predicción en el valor esperado del valor correspondiente de Y. Las variables independientes son distintas de Y, pero también se supone que sean distintas a las demás variables X. El modelo está diseñado para estimar los efectos de las variables independientes sobre alguna variable dependiente de acuerdo con una teoría propuesta. El caso en el que algunas o más de las variables independientes están correlacionadas no es inusual. Puede que no haya ninguna relación de causa y efecto entre las variables independientes; sin embargo, se mueven juntas. Tomemos el caso de una curva de oferta simple en la que la cantidad suministrada está teóricamente relacionada con el precio del producto y los precios de los insumos. Puede haber varios insumos que, con el tiempo, se muevan juntos por la presión inflacionaria general. Por consiguiente, los precios de los insumos trastocarán este supuesto del análisis de regresión. Esta condición se denomina multicolinealidad, que se abordará en detalle más adelante. Los términos de error no están correlacionados entre sí. Esta situación surge de un efecto sobre un término de error de otro término de error. Aunque no se trata exclusivamente de un problema de series temporales, es aquí donde más a menudo vemos este caso. Una variable X en el tiempo uno tiene un efecto en la variable Y, pero este efecto tiene luego un efecto en el siguiente tiempo. Este efecto da lugar a una relación entre los términos de error. Este caso se denomina autocorrelación, \"autocorrelacionado\". Los términos de error no son ahora independientes entre sí, sino que tienen su propio efecto sobre los términos de errores subsiguientes. La muestra el caso en el que se cumplen los supuestos del modelo de regresión. La línea estimada es y ^ = a + b x. Se muestran tres valores de X. Se coloca una distribución normal en cada punto, donde X es igual a la línea estimada y el error asociado a cada valor de Y. Observe que las tres distribuciones se distribuyen normalmente en torno al punto de la línea. Además, la variación, la varianza, en torno al valor predicho, es constante, lo cual indicando la homoscedasticidad del supuesto 2. La no muestra todos los supuestos del modelo de regresión, pero sirve para visualizar los más importantes. Esta es la forma general que se denomina modelo de regresión múltiple. El llamado análisis de regresión \"simple\" tiene una sola variable independiente (derecha), en lugar de muchas variables independientes. La regresión simple es solo un caso especial de la regresión múltiple. Hay que empezar con una regresión simple: es fácil de graficar en dos dimensiones, difícil de graficar en tres dimensiones e imposible de graficar en más de tres dimensiones. En consecuencia, nuestros gráficos serán para el caso de regresión simple. La presenta el problema de regresión en forma de gráfica de dispersión del conjunto de datos donde se hipotetiza que Y depende de la única variable independiente X. Una relación básica de los principios macroeconómicos es la función de consumo. Esta relación teórica establece que, a medida que aumenta el ingreso de una persona, su consumo aumenta, pero en una cantidad menor que el aumento del ingreso. Si Y es el consumo y X es el ingreso en la ecuación que aparece debajo de la , el problema de regresión consiste, en primer lugar, en establecer que esta relación existe y, en segundo lugar, en determinar el impacto de un cambio en el ingreso sobre el consumo de una persona. El parámetro β 1 se denominó Propensión marginal al consumo en Principios de Macroeconomía. Cada \"punto\" en la representa el consumo y el ingreso de diferentes personas en un momento dado. Antes se denominaban datos de sección transversal; observaciones sobre variables en un momento dado a través de diferentes personas u otras unidades de medida. Este análisis se realiza con datos de series temporales, que serían el consumo y el ingreso per cápita o por país en diferentes momentos. En los problemas macroeconómicos se utilizan datos agregados de series temporales para todo un país. Para este concepto teórico en particular, estos datos están disponibles en el informe anual del Consejo de asesores económicos del Presidente. El problema de la regresión se reduce a determinar qué línea recta representaría mejor los datos en la . El análisis de regresión se denomina a veces análisis de \"mínimos cuadrados». Esto se debe a que el método para determinar qué línea se \"ajusta\" mejor a los datos consiste en minimizar la suma de los residuales al cuadrado de una línea a través de los datos. Ecuación de la población: C = β 0 + β 1 Ingresos + ε Ecuación estimada: C = b 0 + b 1 Ingresos + e Esta figura muestra la supuesta relación entre el consumo y el ingreso a partir de la teoría macroeconómica. En este caso, los datos se han representado en forma de gráfica de dispersión y se ha trazado una línea recta estimada. En este gráfico podemos ver un término de error, e 1 . Cada punto de datos tiene también un término de error. Una vez más, el término de error se introduce en la ecuación para captar los efectos sobre el consumo que no los causan los cambios en los ingresos. Esos otros efectos podrían ser los ahorros o el patrimonio de una persona, o los periodos de desempleo. Veremos cómo, al minimizar la suma de estos errores, obtenemos una estimación de la pendiente y la intersección de esta línea. Considere el siguiente gráfico. La notación ha vuelto a ser la del modelo más general, en lugar del caso específico de la función macroeconómica de consumo en nuestro ejemplo. La ŷ se lee \"estimador de y \" y es el valor estimado de y . (En la C ^ representa el valor estimado del consumo porque está en la línea estimada). Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. La ŷ no suele ser igual a y a partir de los datos. El término y 0 – ŷ 0 = e 0 se denomina \"error\" o residual. No es un error en el sentido de una equivocación. El término de error se introdujo en la ecuación de estimación para captar las variables ausentes y los errores de medición que pudieron generarse en las variables dependientes. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y y el valor estimado de y . En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea, como se aprecia en el gráfico en el punto X 0 . Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y . Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y . En el gráfico, y 0 – ŷ 0 = e 0 es el residual del punto indicado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo. Para cada punto de datos se calculan los residuales, o errores, y i – ŷ i = e i para i = 1, 2, 3, ..., n donde n es el tamaño de la muestra. Cada |e| es una distancia vertical. La suma de los errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) es el término propiamente dicho. Utilizando el cálculo, se puede determinar la línea recta que tiene los valores de los parámetros b 0 y b 1 que minimiza la SSE . Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación: ŷ = b 0 + b 1 x donde b 0 = y – – b 1 x – y b 1 = Σ ( x – x – ) ( y – y – ) Σ ( x – x – ) 2 = cov ( x , y ) s x 2 Las medias muestrales de los valores x y los valores y son x – y y – , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto ( x – , y – ) llamados los puntos de las medias. La pendiente b también se escribe: b 1 = r y, x ( s y s x ) donde s y = la desviación típica de los valores de y y s x = la desviación típica de los valores de x y r es el coeficiente de correlación entre x e y . Estas ecuaciones se denominan ecuaciones normales y proceden de otro hallazgo matemático muy importante, que recibe el nombre de teorema de Gauss-Markov, sin el cual no podríamos hacer análisis de regresión. El teorema de Gauss-Markov señala que las estimaciones que obtenemos al utilizar el método de regresión por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) darán lugar a estimaciones que tienen algunas propiedades muy importantes. En el teorema de Gauss-Markov se demostró que una línea de mínimos cuadrados es ELIÓ, es decir, E stimador L ineal e I mparcial Ó ptimo. Óptimo es la propiedad estadística de que un estimador es el que tiene la mínima varianza. Lineal se refiere a la propiedad del tipo de línea que se estima. Un estimador imparcial es aquel cuya función de estimación tiene una media prevista que es igual a la media de la población. (Recordará que el valor previsto de µ x – era igual a la media poblacional µ de acuerdo con el teorema del límite central. Este es exactamente el mismo concepto aquí). Tanto Gauss como Markov fueron gigantes en el campo de las matemáticas, y Gauss también en el de la física, en el siglo XVIII y comienzos del siglo XIX. Apenas coincidieron cronológicamente, nunca geográficamente, pero el trabajo de Markov sobre este teorema se basó ampliamente en el trabajo anterior de Carl Gauss. El amplio valor aplicado de este teorema tuvo que esperar hasta mediados de este último siglo. Con el método de los MCO podemos ahora dar con la estimación de la varianza del error que es la varianza de los errores al cuadrado, e 2 . A veces se denomina error estándar de la estimación . (Gramaticalmente esto se enunciaría mejor como la estimación de la varianza del error ). La fórmula para la estimación de la varianza del error es: s a 2 = Σ ( y i – ŷ i ) 2 n – k = Σ e i 2 n – k donde ŷ es el valor predicho de la y, mientras que la y es el valor observado; así, el término ( y i – ŷ i ) 2 son los errores al cuadrado que hay que minimizar para dar con las estimaciones de los parámetros de la línea de regresión. Esta es realmente la varianza de los términos de error y sigue nuestra fórmula de varianza regular. Una nota importante es que aquí estamos dividiendo entre ( n – k ) , que son los grados de libertad. Los grados de libertad de una ecuación de regresión serán el número de observaciones, n, reducido por el número de parámetros estimados, que incluye la intersección como parámetro. La varianza de los errores es fundamental a la hora de comprobar las hipótesis de una regresión. Nos indica lo \"ajustada\" que es la dispersión sobre la línea. Como veremos en breve, cuanto mayor sea la dispersión en torno a la línea, es decir, cuanto mayor sea la varianza de los errores, menos probable será que la variable independiente hipotética tenga un efecto significativo sobre la variable dependiente. En resumen, es más probable que la teoría que se está probando falle si la varianza del término de error es alta. Si lo pensamos bien, esto no debería sorprender. Al comprobar las hipótesis sobre una media, observamos que las varianzas grandes reducen el estadístico de prueba y, por tanto, no alcanza la cola de la distribución. En estos casos, no se pueden rechazar las hipótesis nulas. Si no podemos rechazar la hipótesis nula en un problema de regresión, debemos concluir que la variable independiente hipotética no tiene ningún efecto sobre la variable dependiente. Una forma de visualizar este concepto es dibujar dos gráficos de dispersión de los datos x e y a lo largo de una línea predeterminada. El primero tendrá poca varianza de los errores, lo que significa que todos los puntos de datos se moverán cerca de la línea. Ahora haga lo mismo, excepto que los puntos de datos tendrán una gran estimación de la varianza del error, lo que significa que los puntos de datos están muy dispersos a lo largo de la línea. Es evidente que la confianza sobre una relación entre x e y se ve afectada por esta diferencia entre la estimación de la varianza del error. Comprobación de los parámetros de la línea Todo el objetivo del análisis de regresión era probar la hipótesis de que la variable dependiente, Y, dependía de hecho de los valores de las variables independientes, tal y como afirmaba alguna teoría de base, como el ejemplo de la función de consumo. De cara a la ecuación estimada en la , esto equivale a determinar los valores de b 0 y b 1 . Observe que de nuevo utilizamos la convención de letras griegas para los parámetros de la población y letras romanas para sus estimaciones. El resultado del análisis de regresión proporcionado por el sofware producirá una estimación de b 0 y b 1 , y cualquier otra b para otras variables independientes que se hayan incluido en la ecuación estimada. La cuestión es saber si estas estimaciones son correctas. Para comprobar una hipótesis relativa a cualquier estimación, tendremos que conocer la distribución de muestreo subyacente. No debería sorprender a estas alturas del curso que la respuesta sea la distribución normal. Esto se aprecia al recordar el supuesto de que el término de error en la población, ε, se distribuye normalmente. Si el término de error se distribuye normalmente y la varianza de las estimaciones de los parámetros de la ecuación, b 0 y b 1 , está determinada por la varianza del término de error, se deduce que las varianzas de las estimaciones de los parámetros también están distribuidas normalmente. Efectivamente, este es el caso. Esto lo vemos por la creación de la estadística para la prueba de la hipótesis relativa al parámetro de la pendiente, β 1 en nuestra ecuación de la función de consumo. Para comprobar si Y depende o no de X, o en nuestro ejemplo, que el consumo depende del ingreso, solo tenemos que comprobar la hipótesis de que β 1 es igual a cero. Esta hipótesis se enunciaría formalmente como: H 0 : β 1 = 0 H a : β 1 ≠ 0 Si no podemos rechazar la hipótesis nula, debemos concluir que nuestra teoría no tiene validez. Si no podemos rechazar la hipótesis nula de que β 1 = 0, entonces b 1 , el coeficiente del ingreso, es cero y cero por cualquier cosa es cero. Por lo tanto, el efecto del ingreso sobre el consumo es cero. No hay ninguna relación como nuestra teoría había sugerido. Observe que hemos establecido la presunción, la hipótesis nula, como \"no hay relación\". Esto hace que la carga de la prueba recaiga en la hipótesis alternativa. En otras palabras, si queremos validar nuestra pretensión de encontrar una relación, debemos hacerlo con un nivel de significación superior al 90 %, 95 % o 99 %. El statu quo es la ignorancia, no existe ninguna relación. Además, para poder afirmar que realmente hemos añadido algo a nuestro bagaje, debemos hacerlo con una probabilidad significativa de estar en lo correcto. John Maynard Keynes acertó y así nació la economía keynesiana a partir de este concepto básico en 1936. La estadística de esta prueba proviene directamente de nuestra vieja amiga, la fórmula de estandarización: t c = b 1 – β 1 S b 1 donde b 1 es el valor estimado de la pendiente de la línea de regresión, β 1 es el valor hipotético de beta, en este caso cero, y S b 1 es la desviación típica de la estimación de b 1 . En este caso, nos preguntamos cuántas desviaciones típicas se aleja la pendiente estimada de la pendiente hipotética. Se trata exactamente de la misma pregunta que nos hacíamos antes con respecto a una hipótesis sobre una media: ¿cuántas desviaciones típicas hay entre la media estimada, la media muestral y la media hipotética? El estadístico de prueba se escribe como una distribución t de Student. No obstante, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande como para que los grados de libertad sean superiores a 30, podemos volver a utilizar la distribución normal. Para verificar por qué podemos utilizar la t de Student o la distribución normal, solo tenemos que ver S b 1 , la fórmula de la desviación típica de la estimación de b 1 : S b 1 = S e 2 ( x i – x – ) 2 o S b 1 = S e 2 ( n – 1 ) S x 2 Donde S e es la estimación de la varianza del error y S 2 x es la varianza de los valores x del coeficiente de la variable independiente que se está probando. Vemos que S e , la estimación de la varianza del error , forma parte del cálculo. Dado que la estimación de la varianza del error se basa en el supuesto de normalidad de los términos de error, concluimos que la distribución muestral de las b, los coeficientes de nuestra línea de regresión hipotética, también se distribuyen normalmente. Una última nota se refiere a los grados de libertad del estadístico de prueba, ν = n – k. Anteriormente restamos 1 del tamaño de la muestra para determinar los grados de libertad en un problema de la t de Student. Aquí debemos restar un grado de libertad por cada parámetro estimado en la ecuación. Para el ejemplo de la función de consumo perdemos 2 grados de libertad, uno para b 0 , la intersección, y uno para b 1 , la pendiente de la función de consumo. Los grados de libertad serían n - k - 1, donde k es el número de variables independientes y el extra se pierde por la intersección. Si estuviéramos estimando una ecuación con tres variables independientes, perderíamos 4 grados de libertad: tres para las variables independientes, k, y uno más para la intersección. La regla de decisión para la aceptación o el rechazo de la hipótesis nula sigue exactamente la misma forma que en todas nuestras pruebas de hipótesis anteriores. Es decir, si el valor calculado de t (o Z) cae en las colas de la distribución, donde las colas están definidas por α, el nivel de significación requerido en la prueba, no podemos aceptar la hipótesis nula. Si, por el contrario, el valor calculado del estadístico de prueba se encuentra dentro de la región crítica, no podemos rechazar la hipótesis nula. Si concluimos que no podemos aceptar la hipótesis nula, podemos afirmar con nivel de confianza de ( 1 – α ) que la pendiente de la línea viene dada por b 1 . Esta es una conclusión extremadamente importante. El análisis de regresión no solo nos permite comprobar si existe una relación de causa y efecto, sino que también podemos determinar la magnitud de esa relación, en caso de que exista. Es esta característica del análisis de regresión la que lo hace tan valioso. Si se pueden desarrollar modelos que tengan validez estadística, podremos simular los efectos de los cambios en las variables que pueden estar bajo nuestro control con cierto grado de probabilidad, por supuesto. Por ejemplo, si se demuestra que la publicidad influye en las ventas, podemos determinar los efectos de cambiar el presupuesto de publicidad y decidir si el aumento de las ventas merece la pena el gasto añadido. Multicolinealidad Nuestro análisis anterior indicaba que, al igual que todos los modelos estadísticos, el modelo de regresión de los MCO lleva aparejados importantes supuestos. Cada supuesto, si se viola, tiene un efecto sobre la capacidad del modelo para proporcionar estimaciones útiles y significativas. El teorema de Gauss-Markov nos asegura que las estimaciones de los MCO son imparciales y de varianza mínima, pero esto es cierto solo bajo los supuestos del modelo. Aquí veremos los efectos en las estimaciones de los MCO si las variables independientes están correlacionadas. En los cursos de Econometría se examinan los demás supuestos y los métodos para mitigar las dificultades que plantean si se incumplen. Nos ocupamos de la multicolinealidad porque es frecuente en los modelos económicos, con resultados a menudo frustrantes. El modelo de los MCO supone que todas las variables son independientes entre sí. Esta suposición es fácil de comprobar para una muestra de datos en particular con simples coeficientes de correlación. La correlación, como muchos aspectos en estadística, es una cuestión de grado: un poco no es bueno y mucho es terrible. El objetivo de la técnica de regresión es determinar los efectos de cada una de las variables independientes en una variable dependiente hipotética. Si dos variables independientes están interrelacionadas, es decir, correlacionadas, no podemos aislar los efectos sobre Y de una de ellas. En un caso extremo, donde x 1 es una combinación lineal de x 2 , correlación igual a uno, ambas variables se mueven de forma idéntica con Y. En este caso, es imposible determinar la variable que es la verdadera causa del efecto sobre Y. (Si las dos variables estuvieran en realidad perfectamente correlacionadas, entonces no se podría calcular matemáticamente ningún resultado de regresión). Las ecuaciones normales de los coeficientes muestran los efectos de la multicolinealidad en los coeficientes. b 1 = s y ( r x 1 y – r x 1 x 2 r x 2 y ) s x 1 ( 1 – r x 1 x 2 2 ) b 2 = s y ( r x 2 y – r x 1 x 2 r x 1 y ) s x 2 ( 1 – r x 1 x 2 2 ) b 0 = y – – b 1 x – 1 – b 2 x – 2 La correlación entre x 1 y x 2 , r x 1 x 2 2 , aparece en el denominador tanto de la fórmula de estimación de b 1 como de b 2 . Si se cumple el supuesto de independencia, este término es cero. Esto indica que no hay ningún efecto de correlación en el coeficiente. Por otra parte, a medida que aumenta la correlación entre las dos variables independientes, el denominador disminuye; por ende, la estimación del coeficiente aumenta. La correlación tiene el mismo efecto en ambos coeficientes de estas dos variables. En esencia, cada variable está \"tomando\" parte del efecto sobre Y, que debería atribuirse a la variable colineal. Esto da lugar a estimaciones sesgadas. La multicolinealidad tiene otro impacto perjudicial en las estimaciones de los MCO. La correlación entre las dos variables independientes también aparece en las fórmulas de estimación de la varianza de los coeficientes. s b 1 2 = s a 2 ( n – 1 ) s x 1 2 ( 1 – r x 1 x 2 2 ) s b 2 2 = s a 2 ( n – 1 ) s x 2 2 ( 1 – r x 1 x 2 2 ) Aquí también observamos la correlación entre x 1 y x 2 en el denominador de las estimaciones de la varianza de los coeficientes de ambas variables. Si la correlación es cero, como se supone en el modelo de regresión, la fórmula se reduce al cociente conocido entre la varianza de los errores y la varianza de la variable independiente correspondiente. Sin embargo, si las dos variables independientes están correlacionadas, la varianza de la estimación del coeficiente aumenta. Esto da lugar a un valor t menor para la prueba de hipótesis del coeficiente. En resumen, la multicolinealidad hace que no se rechace la hipótesis nula de que la variable X no tiene ningún impacto en Y cuando, de hecho, X tiene un impacto estadísticamente significativo en Y. Dicho de otro modo, los grandes errores estándar del coeficiente estimado que crea la multicolinealidad sugieren una insignificancia estadística incluso cuando la relación hipotética es contundente. ¿Qué tan buena es la ecuación? En la última sección nos ocupamos de comprobar la hipótesis de que la variable dependiente de hecho dependía de la variable o variables independientes hipotéticas. Puede que encontremos una variable independiente que tenga algún efecto sobre la variable dependiente, pero puede que no sea la única, y puede que ni siquiera sea la más importante. Recuerde que el término de error se colocó en el modelo para captar los efectos de cualquier variable independiente que falte. De ello se desprende que el término de error se utiliza para dar una medida de la \"bondad del ajuste\" de la ecuación, tomada en su conjunto para explicar la variación de la variable dependiente, Y. El coeficiente de correlación múltiple , también llamado coeficiente de determinación múltiple o coeficiente de determinación , viene dado por la fórmula: R 2 = SSR SST donde SSR es la suma de cuadrados de la regresión, la desviación al cuadrado del valor predicho de y con respecto al valor medio de y ( ŷ – y – ) , y SST es la suma total de cuadrados que es la desviación total al cuadrado de la variable dependiente, y, de su valor medio, incluso el término de error, SSE, la suma de errores al cuadrado. La muestra cómo la desviación total de la variable dependiente, y, se divide en estas dos partes. La muestra la línea de regresión estimada y una única observación, x 1 . El análisis de regresión trata de explicar la variación de los datos en torno al valor medio de la variable dependiente, y. La pregunta es: ¿por qué las observaciones de y varían con respecto al nivel promedio de y? El valor de y en la observación x 1 varía de la media de y por la diferencia ( y i – y – ). La suma de estas diferencias al cuadrado es la SST, la suma total de cuadrados (Sum of Squares Total). El valor real de y en x 1 se desvía del valor estimado, ŷ, por la diferencia entre el valor estimado y el valor real, ( y i – ŷ ). Recordemos que este es el término de error, e, y la suma de estos errores es SSE, suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors). La desviación del valor predicho de y, ŷ, del valor medio de y es ( ŷ – y – ) y es la SSR, suma de cuadrados de la regresión (Sum of Squares Regression). Recibe el nombre de \"regresión\" porque es la desviación explicada por la regresión. (A veces, la SSR se denomina SSM para la suma de la media de los cuadrados [Sum of Squares Mean] porque mide la desviación del valor medio de la variable dependiente, y, como se muestra en el gráfico). Dado que la SST = SSR + SSE, vemos que el coeficiente de correlación múltiple es el porcentaje de la varianza, o desviación en y de su valor medio, que se explica por la ecuación cuando se toma como un todo. R 2 variará entre cero y 1, donde cero indica que ninguna de la variación en y se explicó con la ecuación y un valor de 1 indica que el 100 % de la variación de y se explicó con la ecuación. Para los estudios de series temporales se espera un R 2 alto y para los datos de sección transversal se espera un R 2 bajo. Aunque un R 2 elevado es deseable, recuerde que lo que motivó la utilización del modelo de regresión fue la comprobación de la hipótesis sobre la existencia de una relación entre un conjunto de variables independientes y una variable dependiente en particular. La validación de una relación causa-efecto desarrollada por alguna teoría es la verdadera razón por la que elegimos el análisis de regresión. El incremento en el número de variables independientes tendrá el efecto de aumentar el R 2 . Para tener en cuenta este efecto, la medida adecuada del coeficiente de determinación es el R – 2 , ajustado por grados de libertad, para evitar la suma sin sentido de variables independientes. No hay ninguna prueba estadística para el R 2 y, por tanto, poco se puede decir del modelo utilizando el R 2 con nuestro característico nivel de confianza. Dos modelos que tienen el mismo tamaño de SSE, es decir, la suma de errores al cuadrado, pueden tener R 2 muy diferentes si los modelos que compiten tienen diferentes SST, la suma total de desviaciones al cuadrado. La bondad del ajuste de los dos modelos es la misma: ambos tienen la misma suma de cuadrados no explicados, errores al cuadrado. Sin embargo, debido a la mayor suma total de cuadrados en uno de los modelos, el R 2 difiere. De nuevo, el verdadero valor de la regresión como herramienta es examinar las hipótesis desarrolladas a partir de un modelo que predice determinadas relaciones entre las variables. Se trata de pruebas de hipótesis sobre los coeficientes del modelo y no de un juego de maximización de R 2 . Otra forma de comprobar la calidad general del modelo global es probar los coeficientes como grupo y no de forma independiente. Por tratarse de una regresión múltiple (más de una X), utilizamos la prueba F para determinar si nuestros coeficientes afectan colectivamente a Y. La hipótesis es: H o : β 1 = β 2 = … = β i = 0 H a : \"al menos uno de los βi no es igual a 0\". Si no se puede rechazar la hipótesis nula, entonces concluimos que ninguna de las variables independientes contribuye a explicar la variación de Y. Al revisar la , vemos que la SSR, la suma de cuadrados explicada, es una medida de cuánto de la variación de Y se explicada con todas las variables del modelo. La SSE, la suma de los errores al cuadrado, mide la cantidad de errores inexplicados. De ello se desprende que el cociente de estos dos puede proporcionarnos una prueba estadística del modelo en su conjunto. Al recordar que la distribución F es el cociente de las distribuciones de chi-cuadrado, que las varianzas se distribuyen según este y que tanto la suma de errores al cuadrado como la suma de cuadrados son varianzas, tenemos el estadístico de prueba para esta hipótesis como: F c = ( S S R k ) ( S S E n – k – 1 ) donde n es el número de observaciones y k es el número de variables independientes. Se demuestra que esto es equivalente a: F c = n – k – 1 k · R 2 1 – R 2 construido a partir de la donde R 2 es el coeficiente de determinación, que también es una medida de la \"bondad\" del modelo. Al igual que en todas nuestras pruebas de hipótesis, llegamos a una conclusión tras comparar la estadística F calculada con el valor crítico, dado nuestro nivel de confianza deseado. Si la estadística calculada de la prueba, F en este caso, se encuentra en la cola de la distribución, entonces no podemos aceptar la hipótesis nula. Al no poder aceptar las hipótesis nulas, concluimos que la especificación de este modelo tiene validez, porque al menos uno de los coeficientes estimados es significativamente diferente de cero. Otra manera de llegar a esta conclusión es con la regla de comparación del valor p. El valor p es el área de la cola, dado el estadístico F calculado. En esencia, la computadora calcula el valor F en la tabla por nosotros. El resultado de la regresión computarizada para la estadística F calculada se encuentra normalmente en la sección de la tabla ANOVA, etiquetada \"significación F\". A continuación, se presenta cómo leer el resultado de una regresión en Excel. Es la probabilidad de NO aceptar una hipótesis nula falsa. Si esta probabilidad es menor que nuestro error alfa predeterminado, la conclusión es que no podemos aceptar la hipótesis nula. Variables ficticias Hasta ahora, el análisis de la técnica de regresión de los MCO suponía que las variables independientes de los modelos probados eran variables aleatorias continuas. Sin embargo, no hay restricciones en el modelo de regresión contra las variables independientes que son binarias. Esto abre el modelo de regresión para comprobar las hipótesis relativas a variables categóricas como el sexo, la raza, la región del país, antes de un determinado dato, después de una determinada fecha y otras innumerables. Estas variables categóricas solo toman dos valores, 1 y 0, éxito o fracaso, de la distribución de probabilidad binomial. La forma de la ecuación pasa a ser: ŷ = b 0 + b 2 x 2 + b 1 x 1 donde x 2 = 0 , 1 . X 2 es la variable ficticia y X 1 es una variable aleatoria continua. La constante, b 0 , es la intersección en y, el valor donde la línea cruza el eje y. Cuando el valor de X 2 = 0, la línea estimada se cruza en b 0 . Cuando el valor de X 2 = 1 entonces la línea estimada cruza en b 0 + b 2 . En efecto, la variable ficticia desplaza la línea estimada hacia arriba o hacia abajo, según la magnitud del efecto de la característica captada por la variable ficticia. Nótese que se trata de un simple desplazamiento paralelo y no influye en el impacto de la otra variable independiente; X 1 . Esta es una variable aleatoria continua y predice diferentes valores de y a diferentes valores de X 1 , a la vez que mantiene constante la condición de la variable ficticia. Ejemplo de la variable ficticia es el trabajo que estima el impacto del sexo en los salarios. Existe toda una bibliografía sobre este tema y las variables ficticias se utilizan ampliamente. Para este ejemplo se examinan los salarios de los maestros de educación primaria y secundaria en un determinado estado. La utilización de una categoría laboral homogénea, la de los maestros, y para un solo estado reduce muchas de las variaciones que inciden naturalmente en los salarios, como el riesgo físico diferencial, el coste de vida en un estado en particular y otras condiciones laborales. La ecuación de estimación, en su forma más sencilla, especifica el salario en función de varias características de los maestros que, según la teoría económica, incidirían en el salario. Estos incluirían el grado de grado de instrucción como medida de productividad potencial, la edad o la experiencia para captar la formación en el trabajo, de nuevo como medida de productividad. Dado que los datos corresponden a los maestros empleados en un distrito escolar público y no a trabajadores de una compañía con ánimo de lucro, se incluye el ingreso promedio del distrito escolar por promedio de asistencia diaria de estudiantes como medida de la capacidad de pago. A continuación, se presentan los resultados del análisis de regresión realizado con los datos de 24.916 maestros. Estimación de los ingresos de los maestros de educación primaria y secundaria Variable Coeficientes de regresión (b) Errores estándar de los estimados para la función de ingresos de los maestros (s b ) Intersección 4269,9 Sexo (masculino = 1) 632,38 13,39 Total de años de experiencia 52,32 1,10 Años de experiencia en el distrito actual 29,97 1,52 Educación 629,33 13,16 Ingresos totales por ADA 90,24 3,76 R – 2 0,725 n 24.916 Los coeficientes de todas las variables independientes son significativamente diferentes de cero, como indican los errores estándar. Si se dividen los errores estándar de cada coeficiente, se obtiene un valor t superior a 1,96, que es el nivel requerido para una significación del 95 %. La variable binaria, nuestra variable ficticia de interés en este análisis, es el sexo, donde a los hombres se les asigna un valor de 1 y a las mujeres un valor de 0. El coeficiente es significativamente diferente de cero con estadístico t dramático de 47 desviaciones típicas. Así, no podemos aceptar la hipótesis nula de que el coeficiente sea igual a cero. Por consiguiente, concluimos que existe una prima pagada a los maestros hombres de 632 dólares tras mantener constantes la experiencia, la educación y la riqueza del distrito escolar en el que el maestro está empleado. Cabe destacar que estos datos son de hace algún tiempo y que los 632 dólares representan una prima salarial del 6 % en aquella época. A continuación, se presenta un gráfico de este ejemplo de variables ficticias. En dos dimensiones, el salario es la variable dependiente en el eje vertical, mientras que el total de años de experiencia se eligió como variable independiente continua en el eje horizontal. Se podría haber elegido cualquiera de las otras variables independientes para ilustrar el efecto de la variable ficticia. La relación entre los años totales de experiencia tiene una pendiente de 52,32 dólares por año de experiencia, a la vez que la línea estimada tiene una intersección de 4269 dólares si la variable de sexo es igual a cero, para las mujeres. Si la variable de sexo es igual a 1, en el caso de los hombres, el coeficiente se suma a la intersección en y. Así, la relación entre el total de años de experiencia y el salario se desplaza paralelamente hacia arriba, como se indica en el gráfico. En el gráfico también están marcados varios puntos de referencia. Una maestra de escuela con 10 años de experiencia recibe un salario de 4.792 dólares solo en función de su experiencia, pero se le paga 109 dólares menos que su colega hombre con cero años de experiencia. También se puede estimar una interacción más compleja entre una variable ficticia y la variable dependiente. Puede ser que la variable ficticia no solo tenga algo más que un simple efecto de desplazamiento sobre la variable dependiente, sino que también interactúe con una o más de las otras variables independientes continuas. Aunque no se ha comprobado en el ejemplo anterior, se podría plantear la hipótesis de que el impacto del sexo el salario no fue ningún cambio puntual, sino que también influyó en el valor de los años adicionales de experiencia en el salario. Es decir, los salarios de las maestras se descontaron al principio y, además, no crecieron al mismo ritmo por efecto de la experiencia que los de sus colegas hombres. Esto se manifestaría como una pendiente diferente para la relación entre el total de años de experiencia para los hombres que para las mujeres. Si esto es así, las maestras no solo empezarían por debajo de sus colegas hombres (según el desplazamiento de la línea de regresión estimada), sino que se rezagarían cada vez más, a medida que aumentara el tiempo y la experiencia. El siguiente gráfico muestra cómo se puede comprobar esta hipótesis con el uso de variables ficticias y una variable de interacción. La ecuación de estimación señala cómo la pendiente de X 1 , la variable aleatoria continua de experiencia, contiene dos partes, b 1 y b 3 . Esto ocurre porque la nueva variable X 2 X 1 , llamada variable de interacción, se creó para permitir un efecto en la pendiente de X 1 a partir de los cambios en X 2 , la variable ficticia binaria. Nótese que, cuando la variable ficticia X 2 = 0, la variable de interacción tiene un valor de 0, pero cuando X 2 = 1, la variable de interacción tiene un valor de X 1 . El coeficiente b 3 es una estimación de la diferencia del coeficiente de X 1 cuando X 2 = 1 en comparación con cuando X 2 = 0. En el ejemplo de los salarios de los maestros, si se paga una prima a los maestros hombres que incide en la tasa de aumento de los salarios con base en la experiencia, entonces la tasa de aumento de sus salarios sería b 1 + b 3 , mientras que la de las maestras sería simplemente b 1 . Esto se comprueba con la hipótesis: H 0 : β 3 = 0 | β 1 = 0 , β 2 = 0 H a : β 3 ≠ 0 | β 1 ≠ 0 , β 2 ≠ 0 Se trata de una prueba t que utiliza el estadístico de prueba para el parámetro β 3 . Si no podemos aceptar la hipótesis nula de que β 3 = 0, concluiremos que existe una diferencia entre la tasa de aumento del grupo para el que el valor de la variable binaria se fija en 1, los hombres en este ejemplo. Esta ecuación de estimación puede combinarse con la anterior, que solo probaba un desplazamiento paralelo en la línea estimada. Las funciones de ingresos/experiencia en la se dibujan para este caso con un desplazamiento en la función de ingresos y una diferencia en la pendiente de la función con respecto a los años totales de experiencia. Una muestra aleatoria de 11 estudiantes de Estadística produjo los siguientes datos, donde x es la calificación del tercer examen sobre 80, y y es la calificación del examen final sobre 200. ¿Puede predecir la calificación del examen final de un estudiante seleccionado al azar si conoce la calificación del tercer examen? x (calificación del tercer examen) y (calificación del examen final) 65 175 67 133 71 185 71 163 66 126 75 198 67 153 70 163 71 159 69 151 69 159 Tabla que muestra las calificaciones del examen final basadas en las calificaciones del tercer examen. Diagrama de dispersión que muestra las calificaciones del examen final con base en las del tercer examen. Supongamos que tiene a su disposición la información que figura a continuación para cada uno de los 30 conductores. Proponga un modelo (con una breve indicación de los símbolos utilizados para representar las variables independientes) para explicar cómo varían las millas por galón de un conductor a otro, en función de los factores medidos. Información: millas conducidas por día peso del automóvil número de cilindros del automóvil rapidez promedio millas por galón número de pasajeros Y j = b 0 + b 1 ⋅ X 1 + b 2 ⋅ X 2 + b 3 ⋅ X 3 + b 4 ⋅ X 4 + b 5 ⋅ X 6 + e j Considere un análisis de regresión de mínimos cuadrados entre una variable dependiente (Y) y una variable independiente (X). El coeficiente de correlación muestral de −1 (menos uno) nos indica que: no hay relación entre Y y X en la muestra no hay relación entre Y y X en la población existe una relación negativa perfecta entre Y y X en la población existe una relación negativa perfecta entre Y y X en la muestra. d. existe una relación negativa perfecta entre Y y X en la muestra. En el análisis correlacional, cuando los puntos se dispersan ampliamente alrededor de la línea de regresión, esto significa que la correlación es: negativa. baja. heterogénea. entre dos medidas que no son fiables. b. baja Repaso del capítulo Se espera que esta explicación sobre el análisis de regresión haya demostrado el enorme potencial que tiene como herramienta para probar modelos y comprender mejor el mundo que nos rodea. El modelo de regresión tiene sus limitaciones, especialmente el requisito de que la relación subyacente sea aproximadamente lineal. En la medida en que la verdadera relación no sea lineal, puede aproximarse con una relación lineal o con formas no lineales de transformaciones que pueden estimarse con técnicas lineales. La transformación logarítmica doble de los datos proporcionará una manera fácil de probar esta forma particular de la relación. Una forma cuadrática aceptable (la forma de la curva de coste total de Principios de Microeconomía) puede generarse con la ecuación: Y = a + b 1 X + b 2 X 2 donde los valores de X se elevan simplemente al cuadrado y se introducen en la ecuación como una variable independiente. Hay muchos más \"trucos\" econométricos que evitan algunos de los supuestos más problemáticos del modelo de regresión general. Esta técnica estadística es tan valiosa que el estudio más detallado proporcionaría a cualquier estudiante unos dividendos estadísticamente significativos. Residual o \"error\" el valor calculado al restar y 0 – y ^ 0 = e 0 . El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y y el valor estimado de y que aparece en la línea de mejor ajuste. Suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) el valor calculado de la suma de todos los términos residuales al cuadrado. Se espera que este valor sea muy pequeño al momento de crear un modelo. R 2 – Coeficiente de determinación es un número entre 0 y 1 que representa el porcentaje de variación de la variable dependiente, que se explica por la variación de la variable independiente. A veces se calcula mediante la ecuación R 2 = S S R S S T donde SSR es la \"suma de cuadrados de la regresión\" (Sum of Squares Regression) y SST es la \"suma total de cuadrados\" (Sum of Squares Total). El coeficiente de determinación apropiado que se notifica siempre debería ajustarse primero a los grados de libertad.", "section": "La ecuación de regresión", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica Como hemos visto, el coeficiente de una ecuación estimada mediante el análisis de regresión de los MCO proporciona una estimación de la pendiente de una línea recta que se supone es la relación entre la variable dependiente y al menos una variable independiente. Según el cálculo, la pendiente de la línea es la primera derivada y nos indica la magnitud del impacto de un cambio de una unidad en la variable X sobre el valor de la variable Y medida en las unidades de la variable Y . Como vimos en el caso de las variables ficticias, esto puede aparecer como un desplazamiento paralelo en la línea estimada o incluso un cambio en la pendiente de la línea a través de una variable interactiva. Aquí queremos explorar el concepto de elasticidad y cómo podemos utilizar el análisis de regresión para estimar las distintas elasticidades en las que se interesan los economistas. El concepto de elasticidad está tomado de la ingeniería y de la física, donde se utiliza para medir la capacidad de respuesta de un material a una fuerza, normalmente una fuerza física como la de estiramiento/tracción. De aquí se deriva el término banda \"elástica\". En economía, se trata de alguna fuerza del mercado, como un cambio en los precios o en los ingresos. La elasticidad se mide como porcentaje de cambio/respuesta tanto en aplicaciones de ingeniería como en economía. El valor de la medición en términos porcentuales es que las unidades de medida no desempeñan ningún papel en el valor de la medición; por ende, permite la comparación directa entre las elasticidades. Por ejemplo, si el precio de la gasolina aumenta 50 céntimos desde un precio inicial de 3,00 dólares y genera un descenso en el consumo mensual de un consumidor de 50 galones a 48 galones, calculamos que la elasticidad es de 0,25. La elasticidad del precio es el cambio porcentual de la cantidad resultante de un cambio porcentual del precio. Un aumento del 16 % en el precio solo ha generado un descenso del 4 % en la demanda: 16 % de cambio en el precio → 4 % de cambio en la cantidad o 0,04/0,16 = 0,25. Esto se denomina demanda inelástica, es decir, una pequeña respuesta a la variación del precio. Esto se debe a que hay pocos sustitutos reales de la gasolina, si es que hay alguno; tal vez el transporte público, la bicicleta o caminar. Técnicamente, por supuesto, el cambio porcentual en la demanda a raíz del aumento de precios será la disminución de la demanda, por lo que la elasticidad del precio es un número negativo. Sin embargo, la convención es hablar de la elasticidad como el valor absoluto del número. Algunos productos tienen muchos sustitutos: peras por manzanas, por ciruelas, por uvas, etc. La elasticidad de estos bienes es mayor que uno y reciben el nombre de demanda elástica. En este caso, un pequeño cambio porcentual en el precio inducirá un gran cambio porcentual en la cantidad demandada. El consumidor desplazará fácilmente la demanda hacia el sustituto más cercano. Aunque este debate se ha centrado en las variaciones de los precios, cualquiera de las variables independientes de una ecuación de demanda tendrá una elasticidad asociada. Así pues, existe una elasticidad del ingreso que mide la sensibilidad de la demanda a los cambios en el ingreso: poco para la demanda de alimentos, pero muy sensible para los yates. Si la ecuación de la demanda contiene un término de bienes sustitutivos, por ejemplo, barras de dulce en una ecuación de demanda de galletas, entonces se puede medir la capacidad de respuesta de la demanda de galletas a los cambios en los precios de las barras de dulce. Esto se denomina elasticidad cruzada de la demanda y, hasta cierto punto, puede considerarse como la fidelidad a la marca desde el punto de vista del mercadeo. ¿Cómo responde la demanda de Coca-Cola a los cambios en el precio de Pepsi? Ahora, imagine la demanda de un producto que sea muy caro. De nuevo, la medida de la elasticidad está en términos porcentuales, por lo que la elasticidad puede compararse directamente con la de la gasolina: una elasticidad de 0,25 para la gasolina transmite la misma información que una elasticidad de 0,25 para un automóvil de 25 000 dólares. El consumidor considera que ambos bienes tienen pocos sustitutos, por lo que sus curvas de demanda son inelásticas, con elasticidad inferior a uno. Las fórmulas matemáticas para las distintas elasticidades son: Elasticidad de los precios: η p = ( %∆Q ) ( %∆P ) Donde η es la letra griega minúscula eta, que se utiliza para designar la elasticidad. ∆ se lee como \"cambio\". Elasticidad de los ingresos: η Y = ( %∆Q ) ( %∆Y ) Donde Y se utiliza como símbolo de los ingresos. Elasticidad de precios cruzados: η p1 = ( %∆ Q 1 ) ( %∆ P 2 ) Donde P2 es el precio del bien sustitutivo. Examinando más de cerca la elasticidad del precio podemos escribir la fórmula como: η p = ( %∆Q ) ( %∆P ) = dQ dP ( P Q ) = b ( P Q ) Donde b es el coeficiente estimado para el precio en la regresión de los MCO. La primera forma de la ecuación demuestra el principio de que las elasticidades se miden en términos porcentuales. Por supuesto, los coeficientes de los mínimos cuadrados ordinarios proporcionan una estimación del impacto de un cambio unitario en la variable independiente, X, sobre la variable dependiente medida en unidades de Y. Sin embargo, estos coeficientes no son elasticidades, y se muestran en la segunda forma de escribir la fórmula de la elasticidad como ( d Q d P ) , la derivada de la función de demanda estimada que es simplemente la pendiente de la línea de regresión. Multiplicando la pendiente por P Q proporciona una elasticidad que se mide en términos porcentuales. A lo largo de una curva de demanda rectilínea, el porcentaje de cambio, y por tanto la elasticidad, cambia continuamente al cambiar la escala, mientras que la pendiente, el coeficiente de regresión estimado, permanece constante. Volviendo a la demanda de gasolina. El cambio de precio de 3,00 a 3,50 dólares supuso un incremento del 16 %. Si el precio inicial fuera de 5,00 dólares, el mismo aumento de 50 céntimos sería solo un aumento del 10%, lo que generaría una elasticidad diferente. Toda curva de demanda rectilínea tiene un rango de elasticidades que comienza en la parte superior izquierda, precios altos, con números de elasticidad grandes, demanda elástica, y que disminuye a medida que se desciende en la curva de demanda, demanda inelástica. Para proporcionar una estimación significativa de la elasticidad de la demanda, la convención es estimar la elasticidad en el punto de las medias. Recuerde que todas las líneas de regresión de los MCO pasarán por el punto de las medias. En este punto se encuentra el mayor peso de los datos utilizados para estimar el coeficiente. La fórmula para estimar la elasticidad cuando se ha estimado una curva de demanda de los MCO pasa a ser: η p = b ( P – Q – ) Donde P – y Q – son los valores medios de estos datos utilizados para estimar b , el coeficiente de precios. El mismo método puede utilizarse para estimar las demás elasticidades de la función de demanda con los valores medios adecuados de las demás variables: el ingreso y el precio de los bienes sustitutivos, por ejemplo. Transformación logarítmica de los datos Las estimaciones por los mínimos cuadrados ordinarios suponen que la relación poblacional entre las variables es lineal y, por ende, de la forma presentada en la ecuación de regresión . En esta forma, la interpretación de los coeficientes es la que se ha comentado anteriormente; simplemente, el coeficiente proporciona una estimación del impacto del cambio de una unidad en X sobre Y, medido en unidades de Y. No importa en qué punto de la línea se quiera hacer la medición, porque es una línea recta con una pendiente constante y, por lo tanto, un nivel estimado constante de impacto por unidad de cambio. Sin embargo, puede que el analista desee estimar no el impacto unitario simple, medido en la variable Y, sino la magnitud del impacto porcentual en Y de un cambio unitario en la variable X. Un caso de este tipo podría ser cómo un cambio unitario en la experiencia, digamos un año, afecta no a la cantidad absoluta del salario de un trabajador, sino al impacto porcentual en el salario del trabajador. Otra posibilidad es que la pregunta que se formule sea el impacto medido por unidad en Y de un incremento porcentual específico en X. Un ejemplo sería: «¿En cuántos dólares aumentarán las ventas si la empresa gasta un X por ciento más en publicidad?\" La tercera posibilidad es el caso de la elasticidad que hemos comentado anteriormente. Aquí nos interesa el impacto porcentual en la cantidad demandada para un determinado cambio porcentual en el precio, en el ingreso o quizás en el precio de un bien sustitutivo. Los tres casos pueden estimarse al transformar los datos a logaritmos antes de ejecutar la regresión. Los coeficientes resultantes proporcionarán una medida de cambio porcentual de la variable correspondiente. En resumen, hay cuatro casos: Unidad ∆X → Unidad ∆Y (caso de los MCO estándar) Unidad ∆X → %∆Y %∆X → Unidad ∆Y %∆X → %∆Y (caso de elasticidad) Caso 1: El caso de los mínimos cuadrados ordinarios comienza con el modelo lineal, elaborado anteriormente: Y = a + b X donde el coeficiente de la variable independiente b = d Y d X es la pendiente de una línea recta; por ende, mide el impacto de un cambio unitario en X sobre Y medido en unidades de Y. Caso 2: La ecuación estimada subyacente es: log ( Y ) = a + b X La ecuación se estima al convertir los valores de Y en logaritmos y utilizar técnicas de los MCO para estimar el coeficiente de la variable X, b. Esto se denomina estimación semilogarítmica. De nuevo, la diferenciación de ambos lados de la ecuación nos permite desarrollar la interpretación de la X coeficiente b: d ( log Y ) = b d X d Y Y = b d X Al multiplicar por 100 para pasar a porcentajes y reordenar los términos da: 100 b = %∆Y Unidad ∆X 100 b así, es la variación porcentual de Y resultante de una variación unitaria de X. Caso 3: En este caso la pregunta es: \"¿Cuál es el cambio unitario en Y resultante de un cambio porcentual en X?\" ¿Cuál es la pérdida de ingresos en dólares de un aumento del 5 % en el precio o cuál es el impacto del coste total en dólares de un aumento del 5 % en los costes laborales? La ecuación estimada en este caso sería: Y = a + B log ( X ) Aquí el diferencial de cálculo en la ecuación estimada es: d Y = b d ( log X ) d Y = b d X X Al dividir entre 100 para obtener el porcentaje y reordenar los términos da: b 100 = d Y 100 d X X = Unidad ∆Y %∆X Por lo tanto, b 100 es el aumento de Y, medido en unidades a partir de un aumento del 1 % en X. Caso 4: Este es el caso de la elasticidad en el que tanto la variable dependiente como la independiente se convierten a logaritmos antes de la estimación de los MCO. Esto se conoce como el caso log-log o doble logaritmo, y nos proporciona estimaciones directas de las elasticidades de las variables independientes. La ecuación estimada es: log Y = a + b log X Diferenciando tenemos: d ( log Y ) = b d ( log X ) d ( log X ) = b 1 X d X así: 1 Y d Y = b 1 X d X O d Y Y = b d X X O b = d Y d X ( X Y ) y b = %∆Y %∆X nuestra definición de elasticidad. Concluimos que podemos estimar directamente la elasticidad de una variable mediante la doble transformación logarítmica de los datos. El coeficiente estimado es la elasticidad. Es habitual utilizar la doble transformación logarítmica de todas las variables en la estimación de las funciones de demanda para obtener estimaciones de las distintas elasticidades de la curva de demanda. En una regresión lineal, ¿por qué tenemos que preocuparnos por el rango de la variable independiente (X)? La precisión de la estimación de la variable Y depende del rango de la variable independiente (X) explorada. Si exploramos un rango muy pequeño de la variable X, no podremos hacer mucho uso de la regresión. Además, no se recomienda la extrapolación. Supongamos que se recoge la siguiente información, donde la X es el diámetro del tronco del árbol y la Y es la altura del árbol. X Y 4 8 2 4 8 18 6 22 10 30 6 8 Ecuación de regresión: y ^ i = -3,6 + 3,1 ⋅ X i ¿Cuál es su estimación de la altura promedio de todos los árboles con un diámetro de tronco de 7 pulgadas? y ^ = -3,6 + ( 3,1 ⋅ 7 ) = 18,1 Los fabricantes de un producto químico utilizado en los collares antipulgas afirman que, en las típicas condiciones de ensayo, cada unidad adicional del producto químico provocará una reducción de 5 pulgas (es decir, cuando X j = cantidad de producto químico y Y J = B 0 + B 1 ⋅ X J + E J , H 0 : B 1 = −5 Supongamos que se ha realizado una prueba y los resultados de la computadora incluyen: Intersección = 60 Pendiente = −4 Error estándar del coeficiente de regresión = 1,0 Grados de libertad para el error = 2000 Intervalo de confianza del 95% para la pendiente −2,04; −5,96 ¿Son estas pruebas coherentes con la afirmación de que el número de pulgas se reduce a razón de 5 por unidad de producto químico? Lo más sencillo es que, dado que −5 se incluye en el intervalo de confianza de la pendiente, concluimos que las pruebas son coherentes con la afirmación con un nivel de confianza del 95 %. Utilizando una prueba t: H 0 : B 1 = −5 H A : B 1 ≠ −5 t calculado = −5 – ( -4 ) 1 = -1 t crítico = -1,96 Dado que t calc < t crit mantenemos la hipótesis nula de que B 1 = −5 .", "section": "Interpretación de los coeficientes de regresión: elasticidad y transformación logarítmica", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Predicción con una ecuación de regresión Un valor importante de una ecuación de regresión estimada es su capacidad para predecir los efectos sobre Y de un cambio en uno o más valores de las variables independientes. El valor de esto es evidente. No se puede hacer ninguna política cuidadosa sin estimar los efectos que pueda tener. De hecho, es el deseo de obtener resultados concretos lo que impulsa la formación de la mayoría de las políticas. Los modelos de regresión pueden ser, y han sido, una ayuda inestimable para la elaboración de estas políticas. El teorema de Gauss-Markov nos asegura que la estimación puntual del impacto sobre la variable dependiente derivada de poner en la ecuación los valores hipotéticos de las variables independientes que se desea simular dará como resultado una estimación de la variable dependiente que es de varianza mínima e imparcial. Es decir, de esta ecuación sale la mejor estimación puntual imparcial de la y, dados los valores de la x. ŷ = b 0 + b , X 1 i + ⋯ + b k X k i Recuerde que las estimaciones puntuales no conllevan un determinado nivel de probabilidad, o nivel de confianza, porque los puntos no tienen un \"ancho\" por encima del cual haya un área que medir. Por eso hemos desarrollado antes intervalos de confianza para la media y la proporción. Aquí también surge la misma preocupación. En realidad, existen dos enfoques diferentes para la elaboración de estimaciones de los cambios de la variable o variables independientes sobre la variable dependiente. El primer enfoque desea medir el valor medio esperado de y a partir de un cambio específico en el valor de la x: este valor específico implica el valor esperado. En este caso, la pregunta es: ¿Cuál es el impacto medio en la y que resultaría de múltiples experimentos hipotéticos en la y a este valor específico de la x? Recuerde que existe una varianza en torno al parámetro estimado de la x; así, cada experimento dará lugar a una estimación un poco diferente del valor predicho de la y. El segundo enfoque para estimar el efecto de un valor específico de la x en la y trata el evento como un solo experimento: se elige la x y se multiplica por el coeficiente; eso proporciona una única estimación de la y. Dado que este enfoque actúa como si hubiera un solo experimento, la varianza que existe en la estimación de los parámetros es mayor que la asociada al enfoque del valor esperado. La conclusión es que tenemos dos formas diferentes de predecir el efecto de los valores de la o las variables independientes sobre la variable dependiente; así, tenemos dos intervalos diferentes. Ambas son respuestas correctas a la pregunta planteada, pero con dos preguntas diferentes. Para evitar confusiones, el primer caso en el que pedimos el valor esperado de la media de la y estimada, se denomina intervalo de confianza , tal y como hemos nombrado este concepto anteriormente. El segundo caso, en el que se pide la estimación del impacto sobre la variable dependiente y de un solo experimento utilizando un valor de x, se denomina intervalo de predicción . Las estadísticas de la prueba para estas dos medidas de intervalo dentro de las cuales caerá el valor estimado de la y son: Intervalo de confianza para el valor esperado del valor medio de la y para x = x p ŷ = ± t α 2 s e ( 1 n + ( x p – x – ) 2 s x ) Intervalo de predicción de un individuo y para x = x p ŷ = ± t α 2 s e ( 1 + 1 n + ( x p – x – ) 2 s x ) Donde s e es la desviación típica del término de error y s x es la desviación típica de la variable x. Los cálculos matemáticos de estas dos estadísticas de la prueba son complejos. Varios paquetes de software ofrecen programas dentro de las funciones de regresión que dan respuestas a las preguntas acerca de los valores estimados de predicción de la y, dados diversos valores elegidos para las variables x. Es importante saber qué intervalo se está probando en el paquete computarizado porque la diferencia en el tamaño de las desviaciones típicas cambiará el tamaño del intervalo estimado. Esto se muestra en la . Predicción e intervalos de confianza para la ecuación de regresión; nivel de confianza del 95 %. La muestra visualmente la diferencia que supone la desviación típica en el tamaño de los intervalos estimados. El intervalo de confianza, que mide el valor esperado de la variable dependiente, es menor que el intervalo de predicción para el mismo nivel de confianza. El método del valor esperado supone que el experimento se realiza varias veces y no solo una, como en el otro método. La lógica aquí es similar, aunque no idéntica, a la analizada cuando se desarrolla la relación entre el tamaño de la muestra y el intervalo de confianza mediante el teorema del límite central. Allí, a medida que aumentaba el número de experimentos, la distribución se estrechaba y el intervalo de confianza se acortaba más en torno al valor esperado de la media. También es importante señalar que los intervalos en torno a una estimación puntual dependen en gran medida del rango de datos utilizado para estimar la ecuación, sin importar el enfoque que se utilice para la predicción. Recuerde que todas las ecuaciones de regresión pasan por el punto de las medias, es decir, el valor medio de la y, así como los valores medios de todas las variables independientes de la ecuación. A medida que el valor de la x que se elige para estimar el valor asociado de la y se aleja del punto de las medias, el ancho del intervalo estimado alrededor de la estimación puntual aumenta. La elección de valores de la x más allá del intervalo de los datos utilizados para estimar la ecuación plantea el peligro aun mayor de crear estimaciones de poca utilidad, intervalos muy grandes y riesgo de error. La muestra esta relación. Intervalo de confianza para un valor individual de la x, X p , con un nivel de confianza del 95 % La demuestra la preocupación por la calidad del intervalo estimado, ya sea uno de predicción o de confianza. A medida que el valor que se elige para predecir la y, X p en el gráfico, se aleja del peso central de los datos, X – , observamos que el intervalo se expande, a la vez que se mantiene constante el nivel de confianza. Esto demuestra que la precisión de cualquier estimación disminuirá a medida que se intente predecir más allá del mayor peso de los datos y, con toda seguridad, se degradará rápidamente con respecto a las predicciones más allá del rango de los datos. Desgraciadamente, justo aquí es donde se desea la mayoría de las predicciones. Se pueden hacer, pero la amplitud del intervalo de confianza puede ser tan grande que haga inútil la predicción. Sin embargo, solo el cálculo real y la aplicación concreta pueden determinarlo. Recordemos el ejemplo del tercer examen o examen final . Hallamos la ecuación de la línea de mejor ajuste para la calificación del examen final como una función de la calificación del tercer examen. Ahora podemos utilizar la línea de regresión por mínimos cuadrados para la predicción. Supongamos que se ha determinado que el coeficiente de X es significativamente diferente de cero. Suponga que quiere estimar, o predecir, la calificación media del examen final de los estudiantes de Estadística que obtuvieron 73 en el tercer examen. Las calificaciones del examen (valores x ) oscilan entre 65 y 75. Dado que 73 está entre los valores de la x , 65 y 75, nos sentimos cómodos al sustituir x = 73 en la ecuación. Entonces: y ^ = – 173,51 + 4,83 ( 73 ) = 179,08 Predecimos que los estudiantes de Estadística que obtienen una calificación de 73 en el tercer examen obtendrán una calificación de 179,08 en el examen final, en promedio. a. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 66 en el tercer examen? a. 145,27 b. ¿Cuál sería la calificación del examen final de un estudiante que ha obtenido 90 en el tercer examen? b. Los valores de x en los datos están entre 65 y 75. Noventa está fuera del dominio de los valores de x observados en los datos (variable independiente), por lo que no se puede predecir de forma fiable la calificación del examen final de este estudiante. (Aunque es posible introducir 90 en la ecuación para x y calcular el valor correspondiente de y , el valor de y que se obtiene tendrá un intervalo de confianza que podría ser despreciable). Para entender realmente lo poco fiable que sería la predicción fuera de los valores de x observados en los datos, haga la sustitución x = 90 en la ecuación. y ^ = -173,51 + 4,83 ( 90 ) = 261,19 Se prevé que la calificación del examen final sea de 261,19. La mayor calificación del examen final puede ser 200. ¿Verdadero o falso? Si es falso, corríjalo: Supongamos que se realiza una regresión lineal simple de Y sobre X y se comprueba la hipótesis de que la pendiente β es cero frente a una alternativa de dos lados. Usted tiene n = 25 observaciones y su estadístico de prueba (t) calculado es 2,6. Entonces su valor P viene dado por 0,01 < P < 0,02, lo que da una significación límite (es decir, se rechazaría H 0 a α = 0,02 , pero no se rechaza H 0 a α = 0,01 ). Verdadero. t (crítica, df = 23, de dos colas, α = 0,02) = ± 2,5 t crítica, df = 23, dos colas, α = 0,01 = ± 2,8 Un economista se interesa por la posible influencia del \"trigo milagroso\" en el rendimiento promedio del trigo en un distrito. Para ello, realiza una regresión lineal del rendimiento promedio anual con respecto al año posterior a la introducción del \"trigo milagroso\" durante un periodo de diez años. La línea de tendencia ajustada es y ^ j = 80 + 1,5 ⋅ X j ( Y j : Rendimiento promedio en j año después de la introducción) ( X j : j año después de la introducción). ¿Cuál es el rendimiento promedio estimado para el cuarto año tras la introducción? ¿Quiere utilizar esta línea de tendencia para estimar el rendimiento, por ejemplo, 20 años después de la introducción? ¿Por qué? ¿Cuál sería su estimación? 80 + 1,5 ⋅ 4 = 86 No. La mayoría de los estadísticos empresariales no querrían extrapolar tanto. Si alguien lo hiciera, la estimación sería de 110, pero probablemente entren en juego otros factores con 20 años. Una interpretación de r = 0,5 es que la siguiente parte de la variación de la Y está asociada a qué variación en la X: la mayor parte la mitad muy poco una cuarta parte ninguno de estos d. una cuarta parte ¿Cuál de los siguientes valores de r indica la predicción más precisa de una variable a partir de otra? r = 1,18 r = -0,77 r = 0,68 b. r = -0,77", "section": "Predicción con una ecuación de regresión", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión Esta sección de este capítulo está aquí, en reconocimiento de que lo que pedimos ahora requiere mucho más que un cálculo rápido de un cociente o una raíz cuadrada. De hecho, el uso del análisis de regresión era casi inexistente antes de mediados del siglo pasado y no se convirtió realmente en una herramienta ampliamente utilizada hasta quizás finales de los años 1960 y principios de los 1970. Incluso entonces, la capacidad de cálculo de las mayores máquinas de IBM es irrisoria para los estándares actuales. En los primeros tiempos los investigadores desarrollaban y compartían los programas. No existía ningún mercado para el llamado \"software\" y, desde luego, nada qué ver con las \"aplicaciones\", un participante en el mercado con pocos años de antigüedad. Con la llegada de la computadora personal y la explosión de un mercado vital de software, tenemos un número de paquetes de regresión y análisis estadístico entre los que elegir. Cada uno tiene sus méritos. Hemos elegido Microsoft Excel por su amplia disponibilidad tanto en las universidades como en el mercado postuniversitario. Stata es una alternativa y tiene características que serán importantes para el estudio de la econometría más avanzada si decide seguir este camino. Existen paquetes aun más avanzados, pero normalmente requieren que el analista realice una cantidad significativa de programación para llevar a cabo su análisis. El objetivo de esta sección es demostrar cómo utilizar Excel para realizar una regresión y hacerlo con un ejemplo de una versión simple de una curva de demanda. El primer paso para realizar una regresión con Excel es cargar el programa en la computadora. Si tiene Excel, tiene las Herramientas de Análisis, aunque puede que no las tenga activadas. El programa requiere una cantidad significativa de espacio, por lo que no se carga automáticamente. Para activar las herramientas de análisis, siga estos pasos: Haga clic en “File” (Archivo) > “Options” (Opciones) > “Add-ins” (Complementos) para que aparezca el menú del complemento “ToolPaks” (Herramientas). Seleccione “Analysis ToolPak” (Herramientas de análisis) y haga clic en “GO” (Aceptar) junto a “Manage: excel add-ins” (Administrar complementos de Excel) en la parte inferior de la ventana. Esto abrirá una nueva ventana en la que deberá hacer clic en “Analysis ToolPak” (asegúrese de que haya una marca de verificación verde en la casilla) y luego haga clic en “OK” (Aceptar). Ahora debería haber una pestaña “Analysis” (Análisis) debajo del menú de datos. Estos pasos se presentan en las siguientes capturas de pantalla. Haga clic en “Data” (Datos), luego en “Data Analysis” (Análisis de datos) y, a continuación, en “Regression” (Regresión) y “OK”. ¡Enhorabuena! Ha llegado a la ventana de regresión. La ventana le pide que introduzca sus datos. Si hace clic en la casilla situada junto a los rangos Y y X, podrá utilizar la función “click and drag” (presionar y arrastrar) de Excel para seleccionar los rangos de entrada. Excel tiene una peculiaridad y es que la función “click and drop” (presionar y soltar) requiere que las variables independientes, las variables X, estén todas juntas, es decir, que formen una sola matriz. Si sus datos están configurados con la variable Y entre dos columnas de variables X, Excel no le permitirá utilizar la función de presionar y arrastrar. A modo de ejemplo, digamos que la columna A y la columna C son variables independientes y la columna B es la variable Y, la variable dependiente. Excel no le permitirá presionar y soltar los rangos de datos. La solución es mover la columna con la variable Y a la columna A y luego puede presionar y arrastrar. El mismo problema se plantea si se quiere realizar la regresión solo con algunas de las variables X. Tendrá que configurar la matriz de manera que todas las variables X a las que quiere hacer regresiones estén en una matriz bien formada. Estos pasos se presentan en las siguientes capturas de pantalla. Una vez que seleccione los datos para su análisis de regresión y le diga a Excel cuál es la variable dependiente (Y) y cuáles son los valores independientes (X), tiene varias opciones en cuanto a los parámetros y cómo se mostrará el resultado. Consulte la captura de pantalla de la en la sección “Input” (Entrada). Si marca la casilla “labels” (etiquetas) el programa colocará la entrada en la primera columna de cada variable como su nombre en el resultado. Puede introducir un nombre real, como precio o ingresos en un análisis de la demanda, en la fila uno de la hoja de cálculo de Excel para cada variable y se mostrará en el resultado. El nivel de significación también puede fijarlo el analista. Esto no cambiará el valor calculado del estadístico t, llamado t stat, aunque alterará el valor p calculado para el estadístico t. También modificará los límites de los intervalos de confianza de los coeficientes. Siempre se presenta un intervalo de confianza del 95 %, aunque con un cambio en este también se obtienen otros niveles de confianza para los intervalos. Excel también le permitirá suprimir la intersección. Esto obliga al programa de regresión a minimizar la suma de cuadrados residual con la condición de que la línea estimada debe pasar por el origen. Esto se hace en los casos en que no hay significado en el modelo en ningún valor distinto de cero, cero para el inicio de la línea. Un ejemplo es una función de producción económica, que es la relación entre el número de unidades de un insumo, digamos horas de trabajo, y la producción. No tiene sentido una producción positiva con cero trabajadores. Una vez introducidos los datos y realizadas las elecciones, haga clic en OK y los resultados se enviarán por defecto a una nueva hoja de trabajo independiente. El resultado de Excel se presenta de una manera típica de otros programas de paquetes de regresión. El primer bloque de información ofrece las estadísticas generales de la regresión: R múltiple, R al cuadrado, y la R al cuadrado ajustada por grados de libertad, que es la que se quiere informar. También se obtiene el error estándar (de la estimación) y el número de observaciones en la regresión. El segundo bloque de información se titula ANOVA, que significa Análisis de la Varianza (ANalysis Of VAriance). Nuestro interés en esta sección es la columna marcada como F. Se trata de los valores del estadístico F calculados para la hipótesis nula de que todos los coeficientes son iguales a cero frente a la alternativa de que al menos uno de los coeficientes no es igual a cero. Esta prueba de hipótesis se presentó en 13.4 en el apartado “¿Qué tan buena es la ecuación?”. La siguiente columna indica el valor p de esta prueba bajo el título “Significance F” (Significación F). Si el valor p es inferior, por ejemplo, a 0,05 (el valor calculado del estadístico F está en la cola), afirmamos con un 90 % de confianza que no podemos aceptar las hipótesis nulas de que todos los coeficientes son iguales a cero. Esto es bueno: significa que al menos uno de los coeficientes es significativamente diferente de cero, por lo que tiene un efecto sobre el valor de Y. El último bloque de información contiene las pruebas de hipótesis para cada coeficiente. En primer lugar se enumeran los coeficientes estimados, la intersección y las pendientes, y a continuación cada error estándar (del coeficiente estimado) seguido del estadístico t (valor calculado del estadístico t de Student para la hipótesis nula de que el coeficiente es igual a cero). Comparamos el valor calculado del estadístico t y el valor crítico de la t de Student, que depende de los grados de libertad, y determinamos si tenemos suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula de que la variable no tiene efecto sobre Y. Recuerde que hemos establecido la hipótesis nula como el statu quo y nuestra afirmación de que sabemos qué causó el cambio de Y está en la hipótesis alternativa. Queremos rechazar el statu quo y sustituirlo por nuestra versión del mundo, la hipótesis alternativa. La siguiente columna contiene los valores p para esta prueba de hipótesis, seguidos del límite superior e inferior estimado del intervalo de confianza del parámetro de la pendiente, estimado para varios niveles de confianza fijados por nosotros al principio. Estimación de la demanda de rosas A continuación se muestra un ejemplo de utilización del programa Excel para realizar una regresión para un caso concreto: estimar la demanda de rosas. Tratamos de estimar una curva de demanda, que desde la teoría económica esperamos que ciertas variables afecten la cantidad de un bien que compramos. La relación entre el precio de un bien y la cantidad demandada es la curva de demanda. Además, tenemos la función de demanda, que incluye otras variables relevantes: el ingreso de la persona, el precio de los bienes sustitutivos y quizás otras variables como la estación del año o el precio de los bienes complementarios. La cantidad demandada será nuestra variable Y, y el precio de las rosas, el precio de los claveles y el ingreso serán nuestras variables independientes, las variables X. Para todas estas variables la teoría nos indica la relación esperada. Para el precio del bien en cuestión, las rosas, la teoría predice una relación inversa, la curva de demanda con pendiente negativa. La teoría también predice la relación entre la cantidad demandada de un bien, aquí las rosas, y el precio de un sustituto, los claveles en este ejemplo. La teoría predice que esta debería ser una relación positiva o directa; a medida que el precio del sustituto baja, sustituimos las rosas por el sustituto más barato, los claveles. Una reducción en el precio del sustituto genera una reducción en la demanda del bien analizado aquí: las rosas. Que la reducción genere reducción es una relación positiva. En el caso de los bienes normales, la teoría también predice una relación positiva; a medida que nuestros ingresos aumentan, compramos más del bien, las rosas. Esperamos estos resultados porque es lo que predicen cien años de teoría e investigación económica. En esencia, estamos poniendo a prueba estas hipótesis centenarias. Los datos recogidos se determinaron con el modelo que se está probando. Esto debería ser siempre así. No se hace estadística inferencial metiendo una montaña de datos en una computadora y pidiéndole a la máquina una teoría. La teoría primero, la prueba después. Estos datos son el promedio de precios y el ingreso per cápita en el país. La cantidad demandada es el total de ventas anuales de rosas a nivel nacional. Se trata de datos de series temporales anuales; estamos siguiendo el mercado de rosas de Estados Unidos desde 1984 hasta 2017: 33 observaciones. Debido a la forma peculiar en que Excel exige que se introduzcan los datos en el paquete de regresión, es mejor tener las variables independientes, el precio de las rosas, el precio de los claveles y los ingresos, una al lado de la otra en la hoja de cálculo. Una vez introducidos los datos en la hoja de cálculo, siempre es conveniente examinarlos. Examine el rango, las medias y las desviaciones típicas. Utilice sus conocimientos de estadística descriptiva de la primera parte de este curso. En grandes conjuntos de datos no podrá \"escanear\" los datos. La herramienta de análisis facilita la obtención del rango, la media, las desviaciones típicas y demás parámetros de las distribuciones. También puede obtener rápidamente las correlaciones entre las variables. Examine los valores atípicos. Repase la historia. ¿Ha pasado algo? ¿Hubo aquí una huelga laboral, un cambio en las tasas de importación, algo que haga que estas observaciones sean inusuales? No tome los datos sin cuestionarlos. Es posible que haya una errata en alguna parte, quién sabe sin revisarla. Vaya a la ventana de regresión, introduzca los datos, seleccione un nivel de confianza del 95 % y haga clic en OK. Puede incluir las etiquetas en el rango de entrada si ha puesto un título en la parte superior de cada columna, pero asegúrese de presionar en la casilla \"labels\" en la página principal de la regresión si lo hace. El resultado de la regresión debería aparecer automáticamente en una nueva hoja de cálculo. El primer resultado presentado es el R cuadrado, una medida de la fuerza de la correlación entre Y y X 1 , X 2 y X 3 tomados como grupo. Nuestro R cuadrado de 0,699, ajustado por grados de libertad, significa que el 70% de la variación de Y, la demanda de rosas, puede explicarse por las variaciones de X 1 , X 2 y X 3 , el precio de las rosas, el precio de los claveles y los ingresos. No existe ninguna prueba estadística para determinar la \"importancia\" de un R 2 . Por supuesto, se prefiere un R 2 más alto, pero es realmente la importancia de los coeficientes lo que determinará el valor de la teoría que se está probando y que formará parte de cualquier debate político si se demuestra que son significativamente diferentes de cero. Mirando el tercer panel de resultados podemos escribir la ecuación como: Y = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + e donde b 0 es la intersección, b 1 es el coeficiente estimado del precio de las rosas, y b 2 es el coeficiente estimado del precio de los claveles, b 3 es el efecto estimado del ingreso y e es el término de error. La ecuación está escrita en letras romanas para indicar que se trata de los valores estimados y no de los parámetros poblacionales, β. Nuestra ecuación estimada es: Cantidad de rosas vendidas = 183.475 – 1,76 Precio de las rosas + 1,33 Precio de los claveles + 3,03 Ingresos En primer lugar, observamos que los signos de los coeficientes son los esperados por la teoría. La curva de demanda tiene una pendiente descendente con signo negativo para el precio de las rosas. Además, los signos de los coeficientes del precio de los claveles y del ingreso son positivos, como cabría esperar de la teoría económica. La interpretación de los coeficientes nos indica el impacto de un cambio en cada variable sobre la demanda de rosas. Es esta capacidad lo que hace que el análisis de regresión sea una herramienta tan valiosa. Los coeficientes estimados nos indican que un aumento de un dólar en el precio de las rosas provocará una reducción de 1,76 en el número de rosas compradas. El precio de los claveles parece desempeñar un papel importante en la demanda de rosas. Observamos que el aumento en el precio de los claveles en un dólar incrementaría la demanda de rosas en 1,33 unidades, ya que los consumidores sustituirían los claveles, ahora más caros. Del mismo modo, el aumento en el ingreso per cápita en un dólar supondrá un incremento de 3,03 unidades de rosas compradas. Estos resultados se ajustan a las predicciones de la teoría económica con respecto a las tres variables incluidas en esta estimación de la demanda de rosas. Es importante tener primero una teoría que prediga la importancia o al menos la dirección de los coeficientes. Sin ninguna teoría que poner a prueba, esta herramienta de investigación no es mucho más útil que los coeficientes de correlación que aprendimos antes. Sin embargo, no podemos detenernos ahí. Primero, tenemos que comprobar si nuestros coeficientes son estadísticamente significativos con respecto a cero. Establecimos una hipótesis de: H 0 : β 1 = 0 H a : β 1 ≠ 0 para los tres coeficientes en la regresión. Recordemos que no podremos decir definitivamente que nuestra b 1 estimada es la población real de β 1 , sino solo que con (1-α)% de nivel de confianza que no podemos rechazar la hipótesis nula de que nuestra β 1 estimada es significativamente diferente de cero. El analista afirma que el precio de las rosas influye en la cantidad demandada. De hecho, cada una de las variables incluidas tiene un impacto en la cantidad de rosas demandadas. Por consiguiente, la afirmación está en las hipótesis alternativas. Se necesitará una probabilidad muy grande, 0,95 en este caso, para derrocar la hipótesis nula, el statu quo , de que β = 0. En todas las pruebas de hipótesis de regresión la afirmación está en la alternativa y la afirmación es que la teoría ha encontrado una variable que tiene un impacto significativo en la variable Y. El estadístico de prueba para esta hipótesis sigue la conocida fórmula normalizadora que cuenta el número de desviaciones típicas, t, que el valor estimado del parámetro, b 1 , se aleja del valor hipotético, β 0 , que es cero en este caso: t c = b 1 – β 0 S b 1 La computadora calcula el estadístico de prueba y lo presenta como \"t stat\". Puede encontrar este valor a la derecha del error estándar de la estimación del coeficiente. El error estándar del coeficiente de b 1 es S b 1 en la fórmula. Para llegar a una conclusión, comparamos estadístico de prueba con el valor crítico de la t de Student con grados de libertad n-3-1 = 29 y alfa = 0,025 (nivel de significación del 5 % para una prueba de dos colas). Nuestro estadístico t para b 1 es aproximadamente 5,90, que es mayor que 1,96 (el valor crítico que buscamos en la tabla t), por lo que no podemos aceptar nuestra hipótesis nula de ausencia de efecto. Llegamos a la conclusión de que el precio tiene un efecto significativo porque el valor t calculado está en la cola. Realizamos la misma prueba para b 2 y b 3 . Para cada variable, comprobamos que no podemos aceptar la hipótesis nula de ausencia de relación porque los valores calculados de la estadística t están en la cola para cada caso, es decir, son mayores que el valor crítico. Se ha determinado que todas las variables de esta regresión tienen un efecto significativo en la demanda de rosas. Estas pruebas nos indican si un coeficiente individual es significativamente diferente de cero, pero no abordan la calidad general del modelo. Hemos visto que el R cuadrado ajustado a los grados de libertad indica que este modelo con estas tres variables explica el 70 % de la variación de la cantidad de rosas demandadas. También podemos realizar una segunda prueba del modelo en su conjunto. Se trata de la prueba F presentada en la sección 13.4 de este capítulo. Como se trata de una regresión múltiple (más de una X), utilizamos la prueba F para determinar si nuestros coeficientes afectan colectivamente a Y. La hipótesis es: H 0 : β 1 = β 2 = ... = β i = 0 H a : \"al menos uno de los β i no es igual a 0\" En la sección ANOVA del resultado encontramos el valor calculado de la estadística F para esta hipótesis. Para este ejemplo, la estadística F es de 21,9. De nuevo, la comparación del valor calculado de la estadística F con el valor crítico, dado nuestro nivel de significación deseado y los grados de libertad, nos permitirá llegar a una conclusión. La mejor manera de llegar a una conclusión para esta prueba estadística es utilizar la regla de comparación del valor p. El valor p es el área de la cola, dado el estadístico F calculado. En esencia, la computadora halla el valor F en la tabla por nosotros y calcula el valor p. En el resumen del resultado bajo \"significación F\" se encuentra esta probabilidad. Para este ejemplo, se calcula que es de 2,6 x 10 -5 , es decir, 2,6 moviendo el decimal cinco lugares a la izquierda. (0,000026) Se trata de un nivel de probabilidad casi infinitesimal y ciertamente menor que nuestro nivel alfa de 0,05 para un nivel de significación del 5 por ciento. Al no poder aceptar las hipótesis nulas, concluimos que esta especificación de este modelo tiene validez porque al menos uno de los coeficientes estimados es significativamente diferente de cero. Como el F calculado es mayor que el F crítico, no podemos aceptar H 0 , lo que significa que X 1 , X 2 y X 3 juntos tienen un efecto significativo sobre Y. El desarrollo de la computación y del software útiles para la investigación académica y empresarial ha permitido responder preguntas que hace unos años ni siquiera podíamos formular. Los datos están disponibles en formato electrónico y pueden trasladarse para su análisis de formas y a velocidades inimaginables hace una década. La enorme magnitud de los conjuntos de datos que pueden utilizarse hoy en día para la investigación y el análisis nos permite obtener resultados de mayor calidad que en el pasado. Incluso con solo una hoja de cálculo de Excel podemos realizar una investigación de muy alto nivel. Esta sección le ofrece las herramientas para llevar a cabo algunas de estas interesantes investigaciones con el único límite de su imaginación. Se ha utilizado un programa computarizado de regresión múltiple para ajustar y ^ j = b 0 + b 1 ⋅ X 1 j + b 2 ⋅ X 2 j + b 3 ⋅ X 3 j . Parte del resultado de la computadora incluye: i b i S b i 0 8 1,6 1 2,2 0,24 2 -0,72 0,32 3 0,005 0,002 Cálculo del intervalo de confianza para b 2 se compone de _______± (un valor t de Student) (_______) El nivel de confianza de este intervalo se refleja en el valor utilizado para _______. Los grados de libertad disponibles para estimar la varianza están directamente relacionados con el valor utilizado para _______ −.72, 0,32 el valor t el valor t Un investigador ha utilizado un programa de regresión múltiple sobre 20 puntos de datos para obtener una ecuación de regresión con 3 variables. Parte del resultado de la computadora es: Variable Coeficiente Error estándar de b i 1 0,45 0,21 2 0,80 0,10 3 3,10 0,86 0,80 es una estimación de ___________. 0,10 es una estimación de ___________. Asumiendo que las respuestas satisfacen el supuesto de normalidad, podemos estar seguros al 95% de que el valor de β 2 está en el intervalo, _______ ± [t 0,025 ⋅ _______], donde t 0,025 es el valor crítico de la distribución t de Student con ____ grados de libertad. El valor de la población para β 2 , el cambio que se produce en Y con un cambio unitario en X 2 , cuando las demás variables se mantienen constantes. El valor poblacional del error estándar de la distribución de las estimaciones de β 2 . 0,8, 0,1, 16 = 20 − 4.", "section": "Cómo utilizar Microsoft Excel® para el análisis de regresión", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Cuadros estadísticos Distribución F La entrada de la tabla para p es el valor crítico F* con la probabilidad p situada a su derecha. Valores críticos F Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0,100 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 0,050 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 0,025 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 0,010 4.052,2 4.999,5 5.403,4 5.624,6 5.763,6 5.859,0 5.928,4 5.981,1 6.022,5 0,001 405.284 500.000 540.379 562.500 576.405 585.937 592.873 598.144 602.284 2 0,100 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 0,050 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 0,025 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 0,010 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 0,001 998,50 999,00 999,17 999,25 999,30 999,33 999,36 999,37 999,39 3 0,100 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 0,050 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 0,025 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 0,010 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 0,001 167,03 148,50 141,11 137,10 134,58 132,85 131,58 130,62 129,86 4 0,100 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 0,050 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 0,025 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 0,010 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 0,001 74,14 61,25 56,18 53,44 51,71 50,53 49,66 49,00 48,47 5 0,100 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 0,050 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 0,025 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 0,010 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 0,001 47,18 37,12 33,20 31,09 29,75 28,83 28,16 27,65 27,24 6 0,100 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 0,050 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 0,010 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 0,001 35,51 27,00 23,70 21,92 20,80 20,03 19,46 19,03 18,69 7 0,100 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 0,050 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 0,010 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 0,001 29,25 21,69 18,77 17,20 16,21 15,52 15,02 14,63 14,33 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 1 0,100 60,19 60,71 61,22 61,74 62,05 62,26 62,53 62,69 62,79 63,06 63,30 0,050 241,88 243,91 245,95 248,01 249,26 250,10 251,14 251,77 252,20 253,25 254,19 0,025 968,63 976,71 984,87 993,10 998,08 1.001,4 1.005,6 1.008,1 1.009,8 1.014,0 1.017,7 0,010 6.055,8 6.106,3 6.157,3 6.208,7 6.239,8 6.260,6 6.286,8 6.302,5 6.313,0 6.339,4 6.362,7 0,001 605.621 610.668 615.764 620.908 624.017 626.099 628.712 630.285 631.337 633.972 636.301 2 0,100 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,49 0,050 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 0,025 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,48 39,49 39,50 0,010 99,40 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,48 99,49 99,50 0,001 999,40 999,42 999,43 999,45 999,46 999,47 999,47 999,48 999,48 999,49 999,50 3 0,100 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,15 5,14 5,13 0,050 8,79 8,74 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,58 8,57 8,55 8,53 0,025 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 14,01 13,99 13,95 13,91 0,010 27,23 27,05 26,87 26,69 26,58 26,50 26,41 26,35 26,32 26,22 26,14 0,001 129,25 128,32 127,37 126,42 125,84 125,45 124,96 124,66 124,47 123,97 123,53 4 0,100 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,80 3,79 3,78 3,76 0,050 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,69 5,66 5,63 0,025 8,84 8,75 8,66 8,56 8,50 8,46 8,41 8,38 8,36 8,31 8,26 0,010 14,55 14,37 14,20 14,02 13,91 13,84 13,75 13,69 13,65 13,56 13,47 0,001 48,05 47,41 46,76 46,10 45,70 45,43 45,09 44,88 44,75 44,40 44,09 5 0,100 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,15 3,14 3,12 3,11 0,050 4,74 4,68 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,44 4,43 4,40 4,37 0,025 6,62 6,52 6,43 6,33 6,27 6,23 6,18 6,14 6,12 6,07 6,02 0,010 10,05 9,89 9,72 9,55 9,45 9,38 9,29 9,24 9,20 9,11 9,03 0,001 26,92 26,42 25,91 25,39 25,08 24,87 24,60 24,44 24,33 24,06 23,82 6 0,100 2,94 2,90 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,77 2,76 2,74 2,72 0,050 4,06 4,00 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,75 3,74 3,70 3,67 0,025 5,46 5,37 5,27 5,17 5,11 5,07 5,01 4,98 4,96 4,90 4,86 0,010 7,87 7,72 7,56 7,40 7,30 7,23 7,14 7,09 7,06 6,97 6,89 0,001 18,41 17,99 17,56 17,12 16,85 16,67 16,44 16,31 16,21 15,98 15,77 7 0,100 2,70 2,67 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,52 2,51 2,49 2,47 0,050 3,64 3,57 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,32 3,30 3,27 3,23 0,025 4,76 4,67 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,28 4,25 4,20 4,15 0,010 6,62 6,47 6,31 6,16 6,06 5,99 5,91 5,86 5,82 5,74 5,66 0,001 14,08 13,71 13,32 12,93 12,69 12,53 12,33 12,20 12,12 11,91 11,72 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 0,100 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 0,050 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 0,010 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 0,001 25,41 18,49 15,83 14,39 13,48 12,86 12,40 12,05 11,77 9 0,100 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 0,050 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 0,010 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 0,001 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,70 10,37 10,11 10 0,100 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 0,050 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 0,025 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 0,010 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 0,001 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,93 9,52 9,20 8,96 11 0,100 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 0,050 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 0,025 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 0,010 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 0,001 19,69 13,81 11,56 10,35 9,58 9,05 8,66 8,35 8,12 12 0,100 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 0,050 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 0,025 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 0,010 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 0,001 18,64 12,97 10,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,71 7,48 13 0,100 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 0,050 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 0,025 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 0,010 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 0,001 17,82 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,49 7,21 6,98 14 0,100 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 0,050 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 0,025 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 0,010 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 0,001 17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,44 7,08 6,80 6,58 15 0,100 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 0,050 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 0,025 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 0,010 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 0,001 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,74 6,47 6,26 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 8 0,100 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,32 2,30 0,050 3,35 3,28 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,02 3,01 2,97 2,93 0,025 4,30 4,20 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,81 3,78 3,73 3,68 0,010 5,81 5,67 5,52 5,36 5,26 5,20 5,12 5,07 5,03 4,95 4,87 0,001 11,54 11,19 10,84 10,48 10,26 10,11 9,92 9,80 9,73 9,53 9,36 9 0,100 2,42 2,38 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,22 2,21 2,18 2,16 0,050 3,14 3,07 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,80 2,79 2,75 2,71 0,025 3,96 3,87 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,47 3,45 3,39 3,34 0,010 5,26 5,11 4,96 4,81 4,71 4,65 4,57 4,52 4,48 4,40 4,32 0,001 9,89 9,57 9,24 8,90 8,69 8,55 8,37 8,26 8,19 8,00 7,84 10 0,100 2,32 2,28 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,12 2,11 2,08 2,06 0,050 2,98 2,91 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,64 2,62 2,58 2,54 0,025 3,72 3,62 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,22 3,20 3,14 3,09 0,010 4,85 4,71 4,56 4,41 4,31 4,25 4,17 4,12 4,08 4,00 3,92 0,001 8,75 8,45 8,13 7,80 7,60 7,47 7,30 7,19 7,12 6,94 6,78 11 0,100 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,04 2,03 2,00 1,98 0,050 2,85 2,79 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,49 2,45 2,41 0,025 3,53 3,43 3,33 3,23 3,16 3,12 3,06 3,03 3,00 2,94 2,89 0,010 4,54 4,40 4,25 4,10 4,01 3,94 3,86 3,81 3,78 3,69 3,61 0,001 7,92 7,63 7,32 7,01 6,81 6,68 6,52 6,42 6,35 6,18 6,02 12 0,100 2,19 2,15 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,93 1,91 0,050 2,75 2,69 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,40 2,38 2,34 2,30 0,025 3,37 3,28 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,87 2,85 2,79 2,73 0,010 4,30 4,16 4,01 3,86 3,76 3,70 3,62 3,57 3,54 3,45 3,37 0,001 7,29 7,00 6,71 6,40 6,22 6,09 5,93 5,83 5,76 5,59 5,44 13 0,100 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,92 1,90 1,88 1,85 0,050 2,67 2,60 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,31 2,30 2,25 2,21 0,025 3,25 3,15 3,05 2,95 2,88 2,84 2,78 2,74 2,72 2,66 2,60 0,010 4,10 3,96 3,82 3,66 3,57 3,51 3,43 3,38 3,34 3,25 3,18 0,001 6,80 6,52 6,23 5,93 5,75 5,63 5,47 5,37 5,30 5,14 4,99 14 0,100 2,10 2,05 2,01 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,83 1,80 0,050 2,60 2,53 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,24 2,22 2,18 2,14 0,025 3,15 3,05 2,95 2,84 2,78 2,73 2,67 2,64 2,61 2,55 2,50 0,010 3,94 3,80 3,66 3,51 3,41 3,35 3,27 3,22 3,18 3,09 3,02 0,001 6,40 6,13 5,85 5,56 5,38 5,25 5,10 5,00 4,94 4,77 4,62 15 0,100 2,06 2,02 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,79 1,76 0,050 2,54 2,48 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,18 2,16 2,11 2,07 0,025 3,06 2,96 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,55 2,52 2,46 2,40 0,010 3,80 3,67 3,52 3,37 3,28 3,21 3,13 3,08 3,05 2,96 2,88 0,001 6,08 5,81 5,54 5,25 5,07 4,95 4,80 4,70 4,64 4,47 4,33 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 0,100 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 0,050 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 0,025 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 0,010 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 0,001 16,12 10,97 9,01 7,94 7,27 6,80 6,46 6,19 5,98 17 0,100 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 0,050 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 0,025 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 0,010 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 0,001 15,72 10,66 8,73 7,68 7,02 6,56 6,22 5,96 5,75 18 0,100 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 0,050 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 0,025 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 0,010 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 0,001 15,38 10,39 8,49 7,46 6,81 6,35 6,02 5,76 5,56 19 0,100 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 0,050 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 0,010 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 0,001 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,70 10,37 10,11 20 0,100 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 0,050 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 0,025 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 0,010 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 0,001 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 21 0,100 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 0,050 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 0,025 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 0,010 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 0,001 14,59 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,56 5,31 5,11 22 0,100 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 0,050 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 0,025 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 0,010 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 0,001 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,44 5,19 4,99 23 0,100 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 0,050 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 0,025 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 0,010 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 0,001 14,20 9,47 7,67 6,70 6,08 5,65 5,33 5,09 4,89 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 16 0,100 2,03 1,99 1,94 1,89 1,86 1,84 1,81 1,79 1,78 1,75 1,72 0,050 2,49 2,42 2,35 2,28 2,23 2,19 2,15 2,12 2,11 2,06 2,02 0,025 2,99 2,89 2,79 2,68 2,61 2,57 2,51 2,47 2,45 2,38 2,32 0,010 3,69 3,55 3,41 3,26 3,16 3,10 3,02 2,97 2,93 2,84 2,76 0,001 5,81 5,55 5,27 4,99 4,82 4,70 4,54 4,45 4,39 4,23 4,08 17 0,100 2,00 1,96 1,91 1,86 1,83 1,81 1,78 1,76 1,75 1,72 1,69 0,050 2,45 2,38 2,31 2,23 2,18 2,15 2,10 2,08 2,06 2,01 1,97 0,025 2,92 2,82 2,72 2,62 2,55 2,50 2,44 2,41 2,38 2,32 2,26 0,010 3,59 3,46 3,31 3,16 3,07 3,00 2,92 2,87 2,83 2,75 2,66 0,001 5,58 5,32 5,05 4,78 4,60 4,48 4,33 4,24 4,18 4,02 3,87 18 0,100 1,98 1,93 1,89 1,84 1,80 1,78 1,75 1,74 1,72 1,69 1,66 0,050 2,41 2,34 2,27 2,19 2,14 2,11 2,06 2,04 2,02 1,97 1,92 0,025 2,87 2,77 2,67 2,56 2,49 2,44 2,38 2,35 2,32 2,26 2,20 0,010 3,51 3,37 3,23 3,08 2,98 2,92 2,84 2,78 2,75 2,66 2,58 0,001 5,39 5,13 4,87 4,59 4,42 4,30 4,15 4,06 4,00 3,84 3,69 19 0,100 1,96 1,91 1,86 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,70 1,67 1,64 0,050 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 2,00 1,98 1,93 1,88 0,025 2,82 2,72 2,62 2,51 2,44 2,39 2,33 2,30 2,27 2,20 2,14 0,010 3,43 3,30 3,15 3,00 2,91 2,84 2,76 2,71 2,67 2,58 2,50 0,001 5,22 4,97 4,70 4,43 4,26 4,14 3,99 3,90 3,84 3,68 3,53 20 0,100 1,94 1,89 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,69 1,68 1,64 1,61 0,050 2,35 2,28 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,97 1,95 1,90 1,85 0,025 2,77 2,68 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,25 2,22 2,16 2,09 0,010 3,37 3,23 3,09 2,94 2,84 2,78 2,69 2,64 2,61 2,52 2,43 0,001 5,08 4,82 4,56 4,29 4,12 4,00 3,86 3,77 3,70 3,54 3,40 21 0,100 1,92 1,87 1,83 1,78 1,74 1,72 1,69 1,67 1,66 1,62 1,59 0,050 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,92 1,87 1,82 0,025 2,73 2,64 2,53 2,42 2,36 2,31 2,25 2,21 2,18 2,11 2,05 0,010 3,31 3,17 3,03 2,88 2,79 2,72 2,64 2,58 2,55 2,46 2,37 0,001 4,95 4,70 4,44 4,17 4,00 3,88 3,74 3,64 3,58 3,42 3,28 22 0,100 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,65 1,64 1,60 1,57 0,050 2,30 2,23 2,15 2,07 2,02 1,98 1,94 1,91 1,89 1,84 1,79 0,025 2,70 2,60 2,50 2,39 2,32 2,27 2,21 2,17 2,14 2,08 2,01 0,010 3,26 3,12 2,98 2,83 2,73 2,67 2,58 2,53 2,50 2,40 2,32 0,001 4,83 4,58 4,33 4,06 3,89 3,78 3,63 3,54 3,48 3,32 3,17 23 0,100 1,89 1,84 1,80 1,74 1,71 1,69 1,66 1,64 1,62 1,59 1,55 0,050 2,27 2,20 2,13 2,05 2,00 1,96 1,91 1,88 1,86 1,81 1,76 0,025 2,67 2,57 2,47 2,36 2,29 2,24 2,18 2,14 2,11 2,04 1,98 0,010 3,21 3,07 2,93 2,78 2,69 2,62 2,54 2,48 2,45 2,35 2,27 0,001 4,73 4,48 4,23 3,96 3,79 3,68 3,53 3,44 3,38 3,22 3,08 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 0,100 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 0,050 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 0,025 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 0,010 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 0,001 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 5,23 4,99 4,80 25 0,100 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 0,050 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 0,025 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 0,010 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 0,001 13,88 9,22 7,45 6,49 5,89 5,46 5,15 4,91 4,71 26 0,100 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 0,050 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 0,025 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 0,010 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 0,001 13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 5,07 4,83 4,64 27 0,100 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 0,050 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 0,025 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 0,010 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 0,001 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 5,00 4,76 4,57 28 0,100 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 0,050 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 0,025 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 0,010 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 0,001 13,50 8,93 7,19 6,25 5,66 5,24 4,93 4,69 4,50 29 0,100 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 0,050 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 0,025 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 0,010 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 0,001 13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,87 4,64 4,45 30 0,100 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 0,050 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 0,025 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 0,010 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 0,001 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,82 4,58 4,39 40 0,100 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 0,050 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 0,025 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 0,010 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 0,001 12,61 8,25 6,59 5,70 5,13 4,73 4,44 4,21 4,02 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 24 0,100 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,62 1,61 1,57 1,54 0,050 2,25 2,18 2,11 2,03 1,97 1,94 1,89 1,86 1,84 1,79 1,74 0,025 2,64 2,54 2,44 2,33 2,26 2,21 2,15 2,11 2,08 2,01 1,94 0,010 3,17 3,03 2,89 2,74 2,64 2,58 2,49 2,44 2,40 2,31 2,22 0,001 4,64 4,39 4,14 3,87 3,71 3,59 3,45 3,36 3,29 3,14 2,99 25 0,100 1,87 1,82 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,61 1,59 1,56 1,52 0,050 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,82 1,77 1,72 0,025 2,61 2,51 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,08 2,05 1,98 1,91 0,010 3,13 2,99 2,85 2,70 2,60 2,54 2,45 2,40 2,36 2,27 2,18 0,001 4,56 4,31 4,06 3,79 3,63 3,52 3,37 3,28 3,22 3,06 2,91 26 0,100 1,86 1,81 1,76 1,71 1,67 1,65 1,61 1,59 1,58 1,54 1,51 0,050 2,22 2,15 2,07 1,99 1,94 1,90 1,85 1,82 1,80 1,75 1,70 0,025 2,59 2,49 2,39 2,28 2,21 2,16 2,09 2,05 2,03 1,95 1,89 0,010 3,09 2,96 2,81 2,66 2,57 2,50 2,42 2,36 2,33 2,23 2,14 0,001 4,48 4,24 3,99 3,72 3,56 3,44 3,30 3,21 3,15 2,99 2,84 27 0,100 1,85 1,80 1,75 1,70 1,66 1,64 1,60 1,58 1,57 1,53 1,50 0,050 2,20 2,13 2,06 1,97 1,92 1,88 1,84 1,81 1,79 1,73 1,68 0,025 2,57 2,47 2,36 2,25 2,18 2,13 2,07 2,03 2,00 1,93 1,86 0,010 3,06 2,93 2,78 2,63 2,54 2,47 2,38 2,33 2,29 2,20 2,11 0,001 4,41 4,17 3,92 3,66 3,49 3,38 3,23 3,14 3,08 2,92 2,78 28 0,100 1,84 1,79 1,74 1,69 1,65 1,63 1,59 1,57 1,56 1,52 1,48 0,050 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,79 1,77 1,71 1,66 0,025 2,55 2,45 2,34 2,23 2,16 2,11 2,05 2,01 1,98 1,91 1,84 0,010 3,03 2,90 2,75 2,60 2,51 2,44 2,35 2,30 2,26 2,17 2,08 0,001 4,35 4,11 3,86 3,60 3,43 3,32 3,18 3,09 3,02 2,86 2,72 29 0,100 1,83 1,78 1,73 1,68 1,64 1,62 1,58 1,56 1,55 1,51 1,47 0,050 2,18 2,10 2,03 1,94 1,89 1,85 1,81 1,77 1,75 1,70 1,65 0,025 2,53 2,43 2,32 2,21 2,14 2,09 2,03 1,99 1,96 1,89 1,82 0,010 3,00 2,87 2,73 2,57 2,48 2,41 2,33 2,27 2,23 2,14 2,05 0,001 4,29 4,05 3,80 3,54 3,38 3,27 3,12 3,03 2,97 2,81 2,66 30 0,100 1,82 1,77 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,55 1,54 1,50 1,46 0,050 2,16 2,09 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,76 1,74 1,68 1,63 0,025 2,51 2,41 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,97 1,94 1,87 1,80 0,010 2,98 2,84 2,70 2,55 2,45 2,39 2,30 2,25 2,21 2,11 2,02 0,001 4,24 4,00 3,75 3,49 3,33 3,22 3,07 2,98 2,92 2,76 2,61 40 0,100 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,48 1,47 1,42 1,38 0,050 2,08 2,00 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,66 1,64 1,58 1,52 0,025 2,39 2,29 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,83 1,80 1,72 1,65 0,010 2,80 2,66 2,52 2,37 2,27 2,20 2,11 2,06 2,02 1,92 1,82 0,001 3,87 3,64 3,40 3,14 2,98 2,87 2,73 2,64 2,57 2,41 2,25 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 0,100 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 0,050 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 0,025 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 0,010 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 0,001 12,22 7,96 6,34 5,46 4,90 4,51 4,22 4,00 3,82 60 0,100 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 0,050 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 0,025 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 0,010 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 0,001 11,97 7,77 6,17 5,31 4,76 4,37 4,09 3,86 3,69 100 0,100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 0,050 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 0,025 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 0,010 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 0,001 11,50 7,41 5,86 5,02 4,48 4,11 3,83 3,61 3,44 200 0,100 2,73 2,33 2,11 1,97 1,88 1,80 1,75 1,70 1,66 0,050 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 0,025 5,10 3,76 3,18 2,85 2,63 2,47 2,35 2,26 2,18 0,010 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 0,001 11,15 7,15 5,63 4,81 4,29 3,92 3,65 3,43 3,26 1.000 0,100 2,71 2,31 2,09 1,95 1,85 1,78 1,72 1,68 1,64 0,050 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 0,025 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 0,010 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 0,001 10,89 6,96 5,46 4,65 4,14 3,78 3,51 3,30 3,13 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 50 0,100 1,73 1,68 1,63 1,57 1,53 1,50 1,46 1,44 1,42 1,38 1,33 0,050 2,03 1,95 1,87 1,78 1,73 1,69 1,63 1,60 1,58 1,51 1,45 0,025 2,32 2,22 2,11 1,99 1,92 1,87 1,80 1,75 1,72 1,64 1,56 0,010 2,70 2,56 2,42 2,27 2,17 2,10 2,01 1,95 1,91 1,80 1,70 0,001 3,67 3,44 3,20 2,95 2,79 2,68 2,53 2,44 2,38 2,21 2,05 60 0,100 1,71 1,66 1,60 1,54 1,50 1,48 1,44 1,41 1,40 1,35 1,30 0,050 1,99 1,92 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,56 1,53 1,47 1,40 0,025 2,27 2,17 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,70 1,67 1,58 1,49 0,010 2,63 2,50 2,35 2,20 2,10 2,03 1,94 1,88 1,84 1,73 1,62 0,001 3,54 3,32 3,08 2,83 2,67 2,55 2,41 2,32 2,25 2,08 1,92 100 0,100 1,66 1,61 1,56 1,49 1,45 1,42 1,38 1,35 1,34 1,28 1,22 0,050 1,93 1,85 1,77 1,68 1,62 1,57 1,52 1,48 1,45 1,38 1,30 0,025 2,18 2,08 1,97 1,85 1,77 1,71 1,64 1,59 1,56 1,46 1,36 0,010 2,50 2,37 2,22 2,07 1,97 1,89 1,80 1,74 1,69 1,57 1,45 0,001 3,30 3,07 2,84 2,59 2,43 2,32 2,17 2,08 2,01 1,83 1,64 200 0,100 1,63 1,58 1,52 1,46 1,41 1,38 1,34 1,31 1,29 1,23 1,16 0,050 1,88 1,80 1,72 1,62 1,56 1,52 1,46 1,41 1,39 1,30 1,21 0,025 2,11 2,01 1,90 1,78 1,70 1,64 1,56 1,51 1,47 1,37 1,25 0,010 2,41 2,27 2,13 1,97 1,87 1,79 1,69 1,63 1,58 1,45 1,30 0,001 3,12 2,90 2,67 2,42 2,26 2,15 2,00 1,90 1,83 1,64 1,43 1.000 0,100 1,61 1,55 1,49 1,43 1,38 1,35 1,30 1,27 1,25 1,18 1,08 0,050 1,84 1,76 1,68 1,58 1,52 1,47 1,41 1,36 1,33 1,24 1,11 0,025 2,06 1,96 1,85 1,72 1,64 1,58 1,50 1,45 1,41 1,29 1,13 0,010 2,34 2,20 2,06 1,90 1,79 1,72 1,61 1,54 1,50 1,35 1,16 0,001 2,99 2,77 2,54 2,30 2,14 2,02 1,87 1,77 1,69 1,49 1,22 Las entradas numéricas representan la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar esté entre 0 y z donde z = x – μ σ . Distribución de probabilidad normal estándar: tabla Z Distribución normal estándar z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 Distribución de la t de Student Valores críticos superiores de la distribución t de Student con v grados de libertad Para las probabilidades seleccionadas, a , la tabla muestra los valores t v, a tales que P ( t v > t v, a ) = a , donde t v es una variable aleatoria t de Student con v grados de libertad. Por ejemplo, la probabilidad es 0,10 de que una variable aleatoria t de Student con 10 grados de libertad supere 1,372. Probabilidad de superar el valor crítico v 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,313 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,782 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,499 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,296 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,143 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,024 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,929 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 26 1,315 1.706* 2,056 2,479 2,779 3,435 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, septiembre de 2011. Distribución de la probabilidad χ 2 Área a la derecha del valor crítico de χ 2 df 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215 80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321 90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299 100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169 Conjuntos de datos Tiempos de vuelta Las siguientes tablas proporcionan los tiempos de vuelta del libro de registro de Terri Vogel. Los tiempos se registran en segundos para las vueltas de 2,5 millas completadas en una serie de carreras y carreras de práctica. Tiempos de vuelta de carrera (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Carrera 1 135 130 131 132 130 131 133 Carrera 2 134 131 131 129 128 128 129 Carrera 3 129 128 127 127 130 127 129 Carrera 4 125 125 126 125 124 125 125 Carrera 5 133 132 132 132 131 130 132 Carrera 6 130 130 130 129 129 130 129 Carrera 7 132 131 133 131 134 134 131 Carrera 8 127 128 127 130 128 126 128 Carrera 9 132 130 127 128 126 127 124 Carrera 10 135 131 131 132 130 131 130 Carrera 11 132 131 132 131 130 129 129 Carrera 12 134 130 130 130 131 130 130 Carrera 13 128 127 128 128 128 129 128 Carrera 14 132 131 131 131 132 130 130 Carrera 15 136 129 129 129 129 129 129 Carrera 16 129 129 129 128 128 129 129 Carrera 17 134 131 132 131 132 132 132 Carrera 18 129 129 130 130 133 133 127 Carrera 19 130 129 129 129 129 129 128 Carrera 20 131 128 130 128 129 130 130 Tiempos de vuelta de práctica (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Práctica 1 142 143 180 137 134 134 172 Práctica 2 140 135 134 133 128 128 131 Práctica 3 130 133 130 128 135 133 133 Práctica 4 141 136 137 136 136 136 145 Práctica 5 140 138 136 137 135 134 134 Práctica 6 142 142 139 138 129 129 127 Práctica 7 139 137 135 135 137 134 135 Práctica 8 143 136 134 133 134 133 132 Práctica 9 135 134 133 133 132 132 133 Práctica 10 131 130 128 129 127 128 127 Práctica 11 143 139 139 138 138 137 138 Práctica 12 132 133 131 129 128 127 126 Práctica 13 149 144 144 139 138 138 137 Práctica 14 133 132 137 133 134 130 131 Práctica 15 138 136 133 133 132 131 131 Precios de las acciones La siguiente tabla recoge los precios de las acciones de la oferta pública inicial (OPI) de todos los valores de 1999 que al menos duplicaron su valor durante el primer día de cotización. Precios de oferta de la OPI $17,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $26,00 $20,00 $22,00 $14,00 $15,00 $22,00 $18,00 $18,00 $21,00 $21,00 $19,00 $15,00 $21,00 $18,00 $17,00 $15,00 $25,00 $14,00 $30,00 $16,00 $10,00 $20,00 $12,00 $16,00 $17,44 $16,00 $14,00 $15,00 $20,00 $20,00 $16,00 $17,00 $16,00 $15,00 $15,00 $19,00 $48,00 $16,00 $18,00 $9,00 $18,00 $18,00 $20,00 $8,00 $20,00 $17,00 $14,00 $11,00 $16,00 $19,00 $15,00 $21,00 $12,00 $8,00 $16,00 $13,00 $14,00 $15,00 $14,00 $13,41 $28,00 $21,00 $17,00 $28,00 $17,00 $19,00 $16,00 $17,00 $19,00 $18,00 $17,00 $15,00 $14,00 $21,00 $12,00 $18,00 $24,00 $15,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $24,00 $20,00 $14,00 $14,00 $15,00 $14,00 $19,00 $16,00 $38,00 $20,00 $24,00 $16,00 $8,00 $18,00 $17,00 $16,00 $15,00 $7,00 $19,00 $12,00 $8,00 $23,00 $12,00 $18,00 $20,00 $21,00 $34,00 $16,00 $26,00 $14,00 Referencias Datos recopilados por Jay R. Ritter, de la Universidad de Florida, con datos de Securities Data Co. y Bloomberg .", "section": "Cuadros estadísticos", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas Oraciones en español escritas matemáticamente Cuando en español dice: Interprete esto como: X es, al menos, 4. X ≥ 4 El mínimo de X es 4. X ≥ 4 X no es inferior a 4. X ≥ 4 X es mayor o igual a 4. X ≥ 4 X es como máximo 4. X ≤ 4 El máximo de X es 4. X ≤ 4 X no es más que 4. X ≤ 4 X es menor o igual a 4. X ≤ 4 X no excede de 4. X ≤ 4 X es mayor que 4. X > 4 X es más de 4. X > 4 X supera a 4. X > 4 X es inferior a 4. X < 4 Hay menos X que 4. X < 4 X es 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X no es 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X es diferente de 4. X ≠ 4 Símbolos y su significado Símbolos y su significado Capítulo (1 er uso) Símbolo Se pronuncia Significado Muestreo y datos La raíz cuadrada de igual Muestreo y datos π Pi 3,14159... (un número específico) Estadística descriptiva Q 1 Cuartil uno el primer cuartil Estadística descriptiva Q 2 Cuartil dos el segundo cuartil Estadística descriptiva Q 3 Cuartil tres el tercer cuartil Estadística descriptiva IQR rango intercuartil Q 3 – Q 1 = IQR Estadística descriptiva x – barra de x media muestral Estadística descriptiva μ mu media de la población Estadística descriptiva s s desviación típica de la muestra Estadística descriptiva s 2 s al cuadrado varianza de la muestra Estadística descriptiva σ sigma desviación típica de la población Estadística descriptiva σ 2 sigma al cuadrado varianza de la población Estadística descriptiva Σ sigma mayúscula suma Temas de probabilidad { } corchetes notación de conjunto Temas de probabilidad S S espacio muestral Temas de probabilidad A Evento A evento A Temas de probabilidad P ( A ) probabilidad de A probabilidad de que ocurra A Temas de probabilidad P ( A | B ) probabilidad de A dado que B probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B Temas de probabilidad P ( A ∪ B ) probabilidad de A o B probabilidad de que se produzca A o B o ambos Temas de probabilidad P ( A ∩ B ) probabilidad de A y B probabilidad de que ocurran tanto A como B (al mismo tiempo) Temas de probabilidad A ′ A prima, complemento de A complemento de A, no A Temas de probabilidad P ( A ') probabilidad de complemento de A igual Temas de probabilidad G 1 verde en la primera selección igual Temas de probabilidad P ( G 1 ) probabilidad de verde en la primera selección igual Variables aleatorias discretas PDF probabilidad de función de densidad igual Variables aleatorias discretas X X la variable aleatoria X Variables aleatorias discretas X ~ la distribución de X igual Variables aleatorias discretas ≥ mayor que o igual a igual Variables aleatorias discretas ≤ menor que o igual a igual Variables aleatorias discretas = igual a igual Variables aleatorias discretas ≠ no es igual a igual Variables aleatorias continuas f ( x ) f de x función de x Variables aleatorias continuas pdf probabilidad de función de densidad igual Variables aleatorias continuas U distribución uniforme igual Variables aleatorias continuas Exp distribución exponencial igual Variables aleatorias continuas f ( x ) = f de x es igual a igual Variables aleatorias continuas m m tasa de decaimiento (para la dist. exp.) La distribución normal N distribución normal igual La distribución normal z puntuación z igual La distribución normal Z dist. normal estándar igual El teorema del límite central X – Barra de X la variable aleatoria de la barra de X El teorema del límite central μ x – media de las barras X promedio de las barras X El teorema del límite central σ x – desviación típica de las barras X igual Intervalos de confianza CL nivel de confianza igual Intervalos de confianza CI intervalo de confianza igual Intervalos de confianza EBM límite de error para una media igual Intervalos de confianza EBP límite de error para una proporción igual Intervalos de confianza t Distribución t de Student igual Intervalos de confianza df grados de libertad igual Intervalos de confianza t α 2 t de Student con área α /2 en la cola derecha igual Intervalos de confianza p ′ p prima proporción de aciertos de la muestra Intervalos de confianza q ′ q prima proporción de fallos de la muestra Prueba de hipótesis H 0 H -nada, H -sub 0 hipótesis nula Prueba de hipótesis H a H-a , H -sub a hipótesis alterna Prueba de hipótesis H 1 H -1, H -sub 1 hipótesis alterna Prueba de hipótesis α alfa probabilidad de error tipo I Prueba de hipótesis β beta probabilidad de error tipo II Prueba de hipótesis X 1 – – X 2 ¯ Barra de X 1 menos barra de X 2 diferencia en las medias muestrales Prueba de hipótesis μ 1 – μ 2 mu -1 menos mu -2 diferencia de medias de la población Prueba de hipótesis P ′ 1 – P ′ 2 P 1-primo menos P 2-primo diferencia en las proporciones de la muestra Prueba de hipótesis p 1 – p 2 p 1 menos p 2 diferencia en las proporciones de la población Distribución chi-cuadrado Χ 2 Ky -cuadrado chi-cuadrado Distribución chi-cuadrado O Observado Frecuencia observada Distribución chi-cuadrado E Esperado Frecuencia esperada Regresión lineal y correlación y = a + bx y es igual a a más b–x ecuación de una línea recta Regresión y correlación lineal y ^ estimador de y valor estimado de y Regresión lineal y correlación r coeficiente de correlación de la muestra igual Regresión lineal y correlación ε término de error para una línea de regresión igual Regresión lineal y correlación SSE Suma de errores al cuadrado igual Distribución F y ANOVA F Cociente F Cociente F Fórmulas Símbolos que debe conocer Población Muestra N Tamaño n μ Media x _ σ 2 Varianza s 2 σ Desviación típica s p Proporción p ′ Fórmulas de conjuntos de datos individuales Población Muestra μ = E ( x ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i ) Media aritmética x – = 1 n ∑ i = 1 n ( x i ) Media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n X i ) 1 n Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 , Q 1 = ( n + 1 ) 4 Rango intercuartil I Q R = Q 3 – Q 1 Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 , Q 1 = ( n + 1 ) 4 σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i – μ ) 2 Varianza s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i – x _ ) 2 Fórmulas de conjuntos de datos individuales Población Muestra μ = E ( x ) = 1 N ∑ i = 1 N ( m i · f i ) Media aritmética x – = 1 n ∑ i = 1 n ( m i · f i ) Media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n X i ) 1 n σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( m i – μ ) 2 · f i Varianza s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( m i – x _ ) 2 · f i C V = σ μ · 100 Coeficiente de variación C V = s x _ · 100 Reglas básicas de la probabilidad P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) · P ( B ) Regla de multiplicación P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Regla de adición P ( A ∩ B ) = P ( A ) · P ( B ) o P ( A | B ) = P ( A ) Prueba de independencia Fórmulas de distribución hipergeométrica n C x = ( n x ) = n ! x ! ( n – x ) ! Ecuación combinatoria P ( x ) = ( A x ) ( N – A n – x ) ( N n ) Ecuación de probabilidad E ( X ) = μ = n p Media σ 2 = ( N – n N – 1 ) n p ( q ) Varianza Fórmulas de distribución binomial P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! p x ( q ) n – x Función de densidad de probabilidad E ( X ) = μ = n p Media aritmética σ 2 = n p ( q ) Varianza Fórmulas de distribución geométrica P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 ( p ) Probabilidad cuando x es el primer éxito. Probabilidad cuando x es el número de fracasos antes del primer éxito P ( X = x ) = ( 1 – p ) x ( p ) μ = 1 p Media Media μ = 1 – p p σ 2 = ( 1 – p ) p 2 Varianza Varianza σ 2 = ( 1 – p ) p 2 Fórmulas de la distribución de Poisson P ( x ) = e – μ μ x x ! Ecuación de probabilidad E ( X ) = μ Media σ 2 = μ Varianza Fórmulas de distribución uniforme f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b PDF E ( X ) = μ = a + b 2 Media σ 2 = ( b – a ) 2 12 Varianza Fórmulas de distribución exponencial P ( X ≤ x ) = 1 – e – m x Probabilidad acumulada E ( X ) = μ = 1 m o m = 1 μ Media y factor de decaimiento σ 2 = 1 m 2 = μ 2 Varianza La siguiente página de fórmulas requiere el uso de la tecla \" Z \", \" t \", \" χ 2 \" o \" F \" tablas. Z = x – μ σ Transformación Z para la distribución normal Z = x – n p ′ n p ′ ( q ′ ) Aproximación normal a la binomial Probabilidad (ignora los subíndices) Prueba de hipótesis Intervalos de confianza [los símbolos entre corchetes equivalen al margen de error] (los subíndices indican la ubicación en las respectivas tablas de distribución) Z c = x – – μ 0 σ n Intervalo para la media de la población cuando se conoce sigma x – ± [ Z ( α / 2 ) σ n ] Z c = x – – μ 0 s n Intervalo para la media de la población cuando se desconoce sigma, pero n > 30 x – ± [ Z ( α / 2 ) s n ] t c = x – – μ 0 s n Intervalo para la media de la población cuando se desconoce sigma, pero n < 30 x – ± [ t ( n – 1 ) , ( α / 2 ) s n ] Z c = p ′ - p 0 p 0 q 0 n Intervalo para la proporción de la población p ′ ± [ Z ( α / 2 ) p ′ q ′ n ] t c = d – - δ 0 s d n Intervalo de diferencia entre dos medias con pares emparejados d – ± [ t ( n – 1 ) , ( α / 2 ) s d n ] donde s d es la desviación de las diferencias Z c = ( x 1 – - x 2 – ) – δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 Intervalo para la diferencia entre dos medias cuando se conocen los sigmas ( x 1 – - x 2 – ) ± [ Z ( α / 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ] t c = ( x ¯ 1 - x ¯ 2 ) - δ 0 ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) Intervalo para la diferencia entre dos medias con varianzas iguales cuando los sigmas son desconocidos ( x ¯ 1 - x ¯ 2 ) ± [ t d f , ( α / 2 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) ] donde d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) Z c = ( p ′ 1 - p ′ 2 ) – δ 0 p ′ 1 ( q ′ 1 ) n 1 + p ′ 2 ( q ′ 2 ) n 2 Intervalo de diferencia entre dos proporciones de población ( p ′ 1 - p ′ 2 ) ± [ Z ( α / 2 ) p ′ 1 ( q ′ 1 ) n 1 + p ′ 2 ( q ′ 2 ) n 2 ] χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 Pruebas de GOF, independencia y homogeneidad χ c 2 = Σ ( O – E ) 2 E donde O = valores observados y E = valores esperados F c = s 1 2 s 2 2 Donde s 1 2 es la varianza de la muestra que es la mayor de las dos varianzas de la muestra Las 3 fórmulas siguientes sirven para determinar el tamaño de la muestra con intervalos de confianza. (nota: E representa el margen de error) n = Z ( a 2 ) 2 σ 2 E 2 Utilizar cuando se conoce sigma E = x ¯ – μ n = Z ( a 2 ) 2 ( 0,25 ) E 2 Utilizar cuando p ′ es desconocido E = p ′ – p n = Z ( a 2 ) 2 [ p ′ ( q ′ ) ] E 2 Utilizar cuando p ′ es desconocido E = p ′ – p Fórmulas de regresión lineal simple para y = a + b ( x ) r = Σ [ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) ] Σ ( x – x ¯ ) 2 * Σ ( y – y ¯ ) 2 = S x y S x S y = S S R S S T Coeficiente de correlación b = Σ [ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) ] Σ ( x – x ¯ ) 2 = S x y S S x = r y , x ( s y s x ) Coeficiente b (pendiente) a = y ¯ – b ( x ¯ ) intersección en y s a 2 = Σ ( y i – y ^ i ) 2 n – k = Σ i = 1 n e i 2 n – k Estimación de la varianza del error S b = s a 2 ( x i – x ¯ ) 2 = s a 2 ( n – 1 ) s x 2 Error estándar del coeficiente b t c = b – β 0 s b Prueba de hipótesis para el coeficiente β b ± [ t n – 2 , α / 2 S b ] Intervalo para el coeficiente β y ^ ± [ t α / 2 * s e ( 1 n + ( x p – x ¯ ) 2 s x ) ] Intervalo para el valor esperado de y y ^ ± [ t α / 2 * s e ( 1 + 1 n + ( x p – x ¯ ) 2 s x ) ] Intervalo de predicción para un individuo y Fórmulas de ANOVA S S R = Σ i = 1 n ( y ^ i – y ¯ ) 2 Regresión de la suma de los cuadrados S S E = Σ i = 1 n ( y ^ i – y ¯ i ) 2 Error de la suma de los cuadrados S S T = Σ i = 1 n ( y i – y ¯ ) 2 Suma de cuadrados total R 2 = S S R S S T Coeficiente de determinación A continuación se muestra el desglose de una tabla ANOVA de una vía para la regresión lineal. Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Medias cuadráticas Cociente F Regresión S S R 1 o k – 1 M S R = S S R d f R F = M S R M S E Error S S E n – k M S E = S S E d f E Total S S T n – 1", "section": "Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas", "book": "Introducción a la estadística empresarial", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/introducción-estadística-empresarial"}
{"text": "Prefacio Acerca de OpenStax OpenStax forma parte de la Universidad de Rice, una empresa benéfica sin ánimo de lucro 501(c)(3). Como iniciativa educativa, nuestra misión es transformar el aprendizaje para que la educación funcione para todos los estudiantes. A través de nuestras asociaciones con organizaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras empresas de recursos educativos, estamos derribando las barreras más comunes para el aprendizaje, ya que creemos que todo el mundo debe y puede tener acceso al conocimiento. Acerca de OpenStax Resources Personalización Precálculo 2ed cuenta con una licencia internacional de Creative Commons Atribución 4.0 (CC BY 4.0)., lo que significa que puede distribuir, remezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada se puede poner a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en openstax.org para obtener más información. Atribución del contenido de arte En Precálculo 2ed , la mayoría de las fotos e ilustraciones de terceros contienen la atribución a su creador, al titular de los derechos, a la plataforma anfitriona o a la licencia dentro del pie de foto. Dado que el arte tiene una licencia abierta, cualquiera puede reutilizarlo siempre que proporcione la misma atribución a su fuente original. Para mayor legibilidad y fluidez del contenido, las expresiones matemáticas que se representan como arte no incluyen la atribución en el texto. Se asume OpenStax desarrolló este arte, el cual puede reutilizarse con la licencia CC-BY con atribución. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, al igual que cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en línea, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en openstax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en openstax.org. Formato Usted puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de openstax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Acerca de Precálculo 2ed Precálculo 2ed es adaptable y se ajusta a las necesidades de una variedad de cursos de precálculo. Se trata de un texto completo que cubre más terreno que un curso típico de precálculo de nivel universitario de uno o dos semestres. El contenido está organizado por objetivos de aprendizaje claramente definidos, e incluye ejemplos trabajados que demuestran enfoques de resolución de problemas de forma accesible. Cobertura y alcance Precálculo 2ed contiene doce capítulos, divididos a grandes rasgos en tres grupos. Los capítulos 1 a 4 analizan varios tipos de funciones que proporcionan una base para el resto del curso. Capítulo 1: Funciones Capítulo 2: Funciones lineales Capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Los capítulos 5 a 8 se centran en la Trigonometría. En Precálculo 2ed nos acercamos a la trigonometría al introducir los ángulos y el círculo unitario, a diferencia del enfoque del triángulo rectángulo, que se utiliza más comúnmente en los cursos de álgebra y trigonometría de la universidad. Capítulo 5: Funciones trigonométricas Capítulo 6: Funciones periódicas Capítulo 7: Identidades trigonométricas y ecuaciones Capítulo 8: Otras aplicaciones de la Trigonometría Los capítulos 9-12 presentan algunos temas avanzados de precálculo que se basan en los temas presentados en los capítulos 1-8. La mayoría de los programas de estudios de precálculo comprenden algunos de los temas de estos capítulos, pero pocos los incluyen todos. Los instructores pueden seleccionar el material que necesiten de este grupo de capítulos, ya que no son acumulativos. Capítulo 9: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Capítulo 10: Geometría analítica Capítulo 11: Secuencia, probabilidad y teoría del recuento Capítulo 12: Introducción a Cálculo Todos los capítulos están divididos en varias secciones, cuyos títulos se aprecian en el índice. Visión general del desarrollo Precálculo 2ed es el producto de un esfuerzo de colaboración de un grupo de autores, editores e instructores dedicados, cuya pasión colectiva por este proyecto ha dado lugar a un texto notablemente unificado en el propósito y la voz. Agradecemos especialmente a nuestro autor principal, Jay Abramson, de la Universidad Estatal de Arizona, quien aportó la visión general del libro y supervisó el desarrollo de todos y cada uno de los capítulos. Asimismo, elaboró el proyecto inicial, leyó numerosos borradores y asimiló las revisiones de campo en planes de revisión procesables para nuestros autores y editores. Los primeros ocho capítulos están construidos sobre la base de Precálculo: una investigación de las funciones que es obra de David Lippman y Melonie Rasmussen. La redacción y el desarrollo de los capítulos 9-12 estuvieron a cargo de nuestro experto y experimentado equipo de autores . Los doce capítulos siguen un diseño instructivo novedoso e innovador, y se ha tenido mucho cuidado en mantener una voz coherente de principio a fin. Se introdujeron nuevas características para dar cuerpo a la instrucción, todos los gráficos se rehicieron con un estilo más contemporáneo y gran parte del contenido se revisó, sustituyó o complementó para que el texto esté más en consonancia con los enfoques principales de la enseñanza del precálculo. Exactitud del contenido Entendemos que la precisión y la exactitud son imperativos en matemáticas, y emprendimos un programa dedicado a la exactitud dirigido por profesores experimentados. Los ejemplos, el arte, los problemas y las soluciones fueron objeto de revisión por el cuerpo docente, mientras que otro equipo evaluó la clave de respuestas y las soluciones. El texto también se beneficia de años de uso por parte de miles de profesores y estudiantes. Un aspecto fundamental en la revisión de la segunda edición fue consolidar y garantizar la coherencia con respecto a las erratas y correcciones que se han aplicado durante el amplio uso de la serie y su incorporación a los sistemas de tareas. Cambios a la segunda edición La revisión de Precálculo 2ed se centró en la claridad y la precisión matemática, así como en la inclusión. Varios expertos de la facultad revisaron los ejemplos, los ejercicios y las soluciones. Se tuvieron en cuenta todas las sugerencias de mejora y las actualizaciones de las erratas, impulsadas por el cuerpo docente y los estudiantes de varios miles de universidades. Todo esto se ha unificado en los distintos formatos del texto. OpenStax y nuestros autores son conscientes de las dificultades que plantea el cambio de número de problemas y ejercicios cuando se revisan los libros de texto. Para que la transición a la segunda edición sea lo más fluida posible, hemos minimizado los cambios en los números de los ejercicios. La revisión también se centró en apoyar experiencias de aprendizaje inclusivas e invitadoras. Las narrativas introductorias, los ejemplos y los contextos de los problemas, e incluso muchos de los nombres utilizados para los personajes ficticios en el texto se revisaron dentro de un marco de diversidad, equidad e inclusión. Varios cientos de revisiones resultantes mejoran el equilibrio y la pertinencia para los estudiantes que utilizan el texto, al tiempo que mantienen una variedad de aplicaciones a diversas carreras y campos académicos. En particular, las explicaciones sobre los aspectos científicos e históricos de las matemáticas se han ampliado para incluir a más colaboradores. Por ejemplo, los autores añadieron un contexto histórico y multicultural adicional en relación con lo que se conoce ampliamente como el triángulo de Pascal, y también incorporaron detalles sobre el proceso internacional de descifrado de la máquina Enigma (incluso el papel de los estudiantes universitarios polacos). Varias de las narraciones de apertura de los capítulos y sus referencias son completamente nuevas. Asimismo, se han revisado específicamente los contextos de todos los capítulos en busca de la equidad en la representación y la connotación de género. Fundamentos y características pedagógicas Objetivos de aprendizaje Cada capítulo está dividido en varias secciones (o módulos), cada una de las cuales está organizada en torno a un conjunto de objetivos de aprendizaje. Los objetivos de aprendizaje se enumeran explícitamente al principio de cada sección y son el punto focal de cada elemento didáctico. Texto narrativo El texto narrativo se utiliza para introducir conceptos, términos y definiciones clave a fin de proporcionar el contexto del mundo real y para proporcionar transiciones entre temas y ejemplos. A lo largo de este libro, nos basamos en algunas convenciones básicas para destacar las ideas más importantes: Los términos clave aparecen en negrita, normalmente cuando se introducen por primera vez o cuando se definen formalmente. Los conceptos y definiciones clave se indican en un recuadro azul para facilitar su consulta. Ejemplos Cada objetivo de aprendizaje se apoya en uno o más ejemplos trabajados, los cuales demuestran los enfoques de resolución de problemas que los estudiantes deben dominar. Por lo general, incluimos varios ejemplos para cada objetivo de aprendizaje con el fin de modelar diferentes enfoques para el mismo tipo de problema, o para introducir problemas similares de complejidad creciente. En total, hay más de 650 ejemplos, es decir, un promedio de unos 55 por capítulo. Todos los ejemplos siguen un formato sencillo de dos o tres partes. En primer lugar, planteamos un problema o una pregunta. A continuación, demostramos la solución, al explicar los pasos a lo largo del camino. Por último (en el caso de algunos ejemplos), concluimos con un análisis en el que se reflexiona sobre las implicaciones más amplias de la solución que acabamos de mostrar. Figuras Precálculo 2ed contiene más de 2.000 figuras e ilustraciones, la gran mayoría de las cuales son gráficos y diagramas. El arte en todo el texto se adhiere a un estilo claro y sobrio, atrayendo la mirada hacia la información más importante de cada figura y minimizando las distracciones visuales. El contraste de colores se emplea con discreción para distinguir las diferentes funciones o características de un gráfico. Características de apoyo Varios elementos, cada uno de ellos marcado por un ícono distintivo, sirven de apoyo a los ejemplos. El elemento Cómo es una lista de pasos necesarios para resolver un determinado tipo de problema. El \"cómo\" precede a un ejemplo, que pasa a demostrar los pasos en acción. El elemento Ejercicio sigue inmediatamente a uno o varios ejemplos relacionados, de manera tal que el estudiante tenga la oportunidad inmediata de resolver un problema similar. En la versión del texto en PDF y en la versión de la vista web, las respuestas a los ejercicios se encuentran en la clave de respuestas. Las preguntas y respuestas aparecen en cualquier parte del texto. Sin embarglo, lo más frecuente es que sigan a un ejemplo. Esta función se adelanta a los conceptos erróneos al plantear una pregunta común de sí o no, seguida de una respuesta y una explicación detalladas. El ícono Medios aparece en la conclusión de cada sección justo antes de los ejercicios de la sección. Este ícono marca una lista de enlaces a tutoriales de video en línea que refuerzan los conceptos y habilidades introducidos en la sección. Aunque hemos seleccionado tutoriales que se ajustan estrechamente a nuestros objetivos de aprendizaje, no los hemos producido, como tampoco se han producido ni adaptado específicamente para acompañar a Precálculo 2ed . Ejercicios de la sección Las secciones de cada capítulo concluyen con un conjunto de ejercicios muy completos que pueden asignarse como deberes o utilizarse selectivamente para la práctica guiada. Con más de 5.900 ejercicios a lo largo de los 12 capítulos, los profesores pueden tener mucho de donde elegir. Los ejercicios de la sección están organizados por tipo de pregunta, y generalmente aparecen en el siguiente orden: Las preguntas verbales evalúan la comprensión conceptual de los términos y conceptos clave. Los problemas algebraicos requieren que los estudiantes apliquen las manipulaciones algebraicas demostradas en la sección. Los problemas gráficos evalúan la capacidad de los estudiantes para interpretar o producir un gráfico. Los problemas numéricos requieren que el estudiante realice cálculos o computaciones. Los problemas tecnológicos fomentan la exploración mediante el uso de una herramienta gráfica, ya sea para visualizar o verificar los resultados algebraicos o para resolver los problemas mediante una alternativa a los métodos demostrados en la sección. Las extensiones plantean problemas más desafiantes que los ejemplos demostrados en la sección. Requieren que los estudiantes sinteticen múltiples objetivos de aprendizaje o apliquen el pensamiento crítico para resolver problemas complejos. Las aplicaciones en el mundo real presentan escenarios de problemas realistas de campos como la física, la geología, la biología, las finanzas y las ciencias sociales. Características del repaso del capítulo Cada capítulo concluye con un repaso de los aspectos más importantes, así como con problemas de práctica adicionales que los estudiantes pueden utilizar para preparar los exámenes. Los términos clave ofrecen una definición formal de cada término en negrita del capítulo. Las ecuaciones clave son una recopilación de fórmulas, teoremas y ecuaciones de forma estándar. Los conceptos clave resumen las ideas más importantes introducidas en cada sección, y se enlazan con los correspondientes ejemplos, en caso de que los estudiantes necesiten repasar. Los ejercicios de repaso del capítulo constan de 40 a 80 problemas prácticos que recuerdan los conceptos más importantes de cada sección. La prueba de práctica abarca entre 25 y 50 problemas que evalúan los objetivos de aprendizaje más importantes del capítulo. Tenga en cuenta que el examen práctico no está organizado por secciones, y puede estar más orientado a los objetivos acumulativos que a los objetivos fundamentales que se abordan en las secciones iniciales. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para los estudiantes como para los instructores, incluso las Guías de inicio, el manual de soluciones del instructor y las diapositivas en PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en openstax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asoció con el Instituto para el Estudio de la Gestión del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus propios cursos, incluyendo auxiliares adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para llegar a los Community Hubs, visite www.oercommons.org/hubs/openstax. Socios tecnológicos Como aliados que facilitan la disponibilidad de materiales de aprendizaje de alta calidad, nuestros socios tecnológicos ofrecen herramientas opcionales de bajo costo que se integran con los libros de OpenStax. Para acceder a las opciones tecnológicas de su texto, visite la página de su libro en openstax.org. Sobre los autores Autor principal Jay Abramson, Arizona State University (ASU) Jay Abramson lleva más de 35 años enseñando Precálculo, los últimos 20 en la Arizona State University, donde es profesor principal en la Escuela de Matemáticas y Estadística. Sus logros en la ASU abarcan la elaboración conjunta de los primeros cursos de matemáticas híbridos y en línea de la universidad, así como una amplia biblioteca de clases y tutoriales en video. Además, fue autor colaborador de dos de los programas de matemáticas de Pearson Education, NovaNet Precálculo y Trigonometría. Antes de incorporarse a la ASU, Jay dictó cátedra en el Texas State Technical College y en el Amarillo Collegeo. Recibió el premio al Profesor del Año en ambas instituciones. Autores colaboradores Valeree Falduto, Palm Beach State College Rachael Gross, Towson University David Lippman, Pierce College Melonie Rasmussen, Pierce College Rick Norwood, East Tennessee State University Nicholas Belloit, Florida State College Jacksonville Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Harold Whipple Christina Fernandez Revisores y consultores del profesorado Nina Alketa, Cecil College Kiran Bhutani, Catholic University of America Brandie Biddy, Cecil College Lisa Blank, Lyme Central School Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Jessica Bolz, The Bryn Mawr School Sheri Boyd, Rollins College Sarah Brewer, Alabama School of Math and Science Charles Buckley, St. Gregory's University Michael Cohen, Hofstra University Kenneth Crane, Texarkana College Rachel Cywinski, Alamo Colleges Nathan Czuba Srabasti Dutta, Ashford University Kristyanna Erickson, Notre Dame of Maryland Nicole Fernandez, Georgetown University / Kent State University David French, Tidewater Community College Douglas Furman, SUNY Ulster Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Erinn Izzo, Nicaragua Christian Academy John Jaffe Jerry Jared, Blue Ridge School Stan Kopec, Mount Wachusett Community College Kathy Kovacs Cynthia Landrigan, Erie Community College Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Joanne Manville, Bunker Hill Community College Karla McCavit, Albion College Cynthia McGinnis, Northwest Florida State College Lana Neal, University of Texas at Austin Rhonda Porter, Albany State University Steven Purtee, Valencia College William Radulovich, Florida State College Jacksonville Alice Ramos, Bethel College Nick Reynolds, Montgomery Community College Amanda Ross, A. A. Ross Consulting and Research, LLC Erica Rutter, Arizona State University Sutandra Sarkar, Georgia State University Willy Schild, Wentworth Institute of Technology Todd Stephen, Cleveland State University Scott Sykes, University of West Georgia Linda Tansil, Southeast Missouri State University John Thomas, College of Lake County Diane Valade, Piedmont Virginia Community College Allen Wolmer, Atlanta Jewish Academy", "section": "Prefacio", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Índice Standard and Poor's con dividendos reinvertidos (créditos \"toro\": modificación del trabajo de Prayitno Hadinata; créditos “gráfico”: modificación del trabajo de MeasuringWorth). Hacia el final del siglo XX, el valor de las acciones de las empresas de Internet y tecnología aumentó de forma espectacular. En consecuencia, el promedio bursátil de Standard and Poor's también subió. El gráfico anterior muestra el valor de esa inversión inicial de algo menos de 100 dólares a lo largo de 40 años. Muestra que una inversión que valía menos de 500 dólares hasta aproximadamente 1995 se disparó hasta unos 1.100 dólares a principios de 2000. Ese periodo de cinco años se conoció como la \"burbuja de las puntocom\" porque se formaron muchas empresas de Internet. Sin embargo, como suelen hacer las burbujas, la burbuja de las puntocom acabó por explotar. Muchas empresas crecieron demasiado deprisa y de repente quebraron. El resultado provocó el fuerte descenso representado en el gráfico a partir de finales de 2000. Observe que, al considerar este ejemplo, existe una relación definida entre el año y la media bursátil. Para cualquier año que elijamos, podemos determinar el valor correspondiente de la media bursátil. En este capítulo, exploraremos estos tipos de relaciones y sus propiedades.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones y notación de funciones Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones. Determinar si una relación representa una función La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango . Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero. { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 10 ) } El dominio es { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . El rango es { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } . Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada , o variable independiente , y se suele marcar con la letra minúscula x . Cada valor del rango se conoce también como valor de salida , o variable dependiente , y se suele marcar con letra minúscula y . Una función f es una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio . Es decir, no se repiten los valores x . Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio, { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , está emparejado con exactamente un elemento del rango, { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } . Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos \"par\" e \"impar\" con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como { ( impar , 1 ) , ( números , 2 ) , ( impar , 3 ) , ( números , 4 ) , ( impar , 5 ) } Observe que cada elemento en el dominio, { par, impar } no está emparejado con exactamente un elemento en el rango, { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Por ejemplo, el término \"impar\" corresponde a tres valores del rango, { 1 , 3 , 5 } y el término \"par\" corresponde a dos valores del rango, { 2 , 4 } . Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función. La compara las relaciones que son funciones y las que no lo son. (a) Esta relación es una función porque cada entrada está asociada a una única salida. Observe que las entradas q y r producen una salida n . (b) Esta relación también es una función. En este caso, cada entrada está asociada a una única salida. (c) Esta relación no es una función porque la entrada q se asocia a dos salidas diferentes. Función Una función es una relación en la que cada valor de entrada posible conduce exactamente a un valor de salida. Decimos: \"La salida es una función de la entrada\". Los valores de entrada constituyen el dominio , y los de salida , el rango . Cómo Dada una relación entre dos cantidades, determine si la relación es una función. Identifique los valores de entrada. Identifique los valores de salida. Si cada valor de entrada conduce a un solo valor de salida, clasifique la relación como una función. Si cualquier valor de entrada conduce a dos o más salidas, no clasifique la relación como una función. Cómo determinar si las listas de precios de los menús son funciones El menú de la cafetería, que se muestra en la , consta de artículos y sus precios. Ⓐ ¿El precio está en función del artículo? Ⓑ ¿El artículo está en función del precio? Ⓐ Empecemos por considerar la entrada como los elementos del menú. Los valores de salida son entonces los precios. Vea la . Cada artículo del menú tiene un solo precio, por lo que el precio está en función del artículo. Ⓑ Dos artículos del menú tienen el mismo precio. Si consideramos que los precios son los valores de entrada y los artículos son la salida, entonces el mismo valor de entrada podría tener más de una salida asociada. Vea la . Por lo tanto, el artículo no está en función del precio. Cómo determinar si las reglas de calificación de la clase son funciones En una clase particular de Matemáticas, el porcentaje global de la calificación corresponde a un promedio de calificaciones. ¿El promedio de calificaciones está en función del porcentaje de calificaciones? ¿Es el porcentaje de calificación una función de la media de las calificaciones? La muestra una posible regla para asignar puntos de calificación. Porcentaje de calificaciones 0 a 56 57 a 61 62 a 66 67 a 71 72 a 77 78 a 86 87 a 91 92 a 100 Promedio de calificaciones 0,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Para cualquier porcentaje de calificación obtenido, existe un promedio de calificación asociado, por lo que el promedio de calificación es una función del porcentaje de calificación. En otras palabras, si introducimos el porcentaje de calificación, la salida es un promedio de calificaciones específico. En el sistema de calificaciones dado, hay un rango de porcentajes que corresponden al mismo promedio de calificaciones. Por ejemplo, los estudiantes que reciben un promedio de 3,0 pueden tener una variedad de porcentajes de calificaciones que van desde 78 hasta 86. Por lo tanto, el porcentaje de calificaciones no está en función del promedio de calificaciones. Ejercicio La http://www.baseball-almanac.com/legendary/lisn100.shtml. Consultado el 24 mar 2014. enumera los cinco mejores jugadores de béisbol de todos los tiempos por orden de clasificación. Jugador Clasificación Babe Ruth 1 Willie Mays 2 Ty Cobb 3 Walter Johnson 4 Hank Aaron 5 Ⓐ ¿La clasificación está en función del nombre del jugador? Ⓑ ¿El nombre del jugador está en función de la clasificación? Ⓐ sí Ⓑ sí. (Nota: Si dos jugadores hubieran estado empatados, por ejemplo, en el 4.º puesto, el nombre no habría estado en función de la clasificación) Uso de la notación de función Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones. Para representar \"la altura es una función de la edad\", empezamos por identificar las variables descriptivas h para la altura y a para la edad. Las letras f , g , y h se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos x , y , y c para representar números y A , B , y C para representar conjuntos. h es f de a Llamamos a la función f ; la altura es una función de la edad . h = f ( a ) Utilizamos paréntesis para indicar la entrada de la función . f ( a ) Llamamos a la función f ; la expresión se lee como \" f de a .” Recuerde que podemos utilizar cualquier letra para designar la función; la notación h ( a ) nos muestra que h depende de a . El valor a debe introducirse en la función h para obtener un resultado. Los paréntesis indican que la edad es la entrada en la función; no indican la multiplicación. También podemos dar una expresión algebraica como entrada a una función. Por ejemplo f ( a + b ) significa “primero se suman a y b , y el resultado es la entrada para la función f ”. Las operaciones deben realizarse en este orden para obtener el resultado correcto. Notación de función La notación y = f ( x ) define una función llamada f . Esto se lee como “ y es una función de x ” . La letra x representa el valor de entrada, o variable independiente. La letra y , o f ( x ) , representa el valor de salida, o variable dependiente. Uso de la notación de función para los días de un mes Utilice la notación de función para representar una función cuya entrada es el nombre de un mes y la salida es el número de días de ese mes. Supongamos que el dominio no incluye los años bisiestos. El número de días de un mes es una función del nombre del mes, por lo que si nombramos la función f , escribimos días = f ( mes ) o d = f ( m ) . El nombre del mes es la entrada de una \"regla\" que asocia un número específico (la salida) con cada entrada. Por ejemplo, f ( marzo ) = 31 , porque marzo tiene 31 días. La notación d = f ( m ) nos recuerda que el número de días, d (la salida), depende del nombre del mes, m (la entrada). Análisis Observe que las entradas de una función no tienen por qué ser números; las entradas de la función pueden ser nombres de personas, etiquetas de objetos geométricos o cualquier otro elemento que determine algún tipo de salida. Sin embargo, la mayoría de las funciones con las que trabajaremos en este libro tendrán números como entradas y salidas. Interpretación de la notación de función Una función N = f ( y ) da el número de oficiales de policía, N , en una ciudad en el año y . ¿Qué representa f ( 2005 ) = 300 ? Cuando leemos f ( 2005 ) = 300 , vemos que el año de entrada es 2005. El valor de la salida, el número de policías ( N ) , es 300. Recuerde, N = f ( y ) . El enunciado f ( 2005 ) = 300 nos dice que en el año 2005 había 300 policías en la ciudad. Ejercicio Utilice la notación de función para expresar el peso de un cerdo en libras en función de su edad en días d . w = f ( d ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS En lugar de una notación como y = f ( x ), podríamos utilizar el mismo símbolo para la salida que para la función, como por ejemplo y = y ( x ), que significa “¿ y es una función de x ?\" Sí, esto se hace a menudo, especialmente en las asignaturas aplicadas que utilizan matemáticas superiores, como la Física y la Ingeniería. Sin embargo, al explorar las matemáticas en sí nos gusta mantener una distinción entre una función como f , que es una regla o procedimiento, y la salida y que obtenemos al aplicar f a una entrada concreta x . Por eso solemos utilizar una notación como y = f ( x ) , P = W ( d ) , y así sucesivamente. Representación de funciones mediante tablas Un método habitual para representar las funciones es en forma de tabla. Las filas o columnas de la tabla muestran los valores de entrada y salida correspondientes. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación; otras veces, la tabla ofrece algunos ejemplos seleccionados de una relación más completa. La indica el número de entrada de cada mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) y el valor de salida del número de días de ese mes. Esta información representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (que no es bisiesto). Observe que, en esta tabla, definimos una función de días al mes f donde D = f ( m ) identifica los meses por un número entero en lugar de por su nombre. Número de mes, m (entrada) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Días del mes, D (salida) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 La define una función Q = g ( n ) . Recuerde que esta notación nos dice que g es el nombre de la función que toma la entrada n y da como salida Q . n 1 2 3 4 5 Q 8 6 7 6 8 La muestra la edad de los niños en años y sus correspondientes alturas. Esta tabla muestra solo algunos de los datos disponibles sobre la altura y la edad de los niños. Observamos enseguida que esta tabla no representa una función porque el mismo valor de entrada, 5 años, tiene dos valores de salida diferentes, 40 in y 42 in. Edad en años, a (entrada) 5 5 6 7 8 9 10 Altura en pulgadas, h (salida) 40 42 44 47 50 52 54 Cómo Dada una tabla de valores de entrada y salida, determine si la tabla representa una función. Identifique los valores de entrada y salida. Compruebe si cada valor de entrada está emparejado con un solo valor de salida. Si es así, la tabla representa una función. Identificación de tablas que representan funciones ¿Cuál tabla, la , la o la , representa una función (si la hay)? Entrada Salida 2 1 5 3 8 6 Entrada Salida -3 5 0 1 4 5 Entrada Salida 1 0 5 2 5 4 La y la definen funciones. En ambas, cada valor de entrada corresponde exactamente a un valor de salida. La no define una función porque el valor de entrada de 5 corresponde a dos valores de salida diferentes. Cuando una tabla representa una función, los valores de entrada y salida correspondientes también pueden especificarse utilizando la notación de función. La función representada por la puede representarse escribiendo f ( 2 ) = 1 , f ( 5 ) = 3 , y f ( 8 ) = 6 Del mismo modo, los enunciados g ( - 3 ) = 5 , g ( 0 ) = 1 , y g ( 4 ) = 5 representan la función en la . La no puede expresarse de forma similar porque no representa una función. Ejercicio ¿La representa una función? Entrada Salida 1 10 2 100 3 1.000 sí Hallar los valores de entrada y salida de una función Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, evaluamos la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida. Cuando conocemos un valor de salida y queremos determinar los valores de entrada que producirían ese valor de salida, establecemos la salida igual a la fórmula de la función y resolvemos la entrada. La resolución puede producir más de una solución porque diferentes valores de entrada pueden producir el mismo valor de salida. Evaluación de funciones en formas algebraicas Cuando tenemos una función en forma de fórmula, suele ser sencillo evaluar la función. Por ejemplo, la función f ( x ) = 5 - 3 x 2 se puede evaluar elevando al cuadrado el valor de entrada, multiplicando por 3 y restando el producto de 5. Cómo Dada la fórmula de una función, evalúe. Sustituya la variable de entrada en la fórmula por el valor proporcionado. Calcule el resultado. Evaluación de funciones en valores específicos Evalúe f ( x ) = x 2 + 3 x - 4 en: Ⓐ 2 Ⓑ a Ⓒ a + h Ⓓ Ahora evalúe f ( a + h ) - f ( a ) h Sustituya x en la función con cada valor especificado. Ⓐ Como el valor de entrada es un número, el 2, podemos utilizar el álgebra simple para simplificar. f ( 2 ) = 2 2 + 3 ( 2 ) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 Ⓑ En este caso, el valor de entrada es una letra, por lo que no podemos simplificar más la respuesta. f ( a ) = a 2 + 3 a - 4 Ⓒ Con un valor de entrada a + h , debemos utilizar la propiedad distributiva. f ( a + h ) = ( a + h ) 2 + 3 ( a + h ) - 4 = a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 Ⓓ En este caso, aplicamos los valores de entrada a la función más de una vez, y luego realizamos operaciones algebraicas sobre el resultado. Ya hemos comprobado que f ( a + h ) = a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 y sabemos que f ( a ) = a 2 + 3 a - 4 Ahora combinamos los resultados y los simplificamos. f ( a + h ) - f ( a ) h = ( a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 ) - ( a 2 + 3 a - 4 ) h = 2 a h + h 2 + 3 h h = h ( 2 a + h + 3 ) h Factorice h . = 2 a + h + 3 Simplifique . Evaluación de funciones Dada la función h ( p ) = p 2 + 2 p , evaluar h ( 4 ) . Para evaluar h ( 4 ) , sustituimos el valor 4 por la variable de entrada p en la función dada. h ( p ) = p 2 + 2 p h ( 4 ) = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 ) = 16 + 8 = 24 Por lo tanto, para una entrada de 4, tenemos una salida de 24. Ejercicio Dada la función g ( m ) = m − 4 , evaluar g ( 5 ) . g ( 5 ) = 1 Resolución de funciones Dada la función h ( p ) = p 2 + 2 p , resolver para h ( p ) = 3. h ( p ) = 3 p 2 + 2 p = 3 Sustituya la función original h ( p ) = p 2 + 2 p . p 2 + 2 p − 3 = 0 Reste 3 de cada lado . ( p + 3 )( p - 1 ) = 0 Factorice . Si los valores de ( p + 3 ) ( p - 1 ) = 0 , o bien ( p + 3 ) = 0 o ( p - 1 ) = 0 (o ambos son iguales a 0). Estableceremos cada factor igual a 0 y resolveremos para p en cada caso. ( p + 3 ) = 0 , p = - 3 ( p - 1 ) = 0 , p = 1 Esto nos da dos soluciones. La salida h ( p ) = 3 cuando la entrada es p = 1 o p = − 3. También podemos comprobarlo graficando como en la . El gráfico verifica que h ( 1 ) = h ( - 3 ) = 3 y h ( 4 ) = 24. Ejercicio Dada la función g ( m ) = m − 4 , resuelva g ( m ) = 2. m = 8 Evaluación de funciones expresadas en fórmulas Algunas funciones se definen mediante reglas o procedimientos matemáticos expresados en forma de ecuación . Si es posible expresar la salida de la función con una fórmula que implique la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función en forma algebraica. Por ejemplo, la ecuación 2 n + 6 p = 12 expresa una relación funcional entre n y p . Podemos reescribirlo para decidir si p es una función de n . Cómo Dada una función en forma de ecuación, escriba su fórmula algebraica. Resuelva la ecuación para aislar la variable de salida en un lado del signo igual, con el otro lado como una expresión que involucra solo la variable de entrada. Utilice todos los métodos algebraicos habituales para resolver ecuaciones, como sumar o restar la misma cantidad a o desde ambos lados, o multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por la misma cantidad. Hallar la ecuación de una función Exprese la relación 2 n + 6 p = 12 como una función p = f ( n ) , si es posible. Para expresar la relación en esta forma, necesitamos poder escribir la relación donde p es una función de n , lo que significa escribirlo como p = [ expresión que involucra n ] . 2 n + 6 p = 12 6 p = 12 – 2 n Reste 2 n de ambos lados . p = 12 – 2 n 6 Divida ambos lados entre 6 y simplifique . p = 12 6 - 2 n 6 p = 2 – 1 3 n Por lo tanto, p en función de n se escribe como p = f ( n ) = 2 – 1 3 n Análisis Es importante tener en cuenta que no toda relación expresada por una ecuación puede expresarse también como una función con una fórmula. Expresión de la ecuación de un círculo como función ¿La ecuación x 2 + y 2 = 1 representan una función con x como entrada y y como salida? Si es así, exprese la relación como una función y = f ( x ) . Primero restamos x 2 de ambos lados. y 2 = 1 - x 2 Ahora tratamos de resolver para y en esta ecuación. y = ± 1 - x 2 = + 1 - x 2 y − 1 - x 2 Obtenemos dos salidas correspondientes a la misma entrada, por lo que esta relación no puede representarse como una única función y = f ( x ) . Ejercicio Si los valores de x - 8 y 3 = 0 , exprese y en función de x . y = f ( x ) = x 3 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existen relaciones expresadas por una ecuación que sí representan una función pero que todavía no pueden ser representadas por una fórmula algebraica? Sí, esto puede ocurrir. Por ejemplo, dada la ecuación x = y + 2 y , si queremos expresar y en función de x , no hay una fórmula algebraica simple que implique solo x que es igual a y . Sin embargo, cada x determina un valor único para y , y existen procedimientos matemáticos mediante los cuales y se puede hallar con la precisión deseada. En este caso, decimos que la ecuación da una regla implícita (tácita) para y en función de x , aunque la fórmula no pueda escribirse explícitamente. Evaluación de una función dada en forma de tabla Como hemos visto anteriormente, podemos representar funciones en tablas. A la inversa, podemos utilizar la información de las tablas para escribir funciones, y podemos evaluar funciones utilizando las tablas. Por ejemplo, ¿qué tan bien recuerdan nuestras mascotas los buenos recuerdos que compartimos con ellas? Hay una leyenda urbana que dice que un pez dorado tiene una memoria de 3 segundos, pero esto es solo un mito. El pez dorado puede recordar hasta 3 meses, mientras que el pez betta tiene una memoria de hasta 5 meses. Y mientras que la capacidad de memoria de un cachorro no supera los 30 segundos, el perro adulto puede recordar durante 5 minutos. Esto es escaso comparado con un gato, cuya memoria dura 16 horas. La función que relaciona el tipo de mascota con la duración de su memoria se visualiza más fácilmente con el uso de una tabla. Vea la . http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. Consultado el 24 mar 2014. Mascota Duración de la memoria en horas Cachorro 0,008 Perro adulto 0,083 Gato 16 Pez dorado 2.160 Pez betta 3.600 A veces, evaluar una función en forma de tabla puede ser más útil que utilizar ecuaciones. Llamemos aquí a la función P . El dominio de la función es el tipo de mascota y el rango es un número real que representa el número de horas que dura la memoria de la mascota. Evaluamos la función P en el valor de entrada de “pez dorado”. Escribiríamos P ( pez dorado ) = 2.160. Observe que, para evaluar la función en forma de tabla, identificamos el valor de entrada y el correspondiente valor de salida de la fila pertinente de la tabla. La forma de tabla de la función P parece ideal para esta función, más que escribirla en forma de párrafo o función. Cómo Dada una función representada por una tabla, identifique los valores específicos de salida y entrada. Halle la entrada dada en la fila (o columna) de valores de entrada. Identifique el valor de salida correspondiente emparejado con ese valor de entrada. Halle los valores de salida dados en la fila (o columna) de valores de salida, anotando cada vez que aparece ese valor de salida. Identifique el valor o los valores de entrada que corresponden al valor de salida dado. Evaluación y resolución de una función de tabla Utilizando la , Ⓐ Evalúe g ( 3 ) . Ⓑ Resuelva g ( n ) = 6. n 1 2 3 4 5 g ( n ) 8 6 7 6 8 Ⓐ Al evaluar g ( 3 ) significa determinar el valor de salida de la función g para el valor de entrada de n = 3. El valor de salida de la tabla correspondiente a n n = 3 es 7, así que g ( 3 ) = 7. Ⓑ Al resolver g ( n ) = 6 significa identificar los valores de entrada, n , que producen un valor de salida de 6. La tabla a continuación muestra dos soluciones: 2 y 4. n 1 2 3 4 5 g ( n ) 8 6 7 6 8 Cuando introducimos 2 en la función g , nuestra salida es de 6. Cuando introducimos 4 en la función g , nuestra salida también es de 6. Ejercicio Con la tabla de Evaluación y resolución de una función tabular anterior, evalúe g ( 1 ) . g ( 1 ) = 8 Hallar los valores de una función a partir de un gráfico Evaluar una función mediante un gráfico también requiere encontrar el valor de salida correspondiente para un valor de entrada dado, solo que en este caso, encontramos el valor de salida mirando el gráfico. La resolución de una ecuación de función mediante un gráfico requiere encontrar todos los casos del valor de salida dados en el gráfico y observar el valor o valores de entrada correspondientes. Leer los valores de una función a partir de un gráfico Dado el gráfico en la , Ⓐ Evalúe f ( 2 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Ⓐ Para evaluar f ( 2 ) , ubique el punto de la curva donde x = 2 , y luego lea la coordenada y de ese punto. El punto tiene coordenadas ( 2 , 1 ) , por lo que f ( 2 ) = 1. Vea la . Ⓑ Para resolver f ( x ) = 4, encontramos el valor de salida 4 en el eje vertical. Al moverse horizontalmente a lo largo de la línea y = 4 , localizamos dos puntos de la curva con valor de salida 4: ( –1 , 4 ) y ( 3 , 4 ) . Estos puntos representan las dos soluciones de f ( x ) = 4: −1 o 3. Esto significa f ( –1 ) = 4 y f ( 3 ) = 4 , o cuando la entrada es −1 o 3, la salida es 4 . Vea la . Ejercicio Utilizando la , resuelva f ( x ) = 1. x = 0 o x = 2 Cómo determinar si una función es biunívoca Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares. Sin embargo, algunas funciones solo tienen un valor de entrada para cada valor de salida, así como solo tienen una salida para cada entrada. A estas funciones las llamamos funciones biunívocas. A modo de ejemplo, considere una escuela que solo utiliza calificaciones con letras y equivalentes decimales, como se indica en la . Calificación en letras Promedio de calificaciones A 4,0 B 3,0 C 2,0 D 1,0 Este sistema de calificación representa una función biunívoca, ya que cada letra de entrada produce un promedio de calificación particular como salida y cada promedio de calificación corresponde a una letra de entrada. Para visualizar este concepto, veamos de nuevo las dos funciones simples esbozadas en la (a) y la (b) . La función de la parte (a) muestra una relación que no es una función biunívoca porque las entradas q y r producen una salida n . La función de la parte (b) muestra una relación que es una función biunívoca porque cada entrada está asociada a una única salida. Función biunívoca Una función biunívoca es una función en la que cada valor de salida corresponde exactamente a un valor de entrada. Determinar si una relación es una función biunívoca ¿El área de un círculo es una función de su radio? En caso afirmativo, ¿la función es biunívoca? Un círculo de radio r tiene una única medida de área dada por A = π r 2 , así que para cualquier entrada, r , solo hay una salida, A . El área es una función del radio r . Si la función es biunívoca, el valor de salida, el área, debe corresponder a un único valor de entrada, el radio. Cualquier medida de superficie A está dada por la fórmula A = π r 2 . Como las áreas y los radios son números positivos, hay exactamente una solución A π . Así pues, el área de un círculo es una función biunívoca del radio del círculo. Ejercicio Ⓐ ¿El saldo está en función del número de cuenta bancaria? Ⓑ ¿El número de una cuenta bancaria está en función del saldo? Ⓒ ¿El saldo es una función biunívoca del número de cuenta bancaria? Ⓐ sí, porque cada cuenta bancaria tiene un único saldo en cualquier momento Ⓑ no, porque varios números de cuenta bancaria pueden tener el mismo saldo Ⓒ no, porque la misma salida puede corresponder a más de una entrada. Ejercicio Calcule lo siguiente: Ⓐ Si cada calificación porcentual obtenida en un curso se traduce en una calificación en letras, ¿es la calificación en letras una función de la calificación porcentual? Ⓑ En ese caso, ¿la función es biunívoca? Ⓐ Sí, la calificación en letra está en función del porcentaje de calificación; Ⓑ No, no es biunívoca. Hay 100 números porcentuales diferentes que podríamos obtener, pero solo unas cinco posibles calificaciones de letras, por lo que no puede haber solo un número porcentual que corresponda a cada calificación en letras. Uso de la prueba de la línea vertical Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical. Los gráficos más comunes nombran el valor de entrada x y el valor de salida y , y decimos y es una función de x , o y = f ( x ) cuando la función se llama f . El gráfico de la función es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en el plano que satisface la ecuación y = f ( x ) . Si la función está definida solo para unos pocos valores de entrada, entonces el gráfico de la función son solo unos pocos puntos, donde la coordenada x de cada punto es un valor de entrada y la coordenada y de cada punto es el valor de salida correspondiente. Por ejemplo, los puntos negros del gráfico de la nos indican que f ( 0 ) = 2 y f ( 6 ) = 1. Sin embargo, el conjunto de todos los puntos ( x , y ) lo que cumple con y = f ( x ) es una curva. La curva mostrada incluye ( 0 , 2 ) y ( 6 , 1 ) porque la curva pasa por esos puntos. La prueba de la línea vertical puede utilizarse para determinar si un gráfico representa una función. Si podemos dibujar cualquier línea vertical que cruce un gráfico más de una vez, entonces el gráfico no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada valor de entrada. Vea la . Cómo Dado un gráfico, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si el gráfico representa una función. Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea vertical dibujada interseca la curva más de una vez. Si hay alguna línea de este tipo, determine que el gráfico no representa una función. Aplicación de la prueba de la línea vertical ¿Cuál de los gráficos de la representa una función y = f ( x ) ? Si alguna línea vertical cruza un gráfico más de una vez, la relación representada por el gráfico no es una función. Observe que cualquier línea vertical pasaría por un solo punto de los dos gráficos mostrados en las partes (a) y (b) de la . De esto podemos concluir que estos dos gráficos representan funciones. El tercer gráfico no representa una función porque, en la mayoría de los valores de x , una línea vertical intersecaría el gráfico en más de un punto, como se muestra en la . Ejercicio ¿El gráfico de la representa una función? sí Utilizar la prueba de la línea horizontal Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal . Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca. Cómo Dado un gráfico de una función, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si el gráfico representa una función biunívica. Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea horizontal dibujada interseca la curva más de una vez. Si hay alguna línea de este tipo, determine que la función no es biunívoca. Aplicación de la prueba de la línea horizontal Considere las funciones mostradas en la (a) y la (b) . ¿Alguna de las funciones es biunívoca? La función en la (a) no es biunívoca. La línea horizontal que se muestra en la interseca el gráfico de la función en dos puntos (e incluso podemos encontrar líneas horizontales que la intersecan en tres puntos). La función en la (b) es biunívoca. Cualquier línea horizontal se cruzará con una línea diagonal como máximo una vez. Ejercicio ¿El gráfico que se muestra en la es biunívoco? No, porque no pasa la prueba de la línea horizontal. Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos \"funciones de la caja de herramientas\", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos x como variable de entrada y y = f ( x ) como variable de salida. A lo largo de este libro veremos con frecuencia estas funciones de la caja de herramientas, sus combinaciones de funciones, sus gráficos y sus transformaciones. Será muy útil si podemos reconocer rápidamente estas funciones de la caja de herramientas y sus características por su nombre, fórmula, gráfico y propiedades básicas de la tabla. Los gráficos y los valores de la tabla de muestra se incluyen con cada función mostrada en la . Funciones de la caja de herramientas Nombre Función Gráfico Constante f ( x ) = c , donde c es una constante Identidad f ( x ) = x Valor absoluto f ( x ) = | x | Función f ( x ) = x 2 Cúbico f ( x ) = x 3 Recíproco f ( x ) = 1 x Recíproco al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 Raíz cuadrada f ( x ) = x Raíz del cubo f ( x ) = x 3 Media Acceda a los siguientes recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones. Determinar si una relación es una función Prueba de la línea vertical Introducción a las funciones Prueba de la línea vertical en el gráfico Funciones biunívocas Gráficos como funciones biunívocas Ecuaciones clave Función constante f ( x ) = c , donde c es una constante Función de identidad f ( x ) = x Función de valor absoluto f ( x ) = | x | Función cuadrática f ( x ) = x 2 Función cúbica f ( x ) = x 3 Función recíproca f ( x ) = 1 x Función recíproca al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 Función de raíz cuadrada f ( x ) = x Función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 Conceptos clave Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo específico de relación en la que cada valor de dominio, o entrada, conduce exactamente a un valor de rango, o salida. Vea el y el . La notación de función es un método abreviado para relacionar la entrada con la salida de la forma y = f ( x ) . Vea el y el . En forma de tabla, una función puede representarse mediante filas o columnas que se refieren a los valores de entrada y salida. Vea el . Para evaluar una función, determinamos un valor de salida para un valor de entrada correspondiente. Las formas algebraicas de una función se pueden evaluar sustituyendo la variable de entrada por un valor determinado. Vea el y el . Para resolver el valor de una función específica, determinamos los valores de entrada que producen el valor de salida específico. Vea el . La forma algebraica de una función puede escribirse a partir de una ecuación. Vea el y el . Los valores de entrada y salida de una función pueden identificarse a partir de una tabla. Vea el . Relacionar los valores de entrada con los de salida en un gráfico es otra forma de evaluar una función. Vea el . Una función es biunívoca si cada valor de salida corresponde a un solo valor de entrada. Vea el . Un gráfico representa una función si cualquier línea vertical dibujada en él lo interseca en no más de un punto. Vea el . El gráfico de una función biunívoca pasa la prueba de la línea horizontal. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función? Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo especial de relación en la que ningún par ordenado tiene la misma primera coordenada. ¿Cuál es la diferencia entre la entrada y la salida de una función? ¿Por qué la prueba de la línea vertical nos indica si el gráfico de una relación representa una función? Cuando una línea vertical cruza el gráfico de una relación más de una vez, indica que para esa entrada hay más de una salida. Para cualquier valor de entrada, solo puede haber una salida si la relación es una función. ¿Cómo se puede determinar si una relación es una función biunívoca? ¿Por qué la prueba de la línea horizontal nos indica si el gráfico de una función es biunívoco? Cuando una línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, indica que para esa salida hay más de una entrada. Una función es biunívoca si cada salida corresponde a una sola entrada. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función. { ( a , b ) , ( c , d ) , ( a , c ) } { ( a , b ) , ( b , c ) , ( c , c ) } cuadrática En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa a y en función de x . 5 x + 2 y = 10 y = x 2 cuadrática x = y 2 3 x 2 + y = 14 cuadrática 2 x + y 2 = 6 y = - 2 x 2 + 40 x cuadrática y = 1 x x = 3 y + 5 7 y - 1 cuadrática x = 1 - y 2 y = 3 x + 5 7 x – 1 cuadrática x 2 + y 2 = 9 2 x y = 1 cuadrática x = y 3 y = x 3 cuadrática y = 1 - x 2 x = ± 1 - y cuadrática y = ± 1 - x y 2 = x 2 no es una función y 3 = x 2 En los siguientes ejercicios, evalúe f a los valores indicados f ( −3 ) , f ( 2 ) , f ( - a ) , − f ( a ) , f ( a + h ) . f ( x ) = 2 x - 5 f ( - 3 ) = − 11 ; f ( 2 ) = - 1 ; f ( - a ) = - 2 a − 5 ; − f ( a ) = - 2 a + 5 ; f ( a + h ) = 2 a + 2 h − 5 f ( x ) = - 5 x 2 + 2 x – 1 f ( x ) = 2 - x + 5 f ( - 3 ) = 5 + 5 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( - a ) = 2 + a + 5 ; − f ( a ) = - 2 - a − 5 ; f ( a + h ) = 2 - a − h + 5 f ( x ) = 6 x – 1 5 x + 2 f ( x ) = | x – 1 | − | x + 1 | f ( - 3 ) = 2 ; f ( 2 ) = 1 - 3 = - 2 ; f ( - a ) = | - a - 1 | − | - a + 1 | ; − f ( a ) = - | a - 1 | + | a + 1 | ; f ( a + h ) = | a + h - 1 | − | a + h + 1 | Dada la función g ( x ) = 5 - x 2 , evaluar g ( x + h ) - g ( x ) h , h ≠ 0 . Dada la función g ( x ) = x 2 + 2 x , evaluar g ( x ) - g ( a ) x – a , x ≠ a . g ( x ) - g ( a ) x – a = x + a + 2 , x ≠ a Dada la función k ( t ) = 2 t - 1 : Ⓐ Evalúe k ( 2 ) . Ⓑ Resuelva k ( t ) = 7. Dada la función f ( x ) = 8 - 3 x : Ⓐ Evalúe f ( – 2 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = − 1. Ⓐ f ( – 2 ) = 14 ; Ⓑ x = 3 Dada la función p ( c ) = c 2 + c : Ⓐ Evalúe p ( - 3 ) . Ⓑ Resuelva p ( c ) = 2. Dada la función f ( x ) = x 2 - 3 x : Ⓐ Evalúe f ( 5 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Ⓐ f ( 5 ) = 10 ; Ⓑ x = - 1 o x = 4 Dada la función f ( x ) = x + 2 : Ⓐ Evalúe f ( 7 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Considere la relación 3 r + 2 t = 18. Ⓐ Escriba la relación como una función r = f ( t ) . Ⓑ Evalúe f ( - 3 ) . Ⓒ Resuelva f ( t ) = 2. Ⓐ f ( t ) = 6 - 2 3 t ; Ⓑ f ( - 3 ) = 8 ; Ⓒ t = 6 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar qué gráficos muestran relaciones que son funciones. no es una función cuadrática cuadrática cuadrática cuadrática cuadrática Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( –1 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = 3. Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( 0 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = –3. Ⓐ f ( 0 ) = 1 ; Ⓑ f ( x ) = - 3 , x = - 2 o x = 2 Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( 4 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = 1. En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico dado es una función biunívoca. no es una función, por lo que tampoco es una función biunívoca función biunívoca función, pero no biunívoca Numéricos En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función. { ( –1 , –1 ) , ( –2 , –2 ) , ( −3 , −3 ) } { ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 6 ) } cuadrática { ( 2 , 5 ) , ( 7 , 11 ) , ( 15 , 8 ) , ( 7 , 9 ) } En los siguientes ejercicios, determine si la relación representada en forma de tabla representa y en función de x . x 5 10 15 y 3 8 14 cuadrática x 5 10 15 y 3 8 8 x 5 10 10 y 3 8 14 no es una función En los siguientes ejercicios, utilice la función f representada en la . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 74 28 1 53 56 3 36 45 14 47 Evalúe f ( 3 ) . Resuelva f ( x ) = 1. f ( x ) = 1 , x = 2 En los siguientes ejercicios, evalúe la función f en los valores f ( – 2 ) , f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , y f ( 2 ) . f ( x ) = 4 – 2 x f ( x ) = 8 - 3 x f ( – 2 ) = 14 ; f ( - 1 ) = 11 ; f ( 0 ) = 8 ; f ( 1 ) = 5 ; f ( 2 ) = 2 f ( x ) = 8 x 2 - 7 x + 3 f ( x ) = 3 + x + 3 f ( – 2 ) = 4 ; f ( - 1 ) = 4,414 ; f ( 0 ) = 4,732 ; f ( 1 ) = 5 ; f ( 2 ) = 5,236 f ( x ) = x - 2 x + 3 f ( x ) = 3 x f ( – 2 ) = 1 9 ; f ( - 1 ) = 1 3 ; f ( 0 ) = 1 ; f ( 1 ) = 3 ; f ( 2 ) = 9 En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones, dadas las funciones f , g , y h : f ( x ) = 3 x - 2 g ( x ) = 5 - x 2 h ( x ) = - 2 x 2 + 3 x – 1 3 f ( 1 ) - 4 g ( – 2 ) f ( 7 3 ) − h ( – 2 ) 20 En tecnología En los siguientes ejercicios, grafique y = x 2 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ − 0,1 , 0,1 ] [ − 10 , 10 ] [ 0 , 100 ] [ − 100 , 100 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x 3 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ − 0,1 , 0 0,1 ] [ − 0,001 , 0 0,001 ] [ − 10 , 10 ] [ − 100 , 100 ] [ - 1.000.>000 , 1.000.000 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ 0 , 0 0,01 ] [ 0 , 100 ] [ 0 , 10 ] [ 0 , 10.000 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x 3 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ -0,001 , 0,001 ] [ -0,1 , 0,1 ] [ -1.000 , 1.000 ] [ –1.000.000 , 1.000.000 ] [ − 100 , 100 ] Aplicaciones en el mundo real La cantidad de basura, G , producida por una ciudad con una población p viene dada por G = f ( p ) . G se mide en toneladas por semana, y p se mide en miles de personas. Ⓐ La ciudad de Tola tiene una población de 40.000 habitantes y produce 13 toneladas de basura a la semana. Exprese esta información en términos de la función f . Ⓑ Explique el significado de la afirmación f ( 5 ) = 2. El número de yardas cúbicas de tierra, D , necesario para cubrir un jardín con un área de a pies cuadrados viene dado por D = g ( a ) . Ⓐ Un jardín con una superficie de 5.000 pies 2 requiere 50 yardas 3 de tierra. Exprese esta información en términos de la función g . Ⓑ Explique el significado de la afirmación g ( 100 ) = 1. Ⓐ g ( 5.000 ) = 50 ; Ⓑ El número de yardas cúbicas de tierra que son necesarias para un jardín de 100 pies cuadrados es 1. Supongamos que f ( t ) es el número de patos en un lago t años después de 1990. Explique el significado de cada afirmación: Ⓐ f ( 5 ) = 30 Ⓑ f ( 10 ) = 40 Supongamos que h ( t ) es la altura sobre el suelo, en pies, de un cohete t segundos después del lanzamiento. Explique el significado de cada afirmación: h ( 1 ) = 200 h ( 2 ) = 350 Ⓐ La altura de un cohete sobre el suelo después de 1 segundo es de 200 pies. Ⓑ la altura de un cohete sobre el suelo después de 2 segundos es de 350 pies. Demuestre que la función f ( x ) = 3 ( x - 5 ) 2 + 7 no es biunívoca. variable dependiente una variable de salida dominio el conjunto de todos los posibles valores de entrada de una relación función una relación en la que cada valor de entrada produce un único valor de salida prueba de la línea horizontal un método para comprobar si una función es biunívoca determinando si alguna línea horizontal interseca el gráfico más de una vez variable independiente una variable de entrada entrada cada objeto o valor de un dominio que se relaciona con otro objeto o valor mediante una relación conocida como función función biunívoca una función para la que cada valor de salida está asociado a un único valor de entrada salida cada objeto o valor del rango que se produce cuando se introduce un valor de entrada en una función rango el conjunto de valores de salida que resultan de los valores de entrada en una relación relación un conjunto de pares ordenados prueba de la línea vertical un método para comprobar si un gráfico representa una función, determinando si una línea vertical interseca el gráfico no más de una vez", "section": "Funciones y notación de funciones", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Dominio y rango Las películas de terror y de suspenso son populares y, muy a menudo, muy rentables. Cuando se incluyen actores de gran presupuesto, lugares de rodaje y efectos especiales, los estudios cuentan con una audiencia aún mayor para tener éxito. Consideremos cinco grandes obras de suspenso/terror de principios del siglo XXI: Soy Leyenda , Hannibal , El Aro , La Maldición y El Conjuro . La muestra la cantidad en dólares que recaudó cada una de esas películas cuando se estrenaron, así como la venta de entradas para las películas de terror en general por año. Observe que podemos utilizar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o el total de ventas de entradas de todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables dependientes e independientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas. Basado en datos recopilados por www.the-numbers.com. The Numbers: Where Data and the Movie Business Meet. “Box Office History for Horror Movies.” http://www.the-numbers.com/market/genre/Horror. Consultado el 24 mar 2014. Hallar el dominio de una función definida por una ecuación En Funciones y notación de funciones , se introdujeron los conceptos de dominio y rango . En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0. Podemos visualizar el dominio como una \"zona de espera\" que contiene \"materias primas\" para una \"máquina funcional\" y el rango como otra \"zona de espera\" para los productos de la máquina. Vea la . Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo , que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir ( 0 , 100 ] . Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo. Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo. Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo: El término más pequeño del intervalo se escribe primero. El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma. Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo. Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo. Vea la para conocer un resumen de la notación intervalo. Hallar el dominio de una función como un conjunto de pares ordenados Halle el dominio de la siguiente función { ( 2 , 10 ) , ( 3 , 10 ) , ( 4 , 20 ) , ( 5 , 30 ) , ( 6 , 40 ) } . Primero identifique los valores de entrada. El valor de entrada es la primera coordenada de un par ordenado . No hay restricciones, ya que los pares ordenados simplemente se enumeran. El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados. { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Ejercicio Halle el dominio de la función: { ( −5 , 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , –4 ) , ( 10 , −8 ) , ( 15 , −12 ) } { - 5 , 0 , 5 , 10 , 15 } Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Identifique cualquier restricción en la entrada y excluya esos valores del dominio. Escriba el dominio en forma de intervalo, si es posible. Hallar el dominio de una función Halle el dominio de la función f ( x ) = x 2 − 1. El valor de entrada, mostrado por la variable x en la ecuación, se eleva al cuadrado y luego el resultado se reduce en uno. Cualquier número real puede ser elevado al cuadrado y luego ser rebajado en uno, por lo que no hay restricciones en el dominio de esta función. El dominio es el conjunto de los números reales. En forma de intervalo, el dominio de f es ( - ∞ , ∞ ) . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 - x + x 3 . ( - ∞ , ∞ ) Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una fracción, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Identifique cualquier restricción en la entrada. Si hay un denominador en la fórmula de la función, ponga el denominador igual a cero y resuelva para x . Si la fórmula de la función contiene una raíz par, establezca el radicando mayor o igual a 0, y luego resuelva. Escriba el dominio en forma de intervalo, asegurándose de excluir cualquier valor restringido del dominio. Hallar el dominio de una función con denominador Halle el dominio de la función f ( x ) = x + 1 2 - x . Cuando hay un denominador, queremos incluir solo los valores de la entrada que no obligan al denominador a ser cero. Por lo tanto, pondremos el denominador igual a 0 y resolveremos para x . 2 - x = 0 - x = - 2 x = 2 Ahora, excluiremos el 2 del dominio. Las respuestas son todos los números reales donde x < 2 o x > 2. Podemos utilizar un símbolo conocido como la unión, ∪ , para combinar los dos conjuntos. En notación intervalo, escribimos la solución ( -∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) . En forma de intervalo, el dominio de f es ( - ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 1 + 4 x 2 x – 1 . ( - ∞ , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , ∞ ) Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una raíz par, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Como hay una raíz par, excluya cualquier número real que dé lugar a un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual a cero y resuelva para x . Las soluciones son el dominio de la función. Si es posible, escriba la respuesta en forma de intervalo. Hallar el dominio de una función con una raíz par Halle el dominio de la función f ( x ) = 7 - x . Cuando hay una raíz par en la fórmula, excluimos cualquier número real que dé lugar a un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual a cero y resuelva para x . 7 - x ≥ 0 - x ≥ − 7 x ≤ 7 Ahora, excluiremos cualquier número mayor que 7 del dominio. Las respuestas son todos los números reales menores o iguales a 7 , o ( - ∞ , 7 ] . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 + 2 x . [ − 5 2 , ∞ ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Puede haber funciones en las que el dominio y el rango no se intersequen en absoluto? Sí. Por ejemplo, la función f ( x ) = - 1 x tiene como dominio el conjunto de todos los números reales positivos, pero tiene como rango el conjunto de todos los números reales negativos. Como ejemplo más extremo, las entradas y salidas de una función pueden ser categorías completamente diferentes (por ejemplo, nombres de días de la semana como entradas y números como salidas, como en un gráfico de asistencia), en estos casos el dominio y el rango no tienen elementos en común. Usar notaciones para especificar el dominio y el rango En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos . Por ejemplo, { x | 10 ≤ x < 30 } describe el comportamiento de x en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves { } se leen como \"el conjunto de\", y la barra vertical | se lee como \"tal que\", por lo que leeríamos { x | 10 ≤ x < 30 } como \"el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que x , y x es menos de 30”. La compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos. Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión, ∪ , para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos { 2 , 3 , 5 } y { 4 , 6 } es el conjunto { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es { x | | x | ≥ 3 } = ( - ∞ , - 3 ] ∪ [ 3 , ∞ ) Notación del constructor de conjuntos y notación intervalo La notación del constructor de conjuntos es un método para especificar un conjunto de elementos que satisfacen una determinada condición. Tiene la forma { x | enunciado de x } que se lee como \"el conjunto de todos los x tales que el enunciado sobre x es cierto”. Por ejemplo, { x | 4 < x ≤ 12 } La notación intervalo es una forma de describir conjuntos que incluyen todos los números reales entre un límite inferior que puede o no incluirse y un límite superior que puede o no incluirse. Los valores de los puntos finales aparecen entre corchetes o paréntesis. Un corchete indica la inclusión en el conjunto, y un paréntesis indica la exclusión del conjunto. Por ejemplo, ( 4 , 12 ] Cómo Dado un gráfico de líneas, describa el conjunto de valores utilizando la notación intervalo. Identifique los intervalos que se incluirán en el conjunto determinando dónde se superpone la línea gruesa a la línea real. En el extremo izquierdo de cada intervalo, utilice “[“ con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto sólido) o “(“ para cada valor final excluido (punto abierto). En el extremo derecho de cada intervalo, utilice “]” con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto relleno) o “)” para cada valor final excluido (punto abierto). Utilice el símbolo de unión ∪ para combinar todos los intervalos en un solo conjunto. Describir conjuntos en la línea de números reales Describa los intervalos de valores mostrados en la utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Para describir los valores, x , incluidos en los intervalos indicados, diríamos que \" x es un número real mayor o igual que 1 y menor o igual que 3, o un número real mayor que 5\". Inecuación 1 ≤ x ≤ 3 o x > 5 Notación del constructor de conjuntos { x | 1 ≤ x ≤ 3 o x > 5 } Notación intervalo [ 1 , 3 ] ∪ ( 5 , ∞ ) Recuerde que, al escribir o leer la notación intervalo, el uso de un corchete significa que el límite está incluido en el conjunto. El uso de un paréntesis significa que el límite no está incluido en el conjunto. Ejercicio Dada la , especifique el conjunto graficado en Ⓐ palabras Ⓑ notación del constructor de conjuntos Ⓒ notación de intervalos Ⓐ valores menores o iguales a -2, o valores mayores o iguales a -1 y menores a 3; Ⓑ { x | x ≤ − 2 o − 1 ≤ x < 3 } ; Ⓒ ( - ∞ , - 2 ] ∪ [ - 1 , 3 ) Hallar el dominio y el rango de los gráficos Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x . El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y . Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la . Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde −5 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es [ −5 , ∞ ) . La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango 5 y por debajo, por lo que el rango es ( -∞ , 5 ] . Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango. Encontrar el dominio y el rango de un gráfico Halle el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la . Podemos observar que la extensión horizontal del gráfico es de -3 a 1, por lo que el dominio de f es ( - 3 , 1 ] . La extensión vertical del gráfico es de 0 a -4, por lo que el rango es [ − 4 , 0 ] . Vea la . Hallar el dominio y el rango a partir de un gráfico de la producción de petróleo Calcule el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la . (créditos: modificación del trabajo de la Administración de Información Energética de EE. UU.) http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPAK2&f=A. La cantidad de entrada en el eje horizontal es \"años\", que representamos con la variable t para el tiempo. La cantidad de salida es \"miles de barriles de petróleo al día\", que representamos con la variable b para barriles. El gráfico puede continuar a la izquierda y a la derecha más allá de lo que se ve, pero basándonos en la parte que es visible, podemos determinar el dominio como 1973 ≤ t ≤ 2008 y el rango como aproximadamente 180 ≤ b ≤ 2010. En notación intervalo, el dominio es [1973, 2008], y el rango es aproximadamente [180, 2010]. Para el dominio y el rango, aproximamos los valores más pequeños y más grandes, ya que no caen exactamente en las líneas de la cuadrícula. Ejercicio Dada la , identifique el dominio y el rango utilizando la notación intervalo. dominio =[1950,2002] rango = [47.000.000,89.000.000] PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El dominio y el rango de una función pueden coincidir? Sí. Por ejemplo, el dominio y el rango de la función de raíz cúbica son el conjunto de todos los números reales. Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una. Para la función constante f ( x ) = c , el dominio consiste en todos los números reales; no hay restricciones en la entrada. El único valor de salida es la constante c , por lo que el rango es el conjunto { c } que contiene este único elemento. En notación intervalo, esto se escribe como [ c , c ] , el intervalo que comienza y termina con c . Para la función de identidad f ( x ) = x , no hay ninguna restricción en x . Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales. Para la función de valor absoluto f ( x ) = | x | , no hay ninguna restricción en x . Sin embargo, como el valor absoluto se define como una distancia de 0, la salida solo puede ser mayor o igual a 0. Para la función cuadrática f ( x ) = x 2 , el dominio son todos los números reales, ya que la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Dado que el gráfico no incluye ningún valor negativo para el rango, este es solo números reales no negativos. Para la función cúbica f ( x ) = x 3 , el dominio son todos los números reales porque la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Lo mismo ocurre con la extensión vertical del gráfico, por lo que el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Para la función recíproca f ( x ) = 1 x , no podemos dividir entre 0, por lo que debemos excluir el 0 del dominio. Además, 1 dividido entre cualquier valor nunca puede ser 0, por lo que el rango tampoco incluirá 0. En la notación del constructor de conjuntos, también podríamos escribir { x | x ≠ 0 } , el conjunto de todos los números reales que no son cero. Para la función recíproca al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 , no podemos dividir entre 0 , por lo que debemos excluir 0 del dominio. Tampoco hay x que puede dar una salida de 0, por lo que también se excluye el 0 del rango. Observe que la salida de esta función es siempre positiva debido al cuadrado en el denominador, por lo que el rango solo incluye números positivos. Para la función de raíz cuadrada f ( x ) = x , no podemos sacar la raíz cuadrada de un número real negativo, por lo que el dominio debe ser 0 o mayor. El rango también excluye los números negativos porque la raíz cuadrada de un número positivo x se define como positivo, aunque el cuadrado del número negativo − x también nos da x . Para la función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 , el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Observe que no hay problema en tomar una raíz cúbica, o cualquier raíz entera impar, de un número negativo, y la salida resultante es negativa (es una función impar). Cómo Dada la fórmula de una función, determine el dominio y el rango. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que resulte en una división entre cero. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que tenga salidas numéricas no reales (o indefinidas). Utilice los valores de entrada válidos para determinar el rango de los valores de salida. Observe el gráfico de la función y los valores de la tabla para confirmar el comportamiento real de la función. Encontrar el dominio y el rango usando las funciones de la caja de herramientas Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x 3 - x . No hay restricciones en cuanto al dominio, ya que cualquier número real puede ser elevado al cubo y luego restado del resultado. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) y el rango también es ( - ∞ , ∞ ) . Hallar el dominio y el rango Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x + 1 . No podemos evaluar la función en −1 porque la división entre cero es indefinida. El dominio es ( - ∞ , –1 ) ∪ ( –1 , ∞ ) . Como la función nunca es cero, excluimos el 0 del rango. El rango es ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) . Hallar el dominio y el rango Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x + 4 . No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que el valor dentro del radical debe ser no negativo. x + 4 ≥ 0 cuando x ≥ − 4 El dominio de f ( x ) es [ − 4 , ∞ ) . A continuación, encontramos el rango. Sabemos que f ( - 4 ) = 0 , y el valor de la función aumenta a medida que x aumenta sin límite superior. Concluimos que el rango de f es [ 0 , ∞ ) . Análisis La representa la función f . Ejercicio Halle el dominio y el rango de f ( x ) = - 2 - x . dominio: ( - ∞ , 2 ] ; rango: ( - ∞ , 0 ] Graficar funciones definidas por partes A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto f ( x ) = | x | . Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud , o módulo , de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0. Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada. f ( x ) = x si x ≥ 0 Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada. f ( x ) = - x si x < 0 Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio. Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos \"límites\". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total S sería 0,1 S si S ≤ $ 10 . 000 y $ 1.000 + 0,2 ( S − $ 10 . 000 ) si S > $ 10 . 000. Función definida por partes Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida. Cada fórmula tiene su propio dominio, y el dominio de la función es la unión de todos estos dominios más pequeños. Anotamos esta idea así: f ( x ) = { fórmula 1 si x está en el dominio 1 fórmula 2 si x está en el dominio 2 fórmula 3 si x está en el dominio 3 En notación definida por partes, la función de valor absoluto es | x | = { x si x ≥ 0 - x si x < 0 Cómo Dada una función definida por partes, escriba la fórmula e identifique el dominio de cada intervalo. Identifique los intervalos a los que se aplican las diferentes reglas. Determine las fórmulas que describan cómo calcular una salida a partir de una entrada en cada intervalo. Utilice llaves y enunciado “si” para escribir la función. Escribir una función definida por partes El museo cobra 5 dólares por persona por una visita guiada con un grupo de 1 a 9 personas o una tarifa fija de 50 dólares por un grupo de 10 o más personas. Escriba una función que relacione el número de personas, n , al costo, C . Se necesitarán dos fórmulas diferentes. Para valores n inferiores a 10, C = 5 n . Para los valores de n que son 10 o más, C = 50. C ( n ) = { 5 n si 0 < n < 10 50 si n ≥ 10 Análisis La función se representa en la . El gráfico es una línea diagonal desde n = 0 a n = 10 y una constante después. En este ejemplo, las dos fórmulas coinciden en el punto de encuentro donde n = 10 , pero no todas las funciones definidas por partes tienen esta propiedad. Trabajar con una función definida por partes Una empresa de telefonía móvil utiliza la siguiente función para determinar el costo, C , en dólares para g gigabytes de transferencia de datos. C ( g ) = { 25 si 0 < g < 2 25 + 10 ( g − 2 ) si g ≥ 2 Halle el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos y el costo de utilizar 4 gigabytes de datos. Para hallar el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos, C ( 1,5 ) , buscamos primero en qué parte del dominio se encuentra nuestra entrada. Como 1,5 es menor que 2, utilizamos la primera fórmula. C ( 1,5 ) = $ 25 Para hallar el costo de utilizar 4 gigabytes de datos, C ( 4 ) , vemos que nuestra entrada de 4 es mayor que 2, así que utilizamos la segunda fórmula. C ( 4 ) = 25 + 10 ( 4 – 2 ) = $ 45 Análisis La función se representa en la . Podemos ver dónde cambia la función de una constante a una identidad desplazada y estirada en g = 2. Trazamos los gráficos de las diferentes fórmulas en un conjunto común de ejes, asegurándonos de que cada fórmula se aplica en su propio dominio. Cómo Dada una función definida por partes, dibuje un gráfico. Indique en el eje x los límites definidos por los intervalos en cada parte del dominio. Para cada parte del dominio, grafique en ese intervalo usando la ecuación correspondiente a esa parte. No grafique dos funciones en un intervalo porque violaría el criterio de una función. Graficar una función definida por partes Dibuje un gráfico de la función. f ( x ) = { x 2 si x ≤ 1 3 si 1 < x ≤ 2 x si x > 2 Cada una de las funciones de los componentes es de nuestra biblioteca de funciones de la caja de herramientas, por lo que conocemos sus formas. Podemos imaginarnos el gráfico de cada función y luego limitarlo al dominio indicado. En los puntos finales del dominio, dibujamos círculos abiertos para indicar que el punto final no está incluido debido a una desigualdad menor que o mayor que; dibujamos un círculo cerrado donde el punto final está incluido debido a una desigualdad menor que o igual que o mayor que. La muestra los tres componentes de la función definida por partes graficados en sistemas de coordenadas separados. (a) f ( x ) = x 2 si x ≤ 1 ; (b) f ( x ) = 3 si 1< x ≤ 2 ; (c) f ( x ) = x si x > 2 Ahora que hemos dibujado cada pieza individualmente, las combinamos en el mismo plano de coordenadas. Vea la . Análisis Observe que el gráfico pasa la prueba de la línea vertical incluso en x = 1 y x = 2 porque los puntos ( 1 , 3 ) y ( 2 , 2 ) no forman parte del gráfico de la función, aunque ( 1 , 1 ) y ( 2 , 3 ) sí lo son. Ejercicio Grafique la siguiente función definida por partes. f ( x ) = { x 3 si x < - 1 - 2 si − 1 < x < 4 x si x > 4 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede aplicar más de una fórmula de una función definida por partes a un valor del dominio? No. Cada valor corresponde a una ecuación de una fórmula definida por partes. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el dominio y el rango. Dominio y rango de las funciones de raíz cuadrada Determinar el dominio y el rango Hallar el dominio y el rango dado el gráfico Hallar el dominio y el rango dada una tabla Hallar el dominio y el rango dados los puntos en un plano de coordenadas Conceptos clave El dominio de una función incluye todos los valores reales de entrada que no nos harían intentar una operación matemática indefinida, como dividir entre cero o sacar la raíz cuadrada de un número negativo. El dominio de una función puede determinarse enumerando los valores de entrada de un conjunto de pares ordenados. Vea el . El dominio de una función también puede determinarse identificando los valores de entrada de una función escrita como una ecuación. Vea el , el y el . Los valores de los intervalos representados en una recta numérica pueden describirse utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Vea el . Para muchas funciones, el dominio y el rango se pueden determinar a partir de un gráfico. Vea el y el . La comprensión de las funciones de la caja de herramientas puede utilizarse para encontrar el dominio y el rango de las funciones relacionadas. Vea el , el y el . Una función definida por partes se describe con más de una fórmula. Vea el y el . Una función definida por partes se puede graficar utilizando cada fórmula algebraica en su subdominio asignado. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué el dominio difiere para las distintas funciones? El dominio de una función depende de qué valores de la variable independiente hacen que la función sea indefinida o imaginaria. ¿Cómo se determina el dominio de una función definida por una ecuación? Explique por qué el dominio de f ( x ) = x 3 es diferente del dominio de f ( x ) = x . No hay ninguna restricción para x por f ( x ) = x 3 porque se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número real. Así que el dominio son todos los números reales, ( - ∞ , ∞ ) . Cuando se trata del conjunto de los números reales, no se puede sacar la raíz cuadrada de los números negativos. Así que los valores de x están restringidos para f ( x ) = x a números no negativos y el dominio es [ 0 , ∞ ) . Al describir conjuntos de números utilizando la notación intervalo, ¿cuándo se utiliza un paréntesis y cuándo un corchete? ¿Cómo se grafica una función definida por partes? Grafique cada fórmula de la función definida por partes sobre su correspondiente dominio. Utilice la misma escala para el eje x y para el eje y para cada gráfico. Indique los puntos finales inclusivos con un círculo sólido y los puntos finales exclusivos con un círculo abierto. Utilice una flecha para indicar − ∞ o ∞ . Combine los gráficos para encontrar el gráfico de la función definida por partes. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función utilizando la notación intervalo. f ( x ) = - 2 x ( x – 1 ) ( x - 2 ) f ( x ) = 5 - 2 x 2 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 3 x - 2 f ( x ) = 3 - 6 - 2 x ( - ∞ , 3 ] f ( x ) = 4 - 3 x f ( x ) = x 2 + 4 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 1 - 2 x 3 f ( x ) = x – 1 3 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 9 x - 6 f ( x ) = 3 x + 1 4 x + 2 ( - ∞ , - 1 2 ) ∪ ( - 1 2 , ∞ ) f ( x ) = x + 4 x - 4 f ( x ) = x - 3 x 2 + 9 x − 22 ( - ∞ , − 11 ) ∪ ( − 11 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) f ( x ) = 1 x 2 - x - 6 f ( x ) = 2 x 3 − 250 x 2 - 2 x - 15 ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( - 3 , 5 ) ∪ ( 5 , ∞ ) 5 x - 3 2 x + 1 5 - x ( - ∞ , 5 ) f ( x ) = x - 4 x - 6 f ( x ) = x - 6 x - 4 [ 6 , ∞ ) f ( x ) = x x f ( x ) = x 2 - 9 x x 2 − 81 ( - ∞ , − 9 ) ∪ ( − 9 , 9 ) ∪ ( 9 , ∞ ) Halle el dominio de la función f ( x ) = 2 x 3 − 50 x al: Ⓐ utilizar el álgebra. Ⓑ graficar la función en el radicando y determinar los intervalos en el eje x para los cuales el radicando es no negativo. Gráficos En los siguientes ejercicios, escriba el dominio y el rango de cada función utilizando la notación intervalo. dominio: ( 2 , 8 ] , rango [ 6 , 8 ) dominio: [ − 4 , 4], rango: [ 0 , 2] dominio: [ − 5 , 3 ) , rango: [ 0 , 2 ] dominio: ( - ∞ , 1 ] , rango: [ 0 , ∞ ) dominio: [ − 6 , - 1 6 ] ∪ [ 1 6 , 6 ] ; rango: [ − 6 , - 1 6 ] ∪ [ 1 6 , 6 ] dominio: [ − 3 , ∞ ) ; rango: [ 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función definida por partes. Escriba el dominio en notación intervalo. f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { 2 x – 1 si x < 1 1 + x si x ≥ 1 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x + 1 si x < 0 x – 1 si x > 0 f ( x ) = { 3 si x < 0 x si x ≥ 0 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x 2 si x < 0 1 - x si x > 0 f ( x ) = { x 2 x + 2 si x < 0 si x ≥ 0 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x + 1 si x < 1 x 3 si x ≥ 1 f ( x ) = { | x | 1 si x < 2 si x ≥ 2 dominio: ( - ∞ , ∞ ) Numéricos En los siguientes ejercicios, dada cada función f , evaluar f ( −3 ) , f ( −2 ) , f ( –1 ) y f ( 0 ) . f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { 1 si x ≤ − 3 0 si x > − 3 f ( - 3 ) = 1 ; f ( – 2 ) = 0 ; f ( - 1 ) = 0 ; f ( 0 ) = 0 f ( x ) = { − 2 x 2 + 3 si x ≤ - 1 5 x - 7 si x > − 1 En los siguientes ejercicios, dada cada función f , evaluar f ( –1 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) y f ( 4 ) . f ( x ) = { 7 x + 3 si x < 0 7 x + 6 si x ≥ 0 f ( - 1 ) = – 4 ; f ( 0 ) = 6 ; f ( 2 ) = 20 ; f ( 4 ) = 34 f ( x ) = { x 2 - 2 si x < 2 4 + | x - 5 | si x ≥ 2 f ( x ) = { 5 x si x < 0 3 si 0 ≤ x ≤ 3 x 2 si x > 3 f ( - 1 ) = - 5 ; f ( 0 ) = 3 ; f ( 2 ) = 3 ; f ( 4 ) = 16 En los siguientes ejercicios, escriba el dominio de la función definida por partes en notación intervalo. f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { x 2 - 2 si x < 1 - x 2 + 2 si x > 1 dominio: ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) f ( x ) = { 2 x - 3 - 3 x 2 si x < 0 si x ≥ 2 En tecnología Grafique y = 1 x 2 en la ventana de visualización [ -0,5 , -0,1 ] y [ 0,1 , 0,5 ] . Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos. ventana: [ − 0,5 , − 0,1 ] ; rango: [ 4 , 100 ] ventana: [ 0,1 , 0,5 ] ; rango: [ 4 , 100 ] Grafique y = 1 x en la ventana de visualización [ -0,5 , -0,1 ] y [ 0,1 , 0,5 ] . Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos. Extensión Supongamos que el rango de una función f es [ −5 , 8 ] . ¿Cuál es el rango de | f ( x ) | ? [ 0 , 8 ] Cree una función cuyo rango sean todos los números reales no negativos. Cree una función en la que el dominio sea x > 2. Muchas respuestas. Una función es f ( x ) = 1 x - 2 . Aplicaciones en el mundo real La altura h de un proyectil es una función del tiempo t que está en el aire. La altura en pies para t segundos viene dada por la función h ( t ) = –16 t 2 + 96 t . ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué significa el dominio en el contexto del problema? El costo en dólares de hacer x artículos viene dada por la función C ( x ) = 10 x + 500. Ⓐ El costo fijo se determina cuando se producen cero artículos. Halle el costo fijo de este artículo. Ⓑ ¿Cuál es el costo de fabricación de 25 artículos? Ⓒ Supongamos que el costo máximo permitido es de 1.500 dólares. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función de costos, C ( x ) ? notación intervalo un método para describir un conjunto que incluye todos los números entre un límite inferior y un límite superior; los valores inferior y superior se enumeran entre paréntesis o corchetes: un corchete que indica la inclusión en el conjunto y un paréntesis indica la exclusión función definida por partes una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida notación del constructor de conjuntos un método para describir un conjunto mediante una regla que todos sus miembros obedecen; tiene la forma { x | enunciado de x }", "section": "Dominio y rango", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Tasas de variación y comportamiento de los gráficos Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/showtext.cfm?t=ptb0524. Consultado el 5 mar 2014. muestra el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina entre los años 2005 a 2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año. y 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 C ( y ) 2,31 2,62 2,84 3,30 2,41 2,84 3,58 3,68 Si solo nos interesara la evolución de los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón ha pasado de 2,31 a 3,68 dólares, lo que supone un aumento de 1,37 dólares. Aunque esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto ha cambiado el precio por año . En esta sección, investigaremos cambios como estos. Hallar la tasa media de cambio de una función La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada. Tasa de cambio promedio = Cambio en la salida Cambio en la entrada = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 La letra griega Δ (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos el cociente como “delta y sobre delta x \" o \"el cambio en y dividido entre el cambio en x . De vez en cuando escribimos Δ f en vez de Δ y , que sigue representando el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estemos cambiando la función por otra. En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó 1,37 dólares de 2005 a 2012. A lo largo de 7 años, la tasa de cambio promedio fue Δ y Δ x = $ 1,37 7 años ≈ 0,196 dólares al año En promedio, el precio de la gasolina aumentó unos 19,6 céntimos cada año. Otros ejemplos de tasas de cambio son: Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana Un automóvil que viaja a 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia en 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo) Un automóvil que recorre 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón) La corriente que atraviesa un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de aumento de voltaje La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en 4.000 dólares por trimestre Tasa de cambio Una tasa de cambio describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Las unidades de una tasa de cambio son \"unidades de salida por unidades de entrada”. La tasa de cambio promedio entre dos valores de entrada es el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido entre el cambio de los valores de entrada. Δ y Δ x = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 Cómo Dado el valor de una función en diferentes puntos, calcule la tasa de cambio promedio de una función para el intervalo entre dos valores x 1 y x 2 . Calcule la diferencia y 2 - y 1 = Δ y . Calcule la diferencia x 2 - x 1 = Δ x . Halle el cociente Δ y Δ x . Calcular la tasa de cambio promedio Utilizando los datos de la , halle la tasa de cambio promedio del precio de la gasolina entre 2007 y 2009. En 2007, el precio de la gasolina era de 2,84 dólares. En 2009, el costo fue de 2,41 dólares. La tasa de cambio promedio es Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = $ 2,41 − $ 2,84 2009 − 2007 = − $ 0,43 2 años = − $ 0,22 por año Análisis Observe que una disminución se expresa con un cambio negativo o \"aumento negativo”. Una tasa de cambio es negativa cuando la producción disminuye mientras que la entrada aumenta o cuando la producción aumenta mientras que la entrada disminuye. Ejercicio Utilizando los datos de la , halle la tasa de cambio promedio entre 2005 y 2010. $ 2,84 − $ 2,31 5 años = $ 0,53 5 años = $ 0,106 por año. Calcular la tasa de cambio promedio a partir de un gráfico Dada la función g ( t ) que se muestra en la , halle la tasa de cambio promedio en el intervalo [ - 1 , 2 ] . A t = - 1 , la muestra g ( –1 ) = 4. En t = 2 , el gráfico muestra g ( 2 ) = 1. El cambio horizontal Δ t = 3 se muestra con la flecha roja, y el cambio vertical Δ g ( t ) = - 3 se muestra con la flecha turquesa. La salida cambia en -3 mientras que la entrada cambia en 3, lo que da una tasa de cambio promedio de 1 - 4 2 - ( - 1 ) = - 3 3 = –1 Análisis Observe que el orden que elegimos es muy importante. Si, por ejemplo, utilizamos y 2 - y 1 x 1 - x 2 , no obtendremos la respuesta correcta. Decida qué punto será el 1 y qué punto será el 2, y mantenga las coordenadas fijas como ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) . Calcular la tasa de cambio promedio a partir de una tabla Después de recoger a una amiga que vive a 10 millas de distancia, Anna registra la distancia que le separa de su casa a lo largo del tiempo. Los valores se muestran en la . Calcule la rapidez promedio durante las primeras 6 horas. t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 D (t ) (millas) 10 55 90 153 214 240 292 300 En este caso, la rapidez media es la tasa de cambio promedio. Recorrió 282 millas en 6 horas, para una rapidez media de 292 − 10 6 - 0 = 282 6 = 47 La rapidez media es de 47 millas por hora. Análisis Como la rapidez no es constante, la rapidez media depende del intervalo elegido. Para el intervalo [2,3], la rapidez media es de 63 millas por hora. Calcular la tasa de cambio promedio de una función expresada como fórmula Calcule la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x 2 – 1 x en el intervalo [2, 4]. Podemos empezar calculando los valores de la función en cada punto final del intervalo. f ( 2 ) = 2 2 – 1 2 f ( 4 ) = 4 2 – 1 4 = 4 - 1 2 = 16 − 1 4 = 7 2 = 63 4 Ahora calculamos la tasa de cambio promedio. Tasa de cambio promedio = f ( 4 ) - f ( 2 ) 4 – 2 = 63 4 - 7 2 4 – 2 = 49 4 2 = 49 8 Ejercicio Halle la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x - 2 x en el intervalo [ 1 , 9 ] . 1 2 Hallar la tasa promedio de cambio de una fuerza La fuerza electrostática F , medida en newtons, entre dos partículas cargadas puede relacionarse con la distancia entre las partículas d , en centímetros, mediante la fórmula F ( d ) = 2 d 2 . Halle la tasa de cambio promedio de la fuerza si la distancia entre las partículas se incrementa de 2 cm a 6 cm. Estamos calculando la tasa de cambio promedio de F ( d ) = 2 d 2 en el intervalo [ 2 , 6 ] . Tasa de cambio promedio = F ( 6 ) – F ( 2 ) 6 - 2 = 2 6 2 - 2 2 2 6 - 2 Simplifique . = 2 36 − 2 4 4 = - 16 36 4 Combine los términos del numerador . = - 1 9 Simplifique La tasa de cambio promedio es − 1 9 newton por centímetro. Hallar una tasa de cambio promedio como expresión Halle la tasa media de cambio de g ( t ) = t 2 + 3 t + 1 en el intervalo [ 0 , a ] . La respuesta será una expresión que incluya a . Utilizamos la fórmula de la tasa de cambio promedio. Tasa de cambio promedio = g ( a ) - g ( 0 ) a − 0 Evalúe . = ( a 2 + 3 a + 1 ) - ( 0 2 + 3 ( 0 ) + 1 ) a − 0 Simplifique . = a 2 + 3 a + 1 - 1 a Simplifique y factorice . = a ( a + 3 ) a Dividir entre el factor común a . = a + 3 Este resultado nos indica la tasa de cambio promedio en términos de a entre t = 0 y cualquier otro punto t = a . Por ejemplo, en el intervalo [ 0 , 5 ] , la tasa de cambio promedio sería 5 + 3 = 8. Ejercicio Halle la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x 2 + 2 x - 8 en el intervalo [ 5 , a ] . a + 7 Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función. La función f ( x ) = x 3 - 12 x es creciente en ( - ∞ , - 2 ) ∪ ​ ​ ( 2 , ∞ ) y decreciente en ( – 2 , 2 ) . Mientras que algunas funciones son crecientes (o decrecientes) en todo su dominio, muchas otras no lo son. Un valor de la entrada en el que una función pasa de ser creciente a decreciente (al ir de izquierda a derecha, es decir, al aumentar la variable de entrada) es la ubicación de un máximo local . El valor de la función en ese punto es el máximo local. Si una función tiene más de uno, decimos que tiene máximos locales. Del mismo modo, un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que la variable de entrada aumenta es la ubicación de un mínimo local . El valor de la función en ese punto es el mínimo local. La forma plural es \"mínimos locales\". En conjunto, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales , o valores extremos locales, de la función (la forma singular es “extremo”). A menudo, el término local se sustituye por el término relativo . En este texto, utilizaremos el término local . Es evidente que una función no es creciente ni decreciente en un intervalo en el que es constante. Una función tampoco es creciente ni decreciente en los extremos. Observe que tenemos que hablar de extremos locales , porque cualquier extremo local dado, tal como se define aquí, no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función. Para la función cuyo gráfico se muestra en la , el máximo local es 16, y se produce en x = -2. El mínimo local es −16 y se produce en x = 2. Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Como la cima de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en los puntos cercanos de ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La ilustra estas ideas para un máximo local. Definición de un máximo local Estas observaciones nos llevan a una definición formal de los extremos locales. Mínimos y máximos locales Una función f es una función creciente en un intervalo abierto si f ( b ) > f ( a ) para cada dos valores de entrada a y b en el intervalo donde b > a . Una función f es una función decreciente en un intervalo abierto si f ( b ) < f ( a ) para cada dos valores de entrada a y b en el intervalo donde b > a . Una función f tiene un máximo local en un punto b en un intervalo abierto ( a , c ) si f ( b ) ≥ f ( x ) para cada punto x ( x no es igual a b ) en el intervalo. f tiene un mínimo local en un punto b en ( a , c ) si f ( b ) ≤ f ( x ) para cada punto x ( x no es igual a b ) en el intervalo. Hallar intervalos crecientes y decrecientes en un gráfico Dada la función p ( t ) en la , identifique los intervalos en los que la función parece ser creciente. Vemos que la función no es constante en ningún intervalo. La función es creciente cuando se inclina hacia arriba a medida que nos movemos hacia la derecha y decreciente cuando se inclina hacia abajo a medida que nos movemos hacia la derecha. La función parece aumentar de t = 1 con t = 3 y de t = 4 en adelante. En notación intervalo , diríamos que la función parece ser creciente en el intervalo (1, 3) y el intervalo ( 4 , ∞ ) . Análisis Observe que en este ejemplo hemos utilizado intervalos abiertos (intervalos que no incluyen los puntos finales), porque la función no es ni creciente ni decreciente en t = 1 , t = 3 y t = 4 . Estos puntos son los extremos locales (dos mínimos y un máximo). Hallar los extremos locales de un gráfico Grafique la función f ( x ) = 2 x + x 3 . A continuación, utilice el gráfico para estimar los extremos locales de la función y para determinar los intervalos en los que la función es creciente. Utilizando la tecnología, encontramos que el gráfico de la función se parece al que aparece en la . Parece que hay un punto bajo, o mínimo local, entre x = 2 y x = 3 , y un punto alto reflejado, o máximo local, en algún lugar entre x = −3 y x = –2. Análisis La mayoría de las calculadoras y utilidades para graficar pueden estimar la ubicación de los máximos y los mínimos. La proporciona imágenes de pantalla de dos tecnologías diferentes que muestran la estimación del máximo y el mínimo locales. Según estas estimaciones, la función es creciente en el intervalo ( - ∞ , - 2 ,449) y ( 2,449 , ∞ ) . Observe que, aunque se espera que los extremos sean simétricos, las dos tecnologías diferentes solo coinciden hasta cuatro decimales debido a los diferentes algoritmos de aproximación utilizados por cada una (la ubicación exacta de los extremos se encuentra en ± 6 , pero para determinarlo hay que hacer cálculos). Ejercicio Grafique la función f ( x ) = x 3 - 6 x 2 − 15 x + 20 para estimar los extremos locales de la función. Utilícelos para determinar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. Parece que el máximo local se produce en ( - 1 , 28 ) , y el mínimo local se produce en ( 5 , − 80 ) . La función es creciente en ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 5 , ∞ ) y decreciente en ( - 1 , 5 ) . Encontrar los máximos y mínimos locales de un gráfico Para la función f cuyo gráfico se muestra en la , halle todos los máximos y mínimos locales. Observe el gráfico de f . El gráfico alcanza un máximo local en x = 1 porque es el punto más alto en un intervalo abierto alrededor de x = 1. El máximo local es la coordenada y en x = 1 , que es 2. El gráfico alcanza un mínimo local en x = −1 porque es el punto más bajo de un intervalo abierto alrededor de x = −1. El mínimo local es la coordenada y en x = −1 , que es -2. Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la , la y la . Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas y (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto , respectivamente. Para localizar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos en el dominio de la función. Vea la . No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función de la caja de herramientas f ( x ) = x 3 es una de esas funciones. Máximos y mínimos absolutos El máximo absoluto de f en x = c es f ( c ) donde f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de f . El mínimo absoluto de f en x = d es f ( d ) donde f ( d ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de f . Encontrar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico Para la función f que se muestra en la , halle todos los máximos y mínimos absolutos. Observe el gráfico de f . El gráfico alcanza un máximo absoluto en dos lugares, x = −2 y x = 2 , porque en estos lugares, el gráfico alcanza su punto más alto en el dominio de la función. El máximo absoluto es la coordenada y en x = −2 y x = 2 , que es 16. El gráfico alcanza un mínimo absoluto en x = 3 , porque es el punto más bajo del dominio del gráfico de la función. El mínimo absoluto es la coordenada y en x = 3 , que es −10. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las tasas de cambio. Tasa de cambio promedio Ecuaciones clave Tasa promedio de cambio Δ y Δ x = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 Conceptos clave La tasa de cambio relaciona el cambio de una cantidad de salida con el de una cantidad de entrada. La tasa de cambio promedio se determina utilizando solo los datos iniciales y finales. Vea el . La identificación de los puntos que marcan el intervalo en un gráfico puede utilizarse para hallar la tasa de cambio promedio. Vea el . La comparación de pares de valores de entrada y salida en una tabla también puede utilizarse para encontrar la tasa de cambio promedio. Vea el . Una tasa de cambio promedio también se puede calcular determinando los valores de la función en los puntos finales de un intervalo descrito por una fórmula. Vea el y el . A veces, la tasa de cambio promedio puede determinarse como una expresión. Vea el . Una función es creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando su tasa de cambio es negativa. Vea el . Un máximo local es cuando una función pasa de ser creciente a decreciente y tiene un valor de salida mayor (más positivo o menos negativo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos. Un mínimo local es cuando la función pasa de ser decreciente a creciente (a medida que aumenta la entrada) y tiene un valor de salida menor (más negativo o menos positivo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos. Los mínimos y los máximos también se llaman extremos. Podemos encontrar los extremos locales de un gráfico. Vea el y el . Los puntos más altos y más bajos de un gráfico indican los máximos y los mínimos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿La tasa de cambio promedio de una función puede ser constante? Sí, la tasa de cambio promedio de todas las funciones lineales es constante. Si una función f es creciente en ( a , b ) y decreciente en ( b , c ) , entonces qué se puede decir del extremo local de f sobre ( a , c ) ? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el máximo y el mínimo absolutos de los extremos locales? El máximo y el mínimo absolutos se refieren a todo el gráfico, mientras que los extremos locales se refieren solo a una región específica alrededor de un intervalo abierto. ¿Cómo se compara el gráfico de la función de valor absoluto con el gráfico de la función cuadrática y = x 2 , en términos de intervalos crecientes y decrecientes? Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado para los números reales b o h . f ( x ) = 4 x 2 - 7 en [ 1 , b ] 4 ( b + 1 ) g ( x ) = 2 x 2 - 9 en [ 4 , b ] p ( x ) = 3 x + 4 en [ 2 , 2 + h ] 3 k ( x ) = 4 x - 2 en [ 3 , 3 + h ] f ( x ) = 2 x 2 + 1 en [ x , x + h ] 4 x + 2 h g ( x ) = 3 x 2 - 2 en [ x , x + h ] a ( t ) = 1 t + 4 en [ 9 , 9 + h ] - 1 13 ( 13 + h ) b ( x ) = 1 x + 3 en [ 1 , 1 + h ] j ( x ) = 3 x 3 en [ 1 , 1 + h ] 3 h 2 + 9 h + 9 r ( t ) = 4 t 3 en [ 2 , 2 + h ] f ( x ) = 2 x 2 - 3 x en [ x , x + h ] 4 x + 2 h − 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de f que se muestra en la . Estime la tasa de cambio promedio de x = 1 a x = 4. Estime la tasa promedio de cambio de x = 2 hasta x = 5. 4 3 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de cada función para estimar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. creciente en ( - ∞ , − 2,5 ) ∪ ( 1 , ∞ ) , decreciente en ( − 2,5 , 1 ) creciente en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 3 , 4 ) , decreciente en ( 1 , 3 ) ∪ ( 4 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico mostrado en la . Estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Estime el punto o puntos en los que el gráfico de f tiene un máximo o un mínimo local. máximo local: ( - 3 , 50 ) , mínimo local: ( 3 , − 50 ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico en la . Si se muestra el gráfico completo de la función, estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Si se muestra el gráfico completo de la función, estime el máximo absoluto y el mínimo absoluto. máximo absoluto a aproximadamente ( 7 , 150 ) , mínimo absoluto a aproximadamente ( -7,5 , -220 ) Numéricos La da las ventas anuales (en millones de dólares) de un producto desde 1998 hasta 2006. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de las ventas anuales (a) entre 2001 y 2002, y (b) entre 2001 y 2004? Año Ventas (millones de dólares) 1998 201 1999 219 2000 233 2001 243 2002 249 2003 251 2004 249 2005 243 2006 233 La da la población de una ciudad (en miles) de 2000 a 2008. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de la población (a) entre 2002 y 2004, y (b) entre 2002 y 2006? Año Población (miles) 2000 87 2001 84 2002 83 2003 80 2004 77 2005 76 2006 78 2007 81 2008 85 a. –3000; b. –1250 En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado. f ( x ) = x 2 en [ 1 , 5 ] h ( x ) = 5 - 2 x 2 en [ −2 , 4 ] -4 q ( x ) = x 3 en [ -4 , 2 ] g ( x ) = 3 x 3 - 1 en [ −3 , 3 ] 27 y = 1 x en [ 1 , 3 ] p ( t ) = ( t 2 - 4 ) ( t + 1 ) t 2 + 3 en [ −3 , 1 ] -0,167 k ( t ) = 6 t 2 + 4 t 3 en [ −1 , 3 ] En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para estimar los extremos locales de cada función y para estimar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. f ( x ) = x 4 - 4 x 3 + 5 Mínimo local en ( 3 , − 22 ) , decreciente en ( - ∞ , 3 ) , creciente en ( 3 , ∞ ) h ( x ) = x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 – 1 g ( t ) = t t + 3 Mínimo local en ( – 2 , - 2 ) , decreciente en ( - 3 , - 2 ) , creciente en ( – 2 , ∞ ) k ( t ) = 3 t 2 3 - t m ( x ) = x 4 + 2 x 3 - 12 x 2 - 10 x + 4 Máximo local en ( − 0,39 , 5,98 ) , mínimos locales en ( − 3,15 , − 47,62 ) y ( 2,04 , 32,04 ) , decreciente en ( - ∞ , − 3,15 ) ∪ ( − 0,39 , 2,04 ) , creciente en ( − 3,15 , − 0,39 ) ∪ ( 2,04 , ∞ ) n ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 - 6 x + 2 Extensión El gráfico de la función f se muestra en la . Según la captura de pantalla de la calculadora, el punto ( 1,333 , 5,185 ) es ¿cuál de los siguientes? Ⓐ un máximo relativo (local) de la función Ⓑ el vértice de la función Ⓒ el máximo absoluto de la función Ⓓ un cero de la función A Supongamos que f ( x ) = 1 x . Halle un número c tal que la tasa de cambio promedio de la función f en el intervalo ( 1 , c ) es - 1 4 . Supongamos que f ( x ) = 1 x . Halle el número b tal que la tasa de cambio promedio de f en el intervalo ( 2 , b ) es - 1 10 . b = 5 Aplicaciones en el mundo real Al inicio de un viaje, el odómetro de un automóvil marcaba 21.395. Al final del viaje, 13,5 horas después, el odómetro marcaba 22.125. Supongamos que la escala del odómetro está en millas. ¿Cuál es la rapidez media a la que viajó el automóvil durante este viaje? Un conductor de un automóvil se detuvo en una gasolinera para llenar el tanque de gasolina. Miró su reloj y la hora marcaba exactamente las 3:40 p. m. En ese momento, empezó a echar gasolina al tanque. A las 3:44 exactamente, el tanque estaba lleno y se dio cuenta de que bombeó 10,7 galones. ¿Cuál es la tasa promedio de flujo de la gasolina en el tanque? 2,7 galones por minuto Cerca de la superficie de la luna, la distancia a la que cae un objeto es una función del tiempo. Viene dado por d ( t ) = 2,6667 t 2 , donde t está en segundos y d ( t ) está en pies. Si se deja caer un objeto desde cierta altura, halle la rapidez media del objeto desde t = 1 con t = 2. El gráfico de la ilustra la desintegración de una sustancia radiactiva a lo largo de t días. Utilice el gráfico para estimar la tasa de cambio promedio de desintegración de t = 5 al t = 15. aproximadamente -0,6 miligramos por día máximo absoluto el mayor valor de una función en un intervalo mínimo absoluto el valor más bajo de una función en un intervalo tasa de cambio promedio la diferencia de los valores de salida de una función encontrada para dos valores de la entrada dividida entre la diferencia entre las entradas función decreciente una función es decreciente en algún intervalo abierto si f ( b ) < f ( a ) para dos valores de entrada cualesquiera a y b en el intervalo dado donde b > a función creciente una función es creciente en algún intervalo abierto si f ( b ) > f ( a ) para dos valores de entrada cualesquiera a y b en el intervalo dado donde b > a extremos locales colectivamente, todos los máximos y mínimos locales de una función máximo local un valor de la entrada en el que una función cambia de creciente a decreciente a medida que aumenta el valor de la entrada. mínimo local un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que aumenta el valor de la entrada. tasa de cambio el cambio de una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada", "section": "Tasas de variación y comportamiento de los gráficos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Composición de las funciones Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura promedio diaria y, a su vez, la temperatura promedio diaria depende del día particular del año. Observe que acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día. Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función C ( T ) da el costo C de calentar una casa para una determinada temperatura promedio diaria en T grados Celsius. La función T ( d ) da la temperatura promedio diaria en el día d del año. Para un día cualquiera, Costo = C ( T ( d ) ) significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costos a la temperatura T ( d ) . Por ejemplo, podríamos evaluar T ( 5 ) para determinar la temperatura media diaria del 5.º día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costos a esa temperatura. Escribiríamos C ( T ( 5 ) ) . Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de las funciones, que es el objetivo de esta sección. Combinar funciones mediante operaciones algebraicas La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función. Supongamos que tenemos que sumar dos columnas de números que representan los ingresos anuales por separado de una pareja durante un periodo de años, y el resultado es el total de los ingresos de la familia. Queremos hacer esto para cada año, añadiendo solo los ingresos de ese año y recogiendo luego todos los datos en una nueva columna. Si los valores de w ( y ) es el ingreso de la esposa y h ( y ) es el ingreso del esposo en el año y , y queremos que T represente los ingresos totales, entonces podemos definir una nueva función. T ( y ) = h ( y ) + w ( y ) Si esto es cierto para todos los años, entonces podemos centrarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir T = h + w Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y cociente para cualquier par de funciones que tengan el mismo tipo de entradas (no necesariamente números) y también el mismo tipo de salidas (que sí tienen que ser números para que se les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que además deben tener las mismas unidades o ninguna cuando sumamos y restamos). De este modo, podemos pensar en funciones de suma, resta, multiplicación y división. Para dos funciones f ( x ) y g ( x ) con salidas de números reales, definimos nuevas funciones f + g , f − g , f g , y f g por las relaciones ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f − g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) Realizar operaciones algebraicas con funciones Halle y simplifique las funciones ( g − f ) ( x ) y ( g f ) ( x ) , dado f ( x ) = x – 1 y g ( x ) = x 2 − 1. ¿Son estas la misma función? Comience escribiendo la forma general y luego sustituya las funciones dadas. ( g − f ) ( x ) = g ( x ) - f ( x ) ( g − f ) ( x ) = x 2 – 1 - ( x – 1 ) ( g − f ) ( x ) = x 2 - x ( g − f ) ( x ) = x ( x – 1 ) ( g f ) ( x ) = g ( x ) f ( x ) ( g f ) ( x ) = x 2 – 1 x – 1 ( g f ) ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) x – 1 donde x ≠ 1 ( g f ) ( x ) = x + 1 No, las funciones no son las mismas. Nota: Para ( g f ) ( x ) , la condición x ≠ 1 es necesaria porque cuando x = 1 , el denominador es igual a 0, lo que hace que la función sea indefinida. Ejercicio Halle y simplifique las funciones ( f g ) ( x ) y ( f − g ) ( x ) . f ( x ) = x – 1 y g ( x ) = x 2 – 1 ¿Son estas la misma función? ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x – 1 ) ( x 2 – 1 ) = x 3 - x 2 - x + 1 ( f − g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = ( x – 1 ) - ( x 2 – 1 ) = x – x 2 No, las funciones no son las mismas. Crear una función por composición de las funciones Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones . El resultado se conoce como función compuesta . Representamos esta combinación mediante la siguiente notación: ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) Leemos el lado izquierdo como “ f compuesto con g a las x ” , y el lado derecho como “ f de g de x ” . Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo del círculo abierto ∘ se denomina operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando queremos destacar la relación entre las propias funciones sin referirnos a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de las funciones con la multiplicación porque, como hemos aprendido anteriormente, en la mayoría de los casos f ( g ( x ) ) ≠ f ( x ) g ( x ) . También es importante entender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con los paréntesis, comenzando por los más internos y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la función g toma la entrada x primero y da una salida g ( x ) . Entonces la función f toma g ( x ) como entrada y produce una salida f ( g ( x ) ) . En general, f ∘ g y g ∘ f son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos f ( g ( x ) ) ≠ g ( f ( x ) ) para todo x . También veremos que a veces dos funciones solo pueden componerse en un orden concreto. Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x + 2 , entonces f ( g ( x ) ) = f ( x + 2 ) = ( x + 2 ) 2 = x 2 + 4 x + 4 pero g ( f ( x ) ) = g ( x 2 ) = x 2 + 2 Estas expresiones no son iguales para todos los valores de x , por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el único valor de entrada x = - 1 2 . Observe que el rango de la función interior (la primera función a evaluar) tiene que estar dentro del dominio de la función exterior. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas. Composición de las funciones Cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra, llamamos a la operación completa composición de las funciones. Para cualquier entrada x y funciones f y g , esta acción define una función compuesta , que escribimos como f ∘ g tal que ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) El dominio de la función compuesta f ∘ g es toda x tal que x está en el dominio de g y g ( x ) está en el dominio de f . Es importante observar que el producto de las funciones f g no es lo mismo que la composición de la función f ( g ( x ) ) , porque, en general, f ( x ) g ( x ) ≠ f ( g ( x ) ) . Determinar si la composición de las funciones es conmutativa Utilizando las funciones proporcionadas, halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Determine si la composición de las funciones es conmutativa . f ( x ) = 2 x + 1 g ( x ) = 3 - x Empecemos por sustituir g ( x ) en f ( x ) . f ( g ( x ) ) = 2 ( 3 - x ) + 1 = 6 - 2 x + 1 = 7 - 2 x Ahora podemos sustituir f ( x ) en g ( x ) . g ( f ( x ) ) = 3 - ( 2 x + 1 ) = 3 - 2 x – 1 = - 2 x + 2 Tenemos que g ( f ( x ) ) ≠ f ( g ( x ) ) , por lo que la operación de composición de las funciones no es conmutativa. Interpretar las funciones compuestas La función c ( s ) da el número de calorías quemadas completando s abdominales, y s ( t ) da el número de abdominales que una persona puede completar en t minutos. Interprete c ( s ( 3 ) ) . La expresión interior de la composición es s ( 3 ) . Ya que la entrada de la función s es el tiempo, t = 3 representa 3 minutos, y s ( 3 ) es el número de sentadillas completadas en 3 minutos. Utilizando s ( 3 ) como entrada a la función c ( s ) nos da el número de calorías quemadas durante el número de sentadillas que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente el número de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo sentadillas). Investigar el orden de composición de las funciones Supongamos que f ( x ) da las millas que se pueden conducir en x horas y g ( y ) da los galones de gasolina utilizados al conducir y millas. ¿Cuál de estas expresiones tiene sentido f ( g ( y ) ) o g ( f ( x ) ) ? La función y = f ( x ) es una función cuya salida es el número de millas recorridas correspondientes al número de horas recorridas. número de millas = f ( número de horas ) La función g ( y ) es una función cuya salida es el número de galones utilizados correspondientes al número de millas recorridas. Esto significa: número de galones = g ( número de millas ) La expresión g ( y ) toma las millas como entrada y un número de galones como salida. La función f ( x ) requiere un número de horas como entrada. Intentar introducir un número de galones no tiene sentido. La expresión f ( g ( y ) ) no tiene sentido. La expresión f ( x ) toma las horas como entrada y un número de millas recorridas como salida. La función g ( y ) requiere un número de millas como entrada. Utilizando f ( x ) (millas recorridas) como valor de entrada para g ( y ) , en el que los galones de gasolina dependen de las millas recorridas, sí tiene sentido. La expresión g ( f ( x ) ) tiene sentido, y dará el número de galones de gasolina utilizados, g , al conducir un determinado número de millas, f ( x ) , en x horas. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existen situaciones en las que f ( g ( y ) ) y g ( f ( x ) ) serían ambas expresiones significativas o útiles? Sí. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque suelen producir nuevas funciones diferentes. En los problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones que tienen sentido en cualquier orden. Ejercicio La fuerza gravitacional sobre un planeta a una distancia r del sol viene dada por la función G ( r ) . La aceleración de un planeta sometido a una fuerza cualquiera F viene dada por la función a ( F ) . Forme una composición significativa de estas dos funciones y explique su significado. Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, así que a ( G ( r ) ) tiene sentido como la aceleración de un planeta a una distancia r del Sol (debido a la gravedad), pero G ( a ( F ) ) no tiene sentido. Evaluar funciones compuestas Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa. Evaluar funciones compuestas mediante tablas Cuando se trabaja con funciones dadas como tablas, se leen los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y se trabaja siempre de adentro hacia fuera. Primero evaluamos la función interior y luego utilizamos la salida de la función interior como entrada de la función exterior. Usar una tabla para evaluar una función compuesta Usando la , evalúe f ( g ( 3 ) ) y g ( f ( 3 ) ) . x f ( x ) g ( x ) 1 6 3 2 8 5 3 3 2 4 1 7 Para evaluar f ( g ( 3 ) ), comenzamos desde el interior con el valor de entrada 3. A continuación, evaluamos la expresión interior g ( 3 ) utilizando la tabla que define la función g : g ( 3 ) = 2. Podemos entonces utilizar ese resultado como entrada a la función f , por lo que g ( 3 ) se sustituye por 2 y obtenemos f ( 2 ) . Entonces, utilizando la tabla que define la función f , tenemos que f ( 2 ) = 8. g ( 3 ) = 2 f ( g ( 3 ) ) = f ( 2 ) = 8 Para evaluar g ( f ( 3 ) ), primero evaluamos la expresión interior f ( 3 ) utilizando la primera tabla: f ( 3 ) = 3. Entonces, utilizando la tabla para g , podemos evaluar g ( f ( 3 ) ) = g ( 3 ) = 2 La muestra las funciones compuestas f ∘ g y g ∘ f como tablas. x g ( x ) f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( f ( x ) ) 3 2 8 3 2 Ejercicio Si utilizamos la , evalúe f ( g ( 1 ) ) y g ( f ( 4 ) ) . f ( g ( 1 ) ) = f ( 3 ) = 3 y g ( f ( 4 ) ) = g ( 1 ) = 3 Evaluar funciones compuestas mediante gráficos Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar las funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar las tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, desde los ejes x y y de los gráficos. Cómo Dada una función compuesta y los gráficos de sus funciones individuales, evalúela utilizando la información proporcionada por los gráficos. Localice la entrada dada a la función interna en el eje x de su gráfico. Lea la salida de la función interna del eje y de su gráfico. Ubique la salida de la función interna en el eje x del gráfico de la función exterior. Lea la salida de la función externa del eje y de su gráfico. Esta es la salida de la función compuesta. Usar un gráfico para evaluar una función compuesta Usando la , evalúe f ( g ( 1 ) ) . Para evaluar f ( g ( 1 ) ) , comenzamos con la evaluación interna. Vea la . Evaluamos g ( 1 ) utilizando el gráfico de g ( x ) , hallando la entrada de 1 en el eje x y hallando el valor de salida del gráfico en esa entrada. Aquí, g ( 1 ) = 3. Utilizamos este valor como entrada a la función f . f ( g ( 1 ) ) = f ( 3 ) Podemos entonces evaluar la función compuesta mirando el gráfico de f ( x ) , hallando la entrada de 3 en el eje x y leyendo el valor de salida del gráfico en esta entrada. Aquí, f ( 3 ) = 6 , por lo que f ( g ( 1 ) ) = 6. Análisis La muestra cómo podemos marcar los gráficos con flechas para trazar el camino desde el valor de entrada hasta el de salida. Ejercicio Si utilizamos la , evalúe g ( f ( 2 ) ) . g ( f ( 2 ) ) = g ( 5 ) = 3 Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas Cuando se evalúa una función compuesta en la que hemos creado o nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada. Aunque podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una única fórmula que calcule el resultado de una composición f ( g ( x ) ) . Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función como f ( t ) = t 2 - t , sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula siempre que veamos la variable de entrada. Cómo Dada la fórmula de una función compuesta, evalúe la función. Evalúe la función interior utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada. Utilice la salida resultante como entrada a la función exterior. Evaluar una composición de las funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica Dado que f ( t ) = t 2 - t y h ( x ) = 3 x + 2 , evaluar f ( h ( 1 ) ) . Como la expresión interior es h ( 1 ) , comenzamos evaluando h ( x ) en 1. h ( 1 ) = 3 ( 1 ) + 2 h ( 1 ) = 5 Entonces f ( h ( 1 ) ) = f ( 5 ) , por lo que evaluamos f ( t ) a una entrada de 5. f ( h ( 1 ) ) = f ( 5 ) f ( h ( 1 ) ) = 5 2 - 5 f ( h ( 1 ) ) = 20 Análisis No importa cuáles sean las variables de entrada, se llama a t y x en este problema porque evaluamos para valores numéricos específicos. Ejercicio Dados f ( t ) = t 2 - t y h ( x ) = 3 x + 2 , evalúe Ⓐ h ( f ( 2 ) ) Ⓑ h ( f ( – 2 ) ) Ⓐ 8 Ⓑ 20 Halle el dominio de una función compuesta Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como f ∘ g depende del dominio de g y el dominio de f . Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como f ∘ g . Supongamos que conocemos los dominios de las funciones f y g por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada x cuando f ( g ( x ) ) , podemos ver de inmediato que x debe ser miembro del dominio de g para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que g ( x ) debe ser miembro del dominio de f , de lo contrario la segunda evaluación de la función en f ( g ( x ) ) no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de f ∘ g se compone únicamente de las entradas en el dominio de g que producen resultados de g pertenecientes al dominio de f . Observe que el dominio de f compuesto con g es el conjunto de todas las x tal que x está en el dominio de g y g ( x ) está en el dominio de f . Dominio de una función compuesta El dominio de una función compuesta f ( g ( x ) ) es el conjunto de esas entradas x en el dominio de g para la cual g ( x ) está en el dominio de f . Cómo Dada una composición de funciones f ( g ( x ) ) , determine su dominio. Halle el dominio de g . Halle el dominio de f . Halle esas entradas x en el dominio de g para la cual g ( x ) está en el dominio de f . Es decir, excluya aquellas entradas x del dominio de g para la cual g ( x ) no es del dominio de f . El conjunto resultante es el dominio de f ∘ g . Hallar el dominio de una función compuesta Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = 5 x – 1 y g ( x ) = 4 3 x - 2 El dominio de g ( x ) consiste en todos los números reales excepto x = 2 3 , ya que ese valor de entrada nos haría dividir entre 0. Asimismo, el dominio de f consiste en todos los números reales excepto el 1. Así que tenemos que excluir del dominio de g ( x ) ese valor de x para los cuales g ( x ) = 1. 4 3 x - 2 = 1 4 = 3 x - 2 6 = 3 x x = 2 Así que el dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los números reales excepto 2 3 y 2. Esto significa que x ≠ 2 3 o x ≠ 2 Podemos escribirlo en notación de intervalo como ( - ∞ , 2 3 ) ∪ ( 2 3 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) Hallar el dominio de una función compuesta con radicales Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = x + 2 y g ( x ) = 3 - x Como no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de g es ( - ∞ , 3 ] . Ahora comprobamos el dominio de la función compuesta ( f ∘ g ) ( x ) = 3 - x + 2 Para ( f ∘ g ) ( x ) = 3 - x + 2 , 3 - x + 2 ≥ 0 , ya que el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo. Como las raíces cuadradas son positivas, 3 - x ≥ 0 , o, 3 - x ≥ 0 , lo que da un dominio de ( -∞ , 3 ] . Análisis Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de las funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio de f ∘ g puede contener valores que no están en el dominio de f , aunque deben estar en el dominio de g . Ejercicio Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = 1 x - 2 y g ( x ) = x + 4 [ − 4 , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta , por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente. Descomposición de una función Escriba f ( x ) = 5 - x 2 como la composición de dos funciones. Buscamos dos funciones, g y h , por lo que f ( x ) = g ( h ( x ) ) . Para ello, buscamos una función dentro de otra en la fórmula de f ( x ) . Como una posibilidad, podemos notar que la expresión 5 - x 2 es el interior de la raíz cuadrada. Podríamos entonces descomponer la función como h ( x ) = 5 - x 2 y g ( x ) = x Podemos comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones. g ( h ( x ) ) = g ( 5 - x 2 ) = 5 - x 2 Ejercicio Escriba f ( x ) = 4 3 - 4 + x 2 como la composición de dos funciones. Posible respuesta g ( x ) = 4 + x 2 h ( x ) = 4 3 - x f = h ∘ g Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones compuestas. Funciones compuestas Aplicación de la notación de funciones compuestas Funciones compuestas mediante gráficos Descomposición de funciones Valores de la función compuesta Ecuación clave Función compuesta ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) Conceptos clave Podemos realizar operaciones algebraicas con funciones. Vea el . Cuando las funciones se combinan, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa). La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Vea el y el . Al interpretar el significado de las funciones compuestas hay que tener en cuenta el orden de composición de las mismas. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta evaluando la función interna utilizando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una tabla. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta a partir de un gráfico. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta a partir de una fórmula. Vea el . El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Vea el y el . Al igual que las funciones pueden combinarse para formar una función compuesta, las funciones compuestas pueden descomponerse en funciones más simples. A menudo, las funciones pueden descomponerse de más de una manera. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se calcula el dominio del cociente de dos funciones, f g ? Halle los números que hacen la función en el denominador g igual a cero, y compruebe cualquier otra restricción de dominio en f y g , como una raíz par o ceros en el denominador. ¿Cuál es la composición de dos funciones, f ∘ g ? Si se invierte el orden al componer dos funciones, ¿el resultado puede ser siempre el mismo que la respuesta en el orden original de la composición? En caso afirmativo, dé un ejemplo. Si no, explique por qué no. Sí. Ejemplo de respuesta: Supongamos que f ( x ) = x + 1 y g ( x ) = x - 1. Entonces f ( g ( x ) ) = f ( x – 1 ) = ( x – 1 ) + 1 = x y g ( f ( x ) ) = g ( x + 1 ) = ( x + 1 ) - 1 = x . Así que f ∘ g = g ∘ f . ¿Cómo se calcula el dominio para la composición de dos funciones, f ∘ g ? Algebraicos Dados f ( x ) = x 2 + 2 x y g ( x ) = 6 - x 2 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 2 x + 6 , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 2 x 2 + 2 x - 6 , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f g ) ( x ) = - x 4 – 2 x 3 + 6 x 2 + 12 x , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f g ) ( x ) = x 2 + 2 x 6 - x 2 , dominio: ( - ∞ , − 6 ) ∪ ( − 6 , 6 ) ∪ ( 6 , ∞ ) Dado que f ( x ) = - 3 x 2 + x y g ( x ) = 5 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 + 4 x y g ( x ) = 1 2 x , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 + 1 2 x , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 – 1 2 x , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = x + 2 , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Dado que f ( x ) = 1 x - 4 y g ( x ) = 1 6 - x , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 3 x 2 y g ( x ) = x - 5 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 3 x 2 + x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 3 x 2 - x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 3 x 2 x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 3 x 2 x - 5 , dominio: ( 5 , ∞ ) Dado que f ( x ) = x y g ( x ) = | x - 3 | , calcule g f . Determine el dominio de la función en notación intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 + 1 y g ( x ) = 3 x - 5 , calcule lo siguiente: Ⓐ f ( g ( 2 ) ) Ⓑ f ( g ( x ) ) Ⓒ g ( f ( x ) ) Ⓓ ( g ∘ g ) ( x ) Ⓔ ( f ∘ f ) ( – 2 ) Ⓐ 3 Ⓑ f ( g ( x ) ) = 2 ( 3 x - 5 ) 2 + 1 ; Ⓒ g ( f ) ( x ) ) = 6 x 2 - 2 ; Ⓓ ( g ∘ g ) ( x ) = 3 ( 3 x - 5 ) - 5 = 9 x - 20 ; Ⓔ ( f ∘ f ) ( – 2 ) = 163 En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Simplifique sus respuestas. f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x + 2 f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = x 2 + 3 f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2 , g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7 f ( x ) = | x | , g ( x ) = 5 x + 1 f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x + 1 x 3 f ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x , g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 x f ( x ) = 1 x - 6 , g ( x ) = 7 x + 6 f ( x ) = 1 x - 4 , g ( x ) = 2 x + 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 4 En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de funciones para hallar f ( g ( h ( x ) ) ) . Simplifique sus respuestas. f ( x ) = x 4 + 6 , g ( x ) = x - 6 , y h ( x ) = x f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = 1 x , y h ( x ) = x + 3 f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1 Dado que f ( x ) = 1 x y g ( x ) = x - 3 , calcule lo siguiente: Ⓐ ( f ∘ g ) ( x ) Ⓑ el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) en notación intervalo Ⓒ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓓ el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) Ⓔ ( f g ) x Dados f ( x ) = 2 - 4 x y g ( x ) = - 3 x , calcule lo siguiente: Ⓐ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓑ el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) en notación de intervalo Ⓐ Texto ( g ∘ f ) ( x ) = - 3 2 - 4 x ; Ⓑ ( - ∞ , 1 2 ) Dadas las funciones f ( x ) = 1 - x x y g ( x ) = 1 1 + x 2 , calcule lo siguiente: Ⓐ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓑ ( g ∘ f ) ( 2 ) Dadas las funciones p ( x ) = 1 x y m ( x ) = x 2 - 4 , indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo: Ⓐ p ( x ) m ( x ) Ⓑ p ( m ( x ) ) Ⓒ m ( p ( x ) ) Ⓐ ( 0 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) ; Ⓑ ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) ; c. ( 0 , ∞ ) Funciones dadas q ( x ) = 1 x y h ( x ) = x 2 - 9 , indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo. Ⓐ q ( x ) h ( x ) Ⓑ q ( h ( x ) ) Ⓒ h ( q ( x ) ) Para f ( x ) = 1 x y g ( x ) = x – 1 , escriba el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) en notación de intervalo. ( 1 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, halle las funciones f ( x ) y g ( x ) para que la función dada pueda expresarse como h ( x ) = f ( g ( x ) ) . h ( x ) = ( x + 2 ) 2 h ( x ) = ( x - 5 ) 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = x - 5 h ( x ) = 3 x - 5 h ( x ) = 4 ( x + 2 ) 2 muestra: f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2 h ( x ) = 4 + x 3 h ( x ) = 1 2 x - 3 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x - 3 h ( x ) = 1 ( 3 x 2 - 4 ) - 3 h ( x ) = 3 x - 2 x + 5 4 muestra: f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x - 2 x + 5 h ( x ) = ( 8 + x 3 8 - x 3 ) 4 h ( x ) = 2 x + 6 muestra: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x + 6 h ( x ) = ( 5 x – 1 ) 3 h ( x ) = x – 1 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = ( x – 1 ) h ( x ) = | x 2 + 7 | h ( x ) = 1 ( x - 2 ) 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 x - 2 h ( x ) = ( 1 2 x - 3 ) 2 h ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 muestra: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de f , que se muestra en la , y g , que se muestra en la , para evaluar las expresiones. f ( g ( 3 ) ) f ( g ( 1 ) ) 2 g ( f ( 1 ) ) g ( f ( 0 ) ) 5 f ( f ( 5 ) ) f ( f ( 4 ) ) 4 g ( g ( 2 ) ) g ( g ( 0 ) ) 0 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de f ( x ) , que se muestra en la , g ( x ) , que se muestra en la , y h ( x ) , que se muestra en la , para evaluar las expresiones. g ( f ( 1 ) ) g ( f ( 2 ) ) 2 f ( g ( 4 ) ) f ( g ( 1 ) ) 1 f ( h ( 2 ) ) h ( f ( 2 ) ) 4 f ( g ( h ( 4 ) ) ) f ( g ( f ( – 2 ) ) ) 4 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para f y g que se muestra la para evaluar cada expresión. x f ( x ) g ( x ) 0 7 9 1 6 5 2 5 6 3 8 2 4 4 1 5 0 8 6 2 7 7 1 3 8 9 4 9 3 0 f ( g ( 8 ) ) f ( g ( 5 ) ) 9 g ( f ( 5 ) ) g ( f ( 3 ) ) 4 f ( f ( 4 ) ) f ( f ( 1 ) ) 2 g ( g ( 2 ) ) g ( g ( 6 ) ) 3 En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para f y g que se muestra en la para evaluar las expresiones. x f ( x ) g ( x ) -3 11 -8 -2 9 -3 -1 7 0 0 5 1 1 3 0 2 1 -3 3 -1 -8 ( f ∘ g ) ( 1 ) ( f ∘ g ) ( 2 ) 11 ( g ∘ f ) ( 2 ) ( g ∘ f ) ( 3 ) 0 ( g ∘ g ) ( 1 ) ( f ∘ f ) ( 3 ) 7 En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular f ( g ( 0 ) ) y g ( f ( 0 ) ) . f ( x ) = 4 x + 8 , g ( x ) = 7 - x 2 f ( x ) = 5 x + 7 , g ( x ) = 4 – 2 x 2 f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = − 94 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 12 − x 3 f ( x ) = 1 x + 2 , g ( x ) = 4 x + 3 f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = 2 x 2 + 1 y g ( x ) = 3 x + 5 para evaluar o encontrar la función compuesta como se indica. f ( g ( 2 ) ) f ( g ( x ) ) 18 x 2 + 60 x + 51 g ( f ( - 3 ) ) ( g ∘ g ) ( x ) g ∘ g ( x ) = 9 x + 20 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice f ( x ) = x 3 + 1 y g ( x ) = x – 1 3 . Halle ( f ∘ g ) ( x ) y ( g ∘ f ) ( x ) . Compare las dos respuestas. Calcule ( f ∘ g ) ( 2 ) y ( g ∘ f ) ( 2 ) . 2 ¿Cuál es el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) ? ¿Cuál es el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) ? ( - ∞ , ∞ ) Supongamos que f ( x ) = 1 x . Ⓐ Halle ( f ∘ f ) ( x ) . Ⓑ ¿Es ( f ∘ f ) ( x ) para cualquier función f el mismo resultado que la respuesta a la parte (a) para cualquier función? Explique. En los siguientes ejercicios, supongamos que F ( x ) = ( x + 1 ) 5 , f ( x ) = x 5 , y g ( x ) = x + 1. Verdadero o falso: ( g ∘ f ) ( x ) = F ( x ) . Falso Verdadero o falso: ( f ∘ g ) ( x ) = F ( x ) . En los siguientes ejercicios, halle la composición cuando f ( x ) = x 2 + 2 para todas las x ≥ 0 y g ( x ) = x - 2 . ( f ∘ g ) ( 6 ) ; ( g ∘ f ) ( 6 ) ( f ∘ g ) ( 6 ) = 6 ; ( g ∘ f ) ( 6 ) = 6 ( g ∘ f ) ( a ) ; ( f ∘ g ) ( a ) ( f ∘ g ) ( 11 ) ; ( g ∘ f ) ( 11 ) ( f ∘ g ) ( 11 ) = 11 , ( g ∘ f ) ( 11 ) = 11 Aplicaciones en el mundo real La función D ( p ) da el número de artículos que se demandarán cuando el precio sea p . El costo de producción C ( x ) es el costo de producción de x artículos. Para determinar el costo de producción cuando el precio es de 6 dólares, ¿cuál de las siguientes acciones realizaría? Ⓐ Evalúe D ( C ( 6 ) ) . Ⓑ Evalúe C ( D ( 6 ) ) . Ⓒ Resuelva D ( C ( x ) ) = 6. Ⓓ Resuelva C ( D ( p ) ) = 6. La función A ( d ) da el nivel de dolor en una escala de 0 a 10 experimentado por un paciente con d miligramos de un analgésico en su organismo. Los miligramos del medicamento en el sistema del paciente después de t minutos está modelado por m ( t ) . ¿Cuál de las siguientes acciones realizaría para determinar cuándo el paciente estará en un nivel 4 de dolor? Ⓐ Evalúe A ( m ( 4 ) ) . Ⓑ Evalúe m ( A ( 4 ) ) . Ⓒ Resuelva A ( m ( t ) ) = 4. Ⓓ Resuelva m ( A ( d ) ) = 4. c Una tienda ofrece a los clientes un descuento del 30 % sobre el precio de x artículos seleccionados. Luego, la tienda descuenta un 15 % adicional en la caja registradora. Escriba una función de precio P ( x ) que calcula el precio final del artículo en función del precio original x . (Pista: Utilice la composición de funciones para encontrar la respuesta). Una gota de lluvia que golpea un lago produce una onda circular. Si el radio, en pulgadas, crece en función del tiempo en minutos según r ( t ) = 25 t + 2 , halle el área de la onda en función del tiempo. Halle el área de la onda en t = 2. A ( t ) = π ( 25 t + 2 ) 2 y A ( 2 ) = π ( 25 4 ) 2 = 2.500 π pulgadas cuadradas Un incendio forestal deja a su paso una zona de hierba quemada en un patrón circular en expansión. Si el radio del círculo de hierba ardiente aumenta con el tiempo según la fórmula r ( t ) = 2 t + 1 , exprese la superficie quemada en función del tiempo, t (minutos). Utilice la función que halló en el ejercicio anterior para calcular el área total quemada después de 5 minutos. A ( 5 ) = π ( 2 ( 5 ) + 1 ) 2 = 121 π unidades cuadradas El radio r , en pulgadas, de un globo esférico está relacionado con el volumen, V , entre r ( V ) = 3 V 4 π 3 . Se bombea aire en el globo, por lo que el volumen después de t segundos viene dado por V ( t ) = 10 + 20 t . Ⓐ Halle la función compuesta r ( V ( t ) ) . Ⓑ Halle el momento exacto en que el radio alcanza las 10 pulgadas. El número de bacterias en un producto alimenticio refrigerado viene dado por N ( T ) = 23 T 2 − 56 T + 1 , 3 < T < 33 , donde T es la temperatura del alimento. Cuando este se saca del refrigerador, la temperatura viene dada por T ( t ) = 5 t + 1,5 , donde t es el tiempo en horas. Ⓐ Halle la función compuesta N ( T ( t ) ) . Ⓑ Halle el momento (redondee a dos decimales) en que el recuento de bacterias llega a 6.752. Ⓐ N ( T ( t ) ) = 23 ( 5 t + 1,5 ) 2 − 56 ( 5 t + 1,5 ) + 1 ; Ⓑ 3,38 horas función compuesta la nueva función formada por la composición de las funciones, cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra", "section": "Composición de las funciones", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Transformación de funciones (créditos: \"Misko\"/Flickr) Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación. Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal. A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver. Identificación del desplazamiento vertical Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical , moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función g ( x ) = f ( x ) + k , la función f ( x ) se desplaza verticalmente k unidades. Vea la a modo de ejemplo. Desplazamiento vertical en k = 1 de la función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 . Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que y = f ( x ) . Por lo tanto, f ( x ) + k equivale a y + k . Cada unidad de y se sustituye por y + k , por lo que el valor y valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de k . El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo. Desplazamiento vertical Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x ) + k , donde k es una constante, es un desplazamiento vertical de la función f ( x ) . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si los valores de k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si los valores de k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo. Sumar una constante a una función Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cercanas al tejado se abren y se cierran a lo largo del día. La muestra el área de las rejillas de ventilación abiertas V (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas, pasada la medianoche, t . Durante el verano, el responsable de las instalaciones decide intentar regular mejor la temperatura al incrementar la cantidad de rejillas de ventilación abiertas en 20 pies cuadrados todo el día y toda la noche. Dibuje un gráfico de esta nueva función. Podemos dibujar un gráfico de esta nueva función al sumar 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la . Observe que en la , por cada valor de entrada, el valor de salida se ha incrementado en 20, por lo que, si llamamos la nueva función S ( t ) , podríamos escribir S ( t ) = V ( t ) + 20 Esta notación nos indica que, para cualquier valor de t , S ( t ) puede hallarse al evaluar la función V a la misma entrada y luego sumar 20 hasta el resultado. Esto define S como transformación de la función V , en este caso, un desplazamiento vertical hacia arriba en 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los de salida. Vea la . t 0 8 10 17 19 24 V ( t ) 0 0 220 220 0 0 S ( t ) 20 20 240 240 20 20 Cómo Dada una función tabular, crear una nueva fila que represente el desplazamiento vertical. Identifique la fila o columna de salida. Determine la magnitud del desplazamiento. Añada el desplazamiento al valor de cada celda de salida. Sume un valor positivo hacia arriba o un valor negativo hacia abajo. Desplazar una función tabular verticalmente Una función f ( x ) se da en la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( x ) − 3, x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( x ) - 3 nos indica que podemos hallar los valores de salida de g al restar 3 de los valores de salida de f . Por ejemplo: f ( 2 ) = 1 Dado g ( x ) = f ( x ) - 3 Transformación dada g ( 2 ) = f ( 2 ) - 3 = 1 - 3 = - 2 Al restar 3 de cada valor, f ( x ) podemos construir una tabla de valores para g ( x ) como se muestra en la . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 g ( x ) −2 0 4 8 Análisis Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada siguen siendo los mismos y solo cambian los valores de salida. Ejercicio La función h ( t ) = − 4,9 t 2 + 30 t da la altura h de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de t segundos. Supongamos que la pelota se lanzó desde la parte superior de un edificio de 10 m. Relacione esta nueva función de altura b ( t ) con h ( t ) , y luego halle una fórmula para b ( t ) . b ( t ) = h ( t ) + 10 = − 4,9 t 2 + 30 t + 10 Identificar el desplazamiento horizontal Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal , que se muestra en la . Desplazamiento horizontal de la función f ( x ) = x 3 . Observe que ( x + 1 ) significa h = 1 que desplaza el gráfico a la izquierda, esto es, hacia valores negativos de x . Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 , entonces g ( x ) = ( x - 2 ) 2 es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en f . Desplazamiento horizontal Dada una función f , una nueva función g ( x ) = f ( x - h ) , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función f . Si h es positiva, el gráfico se desplazará a la derecha. Si los valores de h es negativa, el gráfico se desplazará a la izquierda. Sumar una constante a una función Volviendo a nuestro ejemplo del flujo de aire en el edificio desde la , supongamos que en otoño el responsable de las instalaciones decide que el plan original de ventilación empieza demasiado tarde y quiere empezar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuje un gráfico de la nueva función. Podemos ajustar V ( t ) para que sea el programa original, y F ( t ) para que sea el programa revisado. V ( t ) = el plan original de ventilación F ( t ) = comenzar 2 horas antes En el nuevo gráfico, en cada tiempo, el flujo de aire es el mismo, ya que la función original V era 2 horas más tarde. Por ejemplo, en la función original V , el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 a. m., mientras que para la función F , el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 a. m. Los valores comparables de la función son V ( 8 ) = F ( 6 ) . Vea la . Observe igualmente que las rejillas de ventilación se abrieron por primera vez a 220 pies 2 a las 10 a. m., conforme al plan original, mientras que, con el nuevo plan, las rejillas de ventilación alcanzan 220 pies 2 a las 8 a. m., por lo que V ( 10 ) = F ( 8 ) . En ambos casos, vemos que, porque F ( t ) empieza 2 horas antes, h = − 2. Esto significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando F ( t ) = V ( t − ( – 2 ) ) = V ( t + 2 ) . Análisis Observe que V ( t + 2 ) tiene el efecto de desplazar el gráfico a la izquierda . Los cambios horizontales o \"cambios interiores\" afectan el dominio de una función (la entrada), en lugar del rango, y a menudo parecen contrarios a la intuición. La nueva función F ( t ) utiliza los mismos valores de entrada que V ( t ) , pero equipara esos valores de salida a los valores de entrada 2 horas antes que los de V ( t ) . Dicho de otro modo, debemos sumar 2 horas al valor de entrada de V para hallar el valor de salida correspondiente a F : F ( t ) = V ( t + 2 ) . Cómo Dada una función tabular, cree una nueva fila que represente el desplazamiento horizontal. Identifique la fila o columna de entrada. Determine la magnitud del desplazamiento. Sume el desplazamiento al valor en cada celda de entrada. Desplazar una función tabular horizontalmente Una función f ( x ) se da en la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( x - 3 ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( x - 3 ) nos dice que los valores de salida de g son los mismos que el valor de salida de f cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que f ( 2 ) = 1. Para obtener la misma salida a partir de la función g , necesitaremos un valor de entrada que sea 3 unidades más . Introducimos un valor de entrada que sea 3 unidades más para g ( x ) porque la función resta 3 antes de evaluar la función f . g ( 5 ) = f ( 5 - 3 ) = f ( 2 ) = 1 Continuamos con los demás valores para crear la . x 5 7 9 11 x - 3 2 4 6 8 f ( x - 3 ) 1 3 7 11 g ( x ) 1 3 7 11 El resultado es que la función g ( x ) se ha desplazado a la derecha por 3. Observe que los valores de salida para g ( x ) siguen siendo los mismos que los valores de salida para f ( x ) , pero los valores correspondientes de entrada, x , se han desplazado a la derecha por 3. En concreto, 2 pasó a 5, 4 a 7, 6 a 9 y 8 a 11. Análisis La representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto. Identificar el desplazamiento horizontal de una función de la caja de herramientas La representa la transformación de la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 . Relacione esta nueva función g ( x ) al f ( x ) , y luego halle una fórmula para g ( x ) . Observe que la forma del gráfico es idéntica a la función f ( x ) = x 2 , pero los valores de x se han desplazado a la derecha en 2 unidades. El vértice estaba en (0,0), pero ahora está en (2,0). El gráfico es la función cuadrática básica, desplazada en 2 unidades a la derecha, por lo que g ( x ) = f ( x - 2 ) Observe cómo ingresamos el valor x = 2 para obtener el valor de salida y = 0 ; los valores de x deberán ser 2 unidades más, debido al desplazamiento a la derecha en 2 unidades. Luego podemos utilizar la definición de la función f ( x ) para escribir una fórmula para g ( x ) evaluando f ( x - 2 ) . f ( x ) = x 2 g ( x ) = f ( x - 2 ) g ( x ) = f ( x - 2 ) = ( x - 2 ) 2 Análisis Para determinar si el desplazamiento es + 2 o − 2 , considere un solo punto de referencia en el gráfico. En una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, f ( 0 ) = 0 . En nuestra función desplazada, g ( 2 ) = 0 . Para obtener el valor de salida de 0 a partir de la función f , tenemos que decidir si un signo de más o menos funcionará para satisfacer g ( 2 ) = f ( x - 2 ) = f ( 0 ) = 0 . Para este trabajo (w), tendremos que restar 2 unidades de nuestros valores de entrada. Interpretar el desplazamiento horizontal frente al desplazamiento vertical La función G ( m ) da como resultado el número de galones de gasolina que se necesitan para recorrer m millas. Interprete G ( m ) + 10 y G ( m + 10 ) . G ( m ) + 10 puede interpretarse como sumar 10 al valor de salida, galones. Esta es la cantidad de gasolina que se necesita para recorrer m millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical. G ( m + 10 ) puede interpretarse como sumar 10 al valor de entrada, millas. Por lo que esta es la cantidad de galones de gasolina que se necesitan para recorrer 10 millas más que m millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal. Ejercicio Dada la función f ( x ) = x , represente gráficamente la función original f ( x ) y la transformación g ( x ) = f ( x + 2 ) en los mismos ejes. ¿Es un desplazamiento horizontal o vertical? ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico y en cuántas unidades? Los gráficos de f ( x ) y g ( x ) se muestran a continuación. La transformación es un desplazamiento horizontal. La función se desplaza hacia la izquierda en 2 unidades. Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida ( y ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada ( x ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda. Cómo Dada una función y tanto el desplazamiento vertical como el horizontal, dibuje el gráfico. Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula. El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa. El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa. Aplique los desplazamientos al gráfico en cualquier orden. Graficar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal Dados f ( x ) = | x | , dibuje un gráfico de h ( x ) = f ( x + 1 ) − 3 . La función f es la función de valor absoluto de nuestra caja de herramientas. Sabemos que este gráfico tiene forma de V, con el punto en el origen. El gráfico de h ha transformado f de dos maneras: f ( x + 1 ) es un cambio en el interior de la función, lo que arroja un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 1, mientras que la sustracción por 3 en f ( x + 1 ) - 3 es un cambio hacia afuera de la función, lo que arroja un desplazamiento vertical hacia abajo en 3. La transformación del gráfico se ilustra en la . Sigamos un punto del gráfico de f ( x ) = | x | . El punto ( 0 , 0 ) se transforma primero al desplazar 1 unidad hacia la izquierda ( 0 , 0 ) → ( –1 , 0 ) El punto ( –1 , 0 ) luego se transforma al desplazar 3 unidades hacia abajo ( –1 , 0 ) → ( –1 , −3 ) La muestra el gráfico de h . Ejercicio Dados f ( x ) = | x | , dibuje un gráfico de h ( x ) = f ( x - 2 ) + 4. Identificar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal Escriba una fórmula para el gráfico que se muestra en la , que es una transformación de la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas. El gráfico de la función de la caja de herramientas comienza en el origen, por lo que se ha desplazado 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. En notación de funciones, podríamos escribirlo como h ( x ) = f ( x – 1 ) + 2 Utilizando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir h ( x ) = x – 1 + 2 Análisis Observe que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio [ 1 , ∞ ) y rango [ 2 , ∞ ) . Ejercicio Escriba una fórmula para una transformación de la función recíproca de la caja de herramientas f ( x ) = 1 x que desplace el gráfico de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba. g ( x ) = 1 x 1 + 1 Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y . La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x , mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y . Las reflexiones se muestran en la . Reflexión vertical y horizontal de una función. Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x . La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y . Reflexiones Dada una función f ( x ), una nueva función g ( x ) = - f ( x ) es la reflexión vertical de la función f ( x ) , algunas veces denominada reflexión alrededor (por encima o a través) del eje x Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( - x ) es la reflexión horizontal de la función f ( x ) , a veces denominada reflexión alrededor del eje y . Cómo Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente. Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x . Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y . Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente Refleje el gráfico de s ( t ) = t (a) verticalmente y (b) horizontalmente. Ⓐ Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje horizontal t , como se muestra en la . Reflexión vertical de la función de raíz cuadrada Dado que cada valor de salida es el opuesto al valor de salida original, podemos escribir V ( t ) = − s ( t ) o V ( t ) = - t Observe que esto es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que incide en los valores de salida s ( t ) , por lo que el signo negativo va por afuera de la función. Ⓑ Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical, como se muestra en la . Reflexión horizontal de la función de raíz cuadrada Dado que cada valor de entrada es el opuesto al valor de entrada original, podemos escribir H ( t ) = s ( − t ) o H ( t ) = - t Observe que este es un cambio interno u horizontal, que incide en los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función. Observe que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función original de raíz cuadrada tiene el dominio [ 0 , ∞ ) y rango [ 0 , ∞ ) , la reflexión vertical da a la función V ( t ) el rango ( - ∞ , 0 ] y la reflexión horizontal da a la función H ( t ) el dominio ( - ∞ , 0 ] . Ejercicio Refleje el gráfico de f ( x ) = | x – 1 | (a) verticalmente y (b) horizontalmente. Reflejar una función tabular horizontalmente y verticalmente Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para las funciones siguientes. Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 Ⓐ Para g ( x ) , el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x siguen siendo los mismos y cada valor de salida será lo opuesto del valor original. Vea la . x 2 4 6 8 g ( x ) -1 -3 –7 –11 Ⓑ Para h ( x ) , el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será lo opuesto del valor original, en tanto que los valores h ( x ) se mantienen los mismos valores que los valores f ( x ) . Vea la . x −2 -4 −6 −8 h ( x ) 1 3 7 11 Ejercicio Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para las funciones siguientes. Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x −2 0 2 4 f ( x ) 5 10 15 20 Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) x -2 0 2 4 g ( x ) - 5 − 10 − 15 − 20 Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x -2 0 2 4 h ( x ) 15 10 5 desconocido Aplicar una ecuación de modelo de aprendizaje Un modelo común para el aprendizaje tiene una ecuación similar a k ( t ) = - 2 - t + 1 , donde k es el porcentaje de dominio que se puede alcanzar después de t sesiones de práctica. Se trata de una transformación de la función f ( t ) = 2 t que se muestra en la . Dibuje un gráfico de k ( t ) . Esta ecuación combina tres transformaciones en una sola ecuación. Una reflexión horizontal: f ( − t ) = 2 - t Una reflexión vertical: − f ( − t ) = - 2 - t Un desplazamiento vertical: − f ( − t ) + 1 = - 2 - t + 1 Podemos dibujar un gráfico al aplicar estas transformaciones, una a la vez, a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos (0, 1) y (1, 2). Primero, aplicamos una reflexión horizontal: (0, 1) (–1, 2). Luego, aplicamos una reflexión vertical: (0, −1) (-1, –2). Por último, aplicamos un desplazamiento vertical: (0, 0) (-1, -1). Esto significa que los puntos originales, (0,1) y (1,2) se convierten en (0,0) y (-1,-1) después de que aplicamos las transformaciones. En la , el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercero resulta del desplazamiento vertical hacia arriba en 1 unidad. Análisis Como modelo para el aprendizaje, esta función se limitaría a un dominio de t ≥ 0 , con el rango correspondiente [ 0 , 1 ) . Ejercicio Dada la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 , grafique g ( x ) = - f ( x ) y h ( x ) = f ( - x ) . Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones. Observe que: g ( x ) = f ( - x ) tiene el mismo aspecto que f ( x ) . Determinar las funciones pares e impares Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 o f ( x ) = | x | dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y . Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares. Si los gráficos de f ( x ) = x 3 o f ( x ) = 1 x se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la . (a) La función cúbica de la caja de herramientas. (b) La reflexión horizontal de la función cúbica de la caja de herramientas. (c) Las reflexiones horizontales y verticales reproducen la función cúbica original. Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar . Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo, f ( x ) = 2 x no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante f ( x ) = 0 . Funciones pares e impares Una función se define como función par si para cada entrada x f ( x ) = f ( - x ) El gráfico de función par es simétrico respecto al eje y . Una función se define como función impar si para cada entrada x f ( x ) = - f ( - x ) El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Cómo Dada la fórmula de una función, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función satisface f ( x ) = f ( - x ) . En caso afirmativo, es par. Determine si la función satisface f ( x ) = - f ( - x ) . En caso afirmativo, es impar. Si la función no cumple ninguna de las dos reglas, no es ni par ni impar. Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos ¿La función f ( x ) = x 3 + 2 x es par, impar, o ninguna de las dos? Sin mirar ningún gráfico, podemos determinar si la función es par o impar al hallar las fórmulas para las reflexiones y determinar si nos devuelven a la función original. Empecemos con la regla correspondiente a las funciones pares. f ( - x ) = ( - x ) 3 + 2 ( - x ) = - x 3 - 2 x Esto no nos regresa a la función original, por lo que esta función es impar. Ahora podemos probar la regla para las funciones impares. − f ( - x ) = - ( - x 3 - 2 x ) = x 3 + 2 x Dado que − f ( - x ) = f ( x ) , esta es una función impar. Análisis Consideremos el gráfico de f en la . Observe que el gráfico es simétrico respecto al origen. Para cada punto ( x , y ) en el gráfico, el punto correspondiente ( - x , − y ) también está en el gráfico. Por ejemplo, (1, 3) está en el gráfico de f , y el punto correspondiente ( –1 , −3 ) también está en el gráfico. Ejercicio ¿La función f ( s ) = s 4 + 3 s 2 + 7 es par, impar, o ninguna de las dos? números Graficar funciones mediante estiramiento y compresión Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad. Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente. Estiramiento y compresión vertical Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical ; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical . La muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes. Estiramiento y compresión vertical Estiramiento y compresión vertical Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = a f ( x ) , donde a es una constante, es un estiramiento vertical o compresión vertical de la función f ( x ) . Si los valores de a > 1 , entonces el gráfico se estirará. Si los valores de 0 < a < 1 , entonces el gráfico se comprimirá. Si los valores de a < 0 , entonces habrá la combinación de estiramiento o compresión vertical con reflexión vertical. Cómo Dada una función, graficar su tramo vertical. Identifique el valor de a . Multiplique todos los valores del rango por a . Si los valores de a > 1 , el gráfico se estira por un factor de a . Si los valores de 0 < a < 1 , el gráfico se comprime por un factor de a . Si los valores de a < 0 , el gráfico se estira o se comprime y también se refleja alrededor del eje x . Graficar el estiramiento vertical Una función P ( t ) modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la . Un científico compara esta población con otra, Q , cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble de tamaño. Dibuje un gráfico de esta población. Dado que la población siempre es el doble de grande, los valores de salida de la nueva población serán siempre el doble de los valores de salida de la función original. Gráficamente, esto se muestra en la . Si elegimos cuatro puntos de referencia, (0, 1), (3, 3), (6, 2) y (7, 0) multiplicaremos por 2 todos los valores de salida. A continuación se muestra dónde se ubicarán los nuevos puntos del nuevo gráfico. ( 0 , 1 ) → ( 0 , 2 ) ( 3 , 3 ) → ( 3 , 6 ) ( 6 , 2 ) → ( 6 , 4 ) ( 7 , 0 ) → ( 7 , 0 ) Simbólicamente, la relación se escribe como Q ( t ) = 2 P ( t ) Esto significa que para cualquier valor de entrada t , el valor de la función Q es el doble del valor de la función P . Observe que el efecto en el gráfico es su estiramiento vertical, donde cada punto duplica su distancia desde el eje horizontal. Los valores de entrada, t , se mantienen iguales, mientras que los valores de salida son el doble de antes. Cómo Dada una función tabular, y asumiendo que la transformación sea un estiramiento o una compresión vertical, crear una tabla para la compresión vertical. Determine el valor de la a . Multiplique todos los valores de salida por a . Hallar la compresión vertical de una función tabular Una función f viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = 1 2 f ( x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = 1 2 f ( x ) nos dice que los valores de salida de g son la mitad de los valores de salida de f con los mismos valores de entrada. Por ejemplo, sabemos que f ( 4 ) = 3. Entonces g ( 4 ) = 1 2 f ( 4 ) = 1 2 ( 3 ) = 3 2 Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la . x 2 4 6 8 g ( x ) 1 2 3 2 7 2 11 2 Análisis El resultado es que la función g ( x ) se ha comprimido verticalmente por 1 2 . Cada valor de salida se divide a la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original. Ejercicio Una función f viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = 3 4 f ( x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 12 16 20 0 x 2 4 6 8 g ( x ) 9 12 15 0 Reconocer el estiramiento vertical El gráfico en la es la transformación de la función de caja de herramientas f ( x ) = x 3 . Relacione esta nueva función g ( x ) al f ( x ) , y luego halle una fórmula para g ( x ) . Al tratar de determinar el estiramiento o desplazamiento vertical, es útil buscar un punto en el gráfico que sea relativamente claro. En este gráfico, parece que g ( 2 ) = 2. Con la función cúbica básica en la misma entrada, f ( 2 ) = 2 3 = 8. En función de esto, parece que las salidas de g son 1 4 de los valores de salida de la función f porque g ( 2 ) = 1 4 f ( 2 ) . De esto podemos concluir con bastante seguridad que g ( x ) = 1 4 f ( x ) . Podemos escribir una fórmula para g con la definición de la función f . g ( x ) = 1 4 f ( x ) = 1 4 x 3 Ejercicio Escriba la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función de identidad de la caja de herramientas por un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades. g ( x ) = 3 x 2 Estiramiento y compresión horizontal Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal ; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función. Dada una función y = f ( x ) , la forma y = f ( b x ) da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función y = x 2 . Observe la . El gráfico de y = ( 0,5 x ) 2 es el estiramiento horizontal del gráfico de la función y = x 2 por un factor de 2. El gráfico de y = ( 2 x ) 2 es la compresión horizontal del gráfico de la función y = x 2 por un factor de 1 2 . Estiramiento y compresión horizontal Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( b x ) , donde b es una constante, es un estiramiento horizontal o una compresión horizontal de la función f ( x ) . Si los valores de b > 1 , entonces el gráfico se comprimirá por 1 b . Si los valores de 0 < b < 1 , entonces el gráfico se estirará por 1 b . Si b < 0 , entonces habrá una combinación de estiramiento o compresión horizontal con reflexión horizontal. Cómo Dada la descripción de una función, dibujar una compresión o estiramiento horizontal. Escriba una fórmula que represente la función. Establezca g ( x ) = f ( b x ) donde b > 1 para una compresión o 0 < b < 1 para un estiramiento. Graficar una compresión horizontal Supongamos que un científico compara una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida el doble de rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, R , progresará en 1 hora lo mismo que la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará lo mismo que la población original en 4 horas. Dibuje un gráfico de esta población. Simbólicamente, podríamos escribir R ( 1 ) = P ( 2 ) , R ( 2 ) = P ( 4 ) , y en general, R ( t ) = P ( 2 t ) . Consulte la con respecto a la comparación gráfica entre la población original y la población comprimida. (a) Gráfico de población original (b) Gráfico de población comprimida Análisis Observe que el efecto en el gráfico es la compresión horizontal, donde todos los valores de entrada son la mitad de la distancia original desde el eje vertical. Hallar el estiramiento horizontal de una función tabular Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( 1 2 x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( 1 2 x ) nos indica que los valores de salida para g son los mismos que los de la función f a una entrada de la mitad de tamaño. Observe que no tenemos suficiente información para determinar g ( 2 ) porque g ( 2 ) = f ( 1 2 ⋅ 2 ) = f ( 1 ) , y no tenemos un valor para f ( 1 ) en nuestra tabla. Nuestros valores de entrada a g deberán ser el doble con el fin de obtener valores de entrada para f que podamos evaluar. Por ejemplo, podemos determinar g ( 4 ) . g ( 4 ) = f ( 1 2 ⋅ 4 ) = f ( 2 ) = 1 Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la . x 4 8 12 16 g ( x ) 1 3 7 11 La muestra los gráficos de estos dos conjuntos de puntos. Análisis Dado que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función g ( x ) se ha estirado horizontalmente por un factor de 2. Reconocer la compresión horizontal en un gráfico Relacione la función g ( x ) al f ( x ) en la . El gráfico de g ( x ) se parece al gráfico de f ( x ) comprimido horizontalmente. Dado que f ( x ) termina en ( 6 , 4 ) y g ( x ) termina en ( 2 , 4 ) , podemos ver que los valores de x se han comprimido por 1 3 , porque 6 ( 1 3 ) = 2. También podríamos observar que g ( 2 ) = f ( 6 ) y g ( 1 ) = f ( 3 ) . En cualquier caso, podemos describir esta relación como g ( x ) = f ( 3 x ) . Se trata de una compresión horizontal por 1 3 . Análisis Observe que el coeficiente necesario para el estiramiento o compresión horizontal es la reciprocidad del estiramiento o compresión. Así, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de 1 4 en nuestra función: f ( 1 4 x ) . Esto significa que los valores de entrada deberán ser el cuádruple para generar el mismo resultado, lo que exige que la entrada sea mayor, y lo que da como resultado el estiramiento horizontal. Ejercicio Escriba una fórmula para la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas, estirada horizontalmente por un factor de 3. g ( x ) = f ( 1 3 x ) así que, con la función de raíz cuadrada, obtenemos g ( x ) = 1 3 x Realizar una secuencia de transformaciones Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero. Cuando vemos una expresión como 2 f ( x ) + 3 , ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de f ( x ) , multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma. Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos g ( x ) = f ( 2 x + 3 ) , por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función g se relacionan con las entradas a la función f . Supongamos que sabemos f ( 7 ) = 12. ¿Qué entrada a g produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de x permitirá g ( x ) = f ( 2 x + 3 ) = 12 ? Necesitaríamos 2 x + 3 = 7. Para resolver x , primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal. Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función. f ( b x + p ) = f ( b ( x + p b ) ) Exploremos un ejemplo. f ( x ) = ( 2 x + 4 ) 2 Podemos sacar un factor común 2. f ( x ) = ( 2 ( x + 2 ) ) 2 Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal. Combinar transformaciones Al combinar las transformaciones verticales escritas en la forma a f ( x ) + k , primero se estira verticalmente por a y luego se desplaza verticalmente por k . Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f ( b x h ) , primero se desplaza horizontalmente por h b y luego se estira horizontalmente por 1 b . Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f ( b ( x h ) ) , primero se estira horizontalmente por 1 b y luego se desplaza horizontalmente por h . Las transformaciones horizontal y vertical son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o las verticales. Hallar la triple transformación de una función tabular Dada la para la función f ( x ) , cree una tabla de valores para la función g ( x ) = 2 f ( 3 x ) + 1. x 6 12 18 24 f ( x ) 10 14 15 17 Hay tres pasos para esta transformación, y trabajaremos desde adentro hacia afuera. Empezando por las transformaciones horizontales, f ( 3 x ) es una compresión horizontal por 1 3 , lo que significa que multiplicamos cada valor de x por 1 3 . Vea la . x 2 4 6 8 f ( 3 x ) 10 14 15 17 Al mirar ahora la transformación vertical, comenzamos con el estiramiento vertical, en el que multiplicaremos los valores de salida por 2. Aplicamos esto a la transformación anterior. Vea la . x 2 4 6 8 2 f ( 3 x ) 20 28 30 34 Por último, podemos aplicar el desplazamiento vertical, que sumará 1 a todos los valores de salida. Vea la . x 2 4 6 8 g ( x ) = 2 f ( 3 x ) + 1 21 29 31 35 Hallar la triple transformación de un gráfico Utilice el gráfico de f ( x ) en la para dibujar un gráfico de k ( x ) = f ( 1 2 x + 1 ) − 3, Para simplificar, empecemos por factorizar el interior de la función. f ( 1 2 x + 1 ) - 3 = f ( 1 2 ( x + 2 ) ) - 3 Al factorizar el interior, primero podemos estirar horizontalmente por 2, como indica el 1 2 en el interior de la función. Recuerde que el doble de 0 sigue siendo 0, por lo que el punto (0,2) se mantiene en (0,2) mientras que el punto (2,0) se estirará hasta (4,0). Vea la . A continuación, nos desplazamos horizontalmente hacia la izquierda 2 unidades, como se indica en x + 2. Vea la . Por último, nos desplazamos verticalmente en 3 unidades hacia abajo para completar nuestro dibujo, como indica el − 3 en el exterior de la función. Vea la . Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la transformación de funciones. Transformaciones de funciones Ecuaciones clave Desplazamiento vertical g ( x ) = f ( x ) + k (hasta para k > 0 ). Desplazamiento horizontal g ( x ) = f ( x - h ) (a la derecha para h > 0 ). Reflexión vertical g ( x ) = - f ( x ) Reflexión horizontal g ( x ) = f ( - x ) Estiramiento vertical g ( x ) = a f ( x ) ( a > 1 ). Compresión vertical g ( x ) = a f ( x ) ( 0 < a < 1 ) Estiramiento horizontal g ( x ) = f ( b x ) ( 0 < b < 1 ) Compresión horizontal g ( x ) = f ( b x ) ( b > 1 ). Conceptos clave Una función puede desplazarse verticalmente al sumar una constante a la salida. Vea el y el . Una función puede desplazarse horizontalmente al sumar una constante a la entrada. Vea el , el y el . Relacionar el desplazamiento con el contexto de un problema permite comparar e interpretar los desplazamientos verticales y horizontales. Vea el . A menudo se combina el desplazamiento vertical con el horizontal. Vea el y el . La reflexión vertical refleja un gráfico con respecto al eje x . Un gráfico puede reflejarse verticalmente al multiplicar la salida por -1. La reflexión horizontal refleja un gráfico con respecto al eje y . Un gráfico puede relejarse horizontalmente al multiplicar la entrada por -1. Un gráfico puede reflejarse tanto vertical como horizontalmente. El orden en que se aplican las reflexiones no afecta el gráfico final. Vea el . Una función presentada en forma tabular también puede reflejarse al multiplicar los valores de las filas o columnas de entrada y salida según corresponda. Vea el . La función presentada en forma de ecuación puede reflejarse al aplicar las transformaciones una a la vez. Vea el . Las funciones pares son simétricas con respecto al eje y , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen. Las funciones pares satisfacen la condición f ( x ) = f ( - x ) . Las funciones impares cumplen la condición f ( x ) = - f ( - x ) . Una función puede ser impar, par o ninguna de las dos. Vea el . Una función puede comprimirse o estirarse verticalmente al multiplicar la salida por una constante. Vea el , el y el . Una función puede comprimirse o estirarse horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante. Vea el , el y el . El orden en el que se apliquen las distintas transformaciones no afecta la función final. Las transformaciones verticales y horizontales deberán aplicarse en el orden indicado. Sin embargo, una transformación vertical puede combinarse con una transformación horizontal en cualquier orden. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el desplazamiento horizontal del desplazamiento vertical? Se produce un desplazamiento horizontal cuando se suma o se resta una constante a la entrada. Se produce un desplazamiento vertical cuando se suma o se resta una constante a la salida. Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el estiramiento horizontal del estiramiento vertical? Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue la compresión horizontal de la compresión vertical? Se produce una compresión horizontal cuando una constante mayor a 1 se multiplica por la entrada. Se produce una compresión vertical cuando una constante entre 0 y 1 se multiplica por la salida. Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue una reflexión con respecto al eje x de una reflexión con respecto al eje y ? ¿Cómo se determina si una función es par o impar a partir de la fórmula de la función? Para una función f , sustituya ( - x ) por ( x ) en f ( x ) . Simplificar. Si la función resultante es la misma que la función original, f ( - x ) = f ( x ) , entonces la función es par. Si la función resultante es lo opuesto a la función original, f ( - x ) = - f ( x ) , entonces la función original es impar. Si la función no es igual o contraria, entonces la función no es ni par ni impar. Algebraicos Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = x se desplaza hacia arriba 1 unidad y hacia la izquierda 2 unidades. Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = | x | se desplaza hacia abajo en 3 unidades y a la derecha en 1 unidad. g ( x ) = | x 1 | - 3 Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = 1 x se desplaza hacia abajo en 4 unidades y a la derecha en 3 unidades. Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = 1 x 2 se desplaza hacia arriba en 2 unidades y a la izquierda en 4 unidades. g ( x ) = 1 ( x + 4 ) 2 + 2 En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original f . y = f ( x − 49 ) y = f ( x + 43 ) El gráfico de f ( x + 43 ) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 43 unidades del gráfico de f . y = f ( x + 3 ) y = f ( x - 4 ) El gráfico de f ( x 4 ) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en 4 unidades del gráfico de f . y = f ( x ) + 5 y = f ( x ) + 8 El gráfico de f ( x ) + 8 es un desplazamiento vertical hacia arriba en 8 unidades del gráfico de f . y = f ( x ) - 2 y = f ( x ) - 7 El gráfico de f ( x ) - 7 es un desplazamiento vertical hacia abajo en 7 unidades del gráfico de f . y = f ( x - 2 ) + 3 y = f ( x + 4 ) - 1 El gráfico de f ( x + 4 ) - 1 es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 4 unidades y el desplazamiento vertical hacia abajo en 1 unidad del gráfico de f . En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. f ( x ) = 4 ( x + 1 ) 2 - 5 g ( x ) = 5 ( x + 3 ) 2 - 2 decreciente en ( - ∞ , - 3 ) y creciente en ( - 3 , ∞ ) a ( x ) = - x + 4 k ( x ) = - 3 x – 1 decreciente en [ 0 , ∞ ) Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = 2 x que se muestra en la para dibujar un gráfico de cada transformación de f ( x ) . g ( x ) = 2 x + 1 h ( x ) = 2 x - 3 w ( x ) = 2 x – 1 En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas. f ( t ) = ( t + 1 ) 2 - 3 h ( x ) = | x – 1 | + 4 k ( x ) = ( x - 2 ) 3 - 1 m ( t ) = 3 + t + 2 Numéricos Las representaciones tabulares de las funciones f , g , y h se indican a continuación. Escriba g ( x ) y h ( x ) como transformaciones de f ( x ) . x −2 −1 0 1 2 f ( x ) −2 −1 −3 1 2 x −1 0 1 2 3 g ( x ) −2 −1 −3 1 2 x −2 −1 0 1 2 h ( x ) −1 0 −2 2 3 g ( x ) = f ( x 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1 Las representaciones tabulares de las funciones f , g , y h se indican a continuación. Escriba g ( x ) y h ( x ) como transformaciones de f ( x ) . x −2 −1 0 1 2 f ( x ) −1 −3 4 2 1 x −3 −2 −1 0 1 g ( x ) −1 −3 4 2 1 x −2 −1 0 1 2 h ( x ) −2 -4 3 1 0 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas. f ( x ) = | x 3 | - 2 f ( x ) = x + 3 - 1 f ( x ) = ( x 2 ) 2 f ( x ) = | x + 3 | - 2 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones. f ( x ) = - x En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes. f ( x ) = - ( x + 1 ) 2 + 2 f ( x ) = - x + 1 En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = 3 x 4 números g ( x ) = x h ( x ) = 1 x + 3 x impar f ( x ) = ( x - 2 ) 2 g ( x ) = 2 x 4 números h ( x ) = 2 x – x 3 En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original f . g ( x ) = - f ( x ) El gráfico de g es una reflexión vertical (a través del eje x ) del gráfico de f . g ( x ) = f ( - x ) g ( x ) = 4 f ( x ) El gráfico de g es un estiramiento vertical por un factor de 4 del gráfico de f . g ( x ) = 6 f ( x ) g ( x ) = f ( 5 x ) El gráfico de g es una compresión horizontal por un factor de 1 5 del gráfico de f . g ( x ) = f ( 2 x ) g ( x ) = f ( 1 3 x ) El gráfico de g es un estiramiento horizontal por un factor de 3 del gráfico de f . g ( x ) = f ( 1 5 x ) g ( x ) = 3 f ( - x ) El gráfico de g es una reflexión horizontal a través del eje y , así como el estiramiento vertical por un factor de 3 del gráfico de f . g ( x ) = - f ( 3 x ) En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función g que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito. El gráfico de f ( x ) = | x | se refleja sobre el eje y , además de comprimirse horizontalmente por un factor de 1 4 . g ( x ) = | − 4 x | El gráfico de f ( x ) = x se refleja sobre el eje x , a la vez que se estira horizontalmente por un factor de 2. El gráfico de f ( x ) = 1 x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , luego se desplaza 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo. g ( x ) = 1 3 ( x + 2 ) 2 - 3 El gráfico de f ( x ) = 1 x se estira verticalmente por un factor de 8, luego se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. El gráfico de f ( x ) = x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 , luego se desplaza 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba. g ( x ) = 1 2 ( x 5 ) 2 + 1 El gráfico de f ( x ) = x 2 se estira horizontalmente por un factor de 3, luego se desplaza 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo. En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación. g ( x ) = 4 ( x + 1 ) 2 - 5 El gráfico de la función f ( x ) = x 2 se desplaza hacia 1 unidad hacia la izquierda, se estira verticalmente por un factor de 4 y se desplaza 5 unidades hacia abajo. g ( x ) = 5 ( x + 3 ) 2 - 2 h ( x ) = - 2 | x - 4 | + 3 El gráfico de f ( x ) = | x | se estira verticalmente por un factor de 2, se desplaza horizontalmente 4 unidades hacia la derecha, se refleja a través del eje horizontal y luego se desplaza verticalmente 3 unidades hacia arriba. k ( x ) = - 3 x – 1 m ( x ) = 1 2 x 3 El gráfico de la función f ( x ) = x 3 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 . n ( x ) = 1 3 | x - 2 | p ( x ) = ( 1 3 x ) 3 - 3 El gráfico de la función se estira horizontalmente por un factor de 3 y luego se desplaza verticalmente hacia abajo en 3 unidades. q ( x ) = ( 1 4 x ) 3 + 1 a ( x ) = - x + 4 El gráfico de f ( x ) = x se desplaza 4 unidades a la derecha y luego se refleja a través de la línea vertical x = 4. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la para dibujar las transformaciones dadas. g ( x ) = f ( x ) - 2 g ( x ) = - f ( x ) g ( x ) = f ( x + 1 ) g ( x ) = f ( x - 2 ) función par aquella función cuyo gráfico permanece inalterado por la reflexión horizontal, f ( x ) = f ( - x ) , y es simétrica respecto al eje y compresión horizontal aquella transformación que comprime horizontalmente el gráfico de una función al multiplicar la entrada por una constante b > 1 reflexión horizontal aquella transformación que refleja el gráfico de una función a través del eje y al multiplicar la entrada por −1 desplazamiento horizontal aquella transformación que desplaza el gráfico de una función a la izquierda o a la derecha al sumar una constante positiva o negativa a la entrada estiramiento horizontal aquella transformación que estira horizontalmente el gráfico de una función al multiplicar la entrada por una constante 0 < b < 1 función impar aquella función cuyo gráfico se mantiene inalterado por la combinación de reflexión horizontal y reflexión vertical, f ( x ) = - f ( - x ) , y es simétrica respecto al origen compresión vertical la transformación de una función que se comprime o estira verticalmente al multiplicar la salida por una constante 0 < a < 1 reflexión vertical aquella transformación que refleja el gráfico de una función a través del eje x al multiplicar la salida por −1 desplazamiento vertical aquella transformación que desplaza el gráfico de una función hacia arriba o hacia abajo al sumar una constante positiva o negativa a la salida estiramiento vertical aquella transformación que estira el gráfico de una función verticalmente al multiplicar la salida por una constante a > 1", "section": "Transformación de funciones", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones de valor absoluto Las distancias en el espacio profundo pueden medirse en todas las direcciones. Por ello, es útil considerar la distancia en términos de valores absolutos (créditos: \"s58y\"/Flickr) Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto . Comprensión del valor absoluto Recordemos que en su forma básica f ( x ) = | x | , la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo. Función de valor absoluto La función de valor absoluto se define como una función definida por partes f ( x ) = | x | = { x si x ≥ 0 - x si x < 0 Determinar un número dentro de una distancia prescrita Describa todos los valores x dentro de o que incluyan una distancia de 4 del número 5. Queremos que la distancia entre x y 5 sea menor o igual a 4. Podemos dibujar una línea numérica, como la que aparece en la , para representar la condición a satisfacer. La distancia de x a 5 se puede representar con el valor absoluto como | x - 5 | . Queremos los valores de x que cumplen la condición | x - 5 | ≤ 4. Análisis Observe que − 4 ≤ x - 5 x - 5 ≤ 4 1 ≤ x x ≤ 9 Así que | x - 5 | ≤ 4 equivale a 1 ≤ x ≤ 9. Sin embargo, los matemáticos suelen preferir la notación en valor absoluto. Ejercicio Describa todos los valores x a una distancia de 3 del número 2. | x - 2 | ≤ 3 Resistencia de un resistor Las piezas eléctricas, como los resistores y los condensadores, vienen con valores especificados de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían un poco de una pieza a otra, incluso cuando se supone que sean los mismos. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango específico, a menudo ±1 %, ± 5 %, o ± 10% . Supongamos que tenemos un resistor de 680 ohmios, ± 5 % . Utilice la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real. El 5 % de 680 ohmios es 34 ohmios. El valor absoluto de la diferencia entre la resistencia real y la nominal no debería superar la variabilidad indicada, por lo que, con la resistencia R en ohmios, | R − 680 | ≤ 34 Ejercicio Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 20 puntos de 80 superarán la prueba. Escríbalo como una distancia de 80 con la notación de valor absoluto. al utilizar la variable p para aprobar, | p − 80 | ≤ 20 Graficar una función de valor absoluto La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la . La muestra el gráfico de y = 2 | x – 3 | + 4. El gráfico de y = | x | se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en ( 3 , 4 ) para esta función transformada. Escribir una ecuación para una función de valor absoluto Escriba una ecuación para la función graficada en la . La función básica de valor absoluto cambia de dirección en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo desde la función básica de la caja de herramientas. Vea la . También observamos que el gráfico aparece estirado verticalmente, porque la anchura del gráfico final sobre una línea horizontal no es igual al doble de la distancia vertical desde la esquina a esta línea, como lo sería para una función de valor absoluto no estirada. En cambio, la anchura es igual a 1 vez la distancia vertical, como se indica en la . A partir de esta información escribimos la ecuación f ( x ) = 2 | x - 3 | - 2 , al tratar el estiramiento como vertical; o f ( x ) = | 2 ( x - 3 ) | - 2 , al tratar el estiramiento como compresión horizontal . Análisis Observe que estas ecuaciones son equivalentes desde el punto de vista algebraico: el estiramiento de una función de valor absoluto se escribe indistintamente como estiramiento o compresión vertical u horizontal. Nótese además que, si el factor de estiramiento vertical es negativo, también hay una reflexión sobre el eje de la x. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si no pudiéramos observar el estiramiento de la función a partir de los gráficos, ¿podríamos determinarlo algebraicamente? Sí. Si no podemos determinar el estiramiento con base en la anchura del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento al colocar un par de valores conocidos para x y f ( x ) . f ( x ) = a | x - 3 | - 2 Ahora, sustituyendo en el punto (1, 2) 2 = a | 1 - 3 | - 2 4 = 2 a a = 2 Ejercicio Escriba la ecuación de la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente 2 unidades a la izquierda, se invierte verticalmente y se desplaza verticalmente hacia arriba 3 unidades. f ( x ) = - | x + 2 | + 3 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Los gráficos de las funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? ¿Con el eje horizontal? Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto intersecará el eje vertical cuando la entrada sea cero. No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no intersecar el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto se cruce con el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (ver la ). (a) La función valor absoluto no interseca el eje horizontal. (b) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en un punto. (c) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en dos puntos. Resolver una ecuación de valor absoluto Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como 8 = | 2 x - 6 | , observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente. 2 x - 6 = 8 o 2 x - 6 = - 8 2 x = 14 2 x = - 2 x = 7 x = - 1 Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto . Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado. La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo, | x | = 4 , | 2 x – 1 | = 3 | 5 x + 2 | − 4 = 9 Soluciones a las ecuaciones de valor absoluto Para los números reales A y B , una ecuación de la forma | A | = B , con la B ≥ 0 , tendrá soluciones cuando A = B o A = − B . Si B < 0 , la ecuación | A | = B no tiene solución. Cómo Dada la fórmula de una función de valor absoluto, hallar las intersecciones horizontales de su gráfico . Aísle el término de valor absoluto. Utilice | A | = B para escribir A = B o −A = B , asumiendo que B > 0 . Resuelva para x . Hallar los ceros de una función de valor absoluto Para la función f ( x ) = | 4 x + 1 | − 7 , halle los valores de x tales que f ( x ) = 0 . 0 = | 4 x + 1 | − 7 Sustituya f(x) por 0. 7 = | 4 x + 1 | Aísle el valor absoluto en un lado de la ecuación. 7 = 4 x + 1 o − 7 = 4 x + 1 6 = 4 x - 8 = 4 x x = 6 4 = 1,5 x = - 8 4 = - 2 Divida en dos ecuaciones y resuelva. La función da como resultado 0 cuando x = 1,5 o x = − 2. Vea la . Ejercicio Para la función f ( x ) = | 2 x – 1 | - 3 , calcule los valores de x tales que f ( x ) = 0 . x = - 1 o x = 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Debemos esperar siempre dos respuestas al resolver | A | = B ? No. Podemos encontrar una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para 2 + | 3 x - 5 | = 1. Cómo Dada una ecuación de valor absoluto, resolverla. Aísle el término de valor absoluto. Utilice | A | = B para escribir A = B o A = −B . Resuelva para x . Resolver una ecuación de valor absoluto Resuelva 1 = 4 | x - 2 | + 2. Aislando el valor absoluto en un lado de la ecuación se obtiene lo siguiente. 1 = 4 | x - 2 | + 2 – 1 = 4 | x - 2 | - 1 4 = | x - 2 | El valor absoluto siempre arroja un valor positivo, por lo que es imposible que sea igual a un valor negativo. En este punto, observamos que esta ecuación no tiene soluciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , si f ( x ) = 1 y g ( x ) = 4 | x - 2 | + 2 se graficarán en el mismo conjunto de ejes, ¿se cruzarían los gráficos? No. Los gráficos de f y g no se cruzarían, como se muestra en la . Esto confirma gráficamente que la ecuación 1 = 4 | x - 2 | + 2 no tiene solución. Ejercicio Halle dónde el gráfico de la función f ( x ) = - | x + 2 | + 3 cruza los ejes horizontal y vertical. f ( 0 ) = 1 , para que el gráfico cruce el eje vertical en ( 0 , 1 ) . f ( x ) = 0 cuando x = - 5 y x = 1 de modo que el gráfico interseca el eje horizontal en ( - 5 , 0 ) y ( 1 , 0 ) . Resolver una inecuación de valor absoluto Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B , donde la expresión A (y posiblemente, pero no usualmente B ) depende de una variable x . Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores x que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos. Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico. Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como | x | < 200 o − 200 < x < 200 Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores x tales que la distancia entre x y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre x y 600 como | x − 600 | . | x − 600 | < 200 o − 200 < x − 600 < 200 − 200 + 600 < x − 600 + 600 < 200 + 600 400 < x < 800 Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares. A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva. Cómo Dada una inecuación de valor absoluto de la forma | x − A | ≤ B para números reales a y b donde b es positivo, resolver la inecuación de valor absoluto algebraicamente. Halle los puntos límite al resolver | x − A | = B . Pruebe los intervalos creados por los puntos límite para determinar dónde | x − A | ≤ B . Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la inecuación en notación de intervalo, inecuación o constructor de conjuntos. Resolver una inecuación de valor absoluto Resuelva | x - 5 | < 4. Con ambos enfoques, tendremos que saber primero dónde se cumple la igualdad correspondiente. En este caso, primero hallaremos dónde | x - 5 | = 4. Hacemos esto porque el valor absoluto es una función ininterrumpida, por lo que la única manera de que los valores de la función pasen de ser menores a 4 a ser mayores que 4 es pasando por donde los valores son iguales a 4. Resuelva | x - 5 | = 4. x - 5 = 4 x = 9 o x - 5 = – 4 x = 1 Tras determinar que el valor absoluto es igual a 4 en x = 1 y x = 9 , sabemos que el gráfico solo pasa de ser menor a mayor que 4 en estos valores. Esto divide la línea numérica en tres intervalos: x < 1 , 1 < x < 9 , y x > 9. Para determinar cuándo la función es menor que 4, podríamos elegir un valor en cada intervalo y ver si la salida es menor o mayor que 4, como se muestra en la . Prueba para los intervalos x f ( x ) < 4 o > 4 ? x < 1 0 | 0 − 5 | = 5 Mayor que 1 < x < 9 6 | 6 − 5 | = 1 Menor que x > 9 11 | 11 − 5 | = 6 Mayor que Ya que 1 < x < 9 es el único intervalo en el que la salida en el valor de prueba es menor que 4, podemos concluir que la solución de | x - 5 | < 4 es 1 < x < 9 , o ( 1 , 9 ) . Para utilizar un gráfico, podemos esbozar la función f ( x ) = | x - 5 | . Para ver dónde las salidas son 4, la línea g ( x ) = 4 también podría esbozarse como en la . Gráfico para hallar los puntos que satisfacen una inecuación de valor absoluto. Podemos ver lo siguiente: Los valores de salida del valor absoluto son iguales a 4 en x = 1 y x = 9. El gráfico de f está por debajo del gráfico de g sobre 1 < x < 9. Esto significa que los valores de salida de f ( x ) son menores que los de g ( x ) . El valor absoluto es menor o igual a 4 entre estos dos puntos, cuando 1 < x < 9. En notación de intervalo, este sería el intervalo ( 1 , 9 ) . Análisis Para inecuaciones de valor absoluto, | x − A | < C , | x − A | > C , − C < x − A < C , x − A < − C o x − A > C . Los símbolos < o > pueden sustituirse por ≤ o ≥ . Así que, para este ejemplo, podríamos utilizar este otro enfoque. | x - 5 | < 4 - 4 < x - 5 < 4 Reescriba al eliminar las barras de valor absoluto . − 4 + 5 < x - 5 + 5 < 4 + 5 Aísle x . 1 < x < 9 Ejercicio Resuelva | x + 2 | ≤ 6. 8 ≤ x ≤ 4 Cómo Dada una función de valor absoluto, resolver el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa) Iguale la función a cero y resuelva los puntos límite del conjunto de soluciones. Utilice puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa. Usar el enfoque gráfico para resolver inecuaciones de valor absoluto Dada la función f ( x ) = - 1 2 | 4 x - 5 | + 3 , determine los valores x para los que los valores de la función son negativos. Tratamos de determinar dónde f ( x ) < 0 , que es cuando − 1 2 | 4 x - 5 | + 3 < 0 . Empezamos por aislar el valor absoluto. − 1 2 | 4 x - 5 | < − 3 Multiplique ambos lados por –2 e invierta la inecuación . | 4 x - 5 | > 6 A continuación, resolvemos la igualdad | 4 x - 5 | = 6. 4 x - 5 = 6 o 4 x - 5 = − 6 4 x - 5 = 6 4 x = - 1 x = 11 4 x = - 1 4 Ahora, examinamos el gráfico de f para observar dónde la salida es negativa. Observaremos dónde están las ramas por debajo del eje x . Observe que ni siquiera es importante el aspecto exacto del gráfico, siempre que sepamos que cruza el eje horizontal en x = - 1 4 y x = 11 4 y que el gráfico se ha reflejado verticalmente. Vea la . Observamos que el gráfico de la función está por debajo del eje x a la izquierda de x = - 1 4 y a la derecha de x = 11 4 . Esto significa que los valores de la función son negativos a la izquierda de la primera intersección horizontal en x = - 1 4 , y negativos a la derecha de la segunda intersección en x = 11 4 . Esto nos da la solución a la inecuación. x < - 1 4 o x > 11 4 En notación de intervalo, esto sería ( - ∞ , − 0,25 ) ∪ ( 2,75 , ∞ ) . Ejercicio Resuelva − 2 | k − 4 | ≤ − 6. k ≤ 1 o k ≥ 7 ; en notación de intervalo, esto sería ( - ∞ , 1 ] ∪ [ 7 , ∞ ) Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el valor absoluto. Graficar funciones de valor absoluto Graficar funciones de valor absoluto 2 Ecuaciones de la función de valor absoluto Ecuaciones de la función de valor absoluto 2 Resolver ecuaciones de valor absoluto Conceptos clave La función de valor absoluto se utiliza habitualmente para medir las distancias entre los puntos. Vea el . Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se resuelven con la función de valor absoluto. Vea el . El gráfico de la función valor absoluto se parece a una letra V. Tiene un vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Vea el . En una ecuación de valor absoluto, una incógnita de la variable es la entrada de una función de valor absoluto. Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo, espere dos soluciones para la incógnita. Vea el . La ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución. Vea el . La inecuación de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto, pero tiene la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B . Se resuelve al delimitar el conjunto de soluciones y luego probar cuáles segmentos están en el conjunto. Vea el . Las inecuaciones de valor absoluto se resuelven gráficamente. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se resuelve la ecuación de valor absoluto? Aísle el término de valor absoluto para que la ecuación sea de la forma | A | = B . Forme una ecuación al igualar la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, A , a la expresión del otro lado de la ecuación, B . Forme una segunda ecuación al igualar A al opuesto de la expresión del otro lado de la ecuación, − B . Resuelva cada ecuación para la variable. ¿Cómo sabe si una función de valor absoluto tiene dos intersecciones en x sin representar gráficamente la función? Al resolver una función de valor absoluto, el término de valor absoluto aislado es igual a un número negativo. ¿Qué le dice eso sobre el gráfico de la función de valor absoluto? El gráfico de la función de valor absoluto no cruza el eje x , por lo que está completamente por encima o por debajo del eje x . ¿Cómo utilizar el gráfico de una función de valor absoluto para determinar los valores x para los que los valores de la función son negativos? ¿Cómo se resuelve algebraicamente una inecuación de valor absoluto? En primer lugar, determine los límites al hallar la solución o las soluciones de la ecuación. Utilícelos para formar posibles intervalos de solución. Escoja un valor de prueba en cada intervalo para determinar cuál satisface la inecuación. Algebraicos Describa todos los números x que estén a una distancia de 4 del número 8. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. Describa todos los números x que estén a una distancia de 1 2 del número −4. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. | x + 4 | = 1 2 Describa la situación en la que la distancia en el punto x desde 10 es al menos 15 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. Halle todos los valores de la función f ( x ) tales que la distancia desde f ( x ) hasta el valor 8 sea inferior a 0,03 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. | f ( x ) - 8 | < 0,03 En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos. | x + 3 | = 9 | 6 - x | = 5 { 1 , 11 } | 5 x - 2 | = 11 | 4 x - 2 | = 11 { 9 4 , 13 4 } 2 | 4 - x | = 7 3 | 5 - x | = 5 { 10 3 , 20 3 } 3 | x + 1 | − 4 = 5 5 | x - 4 | − 7 = 2 { 11 5 , 29 5 } 0 = - | x - 3 | + 2 2 | x - 3 | + 1 = 2 { 5 2 , 7 2 } | 3 x - 2 | = 7 | 3 x - 2 | = - 7 No hay solución | 1 2 x - 5 | = 11 | 1 3 x + 5 | = 14 { − 57 , 27 } − | 1 3 x + 5 | + 14 = 0 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función. f ( x ) = 2 | x + 1 | − 10 ( 0 , − 8 ) ; ( − 6 , 0 ) , ( 4 , 0 ) f ( x ) = 4 | x - 3 | + 4 f ( x ) = - 3 | x - 2 | - 1 ( 0 , - 7 ) ; no hay intersecciones en x para f ( x ) = - 2 | x + 1 | + 6 En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo. | x - 2 | > 10 ( - ∞ , − 8 ) ∪ ( 12 , ∞ ) 2 | v − 7 | − 4 ≥ 42 | 3 x - 4 | ≤ 8 - 4 3 ≤ x ≤ 4 | x - 4 | ≥ 8 | 3 x - 5 | ≥ 13 ( - ∞ , − 8 3 ] ∪ [ 6 , ∞ ) | 3 x - 5 | ≥ − 13 | 3 4 x - 5 | ≥ 7 ( - ∞ , − 8 3 ] ∪ [ 16 , ∞ ) | 3 4 x - 5 | + 1 ≤ 16 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico. y = | x – 1 | y = | x + 1 | y = | x | + 1 En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas. y = | x | - 2 y = - | x | y = - | x | - 2 y = - | x - 3 | - 2 f ( x ) = - | x – 1 | - 2 f ( x ) = - | x + 3 | + 4 f ( x ) = 2 | x + 3 | + 1 f ( x ) = 3 | x - 2 | + 3 f ( x ) = | 2 x - 4 | - 3 f ( x ) = | 3 x + 9 | + 2 f ( x ) = - | x – 1 | - 3 f ( x ) = - | x + 4 | - 3 f ( x ) = 1 2 | x + 4 | - 3 En tecnología Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f ( x ) = 10 | x - 2 | en la ventana de visualización [ 0 , 4 ] . Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico. rango: [ 0 , 20 ] Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f ( x ) = − 100 | x | + 100 en la ventana de visualización [ − 5 , 5 ] . Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico. En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización. f ( x ) = − 0,1 | 0,1 ( 0,2 − x ) | + 0,3 x : f ( x ) = 4 × 10 9 | x - ( 5 × 10 9 ) | + 2 × 10 9 Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación. | - 2 x - 2 3 ( x + 1 ) | + 3 > −1 ( - ∞ , ∞ ) Si es posible, halle todos los valores de a tales que no haya x para f ( x ) = 2 | x + 1 | + a . Si es posible, halle todos los valores de a tales que no haya intersecciones en y para f ( x ) = 2 | x + 1 | + a . No hay solución para a que evitará que la función tenga una intersección en y . La función de valor absoluto siempre cruza la intersección en y cuando x = 0 Aplicaciones en el mundo real Las ciudades A y B están en la misma línea este-oeste. Supongamos que la ciudad A está situada en el origen. Si la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de al menos 100 millas y x representa la distancia de la ciudad B a la ciudad A, expréselo con la notación de valor absoluto. La verdadera proporción p de personas que dan una calificación favorable al Congreso es del 8 % con un margen de error del 1,5 %. Describa esta afirmación mediante una ecuación de valor absoluto. | p − 0,08 | ≤ 0,015 Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 18 puntos del número 82 aprobarán un examen en particular. Escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto y utilice la variable x para la puntuación. Un maquinista debe producir un rodamiento que esté dentro de 0,01 pulgadas del diámetro correcto de 5,0 pulgadas. Utilizando x como el diámetro del rodamiento, escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto. | x − 5,0 | ≤ 0,01 La tolerancia de un rodamiento de bolas es de 0,01. Si el diámetro real del rodamiento debe ser de 2,0 pulgadas y el valor medido del diámetro es x pulgadas, exprese la tolerancia con la notación de valor absoluto. ecuación del valor absoluto una ecuación de la forma | A | = B , con la B ≥ 0 ; tendrá soluciones cuando A = B o A = − B inecuación de valor absoluto una relación en la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B", "section": "Funciones de valor absoluto", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones inversas Una bomba de calor reversible es un sistema de climatización que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo aparato. Si funciona en una dirección, bombea el calor de una casa para proporcionar refrigeración. Funcionando a la inversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en tiempo frío, para proporcionar calefacción. La bomba de calor es varias veces más eficiente que la calefacción por resistencia eléctrica convencional. Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las \"máquinas\" de funciones que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La ofrece una representación visual de esta cuestión. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones. ¿Una \"máquina\" de funciones puede operar a la inversa? Comprobar que dos funciones son inversas Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius . Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula C = 5 9 ( F − 32 ) y sustituye 75 por F para calcular 5 9 ( 75 − 32 ) ≈ 24 °C . Sabiendo que una temperatura agradable de 75 grados Fahrenheit equivale a unos 24 grados Celsius, Betty obtiene la previsión meteorológica de la semana a partir de la para Milán, y quiere convertir todas las temperaturas a grados Fahrenheit. Al principio, Betty se plantea utilizar la fórmula que ya ha encontrado para efectuar las conversiones. Después de todo, conoce el álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para F después de sustituir un valor por C . Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir 26 = 5 9 ( F − 32 ) 26 ⋅ 9 5 = F − 32 F = 26 ⋅ 9 5 + 32 ≈ 79 Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Se percata de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener otra fórmula, que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit. La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de función inversa , que es aquella para la que la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa. Dada una función f ( x ) , representamos su inversa como f − 1 ( x ) , que se lee como “ f inversa de x ” . El elevado −1 forma parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de −1 . En otras palabras, f − 1 ( x ) no significa 1 f ( x ) porque 1 f ( x ) es el recíproco de f y no la inversa. La notación \"exponencial\" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que a - 1 a = 1 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número no nulo a , por lo que f − 1 ∘ f es igual a la función de identidad, es decir: ( f − 1 ∘ f ) ( x ) = f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( y ) = x Esto es válido para todos los valores x en el dominio de f . Informalmente, esto significa que las funciones inversas se \"deshacen\" entre sí. Sin embargo, así como el cero no tiene recíproco , algunas funciones no tienen inversa. Dada una función f ( x ) , podemos verificar si alguna otra función g ( x ) es la inversa de f ( x ) al comprobar si g ( f ( x ) ) = x o f ( g ( x ) ) = x es verdadera. Podemos probar cualquier ecuación que sea más conveniente, porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra). Por ejemplo, y = 4 x y y = 1 4 x son funciones inversas. ( f − 1 ∘ f ) ( x ) = f − 1 ( 4 x ) = 1 4 ( 4 x ) = x y ( f ∘ f − 1 ) ( x ) = f ( 1 4 x ) = 4 ( 1 4 x ) = x Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y = 4 x son (-2, -8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y = 1 4 x son (-8, -2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa. Función inversa Para cualquier función biunívoca f ( x ) = y , una función f − 1 ( x ) es la función inversa de f si f − 1 ( y ) = x . Esto también puede escribirse como f − 1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f . También se deduce que f ( f − 1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f − 1 si f − 1 es la inversa de f . La notación f − 1 se lee “ f inversa”. Como cualquier otra función, podemos utilizar cualquier nombre de variable como entrada para f − 1 , por lo que a menudo escribiremos f − 1 ( x ) , que leemos como “ f inversa de x ” . Tenga en cuenta que f − 1 ( x ) ≠ 1 f ( x ) y no todas las funciones tienen inversas. Identificar una función inversa para un determinado par de entrada-salida Si para una determinada función biunívoca f ( 2 ) = 4 y f ( 5 ) = 12 , ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes a la función inversa? La función inversa invierte las cantidades de entrada y salida, por lo que si f ( 2 ) = 4 , entonces f − 1 ( 4 ) = 2 ; f ( 5 ) = 12 , entonces f − 1 ( 12 ) = 5. Alternativamente, si queremos designar la función inversa g , entonces g ( 4 ) = 2 y g ( 12 ) = 5. Análisis Observe que, si mostramos los pares de coordenadas en forma tabular, la entrada y la salida están claramente invertidas. Vea la . ( x , f ( x ) ) ( x , g ( x ) ) ( 2 , 4 ) ( 4 , 2 ) ( 5 , 12 ) ( 12 , 5 ) Ejercicio Dado que h - 1 ( 6 ) = 2 , ¿cuáles son los valores correspondientes de entrada y salida de la función original h ? h ( 2 ) = 6 Cómo Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ) , compruebe si las funciones son inversas entre sí. Determine si f ( g ( x ) ) = x o g ( f ( x ) ) = x . Si ambos enunciados son verdaderos, entonces g = f − 1 y f = g − 1 . Si cualquiera de los dos enunciados es falso, entonces ambos son falsos, y g ≠ f − 1 y f ≠ g − 1 . Comprobar relaciones inversas de forma algebraica Si los valores de f ( x ) = 1 x + 2 y g ( x ) = 1 x - 2 , es g = f − 1 ? g ( f ( x ) ) = 1 ( 1 x + 2 ) - 2 = x + 2 - 2 = x por lo que g = f − 1 y f = g − 1 Esto basta para responder afirmativamente la pregunta, aunque también podemos verificar la otra fórmula. f ( g ( x ) ) = 1 1 x - 2 + 2 = 1 1 x = x Análisis Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original. Ejercicio Si los valores de f ( x ) = x 3 - 4 y g ( x ) = x + 4 3 , es g = f − 1 ? No Determinar las relaciones inversas para las funciones de potencia Si los valores de f ( x ) = x 3 (la función del cubo) y g ( x ) = 1 3 x , es g = f − 1 ? f ( g ( x ) ) = x 3 27 ≠ x No, las funciones no son inversas. Análisis La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica x 3 = x 1 3 , es decir: el tercio es un exponente, no un multiplicador. Ejercicio Si los valores de f ( x ) = ( x – 1 ) 3 y g ( x ) = x 3 + 1 , es g = f − 1 ? Sí Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas Las salidas de la función f son las entradas a f − 1 , por lo que el rango de f es también el dominio de f − 1 . Asimismo, dado que las entradas a f son las salidas de f − 1 , el dominio de f es el rango de f − 1 . Podemos visualizar la situación como en la . Dominio y rango de una función y su inversa Cuando una función no tenga inversa, es posible crear una función en un dominio limitado donde sí la tenga. Por ejemplo, la inversa de f ( x ) = x es f − 1 ( x ) = x 2 , porque un cuadrado \"deshace\" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es apenas la inversa de la raíz cuadrada en el dominio [ 0 , ∞ ) , ya que ese es el rango de f ( x ) = x . Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática de la caja de herramientas) f ( x ) = x 2 . Si queremos construir la inversa de esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y -3. Sin embargo, la salida de una función es la entrada para su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la \"inversa\" no es una función en absoluto! Por decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función biunívoca; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene ninguna función inversa. Para que tenga una inversa, deberá ser una función biunívoca. En muchos casos, si la función no es biunívoca, podemos restringirla a una parte de su dominio en la que lo sea. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada f ( x ) = x 2 con su dominio limitado a [ 0 , ∞ ) , que es una función biunívoca (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada). Si los valores de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 en [ 1 , ∞ ) , entonces la función inversa es f − 1 ( x ) = x + 1. El dominio de f = rango de f − 1 = [ 1 , ∞ ) . El dominio de f − 1 = rango de f = [ 0 , ∞ ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Una función puede tener más de una inversa? No. Si dos funciones supuestamente diferentes, digamos, g y h , cumplen la definición de ser inversas de otra función f , entonces, se puede demostrar que g = h . Acabamos de ver que algunas funciones tienen inversas únicamente si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede que haya más de una manera de restringir el dominio, para dar lugar a diferentes inversas. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original sigue teniendo una sola inversa. Dominio y rango de las funciones inversas El rango de una función f ( x ) es el dominio de la función inversa f − 1 ( x ) . El dominio de f ( x ) es el rango de f − 1 ( x ) . Cómo Dada una función, hallar el dominio y el rango de su inversa. Si la función es biunívoca, anote el rango de la función original como el dominio de la inversa, y anote el dominio de la función original como el rango de la inversa. Si hay que restringir el dominio de la función original para que sea biunívoca, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa. Hallar los inversos de las funciones de la caja de herramientas Identifique cuáles de las funciones de la caja de herramientas, además de la función cuadrática, no son biunívocas y halle un dominio restringido en el que cada función sea biunívoca, si es que lo hay. Las funciones de la caja de herramientas se repasan en la . Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos los valores y exactamente una vez. Constante Identidad Función Cúbico Recíproco f ( x ) = c f ( x ) = x f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 3 f ( x ) = 1 x Recíproco al cuadrado Raíz del cubo Raíz cuadrada Valor absoluto f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = x 3 f ( x ) = x f ( x ) = | x | La función constante no es biunívoca, y no hay ningún dominio (excepto un solo punto) en el que podría serlo, por lo que la función constante no tiene ninguna inversa significativa. La función de valor absoluto puede restringirse al dominio [ 0 , ∞ ) , donde es igual a la función de identidad. La función recíproca al cuadrado puede restringirse al dominio ( 0 , ∞ ) . Análisis Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son biunívocas al observar sus gráficos, los que se muestran en la . Ninguno de los dos pasarían la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función se restringe a un determinado dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces en ese dominio restringido, puede tener una inversa. (a) Valor absoluto (b) Recíproco al cuadrado Ejercicio El dominio de la función f es ( 1 , ∞ ) y el rango de la función f es ( -∞ , –2 ) . Halle el dominio y el rango de la función inversa. El dominio de la función f − 1 es ( - ∞ , - 2 ) y el rango de la función f − 1 es ( 1 , ∞ ) . Hallar y evaluar funciones inversas Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos. Invertir funciones tabulares Supongamos que queremos hallar la inversa de una función representada en forma tabular. Recuerde que el dominio de la función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Así que tenemos que intercambiar el dominio y el rango. Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas de la función inversa. Del mismo modo, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa. Interpretar la inversa de una función tabular Una función f ( t ) se da en la , donde se indica la distancia en millas que ha recorrido un automóvil en t minutos. Halle e interprete f − 1 ( 70 ) . t (minutos) 30 50 70 90 f ( t ) (millas) 20 40 60 70 La función inversa toma una salida de f y arroja una entrada para f . Así que, en la expresión f − 1 ( 70 ) , 70 es un valor de salida de la función original, que representa 70 millas. La inversa arrojará la entrada correspondiente de la función original f , 90 minutos, por lo que f − 1 ( 70 ) = 90. La interpretación de esto es que, para conducir 70 millas, se necesitaron 90 minutos. Alternativamente, recordemos que la definición de la inversa era que si f ( a ) = b , entonces f − 1 ( b ) = a . A la luz de esta definición, si nos dan f − 1 ( 70 ) = a , entonces buscamos un valor a para que f ( a ) = 70. En este caso, buscamos un valor t para que f ( t ) = 70 , que es cuando t = 90. Ejercicio Utilizando la , halle e interprete (a) f ( 60 ) , y (b) f − 1 ( 60 ) . t (minutos) 30 50 60 70 90 f ( t ) (millas) 20 40 50 60 70 f ( 60 ) = 50. En 60 minutos se recorren 50 millas. f − 1 ( 60 ) = 70. Para recorrer 60 millas, tardará 70 minutos. Evaluación de la inversa de una función, dado el gráfico de la función original Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función puede leerse a partir de la extensión horizontal de su gráfico. Hallamos el dominio de la función inversa observando la extensión vertical del gráfico de la función original, ya que esta corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. Del mismo modo, hallamos el rango de la función inversa a partir de la extensión horizontal del gráfico de la función original, ya que es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, hallamos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original. Cómo Dado el gráfico de una función, evaluar su inversa en determinados puntos. Halle la entrada deseada en el eje y del gráfico dado. Lea la salida de la función inversa desde el eje x del gráfico dado. Evaluar una función y su inversa a partir de un gráfico en determinados puntos Una función g ( x ) se da en la . Calcule g ( 3 ) y g − 1 ( 3 ) . Para evaluar g ( 3 ) , hallamos 3 en el eje x y calculamos el valor de salida correspondiente en el eje y . El punto ( 3 , 1 ) nos dice que g ( 3 ) = 1. Para evaluar g − 1 ( 3 ) , recuerde que, por definición, g − 1 ( 3 ) significa el valor de x para el que g ( x ) = 3. Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical, hallamos el punto ( 5 , 3 ) en el gráfico, lo que significa g ( 5 ) = 3 , así, por definición, g − 1 ( 3 ) = 5. Vea la . Ejercicio Con el gráfico de la , (a) halle g − 1 ( 1 ) , y (b) calcule g − 1 ( 4 ) . a. 3; b. 5,6 Hallar las inversas de las funciones representadas por fórmulas A veces necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para algunos. Si la función original viene dada como una fórmula —por ejemplo, y en función de x — a menudo podemos hallar la función inversa al resolver para obtener x en función de y . Cómo Dada una función representada por una fórmula, hallar la inversa. Asegúrese de que f sea una función biunívoca. Resuelva para x . Intercambie la x y y . Invertir la función Fahrenheit a Celsius Halle la fórmula de la función inversa que dé la temperatura Fahrenheit en función de la temperatura Celsius. C = 5 9 ( F − 32 ) C = 5 9 ( F − 32 ) C ⋅ 9 5 = F − 32 F = 9 5 C + 32 Al resolver en general, hemos descubierto la función inversa. Si C = h ( F ) = 5 9 ( F − 32 ) , entonces F = h - 1 ( C ) = 9 5 C + 32. En este caso, introducimos una función h para representar la conversión porque las variables de entrada y salida son descriptivas, y escribir C - 1 puede resultar confuso. Ejercicio Resuelva para x en términos de y dado y = 1 3 ( x - 5 ) x = 3 y + 5 Resolver para hallar la función inversa Halle la inversa de la función f ( x ) = 2 x - 3 + 4. y = 2 x - 3 + 4 Establezca una ecuación . y - 4 = 2 x - 3 Reste 4 de ambos lados . x - 3 = 2 y - 4 Multiplique ambos lados por x - 3 y divida entre y − 4. x = 2 y - 4 + 3 Sume 3 a ambos lados . Así que f − 1 ( y ) = 2 y - 4 + 3 o f − 1 ( x ) = 2 x - 4 + 3. Análisis El dominio y el rango de f excluyen los valores 3 y 4, respectivamente. f y f − 1 son iguales en dos puntos, pero no son la misma función, como podemos ver al crear la . x 1 2 5 f − 1 ( y ) f ( x ) 3 2 5 y Resolver para hallar la inversa con radicales Halle la inversa de la función f ( x ) = 2 + x - 4 . y = 2 + x - 4 ( y - 2 ) 2 = x - 4 x = ( y - 2 ) 2 + 4 Así que f − 1 ( x ) = ( x - 2 ) 2 + 4. El dominio de f es [ 4 , ∞ ) . Observe que el rango de f es [ 2 , ∞ ) . Esto significa que el dominio de la función inversa f − 1 también es [ 2 , ∞ ) . Análisis La fórmula que hallamos para f − 1 ( x ) luce válida para todos los valores reales de x . Sin embargo, el que f − 1 deberá tener una inversa (a saber, f ) por lo que tenemos que restringir el dominio de f − 1 con [ 2 , ∞ ) para hacer de f − 1 una función biunívoca. Este dominio de f − 1 es exactamente el rango de f . Ejercicio ¿Cuál es la inversa de la función f ( x ) = 2 - x ? Indique los dominios tanto de la función como de la función inversa. f − 1 ( x ) = ( 2 - x ) 2 ; dominio de f : [ 0 , ∞ ) ; dominio de f − 1 : ( - ∞ , 2 ] Hallar funciones inversas y sus gráficos Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática f ( x ) = x 2 restringida al dominio [ 0 , ∞ ) , en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la . Función cuadrática restringida al dominio [0, ∞). Restringir el dominio a [ 0 , ∞ ) hace que la función sea biunívoca (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido. Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática de la caja de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir, f − 1 ( x ) = x . ¿Qué sucede si graficamos tanto f y f − 1 en el mismo conjunto de ejes, donde utilizamos el eje x para la entrada, tanto para f como para f − 1 ? Observamos una clara relación: el gráfico de f − 1 ( x ) es el gráfico de f ( x ) reflejado sobre la línea diagonal y = x , que llamaremos línea de identidad, y que se indica en la . Funciones cuadradas y de raíz cuadrada en el dominio no negativo Esta relación se observará en todas las funciones biunívocas, porque es el resultado de que la función y su inversa intercambien entradas y salidas. Esto equivale a intercambiar los papeles de los ejes vertical y horizontal. Hallar la inversa de una función por medio de la reflexión sobre la línea de identidad Dado el gráfico de f ( x ) en la , dibuje un gráfico de f − 1 ( x ) . Se trata de una función biunívoca, por lo que podremos trazar la inversa. Observe que el gráfico mostrado tiene un dominio aparente de ( 0 , ∞ ) y el rango de ( - ∞ , ∞ ) , por lo que la inversa tendrá un dominio de ( - ∞ , ∞ ) y el rango de ( 0 , ∞ ) . Si reflejamos este gráfico sobre la línea y = x , el punto ( 1 , 0 ) refleja a ( 0 , 1 ) y el punto ( 4 , 2 ) refleja a ( 2 , 4 ) . Al dibujar la inversa en los mismos ejes que en el gráfico original se obtiene la . La función y su inversa, lo que muestra la reflexión sobre la línea de identidad Ejercicio Dibuje los gráficos de las funciones f y f − 1 a partir del . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existe alguna función que sea igual a su propia inversa? Sí. Si los valores de f = f − 1 , entonces f ( f ( x ) ) = x , y podemos pensar en varias funciones que tienen esta propiedad. La función de identidad la tiene, y también la función recíproca, porque 1 1 x = x Cualquier función f ( x ) = c − x , donde c es una constante, también es igual a su propia inversa. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones inversas. Funciones inversas Valores de la función inversa mediante el gráfico Restringir el dominio y hallar la inversa Conceptos clave Si los valores de g ( x ) es la inversa de f ( x ) , entonces g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x . Vea el , el y el . Cada una de las funciones de la caja de herramientas tiene una inversa. Vea el . Para que una función tenga una inversa, deberá ser biunívoca (pasar la prueba de la línea horizontal). Aquella función que no sea biunívoca en todo su dominio puede serlo en parte de su dominio. Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa. Vea el . La inversa de la función puede determinarse en puntos específicos en su gráfico. Vea el . Para hallar la inversa de una fórmula, resuelva la ecuación y = f ( x ) para x en función de y . A continuación, intercambie las etiquetas x y y . Vea el , el y el . El gráfico de una función inversa es la reflexión del gráfico de la función original a través de la línea y = x . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué la prueba de la línea horizontal es una forma eficaz de determinar si la función es biunívoca? Explique. Cada salida de una función debe tener exactamente una salida para que la función sea biunívoca. Si alguna línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, significa que los valores de y se repiten y la función no es biunívoca. Si ninguna línea horizontal cruza el gráfico de la función más de una vez, entonces ninguno de los valores de y se repiten y la función es biunívoca. ¿Por qué restringimos el dominio de la función f ( x ) = x 2 para dar con la inversa de la función? ¿Una función puede ser su propia inversa? Explique. Sí. Por ejemplo, f ( x ) = 1 x es su propia inversa. ¿Las funciones biunívocas son siempre crecientes o decrecientes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se halla la inversa de una función de forma algebraica? Dada una función y = f ( x ) , resolver para x en términos de y . Intercambie los valores de x y y . Resuelva la nueva ecuación para y . La expresión para y es la inversa, y = f − 1 ( x ) . Algebraicos Demuestre que la función f ( x ) = a − x es su propia inversa para todos los números reales a . En los siguientes ejercicios, calcule f − 1 ( x ) por cada función. f ( x ) = x + 3 f − 1 ( x ) = x - 3 f ( x ) = x + 5 f ( x ) = 2 - x f − 1 ( x ) = 2 - x f ( x ) = 3 - x f ( x ) = x x + 2 f − 1 ( x ) = - 2 x x – 1 f ( x ) = 2 x + 3 5 x + 4 En los siguientes ejercicios, halle un dominio en el que cada función f sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de f restringida a ese dominio. f ( x ) = ( x + 7 ) 2 dominio de f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) ; f − 1 ( x ) = x - 7 f ( x ) = ( x - 6 ) 2 f ( x ) = x 2 - 5 dominio de f ( x ) : [ 0 , ∞ ) ; f − 1 ( x ) = x + 5 Dado que f ( x ) = x 2 + x y g ( x ) = 2 x 1 - x : Ⓐ Halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Ⓑ ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre f ( x ) y g ( x ) ? Ⓐ f ( g ( x ) ) = x y g ( f ( x ) ) = x . Ⓑ Esto nos dice que f y g son funciones inversas En los siguientes ejercicios, utilice la composición de funciones para verificar que f ( x ) y g ( x ) son funciones inversas. f ( x ) = x – 1 3 y g ( x ) = x 3 + 1 f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x f ( x ) = - 3 x + 5 y g ( x ) = x - 5 - 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca. f ( x ) = x biunívoca f ( x ) = 3 x + 1 3 f ( x ) = −5 x + 1 biunívoca f ( x ) = x 3 − 27 En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico representa una función biunívoca. no es biunívoca En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f que se muestra en la . Halle f ( 0 ) . 3 Resuelva f ( x ) = 0, Calcule f − 1 ( 0 ) . 2 Resuelva f − 1 ( x ) = 0, En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función biunívoca que se muestra en la . Dibuje el gráfico de f − 1 . Halle f ( 6 ) y f − 1 ( 2 ) . Si el gráfico completo de f se muestra, halle el dominio de f . [ 2 , 10 ] Si el gráfico completo de f se muestra, halle el rango de f . Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe o resuelva, suponiendo que la función f es biunívoca. Si los valores de f ( 6 ) = 7 , calcule f − 1 ( 7 ) . 6 Si f ( 3 ) = 2 , calcule f − 1 ( 2 ) . Si f − 1 ( - 4 ) = - 8 , calcule f ( − 8 ) . - 4 Si f − 1 ( – 2 ) = - 1 , calcule f ( - 1 ) . En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la para evaluar o resolver. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f ( x ) 8 0 7 4 2 6 5 3 9 1 Halle f ( 1 ) . 0 Resuelva f ( x ) = 3. Calcule f − 1 ( 0 ) . 1 Resuelva f − 1 ( x ) = 7. Utilice la representación tabular de f en la con el objeto de crear una tabla para f − 1 ( x ) . x 3 6 9 13 14 f ( x ) 1 4 7 12 16 x 1 4 7 12 16 f − 1 ( x ) 3 6 9 13 14 En tecnología En los siguientes ejercicios, halle la función inversa. A continuación, grafique la función y su inversa. f ( x ) = 3 x - 2 f ( x ) = x 3 - 1 f − 1 ( x ) = ( 1 + x ) 1 / 3 Calcule la función inversa de f ( x ) = 1 x – 1 . Utilice una herramienta gráfica para calcular su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalo. Aplicaciones en el mundo real Para convertir de x grados Celsius a y grados Fahrenheit, utilizamos la fórmula f ( x ) = 9 5 x + 32. Halle la función inversa, si existe, y explique su significado. f − 1 ( x ) = 5 9 ( x − 32 ) . Dada la temperatura Fahrenheit, x , esta fórmula permite calcular la temperatura en Celsius. La circunferencia C de un círculo es la función de su radio, dada por C ( r ) = 2 π r . Exprese el radio de un círculo en función de su circunferencia. Llame a esta función r ( C ) . Halle r ( 36 π ) e interprete su significado. Un automóvil viaja a una velocidad constante de 80 millas por hora. La distancia que recorre el automóvil en millas es una función del tiempo, t , en horas, dadas por d ( t ) = 50 t . Halle la función inversa al expresar el tiempo de viaje en términos de la distancia recorrida. Llame a esta función t ( d ) . Halle t ( 180 ) e interprete su significado. t ( d ) = d 50 , t ( 180 ) = 180 50 . El tiempo que tarda el automóvil en recorrer 180 millas es de 3,6 horas. Ejercicios de repaso del capítulo Funciones y notación de funciones En los siguientes ejercicios, determine si la relación es una función. { ( a , b ) , ( c , d ) , ( e , d ) } cuadrática { ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) , ( 6 , 2 ) , ( 4 , 8 ) } y 2 + 4 = x , para x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente no es una función ¿El gráfico en la es una función? En los siguientes ejercicios, evalúe la función en los valores indicados: f ( - 3 ) ; f ( 2 ) ; f ( - a ) ; − f ( a ) ; f ( a + h ) . f ( x ) = - 2 x 2 + 3 x f ( - 3 ) = − 27 ; f ( 2 ) = - 2 ; f ( - a ) = - 2 a 2 - 3 a ; − f ( a ) = 2 a 2 - 3 a ; f ( a + h ) = - 2 a 2 + 3 a - 4 a h + 3 h − 2 h 2 f ( x ) = 2 | 3 x – 1 | En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son biunívocas. f ( x ) = - 3 x + 5 biunívoca f ( x ) = | x - 3 | En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si la relación cuyo gráfico se proporciona es una función. cuadrática cuadrática En los siguientes ejercicios, grafique las funciones. f ( x ) = | x + 1 | f ( x ) = x 2 - 2 En los siguientes ejercicios, utilice la para estimar los valores. f ( 2 ) f ( −2 ) 2 Si f ( x ) = –2 , y luego resolvemos para x . Si f ( x ) = 1 , y luego resolvemos para x . x = − 1,8 o o x = 1,8 En los siguientes ejercicios, utilice la función h ( t ) = - 16 t 2 + 80 t para estimar los valores. h ( 2 ) − h ( 1 ) 2 – 1 h ( a ) − h ( 1 ) a - 1 − 64 + 80 a − 16 a 2 – 1 + a = - 16 a + 64 Dominio y rango En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función, y exprese las respuestas utilizando la notación intervalo. f ( x ) = 2 3 x + 2 f ( x ) = x - 3 x 2 - 4 x - 12 ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( – 2 , 6 ) ∪ ( 6 , ∞ ) f ( x ) = x - 6 x - 4 Grafique esta función definida por partes f ( x ) = { x + 1 x < − 2 - 2 x - 3 x ≥ − 2 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la tasa promedio de cambio de las funciones a partir de x = 1 para x = 2. f ( x ) = 4 x - 3 f ( x ) = 10 x 2 + x 31 f ( x ) = - 2 x 2 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para determinar los intervalos en los que las funciones son crecientes, decrecientes o constantes. creciente ( 2 , ∞ ) ; decreciente ( - ∞ , 2 ) creciente ( - 3 , 1 ) ; constante ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 1 , ∞ ) Halle el mínimo local de la función graficada en el . Halle los extremos locales de la función graficada en el . mínimo local ( – 2 , - 3 ) ; máximo local ( 1 , 3 ) Para el gráfico en la , el dominio de la función es [ − 3 , 3 ] . El rango es [ − 10 , 10 ] . Halle el mínimo absoluto de la función en este intervalo. Halle el máximo absoluto de la función graficada en la . Máximo absoluto: 10 Composición de las funciones En los siguientes ejercicios, calcule ( f ∘ g ) ( x ) y ( g ∘ f ) ( x ) por cada par de funciones. f ( x ) = 4 - x , g ( x ) = – 4 x f ( x ) = 3 x + 2 , g ( x ) = 5 − 6 x ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ; ( g ∘ f ) ( x ) = - 7 − 18 x f ( x ) = x 2 + 2 x , g ( x ) = 5 x + 1 f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = 1 x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 x + 2 ; ( g ∘ f ) ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = x + 3 2 , g ( x ) = 1 - x En los siguientes ejercicios, calcule ( f ∘ g ) y el dominio para ( f ∘ g ) ( x ) por cada par de funciones. f ( x ) = x + 1 x + 4 , g ( x ) = 1 x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ - 1 4 f ( x ) = 1 x + 3 , g ( x ) = 1 x - 9 f ( x ) = 1 x , g ( x ) = x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 x , x > 0 f ( x ) = 1 x 2 – 1 , g ( x ) = x + 1 En los siguientes ejercicios, exprese cada función H como una composición de dos funciones f y g donde H ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) . H ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 muestra: g ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 ; f ( x ) = x H ( x ) = 1 ( 3 x 2 - 4 ) - 3 Transformación de funciones En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función dada. f ( x ) = ( x - 3 ) 2 f ( x ) = ( x + 4 ) 3 f ( x ) = x + 5 f ( x ) = - x 3 f ( x ) = - x 3 f ( x ) = 5 - x - 4 f ( x ) = 4 [ | x - 2 | − 6 ] f ( x ) = - ( x + 2 ) 2 – 1 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función g si el gráfico de la función f se muestra en la . g ( x ) = f ( x – 1 ) g ( x ) = 3 f ( x ) En los siguientes ejercicios, anote la ecuación de la función estándar representada por cada uno de los gráficos que aparecen a continuación. f ( x ) = | x - 3 | En los siguientes ejercicios, determine si cada función de abajo es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = 3 x 4 números g ( x ) = x h ( x ) = 1 x + 3 x impar En los siguientes ejercicios, analice el gráfico y determine si la función graficada es par, impar o ninguna de las dos. números Funciones de valor absoluto En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para la transformación de f ( x ) = | x | . f ( x ) = 1 2 | x + 2 | + 1 f ( x ) = - 3 | x - 3 | + 3 En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. f ( x ) = | x - 5 | f ( x ) = - | x - 3 | f ( x ) = | 2 x - 4 | En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de valor absoluto. | x + 4 | = 18 x = − 22 , x = 14 | 1 3 x + 5 | = | 3 4 x - 2 | En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación y exprese la solución con la notación de intervalo. | 3 x - 2 | < 7 ( - 5 3 , 3 ) | 1 3 x - 2 | ≤ 7 Funciones inversas En los siguientes ejercicios, calcule f − 1 ( x ) por cada función. f ( x ) = 9 + 10 x f − 1 ( x ) = x 1 f ( x ) = x x + 2 En el siguiente ejercicio, halle un dominio en el que la función f sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de f restringida a ese dominio. f ( x ) = x 2 + 1 Dado que f ( x ) = x 3 - 5 y g ( x ) = x + 5 3 : Halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre f ( x ) y g ( x ) ? En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca. f ( x ) = 1 x La función es biunívoca. f ( x ) = - 3 x 2 + x La función no es biunívoca. Si los valores de f ( 5 ) = 2 , calcule f − 1 ( 2 ) . 5 Si f ( 1 ) = 4 , calcule f − 1 ( 4 ) . Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, determine si cada una de las siguientes relaciones es una función. y = 2 x + 8 La relación es una función. { ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( - 1 , 1 ) , ( 0 , - 2 ) } En los siguientes ejercicios, evalúe la función f ( x ) = - 3 x 2 + 2 x en la entrada dada. f ( −2 ) −16 f ( a ) Demuestre que la función f ( x ) = - 2 ( x – 1 ) 2 + 3 no es biunívoca. El gráfico es una parábola y no pasa la prueba de la línea horizontal. Escriba el dominio de la función f ( x ) = 3 - x en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 - 5 x , calcule f ( a + 1 ) - f ( 1 ) . 2 a 2 - a Grafique la función f ( x ) = { x + 1 si − 2 < x < 3 - x si x ≥ 3 Halle la tasa de cambio promedio de la función f ( x ) = 3 - 2 x 2 + x al calcular f ( b ) - f ( a ) b – a . - 2 ( a + b ) + 1 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = 3 - 2 x 2 + x y g ( x ) = x para hallar las funciones compuestas. ( g ∘ f ) ( x ) ( g ∘ f ) ( 1 ) 2 Exprese H ( x ) = 5 x 2 - 3 x 3 como una composición de dos funciones, f y g , donde ( f ∘ g ) ( x ) = H ( x ) . En los siguientes ejercicios, grafique las funciones al trasladar, estirar o comprimir una función de la caja de herramientas. f ( x ) = x + 6 - 1 f ( x ) = 1 x + 2 – 1 En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son pares, impares o ninguna de las dos. f ( x ) = - 5 x 2 + 9 x 6 números f ( x ) = - 5 x 3 + 9 x 5 f ( x ) = 1 x impar Represente gráficamente la función de valor absoluto f ( x ) = - 2 | x – 1 | + 3. Resuelva | 2 x - 3 | = 17. x = - 7 y x = 10 Resuelva − | 1 3 x - 3 | ≥ 17. Exprese la solución en notación de intervalo. En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función. f ( x ) = 3 x - 5 f − 1 ( x ) = x + 5 3 f ( x ) = 4 x + 7 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de g que se muestra en la . ¿En qué intervalos es creciente la función? ( - ∞ , − 1,1 ) y ( 1,1 , ∞ ) ¿En qué intervalos es decreciente la función? Calcule aproximadamente el mínimo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado. ( 1,1 , − 0,9 ) Calcule aproximadamente el máximo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función definida por partes que se muestra en la . Halle f ( 2 ) . f ( 2 ) = 2 Calcule f ( −2 ) . Escriba una ecuación para la función definida por partes. f ( x ) = { | x | si x ≤ 2 3 si x > 2 En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f ( x ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Halle F ( 6 ) . Resuelva la ecuación F ( x ) = 5. x = 2 ¿El gráfico es creciente o decreciente en su dominio? ¿La función que representa el gráfico es biunívoca? sí Halle F − 1 ( 15 ) . Dado que f ( x ) = - 2 x + 11 , calcule f − 1 ( x ) . f − 1 ( x ) = - x − 11 2 función inversa para cualquier función biunívoca f ( x ) , la inversa es una función f − 1 ( x ) tal que f − 1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f ; esto también implica que f ( f − 1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f − 1", "section": "Funciones inversas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Bosque de bambú en China (créditos: \"JFXie”/Flickr). Imagínese que coloca una planta en el suelo un día y descubre que ha crecido el doble a los pocos días. Aunque parezca increíble, esto ocurre con ciertas especies de bambú. Estos miembros de la familia de las gramíneas son las plantas que más rápido crecen en el mundo. Se ha observado que una especie de bambú crece casi 1,5 pulgadas cada hora. http://www.guinnessworldrecords.com/records-3000/fastest-growing-plant/ En un lapso de veinticuatro horas, esta planta de bambú crece unas 36 pulgadas, es decir, ¡unos increíbles 3 pies! Una tasa de cambio constante, como el ciclo de crecimiento de esta planta de bambú, es una función lineal. Recordemos de Funciones y notación de funciones que una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento en el rango. Las funciones lineales son un tipo específico de función que se utiliza para modelar muchas aplicaciones en el mundo real, como el crecimiento de las plantas en el tiempo. En este capítulo, exploraremos las funciones lineales, sus gráficos y cómo relacionarlas con los datos.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones lineales Tren MagLev de Shanghai (créditos: \"kanegen\"/Flickr) Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai ( ). Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos. http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado. Representar funciones lineales La función que describe el movimiento del tren es una función lineal , la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método. Representar una función lineal en forma verbal Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones. La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante. La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo (entrada) aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente (salida) aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación. Representar una función lineal en notación de funciones Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde x es el valor de entrada, m es la tasa de cambio y b es el valor inicial de la variable dependiente. Forma de la ecuación y = m x + b Notación de la ecuación f ( x ) = m x + b En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación D ( t ) en la que la distancia total D es una función del tiempo t . La tasa, m , es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente b es la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren. D ( t ) = 83 t + 250 Representar una función lineal en forma tabular Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la . En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo. Representación tabular de la función D con los valores de entrada y salida seleccionados PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿La entrada en el ejemplo anterior puede ser cualquier número real? No. La entrada representa el tiempo, por lo que, si bien los números racionales e irracionales no negativos son posibles, los números reales negativos no son posibles para este ejemplo. La entrada consiste en números reales no negativos. Representar una función lineal de forma gráfica Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba, D ( t ) = 83 t + 250 , para dibujar un gráfico, representado en la . Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta. La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en y , de la línea. Podemos ver en el gráfico de la que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es ( 0 , 250 ) y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante. el gráfico de D ( t ) = 83 t + 250. Los gráficos de las funciones lineales son líneas porque la tasa de cambio es constante. Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea f ( x ) = 2 x +1. Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto. Función lineal La función lineal es aquella cuya representación gráfica es una línea. Las funciones lineales se escriben en la forma pendiente-intersección de una línea. f ( x ) = m x + b donde b es el valor inicial o de partida de la función (cuando se introduce, x = 0 ), y m es la tasa de cambio constante de la función, o pendiente de la función. Así que la intersección en y está en ( 0 , b ) . Usar una función lineal para hallar la presión en un buceador La presión, P , en libras por pulgada cuadrada (PSI) en el buceador en la depende de su profundidad bajo la superficie del agua, d , en pies. Esta relación puede modelarse mediante la ecuación P ( d ) = 0,434 d + 14,696. Repita esta función con palabras. (Créditos: Ilse Reijs y Jan-Noud Hutten) Para replantear la función en palabras tenemos que describir cada parte de la ecuación. La presión en función de la profundidad es igual a cuatrocientos treinta y cuatro milésimas de la profundidad más catorce y seiscientos noventa y seis milésimas. Análisis El valor inicial, 14,696, es la presión en PSI sobre el buceador a una profundidad de 0 pies, que es la superficie del agua. La tasa de cambio, o pendiente, es de 0,434 PSI por pie. Esto nos indica que la presión sobre el buceador aumenta 0,434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad. Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente , como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en (a) . En el caso de una función decreciente , la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la (b) . Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la (c) . Funciones crecientes y decrecientes La pendiente determina si la función es una función lineal creciente , una función lineal decreciente o una función constante. f ( x ) = m x + b es una función creciente si m > 0, f ( x ) = m x + b es una función decreciente si m < 0, f ( x ) = m x + b es una función constante si m = 0, Decidir si una función es creciente, decreciente o constante Los estudios de principios de la primera década del siglo XXI indicaban que los adolescentes enviaban unos 60 mensajes de texto al día, mientras que los datos más recientes indican tasas de mensajería mucho más elevadas entre todos los usuarios, sobre todo teniendo en cuenta las diversas aplicaciones con las que la gente puede comunicarse. Para cada una de las siguientes situaciones, halle la función lineal que describa la relación entre el valor de entrada y el valor de salida. A continuación, determine si el gráfico de la función es creciente, decreciente o constante. Ⓐ El número total de textos que envía un adolescente se considera en función del tiempo en días. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos enviados. Ⓑ Una persona tiene un límite de 500 mensajes de texto al mes en su plan de datos. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos que quedan para el mes. Ⓒ Una persona tiene un número ilimitado de mensajes de texto en su plan de datos por un costo de 50 dólares al mes. La entrada es el número de días, y la salida es el costo total de los mensajes de texto cada mes. Analice cada función. Ⓐ La función puede representarse como f ( x ) = 60 x donde x es el número de días. La pendiente, 60, es positiva, por lo que la función es creciente. Esto tiene sentido porque el número total de textos aumenta cada día. Ⓑ La función puede representarse como f ( x ) = 500 − 60 x donde x es el número de días. En este caso, la pendiente es negativa, por lo que la función es decreciente. Esto tiene sentido porque el número de textos restantes disminuye cada día y esta función representa el número de textos restantes en el plan de datos después de x días. Ⓒ La función de costo puede representarse como f ( x ) = 50 porque el número de días no incide en el costo total. La pendiente es 0, por lo que la función es constante. Calcular e interpretar la pendiente En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada, x 1 y x 2 , y dos valores correspondientes para la salida, y 1 y y 2 , que puede representarse mediante un conjunto de puntos, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) , podemos calcular la pendiente m , como sigue m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 donde Δ y es el desplazamiento vertical y Δ x es el desplazamiento horizontal. Observe en la notación de la función dos valores correspondientes a la salida y 1 y y 2 para la función f , y 1 = f ( x 1 ) y y 2 = f ( x 2 ) , por lo que podríamos escribir de forma equivalente m = f ( x 2 ) – f ( x 1 ) x 2 – x 1 la indica cómo se calcula la pendiente de la línea entre los puntos, ( x 1, y 1 ) y ( x 2, y 2 ) . Recordemos que la pendiente mide la inclinación. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más pronunciada será la línea. La pendiente de una función se calcula mediante el cambio en y dividido entre el cambio en x . Es indiferente la coordenada que se utilice como ( x 2 , y 2 ) y cuál es ( x 1 , y 1 ) , siempre que cada cálculo se inicie con los elementos del mismo par de coordenadas. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Las unidades de la pendiente son siempre unidades para la salida unidades para la entrada ? Sí. Piense en las unidades como el cambio del valor de salida por cada unidad de cambio en el valor de entrada. Un ejemplo de pendiente podría ser millas por hora o dólares por día. Observe que las unidades aparecen como el cociente de unidades para la salida por unidades para la entrada. Calcular la pendiente La pendiente, o tasa de cambio, de una función m puede calcularse de acuerdo con lo siguiente: m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 donde x 1 y x 2 son valores de entrada, y 1 y y 2 son valores de salida. Cómo Dados dos puntos a partir de una función lineal, calcule e interprete la pendiente. Determine las unidades relativas a los valores de salida y entrada. Calcule el cambio de los valores de salida y de entrada. Interprete la pendiente como el cambio en los valores de salida por unidad del valor de entrada. Hallar la pendiente de una función lineal Si los valores de f ( x ) es una función lineal, y ( 3, -2 ) y ( 8, 1 ) son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente? Los pares de coordenadas son ( 3, -2 ) y ( 8, 1 ) . Para calcular la tasa de cambio, dividimos el cambio en la producción entre el cambio en la entrada. m = cambio en la salida cambio en la entrada = 1 - ( – 2 ) 8 - 3 = 3 5 También podríamos escribir la pendiente como m = 0,6. La función es creciente porque m > 0 . Análisis Como se ha señalado anteriormente, el orden en el que escribimos los puntos no importa cuando calculamos la pendiente de la línea siempre que el primer valor de salida, o coordenada y , que se utilice se corresponda con el primer valor de entrada, o coordenada x , utilizado. Ejercicio Si los valores de f ( x ) es una función lineal, y ( 2 , 3 ) y ( 0 , 4 ) son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente? m = 4 - 3 0 - 2 = 1 - 2 = - 1 2 ; decreciente porque m < 0, Determinar el cambio demográfico a partir de una función lineal La población de la ciudad aumentó de 23.400 a 27.800 habitantes entre 2008 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2008 hasta 2012. La tasa de cambio relaciona el cambio en la población con el cambio en el tiempo. La población aumentó en 27.800 − 23.400 = 4.400 habitantes en el intervalo de cuatro años. Para hallar la tasa de cambio, hay que dividir el cambio en el número de personas entre el número de años. 4.400 personas 4 años = 1.100 personas año Así que la población aumentó en 1.100 habitantes al año. Análisis Como se nos dice que la población aumentó, esperaríamos que la pendiente sea positiva. Por lo tanto, esta pendiente positiva que hemos calculado es razonable. Ejercicio La población de una pequeña ciudad aumentó de 1.442 a 1.868 habitantes entre 2009 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2009 hasta 2012. m = 1 , 868 − 1 , 442 2 , 012 − 2 , 009 = 426 3 = 142 personas al año Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente . y – y 1 = m ( x – x 1 ) La forma punto-pendiente se deriva de la fórmula de la pendiente. m = y – y 1 x – x 1 suponiendo que x ≠ x 1 m ( x – x 1 ) = y – y 1 x – x 1 ( x – x 1 ) Multiplique ambos lados por ( x – x 1 ) . m ( x – x 1 ) = y – y 1 Simplifique . y – y 1 = m ( x – x 1 ) Reacomode . Tenga presente que la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente pueden utilizarse para describir la misma función. Podemos pasar de una forma a otra con el álgebra básica. Por ejemplo, supongamos que nos dan una ecuación en forma de punto-pendiente, y - 4 = - 1 2 ( x - 6 ) . Podemos convertirla a la forma pendiente-intersección, como se indica. y - 4 = - 1 2 ( x - 6 ) y - 4 = - 1 2 x + 3 Distribuya el − 1 2 . y = - 1 2 x + 7 Sume 4 a cada lado . Por lo tanto, la misma línea puede describirse en forma de pendiente-intersección como y = - 1 2 x + 7. Forma punto-pendiente de una ecuación lineal La forma punto-pendiente de una ecuación lineal tiene la forma y – y 1 = m ( x – x 1 ) donde m es la pendiente, x 1 y y 1 son las coordenadas de la x y de la y de un punto concreto por el que pasa la línea. Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente La forma punto-pendiente es especialmente útil si conocemos un punto y la pendiente de una línea. Supongamos, por ejemplo, que nos dicen que una línea tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto ( 4 , 1 ) . Sabemos que m = 2 y que x 1 = 4 y y 1 = 1. Podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 2 ( x - 4 ) Si quisiéramos reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, aplicaríamos técnicas algebraicas. y - 1 = 2 ( x - 4 ) y - 1 = 2 x - 8 Distribuya el 2. y = 2 x - 7 Sume 1 a cada lado . Ambas ecuaciones, y - 1 = 2 ( x - 4 ) y y = 2 x – 7 , describen la misma línea. Vea la . Escribir ecuaciones lineales mediante el empleo de un punto y la pendiente Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea con pendiente 3 que pasa por el punto ( 6 , -1 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. Averigüemos lo que sabemos a partir de la información dada. La pendiente es 3, por lo que m = 3. También conocemos un punto, por lo que sabemos que x 1 = 6 y y 1 = −1. Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( - 1 ) = 3 ( x - 6 ) Sustituya los valores conocidos . y + 1 = 3 ( x - 6 ) Distribuya − 1 para hallar la forma punto-pendiente . Luego usamos el álgebra para hallar la forma pendiente-intersección. y + 1 = 3 ( x - 6 ) y + 1 = 3 x − 18 Distribuya 3 . y = 3 x − 19 Simplifique a la forma pendiente-intersección . Ejercicio Escriba la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con una pendiente de -2 que pasa por el punto ( -2 , 2 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. y - 2 = - 2 ( x + 2 ) ; y = - 2 x - 2 Escribir la ecuación de una línea con dos puntos La forma punto-pendiente de una ecuación también sirve si conocemos dos puntos cualesquiera por los que pasa una línea. Supongamos, por ejemplo, que sabemos que una línea pasa por los puntos ( 0 , 1 ) y ( 3 , 2 ) . Podemos utilizar las coordenadas de los dos puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 – 1 3 - 0 = 1 3 Ahora podemos utilizar la pendiente que hemos calculado y las coordenadas de uno de los puntos para hallar la ecuación de la línea. Utilicemos (0, 1) para nuestro punto. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 1 3 ( x - 0 ) Como antes, podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección. y - 1 = 1 3 ( x - 0 ) y - 1 = 1 3 x Distribuya el 1 3 . y = 1 3 x + 1 Sume 1 a cada lado . Ambas ecuaciones describen la línea mostrada en la . Escribir ecuaciones lineales con dos puntos Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos (5, 1) y (8, 7). Luego reescríbala en la forma pendiente-intersección. Empecemos por hallar la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 7 - 1 8 − 5 = 6 3 = 2 Así que m = 2. A continuación, sustituimos la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación general punto-pendiente. Podemos elegir cualquiera de los dos puntos, pero utilizaremos ( 5 , 1 ) . y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 2 ( x - 5 ) La ecuación punto-pendiente de la línea es y 2 - 1 = 2 ( x 2 – 5 ) . Para reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, utilizamos el álgebra. y - 1 = 2 ( x - 5 ) y - 1 = 2 x - 10 y = 2 x - 9 La ecuación punto-intersección de la línea es y = 2 x – 9. Ejercicio Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos ( -1 , 3 ) y ( 0 , 0 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. y - 0 = - 3 ( x - 0 ) ; y = - 3 x Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función f en la . No se nos da la pendiente de la línea, pero podemos elegir dos puntos cualesquiera para determinar la pendiente. Elijamos ( 0 , 7 ) y ( 4 , 4 ) . Podemos utilizar estos puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 4 - 7 4 - 0 = - 3 4 Ahora podemos sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 4 = - 3 4 ( x - 4 ) Si queremos reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección, hallaríamos y - 4 = - 3 4 ( x - 4 ) y - 4 = - 3 4 x + 3 y = - 3 4 x + 7 Si quisiéramos determinar la forma pendiente-intersección sin escribir primero la forma punto-pendiente, podríamos haber reconocido que la línea cruza el eje y cuando el valor de salida es 7. Por lo tanto, b = 7. Ahora tenemos el valor inicial b y la pendiente m por lo que podemos sustituir m y b en la forma pendiente-intersección de una línea. Así que la función es f ( x ) = - 3 4 x + 7 , y la ecuación lineal sería y = - 3 4 x + 7. Cómo Dado el gráfico de una función lineal, escribir una ecuación que represente la función. Identifique dos puntos de la línea. Utilice los dos puntos para calcular la pendiente. Determine dónde la línea cruza el eje y para identificar la intersección en y mediante una inspección visual. Sustituya la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal. Escribir una ecuación para una función lineal Escriba una ecuación para una función lineal dado un gráfico de f , que se muestra en la . Identifique dos puntos en la línea, como ( 0 , 2 ) y ( – 2 , –4 ) . Utilice los puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = – 4 – 2 - 2 - 0 = − 6 - 2 = 3 Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( - 4 ) = 3 ( x - ( – 2 ) ) y + 4 = 3 ( x + 2 ) Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección. y + 4 = 3 ( x + 2 ) y + 4 = 3 x + 6 y = 3 x + 2 Análisis Esto tiene sentido porque podemos ver en la que la línea cruza el eje y en el punto ( 0 , 2 ) , que es la intersección en y , por lo tanto b = 2. Escribir una ecuación para una función de costo lineal Supongamos que Ben crea una empresa en la que incurre en un costo fijo de 1.250 dólares al mes por los gastos generales, que incluyen el alquiler de su oficina. Su costo de producción es de 37,50 dólares por artículo. Escriba una función lineal C donde C ( x ) es el costo de x artículos producidos en un mes determinado. El costo fijo está presente cada mes, 1.250 dólares. El costo variable abarca el costo de producción de cada artículo, que es de 37,50 dólares para Ben. El costo variable, denominado costo marginal, viene representado por 37,5. El costo en el que incurre Ben es la suma de estos dos costos, representados por C ( x ) = 1.250 + 37,5 x . Análisis Si Ben produce 100 artículos en un mes, su costo mensual viene representado por C ( 100 ) = 1.250 + 37,5 ( 100 ) = 5.000 Así que su costo mensual sería de 5.000 dólares. Escribir una ecuación para una función lineal dados dos puntos Si los valores de f es una función lineal, con f ( 3 ) = −2 y f ( 8 ) = 1 , halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección. Podemos escribir los puntos dados mediante el empleo de coordenadas. f ( 3 ) = −2 → ( 3 , –2 ) f ( 8 ) = 1 → ( 8 , 1 ) A continuación, podemos utilizar los puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 1 - ( – 2 ) 8 - 3 = 3 5 Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( – 2 ) = 3 5 ( x - 3 ) Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección. y + 2 = 3 5 ( x - 3 ) y + 2 = 3 5 x - 9 5 y = 3 5 x − 19 5 Ejercicio Si los valores de f ( x ) es una función lineal, con f ( 2 ) = – 11 , y f ( 4 ) = − 25 , halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección. y = - 7 x + 3 Modelar problemas del mundo real con funciones lineales En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Cómo Dada una función lineal f y el valor inicial y la tasa de cambio, evaluar f ( c ) . Determine el valor inicial y la tasa de cambio (pendiente). Sustituya los valores en f ( x ) = m x + b . Evalúe la función en x = c . Usar la función lineal para determinar el número de canciones en una colección musical Marcus tiene actualmente 200 canciones en su colección de música. Cada mes añade 15 canciones. Escriba una fórmula para el número de canciones, N , en su colección en función del tiempo, t , el número de meses. ¿Cuántas canciones tendrá en un año? El valor inicial de esta función es 200 porque actualmente posee 200 canciones, por lo que N ( 0 ) = 200 , lo que significa que b = 200. El número de canciones aumenta en 15 al mes, por lo que la tasa de cambio es de 15 canciones al mes. Por lo tanto, sabemos que m = 15. Podemos sustituir el valor inicial y la tasa de cambio en la forma pendiente-intersección de una línea. Podemos escribir la fórmula N ( t ) = 15 t + 200. Con esta fórmula, podemos predecir cuántas canciones tendrá Marcus en 1 año (12 meses). En otras palabras, podemos evaluar la función en t = 12. N ( 12 ) = 15 ( 12 ) + 200 = 180 + 200 = 380 Marcus tendrá 380 canciones en 12 meses. Análisis Observe que N es una función lineal creciente. A medida que aumenta la entrada (el número de meses), también aumenta la salida (el número de canciones). Usar una función lineal para calcular el salario más las comisiones Trabajando como vendedor de seguros, Ilya gana un salario base más una comisión por cada nueva póliza. Por lo tanto, el ingreso semanal de Ilya, I , depende del número de pólizas, n , que vende durante la semana. La semana pasada vendió 3 pólizas y ganó 760 dólares en la semana. La semana anterior, vendió 5 pólizas y ganó 920 dólares. Halle una ecuación para I ( n ) , e interprete el significado de los elementos de la ecuación. La información dada nos da dos pares de entrada-salida ( 3,760 ) y ( 5,920 ) . Empezamos por estimar la tasa de cambio. m = 920 − 760 5 - 3 = 160 dólares 2 pólizas = 80 dólares por cada póliza Llevar la cuenta de las unidades nos permite interpretar esta cantidad. Los ingresos aumentaron en 160 dólares cuando el número de pólizas aumentó en 2, por lo que la tasa de variación es de 80 dólares por cada póliza. Por lo tanto, Ilya gana una comisión de 80 dólares por cada póliza que venda durante la semana. Entonces podemos resolver el valor inicial. I ( n ) = 80 n + b 760 = 80 ( 3 ) + b cuando n n = 3 , I ( 3 ) = 760 760 − 80 ( 3 ) = b 520 = b El valor de b es el valor inicial de la función y representa los ingresos de Ilya cuando n = 0 , o cuando no se vendan nuevas pólizas. Podemos interpretarlo como el salario base de Ilya para la semana, que no depende del número de pólizas vendidas. Ahora podemos escribir la ecuación final. I ( n ) = 80 n + 520 Nuestra interpretación final es que el salario base de Ilya es de 520 dólares semanales y que gana una comisión adicional de 80 dólares por cada póliza que venda. Usar la forma tabular para escribir la ecuación de una función lineal La relaciona el número de ratas de una población con el tiempo, en semanas. Utilice la tabla para escribir la ecuación lineal. w , número de semanas 0 2 4 6 P(w) , número de ratas 1.000 1.080 1.160 1.240 Podemos ver en la tabla que el valor inicial del número de ratas es 1.000, por lo que b = 1.000. En lugar de resolver para m , podemos decir, a partir de la tabla, que la población aumenta en 80 por cada 2 semanas que pasan. Esto significa que la tasa de cambio es de 80 ratas cada 2 semanas, lo que puede simplificarse a 40 ratas por semana. P ( w ) = 40 w + 1.000 Si no nos fijamos en la tasa de cambio de la tabla, aún podemos resolver la pendiente con dos puntos cualesquiera de la tabla. Por ejemplo, al utilizar ( 2 , 1.080 ) y ( 6 , 1.240 ) m = 1.240 − 1.080 6 - 2 = 160 4 = 40 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El valor inicial se proporciona siempre en una tabla de valores como en la ? No. A veces el valor inicial se proporciona en una tabla de valores, pero otras veces no. Si se ve una entrada de 0, entonces el valor inicial sería la salida correspondiente. Si no se proporciona el valor inicial porque no hay ningún valor de entrada en la tabla igual a 0, halle la pendiente, sustituya un par de coordenadas y la pendiente en f ( x ) = m x + b , y resuelva para b . Ejercicio Se introdujo un nuevo abono en un árbol joven para probar su efecto en la altura. La muestra la altura del árbol en pies, x meses desde que comenzaron las mediciones. Escriba una función lineal, H ( x ) , donde x es el número de meses transcurridos desde el inicio del experimento. x 0 2 4 8 12 H ( x ) 12,5 13,5 14,5 16,5 18,5 H ( x ) = 0,5 x + 12,5 Media Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con las funciones lineales. Funciones lineales Ecuaciones clave forma pendiente-intersección de la línea f ( x ) = m x + b pendiente m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 forma punto-pendiente de una línea y – y 1 = m ( x – x 1 ) Conceptos clave Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea. Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el . La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente. Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función. El valor inicial, o intersección en y , es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y . La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva. La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa. La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal. El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el . La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el y el . La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea. Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación. La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el . La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el . La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente m y el valor inicial b son conocidas. Vea el , el , y el . La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el y el . La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Terry esquía por una colina empinada. La elevación de Terry, E ( t ) , en pies después de que t segundos viene dada por E ( t ) = 3.000 − 70 t . Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de Terry y cómo cambia con el tiempo. Terry comienza a una elevación de 3.000 pies y desciende 70 pies por segundo. María escala una montaña. La elevación de María, E ( t ) , en pies después de que t minutos viene dada por E ( t ) = 1.200 + 40 t . Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de María y cómo va cambiando con el tiempo. Jessica se dirige caminando a su casa desde la casa de un amigo. Después de 2 minutos está a 1,4 millas de su casa. Doce minutos después de salir, está a 0,9 millas de su casa. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora? 3 millas por hora Sonya se encuentra actualmente a 10 millas de su casa y se aleja caminando a 2 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que le separa de su casa en t horas a partir de ahora. Un barco está a 100 millas de la marina y navega directamente hacia esta a 10 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que separa el barco de la marina después de t horas. d ( t ) = 100 − 10 t Timmy va a la feria con 40 dólares. Cada atracción cuesta 2 dólares. ¿Cuánto dinero le quedará después de n atracciones? Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse como una función lineal. y = 1 4 x + 6 Sí. y = 3 x - 5 y = 3 x 2 - 2 No. 3 x + 5 y = 15 3 x 2 + 5 y = 15 No. 3 x + 5 y 2 = 15 - 2 x 2 + 3 y 2 = 6 No. - x - 3 5 = 2 y En los siguientes ejercicios, determine si cada función es creciente o decreciente. f ( x ) = 4 x + 3 Creciente. g ( x ) = 5 x + 6 a ( x ) = 5 - 2 x Decreciente. b ( x ) = 8 - 3 x h ( x ) = - 2 x + 4 Decreciente. k ( x ) = – 4 x + 1 j ( x ) = 1 2 x - 3 Creciente. p ( x ) = 1 4 x - 5 n ( x ) = - 1 3 x - 2 Decreciente. m ( x ) = - 3 8 x + 3 En los siguientes ejercicios, calcule la pendiente de la línea que pasa por los dos puntos dados. ( 2 , 4 ) y ( 4 , 10 ) 3 ( 1 , 5 ) y ( 4 , 11 ) ( –1 , 4 ) y ( 5 , 2 ) - 1 3 ( 8 , –2 ) y ( 4 , 6 ) ( 6 , 11 ) y ( - 4 , 3 ) 4 5 En los siguientes ejercicios, dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. f ( - 5 ) = – 4 , y f ( 5 ) = 2 f ( –1 ) = 4 y f ( 5 ) = 1 f ( x ) = - 1 2 x + 7 2 ( 2 , 4 ) y ( 4 , 10 ) Pasa por ( 1 , 5 ) y ( 4 , 11 ) y = 2 x + 3 Pasa por ( - 1 , 4 ) y ( 5 , 2 ) Pasa por ( – 2 , 8 ) y ( 4 , 6 ) y = - 1 3 x + 22 3 intersección x en ( – 2 , 0 ) y la intersección y en ( 0 , −3 ) intersección x en ( - 5 , 0 ) y la intersección y en ( 0 , 4 ) y = 4 5 x + 4 Gráficos En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de las líneas graficadas. - 5 4 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para las líneas graficadas. y = 2 3 x + 1 y = - 2 x + 3 y = 3 Numéricos En los siguientes ejercicios, ¿cuál de las tablas podría representar una función lineal? Para cada uno de los que podrían ser lineales, halle una ecuación lineal que modele los datos. x 0 5 10 15 g ( x ) 5 -10 -25 –40 Lineal, g ( x ) = - 3 x + 5 x 0 5 10 15 h ( x ) 5 30 105 230 x 0 5 10 15 f ( x ) –5 20 45 70 Lineal, f ( x ) = 5 x - 5 x 5 10 20 25 k ( x ) 13 28 58 73 x 0 2 4 6 g ( x ) 6 -19 –44 -69 Lineal, g ( x ) = − 25 2 x + 6 x 2 4 6 8 f ( x ) -4 16 36 56 x 2 4 6 8 f ( x ) -4 16 36 56 Lineal, f ( x ) = 10 x − 24 x 0 2 6 8 k ( x ) 6 31 106 231 En tecnología Si los valores de f es una función lineal, f ( 0,1 ) = 11,5 , y f ( 0,4 ) = – 5,9 , hallar una ecuación para la función. f ( x ) = − 58 x + 17,3 Grafique la función f en un dominio de [ – 10 , 10 ] : f ( x ) = 0,02 x − 0,01. Introduzca la función en una herramienta gráfica. Para la ventana de visualización, establezca el valor mínimo de x para que sea − 10 y el valor máximo de x para que sea 10. Grafique la función f en un dominio de [ – 10 , 10 ] : f x ) = 2 , 500 x + 4 , 000 La muestra la entrada, w , y la salida, k , para una función lineal k . a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal k , redondee a 3 decimales. w -10 5,5 67,5 b k 30 -26 a –44 La muestra la entrada, p , y la salida, q , para una función lineal q . a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal k . p 0,5 0,8 12 b q 400 700 a 1.000.000 a. a = 11 , 900 ; b = 1.000,1 b. q ( p ) = 1.000 p − 100 Represente gráficamente la función lineal f en un dominio de [ − 10 , 10 ] para la función cuya pendiente es 1 8 y la intersección en y es 31 16 . Marque los puntos para los valores de entrada de − 10 y 10. Represente gráficamente la función lineal f en un dominio de [ − 0,1 , 0,1 ] para la función cuya pendiente es 75 y la intersección en y es − 22,5 . Marque los puntos para los valores de entrada de − 0,1 y 0,1. Represente gráficamente la función lineal f donde f ( x ) = a x + b en el mismo conjunto de ejes en un dominio de [ − 4 , 4 ] para los siguientes valores de a y b . a = 2 ; b = 3 a = 2 ; ​ b = 4 a = 2 ; b = – 4 a = 2 ; b = – 5 Extensiones Calcule el valor de x si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: ( x , 2 ) , ( - 4 , 6 ) , m = 3 x = - 16 3 Calcule el valor de y si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: ( 10 , y ) , ( 25 , 100 ) , m = - 5 Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( a , b ) y ( a , b + 1 ) x = a Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( 2 a , b ) y ( a , b + 1 ) Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( a , 0 ) y ( c , d ) y = d c - a x – a d c - a Aplicaciones en el mundo real A mediodía, una camarera se da cuenta de que tienen 20 dólares en el tarro de las propinas. Si la camarera gana un promedio de 0,50 dólares de cada cliente, ¿cuánto tendrán en su tarro de propinas si atiende a n más clientes durante su turno? La suscripción al gimnasio con dos sesiones de entrenamiento personal cuesta 125 dólares, comparado con 260 dólares por cinco sesiones. ¿Cuál es el costo por sesión? 45 dólares por cada sesión de entrenamiento. Una empresa de confección descubre que existe una relación lineal entre el número de camisas, n , que puede vender y el precio, p , que puede cobrar por cada una. En concreto, los datos históricos muestran que se pueden vender 1.000 camisas a un precio de 30 dólares, mientras que 3.000 camisas pueden venderse a un precio de 22 dólares. Halle una ecuación lineal de la forma p ( n ) = m n + b que da el precio p que se puede cobrar por n camisas. Una compañía telefónica cobra el servicio según la fórmula C ( n ) = 24 + 0,1 n , donde n es el número de minutos de conversación telefónica, y C ( n ) es la tarifa mensual, en dólares. Halle e interprete la tasa de cambio y el valor inicial. La tasa de cambio es de 0,1. Por cada minuto adicional de conversación telefónica, la tarifa mensual aumenta en 0,1 dólares o 10 céntimos. El valor inicial es 24. Cuando no hay minutos de conversación telefónica, inicialmente el cargo es de 24 dólares. Un agricultor descubre que existe una relación lineal entre el número de tallos de judías, n , que planta y el rendimiento, y , que produce cada planta. Cuando siembra 30 tallos, cada planta produce 30 onzas de judías. Cuando siembra 34 tallos, cada planta produce 28 onzas de judías. Halle una relación lineal de la forma y = m n + b que da el rendimiento cuando se siembran n tallos. La población de una ciudad en el año 1960 era de 287.500 habitantes. En 1989 la población era de 275.900 habitantes. Calcule la tasa de crecimiento demográfico y formule un enunciado acerca de la tasa de cambio de la población en habitantes por año. La pendiente es − 400. Esto significa que, por cada año entre 1960 y 1989, la población disminuyó en 400 habitantes por año en la ciudad. La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2003, la población era de 45.000 habitantes, y ha ido creciendo en 1.700 habitantes cada año. Escriba una ecuación, P ( t ) , para la población t años después de 2003. Supongamos que el promedio de renta anual (en dólares) de los años 1990 a 1999 viene dado por la función lineal I ( x ) = 1054 x + 23 , 286 , donde x es el número de años posteriores a 1990. ¿Cuál de las siguientes opciones interpreta la pendiente en el contexto del problema? En 1990, el promedio de renta anual era de 23.286 dólares. En el periodo de diez años comprendido entre 1990 y 1999, el promedio de renta anual aumentó un total de 1.054 dólares. Cada año de la década de los 90, el promedio de renta anual aumentó en 1.054 dólares. El promedio de renta anual aumentó hasta un nivel de 23.286 dólares a finales de 1999. c. Cuando la temperatura es de 0 grados Celsius, la temperatura Fahrenheit es de 32. Cuando la temperatura Celsius es 100, la temperatura Fahrenheit correspondiente es 212. Exprese la temperatura Fahrenheit como una función lineal de C , la temperatura Celsius, F ( C ) . Calcule la tasa de cambio de temperatura Fahrenheit para cada unidad de cambio de temperatura Celsius. Halle e interprete F ( 28 ) . Halle e interprete F ( –40 ) . función lineal decreciente función con pendiente negativa: Si los valores de f ( x ) = m x + b , entonces m < 0, función lineal creciente función con pendiente positiva: Si los valores de f ( x ) = m x + b , entonces m > 0, función lineal una función con una tasa de cambio constante que es un polinomio de grado 1, y cuyo gráfico es una línea recta forma punto-pendiente la ecuación de una línea que representa una función lineal de la forma y – y 1 = m ( x – x 1 ) pendiente el cociente entre el cambio en los valores de salida y el cambio en los valores de entrada; una medida de la inclinación de una línea forma de pendiente-intersección la ecuación de una recta que representa una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b intersección en y el valor de una función cuando el valor de entrada es cero; también conocido como valor inicial", "section": "Funciones lineales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráficos de funciones lineales Dos compañías telefónicas de la competencia ofrecen diferentes planes de pago. Los dos planes cobran la misma tarifa por minuto de larga distancia, pero cobran una tarifa plana mensual diferente. Un consumidor quiere determinar si los dos planes costarán alguna vez la misma cantidad para un número determinado de minutos de larga distancia utilizados. El costo total de cada plan de pago puede representarse mediante una función lineal. Para resolver el problema, tendremos que comparar las funciones. En esta sección, consideraremos los métodos de comparación de funciones mediante gráficos. Gráficos de funciones lineales En Funciones lineales , vimos que el gráfico de una función lineal es una línea recta. También pudimos ver los puntos de la función, así como el valor inicial de un gráfico. Por lo tanto, al graficar dos funciones, podemos comparar más fácilmente sus características. Existen tres métodos básicos para graficar funciones lineales. El primero es trazar puntos y luego dibujar una línea a través de ellos. El segundo consiste en utilizar la intersección en y , así como la pendiente. El tercero es utilizar transformaciones de la función de identidad f ( x ) = x . Graficar una función mediante el trazado de puntos Para hallar los puntos de una función, podemos elegir los valores de entrada, evaluar la función en estos valores de entrada y calcular los valores de salida. Los valores de entrada y los correspondientes valores de salida forman pares de coordenadas. A continuación, trazamos los pares de coordenadas en una cuadrícula. En general, deberíamos evaluar la función en un mínimo de dos entradas para hallar al menos dos puntos en el gráfico. Por ejemplo, dada la función, f ( x ) = 2 x , podríamos utilizar los valores de entrada 1 y 2. Evaluando la función para un valor de entrada de 1 se obtiene un valor de salida de 2, que se representa con el punto ( 1 , 2 ) . Evaluando la función para un valor de entrada de 2 se obtiene un valor de salida de 4, representado por el punto ( 2 , 4 ) . A menudo se aconseja elegir tres puntos, porque si no caen en la misma línea, sabemos que hemos cometido un error. Cómo Dada una función lineal, dibuje un gráfico trazando puntos. Elija un mínimo de dos valores de entrada. Evalúe la función en cada valor de entrada. Utilice los valores de salida resultantes para identificar los pares de coordenadas. Trace los pares de coordenadas en una cuadrícula. Dibuje una línea que pase por los puntos. Graficar mediante el trazado de puntos Grafique f ( x ) = - 2 3 x + 5 mediante el trazado de puntos. Comience por elegir los valores de entrada. Esta función incluye una fracción con un denominador de 3, así que elijamos múltiplos de 3 como valores de entrada. Elegiremos 0, 3 y 6. Evalúe la función en cada valor de entrada y utilice el valor de salida para identificar los pares de coordenadas. x = 0 f ( 0 ) = - 2 3 ( 0 ) + 5 = 5 ⇒ ( 0 , 5 ) x = 3 f ( 3 ) = - 2 3 ( 3 ) + 5 = 3 ⇒ ( 3 , 3 ) x = 6 f ( 6 ) = - 2 3 ( 6 ) + 5 = 1 ⇒ ( 6 , 1 ) Trace los pares de coordenadas y dibuje una línea que pase por los puntos. La representa el gráfico de la función f ( x ) = - 2 3 x + 5. El gráfico de la función lineal f ( x ) = - 2 3 x + 5. Análisis El gráfico de la función es una línea como se espera para una función lineal. Además, el gráfico tiene una inclinación hacia abajo, lo que indica una pendiente negativa. Esto también se espera de la tasa de cambio constante negativa en la ecuación de la función. Ejercicio Grafique f ( x ) = - 3 4 x + 6 mediante el trazado de puntos. Graficar una función mediante la intersección en y , además de la pendiente Otra forma de representar gráficamente las funciones lineales es utilizar las características específicas de la función en lugar de trazar puntos. La primera característica es su intersección en y , que es el punto en el que el valor de entrada es cero. Para hallar la intersección en y , podemos establecer x = 0 en la ecuación. La otra característica de la función lineal es su pendiente m , que es una medida de su inclinación. Recordemos que la pendiente es la tasa de cambio de la función. La pendiente de una función es igual la relación entre la variación de las salidas y de las entradas. Otra forma de pensar en la pendiente es dividir la diferencia vertical, o subida, entre la diferencia horizontal, o recorrido. Hallamos tanto la intersección en y como la pendiente en Funciones lineales . Consideremos la función siguiente. f ( x ) = 1 2 x + 1 La pendiente es 1 2 . Dado que la pendiente es positiva, sabemos que el gráfico se inclinará hacia arriba y de izquierda a derecha. La intersección en y es el punto del gráfico cuando x = 0 . El gráfico cruza el eje y en ( 0 , 1 ) . Ahora conocemos la pendiente y la intersección en y . Podemos empezar a graficar al trazar el punto ( 0 , 1 ) Sabemos que la pendiente se eleva sobre el recorrido, m = subida recorrido . De nuestro ejemplo, tenemos m = 1 2 , lo que significa que la subida es 1 y el recorrido es 2. Por lo tanto, a partir de nuestra intersección en y ( 0 , 1 ) , podemos subir 1 y luego recorrer 2, o recorrer 2 y luego subir 1. Lo repetimos hasta que tengamos unos cuantos puntos, y entonces trazamos una línea a través de los puntos como se muestra en la . Interpretación gráfica de una función lineal En la ecuación f ( x ) = m x + b b es la intersección en y del gráfico e indica el punto ( 0 , b ) en el que el gráfico cruza el eje y . m es la pendiente de la línea e indica el desplazamiento vertical (subida) y horizontal (recorrido) entre cada par de puntos sucesivos. Recordemos la fórmula de la pendiente: m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en y ? Sí. Todas las funciones lineales cruzan el eje y, por lo que tienen intersecciones en y. (Nota: La línea vertical paralela al eje y no tiene intersección en y, pero no es una función ). Cómo Dada la ecuación de una función lineal, graficar la función mediante la intersección en y , además de la pendiente. Evalúe la función en un valor de entrada de cero para hallar la intersección en y . Identifique la pendiente como la tasa de cambio del valor de entrada. Trace el punto representado por la intersección en y . Utilice subida recorrido para determinar al menos dos puntos más en la línea. Trace la línea que pasa por los puntos. Graficar mediante la intersección en y , además de la pendiente Grafique f ( x ) = - 2 3 x + 5 mediante la intersección en y , además de la pendiente. Evalúe la función en x = 0 para hallar la intersección en y . El valor de salida cuando x = 0 es 5, por lo que el gráfico cruzará el eje y en ( 0 , 5 ) . Según la ecuación de la función, la pendiente de la línea es − 2 3 . Esto nos dice que, por cada disminución vertical de la \"subida\" de – 2 unidades, el \"recorrido\" aumenta en 3 unidades en la dirección horizontal. Ahora podemos graficar la función al trazar primero la intersección en y en el gráfico en la . A partir del valor inicial ( 0 , 5 ) nos movemos hacia abajo 2 unidades y hacia la derecha 3 unidades. Podemos extender la línea a la izquierda y a la derecha repitiendo, y luego dibujar una línea a través de los puntos. Análisis El gráfico se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha, lo que significa que tiene una pendiente negativa, como era de esperar. Ejercicio Halle un punto en el gráfico que hemos dibujado en el que tenga un valor de x negativo. Las posibles respuestas son: ( - 3 , 7 ) , ( − 6 , 9 ) , o ( − 9 , 11 ) . Graficar una función mediante transformaciones Otra opción para graficar es utilizar transformaciones de la función de identidad f ( x ) = x . Una función puede transformarse mediante un desplazamiento hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Una función también puede transformarse mediante una reflexión, un estiramiento o una compresión. Estiramiento o compresión vertical En la ecuación f ( x ) = m x , el plano m actúa como el estiramiento o la compresión vertical de la función de identidad. Cuando m es negativo, también hay una reflexión vertical del gráfico. Observe que en la al multiplicar la ecuación de f ( x ) = x por m estira el gráfico de f por un factor de m unidades si m > 1 y comprime el gráfico de f por un factor de m unidades si 0 < m < 1. Esto significa que, cuanto mayor sea el valor absoluto de m , mayor será la pendiente. Estiramiento y compresión vertical, y reflexión en la función f ( x ) = x . Desplazamiento vertical En f ( x ) = m x + b , el plano b actúa como el desplazamiento vertical , al mover el gráfico hacia arriba y hacia abajo sin afectar la pendiente de la línea. Observe en la que la adición de un valor de b a la ecuación de f ( x ) = x desplaza el gráfico de f un total de b unidades hacia arriba si b es positivo y | b | unidades hacia abajo si b es negativo. Este gráfico ilustra los desplazamientos verticales de la función f ( x ) = x . El uso de estiramiento o compresión vertical junto con desplazamiento vertical es otra forma de ver la identificación de diferentes tipos de funciones lineales. Aunque esta no sea la forma más fácil de graficar este tipo de funciones, es importante practicar cada método. Cómo Dada la ecuación de una función lineal, utilizar las transformaciones para graficar la función lineal en la forma f ( x ) = m x + b . Grafique f ( x ) = x . Estire o comprima verticalmente el gráfico por un factor m . Desplace el gráfico hacia arriba o hacia abajo b unidades. Graficar mediante el empleo de transformaciones Grafique f ( x ) = 1 2 x - 3 utilizando transformaciones. La ecuación de la función muestra que m = 1 2 por lo que la función de identidad se comprime verticalmente por 1 2 . La ecuación de la función también muestra que b = −3 por lo que la función de identidad se desplaza verticalmente hacia abajo 3 unidades. En primer lugar, grafique la función identidad, y muestre la compresión vertical como en la . La función, y = x , comprimida por un factor de 1 2 . A continuación, muestre el desplazamiento vertical como en la . La función y = 1 2 x , se ha desplazado hacia abajo 3 unidades. Ejercicio Grafique f ( x ) = 4 + 2 x , utilizando transformaciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , ¿podríamos haber dibujado el gráfico invirtiendo el orden de las transformaciones? No. El orden de las transformaciones sigue el orden de las operaciones. Cuando la función se evalúa en una entrada determinada, la salida correspondiente se calcula siguiendo el orden de las operaciones. Por eso realizamos primero la compresión. Por ejemplo, siguiendo el orden: supongamos que la entrada sea 2. f (2) = 1 2 (2) − 3 = 1 - 3 = - 2 Escribir la ecuación de una función a partir del gráfico de una recta Recuerde que en Funciones lineales , escribimos la ecuación de una función lineal a partir de un gráfico. Ahora podemos ampliar lo que sabemos con respecto a la graficación de funciones lineales para analizar los gráficos de manera pormenorizada. Comience por echar un vistazo a la . Podemos ver de inmediato que el gráfico cruza el eje y en el punto ( 0 , 4 ) así que esta es la intersección y . Entonces podemos calcular la pendiente al hallar la subida y el recorrido. Podemos elegir dos puntos cualesquiera, pero veamos el punto ( – 2 , 0 ) . Para llegar desde este punto hasta la intersección en y , debemos movernos hacia arriba 4 unidades (subida) y hacia la derecha 2 unidades (recorrido). Por lo que la pendiente deberá ser m = subida recorrido = 4 2 = 2 Sustituyendo la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una línea se obtiene y = 2 x + 4 Cómo Dado el gráfico de una función lineal, hallar la ecuación que describe la función. Identifique la intersección en y de una ecuación. Elija dos puntos para determinar la pendiente. Sustituya la intersección en y , además de la pendiente en la forma pendiente-intersección de una línea. Relacionar las funciones lineales con sus gráficos Relacione cada ecuación de las funciones lineales con una de las líneas en la . Ⓐ f ( x ) = 2 x + 3 Ⓑ g ( x ) = 2 x - 3 Ⓒ h ( x ) = - 2 x + 3 Ⓓ j ( x ) = 1 2 x + 3 Analice la información de cada función. Ⓐ Esta función tiene una pendiente de 2 y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Podemos utilizar dos puntos para hallar la pendiente o podemos compararla con las otras funciones enumeradas. La función g tiene la misma pendiente, pero una intersección en y diferente. Las líneas I y III tienen la misma inclinación porque tienen la misma pendiente. La línea III no pasa por ( 0 , 3 ) por lo que f deberá representarse con la línea I. Ⓑ Esta función también tiene una pendiente de 2, pero una intersección en y de − 3. Deberá pasar por el punto ( 0 , - 3 ) e inclinarse hacia arriba de izquierda a derecha. Debe representarse por la línea III. Ⓒ Esta función tiene una pendiente de -2 y una intersección en y de 3. Esta es la única función que se indica con una pendiente negativa, de allí que deba representarse con la línea IV porque se inclina hacia abajo y de izquierda a derecha. Ⓓ Esta función tiene una pendiente de 1 2 y una intersección en y de 3. Debe pasar por el punto (0, 3) y tener una inclinación hacia arriba de izquierda a derecha. Las líneas I y II pasan por ( 0 , 3 ) , pero la pendiente de j es menor que la pendiente de f por lo que la línea de j deberá ser más plana. Esta función está representada por la línea II. Ahora podemos volver a etiquetar las líneas como en la . Hallar la intersección en x de una línea Hasta ahora, hemos hallado las intersecciones en y de una función: el punto en el que el gráfico de la función cruza el eje y . Una función también puede tener una intersección en x , que es la coordenada de la x del punto donde el gráfico de la función cruza el eje x . En otras palabras, es el valor de entrada cuando el valor de salida es cero. Para hallar la intersección en x , se establece una función f ( x ) igual a cero y se resuelve para el valor de x . Por ejemplo, considere la función indicada. f ( x ) = 3 x - 6 Iguale la función a 0 y resuelva para x . 0 = 3 x - 6 6 = 3 x 2 = x x = 2 El gráfico de la función cruza el eje x en el punto ( 2 , 0 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones lineales tienen intersecciones en x ? No. Sin embargo, las funciones lineales de la forma y = c , donde c es un número real distinto a cero, son los únicos ejemplos de funciones lineales sin intersección en x. Por ejemplo, y = 5 es una línea horizontal 5 unidades por encima del eje x. Esta función no tiene intersecciones en x, como se muestra en la . intersección en x La intersección en x de la función es el valor de x cuando f ( x ) = 0, Se puede resolver mediante la ecuación 0 = m x + b . Hallar una intersección en x Calcule la intersección en x de f ( x ) = 1 2 x − 3, Iguale la función a cero para resolver x . 0 = 1 2 x - 3 3 = 1 2 x 6 = x x = 6 El gráfico cruza el eje x en el punto ( 6 , 0 ) . Análisis El gráfico de la función se muestra en la . Observamos que la intersección en x es ( 6 , 0 ) como esperábamos. El gráfico de la función lineal f ( x ) = 1 2 x − 3, Ejercicio Calcule la intersección en x de f ( x ) = 1 4 x − 4. ( 16 , 0 ) Describir líneas horizontales y verticales Hay dos casos especiales de líneas en un gráfico: horizontales y verticales. La línea horizontal indica una salida constante o valor de y . En la , vemos que la salida tiene un valor de 2 para cada valor de entrada. Por lo tanto, la variación en las salidas entre dos puntos cualesquiera es 0. En la fórmula de la pendiente, el numerador es 0, por lo que la pendiente es 0. Si utilizamos m = 0, 0 en la ecuación f ( x ) = m x + b , la ecuación se simplifica a f ( x ) = b . En otras palabras, el valor de la función es una constante. Este gráfico representa la función f ( x ) = 2. Una línea horizontal que representa la función f ( x ) = 2. Una línea vertical indica una entrada constante o valor de x . Podemos ver que el valor de entrada para cada punto de la línea es 2, pero el valor de salida varía. Dado que este valor de entrada se asigna a más de un valor de salida, una línea vertical no representa una función. Observe que entre dos puntos cualesquiera, el cambio en los valores de entrada es cero. En la fórmula de la pendiente, el denominador será cero, por lo que la pendiente de una línea vertical es indefinida. Observe que una línea vertical, como la que aparece en la , tiene una intersección en x , pero no tiene intersección en y , a menos que sea la línea x = 0 . Este gráfico representa la línea x = 2. La línea vertical, x = 2 , que no representa una función. Líneas horizontales y verticales Las líneas pueden ser horizontales o verticales. Una línea horizontal se define por una ecuación de la forma f ( x ) = b . Una línea vertical se define por una ecuación de la forma x = a . Escribir la ecuación de una línea horizontal Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la . Para cualquier valor de x , el valor de y es − 4 , por lo que la ecuación es y = − 4. Escribir la ecuación de una línea vertical Escriba la ecuación de la línea representada gráficamente en la . El valor constante de x es 7 , por lo que la ecuación es x = 7. Determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares Las dos líneas en la son líneas paralelas : nunca se intersecan. Observe que tienen exactamente la misma inclinación, lo que significa que sus pendientes son idénticas. La única diferencia entre las dos líneas es la intersección en y . Si desplazamos una línea verticalmente hacia la intersección en y de la otra, se convertirían en la misma línea. Líneas paralelas. Podemos determinar a partir de sus ecuaciones si dos líneas son paralelas al comparar sus pendientes. Si las pendientes son iguales y las intersecciones en y son diferentes, las líneas son paralelas. Si las pendientes son diferentes, las líneas no son paralelas. f ( x ) = - 2 x + 6 f ( x ) = - 2 x - 4 } son paralelas f ( x ) = 3 x + 2 f ( x ) = 2 x + 2 } no son paralelas A diferencia de las líneas paralelas, las líneas perpendiculares sí se intersecan. Su intersección forma un ángulo recto o de 90 grados. Las dos líneas en la son perpendiculares. Líneas perpendiculares. Las líneas perpendiculares no tienen la misma pendiente. Las pendientes de las líneas perpendiculares son diferentes entre sí de una manera específica. La pendiente de una línea es el recíproco negativo de la pendiente de la otra línea. El producto de un número por su recíproco es 1. Por lo tanto, si m 1 y m 2 son recíprocos negativos entre sí, se pueden multiplicar entre sí para obtener –1. m 1 m 2 = - 1 Para calcular el recíproco de un número, divídalo entre 1. Así, el recíproco de 8 es 1 8 , y el recíproco de 1 8 es 8. Para hallar el recíproco negativo, primero hay que calcular el recíproco y luego cambiar el signo. Al igual que con las líneas paralelas, podemos determinar si dos líneas son perpendiculares al comparar sus pendientes, suponiendo que las líneas no sean horizontales ni verticales. La pendiente de cada una de las líneas de abajo es el recíproco negativo de la otra, por lo que son perpendiculares. f ( x ) = 1 4 x + 2 recíproco negativo de 1 4 es -4 f ( x ) = – 4 x + 3 recíproco negativo de − 4 es 1 4 El producto de las pendientes es -1. − 4 ( 1 4 ) = - 1 Líneas paralelas y perpendiculares Dos líneas son paralelas si no se intersecan. Las pendientes de las líneas son las mismas. f ( x ) = m 1 x + b 1 y g ( x ) = m 2 x + b 2 son paralelas si m 1 = m 2 . Si y solo si b 1 = b 2 y m 1 = m 2 , decimos que las líneas coinciden. Las líneas coincidentes son la misma línea. Dos líneas son perpendiculares si se intersecan en ángulos rectos. f ( x ) = m 1 x + b 1 y g ( x ) = m 2 x + b 2 son perpendiculares si m 1 m 2 = - 1 , y así m 2 = - 1 m 1 . Identificar líneas paralelas y perpendiculares Dadas las funciones siguientes, identifique las funciones cuyos gráficos sean un par de líneas paralelas y un par de líneas perpendiculares. f ( x ) = 2 x + 3 h ( x ) = - 2 x + 2 g ( x ) = 1 2 x - 4 j ( x ) = 2 x - 6 Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Ya que las funciones f ( x ) = 2 x + 3 y j ( x ) = 2 x - 6 tienen cada una de estas una pendiente de 2, representan líneas paralelas. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas. Dado que -2 y 1 2 son recíprocos negativos, las ecuaciones, g ( x ) = 1 2 x - 4 y h ( x ) = - 2 x + 2 representan líneas perpendiculares. Análisis Un gráfico de las líneas se muestra en la . El gráfico muestra que las líneas f ( x ) = 2 x + 3 y j ( x ) = 2 x – 6 son paralelas, y las líneas g ( x ) = 1 2 x – 4 y h ( x ) = - 2 x + 2 son perpendiculares. Escribir la ecuación de una línea paralela o perpendicular a una línea dada Si conocemos la ecuación de una línea, podemos utilizar lo que sabemos sobre la pendiente para escribir la ecuación de una línea que sea paralela o perpendicular a la línea dada. Escribir ecuaciones de líneas paralelas Supongamos, por ejemplo, que nos dan la siguiente ecuación. f ( x ) = 3 x + 1 Sabemos que la pendiente de la línea formada por la función es 3. También sabemos que la intersección en y es ( 0 , 1 ) . Cualquier otra línea con una pendiente de 3 será paralela a f ( x ) . Así que las líneas formadas por todas las funciones siguientes serán paralelas a f ( x ) . g ( x ) = 3 x + 6 h ( x ) = 3 x + 1 p ( x ) = 3 x + 2 3 Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es paralela a f y pasa por el punto ( 1 , 7 ) . Ya sabemos que la pendiente es 3. Lo único que tenemos que hacer es determinar cuál valor para b dará la línea correcta. Podemos empezar con la forma punto-pendiente de una ecuación para una línea, y luego reescribirla en la forma pendiente-intersección. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 7 = 3 ( x – 1 ) y - 7 = 3 x - 3 y = 3 x + 4 Así que g ( x ) = 3 x + 4 es paralela a f ( x ) = 3 x + 1 y pasa por el punto ( 1 , 7 ) . Cómo Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea paralela a la línea dada que pase por el punto dado. Calcule la pendiente de la función. Sustituya los valores dados en la ecuación general de punto-pendiente o en la ecuación pendiente-intersección de una línea. Simplifique. Hallar una línea paralela a una línea dada Halle una línea paralela al gráfico de f ( x ) = 3 x + 6 que pasa por el punto ( 3 , 0 ) . La pendiente de la línea dada es 3. Si elegimos la forma pendiente-intersección, podemos sustituir m = 3 , x = 3 , y f ( x ) = 0 en la forma pendiente-intersección para hallar la intersección en y . g ( x ) = 3 x + b 0 = 3 ( 3 ) + b b = – 9 La línea paralela a f ( x ) que pasa por ( 3 , 0 ) es g ( x ) = 3 x − 9. Análisis Podemos confirmar que las dos líneas son paralelas al representarlas gráficamente. La muestra que las dos líneas nunca se intersecan. Escribir ecuaciones de líneas perpendiculares Podemos utilizar un proceso muy similar para escribir la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada. Sin embargo, en lugar de utilizar la misma pendiente, utilizamos el recíproco negativo de la pendiente dada. Supongamos que nos dan la siguiente función: f ( x ) = 2 x + 4 La pendiente de la línea es 2, y su recíproco negativo es − 1 2 . Cualquier función con una pendiente de − 1 2 será perpendicular a f ( x ) . Así que las líneas formadas por todas las siguientes funciones serán perpendiculares a f ( x ) . g ( x ) = - 1 2 x + 4 h ( x ) = - 1 2 x + 2 p ( x ) = - 1 2 x – 1 2 Al igual que antes, podemos reducir nuestras opciones para una línea perpendicular particular si sabemos que pasa por un punto determinado. Supongamos entonces que queremos escribir la ecuación de una línea que es perpendicular a f ( x ) y pasa por el punto ( 4 , 0 ) . Ya sabemos que la pendiente es − 1 2 . Ahora podemos utilizar el punto para hallar la intersección en y al sustituir los valores dados en la forma pendiente-intersección de una línea y resolver para b . g ( x ) = m x + b 0 = - 1 2 ( 4 ) + b 0 = - 2 + b 2 = b b = 2 La ecuación de la función con pendiente de − 1 2 y una intersección en y de 2 es g ( x ) = - 1 2 x + 2. Así que g ( x ) = - 1 2 x + 2 es perpendicular a f ( x ) = 2 x + 4 y pasa por el punto ( 4 , 0 ) . Tenga en cuenta que las líneas perpendiculares pueden no parecer obviamente perpendiculares en una calculadora gráfica, a menos que utilicemos la función de zoom cuadrado. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Una línea horizontal tiene una pendiente de cero y una línea vertical tiene una pendiente indefinida. Estas dos líneas son perpendiculares, pero el producto de sus pendientes no es -1. ¿No contradice este hecho la definición de líneas perpendiculares? No. Para dos funciones lineales perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1. Sin embargo, una línea vertical no es una función, por lo que la definición no se contradice. Cómo Dada la ecuación de una función y un punto por el que pasa su gráfico, escribir la ecuación de una línea perpendicular a la línea dada. Calcule la pendiente de la función. Determine el recíproco negativo de la pendiente. Sustituya la nueva pendiente y los valores de x y y a partir del par de coordenadas facilitado en g ( x ) = m x + b . Resuelva para b . Escriba la ecuación de la línea. Hallar la ecuación de una línea perpendicular Halle la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 3 x + 3 que pasa por el punto ( 3 , 0 ) . La línea original tiene pendiente m = 3 , por lo que la pendiente de la línea perpendicular será su recíproco negativo o − 1 3 . Con esta pendiente y el punto dado, podemos hallar la ecuación de la línea. g ( x ) = – 1 3 x + b 0 = – 1 3 ( 3 ) + b 1 = b b = 1 La línea perpendicular a f ( x ) que pasa por ( 3 , 0 ) es g ( x ) = - 1 3 x + 1. Análisis El gráfico de las dos líneas se muestra en la a continuación. Ejercicio Dada la función h ( x ) = 2 x - 4 , escribir una ecuación para la línea que pasa por ( 0 , 0 ) que es Ⓐ paralela a h ( x ) Ⓑ perpendicular a h ( x ) Ⓐ f ( x ) = 2 x Ⓑ g ( x ) = - 1 2 x Cómo Dados dos puntos de una línea y un tercer punto, escribir la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto. Determine la pendiente de la línea que pasa por los puntos. Calcule el recíproco negativo de la pendiente. Utilice la forma pendiente-intersección o la forma punto-pendiente para escribir la ecuación al sustituir los valores conocidos. Simplifique. Hallar la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada que pasa por un punto Una línea pasa por los puntos ( – 2 , 6 ) y ( 4 , 5 ) . Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto ( 4 , 5 ) . A partir de los dos puntos de la línea dada, podemos calcular su pendiente. m 1 = 5 − 6 4 - ( – 2 ) = - 1 6 = - 1 6 Calcule el recíproco negativo de la pendiente. m 2 = - 1 - 1 6 = - 1 ( − 6 1 ) = 6 Podemos entonces resolver la intersección en y de la línea que pasa por el punto ( 4 , 5 ) . g ( x ) = 6 x + b 5 = 6 ( 4 ) + b 5 = 24 + b − 19 = b b = −19 La ecuación de la línea que es perpendicular a la que pasa por los dos puntos dados y también por el punto ( 4 , 5 ) es y = 6 x − 19 Ejercicio Una línea pasa por los puntos, ( –2 , −15 ) y ( 2, −3 ) . Halle la ecuación de una línea perpendicular que pasa por el punto, ( 6 , 4 ) . y = – 1 3 x + 6 Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico Un sistema de ecuaciones lineales incluye dos o más ecuaciones lineales. Los gráficos de dos líneas se intersecan en un mismo punto si no son paralelos. Dos líneas paralelas también pueden intersecarse si son coincidentes, lo que significa que son la misma línea y se cruzan en cada punto. En el caso de dos líneas que no son paralelas, el único punto de intersección satisfará ambas ecuaciones y, por lo tanto, representará la solución del sistema. Para hallar este punto cuando las ecuaciones están dadas como funciones, podemos resolver para un valor de entrada de manera que f ( x ) = g ( x ) . En otras palabras, podemos establecer las fórmulas de las líneas iguales entre sí y resolver la entrada que satisface la ecuación. Hallar un punto de intersección algebraicamente Halle el punto de intersección de las líneas h ( t ) = 3 t - 4 y j ( t ) = 5 − t . Establezca h ( t ) = j ( t ) . 3 t - 4 = 5 − t 4 t = 9 t = 9 4 Esto nos indica que las líneas se intersecan cuando la entrada es 9 4 . A continuación, podemos hallar el valor de salida del punto de intersección al evaluar cualquiera de las dos funciones en esta entrada. j ( 9 4 ) = 5 − 9 4 = 11 4 Estas líneas se intersecan en el punto ( 9 4 , 11 4 ) . Análisis Si observamos la , este resultado luce razonable. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si se nos pidiera hallar el punto de intersección de dos líneas paralelas distintas, ¿algo en el proceso de solución debería alertarnos de que no hay soluciones? Sí. Tras igualar las dos ecuaciones, el resultado sería la contradicción \"0 = número real distinto de cero\". Ejercicio Observe el gráfico en la e identifique lo siguiente para la función j ( t ) : Ⓐ intersección en y Ⓑ intersección en x Ⓒ pendiente Ⓓ ¿Es j ( t ) paralela o perpendicular a h ( t ) (o ninguna de las dos)? Ⓔ ¿Es j ( t ) una función creciente o decreciente (o ninguna de las dos)? Ⓕ Describa la transformación para j ( t ) de la función de la caja de herramientas de identidad f ( x ) = x . Ⓐ ( 0 , 5 ) Ⓑ ( 5 , 0 ) Ⓒ Pendiente -1 Ⓓ Ni paralela ni perpendicular Ⓔ Función decreciente Ⓕ Dada la función de identidad, realice una vuelta vertical (sobre el eje de t ) y un desplazamiento hacia arriba de 5 unidades. Hallar el punto de equilibrio Una empresa vende cascos deportivos. La empresa incurre en un costo fijo único de 250.000 dólares. La producción de cada casco cuesta 120 dólares y se vende por 140 dólares. Ⓐ Halle la función de costo, C , para producir x cascos, en dólares. Ⓑ Halle la función de ingresos, R , a partir de las ventas de x cascos, en dólares. Ⓒ Halle el punto de equilibrio, el punto de intersección de los dos gráficos C y R . Ⓐ La función de costo en la suma del costo fijo, 125.000 dólares, y el costo variable, 120 dólares por casco. C ( x ) = 120 x + 250.000 Ⓑ La función de ingresos es el total de ingresos por la venta de x cascos, R ( x ) = 140 x . Ⓒ El punto de equilibrio es el punto de intersección en el gráfico de las funciones de costo e ingresos. Para hallar la coordenada de la x del par de coordenadas del punto de intersección, hay que igualar las dos ecuaciones y resolver x . C ( x ) = R ( x ) 250.000 + 120 x = 140 x 250.000 = 20 x 12.500 = x x = 12.500 Para hallar y , evalúe la función de ingresos o la de costo en 12.500. R ( x ) = 140 ( 12 , 500 ) = $ 1.750.000 El punto de equilibrio es ( 12.500, 1.750.000 ) . Análisis Esto significa que, si la empresa vende 12.500 cascos, alcanza el punto de equilibrio; tanto las ventas como los costos incurridos equivalen a 1,75 millones de dólares. Vea la Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones lineales. Hallar la entrada de la función a partir de la salida y el gráfico Graficar funciones mediante tablas Conceptos clave Las funciones lineales pueden graficarse trazando puntos o utilizando la intersección en y , además de la pendiente. Vea el y el . Los gráficos de las funciones lineales pueden transformarse con desplazamientos hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, así como mediante estiramiento, compresión y reflexión. Vea el . La intersección en y , además de la pendiente, pueden utilizarse para escribir la ecuación de una línea. La intersección en x es el punto en el cual el gráfico de una función lineal cruza el eje x . Vea el y el . Las líneas horizontales se escriben en la forma, f ( x ) = b . Vea el . Las líneas verticales se escriben en la forma, x = b . Vea el . Las líneas paralelas tienen la misma pendiente. Las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas negativas, suponiendo que ninguna es vertical. Vea el . Una línea paralela a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse al sustituir en la ecuación el valor de la pendiente de la línea y los valores de x y de y del punto dado en la ecuación f ( x ) = m x + b , y utilizando el b resultante. Del mismo modo, también se puede utilizar la forma punto-pendiente de una ecuación. Vea el . Una línea perpendicular a otra, que pasa por un punto dado, puede hallarse de la misma manera, con la excepción de utilizar la pendiente recíproca negativa. Vea el y el . Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse al igualar las dos ecuaciones entre sí y resolver para x . El valor de y se halla al evaluar cualquiera de las ecuaciones originales y utilizando este valor de x . Un sistema de ecuaciones lineales también puede resolverse al hallar el punto de intersección en un gráfico. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Si los gráficos de dos funciones lineales son paralelos, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y . Las pendientes son iguales; las intersecciones en y no lo son. Si los gráficos de dos funciones lineales son perpendiculares, describa la relación entre las pendientes y las intersecciones en y . Si una línea horizontal tiene la ecuación f ( x ) = a y una línea vertical tiene la ecuación x = a , ¿cuál es el punto de intersección? Explique por qué lo que ha encontrado es el punto de intersección. El punto de intersección es ( a , a ) . Esto se debe a que, para la línea horizontal, todas las coordenadas de la y son a y para la línea vertical, todas las coordenadas de la x son a . El punto de intersección tendrá estas dos características. Explique cómo hallar una línea paralela a una función lineal que pase por un punto dado. Explique cómo hallar una línea perpendicular a una función lineal que pase por un punto dado. En primer lugar, halle la pendiente de la función lineal. A continuación, tome el recíproco negativo de la pendiente; esta es la pendiente de la línea perpendicular. Sustituya la pendiente de la línea perpendicular y la coordenada del punto dado en la ecuación y = m x + b y resuelva para b . Entonces, escriba la ecuación de la línea en la forma y = m x + b al sustituir en m y b . Algebraicos En los siguientes ejercicios determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: 4 x - 7 y = 10 7 x + 4 y = 1 3 y + x = 12 − y = 8 x + 1 ni paralela ni perpendicular 3 y + 4 x = 12 − 6 y = 8 x + 1 6 x - 9 y = 10 3 x + 2 y = 1 perpendicular y = 2 3 x + 1 3 x + 2 y = 1 y = 3 4 x + 1 - 3 x + 4 y = 1 paralela En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de cada ecuación. f ( x ) = - x + 2 g ( x ) = 2 x + 4 ( – 2 , 0 ) ; ( 0 , 4 ) h ( x ) = 3 x - 5 k ( x ) = - 5 x + 1 ( 1 5 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) - 2 x + 5 y = 20 7 x + 2 y = 56 ( 8 , 0 ) ; ( 0 , 28 ) En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de cada par de líneas que se dan a continuación para calcular las pendientes de la línea 1 y la línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( 0 , 6 ) y ( 3 , −24 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , 19 ) y ( 8 , −71 ) Línea 1: Pasa por ( –8 , −55 ) y ( 10 , 89 ) Línea 2: Pasa por ( 9 , -44 ) y ( 4 , −14 ) Línea 1 : m = 8 Línea 2 : m = – 6 Ninguna de las dos Línea 1: Pasa por ( 2 , 3 ) y ( 4 , - 1 ) Línea 2: Pasa por ( 6 , 3 ) y ( 8 , 5 ) Línea 1: Pasa por ( 1 , 7 ) y ( 5 , 5 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , −3 ) y ( 1 , 1 ) Línea 1 : m = – 1 2 Línea 2 : m = 2 Perpendiculares Línea 1: Pasa por ( 0 , 5 ) y ( 3 , 3 ) Línea 2: Pasa por ( 1 , −5 ) y ( 3 , –2 ) Línea 1: Pasa por ( 2 , 5 ) y ( 5 , –1 ) Línea 2: Pasa por ( −3 , 7 ) y ( 3 , −5 ) Línea 1 : m = – 2 Línea 2 : m = – 2 Paralelo Escriba la ecuación de una línea paralela a f ( x ) = - 5 x - 3 y que pasa por el punto ( 2 , – 12 ) . Escriba la ecuación de una línea paralela a g ( x ) = 3 x – 1 y que pasa por el punto ( 4 , 9 ) . g ( x ) = 3 x - 3 Escriba la ecuación de una línea perpendicular a h ( t ) = - 2 t + 4 y que pasa por el punto ( 4 , – 1 ) . Escriba la ecuación de una línea perpendicular a p ( t ) = 3 t + 4 y que pasa por el punto ( 3 , 1 ) . p ( t ) = - 1 3 t + 2 Halle el punto en el que la línea f ( x ) = - 2 x – 1 cruza la línea g ( x ) = - x . Halle el punto en el que la línea f ( x ) = 2 x + 5 cruza la línea g ( x ) = - 3 x − 5. ( – 2 , 1 ) Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f ( x ) = – 4 5 x + 274 25 cruza la línea h ( x ) = 9 4 x + 73 10 . Use el álgebra para hallar el punto en el que la línea f ( x ) = 7 4 x + 457 60 cruza la línea g ( x ) = 4 3 x + 31 5 . ( − 17 5 , 5 3 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación lineal dada con su gráfico en la . f ( x ) = - x – 1 f ( x ) = - 2 x – 1 F f ( x ) = - 1 2 x – 1 f ( x ) = 2 C f ( x ) = 2 + x f ( x ) = 3 x + 2 A En los siguientes ejercicios, dibuje una línea con las características dadas. Una intersección en x de ( – 4 , 0 ) y la intersección y de ( 0 , -2 ) Una intersección en x de ( – 2 , 0 ) y la intersección y de ( 0 , 4 ) Una intersección en y de ( 0 , 7 ) y pendiente − 3 2 Una intersección en y de ( 0 , 3 ) y pendiente 2 5 Pasando por los puntos ( – 6 , -2 ) y ( 6 , -6 ) Pasando por los puntos ( – 3 , -4 ) y ( 3 , 0 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada ecuación. f ( x ) = - 2 x – 1 g ( x ) = - 3 x + 2 h ( x ) = 1 3 x + 2 k ( x ) = 2 3 x - 3 f ( t ) = 3 + 2 t p ( t ) = - 2 + 3 t x = 3 x = - 2 r ( x ) = 4 q ( x ) = 3 4 x = - 9 y + 36 x 3 - y 4 = 1 3 x - 5 y = 15 3 x = 15 3 y = 12 Si los valores de g ( x ) es la transformación de f ( x ) = x después de una compresión vertical en 3 4 , un desplazamiento hacia la derecha en 2, y un desplazamiento hacia abajo en 4 Ⓐ Escriba una ecuación para g ( x ) . Ⓑ ¿Cuál es la pendiente de esta línea? Ⓒ Calcule la intersección en y de esta línea. Ⓐ g ( x ) = 0,75 x − 5,5 Ⓑ 0,75 Ⓒ ( 0 , − 5,5 ) Si los valores de g ( x ) es la transformación de f ( x ) = x después de una compresión vertical en 1 3 , un desplazamiento hacia la izquierda en 1, y un desplazamiento hacia arriba en 3 Ⓐ Escriba una ecuación para g ( x ) . Ⓑ ¿Cuál es la pendiente de esta línea? Ⓒ Calcule la intersección en y de esta línea. En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que se muestra en el gráfico. y = 3 x = - 3 En los siguientes ejercicios, halle el punto de intersección de cada par de líneas, si existe. Si no existe, indique que no hay punto de intersección. y = 3 4 x + 1 - 3 x + 4 y = 12 no hay punto de intersección 2 x - 3 y = 12 5 y + x = 30 2 x = y - 3 y + 4 x = 15 ( 2 , 7 ) x - 2 y + 2 = 3 x - y = 3 5 x + 3 y = − 65 x - y = - 5 ( – 10 , –5 ) Extensiones Halle la ecuación de la línea paralela a la línea g ( x ) = − 0, 01 x + 2 0,01 a través del punto ( 1 , 2 ) . Halle la ecuación de la línea perpendicular a la línea g ( x ) = − 0, 01 x +2 0,01 a través del punto ( 1 , 2 ) . y = 100 x − 98 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = − 0, 1 x +200 y g ( x ) = 20 x + 0,1. Halle el punto de intersección de las líneas f y g . ¿Dónde es f ( x ) mayor que g ( x ) ? ¿Dónde es g ( x ) mayor que f ( x ) ? x < 1999 201 x > 1999 201 Aplicaciones en el mundo real Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 30 dólares al día y 0,18 dólares por milla. Plan B: 50 dólares al día, con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos. Plan A: 20 dólares al mes y 1 dólar por cada cien mensajes de texto. Plan B: 50 dólares al mes con mensajes de texto ilimitados y gratuitos. ¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? Menos de 3.000 mensajes de texto. Una compañía de telefonía móvil ofrece dos planes de minutos. Plan A: 15 dólares al mes y 2 dólares por cada 300 mensajes de texto. Plan B: 25 dólares al mes y 0,50 dólares por cada 100 mensajes de texto. ¿Cuántos mensajes de texto tendría que enviar al mes para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? línea horizontal una línea definida por f ( x ) = b , donde b es un número real. La pendiente de una línea horizontal es 0. líneas paralelas dos o más líneas con la misma pendiente líneas perpendiculares dos líneas que se intersecan en ángulo recto y tienen pendientes que son recíprocas negativas línea vertical una línea definida por x = a , donde a es un número real. La pendiente de una línea vertical es indefinida. intersección en x el punto en el gráfico de una función lineal cuando el valor de salida es 0; el punto en el que el gráfico cruza el eje horizontal", "section": "Gráficos de funciones lineales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Modelado con funciones lineales (Créditos: EEK Photography/Flickr) Elan es una estudiante universitaria que planea pasar el verano en Seattle. Ahorró 3.500 dólares para su viaje y prevé gastar 400 dólares cada semana en alquiler, comida y actividades. ¿Cómo podemos escribir un modelo lineal que represente la situación? ¿Cuál sería la intersección en x y qué puede aprender Elan de ella? Para responder estas y otras interrogantes por el estilo, podemos crear un modelo por medio de una función lineal. Los modelos como este pueden ser extremadamente útiles para analizar las relaciones y hacer predicciones basadas en estas. En esta sección, exploraremos ejemplos de modelos de función lineal . Identificar los pasos para modelar y resolver problemas Cuando se modelan escenarios con funciones lineales y se resuelven problemas que implican cantidades con una tasa de cambio constante , solemos seguir las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Repasémoslos brevemente: Identifique las cantidades cambiantes y, a continuación, defina las variables descriptivas que representen esas cantidades. Cuando sea pertinente, haga un dibujo o defina un sistema de coordenadas. Lea atentamente el problema para identificar la información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial. Lea detenidamente el problema para determinar qué es lo que queremos encontrar, identificar, resolver o interpretar. A partir de la información suministrada, identifique una vía de solución a lo que tratamos de hallar. A menudo, esto implicará la comprobación y el seguimiento de las unidades, la construcción de una tabla o incluso la búsqueda de una fórmula para la función que se utiliza para modelar el problema. Cuando sea necesario, escriba una fórmula para la función. Resuelva o evalúe la función con la fórmula. Reflexione si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemático. Exprese claramente su resultado con las unidades adecuadas, y responda con frases completas cuando sea necesario. Construir modelos lineales Ahora echemos un vistazo a la estudiante en Seattle. En la situación de Elan hay dos cantidades cambiantes: el tiempo y el dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende del tiempo que se quede. Podemos utilizar esta información para definir nuestras variables, incluidas las unidades. Salida: M , dinero restante, en dólares Entrada: t , tiempo, en semanas Por lo tanto, la cantidad de dinero restante depende del número de semanas: M ( t ) También podemos identificar el valor inicial y la tasa de cambio. Valor inicial: ahorró 3.500 dólares, por lo que 3.500 dólares es el valor inicial de M . Tasa de cambio: prevé gastar 400 dólares cada semana, por lo que –400 dólares semanales es la tasa de cambio, o la pendiente. Observe que la unidad de dólares por semana coincide con la unidad de nuestra variable de salida dividida entre nuestra variable de entrada. Además, dado que la pendiente es negativa, la función lineal es decreciente. Esto debería tener sentido porque gasta dinero cada semana. La tasa de cambio es constante, por lo que podemos empezar con el modelo lineal M ( t ) = m t + b . Entonces podemos sustituir la intersección y la pendiente que se han proporcionado. Para calcular la intersección en x llevamos la salida a cero y resolvemos para la entrada. 0 = - 400 t + 3.500 t = 3.500 400 = 8,75 Las intersecciones en x es de 8,75 semanas. Ya que esto representa el valor de entrada cuando la salida sea cero, podríamos decir que a Elan no le quedará dinero después de 8,75 semanas. Al modelar cualquier situación de la vida real con funciones, suele haber un dominio limitado en el que ese modelo será válido: casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. Aquí el dominio se refiere al número de semanas. En este caso, no tiene sentido hablar de valores de entrada inferiores a cero. Un valor negativo de entrada podría referirse a un número de semanas antes de que Elan ahorrara 3.500 dólares, pero el escenario analizado plantea la pregunta una vez que ahorró 3.500 dólares porque es cuando comienza su viaje y su gasto posterior. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección en x , a no ser que Elan utilice una tarjeta de crédito y se endeude. El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es: 0 ≤ t ≤ 8,75. En el ejemplo anterior, se nos dio una descripción escrita de la situación. Hemos seguido los pasos para el modelado de un problema con el fin de analizar la información. Sin embargo, no siempre se suministra la misma información. A veces se nos proporciona una intersección. Otras veces se nos da un valor de salida. Debemos tener cuidado de analizar la información que se nos suministra y utilizarla adecuadamente para construir un modelo lineal. Utilizar una intersección dada para construir un modelo Algunos problemas del mundo real proporcionan la intersección en y , que es la constante o valor inicial. Una vez que se conoce la intersección en y , la intersección en x puede calcularse. Supongamos, por ejemplo, que Hannah planea pagar un préstamo sin intereses que contrajo de sus padres. El saldo de su préstamo es de 1.000 dólares. Tiene previsto pagar 250 dólares al mes hasta que su saldo sea de 0. La intersección en y es el importe inicial de su deuda, es decir, 1.000 dólares. La tasa de cambio, o pendiente, es de -250 dólares al mes. Podemos entonces utilizar la forma pendiente-intersección y la información dada para elaborar un modelo lineal. f ( x ) = m x + b = − 250 x + 1.000 Ahora podemos establecer la función igual a 0, y resolver para x para hallar la intersección en x . 0 = − 250 x + 1.000 1.000 = 250 x 4 = x x = 4 Las intersecciones en x es el número de meses que tarde en llevar el saldo a 0 dólares. La intersección en x es 4 meses, por lo que Hannah tardará cuatro meses para pagar su préstamo. Utilizar una entrada y una salida dadas para construir un modelo Muchas aplicaciones en el mundo real no son tan directas como las que acabamos de considerar. En cambio, nos exigen que identifiquemos algún aspecto de una función lineal. A veces se nos pide que evaluemos el modelo lineal con una entrada determinada o que establezcamos la ecuación del modelo lineal igual a una salida especificada. Cómo Dado un problema verbal que incluya dos pares de valores de entrada y salida, utilizar la función lineal para resolver un problema. Identifique los valores de entrada y salida. Convierta los datos en dos pares de coordenadas. Calcule la pendiente. Escriba el modelo lineal. Utilice el modelo para hacer una predicción al evaluar la función en un determinado valor de x . Utilice el modelo para identificar un valor de x que resulte en un determinado valor de y . Responda la pregunta planteada. Usar un modelo lineal para investigar la población de una ciudad La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2004 la población era de 6.200 habitantes. En 2009 la población había crecido hasta los 8.100 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Ⓐ Prediga la población en 2013. Ⓑ Identifique el año en el que la población alcanzará los 15.000 habitantes. Las dos cantidades que cambian son el tamaño de la población y el tiempo. Aunque podríamos utilizar el valor real del año como cantidad de entrada, hacerlo así tiende a llevar a ecuaciones muy engorrosas, porque la intersección en y correspondería al año 0, ¡hace más de 2.000 años! Para que el cálculo sea más llevadero, definiremos nuestra entrada como el número de años desde 2004: Entrada: t , años desde 2004 Salida: P ( t ) , la población de la ciudad Para predecir la población en 2013 ( t = 9 ), necesitaríamos primero una ecuación para la población. Del mismo modo, para determinar cuándo la población alcanzaría los 15.000 habitantes, tendríamos que resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15.000. Para escribir una ecuación, necesitamos el valor inicial y la tasa de cambio o la pendiente. Para determinar la tasa de cambio, utilizaremos el cambio en la salida con respecto al cambio en la entrada. m = cambio en la salida cambio en la entrada El problema nos da dos pares de entrada-salida. Convirtiéndolos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a t = 0 , lo que da el punto ( 0 , 6200 ) . Observe que mediante nuestra elección inteligente de la definición de la variable, nos hemos \"dado\" la intersección en y de la función. El año 2009 correspondería a t = 5, lo que da el punto ( 5 , 8100 ) . Los dos pares de coordenadas son: ( 0 , 6200 ) y ( 5 , 8100 ) . Recordemos que anteriormente en el capítulo nos topamos con ejemplos en los que se nos proporcionaban dos puntos. Podemos utilizar estos valores para calcular la pendiente. m = 8.100 − 6.200 5 − 0 = 1.900 5 = 380 personas al año Ya conocemos la intersección en y de la línea, por lo que podemos escribir inmediatamente la ecuación: P ( t ) = 380 t + 6.200 Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en t = 9. P ( 9 ) = 380 ( 9 ) + 6.200 = 9.620 Si la tendencia se mantiene, nuestro modelo prevé una población de 9.620 habitantes en 2013. Para saber cuándo la población alcanzará los 15.000 habitantes, podemos establecer P ( t ) = 15.000 y resolver para t . 15.000 = 380 t + 6.200 8.800 = 380 t t ≈ 23,158 Nuestro modelo predice que la población alcanzará los 15.000 habitantes en poco más de 23 años después de 2004, es decir, alrededor del año 2027. Ejercicio Una empresa vende rosquillas. Tienen un costo fijo de 25.000 dólares por concepto de alquiler, seguro y otros gastos. El costo de producción de cada rosquilla es de 0,25 dólares. Ⓐ Escriba un modelo lineal para representar el costo C de la empresa como función de x , es el número de rosquillas que se producen. Ⓑ Halle e interprete la intersección en y . Ⓐ C ( x ) = 0,25 x + 25 , 000 Ⓑ La intersección en y es ( 0 , 25 , 000 ) . Aunque la empresa no produzca ni una sola rosquilla, sigue teniendo un costo de 25.000 dólares. Ejercicio La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2008, la población era de 28.200 habitantes. En 2012, la población era de 36.800 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Ⓐ Prediga la población en 2014. Ⓑ Identifique el año en que la población alcanzará los 54.000 habitantes. Ⓐ 41.100 Ⓑ 2020 Utilizar un diagrama para modelar un problema En muchas aplicaciones del mundo real es útil hacer un dibujo para tener una idea de cómo las variables que representan la entrada y la salida se utilizan para responder una pregunta. Para dibujar el cuadro, primero hay que considerar lo que pide el problema. A continuación, determine la entrada y la salida. El diagrama debería relacionar las variables. Con frecuencia se dibujan formas o figuras geométricas. A menudo, las distancias se trazan. Si se dibuja un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras relaciona los lados. Si se dibuja un rectángulo, es útil etiquetar la anchura y la altura. Usar un diagrama para modelar la distancia recorrida Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este, a 4 millas por hora, mientras que Emanuel camina hacia el sur, a 3 millas por hora. Se comunican con una radio bidireccional que tiene un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar dejarán de estar en contacto a través de la radio? En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta al afirmar que dejarán de tener contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a plantear una nueva pregunta: \"¿Cuánto tiempo les llevará estar a 2 millas de distancia?”. En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y la posición. Sin embargo, en última instancia, necesitamos saber cuánto tiempo tardarán en estar a 2 millas de distancia. Vemos que el tiempo será nuestra variable de entrada, así que definiremos nuestras variables de entrada y salida. Entrada: t , tiempo en horas. Salida: A ( t ) , distancia en millas, y E ( t ) , distancia en millas Ya que no es obvio cómo definir nuestra variable de salida, empezaremos por hacer un dibujo como en la . Valor inicial: ambos comienzan en la misma intersección, así que cuando t = 0 , la distancia recorrida por cada persona también debería ser 0. Por lo tanto, el valor inicial de cada uno es 0. Tasa de cambio: Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son ambas tasas de cambio. La pendiente para A es 4 y la pendiente para E es 3. Con esos valores podemos escribir fórmulas para la distancia que ha caminado cada persona. A ( t ) = 4 t E ( t ) = 3 t Para este problema, las distancias desde el punto de partida son importantes. Para anotarlos, podemos definir un sistema de coordenadas al identificar el \"punto de partida\" en la intersección en la que ambos comenzaron. Entonces podemos utilizar la variable, A , que hemos introducido anteriormente, para representar la posición de Anna y definirla como una medida desde el punto de partida en dirección hacia el este. Asimismo, podemos utilizar la variable E , para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección hacia el sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas, hemos especificado tanto el punto de partida de la medida como su dirección. Podemos entonces definir una tercera variable, D , para que sea la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en el diagrama suele ser útil, como podemos apreciar en la . Recordemos que necesitamos saber el tiempo que tarda D , la distancia entre ellos, para que sea igual a 2 millas. Observe que, para cualquier entrada dada t , las salidas A ( t ) , E ( t ) , y D ( t ) representan las distancias. La nos muestra que podemos utilizar el teorema de Pitágoras porque hemos dibujado un ángulo recto. Con el teorema de Pitágoras obtenemos D ( t ) 2 = A ( t ) 2 + E ( t ) 2 = ( 4 t ) 2 + ( 3 t ) 2 = 16 t 2 + 9 t 2 = 25 t 2 D ( t ) = ± 25 t 2 Resuelva para D ( t ) con la raíz cuadrada = ± 5 | t | En este escenario solo consideramos valores positivos de t , por lo que nuestra distancia D ( t ) siempre será positiva. Podemos simplificar esta respuesta a D ( t ) = 5 t . Esto significa que la distancia entre Anna y Emanuel es también una función lineal. Dado que D es una función lineal, ahora podemos responder la pregunta de cuándo la distancia entre ellos será de 2 millas. Estableceremos la salida D ( t ) = 2 y resolvemos para t . D ( t ) = 2 5 t = 2 t = 2 5 = 0,4 Saldrán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Debería dibujar diagramas cuando me dan información con base en una forma geométrica? Sí. Haga un croquis de la cifra y marque las cantidades y las incógnitas en este. Usar un diagrama para modelar la distancia entre ciudades Hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough hasta Agritown, a 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino, esta carretera se une a otra, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough está situada a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough? En este caso valdría la pena hacer un dibujo de la situación. Vea la . A continuación, sería útil introducir un sistema de coordenadas. Aunque podríamos situar el origen en cualquier lugar, situarlo en Westborough luce conveniente. Esto sitúa a Agritown en las coordenadas ( 3 0 , 1 0 ) , y a Eastborough en ( 2 0 , 0 ) . Usando este punto junto con el origen, podemos calcular la pendiente de la línea de Westborough a Agritown: m = 10 − 0 30 - 0 = 1 3 La ecuación de la carretera de Westborough a Agritown sería: W ( x ) = 1 3 x A partir de esto, podemos determinar que la carretera perpendicular a Eastborough tendrá la pendiente m = – 3. Debido a que la ciudad de Eastborough está en el punto (20, 0), podemos hallar la ecuación: E ( x ) = - 3 x + b 0 = - 3 ( 20 ) + b Sustituir en (20, 0) b = 60 E ( x ) = - 3 x + 60 Ahora podemos hallar las coordenadas del cruce de las carreteras al dar con la intersección de estas líneas. Igualarlas, 1 3 x = - 3 x + 60 10 3 x = 60 10 x = 180 x = 18 Sustituir esto de nuevo en W ( x ) y = W ( 18 ) = 1 3 ( 18 ) = 6 Las carreteras se cruzan en el punto (18, 6). Con la fórmula de la distancia, ahora podemos hallar la distancia desde Westborough hasta el cruce distancia = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y 1 ) 2 = ( 18 − 0 ) 2 + ( 6 - 0 ) 2 ≈ 18,974 millas Análisis Un buen uso de los modelos lineales es aprovechar el hecho de que los gráficos de estas funciones son líneas. Esto significa que las aplicaciones en el mundo real que hablan de mapas necesitan funciones lineales para modelar las distancias entre los puntos de referencia. Ejercicio Hay una carretera recta que va de la ciudad de Timpson a Ashburn 60 millas al este y 12 millas al norte. A mitad de camino, la carretera se cruza con una segunda vía, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Garrison. Si la ciudad de Garrison está situada a 22 millas directamente al este de la ciudad de Timpson, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Timpson? 21,57 millas Construir sistemas de modelos lineales Las situaciones en el mundo real que incluyen dos o más funciones lineales pueden modelarse con un sistema de ecuaciones lineales . Recuerde que, al resolver un sistema de ecuaciones lineales, buscamos los puntos que tienen en común las dos líneas. Normalmente, hay tres tipos de respuestas posibles, como se indica en la . Cómo Dada una situación que representa un sistema de ecuaciones lineales, escribir el sistema de ecuaciones e identificar la solución. Identifique la entrada y la salida de cada modelo lineal. Identifique la pendiente y la intersección en y de cada modelo lineal. Halle la solución al igualar las dos funciones lineales y resolver para x , o halle el punto de intersección en un gráfico. Construir un sistema de modelos lineales para elegir una empresa de alquiler de camiones Jamal está eligiendo entre dos empresas de alquiler de camiones. La primera, Keep on Trucking, Inc., cobra una cuota inicial de 20 dólares y luego 59 céntimos por milla. La segunda, Move It Your Way, cobra una cuota inicial de 16 dólares y luego 63 céntimos por milla. Tarifas obtenidas el 2 de agosto de 2010 de http://www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/ . ¿Cuándo será Keep on Trucking, Inc. la mejor opción para Jamal? Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y el número de millas recorridas. Dado que tenemos que considerar dos empresas, definiremos dos funciones. Entrada d , distancia recorrida en millas. Salidas K ( d ) : costo, en dólares, del alquiler de Keep on Trucking M ( d ) costo, en dólares, del alquiler en Move It Your Way. Valor inicial Anticipo: K ( 0 ) = 2 0 y M ( 0 ) = 16 Tasa de cambio K ( d ) = $ 0, 59 /milla y P ( d ) = $ 0, 63 /milla La función lineal es de la forma f ( x ) = m x + b . Con las tasas de cambio y los cobros iniciales podemos escribir las ecuaciones K ( d ) = 0,59 d + 20 M ( d ) = 0,63 d + 16 Con estas ecuaciones podemos determinar cuándo Keep on Trucking, Inc. será la mejor opción. Ya que lo único que tenemos para tomar esa decisión son los costos, buscamos cuándo Move It Your Way, costará menos o cuándo K ( d ) < M ( d ) . El camino de la solución nos llevará a dar con las ecuaciones de las dos funciones, hallar la intersección y luego ver dónde la función K ( d ) es menor. Estos gráficos se encuentran en la , con K ( d ) en azul. Para hallar la intersección, igualamos las ecuaciones y resolvemos: K ( d ) = M ( d ) 0,59 d + 20 = 0,63 d + 16 4 = 0,04 d 100 = d d = 100 Esto nos indica que el costo de las dos compañías será el mismo si se recorren 100 millas. Ya sea al observar el gráfico o al notar que K ( d ) crece a un ritmo más lento, podemos concluir que Keep on Trucking, Inc. será el precio más barato cuando se recorran más de 100 millas, es decir: d > 100. Media Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con los modelos de funciones lineales. Interpretación de una función lineal Podemos utilizar las mismas estrategias de problemas que utilizaríamos para cualquier tipo de función. Al modelar y resolver un problema, identifique las variables y busque los valores clave, incluso la pendiente y la intersección en y . Vea el . Dibuje un diagrama, si procede. Vea el y el . Compruebe si la respuesta es razonable. Los modelos lineales pueden construirse al identificar o calcular la pendiente y utilizar la intersección en y . La intersección en x se halla al establecer y = 0 , que iguala la expresión m x + b a 0. El punto de intersección de un sistema de ecuaciones lineales es el punto en el que los valores de x y de y son iguales. Vea el . Se puede utilizar un gráfico del sistema para identificar los puntos en los que una línea cae por debajo (o por encima) de la otra línea. Verbales Explique cómo encontrar la variable de entrada en un problema matemático que utiliza una función lineal. Determine la variable independiente. Es la variable de la que depende la salida. Explique cómo hallar la variable de salida en un problema matemático que utiliza una función lineal. Explique cómo interpretar el valor inicial en un problema matemático que utiliza una función lineal. Para determinar el valor inicial, halle la salida cuando la entrada sea igual a cero. Explique cómo determinar la pendiente en un problema matemático que utiliza una función lineal. Algebraicos Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje y , la línea x = 3 , la línea f ( x ) = 1 + 2 x , y la línea paralela a f ( x ) pasando por ( 2 , 7 ) . 6 unidades cuadradas Halle el área de un triángulo delimitado por el eje x , la línea f ( x ) = 12 – 1 3 x , y la línea perpendicular a f ( x ) que pasa por el origen. Halle el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 9 – 6 7 x , y la línea perpendicular a f ( x ) que pasa por el origen. 20,012 unidades cuadradas Halle el área de un paralelogramo delimitado por el eje x , la línea g ( x ) = 2 , la línea f ( x ) = 3 x , y la línea paralela a f ( x ) pasando por ( 6 , 1 ) . En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha disminuido a un ritmo constante. En 2010 la población era de 5.900 habitantes. Para 2012, la población había descendido a 4.700. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Prediga la población en 2016. 2.300 Identifique el año en el que la población llegará a 0. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad ha aumentado a un ritmo constante. En 2010 la población era de 46.020 habitantes. En 2012 la población se había incrementado a 52.070 habitantes. Supongamos que esta tendencia se mantiene. Prediga la población en 2016. 64,170 Identifique el año en que la población alcanzará los 75.000 habitantes. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Una ciudad tiene una población inicial de 75.000 habitantes. Crece a un ritmo constante de 2.500 al año durante 5 años. Halle la función lineal que modela la población de la ciudad P en función del año, t , donde t es el número de años transcurridos desde el inicio del modelo. P ( t ) = 75.000 + 2.500 t Halle un dominio y un rango razonables para la función P . Si se grafica la función P , halle e interprete las intersecciones en x y en y . (-30, 0) Treinta años antes del inicio de este modelo, la ciudad no tenía habitantes. (0, 75.000) Inicialmente, la ciudad tenía una población de 75.000 habitantes. Si la función P , halle e interprete la pendiente de la función. ¿Cuándo se llegará a los 100.000? Diez años después del inicio del modelo. ¿Cuál es la salida en el año 12 desde el inicio del modelo? En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Un bebé pesa 7,5 libras al nacer. Aumenta media libra al mes durante su primer año. Halle la función lineal que modele el peso del bebé W en función de su edad, en meses, t . W ( t ) = 0, 5 t + 7 . 5 Halle un dominio y un rango razonables para la función W . Si se grafica la función W , halle e interprete las intersecciones en x y en y . ( − 15 , 0 ) : La intersección en x no es un conjunto de datos plausible para este modelo porque significa que el bebé pesaba 0 libras a los 15 meses antes de nacer ( 0 , 7 . 5 ) : El bebé pesaba 7,5 libras al nacer. Si se representa gráficamente la función W , halle e interpreta la pendiente de la función. ¿Cuándo pesó el bebé 10,4 libras? A la edad de 5,8 meses. ¿Cuál es la salida cuando la entrada es 6,2? Interprete su respuesta. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 205 cada año desde 2005 hasta 2010. En 2005, 12.025 personas se vieron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . C ( t ) = 12 , 025 − 205 t Halle un dominio y un rango razonables para la función C . Si se grafica la función C , halle e interprete las intersecciones en x y en y . (58,7, 0) : En aproximadamente 59 años, el número de personas afectadas por el resfriado común sería 0 (0,12,025) : Inicialmente había 12.025 personas afectadas por el resfriado común. Si se grafica la función C , halle e interprete la pendiente de la función. ¿Cuándo llegará la salida a 0? 2064 ¿En qué año el número de personas será de 9.700? Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y, en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t, donde t representa el número de años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de t , el número de años desde 1980. y = - 2 t +180 Halle e interprete la intersección en y . Halle e interprete la intersección en x . En 2070, el beneficio de la empresa será cero. Halle e interprete la pendiente. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, t , donde t representa el número de años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de t , el número de años desde 1980. y = 30 t − 300 Halle e interprete la intersección en y . Halle e interprete la intersección en x . (10, 0) en 1990, el beneficio fue cero. Halle e interprete la pendiente. Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de la vivienda en Misisipi y Hawái (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Misisipi Hawái 1950 $25.200 $74.400 2000 $71.400 $272.700 ¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda? Hawái Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Misisipi en 2010? Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de las viviendas en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda). Durante el año 1933 En los siguientes ejercicios, utilice la mediana del valor de las vivienda en Indiana y Alabama (ajustado a la inflación) que aparece en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Indiana Alabama 1950 $37.700 $27.100 2000 $94.300 $85.100 ¿En qué estado ha aumentado más el valor de la vivienda? Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Indiana en 2010? $105.620 Si suponemos que la tendencia lineal existía antes de 1950 y continúa después de 2000, ¿en cuántos años la mediana del valor de la vivienda en los dos estados será (o era) igual? (La respuesta puede ser absurda). Aplicaciones en el mundo real En 2004, la población escolar era de 1.001 estudiantes. En 2008 la población había crecido hasta los 1.697 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2008? Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.001 a 1.697 estudiantes? Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000? Ⓔ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después del año 2000. Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población escolar en 2011. Ⓐ 696 estudiantes Ⓑ 4 años Ⓒ 174 estudiantes al año Ⓓ 305 estudiantes Ⓔ P ( t ) = 305 + 174 t Ⓕ 2.219 estudiantes En 2003, la población de una ciudad era de 1.431 habitantes. En 2007 la población había crecido hasta los 2.134 habitantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2003 y el año 2007? Ⓑ ¿Cuánto tiempo tardó la población en pasar de 1.431 a 2.134 habitantes? Ⓒ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓓ ¿Cuál era la población en el año 2000? Ⓔ Halle una ecuación para la población, P de la ciudad t años después del año 2000. Ⓕ Utilizando su ecuación, prediga la población de la ciudad en 2014. Una compañía telefónica tiene un plan mensual de telefonía móvil en el que el cliente paga una cuota mensual fija y luego una determinada cantidad de dinero por minuto utilizado para las llamadas de voz y video. Si un cliente utiliza 410 minutos, el costo mensual será de 71,50 dólares. Si el cliente utiliza 720 minutos, el costo mensual será de 118 dólares. Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de telefonía móvil en función de x , el número de minutos mensuales utilizados. Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación. Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 687 minutos. Ⓐ C ( x ) = 0,15 x + 10 Ⓑ La tarifa plana mensual es de 10 dólares y hay una tarifa adicional de 0,15 dólares por cada minuto adicional utilizado. Ⓒ $113,05 Una compañía telefónica tiene un plan mensual de datos para teléfonos móviles en el que el cliente paga una cuota mensual fija de 10 dólares y luego una determinada cantidad de dinero por megabyte (MB) de datos utilizados en el teléfono. Si el cliente utiliza 20 MB, el costo mensual será de 11,20 dólares. Si el cliente utiliza 130 MB, el costo mensual será de 17,80 dólares. Ⓐ Halle una ecuación lineal para el costo mensual del plan de datos en función de x , el número de MB utilizados. Ⓑ Interprete la pendiente y la intersección en y de la ecuación. Ⓒ Utilice su ecuación para calcular el costo mensual total si se utilizan 250 MB. En 1991, la población de alces en un parque se midió en 4.360 ejemplares. En 1999, la población se elevó a 5.880 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente. Ⓐ Halle una fórmula para la población de alces, P desde 1990. Ⓑ ¿Cuál es la previsión de su modelo con respecto a la población de alces en 2003? Ⓐ P ( t ) = 190 t + 4360 Ⓑ 6.640 alces En 2003, la población de búhos en un parque se midió en 340. En 2007, la población se volvió a medir y eran 285 búhos. La población cambia linealmente. Supongamos que la entrada sean los años desde 1990. Ⓐ Halle una fórmula para la población de búhos, P. Supongamos que la entrada sean los años desde 2003. Ⓑ ¿Cuál es la población de búhos que su modelo predice para 2012? La Reserva Federal de Helio tenía unos 16.000 millones de pies cúbicos de helio en 2010 y se está agotando en unos 2.100 millones de pies cúbicos cada año. Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas federales de helio, R, en términos de t, el número de años desde 2010. Ⓑ En 2015, ¿cuáles serán las reservas de helio? Ⓒ Si el ritmo de agotamiento no cambia, ¿en qué año se agotará la Reserva Federal de Helio? Ⓐ R ( t ) = 16 − 2,1 t Ⓑ 5.5000 millones de pies cúbicos Ⓒ Durante el año 2017 Supongamos que las reservas mundiales de petróleo en 2014 son de 1,8 mil millones de barriles. Si, en promedio, las reservas totales disminuyen en 25.000 millones de barriles de petróleo cada año: Ⓐ Dé una ecuación lineal para el resto de las reservas de petróleo, R, en términos de t, el número de años desde ahora. Ⓑ Dentro de siete años, ¿cuáles serán las reservas de petróleo? Ⓒ Si el ritmo de disminución de las reservas es constante, ¿cuándo se agotarán las reservas mundiales de petróleo? Está eligiendo entre dos planes diferentes de telefonía móvil de prepago. El primero cobra una tarifa de 26 céntimos por minuto. El segundo cobra una cuota mensual de 19,95 dólares más 11 céntimos por minuto. ¿Cuántos minutos tendría que utilizar en un mes para que el segundo plan sea preferible? Más de 133 minutos Está eligiendo entre dos empresas diferentes de lavado de ventanas. La primera cobra 5 dólares por cada ventana. La segunda cobra una tarifa base de 40 dólares más 3 dólares por cada ventana. ¿Cuántas ventanas necesitaría tener para que la segunda empresa sea preferible? Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de joyas, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 17.000 dólares al año con una comisión del 12 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 5 % de las ventas que realice. ¿Cuántas joyas tendría que vender para que la opción A devengue mayores ingresos? Más de 42.857,14 dólares en joyas. Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 14.000 dólares al año con una comisión del 10 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 19.000 dólares al año con una comisión del 4 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos? Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 12 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 26.000 dólares al año con una comisión del 3 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos? $66.666,67 Al momento de contratarlo en un nuevo empleo de venta de productos electrónicos, le dan dos opciones de pago: Opción A: Salario base de 10.000 dólares al año con una comisión del 9 % de las ventas que realice. Opción B: Salario base de 20.000 dólares al año con una comisión del 4 % de las ventas que realice. ¿Cuántos aparatos electrónicos tendría que vender para que la opción A produjera mayores ingresos?", "section": "Modelado con funciones lineales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ajuste de modelos lineales a los datos Un profesor intenta identificar las tendencias entre las puntuaciones de los exámenes finales. En su clase hay una mezcla de alumnos, por lo que se pregunta si hay alguna relación entre la edad y las notas de los exámenes finales. Una forma de analizar las puntuaciones es crear un diagrama que relacione la edad de cada alumno con la puntuación recibida en el examen. En esta sección, examinaremos uno de estos diagramas, el cual se conoce como diagrama de dispersión. Dibujar e interpretar gráficos de dispersión El diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados capaz de mostrar una relación entre dos conjuntos de datos. Si la relación procede de un modelo lineal , o de un modelo casi lineal, el profesor puede sacar conclusiones por medio de su conocimiento acerca de funciones lineales. La muestra un ejemplo de gráfico de dispersión. Gráfico de dispersión de las variables de edad y puntuación del examen final Observe que este gráfico de dispersión no indica ninguna relación lineal . Los puntos no parecen seguir ninguna tendencia. En otras palabras, no parece haber ninguna relación entre la edad del estudiante y la puntuación en el examen final. Usar un diagrama de dispersión para investigar los chirridos de los grillos La tabla siguiente muestra el número de chirridos de grillos en 15 segundos, para varias temperaturas de aire diferentes, en grados Fahrenheit Datos seleccionados de http://classic.globe.gov/fsl/scientistsblog/2007/10/. Recuperado el 3 de agosto de 2010 . Trace estos datos y determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. Chirridos 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 Temperatura 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 El trazado de estos datos, tal y como se representa en la , sugiere que puede haber una tendencia. Podemos ver en la tendencia de los datos que el número de chirridos aumenta a medida que aumenta la temperatura. La tendencia parece ser más o menos lineal, aunque ciertamente no es perfecta. Hallar la línea de mejor ajuste Una vez que reconocemos la necesidad de una función lineal para modelar esos datos, la pregunta obvia que sigue es \"¿cuál es esa función lineal?”. Una forma de aproximar nuestra función lineal es trazar la línea que parezca ajustarse mejor a los datos. Entonces podemos extender la línea hasta que podamos verificar la intersección en y . Podemos calcular la pendiente de la línea al extenderla hasta que podamos estimar la subida recorrido . Hallar la línea de mejor ajuste Halle una función lineal que se ajuste a los datos en la al “ojear\" una línea que parezca ajustarse. En un gráfico, podríamos intentar trazar una línea. Utilizando los puntos inicial y final de nuestra línea dibujada a mano, los puntos (0, 30) y (50, 90), este gráfico tiene una pendiente de m = 60 50 = 1,2 y una intersección en y en 30. Esto da una ecuación de T ( c ) = 1,2 c + 30 donde c es el número de chirridos en 15 segundos, y T ( c ) es la temperatura en grados Fahrenheit. La ecuación resultante se representa en la . Análisis Esta ecuación lineal se puede utilizar para inferir las respuestas a varias preguntas que podríamos hacer sobre la tendencia. Reconocer la interpolación o la extrapolación Aunque los datos de la mayoría de los ejemplos no caen perfectamente sobre la línea, la ecuación es nuestra mejor conjetura sobre cómo se comportará la relación fuera de los valores para los que tenemos datos. Utilizamos un proceso conocido como interpolación cuando predecimos un valor dentro del dominio y el rango de los datos. La extrapolación se utiliza cuando predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos. La compara los dos procesos para los datos del chirrido de los grillos que se abordan en el . Podemos ver que la interpolación se produciría si utilizamos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos están entre 18,5 y 44. La extrapolación se produciría si utilizáramos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos fueran inferiores a 18,5 o superiores a 44. La interpolación se produce dentro del dominio y del rango de los datos proporcionados, mientras que la extrapolación se produce fuera. Hay una diferencia entre hacer predicciones dentro del dominio y del rango de valores para los que tenemos datos y fuera de ese dominio y rango. Predecir un valor fuera del dominio y del rango tiene sus limitaciones. Cuando nuestro modelo deja de ser válido a partir de cierto momento, a veces se denomina ruptura del modelo . Por ejemplo, la predicción de una función de costos para un periodo de dos años implicaría el examen de los datos en los que la entrada es el tiempo en años y la salida es el costo. Sin embargo, si intentamos extrapolar un costo cuando x = 50, que es dentro de 50 años, el modelo no se aplicaría porque no podríamos contabilizar factores a la vuelta de cincuenta años. Interpolación y extrapolación En el análisis de los datos se utilizan diferentes métodos para hacer predicciones. El método de interpolación consiste en predecir un valor dentro del dominio o rango de los datos. El método de extrapolación consiste en predecir un valor fuera del dominio o rango de los datos. La ruptura del modelo se produce en el momento en que este deja de ser aplicable. Entender la interpolación y la extrapolación Utilice los datos relativos a los grillos en la para responder las siguientes preguntas: Ⓐ ¿Predecir la temperatura cuando los grillos hacen 30 chirridos en 15 segundos sería interpolación o extrapolación? Haga la predicción y discuta si es razonable. Ⓑ ¿Predecir el número de chirridos que harán los grillos a 40 grados sería interpolación o extrapolación? Haga la predicción y discuta si es razonable. Ⓐ El número de chirridos en los datos proporcionados varía de 18,5 a 44. La predicción a 30 chirridos por 15 segundos está dentro del dominio de nuestros datos, por lo que sería una interpolación. Usando nuestro modelo: T ( 30 ) = 30 + 1,2 ( 30 ) = 66 grados Con base en los datos que tenemos, este valor parece razonable. Ⓑ Los valores de temperatura variaron de 52 a 80,5. Predecir el número de chirridos a 40 grados es una extrapolación porque 40 está fuera del rango de nuestros datos. Usando nuestro modelo: 40 = 30 + 1,2 c 10 = 1,2 c c ≈ 8,33 Podemos comparar las regiones de interpolación y extrapolación mediante la . Análisis Nuestro modelo predice que los grillos chirrían 8,33 veces en 15 segundos. Aunque esto sería posible, no tenemos ninguna razón para creer que nuestro modelo sea válido fuera del dominio y del rango. De hecho, generalmente los grillos dejan de chirriar por debajo de los 50 grados. Ejercicio Según los datos a partir de la , ¿qué temperatura podemos predecir si contamos 20 chirridos en 15 segundos? 54 ° F Hallar la línea de mejor ajuste con una herramienta gráfica Si bien es cierto que la observación de una línea funciona razonablemente bien, existen técnicas estadísticas para ajustar una línea a los datos que minimizan las diferencias entre la línea y los valores de los datos Técnicamente, el método minimiza la suma de las diferencias al cuadrado en la dirección vertical entre la línea y los valores de los datos. . Una de estas técnicas se denomina regresión de mínimos cuadrados y puede estimarse con muchas calculadoras gráficos, programas de hojas de cálculo, programas estadísticos y muchas calculadoras en línea Por ejemplo, http://www.shodor.org/unchem/math/lls/leastsq.html . La regresión de mínimos cuadrados es un medio para determinar la línea que mejor se ajusta a los datos, y aquí nos referiremos a este método como regresión lineal. Cómo Dados los datos de entrada y las correspondientes salidas de una función lineal, calcular la línea de mejor ajuste con la regresión lineal. Introduzca la entrada en la Lista 1 (L1 ). Introduzca la salida en la Lista 2 (L2 ). En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal (LinReg ). Hallar la línea de regresión de mínimos cuadrados Halle la línea de regresión de mínimos cuadrados con los datos de los grillos en la . Introduzca la entrada (chirridos) en la Lista 1 (L1). Introduzca la salida (temperatura) en la Lista 2 (L2). Vea la . L1 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 L2 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Utilizando los datos anteriores acerca de los chirridos de grillos, con la tecnología obtenemos la ecuación T ( c ) = 30,281 + 1,143 c Análisis Observe que esta línea es bastante similar a la ecuación que hemos \"ojeado\", pero debería ajustarse mejor a los datos. Observe también que el uso de esta ecuación cambiaría nuestra predicción para la temperatura al escuchar 30 chirridos en 15 segundos de 66 grados a: T ( 30 ) = 30,281 + 1,143 ( 30 ) = 64,571 ≈ 64,6 grados La representación del gráfico de dispersión con la línea de regresión de mínimos cuadrados se muestra en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Habrá alguna vez un caso en el que dos líneas diferentes sirvan como el mejor ajuste para los datos? No. Únicamente hay una línea de mejor ajuste. Distinguir entre modelos lineales y no lineales Como hemos visto anteriormente con el modelo de grillo-chirrido, algunos datos muestran fuertes tendencias lineales. Sin embargo, otros datos, como las puntuaciones de los exámenes finales representadas por la edad, son claramente no lineales. La mayoría de las calculadoras y los programas informáticos también pueden proporcionarnos el coeficiente de correlación , que es una medida del grado de ajuste de la línea a los datos. Muchas calculadoras gráficas requieren que el usuario active una selección de \"diagnóstico\" para determinar el coeficiente de correlación, que los matemáticos denominan r . El coeficiente de correlación es una forma sencilla de hacerse una idea de lo cerca que están los datos de una línea. Deberíamos calcular el coeficiente de correlación únicamente para los datos que siguen un patrón lineal o para determinar el grado en que un conjunto de datos es lineal. Si los datos presentan un patrón no lineal, el coeficiente de correlación de una regresión lineal no tiene sentido. Para tener una idea de la relación entre el valor de r y el gráfico de los datos, la muestra algunos grandes conjuntos de datos con sus coeficientes de correlación. Recuerde que, en todos los gráficos, el eje horizontal muestra la entrada y el eje vertical la salida. Datos graficados y coeficientes de correlación relacionados. (créditos: \"DenisBoigelot\", Wikimedia Commons) Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación es un valor, r , entre -1 y 1. r > 0 sugiere una relación positiva (creciente) r < 0 sugiere una relación negativa (decreciente) Cuanto más cerca esté el valor de 0, más dispersos estarán los datos. Cuanto más cerca esté el valor de 1 o –1, menos dispersos estarán los datos. Hallar el coeficiente de correlación Calcule el coeficiente de correlación para los datos de grillo-chirrido en la . Debido a que los datos parecen seguir un patrón lineal, podemos utilizar la tecnología para calcular r . Introduzca las entradas y salidas correspondientes y seleccione la regresión lineal. La calculadora también le proporcionará el coeficiente de correlación, r = 0,9509. Este valor es muy cercano a 1, lo que sugiere una fuerte relación lineal creciente. Nota: En algunas calculadoras, el diagnóstico deberá estar \"activado\" para obtener el coeficiente de correlación cuando se realiza una regresión lineal: [2nd]>[0]>[alpha][ x -1], y luego desplácese hasta DIAGNOSTICSON . Predecir con la línea de regresión Una vez que determinamos que un conjunto de datos es lineal utilizando el coeficiente de correlación, podemos utilizar la línea de regresión para hacer predicciones. Como hemos aprendido anteriormente, la línea de regresión es la que más se acerca a los datos en el gráfico de dispersión, lo que significa que solo una de esas líneas es la que mejor se ajusta a los datos. Usar la línea de regresión para hacer predicciones El consumo de gasolina en Estados Unidos no ha dejado de aumentar. Los datos de consumo de 1994 a 2004 se revelan en la http://www.bts.gov/publications/national_transportation_statistics/2005/html/table_04_10.html . Determine si la tendencia es lineal y, de ser así, halle un modelo para los datos. Utilice el modelo para predecir el consumo en 2008. Año 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 Consumo (miles de millones de galones) 113 116 118 119 123 125 126 128 131 133 136 El gráfico de dispersión de los datos, incluida la línea de regresión de mínimos cuadrados, se muestra en la . Podemos introducir una nueva variable de entrada, t , que representa los años desde 1994. La ecuación de regresión de mínimos cuadrados es: C ( t ) = 113,318 + 2,209 t Utilizando la tecnología, el coeficiente de correlación se calculó en 0,9965, lo que sugiere una tendencia lineal creciente muy fuerte. Utilizando esto para predecir el consumo en 2008 ( t = 14 ) , C ( 14 ) = 113,318 + 2,209 ( 14 ) = 144,244 El modelo prevé un consumo de gasolina de 144,244 millones de galones en 2008. Ejercicio Utilice el modelo que hemos creado con la tecnología en el para predecir el consumo de gasolina en 2011. ¿Es interpolación o extrapolación? 150,871 mil millones de galones; extrapolación Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el ajuste de modelos lineales a los datos. Introducción al análisis de regresión Regresión lineal Conceptos clave Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el . Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales. La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el . La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el . El coeficiente de correlación, r , indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el . La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el . La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa lo que significa que haya ruptura del modelo cuando se utiliza un modelo lineal. Cuando nuestro modelo ya no se aplica, después de algún valor en el dominio, el modelo en sí no se sostiene. ¿Qué es la interpolación cuando se utiliza un modelo lineal? ¿Qué es la extrapolación cuando se utiliza un modelo lineal? Predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos. Explique la diferencia entre un coeficiente de correlación positivo y uno negativo. Explique cómo interpretar el valor absoluto de un coeficiente de correlación. Cuanto más se acerque el número a 1, menos dispersos estarán los datos; cuanto más se acerque el número a 0, más dispersos estarán los datos. Algebraicos Se realizó una regresión para determinar si existe alguna relación entre las horas que se pasan mirando televisión cada día ( x ) y el número de abdominales que puede hacer una persona ( y ) . Los resultados de la regresión se presentan a continuación. Utilice esto para predecir el número de abdominales que puede hacer una persona que mira la televisión durante 11 horas. y = a x + b a = -1,341 b = 32,234 r = -0,896 Se realizó una regresión para determinar si existe una relación entre el diámetro de un árbol ( x , en pulgadas) y la edad del árbol ( y , en años). Los resultados de la regresión se presentan a continuación. Utilice esto para predecir la edad de un árbol con un diámetro de 10 pulgadas. y = a x + b a = 6,301 b = -1,044 r = -0,970 61,966 años En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de dispersión para los datos proporcionados. ¿Parece que los datos están relacionados linealmente? 0 2 4 6 8 10 –22 -19 -15 –11 -6 -2 1 2 3 4 5 6 46 50 59 75 100 136 No. 100 250 300 450 600 750 12 12,6 13,1 14 14,5 15,2 1 3 5 7 9 11 1 9 28 65 125 216 No. Para los siguientes datos, dibuje un gráfico de dispersión. Si quisiéramos saber cuándo llegará la población a los 15.000 habitantes, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Observe la línea e infiera la respuesta. Año Población 1990 11.500 1995 12.100 2000 12.700 2005 13.000 2010 13.750 Para los siguientes datos, dibuje un gráfico de dispersión. Si quisiéramos saber cuándo la temperatura alcanzará los 28 °F, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Observe la línea e infiera la respuesta. Temperatura, °F 16 18 20 25 30 Tiempo, segundos 46 50 54 55 62 Interpolación. Alrededor de 60 °F . Gráficos En los siguientes ejercicios, haga coincidir cada gráfico de dispersión con una de las cuatro correlaciones especificadas en la y la . r = 0, 95 r = − 0, 89 C r = 0,26 r = − 0,39 B En los siguientes ejercicios, dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados. Numéricos El censo de Estados Unidos registra el porcentaje de personas de 25 años o más que tienen un título universitario. Estos datos de varios años se recogen en la http://www.census.gov/hhes/socdemo/education/data/cps/historical/index.html. Consultado el 1 de mayo de 2014. . Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año el porcentaje superará el 35 %? Año Porcentaje de graduados 1990 21,3 1992 21,4 1994 22,2 1996 23,6 1998 24,4 2000 25,6 2002 26,7 2004 27,7 2006 28 2008 29,4 La importación estadounidense de vino (en hectolitros) durante varios años se indica en la . Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año las importaciones superarán los 12.000 hectolitros? Año Importaciones 1992 2.665 1994 2.688 1996 3.565 1998 4.129 2000 4.584 2002 5.655 2004 6.549 2006 7.950 2008 8.487 2009 9.462 Sí, la tendencia parece lineal porque r = 0, 985 y superará los 12.000 hacia mediados de 2016, 24,6 años desde 1992. La muestra el año y el número de desempleados en una determinada ciudad durante varios años. Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año el número de desempleados llegará a 5? Año Número de desempleados 1990 750 1992 670 1994 650 1996 605 1998 550 2000 510 2002 460 2004 420 2006 380 2008 320 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de datos para determinar la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación con una precisión de 3 decimales. x 8 15 26 31 56 y 23 41 53 72 103 y = 1 . 64 0 x + 13 . 8 00 , r = 0, 987 x 5 7 10 12 15 y 4 12 17 22 24 x y x y 3 21,9 11 15,76 4 22,22 12 13,68 5 22,74 13 14,1 6 22,26 14 14,02 7 20,78 15 11,94 8 17,6 16 12,76 9 16,52 17 11,28 10 18,54 18 9,1 y = − 0,962 x + 26,86 , r = − 0,965 x y 4 44,8 5 43,1 6 38,8 7 39 8 38 9 32,7 10 30,1 11 29,3 12 27 13 25,8 x 21 25 30 31 40 50 y 17 11 2 -1 -18 -40 y = - 1 . 981 x + 6 0, 197 ; r = − 0, 998 x 100 80 60 55 40 20 y 2.000 1.798 1.589 1.580 1.390 1.202 x 900 988 1.000 1.010 1.200 1.205 y 70 80 82 84 105 108 y = 0, 121 x − 38,841 , r = 0,998 Extensiones Grafique f ( x ) = 0,5 x + 10 . Elija un conjunto de 5 pares ordenados utilizando entradas x = –2 , 1 , 5 , 6 , 9 y emplee la regresión lineal para verificar que la función se ajuste bien a los datos. Grafique f ( x ) = - 2 x - 10 . Elija un conjunto de 5 pares ordenados utilizando entradas x = –2 , 1 , 5 , 6 , 9 y emplee la regresión lineal para verificar la función. ( –2 , –6 ) , ( 1 , −12 ) , ( 5 , −2 0 ) , ( 6 , −22 ) , ( 9 , −28 ) ; y = –2 x −10 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas, así como el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: ( 46 , 1.600 ) , ( 48 , 1.550 ) , ( 50 , 1.505 ) , ( 52 , 1.540 ) , ( 54 , 1.495 ) . Utilice la regresión lineal para determinar una función P donde el beneficio en miles de dólares depende del número de unidades vendidas en cientos. Halle hasta la décima más cercana e interprete la intersección en x . ( 189 . 8 , 0 ) Si se venden 18.980 unidades, la empresa tendrá un beneficio de cero dólares. Halle hasta la décima más cercana e interprete la intersección en y . Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año a lo largo de los diez años, (población, año) para determinados años registrados: (2500, 2000), (2650, 2001), (3000, 2003), (3500, 2006), (4200, 2010) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población. Redondee a tres decimales de exactitud. y = 0,00587 x + 19.850,41 Predecir cuándo la población llegará a los 8.000 habitantes. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa aumentó de forma constante durante un período de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: ( 46 , 25 0 ) , ( 48 , 3 0 5 ) , ( 5 0 , 35 0 ) , ( 52 , 39 0 ) , ( 54 , 41 0 ) . Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el beneficio en miles de dólares depende del número de cientos de unidades vendidas. y = 20 , 25 x − 671 . 5 Predecir cuándo el beneficio superará el millón de dólares. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles de durante el período de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: (46, 250), (48, 225), (50, 205), (52, 180), (54, 165) . Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el beneficio en miles de dólares depende del número de cientos de unidades vendidas. y = - 1 0, 75 x + 742 . 5 0 Predecir cuándo el beneficio caerá por debajo del umbral de 25.000 dólares. Ejercicios de repaso del capítulo Funciones lineales Determine si la ecuación algebraica es lineal 2 x + 3 y = 7 Sí Determine si la ecuación algebraica es lineal 6 x 2 - y = 5 Determine si la función es creciente o decreciente. f ( x ) = 7 x - 2 Creciente. Determine si la función es creciente o decreciente. g ( x ) = - x + 2 Dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones dadas si es posible. Pasa por ( 7 , 5 ) y ( 3 , 17 ) y = - 3 x + 26 Dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones dadas si es posible. intersección en x en ( 6 , 0 ) e intersección en y en ( 0 , 1 0 ) Halle la pendiente de la línea que se muestra en el gráfico lineal. 3 Halle la pendiente de la recta graficada. Escriba una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea mostrada. y = 2 x - 2 ¿La siguiente tabla representa una función lineal? Si es así, halle la ecuación lineal que modela los datos. x -4 0 2 10 g ( x ) 18 -2 –12 –52 ¿La siguiente tabla representa una función lineal? Si es así, halle la ecuación lineal que modela los datos. x 6 8 12 26 g ( x ) –8 –12 –18 –46 No es lineal. El 1. o de junio, una empresa tiene 4.000.000 de dólares en beneficio. Si a partir de entonces la empresa pierde 150.000 dólares al día durante el mes de junio, ¿cuál es el beneficio de la empresa al enésimo día después del 1. o de junio? Gráficos de funciones lineales En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: 2 x - 6 y = 12 − x + 3 y = 1 paralelas y = 1 3 x - 2 3 x + y = - 9 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de la ecuación dada 7 x + 9 y = -63 ( -9 , 0 ) ; ( 0 , –7 ) f ( x ) = 2 x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de los pares de líneas para hallar las pendientes de la Línea 1 y la Línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( 5 , 11 ) y ( 10 , 1 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , 3 ) y ( −5 , 11 ) Línea 1: m = - 2 ; Línea 2: m = - 2 ; Paralela Línea 1: Pasa por ( 8 , –10 ) y ( 0 , -26 ) Línea 2: Pasa por ( 2 , 5 ) y ( 4 , 4 ) Escriba la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 5 x – 1 y que pasa por el punto (5, 20). y = − 0,2 x + 21 Halle la ecuación de una línea con intersección en y de ( 0 , 2 ) y pendiente − 1 2 . Dibuje un gráfico de la función lineal f ( t ) = 2 t − 5 . Halle el punto de intersección de las 2 funciones lineales: x = y + 6 2 x - y = 13 Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 25 dólares por día y 10 céntimos por milla. Plan B: 50 dólares por día con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? 250. Modelado con funciones lineales Calcule el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 10 - 2 x y la línea perpendicular a f que pasa por el origen. La población de una ciudad aumenta a un ritmo constante. En 2010 la población era de 55.000 habitantes. En 2012 la población había aumentado a 76.000 habitantes. Si esta tendencia se mantiene, haga un pronóstico de la población en 2016. 118.000. El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 50 cada año desde 2004 hasta 2010. En 2004, 875 personas fueron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . ¿Cuándo no se contagiará nadie? En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, x , donde x representa los años desde 1980. Halle la función lineal y , donde y depende de x , el número de años desde 1980. y = - 3 00 x + 11 , 5 00 Halle e interprete la intersección en y . En el siguiente ejercicio, considere esta situación: En 2004, la población escolar era de 1.700 personas. En 2012 la población había crecido hasta las 2.500 personas. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2012? Ⓑ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓒ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después de 2004. a) 800 b) 100 estudiantes por año c) P ( t ) = 100 t + 1.700 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: En el año 2000, la población de alces en el parque se midió en 6.500 ejemplares. En 2010, la población se contabilizó en 12.500 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente. Halle una fórmula para la población de alces, P . ¿Cuál es la población de alces que su modelo predice para 2020? 18,500 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La mediana de los valores de las viviendas en las subdivisiones Pima Central y East Valley (ajustados a la inflación) se muestra en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Pima Central East Valley 1970 32.000 120.250 2010 85.000 150.000 ¿En qué subdivisión ha aumentado más el valor de la vivienda? Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Pima Central en 2015? $91.625 Ajuste de modelos lineales a los datos Dibuje un gráfico de dispersión para los datos en la . A continuación, determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. 0 2 4 6 8 10 –105 –50 1 55 105 160 Dibuje un gráfico de dispersión para los datos en la . Si quisiéramos saber cuándo llegará la población a los 15.000 habitantes, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Año Población 1990 5.600 1995 5.950 2000 6.300 2005 6.600 2010 6.900 Extrapolación. Se pidió a ocho estudiantes que estimaran su puntuación en un examen de 10 puntos. Sus puntuaciones estimadas y reales figuran en la . Trace los puntos y luego dibuje una línea que se ajuste a los datos. Predicción Real 6 6 7 7 7 8 8 8 7 9 9 10 10 10 10 9 Dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados En los siguientes ejercicios, considere los datos en la , donde se muestra el porcentaje de desempleados en una ciudad de residentes mayores de 25 años de edad que son graduados universitarios, y que se ofrece a continuación, por año. Año 2000 2002 2005 2007 2010 Porcentaje de graduados 6,5 7,0 7,4 8,2 9,0 Determine si la tendencia parece ser lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia continúa, halle un modelo de regresión lineal para predecir el porcentaje de desempleados en un año determinado, a tres decimales. ¿En qué año el porcentaje superará el 12 %? A mediados de 2024. Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación a tres decimales. x 17 20 23 26 29 y 15 25 31 37 40 Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación a tres decimales. x 10 12 15 18 20 y 36 34 30 28 22 y = − 1,294 x + 49,412 ; r = − 0,974 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año en un período de diez años (población, año) para determinados años registrados: (3.600, 2000); (4.000, 2001); (4.700, 2003); (6.000, 2006) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población, a tres decimales de exactitud. Pronostique cuándo la población alcanzará los 12.000 habitantes. A principios de 2022 ¿Cuál es el coeficiente de correlación de este modelo a tres decimales de exactitud? Según el modelo, ¿cuál es la población en 2014? 7,660 Prueba de práctica Determine si la siguiente ecuación algebraica puede escribirse como una función lineal. 2 x + 3 y = 7 Sí. Determine si la siguiente función es creciente o decreciente f ( x ) = - 2 x + 5 Determine si la siguiente función es creciente o decreciente f ( x ) = 7 x + 9 Creciente Dada la siguiente información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. Pasa por (5, 1) y (3, –9) Dada la siguiente información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. intersección en x en (-4, 0) e intersección en y en (0, -6) y = -1,5 x - 6 Halle la pendiente de la línea en la . Escriba una ecuación para la línea en . y = - 2 x – 1 ¿La representa una función lineal? Si es así, halle una ecuación lineal que modele los datos. x -6 0 2 4 g ( x ) 14 32 38 44 ¿La representa una función lineal? Si es así, halle una ecuación lineal que modele los datos. x 1 3 7 11 g ( x ) 4 9 19 12 No. A las 6 de la mañana, una empresa online ha vendido 120 artículos ese día. Si la empresa vende un promedio de 30 artículos por hora durante el resto del día, escriba una expresión que represente el número de artículos vendidos n después de las 6 de la mañana. En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: y = 3 4 x - 9 - 4 x - 3 y = 8 Perpendiculares - 2 x + y = 3 3 x + 3 2 y = 5 Halle las intersecciones en x y en y de la ecuación 2 x + 7 y = − 14. ( − 7 , 0 ) ; ( 0 , - 2 ) A continuación se describen dos líneas. Halle las pendientes de la Línea 1 y de la Línea 2. ¿El par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( –2 , –6 ) y ( 3 , 14 ) Línea 2: Pasa por ( 2 , 6 ) y ( 4 , 14 ) Escriba la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 4 x + 3 y que pasa por el punto ( 8 , 10 ) . y = − 0,25 x + 12 Dibuje una línea con una intersección en y de ( 0 , 5 ) y pendiente − 5 2 . Gráfico de la función lineal f ( x ) = −x + 6 . En las dos funciones lineales, halle el punto de intersección: x = y + 2 2 x - 3 y = –1 Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 25 dólares por día y 0,10 dólares por milla. Plan B: 40 dólares al día con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? 150 Calcule el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 12 - 4 x y la línea perpendicular a f que pasa por el origen. La población de una ciudad aumenta a un ritmo constante. En 2010 la población era de 65.000 habitantes. En 2012 la población había aumentado a 90.000 habitantes. Suponiendo que esta tendencia continúe, prediga la población en 2018. 165,000 El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo constantemente en 25 cada año desde 2002 hasta 2012. En 2002, 8.040 personas fueron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . ¿Cuándo se contagiarán menos de 6.000 personas? En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, x , donde x representa los años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de x , el número de años desde 1980. y = 875 x + 10 , 675 Halle e interprete la intersección en y . En 2004, la población escolar era de 1.250 estudiantes. En 2012 la población había descendido a 875 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto descendió la población escolar entre el año 2004 y 2012? Ⓑ ¿Cuál es el descenso promedio de la población escolar por año? Ⓒ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después de 2004. a) 375 b) ha bajado un promedio de 46.875 estudiantes, es decir, unos 47 estudiantes al año c) y = − 46.875 t + 1.250 Dibuje un gráfico de dispersión para los datos que se suministran en la . A continuación, determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. 0 2 4 6 8 10 –450 –200 10 265 500 755 Dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados En los siguientes ejercicios, utilice la , que muestra el porcentaje de desempleados mayores de 25 años que son graduados universitarios en una ciudad en particular, por año. Año 2000 2002 2005 2007 2010 Porcentaje de graduados 8,5 8,0 7,2 6,7 6,4 Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia continúa, halle un modelo de regresión lineal para predecir el porcentaje de desempleados en un año determinado, a tres decimales. ¿En qué año caerá el porcentaje por debajo del 4 % ? A principios de 2018 Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación. Redondee a tres decimales de exactitud. x 16 18 20 24 26 y 106 110 115 120 125 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población (en centenas) y el año en el lapso de diez años, (población, año) para determinados años registrados: (4.500, 2000); (4.700, 2001); (5.200, 2003); (5.800, 2006) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población. Redondee a tres decimales de exactitud. y = 0,00455 x + 1.979,5 Prediga cuándo llegará la población a los 20.000 habitantes. ¿Cuál es el coeficiente de correlación de este modelo? r = 0,999 coeficiente de correlación un valor, r , entre -1 y 1 que indica el grado de correlación lineal de las variables, o lo mucho que se ajusta una línea de regresión a un conjunto de datos. extrapolación predecir un valor fuera del dominio y del rango de los datos interpolación predecir un valor dentro del dominio y el rango de los datos regresión de mínimos cuadrados técnica estadística para ajustar una línea a los datos de manera que se minimicen las diferencias entre la línea y los valores de los datos ruptura del modelo cuando un modelo deja de aplicarse a partir de cierto momento", "section": "Ajuste de modelos lineales a los datos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Ya sea que lo piensen en términos matemáticos o no, los buceadores deben considerar el impacto de las relaciones funcionales para mantenerse seguros. Las leyes de los gases, que son una serie de relaciones y ecuaciones que describen el comportamiento de la mayoría de los gases, desempeñan un papel fundamental en el buceo. Este buceador, cerca de los restos de un transatlántico japonés de la Segunda Guerra Mundial convertido en transporte de tropas, debe permanecer atento a las leyes de los gases durante su inmersión y mientras asciende a la superficie (créditos: \"Aikoku - Aft Gun\": modificación del trabajo de montereydiver/flickr). No hace falta sumergirse mucho para sentir los efectos de la presión. Cuando una persona en la piscina de su vecindario se desplaza ocho, diez, veinte pies hacia abajo, suele sentir dolor en los oídos como consecuencia de las diferenciales de presión del agua y del aire. La presión desempeña un papel mucho más importante en las profundidades de buceo del océano. Los buceadores con escafandra autónoma y en apnea negocian constantemente los efectos de la presión para experimentar inmersiones agradables, seguras y productivas. Los gases del sistema respiratorio y del aparato de buceo de una persona interactúan según ciertas propiedades físicas, que al ser descubiertas y evaluadas se conocen colectivamente como las leyes de los gases. Algunas son conceptualmente sencillas, como la relación inversa entre presión y volumen, y otras son más complejas. Aunque sus fórmulas parecen más sencillas que muchas de las que se encontrarán en este capítulo, las leyes de los gases son generalmente expresiones polinómicas.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Números complejos El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como x 2 + 4 = 0 Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él. Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario . El número imaginario i se define como la raíz cuadrada de 1 negativo. − 1 = i Entonces, con las propiedades de los radicales, i 2 = ( - 1 ) 2 = - 1 Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de i . Considere la raíz cuadrada de –25. − 25 = 25 ⋅ ( - 1 ) = 25 − 1 = 5 i Utilizamos 5 i y no − 5 i porque la raíz principal de 25 es la raíz positiva. Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe a + b i donde a es la parte real y b i es la parte imaginaria. Por ejemplo, 5 + 2 i es un número complejo. También lo es 3 + 4 3 i . Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios. Una etiqueta de nota general Números imaginarios y complejos Un número complejo es un número de la forma a + b i donde a es la parte real del número complejo. b i es la parte imaginaria del número complejo. Si los valores de b = 0 , entonces a + b i es un número real. Si los valores de a = 0 y b no es igual a 0, el número complejo recibe el nombre de número imaginario . Un número imaginario es la raíz par de un número negativo. Elemento Cómo Dado un número imaginario, expresarlo en forma estándar. Escriba − a cuando a - 1 . Exprese − 1 cuando i . Escriba a ⋅ i en la forma más sencilla. Expresar un número imaginario en forma estándar Exprese − 9 en forma estándar. − 9 = 9 - 1 = 3 i En forma estándar, esto es 0 + 3 i . Elemento Ejercicio Exprese − 24 en forma estándar. − 24 = 0 + 2 i 6 Trazar un número complejo en el plano complejo No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo , que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados ( a , b ) , donde a representa la coordenada del eje horizontal y b representa la coordenada del eje vertical. Consideremos el número −2 + 3 i . La parte real del número complejo es −2 y la parte imaginaria es 3 i . Trazamos el par ordenado ( –2 , 3 ) para representar el número complejo −2 + 3 i como se muestra en la . Una etiqueta de nota general Plano complejo En el plano complejo , el eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la . Elemento Cómo Dado un número complejo, representar sus componentes en el plano complejo. Determine la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Muévase por el eje horizontal para mostrar la parte real del número. Muévase en paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número. Trace el punto. Trazar un número complejo en el plano complejo Trace el número complejo 3 - 4 i en el plano complejo. La parte real del número complejo es 3 , y la parte imaginaria es -4 i . Trazamos el par ordenado ( 3 , –4 ) como se muestra en la . Etiqueta Ejercicio Trace el número complejo -4 − i en el plano complejo. Sumar y restar números complejos Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias. Una etiqueta de nota general Números complejos: suma y resta Sumar números complejos: ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Restar números complejos: ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b − d ) i Elemento Cómo Dados dos números complejos, hallar la suma o la diferencia. Identifique las partes real e imaginaria de cada número. Sume o reste las partes reales. Sume o reste las partes imaginarias. Sumar números complejos Añadir 3 - 4 i y 2 + 5 i . Sumamos las partes reales y las partes imaginarias. ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( 3 - 4 i ) + ( 2 + 5 i ) = ( 3 + 2 ) + ( - 4 + 5 ) i = 5 + i Elemento Ejercicio Reste 2 + 5 i a partir de 3 – 4 i . ( 3 - 4 i ) - ( 2 + 5 i ) = 1 - 9 i Multiplicar números complejos Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado. Multiplicar un número complejo por un número real Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo, Elemento Cómo Dado un número complejo y un número real, multiplicar para hallar el producto. Utilice la propiedad distributiva. Simplifique. Multiplicar un número complejo por un número real Halle el producto 4 ( 2 + 5 i ) . Distribuya el 4. 4 ( 2 + 5 i ) = ( 4 ⋅ 2 ) + ( 4 ⋅ 5 i ) = 8 + 20 i Elemento Ejercicio Halle el producto − 4 ( 2 + 6 i ) . − 8 − 24 i Multiplicar números complejos juntos Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 Ya que i 2 = - 1 , tenemos ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i − b d Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias. ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i Elemento Cómo Dados dos números complejos, multiplicar para hallar el producto. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL. Simplifique. Multiplicar un número complejo por otro número complejo Multiplique ( 4 + 3 i ) ( 2 - 5 i ) . Utilice ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ( 4 + 3 i ) ( 2 - 5 i ) = ( 4 ⋅ 2 - 3 ⋅ ( - 5 ) ) + ( 4 ⋅ ( - 5 ) + 3 ⋅ 2 ) i = ( 8 + 15 ) + ( − 20 + 6 ) i = 23 − 14 i Elemento Ejercicio Multiplique ( 3 - 4 i ) ( 2 + 3 i ) . 18 + i Dividir números complejos La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de a + b i es a - b i . Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de a + b i es a - b i , y el conjugado complejo de a - b i es a + b i . Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí. Supongamos que queremos dividir c + d i entre a + b i , donde ni a ni b son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos. c + d i a + b i donde a ≠ 0 y b ≠ 0 Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. ( c + d i ) ( a + b i ) ⋅ ( a - b i ) ( a - b i ) = ( c + d i ) ( a - b i ) ( a + b i ) ( a - b i ) Aplicamos la propiedad distributiva. = c a - c b i + a d i − b d i 2 a 2 - a b i + a b i − b 2 i 2 Simplificamos, recordando que i 2 = −1. = c a - c b i + a d i − b d ( - 1 ) a 2 - a b i + a b i − b 2 ( - 1 ) = ( c a + b d ) + ( a d − c b ) i a 2 + b 2 Una etiqueta de nota general El conjugado complejo El conjugado complejo de un número complejo a + b i es a - b i . Se halla al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica. Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real. Cuando un número complejo se suma a su conjugado complejo, el resultado es un número real. Hallar conjugados complejos Halle el conjugado complejo de cada número. Ⓐ 2 + i 5 Ⓑ - 1 2 i Ⓐ El número ya está en la forma a + b i . El conjugado complejo es a - b i , o 2 − i 5 . Ⓑ Podemos reescribir este número en la forma a + b i cuando 0 - 1 2 i . El conjugado complejo es a - b i , o 0 + 1 2 i . Esto se puede escribir sencillamente como 1 2 i . Análisis Aunque hemos visto que podemos hallar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente lo hallamos únicamente de números complejos con una componente real y otra imaginaria. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, basta con multiplicar por i . Elemento Cómo Dados dos números complejos, dividir uno entre el otro. Escriba el problema de división como una fracción. Determine el conjugado complejo del denominador. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador. Simplifique. Dividir números complejos Divida ( 2 + 5 i ) entre ( 4 − i ) . Comenzamos por escribir el problema como una fracción. ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) Luego multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) ⋅ ( 4 + i ) ( 4 + i ) Para multiplicar dos números complejos, expandimos el producto como lo haríamos con los polinomios (el proceso llamado FOIL). ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) ⋅ ( 4 + i ) ( 4 + i ) = 8 + 2 i + 20 i + 5 i 2 16 + 4 i - 4 i − i 2 = 8 + 2 i + 20 i + 5 ( - 1 ) 16 + 4 i - 4 i - ( - 1 ) Ya que i 2 = - 1 = 3 + 22 i 17 = 3 17 + 22 17 i Separe las partes real e imaginaria . Observe que esto expresa el cociente en forma estándar. Sustituir un número complejo en una función polinómica Supongamos que f ( x ) = x 2 - 5 x + 2. Evalúe f ( 3 + i ) . Sustituya x = 3 + i en la función f ( x ) = x 2 - 5 x + 2 y simplifique. Análisis Escribimos f ( 3 + i ) = −5 + i . Observe que la entrada es 3 + i y la salida es −5 + i . Elemento Ejercicio Supongamos que f ( x ) = 2 x 2 - 3 x . Evalúe f ( 8 − i ) . 102 − 29 i Sustituir un número imaginario en una función racional Supongamos que f ( x ) = 2 + x x + 3 . Evalúe f ( 10 i ) . Sustituya x = 10 i y simplifique. 2 + 10 i 10 i + 3 Sustituya 10 i para x . 2 + 10 i 3 + 10 i Reescriba el denominador en forma estándar . 2 + 10 i 3 + 10 i ⋅ 3 – 10 i 3 – 10 i Prepárese para multiplicar el numerador y denominador por el conjugado complejo del denominador . 6 – 20 i + 30 i – 100 i 2 9 – 30 i + 30 i – 100 i 2 Multiplique utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL . 6 – 20 i + 30 i – 100 ( – 1 ) 9 – 30 i + 30 i – 100 ( – 1 ) Sustituya –1 por i 2 . 106 + 10 i 109 Simplifique . 106 109 + 10 109 i Separe las partes real e imaginaria . Elemento Ejercicio Supongamos que f ( x ) = x + 1 x - 4 . Evalúe f ( - i ) . - 3 17 + 5 i 17 Simplificar las potencias de i Las potencias de i son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos i a potencias crecientes. i 1 = i i 2 = - 1 i 3 = i 2 ⋅ i = - 1 ⋅ i = - i i 4 = i 3 ⋅ i = - i ⋅ i = - i 2 = - ( - 1 ) = 1 i 5 = i 4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de i , es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando i por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de i . i 6 = i 5 ⋅ i = i ⋅ i = i 2 = - 1 i 7 = i 6 ⋅ i = i 2 ⋅ i = i 3 = - i i 8 = i 7 ⋅ i = i 3 ⋅ i = i 4 = 1 i 9 = i 8 ⋅ i = i 4 ⋅ i = i 5 = i Simplificar las potencias de i Evalúe i 35 . Dado que i 4 = 1 , podemos simplificar el problema al factorizar tantos factores de i 4 como sea posible. Para ello, primero hay que determinar cuántas veces va 4 en 35 35 = 4 ⋅ 8 + 3. i 35 = i 4 ⋅ 8 + 3 = i 4 ⋅ 8 ⋅ i 3 = ( i 4 ) 8 ⋅ i 3 = 1 8 ⋅ i 3 = i 3 = - i Elemento Preguntas y respuestas ¿Podemos escribir i 35 en otras formas útiles? Como vimos en el , redujimos i 35 con i 3 al dividir el exponente entre 4 y utilizar el resto para dar con la forma simplificada. Quizás otra factorización de i 35 sería más conveniente. La muestra algunas otras factorizaciones posibles. Factorización de i 35 i 34 ⋅ i i 33 ⋅ i 2 i 31 ⋅ i 4 i 19 ⋅ i 16 Forma reducida ( i 2 ) 17 ⋅ i i 33 ⋅ ( - 1 ) i 31 ⋅ 1 i 19 ⋅ ( i 4 ) 4 Forma simplificada ( - 1 ) 17 ⋅ i - i 33 i 31 i 19 Cada uno de ellos acabará dando la respuesta que hemos obtenido anteriormente, pero puede que se necesiten varios pasos más que nuestro método anterior. Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los números complejos. Suma y resta de números complejos Multiplicación de números complejos Multiplicación de conjugados complejos Elevación de la i a las potencias Conceptos clave La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como múltiplo de i . Vea el . Para representar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Vea el . Los números complejos se pueden sumar y restar al combinar las partes reales y las partes imaginarias. Vea el . Los números complejos se pueden multiplicar y dividir. Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Vea el , el y el . Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Vea el , el y el . Las potencias de i son cíclicas, pues se repiten cada cuatro. Vea el . Verbales Explique cómo sumar números complejos. Sume las partes reales y las partes imaginarias. ¿Cuál es el principio básico de la multiplicación de los números complejos? Dé un ejemplo para demostrar que el producto de dos números imaginarios no siempre es imaginario. i veces i es igual a –1, que no es imaginario. (Las respuestas varían). ¿Cuál es la característica del trazado de un número real en el plano complejo? Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas. Si f ( x ) = x 2 + x - 4 , evaluar f ( 2 i ) . − 8 + 2 i Si f ( x ) = x 3 - 2 , evaluar f ( i ) . Si f ( x ) = x 2 + 3 x + 5 , evaluar f ( 2 + i ) . 14 + 7 i Si f ( x ) = 2 x 2 + x - 3 , evaluar f ( 2 - 3 i ) . Si f ( x ) = x + 1 2 - x , evaluar f ( 5 i ) . − 23 29 + 15 29 i Si f ( x ) = 1 + 2 x x + 3 , evaluar f ( 4 i ) . Gráficos En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada. 2 reales y 0 no reales En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo. 1 - 2 i - 2 + 3 i i - 3 - 4 i Numéricos En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado. ( 3 + 2 i ) + ( 5 - 3 i ) 8 − i ( – 2 - 4 i ) + ( 1 + 6 i ) ( - 5 + 3 i ) - ( 6 − i ) − 11 + 4 i ( 2 - 3 i ) - ( 3 + 2 i ) ( - 4 + 4 i ) - ( − 6 + 9 i ) 2 - 5 i ( 2 + 3 i ) ( 4 i ) ( 5 - 2 i ) ( 3 i ) 6 + 15 i ( 6 - 2 i ) ( 5 ) ( – 2 + 4 i ) ( 8 ) − 16 + 32 i ( 2 + 3 i ) ( 4 − i ) ( - 1 + 2 i ) ( – 2 + 3 i ) - 4 - 7 i ( 4 – 2 i ) ( 4 + 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) 25 3 + 4 i 2 6 - 2 i 3 2 - 2 3 i - 5 + 3 i 2 i 6 + 4 i i 4 − 6 i 2 - 3 i 4 + 3 i 3 + 4 i 2 − i 2 5 + 11 5 i 2 + 3 i 2 - 3 i − 9 + 3 − 16 15 i − − 4 - 4 − 25 2 + − 12 2 1 + i 3 4 + − 20 2 i 8 1 i 15 i 22 - 1 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas. Evalúe ( 1 + i ) k para k = 4, 8 y 12 . Prediga el valor si k = 16. Evalúe ( 1 − i ) k para k = 2, 6 y 10 . Prediga el valor si k = 14. 128i Evalúe ( 1 + i ) k - ( 1 − i ) k para k = 4, 8 y 12 . Prediga el valor de k = 16. Demuestre que una solución de x 6 + 1 = 0 es 3 2 + 1 2 i . ( 3 2 + 1 2 i ) 6 = - 1 Demuestre que una solución de x 8 - 1 = 0 es 2 2 + 2 2 i . Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado. 1 i + 4 i 3 3 i 1 i 11 - 1 i 21 i 7 ( 1 + i 2 ) 0 i −3 + 5 i 7 ( 2 + i ) ( 4 – 2 i ) ( 1 + i ) 5 – 5i ( 1 + 3 i ) ( 2 - 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 3 + i ) 2 ( 1 + 2 i ) 2 - 2 i 3 + 2 i 2 + i + ( 4 + 3 i ) 4 + i i + 3 - 4 i 1 − i 9 2 - 9 2 i 3 + 2 i 1 + 2 i - 2 - 3 i 3 + i conjugado complejo el número complejo en el que se cambia el signo de la parte imaginaria y se deja inalterada la parte real del número; cuando se suma o multiplica por el número complejo original, el resultado es un número real número complejo la suma de un número real y un número imaginario, escrita en la forma estándar a + b i , donde a es la parte real, y b i es la parte imaginaria plano complejo un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal se utiliza para representar la parte real de un número complejo y el eje vertical se utiliza para representar la parte imaginaria número imaginario un número en la forma b i donde i = - 1", "section": "Números complejos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones cuadráticas Conjunto de antenas parabólicas (créditos: Matthew Colvin de Valle, Flickr) Las antenas curvas, como las que se muestran en la , se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática. En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones. Reconocer las características de las parábolas El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola . Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice . Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo . En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría . Estas características se ilustran en la . La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y . Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x . Si existen, las intersecciones en x representan los ceros , o raíces , de la función cuadrática, los valores de x en los que y = 0 . Identificar las características de una parábola Determine el vértice, el eje de simetría, los ceros y la intersección en y de la parábola que se muestra en la . El vértice es el punto de inflexión del gráfico. Podemos ver que el vértice está en ( 3 , 1 ) . Como esta parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es la línea vertical que interseca la parábola en el vértice. Así que el eje de simetría es x = 3. Esta parábola no cruza el eje x , por lo que no tiene ceros. Atraviesa el eje y en ( 0 , 7 ) así que esta es la intersección y . Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 . Si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría. El eje de simetría está definido por x = - b 2 a . Si utilizamos la fórmula cuadrática, x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , para resolver a x 2 + b x + c = 0 para las intersecciones en x , o ceros, hallamos que el valor de x a mitad de camino siempre es x = - b 2 a , la ecuación del eje de simetría. La representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como y = x 2 + 4 x + 3. En esta forma, a = 1 , b = 4 , y c = 3. Dado que a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es x = – 4 2 ( 1 ) = − 2. Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical x = - 2 divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, ( – 2 , - 1 ) . La intersección en x , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje x , se producen en ( - 3 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) . La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k donde ( h , k ) es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática . Al igual que con la forma general, si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como y = −3 ( x + 2 ) 2 + 4. Dado que x – h = x + 2 en este ejemplo, h = –2. En esta forma, a = −3 , h = –2 , y k = 4. Dado que a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en ( – 2 , 4 ) . La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de y = x 2 . La es el gráfico de esta función básica. Si los valores de k > 0 , el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si k < 0 , el gráfico se desplaza hacia abajo. En la , k > 0 , por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de h > 0 , el gráfico se desplaza hacia la derecha y si h < 0 , el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la , h < 0 , para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de a indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de | a | > 1 , el punto asociado a un determinado valor de x se desplaza más lejos del eje x , por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si | a | < 1 , el punto asociado a un determinado valor de x se desplaza más cerca del eje x , por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la , | a | > 1 , por lo que el gráfico se estrecha. La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar. a ( x - h ) 2 + k = a x 2 + b x + c a x 2 - 2 a h x + ( a h 2 + k ) = a x 2 + b x + c Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales. -2 a h = b , por lo que h = - b 2 a . Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes: a h 2 + k = c k = c - a h 2 = c - a ( − b 2 a ) 2 = c − b 2 4 a En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es h , por lo que f ( h ) = k . Formas de las funciones cuadráticas La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 . La forma estándar de la función cuadrática es f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k . El vértice ( h , k ) está localizado en h = – b 2 a , k = f ( h ) = f ( − b 2 a ) . Cómo Dado el gráfico de una función cuadrática, escribir la ecuación de la función en forma general. Identifique el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es h . Identifique el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es k . Sustituya los valores del desplazamiento horizontal y vertical por h y k . en la función f ( x ) = a ( x – h ) 2 + k . Sustituya los valores de cualquier punto, distinto del vértice, del gráfico de la parábola por x y f ( x ) . Resuelva el factor de estiramiento, | a | . Si la parábola se abre hacia arriba, a > 0 . Si la parábola se abre hacia abajo, a < 0 ya que esto significa que el gráfico se reflejó alrededor del eje x . Amplíe y simplifique para escribir en forma general. Escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico Escriba una ecuación para la función cuadrática g en la como transformación de f ( x ) = x 2 , luego expanda la fórmula y simplifique los términos para escribir la ecuación en forma general. Podemos ver que el gráfico de g es el de f ( x ) = x 2 desplazado a la izquierda 2 y abajo 3, lo que lo que arroja una fórmula de la forma g ( x ) = a ( x + 2 ) 2 – 3. Sustituyendo las coordenadas de un punto de la curva, como ( 0 , –1 ) , podemos resolver el factor de estiramiento. − 1 = a ( 0 + 2 ) 2 - 3 2 = 4 a a = 1 2 En forma estándar, el modelo algebraico de este gráfico es g ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 – 3. Para escribir esto en forma polinómica general, podemos expandir la fórmula y simplificar los términos. g ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 - 3 = 1 2 ( x + 2 ) ( x + 2 ) - 3 = 1 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) - 3 = 1 2 x 2 + 2 x + 2 - 3 = 1 2 x 2 + 2 x – 1 Observe que los desplazamientos horizontal y vertical en el gráfico básico de la función cuadrática determinan la ubicación del vértice de la parábola; el vértice no resulta afectado por el estiramiento y la compresión. Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con la función de tabla en una herramienta gráfica. Primero ingrese Y1 = 1 2 ( x + 2 ) 2 - 3. Después, seleccione TBLSET, y luego utilice TblStart = – 6 y Δ Tbl = 2, y seleccione TABLE . Vea la . x -6 -4 -2 0 2 y 5 -1 -3 -1 5 Los pares ordenados en la tabla corresponden a los puntos del gráfico. Ejercicio Se ha superpuesto una cuadrícula de coordenadas sobre la trayectoria cuadrática de un balón de baloncesto en la . Halle una ecuación para la trayectoria del balón. ¿El lanzador encesta? (créditos: modificación de la obra de Dan Meyer) La trayectoria pasa por el origen y tiene el vértice en ( - 4 , 7 ) , tal que ( h ) x = – 7 16 ( x + 4 ) 2 + 7. Para hacer el lanzamiento, h ( − 7,5 ) tendría que ser de unos 4 pero h ( – 7,5 ) ≈ 1,64 ; no lo consigue. Cómo Dada una función cuadrática en forma general, hallar el vértice de la parábola. Identifique a , b , y c . Halle h , la coordenada de la x del vértice, al sustituir a y b en h = – b 2 a . Halle k , la coordenada de la y del vértice, al evaluar k = f ( h ) = f ( − b 2 a ) . Hallar el vértice de una función cuadrática Halle el vértice de la función cuadrática f ( x ) = 2 x 2 – 6 x + 7. Reescriba la cuadrática en forma estándar (forma de vértice). La coordenada horizontal del vértice estará en h = – b 2 a = – – 6 2 ( 2 ) = 6 4 = 3 2 La coordenada vertical del vértice estará en k = f ( h ) = f ( 3 2 ) = 2 ( 3 2 ) 2 - 6 ( 3 2 ) + 7 = 5 2 Al reescribir en forma estándar, el factor de estiramiento será el mismo que a en la cuadrática original. f ( x ) = a x 2 + b x + c f ( x ) = 2 x 2 - 6 x + 7 Utilizar el vértice para determinar el desplazamiento, f ( x ) = 2 ( x – 3 2 ) 2 + 5 2 Análisis Una de las razones por las que tal vez queramos identificar el vértice de la parábola es que este punto nos informará de dónde se produce el valor máximo o mínimo de la salida, ( k ), y dónde se produce, ( x ) . Ejercicio Dada la ecuación g ( x ) = 13 + x 2 - 6 x , escriba la ecuación en forma general y luego en forma estándar. g ( x ) = x 2 - 6 x + 13 en forma general; g ( x ) = ( x - 3 ) 2 + 4 en forma estándar Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Dominio y rango de la función cuadrática El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. El rango de una función cuadrática escrita en forma general f ( x ) = a x 2 + b x + c con un valor positivo a es f ( x ) ≥ f ( − b 2 a ) , o [ f ( − b 2 a ) , ∞ ) . El rango de una función cuadrática escrita en forma general con un valor negativo a es f ( x ) ≤ f ( − b 2 a ) , o ( - ∞ , f ( − b 2 a ) ] . El rango de una función cuadrática escrita en forma estándar f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k con un valor positivo a es f ( x ) ≥ k ; el rango de una función cuadrática escrita en forma estándar con un valor negativo a es f ( x ) ≤ k . Cómo Dada una función cuadrática, hallar el dominio y el rango. Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales. Determine si a es positivo o negativo. Si los valores de a es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si los valores de a es negativo, la parábola tiene un máximo. Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, k . Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por f ( x ) ≥ k , o [ k , ∞ ) . Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por f ( x ) ≤ k , o ( - ∞ , k ] . Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática Halle el dominio y el rango de f ( x ) = - 5 x 2 + 9 x - 1. Como con cualquier función cuadrática, el dominio son todos los números reales. Dado que a es negativo, la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo. Tenemos que determinar el valor máximo. Podemos empezar por calcular el valor de la x del vértice. h = - b 2 a = - 9 2 ( - 5 ) = 9 10 El valor máximo viene dado por f ( h ) . f ( 9 10 ) = - 5 ( 9 10 ) 2 + 9 ( 9 10 ) - 1 = 61 20 El rango es f ( x ) ≤ 61 20 , o ( - ∞ , 61 20 ] . Ejercicio Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 ( x - 4 7 ) 2 + 8 11 . El dominio son todos los números reales. El rango es f ( x ) ≥ 8 11 , o [ 8 11 , ∞ ) . Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola . Podemos ver los valores máximos y mínimos en la . Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos. Hallar el valor máximo de una función cuadrática Una granjera de jardín quiere delimitar un espacio rectangular para un nuevo jardín dentro de su patio trasero cercado. Ha comprado 80 pies de cerca de alambre para delimitar tres lados, y utilizará una sección de cerca del patio trasero como el cuarto lado. Ⓐ Halle una fórmula para el área cercada si los lados de la cerca perpendicular a la existente tienen longitud L . Ⓑ ¿Qué dimensiones debería tener su jardín para maximizar la superficie cerrada? Utilicemos un diagrama como en la para registrar la información dada. También valdría la pena introducir una variable temporal, W , para representar la anchura del jardín y la longitud de la sección de la cerca paralela a la del patio. Ⓐ Sabemos que únicamente tenemos 80 pies de cerca disponible, y L + W + L = 80 , o en términos más sencillos, 2 L + W = 80. Esto nos permite representar la anchura, W , en términos de L . W = 80 − 2 L Ahora estamos preparados para escribir una ecuación para el área que encierra la cerca. Sabemos que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura, así que A = L W = L ( 80 − 2 L ) A ( L ) = 80 L − 2 L 2 Esta fórmula representa el área de la cerca en función de la longitud variable L . La función, escrita en forma general, es A ( L ) = - 2 L 2 + 80 L . La cuadrática tiene un coeficiente principal negativo, por lo que el gráfico se abrirá hacia abajo, y el vértice será el valor máximo del área. Al determinar el vértice, debemos tener cuidado porque la ecuación no está escrita en forma de polinomio estándar con potencias decrecientes. Por eso hemos reestructurado la función en forma general más arriba. Dado que a es el coeficiente del término al cuadrado, a = –2 , b = 80 y c = 0 . Para determinar el vértice: h = − 80 2 ( – 2 ) k = A ( 20 ) = 20 y = 80 ( 20 ) - 2 ( 20 ) 2 = 800 El valor máximo de la función es un área de 800 pies cuadrados, que se produce cuando L = 20 pies. Cuando los lados más cortos tienen 20 pies, quedan 40 pies de cerca para el lado más largo. Para maximizar la superficie, debería cerrar el jardín de manera que los dos lados más cortos tengan una longitud de 20 pies y el lado más largo, paralelo a la cerca existente, tenga una longitud de 40 pies. Análisis Este problema también podría resolverse al graficar la función cuadrática. Podemos ver dónde se produce el área máxima en un gráfico de la función cuadrática en la . Cómo Dada una aplicación que implique ingresos, utilizar una ecuación cuadrática para calcular el máximo. Escriba una ecuación cuadrática para los ingresos. Halle el vértice de la ecuación cuadrática. Determine el valor de y del vértice. Determinar el máximo de ingresos El precio unitario de un artículo incide en su oferta y demanda. Es decir, si el precio unitario sube, la demanda del artículo suele disminuir. Por ejemplo, un periódico local tiene actualmente 84.000 suscriptores con una tarifa trimestral de 30 dólares. Los estudios de mercado sugieren que, si los propietarios suben el precio a 32 dólares, perderán 5.000 suscriptores. Suponiendo que las suscripciones estén relacionadas linealmente con el precio, ¿qué precio debería cobrar el periódico por una suscripción trimestral para maximizar sus ingresos? Los ingresos son la cantidad de dinero que percibe una empresa. En este caso, los ingresos se calculan al multiplicar el precio por suscripción por el número de suscriptores, o la cantidad. Podemos introducir variables, p para el precio por abono y Q para la cantidad, lo que nos da la ecuación Ingresos = p Q . Debido a que el número de suscriptores cambia con el precio, tenemos que hallar una relación entre las variables. Sabemos que actualmente p = 30 y Q = 84 , 000. También sabemos que, si el precio sube a 32 dólares, el periódico perdería 5.000 suscriptores, lo que da un segundo par de valores, p = 32 y Q = 79 , 000. A partir de esto podemos hallar una ecuación lineal que relacione las dos cantidades. La pendiente será m = 79 , 000 − 84 , 000 32 − 30 = - 5 , 000 2 = - 2 , 500 Esto nos indica que el periódico perderá 2.500 suscriptores por cada dólar que suba el precio. Entonces podemos resolver la intersección en y . Q = -2.500 p + b Sustituya en el punto Q = 84.000 y p = 30 84.000 = -2.500 ( 30 ) + b Resuelva para b b = 159.000 Esto nos da la ecuación lineal Q = -2.500 p + 159.000 al relacionar costo y suscriptores. Ahora volvemos a nuestra ecuación de ingresos. Ingresos = p Q Ingresos = p ( –2.500 p + 159.000 ) Ingresos = –2.500 p 2 + 159.000 p Ahora tenemos una función cuadrática para los ingresos en función de la cuota de suscripción. Para calcular el precio que maximice los ingresos del periódico, podemos hallar el vértice. h = − 159.000 2 ( – 2.500 ) = 31 , 8 El modelo nos indica que los ingresos máximos se producirán si el periódico cobra 31,80 dólares por suscripción. Para saber cuál es el ingreso máximo, evaluamos la función de ingresos. máximo de ingresos = –2.500 ( 31 , 8 ) 2 + 159.000 ( 31 , 8 ) = 2.528.100 Análisis Esto también podría resolverse al graficar la cuadrática como en la . Podemos ver los ingresos máximos en un gráfico de la función cuadrática. Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en y de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en x en lugares donde la salida es cero. Observe en la que el número de intersecciones en x puede variar en función de la ubicación del gráfico. Número de intersecciones en x de una parábola Cómo Dada una función cuadrática f ( x ) , hallar las intersecciones en y y en x . Evalúe f ( 0 ) para hallar la intersección en y . Resuelva la ecuación cuadrática f ( x ) = 0 para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones tanto en y como en x de una parábola Halle las intersecciones tanto en y como en x de la cuadrática f ( x ) = 3 x 2 + 5 x − 2. Hallamos la intersección en y al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = 3 ( 0 ) 2 + 5 ( 0 ) - 2 = - 2 Así que la intersección en y está en ( 0 , –2 ) . Para las intersecciones en x , hallamos todas las soluciones de f ( x ) = 0, 0 = 3 x 2 + 5 x - 2 En este caso, la cuadrática puede factorizarse fácilmente, lo que proporciona el método más simple para la solución. 0 = ( 3 x – 1 ) ( x + 2 ) 0 = 3 x – 1 0 = x + 2 x = 1 3 o x = - 2 Así que las intersecciones en x están en ( 1 3 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . Análisis Al graficar la función, podemos confirmar que el gráfico cruza el eje y en ( 0 , –2 ) . También podemos confirmar que el gráfico cruza el eje x en ( 1 3 , 0 ) y ( –2 , 0 ) . Ver la Reescribir cuadráticas en forma estándar En el , la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar. Cómo Dada una función cuadrática, hallar la intersección en x al reescribir en forma estándar . Sustituya a y b en h = - b 2 a . Sustituya x = h en la forma general de la función cuadrática para hallar k . Reescriba la cuadrática en forma estándar con h y k . Resuelva cuándo la salida de la función será cero para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones en x de una parábola Halle las intersecciones en x de la función cuadrática f ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 4. Comenzamos por resolver cuándo la salida será cero. 0 = 2 x 2 + 4 x - 4 Dado que la cuadrática no se factoriza fácilmente en este caso, resolvemos las intersecciones al reescribir primero la cuadrática en forma estándar. f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Sabemos que a = 2. Entonces resolvemos para h y k . h = - b 2 a k = f ( - 1 ) = – 4 2 ( 2 ) = 2 ( - 1 ) 2 + 4 ( - 1 ) - 4 = −1 = −6 Así que ahora podemos reescribir en forma estándar. f ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 - 6 Ahora podemos resolver cuándo la salida será cero. 0 = 2 ( x + 1 ) 2 - 6 6 = 2 ( x + 1 ) 2 3 = ( x + 1 ) 2 x + 1 = ± 3 x = - 1 ± 3 El gráfico tiene intersecciones en x en ( −1 - 3 , 0 ) y ( –1 + 3 , 0 ) . Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo al graficar la función dada en una herramienta gráfica y observar las intersecciones en x . Vea la . Ejercicio En otro Ejercicio , hallamos la forma estándar y general de la función g ( x ) = 13 + x 2 - 6 x . Ahora halle las intersecciones, tanto en y como en x (si las hay). Intersección en y en (0, 13). No hay intersecciones en x . Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática Resuelva x 2 + x + 2 = 0 . Empecemos por escribir la fórmula cuadrática: x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a . Al aplicar la fórmula cuadrática , identificamos los coeficientes a , b y c . Para la ecuación: x 2 + x + 2 = 0 , tenemos a = 1 , b = 1 , y c = 2. Al sustituir estos valores en la fórmula, tenemos: x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2 ) 2 ⋅ 1 = - 1 ± 1 - 8 2 = - 1 ± − 7 2 = - 1 ± i 7 2 Las soluciones de la ecuación son: − 1 + i 7 2 y - 1 − i 7 2 o − 1 2 + i 7 2 y - 1 2 − i 7 2 . Aplicar el vértice y las intersecciones en x de una parábola Una pelota es lanzada hacia arriba desde la parte alta de un edificio de 40 pies de altura a una velocidad de 80 pies por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede modelarse con la ecuación H ( t ) = - 16 t 2 + 80 t + 40. Ⓐ ¿Cuándo alcanza la pelota la altura máxima? Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la pelota? Ⓒ ¿Cuándo llega la pelota al suelo? Ⓐ La pelota alcanza la altura máxima en el vértice de la parábola. h = − 80 2 ( − 16 ) = 80 32 = 5 2 = 2,5 La pelota alcanza una altura máxima después de 2,5 segundos. Ⓑ Para hallar la altura máxima, hay que determinar la coordenada de la y en el vértice de la parábola. k = H ( − b 2 a ) = H ( 2,5 ) = −16 ( 2,5 ) 2 + 80 ( 2,5 ) + 40 = 140 La pelota alcanza una altura máxima de 140 pies. Ⓒ Para calcular el momento en que la pelota toca el suelo, tenemos que determinar cuándo la altura es cero, H ( t ) = 0 . Utilizamos la fórmula cuadrática. t = − 80 ± 80 2 - 4 ( − 16 ) ( 40 ) 2 ( − 16 ) = − 80 ± 8.960 − 32 Dado que la raíz cuadrada no se simplifica bien, podemos utilizar una calculadora para estimar los valores de las soluciones. t = − 80 − 8.960 − 32 ≈ 5,458 o t = − 80 + 8.960 − 32 ≈ − 0,458 La segunda respuesta está fuera del dominio razonable de nuestro modelo, por lo que concluimos que la pelota llegará al suelo después de unos 5,458 segundos. Ver la Ejercicio Una roca es lanzada hacia arriba desde la cima de un acantilado de 112 pies de altura con vistas al océano, a una velocidad de 96 pies por segundo. La altura de la roca sobre el océano puede modelarse con la ecuación H ( t ) = - 16 t 2 + 96 t + 112. Ⓐ ¿Cuándo alcanza la roca la altura máxima? Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la roca? Ⓒ ¿Cuándo llega la roca al océano? Ⓐ 3 segundos Ⓑ 256 pies Ⓒ 7 segundos Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las ecuaciones cuadráticas. Graficar funciones cuadráticas en forma general Graficar funciones cuadráticas en forma estándar Revisión de la función cuadrática Características de la función cuadrática Ecuaciones clave forma general de una función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c la fórmula cuadrática x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a forma estándar de una función cuadrática f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Conceptos clave La función polinómica de grado dos se denomina función cuadrática. El gráfico de una función cuadrática es una parábola. La parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en x , son los puntos en los que la parábola cruza el eje x . La intersección en y es el punto en el que la parábola cruza el eje y . Vea el , el y el . Las funciones cuadráticas suelen escribirse en forma general. La forma estándar o de vértice sirve para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las dos formas puede escribirse a partir de un gráfico. Vea el . El vértice se halla a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. Vea el . El dominio de la función cuadrática son todos los números reales. La gama varía según la función. Vea el . El valor mínimo o máximo de la función cuadrática viene dado por el valor de y del vértice. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de la función y para resolver muchos tipos de problemas del mundo real, incluso de área e ingresos. Vea el y el . Algunas ecuaciones cuadráticas deberán resolverse con la fórmula cuadrática. Vea el . El vértice y las intersecciones pueden identificarse e interpretarse para resolver problemas del mundo real. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la ventaja de escribir una función cuadrática en forma estándar. Cuando se escribe de esa forma, el vértice se identifica fácilmente. ¿Cómo se utiliza el vértice de una parábola para resolver problemas del mundo real? Explique por qué la condición de a ≠ 0 se impone en la definición de la función cuadrática. Si los valores de a = 0 entonces la función se convierte en una función lineal. ¿Cuál es otro nombre para la forma estándar de la función cuadrática? ¿Qué dos métodos algebraicos se pueden utilizar para hallar las intersecciones horizontales de la función cuadrática? Si es posible, podemos utilizar la factorización. Si no, podemos utilizar la fórmula cuadrática. Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice. f ( x ) = x 2 - 12 x + 32 g ( x ) = x 2 + 2 x - 3 g ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 4 , Vértice ( - 1 , - 4 ) f ( x ) = x 2 - x f ( x ) = x 2 + 5 x - 2 f ( x ) = ( x + 5 2 ) 2 − 33 4 , Vértice ( - 5 2 , − 33 4 ) h ( x ) = 2 x 2 + 8 x - 10 k ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 f ( x ) = 3 ( x – 1 ) 2 - 12 , Vértice ( 1 , − 12 ) f ( x ) = 2 x 2 - 6 x f ( x ) = 3 x 2 - 5 x – 1 f ( x ) = 3 ( x - 5 6 ) 2 − 37 12 , Vértice ( 5 6 , − 37 12 ) En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría. y ( x ) = 2 x 2 + 10 x + 12 f ( x ) = 2 x 2 - 10 x + 4 El mínimo es − 17 2 y se produce en 5 2 . El eje de simetría es x = 5 2 . f ( x ) = - x 2 + 4 x + 3 f ( x ) = 4 x 2 + x – 1 El mínimo es − 17 16 y se produce en − 1 8 . El eje de simetría es x = - 1 8 . h ( t ) = – 4 t 2 + 6 t - 1 f ( x ) = 1 2 x 2 + 3 x + 1 El mínimo es − 7 2 y se produce en − 3. El eje de simetría es x = − 3, f ( x ) = - 1 3 x 2 - 2 x + 3 En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática. f ( x ) = ( x - 3 ) 2 + 2 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ 2 , ∞ ) . f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) 2 - 6 f ( x ) = x 2 + 6 x + 4 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ − 5 , ∞ ) . f ( x ) = 2 x 2 - 4 x + 2 k ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ − 12 , ∞ ) . En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos. x 2 = − 25 x 2 = - 8 { 2 i 2 , - 2 i 2 } x 2 + 36 = 0 x 2 + 27 = 0 { 3 i 3 , - 3 i 3 } x 2 + 2 x + 5 = 0 x 2 - 4 x + 5 = 0 { 2 + i , 2 − i } x 2 + 8 x + 25 = 0 x 2 - 4 x + 13 = 0 { 2 + 3 i , 2 - 3 i } x 2 + 6 x + 25 = 0 x 2 - 10 x + 26 = 0 { 5 + i , 5 − i } x 2 - 6 x + 10 = 0 x ( x - 4 ) = 20 { 2 + 2 6 , 2 - 2 6 } x ( x - 2 ) = 10 2 x 2 + 2 x + 5 = 0 { - 1 2 + 3 2 i , - 1 2 - 3 2 i } 5 x 2 - 8 x + 5 = 0 5 x 2 + 6 x + 2 = 0 { − 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i } 2 x 2 - 6 x + 5 = 0 x 2 + x + 2 = 0 { - 1 2 + 1 2 i 7 , - 1 2 – 1 2 i 7 } x 2 - 2 x + 4 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice el vértice ( h , k ) y un punto en el gráfico ( x , y ) para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática. ( h , k ) = ( 2 , 0 ) , ( x , y ) = ( 4 , 4 ) f ( x ) = x 2 - 4 x + 4 ( h , k ) = ( –2 , –1 ) , ( x , y ) = ( -4 , 3 ) ( h , k ) = ( 0 , 1 ) , ( x , y ) = ( 2 , 5 ) f ( x ) = x 2 + 1 ( h , k ) = ( 2 , 3 ) , ( x , y ) = ( 5 , 12 ) ( h , k ) = ( - 5 , 3 ) , ( x , y ) = ( 2 , 9 ) f ( x ) = 6 49 x 2 + 60 49 x + 297 49 ( h , k ) = ( 3 , 2 ) , ( x , y ) = ( 10 , 1 ) ( h , k ) = ( 0 , 1 ) , ( x , y ) = ( 1 , 0 ) f ( x ) = - x 2 + 1 ( h , k ) = ( 1 , 0 ) , ( x , y ) = ( 0 , 1 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones. f ( x ) = x 2 - 2 x Vértice ( 1 , - 1 ) . El eje de simetría es x = 1. Las intersecciones son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . f ( x ) = x 2 - 6 x – 1 f ( x ) = x 2 - 5 x - 6 Vértice ( 5 2 , − 49 4 ) . El eje de simetría es x = 5 2 , : ( 6 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) . f ( x ) = x 2 - 7 x + 3 f ( x ) = - 2 x 2 + 5 x - 8 Vértice ( 5 4 , − 39 8 ) . El eje de simetría es x = 5 4 . Las intersecciones son ( 0 , − 8 ) . f ( x ) = 4 x 2 - 12 x - 3 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada. f ( x ) = x 2 - 4 x + 1 f ( x ) = - 2 x 2 + 8 x – 1 f ( x ) = 1 2 x 2 - 3 x + 7 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática. x -2 -1 0 1 2 y 5 2 1 2 5 f ( x ) = x 2 + 1 x -2 -1 0 1 2 y 1 0 1 4 9 x -2 -1 0 1 2 y -2 1 2 1 -2 f ( x ) = 2 - x 2 x -2 -1 0 1 2 y –8 -3 0 1 0 x -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 f ( x ) = 2 x 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta. Grafique en el mismo conjunto de ejes las funciones f ( x ) = x 2 , f ( x ) = 2 x 2 , y f ( x ) = 1 3 x 2 . ¿Cuál parece ser el efecto de cambiar el coeficiente? Gráfico en el mismo conjunto de ejes f ( x ) = x 2 , f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 2 , f ( x ) = x 2 + 5 y f ( x ) = x 2 - 3. ¿Cuál parece ser el efecto de sumar una constante? El gráfico se desplaza hacia arriba o hacia abajo (desplazamiento vertical). Gráfico en el mismo conjunto de ejes f ( x ) = x 2 , f ( x ) = ( x - 2 ) 2 , f ( x - 3 ) 2 , y f ( x ) = ( x + 4 ) 2 . ¿Cuál parece ser el efecto de sumar o restar esos números? La trayectoria de un objeto proyectado en un ángulo de 45 grados, a una velocidad inicial de 80 pies por segundo, viene dada por la función h ( x ) = − 32 ( 80 ) 2 x 2 + x donde x es la distancia horizontal recorrida y h ( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para determinar la altura del objeto cuando se haya alejado 100 pies en horizontal. 50 pies Un puente colgante puede modelarse con la función cuadrática h ( x ) = 0,0001 x 2 con la − 2.000 ≤ x ≤ 2.000 donde | x | es el número de pies desde el centro y h ( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para estimar a qué distancia del centro tiene el puente una altura de 100 pies. Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función. Vértice ( 1 , –2 ) , se abre hacia arriba. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ - 2 , ∞ ) . Vértice ( –1 , 2 ) se abre hacia abajo. Vértice ( −5 , 11 ) , se abre hacia abajo. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) El rango es ( - ∞ , 11 ] . Vértice ( -100 , 100 ) , se abre hacia arriba. En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada. Contiene ( 1 , 1 ) y tiene forma de f ( x ) = 2 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 2 x 2 – 1 Contiene ( –1 , 4 ) y tiene la forma de f ( x ) = 2 x 2 . El vértice está en el eje y . Contiene ( 2 , 3 ) y tiene la forma de f ( x ) = 3 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 3 x 2 - 9 Contiene ( 1 , −3 ) y tiene la forma de f ( x ) = - x 2 . El vértice está en el eje y . Contiene ( 4 , 3 ) y tiene la forma de f ( x ) = 5 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 5 x 2 − 77 Contiene ( 1 , –6 ) tiene la forma de f ( x ) = 3 x 2 . El vértice tiene una coordenada de la x de −1. Aplicaciones en el mundo real Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dados 200 pies de valla. 50 por 50 pies. Maximice f ( x ) = - x 2 + 100 x . Calcule las dimensiones del corral rectangular dividido en 2 corrales del mismo tamaño que produzcan la mayor área cerrada posible dados los 300 pies de cercado. Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dividida en 3 corrales del mismo tamaño dados 500 pies de cercado. 125 por 62,5 pies. Maximice f ( x ) = - 2 x 2 + 250 x . Entre todos los pares de números cuya suma es 6, halle el par con el mayor producto. ¿Cuál es el producto? Entre todos los pares de números cuya diferencia es 12, halle el par con el menor producto. ¿Cuál es el producto? 6 y − 6 ; el producto es -36; maximice f ( x ) = x 2 + 12 x . Supongamos que el precio por unidad en dólares de la producción de un teléfono móvil está modelado por p = $ 45 − 0,0125 x , donde x está en miles de teléfonos producidos, y los ingresos en miles de dólares son R = x ⋅ p . Halle el nivel de producción que maximice los ingresos. Se lanza un cohete al aire. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h ( t ) = − 4,9 t 2 + 229 t + 234. Halle la altura máxima que alcanza el cohete. 2.909,56 metros Se lanza una pelota al aire desde lo alto de un edificio. Su altura, en metros sobre el suelo, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h ( t ) = − 4,9 t 2 + 24 t + 8. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima? Un estadio de fútbol tiene capacidad para 62.000 espectadores. Con un precio de entrada de 11 dólares, el promedio de asistencia ha sido de 26.000 personas. Cuando el precio bajó a 9 dólares, el promedio de asistencia aumentó a 31.000 personas. Suponiendo que la asistencia está relacionada linealmente con el precio de la entrada, ¿qué precio de la entrada maximizaría los ingresos? $10,70 Una agricultora descubre que si planta 75 árboles por acre, cada uno de ellos producirá 20 fanegas de fruta. Calcula que, por cada árbol adicional plantado por acre, el rendimiento de cada árbol disminuirá en 3 fanegas. ¿Cuántos árboles debería plantar por hectárea para maximizar su cosecha? eje de simetría línea vertical trazada a través del vértice de una parábola alrededor de la cual la parábola es simétrica; se define por x = - b 2 a . forma general de una función cuadrática la función que describe una parábola, escrita en la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c , donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 forma estándar de una función cuadrática la función que describe una parábola, escrita en la forma f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k , donde ( h , k ) es el vértice. vértice el punto en el que una parábola cambia de dirección, correspondiente al valor mínimo o máximo de la función cuadrática forma de vértice de una función cuadrática otra designación para la forma estándar de la función cuadrática ceros en una función determinada, los valores de x en los que y = 0 , también se denominan raíces", "section": "Funciones cuadráticas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones potencia y funciones polinómicas (Créditos: Jason Bay, Flickr) Supongamos que una determinada especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la . Año 2009 2010 2011 2012 2013 Población de aves 800 897 992 1.083 1.169 La población puede estimarse mediante la función P ( t ) = – 0,3 t 3 + 97 t + 800 , donde P ( t ) representa la población de aves de la isla t años después de 2009. Podemos utilizar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo se producirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos utilizar para estimar y predecir este tipo de cambios. Identificar las funciones potencia Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La función potencia es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente). Como ejemplo, considere las funciones para el área o el volumen. La función para el área de un círculo con radio r se A ( r ) = π r 2 y la función para el volumen de una esfera con radio r se V ( r ) = 4 3 π r 3 Ambas son ejemplos de funciones potencia porque constan de un coeficiente, π o 4 3 π , multiplicado por una variable r elevado a una potencia. Función potencia La función potencia es aquella que puede representarse en la forma f ( x ) = k x p donde k y p son números reales, y k se conoce como el coeficiente . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es f ( x ) = 2 x una función potencia? No. La función potencia contiene una base variable elevada a una potencia fija. Esta función tiene una base constante elevada a una potencia variable. Se denomina función exponencial, no función potencia. Identificar las funciones potencia ¿Cuáles de las siguientes son funciones potencia? f ( x ) = 1 Función constante f ( x ) = x Función de identidad f ( x ) = x 2 Función ​ cuadrática f ( x ) = x 3 Función cúbica f ( x ) = 1 x Función recíproca f ( x ) = 1 x 2 Función recíproca al cuadrado f ( x ) = x Función de raíz cuadrada f ( x ) = x 3 Función de raíz cúbica Todas las funciones enumeradas son funciones potencia. Las funciones constante y de identidad son funciones potencia porque pueden escribirse como f ( x ) = x 0 y f ( x ) = x 1 respectivamente. Las funciones cuadrática y cúbica son funciones potencia con potencias de números enteros f ( x ) = x 2 y f ( x ) = x 3 . Las funciones recíproca y recíproca al cuadrado son funciones potencia con potencias de números enteros negativos porque pueden escribirse como f ( x ) = x – 1 y f ( x ) = x - 2 . Las funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica son funciones potencia con potencias fraccionarias porque se pueden escribir como f ( x ) = x 1/2 o f ( x ) = x 1/3 . Ejercicio ¿Cuáles funciones son de potencia? f ( x ) = 2 x 2 ⋅ 4 x 3 g ( x ) = - x 5 + 5 x 3 - 4 x h ( x ) = 2 x 5 - 1 3 x 2 + 4 f ( x ) es una función potencia porque se puede escribir como f ( x ) = 8 x 5 . Las demás funciones no son de potencia. Identificar el comportamiento final de las funciones potencia La muestra los gráficos de f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 4 y y h ( x ) = x 6 , que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo. Funciones potencia par Para describir el comportamiento a medida que aumentan los números, utilizamos la idea del infinito. Utilizamos el símbolo ∞ para el infinito positivo y − ∞ para el infinito negativo. Cuando decimos que \" x se acerca al infinito\", que puede escribirse simbólicamente como x → ∞ , describimos un comportamiento; decimos que x aumenta sin límites. Con la función potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Por equivalencia, podríamos describir este comportamiento al afirmar que, a medida que x se acerca al infinito positivo o negativo, los valores f ( x ) aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir dado que x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ La muestra los gráficos de f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 5 , y h ( x ) = x 7 , que son todas funciones potencia con potencias de números impares y enteros. Observe que estos gráficos son semejantes a los de la función cúbica en la caja de herramientas. De nuevo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo. Función potencia impar Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma f ( x ) = x n revelan simetría de un tipo u otro. En primer lugar, en la observamos que incluso las funciones de la forma f ( x ) = x n , n par, son simétricas con respecto al eje y . En la observamos que las funciones impares de la forma f ( x ) = x n , n impar, son simétricas respecto al origen. En estas funciones potencia con números impares, a medida que x se acerca al infinito negativo, f ( x ) disminuye sin límites. A medida que x se acerca al infinito positivo, f ( x ) aumenta sin límites. En forma simbólica escribimos dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada disminuyen ( x → - ∞ ) y aumentan mucho ( x → ∞ ) se denomina comportamiento final de la función. Podemos utilizar palabras o símbolos para describir el comportamiento final. La muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma f ( x ) = k x n donde n es un número entero no negativo que depende de la potencia y de la constante. Cómo Dada una función potencia f ( x ) = k x n donde n es un número entero no negativo, identificar el comportamiento final. Determine si la potencia es par o impar. Determine si la constante es positiva o negativa. Utilice la para identificar el comportamiento final. Identificar el comportamiento final de una función potencia Describa el comportamiento final del gráfico de f ( x ) = x 8 . El coeficiente es 1 (positivo) y el exponente de la función potencia es 8 (número par). A medida que x se acerca al infinito, la salida (valor de f ( x ) ) aumenta sin límite. Lo escribimos como x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Dado que x se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, como x → - ∞ , f ( x ) → ∞ . Podemos representar gráficamente la función como se indica en la . Identificar el comportamiento final de una función potencia. Describa el comportamiento final del gráfico de f ( x ) = - x 9 . El exponente de la función de potencia es 9 (número impar). Dado que el coeficiente es -1 (negativo), el gráfico es la reflexión alrededor del eje x del gráfico de f ( x ) = x 9 . La muestra que, a medida que x se acerca al infinito, la salida disminuye sin límite. A medida que x se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, escribiríamos dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con la función tabular en una herramienta gráfica. x f ( x ) -10 1.000.000.000 –5 1.953.125 0 0 5 –1.953.125 10 –1.000.000.000 Podemos observar a partir de la que, cuando sustituimos valores muy pequeños por x , la salida es muy grande, y cuando sustituimos valores muy grandes por x , la salida es muy pequeña (lo que significa que es un valor negativo muy grande). Ejercicio Describa con palabras y símbolos el comportamiento final de f ( x ) = - 5 x 4 . Dado que x se acerca al infinito positivo o negativo, f ( x ) disminuye sin límite: a medida que x → ± ∞ , f ( x ) → - ∞ debido al coeficiente negativo. Identificar funciones polinómicas Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio r del derrame de petróleo depende del número de semanas w que han pasado. Esta relación es lineal. r ( w ) = 24 + 8 w Podemos combinar esto con la fórmula del área A de un círculo. A ( r ) = π r 2 Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas. A ( w ) = A ( r ( w ) ) = A ( 24 + 8 w ) = π ( 24 + 8 w ) 2 Multiplicando se obtiene la fórmula. A ( w ) = 576 π + 384 π w + 64 π w 2 Esta fórmula es un ejemplo de función polinómica . Una función polinómica se compone de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es el producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a la potencia de un número entero no negativo. Funciones polinómicas Supongamos que n es un número entero no negativo. La función polinómica es aquella que se puede escribir en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Esto se denomina la forma general de una función polinómica. Cada a i es un coeficiente y puede ser cualquier número real, pero a n ≠ 0 . Cada producto a i x i es el término de una función polinómica . Identificar funciones polinómicas ¿Cuáles de las siguientes son funciones polinómicas? f ( x ) = 2 x 3 ⋅ 3 x + 4 g ( x ) = - x ( x 2 - 4 ) h ( x ) = 5 x + 2 Las dos primeras funciones son ejemplos de funciones polinómicas porque se pueden escribir en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 donde las potencias son números enteros no negativos y los coeficientes son números reales. f ( x ) puede escribirse como f ( x ) = 6 x 4 + 4. g ( x ) puede escribirse como g ( x ) = - x 3 + 4 x . h ( x ) no puede escribirse de esta forma y, por ende, no es una función polinómica. Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal. Terminología de las funciones polinómicas A menudo reordenamos los polinomios para que las potencias sean descendentes. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, decimos que está en forma general. Cómo Dada una función polinómica, identificar el grado y el coeficiente principal. Calcule la potencia más elevada de x para determinar el grado de la función. Identifique el término que contiene la potencia más elevada de x para hallar el término principal. Identifique el coeficiente del término principal. Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal de las siguientes funciones polinómicas. f ( x ) = 3 + 2 x 2 - 4 x 3 g ( t ) = 5 t 5 - 2 t 3 + 7 t h ( p ) = 6 p − p 3 - 2 Para que la función f ( x ) , la máxima potencia de x es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el que contiene ese grado, -4 x 3 . El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −4. Para que la función g ( t ) , la máxima potencia de t es 5 , por lo que el grado es 5. El término principal es el que contiene ese grado, 5 t 5 . El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, 5. Para la función h ( p ) , la máxima potencia de p es 3 , por lo que el grado es 3. El término principal es el que contiene ese grado, − p 3 ; el coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −1. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio f ( x ) = 4 x 2 - x 6 + 2 x − 6. El grado es 6. El término principal es − x 6 . El coeficiente principal es − 1. Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas Conocer el grado de una función polinómica nos sirve para predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, preste atención al término principal de la función polinómica. Dado que la potencia del término principal es la más alta, ese término crecerá mucho más rápido que los demás términos, a medida que x aumenta o disminuye mucho, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. En cualquier polinomio, su comportamiento final coincidirá con el del término del grado más alto. Vea el . Función polinómica Término principal Gráfico de la función polinómica f ( x ) = 5 x 4 + 2 x 3 - x - 4 5 x 4 f ( x ) = - 2 x 6 - x 5 + 3 x 4 + x 3 - 2 x 6 f ( x ) = 3 x 5 - 4 x 4 + 2 x 2 + 1 3 x 5 f ( x ) = − 6 x 3 + 7 x 2 + 3 x + 1 − 6 x 3 Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica Describa el comportamiento final y determine un posible grado de la función polinómica en la . Dado que los valores de entrada x son muy altos, los valores de salida f ( x ) aumentan sin límite. Dado que los valores de entrada x disminuyen mucho, los valores de salida f ( x ) disminuyen sin límite. Podemos describir el comportamiento final simbólicamente al escribir dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ En palabras, podríamos decir que, a medida que los valores de x se acercan al infinito, los valores de la función se acercan al infinito, y dado que los valores de x se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan al infinito negativo. Podemos afirmar que este gráfico tiene la forma de una función potencia de grado impar que no ha sido reflejada, por lo que el grado del polinomio que crea este gráfico deberá ser impar y el coeficiente principal deberá ser positivo. Ejercicio Describa el comportamiento final, y determine un posible grado de la función polinómica en la . Dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ ; a s x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ . Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo. Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica Dada la función f ( x ) = - 3 x 2 ( x – 1 ) ( x + 4 ) , exprese la función como un polinomio en forma general, y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función. Obtenga la forma general al expandir la expresión dada para f ( x ) . f ( x ) = - 3 x 2 ( x – 1 ) ( x + 4 ) = - 3 x 2 ( x 2 + 3 x - 4 ) = - 3 x 4 - 9 x 3 + 12 x 2 La forma general es f ( x ) = - 3 x 4 - 9 x 3 + 12 x 2 . El término principal es − 3 x 4 ; por lo tanto, el grado del polinomio es 4. El grado es par (4) y el coeficiente principal es negativo (-3), por lo que el comportamiento final es dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ Ejercicio Dada la función f ( x ) = 0,2 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 5 ) , exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función. El término principal es 0,2 x 3 , por lo que es un polinomio de grado 3. A medida que x se acerca al infinito positivo, f ( x ) aumenta sin límites; a medida que x se acerca al infinito negativo, f ( x ) disminuye sin límites. Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también nos interesa lo que ocurre en el \"medio\" de la función. En particular, nos interesan los lugares donde cambia el comportamiento del gráfico. El punto de inflexión es aquel donde los valores de la función pasan de ser crecientes a decrecientes o de decrecientes a crecientes. También nos interesan las intersecciones. Al igual que en todas las funciones, la intersección en y es el punto en el que el gráfico se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas donde el valor de entrada es cero. Ya que el polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que únicamente puede haber una intersección en y ( 0 , a 0 ) . Las intersecciones en x se producen en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Puede haber más de una intersección en x . Vea la . Intersecciones y puntos de inflexión de las funciones polinómicas El punto de inflexión de un gráfico es aquel donde el gráfico cambia de dirección de creciente a decreciente o de decreciente a creciente. La intersección en y es el punto donde la función tiene un valor de entrada cero. Las intersecciones en x son los puntos donde el valor de salida es cero. Cómo Dada una función polinómica, determinar las intersecciones. Determine la intersección en y al establecer x = 0 y hallar el valor de salida correspondiente. Determine la intersección en x al resolver los valores de entrada que arrojan un valor de salida de cero. Determinar las intersecciones de una función polinómica Dada la función polinómica f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) , escrita en forma factorizada para su comodidad, determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . La intersección en y se produce cuando la entrada es cero, así que sustituya 0 por x . f ( 0 ) = ( 0 - 2 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 4 ) = ( – 2 ) ( 1 ) ( - 4 ) = 8 La intersección en y es (0, 8). Las intersecciones x se producen cuando la salida es cero. 0 = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) x - 2 = 0 o x + 1 = 0 o x - 4 = 0 x = 2 o x = - 1 o x = 4 Las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) , ( – 1 , 0 ) , y ( 4 , 0 ) . Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la . Determinar las intersecciones de una función polinómica con factorización Dada la función polinómica f ( x ) = x 4 - 4 x 2 − 45 , determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . La intersección en y se produce cuando la entrada es cero. f ( 0 ) = ( 0 ) 4 - 4 ( 0 ) 2 − 45 = − 45 La intersección en y es ( 0 , − 45 ) . Las intersecciones en x se producen cuando la salida es cero. Para determinar cuándo la salida es cero, tendremos que factorizar el polinomio. f ( x ) = x 4 - 4 x 2 − 45 = ( x 2 - 9 ) ( x 2 + 5 ) = ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 5 ) 0 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 5 ) x - 3 = 0 o x + 3 = 0 o x 2 + 5 = 0 x = 3 o x = - 3 o (sin solución real) Las intersecciones en x son ( 3 , 0 ) y ( – 3 , 0 ) . Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la . Podemos ver que la función es de número par porque f ( x ) = f ( - x ) . Ejercicio Dada la función polinómica f ( x ) = 2 x 3 - 6 x 2 − 20 x , determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . intersección en y ( 0 , 0 ) ; intersecciones en x ( 0 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) Comparar gráficos suaves y continuos El grado de una función polinómica nos permite determinar el número de intersecciones en x y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de grado n es el producto de n factores, por lo que tendrá como máximo n raíces o ceros, o bien intersecciones en x . El gráfico de la función polinómica de grado n deberá tener como máximo n – 1 puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores. La función continua no tiene interrupciones en su gráfico, el cual puede dibujarse sin levantar el bolígrafo del papel. La curva suave es un gráfico que no tiene aristas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave deberán producirse siempre en curvas redondeadas. Los gráficos de las funciones polinómicas son continuos y suaves. Intersecciones y puntos de inflexión de los polinomios Un polinomio de grado n tendrá, a lo sumo, n intersecciones en x y n – 1 puntos de inflexión. Determinar el número de intersecciones y puntos de inflexión de un polinomio Sin graficar la función, determine el comportamiento local de la función al hallar el número máximo de intersecciones en x y puntos de inflexión para f ( x ) = - 3 x 10 + 4 x 7 - x 4 + 2 x 3 . El polinomio tiene un grado de 10 , por lo que hay, a lo sumo 10 x y como máximo 10 - 1 = 9 puntos de inflexión. Ejercicio Sin graficar la función, determine el número máximo de intersecciones en x y puntos de inflexión para f ( x ) = 108 − 13 x 9 − 8 x 4 + 14 x 12 + 2 x 3 Hay, a lo sumo, 12 intersecciones en x y como máximo 11 puntos de inflexión. Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir del gráfico ¿Qué podemos concluir en relación con el polinomio que se representa en el gráfico en la , con base en sus intersecciones y puntos de inflexión? El comportamiento final del gráfico nos indica que es el gráfico de un polinomio de grado par. Vea la . El gráfico tiene 2 intersecciones en x , lo que sugiere un grado 2 o superior, y 3 puntos de inflexión, lo que sugiere un grado 4 o superior. Con base en esto, sería razonable concluir que el grado es par y al menos 4. Ejercicio ¿Qué podemos concluir con respecto al polinomio que se representa en el gráfico en la , con base en sus intersecciones y puntos de inflexión? El comportamiento final indica una función polinómica de grado impar; hay 3 intersecciones en x y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Por el comportamiento final, sabemos que el coeficiente principal deberá ser negativo. Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir de los factores Dada la función f ( x ) = – 4 x ( x + 3 ) ( x - 4 ) , determine el comportamiento local. Las intersecciones en y se hallan al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = – 4 ( 0 ) ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 ) = 0 La intersección en y es ( 0 , 0 ) . Las intersecciones en x se hallan al determinar los ceros de la función. 0 = – 4 x ( x + 3 ) ( x - 4 ) x = 0 o x + 3 = 0 o x - 4 = 0 x = 0 o x = - 3 o x = 4 Las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( – 3 , 0 ) , y ( 4 , 0 ) . El grado es 3, por lo que el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión. Ejercicio Dada la función f ( x ) = 0,2 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 5 ) , determine el comportamiento local. Las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) , la intersección en y es ( 0 , 2 ) , y el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones potencia y polinómicas. Encontrar información clave acerca de una función polinómica dada Comportamiento final de una función polinómica Puntos de inflexión e intersecciones en x de funciones polinómicas Mínimo grado posible de una función polinómica Ecuaciones clave forma general de una función polinómica f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 Conceptos clave La función potencia es una base variable elevada a una potencia numérica. Vea el . El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye más allá del límite y aumenta más allá del límite se denomina comportamiento final. El comportamiento final depende de que la potencia sea par o impar. Vea el y el . La función polinómica es la suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una función potencia transformada con número entero positivo. Vea el . El grado de una función polinómica es la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio. El término que contiene la potencia más elevada de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal. Vea el . El comportamiento final de una función polinómica es el mismo que el de la función potencia representada por el término principal de la función. Vea el y el . Un polinomio de grado n tendrá como máximo n intersecciones en x y a lo sumo n – 1 puntos de inflexión. Vea el , el , el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la diferencia entre el coeficiente de una función potencia y su grado. El coeficiente de la función potencia es el número real que se multiplica por la variable elevada a una potencia. El grado es la potencia más elevada que aparece en la función. Si una función polinómica está en forma factorizada, ¿cuál sería el primer paso más conveniente para determinar el grado de la función? En general, explique el comportamiento final de una función de potencia de grado impar si el coeficiente principal es positivo. En la medida en que x disminuye sin límite, también lo hace f ( x ) . Dado que x aumenta sin límite, también lo hace f ( x ) . ¿Cuál es la relación entre el grado de una función polinómica y el número máximo de puntos de inflexión en su gráfico? ¿Qué podemos concluir si, en general, el gráfico de una función polinómica presenta el siguiente comportamiento final? Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La función polinómica es de grado par y el coeficiente principal es negativo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique la función como función potencia, función polinómica o ninguna de las dos. f ( x ) = x 5 f ( x ) = ( x 2 ) 3 f ( x ) es una función potencia porque contiene una base variable elevada a una potencia fija. También es un polinomio, donde todos los coeficientes, excepto uno, son iguales a cero. f ( x ) = x – x 4 f ( x ) = x 2 x 2 – 1 Ninguna de las dos f ( x ) = 2 x ( x + 2 ) ( x – 1 ) 2 f ( x ) = 3 x + 1 Ninguna de las dos En los siguientes ejercicios, halle el grado y el coeficiente principal del polinomio dado. - 3 x 4 7 - 2 x 2 Grado = 2, coeficiente = -2 - 2 x 2 - 3 x 5 + x - 6 x ( 4 - x 2 ) ( 2 x + 1 ) Grado =4, coeficiente = -2 x 2 ( 2 x - 3 ) 2 En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de las funciones. f ( x ) = x 4 Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 f ( x ) = - x 4 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = - x 9 f ( x ) = - 2 x 4 - 3 x 2 + x – 1 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = 3 x 2 + x - 2 f ( x ) = x 2 ( 2 x 3 - x + 1 ) Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = ( 2 - x ) 7 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones de las funciones. f ( t ) = 2 ( t - 1 ) ( t + 2 ) ( t - 3 ) la intersección en y es ( 0 , 12 ) , las intersecciones en t son ( 1 , 0 ) ; ( – 2 , 0 ) ; y ( 3 , 0 ) . g ( n ) = - 2 ( 3 n – 1 ) ( 2 n + 1 ) f ( x ) = x 4 − 16 la intersección en y es ( 0 , − 16 ) . las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . f ( x ) = x 3 + 27 f ( x ) = x ( x 2 - 2 x - 8 ) la intersección en y es ( 0 , 0 ) . las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , y ( – 2 , 0 ) . f ( x ) = ( x + 3 ) ( 4 x 2 – 1 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, determine el menor grado posible de la función polinómica indicada. 3 5 3 5 En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico de la función proporcionada es la de una función polinómica. Si es así, determine el número de puntos de inflexión y el menor grado posible para la función. Sí. El número de puntos de inflexión es 2. El menor grado posible es el 3. Sí. El número de puntos de inflexión es 1. El menor grado posible es el 2. Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1. No. Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, construya una tabla para confirmar el comportamiento final de la función. f ( x ) = - x 3 f ( x ) = x 4 − 5 x 2 x f ( x ) 10 9.500 100 99.950.000 -10 9.500 –100 99.950.000 dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 2 ( 1 - x ) 2 f ( x ) = ( x – 1 ) ( x - 2 ) ( 3 - x ) x f ( x ) 10 –504 100 –941.094 -10 1,716 –100 1.061.106 dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = x 5 10 - x 4 En tecnología En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas con la ayuda de la calculadora. A partir del gráfico, determine las intersecciones y el comportamiento final. f ( x ) = x 3 ( x - 2 ) La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x ( x - 3 ) ( x + 3 ) f ( x ) = x ( 14 − 2 x ) ( 10 - 2 x ) La intersección en y es ( 0 , 0 ) . Las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 7 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x ( 14 − 2 x ) ( 10 - 2 x ) 2 f ( x ) = x 3 − 16 x La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x es ( - 4 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 − 27 f ( x ) = x 4 − 81 La intersección en y es ( 0 , − 81 ) . La intersección en x son ( 3 , 0 ) , ( - 3 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = - x 3 + x 2 + 2 x f ( x ) = x 3 - 2 x 2 − 15 x La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( - 3 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 − 0,01 x Extensiones En los siguientes ejercicios, disponga de la información acerca del gráfico de una función polinómica para determinar la función. Supongamos que el coeficiente principal es 1 o -1. Puede haber más de una respuesta correcta. La intersección en y es ( 0 , - 4 ) . La intersección en x son ( – 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . El grado es 2. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 2 - 4 La intersección en y es ( 0 , 9 ) . La intersección en x son ( - 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) . El grado es 2. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . El grado es 3. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + 4 x La intersección en y es ( 0 , 1 ) . La intersección en x es ( 1 , 0 ) . El grado es 3. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La intersección en y es ( 0 , 1 ) . No hay intersección en x . El grado es 4. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 4 + 1 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice los enunciados escritos para construir una función polinómica que represente la información requerida. Un derrame de petróleo se expande como un círculo. El radio del círculo aumenta a razón de 20 metros por día. Exprese el área del círculo como función de d , el número de días transcurridos. Un cubo tiene un borde de 3 pies. El borde aumenta a un ritmo de 2 pies por minuto. Exprese el volumen del cubo como función de m , el número de minutos transcurridos. V ( m ) = 8 m 3 + 36 m 2 + 54 m + 27 Un rectángulo tiene una longitud de 10 pulgadas y una anchura de 6 pulgadas. Si la longitud se incrementa en x pulgadas y la anchura aumentada en el doble de esa cantidad, exprese el área del rectángulo como función de x . Hay que construir una caja abierta al recortar esquinas cuadradas de lados de x pulgadas de un pedazo de cartón de 8 por 8 pulgadas y luego doblar los lados. Exprese el volumen de la caja como función de x . V ( x ) = 4 x 3 − 32 x 2 + 64 x Un rectángulo es el doble de largo que de ancho. Se cortan cuadrados de 2 pies de lado de cada esquina. A continuación, se doblan los lados para formar una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como función de la anchura ( x ). coeficiente número real no nulo multiplicado por una variable elevada a un exponente función continua función cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel porque no hay interrupciones en el gráfico grado la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio comportamiento final el comportamiento del gráfico de una función cuando la entrada disminuye y aumenta sin límite coeficiente principal el coeficiente del término principal término principal el término que contiene la potencia más elevada de la variable función polinómica función que consta de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es un producto de un número, denominado coeficiente del término, y una variable elevada a una potencia entera no negativa. función potencia función que puede representarse en la forma f ( x ) = k x p donde k es una constante, la base es una variable y el exponente, p , es una constante curva suave un gráfico sin ángulos agudos término de una función polinómica cualquier a i x i de una función polinómica en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 punto de inflexión el lugar en el que el gráfico de una función cambia de dirección", "section": "Funciones potencia y funciones polinómicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráfico de funciones polinómicas Los ingresos en millones de dólares desde 2006 hasta 2013 de una empresa de cable ficticia se muestran en la . Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Ingresos 52,4 52,8 51,2 49,5 48,6 48,6 48,7 47,1 Los ingresos pueden modelarse con la función polinómica R ( t ) = − 0,037 t 4 + 1,414 t 3 − 19,777 t 2 + 118,696 t − 205,332 donde R representa los ingresos en millones de dólares y t representa el año, con t = 6 correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos de la empresa? ¿En qué intervalos disminuyen los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse al examinar el gráfico de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, que es un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general. Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio. Reconocer las funciones polinómicas ¿Cuál de los gráficos en la representa una función polinómica? Los gráficos de f y h son de funciones polinómicas. Son fluidos y continuos . Los gráficos de g y k son de funciones que no son polinomios. El gráfico de la función g tiene una esquina aguda. El gráfico de la función k no es continuo. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones polinómicas tienen como dominio todos los números reales? Sí. Cualquier número real es una entrada válida para una función polinómica. Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas Recordemos que si f es una función polinómica, los valores de x en el que f ( x ) = 0 se llaman ceros de f . Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros . Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en x porque en las intersecciones en x hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos: El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios. El polinomio se da en forma factorizada. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones. Cómo Dada una función polinómica f , hallar las intersecciones en x mediante la factorización. Establezca f ( x ) = 0 . Si la función polinómica no está dada en forma factorizada: Factorizar cualquier factor monomial común. Factorizar cualquier binomio o trinomio factorizable. Llevar cada factor a cero y resolver para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización Halle las intersecciones en x de f ( x ) = x 6 - 3 x 4 + 2 x 2 . Podemos intentar factorizar este polinomio con el objeto de hallar soluciones para f ( x ) = 0 . x 6 - 3 x 4 + 2 x 2 = 0 Factorizar el máximo común divisor . x 2 ( x 4 - 3 x 2 + 2 ) = 0 Factorizar el trinomio . x 2 ( x 2 – 1 ) ( x 2 - 2 ) = 0 Lleve cada factor a cero . ( x 2 – 1 ) = 0 ( x 2 - 2 ) = 0 x 2 = 0 o x 2 = 1 o x 2 = 2 x = 0 x = ± 1 x = ± 2 Esto nos da cinco intersecciones en x : ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , y ( – 2 , 0 ) . Vea la . Podemos ver que se trata de una función par. Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización Calcule las intersecciones en x de f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - x + 5. Halle soluciones para f ( x ) = 0 mediante factorización x 3 - 5 x 2 - x + 5 = 0 Factorice por agrupación . x 2 ( x - 5 ) - ( x - 5 ) = 0 Factorice el factor común . ( x 2 – 1 ) ( x - 5 ) = 0 Factorice la diferencia de cuadrados . ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x - 5 ) = 0 Lleve cada factor a cero . x + 1 = 0 o x – 1 = 0 o x - 5 = 0 x = - 1 x = 1 x = 5 Hay tres intersecciones en x : ( - 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) . Vea la . Hallar las intersecciones en y , así como en x de un polinomio en forma factorizada Calcule las intersecciones en y así como las intersecciones en x de g ( x ) = ( x - 2 ) 2 ( 2 x + 3 ) . La intersección en y se halla al evaluar g ( 0 ) . g ( 0 ) = ( 0 - 2 ) 2 ( 2 ( 0 ) + 3 ) = 12 Así que la intersección en y es ( 0 , 12 ) . Las intersecciones en x se hallan al resolver g ( x ) = 0 . ( x - 2 ) 2 ( 2 x + 3 ) = 0 ( x - 2 ) 2 = 0 ( 2 x + 3 ) = 0 x - 2 = 0 o x = - 3 2 x = 2 Así que las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( - 3 2 , 0 ) . Análisis Siempre podemos comprobar que nuestras respuestas son razonables con una calculadora gráfica para graficar el polinomio como se muestra en la . Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante un gráfico Calcule las intersecciones en x de h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x − 6. Este polinomio no está en forma factorizada, no tiene factores comunes y no parece ser factorizable con las técnicas mencionadas anteriormente. Afortunadamente, podemos utilizar la tecnología para hallar las intersecciones. Tenga en cuenta que algunos valores dificultan la elaboración de gráficos a mano. En estos casos, podemos aprovechar las herramientas gráficas. Observando el gráfico de esta función, como se muestra en la , parece que hay intersecciones en x en x = −3 , –2 , y 1. Podemos comprobar si son correctos al sustituir estos valores por x y verificar que h ( - 3 ) = h ( – 2 ) = h ( 1 ) = 0 Dado que h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x - 6 , tenemos: h ( - 3 ) = ( - 3 ) 3 + 4 ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) - 6 = − 27 + 36 − 3 - 6 = 0 h ( – 2 ) = ( – 2 ) 3 + 4 ( – 2 ) 2 + ( – 2 ) - 6 = - 8 + 16 − 2 - 6 = 0 h ( 1 ) = ( 1 ) 3 + 4 ( 1 ) 2 + ( 1 ) - 6 = 1 + 4 + 1 − 6 = 0 Cada x corresponde a un cero de la función polinómica y cada cero arroja un factor, por lo que ahora podemos escribir el polinomio en forma factorizada. h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x - 6 = ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) Ejercicio Calcule las intersecciones en y y en x de la función f ( x ) = x 4 − 19 x 2 + 30 x . intersección en y ( 0 , 0 ) ; intersecciones en x ( 0 , 0 ) , ( – 5 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , y ( 3 , 0 ) Identificar los ceros y sus multiplicidades Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en x . A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota. Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función f ( x ) = ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x + 1 ) 3 . Observe que en la el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en x es diferente. Identificar el comportamiento del gráfico en una intersección en x al examinar la multiplicidad del cero. La intersección en x −3 es la solución de la ecuación ( x + 3 ) = 0 . El gráfico pasa directamente por la intersección en x en x = -3. El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función. La intersección en x 2 es la solución repetida de la ecuación ( x - 2 ) 2 = 0 . El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección. ( x - 2 ) 2 = ( x - 2 ) ( x - 2 ) El factor se repite, es decir, el factor ( x - 2 ) aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad . El cero asociado a este factor, x = 2 , tiene multiplicidad 2 porque el factor ( x - 2 ) ocurre dos veces. La intersección en x − 1 es la solución repetida del factor ( x + 1 ) 3 = 0 . El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 3 . A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3. En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje x . En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje x . Consulte en la ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3. Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x . En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x . Comportamiento gráfico de los polinomios en las intersecciones en x Si un polinomio contiene un factor de la forma ( x - h ) p , el comportamiento cerca de la intersección en x h se determina por la potencia p . Decimos que x = h es un cero de multiplicidad p . El gráfico de una función polinómica toca la intersección en x en ceros con multiplicidades pares. El gráfico cruza el eje x en los ceros con multiplicidades impares. La suma de las multiplicidades es el grado de la función polinómica. Cómo Dado un gráfico de una función polinómica de grado. n , identificar los ceros y sus multiplicidades. Si el gráfico cruza el eje x , por lo que parece casi lineal en la intersección, se trata de un único cero. Si el gráfico toca el eje x , para rebotar en el eje, es un cero con multiplicidad par. Si el gráfico cruza el eje x en un cero, es un cero con multiplicidad impar. La suma de las multiplicidades es n . Identificar los ceros y sus multiplicidades Utilice el gráfico de la función de grado 6 en la para identificar los ceros de la función y sus posibles multiplicidades. La función polinómica es de grado n . La suma de las multiplicidades deberá ser n . Empezando por la izquierda, el primer cero se produce en x = -3. El gráfico toca el eje x , por lo que la multiplicidad del cero deberá ser par. El cero de −3 tiene multiplicidad 2. El siguiente cero se produce en x = −1. El gráfico parece casi lineal en este punto. Se trata de un único cero de multiplicidad 1. El último cero se produce en x = 4. El gráfico cruza el eje x , por lo que la multiplicidad del cero deberá ser impar. Sabemos que la multiplicidad es probablemente 3 y que la suma de las multiplicidades es probablemente 6. Ejercicio Utilice el gráfico de la función de grado 7 en la para identificar los ceros de la función y sus multiplicidades. El gráfico tiene un cero de −5 con multiplicidad 3, un cero de −1 con multiplicidad 2 y un cero de 3 con multiplicidad 2. Determinar el comportamiento final Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 al final sube o baja en la medida en que x aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que x disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000. Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, a n x n , es una función potencia par, a medida que x aumenta o disminuye sin límites, f ( x ) aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que x disminuye sin límites, f ( x ) también disminuye sin límite; a medida que x aumenta sin límites, f ( x ) también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La resume los cuatro casos. Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica f ( x ) = x 4 - x 3 - 4 x 2 + 4 x en la . El gráfico tiene tres puntos de inflexión. Esta función f es una función polinómica de 4. º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función. Interpretar los puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto en el gráfico en el que este pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Un polinomio de grado n tendrá como máximo n – 1 puntos de inflexión. Hallar el número máximo de puntos de inflexión mediante el grado de una función polinómica Halle el número máximo de puntos de inflexión de cada función polinómica. Ⓐ f ( x ) = - x 3 + 4 x 5 - 3 x 2 + 1 Ⓑ f ( x ) = - ( x – 1 ) 2 ( 1 + 2 x 2 ) Ⓐ f ( x ) = - x + 3 4 x 5 - 3 x 2 + 1 Primero, reescriba la función polinómica en orden descendente f ( x ) = 4 x 5 - x 3 - 3 x 2 + 1 Identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 5. El número máximo de puntos de inflexión es 5 - 1 = 4. Ⓑ f ( x ) = - ( x – 1 ) 2 ( 1 + 2 x 2 ) En primer lugar, identifique el término principal de la función polinómica si la función se expandiera. A continuación, identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 4. El número máximo de puntos de inflexión es 4 - 1 = 3. Graficar funciones polinómicas Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas. Cómo Dada una función polinómica, dibujar el gráfico. Calcule las intersecciones. Compruebe la simetría. Si la función es una función par, su gráfico es simétrico con respecto al eje y , es decir, f ( - x ) = f ( x ) . Si una función es impar, su gráfico es simétrico con respecto al origen, es decir, f ( - x ) = - f ( x ) . Utilice las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento del polinomio en las intersecciones en x . Determine el comportamiento final al examinar el término principal. Utilice el comportamiento final y el comportamiento en las intersecciones para trazar un gráfico. Verifique que el número de puntos de inflexión no sea superior a uno menos que el grado del polinomio. Opcionalmente, utilice la tecnología para comprobar el gráfico. Trazar el gráfico de una función polinómica Dibuje un gráfico de f ( x ) = −2 ( x + 3 ) 2 ( x - 5 ) . Este gráfico tiene dos intersecciones en x . A x = −3 , el factor se eleva al cuadrado, lo que indica una multiplicidad de 2. El gráfico rebota en esta intersección en x . A x = 5 , la función tiene una multiplicidad de uno, lo que indica que el gráfico cruza por el eje en esta intersección. La intersección en y se halla al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = - 2 ( 0 + 3 ) 2 ( 0 − 5 ) = - 2 ⋅ 9 ⋅ ( - 5 ) = 90 La intersección en y es ( 0 , 90 ) . Además, podemos ver que el término principal, si este polinomio se multiplicara, sería − 2 x 3 , por lo que el comportamiento final es el de una cúbica reflejada verticalmente, donde las salidas disminuyen a medida que las entradas se acercan al infinito, y las salidas aumentan a medida que las entradas se acercan al infinito negativo. Vea la . Para trazar esto, consideramos que: Dado que x → - ∞ la función f ( x ) → ∞ , por lo que sabemos que el gráfico comienza en el segundo cuadrante y es decreciente hacia el eje de la x . Dado que f ( - x ) = −2 ( - x + 3 ) 2 ( - x – 5 ) no es igual a f ( x ) , el gráfico no exhibe simetría. A ( - 3 , 0 ) , el gráfico rebota en el eje x , por lo que la función deberá comenzar a aumentar. A ( 0 , 90 ) , el gráfico cruza el eje y en la intersección en y . Vea la . En algún momento después de este punto, el gráfico deberá volver a bajar o empezar a disminuir hacia el eje horizontal porque pasa por la siguiente intersección en ( 5 , 0 ) . Vea la . Dado que x → ∞ la función f ( x ) → -∞ , por lo que sabemos que el gráfico sigue disminuyendo, y podemos dejar de dibujarlo en el cuarto cuadrante. Con la tecnología podemos crear el gráfico de la función polinómica, que se indica en la , y verificar que el gráfico resultante se parezca a nuestro trazado en la . El gráfico completo de la función polinómica f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) 2 ( x - 5 ) Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 4 x ( x – 1 ) 4 ( x + 3 ) 3 . Usar el teorema del valor intermedio En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x , podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica f cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números a y b en el dominio de f , si a < b y f ( a ) ≠ f ( b ) , entonces la función f adopta cualquier valor entre f ( a ) y f ( b ) . Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua f en x = a se encuentra por encima del eje x y otro punto en x = b se encuentra por debajo del eje x , debe existir un tercer punto entre x = a y x = b donde el gráfico cruza el eje x . Llamemos a este punto ( c , f ( c ) ) . Esto significa que estamos seguros de que hay una solución c donde f ( c ) = 0 . En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje x . La revela que hay un cero entre a y b . Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que existe un cero. Teorema del valor intermedio Supongamos que f es una función polinómica. El teorema del valor intermedio establece que, si f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor c entre a y b para los cuales f ( c ) = 0 . Usar el teorema del valor intermedio Demuestre que la función f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 3 x + 6 tiene al menos dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Para empezar, evalúe f ( x ) en los valores enteros x = 1 , 2 , 3 , y 4 . Vea la . x 1 2 3 4 f ( x ) 5 0 -3 2 Vemos que se produce un cero en x = 2. Además, como f ( 3 ) es negativo y f ( 4 ) es positivo, por el teorema del valor intermedio, deberá haber al menos un cero real entre 3 y 4. Hemos demostrado que hay al menos dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Análisis También podemos ver en el gráfico de la función en la que hay dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Ejercicio Demuestre que la función f ( x ) = 7 x 5 − 9 x 4 - x 2 tiene al menos un cero real entre x = 1 y x = 2. Debido a que f es una función polinómica y dado que f ( 1 ) es negativo y f ( 2 ) es positivo, hay al menos un cero real entre x = 1 y x = 2. Escribir fórmulas para funciones polinómicas Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x , donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en x al introducir el correspondiente conjunto de factores. Forma factorizada de los polinomios Si un polinomio de grado mínimo p tiene intersecciones horizontales en x = x 1 , x 2 , … , x n , entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n donde las potencias p i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección correspondiente, y el factor de estiramiento a se determina dado un valor de la función distinto de la intersección en x . Cómo Dado el gráfico de una función polinómica, escribir una fórmula para la función. Identifique las intersecciones en x del gráfico para hallar los factores del polinomio. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar la multiplicidad de cada factor. Halle el polinomio de grado mínimo que contenga todos los factores determinados en el paso anterior. Utilice cualquier otro punto en el gráfico (la intersección en y puede ser la más fácil) para determinar el factor de estiramiento. Escribir la fórmula para una función polinómica a partir del gráfico Escriba una fórmula para la función polinómica que se muestra en la . Este gráfico tiene tres intersecciones en x : x = −3 , 2 , y 5. La intersección en y se encuentra en ( 0 , - 2 ) . A x = −3 y x = 5 , el gráfico pasa por el eje linealmente, lo que sugiere que los factores correspondientes del polinomio serán lineales. A x = 2 , el gráfico rebota en la intersección, lo que sugiere que el factor correspondiente del polinomio será de segundo grado (cuadrático). En conjunto, esto nos da f ( x ) = a ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x - 5 ) Para determinar el factor de estiramiento, utilizamos otro punto en el gráfico. Utilizaremos la intersección en y ( 0 , – 2 ) , para resolver para a . f ( 0 ) = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 2 ) 2 ( 0 − 5 ) - 2 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 2 ) 2 ( 0 − 5 ) - 2 = − 60 a a = 1 30 El polinomio graficado parece representar la función f ( x ) = 1 30 ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x - 5 ) . Ejercicio Dado el gráfico en la , escriba una fórmula para la función que se muestra. f ( x ) = - 1 8 ( x - 2 ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) Usar los extremos locales y globales Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico. Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global . También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función. Extremos locales y globales Un máximo local o mínimo local en x = a (a veces llamado máximo o mínimo relativo, respectivamente) es la salida en el punto más alto o más bajo del gráfico en un intervalo abierto alrededor de x = a . Si una función tiene un máximo local en a , entonces f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = a . Si una función tiene un mínimo local en a , entonces f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = a . Un máximo global o un mínimo global es la salida en el punto más alto o más bajo de la función. Si una función tiene un máximo global en a , entonces f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x . Si una función tiene un mínimo global en a , entonces f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x . Podemos ver la diferencia entre extremos locales y globales en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones polinómicas tienen un mínimo global o un máximo global? No. Solo las funciones polinómicas de grado par tienen un mínimo global o un máximo global. Por ejemplo, f ( x ) = x no tiene ni un máximo global ni un mínimo global. Usar extremos locales para resolver aplicaciones Para construir una caja abierta, se recortan cuadrados de cada esquina de una lámina de plástico de 14 cm por 20 cm y se doblan los lados. Halle el tamaño de los cuadrados que hay que recortar para maximizar el volumen que encierra la caja. Comenzaremos este problema al hacer un dibujo como el que aparece en la , y etiquetar el ancho de los cuadrados recortados con una variable, w . Observe que, después de cortar un cuadrado de cada extremo, deja un rectángulo de ( 14 − 2 w ) cm por ( 20 - 2 w ) cm para la base de la caja, y la caja tendrá w cm de altura. Esto da el volumen V ( w ) = ( 20 - 2 w ) ( 14 − 2 w ) w = 280 w − 68 w 2 + 4 w 3 Observe que, dado que los factores son w , 20 – 2 w y 14 – 2 w , los tres ceros son 10, 7 y 0, respectivamente. Ya que una altura de 0 cm no es razonable, consideramos únicamente los ceros 10 y 7. El lado más corto es 14 y estamos cortando dos cuadrados, por lo que los valores w que pueden tomarse son mayores que cero o menores que 7. Esto significa que restringiremos el dominio de esta función a 0 < w < 7. Al utilizar la tecnología para dibujar el gráfico de V ( w ) en este dominio razonable, obtenemos un gráfico como el de la . Podemos utilizar este gráfico para estimar el valor máximo del volumen, restringido a los valores de w que son razonables para este problema: valores de 0 a 7. A partir de este gráfico, nos centramos apenas en la parte del dominio razonable, [ 0 , 7 ] . Podemos estimar que el valor máximo es de unos 340 cm cúbicos, lo que ocurre cuando los cuadrados tienen unos 2,75 cm en cada lado. Para mejorar esta estimación, podríamos utilizar funciones avanzadas de nuestra tecnología, si están disponibles, o simplemente cambiar nuestra ventana para ampliar nuestro gráfico y producir la . A partir de esta vista ampliada, podemos afinar nuestra estimación del volumen máximo a unos 339 cm cúbicos, cuando los cuadrados miden aproximadamente 2,7 cm en cada lado. Ejercicio Utilice la tecnología para hallar los valores máximos y mínimos en el intervalo [ −1 , 4 ] de la función f ( x ) = − 0,2 ( x - 2 ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) . El mínimo se produce aproximadamente en el punto ( 0 , − 6,5 ) , y el máximo se produce aproximadamente en el punto ( 3,5 , 7 ) . Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la representación grafica de las funciones polinómicas. Teorema del valor intermedio Conceptos clave Las funciones polinómicas de grado 2 o más son fluidas y continuas. Vea el . Para hallar los ceros de una función polinómica, si se puede, factorice la función y lleve a cero cada factor. Vea el , el y el . Otra forma de hallar las intersecciones en x de una función polinómica es graficar la función e identificar los puntos en los que el gráfico cruza el eje x . Vea el . La multiplicidad de un cero determina cómo se comporta el gráfico en las intersecciones en x . Vea el . El gráfico de un polinomio cruza el eje horizontal en un cero con multiplicidad impar. El gráfico de un polinomio toca el eje horizontal en un cero con multiplicidad par. El comportamiento final de la función polinómica depende del término principal. El gráfico de una función polinómica cambia de dirección en sus puntos de inflexión. Una función polinómica de grado n tiene como máximo n – 1 puntos de inflexión. Vea el . Para graficar funciones polinómicas, halle los ceros y sus multiplicidades, determine el comportamiento final y verifique que el gráfico final tenga como máximo n – 1 puntos de inflexión. Vea el y el . Graficar una función polinómica ayuda a estimar los extremos locales y globales. Vea el . El teorema del valor intermedio nos indica que, si f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor c entre a y b para los cuales f ( c ) = 0 . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia entre la intersección en x y el cero de una función polinómica f ? Las intersecciones en x es donde el gráfico de la función cruza el eje x , y el cero de la función es el valor de entrada para el que f ( x ) = 0 . Si una función polinómica de grado n tiene n ceros distintos, ¿qué sabe del gráfico de la función? Explique cómo el teorema del valor intermedio nos ayuda a determinar el cero de una función. Si evaluamos la función en a y en b y el signo del valor de la función cambia, entonces sabemos que existe un cero entre a y b . Explique cómo la forma factorizada del polinomio nos permite graficarlo. Si el gráfico de un polinomio solo toca el eje x y luego cambia de dirección, ¿qué podemos concluir sobre la forma factorizada del polinomio? Habrá un factor elevado a una potencia par. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x o las intersecciones en t de las funciones polinómicas. C ( t ) = 2 ( t - 4 ) ( t + 1 ) ( t − 6 ) C ( t ) = 3 ( t + 2 ) ( t - 3 ) ( t + 5 ) ( – 2 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) C ( t ) = 4 t ( t - 2 ) 2 ( t + 1 ) C ( t ) = 2 t ( t - 3 ) ( t + 1 ) 2 ( 3 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) C ( t ) = 2 t 4 − 8 t 3 + 6 t 2 C ( t ) = 4 t 4 + 12 t 3 − 40 t 2 ( 0 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) , ( 2 , 0 ) f ( x ) = x 4 - x 2 f ( x ) = x 3 + x 2 − 20 x ( 0 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) , ( 4 , 0 ) f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - 7 x f ( x ) = x 3 + x 2 - 4 x - 4 ( 2 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 - 9 x − 18 f ( x ) = 2 x 3 - x 2 - 8 x + 4 ( – 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 1 2 , 0 ) f ( x ) = x 6 − 7 x 3 - 8 f ( x ) = 2 x 4 + 6 x 2 - 8 ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - x + 3 f ( x ) = x 6 - 2 x 4 - 3 x 2 ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( - 3 , 0 ) f ( x ) = x 6 - 3 x 4 - 4 x 2 f ( x ) = x 5 - 5 x 3 + 4 x ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio para confirmar que el polinomio dado tiene al menos un cero dentro del intervalo dado. f ( x ) = x 3 - 9 x , entre x = – 4 y x = − 2. f ( x ) = x 3 - 9 x , entre x = 2 y x = 4. f ( 2 ) = – 10 y f ( 4 ) = 28. Se confirma el cambio de signo. f ( x ) = x 5 - 2 x , entre x = 1 y x = 2. f ( x ) = - x 4 + 4 , entre x = 1 y x = 3 . f ( 1 ) = 3 y f ( 3 ) = – 77. Se confirma el cambio de signo. f ( x ) = - 2 x 3 - x , entre x = – 1 y x = 1. f ( x ) = x 3 − 100 x + 2 , entre x = 0,01 y x = 0,1 f ( 0,01 ) = 1,000001 y f ( 0,1 ) = – 7,999. Se confirma el cambio de signo. En los siguientes ejercicios, halle los ceros y dé la multiplicidad de cada uno. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 ( x - 3 ) 2 f ( x ) = x 2 ( 2 x + 3 ) 5 ( x - 4 ) 2 0 con multiplicidad 2, − 3 2 con multiplicidad 5, 4 con multiplicidad 2 f ( x ) = x 3 ( x – 1 ) 3 ( x + 2 ) f ( x ) = x 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) 0 con multiplicidad 2, –2 con multiplicidad 2 f ( x ) = ( 2 x + 1 ) 3 ( 9 x 2 - 6 x + 1 ) f ( x ) = ( 3 x + 2 ) 5 ( x 2 - 10 x + 25 ) - 2 3 con multiplicidad 5 , 5 con multiplicidad 2 f ( x ) = x ( 4 x 2 - 12 x + 9 ) ( x 2 + 8 x + 16 ) f ( x ) = x 6 - x 5 - 2 x 4 0 con multiplicidad 4 , 2 con multiplicidad 1 , – 1 con multiplicidad 1 f ( x ) = 3 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 f ( x ) = 4 x 5 - 12 x 4 + 9 x 3 3 2 con multiplicidad 2, 0 con multiplicidad 3 f ( x ) = 2 x 4 ( x 3 - 4 x 2 + 4 x ) f ( x ) = 4 x 4 ( 9 x 4 − 12 x 3 + 4 x 2 ) 0 con multiplicidad 6 , 2 3 con multiplicidad 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas. Tome nota de las intersecciones en x y en y , la multiplicidad y el comportamiento final. f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x - 2 ) g ( x ) = ( x + 4 ) ( x – 1 ) 2 intersecciones en x, ( 1, 0 ) con multiplicidad 2, con intersección en ( – 4, 0 ) con multiplicidad 1, intersección en y ( 0, 4 ) . Dado que x → - ∞ , g ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , g ( x ) → ∞ . h ( x ) = ( x – 1 ) 3 ( x + 3 ) 2 k ( x ) = ( x - 3 ) 3 ( x - 2 ) 2 intersecciones en x ( 3 , 0 ) con multiplicidad 3, ( 2 , 0 ) con multiplicidad 2, con intersección en y ( 0 , – 108 ) . Dado que x → - ∞ , k ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , k ( x ) → ∞ . m ( x ) = - 2 x ( x – 1 ) ( x + 3 ) n ( x ) = - 3 x ( x + 2 ) ( x - 4 ) intersecciones en x ( 0, 0 ) , ( – 2, 0 ) , ( 4, 0 ) con multiplicidad 1, intersección en y ( 0, 0 ) . Dado que x → - ∞ , n ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , n ( x ) → - ∞ . En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir la fórmula de una función polinómica de grado mínimo. f ( x ) = - 2 9 ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) f ( x ) = 1 4 ( x + 2 ) 2 ( x - 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico para identificar los ceros y la multiplicidad. -4, -2, 1, 3 con multiplicidad 1 -2, 3 cada uno con multiplicidad 2 En los siguientes ejercicios, disponga de la información dada acerca del gráfico del polinomio para escribir la ecuación. Grado 3. Ceros en x = –2, x = 1, y x = 3. intersección en y , en ( 0 , – 4 ) . f ( x ) = - 2 3 ( x + 2 ) ( x – 1 ) ( x - 3 ) Grado 3. Ceros en x = –5, x = -2 , y x = 1. intersección en y en ( 0 , 6 ) Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x = 3 y x = 1 , y una raíz de multiplicidad 1 en x = –3. intersección en y en ( 0 , 9 ) f ( x ) = 1 3 ( x - 3 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x + 3 ) Grado 4. Raíz de multiplicidad 2 en x = 4, y una raíz de multiplicidad 1 en x = 1 y x = –2. intersección en y en ( 0 , – 3 ) . Grado 5. Doble cero en x = 1 , y el triple cero en x = 3. Pasa por el punto ( 2 , 15 ) . f ( x ) = −15 ( x – 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 Grado 3. Ceros en x = 4 , x = 3 , y x = 2. intersección en y en ( 0 , −24 ) . Grado 3. Ceros en x = −3 , x = −2 y x = 1. intersección en y en ( 0 , 12 ) . f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x = −3 y x = 2 y una raíz de multiplicidad 1 en x = –2. intersección en y en ( 0 , 4 ) . Grado 4. Raíces de multiplicidad 2 en x = 1 2 y raíces de multiplicidad 1 en x = 6 y x = –2. intersección en y en ( 0, 18 ) . f ( x ) = - 3 2 ( 2 x – 1 ) 2 ( x - 6 ) ( x + 2 ) Doble cero en x = −3 y el triple cero en x = 0 . Pasa por el punto ( 1 , 32 ) . En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar los mínimos y máximos locales o el mínimo y el máximo global. f ( x ) = x 3 - x – 1 máximo local ( – .58, – 0,62 ) , mínimo local ( .58, –1 0,38 ) f ( x ) = 2 x 3 - 3 x – 1 f ( x ) = x 4 + x mínimo global ( – .63, – 0,47 ) f ( x ) = - x 4 + 3 x - 2 f ( x ) = x 4 - x 3 + 1 mínimo global ( 0,75, 0,89) Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una función polinómica de grado mínimo. f ( x ) = ( x − 500 ) 2 ( x + 200 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, escriba la función polinómica que modele la situación dada. Un rectángulo tiene una longitud de 10 unidades y una anchura de 8 unidades. Cuadrados de x por x se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función polinómica en términos de x . f ( x ) = 4 x 3 − 36 x 2 + 80 x Considere el mismo rectángulo del problema anterior. Cuadrados de 2 x entre 2 x unidades se recortan en cada esquina. Exprese el volumen de la caja como un polinomio en términos de x . Un cuadrado tiene lados de 12 unidades. Cuadrados x + 1 entre x + 1 se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función en términos de x . f ( x ) = 4 x 3 − 36 x 2 + 60 x + 100 Un cilindro tiene un radio de x + 2 unidades y una altura de 3 unidades más. Exprese el volumen del cilindro como una función polinómica. Un cono circular recto tiene un radio de 3 x + 6 y una altura de 3 unidades menos. Exprese el volumen del cono como función polinómica. El volumen de un cono es V = 1 3 π r 2 h para el radio r y altura h . f ( x ) = 9 π ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 ) máximo global el punto de inflexión más alto en un gráfico f ( a ) donde f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x . mínimo global el punto de inflexión más bajo en un gráfico f ( a ) donde f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x . Teorema del valor intermedio para dos números a y b en el dominio de f , si a < b y f ( a ) ≠ f ( b ) , entonces la función f adopta cualquier valor entre f ( a ) y f ( b ) ; concretamente, cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje x multiplicidad el número de veces que un factor determinado aparece en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio; si el polinomio contiene un factor de la forma ( x - h ) p , x = h es un cero de multiplicidad p .", "section": "Gráfico de funciones polinómicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Dividir polinomios Lincoln Memorial, Washington, D.C. (créditos: Ron Cogswell, Flickr) El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto. Servicio de Parques Nacionales. \"Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln\". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014 Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental. V = l ⋅ w ⋅ h = 61 , 5 ⋅ 40 ⋅ 30 = 73.800 Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos ( m ³ ) . Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura. h = V l ⋅ w = 73.800 61 , 5 ⋅ 40 = 30 Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x . La longitud del sólido viene dada por 3 x ; la anchura viene dada por x − 2. Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección. Usar la división larga para dividir polinomios Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga. Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental. dividendo = ( divisor ⋅ cociente ) + restante 178 = ( 3 ⋅ 59 ) + 1 = 177 + 1 = 178 Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo. La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 entre x + 2 mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así: Hemos calculado 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 x + 2 = 2 x 2 - 7 x + 18 − 31 x + 2 o 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 7 x + 18 ) − 31 Podemos identificar el dividendo , el divisor , el cociente y el restante . Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división. El algoritmo de la división El algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) de manera que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) q ( x ) es el cociente y r ( x ) es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que d ( x ) . Si los valores de r ( x ) = 0 , entonces d ( x ) se divide uniformemente entre f ( x ) . Esto significa que, en este caso, tanto d ( x ) como q ( x ) son factores de f ( x ) . Cómo Dado un polinomio y un binomio, utilizar la división larga para dividir el polinomio entre el binomio. Establezca el problema de la división. Determine el primer término del cociente al dividir el término principal del dividendo entre el término principal del divisor. Multiplique la respuesta por el divisor y escríbala debajo de los términos semejantes del dividendo. Reste el binomio inferior del binomio superior. Baje el siguiente término del dividendo. Repita los pasos 2 al 5 hasta llegar al último término del dividendo. Si el restante es distinto de cero, expréselo como una fracción con el divisor como denominador. Usar la división larga para dividir un polinomio de segundo grado Divida 5 x 2 + 3 x - 2 entre x + 1. El cociente es 5 x − 2. El restante es 0. Escribimos el resultado como 5 x 2 + 3 x - 2 x + 1 = 5 x - 2 o 5 x 2 + 3 x - 2 = ( x + 1 ) ( 5 x - 2 ) Análisis Este problema de división tenía un restante de 0. Esto nos indica que el dividendo se divide en partes iguales entre el divisor, y que el divisor es un factor del dividendo. Usar la división larga para dividir un polinomio de tercer grado Divida 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 entre 3 x − 2. Hay un restante de 1. Podemos expresar el resultado como: 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 3 x - 2 = 2 x 2 + 5 x - 7 + 1 3 x - 2 Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con el algoritmo de la división para reescribir la solución. Luego multiplicamos. ( 3 x - 2 ) ( 2 x 2 + 5 x - 7 ) + 1 = 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 Observe que, al escribir nuestro resultado, el dividendo es 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 el divisor es 3 x - 2 el cociente es 2 x 2 + 5 x - 7 el restante es 1 Ejercicio Divida 16 x 3 - 12 x 2 + 20 x - 3 entre 4 x + 5. 4 x 2 - 8 x + 15 − 78 4 x + 5 Usar la división sintética para dividir polinomios Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1. Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección. Divida 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 entre x + 2 con el algoritmo de la división larga. La forma final del proceso lucía así: Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema. La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del \"divisor\" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal. A continuación, lo multiplicamos por el \"divisor\" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es 2 x ² – 7 x + 18 y el restante es –31. El proceso se aclarará en el . División sintética La división sintética es un atajo que se utiliza cuando el divisor es un binomio en la forma x − k . En la división sintética , solamente se utilizan los coeficientes. Cómo Dados dos polinomios, utilizar la división sintética para dividirlos. Escriba k para el divisor. Escriba los coeficientes del dividendo. Baje el coeficiente principal. Multiplique el coeficiente principal entre k . Escriba el producto en la siguiente columna. Sume los términos de la segunda columna. Multiplique el resultado por k . Escriba el producto en la siguiente columna. Repita los pasos 5 y 6 para el resto de las columnas. Utilice los números inferiores para escribir el cociente. El número de la última columna es el restante y tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 1, y así sucesivamente. Usar la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado Utilice la división sintética para dividir 5 x 2 - 3 x − 36 entre x − 3, Comience por establecer la división sintética. Escriba k y los coeficientes. Baje el coeficiente principal. Multiplique el coeficiente principal entre k . Continúe sumando los números de la segunda columna. Multiplique el número resultante por k . Escriba el resultado en la siguiente columna. A continuación, sume los números de la tercera columna. El resultado es 5 x + 12. El restante es 0. Así que x - 3 es un factor del polinomio original. Análisis Al igual que con la división larga, podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar el cociente por el divisor y sumar el restante. ( x - 3 ) ( 5 x + 12 ) + 0 = 5 x 2 - 3 x − 36 Usar la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado Utilice la división sintética para dividir 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x - 20 entre x + 2. El divisor binomial es x + 2 por lo que k = − 2. Sume cada columna, multiplique el resultado por -2 y repita hasta llegar a la última columna. El resultado es 4 x 2 + 2 x − 10. El restante es 0. Así, x + 2 es un factor de 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x − 20. Análisis El gráfico de la función polinómica f ( x ) = 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x - 20 en la muestra un cero en x = k = -2. Esto confirma que x + 2 es un factor de 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x − 20. Usar la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado Utilice la división sintética para dividir − 9 x 4 + 10 x 3 + 7 x 2 - 6 entre x - 1. Observe que no hay ningún término x . Utilizaremos un cero como coeficiente para ese término El resultado es − 9 x 3 + x 2 + 8 x + 8 + 2 x – 1 . Ejercicio Utilice la división sintética para dividir 3 x 4 + 18 x 3 - 3 x + 40 entre x + 7. 3 x 3 - 3 x 2 + 21 x − 150 + 1 , 090 x + 7 Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo. Usar la división de polinomios en un problema de aplicación El volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x . La longitud del sólido viene dada por 3 x y la anchura viene dada por x − 2. Calcule la altura del sólido. Hay unas cuantas maneras de abordar este problema. Tenemos que dividir la expresión del volumen del sólido entre las expresiones de la longitud y la anchura. Hagamos un esquema como en la . Ahora podemos escribir una ecuación al sustituir los valores conocidos en la fórmula del volumen de un sólido rectangular. V = l ⋅ w ⋅ h 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x = 3 x ⋅ ( x - 2 ) ⋅ h Para resolver h , divida primero ambos lados entre 3 x . 3 x ⋅ ( x - 2 ) ⋅ h 3 x = 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x 3 x ( x - 2 ) h = x 3 - x 2 − 11 x + 18 Ahora resuelva para h mediante la división sintética. h = x 3 - x 2 − 11 x + 18 x - 2 2 1 - 1 − 11 18 2 2 − 18 1 1 - 9 0 El cociente es x 2 + x - 9 y el restante es 0. La altura del sólido es x 2 + x − 9. Ejercicio El área de un rectángulo viene dada por 3 x 3 + 14 x 2 − 23 x + 6. La anchura del rectángulo viene dada por x + 6. Halle una expresión para la longitud del rectángulo. 3 x 2 - 4 x + 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la división de polinomios. Dividir un trinomio entre un binomio con la división larga Dividir un polinomio entre un binomio con la división larga Ej. 2: Dividir un polinomio por un binomio con la división sintética Ej. 4: Dividir un polinomio por un binomio con la división sintética Ecuaciones clave Algoritmo de la división f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) donde q ( x ) ≠ 0 Conceptos clave La división larga de polinomios se utiliza para dividir un polinomio entre cualquier polinomio de grado igual o inferior. Vea el y el . El algoritmo de la división nos señala que un dividendo polinómico se puede escribir como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. La división sintética es un atajo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio en la forma x − k . Vea el , el y el . La división polinómica se utiliza para resolver problemas de aplicación, como el área y el volumen. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Si la división de un polinomio entre un binomio da como resultado un restante de cero, ¿qué se puede concluir? El binomio es un factor del polinomio. Si un polinomio de grado n se divide entre un binomio de grado 1, ¿cuál es el grado del cociente? Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante. ( x 2 + 5 x – 1 ) ÷ ( x – 1 ) x + 6 + 5 x 1 , cociente x + 6 , restante: 5 ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) ÷ ( x - 5 ) ( 3 x 2 + 23 x + 14 ) ÷ ( x + 7 ) 3 x + 2 , cociente: 3 x + 2 , restante: 0 ( 4 x 2 - 10 x + 6 ) ÷ ( 4 x + 2 ) ( 6 x 2 - 25 x - 25 ) ÷ ( 6 x + 5 ) x - 5 , cociente x - 5 , restante: 0 ( - x 2 – 1 ) ÷ ( x + 1 ) ( 2 x 2 - 3 x + 2 ) ÷ ( x + 2 ) 2 x - 7 + 16 x + 2 , cociente 2 x - 7 , restante: 16 ( x 3 − 126 ) ÷ ( x - 5 ) ( 3 x 2 - 5 x + 4 ) ÷ ( 3 x + 1 ) x - 2 + 6 3 x + 1 , cociente x - 2 , restante: 6 ( x 3 - 3 x 2 + 5 x - 6 ) ÷ ( x - 2 ) ( 2 x 3 + 3 x 2 - 4 x + 15 ) ÷ ( x + 3 ) 2 x 2 - 3 x + 5 , cociente 2 x 2 - 3 x + 5 , restante: 0 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) ( 2 x 3 - 6 x 2 - 7 x + 6 ) ÷ ( x - 4 ) 2 x 2 + 2 x + 1 + 10 x - 4 ( 6 x 3 - 10 x 2 - 7 x - 15 ) ÷ ( x + 1 ) ( 4 x 3 - 12 x 2 - 5 x – 1 ) ÷ ( 2 x + 1 ) 2 x 2 - 7 x + 1 - 2 2 x + 1 ( 9 x 3 - 9 x 2 + 18 x + 5 ) ÷ ( 3 x – 1 ) ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) 3 x 2 − 11 x + 34 − 106 x + 3 ( − 6 x 3 + x 2 - 4 ) ÷ ( 2 x - 3 ) ( 2 x 3 + 7 x 2 − 13 x - 3 ) ÷ ( 2 x - 3 ) x 2 + 5 x + 1 ( 3 x 3 - 5 x 2 + 2 x + 3 ) ÷ ( x + 2 ) ( 4 x 3 - 5 x 2 + 13 ) ÷ ( x + 4 ) 4 x 2 − 21 x + 84 − 323 x + 4 ( x 3 - 3 x + 2 ) ÷ ( x + 2 ) ( x 3 - 21 x 2 + 147 x − 343 ) ÷ ( x - 7 ) x 2 − 14 x + 49 ( x 3 − 15 x 2 + 75 x − 125 ) ÷ ( x - 5 ) ( 9 x 3 - x + 2 ) ÷ ( 3 x – 1 ) 3 x 2 + x + 2 3 x – 1 ( 6 x 3 - x 2 + 5 x + 2 ) ÷ ( 3 x + 1 ) ( x 4 + x 3 - 3 x 2 - 2 x + 1 ) ÷ ( x + 1 ) x 3 - 3 x + 1 ( x 4 - 3 x 2 + 1 ) ÷ ( x – 1 ) ( x 4 + 2 x 3 - 3 x 2 + 2 x + 6 ) ÷ ( x + 3 ) x 3 - x 2 + 2 ( x 4 - 10 x 3 + 37 x 2 − 60 x + 36 ) ÷ ( x - 2 ) ( x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 - 32 x + 16 ) ÷ ( x - 2 ) x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 ( x 4 + 5 x 3 - 3 x 2 − 13 x + 10 ) ÷ ( x + 5 ) ( x 4 − 12 x 3 + 54 x 2 − 108 x + 81 ) ÷ ( x - 3 ) x 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 ( 4 x 4 – 2 x 3 - 4 x + 2 ) ÷ ( 2 x – 1 ) ( 4 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 + 2 x + 2 ) ÷ ( 2 x + 1 ) 2 x 3 - 2 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización. x - 2 , 4 x 3 - 3 x 2 - 8 x + 4 x - 2 , 3 x 4 − 6 x 3 - 5 x + 10 Sí ( x - 2 ) ( 3 x 3 - 5 ) x + 3 , - 4 x 3 + 5 x 2 + 8 x - 2 , 4 x 4 − 15 x 2 - 4 Sí ( x - 2 ) ( 4 x 3 + 8 x 2 + x + 2 ) x – 1 2 , 2 x 4 - x 3 + 2 x – 1 x + 1 3 , 3 x 4 + x 3 - 3 x + 1 No Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno. El factor es x 2 - x + 3 El factor es x 2 + 2 x + 4 ( x – 1 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) El factor es x 2 + 2 x + 5 El factor es x 2 + x + 1 ( x - 5 ) ( x 2 + x + 1 ) El factor es x 2 + 2 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante. 4 x 3 − 33 x - 2 Cociente: 4 x 2 + 8 x + 16 , restante: − 1 2 x 3 + 25 x + 3 3 x 3 + 2 x - 5 x – 1 Cociente: 3 x 2 + 3 x + 5 , restante: 0 - 4 x 3 - x 2 - 12 x + 4 x 4 − 22 x + 2 Cociente: x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 , restante: − 6 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas. Considere que x k - 1 x – 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Considere que x k + 1 x + 1 para k = 1 , 3 , 5. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 7 ? x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 Considere que x 4 − k 4 x − k para k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Considere que x k x + 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? x 3 - x 2 + x – 1 + 1 x + 1 Considere que x k x – 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo. x + 1 x − i 1 + 1 + i x − i x 2 + 1 x − i x + 1 x + i 1 + 1 − i x + i x 2 + 1 x + i x 3 + 1 x − i x 2 − i x – 1 + 1 − i x − i Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente. La longitud es x + 5 , el área es 2 x 2 + 9 x − 5. La longitud es 2 x + 5 , el área es 4 x 3 + 10 x 2 + 6 x + 15 2 x 2 + 3 La longitud es 3 x – 4 , el área es 6 x 4 − 8 x 3 + 9 x 2 - 9 x - 4 En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura. El volumen es 12 x 3 + 20 x 2 − 21 x − 36 , la longitud es 2 x + 3 , la anchura es 3 x − 4. 2 x + 3 El volumen es 18 x 3 - 21 x 2 − 40 x + 48 , la longitud es 3 x – 4 , la anchura es 3 x – 4. El volumen es 10 x 3 + 27 x 2 + 2 x − 24 , la longitud es 5 x – 4 , la anchura es 2 x + 3. x + 2 El volumen es 10 x 3 + 30 x 2 - 8 x − 24 , la longitud es 2 , la anchura es x + 3. En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura. El volumen es π ( 25 x 3 − 65 x 2 − 29 x - 3 ) , el radio es 5 x + 1. x - 3 El volumen es π ( 4 x 3 + 12 x 2 − 15 x − 50 ) , el radio es 2 x + 5. El volumen es π ( 3 x 4 + 24 x 3 + 46 x 2 - 16 x − 32 ) , el radio es x + 4. 3 x 2 - 2 Algoritmo de la división dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) tal que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) donde q ( x ) es el cociente y r ( x ) es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que d ( x ) . división sintética método abreviado que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x − k", "section": "Dividir polinomios", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ceros de funciones polinómicas Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde? Este problema se resuelve al escribir una función cúbica y resolver una ecuación cúbica para el volumen del pastel. En esta sección, abordaremos una variedad de herramientas para escribir funciones polinómicas y resolver ecuaciones polinómicas. Evaluar un polinomio con el teorema del resto En la última sección, aprendimos a dividir polinomios. Ahora podemos utilizar la división de polinomios para evaluarlos con el teorema del resto . Si el polinomio se divide entre x – k , el resto se puede hallar rápidamente si evaluamos la función polinómica en k , es decir, f ( k ) Repasemos la demostración del teorema. Recordemos que el algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) tal que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) Si el divisor, d ( x ) , es x − k , esto asume la forma f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r Dado que el divisor x − k es lineal, el resto será una constante, r . Si evaluamos esto para x = k , tenemos f ( k ) = ( k − k ) q ( k ) + r = 0 ⋅ q ( k ) + r = r En otras palabras, f ( k ) es el resto que se obtiene al dividir f ( x ) entre x − k . El teorema del resto Si un polinomio f ( x ) se divide entre x − k , entonces el restante es el valor f ( k ) . Cómo Dada una función polinómica f , evaluar f ( x ) en x = k con el teorema del resto. Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre x − k . El restante es el valor f ( k ) . Usar el teorema del resto para evaluar un polinomio Utilice el teorema del resto para evaluar f ( x ) = 6 x 4 - x 3 − 15 x 2 + 2 x - 7 a las x = 2. Para hallar el restante con el teorema del resto, emplee la división sintética para dividir el polinomio entre x − 2. 2 6 - 1 − 15 2 - 7 12 22 14 32 6 11 7 16 25 El restante es 25. Por lo tanto, f ( 2 ) = 25. Análisis Podemos comprobar nuestra respuesta al evaluar f ( 2 ) . f ( x ) = 6 x 4 - x 3 − 15 x 2 + 2 x - 7 f ( 2 ) = 6 ( 2 ) 4 - ( 2 ) 3 − 15 ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) - 7 = 25 Ejercicio Utilice el teorema del resto para evaluar f ( x ) = 2 x 5 - 3 x 4 - 9 x 3 + 8 x 2 + 2 en x = − 3, f ( - 3 ) = − 412 Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica El teorema del factor es otro teorema que nos permite analizar las ecuaciones polinómicas. Nos indica cómo se relacionan los ceros de un polinomio con los factores. Recordemos que el algoritmo de la división nos señala que f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r . Si los valores de k es un cero, entonces el restante r es f ( k ) = 0 y f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + 0 o f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) . Observe que, escrito en esta forma, x − k es un factor de f ( x ) . Podemos concluir que, si k es un cero de f ( x ) , entonces x − k es un factor de f ( x ) . Del mismo modo, si x − k es un factor de f ( x ) , entonces el restante del algoritmo de la división f ( x ) = ( x − k ) q ( x ) + r es 0. Esto nos dice que k es un cero. Este par de implicaciones constituye el teorema del factor. Como veremos más adelante, un polinomio de grado n en el sistema de números complejos tendrá n ceros. Podemos utilizar el teorema del factor para factorizar completamente un polinomio en el producto de n factores. Una vez que el polinomio se ha factorizado por completo, podemos determinar fácilmente los ceros. El teorema del factor Según el teorema del factor , k es un cero de f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) . Cómo Dado un factor y un polinomio de tercer grado, utilizar el teorema del factor para factorizar el polinomio. Utilice la división sintética para dividir el polinomio entre ( x − k ) . Confirme que el restante sea 0. Escriba el polinomio como el producto de ( x − k ) y el cociente cuadrático. Si es posible, factorice el cuadrático. Escriba el polinomio como producto de factores. Usar el teorema del factor para resolver una ecuación polinómica Demuestre que ( x + 2 ) es un factor de x 3 - 6 x 2 - x + 30. Halle los factores restantes. Utilice los factores para determinar los ceros del polinomio . Podemos utilizar la división sintética para demostrar que ( x + 2 ) es un factor del polinomio. − 2 1 − 6 - 1 30 - 2 16 − 30 1 - 8 15 0 El restante es cero, por lo que ( x + 2 ) es un factor del polinomio. Podemos utilizar el algoritmo de la división para escribir el polinomio como el producto del divisor y el cociente: ( x + 2 ) ( x 2 - 8 x + 15 ) Podemos factorizar el factor cuadrático para escribir el polinomio como ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x - 5 ) Por el teorema del factor, los ceros de x 3 - 6 x 2 - x + 30 son –2, 3 y 5. Ejercicio Utilice el teorema del factor para hallar los ceros de f ( x ) = x 3 + 4 x 2 - 4 x − 16 dado que ( x - 2 ) es un factor del polinomio. Los ceros son 2, –2 y –4. Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales Otro uso del teorema del resto es probar si un número racional es un cero para un polinomio dado. No obstante, primero necesitamos un conjunto de números racionales para probar. El teorema del cero racional nos permite reducir el número de posibles ceros racionales mediante la relación de los factores del término constante y los factores del coeficiente principal del polinomio. Consideremos una función cuadrática con dos ceros, x = 2 5 y x = 3 4 . Según el teorema del factor, estos ceros tienen factores asociados. Supongamos que cada factor es igual a 0, y luego construyamos la función cuadrática original sin su factor de estiramiento. Observe que dos de los factores del término constante, 6, son los dos numeradores de las raíces racionales originales: 2 y 3. Del mismo modo, dos de los factores del coeficiente principal, 20, son los dos denominadores de las raíces racionales originales: 5 y 4. Podemos deducir que los numeradores de las raíces racionales serán siempre factores del término constante y los denominadores serán factores del coeficiente principal. Esta es la esencia del teorema del cero racional; es un medio para darnos un conjunto de posibles ceros racionales. El teorema del cero racional El teorema del cero racional afirma que, si el polinomio f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 tiene coeficientes enteros, entonces cada cero racional de f ( x ) tiene la forma p q donde p es un factor del término constante a 0 y q es un factor del coeficiente principal a n . Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante. Cómo Dada una función polinómica f ( x ) , utilizar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales. Determine todos los factores del término constante y del coeficiente principal. Determine todos los valores posibles de p q , donde p es un factor del término constante y q es un factor del coeficiente principal. Incluya los candidatos tanto positivos como los negativos. Determine qué posibles ceros en realidad lo son al evaluar cada caso de f ( p q ) . Enumerar todos los posibles ceros racionales Enumere todos los posibles ceros racionales de f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 + x 2 − 4. Los únicos ceros racionales posibles de f ( x ) son los cocientes de los factores del último término, –4, y los factores del coeficiente principal, 2. El término constante es –4; los factores de –4 son p = ±1 , ±2 , ±4. El coeficiente principal es 2; los factores de 2 son q = ±1 , ±2. Si alguno de los cuatro ceros reales son ceros racionales, entonces serán de uno de los siguientes factores de –4 dividido entre uno de los factores de 2. p q = ± 1 1 , ±1, 1 2 p q = ± 2 1 , ±2, 2 2 p q = ± 4 1 , ± 4 2 Observe que 2 2 = 1 y 4 2 = 2 , que ya se han enumerado. Así que podemos acortar nuestra lista. p q = Factores de la última Factores de la primera = ±1 , ±2 , ±4 , ±1, 1 2 Usar el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 4 x + 1. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de 1 y q es un factor de 2. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de 1 factor de 2 Los factores de 1 son ±1 y los factores de 2 son ±1 y ±2. Los posibles valores de p q son ±1 y ± 1 2 . Estos son los posibles ceros racionales de la función. Podemos determinar cuáles de los posibles ceros son realmente ceros al sustituir estos valores por x en f ( x ) . f ( - 1 ) = 2 ( - 1 ) 3 + ( - 1 ) 2 - 4 ( - 1 ) + 1 = 4 f ( 1 ) = 2 ( 1 ) 3 + ( 1 ) 2 - 4 ( 1 ) + 1 = 0 f ( - 1 2 ) = 2 ( - 1 2 ) 3 + ( - 1 2 ) 2 - 4 ( - 1 2 ) + 1 = 3 f ( 1 2 ) = 2 ( 1 2 ) 3 + ( 1 2 ) 2 - 4 ( 1 2 ) + 1 = - 1 2 De esos, −1, − 1 2 , y 1 2 no son ceros de f ( x ) . 1 es el único cero racional de f ( x ) . Ejercicio Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros racionales de f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 2 x + 1. No hay ceros racionales. Hallar los ceros de las funciones polinómicas El teorema del cero racional nos permite reducir la lista de posibles ceros racionales de una función polinómica. Una vez hecho esto, podemos utilizar la división sintética repetidamente para determinar todos los ceros de una función polinómica. Cómo Dada una función polinómica f , utilizar la división sintética para hallar sus ceros. Utilice el teorema del cero racional para enumerar todos los posibles ceros racionales de la función. Utilice la división sintética para evaluar un posible cero dado al dividir sintéticamente el candidato en el polinomio. Si el restante es 0, el candidato es un cero. Si el restante no es cero, descarte el candidato. Repita el segundo paso con el cociente hallado con la división sintética. Si es posible, continúe hasta que el cociente sea un cuadrático. Halle los ceros de la función cuadrática. Dos métodos posibles para resolver cuadráticas son la factorización y el uso de la fórmula cuadrática. Hallar los ceros de una función polinómica con ceros reales repetidos Halle los ceros de f ( x ) = 4 x 3 - 3 x - 1. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de –1 y q es un factor de 4. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de –1 factor de 4 Los factores de – 1 son ±1 y los factores de 4 son ±1 , ±2 , y ±4. Los posibles valores de p q son ±1 , ±1, 1 2 , y ± 1 4 . Estos son los posibles ceros racionales de la función. Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un resto de 0. Empecemos con 1. 1 4 0 - 3 - 1 4 4 1 4 4 1 0 Dividiendo entre ( x – 1 ) da un restante de 0, por lo que 1 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como ( x – 1 ) ( 4 x 2 + 4 x + 1 ) . La cuadrática es un cuadrado perfecto. f ( x ) puede escribirse como ( x – 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 . Ya sabemos que el 1 es un cero. El otro cero tendrá una multiplicidad de 2 porque el factor es cuadrado. Para hallar el otro cero, podemos llevar el factor igual a 0. 2 x + 1 = 0 x = - 1 2 Los ceros de la función son 1 y − 1 2 con multiplicidad 2. Análisis Mire el gráfico de la función f en la . Observe que, en x = − 0,5 , el gráfico rebota en el eje x , lo cual indica la multiplicidad par (2,4,6...) para el cero − 0,5. En x = 1 , el gráfico cruza el eje x , lo cual indica la multiplicidad impar (1, 3, 5...) para el cero x = 1. Usar el teorema fundamental del álgebra Ahora que podemos hallar los ceros racionales de una función polinómica, veremos un teorema que aborda el número de ceros complejos de una función polinómica. El teorema fundamental del álgebra nos instruye que toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Este teorema constituye la base para la resolución de ecuaciones polinómicas. Supongamos que f es una función polinómica de grado cuatro, y f ( x ) = 0 . El teorema fundamental del álgebra establece que existe al menos una solución compleja, llámese c 1 . Por el teorema del factor, podemos escribir f ( x ) como producto de x - c 1 y un cociente polinómico. Dado que x - c 1 es lineal, el cociente polinómico será de grado tres. Ahora aplicamos el teorema fundamental del álgebra al cociente del polinomio de tercer grado. Tendrá al menos un cero complejo, llámese c 2 . Así que podemos escribir el cociente de polinomios como un producto de x - c 2 y un nuevo cociente polinómico de grado dos. Continúe aplicando el teorema fundamental del álgebra hasta hallar todos los ceros. Serán cuatro y cada uno de ellos arrojará un factor de f ( x ) . El teorema fundamental del álgebra establece que, si f(x) es un polinomio de grado n > 0 , entonces f(x) tendrá al menos un cero complejo. Podemos utilizar este teorema para argumentar que, si f ( x ) es un polinomio de grado n > 0 , y a es un número real distinto de cero, entonces f ( x ) tiene exactamente n factores lineales f ( x ) = a ( x - c 1 ) ( x - c 2 ) ... ( x - c n ) donde c 1 , c 2 , ... , c n son números complejos. Por lo tanto, f ( x ) tiene n raíces si permitimos las multiplicidades. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todo polinomio tiene al menos un cero imaginario? No. Un número complejo no es necesariamente imaginario. Los números reales también son números complejos. Hallar los ceros de una función polinómica con ceros complejos Halle los ceros de f ( x ) = 3 x 3 + 9 x 2 + x + 3. El teorema del cero racional nos dice que si p q es un cero de f ( x ) , entonces p es un factor de 3 y q es un factor de 3. p q = factor de término constante factor de coeficiente principal = factor de 3 factor de 3 Los factores de 3 son ±1 y ±3. Los posibles valores de p q , y, por ende, los posibles ceros racionales de la función son ±3 , ±1 y ± 1 3 . Utilizaremos la división sintética para evaluar cada uno de los posibles ceros hasta encontrar uno que dé un restante de 0. Empecemos con –3. − 3 3 9 1 3 - 9 0 - 3 3 0 1 0 Dividiendo entre ( x + 3 ) da un restante de 0, por lo que –3 es un cero de la función. El polinomio puede escribirse como ( x + 3 ) ( 3 x 2 + 1 ) Podemos entonces fijar la cuadrática igual a 0 y resolver para hallar los demás ceros de la función. 3 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 3 x = ± − 1 3 = ± i 3 3 Los ceros de f ( x ) son –3 y ± i 3 3 . Análisis Mire el gráfico de la función f en la . Observe que, en x = - 3 , el gráfico cruza el eje x , lo cual indica una multiplicidad impar (1) para el cero. x = – 3. Observe también la presencia de los dos puntos de inflexión. Esto significa que, al existir un polinomio de 3. er grado, estamos ante el máximo número de puntos de inflexión. Así, el comportamiento final de aumento sin límite hacia la derecha y disminución sin límite hacia la izquierda continuará. Por lo tanto, se muestran todas las intersecciones en x para la función. Así que, o bien la multiplicidad de x = - 3 es 1 y hay dos soluciones complejas, que es lo que encontramos, o la multiplicidad en x = - 3 es tres. En cualquier caso, nuestro resultado es correcto. Ejercicio Halle los ceros de f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − 11 x + 4. Los ceros son –4, 1 2 , y 1 . Usar el teorema de la factorización lineal para hallar polinomios con ceros dados Una implicación vital del teorema fundamental del álgebra , como mencionamos anteriormente, es que una función polinómica de grado n tendrá n ceros en el conjunto de los números complejos, si permitimos las multiplicidades. Esto significa que podemos factorizar la función polinómica en n factores. El teorema de la factorización lineal nos señala que una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y que cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Supongamos que f es una función polinómica con coeficientes reales, y supongamos que a + b i , b ≠ 0 , es un cero de f ( x ) . Entonces, según el teorema del factor, x - ( a + b i ) es un factor de f ( x ) . Para que f tenga coeficientes reales, x - ( a - b i ) también deberá ser un factor de f ( x ) . Esto es así porque cualquier factor que no sea x - ( a - b i ) , cuando se multiplica por x - ( a + b i ) , dejará componentes imaginarios en el producto. Solo la multiplicación con pares conjugados eliminará las partes imaginarias y dará lugar a coeficientes reales. En otras palabras, si una función polinómica f con coeficientes reales tiene un cero complejo a + b i , entonces el conjugado complejo a - b i también será un cero de f ( x ) . Esto se denomina el teorema del conjugado complejo . Nota genérica Teorema del conjugado complejo Según el teorema de la factorización lineal , una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Si la función polinómica f tiene coeficientes reales y un cero complejo en la forma a + b i , entonces el conjugado complejo del cero, a - b i , también es un cero. Cómo Dados los ceros de una función polinómica f y un punto (c, f(c)) en el gráfico de f , utilizar el teorema de la factorización lineal para hallar la función polinómica. Utilice los ceros para construir los factores lineales del polinomio. Multiplique los factores lineales para expandir el polinomio. Sustituya ( c , f ( c ) ) en la función para determinar el coeficiente principal. Simplifique. Usar el teorema de la factorización lineal para hallar un polinomio con ceros dados Halle un polinomio de cuarto grado con coeficientes reales que tenga ceros de –3, 2, i , de manera que f ( – 2 ) = 100. Dado que x = i es un cero, según el teorema del conjugado complejo x = – i también es un cero. El polinomio tendrá factores de ( x + 3 ) , ( x - 2 ) , ( x − i ) , y ( x + i ) . Ya que estamos buscando un polinomio de grado 4, y ahora tenemos cuatro ceros, tenemos los cuatro factores. Empecemos por multiplicar estos factores. f ( x ) = a ( x + 3 ) ( x - 2 ) ( x − i ) ( x + i ) f ( x ) = a ( x 2 + x - 6 ) ( x 2 + 1 ) f ( x ) = a ( x 4 + x 3 - 5 x 2 + x - 6 ) Tenemos que hallar a para asegurar que f ( – 2 ) = 100. Sustituya x = – 2 y f ( 2 ) = 100 en f ( x ) . 100 = a ( ( – 2 ) 4 + ( – 2 ) 3 - 5 ( – 2 ) 2 + ( – 2 ) - 6 ) 100 = a ( − 20 ) - 5 = a Así que la función polinómica es f ( x ) = - 5 ( x 4 + x 3 - 5 x 2 + x - 6 ) o f ( x ) = - 5 x 4 − 5 x 3 + 25 x 2 - 5 x + 30 Análisis Hemos comprobado que tanto i y − i eran ceros, pero solo había que dar uno de estos ceros. Si los valores de i es un cero de un polinomio con coeficientes reales, entonces − i también será un cero del polinomio porque − i es el conjugado complejo de i . PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si 2 + 3 i se diera como un cero de un polinomio con coeficientes reales, sería 2 - 3 i ¿también tiene que ser un cero? Sí. Cuando cualquier número complejo con un componente imaginario se da como un cero de un polinomio con coeficientes reales, el conjugado también será un cero del polinomio. Ejercicio Halle un polinomio de tercer grado con coeficientes reales que tenga ceros de 5 y − 2 i de manera que f ( 1 ) = 10. f ( x ) = - 1 2 x 3 + 5 2 x 2 - 2 x + 10 Usar la regla de los signos de Descartes Existe una forma directa de determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos de cualquier función polinómica. Si el polinomio se escribe en orden descendente, la regla de los signos de Descartes nos habla de una relación entre el número de cambios de signo en f ( x ) y el número de ceros reales positivos. Por ejemplo, la función polinómica siguiente tiene un cambio de signo. Esto nos indica que la función tendrá 1 cero real positivo. Existe una relación similar entre el número de cambios de signo en f ( - x ) y el número de ceros reales negativos. En este caso, f ( −x ) tiene 3 cambios de signo. Esto nos dice que f ( x ) puede tener 3 o 1 ceros reales negativos. La regla de los signos de Descartes Según la regla de los signos de Descartes , supongamos que f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 es una función polinómica con coeficientes reales: El número de ceros reales positivos es igual al número de cambios de signo de f ( x ) o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par. El número de ceros reales negativos es igual al número de cambios de signo de f ( - x ) o es menor que el número de cambios de signo en un número entero par. Usar la regla de los signos de Descartes Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de ceros reales positivos y negativos para f ( x ) = - x 4 - 3 x 3 + 6 x 2 - 4 x − 12. Comience por determinar el número de cambios de signo. Hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales positivas. A continuación, examinamos f ( - x ) para determinar el número de raíces reales negativas. f ( - x ) = - ( - x ) 4 - 3 ( - x ) 3 + 6 ( - x ) 2 - 4 ( - x ) − 12 f ( - x ) = - x 4 + 3 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 12 De nuevo, hay dos cambios de signo, por lo que hay 2 o 0 raíces reales negativas. Hay cuatro posibilidades, como podemos ver en la . Ceros reales positivos Ceros reales negativos Ceros complejos Total de ceros 2 2 0 4 2 0 2 4 0 2 2 4 0 0 4 4 Análisis Podemos confirmar el número de raíces reales positivas y negativas al examinar un gráfico de la función. Vea la . Observamos en el gráfico que la función tiene 0 raíces reales positivas y 2 raíces reales negativas. Ejercicio Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número máximo posible de ceros reales positivos y negativos para f ( x ) = 2 x 4 - 10 x 3 + 11 x 2 − 15 x + 12. Utilice un gráfico para verificar el número de ceros reales positivos y negativos de la función. Deberá haber 4, 2 o 0 raíces reales positivas y 0 raíces reales negativas. El gráfico muestra que hay 2 ceros reales positivos y 0 ceros reales negativos. Resolver aplicaciones del mundo real Ahora hemos introducido una variedad de herramientas para resolver ecuaciones polinómicas. Utilicemos estas herramientas para resolver el problema de la panadería al principio de la sección. Resolver ecuaciones polinómicas Una nueva panadería ofrece pasteles decorados de varios pisos para exponerlos y cortarlos en celebraciones de quinceañeras y bodas, así como pasteles en bandeja para servir a la mayoría de los invitados. La panadería quiere que el volumen de un pastel pequeño de bandeja sea de 351 pulgadas cúbicas. El pastel tiene forma de sólido rectangular. Quieren que la longitud del pastel sea diez centímetros más larga que la anchura y que la altura del pastel sea un tercio de la anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del molde? Empiece por escribir una ecuación para el volumen del pastel. El volumen de un sólido rectangular viene dado por V = l w h . Nos dieron que la longitud debe ser cuatro pulgadas más larga que la anchura, por lo que podemos expresar la longitud del pastel como l = w + 4. Nos han dado que la altura del pastel es un tercio de la anchura, por lo que podemos expresar la altura como h = 1 3 w . Escribamos el volumen del pastel en términos de su anchura. V = ( w + 4 ) ( w ) ( 1 3 w ) V = 1 3 w 3 + 4 3 w 2 Sustituya el volumen dado en esta ecuación. 351 = 1 3 w 3 + 4 3 w 2 Sustituya 351 por V . 1053 = w 3 + 4 w 2 Multiplique ambos lados por 3 . 0 = w 3 + 4 w 2 − 1053 Reste 1053 de ambos lados . La regla de los signos de Descartes nos indica que hay una solución positiva. El teorema del cero racional nos indica que los posibles ceros racionales son ± 1 , ±3,... 3 , ± 9 , ± 13 , ± 27 , ± 39 , ± 81 , ± 117 , ± 351 , y ± 1053. Podemos utilizar la división sintética para comprobar estos posibles ceros. Solo los números positivos tienen sentido como dimensiones para un pastel, así que no necesitamos probar ningún valor negativo. Empecemos por probar los valores que tienen más sentido como dimensiones para un pastel de molde pequeño. Utilice la división sintética para comprobar x = 1. 1 1 4 0 − 1053 1 5 5 1 5 5 − 1048 Ya que 1 no es una solución, comprobaremos x = 3. Ya que 3 tampoco es una solución, probaremos x = 9. La división sintética da un restante de 0, por lo que 9 es una solución de la ecuación. Podemos utilizar las relaciones entre la anchura y las demás dimensiones para determinar la longitud y la altura del molde del pastel. l = w + 4 = 9 + 4 = 13 y h = 1 3 w = 1 3 ( 9 ) = 3 El molde debería tener unas dimensiones de 13 pulgadas por 9 pulgadas por 3 pulgadas. Ejercicio Un contenedor de transporte con forma de sólido rectangular deberá tener un volumen de 84 metros cúbicos. El cliente indica al fabricante que, debido al contenido, la longitud del contenedor deberá ser un metro mayor que la anchura, y la altura deberá ser un metro mayor que el doble de la anchura. ¿Cuáles deberán ser las dimensiones del contenedor? 3 por 4 por 7 metros Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los ceros de las funciones polinómicas. Ceros reales, factores y gráficos de funciones polinómicas Teorema de la factorización compleja Hallar los ceros de una función polinómica Hallar los ceros de una función polinómica 2 Hallar los ceros de una función polinómica 3 Conceptos clave Para hallar f ( k ) , determine el restante del polinomio f ( x ) cuando se divide entre x − k . Vea el . k es un cero de f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) . Vea el . Cada cero racional de una función polinómica con coeficientes enteros será igual a un factor del término constante dividido entre un factor del coeficiente principal. Vea el y el . Cuando el coeficiente principal es 1, los posibles ceros racionales son los factores del término constante. La división sintética puede utilizarse para hallar los ceros de una función polinómica. Vea el . Según el teorema fundamental, toda función polinómica tiene al menos un cero complejo. Vea el . Toda función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo. Teniendo en cuenta las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado. Cada factor tendrá la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo. Vea el . El número de ceros reales positivos de una función polinómica es o bien el número de cambios de signo de la función o bien menor que el número de cambios de signo en un número entero par. El número de ceros reales negativos de una función polinómica es el número de cambios de signo de f ( - x ) o menos que el número de cambios de signo por un número entero par. Vea el . Las ecuaciones polinómicas modelan muchas situaciones en el mundo real. La resolución de las ecuaciones es más fácil de realizar mediante la división sintética. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa un uso del teorema del resto. El teorema se puede utilizar para evaluar un polinomio. Explique por qué el teorema del cero racional no garantiza que se hallen los ceros de una función polinómica. ¿Cuál es la diferencia entre los ceros racionales y los reales? Los ceros racionales pueden expresarse como fracciones, mientras que los ceros reales incluyen números irracionales. Si la regla de los signos de Descartes revela un no cambio de signos o un signo de cambios, ¿qué conclusión concreta se puede extraer? Si la división sintética revela un cero, ¿por qué deberíamos probar de nuevo ese valor como posible solución? Las funciones polinómicas pueden tener ceros repetidos, por lo que el hecho de que un número sea un cero no excluye que vuelva a serlo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del resto para hallar el restante. ( x 4 - 9 x 2 + 14 ) ÷ ( x - 2 ) ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) − 106 ( x 4 + 5 x 3 - 4 x − 17 ) ÷ ( x + 1 ) ( - 3 x 2 + 6 x + 24 ) ÷ ( x - 4 ) 0 ( 5 x 5 - 4 x 4 + 3 x 3 - 2 x 2 + x – 1 ) ÷ ( x + 6 ) ( x 4 - 1 ) ÷ ( x - 4 ) 255 ( 3 x 3 + 4 x 2 - 8 x + 2 ) ÷ ( x - 3 ) ( 4 x 3 + 5 x 2 - 2 x + 7 ) ÷ ( x + 2 ) - 1 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del factor para hallar todos los ceros reales de la función polinómica dada y un factor. f ( x ) = 2 x 3 - 9 x 2 + 13 x - 6 ; x – 1 f ( x ) = 2 x 3 + x 2 - 5 x + 2 ; x + 2 - 2 , 1 , 1 2 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 − 20 x + 12 ; x + 3 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + x + 6 ; x + 2 - 2 f ( x ) = - 5 x 3 + 16 x 2 - 9 ; x - 3 x 3 + 3 x 2 + 4 x + 12 ; x + 3 - 3 4 x 3 - 7 x + 3 ; x – 1 2 x 3 + 5 x 2 - 12 x − 30 , ​ 2 x + 5 - 5 2 , 6 , − 6 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para hallar todos los ceros reales. x 3 - 3 x 2 - 10 x + 24 = 0 2 x 3 + 7 x 2 - 10 x − 24 = 0 2 , - 4 , - 3 2 x 3 + 2 x 2 - 9 x − 18 = 0 x 3 + 5 x 2 - 16 x − 80 = 0 4 , - 4 , - 5 x 3 - 3 x 2 - 25 x + 75 = 0 2 x 3 - 3 x 2 - 32 x - 15 = 0 5 , - 3 , - 1 2 2 x 3 + x 2 - 7 x - 6 = 0 2 x 3 - 3 x 2 - x + 1 = 0 1 2 , 1 + 5 2 , 1 - 5 2 3 x 3 - x 2 − 11 x - 6 = 0 2 x 3 - 5 x 2 + 9 x - 9 = 0 3 2 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 3 = 0 x 4 – 2 x 3 - 7 x 2 + 8 x + 12 = 0 2 , 3 , - 1 , - 2 x 4 + 2 x 3 - 9 x 2 - 2 x + 8 = 0 4 x 4 + 4 x 3 − 25 x 2 - x + 6 = 0 1 2 , - 1 2 , 2 , - 3 2 x 4 - 3 x 3 − 15 x 2 + 32 x - 12 = 0 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 - 10 x - 5 = 0 - 1 , - 1 , 5 , - 5 4 x 3 - 3 x + 1 = 0 8 x 4 + 26 x 3 + 39 x 2 + 26 x + 6 - 3 4 , - 1 2 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones complejas (reales y no reales). x 3 + x 2 + x + 1 = 0 x 3 - 8 x 2 + 25 x − 26 = 0 2 , 3 + 2 i , 3 - 2 i x 3 + 13 x 2 + 57 x + 85 = 0 3 x 3 - 4 x 2 + 11 x + 10 = 0 - 2 3 , 1 + 2 i , 1 - 2 i x 4 + 2 x 3 + 22 x 2 + 50 x − 75 = 0 2 x 3 - 3 x 2 + 32 x + 17 = 0 - 1 2 , 1 + 4 i , 1 - 4 i Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. A continuación, trace un gráfico para confirmar cuál de esas posibilidades es la combinación real. f ( x ) = x 3 - 1 f ( x ) = x 4 - x 2 – 1 1 positivo, 1 negativo f ( x ) = x 3 - 2 x 2 - 5 x + 6 f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + x – 1 3 o 1 positivo, 0 negativo f ( x ) = x 4 + 2 x 3 - 12 x 2 + 14 x - 5 f ( x ) = 2 x 3 + 37 x 2 + 200 x + 300 0 positivo, 3 o 1 negativo f ( x ) = x 3 - 2 x 2 - 16 x + 32 f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 - 5 x 2 + 5 x + 3 2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo f ( x ) = 2 x 4 − 5 x 3 − 14 x 2 + 20 x + 8 f ( x ) = 10 x 4 − 21 x 2 + 11 2 o 0 positivo, 2 o 0 negativo Numéricos En los siguientes ejercicios, enumere todos los posibles ceros racionales de las funciones. f ( x ) = x 4 + 3 x 3 - 4 x + 4 f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 - 8 x + 5 ± 5 , ±1, 1 , ± 5 2 f ( x ) = 3 x 3 + 5 x 2 - 5 x + 4 f ( x ) = 6 x 4 - 10 x 2 + 13 x + 1 ± 1 , ±1, 1 2 , ±1, 1 3 , ±1, 1 6 f ( x ) = 4 x 5 − 10 x 4 + 8 x 3 + x 2 - 8 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función polinómica. A partir del gráfico, halle los ceros racionales. Todas las soluciones reales son racionales. f ( x ) = 6 x 3 - 7 x 2 + 1 1 , 1 2 , - 1 3 f ( x ) = 4 x 3 - 4 x 2 − 13 x - 5 f ( x ) = 8 x 3 - 6 x 2 − 23 x + 6 2 , 1 4 , - 3 2 f ( x ) = 12 x 4 + 55 x 3 + 12 x 2 − 117 x + 54 f ( x ) = 16 x 4 − 24 x 3 + x 2 − 15 x + 25 5 4 Extensiones En los siguientes ejercicios, construya una función polinómica del menor grado posible con la información dada. Raíces reales: –1, 1, 3 y ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 4 ) Raíces reales: –1, 1 (con multiplicidad 2 y 1) y ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 4 ) f ( x ) = 4 9 ( x 3 + x 2 - x – 1 ) Raíces reales: –2, 1 2 (con multiplicidad 2) y ( - 3 , f ( - 3 ) ) = ( - 3 , 5 ) Raíces reales: − 1 2 , 0, 1 2 y ( – 2 , f ( – 2 ) ) = ( – 2 , 6 ) f ( x ) = - 1 5 ( 4 x 3 - x ) Raíces reales: –4, –1, 1, 4 y ( – 2 , f ( – 2 ) ) = ( – 2 , 10 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones de la caja descrita. La longitud es el doble de la anchura. La altura es 2 pulgadas mayor que la anchura. El volumen es de 192 pulgadas cúbicas. 8 por 4 por 6 pulgadas La longitud, la anchura y la altura son números enteros consecutivos. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas. La longitud es una pulgada más que la anchura, que es una pulgada más que la altura. El volumen es de 86,625 pulgadas cúbicas. 5,5 por 4,5 por 3,5 pulgadas La longitud es tres veces la altura y la altura es una pulgada menos que la anchura. El volumen es de 108 pulgadas cúbicas. La longitud es 3 pulgadas más que la anchura. La anchura es 2 pulgadas más que la altura. El volumen es de 120 pulgadas cúbicas. 8 por 5 por 3 pulgadas En los siguientes ejercicios, halle las dimensiones del cilindro circular descrito. El radio es 3 pulgadas más que la altura. El volumen es 16 π pulgadas cúbicas. La altura es uno menos que la mitad del radio. El volumen es 72 π metros cúbicos. Radio = 6 metros, altura = 2 metros El radio y la altura difieren en un metro. El radio es mayor y el volumen es 48 π metros cúbicos. El radio y la altura difieren en dos metros. La altura es mayor y el volumen es 28,125 π metros cúbicos. Radio = 2,5 metros, altura = 4,5 metros 80. El radio es 1 3 metro mayor que la altura. El volumen es 98 9 π metros cúbicos. La regla de los signos de Descartes una regla que determina el número máximo posible de ceros reales positivos y negativos en función del número de cambios de signo de f ( x ) y f ( - x ) Teorema del factor k es un cero de la función polinómica f ( x ) si y solo si ( x − k ) es un factor de f ( x ) Teorema fundamental del álgebra una función polinómica de grado superior a 0 tiene al menos un cero complejo Teorema de la factorización lineal permitiendo las multiplicidades, una función polinómica tendrá el mismo número de factores que su grado, y cada factor estará en la forma ( x - c ) , donde c es un número complejo Teorema del cero racional los posibles ceros racionales de una función polinómica tienen la forma p q donde p es un factor del término constante y q es un factor del coeficiente principal. 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{"text": "Funciones racionales Supongamos que sabemos que el costo de fabricación de un producto depende del número de artículos, x , producidos. Esto viene dado por la ecuación C ( x ) = 15.000 x − 0,1 x 2 + 1.000. Si queremos saber el costo promedio de producir x artículos, dividiríamos la función de costo entre el número de artículos, x . La función de costo promedio, que arroja el costo promedio por artículo para x artículos producidos, es f ( x ) = 15.000 x − 0,1 x 2 + 1.000 x Muchos otros problemas de aplicación requieren hallar un valor promedio de forma similar, para darnos variables en el denominador. Esta función, escrita sin ninguna variable en el denominador, contendrá una potencia entera negativa. En las últimas secciones, hemos trabajado con funciones polinómicas, que son funciones con enteros no negativos para los exponentes. En esta sección, exploramos las funciones racionales, que tienen variables en el denominador. Usar la notación de flechas Hemos visto los gráficos de la función recíproca básica y de la función recíproca al cuadrado a partir de nuestro estudio de las funciones de la caja de herramientas. Examine estos gráficos, como se muestra en la , y observe algunas de sus características. Varios aspectos son evidentes si examinamos el gráfico de f ( x ) = 1 x . En la rama izquierda del gráfico, la curva se acerca al eje x ( y = 0 ) dado que x → – ∞ . A medida que el gráfico se acerca a x = 0 desde la izquierda, la curva desciende; sin embargo, a medida que nos acercamos a cero desde la derecha, la curva sube. Finalmente, en la rama derecha del gráfico, las curvas se acercan al eje x ( y = 0 ) dado que x → ∞ . Para resumir, utilizamos la notación de flecha para mostrar que x o f ( x ) se acerca a un valor determinado. Vea la . Notación de flechas Símbolo Significado x → a − x se acerca a a desde la izquierda ( x < a pero está cerca de a ). x → a + x se acerca a a desde la derecha ( x > a pero está cerca de a ). x → ∞ x se acerca al infinito ( x aumenta sin límite) x → - ∞ x se acerca al infinito negativo ( x disminuye sin límite) f ( x ) → ∞ la salida se acerca al infinito (la salida aumenta sin límite) f ( x ) → - ∞ la salida se acerca al infinito negativo (la salida disminuye sin límite) f ( x ) → a la salida se acerca a a Comportamiento local de f ( x ) = 1 x Empecemos por ver la función recíproca, f ( x ) = 1 x . No podemos dividir entre cero, lo que significa que la función es indefinida en x = 0 ; por lo que el cero no está en el dominio . A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado izquierdo (para convertirse en valores muy pequeños y negativos), los valores de la función disminuyen sin límite (en otras palabras, se acercan al infinito negativo). Podemos ver este comportamiento en la . x –0,1 –0,01 –0,001 –0,0001 f ( x ) = 1 x -10 –100 –1.000 –10.000 Escribimos en la notación de flechas dado que x → 0 − , f ( x ) → - ∞ A medida que los valores de entrada se acercan a cero desde el lado derecho (para convertirse en valores positivos muy pequeños), los valores de la función aumentan sin límite (se acercan al infinito). Podemos ver este comportamiento en la . x 0,1 0,01 0,001 0,0001 f ( x ) = 1 x 10 100 1.000 10.000 Escribimos en la notación de flechas Dado que x → 0 + , f ( x ) → ∞ . Vea la . Este comportamiento crea una asíntota vertical , que es una línea vertical a la que se acerca el gráfico, pero nunca cruza. En este caso, el gráfico se acerca a la línea vertical x = 0 a medida que la entrada se acerca a cero. Vea la . Asíntota vertical La asíntota vertical de un gráfico es una línea vertical x = a donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que la entrada se acerca a a ya sea a la izquierda o a la derecha. Escribimos Dado que x → a – , f ( x ) → ± ∞ o x → a + , f ( x ) → ± ∞ . Comportamiento final de f ( x ) = 1 x Dado que los valores de x se acercan al infinito, los valores de la función se acercan a 0. Dado que los valores de x se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan a 0. Vea la . Simbólicamente, mediante la notación de flechas Dado que x → ∞ , f ( x ) → 0 y dado que x → - ∞ , f ( x ) → 0 . Con base en este comportamiento general y en el gráfico, vemos que la función se acerca a 0, pero nunca llega realmente a 0; parece que se nivela a medida que aumentan las entradas. Este comportamiento crea una asíntota horizontal , una línea horizontal a la que se acerca el gráfico a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite. En este caso, el gráfico se acerca a la línea horizontal y = 0 . Vea la . Asíntota horizontal La asíntota horizontal de un gráfico es una línea horizontal y = b donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. Escribimos Dado que x → ∞ o x → - ∞ , f ( x ) → b . Usar la notación de flechas Utilice la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función graficada en la . Observe que el gráfico muestra una asíntota vertical en x = 2 , que nos señala que la función es indefinida en x = 2. Dado que x → 2 − , f ( x ) → - ∞ , y dado que x → 2 + , f ( x ) → ∞ . Además, a medida que las entradas disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 4, lo que indica una asíntota horizontal en y = 4. A medida que las entradas aumentan sin límite, el gráfico se nivela en 4. Dado que x → ∞ , f ( x ) → 4 y dado que x → - ∞ , f ( x ) → 4. Ejercicio Use la notación de flecha para describir el comportamiento final y el comportamiento local de la función recíproca al cuadrado. Comportamiento final: dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 0 ; Comportamiento local: dado que x → 0 , f ( x ) → ∞ (no hay intersecciones en x o en y ) Usar transformaciones para graficar una función racional Dibuje un gráfico de la función recíproca, desplazada 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Identifique las asíntotas horizontales y verticales del gráfico, si las hay. Al desplazar el gráfico 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba se obtendría la función f ( x ) = 1 x + 2 + 3 o, de forma equivalente, al conferir a los términos un denominador común, f ( x ) = 3 x + 7 x + 2 El gráfico de la función desplazada se muestra en la . Observe que esta función es indefinida en x = - 2 , y el gráfico también muestra una asíntota vertical en x = − 2. Dado que x → - 2 − , f ( x ) → - ∞ , y dado que x → - 2 + , f ( x ) → ∞ . A medida que las entradas aumentan y disminuyen sin límite, el gráfico parece nivelarse en los valores de salida de 3, lo que indica una asíntota horizontal en y = 3. Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 3. Análisis Observe que las asíntotas horizontales y verticales se desplazan 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba, junto con la función. Ejercicio Dibuje el gráfico y halle las asíntotas horizontales y verticales de la función recíproca al cuadrado que se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo. La función y las asíntotas están desplazadas 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Dado que x → 3 , f ( x ) → ∞ , y dado que x → ± ∞ , f ( x ) → − 4. La función es f ( x ) = 1 ( x - 3 ) 2 − 4. Resolver problemas aplicados con funciones racionales En el , hemos desplazado una función de la caja de herramientas de manera que la función f ( x ) = 3 x + 7 x + 2 . Este es un ejemplo de función racional. La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas. Muchos problemas del mundo real exigen que hallemos el cociente de dos funciones polinómicas. Los problemas que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Función racional La función racional es aquella que se escribe como el cociente de dos funciones polinómicas P ( x ) y Q ( x ) . f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a p x p + a p - 1 x p - 1 + ... + a 1 x + a 0 b q x q + b q − 1 x q − 1 + ... + b 1 x + b 0 , Q ( x ) ≠ 0 Resolver un problema aplicado con una función racional Después de quedarse sin suministros preempacados, una enfermera de un campo de refugiados prepara una solución de azúcar intravenosa para los pacientes del hospital de campaña. Un gran tanque de mezcla contiene actualmente 100 galones de agua en los que se han mezclado 5 libras de azúcar. Un grifo se abrirá para verter 10 galones por minuto de agua en el tanque, al mismo tiempo que se vierte azúcar a un ritmo de 1 libra por minuto. Halle la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de 12 minutos. ¿Es una concentración mayor que al principio? Supongamos que t es el número de minutos desde que se abrió el grifo. Dado que el agua aumenta a 10 galones por minuto, y el azúcar aumenta a 1 libra por minuto, estas son tasas constantes de cambio. Esto nos indica que la cantidad de agua en el tanque cambia linealmente, al igual que la cantidad de azúcar. Podemos escribir una ecuación de forma independiente para cada una de ellas: agua: W ( t ) = 100 + 10 t en galones azúcar: S ( t ) = 5 + 1 t en libras La concentración, C , será la proporción de libras de azúcar por galones de agua C ( t ) = 5 + t 100 + 10 t La concentración después de 12 minutos viene dada por la evaluación de C ( t ) en t = 12. C ( 12 ) = 5 + 12 100 + 10 ( 12 ) = 17 220 Esto significa que la concentración es de 17 libras de azúcar por 220 galones de agua. Al principio, la concentración es C ( 0 ) = 5 + 0 100 + 10 ( 0 ) = 1 20 Dado que 17 220 ≈ 0,08 > 1 20 = 0,05 , la concentración es mayor después de 12 minutos que al principio. Análisis Para calcular la asíntota horizontal, divida el coeficiente principal del numerador entre el coeficiente principal del denominador: 1 10 = 0,1 Observe que la asíntota horizontal es y = 0,1. Esto significa que la concentración, C , la proporción de libras de azúcar por galones de agua, se acercará a 0,1 a largo plazo. Ejercicio Hay 1.200 estudiantes de primer año y 1.500 de segundo en una concentración al mediodía. Después de las 12 p. m., 20 estudiantes de primer año llegan a la concentración cada cinco minutos, mientras que 15 estudiantes de segundo año la abandonan. Halle la relación de estudiantes de primer y segundo años a la 1 p. m. 12 11 Hallar los dominios de las funciones racionales La asíntota vertical representa un valor en el que una función racional es indefinida, por lo que ese valor no está en el dominio de la función. La función recíproca no puede tener valores en su dominio que hagan que el denominador sea igual a cero. En general, para hallar el dominio de la función racional, necesitamos determinar qué entradas provocarían la división entre cero. Dominio de la función racional El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero. Cómo Dada una función racional, hallar el dominio. Igualar el denominador a cero. Resuelva para hallar los valores de x que hacen que el denominador sea igual a cero. El dominio son todos los números reales, excepto los encontrados en el paso 2. Hallar el dominio de una función racional Halle el dominio de f ( x ) = x + 3 x 2 - 9 . Comience por igualar el denominador a cero y resolver. x 2 - 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 3 El denominador es igual a cero cuando x = ± 3. El dominio de la función son todos los números reales, excepto x = ± 3. Análisis El gráfico de esta función, como se muestra en la , confirma que la función no está definida cuando x = ± 3. Hay una asíntota vertical en x = 3 y un agujero en el gráfico en x = − 3. Más adelante hablaremos con más detalle acerca de este tipo de agujeros. Ejercicio Halle el dominio de f ( x ) = 4 x 5 ( x – 1 ) ( x - 5 ) . El dominio son todos los números reales, excepto x = 1 y x = 5. Identificar las asíntotas verticales de las funciones racionales Al observar el gráfico de una función racional, podemos investigar su comportamiento local y ver fácilmente si hay asíntotas. Puede que incluso seamos capaces de calcular aproximadamente su ubicación. Sin embargo, incluso sin el gráfico, podemos determinar si una función racional dada tiene alguna asíntota y calcular su ubicación. Asíntotas verticales Las asíntotas verticales de una función racional se hallan al examinar los factores del denominador que no son comunes a los factores del numerador. Las asíntotas verticales se producen en los ceros de dichos factores. Cómo Dada una función racional, identificar las asíntotas verticales de su gráfico. Factorice el numerador y el denominador. Tenga en cuenta las restricciones en el dominio de la función. Reduzca la expresión al cancelar los factores comunes en el numerador y el denominador. Tenga en cuenta los valores que hacen que el denominador sea cero en esta versión simplificada. Aquí es donde se producen las asíntotas verticales. Observe cualquier restricción en el dominio donde no se produzcan asíntotas. Se trata de discontinuidades removibles. Identificar asíntotas verticales Halle las asíntotas verticales en el gráfico de k ( x ) = 5 + 2 x 2 2 - x – x 2 . En primer lugar, factorice el numerador y el denominador. k ( x ) = 5 + 2 x 2 2 - x – x 2 = 5 + 2 x 2 ( 2 + x ) ( 1 - x ) Para hallar las asíntotas verticales, determinamos dónde esta función será indefinida al igualar el denominador a cero: ( 2 + x ) ( 1 - x ) = 0 x = - 2 , 1 Ni x = – 2 ni x = 1 son ceros del numerador, por lo que los dos valores indican dos asíntotas verticales. El gráfico de la confirma la ubicación de las dos asíntotas verticales. Discontinuidades removibles En ocasiones, un gráfico contiene un agujero: un único punto en el que el gráfico no está definido, indicado por un círculo abierto. Denominamos a tal agujero discontinuidad removible . Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 – 1 x 2 - 2 x - 3 puede reescribirse mediante la factorización del numerador y del denominador. f ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 1 ) ( x - 3 ) Observe que x + 1 es un factor común al numerador y al denominador. El cero de este factor, x = - 1 , es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe también que x – 3 no es un factor ni en el numerador ni en el denominador. El cero de este factor, x = 3 , es la asíntota vertical. Vea la . Discontinuidades removibles de las funciones racionales La discontinuidad removible ocurre en el gráfico de una función racional en x = a si a es un cero para un factor en el denominador que es común con un factor en el numerador. Factorizamos el numerador y el denominador y comprobamos si hay factores comunes. Si encontramos alguno, igualamos a 0 el factor común y resolvemos. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Esto es así si la multiplicidad de este factor es mayor o igual que la del denominador. Si la multiplicidad de este factor es mayor en el denominador, entonces sigue habiendo una asíntota en ese valor. Identificar asíntotas verticales y discontinuidades removibles para un gráfico Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de k ( x ) = x - 2 x 2 - 4 . Factorice el numerador y el denominador. k ( x ) = x - 2 ( x - 2 ) ( x + 2 ) Observe que hay un factor común en el numerador y en el denominador, x – 2. El cero en este factor es x = 2. Esta es la ubicación de la discontinuidad removible. Observe que hay un factor en el denominador que no está en el numerador, x + 2. El cero en este factor es x = − 2. La asíntota vertical es x = − 2. Vea la . El gráfico de esta función tendrá la asíntota vertical en x = –2 , pero en x = 2 el gráfico tendrá un agujero. Ejercicio Calcule las asíntotas verticales y las discontinuidades removibles del gráfico de f ( x ) = x 2 - 25 x 3 - 6 x 2 + 5 x . Discontinuidad removible en x = 5. Asíntotas verticales x = 0 , x = 1. Identificar las asíntotas horizontales de las funciones racionales Mientras que las asíntotas verticales describen el comportamiento de un gráfico cuando la salida es muy grande o muy pequeña, las asíntotas horizontales describen el comportamiento de un gráfico cuando la entrada es muy grande o muy pequeña. Recordemos que el comportamiento final de un polinomio reflejará el del término principal. Asimismo, el comportamiento final de la función racional reflejará el del cociente de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Hay tres resultados distintos al comprobar las asíntotas horizontales: Caso 1: Si el grado del denominador > grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y = 0 . Ejemplo: f ( x ) = 4 x + 2 x 2 + 4 x - 5 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 4 x x 2 = 4 x . Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g ( x ) = 4 x , y las salidas se acercarán a cero, lo que dará lugar a una asíntota horizontal en y = 0 . Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal. Asíntota horizontal y = 0 cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p < grado de q . Caso 2: Si el grado del denominador < grado del numerador en uno, obtenemos una asíntota oblicua. Ejemplo: f ( x ) = 3 x 2 - 2 x + 1 x – 1 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 3 x 2 x = 3 x . Esto nos indica que, a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite, esta función se comportará de forma similar a la función g ( x ) = 3 x . A medida que las entradas crezcan, las salidas crecerán y no se nivelarán, por lo que este gráfico no tiene asíntota horizontal. Sin embargo, el gráfico de g ( x ) = 3 x parece una línea diagonal, y dado que f se comportará de forma similar a g , se aproximará a una línea cercana a y = 3 x . Esta línea es una asíntota oblicua. Para hallar la ecuación de la asíntota oblicua, divida 3 x 2 - 2 x + 1 x – 1 . El cociente es 3 x + 1 , y el restante es 2. La asíntota oblicua es el gráfico de la recta g ( x ) = 3 x + 1. Vea la . Asíntota oblicua cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p > grado de q por 1 . Caso 3: Si el grado del denominador = grado del numerador, existe una asíntota horizontal en y = a n b n , donde a n y b n son los coeficientes principales de p ( x ) como q ( x ) por f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 . Ejemplo: f ( x ) = 3 x 2 + 2 x 2 + 4 x - 5 En este caso, el comportamiento final es f ( x ) ≈ 3 x 2 x 2 = 3. Esto nos indica que, a medida que las entradas crezcan, esta función se comportará como la función g ( x ) = 3 , que es una línea horizontal. Dado que x → ± ∞ , f ( x ) → 3 , lo que da lugar a una asíntota horizontal en y = 3. Vea la . Observe que este gráfico cruza la asíntota horizontal. Asíntota horizontal cuando f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 donde el grado de p = grado de q . Observe que, mientras que el gráfico de una función racional nunca cruzará una asíntota vertical , el gráfico puede o no cruzar una asíntota horizontal u oblicua. Además, aunque el gráfico de una función racional puede tener muchas asíntotas verticales, el gráfico tendrá como mucho una asíntota horizontal (u oblicua). Hay que tener en cuenta que, si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador en más de uno, el comportamiento final del gráfico imitará el comportamiento de la fracción reducida de comportamiento final. Por ejemplo, si tuviéramos la función f ( x ) = 3 x 5 - x 2 x + 3 con comportamiento final f ( x ) ≈ 3 x 5 x = 3 x 4 , el comportamiento final del gráfico sería semejante al de un polinomio par con coeficiente principal positivo. x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ Asíntotas horizontales de las funciones racionales La asíntota horizontal de una función racional se determina al mirar los grados del numerador y del denominador. El grado del numerador es menor que el grado del denominador: asíntota horizontal en y = 0 . El grado del numerador es mayor que el grado del denominador en uno : no hay asíntota horizontal; asíntota oblicua. El grado del numerador es igual al grado del denominador: asíntota horizontal en la relación de los coeficientes principales. Identificar asíntotas horizontales y oblicuas En las siguientes funciones, identifique la asíntota horizontal o la asíntota oblicua. Ⓐ g ( x ) = 6 x 3 - 10 x 2 x 3 + 5 x 2 Ⓑ h ( x ) = x 2 - 4 x + 1 x + 2 Ⓒ k ( x ) = x 2 + 4 x x 3 - 8 Para estas soluciones, utilizaremos f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , q ( x ) ≠ 0 . Ⓐ g ( x ) = 6 x 3 - 10 x 2 x 3 + 5 x 2 : El grado de p = grado de q = 3 , por lo que podemos hallar la asíntota horizontal al tomar el cociente de los términos principales. Hay una asíntota horizontal en y = 6 2 o y = 3. Ⓑ h ( x ) = x 2 - 4 x + 1 x + 2 : El grado de p = 2 y el grado de q = 1. Dado que p > q por 1, hay una asíntota oblicua, que se encuentra en x 2 - 4 x + 1 x + 2 . -2 1 - 4 1 - 2 12 1 − 6 13 El cociente es x – 6 y el restante es 13. Hay una asíntota oblicua en y = x – 6. Ⓒ k ( x ) = x 2 + 4 x x 3 - 8 : El grado de p = 2 < grado de q = 3 , por lo que hay una asíntota horizontal y = 0 . Identificar asíntotas horizontales En el problema de concentración de azúcar anterior, creamos la ecuación C ( t ) = 5 + t 100 + 10 t . Halle la asíntota horizontal e interprétela en el contexto del problema. Tanto el numerador como el denominador son lineales (grado 1). Dado que los grados son iguales, habrá una asíntota horizontal en la relación de los coeficientes principales. En el numerador, el término principal es t , con el coeficiente 1. En el denominador, el término principal es 10 t , con el coeficiente 10. La asíntota horizontal estará en el cociente de estos valores: t → ∞ , C ( t ) → 1 10 Esta función tendrá una asíntota horizontal en y = 1 10 . Esto nos indica que, a medida que los valores de t aumentan, los valores de C se acercarán a 1 10 . En el contexto, esto significa que, a medida que pasa el tiempo, la concentración de azúcar en el tanque se acercará a un décimo de libra de azúcar por galón de agua o 1 10 libras por galón. Identificar asíntotas horizontales y verticales Halle las asíntotas horizontales y verticales de la función f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) En primer lugar, hay que tener en cuenta que esta función no tiene factores comunes, por lo que no hay posibles discontinuidades removibles. La función tendrá asíntotas verticales cuando el denominador sea cero, lo que hace que la función sea indefinida. El denominador será cero en x = 1 , – 2 , y 5 , lo que indica las asíntotas verticales en estos valores. El numerador tiene grado 2, mientras que el denominador tiene grado 3. Ya que el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, el denominador aumentará más rápido que el numerador, por lo que las salidas tenderán a cero a medida que aumenten las entradas, y así como x → ± ∞ , f ( x ) → 0 . Esta función tendrá una asíntota horizontal en y = 0 . Vea la . Ejercicio Halle las asíntotas vertical y horizontal de la función: f ( x ) = ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 ) Asíntotas verticales en x = 2 y x = – 3 ; asíntota horizontal en y = 4. Intersecciones de las funciones racionales Una función racional tendrá una intersección en y cuando la entrada sea cero, si la función está definida en cero. Una función racional no tendrá intersección en y si la función no está definida en cero. Del mismo modo, una función racional tendrá intersecciones en x en las entradas que hacen que la salida sea cero. Dado que una fracción solo es igual a cero cuando el numerador es cero, las intersecciones en x ocurren únicamente cuando el numerador de la función racional es igual a cero. Hallar las intersecciones de una función racional Halle las intersecciones de f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) . Podemos encontrar la intersección en y al evaluar la función en cero f ( 0 ) = ( 0 - 2 ) ( 0 + 3 ) ( 0 - 1 ) ( 0 + 2 ) ( 0 − 5 ) = − 6 10 = - 3 5 = − 0,6 Las intersecciones en x se producirán cuando la función sea igual a cero: 0 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x - 5 ) Es cero cuando el numerador es cero . 0 = ( x - 2 ) ( x + 3 ) x = 2 , - 3 La intersección en y es ( 0 , –0,6 ) , las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( -3 , 0 ) . Vea la . Ejercicio Dada la función recíproca al cuadrado que se desplaza 3 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo, escríbala como una función racional. A continuación, halle las intersecciones en x y en y , así como las asíntotas horizontales y verticales. Para la función recíproca transformada al cuadrado, hallamos la forma racional f ( x ) = 1 ( x - 3 ) 2 - 4 = 1 - 4 ( x - 3 ) 2 ( x - 3 ) 2 = 1 - 4 ( x 2 - 6 x + 9 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) = – 4 x 2 + 24 x − 35 x 2 - 6 x + 9 Ya que el numerador es del mismo grado que el denominador, sabemos que, dado que x → ± ∞ , f ( x ) → − 4 ; por lo que y = – 4 es la asíntota horizontal. A continuación, igualamos el denominador a cero, y hallamos que la asíntota vertical es x = 3 , porque, dado que x → 3 , f ( x ) → ∞ . A continuación, igualamos el numerador a 0 y hallamos que las intersecciones en x están en ( 2,5 , 0 ) y ( 3,5 , 0 ) . Por último, evaluamos la función en 0 y hallamos que la intersección en y está en ( 0 , - 35 9 ) . Graficar funciones racionales En el , vemos que el numerador de la función racional revela las intersecciones en x del gráfico, mientras que el denominador revela las asíntotas verticales. Al igual que con los polinomios, los factores del numerador pueden tener potencias enteras mayores que uno. Afortunadamente, el efecto sobre la forma del gráfico en esas intersecciones es el mismo que vimos con los polinomios. Las asíntotas verticales asociadas a los factores del denominador reflejarán una de las dos funciones recíprocas de la caja de herramientas. Cuando el grado del factor en el denominador es impar, la característica distintiva es que, a un lado de la asíntota vertical, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo, mientras que, al otro lado, el gráfico se dirige hacia el infinito negativo. Vea la . Cuando el grado del factor en el denominador es par, la característica distintiva es que el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en ambos lados de la asíntota vertical o se dirige hacia el infinito negativo en ambos lados. Vea la . Por ejemplo, el gráfico de f ( x ) = ( x + 1 ) 2 ( x - 3 ) ( x + 3 ) 2 ( x - 2 ) se muestra en la . En la intersección en x x = - 1 correspondiente al factor ( x + 1 ) 2 del numerador, el gráfico rebota, en consonancia con la naturaleza cuadrática del factor. En la intersección en x x = 3 correspondiente al factor ( x - 3 ) del numerador, el gráfico pasa por el eje, como cabría esperarse de un factor lineal. En la asíntota vertical x = - 3 correspondiente al factor ( x + 3 ) 2 del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo a ambos lados de la asíntota, lo que es compatible con el comportamiento de la función f ( x ) = 1 x 2 . En la asíntota vertical x = 2 , correspondiente al factor ( x - 2 ) del denominador, el gráfico se dirige hacia el infinito positivo en el lado izquierdo de la asíntota y hacia el infinito negativo en el lado derecho. Cómo Dada una función racional, dibuje un gráfico. Evalúe la función en 0 para hallar la intersección en y . Factorice el numerador y el denominador. En los factores del numerador que no son comunes al denominador, determine dónde cada factor del numerador es cero para hallar las intersecciones en x . Calcule las multiplicidades de las intersecciones en x para determinar el comportamiento del gráfico en esos puntos. En los factores del denominador, observe las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento local. En los factores que no sean comunes al numerador, halle las asíntotas verticales al igualar esos factores a cero y luego resuelva. En los factores en el denominador comunes a los factores en el numerador, halle las discontinuidades removibles al igualar esos factores a 0 y luego resuelva. Compare los grados del numerador y del denominador para determinar las asíntotas horizontales u oblicuas. Dibuje el gráfico. Graficar una función racional Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) 2 ( x - 2 ) . Podemos empezar observando que la función ya está factorizada, lo que nos ahorra un paso. A continuación, hallaremos las intersecciones. Al evaluar la función en el cero se obtiene la intersección en y : f ( 0 ) = ( 0 + 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 + 1 ) 2 ( 0 - 2 ) = 3 Para hallar las intersecciones en x , determinamos cuándo el numerador de la función es cero. Si cada factor es igual a cero, hallaremos las intersecciones en x en x = -2 y x = 3. En cada una de ellas, el comportamiento será lineal (multiplicidad 1), donde el gráfico pasa a través de la intersección. Tenemos una intersección en y en ( 0 , 3 ) y las intersecciones en x en ( -2 , 0 ) y ( 3 , 0 ) . Para hallar las asíntotas verticales, determinamos cuándo el denominador es igual a cero. Esto ocurre cuando x + 1 = 0 y cuando x – 2 = 0 , lo que nos da asíntotas verticales en x = -1 y x = 2. No hay factores comunes en el numerador y el denominador. Esto significa que no hay discontinuidades removibles. Finalmente, el grado del denominador es mayor que el grado del numerador, lo que nos indica que este gráfico tiene una asíntota horizontal en y = 0 . Para dibujar el gráfico, podríamos empezar por trazar las tres intersecciones. Debido a que el gráfico no tiene intersecciones en x entre las asíntotas verticales, y la intersección en y es positiva, sabemos que la función debe seguir siendo positiva entre las asíntotas, lo que nos permite rellenar la parte central del gráfico como se muestra en la . El factor asociado a la asíntota vertical en x = −1 se elevó al cuadrado, por lo que sabemos que el comportamiento será el mismo a ambos lados de la asíntota. El gráfico se dirige hacia el infinito positivo a medida que las entradas se acercan a la asíntota de la derecha, por lo que el gráfico también se dirigirá hacia el infinito positivo de la izquierda. Para la asíntota vertical en x = 2 , el factor no se elevó al cuadrado, por lo que el gráfico tendrá un comportamiento opuesto a ambos lados de la asíntota. Vea la . Después de pasar por las intersecciones en x , el gráfico se nivelará hacia una salida de cero, como lo indica la asíntota horizontal. Ejercicio Dada la función f ( x ) = ( x + 2 ) 2 ( x - 2 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x - 3 ) , utilice las características de los polinomios y de las funciones racionales para describir su comportamiento y hacer un esquema de la función. Asíntota horizontal en y = 1 2 . Asíntotas verticales en x = 1 y x = 3. intersección en y , en ( 0 , 4 3 . ) intersecciones en x en ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . ( – 2 , 0 ) es un cero con multiplicidad 2, y el gráfico rebota en el eje x en este punto. ( 2 , 0 ) es un solo cero y el gráfico cruza el eje en este punto. Escribir funciones racionales Ahora que hemos analizado las ecuaciones de las funciones racionales y cómo se relacionan con un gráfico de la función, podemos utilizar la información dada por un gráfico para escribir la función. La función racional escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x , donde cada factor del numerador es igual a cero. (Se produce una excepción en el caso de discontinuidad removible). En consecuencia, podemos formar el numerador de una función cuyo gráfico pase por un conjunto de intersecciones en x , al introducir el correspondiente conjunto de factores. Asimismo, dado que la función tendrá una asíntota vertical en la que cada factor del denominador es igual a cero, podemos formar un denominador que produzca las asíntotas verticales al introducir el correspondiente conjunto de factores. Escribir funciones racionales a partir de intersecciones y asíntotas Si una función racional tiene intersecciones en x en x = x 1 , x 2 , ... , x n , asíntotas verticales en x = v 1 , v 2 , … , v m , y ninguna x i = cualquier v j , entonces la función se puede escribir en la forma: f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n ( x – v 1 ) q 1 ( x – v 2 ) q 2 ⋯ ( x – v m ) q m donde las potencias p i o q i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección o asíntota correspondiente y el factor de estiramiento a puede determinarse dado un valor de la función distinto de la intersección en x o por la asíntota horizontal si es distinta de cero. Cómo Dado el gráfico de una función racional, escribir la función. Determine los factores del numerador. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar los ceros y sus multiplicidades. (Esto es fácil cuando se halla la función \"más simple\" con multiplicidades pequeñas [como 1 o 3]. Sin embargo, puede ser difícil para multiplicidades mayores [como 5 o 7, por ejemplo]). Determine los factores del denominador. Examine el comportamiento a ambos lados de cada asíntota vertical para determinar los factores y sus potencias. Utilice cualquier punto claro en el gráfico para hallar el factor de estiramiento. Escribir una función racional a partir de las intersecciones y las asíntotas Escriba una ecuación para la función racional que se muestra en la . El gráfico parece tener intersecciones en x en x = – 2 y x = 3. En ambos, el gráfico pasa por la intersección, lo que sugiere factores lineales. El gráfico tiene dos asíntotas verticales. La que está en x = – 1 exhibe el comportamiento básico, semejante al de 1 x , donde el gráfico se dirige hacia el infinito positivo por un lado y hacia el infinito negativo por el otro. La asíntota en x = 2 exhibe un comportamiento semejante al de 1 x 2 , donde el gráfico se dirige hacia el infinito negativo a ambos lados de la asíntota. Vea la . Podemos utilizar esta información para escribir una función de la forma f ( x ) = a ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) 2 . Para hallar el factor de estiramiento, podemos utilizar otro punto claro en el gráfico, como la intersección en y ( 0 , -2 ) . − 2 = a ( 0 + 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) 2 - 2 = a − 6 4 a = - 8 - 6 = 4 3 Esto nos da una función final de f ( x ) = 4 ( x + 2 ) ( x - 3 ) 3 ( x + 1 ) ( x - 2 ) 2 . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones racionales. Graficar funciones racionales Hallar la ecuación de una función racional Determinar asíntotas verticales y horizontales Hallar las intersecciones, las asíntotas y el agujero de una función racional Ecuaciones clave Función racional f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) = a p x p + a p - 1 x p - 1 + ... + a 1 x + a 0 b q x q + b q − 1 x q − 1 + ... + b 1 x + b 0 , Q ( x ) ≠ 0 Conceptos clave Podemos utilizar la notación de flecha para describir el comportamiento local y el comportamiento final de las funciones de la caja de herramientas f ( x ) = 1 x y f ( x ) = 1 x 2 . Vea el . Una función que se nivela en un valor horizontal tiene una asíntota horizontal. Una función puede tener más de una asíntota vertical. Vea el . Los problemas de aplicación que implican tasas y concentraciones a menudo implican funciones racionales. Vea el . El dominio de una función racional incluye todos los números reales excepto aquellos que hacen que igualan el denominador a cero. Vea el . Las asíntotas verticales de una función racional se darán cuando el denominador de la función sea igual a cero y el numerador sea distinto a cero. Vea el . Puede producirse una discontinuidad removible en el gráfico de una función racional si una entrada hace que tanto el numerador como el denominador sean cero. Vea el . El comportamiento final de una función racional reflejará el de la relación de los términos principales de las funciones del numerador y del denominador. Vea el , el , el y el . Grafique funciones racionales al hallar las intersecciones, el comportamiento en las intersecciones y las asíntotas, así como el comportamiento final. Vea el . Si una función racional tiene intersecciones en x en x = x 1 , x 2 , … , x n , asíntotas verticales en x = v 1 , v 2 , … , v m , y ninguna x i = cualquier v j , entonces la función se puede escribir de la forma f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n ( x – v 1 ) q 1 ( x – v 2 ) q 2 ⋯ ( x – v m ) q n Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia fundamental en la representación algebraica de una función polinómica y una función racional? La función racional se representa por un cociente de funciones polinómicas. ¿Cuál es la diferencia fundamental en los gráficos de las funciones polinómicas y las funciones racionales? Si el gráfico de una función racional tiene una discontinuidad removible, ¿qué debe ser cierto de la regla funcional? El numerador y el denominador deberán tener un factor común. ¿El gráfico de una función racional puede no tener asíntota vertical? Si es así, ¿cómo? ¿El gráfico de una función racional puede no tener intersecciones en x ? Si es así, ¿cómo? Sí. El numerador de la fórmula de las funciones solo tendría raíces complejas o factores comunes al numerador y al denominador. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el dominio de las funciones racionales. f ( x ) = x – 1 x + 2 f ( x ) = x + 1 x 2 – 1 Todos los reales x ≠ – 1 , 1 f ( x ) = x 2 + 4 x 2 - 2 x - 8 f ( x ) = x 2 + 4 x - 3 x 4 − 5 x 2 + 4 Todos los reales x ≠ – 1 , – 2 , 1 , 2 En los siguientes ejercicios, halle el dominio, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de las funciones. f ( x ) = 4 x – 1 f ( x ) = 2 5 x + 2 A.V. en x = – 2 5 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ – 2 5 f ( x ) = x x 2 - 9 f ( x ) = x x 2 + 5 x − 36 A.V. en x = 4 , – 9 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 4 , – 9 f ( x ) = 3 + x x 3 − 27 f ( x ) = 3 x - 4 x 3 − 16 x A.V. en x = 0 , 4 , - 4 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 0 , 4 , – 4 f ( x ) = x 2 – 1 x 3 + 9 x 2 + 14 x f ( x ) = x + 5 x 2 - 25 A.V. en x = 5 ; A.H. en y = 0 . El dominio son todos los reales x ≠ 5 , - 5 f ( x ) = x - 4 x - 6 f ( x ) = 4 – 2 x 3 x – 1 A.V. en x = 1 3 ; A.H. en y = - 2 3 . El dominio son todos los reales x ≠ 1 3 . En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de las funciones. f ( x ) = x + 5 x 2 + 4 f ( x ) = x x 2 - x ninguno f ( x ) = x 2 + 8 x + 7 x 2 + 11 x + 30 f ( x ) = x 2 + x + 6 x 2 - 10 x + 24 x no interseca ninguno, y interseca ( 0 , 1 4 ) f ( x ) = 94 − 2 x 2 3 x 2 - 12 En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento local y final de las funciones. f ( x ) = x 2 x + 1 Comportamiento local: x → - 1 2 + , f ( x ) → - ∞ , x → - 1 2 − , f ( x ) → ∞ Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → 1 2 f ( x ) = 2 x x - 6 f ( x ) = - 2 x x - 6 Comportamiento local: x → 6 + , f ( x ) → - ∞ , x → 6 − , f ( x ) → ∞ , Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → - 2 f ( x ) = x 2 - 4 x + 3 x 2 - 4 x - 5 f ( x ) = 2 x 2 - 32 6 x 2 + 13 x - 5 Comportamiento local: x → 1 3 + , f ( x ) → ∞ , x → 1 3 - , f ( x ) → - ∞ , x → − 5 2 − , f ( x ) → ∞ , x → − 5 2 + , f ( x ) → - ∞ Comportamiento final: x → ± ∞ , f ( x ) → 1 3 En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua de las funciones. f ( x ) = 24 x 2 + 6 x 2 x + 1 f ( x ) = 4 x 2 - 10 2 x - 4 y = 2 x + 4 f ( x ) = 81 x 2 − 18 3 x - 2 f ( x ) = 6 x 3 - 5 x 3 x 2 + 4 y = 2 x f ( x ) = x 2 + 5 x + 4 x – 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la transformación dada para graficar la función. Observe las asíntotas verticales y horizontales. La función recíproca se desplazó 2 unidades hacia arriba. V . A . x = 0 , H . A . y = 2 La función recíproca se desplazó 1 unidad hacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda. La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia la derecha. V . A . x = 2 , H . A . y = 0 La función recíproca al cuadrado se desplazó 2 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha. En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones horizontales, la intersección vertical, las asíntotas verticales y la asíntota horizontal u oblicua de las funciones. Dibuje un gráfico con esta información. p ( x ) = 2 x - 3 x + 4 V . A . x = – 4 , H . A . y = 2 ; ( 3 2 , 0 ) ; ( 0 , - 3 4 ) q ( x ) = x - 5 3 x – 1 s ( x ) = 4 ( x - 2 ) 2 V . A . x = 2 , H . A . y = 0 , ( 0 , 1 ) r ( x ) = 5 ( x + 1 ) 2 f ( x ) = 3 x 2 − 14 x - 5 3 x 2 + 8 x − 16 V . A . x = – 4 , x = 4 3 , H . A . y = 1 ; ( 5 , 0 ) ; ( - 1 3 , 0 ) ; ( 0 , 5 16 ) g ( x ) = 2 x 2 + 7 x - 15 3 x 2 − 14 x + 15 a ( x ) = x 2 + 2 x - 3 x 2 – 1 V . A . x = - 1 , H . A . y = 1 ; ( - 3 , 0 ) ; ( 0 , 3 ) ; discontinuidad removible (agujero) en ( 1 , 2 ) b ( x ) = x 2 - x - 6 x 2 - 4 h ( x ) = 2 x 2 + x – 1 x - 4 V . A . x = 4 , S . A . y = 2 x + 9 ; ( - 1 , 0 ) ; ( 1 2 , 0 ) ; ( 0 , 1 4 ) k ( x ) = 2 x 2 - 3 x - 20 x - 5 w ( x ) = ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x - 5 ) ( x + 2 ) 2 ( x - 4 ) V . A . x = - 2 , x = 4 , H . A . y = 1 , ( 1 , 0 ) ; ( 5 , 0 ) ; ( - 3 , 0 ) ; ( 0 , − 15 16 ) z ( x ) = ( x + 2 ) 2 ( x - 5 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 4 ) En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para una función racional con las características dadas. Asíntotas verticales en x = 5 y x = - 5 , intersecciones en x , en ( 2 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) , intersección en y , en ( 0 , 4 ) y = 50 x 2 - x - 2 x 2 - 25 Asíntotas verticales en x = – 4 y x = - 1 , intersecciones en x , en ( 1 , 0 ) y ( 5 , 0 ) , intersección en y , en ( 0 , 7 ) Asíntotas verticales en x = – 4 y x = - 5 , intersecciones en x , en ( 4 , 0 ) y ( − 6 , 0 ) , asíntota horizontal en y = 7 y = 7 x 2 + 2 x − 24 x 2 + 9 x + 20 Asíntotas verticales en x = - 3 y x = 6 , intersecciones en x , en ( – 2 , 0 ) y ( 1 , 0 ) , asíntota horizontal en y = - 2 Asíntota vertical en x = - 1 , Doble cero en x = 2 , intersección en y , en ( 0 , 2 ) y = 1 2 x 2 - 4 x + 4 x + 1 Asíntota vertical en x = 3 , Doble cero en x = 1 , intersección en y , en ( 0 , 4 ) En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una ecuación de la función. y = 4 x - 3 x 2 - x - 12 27(x - 2) / ((x - 3)² (x + 3)) y = 27 x - 2 ( x - 3 ) 2 ( x + 3 ) y = 1 3 x 2 + x - 6 x – 1 y = − 6 ( x – 1 ) 2 ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, haga tablas que muestren el comportamiento de la función cerca de la asíntota vertical y que reflejen la asíntota horizontal f ( x ) = 1 x - 2 x 2,01 2,001 2,0001 1,99 1,999 y 100 1.000 10.000 –100 –1.000 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 0,125 0,0102 0,001 0,0001 0,00001 Asíntota vertical x = 2 , asíntota horizontal y = 0 f ( x ) = x x - 3 f ( x ) = 2 x x + 4 x –4,1 –4,01 –4,001 –3,99 –3,999 y 82 802 8.002 –798 –7.998 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 1,4286 1,9331 1,992 1,9992 1,999992 Asíntota vertical x = – 4 , asíntota horizontal y = 2 f ( x ) = 2 x ( x - 3 ) 2 f ( x ) = x 2 x 2 + 2 x + 1 x –0,9 –0,99 –0,999 –1,1 –1,01 y 81 9.801 998.001 121 10.201 x 10 100 1.000 10.000 100.000 y 0,82645 0,9803 0,998 0,9998 Asíntota vertical x = - 1 , asíntota horizontal y = 1 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar f ( x ) . Utilice el gráfico para resolver f ( x ) > 0 . f ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 4 2 x - 3 ( 3 2 , ∞ ) f ( x ) = 2 ( x – 1 ) ( x + 2 ) f ( x ) = x + 2 ( x – 1 ) ( x - 4 ) ( – 2 , 1 ) ∪ ( 4 , ∞ ) f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x + 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, identifique la discontinuidad removible. f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 ( 2 , 4 ) f ( x ) = x 3 + 1 x + 1 f ( x ) = x 2 + x - 6 x - 2 ( 2 , 5 ) f ( x ) = 2 x 2 + 5 x - 3 x + 3 f ( x ) = x 3 + x 2 x + 1 ( – 1 , 1 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, exprese una función racional que describa la situación. En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 200 galones de agua, en los que se han mezclado 10 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 10 galones de agua por minuto en el tanque, al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 3 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t minutos. En el hospital del campo de refugiados, un gran tanque de mezcla contiene actualmente 300 galones de agua, en los que se han mezclado 8 libras de azúcar. Se abre un grifo para verter 20 galones de agua por minuto en el tanque al mismo tiempo que se vierte el azúcar a un ritmo de 2 libras por minuto. Calcule la concentración (libras por galón) de azúcar en el tanque después de t minutos. C ( t ) = 8 + 2 t 300 + 20 t En los siguientes ejercicios, utilice la función racional dada para responder la pregunta. La concentración C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después de la inyección viene dada por C ( t ) = 2 t 3 + t 2 . ¿Qué ocurre con la concentración del fármaco a medida que t aumenta? La concentración C de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente t horas después de la inyección viene dada por C ( t ) = 100 t 2 t 2 + 75 . Utilice una calculadora para estimar el momento en que la concentración es más alta. Después de unas 6,12 horas. En los siguientes ejercicios, construya una función racional para resolver el problema. A continuación, utilice una calculadora para responder la pregunta. Una caja abierta con base cuadrada debe tener un volumen de 108 pulgadas cúbicas. Calcule las dimensiones de la caja que tendrá un área superficial mínima. Supongamos que x = longitud del lado de la base. Una caja rectangular con base cuadrada debe tener un volumen de 20 pies cúbicos. El material para la base cuesta 30 céntimos/pie cuadrado. El material para los laterales cuesta 10 céntimos/pie cuadrado. El material para la parte superior cuesta 20 céntimos/pie cuadrado. Determine las dimensiones que le supondrán un costo mínimo. Supongamos que x = longitud del lado de la base. A ( x ) = 50 x 2 + 800 x . 2 por 2 por 5 pies. Un cilindro recto tiene un volumen de 100 pulgadas cúbicas. Calcule el radio y la altura que le permitirán obtener un área superficial mínima. Supongamos que x = radio. Un cilindro recto sin tapa tiene un volumen de 50 metros cúbicos. Calcule el radio que le permitirá obtener área superficial mínima. Supongamos que x = radio. A ( x ) = π x 2 + 100 x . Radio = 2,52 metros. Un cilindro recto debe tener un volumen de 40 pulgadas cúbicas. Cuesta 4 céntimos/pulgada cuadrada construir la parte superior e inferior y 1 céntimo/pulgada cuadrada construir el resto del cilindro. Calcule el radio que le permita obtener el costo mínimo. Supongamos que x = radio. notación de flecha forma de representar simbólicamente el comportamiento local y final de una función mediante el uso de flechas para indicar que una entrada o salida se acerca a un valor asíntota horizontal línea horizontal y = b donde el gráfico se aproxima a la línea a medida que las entradas aumentan o disminuyen sin límite. función racional función que se escribe como el cociente de dos polinomios discontinuidad removible un punto único en el que una función es indefinida que, si se rellena, haría que la función fuera continua; aparece como un agujero en el gráfico de una función asíntota vertical línea vertical x = a donde el gráfico tiende hacia el infinito positivo o negativo a medida que las entradas se acercan hasta a", "section": "Funciones racionales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Inversas y funciones radicales Los guardaparques y otros administradores de senderos pueden construir pilas de rocas, apilamientos u otros arreglos, normalmente llamados mojones, para marcar senderos u otros puntos de referencia (los guardaparques y los científicos medioambientales desaconsejan que los excursionistas hagan lo mismo, para evitar confusiones y preservar los hábitats de plantas y animales). Un mojón en forma de montículo de grava tiene forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen se calcula con una fórmula de geometría elemental. V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π r 2 ( 2 r ) = 2 3 π r 3 Hemos escrito el volumen V en términos de radio r . Sin embargo, en algunos casos, podemos empezar con el volumen y querer determinar el radio. Por ejemplo: Un cliente compra 100 pies cúbicos de grava para construir un montículo en forma de cono con una altura del doble del radio. ¿Cuáles son el radio y la altura del nuevo cono? Para responder esta pregunta, utilizamos la fórmula r = 3 V 2 π 3 Esta función es la inversa de la fórmula de V en términos de r . En esta sección, exploraremos las inversas de las funciones polinómicas y racionales y, en particular, las funciones radicales que encontramos en el proceso. Hallar la inversa de una función polinómica Dos funciones f y g son funciones inversas si para cada par de coordenadas en f , ( a , b ) , existe un par de coordenadas correspondiente en la función inversa, g , ( b , a ) . En otras palabras, los pares de coordenadas de las funciones inversas tienen la entrada y la salida intercambiadas. Para que una función tenga una inversa , debe crear una función que sea biunívoca y que tendría una inversa. Por ejemplo, supongamos que el Club de Sostenibilidad construye un colector de escorrentía con forma de artesa parabólica, como se ilustra en la . Podemos utilizar la información en la figura para hallar el área superficial en la artesa como función de la profundidad del agua. Ya que será útil tener una ecuación para la forma de sección transversal parabólica, impondremos un sistema de coordenadas, donde x se mide horizontalmente, mientras que y se mide verticalmente, con el origen en el vértice de la parábola. Vea la . A partir de esto hallamos una ecuación para la forma parabólica. Hemos situado el origen en el vértice de la parábola, por lo que sabemos que la ecuación tendrá la forma y ( x ) = a x 2 . Nuestra ecuación deberá pasar por el punto (6, 18), a partir del cual podemos resolver el factor de estiramiento a . 18 = a 6 2 a = 18 36 = 1 2 Nuestra sección transversal parabólica tiene la ecuación y ( x ) = 1 2 x 2 Nos interesa el área superficial del agua, por lo que debemos determinar la anchura en la parte de arriba como función de la profundidad del agua. Para cualquier profundidad y la anchura vendrá dada por 2 x , así que tenemos que resolver la ecuación anterior para x y hallar la función inversa. Sin embargo, observe que la función original no es biunívoca, y de hecho, dada cualquier salida hay dos entradas que producen la misma salida: una positiva y otra negativa. Para hallar una inversa, podemos restringir nuestra función original a un dominio limitado en el que sea biunívoca. En este caso, tiene sentido limitarse a los valores positivos de x . En este dominio, podemos hallar una inversa al resolver la variable de entrada: y = 1 2 x 2 2 y = x 2 x = ± 2 y Esto no es una función tal y como está escrita. Nos limitamos a los valores positivos de x , por lo que eliminamos la solución negativa, lo que arroja la función inversa que buscamos. y = x 2 2 , x > 0 Dado que x es la distancia desde el centro de la parábola hasta cualquier lado, toda la anchura del agua en la parte superior será 2 x . La artesa tiene 3 pies (36 pulgadas) de largo, por lo que el área superficial será entonces: Área = l ⋅ w = 36 ⋅ 2 x = 72 x = 72 2 y Este ejemplo ilustra dos puntos importantes: Al momento de hallar la inversa de una cuadrática, tenemos que limitarnos a un dominio en el que la función sea biunívoca. La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Ambas son funciones de la caja de herramientas y diferentes tipos de funciones de potencia. Las funciones que implican raíces suelen llamarse funciones radicales . Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos tienen inversa. Tales funciones se denominan funciones invertibles y utilizamos la notación f − 1 ( x ) . Advertencia: f − 1 ( x ) no es lo mismo que el recíproco de la función f ( x ) . Este uso de \"–1\" está reservado para denotar funciones inversas. Para denotar el recíproco de una función f ( x ) , tendríamos que escribir ( f ( x ) ) - 1 = 1 f ( x ) . Una relación importante entre las funciones inversas es que se \"deshacen\" entre sí. Si los valores de f − 1 es la inversa de una función f , entonces f es la inversa de la función f − 1 . En otras palabras, lo que sea que la función f haga a x , f − 1 lo deshace, y viceversa. Más formalmente, escribimos f − 1 ( f ( x ) ) = x , para todos x en el ámbito de f y f ( f − 1 ( x ) ) = x , para todos x en el ámbito de f − 1 Comprobar que dos funciones son inversas Dos funciones, f y g , son inversas entre sí si para todo x en el dominio de f y g . g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x Cómo Dada una función polinómica, hallar la inversa de la función al restringir el dominio de tal manera que la nueva función sea biunívoca. Sustituya f ( x ) con la y . Intercambie la x y y . Resuelva para y , y renombre la función f − 1 ( x ) . Verificar funciones inversas Demuestre que f ( x ) = 1 x + 1 y f − 1 ( x ) = 1 x – 1 son inversas, para x ≠ 0 , - 1 . Debemos demostrar que f − 1 ( f ( x ) ) = x y f ( f − 1 ( x ) ) = x . f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( 1 x + 1 ) = 1 1 x + 1 - 1 = ( x + 1 ) - 1 = x f ( f − 1 ( x ) ) = f ( 1 x – 1 ) = 1 ( 1 x – 1 ) + 1 = 1 1 x = x Por lo tanto, f ( x ) = 1 x + 1 y f − 1 ( x ) = 1 x – 1 son inversas. Ejercicio Demuestre que f ( x ) = x + 5 3 y f − 1 ( x ) = 3 x - 5 son inversas. f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( x + 5 3 ) = 3 ( x + 5 3 ) - 5 = ( x - 5 ) + 5 = x y f ( f − 1 ( x ) ) = f ( 3 x - 5 ) = ( 3 x - 5 ) + 5 3 = 3 x 3 = x Hallar la inversa de una función cúbica Halle la inversa de la función f ( x ) = 5 x 3 + 1. Esta es una transformación de la función cúbica básica de la caja de herramientas, y basándonos en nuestro conocimiento de esa función, sabemos que es biunívoca. Resolver para la inversa mediante la resolución de x . y = 5 x 3 + 1 x = 5 y 3 + 1 x – 1 = 5 y 3 x – 1 5 = y 3 f − 1 ( x ) = x – 1 5 3 Análisis Observe el gráfico de f y f – 1 . Observe que los dos gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . Este es siempre el caso cuando se grafica una función y su función inversa. Además, dado que el método implicaba intercambiar la x y y , note los puntos correspondientes. Si los valores de ( a , b ) está en el gráfico de f , entonces ( b , a ) está en el gráfico de f – 1 . Dado que ( 0 , 1 ) está en el gráfico de f , entonces ( 1 , 0 ) está en el gráfico de f – 1 . Del mismo modo, dado que ( 1 , 6 ) está en el gráfico de f , entonces ( 6 , 1 ) está en el gráfico de f – 1 . Vea la . Ejercicio Calcule la función inversa de f ( x ) = x + 4 3 . f − 1 ( x ) = x 3 - 4 Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica Hasta ahora, hemos hallado las inversas de las funciones cúbicas sin tener que restringir sus dominios. Sin embargo, como sabemos, no todos los polinomios cúbicos son biunívocos. Puede que el dominio en algunas funciones que no son biunívocas se restrinja para que sea biunívoco, pero únicamente con respecto a ese dominio. La función sobre el dominio restringido tendría entonces una función inversa . Dado que las funciones cuadráticas no biunívocas, debemos restringir su dominio para hallar sus inversas. Restringir el dominio Si una función no es biunívoca, no puede tener ninguna inversa. Si restringimos el dominio de la función para que sea biunívoco, y creamos así otra función, esta última tendrá una inversa. Cómo Dada una función polinómica, restringir el dominio de una función que no sea biunívoca y luego hallar la inversa. Restrinja el dominio al determinar un dominio en el que la función original sea biunívoca. Sustituya f ( x ) con y . Intercambie la x y y . Resuelva para y , y renombre la función o el par de funciones f − 1 ( x ) . Repase la fórmula para f − 1 ( x ) ; verifique que las salidas de la función inversa correspondan al dominio restringido de la función original. Delimitar del dominio para calcular la inversa de una función polinómica Calcule la función inversa de f : f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≥ 4 f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≤ 4 La función original f ( x ) = ( x - 4 ) 2 no es biunívoca, sino que está restringida a un dominio de x ≥ 4 o x ≤ 4 en la que es biunívoca. Vea la . Para hallar la inversa, empiece por sustituir f ( x ) con la variable simple y . y = ( x - 4 ) 2 Intercambie la x y y . x = ( y - 4 ) 2 Tome la raíz cuadrada . ± x = y - 4 Sume 4 a ambos lados . 4 ± x = y Esto no es una función tal y como está escrita. Tenemos que examinar las restricciones en el dominio de la función original para determinar la inversa. Ya que invertimos los papeles de la x y y para la f ( x ) , original, miramos el dominio: podrían suponerse los valores de x . Cuando invertimos los papeles de la x y y , esto nos dio los valores que y . Para esta función, x ≥ 4 , así como para la inversa, deberíamos tener y ≥ 4 , que es lo que da nuestra función inversa. Ⓐ El dominio de la función original se restringió a x ≥ 4 , por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, f ( x ) ≥ 4 , y debemos utilizar el caso +: f − 1 ( x ) = 4 + x Ⓑ El dominio de la función original se restringió a x ≤ 4 , por lo que las salidas de la inversa tienen que ser las mismas, f ( x ) ≤ 4 , y debemos utilizar el caso -: f − 1 ( x ) = 4 - x Análisis En los gráficos que se indican en la , vemos la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa. Observe que los gráficos muestran juntos una simetría en torno a la línea y = x . El par de coordenadas ( 4 , 0 ) está en el gráfico de f y el par de coordenadas ( 0 , 4 ) está en el gráfico de f − 1 . Para cualquier par de coordenadas, si ( a , b ) está en el gráfico de f , entonces ( b , a ) está en el gráfico de f − 1 . Por último, observe que el gráfico de f interseca el gráfico de f − 1 en la línea y = x . Puntos de intersección de los gráficos de f y f − 1 siempre estará en la línea y = x . Hallar la inversa de una función cuadrática cuando la restricción no está especificada Restringir el dominio y luego hallar la inversa de f ( x ) = ( x - 2 ) 2 - 3, Podemos ver que se trata de una parábola con vértice en ( 2 , – 3 ) que se abre hacia arriba. Dado que el gráfico será decreciente a un lado del vértice y creciente al otro, podemos restringir esta función a un dominio en el que sea biunívoca al restringir el dominio a x ≥ 2. Para hallar la inversa, utilizaremos la forma de vértice de la cuadrática. Empezamos por sustituir f ( x ) con una simple variable, y , y luego resolvemos para x . y = ( x - 2 ) 2 - 3 Intercambie la x y y . x = ( y - 2 ) 2 - 3 Sume 3 a ambos lados . x + 3 = ( y - 2 ) 2 Tome la raíz cuadrada . ± x + 3 = y - 2 Añada 2 a ambos lados . 2 ± x + 3 = y Renombre la función . f − 1 ( x ) = 2 ± x + 3 Ahora tenemos que determinar qué caso utilizar. Dado que hemos restringido nuestra función original a un dominio de x ≥ 2 , las salidas de la inversa deberían ser las mismas, lo que nos indica que debemos utilizar el caso + f − 1 ( x ) = 2 + x + 3 Si la cuadrática no se hubiera dado en forma de vértice, reescribirla así sería el primer paso. De esta manera podemos observar fácilmente las coordenadas del vértice para restringir el dominio. Análisis Observe que hemos decidido arbitrariamente restringir el dominio en x ≥ 2. Podríamos haber optado fácilmente por restringir el dominio en x ≤ 2 , en cuyo caso f − 1 ( x ) = 2 - x + 3 . Observe la función original graficada en el mismo conjunto de ejes que su función inversa en la . Observe que ambos gráficos muestran simetría respecto a la línea y = x . El par de coordenadas ( 2 , - 3 ) está en el gráfico de f y el par de coordenadas ( - 3 , 2 ) está en el gráfico de f − 1 . Observe a partir del gráfico de ambas funciones sobre el mismo conjunto de ejes que dominio de f = rango de f – 1 = [ 2 , ∞ ) y dominio de f – 1 = rango de f = [ – 3 , ∞ ) Por último, observe que el gráfico de f interseca el gráfico de f − 1 a lo largo de la línea y = x . Ejercicio Halle la inversa de la función f ( x ) = x 2 + 1 , en el dominio x ≥ 0 . f − 1 ( x ) = x – 1 Resolver aplicaciones de funciones radicales Observe que las funciones de los ejemplos anteriores eran todas polinomios, y sus inversas eran funciones radicales. Si queremos hallar la inversa de una función radical , tendremos que restringir el dominio de la respuesta porque el rango de la función original es limitado. Cómo Dada una función radical, hallar la inversa. Determine el rango de la función original. Sustituya f ( x ) con la y , y luego resolvemos para x . Si es necesario, restrinja el dominio de la función inversa al rango de la función original. Hallar la inversa de una función radical Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f ( x ) = x - 4 . Observe que la función original tiene rango f ( x ) ≥ 0 . Sustituya f ( x ) con la y , y luego resolvemos para x . y = x - 4 Sustituya f ( x ) con y . x = y - 4 Intercambie la x y y . x = y - 4 Eleve al cuadrado cada lado . x 2 = y - 4 Sume 4 . x 2 + 4 = y Renombre la función f − 1 ( x ) . f − 1 ( x ) = x 2 + 4 Recordemos que el dominio de esta función deberá limitarse al rango de la función original. f − 1 ( x ) = x 2 + 4 , x ≥ 0 Análisis Observe en la que la inversa es una reflexión de la función original sobre la línea y = x . Dado que la función original tiene únicamente salidas positivas, la función inversa solo tiene entradas positivas. Ejercicio Restrinja el dominio y luego calcule la inversa de la función f ( x ) = 2 x + 3 . f − 1 ( x ) = x 2 - 3 2 , x ≥ 0 Las funciones radicales son comunes en los modelos físicos, como vimos en la sección inicial. Ahora tenemos suficientes herramientas para poder resolver el problema planteado al principio de la sección. Resolver una aplicación con una función cúbica Los guardaparques construyen un montículo de grava en forma de cono con una altura igual al doble del radio. El volumen del cono en función del radio viene dado por V = 2 3 π r 3 Halle la inversa de la función V = 2 3 π r 3 que determina el volumen V de un cono y es una función del radio r . A continuación, utilice la función inversa para calcular el radio de dicho montículo de grava que mide 100 pies cúbicos. Utilice π = 3,14. Comience con la función dada para V . Observe que el dominio significativo de la función es r ≥ 0 ya que los radios negativos no tendrían sentido en este contexto. Observe igualmente que el rango de la función (por ende, el dominio de la función inversa) es V ≥ 0 . Resuelva para r en términos de V , con el método descrito anteriormente V = 2 3 π r 3 r 3 = 3 V 2 π Resuelva para r 3 . r = 3 V 2 π 3 Resuelva para r . Este es el resultado que se indica al principio de la sección. Ahora evalúe esto para V = 100 y π = 3,14. r = 3 V 2 π 3 = 3 ⋅ 100 2 ⋅ 3,14 3 ≈ 47,7707 3 ≈ 3,63 Por lo tanto, el radio es de unos 3,63 pies. Determinar el dominio de una función radical compuesta con otras funciones Cuando las funciones radicales se componen con otras funciones, puede complicarse la determinación del dominio. Hallar el dominio de una función radical compuesta con una función racional Halle el dominio de la función f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x – 1 ) . Dado que una raíz cuadrada está definida solamente cuando la cantidad bajo el radical es no negativa, tenemos que determinar dónde ( x + 2 ) ( x - 3 ) ( x – 1 ) ≥ 0 . La salida de una función racional puede cambiar de signo (pasar de positivo a negativo y viceversa) en las intersecciones en x y en las asíntotas verticales. Para esta ecuación, el gráfico podría cambiar de signo en x = -2, 1 y 3. Para determinar los intervalos en los que la expresión racional es positiva, podríamos probar algunos valores de la expresión o dibujar un gráfico. Aunque ambos enfoques funcionan igualmente bien, para este ejemplo utilizaremos un gráfico como el que se indica en la . Esta función tiene dos intersecciones en x , ambas de las cuales muestran un comportamiento lineal cerca de las intersecciones en x . Hay una asíntota vertical, que corresponde a un factor lineal; este comportamiento es similar al de la función recíproca básica de la caja de herramientas, y no hay asíntota horizontal porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Hay una intersección en y en ( 0 , 6 ) . A partir de la intersección en y , así como de la intersección en x en x = - 2 , podemos dibujar el lado izquierdo del gráfico. A partir del comportamiento en la asíntota, podemos esbozar el lado derecho del gráfico. A partir del gráfico, ahora podemos saber en qué intervalos las salidas serán no negativas, por lo que podemos estar seguros de que la función original f ( x ) se definirá. f ( x ) tiene dominio − 2 ≤ x < 1 o x ≥ 3 , o en notación de intervalo, [ - 2 , 1 ) ∪ [ 3 , ∞ ) . Hallar las inversas de las funciones racionales Al igual que con la búsqueda de las inversas de las funciones cuadráticas, a veces es deseable hallar la inversa de una función racional , especialmente de las que son el cociente de las funciones lineales, como en las aplicaciones de concentración. Hallar la inversa de una función racional La función C = 20 + 0,4 n 100 + n representa la concentración C de una solución ácida después de añadir n mL de solución al 40 % a 100 mL de una solución al 20 %. En primer lugar, halle la inversa de la función; es decir, defina una expresión para n en términos de C . A continuación, utilice su resultado para determinar qué cantidad de la solución al 40 % debe añadirse para que la mezcla final sea una solución al 35 %. Primero queremos la inversa de la función. Resolvemos para n en términos de C . C = 20 + 0,4 n 100 + n C ( 100 + n ) = 20 + 0,4 n 100 C + C n = 20 + 0,4 n 100 C − 20 = 0,4 n − C n 100 C − 20 = ( 0,4 − C ) n n = 100 C − 20 0,4 − C Ahora evalúe esta función para C = 0,35 ( 35 % ) . n = 100 ( 0,35 ) − 20 0,4 − 0,35 = 15 0,05 = 300 Podemos concluir que hay que añadir 300 mL de la solución al 40 %. Ejercicio Halle la inversa de la función f ( x ) = x + 3 x - 2 . f − 1 ( x ) = 2 x + 3 x – 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las inversas y funciones radicales. Graficar la función básica de raíz cuadrada Hallar la inversa de una función de raíz cuadrada Hallar la inversa de una función racional Hallar la inversa de una función racional y un valor de función inversa Funciones inversas Conceptos clave La inversa de una función cuadrática es una función de raíz cuadrada. Si los valores de f − 1 es la inversa de una función f , entonces f es la inversa de la función f − 1 . Vea el . Aunque no es posible hallar la inversa de la mayoría de las funciones polinómicas, algunos polinomios básicos son invertibles. Vea el . Para hallar la inversa de determinada función, debemos restringirla a un dominio en el que sea biunívoca. Vea el y el . Cuando hallamos la inversa de una función radical, necesitamos una restricción en el dominio de la respuesta. Vea el y el . Las funciones inversas y radicales se utilizan para resolver problemas de aplicación. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué no podemos hallar funciones inversas para todas las funciones polinómicas. Puede ser muy difícil o imposible de resolver para x en términos de y . ¿Por qué hay que restringir el dominio de una función cuadrática al momento de hallar su inversa? Al momento de hallar la inversa de una función radical, ¿qué restricción tendremos que hacer? Necesitaremos una restricción en el dominio de la respuesta. ¿Qué forma tendrá siempre la inversa de una función cuadrática? Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función en el dominio dado. f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , [ 4 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 4 f ( x ) = ( x + 2 ) 2 , [ - 2 , ∞ ) f ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 3 , [ - 1 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 3 - 1 f ( x ) = 2 - 3 + x f ( x ) = 3 x 2 + 5 , ( - ∞ , 0 ] f − 1 ( x ) = - x - 5 3 f ( x ) = 12 − x 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x f ( x ) = 2 x 2 + 4 , [ 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones. f ( x ) = x 3 + 5 f − 1 ( x ) = x - 5 3 f ( x ) = 3 x 3 + 1 f ( x ) = 4 - x 3 f − 1 ( x ) = 4 - x 3 f ( x ) = 4 – 2 x 3 En los siguientes ejercicios, calcule la inversa de las funciones. f ( x ) = 2 x + 1 f − 1 ( x ) = x 2 – 1 2 , [ 0 , ∞ ) f ( x ) = 3 - 4 x f ( x ) = 9 + 4 x - 4 f − 1 ( x ) = ( x - 9 ) 2 + 4 4 , [ 9 , ∞ ) f ( x ) = 6 x - 8 + 5 f ( x ) = 9 + 2 x 3 f − 1 ( x ) = ( x - 9 2 ) 3 f ( x ) = 3 - x 3 f ( x ) = 2 x + 8 f − 1 ( x ) = 2 - 8 x x f ( x ) = 3 x - 4 f ( x ) = x + 3 x + 7 f − 1 ( x ) = 7 x - 3 1 - x f ( x ) = x - 2 x + 7 f ( x ) = 3 x + 4 5 - 4 x f − 1 ( x ) = 5 x - 4 4 x + 3 f ( x ) = 5 x + 1 2 - 5 x f ( x ) = x 2 + 2 x , [ - 1 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 1 - 1 f ( x ) = x 2 + 4 x + 1 , [ - 2 , ∞ ) f ( x ) = x 2 - 6 x + 3 , [ 3 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 6 + 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función y grafique tanto la función como su inversa. f ( x ) = x 2 + 2 , x ≥ 0 f ( x ) = 4 - x 2 , x ≥ 0 f − 1 ( x ) = 4 - x f ( x ) = ( x + 3 ) 2 , x ≥ - 3 f ( x ) = ( x - 4 ) 2 , x ≥ 4 f − 1 ( x ) = x + 4 f ( x ) = x 3 + 3 f ( x ) = 1 - x 3 f − 1 ( x ) = 1 - x 3 f ( x ) = x 2 + 4 x , x ≥ − 2 f ( x ) = x 2 - 6 x + 1 , x ≥ 3 f − 1 ( x ) = x + 8 + 3 f ( x ) = 2 x f ( x ) = 1 x 2 , x ≥ 0 f − 1 ( x ) = 1 x En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar el dominio de las funciones. f ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) x f ( x ) = ( x + 2 ) ( x - 3 ) x – 1 [ - 2 , 1 ) ∪ [ 3 , ∞ ) f ( x ) = x ( x + 3 ) x - 4 f ( x ) = x 2 - x - 20 x - 2 [ − 4 , 2 ) ∪ [ 5 , ∞ ) f ( x ) = 9 - x 2 x + 4 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la función. A continuación, indique tres puntos en el gráfico de la inversa con las coordenadas dadas de y . f ( x ) = x 3 - x - 2 , y = 1 , 2 , 3 ( – 2 , 0 ) ; ( 4 , 2 ) ; ( 22 , 3 ) f ( x ) = x 3 + x - 2 , y = 0 , 1 , 2 f ( x ) = x 3 + 3 x - 4 , y = 0 , 1 , 2 ( – 4 , 0 ) ; ( 0 , 1 ) ; ( 10 , 2 ) f ( x ) = x 3 + 8 x - 4 , y = - 1 , 0 , 1 f ( x ) = x 4 + 5 x + 1 , y = - 1 , 0 , 1 ( – 3 , - 1 ) ; ( 1 , 0 ) ; ( 7 , 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la inversa de las funciones con a , b , c números reales positivos. f ( x ) = a x 3 + b f ( x ) = x 2 + b x f − 1 ( x ) = x + b 2 4 − b 2 f ( x ) = a x 2 + b f ( x ) = a x + b 3 f − 1 ( x ) = x 3 - b a f ( x ) = a x + b x + c Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, determine la función descrita y luego utilícela para responder la pregunta. Un objeto lanzado desde una altura de 200 metros tiene una altura h ( t ) , en metros después de que t segundos hayan transcurrido, de manera que h ( t ) = 200 - 4,9 t 2 . Exprese t en función de la altura, h , y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 50 metros. t ( h ) = 200 − h 4,9 , 5,53 segundos Un objeto lanzado desde una altura de 600 pies tiene una altura h ( t ) , en pies después de que t segundos han transcurrido, de manera que h ( t ) = 600 − 16 t 2 . Exprese t en función de la altura h , y calcule el tiempo que tarda para alcanzar una altura de 400 pies. El volumen, V , de una esfera en función de su radio, r , viene dado por V ( r ) = 4 3 π r 3 . Exprese r en función de V , y halle el radio de una esfera con un volumen de 200 pies cúbicos. r ( V ) = 3 V 4 π 3 , 3,63 pies El área superficial, A , de una esfera en función de su radio, r , viene dada por A ( r ) = 4 π r 2 . Exprese r en función de A , y halle el radio de una esfera con un área superficial de 1.000 pulgadas cuadradas. Un recipiente contiene 100 ml de una solución que tiene 25 ml de ácido. Si se añaden n ml de una solución ácida al 60 %, la función C ( n ) = 25 + 0,6 n 100 + n da la concentración, C , en función de la cantidad de ml añadidos, n . Exprese n en función de C y determine cuántos mL hay que añadir para tener una solución ácida al 50 %. n ( C ) = 100 C − 25 0,6 − C , 250 mL El periodo T , en segundos, de un péndulo simple en función de su longitud l , en pies, viene dado por T ( l ) = 2 π l 32,2 . Exprese l en función de T y determine la longitud de un péndulo con periodo de 2 segundos. El volumen de un cilindro, V , en términos de radio, r , y la altura, h , viene dado por V = π r 2 h . Si un cilindro tiene una altura de 6 metros, exprese el radio en función de V y halle el radio de un cilindro con un volumen de 300 metros cúbicos. r ( V ) = V 6 π , 3,99 metros El área superficial, A , de un cilindro en función de su radio, r , y la altura, h , viene dada por A = 2 π r 2 + 2 π r h . Si la altura del cilindro es de 4 pies, exprese el radio en función de A y determine el radio si el área superficial es de 200 pies cuadrados. El volumen de un cono circular recto, V , en términos de su radio, r , y su altura, h , viene dado por V = 1 3 π r 2 h . Exprese r en términos de V si la altura del cono es de 12 pulgadas y determine el radio de un cono con volumen de 50 pulgadas cúbicas. r ( V ) = V 4 π , 1,99 pulgadas Considere un cono con una altura de 30 pies. Exprese el radio, r , en términos de volumen, V , y determine el radio de un cono con un volumen de 1.000 pies cúbicos. función invertible cualquier función que tenga una función inversa", "section": "Inversas y funciones radicales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Modelado mediante la variación Un concesionario de automóviles usados acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un cargo en ventas. El cargo ofrece una comisión del 16 % sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del importe de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por 4.600 dólares, ganará 736 dólares. Al considerar la oferta, tiene en cuenta el precio típico de los automóviles del concesionario, el mercado en general y cuántos puede esperar vender razonablemente. En esta sección, examinaremos las relaciones, como esta, entre las ganancias, las ventas y la tasa de comisión. Resolver problemas de variación directa En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se hallan al multiplicar sus ventas por su comisión. La fórmula e = 0,16 s nos cuenta sus ganancias, e , provienen del producto de 0,16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que, a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Vea la . s , precios de venta e = 0,16 s Interpretación $4.600 e = 0,16 ( 4.600 ) = 736 La venta de un vehículo de 4.600 dólares supone una ganancia de 736 dólares. $9.200 e = 0,16 ( 9.200 ) = 1.472 La venta de un vehículo de 9.200 dólares supone una ganancia de 1.472 dólares. $18.400 e = 0,16 ( 18.400 ) = 2.944 La venta de un vehículo de 18.400 dólares supone una ganancia de 2.944 dólares. Observe que las ganancias son un múltiplo de las ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias se incrementan de forma previsible. Duplicamos las ventas del vehículo de 4.600 a 9.200 dólares, y duplicamos las ganancias de 736 a 1.472 dólares. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como un múltiplo de la entrada. La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa . Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra. La representa los datos de las posibles ganancias de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula y = k x n se utiliza para la variación directa. El valor k es una constante no nula mayor que cero y se denomina constante de variación . En este caso, k = 0,16 y n = 1. Variación directa Si los valores de x y y están relacionados por una ecuación de la forma y = k x n entonces decimos que la relación es de variación directa y y varía directamente con la enésima potencia de x . En las relaciones de variación directa, existe un cociente constante no nulo k = y x n , donde k se denomina constante de variación , que ayuda a definir la relación entre las variables. Cómo Dada la descripción de un problema de variación directa, resolver una incógnita Identifique la entrada, x , y la salida, y . Determine la constante de variación. Es posible que tenga que dividir y entre la potencia especificada de x para determinar la constante de variación. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita. Resolver un problema de variación directa La cantidad y varía directamente con el cubo de x . Si y = 25 cuando x = 2 , calcule y cuando x es 6. La fórmula general para la variación directa con un cubo es y = k x 3 . La constante se halla al dividir y entre el cubo de x . k = y x 3 = 25 2 3 = 25 8 Ahora, utilice la constante para escribir una ecuación que represente esta relación. y = 25 8 x 3 Sustituya x = 6 y resuelva para y . y = 25 8 ( 6 ) 3 = 675 Análisis El gráfico de esta ecuación es un cúbico simple, como se muestra en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Los gráficos de todas las ecuaciones de variación directa se parecen al ? No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia: pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas, radicales, etc. No obstante, todos los gráficos pasan por ( 0.0 ) . Ejercicio La cantidad y varía directamente con el cuadrado de x . Si y = 24 cuando x = 3 , calcule y cuando x es 4. 128 3 Resolver problemas de variación inversa La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. Entre las profundidades de 250 pies y 500 pies, la fórmula T = 14.000 d nos da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies bajo la superficie de la Tierra. Consideremos el Océano Atlántico, que cubre el 22 % de la superficie de la Tierra. En un lugar determinado, a una profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28 °F. Si creamos la , observamos que, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura del agua disminuye. d , profundidad T = 14.000 d Interpretación 500 pies 14.000 500 = 28 A una profundidad de 500 pies, la temperatura del agua es de 28 °F. 350 pies 14.000 350 = 40 A una profundidad de 350 pies, la temperatura del agua es de 40 °F. 250 pies 14.000 250 = 56 A una profundidad de 250 pies, la temperatura del agua es de 56 °F. Observamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y que cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas . Para nuestro ejemplo, la representa la variación inversa . Decimos que la temperatura del agua varía inversamente a la profundidad del agua porque, a medida que la profundidad aumenta, la temperatura disminuye. La fórmula y = k x para la variación inversa en este caso utiliza k = 14.000. Variación inversa Si los valores de x y y están relacionados por una ecuación de la forma y = k x n donde k es una constante no nula, entonces decimos que y varía inversamente con la enésima potencia de x . En las relaciones inversamente proporcionales o variaciones inversas hay un múltiplo constante k = x n y . Escribir una fórmula para una relación inversamente proporcional Un turista planea conducir 100 millas. Halle una fórmula para el tiempo que durará el viaje en función de la velocidad a la que conduce el turista. Recordemos que, al multiplicar la velocidad por el tiempo, se obtiene la distancia. Supongamos que t representan el tiempo de conducción en horas, y v representa la velocidad (rapidez o tasa) a la que el turista conduce, entonces v t = distancia . Dado que la distancia está fijada en 100 millas, v t = 100. Resolviendo esta relación para el tiempo nos da nuestra función. t ( v ) = 100 v = 100 v − 1 Podemos ver que la constante de variación es 100 y, aunque podemos escribir la relación mediante el exponente negativo, es más común verla escrita como una fracción. Cómo Dada la descripción de un problema de variación indirecta, resolver una incógnita Identifique la entrada, x , y la salida, y . Determine la constante de variación. Es posible que tenga que multiplicar y entre la potencia especificada de x para determinar la constante de variación. Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación. Sustituya los valores conocidos en la ecuación para hallar la incógnita. Resolver un problema de variación inversa Una cantidad y varía inversamente con el cubo de x . Si y = 25 cuando x = 2 , calcule y cuando x es 6. La fórmula general de la variación inversa con un cubo es y = k x 3 . La constante se halla al multiplicar y entre el cubo de x . k = x 3 y = 2 3 ⋅ 25 = 200 Ahora utilizamos la constante para escribir una ecuación que represente esta relación. y = k x 3 , k = 200 y = 200 x 3 Sustituya x = 6 y resuelva para y . y = 200 6 3 = 25 27 Análisis El gráfico de esta ecuación es una función racional, como se muestra en la . Ejercicio Una cantidad y varía inversamente con el cuadrado de x . Si y = 8 cuando x = 3 , calcule y cuando x es 4. 9 2 Resolver problemas que implican una variación conjunta Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o de variación inversa. Una variable suele depender de varias otras variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, se denomina variación conjunta . Por ejemplo, el costo del transporte en autobús de los alumnos por cada viaje escolar varía en función del número de alumnos que asisten y de la distancia de la escuela. La variable c , costo, varía junto con el número de estudiantes, n , y la distancia, d . Variación conjunta La variación conjunta se produce cuando una variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Por ejemplo, si x varía directamente tanto con y y z , tenemos x = k y z . Si x varía directamente con y e inversamente con c , tenemos x = k y z . Observe que solo utilizamos una constante en una ecuación de variación conjunta. Resolver de problemas que implican una variación conjunta Una cantidad x varía directamente con el cuadrado de y e inversamente con la raíz cúbica de c . Si x = 6 cuando y = 2 y z = 8 , calcule x cuando y = 1 y z = 27. Empiece por escribir una ecuación para mostrar la relación entre las variables. x = k y 2 z 3 Sustituya x = 6 , y = 2 , y z = 8 para hallar el valor de la constante k . 6 = k 2 2 8 3 6 = 4 k 2 3 = k Ahora podemos sustituir el valor de la constante en la ecuación de la relación. x = 3 y 2 z 3 Para hallar x cuando y = 1 y z = 27 , sustituiremos los valores de y y c en nuestra ecuación. x = 3 ( 1 ) 2 27 3 = 1 Ejercicio x varía directamente con el cuadrado de y e inversamente con c . Si x = 40 cuando y = 4 y z = 2 , calcule x cuando y = 10 y z = 25. x = 20 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la variación directa e inversa. Variación directa Variación inversa Variación directa e inversa Ecuaciones clave Variación directa y = k x n , k es una constante no nula . Variación inversa y = k x n , k es una constante no nula . Conceptos clave La relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Vea el . Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante. La relación en la que una cantidad es una constante dividida entre otra cantidad se denomina variación inversa. Vea el . Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Vea el . En muchos problemas, la variable varía directa o inversamente con múltiples variables. Este tipo de relación recibe el nombre de variación conjunta. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué hay de cierto en el aspecto de los gráficos que reflejan una variación directa entre dos variables? El gráfico tendrá la apariencia de una función potencia. Si dos variables varían inversamente, ¿cómo será la ecuación que represente su relación? ¿Existe un límite al número de variables que pueden variar conjuntamente? Explique. No. Múltiples variables pueden variar conjuntamente. Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación que describa la relación de las variables dadas. y varía directamente como x y cuando x = 6 , y = 12. y varía directamente como el cuadrado de x y cuando x = 4 , y = 80 . y = 5 x 2 y varía directamente como la raíz cuadrada de x y cuando x = 36 , y = 24. y varía directamente como el cubo de x y cuando x = 36 , y = 24. y = 1 1.944 x 3 y varía directamente como la raíz cúbica de x y cuando x = 27 , y = 15. y varía directamente como la cuarta potencia de x y cuando x = 1 , y = 6. y = 6 x 4 y varía inversamente a x y cuando x = 4 , y = 2. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 3 , y = 2. y = 18 x 2 y varía inversamente al cubo de x y cuando x = 2 , y = 5. y varía inversamente como la cuarta potencia de x y cuando x = 3 , y = 1. y = 81 x 4 y varía inversamente a la raíz cuadrada de x y cuando x = 25 , y = 3. y varía inversamente como la raíz cúbica de x y cuando x = 64 , y = 5. y = 20 x 3 y varía junto con x y c y cuando x = 2 y z = 3 , y = 36. y varía junto como x , c y w y cuando x = 1 , c = 2 , w = 5 , entonces y = 100. y = 10 x c w y varía conjuntamente como el cuadrado de x y el cuadrado de c y cuando x = 3 y c = 4 , entonces y = 72. y varía junto como x y la raíz cuadrada de c y cuando x = 2 y z = 25 , entonces y = 100. y = 10 x z y varía conjuntamente como el cuadrado de x el cubo de c y la raíz cuadrada de w . Cuando x = 1 , c = 2 , y w = 36 , entonces y = 48. y varía junto como x y c e inversamente como w . Cuando x = 3 , c = 5 y w = 6 , entonces y = 10. y = 4 x c w y varía conjuntamente como el cuadrado de x y la raíz cuadrada de c e inversamente como el cubo de w . Cuando x = 3 , z = 4 , y w = 3 , entonces y = 6. y varía junto como x y c e inversamente como la raíz cuadrada de w y el cuadrado de t . Cuando x = 3 , c = 1 , w = 25 , y t = 2 , entonces y = 6. y = 40 x c w t 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar el valor desconocido. y varía directamente como x . Cuando x = 3 , entonces y = 12 . Calcule y cuando x = 20. y varía directamente como el cuadrado de x . Cuando x = 2 , entonces y = 16 . Calcule y cuando x = 8 . y = 256 y varía directamente como el cubo de x . Cuando x = 3 , entonces y = 5 . Calcule y cuando x = 4 . y varía directamente como la raíz cuadrada de x . Cuando x = 16 , entonces y = 4 . Calcule y cuando x = 36 . y = 6 y varía directamente como la raíz cúbica de x . Cuando x = 125 , entonces y = 15 . Calcule y cuando x = 1 , 000. y varía inversamente con x . Cuando x = 3 , entonces y = 2 . Calcule y cuando x = 1 . y = 6 y varía inversamente con el cuadrado de x . Cuando x = 4 , entonces y = 3 . Calcule y cuando x = 2 . y varía inversamente con el cubo de x . Cuando x = 3 , entonces y = 1 . Calcule y cuando x = 1 . y = 27 y varía inversamente con la raíz cuadrada de x . Cuando x = 64 , entonces y = 12. Halle y cuando x = 36. y varía inversamente con la raíz cúbica de x . Cuando x = 27 , entonces y = 5. Halle y cuando x = 125. y = 3 y varía junto como x y z . Cuando x = 4 y z = 2 , entonces y = 16. Halle y cuando x = 3 y z = 3. y varía junto como x , z , y w . Cuando x = 2 , z = 1 , y w = 12 , entonces y = 72. Halle y cuando x = 1 , z = 2 , y w = 3. y = 18 y varía junto como x y el cuadrado de z. Cuando x = 2 y z = 4 , entonces y = 144. Halle y cuando x = 4 y z = 5. y varía conjuntamente como el cuadrado de x y la raíz cuadrada de c . Cuando x = 2 y z = 9 , entonces y = 24. Halle y cuando x = 3 y z = 25. y = 90 y varía junto como x y c e inversamente como w . Cuando x = 5 , z = 2 , y w = 20 , entonces y = 4. Halle y cuando x = 3 y z = 8 , y w = 48. y varía conjuntamente como el cuadrado de x y el cubo de c e inversamente como la raíz cuadrada de w . Cuando x = 2 , z = 2 , y w = 64 , entonces y = 12. Halle y cuando x = 1 , z = 3 , y w = 4. y = 81 2 y varía conjuntamente como el cuadrado de x y de c e inversamente como la raíz cuadrada de w y de t . Cuando x = 2 , z = 3 , w = 16 , y t = 3 , entonces y = 1. Halle y cuando x = 3 , z = 2 , w = 36 , y t = 5. En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para graficar la ecuación implícita en la variación dada. y varía directamente con el cuadrado de x y cuando x = 2 , y = 3. y = 3 4 x 2 y varía directamente como el cubo de x y cuando x = 2 , y = 4. y varía directamente como la raíz cuadrada de x y cuando x = 36 , y = 2. y = 1 3 x y varía inversamente con x y cuando x = 6 , y = 2. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 1 , y = 4. y = 4 x 2 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la ley de Kepler, que establece que el cuadrado del tiempo, T , que se necesita para que un planeta orbite alrededor del Sol varía directamente con el cubo de la distancia media, a , que el planeta es del Sol. Utilizando el tiempo de la Tierra de 1 año y la distancia media de 93 millones de millas, halle la ecuación que relaciona T y a . Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Marte orbite el Sol si su distancia media es de 142 millones de millas. ≈ 1,89 años Utilizando la distancia de la Tierra de 150 millones de kilómetros, halle la ecuación que relaciona T y a. Utilice el resultado del ejercicio anterior para determinar el tiempo necesario para que Venus orbite el Sol si su distancia media es de 108 millones de kilómetros. ≈ 0,61 años Utilizando la distancia de la Tierra de 1 unidad astronómica (U.A.), determine el tiempo que tarda Saturno en orbitar el Sol si su distancia media es de 9,54 U.A. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para responder las preguntas. La distancia s a la que cae un objeto varía directamente con el cuadrado del tiempo, t , de la caída. Si un objeto cae 16 pies en un se g undo, ¿cuánto tiempo tarda en caer 144 pies? 3 segundos La velocidad v de un objeto que cae varía directamente al tiempo, t , de la caída. Si, después de 2 segundos, la velocidad del objeto es de 64 pies por segundo, ¿cuál es la velocidad después de 5 segundos? La velocidad de vibración de una cuerda sometida a una tensión constante varía inversamente a la longitud de la cuerda. Si una cuerda mide 24 pulgadas y vibra 128 veces por segundo, ¿cuál es la longitud de una cuerda que vibra 64 veces por segundo? 48 pulgadas El volumen de un gas mantenido a temperatura constante varía indirectamente como la presión del gas. Si el volumen de un gas es de 1.200 centímetros cúbicos, cuando la presión es de 200 milímetros de mercurio, ¿cuál es el volumen cuando la presión es de 300 milímetros de mercurio? El peso de un objeto sobre la superficie de la Tierra varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Si un cuerpo pesa 50 libras cuando está a 3.960 millas del centro de la Tierra, ¿cuánto pesaría si estuviera a 3.970 millas del centro de la Tierra? ≈ 49,75 libras La intensidad de la luz medida en pies candela varía inversamente al cuadrado de la distancia a la fuente de luz. Supongamos que la intensidad de una bombilla es de 0,08 pies candela a una distancia de 3 metros. Halle el nivel de intensidad a 8 metros. La corriente en un circuito varía inversamente con su resistencia medida en ohmios. Cuando la corriente en un circuito es de 40 amperios, la resistencia es de 10 ohmios. Halle la corriente si la resistencia es de 12 ohmios. ≈ 33,33 amperios La fuerza que ejerce el viento sobre una superficie plana varía junto con el cuadrado de la velocidad del viento y con el área de la superficie plana. Si el área de la superficie es de 40 pies cuadrados y la velocidad del viento es de 20 millas por hora, la fuerza resultante es de 15 libras. Halle la fuerza sobre una superficie de 65 pies cuadrados a una velocidad de 30 millas por hora. La potencia (CV) que un eje puede transmitir con seguridad varía junto con su velocidad (en revoluciones por minuto [rpm]) y el cubo del diámetro. Si el eje de un determinado material de 3 pulgadas de diámetro puede transmitir 45 CV a 100 rpm, ¿qué diámetro deberá tener para transmitir 60 CV a 150 rpm? ≈ 2,88 pulgadas La energía cinética K de un objeto en movimiento varía junto con su masa m y el cuadrado de su velocidad v . Si un objeto que pesa 40 kilogramos a una velocidad de 15 metros por segundo tiene una energía cinética de 1.000 julios, halle la energía cinética si la velocidad aumenta a 20 metros por segundo. Ejercicios de repaso del capítulo Ha llegado al final del capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales. Repasemos algunos de los términos, conceptos y ecuaciones clave que aprendió. Números complejos Realice la operación indicada con números complejos. ( 4 + 3 i ) + ( – 2 - 5 i ) 2 - 2 i ( 6 − 5 i ) - ( 10 + 3 i ) ( 2 - 3 i ) ( 3 + 6 i ) 24 + 3 i 2 − i 2 + i Resuelva las siguientes ecuaciones sobre el sistema de números complejos. x 2 - 4 x + 5 = 0 { 2 + i , 2 − i } x 2 + 2 x + 10 = 0 Funciones cuadráticas En los siguientes ejercicios, escriba la función cuadrática en forma estándar. A continuación, dé los vértices y las intersecciones de los ejes. Por último, grafique la función. f ( x ) = x 2 - 4 x - 5 f ( x ) = ( x - 2 ) 2 - 9 vértice ( 2 , -9 ) , intersecciones ( 5 , 0 ) ; ( -1 , 0 ) ; ( 0 , –5 ) f ( x ) = - 2 x 2 - 4 x En los siguientes problemas, halle la ecuación de la función cuadrática con la información dada. El vértice es ( – 2 , 3 ) y un punto en el gráfico es ( 3 , 6 ) . f ( x ) = 3 25 ( x + 2 ) 2 + 3 El vértice es ( – 3 , 6,5 ) y un punto en el gráfico es ( 2 , 6 ) . Responda las siguientes preguntas. Una parcela rectangular será cercada con vallas. Uno de los lados está junto a un río, por lo que no hace falta la valla. Si el total de vallas disponibles es de 600 metros, calcule las dimensiones de la parcela para tener la máxima superficie. 300 por 150 metros, el lado más largo paralelo al río. Un objeto proyectado desde el suelo en un ángulo de 45 grados a una velocidad inicial de 120 pies por segundo tiene altura, h , en términos de distancia horizontal recorrida, x , dado por h ( x ) = − 32 ( 120 ) 2 x 2 + x . Calcule la altura máxima que alcanza el objeto. Funciones de potencia y funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, determine si la función es polinómica y, de ser así, dé el grado y el coeficiente principal. f ( x ) = 4 x 5 - 3 x 3 + 2 x – 1 Sí, grado = 5, coeficiente principal = 4 f ( x ) = 5 x + 1 - x 2 f ( x ) = x 2 ( 3 - 6 x + x 2 ) Sí, grado = 4, coeficiente principal = 1 En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de la función polinómica. f ( x ) = 2 x 4 + 3 x 3 - 5 x 2 + 7 f ( x ) = 4 x 3 - 6 x 2 + 2 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = 2 x 2 ( 1 + 3 x – x 2 ) Gráfico de funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, halle todos los ceros de la función polinómica; tome nota de las multiplicidades. f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( 2 x – 1 ) ( x + 1 ) 3 − 3 con multiplicidad 2 , − 1 2 con multiplicidad 1 , − 1 con multiplicidad 3 f ( x ) = x 5 + 4 x 4 + 4 x 3 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x - 4 4 con multiplicidad 1 En los siguientes ejercicios, a partir del gráfico dado, determine los ceros de la función y tome nota de la multiplicidad. 1 2 con multiplicidad 1, 3 con multiplicidad 3 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que al menos un cero se encuentra entre 2 y 3 para la función f ( x ) = x 3 - 5 x + 1 Dividir polinomios En los siguientes ejercicios, utilice la división larga para hallar el cociente y el restante. x 3 - 2 x 2 + 4 x + 4 x - 2 x 2 + 4 con restante 12 3 x 4 - 4 x 2 + 4 x + 8 x + 1 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. Si el divisor es un factor, entonces escriba la forma factorizada. x 3 - 2 x 2 + 5 x – 1 x + 3 x 2 - 5 x + 20 − 61 x + 3 x 3 + 4 x + 10 x - 3 2 x 3 + 6 x 2 − 11 x - 12 x + 4 2 x 2 - 2 x - 3 , por lo que la forma factorizada es ( x + 4 ) ( 2 x 2 - 2 x - 3 ) 3 x 4 + 3 x 3 + 2 x + 2 x + 1 Ceros de funciones polinómicas En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del cero racional para resolver la ecuación polinómica. 2 x 3 - 3 x 2 − 18 x - 8 = 0 { − 2 , 4 , - 1 2 } 3 x 3 + 11 x 2 + 8 x - 4 = 0 2 x 4 − 17 x 3 + 46 x 2 − 43 x + 12 = 0 { 1 , 3 , 4 , 1 2 } 4 x 4 + 8 x 3 + 19 x 2 + 32 x + 12 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice la regla de los signos de Descartes para calcular el número posible de soluciones positivas y negativas. x 3 - 3 x 2 - 2 x + 4 = 0 0 o 2 positivas, 1 negativa 2 x 4 - x 3 + 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 Funciones racionales En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas verticales y horizontales, y luego úsales para trazar un gráfico. f ( x ) = x + 2 x - 5 Intersecciones ( -2 , 0 ) y ( 0 , - 2 5 ) , Asíntotas x = 5 y y = 1. f ( x ) = x 2 + 1 x 2 - 4 f ( x ) = 3 x 2 − 27 x 2 + x - 2 Intersecciones (3, 0), (-3, 0) y ( 0 , 27 2 ) , Asíntotas x = 1 , x = – 2 , y = 3. f ( x ) = x + 2 x 2 - 9 En los siguientes ejercicios, halle la asíntota oblicua. f ( x ) = x 2 – 1 x + 2 y = x - 2 f ( x ) = 2 x 3 - x 2 + 4 x 2 + 1 Funciones inversas y radicales En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función con el dominio dado. f ( x ) = ( x - 2 ) 2 , x ≥ 2 f − 1 ( x ) = x + 2 f ( x ) = ( x + 4 ) 2 - 3 , x ≥ − 4 f ( x ) = x 2 + 6 x - 2 , x ≥ - 3 f − 1 ( x ) = x + 11 − 3 f ( x ) = 2 x 3 - 3 f ( x ) = 4 x + 5 - 3 f − 1 ( x ) = ( x + 3 ) 2 - 5 4 , x ≥ - 3 f ( x ) = x - 3 2 x + 1 Modelado mediante la variación En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la incógnita. y varía directamente como el cuadrado de x . Si cuando x = 3 , y = 36 , calcule y si x = 4. y = 64 y varía inversamente a la raíz cuadrada de x Si cuando x = 25 , y = 2 , calcule y si x = 4. y varía conjuntamente como el cubo de x y dado que c . Si cuando x = 1 y z = 2 , y = 6 , calcule y si x = 2 y z = 3. y = 72 y varía junto como x y el cuadrado de c e inversamente como el cubo de w . Si cuando x = 3 , z = 4 , y w = 2 , y = 48 , calcule y si x = 4 , z = 5 , y w = 3. En los siguientes ejercicios, resuelva el problema de aplicación. El peso de un objeto sobre la Tierra varía inversamente con el cuadrado de su distancia al centro de la Tierra. Si una persona pesa 150 libras cuando está en la superficie de la Tierra (a 3.960 millas del centro), calcule su peso si está a 20 millas por encima de la superficie. 148,5 libras El volumen V de un gas ideal varía directamente con la temperatura T e inversamente con la presión P . Un cilindro contiene oxígeno a una temperatura de 310 grados K y una presión de 18 atmósferas en un volumen de 120 litros. Calcule la presión si el volumen disminuye a 100 litros y la temperatura aumenta a 320 grados K. Examen del capítulo Realice la operación indicada o resuelva la ecuación. ( 3 - 4 i ) ( 4 + 2 i ) 20 − 10 i 1 - 4 i 3 + 4 i x 2 - 4 x + 13 = 0 { 2 + 3 i , 2 - 3 i } Diga el grado y el coeficiente principal de la siguiente función polinómica. f ( x ) = x 3 ( 3 - 6 x - 2 x 2 ) Determine el comportamiento final de la función polinómica. f ( x ) = 8 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 4 A s x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , a s x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = - 2 x 2 ( 4 - 3 x - 5 x 2 ) Escriba la función cuadrática en forma estándar. Determine el vértice y las intersecciones de los ejes y grafique la función. f ( x ) = x 2 + 2 x - 8 f ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 9 , vértice ( –1 , –9 ) , intersecciones ( 2 , 0 ) ; ( -4 , 0 ) ; ( 0 , −8 ) Dada la información acerca del gráfico de una función cuadrática, halle su ecuación. Vértice ( 2 , 0 ) y punto en el gráfico ( 4 , 12 ) . Resuelva el siguiente problema de aplicación. Un campo rectangular será cercado con vallas. Además de la valla de cerramiento, otra valla dividirá el campo en dos partes, paralelas a ambos lados. Si se dispone de 1.200 pies de vallas, calcule la superficie máxima que puede cerrarse. 60.000 pies cuadrados Halle todos los ceros de las siguientes funciones polinómicas; tome nota de las multiplicidades. f ( x ) = ( x - 3 ) 3 ( 3 x – 1 ) ( x – 1 ) 2 f ( x ) = 2 x 6 − 12 x 5 + 18 x 4 0 con multiplicidad 4, 3 con multiplicidad 2 A partir del gráfico, determine los ceros de la función y las multiplicidades. Utilice la división larga para hallar el cociente. 2 x 3 + 3 x - 4 x + 2 2 x 2 - 4 x + 11 − 26 x + 2 Utilice la división sintética para hallar el cociente. Si el divisor es un factor, escriba la forma factorizada. x 4 + 3 x 2 - 4 x - 2 2 x 3 + 5 x 2 - 7 x - 12 x + 3 2 x 2 - x - 4 . Así que la forma factorizada es ( x + 3 ) ( 2 x 2 - x - 4 ) Utilice el teorema del cero racional para hallar los ceros de las funciones polinómicas. f ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 - 6 x - 9 f ( x ) = 4 x 4 + 8 x 3 + 21 x 2 + 17 x + 4 - 1 2 (tiene multiplicidad 2), − 1 ± i 15 2 f ( x ) = 4 x 4 + 16 x 3 + 13 x 2 − 15 x − 18 f ( x ) = x 5 + 6 x 4 + 13 x 3 + 14 x 2 + 12 x + 8 - 2 (tiene multiplicidad 3), ± i Dada la siguiente información en torno a una función polinómica, halle la función. Tiene un doble cero en x = 3 y ceros en x = 1 y x = - 2 . Su intersección en y es ( 0 , 12 ) . Tiene un cero de multiplicidad 3 en x = 1 2 y otro cero en x = - 3 . Contiene el punto ( 1 , 8 ) . f ( x ) = 2 ( 2 x – 1 ) 3 ( x + 3 ) Utilice la regla de los signos de Descartes para determinar el número posible de soluciones positivas y negativas. 8 x 3 - 21 x 2 + 6 = 0 En las siguientes funciones racionales, halle las intersecciones y las asíntotas horizontales y verticales, y trace un gráfico. f ( x ) = x + 4 x 2 - 2 x - 3 Intersecciones ( - 4 , 0 ) , ( 0 , - 4 3 ) , Asíntotas x = 3 , x = −1 , y = 0 f ( x ) = x 2 + 2 x - 3 x 2 - 4 Halle la asíntota oblicua de la función racional. f ( x ) = x 2 + 3 x - 3 x – 1 y = x + 4 Halle la inversa de la función. f ( x ) = x - 2 + 4 f ( x ) = 3 x 3 - 4 f − 1 ( x ) = x + 4 3 3 f ( x ) = 2 x + 3 3 x – 1 Calcule el valor de la incógnita. y varía inversamente al cuadrado de x y cuando x = 3 , y = 2. Halle y si x = 1. y = 18 y varía junto con x y la raíz cúbica de c . Si cuando x = 2 y z = 27 , y = 12 , calcule y si x = 5 y z = 8. Resuelva el siguiente problema de aplicación. La distancia de caída de un cuerpo varía directamente como el cuadrado del tiempo de caída. Si un objeto cae 64 pies en 2 segundos, ¿cuánto tiempo tardará en caer 256 pies? 4 segundos constante de variación el valor no nulo k que permite definir la relación entre variables en variación directa o inversa variación directa la relación entre dos variables que son un múltiplo constante de la otra; cuando una cantidad aumenta, también lo hace la otra variación inversa la relación entre dos variables en la que el producto de las variables es una constante inversamente proporcional una relación en la que una cantidad es una constante dividida entre la otra cantidad; cuando una cantidad aumenta, la otra disminuye variación conjunta la relación en la que una variable varía directamente o inversamente con múltiples variables varía directamente la relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por la otra cantidad varía inversamente la relación en la que una cantidad es una constante dividida entre la otra cantidad", "section": "Modelado mediante la variación", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Micrografía electrónica de la bacteria E. coli (créditos: \"Mattosaurus\", Wikimedia Commons) Concéntrese en un centímetro cuadrado de su piel. Mire más de cerca. Más cerca aún. Si se pudiera mirar con suficiente atención, se verían cientos de miles de organismos microscópicos. Son bacterias, y no solo están en la piel, sino también en la boca, en la nariz y hasta en los intestinos. De hecho, las células bacterianas en su cuerpo superan a sus propias células en cualquier momento. Sin embargo, eso no es motivo para sentirse mal consigo mismo. Aunque algunas bacterias pueden causar enfermedades, muchas son saludables y hasta esenciales para el organismo. Las bacterias se reproducen en un proceso denominado fisión binaria, durante el cual una célula bacteriana se divide en dos. Cuando las condiciones son adecuadas, las bacterias se reproducen muy rápidamente. A diferencia de los humanos y otros organismos complejos, el tiempo necesario para formar una nueva generación de bacterias suele ser cuestión de minutos u horas, en lugar de días o años. Todar, PhD, Kenneth. Todar's Online Textbook of Bacteriology. http://textbookofbacteriology.net/growth_3.html. Para simplificar, supongamos que empezamos con un cultivo de una célula bacteriana que se divide cada hora. La muestra el número de células bacterianas al final de cada hora. Vemos que la única célula bacteriana da lugar a ¡más de mil células bacterianas en solo diez horas! Si extrapolamos la tabla a veinticuatro horas, ¡tendríamos más de 16 millones! Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bacterias 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1.024 En este capítulo, exploraremos las funciones exponenciales, que se utilizan, entre otros aspectos, para modelar patrones de crecimiento como los que se encuentran en las bacterias. También investigaremos las funciones logarítmicas, que guardan estrecha relación con las funciones exponenciales. Ambos tipos de funciones tienen numerosas aplicaciones en el mundo real a la hora de modelar e interpretar datos.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones exponenciales Objetivos de aprendizaje Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3) Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1) Objetivo 1: Hallar el valor de una función (exponencial). (IA 3.5.3) Vocabulario. Para la función y = f ( x ) , ________ es la variable independiente , ya que puede ser cualquier valor del dominio y ________ es la variable dependiente , ya que su valor depende de ________ . Muchos acontecimientos naturales y aplicaciones de la vida real pueden modelarse mediante funciones exponenciales. Por ejemplo, el crecimiento demográfico, la propagación de los virus, la desintegración radiactiva y el interés compuesto siguen patrones exponenciales. Definición: la función exponencial es una función de la forma f ( x ) = a x donde a > 0 y a ≠ 1 Ejemplos: f ( x ) = 5 x , f ( x ) = ( 1 3 ) x , f ( x ) = 2 . 13 x Observe que, en la función exponencial, la variable es el exponente. En nuestras funciones hasta ahora, las variables eran la base. Evaluar una función es el proceso de hallar el valor de f(x) para un valor dado de x. Evalúe la función f ( x ) = 3 x para los valores dados Ⓐ f ( 2 ) Ⓑ f ( -1 ) Ⓒ f ( 2 h ) Ⓐ Sustituya x por 2 y halle el valor de la función f ( 2 ) = 3 2 = 9 Ⓑ Sustituya x por -1 y halle el valor de la función f ( 2 ) = 3 1 = 1 3 Ⓒ Sustituya x por 2h y simplifique, de ser posible f ( 2 ) = 3 2 h La práctica hace la perfección Halle el valor de una función exponencial. Evalúe la función f ( x ) = ( 3 2 ) x para los valores dados Ⓐ f ( 2 ) Ⓑ f ( -2 ) Ⓒ f ( a ) También hallaremos el valor de la función cuando resolvemos problemas de aplicación que implican funciones exponenciales. Las primas de Medicare. La prima mensual de la Parte B de Medicare para la mayoría de los beneficiarios que son mayores de 65 años de edad ha aumentado considerablemente desde 1975. La prima mensual ha pasado de unos 7 dólares en 1975 a 110,50 dólares en 2011 (Fuente: Centros de Servicios de Medicare y Medicaid). La siguiente función exponencial modela el aumento de la prima: M ( x ) = 7 ( 1 . 080 ) x donde x es el número de años desde 1975. Estimación de la prima mensual de la Parte B de Medicare en 1985, en 1992 y en 2002. (Tenga en cuenta que x es el número de años transcurridos desde 1975, por lo que para 1985, x=10). Redondee al dólar más cercano. Podemos calcular el interés compuesto al utilizar A = P ( 1 + r n ) n t , Donde A es la cantidad de dinero, P es el monto de capital, t es el número de años, r es el tipo de interés y n es el número de veces que se han capitalizado los intereses al año. Supongamos que se invierten 960 dólares a un interés del 7 %, capitalizado semestralmente Ⓐ Halle la función para el importe al que crece la inversión después de t años. Ⓑ Calcule el importe de dinero en la cuenta a t=1 , 6, 10, 15 y 20 años. Objetivo 2: Graficar las funciones exponenciales. (IA 10.2.1) La práctica hace la perfección Graficar las funciones exponenciales. Grafique la función exponencial f ( x ) = 2 x haciendo una tabla. x y = f ( x ) Grafique la función exponencial f ( x ) = ( 1 2 ) x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Cómo se compara con el gráfico de f ( x ) = 2 x ? Grafique f ( x ) = 3 x , f ( x ) = 4 x , f ( x ) = 2,5 x en la misma ventana de visualización utilizando una calculadora gráfica o un programa. ¿Cuál es la relación entre la base a y la forma del gráfico? Grafique f ( x ) = 0,2 x , f ( x ) = 0,4 x , f ( x ) = 0,7 x en la misma ventana de visualización utilizando una calculadora gráfica o un programa. ¿Cuál es la relación entre la base a y la forma del gráfico? Complete las Propiedades de la función exponencial f ( x ) = a x , a > 0 , a ≠ 1 ¿Es continua? ¿Es biunívoca? Dominio Rango Es creciente si Es decreciente si Asíntotas Intersecciones El número e , e ≈ 2,718281827 , es como el número π en el sentido de que utilizamos un símbolo para representarlo porque su representación decimal nunca se detiene ni se repite. El número irracional e se denomina base natural o número de Euler en honor al matemático suizo Leonhard Euler. La función exponencial cuya base es e, f ( x ) = e x se denomina función exponencial natural . La práctica hace la perfección Grafique la función exponencial f ( x ) = e x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Cuál es el dominio de f ( x ) ? ¿Cuál es el rango de f ( x ) ? La India es el segundo país más poblado del mundo, con unos 1,39 mil millones de habitantes en 2021. La población crece a un ritmo de aproximadamente 1,2 % cada año http://www.worldometers.info/world-population/. Consultado el 24 de febrero de 2014. . Si este ritmo continúa, la población de la India superará a la de China en el año 2027 Cuando las poblaciones crecen rápidamente, a menudo decimos que el crecimiento es \"exponencial\", lo que significa que algo asciende muy rápidamente. Sin embargo, para un matemático, el término crecimiento exponencial tiene un significado muy específico. En esta sección, echaremos un vistazo a las funciones exponenciales , que modelan este tipo de crecimiento rápido. Identificación de funciones exponenciales Al explorar el crecimiento lineal, observamos una tasa de cambio constante: una cifra constante en la que la producción aumenta por cada incremento de unidad en la entrada. Por ejemplo, en la ecuación f ( x ) = 3 x + 4 , la pendiente nos indica que la salida aumenta en 3 cada vez que la entrada aumenta en 1. El escenario del ejemplo de la población de la India es diferente porque tenemos un cambio porcentual por unidad de tiempo (en lugar de un cambio constante) en el número de personas. Definir una función exponencial Un estudio reveló que el porcentaje de la población que es vegana en Estados Unidos se duplicó de 2009 a 2011. En 2011, el 2,5 % de la población era vegana, tras adherirse a una dieta que no incluye ningún producto de origen animal: sin carne, aves, pescado, lácteos ni huevos. Si este ritmo continúa, los veganos representarán el 10 % de la población estadounidense en 2015, el 40 % en 2019 y el 80 % en 2021. ¿Qué significa exactamente crecer exponencialmente ? ¿Qué tiene en común la palabra doble con el porcentaje de aumento ? La gente usa estas palabras erróneamente. ¿Se utilizan correctamente estas palabras? Ciertamente, las palabras aparecen con frecuencia en los medios de comunicación. El cambio porcentual se refiere a un cambio basado en un porcentaje de la cantidad original. El crecimiento exponencial se refiere a un aumento basado en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, un aumento porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo. El decaimiento exponencial se refiere a una disminución basada en una tasa de cambio multiplicativa constante a lo largo de incrementos iguales de tiempo, es decir, una disminución porcentual de la cantidad original con el paso del tiempo. Para entender claramente el crecimiento exponencial , contrastémoslo con el crecimiento lineal . Construiremos dos funciones. La primera función es exponencial. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Duplicaremos las correspondientes salidas consecutivas. La segunda función es lineal. Empezaremos con una entrada de 0 y aumentaremos cada entrada en 1. Sumaremos 2 a las salidas consecutivas correspondientes. Vea la . x f ( x ) = 2 x g ( x ) = 2 x 0 1 0 1 2 2 2 4 4 3 8 6 4 16 8 5 32 10 6 64 12 A partir de la , podemos deducir que, en lo que respecta a estas dos funciones, el crecimiento exponencial empequeñece al crecimiento lineal. El crecimiento exponencial se refiere a que el valor original a partir del rango aumenta en el mismo porcentaje en incrementos iguales, hallados en el dominio. El crecimiento lineal se refiere a que el valor original a partir del rango se incrementa en la misma cantidad en incrementos iguales, hallados en el dominio. Aparentemente, la diferencia entre \"el mismo porcentaje\" y \"la misma cantidad\" es bastante significativa. En el caso del crecimiento exponencial, en incrementos iguales, la tasa de cambio multiplicativa constante daba como resultado la duplicación de la producción cada vez que la entrada aumentaba en uno. En el caso del crecimiento lineal, la tasa de cambio sumatoria constante sobre incrementos iguales daba como resultado la suma de 2 a la salida cada vez que la entrada se incrementaba en uno. La forma general de la función exponencial es f ( x ) = a b x , donde a es cualquier número distinto a cero, b es un número real positivo, que no sea igual a 1. Si los valores de b > 1 , la función crece a un ritmo proporcional a su tamaño. Si los valores de 0 < b < 1 , la función decae a un ritmo proporcional a su tamaño. Veamos la función f ( x ) = 2 x de nuestro ejemplo. Crearemos una tabla ( ) para determinar las salidas correspondientes durante un intervalo en el dominio de − 3 con 3. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 2 x 2 - 3 = 1 8 2 - 2 = 1 4 2 – 1 = 1 2 2 0 = 1 2 1 = 2 2 2 = 4 2 3 = 8 Examinemos el gráfico de f al trazar los pares ordenados que observamos en la tabla en la , y luego hagamos algunas observaciones. Definamos el comportamiento del gráfico de la función exponencial f ( x ) = 2 x y destaquemos algunas de sus características principales. el dominio es ( - ∞ , ∞ ) , el rango es ( 0 , ∞ ) , a medida que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , a medida que x → - ∞ , f ( x ) → 0 , f ( x ) es siempre creciente, el gráfico de f ( x ) nunca tocará el eje x porque la base dos elevada a cualquier exponente nunca tiene el resultado de cero. y = 0 es la asíntota horizontal. la intersección en y es 1. Función exponencial Para cualquier número real x , la función exponencial es aquella con la forma f ( x ) = a b x donde a es un número real distinto a cero, denominado valor inicial, en tanto que b es cualquier número real positivo, tal que b ≠ 1. El dominio de f son todos números reales. El rango de f son todos números reales positivos si a > 0 . El rango de f son todos los números reales negativos si a < 0 . La intersección en y es ( 0 , a ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Identificar funciones exponenciales ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones no son funciones exponenciales? f ( x ) = 4 3 ( x - 2 ) g ( x ) = x 3 h ( x ) = ( 1 3 ) x j ( x ) = ( – 2 ) x Por definición, la función exponencial tiene una constante como base y una variable independiente como exponente. Así, g ( x ) = x 3 no representa ninguna función exponencial porque la base es una variable independiente. De hecho, g ( x ) = x 3 es una función potencia. Recordemos que la base b de la función exponencial es siempre una constante positiva, y b ≠ 1. Por lo tanto, j ( x ) = ( −2 ) x no representa ninguna función exponencial porque la base, −2 , es menor que 0 . Ejercicio ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones exponenciales? f ( x ) = 2 x 2 - 3 x + 1 g ( x ) = 0,875 x h ( x ) = 1,75 x + 2 j ( x ) = 1095,6 − 2 x g ( x ) = 0,875 x y j ( x ) = 1095,6 − 2 x representan funciones exponenciales. Evaluar funciones exponenciales Recordemos que la base de la función exponencial debe ser un número real positivo, distinto a 1. ¿Por qué limitamos la base b a valores positivos? Para garantizar que las salidas sean números reales. Observe lo que ocurre si la base no es positiva: Supongamos que b = - 9 y x = 1 2 . Entonces f ( x ) = f ( 1 2 ) = ( − 9 ) 1 2 = - 9 , que no es un número real. ¿Por qué limitamos la base a valores positivos que no sean 1 ? Porque la base 1 da como resultado la función constante. Observe lo que ocurre si la base es 1 : Supongamos que b = 1. Entonces f ( x ) = 1 x = 1 para cualquier valor de x . Para evaluar una función exponencial con la forma f ( x ) = b x , simplemente sustituimos x con el valor dado, y calculamos la potencia resultante. Por ejemplo: Supongamos que f ( x ) = 2 x . ¿Qué es f ( 3 ) ? f ( x ) = 2 x f ( 3 ) = 2 3 Sustituya x = 3. = 8 Evalúe la potencia . Para evaluar una función exponencial con una forma distinta a la básica, es importante seguir el orden de las operaciones. Por ejemplo: Supongamos que f ( x ) = 30 ( 2 ) x . ¿Qué es f ( 3 ) ? f ( x ) = 30 ( 2 ) x f ( 3 ) = 30 ( 2 ) 3 Sustituya x = 3. = 30 ( 8 ) Simplifique la potencia primero . = 240 Multiplique . Observe que, de no seguirse el orden de las operaciones, el resultado sería incorrecto: f ( 3 ) = 30 ( 2 ) 3 ≠ 60 3 = 216.000 Evaluar funciones exponenciales Supongamos que f ( x ) = 5 ( 3 ) x + 1 . Evalúe f ( 2 ) sin usar la calculadora. Siga el orden de las operaciones. Preste atención a los paréntesis. f ( x ) = 5 ( 3 ) x + 1 f ( 2 ) = 5 ( 3 ) 2 + 1 Sustituya x = 2. = 5 ( 3 ) 3 Sume los exponentes . = 5 ( 27 ) Simplifique la potencia . = 135 Multiplique . Ejercicio Supongamos que f ( x ) = 8 ( 1,2 ) x - 5 . Evalúe f ( 3 ) utilizando una calculadora. Redondee a cuatro decimales. 5,5556 Definir el crecimiento exponencial Dado que el resultado de las funciones exponenciales aumenta muy rápidamente, el término \"crecimiento exponencial\" se utiliza a menudo en el lenguaje cotidiano para describir cualquier cosa que crezca o aumente rápidamente. Sin embargo, el crecimiento exponencial puede definirse con mayor precisión en un sentido matemático. Si la tasa de crecimiento es proporcional a la cantidad presente, la función modela un crecimiento exponencial. Crecimiento exponencial Una función que modela el crecimiento exponencial crece a una tasa proporcional a la cantidad presente. Para cualquier número real x y cualquier número real positivo a y b de manera que b ≠ 1 , una función de crecimiento exponencial tiene la forma f ( x ) = a b x donde a es el valor inicial o de partida de la función. b es el factor de crecimiento o multiplicador de crecimiento por unidad x . En términos generales, tenemos una función exponencial , en la que una base constante se eleva a un exponente variable. Para diferenciar entre funciones lineales y exponenciales, consideremos dos empresas, A y B. La empresa A tiene 100 tiendas y se expande con la inauguración de 50 tiendas al año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función A ( x ) = 100 + 50 x . La empresa B tiene 100 tiendas y se expande al aumentar el número de tiendas en un 50 % cada año, por lo que su crecimiento puede representarse mediante la función B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x . Algunos años de crecimiento de estas empresas se ilustran en la . Año, x Tiendas, empresa A Tiendas, empresa B 0 100 + 50 ( 0 ) = 100 100 ( 1 + 0,5 ) 0 = 100 1 100 + 50 ( 1 ) = 150 100 ( 1 + 0,5 ) 1 = 150 2 100 + 50 ( 2 ) = 200 100 ( 1 + 0,5 ) 2 = 225 3 100 + 50 ( 3 ) = 250 100 ( 1 + 0,5 ) 3 = 337,5 x A ( x ) = 100 + 50 x B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x Los gráficos que comparan el número de tiendas de cada empresa en el lapso de cinco años se muestran en la . Podemos ver que, con el crecimiento exponencial, el número de tiendas aumenta mucho más rápidamente que con el crecimiento lineal. El gráfico muestra el número de tiendas que las empresas A y B han abierto en el lapso de cinco años. Observe que el dominio de ambas funciones es [ 0 , ∞ ) , y el rango en ambas funciones es [ 100 , ∞ ) . Después del año 1, la empresa B siempre tiene más tiendas que la empresa A. Ahora, nos centraremos en la función que representa el número de tiendas de la empresa B, B ( x ) = 100 ( 1 + 0,5 ) x . En esta función exponencial, 100 representa el número inicial de tiendas, 0,50 representa la tasa de crecimiento y 1 + 0,5 = 1,5 representa el factor de crecimiento. En términos más generales, podemos escribir esta función como B ( x ) = 100 ( 1,5 ) x , donde 100 es el valor inicial, 1,5 se denomina la base , y x se denomina el exponente . Evaluar un modelo exponencial en el mundo real Al principio de esta sección, aprendimos que la población de la India era de unos 1,25 mil millones en el año 2013, con una tasa de crecimiento anual de aproximadamente 1,2 % . Esta situación está representada por la función de crecimiento P ( t ) = 1,25 ( 1,012 ) t , donde t es el número de años transcurridos desde 2013. A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de la India en 2031? Para estimar la población en 2031, evaluamos los modelos para t = 18 , porque 2031 es 18 años después de 2013. Redondeando a la milésima más cercana, P ( 18 ) = 1,25 ( 1,012 ) 18 ≈ 1,549 En el año 2031 habrá unos 1.549 millones de habitantes en India. Ejercicio La población de China era de unos 1.390 millones de habitantes en el año 2013, a una tasa de crecimiento anual de aproximadamente 0,6 % . Esta situación está representada por la función de crecimiento P ( t ) = 1,39 ( 1,006 ) t , donde t es el número de años transcurridos desde 2013. A la milésima más cercana, ¿cuál será la población de China en el año 2031? ¿Cómo se compara esto con la predicción de población que hicimos para la India en el ? Alrededor de 1,548 millones de habitantes; en el año 2031, la población de la India superará a la de China en unos 0,001 mil millones, es decir, 1 millón de personas. Hallar ecuaciones de funciones exponenciales En los ejemplos anteriores, se nos dio una función exponencial, que luego evaluamos para una entrada dada. A veces nos dan información acerca de una función exponencial sin conocer la función explícitamente. Debemos utilizar la información para escribir primero la forma de la función y luego determinar las constantes a y b , y evaluar la función. Cómo Dados dos puntos de datos, escribir un modelo exponencial. Si uno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , entonces a es el valor inicial. Utilizando a , sustituya el segundo punto en la ecuación f ( x ) = a ( b ) x , y resuelva para b . Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma f ( x ) = a ( b ) x . Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar a y b . Con el a y b determinados en los pasos anteriores, escriba la función exponencial en la forma f ( x ) = a ( b ) x . Escribir un modelo exponencial cuando se conoce el valor inicial En 2006, se introdujeron 80 ciervos en un refugio de vida silvestre. En 2012, la población había aumentado a 180 ciervos. La población crecía exponencialmente. Escriba una función exponencial N ( t ) que represente a la población ( N ) de ciervos a lo largo del tiempo t . Supongamos que nuestra variable independiente t es el número de años posteriores a 2006. Así, la información dada en el problema puede escribirse en pares de entrada-salida: (0, 80) y (6, 180). Observe que, al elegir como variable de entrada los años posteriores a 2006, nos hemos dado el valor inicial de la función, a = 80. Ahora podemos sustituir el segundo punto en la ecuación N ( t ) = 80 b t para calcular b : N ( t ) = 80 b t 180 = 80 b 6 Sustituya utilizando el punto ( 6 , 180 ) . 9 4 = b 6 Divida y escriba en términos mínimos . b = ( 9 4 ) 1 6 Aísle b mediante el empleo de las propiedades de los exponentes . b ≈ 1,1447 Redondee a 4 decimales . NOTA: A menos que se indique lo contrario, no se redondean los cálculos intermedios. A continuación, redondee la respuesta final a cuatro lugares para el resto de esta sección. El modelo exponencial con respecto a la población de ciervos es N ( t ) = 80 ( 1,1447 ) t . (Observe que esta función exponencial modela el crecimiento a corto plazo. A medida que la entrada crece, el resultado será cada vez mayor, tanto así que el modelo podría no servir a largo plazo). Podemos representar gráficamente nuestro modelo para observar el crecimiento demográfico de ciervos en el refugio con el paso del tiempo. Observe que el gráfico en la pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ( 0 , 80 ) y ( 6 , 180 ) . También podemos ver que el dominio de la función es [ 0 , ∞ ) , y el rango de la función es [ 80 , ∞ ) . Gráfico que muestra la población de ciervos a lo largo del tiempo, N ( t ) = 80 ( 1,1447 ) t , t años después de 2006 Ejercicio La población de lobos crece exponencialmente. En 2011 se contabilizaron 129 lobos. Para 2013, la población había alcanzado los 236 lobos. ¿Qué dos puntos se pueden utilizar para derivar una ecuación exponencial que modele esta situación? Escriba la ecuación que represente la población N de lobos a lo largo del tiempo t . ( 0 , 129 ) y ( 2 , 236 ) ; N ( t ) = 129 ( 1 0,3526 ) t Escribir un modelo exponencial cuando no se conoce el valor inicial Halle una función exponencial que pase por los puntos ( – 2 , 6 ) y ( 2 , 1 ) . Como no tenemos el valor inicial, sustituimos ambos puntos en una ecuación de la forma f ( x ) = a b x , y luego resolvemos el sistema para a y b . Al sustituir ( – 2 , 6 ) da como resultado 6 = a b − 2 Al sustituir ( 2 , 1 ) da como resultado 1 = a b 2 Utilice la primera ecuación para resolver a en términos de b : Sustituya a en la segunda ecuación, y resuelva para b : Utilice el valor de b en la primera ecuación para resolver el valor de a : Así, la ecuación es f ( x ) = 2,4492 ( 0,6389 ) x . Podemos graficar nuestro modelo para comprobar nuestro trabajo. Observe que el gráfico en la pasa por los puntos iniciales dados en el problema, ( – 2 , 6 ) y ( 2 , 1 ) . El gráfico es un ejemplo de función de decaimiento exponencial . el gráfico de f ( x ) = 2,4492 ( 0,6389 ) x modela el decaimiento exponencial. Ejercicio Dados los dos puntos ( 1 , 3 ) y ( 2 , 4,5 ) , halle la ecuación de la función exponencial que pasa por estos dos puntos. f ( x ) = 2 ( 1,5 ) x PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Dos puntos siempre determinan una única función exponencial? Sí, siempre que los dos puntos estén por encima del eje x o por debajo del eje x y tengan coordenadas x diferentes. Tenga en cuenta que también necesitamos saber que el gráfico es, de hecho, una función exponencial. No todos los gráficos que parecen exponenciales lo son realmente. Tenemos que saber que el gráfico se basa en un modelo que muestra el mismo porcentaje de crecimiento con cada aumento unitario de x , que en muchos casos del mundo real implica tiempo. Cómo Dado el gráfico de una función exponencial, escribir su ecuación. En primer lugar, identifique dos puntos del gráfico. Elija la intersección en y como uno de los dos puntos siempre que sea posible. Intente elegir puntos que estén lo más separados posible para reducir el error de redondeo. Si uno de los puntos de datos es la intersección en y ( 0 , a ) , entonces a es el valor inicial. Utilizando a , sustituya el segundo punto en la ecuación f ( x ) = a ( b ) x , y resuelva para b . Si ninguno de los puntos de datos tiene la forma ( 0 , a ) , sustituya ambos puntos en dos ecuaciones con la forma f ( x ) = a ( b ) x . Resuelva el sistema que resulta de dos ecuaciones en dos incógnitas para hallar a y b . Escriba la función exponencial, f ( x ) = a ( b ) x . Escribir una función exponencial dado su gráfico Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la . Podemos elegir la intersección en y del gráfico, ( 0 , 3 ) , como nuestro primer punto. Esto nos da el valor inicial, a = 3. A continuación, elija un punto de la curva a cierta distancia de ( 0 , 3 ) que tiene coordenadas enteras. Uno de estos puntos es ( 2 , 12 ) . y = a b x Escriba la forma general de una ecuación exponencial . y = 3 b x Sustituya el valor inicial 3 por a . 12 = 3 b 2 Sustituya el 12 por y y 2 por x . 4 = b 2 Divida entre 3 . b = ± 2 Tome la raíz cuadrada . Dado que nos limitamos a los valores positivos de b , utilizaremos b = 2. Sustituya a y b en la forma estándar para obtener la ecuación f ( x ) = 3 ( 2 ) x . Ejercicio Halle una ecuación para la función exponencial graficada en la . f ( x ) = 2 ( 2 ) x . Las respuestas pueden variar debido al error de redondeo. La respuesta debería estar muy cerca de 1,4142 ( 1,4142 ) x . Cómo Dados dos puntos de la curva de una función exponencial, utilizar la calculadora gráfica para la ecuación. Pulse [STAT]. Borre las entradas existentes en las columnas L1 o L2. En L1 , introduzca las coordenadas dadas de la x . En L2 , introduzca las correspondientes coordenadas de la y . Pulse de nuevo [STAT] . Lleve el cursor a la derecha hasta CALC , desplácese hasta ExpReg (regresión exponencial) , y pulse [ENTER]. La pantalla muestra los valores de a y b en la ecuación exponencial y = a ⋅ b x . Usar la calculadora gráfica para una función exponencial Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluya los puntos ( 2 , 24,8 ) y ( 5 , 198,4 ) . Siga las directrices anteriores. Primero pulse [STAT] , [EDIT] , [1: Edit…], y borre las listas L1 y L2 . A continuación, en la columna L1 , introduzca las coordenadas de la x , 2 y 5. Haga lo mismo en la columna L2 con las coordenadas de la y , 24,8 y 198,4. Ahora pulse [STAT] , [CALC] , [0: ExpReg] y presione [ENTER] . Los valores a = 6,2 y b = 2 se mostrarán. La ecuación exponencial es y = 6,2 ⋅ 2 x . Ejercicio Utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación exponencial que incluye los puntos (3, 75,98) y (6, 481,07). y ≈ 12 ⋅ 1,85 x Aplicar la fórmula del interés compuesto Los instrumentos de ahorro en los que las ganancias se reinvierten continuamente, como los fondos de inversión y las cuentas de jubilación, utilizan el interés compuesto . El término compuesto se refiere a los intereses devengados no solo sobre el valor original, sino sobre el valor acumulado de la cuenta. La tasa anual equivalente (TAE) de una cuenta, también llamada tasa nominal , es el tipo de interés anual que devenga una cuenta de inversión. El término nominal se utiliza cuando la capitalización se produce un número de veces distinto de una vez al año. De hecho, cuando se capitalizan los intereses más de una vez al año, ¡el tipo de interés efectivo acaba siendo mayor que el nominal! Se trata de una poderosa herramienta para invertir. Podemos calcular el interés compuesto con la fórmula del interés compuesto, que es una función exponencial de las variables tiempo t , capital P , TAE r , y el número de periodos de capitalización en un año n : A ( t ) = P ( 1 + r n ) n e Por ejemplo, observe la , que muestra el resultado de invertir 1.000 dólares al 10 % durante un año. Observe cómo el valor de la cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de la capitalización. Frecuencia Valor después de 1 año Anualmente $1.100 Semestralmente $1.102,50 Trimestralmente $1.103,81 Mensualmente $1.104,71 Diariamente $1.105,16 La fórmula del interés compuesto El interés compuesto puede calcularse mediante la fórmula A ( t ) = P ( 1 + r n ) n e donde A ( t ) es el valor de la cuenta, t se mide en años, P es el importe inicial de la cuenta, a menudo denominado capital, o más generalmente valor actual, r es la tasa anual equivalente (TAE) expresada en decimales, y n es el número de periodos de capitalización en un año. Calcular el interés compuesto Si invertimos 3.000 dólares en una cuenta de inversión que paga un 3 % de interés compuesto trimestralmente, ¿cuánto valdrá la cuenta dentro de 10 años? Dado que estamos empezando con 3.000 dólares, P = 3.000. Nuestro tipo de interés es del 3 %, por lo que r = 0,03. Ya que capitalizamos trimestralmente, esto significa 4 veces al año, así que n = 4. Queremos saber el valor de la cuenta en 10 años, por lo que buscamos A ( 10 ) , el valor cuando t = 10. A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t Utilice la fórmula del interés compuesto . A ( 10 ) = 3.000 ( 1 + 0,03 4 ) 4⋅10 Sustituya utilizando los valores dados . ≈ $ 4.045,05 Redondee a dos decimales . La cuenta tendrá un valor de unos 4.045,05 dólares en 10 años. Ejercicio Una inversión inicial de 100.000 dólares a un interés del 12 % se capitaliza semanalmente (utilice 52 semanas en un año). ¿Cuánto valdrá la inversión dentro de 30 años? unos 3.644.675,88 dólares Usar la fórmula del interés compuesto para resolver el capital El plan 529 es un plan de ahorro para la universidad que permite a los familiares invertir dinero para pagar la futura matrícula universitaria de un hijo; la cuenta crece libre de impuestos. Lily quiere crear una cuenta 529 para su nueva nieta y quiere que la cuenta crezca hasta 40.000 dólares en 18 años. Cree que la cuenta ganará un tipo de interés compuesto de 6 % semestralmente (dos veces al año). Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir Lily en la cuenta ahora? El tipo de interés nominal es del 6 %, por lo que r = 0,06. El interés se capitaliza dos veces al año, por lo que k = 2. Queremos calcular la inversión inicial, P , necesaria para que el valor de la cuenta sea de 40.000 dólares en 18 años. Sustituya los valores dados en la fórmula del interés compuesto y resuelva para P . A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t Utilice la fórmula del interés compuesto . 40.000 = P ( 1 + 0,06 2 ) 2 ( 18 ) Sustituya utilizando los valores dados A , r , n y t . 40.000 = P ( 1,03 ) 36 Simplifique . 40.000 ( 1,03 ) 36 = P Aísle P . P ≈ $ 13 . 801 Divida y redondee al dólar más cercano . Lily tendrá que invertir 13.801 dólares para tener 40.000 dólares en 18 años. Ejercicio Consulte el . Al dólar más cercano, ¿cuánto necesitaría invertir Lily si la cuenta se capitaliza trimestralmente? $13.693 Evaluar funciones con base e Como hemos visto anteriormente, el importe ganado en una cuenta aumenta a medida que aumenta la frecuencia de capitalización. La muestra que el aumento de la capitalización anual a la semestral es mayor que el aumento de la mensual a la diaria. Esto podría llevarnos a preguntarnos si este patrón continuará. Examine el valor de 1 dólar invertido al 100 % de interés durante 1 año, capitalizado a diversas frecuencias, que figuran en la . Frecuencia A ( n ) = ( 1 + 1 n ) n Valor Anualmente ( 1 + 1 1 ) 1 $2 Semestralmente ( 1 + 1 2 ) 2 $2,25 Trimestralmente ( 1 + 1 4 ) 4 $2,441406 Mensualmente ( 1 + 1 12 ) 12 $2,613035 Diariamente ( 1 + 1 365 ) 365 $2,714567 Por hora ( 1 + 1 8.760 ) 8.760 $2,718127 Una vez por minuto ( 1 + 1 525.600 ) 525.600 $2,718279 Una vez por segundo ( 1 + 1 31.536.000 ) 31.536.000 $2,718282 Estos valores parecen acercarse a un límite a medida que n aumenta sin límites. De hecho, como n aumenta cada vez más, la expresión ( 1 + 1 n ) n se acerca a un número utilizado con tanta frecuencia en matemáticas que hasta tiene su propio nombre: la letra e . Este valor es un número irracional, lo que significa que su expansión decimal se eterniza sin repetirse. A continuación, se muestra su aproximación con seis decimales. El número e La letra e representa el número irracional ( 1 + 1 n ) n , dado que n aumenta sin límites La letra e se utiliza como base para muchos modelos exponenciales en el mundo real. Para trabajar con la base e , utilizamos la aproximación, e ≈ 2,718282. El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), nombró la constante, quien investigó y descubrió por primera vez muchas de sus propiedades. Usar la calculadora para hallar las potencias de e Calcule e 3,14 . Redondee a cinco decimales. En una calculadora, pulse el botón denominado [ e x ] . La ventana muestra [ e ^ ( ] . Escriba 3,14 y luego cierre el paréntesis, [ ) ] . Pulse [ENTER]. Redondee a 5 decimales, e 3,14 ≈ 23,10387. Precaución: Muchas calculadoras científicas tienen un botón \"Exp\", que se utiliza para introducir números en notación científica. No se utiliza para calcular potencias de e . Ejercicio Utilice una calculadora para hallar e − 0,5 . Redondee a cinco decimales. e − 0,5 ≈ 0,60653 Investigar el crecimiento continuo Hasta ahora hemos trabajado con bases racionales para funciones exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de los fenómenos del mundo real, se utiliza e como base de las funciones exponenciales. Los modelos exponenciales que utilizan e como base se denominan modelos de crecimiento o decaimiento continuo . Vemos estos modelos en las finanzas, la informática y la mayoría de las ciencias, como la física, la toxicología y la dinámica de fluidos. La fórmula del crecimiento o decaimiento continuo En todos los números reales t , y todos los números positivos a y r , el crecimiento o decaimiento continuo se representa con la fórmula A ( t ) = a e r t donde a es el valor inicial, r es la tasa de crecimiento continuo por unidad de tiempo, y t es el tiempo transcurrido. Si los valores de r > 0 , entonces la fórmula representa crecimiento continuo. Si los valores de r < 0 , entonces la fórmula representa decaimiento continuo. En las aplicaciones empresariales, la fórmula de crecimiento continuo se denomina fórmula de composición continua y adopta la forma A ( t ) = P e r t donde P es el capital o la inversión inicial, r es la tasa de crecimiento o de interés por unidad de tiempo, y t es el periodo o plazo de la inversión. Cómo Dados el valor inicial, la tasa de crecimiento o decaimiento y el tiempo t , resolver una función de crecimiento o decaimiento continuo. Utilice la información del problema para determinar a , el valor inicial de la función. Utilice la información del problema para determinar la tasa de crecimiento r . Si el problema se refiere al crecimiento continuo, entonces r > 0 . Si el problema se refiere al decaimiento continuo, entonces r < 0 . Utilice la información del problema para determinar el tiempo t . Sustituya la información dada en la fórmula de crecimiento continuo y resuelva para A ( t ) . Calcular el crecimiento continuo Alguien invierte 1.000 dólares en una cuenta que devenga un tipo de interés nominal del 10 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuánto había en la cuenta al final de un año? Dado que el valor de la cuenta es creciente, se trata de un problema de composición continua con tasa de crecimiento r = 0,10. La inversión inicial fue de 1.000 dólares, por lo que P = 1.000. Utilizamos la fórmula de capitalización continua para calcular el valor después de t = 1 año: A ( t ) = P e r t Utilice la fórmula de capitalización continua . = 1.000 ( e ) 0,1 Sustituya los valores conocidos por P , r , y t . ≈ 1.105,17 Utilice una calculadora para estimar . La cuenta tiene un valor de 1.105,17 dólares al cabo de un año. Ejercicio Alguien invierte 100.000 dólares a un tipo de interés nominal del 12 % anual, capitalizado continuamente. ¿Cuál será el valor de la inversión dentro de 30 años? $3.659.823,44 Calcular el decaimiento continuo El radón 222 decae a un ritmo continuo del 17,3 % al día. ¿A cuánto ascenderán 100 mg de radón 222 en 3 días? Dado que la sustancia decae, la tasa, 17,3 % , es negativa. Así que, r = − 0,173. La cantidad inicial de radón 222 era de 100 mg, por lo que a = 100. Utilizamos la fórmula de decaimiento continuo para calcular el valor después de t = 3 días: A ( t ) = a e r t Utilice la fórmula de crecimiento continuo . = 100 e − 0,173 ( 3 ) Sustituya los valores conocidos por a , r , y t . ≈ 59,5115 Utilice una calculadora para estimar . Por lo que quedarán 59,5115 mg de radón 222. Ejercicio Con los datos del , ¿cuánta cantidad de radón 222 quedará después de un año? 3.77E-26 (Esta es la notación de la calculadora para el número escrito como 3,77 × 10 − 26 en notación científica. Aunque la salida de una función exponencial nunca es cero, este número está tan cerca de cero que, a los efectos prácticos, podemos aceptar el cero como respuesta). Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones exponenciales. Función de crecimiento exponencial Interés compuesto Ecuaciones clave definición de la función exponencial f ( x ) = b x , donde b > 0 , b ≠ 1 definición de crecimiento exponencial f ( x ) = a b x , donde a > 0 , b > 0 , b ≠ 1 fórmula del interés compuesto A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t , donde A ( t ) es el valor de la cuenta en el tiempo t t es el número de años P es la inversión inicial, a menudo denominada capital r es la tasa anual equivalente (TAE) o tipo nominal n es el número de periodos de capitalización en un año fórmula de crecimiento continuo A ( t ) = a e r t , donde t es el número de periodos de tiempo unitarios de crecimiento a es el importe inicial (en la fórmula de capitalización continua, a se sustituye por P, que es el importe de capital) e es la constante matemática, e ≈ 2,718282 Conceptos clave La función exponencial se define como aquella con una constante positiva distinta de 1 elevado a un exponente variable. Vea el . Una función se evalúa al resolver en un valor específico. Vea el y el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen la tasa de crecimiento y el valor inicial. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se conocen los dos puntos de datos del modelo. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico del modelo. Vea el . Se puede encontrar un modelo exponencial cuando se utilizan dos puntos de datos del gráfico y una calculadora. Vea el . El valor de una cuenta en cualquier momento t puede calcularse mediante la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el importe de capital, el tipo de interés anual y los periodos de capitalización. Vea el . La inversión inicial de una cuenta puede hallarse con la fórmula del interés compuesto cuando se conocen el valor de la cuenta, el tipo de interés anual, los periodos de capitalización y la duración de la cuenta. Vea el . El número e es una constante matemática que se utiliza a menudo como base de los modelos de crecimiento y decaimiento exponencial en el mundo real. Su aproximación decimal es e ≈ 2,718282. Las calculadoras científicas y gráficas tienen la clave [ e x ] o [ exp ( x ) ] para calcular las potencias de e . Vea el . Los modelos de crecimiento o decaimiento continuo son modelos exponenciales que utilizan e como base. Los modelos de crecimiento y decaimiento continuo pueden encontrarse cuando se conocen el valor inicial y la tasa de crecimiento o decaimiento. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué los valores de una función exponencial creciente acabarán superando los de una función lineal creciente. Las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Las funciones exponenciales aumentan con base en un porcentaje del original. Dada una fórmula para una función exponencial, ¿es posible determinar si la función crece o decae exponencialmente con tan solo mirar la fórmula? Explique. El diccionario Oxford define la palabra nominal como un valor \"declarado o expresado, pero que no necesariamente corresponde exactamente al valor real\". Diccionario Oxford. http://oxforddictionaries.com/us/definition/american_english/nomina. Desarrolle un argumento razonable de por qué el término tasa nominal se utiliza para describir la tasa anual equivalente de una cuenta de inversión que capitaliza el interés. Cuando se capitaliza el interés, el porcentaje de los intereses devengados sobre el capital acaba siendo mayor que la tasa anual equivalente de la cuenta de inversión. Así pues, la tasa anual equivalente no corresponde necesariamente al interés real devengado, que es la propia definición de nominal . Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique si el enunciado representa una función exponencial. Explique. El aumento promedio anual de la población de una manada de lobos es de 25. Una población de bacterias disminuye en un factor de 1 8 cada 24 horas. exponencial; la población disminuye a una tasa proporcional. El valor de una colección de monedas ha aumentado en 3,25 % anualmente en los últimos 20 años. Por cada sesión de entrenamiento, un entrenador personal cobra a sus clientes $ 5 menos que la sesión de entrenamiento anterior. no es exponencial; la carga disminuye en una cantidad constante en cada visita, por lo que el enunciado representa una función lineal. La altura de un proyectil en el tiempo t viene representada por la función h ( t ) = − 4,9 t 2 + 18 t + 40. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: Por cada año t , la población de un bosque de árboles viene representada por la función A ( t ) = 115 ( 1,025 ) t . En un bosque vecino, la población del mismo tipo de árbol viene representada por la función B ( t ) = 82 ( 1,029 ) t . (Redondee las respuestas al número entero más cercano). ¿Cuál es el bosque cuya población crece más rápidamente? El bosque representado por la función B ( t ) = 82 ( 1,029 ) t . ¿Qué bosque tenía inicialmente un mayor número de árboles? ¿Por cuántos? Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de 20 años? ¿Por cuántos? Después de t = 20 años, el bosque A tendrá 43 más árboles que el bosque B. Suponiendo que los modelos de crecimiento de la población sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá un mayor número de árboles después de 100 años? ¿Por cuántos? Analice los resultados de los cuatro ejercicios anteriores. Suponiendo que los modelos de crecimiento demográfico sigan representando el crecimiento de los bosques, ¿qué bosque tendrá mayor número de árboles a largo plazo? ¿Por qué? ¿Cuáles son los factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial? Las respuestas variarán. Respuesta de muestra: Durante algunos años, la población del bosque A superará cada vez más al bosque B. Sin embargo, dado que el bosque B crece en realidad a un ritmo más rápido, la población acabará siendo mayor que la del bosque A y se mantendrá así mientras se mantengan los modelos de crecimiento demográfico. Algunos factores que influirían en la validez a largo plazo del modelo de crecimiento exponencial son la sequía, una plaga que elimine la población y otros factores ambientales y biológicos. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa crecimiento exponencial, decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique. y = 300 ( 1 - t ) 5 y = 220 ( 1,06 ) x crecimiento exponencial; el factor de crecimiento, 1,06 , es mayor que 1. y = 16,5 ( 1,025 ) 1 x y = 11 , 701 ( 0,97 ) t decaimiento exponencial; el factor de decaimiento, 0,97 , está entre 0 y 1. En los siguientes ejercicios, halle la fórmula de una función exponencial que pase por los dos puntos dados. ( 0 , 6 ) y ( 3 , 750 ) ( 0 , 2000 ) y ( 2 , 20 ) f ( x ) = 2000 ( 0,1 ) x ( - 1 , 3 2 ) y ( 3 , 24 ) ( – 2 , 6 ) y ( 3 , 1 ) f ( x ) = ( 1 6 ) - 3 5 ( 1 6 ) x 5 ≈ 2,93 ( 0,699 ) x ( 3 , 1 ) y ( 5 , 4 ) En los siguientes ejercicios, determine si la tabla puede representar una función lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos. x 1 2 3 4 f ( x ) 70 40 10 -20 Lineal x 1 2 3 4 h ( x ) 70 49 34,3 24,01 x 1 2 3 4 m ( x ) 80 61 42,9 25,61 Ninguna de las dos x 1 2 3 4 f ( x ) 10 20 40 80 x 1 2 3 4 g ( x ) -3,25 2 7,25 12,5 Lineal En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula del interés compuesto, A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t . Al cabo de un determinado número de años, el valor de una cuenta de inversión viene representado por la ecuación A = 10 , 250 ( 1 + 0,04 12 ) 120 . ¿Cuál es el valor de la cuenta? ¿Cuál fue el depósito inicial realizado en la cuenta en el ejercicio anterior? $ 10 . 250 ¿Cuántos años llevaba la cuenta del ejercicio anterior acumulando intereses? Se abre una cuenta con un depósito inicial de 6.500 dólares y se devenga 3,6 % de interés compuesto semestralmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en 20 años? $ 13 . 268,58 ¿Cuánto más habría valido la cuenta del ejercicio anterior si los intereses se acumularan semanalmente? Resuelva la fórmula del interés compuesto para el importe de capital, P . P = A ( t ) ⋅ ( 1 + r n ) - n e Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el depósito inicial de una cuenta que vale $ 14 . 472,74 después de devengar 5,5 % de interés compuesto mensualmente para 5 años. (Redondee al dólar más cercano). ¿Cuánto más valdría la cuenta de los dos ejercicios anteriores si devengara intereses por 5 años más? $ 4.572,56 Utilice las propiedades de los exponentes racionales para resolver la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés, r . Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba semestralmente, con un depósito inicial de 9.000 dólares y ascendía a 13.373,53 dólares después de 10 años. 4 % Utilice la fórmula determinada en el ejercicio anterior para calcular el tipo de interés de una cuenta que se capitalizaba mensualmente, con un depósito inicial de 5.500 dólares y ascendía a 38.455 dólares después de 30 años. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos. Explique. y = 3742 ( e ) 0,75 t crecimiento continuo; la tasa de crecimiento es mayor que 0 . y = 150 ( e ) 3,25 t y = 2,25 ( e ) - 2 t decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es inferior a 0 Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de $ 12 . 000 devengando 7,2 % de interés compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 30 años? ¿Cuánto menos valdría la cuenta del ejercicio 42 después de 30 años si se capitaliza mensualmente en su lugar? $ 669,42 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe cada función. Redondee las respuestas a cuatro decimales, si es necesario. f ( x ) = 2 ( 5 ) x , por f ( - 3 ) f ( x ) = – 4 2 x + 3 , por f ( - 1 ) f ( - 1 ) = – 4 f ( x ) = e x , por f ( 3 ) f ( x ) = - 2 e x – 1 , por f ( - 1 ) f ( - 1 ) ≈ − 0,2707 f ( x ) = 2,7 ( 4 ) - x + 1 + 1,5 , por f ( – 2 ) f ( x ) = 1,2 e 2 x − 0,3 , por f ( 3 ) f ( 3 ) ≈ 483,8146 f ( x ) = - 3 2 ( 3 ) - x + 3 2 , por f ( 2 ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar la ecuación de una función exponencial dados los puntos en la curva. ( 0 , 3 ) y ( 3 , 375 ) y = 3 ⋅ 5 x ( 3 , 222,62 ) y ( 10 , 77,456 ) ( 20 , 29,495 ) y ( 150 , 730,89 ) y ≈ 18 ⋅ 1,025 x ( 5 , 2,909 ) y ( 13 , 0,005 ) ( 11.310,035 ) y ( 25,356365.2 ) y ≈ 0,2 ⋅ 1,95 x Extensiones El porcentaje de rendimiento anual (annual percentage yield, APY) de una cuenta de inversión es una representación del tipo de interés real obtenido en una cuenta de capitalización. Se basa en un período de capitalización de un año. Demuestre que el APY de una cuenta que se capitaliza mensualmente se puede determinar con la fórmula APY = ( 1 + r 12 ) 12 − 1. Repita el ejercicio anterior para hallar la fórmula del APY en una cuenta que se capitaliza diariamente. Utilice los resultados de este ejercicio y del anterior para desarrollar una función I ( n ) para el APY de cualquier cuenta que capitalice n veces al año. APY = A ( t ) - a a = a ( 1 + r 365 ) 365 ( 1 ) - a a = a [ ( 1 + r 365 ) 365 − 1 ] a = ( 1 + r 365 ) 365 − 1 ; I ( n ) = ( 1 + r n ) n – 1 Recordemos que la función exponencial es cualquier ecuación escrita en la forma f ( x ) = a ⋅ b x de manera que a y b son números positivos y b ≠ 1. Cualquier número positivo b puede escribirse como b = e n para algún valor de n . Utilice este hecho para reescribir la fórmula de una función exponencial que emplee el número e como base. En una función de decaimiento exponencial, la base del exponente es un valor entre 0 y 1. Por lo tanto, para algún número b > 1 , la función de decaimiento exponencial puede escribirse como f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x . Utilice esta fórmula, junto con el hecho de que b = e n , para demostrar que una función de decaimiento exponencial adopta la forma f ( x ) = a ( e ) - n x para algún número positivo n . Supongamos que f es la función de decaimiento exponencial f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x de manera que b > 1. Entonces para algún número n > 0 , f ( x ) = a ⋅ ( 1 b ) x = a ( b - 1 ) x = a ( ( e n ) - 1 ) x = a ( e - n ) x = a ( e ) - n x . La fórmula del importe A en una cuenta de inversión con un tipo de interés nominal r en cualquier tiempo t viene dada por A ( t ) = a ( e ) r t , donde a es la cantidad de capital depositada inicialmente en una cuenta que se capitaliza continuamente. Demuestre que el porcentaje de los intereses devengados con respecto al capital en cualquier momento t se puede calcular con la fórmula I ( t ) = e r t − 1. Aplicaciones en el mundo real La población de zorros de una determinada región tiene una tasa de crecimiento anual del 9 %. En el año 2012, se contabilizaron 23.900 zorros en la zona. ¿Cuál es la población de zorros prevista para el año 2020? 47 . 622 zorros. Un científico comienza con 100 miligramos de una sustancia radiactiva que decae exponencialmente. Después de 35 horas, quedan 50 mg de la sustancia. ¿Cuántos miligramos quedarán después de 54 horas? En el año 1985, una casa estaba valorada en 110.000 dólares. En el año 2005, se había revalorizado hasta los 145.000 dólares. ¿Cuál fue la tasa de crecimiento anual entre 1985 y 2005? Supongamos que el valor siguió creciendo en el mismo porcentaje. ¿Cuál era el valor de la casa en el año 2010? 1,39 % ; $ 155 . 368,09 Un automóvil fue valorado en 38.000 dólares en el año 2007. En 2013, se había depreciado hasta los 11.000 dólares Si sigue bajando en el mismo porcentaje, ¿cuál será su valor en 2017? Jaylen quiere ahorrar 54.000 dólares para la cuota inicial de una casa. ¿Cuánto tendrá que invertir en una cuenta a una TAE al 8,2 %, con capitalización diaria, para alcanzar su objetivo en 5 años? $ 35 . 838,76 Kyoko tiene 10.000 dólares que quiere invertir. Su banco tiene varias cuentas de inversión para elegir, todas ellas con capitalización diaria. Su objetivo es tener 15.000 dólares para cuando termine sus estudios de posgrado dentro de 6 años. ¿Cuál debería ser el tipo de interés anual mínimo para alcanzar su objetivo? (Pista : resuelva la fórmula del interés compuesto para el tipo de interés). Alyssa abrió una cuenta de jubilación a una TAE de 7,25 % en el año 2000. Su depósito inicial fue de 13.500 dólares. ¿Cuánto valdrá la cuenta en 2025 si los intereses se capitalizan mensualmente? ¿Cuánto más ganaría si los intereses se capitalizaran continuamente? $ 82 . 247,78 ; $ 449,75 Se ha abierto una cuenta de inversión con un tipo de interés anual del 7 %, con un depósito inicial de 4.000 dólares. Compare los valores de la cuenta después de 9 años, con los intereses capitalizados anualmente, trimestralmente, mensualmente y de forma continua. tasa anual equivalente (TAE) el tipo de interés anual que se devenga en una cuenta de inversión, también llamada tasa nominal interés compuesto los intereses devengados sobre el saldo total, no solo en el importe de capital crecimiento exponencial un modelo que crece con una tasa proporcional al importe presente tasa nominal el tipo de interés anual que se devenga en una cuenta de inversión, también llamada tasa anual equivalente", "section": "Funciones exponenciales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráficos de funciones exponenciales Objetivos de aprendizaje Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1). Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones (CA 3.5.1-3.5.5). Objetivo 1: Graficar funciones exponenciales (IA 10.2.1). Graficar funciones exponenciales. En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 2 x y g ( x ) = 2 x + 1 . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar las funciones. Al observar los gráficos de las funciones f ( x ) = 2 x y g ( x ) = 2 x + 1 arriba, vemos que al sumar uno en el exponente ocurrió el desplazamiento horizontal de una unidad a la izquierda. Podemos utilizar este patrón para graficar otras funciones utilizando desplazamientos horizontales. En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x - 2 . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar las funciones. Al observar los gráficos de las funciones f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x - 2 , vemos que al restar 2 se produce un desplazamiento vertical de dos unidades hacia abajo. Observe que la asíntota horizontal también se ha desplazado 2 unidades hacia abajo. Podemos utilizar este patrón para graficar otras funciones con un desplazamiento vertical. La práctica hace la perfección En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x -1 . En el mismo gráfico del sistema de coordenadas f ( x ) = 3 x y g ( x ) = 3 x + 1 . Objetivo 2: Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. (CA 3.5.1-3.5.5) Desplazamientos verticales y horizontales: Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x ) + k donde k es una constante, es un desplazamiento vertical de la función f ( x ) . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo. Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x h ) , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función f ( x ) . Si h es positivo, el gráfico se desplazará hacia la derecha. Si h es negativo, el gráfico se desplazará hacia la izquierda. Dada una función y un desplazamiento vertical y horizontal, dibuje el gráfico. Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula. El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa. El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa. Observe que el orden de los desplazamientos, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones. Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. Grafique f ( x ) = 3 x + 2 3 Haga una tabla para f ( x ) = 3 x Añada una columna a la izquierda para x + 2 , al restar 2 a todos los valores de entrada. Añada una columna a la derecha, al restar 3 a todos los valores de y. Dos columnas exteriores tienen los puntos para el nuevo gráfico Cómo Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente. Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x . Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y . La práctica hace la perfección Graficar funciones (exponenciales) mediante transformaciones. Grafique f ( x ) = 2 x 3 1 Ⓐ Dados f ( x ) = 3 x , refléjelo sobre el eje y; escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓑ Dados f ( x ) = 3 x , refléjelo sobre el eje x; escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓒ Dados f ( x ) = 3 x , desplace el gráfico hacia arriba 4 unidades y escriba la ecuación de la nueva función, a continuación. Ⓓ Grafique las ecuaciones encontradas en las partes a, b y c en el sistema de coordenadas proporcionado y compruebe su trabajo con una herramienta gráfica. Como comentamos en la sección anterior, las funciones exponenciales se utilizan para muchas aplicaciones en el mundo real, como las finanzas, la medicina forense, la informática y la mayoría de las ciencias naturales. Trabajar con una ecuación que describe una situación en el mundo real nos brinda un método para hacer predicciones. Sin embargo, la mayoría de las veces la ecuación no es suficiente. Aprendemos mucho sobre las cosas al ver sus representaciones pictóricas, y es precisamente por tal motivo que graficar ecuaciones exponenciales es una herramienta poderosa. Nos da otra capa más de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. Graficar funciones exponenciales Antes de empezar a graficar, vale la pena repasar el comportamiento del crecimiento exponencial. Recordemos la tabla de valores de una función de la forma f ( x ) = b x cuya base es mayor que uno. Utilizaremos la función f ( x ) = 2 x . Observe cómo cambian los valores de salida en la cuando la entrada aumenta en 1. x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 2 x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 Cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, 2. Designamos la base 2 el cociente constante . De hecho, para cualquier función exponencial con la forma f ( x ) = a b x , b es el cociente constante de la función. Esto significa que al aumentar la entrada en 1, el valor de la salida será el producto de la base y la salida anterior, independientemente del valor de a . Observe en la tabla que los valores de salida son positivos para todos los valores de x ; a medida que x aumenta, los valores de salida aumentan sin límite, y a medida que x disminuye, los valores de salida se hacen más pequeños, para acercarse a cero. La muestra la función de crecimiento exponencial f ( x ) = 2 x . Observe que el gráfico se acerca al eje x , pero nunca lo toca. El dominio de f ( x ) = 2 x son todos números reales, el rango es ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Para tener una idea del comportamiento del decaimiento exponencial , podemos crear una tabla de valores para una función de la forma f ( x ) = b x cuya base está entre cero y uno. Utilizaremos la función g ( x ) = ( 1 2 ) x . Observe cómo cambian los valores de salida en la cuando la entrada aumenta en 1. x -3 -2 -1 0 1 2 3 g ( x ) = ( 1 2 ) x 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 De nuevo, debido a que la entrada se incrementa en 1, cada valor de salida es el producto de la salida anterior y la base, o la relación constante 1 2 . Observe en la tabla que los valores de salida son positivos para todos los valores de x ; a medida que x aumenta, los valores de salida se reducen, para acercarse a cero, y a medida que x disminuye, los valores de salida crecen sin límite. La muestra la función de decaimiento exponencial, g ( x ) = ( 1 2 ) x . El dominio de g ( x ) = ( 1 2 ) x son todos números reales, el rango es ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal es y = 0 . Características del gráfico de la función matriz f ( x ) = b x Una función exponencial con la forma f ( x ) = b x , b > 0 , b ≠ 1 , tiene estas características: función biunívoca asíntota horizontal: y = 0 dominio: ( – ∞ , ∞ ) rango: ( 0 , ∞ ) intersección en x : ninguna intersección en y : ( 0 , 1 ) creciente si b > 1 decreciente si b < 1 La compara los gráficos de las funciones de crecimiento y decaimiento exponencial. Cómo Dada una función exponencial de la forma f ( x ) = b x , graficar la función. Cree una tabla de puntos. Trace al menos 3 puntos de la tabla, incluso la intersección en y ( 0 , 1 ) . Dibuje una curva suave a través de los puntos. Indique el dominio, ( - ∞ , ∞ ) , el rango, ( 0 , ∞ ) , y la asíntota horizontal, y = 0 . Trazar el gráfico de una función exponencial de la forma f (x ) = b x Dibuje un gráfico de f ( x ) = 0,25 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y crea une tabla de puntos para el gráfico. Dado que b = 0,25 está entre cero y uno, sabemos que la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota y = 0 . Cree una tabla de puntos como en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 0,25 x 64 16 4 1 0,25 0,0625 0,015625 Trace la intersección en y , ( 0 , 1 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( - 1 , 4 ) y ( 1 , 0,25 ) . Dibuje una curva suave que conecte los puntos como en la . El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Dibuje el gráfico de f ( x ) = 4 x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Graficar transformaciones de funciones exponenciales Las transformaciones de los gráficos exponenciales se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, reflexión, estiramiento y compresión) a la función matriz f ( x ) = b x sin perder la forma. Por ejemplo, al igual que la función cuadrática mantiene su forma parabólica cuando se desplaza, refleja, estira o comprime, la función exponencial también mantiene su forma general, independientemente de las transformaciones aplicadas. Graficar un desplazamiento vertical La primera transformación se produce cuando añadimos una constante d a la función matriz f ( x ) = b x , que nos da un desplazamiento vertical de d unidades en la misma dirección que el signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar una función matriz, f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos verticales junto a ella, mediante d = 3 : el desplazamiento hacia arriba, g ( x ) = 2 x + 3 y el desplazamiento hacia abajo, h ( x ) = 2 x − 3. Ambos desplazamientos verticales se muestran en la . Observe los resultados del desplazamiento f ( x ) = 2 x verticalmente: El dominio, ( - ∞ , ∞ ) se mantiene sin cambios. Cuando la función se desplaza hacia arriba 3 unidades a g ( x ) = 2 x + 3 : La intersección en y se desplaza hacia arriba 3 unidades a ( 0 , 4 ) . La asíntota se desplaza hacia arriba 3 unidades a y = 3. El rango se convierte en ( 3 , ∞ ) . Cuando la función se desplaza hacia abajo 3 unidades a h ( x ) = 2 x - 3 : La intersección en y se desplaza hacia abajo 3 unidades a ( 0 , - 2 ) . La asíntota también se desplaza hacia abajo 3 unidades a y = − 3, El rango se convierte en ( - 3 , ∞ ) . Graficar un desplazamiento horizontal La siguiente transformación se produce cuando añadimos una constante c a la entrada de la función matriz f ( x ) = b x , lo que nos da un desplazamiento horizontal c unidades en la dirección opuesta al signo. Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar dos desplazamientos horizontales junto a esta, mediante c = 3 : el desplazamiento a la izquierda, g ( x ) = 2 x + 3 , y el desplazamiento a la derecha, h ( x ) = 2 x - 3 . Ambos desplazamientos horizontales se muestran en la . Observe los resultados del desplazamiento f ( x ) = 2 x horizontalmente: El dominio, ( - ∞ , ∞ ) , se mantiene sin cambios. La asíntota, y = 0 , se mantiene sin cambios. La intersección en y se desplaza de tal manera que: Cuando la función se desplaza a la izquierda 3 unidades a g ( x ) = 2 x + 3 , la intersección en y se convierte en ( 0 , 8 ) . Esto se debe a que 2 x + 3 = ( 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 8. Cuando la función se desplaza a la derecha 3 unidades a h ( x ) = 2 x - 3 , la intersección en y se convierte en ( 0 , 1 8 ) . De nuevo, observe que 2 x - 3 = ( 1 8 ) 2 x , por lo que el valor inicial de la función es 1 8 . Desplazamientos de la función matriz f (x ) = b x Para cualquier constante c y d , la función f ( x ) = b x + c + d desplaza la función matriz f ( x ) = b x verticalmente d unidades, en la misma dirección del signo de d . horizontalmente c unidades, en la dirección opuesta al signo de c . La intersección en y se convierte en ( 0 , b c + d ) . La asíntota horizontal se convierte en y = d . El rango se convierte en ( d , ∞ ) . El dominio, ( - ∞ , ∞ ) , se mantiene sin cambios. Cómo Dada una función exponencial con la forma f ( x ) = b x + c + d , graficar la traslación. Dibuje la asíntota horizontal y = d . Identifique el desplazamiento como ( - c , d ) . Desplace el gráfico de f ( x ) = b x a la izquierda c unidades si c es positivo, y a la derecha c unidades si c es negativo. Desplace el gráfico de f ( x ) = b x hacia arriba d unidades si d es positivo, y hacia abajo d unidades si d es negativo. Indique el dominio, ( - ∞ , ∞ ) , el rango, ( d , ∞ ) , y la asíntota horizontal y = d . Graficar el desplazamiento de una función exponencial Grafique f ( x ) = 2 x + 1 − 3. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Tenemos una ecuación exponencial de la forma f ( x ) = b x + c + d , con la b = 2 , c = 1 , y d = − 3, Dibuje la asíntota horizontal y = d , así que dibuje y = –3. Identifique el desplazamiento como ( - c , d ) , por lo que el desplazamiento es ( - 1 , −3 ) . Desplace el gráfico de f ( x ) = b x 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia abajo. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - 3 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = –3. Ejercicio Grafique f ( x ) = 2 x – 1 + 3. Establezca el dominio, rango y asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 3 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 3. Cómo Dada una ecuación de la forma f ( x ) = b x + c + d por x , utilizar la calculadora gráfica para estimar la solución. Pulse [Y=] . Introduzca la ecuación exponencial dada en la línea titulada “ Y 1 = ”. Introduzca el valor dado para f ( x ) en la línea titulada “ Y 2 = ”. Pulse [WINDOW] . Ajuste el eje y para que incluya el valor introducido para “ Y 2 = ”. Pulse [GRAPH] para observar el gráfico de la función exponencial junto con la línea para el valor especificado de f ( x ) . Para hallar el valor de x , calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione ”intersect\" (intersección) y pulse tres veces la tecla [ENTER] . El punto de intersección da el valor de x para el que se indica de la función. Determinar la solución de una ecuación exponencial Resuelva 42 = 1,2 ( 5 ) x + 2,8 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. Pulse [Y=] e introduzca 1,2 ( 5 ) x + 2,8 junto a Y 1 =. A continuación, introduzca 42 junto a Y2= . Para una ventana, utilice los valores de -3 a 3 para x y –5 a 55 para y . Pulse [GRAPH] . Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar cerca de x = 2. Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x del punto de intersección se muestra como 2,1661943. (Su respuesta puede ser diferente si utiliza otra ventana o un valor distinto para “Guess?” Supongamos que...). A la milésima más cercana, x ≈ 2,166. Ejercicio Resuelva 4 = 7,85 ( 1,15 ) x − 2,27 gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. x ≈ − 1,608 Graficar un estiramiento o una compresión Mientras que los desplazamientos horizontales y verticales implican la adición de constantes a la entrada o a la propia función, se produce estiramiento o compresión cuando multiplicamos la función matriz f ( x ) = b x por una constante | a | > 0 . Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar el estiramiento, mediante a = 3 , para obtener g ( x ) = 3 ( 2 ) x como se muestra a la izquierda en la , y la compresión, mediante a = 1 3 , para obtener h ( x ) = 1 3 ( 2 ) x como se muestra a la derecha en la . (a) g ( x ) = 3 ( 2 ) x estira el gráfico de f ( x ) = 2 x verticalmente por un factor de 3. (b) h ( x ) = 1 3 ( 2 ) x comprime el gráfico de f ( x ) = 2 x verticalmente por un factor de 1 3 . Estiramiento y compresión de la función matriz f ( x ) = b x Para cualquier factor a > 0 , la función f ( x ) = a ( b ) x se estira verticalmente por un factor de a si | a | > 1. se comprime verticalmente por un factor de a si | a | < 1. intersección en y de ( 0 , a ) . tiene una asíntota horizontal en y = 0 , un rango de ( 0 , ∞ ) , y un dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. Graficar el estiramiento de una función exponencial Dibuje un gráfico de f ( x ) = 4 ( 1 2 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico. Dado que b = 1 2 está entre cero y uno, la cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, a medida que x disminuye, y la cola de la derecha se acercará al eje x , a medida que x aumenta. Dado que a = 4 , el gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) x se estirará por un factor de 4. Cree una tabla de puntos, como se indica en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 f ( x ) = 4 ( 1 2 ) x 32 16 8 4 2 1 0,5 Trace la intersección en y , ( 0 , 4 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( - 1 , 8 ) y ( 1 , 2 ) . Trace una curva suave que conecte los puntos, como se muestra en la . El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Dibuje el gráfico de f ( x ) = 1 2 ( 4 ) x . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Graficar reflexiones Además de desplazar, comprimir y estirar un gráfico, también podemos reflejarlo sobre el eje x o el eje y . Cuando multiplicamos la función matriz f ( x ) = b x entre −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje x . Cuando multiplicamos la entrada por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje y . Por ejemplo, si empezamos por graficar la función matriz f ( x ) = 2 x , podemos entonces graficar las dos reflexiones junto a esta. La reflexión sobre el eje x , g ( x ) = –2 x , se muestra en el lado izquierdo de la , y la reflexión en torno al eje y h ( x ) = 2 - x , se muestra en el lado derecho de la . (a) g ( x ) = - 2 x refleje el gráfico de f ( x ) = 2 x alrededor del eje x. (b) g ( x ) = 2 - x refleje el gráfico de f ( x ) = 2 x en torno al eje y . Reflexiones de la función matriz f ( x ) = b x La función f ( x ) = - b x refleja la función matriz f ( x ) = b x alrededor del eje x . tiene una intersección en y de ( 0 , - 1 ) . tiene un rango de ( - ∞ , 0 ) . tiene una asíntota horizontal en y = 0 y dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. La función f ( x ) = b − x refleja la función matriz f ( x ) = b x en torno al eje y . tiene una intersección en y de ( 0 , 1 ) , una asíntota horizontal en y = 0 , un rango de ( 0 , ∞ ) , y un dominio de ( - ∞ , ∞ ) , que no se modifican a partir de la función matriz. Escribir y graficar la reflexión de una función exponencial Halle y grafique la ecuación de una función, g ( x ) , que refleja f ( x ) = ( 1 4 ) x alrededor del eje x . Indique su dominio, rango y asíntota. Dado que queremos reflejar la función matriz f ( x ) = ( 1 4 ) x alrededor del eje x , multiplicamos f ( x ) entre − 1 para obtener: g ( x ) = - ( 1 4 ) x . A continuación, creamos una tabla de puntos como en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 g ( x ) = - ( 1 4 ) x − 64 − 16 - 4 - 1 − 0,25 − 0,0625 − 0,0156 Trace la intersección en y , ( 0 , –1 ) , junto con otros dos puntos. Podemos utilizar ( –1 , –4 ) y ( 1 , -0,25 ) . Dibuje una curva suave que conecte los puntos: El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - ∞ , 0 ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Ejercicio Halle y grafique la ecuación de una función, g ( x ) , que refleja f ( x ) = 1,25 x en torno al eje y . Indique su dominio, rango y asíntota. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 0 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 0 . Resumir las traslaciones de la función exponencial Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función exponencial, podemos resumirlas en la para llegar a la ecuación general de traslación de funciones exponenciales. Traslaciones de la función matriz f ( x ) = b x Traslación Forma Desplazamiento Horizontalmente c unidades a la izquierda Verticalmente d unidades hacia arriba f ( x ) = b x + c + d Estirar y comprimir Estirar si | a | > 1 Comprimir si 0 < | a | < 1 f ( x ) = a b x Reflexión sobre el eje x f ( x ) = - b x Reflexión sobre el eje y f ( x ) = b − x = ( 1 b ) x Ecuación general para todas las traslaciones f ( x ) = a b x + c + d Trasladar funciones exponenciales La traslación de una función exponencial tiene la forma f ( x ) = a b x + c + d Donde la función matriz, y = b x , b > 1 , es desplaza horizontalmente c unidades a la izquierda. estira verticalmente por un factor de | a | si | a | > 0 . comprimida verticalmente por un factor de | a | si 0 < | a | < 1. desplaza verticalmente d unidades. refleja alrededor del eje x cuando a < 0 . Observe que el orden de los desplazamientos, transformaciones y reflexiones sigue el orden de las operaciones. Escribir una función a partir de una descripción Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = e x se estira verticalmente por un factor de 2 , se refleja a través del eje y , y luego se desplaza hacia arriba 4 unidades. Queremos hallar una ecuación de la forma general f ( x ) = a b x + c + d . Utilizamos la descripción proporcionada para calcular a , b , c , y d . Se nos da la función matriz f ( x ) = e x , por lo que b = e . La función se estira por un factor de 2 , por lo que a = 2. La función se refleja alrededor del eje y . Reemplazamos x con − x para obtener: e – x . El gráfico se desplaza verticalmente 4 unidades, por lo que d = 4. Sustituyendo en la forma general obtenemos: f ( x ) = a b x + c + d = 2 e – x + 0 + 4 = 2 e – x + 4 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( 4 , ∞ ) ; la asíntota horizontal es y = 4. Ejercicio Escriba la ecuación de la función descrita a continuación. Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = e x se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , se refleja a través del eje x y luego se desplaza hacia abajo 2 unidades. f ( x ) = - 1 3 e x - 2 ; el dominio es ( - ∞ , ∞ ) ; el rango es ( - ∞ , –2 ) ; la asíntota horizontal es y = –2. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la elaboración de gráficos de funciones exponenciales. Graficar funciones exponenciales Ecuaciones clave Forma general para la traslación de la función matriz f ( x ) = b x f ( x ) = a b x + c + d Conceptos clave El gráfico de la función f ( x ) = b x tiene una intersección en y en ( 0 , 1 ) , dominio ( - ∞ , ∞ ) , rango ( 0 , ∞ ) , y asíntota horizontal y = 0 . Vea el . Si los valores de b > 1 , la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota y = 0 , y la cola derecha aumentará sin límite. Si los valores de 0 < b < 1 , la función es decreciente. La cola izquierda del gráfico aumentará sin límite, y la cola derecha se acercará a la asíntota y = 0 . La ecuación f ( x ) = b x + d representa el desplazamiento vertical de la función matriz f ( x ) = b x . La ecuación f ( x ) = b x + c representa el desplazamiento horizontal de la función matriz f ( x ) = b x . Vea el . Las soluciones aproximadas de la ecuación f ( x ) = b x + c + d se pueden encontrar con una calculadora gráfica. Vea el . La ecuación f ( x ) = a b x , donde a > 0 , representa estiramiento vertical, si | a | > 1 o compresión, si 0 < | a | < 1 de la función matriz f ( x ) = b x . Vea el . Cuando la función matriz f ( x ) = b x se multiplica por − 1 , el resultado, f ( x ) = - b x , es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por − 1 , el resultado, f ( x ) = b − x , es una reflexión alrededor del eje y . Vea la . Todas las traslaciones de la función exponencial se pueden resumir en la ecuación general f ( x ) = a b x + c + d . Vea la . Utilizando la ecuación general f ( x ) = a b x + c + d , podemos escribir la ecuación de una función dada su descripción. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué papel desempeña la asíntota horizontal de una función exponencial para informarnos acerca del comportamiento final del gráfico? La asíntota es una línea a la que se aproxima el gráfico de una función, como x aumenta o disminuye sin límites. La asíntota horizontal de una función exponencial nos indica el límite de los valores de la función cuando la variable independiente pasa a ser extremadamente grande o extremadamente pequeña. ¿Cuál es la ventaja de saber reconocer las transformaciones en el gráfico de una función matriz de forma algebraica? Algebraicos el gráfico de f ( x ) = 3 x se refleja alrededor del eje y , y se estira verticalmente por un factor de 4. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 4 ( 3 ) - x ; intersección en y : ( 0 , 4 ) ; Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que 0 . el gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) - x se refleja alrededor del eje y , además de que se comprime verticalmente por un factor de 1 5 . ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. el gráfico de f ( x ) = 10 x se refleja alrededor del eje x , y se desplaza hacia arriba 7 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = − 10 x + 7 ; intersección en y : ( 0 , 6 ) ; Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales menores que 7. el gráfico de f ( x ) = ( 1,68 ) x se desplaza a la derecha 3 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 2 , se refleja alrededor del eje x , y luego se desplaza hacia abajo 3 unidades. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y (a la milésima más cercana), el dominio y el rango. el gráfico de f x = 1 2 ( 1 4 ) x 2 + 4 se desplaza hacia abajo 4 unidades, y luego se desplaza a la izquierda 2 unidades, y se estira verticalmente por un factor de 4 , y se refleja alrededor del eje x . ¿Cuál es la ecuación de la nueva función, g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 2 ( 1 4 ) x ; intersección en y : ( 0 , 2 ) ; Dominio: todos los números reales; Rango: todos los números reales mayores que 0 . Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje y en los mismos ejes, y obtenga la intersección en y . f ( x ) = 3 ( 1 2 ) x g ( x ) = - 2 ( 0,25 ) x intersección en y : ( 0 , - 2 ) h ( x ) = 6 ( 1,75 ) - x En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de funciones en los mismos ejes. f ( x ) = 3 ( 1 4 ) x , g ( x ) = 3 ( 2 ) x , y h ( x ) = 3 ( 4 ) x f ( x ) = 1 4 ( 3 ) x , g ( x ) = 2 ( 3 ) x , y h ( x ) = 4 ( 3 ) x En los siguientes ejercicios, empareje cada función con una de los gráficos en la . f ( x ) = 2 ( 0,69 ) x B f ( x ) = 2 ( 1,28 ) x f ( x ) = 2 ( 0,81 ) x A f ( x ) = 4 ( 1,28 ) x f ( x ) = 2 ( 1,59 ) x E f ( x ) = 4 ( 0,69 ) x En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos que se indican en la . Todos tienen la forma f ( x ) = a b x . ¿Qué gráfico tiene el mayor valor de b ? D ¿Qué gráfico tiene el menor valor para b ? ¿Qué gráfico tiene el mayor valor de a ? C ¿Qué gráfico tiene el menor valor para a ? En los siguientes ejercicios, grafique la función y su reflexión alrededor del eje x en los mismos ejes. f ( x ) = 1 2 ( 4 ) x f ( x ) = 3 ( 0,75 ) x – 1 f ( x ) = – 4 ( 2 ) x + 2 En los siguientes ejercicios, grafique la transformación de f ( x ) = 2 x . Indique la asíntota horizontal, el dominio y el rango. f ( x ) = 2 - x h ( x ) = 2 x + 3 Asíntota horizontal: h ( x ) = 3 ; Dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que 3. f ( x ) = 2 x - 2 En los siguientes ejercicios, describa el comportamiento final de los gráficos de las funciones. f ( x ) = - 5 ( 4 ) x – 1 Dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ ; Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - 1 f ( x ) = 3 ( 1 2 ) x - 2 f ( x ) = 3 ( 4 ) - x + 2 Dado que x → ∞ , f ( x ) → 2 ; Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ En los siguientes ejercicios, comience con el gráfico de f ( x ) = 4 x . Luego escriba una función que resulte de la transformación dada. Desplazamiento f ( x ) 4 unidades hacia arriba Desplazamiento f ( x ) 3 unidades hacia abajo f ( x ) = 4 x - 3 Desplazamiento f ( x ) 2 unidades a la izquierda Desplazamiento f ( x ) 5 unidades a la derecha f ( x ) = 4 x - 5 Refleje f ( x ) alrededor del eje x Refleje f ( x ) alrededor del eje y f ( x ) = 4 - x En los siguientes ejercicios, cada gráfico es la transformación de y = 2 x . Escriba una ecuación que describa la transformación. y = - 2 x + 3 En los siguientes ejercicios, halle una ecuación exponencial para el gráfico. y = - 2 ( 3 ) x + 7 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales para el valor indicado de x . g ( x ) = 1 3 ( 7 ) x - 2 por g ( 6 ) . g ( 6 ) = 800 + 1 3 ≈ 800,3333 f ( x ) = 4 ( 2 ) x – 1 - 2 por f ( 5 ) . h ( x ) = - 1 2 ( 1 2 ) x + 6 por h ( − 7 ) . h ( − 7 ) = − 58 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar las soluciones de la ecuación. Redondee a la milésima más cercana. - 50 = - ( 1 2 ) - x 116 = 1 4 ( 1 8 ) x x ≈ − 2,953 12 = 2 ( 3 ) x + 1 5 = 3 ( 1 2 ) x – 1 - 2 x ≈ − 0,222 − 30 = – 4 ( 2 ) x + 2 + 2 Extensiones Explore y comente los gráficos de F ( x ) = ( b ) x y G ( x ) = ( 1 b ) x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x y ( 1 b ) x para cualquier número real b > 0 . el gráfico de G ( x ) = ( 1 b ) x es la reflexión alrededor del eje y en el gráfico de F ( x ) = b x . Para cualquier número real b > 0 y la función f ( x ) = b x , el gráfico de ( 1 b ) x es la reflexión alrededor del eje y , F ( - x ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. Explore y comente los gráficos de f ( x ) = 4 x , g ( x ) = 4 x - 2 , y h ( x ) = ( 1 16 ) 4 x . A continuación, haga una conjetura sobre la relación entre los gráficos de las funciones b x y ( 1 b n ) b x para cualquier número real n y número real b > 0 . Los gráficos de g ( x ) y h ( x ) son los mismos y son un desplazamiento horizontal a la derecha del gráfico de f ( x ) ; Para cualquier número real n , número real b > 0 , y la función f ( x ) = b x , el gráfico de ( 1 b n ) b x es el desplazamiento horizontal f ( x - n ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior.", "section": "Gráficos de funciones exponenciales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones logarítmicas Objetivos de aprendizaje Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1) Evalúe funciones logarítmicas. (IA 10.3.2) Objetivo 1: Convertir de forma logarítmica a exponencial. (IA 10.3.1) La práctica hace la perfección Grafique la función exponencial f ( x ) = 2 x haciendo una tabla. x y = f ( x ) ¿Es biunívoco? ¿Dominio? ¿Rango? Grafique la inversa de f ( x ) = 2 x en la cuadrícula anterior al intercambiar las coordenadas de la x y de la y en la tabla. x y = f ( x ) ¿La función inversa es biunívoca? ¿Dominio? ¿Rango? Halle la inversa de f ( x ) = 2 x Reescriba con y = f ( x ) y = 2 x Intercambie las variables de x como y . x = 2 y Resuelva para y . ¡Uy! No tenemos forma de resolver y . Damos a la y una nueva notación y = log x 2 \" y = log x 2 \" léase \" el logaritmo de base 2 de x \", significa \"la potencia a la que elevamos 2 para obtener x \". La función y = log a x equivale a a y = x es la función logarítmica de base a , donde a > 0 , x > 0 Dado que las ecuaciones y = log a x y x = a y son equivalentes, podemos ir de un lado a otro entre estas. Este será a menudo el método para resolver algunas ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Para ayudar con la conversión entre una y otra, veamos las ecuaciones con detenimiento. Observe las posiciones del exponente y la base. Si recordamos que el logaritmo es el exponente, se facilita la conversión. Puede repetir: \"la base al exponente nos da el número”. Convierta entre forma exponencial y logarítmica. Ⓐ Convierta a forma logarítmica: 2 3 = 8 Identifique la base y el exponente: la base es 2 y el exponente es 3. Entonces tenemos 3 = log 2 8 . Ⓑ Convierta en forma exponencial: log b m = a Identifique la base y el exponente: la base es b y el exponente es a . Entonces tenemos b a = m . La práctica hace la perfección Convierta entre forma exponencial y logarítmica. Recuerde estas notaciones logarítmicas para completar lo siguiente: Logaritmo común log x = log x 10 Logaritmo natural ln x = log x e Convierta a forma logarítmica. Ⓐ 8 = 2 x Ⓑ 10 -2 = 0,01 Ⓒ e x = 40 Convierta a forma exponencial. Ⓐ log 81 3 = 4 Ⓑ ln 1 = 0 Ⓒ log 10.000 = 4 Objetivo 2: Evaluar funciones logarítmicas (AI 10.3.2). Podemos resolver y evaluar ecuaciones logarítmicas con la técnica de convertir la ecuación en su forma exponencial equivalente. Calcule el valor de x : Ⓐ log x 36 = 2 , Ⓑ log 4 x = 3 , y Ⓒ log 1 2 1 8 = x . Ⓐ log x 36 = 2 Convierta en forma exponencial. x 2 = 36 Resuelva la cuadrática. x = 6 , x = −6 La base de la función logarítmica deberá ser positiva, por lo que eliminamos x = −6 . x = 6 Por lo tanto, log 6 36 = 2 . Ⓑ log 4 x = 3 Convierta en forma exponencial. 4 3 = x Simplifique. x = 64 Por lo tanto, log 4 64 = 3 . Ⓒ log 1 2 1 8 = x Convierta en forma exponencial. ( 1 2 ) x = 1 8 Reescriba 1 8 cuando ( 1 2 ) 3 . ( 1 2 ) x = ( 1 2 ) 3 Con la misma base, los exponentes deberán ser iguales. x = 3 Por lo tanto, log 1 2 1 8 = 3 La práctica hace la perfección Evalúe funciones logarítmicas. Calcule el valor de x . Ⓐ log 25 x = 2 Ⓑ log x 4 = 2 Ⓒ log x 1 3 = 2 Evalúe cada uno de los siguientes: Ⓐ log 100 10 Ⓑ log 0,1 Ⓒ log 2 4 Ⓓ log 1 20 Ⓔ log 4 4 Ⓕ log 1 9 3 Ⓖ log 2 2 Ⓗ ln e 5 Devastación del terremoto del 11 de marzo de 2011 en Honshu, Japón. (créditos: Daniel Pierce) En 2010, un gran terremoto azotó Haití y causó estragos en más de 285.000 hogares http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. . Un año después, otro terremoto más fuerte devastó Honshu, Japón, con destrucción y daños a más de 332.000 edificaciones, http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#summary. Consultado el 4 de marzo de 2013. como las que se muestran en la . Aunque ambos infligieron daños considerables, el terremoto de 2011 fue 100 veces más fuerte que el de Haití. ¿Cómo lo sabemos? La magnitud de los movimientos telúricos se mide en lo que se conoce como la escala de Richter. El terremoto de Haití registró una magnitud de 7,0 en la escala de Richter, http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2010/us2010rja6/. Consultado el 4 de marzo de 2013. mientras que el sismo en Japón registró una magnitud de 9,0. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/eqinthenews/2011/usc0001xgp/#details. Consultado el 4 de marzo de 2013. La escala de Richter es una escala logarítmica de base diez. En otras palabras, un sismo de magnitud 8 no es dos veces mayor que uno de magnitud 4. Es 10 8 − 4 = 10 4 = 10.000 veces más grande. En esta lección, investigaremos la naturaleza de la escala de Richter y la función de base diez de la que depende. Convertir de la forma logarítmica a la exponencial Para analizar la magnitud de un movimiento telúrico o compararla con la de otro, debemos estar en capacidad de convertir entre la forma logarítmica y la exponencial. Por ejemplo, supongamos que la cantidad de energía que libera un terremoto es 500 veces mayor que la cantidad de energía que libera otro. Queremos calcular la diferencia en la magnitud. La ecuación que representa este problema es 10 x = 500 , donde x representa la diferencia de magnitud en la escala de Richter . ¿Cómo podríamos resolver x ? Todavía no hemos aprendido el método para resolver ecuaciones exponenciales. Ninguna de las herramientas algebraicas que se han analizado hasta ahora basta para resolver 10 x = 500. Sabemos que 10 2 = 100 y 10 3 = 1.000 , por lo que está claro que x deberá ser algún valor entre 2 y 3, ya que y = 10 x aumenta. Podemos examinar un gráfico, como en la , para estimar mejor la solución. Sin embargo, la estimación a partir de un gráfico es imprecisa. Para hallar una solución algebraica, debemos introducir una nueva función. Observe que el gráfico en la pasa la prueba de la línea horizontal. La función exponencial y = b x es biunívoca , por lo que su inversa, x = b y también es una función. Como ocurre con todas las funciones inversas, simplemente intercambiamos la x como y , a la vez que resolvemos para y con el fin de dar con la función inversa. Para representar y en función de x , utilizamos una función logarítmica de la forma y = log b ( x ) . La base b logaritmo de un número es el exponente por el que debemos elevar b para obtener esa cifra. Leemos una expresión logarítmica como: \"El logaritmo con base b de x es igual a y \" , o, simplificado, la \"base logarítmica b de x es y . «”. También podemos enunciar: \" b elevado a la potencia de y es x \" , porque los logaritmos son exponentes. Por ejemplo, el logaritmo de base 2 de 32 es 5, porque 5 es el exponente que debemos aplicar a 2 para obtener 32. Dado que 2 5 = 32 , podemos escribir log 2 32 = 5. Lo leemos como “la base logarítmica 2 de 32 es 5\". Podemos expresar la relación entre la forma logarítmica y su correspondiente forma exponencial como sigue: log b ( x ) = y ⇔ b y = x , b > 0 , b ≠ 1 Tenga en cuenta que la base b es siempre positiva. Dado que el logaritmo es una función, la manera más correcta de escribirlo es: log b ( x ) , con paréntesis para denotar la evaluación de la función, al igual que haríamos con f ( x ) . Sin embargo, cuando la entrada es una sola variable o un número, es común ver los paréntesis eliminados y la expresión escrita sin paréntesis, como log b x . Tenga en cuenta que muchas calculadoras requieren paréntesis alrededor de la x . Podemos ilustrar la notación de los logaritmos de la siguiente manera: Observe que, al comparar la función logarítmica y la función exponencial, la entrada y la salida se intercambian. Esto significa que y = log b ( x ) y de y = b x son funciones inversas. Definición de la función logarítmica Una base logarítmica b de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , b > 0 , b ≠ 1 , y = log b ( x ) equivale a b y = x donde, leemos log b ( x ) como, \"el logaritmo con base b de x \" o la \"base logarítmica b de x \" . el logaritmo y es el exponente al que hay que elevar b para obtener x . Además, ya que las funciones logarítmicas y exponenciales cambian los valores de la x como y , el dominio y el rango de la función exponencial se intercambian por la función logarítmica. Por lo tanto, el dominio de la función logarítmica con base b es ( 0 , ∞ ) . el rango de la función logarítmica con base b es ( - ∞ , ∞ ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos tomar el logaritmo de un número negativo? No. Como la base de una función exponencial siempre es positiva, ninguna potencia de esa base puede ser nunca negativa. Nunca podemos tomar el logaritmo de un número negativo. Además, no podemos tomar el logaritmo de cero. Las calculadoras pueden emitir un logaritmo de un número negativo cuando están en modo complejo, pero el logaritmo de un número negativo no es un número real. Cómo Dada una ecuación en forma logarítmica. log b ( x ) = y , convertirla en forma exponencial. Examine la ecuación y = log b ( x ) e identifique b , y , y x . Reescriba log b ( x ) = y cuando b y = x . Convertir de la forma logarítmica a la forma exponencial Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial. Ⓐ log 6 ( 6 ) = 1 2 Ⓑ log 3 ( 9 ) = 2 En primer lugar, identifique los valores de b , y y x . Entonces, escriba la ecuación en la forma b y = x . Ⓐ log 6 ( 6 ) = 1 2 Aquí, b = 6 , y = 1 2 , y x = 6. Por lo tanto, la ecuación log 6 ( 6 ) = 1 2 equivale a 6 1 2 = 6 . Ⓑ log 3 ( 9 ) = 2 Aquí, b = 3 , y = 2 , y x = 9. Por lo tanto, la ecuación log 3 ( 9 ) = 2 equivale a 3 2 = 9. Ejercicio Escriba las siguientes ecuaciones logarítmicas en forma exponencial. Ⓐ log 10 ( 1.000.000 ) = 6 Ⓑ log 5 ( 25 ) = 2 Ⓐ log 10 ( 1 , 000 , 000 ) = 6 equivale a 10 6 = 1 , 000 , 000 Ⓑ log 5 ( 25 ) = 2 equivale a 5 2 = 25 Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica Para convertir de exponentes a logaritmos, seguimos los mismos pasos, pero a la inversa. Identificamos la base b , exponente x , y salida y . Entonces escribimos x = log b ( y ) . Convertir de la forma exponencial a la forma logarítmica Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica. 2 3 = 8 5 2 = 25 10 – 4 = 1 10.000 En primer lugar, identifique los valores de b , y , y x . Entonces, escriba la ecuación en la forma x = log b ( y ) . 2 3 = 8 Aquí, b = 2 , x = 3 , y y = 8. Por lo tanto, la ecuación 2 3 = 8 equivale a log 2 ( 8 ) = 3. 5 2 = 25 Aquí, b = 5 , x = 2 , y y = 25. Por lo tanto, la ecuación 5 2 = 25 equivale a log 5 ( 25 ) = 2. 10 – 4 = 1 10.000 Aquí, b = 10 , x = – 4 , y y = 1 10.000 . Por lo tanto, la ecuación 10 – 4 = 1 10.000 equivale a log 10 ( 1 10.000 ) = − 4. Ejercicio Escriba las siguientes ecuaciones exponenciales en forma logarítmica. Ⓐ 3 2 = 9 Ⓑ 5 3 = 125 Ⓒ 2 – 1 = 1 2 Ⓐ 3 2 = 9 equivale a log 3 ( 9 ) = 2 Ⓑ 5 3 = 125 equivale a log 5 ( 125 ) = 3 Ⓒ 2 – 1 = 1 2 equivale a log 2 ( 1 2 ) = - 1 Evaluar logaritmos Conocer los cuadrados, cubos y raíces de los números nos permite evaluar mentalmente muchos logaritmos. Por ejemplo, considere log 2 8. Nos preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 2 para obtener el 8?”. Dado que ya sabemos que 2 3 = 8 , se deduce que log 2 8 = 3. Ahora, considere resolver log 7 49 y log 3 27 mentalmente. Preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 7 para obtener 49?”. Sabemos que 7 2 = 49. Por lo tanto, log 7 49 = 2 Preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 27?”. Sabemos que 3 3 = 27. Por lo tanto, log 3 27 = 3 Incluso algunos logaritmos aparentemente más complicados pueden evaluarse sin necesidad de la calculadora. Por ejemplo, evaluemos log 2 3 4 9 mentalmente. Preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 2 3 para obtener 4 9 ? “. Sabemos que 2 2 = 4 y 3 2 = 9 , tal que ( 2 3 ) 2 = 4 9 . Por lo tanto, log 2 3 ( 4 9 ) = 2. Cómo Dado un logaritmo de la forma y = log b ( x ) , evaluarlo mentalmente. Reescriba el argumento x como potencia de b : b y = x . Utilice el conocimiento previo de las potencias de b identifique y al preguntar: \"¿A qué exponente hay que elevar b para obtener x ? “. Resolver logaritmos mentalmente Resuelva y = log 4 ( 64 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 4 y = 64. A continuación, preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 4 para obtener 64?”. Sabemos que 4 3 = 64 Por lo tanto, log ( 64 ) 4 = 3 Ejercicio Resuelva y = log 121 ( 11 ) sin usar la calculadora. log 121 ( 11 ) = 1 2 (recordando que 121 = ( 121 ) 1 2 = 11 ). Evaluar el logaritmo de un recíproco Evalúe y = log 3 ( 1 27 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 3 y = 1 27 . A continuación, preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 3 para obtener 1 27 ? “. Sabemos que 3 3 = 27 , pero, ¿qué hay que hacer para obtener el recíproco, 1 27 ? Recordemos del trabajo con exponentes que b – a = 1 b a . Utilizamos esta información para escribir 3 - 3 = 1 3 3 = 1 27 Por lo tanto, log 3 ( 1 27 ) = − 3, Ejercicio Evalúe y = log 2 ( 1 32 ) sin usar la calculadora. log 2 ( 1 32 ) = - 5 Usar logaritmos comunes A veces podemos ver un logaritmo escrito sin base. En este caso, suponemos que la base es 10. En otras palabras, la expresión log ( x ) significa log 10 ( x ) . Llamamos logaritmo común a un logaritmo de base 10. Los logaritmos comunes se utilizan para medir la escala de Richter que se menciona al principio de la sección. Las escalas para medir el brillo de las estrellas y el pH de los ácidos y las bases también utilizan logaritmos comunes. Definición del logaritmo común El logaritmo común es un logaritmo con base 10. Escribimos log 10 ( x ) simplemente como log ( x ) . El logaritmo común de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , y = log ( x ) equivale a 10 y = x Leemos log ( x ) como, \"el logaritmo con base 10 de x \" o \"base logarítmica 10 de x “. El logaritmo y es el exponente al que hay que elevar 10 para obtener x . Cómo Dado un logaritmo común de la forma y = log ( x ) , evaluarlo mentalmente. Reescriba el argumento x como potencia de 10 : 10 y = x . Utilice el conocimiento previo de las potencias de 10 para identificar y al preguntar: \"¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener x ? “. Hallar mentalmente el valor de un logaritmo común Evalúe y = log ( 1.000 ) sin usar la calculadora. Primero reescribimos el logaritmo en forma exponencial: 10 y = 1.000. A continuación, nos preguntamos: \"¿A qué exponente hay que elevar 10 para obtener 1.000?”. Sabemos que 10 3 = 1.000 Por lo tanto, log ( 1.000 ) = 3. Ejercicio Evalúe y = log ( 1.000.000 ) . log ( 1 , 000 , 000 ) = 6 Cómo Dado un logaritmo común con la forma y = log ( x ) , evaluarlo con la calculadora. Presione [LOG] . Introduzca el valor indicado para x , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Calcular el valor de un logaritmo común con la calculadora Evalúe y = log ( 321 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. Presione [LOG] . Introduzca 321 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Si redondeamos a cuatro decimales, log ( 321 ) ≈ 2,5065. Análisis Observe que 10 2 = 100 y que 10 3 = 1.000. Dado que 321 está entre 100 y 1.000, sabemos que log ( 321 ) deberá estar entre log ( 100 ) y log ( 1.000 ) . Esto nos da lo siguiente: 100 < 321 < 1.000 2 < 2,5065 < 3 Ejercicio Evalúe y = log ( 123 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. log ( 123 ) ≈ 2,0899 Reescribir y resolver un modelo exponencial del mundo real La cantidad de energía que liberó un terremoto fue 500 veces mayor que la cantidad de energía que liberó otro. La ecuación 10 x = 500 representa esta situación, en la que x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud? Comenzamos por reescribir la ecuación exponencial en forma logarítmica. 10 x = 500 log ( 500 ) = x Utilice la definición del logaritmo común . A continuación, evaluamos el logaritmo con la calculadora: Presione [LOG] . Ingrese 500 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . A la milésima más cercana, log ( 500 ) ≈ 2,699. La diferencia en la magnitud fue aproximadamente 2,699. Ejercicio La cantidad de energía liberada por un terremoto fue 8.500 veces mayor que la liberada por otro. La ecuación 10 x = 8.500 representa esta situación, en la que x es la diferencia en la magnitud en la escala de Richter. A la milésima más cercana, ¿cuál fue la diferencia en la magnitud? La diferencia en la magnitud fue aproximadamente 3,929. Usar logaritmos naturales La base más utilizada para los logaritmos es e . Los logaritmos con base e son importantes en el cálculo y en algunas aplicaciones científicas; reciben el nombre de logaritmos naturales . El logaritmo con base e , log e ( x ) , tiene su propia notación, ln ( x ) . La mayoría de los valores de ln ( x ) se hallan únicamente con la calculadora. La mayor excepción es esa, porque el logaritmo de 1 es siempre 0 en cualquier base, ln 1 = 0 . Para otros logaritmos naturales, podemos utilizar la tecla ln , que se encuentra en la mayoría de las calculadoras científicas. También podemos hallar el logaritmo natural de cualquier potencia de e utilizando la propiedad inversa de los logaritmos. Definición del logaritmo natural Un logaritmo natural es un logaritmo con base e . Escribimos log e ( x ) simplemente como ln ( x ) . El logaritmo natural de un número positivo x cumple la siguiente definición. Para x > 0 , y = ln ( x ) equivale a e y = x Leemos ln ( x ) como, \"el logaritmo con base e de x \" o \"el logaritmo natural de x \". El logaritmo y es el exponente al que hay que elevar e para obtener x . Dado que las funciones y = e x como y = ln ( x ) son funciones inversas, ln ( e x ) = x para todos los valores x y e = ln ( x ) x para x > 0 . Cómo Dado un logaritmo natural con la forma y = ln ( x ) , evaluarlo con la calculadora. Presione [LN] . Introduzca el valor indicado para x , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Evaluar un logaritmo natural con la calculadora Evalúe y = ln ( 500 ) a cuatro decimales utilizando la calculadora. Presione [LN] . Ingrese 500 , seguido de [ ) ] . Presione [ENTER] . Si redondeamos a cuatro decimales, ln ( 500 ) ≈ 6,2146 Ejercicio Evalúe ln ( -500 ) . No es posible tomar el logaritmo de un número negativo en el conjunto de los números reales. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los logaritmos. Introducción a los logaritmos Ecuaciones clave Definición de la función logarítmica Para x > 0 , b > 0 , b ≠ 1 , y = log b ( x ) si y solo si b y = x . Definición del logaritmo común Para x > 0 , y = log ( x ) si y solo si 10 y = x . Definición del logaritmo natural Para x > 0 , y = ln ( x ) si y solo si e y = x . Conceptos clave La inversa de una función exponencial es una función logarítmica, y la inversa de una función logarítmica es una función exponencial. Las ecuaciones logarítmicas se pueden escribir en una forma exponencial equivalente, utilizando la definición de logaritmo. Vea el . Las ecuaciones exponenciales pueden escribirse en su forma logarítmica equivalente utilizando la definición de logaritmo. Vea el . Las funciones logarítmicas con base b pueden evaluarse mentalmente utilizando el conocimiento previo de las potencias de b . Vea el y el . Los logaritmos comunes pueden evaluarse mentalmente utilizando los conocimientos previos de las potencias de 10. Vea el . Cuando los logaritmos comunes no pueden evaluarse mentalmente, se utiliza la calculadora. Vea el . Los problemas exponenciales del mundo real con base 10 pueden reescribirse como un logaritmo común y luego evaluarse con la calculadora. Vea el . Los logaritmos naturales se pueden evaluar con la calculadora. . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es el logaritmo con base b ? Analice el significado interpretando cada parte de las ecuaciones equivalentes b y = x y log b x = y por b > 0 , b ≠ 1. El logaritmo es un exponente. Específicamente, es el exponente al que se eleva una base b para producir un valor determinado. En las expresiones dadas, la base b tiene el mismo valor. El exponente, y , en la expresión b y también puede escribirse como el logaritmo, log b x , y el valor de x es el resultado de elevar b a la potencia de y . ¿De qué manera se relaciona la función logarítmica f ( x ) = log b x con la función exponencial g ( x ) = b x ? ¿Cuál es el resultado de componer estas dos funciones? ¿Cómo puede la ecuación logarítmica log b x = y resolverse para x con las propiedades de los exponentes? Dado que la ecuación de un logaritmo es equivalente a una ecuación exponencial, el logaritmo se puede convertir en la ecuación exponencial b y = x , y luego se pueden aplicar las propiedades de los exponentes para resolver x . Comente acerca el significado del logaritmo común. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b , y en qué se diferencia la notación? Comente acerca del significado del logaritmo natural. ¿Cuál es su relación con un logaritmo de base b , y en qué se diferencia la notación? El logaritmo natural es un caso especial del logaritmo con base b en que el logaritmo natural siempre tiene base e . En lugar de anotar el logaritmo natural como log e ( x ) , la notación que se utiliza es ln ( x ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma exponencial. log 4 ( q ) = m log a ( b ) = c a c = b log 16 ( y ) = x log x ( 64 ) = y x y = 64 log y ( x ) = −11 log 15 ( a ) = b 15 b = a log y ( 137 ) = x log 13 ( 142 ) = a 13 a = 142 log ( v ) = t ln ( w ) = n e n = w En los siguientes ejercicios, reescriba cada ecuación en forma logarítmica. 4 x = y c d = k log c ( k ) = d m − 7 = n 19 x = y log 19 y = x x - 10 13 = y n 4 = 103 log n ( 103 ) = 4 ( 7 5 ) m = n y x = 39 100 log y ( 39 100 ) = x 10 a = b e k = h ln ( h ) = k En los siguientes ejercicios, resuelva para x al convertir la ecuación logarítmica en forma exponencial. log 3 ( x ) = 2 log 2 ( x ) = - 3 x = 2 - 3 = 1 8 log 5 ( x ) = 2 log 3 ( x ) = 3 x = 3 3 = 27 log 2 ( x ) = 6 log 9 ( x ) = 1 2 x = 9 1 2 = 3 log 18 ( x ) = 2 log 6 ( x ) = - 3 x = 6 - 3 = 1 216 log ( x ) = 3 ln ( x ) = 2 x = e 2 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmos comunes y naturales para simplificar. log ( 100 8 ) 10 log ( 32 ) 32 2 log ( 0,0001 ) e ln ( 1,06 ) 1,06 ln ( e − 5,03 ) e ln ( 10,125 ) + 4 14,125 Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica con base b sin utilizar la calculadora. log 3 ( 1 27 ) log 6 ( 6 ) 1 2 log 2 ( 1 8 ) + 4 6 log 8 ( 4 ) 4 En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica común sin utilizar la calculadora. log ( 10 . 000 ) log ( 0,001 ) - 3 log ( 1 ) + 7 2 log ( 100 − 3 ) − 12 En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión logarítmica natural sin utilizar la calculadora. ln ( e 1 3 ) ln ( 1 ) 0 ln ( e − 0,225 ) - 3 25 ln ( e 2 5 ) 10 En tecnología En los siguientes ejercicios, evalúe cada expresión con la calculadora. Redondee a la milésima más cercana. log ( 0,04 ) ln ( 15 ) 2 . 7 0 8 ln ( 4 5 ) log ( 2 ) 0,151 ln ( 2 ) Extensiones ¿Es x = 0 en el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) ? Si es así, ¿cuál es el valor de la función cuando x = 0 ? Compruebe el resultado. No, la función no tiene ningún valor definido para x = 0 . Para comprobarlo, supongamos que x = 0 está en el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) . Entonces hay algún número n de manera que n = log ( 0 ) . Reescribiendo como ecuación exponencial da 10 n = 0 , lo cual es imposible, ya que no existe tal número real n . Por lo tanto, x = 0 no es el dominio de la función f ( x ) = log ( x ) . ¿Es f ( x ) = 0 en el rango de la función f ( x ) = log ( x ) ? Si es así, para qué valor de x ? Compruebe el resultado. ¿Existe un número x de manera que ln x = 2 ? Si es así, ¿cuál es ese número? Compruebe el resultado. Sí. Supongamos que exista un número real x de manera que ln x = 2. Reescribiendo como ecuación exponencial se obtiene x = e 2 , que es un número real. Para comprobarlo, supongamos que x = e 2 . Entonces, por definición, ln ( x ) = ln ( e 2 ) = 2. ¿Es cierto lo siguiente?: log 3 ( 27 ) log 4 ( 1 64 ) = −1 ? Compruebe el resultado. ¿Es cierto lo siguiente?: ln ( e 1,725 ) ln ( 1 ) = 1,725 ? Compruebe el resultado. No; ln ( 1 ) = 0 , por lo que ln ( e 1,725 ) ln ( 1 ) es indefinida. Aplicaciones en el mundo real El índice de exposición E I de una cámara es una medida de la cantidad de luz que incide en el receptor de la imagen. Se determina mediante la ecuación E I = log 2 ( f 2 t ) , donde f es el ajuste \"f-stop\" de la cámara, y t es el tiempo de exposición en segundos. Supongamos que el ajuste de f-stop es 8 y el tiempo de exposición deseado es 2 segundos. ¿Cuál será el índice de exposición resultante? Consulte el ejercicio anterior. Supongamos que el medidor de luz de una cámara indica un E I de − 2 , y el tiempo de exposición deseado es de 16 segundos. ¿Cuál debería ser el ajuste de f-stop? 2 Los niveles de intensidad I de dos terremotos medidos en un sismógrafo pueden compararse mediante la fórmula log I 1 I 2 = M 1 − M 2 donde M es la magnitud dada por la escala de Richter. En agosto de 2009, un terremoto de magnitud 6,1 sacudió Honshu, Japón. En marzo de 2011, esa misma región sufrió otro terremoto más devastador, esta vez de magnitud 9,0. http://earthquake.usgs.gov/earthquakes/world/historical.php. Consultado el 4 de marzo de 2014. ¿Cuántas veces fue mayor la intensidad del terremoto de 2011? Redondee al número natural más cercano. logaritmo común el exponente al que hay que elevar 10 para obtener x ; log 10 ( x ) se escribe simplemente como log ( x ) . logaritmo el exponente al que hay que elevar b para obtener x ; se escribe como y = log b ( x ) logaritmo natural el exponente al que hay que elevar el número e para obtener x ; log e ( x ) se escribe como ln ( x ) .", "section": "Funciones logarítmicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráficos de funciones logarítmicas Objetivos de aprendizaje Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1) Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3) Objetivo 1: Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. (IA 3.5.1) Vocabulario Rellene los espacios en blanco: El dominio de una relación o una función es ________. El rango de una relación o una función es ________. Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. Ⓐ Ⓑ Ⓒ Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 x 2 Ⓓ Halle el dominio de la función f ( x ) = log 2 ( x 5 ) . Ⓐ El conjunto de puntos del gráfico es { ( 4 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) } El dominio es el conjunto de todas las coordenadas de la x { 4 , 2 , 1 , 1 } El rango es el conjunto de todas las coordenadas de la y { 2 , 1 , 1 } Observe que, aunque la coordenada de la y de 1 aparece dos veces, solo la enumeramos una vez. Ⓑ Dominio: ( ∞ , ∞ ) Rango: [ -2 , ∞ ) Observe que -2 se incluye porque el punto ( 3 , -2 ) está en el gráfico de una función. Ⓒ Una función es indefinida cuando el denominador es cero. Tenemos que igualar el denominador a cero y excluirlo del dominio x 2 = 0 , x = 2 , Dominio ( ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) Observe que 2 está excluido del dominio porque la función no está definida en x = 2 Ⓓ A partir de la definición de la función logarítmica f ( x ) = log a x sabemos que x > 0 Para hallar el dominio de f ( x ) = log 2 ( x 5 , tenemos que establecer y resolver la inecuación x 5 > 0 , x > 5 ) Dominio: ( 5 , ∞ ) La práctica hace la perfección Hallar el dominio y el rango de una relación y una función. Halle el dominio y el rango de una relación. Halle el dominio y el rango de la función graficada. Utilice la notación de intervalos. Halle el dominio de la función f ( x ) = log 2 ( x + 4 ) . Nótese que esta es la misma función que se graficó en la pregunta 2. Objetivo 2: Graficar funciones logarítmicas. (IA 10.3.3) Para graficar una función logarítmica y = log a x , lo más fácil es convertir la ecuación en su forma exponencial, x = a y . Generalmente, cuando buscamos pares ordenados para el gráfico de una función, solemos elegir un valor x y luego determinar su correspondiente valor y. En este caso, puede resultarle más fácil elegir los valores de y, para luego determinar su correspondiente valor de x. Graficar funciones logarítmicas. Grafique y = log 2 x . Para graficar la función, primero reescribiremos la ecuación logarítmica, y = log 2 x , en forma exponencial, 2 y = x . Utilizaremos el trazado de puntos para graficar la función. Será más fácil empezar con los valores de y y luego obtener los de x . y 2 y = x ( x , y ) −2 2 −2 = 1 2 2 = 1 4 ( 1 4 , 2 ) −1 2 −1 = 1 2 1 = 1 2 ( 1 2 , –1 ) 0 2 0 = 1 ( 1 , 0 ) 1 2 1 = 2 ( 2 , 1 ) 2 2 2 = 4 ( 4 , 2 ) 3 2 3 = 8 ( 8 , 3 ) La práctica hace la perfección Graficar funciones logarítmicas Grafique y = log 3 x como y = log 5 x en el mismo sistema de coordenadas. y 3 y = x ( x , y ) y 5 y = x ( x , y ) Grafique y = log 1 / 3 x y ( 1 3 ) y = x ( x , y ) ¿Los gráficos de y = log 2 x , y = log 3 x y de y = log 5 x tienen la forma que esperamos de una función logarítmica donde a > 0 ? (Recuerde que a es la base de la función logarítmica). ¿Hay algún punto que compartan todos? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Tienen todos un punto ( a , 1 ) ? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Tienen todos un punto ( 1 a , -1 ) ? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Todos tienen la misma asíntota vertical? ¿Cuál es la ecuación de la asíntota vertical? ¿Todos tienen el mismo dominio? Escriba el dominio en la notación de intervalo. ¿Todos tienen el mismo rango? Escriba el rango en la notación de intervalo. En Gráficos de funciones exponenciales vimos cómo la creación de una representación gráfica de un modelo exponencial nos da otra capa de conocimiento para predecir acontecimientos futuros. ¿De qué manera los gráficos logarítmicos nos permiten comprender las situaciones? Dado que toda función logarítmica es la función inversa de una función exponencial, podemos pensar en cada salida de un gráfico logarítmico como la entrada de la correspondiente ecuación exponencial inversa. En otras palabras, los logaritmos dan la causa de un efecto . Para ilustrarlo, supongamos que invertimos 2.500 dólares en una cuenta que ofrece un tipo de interés anual de 5 % , calculada continuamente. Ya sabemos que el saldo de nuestra cuenta para cualquier año t se determina con la ecuación A = 2500 e 0,05 t . Pero, ¿y si quisiéramos saber el año de cualquier saldo? Tendríamos que crear una nueva función correspondiente al intercambiar la entrada y la salida; por lo tanto, tendríamos que crear un modelo logarítmico para esta situación. Al graficar el modelo, podemos ver la salida (año) para cualquier entrada (saldo contable). Por ejemplo, ¿qué pasaría si quisiéramos saber cuántos años tardaríamos en duplicar nuestra inversión inicial? La muestra este punto en el gráfico logarítmico. En esta sección hablaremos acerca de los valores para los que se define una función logarítmica, y luego nos centraremos en la creación de gráficos de la familia de funciones logarítmicas. Hallar el dominio de una función logarítmica Antes de trabajar con los gráficos, echaremos un vistazo al dominio (el conjunto de valores de entrada) para el que se define la función logarítmica. Recordemos que la función exponencial se define como y = b x para cualquier número real x y constante b > 0 , b ≠ 1 , donde El dominio de y es ( - ∞ , ∞ ) . El rango de y es ( 0 , ∞ ) . En la última sección aprendimos que la función logarítmica y = log b ( x ) es la inversa de la función exponencial y = b x . Entonces, como funciones inversas: El dominio de y = log b ( x ) es el rango de y = b x : ( 0 , ∞ ) . El rango de y = log b ( x ) es el dominio de y = b x : ( - ∞ , ∞ ) . Las transformaciones de la función matriz y = log b ( x ) se comportan de forma similar a las de otras funciones. Al igual que con otras funciones matrices, podemos aplicar los cuatro tipos de transformaciones (desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión) a la función matriz sin perder la forma. En Gráficos de funciones exponenciales vimos que ciertas transformaciones pueden cambiar el rango de y = b x . Del mismo modo, al aplicar transformaciones a la función matriz y = log b ( x ) podemos cambiar el dominio . Por lo tanto, al determinar el dominio de una función logarítmica, es importante recordar que el dominio consiste solo en números reales positivos . Es decir, el argumento de la función logarítmica deberá ser mayor que cero. Por ejemplo, considere f ( x ) = log 4 ( 2 x - 3 ) . Esta función se define para cualquier valor de x de manera que el argumento, en este caso 2 x - 3 , es mayor que cero. Para hallar el dominio, establecemos una inecuación y resolvemos para x : 2 x - 3 > 0 Muestre el argumento mayor que cero . 2 x > 3 Sume 3 . x > 1,5 Divida entre 2 . En notación de intervalo, el dominio de f ( x ) = log 4 ( 2 x - 3 ) es ( 1,5 , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica, identificar el dominio Establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero. Resuelva para x . Escriba el dominio en notación de intervalo. Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log 2 ( x + 3 ) ? La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando x + 3 > 0, Si resolvemos esta inecuación, x + 3 > 0 La entrada debe ser positiva . x > − 3 Reste 3 . El dominio de f ( x ) = log 2 ( x + 3 ) es ( - 3 , ∞ ) . Ejercicio ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log 5 ( x - 2 ) + 1 ? ( 2 , ∞ ) Identificar el dominio de un desplazamiento logarítmico y de la reflexión ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log ( 5 - 2 x ) ? La función logarítmica se define solo cuando la entrada es positiva, por lo que esta función se define cuando 5 – 2 x > 0 . Si resolvemos esta inecuación, 5 - 2 x > 0 La entrada debe ser positiva . − 2 x > - 5 Reste 5. x < 5 2 Divida entre − 2 y cambie la inecuación . El dominio de f ( x ) = log ( 5 - 2 x ) es ( – ∞ , 5 2 ) . Ejercicio ¿Cuál es el dominio de f ( x ) = log ( x - 5 ) + 2 ? ( 5 , ∞ ) Graficar funciones logarítmicas Ahora que ya conocemos el conjunto de valores para los que se define una función logarítmica, pasemos a graficar funciones logarítmicas. La familia de funciones logarítmicas incluye la función matriz y = log b ( x ) junto con todas sus transformaciones: desplazamiento, estiramiento, compresión y reflexión. Comenzamos con la función matriz y = log b ( x ) . Ya que toda función logarítmica de esta forma es la inversa de una función exponencial con la forma y = b x , sus gráficos serán una reflexión el uno del otro a través de la línea y = x . Para ilustrar esto, podemos observar la relación entre los valores de entrada y salida de y = 2 x y su equivalente x = log 2 ( y ) en la . x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 2 x = y 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 log 2 ( y ) = x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 Utilizando las entradas y salidas de la , podemos construir otra tabla para observar la relación entre los puntos de los gráficos de las funciones inversas f ( x ) = 2 x y g ( x ) = log 2 ( x ) . Vea la . f ( x ) = 2 x ( - 3 , 1 8 ) ( – 2 , 1 4 ) ( - 1 , 1 2 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 4 ) ( 3 , 8 ) g ( x ) = log 2 ( x ) ( 1 8 , - 3 ) ( 1 4 , - 2 ) ( 1 2 , - 1 ) ( 1 , 0 ) ( 2 , 1 ) ( 4 , 2 ) ( 8 , 3 ) Como era de esperar, las coordenadas de la x y de la y se invierten para las funciones inversas. La muestra el gráfico de f y g . Observe que los gráficos de f ( x ) = 2 x y g ( x ) = log 2 ( x ) son reflexiones sobre la línea y = x . Observe lo siguiente a partir del gráfico: f ( x ) = 2 x tiene una intersección en y en ( 0 , 1 ) y g ( x ) = log 2 ( x ) tiene una intersección en x en ( 1 , 0 ) . El dominio de f ( x ) = 2 x , ( - ∞ , ∞ ) , es el mismo que el rango de g ( x ) = log 2 ( x ) . El rango de f ( x ) = 2 x , ( 0 , ∞ ) , es el mismo que el dominio de g ( x ) = log 2 ( x ) . Características del gráfico de la función matriz, f ( x ) = log b ( x ) : Para cualquier número real x y constante b > 0 , b ≠ 1 , podemos ver las siguientes características en el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) : función biunívoca asíntota vertical: x = 0 dominio: ( 0 , ∞ ) rango: ( - ∞ , ∞ ) intersección en x : ( 1 , 0 ) y punto clave ( b , 1 ) intersección en y : ninguna creciente si b > 1 decreciente si 0 < b < 1 Vea la . La muestra cómo cambiar la base b en f ( x ) = log b ( x ) puede afectar los gráficos. Observe que los gráficos se comprimen verticalmente a medida que aumenta el valor de la base. (Nota: Recuerde que la función ln ( x ) tiene base e ≈ 2,718 ) . Los gráficos de tres funciones logarítmicas con diferentes bases, todas mayores que 1. Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x ) , graficar la función. Dibuje y marque la asíntota vertical, x = 0, Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . Trace el punto clave ( b , 1 ) . Dibuje una curva suave a través de los puntos. Indique el dominio, ( 0 , ∞ ) , el rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0, Graficar una función logarítmica con la forma f (x ) = log b (x ). Grafique f ( x ) = log 5 ( x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar, identifique el comportamiento y los puntos clave para el gráfico. Dado que b = 5 es mayor que uno, sabemos que la función es creciente. La cola izquierda del gráfico se acercará a la asíntota vertical x = 0 , y la cola derecha aumentará lentamente sin límite. La intersección en x es ( 1 , 0 ) . El punto clave ( 5 , 1 ) está en el gráfico. Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos (ver la ). El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Ejercicio Grafique f ( x ) = log 1 5 ( x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Graficar transformaciones de funciones logarítmicas Como hemos mencionado al principio de la sección, las transformaciones de los gráficos logarítmicos se comportan de forma semejante a las de otras funciones matrices. Podemos desplazar, estirar, comprimir y reflejar la función matriz y = log b ( x ) sin perder la forma. Graficar un desplazamiento horizontal de f (x ) = log b ( x) Cuando una constante c se suma a la entrada de la función matriz f ( x ) = l o g b ( x ) , el resultado es un desplazamiento horizontal c unidades en la dirección opuesta al signo en c . Para visualizar los desplazamientos horizontales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) y para c > 0 junto al desplazamiento hacia la izquierda, g ( x ) = log b ( x + c ) , y el desplazamiento a la derecha, h ( x ) = log b ( x - c ) . Vea la . Desplazamientos horizontales de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) Para cualquier constante c , la función f ( x ) = log b ( x + c ) desplaza la función matriz y = log b ( x ) a la izquierda c unidades si c > 0, desplaza la función matriz y = log b ( x ) a la derecha c unidades si c < 0, tiene la asíntota vertical x = - c . tiene dominio ( - c , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x + c ) , graficar la traslación. Identifique el desplazamiento horizontal: Si los valores de c > 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) a la izquierda c unidades. Si los valores de c < 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) a la derecha c unidades. Dibuje la asíntota vertical x = - c . Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al restar c de la coordenada de la x . Marque los tres puntos. El dominio es ( - c , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = - c . Graficar un desplazamiento horizontal de la función matriz y = log b ( x ) Trace el desplazamiento horizontal f ( x ) = log 3 ( x - 2 ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = log 3 ( x - 2 ) , observamos que x + ( – 2 ) = x – 2. Por lo tanto, c = - 2 , por lo que c < 0, Esto significa que desplazaremos la función f ( x ) = log 3 ( x ) 2 unidades a la derecha. La asíntota vertical es x = - ( – 2 ) o x = 2. Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 3 , –1 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 3 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se calculan al sumar 2 a las coordenadas de la x . Marque los puntos ( 7 3 , –1 ) , ( 3 , 0 ) , y ( 5 , 1 ) . El dominio es ( 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 2. Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 3 ( x + 4 ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y las asíntotas en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - 4 , ∞ ) , el rango ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota es x = – 4. Graficar un desplazamiento vertical de y = log b ( x ) Cuando una constante d se suma a la función matriz f ( x ) = log b ( x ) , el resultado es un desplazamiento vertical d unidades en la dirección del signo en d . Para visualizar los desplazamientos verticales, podemos observar el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto con el desplazamiento hacia arriba, g ( x ) = log b ( x ) + d y el desplazamiento hacia abajo, h ( x ) = log b ( x ) - d . Vea la . Desplazamientos verticales de la función matriz y = log b ( x ) Para cualquier constante d , la función f ( x ) = log b ( x ) + d desplaza la función matriz y = log b ( x ) hacia arriba d unidades si d > 0, desplaza la función matriz y = log b ( x ) hacia abajo d unidades si d < 0, tiene la asíntota vertical x = 0, tiene dominio ( 0 , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = log b ( x ) + d , graficar la traslación. Identifique el desplazamiento vertical Si los valores de d > 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) hacia arriba d unidades. Si los valores de d < 0 , desplace el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) hacia abajo d unidades. Dibuje la asíntota vertical x = 0, Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle nuevas coordenadas para las funciones desplazadas al sumar d a la coordenada de la y . Marque los tres puntos. El dominio es ( 0, ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Graficar un desplazamiento vertical de la función matriz y = log b ( x ) Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 3 ( x ) - 2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = log 3 ( x ) - 2 , observamos que d = – 2. Así que d < 0 . Esto significa que desplazaremos la función f ( x ) = log 3 ( x ) 2 unidades hacia abajo. La asíntota vertical es x = 0 . Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 3 , –1 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 3 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se encuentran al restar 2 a las coordenadas de la y. Marque los puntos ( 1 3 , −3 ) , ( 1 , –2 ) , y ( 3 , –1 ) . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = log 2 ( x ) + 2 junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Graficar estiramiento y compresión de y = log b ( x ) Cuando la función matriz f ( x ) = log b ( x ) se multiplica por una constante a > 0 , el resultado es un estiramiento vertical o compresión vertical del gráfico original. Para visualizar el estiramiento y la compresión, establecemos a > 1 y observe que el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto al estiramiento vertical, g ( x ) = a log b ( x ) y la compresión vertical, h ( x ) = 1 a log b ( x ) . Vea la . Estiramiento y compresión vertical de la función matriz y = log b ( x ) Para cualquier constante a > 1 , la función f ( x ) = a log b ( x ) estira la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si a > 1. comprime la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si 0 < a < 1. tiene la asíntota vertical x = 0 . tiene la intersección en x ( 1 , 0 ) . tiene dominio ( 0 , ∞ ) . tiene rango ( - ∞ , ∞ ) . Cómo Dada una función logarítmica de la forma f ( x ) = a log b ( x ) , a > 0 , graficar la traslación. Identifique el estiramiento o la compresión vertical: Si los valores de | a | > 1 , el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) se estira por un factor de a unidades. Si los valores de | a | < 1 , el gráfico de f ( x ) = log b ( x ) se comprime por un factor de a unidades. Dibuje la asíntota vertical x = 0 . Identifique tres puntos clave de la función matriz. Halle otras coordenadas para las funciones desplazadas al multiplicar las coordenadas de la y por a . Marque los tres puntos. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Graficar un estiramiento o una compresión de la función matriz y = log b ( x ) Dibuje un gráfico de f ( x ) = 2 log 4 ( x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Como la función es f ( x ) = 2 log 4 ( x ) , observamos que a = 2. Esto significa que estiraremos la función f ( x ) = log 4 ( x ) por un factor de 2. La asíntota vertical es x = 0 . Considere los tres puntos clave de la función matriz, ( 1 4 , –1 ) , ( 1 , 0 ), y ( 4 , 1 ) . Las nuevas coordenadas se hallan al multiplicar las coordenadas de la y por 2. Marque los puntos ( 1 4 , –2 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 4 , 2 ) . El dominio es ( 0, ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ), y la asíntota vertical es x = 0 . Vea la . El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0 . Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 2 log 4 ( x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 0 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Combinar desplazamiento y estiramiento Dibuje un gráfico de f ( x ) = 5 log ( x + 2 ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. Recuerde: lo que ocurre dentro de los paréntesis ocurre primero. En primer lugar, movemos el gráfico a la izquierda 2 unidades, y luego estiramos la función verticalmente por un factor de 5, como en la . La asíntota vertical se desplazará a x = -2. La intersección en x será ( −1, 0 ) . El dominio será ( –2 , ∞ ) . Dos puntos darán forma al gráfico ( –1 , 0 ) y ( 8 , 5 ). Hemos elegido x = 8 como la coordenada de la x de un punto a graficar, porque cuando x = 8, x + 2 = 10, la base del logaritmo común. El dominio es ( – 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = − 2. Ejercicio Dibuje un gráfico de la función f ( x ) = 3 log ( x - 2 ) + 1. Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( 2 , ∞ ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 2. Graficar reflexiones de f ( x ) = log b ( x ) Cuando la función matriz f ( x ) = log b ( x ) se multiplica por −1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por −1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje y . Para visualizar las reflexiones, restringimos b > 1, y observamos el gráfico general de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) junto a la reflexión alrededor del eje x , g ( x ) = −log b ( x ) y la reflexión en torno al eje y , h ( x ) = log b ( - x ) . Reflexiones de la función matriz y = log b ( x ) La función f ( x ) = −log b ( x ) refleja la función matriz y = log b ( x ) alrededor del eje x . tiene dominio, ( 0 , ∞ ) , rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0 , que no se modifican a partir de la función matriz. La función f ( x ) = log b ( - x ) refleja la función matriz y = log b ( x ) en torno al eje y . tiene dominio ( - ∞ , 0 ) . tiene rango, ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical, x = 0 , que no se modifican a partir de la función matriz. Cómo Dada una función logarítmica con la función matriz f ( x ) = log b ( x ) , graficar una traslación. Si f ( x ) = - log b ( x ) Si f ( x ) = log b ( - x ) 1. Dibuje la asíntota vertical, x = 0 . 1. Dibuje la asíntota vertical, x = 0 . 2. Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . 2. Trace la intersección en x , ( 1 , 0 ) . 3. Refleje el gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) alrededor del eje x . 3. Refleje el gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) en torno al eje y . 4. Dibuje una curva suave a través de los puntos. 4. Dibuje una curva suave a través de los puntos. 5. Indique el dominio, (0, ∞), el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x = 0 . 5. Indique el dominio, (-∞, 0) el rango, (-∞, ∞) y la asíntota vertical x = 0 . Graficar la reflexión de una función logarítmica Dibuje un gráfico de f ( x ) = log ( - x ) junto a su función matriz. Incluya los puntos clave y la asíntota en el gráfico. Indique el dominio, el rango y la asíntota. Antes de graficar f ( x ) = log ( - x ) , identifique el comportamiento y los puntos clave del gráfico. Dado que b = 10 es mayor que uno, sabemos que la función matriz es creciente. Dado que el valor de entrada se multiplica por −1 , f es una reflexión del gráfico principal en torno al eje y . Así, f ( x ) = log ( - x ) disminuirá a medida que x se mueve desde el infinito negativo hasta el cero, y la cola derecha del gráfico se acercará a la asíntota vertical x = 0 . La intersección en x es ( –1 , 0 ) . Dibujamos y marcamos la asíntota, trazamos y marcamos los puntos, y dibujamos una curva suave a través de los puntos. El dominio es ( - ∞ , 0 ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Ejercicio Grafique f ( x ) = - log ( - x ) . Indique el dominio, el rango y la asíntota. El dominio es ( - ∞ , 0 ) , el rango es ( - ∞ , ∞ ) , y la asíntota vertical es x = 0, Cómo Dada una ecuación logarítmica, utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones. Pulse [Y=] . Introduzca la ecuación o ecuaciones logarítmicas dadas como Y1= y, si es necesario, Y2= . Pulse [GRAPH] para observar los gráficos de las curvas y utilice [WINDOW] para hallar una vista apropiada de los gráficos, incluso su(s) punto(s) de intersección. Para hallar el valor de x , calculamos el punto de intersección. Pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione \"intersección\" y pulse tres veces la tecla [ENTER] . El punto de intersección da el valor de x , para el punto o puntos de intersección. Calcular aproximadamente la solución de una ecuación logarítmica Resuelva 4 ln ( x ) + 1 = - 2 ln ( x – 1 ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. Pulse [Y=] e introduzca 4 ln ( x ) + 1 junto a Y1= . A continuación, introduzca − 2 ln ( x – 1 ) junto a Y2= . Para una ventana, utilice los valores de 0 a 5 para x y de -10 a 10 para y . Pulse la tecla [GRAPH] . Los gráficos deberían intersecarse en algún lugar a la derecha de x = 1. Para una mejor aproximación, pulse [2ND] y luego [CALC] . Seleccione [5: intersección] y pulse [ENTER] tres veces. La coordenada de la x en el punto de intersección se muestra como 1,3385297. (Su respuesta puede ser distinta si utiliza una ventana o un valor diferente para Guess? [Supongamos...]) Así que, a la milésima más cercana, x ≈ 1,339. Ejercicio Resuelva 5 log ( x + 2 ) = 4 − log ( x ) gráficamente. Redondee a la milésima más cercana. x ≈ 3,049 Resumir las traslaciones de la función logarítmica Ahora que hemos trabajado con cada tipo de traslación para la función logarítmica, podemos resumir cada una en la para llegar a la ecuación general de traslación de las funciones exponenciales. Traslaciones de la función matriz y = log b ( x ) Traslación Forma Desplazamiento Horizontalmente c unidades a la izquierda Verticalmente d unidades hacia arriba y = log b ( x + c ) + d Estirar y comprimir Estirar si | a | > 1 Comprimir si | a | < 1 y = a log b ( x ) Reflejar sobre el eje x y = - log b ( x ) Reflejar sobre el eje y y = log b ( - x ) Ecuación general para todas las traslaciones y = a log b ( x + c ) + d Traslación de funciones logarítmicas Todas las traslaciones de la función logarítmica matriz, y = log b ( x ) , tienen la forma f ( x ) = a log b ( x + c ) + d donde la función matriz, y = log b ( x ) , b > 1 , es desplazada verticalmente hacia arriba d unidades. desplazada horizontalmente hacia la izquierda c unidades. estirada verticalmente por un factor de | a | si | a | > 0, comprimida verticalmente por un factor de | a | si 0 < | a | < 1. reflejada alrededor del eje x cuando a < 0, Para f ( x ) = log ( - x ) , el gráfico de la función matriz se refleja alrededor del eje y . Hallar la asíntota vertical en un gráfico de logaritmos ¿Cuál es la asíntota vertical de f ( x ) = −2 log 3 ( x + 4 ) + 5 ? La asíntota vertical está en x = − 4. Análisis El coeficiente, la base y la traslación hacia arriba no afectan la asíntota. El desplazamiento de la curva 4 unidades a la izquierda desplaza la asíntota vertical a x = −4. Ejercicio ¿Cuál es la asíntota vertical de f ( x ) = 3 + ln ( x – 1 ) ? x = 1 Hallar la ecuación a partir de un gráfico Halle una posible ecuación para la función logarítmica común, graficada en la . Este gráfico tiene una asíntota vertical en x = -2 y se ha reflejado verticalmente. Todavía no conocemos ni el desplazamiento ni el estiramiento vertical. Hasta ahora sabemos que la ecuación tendrá la forma: f ( x ) = - a log ( x + 2 ) + k Parece que el gráfico pasa por los puntos ( -1 , 1 ) y ( 2 , -1 ) . Al sustituir ( -1 , 1 ) , 1 = - a log ( –1 + 2 ) + k Sustituya ( –1 , 1 ) . 1 = - a log ( 1 ) + k Aritmética . 1 = k log(1) = 0, A continuación, al sustituir ( 2 , -1 ) , − 1 = - a log ( 2 + 2 ) + 1 Enchufe ( 2 , –1 ) . − 2 = - a log ( 4 ) Aritmética . a = 2 log ( 4 ) Resuelva para a . Esto nos da la ecuación f ( x ) = – 2 log ( 4 ) log ( x + 2 ) + 1. Análisis Podemos verificar esta respuesta al comparar los valores de la función en la con los puntos del gráfico en la . x −1 0 1 2 3 f ( x ) 1 0 -0,58496 −1 -1,3219 x 4 5 6 7 8 f ( x ) -1,5850 -1,8074 −2 -2,1699 -2,3219 Ejercicio Dé la ecuación del logaritmo natural graficada en la . f ( x ) = 2 ln ( x + 3 ) - 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible saber el dominio y el rango y describir el comportamiento final de una función con tan solo mirar el gráfico? Sí, si sabemos que la función es una función logarítmica general. Por ejemplo, observe el gráfico de la . El gráfico se acerca x = −3 (o más o menos) cada vez más, por lo que x = −3 es, o está muy cerca, de la asíntota vertical. Se aproxima por la derecha, por lo que el dominio son todos los puntos a la derecha, { x | x > −3 } . El rango, como en todas las funciones logarítmicas generales, son todos los números reales. Además, podemos ver el comportamiento final porque el gráfico baja por la izquierda y sube por la derecha. El comportamiento final es que, como x → − 3 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar cómo crear gráficos de logaritmos. Graficar una función exponencial y una función logarítmica Emparejar gráficos con funciones exponenciales y logarítmicas Hallar el dominio de las funciones logarítmicas Ecuaciones clave Forma general de la traslación de la función logarítmica matriz f ( x ) = log b ( x ) f ( x ) = a log b ( x + c ) + d Conceptos clave Para hallar el dominio de una función logarítmica, establezca una inecuación que muestre el argumento mayor que cero, y resuelva para x . Vea el y el El gráfico de la función matriz f ( x ) = log b ( x ) tiene una intersección en x en ( 1 , 0 ) , dominio ( 0 , ∞ ) , rango ( - ∞ , ∞ ) , asíntota vertical x = 0 , y si b > 1 , la función es creciente. si 0 < b < 1 , la función es decreciente. Vea el . La ecuación f ( x ) = log b ( x + c ) desplaza la función matriz y = log b ( x ) horizontalmente a la izquierda c unidades si c > 0 . a la derecha c unidades si c < 0 . Vea el . La ecuación f ( x ) = log b ( x ) + d desplaza la función matriz y = log b ( x ) verticalmente hacia arriba d unidades si d > 0 . hacia abajo d unidades si d < 0 . Vea el . Para cualquier constante a > 0 , la ecuación f ( x ) = a log b ( x ) estira la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si | a | > 1. comprime la función matriz y = log b ( x ) verticalmente por un factor de a si | a | < 1. Vea el y el . Cuando la función matriz y = log b ( x ) se multiplica por − 1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje x . Cuando la entrada se multiplica por − 1 , el resultado es una reflexión alrededor del eje y . La ecuación f ( x ) = - log b ( x ) representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje x . La ecuación f ( x ) = log b ( - x ) representa una reflexión de la función matriz alrededor del eje y . Vea el . Se puede utilizar una calculadora gráfica para determinar aproximadamente las soluciones de algunas ecuaciones logarítmicas. Vea el . Todas las traslaciones de la función logarítmica se pueden resumir en la ecuación general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d . Vea la . Dada una ecuación con la forma general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d , podemos identificar la asíntota vertical x = - c para la transformación. Vea el . Utilizando la ecuación general f ( x ) = a log b ( x + c ) + d , podemos escribir la ecuación de una función logarítmica dado su gráfico. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales La inversa de toda función logarítmica es una función exponencial y viceversa. ¿Qué nos dice esto acerca de la relación entre las coordenadas de los puntos en los gráficos de cada uno? Dado que las funciones son inversas, sus gráficos son imágenes especulares en torno a la recta y = x . Así que, para todo punto ( a , b ) en el gráfico de una función logarítmica, hay un punto correspondiente ( b , a ) en el gráfico de su función exponencial inversa. ¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el rango de una función logarítmica? ¿Qué tipo de traslación, si la hay, afecta el dominio de una función logarítmica? Desplazar la función a la derecha o a la izquierda y reflejar la función sobre el eje y afectará su dominio. Consideremos la función logarítmica general f ( x ) = log b ( x ) . ¿Por qué x no puede ser cero? ¿El gráfico de una función logarítmica general tiene una asíntota horizontal? Explique. No. Una asíntota horizontal sugeriría un límite en el rango, y el rango de cualquier función logarítmica en forma general son todos los números reales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, indique el dominio y el rango de la función. f ( x ) = log 3 ( x + 4 ) h ( x ) = ln ( 1 2 - x ) Dominio: ( - ∞ , 1 2 ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) g ( x ) = log 5 ( 2 x + 9 ) - 2 h ( x ) = ln ( 4 x + 17 ) - 5 Dominio: ( − 17 4 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = log 2 ( 12 − 3 x ) - 3 En los siguientes ejercicios, indique el dominio y la asíntota vertical de la función. f ( x ) = log b ( x - 5 ) Dominio: ( 5 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 5 g ( x ) = ln ( 3 - x ) f ( x ) = log ( 3 x + 1 ) Dominio: ( - 1 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 1 3 f ( x ) = 3 log ( - x ) + 2 g ( x ) = - ln ( 3 x + 9 ) - 7 Dominio: ( - 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 3 En los siguientes ejercicios, indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función. f ( x ) = ln ( 2 - x ) f ( x ) = log ( x - 3 7 ) Dominio: ( 3 7 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 3 7 ; Comportamiento final: como x → ( 3 7 ) + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ h ( x ) = - log ( 3 x - 4 ) + 3 g ( x ) = ln ( 2 x + 6 ) - 5 Dominio: ( - 3 , ∞ ) ; Asíntota vertical x = - 3 ; Comportamiento final: como x → − 3 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = log 3 ( 15 − 5 x ) + 6 En los siguientes ejercicios, indique el dominio, el rango y las intersecciones en x y en y , si existen. Si no existen, escriba DNE. h ( x ) = log 4 ( x – 1 ) + 1 Dominio: ( 1 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 1 ; intersección en x : ( 5 4 , 0 ) ; intersección en y : DNE f ( x ) = log ( 5 x + 10 ) + 3 g ( x ) = ln ( - x ) - 2 Dominio: ( - ∞ , 0 ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 0 ; intersección en x : ( - e 2 , 0 ) ; intersección en y : DNE f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) - 5 h ( x ) = 3 ln ( x ) - 9 Dominio: ( 0 , ∞ ) ; Rango: ( - ∞ , ∞ ) ; Asíntota vertical x = 0 ; intersección en x : ( e 3 , 0 ) ; intersección en y : DNE Gráficos En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. d ( x ) = log ( x ) f ( x ) = ln ( x ) B g ( x ) = log 2 ( x ) h ( x ) = log 5 ( x ) C j ( x ) = log 25 ( x ) En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. f ( x ) = log 1 3 ( x ) B g ( x ) = log 2 ( x ) h ( x ) = log 3 4 ( x ) C En los siguientes ejercicios, dibuje los gráficos de cada par de funciones en el mismo eje. f ( x ) = log ( x ) y g ( x ) = 10 x f ( x ) = log ( x ) y g ( x ) = log 1 2 ( x ) f ( x ) = log 4 ( x ) y g ( x ) = ln ( x ) f ( x ) = e x y g ( x ) = ln ( x ) En los siguientes ejercicios, empareje cada función en la con la letra correspondiente a su gráfico. f ( x ) = log 4 ( - x + 2 ) g ( x ) = - log 4 ( x + 2 ) C h ( x ) = log 4 ( x + 2 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función indicada. f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) f ( x ) = 2 log ( x ) f ( x ) = ln ( - x ) g ( x ) = log ( 4 x + 16 ) + 4 g ( x ) = log ( 6 - 3 x ) + 1 h ( x ) = - 1 2 ln ( x + 1 ) - 3 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación logarítmica correspondiente al gráfico mostrado. Utilice y = log 2 ( x ) como función matriz. f ( x ) = log 2 ( − ( x – 1 ) ) Utilice f ( x ) = log 3 ( x ) como función matriz. Utilice f ( x ) = log 4 ( x ) como función matriz. f ( x ) = 3 log 4 ( x + 2 ) Utilice f ( x ) = log 5 ( x ) como función matriz. En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para hallar soluciones aproximadas a cada ecuación. log ( x – 1 ) + 2 = ln ( x – 1 ) + 2 x = 2 log ( 2 x - 3 ) + 2 = - log ( 2 x - 3 ) + 5 ln ( x - 2 ) = - ln ( x + 1 ) x ≈ 2 0,303 2 ln ( 5 x + 1 ) = 1 2 ln ( - 5 x ) + 1 1 3 log ( 1 - x ) = log ( x + 1 ) + 1 3 x ≈ − 0,472 Extensiones Supongamos que b es cualquier número real positivo tal que b ≠ 1. ¿Cómo debe log b 1 ser igual a? Compruebe el resultado. Explore y comente los gráficos de f ( x ) = log 1 2 ( x ) y g ( x ) = - log 2 ( x ) . Haga una conjetura basada en el resultado. Los gráficos de f ( x ) = log 1 2 ( x ) y g ( x ) = - log 2 ( x ) parecen ser los mismos; conjetura: para cualquier base positiva b ≠ 1 , log b ( x ) = - log 1 b ( x ) . Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. ¿Cuál es el dominio de la función f ( x ) = ln ( x + 2 x - 4 ) ? Analice el resultado. Recordemos que el argumento de una función logarítmica debe ser positivo, por lo que determinamos donde x + 2 x - 4 > 0 . A partir del gráfico de la función f ( x ) = x + 2 x - 4 , observe que el gráfico se encuentra por encima del eje x en el intervalo ( - ∞ , - 2 ) y de nuevo a la derecha de la asíntota vertical, es decir ( 4 , ∞ ) . Por lo tanto, el dominio es ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 4 , ∞ ) . Utilice las propiedades de los exponentes para hallar las intersecciones en x de la función f ( x ) = log ( x 2 + 4 x + 4 ) algebraicamente. 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{"text": "Propiedades logarítmicas Objetivos de aprendizaje Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. (IA 5.2.1) Utilizar las propiedades de los logaritmos. (IA 10.4.1) Objetivo 1: Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes (AI 5.2.1) Vocabulario Simplificar expresiones con las propiedades para los exponentes. Rellene los espacios en blanco: En la expresión a m , a se llama ________, y m se llama ________. Por ejemplo, ( -3 ) 4 significa ________ que se simplifica a ________. La propiedad del producto Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. Simplifique x 2 · x 3 ¿Qué significa esto? Ahora vemos que x 2 · x 3 = x 5 Para multiplicar potencias con la misma base necesitamos ________ exponentes Esto nos lleva a la propiedad del producto a m · a n = a m + n La propiedad del cociente Simplifique x 5 x 2 ¿Qué significa esto? xxxxx xx Tras simplificar, obtenemos x 3 Ahora vemos que x 5 x 2 = x 3 Para dividir potencias con la misma base necesitamos __________ exponentes. Esto nos lleva a la propiedad del cociente a m · a n = a m n La propiedad de la potencia Simplifique ( x 2 ) 4 ¿Qué significa esto? x 2 · x 2 · x 2 · x 2 Tras sumar los exponentes obtenemos x 8 . Ahora vemos que ( x 2 ) 4 = x 8 Para elevar una potencia a otra potencia necesitamos __________ exponentes Esto nos lleva a la propiedad de la potencia ( a m ) n = a m n . También utilizaremos estas otras propiedades: Propiedad de los exponentes negativos x n = 1 x n , x ≠ 0 Propiedad del exponente cero a 0 = 1 , i f a ≠ 0 Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. Ⓐ Simplifique 3 ∙ 2 x ∙ 2 3 x Ⓑ Simplifique b 2 b 6 b b 4 b 7 Ⓒ Simplifique ( a b 2 ) 3 a 5 b 6 Ⓐ Utilice la propiedad del producto. 3 ∙ 2 x + 3 x Simplifique. 3 ∙ 2 4 x Ⓑ Utilice la propiedad de la potencia y multiplique los exponentes. a 3 b 6 a 5 b 6 Utilice la propiedad del producto y sume los exponentes. a 8 b 0 Cualquier base a la potencia de cero es igual a 1. a 8 ( 1 ) = a 8 Ⓒ Utilice la propiedad de la potencia y multiplique los exponentes. a 3 b 6 a 5 b 6 Utilice la propiedad del producto y sume los exponentes. a 8 b 0 Cualquier base a la potencia de cero es igual a 1. a 8 ( 1 ) = a 8 La práctica hace la perfección Simplifique expresiones con las propiedades de los exponentes. 3 b 5 ∙ 2 b 12 x ∙ x 5 ∙ x 7 b 15 c 4 b 4 c 4 x 0 12 x -6 ( 2 a 3 ) 3 ( a 4 ) 2 a 3 b 5 2 a 6 Objetivo 2: Utilizar las propiedades de los logaritmos (AI 10.4.1). Propiedad Base a Base e log a 1 = 0 ln 1 = 0 log a a = 1 ln e = 1 Propiedades inversas a log a x = x log a a x = x e ln x = x ln e x = x Propiedad del producto de los logaritmos log a ( M · N ) = log a M + log a N ln ( M · N ) = ln M + ln N Propiedad del cociente de los logaritmos log a M N = log a M − log a N ln M N = ln M − ln N Propiedad de potencia de los logaritmos log a M p = p log a M ln M p = p ln M Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo log 4 ( 2 x 3 y 2 ) . Simplifique, si es posible. log 4 ( 2 x 3 y 2 ) Utilice la propiedad del producto, log a M · N = log a M + log a N . log 4 2 + log 4 x 3 + log 4 y 2 Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M , en los dos últimos términos. log 4 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y Simplifique. 1 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y log 4 ( 2 x 3 y 2 ) = 1 2 + 3 log 4 x + 2 log 4 y Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir el logaritmo log 2 x 3 3 y 2 z 4 . Simplifique, si es posible. log 2 x 3 3 y 2 z 4 Reescriba el radical con un exponente racional. log 2 ( x 3 3 y 2 z ) 1 4 Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M . 1 4 log 2 ( x 3 3 y 2 z ) Utilice la propiedad del cociente, log a M · N = log a M − log a N . 1 4 ( log 2 ( x 3 ) - log 2 ( 3 y 2 z ) ) Utilice la propiedad del producto, log a M · N = log a M + log a N , en el segundo término. 1 4 ( log 2 ( x 3 ) - ( log 2 3 + log 2 y 2 + log 2 z ) ) Utilice la propiedad de la potencia, log a M p = p log a M , dentro del paréntesis. 1 4 ( 3 log 2 x - ( log 2 3 + 2 log 2 y + log 2 z ) ) Simplifique distribuyendo. 1 4 ( 3 log 2 x - log 2 3 - 2 log 2 y − log 2 z ) log 2 x 3 3 y 2 z 4 = 1 4 ( 3 log 2 x - log 2 3 - 2 log 2 y − log 2 z ) Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo log 4 3 + log 4 x - log 4 y . Simplifique, si es posible. Las expresiones de los logaritmos tienen todas la misma base, 4. log 4 3 + log 4 x - log 4 y Los dos primeros términos se suman, por lo que utilizamos la propiedad del producto, log a M + log a N = log a M · N . log 4 3 x - log 4 y Dado que los logaritmos se restan, utilizamos la propiedad del cociente, log a M − log a N = log a M N . log 4 3 x y log 4 3 + log 4 x - log 4 y = log 4 3 x y La práctica hace la perfección Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir: log 3 ( 9 x 5 y 4 ) Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir: log 5 x 5 25 y 3 z 3 Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo: log b 5 + log b c log b b Utilice las propiedades de los logaritmos para condensar el logaritmo: 2 log 3 x + 3 log 3 ( x + 1 ) El pH del ácido clorhídrico se comprueba con papel tornasol. (Créditos: David Berardan). En química, el pH se utiliza para medir la acidez o alcalinidad de una sustancia. La escala de pH va de 0 a 14. Las sustancias con un pH inferior a 7 se consideran ácidas, y las sustancias con un pH superior a 7 se consideran básicas. Nuestro organismo, por ejemplo, debe mantener un pH cercano a 7,35 para que las enzimas funcionen correctamente. Para hacerse una idea de lo que es ácido y lo que es básico, considere los siguientes niveles de pH de algunas sustancias comunes: Ácido de batería: 0,8 Acidez estomacal: 2,7 Zumo de naranja: 3,3 Agua pura: 7 (a 25° C) Sangre humana: 7,35 Coco fresco: 7,8 Hidróxido de sodio (lejía): 14 Para determinar si una solución es ácida o básica, buscamos su pH, que es una medida del número de iones de hidrógeno positivos activos en la solución. El pH se define mediante la siguiente fórmula, donde H + es la concentración de iones de hidrógeno en la solución pH = - log ( [ H + ] ) = log ( 1 [ H + ] ) La equivalencia de − log ( [ H + ] ) y log ( 1 [ H + ] ) es una de las propiedades del logaritmo que examinaremos en esta sección. Uso de la regla del producto para los logaritmos Recuerde que las funciones logarítmicas y exponenciales se \"deshacen\" mutuamente. Esto significa que los logaritmos tienen propiedades similares a los exponentes. Aquí se dan algunas propiedades importantes de los logaritmos. En primer lugar, las siguientes propiedades son fáciles de comprobar. log b 1 = 0 log b b = 1 Por ejemplo, log 5 1 = 0 dado que 5 0 = 1. Y log 5 5 = 1 dado que 5 1 = 5. A continuación, tenemos la propiedad inversa. log b ( b x ) = x b log b x = x , x > 0 Por ejemplo, para evaluar log ( 100 ) , podemos reescribir el logaritmo como log 10 ( 10 2 ) , y luego aplicar la propiedad inversa log b ( b x ) = x para obtener log 10 ( 10 2 ) = 2. Para evaluar e ln ( 7 ) , podemos reescribir el logaritmo como e log e 7 , y luego aplicar la propiedad inversa b log b x = x para obtener e log e 7 = 7. Por último, tenemos la propiedad biunívoca . log b M = log b N si y solo si M = N Podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver la ecuación log 3 ( 3 x ) = log 3 ( 2 x + 5 ) para x . Debido a que las bases son iguales, podemos aplicar la propiedad biunívoca al igualar los argumentos y resolver para x : 3 x = 2 x + 5 Iguale los argumentos . x = 5 Reste 2 x . ¿Qué pasa con la ecuación log 3 ( 3 x ) + log 3 ( 2 x + 5 ) = 2 ? La propiedad biunívoca no nos sirve en este caso. Antes de poder resolver una ecuación como esta, necesitamos un método para combinar los términos del lado izquierdo de la ecuación. Recordemos que utilizamos la regla de multiplicación de exponentes para combinar el producto de potencias sumando exponentes: x a x b = x a + b . Tenemos una propiedad similar para los logaritmos, denominada regla del producto de los logaritmos , la cual establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos. Ya que los logaritmos son exponentes, y multiplicamos como bases, podemos sumar los exponentes. Utilizaremos la propiedad inversa para derivar la regla del producto, a continuación. Dado un número real cualquiera x y números reales positivos M , N , y b , donde b ≠ 1 , mostraremos log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) . Supongamos que m = log b M y n = log b N . En forma exponencial, estas ecuaciones son b m = M y b n = N . Se deduce que log b ( M N ) = log b ( b m b n ) Sustituya por M y N . = log b ( b m + n ) Aplique la regla del producto para los exponentes . = m + n Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . = log b ( M ) + log b ( N ) Sustituya por m y n . Observe que la aplicación repetida de la regla del producto para los logaritmos nos permite simplificar el logaritmo del producto de cualquier número de factores. Por ejemplo, considere log b ( w x y z ) . Con la regla del producto para los logaritmos, podemos reescribir este logaritmo de un producto como la suma de los logaritmos de sus factores: log b ( w x y z ) = log b w + log b x + log b y + log b c La regla del producto para los logaritmos La regla del producto para los logaritmos se puede utilizar para simplificar un logaritmo de un producto al reescribirlo como la suma de logaritmos individuales. log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) para b > 0 Cómo Dado el logaritmo de un producto, utilizar la regla del producto para los logaritmos para escribir la suma equivalente de logaritmos. Factorice el argumento por completo; exprese cada factor de número entero como un producto de primos. Escriba la expresión equivalente al sumar los logaritmos de cada factor. Usar la regla del producto para los logaritmos Expanda log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) . Empezamos por factorizar el argumento completamente, al expresar 30 como producto de primos. log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) = log 3 ( 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ x ⋅ ( 3 x + 4 ) ) A continuación, escribimos la ecuación equivalente al sumar los logaritmos de cada factor. log 3 ( 30 x ( 3 x + 4 ) ) = log 3 ( 2 ) + log 3 ( 3 ) + log 3 ( 5 ) + log 3 ( x ) + log 3 ( 3 x + 4 ) Ejercicio Expanda log b ( 8 k ) . log b 2 + log b 2 + log b 2 + log b k = 3 log b 2 + log b k Uso de la regla del cociente para los logaritmos En los cocientes, tenemos una regla similar para los logaritmos. Recordemos que utilizamos la regla del cociente de exponentes para combinar el cociente de exponentes al restar: x a x b = x a - b . La regla del cociente para los logaritmos establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos. Al igual que con la regla del producto, podemos utilizar la propiedad inversa para derivar la regla del cociente. Dado un número real cualquiera x y números reales positivos M , N , y b , donde b ≠ 1 , mostraremos log b ( M N ) = log b ( M ) - log b ( N ) . Supongamos que m = log b M y n = log b N . En forma exponencial, estas ecuaciones son b m = M y b n = N . Se deduce que log b ( M N ) = log b ( b m b n ) Sustituya por M y N . = log b ( b m - n ) Aplique la regla del cociente para los exponentes . = m - n Aplique la propiedad inversa de los logaritmos . = log b ( M ) - log b ( N ) Sustituya por m y n . Por ejemplo, para expandir log ( 2 x 2 + 6 x 3 x + 9 ) , debemos expresar primero el cociente en términos mínimos. Al factorizar y cancelar obtenemos, log ( 2 x 2 + 6 x 3 x + 9 ) = log ( 2 x ( x + 3 ) 3 ( x + 3 ) ) Factorice el numerador y el denominador . = log ( 2 x 3 ) Anule los factores comunes . A continuación, aplicamos la regla del cociente al restar el logaritmo del denominador al del numerador. Luego aplicamos la regla del producto. log ( 2 x 3 ) = log ( 2 x ) - log ( 3 ) = log ( 2 ) + log ( x ) - log ( 3 ) La regla del cociente para los logaritmos La regla del cociente para los logaritmos se utiliza para simplificar un logaritmo o un cociente al reescribirlo como la diferencia de logaritmos individuales. log b ( M N ) = log b M − log b N Cómo Dado el logaritmo de un cociente, utilizar la regla del cociente para los logaritmos para escribir una diferencia de logaritmos equivalente. Exprese el argumento en términos mínimos; factorice el numerador y el denominador y cancele los términos comunes. Escriba la expresión equivalente al restar el logaritmo del denominador al logaritmo del numerador. Compruebe que cada término esté expandido completamente. Si no es así, aplique la regla del producto para los logaritmos con el fin de expandirlo completamente. Usar la regla del cociente para los logaritmos Expanda log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) . Primero observamos que el cociente está factorizado y en términos mínimos, por lo que aplicamos la regla del cociente. log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) = log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ) - log 2 ( ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) Observe que los términos resultantes son logaritmos de productos. Para expandir completamente, aplicamos la regla del producto, al observar que los factores primos del factor 15 son 3 y 5. log 2 ( 15 x ( x – 1 ) ) - log 2 ( ( 3 x + 4 ) ( 2 - x ) ) = [ log 2 ( 3 ) + log 2 ( 5 ) + log 2 ( x ) + log 2 ( x – 1 ) ] - [ log 2 ( 3 x + 4 ) + log 2 ( 2 - x ) ] = log 2 ( 3 ) + log 2 ( 5 ) + log 2 ( x ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( 3 x + 4 ) - log 2 ( 2 - x ) Análisis Hay excepciones a tener en cuenta en este ejemplo y en otros posteriores. En primer lugar, dado que los denominadores nunca deben ser cero, esta expresión no está definida para x = – 4 3 y x = 2. Además, ya que el argumento de un logaritmo debe ser positivo, nos damos cuenta por el logaritmo expandido, que x > 0 , x > 1 , x > − 4 3 , y x < 2. La combinación de estas condiciones está fuera del alcance de esta sección, y no las consideraremos aquí ni en ejercicios posteriores. Ejercicio Expanda log 3 ( 7 x 2 + 21 x 7 x ( x – 1 ) ( x - 2 ) ) . log 3 ( x + 3 ) - log 3 ( x – 1 ) - log 3 ( x - 2 ) Usar la regla de la potencia para los logaritmos Hemos explorado la regla del producto y la regla del cociente. Ahora bien, ¿cómo podemos tomar el logaritmo de una potencia, como x 2 ? Un método es el siguiente: log b ( x 2 ) = log b ( x ⋅ x ) = log b x + log b x = 2 log b x Observe que hemos utilizado la regla del producto para los logaritmos con el fin de hallar una solución para el ejemplo anterior. Al hacerlo, hemos derivado la regla de la potencia para los logaritmos , la cual establece que el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. Tenga en cuenta que, aunque la entrada de un logaritmo no se escriba como una potencia, podemos cambiarla por una potencia. Por ejemplo, 100 = 10 2 3 = 3 1 2 1 e = e - 1 La regla de la potencia para los logaritmos La regla de la potencia para los logaritmos se utiliza para simplificar el logaritmo de una potencia al reescribirlo como el producto del exponente por el logaritmo de la base. log b ( M n ) = n log b M Cómo Dado el logaritmo de una potencia, utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el fin de escribir un producto equivalente de un factor y un logaritmo. Exprese el argumento como una potencia, si es necesario. Escriba la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. Expandir un logaritmo con potencias Expanda log 2 x 5 . El argumento ya está escrito como potencia, así que identificamos el exponente, 5, y la base, x , y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. log 2 ( x 5 ) = 5 log 2 x Ejercicio Expanda ln x 2 . 2 ln x Reescribir una expresión como potencia antes de utilizar la regla de la potencia Expanda log 3 ( 25 ) utilizando la regla de la potencia para los logaritmos. Al expresar el argumento como potencia, obtenemos log 3 ( 25 ) = log 3 ( 5 2 ) . A continuación, identificamos el exponente, 2, y la base, 5, y reescribimos la expresión equivalente al multiplicar el exponente por el logaritmo de la base. log 3 ( 5 2 ) = 2 log 3 ( 5 ) Ejercicio Expanda ln ( 1 x 2 ) . - 2 ln ( x ) Usar la regla de la potencia en sentido inverso Reescriba 4 ln ( x ) utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1. Dado que el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base, se deduce que el producto de un número por un logaritmo se puede escribir como una potencia. En la expresión 4 ln ( x ) , identificamos el factor, 4, como el exponente y el argumento, x , como base. Acto seguido, reescribimos el producto como logaritmo de una potencia: 4 ln ( x ) = ln ( x 4 ) . Ejercicio Reescriba 2 log 3 4 utilizando la regla de la potencia para los logaritmos a un solo logaritmo con un coeficiente inicial de 1. log 3 16 Expandir expresiones logarítmicas En conjunto, la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia suelen llamarse \"leyes de los logaritmos\". A veces aplicamos más de una regla para simplificar una expresión. Por ejemplo: log b ( 6 x y ) = log b ( 6 x ) - log b y = log b 6 + log b x - log b y Podemos utilizar la regla de la potencia para expandir expresiones logarítmicas que incluyan exponentes negativos y fraccionarios. Aquí hay una prueba alternativa de la regla del cociente para los logaritmos, por el hecho de que un recíproco es una potencia negativa: log b ( A C ) = log b ( A C - 1 ) = log b ( A ) + log b ( C - 1 ) = log b A + ( - 1 ) log b C = log b A − log b C También podemos aplicar la regla del producto para expresar la suma o diferencia de logaritmos como el logaritmo de un producto. Con la práctica, podemos mirar una expresión logarítmica y expandirla mentalmente, al escribir la respuesta final. Recordemos, sin embargo, que solo podemos hacerlo con productos, cocientes, potencias y raíces, nunca con sumas o restas dentro del argumento del logaritmo. Expandir logaritmos mediante las reglas del producto, el cociente y la potencia Reescriba ln ( x 4 y 7 ) como suma o diferencia de logaritmos. En primer lugar, dado que tenemos el cociente de dos expresiones, podemos utilizar la regla del cociente: ln ( x 4 y 7 ) = ln ( x 4 y ) - ln ( 7 ) Entonces, al ver el producto en el primer término, utilizamos la regla del producto: ln ( x 4 y ) - ln ( 7 ) = ln ( x 4 ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) Por último, utilizamos la regla de la potencia en el primer término: ln ( x 4 ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) = 4 ln ( x ) + ln ( y ) - ln ( 7 ) Ejercicio Expanda log ( x 2 y 3 c 4 ) . 2 log x + 3 log y - 4 log c Usar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de simplificar el logaritmo de una expresión radical Expanda log ( x ) . log ( x ) = log x ( 1 2 ) = 1 2 log x Ejercicio Expanda ln ( x 2 3 ) . 2 3 ln x PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos expandir ln ( x 2 + y 2 ) ? No hay manera de expandir el logaritmo de la suma o diferencia dentro del argumento del logaritmo. Expandir expresiones logarítmicas complejas Expanda log 6 ( 64 x 3 ( 4 x + 1 ) ( 2 x – 1 ) ) . Podemos expandir al aplicar las reglas del producto y del cociente. log 6 ( 64 x 3 ( 4 x + 1 ) ( 2 x – 1 ) ) = log 6 64 + log 6 x 3 + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Aplique la regla del cociente . = log 6 2 6 + log 6 x 3 + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Simplifique al escribir 64 como 2 6 . = 6 log 6 2 + 3 log 6 x + log 6 ( 4 x + 1 ) - log 6 ( 2 x – 1 ) Aplique la regla de la potencia . Ejercicio Expanda ln ( ( x – 1 ) ( 2 x + 1 ) 2 ( x 2 - 9 ) ) . 1 2 ln ( x – 1 ) + ln ( 2 x + 1 ) - ln ( x + 3 ) - ln ( x - 3 ) Condensar expresiones logarítmicas Podemos utilizar las reglas de los logaritmos que acabamos de aprender para condensar las sumas, las diferencias y los productos con la misma base en un solo logaritmo. Es importante recordar que los logaritmos deben tener la misma base para poder combinarse. Más adelante aprenderemos a cambiar la base de cualquier logaritmo antes de condensar. Cómo Dada una suma, diferencia o producto de logaritmos con la misma base, escribir una expresión equivalente como un solo logaritmo. Aplique primero la propiedad de la potencia. Identifique los términos que son productos de factores y un logaritmo. Acto seguido, reescriba cada uno como el logaritmo de una potencia. A continuación, aplique la propiedad del producto. Reescriba las sumas de logaritmos como el logaritmo de un producto. Aplique la propiedad del cociente en último lugar. Reescriba las diferencias de logaritmos como el logaritmo de un cociente. Usar las reglas del producto y del cociente para combinar logaritmos Escriba log 3 ( 5 ) + log 3 ( 8 ) - log 3 ( 2 ) como un solo logaritmo. Usando las reglas del producto y del cociente log 3 ( 5 ) + log 3 ( 8 ) = log 3 ( 5 ⋅ 8 ) = log 3 ( 40 ) Esto reduce nuestra expresión original a log 3 ( 40 ) - log 3 ( 2 ) Entonces, con la regla del cociente log 3 ( 40 ) - log 3 ( 2 ) = log 3 ( 40 2 ) = log 3 ( 20 ) Ejercicio Condense log 3 − log 4 + log 5 − log 6. log ( 3 ⋅ 5 4 ⋅ 6 ) ; también se puede escribir log ( 5 8 ) al reducir la fracción a los términos mínimos. Condensar expresiones logarítmicas complejas Condense log 2 ( x 2 ) + 1 2 log 2 ( x – 1 ) - 3 log 2 ( ( x + 3 ) 2 ) . Primero aplicamos la regla de la potencia: log 2 ( x 2 ) + 1 2 log 2 ( x – 1 ) - 3 log 2 ( ( x + 3 ) 2 ) = log 2 ( x 2 ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) A continuación, aplicamos la regla del producto a la suma: log 2 ( x 2 ) + log 2 ( x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) = log 2 ( x 2 x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia: log 2 ( x 2 x – 1 ) - log 2 ( ( x + 3 ) 6 ) = log 2 x 2 x – 1 ( x + 3 ) 6 Ejercicio Reescriba log ( 5 ) + 0,5 log ( x ) - log ( 7 x – 1 ) + 3 log ( x – 1 ) como un solo logaritmo. log ( 5 ( x – 1 ) 3 x ( 7 x – 1 ) ) Reescribir como un solo logaritmo Reescriba 2 log x - 4 log ( x + 5 ) + 1 x log ( 3 x + 5 ) como un solo logaritmo. Primero aplicamos la regla de la potencia: 2 log x – 4 log ( x + 5 ) + 1 x log ( 3 x + 5 ) = log ( x 2 ) - log ( x + 5 ) 4 + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) A continuación, reordenamos y aplicamos la regla del producto a la suma: log ( x 2 ) - log ( x + 5 ) 4 + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) = log ( x 2 ) + log ( ( 3 x + 5 ) x – 1 ) - log ( x + 5 ) 4 = log ( x 2 ( 3 x + 5 ) x – 1 ) - log ( x + 5 ) 4 Por último, aplicamos la regla del cociente a la diferencia: = log ( x 2 ( 3 x + 5 ) x −1 ) - log ( x + 5 ) 4 = log x 2 ( 3 x + 5 ) x −1 ( x + 5 ) 4 Ejercicio Condense 4 ( 3 log ( x ) + log ( x + 5 ) - log ( 2 x + 3 ) ) . log x 12 ( x + 5 ) 4 ( 2 x + 3 ) 4 ; esta respuesta también podría escribirse log ( x 3 ( x + 5 ) ( 2 x + 3 ) ) 4 . Aplicar las leyes de los logaritmos Recordemos que, en química, pH = - log [ H + ] . Si se duplica la concentración de iones de hidrógeno en un líquido, ¿cuál es el efecto sobre el pH? Supongamos que C es la concentración original de iones de hidrógeno, y P es el pH original del líquido. Luego P = – log ( C ) . Si la concentración se duplica, la nueva concentración es 2 C . Entonces el pH del nuevo líquido es pH = - log ( 2 C ) Con la regla del producto de los logaritmos pH = - log ( 2 C ) = - ( log ( 2 ) + log ( C ) ) = - log ( 2 ) - log ( C ) Dado que P = – log ( C ) , el nuevo pH es pH = P − log ( 2 ) ≈ P − 0,301 Cuando se duplica la concentración de iones de hidrógeno, el pH disminuye aproximadamente 0,301. Ejercicio ¿Cómo cambia el pH cuando la concentración de iones de hidrógeno positivos se reduce a la mitad? El pH aumenta alrededor de 0,301. Usar la fórmula de cambio de base para los logaritmos La mayoría de las calculadoras solo evalúan los logaritmos comunes y naturales. Para evaluar logaritmos con una base distinta de 10 o e , utilizamos la fórmula de cambio de base , donde reescribimos el logaritmo como el cociente de logaritmos de cualquier otra base. Al utilizar la calculadora, los cambiaríamos a logaritmos comunes o naturales. Para derivar la fórmula de cambio de base, utilizamos la propiedad biunívoca y la regla de la potencia para los logaritmos . Dados cualesquiera números reales positivos M , b , y n , donde n ≠ 1 como de b ≠ 1 , demostramos log b M = log n M log n b Supongamos que y = log b M . Potenciando ambos lados con base b , llegamos a una forma exponencial, a saber b y = M . Se deduce que log n ( b y ) = log n M Aplique la propiedad biunívoca . y log n b = log n M Aplique la regla de la potencia para los logaritmos. y = log n M log n b Aísle y . log b M = log n M log n b Sustituya por y . Por ejemplo, para evaluar log 5 36 con una calculadora, primero debemos reescribir la expresión como el cociente de logaritmos comunes o naturales. Utilizaremos el logaritmo común. log 5 36 = log ( 36 ) log ( 5 ) Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base 10 . ≈ 2,2266 Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . La fórmula de cambio de base La fórmula de cambio de base se utiliza para evaluar un logaritmo con cualquier base. En cualquier número real positivo M , b , y n , donde n ≠ 1 como de b ≠ 1 , log b M = log n M log n b . De ello se deduce que la fórmula de cambio de base sirve para reescribir un logaritmo de cualquier base como cociente de logaritmos comunes o naturales. log b M = ln M ln b y log b M = log M log b Cómo Dado un logaritmo de la forma log b M , utilizar la fórmula de cambio de base para reescribirlo como el cociente de logaritmos con cualquier base positiva n , donde n ≠ 1. Determine la nueva base n , recuerde que el logaritmo común, log ( x ) , tiene base 10, y el logaritmo natural, ln ( x ) , tiene base e . Reescriba el logaritmo como un cociente mediante la fórmula de cambio de base El numerador del cociente será un logaritmo de base n y argumente M . El denominador del cociente será un logaritmo de base n y argumente b . Cambiar expresiones logarítmicas a expresiones que solo implican logaritmos naturales Cambie log 5 3 a un cociente de logaritmos naturales. Ya que vamos a expresar log 5 3 como cociente de logaritmos naturales, la nueva base, n = e . Reescribimos el logaritmo como el cociente mediante la fórmula de cambio de base. El numerador del cociente será el logaritmo natural con argumento 3. El denominador del cociente será el logaritmo natural con argumento 5. log b M = ln M ln b log 5 3 = ln 3 ln 5 Ejercicio Cambie log 0,5 8 a un cociente de logaritmos naturales. ln 8 ln 0,5 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos cambiar los logaritmos comunes por logaritmos naturales? Sí. Recuerde que log 9 significa log 10 9 . Así que, log 9 = ln 9 ln 10 . Usar la fórmula de cambio de base con la calculadora Evalúe log 2 ( 10 ) al utilizar la fórmula de cambio de base con la calculadora. Según la fórmula de cambio de base, podemos reescribir el logaritmo de base 2 como un logaritmo de cualquier otra base. Dado que nuestras calculadoras pueden evaluar el logaritmo natural, podemos optar por utilizarlo, lo cual es la base logarítmica e . log 2 10 = ln 10 ln 2 Aplique la fórmula de cambio de base utilizando la base e . ≈ 3,3219 Utilice la calculadora para evaluar a 4 decimales . Ejercicio Evalúe log 5 ( 100 ) con la fórmula de cambio de base. ln 100 ln 5 ≈ 4,6051 1,6094 = 2,861 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las leyes de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos Expandir expresiones logarítmicas Evaluar una expresión logarítmica natural Ecuaciones clave La regla del producto para los logaritmos log b ( M N ) = log b ( M ) + log b ( N ) La regla del cociente para los logaritmos log b ( M N ) = log b M − log b N La regla de la potencia para los logaritmos log b ( M n ) = n log b M La fórmula de cambio de base log b M = log n M log n b n > 0 , n ≠ 1 , b ≠ 1 Conceptos clave Podemos utilizar la regla del producto de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un producto como la suma de logaritmos. Vea el . Podemos utilizar la regla del cociente de los logaritmos para reescribir el logaritmo de un cociente como la diferencia de logaritmos. Vea el . Podemos utilizar la regla de la potencia para los logaritmos con el objeto de reescribir el logaritmo de una potencia como el producto del exponente y el logaritmo de su base. Vea el , el y el . Podemos utilizar la regla del producto, la regla del cociente y la regla de la potencia juntas para combinar o expandir un logaritmo con una entrada compleja. Vea el , el y el . Las reglas de los logaritmos también se pueden utilizar para condensar sumas, diferencias y productos con la misma base como un solo logaritmo. Vea el , el , el y el . Podemos convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base mediante la fórmula de cambio de base. Vea el . La fórmula de cambio de base se utiliza a menudo para reescribir un logaritmo con una base distinta de 10 y e como el cociente de los logaritmos naturales o comunes. De esta manera se puede utilizar la calculadora para evaluar. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo ayuda la regla de la potencia a la hora de resolver logaritmos de la forma log b ( x n ) ? Cualquier expresión de la raíz puede reescribirse como una expresión con un exponente racional para poder aplicar la regla de la potencia, lo que facilita el cálculo del logaritmo. Así, log b ( x 1 n ) = 1 n log b ( x ) . ¿Qué hace la fórmula de cambio de base? ¿Por qué es útil cuando se utiliza la calculadora? Algebraicos En los siguientes ejercicios, expanda cada logaritmo lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos. log b ( 7 x ⋅ 2 y ) log b ( 2 ) + log b ( 7 ) + log b ( x ) + log b ( y ) ln ( 3 a b ⋅ 5 c ) log b ( 13 17 ) log b ( 13 ) - log b ( 17 ) log 4 ( x c w ) ln ( 1 4 k ) - k dentro ( 4 ) log 2 ( y x ) En los siguientes ejercicios, condense a un solo logaritmo si es posible. ln ( 7 ) + ln ( x ) + ln ( y ) ln ( 7 x y ) log 3 ( 2 ) + log 3 ( a ) + log 3 ( 11 ) + log 3 ( b ) log b ( 28 ) - log b ( 7 ) log b ( 4 ) ln ( a ) - ln ( d ) - ln ( c ) − log b ( 1 7 ) log b ( 7 ) 1 3 ln ( 8 ) En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para expandir cada uno lo máximo posible. Reescriba cada expresión como suma, diferencia o producto de logaritmos. log ( x 15 y 13 c 19 ) 15 log ( x ) + 13 log ( y ) − 19 log ( z ) ln ( a −2 b -4 c 5 ) log ( x 3 y - 4 ) 3 2 log ( x ) - 2 log ( y ) ln ( y y 1 - y ) log ( x 2 y 3 x 2 y 5 3 ) 8 3 log ( x ) + 14 3 log ( y ) En los siguientes ejercicios, condense cada expresión a un solo logaritmo utilizando las propiedades de los logaritmos. log ( 2 x 4 ) + log ( 3 x 5 ) ln ( 6 x 9 ) - ln ( 3 x 2 ) ln ( 2 x 7 ) 2 log ( x ) + 3 log ( x + 1 ) log ( x ) - 1 2 log ( y ) + 3 log ( z ) log ( x c 3 y ) 4 log 7 ( c ) + log 7 ( a ) 3 + log 7 ( b ) 3 En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión como un cociente equivalente de logaritmos con la base indicada. log 7 ( 15 ) a la base e log 7 ( 15 ) = ln ( 15 ) ln ( 7 ) log 14 ( 55,875 ) a la base 10 En los siguientes ejercicios, supongamos log 5 ( 6 ) = a y log 5 ( 11 ) = b . Utilice la fórmula de cambio de base junto con las propiedades de los logaritmos para reescribir cada expresión en términos de a y b . Muestre los pasos para resolver. log 11 ( 5 ) log 11 ( 5 ) = log 5 ( 5 ) log 5 ( 11 ) = 1 b log 6 ( 55 ) log 11 ( 6 11 ) log 11 ( 6 11 ) = log 5 ( 6 11 ) log 5 ( 11 ) = log 5 ( 6 ) - log 5 ( 11 ) log 5 ( 11 ) = a - b b = a b - 1 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para evaluar sin usar la calculadora. log 3 ( 1 9 ) - 3 log 3 ( 3 ) 6 log 8 ( 2 ) + log 8 ( 64 ) 3 log 8 ( 4 ) 3 2 log 9 ( 3 ) - 4 log 9 ( 3 ) + log 9 ( 1 729 ) En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base para evaluar cada expresión como cociente de logaritmos naturales. Utilice la calculadora para aproximar cada uno de ellos a cinco decimales. log 3 ( 22 ) 2,81359 log 8 ( 65 ) log 6 ( 5,38 ) 0,93913 log 4 ( 15 2 ) log 1 2 ( 4,7 ) − 2,23266 Extensiones Utilice la regla del producto de los logaritmos para hallar todos los valores de x tales que log 12 ( 2 x + 6 ) + log 12 ( x + 2 ) = 2. Muestre los pasos para resolver. Utilice la regla del cociente para los logaritmos con el fin de hallar todos los valores de x tales que log 6 ( x + 2 ) - log 6 ( x - 3 ) = 1. Muestre los pasos para resolver. x = 4 ; Por la regla del cociente: log 6 ( x + 2 ) - log 6 ( x - 3 ) = log 6 ( x + 2 x - 3 ) = 1. Reescribiendo como una ecuación exponencial y resolviendo para x : 6 1 = x + 2 x - 3 0 = x + 2 x - 3 - 6 0 = x + 2 x - 3 - 6 ( x - 3 ) ( x - 3 ) 0 = x + 2 - 6 x + 18 x - 3 0 = x - 4 x - 3 ​ x = 4 Al comprobar, hallamos que log 6 ( 4 + 2 ) - log 6 ( 4 - 3 ) = log 6 ( 6 ) - log 6 ( 1 ) está definido, por lo que x = 4. ¿La propiedad de la potencia de los logaritmos puede derivarse de la propiedad de la potencia de los exponentes mediante la ecuación b x = m ? Si no es así, explique por qué. Si es así, indique la derivación. Compruebe que log b ( n ) = 1 log n ( b ) para cualquier número entero positivo b > 1 y n > 1. Supongamos que b y n son enteros positivos mayores que 1. Entonces, por la fórmula de cambio de base, log b ( n ) = log n ( n ) log n ( b ) = 1 log n ( b ) . ¿Existe log 81 ( 2401 ) = log 3 ( 7 ) ? Verifique la afirmación algebraicamente. fórmula de cambio de base fórmula para convertir un logaritmo con cualquier base en un cociente de logaritmos con cualquier otra base. regla de la potencia para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de su base regla del producto para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de un producto es igual a una suma de logaritmos regla del cociente para los logaritmos regla que establece que el logaritmo de un cociente es igual a una diferencia de logaritmos", "section": "Propiedades logarítmicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Objetivos de aprendizaje Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2) Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4) Objetivo 1: Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2) Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial a x se denominan ecuaciones exponenciales . Hay dos tipos de ecuaciones exponenciales: las que tienen la base común en cada lado y las que no tienen base común. Tipo 1 : Posible base común en cada lado: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado con una base común. Utilice la propiedad base-exponente para igualar los exponentes y resolver para x. Propiedad del exponente base Para cualquier a > 0 , a ≠ 1 , si a x = a y entonces x = y Tipo 2 : No hay base común posible: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado en términos de una expresión exponencial. Tome el logaritmo o ln de cada lado y utilice la regla de la potencia para bajar la potencia. Resuelva la ecuación restante para x. Propiedad de la igualdad logarítmica: Para cualquier M > 0 , N > 0 , a > 0 , a n d a ≠ 1 Si log a M = log b N entonces M = N . Resolver ecuaciones exponenciales. Resuelva: 3 2 x - 5 = 27 . ¿Hay aquí una base común? Sí, tanto 3 como 27 pueden reescribirse como potencias de 3. Escriba ambos lados de la ecuación con la misma base. 3 2 x 5 = 3 3 Ya que las bases son iguales, los exponentes deberán ser iguales. Escriba una nueva ecuación al igualar los exponentes. 2 x 5 = 3 Resuelva la ecuación. 2 x = 8 x = 4 Compruebe la solución al sustituir x=4 en la ecuación original. 3 2 ( 4 ) 5 = 27 27 = 27 , Verdadero Resuelva 3 e x + 2 = 24 . Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales. No es posible reescribir con una base común. Aísle la exponencial al dividir ambos lados entre 3. e x + 2 = 8 Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln e x + 2 = ln 8 Utilice la propiedad de la potencia para obtener la x como factor, no como exponente. ( x + 2 ) ln e = ln 8 Utilice la propiedad ln e = 1 para simplificar. x + 2 = ln 8 Resuelva la ecuación. Halle la respuesta exacta. x = ln 8 -2 Dé la respuesta aproximada. x = 0,079 Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. ¿Hay una base común? Aísle primero el término variable para determinarlo. Resuelva 2 ( 5 x ) = 12 . Aísle el término exponencial en un lado. Tome ln o log de cada lado. Utilice la propiedad de la potencia para obtener la x como factor, no como exponente. Resuelva para x. Dé una respuesta exacta y otra aproximada. Compruebe. Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva 2 3 x 4 = 8 x . ¿Hay aquí una base común? Sí, tanto 2 como 8 pueden reescribirse como potencias de 2. Reescriba cada lado con base 2 utilizando las propiedades de los exponentes. Iguale los exponentes, ya que las bases son iguales. Resuelva para x. Dé una respuesta exacta y otra aproximada. Compruebe. La práctica hace la perfección Resuelva. Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales. 4 2 x 3 = 1 16 5 ( 3 x ) = 20 Objetivo 2: Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4) Hay dos tipos de ecuaciones logarítmicas: las que tienen términos logarítmicos en un solo lado de la ecuación o las que tienen términos logarítmicos en cada lado de la ecuación. Ya que el dominio de las funciones logarítmicas consiste únicamente en números positivos, compruebe bien las soluciones. Tipo 1 : Términos logarítmicos en un lado de la ecuación: Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir un lado con un solo término logarítmico. Convierta a notación exponencial y resuelva para x. Si los valores de log a x = y entonces x = a y . Tipo 2 : Términos logarítmicos en ambos lados de la ecuación: En primer lugar, utilice las propiedades del logaritmo para reescribir cada lado en términos de una única expresión logarítmica, si es necesario. Utilice la propiedad biunívoca de la igualdad logarítmica para que los argumentos sean iguales entre sí. Resuelva la ecuación resultante para x. Propiedad biunívoca de las ecuaciones logarítmicas Para cualquier M > 0 , N > 0 , a > 0 , y a ≠ 1 es un número real cualquiera: Si log a M = log a N , entonces M = N . Resolver ecuaciones logarítmicas. Resuelva: log 2 ( 3 x 5 ) = 4 Reescriba en forma exponencial. 2 4 = 3 x 5 Simplifique. 16 = 3 x 5 Resuelva para x. x = 7 Compruebe. log 2 ( 3 ( 7 ) 5 ) = 4 4 = 4 , verdadero Resuelva log 4 ( x + 6 ) log 4 ( 2 x + 5 ) = log 4 x Utilice la propiedad de cociente en el lado izquierdo y la propiedad de potencia en el derecho. log 4 x + 6 2 x + 5 = log 4 x 1 Reescriba x -1 cuando 1 x . log 4 x + 6 2 x + 5 = log 4 1 x Utilice la propiedad biunívoca. x + 6 2 x + 5 = 1 x Resuelva la ecuación racional. x ( x + 6 ) = 2 x + 5 Distribuya y escriba en forma estándar. x 2 + 4 x 5 = 0 Factorice y resuelva para x. ( x + 5 ) ( x 1 ) = 0 , x = -5 , x = 1 Compruebe: x=-5 es una solución extraña porque 2 ( -5 ) + 5 < 0 por lo que x=1 es la única solución. Ejercicio Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva log ( x + 2 ) log 3 = 1 Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir el lado izquierdo como un único término logarítmico. Convierta en forma exponencial. Resuelva para x. Compruebe. Ejercicio Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva log x + log ( x + 1 ) = 2 Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir el lado izquierdo como un único término logarítmico. Utilice la propiedad biunívoca. Resuelva la ecuación cuadrática. Compruebe. La práctica hace la perfección No olvide comprobar sus soluciones. log 3 x = 5 log 2 ( x + 1 ) + log 2 ( x 1 ) = 3 log ( x 2 ) log ( 4 x + 16 ) = log 1 x Conejos silvestres en Australia. La población de conejos creció tan rápidamente en Australia que el hecho se conoció como la \"plaga de conejos\" (créditos: Richard Taylor, Flickr) En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones. El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales. Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales b , S , y T , donde b > 0 , b ≠ 1 , b S = b T si y solo si S = T . En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita. Por ejemplo, considere la ecuación 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 . Para resolver x , utilizamos la propiedad de división de los exponentes con el objeto de reescribir el lado derecho, de manera que ambos lados tengan la base común, 3. A continuación, aplicamos la propiedad biunívoca de los exponentes al igualarlos y resolver para x : 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 1 Reescribir 3 como 3 1 . 3 4 x - 7 = 3 2 x – 1 Utilice la propiedad de división de los exponentes . 4 x - 7 = 2 x – 1 Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . 2 x = 6 Reste 2 x y sume 7 a ambos lados . x = 3 Divida entre 3 . Usar la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales para resolver ecuaciones exponenciales Para cualquier expresión algebraica S y T , y cualquier número real positivo b ≠ 1 , b S = b T si y solo si S = T Cómo Dada una ecuación exponencial con la forma b S = b T , donde S y T son expresiones algebraicas con una incógnita, resolver la incógnita. Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma b S = b T . Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver una ecuación exponencial con base común Resuelva 2 x – 1 = 2 2 x - 4 . 2 x – 1 = 2 2 x - 4 La base común es 2. x – 1 = 2 x - 4 Por la propiedad biunívoca los exponentes deberán ser iguales . x = 3 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 2 x = 5 3 x + 2 . x = - 2 Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base A veces la base común de una ecuación exponencial no es explícita. En estos casos, simplemente reescribimos los términos de la ecuación como potencias con base común y resolvemos con la propiedad biunívoca. Por ejemplo, considere la ecuación 256 = 4 x - 5 . Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como potencia de 2. Entonces aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad biunívoca, para resolver x : 256 = 4 x - 5 2 8 = ( 2 2 ) x - 5 Reescriba cada lado como potencia con base 2 . 2 8 = 2 2 x - 10 Utilice la propiedad biunívoca de los exponentes . 8 = 2 x - 10 Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . 18 = 2 x Sume 10 a ambos lados . x = 9 Divida entre 2 . Cómo Dada una ecuación exponencial con bases distintas, utilizar la propiedad biunívoca para resolverla. Reescriba cada lado de la ecuación como potencia con base común. Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma b S = b T . Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver ecuaciones al reescribirlas para que tengan una base común Resuelva 8 x + 2 = 16 x + 1 . 8 x + 2 = 16 x + 1 ( 2 3 ) x + 2 = ( 2 4 ) x + 1 Escriba 8 y 16 como potencias de 2. 2 3 x + 6 = 2 4 x + 4 Para tomar la potencia de una potencia, multiplique los exponentes . 3 x + 6 = 4 x + 4 Utilice la propiedad biunívoca para igualar los exponentes . x = 2 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 2 x = 25 3 x + 2 . x = - 1 Resolver ecuaciones al reescribir raíces con exponentes fraccionarios para que tengan una base común Resuelva 2 5 x = 2 . 2 5 x = 2 1 2 Escriba la raíz cuadrada de 2 como potencia de 2. x = 1 2 Utilice la propiedad biunívoca . x = 1 10 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 x = 5 . x = 1 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las ecuaciones exponenciales tienen solución? Si no es así, ¿cómo podemos saber si hay una solución durante la resolución de problemas? No. Recordemos que el rango de una función exponencial es siempre positivo. Al resolver la ecuación, podemos obtener una expresión indefinida. Resolver una ecuación con potencias positivas y negativas Resuelva 3 x + 1 = –2. Esta ecuación no tiene solución. No hay ningún valor real de x que haga que la ecuación sea un enunciado verdadero porque cualquier potencia de un número positivo es positiva. Análisis La muestra que los dos gráficos no se cruzan, por lo que el lado izquierdo nunca es igual al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Ejercicio Resuelva 2 x = −100. La ecuación no tiene solución. Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que log ( a ) = log ( b ) equivale a a = b , podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial. Cómo Dada una ecuación exponencial en la que no se halla ninguna base común, resolver la incógnita. Aplique el logaritmo de ambos lados de la ecuación. Si uno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo común. Si ninguno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo natural. Utilice las reglas de los logaritmos para resolver la incógnita. Resolver una ecuación que contiene potencias de diferentes bases Resuelva 5 x + 2 = 4 x . 5 x + 2 = 4 x No hay una manera fácil de hacer que las potencias tengan la misma base . ln 5 x + 2 = ln 4 x Tome el ln de ambos lados . ( x + 2 ) ln 5 = x ln 4 Utilice las leyes de los logaritmos . x ln 5 + 2 ln 5 = x ln 4 Utilice la ley distributiva . x ln 5 - x ln 4 = - 2 ln 5 Obtenga términos que contengan x por un lado y términos sin x por el otro lado . x ( ln 5 − ln 4 ) = - 2 ln 5 En el lado izquierdo, saque un factor común x . x ln ( 5 4 ) = ln ( 1 25 ) Utilice las leyes de los logaritmos. x = ln ( 1 25 ) ln ( 5 4 ) Divida entre el coeficiente de x . Ejercicio Resuelva 2 x = 3 x + 1 . x = ln 3 ln ( 2 3 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay alguna manera de resolver 2 x = 3 x ? Sí. La solución es 0 . Ecuaciones que contienen e Un tipo común de ecuaciones exponenciales son las de base e . Esta constante se repite una y otra vez en la naturaleza, en las matemáticas, en la ciencia, en la ingeniería y en las finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base e en cualquier lado, podemos utilizar el logaritmo natural para resolverla. Cómo Dada una ecuación de la forma y = A e k t , resolver para t . Divida ambos lados de la ecuación entre A . Aplique el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Divida ambos lados de la ecuación entre k . Resolver una ecuación de la forma y = Ae kt Resuelva 100 = 20 e 2 t . 100 = 20 e 2 t 5 = e 2 t Divida entre el coeficiente de la potencia. ln 5 = 2 t Tome el ln de ambos lados . Utilice el hecho de que ln ( x ) y e x son funciones inversas . t = ln 5 2 Divida entre el coeficiente de t . Análisis Con las leyes de los logaritmos también podemos escribir esta respuesta en la forma t = ln 5 . Si queremos una aproximación decimal de la respuesta, utilizamos una calculadora. Ejercicio Resuelva 3 e 0,5 t = 11. t = 2 ln ( 11 3 ) o ln ( 11 3 ) 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Cualquier ecuación de la forma y = A e k t tiene una solución? No. Hay solución cuando k ≠ 0 , y cuando y y A son ambos 0 o ninguno, y tienen el mismo signo. Un ejemplo de ecuación con esta forma que no tiene solución es 2 = −3 e t . Resolver una ecuación que puede simplificarse a la forma y = Ae kt Resuelva 4 e 2 x + 5 = 12. 4 e 2 x + 5 = 12 4 e 2 x = 7 Combine términos similares . e 2 x = 7 4 Divida entre el coeficiente de la potencia . 2 x = ln ( 7 4 ) Tome el ln de ambos lados . x = 1 2 ln ( 7 4 ) Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 3 + e 2 t = 7 e 2 t . t = ln ( 1 2 ) = - 1 2 ln ( 2 ) Soluciones extrañas A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña , que es una solución correcta desde el punto de vista algebraico pero que no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de estas situaciones surge al resolver cuando se toma el logaritmo en ambos lados de la ecuación. En estos casos, recuerde que el argumento del logaritmo deberá ser positivo. Si el número que evaluamos en una función de logaritmo es negativo, no hay salida. Resolver funciones exponenciales en forma cuadrática Resuelva e 2 x - e x = 56. e 2 x - e x = 56 e 2 x - e x − 56 = 0 Iguale a cero un lado de la ecuación . ( e x + 7 ) ( e x - 8 ) = 0 Factorice por el método FOIL . e x + 7 = 0 o e x - 8 = 0 Si el producto es cero, entonces el factor uno deberá ser cero . e x = - 7 o e x = 8 Aísle los exponenciales . e x = 8 Rechace la ecuación en la que la potencia equivalga a un número negativo . x = ln 8 Resuelva la ecuación en la que la potencia equivalga a un número positivo . Análisis Cuando planeamos utilizar la factorización para resolver un problema, siempre llevamos a cero un lado de la ecuación, porque el cero tiene la propiedad única de que, cuando un producto es cero, uno o ambos factores deberán ser cero. Rechazamos la ecuación e x = −7 porque un número positivo nunca equivale a un número negativo. La solución ln ( −7 ) no es un número real y, en el sistema de números reales, esto se rechaza por ser una solución extraña. Ejercicio Resuelva e 2 x = e x + 2. x = ln 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las ecuaciones logarítmicas tienen solución? No. Tenga presente que solo podemos aplicar el logaritmo a un número positivo. Compruebe siempre si hay soluciones extrañas. Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica log b ( x ) = y es equivalente a la ecuación exponencial b y = x . Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica. Por ejemplo, considere la ecuación log 2 ( 2 ) + log 2 ( 3 x - 5 ) = 3. Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de logaritmos para resolver x : log 2 ( 2 ) + log 2 ( 3 x - 5 ) = 3 log 2 ( 2 ( 3 x - 5 ) ) = 3 Aplique la regla del producto para los logaritmos. log 2 ( 6 x - 10 ) = 3 Distribuya . 2 3 = 6 x - 10 Aplique la definición de logaritmo . 8 = 6 x - 10 Calcule 2 3 . 18 = 6 x Sume 10 a ambos lados . x = 3 Divida entre 6 . Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y los números reales b y c , donde b > 0 , b ≠ 1 , log b ( S ) = c si y solo si b c = S Usar el álgebra para resolver una ecuación logarítmica Resuelva 2 ln x + 3 = 7. 2 ln x + 3 = 7 2 ln x = 4 Reste 3 . ln x = 2 Divida entre 2 . x = e 2 Reescriba en forma exponencial . Ejercicio Resuelva 6 + ln x = 10. x = e 4 Usar el álgebra antes y después de emplear la definición del logaritmo natural Resuelva 2 ln ( 6 x ) = 7. 2 ln ( 6 x ) = 7 ln ( 6 x ) = 7 2 Divida entre 2 . 6 x = e ( 7 2 ) Utilice la definición de ln . x = 1 6 e ( 7 2 ) Divida entre 6 . Ejercicio Resuelva 2 ln ( x + 1 ) = 10. x = e 5 - 1 Usar un gráfico para entender la solución a una ecuación logarítmica Resuelva ln x = 3. ln x = 3 x = e 3 Utilice la definición del logaritmo natural . La representa el gráfico de la ecuación. En el gráfico, la coordenada de la x del punto de intersección de los dos gráficos es cercana a 20. En otras palabras e 3 ≈ 20. La calculadora da una mejor aproximación: e 3 ≈ 20,0855. Los gráficos de y = ln x como y = 3 se cruzan en el punto (e 3 , 3 ) , que es aproximadamente (20,0855, 3). Ejercicio Utilice una calculadora gráfica para estimar la solución aproximada de la ecuación logarítmica 2 x = 1.000 a 2 decimales. x ≈ 9,97 Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real x > 0 , S > 0 , T > 0 y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T . Por ejemplo, Si log 2 ( x – 1 ) = log 2 ( 8 ) , entonces x – 1 = 8. Por lo tanto, si x – 1 = 8 , entonces podemos resolver para x , y obtenemos x = 9. Para comprobarlo, podemos sustituir x = 9 en la ecuación original: log 2 ( 9 - 1 ) = log 2 ( 8 ) = 3. En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se da una ecuación con logaritmos de la misma base en cada lado, podemos utilizar las reglas de los logaritmos para reescribir cada lado como un único logaritmo. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones logarítmicas son biunívocas para igualar los argumentos y resolver la incógnita. Por ejemplo, considere la ecuación log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) . Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad biunívoca para resolver x : log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) log ( 3 x - 2 2 ) = log ( x + 4 ) Aplique la regla del cociente de logaritmos . 3 x - 2 2 = x + 4 Aplique la propiedad biunívoca de un logaritmo . 3 x - 2 = 2 x + 8 Multiplique ambos lados de la ecuación por 2. x = 10 Reste 2 x y sume 2 . Para comprobar el resultado, sustituya x = 10 en log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) . log ( 3 ( 10 ) - 2 ) - log ( 2 ) = log ( ( 10 ) + 4 ) log ( 28 ) - log ( 2 ) = log ( 14 ) log ( 28 2 ) = log ( 14 ) La solución comprueba . Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T Al momento de resolver una ecuación que implique logaritmos, compruebe siempre si la respuesta es correcta o si se trata de una solución extraña. Cómo Dada una ecuación que contiene logaritmos, resolverla con la propiedad biunívoca. Utilice las reglas de los logaritmos para combinar los términos semejantes, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma log b S = log b T . Utilice la propiedad biunívoca para igualar los argumentos. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver una ecuación con la propiedad biunívoca de los logaritmos Resuelva ln ( x 2 ) = ln ( 2 x + 3 ) . ln ( x 2 ) = ln ( 2 x + 3 ) x 2 = 2 x + 3 Utilice la propiedad biunívoca del logaritmo . x 2 - 2 x - 3 = 0 Lleve un lado a cero antes de la factorización . ( x - 3 ) ( x + 1 ) = 0 Factorice por medio de FOIL . x - 3 = 0 o x + 1 = 0 Si un producto es cero, uno de los factores deberá ser cero . x = 3 o x = - 1 Resuelva para x . Análisis Hay dos soluciones: 3 o −1. La solución −1 es negativa, aunque se comprueba cuando se sustituye en la ecuación original porque el argumento de las funciones logarítmicas sigue siendo positivo. Ejercicio Resuelva ln ( x 2 ) = ln 1. x = 1 o x = - 1 Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Una de estas aplicaciones se encuentra en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda en decaer la mitad del material inestable de la muestra de una sustancia radiactiva, lo que se denomina su semivida . La enumera la semivida de varias de las sustancias radiactivas más comunes. Sustancia Uso Semivida galio 67 medicina nuclear 80 horas cobalto 60 fabricación 5,3 años tecnecio 99m medicina nuclear 6 horas americio 241 construcción 432 años carbono 14 datación arqueológica 5.715 años uranio 235 energía atómica 703.800.000 años Podemos ver lo mucho que varían las semividas de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad que queda después de un tiempo determinado. Podemos emplear la fórmula para el decaimiento radiactivo: A ( t ) = A 0 e ln ( 0,5 ) T t A ( t ) = A 0 e ln ( 0,5 ) t T A ( t ) = A 0 ( e ln ( 0,5 ) ) t T A ( t ) = A 0 ( 1 2 ) t T donde A 0 es la cantidad inicial presente T es la semivida de la sustancia t es el tiempo en el que se estudia la sustancia A ( t ) es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo t Usar la fórmula del decaimiento radiactivo para hallar la cantidad de una sustancia ¿Cuánto tiempo tarda en decaer el diez por ciento de una muestra de 1.000 gramos de uranio 235? y = 1.000 e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t 900 = 1.000 e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t Después de un 10 % de decaimiento, quedan 900 gramos . 0,9 = e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t Divida entre 1.000 . ln ( 0,9 ) = ln ( e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t ) Tome el ln de ambos lados . ln ( 0,9 ) = ln ( 0,5 ) 703.800.000 t ln ( e M ) = M t = 703.800.000 × ln ( 0,9 ) ln ( 0,5 ) años Resuelva para t . t ≈ 106.979.777 años Análisis El diez por ciento de 1.000 gramos son 100 gramos. Si 100 gramos decaen, la cantidad de uranio-235 que queda es de 900 gramos. Ejercicio ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el veinte por ciento de nuestra muestra de 1.000 gramos de uranio-235 decaiga? t = 703 , 800 , 000 × ln ( 0,8 ) ln ( 0,5 ) años ≈ 226 , 572 , 993 años . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Resolver ecuaciones logarítmicas Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos Ecuaciones clave Propiedad biunívoca de las funciones exponenciales Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b S = b T si y solo si S = T . Definición de logaritmo Para cualquier expresión algebraica S y números reales positivos b y c , donde b ≠ 1 , log b ( S ) = c si y solo si b c = S . Propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T . Conceptos clave Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases se muestran explícitamente iguales, igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el . Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases no se muestran explícitamente iguales, reescribimos cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el , el y el . Cuando una ecuación exponencial no pueda reescribirse con una base común, resuélvela al tomar el logaritmo de cada lado. Vea el . Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base e , al aplicar el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Vea el y el . Después de resolver una ecuación exponencial, compruebe cada solución en la ecuación original para detectar y eliminar cualquier solución extraña. Vea el . Cuando se da una ecuación de la forma log b ( S ) = c , donde S es una expresión algebraica, podemos utilizar la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como la ecuación exponencial equivalente b c = S , y resolver la incógnita. Vea el y el . También podemos utilizar la representación gráfica para resolver ecuaciones con la forma log b ( S ) = c . Graficamos ambas ecuaciones y = log b ( S ) y de y = c en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor de x del punto de intersección. Vea el . Cuando se da una ecuación de la forma log b S = log b T , donde S y T son expresiones algebraicas, podemos utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver la ecuación S = T para la incógnita. Vea el . Al combinar las habilidades aprendidas en esta sección y en las anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial? Determine primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden igualarse. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base, entonces aplique el logaritmo a cada lado y utilice las propiedades de los logaritmos para resolver. ¿Cuándo se produce una solución extraña? ¿Cómo se reconoce una solución extraña? ¿Cuándo se puede utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver una ecuación? ¿Cuándo no se puede utilizar? La propiedad biunívoca se utiliza si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad biunívoca no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice bases semejantes para resolver la ecuación exponencial. 4 - 3 v - 2 = 4 − v 64 ⋅ 4 3 x = 16 x = - 1 3 3 2 x + 1 ⋅ 3 x = 243 2 - 3 n ⋅ 1 4 = 2 n + 2 n = - 1 625 ⋅ 5 3 x + 3 = 125 36 3 b 36 2 b = 216 2 - b b = 6 5 ( 1 64 ) 3 n ⋅ 8 = 2 6 En los siguientes ejercicios, utilice logaritmos para resolver. 9 x - 10 = 1 x = 10 2 e 6 x = 13 e r + 10 – 10 = -42 No hay solución 2 ⋅ 10 9 a = 29 − 8 ⋅ 10 p + 7 − 7 = −24 p = log ( 17 8 ) - 7 7 e 3 n - 5 + 5 = -89 e - 3 k + 6 = 44 k = - ln ( 38 ) 3 - 5 e 9 x - 8 − 8 = –62 − 6 e 9 x + 8 + 2 = -74 x = ln ( 38 3 ) - 8 9 2 x + 1 = 5 2 x – 1 e 2 x - e x − 132 = 0 x = ln 12 7 e 8 x + 8 − 5 = –95 10 e 8 x + 3 + 2 = 8 x = ln ( 3 5 ) - 3 8 4 e 3 x + 3 - 7 = 53 8 e - 5 x - 2 - 4 = −90 no hay solución 3 2 x + 1 = 7 x - 2 e 2 x - e x - 6 = 0 x = ln ( 3 ) 3 e 3 - 3 x + 6 = −31 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como exponencial. log ( 1 100 ) = –2 10 - 2 = 1 100 log 324 ( 18 ) = 1 2 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para resolver la ecuación. 5 log 7 n = 10 n = 49 − 8 log 9 x = 16 4 + log 2 ( 9 k ) = 2 k = 1 36 2 log ( 8 n + 4 ) + 6 = 10 10 – 4 ln ( 9 − 8 x ) = 6 x = 9 − e 8 En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver. ln ( 10 – 3 x ) = ln ( - 4 x ) log 13 ( 5 n – 2 ) = log 13 ( 8 − 5 n ) n = 1 log ( x + 3 ) - log ( x ) = log ( 74 ) ln ( - 3 x ) = ln ( x 2 - 6 x ) No hay solución log 4 ( 6 − m ) = log 4 3 m ln ( x - 2 ) - ln ( x ) = ln ( 54 ) No hay solución log 9 ( 2 n 2 − 14 n ) = log 9 ( − 45 + n 2 ) ln ( x 2 - 10 ) + ln ( 9 ) = ln ( 10 ) x = ± 10 3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para x . log ( x + 12 ) = log ( x ) + log ( 12 ) ln ( x ) + ln ( x - 3 ) = ln ( 7 x ) x = 10 log 2 ( 7 x + 6 ) = 3 ln ( 7 ) + ln ( 2 - 4 x 2 ) = ln ( 14 ) x = 0 log 8 ( x + 6 ) - log 8 ( x ) = log 8 ( 58 ) ln ( 3 ) - ln ( 3 - 3 x ) = ln ( 4 ) x = 3 4 log 3 ( 3 x ) - log 3 ( 6 ) = log 3 ( 77 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación para x , si hay una solución . A continuación, grafique ambos lados de la ecuación y preste atención al punto de intersección (si existe) para verificar la solución. log 9 ( x ) - 5 = –4 x = 9 log 3 ( x ) + 3 = 2 ln ( 3 x ) = 2 x = e 2 3 ≈ 2,5 ln ( x - 5 ) = 1 log ( 4 ) + log ( - 5 x ) = 2 x = - 5 − 7 + log 3 ( 4 - x ) = −6 ln ( 4 x - 10 ) - 6 = - 5 x = e + 10 4 ≈ 3,2 log ( 4 – 2 x ) = log ( - 4 x ) log 11 ( – 2 x 2 - 7 x ) = log 11 ( x - 2 ) No hay solución ln ( 2 x + 9 ) = ln ( - 5 x ) log 9 ( 3 - x ) = log 9 ( 4 x - 8 ) x = 11 5 ≈ 2,2 log ( x 2 + 13 ) = log ( 7 x + 3 ) 3 log 2 ( 10 ) - log ( x - 9 ) = log ( 44 ) x = 101 11 ≈ 9,2 ln ( x ) - ln ( x + 3 ) = ln ( 6 ) En los siguientes ejercicios, resuelva el valor indicado y grafique la situación mostrando el punto de solución. Una cuenta con un depósito inicial de 6.500 dólares gana 7,25 % de interés anual, compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 20 años? aproximadamente $ 27 . 710,24 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un avión a reacción con una intensidad sonora de 8,3 ⋅ 10 2 vatios por metro cuadrado? La población de una pequeña ciudad se modela mediante la ecuación P = 1650 e 0,5 t donde t se mide en años. ¿En cuántos años aproximadamente la población de la ciudad alcanzará los 20.000 habitantes? unos 5 años En tecnología En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación al reescribir la expresión exponencial con el logaritmo indicado. A continuación, utilice la calculadora para estimar la variable a 3 decimales. 1.000 ( 1,03 ) t = 5.000 utilizando el logaritmo común. e 5 x = 17 utilizando el logaritmo natural ln ( 17 ) 5 ≈ 0,567 3 ( 1,04 ) 3 t = 8 utilizando el logaritmo común 3 4 x - 5 = 38 utilizando el logaritmo común x = log ( 38 ) + 5 log ( 3 ) 4 log ( 3 ) ≈ 2,078 50 e − 0,12 t = 10 utilizando el logaritmo natural En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver la ecuación. A menos que se indique lo contrario, redondee todas las respuestas a la diezmilésima más cercana. 7 e 3 x - 5 + 7,9 = 47 x ≈ 2,2401 ln ( 3 ) + ln ( 4,4 x + 6,8 ) = 2 log ( − 0,7 x - 9 ) = 1 + 5 log ( 5 ) x ≈ − 44655 , 7143 La presión atmosférica P en libras por pulgada cuadrada se representa con la fórmula P = 14,7 e − 0,21 x , donde x es el número de millas sobre el nivel del mar. Al pie más cercano, ¿qué altura tiene el pico de una montaña con una presión atmosférica de 8,369 libras por pulgada cuadrada? (Pista : una milla equivale a 5.280 pies). La magnitud M de un terremoto se representa mediante la ecuación M = 2 3 log ( E E 0 ) donde E es la cantidad de energía liberada por el terremoto en julios y E 0 = 10 4,4 es la medida mínima asignada liberada por un terremoto. A la centésima más cercana, ¿cuál sería la magnitud de un terremoto que libera 1,4 ⋅ 10 13 julios de energía? aproximadamente 5,83 Extensiones Utilice la definición de logaritmo junto con la propiedad biunívoca de los logaritmos para demostrar que b log b x = x . Recordemos la fórmula del interés continuamente compuesto, y = A e k t . Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t de manera que t es igual a un solo logaritmo. t = ln ( ( y A ) 1 k ) Recordemos la fórmula del interés compuesto A = a ( 1 + r k ) k t . Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t . La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura T de un objeto en cualquier momento t puede describirse mediante la ecuación T = T s + ( T 0 − T s ) e - k t , donde T s es la temperatura del entorno, T 0 es la temperatura inicial del objeto, y k es la velocidad de enfriamiento. Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t de manera que t es igual a un solo logaritmo. t = ln ( ( T - T s T 0 − T s ) - 1 k ) solución extraña solución que se introduce al resolver una ecuación y que no satisface las condiciones de la ecuación original", "section": "Ecuaciones exponenciales y logarítmicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Modelos exponenciales y logarítmicos Objetivos de aprendizaje Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3) Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5) Objetivo 1: Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3) Vocabulario Complete los espacios en blanco. La función exponencial es la función de la forma f ( x ) = _________, donde a > _________. La función exponencial natural es aquella cuya base es _________. Este número irracional_________ es aproximadamente igual a _________. Usar modelos exponenciales Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si tiene una cuenta de ahorros, habrá experimentado el uso de una función exponencial. Hay dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo de la cuenta cuando se devengan los intereses. Si se invierte un capital, P , a un tipo de interés, r , durante t años, el nuevo saldo, A , dependerá de la frecuencia con que se capitalicen los intereses. Interés compuesto Para un capital, P , invertido a una tasa de interés, r , durante t años, el nuevo saldo, A , es: A = P ( 1 + r n ) n t cuando se capitaliza n veces al año. A = P e r t cuando se capitaliza de forma continua. Un total de $ 10.000 se invirtió en un fondo universitario para un nieto. Ⓐ Si el tipo de interés es 5 % , ¿cuánto habrá en la cuenta dentro de 18 años con cada método de capitalización? Ⓑ calculado trimestralmente Ⓒ calculado mensualmente Ⓓ calculado continuamente Ⓐ A = ? Identifique los valores de cada variable en las fórmulas. P = $ 10.000 Recuerde expresar el porcentaje en decimales. r = 0,05 t = 18 años Ⓑ Para la capitalización trimestral, n = 4 . Hay 4 trimestres en un año. A = P ( 1 + r n ) n e Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 ( 1 + 0,05 4 ) 4 · 18 Calcule el monto. Tenga en cuenta el orden de las operaciones al introducir la expresión en la calculadora. A = $ 24.459,20 Ⓒ Para la capitalización mensual, n = 12 . Hay 12 meses en un año. A = P ( 1 + r n ) n e Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 ( 1 + 0,05 12 ) 12 · 18 Calcule el monto. A = $ 24.550,08 Ⓓ Para la capitalización de forma continua, A = P e r t Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 e 0,05 · 18 Calcule el monto. A = $ 24.596,03 Crecimiento y decaimiento exponencial Otros temas que se modelan mediante funciones exponenciales son el crecimiento y el decaimiento. Ambos utilizan también la fórmula A = P e r t que empleamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y el decaimiento, generalmente utilizamos A 0 , como la cantidad original en lugar de llamarla P , el capital. Vemos que el crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y el decaimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa. Crecimiento y decaimiento exponencial Por un importe original, A 0 , que crece o decae a una tasa, r , durante un tiempo determinado, t , el importe final, A , es: A = A 0 e r t Chris es un investigador en el Centro de Control y Prevención de Enfermedades que trata de entender el comportamiento de un virus nuevo y peligroso. Comienza su experimento con 100 del virus que crece a una tasa de 25 % por hora. Comprobará el virus en 24 horas. ¿Cuántos virus encontrará? Identifique los valores de cada variable en las fórmulas. A = ? Coloque el porcentaje en forma decimal. A 0 = 100 Verifique que las unidades coincidan: la tasa es por hora y el tiempo está en horas. r = 0,25 /hora t = 24 horas Sustituya los valores en la fórmula: A = A 0 e r t . A = 100 e 0,25 · 24 Calcule el monto. A = 40.342,88 Redondee al virus entero más cercano. A = 40.343 El investigador encontrará 40.343 virus. La práctica hace la perfección Ángela invirtió $ 15.000 en una cuenta de ahorros. Si el tipo de interés es 4 % , ¿cuánto habrá en la cuenta dentro de 10 años con cada método de capitalización? Ⓐ calculado trimestralmente Ⓑ calculado mensualmente Ⓒ calculado continuamente Otra investigadora en el Centro de Control y Prevención de Enfermedades, Lisa, estudia el crecimiento de una bacteria. Comienza su experimento con 50 de las bacterias que crecen a una tasa de 15 % por hora. Comprobará las bacterias cada 8 horas. ¿Cuántas bacterias encontrará en 8 horas? Objetivo 2: Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5) Vocabulario Complete los espacios en blanco. Una función logarítmica es la función de la forma f ( x ) = ________, donde a > ________, x > ________, y a ≠ ________. La función logarítmica f ( x ) = l n x se denomina ________ y tiene una base ________. Nivel de decibelios del sonido Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de decibelios (dB) del sonido. Los decibelios oscilan entre 0, que apenas es audible, y 160, que puede romper un tímpano. El 10-12 de la fórmula representa la intensidad del sonido apenas audible. El nivel de sonoridad, D , medido en decibelios, de un sonido de intensidad, I , medido en vatios por pulgada cuadrada es D = 10 log ( I 10 −12 ) Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. La exposición prolongada a un ruido de 85 dB puede causar daños permanentes en el oído interno, lo que provocará la pérdida de la audición. ¿Cuál es el nivel de decibelios de la música que entra por los auriculares con intensidad 10 -2 vatios por pulgada cuadrada? Sustituya el nivel de intensidad, I. D = 10 log ( 10 2 10 12 ) Simplifique. D = 10 log ( 10 10 ) Dado que log 10 10 = 10 D = 10 × 10 Multiplique. D = 100 La magnitud R de un terremoto se mide mediante una escala logarítmica, denominada escala de Richter. El modelo es R = log I , donde I es la intensidad de la onda de choque. Este modelo mide la intensidad de los terremotos . Intensidad del terremoto La magnitud R de un terremoto se mide por R = log I , donde I es la intensidad de su onda de choque. En 1906, San Francisco sufrió un intenso terremoto con una magnitud de 7,8 en la escala de Richter. Más del 80 % de la ciudad fue destruida por los incendios resultantes. En 2014, Los Ángeles sufrió un terremoto moderado de 5,1 grados en la escala de Richter que causó daños por un valor de 108 millones de dólares. Compare las intensidades de los dos terremotos. Para comparar las intensidades, primero tenemos que convertir las magnitudes en intensidades mediante la fórmula logarítmica. A continuación, estableceremos un cociente para comparar las intensidades. Convierta las magnitudes en intensidades. R = log I Terremoto de 1906 7,8 = log I Convierta en forma exponencial. I = 10 7,8 Terremoto de 2014 5,1 = log I Convierta en forma exponencial. I = 10 5,1 Forme un cociente de las intensidades. Intensidad para 1906 Intensidad para 2014 Sustituya los valores. 10 7,8 10 5,1 Divida al restar los exponentes. 10 2,7 Evalúe. 501 Respuesta: La intensidad del terremoto de 1906 fue aproximadamente 501 veces superior a la del terremoto de 2014. La práctica hace la perfección Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. ¿Cuál es el nivel de decibelios de uno de los nuevos lavavajillas silenciosos con intensidad 10 −7 vatios por pulgada cuadrada? En 1906, San Francisco sufrió un intenso terremoto con una magnitud de 7,8 en la escala de Richter. En 1989, el terremoto de Loma Prieta también afectó la zona de San Francisco y fue de 6,9 grados en la escala de Richter. Compare las intensidades de los dos terremotos. Reactor de investigación nuclear dentro del Centro de Investigación Nuclear Neely en el campus del Instituto de Tecnología de Georgia (créditos: Instituto de Investigación de Georgia Tech). Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, profundizamos en algunas aplicaciones importantes, incluso los isótopos radiactivos y la ley de enfriamiento de Newton. Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial: y = A 0 e k t donde A 0 es igual al valor en el tiempo cero, e es la constante de Euler, y k es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en las aplicaciones que implican el tiempo de duplicación , el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como la fauna, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial. Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial . De nuevo, tenemos la forma y = A 0 e k t donde A 0 es el valor inicial, y e es la constante de Euler. Ahora k es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la semivida , o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la semivida en las aplicaciones relacionadas con los isótopos radiactivos. A la hora de elegir una función que sirva de modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recogidos mediante una cuidadosa observación y medición para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer su forma. Los gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial tienen una forma distintiva, como podemos ver en la y la . Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje x , en realidad están a una distancia mínima por encima del eje x . Gráfico que muestra el crecimiento exponencial. La ecuación es y = 2 e 3 x . Gráfico que muestra el decaimiento exponencial. La ecuación es y = 3 e − 2 x . El crecimiento y el decaimiento exponencial suelen implicar números muy grandes o muy pequeños. Para describir estas cifras, solemos utilizar órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Próxima Centauri , medida en kilómetros, es de 40.113.497.200.000 kilómetros. Expresado en notación científica, esto es 4,01134972 × 10 13 . Así, podríamos describir esta cifra como de orden de magnitud 10 13 . Características de la función exponencial, y = A 0 e k t Una función exponencial con la forma y = A 0 e k t tiene las siguientes características: función biunívoca asíntota horizontal: y = 0 dominio: ( – ∞ , ∞ ) rango: ( 0 , ∞ ) intersección en x: ninguna intersección en y: ( 0 , A 0 ) creciente si k > 0 (vea la ) decreciente si k < 0 (vea la ) Una función exponencial modela el crecimiento exponencial cuando k > 0 y el decaimiento exponencial cuando k < 0 . Graficar el crecimiento exponencial Una población de bacterias se duplica cada hora. Si el cultivo comenzó con 10 bacterias, grafique la población en función del tiempo. Cuando una cantidad crece a un porcentaje fijo por unidad de tiempo, el crecimiento es exponencial. Para hallar A 0 utilizamos el hecho de que A 0 es la cantidad en el tiempo cero, por lo que A 0 = 10. Para hallar k , considere el hecho de que después de una hora ( t = 1 ) la población se duplica de 10 con 20. La fórmula se deriva como sigue 20 = 10 e k ⋅ 1 2 = e k Divida entre 10 ln 2 = k Tome el logaritmo natural por lo que k = ln ( 2 ) . Así, la ecuación que queremos graficar es y = 10 e ( ln 2 ) t = 10 ( e ln 2 ) t = 10 · 2 t . El gráfico se muestra en la . El gráfico de y = 10 e ( ln 2 ) t Análisis La población de bacterias después de diez horas es de 10.240. Podríamos decir que esta cantidad es del orden de magnitud 10 4 . La población de bacterias después de veinte horas es de 10.485.760, que es del orden de magnitud 10 7 , por lo que podríamos decir que la población ha aumentado en tres órdenes de magnitud en diez horas. Semivida Ahora pasemos al decaimiento exponencial . Uno de los términos más comunes que se asocian al decaimiento exponencial, como ya se ha indicado arriba, es la semivida , el tiempo que tarda una cantidad que decae exponencialmente en disminuir hasta la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una semivida, y el proceso que describe el decaimiento exponencial de un isótopo se denomina decaimiento radiactivo. Para hallar la semivida de una función que describe el decaimiento exponencial, resuelva la siguiente ecuación: 1 2 A 0 = A i e k t Vemos que la semivida depende solo de la constante k y no en la cantidad inicial A 0 . La fórmula se deriva de la siguiente manera 1 2 A 0 = A i e k t 1 2 = e k t Divida entre A 0 . ln ( 1 2 ) = k t Tome el logaritmo natural . − ln ( 2 ) = k t Aplique las leyes de los logaritmos . − ln ( 2 ) k = t Divida entre k . Dado que t , el tiempo, es positivo, k debe, como es de esperar, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la semivida t = - ln ( 2 ) k Cómo Dada la semivida, calcule la tasa de decaimiento. Escriba A = A i e k t . Sustituya A entre 1 2 A 0 y reemplace t por la semivida dada. Resuelva para hallar k . Exprese k como valor exacto (no redondee). Nota: También es posible hallar la tasa de decaimiento con k = - ln ( 2 ) t . Hallar la función que describe el decaimiento radiactivo La semivida del carbono 14 es de 5.730 años. Exprese la cantidad restante de carbono 14 en función del tiempo, t . Esta fórmula se deriva de la siguiente manera. A = A 0 e k t La fórmula del crecimiento continuo . 0,5 A 0 = A 0 e k ⋅ 5.730 Sustituya la semivida por t y 0,5 A 0 para f ( t ) . 0,5 = e 5.730 k Divida entre A 0 . ln ( 0,5 ) = 5.730 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 0,5 ) 5.730 Divida entre el coeficiente de k . A = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t Sustituya por r en la fórmula de crecimiento continuo . La función que describe este decaimiento continuo es f ( t ) = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t . Observamos que el coeficiente de t , ln ( 0,5 ) 5.730 ≈ − 1,2097 × 10 -4 es negativo, como es de esperar en el caso del decaimiento exponencial. Ejercicio La semivida del plutonio-244 es de 80.000.000 de años. Halle una función que dé la cantidad restante de plutonio-244 en función del tiempo, medido en años. f ( t ) = A 0 e − 0,0000000087 t Datación por radiocarbono La fórmula del decaimiento radiactivo es importante en la datación por radiocarbono , que se utiliza para calcular la fecha aproximada de la muerte de una planta o de un animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, que ganó el Premio Nobel por su descubrimiento. Compare la diferencia entre el cociente de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de alrededor del 1 % de error para las plantas o animales que murieron en los últimos 60.000 años. El carbono 14 es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una semivida de 5.730 años. Se encuentra en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono del aire que respiramos. La mayor parte del carbono de la Tierra es carbono 12, que tiene un peso atómico de 12 y no es radiactivo. Los científicos han determinado el cociente entre el carbono 14 y el carbono 12 en el aire durante los últimos 60.000 años, mediante el empleo de anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la relación ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos. Mientras una planta o un animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos del carbono en su cuerpo se acerca a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 de su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en una muestra en descomposición con la proporción conocida en la atmósfera, se puede calcular aproximadamente la fecha en que murió la planta o el animal. Dado que la semivida del carbono 14 es de 5.730 años, la fórmula para la cantidad restante después de t años es A ≈ A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t donde A es la cantidad restante de carbono 14 A 0 es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal comenzó a descomponerse. Esta fórmula se deriva de la siguiente manera: A = A 0 e k t La fórmula del crecimiento continuo . 0,5 A 0 = A 0 e k ⋅ 5.730 Sustituya la semivida por t y 0,5 A 0 para f ( t ) . 0,5 = e 5.730 k Divida entre A 0 . ln ( 0,5 ) = 5.730 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 0,5 ) 5.730 Divida entre el coeficiente de k . A = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t Sustituya por k en la fórmula de crecimiento continuo . Para calcular la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para t : t = ln ( A A 0 ) − 0,000121 Por necesidad, dejamos de lado aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al realizar la datación por carbono 14, y solo nos fijamos en la fórmula básica. La proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en la atmósfera es de aproximadamente 0,0000000001%. Supongamos que r es la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en el artefacto orgánico o fósil sujeto a la datación, determinada por un método que recibe el nombre de centelleo líquido. A partir de la ecuación A ≈ A 0 e − 0,000121 t sabemos que la relación entre el porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos datando y la cantidad inicial de carbono-14 en el objeto cuando se formó es r = A A 0 ≈ e − 0,000121 t . Resolvemos esta ecuación para t , para obtener t = ln ( r ) − 0,000121 Cómo Dado el porcentaje de carbono 14 en un objeto, determine su edad. Exprese el porcentaje dado de carbono 14 como un decimal equivalente, k . Sustituya k en la ecuación t = ln ( r ) − 0,000121 y resuelva para la edad, t . Calcular la edad de un hueso Se encuentra un fragmento de hueso que contiene el 20 % de su carbono 14 original. Con una aproximación de un año, ¿cuál es la edad del hueso? Sustituimos 20 % = 0,20 por r en la ecuación y resuelva para t : t = ln ( r ) − 0,000121 Utilice la forma general de la ecuación . = ln ( 0,20 ) − 0,000121 Sustituya por r . ≈ 13301 Redondee al año más cercano . El fragmento de hueso tiene unos 13.301 años de antigüedad. Análisis Los instrumentos que miden el porcentaje de carbono 14 son extremadamente sensibles y, como mencionamos anteriormente, un científico tendrá que hacer mucho más trabajo del que hicimos para estar satisfecho. Aun así, la datación por carbono solo tiene una precisión del 1 %, por lo que esta edad debería darse como 13.301 años ± 1 % o 13.301 años ± 133 años . Ejercicio El cesio 137 tiene una semivida de aproximadamente 30 años. Si empezamos con 200 mg de cesio 137, ¿tardaremos más o menos de 230 años hasta que solo quede un miligramo? menos de 230 años, 229,3157 para ser exactos Calcular el tiempo de duplicación Para las cantidades en decaimiento, determinamos el tiempo que tarda en decaer la mitad de una sustancia. En el caso de las cantidades crecientes, es posible que queramos averiguar el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Como ya lo hemos mencionado, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse recibe el nombre de tiempo de duplicación . Dada la ecuación básica de crecimiento exponencial A = A 0 e k t , el tiempo de duplicación se puede calcular al resolver para cuando la cantidad original se ha duplicado, es decir, al resolver 2 A 0 = A 0 e k t . La fórmula se deriva de la siguiente manera: 2 A 0 = A 0 e k t 2 = e k t Divida entre A 0 . ln 2 = k t Tome el logaritmo natural . t = ln 2 k Divida entre el coeficiente de t . Así, el tiempo de duplicación es t = ln 2 k Hallar una función que describa el crecimiento exponencial Según la ley de Moore, el tiempo de duplicación del número de transistores que se pueden poner en un chip de computadora es de aproximadamente dos años. Dé una función que describa este comportamiento. La fórmula se deriva de la siguiente manera: t = ln 2 k La fórmula del tiempo de duplicación . 2 = ln 2 k Utilice un tiempo de duplicación de dos años . k = ln 2 2 Multiplique por k y divida entre 2 . A = A 0 e ln 2 2 t Sustituya k en la fórmula de crecimiento continuo . La función es A 0 e ln 2 2 t . Ejercicio Datos recientes sugieren que, a partir de 2013, la tasa de crecimiento que se prevé en la ley de Moore ya no se mantiene. El crecimiento se ha ralentizado hasta un tiempo de duplicación de aproximadamente tres años. Halle la nueva función que tenga en cuenta ese mayor tiempo de duplicación. f ( t ) = A 0 e ln 2 3 t Utilizar la ley de enfriamiento de Newton El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial . Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton , la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente T ( t ) = a e k t + T s Esta fórmula se deriva de la siguiente manera: T ( t ) = A b c t + T s T ( t ) = A e ln ( b c t ) + T s Leyes de los logaritmos . T ( t ) = A e c t ln b + T s Leyes de los logaritmos . T ( t ) = A e k t + T s Redefina la constante c ln b , al llamarla k . Ley de enfriamiento de Newton La temperatura de un objeto, T , en el aire circundante con la temperatura T s se comportará según la fórmula T ( t ) = A e k t + T s donde t es el tiempo A es la diferencia entre la temperatura inicial del objeto y la del entorno k es una constante, la tasa continua de enfriamiento del objeto Cómo Dada una serie de condiciones, aplicar la ley de enfriamiento de Newton. Establezca T s igual a la coordenada de la y de la asíntota horizontal (normalmente la temperatura ambiente). Sustituya los valores dados en la fórmula de crecimiento continuo T ( t ) = A e k t + T s para hallar los parámetros A y k . Sustituya el tiempo deseado para hallar la temperatura o la temperatura deseada y así calcular el tiempo. Utilizar la ley de enfriamiento de Newton Una tarta de queso se saca del horno a una temperatura interna ideal de 165 °F, y se coloca en un refrigerador a 35 °F . Después de 10 minutos, la tarta de queso se ha enfriado a 150 °F . Si hay que esperar a que la tarta de queso se enfríe a 70 °F antes de comerla, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar? Puesto que la temperatura del aire circundante en el refrigerador es de 35 grados, la temperatura de la tarta de queso decaerá exponencialmente hacia 35, siguiendo la ecuación T ( t ) = A e k t + 35 Sabemos que la temperatura inicial era de 165 grados, por lo que T ( 0 ) = 1 6 5 . 165 = A e k 0 + 35 Sustituya ( 0 , 165 ) . A = 130 Resuelva para A . Nos dieron otro dato, T ( 1 0 ) = 1 5 0 , que podemos utilizar para resolver k . 150 = 130 e k 10 + 35 Sustituya (10, 150) . 115 = 130 e k 10 Reste 35 . 115 130 = e 10 k Divida entre 130 . ln ( 115 130 ) = 10 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 115 130 ) 10 ≈ − 0,0123 Divida entre el coeficiente de k . Esto nos da la ecuación para el enfriamiento de la tarta de queso T ( t ) = 1 3 0 e – 0 . 0 1 2 3 t + 3 5 . Ahora podemos resolver el tiempo que tardará la temperatura en enfriarse hasta los 70 grados. 70 = 130 e − 0,0123 t + 35 Sustituya en 70 para T ( t ) . 35 = 130 e − 0,0123 t Reste 35 . 35 130 = e − 0,0123 t Divida entre 130 . ln ( 35 130 ) = − 0,0123 t Tome el logaritmo natural de ambos lados t = ln ( 35 130 ) − 0,0123 ≈ 106,68 Divida entre el coeficiente de t . La tarta de queso tardará unos 107 minutos, o una hora y 47 minutos, en enfriarse hasta 70 °F . Ejercicio Se coloca una jarra de agua a 40 grados Fahrenheit en una habitación a 70 grados. Una hora después, la temperatura ha subido a 45 grados. ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura en subir a 60 grados? 6,026 horas Uso de modelos de crecimiento logístico El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial , aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite. El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que la producción se acerca al límite superior del modelo, denominada capacidad de carga . Para las constantes a, b, y c, el crecimiento logístico de una población en el tiempo t viene representado por el modelo f ( t ) = c 1 + a e - b t El gráfico en la muestra la evolución de la tasa de crecimiento con el paso del tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento aumenta únicamente hasta que alcanza su punto máximo, momento en el que disminuye. Crecimiento logístico El modelo de crecimiento logístico es f ( t ) = c 1 + a e - b t donde c 1 + a es el valor inicial c es la capacidad de carga o valor límite b es una constante determinada por la tasa de crecimiento. Usar el modelo de crecimiento logístico Una epidemia de gripe se extiende rápidamente por una población, a un ritmo que depende de dos factores: Cuantas más personas tengan la gripe, más rápidamente se propagará, y también cuantas más personas no contagiadas haya, más rápidamente se propagará. Estos dos factores hacen que el modelo logístico sea apropiado para estudiar la propagación de las enfermedades transmisibles. Evidentemente, hay un valor máximo para el número de personas contagiadas: toda la población. Por ejemplo, en el tiempo t = 0 hay una persona en una comunidad de 1.000 habitantes que tiene la gripe. Por lo tanto, en esa comunidad, como máximo 1.000 personas pueden tener la gripe. Los investigadores detectan que, en esta cepa particular de la gripe, la constante de crecimiento logístico es b = 0,6030. Calcule el número de personas de esta comunidad que habrán tenido la gripe después de diez días. Pronostique cuántas personas de esta comunidad habrán tenido la gripe después de un largo tiempo. Sustituimos los datos dados en el modelo de crecimiento logístico f ( t ) = c 1 + a e - b t Dado que como máximo 1.000 personas, toda la población de la comunidad, pueden contraer la gripe, sabemos que el valor límite es c = 1.000. Para hallar a , utilizamos la fórmula de que el número de casos en el tiempo t = 0 es c 1 + a = 1 , de lo que se deduce que a = 999. Este modelo predice que, después de diez días, el número de personas que han tenido la gripe es f ( t ) = 1.000 1 + 999 e − 0,6030 x ≈ 293,8. Puesto que el número real deberá ser un número entero (una persona ha tenido la gripe o no), redondeamos a 294. A largo plazo, el número de personas que contraerán la gripe es el valor límite, c = 1.000. Análisis Recuerde que, al tratarse de un virus, no podemos predecir con certeza el número de personas contagiadas. El modelo únicamente es un aproximado del número de personas contagiadas y no nos dará valores exactos o reales. El gráfico en la ofrece una buena imagen de cómo este modelo se ajusta a los datos. El gráfico de f ( t ) = 1.000 1 + 999 e − 0,6030 x Ejercicio Con el modelo que se muestra en el , calcule el número de casos de gripe en el día 15. 895 casos en el día 15 Elegir un modelo adecuado para los datos Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015. Tres tipos de funciones que suelen ser útiles en los modelos matemáticos son las lineales, las exponenciales y las logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen encontrarse aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal sería lo mejor. Si los datos no son lineales, se suele considerar un modelo exponencial o logarítmico, aunque también se pueden considerar otros modelos, como los cuadráticos. Al momento de elegir entre un modelo exponencial y uno logarítmico, nos fijamos en la forma en que se curvan los datos. Esto se denomina concavidad. Si trazamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran por encima de esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar que es un cuenco que se dobla hacia abajo y que, por tanto, no puede retener el agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos están por debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un cuenco que se dobla hacia arriba y que, por ende, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente el crecimiento o el decaimiento, siempre es cóncava hacia arriba y se aleja de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre es cóncava respecto a su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el más común, la curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba, a la vez que la curva logarítmica siempre es cóncava hacia abajo. Una curva logística cambia la concavidad. Comienza por ser cóncava hacia arriba y luego pasa a ser cóncava hacia abajo, más allá de un punto determinado, denominado punto de inflexión. Después de usar el gráfico para elegir un tipo de función como modelo, sustituimos los puntos y resolvemos para hallar los parámetros. Reducimos el error de redondeo al elegir puntos lo más alejados posible. Elegir un modelo matemático ¿Es un modelo lineal, exponencial, logarítmico o logístico el que mejor se ajusta a los valores indicados en la ? Halle el modelo y utilice un gráfico para comprobar su elección. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1,386 2,197 2,773 3,219 3,584 3,892 4,159 4,394 En primer lugar, represente los datos en un gráfico como en la . A los efectos del gráfico, redondee los datos a dos decimales. Obviamente, los puntos no se encuentran en una línea recta, por lo que rechazamos el modelo lineal. Si trazamos una línea entre dos puntos cualesquiera, la mayoría o todos los puntos entre esos dos se sitúan por encima de la línea, por lo que el gráfico es cóncavo hacia abajo, lo que sugiere un modelo logarítmico. Podemos intentar y = a ln ( b x ) . Al conectar el primer punto, ( 1.0 ) , da como resultado 0 = a ln b . Rechazamos el caso de que a = 0 (si lo fuera, todas las salidas serían 0), por lo que sabemos ln ( b ) = 0 . Así que b = 1 y y = a ln ( x ) . A continuación, podemos utilizar el punto ( 9.4 ,394 ) para resolver para a : y = a ln ( x ) 4,394 = a ln ( 9 ) a = 4,394 ln ( 9 ) Dado que a = 4,394 ln ( 9 ) ≈ 2 , un modelo apropiado para los datos es y = 2 ln ( x ) . Para comprobar la exactitud del modelo, graficamos la función junto con los puntos dados como en la . El gráfico de y = 2 ln x . Podemos concluir que el modelo se ajusta bien a los datos. Compare la con el gráfico de y = ln ( x 2 ) se muestra en la . El gráfico de y = ln ( x 2 ) Los gráficos parecen ser idénticos cuando x > 0 . Una rápida comprobación confirma esta conclusión: y = ln ( x 2 ) = 2 ln ( x ) para x > 0 . Sin embargo, si x < 0 , el gráfico de y = ln ( x 2 ) incluye una rama \"extra\", como se muestra en la . Esto ocurre porque, mientras y = 2 ln ( x ) no puede tener valores negativos en el dominio (ya que tales valores forzarían a que el argumento fuera negativo), la función y = ln ( x 2 ) puede tener valores de dominio negativos. Ejercicio ¿Se ajusta mejor a los datos un modelo lineal, exponencial o logarítmico en la ? Determine el modelo. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,297 5,437 8,963 14,778 24,365 40,172 66,231 109,196 180,034 Exponencial y = 2 e 0,5 x . Expresar un modelo exponencial con base e Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son 10 y e . En ciencia y matemáticas, la base e se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base e . Cómo Dado un modelo con la forma y = a b x , cambiarlo a la forma y = A 0 e k x . Reescriba y = a b x cuando y = a e ln ( b x ) . Utilice la regla de la potencia de los logaritmos para reescribir y como y = a e x ln ( b ) = a e ln ( b ) x . Tenga en cuenta que a = A 0 y k = ln ( b ) en la ecuación y = A 0 e k x . Cambiar a la base e Cambie la función y = 2,5 ( 3,1 ) x para que esta misma función se escriba en la forma y = A 0 e k x . La fórmula se deriva de la siguiente manera y = 2,5 ( 3,1 ) x = 2,5 e ln ( 3,1 x ) Inserte exponencial y su inversa . = 2,5 e x ln 3,1 Leyes de logaritmos . = 2,5 e ( ln 3,1 ) x Ley conmutativa de la multiplicación Ejercicio Cambie la función y = 3 ( 0,5 ) x a una que tenga e como base. y = 3 e ( ln 0,5 ) x Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los modelos exponenciales y logarítmicos. Aplicación del logaritmo - pH Modelo exponencial - Edad con semivida Ley de enfriamiento de Newton Crecimiento exponencial dado el tiempo de duplicación Crecimiento exponencial - Hallar la cantidad inicial dado el tiempo de duplicación Ecuaciones clave Fórmula de semivida Si los valores de A = A 0 e k t , k < 0 , la semivida es t = - ln ( 2 ) k . Datación por carbono 14 t = ln ( A A 0 ) − 0,000121 . A 0 es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal murió A es la cantidad de carbono 14 que queda en la actualidad t es la edad del fósil en años Fórmula del tiempo de duplicación Si los valores de A = A 0 e k t , k > 0 , el tiempo de duplicación es t = ln 2 k Ley de enfriamiento de Newton T ( t ) = A e k t + T s , donde T s es la temperatura ambiente, A = T ( 0 ) - T s , y k es la tasa continua de enfriamiento. Conceptos clave La función exponencial básica es f ( x ) = a b x . Si b > 1 , tenemos un crecimiento exponencial; si 0 < b < 1 , tenemos un decaimiento exponencial. También podemos escribir esta fórmula en términos de crecimiento continuo como A = A 0 e k x , donde A 0 es el valor inicial. Si los valores de A 0 es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial cuando k > 0 y el decaimiento exponencial cuando k < 0 . Vea el . En general, resolvemos los problemas que implican crecimiento o decaimiento exponencial en dos pasos. En primer lugar, establecemos un modelo y lo utilizamos para calcular los parámetros. A continuación, utilizamos la fórmula con estos parámetros para predecir el crecimiento y el decaimiento. Vea el . Podemos calcular la edad, t , de un artefacto orgánico al medir la cantidad, k , de carbono 14 que queda en el artefacto y utilizar la fórmula t = ln ( k ) − 0,000121 para resolver para t . Vea el . Dado el tiempo de duplicación o el tiempo medio de una sustancia, podemos hallar una función que represente su crecimiento o decaimiento exponencial. Vea el . Podemos utilizar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un objeto en enfriarse hasta alcanzar una temperatura deseada, o para calcular qué temperatura tendrá un objeto después de un tiempo determinado. Vea el . Podemos utilizar las funciones de crecimiento logístico para modelar situaciones del mundo real en las que la tasa de crecimiento cambia con el tiempo, como el crecimiento demográfico, la propagación de enfermedades y la difusión de rumores. Vea el . Podemos utilizar los datos del mundo real, recabados a lo largo del tiempo, para observar las tendencias. El conocimiento de los gráficos lineales, exponenciales, logarítmicos y logísticos permite elaborar los modelos que mejor se ajusten a nuestros datos. Vea el . Cualquier función exponencial con la forma y = a b x puede reescribirse como una función exponencial equivalente con la forma y = A 0 e k x donde k = ln b . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Con qué tipo de modelo exponencial se asociaría la semivida ? ¿Qué papel desempeña la semivida en estos modelos? La semivida es una medida del decaimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de decaimiento exponencial. La semivida de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda en decaer la mitad de dicha substancia o cantidad inicial. ¿Qué es la datación por carbono? ¿Por qué funciona? Dé un ejemplo en el que la datación por carbono sea útil. ¿A qué tipo de modelo exponencial se asociaría el tiempo de duplicación ? ¿Qué papel desempeña el tiempo de duplicación en estos modelos? El tiempo de duplicación es una medida de crecimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de crecimiento exponencial. El tiempo de duplicación de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda dicha sustancia o cantidad inicial en duplicarse. Defina la ley de enfriamiento de Newton. A continuación, nombre al menos tres situaciones del mundo real en las que se aplicaría la ley de enfriamiento de Newton. ¿Qué es un orden de magnitud? ¿Por qué son útiles los órdenes de magnitud? Explique con un ejemplo. Un orden de magnitud es la potencia de diez más cercana en la que crece exponencialmente una cantidad. También es una posición aproximada en una escala logarítmica; respuesta de muestra: Los órdenes de magnitud son útiles cuando se hacen comparaciones entre números que difieren en gran medida. Por ejemplo, la masa de Saturno es 95 veces mayor que la de la Tierra. Esto es lo mismo que decir que la masa de Saturno es de aproximadamente 10 2 veces, es decir, 2 órdenes de magnitud mayor que la masa de la Tierra. Numéricos La temperatura de un objeto en grados Fahrenheit después de t minutos se representa mediante la ecuación T ( t ) = 68 e − 0,0174 t + 72. Al grado más cercano ¿cuál es la temperatura del objeto al cabo de una hora y media? En los siguientes ejercicios, utilice el modelo de crecimiento logístico f ( x ) = 150 1 + 8 e − 2 x . Halle e interprete f ( 0 ) . Redondee a la décima más cercana. f ( 0 ) ≈ 16,7 . La cantidad presente inicialmente es de unas 16,7 unidades. Halle e interprete f ( 4 ) . Redondee a la décima más cercana. Halle la capacidad de carga. 150 Grafique el modelo. Determine si los datos de la tabla pueden representarse mejor como una función lineal, exponencial o logarítmica. A continuación, escriba una fórmula para un modelo que represente los datos. x f ( x ) -2 0,694 -1 0,833 0 1 1 1,2 2 1,44 3 1,728 4 2,074 5 2,488 exponencial; f ( x ) = 1,2 x Reescriba f ( x ) = 1,68 ( 0,65 ) x como una ecuación exponencial con base e con cinco decimales. En tecnología En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla pueden representar una función lineal, exponencial o logarítmica. x f ( x ) 1 2 2 4,079 3 5,296 4 6,159 5 6,828 6 7,375 7 7,838 8 8,238 9 8,592 10 8,908 logarítmico x f ( x ) 1 2,4 2 2,88 3 3,456 4 4,147 5 4,977 6 5,972 7 7,166 8 8,6 9 10,32 10 12,383 x f ( x ) 4 9,429 5 9,972 6 10,415 7 10,79 8 11,115 9 11,401 10 11,657 11 11,889 12 12,101 13 12,295 logarítmico x f ( x ) 1,25 5,75 2,25 8,75 3,56 12,68 4,2 14,6 5,65 18,95 6,75 22,25 7,25 23,75 8,6 27,8 9,25 29,75 10,5 33,5 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica y este escenario: la población de una piscifactoría en t años se modela mediante la ecuación P ( t ) = 1.000 1 + 9 e − 0,6 t . Grafique la función. ¿Cuál es la población inicial de peces? ¿Cuál es el tiempo de duplicación de la población de peces, redondeado a la décima más cercana? alrededor de 1,4 años Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de peces después de 2 años? A la décima más cercana, ¿cuánto tiempo tardará la población en alcanzar 900 ? alrededor de 7,3 años ¿Cuál es la capacidad de carga de la población de peces? Justifique su respuesta con el gráfico de P . Extensiones Una sustancia tiene una semivida de 2,045 minutos. Si la cantidad inicial de la sustancia era de 132,8 gramos, ¿cuántas semividas habrán transcurrido antes de que la sustancia decaiga a 8,3 gramos? ¿Cuál es el tiempo total de decaimiento? 4 semividas; 8,18 minutos La fórmula para una población creciente viene dada por P ( t ) = P 0 e r t donde P 0 es la población inicial y r > 0 . Deduzca una fórmula general para el tiempo t que tarda la población en aumentar en un factor M . Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, M = 2 3 log ( S S 0 ) . Muestre cada paso para resolver esta ecuación algebraicamente para el momento sísmico S . M = 2 3 log ( S S 0 ) log ( S S 0 ) = 3 2 M S S 0 = 10 3 M 2 S = S 0 10 3 M 2 ¿Cuál es la intersección en y del modelo de crecimiento logístico y = c 1 + a e - r x ? Muestre los pasos para el cálculo. ¿Qué nos indica este punto acerca de la población? Compruebe que b x = e x ln ( b ) para los positivos b ≠ 1. Supongamos que y = b x para algún número real no negativo b de manera que b ≠ 1. Entonces, ln ( y ) = ln ( b x ) ln ( y ) = x ln ( b ) e ln ( y ) = e x ln ( b ) y = e x ln ( b ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 125 miligramos de un fármaco que decae aproximadamente 30 % cada hora. ¿Cuál es la semivida del fármaco, aproximada a una hora? Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de t horas. A continuación, utilice la fórmula para hallar la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 3 horas. Redondee al miligramo más cercano. A = 125 e ( − 0,3567 t ) ; A ≈ 43 mg Con el modelo encontrado en el ejercicio anterior, calcule f ( 10 ) e interprete el resultado. Redondee a la centésima más cercana. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se inyectan a un tumor 0,5 gramos de yodo 125, que tiene una tasa de decaimiento de 1,15 % por día. Con una aproximación de un día, ¿cuánto tiempo tardará la mitad del yodo 125 en decaer? aproximadamente 60 días Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de yodo 125 que queda en el tumor después de t días. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de yodo 125 que quedaría en el tumor después de 60 días. Redondee a la décima de gramo más cercana. Un científico comienza con 250 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 250 minutos, la muestra ha decaído hasta 32 gramos. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada al minuto más cercano? A ( t ) = 250 e ( − 0,00822 t ) ; semivida: aproximadamente 84 minutos La semivida del radio 226 es 1.590 años. ¿Cuál es la tasa anual de decaimiento? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales. La semivida del erbio 165 es 10 ,4 horas. ¿Cuál es la tasa de decaimiento por hora? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales. r ≈ − 0,0667 , Por lo tanto, la tasa de decaimiento por hora es de aproximadamente 6,67 % Un artefacto de madera procedente de una excavación arqueológica contiene el 60 % del carbono 14 presente en los árboles vivos. Con una aproximación de un año, ¿cuántos años tiene el artefacto? (La semivida del carbono-14 es 5.730 años). Un estudiante de investigación trabaja con un cultivo de bacterias que duplica su tamaño cada veinte minutos. El recuento inicial de la población era 1.350 bacterias. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al número entero más cercano, ¿cuál es el tamaño de la población después de 3 horas? f ( t ) = 1.350 e ( 0,03466 t ) ; después de 3 horas P ( 180 ) ≈ 691 , 200 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un biólogo registró un recuento de 360 bacterias presentes en un cultivo después de 5 minutos y 1.000 bacterias presentes después de 20 minutos. Al número entero más cercano, ¿cuál era la población inicial en el cultivo? Redondeando a seis decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardó la población en duplicarse? f ( t ) = 256 e ( 0,068110 t ) ; tiempo de duplicación: aproximadamente 10 minutos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una olla de sopa caliente con una temperatura interna de 100 °F se sacó de la estufa para enfriar a 69 °F en una habitación. Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 95 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. Al minuto más cercano, ¿cuánto tardará la sopa en enfriarse a 80 °F? aproximadamente 88 minutos Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura después de 2 horas y media? En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un pavo se saca del horno con una temperatura interna de 165 °F y se deja enfriar a 75 °F en una habitación. Después de media hora, la temperatura interna del pavo es 145 °F . Escriba una fórmula que modele esta situación. T ( t ) = 90 e ( − 0,008377 t ) + 75 , donde t está en minutos. Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura a los 50 minutos? Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardará el pavo en enfriarse a 110 °F? aproximadamente 113 minutos En los siguientes ejercicios, halle el valor del número que aparece en cada escala logarítmica. Redondee todas las respuestas a la milésima más cercana. log ( x ) = 1,5 ; x ≈ 31,623 Trace cada conjunto de valores aproximados de intensidad de los sonidos en una escala logarítmica: Susurro: 10 – 10 W m 2 , Aspiradora: 10 – 4 W m 2 , Jet: 10 2 W m 2 Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, M = 2 3 log ( S S 0 ) . Un terremoto tiene una magnitud 3 . 9 en la escala MMS. Si un segundo terremoto tiene 75 0 veces más energía que el primero, calcule la magnitud del segundo terremoto. Redondee a la centésima más cercana. Magnitud de MMS 5,82 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación N ( t ) = 500 1 + 49 e − 0,7 t modela el número de personas de una ciudad que han escuchado un rumor al cabo de t días. ¿Cuántas personas iniciaron el rumor? Al número entero más cercano, ¿cuántas personas habrán escuchado el rumor después de 3 días? N ( 3 ) ≈ 71 Dado que t aumenta sin límite, ¿qué valor tiene el enfoque N ( t ) ? Interprete su respuesta. En el siguiente ejercicio, elija la opción correcta. Un médico inyecta a un paciente 13 miligramos de colorante radiactivo que decae exponencialmente. Después de 12 minutos, quedan 4,75 miligramos de tinte en el organismo del paciente. ¿Cuál es el modelo adecuado para esta situación? Ⓐ f ( t ) = 13 ( 0,0805 ) t Ⓑ f ( t ) = 13 e 0,9195 t Ⓒ f ( t ) = 13 e ( − 0,0839 t ) Ⓓ f ( t ) = 4,75 1 + 13 e − 0,83925 t C capacidad de carga en un modelo logístico, el valor límite de la salida tiempo de duplicación el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse semivida el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original modelo de crecimiento logístico una función de la forma f ( x ) = c 1 + a e - b x donde c 1 + a es el valor inicial, c es la capacidad de carga, o valor límite, y b es una constante determinada por la tasa de crecimiento Ley de enfriamiento de Newton la fórmula científica de la temperatura como función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala con la temperatura ambiente orden de magnitud la potencia de diez, cuando un número se expresa en notación científica, con una cifra distinta de cero a la izquierda del decimal", "section": "Modelos exponenciales y logarítmicos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ajustar modelos exponenciales a los datos Objetivos de aprendizaje Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1) Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4) Objetivo 1: Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1) Comprobación de vocabulario y conceptos Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Complete los espacios en blanco y haga coincidir la descripción con los gráficos a, b o c Una función ________ tiene la ecuación f x = m x + b y tiene una forma básica ________. Una función ________ tiene la ecuación f x = a x , a > 0 , a ≠ 1 y tiene una forma básica ________. Una función ________ tiene la ecuación f x = log a x , a > 0 , x > 0 y tiene una forma básica ________. Un diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados que indica una relación entre las variables de un conjunto de datos. Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Usar un diagrama de dispersión para investigar los chirridos de los grillos La tabla siguiente muestra el número de chirridos de grillos en 15 segundos, para varias temperaturas de aire diferentes, en grados Fahrenheit Datos seleccionados de http://classic.globe.gov/fsl/scientistsblog/2007/10/. Recuperado el 3 de agosto de 2010 . Trace estos datos y determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. Chirridos de grillos frente a la temperatura del aire Chirridos 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 Temperatura 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 El trazado de estos datos, como se representa a continuación, sugiere que puede haber una tendencia. Podemos ver en la tendencia de los datos que el número de chirridos aumenta a medida que aumenta la temperatura. La tendencia parece ser más o menos lineal, aunque ciertamente no es perfecta. La práctica hace la perfección Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1,5 2,2 2,8 3,5 3,6 3,9 4,3 4,4 Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,3 5,6 9,1 15,1 24,4 40,2 66,2 108,4 180,1 Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 y 3 5,5 7 10 12,1 14,9 Objetivo 2: Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4) Podemos hallar una función lineal que se ajuste a los datos del problema anterior al “meterle el ojo” a una línea que parezca ajustarse. Sin embargo, aunque la estimación de una línea funciona relativamente bien, la tecnología puede ayudarnos a encontrar una línea que se ajuste a los datos de la forma más perfecta posible. Esta línea se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados o modelo de regresión lineal . La línea de regresión es aquella que más se aproxima a los datos en el diagrama de dispersión, lo que significa que es el mejor ajuste para los datos. Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. Cómo Dados los datos de entrada y las correspondientes salidas de una función lineal, calcular la línea de mejor ajuste con la regresión lineal. Introduzca la entrada en la Lista 1 (L1). Introduzca la salida en la Lista 2 (L2). En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. Halle la línea de regresión lineal con los datos de los grillos en el ejemplo anterior de esta sección, y calcule la temperatura si hay 30 chirridos en 15 segundos. Introduzca la entrada (chirridos) en la Lista 1. Introduzca la salida (temperatura) en la Lista 2 L1 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 L2 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Mediante el empleo de los datos del chirrido del grillo, con la tecnología obtenemos la ecuación T(c)=30,281+1,143c Para hallar la temperatura para 30 chirridos en 15 segundos sustituimos 30 por x y calculamos T T ( 30 ) = 30 . 281 + 1 . 143 ( 30 ) = 64 . 571 ≈ 64 . 6 grados Se muestra el diagrama de dispersión con la línea de regresión de mejor ajuste. La práctica hace la perfección Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. El consumo de gasolina en Estados Unidos ha aumentado constantemente desde 1994 hasta 2004. Año 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 Consumo (miles de millones de galones) 113 116 118 119 123 125 126 128 131 133 136 Ⓐ Determine si la tendencia es lineal y, si es así, utilice su herramienta gráfica para hallar un modelo para los datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir el consumo en 2008. En el segundo problema de práctica, más arriba en esta sección, determinamos que los datos a continuación tienen una tendencia exponencial. Utilice su programa de gráficos para hallar el modelo exponencial que mejor se ajuste a los datos y escriba su modelo exponencial a continuación. (Pista: en lugar de elegir \"regresión lineal”, elija \"regresión exponencial”). x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,3 5,6 9,1 15,1 24,4 40,2 66,2 108,4 180,1 En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión , para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión , no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros. No se deje confundir por la palabra modelo . En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función , ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real. En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real. Construir un modelo exponencial a partir de datos Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial. Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma y = a b x o y = A 0 e k x . Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas, y = a b x . Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial y = a b x (suponiendo que a > 0 ) : b deberá ser mayor que cero y no igual a uno. El valor inicial del modelo es y = a . Si los valores de b > 1 , la función modela el crecimiento exponencial. Cuando x aumenta, las salidas del modelo aumentan lentamente al principio, pero luego aumentan cada vez más rápidamente, sin límite. Si los valores de 0 < b < 1 , la función modela el decaimiento exponencial . A medida que x aumenta, las salidas del modelo disminuyen rápidamente al principio y luego se nivelan para volverse asintóticas al eje x . En otras palabras, las salidas nunca son iguales o inferiores a cero. Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación , etiquetado por la variable r , o r 2 . (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la \"bondad de ajuste\" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de r 2 en vez de r , pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos. Regresión exponencial La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando \" ExpReg \" en una herramienta gráfica para ajustar una función exponencial a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma y = a b x Tenga en cuenta que: b deberá ser no negativo. cuando b > 1 , tenemos un modelo de crecimiento exponencial. cuando 0 < b < 1 , tenemos un modelo de decaimiento exponencial. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión exponencial con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón exponencial. Halle la ecuación que modela los datos. Seleccione \" ExpReg \" en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y = a b x . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión exponencial para ajustar un modelo a los datos En 2007 se publicó un estudio universitario en el que se investigaba el riesgo de colisión de la conducción bajo los efectos del alcohol. Se utilizaron datos de 2.871 accidentes para medir la asociación entre el nivel de alcoholemia (blood alcohol level, BAC) de una persona y el riesgo de sufrir un accidente. La muestra los resultados del estudio Fuente: Centro de Estudios de Derecho en Acción de la Universidad de Indiana, 2007 . El riesgo relativo es una medida de cuántas veces más probable es que una persona se estrelle. Así, por ejemplo, una persona con un nivel de alcoholemia de 0,09 tiene 3,54 veces más probabilidades de sufrir un accidente que una persona que no haya bebido alcohol. BAC 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 Riesgo relativo de colisión 1 1,03 1,06 1,38 2,09 3,54 BAC 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 Riesgo relativo de colisión 6,41 12,6 22,1 39,05 65,32 99,78 Supongamos que x representa el nivel de alcoholemia, mientras que y representa el riesgo relativo correspondiente. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos. Después de 6 tragos, una persona que pesa 160 libras tendrá un BAC de aproximadamente 0,16. ¿Cuántas veces es más probable que alguien con este peso se estrelle si conduce después de haber tomado 6 cervezas? Redondee a la centésima más cercana. En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, liste los valores de BAC en L1 y los valores de riesgo relativo en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga el patrón exponencial que se muestra en la : Utilice el comando \" ExpReg \" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo exponencial, y = 0,58304829 ( 2,20720213 E 10 ) x Si convertimos la notación científica, tenemos: y = 0,58304829 ( 22072021300 ) x Observe que r 2 ≈ 0,97 lo que indica que el modelo se ajusta bien a los datos. Para ver esto, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión con el objeto de verificar que se ajuste bien, como se muestra en la : Utilice el modelo para estimar el riesgo asociado a un nivel de alcoholemia de 0,16. Sustituya 0,16 por x en el modelo y resuelva para y . y = 0,58304829 ( 22072021300 ) x Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 0,58304829 ( 22072021300 ) 0,16 Sustituya 0 ,16 para x . ≈ 26 0,35 Redondee a la centésima más cercana . Si una persona de 160 libras conduce después de haber tomado 6 copas, tiene unas 26,35 veces más probabilidades de chocar que si conduce sobria. Ejercicio La muestra el saldo de la tarjeta de crédito de un recién graduado cada mes después de la graduación. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 Deuda ($) 620,00 761,88 899,80 1.039,93 1.270,63 1.589,04 1.851,31 2.154,92 Ⓐ Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, ¿cuál será la deuda de la tarjeta de crédito un año después de graduarse? Ⓐ El modelo de regresión exponencial que se ajusta a estos datos es y = 522,88585984 ( 1,19645256 ) x . Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, la deuda de la tarjeta de crédito del graduado será de 4.499,38 dólares al cabo de un año. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es razonable suponer que un modelo de regresión exponencial representará una situación indefinidamente? No. Recuerde que los modelos se forman con datos del mundo real recogidos para la regresión. Es razonable realizar estimaciones dentro del intervalo de observación original (interpolación). Sin embargo, cuando un modelo se utiliza para hacer predicciones, es importante utilizar la capacidad de razonamiento para determinar si el modelo tiene sentido para entradas mucho más allá del intervalo de observación original (extrapolación). Construir un modelo logarítmico a partir de datos Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor. Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas, y = a + b ln ( x ) . Para esta función Todos los valores de entrada, x , deberán ser mayor que cero. El punto ( 1 , a ) está en el gráfico del modelo. Si los valores de b > 0 , el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo. Si los valores de b < 0 , el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo. Regresión logarítmica La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando \"LnReg\" en una herramienta gráfica para ajustar una función logarítmica a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma y = a + b ln ( x ) Observe que todos los valores de entrada, x , deberán ser no negativos. cuando b > 0 , el modelo es creciente. cuando b < 0 , el modelo es decreciente. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logarítmica con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón logarítmico. Halle la ecuación que modela los datos. Seleccione \" LnReg \" en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y = a + b ln ( x ) . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión logarítmica para ajustar un modelo a los datos Gracias a los avances de la medicina y al aumento del nivel de vida, la esperanza de vida ha aumentado en la mayoría de los países desarrollados desde principios del siglo XX. La muestra el promedio de expectativa de vida, en años, de los estadounidenses entre 1900 y 2010 Fuente: Centro de Control y Prevención de Enfermedades, 2013 . Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Esperanza de vida (años) 47,3 50,0 54,1 59,7 62,9 68,2 Año 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Esperanza de vida (años) 69,7 70,8 73,7 75,4 76,8 78,7 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en décadas empezando por x = 1 para el año 1900, x = 2 para el año 1910, y así sucesivamente. Supongamos que y representa la correspondiente esperanza de vida. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir el promedio de esperanza de vida de los estadounidenses para el año 2030. Ⓐ En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años mediante el empleo de los valores 1-12 en L1 y la correspondiente esperanza de vida en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para comprobar que el diagrama de dispersión siga un patrón logarítmico, como se muestra en la : Utilice el comando \" LnReg \" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logarítmico, y = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( x ) A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien, como se muestra en la : Ⓑ Para predecir la esperanza de vida de un estadounidense en el año 2030, sustituya x = 14 para el en el modelo y resuelva para y : y = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( x ) Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( 14 ) Sustituya 14 por x . ≈ 79 0,1 Redondee a la décima más cercana. Si la esperanza de vida sigue aumentando a este ritmo, el promedio para un estadounidense será de 79,1 años en 2030. Ejercicio Las ventas de un videojuego lanzado en el año 2000 despegaron al principio, pero luego desaceleraron de forma constante con el paso del tiempo. La muestra el número de juegos vendidos, en miles, entre los años 2000 y 2010. Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Número de ventas (miles) 142 149 154 155 159 161 Año 2006 2007 2008 2009 2010 Número de ventas (miles) 163 164 164 166 167 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 1 para el año 2000. Supongamos que y representa el número de juegos vendidos en miles. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Si los juegos siguen vendiéndose a este ritmo, ¿cuántos se venderán en 2015? Redondee a la milésima más cercana. Ⓐ El modelo de regresión logarítmica que se ajusta a estos datos es y = 141,91242949 + 10,45366573 ln ( x ) Ⓑ Si las ventas continúan a este ritmo, se venderán unos 171.000 juegos en el año 2015. Construir un modelo logístico a partir de datos Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite . Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes. Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas: y = c 1 + a e - b x Recordemos que: c 1 + a es el valor inicial del modelo. cuando b > 0 , el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento, ( ln ( a ) b , c 2 ) . En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior y = c . c es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga , del modelo. Regresión logística La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante hasta un límite superior. Utilizamos el comando \"Logistic\" en una herramienta gráfica para ajustar la función logística a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma y = c 1 + a e - b x Observe que El valor inicial del modelo es c 1 + a . Los valores de salida del modelo se acercan cada vez más a y = c con el paso del tiempo. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logística con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón logístico. Halle la ecuación que modele los datos. Seleccione \" Logistic \" en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a , b , y c para registrar el modelo, y = c 1 + a e - b x . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión logística para ajustar un modelo a los datos El servicio de telefonía móvil ha aumentado rápidamente en Estados Unidos desde mediados de la década de 1990. Hoy en día, casi todos los residentes tienen servicio de telefonía móvil. La muestra el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil entre los años 1995 y 2012. Fuente: Banco Mundial, 2013 . Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) 1995 12,69 2004 62,852 1996 16,35 2005 68,63 1997 20,29 2006 76,64 1998 25,08 2007 82,47 1999 30,81 2008 85,68 2000 38,75 2009 89,14 2001 45,00 2010 91,86 2002 49,16 2011 95,28 2003 55,15 2012 98,17 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 0 para el año 1995. Supongamos que y representa el porcentaje correspondiente de residentes con servicio de telefonía móvil. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para calcular el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013. Redondee a la décima porcentual más cercana. Ⓒ Comente sobre el valor arrojado para el límite superior, c . ¿Qué le dice esto sobre el modelo? ¿Cuál sería el valor límite si el modelo fuera exacto? Ⓐ En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años con los valores 0-15 en L1 y el porcentaje correspondiente en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga un patrón logístico, como se muestra en la : Utilice el comando \" Logistic \" del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logístico, y = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 x A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que se muestra en el diagrama de dispersión en la para verificar que se ajuste bien: Ⓑ Para calcular aproximadamente el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013, sustituya x = 18 para el en el modelo y resuelva para y : y = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 x Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 ( 18 ) Sustituya 18 por x . ≈ 99 0,3 Redondee a la décima más cercana Según el modelo, alrededor del 99,3 % de los estadounidenses tenían servicio de telefonía móvil en 2013. Ⓒ El modelo da un valor límite de unos 105. Esto significa que el porcentaje máximo posible de estadounidenses con servicio de telefonía móvil sería del 105 %, lo cual es imposible. (¿Cómo es posible que más del 100 % de una población tenga servicio de telefonía móvil?). Si el modelo fuera exacto, el valor límite sería c = 100 y las salidas del modelo se acercarían mucho, pero nunca alcanzarían el 100 %. Al fin y al cabo, ¡siempre habrá alguien sin servicio de telefonía móvil! Ejercicio La muestra la población, en miles, de focas en el Mar de Wadden durante los años 1997 a 2012. Año Población de focas (miles) Año Población de focas (miles) 1997 3,493 2005 19,590 1998 5,282 2006 21,955 1999 6,357 2007 22,862 2000 9,201 2008 23,869 2001 11,224 2009 24,243 2002 12,964 2010 24,344 2003 16,226 2011 24,919 2004 18,137 2012 25,108 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 0 para el año 1997. Supongamos que y representa el número de focas en miles. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir la población de focas para el año 2020. Ⓒ ¿Cuál es el valor límite de este modelo, redondeado al número entero más cercano? Ⓐ El modelo de regresión logística que se ajusta a estos datos es y = 25,65665979 1 + 6,113686306 e − 0,3852149008 x . Ⓑ Si la población sigue creciendo a este ritmo, habrá unas 25.634 focas en 2020. Ⓒ Al número entero más cercano, la capacidad de carga es de 25.657. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los modelos de funciones exponenciales. Regresión exponencial en una calculadora Conceptos clave La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando \"ExpReg\" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = a b x a un conjunto de puntos de datos. Vea el . La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando \"LnReg\" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = a + b ln ( x ) a un conjunto de puntos de datos. Vea el . La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante a medida que la función se acerca a un límite superior. Utilizamos el comando \"Logistic\" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = c 1 + a e - b x a un conjunto de puntos de datos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué situaciones se modelan mejor con una ecuación logística? Dé un ejemplo y arguméntelo. Los modelos logísticos se utilizan mejor en aquellas situaciones que tienen valores limitados. Por ejemplo, una población no crece indefinidamente, ya que los recursos como los alimentos, el agua y el espacio son limitados, por lo que un modelo logístico es el que mejor la describe. ¿Qué es la capacidad de carga? ¿Qué tipo de modelo tiene una capacidad de carga incorporada en su fórmula? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Qué es el análisis de regresión? Describa el proceso de realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica. El análisis de regresión es el proceso de hallar una ecuación que se ajuste lo mejor posible a un conjunto dado de puntos de datos. Para realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica, primero hay que listar los puntos dados en el menú STAT y luego EDIT. A continuación, grafique el diagrama de dispersión con la función STAT PLOT. La forma de los puntos de datos en el diagrama de dispersión sirve para determinar qué característica de regresión se debe utilizar. Una vez determinado esto, seleccione el comando de análisis de regresión apropiado en el menú STAT y luego CALC. ¿Qué aspecto podría tener un diagrama de dispersión de puntos de datos si se describiera mejor mediante un modelo logarítmico? ¿A qué corresponde la intersección en y del gráfico de una ecuación logística para una población modelada por dicha ecuación? La intersección en y del gráfico de una ecuación logística corresponde a la población inicial del modelo demográfico. Gráficos En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la hasta la . Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente. y = 10,209 e − 0,294 x y = 5,598 − 1,912 ln ( x ) C y = 2,104 ( 1,479 ) x y = 4,607 + 2,733 ln ( x ) B y = 14,005 1 + 2,79 e − 0,812 x Numéricos Al número entero más cercano, ¿cuál es el valor inicial de una población modelada por la ecuación logística P ( t ) = 175 1 + 6,995 e − 0,68 t ? ¿Cuál es la capacidad de carga? P ( 0 ) = 22 ; 175 Reescriba el modelo exponencial A ( t ) = 1550 ( 1,085 ) x como un modelo equivalente con base e . Exprese el exponente con cuatro dígitos significativos. Un modelo logarítmico viene dado por la ecuación h ( p ) = 67,682 − 5,792 ln ( p ) . A la centésima más cercana, ¿para qué valor de p h ( p ) = 62 ? p ≈ 2,67 Un modelo logístico viene dado por la ecuación P ( t ) = 90 1 + 5 e − 0,42 t . A la centésima más cercana, ¿para qué valor de t P ( t ) = 45 ? ¿Cuál es la intersección en y en el gráfico del modelo logístico dado en el ejercicio anterior? intersección en y : ( 0 , 15 ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P en un estanque de carpas koi sobre x meses se modela mediante la función P ( x ) = 68 1 + 16 e − 0,28 x . Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 3 años. ¿Cuál era la población inicial de carpas koi? 4 koi ¿Cuántas carpas koi tendrá el estanque después de un año y medio? ¿Cuántos meses pasarán antes de que haya 20 carpas koi en el estanque? aproximadamente 6,8 meses. Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de meses que tardará la población del estanque en alcanzar la mitad de su capacidad de carga. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función P ( x ) = 558 1 + 54,8 e − 0,462 x , donde x se da en años. Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 10 años. ¿Cuál era la población inicial de lobos transportada al hábitat? ¿Cuántos lobos tendrá el hábitat después de 3 años? Unos 38 lobos ¿Cuántos años pasarán antes de que haya 100 lobos en el hábitat? Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de años que tardará la población del hábitat en alcanzar la mitad de su capacidad de carga. Unos 8,7 años En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1.125 1.495 2.310 3.294 4.650 6.361 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla. f ( x ) = 776,682 ( 1,426 ) x Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e . Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 4.000. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 555 383 307 210 158 122 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e . f ( x ) = 731,92 e -0,3038 x Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 250. Cuando f ( x ) = 250 , x ≈ 3,6 En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 5,1 6,3 7,3 7,7 8,1 8,6 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma y = a + b ln ( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla. y = 5,063 + 1,934 log ( x ) Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x = 10. Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 7. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 7,5 6 5,2 4,3 3,9 3,4 3,1 2,9 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción LOG aritmo de la función REG resión para hallar una función logarítmica de la forma y = a + b ln ( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x = 10. Cuando f ( 10 ) ≈ 2,3 Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 8. Cuando f ( x ) = 8 , x ≈ 0,82 En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 8,7 12,3 15,4 18,5 20,7 22,5 23,3 24 24,6 24,8 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y = c 1 + a e - b x que mejor se ajuste a los datos de la tabla. f ( x ) = 25,081 1 + 3,182 e − 0,545 x Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano? Alrededor de 25 Utilice la función de intersección para hallar el valor de x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 0 2 4 5 7 8 10 11 15 17 f ( x ) 12 28,6 52,8 70,3 99,9 112,5 125,8 127,9 135,1 135,9 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y = c 1 + a e - b x que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano? Utilice la función de intersección para hallar el valor de x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga. Cuando f ( x ) = 68 , x ≈ 4,9 Extensiones Recordemos que la forma general de una ecuación logística para una población viene dada por P ( t ) = c 1 + a e - b t , de manera que la población inicial en el momento t = 0 es P ( 0 ) = P 0 . Demuestre algebraicamente que c − P ( t ) P ( t ) = c − P 0 P 0 e - b t . Utilice una herramienta gráfica para hallar una fórmula de regresión exponencial f ( x ) y una fórmula de regresión logarítmica g ( x ) para los puntos ( 1,5 , 1,5 ) y ( 8,5 , 8,5 ) . Redondee todos los números a 6 decimales. Grafique los puntos y ambas fórmulas junto con la línea y = x en el mismo eje. Haga una conjetura sobre la relación de las fórmulas de regresión. f ( x ) = 1,034341 ( 1,281204 ) x g ( x ) = 4,035510 ; las curvas de regresión son simétricas respecto a y = x , por lo que parece que son funciones inversas. Verifique la conjetura realizada en el ejercicio anterior. Redondee todos los números a seis decimales cuando sea necesario. Halle la función inversa f − 1 ( x ) para la función logística f ( x ) = c 1 + a e - b x . Muestre todos los pasos. f − 1 ( x ) = ln ( a ) ln ( c x 1 ) b Utilice el resultado del ejercicio anterior para graficar el modelo logístico P ( t ) = 20 1 + 4 e − 0,5 t junto con su inversa en el mismo eje. ¿Cuáles son las intersecciones y las asíntotas de cada función? Ejercicios de repaso del capítulo Funciones exponenciales Determine si la función y = 156 ( 0,825 ) t representa el crecimiento exponencial, el decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique decaimiento exponencial; el factor de crecimiento, 0,825 , está entre 0 y 1. La población de una manada de ciervos viene representada por la función A ( t ) = 205 ( 1,13 ) t , donde t se da en años. En el número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de 6 años? Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos (2, 2 ,25) y ( 5 , 60,75 ) . y = 0,25 ( 3 ) x Determine si la podría representar una función que es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos. x 1 2 3 4 f(x) 3 0,9 0,27 0,081 Se abre una cuenta de jubilación con un depósito inicial de 8.500 dólares y devenga 8,12 % intereses compuestos mensualmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en 20 años? $ 42 . 888,18 Hsu-Mei quiere ahorrar 5.000 dólares para el pago inicial de un automóvil. En el dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con 7,5 % APR, compuesto diariamente, para alcanzar su objetivo en 3 años? ¿La ecuación y = 2,294 e − 0,654 t representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos? Explique. decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es negativa. Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de 10.500 dólares devengando 6,25 % de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 25 años? Gráficos de funciones exponenciales Grafique la función f ( x ) = 3,5 ( 2 ) x . Indique el dominio y el rango y dé la intersección en y . dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que cero; intersección en y : (0; 3,5); Grafique la función f ( x ) = 4 ( 1 8 ) x y su reflexión respecto al eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y . El gráfico de f ( x ) = 6,5 x se refleja sobre el eje y y se estira verticalmente por un factor de 7. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 7 ( 6,5 ) - x ; intersección en y : ( 0 , 7 ) ; Dominio: todos los números reales. Rango: todos los números reales mayores que 0 . El siguiente gráfico muestra las transformaciones del gráfico de f ( x ) = 2 x . ¿Cuál es la ecuación de la transformación? Funciones logarítmicas Reescriba log 17 ( 4.913 ) = x como una ecuación exponencial equivalente. 17 x = 4.913 Reescriba ln ( s ) = t como una ecuación exponencial equivalente. Reescriba a - 2 5 = b como una ecuación logarítmica equivalente. log a b = - 2 5 Reescriba e − 3,5 = h como una ecuación logarítmica equivalente. Resuelva para x si log 64 ( x ) = 1 3 al convertir la ecuación logarítmica log 64 ( x ) = 1 3 en la forma exponencial. x = 64 1 3 = 4 Evalúe log 5 ( 1 125 ) sin usar la calculadora. Evalúe log ( 0,000001 ) sin usar la calculadora. log ( 0 0,000001 ) = − 6 Evalúe log ( 4,005 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. Evalúe ln ( e − 0,8648 ) sin usar la calculadora. ln ( e − 0,8648 ) = − 0,8648 Evalúe ln ( 18 3 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. Gráficos de funciones logarítmicas Grafique la función g ( x ) = log ( 7 x + 21 ) − 4. Grafique la función h ( x ) = 2 ln ( 9 − 3 x ) + 1. Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función g ( x ) = ln ( 4 x + 20 ) − 17. Dominio: x > - 5 ; Asíntota vertical x = - 5 ; Comportamiento final: dado que x → − 5 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Propiedades logarítmicas Reescriba ln ( 7 r ⋅ 11 s t ) en forma ampliada. Reescriba log 8 ( x ) + log 8 ( 5 ) + log 8 ( y ) + log 8 ( 13 ) en forma compacta. log 8 ( 65 x y ) Reescriba log m ( 67 83 ) en forma ampliada. Reescriba ln ( z ) - ln ( x ) - ln ( y ) en forma compacta. ln ( z x y ) Reescriba ln ( 1 x 5 ) como producto. Reescriba − log y ( 1 12 ) como un solo logaritmo. log y ( 12 ) Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir log ( r 2 s 11 t 14 ) . Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln ( 2 b b + 1 b - 1 ) . ln ( 2 ) + ln ( b ) + ln ( b + 1 ) - ln ( b - 1 ) 2 Condense la expresión 5 ln ( b ) + ln ( c ) + ln ( 4 − a ) 2 a un solo logaritmo. Condense la expresión 3 log 7 v + 6 log 7 w − log 7 u 3 a un solo logaritmo. log 7 ( v 3 w 6 u 3 ) Reescriba log 3 ( 12,75 ) a la base e . Reescriba 5 12 x − 17 = 125 como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver x utilizando el logaritmo común. Redondee a la milésima más cercana. x = log ( 125 ) log ( 5 ) + 17 12 = 5 3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Resuelva 216 3 x ⋅ 216 x = 36 3 x + 2 reescribiendo cada lado con una base común. Resuelva 125 ( 1 625 ) - x - 3 = 5 3 reescribiendo cada lado con una base común. x = - 3 Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 7 ⋅ 17 − 9 x - 7 = 49. Si no hay solución, escriba no hay solución . Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 3 e 6 n – 2 + 1 = − 60. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 5 e 3 x - 4 = 6 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para 2 e 5 x - 2 - 9 = − 56. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 5 2 x - 3 = 7 x + 1 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para e 2 x - e x − 110 = 0 . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ln ( 11 ) Utilice la definición de logaritmo para resolver. − 5 log 7 ( 10 n ) = 5. Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de 9 + 6 ln ( a + 3 ) = 33. a = e 4 - 3 Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para log 8 ( 7 ) + log 8 ( - 4 x ) = log 8 ( 5 ) . Si no hay solución, escriba no hay solución . Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para ln ( 5 ) + ln ( 5 x 2 - 5 ) = ln ( 56 ) . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ± 9 5 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite una gran orquesta con una intensidad sonora de 6,3 ⋅ 10 – 3 vatios por metro cuadrado? La población de una ciudad se modela mediante la ecuación P ( t ) = 256 , 114 e 0,25 t donde t se mide en años. Si la ciudad sigue creciendo a este ritmo, ¿cuántos años tardará en alcanzar el millón de habitantes? alrededor de 5,45 años Halle la función inversa f − 1 para la función exponencial f ( x ) = 2 ⋅ e x + 1 − 5. Halle la función inversa f − 1 para la función logarítmica f ( x ) = 0,25 ⋅ log 2 ( x 3 + 1 ) . f − 1 ( x ) = 2 4 x – 1 3 Modelos exponenciales y logarítmicos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 300 miligramos de un fármaco que decae en un 17 % cada hora. ¿Cuál es semivida del fármaco, aproximada al minuto más cercano? Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de t horas. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 24 horas. Redondee a la centésima de gramo más cercana. f ( t ) = 300 ( 0,83 ) t ; f ( 24 ) ≈ 3,43 g En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de 350 °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de 71 °F . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 175 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. ¿Cuántos minutos tardará la sopa en enfriarse hasta 85 °F? aproximadamente 45 minutos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación N ( t ) = 1.200 1 + 199 e − 0,625 t modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de t días. ¿Cuántas personas iniciaron el rumor? A la décima más cercana, ¿cuántos días pasarán antes de que el rumor se extienda a la mitad de la capacidad de carga? aproximadamente 8,5 días ¿Cuál es la capacidad de carga? En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica. x f(x) 1 3,05 2 4,42 3 6,4 4 9,28 5 13,46 6 19,52 7 28,3 8 41,04 9 59,5 10 86,28 exponencial x f(x) 0,5 18,05 1 17 3 15,33 5 14,55 7 14,04 10 13,5 12 13,22 13 13,1 15 12,88 17 12,69 20 12,45 Halle la fórmula de una ecuación exponencial que pase por los puntos ( – 2 , 100 ) y ( 0 , 4 ) . Entonces, exprese la fórmula como una ecuación equivalente con base e. y = 4 ( 0,2 ) x ; y = 4 e -1,609438 x Ajuste de modelos exponenciales a los datos ¿Cuál es la capacidad de carga de una población modelada por la ecuación logística P ( t ) = 250 , 000 1 + 499 e − 0,45 t ? ¿Cuál es la población inicial del modelo? La población de un cultivo de bacterias se modela mediante la ecuación logística P ( t ) = 14 , 250 1 + 29 e − 0,62 t , donde t está en días. A la décima más cercana, ¿cuántos días tardará el cultivo en alcanzar 75 % de su capacidad de carga? aproximadamente 7,2 días En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales. x f(x) 1 409,4 2 260,7 3 170,4 4 110,6 5 74 6 44,7 7 32,4 8 19,5 9 12,7 10 8,1 x f(x) 0,15 36,21 0,25 28,88 0,5 24,39 0,75 18,28 1 16,5 1,5 12,99 2 9,91 2,25 8,57 2,75 7,23 3 5,99 3,5 4,81 logarítmico; y = 16,68718 − 9,71860 ln ( x ) x f(x) 0 9 2 22,6 4 44,2 5 62,1 7 96,9 8 113,4 10 133,4 11 137,6 15 148,4 17 149,3 Prueba de práctica La población de una manada de delfines mulares se modela mediante la función A ( t ) = 8 ( 1,17 ) t , donde t se da en años. Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de 3 años? Unos 13 delfines. Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos (0, 4) y (2, 9) . Drew quiere ahorrar 2.500 dólares para ir a la próxima Copa Mundial. Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con 6,25 % TAE, que se compone diariamente, para alcanzar su objetivo en 4 años? $ 1.947 Se abrió una cuenta de inversión con un depósito inicial de 9.600 dólares y gana 7,4 % de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 15 años? Grafique la función f ( x ) = 5 ( 0,5 ) - x y su reflexión a través del eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y . intersección en y : ( 0 , 5 ) El gráfico muestra las transformaciones del gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) x . ¿Cuál es la ecuación de la transformación? Reescriba log 8,5 ( 614,125 ) = a como una ecuación exponencial equivalente. 8,5 a = 614,125 Reescriba e 1 2 = m como una ecuación logarítmica equivalente. Resuelva para x al convertir la ecuación logarítmica l o g 1 7 ( x ) = 2 en la forma exponencial. x = ( 1 7 ) 2 = 1 49 Evalúe log ( 10.000.000 ) sin usar la calculadora. Evalúe ln ( 0,716 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. ln ( 0,716 ) ≈ − 0,334 Grafique la función g ( x ) = log ( 12 − 6 x ) + 3. Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función f ( x ) = log 5 ( 39 − 13 x ) + 7. Dominio: x < 3 ; Asíntota vertical x = 3 ; Comportamiento final: x → 3 - , f ( x ) → - ∞ y x → - ∞ , f ( x ) → ∞ Reescriba log ( 17 a ⋅ 2 b ) como una suma. Reescriba log t ( 96 ) - log t ( 8 ) en forma compacta. log t ( 12 ) Reescriba log 8 ( a 1 b ) como producto. Utilice las propiedades del logaritmo para expandir ln ( y 3 z 2 ⋅ x - 4 3 ) . 3 ln ( y ) + 2 ln ( z ) + ln ( x - 4 ) 3 Condense la expresión 4 ln ( c ) + ln ( d ) + ln ( a ) 3 + ln ( b + 3 ) 3 a un solo logaritmo. Reescriba 16 3 x - 5 = 1.000 como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver x con el logaritmo natural. Redondee a la milésima más cercana. x = ln ( 1.000 ) ln ( 16 ) + 5 3 ≈ 2,497 Resuelva ( 1 81 ) x ⋅ 1 243 = ( 1 9 ) - 3 x – 1 reescribiendo cada lado con una base común. Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de − 9 e 10 a − 8 − 5 = − 41 . Si no hay solución, escriba no hay solución . a = ln ( 4 ) + 8 10 Halle la solución exacta para 10 e 4 x + 2 + 5 = 56. Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para − 5 e − 4 x – 1 - 4 = 64. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 2 x - 3 = 6 2 x – 1 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para e 2 x - e x − 72 = 0 . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ln ( 9 ) Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de 4 log ( 2 n ) - 7 = − 11 Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para log ( 4 x 2 - 10 ) + log ( 3 ) = log ( 51 ) Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ± 3 3 2 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un concierto de rock con una intensidad sonora de 4,7 ⋅ 10 - 1 vatios por metro cuadrado? Un funcionario de seguridad radiológica trabaja con 112 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 17 días, la muestra ha decaído hasta 80 gramos. Redondeando a cinco dígitos significativos, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada a un día? f ( t ) = 112 e − 0,019792 t ; semivida: aproximadamente 35 días Escriba la fórmula determinada en el ejercicio anterior como una ecuación equivalente con base e . Exprese el exponente con cinco dígitos significativos. Una botella de gaseosa con una temperatura de 71 °F se sacó de un estante y se colocó en un refrigerador con una temperatura interna de 35 °F . Después de diez minutos, la temperatura interna de la gaseosa era 63 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura de la gaseosa al cabo de una hora? T ( t ) = 36 e − 0,025131 t + 35 ; T ( 60 ) ≈ 43 i F La población de un hábitat silvestre se modela mediante la ecuación P ( t ) = 360 1 + 6,2 e − 0,35 t , donde t se da en años. ¿Cuántos animales se transportaron originalmente al hábitat? ¿Cuántos años pasarán antes de que el hábitat alcance la mitad de su capacidad? Introduzca los datos de la en una calculadora gráfica y dibuje el diagrama de dispersión resultante. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica. x f(x) 1 3 2 8,55 3 11,79 4 14,09 5 15,88 6 17,33 7 18,57 8 19,64 9 20,58 10 21,42 logarítmico La población de peces en un lago se modela mediante la ecuación logística P ( t ) = 16 , 120 1 + 25 e − 0,75 t , donde t es el tiempo en años. A la centésima más cercana, ¿cuántos años tardará el lago en alcanzar 80 % de su capacidad de carga? En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales. x f(x) 1 20 2 21,6 3 29,2 4 36,4 5 46,6 6 55,7 7 72,6 8 87,1 9 107,2 10 138,1 exponencial; y = 15,10062 ( 1,24621 ) x x f(x) 3 13,98 4 17,84 5 20,01 6 22,7 7 24,1 8 26,15 9 27,37 10 28,38 11 29,97 12 31,07 13 31,43 x f(x) 0 2,2 0,5 2,9 1 3,9 1,5 4,8 2 6,4 3 9,3 4 12,3 5 15 6 16,2 7 17,3 8 17,9 logística; y = 18,41659 1 + 7,54644 e − 0,68375 x", "section": "Ajustar modelos exponenciales a los datos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción La marea sube y baja a intervalos regulares y predecibles. (Créditos: Andrea Schaffer, Flickr) La vida está llena de fenómenos que se repiten a intervalos regulares. Cada día, por ejemplo, las mareas suben y bajan en respuesta a la atracción gravitacional de la luna. Hamacher, D. W., Tapim, A., Passi, S. y Barsa, J. (2018). Dancing with the stars – astronomy and music in the Torres Strait. En Imagining Other Worlds: Explorations in Astronomy and Culture . Y como consecuencia del propio movimiento de la luna, las mareas se producen con distinta intensidad. A lo largo de la historia, muchos pueblos indígenas utilizaron esta regularidad para construir relatos culturales y dirigir actividades clave, como la agricultura, la caza y la pesca. Los aborígenes del área del estrecho de Torres (el extremo norte) de Australia utilizaban los picos de las mareas para determinar los mejores momentos para pescar. Sus ancianos explican que las fuertes mareas de primavera agitan los sedimentos y oscurecen la visión de los peces haciéndolos más proclives a atrapar los señuelos, lo que genera una mayor pesca. En matemáticas, la función que repite sus valores a intervalos regulares se conoce como función periódica. Los gráficos de estas funciones revelan una forma general que refleja un patrón que se repite. Esto significa que el gráfico de la función tiene la misma salida exactamente en el mismo lugar en cada ciclo. Esto se traduce en que todos los ciclos de la función tienen exactamente la misma longitud. Así, si conocemos todos los detalles de un ciclo completo de una función periódica verdadera, entonces conocemos el estado de las salidas de la función en todo momento: futuro y pasado. En este capítulo, investigaremos varios ejemplos de funciones periódicas.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ángulos Un golfista se balancea para golpear una bola por encima de una trampa de arena y llegar al green. Un piloto de aerolínea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. ¿Qué tienen todos ellos en común? Todos ellos trabajan con ángulos, al igual que todos nosotros en un momento u otro. A veces es necesario medir los ángulos con exactitud mediante instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a ojo. En cualquier caso, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos. Dibujar ángulos en posición estándar Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo E F →) . Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice , mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la se forma a partir de E D → y E F →) . Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF , o en forma de símbolo ∠ D E F . Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la . θ φ o ϕ α β γ theta phi alfa beta gamma El ángulo theta, mostrado como ∠ θ La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial , y la raya rotada es el lado terminal . Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la . Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es 1 360 de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad \"grados\" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º. Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y . Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x . Vea la . Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo . Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo . Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x . Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que 90° 360° = 1 4 . Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x . Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que 360° 360° = 1. Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x . En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la . Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular . Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la . Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra a lo largo de un eje. Se muestran ejemplos. Ángulos cuadrangulares Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, incluso 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Cómo Dada una medida de ángulo en grados, dibujar el ángulo en posición estándar. Exprese la medida del ángulo como una fracción de 360°. Reduzca la fracción a la forma más simple. Dibuje un ángulo que contenga esa misma fracción del círculo, comenzando en el eje x positivo y moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj en los ángulos positivos y en sentido de las agujas del reloj en los ángulos negativos. Dibujar un ángulo en posición estándar, medido en grados Ⓐ Trace un ángulo de 30° en posición estándar. Ⓑ Dibuje un ángulo de -135° en posición estándar. Ⓐ Divida la medida del ángulo entre 360°. 30° 360° = 1 12 Para reescribir la fracción en una fracción más familiar, podemos reconocer que 1 12 = 1 3 ( 1 4 ) Un doceavo es igual a un tercio de un cuarto, por lo que, si dividimos un cuarto de rotación en tercios, podemos trazar una línea a 30°, como en la . Ⓑ Divida la medida del ángulo entre 360°. − 135° 360° = - 3 8 En este caso, podemos reconocer que − 3 8 = - 3 2 ( 1 4 ) Los tres octavos negativos son una vez y media un cuarto, por lo que colocamos una línea en el sentido de las agujas del reloj un cuarto completo y la mitad de otro cuarto, como en la . Ejercicio Muestre un ángulo de 240° en un círculo en posición estándar. Convertir entre grados y radianes Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo. La circunferencia de un círculo es C = 2 π r . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre r , creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es 2 π independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es 2 π ≈ 6,28 veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la . Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a 2 π veces el radio, una rotación circular completa es 2 π radianes. Así que 2 π radianes = 360 ∘ π radianes = 360 ∘ 2 = 180 ∘ 1 radián = 180 ∘ π ≈ 57,3 ∘ Vea la . Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan. El ángulo t recorre una medida de un radián. Observe que la longitud del arco interceptado es la misma que la longitud del radio del círculo. Relacionar las longitudes de los arcos con los radios La longitud de arco s es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud. Este cociente, denominado medición de radián , es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco s al radio r . Vea la . s = r θ θ = s r Si los valores de s = r , entonces θ = r r = 1 radián . (a) En un ángulo de 1 radián, la longitud de arco s es igual al radio r . b) Un ángulo de 2 radianes tiene una longitud de arco s = 2 r . (c) Una revolución completa es 2 π o unos 6,28 radianes. Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es C = 2 π r , donde r es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia 2 π ( 2 ) = 4 π y el más grande tiene circunferencia 2 π ( 3 ) = 6 π . Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la . Un ángulo de 45° contiene un octavo de la circunferencia de un círculo, independientemente del radio. Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo. Círculo más pequeño: 1 2 π 2 = 1 4 π Círculo más grande: 3 4 π 3 = 1 4 π Dado que ambos ratios son 1 4 π , las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes. Radianes Un radián es la medida del ángulo central de un círculo tal que la longitud del arco entre el lado inicial y el lado terminal es igual al radio del círculo. Una revolución completa (360°) equivale a 2 π radianes. Una media revolución (180°) equivale a π radianes. La medición de radián de un ángulo es el cociente entre la longitud del arco subtendido por el ángulo y el radio del círculo. En otras palabras, si s es la longitud de un arco de círculo, y r es el radio del círculo, entonces el ángulo central que contiene ese arco mide s r radianes. En un círculo de radio 1, la medida del radián corresponde a la longitud del arco. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Una medida de 1 radián parece ser de unos 60°. ¿Es eso correcto? Sí. Es aproximadamente 57,3°. Dado que 2 π radianes es igual a 360°, 1 radián es igual a 360° 2 π ≈ 57,3° . Usar radianes Dado que la medición de radián es el cociente de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en la , supongamos que el radio fuera de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco fuera también de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida del radián del ángulo, las \"pulgadas\" se cancelan, y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta \"radianes\" después de una medición de radián, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con \"grados\" o el símbolo de grado, podemos asumir que es una medición de radián. Considerando el caso más básico, el círculo unitario (un círculo de radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360°. También podemos seguir una rotación alrededor de un círculo al calcular la circunferencia, C = 2 π r , y para el círculo unitario C = 2 π . Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una manera de convertir de grados a radianes. 1 rotación = 360° = 2 π radianes 1 2 rotación = 180° = π radianes 1 4 rotación = 90° = π 2 radianes Identificar ángulos especiales, medidos en radianes Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la . Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos. Ángulos habituales medidos en grados Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la , y que se muestran en la . Verifique cada una de estas medidas. Ángulos habituales medidos en radianes Calcular una medición de radián Calcule la medición de radián de un tercio de una rotación completa. En cualquier círculo, la longitud de arco a lo largo de dicha rotación sería un tercio de la circunferencia. Sabemos que 1 rotación = 2 π r Así que, s = 1 3 ( 2 π r ) = 2 π r 3 La medición de radián sería la longitud del arco, dividida entre el radio. medición de radián = 2 π r 3 r = 2 π r 3 r = 2 π 3 Ejercicio Calcule la medición de radián de tres cuartos de una rotación completa. 3 π 2 Convertir radianes y grados Dado que tanto los grados como los radianes miden ángulos, tenemos que ser capaces de convertirlos. Podemos hacerlo fácilmente utilizando una proporción. θ 180 = θ R π Esta proporción muestra que la medida del ángulo θ en grados dividido entre 180 es igual a la medida del ángulo θ en radianes dividido entre π . Dicho de otra manera, los grados son a 180 como los radianes son a π . Grados 180 = Radianes π Convertir radianes y grados Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción θ 180 = θ R π Convertir de radianes a grados Convierta cada medida de radián a grados. Ⓐ π 6 Ⓑ 3 Como nos dan radianes y queremos grados, debemos establecer una proporción y resolverla. Ⓐ Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada. θ 180 = θ R π θ 180 = π 6 π θ = 180 6 θ = 30 ∘ Ⓑ Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada. θ 180 = θ R π θ 180 = 3 π θ = 3 ( 180 ) π θ ≈ 172 ∘ Ejercicio Convierta − 3 π 4 radianes a grados. −135° Convertir de grados a radianes Convierta 15 grados a radianes. En este ejemplo, empezamos con grados y queremos radianes, así que de nuevo establecemos una proporción y la resolvemos, pero sustituimos la información dada en una parte diferente de la proporción. θ 180 = θ R π 15 180 = θ R π 15 π 180 = θ R π 12 = θ R Análisis Otra forma de pensar en este problema es si recordamos que 30 ∘ = π 6 . Dado que 15 ∘ = 1 2 ( 30 ∘ ) , podemos hallar que 1 2 ( π 6 ) es π 12 . Ejercicio Convierta 126° a radianes. 7 π 10 Calcular ángulos coterminales La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a 2 π . Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución. Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la . El ángulo de 140° es un ángulo positivo , medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo , medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales . Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango. Un ángulo de 140° y un ángulo de -220° son ángulos coterminales. Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas. El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo t formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes. Ángulos coterminales y de referencia Los ángulos coterminales son dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal. El ángulo de referencia de un ángulo es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t ′ , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Cómo Dado un ángulo mayor que 360°, hallar un ángulo coterminal entre 0° y 360°. Reste 360° del ángulo dado. Si el resultado sigue siendo mayor que 360°, vuelva a restar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Calcular un ángulo coterminal con un ángulo de medida mayor que 360° Halle el menor ángulo positivo θ que es coterminal con un ángulo que mide 800°, donde 0° ≤ θ < 360° . Un ángulo con medida 800° es coterminal con un ángulo con medida 800 - 360 = 440°, pero 440° sigue siendo mayor que 360°, así que volvemos a restar 360° para hallar otro ángulo coterminal: 440 − 360 = 80°. El ángulo θ = 80° es coterminal con 800°. Dicho de otro modo, 800° equivale a 80° más dos rotaciones completas, como se muestra en la . Ejercicio Calcule un ángulo α que es coterminal con un ángulo que mide 870°, donde 0° ≤ α < 360° . α = 150 ° Cómo Dado un ángulo con una medida menor que 0°, hallar un ángulo coterminal que tenga una medida entre 0° y 360°. Sume 360° al ángulo dado. Si el resultado sigue siendo inferior a 0°, vuelva a sumar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Hallar un ángulo coterminal con un ángulo que mida menos de 0° Muestre el ángulo con medida -45° en un círculo y halle un ángulo coterminal positivo α tal que 0° ≤ α < 360°. Dado que 45° es la mitad de 90°, podemos empezar en el eje horizontal positivo y medir en el sentido de las agujas del reloj la mitad de un ángulo de 90°. Ya que podemos calcular ángulos coterminales al sumar o restar una rotación completa de 360°, podemos calcular un ángulo coterminal positivo aquí, si sumamos 360°: − 45° + 360° = 315° Podemos entonces mostrar el ángulo en un círculo, como en la . Ejercicio Calcule un ángulo β que es coterminal con un ángulo que mide -300° tal que 0° ≤ β < 360° . β = 60 ° Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas. Cómo Dado un ángulo mayor que. 2 π , hallar un ángulo coterminal entre 0 y 2 π . Reste 2 π desde el ángulo dado. Si el resultado sigue siendo mayor que 2 π , reste 2 π de nuevo hasta que el resultado esté entre 0 y 2 π . El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Calcular ángulos coterminales con radianes Calcule un ángulo β que sea coterminal con 19 π 4 , donde 0 ≤ β < 2 π . Al trabajar en grados, hallamos los ángulos coterminales al sumar o restar 360 grados, una rotación completa. Igualmente, en radianes, podemos hallar ángulos coterminales al sumar o restar rotaciones completas de 2 π radianes: 19 π 4 – 2 π = 19 π 4 − 8 π 4 = 11 π 4 El ángulo 11 π 4 es coterminal, pero no menos que 2 π , por lo que restamos otra rotación: 11 π 4 – 2 π = 11 π 4 − 8 π 4 = 3 π 4 El ángulo 3 π 4 es coterminal con 19 π 4 , como se muestra en la . Ejercicio Calcular un ángulo de medida θ que sea coterminal con un ángulo de medida − 17 π 6 donde 0 ≤ θ < 2 π . 7 π 6 Determinar la longitud de un arco Recordemos que la medición de radián θ de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco s de un arco circular al radio r del círculo, θ = s r . A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo. Longitud de arco de un círculo En un círculo de radio r , la longitud de un arco s subtendido por un ángulo con medida θ en radianes, mostrado en la , es s = r θ Cómo Dado un círculo de radio. r , calcular la longitud s del arco subtendido por un ángulo de medida determinado θ . Si es necesario, convierta θ a radianes. Multiplique el radio r entre la medida del radián de θ : s = r θ . Calcular la longitud de un arco Supongamos que la órbita de Mercurio alrededor del Sol es un círculo perfecto. Mercurio se encuentra aproximadamente a 36 millones de millas del sol. Ⓐ En un día terrestre, Mercurio completa 0,0114 de su revolución total. ¿Cuántas millas recorre en un día? Ⓑ Utilice su respuesta de la parte (a) para determinar la medida del radián del movimiento de Mercurio en un día terrestre. Ⓐ Empecemos por calcular la circunferencia de la órbita de Mercurio. C = 2 π r = 2 π ( 36 millones de millas ) ≈ 226 millones de millas Dado que Mercurio completa 0,0114 de su revolución total en un día terrestre, ahora podemos calcular la distancia recorrida: ( 0,0114 ) 226 millones de millas = 2 ,58 millones de millas Ⓑ Ahora, convertimos a radianes: radián = longitud del arco radio = 2. 58 millones de millas 36 millones de millas = 0,0717 Ejercicio Determine la longitud de arco a lo largo de un círculo de radio 10 unidades subtendido por un ángulo de 215°. 215 π 18 = 37.525 al cuadrado Calcular el área de un sector de un círculo Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo . Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio r se puede hallar con la fórmula A = π r 2 . Si los dos radios forman un ángulo de θ , medido en radianes, entonces θ 2 π es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción θ 2 π multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si θ está en radianes). Área del sector = ( θ 2 π ) π r 2 = θ π r 2 2 π = 1 2 θ r 2 Área de un sector El área de un sector de un círculo de radio r subtendido por un ángulo θ , medido en radianes, es A = 1 2 θ r 2 Vea la . El área del sector es igual a la mitad del cuadrado del radio por el ángulo central medido en radianes. Cómo Dado un círculo de radio r , hallar el área de un sector definido por un ángulo dado θ . Si es necesario, convierta θ a radianes. Multiplique la mitad de la medida del radián de θ por el cuadrado del radio r : ​ A = 1 2 θ r 2 . Hallar el área de un sector Un aspersor automático de césped rocía una distancia de 20 pies mientras gira 30 grados, como se muestra en la . ¿Cuál es la superficie del sector de césped que riega el aspersor? El aspersor rocía 20 pies en un arco de 30°. En primer lugar, tenemos que convertir la medida del ángulo en radianes. Dado que 30 grados es uno de nuestros ángulos especiales, ya conocemos la medida del radián equivalente, pero también podemos convertir: 30 grados = 30 ⋅ π 180 = π 6 radianes El área del sector es entonces Área = 1 2 ( π 6 ) ( 20 ) 2 ≈ 104,72 Así que el área es de aproximadamente 104,72 pies 2 . Ejercicio En el riego por pivote central, una gran tubería de riego sobre ruedas gira alrededor de un punto central. Un agricultor tiene un sistema de pivote central con un radio de 400 metros. Si las restricciones de agua solo le permiten regar 150.000 metros cuadrados al día, ¿qué ángulo debe configurar para que cubra el sistema? Escriba la respuesta en medida de radianes con dos decimales. 1,88 Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento ) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o 10 π pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es 10 π in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde v es la velocidad lineal, s es el desplazamiento, y t es el tiempo. v = s t La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como 360 grados 4 segundos = 90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde ω (leído como omega) es la velocidad angular, θ es el ángulo recorrido, y t es el tiempo. ω = θ t Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco, s = r θ , hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para θ , lo que arroja θ = ω t . Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene: s = r θ = r ω t Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene: v = s t = r ω t t = r ω Velocidad angular y lineal Cuando un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r , su velocidad angular , ω , es la rotación angular θ por unidad de tiempo, t . ω = θ t La velocidad lineal , v , del punto se puede calcular como la distancia recorrida, la longitud del arco s , por unidad de tiempo, t . v = s t Cuando la velocidad angular se mide en radianes por unidad de tiempo, la velocidad lineal y la velocidad angular están relacionadas por la ecuación v = r ω Esta ecuación establece que la velocidad angular en radianes, ω , que representa la cantidad de rotación que se produce en una unidad de tiempo, puede multiplicarse por el radio r para calcular la longitud de arco total recorrida en una unidad de tiempo, que es la definición de velocidad lineal. Cómo Dada la cantidad de rotación angular y el tiempo transcurrido, calcular la velocidad angular. Si es necesario, convierta la medida del ángulo en radianes. Divida el ángulo en radianes entre el número de unidades de tiempo transcurrido ω = θ t . La velocidad resultante estará en radianes por unidad de tiempo. Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde. Calcular la velocidad angular Una rueda hidráulica, mostrada en la , completa 1 rotación cada 5 segundos. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo. La rueda completa 1 rotación o pasa por un ángulo de 2 π radianes en 5 segundos, por lo que la velocidad angular sería ω = 2 π 5 ≈ 1,257 radianes por segundo. Ejercicio Un viejo disco de vinilo se reproduce en un tocadiscos que gira en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad de 45 rotaciones por minuto. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo. - 3 π 2 rad/s Cómo Dado el radio de un círculo, un ángulo de giro y una longitud de tiempo transcurrido, determinar la velocidad lineal. Convierta la rotación total a radianes si es necesario. Divida la rotación total en radianes entre el tiempo transcurrido para hallar la velocidad angular: aplique ω = θ t . Multiplique la velocidad angular por la longitud del radio para dar con la velocidad lineal, expresada en términos de la unidad de longitud utilizada para el radio y la unidad de tiempo utilizada para el tiempo transcurrido: aplique v = r ω. Calcular la velocidad lineal Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 RPM (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera. Aquí, tenemos una velocidad angular y necesitamos hallar la velocidad lineal correspondiente, ya que la velocidad lineal del exterior de los neumáticos es la velocidad a la que la bicicleta se desplaza por la carretera. Comenzamos por convertir de rotaciones por minuto a radianes por minuto. Valdría la pena utilizar las unidades para hacer esta conversión: 180 rotaciones minuto ⋅ 2 π radianes rotación = 360 π radianes minuto Utilizando la fórmula de arriba junto con el radio de las ruedas, podemos hallar la velocidad lineal: v = ( 14 pulgadas ) ( 360 π radianes minuto ) = 5040 π pulgadas minuto Recuerde que los radianes son una medida sin unidad, por lo que no es necesario incluirlos. Por último, es posible que queramos convertir esta velocidad lineal en una medida más familiar, como las millas por hora. 5040 π pulgadas minuto ⋅ 1 pies 12 pulgadas ⋅ 1 milla 5280 pies ⋅ 60 minutos 1 hora ≈ 14,99 millas por hora (mph) Ejercicio Un satélite gira alrededor de la Tierra a 0,25 radianes por hora a una altura de 242 km sobre la Tierra. Si el radio de la Tierra es de 6.378 kilómetros, calcule la velocidad lineal del satélite en kilómetros por hora. 1.655 kilómetros por hora Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los ángulos, la longitud de los arcos y las áreas de los sectores. Ángulos en posición estándar Ángulo de rotación Ángulos coterminales Determinar los ángulos coterminales Ángulos coterminales positivos y negativos Medición de radián Ángulos coterminales en radianes Longitud del arco y área de un sector Ecuaciones clave longitud de arco s = r θ área de un sector A = 1 2 θ r 2 velocidad angular ω = θ t velocidad lineal v = s t velocidad lineal relacionada con la velocidad angular v = r ω Conceptos clave Un ángulo se forma a partir de la unión de dos rayas, al mantener fijo el lado inicial y rotar el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje positivo x . Un ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido de las agujas del reloj. Para dibujar un ángulo en posición estándar, dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x y luego coloque el lado terminal de acuerdo con la fracción de una rotación completa que el ángulo representa. Vea el . Además de en grados, la medida de un ángulo puede describirse en radianes. Vea el . Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción θ 180 = θ R π . Vea el y el . Dos ángulos que tienen el mismo lado terminal reciben el nombre de ángulos coterminales. Podemos hallar ángulos coterminales si sumamos o restamos 360° o 2 π . Vea el y el . Los ángulos coterminales se pueden hallar mediante el empleo de radianes, al igual que se hace con los grados. Vea el . La longitud de un arco de círculo es una fracción de la circunferencia del círculo completo. Vea el . El área del sector es una fracción del área del círculo completo. Vea el . Un objeto que se mueve en una trayectoria circular tiene tanto velocidad lineal como angular. La velocidad angular de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular es la medida del ángulo por el que gira en una unidad de tiempo. Vea el . La velocidad lineal de un objeto que recorre una trayectoria circular es la distancia que recorre en una unidad de tiempo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Dibuje un ángulo en posición estándar. Etiquete el vértice, el lado inicial y el lado terminal. Explique por qué hay un número infinito de ángulos que son coterminales a un determinado ángulo. Indique qué significa un ángulo positivo o negativo y explique cómo se dibuja cada uno de ellos. El hecho de que el ángulo sea positivo o negativo determina la dirección. Un ángulo positivo se dibuja en el sentido contrario a las agujas del reloj, y un ángulo negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cómo se compara la medición de radián de un ángulo con la medida del grado? Incluya una explicación de 1 radián en su párrafo. Explique las diferencias entre la velocidad lineal y la velocidad angular al describir el movimiento a lo largo de una trayectoria circular. La velocidad lineal es una medida que se obtiene al calcular la distancia de un arco en comparación con el tiempo. La velocidad angular es una medida que se obtiene al calcular el ángulo de un arco comparado con el tiempo. Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un ángulo en posición estándar con la medida dada. 30° 300° −80° 135° −150° 2 π 3 7 π 4 5 π 6 π 2 − π 10 415° −120° 240° −315° 22 π 3 4 π 3 − π 6 - 4 π 3 2 π 3 En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco. Calcule el área del sector. 7 π 2 ≈ 11,00 in 2 En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco. Calcule el área del sector. 81 π 20 ≈ 12,72 cm 2 Algebraicos En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en radianes a grados. 3 π 4 radianes π 9 radianes 20° - 5 π 4 radianes π 3 radianes 60° − 7 π 3 radianes - 5 π 12 radianes −75° 11 π 6 radianes En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en grados a radianes. 90° π 2 radianes 100° −540° - 3 π radianes −120° 180° π radianes −315° 150° 5 π 6 radianes En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar la longitud de un arco de un círculo. Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco de un círculo de radio 12 pulgadas subtendido por un ángulo central de π 4 radianes. Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5,02 millas subtendido por el ángulo central de π 3 . 5,02 π 3 ≈ 5,26 millas Determine la longitud del arco de un círculo de 14 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 5 π 6 . Determine la longitud del arco de un círculo de radio 10 centímetros subtendido por el ángulo central de 50°. 25 π 9 ≈ 8,73 centímetros Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5 pulgadas subtendido por el ángulo central de 220°. Determine la longitud del arco de un círculo de 12 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 63°. 21 π 10 ≈ 6,60 metros En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para calcular el área del sector. Redondee a cuatro decimales. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 45° y un radio de 6 cm. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 30° y un radio de 20 cm. 104,7198 cm 2 Un sector de un círculo con un diámetro de 10 pies y un ángulo de π 2 radianes. Un sector de un círculo con radio de 0,7 pulgadas y un ángulo de π radianes. 0,7697 in 2 En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal al ángulo dado. −40° −110° 250° 700° 1400° 320° En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 2 π en radianes que es coterminal al ángulo dado. − π 9 10 π 3 4 π 3 13 π 6 44 π 9 8 π 9 Aplicaciones en el mundo real Un camión con ruedas de 32 pulgadas de diámetro se desplaza a 60 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas? Una bicicleta con ruedas de 24 pulgadas de diámetro se desplaza a 15 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas? 1320 rad 210,085 rpm Una rueda de radio 8 pulgadas gira 15°/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v , la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en rad/s? Una rueda de radio 14 pulgadas gira 0,5 rad/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v , la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en deg/s? 7 in/s, 4,77 rpm, 28,65 deg/s Un disco duro de computadora tiene un diámetro de 120 milímetros. Cuando se reproduce audio, la velocidad angular varía para mantener constante la velocidad lineal donde se lee el disco. Al leer a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular es de unas 200 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal. Cuando se graba en una unidad de CD-R grabable, la velocidad angular de un CD varía para mantener constante la velocidad lineal en el lugar donde se escribe el disco. Al escribir a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular de una unidad es de unas 4.800 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal si el CD tiene un diámetro de 120 milímetros. 1.809.557,37 mm/min = 30,16 m/s Una persona se encuentra en el ecuador de la Tierra (radio 3.960 millas). ¿Cuáles son sus velocidades lineal y angular? Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 5 minutos ( 1 minuto = 1 60 grado ) . El radio de la Tierra es de 3.960 millas. 5,76 millas Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 7 minutos ( 1 minuto = 1 60 grado ) . El radio de la Tierra es 3.960 millas. Piense en un reloj con una aguja de las horas y otra de los minutos. ¿Cuál es la medida del ángulo que traza el minutero en 20 minutos? 120 ° Extensiones Dos ciudades tienen la misma longitud. La latitud de la ciudad A es de 9,00 grados norte y la de la ciudad B es de 30,00 grados norte. Supongamos que el radio de la Tierra es de 3.960 millas. Calcule la distancia entre las dos ciudades. Una ciudad está situada a 40 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas. 794 millas por hora Una ciudad se encuentra a 75 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas. Calcule la velocidad lineal de la Luna si la distancia media entre la Tierra y la Luna es de 239.000 millas, suponiendo que la órbita de la Luna es circular y requiere unos 28 días. Exprese la respuesta en millas por hora. 2.234 millas por hora Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera. Un automóvil recorre 3 millas. Sus neumáticos hacen 2.640 revoluciones. ¿Cuál es el radio de un neumático en pulgadas? 11,5 pulgadas La rueda de un tractor tiene un diámetro de 24 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones da la rueda si el tractor recorre 4 millas? ángulo la unión de dos rayas que tienen un punto final común velocidad angular el ángulo que recorre un objeto en rotación en una unidad de tiempo longitud del arco la longitud de la curva que forma un arco área de un sector área de una porción de círculo limitada por dos radios y el arco interceptado; la fracción θ 2 π multiplicada por el área del círculo completo ángulos coterminales descripción de los ángulos positivos y negativos en posición estándar que comparten el mismo lado del terminal grado unidad de medida que describe el tamaño de un ángulo como la 360.ª parte de una revolución completa de un círculo lado inicial el lado de un ángulo a partir del cual comienza la rotación velocidad lineal la distancia a lo largo de una trayectoria recta que recorre un objeto en rotación en una unidad de tiempo; determinada por la longitud de arco medida de un ángulo la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal ángulo negativo descripción de un ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj desde el eje positivo x ángulo positivo descripción de un ángulo medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje positivo x ángulo cuadrangular un ángulo cuyo lado terminal se encuentra en un eje medición de radián el cociente de la longitud de arco que forma un ángulo, dividido entre el radio del círculo radián la medida de un ángulo central de un círculo que intercepta un arco de longitud igual al radio de dicho círculo raya un punto de una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto; el lado de un ángulo ángulo de referencia la medida del ángulo agudo que forman el lado terminal del ángulo y el eje horizontal posición estándar la posición de un ángulo que tiene el vértice en el origen y el lado inicial a lo largo del eje positivo x lado terminal el lado de un ángulo en el que termina la rotación vértice el punto final común de dos rayas que forman un ángulo", "section": "Ángulos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Círculo unitario: funciones seno y coseno El Singapore Flyer era la rueda de la fortuna más alta del mundo, hasta ser superada por el High Roller de Las Vegas y el Ain Dubai de Dubai (créditos: \"Vibin JK\"/Flickr) ¿Busca emociones? Entonces considere un paseo en el Ain Dubai, la rueda de la fortuna más alta del mundo. Ubicada en Dubai, la ciudad más poblada y el centro financiero y turístico de los Emiratos Árabes Unidos, la rueda de la fortuna se eleva a 820 pies, unas 1,5 décimas de milla. Descrita como una rueda de observación, los pasajeros disfrutan de unas vistas espectaculares del Burj Khalifa (el edificio más alto del mundo) y de Palm Jumeirah (un archipiélago construido por el hombre que alberga más de 10.000 personas y 20 complejos turísticos) mientras viajan desde el suelo hasta la cima y vuelven a bajar en un patrón repetitivo. En esta sección, examinaremos este tipo de movimiento giratorio alrededor de un círculo. Para ello, tenemos que definir primero el tipo de círculo y, a continuación, situar ese círculo en un sistema de coordenadas. Entonces podemos hablar del movimiento circular en términos de los pares de coordenadas. Hallar los valores de la función para el seno y el coseno Para definir nuestras funciones trigonométricas, empezamos por dibujar un círculo unitario, un círculo centrado en el origen con radio 1, como se muestra en la . El ángulo (en radianes) que t interseca forma un arco de longitud s . Si utilizamos la fórmula s = r t , y en el entendido de que r = 1 , vemos que, para un círculo unitario , s = t . Recordemos que los ejes de la x y de la y dividen el plano de coordenadas en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Marcamos estos cuadrantes para imitar la dirección que barrería un ángulo positivo. Los cuatro cuadrantes se denominan I, II, III y IV. Para cualquier ángulo t , podemos marcar la intersección del lado terminal y el círculo unitario por sus coordenadas, ( x , y ) . Las coordenadas de la x como y serán las salidas de las funciones trigonométricas f ( t ) = cos t y f ( t ) = sen t , respectivamente. Esto significa que x = cos t y y = sen t . Círculo unitario donde el ángulo central es t radianes Círculo unitario Un círculo unitario tiene un centro en ( 0 , 0 ) y radio 1 . En un círculo unitario, la longitud del arco intersecado es igual a la medida del radián del ángulo central t . Supongamos que ( x , y ) es el punto final en el círculo unitario de un arco de longitud de arco s . El punto ( x , y ) de este punto pueden describirse como funciones del ángulo. Definir las funciones seno y coseno Ahora, que tenemos marcado nuestro círculo unitario, podemos aprender cómo las coordenadas ( x , y ) se relacionan con la longitud del arco y el ángulo . La función seno relaciona un número real t con la coordenada de la y en el punto donde el ángulo correspondiente interseca el círculo unitario. Más precisamente, el seno de un ángulo t es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t . En la , el seno es igual a y . Al igual que en todas las funciones, la función seno tiene una entrada y una salida. Su entrada es la medida del ángulo; su salida es la coordenada de la y en el punto correspondiente en el círculo unitario. La función coseno de un ángulo t equivale al valor x del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t . En la , el coseno es igual a x . En el entendido de que el seno y el coseno son funciones, no es necesario escribirlas siempre con paréntesis: sen t es lo mismo que sen ( t ) y cos t es lo mismo que cos ( t ) . Igualmente, cos 2 t es una notación abreviada de uso común para ( cos ( t ) ) 2 . Tenga en cuenta que muchas calculadoras y computadoras no reconocen la notación abreviada. En caso de duda, utilice los paréntesis adicionales cuando introduzca los cálculos en una calculadora o una computadora. funciones seno y coseno Si los valores de t es un número real y un punto ( x , y ) en el círculo unitario corresponde a un ángulo de t , entonces cos t = x sen t = y Cómo Dado un punto P ( x , y ) en el círculo unitario correspondiente a un ángulo de t , hallar el seno y el coseno. El seno de t es igual a la coordenada de la y en el punto P : sen t = y . El coseno de t es igual a la coordenada de la x en el punto P : cos t = x . Hallar los valores de la función para el seno y el coseno El punto P es un punto en el círculo unitario que corresponde a un ángulo de t , como se muestra en la . Halle el cos ( t ) y sen ( t ) . Sabemos que cos t es la coordenada de la x en el punto correspondiente del círculo unitario y sen t es la coordenada de la y en el punto correspondiente del círculo unitario. Así que: x = cos t = 1 2 y = sen t = 3 2 Ejercicio Un cierto ángulo t corresponde a un punto en el círculo unitario en ( – 2 2 , 2 2 ) como se muestra en la . Halle cos t y sen t . cos ( t ) = - 2 2 , sen ( t ) = 2 2 Hallar el seno y coseno de los ángulos en un eje En los ángulos cuadrangulares, el punto correspondiente en el círculo unitario cae en el eje x o en el eje y . En ese caso, podemos calcular fácilmente el coseno y el seno a partir de los valores de x como y . Calcular el seno y el coseno a lo largo de un eje Halle cos ( 90° ) y sen ( 90° ) . Cuando movemos 90° en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo unitario desde el eje positivo x , nos lleva a la parte superior del círculo, donde las coordenadas ( x , y ) son (0, 1), como se muestra en la . Con nuestras definiciones de coseno y seno, x = cos t = cos ( 90° ) = 0 y = sen t = sen ( 90° ) = 1 El coseno de 90° es 0; el seno de 90° es 1. Ejercicio Hallar el coseno y el seno del ángulo π . cos ( π ) = - 1 , sen ( π ) = 0 La identidad pitagórica Ahora que podemos definir el seno y el coseno, aprenderemos cómo se relacionan entre sí y con el círculo unitario. Recordemos que la ecuación del círculo unitario es x 2 + y 2 = 1. Dado que x = cos t y y = sen t , podemos sustituir por x como y para obtener cos 2 t + sen 2 t = 1. Esta ecuación, cos 2 t + sen 2 t = 1 , se conoce como la identidad pitagórica . Vea la . Podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el coseno de un ángulo si conocemos el seno, y viceversa. Sin embargo, ya que la ecuación arroja dos soluciones, necesitamos conocer más acerca del ángulo para elegir la solución con el signo correcto. Si conocemos el cuadrante donde se encuentra el ángulo, podemos elegir fácilmente la solución correcta. identidad pitagórica La identidad pitagórica afirma que, para cualquier número real t , cos 2 t + sen 2 t = 1 Cómo Dado el seno de algún ángulo t y su ubicación en el cuadrante, hallar el coseno de t . Sustituya el valor conocido de sen ( t ) en la identidad pitagórica. Resuelva para cos ( t ) . Elija la solución con el signo adecuado para los valores de x en el cuadrante donde se encuentra t . Hallar el coseno a partir de un seno o el seno a partir de un coseno Si los valores de sen ( t ) = 3 7 y t está en el segundo cuadrante, halle cos ( t ) . Si dejamos caer una línea vertical desde el punto del círculo unitario correspondiente a t , creamos un triángulo rectángulo, a partir del cual podemos ver que la identidad pitagórica es simplemente un caso del teorema de Pitágoras. Vea el . Sustituyendo el valor conocido del seno en la identidad pitagórica, cos 2 ( t ) + sen 2 ( t ) = 1 cos 2 ( t ) + 9 49 = 1 cos 2 ( t ) = 40 49 cos ( t ) = ± 40 49 = ± 40 7 = ± 2 10 7 Dado que el ángulo está en el segundo cuadrante, sabemos que el valor de x es un número real negativo, por lo que el coseno también es negativo. Así que cos ( t ) = - 2 10 7 Ejercicio Si los valores de cos ( t ) = 24 25 y t está en el cuarto cuadrante, halle sen ( t ) . sen ( t ) = - 7 25 Hallar el seno y el coseno de los ángulos especiales Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos. Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 45° En primer lugar, examinaremos los ángulos de 45° o π 4 , como se muestra en la . Un triángulo de 45° – 45° – 90° es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales. A t = π 4 , que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular . Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea y = x . Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea y = x tiene lados x como y ( y = x ) , y un radio = 1. Vea la . A partir del teorema de Pitágoras obtenemos x 2 + y 2 = 1 Al sustituir y = x , obtenemos x 2 + x 2 = 1 Al combinar términos similares obtenemos 2 x 2 = 1 Asimismo, al resolver para x , obtenemos x 2 = 1 2 x = ± 1 2 En el cuadrante I, x = 1 2 . En t = π 4 o 45 grados, ( x , y ) = ( x , x ) = ( 1 2 , 1 2 ) x = 1 2 , y = 1 2 cos t = 1 2 , sen t = 1 2 Si entonces racionalizamos los denominadores, obtenemos cos t = 1 2 2 2 = 2 2 sen t = 1 2 2 2 = 2 2 Por lo tanto, las coordenadas ( x , y ) de un punto en un círculo de radio 1 en un ángulo de 45° son ( 2 2 , 2 2 ) . Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de 30° , o π 6 . En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de 30° , y otro lado en un ángulo de −30° , como se muestra en la . Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán 60° , como se muestra en la . Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud 2 y , y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que r = 2 y o y = 1 2 r . Dado que sen t = y , sen ( π 6 ) = 1 2 r Además, ya que r = 1 en nuestro círculo unitario , sen ( π 6 ) = 1 2 ( 1 ) = 1 2 Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno. cos 2 π 6 + sen 2 ( π 6 ) = 1 cos 2 ( π 6 ) + ( 1 2 ) 2 = 1 cos 2 ( π 6 ) = 3 4 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . cos ( π 6 ) = ± 3 ± 4 = 3 2 Dado que y es positivo, elija la raíz positiva . Las coordenadas ( x , y ) para el punto en un círculo con radio 1 en un ángulo de 30° son ( 3 2 , 1 2 ) . En t = π 3 (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, B A D , como se muestra en la . El ángulo A tiene medida 60° . En el punto B , dibujamos un ángulo A B C con medida de 60° . Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180° , por lo que la medida del ángulo C también es 60° . Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero A B C tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1. La medida del ángulo A B D es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo A B C es de 60°. B D es la bisectriz perpendicular de A C , por lo que corta A C por la mitad. Esto significa que A D es 1 2 del radio, o 1 2 . Observe que A D es la coordenada de la x en el punto B , que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo B A D con hipotenusa de 1 y lado x de longitud 1 2 . A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos x 2 + y 2 = 1 Sustituyendo x = 1 2 , obtenemos ( 1 2 ) 2 + y 2 = 1 Resuelva para y , obtenemos 1 4 + y 2 = 1 y 2 = 1 - 1 4 y 2 = 3 4 y = ± 3 2 Dado que t = π 3 tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos y = 3 2 , el valor positivo. A t = π 3 (60°), las coordenadas ( x , y ) para el punto en un círculo con radio 1 en un ángulo de 60° son ( 1 2 , 3 2 ) , para que hallemos el seno y el coseno. ( x , y ) = ( 1 2 , 3 2 ) x = 1 2 , y = 3 2 cos t = 1 2 , sen t = 3 2 Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La resume estos valores. Ángulo 0 π 6 , o 30 π 4 , o 45° π 3 , o 60° π 2 , o 90° Coseno 1 3 2 2 2 1 2 0 Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 La muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. Usar una calculadora para hallar el seno y el coseno Para hallar el coseno y el seno de otros ángulos que no sean los ángulos especiales , recurrimos a la computadora o a la calculadora. Tenga en cuenta : La mayoría de las calculadoras pueden ponerse en modo \"grados\" o \"radianes\", lo que le indica las unidades del valor de entrada. Cuando evaluamos cos ( 30 ) en la calculadora, esta lo evaluará como el coseno de 30 grados si está en modo \"grados\", o el coseno de 30 radianes si está en modo \"radianes\". Cómo Dado un ángulo en radianes, utilizar una calculadora gráfica para hallar el coseno. Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián. Pulse la tecla COS. Introduzca el valor del radián del ángulo y pulse la tecla de cierre de paréntesis \")\". Pulse ENTER. Usar la calculadora gráfica para hallar el seno y el coseno Evalúe cos ( 5 π 3 ) con la calculadora gráfica o la computadora. Pulse las siguientes teclas: COS ( 5 × π ÷ 3 ) ENTER cos ( 5 π 3 ) = 0,5 Análisis Podemos hallar el coseno o el seno de un ángulo en grados directamente en la calculadora en modo \"grados\". En el caso de las calculadoras o los programas informáticos que solo utilizan el modo \"radianes\", podemos hallar el seno de 20° , por ejemplo, al incluir el factor de conversión a radianes como parte de la entrada: SIN ( 20 × π ÷ 180 ) ENTER Ejercicio Evalúe sen ( π 3 ) . aproximadamente 0,866025403 Identificar el dominio y rango de las funciones seno y coseno Ahora que podemos hallar el seno y el coseno de un ángulo, tenemos que hablar del dominio y el rango. ¿Cuál es el dominio de las funciones seno y coseno? Es decir, ¿cuáles son los números mínimos y máximos que pueden ser entradas de las funciones? Debido a que los ángulos menores que 0 y los mayores que 2 π pueden seguir graficándose en el círculo unitario y tener valores reales de x , y , y r , no hay límite inferior o superior a los ángulos que pueden introducirse en las funciones de seno y coseno. La entrada de las funciones de seno y coseno es la rotación desde el eje positivo x , y puede ser cualquier número real. ¿Cuál es el rango de las funciones seno y coseno? ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo posibles de su salida? Podemos ver las respuestas al examinar el círculo unitario , como se muestra en la . Los límites de la coordenada de la x son [ −1 , 1 ] . Los límites de la coordenada de la y también son [ −1 , 1 ] . Por lo tanto, el rango de las funciones seno y coseno es [ −1 , 1 ] . Hallar ángulos de referencia Hemos hablado acerca de hallar el seno y el coseno de los ángulos en el primer cuadrante, pero ¿qué pasa si nuestro ángulo está en otro cuadrante? Para cualquier ángulo dado en el primer cuadrante, hay un ángulo en el segundo cuadrante con el mismo valor del seno. Dado que el valor del seno es la coordenada de la y en el círculo unitario, el otro ángulo con el mismo seno compartirá el mismo valor y , pero tendrá el valor x opuesto. Por lo tanto, su valor del coseno será el opuesto al valor del coseno del primer ángulo. Asimismo, habrá un ángulo en el cuarto cuadrante con el mismo coseno que el ángulo original. El ángulo con el mismo coseno compartirá el mismo valor x , pero tendrá el valor y opuesto. Por lo tanto, su valor del seno será el opuesto al valor del seno del ángulo original. Como se muestra en la , el ángulo α tiene el mismo valor del seno que el ángulo t ; los valores del coseno son opuestos. El ángulo β tiene el mismo valor del coseno que el ángulo t ; los valores del seno son opuestos. sen ( t ) = sen ( α ) y cos ( t ) = - cos ( α ) sen ( t ) = - sen ( β ) y cos ( t ) = cos ( β ) Recordemos que el ángulo de referencia es el ángulo agudo, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. El ángulo de referencia es siempre un ángulo entre 0 y 90° , o 0 y π 2 radianes. Como podemos observar en la , para cualquier ángulo en los cuadrantes II, III o IV, hay un ángulo de referencia en el cuadrante I. Cómo Dado un ángulo entre 0 y 2 π , hallar su ángulo de referencia. Un ángulo en el primer cuadrante es su propio ángulo de referencia. Para un ángulo en el segundo o tercer cuadrante, el ángulo de referencia es | π − t | o | 180° −t | . Para un ángulo en el cuarto cuadrante, el ángulo de referencia es 2 π − t o 360° −t . Si un ángulo es menor que 0 o mayor que 2 π , sume o reste 2 π tantas veces como sea necesario para hallar un ángulo equivalente entre 0 y 2 π . Hallar el ángulo de referencia Calcule el ángulo de referencia de 225° como se muestra en la . Debido a que 225° está en el tercer cuadrante, el ángulo de referencia es | ( 180° −225° ) | = | − 45° | = 45° Ejercicio Calcule el ángulo de referencia de 5 π 3 . π 3 Usar ángulos de referencia Ahora tomemos un momento para reconsiderar la rueda de la fortuna que se mencionó al principio de esta sección. Supongamos que un pasajero toma una fotografía mientras la rueda de la fortuna está detenida a veinte pies sobre el nivel del suelo. A continuación, el pasajero rota tres cuartas partes del círculo. ¿Cuál es la nueva elevación del pasajero? Para responder a preguntas como esta, tenemos que evaluar las funciones seno o coseno en ángulos mayores de 90 grados o en un ángulo negativo . Los ángulos de referencia permiten evaluar las funciones trigonométricas para ángulos fuera del primer cuadrante. También se utilizan para hallar las coordenadas ( x , y ) para esos ángulos. Utilizaremos el ángulo de referencia del ángulo de rotación combinado con el cuadrante en el que se encuentra el lado terminal del ángulo. Usar ángulos de referencia para evaluar funciones trigonométricas Podemos hallar el coseno y el seno de cualquier ángulo en cualquier cuadrante si conocemos el coseno o el seno de su ángulo de referencia. Los valores absolutos del coseno y del seno de un ángulo son los mismos que los del ángulo de referencia. El signo depende del cuadrante del ángulo original. El coseno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de x en ese cuadrante. El seno será positivo o negativo, dependiendo del signo de los valores de y en ese cuadrante. Usar ángulos de referencia para hallar el coseno y el seno Los ángulos tienen coseno y seno con el mismo valor absoluto que el coseno y seno de sus ángulos de referencia. El signo (positivo o negativo) se puede determinar a partir del cuadrante del ángulo. Cómo Dado un ángulo en posición estándar, hallar el ángulo de referencia, y el coseno y el seno del ángulo original. Mida el ángulo entre el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Ese es el ángulo de referencia. Determine los valores del coseno y del seno del ángulo de referencia. Otorgue al coseno el mismo signo que los valores de x en el cuadrante del ángulo original. Otorgue al seno el mismo signo que los valores de y en el cuadrante del ángulo original. Usar ángulos de referencia para hallar el seno y el coseno Ⓐ Con un ángulo de referencia, halle el valor exacto de cos ( 150° ) y sen ( 150° ) . Ⓑ Con el ángulo de referencia, calcule cos 5 π 4 y sen 5 π 4 . Ⓐ 150° se encuentra en el segundo cuadrante. El ángulo que forma con el eje x es de 180° - 150° = 30°, por lo que el ángulo de referencia es de 30°. Esto nos indica que 150° tiene los mismos valores de seno y coseno que 30°, excepto el signo. Sabemos que cos ( 30° ) = 3 2 y sen ( 30° ) = 1 2 . Dado que 150° está en el segundo cuadrante, la coordenada de la x del punto del círculo es negativa, por lo que el valor del coseno es negativo. La coordenada de la y es positiva, por lo que el valor del seno es positivo. cos ( 150° ) = - 3 2 y sen ( 150° ) = 1 2 Ⓑ 5 π 4 está en el tercer cuadrante. Su ángulo de referencia es 5 π 4 − π = π 4 . El coseno y el seno de π 4 son ambos 2 2 . En el tercer cuadrante, ambos x como y son negativos, por lo que: cos 5 π 4 = - 2 2 y sen 5 π 4 = - 2 2 Ejercicio Ⓐ Utilice el ángulo de referencia de 315° para calcular cos ( 315° ) y sen ( 315° ) . Ⓑ Utilice el ángulo de referencia de − π 6 para calcular cos ( - π 6 ) y sen ( - π 6 ) . Ⓐ cos ( 315 ° ) = 2 2 , sen ( 315 ° ) = – 2 2 Ⓑ cos ( - π 6 ) = 3 2 , sen ( - π 6 ) = - 1 2 Usar ángulos de referencia para hallar coordenadas Ahora que hemos aprendido a calcular los valores del coseno y del seno para los ángulos especiales del primer cuadrante, podemos utilizar la simetría y los ángulos de referencia para completar los valores del coseno y del seno en el resto de los ángulos especiales del círculo unitario. Se muestran en la . Tómese su tiempo para aprender las coordenadas ( x , y ) de todos los ángulos mayores en el primer cuadrante. Ángulos especiales y coordenadas de los puntos correspondientes del círculo unitario Además de aprender los valores de los ángulos especiales, podemos utilizar los ángulos de referencia para hallar coordenadas ( x , y ) en cualquier punto del círculo unitario, con lo que sabemos de los ángulos de referencia junto con las identidades x = cos t y = sen t Primero, hallamos el ángulo de referencia correspondiente al ángulo dado. A continuación, tomamos los valores del seno y del coseno del ángulo de referencia y les atribuimos los signos correspondientes a los valores de y y de x del cuadrante. Cómo Dado el ángulo de un punto de un círculo y su radio, hallar las coordenadas ( x , y ) del punto. Halle el ángulo de referencia al medir el ángulo más pequeño con respecto al eje x . Halle el coseno y el seno del ángulo de referencia. Determine los signos adecuados para la x como y en el cuadrante dado. Usar el círculo unitario para hallar coordenadas Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de 7 π 6 . Sabemos que el ángulo 7 π 6 está en el tercer cuadrante. En primer lugar, hallaremos el ángulo de referencia al medir el ángulo al eje x . Para hallar el ángulo de referencia de un ángulo cuyo lado terminal está en el cuadrante III, calculamos la diferencia del ángulo y π . 7 π 6 − π = π 6 A continuación, hallaremos el coseno y el seno del ángulo de referencia: cos ( π 6 ) = 3 2 sen ( π 6 ) = 1 2 Debemos determinar los signos adecuados para la x y la y en el cuadrante dado. Dado que nuestro ángulo original está en el tercer cuadrante, donde los valores tanto de la x como y son negativos, tanto el coseno como el seno son negativos. cos ( 7 π 6 ) = - 3 2 sen ( 7 π 6 ) = - 1 2 Ahora podemos calcular las coordenadas ( x , y ) por medio de las identidades x = cos θ y y = sen θ . Las coordenadas del punto son ( - 3 2 , - 1 2 ) en el círculo de la unidad. Ejercicio Halle las coordenadas del punto del círculo unitario en un ángulo de 5 π 3 . ( 1 2 , - 3 2 ) Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones seno y coseno. Funciones trigonométricas con el círculo unitario Seno y coseno a partir del círculo unitario Seno y coseno a partir del círculo unitario y múltiplos de Pi divididos entre seis Seno y coseno del círculo unitario y múltiplos de Pi divididos entre cuatro Funciones trigonométricas con ángulos de referencia Ecuaciones clave Coseno cos t = x Seno sen t = y identidad pitagórica cos 2 t + sen 2 t = 1 Conceptos clave La búsqueda de los valores de las funciones del seno y del coseno comienza al dibujar un circulo unitario, centrado en el origen y con un radio de 1 unidad. Utilizando el círculo unitario, el seno de un ángulo t es igual al valor y del punto final en el círculo unitario de un arco de longitud t mientras que el coseno de un ángulo t es igual al valor x del punto final. Vea el . Los valores del seno y del coseno se determinan más directamente cuando el punto correspondiente del círculo unitario cae sobre un eje. Vea el . Cuando se conoce el seno o el coseno, podemos utilizar la identidad pitagórica para hallar el otro. La identidad pitagórica también sirve para determinar el seno y coseno de ángulos especiales. Vea el . Las calculadoras y los programas de gráficos son útiles para hallar el seno y el coseno si se conoce el procedimiento adecuado para introducir la información. Vea el . El dominio de las funciones seno y coseno son todos los números reales. El rango de las funciones seno y coseno es [ - 1 , 1 ] . El seno y el coseno de un ángulo tienen el mismo valor absoluto que el seno y el coseno de su ángulo de referencia. Los signos del seno y del coseno se determinan a partir de los valores de x y de y en el cuadrante del ángulo original. El ángulo de referencia es el ángulo de tamaño, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Vea el . Los ángulos de referencia pueden utilizarse para hallar el seno y el coseno del ángulo original. Vea el . Los ángulos de referencia también se pueden utilizar para hallar las coordenadas de un punto en un círculo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa el círculo unitario. El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen. ¿Qué representan las coordenadas de la x y de la y de los puntos en el círculo unitario? Comente sobre la diferencia entre un ángulo coterminal y un ángulo de referencia. Los ángulos coterminales comparten el mismo lado terminal. Un ángulo de referencia es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Explique en qué se diferencia el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante del coseno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario. Explique en qué se diferencia el seno de un ángulo en el segundo cuadrante del seno, de su ángulo de referencia en el circulo unitario. Los valores del seno son iguales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice el signo dado de las funciones seno y coseno para hallar el cuadrante en el que se asienta el punto terminal determinado por t . sen ( t ) < 0 y cos ( t ) < 0 sen ( t ) > 0 y cos ( t ) > 0 I sen ( t ) > 0 y cos ( t ) < 0 sen ( t ) < 0 y cos ( t ) > 0 IV En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada función trigonométrica. sen π 2 sen π 3 3 2 cos π 2 cos π 3 1 2 sen π 4 cos π 4 2 2 sen π 6 sen π 0 sen 3 π 2 cos π −1 cos 0 cos π 6 3 2 sen 0 Numéricos En los siguientes ejercicios, indique el ángulo de referencia para el ángulo dado. 240° 60° − 170° 100° 80° − 315° 135° 45° 5 π 4 2 π 3 π 3 5 π 6 − 11 π 3 π 3 − 7 π 4 − π 8 π 8 En los siguientes ejercicios, halle el ángulo de referencia, el cuadrante del lado terminal y el seno y coseno de cada ángulo. Si el ángulo no es uno de los ángulos especiales del círculo unitario, utilice la calculadora y redondee a tres decimales. 225° 300° 60° , cuadrante IV, sen ( 300° ) = - 3 2 , cos ( 300° ) = 1 2 320° 135° 45° , cuadrante II, sen ( 135° ) = 2 2 , cos ( 135° ) = - 2 2 210° 120° 60° , cuadrante II, sen ( 120° ) = 3 2 , cos ( 120° ) = - 1 2 250° 150° 30° , cuadrante II, sen ( 150° ) = 1 2 , cos ( 150° ) = - 3 2 5 π 4 7 π 6 π 6 , Cuadrante III, sen ( 7 π 6 ) = - 1 2 , cos ( 7 π 6 ) = - 3 2 5 π 3 3 π 4 π 4 , cuadrante II, sen ( 3 π 4 ) = 2 2 , cos ( 4 π 3 ) = - 2 2 4 π 3 2 π 3 π 3 , cuadrante II, sen ( 2 π 3 ) = 3 2 , cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 5 π 6 7 π 4 π 4 , cuadrante IV, sen ( 7 π 4 ) = - 2 2 , cos ( 7 π 4 ) = 2 2 En los siguientes ejercicios, halle el valor solicitado. Si los valores de cos ( t ) = 1 7 y t está en el 4. o cuadrante, halle sen ( t ) . Si los valores de cos ( t ) = 2 9 y t está en el 1. o cuadrante, halle sen ( t ) . 77 9 Si los valores de sen ( t ) = 3 8 y t está en el 2. o cuadrante, halle cos ( t ) . Si los valores de sen ( t ) = - 1 4 y t está en el 3. o cuadrante, halle cos ( t ) . − 15 4 Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 15 correspondiente a un ángulo de 220° . Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 20 correspondiente a un ángulo de 120° . ( − 10 , 10 3 ) Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 8 correspondiente a un ángulo de 7 π 4 . Halle las coordenadas del punto en un círculo de radio 16 correspondiente a un ángulo de 5 π 9 . ( – 2,778 , 15,757 ) Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el punto dado en el circulo unitario para hallar el valor del seno y el coseno de t . sen t = 1 2 , cos t = - 3 2 sen t = - 2 2 , cos t = - 2 2 sen t = 3 2 , cos t = - 1 2 sen t = - 2 2 , cos t = 2 2 sen t = 0 , cos t = - 1 sen t = − 0,596 , cos t = 0,803 sen t = 1 2 , cos t = 3 2 sen t = - 1 2 , cos t = 3 2 sen t = 0,761 , cos t = − 0,649 sen t = 1 , cos t = 0 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar. sen 5 π 9 cos 5 π 9 -0,1736 sen π 10 cos π 10 0,9511 sen 3 π 4 cos 3 π 4 -0,7071 sen 98° cos 98° -0,1392 cos 310° sen 310° -0,7660 Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe. sen ( 11 π 3 ) cos ( - 5 π 6 ) sen ( 3 π 4 ) cos ( 5 π 3 ) 2 4 sen ( - 4 π 3 ) cos ( π 2 ) sen ( − 9 π 4 ) cos ( - π 6 ) − 6 4 sen ( π 6 ) cos ( - π 3 ) sen ( 7 π 4 ) cos ( – 2 π 3 ) 2 4 cos ( 5 π 6 ) cos ( 2 π 3 ) cos ( - π 3 ) cos ( π 4 ) 2 4 sen ( - 5 π 4 ) sen ( 11 π 6 ) sen ( π ) sen ( π 6 ) 0 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un niño se sube a un carrusel que tarda un minuto en dar una vuelta. El niño entra en el punto ( 0 , 1 ) , es decir, en la posición hacia el norte. Supongamos que el carrusel gira en sentido contrario a las agujas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 45 segundos? ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 90 segundos? ( 0 , – 1 ) ¿Cuáles son las coordenadas del niño después de 125 segundos? ¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas ( 0,707 , –0,707 ) si el viaje dura 6 minutos? (Son varias las respuestas). 37,5 segundos, 97,5 segundos, 157,5 segundos, 217,5 segundos, 277,5 segundos, 337,5 segundos ¿Cuándo tendrá el niño las coordenadas ( -0,866 , -0,5 ) si el viaje dura 6 minutos? función coseno el valor de x del punto del círculo unitario correspondiente a un ángulo determinado identidad pitagórica corolario del teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado del coseno de un ángulo dado más el cuadrado del seno de ese ángulo es igual a 1 función seno el valor de y del punto del círculo unitario correspondiente a un ángulo determinado círculo unitario un círculo con centro en ( 0 , 0 ) y radio 1.", "section": "Círculo unitario: funciones seno y coseno", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Las otras funciones trigonométricas Una rampa para sillas de ruedas que cumpla las normas de la Ley de Estadounidenses con Discapacidades debe formar un ángulo con el suelo cuya tangente sea 1 12 o menos, independientemente de su longitud. Una tangente representa un cociente, por lo que esto significa que por cada 1 pulgada de subida, la rampa deberá tener 12 pulgadas de recorrido. Las funciones trigonométricas nos permiten especificar las formas y proporciones de los objetos, independientemente de las dimensiones exactas. Ya hemos definido las funciones seno y coseno de un ángulo. Aunque el seno y el coseno son las funciones trigonométricas más utilizadas, existen otras cuatro. Juntas forman el conjunto de las seis funciones trigonométricas. En esta sección, investigaremos las funciones restantes. Hallar los valores exactos de las funciones trigonométricas secante, cosecante, tangente y cotangente Para definir el resto de las funciones, volveremos a dibujar un círculo unitario con un punto ( x , y ) correspondiente a un ángulo de t , como se muestra en la . Al igual que con el seno y el coseno, podemos utilizar las coordenadas ( x , y ) para hallar las otras funciones. La primera función que definiremos es la tangente. La tangente de un ángulo es el cociente entre el valor de y , y el valor de x del punto correspondiente del círculo unitario. En la , la tangente del ángulo t es igual a y x , x ≠0. Debido a que el valor de y es igual al seno de t , y el valor de x es igual al coseno de t , la tangente del ángulo t también puede definirse como sen t cos t , cos t ≠ 0 . La función tangente se abrevia como tan . Las tres funciones restantes pueden expresarse como recíprocas de las funciones que ya hemos definido. La función secante es la recíproca de la función coseno. En la , la secante del ángulo t es igual a 1 cos t = 1 x , x ≠ 0 . La función secante se abrevia como sec . La función cotangente es la recíproca de la función tangente. En la , la cotangente del ángulo t es igual a cos t sen t = x y , y ≠ 0 . La función cotangente se abrevia como cot . La función cosecante es la recíproca de la función seno. En la , la cosecante del ángulo t es igual a 1 sen t = 1 y , y ≠ 0 . La función cosecante se abrevia como csc . Funciones tangente, secante, cosecante y cotangente Si los valores de t es un número real y ( x , y ) es un punto donde el lado terminal de un ángulo de t radianes interseca el círculo unitario, entonces tan t = y x , x ≠ 0 sec t = 1 x , x ≠ 0 csc t = 1 y , y ≠ 0 cot t = x y , y ≠ 0 Hallar funciones trigonométricas a partir de un punto en el círculo unitario El punto ( - 3 2 , 1 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la . Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . Ya que sabemos que las coordenadas ( x , y ) del punto del círculo unitario indicado por el ángulo t , podemos utilizar esas coordenadas para determinar las seis funciones: sen t = y = 1 2 cos t = x = - 3 2 tan t = y x = 1 2 - 3 2 = 1 2 ( – 2 3 ) = - 1 3 = - 3 3 sec t = 1 x = 1 - 3 2 = - 2 3 = - 2 3 3 csc t = 1 y = 1 1 2 = 2 cot t = x y = - 3 2 1 2 = - 3 2 ( 2 1 ) = - 3 Ejercicio El punto ( 2 2 , - 2 2 ) está en el círculo unitario, como se indica en la . Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . sen t = - 2 2 , cos t = 2 2 , tan t = - 1 , sec t = 2 , csc t = - 2 , cot t = - 1 Hallar las funciones trigonométricas de un ángulo Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t cuando t = π 6 . Anteriormente hemos utilizado las propiedades de los triángulos equiláteros para demostrar que sen π 6 = 1 2 y cos π 6 = 3 2 . Podemos utilizar estos valores y las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente como funciones del seno y del coseno para calcular los valores restantes de la función. tan π 6 = sen π 6 cos π 6 = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 sec π 6 = 1 cos π 6 = 1 3 2 = 2 3 = 2 3 3 csc π 6 = 1 sen π 6 = 1 1 2 = 2 cot π 6 = cos π 6 sen π 6 = 3 2 1 2 = 3 Ejercicio Halle sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t cuando t = π 3 . sen π 3 = 3 2 , cos π 3 = 1 2 , tan π 3 = 3 , sec π 3 = 2 , csc π 3 = 2 3 3 , cot π 3 = 3 3 Ya que conocemos los valores del seno y del coseno para los ángulos comunes del primer cuadrante, también podemos calcular los demás valores de la función para esos ángulos al establecer x igual al coseno, así como y igual al seno y luego usar las definiciones de tangente, secante, cosecante y cotangente. Los resultados se indican en la . Ángulo 0 π 6 , o 30°. π 4 , o 45°. π 3 , o 60°. π 2 , o 90°. Coseno 1 3 2 2 2 1 2 0 Seno 0 1 2 2 2 3 2 1 Tangente 0 3 3 1 3 Indefinida Secante 1 2 3 3 2 2 Indefinida Cosecante Indefinida 2 2 2 3 3 1 Cotangente Indefinida 3 1 3 3 0 Usar ángulos de referencia para evaluar la tangente, la secante, la cosecante y la cotangente Podemos evaluar funciones trigonométricas de ángulos fuera del primer cuadrante utilizando ángulos de referencia, como ya lo hemos hecho con las funciones seno y coseno. El procedimiento es el mismo: Halle el ángulo de referencia formado por el lado terminal del ángulo dado con el eje horizontal. Los valores de la función trigonométrica para el ángulo original serán los mismos que los del ángulo de referencia, excepto el signo positivo o negativo, que viene determinado por los valores de x y de y en el cuadrante original. La muestra qué funciones son positivas en qué cuadrante. Para recordar cuáles de las seis funciones trigonométricas son positivas en cada cuadrante, podemos utilizar la frase nemotécnica: “A Smart Trig Class” (Una clase de trigonometría inteligente). Cada una de las cuatro palabras de la frase corresponde a uno de los cuatro cuadrantes, empezando por el cuadrante I y girando en sentido contrario a las agujas del reloj. En el cuadrante I, que es \" A \", “ a ll” (todas las) seis funciones trigonométricas son positivas. En el cuadrante II, \" S mart”, solo el s eno y su función recíproca, la cosecante, son positivos. En el cuadrante III, \" T rig”, solo la t angente y su función recíproca, cotangente, son positivas. Por último, en el cuadrante IV, \" C lass,” (clase) solo el c oseno y su función recíproca, la secante, son positivos. Cómo Dado un ángulo que no está en el primer cuadrante, utilizar los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas. Mida el ángulo formado por el lado terminal del ángulo dado y el eje horizontal. Este es el ángulo de referencia. Evalúe la función en el ángulo de referencia. Observe el cuadrante donde se encuentra el lado terminal del ángulo original. Con base en el cuadrante, determine si la salida es positiva o negativa. Usar ángulos de referencia para hallar funciones trigonométricas Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de − 5 π 6 . El ángulo entre el lado terminal de este ángulo y el eje x es π 6 , por lo que ese es el ángulo de referencia. Dado que − 5 π 6 está en el tercer cuadrante, donde tanto x como y son negativos, el coseno, el seno, la secante y la cosecante serán negativos, mientras que la tangente y la cotangente serán positivas. cos ( - 5 π 6 ) = - 3 2 , sen ( - 5 π 6 ) = - 1 2 , tan ( - 5 π 6 ) = 3 3 sec ( - 5 π 6 ) = - 2 3 3 , csc ( - 5 π 6 ) = - 2 , cot ( - 5 π 6 ) = 3 Ejercicio Utilice los ángulos de referencia para hallar las seis funciones trigonométricas de − 7 π 4 . sen ( − 7 π 4 ) = 2 2 , cos ( − 7 π 4 ) = 2 2 , tan ( − 7 π 4 ) = 1 , sec ( − 7 π 4 ) = 2 , csc ( − 7 π 4 ) = 2 , cot ( − 7 π 4 ) = 1 Usar funciones trigonométricas pares e impares Para utilizar libremente nuestras seis funciones trigonométricas con entradas de ángulos positivos y negativos, debemos examinar cómo trata cada función una entrada negativa. Resulta que hay una diferencia importante entre las funciones en este respecto. Considere la función f ( x ) = x 2 , que se muestra en la . El gráfico de la función es simétrico con respecto al eje y . A lo largo de la curva, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos tienen el mismo valor de función. Esto coincide con el resultado del cálculo: ( 4 ) 2 = ( –4 ) 2 , ( −5 ) 2 = ( 5 ) 2 , y así sucesivamente. Así que f ( x ) = x 2 es una función par , una función tal que dos entradas que son opuestas tienen la misma salida. Esto significa que f ( - x ) = f ( x ) . La función f ( x ) = x 2 es una función par. Consideremos ahora la función f ( x ) = x 3 , que se muestra en la . El gráfico no es simétrico con respecto al eje y . A lo largo del gráfico, dos puntos cualesquiera con valores de x opuestos también tienen valores de y opuestos. Así que f ( x ) = x 3 es una función impar , una función tal que dos entradas que son opuestas tienen salidas que también son opuestas. Esto significa que f ( - x ) = - f ( x ) . La función f ( x ) = x 3 es una función impar. Podemos comprobar si una función trigonométrica es par o impar al dibujar un círculo unitario con un ángulo positivo y otro negativo, como en la . El seno del ángulo positivo es y . El seno del ángulo negativo es - y . La función seno , entonces, es una función impar. Podemos probar cada una de las seis funciones trigonométricas de esta manera. Los resultados se indican en la . sen t = y sen ( − t ) = - y sen t ≠ sen ( − t ) cos t = x cos ( − t ) = x cos t = cos ( − t ) tan ( t ) = y x tan ( − t ) = - y x tan t ≠ tan ( − t ) sec t = 1 x sec ( − t ) = 1 x sec t = sec ( − t ) csc t = 1 y csc ( − t ) = 1 - y csc t ≠ csc ( − t ) cot t = x y cot ( − t ) = x - y cot t ≠ cot ( − t ) Funciones trigonométricas pares e impares La función par es aquella en la que f ( - x ) = f ( x ) . Una función impar es aquella en la que f ( - x ) = - f ( x ) . El coseno y la secante son pares: cos ( − t ) = cos t sec ( − t ) = sec t El seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares: sen ( − t ) = - sen t tan ( − t ) = - tan t csc ( − t ) = - csc t cot ( − t ) = - cot t Usar las propiedades pares e impares de las funciones trigonométricas Si la secante del ángulo t es 2, ¿cuál es la secante de − t ? La secante es una función par. La secante de un ángulo es igual a la secante de su opuesto. Por lo tanto, si la secante del ángulo t es 2, la secante de − t también será 2. Ejercicio Si la cotangente del ángulo t es 3 , ¿cuál es la cotangente de − t ? - 3 Reconocer y utilizar las identidades fundamentales Hemos explorado una serie de propiedades de las funciones trigonométricas. Ahora, podemos llevar las relaciones un paso más allá y derivar algunas identidades fundamentales. Las identidades son enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen. Normalmente, las identidades se derivan de definiciones y relaciones que ya conocemos. Por ejemplo, la identidad pitagórica, que aprendimos antes, se deriva del teorema de Pitágoras y de las definiciones de seno y coseno. Identidades fundamentales Podemos derivar algunas identidades útiles de las seis funciones trigonométricas. Las otras cuatro funciones trigonométricas pueden relacionarse con las funciones seno y coseno por medio de estas relaciones básicas: tan t = sen t cos t sec t = 1 cos t csc t = 1 sen t cot t = 1 tan t = cos t sen t Usar identidades para evaluar funciones trigonométricas Ⓐ Dados sen ( 45° ) = 2 2 , cos ( 45° ) = 2 2 , evaluar tan ( 45° ) . Ⓑ Dados sen ( 5 π 6 ) = 1 2 , cos ( 5 π 6 ) = - 3 2 , evalúe sec ( 5 π 6 ) . Ya que conocemos los valores del seno y del coseno de estos ángulos, podemos utilizar las identidades para evaluar las demás funciones. Ⓐ tan ( 45° ) = sen ( 45° ) cos ( 45° ) = 2 2 2 2 = 1 Ⓑ sec ( 5 π 6 ) = 1 cos ( 5 π 6 ) = 1 - 3 2 = - 2 3 = - 2 3 3 Ejercicio Evalúe csc ( 7 π 6 ) . - 2 Usar identidades para simplificar expresiones trigonométricas Simplifique sec t tan t . Podemos simplificar esto al reescribir ambas funciones en términos de seno y coseno. sec t tan t = 1 cos t sen t cos t Para dividir las funciones, multiplicamos por el recíproco . = 1 cos t cos t sen t Dividimos los cosenos . = 1 sen t Simplificamos y utilizamos la identidad . = csc t Al demostrar que sec t tan t puede simplificarse a csc t , hemos establecido, de hecho, una nueva identidad. sec t tan t = csc t Ejercicio Simplifique ( tan t ) ( cos t ) . sen t Formas alternativas de la identidad pitagórica Podemos utilizar estas identidades fundamentales para derivar formas alternativas de la identidad pitagórica , cos 2 t + sen 2 t = 1. Una forma se obtiene al dividir ambos lados entre cos 2 t : cos 2 t cos 2 t + sen 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t 1 + tan 2 t = sec 2 t La otra forma se obtiene al dividir ambos lados entre sen 2 t : cos 2 t sen 2 t + sen 2 t sen 2 t = 1 sen 2 t cot 2 t + 1 = csc 2 t Formas alternativas de la identidad pitagórica 1 + tan 2 t = sec 2 t cot 2 t + 1 = csc 2 t Usar identidades para relacionar funciones trigonométricas Si los valores de cos ( t ) = 12 13 y t está en el cuadrante IV, como se indica en la , halle los valores de las otras cinco funciones trigonométricas. Podemos hallar el seno mediante la identidad pitagórica, cos 2 t + sen 2 t = 1 , y las funciones restantes al relacionarlas con el seno y el coseno. ( 12 13 ) 2 + sen 2 t = 1 sen 2 t = 1 - ( 12 13 ) 2 sen 2 t = 1 − 144 169 sen 2 t = 25 169 sen t = ± 25 169 sen t = ± 25 169 sen t = ± 5 13 El signo del seno depende de los valores de y en el cuadrante donde se encuentra el ángulo. Dado que el ángulo está en el cuadrante IV, donde los valores de y son negativos, su seno es negativo, − 5 13 . El resto de las funciones puede calcularse mediante identidades que las relacionen con el seno y el coseno. tan t = sen t cos t = - 5 13 12 13 = - 5 12 sec t = 1 cos t = 1 12 13 = 13 12 csc t = 1 sen t = 1 - 5 13 = - 13 5 cot t = 1 tan t = 1 - 5 12 = − 12 5 Ejercicio Si los valores de sec ( t ) = − 17 8 y 0 < t < π , halle los valores de las otras cinco funciones. cos t = - 8 17 , sen t = 15 17 , tan t = - 15 8 csc t = 17 15 , cot t = - 8 15 Como hemos comentado al inicio del capítulo, la función que repite sus valores en intervalos regulares se conoce como función periódica . Las funciones trigonométricas son periódicas. Para las cuatro funciones trigonométricas, seno, coseno, cosecante y secante, la revolución de un círculo o 2 π , dará lugar a las mismas salidas para estas funciones. Igualmente, para la tangente y la cotangente, solo media revolución dará lugar a las mismas salidas. Otras funciones también pueden ser periódicas. Por ejemplo, la duración de los meses se repite cada cuatro años. Si los valores de x representa el tiempo de duración, medido en años, y f ( x ) representa el número de días en el mes de febrero, entonces f ( x + 4 ) = f ( x ) . Este patrón se repite una y otra vez a lo largo del tiempo. En otras palabras, cada cuatro años, es seguro que febrero tenga el mismo número de días que tenía 4 años antes. El 4 es el menor número positivo que satisface esta condición y se denomina periodo. Un periodo es el intervalo más corto en el que una función realiza un ciclo completo; en este ejemplo, el período es 4 y representa el tiempo que tardamos en estar seguros de que febrero tendrá el mismo número de días. Periodo de una función El periodo P de una función repetitiva f es el número que representa el intervalo tal que f ( x + P ) = f ( x ) para cualquier valor de x . El periodo de las funciones coseno, seno, secante y cosecante es 2 π . El periodo de las funciones tangente y cotangente es π . Hallar los valores de las funciones trigonométricas Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t con base en la . sen t = y = - 3 2 cos t = x = - 1 2 tan t = sen t cos t = - 3 2 – 1 2 = 3 sec t = 1 cos t = 1 - 1 2 = - 2 csc t = 1 sen t = 1 - 3 2 = - 2 3 3 cot t = 1 tan t = 1 3 = 3 3 Ejercicio Halle los valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo t con base en la sen t = - 1 , cos t = 0 , tan t = Indefinida sec t = Indefinido, csc t = - 1 , cot t = 0 Hallar el valor de las funciones trigonométricas Si los valores de sen ( t ) = - 3 2 y cos ( t ) = 1 2 , calcule sec ( t ) , csc ( t ) , tan ( t ) , cot ( t ) . sec t = 1 cos t = 1 1 2 = 2 csc t = 1 sen t = 1 - 3 2 - 2 3 3 tan t = sen t cos t = - 3 2 1 2 = - 3 cot t = 1 tan t = 1 - 3 = - 3 3 Ejercicio Si los valores de sen ( t ) = 2 2 y cos ( t ) = 2 2 , calcule sec ( t ) , csc ( t ) , tan ( t ) , y cot ( t ) . sec t = 2 , csc t = 2 , tan t = 1 , cot t = 1 Evaluar funciones trigonométricas con la calculadora Hemos aprendido a evaluar las seis funciones trigonométricas para los ángulos comunes del primer cuadrante y a utilizarlas como ángulos de referencia para los ángulos de otros cuadrantes. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, utilizamos una calculadora científica o gráfica o un programa informático. Si la calculadora tiene un modo de grados y un modo de radianes, confirme que haya elegido el modo correcto antes de realizar un cálculo. Evaluar una función tangente con una calculadora científica en lugar de una calculadora gráfica o un sistema de álgebra computacional es como evaluar un seno o un coseno: Introduzca el valor y pulse la tecla TAN. Para las funciones recíprocas, es posible que no haya determinadas teclas dedicadas que indiquen CSC, SEC o COT. En ese caso, la función deberá evaluarse como el recíproco del seno, del coseno o de la tangente. Si necesitamos trabajar con grados y nuestra calculadora o programa informático no tienen modo de grados, podemos introducir los grados multiplicados por el factor de conversión π 180 para convertir los grados en radianes. Para hallar la secante de 30° , podríamos pulsar (en una calculadora científica): 1 30 × π 180 COS o (en una calculadora gráfica): 1 cos ( 30 π 180 ) Cómo Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una calculadora científica para hallar la cosecante. Si la calculadora tiene modo grado y modo radián, configúrela en modo radián. Ingrese: 1 / Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis. Presione la tecla SIN (SEN). Pulse la tecla =. Cómo Dada la medida de un ángulo en radianes, utilizar una herramienta gráfica o calculadora gráfica para hallar la cosecante. Si la herramienta gráfica tiene modo de grados y modo de radianes, configúrela al modo de radianes. Ingrese: 1 / Presione la tecla SIN (SEN). Introduzca el valor del ángulo dentro del paréntesis. Pulse la tecla ENTER. Evaluar la cosecante mediante la tecnología Evalúe la cosecante de 5 π 7 . En una calculadora científica, introduzca la información de la siguiente manera: 1 / ( 5 × π / 7 ) SIN = csc ( 5 π 7 ) ≈ 1,279 Ejercicio Evalúe la cotangente de − π 8 . ≈ − 2,414 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con otras funciones trigonométricas. Determinar los valores de la función trigonométrica Más ejemplos de determinación de funciones trigonométricas Identidades pitagóricas Funciones trigonométricas en la calculadora Ecuaciones clave Función tangente tan t = sen t cos t Función secante sec t = 1 cos t Función cosecante csc t = 1 sen t Función cotangente cot t = 1 tan t = cos t sen t Conceptos clave La tangente de un ángulo es el cociente del valor de y con el valor de x del punto correspondiente en el círculo unitario. La secante, la cotangente y la cosecante son recíprocas de otras funciones. La secante es la recíproca de la función coseno, la cotangente es la recíproca de la función tangente y la cosecante es la recíproca de la función seno. Las seis funciones trigonométricas se determinan a partir de un punto en el círculo unitario. Vea el . Las funciones trigonométricas también se determinan a partir de un ángulo. Vea el . Las funciones trigonométricas de los ángulos fuera del primer cuadrante se determinan con ángulos de referencia. Vea el . Se dice que una función es par si f ( - x ) = f ( x ) e impar si f ( - x ) = - f ( x ) . El coseno y la secante son pares; el seno, la tangente, la cosecante y la cotangente son impares. Las propiedades pares e impares se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el . La identidad pitagórica permite hallar el coseno a partir del seno o el seno a partir del coseno. Las identidades se utilizan para evaluar funciones trigonométricas. Vea el y el . Las identidades fundamentales, como la identidad pitagórica, pueden manipularse algebraicamente para producir nuevas identidades. Vea el . Las funciones trigonométricas se repiten a intervalos regulares. El periodo P de una función repetitiva f es el intervalo más pequeño, tal que f ( x + P ) = f ( x ) para cualquier valor de x . Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos especiales se determinan mediante un análisis matemático. Para evaluar las funciones trigonométricas de otros ángulos, podemos utilizar una calculadora o un programa informático. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En un intervalo de [ 0 , 2 π ) , ¿los valores del seno y del coseno de una medición de radián pueden ser iguales? Si es así, ¿dónde? Sí, cuando el ángulo de referencia es π 4 y el lado terminal del ángulo está en los cuadrantes I y III. Así, en x = π 4 , 5 π 4 , los valores del seno y del coseno son iguales. ¿Cuál sería la estimación del coseno de π grados? Explique su razonamiento. Para cualquier ángulo del cuadrante II, si conociera el seno del ángulo, ¿cómo podría determinar el coseno? Sustituya el seno del ángulo por y en el teorema de Pitágoras x 2 + y 2 = 1. Resuelva para x y tome la solución negativa. Describa la función secante. La tangente y la cotangente tienen un período de π . ¿Qué nos dice esto sobre la salida de estas funciones? Las salidas de la tangente y la cotangente se repetirán cada π unidades. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión. tan π 6 sec π 6 2 3 3 csc π 6 cot π 6 3 tan π 4 sec π 4 2 csc π 4 cot π 4 1 tan π 3 sec π 3 2 csc π 3 cot π 3 3 3 En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión. tan 5 π 6 sec 7 π 6 - 2 3 3 csc 11 π 6 cot 13 π 6 3 tan 7 π 4 sec 3 π 4 - 2 csc 5 π 4 cot 11 π 4 −1 tan 8 π 3 sec 4 π 3 −2 csc 2 π 3 cot 5 π 3 - 3 3 tan 225° sec 300° 2 csc 150° cot 240° 3 3 tan 330° sec 120° −2 csc 210° cot 315° −1 Si los valores de sen t = 3 4 , y t están en el cuadrante II, halle cos t , sec t , csc t , tan t , cot t . Si los valores de cos t = - 1 3 , y t están en el cuadrante III, halle sen t , sec t , csc t , tan t , cot t . Si los valores de sen t = - 2 2 3 , sec t = - 3 , csc t = - 3 2 4 , tan t = 2 2 , cot t = 2 4 Si tan t = 12 5 , y 0 ≤ t < π 2 , calcule sen t , cos t , sec t , csc t , y cot t . Si los valores de sen t = 3 2 y cos t = 1 2 , calcule sec t , csc t , tan t , y cot t . sec t = 2 , csc t = 2 3 3 , tan t = 3 , cot t = 3 3 Si los valores de sen 40° ≈ 0,643 y cos 40° ≈ 0,766 calcule sec 40° , csc 40° , tan 40° y cot y 40° . Si los valores de sen t = 2 2 , ¿cuál es el sen ( − t ) ? - 2 2 Si los valores de cos t = 1 2 , ¿cuál es el cos ( − t ) ? Si los valores de sec t = 3,1 , ¿cuál es el sec ( − t ) ? 3,1 Si los valores de csc t = 0,34 , ¿cuál es el csc ( − t ) ? Si tan t = − 1,4 , ¿cuál es la tan ( − t ) ? 1,4 Si los valores de cot t = 9,23 , ¿cuál es la cot ( − t ) ? Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el ángulo en el círculo unitario para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas. sen t = 2 2 , cos t = 2 2 , tan t = 1 , cot t = 1 , sec t = 2 , csc t = 2 sen t = - 3 2 , cos t = - 1 2 , tan t = 3 , cot t = 3 3 , sec t = - 2 , csc t = - 2 3 3 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para evaluar. csc 5 π 9 cot 4 π 7 –0,228 sec π 10 tan 5 π 8 –2,414 sec 3 π 4 csc π 4 1,414 tan 98° cot 33° 1,540 cot 140° sec 310° 1,556 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para evaluar la expresión. Si los valores de tan ( t ) ≈ 2,7 , y sen ( t ) ≈ 0,94 , calcule cos ( t ) . Si tan ( t ) ≈ 1.3 , y cos ( t ) ≈ 0,61 , calcule sen ( t ) . sen ( t ) ≈ 0,79 Si los valores de csc ( t ) ≈ 3,2 , y cos ( t ) ≈ 0,95 , calcule tan ( t ) . Si los valores de cot ( t ) ≈ 0,58 , y cos ( t ) ≈ 0,5 , calcule csc ( t ) . csc t ≈ 1,16 Determine si la función f ( x ) = 2 sen x cos x es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función f ( x ) = 3 sen 2 x cos x + sec x es par, impar o ninguna de las dos. números Determine si la función f ( x ) = sen x - 2 cos 2 x es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función f ( x ) = csc 2 x + sec x es par, impar o ninguna de las dos. números En los siguientes ejercicios, utilice las identidades para simplificar la expresión. csc t tan t sec t csc t sen t cos t = tan t Aplicaciones en el mundo real La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h = 15 cos ( 1 600 d ) , donde h representa las horas de luz solar y d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 11 de febrero, el 42. º día del año. Indique el periodo de la función. La cantidad de luz solar en una determinada ciudad puede modelarse mediante la función h = 16 cos ( 1 500 d ) , donde h representa las horas de luz solar y d es el día del año. Utilice la ecuación para calcular cuántas horas de luz solar hay el 24 de septiembre, el 267. º día del año. Indique el periodo de la función. 13,77 horas, periodo: 1.000 π La ecuación P = 20 sen ( 2 π t ) + 100 modela la presión arterial, P , donde t representa el tiempo en segundos. (a) Halle la presión arterial después de 15 segundos. (b) ¿Cuál es la sístole y la diástole? La altura de un pistón, h , en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y = 2 cos x + 6 , donde x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55° . 7,73 pulgadas La altura de un pistón, h , en pulgadas, se puede modelar mediante la ecuación y = 2 cos x + 5 , donde x representa el ángulo del cigüeñal. Calcule la altura del pistón cuando el ángulo del cigüeñal es 55° . cosecante el recíproco de la función seno: en el círculo unitario, csc t = 1 y , y ≠ 0 cotangente el recíproco de la función tangente: en el círculo unitario, cot t = x y , y ≠ 0 identidades enunciados verdaderos para todos los valores de la entrada sobre la que se definen periodo el intervalo más corto P de una función repetitiva f tal que f ( x + P ) = f ( x ) secante el recíproco de la función coseno: en el círculo unitario, sec t = 1 x , x ≠ 0 tangente el cociente del seno y el coseno: en el círculo unitario, tan t = y x , x ≠ 0", "section": "Las otras funciones trigonométricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Trigonometría de triángulos rectángulos Anteriormente hemos definido el seno y el coseno de un ángulo en términos de las coordenadas de un punto del círculo unitario intersecado por el lado terminal del ángulo: cos t = x sen t = y En esta sección, veremos otra forma de definir las funciones trigonométricas mediante las propiedades de los triángulos rectángulos . Usar triángulos rectángulos para evaluar funciones trigonométricas En secciones anteriores, hemos utilizado un círculo unitario para definir las funciones trigonométricas . En esta sección, ampliaremos esas definiciones para aplicarlas a los triángulos rectángulos. El valor de la función seno o coseno de t es su valor en t radianes. En primer lugar, tenemos que crear nuestro triángulo rectángulo. La muestra un punto en un círculo unitario de radio 1. Si dejamos caer un segmento de línea vertical desde el punto ( x , y ) al eje x , tenemos un triángulo rectángulo cuyo lado vertical tiene longitud y y cuyo lado horizontal tiene una longitud x . Podemos utilizar este triángulo rectángulo para redefinir el seno, el coseno y las demás funciones trigonométricas como cocientes de los lados de un triángulo rectángulo. Sabemos que cos t = x 1 = x Asimismo, sabemos que sen t = y 1 = y Estas relaciones se siguen aplicando a los lados de un triángulo rectángulo cuando no hay ningún círculo unitario y cuando el triángulo no está en posición estándar y no se grafica con las coordenadas ( x , y ) . Para utilizar estas relaciones libremente, daremos a los lados designaciones más genéricas: En lugar de x , llamaremos lado adyacente al ángulo al lado del ángulo dado t . (Adyacente significa “junto a”). En lugar de y , llamaremos lado opuesto al ángulo dado al lado más distante del ángulo t . Finalmente, en lugar de 1 , llamaremos hipotenusa al lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Estos lados están marcados en la . Los lados de un triángulo rectángulo en relación con el ángulo t . Comprender las relaciones de los triángulos rectángulos Dado un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de t , sen ( t ) = opuesto hipotenusa cos ( t ) = adyacente hipotenusa tan ( t ) = opuesto adyacente Una mnemotecnia común para recordar estas relaciones es SohCahToa, formada por las primeras letras de \" S eno es o puesto sobre la h ipotenusa, C oseno es a dyacente sobre la h ipotenusa, T angente es o puesto sobre el a dyacente”. Cómo Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y uno de los ángulos agudos, hallar el seno, el coseno y la tangente de ese ángulo. Halle el seno como el cociente del lado opuesto a la hipotenusa. Halle el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa. Halle la tangente como el cociente del lado opuesto al lado adyacente. Evaluar una función trigonométrica de un triángulo rectángulo Dado el triángulo que figura en la , calcule el valor de cos α . El lado adyacente al ángulo es 15, y la hipotenusa del triángulo es 17, por lo que cos ( α ) = adyacente hipotenusa = 15 17 Ejercicio Dado el triángulo que se muestra en la , calcular el valor de sen t . 7 25 Relacionar los ángulos y sus funciones Cuando se trabaja con triángulos rectángulos, se aplican las mismas reglas, independientemente de la orientación del triángulo. De hecho, podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de cualquiera de los dos ángulos agudos del triángulo en la . El lado opuesto a un ángulo agudo es el lado adyacente al otro ángulo agudo y viceversa. El lado adyacente a un ángulo es opuesto al otro. Se nos pide que hallemos las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado en un triángulo. Nuestra estrategia es hallar primero el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Entonces, podemos hallar las otras funciones trigonométricas fácilmente porque sabemos que el recíproco del seno es la cosecante, el recíproco del coseno es la secante y el recíproco de la tangente es la cotangente. Cómo Dadas las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, evaluar las seis funciones trigonométricas de uno de los ángulos agudos. Si es necesario, dibuje el triángulo rectángulo y marque el ángulo suministrado. Identifique el ángulo, el lado adyacente, el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Halle la función requerida: el seno como el cociente entre el lado opuesto y la hipotenusa el coseno como el cociente entre el lado adyacente y la hipotenusa la tangente como el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente el secante como el cociente entre la hipotenusa y el lado adyacente el cosecante como el cociente entre la hipotenusa y el lado opuesto la cotangente como el cociente entre el lado adyacente y el lado opuesto Evaluar funciones trigonométricas de ángulos que no están en posición estándar Con el triángulo que aparece en la , evalúe sen α , cos α , tan α , sec α , csc α , y cot α . sen α = opuesto α hipotenusa = 4 5 cos α = junto a α hipotenusa = 3 5 tan α = opuesto α junto a α = 4 3 sec α = hipotenusa junto a α = 5 3 csc α = hipotenusa opuesto α = 5 4 cot α = junto a α opuesto α = 3 4 Ejercicio Con el triángulo que aparece en la , evalúe sen t , cos t , tan t , sec t , csc t , y cot t . s i t t = 33 65 , cos t = 56 65 , t a n t = 33 56 , sec t = 65 56 , csc t = 65 33 , cot t = 56 33 Hallar funciones trigonométricas de ángulos especiales utilizando las longitudes de los lados Ya hemos hablado de las funciones trigonométricas en su relación con los ángulos especiales del círculo unitario. Ahora, podemos utilizar esas relaciones para evaluar los triángulos que contienen esos ángulos especiales. Hacemos esto porque cuando evaluamos los ángulos especiales en las funciones trigonométricas, estos tienen valores relativamente amigables, valores que no contienen ninguna o solo una raíz cuadrada en el cociente. Por lo tanto, estos son los ángulos que se utilizan a menudo en los problemas matemáticos y científicos. Utilizaremos múltiplos de 30° , 60° , y 45° , sin embargo, recuerde que, cuando se trata de triángulos rectángulos, estamos limitados a los ángulos entre 0° y 90º . Supongamos que tenemos un triángulo de 30° , 60° , 9 0° , que también puede describirse como un triángulo de π 6 , π 3 , π 2 . Los lados tienen longitudes en la relación s , 3 s , 2 s . Los lados de un triángulo de 45° , 45° , 90° , que también puede describirse como un triángulo de π 4 , π 4 , π 2 , tienen longitudes en la relación s , s , 2 s . Estas relaciones se muestran en la . Longitudes laterales de los triángulos especiales A continuación, podemos utilizar el cociente de las longitudes laterales para evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales. Cómo Dadas las funciones trigonométricas de un ángulo especial, evaluar con las longitudes laterales. Utilice las longitudes laterales que figuran en la para el ángulo especial que desea evaluar. Utilice el cociente de longitudes laterales, adecuado a la función que desea evaluar. Evaluar funciones trigonométricas de ángulos especiales con las longitudes laterales Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 3 , con las longitudes laterales. sen ( π 3 ) = opp hyp = 3 s 2 s = 3 2 cos ( π 3 ) = adj hyp = s 2 s = 1 2 tan ( π 3 ) = opp adj = 3 s s = 3 sec ( π 3 ) = hyp adj = 2 s s = 2 csc ( π 3 ) = hyp opp = 2 s 3 s = 2 3 = 2 3 3 cot ( π 3 ) = adj opp = s 3 s = 1 3 = 3 3 Ejercicio Halle el valor exacto de las funciones trigonométricas de π 4 , con las longitudes laterales. sen ( π 4 ) = 1 2 , cos ( π 4 ) = 1 2 , tan ( π 4 ) = 1 , sec ( π 4 ) = 2 , c s c ( π 4 ) = 2 , cot ( π 4 ) = 1 Usar la cofunción igual de los complementos Si observamos más detenidamente la relación entre el seno y el coseno de los ángulos especiales con respecto al círculo unitario, notaremos un patrón. En un triángulo rectángulo con ángulos de π 6 y π 3 , vemos que el seno de π 3 , a saber 3 2 , es también el coseno de π 6 , mientras que el seno de π 6 , a saber 1 2 , es también el coseno de π 3 . sen π 3 = cos π 6 = 3 s 2 s = 3 2 sen π 6 = cos π 3 = s 2 s = 1 2 Vea la El seno de π 3 es igual al coseno de π 6 y viceversa. Este resultado no debería sorprender porque, como observamos en la , el lado opuesto al ángulo de π 3 es también el lado adyacente a π 6 , por lo que sen ( π 3 ) y cos ( π 6 ) son exactamente la misma proporción de los mismos dos lados, 3 s y 2 s . De la misma manera, cos ( π 3 ) y sen ( π 6 ) también son la misma proporción con los mismos dos lados, s y 2 s . La interrelación entre el seno y el coseno de π 6 y π 3 también es válida para los dos ángulos agudos de cualquier triángulo rectángulo, ya que en todos los casos, el cociente de los dos mismos lados constituiría el seno de un ángulo y el coseno del otro. Ya que los tres ángulos de un triángulo suman π , y el ángulo rectángulo es π 2 , los dos ángulos restantes también deberán sumar π 2 . Esto significa que se puede formar un triángulo rectángulo con dos ángulos cualesquiera que sumen π 2 ; es decir, dos ángulos complementarios cualesquiera. Por lo tanto, podemos afirmar una identidad de la cofunción : Si dos ángulos cualesquiera son complementarios, el seno de uno es el coseno del otro y viceversa. Esta identidad se ilustra en la . Identidad de la cofunción de seno y coseno de ángulos complementarios Con esta identidad podemos afirmar sin calcular, por ejemplo, que el seno de π 12 es igual al coseno de 5 π 12 , y que el seno de 5 π 12 es igual al coseno de π 12 . También podemos afirmar que si, para un determinado ángulo t , cos t = 5 13 , entonces sen ( π 2 - t ) = 5 13 también. Identidades de la cofunción Las identidades de la cofunción en radianes figuran en la . cos t = sen ( π 2 - t ) sen t = cos ( π 2 - t ) tan t = cot ( π 2 - t ) cot t = tan ( π 2 - t ) sec t = csc ( π 2 - t ) csc t = sec ( π 2 - t ) Cómo Dados el seno y el coseno de un ángulo, halle el seno o coseno de su complemento. Para determinar el seno del ángulo complementario, halle el coseno del ángulo original. Para determinar el coseno del ángulo complementario, halle el seno del ángulo original. Usar las identidades de la cofunción Si los valores de sen t = 5 12 , calcule cos ( π 2 - t ) . Según las identidades de la cofunción para el seno y el coseno, sen t = cos ( π 2 - t ) . Así que cos ( π 2 - t ) = 5 12 . Ejercicio Si los valores de csc ( π 6 ) = 2 , calcule sec ( π 3 ) . 2 Usar las funciones trigonométricas En los ejemplos anteriores, hemos evaluado el seno y el coseno en triángulos en los que conocíamos los tres lados. No obstante, la verdadera potencia de la trigonometría de triángulos rectángulos surge cuando observamos los triángulos en los que conocemos un ángulo, pero no conocemos todos los lados. Cómo Dado un triángulo rectángulo, la longitud de un lado y la medida de un ángulo agudo, hallar los lados restantes. Para cada lado, seleccione la función trigonométrica que tiene el lado de la incógnita como numerador o denominador. El lado conocido será a su vez el denominador o el numerador. Escriba una ecuación que establezca el valor de la función del ángulo conocido igual al cociente de los lados correspondientes. Utilizando el valor de la función trigonométrica y la longitud lateral conocida, resuelva la longitud lateral que falta. Hallar las longitudes de los lados que faltan por medio de los cocientes trigonométricos Halle los lados de la incógnita del triángulo en la . Conocemos el ángulo y el lado opuesto, así que podemos usar la tangente para dar con el lado adyacente. tan ( 30° ) = 7 a Reordenamos para resolver a . a = 7 tan ( 30° ) ≈ 12,1 Podemos utilizar el seno para hallar la hipotenusa. sen ( 30° ) = 7 c De nuevo, reordenamos para resolver c . c = 7 sen ( 30° ) ≈ 14 Ejercicio Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de π 3 e hipotenusa de 20. Halle los lados y el ángulo de la incógnita del triángulo. adyacente = 10 ; opuesto = 10 3 ; el ángulo que falta es π 6 Usar la trigonometría de triángulos rectángulos para resolver problemas aplicados La trigonometría del triángulo rectángulo tiene muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, la capacidad de calcular las longitudes de los lados de un triángulo permite hallar la altura de un objeto alto sin necesidad de subir a la parte superior o tener que extender una cinta métrica a lo largo de su altura. Para ello, medimos la distancia desde la base del objeto hasta un punto del suelo situado a cierta distancia, donde podemos mirar hacia la parte superior del objeto alto en ángulo. El ángulo de elevación de un objeto por encima de un observador en relación con este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. El triángulo rectángulo que crea esta posición tiene lados que representan la altura desconocida, la distancia medida desde la base y la línea de visión angular desde el suelo hasta la parte superior del objeto. Conociendo la distancia medida a la base del objeto y el ángulo de la línea de visión, podemos utilizar funciones trigonométricas para calcular la altura desconocida. Del mismo modo, podemos formar un triángulo desde la parte superior de un objeto alto mirando hacia abajo. El ángulo de depresión de un objeto por debajo de un observador con respecto a este es el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador. Vea la . Cómo Dado un objeto alto, medir su altura indirectamente. Haga un esquema de la situación del problema para tener en cuenta la información conocida y desconocida. Establezca una distancia medida desde la base del objeto hasta un punto en el que la parte superior del objeto sea claramente visible. En el otro extremo de la distancia medida, mire hacia la parte superior del objeto. Mida el ángulo que forma la línea de visión con la horizontal. Escriba una ecuación que relacione la altura desconocida, la distancia medida y la tangente del ángulo de la línea de visión. Resuelva la ecuación para la altura desconocida. Medir una distancia de manera indirecta Para calcular la altura de un árbol, una persona camina hasta un punto situado a 30 pies de la base del árbol. Mide un ángulo de 57° entre una línea de visión hacia la copa del árbol y el suelo, como se muestra en la . Calcule la altura del árbol. Sabemos que el ángulo de elevación es 57° y el lado adyacente es de 30 pies de largo. El lado opuesto es la altura desconocida. La función trigonométrica que relaciona el lado opuesto a un ángulo y el lado adyacente al ángulo es la tangente. Por lo tanto, plantearemos nuestra información en términos de la tangente de 57° , supongamos que h es la altura desconocida. tan θ = opuesto adyacente tan ( 57° ) = h 30 Resuelva para h . h = 30 tan ( 57° ) Multiplique . h ≈ 46,2 Utilice la calculadora . El árbol tiene aproximadamente 46 pies de altura. Ejercicio ¿Qué longitud se necesita en una escalera para alcanzar el alféizar de una ventana a 50 pies del suelo si la escalera se apoya en el edificio formando un ángulo de 5 π 12 con el suelo? Redondee al pie más cercano. Unos 52 pies Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la trigonometría de triángulos rectángulos. Hallar funciones trigonométricas en la calculadora Hallar funciones trigonométricas con un triángulo rectángulo Relacionar las funciones trigonométricas con los lados de un triángulo rectángulo Determinar seis funciones trigonométricas a partir de un triángulo Determinar la longitud del lado del triángulo rectángulo Ecuaciones clave Identidades de la cofunción cos t = sen ( π 2 - t ) sen t = cos ( π 2 - t ) tan t = cot ( π 2 - t ) cot t = tan ( π 2 - t ) sec t = csc ( π 2 - t ) csc t = sec ( π 2 - t ) Conceptos clave Podemos definir las funciones trigonométricas como cociente de las longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Vea el . Las mismas longitudes laterales pueden utilizarse para evaluar las funciones trigonométricas de cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Vea el . Podemos evaluar las funciones trigonométricas de los ángulos especiales si conocemos las longitudes laterales de los triángulos en los que se producen. Vea el . Dos ángulos complementarios cualesquiera podrían ser los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Si dos ángulos son complementarios, las identidades de la cofunción establecen que el seno de uno es igual al coseno del otro y viceversa. Vea el . Podemos utilizar las funciones trigonométricas de un ángulo para calcular las longitudes laterales desconocidas. Seleccione la función trigonométrica que representa el cociente del lado desconocido con el lado conocido. Vea el . La trigonometría del triángulo rectángulo permite medir alturas y distancias inaccesibles. La altura o distancia desconocida se determina al crear un triángulo rectángulo en el que la altura o distancia desconocida sea uno de los lados, en tanto que se conocen el otro lado y un ángulo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En el triángulo rectángulo dado, marque el lado adyacente, el lado opuesto y la hipotenusa para el ángulo indicado. Cuando un triángulo rectángulo con una hipotenusa de 1 se coloca en el círculo unitario, ¿qué lados del triángulo corresponden a las coordenadas de la x y de la y ? ¿La tangente de un ángulo compara qué lados del triángulo rectángulo? La tangente de un ángulo es el cociente entre el lado opuesto y el lado adyacente. ¿Cuál es la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo? Explique la identidad de la cofunción. Por ejemplo, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento; el coseno de un ángulo es igual al seno de su complemento. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice cofunciones de ángulos complementarios. cos ( 34° ) = sen ( __° ) cos ( π 3 ) = sen (___) π 6 csc ( 21° ) = sec ( ___° ) tan ( π 4 ) = cot ( __ ) π 4 En los siguientes ejercicios, halle longitudes laterales que faltan si el lado a es el ángulo opuesto A , el lado b es el ángulo opuesto B , y el lado c es la hipotenusa. cos B = 4 5 , a = 10 sen B = 1 2 , a = 20 b = 20 3 3 , c = 40 3 3 tan A = 5 12 , b = 6 tan A = 100 , b = 100 a = 10 . 000 , c = 10 , 000,5 sen B = 1 3 , a = 2 a = 5 , ∡ A = 60 ∘ b = 5 3 3 , c = 10 3 3 c = 12 , ∡ A = 45 ∘ Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica del ángulo A . sen A 5 29 29 cos A tan A 5 2 csc A sec A 29 2 cot A En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica de ángulo A . sen A 5 41 41 cos A tan A 5 4 csc A sec A 41 4 cot A En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado. c = 14 , b = 7 3 a = 15 , b = 15 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para medir la longitud de cada lado a cuatro decimales. b = 9,9970 , c = 12,2041 a = 2,0838 , b = 11,8177 b = 15 , ∡ B = 15 ∘ a = 55,9808 , c = 57,9555 c = 200 , ∡ B = 5 ∘ c = 50 , ∡ B = 21 ∘ a = 46,6790 , b = 17,9184 a = 30 , ∡ A = 27 ∘ b = 3,5 , ∡ A = 78 ∘ a = 16,4662 , c = 16,8341 Extensiones Halle x . Halle x . 188,3159 Halle x . Halle x . 200,6737 Una torre de radio está situada a 400 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es 36° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 23° . ¿Qué altura tiene la torre? Una torre de radio se encuentra a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima de la torre es 43° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 31° . ¿Qué altura tiene la torre? 498,3471 pies Un monumento de 200 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación hasta la cima del monumento es 15° , y que el ángulo de depresión hasta la base de la torre es 2° . ¿A qué distancia está la persona del monumento? Un monumento de 400 pies de altura se encuentra en la distancia. Desde una ventana de un edificio, una persona determina que el ángulo de elevación a la parte superior del monumento es 18° , y que el ángulo de depresión hasta la base del monumento es 3° . ¿A qué distancia está la persona del monumento? 1.060,09 pies Hay una antena en lo alto de un edificio. Desde una ubicación a 300 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en 40° . Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior de la antena se mide en 43° . Halle la altura de la antena. Hay un pararrayos en el techo de un edificio. Desde una ubicación a 500 pies de la base del edificio, el ángulo de elevación al techo del edificio se mide en 36° . Desde la misma ubicación, el ángulo de elevación hasta la parte superior del pararrayos se mide en 38° . Halle la altura del pararrayos. 27,372 pies Aplicaciones en el mundo real Una escalera de 33 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es 80° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? Una escalera de 23 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo entre el suelo y la escalera es 80° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? 22,6506 pies El ángulo de elevación al techo de un edificio en Nueva York es de 9 grados desde el suelo a una distancia de 1 milla desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. El ángulo de elevación al techo de un edificio en Seattle es de 2 grados desde el suelo a una distancia de 2 millas desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. 368,7633 pies Suponiendo que una secuoya gigante de 370 pies de altura crece verticalmente, si camino a cierta distancia del árbol y mido el ángulo de elevación hasta la copa del árbol en 60° , ¿a qué distancia de la base del árbol estoy? Ejercicios de repaso Ángulos En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en grados. π 4 45° - 5 π 3 En los siguientes ejercicios, convierta las medidas de los ángulos en radianes. -210° − 7 π 6 180° Halle la longitud de un arco en un círculo de radio 7 metros subtendido por el ángulo central de 85°. 10,385 metros Halle el área del sector de un círculo con un diámetro de 32 pies y un ángulo de 3 π 5 radianes. En los siguientes ejercicios, halle el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal con el ángulo dado. 420° 60° − 80° En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 2 π en radianes, que es coterminal con el ángulo dado. − 20 π 11 2 π 11 14 π 5 En los siguientes ejercicios, dibuje el ángulo proporcionado en posición estándar en el plano cartesiano. -210° 75° 5 π 4 − π 3 Halle la velocidad lineal de un punto en el ecuador de la Tierra si la Tierra tiene un radio de 3.960 millas y gira sobre su eje cada 24 horas. Exprese la respuesta en millas por hora. 1.036,73 millas por hora La rueda de automóvil con un diámetro de 18 pulgadas gira a una magnitud de 10 revoluciones por segundo. ¿Cuál es la velocidad del automóvil en millas por hora? Círculo unitario: funciones seno y coseno Halle el valor exacto de sen π 3 . 3 2 Halle el valor exacto de cos π 4 . Halle el valor exacto de cos π . -1 Indique el ángulo de referencia para 300° . Indique el ángulo de referencia para 3 π 4 . π 4 Calcule el coseno de 330° . Calcule el seno de 5 π 4 . - 2 2 Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Las otras funciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión dada. cos π 6 tan π 4 1 csc π 3 sec π 4 2 En los siguientes ejercicios, utilice los ángulos de referencia para evaluar la expresión dada. sec 11 π 3 sec 315° 2 Si los valores de sec ( t ) = − 2,5 , ¿cuál es el sec ( − t ) ? Si tan ( t ) = − 0,6 , ¿cuál es la tan ( − t ) ? 0,6 Si los valores de tan ( t ) = 1 3 , calcule tan ( t – π ) . Si los valores de cos ( t ) = 2 2 , calcule sen ( t + 2 π ) . Hay dos soluciones posibles. 2 2 o − 2 2 ¿Qué funciones trigonométricas son pares? ¿Qué funciones trigonométricas son impares? seno, cosecante, tangente, cotangente Trigonometría de triángulos rectángulos En los siguientes ejercicios, utilice las longitudes laterales para evaluar. cos π 4 cot π 3 3 3 tan π 6 cos ( π 2 ) = sen ( __° ) 0 csc ( 18 ° ) = sec ( __° ) En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para medir las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo. cos B = 3 5 , a = 6 b = 8 , c = 10 tan A = 5 9 , b = 6 En los siguientes ejercicios, utilice la para evaluar cada función trigonométrica. sen A 11 157 157 tan B En los siguientes ejercicios, resuelva los lados desconocidos del triángulo dado. a = 4 , b = 4 Una escalera de 15 pies se apoya en un edificio de manera que el ángulo que forma con el suelo es 70° . ¿A qué altura llega la escalera por el lado del edificio? 14,0954 pies El ángulo de elevación al techo de un edificio en Baltimore es de 4 grados desde el suelo a una distancia de 1 milla desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. Prueba de práctica Convierta 5 π 6 radianes a grados. 150° Convierta −620° a radianes. Halle la longitud de un arco circular con radio de 12 centímetros subtendido por el ángulo central de 30° . 6,283 centímetros Halle el área del sector con radio de 8 pies y un ángulo de 5 π 4 radianes. Calcule el ángulo entre 0° y 360° que sea coterminal con 375° . 15° Halle el ángulo entre 0 y 2 π en radianes que es coterminal con − 4 π 7 . Dibuje el ángulo 315° en posición estándar en el plano cartesiano. Dibuje el ángulo − π 6 en posición estándar en el plano cartesiano. Una feria tiene una rueda de la fortuna de 80 pies de diámetro. El tiempo que tarda en dar una vuelta es de 75 segundos. ¿Cuál es la velocidad lineal en pies por segundo de un punto de la rueda de la fortuna? ¿Cuál es la velocidad angular en radianes por segundo? 3,351 pies por segundo, 2 π 75 radianes por segundo Halle el valor exacto de sen π 6 . Calcule el seno de 240° . - 3 2 Indique el dominio de las funciones seno y coseno. Indique el rango de las funciones seno y coseno. [ – 1 , 1 ] Halle el valor exacto de cot π 4 . Halle el valor exacto de tan π 3 . 3 Utilice los ángulos de referencia para evaluar csc 7 π 4 . Utilice los ángulos de referencia para evaluar tan 210 ° . 3 3 Si los valores de csc t = 1,68 , ¿cuál es el csc ( − t ) ? Si los valores de cos t = 3 2 , calcule cos ( t - 2 π ) . 3 2 ¿Qué funciones trigonométricas son pares? Halle el ángulo que falta: cos ( π 6 ) = sen ( ___ ) π 3 Halle los lados que faltan en el triángulo A B C : sen B = 3 4 , c = 12 Halle los lados que faltan en el triángulo. a = 9 2 , b = 9 3 2 El ángulo de elevación al techo de un edificio en Chicago es de 9 grados desde el suelo a una distancia de 2.000 pies desde la base del edificio. Con esta información, calcule la altura del edificio. lado adyacente en un triángulo rectángulo, el lado entre un ángulo dado y el ángulo recto ángulo de depresión el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador, suponiendo que el objeto esté situado más abajo que el observador ángulo de elevación el ángulo entre la horizontal y la línea que va del objeto al ojo del observador, suponiendo que el objeto esté situado a mayor altura que el observador lado opuesto en un triángulo rectángulo, el lado más distante de un ángulo dado hipotenusa el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo rectángulo", "section": "Trigonometría de triángulos rectángulos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción El amanecer colorea el cielo de la zona de conservación de Olare Motorgi, que limita con la Reserva Nacional de Masai Mara en Kenia. (créditos: Modificación de \"KenyaLive_Day_#02\" por Make it Kenya/flickr) El sol ha desempeñado un papel fundamental en muchas religiones. La antigua cultura egipcia representaba al dios del sol, Ra (a veces escrito como Re), realizando un viaje diario en dos partes, una de ellas en el cielo (día) y la otra en el inframundo (noche). Surya, el dios hindú del sol, traza un camino similar a través del cielo en un carro tirado por siete caballos. Aunque sus orígenes y narrativas asociadas son bastante diferentes, tanto Ra como Surya son deidades primarias y se les considera creadores y preservadores de la vida. En muchas culturas indígenas, el sol es fundamental para la práctica espiritual y religiosa, pero no siempre es una deidad. La Danza del Sol, que realizan de forma diferente muchas tribus indígenas estadounidenses, era una ceremonia que generalmente rendía homenaje al sol y, en muchos casos, ponía a prueba o expresaba la fuerza de la tribu. Como uno de los fenómenos naturales más prominentes y con su estrecha asociación a dar vida, el sol era un tema obvio de reverencia. Además, su regularidad, incluso en la antigüedad, lo convirtió en el principal determinante del tiempo. Cada día, el sol sale por el este, se aproxima a una altura máxima respecto al ecuador celeste y se pone por el oeste. El ecuador celeste es una línea imaginaria que divide el universo visible en dos mitades, del mismo modo que el ecuador de la Tierra es una línea imaginaria que divide el planeta en dos mitades. La trayectoria exacta que parece seguir el sol depende de la ubicación exacta en la Tierra, pero cada lugar observa un patrón predecible a lo largo del tiempo. El patrón de movimiento del sol a lo largo de un año es una función periódica. Crear una representación visual de una función periódica en forma de gráfico nos permite analizar las propiedades de la función. En este capítulo, investigaremos los gráficos del seno, el coseno y otras funciones trigonométricas.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráficos de las funciones seno y coseno La luz puede separarse en colores debido a sus propiedades ondulatorias (créditos: \"wonderferret\"/ Flickr) La luz blanca, como la del sol, no es realmente blanca. En cambio, es una composición de todos los colores del arco iris en forma de ondas. Cada uno de los colores se ve únicamente cuando la luz blanca pasa por un prisma óptico que separa las ondas según sus longitudes de onda para formar un arco iris. Las ondas luminosas se representan gráficamente mediante la función seno. En el capítulo sobre Funciones trigonométricas , hemos examinado funciones trigonométricas como la función seno. En esta sección, interpretaremos y crearemos gráficos de las funciones seno y coseno. Graficar funciones seno y coseno Recordemos que las funciones seno y coseno relacionan valores de números reales con las coordenadas de la x y de la y de un punto en el círculo unitario. ¿Qué aspecto tienen en un gráfico en un plano de coordenadas? Empecemos con la función seno . Podemos crear una tabla de valores y utilizarla para dibujar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función seno en un círculo unitario. x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π sen ( x ) 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Al trazar los puntos de la tabla y continuar a lo largo del eje x se obtiene la forma de la función seno. Vea la . La función seno Obsérvese que los valores del seno son positivos entre 0 y π , que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes I y II del círculo unitario, y los valores del seno son negativos entre π y 2 π , que corresponden a los valores de la función seno en los cuadrantes III y IV del círculo unitario. Vea la . Trazar los valores de la función seno Ahora echemos un vistazo a la función coseno . Una vez más, podemos crear una tabla de valores y utilizarlos para trazar un gráfico. La enumera algunos de los valores de la función coseno en un círculo unitario. x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π cos ( x ) 1 3 2 2 2 1 2 0 − 1 2 − 2 2 − 3 2 - 1 Al igual que con la función seno, podemos trazar puntos para crear un gráfico de la función coseno como en la . La función coseno Dado que podemos evaluar el seno y el coseno de cualquier número real, ambas funciones están definidas para todos los números reales. Al pensar en los valores del seno y del coseno como coordenadas de puntos en un círculo unitario, es evidente que el rango de ambas funciones deberá ser el intervalo [ - 1 , 1 ] . En ambos gráficos, la forma se repite después de 2 π , lo que significa que las funciones son periódicas con un período de 2 π . La función periódica es una función para la que un determinado desplazamiento horizontal , P , da como resultado una función igual a la función original f ( x + P ) = f ( x ) para todos los valores de x en el dominio de f . Cuando esto ocurre, llamamos el menor desplazamiento horizontal de este tipo P > 0 , que es el periodo de la función. La muestra varios periodos de las funciones seno y coseno. Observar de nuevo las funciones seno y coseno en un dominio centrado en el eje y sirve para revelar las simetrías. Como podemos ver en la , la función seno es simétrica respecto al origen. Recordemos que en Las otras funciones trigonométricas determinamos a partir del círculo unitario que la función seno es una función impar porque sen ( - x ) = - sen x . Ahora podemos ver claramente esta propiedad en el gráfico. Simetría impar de la función seno La muestra que la función coseno es simétrica respecto al eje y . De nuevo, determinamos que la función coseno es una función par. Ahora podemos ver en el gráfico que cos ( - x ) = cos x . Simetría par de la función coseno Una etiqueta de nota general Características de las funciones seno y coseno Las funciones seno y coseno tienen varias características distintas: Son funciones periódicas con un período de 2 π . El dominio de cada función es ( - ∞ , ∞ ) y el rango es [ - 1 , 1 ] . El gráfico de y = sen x es simétrico respecto al origen, porque es una función impar. El gráfico de y = cos x es simétrico respecto del eje de y , porque es una función par. Investigar funciones sinusoidales Como podemos ver, las funciones seno y coseno tienen un período y un rango regulares. Si observamos las olas del mar o las ondas de un estanque, veremos que se parecen a las funciones seno o coseno. Sin embargo, no son necesariamente idénticas. Algunas son más altas o más largas que otras. Una función con la misma forma general que una función seno o coseno se conoce como función sinusoidal . Las formas generales de las funciones sinusoidales son: y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D Determinar el periodo de las funciones sinusoidales Al observar las formas de las funciones sinusoidales, nos damos cuenta de que son transformaciones de las funciones seno y coseno. Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las transformaciones para determinar el periodo. En la fórmula general, B se relaciona con el periodo por P = 2 π | B | . Si | B | > 1 , entonces el periodo es menor que 2 π y la función sufre una compresión horizontal, mientras que, si | B | < 1 , entonces el periodo es mayor que 2 π y la función sufre un estiramiento horizontal. Por ejemplo, f ( x ) = sen ( x ), B = 1, por lo que el periodo es 2 π , que ya conocíamos. Si los valores de f ( x ) = sen ( 2 x ) , entonces B = 2, por lo que el periodo es π y el gráfico se comprime. Si los valores de f ( x ) = sen ( x 2 ) , entonces B = 1 2 , por lo que el periodo es 4 π y el gráfico se estira. Observe en la cómo el periodo se relaciona indirectamente con | B | . Una etiqueta de nota general Periodo de las funciones sinusoidales Supongamos que C = 0 y D = 0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas y = A sen ( B x ) y = A cos ( B x ) El periodo es 2 π | B | . Identificar el periodo de una función seno o coseno Determine el periodo de la función f ( x ) = sen ( π 6 x ) . Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x ) . En la ecuación dada, B = π 6 , por lo que el periodo será P = 2 π | B | = 2 π π 6 = 2 π ⋅ 6 π = 12 Elemento Ejercicio Determine el periodo de la función g ( x ) = cos ( x 3 ) . 6 π Determinar la amplitud Volviendo a la fórmula general de una función sinusoidal, hemos analizado cómo la variable B se refiere al periodo. Ahora pasemos a la variable A por lo que podemos analizar cómo se relaciona con la amplitud , o mayor distancia desde el reposo. A representa el factor de estiramiento vertical, y su valor absoluto | A | es la amplitud. El máximo local será una distancia | A | por encima de la línea media horizontal del gráfico, que es la línea y = D ; porque D = 0 en este caso, la línea media, es el eje x . Los mínimos locales estarán a la misma distancia por debajo de la línea media. Si los valores de | A | > 1 , la función se estira. Por ejemplo, la amplitud de f ( x ) = 4 sen x es el doble de la amplitud de f ( x ) = 2 sen x . Si | A | < 1 , la función se comprime. La compara varias funciones sinusoidales con diferentes amplitudes. Una etiqueta de nota general Amplitud de las funciones sinusoidales Supongamos que C = 0 y D = 0 en las ecuaciones de forma general de las funciones seno y coseno, obtenemos las formas y = A sen ( B x ) y y = A cos ( B x ) La amplitud es | A | , que es la altura vertical desde la línea media . Además, observe en el ejemplo que | A | = amplitud = 1 2 | máximo − mínimo | Identificar la amplitud de la función seno o coseno ¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f ( x ) = -4 sen ( x ) ? ¿La función se estira o se comprime verticalmente? Comencemos por comparar la función con la forma simplificada y = A sen ( B x ) . En la función dada, A = -4 , por lo que la amplitud es | A | = | -4 | = 4. La función se estira. Análisis El valor negativo de A resulta en una reflexión a través del eje x de la función seno , como se muestra en la . Elemento Ejercicio ¿Cuál es la amplitud de la función sinusoidal f ( x ) = 1 2 sen ( x ) ? ¿La función se estira o se comprime verticalmente? 1 2 comprimida Analizar los gráficos de las variaciones de y = sen x y de y = cos x Ahora, que entendemos cómo A y B se relacionan con la ecuación de forma general para las funciones seno y coseno, exploraremos las variables C y D . Recordemos la forma general: y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D i y = A sen ( B ( x − C B ) ) + D y y = A cos ( B ( x − C B ) ) + D El valor C B para una función sinusoidal se denomina desplazamiento de fase , o el desplazamiento horizontal de la función básica del seno o del coseno . Si los valores de C > 0 , el gráfico se desplaza hacia la derecha. Si los valores de C < 0 , el gráfico se desplaza hacia la izquierda. Cuanto mayor sea el valor de | C | , más se desplazará el gráfico. La muestra que el gráfico de f ( x ) = sen ( x - π ) se desplaza hacia la derecha en π unidades, que es más de lo que vemos en el gráfico de f ( x ) = sen ( x - π 4 ) , que se desplaza hacia la derecha en π 4 unidades. Mientras que C se refiere al desplazamiento horizontal, D indica el desplazamiento vertical desde la línea media en la fórmula general de una función sinusoidal. Vea la . La función y = cos ( x ) + D tiene su línea media en y = D . Cualquier valor de D distinto de cero desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. La compara f ( x ) = sen ( x ) con la f ( x ) = sen ( x ) + 2 , que se desplaza 2 unidades hacia arriba en un gráfico. Una etiqueta de nota general Variaciones de las funciones seno y coseno Dada una ecuación de la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D o f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D , C B es el desplazamiento de fase y D es el desplazamiento vertical . Identificar el desplazamiento de fase de una función Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f ( x ) = sen ( x + π 6 ) − 2. Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x − C ) + D . En la ecuación dada, observe que B = 1 y C = - π 6 . Así que el desplazamiento de fase es C B = - π 6 1 = - π 6 o π 6 unidades a la izquierda. Análisis Debemos prestar atención al signo de la ecuación para la forma general de una función sinusoidal. La ecuación muestra un signo menos antes de C . Por lo tanto f ( x ) = sen ( x + π 6 ) - 2 puede reescribirse como f ( x ) = sen ( x - ( - π 6 ) ) − 2. Si el valor de C es negativo, el desplazamiento es hacia la izquierda. Elemento Ejercicio Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento de fase para f ( x ) = 3 cos ( x - π 2 ) . π 2 ; derecha Identificar el desplazamiento vertical de una función Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f ( x ) = cos ( x ) − 3, Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A cos ( B x − C ) + D . En la ecuación dada, D = −3 por lo que el desplazamiento es de 3 unidades hacia abajo. Elemento Ejercicio Determine la dirección y la magnitud del desplazamiento vertical para f ( x ) = 3 sen ( x ) + 2. 2 unidades hacia arriba Elemento Cómo Dada una función sinusoidal de la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D , identificar la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. Determine la amplitud como | A | . Determine el periodo como P = 2 π | B | . Determine el desplazamiento de fase como C B . Determine la línea media como y = D . Identificar las variaciones de una función sinusoidal a partir de una ecuación Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y = 3 sen ( 2 x ) + 1. Comencemos comparando la ecuación con la forma general y = A sen ( B x − C ) + D . A = 3 , por lo que la amplitud es | A | = 3. Luego, B = 2 , por lo que el periodo es P = 2 π | B | = 2 π 2 = π . No se ha sumado ninguna constante dentro de los paréntesis, por lo que C = 0 y el desplazamiento de fase es C B = 0 2 = 0 . Finalmente, D = 1 , por lo que la línea media es y = 1. Análisis Al inspeccionar el gráfico, podemos determinar que el periodo es π , la línea media es y = 1 , y la amplitud es de 3. Vea la . Elemento Ejercicio Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función y = 1 2 cos ( x 3 − π 3 ) . línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 1 2 ; periodo: P = 2 π | B | = 6 π ; desplazamiento de fase: C B = π Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico Determine la fórmula de la función coseno en la . Para determinar la ecuación, tenemos que identificar cada valor en la forma general de una función sinusoidal. y = A sen ( B x − C ) + D y = A cos ( B x − C ) + D El gráfico podría representar una función seno o coseno desplazada o reflejada. Cuando x = 0 , el gráfico tiene un punto extremo, ( 0 , 0 ) . Dado que la función coseno tiene un punto extremo para x = 0 , escribamos nuestra ecuación en términos de función coseno. Empecemos por la línea media. Vemos que el gráfico sube y baja una distancia igual por encima y por debajo de y = 0,5. Este valor, que es la línea media, es D en la ecuación, por lo que D = 0,5. La mayor distancia por encima y por debajo de la línea media es la amplitud. Los máximos están 0,5 unidades por encima de la línea media y los mínimos están 0,5 unidades por debajo. Así que | A | = 0,5. Otra forma en la que podríamos haber determinado la amplitud es al reconocer que la diferencia entre la altura de los máximos y mínimos locales es 1, por lo que | A | = 1 2 = 0,5. Además, el gráfico se refleja alrededor del eje x , de manera que A = − 0,5. El gráfico no se estira ni se comprime horizontalmente, por lo que B = 1; y el gráfico no se desplaza horizontalmente, por lo que C = 0 . Si lo agrupamos todo, g ( x ) = − 0,5 cos ( x ) + 0,5 Elemento Ejercicio Determine la fórmula de la función seno en la . f ( x ) = sen ( x ) + 2 Identificar la ecuación de una función sinusoidal a partir de un gráfico Determine la ecuación de la función sinusoidal en la . Con el valor más alto en 1 y el más bajo en −5 , la línea media estará a medio camino entre en -2. Así que D = –2. La distancia desde la línea media hasta el valor más alto o más bajo da una amplitud de | A | = 3. El periodo del gráfico es 6, que puede medirse desde el pico en x = 1 hasta el siguiente pico en x = 7 , o de la distancia entre los puntos más bajos. Por lo tanto, P = 2 π | B | = 6. Si utilizamos el valor positivo para B , hallamos que B = 2 π P = 2 π 6 = π 3 Hasta ahora, nuestra ecuación es y = 3 sen ( π 3 x − C ) - 2 o y = 3 cos ( π 3 x − C ) − 2. Para la forma y el desplazamiento, tenemos más de una opción. Podríamos escribirlo como cualquiera de los siguientes: un coseno desplazado a la derecha un coseno negativo desplazado a la izquierda un seno desplazado a la izquierda un seno negativo desplazado a la derecha Aunque cualquiera de ellos sería correcto, los desplazamientos del coseno son más fáciles de trabajar que los del seno en este caso porque implican valores enteros. Así que nuestra función se convierte en y = 3 cos ( π 3 x - π 3 ) - 2 o y = - 3 cos ( π 3 x + 2 π 3 ) - 2 De nuevo, estas funciones son equivalentes, por lo que ambas dan lugar al mismo gráfico. Elemento Ejercicio Escriba una fórmula para la función graficada en la . dos posibilidades: y = 4 sen ( π 5 x - π 5 ) + 4 o y = – 4 sen ( π 5 x + 4 π 5 ) + 4 Graficar las variaciones de y = sen x y de y = cos x A lo largo de esta sección, hemos aprendido sobre los tipos de variaciones de las funciones seno y coseno y hemos utilizado esa información para escribir ecuaciones a partir de gráficos. Ahora podemos utilizar la misma información para crear gráficos a partir de ecuaciones. En lugar de centrarnos en las ecuaciones de forma general y = A sen ( B x − C ) + D y y = A cos ( B x − C ) + D , supondremos que C = 0 y D = 0 y trabajaremos con una forma simplificada de las ecuaciones en los siguientes ejemplos. Elemento Cómo Dada la función y = A sen ( B x ) , dibujar su gráfico. Identifique la amplitud, | A | . Identifique el periodo, P = 2 π | B | . Empiece en el origen, donde la función aumenta hacia la derecha si A es positivo o decreciente si A es negativo. A x = π 2 | B | hay un máximo local para A > 0 o un mínimo para A < 0 , con la y = A . La curva vuelve al eje x en x = π | B | . Hay un mínimo local para A > 0 (máximo para A < 0 ) en x = 3 π 2 | B | con la y = – A . La curva regresa al eje x en x = 2 π | B | . Graficar una función e identificar la amplitud y el periodo Dibuje un gráfico de f ( x ) = - 2 sen ( π x 2 ) . Comencemos por comparar la ecuación con la forma y = A sen ( B x ) . Paso 1. Podemos ver en la ecuación que A = - 2 , por lo que la amplitud es de 2. | A | = 2 Paso 2. La ecuación muestra que B = π 2 , por lo que el periodo es P = 2 π π 2 = 2 π ⋅ 2 π = 4 Paso 3. Dado a que A es negativo, el gráfico desciende a medida que nos desplazamos a la derecha del origen. Pasos 4 a 7. Las intersecciones en x están al principio de un periodo, x = 0 , los puntos medios horizontales están en x = 2 y al final de un periodo en x = 4. Los puntos del trimestre incluyen el mínimo en x = 1 y el máximo en x = 3. Se producirá un mínimo local en 2 unidades por debajo de la línea media, en x = 1 , y se producirá un máximo local en 2 unidades por encima de la línea media, a x = 3. La muestra el gráfico de la función. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de g ( x ) = − 0,8 cos ( 2 x ) . Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 0,8 ; periodo: P = 2 π | B | = π ; desplazamiento de fase: C B = 0 o ninguna de las anteriores Elemento Cómo Dada una función sinusoidal con un desplazamiento de fase y un desplazamiento vertical, dibujar su gráfico. Exprese la función en la forma general y = A sen ( B x − C ) + D o y = A cos ( B x − C ) + D . Identifique la amplitud, | A | . Identifique el periodo, P = 2 π | B | . Identifique el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de f ( x ) = A sen ( B x ) desplazado a la derecha o a la izquierda en C B y hacia arriba o hacia abajo en D . Graficar una sinusoide transformada Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 sen ( π 4 x - π 4 ) . Paso 1. La función ya está escrita de forma general: f ( x ) = 3 sen ( π 4 x - π 4 ) . Este gráfico tendrá la forma de una función seno , comenzando en la línea media y aumentando hacia la derecha. Paso 2. | A | = | 3 | = 3. La amplitud es de 3. Paso 3. Dado que | B | = | π 4 | = π 4 , determinamos el período de la siguiente manera. P = 2 π | B | = 2 π π 4 = 2 π ⋅ 4 π = 8 El período es de 8. Paso 4. Dado que C = π 4 , el desplazamiento de fase es C B = π 4 π 4 = 1. El desplazamiento de fase es de 1 unidad. Paso 5. La muestra el gráfico de la función. Una sinusoide comprimida horizontalmente, estirada verticalmente y desplazada horizontalmente. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de g ( x ) = - 2 cos ( π 3 x + π 6 ) . Determine la línea media, la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. línea media: y = 0 ; amplitud: | A | = 2 ; periodo: P = 2 π | B | = 6 ; desplazamiento de fase: C B = - 1 2 Identificar las propiedades de una función sinusoidal Dados y = - 2 cos ( π 2 x + π ) + 3 , determine la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y el desplazamiento vertical. A continuación, grafique la función. Empiece por comparar la ecuación con la forma general y siga los pasos indicados en el . y = A cos ( B x − C ) + D Paso 1. La función ya está escrita de forma general. Paso 2. Dado que A = - 2 , la amplitud es | A | = 2. Paso 3. | B | = π 2 , por lo que el periodo es P = 2 π | B | = 2 π π 2 = 2 π ⋅ 2 π = 4. El período es de 4. Paso 4. C = - π , por lo que calculamos el desplazamiento de fase como C B = - π , π 2 = - π ⋅ 2 π = − 2. El desplazamiento de fase es − 2. Paso 5. D = 3 , por lo que la línea media es y = 3 , y el desplazamiento vertical es en 3 unidades hacia arriba. Dado que A es negativo, el gráfico de la función coseno se ha reflejado alrededor del eje x . La muestra un ciclo del gráfico de la función. Usar las transformaciones de las funciones seno y coseno Podemos utilizar las transformaciones de las funciones seno y coseno en numerosas aplicaciones. Como se mencionó al principio del capítulo, el movimiento circular puede modelarse con la función seno o coseno . Hallar la componente vertical del movimiento circular Un punto gira alrededor de un círculo de radio 3 centrado en el origen. Dibuje un gráfico de la coordenada de la y del punto como función del ángulo de rotación. Recordemos que, para un punto en un círculo de radio r , la coordenada de la y del punto es y = r sen ( x ) , por lo que en este caso, obtenemos la ecuación y ( x ) = 3 sen ( x ) . La constante 3 provoca un estiramiento vertical de los valores de y de la función por un factor de 3, que podemos ver en el gráfico en la . Análisis Obsérvese que el periodo de la función sigue siendo 2 π ; al recorrer el círculo, volvemos al punto ( 3 , 0 ) para x = 2 π , 4 π , 6 π , ... Porque las salidas del gráfico oscilarán ahora entre – 3 y 3 , la amplitud de la onda sinusoidal es 3. Elemento Ejercicio ¿Cuál es la amplitud de la función f ( x ) = 7 cos ( x ) ? Dibuje un gráfico de esta función. 7 Hallar la componente vertical del movimiento circular Un círculo con un radio de 3 pies se monta con su centro a 4 pies del suelo. El punto más cercano al suelo está marcado como P , como se muestra en la . Dibuje un gráfico de la altura sobre el suelo del punto P al girar el círculo; a continuación, halle una función que dé la altura en términos del ángulo de rotación. Al dibujar la altura, observamos que comenzará a 1 pie sobre el suelo, luego aumentará hasta 7 pies sobre el suelo y continuará oscilando 3 pies por encima y por debajo del valor central de 4 pies, como se muestra en la . Aunque podríamos utilizar una transformación de la función seno o coseno, empezamos por buscar las características que harían que una función fuera más fácil de utilizar que la otra. Utilizaremos una función coseno porque comienza en el valor más alto o más bajo, mientras que la función seno comienza en el valor medio. Un coseno estándar comienza en el valor más alto, y este gráfico comienza en el valor más bajo, por lo que necesitamos incorporar una reflexión vertical. En segundo lugar, vemos que el gráfico oscila 3 por encima y por debajo del centro, mientras que un coseno básico tiene una amplitud de 1, por lo que este gráfico se ha estirado verticalmente en 3, como en el último ejemplo. Finalmente, para desplazar el centro del círculo hasta una altura de 4, el gráfico se ha desplazado verticalmente hacia arriba en 4 unidades. Si agrupamos estas transformaciones, hallamos que y = - 3 cos ( x ) + 4 Elemento Ejercicio Se fija un peso a un resorte, que luego se cuelga de una tabla, como se muestra en la . Al oscilar el resorte hacia arriba y hacia abajo, la posición y del peso en relación con el tablero oscila entre -1 pulgadas (en el tiempo x = 0 ) con –7 pulgadas (en el tiempo x = π ) debajo del tablero. Supongamos que la posición de y se da como una función sinusoidal de x . Dibuje un gráfico de la función y luego halle una función coseno que dé la posición y en términos de x . y = 3 cos ( x ) - 4 Determinar la altura de un pasajero en una rueda de la fortuna El London Eye es una enorme rueda de la fortuna de 135 metros de diámetro (443 pies). Efectúa una rotación cada 30 minutos. Los pasajeros suben desde una plataforma a 2 metros del suelo. Exprese la altura de un pasajero sobre el suelo como función del tiempo en minutos. Con un diámetro de 135 m, la rueda de la fortuna tiene un radio de 67,5 m. La altura oscilará con una amplitud de 67,5 m por encima y por debajo del centro. Los pasajeros suben a 2 m sobre el nivel del suelo, por lo que el centro de la rueda de la fortuna deberá situarse a 67,5 + 2 = 69,5 m sobre el nivel del suelo. La línea media de la oscilación estará a 69,5 m. La rueda de fortuna tarda 30 minutos en completar una revolución, por lo que la altura oscilará con un período de 30 minutos. Por último, dado que el pasajero sube al punto más bajo, la altura comenzará en el valor más pequeño y aumentará, siguiendo la forma de una curva coseno, reflejada verticalmente. Amplitud: 67,5; por lo que A = 67,5 Línea media 69,5; por lo que D = 69,5 Periodo: 30, por lo que B = 2 π 30 = π 15 Forma: -cos ( t ) Una ecuación para la altura del pasajero sería y = − 67,5 cos ( π 15 t ) + 69,5 donde t está en minutos, mientras que y se mide en metros. Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de las funciones seno y coseno. Amplitud y período del seno y del coseno Traslación del seno y del coseno Graficar transformaciones seno y coseno Graficar la función seno Ecuaciones clave Funciones sinusoidales f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D Conceptos clave Las funciones periódicas se repiten a partir de un valor determinado. El valor más pequeño es el periodo. Las funciones básicas seno y coseno tienen un periodo de 2 π . La función sen x es impar, por lo que su gráfico es simétrico respecto al origen. La función cos x es par, por lo que su gráfico es simétrico con respecto al eje y . El gráfico de una función sinusoidal tiene la misma forma general que una función seno o coseno. En la fórmula general de una función sinusoidal, el periodo es P = 2 π | B | . Vea el . En la fórmula general de una función sinusoidal, | A | representa la amplitud. Si los valores de | A | > 1 , la función se estira, mientras que si | A | < 1 , la función se comprime. Vea el . El valor C B en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento de fase. Vea el . El valor D en la fórmula general de una función sinusoidal indica el desplazamiento vertical desde la línea media. Vea el . Las combinaciones de variaciones de funciones sinusoidales se determinan a partir de una ecuación. Vea el . La ecuación de una función sinusoidal se determina a partir de un gráfico. Vea el y el . Una función se puede graficar al identificar su amplitud y su periodo. Vea el y el . Una función también se puede graficar al identificar su amplitud, periodo, desplazamiento de fase y desplazamiento horizontal. Vea el . Las funciones sinusoidales pueden utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué las funciones seno y coseno reciben el nombre de funciones periódicas? Las funciones seno y coseno tienen la propiedad de que f ( x + P ) = f ( x ) para un determinado P . Esto significa que los valores de la función se repiten para cada P unidades en el eje x . ¿Cómo se compara el gráfico de y = sen x con el gráfico de y = cos x ? Explique cómo podría trasladar horizontalmente el gráfico de y = sen x para obtener y = cos x . Para la ecuación A cos ( B x + C ) + D , ¿qué constantes afectan el rango de la función y cómo lo afectan? El valor absoluto de la constante A (amplitud) aumenta el alcance total y la constante D (desplazamiento vertical) desplaza el gráfico verticalmente. ¿Cómo se relaciona el rango de una función seno trasladada con la ecuación y = A sen ( B x + C ) + D ? ¿Cómo se puede utilizar el círculo unitario para construir el gráfico de f ( t ) = sen t ? En el punto en el que el lado terminal de t interseca el círculo unitario, se puede determinar que el sen t es igual a la coordenada de la y del punto. Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos de cada función e indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x > 0 . Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario. f ( x ) = 2 sen x f ( x ) = 2 3 cos x amplitud: 2 3 ; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 2 3 se produce en x = 0 ; mínimo: y = - 2 3 se produce en x = π ; para un periodo, el gráfico comienza en 0 y termina en 2 π f ( x ) = - 3 sen x f ( x ) = 4 sen x amplitud: 4; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; máximo y = 4 se produce en x = π 2 ; mínimo: y = – 4 se produce en x = 3 π 2 ; un periodo completo ocurre desde x = 0 hasta x = 2 π f ( x ) = 2 cos x f ( x ) = cos ( 2 x ) amplitud: 1; periodo: π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 1 se produce en x = π ; mínimo: y = - 1 se produce en x = π 2 ; un periodo completo se grafica desde x = 0 hasta x = π f ( x ) = 2 sen ( 1 2 x ) f ( x ) = 4 cos ( π x ) amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y = 0 ; máximo: y = 4 se produce en x = 0 ; mínimo: y = – 4 se produce en x = 1 f ( x ) = 3 cos ( 6 5 x ) y = 3 sen ( 8 ( x + 4 ) ) + 5 amplitud: 3; periodo: π 4 ; línea media: y = 5 ; máximo: y = 8 se produce en x = 0,12 ; mínimo: y = 2 se produce en x = 0,516 ; desplazamiento horizontal: − 4 ; traslación vertical 5; se produce un periodo de x = 0 hasta x = π 4 y = 2 sen ( 3 x − 21 ) + 4 y = 5 sen ( 5 x + 20 ) - 2 amplitud: 5; periodo: 2 π 5 ; línea media: y = −2 ; máximo: y = 3 se produce en x = 0,08 ; mínimo: y = −7 se produce en x = 0,71; desplazamiento de fase: -4 ; traslación vertical: −2; un periodo completo puede graficarse en x = 0 hasta x = 2 π 5 En los siguientes ejercicios, grafique un periodo completo de cada función, empezando por x = 0 . Para cada función, indique la amplitud, el periodo y la línea media. Indique los valores máximos y mínimos de y así como sus valores correspondientes de x en un periodo para x > 0 . Indique el desplazamiento de fase y la traslación vertical, si procede. Redondee las respuestas a dos decimales, si es necesario. f ( t ) = 2 sen ( t − 5 π 6 ) f ( t ) = - cos ( t + π 3 ) + 1 amplitud: 1; periodo: 2 π ; línea media: y = 1 ; máximo: y = 2 se produce en x = 2,09 ; máximo: y = 2 se produce en t = 2,09 ; mínimo: y = 0 se produce en t = 5,24 ; desplazamiento de fase: − π 3 ; traslación vertical: 1; un periodo completo es de t = 0 a t = 2 π f ( t ) = 4 cos ( 2 ( t + π 4 ) ) - 3 f ( t ) = - sen ( 1 2 t + 5 π 3 ) amplitud: 1; periodo: 4 π ; línea media: y = 0 ; máximo: y = 1 se produce en t = 11,52 ; mínimo: y = - 1 se produce en t = 5,24 ; desplazamiento de fase: − 10 π 3 ; desplazamiento vertical: 0 f ( x ) = 4 sen ( π 2 ( x - 3 ) ) + 7 Determine la amplitud, la línea media, el periodo y una ecuación que implique la función seno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; línea media: y = - 3 ; periodo: 4; ecuación: f ( x ) = 2 sen ( π 2 x ) - 3 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; periodo: 5; línea media: y = 3 ; ecuación: f ( x ) = - 2 cos ( 2 π 5 x ) + 3 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en . amplitud: 4; periodo: 2; línea media: y = 0 ; ecuación: f ( x ) = – 4 cos ( π ( x - π 2 ) ) Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el coseno para el gráfico que se muestra en la . amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y = 1 ; ecuación: f ( x ) = 2 cos ( π x ) + 1 Determine la amplitud, el periodo, la línea media y una ecuación que implique el seno para el gráfico que se muestra en la . Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = sen x . En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 0 . 0 , π En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 1 2 . Evalúe f ( π 2 ) . sen ( π 2 ) = 1 En [ 0 , 2 π ) , f ( x ) = 2 2 . Calcule todos los valores de x . En [ 0 , 2 π ), ¿el valor o los valores máximos de la función se producen en qué valor o valores de x ? π 2 En [ 0 , 2 π ), ¿en qué valores de x se producen los valores mínimos de la función? Demuestre que f ( - x ) = - f ( x ) . Esto significa que f ( x ) = sen x es una función impar y posee simetría con respecto a ________________. f ( x ) = sen x es simétrico. En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = cos x . En [ 0 , 2 π ), resuelva la ecuación f ( x ) = cos x = 0 . En [ 0 , 2 π ), resuelva f ( x ) = 1 2 . π 3 , 5 π 3 En [ 0 , 2 π ), halle las intersecciones en x de f ( x ) = cos x . En [ 0 , 2 π ), halle los valores de x en los que la función tiene un valor máximo o mínimo. Máximo: 1 en x = 0 ; mínimo: -1 a las x = π En [ 0 , 2 π ), resuelva la ecuación f ( x ) = 3 2 . En tecnología Grafique h ( x ) = x + sen x en [ 0 , 2 π ] . Explique por qué el gráfico aparece como lo hace. Se añade una función lineal a una función seno periódica. El gráfico no tiene amplitud porque, al aumentar la función lineal sin límite, la función combinada h ( x ) = x + sen x también aumentará sin límites. El gráfico está acotado entre los gráficos de y = x + 1 y y = x 1 porque el seno oscila entre -1 y 1. Grafique h ( x ) = x + sen x en [ − 100 , 100 ] . ¿El gráfico apareció como se predijo en el ejercicio anterior? Grafique f ( x ) = x sen x en [ 0 , 2 π ] y explique cómo varía el gráfico de f ( x ) = sen x . No hay amplitud porque la función no está acotada. Grafique f ( x ) = x sen x en la ventana [ −10 , 10 ] y explique lo que muestra el gráfico. Grafique f ( x ) = sen x x en la ventana [ −5 π , 5 π ] y explique lo que muestra el gráfico. El gráfico es simétrico con respecto al eje y; además, no hay amplitud porque los límites de la función disminuyen a medida que | x | aumenta. Parece que hay una asíntota horizontal en y = 0 . Aplicaciones en el mundo real Una rueda de la fortuna tiene 25 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. La función h ( t ) da la altura de una persona en metros sobre el suelo t minutos después de que la rueda de la fortuna comience a girar. Ⓐ Halle la amplitud, la línea media y el periodo de h ( t ) . Ⓑ Halle una fórmula para la función de altura h ( t ) . Ⓒ ¿A qué altura se encuentra una persona después de 5 minutos? amplitud la altura vertical de una función; la constante A que aparece en la definición de una función sinusoidal línea media la línea horizontal y = D , donde D aparece en la forma general de una función sinusoidal función periódica una función f ( x ) que satisface f ( x + P ) = f ( x ) para una constante específica P y cualquier valor de x desplazamiento de fase el desplazamiento horizontal de la función básica seno o coseno; la constante C B función sinusoidal cualquier función que se exprese en la forma f ( x ) = A sen ( B x − C ) + D o f ( x ) = A cos ( B x − C ) + D", "section": "Gráficos de las funciones seno y coseno", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Gráficos de las otras funciones trigonométricas Sabemos que la función tangente puede utilizarse para calcular distancias, como la altura de un edificio, de una montaña o de un asta de bandera. Sin embargo, ¿qué pasa si queremos medir repeticiones de la distancia? Imagine, por ejemplo, un camión de bomberos estacionado junto a un almacén. La luz giratoria del camión recorría la pared del almacén a intervalos regulares. Si la entrada es el tiempo, la salida sería la distancia que recorre el haz de luz. El haz de luz repetiría la distancia a intervalos regulares. La función tangente puede utilizarse para calcular aproximadamente esta distancia. Se necesitarían asíntotas para ilustrar los ciclos repetidos cuando el haz de luz corre paralelo a la pared porque, aparentemente, se extiende eternamente. El gráfico de la función tangente ilustraría claramente los intervalos repetidos. En esta sección, exploraremos los gráficos de la tangente y otras funciones trigonométricas. Analizar el gráfico de y = tan x Comenzaremos con el gráfico de la función tangente , al trazar los puntos como hicimos con las funciones seno y coseno. Recordemos que tan x = sen x cos x El periodo de la función tangente es π porque el gráfico se repite en intervalos de k π donde k es una constante. Si graficamos la función tangente en − π 2 con π 2 , podemos ver el comportamiento del gráfico en un ciclo completo. Si observamos cualquier intervalo mayor, veremos que las características del gráfico se repiten. Podemos determinar si la tangente es una función par o impar mediante la definición de tangente. tan ( - x ) = sen ( - x ) cos ( - x ) Definición de tangente . = - sen x cos x El seno es una función impar, el coseno es par . = - sen x cos x El cociente de una función par e impar es impar . = - tan x Definición de tangente . Por lo tanto, la tangente es una función impar. Podemos analizar aún más el comportamiento gráfico de la función tangente al observar los valores de algunos de los ángulos especiales, como se indica en la . x − π 2 − π 3 − π 4 − π 6 0 π 6 π 4 π 3 π 2 tan ( x ) indefinida - 3 -1 - 3 3 0 3 3 1 3 indefinida Estos puntos nos ayudarán a dibujar nuestro gráfico, pero tenemos que determinar cómo se comporta el gráfico donde es indefinido. Si nos fijamos más en los valores cuando π 3 < x < π 2 , podemos utilizar una tabla para determinar una tendencia. Dado que π 3 ≈ 1,05 y π 2 ≈ 1,57 , evaluaremos x en las medidas del radián 1,05 < x < 1,57 como se muestra en la . x 1,3 1,5 1,55 1,56 tan x 3,6 14,1 48,1 92,6 A medida que x se aproxima a π 2 , las salidas de la función aumentan cada vez más. Dado que y = tan x es una función impar, vemos la correspondiente tabla de valores negativos en la . x -1,3 -1,5 -1,55 -1,56 tan x -3,6 -14,1 -48,1 -92,6 Podemos ver que, a medida que x se acerca a − π 2 , las salidas son cada vez menores. Recuerde que hay algunos valores de x para los cuales cos x = 0 . Por ejemplo, cos ( π 2 ) = 0 y cos ( 3 π 2 ) = 0 . En estos valores, la función tangente es indefinida, por lo que el gráfico de y = tan x tiene discontinuidades en x = π 2 y 3 π 2 . En estos valores, el gráfico de la tangente tiene asíntotas verticales. La representa el gráfico de y = tan x . La tangente es positiva desde 0 hasta π 2 y de π con 3 π 2 , correspondientes a los cuadrantes I y III del círculo unitario. Gráfico de la función tangente Graficar las variaciones de y = tan x Al igual que las funciones seno y coseno, la función tangente puede describirse mediante una ecuación general. y = A tan ( B x ) Podemos identificar el estiramiento y la compresión horizontal y vertical con los valores de A y B . El estiramiento horizontal se determina normalmente a partir del periodo del gráfico. En el caso de los gráficos tangentes, a menudo es necesario determinar el estiramiento vertical con un punto del gráfico. Ddao que no hay valores máximos ni mínimos de una función tangente, el término amplitud no puede interpretarse como en el caso de las funciones seno y coseno. En su lugar, utilizaremos la expresión factor de estiramiento/compresión cuando nos refiramos a la constante A . Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Atan (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es P = π | B | . El dominio son todos los números reales x , donde x ≠ π 2 | B | + π | B | k de manera que k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π 2 | B | + π | B | k , donde k es un número entero. y = A tan ( B x ) es una función impar. Graficar el período de una función tangente estirada o comprimida Podemos utilizar lo que sabemos acerca de las propiedades de la función tangente para trazar rápidamente el gráfico de cualquier función tangente estirada o comprimida de la forma f ( x ) = A tan ( B x ) . Nos centramos en un único periodo de la función que incluye el origen, porque la propiedad periódica nos permite extender el gráfico al resto del dominio de la función, si lo deseamos. Nuestro dominio limitado es entonces el intervalo ( − P 2 , P 2 ) y el gráfico tiene asíntotas verticales en ± P 2 donde P = π B . En ( - π 2 , π 2 ) , el gráfico saldrá de la asíntota izquierda en x = - π 2 , pasará por el origen y seguirá aumentando a medida que se acerque a la asíntota de la derecha en x = π 2 . Para que la función se acerque a las asíntotas a la velocidad correcta, también tenemos que establecer la escala vertical al evaluar realmente la función para al menos un punto por el que pasará el gráfico. Por ejemplo, podemos utilizar f ( P 4 ) = A tan ( B P 4 ) = A tan ( B π 4 B ) = A porque tan ( π 4 ) = 1. Elemento Cómo Dada la función f ( x ) = A tan ( B x ) , graficar un periodo. Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique B y determine el periodo, P = π | B | . Dibuje las asíntotas verticales en x = - P 2 y x = P 2 . Para A B > 0 , el gráfico se aproxima a la asíntota izquierda en los valores de salida negativos y a la asíntota derecha en los valores de salida positivos (al revés para A B < 0 ). Trace puntos de referencia en ( P 4 , A ) , ( 0 , 0 ) , y ( − P 4 ,− A ) , y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Trazar una tangente comprimida Dibuje un gráfico de un periodo de la función y = 0,5 tan ( π 2 x ) . En primer lugar, identificamos A y B . Dado que A = 0,5 y B = π 2 , podemos hallar el factor de estiramiento/compresión y el periodo. El periodo es π π 2 = 2 , por lo que las asíntotas están en x = ± 1. A un cuarto de periodo del origen, tenemos f ( 0,5 ) = 0,5 tan ( 0,5 π 2 ) = 0,5 tan ( π 4 ) = 0,5 Esto significa que la curva debe pasar por los puntos ( 0,5 , 0,5 ) , ( 0 , 0 ) , y ( − 0,5 , -0,5 ) . El único punto de inflexión está en el origen. La muestra el gráfico de un periodo de la función. Elemento Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 tan ( π 6 x ) . Graficar un periodo de una función tangente desplazada Ahora, que podemos graficar una función tangente estirada o comprimida, añadiremos un desplazamiento vertical u horizontal (o de fase). En este caso, añadimos C y D a la forma general de la función tangente. f ( x ) = A tan ( B x − C ) + D El gráfico de una función tangente transformada es diferente de la función tangente básica tan x de varias maneras: Características del gráfico de y = Atan (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A tan ( B x C ) + D es una función impar porque es el cociente de funciones pares e impares (seno y coseno respectivamente). Elemento Cómo Dada la función y = A tan ( B x − C ) + D , dibujar el gráfico de un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A tan ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión , | A | . Identifique B y determine el periodo, P = π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) desplazado a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. Trace tres puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar un periodo de una función tangente desplazada Grafique un periodo de la función y = −2 tan ( π x + π ) −1. Paso 1. La función ya está escrita en la forma y = A tan ( B x − C ) + D . Paso 2. A = –2 , por lo que el factor de estiramiento es | A | = 2. Paso 3. B = π , por lo que el periodo es P = π | B | = π π = 1. Paso 4. C = - π , por lo que el desplazamiento de fase C B = - π π = −1. Pasos 5-7. Las asíntotas están en x = - 3 2 y x = - 1 2 y los tres puntos de referencia recomendados son ( -1,25 , 1 ) , ( −1, −1 ) , y ( −0,75; −3 ) . El gráfico se muestra en la . Análisis Observe que se trata de una función decreciente porque A < 0 . Elemento Ejercicio ¿Qué aspecto tendría el gráfico del si hiciéramos A = 2 en vez de −2 ? Se reflejaría a través de la línea y = - 1 , para convertirse en una función creciente. Elemento Cómo Dado el gráfico de una función tangente, identificar el estiramiento horizontal y vertical. Halle el periodo P a partir del espacio entre asíntotas verticales sucesivas o intersecciones en x . Escriba f ( x ) = A tan ( π P x ) . Determine un punto conveniente ( x , f ( x ) ) en el gráfico dado y utilícelo para determinar A . Identificar el gráfico de una tangente estirada Halle una fórmula para la función graficada en la . Función tangente estirada El gráfico tiene la forma de una función tangente. Paso 1. Un ciclo se extiende de -4 a 4, por lo que el periodo es P = 8. Dado que P = π | B | , tenemos B = π P = π 8 . Paso 2. La ecuación deberá tener la forma f ( x ) = A tan ( π 8 x ) . Paso 3. Para hallar el estiramiento vertical A , podemos utilizar el punto ( 2 , 2 ) . 2 = A tan ( π 8 ⋅ 2 ) = A tan ( π 4 ) Dado que tan ( π 4 ) = 1 , A = 2. Esta función tendría una fórmula f ( x ) = 2 tan ( π 8 x ) . Elemento Ejercicio Hale una fórmula para la función en la . g ( x ) = 4 tan ( 2 x ) Analizar los gráficos de y = sec x y de y = cscx La secante fue definida por la identidad recíproca sec x = 1 cos x . Observe que la función es indefinida cuando el coseno es 0, lo que lleva a las asíntotas verticales en π 2 , 3 π 2 , etc. Ya que el coseno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la secante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto. Podemos graficar y = sec x al observar el gráfico de la función coseno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del coseno se muestra como una onda naranja punteada para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función coseno disminuye, el de la función secante aumenta. Donde el gráfico de la función coseno aumenta, el de la función secante disminuye. Cuando la función coseno es cero, la secante es indefinida. El gráfico de la secante tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde el gráfico del coseno cruza el eje x ; esto lo mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas, pero no mostraremos todas las asíntotas explícitamente en todos los gráficos posteriores que impliquen la secante y la cosecante. Observe que, debido a que el coseno es una función par, la secante también lo es. Eso es, sec ( - x ) = sec x . Gráfico de la función secante, f ( x ) = sec x = 1 cos x Al igual que en el caso de la función tangente, volveremos a referirnos a la constante | A | como el factor de estiramiento, no la amplitud. Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Asec (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. El rango es ( - ∞ , − | A | ] ∪ [ | A | , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A sec ( B x ) es una función par porque el coseno es una función par. Al igual que la secante, la cosecante se define por la identidad recíproca csc x = 1 sen x . Observe que la función es indefinida cuando el seno es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 0 , π , etc. Dedo que el seno nunca es mayor que 1 en valor absoluto, la cosecante, al ser el recíproco, nunca será menor que 1 en valor absoluto. Podemos graficar y = csc x al observar el gráfico de la función seno porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . El gráfico del seno se muestra como una onda naranja discontinua para que podamos ver la relación. Donde el gráfico de la función seno disminuye, el gráfico de la función cosecante aumenta. Donde el gráfico de la función seno aumenta, el gráfico de la función cosecante disminuye. El gráfico de la cosecante tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde el gráfico del seno cruza el eje x ; los mostramos en el gráfico de abajo con líneas verticales discontinuas. Observe que, debido a que el seno es una función impar, la función cosecante también lo es. Eso es, csc ( - x ) = -csc x . El gráfico de la cosecante, que se muestra en la , es similar al gráfico de la secante. El gráfico de la función cosecante, f ( x ) = csc x = 1 sen x Una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acsc (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , − | A | ] ∪ [ | A | , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π | B | k , donde k es un número entero. y = A csc ( B x ) es una función impar porque el seno es una función impar. Graficar las variaciones de y = sec x y de y= csc x En las versiones desplazadas, comprimidas o estiradas de las funciones secante y cosecante, podemos seguir métodos semejantes a los que utilizamos para la tangente y la cotangente. Es decir, localizamos las asíntotas verticales y también evaluamos las funciones para algunos puntos (concretamente los extremos locales). Si queremos graficar un solo periodo, podemos elegir el intervalo para el periodo en más de una manera. El procedimiento para la secante es muy similar, porque la identidad de la cofunción significa que el gráfico de la secante es el mismo que el de la cosecante desplazada medio periodo hacia la izquierda. Los desplazamientos verticales y de fase pueden aplicarse a la función cosecante de la misma manera que para la secante y otras funciones. Las ecuaciones se convierten en las siguientes. y = A sec ( B x − C ) + D y = A csc ( B x − C ) + D una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Asec (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. El rango es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. No hay amplitud. y = A sec ( B x C ) + D es una función par porque el coseno es una función par. una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acsc (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es 2 π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. No hay amplitud. y = A csc ( B x C ) + D es una función impar porque el seno es una función impar. Elemento Cómo Dada una función de la forma y = A sec ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A sec ( B x ) . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, P = 2 π | B | . Dibuje el gráfico de y = A cos ( B x ) . Utilice la relación recíproca entre y = cos x y y = sec x para dibujar el gráfico de y = A sec ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Trace dos puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una variación de la función secante Grafique un periodo de f ( x ) = 2,5 sec ( 0,4 x ) . Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, y = A sec ( B x ) . Paso 2. A = 2,5 por lo que el factor de estiramiento es 2 0,5 . Paso 3. B = 0,4 por lo que P = 2 π 0,4 = 5 π . El periodo es 5 π unidades. Paso 4. Dibuje el gráfico de la función g ( x ) = 2,5 cos ( 0,4 x ) . Paso 5. Utilice la relación recíproca de las funciones coseno y secante para dibujar la función cosecante. Pasos 6-7. Trace dos asíntotas en x = 1,25 π y x = 3,75 π . Podemos utilizar dos puntos de referencia, el mínimo local en ( 0 , 2,5 ) y el máximo local en ( 2,5 π , -2,5 ) . La muestra el gráfico. Elemento Ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = − 2,5 sec ( 0,4 x ) . Se trata de una reflexión vertical del gráfico anterior porque A es negativo. Elemento Preguntas y respuestas ¿El desplazamiento vertical y el estiramiento/compresión afectan el rango de la secante? Sí. El rango de f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D es ( - ∞ , − | A | + D ] ∪ [ | A | + D , ∞ ) . Elemento Cómo Dada una función de la forma f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A sec ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, 2 π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A sec ( B x ) , pero desplazándolo hacia la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π 2 | B | k , donde k es un número entero impar. Graficar una variación de la función secante Grafique un periodo de y = 4 sec ( π 3 x - π 2 ) + 1. Paso 1. Exprese la función dada en la forma y = 4 sec ( π 3 x - π 2 ) + 1. Paso 2. El factor de estiramiento/compresión es | A | = 4. Paso 3. El periodo es 2 π | B | = 2 π π 3 = 2 π 1 ⋅ 3 π = 6 Paso 4. El desplazamiento de fase es C B = π 2 π 3 = π 2 ⋅ 3 π = 1,5 Paso 5. Dibuje el gráfico de y = A sec ( B x ) , pero desplazándolo a la derecha por C B = 1,5 y hacia arriba por D = 6. Paso 6. Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = 0 , x = 3 , y x = 6. Hay un mínimo local en ( 1,5 , 5 ) y un máximo local en ( 4,5 , - 3 ) . La muestra el gráfico. Elemento Ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = − 6 sec ( 4 x + 2 ) − 8. Elemento Preguntas y respuestas El dominio de csc x se dio para ser todo x tal que x ≠ k π para cualquier número entero k . ¿El dominio de y = A csc ( B x − C ) + D sería x ≠ C + k π B ? Sí. Los puntos excluidos del dominio siguen las asíntotas verticales. Sus ubicaciones muestran el desplazamiento horizontal y la compresión o expansión que implica la transformación a la entrada de la función original. Elemento Cómo Dada una función de la forma y = A csc ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A csc ( B x ) . | A | . Identifique B y determine el periodo, P = 2 π | B | . Dibuje el gráfico de y = A sen ( B x ) . Utilice la relación recíproca entre y = sen x y y = csc x para dibujar el gráfico de y = A csc ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Trace dos puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una variación de la función cosecante Grafique un periodo de f ( x ) = −3 csc ( 4 x ) . Paso 1. La función dada ya está escrita en la forma general, y = A csc ( B x ) . Paso 2. | A | = | - 3 | = 3 , por lo que el factor de estiramiento es 3. Paso 3. B = 4 , así que P = 2 π 4 = π 2 . El periodo es π 2 unidades. Paso 4. Dibuje el gráfico de la función g ( x ) = −3 sen ( 4 x ) . Paso 5. Utilice la relación recíproca de las funciones seno y cosecante para dibujar la función cosecante . Pasos 6-7. Trace tres asíntotas en x = 0 , x = π 4 , y x = π 2 . Podemos utilizar dos puntos de referencia, el máximo local en ( π 8 , −3 ) y el mínimo local en ( 3 π 8 , 3 ) . La muestra el gráfico. elemento ejercicio Grafique un periodo de f ( x ) = 0,5 csc ( 2 x ) . elemento cómo Dada una función de la forma f ( x ) = A csc ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función dada en la forma y = A csc ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | . Identifique B y determine el periodo, 2 π | B | . Identifique C y determine el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A csc ( B x ) pero desplazándolo a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. Graficar una cosecante estirada verticalmente, comprimida horizontalmente y desplazada verticalmente Dibuje un gráfico de y = 2 csc ( π 2 x ) + 1. ¿Cuáles son el dominio y el rango de esta función? Paso 1. Exprese la función dada en la forma y = 2 csc ( π 2 x ) + 1. Paso 2. Identifique el factor de estiramiento/compresión, | A | = 2. Paso 3. El periodo es 2 π | B | = 2 π π 2 = 2 π 1 ⋅ 2 π = 4. Paso 4. El desplazamiento de fase es 0 π 2 = 0 . Paso 5. Dibuje el gráfico de y = A csc ( B x ) , pero desplazándolo hacia arriba D = 1. Paso 6. Dibuje las asíntotas verticales, que se producen en x = 0 , x = 2 , x = 4. El gráfico de esta función se muestra en la . Función cosecante transformada Análisis Las asíntotas verticales que se muestran en el gráfico marcan un periodo de la función, mientras que los extremos locales en este intervalo se muestran con puntos. Observe cómo el gráfico de la cosecante transformada se relaciona con el gráfico de f ( x ) = 2 sen ( π 2 x ) + 1 , que se muestra como la onda punteada de color naranja. elemento ejercicio Dado el gráfico de f ( x ) = 2 cos ( π 2 x ) + 1 que se muestra en la , dibujar el gráfico de g ( x ) = 2 sec ( π 2 x ) + 1 en los mismos ejes. Analizar el gráfico de y = cot x La última función trigonométrica que debemos explorar es la cotangente . La cotangente se define por la identidad recíproca cot x = 1 tan x . Observe que la función es indefinida cuando la función tangente es 0, lo que lleva a una asíntota vertical en el gráfico en 0 , π , etc. Dado que la salida de la función tangente abarca números reales, la salida de la función cotangente también abarca números reales. Podemos graficar y = cot x al observar el gráfico de la función tangente porque estas dos funciones son recíprocas. Vea la . Donde el gráfico de la función tangente disminuye, el gráfico de la función cotangente aumenta. Donde el gráfico de la función tangente aumenta, el gráfico de la función cotangente disminuye. El gráfico de la cotangente tiene asíntotas verticales en cada valor de x donde tan x = 0 ; los mostramos en el siguiente gráfico con líneas discontinuas. Dado que la cotangente es la recíproca de la tangente, cot x tiene asíntotas verticales en todos los valores de x donde tan x = 0 , y cot x = 0 en todos los valores de x donde tan x tiene sus asíntotas verticales. La función cotangente una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acot (Bx ) El factor de estiramiento es | A | . El periodo es P = π | B | . El dominio es x ≠ π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( - ∞ , ∞ ) . Las asíntotas se producen en x = π | B | k , donde k es un número entero. y = A cot ( B x ) es una función impar. Graficar las variaciones de y = cot x Podemos transformar el gráfico de la cotangente de forma muy parecida a como lo hicimos con la tangente. La ecuación se convierte en la siguiente. y = A cot ( B x − C ) + D una etiqueta de nota general Características del gráfico de y = Acot (Bx-C )+D El factor de estiramiento es | A | . El periodo es π | B | . El dominio es x ≠ C B + π | B | k , donde k es un número entero. El rango es ( -∞ , ∞ ) . Las asíntotas verticales se producen en x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. No hay amplitud. y = A cot ( B x ) es una función impar porque es el cociente de funciones pares e impares (coseno y seno, respectivamente). elemento cómo Dada una función cotangente modificada de la forma f ( x ) = A cot ( B x ) , graficar un periodo. Exprese la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x ) . Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique el periodo, P = π | B | . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) . Trace dos puntos de referencia cualesquiera. Utilice la relación recíproca entre la tangente y la cotangente para dibujar el gráfico de y = A cot ( B x ) . Dibuje las asíntotas. Graficar variaciones de la función cotangente Determine el factor de estiramiento, el período y el desplazamiento de fase de y = 3 cot ( 4 x ) , y, a continuación, dibuje un gráfico. Paso 1. Expresar la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x ) da como resultado f ( x ) = 3 cot ( 4 x ) . Paso 2. El factor de estiramiento es | A | = 3. Paso 3. El periodo es P = π 4 . Paso 4. Dibuje el gráfico de y = 3 tan ( 4 x ) . Paso 5. Trace dos puntos de referencia. Dos de estos puntos son ( π 16 , 3 ) y ( 3 π 16 , −3 ) . Paso 6. Utilice la relación recíproca para dibujar y = 3 cot ( 4 x ) . Paso 7. Dibuje las asíntotas, x = 0 , x = π 4 . El gráfico azul en la muestra y = 3 tan ( 4 x ) y el gráfico verde muestra y = 3 cot ( 4 x ) . elemento cómo Dada una función cotangente modificada de la forma f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D , graficar un periodo. Exprese la función en la forma f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D . Identifique el factor de estiramiento, | A | . Identifique el periodo, P = π | B | . Identifique el desplazamiento de fase, C B . Dibuje el gráfico de y = A tan ( B x ) desplazado a la derecha por C B y hacia arriba por D . Dibuje las asíntotas x = C B + π | B | k , donde k es un número entero. Trace tres puntos de referencia cualesquiera y dibuje el gráfico a través de estos puntos. Graficar una cotangente modificada Dibuje un gráfico de un periodo de la función f ( x ) = 4 cot ( π 8 x - π 2 ) − 2. Paso 1. La función ya está escrita en la forma general f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D . Paso 2. A = 4 , por lo que el factor de estiramiento es 4. Paso 3. B = π 8 , por lo que el periodo es P = π | B | = π π 8 = 8. Paso 4. C = π 2 , por lo que el desplazamiento de fase C B = π 2 π 8 = 4. Paso 5. Dibujamos f ( x ) = 4 tan ( π 8 x - π 2 ) − 2. Pasos 6-7. Tres puntos que podemos utilizar para guiar el gráfico son ( 6 , 2 ) , ( 8 , - 2 ) , y ( 10 , − 6 ) . Utilizamos la relación recíproca de la tangente y la cotangente para dibujar f ( x ) = 4 cot ( π 8 x - π 2 ) − 2. Paso 8. Las asíntotas verticales son x = 4 y x = 12. El gráfico se muestra en la . Período de una función cotangente modificada Usar los gráficos de las funciones trigonométricas para resolver problemas del mundo real Muchas situaciones en el mundo real representan funciones periódicas y pueden modelarse con funciones trigonométricas. Como ejemplo, volvamos a la situación que se describió al inicio de la sección. ¿Ha observado alguna vez el haz formado por la luz giratoria de un camión de bomberos y se ha preguntado por el movimiento del propio haz de luz a través de la pared? El comportamiento periódico de la distancia a la que brilla la luz en función del tiempo es evidente, pero ¿cómo determinamos la distancia? Podemos utilizar la función tangente . Usar las funciones trigonométricas para resolver situaciones del mundo real Supongamos que la función y = 5 tan ( π 4 t ) marca la distancia en el movimiento de un haz de luz desde la parte superior de un automóvil de policía a través de una pared donde t es el tiempo en segundos y y es la distancia en pies desde un punto en la pared directamente frente al automóvil de policía. Ⓐ Halle e interprete el factor de estiramiento y el periodo. Ⓑ Grafique en el intervalo [ 0 , 5 ] . Ⓒ Evalúe f ( 1 ) y comente el valor de la función en esa entrada. Ⓐ Sabemos por la forma general de y = A tan ( B t ) que | A | es el factor de estiramiento y π B es el periodo. Vemos que el factor de estiramiento es 5. Esto significa que el haz de luz se habrá desplazado 5 pies después de la mitad del periodo. El periodo es π π 4 = π 1 ⋅ 4 π = 4. Esto significa que cada 4 segundos, el haz de luz recorre la pared. La distancia desde el punto frente al automóvil de policía aumenta a medida que este se acerca. Ⓑ Para graficar la función, dibujamos una asíntota en t = 2 y utilizamos el factor de estiramiento y el periodo. Vea la Ⓒ periodo: f ( 1 ) = 5 tan ( π 4 ( 1 ) ) = 5 ( 1 ) = 5 ; después de 1 segundo, el haz de luz se ha movido 5 pies desde el punto frente al automóvil de policía. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los gráficos de otras funciones trigonométricas. Graficar la tangente Graficar la cosecante y la secante Graficar la cotangente Ecuaciones clave Función tangente desplazada, comprimida o estirada y = A tan ( B x − C ) + D Función secante desplazada, comprimida o estirada y = A sec ( B x − C ) + D Función cosecante desplazada, comprimida o estirada y = A csc ( B x − C ) + D Función cotangente desplazada, comprimida o estirada y = A cot ( B x − C ) + D Conceptos clave La función tangente tiene periodo π . f ( x ) = A tan ( B x − C ) + D es una tangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el , el y el . La secante y la cosecante son funciones periódicas con un periodo de 2 π . f ( x ) = A sec ( B x − C ) + D da un gráfico de la función secante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el . f ( x ) = A csc ( B x − C ) + D da un gráfico de la función cosecante desplazada, comprimida o estirada. Vea el y el . La función cotangente tiene periodo π y asíntotas verticales en 0 , ± π , ±2, 2 π , ... El rango de la cotangente es ( - ∞ , ∞ ) , y la función es decreciente en cada punto de su rango. La cotangente es cero en ± π 2 , ±3,... 3 π 2 , ... f ( x ) = A cot ( B x − C ) + D es una cotangente con estiramiento/compresión vertical u horizontal y desplazamiento. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden resolver con los gráficos de las funciones trigonométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo se puede utilizar el gráfico de la función seno para graficar y = csc x . Dado que y = csc x es la función recíproca de y = sen x , se puede trazar el recíproco de las coordenadas en el gráfico de y = sen x para obtener las coordenadas de la y de y = csc x . Las intersecciones en x del gráfico y = sen x son las asíntotas verticales del gráfico de y = csc x . ¿Cómo puede el gráfico de y = cos x utilizarse para construir el gráfico de y = sec x ? Explique por qué el periodo de tan x es igual a π . Las respuestas variarán. Utilizando el círculo unitario, se puede demostrar que tan ( x + π ) = tan x . ¿Por qué no hay intersecciones en el gráfico de y = csc x ? ¿Cómo el periodo de y = csc x se compara con el periodo de y = sen x ? El periodo es el mismo: 2 π . Algebraicos En los siguientes ejercicios, coteje cada función trigonométrica con uno de los siguientes gráficos. f ( x ) = tan x f ( x ) = sec x IV f ( x ) = csc x f ( x ) = cot x III En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada una de las funciones. f ( x ) = 2 tan ( 4 x − 32 ) h ( x ) = 2 sec ( π 4 ( x + 1 ) ) periodo: 8; desplazamiento horizontal: 1 unidad a la izquierda m ( x ) = 6 csc ( π 3 x + π ) Si tan x = − 1,5 , calcule tan ( - x ) . 1,5 Si los valores de sec x = 2 , calcule sec ( - x ) . Si los valores de csc x = - 5 , calcule csc ( - x ) . 5 Si los valores de x sen x = 2 , halle ( - x ) sen ( - x ) . En los siguientes ejercicios, reescriba cada expresión de forma que el argumento x es positivo. cot ( - x ) cos ( - x ) + sen ( - x ) − cot x cos x - sen x cos ( - x ) + tan ( - x ) sen ( - x ) Gráficos En los siguientes ejercicios, trace dos periodos del gráfico de cada una de las siguientes funciones. Identifique el factor de estiramiento, el período y las asíntotas. f ( x ) = 2 tan ( 4 x − 32 ) factor de estiramiento: 2; periodo: π 4 ; asíntotas: x = 1 4 ( π 2 + π k ) + 8 , donde k es un número entero h ( x ) = 2 sec ( π 4 ( x + 1 ) ) m ( x ) = 6 csc ( π 3 x + π ) factor de estiramiento: 6; periodo: 6; asíntotas x = 3 k , donde k es un número entero j ( x ) = tan ( π 2 x ) p ( x ) = tan ( x - π 2 ) factor de estiramiento: 1; periodo: π ; asíntotas: x = π k , donde k es un número entero f ( x ) = 4 tan ( x ) f ( x ) = tan ( x + π 4 ) Factor de estiramiento: 1; periodo: π ; asíntotas: x = π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = π tan ( π x - π ) − π f ( x ) = 2 csc ( x ) factor de estiramiento: 2; periodo: 2 π ; asíntotas: x = π k , donde k es un número entero f ( x ) = - 1 4 csc ( x ) f ( x ) = 4 sec ( 3 x ) factor de estiramiento: 4; periodo: 2 π 3 ; asíntotas: x = π 6 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = - 3 cot ( 2 x ) f ( x ) = 7 sec ( 5 x ) factor de estiramiento: 7; punto 2 π 5 ; asíntotas: x = π 10 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = 9 10 csc ( π x ) f ( x ) = 2 csc ( x + π 4 ) - 1 factor de estiramiento: 2; periodo: 2 π ; asíntotas: x = - π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = − sec ( x - π 3 ) - 2 f ( x ) = 7 5 csc ( x - π 4 ) factor de estiramiento: 7 5 ; periodo: 2 π ; asíntotas: x = π 4 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = 5 ( cot ( x + π 2 ) - 3 ) En los siguientes ejercicios, halle y grafique dos periodos de la función periódica con el factor de estiramiento dado, | A | , periodo, y desplazamiento de fase. Una curva tangente, A = 1 , periodo de π 3 ; y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( π 4 , 2 ) y = tan ( 3 ( x - π 4 ) ) + 2 Una curva tangente, A = –2 , periodo de π 4 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( - π 4 , –2 ) En los siguientes ejercicios, halle una ecuación para el gráfico de cada función. f ( x ) = csc ( 2 x ) f ( x ) = csc ( 4 x ) f ( x ) = 2 csc x f ( x ) = 1 2 tan ( 100 π x ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para graficar dos periodos de la función dada. Nota: La mayoría de las calculadoras gráficas no tienen un botón de cosecante; por lo tanto, tendrá que introducir csc x cuando 1 sen x . f ( x ) = | csc ( x ) | f ( x ) = | cot ( x ) | f ( x ) = 2 csc ( x ) f ( x ) = csc ( x ) sec ( x ) Grafique f ( x ) = 1 + sec 2 ( x ) - tan 2 ( x ) . ¿Cuál es la función que se muestra en el gráfico? f ( x ) = sec ( 0,001 x ) f ( x ) = cot ( 100 π x ) f ( x ) = sen 2 x + cos 2 x Aplicaciones en el mundo real La función f ( x ) = 20 tan ( π 10 x ) marca la distancia en el movimiento de un haz de luz de un automóvil de policía por una pared para el tiempo x , en segundos, y la distancia f ( x ) , en pies. Ⓐ Grafique en el intervalo [ 0 , 5 ] . Ⓑ Halle e interprete el factor de estiramiento, el periodo y la asíntota. Ⓒ Evalúe f ( 1 ) y f ( 2,5 ) y comente los valores de la función en esas entradas. De pie a la orilla de un lago, un pescador divisa un barco a lo lejos, a su izquierda. Supongamos que x , medido en radianes, es el ángulo formado por la línea de visión del barco y una línea con rumbo norte desde su posición. Supongamos que el norte es 0 y x se mide en negativo hacia la izquierda y en positivo hacia la derecha. (Vea la ). El barco viaja desde el oeste hasta el este y, sin tener en cuenta la curvatura de la Tierra, la distancia d ( x ) , en kilómetros, desde el pescador hasta el barco viene dada por la función d ( x ) = 1,5 sec ( x ) . Ⓐ ¿Cuál es un dominio razonable para d ( x ) ? Ⓑ Grafique d ( x ) en este dominio. Ⓒ Halle y razone el significado de cualquier asíntota vertical en el gráfico de d ( x ) . Ⓓ Calcule e interprete d ( - π 3 ) . Redondee al segundo decimal. Ⓔ Calcule e interprete d ( π 6 ) . Redondee al segundo decimal. Ⓕ ¿Cuál es la distancia mínima entre el pescador y el barco? ¿Cuándo ocurre esto? Ⓐ ( - π 2 , π 2 ) ; Ⓑ Ⓒ x = - π 2 y x = π 2 ; la distancia crece sin límites a medida que | x | se aproxima a π 2 , es decir, en ángulo recto con la línea que representa el norte, el barco estaría tan lejos que el pescador no podría verlo; Ⓓ 3; cuando x = - π 3 , el barco está a 3 km; Ⓔ 1,73; cuando x = π 6 , el barco está a unos 1,73 km; Ⓕ 1,5 km; cuando x = 0 Un telémetro láser se fija en un cometa que se aproxima a la Tierra. La distancia g ( x ) , en kilómetros, del cometa después de x días, para x en el intervalo de 0 a 30 días, viene dada por g ( x ) = 250.000 csc ( π 30 x ) . Ⓐ Grafique g ( x ) en el intervalo [ 0 , 30 ] . Ⓑ Evalúe g ( 5 ) e interprete la información. Ⓒ ¿Cuál es la distancia mínima entre el cometa y la Tierra? ¿Cuándo ocurre esto? ¿A qué constante de la ecuación corresponde? Ⓓ Halle y comente el significado de cualquier asíntota vertical. Una cámara de video enfoca un cohete en una plataforma de lanzamiento a 2 millas de la cámara. El ángulo de elevación desde el suelo hasta el cohete después de x segundos es π 120 x . Ⓐ Escriba una función que exprese la altitud h ( x ) , en millas, del cohete sobre el suelo después de x segundos. Deje de lado la curvatura de la Tierra. Ⓑ Grafique h ( x ) en el intervalo ( 0 , 60 ) . Ⓒ Evalúe e interprete los valores h ( 0 ) y h ( 30 ) . Ⓓ ¿Qué ocurre con los valores de h ( x ) cuando x se acerca a los 60 segundos? Interprete el significado de esto en términos del problema. Ⓐ h ( x ) = 2 tan ( π 120 x ) ; Ⓑ Ⓒ h ( 0 ) = 0 : después de 0 segundos, el cohete está a 0 millas sobre el suelo h ( 30 ) = 2 : después de 30 segundos, los cohetes están a 2 millas de altura; Ⓓ A medida que x se acerca a los 60 segundos, los valores de h ( x ) aumentan cada vez más. La distancia al cohete aumenta tanto que la cámara ya no puede seguirlo.", "section": "Gráficos de las otras funciones trigonométricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones trigonométricas inversas Para cualquier triángulo rectángulo , dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas . Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas \"deshacen\" lo que la función trigonométrica original \"hace\", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la . Por ejemplo, si f ( x ) = sen x , entonces escribiríamos f − 1 ( x ) = sen − 1 x . Tenga en cuenta que sen − 1 x no significa 1 sen x . Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas: Dado que sen ( π 6 ) = 1 2 , entonces π 6 = sen − 1 ( 1 2 ) . Dado que cos ( π ) = - 1 , entonces π = cos − 1 ( - 1 ) . Dado que tan ( π 4 ) = 1 , entonces π 4 = tan - 1 ( 1 ) . En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca , si f ( a ) = b , entonces una función inversa satisfaría f − 1 ( b ) = a . Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La muestra el gráfico de la función seno limitada a [ - π 2 , π 2 ] y el gráfico de la función coseno limitada a [ 0 , π ] . (a) Función seno en un dominio restringido de [ - π 2 , π 2 ] ; (b) Función coseno en un dominio restringido de [ 0 , π ] La muestra el gráfico de la función tangente limitada a ( - π 2 , π 2 ) . Función tangente en un dominio restringido de ( - π 2 , π 2 ) Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota. En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas . La función seno inversa y = sen − 1 x significa x = sen y . La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno , y se anota arcsen x . y = sen − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ - π 2 , π 2 ] La función coseno inversa y = cos − 1 x significa x = cos y . La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno , y se anota arccos x . y = cos − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ 0 , π ] La función tangente inversa y = tan - 1 x significa x = tan y . La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente , y se anota arctan x . y = tan - 1 x tiene dominio ( -∞ , ∞ ) y rango ( - π 2 , π 2 ) Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la , la y la . Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que sen − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ - π 2 , π 2 ] , cos − 1 x tiene dominio [ −1 ,1 ] y rango [ 0 , π ] , y tan - 1 x tiene el dominio de todos los números reales y el rango ( - π 2 , π 2 ) . Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta y = x . La función seno y la función seno inversa (o arcoseno). La función coseno y la función coseno inversa (o arcocoseno) La función tangente y la función tangente inversa (o arcotangente) Relaciones para las funciones inversas de seno, coseno y tangente Para ángulos en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , si sen y = x , entonces sen − 1 x = y . Para ángulos en el intervalo [ 0 , π ] , si cos y = x , entonces cos − 1 x = y . Para ángulos en el intervalo ( - π 2 , π 2 ) , si tan y = x , entonces tan - 1 x = y . Escribir una relación para una función inversa Dados sen ( 5 π 12 ) ≈ 0,96593 , escriba una relación que implique la función seno inversa. Utilice la relación para la función seno inversa. Si los valores de sen y = x , entonces sen − 1 x = y . En este problema, x = 0,96593 , y y = 5 π 12 . sen − 1 ( 0,96593 ) ≈ 5 π 12 Ejercicio Dados cos ( 0,5 ) ≈ 0,8776, escriba una relación que implique la función coseno inversa. arccos ( 0,8776 ) ≈ 0,5 Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente π 6 (30°), π 4 (45°) y π 3 (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes. Cómo Dado un valor de entrada \"especial\", evaluar una función trigonométrica inversa. Halle el ángulo x para el cual la función trigonométrica original tiene una salida igual a la entrada dada para la función trigonométrica inversa. Si los valores de x no está en el rango definido de la inversa, halle otro ángulo y que está en el rango definido y tiene el mismo seno, coseno o tangente que x , dependiendo de cuál corresponda a la función inversa dada. Evaluar funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales Evalúe cada uno de los siguientes aspectos. Ⓐ sen − 1 ( 1 2 ) Ⓑ sen − 1 ( – 2 2 ) Ⓒ cos − 1 ( - 3 2 ) Ⓓ tan - 1 ( 1 ) Ⓐ Al evaluar sen − 1 ( 1 2 ) es lo mismo que determinar el ángulo que tendría un valor de seno de 1 2 . En otras palabras, ¿qué ángulo x satisfaría sen ( x ) = 1 2 ? Existen múltiples valores que satisfacen esta relación, como por ejemplo π 6 y 5 π 6 , pero sabemos que necesitamos el ángulo en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , por lo que la respuesta será sen − 1 ( 1 2 ) = π 6 . Recuerde que la inversa es una función, por lo que para cada entrada, obtendremos exactamente una salida. Ⓑ Para evaluar sen − 1 ( – 2 2 ) , sabemos que 5 π 4 y 7 π 4 ambos tienen un valor de seno de − 2 2 , pero ninguno está en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] . Para ello, necesitamos el coterminal de ángulo negativo con 7 π 4 : sen − 1 ( – 2 2 ) = - π 4 . Ⓒ Para evaluar cos − 1 ( - 3 2 ) , buscamos un ángulo en el intervalo [ 0 , π ] con un valor de coseno de − 3 2 . El ángulo que satisface esto es cos − 1 ( - 3 2 ) = 5 π 6 . Ⓓ Al evaluar tan - 1 ( 1 ) , buscamos un ángulo en el intervalo ( - π 2 , π 2 ) con un valor tangente de 1. El ángulo correcto es tan - 1 ( 1 ) = π 4 . Ejercicio Evalúe cada uno de los siguientes aspectos. Ⓐ sen −1 ( –1 ) Ⓑ tan –1 ( –1 ) Ⓒ cos −1 ( –1 ) Ⓓ cos −1 ( 1 2 ) Ⓐ − π 2 ; Ⓑ − π 4 ; Ⓒ π ; Ⓓ π 3 Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN −1 , ARCSIN o ASIN . En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales. En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos θ como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación. Evaluar el seno inverso en una calculadora Evalúe sen − 1 ( 0,97 ) utilizando una calculadora. Debido a que la salida de la función inversa es un ángulo, la calculadora nos dará un valor en grados si está en modo de grados y un valor en radianes si está en modo de radianes. Las calculadoras también utilizan las mismas restricciones de dominio en los ángulos que nosotros. En modo de radián, sen − 1 ( 0,97 ) ≈ 1,3252. En modo de grado, sen − 1 ( 0,97 ) ≈ 75,93°. Tenga presente que en el cálculo y en adelante utilizaremos radianes en casi todos los casos. Ejercicio Evalúe cos − 1 ( − 0,4 ) utilizando una calculadora. 1,9823 o 113,578° Cómo Dados dos lados de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la , hallar un ángulo Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h y el lado de la longitud a adyacente al ángulo deseado, utilice la ecuación θ = cos − 1 ( a h ) . Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h y el lado de la longitud p opuesto al ángulo deseado, utilice la ecuación θ = sen − 1 ( p h ) . Si se dan los dos catetos (los lados adyacentes al ángulo recto), se utiliza la ecuación θ = tan - 1 ( p a ) . Aplicar el coseno inverso a un triángulo rectángulo Resuelva el triángulo en la para el ángulo θ . Ya que conocemos la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo, tiene sentido que utilicemos la función coseno. cos θ = 9 12 θ = cos − 1 ( 9 12 ) Aplique la definición de la inversa . θ ≈ 0,7227 o alrededor de 41,4096° Evalúe . Ejercicio Resuelva el triángulo en la para el ángulo θ . sen −1 ( 0,6 ) = 36,87° = 0,6435 radianes Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que f ( x ) y g ( x ) son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto { sen ( x ) , cos ( x ) , tan ( x ) } y supongamos que f − 1 ( y ) y g − 1 ( y ) son sus inversos. Evaluar composiciones de la forma f ( f −1 ( y )) and f −1 ( f ( x )) Para cualquier función trigonométrica, f ( f − 1 ( y ) ) = y para todos los y en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de f se definió como idéntico al dominio de f − 1 . Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma f − 1 ( f ( x ) ) . Composiciones de una función trigonométrica y su inversa sen ( sen − 1 x ) = x para − 1 ≤ x ≤ 1 cos ( cos − 1 x ) = x para − 1 ≤ x ≤ 1 tan ( tan - 1 x ) = x para − ∞ < x < ∞ sen − 1 ( sen x ) = x solo para − π 2 ≤ x ≤ π 2 cos − 1 ( cos x ) = x solo para 0 ≤ x ≤ π tan - 1 ( tan x ) = x solo para − π 2 < x < π 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es correcto que sen − 1 ( sen x ) = x ? No. Esta ecuación es correcta si x pertenece al dominio restringido [ - π 2 , π 2 ] , pero el seno está definido para todos los valores reales de entrada, y para x fuera del intervalo restringido, la ecuación es incorrecta porque su inversa siempre devuelve un valor en [ - π 2 , π 2 ] . La situación es similar para el coseno y la tangente y sus inversos. Por ejemplo, sen − 1 ( sen ( 3 π 4 ) ) = π 4 . Cómo Dada una expresión de la forma f-1(f(θ)), donde f ( θ ) = sen θ , cos θ , o tan θ , evaluar. Si los valores de θ está en el dominio restringido de f , entonces f − 1 ( f ( θ ) ) = θ . Si no, hallar un ángulo ϕ dentro del dominio restringido de f tal que f ( ϕ ) = f ( θ ) . Entonces f − 1 ( f ( θ ) ) = ϕ . Usar las funciones trigonométricas inversas Evalúe lo siguiente: Ⓐ sen − 1 ( sen ( π 3 ) ) Ⓑ sen − 1 ( sen ( 2 π 3 ) ) Ⓒ cos − 1 ( cos ( 2 π 3 ) ) Ⓓ cos − 1 ( cos ( - π 3 ) ) Ⓐ π 3 está en [ - π 2 , π 2 ] , por lo que sen − 1 ( sen ( π 3 ) ) = π 3 . Ⓑ 2 π 3 no está en [ - π 2 , π 2 ] , pero sen ( 2 π 3 ) = sen ( π 3 ) , por lo que sen − 1 ( sen ( 2 π 3 ) ) = π 3 . Ⓒ 2 π 3 está en [ 0 , π ] , por lo que cos − 1 ( cos ( 2 π 3 ) ) = 2 π 3 . Ⓓ − π 3 no está en [ 0 , π ] , pero cos ( - π 3 ) = cos ( π 3 ) porque el coseno es una función par π 3 está en [ 0 , π ] , por lo que cos − 1 ( cos ( - π 3 ) ) = π 3 . Ejercicio Evalúe tan - 1 ( tan ( π 8 ) ) y tan - 1 ( tan ( 11 π 9 ) ) . π 8 ; 2 π 9 Evaluar composiciones de la forma f −1 ( g ( x )) Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma f − 1 ( g ( x ) ) . Para valores especiales de x , podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es θ , lo que hace que el otro sea π 2 - θ . Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la . Triángulo rectángulo que ilustra las relaciones de cofunción Dado que cos θ = b c = sen ( π 2 - θ ) , tenemos sen − 1 ( cos θ ) = π 2 - θ si 0 ≤ θ ≤ π . Si θ no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que θ y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de π 2 . De la misma manera, sen θ = a c = cos ( π 2 - θ ) , por lo que cos − 1 ( sen θ ) = π 2 - θ si − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera. Cómo Dadas las funciones de la forma sen − 1 ( cos x ) y cos − 1 ( sen x ) , evaluarlas. Si los valores de x está en [ 0 , π ] , entonces sen − 1 ( cos x ) = π 2 - x . Si los valores de x no está en [ 0 , π ] , entonces halle otro ángulo y in [ 0 , π ] de manera que cos y = cos x . sen − 1 ( cos x ) = π 2 - y Si los valores de x está en [ - π 2 , π 2 ] , entonces cos − 1 ( sen x ) = π 2 - x . Si los valores de x no está en [ - π 2 , π 2 ] , entonces halle otro ángulo y in [ - π 2 , π 2 ] de manera que sen y = sen x . cos − 1 ( sen x ) = π 2 - y Evaluar la composición de un seno inverso con un coseno Evalúe sen − 1 ( cos ( 13 π 6 ) ) Ⓐ por evaluación directa. Ⓑ por el método descrito anteriormente. Ⓐ Aquí podemos evaluar directamente el interior de la composición. cos ( 13 π 6 ) = cos ( π 6 + 2 π ) = cos ( π 6 ) = 3 2 Ahora, podemos evaluar la función inversa como hicimos anteriormente. sen − 1 ( 3 2 ) = π 3 Ⓑ Tenemos x = 13 π 6 , y = π 6 , y sen − 1 ( cos ( 13 π 6 ) ) = π 2 - π 6 = π 3 Ejercicio Evalúe cos − 1 ( sen ( − 11 π 4 ) ) . 3 π 4 Evaluar composiciones de la forma f ( g −1 ( x )) Para evaluar composiciones de la forma f ( g − 1 ( x ) ) , donde f y g son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y x es cualquier entrada en el dominio de g − 1 , tenemos fórmulas exactas, como sen ( cos − 1 x ) = 1 - x 2 . Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica, sen 2 x + cos 2 x = 1 , para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas. Evaluar la composición de un seno con un coseno inverso Halle un valor exacto para sen ( cos − 1 ( 4 5 ) ) . Empezando por el interior, podemos afirmar que hay algún ángulo tal que θ = cos − 1 ( 4 5 ) , lo que significa cos θ = 4 5 , y buscamos sen θ . Para ello podemos utilizar la identidad pitagórica. sen 2 θ + cos 2 θ = 1 Use nuestro valor conocido para el coseno . sen 2 θ + ( 4 5 ) 2 = 1 Resuelva para el seno . sen 2 θ = 1 − 16 25 sen θ = ± 9 25 = ± 3 5 Dado que θ = cos − 1 ( 4 5 ) está en el cuadrante I, sen θ deberá ser positivo, por lo que la solución es 3 5 . Vea la . Triángulo rectángulo que ilustra que si cos θ = 4 5 , entonces sen θ = 3 5 Sabemos que el coseno inverso siempre da un ángulo en el intervalo [ 0 , π ] , por lo que sabemos que el seno de ese ángulo debe ser positivo; por lo tanto sen ( cos − 1 ( 4 5 ) ) = sen θ = 3 5 . Ejercicio Evalúe cos ( tan - 1 ( 5 12 ) ) . 12 13 Evaluar la composición de un seno con una tangente inversa Halle un valor exacto para sen ( tan - 1 ( 7 4 ) ) . Aunque podríamos utilizar una técnica semejante a la del , aquí demostraremos una técnica diferente. Desde el interior, sabemos que hay un ángulo tal que tan θ = 7 4 . Podemos imaginarlo como los lados opuestos y adyacentes de un triángulo rectángulo, como se muestra en la . Triángulo rectángulo con dos lados conocidos Con el teorema de Pitágoras podemos hallar la hipotenusa de este triángulo. 4 2 + 7 2 = hipotenusa 2 hipotenusa = 65 Ahora, podemos evaluar el seno del ángulo como el lado opuesto dividido entre la hipotenusa. sen θ = 7 65 Esto nos da la composición deseada. sen ( tan - 1 ( 7 4 ) ) = sen θ = 7 65 = 7 65 65 Ejercicio Evalúe cos ( sen − 1 ( 7 9 ) ) . 4 2 9 Hallar el coseno del seno inverso en una expresión algebraica Halle una expresión simplificada para cos ( sen − 1 ( x 3 ) ) por − 3 ≤ x ≤ 3. Sabemos que hay un ángulo θ de manera que sen θ = x 3 . sen 2 θ + cos 2 θ = 1 Utilice el teorema de Pitágoras . ( x 3 ) 2 + cos 2 θ = 1 Resuelva para el coseno . cos 2 θ = 1 - x 2 9 cos θ = ± 9 - x 2 9 = ± 9 - x 2 3 Ya que sabemos que el seno inverso debe dar un ángulo en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , podemos deducir que el coseno de ese ángulo deberá ser positivo. cos ( sen − 1 ( x 3 ) ) = 9 - x 2 3 Ejercicio Halle una expresión simplificada para sen ( tan - 1 ( 4 x ) ) por − 1 4 ≤ x ≤ 1 4 . 4 x 16 x 2 + 1 Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones trigonométricas inversas. Evaluar expresiones que implican funciones trigonométricas inversas Conceptos clave La función inversa es aquella que \"deshace\" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original. Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos. Para cualquier función trigonométrica f ( x ) , si x = f − 1 ( y ) , entonces f ( x ) = y . Sin embargo, el que f ( x ) = y solo implica x = f − 1 ( y ) si x está en el dominio restringido de f . Vea el . Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, π 4 = tan - 1 ( 1 ) y π 6 = sen − 1 ( 1 2 ) . Vea el . Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el . Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el . En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo sen ( cos − 1 ( x ) ) = 1 - x 2 . Vea el . Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son sen − 1 ( cos x ) = π 2 - x si 0 ≤ x ≤ π y cos − 1 ( sen x ) = π 2 - x si − π 2 ≤ x ≤ π 2 . Vea el y el . Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el . Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué las funciones f ( x ) = sen − 1 x y g ( x ) = cos − 1 x tienen diferentes rangos? La función y = sen x es biunívoca en [ - π 2 , π 2 ] ; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y = sen x , f ( x ) = sen − 1 x . La función y = cos x es biunívoca en [ 0 , π ] ; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y = cos x , f ( x ) = cos − 1 x . Dado que las funciones y = cos x y y = cos − 1 x son funciones inversas, ¿por qué cos − 1 ( cos ( - π 6 ) ) no es igual a − π 6 ? Explique el significado de π 6 = arcsen ( 0,5 ) . π 6 es la medida del radián de un ángulo entre − π 2 y π 2 cuyo seno es 0,5. La mayoría de las calculadoras no tienen ninguna tecla para evaluar sec − 1 ( 2 ) . Explique cómo se puede hacer esto con la función coseno o la función coseno inversa. ¿Por qué el dominio de la función seno, sen x , debe restringirse a [ - π 2 , π 2 ] para que exista la función seno inversa? Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo [ - π 2 , π 2 ] para que sea biunívoca y posea una inversa. Comente por qué este enunciado es incorrecto: arccos ( cos x ) = x para todos los valores x . Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y razone su respuesta arccos ( - x ) = π − arccos x . Verdadero. El ángulo, θ 1 que es igual a arccos ( - x ) , x > 0 , será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, θ 2 , donde θ 2 es igual a arccos x , x > 0 . Dado que θ 2 es el ángulo de referencia para θ 1 , θ 2 = π - θ 1 y arccos ( - x ) = π − arccos x - Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones. sen − 1 ( 2 2 ) sen − 1 ( - 1 2 ) − π 6 cos − 1 ( 1 2 ) cos − 1 ( – 2 2 ) 3 π 4 tan - 1 ( 1 ) tan - 1 ( - 3 ) − π 3 tan - 1 ( - 1 ) tan - 1 ( 3 ) π 3 tan - 1 ( - 1 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana. cos − 1 ( − 0,4 ) 1,98 arcsen ( 0,23 ) arccos ( 3 5 ) 0,93 cos − 1 ( 0,8 ) tan - 1 ( 6 ) 1,41 En los siguientes ejercicios, halle el ángulo θ en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana. 0,56 radianes En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué. sen − 1 ( cos ( π ) ) tan - 1 ( sen ( π ) ) 0 cos − 1 ( sen ( π 3 ) ) tan - 1 ( sen ( π 3 ) ) 0,71 sen − 1 ( cos ( - π 2 ) ) tan - 1 ( sen ( 4 π 3 ) ) -0,71 sen − 1 ( sen ( 5 π 6 ) ) tan - 1 ( sen ( - 5 π 2 ) ) − π 4 cos ( sen − 1 ( 4 5 ) ) sen ( cos − 1 ( 3 5 ) ) 0,8 sen ( tan - 1 ( 4 3 ) ) cos ( tan - 1 ( 12 5 ) ) 5 13 cos ( sen − 1 ( 1 2 ) ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de x con la ayuda de un triángulo de referencia. tan ( sen − 1 ( x – 1 ) ) x – 1 - x 2 + 2 x sen ( cos − 1 ( 1 - x ) ) cos ( sen − 1 ( 1 x ) ) x 2 – 1 x cos ( tan - 1 ( 3 x – 1 ) ) tan ( sen − 1 ( x + 1 2 ) ) x + 0,5 − x 2 - x + 3 4 Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto. sen − 1 ( 1 2 ) - cos − 1 ( 2 2 ) + sen − 1 ( 3 2 ) - cos − 1 ( 1 ) cos − 1 ( 3 2 ) - sen − 1 ( 2 2 ) + cos − 1 ( 1 2 ) - sen − 1 ( 0 ) En los siguientes ejercicios, halle la función si sen t = x x + 1 . cos t 2 x + 1 x + 1 sec t cot t 2 x + 1 x cos ( sen − 1 ( x x + 1 ) ) tan - 1 ( x 2 x + 1 ) t Gráficos Grafique y = sen − 1 x e indique el dominio y el rango de la función. Grafique y = arccos x e indique el dominio y el rango de la función. dominio [ - 1 , 1 ] ; rango [ 0 , π ] Grafique un ciclo de y = tan - 1 x e indique el dominio y el rango de la función. ¿Para qué valor de x sen x = sen − 1 x ? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta. aproximadamente x = 0,00 ¿Para qué valor de x cos x = cos − 1 x ? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta. Aplicaciones en el mundo real Supongamos que una escalera de 13 pies se apoya en un edificio y llega hasta la parte inferior de una ventana de segundo piso a 12 pies de altura. ¿Qué ángulo, en radianes, forma la escalera con el edificio? 0,395 radianes Supongamos que conduce a 0,6 millas por una carretera de manera que la distancia vertical cambia de 0 a 150 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la carretera? Un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes de 9 pulgadas de longitud. El lado restante tiene una longitud de 8 pulgadas. Halle el ángulo que forma un lado de 9 pulgadas con el lado de 8 pulgadas. 1,11 radianes Sin utilizar la calculadora, estime el valor de arctan ( 10 . 000 ) . Razone su respuesta. Un soporte (estructura de vigas interiores) para el tejado de una casa se construye con dos triángulos rectángulos idénticos. Cada uno tiene una base de 12 pies y una altura de 4 pies. Halle la medida del ángulo agudo adyacente al lado de 4 pies. 1,25 radianes La línea y = 3 5 x pasa por el origen en el plano x , y . ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje positivo x ? La línea y = - 3 7 x pasa por el origen en el plano x , y . ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje negativo x ? 0,405 radianes ¿Qué porcentaje de pendiente debería tener una carretera si su ángulo de elevación es de 4 grados? (El porcentaje de pendiente se define como el cambio de altitud de la carretera en una distancia horizontal de 100 pies. Por ejemplo, una pendiente del 5 % significa que la carretera se eleva 5 pies por cada 100 pies de distancia horizontal). Una escalera de 20 pies se apoya en el lateral de un edificio de forma que el pie de la escalera está a 10 pies de la base del edificio. Si las especificaciones exigen que el ángulo de elevación de la escalera esté entre 35 y 45 grados, ¿la colocación de esta escalera satisface las especificaciones de seguridad? No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados. Supongamos que una escalera de 15 pies se apoya en el lateral de una casa de manera que el ángulo de elevación de la escalera es de 42 grados. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del lado de la casa? Ejercicios de repaso del capítulo Gráficos de las funciones seno y coseno En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas. f ( x ) = - 3 cos x + 3 amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = 3 ; sin asíntotas f ( x ) = 1 4 sen x f ( x ) = 3 cos ( x + π 6 ) amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; sin asíntotas f ( x ) = - 2 sen ( x - 2 π 3 ) f ( x ) = 3 sen ( x - π 4 ) - 4 amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = – 4 ; sin asíntotas f ( x ) = 2 ( cos ( x - 4 π 3 ) + 1 ) f ( x ) = 6 sen ( 3 x - π 6 ) - 1 amplitud: 6; periodo: 2 π 3 ; línea media: y = - 1 ; sin asíntotas f ( x ) = − 100 sen ( 50 x - 20 ) Gráficos de las demás funciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas. f ( x ) = tan x - 4 factor de estiramiento: ninguno; periodo: π ; línea media: y = – 4 ; asíntotas: x = π 2 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = 2 tan ( x - π 6 ) f ( x ) = - 3 tan ( 4 x ) - 2 factor de estiramiento: 3; periodo: π 4 ; línea media: y = - 2 ; asíntotas: x = π 8 + π 4 k , donde k es un número entero f ( x ) = 0,2 cos ( 0,1 x ) + 0,3 En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas. f ( x ) = 1 3 sec x amplitud: ninguna; periodo: 2 π ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = π 2 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = 3 cot x f ( x ) = 4 csc ( 5 x ) amplitud: ninguna; periodo: 2 π 5 ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = π 5 k , donde k es un número entero f ( x ) = 8 sec ( 1 4 x ) f ( x ) = 2 3 csc ( 1 2 x ) amplitud: ninguna; periodo: 4 π ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = 2 π k , donde k es un número entero f ( x ) = - csc ( 2 x + π ) En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función y = 12 , 000 + 8 , 000 sen ( 0,628 x ), donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad. ¿Cuál es la mayor y menor población que puede tener la ciudad? mayor: 20.000; menor: 4.000 Grafique la función en el dominio de [ 0 , 40 ] . ¿Cuáles son la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función? amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0 Sobre este dominio, ¿cuándo alcanza la población los 18.000 habitantes? ¿Los 13.000 habitantes? ¿Cuál es la población prevista en 2007? ¿En 2010? En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes. En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría. Supongamos que el gráfico de la función de desplazamiento se muestra en la , donde los valores en el eje x representan el tiempo en segundos y en el eje y representa el desplazamiento en pulgadas. Determine la ecuación que modela el desplazamiento vertical del peso sobre el resorte. En el tiempo = 0, ¿cuál es el desplazamiento del peso? 5 pulgadas. ¿En qué momento el desplazamiento desde el punto de equilibrio es igual a cero? ¿Cuál es el tiempo necesario para que el peso vuelva a su altura inicial de 5 pulgadas? En otras palabras, ¿cuál es el periodo de la función de desplazamiento? 10 segundos Funciones trigonométricas inversas En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora. sen − 1 ( 1 ) cos − 1 ( 3 2 ) π 6 tan –1 ( –1 ) cos − 1 ( 1 2 ) π 4 sen − 1 ( - 3 2 ) sen − 1 ( cos ( π 6 ) ) π 3 cos − 1 ( tan ( 3 π 4 ) ) sen ( sec − 1 ( 3 5 ) ) No hay solución cot ( sen − 1 ( 3 5 ) ) tan ( cos − 1 ( 5 13 ) ) 12 5 sen ( cos − 1 ( x x + 1 ) ) Grafique f ( x ) = cos x y f ( x ) = sec x en el intervalo [ 0 , 2 π ) y explique las observaciones. Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea y = x . Son simétricos con respecto al eje y . Grafique f ( x ) = sen x y f ( x ) = csc x y explique las observaciones. Grafique la función f ( x ) = x 1 - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! en el intervalo [ - 1 , 1 ] y compare este gráfico con el de f ( x ) = sen x en el mismo intervalo. Describa las observaciones. Los gráficos lucen idénticos. Prueba de práctica del capítulo En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media. f ( x ) = 0,5 sen x amplitud: 0,5; periodo: 2 π ; línea media y = 0 f ( x ) = 5 cos x f ( x ) = 5 sen x amplitud: 5; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 f ( x ) = sen ( 3 x ) f ( x ) = - cos ( x + π 3 ) + 1 amplitud: 1; periodo: 2 π ; línea media: y = 1 f ( x ) = 5 sen ( 3 ( x - π 6 ) ) + 4 f ( x ) = 3 cos ( 1 3 x - 5 π 6 ) amplitud: 3; periodo: 6 π ; línea media: y = 0 f ( x ) = tan ( 4 x ) f ( x ) = - 2 tan ( x - 7 π 6 ) + 2 amplitud: ninguna; periodo: π ; línea media: y = 0 , asíntotas: x = 2 π 3 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = π cos ( 3 x + π ) f ( x ) = 5 csc ( 3 x ) amplitud: ninguna; periodo: 2 π 3 ; línea media: y = 0 , asíntotas: x = π 3 k , donde k es un número entero f ( x ) = π sec ( π 2 x ) f ( x ) = 2 csc ( x + π 4 ) - 3 amplitud: ninguna; periodo: 2 π ; línea media: y = - 3 En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función. Indique en términos de una función seno. Indique en términos de una función seno. amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y = 0 ; f ( x ) = 2 sen ( π ( x – 1 ) ) Indique en términos de una función tangente. En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media. y = sen ( π 6 x + π ) - 3 amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase −6 ; línea media y = −3 y = 8 sen ( 7 π 6 x + 7 π 2 ) + 6 La temperatura exterior a lo largo de un día puede modelarse como una función sinusoidal. Suponga que sabe que la temperatura es de 68 °F a medianoche y que las temperaturas máxima y mínima durante el día son de 80 °F y 56 °F, respectivamente. Suponiendo que t es el número de horas transcurridas desde la medianoche, halle una función para la temperatura, D , en términos de t . D ( t ) = 68 − 12 sen ( π 12 x ) El agua se bombea a un recipiente de almacenamiento y se vacía según una tasa periódica. La profundidad del agua es de 3 pies en su punto más bajo a las 2:00 a. m. y de 71 pies en su punto más alto, lo cual ocurre cada 5 horas. Escriba una función coseno que modele la profundidad del agua en función del tiempo, y luego grafique la función para un periodo. En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función. g ( x ) = 3 tan ( 6 x + 42 ) periodo: π 6 ; desplazamiento horizontal: −7 n ( x ) = 4 csc ( 5 π 3 x - 20 π 3 ) Escriba la ecuación del gráfico en la en términos de la función secante y defina el periodo y el desplazamiento de fase. f ( x ) = sec ( π x ) ; periodo: 2; desplazamiento de fase: 0 Si los valores de tan x = 3 , calcule tan ( - x ) . Si los valores de sec x = 4 , calcule sec ( - x ) . 4 En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas. Grafique m ( x ) = sen ( 2 x ) + cos ( 3 x ) en la ventana de visualización [ − 10 , 10 ] entre [ − 3 , 3 ] . Calcule aproximadamente el periodo del gráfico. Grafique n ( x ) = 0,02 sen ( 50 π x ) en los siguientes dominios en x : [ 0 , 1 ] y [ 0 , 3 ] . Supongamos que esta función modela las ondas sonoras. ¿Por qué estas vistas son tan diferentes? Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es 1 25 . En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico. Grafique f ( x ) = sen x x en [ − 0,5 , 0,5 ] y explique las observaciones. En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = 3 5 cos ( 6 x ) . ¿Cuál es el mayor valor posible para f ( x ) ? 3 5 ¿Cuál es el menor valor posible para f ( x ) ? ¿Dónde es la función creciente en el intervalo [ 0 , 2 π ] ? En los intervalos aproximados ( 0,5 , 1 ) , ( 1,6 , 2,1 ) , ( 2,6 , 3,1 ) , ( 3,7 , 4,2 ) , ( 4,7 , 5,2 ) , ( 5,6 , 6,28 ) En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados. Curva sinusoidal con amplitud 3, periodo π 3 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( π 4 , 2 ) Curva coseno con amplitud 2, periodo π 6 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( - π 4 , 3 ) f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3 En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos. f ( x ) = 5 cos ( 3 x ) + 4 sen ( 2 x ) f ( x ) = e sen t Este gráfico es periódico con un periodo de 2 π . En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. sen − 1 ( 3 2 ) tan - 1 ( 3 ) π 3 cos − 1 ( - 3 2 ) cos − 1 ( sen ( π ) ) π 2 cos − 1 ( tan ( 7 π 4 ) ) cos ( sen − 1 ( 1 - 2 x ) ) 1 - ( 1 - 2 x ) 2 cos − 1 ( − 0,4 ) cos ( tan - 1 ( x 2 ) ) 1 1 + x 4 En los siguientes ejercicios, supongamos sen t = x x + 1 . Evalúe las siguientes expresiones. tan t csc t x + 1 x Dada la , halle la medida del ángulo θ a tres decimales. Responda en radianes. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa. arcsen ( sen ( 5 π 6 ) ) = 5 π 6 Falso arccos ( cos ( 5 π 6 ) ) = 5 π 6 La pendiente de una carretera es del 7 %. Esto significa que, por cada distancia horizontal de 100 pies en la carretera, la elevación vertical es de 7 pies. Halle el ángulo que forma la carretera con la horizontal en radianes. aproximadamente 0,07 radianes arcocoseno otro nombre para el coseno inverso arccos x = cos − 1 x arcoseno otro nombre para el seno inverso arcsen x = sen − 1 x arcotangente otro nombre para la tangente inversa arctan x = tan - 1 x función coseno inversa la función cos − 1 x , que es la inversa de la función coseno y el ángulo que tiene un coseno igual a un número dado función seno inversa la función sen − 1 x , que es la inversa de la función seno y el ángulo que tiene un seno igual a un número dado función tangente inversa la función tan - 1 x , que es la inversa de la función tangente y el ángulo que tiene una tangente igual a un número dado", "section": "Funciones trigonométricas inversas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Una onda sinusoidal modela la perturbación. (Créditos: modificación del trabajo de Mikael Altemark, Flickr). Las matemáticas están en todas partes, incluso en lugares que no reconocemos inmediatamente. Por ejemplo, las relaciones matemáticas describen la transmisión de imágenes, luz y sonido. El gráfico sinusoidal de la figura anterior representa la música que se reproduce en el teléfono, la radio o la computadora. Estos gráficos se describen mediante ecuaciones y funciones trigonométricas. En este capítulo, abordamos cómo manipular ecuaciones trigonométricas algebraicamente mediante la aplicación de varias fórmulas e identidades trigonométricas. También investigaremos algunas de las formas en que se utilizan las ecuaciones trigonométricas para modelar fenómenos de la vida real.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades Pasaportes y documentos de viaje internacionales En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica. En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas. Verificar las identidades trigonométricas fundamentales Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras. Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas , las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente. Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la ), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades. Identidades de Pitágoras sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad 1 + cot 2 θ = csc 2 θ se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno. Compruebe: 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + cot 2 θ = ( 1 + cos 2 θ sen 2 θ ) Reescriba el lado izquierdo . = ( sen 2 θ sen 2 θ ) + ( cos 2 θ sen 2 θ ) Escriba ambos términos con el denominador común . = sen 2 θ + cos 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ = csc 2 θ De la misma manera, 1 + tan 2 θ = sec 2 θ se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da 1 + tan 2 θ = 1 + ( sen θ cos θ ) 2 Reescriba el lado izquierdo . = ( cos θ cos θ ) 2 + ( sen θ cos θ ) 2 Escriba ambos términos con el denominador común . = cos 2 θ + sen 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la ). Identidades par-impar tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Recordemos que la función impar es aquella en la que f (− x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f . La función seno es una función impar porque sen ( - θ ) = - sen θ . El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de π 2 y − π 2 . La salida de sen ( π 2 ) es opuesta a la salida de sen ( - π 2 ) . Así, sen ( π 2 ) = 1 y sen ( - π 2 ) = - sen ( π 2 ) = - 1 Esto se muestra en la . Gráfico de y = sen θ Recordemos que la función par es aquella en la que f ( - x ) = f ( x ) para todos x en el ámbito de f El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y . La función coseno es una función par porque cos ( - θ ) = cos θ . Por ejemplo, considere las entradas correspondientes π 4 y − π 4 . La salida de cos ( π 4 ) es la misma que la salida de cos ( - π 4 ) . Por lo tanto, cos ( - π 4 ) = cos ( π 4 ) ≈ 0,707 Vea la . Gráfico de y = cos θ Para todos θ en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente: Dado que sen (− θ ) = - sen θ , seno es una función impar. Dado que, cos (− θ ) = cos θ , coseno es una función par. Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente, tan (− θ ) = -tan θ . Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como tan (− θ ) = sen ( - θ ) cos (− θ ) = - sen θ cos θ = - tan θ . La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que tan ( - θ ) = - tan ( θ ) para todos los θ en el dominio de la función tangente . La identidad cotangente, cot ( - θ ) = - cot θ , también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como cot ( - θ ) = cos ( - θ ) sen ( - θ ) = cos θ - sen θ = - cot θ . La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que cot ( - θ ) = - cot ( θ ) para todos los θ en el dominio de la función cotangente . La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como csc ( - θ ) = 1 sen ( - θ ) = 1 - sen θ = - csc θ . La función cosecante es, por tanto, impar. Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como sec ( - θ ) = 1 cos ( - θ ) = 1 cos θ = sec θ . La función secante es, por tanto, par. En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares. El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas , que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la . Identidades recíprocas sen θ = 1 csc θ csc θ = 1 sen θ cos θ = 1 sec θ sec θ = 1 cos θ tan θ = 1 cot θ cot θ = 1 tan θ El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente , que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la . Identidades del cociente tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas. Resumir las identidades trigonométricas Las identidades pitagóricas se basan en las propiedades de un triángulo rectángulo. cos 2 θ + sen 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo determinado con el valor de la función en el ángulo opuesto. tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Las identidades recíprocas definen las recíprocas de las funciones trigonométricas. sen θ = 1 csc θ cos θ = 1 sec θ tan θ = 1 cot θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Las identidades de cociente definen la relación entre las funciones trigonométricas. tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Graficar las ecuaciones de una identidad Grafique ambos lados de la identidad cot θ = 1 tan θ . En otras palabras, en la calculadora gráfica, grafique y = cot θ y y = 1 tan θ . Vea la . Análisis Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos. Si ambas expresiones dan el mismo gráfico, lo más probable es que sean identidades. Cómo Dada una identidad trigonométrica, verificar que es verdadera. Trabaje en un lado de la ecuación. Es mejor empezar por el lado más complejo, ya que es más fácil simplificar que construir. Busque la manera de factorizar expresiones, elevar al cuadrado un binomio o sumar fracciones. Al observar qué funciones hay en la expresión final, busque la manera de utilizar las identidades y hacer las sustituciones adecuadas. Si estos pasos no dan el resultado deseado, intente convertir todos los términos en senos y cosenos. Verificar una identidad trigonométrica Verifique tan θ cos θ = sen θ . Empezaremos por el lado izquierdo, ya que es el más complicado: tan θ cos θ = ( sen θ cos θ ) cos θ = ( sen θ cos θ ) cos θ = sen θ Análisis Esta identidad era bastante sencilla de verificar, ya que solo había que escribir tan θ en términos de sen θ y cos θ . Ejercicio Verifique la identidad csc θ cos θ tan θ = 1. csc θ cos θ tan θ = ( 1 sen θ ) cos θ ( sen θ cos θ ) = cos θ sen θ ( sen θ cos θ ) = sen θ cos θ sen θ cos θ = 1 Verificar la equivalencia mediante las identidades pares-impares Verifique la siguiente equivalencia mediante las identidades pares-impares: ( 1 + sen x ) [ 1 + sen ( - x ) ] = cos 2 x Trabajando en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos ( 1 + sen x ) [ 1 + sen (− x ) ] = ( 1 + sen x ) ( 1 - sen x ) Dado que sen(- x )= − sen x = 1 - sen 2 x Diferencia de cuadrados = cos 2 x cos 2 x = 1 - sen 2 x Verificar una identidad trigonométrica que implique sec 2 θ Verifique la identidad sec 2 θ - 1 sec 2 θ = sen 2 θ Dado que el lado izquierdo es más complicado, empecemos por ahí. sec 2 θ - 1 sec 2 θ = ( tan 2 θ + 1 ) - 1 sec 2 θ sec 2 θ = tan 2 θ + 1 = tan 2 θ sec 2 θ = tan 2 θ ( 1 sec 2 θ ) = tan 2 θ ( cos 2 θ ) cos 2 θ = 1 sec 2 θ = ( sen 2 θ cos 2 θ ) ( cos 2 θ ) tan 2 θ = sen 2 θ cos 2 θ = ( sen 2 θ cos 2 θ ) ( cos 2 θ ) = sen 2 θ Hay más de una forma de verificar una identidad. Aquí hay otra posibilidad. De nuevo, podemos empezar por el lado izquierdo. sec 2 θ - 1 sec 2 θ = sec 2 θ sec 2 θ - 1 sec 2 θ = 1 - cos 2 θ = sen 2 θ Análisis En el primer método, utilizamos la identidad sec 2 θ = tan 2 θ + 1 y continuamos simplificando. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento. Siempre que las sustituciones sean correctas, la respuesta será la misma. Ejercicio Demuestre que cot θ csc θ = cos θ . cot θ csc θ = cos θ sen θ 1 sen θ = cos θ sen θ ⋅ sen θ 1 = cos θ Crear y verificar una identidad Cree una identidad para la expresión 2 tan θ sec θ al reescribir estrictamente en términos de seno. Hay varias formas de empezar, pero aquí utilizaremos las identidades de cociente y recíproca para reescribir la expresión: 2 tan θ sec θ = 2 ( sen θ cos θ ) ( 1 cos θ ) = 2 sen θ cos 2 θ = 2 sen θ 1 - sen 2 θ Sustituya 1 - sen 2 θ para cos 2 θ Por lo tanto, 2 tan θ sec θ = 2 sen θ 1 - sen 2 θ Verificar una identidad mediante el álgebra y las identidades pares-impares Verifique la identidad: sen 2 ( - θ ) - cos 2 ( - θ ) sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = cos θ - sen θ Empecemos por el lado izquierdo y simplifiquemos: sen 2 ( - θ ) - cos 2 ( - θ ) sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = [ sen ( - θ ) ] 2 - [ cos ( - θ ) ] 2 sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = (− sen θ ) 2 - ( cos θ ) 2 - sen θ - cos θ sen ( - x ) = - sen x y cos ( - x ) = cos x = ( sen θ ) 2 - ( cos θ ) 2 - sen θ - cos θ Diferencia de cuadrados = ( sen θ - cos θ ) ( sen θ + cos θ ) - ( sen θ + cos θ ) = ( sen θ - cos θ ) ( sen θ + cos θ ) - ( sen θ + cos θ ) = cos θ - sen θ Ejercicio Verifique la identidad sen 2 θ - 1 tan θ sen θ – tan θ = sen θ + 1 tan θ . sen 2 θ - 1 tan θ sen θ – tan θ = ( sen θ + 1 ) ( sen θ - 1 ) tan θ ( sen θ - 1 ) = sen θ + 1 tan θ Verificar una identidad con coseno y cotangente Verifique la identidad: ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cot 2 x ) = 1. Trabajaremos en el lado izquierdo de la ecuación. ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cot 2 x ) = ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x sen 2 x ) = ( 1 - cos 2 x ) ( sen 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ) Halle el denominador común . = ( 1 - cos 2 x ) ( sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ) = ( sen 2 x ) ( 1 sen 2 x ) = 1 Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo, la ecuación ( sen x + 1 ) ( sen x – 1 ) = 0 se parece a la ecuación ( x + 1 ) ( x – 1 ) = 0 , que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas. Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) , que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas. Escribir la expresión trigonométrica como expresión algebraica Escriba la siguiente expresión trigonométrica como expresión algebraica 2 cos 2 θ + cos θ − 1. Observe que el patrón mostrado tiene la misma forma que la típica expresión cuadrática, a x 2 + b x + c . Supongamos que cos θ = x , podemos reescribir la expresión como sigue: 2 x 2 + x – 1 Esta expresión se puede factorizar como ( 2 x – 1 ) ( x + 1 ) . Si se llevara igual a cero y quisiéramos resolver la ecuación, utilizaríamos la propiedad del factor cero y resolveríamos cada factor para x . En este punto, sustituimos x con la cos θ y resuelva para θ . Reescribir una expresión trigonométrica mediante la diferencia de cuadrados Reescriba la expresión trigonométrica 4 cos 2 θ − 1. Observe que tanto el coeficiente como la expresión trigonométrica del primer término están elevados al cuadrado, y el cuadrado del número 1 es 1. Esta es la diferencia de cuadrados. Por lo tanto, 4 cos 2 θ - 1 = ( 2 cos θ ) 2 – 1 = ( 2 cos θ - 1 ) ( 2 cos θ + 1 ) Análisis Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución como hicimos en el problema anterior. Así, supongamos que cos θ = x , reescribimos la expresión como 4 x 2 – 1 , y factorizamos ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) . Entonces sustituimos x con la cos θ y resolvemos el ángulo. Ejercicio Reescriba la expresión trigonométrica 25 − 9 sen 2 θ . Esta es una fórmula de diferencia de cuadrados: 25 − 9 sen 2 θ = ( 5 - 3 sen θ ) ( 5 + 3 sen θ ) . Simplificar mediante la reescritura y la sustitución Simplifique la expresión al reescribir y utilizar las identidades: csc 2 θ - cot 2 θ Podemos empezar con la identidad pitagórica. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Ahora podemos simplificar al sustituir 1 + cot 2 θ por csc 2 θ . Tenemos csc 2 θ - cot 2 θ = 1 + cot 2 θ - cot 2 θ = 1 Ejercicio Utilice técnicas algebraicas para verificar la identidad: cos θ 1 + sen θ = 1 - sen θ cos θ . (Pista: Multiplique el numerador y el denominador en el lado izquierdo por 1 - sen θ . ) cos θ 1 + sen θ ( 1 - sen θ 1 - sen θ ) = cos θ ( 1 - sen θ ) 1 - sen 2 θ = cos θ ( 1 - sen θ ) cos 2 θ = 1 - sen θ cos θ Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades trigonométricas fundamentales. Identidades trigonométricas fundamentales Verificar identidades trigonométricas Ecuaciones clave Identidades de Pitágoras sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ Identidades pares-impares tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Identidades recíprocas sen θ = 1 csc θ cos θ = 1 sec θ tan θ = 1 cot θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Identidades del cociente tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Conceptos clave Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema. El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el . Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el y el . El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el . Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el . La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el y el . Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Sabemos que g ( x ) = cos x es una función par, y f ( x ) = sen x y h ( x ) = tan x son funciones impares. ¿Qué pasa con G ( x ) = cos 2 x , F ( x ) = sen 2 x , y H ( x ) = tan 2 x ? ¿Son pares, impares o ninguna de las dos? ¿Por qué? Las tres funciones, F , G y H , son pares. Esto se debe a que F ( - x ) = sen ( - x ) sen ( - x ) = ( - sen x ) ( - sen x ) = sen 2 x = F ( x ) , G ( - x ) = cos ( - x ) cos ( - x ) = cos x cos x = cos 2 x = G ( x ) y H ( - x ) = tan ( - x ) tan ( - x ) = ( − tan x ) ( − tan x ) = tan 2 x = H ( x ) . Examine el gráfico de f ( x ) = sec x en el intervalo [ - π , π ] . ¿Cómo podemos saber si la función es par o impar a partir únicamente del gráfico de f ( x ) = sec x ? Luego de examinar la identidad recíproca para sec t , explique por qué la función es indefinida en ciertos puntos. Cuando cos t = 0 , entonces sec t = 1 0 , que es indefinida. Todas las identidades pitagóricas están relacionadas. Describa cómo manipular las ecuaciones para pasar de sen 2 t + cos 2 t = 1 a las demás formas. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión. sen x cos x sec x sen x sen ( - x ) cos ( - x ) csc ( - x ) tan x sen x + sec x cos 2 x sec x csc x + cos x cot ( - x ) cot t + tan t sec ( − t ) csc t 3 sen 3 t csc t + cos 2 t + 2 cos ( − t ) cos t − tan ( - x ) cot ( - x ) −1 - sen ( - x ) cos x sec x csc x tan x cot x 1 + tan 2 θ csc 2 θ + sen 2 θ + 1 sec 2 θ sec 2 x ( tan x csc 2 x + tan x sec 2 x ) ( 1 + tan x 1 + cot x ) - 1 cos 2 x 1 - cos 2 x tan 2 x + 2 sen 2 x sen 2 x + 1 En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión. tan x + cot x csc x ; cos x sec x + csc x 1 + tan x ; sen x 1 sen x cos x 1 + sen x + tan x ; cos x 1 sen x cos x − cot x ; cot x 1 cot x 1 1 - cos x - cos x 1 + cos x ; csc x ( sec x + csc x ) ( sen x + cos x ) - 2 − cot x ; tan x tan x 1 csc x - sen x ; sec x y tan x 1 - sen x 1 + sen x – 1 + sen x 1 - sen x ; sec x y tan x - 4 sec x tan x tan x ; sec x sec x ; cot x ± 1 cot 2 x + 1 sec x ; sen x cot x ; sen x ± 1 - sen 2 x sen x cot x ; csc x En los siguientes ejercicios, verifique la identidad. cos x - cos 3 x = cos x sen 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: cos x - cos 3 x = cos x ( 1 - cos 2 x ) = cos x sen 2 x cos x ( tan x − sec ( - x ) ) = sen x – 1 1 + sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = 1 + 2 tan 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: 1 + sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = sec 2 x + tan 2 x = tan 2 x + 1 + tan 2 x = 1 + 2 tan 2 x ( sen x + cos x ) 2 = 1 + 2 sen x cos x cos 2 x - tan 2 x = 2 - sen 2 x − sec 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: cos 2 x - tan 2 x = 1 - sen 2 x - ( sec 2 x – 1 ) = 1 - sen 2 x − sec 2 x + 1 = 2 - sen 2 x − sec 2 x Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad. 1 1 + cos x – 1 1 - cos ( - x ) = - 2 cot x csc x csc 2 x ( 1 + sen 2 x ) = cot 2 x Falso ( sec 2 ( - x ) - tan 2 x tan x ) ( 2 + 2 tan x 2 + 2 cot x ) - 2 sen 2 x = cos 2 x tan x sec x sen ( - x ) = cos 2 x Falso sec ( - x ) tan x + cot x = - sen ( - x ) 1 + sen x cos x = cos x 1 + sen ( - x ) Comprobado con identidades negativas y pitagóricas En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada. cos 2 θ - sen 2 θ 1 - tan 2 θ = sen 2 θ 3 sen 2 θ + 4 cos 2 θ = 3 + cos 2 θ Verdadera 3 sen 2 θ + 4 cos 2 θ = 3 sen 2 θ + 3 cos 2 θ + cos 2 θ = 3 ( sen 2 θ + cos 2 θ ) + cos 2 θ = 3 + cos 2 θ sec θ + tan θ cot θ + cos θ = sec 2 θ identidades pares-impares conjunto de ecuaciones que implican funciones trigonométricas tales que si f ( - x ) = - f ( x ) , la identidad es impar, y si f ( - x ) = f ( x ) , la identidad es par identidades pitagóricas conjunto de ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades del triángulo rectángulo identidades de cociente par de identidades basadas en el hecho de que la tangente es el cociente del seno y el coseno, y la cotangente es el cociente del coseno y el seno identidades recíprocas conjunto de ecuaciones que implican los recíprocos de las definiciones trigonométricas básicas", "section": "Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Identidades de suma y resta Denali (anteriormente Monte McKinley, en el Parque Nacional de Denali (Alaska), se eleva a 20.237 pies (6.168 metros) sobre el nivel del mar. Es el pico más alto de América del Norte (créditos: Daniel A. Leifheit, Flickr) ¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias. Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones. En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad . Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales , que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la . El círculo unitario Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno , de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la . Fórmula de suma para el coseno cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β Fórmula de la diferencia para el coseno cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la . El punto P está en ángulo α desde el eje x positivo con coordenadas ( cos α , sen α ) y punto Q está en un ángulo de β desde el eje x positivo con coordenadas ( cos β , sen β ) . Observe la medida del ángulo P O Q es α - β . Marque dos puntos más: A en un ángulo de ( α - β ) desde el eje x positivo con coordenadas ( cos ( α - β ) , sen ( α - β ) ) ; y punto B con coordenadas ( 1 , 0 ) . El triángulo P O Q es una rotación del triángulo A O B y, por ende, la distancia de P con Q es la misma que la distancia de A hasta B . Podemos determinar la distancia de P con Q con la fórmula de la distancia . d P Q = ( cos α − cos β ) 2 + ( sen α − sen β ) 2 = cos 2 α − 2 cos α cos β + cos 2 β + sen 2 α − 2 sen α sen β + sen 2 β Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos. = ( cos 2 α + sen 2 α ) + ( cos 2 β + sen 2 β ) - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 1 + 1 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de A hasta B . d A B = ( cos ( α - β ) - 1 ) 2 + ( sen ( α - β ) - 0 ) 2 = cos 2 ( α - β ) - 2 cos ( α - β ) + 1 + sen 2 ( α - β ) Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos: = ( cos 2 ( α - β ) + sen 2 ( α - β ) ) - 2 cos ( α - β ) + 1 = 1 - 2 cos ( α - β ) + 1 = 2 - 2 cos ( α - β ) Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos. 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos ( α - β ) 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos ( α - β ) Por último, restamos 2 de ambos lados y dividimos ambos lados entre -2. cos α cos β + sen α sen β = cos ( α - β ) Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos. Fórmulas de suma y diferencia para el coseno Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el coseno de suma y diferencia de ángulos. cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β Cómo Dados dos ángulos, hallar el coseno de la diferencia entre estos. Escriba la fórmula de diferencia para el coseno. Sustituya los valores de los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Hallar el valor exacto con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos Con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, halle el valor exacto de cos ( 5 π 4 − π 6 ) . Utilice la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Tenemos cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β cos ( 5 π 4 − π 6 ) = cos ( 5 π 4 ) cos ( π 6 ) + sen ( 5 π 4 ) sen ( π 6 ) = ( – 2 2 ) ( 3 2 ) - ( 2 2 ) ( 1 2 ) = − 6 4 – 2 4 = − 6 - 2 4 Ejercicio Halle el valor exacto de cos ( π 3 − π 4 ) . 2 + 6 4 Hallar el valor exacto con la fórmula de la suma de dos ángulos para el coseno Halle el valor exacto de cos ( 75 ∘ ) . A medida que 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ , podemos evaluar cos ( 75 ∘ ) cuando cos ( 45 ∘ + 30 ∘ ) . Así, cos ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = cos ( 45 ∘ ) cos ( 30 ∘ ) - sen ( 45 ∘ ) sen ( 30 ∘ ) = 2 2 ( 3 2 ) - 2 2 ( 1 2 ) = 6 4 – 2 4 = 6 - 2 4 Ejercicio Halle el valor exacto de cos ( 105 ∘ ) . 2 - 6 4 Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno. Fórmulas de suma y diferencia para el seno Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el seno de la suma y diferencia de los ángulos. sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Cómo Dados dos ángulos, hallar el seno de la diferencia entre los ángulos. Escriba la fórmula de la diferencia para el seno. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Usar las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos Utilice las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y demostrar que la parte a es igual a la parte b. Ⓐ sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) Ⓑ sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula y sustituir los ángulos dados. sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = sen ( 45 ∘ ) cos ( 30 ∘ ) - cos ( 45 ∘ ) sen ( 30 ∘ ) A continuación, tenemos que hallar los valores de las expresiones trigonométricas. sen ( 45 ∘ ) = 2 2 , cos ( 30 ∘ ) = 3 2 , cos ( 45 ∘ ) = 2 2 , sen ( 30 ∘ ) = 1 2 Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar. sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 2 2 ( 3 2 ) - 2 2 ( 1 2 ) = 6 - 2 4 Ⓑ De nuevo, escribimos la fórmula y sustituimos los ángulos dados. sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = sen ( 135 ∘ ) cos ( 120 ∘ ) - cos ( 135 ∘ ) sen ( 120 ∘ ) A continuación, calculamos los valores de las expresiones trigonométricas. sen ( 135 ∘ ) = 2 2 , cos ( 120 ∘ ) = - 1 2 , cos ( 135 ∘ ) = - 2 2 , sen ( 120 ∘ ) = 3 2 Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar. sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = 2 2 ( - 1 2 ) - ( – 2 2 ) ( 3 2 ) = - 2 + 6 4 = 6 - 2 4 sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = 2 2 ( - 1 2 ) - ( – 2 2 ) ( 3 2 ) = - 2 + 6 4 = 6 - 2 4 Hallar el valor exacto de una expresión que implica una función trigonométrica inversa Halle el valor exacto de sen ( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ) . El patrón que se muestra en este problema es sen ( α + β ) . Supongamos que α = cos −1 1 2 y β = sen −1 3 5 . Entonces podemos escribir cos α = 1 2 , 0 ≤ α ≤ π sen β = 3 5 , - π 2 ≤ β ≤ π 2 Utilizaremos la identidad pitagórica para hallar sen α y cos β . sen α = 1 - cos 2 α = 1 - 1 4 = 3 4 = 3 2 cos β = 1 - sen 2 β = 1 - 9 25 = 16 25 = 4 5 Con la fórmula de suma para el seno, sen ( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ) = sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β = 3 2 ⋅ 4 5 + 1 2 ⋅ 3 5 = 4 3 + 3 10 Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón. Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde, tan x = sen x cos x , cos x ≠ 0 . Derivemos la fórmula de la suma para la tangente. tan ( α + β ) = sen ( α + β ) cos ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β cos α cos β − sen α sen β = sen α cos β + cos α sen β cos α cos β cos α cos β − sen α sen β cos α cos β Divida el numerador y el denominador entre cos α cos β = sen α cos β cos α cos β + cos α sen β cos α cos β cos α cos β cos α cos β − sen α sen β cos α cos β = sen α cos α + sen β cos β 1 - sen α sen β cos α cos β = tan α + tan β 1 - tan α tan β Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar. Fórmulas de suma y diferencia para la tangente Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son: tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Cómo Dados dos ángulos, hallar la tangente de la suma de los ángulos. Escriba la fórmula de la suma para la tangente. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Hallar el valor exacto de una expresión que implica la tangente Halle el valor exacto de tan ( π 6 + π 4 ) . Primero escribamos la fórmula de la suma para la tangente y sustituyamos los ángulos dados en la fórmula. tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( π 6 + π 4 ) = tan ( π 6 ) + tan ( π 4 ) 1 - ( tan ( π 6 ) ) ( tan ( π 4 ) ) A continuación, determinamos cada una de las tangentes dentro de la fórmula: tan ( π 6 ) = 1 3 , tan ( π 4 ) = 1 Así que tenemos tan ( π 6 + π 4 ) = 1 3 + 1 1 - ( 1 3 ) ( 1 ) = 1 + 3 3 3 - 1 3 = 1 + 3 3 ( 3 3 - 1 ) = 3 + 1 3 - 1 Ejercicio Halle el valor exacto de tan ( 2 π 3 + π 4 ) . 1 - 3 1 + 3 Hallar varias sumas y diferencias de ángulos Dados sen α = 3 5 , 0 < α < π 2 , cos β = - 5 13 , π < β < 3 π 2 , halle Ⓐ sen ( α + β ) Ⓑ cos ( α + β ) Ⓒ tan ( α + β ) Ⓓ tan ( α - β ) Podemos utilizar las fórmulas de suma y diferencia para identificar la suma o diferencia de ángulos cuando se proporciona el cociente del seno, coseno o tangente para cada uno de los ángulos. Para ello, construimos el llamado triángulo de referencia que permita dar con cada elemento de las fórmulas de suma y diferencia. Ⓐ Para hallar sen ( α + β ) , comenzamos con sen α = 3 5 y 0 < α < π 2 . El lado opuesto α tiene una longitud de 3, la hipotenusa tiene una longitud de 5, y α está en el primer cuadrante. Vea la . Con el teorema de Pitágoras podemos medir la longitud del lado a : a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 = 16 a = 4 Dado que cos β = - 5 13 y π < β < 3 π 2 , el lado adyacente a β es −5 , la hipotenusa es 13, y β está en el tercer cuadrante. Vea la . De nuevo, con el teorema de Pitágoras, obtenemos ( - 5 ) 2 + a 2 = 13 2 25 + a 2 = 169 a 2 = 144 a = ± 12 Dado que β está en el tercer cuadrante, a = –12. El siguiente paso es hallar el coseno de α y el seno de β . El coseno de α es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Podemos hallarlo a partir del triángulo en la : cos α = 4 5 . También podemos hallar el seno de β del triángulo en la , como el lado opuesto sobre la hipotenusa: sen β = − 12 13 . Ahora estamos listos para evaluar sen ( α + β ) . sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β = ( 3 5 ) ( - 5 13 ) + ( 4 5 ) ( − 12 13 ) = - 15 65 − 48 65 = − 63 65 Ⓑ Podemos hallar cos ( α + β ) de manera semejante. Sustituimos los valores según la fórmula. cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β = ( 4 5 ) ( - 5 13 ) - ( 3 5 ) ( − 12 13 ) = − 20 65 + 36 65 = 16 65 Ⓒ Para tan ( α + β ) , si sen α = 3 5 y cos α = 4 5 , entonces tan α = 3 5 4 5 = 3 4 Si los valores de sen β = − 12 13 y cos β = - 5 13 , entonces tan β = − 12 13 - 5 13 = 12 5 Entonces, tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β = 3 4 + 12 5 1 - 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 = − 63 16 Ⓓ Para hallar tan ( α - β ) , tenemos los valores que necesitamos. Podemos sustituirlos y evaluarlos. tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β = 3 4 − 12 5 1 + 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 = − 33 56 Análisis Un error común al abordar problemas como este es que podemos caer en la tentación de pensar que α y β son ángulos en el mismo triángulo. Por supuesto, no lo son. También hay que tener en cuenta que tan ( α + β ) = sen ( α + β ) cos ( α + β ) Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es π 2 , esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es π 2 , por lo que también son complementos. En la , observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como θ , entonces el otro ángulo agudo debe marcarse ( π 2 - θ ) . Observe también que sen θ = cos ( π 2 - θ ) : opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de θ es igual a la cofunción del complemento de θ . Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones. A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción . Identidades de la cofunción Las identidades de cofunción se resumen en la . sen θ = cos ( π 2 - θ ) cos θ = sen ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β , podemos escribir cos ( π 2 - θ ) = cos π 2 cos θ + sen π 2 sen θ = ( 0 ) cos θ + ( 1 ) sen θ = sen θ Hallar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada Escriba tan π 9 en términos de su cofunción. La cofunción de tan θ = cot ( π 2 - θ ) . Así, tan ( π 9 ) = cot ( π 2 - π 9 ) = cot ( 9 π 18 − 2 π 18 ) = cot ( 7 π 18 ) Ejercicio Escriba sen π 7 en términos de su cofunción. cos ( 5 π 14 ) Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad. Cómo Dada una identidad, verificarla con las fórmulas de suma y diferencia. Comience con la expresión del lado del signo igual que parezca más compleja. Reescriba esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo de igualdad. Ocasionalmente, es posible que tengamos que alterar ambos lados; sin embargo, trabajar en un solo lado es lo más eficiente. Busque oportunidades para utilizar las fórmulas de suma y diferencia. Reescriba sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples. Si el proceso se vuelve engorroso, reescriba la expresión en términos de seno y coseno. Verificar una identidad que implique el seno Verifique la identidad sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β . Vemos que el lado izquierdo de la ecuación incluye el seno de la suma y la diferencia de los ángulos. sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Podemos reescribir cada una de ellas con las fórmulas de suma y diferencia. sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = sen α cos β + cos α sen β + sen α cos β − cos α sen β = 2 sen α cos β Vemos que la identidad se verifica. Verificar una identidad que implique la tangente Verifique la siguiente identidad. sen ( α - β ) cos α cos β = tan α − tan β Podemos empezar por reescribir el numerador en el lado izquierdo de la ecuación. sen ( α - β ) cos α cos β = sen α cos β − cos α sen β cos α cos β = sen α cos β cos α cos β − cos α sen β cos α cos β Reescribir con un denominador común . = sen α cos α − sen β cos β Cancele . = tan α − tan β Reescriba en términos de tangente . Vemos que la identidad se verifica. En muchos casos, se puede verificar exitosamente la identidad de la tangente al escribirla en términos de seno y coseno. Ejercicio Verifique la identidad: tan ( π - θ ) = - tan θ . tan ( π - θ ) = tan ( π ) - tan θ 1 + tan ( π ) tan θ = 0 - tan θ 1 + 0 ⋅ tan θ = - tan θ Usar las fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación Supongamos que L 1 y L 2 denotan dos líneas no verticales que se cruzan, y supongamos que θ denota el ángulo agudo entre L 1 y L 2 . Vea la . Demuestre que tan θ = m 2 − m 1 1 + m 1 m 2 donde m 1 y m 2 son las pendientes de L 1 y L 2 respectivamente. ( Pista: Utilice el hecho de que tan θ 1 = m 1 y tan θ 2 = m 2 . ). Con la fórmula de la diferencia para la tangente, este problema no luce tan desalentador. tan θ = tan ( θ 2 - θ 1 ) = tan θ 2 - tan θ 1 1 + tan θ 1 tan θ 2 = m 2 − m 1 1 + m 1 m 2 Investigación de un problema de cableado Para un muro de escalada, un cable de sujeción R está fijado a 47 pies de altura en un poste vertical. El soporte adicional lo proporciona otro cable de sujeción S , que está fijado a 40 pies del suelo en el mismo poste. Si los cables están fijados al suelo a 50 pies del poste, halle el ángulo α entre los cables. Vea la . Resumamos primero la información que podemos obtener del diagrama. Dado que apenas se conocen los lados adyacentes al ángulo recto, podemos utilizar la función tangente. Observe que tan β = 47 50 , y tan ( β - α ) = 40 50 = 4 5 . Podemos entonces utilizar la fórmula de la diferencia para la tangente. tan ( β - α ) = tan β − tan α 1 + tan β tan α Ahora, sustituyendo los valores que conocemos en la fórmula, tenemos 4 5 = 47 50 − tan α 1 + 47 50 tan α 4 ( 1 + 47 50 tan α ) = 5 ( 47 50 − tan α ) Utilice la propiedad distributiva y luego simplifique las funciones. 4 ( 1 ) + 4 ( 47 50 ) tan α = 5 ( 47 50 ) - 5 tan α 4 + 3,76 tan α = 4,7 − 5 tan α 5 tan α + 3,76 tan α = 0,7 8,76 tan α = 0,7 tan α ≈ 0,07991 tan - 1 ( 0,07991 ) ≈ 0,079741 Ahora podemos calcular el ángulo en grados. α ≈ 0,079741 ( 180 π ) ≈ 4,57 ∘ Análisis En ocasiones, cuando aparece una aplicación que incluye un triángulo rectángulo, podemos pensar que la resolución es cuestión de aplicar el teorema de Pitágoras. Eso puede ser parcialmente cierto, pero depende de lo que se pida en el problema y de la información que se dé. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de suma y diferencia. Identidades de suma y diferencia para el coseno Identidades de suma y diferencia para el seno Identidades de suma y diferencia para la tangente Ecuaciones clave Fórmula de la suma del coseno cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β Fórmula de la diferencia para el coseno cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β Fórmula de la suma para el seno sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β Fórmula de la diferencia para el seno sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Fórmula de la suma para la tangente tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β Fórmula de la diferencia para la tangente tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Identidades de cofunción sen θ = cos ( π 2 - θ ) cos θ = sen ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Conceptos clave La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos. Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el y el . La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el . Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el . La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el . El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el . Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el . Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el y el . Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique el fundamento de las identidades de cofunción y cuándo se aplican. Las identidades de la cofunción se aplican a los ángulos complementarios. Al ver los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si uno de esos ángulos mide x , el segundo ángulo mide π 2 - x . Entonces sen x = cos ( π 2 - x ) . Lo mismo ocurre con las demás identidades de cofunción. La clave es que los ángulos sean complementarios. ¿Existe una sola manera de evaluar cos ( 5 π 4 ) ? Explique cómo establecer la solución de dos maneras diferentes, y luego calcular para que den la misma respuesta. Explique a alguien que haya olvidado las propiedades pares-impares de las funciones sinusoidales cómo las fórmulas de suma y resta pueden determinar esta característica para f ( x ) = sen ( x ) y g ( x ) = cos ( x ) . (Pista: 0 - x = - x ). sen ( - x ) = - sen x , por lo que sen x es impar. cos ( - x ) = cos ( 0 - x ) = cos x , por lo que cos x es par. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( 7 π 12 ) cos ( π 12 ) 2 + 6 4 sen ( 5 π 12 ) sen ( 11 π 12 ) 6 - 2 4 tan ( - π 12 ) tan ( 19 π 12 ) - 2 - 3 En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de sen x y cos x . sen ( x + 11 π 6 ) sen ( x - 3 π 4 ) - 2 2 sen x - 2 2 cos x cos ( x - 5 π 6 ) cos ( x + 2 π 3 ) - 1 2 cos x - 3 2 sen x En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. csc ( π 2 - t ) sec ( π 2 - θ ) csc θ cot ( π 2 - x ) tan ( π 2 - x ) cot x sen ( 2 x ) cos ( 5 x ) - sen ( 5 x ) cos ( 2 x ) tan ( 3 2 x ) - tan ( 7 5 x ) 1 + tan ( 3 2 x ) tan ( 7 5 x ) tan ( x 10 ) En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada. Dado que sen a = 2 3 y cos b = - 1 4 , con la a y b ambos en el intervalo [ π 2 , π ) , calcule sen ( a + b ) y cos ( a - b ) . Dado que sen a = 4 5 , y cos b = 1 3 , con la a y b ambos en el intervalo [ 0 , π 2 ) , calcule sen ( a - b ) y cos ( a + b ) . sen ( a - b ) = ( 4 5 ) ( 1 3 ) - ( 3 5 ) ( 2 2 3 ) = 4 − 6 2 15 cos ( a + b ) = ( 3 5 ) ( 1 3 ) - ( 4 5 ) ( 2 2 3 ) = 3 - 8 2 15 En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión. sen ( cos − 1 ( 0 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) cos ( cos − 1 ( 2 2 ) + sen − 1 ( 3 2 ) ) 2 - 6 4 tan ( sen − 1 ( 1 2 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) Gráficos En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos. cos ( π 2 - x ) sen x sen ( π − x ) tan ( π 3 + x ) cot ( π 6 - x ) sen ( π 3 + x ) tan ( π 4 - x ) cot ( π 4 + x ) cos ( 7 π 6 + x ) sen ( π 4 + x ) sen x 2 + cos x 2 cos ( 5 π 4 + x ) En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en 2 x = x + x . ). f ( x ) = sen ( 4 x ) - sen ( 3 x ) cos x , g ( x ) = sen x cos ( 3 x ) Son iguales. f ( x ) = cos ( 4 x ) + sen x sen ( 3 x ) , g ( x ) = - cos x cos ( 3 x ) f ( x ) = sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) , g ( x ) = - sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) Son los diferentes; pruebe g ( x ) = sen ( 9 x ) - cos ( 3 x ) sen ( 6 x ) . f ( x ) = sen ( 4 x ) , g ( x ) = sen ( 5 x ) cos x - cos ( 5 x ) sen x f ( x ) = sen ( 2 x ) , g ( x ) = 2 sen x cos x Son iguales. f ( θ ) = cos ( 2 θ ) , g ( θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ f ( θ ) = tan ( 2 θ ) , g ( θ ) = tan θ 1 + tan 2 θ Son los diferentes; pruebe g ( θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ . f ( x ) = sen ( 3 x ) sen x , g ( x ) = sen 2 ( 2 x ) cos 2 x - cos 2 ( 2 x ) sen 2 x f ( x ) = tan ( - x ) , g ( x ) = tan x - tan ( 2 x ) 1 - tan x tan ( 2 x ) Son diferentes; pruebe g ( x ) = tan x - tan ( 2 x ) 1 + tan x tan ( 2 x ) . En tecnología En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal. sen ( 75 ∘ ) sen ( 195 ∘ ) - 3 - 1 2 2 , o − 0,2588 cos ( 165 ∘ ) cos ( 345 ∘ ) 1 + 3 2 2 , o 0,9659 tan ( − 15 ∘ ) Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas. tan ( x + π 4 ) = tan x + 1 1 - tan x tan ( x + π 4 ) = tan x + tan ( π 4 ) 1 - tan x tan ( π 4 ) = tan x + 1 1 - tan x ( 1 ) = tan x + 1 1 - tan x tan ( a + b ) tan ( a - b ) = sen a cos a + sen b cos b sen a cos a − sen b cos b cos ( a + b ) cos a cos b = 1 - tan a tan b cos ( a + b ) cos a cos b = cos a cos b cos a cos b − sen a sen b cos a cos b = 1 - tan a tan b cos ( x + y ) cos ( x - y ) = cos 2 x - sen 2 y cos ( x + h ) - cos x h = cos x cos h - 1 h − sen x sen h h cos ( x + h ) - cos x h = cos x cosh − sen x senoh − cos x h = cos x ( cosh − 1 ) - sen x senoh h = cos x cos h - 1 h − sen x sen h h En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados. tan ( u + v ) = tan u + tan v 1 - tan u tan v tan ( u - v ) = tan u − tan v 1 + tan u tan v Verdadero tan ( x + y ) 1 + tan x tan x = tan x + tan y 1 - tan 2 x tan 2 y Si los valores de α , β , y γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute sen ( α + β ) = sen γ . Verdadero. Observe que sen ( α + β ) = sen ( π − γ ) y expanda el lado derecho. Si los valores de α , β , y γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ", "section": "Identidades de suma y resta", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción Las rampas para ciclistas avanzados tienen una inclinación más pronunciada que las destinadas a los principiantes. Las rampas para bicicletas hechas para la competición (ver la ) deben variar en altura, dependiendo del nivel de habilidad de los competidores. Para los competidores avanzados, el ángulo formado por la rampa y el suelo debe ser θ de manera que tan θ = 5 3 . El ángulo se divide en dos para los principiantes. ¿Cuál es la inclinación de la rampa para los principiantes? En esta sección, investigaremos tres categorías adicionales de identidades que podemos utilizar para responder a preguntas como esta. Usar fórmulas del ángulo doble para hallar valores exactos En el apartado anterior, utilizamos fórmulas de suma y resta de funciones trigonométricas. Ahora, repasamos esas mismas fórmulas. Las fórmulas del ángulo doble son un caso especial de las fórmulas de suma, donde α = β . La derivación de la fórmula del ángulo doble del seno comienza con la fórmula de la suma, sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β Supongamos que α = β = θ , entonces tenemos sen ( θ + θ ) = sen θ cos θ + cos θ sen θ sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ La derivación del ángulo doble para el coseno nos brinda tres opciones. Primero, partiendo de la fórmula de la suma, cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β , y suponiendo que α = β = θ , tenemos cos ( θ + θ ) = cos θ cos θ - sen θ sen θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ Con las propiedades pitagóricas podemos ampliar esta fórmula de ángulo doble para el coseno y obtener otras dos interpretaciones. La primera es: cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = ( 1 - sen 2 θ ) - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ La segunda interpretación es: cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = cos 2 θ − ( 1 - cos 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 Del mismo modo, para derivar la fórmula del ángulo doble para la tangente, al sustituir α = β = θ en la fórmula de la suma da tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( θ + θ ) = tan θ + tan θ 1 - tan θ tan θ tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas del ángulo doble Las fórmulas del ángulo doble se resumen como sigue: sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Cómo Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra, utilizar las fórmulas del doble ángulo para hallar el valor exacto. Dibuje un triángulo que refleje la información dada. Determine la fórmula correcta del doble ángulo. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo. Simplifique. Usar una fórmula de ángulo doble para hallar el valor exacto de la tangente Dado que tan θ = - 3 4 y θ está en el cuadrante II, calcule lo siguiente: Ⓐ sen ( 2 θ ) Ⓑ cos ( 2 θ ) Ⓒ tan ( 2 θ ) Si dibujamos un triángulo que refleje la información dada, hallamos los valores necesarios para resolver los problemas en la imagen. Se nos da tan θ = - 3 4 , de manera que θ está en el cuadrante II. La tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre el lado adyacente, y porque θ está en el segundo cuadrante, el lado adyacente está en el eje x y es negativo. Utilice el teorema de Pitágoras para medir la longitud de la hipotenusa: (−4 ) 2 + ( 3 ) 2 = c 2 16 + 9 = c 2 25 = c 2 c = 5 Ahora podemos dibujar un triángulo similar al que se muestra en la . Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula del ángulo doble del seno. sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ Nos damos cuenta de que tenemos que hallar sen θ y cos θ . Con base en la , vemos que la hipotenusa es igual a 5, por lo que sen θ = 3 5 , y cos θ = – 4 5 . Sustituya estos valores en la ecuación y simplifique. Por lo tanto, sen ( 2 θ ) = 2 ( 3 5 ) ( - 4 5 ) = − 24 25 Ⓑ Escriba la fórmula del ángulo doble para el coseno. cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ De nuevo, sustituya los valores del seno y del coseno en la ecuación y simplifique. cos ( 2 θ ) = ( - 4 5 ) 2 - ( 3 5 ) 2 = 16 25 − 9 25 = 7 25 Ⓒ Escriba la fórmula del ángulo doble para la tangente. tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ En esta fórmula, necesitamos la tangente, que nos dieron como tan θ = - 3 4 . Sustituya este valor en la ecuación y simplifique. tan ( 2 θ ) = 2 ( - 3 4 ) 1 - ( - 3 4 ) 2 = - 3 2 1 - 9 16 = - 3 2 ( 16 7 ) = − 24 7 Ejercicio Dados sen α = 5 8 , con la θ en el cuadrante I, halle cos ( 2 α ) . cos ( 2 α ) = 7 32 Usar la fórmula del ángulo doble para el coseno sin valores exactos Utilice la fórmula del ángulo doble del coseno para escribir cos ( 6 x ) en términos de cos ( 3 x ) . cos ( 6 x ) = cos ( 2 ( 3 x + 3 x ) ) = cos 2 ( 3 x ) - sen 2 ( 3 x ) = 2 cos 2 ( 3 x ) - 1 Análisis Este ejemplo ilustra que podemos utilizar la fórmula del ángulo doble sin tener valores exactos. Enfatiza que el patrón es lo que necesitamos recordar y que las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la función trigonométrica. Usar fórmulas del ángulo doble para verificar identidades El establecimiento de las identidades mediante las fórmulas del ángulo doble se realiza con los mismos pasos que utilizamos para derivar las fórmulas de suma y la diferencia. Elija el lado más complicado de la ecuación y reescríbala hasta que coincida con el otro lado. Usar las fórmulas del ángulo doble para establecer una identidad Establezca la siguiente identidad con fórmulas de ángulo doble: 1 + sen ( 2 θ ) = ( sen θ + cos θ ) 2 Trabajaremos en el lado derecho del signo de igualdad y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado izquierdo. ( sen θ + cos θ ) 2 = sen 2 θ + 2 sen θ cos θ + cos 2 θ = ( sen 2 θ + cos 2 θ ) + 2 sen θ cos θ = 1 + 2 sen θ cos θ = 1 + sen ( 2 θ ) Análisis Este proceso no es complicado, siempre que recordemos la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 donde a = sen θ y b = cos θ . Parte del éxito en las matemáticas es la capacidad de reconocer patrones. Aunque los términos o símbolos pueden cambiar, el álgebra sigue siendo coherente. Ejercicio Establezca la identidad: cos 4 θ - sen 4 θ = cos ( 2 θ ) . cos 4 θ - sen 4 θ = ( cos 2 θ + sen 2 θ ) ( cos 2 θ - sen 2 θ ) = cos ( 2 θ ) Verificar una identidad de ángulo doble para la tangente Verifique la identidad: tan ( 2 θ ) = 2 cot θ – tan θ En este caso, trabajaremos con el lado izquierdo de la ecuación y simplificaremos o reescribiremos hasta que sea igual al lado derecho de la ecuación. tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmula del ángulo doble = 2 tan θ ( 1 tan θ ) ( 1 - tan 2 θ ) ( 1 tan θ ) Multiplique por un término que dé como resultado el numerador deseado . = 2 1 tan θ – tan 2 θ tan θ = 2 cot θ – tan θ Utilice la identidad recíproca para 1 tan θ . Análisis Este es un caso en el que el lado más complicado de la ecuación inicial aparecía a la derecha, pero elegimos trabajar el lado izquierdo. Sin embargo, si hubiéramos elegido el lado izquierdo para reescribir, habríamos estado trabajando hacia atrás para llegar a la equivalencia. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar 2 tan θ 1 - tan 2 θ = 2 cot θ – tan θ Trabajemos en el lado derecho. 2 cot θ – tan θ = 2 1 tan θ – tan θ ( tan θ tan θ ) = 2 tan θ 1 tan θ ( tan θ ) - tan θ ( tan θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Cuando se utilizan las identidades para simplificar o resolver una ecuación trigonométrica, hay varias vías para llegar al resultado deseado. No hay ninguna regla establecida sobre qué lado debería manipularse. Sin embargo, deberíamos empezar con las directrices expuestas anteriormente. Ejercicio Verifique la identidad: cos ( 2 θ ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ . cos ( 2 θ ) cos θ = ( cos 2 θ - sen 2 θ ) cos θ = cos 3 θ - cos θ sen 2 θ Usar fórmulas de reducción para simplificar una expresión Las fórmulas del ángulo doble se pueden utilizar para derivar las fórmulas de reducción , las cuales podemos utilizar para reducir la potencia de una expresión dada que implique potencias pares de seno o coseno. Nos permiten reescribir las potencias pares del seno o del coseno en términos de la primera potencia del coseno. Estas fórmulas son especialmente importantes en los cursos de matemáticas de nivel superior, el cálculo en particular. También llamadas fórmulas de reducción de potencia, se incluyen tres identidades que se derivan fácilmente de las fórmulas del ángulo doble. Podemos utilizar dos de las tres fórmulas del ángulo doble del coseno para derivar las fórmulas de reducción del seno y del coseno. Comencemos con cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ . Resuelva para sen 2 θ : cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ 2 sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 A continuación, utilizamos la fórmula cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1. Resuelva para cos 2 θ : cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 1 + cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ 1 + cos ( 2 θ ) 2 = cos 2 θ La última fórmula de reducción se deriva al escribir la tangente en términos de seno y coseno: tan 2 θ = sen 2 θ cos 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 1 + cos ( 2 θ ) 2 Sustituya las fórmulas de reducción. = ( 1 - cos ( 2 θ ) 2 ) ( 2 1 + cos ( 2 θ ) ) = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas de reducción Las fórmulas de reducción se resumen como sigue: sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Escribir una expresión equivalente que no contenga potencias mayores que 1 Escriba una expresión equivalente para cos 4 x que no implique ninguna potencia de seno o coseno mayor que 1. Aplicaremos dos veces la fórmula de reducción del coseno. cos 4 x = ( cos 2 x ) 2 = ( 1 + cos ( 2 x ) 2 ) 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 1 4 ( 1 + 2 cos ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) ) = 1 4 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 4 ( 1 + cos 2 ( 2 x ) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 1 4 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 8 + 1 8 cos ( 4 x ) = 3 8 + 1 2 cos ( 2 x ) + 1 8 cos ( 4 x ) Análisis La solución se encuentra al utilizar dos veces la fórmula de reducción, como se ha señalado, así como la fórmula del cuadrado perfecto del álgebra. Usar las fórmulas de reducción de potencia para demostrar una identidad Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar sen 3 ( 2 x ) = [ 1 2 sen ( 2 x ) ] [ 1 - cos ( 4 x ) ] Trabajaremos en la simplificación del lado izquierdo de la ecuación: sen 3 ( 2 x ) = [ sen ( 2 x ) ] [ sen 2 ( 2 x ) ] = sen ( 2 x ) [ 1 - cos ( 4 x ) 2 ] Sustituya la fórmula de reducción de potencia . = sen ( 2 x ) ( 1 2 ) [ 1 - cos ( 4 x ) ] = 1 2 [ sen ( 2 x ) ] [ 1 - cos ( 4 x ) ] Análisis Tenga en cuenta que en este ejemplo, hemos sustituido 1 - cos ( 4 x ) 2 por sen 2 ( 2 x ) . La fórmula establece sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 Supongamos que θ = 2 x , por lo que 2 θ = 4 x . Ejercicio Utilice las fórmulas de reducción de potencia para demostrar que 10 cos 4 x = 15 4 + 5 cos ( 2 x ) + 5 4 cos ( 4 x ) . 10 cos 4 x = 10 cos 4 x = 10 ( cos 2 x ) 2 = 10 [ 1 + cos ( 2 x ) 2 ] 2 Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 10 4 [ 1 + 2 cos ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) ] = 10 4 + 10 2 cos ( 2 x ) + 10 4 ( 1 + cos 2 ( 2 x ) 2 ) Sustituya la fórmula de reducción para el coseno 2 x . = 10 4 + 10 2 cos ( 2 x ) + 10 8 + 10 8 cos ( 4 x ) = 30 8 + 5 cos ( 2 x ) + 10 8 cos ( 4 x ) = 15 4 + 5 cos ( 2 x ) + 5 4 cos ( 4 x ) Usar fórmulas del ángulo medio para calcular valores exactos El siguiente conjunto de identidades es el de las fórmulas del ángulo mitad , que pueden derivarse de las fórmulas de reducción y que podemos utilizar cuando tenemos un ángulo que sea la mitad de un ángulo especial. Si sustituimos θ con la α 2 , la fórmula del ángulo medio para el seno se determina al simplificar la ecuación y resolver para sen ( α 2 ) . Observe que las fórmulas del ángulo medio van precedidas del signo ± Esto no significa que tanto las expresiones positivas como las negativas son válidas. Más bien, depende del cuadrante en el que α 2 termina. La fórmula del semicírculo del seno se obtiene como sigue: sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 sen 2 ( α 2 ) = 1 - cos ( 2 ⋅ α 2 ) 2 = 1 - cos α 2 sen ( α 2 ) = ± 1 - cos α 2 Para derivar la fórmula del ángulo medio para el coseno, tenemos cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 cos 2 ( α 2 ) = 1 + cos ( 2 ⋅ α 2 ) 2 = 1 + cos α 2 cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 Para la identidad tangente, tenemos tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) tan 2 ( α 2 ) = 1 - cos ( 2 ⋅ α 2 ) 1 + cos ( 2 ⋅ α 2 ) = 1 - cos α 1 + cos α tan ( α 2 ) = ± 1 - cos α 1 + cos α Fórmulas del ángulo medio Las fórmulas del ángulo medio son las siguientes: sen ( α 2 ) = ± 1 - cos α 2 cos ( α 2 ) = ± 1 + cos α 2 tan ( α 2 ) = ± 1 - cos α 1 + cos α = sen α 1 + cos α = 1 - cos α sen α Usar una fórmula del ángulo medio para calcular el valor exacto de una función seno Halle sen ( 15 ∘ ) con una fórmula del ángulo medio. Dado que 15 ∘ = 30 ∘ 2 , utilizamos la fórmula del ángulo medio para el seno: sen 30 ∘ 2 = 1 - cos 30 ∘ 2 = 1 - 3 2 2 = 2 - 3 2 2 = 2 - 3 4 = 2 - 3 2 Análisis Observe que hemos utilizado únicamente la raíz positiva porque sen ( 15 i ) es positivo. Cómo Dada la tangente de un ángulo y el cuadrante en el que se encuentra el ángulo, calcular los valores exactos de las funciones trigonométricas de la mitad del ángulo. Dibuje un triángulo que represente la información dada. Determine la fórmula correcta del ángulo medio. Sustituya los valores en la fórmula basada en el triángulo. Simplifique. Calcular valores exactos con identidades de ángulo medio Dado que tan α = 8 15 y α se encuentra en el cuadrante III, calcule el valor exacto de lo siguiente: Ⓐ sen ( α 2 ) Ⓑ cos ( α 2 ) Ⓒ tan ( α 2 ) Con la información dada podemos dibujar el triángulo que aparece en la . Con el teorema de Pitágoras hallamos que la hipotenusa es 17. Por lo tanto, podemos calcular sen α = - 8 17 y cos α = - 15 17 . Ⓐ Antes de empezar, debemos recordar que, si α está en el cuadrante III, entonces 180° < α < 270° , por lo que 180° 2 < α 2 < 270° 2 . Esto significa que el lado del terminal de α 2 está en el cuadrante II, ya que 90° < α 2 < 135° . Para hallar sen α 2 , comenzamos por escribir la fórmula del ángulo medio para el seno. Luego sustituimos el valor del coseno que determinamos del triángulo en la y simplificamos. sen α 2 = ± 1 - cos α 2 = ± 1 - ( − 15 17 ) 2 = ± 32 17 2 = ± 32 17 ⋅ 1 2 = ± 16 17 = ± 4 17 = 4 17 17 Elegimos el valor positivo de sen α 2 porque el ángulo termina en el cuadrante II y el seno es positivo en el cuadrante II. Ⓑ Para hallar cos α 2 , escribimos la fórmula del ángulo medio para el coseno, sustituimos el valor del coseno que hallamos del triángulo en la , y simplificamos. cos α 2 = ± 1 + cos α 2 = ± 1 + ( − 15 17 ) 2 = ± 2 17 2 = ± 2 17 ⋅ 1 2 = ± 1 17 = − 17 17 Elegimos el valor negativo de cos α 2 porque el ángulo está en el cuadrante II y porque el coseno es negativo en el cuadrante II. Ⓒ Para hallar tan α 2 , escribimos la fórmula del ángulo medio para la tangente. De nuevo, sustituimos el valor del coseno que hemos hallamos del triángulo en la y simplificamos. tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α = ± 1 - ( − 15 17 ) 1 + ( − 15 17 ) = ± 32 17 2 17 = ± 32 2 = - 16 = – 4 Elegimos el valor negativo de tan α 2 porque α 2 se halla en el cuadrante II, y la tangente es negativa en el cuadrante II. Ejercicio Dado que sen α = – 4 5 y α se halla en el cuadrante IV, calcule el valor exacto de cos ( α 2 ) . - 2 5 Hallar la medida de un ángulo medio Ahora, volvemos al problema planteado al principio de la sección. Se construye una rampa para bicicletas de alta competición en un ángulo de θ formado por la rampa y el suelo. Se va a construir otra rampa con la mitad de pendiente para la competición de principiantes. Si los valores de tan θ = 5 3 para la competición de nivel superior, ¿cuál es la medida del ángulo para la competición de principiantes? Dado que el ángulo para la competición de principiantes mide la mitad de la inclinación del ángulo para la competición de nivel superior, y tan θ = 5 3 para la competición de nivel superior, podemos hallar cos θ del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras para que podamos utilizar las identidades de ángulo medio. Vea la . 3 2 + 5 2 = 34 c = 34 Vemos que cos θ = 3 34 = 3 34 34 . Podemos utilizar la fórmula del ángulo medio para la tangente tan θ 2 = 1 - cos θ 1 + cos θ . Dado que tan θ está en el primer cuadrante, así que es tan θ 2 . Así, tan θ 2 = 1 - 3 34 34 1 + 3 34 34 = 34 − 3 34 34 34 + 3 34 34 = 34 − 3 34 34 + 3 34 ≈ 0,57 Podemos tomar la tangente inversa para hallar el ángulo: tan - 1 ( 0,57 ) ≈ 29,7 ∘ . Así que el ángulo de la rampa para la competición de principiantes es ≈ 29,7 ∘ . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción. Identidades del ángulo doble Identidades del ángulo medio Ecuaciones clave Fórmulas de ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas de la reducción sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas del ángulo medio sen α 2 = ± 1 - cos α 2 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α = sen α 1 + cos α = 1 - cos α sen α Conceptos clave Las identidades de ángulo doble se derivan de las fórmulas de suma de las funciones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente. Vea el , el , el y el . Las fórmulas de la reducción son especialmente útiles en el cálculo, ya que nos permiten reducir la potencia del término trigonométrico. Vea el y el . Las fórmulas de ángulo medio nos permiten calcular el valor de las funciones trigonométricas que implican el ángulo medio, tanto si se conoce el ángulo original como si no. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo determinar las identidades de reducción a partir de la identidad del ángulo doble cos ( 2 x ) = cos 2 x - sen 2 x . Utilice las identidades pitagóricas y aísle el término del cuadrado. Explique cómo determinar la fórmula del ángulo doble para tan ( 2 x ) con las fórmulas de ángulo doble para cos ( 2 x ) y sen ( 2 x ) . Podemos determinar la fórmula del ángulo medio para tan ( x 2 ) = 1 - cos x 1 + cos x al dividir la fórmula para sen ( x 2 ) entre cos ( x 2 ) . Explique cómo determinar dos fórmulas para tan ( x 2 ) que no impliquen ninguna raíz cuadrada. 1 - cos x sen x , sen x 1 + cos x , al multiplicar la parte superior e inferior por 1 - cos x y 1 + cos x , respectivamente. Con respecto a la fórmula de ángulo medio que se suministró en el ejercicio anterior para tan ( x 2 ) , explique por qué la división entre 0 no es relevante. (Pista: examine los valores de cos x necesarios para que el denominador sea 0). Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen ( 2 x ) , b) cos ( 2 x ) , y c) tan ( 2 x ) sin resolver para x . Si los valores de sen x = 1 8 , y x está en el cuadrante I. a) 3 7 32 b) 31 32 c) 3 7 31 Si los valores de cos x = 2 3 , y x está en el cuadrante I. Si los valores de cos x = - 1 2 , y x está en el cuadrante III. a) 3 2 b) − 1 2 c) − 3 Si tan x = - 8 , y x está en el cuadrante IV. En los siguientes ejercicios, calcule los valores de las seis funciones trigonométricas si se cumplen las condiciones previstas. cos ( 2 θ ) = 3 5 y 90 ∘ ≤ θ ≤ 180 ∘ cos θ = - 2 5 5 , sen θ = 5 5 , tan θ = - 1 2 , csc θ = 5 , sec θ = - 5 2 , cot θ = - 2 cos ( 2 θ ) = 1 2 y 180 ∘ ≤ θ ≤ 270 ∘ En los siguientes ejercicios, simplifique a una expresión trigonométrica. 2 sen ( π 4 ) 2 cos ( π 4 ) 2 sen ( π 2 ) 4 sen ( π 8 ) cos ( π 8 ) En los siguientes ejercicios, calcule el valor exacto con las fórmulas de ángulo medio. sen ( π 8 ) 2 - 2 2 cos ( − 11 π 12 ) sen ( 11 π 12 ) 2 - 3 2 cos ( 7 π 8 ) tan ( 5 π 12 ) 2 + 3 tan ( - 3 π 12 ) tan ( - 3 π 8 ) - 1 - 2 En los siguientes ejercicios, halle los valores exactos de a) sen ( x 2 ) , b) cos ( x 2 ) , y c) tan ( x 2 ) sin resolver para x , cuando 0 ∘ ≤ x ≤ 360 ∘ Si tan x = – 4 3 , y x está en el cuadrante IV. Si los valores de sen x = − 12 13 , y x está en el cuadrante III. a) 3 13 13 b) − 2 13 13 c) − 3 2 Si los valores de csc x = 7 , y x está en el cuadrante II. Si los valores de sec x = – 4 , y x está en el cuadrante II. a) 10 4 b) 6 4 c) 15 3 En los siguientes ejercicios, utilice la para hallar los ángulos medios y los ángulos doble solicitados. Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ). Halle sen ( 2 α ) , cos ( 2 α ) , y tan ( 2 α ). 120 169 , – 119 169 , – 120 119 Halle sen ( θ 2 ) , cos ( θ 2 ) , y tan ( θ 2 ) . Halle sen ( α 2 ) , cos ( α 2 ) , y tan ( α 2 ) . 2 13 13 , 3 13 13 , 2 3 En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión. No evalúe. cos 2 ( 28 ∘ ) - sen 2 ( 28 ∘ ) 2 cos 2 ( 37 ∘ ) - 1 cos ( 74 ∘ ) 1 - 2 sen 2 ( 17 ∘ ) cos 2 ( 9 x ) - sen 2 ( 9 x ) cos ( 18 x ) 4 sen ( 8 x ) cos ( 8 x ) 6 sen ( 5 x ) cos ( 5 x ) 3 sen ( 10 x ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad dada. ( sen t − cos t ) 2 = 1 - sen ( 2 t ) sen ( 2 x ) = - 2 sen ( - x ) cos ( - x ) - 2 sen ( - x ) cos ( - x ) = - 2 ( - sen ( x ) cos ( x ) ) = sen ( 2 x ) cot x - tan x = 2 cot ( 2 x ) 1 + cos ( 2 θ ) sen ( 2 θ ) tan 2 θ = tan θ sen ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) tan 2 θ = 2 sen ( θ ) cos ( θ ) 1 + cos 2 θ - sen 2 θ tan 2 θ = 2 sen ( θ ) cos ( θ ) 2 cos 2 θ tan 2 θ = sen ( θ ) cos θ tan 2 θ = tan θ tan 2 θ = tan 3 θ En los siguientes ejercicios, reescriba la expresión con un exponente no mayor a 1. cos 2 ( 5 x ) cos 2 ( 6 x ) 1 + cos ( 12 x ) 2 sen 4 ( 8 x ) sen 4 ( 3 x ) 3 + cos ( 12 x ) - 4 cos ( 6 x ) 8 cos 2 x sen 4 x cos 4 x sen 2 x 2 + cos ( 2 x ) - 2 cos ( 4 x ) - cos ( 6 x ) 32 tan 2 x sen 2 x En tecnología En los siguientes ejercicios, reduzca las ecuaciones a potencias de uno y luego compruebe la respuesta gráficamente. tan 4 x 3 + cos ( 4 x ) - 4 cos ( 2 x ) 3 + cos ( 4 x ) + 4 cos ( 2 x ) sen 2 ( 2 x ) sen 2 x cos 2 x 1 - cos ( 4 x ) 8 tan 2 x sen x tan 4 x cos 2 x 3 + cos ( 4 x ) - 4 cos ( 2 x ) 4 ( cos ( 2 x ) + 1 ) cos 2 x sen ( 2 x ) cos 2 ( 2 x ) sen x ( 1 + cos ( 4 x ) ) sen x 2 tan 2 ( x 2 ) sen x En los siguientes ejercicios, halle algebraicamente una función equivalente, solo en términos de sen x o cos x , y luego compruebe la respuesta al graficar ambas ecuaciones. sen ( 4 x ) 4 sen x cos x ( cos 2 x - sen 2 x ) cos ( 4 x ) Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades. sen ( 2 x ) = 2 tan x 1 + tan 2 x 2 tan x 1 + tan 2 x = 2 sen x cos x 1 + sen 2 x cos 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = 2 sen x cos x . cos 2 x 1 = 2 sen x cos x = sen ( 2 x ) cos ( 2 α ) = 1 - tan 2 α 1 + tan 2 α tan ( 2 x ) = 2 sen x cos x 2 cos 2 x – 1 2 sen x cos x 2 cos 2 x – 1 = sen ( 2 x ) cos ( 2 x ) = tan ( 2 x ) ( sen 2 x – 1 ) 2 = cos ( 2 x ) + sen 4 x sen ( 3 x ) = 3 sen x cos 2 x - sen 3 x sen ( x + 2 x ) = sen x cos ( 2 x ) + sen ( 2 x ) cos x = sen x ( cos 2 x - sen 2 x ) + 2 sen x cos x cos x = sen x cos 2 x - sen 3 x + 2 sen x cos 2 x = 3 sen x cos 2 x - sen 3 x cos ( 3 x ) = cos 3 x - 3 sen 2 x cos x 1 + cos ( 2 t ) sen ( 2 t ) - cos t = 2 cos t 2 sen t - 1 1 + cos ( 2 t ) sen ( 2 t ) - cos t = 1 + 2 cos 2 t - 1 2 sen t cos t − cos t = 2 cos 2 t cos t ( 2 sen t - 1 ) = 2 cos t 2 sen t - 1 sen ( 16 x ) = 16 sen x cos x cos ( 2 x ) cos ( 4 x ) cos ( 8 x ) cos ( 16 x ) = ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) + sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos 2 ( 4 x ) - sen 2 ( 4 x ) + sen ( 8 x ) ) = = ( cos ( 8 x ) - sen ( 8 x ) ) ( cos ( 8 x ) + sen ( 8 x ) ) = cos 2 ( 8 x ) - sen 2 ( 8 x ) = cos ( 16 x ) fórmulas del ángulo doble identidades derivadas de las fórmulas de suma de seno, coseno y tangente en las que los ángulos son iguales fórmulas del ángulo medio identidades derivadas de las fórmulas de la reducción y utilizadas para determinar los valores del ángulo medio de las funciones trigonométricas fórmulas de la reducción identidades derivadas de las fórmulas del ángulo doble y utilizadas para reducir la potencia de una función trigonométrica", "section": "Fórmulas del ángulo doble, el ángulo medio y la reducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Fórmulas de suma a producto y de producto a suma La banda de música de la UCLA (créditos: Eric Chan, Flickr). Una banda marcha por el campo creando un sonido increíble que anima al público. Ese sonido viaja como una onda que puede interpretarse mediante funciones trigonométricas. Por ejemplo, la representa una onda sonora para la nota musical A. En esta sección, investigaremos las identidades trigonométricas que son la base de fenómenos cotidianos como las ondas sonoras. Expresar el producto como suma Ya hemos aprendido varias fórmulas útiles para expandir o simplificar expresiones trigonométricas, pero a veces puede que tengamos que expresar el producto del coseno y el seno como una suma. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma , que expresan productos de funciones trigonométricas como sumas. Investiguemos primero la identidad del coseno y luego la del seno. Expresar productos como sumas para el coseno Podemos derivar la fórmula de producto a suma a partir de las identidades de suma y diferencia para el coseno . Si sumamos las dos ecuaciones, obtenemos: cos α cos β + sen α sen β = cos ( α - β ) + cos α cos β − sen α sen β = cos ( α + β ) ________________________________ 2 cos α cos β = cos ( α - β ) + cos ( α + β ) A continuación, dividimos entre 2 para aislar el producto de los cosenos: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] Cómo Dado un producto de cosenos, expresarlo como una suma. Escriba la fórmula del producto de cosenos. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Escribir el producto como una suma con la fórmula producto a suma para el coseno Escriba el siguiente producto de cosenos como una suma: 2 cos ( 7 x 2 ) cos 3 x 2 . Comenzamos por escribir la fórmula del producto de cosenos: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] Podemos entonces sustituir los ángulos dados en la fórmula y simplificar. 2 cos ( 7 x 2 ) cos ( 3 x 2 ) = ( 2 ) ( 1 2 ) [ cos ( 7 x 2 - 3 x 2 ) + cos ( 7 x 2 + 3 x 2 ) ] = [ cos ( 4 x 2 ) + cos ( 10 x 2 ) ] = cos 2 x + cos 5 x Ejercicio Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como suma o diferencia: cos ( 2 θ ) cos ( 4 θ ) . 1 2 ( cos 6 θ + cos 2 θ ) Expresar el producto del seno y el coseno como suma A continuación, derivaremos la fórmula de producto a suma para el seno y el coseno a partir de las fórmulas de la suma y la diferencia para el seno . Si sumamos las identidades de suma y diferencia, obtenemos: sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β + sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β _________________________________________ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del coseno y el seno: sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] Escribir el producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno Exprese el siguiente producto como una suma que contenga únicamente el seno o el coseno y ningún producto sen ( 4 θ ) cos ( 2 θ ) . Escriba la fórmula del producto del seno y el coseno. A continuación, sustituya los valores dados en la fórmula y simplifique. sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen ( 4 θ ) cos ( 2 θ ) = 1 2 [ sen ( 4 θ + 2 θ ) + sen ( 4 θ - 2 θ ) ] = 1 2 [ sen ( 6 θ ) + sen ( 2 θ ) ] Ejercicio Utilice la fórmula producto a suma para escribir el producto como una suma: sen ( x + y ) cos ( x - y ) . 1 2 ( sen 2 x + sen 2 y ) Expresar el producto del seno en términos de coseno Expresar el producto del seno en términos del coseno también se deriva de las identidades de suma y diferencia del coseno. En este caso, primero restaremos las dos fórmulas del coseno: cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β − cos ( α + β ) = - ( cos α cos β − sen α sen β ) ____________________________________________________ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) = 2 sen α sen β Luego, dividimos entre 2 para aislar el producto del seno: sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] De forma similar podríamos expresar el producto del coseno en términos de seno o derivar otras fórmulas de producto a suma. Las fórmulas de producto a suma Las fórmulas de producto a suma son las siguientes: cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Expresar el producto como suma o diferencia Escriba cos ( 3 θ ) cos ( 5 θ ) como suma o diferencia. Tenemos el producto del coseno, así que empezamos por escribir la fórmula relacionada. Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos. cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] cos ( 3 θ ) cos ( 5 θ ) = 1 2 [ cos ( 3 θ − 5 θ ) + cos ( 3 θ + 5 θ ) ] = 1 2 [ cos ( 2 θ ) + cos ( 8 θ ) ] Utilizamos la identidad par-impar . Ejercicio Utilice la fórmula de producto a suma para evaluar cos 11 π 12 cos π 12 . - 2 - 3 4 Expresar suma como producto Algunos problemas requieren el proceso inverso al que acabamos de utilizar. Las fórmulas de suma a producto nos permiten expresar sumas de seno o coseno como productos. Estas fórmulas pueden derivarse de las identidades de producto a suma. Por ejemplo, con unas cuantas sustituciones, podemos derivar la identidad de suma a producto para el seno . Supongamos que u + v 2 = α y u - v 2 = β . Entonces, α + β = u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 = u α - β = u + v 2 - u - v 2 = 2 v 2 = v Así, al sustituir α y β en la fórmula de producto a suma con las expresiones sustitutivas, tenemos: sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen ( u + v 2 ) cos ( u - v 2 ) = 1 2 [ sen u + sen v ] Sustituya por ( α + β ) y ( α - β ) 2 sen ( u + v 2 ) cos ( u - v 2 ) = sen u + sen v]. Las demás identidades de suma a producto se derivan de forma similar. Fórmulas de suma a producto Las fórmulas de suma a producto son las siguientes: sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Escribir la diferencia de senos como producto Escriba la siguiente expresión de diferencia de senos como producto: sen ( 4 θ ) - sen ( 2 θ ) . Comenzamos por escribir la fórmula de la diferencia de senos. sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) Sustituya los valores en la fórmula y simplifique. sen ( 4 θ ) - sen ( 2 θ ) = 2 sen ( 4 θ - 2 θ 2 ) cos ( 4 θ + 2 θ 2 ) = 2 sen ( 2 θ 2 ) cos ( 6 θ 2 ) = 2 sen θ cos ( 3 θ ) Ejercicio Utilice la fórmula de suma a producto para escribir la suma como producto: sen ( 3 θ ) + sen ( θ ) . 2 sen ( 2 θ ) cos ( θ ) Evaluar mediante la fórmula de suma a producto Evalúe cos ( 15 ∘ ) - cos ( 75 ∘ ) . Comenzamos por escribir la fórmula para la diferencia de cosenos. cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) Luego sustituimos los ángulos dados y simplificamos. cos ( 15 ∘ ) - cos ( 75 ∘ ) = - 2 sen ( 15 ∘ + 75 ∘ 2 ) sen ( 15 ∘ − 75 ∘ 2 ) = - 2 sen ( 45 ∘ ) sen ( − 30 ∘ ) = - 2 ( 2 2 ) ( - 1 2 ) = 2 2 Probar una identidad Pruebe la identidad: cos ( 4 t ) - cos ( 2 t ) sen ( 4 t ) + sen ( 2 t ) = - tan t Empezaremos por el lado izquierdo, el más complicado de la ecuación, y reescribiremos la expresión hasta que coincida con el lado derecho. cos ( 4 t ) - cos ( 2 t ) sen ( 4 t ) + sen ( 2 t ) = - 2 sen ( 4 t + 2 t 2 ) sen ( 4 t - 2 t 2 ) 2 sen ( 4 t + 2 t 2 ) cos ( 4 t - 2 t 2 ) = - 2 sen ( 3 t ) sen t 2 sen ( 3 t ) cos t = - 2 sen ( 3 t ) sen t 2 sen ( 3 t ) cos t = - sen t cos t = - tan t Análisis Recordemos que la verificación de las identidades trigonométricas tiene su propio conjunto de reglas. Los procedimientos para resolver una ecuación no son los mismos que los procedimientos para verificar una identidad. Cuando comprobamos una identidad, elegimos un lado para trabajar y hacemos sustituciones hasta que ese lado se transforme en el otro. Verificar la identidad mediante fórmulas de ángulo doble e identidades recíprocas Verifique la identidad csc 2 θ - 2 = cos ( 2 θ ) sen 2 θ . Para verificar esta ecuación, reunimos varias de las identidades. Utilizaremos la fórmula del doble ángulo y las identidades recíprocas. Trabajaremos con el lado derecho de la ecuación y lo reescribiremos hasta que coincida con el lado izquierdo. cos ( 2 θ ) sen 2 θ = 1 - 2 sen 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ - 2 sen 2 θ sen 2 θ = csc 2 θ - 2 Ejercicio Verifique la identidad tan θ cot θ - cos 2 θ = sen 2 θ . tan θ cot θ - cos 2 θ = ( sen θ cos θ ) ( cos θ sen θ ) - cos 2 θ = 1 - cos 2 θ = sen 2 θ Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de producto a suma y suma a producto. Identidades de suma a producto Identidades de suma a producto y producto a suma Ecuaciones clave Fórmulas de producto a suma cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Fórmulas de suma a producto sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Conceptos clave A partir de las identidades de suma y diferencia, podemos derivar las fórmulas de producto a suma y de suma a producto para el seno y el coseno. Podemos utilizar las fórmulas de producto a suma para reescribir productos de senos, cosenos y de seno y coseno como sumas o diferencias de senos y cosenos. Vea el , el y el . También podemos derivar las identidades de suma a producto a partir de las identidades de producto a suma mediante la sustitución. Podemos utilizar las fórmulas de suma a producto para reescribir la suma o diferencia de senos, cosenos o productos seno y coseno como productos de senos y cosenos. Vea el . Las expresiones trigonométricas suelen ser más sencillas de evaluar con las fórmulas. Vea el . Las identidades se pueden verificar con otras fórmulas o al convertir las expresiones en seno y coseno. Para verificar una identidad, elegimos el lado más complicado del signo de igualdad y lo reescribimos hasta transformarlo en el otro lado. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Empezando por la fórmula de producto a suma sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] , explique cómo determinar la fórmula para cos α sen β . Sustituya α en coseno y β en seno y evalúe. Explique dos métodos distintos de cálculo cos ( 195° ) cos ( 105° ) , uno de los cuales utiliza el producto a suma. ¿Qué método es más fácil? Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de suma a producto y dé un ejemplo. Las respuestas variarán. Hay algunas ecuaciones que implican la suma de dos expresiones trigonométricas y que, al convertirlas en producto, son más fáciles de resolver. Por ejemplo: sen ( 3 x ) + sen x cos x = 1. Al convertir el numerador en un producto, la ecuación se convierte en: 2 sen ( 2 x ) cos x cos x = 1 Explique una situación en la que convertiríamos una ecuación de producto a suma, y dé un ejemplo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba el producto como suma o diferencia. 16 sen ( 16 x ) sen ( 11 x ) 8 ( cos ( 5 x ) - cos ( 27 x ) ) 20 cos ( 36 t ) cos ( 6 t ) 2 sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) sen ( 2 x ) + sen ( 8 x ) 10 cos ( 5 x ) sen ( 10 x ) sen ( - x ) sen ( 5 x ) 1 2 ( cos ( 6 x ) - cos ( 4 x ) ) sen ( 3 x ) cos ( 5 x ) En los siguientes ejercicios, reescriba la suma o la diferencia como un producto. cos ( 6 t ) + cos ( 4 t ) 2 cos ( 5 t ) cos t sen ( 3 x ) + sen ( 7 x ) cos ( 7 x ) + cos ( − 7 x ) 2 cos ( 7 x ) sen ( 3 x ) - sen ( - 3 x ) cos ( 3 x ) + cos ( 9 x ) 2 cos ( 6 x ) cos ( 3 x ) sen h − sen ( 3 h ) En los siguientes ejercicios, evalúe el producto de lo siguiente mediante la suma o diferencia de dos funciones. cos ( 45° ) cos ( 15° ) 1 4 ( 1 + 3 ) cos ( 45° ) sen ( 15° ) sen ( −345° ) sen ( −15° ) 1 4 ( 3 - 2 ) sen ( 195° ) cos ( 15° ) sen ( −45° ) sen ( −15° ) 1 4 ( 3 - 1 ) En los siguientes ejercicios, evalúe el producto mediante la suma o diferencia de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno. cos ( 23° ) sen ( 17° ) 2 sen ( 100° ) sen ( 20° ) cos ( 80° ) - cos ( 120° ) 2 sen ( −100° ) sen ( −20° ) sen ( 213° ) cos ( 8° ) 1 2 ( sen ( 221° ) + sen ( 205° ) ) 2 cos ( 56° ) cos ( 47° ) En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones. Deje en términos de seno y coseno. sen ( 76° ) + sen ( 14° ) 2 cos ( 31° ) cos ( 58° ) - cos ( 12° ) sen ( 101° ) - sen ( 32° ) 2 cos ( 66,5 ° ) sen ( 34,5 ° ) cos ( 100° ) + cos ( 200° ) sen ( −1° ) + sen ( −2° ) 2 sen ( −1,5° ) cos ( 0,5° ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. cos ( a + b ) cos ( a - b ) = 1 - tan a tan b 1 + tan a tan b 4 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) = 2 sen ( 7 x ) - 2 sen x 2 sen ( 7 x ) - 2 sen x = 2 sen ( 4 x + 3 x ) - 2 sen ( 4 x - 3 x ) = 2 ( sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) - 2 ( sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) - sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) = 2 sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + 2 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) - 2 sen ( 4 x ) cos ( 3 x ) + 2 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) ) = 4 sen ( 3 x ) cos ( 4 x ) 6 cos ( 8 x ) sen ( 2 x ) sen ( − 6 x ) = −3 sen ( 10 x ) csc ( 6 x ) + 3 sen x + sen ( 3 x ) = 4 sen x cos 2 x sen x + sen ( 3 x ) = 2 sen ( 4 x 2 ) cos ( – 2 x 2 ) = 2 sen ( 2 x ) cos x = 2 ( 2 sen x cos x ) cos x = 4 sen x cos 2 x 2 ( cos 3 x - cos x sen 2 x ) = cos ( 3 x ) + cos x 2 tan x cos ( 3 x ) = sec x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) 2 tan x cos ( 3 x ) = 2 sen x cos ( 3 x ) cos x = 2 ( 0,5 ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) ) cos x = 1 cos x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) = sec x ( sen ( 4 x ) - sen ( 2 x ) ) cos ( a + b ) + cos ( a - b ) = 2 cos a cos b Numéricos En los siguientes ejercicios, reescriba la suma como producto de dos funciones o el producto como suma de dos funciones. Responda en términos de seno y coseno. A continuación, evalúe la respuesta final numéricamente, redondeada a cuatro decimales. cos ( 58 ∘ ) + cos ( 12 ∘ ) 2 cos ( 35 ∘ ) cos ( 23 ∘ ) , 1 0,5081 sen ( 2 ∘ ) - sen ( 3 ∘ ) cos ( 44 ∘ ) - cos ( 22 ∘ ) - 2 sen ( 33 ∘ ) sen ( 11 ∘ ) , − 0,2078 cos ( 176 ∘ ) sen ( 9 ∘ ) sen ( − 14 ∘ ) sen ( 85 ∘ ) 1 2 ( cos ( 99 ∘ ) - cos ( 71 ∘ ) ) , − 0,2410 En tecnología En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente si cada una de las expresiones dadas es una identidad verdadera. Si no es una identidad, sustituya el lado derecho por una expresión equivalente al lado izquierdo. Verifique los resultados al graficar ambas expresiones en la calculadora. 2 sen ( 2 x ) sen ( 3 x ) = cos x - cos ( 5 x ) cos ( 10 θ ) + cos ( 6 θ ) cos ( 6 θ ) - cos ( 10 θ ) = cot ( 2 θ ) cot ( 8 θ ) Es una identidad. sen ( 3 x ) - sen ( 5 x ) cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) = tan x 2 cos ( 2 x ) cos x + sen ( 2 x ) sen x = 2 sen x No es una identidad, sino 2 cos 3 x . sen ( 2 x ) + sen ( 4 x ) sen ( 2 x ) - sen ( 4 x ) = - tan ( 3 x ) cot x En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión a un término, luego grafique la función original y su versión simplificada para verificar que sean idénticas. sen ( 9 t ) - sen ( 3 t ) cos ( 9 t ) + cos ( 3 t ) tan ( 3 t ) 2 sen ( 8 x ) cos ( 6 x ) - sen ( 2 x ) sen ( 3 x ) - sen x sen x 2 cos ( 2 x ) cos ( 5 x ) + cos ( 3 x ) sen ( 5 x ) + sen ( 3 x ) sen x cos ( 15 x ) - cos x sen ( 15 x ) - sen ( 14 x ) Extensiones En los siguientes ejercicios, compruebe las siguientes fórmulas de suma a producto. sen x - sen y = 2 sen ( x - y 2 ) cos ( x + y 2 ) cos x + cos y = 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x - y 2 ) Comience con cos x + cos y . Haga una sustitución; supongamos que x = α + β y supongamos que y = α - β , por lo que cos x + cos y se convierte en cos ( α + β ) + cos ( α - β ) = cos α cos β − sen α sen β + cos α cos β + sen α sen β = 2 cos α cos β Dado que x = α + β y y = α - β , podemos resolver para α y β en términos de x y de y , sustituir por 2 cos α cos β y obtener 2 cos ( x + y 2 ) cos ( x - y 2 ) . En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. sen ( 6 x ) + sen ( 4 x ) sen ( 6 x ) - sen ( 4 x ) = tan ( 5 x ) cot x cos ( 3 x ) + cos x cos ( 3 x ) - cos x = - cot ( 2 x ) cot x cos ( 3 x ) + cos x cos ( 3 x ) - cos x = 2 cos ( 2 x ) cos x - 2 sen ( 2 x ) sen x = - cot ( 2 x ) cot x cos ( 6 y ) + cos ( 8 y ) sen ( 6 y ) - sen ( 4 y ) = cot y cos ( 7 y ) sec ( 5 y ) cos ( 2 y ) - cos ( 4 y ) sen ( 2 y ) + sen ( 4 y ) = tan y cos ( 2 y ) - cos ( 4 y ) sen ( 2 y ) + sen ( 4 y ) = - 2 sen ( 3 y ) sen ( − y ) 2 sen ( 3 y ) cos y = 2 sen ( 3 y ) sen ( y ) 2 sen ( 3 y ) cos y = tan y sen ( 10 x ) - sen ( 2 x ) cos ( 10 x ) + cos ( 2 x ) = tan ( 4 x ) cos x - cos ( 3 x ) = 4 sen 2 x cos x cos x - cos ( 3 x ) = - 2 sen ( 2 x ) sen ( - x ) = 2 ( 2 sen x cos x ) sen x = 4 sen 2 x cos x ( cos ( 2 x ) - cos ( 4 x ) ) 2 + ( sen ( 4 x ) + sen ( 2 x ) ) 2 = 4 sen 2 ( 3 x ) tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t tan ( π 4 - t ) = tan ( π 4 ) - tan t 1 + tan ( π 4 ) tan ( t ) = 1 - tan t 1 + tan t fórmula de producto a suma identidad trigonométrica que permite escribir el producto de funciones trigonométricas como la suma o diferencia de funciones trigonométricas fórmula de suma a producto identidad trigonométrica que permite, mediante sustitución, escribir la suma de funciones trigonométricas como el producto de funciones trigonométricas", "section": "Fórmulas de suma a producto y de producto a suma", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Resolver ecuaciones trigonométricas Pirámides egipcias cerca de una ciudad moderna (créditos: Oisin Mulvihill) Tales de Mileto (circa 625-547 a.C.) es conocido por ser el fundador de la geometría. La leyenda cuenta que calculó la altura de la Gran Pirámide de Guiza en Egipto con base en la teoría de los triángulos semejantes , que desarrolló al medir la sombra de su bastón. Basada en las proporciones, esta teoría tiene aplicaciones en varios ámbitos, como la geometría fractal, la ingeniería y la arquitectura. A menudo, el ángulo de elevación y el ángulo de depresión se encuentran mediante el empleo de triángulos semejantes. En secciones anteriores de este capítulo, hemos visto las identidades trigonométricas. Las identidades son verdaderas para todos los valores en el dominio de la variable. En esta sección, comenzamos nuestro estudio de las ecuaciones trigonométricas para explorar escenarios del mundo real como el de calcular las dimensiones de las pirámides. Resolver ecuaciones trigonométricas lineales en seno y coseno Las ecuaciones trigonométricas, como su nombre lo indica, implican funciones trigonométricas. Semejante en muchos aspectos a la resolución de ecuaciones polinómicas o racionales, solo los valores específicos de la variable serán soluciones, si es que las hay. A menudo resolveremos una ecuación trigonométrica en un intervalo determinado. Sin embargo, con la misma frecuencia, se nos pedirá que hallemos todas las soluciones posibles, y como las funciones trigonométricas son periódicas, las soluciones se repiten dentro de cada período. En otras palabras, las ecuaciones trigonométricas pueden tener infinidad de soluciones. Además, al igual que las ecuaciones racionales, hay que tener en cuenta el dominio de la función antes de asumir que cualquier solución sea válida. El periodo de la función seno y de la función coseno es 2 π . En otras palabras, cada 2 π unidades, los valores de y se repiten. Si necesitamos hallar todas las soluciones posibles, entonces debemos sumar 2 π k , donde k es un número entero, a la solución inicial. Recordemos la regla que da el formato para enunciar todas las posibles soluciones de una función cuyo periodo es 2 π : sen θ = sen ( θ ± 2 k π ) Existen reglas similares para indicar todas las posibles soluciones de las demás funciones trigonométricas. La resolución de ecuaciones trigonométricas exige las mismas técnicas que la resolución de ecuaciones algebraicas. Leemos la ecuación de izquierda a derecha, en horizontal, como una frase. Buscamos patrones conocidos, factorizamos, hallamos denominadores comunes y sustituimos ciertas expresiones con una variable para que la resolución sea un proceso más sencillo. Sin embargo, con las ecuaciones trigonométricas, también tenemos la ventaja de utilizar las identidades que hemos desarrollado en las secciones anteriores. Resolver una ecuación trigonométrica lineal con la función coseno Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación cos θ = 1 2 . A partir del círculo unitario , sabemos que cos θ = 1 2 θ = π 3 , 5 π 3 Estas son las soluciones en el intervalo [ 0 , 2 π ] . Todas las soluciones posibles vienen dadas por π 3 ± 2 k π y 5 π 3 ± 2 k π donde k es un número entero. Resolver una ecuación lineal con la función seno Halle todas las soluciones posibles exactas de la ecuación sen t = 1 2 . Resolver para todos los valores posibles de t significa que las soluciones incluyen ángulos más allá del periodo de 2 π . A partir de la , podemos ver que las soluciones son π 6 y 5 π 6 . No obstante, el problema pide todos los valores posibles que resuelven la ecuación. Por lo tanto, la respuesta es π 6 ± 2 π k y 5 π 6 ± 2 π k donde k es un número entero. Cómo Dada una ecuación trigonométrica, resolverla con el álgebra . Busque un patrón que sugiera una propiedad algebraica, como la diferencia de cuadrados o una oportunidad de factorización. Sustituya la expresión trigonométrica con una sola variable, como x o u . Resuelva la ecuación del mismo modo que se resolvería una ecuación algebraica. Sustituya de nuevo la expresión trigonométrica por la variable en las expresiones resultantes. Resuelva el ángulo. Resolver la ecuación trigonométrica en forma lineal Resuelva la ecuación exactamente: 2 cos θ - 3 = - 5 , 0 ≤ θ < 2 π . Utilice técnicas algebraicas para resolver la ecuación. 2 cos θ - 3 = - 5 2 cos θ = - 2 cos θ = - 1 θ = π Ejercicio Resuelva exactamente la siguiente ecuación lineal en el intervalo [ 0 , 2 π ) : 2 sen x + 1 = 0 . x = 7 π 6 , 11 π 6 Resolver ecuaciones con una sola función trigonométrica Cuando se nos dan ecuaciones que implican solo una de las seis funciones trigonométricas, sus soluciones implican el uso de técnicas algebraicas y del círculo unitario (vea la ). Tenemos que hacer varias consideraciones cuando la ecuación implica funciones trigonométricas distintas del seno y del coseno. Los problemas en los que intervienen los recíprocos de las funciones trigonométricas primarias deben considerarse desde una perspectiva algebraica. En otras palabras, escribiremos la función recíproca, y resolveremos los ángulos por medio de la función. Además, una ecuación en la que interviene la función tangente es ligeramente diferente de la que contiene una función seno o coseno. En primer lugar, como sabemos, el periodo de la tangente es π , no 2 π . Además, el dominio de la tangente son todos los números reales, a excepción de los múltiplos enteros impares de π 2 , a menos que, por supuesto, un problema imponga sus propias restricciones al dominio. Resolver un problema con una sola función trigonométrica Resuelva el problema con exactitud: 2 sen 2 θ - 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Ya que este problema no se factoriza fácilmente, lo resolveremos con la propiedad de la raíz cuadrada. En primer lugar, utilizamos el álgebra para aislar sen θ . Entonces determinaremos los ángulos. 2 sen 2 θ - 1 = 0 2 sen 2 θ = 1 sen 2 θ = 1 2 sen 2 θ = ± 1 2 sen θ = ± 1 2 = ± 2 2 θ = π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 Resolver una ecuación trigonométrica con cosecante Resuelva exactamente la siguiente ecuación: csc θ = - 2 , 0 ≤ θ < 4 π . Queremos que todos los valores de θ para los cuales csc θ = - 2 en el intervalo 0 ≤ θ < 4 π . csc θ = - 2 1 sen θ = - 2 sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 , 19 π 6 , 23 π 6 Análisis Dado que sen θ = - 1 2 , observe que las cuatro soluciones están en el tercer y cuarto cuadrante. Resolver una ecuación con tangente Resuelva la ecuación exactamente: tan ( θ − π 2 ) = 1 , 0 ≤ θ < 2 π . Recordemos que la función tangente tiene un periodo de π . En el intervalo [ 0 , π ) , y en el ángulo de π 4 , la tangente tiene un valor de 1. Sin embargo, el ángulo que queremos es ( θ − π 2 ) . Por lo tanto, si tan ( π 4 ) = 1 , entonces θ − π 2 = π 4 θ = 3 π 4 ± k π En el intervalo [ 0 , 2 π ) , tenemos dos soluciones: 3 π 4 y 3 π 4 + π = 7 π 4 Ejercicio Halle todas las soluciones para tan x = 3 . π 3 ± π k Identificar todas las soluciones de la ecuación que implica la tangente Identifique todas las soluciones exactas de la ecuación 2 ( tan x + 3 ) = 5 + tan x , 0 ≤ x < 2 π . Podemos resolver esta ecuación solamente con el álgebra. Aísle la expresión tan x a la izquierda del signo de igualdad. 2 ( tan x ) + 2 ( 3 ) = 5 + tan x 2 tan x + 6 = 5 + tan x 2 tan x - tan x = 5 − 6 tan x = - 1 Hay dos ángulos en el círculo unitario que tienen un valor tangente de −1 : θ = 3 π 4 y θ = 7 π 4 . Resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora No todas las funciones pueden resolverse exactamente solo con el círculo unitario. Cuando tengamos que resolver una ecuación que implique un ángulo, que no sea ninguno de los ángulos especiales, tendremos que recurrir a la calculadora. Asegúrese de que esté configurada en el modo adecuado, ya sea grados o radianes, dependiendo de los criterios del problema dado. Usar la calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica el seno Utilice una calculadora para resolver la ecuación sen θ = 0,8 , donde θ está en radianes. Asegúrese de que el modo esté ajustado a radianes. Para hallar θ , utilice la función del seno inverso. En la mayoría de las calculadoras, tendrá que pulsar el botón 2ND y luego el botón SIN para que aparezca la función sen − 1 . Lo que se muestra en la pantalla es sen − 1 ( . La calculadora está lista para la entrada dentro del paréntesis. Para este problema, introducimos sen − 1 ( 0,8 ) , y pulsamos ENTER. Por lo tanto, a cuatro decimales, sen − 1 ( 0,8 ) ≈ 0,9273 La solución es 0,9273 ± 2 π k La medida del ángulo en grados es: θ ≈ 53,1 ∘ θ ≈ 180 ∘ − 53,1 ∘ ≈ 126,9 ∘ Análisis Tenga en cuenta que la calculadora solo arrojará un ángulo en los cuadrantes I o IV para la función seno, ya que ese es el rango del seno inverso. El otro ángulo se obtiene al utilizar π - θ . Usar una calculadora para resolver una ecuación trigonométrica que implica la secante Utilice una calculadora para resolver la ecuación sec θ = -4 , dando su respuesta en radianes. Podemos empezar con algo de álgebra. sec θ = – 4 1 cos θ = – 4 cos θ = - 1 4 Compruebe que el MODO esté en radianes. Ahora, utilice la función coseno inversa. cos − 1 ( - 1 4 ) ≈ 1,8235 θ ≈ 1,8235 + 2 π k Dado que π 2 ≈ 1,57 y π ≈ 3,14 , 1,8235 está entre estos dos números, por lo que θ ≈ 1 0,8235 está en el cuadrante II. El coseno también es negativo en el cuadrante III. Tenga en cuenta que una calculadora solo devolverá un ángulo en los cuadrantes I o II para la función coseno, ya que ese es el rango del coseno inverso. Vea la . Por lo tanto, también necesitamos hallar la medida del ángulo en el cuadrante III. En el cuadrante III, el ángulo de referencia es θ ' ≈ π - 1 0,8235 ≈ 1 0,3181 . La otra solución del cuadrante III es π + 1 0,3181 ≈ 4 0,4597 . Las soluciones son 1,8235 ± 2 π k y 4,4597 ± 2 π k . Ejercicio Resuelva cos θ = − 0,2. θ ≈ 1,7722 ± 2 π k y θ ≈ 4,5110 ± 2 π k Resolver ecuaciones trigonométricas en forma cuadrática Resolver una ecuación cuadrática puede ser más complicado, pero una vez más, podemos utilizar el álgebra como lo haríamos para cualquier ecuación cuadrática. Mire el patrón de la ecuación. ¿Hay más de una función trigonométrica en la ecuación o solo hay una? ¿Qué función trigonométrica es al cuadrado? Si solo hay una función representada y uno de los términos está elevado al cuadrado, piense en la forma estándar de una cuadrática. Sustituya la función trigonométrica por una variable como x o u . Si la sustitución hace que la ecuación parezca una ecuación cuadrática, entonces podemos utilizar los mismos métodos para resolver cuadráticas y, por consiguiente, las ecuaciones trigonométricas. Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática Resuelva la ecuación exactamente: cos 2 θ + 3 cos θ - 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Comenzamos por utilizar la sustitución y reemplazar cos θ con la x . No es necesario utilizar la sustitución, pero puede hacer que el problema sea más fácil de resolver visualmente. Supongamos que cos θ = x . Tenemos x 2 + 3 x – 1 = 0 La ecuación no se puede factorizar, por lo que utilizaremos la fórmula cuadrática x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a . x = - 3 ± ( 3 ) 2 - 4 ( 1 ) ( - 1 ) 2 = - 3 ± 13 2 Sustituya x con la cos θ , y resolvemos. Por lo tanto, cos θ = - 3 ± 13 2 θ = cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) Observe que solo se utiliza el signo +. Esto se debe a que obtenemos un error cuando resolvemos θ = cos − 1 ( - 3 − 13 2 ) en una calculadora, ya que el dominio de la función coseno inversa es [ - 1 , 1 ] . Sin embargo, existe una segunda solución: cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) ≈ 1,26 Este lado terminal del ángulo se encuentra en el cuadrante I. Debido a que el coseno también es positivo en el cuadrante IV, la segunda solución es 2 π − cos − 1 ( - 3 + 13 2 ) ≈ 5,02 Resolver una ecuación trigonométrica en forma cuadrática mediante factorización Resuelva la ecuación exactamente: 2 sen 2 θ − 5 sen θ + 3 = 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Usando la agrupación, esta cuadrática puede factorizarse. Alternativamente, hacer la sustitución real, sen θ = u , o imaginarla, ya que factorizamos: 2 sen 2 θ − 5 sen θ + 3 = 0 ( 2 sen θ - 3 ) ( sen θ - 1 ) = 0 Ahora, lleve cada factor igual a cero. 2 sen θ - 3 = 0 2 sen θ = 3 sen θ = 3 2 sen θ - 1 = 0 sen θ = 1 Luego, resuelva para θ : sen θ ≠ 3 2 , ya que el rango de la función seno es [ −1 , 1 ] . Sin embargo, el que sen θ = 1 , dando la solución π 2 . Análisis Asegúrese de comprobar todas las soluciones en el dominio dado, ya que algunos factores no tienen solución. Ejercicio Resuelva sen 2 θ = 2 cos θ + 2 , 0 ≤ θ ≤ 2 π . [Pista: Haga una sustitución para expresar la ecuación solo en términos de coseno]. cos θ = - 1 , θ = π Resolver una ecuación trigonométrica mediante el álgebra Resuelva exactamente: 2 sen 2 θ + sen θ = 0 ; 0 ≤ θ < 2 π Este problema debería parecerle familiar, ya que es similar a una cuadrática. Supongamos que sen θ = x . La ecuación se convierte en 2 x 2 + x = 0 . Comenzamos por la factorización: 2 x 2 + x = 0 x ( 2 x + 1 ) = 0 Lleve cada factor igual a cero. x = 0 ( 2 x + 1 ) = 0 x = - 1 2 A continuación, sustituya de nuevo en la ecuación la expresión original sen θ por x . Así, sen θ = 0 θ = 0 , π sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 Las soluciones dentro del dominio 0 ≤ θ < 2 π son 0 , π , 7 π 6 , 11 π 6 . Si preferimos no sustituir, podemos resolver la ecuación al seguir el mismo patrón de factorización y llevar cada factor igual a cero. 2 sen 2 θ + sen θ = 0 sen θ ( 2 sen θ + 1 ) = 0 sen θ = 0 θ = 0 , π 2 sen θ + 1 = 0 2 sen θ = - 1 sen θ = - 1 2 θ = 7 π 6 , 11 π 6 Análisis Podemos ver las soluciones en el gráfico en la . En el intervalo 0 ≤ θ < 2 π , el gráfico cruza el eje x cuatro veces, en las soluciones señaladas. Observe que las ecuaciones trigonométricas que tienen forma cuadrática pueden dar hasta cuatro soluciones en lugar de las dos esperadas que se encuentran con las ecuaciones cuadráticas. En este ejemplo, cada solución (ángulo) correspondiente a un valor de seno positivo arrojarán dos ángulos que darían lugar a ese valor. También podemos verificar las soluciones en el círculo unitario en la . Resolver una ecuación trigonométrica cuadrática en forma Resuelva la ecuación cuadrática en forma exacta: 2 sen 2 θ - 3 sen θ + 1 = 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Podemos factorizar mediante la agrupación. Los valores de solución de θ se hallan en el círculo unitario: ( 2 sen θ - 1 ) ( sen θ - 1 ) = 0 2 sen θ - 1 = 0 sen θ = 1 2 θ = π 6 , 5 π 6 sen θ = 1 θ = π 2 Ejercicio Resuelva la ecuación cuadrática 2 cos 2 θ + cos θ = 0 . π 2 , 2 π 3 , 4 π 3 , 3 π 2 Resolver ecuaciones trigonométricas mediante identidades fundamentales Aunque se puede utilizar el álgebra para resolver una serie de ecuaciones trigonométricas, también podemos utilizar las identidades fundamentales porque hacen que la resolución de ecuaciones sea más sencilla. Recuerde que las técnicas que utilizamos para resolver no son las mismas que para verificar las identidades. Aquí se aplican las reglas básicas del álgebra, a diferencia de reescribir un lado de la identidad para que coincida con el otro lado. En el siguiente ejemplo, utilizamos dos identidades para simplificar la ecuación. Utilizar las identidades para resolver una ecuación Utilice las identidades para resolver exactamente la ecuación trigonométrica sobre el intervalo 0 ≤ x < 2 π . cos x cos ( 2 x ) + sen x sen ( 2 x ) = 3 2 Observe que el lado izquierdo de la ecuación es la fórmula de la diferencia del coseno. cos x cos ( 2 x ) + sen x sen ( 2 x ) = 3 2 cos ( x - 2 x ) = 3 2 Fórmula de la diferencia del coseno cos ( - x ) = 3 2 Utilice la identidad de ángulo negativo . cos x = 3 2 A partir del círculo unitario en la , vemos que cos x = 3 2 cuando x = π 6 , 11 π 6 . Resolver la ecuación mediante una fórmula de doble ángulo Resuelva la ecuación con exactitud mediante una fórmula de doble ángulo: cos ( 2 θ ) = cos θ . Tenemos tres opciones de expresiones para sustituir el doble ángulo del coseno. Ya que es más sencillo resolver una función trigonométrica a la vez, elegiremos la identidad de doble ángulo que involucra solo el coseno: cos ( 2 θ ) = cos θ 2 cos 2 θ - 1 = cos θ 2 cos 2 θ - cos θ - 1 = 0 ( 2 cos θ + 1 ) ( cos θ - 1 ) = 0 2 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 2 cos θ - 1 = 0 cos θ = 1 Por lo tanto, si cos θ = - 1 2 , entonces θ = 2 π 3 ± 2 π k y θ = 4 π 3 ± 2 π k ; si cos θ = 1 , entonces θ = 0 ± 2 π k . Resolver una ecuación mediante el empleo de una identidad Resuelva la ecuación exactamente con una identidad: 3 cos θ + 3 = 2 sen 2 θ , 0 ≤ θ < 2 π . Si reescribimos el lado derecho, podemos escribir la ecuación en términos de coseno: 3 cos θ + 3 = 2 sen 2 θ 3 cos θ + 3 = 2 ( 1 - cos 2 θ ) 3 cos θ + 3 = 2 - 2 cos 2 θ 2 cos 2 θ + 3 cos θ + 1 = 0 ( 2 cos θ + 1 ) ( cos θ + 1 ) = 0 2 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 2 θ = 2 π 3 , 4 π 3 cos θ + 1 = 0 cos θ = - 1 θ = π Nuestras soluciones son 2 π 3 , 4 π 3 , π . Resolver ecuaciones trigonométricas con ángulos múltiples A veces no es posible resolver una ecuación trigonométrica con identidades que tienen un ángulo múltiple, como por ejemplo sen ( 2 x ) o cos ( 3 x ) . Cuando se enfrente a estas ecuaciones, recuerde que y = sen ( 2 x ) es una compresión horizontal por un factor de 2 de la función y = sen x . En un intervalo de 2 π , podemos graficar dos periodos de y = sen ( 2 x ) , frente a un ciclo de y = sen x . Esta compresión del gráfico nos lleva a pensar que puede haber el doble de intersecciones en x o soluciones a sen ( 2 x ) = 0 en comparación con sen x = 0 . Esta información nos ayudará a resolver la ecuación. Resolver una ecuación trigonométrica de ángulos múltiples Resuelva exactamente cos ( 2 x ) = 1 2 en [ 0 , 2 π ) . Podemos ver que esta es la ecuación estándar con un múltiplo de un ángulo. Si los valores de cos ( α ) = 1 2 , sabemos que α está en los cuadrantes I y IV. Mientras que θ = cos − 1 1 2 solo arrojará soluciones en los cuadrantes I y II, reconocemos que las soluciones de la ecuación cos θ = 1 2 estará en los cuadrantes I y IV. Por lo tanto, los ángulos posibles son θ = π 3 y θ = 5 π 3 . Así que, 2 x = π 3 o 2 x = 5 π 3 , lo que significa que x = π 6 o x = 5 π 6 . ¿Tiene esto sentido? Sí, porque cos ( 2 ( π 6 ) ) = cos ( π 3 ) = 1 2 . ¿Hay otras respuestas posibles? Volvamos a nuestro primer paso. En el cuadrante I, 2 x = π 3 , por lo que x = π 6 como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo: 2 x = π 3 + 2 π = π 3 + 6 π 3 = 7 π 3 por lo que x = 7 π 6 . Una rotación más produce 2 x = π 3 + 4 π = π 3 + 12 π 3 = 13 π 3 x = 13 π 6 > 2 π , por lo que este valor para x es mayor que 2 π , por lo que no es una solución en [ 0 , 2 π ) . En el cuadrante IV, 2 x = 5 π 3 , por lo que x = 5 π 6 como se indica. Volvamos a girar alrededor del círculo: 2 x = 5 π 3 + 2 π = 5 π 3 + 6 π 3 = 11 π 3 por lo que x = 11 π 6 . Una rotación más produce 2 x = 5 π 3 + 4 π = 5 π 3 + 12 π 3 = 17 π 3 x = 17 π 6 > 2 π , por lo que este valor para x es mayor que 2 π , por lo que no es una solución en [ 0 , 2 π ) . Nuestras soluciones son π 6 , 5 π 6 , 7 π 6 , y 11 π 6 . Observe que, siempre que resolvemos un problema en forma de sen ( n x ) = c , debemos rodear el círculo unitario n veces. Resolver problemas de triángulos rectángulos Ahora podemos utilizar todos los métodos que hemos aprendido para resolver problemas que impliquen la aplicación de las propiedades de los triángulos rectángulos y del teorema de Pitágoras . Comenzamos con el conocido teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2 , y modelamos una ecuación que se ajuste a una situación. Usar el teorema de Pitágoras para modelar una ecuación Utilice el teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos rectángulos para modelar una ecuación que se ajuste al problema. Uno de los cables que ancla el centro de la rueda de la fortuna del London Eye al suelo necesita reemplazo. El centro de la rueda está a 69,5 metros del suelo, y el segundo anclaje en el suelo está a 23 metros de su base ¿Qué longitud tiene el cable, aproximadamente, y cuál es el ángulo de elevación (desde el suelo hasta el centro de la rueda de la fortuna)? Vea la . Con la información dada, podemos dibujar un triángulo rectángulo. Podemos determinar la longitud del cable con el teorema de Pitágoras. a 2 + b 2 = c 2 ( 23 ) 2 + ( 69,5 ) 2 ≈ 5359 5359 ≈ 73,2 m El ángulo de elevación es θ , formado por el segundo anclaje en el suelo y el cable que llega al centro de la rueda. Podemos utilizar la función tangente para hallar su medida. Redondee a dos decimales. tan θ = 69,5 23 tan - 1 ( 69,5 23 ) ≈ 1,2522 ≈ 71,69 ∘ El ángulo de elevación es aproximadamente 71,7 ∘ , y la longitud del cable es de 73,2 metros. Uso del teorema de Pitágoras para modelar un problema abstracto Las normas de seguridad de la Administración de Seguridad y Salud Ocupacional (Occupational Safety and Health Administration, OSHA) exigen que la base de una escalera se sitúe a 1 pie de la pared por cada 4 pies de longitud de la escalera. Halle el ángulo que forma una escalera de cualquier longitud con el suelo y la altura a la que toca la pared. Para cualquier longitud de la escalera, la base debe estar a una distancia de la pared igual a la cuarta parte de la longitud de la escalera. Por equivalencia, si la base de la escalera está a \" a\" pies de la pared, la longitud de la escalera será de 4 a pies. Vea la . El lado adyacente a θ es a y la hipotenusa es 4 a . Así, cos θ = a 4 a = 1 4 cos − 1 ( 1 4 ) ≈ 75,5 ∘ La elevación de la escalera forma un ángulo de 75,5 ∘ con el suelo. La altura a la que la escalera toca la pared se puede calcular con el teorema de Pitágoras: a 2 + b 2 = ( 4 a ) 2 b 2 = ( 4 a ) 2 - a 2 b 2 = 16 a 2 - a 2 b 2 = 15 a 2 b = 15 a Así, la escalera toca la pared a 15 a pies del suelo. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de ecuaciones trigonométricas. Resolver ecuaciones trigonométricas I Resolver ecuaciones trigonométricas II Resolver ecuaciones trigonométricas III Resolver ecuaciones trigonométricas IV Resolver ecuaciones trigonométricas V Resolver ecuaciones trigonométricas VI Conceptos clave A la hora de resolver ecuaciones trigonométricas lineales, podemos utilizar técnicas algebraicas al igual que lo hacemos para resolver ecuaciones algebraicas. Busque patrones, como la diferencia de cuadrados, la forma cuadrática o una expresión que se preste a la sustitución. Vea el , el y el . Las ecuaciones que implican una sola función trigonométrica pueden resolverse o verificarse con el círculo unitario. Vea el , el , el y el . También podemos resolver ecuaciones trigonométricas con la calculadora gráfica. Vea el y el . Muchas ecuaciones tienen forma cuadrática. Podemos utilizar la sustitución para que la ecuación parezca más sencilla, y luego utilizar las mismas técnicas que utilizamos para resolver una cuadrática algebraica: la factorización, la fórmula cuadrática, etc. Vea el , el , el y el . Igualmente, podemos utilizar las identidades para resolver la ecuación trigonométrica. Vea el , el y el . Podemos utilizar la sustitución para resolver una ecuación trigonométrica de ángulo múltiple, que es la compresión de una función trigonométrica estándar. Tendremos que tener en cuenta la compresión y comprobar que hemos encontrado todas las soluciones en el intervalo dado. Vea el . Las situaciones en el mundo real se pueden modelar y resolver con el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Habrá siempre soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas? Si no es así, describa una ecuación que no tenga solución. Explique por qué sí o por qué no. No siempre habrá soluciones a las ecuaciones de las funciones trigonométricas. Para un ejemplo básico, cos ( x ) = −5. Cuando se resuelve una ecuación trigonométrica en la que interviene más de una función trigonométrica, ¿queremos siempre intentar reescribir la ecuación para que se exprese en términos de una sola función trigonométrica? ¿Por qué sí o por qué no? Cuando se resuelven ecuaciones trigonométricas lineales en términos solo de seno o coseno, ¿cómo sabemos si habrá soluciones? Si la función seno o coseno tiene un coeficiente de uno, aísle el término a un lado del signo de igualdad. Si el número al que se iguala tiene un valor absoluto menor o igual que uno, la ecuación tiene solución, en caso contrario, no. Si el seno o el coseno no tienen un coeficiente igual a uno, aísle el término, pero divida ambos lados de la ecuación entre el coeficiente principal. Entonces, si el número al que se iguala tiene un valor absoluto mayor que uno, la ecuación no tiene solución. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactamente en el intervalo 0 ≤ θ < 2 π . 2 sen θ = - 2 2 sen θ = 3 π 3 , 2 π 3 2 cos θ = 1 2 cos θ = - 2 3 π 4 , 5 π 4 tan θ = –1 tan x = 1 π 4 , 5 π 4 cot x + 1 = 0 4 sen 2 x - 2 = 0 π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 csc 2 x - 4 = 0 En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en [ 0 , 2 π ) . 2 cos θ = 2 π 4 , 7 π 4 2 cos θ = –1 2 sen θ = –1 7 π 6 , 11 π 6 2 sen θ = - 3 2 sen ( 3 θ ) = 1 π 18 , 5 π 18 , 13 π 18 , 17 π 18 , 25 π 18 , 29 π 18 2 sen ( 2 θ ) = 3 2 cos ( 3 θ ) = - 2 3 π 12 , 5 π 12 , 11 π 12 , 13 π 12 , 19 π 12 , 21 π 12 cos ( 2 θ ) = - 3 2 2 sen ( π θ ) = 1 1 6 , 5 6 , 13 6 , 17 6 , 25 6 , 29 6 , 37 6 2 cos ( π 5 θ ) = 3 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en [ 0 , 2 π ) . sec ( x ) sen ( x ) - 2 sen ( x ) = 0 0 , π 3 , π , 5 π 3 tan ( x ) - 2 sen ( x ) tan ( x ) = 0 2 cos 2 t + cos ( t ) = 1 π 3 , π , 5 π 3 2 tan 2 ( t ) = 3 sec ( t ) 2 sen ( x ) cos ( x ) - sen ( x ) + 2 cos ( x ) - 1 = 0 π 3 , 3 π 2 , 5 π 3 cos 2 θ = 1 2 sec 2 x = 1 0 , π tan 2 ( x ) = - 1 + 2 tan ( - x ) 8 sen 2 ( x ) + 6 sen ( x ) + 1 = 0 π − sen − 1 ( - 1 4 ) , 7 π 6 , 11 π 6 , 2 π + sen − 1 ( - 1 4 ) tan 5 ( x ) = tan ( x ) En los siguientes ejercicios, resuelva con los métodos mostrados en esta sección exactamente en el intervalo [ 0 , 2 π ) . sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) - cos ( 3 x ) sen ( 6 x ) = -0,9 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , π 3 - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 2 π 3 + 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , π - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 4 π 3 + 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) , 5 π 3 - 1 3 ( sen − 1 ( 9 10 ) ) sen ( 6 x ) cos ( 11 x ) - cos ( 6 x ) sen ( 11 x ) = -0,1 cos ( 2 x ) cos x + sen ( 2 x ) sen x = 1 0 6 sen ( 2 t ) + 9 sen t = 0 9 cos ( 2 θ ) = 9 cos 2 θ − 4 θ = sen 1 2 3 , π sen 1 2 3 , π + sen 1 2 3 , 2 π sen 1 2 3 sen ( 2 t ) = cos t cos ( 2 t ) = sen t 3 π 2 , π 6 , 5 π 6 cos ( 6 x ) - cos ( 3 x ) = 0 En los siguientes ejercicios, resuelva exactamente en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Utilice la fórmula cuadrática si las ecuaciones no son factorizables. tan 2 x - 3 tan x = 0 0 , π 3 , π , 4 π 3 sen 2 x + sen x - 2 = 0 sen 2 x - 2 sen x - 4 = 0 No hay soluciones. 5 cos 2 x + 3 cos x – 1 = 0 3 cos 2 x - 2 cos x - 2 = 0 cos − 1 ( 1 3 ( 1 - 7 ) ) , 2 π − cos − 1 ( 1 3 ( 1 - 7 ) ) 5 sen 2 x + 2 sen x – 1 = 0 tan 2 x + 5 tan x – 1 = 0 tan - 1 ( 1 2 ( 29 − 5 ) ) , π + tan - 1 ( 1 2 ( − 29 − 5 ) ) , π + tan - 1 ( 1 2 ( 29 − 5 ) ) , 2 π + tan - 1 ( 1 2 ( − 29 − 5 ) ) cot 2 x = - cot x − tan 2 x - tan x - 2 = 0 No hay soluciones. En los siguientes ejercicios, halle soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Busque las oportunidades para utilizar las identidades trigonométricas. sen 2 x - cos 2 x - sen x = 0 sen 2 x + cos 2 x = 0 No hay soluciones. sen ( 2 x ) - sen x = 0 cos ( 2 x ) - cos x = 0 0 , 2 π 3 , 4 π 3 2 tan x 2 − sec 2 x - sen 2 x = cos 2 x 1 - cos ( 2 x ) = 1 + cos ( 2 x ) π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 sec 2 x = 7 10 sen x cos x = 6 cos x sen − 1 ( 3 5 ) , π 2 , π − sen − 1 ( 3 5 ) , 3 π 2 −3 sen t = 15 cos t sen t 4 cos 2 x - 4 = 15 cos x cos − 1 ( - 1 4 ) , 2 π − cos − 1 ( - 1 4 ) 8 sen 2 x + 6 sen x + 1 = 0 8 cos 2 θ = 3 - 2 cos θ π 3 , cos − 1 ( - 3 4 ) , 2 π − cos − 1 ( - 3 4 ) , 5 π 3 6 cos 2 x + 7 sen x - 8 = 0 12 sen 2 t + cos t − 6 = 0 cos − 1 ( 3 4 ) , cos − 1 ( – 2 3 ) , 2 π − cos − 1 ( – 2 3 ) , 2 π − cos − 1 ( 3 4 ) tan x = 3 sen x cos 3 t = cos t 0 , π 2 , π , 3 π 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, determine algebraicamente todas las soluciones de la ecuación trigonométrica con exactitud, luego verifique los resultados al graficar la ecuación y hallar los ceros. 6 sen 2 x - 5 sen x + 1 = 0 8 cos 2 x - 2 cos x – 1 = 0 π 3 , cos −1 ( - 1 4 ) , 2 π − cos −1 ( - 1 4 ) , 5 π 3 100 tan 2 x + 20 tan x - 3 = 0 2 cos 2 x - cos x + 15 = 0 No hay soluciones. 20 sen 2 x - 27 sen x + 7 = 0 2 tan 2 x + 7 tan x + 6 = 0 π + tan –1 ( −2 ) , π + tan –1 ( - 3 2 ) , 2 π + tan –1 ( −2 ) , 2 π + tan –1 ( - 3 2 ) 130 tan 2 x + 69 tan x − 130 = 0 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la calculadora para hallar todas las soluciones a cuatro decimales. sen x = 0,27 2 π k + 0,2734 , 2 π k + 2,8682 sen x = -0,55 tan x = -0,34 π k − 0,3277 cos x = 0,71 En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones algebraicamente y luego utilice la calculadora para estimar los valores en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Redondee a cuatro decimales. tan 2 x + 3 tan x - 3 = 0 0,6694 , 1,8287 , 3,8110 , 4,9703 6 tan 2 x + 13 tan x = −6 tan 2 x − sec x = 1 1,0472 , 3,1416 , 5,2360 sen 2 x - 2 cos 2 x = 0 2 tan 2 x + 9 tan x - 6 = 0 0,5326 , 1,7648 , 3,6742 , 4,9064 4 sen 2 x + sen ( 2 x ) sec x - 3 = 0 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas de las ecuaciones en el intervalo [ 0 , 2 π ) . csc 2 x - 3 csc x - 4 = 0 sen − 1 ( 1 4 ) , π − sen − 1 ( 1 4 ) , 3 π 2 sen 2 x - cos 2 x – 1 = 0 sen 2 x ( 1 - sen 2 x ) + cos 2 x ( 1 - sen 2 x ) = 0 π 2 , 3 π 2 3 sec 2 x + 2 + sen 2 x - tan 2 x + cos 2 x = 0 sen 2 x – 1 + 2 cos ( 2 x ) - cos 2 x = 1 No hay soluciones. tan 2 x – 1 - sec 3 x cos x = 0 sen ( 2 x ) sec 2 x = 0 0 , π 2 , π , 3 π 2 sen ( 2 x ) 2 csc 2 x = 0 2 cos 2 x - sen 2 x - cos x - 5 = 0 No hay soluciones. 1 sec 2 x + 2 + sen 2 x + 4 cos 2 x = 4 Aplicaciones en el mundo real Un avión tiene gasolina suficiente únicamente para volar hasta una ciudad situada a 200 millas al noreste de su ubicación actual. Si el piloto sabe que la ciudad está a 25 millas al norte, ¿a cuántos grados al norte del este debe volar el avión? 7,2 ∘ Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 4 pies, y la rampa tiene 15 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo? Si se coloca una rampa de carga junto a un camión, a una altura de 2 pies, y la rampa tiene 20 pies de longitud, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo? 5,7 ∘ Una mujer observa el lanzamiento de un cohete a 11 millas de altitud. Si está de pie a 4 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo mira hacia arriba desde la horizontal? Una astronauta se encuentra en un cohete lanzado a 15 millas de altitud. Si un hombre está de pie a 2 millas de la plataforma de lanzamiento, ¿en qué ángulo ella lo mira a él desde la horizontal? (Pista: esto recibe el nombre de ángulo de depresión). 82,4 ∘ Una mujer está de pie a 8 metros de un edificio de 10 metros de altura. ¿En qué ángulo mira hacia la parte superior del edificio? Un hombre está de pie a 10 metros de un edificio de 6 metros de altura. Alguien lo mira desde la parte superior del edificio. ¿En qué ángulo lo mira esta persona? 31,0 ∘ Un edificio de 20 pies de altura proyecta una sombra de 55 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? Un edificio de 90 pies de altura proyecta una sombra de 2 pies de largo. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol? 88,7 ∘ Un reflector en el suelo a 3 metros de un hombre de 2 metros de altura proyecta una sombra de 6 metros en una pared situada a 6 metros de él. ¿En qué ángulo está la luz? Un reflector en el suelo a 3 pies de una mujer de 5 pies de alto proyecta una sombra de 15 pies de alto en una pared situada a 6 pies de ella. ¿En qué ángulo está la luz? 59,0 ∘ En los siguientes ejercicios, halle la solución del problema de forma algebraica. A continuación, utilice la calculadora para verificar el resultado. Redondee la respuesta a la décima de grado más cercana. Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 6 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared? Una persona hace una parada de manos; los pies tocan la pared y las manos están a 3 pies de la pared. Si la persona mide 5 pies, ¿qué ángulo forman sus pies con la pared? 36,9 ∘ Una escalera de 23 pies está colocada junto a una casa. Si la escalera resbala a 7 pies de la casa cuando no hay suficiente tracción, ¿qué ángulo debe formar la escalera con el suelo para no resbalar?", "section": "Resolver ecuaciones trigonométricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Modelado con funciones trigonométricas Las agujas del reloj son periódicas: repiten las posiciones cada doce horas. (Créditos: \"zoutedrop\"/Flickr) Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica. Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año. Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos. Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal. Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal . La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es 2 π . En otras palabras, para cualquier valor de x , sen ( x ± 2 π k ) = sen x y cos ( x ± 2 π k ) = cos x donde k es un número entero Forma típica de las ecuaciones sinusoidales. Las formas generales de una ecuación sinusoidal vienen dadas por y = A sen ( B t - C ) + D o y = A cos ( B t - C ) + D donde amplitud = | A | , B guarda relación con el periodo tal que el periodo = 2 π B , C es el deslizamiento de fase tal que C B denota el desplazamiento horizontal, y D representa el desplazamiento vertical del gráfico matriz. Observe que los modelos a veces se escriben como y = a sen ( ω t ± C ) + D o y = a cos ( ω t ± C ) + D , y el periodo viene dado como 2 π ω . La diferencia entre los gráficos de seno y coseno es que el gráfico de seno comienza con el valor promedio de la función, mientras que el gráfico de coseno comienza con el valor máximo o mínimo de la función. Mostrar cómo las propiedades de una función trigonométrica pueden transformar un gráfico. Indique la transformación del gráfico de y = sen x en el gráfico de y = 2 sen ( 4 x - π 2 ) + 2. Tenga en cuenta la serie de gráficos en la y la manera en que cada cambio a la ecuación transforma la imagen. (a) El gráfico básico de y = sen x (b) Cambiar la amplitud de 1 a 2 genera el gráfico de y = 2 sen x . (c) El periodo de la función de seno cambia con el valor de B , de manera que periodo = 2 π B . Aquí tenemos B = 4 , lo que se traduce en un periodo de π 2 . El gráfico realiza un ciclo completo en π 2 unidades. (d) El gráfico exhibe un desplazamiento horizontal igual a C B , o π 2 4 = π 8 . (e) Finalmente, el gráfico se desplaza verticalmente en el valor de D . En este caso, el gráfico se desplaza en 2 unidades. Hallar la amplitud y el periodo de una función Halle la amplitud y el periodo de las siguientes funciones y grafique un ciclo. Ⓐ y = 2 sen ( 1 4 x ) Ⓑ y = −3 sen ( 2 x + π 2 ) Ⓒ y = cos x + 3 Resolveremos estos problemas de acuerdo con los modelos. Ⓐ y = 2 sen ( 1 4 x ) implica el seno, por lo que utilizamos la forma y = A sen ( B t + C ) + D Sabemos que | A | es la amplitud, por lo que la amplitud es 2. El periodo es 2 π B , por lo que el periodo es 2 π B = 2 π 1 4 = 8 π Observe el gráfico en la . Ⓑ y = −3 sen ( 2 x + π 2 ) implica el seno, por lo que utilizamos la forma y = A sen ( B t - C ) + D La amplitud es | A | , por lo que la amplitud es | - 3 | = 3. Dado que A es negativo, el gráfico se refleja en el eje x . El periodo es 2 π B , por lo que el periodo es 2 π B = 2 π 2 = π El gráfico se desplaza hacia la derecha en C B = π 2 2 = π 4 unidades. Vea la . Ⓒ y = cos x + 3 implica el coseno, por lo que utilizamos la forma y = A cos ( B t ± C ) + D La amplitud es | A | , por lo que la amplitud es 1. El periodo es 2 π . Vea la . Esta es la típica función coseno, desplazada a tres unidades. Ejercicio ¿Cuáles son la amplitud y el periodo de la función y = 3 cos ( 3 π x ) ? La amplitud es 3 , y el periodo es 2 3 . Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan 1 4 del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x . Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función y = cos θ . Sabemos que el periodo es 2 π , por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera. 2 π 4 = π 2 Comenzando por θ = 0 , calculamos el primer valor de y , sumamos la longitud del intervalo π 2 a 0, y calculamos el segundo valor de y . Luego sumamos π 2 varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la , podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la . θ 0 π 2 π 3 π 2 2 π y = cos θ 1 0 −1 0 1 Graficar funciones sinusoidales con puntos clave Grafique la función y = -4 cos ( π x ) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los puntos clave. La amplitud es | − 4 | = 4. El periodo es 2 π ω = 2 π π = 2. (Recuerde que a veces nos referimos a B cuando ω ) . Puede trazarse un ciclo del gráfico a lo largo del intervalo [ 0 , 2 ] . Para hallar los puntos clave, dividimos el periodo entre 4. Haga una tabla parecida a la ; comience con x = 0 y luego sume 1 2 sucesivamente hasta x y calcule y . Observe el gráfico en la . x 0 1 2 1 3 2 2 y = -4 cos ( π x ) -4 0 4 0 -4 Ejercicio Grafique la función y = 3 sen ( 3 x ) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los cinco puntos clave. x 3 sen ( 3 x ) 0 0 π 6 3 π 3 0 π 2 −3 2 π 3 0 Modelar el comportamiento periódico Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico. Modelar una ecuación y dibujar un gráfico sinusoidal que se ajuste a los criterios El promedio de la temperatura mensual para un pueblito en Oregón se da en la . Halle la función sinusoidal de la forma y = A sen ( B t - C ) + D que se ajuste a los datos (redondee hasta la décima más próxima) y dibuje el gráfico. Mes Temperatura, i F Enero 42,5 Febrero 44,5 Marzo 48,5 Abril 52,5 Mayo 58 Junio 63 Julio 68,5 Agosto 69 Septiembre 64,5 Octubre 55,5 Noviembre 46,5 Diciembre 43,5 Recuerde que la amplitud se calcula con la fórmula A = el valor más alto − el valor más bajo 2 Así, la amplitud es | A | = 69 − 42,5 2 = 13,25 Los datos abarcan un periodo de 12 meses, por lo que 2 π B = 12 que da B = 2 π 12 = π 6 . El desplazamiento vertical se calcula con la siguiente ecuación. D = el valor más alto + el valor más bajo 2 Así, el desplazamiento vertical es D = 69 + 42,5 2 = 55,8 Hasta ahora, tenemos la ecuación y = 13,3 sen ( π 6 x − C ) + 55,8. Para calcular el desplazamiento horizontal, introducimos el valor de x y y del primer mes y resolvemos para C . 42,5 = 13,3 sen ( π 6 ( 1 ) - C ) + 55,8 − 13,3 = 13,3 sen ( π 6 − C ) - 1 = sen ( π 6 − C ) sen θ = - 1 → θ = - π 2 π 6 − C = - π 2 π 6 + π 2 = C = 2 π 3 Tenemos la ecuación y = 13,3 sen ( π 6 x - 2 π 3 ) + 55,8. Observe el gráfico en la . Describir el movimiento periódico La aguja que marca las horas del reloj que está en la pared en Union Station mide 24 pulgadas. A mediodía, el puntero de la aguja que marca las horas está a 30 pulgadas del techo. A las 3 p. m., el puntero está a 54 pulgadas del techo, y a las 6 p. m., a 78 pulgadas. A las 9 p. m., está nuevamente a 54 pulgadas del techo, y a la medianoche, la punta de la aguja que marca las horas regresa a su posición original: a 30 pulgadas del techo. Supongamos que y es igual a la distancia que va desde el puntero de la aguja que marca las horas hasta el techo x horas después del mediodía. Halle la ecuación que modele el movimiento del reloj y dibuje el gráfico. Empiece por hacer una tabla de los valores que se indican en la . x y Puntos a trazar Mediodía 30 in ( 0 , 30 ) 3 p. m. 54 in ( 3 , 54 ) 6 p. m. 78 in ( 6 , 78 ) 9 p. m. 54 in ( 9 , 54 ) Medianoche 30 in ( 12 , 30 ) Para modelar una ecuación, primero tenemos que hallar la amplitud. | A | = | 78 − 30 2 | = 24 El ciclo horario se repite cada 12 horas. Por lo tanto, B = 2 π 12 = π 6 El desplazamiento vertical es D = 78 + 30 2 = 54 No hay desplazamiento horizontal, por lo que C = 0 . Dado que la función comienza con el valor mínimo de y cuando x = 0 (en contraposición al valor máximo), utilizaremos la función coseno con el valor negativo para A . En la forma y = A cos ( B x ± C ) + D , la ecuación es y = −24 cos ( π 6 x ) + 54 Vea la . Determinar un modelo para las mareas La altura de la ola en un pueblito costero se mide a lo largo de un malecón. El nivel del agua oscila entre 7 pies en marea baja y 15 pies en marea alta. En un día en particular, hubo marea baja a las 6 a. m. y marea alta al mediodía. El ciclo se repite aproximadamente cada 12 horas. Halle una ecuación que modele el nivel del agua. Dado que el nivel del agua varía desde 7 pies hasta 15 pies, podemos calcular la amplitud como | A | = | ( 15 − 7 ) 2 | = 4 Se repite el ciclo cada 12 horas, por lo tanto, B es 2 π 12 = π 6 Hay una traslación vertical de ( 15 + 7 ) 2 = 11,5. Dado que el valor de la función está a un máximo en t = 0 , utilizaremos la función coseno, con el valor positivo para A . y = 4 cos ( π 6 ) t + 11 Vea la . Ejercicio La temperatura diaria en el mes de marzo en una determinada ciudad varía desde una baja de 24 °F hasta un alta de 40 °F . Halle una función sinusoidal para modelar la temperatura diaria y dibuje el gráfico. Calcule el tiempo aproximado cuando la temperatura alcanza el punto de congelación 32 °F . Supongamos que t = 0 corresponde al mediodía. y = 8 sen ( π 12 t ) + 32 La temperatura alcanza el punto de congelación al mediodía y a medianoche. Interpretar la ecuación del comportamiento periódico La presión arterial de una persona promedio se modela con la función f ( t ) = 20 sen ( 160 π t ) + 100 , donde f ( t ) representa la presión arterial en el tiempo t , medida en minutos. Interprete la función en términos de periodo y frecuencia. Trace el gráfico y halle la lectura de la presión arterial. El periodo viene dado por 2 π ω = 2 π 160 π = 1 80 En una función de presión arterial, la frecuencia representa el número de latidos por minuto. La frecuencia es la reciprocidad de periodo y viene dada por ω 2 π = 160 π 2 π = 80 Observe el gráfico en la . La lectura de la presión arterial en el gráfico es 120 80 ( máximo mínimo ) . Análisis La presión arterial en 120 80 se considera normal. La cifra de arriba es la lectura máxima o sístole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se contrae. La cifra de abajo es la lectura mínima o diástole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se relaja entre los latidos y se vuelve a llenar de sangre. Así, la presión arterial normal puede modelarse por una función periódica con un máximo de 120 y un mínimo de 80. Modelar las funciones del movimiento armónico El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética. Movimiento armónico simple El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando t = 0 , d = 0 . Movimiento armónico simple Observamos que las ecuaciones del movimiento armónico simple vienen dadas en términos de desplazamiento: d = a cos ( ω t ) o d = a sen ( ω t ) donde | a | es la amplitud, 2 π ω es el periodo, y ω 2 π es la frecuencia o el número de ciclos por unidad de fuerza. Calcular el desplazamiento, el periodo y la frecuencia, y graficar una función Para las funciones dadas: Calcule el desplazamiento máximo de un objeto. Calcule el periodo o el tiempo necesario para una vibración. Calcule la frecuencia. Dibuje el gráfico. Ⓐ y = 5 sen ( 3 t ) Ⓑ y = 6 cos ( π t ) Ⓒ y = 5 cos ( π 2 t ) Ⓐ y = 5 sen ( 3 t ) El desplazamiento máximo es igual a la amplitud, | a | , que es 5. El periodo es 2 π ω = 2 π 3 . La frecuencia viene dada como ω 2 π = 3 2 π . Vea la . El gráfico ilustra los cinco puntos clave Ⓑ y = 6 cos ( π t ) El desplazamiento máximo es 6. El periodo es 2 π ω = 2 π π = 2. La frecuencia es ω 2 π = π 2 π = 1 2 . Vea la . Ⓒ y = 5 cos ( π 2 ) t El desplazamiento máximo es 5. El periodo es 2 π ω = 2 π π 2 = 4. La frecuencia es 1 4 . Vea la . Movimiento armónico amortiguado En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado . La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento. En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado. Movimiento armónico amortiguado En el movimiento armónico amortiguado , el desplazamiento de un objeto oscilante desde su posición de reposo en tiempo t se da como f ( t ) = a e - c t sen ( ω t ) o f ( t ) = a e - c t cos ( ω t ) donde c es un factor de amortiguamiento, | a | es el desplazamiento inicial y 2 π ω es el periodo. Modelar el movimiento armónico amortiguado Modele las ecuaciones que se ajusten a las dos situaciones y utilice una herramienta para graficar las funciones: Dos sistemas de masa-resorte exhiben un movimiento armónico amortiguado a una frecuencia de 0,5 ciclos por segundo. Ambos tienen un desplazamiento inicial de 10 cm. El primero tiene un factor de amortiguamiento de 0,5 y el segundo tiene un factor de amortiguamiento de 0,1. En el tiempo t = 0 , el desplazamiento es el máximo de 10 cm, que aboga por la función coseno. Se aplicará la función coseno a ambos modelos. Nos dan la frecuencia f = ω 2 π de 0,5 ciclos por segundo. Por lo tanto, ω 2 π = 0,5 ω = ( 0,5 ) 2 π = π El primer sistema de resorte tiene un factor de amortiguamiento de c = 0,5. Siguiendo el modelo general para el movimiento armónico amortiguado, obtenemos f ( t ) = 10 e − 0,5 t cos ( π t ) La modela el movimiento del primer sistema de resorte. El segundo sistema de resorte consta de un factor de amortiguamiento de c = 0,1 y puede modelarse como f ( t ) = 10 e − 0,1 t cos ( π t ) La modela el movimiento del segundo sistema de resorte Análisis Observe los distintos efectos de la constante de amortiguamiento. Los valores locales máximo y mínimo de la función con el factor de amortiguamiento c = 0,5 desciende mucho más rápidamente que el de la función con c = 0,1. Hallar una función coseno que modele el movimiento armónico amortiguado Calcule y grafique una función de la forma y = a e - c t cos ( ω t ) que represente la información dada. Ⓐ a = 20 , c = 0,05 , p = 4 Ⓑ a = 2 , c = 1,5 , f = 3 Sustituya los valores dados en el modelo. Recuerde que el periodo es 2 π ω y la frecuencia es ω 2 π . Ⓐ y = 20 e − 0,05 t cos ( π 2 t ) . Vea la . Ⓑ y = 2 e − 1,5 t cos ( 6 π t ) . Vea la . Ejercicio La siguiente ecuación representa un modelo de movimiento armónico amortiguado: f ( t ) = 5 e − 6 t cos ( 4 t ) Halle el desplazamiento inicial, la constante de amortiguamiento y la frecuencia. desplazamiento inicial =6, constante de amortiguamiento = -6, frecuencia = 2 π Hallar una función de seno que modele el movimiento armónico amortiguado Calcule y grafique una función de la forma y = a e - c t sen ( ω t ) que represente la información dada. Ⓐ a = 7 , c = 10 , p = π 6 Ⓑ a = 0,3 , c = 0,2 , f = 20 Calcule el valor de ω y sustituya los valores conocidos en el modelo. Ⓐ Dado que el periodo es 2 π ω , tenemos π 6 = 2 π ω ω π = 6 ( 2 π ) ω = 12 El factor de amortiguamiento se da como 10 y la amplitud es 7. Así, el modelo es y = 7 e − 10 t sen ( 12 t ) . Vea la . Ⓑ Dado que la frecuencia es ω 2 π , tenemos 20 = ω 2 π 40 π = ω El factor de amortiguamiento viene dado como 0,2 y la amplitud es 0,3. El modelo es y = 0,3 e − 0,2 t sen ( 40 π t ) . Vea la . Análisis La comparación de los últimos dos ejemplos ilustra la manera en que escogemos entre la función de seno y la función coseno para modelar los criterios sinusoidales. Observamos que la función coseno se encuentra en el desplazamiento máximo cuando t = 0 , y la función de seno se encuentra en el punto de equilibrio cuando t = 0 . Por ejemplo, considere la ecuación y = 20 e − 0,05 t cos ( π 2 t ) desde el . Podemos ver a partir del gráfico que, cuando t = 0 , y = 20 , que es la amplitud inicial. Compruebe esto al ajustar t = 0 en la ecuación de coseno: y = 20 e − 0,05 ( 0 ) cos ( π 2 ) ( 0 ) = 20 ( 1 ) ( 1 ) = 20 Con la función de seno arroja y = 20 e − 0,05 ( 0 ) sen ( π 2 ) ( 0 ) = 20 ( 1 ) ( 0 ) = 0 Así, el coseno es la función correcta. Ejercicio Escriba la ecuación para el movimiento armónico amortiguado, dado a = 10 , c = 0,5 , y p = 2. y = 10 e − 0,5 t cos ( π t ) Modelar la oscilación de un resorte Un resorte que mide 10 pulgadas en su longitud natural se comprime en 5 pulgadas y se suelta. Oscila una vez cada 3 segundos, y su amplitud disminuye en 30 % cada segundo. Halle una ecuación que modele la posición del resorte t segundos después de ser liberado. La amplitud empieza a 5 in y disminuye 30 % cada segundo. Dado que el resorte está comprimido inicialmente, escribiremos A como valor negativo. Podemos escribir la parte de la amplitud de la función como A ( t ) = 5 ( 1 − 0,30 ) t Colocamos ( 1 − 0,30 ) t en la forma e c t de la siguiente forma: 0,7 = e c c = ln 0,7 c = − 0,357 Ahora, abordemos el periodo. El resorte recorre sus posiciones cada 3 segundos, este es el periodo, y podemos utilizar la fórmula para hallar el omega. 3 = 2 π ω ω = 2 π 3 La longitud natural de 10 pulgadas es la línea media. Utilizaremos la función coseno, ya que el resorte comienza en su desplazamiento máximo. Esta parte de la ecuación se representa como y = cos ( 2 π 3 t ) + 10 Finalmente, juntamos ambas funciones. El modelo para la posición del resorte en t segundos viene dado como y = - 5 e − 0,357 t cos ( 2 π 3 t ) + 10 Observe el gráfico en la . Ejercicio La masa suspendida de un resorte se eleva a una distancia de 5 cm por encima de su posición de reposo. La masa se suelta en el tiempo t = 0 y se deja oscilar. Después de 1 3 segundos, se observa que la masa retorna a su posición más elevada. Halle una función para modelar este movimiento con respecto a su posición inicial de reposo. y = 5 cos ( 6 π t ) Calcular el valor de la constante de amortiguamiento c conforme a los criterios aportados La cuerda de una guitarra se rasga y vibra en movimiento armónico amortiguado. Se pulsa la cuerda y se desplaza 2 cm desde su posición de reposo. A los 3 segundos, el desplazamiento de la cuerda mide 1 cm. Halle la constante de amortiguamiento. El factor de desplazamiento representa la amplitud y se determina por el coeficiente a e - c t en el modelo para el movimiento armónico amortiguado. La constate de amortiguamiento en el término e - c t . Se sabe que, después de 3 segundos, el valor local máximo mide la mitad de su valor original. Por lo tanto, tenemos la ecuación a e - c ( t + 3 ) = 1 2 a e - c t Utilice el álgebra y las leyes de los exponentes para resolver c . a e - c ( t + 3 ) = 1 2 a e - c t e - c t ⋅ e - 3 c = 1 2 e - c t Dividir a . e - 3 c = 1 2 Dividir e - c t . e 3 c = 2 Tome la reciprocidad . Luego, use las leyes de los logaritmos. e 3 c = 2 3 c = ln ( 2 ) c = ln ( 2 ) 3 La constante de amortiguamiento es ln ( 2 ) 3 . Delimitar curvas en movimiento armónico Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función. Graficar una curva oscilante de coseno Grafique la función f ( x ) = cos ( 2 π x ) cos ( 16 π x ) . El gráfico que se genera de esta función se mostrará en dos partes. El primer gráfico será la función exacta f ( x ) (vea la ), y el segundo gráfico es la función exacta f ( x ) más una función delimitadora (vea la ). El gráfico se ve totalmente diferente. Análisis Las curvas y = cos ( 2 π x ) y y = - cos ( 2 π x ) son curvas delimitadoras: delimitan la función desde arriba y desde abajo, para trazar los puntos superiores e inferiores. El gráfico del movimiento armónico se sitúa dentro de las curvas delimitadoras. Este es un ejemplo de una función cuya amplitud no solamente disminuye con el tiempo, sino que realmente aumenta y disminuye varias veces en un periodo. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas. Resolver problemas con trigonometría Trigonometría de rueda de la fortuna Temperaturas diarias y trigonometría Movimiento armónico simple Ecuaciones clave Forma típica de ecuación sinusoidal y = A sen ( B t - C ) + D o y = A cos ( B t - C ) + D Movimiento armónico simple d = a cos ( ω t ) o d = a sen ( ω t ) Movimiento armónico amortiguado f ( t ) = a e - c t sen ( ω t ) o f ( t ) = a e - c t cos ( ω t ) Conceptos clave Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el y el . Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el . Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el , el , el y el . Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el . El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el , el , el , el y el . Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cuáles son los tipos de fenómenos físicos que se modelan mejor con las funciones sinusoidales. ¿Cuáles son las características necesarias? El comportamiento físico debería ser periódico o cíclico. ¿Cuál información hace falta para construir un modelo trigonométrico de la temperatura diaria? Dé ejemplos de dos distintos conjuntos de información que permitan el modelado con una ecuación. Si quisiéramos modelar el índice pluviométrico acumulado en el transcurso de un año, ¿la función sinusoidal sería un modelo apropiado? ¿Por qué sí o por qué no? Dado que el índice pluviométrico acumulado siempre va en ascenso, la función sinusoidal no sería lo ideal en este caso. Explique el efecto de un factor de amortiguamiento en los gráficos de las funciones de movimiento armónico. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores. x y 0 - 4 3 - 1 6 2 9 - 1 12 - 4 15 - 1 18 2 y = - 3 cos ( π 6 x ) - 1 x y 0 5 2 1 4 - 3 6 1 8 5 10 1 12 - 3 x y 0 2 π 4 7 π 2 2 3 π 4 - 3 π 2 5 π 4 7 3 π 2 2 5 sen ( 2 x ) + 2 x y 0 1 1 - 3 2 − 7 3 - 3 4 1 5 - 3 6 − 7 y = 4 6 cos ( x π 2 ) x y 0 - 2 1 4 2 10 3 4 4 - 2 5 4 6 10 x y 0 5 1 - 3 2 5 3 13 4 5 5 - 3 6 5 y = tan ( x π 8 ) x y - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 - 1 1 - 2 0 0 1 2 – 1 2 1 3 2 + 1 x y - 1 3 - 2 0 0 1 2 - 3 2 3 3 3 1 4 3 5 2 + 3 tan ( x π 12 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación. f ( x ) = − 30 cos ( x π 6 ) − 20 cos 2 ( x π 6 ) + 80 [ 0 , 12 ] f ( x ) = − 18 cos ( x π 12 ) - 5 sen ( x π 12 ) + 100 en el intervalo [ 0 , 24 ] f ( x ) = 10 − sen ( x π 6 ) + 24 tan ( x π 240 ) en el intervalo [ 0 , 80 ] En tecnología En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados. El promedio anual del índice pluviométrico en una ciudad es actualmente de 20 pulgadas y varía de una estación a otra en 5 pulgadas. Debido a circunstancias imprevistas, el índice pluviométrico pareciera disminuir en 15 % cada año. ¿Cuántos años a partir de ahora se prevé que el índice pluviométrico llegue inicialmente a 0 pulgadas? Observe que el modelo es inválido una vez que predice el índice pluviométrico negativo, por lo que elija el primer punto en el cual va por debajo de 0. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 105 °F ocurre a las 5 p. m. y la temperatura promedio del día es 85 °F . Calcule la temperatura, hasta el grado más próximo, a las 9 a. m. 75 °F La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 84 °F ocurre a las 6 p. m. y la temperatura promedio del día es 70 °F . Calcule la temperatura, al grado más próximo, a las 7 a. m. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 47 °F y 63 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre a las 10 a. m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 51 °F? 8 a. m. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 64 °F y 86 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 12 m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 70 °F? Una rueda de la fortuna tiene 20 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 2 metros del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa una revolución completa en 6 minutos. ¿Cuánto del recorrido, en minutos y segundos, tarda a un nivel por encima de los 13 metros sobre el suelo? 2:49 Una rueda de la fortuna tiene 45 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. ¿Cuántos minutos del recorrido tarda a un nivel por encima de 26 metros sobre el suelo? Redondee al segundo más próximo. La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 6 millones de kilómetros cuadrados el 1 de septiembre y 14 millones de kilómetros cuadrados el 1 de marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay menos de 9 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día. Desde el 15 de junio hasta el 16 de noviembre. La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 18 millones de kilómetros cuadrados en septiembre y 3 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay más de 15 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día. Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Si el índice pluviométrico fluctúa entre una baja de 2 pulgadas el día 10 y 12 pulgadas el día 55, ¿durante cuál periodo el índice pluviométrico diario es superior a 10 pulgadas? Desde el día 31 hasta el día 58. Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Se registró una baja de 4 pulgadas en el índice pluviométrico el día 30, y en general el promedio diario para el índice pluviométrico fue de 8 pulgadas. ¿Durante cuál periodo el índice pluviométrico diario fue inferior a 5 pulgadas? En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 8 pulgadas el 1 de junio y cae a una baja de 1 pulgada el 1 de diciembre. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 7 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 2 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano. Temporada lluviosa: del 16 de abril al 15 de julio. Temporada seca: del 16 de octubre al 15 de enero. En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 24 pulgadas en septiembre y cae a una baja de 4 pulgada en marzo. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 22 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 5 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano. En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada. El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 8 sen ( 6 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 8, periodo: 1 3 , frecuencia: 3 Hz El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 11 sen ( 12 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 4 cos ( π 2 t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 4, periodo: 4 , frecuencia: 1 4 Hz En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito. El desplazamiento h ( t ) , en centímetros, de una masa suspendida por un resorte se modela con la función h ( t ) = −5 cos ( 60 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito. La población de ciervos oscila en 19 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 ciervos y aumenta en 160 cada año. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . P ( t ) = − 19 cos ( π 6 t ) + 800 + 160 12 t P ( t ) = − 19 cos ( π 6 t ) + 800 + 40 3 t La población de liebres oscila en 15 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 650 liebres y aumenta en 110 cada año. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . La población de ratas almizcleras oscila en 33 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 900 ratas almizcleras y aumenta en 7 % cada mes. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . P ( t ) = − 33 cos ( π 6 t ) + 900 + ( 1,07 ) t La población de peces oscila en 40 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 peces y aumenta en 4 % cada mes. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . Un resorte se hala del techo a 10 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 15 % cada segundo. El resorte oscila 18 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. D ( t ) = 10 ( 0,85 ) t cos ( 36 π t ) Un resorte se hala del techo a 7 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 11 % cada segundo. El resorte oscila 20 veces por segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. Un resorte se hala del techo a 17 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 3 segundos, la amplitud disminuye a 13 cm. El resorte oscila 14 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. D ( t ) = 17 ( 0,9145 ) t cos ( 28 π t ) Un resorte se hala del techo a 19 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 4 segundos, la amplitud disminuye a 14 cm. El resorte oscila 13 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una calculadora. Un determinado lago tiene actualmente una población de truchas promedio de 20.000. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 2.000 cada año. Este año, se levantó la veda en el lago. Si los pescadores atrapan 3.000 peces cada año, ¿cuánto tardará para que el lago se quede sin truchas? 6 años La población actual de corégonos en un lago es de 500. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 25 cada año. De haber sobrepesca, al tomar 4 % de la población cada año, ¿cuántos años pasarán para que el lago tenga por primera vez menos de 200 corégonos? Un resorte se hala del techo a 11 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 2 segundos, la amplitud disminuye a 6 cm. El resorte oscila 8 veces cada segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre − 0,1 y 0,1 cm, efectivamente en reposo. 15,4 segundos Un resorte se hala del techo a 21 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 6 segundos, la amplitud disminuye a 4 cm. El resorte oscila 20 veces por segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre − 0,1 y 0,1 cm, efectivamente en reposo. Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 8 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 32 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 50 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 18 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 15 cm de su punto de equilibrio, y a los 4 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el \"reposo\" como una amplitud inferior a 0,1 cm . El resorte 2 entra en reposo después de 7,3 segundos. Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 14 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 2 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 8 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 22 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 10 cm de su punto de equilibrio, y a los 3 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el \"reposo\" como una amplitud inferior a 0,1 cm . Extensiones Un avión vuela 1 hora a 150 mph en 22 ∘ al este del norte, luego continúa volando durante 1,5 horas a 120 mph, esta vez a un rodamiento de 112 ∘ al este del norte. Halle la distancia total desde el punto de inicio y el ángulo directo en que se vuela al norte del este. 234,3 millas, a 72,2° Un avión vuela 2 horas a 200 mph, a un rodamiento de 60 ∘ , luego continúa volando durante 1,5 horas con la misma rapidez, esta vez a un rodamiento de 150 ∘ . Halle la distancia y el rodamiento desde el punto de inicio. Pista: el rodamiento se mide en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el norte. En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y = a b x + c sen ( π 2 x ) que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 y 6 29 96 379 y = 6 ( 4 ) x + 5 sen ( π 2 x ) x 0 1 2 3 y 6 34 150 746 x 0 1 2 3 y 4 0 16 -40 y = 4 ( – 2 ) x + 8 sen ( π 2 x ) En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y = a b x cos ( π 2 x ) + c que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 y 11 3 1 3 x 0 1 2 3 y 4 1 −11 1 y = 3 ( 2 ) x cos ( π 2 x ) + 1 Ejercicios de repaso del capítulo Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo [ 0 , 2 π ) . csc 2 t = 3 sen − 1 ( 3 3 ) , π − sen − 1 ( 3 3 ) , π + sen − 1 ( 3 3 ) , 2 π − sen − 1 ( 3 3 ) cos 2 x = 1 4 2 sen θ = - 1 7 π 6 , 11 π 6 tan x sen x + sen ( - x ) = 0 9 sen ω − 2 = 4 sen 2 ω sen − 1 ( 1 4 ) , π − sen − 1 ( 1 4 ) 1 - 2 tan ( ω ) = tan 2 ( ω ) En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión. sec x cos x + cos x – 1 sec x 1 sen 3 x + cos 2 x sen x En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes. sen 2 x + sec 2 x – 1 = ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x ) cos 2 x Sí tan 3 x csc 2 x cot 2 x cos x sen x = 1 Identidades de suma y resta En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. tan ( 7 π 12 ) - 2 - 3 cos ( 25 π 12 ) sen ( 70 ∘ ) cos ( 25 ∘ ) - cos ( 70 ∘ ) sen ( 25 ∘ ) 2 2 cos ( 83 ∘ ) cos ( 23 ∘ ) + sen ( 83 ∘ ) sen ( 23 ∘ ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. cos ( 4 x ) - cos ( 3 x ) cos x = sen 2 x - 4 cos 2 x sen 2 x cos ( 4 x ) - cos ( 3 x ) cos x = cos ( 2 x + 2 x ) - cos ( x + 2 x ) cos x = cos ( 2 x ) cos ( 2 x ) - sen ( 2 x ) sen ( 2 x ) - cos x cos ( 2 x ) cos x + sen x sen ( 2 x ) cos x = ( cos 2 x - sen 2 x ) 2 - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 2 x ( cos 2 x - sen 2 x ) + sen x ( 2 ) sen x cos x cos x = ( cos 2 x - sen 2 x ) 2 - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 2 x ( cos 2 x - sen 2 x ) + 2 sen 2 x cos 2 x = cos 4 x - 2 cos 2 x sen 2 x + sen 4 x - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 4 x + cos 2 x sen 2 x + 2 sen 2 x cos 2 x = sen 4 x - 4 cos 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x = sen 2 x ( sen 2 x + cos 2 x ) - 4 cos 2 x sen 2 x = sen 2 x - 4 cos 2 x sen 2 x cos ( 3 x ) - cos 3 x = - cos x sen 2 x - sen x sen ( 2 x ) En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión. tan ( 1 2 x ) + tan ( 1 8 x ) 1 - tan ( 1 8 x ) tan ( 1 2 x ) tan ( 5 8 x ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( sen − 1 ( 0 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) tan ( sen − 1 ( 0 ) + sen − 1 ( 1 2 ) ) 3 3 Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado cos θ = - 1 3 y θ está en el intervalo [ π 2 , π ] . Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado sec θ = - 5 3 y θ está en el intervalo [ π 2 , π ] . − 24 25 , - 7 25 , 24 7 sen ( 7 π 8 ) sec ( 3 π 8 ) 2 ( 2 + 2 ) En los siguientes ejercicios, utilice la para determinar las cantidades deseadas. sen ( 2 β ) , cos ( 2 β ) , tan ( 2 β ) , sen ( 2 α ) , cos ( 2 α ) , y tan ( 2 α ) sen ( β 2 ) , cos ( β 2 ) , tan ( β 2 ) , sen ( α 2 ) , cos ( α 2 ) , y tan ( α 2 ) 2 10 , 7 2 10 , 1 7 , 3 5 , 4 5 , 3 4 En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. 2 cos ( 2 x ) sen ( 2 x ) = cot x - tan x cot x cos ( 2 x ) = - sen ( 2 x ) + cot x cot x cos ( 2 x ) = cot x ( 1 - 2 sen 2 x ) = cot x - cos x sen x ( 2 ) sen 2 x = - 2 sen x cos x + cot x = - sen ( 2 x ) + cot x En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia. cos 2 x sen 4 ( 2 x ) tan 2 x sen 3 x 10 sen x - 5 sen ( 3 x ) + sen ( 5 x ) 8 ( cos ( 2 x ) + 1 ) Fórmulas de suma a producto y de producto a suma En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta. cos ( π 3 ) sen ( π 4 ) 2 sen ( 2 π 3 ) sen ( 5 π 6 ) 3 2 2 cos ( π 5 ) cos ( π 3 ) En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta. sen ( π 12 ) - sen ( 7 π 12 ) - 2 2 cos ( 5 π 12 ) + cos ( 7 π 12 ) En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto. sen ( 9 x ) cos ( 3 x ) 1 2 ( sen ( 6 x ) + sen ( 12 x ) ) cos ( 7 x ) cos ( 12 x ) sen ( 11 x ) + sen ( 2 x ) 2 sen ( 13 2 x ) cos ( 9 2 x ) cos ( 6 x ) + cos ( 5 x ) Resolver ecuaciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . tan x + 1 = 0 3 π 4 , 7 π 4 2 sen ( 2 x ) + 2 = 0 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . 2 sen 2 x - sen x = 0 0 , π 6 , 5 π 6 , π cos 2 x - cos x – 1 = 0 2 sen 2 x + 5 sen x + 3 = 0 3 π 2 cos x - 5 sen ( 2 x ) = 0 1 sec 2 x + 2 + sen 2 x + 4 cos 2 x = 0 No hay solución En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Redondee a cuatro decimales. 3 cot 2 x + cot x = 1 csc 2 x - 3 csc x - 4 = 0 0,2527 , 2,8889 , 4,7124 En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo [ 0 , 2 π ) . 20 cos 2 x + 21 cos x + 1 = 0 sec 2 x - 2 sec x = 15 1,3694 , 1,9106 , 4,3726 , 4,9137 Modelar con ecuaciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada. x y 0 1 1 6 2 11 3 − 6 4 - 1 5 6 x y 0 - 2 1 1 2 - 2 3 - 5 4 - 2 5 1 3 sen ( x π 2 ) - 2 x y - 3 3 + 2 2 - 2 3 - 1 2 2 – 1 0 1 1 3 - 2 2 2 - 1 3 −1 - 2 2 Un hombre con un nivel a la altura de sus ojos de 6 pies por encima del suelo está parado a 3 pies de la base de una escalera vertical de 15 pies. Si mira hacia el tope de la escalera, ¿en qué ángulo por encima de la horizontal está mirando? 71,6 ∘ Con la escalera del ejercicio anterior, si un trabajador de la construcción de 6 pies de alto que está parado en el tope de la escalera y mira hacia abajo, hacia los pies del hombre que está parado en la parte inferior, ¿en qué ángulo de la horizontal está mirando? En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito. La población de leminos varía con una baja anual de 500 en marzo. Si el promedio anual de la población de leminos es 950, anote una función que modele la población con respecto a t , el mes. P ( t ) = 950 − 450 sen ( π 6 t ) Las temperaturas diurnas en el desierto pueden ser muy extremas. Si la temperatura varía desde 90 °F con 30 °F y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 10 a. m., escriba una función que modele este comportamiento. En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas. y = 3 cos ( x π ) Amplitud: 3, periodo: 2, frecuencia: 1 2 Hz y = –2 sen ( 16 x π ) En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden. Una especie invasiva de carpa se introduce en el lago Freshwater. Al principio hay 100 carpas en el lago y la población varía en 20 peces estacionalmente. Si para el año 5, hay 625 carpas, halle una función que modele la población de carpas con respecto a t , el número de años desde ahora. C ( t ) = 20 sen ( 2 π t ) + 100 ( 1,4427 ) t La población de peces endémicos en el lago Freshwater es en promedio de 2.500, y varía en 100 peces estacionalmente. Debido a la competencia de la carpa invasiva por los recursos, se prevé un descenso de 5 % en la población de peces endémicos cada año. Halle una función que modele la población de peces endémicos con respecto a t , el número de años desde ahora. Asimismo, determine cuántos años tardará para que la carpa sobrepase la población de peces endémicos. Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. cos ( - x ) sen x cot x + sen 2 x 1 sen ( - x ) cos ( – 2 x ) - sen ( - x ) cos ( – 2 x ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( 7 π 12 ) 2 - 6 4 tan ( 3 π 8 ) tan ( sen − 1 ( 2 2 ) + tan - 1 3 ) - 2 - 3 2 sen ( π 4 ) sen ( π 6 ) En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en [ 0 , 2 π ) . cos 2 x - sen 2 x – 1 = 0 0 , π cos 2 x = cos x cos ( 2 x ) + sen 2 x = 0 π 2 , 3π 2 2 sen 2 x - sen x = 0 Rescriba la expresión como producto en vez de suma: cos ( 2 x ) + cos ( − 8 x ) . 2 cos ( 3 x ) cos ( 5 x ) Halle todas las soluciones de tan ( x ) - 3 = 0 . Halle las soluciones de sec 2 x - 2 sec x = 15 en el intervalo [ 0 , 2 π ) algebraicamente; luego grafique ambos lados de la ecuación para determinar la respuesta. x = cos -1 ( 1 5 ) Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado cot θ = - 3 4 y θ están en el intervalo [ π 2 , π ] . Halle sen ( θ 2 ) , cos ( θ 2 ) , y tan ( θ 2 ) dado cos θ = 7 25 y θ está en el cuadrante IV. 3 5 , - 4 5 , - 3 4 Rescriba la expresión sen 4 x sin potencia mayor a 1. En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. tan 3 x - tan x sec 2 x = tan ( - x ) tan 3 x – tan x sec 2 x = tan x ( tan 2 x – sec 2 x ) = tan x ( tan 2 x – ( 1 + tan 2 x ) ) = tan x ( tan 2 x - 1 – tan 2 x ) = – tan x = tan ( – x ) = tan – x ) sen ( 3 x ) - cos x sen ( 2 x ) = cos 2 x sen x - sen 3 x sen ( 2 x ) sen x - cos ( 2 x ) cos x = sec x sen ( 2 x ) sen x – cos ( 2 x ) cos x = 2 sen x cos x sen x – 2 cos 2 x - 1 cos x = 2 cos x – 2 cos x + 1 cos x = 1 cos x = sec x = sec x Grafique los puntos y halle una función de la forma y = A cos ( B x + C ) + D que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 4 5 y −2 2 −2 2 −2 2 El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 1 4 sen ( 120 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 1 4 , periodo 1 60 , frecuencia: 60 Hz Una mujer está parada a 300 pies de un edificio de 2.000 pies. Si mira hacia la parte superior del edificio, ¿en qué ángulo sobre la horizontal está mirando? Un trabajador aburrido la observa desde el 15. o piso (1.500 pies por encima de ella). ¿En qué ángulo la está mirando? Redondee a la décima más próxima de un grado. Dos frecuencias de sonido se tocan en un instrumento que se rige por la ecuación n ( t ) = 8 cos ( 20 π t ) cos ( 1.000 π t ) . ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de las oscilaciones “rápida” y “lenta”? ¿Cuál es la amplitud? Amplitud: 8 , periodo rápido: 1 500 , frecuencia rápida: 500 Hz, periodo lento: 1 10 , frecuencia lenta: 10 Hz La nevada mensual promedio en una pequeña aldea en los Himalayas es de 6 pulgadas, donde la baja de 1 pulgada se produce en julio. Construya una función que modele este comportamiento. ¿En qué periodo hay más de 10 pulgadas de nevada? Un resorte se hala del techo a 20 cm. A los 3 segundos, cuando realiza 6 periodos completos, la amplitud es de apenas 15 cm. Halle la función al modelar la posición del resorte t segundos después de ser liberado. ¿En qué momento el resorte entra en reposo? En este caso, utilice 1 cm de amplitud en el reposo. D ( t ) = 20 ( 0,9086 ) t cos ( 4 π t ) , 31 segundos El promedio actual del nivel de agua cerca de un glaciar es de 9 pies, y varía estacionalmente en 2 pulgadas por encima y por debajo del promedio, para alcanzar su punto máximo en enero. A causa del calentamiento global, el glaciar ha empezado a derretirse más rápido de lo normal. Cada año, el nivel del agua experimenta un ascenso sostenido de 3 pulgadas. Halle una función que modele la profundidad del agua t meses a partir de ahora. Si los diques tienen 2 pies por encima del nivel actual del agua, ¿en qué punto se elevará el agua por primera vez por encima de los diques? movimiento armónico amortiguado movimiento oscilante que asemeja el movimiento periódico y el movimiento armónico simple, excepto que el gráfico resulta afectado por un factor de amortiguamiento, una energía que disipa la influencia en el movimiento periódico, tal como la fricción. movimiento armónico simple movimiento repetitivo que puede modelarse con la oscilación sinusoidal periódica.", "section": "Modelado con funciones trigonométricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción El General Sherman, el árbol vivo más grande del mundo. (Créditos: Mike Baird, Flickr). El árbol más grande del mundo por su volumen, llamado General Sherman, tiene una altura de 274,9 pies y está situado en el norte de California. Fuente: Servicio de Parques Nacionales. \"El árbol General Sherman\". http://www.nps.gov/seki/naturescience/sherman.htm. Consultado el 25 de abril de 2014. ¿Cómo saben los científicos su verdadera altura? Una forma habitual de medir la altura consiste en determinar el ángulo de elevación que forman el árbol y el suelo en un punto situado a cierta distancia de la base del árbol. Este método es mucho más práctico que subir al árbol y dejar caer una cinta métrica muy larga. En este capítulo, exploraremos aplicaciones de la trigonometría que nos permitirán resolver muchos tipos de problemas diferentes, entre ellos, calcular la altura de un árbol. Ampliamos los temas que introdujimos en Funciones trigonométricas e investigamos las aplicaciones de forma más profunda y significativa.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Triángulos no rectángulos: ley de senos Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos . Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud , una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos. Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo . Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos: ALA (ángulo-lado-ángulo) . Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la . AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la . LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la . Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la . Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que sen α = h b y sen β = h a . Resolviendo ambas ecuaciones para h da dos expresiones diferentes para h . h = b sen α y h = a sen β A continuación, igualamos las expresiones. b sen α = a sen β ( 1 a b ) ( b sen α ) = ( a sen β ) ( 1 a b ) Multiplique ambos lados por 1 a b . sen α a = sen β b Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes. sen α a = sen γ c y sen β b = sen γ c En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos . sen α a = sen β b = sen γ c Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo α (alfa) es el lado opuesto a ; el ángulo β (beta) es el lado opuesto b ; y el ángulo γ (gamma) es el lado opuesto c . Vea la . Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario. Ley de senos Dado un triángulo con ángulos y lados opuestos etiquetados como en la , el cociente entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto será igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Todas las proporciones serán iguales. La ley de senos se basa en las proporciones y se presenta simbólicamente de dos maneras. sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Para resolver un triángulo oblicuo, utilice cualquier par de cocientes aplicables. Resolver dos lados y un ángulo desconocidos de un triángulo AAL Resuelva el triángulo que se muestra en la a la décima más cercana. Los tres ángulos deben sumar 180 grados. A partir de esto, podemos determinar que β = 180° − 50° − 30° = 100° Para hallar un lado desconocido, necesitamos conocer el ángulo correspondiente y un cociente conocido. Sabemos que el ángulo α = 50° y su lado correspondiente a = 10. Podemos utilizar la siguiente proporción de la ley de senos para determinar la longitud de c . sen ( 50° ) 10 = sen ( 30° ) c c sen ( 50° ) 10 = sen ( 30° ) Multiplique ambos lados por c . c = sen ( 30 ° ) 10 sen ( 50° ) Multiplique por el recíproco para aislar c . c ≈ 6,5 Del mismo modo, resuelva para b , establecemos otra proporción. sen ( 50° ) 10 = sen ( 100° ) b b sen ( 50° ) = 10 sen ( 100° ) Multiplique ambos lados por b . b = 10 sen ( 100° ) sen ( 50° ) Multiplique por el recíproco para aislar b . b ≈ 12,9 Por lo tanto, el conjunto completo de ángulos y lados es α = 50° a = 10 β = 100° b ≈ 12,9 γ = 30° c ≈ 6,5 Ejercicio Resuelva el triángulo que se muestra en la a la décima más cercana. α = 98 ∘ a = 34,6 β = 39 ∘ b = 22 γ = 43 ∘ c = 23,8 Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo . Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución. Posibles resultados de los triángulos LLA Los triángulos oblicuos de la categoría LLA pueden tener cuatro resultados diferentes. La ilustra las soluciones con los lados conocidos a y b y ángulo conocido α . Resolver un triángulo LLA oblicuo Resuelva el triángulo en la para el lado que falta y calcule las medidas de los ángulos que faltan a la décima más cercana. Utilice la ley de senos para hallar el ángulo β y el ángulo γ , y luego el lado c . Al resolver β , tenemos la proporción sen α a = sen β b sen ( 35° ) 6 = sen β 8 8 sen ( 35° ) 6 = sen β 0,7648 ≈ sen β sen − 1 ( 0,7648 ) ≈ 49,9° β ≈ 49,9° Sin embargo, en el diagrama, el ángulo β parece ser un ángulo obtuso y puede ser mayor de 90°. ¿Cómo conseguimos un ángulo agudo, y cómo calculamos la medida de β ? Investiguemos más a fondo. Al dejar caer una perpendicular desde γ y ver el triángulo desde una perspectiva de ángulo recto, tenemos la . Podría haber un segundo triángulo que se ajuste a los criterios dados. El ángulo complementario a β es aproximadamente igual a 49,9°, lo que significa que β = 180° − 49,9° = 130,1° . (Recuerde que la función seno es positiva tanto en el primero como en el segundo cuadrante). Al resolver para γ , tenemos γ = 180° − 35° − 130,1° ≈ 14,9° A continuación, podemos utilizar estas medidas para resolver el otro triángulo. Dado que γ ′ es complementario a la suma de α ′ y β ′ , tenemos γ ′ = 180° − 35° − 49,9° ≈ 95,1° Ahora tenemos que hallar c y c ′ . Tenemos c sen ( 14,9° ) = 6 sen ( 35° ) c = 6 sen ( 14,9° ) sen ( 35° ) ≈ 2,7 Finalmente, c ′ sen ( 95,1° ) = 6 sen ( 35° ) c ′ = 6 sen ( 95,1° ) sen ( 35° ) ≈ 10,4 En resumen, hay dos triángulos con un ángulo de 35°, un lado adyacente de 8 y un lado opuesto de 6, como se muestra en la . Sin embargo, estábamos buscando los valores para el triángulo con un ángulo obtuso β . Podemos verlos en el primer triángulo (a) en la . Ejercicio Dados α = 80° , a = 120 , y b = 121 , halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Solución 1 α = 80° a = 120 β ≈ 83,2° b = 121 γ ≈ 16,8° c ≈ 35,2 Solución 2 α ′ = 80° a ′ = 120 β ′ ≈ 96,8° b ′ = 121 γ ′ ≈ 3,2° c ′ ≈ 6,8 Resolver los lados y ángulos desconocidos de un triángulo LLA En el triángulo que se muestra en la , resuelva el lado y los ángulos desconocidos. Redondee sus respuestas a la décima más cercana. Al momento de elegir el par de proporciones de la ley de senos que vaya a utilizar, fíjese en la información que se da. En este caso, conocemos el ángulo γ = 85° , y su lado correspondiente c = 12 , y conocemos el lado b = 9. Utilizaremos esta proporción para resolver β . sen ( 85° ) 12 = sen β 9 Aísle la incógnita . 9 sen ( 85° ) 12 = sen β Para hallar β , aplique la función seno inversa. La función seno inversa arrojará un único resultado, pero tenga en cuenta que puede haber dos valores para β . Es importante verificar el resultado, ya que puede haber dos soluciones viables, una sola solución (el caso habitual) o ninguna. β = sen − 1 ( 9 sen ( 85° ) 12 ) β ≈ sen − 1 ( 0,7471 ) β ≈ 48,3° En este caso, si restamos β de 180°, hallamos que puede haber otra solución posible. Así, β = 180° − 48,3° ≈ 131,7° . Para comprobar la solución, reste ambos ángulos, 131,7° y 85°, de 180°. Esto da α = 180° − 85° − 131,7° ≈ − 36,7° , lo cual es imposible, y por lo tanto β ≈ 48,3° . Para hallar los valores que faltan, calculamos α = 180° − 85° − 48,3° ≈ 46,7° . Ahora, solo el lado a es necesario. Utilice la ley de senos para resolver a por una de las proporciones. sen ( 85 ° ) 12 = sen ( 46,7 ° ) a a sen ( 85 ° ) 12 = sen ( 46,7 ° ) a = 12 sen ( 46,7 ° ) sen ( 85 ° ) ≈ 8,8 El conjunto completo de soluciones para el triángulo dado es α ≈ 46,7° a ≈ 8,8 β ≈ 48,3° b = 9 γ = 85° c = 12 Ejercicio Dados α = 80° , a = 100 , b = 10 , halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Redondee sus respuestas a la décima más cercana. β ≈ 5,7° , γ ≈ 94,3° , c ≈ 101,3 Hallar los triángulos que satisfagan los criterios dados Halle todos los triángulos posibles si un lado tiene longitud 4 frente a un ángulo de 50°, y el otro lado tiene longitud 10. Con la información dada, podemos resolver el ángulo opuesto al lado de longitud 10. Vea la . sen α 10 = sen ( 50° ) 4 sen α = 10 sen ( 50° ) 4 sen α ≈ 1,915 Podemos detenernos aquí sin hallar el valor de α . Debido a que el rango de la función seno es [ - 1 , 1 ] , es imposible que el valor del seno sea 1,915. De hecho, la introducción de sen − 1 ( 1,915 ) en una calculadora gráfica genera un DOMINIO DE ERROR. Por lo tanto, no se pueden dibujar triángulos con las dimensiones proporcionadas. Ejercicio Determine el número de triángulos posibles dado a = 31 , b = 26 , β = 48° . dos Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por Área = 1 2 b h , donde b es la base y h es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar h antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la , uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica sen α = opuesto hipotenusa para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos sen α = h c o c sen α = h . Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base b para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es α ′ , o 180 − α . Por lo tanto, Área = 1 2 ( base ) ( altura ) = 1 2 b ( c sen α ) De la misma manera, Área = 1 2 a ( b sen γ ) = 1 2 a ( c sen β ) Área de un triángulo oblicuo La fórmula del área de un triángulo oblicuo viene dada por Área = 1 2 b c sen α = 1 2 a c sen β = 1 2 a b sen γ Esto equivale a la mitad del producto de dos lados y el seno de su ángulo incluido. Calcular el área de un triángulo oblicuo Calcule el área de un triángulo con lados a = 90 , b = 52 , y el ángulo γ = 102° . Redondee el área al número entero más cercano. Utilizando la fórmula, tenemos Área = 1 2 a b sen γ Área = 1 2 ( 90 ) ( 52 ) sen ( 102° ) Área ≈ 2289 unidades al cuadrado Ejercicio Calcule el área del triángulo dado β = 42° , a = 7,2 pies , c = 3,4 pies . Redondee el área a la décima más cercana. alrededor de 8,2 pies cuadrados Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento. Calcular la altitud Calcule la altitud de la aeronave en el problema presentado al comienzo de esta sección, que se muestra en la . Redondee la altitud a la décima de milla más cercana. Para determinar la elevación de la aeronave, primero calculamos la distancia desde una estación hasta la aeronave, como el lado a , y luego utilizamos las relaciones de triángulo rectángulo para calcular la altura del avión, h . Debido a que los ángulos del triángulo suman 180 grados, el ángulo desconocido deberá ser 180°-15°-35°=130°. Este ángulo es opuesto al lado de longitud 20, lo que nos permite establecer una relación de la ley de senos. sen ( 130° ) 20 = sen ( 35° ) a a sen ( 130° ) = 20 sen ( 35° ) a = 20 sen ( 35° ) sen ( 130° ) a ≈ 14,98 La distancia entre una estación y la aeronave es de unas 14,98 millas. Ahora, que conocemos a , podemos utilizar las relaciones de triángulo rectángulo para resolver h . sen ( 15° ) = opuesto hipotenusa sen ( 15° ) = h a sen ( 15° ) = h 14,98 h = 14,98 sen ( 15° ) h ≈ 3,88 La aeronave está a una altitud de aproximadamente 3,9 millas. El diagrama que se muestra en la representa la altura de un dirigible que sobrevuela un estadio de fútbol. Calcule la altura del dirigible si el ángulo de elevación en la zona del extremo sur, punto A, es de 70°, el ángulo de elevación desde la zona del extremo norte, punto B , es de 62°, y la distancia entre los puntos de visión de las dos zonas de anotación es de 145 yardas. 161,9 yardas. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas. Ley de senos: Nociones elementales Ley de senos: El caso ambiguo Ecuaciones clave Ley de senos sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Área para triángulos oblicuos Área = 1 2 b c sen α = 1 2 a c sen β = 1 2 a b sen γ Conceptos clave La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos. Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el . El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados. Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el y el . La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el . La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el . Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa la altitud de un triángulo. La altitud se extiende desde cualquier vértice hasta el lado opuesto o hasta la línea que contiene al lado opuesto en un ángulo de 90°. Compare los triángulos rectángulos y los oblicuos. ¿Cuándo utilizar la ley de senos para hallar el ángulo que falta? Cuando los valores conocidos son el lado opuesto al ángulo que falta y otro lado y su ángulo opuesto. En la ley de senos, ¿cuál es la relación entre el ángulo en el numerador y el lado en el denominador? ¿Qué tipo de triángulo da lugar a un caso ambiguo? Un triángulo con dos lados dados y un ángulo no incluido. Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. α = 43° , γ = 69° , a = 20 α = 35° , γ = 73° , c = 20 β = 72° , a ≈ 12,0 , b ≈ 19,9 α = 60° , β = 60° , γ = 60° a = 4 , α = 60° , β = 100° γ = 20° , b ≈ 4,5 , c ≈ 1,6 b = 10 , β = 95° , γ = 30° En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo A es el lado opuesto a , el ángulo B es el lado opuesto b , y el ángulo C es el lado opuesto c . Halle el lado b cuando A = 37° , B = 49° , c = 5. b ≈ 3,78 Halle el lado a cuando A = 132° , C = 23° , b = 10. Halle el lado c cuando B = 37° , C = 21° , b = 23. c ≈ 13,70 En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. α = 119° , a = 14 , b = 26 γ = 113° , b = 10 , c = 32 un triángulo, α ≈ 50,3° , β ≈ 16,7° , a ≈ 26,7 b = 3,5 , c = 5,3 , γ = 80° a = 12 , c = 17 , α = 35° dos triángulos, γ ≈ 54,3° , β ≈ 90,7° , b ≈ 20,9 o γ ′ ≈ 125,7° , β ′ ≈ 19,3° , b ′ ≈ 6,9 a = 20,5 , b = 35,0 , β = 25° a = 7 , c = 9 , α = 43° dos triángulos, β ≈ 75,7° , γ ≈ 61,3° , b ≈ 9,9 o β ′ ≈ 18,3° , γ ′ ≈ 118,7° , b ′ ≈ 3,2 a = 7 , b = 3 , β = 24° b = 13 , c = 5 , γ = 10° dos triángulos, α ≈ 143,2° , β ≈ 26,8° , a ≈ 17,3 o α ′ ≈ 16,8° , β ′ ≈ 153,2° , a ′ ≈ 8,3 a = 2,3 , c = 1,8 , γ = 28° β = 119° , b = 8,2 , a = 11,3 no hay triángulo posible. En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Halle el ángulo A cuando a = 24 , b = 5 , B = 22°. Halle el ángulo A cuando a = 13 , b = 6 , B = 20°. A ≈ 47,8° o A ′ ≈ 132,2° Halle el ángulo B cuando A = 12° , a = 2 , b = 9. En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. a = 5 , c = 6 , β = 35° 8,6 b = 11 , c = 8 , α = 28° a = 32 , b = 24 , γ = 75° 370,9 a = 7,2 , b = 4,5 , γ = 43° Gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x . Redondee a la décima más cercana. 12,3 12,2 16,0 En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo x , si es posible. Redondee a la décima más cercana. 29,7° x = 76,9° o x = 103,1° Observe que x es un ángulo obtuso. 110,6° En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. A ≈ 39,4 , C ≈ 47,6 , B C ≈ 20,7 En los siguientes ejercicios, calcule el área de cada triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. 57,1 42,0 430,2 Extensiones Halle el radio del círculo en la . Redondee a la décima más cercana. Halle el diámetro del círculo en la . Redondee a la décima más cercana. 10,1 Halle m ∠ A D C en la . Redondee a la décima más cercana. Halle A D en la . Redondee a la décima más cercana. A D ≈ 13,8 Resuelva ambos triángulos en la . Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Halle A B en el paralelogramo que se muestra en la . A B ≈ 2,8 Resuelva el triángulo en la . (Pista: Dibuje una perpendicular desde H hasta J K ). Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Resuelva el triángulo en la . (Pista: Dibuje una perpendicular desde N hasta L M ). Redondee cada respuesta a la décima más cercana. L ≈ 49,7 , N ≈ 56,3 , L N ≈ 5,8 En la , A B C D no es un paralelogramo ∠ m es obtuso. Resuelva ambos triángulos. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Aplicaciones en el mundo real Un poste se aleja del sol en un ángulo de 7° a la vertical, como se muestra en la . Cuando la elevación del sol es 55° , el poste proyecta una sombra de 42 pies de largo en el suelo plano. ¿Qué longitud tiene el poste? Redondee la respuesta a la décima más cercana. 51,4 pies. Para determinar cuán lejos está un barco de la costa, dos estaciones de radar situadas a 500 pies de distancia determinan los ángulos hacia el barco, como se muestra en la . Determine la distancia del barco desde la estación A y la distancia del barco a la costa. Redondee sus respuestas al pie entero más cercano. La muestra un satélite en órbita alrededor de la Tierra. El satélite pasa directamente sobre dos estaciones rastreadoras A y B , que están a 69 millas de distancia. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A y B se miden en 83,9° y 86,2° , respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A y a qué altura está el satélite sobre el suelo? Redondee las respuestas a la milla entera más cercana. La distancia del satélite a la estación A es de aproximadamente 1.716 millas. El satélite se encuentra a unas 1.706 millas del suelo. Una torre de comunicaciones está situada en la cima de una colina empinada, como se muestra en la . El ángulo de inclinación de la colina es 67° . Se debe fijar un cable de sujeción en la parte superior de la torre y en el suelo, 165 metros cuesta abajo desde la base de la torre. El ángulo formado por el cable de sujeción y la colina es de 16°. Calcule la longitud del cable necesario para el cable de sujeción con una precisión de un metro. El tejado de una casa está a un ángulo de 20° Se instalará un panel solar de 8 pies en el tejado y deberá estar en un ángulo de 38° respecto a la horizontal para obtener resultados óptimos. (Vea la ). ¿Qué longitud debe tener el soporte vertical que sostiene la parte trasera del panel? Redondee a la décima más cercana. 2,6 pies Al igual que el ángulo de elevación, el ángulo de depresión es el ángulo agudo formado por una línea horizontal y la línea de visión de un observador hacia un objeto situado por debajo de la horizontal. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 6,6 km, sean de 37° y 44° , como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A a la décima de kilómetro más cercana. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 4,3 km, son de 32° y 56°, como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A a la décima de kilómetro más cercana. 5,6 km Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 39°. A continuación, se acercan 300 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 50°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie. Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 35°. A continuación, se acercan 250 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 53°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie. 371 pies. Los puntos A y B están en lados opuestos de un lago. El punto C está a 97 metros de A . La medida del ángulo B A C se determina que es de 101°, mientras que la medida del ángulo A C B se determina que es de 53°. ¿Cuál es la distancia desde A hasta B , redondeada al metro entero más cercano? Un hombre y una mujer de pie 3 1 2 millas de distancia divisan un globo aerostático al mismo tiempo. Si el ángulo de elevación desde el hombre hasta el globo es de 27°, y el ángulo de elevación desde la mujer hasta el globo es de 41°, calcule la altitud del globo al pie más cercano. 5.936 pies. Dos equipos de búsqueda localizan a un escalador varado en una montaña. El primer equipo de búsqueda está a 0,5 millas del segundo equipo de búsqueda, y ambos están a una altura de 1 milla. El ángulo de elevación desde el primer equipo de búsqueda hasta el escalador varado es de 15°. El ángulo de elevación del segundo equipo de búsqueda al escalador es de 22°. ¿Cuál es la altitud del escalador? Redondee a la décima de milla más cercana. Una farola está montada en un poste. Un hombre de 6 pies de alto está de pie en la calle, a poca distancia del poste, proyectando una sombra. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra del hombre hasta la parte superior de su cabeza de 28°. Una mujer de 6 pies de alto se encuentra en la misma calle, en el lado opuesto del poste del hombre. El ángulo de elevación desde la punta de su sombra hasta la parte superior de su cabeza es de 28°. Si el hombre y la mujer están a 20 pies de distancia, ¿a qué distancia está la farola de la punta de la sombra de cada persona? Redondee la distancia a la décima de pie más cercana. 24,1 pies. Tres ciudades, A , B , y C , están situadas de manera que la ciudad A está al este de la ciudad B . Si la ciudad C se encuentra a 35° al oeste del norte de la ciudad B y está a 100 millas de la ciudad A y 70 millas de la ciudad B , a qué distancia se encuentra la ciudad A de la ciudad B ? Redondee la distancia a la décima de milla más cercana. Dos calles se encuentran en un ángulo de 80°. En la esquina se construye un parque en forma de triángulo. Calcule el área del parque si, a lo largo de una calle, el parque mide 180 pies, y a lo largo de la otra calle, el parque mide 215 pies. 19.056 pies cuadrados. La casa de Brian está en una esquina. Calcule el área del patio delantero si los bordes miden 40 y 56 pies, como se muestra en la . El triángulo de las Bermudas es una región del océano Atlántico que conecta las Bermudas, Florida y Puerto Rico. Calcule el área del triángulo de las Bermudas si la distancia de Florida a las Bermudas es de 1.030 millas, la distancia de Puerto Rico a las Bermudas es de 980 millas y el ángulo creado por las dos distancias es de 62°. 445.624 millas cuadradas Un cartel de ceda el paso mide 30 pulgadas en los tres lados. ¿Cuál es el área del cartel? Naomi compró una mesa de comedor cuyo tablero tiene forma triangular. Calcule el área del tablero de la mesa si dos de los lados miden 4 pies y 4,5 pies, y los ángulos menores miden 32° y 42°, como se muestra en la . 8,65 pies cuadrados. altitud línea perpendicular de un vértice de un triángulo al lado opuesto, o en el caso de un triángulo obtuso, a la línea que contiene el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos caso ambiguo un escenario en el que más de un triángulo es una solución válida para un triángulo LLA oblicuo dado Ley de senos afirma que el cociente entre la medida de un ángulo de un triángulo y la longitud de su lado opuesto es igual a los dos cocientes restantes entre la medida del ángulo y el lado opuesto; cualquier par de proporciones puede utilizarse para resolver un ángulo o un lado que falte triángulo oblicuo cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo", "section": "Triángulos no rectángulos: ley de senos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Triángulos no rectángulos: ley de cosenos Supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas como se muestra en la . ¿A qué distancia del puerto está el barco? Por desgracia, aunque la ley de senos nos permite abordar muchos casos de triángulos no rectángulos, no nos ayuda con los triángulos en los que el ángulo conocido está entre dos lados conocidos, triángulo LAL (lado-ángulo-lado) , o cuando se conocen los tres lados, pero no se conocen los ángulos, triángulo LLL (lado-lado-lado) . En esta sección, investigaremos otra herramienta para resolver los triángulos oblicuos descritos en los dos últimos casos. Usar la ley de cosenos para resolver triángulos oblicuos La herramienta que necesitamos para resolver el problema de la distancia del barco al puerto es la ley de cosenos , que define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes laterales en los triángulos oblicuos. Tres fórmulas componen la ley de cosenos. A primera vista, las fórmulas pueden parecer complicadas porque incluyen muchas variables. Sin embargo, una vez que se entiende el patrón, es más fácil trabajar con la ley de cosenos que con la mayoría de las fórmulas a este nivel matemático. Vale la pena entender cómo se deriva la ley de cosenos en la utilización de las fórmulas. La derivación comienza con el teorema generalizado de Pitágoras , que es una extensión del teorema de Pitágoras a los triángulos no rectángulos. Así es como funciona: Un triángulo arbitrario no rectángulo A B C se sitúa en el plano de coordenadas con el vértice A en el origen, el lado c dibujado a lo largo del eje x , y el vértice C situado en algún punto ( x , y ) en el plano, como se ilustra en la . Generalmente, los triángulos existen en cualquier parte del plano; sin embargo, para esta explicación, colocaremos el triángulo como se indica. Podemos dejar caer una perpendicular desde C al eje x (esta es la altitud o altura). Tras un repaso de las identidades trigonométricas básicas, sabemos que cos θ = x (adyacente) b (hipotenusa) y sen θ = y (opuesto) b (hipotenusa) En términos de θ , x = b cos θ y y = b sen θ . El punto ( x , y ) situado en C tiene coordenadas ( b cos θ , b sen θ ) . Al utilizar el lado ( x - c ) como cateto de un triángulo rectángulo, además de y como el segundo cateto, podemos determinar la longitud de la hipotenusa a con el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, a 2 = ( x - c ) 2 + y 2 = ( b cos θ − c ) 2 + ( b sen θ ) 2 Sustituya ( b cos θ ) para x y ( b sen θ ) para y . = ( b 2 cos 2 θ - 2 b c cos θ + c 2 ) + b 2 sen 2 θ Expanda el cuadrado perfecto . = b 2 cos 2 θ + b 2 sen 2 θ + c 2 - 2 b c cos θ Agrupe los términos al destacar que cos 2 θ + sen 2 θ = 1. = b 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) + c 2 - 2 b c cos θ Factorice b 2 . a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos θ La fórmula derivada es una de las tres ecuaciones de la ley de cosenos. Las demás ecuaciones se determinan de forma similar. Tenga en cuenta que siempre es útil dibujar el triángulo al resolver los ángulos o los lados. En una situación del mundo real, intente dibujar un diagrama de la situación. A medida que surja más información, quizás haya que modificar el diagrama. Haga esas modificaciones en el diagrama y, al final, será más fácil resolver el problema. Ley de cosenos La ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido. En los triángulos etiquetados como en la , con ángulos α , β , y γ , y los lados opuestos correspondientes a , b , y c , respectivamente, la ley de cosenos se da en tres ecuaciones. a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ Para resolver la medida que falta de un lado, se necesita la medida correspondiente del ángulo opuesto. Al momento de resolver un ángulo, se necesita la medida correspondiente del lado opuesto. Podemos utilizar otra versión de la ley de cosenos para resolver un ángulo. cos α = b 2 + c 2 - a 2 2 b c cos β = a 2 + c 2 - b 2 2 a c cos γ = a 2 + b 2 - c 2 2 a b Cómo Dados dos lados y el ángulo entre ellos (LAL), hallar las medidas del lado y los ángulos restantes de un triángulo. Dibuje el triángulo. Identifique las medidas de los lados y ángulos conocidos. Utilice las variables para representar las medidas de los lados y ángulos desconocidos. Aplique la ley de cosenos para medir la longitud del lado o ángulo desconocido. Aplique la ley de senos o cosenos para hallar la medida de un segundo ángulo. Calcule la medida del ángulo restante. Hallar el lado y los ángulos desconocidos de un triángulo LAL Halle el lado y los ángulos desconocidos del triángulo en la . En primer lugar, tome nota de lo que se da: dos lados y el ángulo entre ellos. Esta disposición se clasifica como LAL y suministra los datos necesarios para aplicar la ley de cosenos. Cada una de las tres leyes de los cosenos comienza con el cuadrado de un lado desconocido opuesto a un ángulo conocido. Para este ejemplo, el primer lado por resolver es el lado b , ya que conocemos la medida del ángulo opuesto β . b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β b 2 = 10 2 + 12 2 - 2 ( 10 ) ( 12 ) cos ( 30 ∘ ) Sustituya las medidas por las cantidades conocidas . b 2 = 100 + 144 − 240 ( 3 2 ) Evalúe el coseno y empiece a simplificar . b 2 = 244 − 120 3 b = 244 − 120 3 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . b ≈ 6,013 Ya que estamos resolviendo una longitud, utilizamos solo la raíz cuadrada positiva. Ahora que sabemos la longitud b , podemos utilizar la ley de senos para completar los ángulos restantes del triángulo. Al resolver el ángulo α , tenemos sen α a = sen β b sen α 10 = sen ( 30° ) 6,013 sen α = 10 sen ( 30° ) 6,013 Multiplique ambos lados de la ecuación por 10 . α = sen − 1 ( 10 sen ( 30° ) 6,013 ) Halle el seno inverso de 10 sen ( 30° ) 6,013 . α ≈ 56,3° La otra posibilidad para α sería α = 180° – 56,3° ≈ 123,7°. En el diagrama original, α es adyacente al lado más largo, por lo que α es un ángulo agudo y, por lo tanto, 123,7° no tiene sentido. Observe que si optamos por aplicar la ley de cosenos , llegamos a una respuesta única. No tenemos que considerar las otras posibilidades, ya que el coseno es único para ángulos entre 0° y 180°. Al proceder con α ≈ 56,3° , podemos entonces hallar el tercer ángulo del triángulo. γ = 180° − 30° − 56,3° ≈ 93,7° El conjunto completo de ángulos y lados es α ≈ 56,3° a = 10 β = 30° b ≈ 6,013 γ ≈ 93,7° c = 12 Ejercicio Halle el lado y los ángulos que faltan en el triángulo dado: α = 30° , b = 12 , c = 24. a ≈ 14,9 , β ≈ 23,8° , γ ≈ 126,2° . Resolver un ángulo de un triángulo LLL Halle el ángulo α para el triángulo dado si el lado a = 20 , el lado b = 25 , y el lado c = 18. Para este ejemplo no tenemos ángulos. Podemos resolver cualquier ángulo con la ley de cosenos. Para resolver el ángulo α , tenemos a 2 = b 2 + c 2 −2 b c cos α 20 2 = 25 2 + 18 2 −2 ( 25 ) ( 18 ) cos α Sustituya las medidas pertinentes . 400 = 625 + 324 − 900 cos α Simplifique en cada paso . 400 = 949 − 900 cos α -549 = -900 cos α Aísle el coseno α . -549 -900 = cos α 0,61 ≈ cos α cos −1 ( 0,61 ) ≈ α Halle el coseno inverso . α ≈ 52,4° Vea el . Análisis Dado que el coseno inverso puede arrojar cualquier ángulo entre 0 y 180 grados, no habrá ninguna ambigüedad con este método. Ejercicio Dados a = 5 , b = 7 , y c = 10 , halle los ángulos que faltan. α ≈ 27,7° , β ≈ 40,5° , γ ≈ 111,8° Resolver problemas aplicados mediante la ley de cosenos Así como la ley de senos proporcionó las ecuaciones apropiadas para resolver una serie de aplicaciones, la ley de cosenos se aplica a las situaciones en las que los datos dados se ajustan a los modelos del coseno. Podemos verlos en los campos de la navegación, la agrimensura, la astronomía y la geometría, por nombrar tan solo algunos. Usar la ley de cosenos para resolver un problema de comunicaciones En muchos teléfonos móviles con GPS, se puede dar una ubicación aproximada antes de recibir la señal GPS. Esto se consigue mediante un proceso llamado triangulación, que funciona utilizando las distancias de dos puntos conocidos. Supongamos que hay dos torres de telefonía móvil dentro del rango de un teléfono móvil. Las dos torres están situadas a 6.000 pies de distancia a lo largo de una autopista recta, que va de este a oeste, y el teléfono móvil está al norte de la autopista. Basándose en el retardo de la señal, se puede determinar que la señal está a 5.050 pies de la primera torre y a 2.420 pies de la segunda torre. Determine la posición del teléfono móvil al norte y al este de la primera torre, y ubique a qué distancia se encuentra de la autopista. Para simplificar, empezamos por dibujar un diagrama similar al de la y etiquetar nuestra información dada. Utilizando la ley de cosenos, podemos resolver el ángulo θ . Recuerde que en la ley de cosenos se utiliza el cuadrado de un lado para hallar el coseno del ángulo opuesto. Para este ejemplo, supongamos que a = 2.420 , b = 5.050 , y c = 6.000. Por lo tanto, θ corresponde al lado opuesto a = 2.420. a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos θ ( 2 , 420 ) 2 = ( 5.050 ) 2 + ( 6.000 ) 2 - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) cos θ ( 2.420 ) 2 - ( 5.050 ) 2 - ( 6 , 000 ) 2 = - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) cos θ ( 2.420 ) 2 - ( 5.050 ) 2 - ( 6.000 ) 2 - 2 ( 5.050 ) ( 6.000 ) = cos θ cos θ ≈ 0,9183 θ ≈ cos - 1 ( 0,9183 ) θ ≈ 23,3 ° Para responder las preguntas acerca de la posición del teléfono al norte y al este de la torre, y la distancia a la autopista, deje caer una perpendicular desde la posición del teléfono móvil, como en la . Esto forma dos triángulos rectángulos, aunque para este problema solo necesitamos el triángulo rectángulo que incluye la primera torre. Con el ángulo θ = 23,3° y las identidades trigonométricas básicas, podemos hallar las soluciones. Así, cos ( 23,3° ) = x 5.050 x = 5.050 cos ( 23,3° ) x ≈ 4.638,15 pies sen ( 23,3° ) = y 5.050 y = 5.050 sen ( 23,3° ) y ≈ 1.997,5 pies El teléfono celular se encuentra aproximadamente a 4.638 pies al este, a 1.998 pies al norte de la primera torre, y a 1.998 pies de la autopista. Calcular la distancia recorrida mediante un triángulo LAL Volviendo a nuestro problema al principio de esta sección, supongamos que un barco zarpa del puerto, recorre 10 millas, gira 20 grados y recorre otras 8 millas. ¿A qué distancia del puerto está el barco? El diagrama se repite aquí en la . El barco viró 20 grados, por lo que el ángulo obtuso del triángulo no rectángulo es el ángulo complementario, 180° − 20° = 160° . Con esto, podemos utilizar la ley de cosenos para hallar el lado que falta en el triángulo obtuso: la distancia del barco al puerto. x 2 = 8 2 + 10 2 - 2 ( 8 ) ( 10 ) cos ( 160° ) x 2 = 314,35 x = 314,35 x ≈ 17,7 millas El barco está a unas 17,7 millas del puerto. Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo Ya hemos aprendido a calcular el área de un triángulo oblicuo cuando conocemos dos lados y un ángulo. También conocemos la fórmula para hallar el área de un triángulo mediante la base y la altura. Sin embargo, cuando conocemos los tres lados, podemos utilizar la fórmula de Herón en lugar de calcular la altura. Herón de Alejandría fue un geómetra que vivió durante el siglo I d.C. Descubrió una fórmula para hallar el área de triángulos oblicuos cuando se conocen tres lados. Fórmula de Herón La fórmula de Herón sirve para determinar el área de los triángulos oblicuos cuyos lados a , b , y c son conocidas. Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) donde s = ( a + b + c ) 2 es la mitad del perímetro del triángulo, a veces llamado semiperímetro. Usar la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo dado Calcule el área del triángulo en la con la fórmula de Herón. En primer lugar, calculamos s . s = ( a + b + c ) 2 s = ( 10 + 15 + 7 ) 2 = 16 Entonces aplicamos la fórmula. Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) Área = 16 ( 16 − 10 ) ( 16 − 15 ) ( 16 − 7 ) Área ≈ 29,4 El área es de aproximadamente 29,4 unidades cuadradas. Ejercicio Utilice la fórmula de Herón para calcular el área de un triángulo con lados de longitudes a = 29,7 pies , b = 42,3 pies , y c = 38,4 pies . Área = 552 pies cuadrados Aplicar la fórmula de Herón a un problema del mundo real Un promotor de la ciudad de Chicago quiere construir un edificio de estudios para artistas en un solar triangular delimitado por Rush Street, Wabash Avenue y Pearson Street. La fachada a lo largo de la calle Rush es de aproximadamente 62,4 metros, a lo largo de la avenida Wabash es de aproximadamente 43,5 metros, y a lo largo de la calle Pearson es de aproximadamente 34,1 metros. ¿De cuántos metros cuadrados dispone el promotor? Vea la para una vista de la propiedad de la ciudad. Halle la medida para s , que es la mitad del perímetro. s = ( 62,4 + 43,5 + 34,1 ) 2 s = 70 m Aplique la fórmula de Herón. Área = 70 ( 70 − 62,4 ) ( 70 − 43,5 ) ( 70 − 34,1 ) Área = 506.118,2 Área ≈ 711,4 El promotor tiene unos 711,4 metros cuadrados. Ejercicio Calcule el área de un triángulo dado a = 4,38 pies , b = 3,79 pies, y c = 5,22 pies . unos 8,15 pies cuadrados Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la ley de cosenos. Ley de cosenos Ley de cosenos: Aplicaciones Ley de cosenos: Aplicaciones 2 Ecuaciones clave Ley de cosenos a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b c o s γ fórmula de Herón Área = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) donde s = ( a + b + c ) 2 Conceptos clave La ley de cosenos define la relación entre las medidas de los ángulos y las longitudes de los lados en los triángulos oblicuos. El teorema generalizado de Pitágoras es la Ley de cosenos para dos casos de triángulos oblicuos: LAL y LLL. Al dejar caer una perpendicular imaginaria se divide el triángulo oblicuo en dos triángulos rectángulos o se forma uno solo, lo que permite relacionar los lados y calcular las medidas. Vea el y el . La ley de cosenos es útil para muchos tipos de problemas aplicados. El primer paso para resolver este tipo de problemas suele ser hacer un esquema del problema planteado. Si la información dada se ajusta a uno de los tres modelos (las tres ecuaciones), entonces se aplica la ley de cosenos para dar con una solución. Vea el y el . La fórmula de Herón permite calcular el área en triángulos oblicuos. Hay que conocer los tres lados para aplicar la fórmula de Herón. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Si busca un lado que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos? dos lados y el ángulo opuesto al lado que falta. Si busca un ángulo que falta en un triángulo, ¿qué necesita saber al momento de utilizar la ley de cosenos? Explique qué representa s en la fórmula de Herón. s es el semiperímetro, que es la mitad del perímetro del triángulo. Explique la relación entre el teorema de Pitágoras y la ley de cosenos. ¿Cuándo hay que utilizar la ley de cosenos en lugar del teorema de Pitágoras? La ley de cosenos debe utilizarse para cualquier triángulo oblicuo (no rectángulo). Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Si es posible, resuelva cada triángulo para el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana. γ = 41,2° , a = 2,49 , b = 3,13 α = 120° , b = 6 , c = 7 11,3 β = 58,7° , a = 10,6 , c = 15,7 γ = 115° , a = 18 , b = 23 34,7 α = 119° , a = 26 , b = 14 γ = 113° , b = 10 , c = 32 26,7 β = 67° , a = 49 , b = 38 α = 43,1° , a = 184,2 , b = 242,8 257,4 α = 36,6° , a = 186,2 , b = 242,2 β = 50° , a = 105 , b = 45 no es posible En los siguientes ejercicios, utilice la ley de cosenos para resolver el ángulo que falta en el triángulo oblicuo. Redondee a la décima más cercana. a = 42 , b = 19 , c = 30 ; halle el ángulo A . a = 14 , b = 13 , c = 20 ; halle el ángulo C . 95,5° a = 16 , b = 31 , c = 20 ; halle el ángulo B . a = 13 , b = 22 , c = 28 ; halle el ángulo A . 26,9° a = 108 , b = 132 , c = 160 ; halle el ángulo C . En los siguientes ejercicios, resuelva el triángulo. Redondee a la décima más cercana. A = 35° , b = 8 , c = 11 B ≈ 45,9° , C ≈ 99,1° , a ≈ 6,4 B = 88° , a = 4,4 , c = 5,2 C = 121° , a = 21 , b = 37 A ≈ 20,6° , B ≈ 38,4° , c ≈ 51,1 a = 13 , b = 11 , c = 15 a = 3,1 , b = 3,5 , c = 5 A ≈ 37,8° , B ≈ 43,8 , C ≈ 98,4° a = 51 , b = 25 , c = 29 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de Herón para calcular el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana. Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 18 pulgadas, 21 pulgadas y 32 pulgadas. Redondee a la décima más cercana. 177,56 in 2 Calcule el área de un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 26 cm y 37 cm. Redondee a la décima más cercana. a = 1 2 m , b = 1 3 m , c = 1 4 m 0,04 m 2 a = 12,4 pies , b = 13,7 pies , c = 20,2 pies a = 1,6 yardas , b = 2,6 yardas , c = 4,1 yardas 0,91 yardas 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x . Redondee a la décima más cercana. 3,0 29,1 0,5 En los siguientes ejercicios, halle la medida del ángulo A . 70,7° 77,4° Calcule la medida de cada ángulo en el triángulo que se indica en la . Redondee a la décima más cercana. En los siguientes ejercicios, resuelva el lado desconocido. Redondee a la décima más cercana. 25,0 9,3 En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. Redondee a la centésima más cercana. 43,52 1,41 0,14 Extensiones Un paralelogramo tiene lados de longitud 16 unidades y 10 unidades. La diagonal más corta es de 12 unidades. Calcule la medida de la diagonal más larga. Los lados de un paralelogramo son 11 pies y 17 pies. La diagonal más larga es de 22 pies. Calcule la longitud de la diagonal más corta. 18,3 Los lados de un paralelogramo miden 28 centímetros y 40 centímetros. La medida del ángulo mayor es 100°. Calcule la longitud de la diagonal más corta. Un octógono regular está inscrito en un círculo con un radio de 8 pulgadas. (Vea la ). Halle el perímetro del octógono. 48,98 Un pentágono regular está inscrito en un círculo de radio de 12 cm. (Vea la ). Halle el perímetro del pentágono. Redondee a la décima de centímetro más cercana. En los siguientes ejercicios, supongamos que x 2 = 25 + 36 − 60 cos ( 52 ) representa la relación de tres lados de un triángulo y el coseno de un ángulo. Dibuje el triángulo. Mida la longitud del tercer lado. En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo. 7,62 85,1 Aplicaciones en el mundo real Un topógrafo ha tomado las medidas indicadas en la . Mida la distancia a través del lago. Redondee las respuestas a la décima más cercana. Un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la (no a escala). Calcule la distancia entre las dos ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana. 24,0 km Un avión vuela 220 millas con un rumbo de 40°, y luego vuela 180 millas con un rumbo de 170°. ¿A qué distancia está el avión de su punto de partida y con qué rumbo? Redondee las respuestas a la décima más cercana. Una torre de 113 pies está situada en una colina con una inclinación de 34° respecto a la horizontal, como se muestra en la . Se fijará un cable de sujeción en la parte superior de la torre y se anclará en un punto situado a 98 pies de la base de la torre. Halle la longitud del cable necesario. 99,9 pies Dos barcos zarpan del puerto al mismo tiempo. Un barco viaja a una velocidad de 18 millas por hora con un rumbo de 320°. El otro barco viaja a una velocidad de 22 millas por hora con un rumbo de 194°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 10 horas de viaje. El gráfico en la representa dos barcos que zarpan al mismo tiempo del mismo muelle. El primer barco viaja a 18 millas por hora con un rumbo de 327° y el segundo barco viaja a 4 millas por hora con un rumbo de 60°. Calcule la distancia entre los dos barcos después de 2 horas. 37,3 millas Una piscina triangular mide 40 pies por un lado y 65 pies por el otro. Estos lados forman un ángulo que mide 50°. ¿Qué longitud tiene el tercer lado (redondeando a la décima más cercana)? Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos. A continuación, realiza una corrección de rumbo, dirigiéndose 10° a la derecha de su rumbo original, y vuela 2 horas en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 680 millas por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su posición inicial? 2.371 millas Los Ángeles está a 1.744 millas de Chicago, Chicago está a 714 millas de Nueva York y Nueva York está a 2.451 millas de Los Ángeles. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y halle los ángulos del triángulo. Filadelfia está a 140 millas de Washington D.C., Washington D.C. está a 442 millas de Boston y Boston está a 315 millas de Filadelfia. Dibuje un triángulo que conecte estas tres ciudades y encuentra los ángulos del triángulo. Dos aviones salen del mismo aeropuerto a la vez. Uno vuela a 20° al este del norte a 500 millas por hora. El segundo vuela a 30° al este del sur a 600 millas por hora. ¿A qué distancia están los aviones después de 2 horas? Dos aviones despegan en direcciones diferentes. Uno viaja a 300 mph hacia el oeste y el otro viaja 25° al norte del oeste a 420 mph. Después de 90 minutos, ¿a qué distancia están, suponiendo que vuelan a la misma altitud? 292,4 millas Un paralelogramo tiene lados de longitud 15,4 unidades y 9,8 unidades. Su área es de 72,9 unidades cuadradas. Calcule la medida de la diagonal más larga. Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 4,5 cm, 7,9 cm, 9,4 cm y 12,9 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 117°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero? 65,4 cm 2 Los cuatro lados secuenciales de un cuadrilátero tienen longitudes de 5,7 cm, 7,2 cm, 9,4 cm y 12,8 cm. El ángulo entre los dos lados más pequeños es de 106°. ¿Cuál es el área de este cuadrilátero? Calcule el área de una parcela triangular que mide 30 pies en un lado y 42 pies en otro; el ángulo incluido mide 132°. Redondee al pie cuadrado más cercano. 468 pies 2 Calcule el área de una parcela triangular que mide 110 pies en un lado y 250 pies en otro; el ángulo incluido mide 85°. Redondee al pie cuadrado más cercano. Ley de cosenos establece que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados y el coseno del ángulo incluido Teorema generalizado de Pitágoras extensión de la ley de cosenos; relaciona los lados de un triángulo oblicuo y se utiliza para los triángulos LAL y LLL", "section": "Triángulos no rectángulos: ley de cosenos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Coordenadas polares A más de 12 kilómetros del puerto, un velero se topa con mal tiempo y lo desvía de su rumbo un viento de 16 nudos (vea la ). ¿Cómo puede el marinero indicar su ubicación a los guardacostas? En esta sección, investigaremos un método de representación de la ubicación, que es diferente de la típica cuadrícula de coordenadas. Trazar puntos mediante coordenadas polares Cuando pensamos en trazar puntos en el plano, pensamos en coordenadas rectangulares ( x , y ) en el plano de coordenadas cartesianas. Sin embargo, hay otras formas de escribir un par de coordenadas y otros tipos de sistemas de cuadrícula. En esta sección, introducimos a las coordenadas polares , que son puntos marcados ( r , θ ) y trazados en una cuadrícula polar. La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo o el origen del plano de coordenadas. La cuadrícula polar se presenta a escala como el círculo unitario con el eje x positivo visto ahora como el eje polar y el origen como el polo. La primera coordenada r es el radio o la longitud del segmento rectilíneo dirigido desde el polo. El ángulo θ , medido en radianes, indica la dirección de r . Nos movemos en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje polar en un ángulo de θ , y medimos un segmento rectilíneo dirigido de longitud r en dirección a θ . Aunque midamos θ primero y luego r , el punto polar se escribe primero con la coordenada r . Por ejemplo, para trazar el punto ( 2 , π 4 ) , nos trasladaríamos π 4 unidades en el sentido contrario a las agujas del reloj y luego en una longitud de 2 desde el polo. Este punto se representa en la cuadrícula en la . Trazar un punto en la cuadrícula polar Trace el punto ( 3 , π 2 ) en la cuadrícula de coordenadas polares. El ángulo π 2 se encuentra al hacer un barrido en sentido contrario a las agujas del reloj a 90° del eje polar. El punto se sitúa a una longitud de 3 unidades del polo en la dirección π 2 , como se muestra en la . Ejercicio Trace el punto ( 2 , π 3 ) en la cuadrícula polar . Trazar un punto en el sistema de coordenadas polares con componente negativa Trace el punto ( – 2 , π 6 ) en la cuadrícula de coordenadas polares. Sabemos que π 6 se localiza en el primer cuadrante. Sin embargo, r = -2. Podemos acercarnos a trazar un punto con coordenada r negativa de dos maneras: Trace el punto ( 2 , π 6 ) al mover π 6 en el sentido contrario a las agujas del reloj y al extender un segmento rectilíneo dirigido 2 unidades en el primer cuadrante. A continuación, vuelva a trazar el segmento rectilíneo dirigido a través del polo, y continúe 2 unidades en el tercer cuadrante. Desplace π 6 en el sentido contrario a las agujas del reloj, y dibuje el segmento rectilíneo dirigido desde el polo 2 unidades en la dirección negativa, en el tercer cuadrante. Vea la (a). Compare esto con el gráfico de la coordenada polar ( 2 , π 6 ) que se muestra en la (b). Ejercicio Trace los puntos ( 3 , - π 6 ) y ( 2 , 9 π 4 ) en la misma cuadrícula polar. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares Cuando se da un conjunto de coordenadas polares , quizá tengamos que convertirlas en coordenadas rectangulares . Para ello, podemos recordar las relaciones que existen entre las variables x , y , r , y θ . cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ La perpendicular que cae desde el punto del plano hasta el eje x forma un triángulo rectángulo, como se ilustra en la . Una forma fácil de recordar las ecuaciones anteriores es pensar en cos θ como el lado adyacente sobre la hipotenusa y sen θ como el lado opuesto sobre la hipotenusa. Convertir coordenadas polares a coordenadas rectangulares Para convertir las coordenadas polares ( r , θ ) a coordenadas rectangulares ( x , y ) , supongamos que cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ Cómo Dadas las coordenadas polares, convertir a coordenadas rectangulares. Dada la coordenada polar ( r , θ ) , escriba x = r cos θ y y = r sen θ . Evalúe cos θ y sen θ . Multiplique cos θ entre r para hallar la coordenada de la x de la forma rectangular. Multiplique sen θ entre r para hallar la coordenada de l a y de la forma rectangular. Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares Escriba las coordenadas polares ( 3 , π 2 ) como coordenadas rectangulares. Utilice las relaciones equivalentes. x = r cos θ x = 3 cos π 2 = 0 y = r sen θ y = 3 sen π 2 = 3 Las coordenadas rectangulares son ( 0 , 3 ) . Vea la . Escribir coordenadas polares como coordenadas rectangulares Escriba las coordenadas polares ( – 2 , 0 ) como coordenadas rectangulares. Vea la . Al escribir las coordenadas polares como rectangulares, tenemos x = r cos θ x = −2 cos ( 0 ) = –2 y = r sen θ y = –2 sen ( 0 ) = 0 Las coordenadas rectangulares también son ( – 2 , 0 ) . Ejercicio Escriba las coordenadas polares ( - 1 , 2 π 3 ) como coordenadas rectangulares. ( x , y ) = ( 1 2 , - 3 2 ) Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares Para convertir las coordenadas rectangulares en coordenadas polares , utilizaremos otras dos relaciones conocidas. Con esta conversión, sin embargo, tenemos que ser conscientes de que un conjunto de coordenadas rectangulares dará lugar a más de un punto polar. Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas polares La conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas polares requiere el uso de una o más de las relaciones ilustradas en la . cos θ = x r x = r cos θ sen θ = y r o y = r sen θ r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x Escribir coordenadas rectangulares como coordenadas polares Convierta las coordenadas rectangulares ( 3 , 3 ) a coordenadas polares. Vemos que el punto original ( 3 , 3 ) está en el primer cuadrante. Para hallar θ , utilice la fórmula tan θ = y x . Esto da tan θ = 3 3 tan θ = 1 θ = tan –1 ( 1 ) θ = π 4 Para hallar r , sustituimos los valores de x como y en la fórmula r = x 2 + y 2 . Sabemos que r debe ser positivo, ya que π 4 está en el primer cuadrante. Así, r = 3 2 + 3 2 r = 9 + 9 r = 18 = 3 2 Así que, r = 3 2 y θ = π 4 , lo que nos da el punto polar ( 3 2 , π 4 ) . Vea la . Análisis Hay otros conjuntos de coordenadas polares que serán iguales a nuestra primera solución. Por ejemplo, los puntos ( - 3 2 , 5 π 4 ) y ( 3 2 , - 7 π 4 ) coincidirán con la solución original de ( 3 2 , π 4 ) . El punto ( - 3 2 , 5 π 4 ) indica un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj por π , que está justo enfrente de π 4 . El radio se expresa como − 3 2 . Sin embargo, el ángulo 5 π 4 se sitúa en el tercer cuadrante y, dado que r es negativo, extendemos el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta, en el primer cuadrante. Este es el mismo punto que ( 3 2 , π 4 ) . El punto ( 3 2 , - 7 π 4 ) es un movimiento más en el sentido de las agujas del reloj por − 7 π 4 , a partir de π 4 . El radio, 3 2 , es el mismo. Transformar ecuaciones entre formas polares y rectangulares Ahora podemos convertir las coordenadas entre la forma polar y la rectangular. La conversión de ecuaciones puede ser más difícil, pero valdría la pena convertir entre las dos formas. Debido a que hay una serie de ecuaciones polares que no pueden expresarse claramente en forma cartesiana, y viceversa, podemos utilizar los mismos procedimientos que utilizamos para convertir puntos entre los sistemas de coordenadas. A continuación, podemos utilizar una calculadora gráfica para representar la forma rectangular o la forma polar de la ecuación. Cómo Dada una ecuación en forma polar, grafíquela con una calculadora gráfica. Cambie el MODO a POL , que representa la forma polar. Pulse el botón Y= para que aparezca una pantalla que permite introducir seis ecuaciones r 1 , r 2 , . . . , r 6 . Introduzca la ecuación polar, ajustada a r . Pulse GRAPH . Escribir una ecuación cartesiana en forma polar Escriba la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 9 en forma polar. El objetivo es eliminar la x como y de la ecuación e introducir r y θ . Lo ideal sería escribir la ecuación r en función de θ . Para obtener la forma polar, utilizaremos las relaciones entre ( x , y ) y ( r , θ ) . Dado que x = r cos θ y y = r sen θ , podemos sustituir y resolver r . ( r cos θ ) 2 + ( r sen θ ) 2 = 9 r 2 cos 2 θ + r 2 sen 2 θ = 9 r 2 ( cos 2 θ + sen 2 θ ) = 9 r 2 ( 1 ) = 9 Sustituya a cos 2 θ + sen 2 θ = 1. r = ± 3 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada . Así, x 2 + y 2 = 9 , r = 3 , y r = - 3 debería generar el mismo gráfico. Vea el . (a) Forma cartesiana x 2 + y 2 = 9 (b) Forma polar r = 3 Para graficar un círculo en forma rectangular, primero debemos resolver y . x 2 + y 2 = 9 y 2 = 9 - x 2 y = ± 9 - x 2 Observe que se trata de dos funciones distintas, ya que un círculo no supera la prueba de la línea vertical. Por lo tanto, tenemos que introducir en la calculadora las raíces cuadradas positivas y negativas por separado, como dos ecuaciones de la forma Y 1 = 9 - x 2 y Y 2 = - 9 - x 2 . Pulse GRAPH. Reescribir una ecuación cartesiana como ecuación polar Reescribir la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = 6 y como una ecuación polar. Esta ecuación es similar a la del ejemplo anterior, pero requiere diferentes pasos para convertir la ecuación. Podemos seguir los mismos procedimientos que ya hemos aprendido y hacer las siguientes sustituciones: r 2 = 6 y Uso x 2 + y 2 = r 2 . r 2 = 6 r sen θ Sustituya y = r sen θ . r 2 - 6 r sen θ = 0 Iguale a 0 . r ( r − 6 sen θ ) = 0 Factorice y resuelva . r = 0 Rechazamos r = 0 , ya que solo representa un punto, ( 0 , 0 ) . r = 6 sen θ Por lo tanto, las ecuaciones x 2 + y 2 = 6 y y r = 6 sen θ debería darnos el mismo gráfico. Vea la . (a) Forma cartesiana x 2 + y 2 = 6 y (b) forma polar r = 6 sen θ La ecuación cartesiana o rectangular se traza en la cuadrícula rectangular, y la ecuación polar se traza en la cuadrícula polar. Claramente, los gráficos son idénticos. Reescribir una ecuación cartesiana en forma polar Reescribir la ecuación cartesiana y = 3 x + 2 como una ecuación polar. Utilizaremos las relaciones x = r cos θ y y = r sen θ . y = 3 x + 2 r sen θ = 3 r cos θ + 2 r sen θ - 3 r cos θ = 2 r ( sen θ - 3 cos θ ) = 2 Aísle r . r = 2 sen θ - 3 cos θ Resuelva para r . Ejercicio Reescribir la ecuación cartesiana y 2 = 3 - x 2 en forma polar. r = 3 Identificar y graficar ecuaciones polares al convertirlas en ecuaciones rectangulares Hemos aprendido a convertir coordenadas rectangulares en coordenadas polares, y hemos visto que los puntos son efectivamente los mismos. También hemos transformado ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y viceversa. Ahora demostraremos que sus gráficos, aunque dibujados en cuadrículas diferentes, son idénticos. Graficar una ecuación polar al convertirla en una ecuación rectangular Convierta la ecuación polar r = 2 s θ en una ecuación rectangular, y dibuje su correspondiente gráfico. La conversión es r = 2 s θ r = 2 cos θ r cos θ = 2 x = 2 Observe que la ecuación r = 2 s θ dibujada en la cuadrícula polar es claramente la misma que la línea vertical x = 2 dibujada en la cuadrícula rectangular (vea la ). Así como x = c es la forma estándar para una línea vertical en forma rectangular, r = c sec θ es la forma estándar para una línea vertical en forma polar. (a) Cuadrícula polar (b) Sistema de coordenadas rectangulares Una explicación similar demostraría que el gráfico de la función r = 2 csc θ será la línea horizontal y = 2. De hecho, r = c csc θ es la forma estándar de una línea horizontal en forma polar, correspondiente a la forma rectangular y = c . Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana Reescriba la ecuación polar r = 3 1 - 2 cos θ como una ecuación cartesiana. El objetivo es eliminar la θ y r , e introducir la x como y . Despejamos la fracción y luego utilizamos la sustitución. Para sustituir r con la x como y , debemos utilizar la expresión x 2 + y 2 = r 2 . r = 3 1 2 cos θ r ( 1 2 ( x r ) ) = 3 r 2 x = 3 Uso cos θ = x r t i elimine θ r 2 x = 3 r = 3 + 2 x Aísle r r 2 = ( 3 + 2 x ) 2 Lleve al cuadrado ambos lados x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 Uso x 2 + y 2 = r 2 La ecuación cartesiana es x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 . Sin embargo, para graficarlo, especialmente con una calculadora gráfica o un programa computarizado, queremos aislar y . x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 - x 2 y = ± ( 3 + 2 x ) 2 - x 2 Cuando toda nuestra ecuación se haya cambiado de r y θ a la x como y , podemos parar, a no ser que se nos pida que resolvamos y o simplificar. Vea la . La forma de \"reloj de arena\" en el gráfico se denomina hipérbola . Las hipérbolas tienen muchas características y aplicaciones geométricas interesantes, que investigaremos más a fondo en Geometría Analítica . Análisis En este ejemplo, el lado derecho de la ecuación puede expandirse y la ecuación simplificarse aún más, como se indica arriba. Sin embargo, la ecuación no puede escribirse como una sola función en forma cartesiana. Podemos escribir la ecuación rectangular en la forma estándar de la hipérbola. Para ello, podemos empezar con la ecuación inicial. x 2 + y 2 = ( 3 + 2 x ) 2 x 2 + y 2 ( 3 + 2 x ) 2 = 0 x 2 + y 2 ( 9 + 12 x + 4 x 2 ) = 0 x 2 + y 2 9 12 x 4 x 2 = 0 3 x 2 12 x + y 2 = 9 Multiplique esto por 1 3 x 2 + 12 x y 2 = 9 3 ( x 2 + 4 x + ) y 2 = 9 3 ( x 2 + 4 x + 4 ) y 2 = 9 + 12 O r g a n i c e los términos para completar el unidades para x 3 ( x + 2 ) 2 y 2 = 3 ( x + 2 ) 2 y 2 3 = 1 Ejercicio Reescriba la ecuación polar r = 2 sen θ en forma cartesiana. x 2 + y 2 = 2 y o, en la forma estándar para un círculo, x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 Reescribir una ecuación polar en forma cartesiana Reescriba la ecuación polar r = sen ( 2 θ ) en forma cartesiana. r = sen ( 2 θ ) Utilice la identidad de ángulo doble para el seno . r = 2 sen θ cos θ Uso cos θ = x r y sen θ = y r . r = 2 ( x r ) ( y r ) Simplifique . r = 2 x y r 2 Multiplique ambos lados por r 2 . r 3 = 2 x y ( x 2 + y 2 ) 3 = 2 x y Dado que x 2 + y 2 = r 2 , r = x 2 + y 2 . Esta ecuación también se escribe como ( x 2 + y 2 ) 3 2 = 2 x y o x 2 + y 2 = ( 2 x y ) 2 3 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las coordenadas polares. Introducción a las coordenadas polares Comparación de coordenadas polares y rectangulares Ecuaciones clave Fórmulas de conversión cos θ = x r → x = r cos θ sen θ = y r → y = r sen θ r 2 = x 2 + y 2 tan θ = y x Conceptos clave La cuadrícula polar se representa como una serie de círculos concéntricos que irradian desde el polo u origen. Para trazar un punto en la forma ( r , θ ) , θ > 0 , se mueven en dirección contraria al eje polar en un ángulo de θ , y luego se extiende un segmento rectilíneo dirigido desde el polo de la longitud de r en dirección a θ . Si θ es negativo, muévalo en el sentido de las agujas del reloj y extienda un segmento rectilíneo dirigido de la longitud de r en dirección a θ . Vea el . Si los valores de r es negativo, extienda el segmento rectilíneo dirigido en la dirección opuesta a θ . Vea el . Para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares, utilice las fórmulas x = r cos θ y y = r sen θ . Vea el y el . Para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, utilice una o varias de las fórmulas cos θ = x r , sen θ = y r , tan θ = y x , y r = x 2 + y 2 . Vea el . La transformación de las ecuaciones entre las formas polares y rectangulares implica la realización de las sustituciones adecuadas a partir de las fórmulas disponibles, junto con manipulaciones algebraicas. Vea el , el y el . El uso de las sustituciones adecuadas permite reescribir una ecuación polar como una ecuación rectangular y luego graficarla en el plano rectangular. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿En qué se diferencian las coordenadas polares de las rectangulares? En las coordenadas polares, el punto en el plano depende del ángulo respecto al eje positivo x y de la distancia desde el origen, mientras que en las coordenadas cartesianas, el punto representa las distancias horizontal y vertical desde el origen. Por cada punto en el plano de las coordenadas hay una representación, pero por cada punto en el plano polar hay infinitas representaciones. ¿En qué se diferencian los ejes polares de los ejes de x y de y en el plano cartesiano? Explique cómo se grafican las coordenadas polares. Determine θ para el punto y luego mueva r unidades del polo para trazar el punto. Si los valores de r es negativo, mueva r unidades desde el polo en la dirección opuesta, pero a lo largo del mismo ángulo. El punto es una distancia de r desde el origen en un ángulo de θ desde el eje polar. ¿Cómo son los puntos ( 3 , π 2 ) y ( - 3 , π 2 ) ? Explique por qué los puntos ( - 3 , π 2 ) y ( 3 , - π 2 ) son los mismos. El punto ( - 3 , π 2 ) tiene un ángulo positivo, pero un radio negativo, y se traza al desplazarse a un ángulo de π 2 y luego se mueve 3 unidades en la dirección negativa. Esto coloca el punto 3 unidades por debajo del eje negativo de y . El punto ( 3 , - π 2 ) tiene un ángulo negativo y un radio positivo y se traza al moverlo primero a un ángulo de − π 2 y luego al moverlo 3 unidades hacia abajo, que es la dirección positiva para un ángulo negativo. El punto también está a 3 unidades del eje negativo y . Algebraicos En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas polares dadas en coordenadas cartesianas. Recuerde el cuadrante donde se encuentra el punto dado cuando determine θ para el punto. ( 7 , 7 π 6 ) ( 5 , π ) ( - 5 , 0 ) ( 6 , - π 4 ) ( - 3 , π 6 ) ( - 3 3 2 , - 3 2 ) ( 4 , 7 π 4 ) En los siguientes ejercicios, convierta las coordenadas cartesianas dadas en coordenadas polares con r > 0 , 0 ≤ θ < 2 π . Recuerde considerar el cuadrante en el que se localiza el punto dado. ( 4 , 2 ) ( 2 5 , 0,464 ) ( - 4 , 6 ) ( 3 , −5 ) ( 34 , 5,253 ) ( –10 , -13 ) ( 8 , 8 ) ( 8 2 , π 4 ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar. x = 3 y = 4 r = 4 csc θ y = 4 x 2 y = 2 x 4 r = s e n θ 2 c o s 4 θ 3 x 2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2 = 3 x r = 3 cos θ x 2 - y 2 = x x 2 - y 2 = 3 y r = 3 sen θ cos ( 2 θ ) x 2 + y 2 = 9 x 2 = 9 y r = 9 sen θ cos 2 θ y 2 = 9 x 9 x y = 1 r = 1 9 cos θ sen θ En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. Escriba en la forma estándar de una cónica, si es posible, e identifique la sección cónica representada. r = 3 sen θ r = 4 cos θ x 2 + y 2 = 4 x o ( x - 2 ) 2 4 + y 2 4 = 1 ; círculo r = 4 sen θ + 7 cos θ r = 6 cos θ + 3 sen θ 3 y + x = 6 ; línea r = 2 s θ r = 3 csc θ y = 3 ; línea r = r cos θ + 2 r 2 = 4 sec θ csc θ x y = 4 ; hipérbola r = 4 r 2 = 4 x 2 + y 2 = 4 ; círculo r = 1 4 cos θ - 3 sen θ r = 3 cos θ − 5 sen θ x - 5 y = 3 ; línea Gráficos En los siguientes ejercicios, halle las coordenadas polares del punto. ( 3 , 3 π 4 ) ( 5 , π ) En los siguientes ejercicios, trace los puntos. ( – 2 , π 3 ) ( - 1 , - π 2 ) ( 3,5 , 7 π 4 ) ( - 4 , π 3 ) ( 5 , π 2 ) ( 4 , - 5 π 4 ) ( 3 , 5 π 6 ) ( − 1,5 , 7 π 6 ) ( – 2 , π 4 ) ( 1 , 3 π 2 ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma rectangular a polar y grafique en el eje polar. 5 x - y = 6 r = 6 5 cos θ - sen θ 2 x + 7 y = - 3 x 2 + ( y - 1 ) 2 = 1 r = 2 sen θ ( x + 2 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 13 x = 2 r = 2 cos θ x 2 + y 2 = 5 y x 2 + y 2 = 3 x r = 3 cos θ En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación de forma polar a rectangular y grafique en el plano rectangular. r = 6 r = – 4 x 2 + y 2 = 16 θ = - 2 π 3 θ = π 4 y = x r = sec θ r = −10 sen θ x 2 + ( y + 5 ) 2 = 25 r = 3 cos θ En tecnología Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( 2 , - π 5 ) . Redondee a la milésima más cercana. ( 1,618 , − 1,176 ) Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas rectangulares de ( - 3 , 3 π 7 ) . Redondee a la milésima más cercana. Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( − 7 , 8 ) en grados. Redondee a la milésima más cercana. ( 10,630 , 131,186° ) Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( 3 , - 4 ) en grados. Redondee a la centésima más cercana. Utilice una calculadora gráfica para calcular las coordenadas polares de ( – 2 , 0 ) en radianes. Redondee a la centésima más cercana. ( 2 , 3,14 ) i r ( 2 , π ) Extensiones Describa el gráfico de r = a sec θ ; a > 0 . Describa el gráfico de r = a sec θ ; a < 0 . Línea vertical con a unidades a la izquierda del eje y . Describa el gráfico de r = a csc θ ; a > 0 . Describa el gráfico de r = a csc θ ; a < 0 . Línea horizontal con a unidades por debajo del eje x . ¿Qué ecuaciones polares darán una línea oblicua? En el siguiente ejercicio, grafique la inecuación polar. r < 4 0 ≤ θ ≤ π 4 θ = π 4 , r ≥ 2 θ = π 4 , r ≥ −3 0 ≤ θ ≤ π 3 , r < 2 − π 6 < θ ≤ π 3 , - 3 < r < 2 eje polar en la cuadrícula polar, el equivalente al eje positivo x en la cuadrícula rectangular coordenadas polares en la cuadrícula polar, las coordenadas de un punto marcado como ( r , θ ) , donde θ indica el ángulo de rotación con respecto al eje polar y r representa el radio o la distancia del punto desde el polo en la dirección de θ polo el origen de la cuadrícula polar", "section": "Coordenadas polares", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Coordenadas polares: gráficos Los planetas se mueven por el espacio en órbitas elípticas y periódicas alrededor del sol, como se muestra en la . Están en constante movimiento, por lo que fijar una posición exacta de cualquier planeta solo es válido durante un momento. En otras palabras, solo podemos fijar la posición instantánea de un planeta. Esta es una aplicación de las coordenadas polares , representadas como ( r , θ ) . Interpretamos r como la distancia al Sol y θ como el rumbo angular del planeta, o su dirección desde un punto fijo del Sol. En esta sección nos centraremos en el sistema polar y en los gráficos que se generan directamente a partir de coordenadas polares. Los planetas siguen trayectorias elípticas mientras orbitan alrededor del Sol (créditos: modificación del trabajo de la NASA/Laboratorio de Propulsión a Chorro [Jet Propulsion Laboratory, JPL]-Instituto de Tecnología de California [California Institute of Technology, Caltech]). Probar la simetría de las ecuaciones polares Al igual que una ecuación rectangular como y = x 2 describe la relación entre x y y en una cuadrícula cartesiana, una ecuación polar describe una relación entre r y θ en una cuadrícula polar. Recordemos que el par de coordenadas ( r , θ ) indica que nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar (eje x positivo) en un ángulo de θ , y extiende un rayo desde el polo (origen) de r unidades en la dirección de θ . Todos los puntos que satisfacen la ecuación polar están en el gráfico. La simetría es una propiedad que nos ayuda a reconocer y trazar el gráfico de cualquier ecuación. Si una ecuación tiene un gráfico que es simétrico respecto a un eje, significa que si doblamos el gráfico por la mitad sobre ese eje, la parte del gráfico de un lado coincidiría con la parte del otro lado. Realizando tres pruebas, veremos cómo aplicar las propiedades de la simetría a las ecuaciones polares. Además, utilizaremos la simetría (además de trazar puntos clave, ceros y máximos de r ) para determinar el gráfico de una ecuación polar. En la primera prueba, consideramos la simetría con respecto a la línea θ = π 2 (eje y ). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) para determinar si la nueva ecuación es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 2 sen θ ; r = 2 sen θ − r = 2 sen ( - θ ) Sustituya ( r , θ ) con ( - r , - θ ) . − r = –2 sen θ La identidad: sen ( - θ ) = - sen θ . r = 2 sen θ Multiplique ambos lados por −1. Esta ecuación presenta simetría con respecto a la línea θ = π 2 . En la segunda prueba, consideramos la simetría con respecto al eje polar (eje x ). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( r , - θ ) o ( - r , π - θ ) para determinar la equivalencia entre la ecuación probada y la original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 1 - 2 cos θ . r = 1 - 2 cos θ r = 1 - 2 cos ( - θ ) Sustituya ( r , θ ) con ( r , - θ ) . r = 1 - 2 cos θ Identidad par/impar El gráfico de esta ecuación presenta simetría con respecto al eje polar. En la tercera prueba, consideramos la simetría con respecto al polo (origen). Reemplazamos ( r , θ ) con la ( - r , θ ) para determinar si la ecuación probada es equivalente a la ecuación original. Por ejemplo, supongamos que nos dan la ecuación r = 2 sen ( 3 θ ). r = 2 sen ( 3 θ ) - r = 2 sen ( 3 θ ) La ecuación no ha superado la prueba de simetría , pero eso no significa que no sea simétrica con respecto al polo. La superación de una o más pruebas de simetría verifica que la simetría se mostrará en un gráfico. Sin embargo, el hecho de no superar las pruebas de simetría no indica necesariamente que un gráfico no sea simétrico con respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar, o el polo. En estos casos, podemos confirmar que la simetría existe trazando puntos de reflexión a través del eje de simetría aparente o del polo. La prueba de simetría es una técnica que simplifica hacer gráficos de las ecuaciones polares, pero su aplicación no es perfecta. Pruebas de simetría Una ecuación polar describe una curva en la cuadrícula polar. El gráfico de la ecuación polar se evalúa para tres tipos de simetría, como se indica la . (a) Un gráfico es simétrico respecto a la línea θ = π 2 (eje y ) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) produce una ecuación equivalente. (b) Un gráfico es simétrico con respecto al eje polar (eje x ) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( r , - θ ) o ( - r , π– θ ) produce una ecuación equivalente. (c) Un gráfico es simétrico con respecto al polo (origen) si la sustitución de ( r , θ ) con la ( - r , θ ) produce una ecuación equivalente. Cómo Dada una ecuación polar, pruebe la simetría. Sustituya la combinación adecuada de componentes para ( r , θ ) : ( - r , - θ ) para la simetría θ = π 2 ; ( r , - θ ) para la simetría del eje polar y ( - r , θ ) para la simetría con respecto al polo. Si las ecuaciones resultantes son equivalentes en una o más de las pruebas, el gráfico produce la simetría esperada. Probar la simetría de una ecuación polar Pruebe la ecuación r = 2 sen θ para la simetría. Comprobación para cada uno de los tres tipos de simetría. 1) Sustituir ( r , θ ) con la ( - r , - θ ) produce el mismo resultado. Por lo tanto, el gráfico es simétrico con respecto a la línea θ = π 2 . - r = 2 sen ( - θ ) - r = –2 sen θ Identidad par-impar r = 2 sen θ Multiplique por −1 Aprobado 2) La sustitución de θ con - θ no produce la misma ecuación. Por lo tanto, el gráfico no pasa la prueba y puede o no ser simétrico con respecto al eje polar. r = 2 sen ( - θ ) r = –2 sen θ Identidad par-impar r = –2 sen θ ≠ 2 sen θ Fallido 3) La sustitución de r con la – r cambia la ecuación y no pasa la prueba. El gráfico puede o no ser simétrico con respecto al polo. - r = 2 sen θ r = –2 sen θ ≠ 2 sen θ Fallido Análisis Utilizando una calculadora gráfica podemos ver que la ecuación r = 2 sen θ es un círculo centrado en ( 0 , 1 ) con radio r = 1 y es efectivamente simétrica a la línea θ = π 2 . También podemos ver que el gráfico no es simétrico con el eje polar ni el polo. Vea la . Ejercicio Pruebe la simetría de la ecuación: r = - 2 cos θ . La ecuación no supera la prueba de simetría con respecto a la línea θ = π 2 y con respecto al polo. Pasa la prueba de simetría del eje polar. Representar gráficamente ecuaciones polares mediante trazado de puntos Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas rectangulares construimos una tabla de valores de x y y . Para hacer un gráfico en el sistema de coordenadas polares construimos una tabla de valores θ y r . Introducimos valores de θ en una ecuación polar y calculamos r . Sin embargo, al usar las propiedades de simetría y calcular los valores clave de θ y r significa que se necesitarán menos cálculos. Hallar ceros y máximos Para hallar los ceros de una ecuación polar, resolvemos los valores de θ que resultan en r = 0 . Recordemos que, para hallar los ceros de las funciones polinómicas, fijamos la ecuación igual a cero y luego resolvemos para x . Utilizamos el mismo proceso para las ecuaciones polares. Establezca r = 0 , y resuelva para θ . Para muchas de las formas que encontraremos, el valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo aquellos valores de θ en la ecuación que da como resultado el valor máximo de las funciones trigonométricas. Considere que r = 5 cos θ ; la distancia máxima entre la curva y el poste es de 5 unidades. El valor máximo de la función coseno es 1 cuando θ = 0 , por lo que nuestra ecuación polar es 5 cos θ , y el valor θ = 0 producirá el máximo | r | . Del mismo modo, el valor máximo de la función de seno es 1 cuando θ = π 2 , y si nuestra ecuación polar es r = 5 sen θ , el valor θ = π 2 producirá el máximo | r | . Podemos hallar información adicional calculando los valores de r cuando θ = 0 . Estos puntos serían las intersecciones de los ejes polares, que pueden ser útiles para dibujar el gráfico e identificar la curva de una ecuación polar. Hallar los ceros y los valores máximos de una ecuación polar Utilizando la ecuación del , halle los ceros y el máximo | r | y, si es necesario, las intersecciones del eje polar de r = 2 sen θ . Para hallar los ceros, establezca r igual a cero y resuelva para θ . 2 sen θ = 0 sen θ = 0 θ = sen − 1 0 θ = n π donde n es un número entero Sustituya cualquiera de los valores θ en la ecuación. Utilizaremos 0, r = 2 sen ( 0 ) r = 0 Los puntos ( 0 , 0 ) y ( 0 , ± n π ) son los ceros de la ecuación. Todos coinciden, por lo que solo se ve un punto en el gráfico. Este punto es también la única intersección del eje polar. Para hallar el valor máximo de la ecuación, observe el valor máximo de la función trigonométrica sen θ , que se produce cuando θ = π 2 ± 2 k π lo que da como resultado sen ( π 2 ) = 1. Sustituya π 2 por θ. r = 2 sen ( π 2 ) r = 2 ( 1 ) r = 2 Análisis El punto ( 2 , π 2 ) será el valor máximo del gráfico. Vamos a trazar algunos puntos más para verificar el gráfico de un círculo. Vea la y la . θ r = 2 sen θ r 0 r = 2 sen ( 0 ) = 0 0 π 6 r = 2 sen ( π 6 ) = 1 1 π 3 r = 2 sen ( π 3 ) ≈ 1,73 1,73 π 2 r = 2 sen ( π 2 ) = 2 2 2 π 3 r = 2 sen ( 2 π 3 ) ≈ 1,73 1,73 5 π 6 r = 2 sen ( 5 π 6 ) = 1 1 π r = 2 sen ( π ) = 0 0 Ejercicio Sin convertir a coordenadas cartesianas, pruebe la simetría de la ecuación dada y halle los ceros y valores máximos de | r | : r = 3 cos θ . Las pruebas revelarán la simetría alrededor del eje polar. El cero es ( 0 , π 2 ) , y el valor máximo es ( 3 , 0 ) . Investigar sobre círculos Ahora hemos visto la ecuación de un círculo en el sistema de coordenadas polares. En los dos ejemplos anteriores se utilizó la misma ecuación para ilustrar las propiedades de la simetría y demostrar cómo hallar los ceros, los valores máximos y los puntos trazados que produjeron los gráficos. Sin embargo, el círculo es solo una de las muchas formas del conjunto de curvas polares. Existen cinco curvas polares clásicas : cardioides , caracoles de Pascal, lemniscatas, curvas de rosa polar (rhodonea) y espirales de Arquímedes . Trataremos brevemente las fórmulas polares del círculo antes de pasar a las curvas clásicas y sus variaciones. Fórmulas para la ecuación de un círculo Algunas de las fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por r = a cos θ y r = a sen θ , donde a es el diámetro de la circunferencia o la distancia desde el polo hasta el punto más alejado del círculo. El radio es | a | 2 , o la mitad del diámetro. Para r = a cos θ , el centro es ( a 2 , 0 ) . Para r = a sen θ , el centro es ( a 2 , π 2 ) . La muestra los gráficos de estos cuatro círculos. Dibujar el gráfico de una ecuación polar para un círculo Dibuje el gráfico de r = 4 cos θ . En primer lugar, al comprobar la simetría de la ecuación, nos damos cuenta de que el gráfico es simétrico respecto al eje polar. Luego, hallamos los ceros y el máximo | r | por r = 4 cos θ . Primero, establezca r = 0 , y resuelva para θ . Por lo tanto, se produce un cero en θ = π 2 ± k π . Un punto clave para trazar es ( 0 , ​ ​ π 2 ) . Para hallar el valor máximo de r , observe que el valor máximo de la función coseno es 1 cuando θ = 0 ± 2 k π . Sustituya θ = 0 en la ecuación: r = 4 cos θ r = 4 cos ( 0 ) r = 4 ( 1 ) = 4 El valor máximo de la ecuación es 4. Un punto clave para trazar es ( 4 , 0 ) . Dado que r = 4 cos θ es simétrica con respecto al eje polar, solo tenemos que calcular los valores r para θ en el intervalo [ 0 , π ] . Los puntos del cuadrante superior se pueden reflejar en el cuadrante inferior. Haga una tabla de valores similar a la . El gráfico se muestra en la . θ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 5 π 6 π r 4 3,46 2,83 2 0 −2 -2,83 -3,46 -4 Investigar las cardioides Aunque la traslación de coordenadas polares a coordenadas cartesianas puede parecer más sencilla en algunos casos, la representación gráfica de las curvas clásicas es en realidad menos complicada en el sistema polar. La siguiente curva se llama cardioide, ya que se parece a un corazón. Esta forma se incluye, a menudo, con la familia de curvas llamada caracoles de Pascal, pero aquí hablaremos de la cardioide por sí sola. Fórmulas para una cardioide Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y a b = 1. El gráfico de la cardioide pasa por el polo, como podemos ver en la . Cómo Dada la ecuación polar de una cardioide, dibuje su gráfico. Compruebe la ecuación de los tres tipos de simetría. Halle los ceros. Establezca r = 0 . Halle el valor máximo de la ecuación según el valor máximo de la expresión trigonométrica. Haga una tabla de valores para r y θ . Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de una cardioide Dibuje el gráfico de r = 2 + 2 cos θ . Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que el gráfico de esta ecuación será simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallamos los ceros y los máximos. Si establecemos que r = 0 , tenemos θ = π + 2 k π . El cero de la ecuación se encuentra en ( 0 , π ) . El gráfico pasa por este punto. El valor máximo de r = 2 + 2 cos θ se produce cuando cos θ es un máximo, lo que se da cuando cos θ = 1 o cuando θ = 0 . Sustituya θ = 0 en la ecuación y resuelva para r . r = 2 + 2 cos ( 0 ) r = 2 + 2 ( 1 ) = 4 El punto ( 4 , 0 ) es el valor máximo del gráfico. Comprobamos que la ecuación polar es simétrica con respecto al eje polar, pero como se extiende a los cuatro cuadrantes, necesitamos trazar los valores sobre el intervalo [ 0 , π ] . La parte superior del gráfico se refleja entonces sobre el eje polar. A continuación, hacemos una tabla de valores, como en la , y luego trazamos los puntos y dibujamos el gráfico. Vea la . θ 0 π 4 π 2 2 π 3 π r 4 3,41 2 1 0 Investigar sobre caracoles de Pascal La palabra limaçon significa \"caracol\" en francés antiguo, nombre que describe la forma del gráfico. Como se ha mencionado anteriormente, el cardioide es un miembro de la familia de los caracoles de Pascal, y podemos ver las similitudes en los gráficos. Las demás imágenes de esta categoría consisten en un caracol de Pascal de un lazo y un caracol de Pascal de dos lazos (o de lazo interno). Los caracoles de Pascal de un lazo , a veces, se denominan caracoles de Pascal con hoyuelos cuando 1 < a b < 2 y caracoles de Pascal convexos cuando a b ≥ 2. Fórmulas para los caracoles de Pascal de un lazo Las fórmulas que producen el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo con hoyuelos están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y 1< a b < 2. Los cuatro gráficos se muestran en la . Caracoles de Pascal con hoyuelos Cómo Dada una ecuación polar para un caracol de Pascal de un lazo, dibuje el gráfico. Pruebe la simetría de la ecuación. Recuerde que el hecho de no superar la prueba de simetría no significa que la forma no presente simetría. A menudo, la simetría puede revelarse al trazar los puntos. Halle los ceros. Halle los valores máximos según la expresión trigonométrica. Haga una tabla. Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de un lazo Represente gráficamente la ecuación r = 4 - 3 sen θ . Primero, al probar la simetría de la ecuación, hallamos que no supera las tres pruebas de simetría, lo que significa que el gráfico puede o no presentar simetría, por lo que no podemos utilizar la simetría para ayudarnos a graficarla. Sin embargo, esta ecuación tiene un gráfico que muestra claramente la simetría con respecto a la línea θ = π 2 , pero no supera las tres pruebas de simetría. Una calculadora gráfica ilustrará inmediatamente la cualidad de reflexión del gráfico. Luego, hallamos los ceros y el máximo, y trazamos los puntos de reflexión para verificar cualquier simetría. Si establecemos que r = 0 da como resultado que θ es indefinido. ¿Qué significa esto? ¿Cómo podría θ ser indefinido? El ángulo θ es indefinido para cualquier valor de sen θ > 1. Por lo tanto, θ es indefinido porque no hay ningún valor de θ para los cuales sen θ > 1. En consecuencia, el gráfico no pasa por el polo. Quizás el gráfico sí cruza el eje polar, pero no en el polo. Podemos investigar otras intersecciones al calcular r cuando θ = 0 . r ( 0 ) = 4 - 3 sen ( 0 ) r = 4 - 3 ⋅ 0 = 4 Por lo tanto, hay al menos una intersección del eje polar en ( 4 , 0 ) . Luego, como el valor máximo de la función seno es 1 cuando θ = π 2 , sustituiremos θ = π 2 en la ecuación y resolvemos para r . Por lo tanto, r = 1. Haga una tabla de las coordenadas similar a la θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π 7 π 6 4 π 3 3 π 2 5 π 3 11 π 6 2 π r 4 2,5 1,4 1 1,4 2,5 4 5,5 6,6 7 6,6 5,5 4 El gráfico se muestra en la . Caracol de Pascal de un lazo Análisis Este es un ejemplo de una curva para la que la elaboración de una tabla de valores es fundamental para producir un gráfico preciso. Las pruebas de simetría fallan; el cero es indefinido. Aunque puede ser evidente que una ecuación que incluya sen θ es probablemente simétrica con respecto a la línea θ = π 2 , evaluar más puntos ayuda a verificar que el gráfico es correcto. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 3 - 2 cos θ . Otro tipo de caracol, el caracol de Pascal de lazo interno , recibe su nombre por el lazo que se forma dentro de la forma general del caracol. Lo descubrió el artista alemán Albrecht Dürer (1471 a 1528), quien reveló un método para dibujar el caracol de Pascal de lazo interno en su libro de 1525 Underweysung der Messing . Un siglo más tarde, el padre del matemático Blaise Pascal , Étienne Pascal (1588 a 1651), lo redescubrió. Fórmulas para caracoles de Pascal de lazo interno Las fórmulas que generan los caracoles de Pascal de lazo interno están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a > 0 , b > 0 , y a < b . El gráfico del caracol de Pascal de lazo interno pasa por el polo dos veces: una para el lazo externo y otra para el lazo interno. Vea los gráficos en la . Dibujar el gráfico de un caracol de Pascal de lazo interno Dibuje el gráfico de r = 2 + 5 cos θ . Al probar la simetría, hallamos que el gráfico de la ecuación es simétrico alrededor del eje polar. Luego, hallar los ceros revela que cuando r = 0 , θ = 1,98. El máximo | r | se halla cuando cos θ = 1 o cuando θ = 0 . Por lo tanto, el máximo se encuentra en el punto (7, 0). Aunque hayamos calculado la simetría, el cero y el máximo, el trazado de más puntos ayudará a definir la forma, y entonces surgirá un patrón. Vea la . θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π 7 π 6 4 π 3 3 π 2 5 π 3 11 π 6 2 π r 7 6,3 4,5 2 -0,5 −2,3 −3 −2,3 -0,5 2 4,5 6,3 7 Como era de esperar, los valores comienzan a repetirse después de θ = π . El gráfico se muestra en la . Caracol de Pascal de lazo interno Investigar las lemniscatas La lemniscata es una curva polar que se asemeja al símbolo del infinito ∞ o un número 8. Centrada en el polo, una lemniscata es simétrica por definición. Fórmulas para lemniscata Las fórmulas que generan el gráfico de una lemniscata están dadas por r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ donde a ≠ 0 . La fórmula r 2 = a 2 sen 2 θ es simétrica con respecto al polo. La fórmula r 2 = a 2 cos 2 θ es simétrica con respecto al polo, la línea θ = π 2 y el eje polar. Vea los gráficos en la . Dibujar el gráfico de una lemniscata Dibuje el gráfico de r 2 = 4 cos 2 θ . La ecuación presenta simetría respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar y el polo. Hallemos los ceros. Ya debería ser rutinario, pero abordaremos esta ecuación de forma un poco diferente haciendo la sustitución u = 2 θ . 0 = 4 cos 2 θ 0 = 4 cos u 0 = cos u cos − 1 0 = π 2 u = π 2 Sustituya 2 θ de nuevo para u . 2 θ = π 2 θ = π 4 Por lo tanto, el punto ( 0 , π 4 ) es un cero de la ecuación. Ahora vamos a hallar el valor máximo. Dado que el máximo de cos u = 1 cuando u = 0 , el máximo de cos 2 θ = 1 cuando 2 θ = 0 . Por lo tanto, r 2 = 4 cos ( 0 ) r 2 = 4 ( 1 ) = 4 r = ± 4 ± 2 Tenemos un máximo en (2, 0). Dado que este gráfico es simétrico con respecto al polo, la línea θ = π 2 , y el eje polar, solo necesitamos trazar puntos en el primer cuadrante. Haga una tabla similar a la . θ 0 π 6 π 4 r ± 2 ± 2 0 Trace los puntos en el gráfico, como el que se muestra en la . Lemniscata Análisis Al hacer una sustitución como u = 2 θ es una práctica habitual en matemáticas porque puede simplificar los cálculos. Sin embargo, no debemos olvidar sustituir el término de sustitución por el término original al final y, luego, resolver la incógnita. Es posible que algunos de los puntos de este gráfico no aparezcan utilizando la función Trace de la calculadora gráfica TI-84, y que la tabla de la calculadora muestre un error para estos mismos puntos de r . Esto se debe a que no hay raíces cuadradas reales para estos valores de θ . En otras palabras, los correspondientes valores r de 4 cos ( 2 θ ) son números complejos porque hay un número negativo bajo el radical. Investigar sobre curvas rosa polar (rhodonea) El siguiente tipo de ecuación polar produce una forma parecida a un pétalo llamada curva rosa polar. Aunque los gráficos parecen complejos, una simple ecuación polar genera el patrón. Curva rosa polar Las fórmulas que generan el gráfico de una curva rosa polar están dadas por r = a cos n θ y r = a sen n θ donde a ≠ 0 . Si n es par, la curva tiene 2 n pétalos. Si los valores de n es impar, la curva tiene n pétalos. Vea la . Dibujar el gráfico de una curva rosa polar ( n par) Dibuje el gráfico de r = 2 cos 4 θ . Al comprobar la simetría, hallamos de nuevo que las pruebas de simetría no cuentan toda la historia. El gráfico no solo es simétrico con respecto al eje polar, sino también con respecto a la línea θ = π 2 y al polo. Ahora, hallaremos los ceros. Primero, haga la sustitución de u = 4 θ . 0 = 2 cos 4 θ 0 = cos 4 θ 0 = cos u cos − 1 0 = u u = π 2 4 θ = π 2 θ = π 8 El cero es θ = π 8 . El punto ( 0 , π 8 ) está en la curva. Luego, hallamos el máximo | r | . Sabemos que el valor máximo de cos u = 1 cuando θ = 0 . Por lo tanto, r = 2 cos ( 4 ⋅ 0 ) r = 2 cos ( 0 ) r = 2 ( 1 ) = 2 El punto ( 2 , 0 ) está en la curva. El gráfico de la curva rosa polar tiene propiedades únicas, que se revelan en la . θ 0 π 8 π 4 3 π 8 π 2 5 π 8 3 π 4 r 2 0 −2 0 2 0 −2 A medida que r = 0 cuando θ = π 8 , tiene sentido dividir los valores de la tabla entre π 8 unidades. Surge un patrón definido. Mire el rango de valores r : 2, 0, –2, 0, 2, 0, –2 y así sucesivamente. Esto representa el desarrollo de la curva un pétalo a la vez. A partir de r = 0 , cada pétalo se extiende una distancia de r = 2 , y luego vuelve a cero 2 n veces para un total de ocho pétalos. Vea el gráfico en la . Curva rosa polar, n par Análisis Cuando se dibujan estas curvas, lo mejor es trazar los puntos en orden, como en la . Esto nos permite ver cómo el gráfico alcanza un máximo (la punta de un pétalo), hace una vuelta cruzando el polo, alcanza el máximo opuesto y vuelve a hacer una vuelta hacia el polo. La acción es continua hasta que se dibujan todos los pétalos. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 4 sen ( 2 θ ) . El gráfico es una curva rosa polar, n par Dibujar el gráfico de una curva rosa polar ( n impar) Dibuje el gráfico de r = 2 sen ( 5 θ ) . El gráfico de la ecuación muestra simetría con respecto a la línea θ = π 2 . A continuación, halle los ceros y el máximo. Queremos hacer la sustitución de u = 5 θ . 0 = 2 sen ( 5 θ ) 0 = sen u sen − 1 0 = 0 u = 0 5 θ = 0 θ = 0 El valor máximo se calcula en el ángulo donde sen θ es un máximo. Por lo tanto, r = 2 sen ( 5 ⋅ π 2 ) r = 2 ( 1 ) = 2 Por lo tanto, el valor máximo de la ecuación polar es 2. Esta es la longitud de cada pétalo. Como la curva de n impar produce el mismo número de pétalos que n , habrá cinco pétalos en el gráfico. Vea la . Curva rosa polar, n impar Cree una tabla de valores similar a la . θ 0 π 6 π 3 π 2 2 π 3 5 π 6 π r 0 1 -1,73 2 -1,73 1 0 Ejercicio Dibuje el gráfico de r = 3 cos ( 3 θ ). Curva rosa polar, n impar Investigar sobre la espiral de Arquímedes La última ecuación polar que analizaremos es la espiral de Arquímedes, llamada así por su descubridor, el matemático griego Arquímedes (c. 287 a.C. a c. 212 a.C.), a quien se le atribuyen numerosos descubrimientos en los campos de la geometría y la mecánica. Espiral de Arquímedes La fórmula que genera el gráfico de la espiral de Arquímedes está dada por r = θ por θ ≥ 0 . A medida que θ aumenta, r aumenta a una tasa constante en una trayectoria en espiral cada vez más amplia e interminable. Vea la . Cómo Dada una espiral de Arquímedes sobre [ 0 , 2 π ] , dibuje el gráfico. Haga una tabla de valores para r y θ sobre el dominio dado. Trace los puntos y dibuje el gráfico. Dibujar el gráfico de una espiral de Arquímedes Dibuje el gráfico de r = θ en [ 0 , 2 π ] . Dado que r es igual a θ , el gráfico de la espiral de Arquímedes comienza en el polo en el punto (0, 0). Aunque el gráfico insinúa una simetría, no existe una simetría formal con respecto a la superación de las pruebas de simetría. Además, no hay un valor máximo, a menos que el dominio esté restringido. Cree una tabla como la . θ π 4 π 2 π 3 π 2 7 π 4 2 π r 0,785 1,57 3,14 4,71 5,50 6,28 Observe que los valores r son solo la forma decimal del ángulo medido en radianes. Podemos verlos en un gráfico en la . espiral de Arquímedes Análisis El dominio de esta curva polar es [ 0 , 2 π ] . Sin embargo, en general, el dominio de esta función es ( - ∞ , ∞ ) . Graficar la ecuación de la espiral de Arquímedes es bastante sencillo, aunque la imagen hace pensar que sería complejo. Ejercicio Dibuje el gráfico de r = − θ en el intervalo [ 0 , 4 π ] . Resumen de curvas En esta sección hemos explorado una serie de curvas polares aparentemente complejas. La y la resumen los gráficos y ecuaciones de cada una de estas curvas. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los gráficos de coordenadas polares. Graficar ecuaciones polares parte 1 Graficar ecuaciones polares parte 2 Animación: Los gráficos de las ecuaciones polares Graficar ecuaciones polares en la TI-84 Conceptos clave Es más fácil graficar las ecuaciones polares si podemos comprobar la simetría de las ecuaciones con respecto a la línea θ = π 2 , el eje polar, o el polo. Hay tres pruebas de simetría que indican si el gráfico de una ecuación polar presentará simetría. Si una ecuación no supera la prueba de simetría, el gráfico puede o no presentar simetría. Vea el . Las ecuaciones polares se pueden graficar haciendo una tabla de valores para θ y r . El valor máximo de una ecuación polar se calcula sustituyendo el valor θ que lleva al valor máximo de la expresión trigonométrica. Los ceros de una ecuación polar se encuentran al establecer r = 0 y resolver θ . Vea el . Algunas fórmulas que producen el gráfico de un círculo en coordenadas polares están dadas por r = a cos θ y r = a sen θ . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de una cardioide están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ , por a > 0 , b > 0 , y a b = 1. Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de un lazo están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ por 1 < a b < 2. Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de un caracol de Pascal de lazo interno están dadas por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ por a > 0 , b > 0 , y a < b . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de una lemniscata están dadas por r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ , donde a ≠ 0 . Vea el . Las fórmulas que producen los gráficos de las curvas rosa polar están dadas por r = a cos n θ y r = a sen n θ , donde a ≠ 0 ; si n es par, hay 2 n pétalos, y si n es impar, hay n pétalos. Vea el y el . La fórmula que produce el gráfico de una espiral de Arquímedes está dada por r = θ . θ ≥ 0 . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa los tres tipos de simetría en los gráficos polares y compárelos con la simetría del plano cartesiano. La simetría respecto al eje polar es similar a la simetría alrededor del eje x , la simetría con respecto al polo es similar a la simetría con respecto al origen y la simetría con respecto a la línea θ = π 2 es similar a la simetría alrededor del eje y . ¿Cuál de los tres tipos de simetrías de los gráficos polares corresponde a las simetrías con respecto al eje x , al eje y y al origen? ¿Cuáles son los pasos que se deben seguir para hacer gráficos de ecuaciones polares? Comprobar la simetría, hallar ceros, intersecciones y máximos, hacer una tabla de valores. Decidir el tipo general de gráfico, cardioide, caracol de Pascal, lemniscata, etc., y luego trazar los puntos en θ = 0 , π 2 , π y 3 π 2 , y dibujar el gráfico. Describa las formas de los gráficos de cardioides, caracol de Pascal y lemniscatas. ¿Qué parte de la ecuación determina la forma del gráfico de una ecuación polar? La forma del gráfico polar está determinada por la inclusión o no de un seno, un coseno y unas constantes en la ecuación. Gráficos En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de la ecuación. r = 5 cos 3 θ r = 3 - 3 cos θ simétrica con respecto al eje polar r = 3 + 2 sen θ r = 3 sen 2 θ simétrica con respecto al eje polar, simétrica con respecto a la línea θ = π 2 , simétrica con respecto al polo r = 4 r = 2 θ sin simetría r = 4 cos θ 2 r = 2 θ sin simetría r = 3 1 - cos 2 θ r = 5 sen 2 θ simétrica con respecto al polo En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación polar. Identifique el nombre de la forma. r = 3 cos θ r = 4 sen θ círculo r = 2 + 2 cos θ r = 2 - 2 cos θ cardioide r = 5 - 5 sen θ r = 3 + 3 sen θ cardioide r = 3 + 2 sen θ r = 7 + 4 sen θ caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos r = 4 + 3 cos θ r = 5 + 4 cos θ caracol de Pascal de un lazo/con hoyuelos r = 10 + 9 cos θ r = 1 + 3 sen θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r = 2 + 5 sen θ r = 5 + 7 sen θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r = 2 + 4 cos θ r = 5 + 6 cos θ caracol de Pascal de lazo interno/dos lazos r 2 = 36 cos ( 2 θ ) r 2 = 10 cos ( 2 θ ) lemniscata r 2 = 4 sen ( 2 θ ) r 2 = 10 sen ( 2 θ ) lemniscata r = 3 sen ( 2 θ ) r = 3 cos ( 2 θ ) curva rosa polar r = 5 sen ( 3 θ ) r = 4 sen ( 4 θ ) curva rosa polar r = 4 sen ( 5 θ ) r = − θ espiral de Arquímedes r = 2 θ r = - 3 θ espiral de Arquímedes En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para dibujar el gráfico de la ecuación polar. r = 1 θ r = 1 θ r = 2 sen θ tan θ , una cisoide r = 2 1 - sen 2 θ , una hipopoda r = 5 + cos ( 4 θ ) r = 2 - sen ( 2 θ ) r = θ 2 r = θ + 1 r = θ sen θ r = θ cos θ En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar cada par de ecuaciones polares sobre un dominio de [ 0 , 4 π ] y, luego, explique las diferencias que aparecen en los gráficos. r = θ , r = − θ r = θ , r = θ + sen θ Ambos son espirales, pero no iguales. r = sen θ + θ , r = sen θ - θ r = 2 sen ( θ 2 ) , r = θ sen ( θ 2 ) Ambos gráficos son curvas con 2 lazos. La ecuación con un coeficiente de θ tiene dos lazos a la izquierda, la ecuación con un coeficiente de 2 tiene dos lazos al lado. Grafíquelos de 0 a 4 π para obtener una mejor imagen. r = sen ( cos ( 3 θ ) ) r = sen ( 3 θ ) En una herramienta gráfica, grafique r = sen ( 16 5 θ ) en [ 0 , 4 π ] , [ 0 , 8 π ] , [ 0 , 12 π ] y [ 0 , 16 π ] . Describa el efecto de aumentar la anchura del dominio. Cuando se aumenta la anchura del dominio, se ven más pétalos de la flor. En una herramienta gráfica, grafique y dibuje r = sen θ + ( sen ( 5 2 θ ) ) 3 en [ 0 , 4 π ] . En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 sen ( 3 θ ) r 2 = 2 sen ( 3 θ ) r 3 = sen ( 3 θ ) Los gráficos son curvas rosa polar de tres pétalos. Cuanto mayor sea el coeficiente, mayor será la distancia de la curva al polo. En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 + 3 cos θ r 2 = 2 + 2 cos θ r 3 = 1 + cos θ En una herramienta gráfica, grafique cada ecuación polar. Explique las similitudes y diferencias que observa en los gráficos. r 1 = 3 θ r 2 = 2 θ r 3 = θ Los gráficos son espirales. Cuanto más pequeño sea el coeficiente, más estrecha será la espiral. Extensiones En los siguientes ejercicios, dibuje cada ecuación polar sobre el mismo conjunto de ejes polares y halle los puntos de intersección. r 1 = 3 + 2 sen θ , r 2 = 2 r 1 = 6 - 4 cos θ , r 2 = 4 ( 4 , π 3 ) , ( 4 , 5 π 3 ) r 1 = 1 + sen θ , r 2 = 3 sen θ r 1 = 1 + cos θ , r 2 = 3 cos θ ( 3 2 , π 3 ) , ( 3 2 , 5 π 3 ) r 1 = cos ( 2 θ ) , r 2 = sen ( 2 θ ) r 1 = sen 2 ( 2 θ ) , r 2 = 1 - cos ( 4 θ ) ( 0 , π 2 ) , ( 0 , π ) , ( 0 , 3 π 2 ) , ( 0 , 2 π ) r 1 = 3 , r 2 = 2 sen ( θ ) r 1 2 = sen θ , r 2 2 = cos θ ( 8 4 2 , π 4 ) , ( 8 4 2 , 5 π 4 ) y en θ = 3 π 4 , 7 π 4 dado que r está elevada al cuadrado r 1 = 1 + cos θ , r 2 = 1 - sen θ espiral de Arquímedes una curva polar dada por r = θ . Cuando se multiplica por una constante, la ecuación aparece como r = a θ . Dado que r = θ , la curva continúa ampliándose en una trayectoria en espiral sobre el dominio. cardioide miembro de la familia de las curvas de caracoles de Pascal, llamada así por su parecido con un corazón; su ecuación está dada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ , donde a b = 1 caracol de Pascal convexo un tipo de caracol de Pascal de un lazo representado por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que a b ≥ 2 caracol de Pascal con hoyuelos un tipo de caracol de Pascal de un lazo representado por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que 1 < a b < 2 caracol de Pascal de lazo interno una curva polar similar a la cardioide, pero con un lazo interno; pasa dos veces por el polo; representada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ donde a < b lemniscata una curva polar parecida al número 8 y dada por la ecuación r 2 = a 2 cos 2 θ y r 2 = a 2 sen 2 θ , a ≠ 0 caracol de Pascal de un lazo una curva polar representada por r = a ± b cos θ y r = a ± b sen θ de manera que a > 0 , b > 0 , y a b > 1 ; puede tener hoyuelos o ser convexa; no pasa por el polo ecuación polar una ecuación que describe una curva en la cuadrícula polar. curva rosa polar una ecuación polar parecida a una flor, dada por las ecuaciones r = a cos n θ y r = a sen n θ ; cuando n es par tiene 2 n pétalos, y la curva es muy simétrica; cuando n es impar tiene n pétalos.", "section": "Coordenadas polares: gráficos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Forma polar de los números complejos \"Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre”. Esta célebre cita del matemático alemán del siglo XIX Leopold Kronecker sienta las bases de esta sección sobre la forma polar de un número complejo. Los números complejos fueron inventados por personas y representan más de mil años de investigación y lucha continúa por parte de matemáticos como Pitágoras , Descartes , De Moivre, Euler , Gauss y otros. Los números complejos respondieron a preguntas que durante siglos habían desconcertado a las mentes más brillantes de la ciencia. La primera vez que vimos los números complejos fue en la sección Números complejos . En esta sección, nos centraremos en la mecánica de trabajo con los números complejos: conversión de números complejos de la forma polar a la forma rectangular y viceversa, interpretación de números complejos en el esquema de aplicaciones y aplicación del teorema de Moivre. Graficar números complejos en el plano complejo. Trazar un número complejo a + b i es similar a trazar un número real, excepto que el eje horizontal representa la parte real del número, a , y el eje vertical representa la parte imaginaria del número, b i . Cómo Dado un número complejo a + b i , trácelo en el plano complejo. Marque el eje horizontal como eje real y el eje vertical como eje imaginario. Trace el punto en el plano complejo moviendo las unidades de las unidades en la dirección horizontal y las unidades de las unidades b en la dirección vertical. Trazar un número complejo en el plano complejo Trace el número complejo 2 - 3 i en el plano complejo . Desde el origen, muévase dos unidades en la dirección horizontal positiva y tres unidades en la dirección vertical negativa. Vea la . Ejercicio Trace el punto 1 + 5 i en el plano complejo. Hallar el valor absoluto de un número complejo El primer paso para trabajar con un número complejo en forma polar es calcular el valor absoluto. El valor absoluto de un número complejo es igual a su magnitud , o | z | . Mide la distancia del origen a un punto en el plano. Por ejemplo, el gráfico de c = 2 + 4 i , en la , muestra | z | . Valor absoluto de un número complejo Dado z = x + y i , un número complejo, el valor absoluto de c se define como | z | = x 2 + y 2 Es la distancia del origen al punto ( x , y ) . Observe que el valor absoluto de un número real da la distancia del número desde 0, mientras que el valor absoluto de un número complejo da la distancia del número desde el origen, ( 0 , 0 ) . Hallar el valor absoluto de un número complejo con un radical Halle el valor absoluto de c = 5 − i . Con la fórmula tenemos | z | = x 2 + y 2 | z | = ( 5 ) 2 + ( - 1 ) 2 | z | = 5 + 1 | z | = 6 Vea la . Ejercicio Halle el valor absoluto del número complejo c = 12 − 5 i . 13 Hallar el valor absoluto de un número complejo Dados z = 3 - 4 i , halle | z | . Con la fórmula tenemos | z | = x 2 + y 2 | z | = ( 3 ) 2 + ( - 4 ) 2 | z | = 9 + 16 | z | = 25 | z | = 5 El valor absoluto c es 5. Vea la . Ejercicio Dados z = 1 - 7 i , halle | z | . | z | = 50 = 5 2 Escribir números complejos en forma polar La forma polar de un número complejo expresa un número en términos de un ángulo θ y su distancia desde el origen r . Dado un número complejo en forma rectangular expresado como c = x + y i , utilizamos las mismas fórmulas de conversión que para escribir el número en forma trigonométrica: x = r cos θ y = r sen θ r = x 2 + y 2 Revisamos estas relaciones en la . Usamos el término módulo para representar el valor absoluto de un número complejo o la distancia desde el origen al punto ( x , y ) . El módulo, entonces, es el mismo que r , el radio en forma polar. Usamos θ para indicar el ángulo de dirección (igual que con las coordenadas polares). Al sustituir, tenemos c = x + y i c = r cos θ + ( r sen θ ) i c = r ( cos θ + i sen θ ) una etiqueta de nota general Forma polar de un número complejo Escribir un número complejo en forma polar implica las siguientes fórmulas de conversión: x = r cos θ y = r sen θ r = x 2 + y 2 Al hacer una sustitución directa, tenemos c = x + y i c = ( r cos θ ) + i ( r sen θ ) z = r ( cos θ + i sen θ ) donde r es el módulo y θ es el argumento . A menudo utilizamos la abreviatura r cis θ para representar r ( cos θ + i sen θ ) . Expresión de un número complejo mediante coordenadas polares Exprese el número complejo 4 i mediante coordenadas polares. En el plano complejo, el número c = 4 i es lo mismo que c = 0 + 4 i . Al escribirlo en forma polar, tenemos que calcular r primero. r = x 2 + y 2 r = 0 2 + 4 2 r = 16 r = 4 A continuación, examinamos x . Si x = r cos θ , y x = 0 , entonces θ = π 2 . En coordenadas polares, el número complejo c = 0 + 4 i se puede escribir como c = 4 ( cos ( π 2 ) + i sen ( π 2 ) ) o 4 cis ( π 2 ) . Vea la . Ejercicio Exprese c = 3 i como r cis θ en forma polar. z = 3 ( cos ( π 2 ) + i sen ( π 2 ) ) Hallar la forma polar de un número complejo Halle la forma polar de − 4 + 4 i . Primero, halle el valor de r . r = x 2 + y 2 r = ( - 4 ) 2 + ( 4 2 ) r = 32 r = 4 2 Halle el ángulo θ mediante la fórmula: cos θ = x r cos θ = – 4 4 2 cos θ = - 1 2 θ = cos − 1 ( - 1 2 ) = 3 π 4 Así, la solución es 4 2 cis ( 3 π 4 ) . Ejercicio Escriba c = 3 + i en forma polar. z = 2 ( cos ( π 6 ) + i sen ( π 6 ) ) Conversión de un número complejo de la forma polar a la rectangular Convertir un número complejo de la forma polar a la rectangular es cuestión de evaluar lo que se da y utilizar la propiedad distributiva. En otras palabras, dado que c = r ( cos θ + i sen θ ) , primero evalúe las funciones trigonométricas cos θ y sen θ . Entonces, multiplique por r . Conversión de la forma polar a la rectangular Convierta el número complejo dado de la forma polar a la rectangular: z = 12 ( cos ( π 6 ) + i sen ( π 6 ) ) Para comenzar evaluamos las expresiones trigonométricas. cos ( π 6 ) = 3 2 y sen ( π 6 ) = 1 2 Después de la sustitución, el número complejo es c = 12 ( 3 2 + 1 2 i ) Aplicamos la propiedad distributiva: c = 12 ( 3 2 + 1 2 i ) = ( 12 ) 3 2 + ( 12 ) 1 2 i = 6 3 + 6 i La forma rectangular del punto dado en forma compleja es 6 3 + 6 i . Hallar la forma rectangular de un número complejo Halle la forma rectangular del número complejo dado r = 13 y tan θ = 5 12 . Si tan θ = 5 12 , y tan θ = y x , primero determinamos r = x 2 + y 2 = 12 2 + 5 2 = 13 . Hallamos entonces que cos θ = x r y sen θ = y r . c = 13 ( cos θ + i sen θ ) = 13 ( 12 13 + 5 13 i ) = 12 + 5 i La forma rectangular del número dado en forma compleja es 12 + 5 i . Ejercicio Convierta el número complejo en forma rectangular: c = 4 ( cos 11 π 6 + i sen 11 π 6 ) z = 2 3 - 2 i Hallar productos de números complejos en forma polar Ahora, que podemos convertir los números complejos a la forma polar, aprenderemos a realizar operaciones con los números complejos en forma polar. En el resto de esta sección trabajaremos con fórmulas desarrolladas por el matemático francés Abraham De Moivre (1667-1754). Estas fórmulas han hecho que trabajar con productos, cocientes, potencias y raíces de números complejos sea mucho más sencillo de lo que parece. Las reglas se basan en la multiplicación de los módulos y la suma de los argumentos. Productos de números complejos en forma polar Si los valores de c 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sen θ 1 ) y z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , entonces el producto de estos números se da como: c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 + θ 2 ) + i sen ( θ 1 + θ 2 ) ] c 1 z 2 = r 1 r 2 cis ( θ 1 + θ 2 ) Observe que el producto exige multiplicar los módulos y sumar los ángulos. Hallar el producto de dos números complejos en forma polar Halle el producto de c 1 z 2 , dado que c 1 = 4 ( cos ( 80° ) + i sen ( 80° ) ) y z 2 = 2 ( cos ( 145° ) + i sen ( 145° ) ) . Siga la fórmula c 1 z 2 = 4 ⋅ 2 [ cos ( 80° + 145° ) + i sen ( 80° + 145° ) ] c 1 z 2 = 8 [ cos ( 225° ) + i sen ( 225° ) ] c 1 z 2 = 8 [ cos ( 5 π 4 ) + i sen ( 5 π 4 ) ] c 1 z 2 = 8 [ - 2 2 + i ( – 2 2 ) ] c 1 z 2 = – 4 2 - 4 i 2 Hallar cocientes de números complejos en forma polar El cociente de dos números complejos en forma polar es el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos argumentos. Cocientes de números complejos en forma polar Si los valores de c 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sen θ 1 ) y z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sen θ 2 ) , entonces el cociente de estos números es c 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 - θ 2 ) + i sen ( θ 1 - θ 2 ) ] , z 2 ≠ 0 z 1 z 2 = r 1 r 2 cis ( θ 1 - θ 2 ) , z 2 ≠ 0 Observe que los módulos se dividen y los ángulos se restan. Cómo Dados dos números complejos en forma polar, calcule el cociente. Divida r 1 r 2 . Halle θ 1 - θ 2 . Sustituya los resultados en la fórmula: c = r ( cos θ + i sen θ ) . Sustituya r con r 1 r 2 , y sustituya θ con θ 1 - θ 2 . Calcule las nuevas expresiones trigonométricas y multiplique por r . Hallar el cociente de dos números complejos Halle el cociente de c 1 = 2 ( cos ( 213° ) + i sen ( 213° ) ) y z 2 = 4 ( cos ( 33° ) + i sen ( 33° ) ) . Con la fórmula tenemos c 1 z 2 = 2 4 [ cos ( 213° − 33° ) + i sen ( 213° − 33° ) ] c 1 z 2 = 1 2 [ cos ( 180° ) + i sen ( 180° ) ] c 1 z 2 = 1 2 [ - 1 + 0 i ] c 1 z 2 = - 1 2 + 0 i c 1 z 2 = - 1 2 Ejercicio Halle el producto y el cociente de c 1 = 2 3 ( cos ( 150° ) + i sen ( 150° ) ) y z 2 = 2 ( cos ( 30° ) + i sen ( 30° ) ) . z 1 z 2 = – 4 3 ; c 1 z 2 = - 3 2 + 3 2 i Hallar potencias de números complejos en forma polar El cálculo de potencias de números complejos se simplifica enormemente con el teorema de Moivre . Establece que, para un número entero positivo n , c n se calcula elevando el módulo a enésimo potencia y multiplicando el argumento por n . Es el método estándar utilizado en las matemáticas modernas. Teorema de Moivre Si los valores de z = r ( cos θ + i sen θ ) es un número complejo, entonces c n = r n [ cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ] c n = r n cis ( n θ ) donde n es un número entero positivo. Evaluación de una expresión mediante el teorema de Moivre Evalúe la expresión ( 1 + i ) 5 mediante el teorema de Moivre. Como el teorema de Moivre se aplica a números complejos escritos en forma polar, debemos escribir primero ( 1 + i ) en forma polar. Hallemos r . r = x 2 + y 2 r = ( 1 ) 2 + ( 1 ) 2 r = 2 Luego calculamos θ . Si utilizamos la fórmula tan θ = y x da como resultado tan θ = 1 1 tan θ = 1 θ = π 4 Use el teorema de Moivre para evaluar la expresión. ( a + b i ) n = r n [ cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ] ( 1 + i ) 5 = ( 2 ) 5 [ cos ( 5 ⋅ π 4 ) + i sen ( 5 ⋅ π 4 ) ] ( 1 + i ) 5 = 4 2 [ cos ( 5 π 4 ) + i sen ( 5 π 4 ) ] ( 1 + i ) 5 = 4 2 [ - 2 2 + i ( – 2 2 ) ] ( 1 + i ) 5 = – 4 - 4 i Hallar raíces de números complejos en forma polar Para hallar la raíz enésima de un número complejo en forma polar, usamos el n enésimo o teorema de Moivre y se eleva el número complejo a una potencia con exponente racional. Hay varias maneras de representar una fórmula para hallar raíces enésimas de números complejos en forma polar. Una etiqueta de nota general El teorema de raíz a la n Para calcular la raíz enésima de un número complejo en forma polar, use la fórmula dada c 1 n = r 1 n [ cos ( θ n + 2 k π n ) + i sen ( θ n + 2 k π n ) ] donde k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , n − 1. Añadimos 2 k π n con θ n para obtener las raíces periódicas. Hallar la raíz enésima de un número complejo Evaluar las raíces cúbicas de c = 8 ( cos ( 2 π 3 ) + i sen ( 2 π 3 ) ) . Tenemos c 1 3 = 8 1 3 [ cos ( 2 π 3 3 + 2 k π 3 ) + i sen ( 2 π 3 3 + 2 k π 3 ) ] c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 2 k π 3 ) + i sen ( 2 π 9 + 2 k π 3 ) ] Habrá tres raíces: k = 0 , 1 , 2. Cuando k = 0 , tenemos c 1 3 = 2 ( cos ( 2 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 ) ) Cuando k = 1 , tenemos c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 6 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 + 6 π 9 ) ] Sume 2 ( 1 ) π 3 a cada ángulo. c 1 3 = 2 ( cos ( 8 π 9 ) + i sen ( 8 π 9 ) ) Cuando k = 2 , tenemos c 1 3 = 2 [ cos ( 2 π 9 + 12 π 9 ) + i sen ( 2 π 9 + 12 π 9 ) ] Sume 2 ( 2 ) π 3 a cada ángulo. c 1 3 = 2 ( cos ( 14 π 9 ) + i sen ( 14 π 9 ) ) Recuerde hallar el denominador común para simplificar las fracciones en situaciones como esta. Para k = 1 , la simplificación del ángulo es 2 π 3 3 + 2 ( 1 ) π 3 = 2 π 3 ( 1 3 ) + 2 ( 1 ) π 3 ( 3 3 ) = 2 π 9 + 6 π 9 = 8 π 9 Ejercicio Halle las cuatro raíces cuartas de 16 ( cos ( 120° ) + i sen ( 120° ) ) . z 0 = 2 ( cos ( 30° ) + i sen ( 30° ) ) z 1 = 2 ( cos ( 120° ) + i sen ( 120° ) ) z 2 = 2 ( cos ( 210° ) + i sen ( 210° ) ) c 3 = 2 ( cos ( 300° ) + i sen ( 300° ) ) Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar formas polares de números complejos. El producto y el cociente de números complejos en forma trigonométrica Teorema de Moivre Conceptos clave Números complejos de la forma a + b i se trazan en el plano complejo de forma similar a como se trazan las coordenadas rectangulares en el plano rectangular. Identifique el eje x como eje real y el eje y como eje imaginario . Vea el . El valor absoluto de un número complejo es el mismo que su magnitud. Es la distancia del origen al punto: | z | = a 2 + b 2 . Vea el y el . Para escribir números complejos en forma polar, usamos las fórmulas x = r cos θ , y = r sen θ , y r = x 2 + y 2 . Entonces, z = r ( cos θ + i sen θ ) . Vea el y el . Para convertir de la forma polar a la forma rectangular, primero hay que evaluar las funciones trigonométricas. A continuación, multiplique por r . Vea el y el . Para calcular el producto de dos números complejos, multiplique los dos módulos y sume los dos ángulos. Evalúe las funciones trigonométricas y multiplique usando la propiedad distributiva. Vea el . Para hallar el cociente de dos números complejos en forma polar, calcule el cociente de los dos módulos y la diferencia de los dos ángulos. Vea el . Para calcular la potencia de un número complejo c n , eleve r a la potencia n , y multiplique θ entre n . Vea el . Hallar las raíces de un número complejo es lo mismo que elevar un número complejo a una potencia, pero utilizando un exponente racional. Vea el . Ejercicios de la sección Verbal Un número complejo es a + b i . Explique cada parte. a es la parte real, b es la parte imaginaria y i = - 1 ¿Qué representa el valor absoluto de un número complejo? ¿Cómo se convierte un número complejo en forma polar? La forma polar convierte las partes real e imaginaria del número complejo en forma polar usando x = r cos θ y y = r sen θ . ¿Cómo se calcula el producto de dos números complejos? ¿Qué es el teorema de Moivre y para qué sirve? c n = r n ( cos ( n θ ) + i sen ( n θ ) ) Se usa para simplificar la forma polar cuando un número ha sido elevado a una potencia. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto del número complejo dado. 5 + ​ 3 i − 7 + ​ i 5 2 - 3 - 3 i 2 - 6 i 38 2 i 2,2 − 3,1 i 14,45 En los siguientes ejercicios, escriba el número complejo en forma polar. 2 + 2 i 8 − 4 i 4 5 cis ( 333,4° ) - 1 2 – 1 2 ​ i 3 + i 2 cis ( π 6 ) 3 i En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular. z = 7 cis ( π 6 ) 7 3 2 + i 7 2 z = 2 cis ( π 3 ) z = 4 cis ( 7 π 6 ) - 2 3 - 2 i z = 7 cis ( 25° ) z = 3 cis ( 240° ) − 1,5 − i 3 3 2 z = 2 cis ( 100° ) En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 en forma polar. z 1 = 2 3 cis ( 116° ) ; c 2 = 2 cis ( 82° ) 4 3 cis ( 198° ) z 1 = 2 cis ( 205° ) ; c 2 = 2 2 cis ( 118° ) z 1 = 3 cis ( 120° ) ; c 2 = 1 4 cis ( 60° ) 3 4 cis ( 180° ) z 1 = 3 cis ( π 4 ) ; c 2 = 5 cis ( π 6 ) z 1 = 5 cis ( 5 π 8 ) ; c 2 = 15 cis ( π 12 ) 5 3 cis ( 17 π 24 ) z 1 = 4 cis ( π 2 ) ; c 2 = 2 cis ( π 4 ) En los siguientes ejercicios, calcule c 1 z 2 en forma polar. z 1 = 21 cis ( 135° ) ; c 2 = 3 cis ( 65° ) 7 cis ( 70° ) z 1 = 2 cis ( 90° ) ; c 2 = 2 cis ( 60° ) z 1 = 15 cis ( 120° ) ; c 2 = 3 cis ( 40° ) 5 cis ( 80° ) z 1 = 6 cis ( π 3 ) ; c 2 = 2 cis ( π 4 ) z 1 = 5 2 cis ( π ) ; c 2 = 2 cis ( 2 π 3 ) 5 cis ( π 3 ) z 1 = 2 cis ( 3 π 5 ) ; c 2 = 3 cis ( π 4 ) En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar. Calcule c 3 cuando z = 5 cis ( 45° ) . 125 cis ( 135° ) Calcule z 4 cuando z = 2 cis ( 70° ) . Calcule z 2 cuando z = 3 cis ( 120° ) . 9 cis ( 240° ) Calcule z 2 cuando z = 4 cis ( π 4 ) . Calcule z 4 cuando z = cis ( 3 π 16 ) . cis ( 3 π 4 ) Calcule c 3 cuando z = 3 cis ( 5 π 3 ) . En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz. Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 27 cis ( 240° ) . 3 cis ( 80° ) , 3 cis ( 200° ) , 3 cis ( 320° ) Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 16 cis ( 100° ) . Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 32 cis ( 2 π 3 ) . 2 4 3 cis ( 2 π 9 ) , 2 4 3 cis ( 8 π 9 ) , 2 4 3 cis ( 14 π 9 ) Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 32 cis ( π ) . Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 8 cis ( 7 π 4 ) . 2 2 cis ( 7 π 8 ) , 2 2 cis ( 15 π 8 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo. 2 + 4 i - 3 - 3 i 5 - 4 i - 1 - 5 i 3 + 2 i 2 i - 4 6 - 2 i - 2 + i 1 - 4 i En tecnología En los siguientes ejercicios, calcule todas las respuestas redondeadas a la centésima más cercana. Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 5 + 5 i a la forma polar. Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar 3 - 2 i a la forma polar. 3,61 e − 0,59 i Utilice la función de rectangular a polar de la calculadora gráfica para cambiar − 3 - 8 i a la forma polar. Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 4 cis ( 120° ) a la forma rectangular. - 2 + 3,46 i Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 2 cis ( 45° ) a la forma rectangular. Utilice la función de polar a rectangular de la calculadora gráfica para cambiar 5 cis ( 210° ) a la forma rectangular. − 4,33 − 2,50 i argumento el ángulo asociado a un número complejo; el ángulo entre la línea del origen al punto y el eje real positivo Teorema de Moivre fórmula utilizada para calcular la enésimo potencia o raíces enésimas de un número complejo; afirma que, para un número entero positivo n , c n se calcula elevando el módulo a enésimo potencia y multiplicando los ángulos por n módulo el valor absoluto de un número complejo o la distancia del origen al punto ( x , y ) ; también llamado la amplitud forma polar de un número complejo un número complejo expresado en términos de un ángulo θ y su distancia desde el origen r ; se puede calcular mediante fórmulas de conversión x = r cos θ , y = r sen θ , y r = x 2 + y 2", "section": "Forma polar de los números complejos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ecuaciones paramétricas Considere la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la . En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del Sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver una variable a la vez. En esta sección consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por x ( t ) y y ( t ) donde t es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en un número de aplicaciones cuando buscamos no solo una posición concreta, sino también la dirección del movimiento. Al trazar los valores sucesivos de t , la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas : podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego, aprenderemos a eliminar el parámetro, a trasladar las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares. Parametrizar una curva Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea — en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y . Sin embargo, ambos x y y varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro , del que tanto x y y son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo, t . La intersección en x posición de la luna en el tiempo, t , se representa como la función x ( t ) , y la intersección y posición de la luna en el tiempo, t , se representa como la función y ( t ) . Juntos, x ( t ) y y ( t ) se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado ( x ( t ) , y ( t ) ) . Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección. Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo x y y , en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables, x , y , y t . Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo. Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de x y de y . Hay formas que no se pueden representar en la forma y = f ( x ) , lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como r 2 = x 2 + y 2 . Al resolver y da como resultado y = ± r 2 - x 2 , o dos ecuaciones: y 1 = r 2 - x 2 y y 2 = - r 2 - x 2 . Si graficamos y 1 y y 2 juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la . Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función. Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos. Ecuaciones paramétricas Supongamos que t es un número en un intervalo, I . El conjunto de pares ordenados, ( x ( t ) , y ( t ) ) , donde x = f ( t ) y y = g ( t ) , forma una curva plana basada en el parámetro t . Las ecuaciones x = f ( t ) y y = g ( t ) son las ecuaciones paramétricas. Parametrizar una curva Parametrizar la curva y = x 2 – 1 supongamos que x ( t ) = t . Grafique ambas ecuaciones. Si los valores de x ( t ) = t , entonces para hallar y ( t ) sustituimos la variable x con la expresión dada en x ( t ) . En otras palabras, y ( t ) = t 2 − 1. Haga una tabla de valores similar a la , y trace el gráfico. t x ( t ) y ( t ) - 4 - 4 y ( - 4 ) = ( - 4 ) 2 – 1 = 15 - 3 - 3 y ( - 3 ) = ( - 3 ) 2 – 1 = 8 - 2 - 2 y ( – 2 ) = ( – 2 ) 2 – 1 = 3 - 1 - 1 y ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 – 1 = 0 0 0 y ( 0 ) = ( 0 ) 2 – 1 = - 1 1 1 y ( 1 ) = ( 1 ) 2 – 1 = 0 2 2 y ( 2 ) = ( 2 ) 2 – 1 = 3 3 3 y ( 3 ) = ( 3 ) 2 – 1 = 8 4 4 y ( 4 ) = ( 4 ) 2 – 1 = 15 Observe los gráficos en la . Puede ser útil utilizar la función TRACE de una calculadora gráfica para ver cómo se generan los puntos cuando t aumenta. (a) Paramétrica y ( t ) = t 2 – 1 (b) Rectangular y = x 2 – 1 Análisis Las flechas indican la dirección en la que se genera la curva. Observe que la curva es idéntica a la curva de y = x 2 − 1. Ejercicio Construya una tabla de valores y trace las ecuaciones paramétricas: x ( t ) = t - 3 , y ( t ) = 2 t + 4 ; − 1 ≤ t ≤ 2. t x ( t ) y ( t ) - 1 - 4 2 0 - 3 4 1 - 2 6 2 - 1 8 Hallar un par de ecuaciones paramétricas Halle un par de ecuaciones paramétricas que modelen el gráfico de y = 1 - x 2 , utilizando el parámetro x ( t ) = t . Trace algunos puntos y dibuje el gráfico. Si los valores de x ( t ) = t y sustituimos t por x en la ecuación y , entonces y ( t ) = 1 - t 2 . Nuestro par de ecuaciones paramétricas es x ( t ) = t y ( t ) = 1 - t 2 Para graficar las ecuaciones, primero construimos una tabla de valores como la que aparece en la . Podemos elegir valores de aproximadamente t = 0 , a partir de t = - 3 con t = 3. Los valores de x ( t ) serán los mismos que los de la columna t porque x ( t ) = t . Calcule los valores de la columna y ( t ) . t x ( t ) = t y ( t ) = 1 - t 2 - 3 - 3 y ( - 3 ) = 1 - ( - 3 ) 2 = - 8 - 2 - 2 y ( – 2 ) = 1 - ( – 2 ) 2 = - 3 - 1 - 1 y ( - 1 ) = 1 - ( - 1 ) 2 = 0 0 0 y ( 0 ) = 1 - 0 = 1 1 1 y ( 1 ) = 1 - ( 1 ) 2 = 0 2 2 y ( 2 ) = 1 - ( 2 ) 2 = - 3 3 3 y ( 3 ) = 1 - ( 3 ) 2 = - 8 el gráfico de y = 1 - t 2 es una parábola orientada hacia abajo, como se muestra en la . Hemos trazado la curva sobre el intervalo [ −3 , 3 ] , que se muestra como una línea sólida con flechas que indican la orientación de la curva según t . La orientación se refiere a la trayectoria trazada a lo largo de la curva en términos de valores crecientes de t . Como esta parábola es simétrica respecto a la línea x = 0 , los valores de x se reflejan a través del eje y . Ejercicio Parametrizar la curva dada por x = y 3 - 2 y . x ( t ) = t 3 - 2 t y ( t ) = t Hallar ecuaciones paramétricas que modelen criterios dados Un objeto se desplaza a una velocidad constante a lo largo de una trayectoria recta ( −5 , 3 ) al ( 3 , –1 ) en el mismo plano en cuatro segundos. Las coordenadas están medidas en metros. Halle ecuaciones paramétricas para la posición del objeto. Las ecuaciones paramétricas son expresiones lineales sencillas, pero tenemos que ver este problema paso a paso. El valor x del objeto comienza en −5 metros y va hasta 3 metros. Esto significa que la distancia x cambió 8 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de 8 m 4 s , o 2 m / s . Podemos escribir la coordenada x como una función lineal con respecto al tiempo como x ( t ) = 2 t − 5. En la plantilla de función lineal y = m x + b , 2 t = m x y − 5 = b . Del mismo modo, el valor y del objeto comienza en 3 y va hasta −1 , lo que supone un cambio en la distancia y de –4 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de − 4 m 4 s , o − 1 m / s . También podemos escribir la coordenada y como la función lineal y ( t ) = - t + 3. En conjunto, estas son las ecuaciones paramétricas para la posición del objeto, donde x y y se expresan en metros y t representa el tiempo: x ( t ) = 2 t − 5 y ( t ) = - t + 3 Si utilizamos estas ecuaciones, podemos construir una tabla de valores para t , x , y y (vea la ). En este ejemplo, limitamos los valores de t a números no negativos. En general, cualquier valor de t se puede utilizar. t x ( t ) = 2 t − 5 y ( t ) = - t + 3 0 x = 2 ( 0 ) - 5 = - 5 y = - ( 0 ) + 3 = 3 1 x = 2 ( 1 ) - 5 = - 3 y = - ( 1 ) + 3 = 2 2 x = 2 ( 2 ) - 5 = - 1 y = - ( 2 ) + 3 = 1 3 x = 2 ( 3 ) - 5 = 1 y = - ( 3 ) + 3 = 0 4 x = 2 ( 4 ) - 5 = 3 y = - ( 4 ) + 3 = - 1 A partir de esta tabla, podemos crear tres gráficos, como se muestra en la . (a) Un gráfico de x versus t , que representa la posición horizontal en el tiempo. (b) Un gráfico de y versus t , que representa la posición vertical en el tiempo. (c) Un gráfico de y versus x , que representa la posición del objeto en el plano en el tiempo t . Análisis De nuevo, vemos que, en la (c), cuando el parámetro representa el tiempo, podemos indicar el movimiento del objeto a lo largo de la trayectoria con flechas. Eliminar el parámetro En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo x y y . La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro t a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes. Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para t . Sustituimos la expresión resultante por t en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en x y y . Eliminación del parámetro en polinomios Dados x ( t ) = t 2 + 1 y y ( t ) = 2 + t , elimine el parámetro y escriba las ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. Comenzaremos con la ecuación para y porque la ecuación lineal es más fácil de resolver para t . y = 2 + t y - 2 = t A continuación, sustituya y - 2 por t en x ( t ) . x = t 2 + 1 x = ( y - 2 ) 2 + 1 Sustituya la expresión de t en x . x = y 2 - 4 y + 4 + 1 x = y 2 - 4 y + 5 x = y 2 - 4 y + 5 La forma cartesiana es x = y 2 - 4 y + 5. Análisis Esta es una ecuación para una parábola en la que, en términos rectangulares, x depende de y . Desde el vértice de la curva en ( 1 , 2 ) , el gráfico se desplaza hacia la derecha. Vea el . En esta sección consideramos conjuntos de ecuaciones dadas por las funciones x ( t ) y y ( t ) , donde t es la variable independiente del tiempo. Observe que tanto x y y son funciones del tiempo; así que, en general, y no es una función de x . Ejercicio Dadas las ecuaciones siguientes, elimine el parámetro y escriba como ecuación rectangular para y en función de x . x ( t ) = 2 t 2 + 6 y ( t ) = 5 − t y = 5 - 1 2 x - 3 Eliminar el parámetro en ecuaciones exponenciales Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana x ( t ) = e - t y y ( t ) = 3 e t , t > 0, Aísle e t . x = e - t e t = 1 x Sustituya la expresión en y ( t ) . y = 3 e t y = 3 ( 1 x ) y = 3 x La forma cartesiana es y = 3 x . Análisis El gráfico de la ecuación paramétrica se muestra en la (a) . El dominio está restringido a t > 0, La ecuación cartesiana, y = 3 x se muestra en la (b) y solo tiene una restricción en el dominio, x ≠ 0, Eliminar el parámetro en ecuaciones logarítmicas Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana x ( t ) = t + 2 y y ( t ) = log ( t ) . Resuelva la primera ecuación para t . x = t + 2 x - 2 = t ( x - 2 ) 2 = t Eleve ambos lados al cuadrado . A continuación, sustituya la expresión por t en la ecuación y . y = log ( t ) y = log ( x - 2 ) 2 La forma cartesiana es y = log ( x - 2 ) 2 . Análisis Para estar seguro de que las ecuaciones paramétricas son equivalentes a la ecuación cartesiana, compruebe los dominios. Las ecuaciones paramétricas limitan el dominio en x = t + 2 al t > 0 ; restringimos el dominio en x a x > 2. El dominio para la ecuación paramétrica y = log ( t ) se restringe a t > 0 ; limitamos el dominio en y = log ( x - 2 ) 2 hasta x > 2. Ejercicio Elimine el parámetro y escriba como una ecuación rectangular . x ( t ) = t 2 y ( t ) = ln t t > 0 y = ln x Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras. Primero, usamos las identidades: x ( t ) = a cos t y ( t ) = b sen t Resolvemos para cos t y sen t , tenemos x a = cos t y b = sen t Entonces, usamos el teorema de Pitágoras: cos 2 t + sen 2 t = 1 La sustitución da como resultado cos 2 t + sen 2 t = ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 Eliminación del parámetro de un par de ecuaciones paramétricas trigonométricas Elimine el parámetro del par de ecuaciones trigonométricas dadas donde 0 ≤ t ≤ 2 π y dibujar el gráfico. x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 3 sen t Resolvemos para cos t y sen t , tenemos x = 4 cos t x 4 = cos t y = 3 sen t y 3 = sen t A continuación, utilice la identidad pitagórica y haga las sustituciones. cos 2 t + sen 2 t = 1 ( x 4 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1 x 2 16 + y 2 9 = 1 El gráfico de la ecuación se muestra en la . Análisis Al aplicar las ecuaciones generales de las secciones cónicas (introducidas en la sección Geometría analítica) , podemos identificar x 2 16 + y 2 9 = 1 como una elipse centrada en ( 0 , 0 ) . Observe que cuando t = 0 las coordenadas son ( 4 , 0 ) , y cuando t = π 2 las coordenadas son ( 0 , 3 ) . Esto muestra la orientación de la curva con valores crecientes de t . Ejercicio Elimine el parámetro del par de ecuaciones paramétricas dadas y escríbalo como una ecuación cartesiana: x ( t ) = 2 cos t y y ( t ) = 3 sen t . x 2 4 + y 2 9 = 1 Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo x ( t ) = t . En este caso, y ( t ) puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones. x ( t ) = t y ( t ) = t 2 - 3 Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir x por t . Así, la ecuación cartesiana es y = x 2 - 3, Hallar una ecuación cartesiana utilizando métodos alternativos Utilice dos métodos diferentes para hallar la ecuación cartesiana equivalente al conjunto de ecuaciones paramétricas dadas. x ( t ) = 3 t - 2 y ( t ) = t + 1 Método 1 . Primero, vamos a resolver la ecuación x para t . Entonces podemos sustituir el resultado en la ecuación y . x = 3 t - 2 x + 2 = 3 t x + 2 3 = t Ahora, sustituya la expresión para t en la ecuación y . y = t + 1 y = ( x + 2 3 ) + 1 y = x 3 + 2 3 + 1 y = 1 3 x + 5 3 Método 2 . Resolver la ecuación y para t y sustituir esta expresión en la ecuación x . y = t + 1 y - 1 = t Haga la sustitución y luego resuelva para y . x = 3 ( y - 1 ) - 2 x = 3 y - 3 - 2 x = 3 y - 5 x + 5 = 3 y x + 5 3 = y y = 1 3 x + 5 3 Ejercicio Escriba las ecuaciones paramétricas dadas como una ecuación cartesiana: x ( t ) = t 3 y y ( t ) = t 6 . y = x 2 Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar x , y luego sustituirlo en la ecuación y , y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para x como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares Halle un conjunto de ecuaciones paramétricas equivalentes para y = ( x + 3 ) 2 + 1. Una opción obvia sería dejar que x ( t ) = t . Entonces y ( t ) = ( t + 3 ) 2 + 1. Pero intentemos algo más interesante. ¿Y si dejamos que x = t + 3 ? Entonces tenemos y = ( x + 3 ) 2 + 1 y = ( ( t + 3 ) + 3 ) 2 + 1 y = ( t + 6 ) 2 + 1 El conjunto de ecuaciones paramétricas es x ( t ) = t + 3 y ( t ) = ( t + 6 ) 2 + 1 Vea la . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las ecuaciones paramétricas. Introducción a las ecuaciones paramétricas Convertir ecuaciones paramétricas a la forma rectangular Conceptos clave Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables, x y y , en dos ecuaciones en tres variables, x , y y t . A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el , el y el . A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar t , el resultado es una ecuación en x y y . Para eliminar t , se resuelve una de las ecuaciones para t , y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el , el , el y el . Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para t en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el . Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular. Halle una expresión para x de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es un sistema de ecuaciones paramétricas? Un par de funciones que depende de un factor externo. Las dos funciones están escritas en términos del mismo parámetro. Por ejemplo, x = f ( t ) y y = f ( t ) . Algunos ejemplos de un tercer parámetro son el tiempo, la longitud, la velocidad y la escala. Explique cuándo se utiliza el tiempo como parámetro. Explique cómo eliminar un parámetro dado un conjunto de ecuaciones paramétricas. Elija una ecuación para resolver t , sustituya en la otra ecuación y simplifique. ¿Cuál es la ventaja de escribir un sistema de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana? ¿Cuál es la ventaja de utilizar ecuaciones paramétricas? Algunas ecuaciones no se pueden escribir como funciones, como un círculo. Sin embargo, cuando se escriben como dos ecuaciones paramétricas, por separado, las ecuaciones son funciones. ¿Por qué hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas para representar una función cartesiana? Algebraicos En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro t para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana. { x ( t ) = 5 − t y ( t ) = 8 - 2 t y = - 2 + 2 x { x ( t ) = 6 - 3 t y ( t ) = 10 − t { x ( t ) = 2 t + 1 y ( t ) = 3 t y = 3 x – 1 2 { x ( t ) = 3 t - 1 y ( t ) = 2 t 2 { x ( t ) = 2 e t y ( t ) = 1 - 5 t x = 2 e 1 - y 5 o y = 1 - 5 l n ( x 2 ) { x ( t ) = e − 2 t y ( t ) = 2 e - t { x ( t ) = 4 log ( t ) y ( t ) = 3 + 2 t x = 4 log ( y - 3 2 ) { x ( t ) = log ( 2 t ) y ( t ) = t - 1 { x ( t ) = t 3 - t y ( t ) = 2 t x = ( y 2 ) 3 - y 2 { x ( t ) = t - t 4 y ( t ) = t + 2 { x ( t ) = e 2 t y ( t ) = e 6 t y = x 3 { x ( t ) = t 5 y ( t ) = t 10 { x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 5 sen t ( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 1 { x ( t ) = 3 sen t y ( t ) = 6 cos t { x ( t ) = 2 cos 2 t y ( t ) = - sen t y 2 = 1 - 1 2 x { x ( t ) = cos t + 4 y ( t ) = 2 sen 2 t { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 y = x 2 + 2 x + 1 { x ( t ) = - t y ( t ) = t 3 + 1 { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = t 3 - 2 y = ( x + 1 2 ) 3 - 2 En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana y construya una tabla de x y . { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = t + 4 { x ( t ) = 4 - t y ( t ) = 3 t + 2 y = - 3 x + 14 { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = 5 t { x ( t ) = 4 t - 1 y ( t ) = 4 t + 2 y = x + 3 En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana y establezca x ( t ) = t o establezca y ( t ) = t . y ( x ) = 3 x 2 + 3 y ( x ) = 2 sen x + 1 { x ( t ) = t y ( t ) = 2 sen t + 1 x ( y ) = 3 log ( y ) + y x ( y ) = y + 2 y { x ( t ) = t + 2 t y ( t ) = t En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t . Identifique la curva. x 2 4 + y 2 9 = 1 x 2 16 + y 2 36 = 1 { x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 6 sen t ; Elipse x 2 + y 2 = 16 x 2 + y 2 = 10 { x ( t ) = 10 cos t y ( t ) = 10 sen t ; Círculo Parametrice la línea de ( 3 , 0 ) al ( –2 , −5 ) para que la línea esté en ( 3 , 0 ) en t = 0 , y en ( –2 , −5 ) en t = 1. Parametrice la línea de ( –1 , 0 ) al ( 3 , –2 ) para que la línea esté en ( –1 , 0 ) en t = 0 , y en ( 3 , –2 ) en t = 1. { x ( t ) = - 1 + 4 t y ( t ) = - 2 t Parametrice la línea de ( –1 , 5 ) al ( 2 , 3 ) para que la línea esté en ( –1 , 5 ) en t = 0 , y en ( 2 , 3 ) en t = 1. Parametrice la línea de ( 4 , 1 ) al ( 6 , –2 ) para que la línea esté en ( 4 , 1 ) en t = 0 , y en ( 6 , –2 ) en t = 1. { x ( t ) = 4 + 2 t y ( t ) = 1 - 3 t En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función de tabla de la calculadora gráfica para determinar si los gráficos se intersecan. { x 1 ( t ) = 3 t y 1 ( t ) = 2 t - 1 y { x 2 ( t ) = t + 3 y 2 ( t ) = 4 t - 4 { x 1 ( t ) = t 2 y 1 ( t ) = 2 t - 1 y { x 2 ( t ) = - t + 6 y 2 ( t ) = t + 1 sí, en t = 2 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para completar la tabla de valores de cada conjunto de ecuaciones paramétricas. { x 1 ( t ) = 3 t 2 - 3 t + 7 y 1 ( t ) = 2 t + 3 t x y -1 0 1 { x 1 ( t ) = t 2 - 4 y 1 ( t ) = 2 t 2 – 1 t x y 1 2 3 t x y 1 -3 1 2 0 7 3 5 17 { x 1 ( t ) = t 4 y 1 ( t ) = t 3 + 4 t x y -1 0 1 2 Extensiones Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = ( x + 1 ) 2 . las respuestas pueden variar { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 y { x ( t ) = t + 1 y ( t ) = ( t + 2 ) 2 Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = 3 x − 2. Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = x 2 - 4 x + 4. las respuestas pueden variar: { x ( t ) = t y ( t ) = t 2 - 4 t + 4 y { x ( t ) = t + 2 y ( t ) = t 2 parámetro una variable, que suele representar el tiempo, sobre la que x y y son dependientes", "section": "Ecuaciones paramétricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Ecuaciones paramétricas: gráficos Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente 45° de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas . En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles. Las ecuaciones paramétricas pueden modelar la trayectoria de un proyectil (créditos: Paul Kreher, Flickr). Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable. Cómo Dado un par de ecuaciones paramétricas, dibuje un gráfico mediante el trazado de puntos. Construya una tabla con tres columnas t , x ( t ) , y y ( t ) . Evalúe x y y para los valores de t sobre el intervalo para el que se definen las funciones. Trace los pares resultantes ( x , y ) . Elaboración del gráfico de un par de ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 + 1 , y ( t ) = 2 + t . Construya una tabla de valores para t , x ( t ) , y y ( t ) , como en la , y trace los puntos en un plano. t x ( t ) = t 2 + 1 y ( t ) = 2 + t - 5 26 - 3 - 4 17 - 2 - 3 10 - 1 - 2 5 0 - 1 2 1 0 1 2 1 2 3 2 5 4 3 10 5 4 17 6 5 26 7 El gráfico es una parábola con vértice en el punto ( 1 , 2 ) , que abre hacia la derecha. Vea la . Análisis Como los valores del avance de t en sentido positivo de 0 a 5, los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. Como los valores de t se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican la dirección según los valores crecientes de t . El gráfico no representa una función, ya que no pasará la prueba de la línea vertical. El gráfico se dibuja en dos partes: los valores positivos de t , y los valores negativos de t . Ejercicio Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x = t , y = 2 t + 3 , 0 ≤ t ≤ 3. Trazar el gráfico de ecuaciones paramétricas trigonométricas Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y dibuje el gráfico: x = 2 cos t y = 4 sen t Construya una tabla como la de la utilizando la medida del ángulo en radianes como entradas para t , adecuados, y evaluando x y y . Utilizar ángulos con valores conocidos de seno y coseno para t facilita los cálculos. t x = 2 cos t y = 4 sen t 0 x = 2 cos ( 0 ) = 2 y = 4 sen ( 0 ) = 0 π 6 x = 2 cos ( π 6 ) = 3 y = 4 sen ( π 6 ) = 2 π 3 x = 2 cos ( π 3 ) = 1 y = 4 sen ( π 3 ) = 2 3 π 2 x = 2 cos ( π 2 ) = 0 y = 4 sen ( π 2 ) = 4 2 π 3 x = 2 cos ( 2 π 3 ) = - 1 y = 4 sen ( 2 π 3 ) = 2 3 5 π 6 x = 2 cos ( 5 π 6 ) = - 3 y = 4 sen ( 5 π 6 ) = 2 π x = 2 cos ( π ) = - 2 y = 4 sen ( π ) = 0 7 π 6 x = 2 cos ( 7 π 6 ) = - 3 y = 4 sen ( 7 π 6 ) = - 2 4 π 3 x = 2 cos ( 4 π 3 ) = - 1 y = 4 sen ( 4 π 3 ) = - 2 3 3 π 2 x = 2 cos ( 3 π 2 ) = 0 y = 4 sen ( 3 π 2 ) = – 4 5 π 3 x = 2 cos ( 5 π 3 ) = 1 y = 4 sen ( 5 π 3 ) = - 2 3 11 π 6 x = 2 cos ( 11 π 6 ) = 3 y = 4 sen ( 11 π 6 ) = - 2 2 π x = 2 cos ( 2 π ) = 2 y = 4 sen ( 2 π ) = 0 En la se muestra el gráfico. Por la simetría mostrada en los valores de x y y , vemos que las ecuaciones paramétricas representan una elipse . El elipse se mapea en sentido contrario a las agujas del reloj, como muestran las flechas que indican el aumento de t . Análisis Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden representar gráficamente mediante trazado de puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará tiempo y revelará matices en un gráfico que pueden ser demasiado tediosos de descubrir utilizando solo cálculos manuales. Asegúrese de cambiar el modo de la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la ventana Y = debería aparecer X 1 T = Y 1 T = en vez de Y 1 = . Ejercicio Grafique las ecuaciones paramétricas: x = 5 cos t , y = 3 sen t . Graficar ecuaciones paramétricas y forma rectangular juntas Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x = 5 cos t y y = 2 sen t . En primer lugar, elabore el gráfico utilizando los puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica . Luego grafique la forma rectangular de la ecuación. Compare los dos gráficos. Elabore una tabla de valores como la de la . t x = 5 cos t y = 2 sen t 0 x = 5 cos ( 0 ) = 5 y = 2 sen ( 0 ) = 0 1 x = 5 cos ( 1 ) ≈ 2,7 y = 2 sen ( 1 ) ≈ 1,7 2 x = 5 cos ( 2 ) ≈ −2,1 y = 2 sen ( 2 ) ≈ 1,8 3 x = 5 cos ( 3 ) ≈ -4,95 y = 2 sen ( 3 ) ≈ 0,28 4 x = 5 cos ( 4 ) ≈ -3,3 y = 2 sen ( 4 ) ≈ -1,5 5 x = 5 cos ( 5 ) ≈ 1,4 y = 2 sen ( 5 ) ≈ -1,9 −1 x = 5 cos ( –1 ) ≈ 2,7 y = 2 sen ( –1 ) ≈ -1,7 −2 x = 5 cos ( −2 ) ≈ −2,1 y = 2 sen ( −2 ) ≈ -1,8 −3 x = 5 cos ( −3 ) ≈ -4,95 y = 2 sen ( −3 ) ≈ -0,28 -4 x = 5 cos ( –4 ) ≈ -3,3 y = 2 sen ( –4 ) ≈ 1,5 −5 x = 5 cos ( −5 ) ≈ 1,4 y = 2 sen ( −5 ) ≈ 1,9 Trace los valores ( x , y ) de la tabla. Vea la . A continuación, traslade las ecuaciones paramétricas a la forma rectangular. Para ello, resolvemos t en x ( t ) o y ( t ) , y luego sustituimos la expresión por t en la otra ecuación. El resultado será una función y ( x ) si se resuelve para t en función de x , o x ( y ) si se resuelve para t en función de y . x = 5 cos t x 5 = cos t Resuelva para cos t . y = 2 sen t Resuelva para sen t . y 2 = sen t Entonces, utilice el teorema de Pitágoras . cos 2 t + sen 2 t = 1 ( x 5 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 1 x 2 25 + y 2 4 = 1 Análisis En la , los datos de las ecuaciones paramétricas y de la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; el gráfico de la ecuación rectangular se dibuja encima de la paramétrica en un estilo discontinuo coloreado en rojo. Evidentemente, ambas formas producen el mismo gráfico. Graficar ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares en el sistema de coordenadas Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x = t + 1 y y = t , t ≥ 0 , y el equivalente rectangular y = x – 1 en el mismo sistema de coordenadas. Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas, como hicimos en el ejemplo anterior, y grafique y = t , t ≥ 0 en la misma cuadrícula, como en la . Análisis Con el dominio en t restringido, solo trazamos valores positivos de t . Los datos paramétricos se grafican en azul y el gráfico de la ecuación rectangular está punteado en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen. Ejercicio Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x = 2 cos θ y y = 4 sen θ , junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula. El gráfico de las ecuaciones paramétricas está en rojo y el gráfico de la ecuación rectangular está dibujado en puntos azules sobre las ecuaciones paramétricas. Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t , como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado. Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de θ a la horizontal, con una velocidad inicial de v 0 , y a una altura h sobre la horizontal. La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de θ a la horizontal, con rapidez inicial v 0 , y a una altura h sobre la horizontal, viene dada por x = ( v 0 cos θ ) t y = - 1 2 g t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h donde g tiene en cuenta los efectos de la gravedad y h es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice g = 32 pies / s 2 o g = 9,8 m / s 2 . La ecuación para x da la distancia horizontal, y la ecuación para y da la distancia vertical. Cómo Dado un problema de movimiento de proyectil, utilice ecuaciones paramétricas para resolverlo. La distancia horizontal viene dada por x = ( v 0 cos θ ) t . Sustituir la velocidad inicial del objeto por v 0 . La expresión cos θ indica el ángulo con el que se impulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por cos θ . La distancia vertical viene dada por la fórmula y = - 1 2 g t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h . El término − 1 2 g t 2 representa el efecto de la gravedad. De acuerdo con las unidades involucradas, utilice g = 32 pies/s 2 o g = 9,8 m/s 2 . De nuevo, sustituya la velocidad inicial por v 0 , y la altura a la que se impulsó el objeto para h . Proceda con el cálculo de cada término para resolver t . Hallar las ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de una pelota de béisbol Resuelva el problema presentado al principio de esta sección. ¿El bateador batea el jonrón ganador del partido? Supongamos que la pelota se golpea con una velocidad inicial de 140 pies por segundo en un ángulo de 45° a la horizontal, y hace contacto a 3 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota de béisbol. Ⓑ ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? Ⓓ ¿Es un jonrón? Ⓐ Utilice las fórmulas para establecer las ecuaciones. La posición horizontal se halla utilizando la ecuación paramétrica para x . Así, x = ( v 0 cos θ ) t x = ( 140 cos ( 45° ) ) t La posición vertical se halla utilizando la ecuación paramétrica para y . Así, y = - 16 t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h y = - 16 t 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) t + 3 Ⓑ Sustituya el 2 en las ecuaciones para hallar las posiciones horizontal y vertical de la pelota. x = ( 140 cos ( 45° ) ) ( 2 ) x = 198 pies y = - 16 ( 2 ) 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) ( 2 ) + 3 y = 137 pies Después de 2 segundos, la pelota está a 198 pies de la caja de bateo y a 137 pies del suelo. Ⓒ Para calcular cuánto tiempo está la pelota en el aire, tenemos que averiguar cuándo va a tocar el suelo, o cuándo y = 0 . Por lo tanto, y = - 16 t 2 + ( 140 sen ( 45 ∘ ) ) t + 3 y = 0 Establezca y ( t ) = 0 y resuelva la cuadrática . t = 6,2173 Cuando t = 6,2173 segundos, la pelota ha tocado el suelo (la ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero este problema se resolvió utilizando un programa matemático de computadora). Ⓓ No podemos confirmar que el golpe fue un jonrón sin tener en cuenta el tamaño del campo exterior, que varía de un campo a otro. Sin embargo, para simplificar, vamos a suponer que el muro del campo está a 400 pies de la base del bateador en la parte más profunda del parque. Supongamos también que el muro tiene 10 pies de altura. Para determinar si la pelota pasa por encima de la pared, tenemos que calcular a qué altura está la pelota cuando x = 400 pies. Así que fijaremos x = 400 pies, resolvemos para t , e introducimos t en y . x = ( 140 cos ( 45° ) ) t 400 = ( 140 cos ( 45° ) ) t t = 4,04 y = - 16 ( 4,04 ) 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) ( 4,04 ) + 3 y = 141,8 La pelota está a 141,8 pies en el aire cuando sale disparada del estadio. Fue, efectivamente, un jonrón. Vea la . Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de ecuaciones paramétricas. Graficar ecuaciones paramétricas en la TI-84 Conceptos clave Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que x y y dependen. Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas t , x ( t ) , y y ( t ) . Elija los valores para t en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para x y y . Vea el y el . Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el y el . Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el . El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas x = ( v 0 cos θ ) t y y = - 16 t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h . La velocidad inicial se simboliza como v 0 . θ representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y h representa la altura a la que se impulsa el objeto. Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuáles son los dos métodos utilizados para representar gráficamente ecuaciones paramétricas? trazar puntos con la flecha de orientación y una calculadora gráfica ¿Cuál es una diferencia en el trazado de ecuaciones paramétricas en comparación con las ecuaciones cartesianas? ¿Por qué algunos gráficos se dibujan con flechas? Las flechas muestran la orientación, la dirección del movimiento según los valores crecientes de t . Nombre algunos tipos comunes de gráficos de ecuaciones paramétricas. ¿Por qué son importantes los gráficos paramétricos para entender el movimiento de proyectil? Las ecuaciones paramétricas muestran los diferentes movimientos verticales y horizontales en el tiempo. Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico. { x ( t ) = t y ( t ) = t 2 – 1 t - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 x y { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 t - 3 - 2 - 1 0 1 2 x y { x ( t ) = 2 + t y ( t ) = 3 - 2 t t - 2 - 1 0 1 2 3 x y { x ( t ) = - 2 - 2 t y ( t ) = 3 + t t - 3 - 2 - 1 0 1 x y { x ( t ) = t 3 y ( t ) = t + 2 t - 2 - 1 0 1 2 x y { x ( t ) = t 2 y ( t ) = t + 3 t - 2 - 1 0 1 2 x y En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación. { x ( t ) = t y ( t ) = t { x ( t ) = - t y ( t ) = t { x ( t ) = 5 − | t | y ( t ) = t + 2 { x ( t ) = - t + 2 y ( t ) = 5 − | t | { x ( t ) = 4 sen t y ( t ) = 2 cos t { x ( t ) = 2 sen t y ( t ) = 4 cos t { x ( t ) = 3 cos 2 t y ( t ) = −3 sen t { x ( t ) = 3 cos 2 t y ( t ) = −3 sen 2 t { x ( t ) = sec t y ( t ) = tan t { x ( t ) = sec t y ( t ) = tan 2 t { x ( t ) = 1 e 2 t y ( t ) = e - t En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana. { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = - t 2 { x ( t ) = t 3 y ( t ) = t + 3 { x ( t ) = 2 cos t y ( t ) = - sen t { x ( t ) = 7 cos t y ( t ) = 7 sen t { x ( t ) = e 2 t y ( t ) = - e t En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. x = t 2 , y = 3 t , 0 ≤ t ≤ 5 x = 2 t , y = t 2 , - 5 ≤ t ≤ 5 x = t , y = 25 − t 2 , 0 < t ≤ 5 x ( t ) = - t , y ( t ) = t , t ≥ 0 x = - 2 cos t , y = 6 sen t , 0 ≤ t ≤ π x = − sec t , y = tan t , − π 2 < t < π 2 En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b : x ( t ) = a cos ( ( a + b ) t ) y ( t ) = a cos ( ( a - b ) t ) Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 2 y b = 1 , e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 3 y b = 2 e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 4 y b = 3 e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 5 y b = 4 e incluya la orientación. Si los valores de a es 1 más que b , describa el efecto que los valores de a y b tienen en el gráfico de las ecuaciones paramétricas. Describa el gráfico si a = 100 y b = 99. Habrá 100 movimientos de ida y vuelta. ¿Qué pasa si b es 1 más que a ? Describa el gráfico. Si las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 y y ( t ) = 6 - 3 t tenemos el gráfico de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha, ¿qué cambiaría la dirección de la curva? Tome lo contrario de la ecuación x ( t ) . En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas. x ( t ) = - t 2 y y ( t ) es lineal y ( t ) = t 2 y x ( t ) es lineal La parábola se abre. y ( t ) = - t 2 y x ( t ) es lineal Escriba las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro ( 0 , 0 ) , radio 5 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj. { x ( t ) = 5 cos t y ( t ) = 5 sen t Escriba las ecuaciones paramétricas de una elipse con centro ( 0 , 0 ) , eje mayor de longitud 10, eje menor de longitud 6 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj. En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana [ − 3 , 3 ] entre [ − 3 , 3 ] en el dominio [ 0 , 2 π ) para los siguientes valores de a y b e incluya la orientación. { x ( t ) = sen ( a t ) y ( t ) = sen ( b t ) a = 1 , b = 2 a = 2 , b = 1 a = 3 , b = 3 a = 5 , b = 5 a = 2 , b = 5 a = 5 , b = 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma { x ( t ) = a cos ( b t ) y ( t ) = c sen ( d t ) . Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de a , b , c , y d para lograr cada gráfico. a = 4 , b = 3 , c = 6 , d = 1 a = 4 , b = 2 , c = 3 , d = 3 En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas. { x ( t ) = cos t - 1 y ( t ) = sen t + t { x ( t ) = cos t + t y ( t ) = sen t - 1 { x ( t ) = t - sen t y ( t ) = cos t - 1 Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 0 , 2 π ] . Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 0 , 4 π ] . Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ − 4 π , 6 π ] . El gráfico de cada conjunto de ecuaciones paramétricas parece “desplazarse\" por uno de los ejes. ¿Qué controla el eje por el que se desplaza el gráfico? Explique el efecto en el gráfico de la ecuación paramétrica cuando cambiamos sen t y cos t . La intersección en y cambia. Explique el efecto de la ecuación paramétrica en el gráfico cuando cambiamos el dominio. Extensiones Un objeto se lanza al aire con una velocidad vertical de 20 ft/s y una velocidad horizontal de 15 ft/s. Se puede describir la altura del objeto mediante la ecuación y ( t ) = - 16 t 2 + 20 t , mientras el objeto se mueve horizontalmente con una velocidad constante de 15 ft/s. Escriba ecuaciones paramétricas para la posición del objeto y luego elimine el tiempo para que escriba la altura en función de la posición horizontal. y ( x ) = - 16 ( x 15 ) 2 + 20 ( x 15 ) Un patinador que circula en patineta por una superficie plana a una velocidad constante de 9 ft/s lanza una pelota al aire, cuya altura se puede describir mediante la ecuación y ( t ) = - 16 t 2 + 10 t + 5 . Escriba ecuaciones paramétricas para la posición de la pelota y luego elimine el tiempo para escribir la altura en función de la posición horizontal. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento t . Ignore la resistencia del aire. Halle ecuaciones paramétricas que modelen la situación del problema. { x ( t ) = 64 t cos ( 52 ° ) y ( t ) = - 16 t 2 + 64 t sen ( 52 ° ) Halle todos los valores posibles de x que representan la situación. ¿Cuándo llegará el dardo al suelo? aproximadamente en 3,2 segundos Halle la altura máxima del dardo. ¿A qué hora alcanzará el dardo su máxima altura? 1,6 segundos En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado. Una epicicloide: { x ( t ) = 14 cos t − cos ( 14 t ) y ( t ) = 14 sen t + sen ( 14 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una hipocicloide: { x ( t ) = 6 sen t + 2 sen ( 6 t ) y ( t ) = 6 cos t - 2 cos ( 6 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una hipotrocoide: { x ( t ) = 2 sen t + 5 cos ( 6 t ) y ( t ) = 5 cos t - 2 sen ( 6 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una rosa: { x ( t ) = 5 sen ( 2 t ) sen t y ( t ) = 5 sen ( 2 t ) cos t en el dominio [ 0 , 2 π ] .", "section": "Ecuaciones paramétricas: gráficos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Vectores Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la . ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión? La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores. Visión geométrica de los vectores Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial , donde comienza, y un punto terminal , donde termina. El vector se define por su magnitud , o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades: Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo v , u , w , v → , u → , w → . Dado el punto inicial P y punto terminal Q , un vector se puede representar como P Q → . La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido. Dado un punto inicial de ( 0 , 0 ) y punto terminal ( a , b ) , un vector se puede representar como 〈 a , b 〉 . Este último símbolo 〈 a , b 〉 tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar . El vector de posición tiene un punto inicial ( 0 , 0 ) y un punto terminal ( a , b ) . Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y . Por lo tanto, si el punto inicial de un vector C D → es C ( x 1 , y 1 ) y el punto terminal es D ( x 2 , y 2 ) , entonces el vector de posición se halla calculando A b → = 〈 x 2 - x 1 , y 2 - y 1 〉 = 〈 a , b 〉 En la vemos el vector original C D → y el vector de posición A b → . una etiqueta de nota general Propiedades de los vectores Un vector es un segmento rectilíneo dirigido con un punto inicial y un punto terminal. Los vectores se identifican por la magnitud, o la longitud de la línea, y la dirección, representada por la punta de la flecha que apunta hacia el punto terminal. El vector de posición tiene un punto inicial en ( 0 , 0 ) y se identifica por su punto terminal ( a , b ) . Hallar el vector de posición Consideremos el vector cuyo punto inicial es P ( 2 , 3 ) y el punto terminal es Q ( 6 , 4 ) . Halle el vector de posición. El vector de posición se halla al restar una coordenada x de la otra coordenada x , y una coordenada y de la otra coordenada y . Así, v = 〈 6 - 2 , 4 - 3 〉 = 〈 4 , 1 〉 El vector de posición comienza en ( 0 , 0 ) y termina en ( 4 , 1 ) . Los gráficos de ambos vectores se muestran en la . Vemos que el vector de posición es 〈 4 , 1 〉 . Dibujar un vector con el criterio dado y su vector de posición equivalente Halle el vector de posición dado el vector v tiene un punto inicial en ( - 3 , 2 ) y un punto terminal en ( 4 , 5 ) , luego, grafique ambos vectores en el mismo plano. El vector de posición se halla utilizando el siguiente cálculo: v = 〈 4 - ( - 3 ) , 5 - 2 〉 = 〈 7 , 3 〉 Así, el vector de posición comienza en ( 0 , 0 ) y termina en ( 7 , 3 ) . Vea la . Dibuje un vector v que conecta desde el origen hasta el punto ( 3 , 5 ) . Hallar la magnitud y la dirección Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa. una etiqueta de nota general Magnitud y dirección de un vector Dado un vector de posición v = 〈 a , b 〉 , la magnitud se halla por | v | = a 2 + b 2 . La dirección es igual al ángulo formado con el eje x , o con el eje y , según la aplicación. Para un vector de posición, la dirección se halla mediante tan θ = ( b a ) ⇒ θ = tan - 1 ( b a ) , como se ilustra en la . Dos vectores v y u se consideran iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Además, si ambos vectores tienen el mismo vector de posición, son iguales. Hallar la magnitud y la dirección de un vector Halle la magnitud y la dirección del vector con punto inicial P ( − 8 , 1 ) y punto terminal Q ( – 2 , - 5 ) . Dibuje el vector. Primero, halle el vector de posición . u = 〈 –2 , - ( −8 ) , −5 −1 〉 = 〈 6 , − 6 〉 Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la magnitud. | u | = ( 6 ) 2 + ( − 6 ) 2 = 72 = 6 2 La dirección está dada como tan θ = −6 6 = −1 ⇒ θ = tan –1 ( –1 ) = − 45° Sin embargo, el ángulo termina en el cuarto cuadrante, por lo que sumamos 360° para obtener un ángulo positivo. Así, − 45° + 360° = 315° . Vea la . Demostrar que dos vectores son iguales Demuestre que el vector v con punto inicial en ( 5 , −3 ) y punto terminal en ( –1 , 2 ) es igual al vector u con punto inicial en ( –1 , −3 ) y punto terminal en ( –7 , 2 ) . Dibuje el vector de posición en la misma cuadrícula que v y u . A continuación, calcule la magnitud and dirección de cada vector. Como se muestra en la , dibuje el vector v comenzando por el punto inicial ( 5 , −3 ) y punto terminal ( –1 , 2 ) . Dibuje el vector u con punto inicial ( –1 , −3 ) y punto terminal ( –7 , 2 ) . Calcule la posición estándar de cada uno. A continuación, halle y dibuje el vector de posición para v y u . Tenemos v = 〈 −1 - 5 , 2 - ( - 3 ) 〉 = 〈 –6 , 5 〉 u = 〈 −7 − ( –1 ) , 2 - ( −3 ) 〉 = 〈 –6 , 5 〉 Dado que los vectores de posición son los mismos v y u son iguales. Otra manera de comprobar la igualdad de los vectores es demostrar que la magnitud y la dirección son iguales para ambos vectores. Para demostrar que las magnitudes son iguales, utilice el teorema de Pitágoras. | v | = ( −1 - 5 ) 2 + ( 2 - ( −3 ) ) 2 = ( −6 ) 2 + ( 5 ) 2 = 36 + 25 = 61 | u | = ( −7 − ( –1 ) ) 2 + ( 2 - ( −3 ) ) 2 = ( −6 ) 2 + ( 5 ) 2 = 36 + 25 = 61 Como las magnitudes son iguales, ahora tenemos que verificar la dirección. Al utilizar la función tangente con el vector de posición se obtiene tan θ = - 5 6 ⇒ θ = tan - 1 ( - 5 6 ) = − 39,8° Sin embargo, podemos ver que el vector de posición termina en el segundo cuadrante, por lo que sumamos 180° . Así, la dirección es − 39,8° + 180° = 140,2 ° . Realizar suma de vectores y multiplicación escalar Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector u = 〈 x , y 〉 como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto ( x , y ) , los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores u y v , o suma de vectores , produce un tercer vector u + v , el vector resultante . Para calcular u + v , primero dibujamos el vector u , y desde el punto terminal de u , dibujamos el vector v . Es decir, tenemos que el punto inicial de v se encuentra con el punto terminal de u . Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma u + v es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de u hasta el final de v en una trayectoria recta, como se muestra en . La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar u − v , véalo como u + (− v ). Para sumar - v se invierte el sentido de v para sumarlo al extremo de u . El nuevo vector comienza en el inicio de u y se detiene en el punto final de - v . Ver para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos . Sumar y restar vectores Dado u = 〈 3 , - 2 〉 y v = 〈 –1 , 4 〉 , hallar dos nuevos vectores u + v y u − v . Para dar con la suma de dos vectores, sumamos sus componentes. Por lo tanto, u + v = 〈 3 , - 2 〉 + 〈 − 1 , 4 〉 = 〈 3 + ( - 1 ) , - 2 + 4 〉 = 〈 2 , 2 〉 Vea la (a) . Para hallar la diferencia de dos vectores, se suman los componentes negativos de v a u . Así, u + ( - v ) = 〈 3 , - 2 〉 + 〈 1 , - 4 〉 = 〈 3 + 1 , - 2 + ( - 4 ) 〉 = 〈 4 , − 6 〉 Vea la (b). (a) Suma de dos vectores (b) Diferencia de dos vectores Multiplicar por un escalar Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar , una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original. Una etiqueta de nota general Multiplicación escalar La multiplicación escalar implica el producto de un vector por un escalar. Cada componente del vector se multiplica por el escalar. Así, para multiplicar v = 〈 a , b 〉 entre k , tenemos k v = 〈 k a , k b 〉 Solo cambia la magnitud, a menos que k sea negativo, y entonces el vector invierte su dirección. Realizar multiplicación escalar Vector dado v = 〈 3 , 1 〉 , hallar 3 v , 1 2 v , y – v . Véase para una interpretación geométrica. Si v = 〈 3 , 1 〉 , entonces 3 v = 〈 3 ⋅ 3 , 3 ⋅ 1 〉 = 〈 9 , 3 〉 1 2 v = 〈 1 2 ⋅ 3 , 1 2 ⋅ 1 〉 = 〈 3 2 , 1 2 〉 − v = 〈 −3 , −1 〉 Análisis Observe que el vector 3 v es tres veces la longitud de v , 1 2 v es la mitad de la longitud de v , y – v es la misma longitud de v , pero en sentido contrario. Halle el múltiplo escalar 3 u dado u = 〈 5 , 4 〉 . 3 u = 〈 15 , 12 〉 Usar la suma de vectores y la multiplicación escalar para hallar un nuevo vector Dado u = 〈 3 , - 2 〉 y v = 〈 − 1 , 4 〉 , hallar un nuevo vector w = 3 u + 2 v . Primero, debemos multiplicar cada vector por el escalar. 3 u = 3 〈 3 , - 2 〉 = 〈 9 , − 6 〉 2 v = 2 〈 − 1 , 4 〉 = 〈 - 2 , 8 〉 Luego, sumar los dos elementos. w = 3 u + 2 v = 〈 9 , − 6 〉 + 〈 - 2 , 8 〉 = 〈 9 − 2 , − 6 + 8 〉 = 〈 7 , 2 〉 Así que, w = 〈 7 , 2 〉 . Hallar la forma en componentes En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección x y el componente vertical es la dirección y . Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la que el vector de posición 〈 2 , 3 〉 resulta de sumar los vectores v 1 y v 2 . Tenemos v 1 con punto inicial ( 0 , 0 ) y punto terminal ( 2 , 0 ) . v 1 = 〈 2 - 0 , 0 - 0 〉 = 〈 2 , 0 〉 También tenemos v 2 con punto inicial ( 0 , 0 ) y punto terminal ( 0 , 3 ) . v 2 = 〈 0 - 0 , 3 - 0 〉 = 〈 0 , 3 〉 Por lo tanto, el vector de posición es v = 〈 2 + 0 , 3 + 0 〉 = 〈 2 , 3 〉 Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de v 1 es 2, y la magnitud de v 2 es 3. Para hallar la magnitud de v , utilice la fórmula con el vector de posición. | v | = | v 1 | 2 + | v 2 | 2 = 2 2 + 3 2 = 13 La magnitud de v es 13 . Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente tan θ = y x . tan θ = v 2 v 1 tan θ = 3 2 θ = tan - 1 ( 3 2 ) = 56,3° Así, la magnitud de v es 13 y la dirección es 56,3 ∘ de la horizontal. Hallar los componentes del vector Halle los componentes del vector v con punto inicial ( 3 , 2 ) y punto terminal ( 7 , 4 ) . Primero, halle la posición estándar. v = 〈 7 - 3 , 4 – 2 〉 = 〈 4 , 2 〉 Vea la ilustración en la . El componente horizontal es v 1 = 〈 4 , 0 〉 y el componente vertical es v 2 = 〈 0 , 2 〉. Hallar el vector unitario en la dirección de v Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos. Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como i = 〈 1 , 0 〉 y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como j = 〈 0 , 1 〉 y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la . una etiqueta de nota general Los vectores unitarios Si v es un vector distinto de cero, entonces v | v | es un vector unitario en la dirección de v . Cualquier vector dividido entre su magnitud es un vector unitario. Observe que la magnitud es siempre un escalar, y que dividir entre un escalar es lo mismo que multiplicar por el recíproco del escalar. Hallar el vector unitario en la dirección de v Halle un vector unitario en la misma dirección que v = 〈 −5 , 12 〉. Primero hallaremos la magnitud. | v | = ( - 5 ) 2 + ( 12 ) 2 = 25 + 144 = 169 = 13 A continuación, dividimos cada componente entre | v |, lo cual resulta en un vector unitario en la misma dirección que v : v | v | = - 5 13 i + 12 13 j o en forma de componente v | v | = 〈 − 5 13 , 12 13 〉 Vea la . Compruebe que la magnitud del vector unitario es igual a 1. La magnitud de − 5 13 i + 12 13 j se da como ( - 5 13 ) 2 + ( 12 13 ) 2 = 25 169 + 144 169 = 169 169 = 1 El vector u = 5 13 i + 12 13 j es el vector unitario en la misma dirección que v = 〈 − 5 , 12 〉 . Realizar operaciones con vectores en términos de i y j Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de i y j . una etiqueta de nota general Vectores en el plano rectangular Dado un vector v con punto inicial P = ( x 1 , y 1 ) y punto terminal Q = ( x 2 , y 2 ), v se escribe como v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j El vector de posición de ( 0 , 0 ) al ( a , b ) , donde ( x 2 - x 1 ) = a y ( y 2 - y 1 ) = b , se escribe como v = a i + b j . Esta suma vectorial se denomina a) combinación lineal de los vectores i y j . La magnitud de v = a i + b j viene dada como | v | = a 2 + b 2 . Vea la . Escribir un vector en términos de i y j Dado un vector v con punto inicial P = ( 2 , –6 ) y punto terminal Q = ( –6 , 6 ) , escriba el vector en términos de i y j . Comience escribiendo la forma general del vector. A continuación, sustituya las coordenadas por los valores dados. v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j = ( − 6 - 2 ) i + ( 6 − ( − 6 ) ) j = - 8 i + 12 j Escribir un vector en términos de i y j utilizando los puntos inicial y final Dado el punto inicial P 1 = ( - 1 , 3 ) y punto terminal P 2 = ( 2 , 7 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Comience escribiendo la forma general del vector. A continuación, sustituya las coordenadas por los valores dados. v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j v = ( 2 - ( - 1 ) ) i + ( 7 - 3 ) j = 3 i + 4 j Escriba el vector u con punto inicial P = ( - 1 , 6 ) y punto terminal Q = ( 7 , - 5 ) en términos de i y j . u = 8 i - 11 j Realizar operaciones con vectores en términos de i y j Cuando los vectores se escriben en términos de i y j , podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes. una etiqueta de nota general Suma y resta de vectores en coordenadas rectangulares Dado v = a i + b j y u = c i + d j , entonces v + u = ( a + c ) i + ( b + d ) j v - u = ( a - c ) i + ( b − d ) j Hallar la suma de los vectores Calcule la suma de v 1 = 2 i - 3 j y v 2 = 4 i + 5 j . Según la fórmula, tenemos v 1 + v 2 = ( 2 + 4 ) i + ( - 3 + 5 ) j = 6 i + 2 j Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando i y j . Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección. El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con | v | sustituyendo a r . una etiqueta de nota general Componentes vectoriales en términos de magnitud y dirección Dado un vector de posición v = 〈 x , y 〉 y un ángulo de dirección θ , cos θ = x | v | y sen θ = y | v | x = | v | cos θ y = | v | sen θ Por lo tanto, v = x i + y j = | v | cos θ i + | v | sen θ j , y la magnitud se expresa como | v | = x 2 + y 2 . Escribir un vector en términos de magnitud y dirección Escriba un vector de longitud 7 con un ángulo de 135º respecto al eje x positivo en términos de magnitud y dirección. Si utilizamos las fórmulas de conversión x = | v | cos θ y y = | v | sen θ , hallamos que x = 7 cos ( 135° ) = - 7 2 2 y = 7 sen ( 135° ) = 7 2 2 Este vector se puede escribir como v = 7 cos ( 135° ) + 7 sen ( 135° ) o simplificarse como v = - 7 2 2 + 7 2 2 función ejercicio Un vector se desplaza desde el origen hasta el punto ( 3 , 5 ) . Escriba el vector en términos de magnitud y dirección. v = 34 cos ( 59° ) i + 34 sen ( 59° ) j Magnitud = 34 θ = tan - 1 ( 5 3 ) = 59,04 ° Calcular el producto punto de dos vectores Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado . Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados. El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar. una etiqueta de nota general Producto escalar El producto punto de dos vectores v = 〈 a , b 〉 y u = 〈 c , d 〉 es la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales. v ⋅ u = a c + b d Para hallar el ángulo entre los dos vectores, utilice la siguiente fórmula. cos θ = v | v | ⋅ u | u | Calcular el producto punto de dos vectores Halle el producto punto de v = 〈 5 , 12 〉 y u = 〈 −3 , 4 〉 . Utilizando la fórmula, tenemos v ⋅ u = 〈 5 , 12 〉 ⋅ 〈 − 3 , 4 〉 = 5 ⋅ ( - 3 ) + 12 ⋅ 4 = - 15 + 48 = 33 Hallar el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos Halle el producto punto de v 1 = 5 i + 2 j y v 2 = 3 i + 7 j . Luego, halle el ángulo entre los dos vectores. Al hallar el producto punto, multiplicamos los componentes correspondientes. v 1 ⋅ v 2 = 〈 5 , 2 〉 ⋅ 〈 3 , 7 〉 = 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 = 15 + 14 = 29 Para hallar el ángulo entre ellos, utilizamos la fórmula cos θ = v | v | ⋅ u | u | . v | v | ⋅ u | u | = 〈 5 29 + 2 29 〉 ⋅ 〈 3 58 + 7 58 〉 = 5 29 ⋅ 3 58 + 2 29 ⋅ 7 58 = 15 1682 + 14 1682 = 29 1682 = 0,707107 cos − 1 ( 0,707107 ) = 45° Vea la . Calcular el ángulo entre dos vectores Calcule el ángulo entre u = 〈 − 3 , 4 〉 y v = 〈 5 , 12 〉 . Con la fórmula tenemos θ = cos − 1 ( u | u | ⋅ v | v | ) ( u | u | ⋅ v | v | ) = - 3 i + 4 j 5 ⋅ 5 i + 12 j 13 = ( - 3 5 ⋅ 5 13 ) + ( 4 5 ⋅ 12 13 ) = - 15 65 + 48 65 = 33 65 θ = cos − 1 ( 33 65 ) = 59,5 ∘ Vea la . Hallar la velocidad con respecto al suelo y el rumbo utilizando vectores Ahora tenemos las herramientas para resolver el problema que introdujimos en la apertura de la sección. Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión? Vea la . La velocidad con respecto al suelo está representada por x en el diagrama, y necesitamos hallar el ángulo α para calcular el rumbo ajustado, que será 140° + α . Observe que en la , el ángulo b C O debe ser igual al ángulo A O C por la regla de los ángulos interiores alternos, por lo que el ángulo b C O es de 140°. Podemos hallar x por la ley de cosenos: x 2 = ( 16,2 ) 2 + ( 200 ) 2 - 2 ( 16,2 ) ( 200 ) cos ( 140° ) x 2 = 45 , 226,41 x = 45 , 226,41 x = 212,7 La velocidad con respecto al suelo es de 213 millas por hora aproximadamente. Ahora podemos calcular el rumbo utilizando la ley de senos. sen α 16,2 = sen ( 140° ) 212,7 sen α = 16,2 sen ( 140° ) 212,7 = 0,04896 sen − 1 ( 0,04896 ) = 2,8 ° Por lo tanto, el avión tiene un rumbo SE de 140° + 2,8° = 142,8°. La velocidad con respecto al suelo es de 212,7 millas por hora. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar los vectores. Introducción a vectores Operaciones vectoriales El vector unitario Conceptos clave El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el . Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el . Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el . Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el . La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el . La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el y el . Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el . El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud. La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es | v | = a 2 + b 2 . Ver el . En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de i y j donde i representa el componente horizontal y j representa el componente vertical. Entonces, v = a i + b j es un múltiplo escalar de v por números reales a y b . Vea el y el . Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j . Vea el . Un vector v = a i + b j se escribe en términos de magnitud y dirección como v = | v | cos θ i + | v | sen θ j . Vea el . El producto punto de dos vectores es el producto de los términos i más el producto de los términos j . Vea el . Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores. y . Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuáles son las características de las letras que se suelen utilizar para representar vectores? letra minúscula, en negrita, generalmente u , v , w ¿Por qué un vector es más específico que un segmento de línea? ¿Qué son i y j , y qué representan? Son vectores unitarios. Se utilizan para representar los componentes horizontales y verticales de un vector. Cada uno de ellos tiene una magnitud de 1. ¿Qué es la forma de los componentes? Cuando un vector unitario se expresa como 〈 a , b 〉 , ¿cuál letra es el coeficiente de la i y cuál es la de la j ? El primer número representa siempre el coeficiente de la i , y el segundo representa el coeficiente de la j . Algebraicos Dado un vector con punto inicial ( 5 , 2 ) y punto terminal ( - 1 , - 3 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . Dado un vector con punto inicial ( - 4 , 2 ) y punto terminal ( 3 , - 3 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . 〈 7 , - 5 〉 Dado un vector con punto inicial ( 7 , - 1 ) y punto terminal ( - 1 , - 7 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores u y v son iguales, donde u tiene un punto inicial P 1 y un punto terminal P 2 y v tiene un punto inicial P 3 y un punto terminal P 4 . P 1 = ( 5 , 1 ) , P 2 = ( 3 , - 2 ) , P 3 = ( - 1 , 3 ) , y P 4 = ( 9 , - 4 ) no es igual P 1 = ( 2 , - 3 ) , P 2 = ( 5 , 1 ) , P 3 = ( 6 , - 1 ) , y P 4 = ( 9 , 3 ) P 1 = ( - 1 , - 1 ) , P 2 = ( - 4 , 5 ) , P 3 = ( − 10 , 6 ) , y P 4 = ( − 13 , 12 ) igual P 1 = ( 3 , 7 ) , P 2 = ( 2 , 1 ) , P 3 = ( 1 , 2 ) , y P 4 = ( - 1 , - 4 ) P 1 = ( 8 , 3 ) , P 2 = ( 6 , 5 ) , P 3 = ( 11 , 8 ) , y P 4 = ( 9 , 10 ) igual Dado el punto inicial P 1 = ( - 3 , 1 ) y punto terminal P 2 = ( 5 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dado el punto inicial P 1 = ( 6 , 0 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , - 3 ) , escriba el vector v en términos de i y j . 7 i - 3 j En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = i + 5 j , v = −2 i − 3 j , y w = 4 i − j . Halle u + ( v − w ) Halle 4 v + 2 u − 6 i - 2 j En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular u + v , u − v y 2 u − 3 v . u = 〈 2 , - 3 〉 , v = 〈 1 , 5 〉 u = 〈 − 3 , 4 〉 , v = 〈 - 2 , 1 〉 u + v = 〈 − 5 , 5 〉 , u - v = 〈 − 1 , 3 〉 , 2 u - 3 v = 〈 0 , 5 〉 Supongamos que v = −4 i + 3 j . Halle un vector que tenga la mitad de la longitud y apunte en la misma dirección que v . Supongamos que v = 5 i + 2 j . Halle un vector que tenga el doble de longitud y apunte en la dirección opuesta a v . − 10 i – 4 j En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. a = 3 i + 4 j b = −2 i + 5 j - 2 29 29 i + 5 29 29 j c = 10 i – j d = - 1 3 i + 5 2 j - 2 229 229 i + 15 229 229 j u = 100 i + 200 j u = −14 i + 2 j − 7 2 10 i + 2 10 j En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector, 0 ≤ θ < 2 π . 〈 0 , 4 〉 〈 6 , 5 〉 | v | = 7,810 , θ = 39,806 ° 〈 2 , −5 〉 〈 –4 , −6 〉 | v | = 7,211 , θ = 236,310 ° Dado u = 3 i − 4 j y v = −2 i + 3 j , calcule u ⋅ v . Dado u = − i − j y v = i + 5 j , calcule u ⋅ v . − 6 Dados u = 〈 - 2 , 4 〉 y v = 〈 − 3 , 1 〉 , calcule u ⋅ v . Dado que u = 〈 − 1 , 6 〉 y v = 〈 6 , - 1 〉 , calcule u ⋅ v . − 12 Gráficos En los siguientes ejercicios, dados v , dibuje v , 3 v y 1 2 v . 〈 2 , −1 〉 〈 –1 , 4 〉 〈 −3 , −2 〉 En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo u + v , u − v y 2 u . En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2 u + v . En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar u − 3 v . En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes. 〈 4 , 1 〉 Dado el punto inicial P 1 = ( 2 , 1 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j , y luego dibuje el vector en el gráfico. Dado el punto inicial P 1 = ( 4 , - 1 ) y punto terminal P 2 = ( - 3 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. v = - 7 i + 3 j Dado el punto inicial P 1 = ( 3 , 3 ) y punto terminal P 2 = ( - 3 , 3 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente. | v | = 6 , θ = 45 ° 3 2 i + 3 2 j | v | = 8 , θ = 220° | v | = 2 , θ = 300° i - 3 j | v | = 5 , θ = 135° Una caja de 60 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 12°. Redondeando a la décima más cercana, Ⓐ Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza. Ⓑ Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa. Ⓐ 58,7 Ⓑ 12,5 Una caja de 25 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 8°. Redondeando a la décima más cercana, Ⓐ Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza. Ⓑ Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa. Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 8 libras que apunta en una dirección de 27° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. x = 7,13 libras, y = 3,63 libras Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 4 libras que apunta en una dirección de 127° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 5 libras que apunta en una dirección de 55° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. x = 2,87 libras, y = 4,10 libras Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 1 libra que apunta en una dirección de 8° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. Aplicaciones en el mundo real Una mujer sale de su casa y camina 3 millas hacia el oeste y luego 2 millas hacia el suroeste. ¿A qué distancia está de su casa y en qué dirección debe caminar para dirigirse directamente a la casa? 4,635 millas, 17,764° N del E Un barco sale del puerto deportivo y navega 6 millas hacia el norte, luego 2 millas hacia el noreste. ¿A qué distancia del puerto deportivo está el barco y en qué dirección debe navegar para volver directamente al puerto? Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 2 millas al sureste, 5 millas al sur, 4 millas al suroeste y 2 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si regresara a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar? 17 millas. 10,318 millas. Una mujer empieza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 7 millas al sureste, 6 millas al sur, 5 millas al suroeste y 3 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar? Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 3 millas a 20° al norte del oeste, luego 5 millas a 10° al oeste del sur, luego 4 millas a 15° al norte del este. Si volviera a casa en línea recta, ¿qué distancia tendría que recorrer y en qué dirección? Distancia: 4,62 Dirección: 86,474° al norte del oeste, o 3,526° al oeste del norte. Una mujer comienza a caminar desde su casa y recorre 6 millas a 40° al norte del este, luego 2 millas a 15° al este del sur y luego 5 millas a 30° al sur del oeste. Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar y en qué dirección? Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 600 km/h, pero hay un viento que sopla del suroeste a 80 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo? 4,924°. 659 km/h Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 500 km/h, pero hay un viento que sopla del noroeste a 50 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo? Un avión tiene que dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del suroeste a 60 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 550 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión? 4,424° Un avión necesita dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del noroeste a 80 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 500 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión? Como parte de un videojuego, el punto ( 5 , 7 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 35°. Halle las nuevas coordenadas de este punto. ( 0,081 , 8,602 ) Como parte de un videojuego, el punto ( 7 , 3 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 40°. Halle las nuevas coordenadas de este punto. Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 10 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 25 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)? 21,801°, respecto a la dirección de avance del automóvil Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 8 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 45 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)? Un objeto de 50 libras descansa en una rampa con una inclinación de 19°. Halle la magnitud de los componentes de la fuerza paralela y perpendicular (normal) a la rampa, con una precisión de una décima de una libra. paralelos: 16,28, perpendicular: 47,28 libras Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él hacia arriba y 5 libras que actúan sobre él a 45º de la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo? Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él ─135° desde la horizontal y 5 libras que actúan sobre él dirigidas 150° desde la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo? 19,35 libras, 231,54° de la horizontal La condición de equilibrio es cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es el vector cero. Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 2 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 5 libras que actúan sobre él hacia arriba y 3 libras que actúan sobre él a 45° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo? Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 3 libras que actúan sobre él hacia la izquierda, 4 libras que actúan sobre él hacia arriba y 2 libras que actúan sobre él a 30° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo? Dibuje el vector. 5,1583 libras, 75,8° desde la horizontal Ejercicios de repaso del capítulo Triángulos no rectos: ley de senos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. β = 50° , a = 105 , b = 45 No es posible α = 43,1° , a = 184,2 , b = 242,8 Resuelva el triángulo. C = 120° , a = 23,1 , c = 34,1 Halle el área del triángulo. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Él determina que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 2,1 km, son de 25° y 49°, como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A y la elevación del avión. distancia del avión al punto A : 2,2 km, elevación del avión: 1,6 km Triángulos no rectos: ley de cosenos Resuelva el triángulo, redondeando a la décima más cercana, suponiendo que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c : a = 4 , b = 6 , c = 8. Resuelva el triángulo de la , redondeando a la décima más cercana. b = 71,0° , C = 55,0° , a = 12,8 Halle el área de un triángulo con lados de longitud 8,3, 6,6 y 9,1. Para hallar la distancia entre dos ciudades, un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la (no a escala). Halle la distancia entre las ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana. 40,6 km Coordenadas polares Trace el punto con coordenadas polares ( 3 , π 6 ) . Trace el punto con coordenadas polares ( 5 , - 2 π 3 ) Convierta ( 6 , - 3 π 4 ) a coordenadas rectangulares. Convierta ( – 2 , 3 π 2 ) a coordenadas rectangulares. ( 0 , 2 ) Convierta ( 7 , - 2 ) a coordenadas polares. Convierta ( − 9 , - 4 ) a coordenadas polares. ( 9,8489 , 203,96° ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar. x = - 2 x 2 + y 2 = 64 r = 8 x 2 + y 2 = - 2 y En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. r = 7 cos θ x 2 + y 2 = 7 x r = - 2 4 cos θ + sen θ En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique. θ = 3 π 4 y = - x r = 5 sec θ Coordenadas polares: gráficos En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación. r = 4 + 4 sen θ es simétrica con respecto a la línea θ = π 2 r = 7 Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 1 - 5 sen θ . Marcar las intersecciones del eje. Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 5 sen ( 7 θ ) . Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 3 - 3 cos θ Forma polar de números complejos En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo. - 2 + 6 i 4 - ​ 3 i 5 Escriba el número complejo en forma polar. 5 + 9 i 1 2 - 3 2 ​ i cis ( - π 3 ) En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular. z = 5 cis ( 5 π 6 ) z = 3 cis ( 40° ) 2,3 + 1,9 i En los siguientes ejercicios, halle el producto z 1 z 2 en forma polar. z 1 = 2 cis ( 89° ) z 2 = 5 cis ( 23° ) z 1 = 10 cis ( π 6 ) z 2 = 6 cis ( π 3 ) 60 cis ( π 2 ) En los siguientes ejercicios, halle el cociente z 1 z 2 en forma polar. z 1 = 12 cis ( 55° ) z 2 = 3 cis ( 18° ) z 1 = 27 cis ( 5 π 3 ) z 2 = 9 cis ( π 3 ) 3 cis ( 4 π 3 ) En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar. Calcule z 4 cuando z = 2 cis ( 70° ) Calcule z 2 cuando z = 5 cis ( 3 π 4 ) 25 cis ( 3 π 2 ) En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz. Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 64 cis ( 210° ) . Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 25 cis ( 3 π 2 ) . 5 cis ( 3 π 4 ) , 5 cis ( 7 π 4 ) En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo. 6 - 2 i - 1 + 3 i Ecuaciones paramétricas En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro t para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana. { x ( t ) = 3 t - 1 y ( t ) = t { x ( t ) = - cos t y ( t ) = 2 sen 2 t x 2 + 1 2 y = 1 Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica) cada ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t por x 2 25 + y 2 16 = 1. Parametrice la línea de ( – 2 , 3 ) al ( 4 , 7 ) para que la línea esté en ( – 2 , 3 ) en t = 0 y ( 4 , 7 ) en t = 1. { x ( t ) = - 2 + 6 t y ( t ) = 3 + 4 t Ecuaciones paramétricas: gráficos En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana. { x ( t ) = 3 t 2 y ( t ) = 2 t - 1 { x ( t ) = e t y ( t ) = - 2 e 5 t y = - 2 x 5 { x ( t ) = 3 cos t y ( t ) = 2 sen t Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 80 pies por segundo con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 4 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota. Ⓑ ¿Dónde está el balón después de 3 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? { x ( t ) = ( 80 cos ( 40° ) ) t y ( t ) = - 16 t 2 + ( 80 sen ( 40° ) ) t + 4 La pelota tiene 14 pies de altura y 184 pies desde donde se lanzó. 3,3 segundos Vectores En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, u y v , son iguales, donde u tiene un punto inicial P 1 y un punto terminal P 2 , y v tiene un punto inicial P 3 y un punto terminal P 4 . P 1 = ( - 1 , 4 ) , P 2 = ( 3 , 1 ) , P 3 = ( 5 , 5 ) y P 4 = ( 9 , 2 ) P 1 = ( 6 , 11 ) , P 2 = ( – 2 , 8 ) , P 3 = ( 0 , - 1 ) y P 4 = ( − 8 , 2 ) no es igual En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = 2 i - j , v = 4 i - 3 j , y w = - 2 i + 5 j para evaluar la expresión. u − v 2 v − u + w 4 i En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. a = 8 i − 6 j b = −3 i − j - 3 10 10 i − 10 10 j En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector. 〈 6 , −2 〉 〈 −3 , −3 〉 Magnitud: 3 2 , Dirección: 225° En los siguientes ejercicios, calcule u ⋅ v . u = −2 i + j y v = 3 i + 7 j u = i + 4 j y v = 4 i + 3 j 16 Dado que v = 〈 −3 , 4 〉 dibuje v , 2 v y 1 2 v . Dados los vectores que se muestran en la , dibuje u + v , u − v y 3 v Dado el punto inicial P 1 = ( 3 , 2 ) y punto terminal P 2 = ( - 5 , - 1 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. Prueba de práctica Supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva el triángulo, si es posible, y redondee cada respuesta a la décima más cercana, dado que β = 68° , b = 21 , c = 16. α = 67,1° , γ = 44,9° , a = 20,9 Halle el área del triángulo en la . Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 2 horas. A continuación, realiza una corrección de rumbo, dirigiéndose 15° a la derecha de su rumbo original, y vuela 1 hora en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 575 millas por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su posición inicial? 1.712 millas Convierta ( 2 , 2 ) a coordenadas polares y luego dibuje el punto. Convierta ( 2 , π 3 ) a coordenadas rectangulares. ( 1 , 3 ) Convierta la ecuación polar en una ecuación cartesiana: x 2 + y 2 = 5 y. Convierta a forma rectangular y grafique: r = - 3 csc θ . y = - 3 Pruebe la simetría de la ecuación: r = – 4 sen ( 2 θ ). Grafique r = 3 + 3 cos θ . Grafique r = 3 - 5 sen θ . Halle el valor absoluto del número complejo 5 − 9 i . 106 Escriba el número complejo en forma polar: 4 + i . Convierta el número complejo de forma polar a rectangular: z = 5 cis ( 2 π 3 ) . - 5 2 + i 5 3 2 Dados z 1 = 8 cis ( 36° ) y z 2 = 2 cis ( 15° ) , evalúe cada expresión. z 1 z 2 z 1 z 2 4 cis ( 21° ) ( z 2 ) 3 z 1 2 2 cis ( 18° ) , 2 2 cis ( 198° ) Trace el número complejo −5 − i en el plano complejo. Eliminar el parámetro t para reescribir las siguientes ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana: { x ( t ) = t + 1 y ( t ) = 2 t 2 . y = 2 ( x – 1 ) 2 Parametrice (escriba una ecuación paramétrica) la siguiente ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t : x 2 36 + y 2 100 = 1. Grafique el conjunto de ecuaciones paramétricas y halle la ecuación cartesiana: { x ( t ) = - 2 sen t y ( t ) = 5 cos t . Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 95 pies por segundo a un ángulo de 52° con respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 3,5 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota. Ⓑ ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = i − 3 j y v = 2 i + 3 j . Halle 2 u − 3 v . −4 i − 15 j Calcule u ⋅ v . Halle un vector unitario en la misma dirección que v . 2 13 13 i + 3 13 13 j Vector dado v tiene un punto inicial P 1 = ( 2 , 2 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , 0 ) , escriba el vector v en términos de i y j . En el gráfico, dibuje v , y − v . producto punto dados dos vectores, la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales punto inicial el origen de un vector magnitud la longitud de un vector; puede representar una cantidad como la velocidad, y se calcula utilizando el teorema de Pitágoras resultante un vector que resulta de la suma o la resta de dos vectores o de la multiplicación escalar escalar una cantidad asociada a la magnitud, pero no a la dirección; una constante multiplicación escalar el producto de una constante por cada componente de un vector posición estándar la colocación de un vector con el punto inicial en ( 0 , 0 ) y el punto terminal ( a , b ) , representado por el cambio en las coordenadas x y el cambio en las coordenadas y del vector original punto terminal el punto final de un vector, normalmente representado por una flecha que indica su dirección vector unitario un vector que comienza en el origen y tiene magnitud de 1; el vector unitario horizontal recorre el eje x y se define como v 1 = 〈 1 , 0 〉 el vector unitario vertical está a lo largo del eje y y se define como v 2 = 〈 0 , 1 〉 . vector una cantidad asociada tanto a la magnitud como a la dirección, representada como un segmento rectilíneo dirigido con un punto de partida (punto inicial) y un punto final (punto terminal) suma de vectores la suma de dos vectores que se halla al sumar los componentes correspondientes", "section": "Vectores", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Máquinas Enigma como esta fueron utilizadas por funcionarios gubernamentales y militares para cifrar y descifrar comunicaciones de alto secreto durante la Segunda Guerra Mundial. Variando las combinaciones del tablero de conexiones y los ajustes de los rotores, los codificadores podían añadir un cifrado complejo a sus mensajes. Nótese que los tres rotores contienen 26 clavijas cada uno, una por cada letra del alfabeto; las versiones posteriores tenían cuatro y cinco rotores. (Créditos: modificación de la \"Máquina Enigma\" por la Escuela de Matemáticas de la Universidad de Manchester/flickr). Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales militares y de inteligencia británicos reconocieron que para derrotar a la Alemania nazi era necesario que los aliados supieran lo que el enemigo estaba planeando. Esta tarea se complicó por el hecho de que los militares alemanes transmitían todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente indescifrable, creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes llevaban codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930, y confiaban tanto en su seguridad que la utilizaban tanto para las comunicaciones militares cotidianas como para los mensajes estratégicos de gran importancia. Preocupadas ante la creciente amenaza militar, otras naciones europeas comenzaron a trabajar para descifrar los códigos Enigma. Polonia fue el primer país en realizar avances significativos cuando formó y reclutó a un nuevo grupo de descifradores de códigos: los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Poznań. Con la ayuda de la información obtenida por los espías franceses, los matemáticos polacos, dirigidos por Marian Rejewski, lograron descifrar los códigos iniciales y, más tarde, comprender el cableado de las máquinas; finalmente, crearon réplicas. Sin embargo, los militares alemanes acabaron por aumentar la complejidad de las máquinas añadiendo rotores adicionales, lo que requirió un nuevo método de descifrado. La máquina unía las letras de un teclado a tres, cuatro o cinco rotores (según la versión), cada uno con 26 posiciones iniciales que podían fijarse antes de la codificación; un código de descifrado (llamado clave de cifrado) transmitía esencialmente estas configuraciones al destinatario del mensaje, y permitía interpretar el mensaje utilizando otra máquina Enigma. Incluso con el codificador de tres rotores más sencillo, había 17.576 combinaciones diferentes de posiciones de salida (26 x 26 x 26); además, la máquina tenía otros numerosos métodos para introducir variaciones. Poco después del comienzo de la guerra, los británicos reclutaron un equipo de extraordinarios descifradores de códigos para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos, dirigidos por Alan Turing, utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la victoria final de los Aliados sobre la Alemania nazi en 1945. La máquina Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso que se conoce. Es un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital. Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que calcular la inversa de una matriz suele formar parte del proceso de descodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor debe conocer también la clave que, al utilizarla con la matriz inversa, permitirá leer el mensaje. En este capítulo investigaremos sobre las matrices y sus inversas, y varias formas de utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones en sí mismos: lineales y no lineales, y luego las fracciones parciales. Aquí no vamos a descifrar ningún código secreto, pero sí vamos a sentar las bases para futuros cursos.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables Objetivos de aprendizaje Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2) Objetivo: Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, y = 2 x + 5 y = 2 x + 7 es un sistema de ecuaciones lineales Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par ordenado x,y que es una solución para cada ecuación del sistema. Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 2 x 6 y = 0 3 x y = 5 en ( 3 , 1 ) y ( 3 , 4 ) Sustituimos (3, 1) en ambas ecuaciones: 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 2 ( 3 ) 6 ( 1 ) = 0 6 6 = 0 0 = 0 Verdadero 3 ( 3 ) 4 ( 1 ) = 5 9 4 = 5 5 = 5 Verdadero ( 3 , 1 ) es una solución para 2 x 6 y = 0 ( 3 , 1 ) es una solución para 3 x 4 y = 5 Conclusión: ya que ( 3 , 1 ) es una solución de ambas ecuaciones, entonces es una solución del sistema 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 A continuación sustituimos (-3, -1) en ambas ecuaciones: 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 2 ( 3 ) 6 ( 1 ) = 0 6 + 6 = 0 0 = 0 Verdadero 3 ( 3 ) 4 ( 1 ) = 5 9 + 4 = 5 5 = 5 Falso ( 3 , 1 ) es una solución para 2 x 6 y = 0 ( 3 , 1 ) no es una solución para 3 x 4 y = 5 Conclusión: Dado que ( 3 , 1 ) no es una solución de una de las ecuaciones, entonces no es una solución del sistema 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 La práctica hace la perfección Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 3 x + y = 0 x + 2 y = – 5 en ( 0 , 0 ) y ( 1 , 3 ) En (0, 0) 3 x + y = 0 x + 2 y = –5 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ En (1, -3) 3 x + y = 0 x + 2 y = –5 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2) Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico Haga un gráfico de la primera ecuación. Haga un gráfico de la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Determine si las líneas se intersecan, son paralelas o son la misma línea. Identifique la solución del sistema. Compruebe la solución en ambas ecuaciones. Si las líneas se intersecan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución del sistema. Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene soluciones. Si las líneas son iguales, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Resuelva el sistema mediante un gráfico. Resuelva el sistema mediante un gráfico. x + y = 1 2 x + y = 10 Paso 1 Grafique x + y = 1 Podemos utilizar la forma de intersección de la pendiente: y = x + 1 Pendiente = 1 intersección en y: (0, 1) Paso 2 Grafique 2 x + y = 10 Podemos utilizar la forma de intersección de la pendiente: y = 2 x + 10 Pendiente = –2 intersección en y: (0, 10) Paso 3 Las líneas se intersecan Paso 4 La solución es el punto (3, 4) Paso 5 Comprobemos la solución: x + y = 1 2 x + y = 10 3 + 4 = 1 2 ( 3 ) + 4 = 10 1 = 1 10 = 10 Dado que (3, 4) es una solución de ambas ecuaciones, entonces es una solución del sistema x + y = 1 2 x + y = 10 Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico y = 2 x + 4 4 x + 2 y = 6 Paso 1 Grafique y = 2 x + 4 Pendiente = ________ intersección en y = ________ Paso 2 Grafique 4 x + 2 y = 6 Pendiente = ________ intersección en y = ________ Paso 3 ¿Las líneas se intersecan? ________ Paso 4 Lea en el gráfico el punto de intersección. ________ Paso 5 Compruebe la solución en ambas ecuaciones. ________ La práctica hace la perfección Determine si el par ordenado es una solución del sistema dado x 3 y = 8 3 x y = 4 Resuelva el siguiente sistema mediante un gráfico. y = 1 4 x + 2 x + 4 y = 8 (Créditos: Thomas Sørenes). Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares. Introducción a los sistemas de ecuaciones Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única. En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables. 2 x + y = 15 3 x – y = 5 La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe. 2 ( 4 ) + ( 7 ) = 15 Verdadero 3 ( 4 ) - ( 7 ) = 5 Verdadero Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y . En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones. Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente , que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y . No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema. Tipos de sistemas lineales Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, y tres tipos de soluciones. Un sistema independiente tiene exactamente un par de soluciones ( x , y ) . El punto de intersección de las dos líneas es la única solución. Un sistema inconsistente no tiene solución. Observe que las dos líneas son paralelas y nunca se intersecan. Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones. Las líneas son coincidentes. Son la misma línea, por lo que cada par de coordenadas de la línea es una solución de ambas ecuaciones. En la se comparan las representaciones gráficas de cada tipo de sistema. Cómo Dado un sistema de ecuaciones lineales y un par ordenado, determine si el par ordenado es una solución. Sustituya el par ordenado en cada ecuación del sistema. Determine si los enunciados verdaderos resultan de la sustitución en ambas ecuaciones; si es así, el par ordenado es una solución. Cómo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones Determine si el par ordenado ( 5 , 1 ) es una solución del sistema de ecuaciones dado. x + 3 y = 8 2 x - 9 = y Sustituya el par ordenado ( 5 , 1 ) en ambas ecuaciones. ( 5 ) + 3 ( 1 ) = 8 8 = 8 Verdadero 2 ( 5 ) - 9 = ( 1 ) 1 = 1 Verdadero El par ordenado ( 5 , 1 ) satisface ambas ecuaciones, por lo que es la solución del sistema. Análisis Podemos ver claramente la solución al trazar el gráfico de cada ecuación. Como la solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones, es un punto en ambas líneas y, por tanto, el punto de intersección de las dos líneas. Vea la . Ejercicio Determine si el par ordenado ( 8 , 5 ) es una solución al siguiente sistema. 5 x -4 y = 20 2 x + 1 = 3 y No es una solución. Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Resolución de un sistema de ecuaciones de dos variables mediante un gráfico Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. Identifique el tipo de sistema. 2 x + y = −8 x - y = –1 Resuelva la primera ecuación para y . 2 x + y = −8 y = –2 x −8 Resuelva la segunda ecuación para y . x - y = −1 y = x + 1 Grafique ambas ecuaciones en el mismo conjunto de ejes que en la . Las líneas parecen intersecarse en el punto ( −3, −2 ) . Podemos comprobar que esta es la solución del sistema al sustituir el par ordenado en ambas ecuaciones. 2 ( −3 ) + ( −2 ) = −8 −8 = −8 Verdadero ( −3 ) - ( −2 ) = −1 −1 = −1 Verdadero La solución del sistema es el par ordenado ( −3, −2 ) , para que el sistema sea independiente. Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. 2 x - 5 y = −25 − 4 x + 5 y = 35 La solución del sistema es el par ordenado ( −5 , 3 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede utilizar el gráfico si el sistema es inconsistente o dependiente? Sí, en ambos casos podemos graficar el sistema para determinar el tipo de sistema y la solución. Si las dos líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y es inconsistente. Si las dos líneas son idénticas, el sistema tiene infinitas soluciones y es un sistema dependiente. Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución , en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico. Cómo Dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, resuelva mediante el método de sustitución. Resuelva una de las dos ecuaciones para una de las variables en términos de la otra. Sustituya la expresión de esta variable en la segunda ecuación y luego resuelva para la variable restante. Sustituya esa solución en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular el valor de la primera variable. Si es posible, escriba la solución como un par ordenado. Compruebe la solución en ambas ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables por sustitución Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución. − x + y = −5 2 x - 5 y = 1 Primero, resolveremos la primera ecuación para y . − x + y = −5 y = x −5 Ahora, podemos sustituir la expresión x −5 por y en la segunda ecuación. 2 x - 5 y = 1 2 x - 5 ( x - 5 ) = 1 2 x - 5 x + 25 = 1 - 3 x = −24 x = 8 Ahora, sustituimos x = 8 en la primera ecuación y resolvemos para y . − ( 8 ) + y = −5 y = 3 Nuestra solución es ( 8 , 3 ) . Compruebe la solución sustituyendo ( 8 , 3 ) en ambas ecuaciones. − x + y = - 5 − ( 8 ) + ( 3 ) = - 5 Verdadero 2 x - 5 y = 1 2 ( 8 ) - 5 ( 3 ) = 1 Verdadero Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución. x = y + 3 4 = 3 x −2 y ( –2 , −5 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede usar el método de sustitución para resolver cualquier sistema lineal en dos variables? Sí, pero el método funciona mejor si una de las ecuaciones contiene un coeficiente de 1 o –1 para no tener que lidiar con fracciones. Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición . En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva utilizando el método de adición. Escriba ambas ecuaciones con las variables x y y a la izquierda del signo de igual y las constantes a la derecha. Escriba una ecuación sobre la otra, y alinee las variables correspondientes. Si una de las variables de la ecuación superior tiene el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, sume las ecuaciones y elimine una variable. Si no es así, utilice la multiplicación por un número distinto de cero para que una de las variables de la ecuación superior tenga el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, y luego sume las ecuaciones para eliminar la variable. Resuelva la ecuación resultante para la variable restante. Sustituya ese valor en una de las ecuaciones originales y resuelva para la segunda variable. Compruebe la solución sustituyendo los valores en la otra ecuación. Resolver un sistema por el método de adición Resuelva el sistema de ecuaciones dado por adición. x + 2 y = −1 - x + y = 3 Ambas ecuaciones ya están ajustadas a una constante. Observe que el coeficiente de x en la segunda ecuación, –1, es el opuesto al coeficiente de x en la primera ecuación, 1. Podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar x sin necesidad de multiplicar por una constante. x + 2 y = - 1 - x + y = 3 3 y = 2 Ahora que hemos eliminado x , podemos resolver la ecuación resultante para y . 3 y = 2 y = 2 3 A continuación, sustituya este valor por y en una de las ecuaciones originales y resuelva para x . − x + y = 3 - x + 2 3 = 3 - x = 3 - 2 3 - x = 7 3 x = - 7 3 La solución a este sistema es ( − 7 3 , 2 3 ) . Compruebe la solución en la primera ecuación. x + 2 y = −1 ( − 7 3 ) + 2 ( 2 3 ) = - 7 3 + 4 3 = - 3 3 = −1 = −1 Verdadero Análisis La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones nos ofrece una perspectiva importante. Vea la para calcular que las ecuaciones se intersecan en la solución. No necesitamos preguntarnos si puede haber una segunda solución porque la observación del gráfico confirma que el sistema tiene exactamente una solución. Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de una ecuación Resuelva el sistema de ecuaciones dado por el método de adición . 3 x + 5 y = −11 x - 2 y = 11 La adición de estas ecuaciones, tal y como se presentan, no eliminará ninguna variable. Sin embargo, vemos que la primera ecuación tiene 3 x en ella y la segunda ecuación tiene x . Así que si multiplicamos la segunda ecuación por −3 , los términos x se sumarán a cero. x −2 y = 11 −3 ( x −2 y ) = −3 ( 11 ) Multiplique ambos lados por -3. −3 x + 6 y = −33 Utilice la propiedad distributiva . Ahora, vamos a sumarlos. 3 x + 5 y = −11 −3 x + 6 y = −33 _______________ 11 y = -44 y = –4 Para el último paso, sustituya y = -4 en una de las ecuaciones originales y resuelva para x . 3 x + 5 y = − 11 3 x + 5 ( - 4 ) = − 11 3 x - 20 = − 11 3 x = 9 x = 3 Nuestra solución es el par ordenado ( 3 , –4 ) . Vea la . Compruebe la solución en la segunda ecuación original. x - 2 y = 11 ( 3 ) - 2 ( - 4 ) = 3 + 8 11 = 11 Verdadero Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones por adición. 2 x −7 y = 2 3 x + y = -20 ( –6 , –2 ) Usar el método de adición cuando se requiere la multiplicación de ambas ecuaciones Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición. 2 x + 3 y = −16 5 x −10 y = 30 Una ecuación tiene 2 x y el otro tiene 5 x . El mínimo común múltiplo es 10 x por lo que tendremos que multiplicar ambas ecuaciones por una constante para eliminar una variable. Eliminemos x multiplicando la primera ecuación por −5 y la segunda ecuación por 2. − 5 ( 2 x + 3 y ) = - 5 ( −16 ) − 10 x - 15 y = 80 2 ( 5 x - 10 y ) = 2 ( 30 ) 10 x - 20 y = 60 A continuación, sumamos las dos ecuaciones. −10 x −15 y = 80 10 x -20 y = 60 ________________ −35 y = 140 y = –4 Sustituya y = -4 en la primera ecuación original. 2 x + 3 ( –4 ) = −16 2 x - 12 = −16 2 x = -4 x = –2 La solución es ( –2 , –4 ) . Compruébelo en la otra ecuación. 5 x −10 y = 30 5 ( −2 ) −10 ( –4 ) = 30 −10 + 40 = 30 30 = 30 Vea la . Usar el método de adición en sistemas de ecuaciones que contienen fracciones Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición. x 3 + y 6 = 3 x 2 - y 4 = ​ 1 Primero despeje cada ecuación de fracciones y multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. 6 ( x 3 + y 6 ) = 6 ( 3 ) 2 x + y = 18 4 ( x 2 - y 4 ) = 4 ( 1 ) 2 x - y = 4 Ahora, multiplique la segunda ecuación por −1 para poder eliminar la variable x . −1 ( 2 x - y ) = −1 ( 4 ) −2 x + y = –4 Sume las dos ecuaciones para eliminar la variable x y resuelva la ecuación resultante. 2 x + y = 18 −2 x + y = -4 _____________ 2 y = 14 y = 7 Sustituya y = 7 en la primera ecuación. 2 x + ( 7 ) = 18 2 x = 11 x = 11 2 = 5,5 La solución es ( 11 2 , 7 ) . Compruébelo en la otra ecuación. x 2 - y 4 = 1 11 2 2 - 7 4 = 1 11 4 - 7 4 = 1 4 4 = 1 Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones por adición. 2 x + 3 y = 8 3 x + 5 y = 10 ( 10 , –4 ) Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección y . Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como 12 = 0, Resolver un sistema inconsistente de ecuaciones Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. x = 9 −2 y x + 2 y = 13 Podemos abordar este problema de dos maneras. Debido a que una ecuación ya está resuelta para x , el paso más obvio es utilizar sustitución. x + 2 y = 13 ( 9 − 2 y ) + 2 y = 13 9 + 0 y = 13 9 = 13 Es evidente que este enunciado es una contradicción porque 9 ≠ 13. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. El segundo enfoque sería manipular primero las ecuaciones para que ambas estén en forma de intersección de pendientes. Manipulamos la primera ecuación de la siguiente manera. x = 9 −2 y 2 y = - x + 9 y = - 1 2 x + 9 2 A continuación, convertimos la segunda ecuación expresada en forma de intersección de pendiente. x + 2 y = 13 2 y = - x + 13 y = - 1 2 x + 13 2 Al comparar las ecuaciones, vemos que tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones en y . Por lo tanto, las líneas son paralelas y no se intersecan. y = - 1 2 x + 9 2 y = - 1 2 x + 13 2 Análisis Al escribir las ecuaciones en forma de intersección de pendientes se confirma que el sistema es inconsistente porque todas las líneas finalmente se intersecan, a menos que sean paralelas. Las líneas paralelas nunca se intersecan; por lo tanto, las dos líneas no tienen puntos en común. Los gráficos de las ecuaciones de este ejemplo se muestran en la . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables. 2 y −2 x = 2 2 y −2 x = 6 No hay solución. Es un sistema inconsistente. Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como 0 = 0, Hallar la solución a un sistema dependiente de ecuaciones lineales Halle una solución al sistema de ecuaciones mediante el método de adición . x + 3 y = 2 3 x + 9 y = 6 Con el método de adición queremos eliminar una de las variables sumando las ecuaciones. En este caso, vamos a centrarnos en eliminar x . Si multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por −3 , entonces podremos eliminar la variable x . x + 3 y = 2 ( −3 ) ( x + 3 y ) = ( −3 ) ( 2 ) −3 x - 9 y = − 6 Ahora sume las ecuaciones. − 3 x - 9 y = −6 + 3 x + 9 y = 6 ______________ 0 = 0 Podemos ver que habrá un número infinito de soluciones que satisfagan ambas ecuaciones. Análisis Si reescribimos ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección, podríamos saber cómo sería la solución antes de sumar. Veamos lo que ocurre cuando convertimos el sistema a la forma pendiente-intersección. x + 3 y = 2 3 y = - x + 2 y = - 1 3 x + 2 3 3 x + 9 y = 6 9 y = −3 x + 6 y = - 3 9 x + 6 9 y = - 1 3 x + 2 3 Vea la . Observe que los resultados son los mismos. La solución general del sistema es ( x , − 1 3 x + 2 3 ) . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables. y −2 x = 5 −3 y + 6 x = −15 El sistema es dependiente, por lo que existen infinitas soluciones de la forma ( x , 2 x + 5 ) . Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación R = x p , donde x = cantidad y p = precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la . La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la . El eje x representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares. El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio . Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero. La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) . Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios. Hallar el punto de equilibrio y la función de ganancias mediante sustitución Dada la función de costo C ( x ) = 0,85 x + 35.000 y la función de ingresos R ( x ) = 1,55 x , calcule el punto de equilibrio y la función de ganancias. Escriba el sistema de ecuaciones y use y para sustituir la notación de función. y = 0,85 x + 35.000 y = 1,55 x Sustituya la expresión 0,85 x + 35.000 de la primera ecuación en la segunda ecuación y resuelva para x . 0,85 x + 35.000 = 1,55 x 35.000 = 0,7 x 50.000 = x Entonces, sustituimos x = 50.000 en la función de costo o en la función de ingresos. 1,55 ( 50.000 ) = 77.500 El punto de equilibrio es ( 50.000 , 77.500 ) . La función de ganancias se obtiene mediante la fórmula P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) . P ( x ) = 1,55 x - ( 0,85 x + 35 . 000 ) = 0,7 x − 35 . 000 La función de ganancias es P ( x ) = 0,7 x -35.000. Análisis El costo de producción de 50.000 unidades es de 77.500 dólares y los ingresos por la venta de 50.000 unidades son también de 77.500 dólares. Para obtener ganancias, el negocio debe producir y vender más de 50.000 unidades. Vea la . Vemos en el gráfico de la que la función de ganancias tiene un valor negativo hasta x = 50.000 , cuando el gráfico cruza el eje x . A continuación, el gráfico emerge en valores y positivos y continúa en esta trayectoria, ya que la función de ganancias es una línea recta. Esto ilustra que el punto de equilibrio de los negocios se produce cuando la función de ganancias es 0. El área a la izquierda del punto de equilibrio representa el funcionamiento con pérdidas. Escribir y resolver un sistema de ecuaciones en dos variables El costo de una entrada al circo es 25,00 dólares para niños y 50,00 dólares para adultos. En un día determinado, la asistencia al circo es 2.000 y los ingresos totales de taquilla son 70.000 dólares. ¿Cuántos niños y cuántos adultos compraron entradas? Si c = el número de niños y a = el número de adultos asistentes. El número total de personas es 2.000. Podemos usar esto para escribir una ecuación para el número de personas en el circo ese día. c + a = 2.000 Los ingresos de todos los niños se pueden hallar al multiplicar 25,00 dólares por el número de niños, 25 c . Los ingresos de todos los adultos se pueden hallar al multiplicar 50,00 dólares por el número de adultos, 50 a . Los ingresos totales son 70.000 dólares. Podemos usar esto para escribir una ecuación para los ingresos. 25 c + 50 a = 70.000 Ahora tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. c + a = 2.000 25 c + 50 a = 70.000 En la primera ecuación, el coeficiente de ambas variables es 1. Podemos resolver rápidamente la primera ecuación para c o a . Resolveremos para a . c + a = 2.000 a = 2.000 − c Sustituya la expresión 2.000 − c en la segunda ecuación para a y resolver para c . 25 c + 50 ( 2.000 − c ) = 70.000 25 c + 100.000 − 50 c = 70.000 − 25 c = -30.000 c = 1.200 Sustituya c = 1.200 en la primera ecuación para resolver a . 1.200 + a = 2.000 a = 800 Tenemos que 1.200 niños y 800 adultos compraron entradas para el circo ese día. Ejercicio Los boletos de comida en el circo cuestan 4,00 dólares para niños y 12,00 dólares para adultos. Si se compraron 1.650 boletos de comida por un total de 14.200 dólares, ¿cuántos niños y cuántos adultos compraron boletos de comida? 700 niños y 950 adultos Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones mediante sustitución Resolver sistemas de ecuaciones mediante eliminación Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones Conceptos clave Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el . Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución. Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el . Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el . Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el . A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el , el y el . Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el . La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el . Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Un sistema de ecuaciones lineales puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no. No, puede tener cero, uno o infinitos. Examine los gráficos. Si está realizando un análisis de equilibrio para una actividad comercial y sus ecuaciones de costos e ingresos son dependientes, explique qué significa esto para los márgenes de ganancias de la compañía. Si está resolviendo un análisis de equilibrio y obtiene un punto de equilibrio negativo, explique qué significa esto para la compañía. Esto significa que no hay un punto de equilibrio realista. En el momento en que la compañía produce una unidad ya está obteniendo ganancias. Si está resolviendo un análisis de equilibrio y no hay punto de equilibrio, explique qué significa esto para la compañía. ¿Cómo deben asegurarse de que haya un punto de equilibrio? Dado un sistema de ecuaciones, explique dos métodos diferentes para resolver ese sistema, como mínimo. Se puede resolver por sustitución (aísle x o y ), gráficamente o por adición. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones. 5 x - y = 4 x + 6 y = 2 y ( 4 , 0 ) −3 x - 5 y = 13 − x + 4 y = 10 y ( –6 , 1 ) Sí 3 x + 7 y = 1 2 x + 4 y = 0 y ( 2 , 3 ) −2 x + 5 y = 7 2 x + 9 y = 7 y ( –1 , 1 ) Sí x + 8 y = 43 3 x −2 y = –1 y ( 3 , 5 ) En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución. x + 3 y = 5 2 x + 3 y = 4 ( –1 , 2 ) 3 x −2 y = 18 5 x + 10 y = −10 4 x + 2 y = −10 3 x + 9 y = 0 ( −3 , 1 ) 2 x + 4 y = -3,8 9 x −5 y = 1.3 - 2 x + 3 y = 1,2 − 3 x - 6 y = 1,8 ( - 3 5 , 0 ) x -0,2 y = 1 −10 x + 2 y = 5 3 x + 5 y = 9 30 x + 50 y = −90 No existe una solución. −3 x + y = 2 12 x -4 y = −8 1 2 x + 1 3 y = 16 1 6 x + 1 4 y = 9 ( 72 5 , 132 5 ) - 1 4 x + 3 2 y = 11 - 1 8 x + 1 3 y = 3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición. −2 x + 5 y = -42 7 x + 2 y = 30 ( 6 , –6 ) 6 x −5 y = −34 2 x + 6 y = 4 5 x - y = -2,6 -4 x −6 y = 1,4 ( - 1 2 , 1 10 ) 7 x −2 y = 3 4 x + 5 y = 3,25 −x + 2 y = −1 5 x −10 y = 6 No existe una solución. 7 x + 6 y = 2 −28 x −24 y = −8 5 6 x + 1 4 y = 0 1 8 x – 1 2 y = − 43 120 ( - 1 5 , 2 3 ) 1 3 x + 1 9 y = 2 9 - 1 2 x + 4 5 y = - 1 3 -0,2 x + 0,4 y = 0,6 x −2 y = −3 ( x , x + 3 2 ) -0,1 x + 0,2 y = 0,6 5 x −10 y = 1 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método. 5 x + 9 y = 16 x + 2 y = 4 ( -4 , 4 ) 6 x −8 y = -0,6 3 x + 2 y = 0,9 5 x −2 y = 2,25 7 x -4 y = 3 ( 1 2 , 1 8 ) x - 5 12 y = − 55 12 −6 x + 5 2 y = 55 2 7 x -4 y = 7 6 2 x + 4 y = 1 3 ( 1 6 , 0 ) 3 x + 6 y = 11 2 x + 4 y = 9 7 3 x – 1 6 y = 2 − 21 6 x + 3 12 y = −3 ( x , 2 ( 7 x −6 ) ) 1 2 x + 1 3 y = 1 3 3 2 x + 1 4 y = - 1 8 2,2 x + 1.3 y = -0,1 4,2 x + 4,2 y = 2,1 ( - 5 6 , 4 3 ) 0,1 x + 0,2 y = 2 0,35 x -0,3 y = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. 3 x - y = 0,6 x −2 y = 1.3 Consistente con una solución - x + 2 y = 4 2 x -4 y = 1 x + 2 y = 7 2 x + 6 y = 12 Consistente con una solución 3 x −5 y = 7 x −2 y = 3 3 x −2 y = 5 −9 x + 6 y = −15 Dependiente con infinitas soluciones En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana. 0,1 x + 0,2 y = 0,3 -0,3 x + 0,5 y = 1 -0,01 x + 0,12 y = 0,62 0,15 x + 0,20 y = 0,52 ( -3,08 , 4,91 ) 0,5 x + 0,3 y = 4 0,25 x -0,9 y = 0,46 0,15 x + 0,27 y = 0,39 -0,34 x + 0,56 y = 1,8 ( -1,52 , 2,29 ) -0,71 x + 0,92 y = 0,13 0,83 x + 0,05 y = 2,1 Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de A , B , C , D , E y F donde A – F son números distintos de cero. Observe que A ≠ B y A E ≠ B D . x + y = A x - y = B ( A + B 2 , A - B 2 ) x + A y = 1 x + B y = 1 A x + y = 0 B x + y = 1 ( −1 A - B , A A - B ) A x + B y = C x + y = 1 A x + B y = C D x + E y = F ( C E − B F B D − A E , A F − C D B D − A E ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada. Un negocio de peluches tiene un costo total de producción C = 12 x + 30 y una función de ingresos R = 20 x . Halle el punto de equilibrio. Un restaurante etíope tiene un costo de producción C ( x ) = 11 x + 120 y una función de ingresos R ( x ) = 5 x . ¿Cuándo la compañía empieza a dar ganancias? Nunca obtienen ganancias. Una fábrica de teléfonos móviles tiene un costo de producción C ( x ) = 150 x + 10 . 000 y una función de ingresos R ( x ) = 200 x . ¿Cuál es el punto de equilibrio? Un músico cobra C ( x ) = 64 x + 20.000 donde x es el número total de asistentes al concierto. El local cobra 80 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento? ( 1 , 250 , 100 , 000 ) Una fábrica de guitarras tiene un costo de producción C ( x ) = 75 x + 50.000. Si la compañía necesita alcanzar el punto de equilibrio después de vender 150 unidades, ¿a qué precio debería vender cada guitarra? Redondee al dólar más cercano y escriba la función de ingresos. En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver. Halle dos números cuya suma es 28 y la diferencia es 13. Los números son 7,5 y 20,5. Un número es 9 veces mayor que otro número. El doble de la suma de los dos números es 10. Halle los dos números. El costo de puesta en marcha de un restaurante es de 120.000 dólares y hacer cada comida le cuesta 10 dólares al restaurante. Si cada comida se vende por 15 dólares, ¿después de cuántas comidas el restaurante alcanza el punto de equilibrio? 24.000 Una compañía de mudanzas cobra una tarifa plana de 150 dólares y 5 dólares más por cada caja. Si un servicio de taxi cobra 20 dólares por cada caja, ¿cuántas cajas necesitaría para que le saliera más barato utilizar la compañía de mudanzas y cuál sería el costo total? Un total de 1.595 estudiantes de primer y segundo año de la universidad se reunieron en una concentración motivacional. El número de estudiantes de primer año superó en 15 al de segundo. ¿Cuántos estudiantes de cada curso asistieron? 790 estudiantes de segundo año, 805 estudiantes de primer año 276 estudiantes matriculados en una clase de introducción a la química. Al final del semestre, el número de estudiantes que aprobaron es 5 veces mayor que el de los que suspendieron. Calcule el número de estudiantes que aprobaron y el número de estudiantes que aplazaron. Había 130 profesores en una conferencia. Si asistieron 18 mujeres más que hombres, ¿cuántos de cada sexo asistieron a la conferencia? 56 hombres, 74 mujeres Un jeep y una camioneta entran en una autopista que va de este a oeste en la misma salida dirigiéndose en direcciones opuestas. El jeep entró en la autopista 30 minutos antes que la camioneta, y viajaba 7 mph más lento que la camioneta. Después de 2 horas desde que la camioneta entró en la autopista, los autos estaban a 306,5 millas de distancia. Calcule la velocidad de cada auto, suponiendo que se condujera con control de crucero y se mantuviera la misma velocidad. Si un científico mezcla una solución salina al 10 % con una solución salina al 60 % para obtener 25 galones de solución salina al 40 %, ¿cuántos galones de soluciones al 10 % y al 60 % se mezclaron? 10 galones de solución al 10 %, 15 galones de solución al 60 % Un inversor obtuvo el triple de beneficios que el año pasado. Si ganaron 500.000,48 dólares en total en ambos años, ¿cuánto ganó el inversor en beneficios cada año? Una inversora invirtió 1,1 millones de dólares en dos inversiones en terrenos. En la primera inversión, Swan Peak, su rendimiento fue un aumento del 110 % del dinero invertido. En la segunda inversión, Riverside Community, ganó el 50 % sobre lo invertido. Si obtuvo 1 millón de dólares de ganancias, ¿cuánto invirtió en cada uno de los negocios de los terrenos? Swan Peak: 750.000 dólares, Riverside: 350.000 dólares. Si un inversionista invierte un total de 25.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 3 % de interés simple y otro que paga el 2 7 8 % de interés, y el inversionista gana 737,50 dólares de interés anual, ¿cuánto se invirtió en cada cuenta? Si un inversionista invierte 23.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 4 % de interés simple y otro que paga el 2 % de interés simple, y el inversionista gana 710,00 dólares de interés anual, ¿cuánto ha invertido en cada cuenta? 12.500 dólares en la primera cuenta, 10.500 dólares en la segunda. Los blu-rays cuestan 5,96 dólares más que los DVD normales en All Bets Are Off Electronics. ¿Cuánto costarían 6 blu-rays y 2 DVDs si 5 blu-rays y 2 DVD cuestan 127,73 dólares? El empleado de una tienda vendió 60 pares de calzados deportivos. Los zapatos de caña alta se vendieron a 98,99 dólares y los de corte bajo a 129,99 dólares. Si los ingresos de los dos tipos de ventas ascendieron a 6.404,40 dólares, ¿cuántos zapatos se vendieron de cada tipo? Los zapatos de caña alta: 45, los de corte bajo: 15 Un administrador de conciertos contó 350 recibos de entradas el día después de un concierto. El precio de la entrada de estudiante era de 12,50 dólares y el de la entrada de adulto, de 16 dólares. El registro confirma que ingresaron 5.075 dólares. ¿Cuántas entradas de estudiantes y cuántas de adultos se vendieron? La entrada al parque de atracciones para 4 niños y 2 adultos cuesta 116,90 dólares. Para 6 niños y 3 adultos, cuesta 175,35 dólares. Suponiendo un precio diferente para niños y adultos, ¿cuál es el precio de la entrada de niño y el de la entrada de adulto? Infinitas soluciones. Necesitamos más información. método de adición técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la cual las ecuaciones se suman de forma que se elimina una variable, lo que permite resolver la ecuación resultante para la variable restante; la sustitución se usa entonces para resolver la primera variable punto de equilibrio el punto en el cual una función de costo se interseca con una función de ingresos; donde la ganancia es cero sistema consistente sistema para el cual hay una única solución para todas las ecuaciones del sistema y es un sistema independiente, o si hay un número infinito de soluciones y es un sistema dependiente función de costo función que se usa para calcular los costos de la actividad comercial; suele tener dos partes: costos fijos y costos variables sistema dependiente sistema de ecuaciones lineales en el que las dos ecuaciones representan la misma línea; hay un número infinito de soluciones para un sistema dependiente sistema inconsistente sistema de ecuaciones lineales sin solución común porque representan líneas paralelas, las cuales no tienen ningún punto ni línea en común sistema independiente un sistema de ecuaciones lineales con exactamente un par de soluciones ( x , y ) función de ganancias la función de ganancias se escribe como P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) , ingresos menos costos función de ingresos función que se utiliza para calcular ingresos, simplemente escrita como R = x p , donde x = cantidad y p = precio método de sustitución técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la que una de las dos ecuaciones se resuelve para una variable y luego se sustituye en la segunda ecuación para resolver la segunda variable sistema de ecuaciones lineales conjunto de dos o más ecuaciones en dos o más variables que deben ser consideradas simultáneamente.", "section": "Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables Objetivos de aprendizaje Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1) Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2) Objetivo 1: Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1) Una ecuación lineal con tres variables donde a , b , c y d son números reales y a , b y c no son todos 0, es de la forma a x + b y + c z = d . El gráfico de una ecuación lineal con tres variables es un plano . Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es un conjunto de ecuaciones lineales con tres variables. Por ejemplo, 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 es un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. La solución está representada por un triple ordenado ( x,y,z ). Determine si los triples ordenados son soluciones del sistema dado. 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 a las ( 1 , 3 , 2 ) y en ( 4 , 1 , 5 ) Sustituimos 1, -3, 2 en las tres ecuaciones: 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 3 ( 1 ) + ( 3 ) + 2 = 2 2 = 2 Verdadero 1 + 2 ( 3 ) + 2 = 3 3 = 3 Verdadero 3 ( 1 ) + ( 3 ) + 2 ( 2 ) = 4 4 = 4 Verdadero Conclusión: Como (1, –3, 2) es una solución de las tres ecuaciones, entonces es una solución del sistema 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 A continuación, sustituimos (4, -1, -5) en las tres ecuaciones: 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 3 ( 4 ) + ( 1 ) + ( 5 ) = 2 6 = 2 Falso 4 + 2 ( 1 ) + ( 5 ) = 3 3 = 3 Verdadero 3 ( 4 ) + ( 1 ) + 2 ( 5 ) = 4 1 = 4 Falso Conclusión: Como (4, –1, –5) no es una solución de las tres ecuaciones, entonces no es una solución del sistema 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 La práctica hace la perfección Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 a ( 3 , 1 , 3 ) y en ( 4 , 3 , 7 ) 2 x + y – 2 z = 3 En (3, 1, 3): 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 2 x + 3 y – 2 z = 3 ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ En (4, 3, 7): 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 2 x + 3 y – 2 z = 3 ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ Objetivo 2: Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2) Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenemos muchas soluciones posibles. Las soluciones se resumen en la siguiente tabla. Una solución Los tres planos se intersecan en un punto común No hay solución Los planos son paralelos; no tienen puntos en común. Dos planos son iguales y son paralelos al tercer plano. No tienen puntos en común Dos planos son paralelos y cada uno de ellos interseca al tercer plano. No tienen puntos en común Cada plano interseca a los otros dos, pero no tienen puntos en común. Infinitas soluciones Los tres planos se intersecan en una línea. Tienen muchos puntos en común en esa línea Dos planos son iguales y se intersecan con el tercero en una línea. Tienen muchos puntos en común en esa línea. Los tres planos son exactamente iguales. Tienen muchos puntos en común. Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. Elimine la misma variable de dos ecuaciones. Decida cuál variable va a eliminar. Trabaje con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Repita el paso 2 con otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el paso 2. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema. Utilice los valores de las dos variables halladas en el paso 4 para calcular la tercera variable. Escriba la solución como un triple ordenado. Compruebe que el triple ordenado es una solución de las tres ecuaciones originales Resuelva el sistema de ecuaciones: { x + 2 y - z = 1 2 x + 7 y + 4 z = 11 x + 3 y + z = 4 . { x + 2 y - z = 1 ( 1 ) 2 x + 7 y + 4 z = 11 ( 2 ) x + 3 y + z = 4 ( 3 ) Utilice las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x . Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x de nuevo. Utilice las ecuaciones (4) y (5) para eliminar y . Hay infinitas soluciones. Resuelva la ecuación (4) para y . Represente la solución mostrando cómo x y y dependen de z . y + 2 z = 3 y = −2 c + 3 Utilice la ecuación (1) para resolver x . x + 2 y - z = 1 Sustituya y = −2 c + 3 . x + 2 ( −2 c + 3 ) − z = 1 x - 4 z + 6 − z = 1 x - 5 z + 6 = 1 x = 5 c - 5 El enunciado verdadero 0 = 0 nos dice que se trata de un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma ( x , y , z ) donde x = 5 c - 5 ; y = −2 c + 3 y z es cualquier número real. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con tres variables. x + 2 y 3 z = 1 x 3 y + z = 1 2 x y 2 z = 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. ________________________________________ Paso 2 Utilicemos las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x ________________________________________ Paso 3 Utilicemos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x ________________________________________ Paso 4 Utilicemos ahora las nuevas ecuaciones (4) y (5) para eliminar y ________________________________________ Paso 5 Paso 6 La práctica hace la perfección Determine si el par ordenado es una solución del sistema dado y 10 z = 8 2 x y = 2 x 5 z = 3 a ( 7 , 12 , 2 ) y en ( 2 , 2 , 1 ) (Créditos: \"Elembis\", Wikimedia Commons). Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo? Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización. Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan , que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss . Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior , la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución ( x , y , z ) , lo cual llamamos un triple ordenado . Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto: A x + B y + C c = D E y + F c = G H c = K La tercera ecuación se puede resolver para c , y luego volvemos a sustituir para hallar y y x . Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones: Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación. El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado { ( x , y , z ) } . Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos. Número de soluciones posibles La y la ilustran posibles escenarios de solución para sistemas de tres por tres. Los sistemas que tienen una única solución son aquellos que, tras la eliminación, dan como resultado un conjunto de soluciones formado por un triple ordenado { ( x , y , z ) } . Gráficamente, el triple ordenado define un punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Los sistemas que tienen un número infinito de soluciones son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado una expresión que siempre es verdadera, como por ejemplo 0 = 0 . Gráficamente, un número infinito de soluciones representa una línea o plano coincidente que sirve de intersección de tres planos en el espacio. Los sistemas que no tienen solución son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado un enunciado que es una contradicción, como por ejemplo 3 = 0 . Gráficamente, un sistema sin solución se representa mediante tres planos sin ningún punto en común. (a) Tres planos se intersecan en un único punto, y representan un sistema de tres por tres con una única solución. (b) Tres planos se intersecan en una línea, y representan un sistema de tres por tres con infinitas soluciones. Las tres figuras representan sistemas de tres por tres sin solución. (a) Los tres planos se intersecan entre sí, pero no en un punto común. (b) Dos de los planos son paralelos y se intersecan con el tercer plano, pero no entre sí. (c) Los tres planos son paralelos, por lo que no hay punto de intersección. Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema Determinar si el triple ordenado ( 3 , –2 , 1 ) es una solución del sistema. x + y + z = 2 6 x - 4 y + 5 z = 31 5 x + 2 y + 2 z = 13 Comprobaremos cada ecuación sustituyendo los valores del triple ordenado por x , y , y z . x + y + z = 2 ( 3 ) + ( −2 ) + ( 1 ) = 2 Verdadero 6 x -4 y + 5 z = 31 6 ( 3 ) -4 ( −2 ) + 5 ( 1 ) = 31 18 + 8 + 5 = 31 Verdadero 5 x + 2 y + 2 z = 13 5 ( 3 ) + 2 ( −2 ) + 2 ( 1 ) = 13 15 -4 + 2 = 13 Verdadero El triple ordenado ( 3 , –2 , 1 ) es, en efecto, una solución para el sistema. Cómo Dado un sistema lineal de tres ecuaciones, resuelva las tres incógnitas. Escoja cualquier par de ecuaciones y resuelva para una variable. Elija otro par de ecuaciones y resuelva para la misma variable. Ha creado un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. Resuelva el sistema resultante de dos en dos. Vuelva a sustituir las variables conocidas en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva la variable que falta. Resolver un sistema de tres ecuaciones de tres variables por eliminación Halle una solución al siguiente sistema: x −2 y + 3 z = 9 (1) − x + 3 y - z = −6 (2) 2 x −5 y + 5 z = 17 (3) Siempre habrá varias opciones por dónde empezar, pero el primer paso más obvio aquí es eliminar x sumando las ecuaciones (1) y (2). x - 2 y + 3 z = 9 (1) − x + 3 y - z = −6 (2) y + 2 z = 3 (3) El segundo paso es multiplicar la ecuación (1) por −2 y añadir el resultado a la ecuación (3). Estos dos pasos eliminarán la variable x . −2 x + 4 y - 6 z = -18 ( 1 ) multiplicado por − 2 2 x - 5 y + 5 z = 17 ( 3 ) ____________________________________ − y - z = −1 ( 5 ) En las ecuaciones (4) y (5) hemos creado un nuevo sistema de dos por dos. Podemos resolver para c sumando las dos ecuaciones. y + 2 z = 3 ( 4 ) - y - z = - 1 ( 5 ) z = 2 ( 6 ) Al elegir una ecuación de cada nuevo sistema, obtenemos la forma triangular superior: x −2 y + 3 z = 9 ( 1 ) y + 2 z = 3 ( 4 ) z = 2 ( 6 ) A continuación, volvemos a sustituir c = 2 en la ecuación (4) y resolver para y . y + 2 ( 2 ) = 3 y + 4 = 3 y = –1 Por último, podemos volver a sustituir c = 2 y y = −1 en la ecuación (1). Esto dará la solución para x . x −2 ( –1 ) + 3 ( 2 ) = 9 x + 2 + 6 = 9 x = 1 La solución es el triple ordenado ( 1 , –1 , 2 ) . Vea la . Resolución de un problema del mundo real mediante un sistema de tres ecuaciones en tres variables En el problema planteado al principio de la sección, Jordi invirtió su herencia de 12.000 dólares en tres fondos diferentes: una parte en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; otra parte en bonos municipales que pagan un 4 % anual; y el resto en fondos de inversión que pagan un 7 % anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. El interés total obtenido en un año fue de 670 dólares. ¿Cuánto invirtió en cada tipo de fondo? Para resolver este problema, utilizamos toda la información dada y establecemos tres ecuaciones. Primero, asignamos una variable a cada uno de los tres montos de inversión: x = cantidad invertida en un fondo del mercado monetario y = cantidad invertida en bonos municipales c = cantidad invertida en fondos de inversión La primera ecuación indica que la suma de los tres montos principales es de 12.000 dólares. x + y + z = 12.000 Formamos la segunda ecuación según la información de que Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. z = y + 4.000 La tercera ecuación muestra que el monto total de los intereses obtenidos de cada fondo es igual a 670 dólares. 0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670 Entonces, escribimos las tres ecuaciones como un sistema. x + y + z = 12.000 − y + z = 4.000 0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670 Para simplificar los cálculos, podemos multiplicar la tercera ecuación por 100. Por lo tanto, x + y + z = 12.000 ( 1 ) - y + z = 4.000 ( 2 ) 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 ( 3 ) Paso 1. Intercambie la ecuación (2) y la ecuación (3) para que las dos ecuaciones de tres variables se alineen. x + y + z = 12.000 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 − y + z = 4.000 Paso 2. Multiplique la ecuación (1) por −3 y súmela a la ecuación (2). Escriba el resultado como fila 2. x + y + z = 12.000 y + 4 z = 31.000 − y + z = 4.000 Paso 3. Sume la ecuación (2) a la ecuación (3) y escriba el resultado como ecuación (3). x + y + z = 12.000 y + 4 z = 31.000 5 z = 35.000 Paso 4. Resuelva para c en la ecuación (3). Vuelva a sustituir ese valor en la ecuación (2) y resuelva y . A continuación, vuelva a sustituir los valores de c y y en la ecuación (1) y resuelva para x . 5 z = 35.000 c = 7.000 y + 4 ( 7.000 ) = 31.000 y = 3.000 x + 3.000 + 7.000 = 12.000 x = 2.000 Jordi invirtió 2.000 dólares en un fondo del mercado monetario, 3.000 en bonos municipales y 7.000 en fondos de inversión. Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones de tres variables. 2 x + y −2 c = −1 3 x −3 y - z = 5 x −2 y + 3 z = 6 ( 1 , –1 , 1 ) Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo 3 = 7 o alguna otra contradicción. Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones de tres variables Resuelva el siguiente sistema. x −3 y + z = 4 ( 1 ) - x + 2 y −5 c = 3 ( 2 ) 5 x -13 y + 13 c = 8 ( 3 ) Al observar los coeficientes de x , podemos ver que podemos eliminar la x sumando la ecuación (1) a la ecuación (2). x −3 y + z = 4 ( 1 ) - x + 2 y −5 c = 3 ( 2 ) - y -4 c = 7 ( 4 ) A continuación, multiplicamos la ecuación (1) por −5 y la sumamos a la ecuación (3). − 5 x + 15 y - 5 z = -20 ( 1 ) multiplicado por −5 5 x − 13 y + 13 c = 8 ( 3 ) ______________________________________ 2 y + 8 z = −12 ( 5 ) A continuación, multiplicamos la ecuación (4) por 2 y la sumamos a la ecuación (5). −2 y - 8 z = 14 ( 4 ) multiplicado por 2 2 y + 8 z = − 12 ( 5 ) _______________________________________ 0 = 2 La ecuación final 0 = 2 es una contradicción, por lo que concluimos que el sistema de ecuaciones en inconsistente y, por tanto, no tiene solución. Análisis En este sistema, cada plano se interseca con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Por lo tanto, el sistema es inconsistente. Ejercicio Resuelva el sistema de tres ecuaciones de tres variables. x + y + z = 2 y −3 c = 1 2 x + y + 5 z = 0 No hay solución. Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea. Hallar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente Halle la solución del sistema de tres ecuaciones de tres variables dado. 2 x + y −3 c = 0 ( 1 ) 4 x + 2 y −6 c = 0 ( 2 ) x - y + z = 0 ( 3 ) Primero, podemos multiplicar la ecuación (1) por −2 y sumarla a la ecuación (2). -4 x −2 y + 6 z = 0 ecuación ( 1 ) multiplicado por −2 ​ ​ ​ ​ 4 x + 2 y −6 c = 0 ( 2 ) ____________________________________________ 0 = 0 No es necesario seguir adelante. El resultado que obtenemos es una identidad, 0 = 0 , lo que nos dice que este sistema tiene un número infinito de soluciones. Hay otras formas de empezar a resolver este sistema, como multiplicar la ecuación (3) por −2 , y sumarla a la ecuación (1). A continuación, realizamos los mismos pasos que en el caso anterior y hallamos el mismo resultado, 0 = 0 . Cuando un sistema es dependiente, podemos hallar expresiones generales para las soluciones. Al sumar las ecuaciones (1) y (3), tenemos 2 x + y −3 c = 0 x - y + z = 0 _____________ 3 x −2 c = 0 A continuación, resolvemos la ecuación resultante para c . 3 x −2 c = 0 z = 3 2 x Volvemos a sustituir la expresión de c en una de las ecuaciones y resolvemos para y . 2 x + y - 3 ( 3 2 x ) = 0 2 x + y − 9 2 x = 0 y = 9 2 x - 2 x y = 5 2 x Así que la solución general es ( x , 5 2 x , 3 2 x ) . En esta solución, x puede ser cualquier número real. Los valores de y y de c dependen del valor seleccionado para x . Análisis Como se muestra en la , dos de los planos son iguales y se intersecan con el tercer plano en una línea. El conjunto de soluciones es infinito, ya que todos los puntos a lo largo de la línea de intersección satisfacen las tres ecuaciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿La solución genérica de un sistema dependiente se debe escribir siempre en términos de x ? No, se puede escribir la solución genérica en términos de cualquiera de las variables, pero es común escribirla en términos de x, y si es necesario x como y . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema. x + y + z = 7 3 x - 2 y - z = 4 x + 6 y + 5 z = 24 Número infinito de soluciones de la forma ( x , 4 x −11 , −5 x + 18 ) . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar sistemas de ecuaciones de tres variables. Ej. 1: Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando la eliminación Ej. 2: Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando la eliminación Conceptos clave Un conjunto de soluciones es un triple ordenado { ( x , y , z ) } que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el . Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el . Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el . Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el . Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el . Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea. Ejercicios de la sección Verbales ¿Un sistema lineal de tres ecuaciones puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no No, solo puede haber una, cero o infinitas soluciones. Si un triple ordenado resuelve el sistema de ecuaciones, ¿es esa solución única? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo en el que no sea único. Si un triple ordenado dado no resuelve el sistema de ecuaciones, ¿no hay solución? Si es así, explique por qué. Si no es así, dé un ejemplo. No necesariamente. Puede haber cero, una o infinitas soluciones. Por ejemplo, ( 0 , 0 , 0 ) no es una solución al sistema que está a continuación, pero eso no significa que no tenga solución. 2 x + 3 y −6 c = 1 -4 x −6 y + 12 c = –2 x + 2 y + 5 z = 10 Al utilizar el método de la adición, ¿hay una sola forma de resolver el sistema? ¿Puede explicar si solo puede haber un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones? Si la respuesta es afirmativa, dé un ejemplo de un sistema de ecuaciones de este tipo. Si no, explique por qué no. Todo sistema de ecuaciones se puede resolver gráficamente, por sustitución y por adición. Sin embargo, los sistemas de tres ecuaciones se vuelven muy complejos de resolver gráficamente, por lo que se suelen preferir otros métodos. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones. 2 x −6 y + 6 z = −12 x + 4 y + 5 z = −1 - x + 2 y + 3 z = –1 y ( 0 , 1 , –1 ) 6 x - y + 3 z = 6 3 x + 5 y + 2 z = 0 x + y = 0 y ( 3 , −3 , −5 ) No 6 x −7 y + z = 2 - x - y + 3 z = 4 2 x + y - z = 1 y ( 4 , 2 , –6 ) x - y = 0 x − z = 5 x - y + z = –1 y ( 4 , 4 , –1 ) Sí x - y + 2 z = 3 5 x + 8 y −3 c = 4 – x + 3 y −5 c = −5 y ( 4 , 1 , –7 ) En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación. 3 x -4 y + 2 z = −15 2 x + 4 y + z = 16 2 x + 3 y + 5 z = 20 ( –1 , 4 , 2 ) 5 x −2 y + 3 z = 20 2 x -4 y −3 c = –9 x + 6 y −8 c = 21 5 x + 2 y + 4 z = 9 −3 x + 2 y + z = 10 4 x −3 y + 5 z = −3 ( − 85 107 , 312 107 , 191 107 ) 4 x −3 y + 5 z = 31 − x + 2 y + 4 z = 20 x + 5 y −2 c = −29 5 x −2 y + 3 z = 4 -4 x + 6 y −7 c = −1 3 x + 2 y - z = 4 ( 1 , 1 2 , 0 ) 4 x + 6 y + 9 z = 0 −5 x + 2 y −6 c = 3 7 x -4 y + 3 z = −3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan. 2 x - y + 3 z = 17 −5 x + 4 y −2 c = -46 2 y + 5 z = −7 ( 4 , –6 , 1 ) 5 x −6 y + 3 z = 50 − x + 4 y = 10 2 x − z = 10 2 x + 3 y −6 c = 1 -4 x −6 y + 12 c = –2 x + 2 y + 5 z = 10 ( x , 1 27 ( 65 −16 x ) , x + 28 27 ) 4 x + 6 y −2 c = 8 6 x + 9 y −3 c = 12 −2 x −3 y + z = –4 2 x + 3 y -4 c = 5 −3 x + 2 y + z = 11 − x + 5 y + 3 z = 4 ( − 45 13 , 17 13 , –2 ) 10 x + 2 y −14 c = 8 −x −2 y -4 c = −1 −12 x −6 y + 6 z = −12 x + y + z = 14 2 y + 3 z = −14 −16 y −24 c = –112 No existen soluciones 5 x −3 y + 4 z = −1 -4 x + 2 y −3 c = 0 −x + 5 y + 7 z = −11 x + y + z = 0 2 x - y + 3 z = 0 x − z = 0 ( 0 , 0 , 0 ) 3 x + 2 y −5 c = 6 5 x -4 y + 3 z = −12 4 x + 5 y −2 c = 15 x + y + z = 0 2 x - y + 3 z = 0 x − z = 1 ( 4 7 , - 1 7 , - 3 7 ) 3 x – 1 2 y - z = - 1 2 4 x + z = 3 - x + 3 2 y = 5 2 6 x −5 y + 6 z = 38 1 5 x – 1 2 y + 3 5 z = 1 -4 x - 3 2 y - z = -74 ( 7 , 20 , 16 ) 1 2 x – 1 5 y + 2 5 z = - 13 10 1 4 x - 2 5 y - 1 5 z = - 7 20 – 1 2 x - 3 4 y - 1 2 z = - 5 4 - 1 3 x – 1 2 y - 1 4 z = 3 4 - 1 2 x – 1 4 y - 1 2 z = 2 – 1 4 x - 3 4 y - 1 2 z = - 1 2 ( –6 , 2 , 1 ) 1 2 x – 1 4 y + 3 4 z = 0 1 4 x – 1 10 y + 2 5 z = −2 1 8 x + 1 5 y - 1 8 z = 2 4 5 x - 7 8 y + 1 2 z = 1 - 4 5 x - 3 4 y + 1 3 z = −8 − 2 5 x - 7 8 y + 1 2 z = −5 ( 5 , 12 , 15 ) - 1 3 x – 1 8 y + 1 6 z = – 4 3 - 2 3 x - 7 8 y + 1 3 z = − 23 3 - 1 3 x - 5 8 y + 5 6 z = 0 - 1 4 x - 5 4 y + 5 2 z = −5 - 1 2 x - 5 3 y + 5 4 z = 55 12 − 1 3 x – 1 3 y + 1 3 z = 5 3 ( −5 , −5 , −5 ) 1 40 x + 1 60 y + 1 80 c = 1 100 − 1 2 x – 1 3 y - 1 4 z = - 1 5 3 8 x + 3 12 y + 3 16 c = 3 20 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 2 0,5 x -0,1 y + 0,4 c = 8 0,7 x -0,2 y + 0,3 c = 8 ( 10 , 10 , 10 ) 0,2 x + 0,1 y -0,3 c = 0,2 0,8 x + 0,4 y -1,2 c = 0,1 1,6 x + 0,8 y −2,4 c = 0,2 1,1 x + 0,7 y -3,1 c = -1,79 2,1 x + 0,5 y -1,6 c = -0,13 0,5 x + 0,4 y -0,5 c = -0,07 ( 1 2 , 1 5 , 4 5 ) 0,5 x -0,5 y + 0,5 c = 10 0,2 x -0,2 y + 0,2 c = 4 0,1 x -0,1 y + 0,1 c = 2 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,37 0,1 x -0,2 y -0,3 c = -0,27 0,5 x -0,1 y -0,3 c = -0,03 ( 1 2 , 2 5 , 4 5 ) 0,5 x -0,5 y -0,3 c = 0,13 0,4 x -0,1 y -0,3 c = 0,11 0,2 x -0,8 y -0,9 c = -0,32 0,5 x + 0,2 y -0,3 c = 1 0,4 x -0,6 y + 0,7 c = 0,8 0,3 x -0,1 y -0,9 c = 0,6 ( 2 , 0 , 0 ) 0,3 x + 0,3 y + 0,5 c = 0,6 0,4 x + 0,4 y + 0,4 c = 1,8 0,4 x + 0,2 y + 0,1 c = 1,6 0,8 x + 0,8 y + 0,8 c = 2,4 0,3 x -0,5 y + 0,2 c = 0 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,6 ( 1 , 1 , 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para x , y , y z . x + y + z = 3 x −1 2 + y −3 2 + z + 1 2 = 0 x −2 3 + y + 4 3 + c −3 3 = 2 3 5 x −3 y - z + 1 2 = 1 2 6 x + y −9 2 + 2 z = −3 x + 8 2 -4 y + z = 4 ( 128 557 , 23 557 , 28 557 ) x + 4 7 - y −1 6 + z + 2 3 = 1 x −2 4 + y + 1 8 − z + 8 12 = 0 x + 6 3 - y + 2 3 + z + 4 2 = 3 x −3 6 + y + 2 2 - c −3 3 = 2 x + 2 4 + y −5 2 + z + 4 2 = 1 x + 6 2 - y −3 2 + z + 1 = 9 ( 6 , –1 , 0 ) x −1 3 + y + 3 4 + z + 2 6 = 1 4 x + 3 y −2 c = 11 0,02 x + 0,015 y -0,01 c = 0,065 Aplicaciones en el mundo real Tres números pares suman 108. El menor es la mitad del mayor y el número del medio es 3 4 del número mayor. ¿Cuáles son los tres números? 24, 36, 48 Tres números suman 147. El número más pequeño es la mitad del número medio, el cual es la mitad del número más grande. ¿Cuáles son los tres números? En una reunión familiar, solo asistieron parientes de sangre, compuestos por hijos, padres y abuelos. Había 400 personas en total. Había el doble de padres que de abuelos y 50 niños más que padres. ¿Cuántos niños, padres y abuelos asistieron? 70 abuelos, 140 padres, 190 niños Un refugio de animales tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 gatos más que perros, ¿cuántos de cada animal hay en el refugio? Su compañera de cuarto, Shani, se ofreció a comprar alimentos para usted y su otro compañero de cuarto. La factura total fue de 82 dólares. Se olvidó de guardar los recibos individuales, pero se acordó de que los alimentos de usted eran 0,05 dólares más baratos que la mitad de los de ella, y que los de su otro compañero de vivienda eran 2,10 dólares más que los de usted. ¿A cuánto asciende la parte de la compra de cada uno? Su parte era de 19,95 dólares, la de Shani de 40 dólares y la de su otro compañero de piso de 22,05 dólares. Su compañero de piso, John, se ofreció a comprar material doméstico para usted y su otro compañero. Usted vive cerca de la frontera de tres estados, cada uno de los cuales tiene un impuesto sobre las ventas diferente. La cantidad total de dinero gastada fue de 100,75 dólares. Sus suministros se compraron con el 5 % de impuestos, los de John con el 8 % y los de su tercer compañero con el 9 % de impuestos. La cantidad total de dinero gastada sin impuestos es de 93,50 dólares. Si sus provisiones antes de impuestos fueron de 1 dólar más de la mitad de lo que fueron las provisiones de su tercer compañero antes de impuestos, ¿cuánto gastaron cada uno de ustedes? Responda con y sin impuestos. Tres compañeros trabajan en la misma compañía. Sus puestos de trabajo son los de administrador de almacén, gerente de oficina y conductor de camión. La suma de los salarios anuales del administrador de almacén y del gerente de oficina es de 82.000 dólares. El gerente de la oficina gana 4.000 dólares más que el conductor del camión al año. Los salarios anuales del administrador de almacén y del conductor del camión ascienden a 78.000 dólares. ¿Cuál es el salario anual de cada uno de los compañeros de trabajo? Hay infinitas soluciones; necesitamos más información En una feria se recaudaron 2.914,25 dólares al final del día. El costo de la entrada de niño era de 20,50 dólares, la de adulto de 29,75 dólares y la de personas mayores de 15,25 dólares. Asistieron el doble de personas mayores que de adultos y 20 niños más que personas mayores. ¿Cuántas entradas para niños, adultos y personas mayores se vendieron? Una banda local agota las entradas para su concierto. Venden las 1.175 entradas para una bolsa total de 28.112,50 dólares. Las entradas tenían un precio de 20 dólares para estudiantes, 22,50 dólares para niños y 29 dólares para adultos. Si la banda vendió el doble de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo? 500 de estudiantes, 225 de niños y 450 de adultos Un niño tiene 325 monedas en una bolsa, con un valor de 19,50 dólares. Había tres tipos de monedas: de un centavo, de cinco centavos y de diez centavos. Si la bolsa contenía el mismo número de monedas de cinco centavos que de diez, ¿cuántas de cada tipo de moneda había en la bolsa? El año pasado, en el concesionario Haven's Pond Car Dealership, para modelos específicos de BMW, Jeep y Toyota, uno podía comprar los tres automóviles por un total de 140.000 dólares. Este año, debido a la inflación, los mismos vehículos costarían 151.830 dólares. El costo del BMW aumentó el 8 %, el del Jeep el 5 % y el del Toyota el 12 %. Si el precio del Jeep del año pasado era 7.000 dólares menos que el precio del BMW del año pasado, ¿cuál era el precio de cada uno de los tres automóviles el año pasado? El BMW costaba 49.636 dólares, el jeep 42.636 dólares y el Toyota 47.727 dólares. Cuando su hijo menor se mudó, Deandre vendió su casa e hizo tres inversiones con las ganancias de la venta. Invirtió 80.500 dólares en tres cuentas, una que pagaba un 4 % de interés simple, otra que pagaba 3 1 8 % de interés simple y una que pagaba el 2 1 2 % de interés simple. Ganó 2.670 dólares de intereses al cabo de un año. Si la cantidad de dinero invertida en la segunda cuenta era cuatro veces superior a la invertida en la tercera, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? Usted hereda un millón de dólares. Lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga el 3 % compuesto anualmente, la segunda cuenta paga el 4 % compuesto anualmente y la tercera cuenta paga el 2 % compuesto anualmente. Al cabo de un año, gana 34.000 dólares en intereses. Si invierte cuatro veces más dinero en la cuenta que paga el 3 % en comparación con el 3 % , ¿cuánto ha invertido en cada cuenta? 400.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés, 500.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés y 100.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés. Un empresario vende una parte de su negocio por cien mil dólares y lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga un 4 % calculado anualmente, la segunda cuenta paga un 3 % calculado anualmente y la tercera cuenta paga un 2 % calculado anualmente. Al cabo de un año, el empresario gana 3.650 dólares en intereses. Si invirtió cinco veces más dinero en la cuenta que paga el 4 % en comparación con el 3 % , ¿cuánto invirtió en cada cuenta? Los tres primeros países en consumo de petróleo en un año determinado son los siguientes: Estados Unidos, Japón y China. En millones de barriles diarios, los tres primeros países consumieron el 39,8 % del petróleo consumido en el mundo. Estados Unidos consumió el 0,7 % más que cuatro veces el consumo de China. Estados Unidos consumió el 5 % más que el triple que Japón. ¿Qué porcentaje del consumo mundial de petróleo fue de Estados Unidos, Japón y China? \"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001\", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Estados Unidos consumió el 26,3 % , Japón el 7,1 % y China el 6,4 % del petróleo mundial. Los tres primeros países en producción de petróleo en el mismo año son Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia. En millones de barriles diarios, los tres primeros países produjeron el 31, 4 % del petróleo producido en el mundo. Arabia Saudita y Estados Unidos sumaron el 22,1 % de la producción mundial, y Arabia Saudita produjo un 2 % más de petróleo que Rusia. ¿Qué porcentaje de la producción mundial de petróleo produjeron Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia? \"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001\", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Las tres principales fuentes de importación de petróleo para Estados Unidos en el mismo año fueron Arabia Saudita, México y Canadá. Los tres primeros países representan el 47 % de las importaciones de petróleo. Estados Unidos importó de Arabia Saudita un 1,8 % más de lo que importó de México y un 1,7 % más de lo que importó de Canadá. ¿Qué porcentaje de las importaciones de petróleo de Estados Unidos procedían de estos tres países? \"Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001\", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Arabia Saudita importó el 16,8 % , Canadá el 15,1 % y México el 15,0 % . Los tres principales productores de petróleo de Estados Unidos en un año determinado son el golfo de México, Texas y Alaska. Las tres regiones son responsables del 64 % de la producción de petróleo de Estados Unidos. El golfo de México y Texas combinan el 47 % de la producción de petróleo. Texas produjo el 3 % más que Alaska. ¿Qué porcentaje de la producción de petróleo de Estados Unidos procede de estas regiones? “USA: The coming global oil crisis” (EE. UU.: la próxima crisis mundial del petróleo), consultado el 6 de abril de 2014, http://www.oilcrisis.com/us/. En un momento dado, en Estados Unidos, 398 especies de animales estaban en la lista de especies en peligro. Los grupos más importantes son los mamíferos, las aves y los peces, lo cuales representan el 55 % de las especies amenazadas. Las aves representan el 0,7 % más que los peces, y estos el 1,5 % más que los mamíferos. ¿Qué porcentaje de las especies en peligro de extinción proceden de mamíferos, aves y peces? Las aves representan el 19,3 % , los peces el 18,6 % y los mamíferos el 17,1 % de las especies en peligro. El consumo de carne en Estados Unidos se puede dividir en tres categorías: carne roja, aves de corral y pescado. Si el pescado representa el 4 % menos de la cuarta parte del consumo de aves de corral y el consumo de carne roja es el 18,2 % mayor que el de aves de corral, ¿cuáles son los porcentajes de consumo de carne? “The United States Meat Industry at a Glance”, consultado el 6 de abril de 2014, http://www.meatami.com/ht/d/sp/i/47465/pid/47465. conjunto de soluciones el conjunto de todos los pares o triples ordenados que satisfacen todas las ecuaciones de un sistema de ecuaciones", "section": "Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables Objetivos de aprendizaje Graficar una parábola (IA 11.2.1) Graficar un círculo (IA 11.1.4) Objetivo 1: Graficar una parábola (IA 11.2.1) Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola. Propiedades de las parábolas Parábolas verticales Forma general y = a x 2 + b x + c Forma estándar y = a ( x - h ) 2 + k Orientación a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo Eje de simetría x = - b 2 a x = h Vértice Sustituya x = - b 2 a y resolver para y . ( h , k ) intersección en y Supongamos que x = 0 Supongamos que x = 0 intersección en x Supongamos que y = 0 Supongamos que y = 0 Gráficos de parábolas Graficar parábolas mediante propiedades. Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en y. Halle el punto simétrico a la intersección y a través del eje de simetría. Halle las intersecciones en x. Grafique la parábola. Grafique la parábola y = – x 2 + 4 x 3 Forma estándar y = – x 2 + 4 x 3 a = 1 , b = 4 , c = 3 Paso 1 Dado que a = 1 la parábola se abre hacia abajo Paso 2 El eje de simetría viene dado por x = b 2 a , x = 4 2 ( 1 ) = 2 El eje de simetría es x = 2 Paso 3 El vértice está en la línea x = 2 Sustituyamos x = 2 en y = – x 2 + 4 x 3 y = ( 2 ) 2 + 4 ( 2 ) 3 y = 4 + 8 3 y = 1 El vértice es el punto (2, 1) Paso 4 Para hallar la intersección en y, sustituya x = 0 en y = – x 2 + 4 x 3 y = ( 0 ) 2 + 4 ( 0 ) 3 y = 3 La intersección y es el punto (0, –3) y está a 2 unidades a la izquierda del vértice. El punto simétrico está 2 unidades a la derecha del vértice y es (4, –3) Paso 5 Para hallar las intersecciones en x, sustituya y = 0 en y = – x 2 + 4 x 3 y resolver para x 0 = – x 2 + 4 x 3 0 = ( x 2 4 x + 3 ) 0 = x 2 4 x + 3 0 = ( x 3 ) ( x 1 ) x = 3 i r x = 1 Las intersecciones en x son (3, 0) y (1, 0) Paso 6 Represente gráficamente la parábola Eje de simetría x = 2 Vértice: (2,1) intersección en y: (0, –3), punto simétrico: (4, –3) intersecciones en x: (3, 0) y (1, 0) La práctica hace la perfección Grafique la parábola y = 2 x 2 + 4 x + 6 Objetivo 2: Graficar un círculo (IA 11.1.4) Cualquier ecuación de la forma ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 es la forma estándar de la ecuación de un círculo con centro (h, k) y radio. A continuación, podemos graficar el círculo en un sistema de coordenadas rectangulares utilizando el centro y el radio. Grafique un círculo Ⓐ Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 Ⓑ Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 Ⓐ Utilice la forma estándar de la ecuación de un círculo. Identifique el centro (h, k) y el radio r. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 ( x + 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4 ( x ( 3 ) ) 2 + ( y ( 4 ) ) 2 = 2 2 Centro: (–3, –4) Radio: 2 Grafique el círculo Ⓑ Tenemos que reescribir esta forma general en forma estándar para encontrar el centro y el radio. Paso 1 Agrupe los términos x y y. Reúna las constantes del lado derecho. x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 x 2 6 x + y 2 8 y = 9 Paso 2 Complete los cuadrados x 2 6 x + ( 6 2 ) 2 + y 2 8 y + ( 8 2 ) 2 = 9 + ( 6 2 ) 2 + ( 8 2 ) 2 x 2 6 x + 9 + y 2 8 y + 16 = 9 + 9 + 16 Paso 3 Reescriba como cuadrados binomiales. ( x 3 ) 2 + ( y 4 ) 2 = 16 Paso 4 Identifique el centro y el radio. En el centro: (3, 4) Radio: 4 Paso 5 Grafique el círculo. La práctica hace la perfección Grafique un círculo. Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x 3 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 25 Utilice la forma estándar de la ecuación de un círculo. Identifique el centro, ( h , k ) y el radio, r . Grafique el círculo Halle el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 + 12 x 14 y + 21 = 0 Paso 1 Agrupe los términos x y y. Reúna las constantes del lado derecho. Paso 2 Complete los cuadrados ________________________________________ Paso 3 Reescriba como cuadrados binomiales. ________________________________________ Paso 4 Identifique el centro y el radio. Centro: ________ Radio: ________ Paso 5 Grafique el círculo. El cometa Halley ( ) orbita el Sol aproximadamente una vez cada 75 años. Su trayectoria puede considerarse una elipse muy alargada. Otros cometas siguen trayectorias similares en el espacio. Estas trayectorias orbitales se pueden estudiar mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas, sin embargo, son diferentes de los que hemos considerado en la sección anterior porque las ecuaciones no son lineales. El cometa Halley (créditos: “NASA Blueshift”/Flickr). En esta sección, consideraremos la intersección de una parábola y una línea, un círculo y una línea y un círculo y una elipse. Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales son similares a los de las ecuaciones lineales. Resolución de un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución Un sistema de ecuaciones no lineales es un sistema de dos o más ecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una ecuación que no es lineal. Recordemos que la ecuación lineal puede tomar la forma A x + B y + C = 0, Cualquier ecuación que no se pueda escribir en esta forma es no lineal. El método de sustitución que utilizamos para los sistemas lineales es el mismo que utilizaremos para los sistemas no lineales. Resolvemos una ecuación para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver otra variable, y así sucesivamente. Sin embargo, hay una variación en los posibles resultados. Intersección de una parábola y una línea Hay tres posibles tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones no lineales que involucran una parábola y una línea. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de una parábola y una línea La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra una parábola y una línea. No hay solución. La línea nunca intersecará la parábola. Una solución. La línea es tangente a la parábola y la interseca exactamente en un punto. Dos soluciones. La línea cruza por el interior de la parábola y la interseca en dos puntos. Cómo Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y una parábola, halle la solución. Resuelva la ecuación lineal para una de las variables. Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación de la parábola. Resuelva para la variable restante. Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan una parábola y una línea Resuelva el sistema de ecuaciones. x - y = −1 y = x 2 + 1 Resuelva la primera ecuación para x y luego sustituya la expresión resultante en la segunda ecuación. x - y = –1 x = y −1 Resuelva para x . y = x 2 + 1 y = ( y −1 ) 2 + 1 Sustituya la expresión por x . Expanda la ecuación e iguálela a cero. y = ( y −1 ) 2 + 1 = ( y 2 −2 y + 1 ) + 1 = y 2 −2 y + 2 0 = y 2 −3 y + 2 = ( y −2 ) ( y −1 ) Resuelva para y da como resultado y = 2 y y = 1. A continuación, sustituya cada valor por y en la primera ecuación para resolver x . Sustituya siempre el valor en la ecuación lineal para comprobar si hay soluciones extrañas. x - y = –1 x - ( 2 ) = –1 x = 1 x - ( 1 ) = –1 x = 0 Las soluciones son ( 1 , 2 ) y ( 0 , 1 ) , que puede verificarse sustituyendo estos ( x , y ) en las dos ecuaciones originales. Vea la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podríamos haber sustituido los valores de y en la segunda ecuación para resolver x en el ? Sí, pero debido a que x se eleva al cuadrado en la segunda ecuación, esto podría darnos soluciones extrañas para x . Para y = 1 y = x 2 + 1 1 = x 2 + 1 x 2 = 0 x = ± 0 = 0 Esto nos da el mismo valor que en la solución. Para y = 2 y = x 2 + 1 2 = x 2 + 1 x 2 = 1 x = ± 1 = ± 1 Tenga en cuenta que −1 es una solución extraña. Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones dado por sustitución. 3 x y = -2 2 x 2 y = 0 ( - 1 2 , 1 2 ) y ( 2 , 8 ) Intersección de un círculo y una línea Al igual que con una parábola y una línea, hay tres resultados posibles al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una línea La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una línea. No hay solución. La línea no interseca el círculo. Una solución. La línea es tangente al círculo y la interseca exactamente en un punto. Dos soluciones. La línea cruza el círculo y la interseca en dos puntos. Cómo Dado un sistema de ecuaciones que contiene una línea y un círculo, halle la solución. Resuelva la ecuación lineal para una de las variables. Sustituya la expresión obtenida en el primer paso en la ecuación del círculo. Resuelva para la variable restante. Compruebe sus soluciones en ambas ecuaciones. Hallar la intersección de un círculo y una línea por sustitución Halle la intersección del círculo y la línea dados por sustitución. x 2 + y 2 = 5 y = 3 x −5 Una de las ecuaciones ya ha sido resuelta para y . Sustituiremos y = 3 x −5 en la ecuación del círculo. x 2 + ( 3 x −5 ) 2 = 5 x 2 + 9 x 2 −30 x + 25 = 5 10 x 2 −30 x + 20 = 0 Ahora, factorizamos y resolvemos para x . 10 ( x 2 - 3 x + 2 ) = 0 10 ( x - 2 ) ( x – 1 ) = 0 x = 2 x = 1 Sustituya los dos valores de x en la ecuación lineal original para resolver y . y = 3 ( 2 ) −5 = 1 y = 3 ( 1 ) −5 = –2 La línea interseca el círculo en ( 2 , 1 ) y ( 1 , –2 ) , que puede verificarse sustituyendo estos ( x , y ) en las dos ecuaciones originales. Vea la . Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. x 2 + y 2 = 10 x 3 y = -10 ( –1 , 3 ) Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación Hemos visto que la sustitución suele ser el método preferido cuando un sistema de ecuaciones incluye una ecuación lineal y una ecuación no lineal. Sin embargo, cuando las dos ecuaciones del sistema tienen variables semejantes de segundo grado, resolverlas mediante la eliminación por adición es más fácil que la sustitución. En general, la eliminación es un método mucho más sencillo cuando el sistema implica solo dos ecuaciones en dos variables (un sistema de dos por dos), en lugar de un sistema de tres por tres, ya que hay menos pasos. A modo de ejemplo, investigaremos los posibles tipos de soluciones al resolver un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una elipse. Posibles tipos de soluciones para los puntos de intersección de un círculo y una elipse La ilustra posibles conjuntos de soluciones para un sistema de ecuaciones que involucra un círculo y una elipse . No hay solución. El círculo y la elipse no se intersecan. Una forma está dentro de la otra o el círculo y la elipse están a una distancia de la otra. Una solución. El círculo y la elipse son tangentes entre sí y se intersecan exactamente en un punto. Dos soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en dos puntos. Tres soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en tres puntos. Cuatro soluciones. El círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales que representan un círculo y una elipse Resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. x 2 + y 2 = 26 ( 1 ) 3 x 2 + 25 y 2 = 100 ( 2 ) Comencemos multiplicando la ecuación (1) por −3 , y sumamos este resultado a la ecuación (2). ( - 3 ) ( x 2 + y 2 ) = ( - 3 ) ( 26 ) - 3 x 2 - 3 y 2 = − 78 3 x 2 + 25 y 2 = 100 22 y 2 = 22 Después de sumar las dos ecuaciones, resolvemos para y . y 2 = 1 y = ± 1 = ± 1 Sustituya y = ± 1 en una de las ecuaciones y resolvemos para x . x 2 + ( 1 ) 2 = 26 x 2 + 1 = 26 x 2 = 25 x = ± 25 = ± 5 x 2 + ( –1 ) 2 = 26 x 2 + 1 = 26 x 2 = 25 = ± 5 Hay cuatro soluciones: ( 5 , 1 ) , ( −5 , 1 ) , ( 5 , –1 ) , y ( −5 , –1 ) . Vea la . Ejercicio Halle el conjunto de soluciones para el sistema de ecuaciones no lineales dado. 4 x 2 + y 2 = 13 x 2 + y 2 = 10 { ( 1 , 3 ) , ( 1 , −3 ) , ( –1 , 3 ) , ( –1 , −3 ) } Graficar una inecuación no lineal Todas las ecuaciones de los sistemas que hemos hallado hasta ahora han implicado igualdades, pero también podemos hallar sistemas que impliquen inecuaciones. Ya hemos aprendido a graficar inecuaciones lineales al graficar la ecuación correspondiente y luego sombrear la región representada por el símbolo de inecuación . Ahora, seguiremos pasos similares para graficar una inecuación no lineal para que aprendamos a resolver sistemas de inecuaciones no lineales. Una inecuación no lineal es una inecuación que contiene una expresión no lineal. Graficar una inecuación no lineal es muy parecido a graficar una inecuación lineal. Recordemos que cuando la inecuación es mayor que, y > a , o menos que, y < a , el gráfico se dibuja con una línea discontinua. Cuando la inecuación es mayor que o igual a, y ≥ a , o menor que o igual a, y ≤ a , el gráfico se dibuja con una línea sólida. Los gráficos crearán regiones en el plano y probaremos cada región para hallar una solución. Si un punto de la región funciona, toda la región funciona. Esa es la región que sombreamos. Vea la . (a) un ejemplo de y > a ; (b) un ejemplo de y ≥ a ; (c) un ejemplo de y < a ; (d) un ejemplo de y ≤ a Cómo Dada una inecuación delimitada por una parábola, dibuje un gráfico. Grafique la parábola como si fuera una ecuación. Este es el límite de la región que es el conjunto de soluciones. Si el límite está incluido en la región (el operador es ≤ o ≥ ), la parábola se grafica como una línea sólida. Si el límite no está incluido en la región (el operador es < o >), la parábola se grafica como una línea discontinua. Compruebe un punto en una de las regiones para determinar si satisface el enunciado de la inecuación. Si el enunciado es verdadero, el conjunto solución es la región que incluye el punto. Si el enunciado es falso, el conjunto de soluciones es la región al otro lado de la línea límite. Sombree la región que representa el conjunto de soluciones. Graficar una inecuación para una parábola Represente gráficamente la inecuación y > x 2 + 1. Primero, grafique la ecuación correspondiente y = x 2 + 1. Dado que y > x 2 + 1 tiene un símbolo mayor que, dibujamos el gráfico con una línea discontinua. A continuación, elegimos puntos para probar tanto dentro como fuera de la parábola. Probemos los puntos ( 0 , 2 ) y ( 2 , 0 ) . Un punto está claramente dentro de la parábola y el otro punto está claramente fuera. y > x 2 + 1 2 > ( 0 ) 2 + 1 2 > 1 Verdadero 0 > ( 2 ) 2 + 1 0 > 5 Falso El gráfico se muestra en la . Podemos ver que el conjunto de soluciones consiste en todos los puntos dentro de la parábola, pero no en el gráfico en sí. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales Ahora, que hemos aprendido a graficar desigualdades no lineales, podemos aprender a graficar sistemas de desigualdades no lineales. Un sistema de inecuaciones no lineales es un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal. Graficar un sistema de inecuaciones no lineales es similar a graficar un sistema de inecuaciones lineales. La diferencia es que nuestro gráfico puede dar lugar a más regiones sombreadas que representan una solución que hallamos en un sistema de inecuaciones lineales. La solución de un sistema de inecuaciones no lineales es la región del gráfico en la que se superponen las regiones sombreadas del gráfico de cada inecuación, o en la que las regiones se intersecan, llamada región factible . Cómo Dado un sistema de inecuaciones no lineales, dibuje un gráfico. Halle los puntos de intersección y resuelva el correspondiente sistema de ecuaciones no lineales. Grafique las ecuaciones no lineales. Halle las regiones sombreadas de cada inecuación. Identifique la región factible como la intersección de las regiones sombreadas de cada inecuación o el conjunto de puntos comunes a cada inecuación. Graficar un sistema de inecuaciones Grafique el sistema de inecuaciones dado. x 2 - y ≤ 0 2 x 2 + y ≤ 12 Estas dos ecuaciones son claramente parábolas. Podemos hallar los puntos de intersección mediante el proceso de eliminación: Sume ambas ecuaciones y la variable y será eliminada. Entonces, resolvemos para x . x 2 - y = 0 2 x 2 + y = 12 ____________ 3 x 2 = 12 x 2 = 4 x = ± 2 Sustituya los valores de x en una de las ecuaciones y resuelva para y . x 2 - y = 0 ( 2 ) 2 - y = 0 4 - y = 0 y = 4 ( −2 ) 2 - y = 0 4 - y = 0 y = 4 Los dos puntos de intersección son ( 2 , 4 ) y ( –2 , 4 ) . Tome en cuenta que las ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma. x 2 - y ≤ 0 x 2 ≤ y y ≥ x 2 2 x 2 + y ≤ 12 y ≤ −2 x 2 + 12 Grafique cada inecuación. Vea la . La región factible es la región entre las dos ecuaciones delimitadas por 2 x 2 + y ≤ 12 en la parte superior y x 2 - y ≤ 0 en la parte inferior. Ejercicio Grafique el sistema de inecuaciones dado. y ≥ x 2 – 1 x - y ≥ − 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las ecuaciones no lineales. Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución Resolver un sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación Conceptos clave Hay tres tipos posibles de soluciones a un sistema de ecuaciones que representan una línea y una parábola: (1) ninguna solución, la línea no interseca la parábola; (2) una solución, la línea es tangente a la parábola; y (3) dos soluciones, la línea interseca la parábola en dos puntos. Vea el . Hay tres tipos de soluciones posibles para un sistema de ecuaciones que representa un círculo y una línea: (1) ninguna solución, la línea no interseca el círculo; (2) una solución, la recta es tangente al círculo; (3) dos soluciones, la línea interseca el círculo en dos puntos. Vea el . Hay cinco tipos posibles de soluciones al sistema de ecuaciones no lineales que representan una elipse y un círculo: (1) ninguna solución, el círculo y la elipse no se intersecan; (2) una solución, el círculo y la elipse son tangentes entre sí; (3) dos soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en dos puntos; (4) tres soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en tres lugares; (5) cuatro soluciones, el círculo y la elipse se intersecan en cuatro puntos. Vea el . Una inecuación se representa gráficamente de la misma manera que una ecuación, excepto que para > o <, dibujamos una línea discontinua y sombreamos la región que contiene el conjunto de soluciones. Vea el . Las inecuaciones se resuelven de la misma manera que las igualdades, pero las soluciones a los sistemas de inecuaciones deben satisfacer ambas inecuaciones. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique si un sistema de dos ecuaciones no lineales puede tener exactamente dos soluciones. ¿Y exactamente tres? Si no, explique por qué no. En caso afirmativo, ponga un ejemplo de dicho sistema en forma de gráfico y explique por qué su elección da dos o tres respuestas. Un sistema no lineal podría ser representativo de dos círculos que se superponen y se intersecan en dos lugares, por lo tanto, dos soluciones. Un sistema no lineal podría ser representativo de una parábola y un círculo, donde el vértice de la parábola se encuentra con el círculo y las ramas también se intersecan con el círculo, por lo tanto, tres soluciones. Al representar gráficamente una inecuación, explique por qué solo necesitamos comprobar un punto para determinar si toda una región es la solución Al graficar un sistema de inecuaciones, ¿habrá siempre una región factible? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo de un gráfico de inecuaciones que no tenga una región factible. ¿Por qué no tiene una región factible? No es necesario que haya una región factible. Consideremos un sistema delimitado por dos líneas paralelas. Una inecuación representa la región por encima de la línea superior; la otra representa la región por debajo de la línea inferior. En este caso, ningún punto del plano está ubicado en ambas regiones; por lo tanto, no hay ninguna región factible. Si grafica una función de ingresos y una función de costo, explique cómo determinar en qué regiones hay ganancias. Si realiza su análisis de equilibrio y hay más de una solución, explique cómo determinaría qué valores x son ganancias y cuáles no. Elija cualquier número entre cada solución y conéctelo a C ( x ) y R ( x ) . Si C ( x ) < R ( x ) , entonces hay ganancias. Algebraicos En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante sustitución. x + y = 4 x 2 + y 2 = 9 y = x −3 x 2 + y 2 = 9 ( 0 , −3 ) , ( 3 , 0 ) y = x x 2 + y 2 = 9 y = - x x 2 + y 2 = 9 ( - 3 2 2 , 3 2 2 ) , ( 3 2 2 , - 3 2 2 ) x = 2 x 2 - y 2 = 9 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales mediante eliminación. 4 x 2 −9 y 2 = 36 4 x 2 + 9 y 2 = 36 ( −3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) x 2 + y 2 = 25 x 2 - y 2 = 1 2 x 2 + 4 y 2 = 4 2 x 2 -4 y 2 = 25 x −10 ( 1 4 , − 62 8 ) , ( 1 4 , 62 8 ) y 2 - x 2 = 9 3 x 2 + 2 y 2 = 8 x 2 + y 2 + 1 16 = 2.500 y = 2 x 2 ( − 398 4 , 199 4 ) , ( 398 4 , 199 4 ) En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema de ecuaciones no lineales. −2 x 2 + y = −5 6 x - y = 9 - x 2 + y = 2 - x + y = 2 ( 0 , 2 ) , ( 1 , 3 ) x 2 + y 2 = 1 y = 20 x 2 −1 x 2 + y 2 = 1 y = - x 2 ( - 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1 - 5 ) ) , ( 1 2 ( 5 −1 ) , 1 2 ( 1 - 5 ) ) 2 x 3 - x 2 = y y = 1 2 - x 9 x 2 + 25 y 2 = 225 ( x −6 ) 2 + y 2 = 1 ( 5 , 0 ) x 4 - x 2 = y x 2 + y = 0 2 x 3 - x 2 = y x 2 + y = 0 ( 0 , 0 ) En los siguientes ejercicios, utilice cualquier método para resolver el sistema no lineal. x 2 + y 2 = 9 y = 3 - x 2 x 2 - y 2 = 9 x = 3 ( 3 , 0 ) x 2 - y 2 = 9 y = 3 x 2 - y 2 = 9 x - y = 0 No existen soluciones - x 2 + y = 2 -4 x + y = –1 - x 2 + y = 2 2 y = - x No existen soluciones x 2 + y 2 = 25 x 2 - y 2 = 36 x 2 + y 2 = 1 y 2 = x 2 ( – 2 2 , - 2 2 ) , ( – 2 2 , 2 2 ) , ( 2 2 , - 2 2 ) , ( 2 2 , 2 2 ) 16 x 2 −9 y 2 + 144 = 0 y 2 + x 2 = 16 3 x 2 - y 2 = 12 ( x −1 ) 2 + y 2 = 1 ( 2 , 0 ) 3 x 2 - y 2 = 12 ( x −1 ) 2 + y 2 = 4 3 x 2 - y 2 = 12 x 2 + y 2 = 16 ( − 7 , −3 ) , ( − 7 , 3 ) , ( 7 , −3 ) , ( 7 , 3 ) x 2 - y 2 - 6 x - 4 y - 11 = 0 - x 2 + y 2 = 5 x 2 + y 2 −6 y = 7 x 2 + y = 1 ( - 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 − 73 ) ) , ( 1 2 ( 73 −5 ) , 1 2 ( 7 − 73 ) ) x 2 + y 2 = 6 x y = 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. x 2 + y < 9 x 2 + y 2 < 4 En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. Marcar todos los puntos de intersección. x 2 + y < 1 y > 2 x x 2 + y < −5 y > 5 x + 10 x 2 + y 2 < 25 3 x 2 - y 2 > 12 x 2 - y 2 > -4 x 2 + y 2 < 12 x 2 + 3 y 2 > 16 3 x 2 - y 2 < 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. y ≥ e x y ≤ ln ( x ) + 5 y ≤ − log ( x ) y ≤ e x En los siguientes ejercicios, halle las soluciones de las ecuaciones no lineales con dos variables. 4 x 2 + 1 y 2 = 24 5 x 2 - 2 y 2 + 4 = 0 6 x 2 – 1 y 2 = 8 1 x 2 - 6 y 2 = 1 8 ( −2 70 383 , −2 35 29 ) , ( −2 70 383 , 2 35 29 ) , ( 2 70 383 , −2 35 29 ) , ( 2 70 383 , 2 35 29 ) x 2 - x y + y 2 −2 = 0 x + 3 y = 4 x 2 - x y −2 y 2 −6 = 0 x 2 + y 2 = 1 No existe ninguna solución x 2 + 4 x y −2 y 2 −6 = 0 x = y + 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de inecuaciones. Utilice una calculadora para representar gráficamente el sistema y confirmar la respuesta. x y < 1 y > x x = 0 , y > 0 y 0 < x < 1 , x < y < 1 x x 2 + y < 3 y > 2 x Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, construya un sistema de ecuaciones no lineales que describa el comportamiento dado, y luego resuelva las soluciones solicitadas. Dos números suman 300. Un número es el doble del cuadrado del otro. ¿Cuáles son los números? 12.288 Los cuadrados de dos números suman 360. El segundo número es la mitad del valor del primer número al cuadrado. ¿Cuáles son los números? Una compañía de computadoras portátiles ha descubierto sus funciones de costos e ingresos para cada día: C ( x ) = 3 x 2 −10 x + 200 y R ( x ) = –2 x 2 + 100 x + 50. Si quieren obtener ganancias, ¿cuál es el rango de computadoras portátiles por día que deberían producir? Redondee al número más cercano que genere ganancias. De 2 a 20 computadoras Una compañía de telefonía móvil tiene las siguientes funciones de costos e ingresos: C ( x ) = 8 x 2 –600 x + 21.500 y R ( x ) = −3 x 2 + 480 x . ¿Cuál es el rango de teléfonos móviles que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondee al número más cercano que genere ganancias. región factible la solución de un sistema de inecuaciones no lineales que es la región del gráfico donde se intersecan las regiones sombreadas de cada inecuación inecuación no lineal una inecuación que contiene una expresión no lineal sistema de ecuaciones no lineales un sistema de ecuaciones que contiene, al menos, una ecuación de grado mayor que uno sistema de inecuaciones no lineales un sistema de dos o más inecuaciones en dos o más variables que contiene, al menos, una inecuación que no es lineal", "section": "Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Fracciones parciales Objetivos de aprendizaje Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3) Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4) Objetivo 1: Calcular el mínimo común denominador de expresiones racionales (IA 7.2.3) Una expresión racional es una expresión de la forma p q donde p y q son polinomios y q ≠ 0 . 2 7 , 5 y 7 x z 2 , x + 1 x + 2 , a n d 2 x 2 + 5 x 7 x 2 9 son ejemplos de expresiones racionales. Halle el mínimo común denominador de los siguientes racionales: 2 3 , 5 12 , a n d 1 18 Para hallar el mínimo común denominador de las fracciones, factorizamos 3, 12 y 18 en primos y alineamos los primos comunes en columnas. Luego \"bajamos\" un primo de cada columna. Por último, multiplicamos los factores para hallar el mínimo común denominador. 3 = 3 18 = 2 * 3 * 3 12 = 2 * 2 * 3 L C D = 2 * 2 * 3 * 3 L C D = 36 La práctica hace la perfección Calcule el mínimo común denominador de los siguientes racionales: 1 5 , 2 7 , y 2 75 Para hallar el mínimo común denominador de expresiones racionales, seguiremos el mismo proceso: Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. Halle el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales: x + 1 x + 3 y 2 x 2 9 Paso 1. Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible x + 3 = ( x + 3 ) x 2 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) Paso 2. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. x + 3 = ( x + 3 ) x 2 9 = ( x + 3 ) ( x 3 ) mínimo común denominador = ( x + 3 ) ( x 3 ) Paso 3. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. El mínimo común denominador es ( x + 3 ) ( x 3 ) Halle el mínimo común denominador de las siguientes expresiones racionales: 1 3 , 3 x x 2 + 6 x + 9 y x + 1 x 2 9 Paso 1. Enumere los factores de cada denominador. Haga coincidir los factores verticalmente cuando sea posible ________________________________________ Paso 2. Baje las columnas incluyendo todos los factores, pero no incluya los factores comunes dos veces. ________________________________________ Paso 3. Escriba el mínimo común denominador como el producto de los factores. ________________________________________ Objetivo 2: Resolver un sistema de ecuaciones por eliminación (IA 4.1.4) Resolver un sistema de ecuaciones lineales por eliminación Escriba ambas ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. Asegúrese de que los coeficientes de una variable sean opuestos. Decida cuál variable va a eliminar. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Resuelva para la variable restante. Sustituya la solución del paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego resuelva para la otra variable. Escriba la solución como un par ordenado. Compruebe que el par ordenado es una solución de las dos ecuaciones originales. Resuelva el sistema de ecuaciones por eliminación. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, elimínelos. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 Paso 2 Eliminemos y 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 → Multiplique por 3 9 x + 3 y = 15 2 x 3 y = 7 Paso 3 9 x + 3 y = 15 2 x 3 y = 7 11 x = 22 Paso 4 11 x = 22 x = 2 Paso 5 Use el valor de la variable hallada en el paso 2 para calcular la segunda variable. Sustituyamos x = 2 en 3 x + y = 5 3 ( 2 ) + y = 5 6 + y = 5 y = 1 Paso 6 Escriba la solución como un par ordenado: (2, –1) Paso 7 Compruebe la solución en las ecuaciones originales. 3 x + y = 5 2 x 3 y = 7 3 ( 2 ) 1 = 5 ( 2 ) 3 ( 1 ) = 7 6 1 = 5 4 + 3 = 7 5 = 5 7 = 7 Resuelva el sistema de ecuaciones por eliminación. 4 x 3 y = 9 7 x + 2 y = 6 Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algunos coeficientes son fracciones, elimínelos. ________________________________________ Paso 2 Asegúrese de que los coeficientes de una variable son opuestos. ________________________________________ Paso 3 Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. ________________________________________ Paso 4 Resuelva para la variable restante. ________________________________________ Paso 5 Sustituya la solución del paso 4 en una de las ecuaciones originales. Luego, resuelva para la otra variable. ________________________________________ Paso 6 Escriba la solución como un par ordenado: ________ Paso 7 Compruebe que el par ordenado es una solución de ambas ecuaciones originales. ________________________________________ Descomposición parcial de fracciones Cuando sumamos expresiones racionales con denominadores distintos como 5 x 3 y 2 x x 2 , primero tenemos que hallar el mínimo común denominador, luego reescribir cada fracción con el denominador común y finalmente sumar los dos numeradores. Calcule la suma de las dos expresiones racionales. 5 x 3 y 2 x x 2 Calcule el mínimo común denominador de ( x 3 ) y ( x 2 ) Mínimo común denominador = ________________ Reescriba cada racional como una expresión racional equivalente con el mínimo común denominador 5 x 3 + 2 x x 2 5 ( x 2 ) ( x 3 ) ( x 2 ) + 2 x ( ) ( x 2 ) ( x 3 ) 5 x 10 ( x 3 ) ( x 2 ) + 2 x 2 6 x ( x 2 ) ( x 3 ) Sume los numeradores y coloque la suma sobre el denominador común 5 x 10 + 2 x 2 6 x ( x 3 ) ( x 2 ) 2 x 2 11 x 10 ( x 3 ) ( x 2 ) Ahora queremos hacer lo contrario. Dada una expresión racional como 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) queremos reescribirla como una suma de dos expresiones racionales más simples A ( x + 4 ) y B ( x + 6 ) . Nuestra meta es hallar los valores de A y B de manera que 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 Calcule el mínimo común denominador de los denominadores 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 L C D i s ( x + ) ( x + 6 ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. Distribuya y anule términos similares ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 + B x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) = A x + 4 ( x + 4 ) ( x + 6 ) + B x + 6 ( x + 4 ) ( x + 6 ) 5 x + 16 = A ( x + 6 ) + B ( x + 4 ) En el lado derecho, ampliamos y reunimos los términos con términos similares 5 x + 16 = A ( x + 6 ) + B ( x + 4 ) 5 x + 16 = A x + 6 A + B x + B 5 x + 16 = ( A + B ) x + ( 6 A + 4 B ) Comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará un sistema de dos ecuaciones con dos variables 5 x + 16 = ( A + B ) x + ( 6 A + 4 B ) A + B = 5 6 A + 4 B = 16 Utilice el método de eliminación para hallar los valores de A y B. Reescriba la expresión racional original como la suma de dos expresiones racionales con denominadores distintos En este capítulo hemos estudiado sistemas de dos ecuaciones en dos variables, sistemas de tres ecuaciones en tres variables y sistemas no lineales. Aquí introducimos otra forma de utilizar los sistemas de ecuaciones: la descomposición de expresiones racionales. Las fracciones pueden ser complicadas; sumar una variable en el denominador las hace aún más complicadas. Los métodos estudiados en esta sección ayudarán a simplificar el concepto de expresión racional. Descomponer P ( x ) Q ( x ) donde Q(x) solo tiene factores lineales no repetidos Recuerde el álgebra relativa a la suma y la resta de expresiones racionales. Estas operaciones dependen de hallar un denominador común para que podamos escribir la suma o la diferencia como una única expresión racional simplificada. En esta sección, veremos la descomposición parcial de fracciones , que es el deshecho del procedimiento para sumar o restar expresiones racionales. Es decir, se trata de un retorno de la única expresión racional simplificada a las expresiones originales, llamada la fracción parcial . Por ejemplo, supongamos que sumamos las siguientes fracciones: 2 x −3 + −1 x + 2 Primero tendríamos que hallar un denominador común, ( x + 2 ) ( x −3 ) . A continuación, escribiríamos cada expresión con este denominador común y hallaríamos la suma de los términos. 2 x - 3 ( x + 2 x + 2 ) + − 1 x + 2 ( x - 3 x - 3 ) = 2 x + 4 - x + 3 ( x + 2 ) ( x - 3 ) = x + 7 x 2 - x - 6 La descomposición parcial de fracciones es lo inverso de este procedimiento. Empezaríamos con la solución y la reescribiríamos (descompondríamos) como la suma de dos fracciones. x + 7 x 2 - x −6 Suma simplificada = 2 x −3 + −1 x + 2 Descomposición parcial de fracciones Investigaremos expresiones racionales con factores lineales y factores cuadráticos en el denominador donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Independientemente del tipo de expresión que estemos descomponiendo, lo primero y más importante es factorizar el denominador. Cuando el denominador de la expresión simplificada contiene distintos factores lineales es probable que cada una de las expresiones racionales originales que se sumaron o restaron tuvieran uno de los factores lineales como denominador. En otras palabras, al utilizar el ejemplo anterior, los factores de x 2 - x −6 son ( x −3 ) ( x + 2 ) , los denominadores de la expresión racional descompuesta. Así que reescribiremos la forma simplificada como la suma de fracciones individuales y utilizaremos una variable para cada numerador. A continuación, resolveremos cada numerador utilizando uno de varios métodos disponibles para la descomposición parcial de fracciones. Una etiqueta de nota general Descomposición parcial de fracciones P ( x ) Q ( x ) donde Q ( x ) tiene factores lineales no repetidos La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) cuando Q ( x ) tiene factores lineales no repetidos y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) es P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a 1 x + b 1 ) + A 2 ( a 2 x + b 2 ) + A 3 ( a 3 x + b 3 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n ( a n x + b n ) . Elemento Cómo Dada una expresión racional con factores lineales distintos en el denominador, descompóngala. Utilice una variable para los numeradores originales, normalmente A , B , o C , dependiendo del número de factores, y coloque cada variable sobre un único factor. A efectos de esta definición, utilizamos A n para cada numerador P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a 1 x + b 1 ) + A 2 ( a 2 x + b 2 ) + ⋯ + A n ( a n x + b n ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomposición de una función racional con factores lineales distintos Descomponer la expresión racional dada con factores lineales distintos. 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) Separaremos los factores del denominador y daremos a cada numerador una marca simbólica, como A , B , o C . 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = A ( x + 2 ) + B ( x −1 ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones: ( x + 2 ) ( x −1 ) [ 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) ] = ( x + 2 ) ( x −1 ) [ A ( x + 2 ) ] + ( x + 2 ) ( x −1 ) [ B ( x −1 ) ] La ecuación resultante es 3 x = A ( x −1 ) + B ( x + 2 ) Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. 3 x = A x − A + B x + 2 B 3 x = ( A + B ) x − A + 2 B Establezca un sistema de ecuaciones asociando los coeficientes correspondientes. 3 = A + B 0 = - A + 2 B Sume las dos ecuaciones y resuelva para B . 3 = A + B 0 = - A + 2 B ¯ 3 = 0 + 3 B 1 = B Sustituya B = 1 en una de las ecuaciones originales del sistema. 3 = A + 1 2 = A Así, la descomposición parcial de fracciones es 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = 2 ( x + 2 ) + 1 ( x −1 ) Otro método que se utiliza para resolver A o B es considerando la ecuación que resulta al eliminar las fracciones y sustituir un valor por x que hará que el término A o el término B sea igual a 0. Supongamos que x = 1 , el término A se convierte en 0 y podemos simplemente resolver para B . 3 x = A ( x – 1 ) + B ( x + 2 ) 3 ( 1 ) = A [ ( 1 ) - 1 ] + B [ ( 1 ) + 2 ] 3 = 0 + 3 B 1 = B A continuación, sustituya B = 1 en la ecuación y resolvemos para A , o haga que el término B sea 0 sustituyendo x = −2 en la ecuación. 3 x = A ( x – 1 ) + B ( x + 2 ) 3 ( – 2 ) = A [ ( – 2 ) - 1 ] + B [ ( – 2 ) + 2 ] − 6 = - 3 A + 0 - 6 - 3 = A 2 = A Obtenemos los mismos valores para A y B utilizando cualquiera de los dos métodos, por lo tanto, las descomposiciones son las mismas al utilizar cualquiera de los dos métodos. 3 x ( x + 2 ) ( x −1 ) = 2 ( x + 2 ) + 1 ( x −1 ) Aunque este método no se ve muy a menudo en los libros de texto, lo presentamos aquí como una alternativa que puede facilitar algunas descomposiciones de fracciones parciales. Se conoce como el método de Heaviside , llamado así por Charles Heaviside, pionero en el estudio de la electrónica. Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la siguiente expresión. x ( x −3 ) ( x −2 ) 3 x −3 − 2 x −2 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) donde Q(x) tiene factores lineales repetidos Algunas fracciones con las que nos podemos encontrar son casos especiales que podemos descomponer en fracciones parciales con factores lineales repetidos. Debemos recordar que contabilizamos los factores repetidos escribiendo cada factor en potencias crecientes. Una etiqueta de nota general Descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) donde Q ( x ) tiene factores lineales repetidos La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) , cuando Q ( x ) tiene un factor lineal repetido que ocurre n veces y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) , es P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a x + b ) + A 2 ( a x + b ) 2 + A 3 ( a x + b ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n ( a x + b ) n Escriba las potencias del denominador en orden creciente. Elemento Cómo Dada una expresión racional con factores lineales repetidos, descompóngala. Utilice una variable como A , B , o C para los numeradores y considere que los denominadores tienen potencias crecientes. P ( x ) Q ( x ) = A 1 ( a x + b ) + A 2 ( a x + b ) 2 + . . . + A n ( a x + b ) n Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomponer con factores lineales repetidos Descomponga la expresión racional dada con factores lineales repetidos. − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x Los factores del denominador son x ( x −2 ) 2 . Para tener en cuenta el factor repetido de ( x −2 ) , la descomposición incluirá tres denominadores x , ( x −2 ) , y ( x −2 ) 2 . Así, − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x = A x + B ( x −2 ) + C ( x −2 ) 2 A continuación, multiplicamos ambos lados por el denominador común. x ( x −2 ) 2 [ − x 2 + 2 x + 4 x ( x −2 ) 2 ] = [ A x + B ( x −2 ) + C ( x −2 ) 2 ] x ( x −2 ) 2 - x 2 + 2 x + 4 = A ( x −2 ) 2 + B x ( x −2 ) + C x En el lado derecho de la ecuación, ampliamos y reunimos términos similares. − x 2 + 2 x + 4 = A ( x 2 - 4 x + 4 ) + B ( x 2 - 2 x ) + C x = A x 2 - 4 A x + 4 A + B x 2 - 2 B x + C x = ( A + B ) x 2 + ( - 4 A − 2 B + C ) x + 4 A A continuación, comparamos los coeficientes de ambos lados. Esto dará el sistema de ecuaciones en tres variables: − x 2 + 2 x + 4 = ( A + B ) x 2 + ( -4 A −2 B + C ) x + 4 A A + B = −1 (1) -4 A −2 B + C = 2 (2) 4 A = 4 (3) Al resolver para A , tenemos 4 A = 4 A = 1 Sustituya A = 1 en la ecuación (1). A + B = −1 ( 1 ) + B = −1 B = –2 Entonces, para resolver C , sustituya los valores de A y B en la ecuación (2). -4 A −2 B + C = 2 -4 ( 1 ) −2 ( −2 ) + C = 2 -4 + 4 + C = 2 C = 2 Por lo tanto, − x 2 + 2 x + 4 x 3 -4 x 2 + 4 x = 1 x - 2 ( x −2 ) + 2 ( x −2 ) 2 Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con factores lineales repetidos. 6 x −11 ( x −1 ) 2 6 x −1 - 5 ( x −1 ) 2 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) , donde Q(x) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido Hasta ahora, hemos realizado la descomposición parcial de fracciones con expresiones que han tenido factores lineales en el denominador, y hemos aplicado numeradores A , B , o C que representan las constantes. Ahora veremos un ejemplo en el que uno de los factores del denominador es una expresión cuadrática que no se factoriza. Esto se denomina factor cuadrático irreducible. En casos como este, utilizamos un numerador lineal como A x + B , B x + C , etc. Una etiqueta de nota general Descomposición de P ( x ) Q ( x ) : Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreductible no repetido La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) de manera que Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible no repetido y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) se escribe como P ( x ) Q ( x ) = A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a n x 2 + b n x + c n ) La descomposición puede contener más expresiones racionales si hay factores lineales. Cada factor lineal tendrá un numerador constante diferente A , B , C , y así sucesivamente. Elemento Cómo Dada una expresión racional en la que los factores del denominador son factores cuadráticos distintos e irreducibles, descompóngala. Utilice variables como A , B , o C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x + B 1 , A 2 x + B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador. P ( x ) Q ( x ) = A a x + b + A 1 x + B 1 ( a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ) + A 2 x + B 2 ( a 2 x 2 + b 2 x + c 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a n x 2 + b n x + c n ) Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) contiene un factor cuadrático irreducible no repetido Halle una descomposición parcial de fracciones de la expresión dada. 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) Tenemos un factor lineal y un factor cuadrático irreducible en el denominador, por lo que un numerador será una constante y el otro numerador será una expresión lineal. Por lo tanto, 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) = A ( x + 3 ) + B x + C ( x 2 + x + 2 ) Seguimos los mismos pasos que en los problemas anteriores. Primero, despeje las fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador común. ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) [ 8 x 2 + 12 x - 20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) ] = [ A ( x + 3 ) + B x + C ( x 2 + x + 2 ) ] ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) 8 x 2 + 12 x - 20 = A ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) Tome en cuenta que podríamos resolver fácilmente para A al elegir un valor para x que hará que el término B x + C sea igual a 0. Supongamos que x = −3 y sustitúyalo en la ecuación. 8 x 2 + 12 x - 20 = A ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) 8 ( - 3 ) 2 + 12 ( - 3 ) − 20 = A ( ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) + 2 ) + ( B ( - 3 ) + C ) ( ( - 3 ) + 3 ) 16 = 8 A A = 2 Ahora que conocemos el valor de A , sustitúyalo de nuevo en la ecuación. A continuación, amplíe el lado derecho y reúna términos similares. 8 x 2 + 12 x -20 = 2 ( x 2 + x + 2 ) + ( B x + C ) ( x + 3 ) 8 x 2 + 12 x -20 = 2 x 2 + 2 x + 4 + B x 2 + 3 B + C x + 3 C 8 x 2 + 12 x -20 = ( 2 + B ) x 2 + ( 2 + 3 B + C ) x + ( 4 + 3 C ) Si los coeficientes de los términos del lado derecho son iguales a los coeficientes de los términos del lado izquierdo, se obtiene el sistema de ecuaciones. 2 + B = 8 (1) 2 + 3 B + C = 12 (2) 4 + 3 C = -20 (3) Resuelva para B utilizando la ecuación (1) y resuelva para C utilizando la ecuación (3). 2 + B = 8 (1) B = 6 4 + 3 C = -20 (3) 3 C = −24 C = −8 De esta forma, la descomposición parcial de fracciones de la expresión es 8 x 2 + 12 x -20 ( x + 3 ) ( x 2 + x + 2 ) = 2 ( x + 3 ) + 6 x −8 ( x 2 + x + 2 ) Elemento Preguntas y respuestas ¿Podríamos haber establecido un sistema de ecuaciones para resolver el ? Sí, podríamos haberlo resuelto estableciendo un sistema de ecuaciones sin resolver para A primero. La expansión de la derecha sería: 8 x 2 + 12 x -20 = A x 2 + A x + 2 A + B x 2 + 3 B + C x + 3 C 8 x 2 + 12 x -20 = ( A + B ) x 2 + ( A + 3 B + C ) x + ( 2 A + 3 C ) Así que el sistema de ecuaciones sería: A + B = 8 A + 3 B + C = 12 2 A + 3 C = -20 Elemento Ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible no repetido. 5 x 2 −6 x + 7 ( x −1 ) ( x 2 + 1 ) 3 x −1 + 2 x -4 x 2 + 1 Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido Ahora que podemos descomponer una expresión racional simplificada con un factor cuadrático irreducible, aprenderemos a hacer la descomposición parcial de fracciones cuando la expresión racional simplificada tiene factores cuadráticos irreducibles repetidos. La descomposición consistirá en fracciones parciales con numeradores lineales sobre cada factor cuadrático irreducible representado en potencias crecientes. Una etiqueta de nota general Descomposición de P ( x ) Q ( x ) cuando Q(x) tiene un factor cuadrático irreductible repetido La descomposición parcial de fracciones de P ( x ) Q ( x ) , cuando Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido y el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) , es P ( x ) ( a x 2 + b x + c ) n = A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + A 3 x + B 3 ( a x 2 + b x + c ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + A n x + B n ( a x 2 + b x + c ) n Escriba los denominadores en potencias crecientes. Elemento Cómo Dada una expresión racional que tiene un factor irreducible repetido, descompóngala. Utilice variables como A , B , o C para los numeradores constantes sobre factores lineales, y expresiones lineales como A 1 x + B 1 , A 2 x + B 2 , etc., para los numeradores de cada factor cuadrático en el denominador escrito en potencias crecientes, como P ( x ) Q ( x ) = A a x + b + A 1 x + B 1 ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + ⋯ + A n + B n ( a x 2 + b x + c ) n Multiplique ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones. Expanda el lado derecho de la ecuación y reúna los términos similares. Establezca los coeficientes de los términos similares del lado izquierdo de la ecuación iguales a los del lado derecho a fin de crear un sistema de ecuaciones para resolver los numeradores. Descomponer una función racional con un factor cuadrático irreducible repetido en el denominador Descomponga la expresión dada que tiene un factor irreducible repetido en el denominador. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 Los factores del denominador son x , ( x 2 + 1 ) , y ( x 2 + 1 ) 2 . Recordemos que, cuando un factor del denominador es un cuadrático que incluye al menos dos términos, el numerador debe ser de la forma lineal A x + B . Así que vamos a empezar la descomposición. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = A x + B x + C ( x 2 + 1 ) + D x + E ( x 2 + 1 ) 2 Eliminamos los denominadores al multiplicar cada término por x ( x 2 + 1 ) 2 . Así, x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = A ( x 2 + 1 ) 2 + ( B x + C ) ( x ) ( x 2 + 1 ) + ( D x + E ) ( x ) Amplíe el lado derecho. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = A ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) + B x 4 + B x 2 + C x 3 + C x + D x 2 + E x = A x 4 + 2 A x 2 + A + B x 4 + B x 2 + C x 3 + C x + D x 2 + E x Ahora recopilaremos términos similares. x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 = ( A + B ) x 4 + ( C ) x 3 + ( 2 A + B + D ) x 2 + ( C + E ) x + A Establezca el sistema de ecuaciones haciendo coincidir los coeficientes correspondientes a cada lado del signo de igual. A + B = 1 C = 1 2 A + B + D = 1 C + E = −1 A = 1 A partir de este punto podemos utilizar la sustitución. Sustituya A = 1 en la primera ecuación. 1 + B = 1 B = 0 Sustituya A = 1 y B = 0 en la tercera ecuación. 2 ( 1 ) + 0 + D = 1 D = –1 Sustituya C = 1 en la cuarta ecuación. 1 + E = −1 E = –2 Ahora hemos resuelto todas las incógnitas del lado derecho del signo de igual. Tenemos A = 1 , B = 0 , C = 1 , D = −1 , y E = -2. Podemos escribir la descomposición de la siguiente manera: x 4 + x 3 + x 2 - x + 1 x ( x 2 + 1 ) 2 = 1 x + 1 ( x 2 + 1 ) - x + 2 ( x 2 + 1 ) 2 Marca de función ejercicio Halle la descomposición parcial de fracciones de la expresión con un factor cuadrático irreducible repetido. x 3 -4 x 2 + 9 x −5 ( x 2 −2 x + 3 ) 2 x −2 x 2 −2 x + 3 + 2 x + 1 ( x 2 −2 x + 3 ) 2 Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar fracciones parciales. Descomposición parcial de fracciones Descomposición parcial de fracciones con factores lineales repetidos Descomposición parcial de fracciones con factores lineales y cuadráticos Conceptos clave Descomponer P ( x ) Q ( x ) al escribir las fracciones parciales como A a 1 x + b 1 + B a 2 x + b 2 . Para resolver, despeje las fracciones, amplíe el lado derecho, reúna términos semejantes y establezca coeficientes correspondientes iguales entre sí, para luego plantear y resolver un sistema de ecuaciones. Vea el . La descomposición de P ( x ) Q ( x ) con factores lineales repetidos debe considerar los factores del denominador en potencias crecientes. Vea el . La descomposición de P ( x ) Q ( x ) con un factor cuadrático irreducible no repetido necesita un numerador lineal sobre el factor cuadrático, como en A x + B x + C ( a x 2 + b x + c ) . Vea el . En la descomposición de P ( x ) Q ( x ) , donde Q ( x ) tiene un factor cuadrático irreducible repetido, cuando los factores cuadráticos irreducibles se repiten, las potencias de los factores del denominador deben representarse en potencias crecientes como A x + B ( a x 2 + b x + c ) + A 2 x + B 2 ( a x 2 + b x + c ) 2 + ⋯ + A n x + B n ( a x 2 + b x + c ) n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Se puede descomponer cualquier cociente de polinomios en al menos dos fracciones parciales? Si es así, explique por qué, y si no es así, dé un ejemplo de dicha fracción No, un cociente de polinomios solo se puede descomponer si el denominador se puede factorizar. Por ejemplo, 1 x 2 + 1 no se puede descomponer porque el denominador no se puede factorizar. ¿Puede explicar por qué la descomposición parcial de fracciones es única? (Pista: Piense en ello como un sistema de ecuaciones). ¿Puede explicar cómo verificar gráficamente una descomposición parcial de fracciones? Haga un gráfico de ambos lados y asegúrese de que son iguales. No está seguro de haber descompuesto correctamente la fracción parcial. Explique cómo podría comprobar su respuesta. Una vez que tiene un sistema de ecuaciones generado por la descomposición parcial de fracciones, ¿puede explicar otro método para resolverlo? Por ejemplo, si tuviera 7 x + 13 3 x 2 + 8 x + 15 = A x + 1 + B 3 x + 5 , finalmente simplificamos a 7 x + 13 = A ( 3 x + 5 ) + B ( x + 1 ) . Explique cómo podría elegir inteligentemente un valor x que elimine A o B y resuelva para A y B . Si elegimos x = −1 , entonces el término B desaparece, dejándonos saber inmediatamente que A = 3. También podríamos introducir x = - 5 3 , lo que nos da un valor B de -2. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales no repetitivos. 5 x + 16 x 2 + 10 x + 24 3 x −79 x 2 −5 x −24 8 x + 3 - 5 x −8 - x −24 x 2 −2 x −24 10 x + 47 x 2 + 7 x + 10 1 x + 5 + 9 x + 2 x 6 x 2 + 25 x + 25 32 x −11 20 x 2 -13 x + 2 3 5 x −2 + 4 4 x −1 x + 1 x 2 + 7 x + 10 5 x x 2 −9 5 2 ( x + 3 ) + 5 2 ( x −3 ) 10 x x 2 −25 6 x x 2 -4 3 x + 2 + 3 x −2 2 x −3 x 2 −6 x + 5 4 x −1 x 2 - x −6 9 5 ( x + 2 ) + 11 5 ( x −3 ) 4 x + 3 x 2 + 8 x + 15 3 x −1 x 2 −5 x + 6 8 x −3 − 5 x −2 En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para los factores lineales repetidos. −5 x −19 ( x + 4 ) 2 x ( x −2 ) 2 1 x −2 + 2 ( x −2 ) 2 7 x + 14 ( x + 3 ) 2 −24 x −27 ( 4 x + 5 ) 2 − 6 4 x + 5 + 3 ( 4 x + 5 ) 2 −24 x −27 ( 6 x −7 ) 2 5 - x ( x −7 ) 2 - 1 x −7 − 2 ( x −7 ) 2 5 x + 14 2 x 2 + 12 x + 18 5 x 2 + 20 x + 8 2 x ( x + 1 ) 2 4 x - 3 2 ( x + 1 ) + 7 2 ( x + 1 ) 2 4 x 2 + 55 x + 25 5 x ( 3 x + 5 ) 2 54 x 3 + 127 x 2 + 80 x + 16 2 x 2 ( 3 x + 2 ) 2 4 x + 2 x 2 - 3 3 x + 2 + 7 2 ( 3 x + 2 ) 2 x 3 −5 x 2 + 12 x + 144 x 2 ( x 2 + 12 x + 36 ) En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático irreducible no repetitivo. 4 x 2 + 6 x + 11 ( x + 2 ) ( x 2 + x + 3 ) x + 1 x 2 + x + 3 + 3 x + 2 4 x 2 + 9 x + 23 ( x −1 ) ( x 2 + 6 x + 11 ) −2 x 2 + 10 x + 4 ( x −1 ) ( x 2 + 3 x + 8 ) 4 −3 x x 2 + 3 x + 8 + 1 x −1 x 2 + 3 x + 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 5 x −2 ) 4 x 2 + 17 x −1 ( x + 3 ) ( x 2 + 6 x + 1 ) 2 x −1 x 2 + 6 x + 1 + 2 x + 3 4 x 2 ( x + 5 ) ( x 2 + 7 x −5 ) 4 x 2 + 5 x + 3 x 3 −1 1 x 2 + x + 1 + 4 x −1 −5 x 2 + 18 x -4 x 3 + 8 3 x 2 −7 x + 33 x 3 + 27 2 x 2 −3 x + 9 + 3 x + 3 x 2 + 2 x + 40 x 3 -125 4 x 2 + 4 x + 12 8 x 3 −27 - 1 4 x 2 + 6 x + 9 + 1 2 x −3 -50 x 2 + 5 x −3 125 x 3 −1 −2 x 3 −30 x 2 + 36 x + 216 x 4 + 216 x 1 x + 1 x + 6 - 4 x x 2 −6 x + 36 En los siguientes ejercicios, halle la descomposición de la fracción parcial para el factor cuadrático repetido irreducible. 3 x 3 + 2 x 2 + 14 x + 15 ( x 2 + 4 ) 2 x 3 + 6 x 2 + 5 x + 9 ( x 2 + 1 ) 2 x + 6 x 2 + 1 + 4 x + 3 ( x 2 + 1 ) 2 x 3 - x 2 + x −1 ( x 2 −3 ) 2 x 2 + 5 x + 5 ( x + 2 ) 2 x + 1 x + 2 + 2 x + 3 ( x + 2 ) 2 x 3 + 2 x 2 + 4 x ( x 2 + 2 x + 9 ) 2 x 2 + 25 ( x 2 + 3 x + 25 ) 2 1 x 2 + 3 x + 25 − 3 x ( x 2 + 3 x + 25 ) 2 2 x 3 + 11 x 2 + 7 x + 70 ( 2 x 2 + x + 14 ) 2 5 x + 2 x ( x 2 + 4 ) 2 1 8 x – x 8 ( x 2 + 4 ) + 10 - x 2 ( x 2 + 4 ) 2 x 4 + x 3 + 8 x 2 + 6 x + 36 x ( x 2 + 6 ) 2 2 x −9 ( x 2 - x ) 2 − 16 x - 9 x 2 + 16 x −1 - 7 ( x −1 ) 2 5 x 3 −2 x + 1 ( x 2 + 2 x ) 2 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la expansión de fracción parcial. x 2 + 4 ( x + 1 ) 3 1 x + 1 - 2 ( x + 1 ) 2 + 5 ( x + 1 ) 3 x 3 -4 x 2 + 5 x + 4 ( x −2 ) 3 En los siguientes ejercicios, realice la operación y luego halle la descomposición de la fracción parcial. 7 x + 8 + 5 x −2 − x −1 x 2 −6 x −16 5 x −2 − 3 10 ( x + 2 ) + 7 x + 8 - 7 10 ( x −8 ) 1 x -4 - 3 x + 6 - 2 x + 7 x 2 + 2 x −24 2 x x 2 −16 − 1 −2 x x 2 + 6 x + 8 - x −5 x 2 -4 x - 5 4 x - 5 2 ( x + 2 ) + 11 2 ( x + 4 ) + 5 4 ( x + 4 ) fracciones parciales las fracciones individuales que componen la suma o la diferencia de una expresión racional antes de combinarlas en una expresión racional simplificada descomposición parcial de fracciones el proceso de devolver una expresión racional simplificada a su forma original, una suma o diferencia de expresiones racionales más simples", "section": "Fracciones parciales", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Matrices y operaciones con matrices Objetivos de aprendizaje Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1) Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar Objetivo 1: Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones (IA 4.5.1) Una matriz es un conjunto rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión m×n. Cada número de la matriz se llama elemento o entrada de la matriz. La matriz de la izquierda de abajo tiene 2 filas y 3 columnas, por lo que tiene orden 2×3. Decimos que es una matriz 2 por 3. Utilizaremos una matriz para representar sistemas de ecuaciones. Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes. Una línea vertical sustituye los signos de igual . Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones. Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada Ⓐ 3 x y = 1 2 y = 2 x + 5 Ⓑ 4 x + 3 y = 2 x 2 y 3 z = 7 2 x y + 2 z = 6 Ⓐ Primero, reescribimos la segunda ecuación en forma estándar 3 x y = 1 2 x + 2 y = 5 A continuación, escribimos la matriz aumentada 3 x y = 1 2 x + 2 y = 5 ⇒ [ 3 −1 −2 2 | −1 5 ] x y Ⓑ Cada ecuación tiene una forma estándar Escriba la matriz aumentada 4 x + 3 y = 2 x 2 y 3 z = 7 2 x y + 2 z = 6 ⇒ [ 4 3 0 1 −2 −3 2 −1 2 | −2 7 −6 ] x y z La práctica hace la perfección Escribir cada sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada 2 x 5 y = 3 4 x = 3 y 1 4 x + 3 y 2 z = 3 2 x + y 3 z = 4 – x 4 y + 5 z = 2 Objetivo 2: Sumar, restar matrices y multiplicar una matriz por un escalar Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes. Para ello, las entradas deben corresponder . Por lo tanto, la suma y resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones . Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3, pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán su correspondiente entrada en la otra matriz. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar. Ⓐ Sume las dos matrices A = a b c d B = e f g h Ⓑ Reste las dos matrices A = 2 4 5 3 B = 6 9 7 8 Ⓒ Multiplique la matriz A = 2 4 5 3 por 5. Ⓐ A + B = a b c d + e f g h = a + e b + f c + g d + h Ⓑ A B = 2 4 5 3 6 9 7 8 = 2 6 4 9 5 7 3 8 = 4 13 2 5 Ⓒ 5 A = 5 ( 2 ) 5 ( 4 ) 5 ( 5 ) 5 ( 3 ) = 10 20 25 15 La práctica hace la perfección Realice las operaciones indicadas Sume las dos matrices A = l m n p B = q r s t Reste las dos matrices A = 3 2 1 0 B = – 5 4 1 5 Multiplique la matriz A = 2 4 5 3 por –2 Calcule 2 A + 3 B cuando A = 1 6 4 8 y B = 1 5 3 1 (Créditos: \"SD Dirk\", Flickr). Dos equipos de fútbol de club, los Wildcats y los Mud Cats, esperan obtener nuevo equipamiento para una próxima temporada. La muestra las necesidades de ambos equipos. Wildcats Mud Cats Porterías 6 10 Pelotas 30 24 Camisetas 14 20 Una portería cuesta 300 dólares, un balón 10 dólares y una camiseta 30 dólares. ¿Cómo podemos calcular el costo total del equipamiento necesario para cada equipo? En esta sección descubrimos un método en el que los datos de la tabla de equipos de fútbol se pueden mostrar y utilizar para calcular otra información. Entonces, podremos calcular el costo del equipamiento. Hallar la suma y la diferencia de dos matrices Para resolver un problema como el descrito de los equipos de fútbol, podemos utilizar una matriz , que es un conjunto rectangular de números. La fila de una matriz es un conjunto de números alineados horizontalmente. La columna de una matriz es un conjunto de números alineados verticalmente. Cada número es una entrada , a veces llamado elemento, de la matriz. Las matrices (en plural) se encierran en [ ] o ( ), y suelen nombrarse con letras mayúsculas. Por ejemplo, tres matrices denominadas A , B , y C se muestran a continuación. A = [ 1 2 3 4 ] , B = [ 1 2 7 0 −5 6 7 8 2 ] , C = [ −1 0 3 3 2 1 ] Descripción de matrices A menudo se hace referencia a una matriz por su tamaño o sus dimensiones: m × n indicando m filas y n columnas. Las entradas de la matriz se definen primero por fila y luego por columna. Por ejemplo, para localizar la entrada en la matriz A identificada como a i j , buscamos la entrada en la fila i , columna j . En la matriz A , que se muestra a continuación, la entrada en la fila 2, columna 3 es a 23 . A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] Una matriz cuadrada es una matriz de dimensiones n × n , lo que significa que tiene el mismo número de filas que de columnas. La matriz 3 × 3 La anterior es un ejemplo de matriz cuadrada. Una matriz de filas es una matriz formada por una fila de dimensiones 1 × n . [ a 11 a 12 a 13 ] Una matriz de columnas es una matriz formada por una columna de dimensiones m × 1. [ a 11 a 21 a 31 ] Se puede utilizar una matriz para representar un sistema de ecuaciones. En estos casos, los números representan los coeficientes de las variables del sistema. Las matrices facilitan la resolución de sistemas de ecuaciones porque no están cargadas de variables. Investigaremos esta idea más a fondo en la siguiente sección, pero primero veremos las operaciones con matrices básicas. Matrices Una matriz es un conjunto rectangular de números que se suele nombrar con una letra mayúscula A , B , C , y así sucesivamente. Cada entrada de una matriz se denomina a i j , de manera que i representa la fila y j representa la columna. Las matrices suelen denominarse por sus dimensiones m × n indicando m filas y n columnas. Hallar las dimensiones de la matriz dada y localizar las entradas Matriz dada A : Ⓐ ¿Cuáles son las dimensiones de la matriz A ? Ⓑ ¿Cuáles son las entradas en a 31 y a 22 ? A = [ 2 1 0 2 4 7 3 1 - 2 ] Ⓐ Las dimensiones son 3 × 3 porque hay tres filas y tres columnas. Ⓑ Entrada a 31 es el número de la fila 3, columna 1, que es el 3. La entrada a 22 es el número de la fila 2, columna 2, que es el 4. Recuerde que primero va la fila y luego la columna. Suma y resta de matrices Utilizamos las matrices para enumerar datos o representar sistemas. Como las entradas son números, podemos realizar operaciones con matrices. Sumamos o restamos matrices al sumar o restar las entradas correspondientes. Para ello, las entradas deben corresponder. Por lo tanto, la suma y la resta de matrices solo es posible cuando las matrices tienen las mismas dimensiones . Podemos sumar o restar una matriz 3 × 3 y otra matriz 3 × 3 , pero no podemos sumar o restar una matriz 2 × 3 y una matriz 3 × 3 porque algunas entradas de una matriz no tendrán una entrada correspondiente en la otra matriz. Suma y resta de matrices Dadas las matrices A y B de dimensiones similares, la suma y la resta de A y B producirá la matriz C o la matriz D de la misma dimensión. A + B = C tal que a i j + b i j = c i j A - B = D tal que a i j − b i j = d i j La suma de matrices es conmutativa. A + B = B + A También es asociativa. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Calcular la suma de matrices Calcule la suma de A y B , dado A = [ a b c d ] y B = [ e f g h ] Sume las entradas correspondientes. A + B = [ a b c d ] + [ e f g h ] = [ a + e b + f c + g d + h ] Sumar la matriz A y la matriz B Calcule la suma de A y B . A = [ 4 1 3 2 ] y B = [ 5 9 0 7 ] Sume las entradas correspondientes. Sume la entrada en la fila 1, columna 1, a 11 , de la matriz A a la entrada de la fila 1, columna 1, b 11 , de B . Continúe el patrón hasta que se hayan sumado todas las entradas. A + B = [ 4 1 3 2 ] + [ 5 9 0 7 ] = [ 4 + 5 1 + 9 3 + 0 2 + 7 ] = [ 9 10 3 9 ] Calcular la diferencia de dos matrices Calcule la diferencia de A y B . A = [ −2 3 0 1 ] y B = [ 8 1 5 4 ] Restamos las entradas correspondientes de cada matriz. A - B = [ - 2 3 0 1 ] - [ 8 1 5 4 ] = [ - 2 - 8 3 - 1 0 − 5 1 - 4 ] = [ − 10 2 - 5 - 3 ] Calcular la suma y la diferencia de dos matrices 3 x 3 Dados A y B : Ⓐ Calcule la suma. Ⓑ Calcule la diferencia. A = [ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ] y B = [ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ] Ⓐ Sume las entradas correspondientes. A + B = [ 2 - 10 - 2 14 12 10 4 – 2 2 ] + [ 6 10 - 2 0 − 12 - 4 − 5 2 - 2 ] = [ 2 + 6 - 10 + 10 - 2 - 2 14 + 0 12 − 12 10 – 4 4 − 5 - 2 + 2 2 - 2 ] = [ 8 0 - 4 14 0 6 - 1 0 0 ] Ⓑ Reste las entradas correspondientes. A - B = [ 2 −10 −2 14 12 10 4 −2 2 ] - [ 6 10 −2 0 −12 -4 −5 2 −2 ] = [ 2 - 6 −10 - 10 −2 + 2 14 − 0 12 + 12 10 + 4 4 + 5 −2 - 2 2 + 2 ] = [ -4 -20 0 14 24 14 9 -4 4 ] Ejercicio Sume la matriz A y la matriz B . A = [ 2 6 1 0 1 −3 ] y B = [ 3 −2 1 5 -4 3 ] A + B = [ 2 1 1 6 ​ ​ ​ 0 −3 ] + [ 3 1 -4 −2 5 3 ] = [ 2 + 3 1 + 1 1 + ( –4 ) 6 + ( −2 ) 0 + 5 −3 + 3 ] = [ 5 2 −3 4 5 0 ] Hallar múltiplos escalares de una matriz Además de sumar y restar matrices enteras, hay muchas situaciones en las que necesitamos multiplicar una matriz por una constante denominada escalar. Recordemos que un escalar es una cantidad de números reales que tiene magnitud, pero no dirección. Por ejemplo, el tiempo, la temperatura y la distancia son cantidades escalares. La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por un escalar. Un múltiplo escalar es cualquier entrada de una matriz que resulta de una multiplicación escalar. Considere un escenario del mundo real en el que una universidad necesita aumentar su inventario de computadoras, mesas de computadora y sillas en dos de los laboratorios del campus debido al aumento de las inscripciones. Calculan que se necesita un 15 % más de equipamiento en ambos laboratorios. El inventario actual de la escuela se muestra en la . Laboratorio A Laboratorio B Computadoras 15 27 Mesas de computadora 16 34 Sillas 16 34 Al convertir los datos en una matriz, tenemos C 2013 = [ 15 16 16 27 34 34 ] Para calcular cuánto equipo informático se necesitará, multiplicamos todas las entradas de la matriz C por 0,15. ( 0,15 ) C 2013 = [ ( 0,15 ) 15 ( 0,15 ) 16 ( 0,15 ) 16 ( 0,15 ) 27 ( 0,15 ) 34 ( 0,15 ) 34 ] = [ 2,25 2,4 2,4 4,05 5,1 5,1 ] Debemos redondear al siguiente número entero, por lo que la cantidad de equipos nuevos necesarios es [ 3 3 3 5 6 6 ] Al sumar las dos matrices como se muestra a continuación, vemos las nuevas cantidades de inventario. [ 15 16 16 27 34 34 ] + [ 3 3 3 5 6 6 ] = [ 18 19 19 32 40 40 ] Esto significa que C 2014 = [ 18 19 19 32 40 40 ] Así, el laboratorio A tendrá 18 computadoras, 19 mesas de computadora y 19 sillas; el laboratorio B tendrá 32 computadoras, 40 mesas de computadora y 40 sillas. Multiplicación escalar La multiplicación escalar consiste en hallar el producto de una constante por cada entrada de la matriz. Dado A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] el múltiplo escalar c A es c A = c [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] = [ c a 11 c a 12 c a 21 c a 22 ] La multiplicación escalar es distributiva. Para las matrices A , B , y C con escalares a y b , a ( A + B ) = a A + a B ( a + b ) A = a A + b A Multiplicar la matriz por un escalar Multiplique la matriz A por el escalar 3. A = [ 8 1 5 4 ] Multiplique cada entrada en A por el escalar 3. 3 A = 3 [ 8 1 5 4 ] = [ 3 ⋅ 8 3 ⋅ 1 3 ⋅ 5 3 ⋅ 4 ] = [ 24 3 15 12 ] Ejercicio Matriz dada B , halle −2 B donde B = [ 4 1 3 2 ] −2 B = [ −8 −2 −6 -4 ] Calcular la suma de múltiplos escalares Calcule la suma 3 A + 2 B . A = [ 1 −2 0 0 −1 2 4 3 −6 ] y B = [ −1 2 1 0 −3 2 0 1 -4 ] En primer lugar, calcule 3 A , entonces 2 B . 3 A = [ 3 ⋅ 1 3 ( −2 ) 3 ⋅ 0 3 ⋅ 0 3 ( –1 ) 3 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 3 3 ( −6 ) ] = [ 3 −6 0 0 −3 6 12 9 -18 ] 2 B = [ 2 ( –1 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 ( −3 ) 2 ⋅ 2 2 ⋅ 0 2 ⋅ 1 2 ( –4 ) ] = [ −2 4 2 0 −6 4 0 2 −8 ] Ahora, sume 3 A + 2 B . 3 A + 2 B = [ 3 −6 0 0 −3 6 12 9 -18 ] + [ −2 4 2 0 −6 4 0 2 −8 ] = [ 3 - 2 −6 + 4 0 + 2 0 + 0 −3 − 6 6 + 4 12 + 0 9 + 2 -18 −8 ] = [ 1 −2 2 0 −9 10 12 11 − 26 ] Calcular la multiplicación de dos matrices Además de multiplicar una matriz por un escalar, podemos multiplicar dos matrices. Calcular la multiplicación de dos matrices solo es posible cuando las dimensiones internas son iguales, es decir, cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda. Si los valores de A es una matriz m × r y B es una matriz r × n , entonces la matriz producto A B es una matriz m × n . Por ejemplo, el producto A B es posible porque el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B . Si las dimensiones interiores no coinciden, el producto no está definido. Multiplicamos las entradas de A con entradas de B de acuerdo con un patrón específico que se describe a continuación. El proceso de la multiplicación de matrices se hace más claro cuando se trabaja un problema con números reales. Para obtener las entradas de la fila i de A B , multiplicamos las entradas de la fila i de A por columna j en B y sumamos. Por ejemplo, dadas las matrices A y B , donde las dimensiones de A son 2 × 3 y las dimensiones de B son 3 × 3 , el producto de A B será una matriz 2 × 3 . A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ] y B = [ b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ] Multiplique y sume de la siguiente forma para obtener la primera entrada de la matriz producto A B . Para obtener la entrada en la fila 1, columna 1 de A B , multiplique la primera fila de A por la primera columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 11 b 21 b 31 ] = a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 Para obtener la entrada en la fila 1, columna 2 de A B , multiplique la primera fila de A por la segunda columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 12 b 22 b 32 ] = a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 Para obtener la entrada en la fila 1, columna 3 de A B , multiplique la primera fila de A por la tercera columna de B , y sumamos. [ a 11 a 12 a 13 ] [ b 13 b 23 b 33 ] = a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 Procedemos de la misma manera para obtener la segunda fila de A B . En otras palabras, la fila 2 de A por la columna 1 de B ; fila 2 de A por la columna 2 de B ; fila 2 de A por la columna 3 de B . Cuando se haya culminado, la matriz producto será A B = [ a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 a 21 ⋅ b 11 + a 22 ⋅ b 21 + a 23 ⋅ b 31 a 11 ⋅ b 12 + a 12 ⋅ b 22 + a 13 ⋅ b 32 a 21 ⋅ b 12 + a 22 ⋅ b 22 + a 23 ⋅ b 32 a 11 ⋅ b 13 + a 12 ⋅ b 23 + a 13 ⋅ b 33 a 21 ⋅ b 13 + a 22 ⋅ b 23 + a 23 ⋅ b 33 ] Propiedades de la multiplicación de matrices Para las matrices A , B , y C las siguientes propiedades se mantienen. La multiplicación de matrices es asociativa: ( A B ) C = A ( B C ) . La multiplicación de matrices es distributiva: C ( A + B ) = C A + C B , ( A + B ) C = A C + B C . Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Multiplicación de dos matrices Multiplique la matriz A y la matriz B . A = [ 1 2 3 4 ] y B = [ 5 6 7 8 ] Primero, comprobamos las dimensiones de las matrices. La matriz A tiene dimensiones 2 × 2 y la matriz B tiene dimensiones 2 × 2. Las dimensiones interiores son las mismas por lo que podemos realizar la multiplicación. El producto tendrá las dimensiones 2 × 2. Realizamos las operaciones descritas anteriormente. Multiplicación de dos matrices Dados A y B : Ⓐ Calcule A B . Ⓑ Calcule B A . A = [ −1 2 3 4 0 5 ] y B = [ 5 -4 2 −1 0 3 ] Ⓐ Como las dimensiones de A son 2 × 3 y las dimensiones de B son 3 × 2 , estas matrices pueden multiplicarse entre sí porque el número de columnas de A coincide con el número de filas de B . El producto resultante será una matriz 2 × 2 , el número de filas de A por el número de columnas de B . A B = [ −1 2 3 4 0 5 ] [ 5 −1 − 4 0 2 3 ] = [ −1 ( 5 ) + 2 ( –4 ) + 3 ( 2 ) −1 ( –1 ) + 2 ( 0 ) + 3 ( 3 ) 4 ( 5 ) + 0 ( –4 ) + 5 ( 2 ) 4 ( –1 ) + 0 ( 0 ) + 5 ( 3 ) ] = [ −7 10 30 11 ] Ⓑ Las dimensiones de B son 3 × 2 y las dimensiones de A son 2 × 3. Las dimensiones interiores coinciden, por lo que el producto está definido y será una matriz 3 × 3 . B A = [ 5 −1 -4 0 2 3 ] [ −1 2 3 4 0 5 ] = [ 5 ( –1 ) + −1 ( 4 ) 5 ( 2 ) + −1 ( 0 ) 5 ( 3 ) + −1 ( 5 ) -4 ( –1 ) + 0 ( 4 ) -4 ( 2 ) + 0 ( 0 ) -4 ( 3 ) + 0 ( 5 ) 2 ( –1 ) + 3 ( 4 ) 2 ( 2 ) + 3 ( 0 ) 2 ( 3 ) + 3 ( 5 ) ] = [ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] Análisis Tenga en cuenta que los productos A B y B A no son iguales. A B = [ −7 10 30 11 ] ≠ [ −9 10 10 4 −8 −12 10 4 21 ] = B A Esto ilustra el hecho de que la multiplicación de matrices no es conmutativa. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible que se defina AB pero no BA ? Sí, consideremos una matriz A de dimensión 3 × 4 y la matriz B con dimensión 4 × 2. Para el producto AB las dimensiones interiores son 4 y el producto está definido, pero para el producto BA las dimensiones interiores son 2 y 3 por lo que el producto no está definido. Usar matrices en problemas del mundo real Volvamos al problema presentado al principio de esta sección. Tenemos la , que representa las necesidades de equipamiento de dos equipos de fútbol. Wildcats Mud Cats Porterías 6 10 Pelotas 30 24 Camisetas 14 20 También se nos facilitan los precios de los equipos, como se indica en la . Meta 300 dólares Balón 10 dólares Camiseta 30 dólares Convertiremos los datos en matrices. Así, la matriz de necesidades de equipamiento se escribe como E = [ 6 30 14 10 24 20 ] La matriz de costos se escribe como C = [ 300 10 30 ] Realizamos una multiplicación de matrices para obtener los costos de los equipos C E = [ 300 10 30 ] [ 6 10 30 24 14 20 ] = [ 300 ( 6 ) + 10 ( 30 ) + 30 ( 14 ) 300 ( 10 ) + 10 ( 24 ) + 30 ( 20 ) ] = [ 2.520 3.840 ] El costo total del equipamiento de los Wildcats es de 2.520 dólares y el de los Mud Cats de 3.840 dólares. Cómo Dada una operación de matrices, evalúe utilizando una calculadora. Guarde cada matriz como una variable de matriz. [ A ] , [ B ] , [ C ] , ... Introduzca la operación en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario. Si la operación está definida, la calculadora presentará la matriz de solución; si la operación no está definida, mostrará un mensaje de error. Usar una calculadora para realizar operaciones con matrices Calcule A B − C dado A = [ −15 25 32 41 −7 −28 10 34 −2 ] , B = [ 45 21 -37 −24 52 19 6 −48 −31 ] , y C = [ -100 -89 −98 25 -56 74 –67 42 -75 ] . En la página de matrices de la calculadora, introducimos la matriz A arriba como la variable de la matriz [ A ] , B arriba como la variable de la matriz [ B ] , y la matriz C arriba como la variable de la matriz [ C ] . En la pantalla de inicio de la calculadora, escribimos el problema y llamamos a cada variable de la matriz según sea necesario. [ A ] [ B ] - [ C ] La calculadora nos da la siguiente matriz. [ − 983 − 462 136 1 , 820 1 , 897 − 856 − 311 2 , 032 413 ] Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las matrices y las operaciones con matrices. Dimensiones de una matriz Suma y resta de matrices Operaciones con matrices Multiplicación de matrices Conceptos clave Una matriz es un conjunto rectangular de números. Las entradas se organizan en filas y columnas. Las dimensiones de una matriz se refieren al número de filas y al número de columnas. Un triángulo de 3 × 2 matriz tiene tres filas y dos columnas. Vea el . Sumamos y restamos matrices de igual dimensión al sumar y restar las entradas correspondientes de cada matriz. Vea el , el , el y el . La multiplicación escalar consiste en multiplicar cada entrada de una matriz por una constante. Vea el . La multiplicación escalar suele ser necesaria antes de que se produzca la suma o la resta. Vea el . La multiplicación de matrices es posible cuando las dimensiones interiores son las mismas: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. La multiplicación de dos matrices, A y B , se obtiene multiplicando cada entrada de la fila 1 de A por cada entrada de la columna 1 de B ; y multiplicar cada entrada de la fila 1 de A por cada entrada en las columnas 2 de B , y así sucesivamente. Vea el y el . Muchos problemas del mundo real se pueden resolver, a menudo, utilizando matrices. Vea el . Podemos utilizar una calculadora para realizar operaciones con matrices después de guardar cada matriz como una variable de matriz. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Podemos sumar dos matrices cualesquiera? Si es así, explique por qué; si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices que no puedan sumarse. No, deben tener las mismas dimensiones. Un ejemplo sería el de dos matrices de diferentes dimensiones. No se pueden sumar las dos matrices siguientes porque la primera es una matriz 2 × 2 y la segunda es una matriz 2 × 3 . [ 1 2 3 4 ] + [ 6 5 4 3 2 1 ] no tiene suma. ¿Podemos multiplicar cualquier matriz de columnas por cualquier matriz de filas? Explique por qué sí o por qué no. ¿Se pueden definir los productos A B y B A ? Si es así, explique cómo; si no, explique por qué. Sí, si las dimensiones de A son m × n y las dimensiones de B son n × m , ambos productos se definirán. ¿Dos matrices del mismo tamaño se pueden multiplicar? Si es así, explique por qué, y si no, explique por qué no y dé un ejemplo de dos matrices del mismo tamaño que no se puedan multiplicar juntas. ¿La multiplicación de matrices es conmutativa? Es decir, ¿es A B = B A ? Si es así, demuestre por qué lo es. Si no, explique por qué no lo es. No necesariamente. Para hallar A B , multiplicamos la primera fila de A por la primera columna de B para obtener la primera entrada de A B . Para calcular B A , multiplicamos la primera fila de B por la primera columna de A para obtener la primera entrada de B A . Por lo tanto, si estos no son iguales, entonces la multiplicación de matrices no es conmutativa. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación y realice la suma o la resta de matrices. Indicar si la operación es indefinida. A = [ 1 3 0 7 ] , B = [ 2 14 22 6 ] , C = [ 1 5 8 92 12 6 ] , D = [ 10 14 7 2 5 61 ] , E = [ 6 12 14 5 ] , F = [ 0 9 78 17 15 4 ] A + B C + D [ 11 19 15 94 17 67 ] A + C B − E [ -4 2 8 1 ] C + F D − B No identificado; las dimensiones no coinciden En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación escalar. A = [ 4 6 13 12 ] , B = [ 3 9 21 12 0 64 ] , C = [ 16 3 7 18 90 5 3 29 ] , D = [ 18 12 13 8 14 6 7 4 21 ] 5 A 3 B [ 9 27 63 36 0 192 ] −2 B -4 C [ -64 −12 −28 -72 −360 -20 −12 −116 ] 1 2 C 100 D [ 1 , 800 1 , 200 1 , 300 800 1 , 400 600 700 400 2 , 100 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la multiplicación. A = [ −1 5 3 2 ] , B = [ 3 6 4 −8 0 12 ] , C = [ 4 10 −2 6 5 9 ] , D = [ 2 −3 12 9 3 1 0 8 −10 ] A B B C [ 20 102 28 28 ] C A B D [ 60 41 2 −16 120 −216 ] D C C B [ −68 24 136 -54 −12 64 -57 30 128 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. A = [ 2 −5 6 7 ] , B = [ −9 6 -4 2 ] , C = [ 0 9 7 1 ] , D = [ −8 7 −5 4 3 2 0 9 2 ] , E = [ 4 5 3 7 −6 −5 1 0 9 ] A + B − C 4 A + 5 D Es indefinido; las dimensiones no coinciden. 2 C + B 3 D + 4 E [ −8 41 −3 40 −15 −14 4 27 42 ] C -0,5 D 100 D −10 E [ −840 650 −530 330 360 250 −10 900 110 ] En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 = A ⋅ A ) A = [ −10 20 5 25 ] , B = [ 40 10 -20 30 ] , C = [ −1 0 0 −1 1 0 ] A B B A [ −350 1 , 050 350 350 ] C A B C Es Indefinido; las dimensiones interiores no coinciden. A 2 B 2 [ 1 , 400 700 −1 , 400 700 ] C 2 B 2 A 2 [ 332 , 500 927 , 500 −227 , 500 87 , 500 ] A 2 B 2 ( A B ) 2 [ 490 , 000 0 0 490 , 000 ] ( B A ) 2 En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. (Pista: A 2 = A ⋅ A ) A = [ 1 0 2 3 ] , B = [ −2 3 4 −1 1 −5 ] , C = [ 0,5 0,1 1 0,2 -0,5 0,3 ] , D = [ 1 0 −1 −6 7 5 4 2 1 ] A B [ −2 3 4 −7 9 −7 ] B A B D [ -4 29 21 −27 −3 1 ] D C D 2 [ −3 −2 −2 −28 59 46 -4 16 7 ] A 2 D 3 [ 1 -18 −9 −198 505 369 -72 126 91 ] ( A B ) C A ( B C ) [ 0 1,6 9 −1 ] En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice las matrices que aparecen a continuación para realizar la operación indicada si es posible. Si no es posible, explique por qué no se puede realizar la operación. Utilice una calculadora para verificar su solución. A = [ −2 0 9 1 8 −3 0,5 4 5 ] , B = [ 0,5 3 0 -4 1 6 8 7 2 ] , C = [ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ] A B B A [ 2 24 -4,5 12 32 −9 −8 64 61 ] C A B C [ 0,5 3 0,5 2 1 2 10 7 10 ] A B C Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la matriz que aparece a continuación para realizar la operación indicada. B = [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] B 2 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B 3 B 4 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] B 5 Utilizando las preguntas anteriores, halle una fórmula para B n . Pruebe la fórmula para B 201 y B 202 , utilizando una calculadora. B n = { [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] , n par, [ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ] , n impar . columna un conjunto de números alineados verticalmente en una matriz entrada un elemento, coeficiente o constante de una matriz matriz un conjunto rectangular de números fila un conjunto de números alineados horizontalmente en una matriz múltiplo escalar una entrada de una matriz que ha sido multiplicada por un escalar", "section": "Matrices y operaciones con matrices", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan Objetivos de aprendizaje Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2) Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3) Objetivo 1: Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2) En la última sección, aprendimos a escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones. Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada , resolveremos por eliminación realizando operaciones sobre las filas que nos lleven a la solución. Nuestro objetivo será obtener 1 en la diagonal de la matriz y todas las entradas por debajo de la diagonal deben ser ceros. Operaciones de fila En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones en cualquier fila, y la matriz resultante será equivalente a la matriz original. Intercambie dos filas cualesquiera. Multiplique una fila por cualquier número real excepto 0. Sume un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila. Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones. Utilice las operaciones de fila indicadas en la matriz aumentada: Ⓐ Intercambie las filas 2 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 2 por 5. Ⓒ Multiplique la fila 3 por -2 y súmela a la fila 1. [ 6 5 2 1 1 4 3 3 1 | 3 5 1 ] Ⓐ Intercambie las filas 2 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 2 por 5. Ⓒ Multiplique la fila 3 por -2 y súmela a la fila 1. Utilice las operaciones de fila indicadas en la matriz aumentada: Ⓐ Intercambie las filas 1 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 3 por 3. Ⓒ Multiplique la fila 3 por 2 y súmela a la fila 2. 5 2 2 2 4 1 4 4 2 3 0 1 Utilice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: [ 1 −1 4 −8 | 2 0 ] . Para que el 4 sea un 0, podríamos multiplicar la fila 1 por -4 y luego sumarla a la fila 2. La práctica hace la perfección Utilice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada 1 1 2 3 6 2 Objetivo 2: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3) Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada por filas mediante operaciones de fila. En un sistema de ecuaciones consistente e independiente, la matriz aumentada está en forma escalonada por filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros. Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma escalonada por filas , podemos escribir el sistema de ecuaciones equivalente y resolver al menos una variable. A continuación, sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo las demás variables. Resolver un sistema de ecuaciones mediante matrices. Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. Al utilizar las operaciones de fila se consigue que la entrada de la fila 1, columna 1 sea 1. Al utilizar las operaciones de fila, se obtiene ceros en la columna 1 debajo del 1. Al utilizar las operaciones de fila, se logra que la entrada de la fila 2, columna 2 sea 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en la forma escalonada por filas. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilice la sustitución para hallar las variables restantes. Escriba la solución como un par o triple ordenado. Compruebe que la solución hace que las ecuaciones originales sean verdaderas. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando matrices { 3 x + 8 y + 2 z = −5 2 x + 5 y - 3 z = 0 x + 2 y - 2 z = –1 Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. Intercambie la fila 1 y la fila 3 para obtener un 1 en la primera fila y la primera columna. Al utilizar las operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1 La entrada en la fila 2, columna 2 es ahora 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma escalonada por filas. La matriz está ahora en forma escalonada por filas. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilice la sustitución para hallar las variables restantes. Escriba la solución como un par o triple ordenado. Compruebe que la solución hace que las ecuaciones originales sean verdaderas. La práctica hace la perfección Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando matrices x y – c = 1 x + 2 y 3 z = 4 3 x 2 y 7 z = 0 El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados. La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada . Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 2 × 2 dado. 3 x + 4 y = 7 4 x −2 y = 5 Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada: [ 3 4 4 −2 | 7 5 ] También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes . [ 3 4 4 −2 ] Un sistema de ecuaciones de tres por tres como 3 x - y - z = 0 x + y = 5 2 x −3 c = 2 tiene una matriz de coeficientes [ 3 −1 −1 1 1 0 2 0 −3 ] y está representada por la matriz aumentada [ 3 −1 −1 1 1 0 2 0 −3 | 0 5 2 ] Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar a x + b y + c z = d para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, escriba una matriz aumentada. Escriba los coeficientes de los términos x como los números de la primera columna. Escriba los coeficientes de los términos y como los números de la segunda columna. Si hay términos z , escriba los coeficientes como los números de la tercera columna. Dibuje una línea vertical y escriba las constantes a la derecha de la línea. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones dado. x + 2 y - z = 3 2 x - y + 2 z = 6 x - 3 y + 3 z = 4 La matriz aumentada muestra los coeficientes de las variables y una columna adicional para las constantes. [ 1 2 −1 2 −1 2 1 −3 3 | 3 6 4 ] Ejercicio Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones dado. 4 x −3 y = 11 3 x + 2 y = 4 [ 4 −3 3 2 | 11 4 ] Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar. Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una forma de matriz aumentada Halle el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada. [ 1 −3 −5 2 −5 -4 −3 5 4 | −2 5 6 ] Cuando las columnas representan las variables x , y , y z , [ 1 −3 −5 2 −5 -4 −3 5 4 | −2 5 6 ] → x - 3 y - 5 z = - 2 2 x - 5 y - 4 z = 5 −3 x + 5 y + 4 z = 6 Ejercicio Escriba el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada. [ 1 −1 1 2 −1 3 0 1 1 | 5 1 −9 ] x - y + z = 5 2 x - y + 3 z = 1 y + z = −9 Realizar operaciones de fila en una matriz Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas. Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas , en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra. Forma escalonada por filas [ 1 a b 0 1 d 0 0 1 ] Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder . Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz. Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior. Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna. Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución. Filas de intercambio (notación: R i ↔ R j ). Multiplique una fila por una constante (notación: c R i ). Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación: R i + c R j ) Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes. Eliminación de Gauss-Jordan El método de eliminación de Gauss-Jordan se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada por filas de una matriz. El objetivo es escribir la matriz A con el número 1 como entrada en la diagonal principal y con todos los ceros debajo. A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] → Después de la eliminación de Gauss-Jordan A = [ 1 b 12 b 13 0 1 b 23 0 0 1 ] El primer paso de la estrategia de Gauss-Jordan incluye la obtención de un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se pueda usar para modificar las filas siguientes. Cómo Dada una matriz aumentada, realice las operaciones de fila para conseguir la forma escalonada por filas. La primera ecuación debe tener un coeficiente principal de 1. Intercambie las filas o multiplique por una constante, si es necesario. Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la primera columna por debajo de la primera entrada de 1. Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 2, columna 2. Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la columna 2, debajo de la entrada de 1. Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 3, columna 3. Continúe este proceso para todas las filas hasta que haya un 1 en cada entrada de la diagonal principal y solo haya ceros debajo. Si algunas filas contienen todos los ceros, colóquelas al final. Resolver un sistema 2 × 2 por eliminación de Gauss-Jordan Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan. 2 x + 3 y = 6 x - y = 1 2 Primero, lo escribimos como una matriz aumentada. [ 2 3 1 −1 | 6 1 2 ] Queremos un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2. R 1 ↔ R 2 → [ 1 −1 2 3 | 1 2 6 ] Ahora tenemos un 1 como primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora vamos a obtener un 0 en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por −2 , y luego se suma el resultado a la fila 2. −2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 −1 0 5 | 1 2 5 ] Solo nos queda un paso más, multiplicar la fila 2 por 1 5 . 1 5 R 2 = R 2 → [ 1 −1 0 1 | 1 2 1 ] Vuelva a sustituir. La segunda fila de la matriz representa y = 1. Vuelva a sustituir y = 1 en la primera ecuación. x - ( 1 ) = 1 2 x = 3 2 La solución es el punto ( 3 2 , 1 ) . Ejercicio Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan. 4 x + 3 y = 11 x −3 y = –1 ( 2 , 1 ) Uso de la eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones Use la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones 2 × 2 dado. 2 x + y = 1 4 x + 2 y = 6 Escriba el sistema como una matriz aumentada . [ 2 1 4 2 | 1 6 ] Obtenga un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por 1 2 . 1 2 R 1 = R 1 → [ 1 1 2 4 2 | 1 2 6 ] A continuación, queremos un 0 en la fila 2, columna 1. Multiplique la fila 1 por -4 y sume la fila 1 a la fila 2. -4 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 1 2 0 0 | 1 2 4 ] La segunda fila representa la ecuación 0 = 4. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución. Resolver un sistema dependiente Resuelva el sistema de ecuaciones. 3 x + 4 y = 12 6 x + 8 y = 24 Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para intentar conseguir la forma escalonada por filas . A = [ 3 4 6 8 | 12 24 ] − 1 2 R 2 + R 1 = R 1 → [ 0 0 6 8 | 0 24 ] R 1 ↔ R 2 → [ 6 8 0 0 | 24 0 ] La matriz termina con todos los ceros en la última fila: 0 y = 0 . Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para hallar la solución genérica, vuelva a una de las ecuaciones originales y resuelva para y . 3 x + 4 y = 12 4 y = 12 −3 x y = 3 - 3 4 x Así que la solución a este sistema es ( x , 3 - 3 4 x ) . Realizar operaciones de fila en una matriz aumentada 3×3 para obtener la forma escalonada por filas Realice operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma escalonada por filas. [ 1 −3 4 2 −5 6 −3 3 4 | 3 6 6 ] La primera fila ya tiene un 1 en la fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por −2 y sumarla a la fila 2. A continuación, sustituya la fila 2 por el resultado. −2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 −3 4 0 1 −2 −3 3 4 | 3 0 6 ] A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 1. 3 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 −6 16 | 3 0 15 ] A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 2. 6 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 0 4 | 3 0 15 ] El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3. 1 4 R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 0 1 | 3 0 15 4 ] Ejercicio Escriba el sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas. x - 2 y + 3 z = 9 - x + 3 y = – 4 2 x - 5 y + 5 z = 17 [ 1 - 5 2 5 2 ​ 0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ] Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas . Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices Resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante matrices. x - y + z = 8 2 x + 3 y - z = −2 3 x - 2 y − 9 z = 9 Primero, escribimos la matriz aumentada. [ 1 - 1 1 2 3 - 1 3 - 2 - 9 | 8 - 2 9 ] Luego, realizamos las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. − 2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 - 1 1 0 5 - 3 3 - 2 - 9 | 8 − 18 9 ] − 3 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 - 1 1 0 5 - 3 0 1 − 12 | 8 − 18 − 15 ] La forma más fácil de obtener un 1 en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar R 2 y R 3 . Intercambie la R 2 y R 3 → [ 1 −1 1 8 0 1 −12 −15 0 5 −3 -18 ] Entonces −5 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 −1 1 0 1 −12 0 0 57 | 8 −15 57 ] - 1 57 R 3 = R 3 → [ 1 −1 1 0 1 −12 0 0 1 | 8 −15 1 ] La última matriz representa el sistema equivalente. x - y + z = 8 y - 12 c = −15 c = 1 Al volver a sustituir, obtenemos la solución como ( 4 , −3 , 1 ) . Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales mediante matrices Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante matrices. − x −2 y + z = −1 2 x + 3 y = 2 y −2 c = 0 Escriba la matriz aumentada. [ −1 −2 1 2 3 0 0 1 −2 | −1 2 0 ] Primero, multiplique la fila 1 por −1 para obtener un 1 en la fila 1, columna 1. A continuación, realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. − R 1 → [ 1 2 −1 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 ] R 2 ↔ R 3 → [ 1 2 – 1 0 1 - 2 2 3 0 | 1 0 2 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 2 −1 0 1 −2 0 −1 2 | 1 0 0 ] R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 2 −1 0 1 −2 0 0 0 | 2 1 0 ] La última matriz representa el siguiente sistema. x + 2 y - z = 1 y - 2 z = 0 0 = 0 Vemos por la identidad 0 = 0 que se trata de un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego, calculamos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación para y y sustituyéndola en la primera ecuación podemos resolver c en términos de x . x + 2 y - z = 1 y = 2 z x + 2 ( 2 z ) − z = 1 x + 3 z = 1 z = 1 - x 3 Ahora, sustituimos la expresión de c en la segunda ecuación para resolver y en términos de x . y - 2 z = 0 z = 1 - x 3 y - 2 ( 1 - x 3 ) = 0 y = 2 - 2 x 3 La solución genérica es ( x , 2 −2 x 3 , 1 - x 3 ) . Ejercicio Resuelva el sistema mediante matrices. x + 4 y - z = 4 2 x + 5 y + 8 z = 15 x + 3 y −3 c = 1 ( 1 , 1 , 1 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss-Jordan? Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño se puede resolver por eliminación de Gauss-Jordan. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices utilizando una calculadora. Guardar la matriz aumentada como una variable de la matriz [ A ] , [ B ] , [ C ] , … . Utilice la función ref( en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario. Resolver sistemas de ecuaciones con matrices utilizando una calculadora Resuelva el sistema de ecuaciones. 5 x + 3 y + 9 z = −1 −2 x + 3 y - z = −2 − x -4 y + 5 z = 1 Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. [ 5 3 9 −2 3 −1 −1 -4 5 | −1 −2 −1 ] En la página de la matriz de la calculadora, introduzca la matriz aumentada anterior como variable de la matriz [ A ] . [ A ] = [ 5 3 9 −1 −2 3 −1 −2 −1 -4 5 1 ] Use la función ref( en la calculadora, llamando a la variable matriz [ A ] . ref ( [ A ] ) Evalúe. [ 1 3 5 9 5 1 5 0 1 13 21 − 4 7 0 0 1 − 24 187 ] → x + 3 5 y + 9 5 z = - 1 5 y + 13 21 c = – 4 7 z = − 24 187 Al volver a sustituir, la solución es ( 61 187 , − 92 187 , − 24 187 ) . Aplicación de matrices 2 × 2 a las finanzas Carolyn invierte un total de 12.000 dólares en dos bonos municipales, uno de los cuales paga el 10,5 % de interés y el otro el 12 %. El interés anual obtenido por las dos inversiones el año pasado fue de 1.335 dólares. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa? Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Supongamos que x = la cantidad invertida a un interés del 10,5 %, y y = la cantidad invertida a un interés del 12 %. x + y = 12.000 0,105 x + 0,12 y = 1335 Como matriz, tenemos [ 1 1 0,105 0,12 | 12.000 1335 ] Multiplique la fila 1 por -0,105 y sume el resultado a la fila 2. [ 1 1 0 0,015 | 12.000 75 ] Entonces, 0,015 y = 75 y = 5.000 Así que 12.000 -5.000 = 7.000. Así, se invirtieron 5.000 dólares al 12 % de interés y 7.000 dólares al 10,5 % de interés. Aplicación de matrices 3 × 3 a las finanzas Ava invierte un total de 10.000 dólares en tres cuentas, una que paga el 5 % de interés, otra que paga el 8 % de interés y la tercera que paga el 9 % de interés. Los intereses anuales obtenidos por las tres inversiones el año pasado fueron de 770 dólares. La cantidad invertida al 9 % era el doble de la invertida al 5 %. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa? Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Supongamos que x es la cantidad invertida al 5 % de interés, y y es la cantidad invertida al 8 % de interés, y que c es la cantidad invertida al 9 % de interés. Por lo tanto, x + y + z = 10 . 000 0,05 x + 0,08 y + 0,09 c = 770 2 x − z = 0 Como matriz, tenemos [ 1 1 1 0,05 0,08 0,09 2 0 −1 | 10 . 000 770 0 ] Ahora, realizamos la eliminación de Gauss-Jordan para conseguir la forma escalonada por filas. -0,05 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 1 1 0 0,03 0,04 2 0 −1 | 10.000 270 0 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 1 1 0 0,03 0,04 0 −2 −3 | 10.000 270 –20.000 ] 1 0,03 R 2 = R 2 → [ 0 1 1 0 1 4 3 0 −2 −3 | 10.000 9.000 –20.000 ] 2 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 1 1 0 1 4 3 0 0 - 1 3 | 10.000 9.000 -2.000 ] La tercera fila nos dice − 1 3 z = -2.000 ; por lo tanto c = 6.000. La segunda fila nos dice y + 4 3 z = 9.000. Al sustituir c = 6.000 , obtenemos y + 4 3 ( 6.000 ) = 9.000 y + 8.000 = 9.000 y = 1.000 La primera fila nos dice x + y + z = 10.000. Al sustituir y = 1.000 y z = 6.000 , obtenemos x + 1.000 + 6.000 = 10.000 x = 3.000 La respuesta es 3.000 dólares invertidos al 5 % de interés, 1.000 dólares invertidos al 8 % y 6.000 dólares invertidos al 9 % de interés. Ejercicio Una pequeña compañía de calzado pidió un préstamo de 1.500.000 dólares para ampliar su inventario. Una parte del dinero se prestó al 7 %, otra al 8 % y otra al 10 %. La cantidad prestada al 10 % era cuatro veces superior a la prestada al 7 %, y el interés anual de los tres préstamos era de 130.500 dólares. Utilice las matrices para calcular la cantidad prestada a cada tasa de interés. 150.000 dólares al 7 %, 750.000 dólares al 8 %, 600.000 dólares al 10 % Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan. Resolver un sistema de dos ecuaciones mediante una matriz aumentada Resolver un sistema de tres ecuaciones mediante una matriz aumentada Matrices aumentadas en la calculadora Conceptos clave Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el . Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el . Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas. Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el , el y el . Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el . Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el y el . Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el . Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Se puede escribir cualquier sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir esa matriz aumentada. Sí. Para cada fila, se escriben los coeficientes de las variables a lo largo de la fila correspondiente y se coloca una barra vertical; a continuación, se colocan las constantes a la derecha de la barra vertical. ¿Se puede escribir cualquier matriz como un sistema de ecuaciones lineales? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir ese sistema de ecuaciones. ¿Existe un único método correcto para utilizar las operaciones de fila en una matriz? Intente explicar dos operaciones de fila diferentes posibles para resolver la matriz aumentada [ 9 3 1 - 2 | 0 6 ] . No, existen numerosos métodos correctos para utilizar las operaciones de fila en una matriz. Dos posibles formas son las siguientes: (1) Intercambie las filas 1 y 2. Luego R 2 = R 2 −9 R 1 . (2) R 2 = R 1 −9 R 2 . Luego, divida la fila 1 entre 9. ¿Se puede resolver una matriz cuya entrada es 0 en la diagonal? Explique por qué sí o por qué no. ¿Qué haría usted para remediar la situación? ¿Una matriz que tiene 0 entradas para toda una fila puede tener una solución? Explique por qué sí o por qué no. No. Una matriz con 0 entradas para toda una fila tendría cero o infinitas soluciones. Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal. 8 x -37 y = 8 2 x + 12 y = 3 16 y = 4 9 x - y = 2 [ 0 16 9 −1 | 4 2 ] 3 x + 2 y + 10 z = 3 −6 x + 2 y + 5 z = 13 4 x + z = 18 x + 5 y + 8 z = 19 12 x + 3 y = 4 3 x + 4 y + 9 z = −7 [ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 16 4 −7 ] 6 x + 12 y + 16 c = 4 19 x −5 y + 3 z = –9 x + 2 y = −8 En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada. [ −2 5 6 -18 | 5 26 ] −2 x + 5 y = 5 6 x -18 y = 26 [ 3 4 10 17 | 10 439 ] [ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ] 3 x + 2 y = 3 - x −9 y + 4 z = −1 8 x + 5 y + 7 z = 8 [ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ] [ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ] 4 x + 5 y −2 c = 12 y + 58 c = 2 8 x + 7 y −3 c = −5 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan. [ 1 0 0 0 | 3 0 ] [ 1 0 1 0 | 1 2 ] No son soluciones. [ 1 2 4 5 | 3 6 ] [ −1 2 4 −5 | −3 6 ] ( –1 , –2 ) [ −2 0 0 2 | 1 −1 ] 2 x - 3 y = - 9 5 x + 4 y = 58 ( 6 , 7 ) 6 x + 2 y = -4 3 x + 4 y = -17 2 x + 3 y = 12 4 x + y = 14 ( 3 , 2 ) -4 x −3 y = −2 3 x −5 y = -13 −5 x + 8 y = 3 10 x + 6 y = 5 ( 1 5 , 1 2 ) 3 x + 4 y = 12 −6 x −8 y = −24 -60 x + 45 y = 12 20 x −15 y = –4 ( x , 4 15 ( 5 x + 1 ) ) 11 x + 10 y = 43 15 x + 20 y = 65 2 x - y = 2 3 x + 2 y = 17 ( 3 , 4 ) -1,06 x -2,25 y = 5,51 -5,03 x -1,08 y = 5,40 3 4 x - 3 5 y = 4 1 4 x + 2 3 y = 1 ( 196 39 , - 5 13 ) 1 4 x - 2 3 y = −1 1 2 x + 1 3 y = 3 [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ] ( 31 , -42 , 87 ) [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ] [ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ] ( 21 40 , 1 20 , 9 8 ) [ -0,1 0,3 -0,1 -0,4 0,2 0,1 0,6 0,1 0,7 | 0,2 0,8 -0,8 ] −2 x + 3 y - 2 z = 3 4 x + 2 y - z = 9 4 x - 8 y + 2 z = −6 ( 18 13 , 15 13 , − 15 13 ) x + y - 4 z = -4 5 x - 3 y - 2 z = 0 2 x + 6 y + 7 z = 30 2 x + 3 y + 2 z = 1 -4 x - 6 y - 4 z = −2 10 x + 15 y + 10 z = 5 ( x , y , 1 2 ( 1 −2 x −3 y ) ) x + 2 y - z = 1 - x - 2 y + 2 z = −2 3 x + 6 y - 3 z = 5 x + 2 y - z = 1 - x −2 y + 2 z = −2 3 x + 6 y −3 c = 3 ( x , − x 2 , –1 ) x + y = 2 x + z = 1 - y - z = −3 x + y + z = 100 x + 2 z = 125 − y + 2 z = 25 ( 125 , −25 , 0 ) 1 4 x - 2 3 z = - 1 2 1 5 x + 1 3 y = 4 7 1 5 y - 1 3 z = 2 9 - 1 2 x + 1 2 y + 1 7 z = − 53 14 1 2 x – 1 2 y + 1 4 z = 3 1 4 x + 1 5 y + 1 3 z = 23 15 ( 8 , 1 , –2 ) - 1 2 x – 1 3 y + 1 4 z = − 29 6 1 5 x + 1 6 y - 1 7 z = 431 210 − 1 8 x + 1 9 y + 1 10 z = − 49 45 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema. x −1 7 + y −2 8 + c −3 4 = 0 x + y + z = 6 x + 2 3 + 2 y + c −3 3 = 5 ( 1 , 2 , 3 ) x −1 4 - y + 1 4 + 3 z = –1 x + 5 2 + y + 7 4 − z = 4 x + y - c −2 2 = 1 x −3 4 - y −1 3 + 2 z = –1 x + 5 2 + y + 5 2 + z + 5 2 = 8 x + y + z = 1 ( x , 31 28 − 3 x 4 , 1 28 ( −7 x −3 ) ) x −3 10 + y + 3 2 −2 c = 3 x + 5 4 - y −1 8 + z = 3 2 x −1 4 + y + 4 2 + 3 z = 3 2 x −3 4 - y −1 3 + 2 z = –1 x + 5 2 + y + 5 2 + z + 5 2 = 7 x + y + z = 1 No existe una solución. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada. Cada día, la tienda de magdalenas de Angeni vende 5.000 unidades de sabores de chocolate y vainilla. Si el sabor de chocolate es 3 veces más popular que el de vainilla, ¿cuántas magdalenas de cada sabor vende la tienda al día? En la tienda de la competencia de Bakari se venden diariamente 4.520 dólares. Los de chocolate cuestan 2,25 dólares y los de terciopelo rojo 1,75 dólares. Si el número total de cupcakes vendidos al día es de 2.200, ¿cuántos de cada sabor se venden cada día? 860 de red velvet y 1.340 de chocolate Ha invertido 10.000 dólares en dos cuentas: una con un interés simple del 3 % y otra con un interés del 2,5 % . Si el pago total de intereses al cabo de un año fue de 283,50 dólares, ¿cuánto había en cada cuenta una vez transcurrido el año? Ha invertido 2.300 dólares en la cuenta 1 y 2.700 dólares en la cuenta 2. Si el monto total de los intereses al cabo de un año es de 254 dólares y la cuenta 2 tiene 1,5 veces la tasa de interés de la cuenta 1, ¿cuáles son las tasas de interés? Supongamos que las tasas de interés son simples. El 4 % para la cuenta 1 y el 6 % para la cuenta 2 Bikes'R'Us fabrica bicicletas que se venden por 250 dólares. Al fabricante le cuesta 180 dólares cada bicicleta, más una tarifa de puesta en marcha de 3.500 dólares. ¿Después de cuántas bicicletas vendidas el fabricante alcanzará el punto de equilibrio? Una importante tienda de electrodomésticos accedió ordenar aspiradoras de una nueva empresa fundada por estudiantes universitarios de ingeniería. La tienda podría comprar las aspiradoras por 86 dólares cada una, con una tarifa de entrega de 9.200 dólares, independientemente del número de aspiradoras que se vendan. Si la tienda tiene que empezar a ver ganancias después de vender 230 unidades, ¿cuánto debería cobrar por las aspiradoras? 126 dólares Los tres sabores de helado más populares son chocolate, fresa y vainilla, que representan el 83 % de los sabores vendidos en una heladería. Si el de vainilla se vende el 1 % más que el doble de la fresa y el de chocolate se vende el 11 % más que el de vainilla, ¿qué porcentaje del consumo total de helados corresponde a los sabores vainilla, chocolate y fresa? En una heladería tres sabores aumentan su demanda. El año pasado, los helados de banana, calabaza y rocky road representaron el 12 % de las ventas totales de helados. Este año, los mismos tres helados representaron el 16,9 % de las ventas de helados. Las ventas de rocky road se duplicaron, las de banana aumentaron el 50 % y las de calabaza el 20 % . Si el helado rocky road tuvo menos porcentaje de ventas que el helado de banana, halle el porcentaje de ventas de cada helado el año pasado. Banana fue del 3 % , calabaza del 7 % y rocky road del 2 % Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Hay 1.000 frutos secos en total en la bolsa, y hay 100 almendras menos que pistachos. Los anacardos pesan 3 g, los pistachos 4 g y las almendras 5 g. Si la bolsa pesa 3,7 kg, calcule cuántos frutos secos de cada tipo hay en la bolsa. Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Originalmente había 900 frutos secos en la bolsa. Se han comido el 30 % de las almendras, el 20 % de los anacardos y el 10 % de los pistachos, y ahora quedan 770 frutos secos en la bolsa. Originalmente, había 100 anacardos más que almendras. Calcule cuántos frutos secos de cada tipo había en la bolsa al principio. 100 almendras, 200 anacardos y 600 pistachos matriz aumentada una matriz de coeficientes con la columna de constantes adyacente, separada por una línea vertical dentro de los corchetes de la matriz matriz de coeficientes una matriz que contiene solo los coeficientes de un sistema de ecuaciones eliminación de Gauss-Jordan utilizar operaciones de fila elementales para obtener una matriz en forma escalonada por filas diagonal principal entradas desde la esquina superior izquierda en diagonal hasta la esquina inferior derecha de una matriz cuadrada forma escalonada por filas después de realizar las operaciones de fila, la forma de la matriz que contiene unos en la diagonal principal y ceros en cada espacio por debajo de la diagonal equivalencia de fila dos matrices A y B son equivalencias de fila si una puede obtenerse a partir de la otra realizando operaciones básicas de fila operaciones de fila sumar una fila a otra fila, multiplicar una fila por una constante, intercambiar filas, etc., con la meta de conseguir la forma escalonada por filas", "section": "Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Resolver sistemas con inversas Objetivos de aprendizaje Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1) Evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 (IA 4.6.2) Objetivo 1: Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1) Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la denominamos matriz cuadrada . Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante . Determinante El determinante de cualquier matriz cuadrada a b c d , donde a, b, c y d son números reales, es a b c d = a d b c Para obtener el valor numérico real del determinado restamos los productos de las diagonales, como se muestra. Halle el determinante de la matriz 2 x 2 4 2 3 1 Escriba el determinante Reste los productos de las diagonales 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) Simplifique 4 + 6 2 La práctica hace la perfección Halle el determinante de las matrices 2 x 2. 6 2 3 1 4 8 3 5 Objetivo 2: Evalúe el determinante de una matriz 3×3 (IA 4.6.2) Para evaluar el determinante de una matriz 3 × 3, debemos ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el determinante 2×2 que se calcula al eliminar la fila y la columna en el determinante 3×3 que contiene la entrada. Por ejemplo, hallar el menor de la entrada a 1 , eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la primera fila y la primera columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda. Para calcular el menor de la entrada b 2 , eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda. Para el determinante | 4 −2 3 1 0 −3 −2 -4 2 | , hallar y luego evaluar el menor de Ⓐ a 1 Ⓑ b 3 Ⓐ Elimine la fila y la columna que contiene a 1 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe. Simplifique. Ⓑ Elimine la fila y la columna que contiene b 3 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe. Simplifique. Para el siguiente determinante, calcule y evalúe el menor de c2 4 2 3 1 0 3 2 4 2 Elimine la fila y la columna que contiene c 2 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe y simplifique. ________________________________________ Estrategia para evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 Para evaluar un determinante 3 × 3 podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna distinta de la primera facilita a veces el trabajo. Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos. + + + + + Expandir por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante 3 x 3. Para evaluar un determinante 3 × 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón: NOTA: Podemos evaluar el determinante de una matriz expandiendo los menores a lo largo de cualquier fila o columna. Cuando una fila o una columna tiene una entrada cero, la expansión por esa fila o columna ocasiona menos cálculos. Evaluar el determinante de la matriz 3 x 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila 2 3 1 3 2 0 1 1 2 Expandir por menores a lo largo de la primera fila Evaluar cada determinante. Simplifique. Simplifique. Simplifique. La práctica hace la perfección Evaluar el determinante de la matriz 3 x 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila 5 1 4 4 0 3 2 2 6 Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del 10 % , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del 6 % . Para recibir un rendimiento del 8,5 % de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema? Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz. Hallar la inversa de una matriz Sabemos que el multiplicador inverso de un número real a es a −1 , y a a −1 = a −1 a = ( 1 a ) a = 1. Por ejemplo, 2 −1 = 1 2 y ( 1 2 ) 2 = 1. El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz A y su inversa A −1 es igual a la matriz identidad . La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante I n donde n representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones. I 2 = [ 1 0 0 1 ] I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo, A I = I A = A . Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades A A −1 = I A −1 A = I Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible . Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad, A A −1 = A −1 A = I , es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si A es invertible, entonces A −1 es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz 2 × 2 y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices 2 × 2 y 3 × 3 . La matriz identidad y el multiplicador inverso La matriz identidad , I n , es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. I 2 = [ 1 0 0 1 ] I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 2 × 2 3 × 3 Si A es una matriz n × n y B es una matriz n × n , tal que A B = B A = I n , entonces B = A −1 , el multiplicador inverso de una matriz A . Demostrar que la matriz identidad actúa como un 1 Dada la matriz A , demuestre que A I = I A = A . A = [ 3 4 −2 5 ] Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que el producto de A y la identidad es igual al producto de la identidad y A. A I = [ 3 4 −2 5 ] [ 1 0 0 1 ] = [ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 −2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 −2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 ] = [ 3 4 −2 5 ] I A = [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 −2 5 ] = [ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ ( −2 ) 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 5 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ ( −2 ) 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 5 ] = [ 3 4 −2 5 ] Cómo Dadas dos matrices, demuestre que una es el multiplicador inverso de la otra. Matriz dada A de orden n × n y la matriz B de orden n × n multiplique A B . Si A B = I , entonces halle el producto B A . Si B A = I , entonces B = A −1 y A = B −1 . Demostrar que la matriz A es el multiplicador inverso de la matriz B Demuestre que las matrices dadas son multiplicadores inversos entre sí. A = [ 1 5 −2 −9 ] , B = [ −9 −5 2 1 ] Multiplique A B y B A . Si ambos productos son iguales a la identidad, entonces las dos matrices son inversas entre sí. A B = [ 1 5 −2 −9 ] · [ −9 −5 2 1 ] = [ 1 ( −9 ) + 5 ( 2 ) 1 ( −5 ) + 5 ( 1 ) −2 ( −9 ) −9 ( 2 ) −2 ( −5 ) −9 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 1 ] B A = [ −9 −5 2 1 ] · [ 1 5 −2 −9 ] = [ −9 ( 1 ) −5 ( −2 ) −9 ( 5 ) −5 ( −9 ) 2 ( 1 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 5 ) + 1 ( −9 ) ] = [ 1 0 0 1 ] A y B son inversas entre sí. Ejercicio Demuestre que las dos matrices siguientes son inversas entre sí. A = [ 1 4 −1 −3 ] , B = [ −3 -4 1 1 ] A B = [ 1 4 −1 −3 ] [ −3 -4 1 1 ] = [ 1 ( −3 ) + 4 ( 1 ) 1 ( –4 ) + 4 ( 1 ) −1 ( −3 ) + −3 ( 1 ) −1 ( –4 ) + −3 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 1 ] B A = [ −3 -4 1 1 ] [ 1 4 −1 −3 ] = [ −3 ( 1 ) + -4 ( –1 ) −3 ( 4 ) + -4 ( −3 ) 1 ( 1 ) + 1 ( –1 ) 1 ( 4 ) + 1 ( −3 ) ] = [ 1 0 0 1 ] Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices . Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices Utilice la multiplicación de matrices para hallar la inversa de la matriz dada. A = [ 1 −2 2 −3 ] Para este método, multiplicamos A por una matriz que contiene constantes desconocidas y la hace igual a la identidad. [ 1 −2 2 −3 ] [ a b c d ] = [ 1 0 0 1 ] Halle la multiplicación de las dos matrices del lado izquierdo del signo de igual. [ 1 −2 2 −3 ] [ a b c d ] = [ 1 a −2 c 1 b −2 d 2 a −3 c 2 b −3 d ] A continuación, establezca un sistema de ecuaciones con la entrada de la fila 1, columna 1 de la nueva matriz igual a la primera entrada de la identidad, 1. Establezca la entrada de la fila 2, columna 1 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, que es 0. 1 a −2 c = 1 R 1 2 a −3 c = 0 R 2 Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: ( −2 ) R 1 + R 2 → R 2 . Sume las ecuaciones y resuelva para c . 1 a - 2 c = 1 0 + 1 c = - 2 c = - 2 Vuelva a sustituir para resolver a . a −2 ( −2 ) = 1 a + 4 = 1 a = −3 Escriba otro sistema de ecuaciones estableciendo la entrada de la fila 1, columna 2 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, 0. Establezca la entrada de la fila 2, columna 2 igual a la entrada correspondiente de la identidad. 1 b −2 d = 0 R 1 2 b −3 d = 1 R 2 Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: ( −2 ) R 1 + R 2 = R 2 . Sume las dos ecuaciones y resuelva para d . 1 b −2 d = 0 0 + 1 d = 1 d = 1 Una vez más, vuelva a sustituir y resuelva para b . b −2 ( 1 ) = 0 b −2 = 0 b = 2 A −1 = [ −3 2 −2 1 ] Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz A se transforma en I , la matriz aumentada I se transforma en A −1 . Por ejemplo, dado A = [ 2 1 5 3 ] aumente A con la identidad [ 2 1 5 3 | 1 0 0 1 ] Realice operaciones de fila con la meta de convertir A en la identidad. Cambie la fila 1 y la fila 2. [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ] Multiplique la fila 2 por −2 y sume a la fila 1. [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ] Multiplique la fila 1 por −2 y sume a la fila 2. [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ] Sume la fila 2 a la fila 1. [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ] Multiplique la fila 2 por −1. [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ] La matriz que hemos hallado es A −1 . A −1 = [ 3 −1 −5 2 ] Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz 2 × 2 , podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad. Si los valores de A es una matriz 2 × 2 , de forma que A = [ a b c d ] el multiplicador inverso de A viene dado por la fórmula A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] donde a d − b c ≠ 0 . Si a d − b c = 0 , entonces A no tiene inversa. Usar la fórmula para hallar el multiplicador inverso de la matriz A Utilice la fórmula para hallar el multiplicador inverso de A = [ 1 −2 2 −3 ] Con la fórmula tenemos A −1 = 1 ( 1 ) ( −3 ) - ( −2 ) ( 2 ) [ −3 2 −2 1 ] = 1 −3 + 4 [ −3 2 −2 1 ] = [ −3 2 −2 1 ] Análisis Podemos comprobar que nuestra fórmula funciona utilizando uno de los otros métodos para calcular la inversa. Aumentemos A con la identidad. [ 1 −2 2 −3 | 1 0 0 1 ] Realice operaciones de fila con la meta de convertir A en la identidad. Multiplique la fila 1 por −2 y sume a la fila 2. [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ] Multiplique la fila 1 por 2 y súmela a la fila 1. [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ] Así, hemos verificado nuestra solución original. A −1 = [ −3 2 −2 1 ] Ejercicio Utilice la fórmula para hallar la inversa de la matriz A . Verifique su respuesta mediante el aumento con la matriz identidad. A = [ 1 −1 2 3 ] A −1 = [ 3 5 1 5 - 2 5 1 5 ] Hallar la inversa de la matriz, si existe Halle la inversa de la matriz dada, si existe. A = [ 3 6 1 2 ] Utilizaremos el método de aumento con la identidad. [ 3 6 1 2 | 1 0 0 1 ] Cambie la fila 1 y la fila 2. [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ] Multiplique la fila 1 por –3 y súmela a la fila 2. [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ] No hay nada más que podamos hacer. Los ceros de la fila 2 indican que esta matriz no tiene inversa. Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3 Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz 2 × 2 para hallar la inversa de una matriz 3 × 3 . En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa. Dada una matriz 3 × 3 A = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] aumente A con la matriz identidad A | I = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y A a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente. Cómo Dada una matriz 3 × 3 , hallar la inversa. Escriba la matriz original aumentada con la matriz identidad a la derecha. Utilice las operaciones de fila elementales para que la identidad aparezca a la izquierda. Lo que se obtiene a la derecha es la inversa de la matriz original. Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que A A −1 = I y A −1 A = I . Hallar la inversa de una matriz 3 × 3 Dada la matriz 3 × 3 A , halle la inversa. A = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] Aumente A con la matriz identidad, y luego comience las operaciones de fila hasta que la matriz identidad sustituya a A . La matriz de la derecha será la inversa de A . [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] → Intercambie la R 2 y R 1 [ 3 3 1 2 3 1 2 4 1 | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] − R 2 + R 1 = R 1 → [ 1 0 0 2 3 1 2 4 1 | −1 1 0 1 0 0 0 0 1 ] − R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 2 3 1 0 1 0 | −1 1 0 1 0 0 −1 0 1 ] R 3 ↔ R 2 → [ 1 0 0 0 1 0 2 3 1 | −1 1 0 −1 0 1 1 0 0 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 | −1 1 0 −1 0 1 3 −2 0 ] −3 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] Por lo tanto, A −1 = B = [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] Análisis Para demostrar que B = A −1 , multipliquemos las dos matrices para ver si el producto es igual a la identidad, si A A −1 = I y A −1 A = I . A A −1 = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] = [ 2 ( –1 ) + 3 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 2 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 0 ) + 3 ( 1 ) + 1 ( −3 ) 3 ( –1 ) + 3 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 3 ( 0 ) + 3 ( 1 ) + 1 ( −3 ) 2 ( –1 ) + 4 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 2 ( 1 ) + 4 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 0 ) + 4 ( 1 ) + 1 ( −3 ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A −1 A = [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 − 3 ] [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] = [ −1 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 0 ( 2 ) −1 ( 3 ) + 1 ( 3 ) + 0 ( 4 ) −1 ( 1 ) + 1 ( 1 ) + 0 ( 1 ) −1 ( 2 ) + 0 ( 3 ) + 1 ( 2 ) −1 ( 3 ) + 0 ( 3 ) + 1 ( 4 ) −1 ( 1 ) + 0 ( 1 ) + 1 ( 1 ) 6 ( 2 ) + −2 ( 3 ) + −3 ( 2 ) 6 ( 3 ) + −2 ( 3 ) + −3 ( 4 ) 6 ( 1 ) + −2 ( 1 ) + −3 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Ejercicio Halle la inversa de la matriz 3 × 3 . A = [ 2 -17 11 −1 11 −7 0 3 −2 ] A −1 = [ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ] Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: X es la matriz que representa las variables del sistema y B es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices , podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como A X = B Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa , consideremos que A representa la matriz de coeficientes , consideremos que X representa la matriz variable y que B representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema A X = B . Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es A = [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] La matriz variable es X = [ x y ] Y la matriz constante es B = [ c 1 c 2 ] Luego A X = B parece [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] [ x y ] = [ c 1 c 2 ] Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso, ( 2 −1 ) 2 = ( 1 2 ) 2 = 1. Para resolver una sola ecuación lineal a x = b por x , simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de a . Así, a x = b ( 1 a ) a x = ( 1 a ) b ( a −1 ) a x = ( a −1 ) b [ ( a −1 ) a ] x = ( a −1 ) b 1 x = ( a −1 ) b x = ( a −1 ) b La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable. Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema 2 × 2 y luego pasar a un sistema 3 × 3 . Resolver un sistema de ecuaciones mediante la inversa de una matriz Dado un sistema de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes A , la matriz variable X y la matriz constante B . Entonces A X = B Multiplique ambos lados por la inversa de A para obtener la solución. ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ ( A −1 ) A ] X = ( A −1 ) B I X = ( A −1 ) B X = ( A −1 ) B PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si la matriz de coeficientes no tiene una inversa, ¿significa que el sistema no tiene solución? No, si la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema podría ser inconsistente y no tener solución o ser dependiente y tener infinitas soluciones. Resolver un sistema 2 × 2 mediante la inversa de una matriz Resuelva el sistema de ecuaciones dado utilizando la inversa de una matriz. 3 x + 8 y = 5 4 x + 11 y = 7 Escriba el sistema en términos de una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante. A = [ 3 8 4 11 ] , X = [ x y ] , B = [ 5 7 ] Entonces [ 3 8 4 11 ] [ x y ] = [ 5 7 ] Primero, tenemos que calcular A −1 . Mediante la fórmula para calcular la inversa de una matriz 2 por 2, tenemos: A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] = 1 3 ( 11 ) −8 ( 4 ) [ 11 −8 -4 3 ] = 1 1 [ 11 −8 -4 3 ] Así que, A −1 = [ 11 −8 -4 ​ ​ 3 ] Ahora estamos listos para resolver. Multiplique ambos lados de la ecuación por A −1 . ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ 11 −8 -4 3 ] [ 3 8 4 11 ] [ x y ] = [ 11 −8 -4 3 ] [ 5 7 ] [ 1 0 0 1 ] [ x y ] = [ 11 ( 5 ) + ( −8 ) 7 -4 ( 5 ) + 3 ( 7 ) ] [ x y ] = [ −1 1 ] La solución es ( –1 , 1 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos resolver para X hallando el producto B A −1 ? No, recuerde que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que A −1 B ≠ B A −1 . Considere nuestros pasos para resolver la ecuación de la matriz. ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ ( A −1 ) A ] X = ( A −1 ) B I X = ( A −1 ) B X = ( A −1 ) B Observe que en el primer paso hemos multiplicado ambos lados de la ecuación por A −1 , pero el A −1 estaba a la izquierda de A en el lado izquierdo y a la izquierda de B en el lado derecho. Como la multiplicación de matrices no es conmutativa, el orden es importante. Resolver un sistema 3 × 3 mediante la inversa de una matriz Resuelva el siguiente sistema utilizando la inversa de una matriz. 5 x + 15 y + 56 c = 35 -4 x −11 y −41 c = -26 − x −3 y −11 c = −7 Escriba la ecuación A X = B . [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 ] [ x y z ] = [ 35 -26 −7 ] Primero, hallaremos la inversa de A aumentándola con la identidad. [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplique la fila 1 por 1 5 . [ 1 3 56 5 -4 −11 −41 −1 −3 −11 | 1 5 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplique la fila 1 por 4 y súmela a la fila 2. [ 1 3 56 5 0 1 19 5 −1 −3 −11 | 1 5 0 0 4 5 1 0 0 0 1 ] Sume la fila 1 a la fila 3. [ 1 3 56 5 0 1 19 5 0 0 1 5 | 1 5 0 0 4 5 1 0 1 5 0 1 ] Multiplique la fila 2 por –3 y súmela a la fila 1. [ 1 0 - 1 5 0 1 19 5 0 0 1 5 | − 11 5 −3 0 4 5 1 0 1 5 0 1 ] Multiplique la fila 3 por 5. [ 1 0 - 1 5 0 1 19 5 0 0 1 | − 11 5 −3 0 4 5 1 0 1 0 5 ] Multiplique la fila 3 por 1 5 y sume a la fila 1. [ 1 0 0 0 1 19 5 0 0 1 | −2 −3 1 4 5 1 0 1 0 5 ] Multiplique la fila 3 por − 19 5 y sume a la fila 2. [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] Así que, A −1 = [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] Multiplique ambos lados de la ecuación por A −1 . Queremos A −1 A X = A −1 B : [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 ] [ x y z ] = [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] [ 35 -26 −7 ] Por lo tanto, A −1 B = [ −70 + 78 −7 -105 -26 + 133 35 + 0 −35 ] = [ 1 2 0 ] La solución es ( 1 , 2 , 0 ) . Ejercicio Resuelva el sistema utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. 2 x − 17 y + 11 c = 0 - x + 11 y - 7 z = 8 3 y - 2 z = –2 X = [ 4 38 58 ] Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices inversas utilizando una calculadora. Guarde la matriz de coeficientes y la matriz constante como variables de la matriz [ A ] y [ B ] . Introduzca la multiplicación en la calculadora, y llame cada variable de la matriz según sea necesario. Si la matriz de coeficientes es invertible, la calculadora presentará la matriz solución; si la matriz de coeficientes no es invertible, la calculadora presentará un mensaje de error. Uso de la calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas Resuelva el sistema de ecuaciones con matrices inversas utilizando una calculadora 2 x + 3 y + z = 32 3 x + 3 y + z = −27 2 x + 4 y + z = –2 En la página de matrices de la calculadora, introduzca la matriz de coeficientes como variable de la matriz [ A ] , e introduzca la matriz constante como variable de la matriz [ B ] . [ A ] = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] , [ B ] = [ 32 −27 −2 ] En la pantalla de inicio de la calculadora, escriba la multiplicación para resolver X , y llame cada variable de la matriz según sea necesario. [ A ] −1 × [ B ] Evaluar la expresión. [ −59 −34 252 ] Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de sistemas con inversos. La matriz identidad Determinar matrices inversas Usar una ecuación de la matriz para resolver un sistema de ecuaciones Ecuaciones clave Matriz identidad para una matriz 2 × 2 I 2 = [ 1 0 0 1 ] Matriz identidad para una matriz 3 × 3 I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplicador inverso de una matriz 2 × 2 A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] , donde a d − b c ≠ 0 Conceptos clave Una matriz identidad tiene la propiedad A I = I A = A . Vea el . Una matriz invertible tiene la propiedad A A −1 = A −1 A = I . Vea el . Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz 2 × 2 . Vea el . El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el . Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el . Podemos aumentar una matriz 3 × 3 con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el . Escriba el sistema de ecuaciones como A X = B , y multiplique ambos lados por la inversa de A : A −1 A X = A −1 B . Vea el y el . También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En una sección anterior mostramos que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A B ≠ B A en la mayoría de los casos. ¿Puede explicar por qué la multiplicación de matrices es conmutativa para las matrices inversas, es decir, A −1 A = A A −1 ? Si A −1 es la inversa de A , entonces A A −1 = I , la matriz identidad. Dado que A es también la inversa de A −1 , A −1 A = I . También puede comprobarlo probando esto para una matriz 2 × 2 . ¿Todas las matrices 2 × 2 tienen una inversa? Explique por qué sí o por qué no. Explique qué condición es necesaria para que exista una inversa. ¿Puede explicar si una matriz 2 × 2 con una fila entera de ceros puede tener una inversa? No, porque a d y b c son ambos 0, por lo que a d − b c = 0 , lo que nos obliga a dividir entre 0 en la fórmula. ¿Una matriz con una columna entera de ceros puede tener una inversa? Explique por qué sí o por qué no. ¿Una matriz con ceros en la diagonal puede tener una inversa? Si es así, busque un ejemplo. Si no es así, demuestre por qué no. Para simplificar, supongamos una matriz 2 × 2 . Sí. Considere la matriz [ 0 1 1 0 ] . La inversa se despeja con el siguiente cálculo: A −1 = 1 0 ( 0 ) −1 ( 1 ) [ 0 −1 −1 0 ] = [ 0 1 1 0 ] . Algebraicos En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz A es la inversa de la matriz B . A = [ 1 0 −1 1 ] , B = [ 1 0 1 1 ] A = [ 1 2 3 4 ] , B = [ −2 1 3 2 – 1 2 ] A B = B A = [ 1 0 0 1 ] = I A = [ 4 5 7 0 ] , B = [ 0 1 7 1 5 - 4 35 ] A = [ −2 1 2 3 −1 ] , B = [ −2 −1 −6 -4 ] A B = B A = [ 1 0 0 1 ] = I A = [ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ] , B = 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ] A = [ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ] , B = 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ] A B = B A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = I A = [ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ] , B = 1 36 [ −6 84 −6 7 -26 1 −1 −22 5 ] En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe. [ 3 −2 1 9 ] 1 29 [ 9 2 −1 3 ] [ −2 2 3 1 ] [ −3 7 9 2 ] 1 69 [ −2 7 9 3 ] [ -4 −3 −5 8 ] [ 1 1 2 2 ] No tiene inversa [ 0 1 1 0 ] [ 0,5 1,5 1 -0,5 ] 4 7 [ 0,5 1,5 1 -0,5 ] [ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ] [ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ] 1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ] [ 1 2 −1 −3 4 1 −2 -4 −5 ] [ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ] 1 209 [ 47 -57 69 10 19 −12 −24 38 -13 ] [ 1 −2 3 -4 8 −12 1 4 2 ] [ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ] [ 18 60 −168 -56 −140 448 40 80 -280 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz 2 × 2 . 5 x - 6 y = − 61 4 x + 3 y = - 2 ( −5 , 6 ) 8 x + 4 y = -100 3 x -4 y = 1 3 x −2 y = 6 - x + 5 y = –2 ( 2 , 0 ) 5 x -4 y = −5 4 x + y = 2,3 −3 x -4 y = 9 12 x + 4 y = −6 ( 1 3 , - 5 2 ) −2 x + 3 y = 3 10 - x + 5 y = 1 2 8 5 x - 4 5 y = 2 5 − 8 5 x + 1 5 y = 7 10 ( – 2 3 , − 11 6 ) 1 2 x + 1 5 y = - 1 4 1 2 x - 3 5 y = - 9 4 En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz 3 × 3 . 3 x −2 y + 5 z = 21 5 x + 4 y = 37 x −2 y −5 c = 5 ( 7 , 1 2 , 1 5 ) 4 x + 4 y + 4 z = 40 2 x - 3 y + 4 z = −12 − x + 3 y + 4 z = 9 6 x - 5 y - z = 31 − x + 2 y + z = –6 3 x + 3 y + 2 z = 13 ( 5 , 0 , –1 ) 6 x −5 y + 2 z = -4 2 x + 5 y - z = 12 2 x + 5 y + z = 12 4 x −2 y + 3 z = −12 2 x + 2 y −9 c = 33 6 y -4 c = 1 1 34 ( −35 , -97 , −154 ) 1 10 x – 1 5 y + 4 z = −41 2 1 5 x -20 y + 2 5 z = −101 3 10 x + 4 y - 3 10 z = 23 1 2 x – 1 5 y + 1 5 z = 31 100 − 3 4 x – 1 4 y + 1 2 z = 7 40 − 4 5 x – 1 2 y + 3 2 z = 1 4 1 690 ( 65 , –1.136 , −229 ) 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = −1,4 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 0,6 0,4 y + 0,9 c = –2 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas. 2 x - y = −3 − x + 2 y = 2,3 ( − 37 30 , 8 15 ) - 1 2 x - 3 2 y = − 43 20 5 2 x + 11 5 y = 31 4 12,3 x −2 y -2,5 c = 2 36,9 x + 7 y -7,5 c = −7 8 y −5 c = −10 ( 10 123 , –1 , 2 5 ) 0,5 x −3 y + 6 z = -0,8 0,7 x −2 y = -0,06 0,5 x + 4 y + 5 z = 0 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada. [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ] 1 2 [ 2 1 - 1 - 1 0 1 1 - 1 0 - 1 1 1 0 1 - 1 1 ] [ - 1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 – 1 0 1 - 3 0 1 ] [ 1 - 2 3 0 0 1 0 2 1 4 – 2 3 - 5 0 1 1 ] 1 39 [ 3 2 1 - 7 18 − 53 32 10 24 − 36 21 9 − 9 46 − 16 - 5 ] [ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 ] Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz. Se vendieron 2.400 entradas para un partido de baloncesto. Si los precios de la zona 1 y de la zona 2 eran diferentes, y la cantidad total de dinero recaudado es de 64.000 dólares, ¿cuál era el precio de cada entrada? En el ejercicio anterior, si le dicen que se han vendido 400 entradas más para la zona 2 que para la zona 1, ¿cuál es el precio de cada entrada? Soluciones infinitas. Una colecta de alimentos recogió dos tipos diferentes de productos enlatados, judías verdes y frijoles rojos. El número total de latas recogidas fue de 350 y el peso total de todos los alimentos donados fue de 348 lb , 12 oz . Si las latas de judías verdes pesan 2 oz menos que las latas de frijoles rojos, ¿cuántas de cada lata se donaron? Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El 95 % de las frutas consistían en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas son dos veces más populares que las bananas, y las manzanas son el 5 % menos populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta? 50 % naranjas, 25 % plátanos, 20 % manzanas El club de enfermería organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 1 dólar y el de las galletas de chocolate de 0,75 dólares. Recaudaron 700 dólares y vendieron 850 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron? Una tienda de ropa necesita pedir un nuevo inventario. Tiene tres tipos de sombreros a la venta: sombreros de paja, gorros y sombreros de vaquero. El sombrero de paja tiene un precio de 13,99 dólares, el gorro de 7,99 dólares y el sombrero de vaquero de 14,49 dólares. Si el trimestre pasado se vendieron 100 sombreros, se recaudaron 1.119 dólares por las ventas, y la cantidad de gorros vendidos fue 10 más que la de sombreros de vaquero, ¿cuántos de cada uno debería pedir la tienda de ropa para reponer los ya vendidos? 10 sombreros de paja, 50 gorros, 40 sombreros de vaquero Anna, Percy y Morgan pesan conjuntamente 370 lb . Si Morgan pesa 20 lb más que Percy, y Anna pesa 1,5 veces más que Percy, ¿cuánto pesa cada persona? Tres compañeros de apartamento compartieron un paquete de 12 barritas de helado, pero nadie recuerda cuántas comió cada quien. Si Micah comió el doble de barritas de helado que Joe, y Albert comió tres menos que Micah, ¿cuántas barritas de helado comió cada compañero? Micah se comió 6, Joe 3 y Albert 3. Un granjero construyó un gallinero con malla metálica, madera y madera contrachapada. La malla metálica cuesta 2 dólares por pie cuadrado, la madera 10 dólares por pie cuadrado y el contrachapado 5 dólares por pie cuadrado. El agricultor gastó un total de 51 dólares, y la cantidad total de materiales utilizados fue 14 ft 2 . Utilizó 3 ft 2 más de alambre de gallinero que de madera contrachapada. ¿Qué cantidad de cada material utilizó el agricultor? Jay tiene limoneros, naranjos y granados en su patio trasero. Una naranja pesa 8 oz, un limón 5 oz y una granada 11 oz. Jay recogió 142 piezas de fruta con un peso total de 70 lb, 10 oz. Recogió 15,5 veces más naranjas que granadas. ¿Cuántas de cada fruta recogió Jay? 124 naranjas, 10 limones, 8 granadas matriz identidad una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto; actúa como un 1 en el álgebra de la matriz multiplicador inverso de una matriz una matriz que, multiplicada por la original, es igual a la matriz identidad", "section": "Resolver sistemas con inversas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Resolver sistemas con la regla de Cramer Objetivos de aprendizaje Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3) Objetivo 1: Utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones (IA 4.6.3) La regla de Cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de ecuaciones. Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones. 2 x + 3 y = 3 x + 3 y = 12 Evalúe el determinante del sistema mediante los coeficientes de las variables D = 2 3 1 3 = 6 3 = 9 Evalúe el determinante Dx. Sustituya los coeficientes de la variable x, –2 y 1, por las constantes 3 y 12 D x = 3 3 12 3 = 9 36 = 27 Evalúe el determinante Dy. Sustituya los coeficientes de la variable y, 3 y 3, por las constantes 3 y 12 D y = 2 3 1 12 = 24 3 = 27 Halle x y y x = D x D = 27 9 = 3 y = D y D = 27 9 = 3 Escriba la solución como un par ordenado ( 3 , 3 ) Compruebe la solución en las ecuaciones originales La práctica hace la perfección Use la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones. 3 x + 8 y = 3 2 x + 5 y = 3 Resuelva el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer { 3 x - 5 y + 4 z = 5 5 x + 2 y + z = 0 2 x + 3 y - 2 z = 3 . Evalúe el determinante D . Expanda por menores utilizando la columna 1. Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D x . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de x . Expanda por menores utilizando la columna 1. Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D y . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de y . Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Evalúe el determinante D c . Utilice las constantes de para sustituir los coeficientes de z . Evalúe los factores determinantes. Simplifique. Simplifique. Simplifique. Halle x , y y z . Sustituya los valores. Simplifique. Escriba la solución como un triple ordenado. Compruebe que el triple ordenado es una solución a las tres ecuaciones originales. Le dejamos la comprobación a usted. La solución es ( 2 , −3 , –4 ) . La práctica hace la perfección Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de tres ecuaciones. 3 x + 8 y + 2 z = – 5 2 x + 5 y 3 z = 0 x + 2 y 2 z = 1 Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por varios métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss-Jordan, utilizando la inversa de una matriz y mediante gráficos. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más adecuados en determinadas situaciones. En esta sección estudiaremos otras dos estrategias para resolver sistemas de ecuaciones. Evaluar el determinante de una matriz 2×2 El determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí, utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. Las señales o mensajes seguros se envían a veces codificados en una matriz. Los datos solo se pueden descifrar con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se exponen en esta sección. Halle el determinante de una matriz de 2 × 2 El determinante de una matriz 2 × 2 dado que A = [ a b c d ] se define como Fíjese en el cambio de notación. Hay varias formas de indicar el determinante, entre ellas det ( A ) y sustituir los corchetes de una matriz por líneas rectas, | A | . Hallar el determinante de una matriz 2 × 2 Halle el determinante de la matriz dada. A = [ 5 2 - 6 3 ] det ( A ) = | 5 2 - 6 3 | = 5 ( 3 ) - ( −6 ) ( 2 ) = 27 Usar la regla de Cramer para resolver un sistema de dos ecuaciones en dos variables Ahora presentaremos un último método para resolver sistemas de ecuaciones que utiliza determinantes. Conocida como regla de Cramer , esta técnica se remonta a mediados del siglo XVIII y lleva el nombre de su innovador, el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752), que la introdujo en 1750 en Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques “Introducción al análisis de curvas algebraicas”. . La regla de Cramer es un método viable y eficiente para calcular soluciones a sistemas con un número arbitrario de incógnitas, siempre que tengamos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. La regla de Cramer nos dará la solución única de un sistema de ecuaciones, si existe. Sin embargo, si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones, esto se indicará con un determinante de cero. Para saber si el sistema es inconsistente o dependiente, habrá que utilizar otro método, como la eliminación. Para entender la regla de Cramer, vamos a ver de cerca cómo resolvemos los sistemas de ecuaciones lineales mediante operaciones básicas de fila. Consideremos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. a 1 x + b 1 y = c 1 ( 1 ) a 2 x + b 2 y = c 2 ( 2 ) Eliminamos una variable mediante operaciones de fila y resolvemos la otra. Digamos que deseamos resolver para x . Si la ecuación (2) se multiplica por el contrario del coeficiente de y en la ecuación (1), la ecuación (1) se multiplica por el coeficiente de y en la ecuación (2) y sumamos las dos ecuaciones, la variable y será eliminada. b 2 a 1 x + b 2 b 1 y = b 2 c 1 Multiplique R 1 por b 2 - b 1 a 2 x - b 1 b 2 y = - b 1 c 2 Multiplique R 2 por − b 1 ________________________________________________________ b 2 a 1 x - b 1 a 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 Ahora, resuelva para x . b 2 a 1 x - b 1 a 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 x ( b 2 a 1 - b 1 a 2 ) = b 2 c 1 - b 1 c 2 x = b 2 c 1 - b 1 c 2 b 2 a 1 - b 1 a 2 = | c 1 b 1 c 2 b 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | Del mismo modo, resuelva para y , eliminaremos x . a 2 a 1 x + a 2 b 1 y = a 2 c 1 Multiplique R 1 por a 2 - a 1 a 2 x – a 1 b 2 y = - a 1 c 2 Multiplique R 2 por − a 1 ________________________________________________________ a 2 b 1 y − a 1 b 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 Resuelva para y da como resultado a 2 b 1 y − a 1 b 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 y ( a 2 b 1 - a 1 b 2 ) = a 2 c 1 - a 1 c 2 y = a 2 c 1 - a 1 c 2 a 2 b 1 - a 1 b 2 = a 1 c 2 - a 2 c 1 a 1 b 2 - a 2 b 1 = | a 1 c 1 a 2 c 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | Observe que el denominador de ambos x y y es el determinante de la matriz de coeficientes. Podemos utilizar estas fórmulas para resolver x y y , pero la regla de Cramer también introduce una nueva notación: D : determinante de la matriz de coeficientes D x : determinante del numerador en la solución de x x = D x D D y : determinante del numerador en la solución de y y = D y D La clave de la regla de Cramer es sustituir la columna variable de interés por la columna constante y calcular los determinantes. Podemos entonces expresar x y y como cociente de dos determinantes. Regla de Cramer para sistemas de 2×2 La regla de Cramer es un método que utiliza los determinantes para resolver sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de variables. Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 La solución utilizando la regla de Cramer es x = D x D = | c 1 b 1 c 2 b 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | , D ≠ 0 ; ​ ​ y = D y D = | a 1 c 1 a 2 c 2 | | a 1 b 1 a 2 b 2 | , D ≠ 0 . Si resolvemos para x , la intersección x se sustituye por la columna constante. Si resolvemos para y , la columna y se sustituye por la columna constante. Usar la regla de Cramer para resolver un sistema 2 × 2 Resuelva el siguiente sistema 2 × 2 mediante la regla de Cramer. 12 x + 3 y = 15 2 x - 3 y = 13 Resuelva para x . x = D x D = | 15 3 13 − 3 | | 12 3 2 - 3 | = − 45 − 39 − 36 − 6 = − 84 − 42 = 2 Resuelva para y . y = D y D = | 12 15 2 13 | | 12 3 2 - 3 | = 156 − 30 − 36 − 6 = − 126 42 = −3 La solución es ( 2 , −3 ) . elemento ejercicio Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones 2 × 2. x + 2 y = −11 − 2 x + y = -13 ( 3 , - 7 ) Evaluar el determinante de una matriz 3 × 3 Hallar el determinante de una matriz 2×2 es sencillo, pero hallar el determinante de una matriz 3×3 es más complicado. Un método consiste en aumentar la matriz 3×3 con una repetición de las dos primeras columnas, lo que genera una matriz 3×5. A continuación, calculamos la suma de los productos de las entradas hacia abajo de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha) y restamos los productos de las entradas hacia arriba de cada una de las tres diagonales (de la izquierda a la derecha). Esto se entiende mejor con una imagen y un ejemplo. Halle el determinante de la matriz 3×3. A = [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] Aumente A con las dos primeras columnas. det ( A ) = | a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 | a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | De arriba a la izquierda a abajo a la derecha: multiplique las entradas por la primera diagonal. Sume el resultado al producto de las entradas de la segunda diagonal. Sume este resultado al producto de las entradas de la tercera diagonal. De abajo a la izquierda a arriba a la derecha: reste el producto de las entradas de la primera diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la segunda diagonal. A este resultado hay que restarle el producto de las entradas de la tercera diagonal. El álgebra es la siguiente: | A | = a 1 b 2 c 3 + b 1 c 2 a 3 + c 1 a 2 b 3 − a 3 b 2 c 1 - b 3 c 2 a 1 - c 3 a 2 b 1 Hallar el determinante de una matriz 3 × 3 Halle el determinante de la matriz 3 × 3 dada A = [ 0 2 1 3 - 1 1 4 0 1 ] Aumente la matriz con las dos primeras columnas y siga la fórmula. Por lo tanto, | A | = | 0 2 1 3 - 1 1 4 0 1 | 0 3 4 2 – 1 0 | = 0 ( - 1 ) ( 1 ) + 2 ( 1 ) ( 4 ) + 1 ( 3 ) ( 0 ) - 4 ( - 1 ) ( 1 ) - 0 ( 1 ) ( 0 ) - 1 ( 3 ) ( 2 ) = 0 + 8 + 0 + 4 - 0 - 6 = 6 elemento ejercicio Halle el determinante de la matriz 3 × 3. det ( A ) = | 1 - 3 7 1 1 1 1 - 2 3 | − 10 Función preguntas y respuestas ¿Podemos utilizar el mismo método para hallar el determinante de una matriz más grande? No, este método solo funciona para matrices 2 × 2 y 3 × 3 . Para matrices más grandes, es mejor utilizar una herramienta gráfica o un software. Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables Ahora que podemos calcular el determinante de una matriz 3 × 3, podemos aplicar la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables . La regla de Cramer es sencilla y sigue un patrón consistente con la regla de Cramer para matrices de 2 × 2. Sin embargo, a medida que el orden de la matriz aumenta a 3 × 3, se requieren muchos más cálculos. Cuando calculamos que el determinante es cero, la regla de Cramer no da ninguna indicación de si el sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones. Para averiguarlo, tenemos que hacer una eliminación en el sistema. Considere un sistema de ecuaciones 3 × 3. x = D x D , y = D y D , z = D c D , D ≠ 0 donde Si escribimos el determinante D x , sustituimos la columna x con la columna constante. Si escribimos el determinante D y , sustituimos la columna y con la columna constante. Si escribimos el determinante D c , sustituimos la columna c con la columna constante. Compruebe siempre la respuesta. Resolver un sistema de 3 × 3 mediante la regla de Cramer Halle la solución del sistema de 3 × 3 dado mediante la regla de Cramer. x + y - z = 6 3 x - 2 y + z = −5 x + 3 y - 2 z = 14 Utilice la regla de Cramer. D = | 1 1 - 1 3 - 2 1 1 3 - 2 | , D x = | 6 1 - 1 - 5 - 2 1 14 3 - 2 | , D y = | 1 6 - 1 3 - 5 1 1 14 − 2 | , D c = | 1 1 6 3 - 2 - 5 1 3 14 | Entonces, x = D x D = - 3 - 3 = 1 y = D y D = - 9 − 3 = 3 z = D c D = 6 - 3 = - 2 La solución es ( 1 , 3 , –2 ) . elemento ejercicio Usar la regla de Cramer para resolver la matriz 3 × 3. x - 3 y + 7 z = 13 x + y + z = 1 x - 2 y + 3 z = 4 ( – 2 , 3 5 , 12 5 ) Usar la regla de Cramer para resolver un sistema inconsistente Resuelva el sistema de ecuaciones mediante la regla de Cramer. 3 x - 2 y = 4 ( 1 ) 6 x - 4 y = 0 ( 2 ) Comenzamos por hallar los determinantes D , D x , y D y . D = | 3 - 2 6 - 4 | = 3 ( - 4 ) - 6 ( – 2 ) = 0 Sabemos que un determinante de cero significa que, o bien, el sistema no tiene solución, o bien, tiene un número infinito de soluciones. Para ver cuál es, utilizamos el proceso de eliminación. Nuestra meta es eliminar una de las variables. Multiplique la ecuación (1) por -2. Sume el resultado a la ecuación ( 2 ) . − 6 x + 4 y = −8 6 x - 4 y = 0 _______________ 0 = −8 Obtenemos la ecuación 0 = –8 , lo cual es falso. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. El gráfico del sistema revela dos líneas paralelas. Vea la . Utilizar la regla de Cramer para resolver un sistema dependiente Resuelva el sistema con un número infinito de soluciones. x - 2 y + 3 z = 0 ( 1 ) 3 x + y - 2 z = 0 ( 2 ) 2 x - 4 y + 6 z = 0 ( 3 ) Primero hallemos el determinante. Establezca una matriz aumentada por las dos primeras columnas. | 1 −2 3 3 1 −2 2 -4 6 | 1 −2 3 1 2 -4 | Entonces, 1 ( 1 ) ( 6 ) + ( – 2 ) ( – 2 ) ( 2 ) + 3 ( 3 ) ( - 4 ) - 2 ( 1 ) ( 3 ) - ( - 4 ) ( – 2 ) ( 1 ) - 6 ( 3 ) ( – 2 ) = 0 Como el determinante es igual a cero, no hay solución o hay un número infinito de soluciones. Tenemos que realizar la eliminación para averiguarlo. Multiplique la ecuación (1) por −2 y sume el resultado a la ecuación (3): − 2 x + 4 y - 6 z = 0 2 x - 4 y + 6 z = 0 0 = 0 Obtener una respuesta de 0 = 0 , un enunciado que siempre es verdadero, significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. Al graficar el sistema, podemos ver que dos de los planos son iguales y ambos intersecan al tercer plano en una línea. Vea la . Comprender las propiedades de los determinantes Hay muchas propiedades de los determinantes . A continuación, se enumeran algunas propiedades que pueden ser útiles para calcular el determinante de una matriz. una etiqueta de nota general Propiedades de los determinantes Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas por la diagonal principal. Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo. Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero. El determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante de la matriz A . Si cualquier fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Ilustrar propiedades de los determinantes Ilustre cada una de las propiedades de los determinantes. La propiedad 1 establece que si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es el producto de las entradas por la diagonal principal. A = [ 1 2 3 0 2 1 0 0 - 1 ] Aumente A con las dos primeras columnas. A = [ 1 2 3 0 2 1 0 0 - 1 | 1 0 0 2 2 0 ] Entonces det ( A ) = 1 ( 2 ) ( –1 ) + 2 ( 1 ) ( 0 ) + 3 ( 0 ) ( 0 ) - 0 ( 2 ) ( 3 ) - 0 ( 1 ) ( 1 ) + 1 ( 0 ) ( 2 ) = –2 La propiedad 2 establece que el intercambio de filas cambia el signo. Dado A = [ −1 5 4 −3 ] , det ( A ) = ( –1 ) ( −3 ) - ( 4 ) ( 5 ) = 3 - 20 = -17 B = [ 4 - 3 - 1 5 ] , det ( B ) = ( 4 ) ( 5 ) - ( –1 ) ( −3 ) = 20 − 3 = 17 La propiedad 3 establece que si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. A = [ 1 2 2 2 2 2 −1 2 2 | 1 2 −1 2 2 2 ] det ( A ) = 1 ( 2 ) ( 2 ) + 2 ( 2 ) ( –1 ) + 2 ( 2 ) ( 2 ) + 1 ( 2 ) ( 2 ) - 2 ( 2 ) ( 1 ) - 2 ( 2 ) ( 2 ) = 4 - 4 + 8 + 4 - 4 − 8 = 0 La propiedad 4 establece que si una fila o una columna es igual a cero, el determinante es igual a cero. Por lo tanto, A = [ 1 2 0 0 ] , det ( A ) = 1 ( 0 ) - 2 ( 0 ) = 0 La propiedad 5 establece que el determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante A . Así, A = [ 1 2 3 4 ] , det ( A ) = 1 ( 4 ) - 3 ( 2 ) = −2 A − 1 = [ - 2 1 3 2 – 1 2 ] , det ( A − 1 ) = - 2 ( - 1 2 ) - ( 3 2 ) ( 1 ) = - 1 2 La propiedad 6 establece que si cualquier fila o columna de una matriz se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Por lo tanto, A = [ 1 2 3 4 ] , det ( A ) = 1 ( 4 ) - 2 ( 3 ) = −2 B = [ 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 3 4 ] , det ( B ) = 2 ( 4 ) - 3 ( 4 ) = –4 Usar la regla de Cramer y propiedades de los determinantes para resolver un sistema Halle la solución del sistema 3 × 3 dado. 2 x + 4 y + 4 z = 2 ( 1 ) 3 x + 7 y + 7 z = −5 ( 2 ) x + 2 y + 2 z = 4 ( 3 ) Al utilizar la regla de Cramer , tenemos D = | 2 4 4 3 7 7 1 2 2 | Observe que la segunda y la tercera columna son idénticas. Según la propiedad 3, el determinante será cero, por lo que no hay solución o hay un número infinito de soluciones. Tenemos que realizar la eliminación para averiguarlo. Multiplique la ecuación (3) por –2 y sume el resultado a la ecuación (1). − 2 x - 4 y - 4 x = - 8 2 x + 4 y + 4 z = 2 0 = − 6 Obtener un enunciado que sea una contradicción significa que el sistema no tiene solución. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más instrucciones y practicar la regla de Cramer. Resolver un sistema de dos ecuaciones mediante la regla de Cramer Resolver un sistema de tres ecuaciones mediante la regla de Cramer Conceptos clave El determinante para [ a b c d ] es a d − b c . Vea el . La regla de Cramer sustituye una columna variable por la columna constante. Las soluciones son x = D x D , y = D y D . Vea el . Para calcular el determinante de una matriz 3×3, aumente con las dos primeras columnas. Sume las tres entradas diagonales (de la izquierda superior a la derecha inferior) y reste las tres entradas diagonales (de la izquierda inferior a la derecha superior). Vea el . Para resolver un sistema de tres ecuaciones en tres variables mediante la regla de Cramer, sustituya una columna variable por la columna de la constante para cada solución deseada x = D x D , y = D y D , z = D c D . Vea el . La regla de Cramer también es útil para hallar la solución de un sistema de ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones. Vea el y el . Ciertas propiedades de los determinantes son útiles para resolver problemas. Por ejemplo: Si la matriz está en forma triangular superior, el determinante es igual al producto de las entradas por la diagonal principal. Cuando se intercambian dos filas, el determinante cambia de signo. Si dos filas o dos columnas son idénticas, el determinante es igual a cero. Si una matriz contiene una fila de ceros o una columna de ceros, el determinante es igual a cero. El determinante de una matriz inversa A − 1 es el recíproco del determinante de la matriz A . Si cualquier fila o columna se multiplica por una constante, el determinante se multiplica por el mismo factor. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique por qué siempre podemos evaluar el determinante de una matriz cuadrada. Un determinante es la suma y el producto de las entradas de la matriz, por lo que siempre se puede evaluar ese producto, aunque acabe siendo 0. Examine la regla de Cramer y explique por qué no existe una solución única para el sistema cuando el determinante de su matriz es 0. Para simplificar, utilice una matriz 2 × 2 . Explique qué significa en términos de inversa que una matriz tenga un determinante 0. La inversa no existe. El determinante de la matriz 2 × 2 A es 3. Si cambia las filas y multiplica la primera fila por 6 y la segunda por 2, explique cómo hallar el determinante y proporcione la respuesta. Algebraicos En los siguientes ejercicios, calcule el determinante. | 1 2 3 4 | - 2 | - 1 2 3 - 4 | | 2 - 5 - 1 6 | 7 | − 8 4 - 1 5 | | 1 0 3 - 4 | - 4 | 10 20 0 - 10 | | 10 0,2 5 0,1 | 0 | 6 - 3 8 4 | | - 2 - 3 3,1 4.000 | − 7 , 990,7 | − 1,1 0,6 7,2 − 0,5 | | - 1 0 0 0 1 0 0 0 - 3 | 3 | - 1 4 0 0 2 3 0 0 - 3 | | 1 0 1 0 1 0 1 0 0 | - 1 | 2 - 3 1 3 - 4 1 - 5 6 1 | | - 2 1 4 - 4 2 - 8 2 - 8 - 3 | 224 | 6 - 1 2 - 4 - 3 5 1 9 - 1 | | 5 1 - 1 2 3 1 3 - 6 - 3 | 15 | 1,1 2 – 1 - 4 0 0 4,1 − 0,4 2,5 | | 2 − 1,6 3,1 1,1 3 - 8 − 9,3 0 2 | − 17,03 | - 1 2 1 3 1 4 1 5 - 1 6 1 7 0 0 1 8 | En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. 2 x - 3 y = −1 4 x + 5 y = 9 ( 1 , 1 ) 5 x - 4 y = 2 - 4 x + 7 y = 6 6 x - 3 y = 2 - 8 x + 9 y = –1 ( 1 2 , 1 3 ) 2 x + 6 y = 12 5 x - 2 y = 13 4 x + 3 y = 23 2 x - y = –1 ( 2 , 5 ) 10 x - 6 y = 2 - 5 x + 8 y = –1 4 x - 3 y = −3 2 x + 6 y = –4 ( - 1 , - 1 3 ) 4 x - 5 y = 7 - 3 x + 9 y = 0 4 x + 10 y = 180 − 3 x - 5 y = -105 ( 15 , 12 ) 8 x - 2 y = −3 − 4 x + 6 y = 4 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer. x + 2 y - 4 z = - 1 7 x + 3 y + 5 z = 26 − 2 x - 6 y + 7 z = − 6 ( 1 , 3 , 2 ) - 5 x + 2 y - 4 z = − 47 4 x - 3 y - z = − 94 3 x - 3 y + 2 z = 94 4 x + 5 y - z = −7 −2 x - 9 y + 2 z = 8 5 y + 7 z = 21 ( - 1 , 0 , 3 ) 4 x - 3 y + 4 z = 10 5 x - 2 z = - 2 3 x + 2 y - 5 z = - 9 4 x - 2 y + 3 z = 6 − 6 x + y = - 2 2 x + 7 y + 8 z = 24 ( 1 2 , 1 , 2 ) 5 x + 2 y - z = 1 - 7 x - 8 y + 3 z = 1,5 6 x - 12 y + z = 7 13 x − 17 y + 16 c = 73 − 11 x + 15 y + 17 c = 61 46 x + 10 y − 30 c = − 18 ( 2 , 1 , 4 ) - 4 x - 3 y - 8 z = - 7 2 x - 9 y + 5 z = 0,5 5 x - 6 y - 5 z = - 2 4 x - 6 y + 8 z = 10 - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 x + y + z = 1 Soluciones infinitas 4 x - 6 y + 8 z = 10 - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 12 x + 18 y − 24 c = − 30 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función determinante en una herramienta gráfica. | 1 0 8 9 0 2 1 0 1 0 3 0 0 2 4 3 | 24 | 1 0 2 1 0 −9 1 3 3 0 −2 −1 0 1 1 −2 | | 1 2 1 7 4 0 1 2 100 5 0 0 2 2.000 0 0 0 2 | 1 | 1 0 0 0 2 3 0 0 4 5 6 0 7 8 9 0 | Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. Luego, calcule el determinante. ¿Habrá una solución única? Si es así, halle la solución única. Dos números suman 56. Un número es 20 menos que el otro. Sí; 18, 38 Dos números suman 104. Si suma dos veces el primer número más dos veces el segundo, el total es 208 Tres números suman 106. El primer número es 3 menos que el segundo. El tercer número es 4 más que el primero. Sí; 33, 36, 37 Tres números suman 216. La suma de los dos primeros números es 112. El tercer número es 8 menos que los dos primeros números juntos. En los siguientes ejercicios, cree un sistema de ecuaciones lineales para describir el comportamiento. A continuación, resuelva el sistema para todas las soluciones mediante la regla de Cramer. Invierte 10.000 dólares en dos cuentas: una recibe un interés del 8 % y la otra del 5 %. Al final de un año, tenía 10.710 dólares en sus cuentas combinadas. ¿Cuánto se invirtió en cada cuenta? 7.000 dólares en la primera cuenta, 3.000 en la segunda. Invierte 80.000 dólares en dos cuentas: 22.000 dólares en una cuenta y 58.000 dólares en la otra. Al cabo de un año, si suponemos un interés simple, ha ganado 2.470 dólares en intereses. La segunda cuenta recibe medio porcentaje menos que el doble de intereses de la primera. ¿Cuáles son las tasas de interés de sus cuentas? El teatro necesita saber cuántas entradas de adulto y de niño se vendieron de las 1.200 entradas totales. Si las entradas para niños cuestan 5,95 dólares, las de los adultos 11,15 dólares, y el importe total de los ingresos fue de 12.756 dólares, ¿cuántas entradas de niños y de adultos se vendieron? 120 niños, 1.080 adultos Un local de conciertos vende entradas individuales por 40 dólares cada una y entradas para parejas por 65 dólares. Si los ingresos totales fueron de 18.090 dólares y se vendieron las 321 entradas, ¿cuántas entradas individuales y cuántas entradas de pareja se vendieron? Decide pintar su cocina de verde. El color de la pintura se crea mezclando pinturas amarillas y azules. No puede recordar cuántos galones de cada color se pusieron en la mezcla, pero sabe que fueron 10 galones en total. Además, guardó su recibo y sabe que el monto total gastado fue de 29,50 dólares. Si cada galón de amarillo cuesta 2,59 dólares y cada galón de azul cuesta 3,19 dólares, ¿cuántos galones de cada color entran en su mezcla verde? 4 galones de amarillo, 6 galones de azul Ha vendido dos tipos de bufandas en un mercado de productores y le gustaría saber cuál ha sido más popular. El número total de bufandas vendidas fue de 56, la bufanda amarilla costó 10 dólares y la bufanda morada 11 dólares. Si los ingresos totales fueron de 583 dólares, ¿cuántas bufandas amarillas y cuántas bufandas moradas se vendieron? Su huerto produjo dos tipos de tomates, uno verde y otro rojo. Los rojos pesan 10 oz, y los verdes pesan 4 oz. Tiene 30 tomates, y un peso total de 13 lb, 14 oz. ¿Cuántos de cada tipo de tomate tiene? 13 tomates verdes, 17 tomates rojos En un mercado, las tres hortalizas más populares representan el 53 % de las ventas del rubro. El maíz tiene el 4 % más de ventas que el brócoli, que tiene el 5 % más de ventas que la cebolla. ¿Qué porcentaje tiene cada hortaliza en la cuota de mercado? En el mismo mercado, las tres frutas más populares representan el 37 % del total de la fruta vendida. Las fresas se venden el doble que las naranjas y los kiwis un punto porcentual más que estas. Para cada fruta halle el porcentaje del total de frutas vendidas. Fresas 18 %, naranjas 9 %, kiwi 10 % Tres artistas actuaron en una sala de conciertos. El primero cobraba 15 dólares por entrada, el segundo artista cobraba 45 dólares por entrada y el último cobraba 22 dólares por entrada. Se vendieron 510 entradas, por un total de 12.700 dólares. Si la primera banda tenía 40 espectadores más que la segunda, ¿cuántas entradas se vendieron para cada banda? Una sala de cine vendía entradas para tres películas. Las entradas para la primera película costaban 5 dólares, las de la segunda 11 y las de la tercera 12. Se vendieron 100 entradas para la primera película. El número total de entradas vendidas fue de 642, con unos ingresos totales de 6.774 dólares. ¿Cuántas entradas se vendieron para cada película? 100 para la película 1, 230 para la película 2, 312 para la película 3 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una compañía preocupada por la salud decide hacer una mezcla de frutos secos con almendras, arándanos secos y anacardos cubiertos de chocolate. La información nutricional de estos artículos se muestra en la . Grasa (g) Proteínas (g) Carbohidratos (g) Almendras (10) 6 2 3 Arándanos (10) 0,02 0 8 Anacardos (10) 7 3,5 5,5 Para la mezcla de frutos secos especial \"baja en carbohidratos\", hay 1.000 piezas de mezcla. El número total de carbohidratos es de 425 g y la cantidad total de grasa es de 570,2 g. Si hay 200 piezas más de anacardos que de arándanos, ¿cuántas piezas de cada elemento hay en la mezcla de frutos secos? En el caso de la mezcla de \"senderismo\", hay 1.000 piezas en la mezcla, que contienen 390,8 g de grasa y 165 g de proteína. Si hay la misma cantidad de almendras que de anacardos, ¿cuál es la cantidad de cada elemento en la mezcla de frutos secos? 300 almendras, 400 arándanos, 300 anacardos En el caso de la mezcla \"potenciadora de energía\", hay 1.000 piezas en la mezcla que contienen 145 g de proteínas y 625 g de carbohidratos. Si el número de almendras y anacardos sumados equivale a la cantidad de arándanos, ¿cuál es la cantidad de cada elemento en la mezcla de frutos secos? Ejercicios de repaso Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En los siguientes ejercicios, determina si el par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones. 3 x - y = 4 x + 4 y = - 3 y ( - 1 , 1 ) No 6 x - 2 y = 24 − 3 x + 3 y = 18 y ( 9 , 15 ) En los siguientes ejercicios, utilice la sustitución para resolver el sistema de ecuaciones. 10 x + 5 y = −5 3 x - 2 y = −12 ( – 2 , 3 ) 4 7 x + 1 5 y = 43 70 5 6 x – 1 3 y = - 2 3 5 x + 6 y = 14 4 x + 8 y = 8 ( 4 , - 1 ) En los siguientes ejercicios, utilice adición para resolver el sistema de ecuaciones. 3 x + 2 y = −7 2 x + 4 y = 6 3 x + 4 y = 2 9 x + 12 y = 3 No existe una solución. 8 x + 4 y = 2 6 x - 5 y = 0,7 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Una fábrica tiene un costo de producción C ( x ) = 150 x + 15.000 y una función de ingresos R ( x ) = 200 x . ¿Cuál es el punto de equilibrio? ( 300 , 60 , 000 ) Un artista cobra C ( x ) = 50 x + 10 . 000 , donde x es el número total de asistentes a un espectáculo. El local cobra 75 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento? Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de tres ecuaciones utilizando la sustitución o la adición. 0,5 x – 0,5 y = 10 − 0,2 y + 0,2 x = 4 0,1 x + 0,1 c = 2 Soluciones infinitas 5 x + 3 y - z = 5 3 x - 2 y + 4 z = 13 4 x + 3 y + 5 z = 22 x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 1 3 x + 3 y = 2 No existe una solución. 2 x - 3 y + z = –1 x + y + z = -4 4 x + 2 y - 3 z = 33 3 x + 2 y - z = −10 x - y + 2 z = 7 - x + 3 y + z = –2 ( - 1 , - 2 , 3 ) 3 x + 4 z = −11 x - 2 y = 5 4 y - z = −10 2 x - 3 y + z = 0 2 x + 4 y - 3 z = 0 6 x - 2 y - z = 0 ( x , 8 x 5 , 14 x 5 ) 6 x - 4 y - 2 z = 2 3 x + 2 y - 5 z = 4 6 y - 7 z = 5 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Tres números impares suman 61. El menor es un tercio del mayor y el número del medio es 16 menos que el mayor. ¿Cuáles son los tres números? 11, 17 y 33 Un teatro local agota las entradas para su espectáculo. Venden las 500 entradas para una bolsa total de 8.070 dólares. Las entradas tenían un precio de 15 dólares para estudiantes, 12 para niños y 18 para adultos. Si la banda vendió el triple de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo? Sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales: dos variables En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones no lineales. y = x 2 - 7 y = 5 x − 13 ( 2 , - 3 ) , ( 3 , 2 ) y = x 2 - 4 y = 5 x + 10 x 2 + y 2 = 16 y = x - 8 No hay solución x 2 + y 2 = 25 y = x 2 + 5 x 2 + y 2 = 4 y - x 2 = 3 No hay solución En los siguientes ejercicios, grafique la inecuación. y > x 2 – 1 1 4 x 2 + y 2 < 4 En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de inecuaciones. x 2 + y 2 + 2 x < 3 y > − x 2 - 3 x 2 - 2 x + y 2 - 4 x < 4 y < − x + 4 x 2 + y 2 < 1 y 2 < x Fracciones parciales En los siguientes ejercicios, descomponga en fracciones parciales. - 2 x + 6 x 2 + 3 x + 2 2 x + 2 , - 4 x + 1 10 x + 2 4 x 2 + 4 x + 1 7 x + 20 x 2 + 10 x + 25 7 x + 5 , − 15 ( x + 5 ) 2 x − 18 x 2 - 12 x + 36 - x 2 + 36 x + 70 x 3 − 125 3 x - 5 , - 4 x + 1 x 2 + 5 x + 25 - 5 x 2 + 6 x - 2 x 3 + 27 x 3 - 4 x 2 + 3 x + 11 ( x 2 - 2 ) 2 x - 4 ( x 2 - 2 ) , 5 x + 3 ( x 2 - 2 ) 2 4 x 4 – 2 x 3 + 22 x 2 - 6 x + 48 x ( x 2 + 4 ) 2 Matrices y operaciones con matrices En los siguientes ejercicios, realice las operaciones solicitadas con las matrices dadas. A = [ 4 – 2 1 3 ] , B = [ 6 7 - 3 11 − 2 4 ] , C = [ 6 7 11 − 2 14 0 ] , D = [ 1 - 4 9 10 5 − 7 2 8 5 ] , E = [ 7 − 14 3 2 – 1 3 0 1 9 ] - 4 A [ − 16 8 − 4 − 12 ] 10 D − 6 E B + C indefinido; las dimensiones no coinciden A B B A indefinido; las dimensiones interiores no coinciden B C C B [ 113 28 10 44 81 − 41 84 98 − 42 ] D E E D [ − 127 − 74 176 − 2 11 40 28 77 38 ] E C C E indefinido; las dimensiones interiores no coinciden A 3 Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan En los siguientes ejercicios, escriba el sistema de ecuaciones lineales a partir de la matriz aumentada. Indique si habrá una solución única. [ 1 0 −3 0 1 2 0 0 0 | 7 −5 0 ] x - 3 z = 7 y + 2 z = - 5 con infinitas soluciones [ 1 0 5 0 1 −2 0 0 0 | −9 4 3 ] En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales. - 2 x + 2 y + z = 7 2 x - 8 y + 5 z = 0 19 x - 10 y + 22 c = 3 [ - 2 2 1 2 - 8 5 19 − 10 22 | 7 0 3 ] 4 x + 2 y - 3 z = 14 − 12 x + 3 y + z = 100 9 x - 6 y + 2 z = 31 x + 3 z = 12 − x + 4 y = 0 y + 2 z = - 7 [ 1 0 3 −1 4 0 0 1 2 | 12 0 −7 ] En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan. 3 x - 4 y = - 7 − 6 x + 8 y = 14 3 x - 4 y = 1 − 6 x + 8 y = 6 No existe una solución. − 1,1 x − 2,3 y = 6,2 − 5,2 x − 4,1 y = 4,3 2 x + 3 y + 2 z = 1 - 4 x - 6 y - 4 z = - 2 10 x + 15 y + 10 z = 0 No existe una solución. - x + 2 y - 4 z = 8 3 y + 8 z = – 4 - 7 x + y + 2 z = 1 Resolver sistemas con inversos En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz. [ − 0,2 1,4 1,2 − 0,4 ] 1 8 [ 2 7 6 1 ] [ 1 2 – 1 2 – 1 4 3 4 ] [ 12 9 - 6 - 1 3 2 - 4 - 3 2 ] No existe ningún inverso. [ 2 1 3 1 2 3 3 2 1 ] En los siguientes ejercicios, halle las soluciones mediante el cálculo de la inversa de la matriz. 0,3 x − 0,1 y = − 10 − 0,1 x + 0,3 y = 14 ( − 20 , 40 ) 0,4 x − 0,2 y = − 0,6 − 0,1 x + 0,05 y = 0,3 4 x + 3 y - 3 z = − 4,3 5 x - 4 y - z = − 6,1 x + z = − 0,7 ( - 1 , 0,2 , 0,3 ) - 2 x - 3 y + 2 z = 3 - x + 2 y + 4 z = - 5 - 2 y + 5 z = - 3 En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones para resolver cada problema. Resuelva el sistema de ecuaciones. Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El 90 % de las frutas consistía en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas fueran la mitad de populares que las bananas y las manzanas fueran el 5 % más populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta? 17 % naranjas, 34 % plátanos, 39 % manzanas Un club escolar organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 2 dólares y el de las galletas de chocolate de 1 dólar. Recaudaron 250 dólares y vendieron 175 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron? Resolver sistemas con la regla de Cramer En los siguientes ejercicios, calcule el determinante. | 100 0 0 0 | 0 | 0,2 − 0,6 0,7 − 1,1 | | - 1 4 3 0 2 3 0 0 - 3 | 6 | 2 0 0 0 2 0 0 0 2 | En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas lineales de ecuaciones. 4 x - 2 y = 23 − 5 x - 10 y = − 35 ( 6 , 1 2 ) 0,2 x − 0,1 y = 0 − 0,3 x + 0,3 y = 2,5 − 0,5 x + 0,1 y = 0,3 − 0,25 x + 0,05 y = 0,15 ( x , 5 x + 3) x + 6 y + 3 z = 4 2 x + y + 2 z = 3 3 x - 2 y + z = 0 4 x - 3 y + 5 z = - 5 2 7 x - 9 y - 3 z = 3 2 x - 5 y - 5 z = 5 2 ( 0 , 0 , - 1 2 ) 3 10 x – 1 5 y - 3 10 z = - 1 50 1 10 x – 1 10 y - 1 2 z = - 9 50 2 5 x – 1 2 y - 3 5 z = - 1 5 Prueba de práctica ¿El siguiente par ordenado es una solución del sistema de ecuaciones? - 5 x - y = 12 x + 4 y = 9 con la ( - 3 , 3 ) Sí En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales mediante sustitución o eliminación. Indicar si no existe solución. 1 2 x – 1 3 y = 4 3 2 x - y = 0 - 1 2 x - 4 y = 4 2 x + 16 y = 2 No existe una solución. 5 x - y = 1 - 10 x + 2 y = - 2 4 x - 6 y - 2 z = 1 10 x - 7 y + 5 z = - 1 4 3 x + 6 y − 9 z = 6 5 1 20 ( 10 , 5 , 4 ) x + z = 20 x + y + z = 20 x + 2 y + z = 10 5 x - 4 y - 3 z = 0 2 x + y + 2 z = 0 x - 6 y - 7 z = 0 ( x , 16 x 5 − 13 x 5 ) y = x 2 + 2 x - 3 y = x – 1 y 2 + x 2 = 25 y 2 - 2 x 2 = 1 ( – 2 2 , − 17 ) , ( – 2 2 , 17 ) , ( 2 2 , − 17 ) , ( 2 2 , 17 ) En los siguientes ejercicios, grafique las siguientes inecuaciones. y < x 2 + 9 x 2 + y 2 > 4 y < x 2 + 1 En los siguientes ejercicios, escriba la descomposición parcial de fracciones. − 8 x − 30 x 2 + 10 x + 25 13 x + 2 ( 3 x + 1 ) 2 5 3 x + 1 - 2 x + 3 ( 3 x + 1 ) 2 x 4 - x 3 + 2 x – 1 x ( x 2 + 1 ) 2 En los siguientes ejercicios, realice las operaciones con matrices dadas. 5 [ 4 9 − 2 3 ] + 1 2 [ − 6 12 4 − 8 ] [ 17 51 − 8 11 ] [ 1 4 - 7 - 2 9 5 12 0 - 4 ] [ 3 - 4 1 3 5 10 ] [ 1 2 1 3 1 4 1 5 ] - 1 [ 12 − 20 − 15 30 ] det | 0 0 400 4.000 | det | 1 2 – 1 2 0 - 1 2 0 1 2 0 1 2 0 | - 1 8 Si los valores de det ( A ) = –6 , ¿cuál sería el determinante si se intercambian las filas 1 y 3, se multiplica la segunda fila por 12 y se toma la inversa? Reescriba el sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada. 14 x - 2 y + 13 c = 140 − 2 x + 3 y - 6 z = - 1 x - 5 y + 12 c = 11 [ 14 − 2 13 − 2 3 - 6 1 - 5 12 | 140 − 1 11 ] Reescriba la matriz aumentada como un sistema de ecuaciones lineales. [ 1 0 3 - 2 4 9 - 6 1 2 | 12 − 5 8 ] En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas de ecuaciones. x - 6 y = 4 2 x - 12 y = 0 No existe una solución. 2 x + y + z = - 3 x - 2 y + 3 z = 6 x - y - z = 6 En los siguientes ejercicios, utilice la inversa de una matriz para resolver los sistemas de ecuaciones. 4 x - 5 y = - 50 − x + 2 y = 80 ( 100 , 90 ) 1 100 x - 3 100 y + 1 20 c = − 49 3 100 x - 7 100 y - 1 100 c = 13 9 100 x - 9 100 y − 9 100 c = 99 En los siguientes ejercicios, utilice la regla de Cramer para resolver los sistemas de ecuaciones. 200 x − 300 y = 2 400 x + 715 y = 4 ( 1 100 , 0 ) 0,1 x + 0,1 y − 0,1 c = − 1,2 0,1 x − 0,2 y + 0,4 c = − 1,2 0,5 x − 0,3 y + 0,8 c = − 5,9 En los siguientes ejercicios, resuelva mediante un sistema de ecuaciones lineales. Una fábrica que produce teléfonos móviles tiene las siguientes funciones de costos e ingresos: C ( x ) = x 2 + 75 x + 2.688 y R ( x ) = x 2 + 160 x . ¿Cuál es el rango de teléfonos móviles que deben producir cada día para que haya ganancias? Redondee al número más cercano que genere ganancias. 32 o más teléfonos móviles al día En una feria pequeña se cobra 1,50 dólares a los estudiantes, 1 dólar a los niños y 2 dólares a los adultos. En un día, asistieron tres veces más niños que adultos. Se vendieron un total de 800 entradas, con una recaudación total de 1.050 dólares. ¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron? Regla de Cramer un método para resolver sistemas de ecuaciones que tienen el mismo número de ecuaciones que de variables utilizando determinantes determinante número calculado a partir de las entradas de una matriz cuadrada que determina, por ejemplo, si existe una solución a un sistema de ecuaciones", "section": "Resolver sistemas con la regla de Cramer", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción Los anillos de Saturno han producido asombro, así como malentendidos, desde que Galileo los descubriera (al principio creyó que eran lunas). Aunque parecen ser una serie de discos sólidos incluso en este primer plano de 2004 de la sonda Cassini, los matemáticos del siglo XIX demostraron que están formados por miles de millones de pequeños objetos agrupados. (Créditos: modificación de \"Saturno\" por NASA/JPL-Caltech/SSI/Kevin M. Gill/flickr). El matemático griego Menecmo (c. 380–a. C. 320 a. C.) se le atribuye generalmente el descubrimiento de las formas que se generan por la intersección de un plano y un cono circular recto. Según cómo inclinara el plano cuando se cruzara con el cono, formaba diferentes formas en la intersección: bellas formas con una simetría casi perfecta. También se dijo que Aristóteles pudo haber tenido una comprensión intuitiva de estas formas, ya que observó que la órbita del planeta era circular. Supuso que los planetas se movían en órbitas circulares alrededor de la Tierra, y durante casi 2.000 años esta fue la creencia común. No fue hasta el movimiento del Renacimiento cuando Johannes Kepler se dio cuenta de que las órbitas del planeta no eran de naturaleza circular. La ley del movimiento planetario que publicó en el siglo XVII cambió para siempre nuestra visión del sistema solar. Afirmaba que el sol estaba en un extremo de las órbitas y que los planetas giraban alrededor del sol en una trayectoria ovalada. Otros objetos del sistema solar (y quizá de otros sistemas) siguen una trayectoria elíptica similar, incluidos los espectaculares anillos de Saturno. A partir de esta idea, matemáticos del siglo XIX como James Clerk Maxwell y Sofya Kovalevskaya demostraron que, a pesar de su apariencia a través de los telescopios de la época (e incluso en los actuales), los anillos no son sólidos y continuos, sino que están compuestos por pequeñas partículas. Incluso después de que las misiones Voyager y Cassini suministraran datos en primer plano y detallados sobre las estructuras de los anillos, la comprensión completa de su construcción depende en gran medida del análisis matemático. Son especialmente interesantes las influencias de las lunas y los lunares de Saturno, y la forma en que alteran y preservan la estructura del anillo. En este capítulo investigaremos las figuras bidimensionales que se forman cuando a un cono circular recto lo interseca un plano. Comenzaremos estudiando cada una de las tres figuras creadas de esta manera. Desarrollaremos ecuaciones de definición para cada figura y luego aprenderemos a utilizar estas ecuaciones para resolver una variedad de problemas.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "La elipse Objetivos de aprendizaje Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1) Grafique un círculo. (IA 11.1.4) Objetivo 1: Complete el cuadrado de una expresión binómica. (IA 9.2.1) Vocabulario Complete los espacios en blanco. Decimos que x 2 + 4 x + 4 es un trinomio cuadrado ________ porque x 2 + 4 x + 4 = ( + ) 2 . La propiedad de la raíz cuadrada establece que ( x + 2 ) 2 = 9 significa que ( x + 2 ) = ________ y ( x + 2 ) = – ________. Complete el cuadrado de una expresión binómica. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para resolver ( x + 3 ) 2 = 5 . Utilice los siguientes pasos para guiar su trabajo. Ⓐ Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados. Recuerde que debe tener ± en el lado derecho. Ⓑ Resuelva para x. Complete el cuadrado de una expresión binómica. Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para resolver x 2 + 6 x + 9 = 7 . Utilice los siguientes pasos para guiar su trabajo. Ⓐ x 2 + 6 x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto. Factorícelo en ( _ + _ ) 2 . Ⓑ Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados. Recuerde que debe tener ± en el lado derecho. Ⓒ Resuelva para x. ¿Pero qué ocurre si tenemos que resolver una ecuación en la que el trinomio no es un cuadrado perfecto? Por ejemplo, x 2 + 4 x + 5 = 2 ? Para este tipo de ecuaciones, podemos utilizar un proceso llamado completar el cuadrado . Recuerde ( x + 1 ) 2 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = x 2 + x + x + 1 = x 2 + 2 + 1 . Podemos utilizar el patrón de los cuadrados binomiales para hacer un cuadrado perfecto. Completar el cuadrado de una expresión binomial Complete el cuadrado para x 2 + 6 x para que sea un cuadrado perfecto. Dado que hay un signo más entre los dos términos, utilizaremos el patrón ( a + b ) 2 a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 . x 2 + 6 x En definitiva, necesitamos hallar el último término de este trinomio que lo convierta en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello necesitaremos hallar b . Pero primero empezamos por determinar a . Observe que el primer término de x 2 + 6 x está elevado al cuadrado, x 2 . Esto nos dice que a = x . x 2 + 2 · x · b + b 2 ¿Qué número, b , cuando se multiplica por 2 x , da 6 x ? Tendría que ser 3, que es (½)(6). Así que b = 3. x 2 + 2 · 3 · x + _ Ahora, para completar el trinomio cuadrado perfecto, hallaremos el último término elevando b al cuadrado, que es 3 2 = 9. x 2 + 6 x + 9 Ahora podemos factorizar. ( x + 3 ) 2 Así, hallamos que sumando 9 a x 2 + 6 x completamos el cuadrado, y lo escribimos como ( x + 3) 2 . Cómo completar un cuadrado de x 2 + b x + c Identifique b , el coeficiente de x . Calcule 1 2 b 2 , el número necesario para completar el cuadrado. Añadir 1 2 b 2 hasta x 2 + b x Factorice el trinomio cuadrado perfecto, escribiéndolo como un binomio al cuadrado. La práctica hace la perfección Determine qué número habría que sumar a los términos dados para crear un trinomio cuadrado perfecto. Entonces reescriba como un binomio al cuadrado. x 2 + 12 x x 2 + 5 x x 2 1 2 x x 2 + 3 2 x Objetivo 2: Grafique un círculo. (IA 11.1.4) Un círculo son todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un punto determinado del plano. El punto dado recibe el nombre de centro , ( h , k ) y la distancia fija se denomina radio , r , del círculo. La forma estándar o gráfica de la ecuación de un círculo con centro, ( h , k ) y radio, r , es ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 . Escriba la forma estándar de la ecuación de un círculo Escriba la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo de radio 2 y centro (-1, 3). Utilice la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 Sustituya los valores (h, k) = (1, –3), donde h = 1, k = –3. ( x ( 1 ) ) 2 + ( y ( 3 ) ) 2 = 2 2 Simplifique. ( x 1 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 4 Grafique un círculo Grafique un círculo Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x + 2 ) 2 + ( y 1 ) 2 = 9 Utilice la forma estándar (gráfica) de la ecuación de un círculo. ( x h ) 2 + ( y k ) 2 = r 2 Identifique el centro, ( h , k ) y el radio, r . ( x ( 2 ) ) 2 + ( y 1 ) 2 = 3 2 Grafique el círculo. Centro (–2, 1), r = 3 La forma general de la ecuación de un círculo es x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Si nos dan una ecuación en forma general, podemos cambiarla a la estándar, también llamada forma gráfica, completando los cuadrados de la x y la y. Entonces podemos graficar el círculo usando su centro y su radio. Grafique un círculo Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 + 4 x + 6 y + 4 = 0 Tenemos que reescribir esta forma general en forma estándar (gráfica) para calcular el centro y el radio. Agrupe los términos x y y. Recopile las constantes del lado derecho. x 2 4 x + y 2 6 y = 4 Complete los cuadrados. x 2 4 x + 4 + y 2 6 y + 9 = 4 + 4 + 9 Reescribir como cuadrados binomiales. ( x 2 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 9 Identifique el centro y el radio. Centro (2, 3), r = 3 Grafique el círculo. La práctica hace la perfección Escriba la forma estándar (gráfico) de la ecuación del círculo de radio 4 y centro (2, –5). Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo ( x 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4 Calcule el centro y el radio y luego grafique el círculo x 2 + y 2 6 x 8 y + 9 = 0 El National Statuary Hall en Washington, D.C. [District of Columbia] (créditos: Greg Palmer, Flickr). ¿Se imagina estar de pie en un extremo de una gran sala y seguir oyendo un susurro de una persona situada en el otro extremo? El National Statuary Hall en Washington, D.C., que se muestra en la , es una de esas salas. Arquitecto del Capitolio. http://www.aoc.gov. Consultado el 15 de abril de 2014. Se trata de una sala semicircular llamada cámara de los susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes y la cúpula. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar. Escribir la ecuación de elipse en la forma estándar Una sección cónica, o cónica , es una forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo en los que el plano interseca el cono determina la forma, como se muestra en la . Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que el gráfico de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos ). Podemos dibujar una elipse con un trozo de cartón, dos chinchetas, un lápiz y un cordel. Coloque las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corte un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Fije cada extremo de la cuerda a la cartulina y trace una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse. Vea la . Toda elipse tiene dos ejes de simetría. El eje más largo se llama eje mayor y el más corto, eje menor . Cada extremo del eje mayor es el vértice de la elipse (plural: vértices ), y cada extremo del eje menor es un covértice de la elipse. El centro de una elipse es el punto medio de los ejes mayor y menor. Los ejes son perpendiculares en el centro. Los focos siempre se encuentran en el eje mayor, y la suma de las distancias de los focos a cualquier punto de la elipse (la suma constante) es mayor que la distancia entre los focos. Vea la . En esta sección nos limitamos a las elipses que se sitúan vertical u horizontalmente en el plano de coordenadas. Es decir, los ejes estarán situados o serán paralelos a los ejes x y y . Más adelante, veremos elipses giradas en el plano de coordenadas. Para trabajar con elipses horizontales y verticales en el plano de coordenadas, consideramos dos casos: las que están centradas en el origen y las que están centradas en un punto distinto del origen. Primero, aprenderemos a derivar las ecuaciones de las elipses y luego, aprenderemos a escribir las ecuaciones de las elipses en forma estándar. Posteriormente utilizaremos lo aprendido para dibujar los gráficos. Derivación de la ecuación de una elipse centrada en el origen Para derivar la ecuación de una elipse centrada en el origen, comenzamos con los focos ( - c , 0 ) y ( c , 0 ) . La elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) tal que la suma de las distancias a los focos ( x , y ) es constante, como se muestra en la . Si los valores de ( a , 0 ) es un vértice de la elipse, la distancia desde ( - c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - ( - c ) = a + c . La distancia de ( c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - c . La suma de las distancias de los focos al vértice es ( a + c ) + ( a - c ) = 2 a Si los valores de ( x , y ) es un punto de la elipse, entonces podemos definir las siguientes variables: d 1 = la distancia de ( - c , 0 ) para ( x , y ) d 2 = la distancia de ( c , 0 ) para ( x , y ) Por la definición de una elipse, d 1 + d 2 es constante para cualquier punto ( x , y ) en la elipse. Sabemos que la suma de estas distancias es 2 a para el vértice ( a , 0 ) . Se deduce que d 1 + d 2 = 2 a para cualquier punto de la elipse. Comenzaremos la derivación aplicando la fórmula de distancia. El resto de la derivación es algebraica. d 1 + d 2 = ( x - ( - c ) ) 2 + ( y - 0 ) 2 + ( x - c ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 2 a Fórmula de distancia ( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2 a Simplifique las expresiones . ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a - ( x - c ) 2 + y 2 Mueva el radical al lado opuesto . ( x + c ) 2 + y 2 = [ 2 a - ( x - c ) 2 + y 2 ] 2 Eleve ambos lados al cuadrado . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 Expanda los cuadrados . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 Expanda los cuadrados restantes . 2 c x = 4 a 2 - 4 a ( x - c ) 2 + y 2 - 2 c x Combine términos similares . 4 c x - 4 a 2 = – 4 a ( x - c ) 2 + y 2 Aísle el radical . c x – a 2 = - a ( x - c ) 2 + y 2 Divida entre 4 . [ c x – a 2 ] 2 = a 2 [ ( x - c ) 2 + y 2 ] 2 Eleve ambos lados al cuadrado . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 ( x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ) Expanda los cuadrados . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 Distribuya a 2 . a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 − a 2 c 2 Reescriba . x 2 ( a 2 - c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 - c 2 ) Factorice los términos comunes . x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Establezca b 2 = a 2 - c 2 . x 2 b 2 a 2 b 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 Divida ambos lados entre a 2 b 2 . x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Simplifique . Así, la ecuación estándar de una elipse es x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Esta ecuación define una elipse centrada en el origen. Si los valores de a > b , la elipse se estira más en la dirección horizontal, y si b > a , la elipse se estira más en la dirección vertical. Escribir ecuaciones de elipses centradas en el origen en forma estándar Las formas estándar de las ecuaciones nos hablan de las características clave de los gráficos. Tómese un momento para recordar algunas de las formas estándar de ecuaciones con las que hemos trabajado en el pasado: lineal, cuadrática, cúbica, exponencial, logarítmica, etc. Al aprender a interpretar las formas estándar de las ecuaciones, se tiende un puente entre las representaciones algebraicas y geométricas de los fenómenos matemáticos. Las características clave de la elipse son su centro, vértices , covértices , focos y longitudes y posiciones de los ejes mayor y menor . Al igual que con otras ecuaciones, identificamos todas estas características con solo mirar la forma estándar de la ecuación. Existen cuatro variaciones de la forma estándar de la elipse. Estas variaciones se clasifican primero por la ubicación del centro (el origen o no el origen), y luego por la posición (horizontal o vertical). Cada una de ellas se presenta junto con una descripción de cómo se relacionan las partes de la ecuación con el gráfico. La interpretación de estas partes nos permite formarnos una imagen mental de la elipse. Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro (0,0) La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( 0 , 0 ) y el eje mayor en el eje x es x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( 0 , 0 ) y el eje mayor en el eje y es x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la b Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Cuando se nos dan las coordenadas de los focos y vértices de una elipse, podemos utilizar esta relación para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar. (a) Elipse horizontal con centro ( 0 , 0 ) (b) Elipse vertical con centro ( 0 , 0 ) Cómo Dados los vértices y focos de una elipse centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje mayor se encuentra en el eje x o en el eje y . Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( ± a , 0 ) y ( ± c , 0 ) respectivamente, entonces el eje mayor es el eje x . Utilice la forma estándar x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( 0, ± a ) y ( 0 , ± c ) , respectivamente, entonces el eje mayor es el eje y . Utilice la forma estándar x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1. Utilice la ecuación c 2 = a 2 - b 2 , junto con las coordenadas dadas de los vértices y los focos, para resolver b 2 . Sustituya los valores de a 2 y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen en la forma estándar ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( ± 8 , 0 ) y focos ( ± 5 , 0 ) ? Los focos están en el eje x , por lo que el eje mayor es el eje x . Así, la ecuación tendrá la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Los vértices son ( ± 8 , 0 ) , así que a = 8 y a 2 = 64. Los focos son ( ± 5 , 0 ) , por lo que c = 5 y c 2 = 25. Sabemos que los vértices y los focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver b 2 , tenemos: c 2 = a 2 - b 2 25 = 64 − b 2 Sustituya por c 2 y a 2 . b 2 = 39 Resuelva para b 2 . Ahora solo tenemos que sustituir a 2 = 64 y b 2 = 39 en la forma estándar de la ecuación. La ecuación de la elipse es x 2 64 + y 2 39 = 1. Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( 0, ± 4 ) y focos ( 0, ± 15 ) ? x 2 + y 2 16 = 1 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos escribir la ecuación de una elipse centrada en el origen dadas las coordenadas de un solo foco y vértice? Sí. Las elipses son simétricas, por lo que las coordenadas de los vértices de una elipse centrada en el origen tendrán siempre la forma ( ± a , 0 ) o ( 0 , ± a ) . Del mismo modo, las coordenadas de los focos siempre tendrán la forma ( ± c , 0 ) o ( 0 , ± c ) . Sabiendo esto, podemos utilizar a y c de los puntos dados, junto con la ecuación c 2 = a 2 - b 2 , para calcular b 2 . Escribir ecuaciones de elipses no centradas en el origen Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una elipse se puede trasladar. Si se traslada una elipse h unidades en horizontal y k unidades verticalmente, el centro de la elipse será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con x sustituido por ( x - h ) y y se sustituye por ( y - k ) . Formas estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) y el eje mayor paralelo al eje x es ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una elipse con centro ( h , k ) y el eje mayor paralelo al eje y es ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 donde a > b la longitud del eje mayor es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) la longitud del eje menor es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Vea la b Al igual que con las elipses centradas en el origen, las elipses centradas en un punto ( h , k ) tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas de punto medio y de distancia para hallar la ecuación de la elipse en forma estándar cuando se dan los vértices y los focos. (a) Elipse horizontal con centro ( h , k ) (b) Elipse vertical con centro ( h , k ) Cómo Dados los vértices y los focos de una elipse no centrada en el origen, escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje mayor es paralelo al eje x o al eje y . Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje x . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje mayor es paralelo al eje y . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1. Identificar el centro de la elipse ( h , k ) utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices. Calcule a 2 al resolver la longitud del eje mayor, 2 a , que es la distancia entre los vértices dados. Calcule c 2 utilizando h y k , hallados en el paso 2, junto con las coordenadas dadas para los focos. Resuelva para b 2 utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Sustituya los valores de h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una elipse centrada en un punto distinto del origen ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( –2 , −8 ) y ( –2 , 2 ) y focos ( –2 , –7 ) y ( –2 , 1 ) ? Las coordenadas x de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje mayor es paralelo al eje y . Así, la ecuación de la elipse tendrá la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 En primer lugar, identificamos el centro, ( h , k ) . El centro está a medio camino entre los vértices, ( − 2, − 8 ) y ( – 2 , 2 ) . Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos: ( h , k ) = ( −2 + ( −2 ) 2 , −8 + 2 2 ) = ( –2 , −3 ) Luego, hallamos a 2 . La longitud del eje mayor, 2 a , está delimitada por los vértices. Resolvemos para a al hallar la distancia entre las coordenadas y de los vértices. 2 a = 2 - ( −8 ) 2 a = 10 a = 5 Así que a 2 = 25. Ahora hallamos c 2 . Los focos vienen dados por ( h , k ± c ) . Así que, ( h , k − c ) = ( –2 , –7 ) y ( h , k + c ) = ( –2 , 1 ) . Sustituimos k = −3 y usamos cualquiera de estos puntos para resolver c . k + c = 1 −3 + c = 1 c = 4 Así que c 2 = 16. A continuación, resolvemos para b 2 utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . c 2 = a 2 - b 2 16 = 25 − b 2 b 2 = 9 Por último, sustituimos los valores hallados para h , k , a 2 , y b 2 en la ecuación de forma estándar para una elipse: ( x + 2 ) 2 9 + ( y + 3 ) 2 25 = 1 Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la elipse que tiene vértices ( −3 , 3 ) y ( 5 , 3 ) y focos ( 1 - 2 3 , 3 ) y ( 1 + 2 3 , 3 ) ? ( x – 1 ) 2 16 + ( y - 3 ) 2 4 = 1 Graficar elipses centradas en el origen Al igual que podemos escribir la ecuación de una elipse dado su gráfico, podemos graficar una elipse dada su ecuación. Para graficar elipses centradas en el origen, utilizamos la forma estándar x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > b para las elipses horizontales y x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , a > b para las elipses verticales. Cómo Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ( 0 , 0 ) , dibuje el gráfico. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el eje mayor, los vértices, los covértices y los focos Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a > b , entonces el eje mayor es el eje x las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) Si la ecuación es de la forma x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , donde a > b , entonces el eje mayor es el eje y las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) Resuelva para c utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse. Graficar una elipse centrada en el origen Grafique la elipse dada por la ecuación, x 2 9 + y 2 25 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 25 > 9 , el eje mayor está en el eje y . Por lo tanto, la ecuación es de la forma x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , donde b 2 = 9 y a 2 = 25. Se deduce que: el centro de la elipse es ( 0 , 0 ) las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) = ( 0, ± 25 ) = ( 0, ± 5 ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) = ( ± 9 , 0 ) = ( ± 3 , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 25 − 9 = ± 16 = ± 4 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 0, ± 4 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Vea la . Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación x 2 36 + y 2 4 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( ± 6 , 0 ) ; covértices: ( 0 , ±2, 2 ) ; focos: ( ± 4 2 , 0 ) Graficar una elipse centrada en el origen a partir de una ecuación que no está en forma estándar Grafique la elipse dada por la ecuación 4 x 2 + 25 y 2 = 100. Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Primero, use álgebra para reescribir la ecuación en forma estándar. 4 x 2 + 25 y 2 = 100 4 x 2 100 + 25 y 2 100 = 100 100 x 2 25 + y 2 4 = 1 A continuación, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 25 > 4 , el eje mayor está en el eje x . Por lo tanto, la ecuación es de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 25 y b 2 = 4. Se deduce que: el centro de la elipse es ( 0 , 0 ) las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) = ( ± 25 , 0 ) = ( ± 5 , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) = ( 0, ± 4 ) = ( 0, ± 2 ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 25 − 4 = ± 21 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( ± 21 , 0 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación 49 x 2 + 16 y 2 = 784. Reescriba la ecuación en forma estándar. A continuación, identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Forma estándar: x 2 16 + y 2 49 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 0 , ± 7 ) ; covértices: ( ± 4 , 0 ) ; focos: ( 0 , ± 33 ) Graficar elipses no centradas en el origen Cuando una elipse no está centrada en el origen, todavía podemos utilizar las formas estándar para hallar las características clave del gráfico. Cuando la elipse está centrada en algún punto, ( h , k ) , utilizamos las formas estándar ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , a > b para las elipses horizontales y ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , a > b para las elipses verticales. A partir de estas ecuaciones estándar, podemos determinar fácilmente el centro, los vértices, los covértices, los focos y las posiciones de los ejes mayor y menor. Cómo Dada la forma estándar de una ecuación para una elipse centrada en ( h , k ) , dibuje el gráfico. Utilice las formas estándar de las ecuaciones de una elipse para determinar el centro, la posición del eje mayor, los vértices, los covértices y los focos. Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a > b , entonces el centro es ( h , k ) el eje mayor es paralelo al eje x las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , donde a > b , entonces el centro es ( h , k ) el eje mayor es paralelo al eje y las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) Resuelva para c utilizando la ecuación c 2 = a 2 - b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices y los focos en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la elipse. Graficar una elipse centrada en ( h , k ) Grafique la elipse dada por la ecuación, ( x + 2 ) 2 4 + ( y - 5 ) 2 9 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. En primer lugar, determinamos la posición del eje mayor. Dado que 9 > 4 , el eje mayor es paralelo al eje y . Por lo tanto, la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , donde b 2 = 4 y a 2 = 9. Se deduce que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( –2 , 5 ) las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) = ( – 2 , 5 ± 9 ) = ( – 2 , 5 ± 3 ) , o ( –2 , 2 ) y ( –2 , 8 ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) = ( – 2 ± 4 , 5 ) = ( – 2 ± 2 , 5 ) , o ( -4 , 5 ) y ( 0 , 5 ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 9 - 4 = ± 5 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( –2 , 5 - 5 ) y ( –2 , Más de 5 5 ) . A continuación, trazamos y etiquetamos el centro, los vértices, los covértices y los focos y dibujamos una curva suave para formar la elipse. Ejercicio Grafique la elipse dada por la ecuación ( x - 4 ) 2 36 + ( y - 2 ) 2 20 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Centro: ( 4 , 2 ) ; vértices: ( – 2 , 2 ) y ( 10 , 2 ) ; covértices: ( 4 , 2 - 2 5 ) y ( 4 , 2 + 2 5 ) ; focos: ( 0 , 2 ) y ( 8 , 2 ) Cómo Dada la forma general de una ecuación para una elipse centrada en ( h , k ), exprese la ecuación en forma estándar. Reconozca que una elipse descrita por una ecuación de la forma a x 2 + b y 2 + c x + d y + e = 0 está en forma general. Reordene la ecuación agrupando los términos que contienen la misma variable. Mueva el término constante al lado opuesto de la ecuación. Factorice los coeficientes de los términos x 2 y y 2 en la preparación para completar el cuadrado. Complete el cuadrado de cada variable para reescribir la ecuación en forma de suma de múltiplos de dos binomios elevados al cuadrado e iguales a una constante, m 1 ( x - h ) 2 + m 2 ( y - k ) 2 = m 3 , donde m 1 , m 2 , y m 3 son constantes. Divida ambos lados de la ecuación entre el término constante para expresar la ecuación en forma estándar. Graficar una elipse centrada en ( h , k ) escribiéndola primero en forma estándar Grafique la elipse dada por la ecuación 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 . Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices y los focos. Debemos empezar por reescribir la ecuación en forma estándar. 4 x 2 + 9 y 2 − 40 x + 36 y + 100 = 0 Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación. ( 4 x 2 − 40 x ) + ( 9 y 2 + 36 y ) = -100 Factorice los coeficientes de los términos al cuadrado. 4 ( x 2 - 10 x ) + 9 ( y 2 + 4 y ) = -100 Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado. 4 ( x 2 - 10 x + 25 ) + 9 ( y 2 + 4 y + 4 ) = -100 + 100 + 36 Reescriba como cuadrados perfectos. 4 ( x - 5 ) 2 + 9 ( y + 2 ) 2 = 36 Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar. ( x - 5 ) 2 9 + ( y + 2 ) 2 4 = 1 Ahora que la ecuación está en forma estándar, podemos determinar la posición del eje mayor. Dado que 9 > 4 , el eje mayor es paralelo al eje x . Por lo tanto, la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 9 y b 2 = 4. Se deduce que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( 5 , –2 ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) = ( 5 ± 9 , –2 ) = ( 5 ± 3 , –2 ) , o ( 2 , –2 ) y ( 8 , –2 ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) = ( 5 , −2 ± 4 ) = ( 5 , −2 ± 2 ) , o ( 5 , –4 ) y ( 5 , 0 ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c = ± a 2 - b 2 = ± 9 - 4 = ± 5 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 5 - 5 , –2 ) y ( Más de 5 5 , –2 ) . A continuación, graficamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices y los focos, y dibujamos una curva suave para formar la elipse como se muestra en la . Ejercicio Exprese la ecuación de la elipse dada en forma estándar. Identifique el centro, los vértices, los covértices y los focos de la elipse. 4 x 2 + y 2 - 24 x + 2 y + 21 = 0 ( x - 3 ) 2 4 + ( y + 1 ) 2 16 = 1 ; centro: ( 3 , - 1 ) ; vértices: ( 3 , - 5 ) y ( 3 , 3 ) ; covértices: ( 1 , - 1 ) y ( 5 , - 1 ) ; focos: ( 3 , - 1 - 2 3 ) y ( 3 , − 1+ 2 3 ) Resolver problemas aplicados con elipses Muchas situaciones del mundo real se pueden representar mediante elipses, como las órbitas de los planetas, satélites, lunas y cometas y las formas de las quillas de los barcos, los timones y algunas alas de los aviones. Un dispositivo médico llamado litotriptor utiliza reflectores elípticos para romper cálculos renales mediante la generación de ondas sonoras. Algunos edificios, llamados cámaras de susurros, están diseñados con cúpulas elípticas para que una persona que susurra en un foco pueda ser escuchada fácilmente por alguien que esté en el otro foco. Esto ocurre debido a las propiedades acústicas de una elipse. Cuando una onda sonora se origina en un foco de una cámara de susurros, la onda sonora se reflejará en la cúpula elíptica y volverá al otro foco. Vea la . En la cámara de susurros del Museo de Ciencia y la Industria de Chicago, dos personas situadas en el foco —a unos 43 pies de distancia— pueden oírse mutuamente. Cuando estas cámaras se colocan en lugares inesperados, como las que hay en el interior del aeropuerto internacional Bush de Houston y en la terminal Grand Central de Nueva York, pueden inducir reacciones de sorpresa entre los viajeros. Las ondas sonoras se reflejan entre los focos en una sala elíptica, llamada cámara de los susurros. Localización de los focos de una cámara de susurros Una gran sala en una galería de arte es una cámara de susurros. Sus dimensiones son de 46 pies de ancho por 96 pies de largo, como se muestra en la . ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa el contorno de la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto ( 0 , 0 ) . Si dos visitantes situados en los focos de esta sala pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están los visitantes? Redondee al pie más cercano. Suponemos una elipse horizontal con centro ( 0 , 0 ) , por lo que necesitamos hallar una ecuación de la forma x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , donde a > b . Sabemos que la longitud del eje mayor, 2 a , es más largo que la longitud del eje menor, 2 b . Así, la longitud de la sala, 96, está representada por el eje mayor, y el ancho de la sala, 46, por el eje menor Al resolver para a , tenemos 2 a = 96 , así que a = 48 , y a 2 = 2304 Al resolver para b , tenemos 2 b = 46 , por lo que b = 23 , y b 2 = 529. Por lo tanto, la ecuación de la elipse es x 2 2304 + y 2 529 = 1. Para hallar la distancia entre los senadores, debemos hallar la distancia entre los focos, ( ± c , 0 ) , donde c 2 = a 2 - b 2 . Al resolver c , tenemos: c 2 = a 2 - b 2 c 2 = 2304 − 529 Sustituya utilizando los valores hallados en la parte (a) . c = ± 2304 − 529 Obtenga la raíz cuadrada de ambos lados . c = ± 1775 Reste . c ≈ ± 42 Redondee al pie más cercano . Los puntos ( ± 42 , 0 ) representan los focos. Por lo tanto, la distancia entre los senadores es 2 ( 42 ) = 84 pies. Ejercicio Supongamos que una cámara de susurros tiene 480 pies de largo y 320 pies de ancho. Ⓐ ¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la elipse que representa la sala? Pista: suponga una elipse horizontal, y deje que el centro del espacio sea el punto ( 0 , 0 ) . Ⓑ Si dos personas están de pie en el foco de esta sala y pueden oírse mutuamente susurrando, ¿a qué distancia están las personas? Redondee al pie más cercano. Ⓐ x 2 57 , 600 + y 2 25 , 600 = 1 Ⓑ Las personas están de pie a 358 pies de distancia. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las elipses. Secciones cónicas: La elipse Graficar una elipse con centro en el origen Graficar una elipse no centrada en el origen Ecuaciones clave Elipse horizontal, centro en el origen x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , a > b Elipse vertical, centro en el origen x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1 , a > b Elipse horizontal, centro ( h , k ) ( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1 , a > b Elipse vertical, centro ( h , k ) ( x - h ) 2 b 2 + ( y - k ) 2 a 2 = 1 , a > b Conceptos clave Una elipse es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos). Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una elipse, podemos escribir la ecuación de la elipse en forma estándar. Vea el y el . Cuando se da una ecuación para una elipse centrada en el origen en forma estándar, podemos identificar sus vértices, covértices, focos y las longitudes y las posiciones de los ejes mayor y menor para graficar la elipse. Vea el y el . Cuando se da la ecuación de una elipse centrada en algún punto distinto del origen, podemos identificar sus rasgos principales y representarla gráficamente. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante las ecuaciones estándar de las elipses y luego evaluar para hallar las características clave, como las longitudes de los ejes y la distancia entre los focos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una elipse en términos de sus focos. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. ¿Dónde deben estar los focos de una elipse? ¿Qué caso especial de la elipse tenemos cuando los ejes mayor y menor tienen la misma longitud? Este caso especial sería un círculo. Para el caso especial mencionado en la pregunta anterior, ¿qué sería cierto sobre los focos de esa elipse? ¿Qué se puede decir de la simetría del gráfico de una elipse con centro en el origen y focos a lo largo del eje y ? Es simétrico respecto al eje x , al eje y y al origen. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si las ecuaciones dadas representan elipses. Si la respuesta es afirmativa, escríbala en la forma estándar. 2 x 2 + y = 4 4 x 2 + 9 y 2 = 36 sí; x 2 3 2 + y 2 2 2 = 1 4 x 2 - y 2 = 4 4 x 2 + 9 y 2 = 1 sí; x 2 ( 1 2 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 = 1 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de una elipse en forma estándar, e identifique los puntos finales de los ejes mayor y menor, así como los focos. x 2 4 + y 2 49 = 1 x 2 2 2 + y 2 7 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 0 , 7 ) y ( 0 , - 7 ) . Puntos finales del eje menor ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . Focos en ( 0 , 3 5 ) , ( 0 , - 3 5 ) . x 2 100 + y 2 64 = 1 x 2 + 9 y 2 = 1 x 2 ( 1 ) 2 + y 2 ( 1 3 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 1 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) . Puntos finales del eje menor ( 0 , 1 3 ) , ( 0 , - 1 3 ) . Focos en ( 2 2 3 , 0 ) , ( – 2 2 3 , 0 ) . 4 x 2 + 16 y 2 = 1 ( x - 2 ) 2 49 + ( y - 4 ) 2 25 = 1 ( x - 2 ) 2 7 2 + ( y - 4 ) 2 5 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 9 , 4 ) , ( - 5 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( 2 , 9 ) , ( 2 , - 1 ) . Focos en ( 2 + 2 6 , 4 ) , ( 2 - 2 6 , 4 ) . ( x - 2 ) 2 81 + ( y + 1 ) 2 16 = 1 ( x + 5 ) 2 4 + ( y - 7 ) 2 9 = 1 ( x + 5 ) 2 2 2 + ( y - 7 ) 2 3 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( - 5 , 10 ) , ( - 5 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( - 3 , 7 ) , ( − 7 , 7 ) . Focos en ( - 5 , 7 + 5 ) , ( - 5 , 7 - 5 ) . ( x - 7 ) 2 49 + ( y - 7 ) 2 49 = 1 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 ( x – 1 ) 2 3 2 + ( y - 4 ) 2 2 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 4 , 4 ) , ( – 2 , 4 ) . Puntos finales del eje menor ( 1 , 6 ) , ( 1 , 2 ) . Focos en ( 1 + 5 , 4 ) , ( 1 - 5 , 4 ) . 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 4 x 2 - 24 x + 36 y 2 − 360 y + 864 = 0 ( x - 3 ) 2 ( 3 2 ) 2 + ( y - 5 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 3 + 3 2 , 5 ) , ( 3 - 3 2 , 5 ) . Puntos finales del eje menor ( 3 , 5 + 2 ) , ( 3 , 5 - 2 ) . Focos en ( 7 , 5 ) , ( - 1 , 5 ) . 4 x 2 + 24 x + 16 y 2 - 128 y + 228 = 0 4 x 2 + 40 x + 25 y 2 − 100 y + 100 = 0 ( x + 5 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y - 2 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 0 , 2 ) , ( − 10 , 2 ) . Puntos finales del eje menor ( - 5 , 4 ) , ( - 5 , 0 ) . Focos en ( - 5 + 21 , 2 ) , ( - 5 − 21 , 2 ) . x 2 + 2 x + 100 y 2 − 1.000 y + 2401 = 0 4 x 2 + 24 x + 25 y 2 + 200 y + 336 = 0 ( x + 3 ) 2 ( 5 ) 2 + ( y + 4 ) 2 ( 2 ) 2 = 1 ; Puntos finales del eje mayor ( 2 , - 4 ) , ( − 8 , - 4 ) . Puntos finales del eje menor ( - 3 , - 2 ) , ( - 3 , − 6 ) . Focos en ( - 3 + 21 , - 4 ) , ( - 3 - 21 , - 4 ) . 9 x 2 + 72 x + 16 y 2 + 16 y + 4 = 0 En los siguientes ejercicios, halle los focos de las elipses dadas. ( x + 3 ) 2 25 + ( y + 1 ) 2 36 = 1 Focos ( - 3 , - 1 + 11 ) , ( - 3 , - 1 − 11 ) ( x + 1 ) 2 100 + ( y - 2 ) 2 4 = 1 x 2 + y 2 = 1 Foco ( 0 , 0 ) x 2 + 4 y 2 + 4 x + 8 y = 1 10 x 2 + y 2 + 200 x = 0 Focos ( − 10 , 30 ) , ( − 10 , − 30 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique las elipses dadas y tome en cuenta el centro, los vértices y los focos. x 2 25 + y 2 36 = 1 x 2 16 + y 2 9 = 1 Centro ( 0 , 0 ) , Vértices ( 4 , 0 ) , ( - 4 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , - 3 ) , Focos ( 7 , 0 ) , ( − 7 , 0 ) 4 x 2 + 9 y 2 = 1 81 x 2 + 49 y 2 = 1 Centro ( 0 , 0 ) , Vértices ( 1 9 , 0 ) , ( - 1 9 , 0 ) , ( 0 , 1 7 ) , ( 0 , - 1 7 ) , Focos ( 0 , 4 2 63 ) , ( 0 , - 4 2 63 ) ( x - 2 ) 2 64 + ( y - 4 ) 2 16 = 1 ( x + 3 ) 2 9 + ( y - 3 ) 2 9 = 1 Centro ( - 3 , 3 ) , Vértices ( 0 , 3 ) , ( − 6 , 3 ) , ( - 3 , 0 ) , ( - 3 , 6 ) , Foco ( - 3 , 3 ) Observe que esta elipse es un círculo. El círculo solo tiene un foco, que coincide con el centro. x 2 2 + ( y + 1 ) 2 5 = 1 4 x 2 - 8 x + 16 y 2 - 32 y − 44 = 0 Centro ( 1 , 1 ) , Vértices ( 5 , 1 ) , ( - 3 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , - 1 ) , Focos ( 1 , 1 + 2 3 ) , ( 1 , 1 - 2 3 ) x 2 - 8 x + 25 y 2 − 100 y + 91 = 0 x 2 + 8 x + 4 y 2 − 40 y + 112 = 0 Centro ( - 4 , 5 ) , Vértices ( – 2 , 5 ) , ( − 6 , 4 ) , ( - 4 , 6 ) , ( - 4 , 4 ) , Focos ( - 4 + 3 , 5 ) , ( - 4 - 3 , 5 ) 64 x 2 + 128 x + 9 y 2 - 72 y − 368 = 0 16 x 2 + 64 x + 4 y 2 - 8 y + 4 = 0 Centro ( – 2 , 1 ) , Vértices ( 0 , 1 ) , ( - 4 , 1 ) , ( – 2 , 5 ) , ( – 2 , - 3 ) , Focos ( – 2 , 1 + 2 3 ) , ( – 2 , 1 - 2 3 ) 100 x 2 + 1.000 x + y 2 - 10 y + 2425 = 0 4 x 2 + 16 x + 4 y 2 + 16 y + 16 = 0 Centro ( – 2 , - 2 ) , Vértices ( 0 , - 2 ) , ( - 4 , - 2 ) , ( – 2 , 0 ) , ( – 2 , - 4 ) , Foco ( – 2 , - 2 ) En los siguientes ejercicios, utilice la información dada sobre el gráfico de cada elipse para determinar su ecuación. Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 4 , 0 ) , y punto en el gráfico ( 0 , 3 ) . Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 0 , –2 ) , y punto en el gráfico ( 5 , 0 ) . x 2 25 + y 2 29 = 1 Centro en el origen, simétrico respecto a los ejes x y y foco en ( 3 , 0 ) , y el eje mayor es dos veces más largo que el eje menor. Centro ( 4 , 2 ) ; vértice ( 9 , 2 ) ; un foco: ( 4 + 2 6 , 2 ) . ( x - 4 ) 2 25 + ( y - 2 ) 2 1 = 1 Centro ( 3 , 5 ) ; vértice ( 3 , 11 ) ; un foco: ( 3 , 5 + 4 2 ) Centro ( −3 , 4 ) ; vértice ( 1 , 4 ) ; un foco: ( −3 + 2 3 , 4 ) ( x + 3 ) 2 16 + ( y - 4 ) 2 4 = 1 En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la elipse, determine su ecuación. x 2 81 + y 2 9 = 1 ( x + 2 ) 2 4 + ( y - 2 ) 2 9 = 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, calcule el área de la elipse. El área de una elipse viene dada por la fórmula Área = a ⋅ b ⋅ π . ( x - 3 ) 2 9 + ( y - 3 ) 2 16 = 1 Área = 12π unidades al cuadrado ( x + 6 ) 2 16 + ( y - 6 ) 2 36 = 1 ( x + 1 ) 2 4 + ( y - 2 ) 2 5 = 1 Área = 2 5 π unidades cuadradas. 4 x 2 - 8 x + 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 Área = 9π unidades cuadradas. Aplicaciones en el mundo real Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja de 8 unidades de ancho y 4 de alto. Halle la ecuación de la elipse que cabe dentro de una caja que es cuatro veces más ancha que alta. Expresar la altura en términos de h . x 2 4 h 2 + y 2 1 4 h 2 = 1 Un arco tiene la forma de una semielipse (la mitad superior de una elipse). El arco tiene una altura de 8 pies y una amplitud de 20 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la altura, con una precisión de 0,01 pies del arco a una distancia de 4 pies del centro. Un arco tiene la forma de una semielipse. El arco tiene una altura de 12 pies y una amplitud de 40 pies. Halle una ecuación para la elipse y utilícela para calcular la distancia desde el centro hasta un punto en el que la altura sea de 6 pies. Redondee a la centésima más cercana. x 2 400 + y 2 144 = 1 . Distancia = 17,32 pies Se va a construir un puente con forma de arco semielíptico y con una amplitud de 120 pies. La altura del arco a una distancia de 40 pies del centro será de 8 pies. Halle la altura del arco en su centro. Una persona en una galería de susurros situada en un foco de la elipse puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si una galería de susurros tiene una longitud de 120 pies, y los focos están situados a 30 pies del centro, calcule la altura del techo en el centro. Aproximadamente 51,96 pies Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en una galería de susurros. Si esa persona está en un foco, y el otro foco está a 80 pies de distancia, ¿cuáles son la longitud y la altura en el centro de la galería? centro de una elipse el punto medio de los ejes mayor y menor sección cónica cualquier forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano elipse el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante focos plural de foco foco (de una elipse) uno de los dos puntos fijos del eje mayor de una elipse tal que la suma de las distancias de estos puntos a cualquier punto ( x , y ) en la elipse es una constante eje mayor el más largo de los dos ejes de una elipse eje menor el más corto de los dos ejes de una elipse", "section": "La elipse", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "La hipérbola Objetivos de aprendizaje Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1) Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1) Objetivo 1: Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1) Fórmula de distancia Fórmula de distancia : La distancia d entre dos puntos x 1 , y 1 y x 2 , y 2 es d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 . Utilice la fórmula de distancia Utilice la fórmula correspondiente para calcular la distancia entre los puntos (−5, −3) y (7,2). Escriba la fórmula de distancia. d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 Marque los puntos (–5, –3) como ( x 1 , y 1 ) y el punto (7, 2) como ( x 2 , y 2 ) y sustituya. d = 7 2 ( -5 ) 2 + 2 ( -3 ) 2 Simplifique. d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169 d = 13 La práctica hace la perfección Utilizar la fórmula de distancia. Utilice la fórmula de distancia para hallar la distancia entre los puntos (–2,–5) y (–14,–10). Utilice la fórmula de distancia para hallar la distancia entre los puntos (10, –4) y (–1,5). Escriba la respuesta en forma exacta y luego halle la aproximación decimal, redondeada a la décima más cercana si es necesario. Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1) La hipérbola son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos recibe el nombre de foco de la hipérbola. La línea que pasa por los focos se denomina eje transversal . Los dos puntos donde el eje transversal interseca a la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se denomina eje conjugado . Cada parte del gráfico se llama rama de la hipérbola. La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0) Ecuación x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 y 2 a 2 x 2 b 2 = 1 Orientación El eje transversal es horizontal. Se abre a la derecha y a la izquierda. El eje transversal es vertical. Se abre hacia arriba y hacia abajo. Vértices (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) intersección en x (-a, 0), (a, 0) ninguno intersección en y ninguno (0, -a), (0, a) Rectángulo Utilice (±a, 0), (0, ±b) Utilice (0, ±a), (±b, 0) Asíntotas ( y = ± b a x y = ± a b x Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de x 2 no siempre es a 2 y el denominador de y 2 no siempre es b 2 . Observe que cuando el término x 2 es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término y 2 es positivo, el eje transversal está en el eje y. Cómo graficar una hipérbola con centro en (0, 0). Escriba la ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical. Halle los vértices. Dibuje el rectángulo, introducido en el origen, que interseca un eje en ± a y el otro en ± b . Dibuje las asíntotas, las líneas que pasan por las diagonales del rectángulo. Dibuje las dos ramas de la hipérbola. Comience en el vértice y utilice las asíntotas como guía. Graficar una hipérbola con centro en (0,0). Grafique x 2 25 - y 2 4 = 1 . Grafique 4 y 2 - 16 x 2 = 64 . 4 y 2 - 16 x 2 = 64 Para escribir la ecuación en forma estándar, divida cada término entre 64 para que la ecuación sea igual a 1. 4 y 2 64 − 16 x 2 64 = 64 64 Simplifique. y 2 16 - x 2 4 = 1 Como el término y 2 es positivo, el eje transversal es vertical. Dado que a 2 = 16 entonces a = ± 4 . Los vértices están en el eje y , ( 0 , - a ) , ( 0 , a ) . Dado que b 2 = 4 entonces b = ± 2 . ( 0 , –4 ) , ( 0 , 4 ) Dibuje el rectángulo que interseca el eje x en ( –2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) y el eje y en los vértices. Dibuje las asíntotas que pasan por las diagonales del rectángulo. Dibuje las dos ramas de la hipérbola. La práctica hace la perfección Graficar una hipérbola con centro en (0,0). Grafique x 2 9 y 2 16 = 1 . Grafique 25 y 2 9 x 2 = 225 . ¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica . Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la . Una onda expansiva que se interseca con el suelo forma una parte de una sección cónica y ocasiona una explosión sónica. La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica. Localización de los vértices y focos de una hipérbola En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la . Una hipérbola Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y los focos es una constante positiva. Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias. Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría . El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la . Características principales de la hipérbola En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y . Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen. Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen Supongamos que ( - c , 0 ) y ( c , 0 ) son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) de manera que la diferencia de las distancias de ( x , y ) a los focos es constante. Vea la . Si los valores de ( a , 0 ) es un vértice de la hipérbola, la distancia de ( - c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - ( - c ) = a + c . La distancia de ( c , 0 ) al ( a , 0 ) es c - a . La diferencia de las distancias de los focos al vértice es ( a + c ) - ( c - a ) = 2 a Si los valores de ( x , y ) es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables: d 2 = la distancia de ( - c , 0 ) para ( x , y ) d 1 = la distancia de ( c , 0 ) para ( x , y ) Por definición de una hipérbola, d 2 − d 1 es constante para cualquier punto ( x , y ) en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es 2 a para el vértice ( a , 0 ) . Se deduce que d 2 − d 1 = 2 a para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia . El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses. d 2 − d 1 = ( x - ( - c ) ) 2 + ( y - 0 ) 2 - ( x - c ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 2 a Fórmula de distancia ( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 = 2 a Simplifique las expresiones . ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a + ( x - c ) 2 + y 2 Mueva el radical al lado opuesto . ( x + c ) 2 + y 2 = ( 2 a + ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 Expanda los cuadrados . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 Expanda el cuadrado restante . 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 - 2 c x Combine términos similares . 4 c x - 4 a 2 = 4 a ( x - c ) 2 + y 2 Aísle el radical . c x – a 2 = a ( x - c ) 2 + y 2 Divida entre 4 . ( c x – a 2 ) 2 = a 2 ( ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 ( x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ) Expanda los cuadrados . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 Distribuya a 2 . a 4 + c 2 x 2 = a 2 x 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2 Combine términos similares . c 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 c 2 - a 4 Reordene los términos . x 2 ( c 2 - a 2 ) - a 2 y 2 = a 2 ( c 2 - a 2 ) Factorice los términos comunes . x 2 b 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 Establezca b 2 = c 2 - a 2 . x 2 b 2 a 2 b 2 - a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 Divida ambos lados entre a 2 b 2 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices ( ± a , 0 ) y covértices ( 0 ± b ) . Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0) La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( 0 , 0 ) y el eje transversal en el eje x es x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a x Vea la a . La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( 0 , 0 ) y el eje transversal en el eje y es y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x Vea la b . Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Cuando nos dan la ecuación de una hipérbola, podemos utilizar esta relación para identificar sus vértices y focos. (a) Hipérbola horizontal con centro ( 0 , 0 ) (b) Hipérbola vertical con centro ( 0 , 0 ) Cómo Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, ubique sus vértices y focos. Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y . Observe que a 2 está siempre debajo de la variable con el coeficiente positivo. Por lo tanto, si se establece la otra variable igual a cero, se pueden hallar fácilmente las intersecciones. En el caso de que la hipérbola esté centrada en el origen, las intersecciones coinciden con los vértices. Si la ecuación tiene la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal se encuentra en el eje x . Los vértices se encuentran en ( ± a , 0 ) , y los focos se encuentran en ( ± c , 0 ) . Si la ecuación tiene la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal se encuentra en el eje y . Los vértices se encuentran en ( 0 , ± a ) , y los focos se encuentran en ( 0, ± c ) . Resuelva para a utilizando la ecuación a = a 2 . Resuelva para c utilizando la ecuación c = a 2 + b 2 . Localización de los vértices y focos de una hipérbola Identifique los vértices y focos de la hipérbola con ecuación y 2 49 − x 2 32 = 1. La ecuación tiene la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , por lo que el eje transversal se encuentra en el eje y . La hipérbola está centrada en el origen, por lo que los vértices sirven como intersecciones en y del gráfico. Para hallar los vértices, establezca x = 0 , y resolver para y . 1 = y 2 49 − x 2 32 1 = y 2 49 − 0 2 32 1 = y 2 49 y 2 = 49 y = ± 49 = ± 7 Los focos se encuentran en ( 0, ± c ) . Al resolver c , c = a 2 + b 2 = 49 + 32 = 81 = 9 Por lo tanto, los vértices se encuentran en ( 0, ± 7 ) , y los focos se encuentran en ( 0 , 9 ) . Ejercicio Identificar los vértices y los focos de la hipérbola con la ecuación x 2 9 − y 2 25 = 1. Vértices: ( ± 3 , 0 ) ; Focos: ( ± 34 , 0 ) Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen. Hipérbolas centradas en el origen Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en ( 0 , 0 ) , vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Observe que esta ecuación también se puede reescribir como b 2 = c 2 - a 2 . Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices. Cómo Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en ( 0 , 0 ) , escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y . Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( ± a , 0 ) y ( ± c , 0 ) , respectivamente, entonces el eje transversal es el eje x . Utilice la forma estándar x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( 0, ± a ) y ( 0, ± c ) , respectivamente, entonces el eje transversal es el eje y . Utilice la forma estándar y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. Calcule b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 . Sustituya los valores de a 2 y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (0,0) dados sus focos y vértices ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( ± 6 , 0 ) y focos ( ± 2 10 , 0 ) ? Los vértices y los focos están en el eje x . Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. Los vértices son ( ± 6 , 0 ) , así que a = 6 y a 2 = 36. Los focos son ( ± 2 10 , 0 ) , por lo que c = 2 10 y c 2 = 40. Al resolver para b 2 , tenemos b 2 = c 2 - a 2 b 2 = 40 − 36 Sustituya por c 2 y a 2 . b 2 = 4 Reste . Por último, sustituimos a 2 = 36 y b 2 = 4 en la forma estándar de la ecuación, x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. La ecuación de la hipérbola es x 2 36 − y 2 4 = 1 , como se muestra en la . Ejercicio Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( 0, ± 2 ) y focos ( 0, ± 2 5 ) ? y 2 4 - x 2 16 = 1 Hipérbolas no centradas en el origen Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola h unidades en horizontal y k unidades en vertical, el centro de la hipérbola será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con x sustituido por ( x - h ) y de y sustituido por ( y - k ) . Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) y el eje transversal paralelo al eje x es ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo central. La longitud del rectángulo es 2 a y su ancho es 2 b . Las pendientes de las diagonales son ± b a , y cada diagonal pasa por el centro ( h , k ) . Si utilizamos la fórmula punto-pendiente , es sencillo demostrar que las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) y el eje transversal paralelo al eje y es ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) Si utilizamos el razonamiento anterior, las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b ( x - h ) + k . Vea la b . (a) Hipérbola horizontal con centro ( h , k ) (b) Hipérbola vertical con centro ( h , k ) Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto ( h , k ) tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos. Cómo Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en ( h , k ) , escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal es paralelo al eje x o al eje y . Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje x . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje y . Utilice la forma estándar ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1. Identifique el centro de la hipérbola, ( h , k ) , utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices. Calcule a 2 resolviendo la longitud del eje transversal, 2 a , que es la distancia entre los vértices dados. Calcule c 2 utilizando h y k calculada en el paso 2 junto con las coordenadas dadas para los focos. Resuelva para b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 . Sustituya los valores de h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en ( h , k ) dados sus focos y vértices ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices en ( 0 , –2 ) y ( 6 , –2 ) y focos en ( –2 , –2 ) y ( 8 , –2 ) ? Las coordenadas y de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje transversal es paralelo al eje x . Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 En primer lugar, identificamos el centro, ( h , k ) . El centro está a medio camino entre los vértices ( 0 , –2 ) y ( 6 , –2 ) . Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos ( h , k ) = ( 0 + 6 2 , −2 + ( −2 ) 2 ) = ( 3 , –2 ) Luego, hallamos a 2 . La longitud del eje transversal, 2 a , está delimitada por los vértices. Así, podemos hallar a 2 al calcular la distancia entre las coordenadas x de los vértices. 2 a = | 0 - 6 | 2 a = 6 a = 3 a 2 = 9 Ahora tenemos que hallar c 2 . Las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) . Así que ( h − c , k ) = ( – 2 , –2 ) y ( h + c , k ) = ( 8 , –2 ) . Podemos utilizar la coordenada x de cualquiera de estos puntos para resolver c . Al utilizar el punto ( 8 , –2 ) , y sustituir h = 3 , h + c = 8 3 + c = 8 c = 5 c 2 = 25 A continuación, resuelva b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 : b 2 = c 2 - a 2 = 25 − 9 = 16 Por último, sustituya los valores hallados para h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación. ( x - 3 ) 2 9 - ( y + 2 ) 2 16 = 1 Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( 1 , –2 ) y ( 1 , 8 ) y focos ( 1 , –10 ) y ( 1 , 16 ) ? ( y - 3 ) 2 25 + ( x – 1 ) 2 144 = 1 Graficar hipérbolas centradas en el origen Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 para las hipérbolas horizontales y la forma estándar y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 para las hipérbolas verticales. Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una hipérbola centrada en ( 0 , 0 ) , dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada. Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas de los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas. Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal está en el eje x las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a x Si la ecuación es de la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal está en el eje y las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación c = ± a 2 + b 2 . Trace los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola. Gráfico de una hipérbola centrada en (0, 0) dada una ecuación en forma estándar Grafique la hipérbola dada por la ecuación y 2 64 - x 2 36 = 1. Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. Por lo tanto, el eje transversal está en el eje y Las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) = ( 0 , ± 64 ) = ( 0, ± 8 ) Las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) = ( ± 36 , 0 ) = ( ± 6 , 0 ) Las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c = ± a 2 + b 2 . Al resolver c , tenemos c = ± a 2 + b 2 = ± 64 + 36 = ± 100 = ± 10 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 0, ± 10 ) Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x = ± 8 6 x = ± 4 3 x Trace e identifique los vértices y los covértices, y luego dibuje el rectángulo central. Los lados del rectángulo son paralelos a los ejes y pasan por los vértices y los covértices. Dibuje y extienda las diagonales del rectángulo central para mostrar las asíntotas. El rectángulo central y las asíntotas proporcionan el marco necesario para dibujar un gráfico preciso de la hipérbola. Identifique los focos y las asíntotas, y dibuje una curva suave para formar la hipérbola, como se muestra en la . Ejercicio Grafique la hipérbola dada por la ecuación x 2 144 − y 2 81 = 1. Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. vértices: ( ± 12 , 0 ) ; covértices: ( 0 , ± 9 ) ; focos: ( ± 15 , 0 ) ; asíntotas: y = ± 3 4 x ; Graficar hipérbolas no centradas en el origen Graficar hipérbolas centradas en un punto ( h , k ) distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 para las hipérbolas horizontales y ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados. Cómo Dada una forma general para una hipérbola centrada en ( h , k ) , dibuje el gráfico. Convierta la forma general en esa forma estándar. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada. Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas del centro, los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas. Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal es paralelo al eje x el centro es ( h , k ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k Si la ecuación es de la forma ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal es paralelo al eje y el centro es ( h , k ) las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b ( x - h ) + k Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación c = ± a 2 + b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola. Gráfico de una hipérbola centrada en ( h , k ) dada una ecuación en forma general Grafique la hipérbola dada por la ecuación 9 x 2 - 4 y 2 - 36 x − 40 y − 388 = 0, Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. Primero, exprese la ecuación en forma estándar. Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación. ( 9 x 2 - 36 x ) - ( 4 y 2 + 40 y ) = 388 Factorice el coeficiente líder de cada expresión. 9 ( x 2 - 4 x ) - 4 ( y 2 + 10 y ) = 388 Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado. 9 ( x 2 - 4 x + 4 ) - 4 ( y 2 + 10 y + 25 ) = 388 + 36 − 100 Reescriba como cuadrados perfectos. 9 ( x - 2 ) 2 - 4 ( y + 5 ) 2 = 324 Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar. ( x - 2 ) 2 36 − ( y + 5 ) 2 81 = 1 La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 36 y b 2 = 81 , o a = 6 y b = 9. Así, el eje transversal es paralelo al eje x . De ello se desprende que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( 2 , −5 ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) = ( 2 ± 6 , −5 ) , o ( - 4 , −5 ) y ( 8 , −5 ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) = ( 2 , - 5 ± 9 ) , o ( 2 , − 14 ) y ( 2 , 4 ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c = ± a 2 + b 2 . Al resolver c , tenemos c = ± 36 + 81 = ± 117 = ± 3 13 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 2 - 3 13 , −5 ) y ( 2 + 3 13 , −5 ) . Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k = ± 3 2 ( x - 2 ) − 5. A continuación, trazamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas y dibujamos curvas suaves para formar la hipérbola, como se muestra en la . Ejercicio Representar gráficamente la hipérbola dada por la forma estándar de una ecuación ( y + 4 ) 2 100 − ( x - 3 ) 2 64 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. centro: ( 3 , - 4 ) ; vértices: ( 3 , − 14 ) y ( 3 , 6 ) ; covértices: ( - 5 , - 4 ) ; y ( 11 , - 4 ) ; focos: ( 3 , - 4 – 2 41 ) y ( 3 , - 4 + 2 41 ) ; asíntotas: y = ± 5 4 ( x - 3 ) - 4 Resolver problemas aplicados con hipérbolas Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la . Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho! Torres de refrigeración de la central eléctrica de Drax en North Yorkshire, Reino Unido (créditos: Les Haines, Flickr). Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Resolver problemas aplicados con hipérbolas El diseño de una torre de refrigeración se muestra en la . La torre tiene 179,6 metros de altura. El diámetro de la cima es de 72 metros. En su punto más cercano, los lados de la torre están separados por 60 metros. Diseño del proyecto de una torre de refrigeración de tiro natural Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola , indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales. Suponemos que el centro de la torre está en el origen, por lo que podemos utilizar la forma estándar de una hipérbola horizontal centrada en el origen: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , donde las ramas de la hipérbola forman los lados de la torre de refrigeración. Debemos hallar los valores de a 2 y b 2 para completar el modelo. Primero hallamos a 2 . Recordemos que la longitud del eje transversal de una hipérbola es 2 a . Esta longitud está representada por la distancia en la que los lados están más próximos, que viene dada por 60 metros. Así que, 2 a = 60. Por lo tanto, a = 30 y a 2 = 900. Para resolver b 2 , tenemos que sustituir por x como y en nuestra ecuación utilizando un punto conocido. Para ello, podemos utilizar las dimensiones de la torre para hallar algún punto ( x , y ) que se encuentra en la hipérbola. Utilizaremos la esquina superior derecha de la torre para representar ese punto. Dado que el eje y biseca la torre, nuestro valor x se puede representar por el radio de la cima, es decir, 36 metros. El valor y está representado por la distancia desde el origen hasta la cima, que se da como 79,6 metros. Por lo tanto, x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Forma estándar de la hipérbola horizontal . b 2 = y 2 x 2 a 2 – 1 Aísle b 2 = ( 79,6 ) 2 ( 36 ) 2 900 − 1 Sustituya por a 2 , x , y y ≈ 14.400,3636 Redondear a cuatro decimales Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica x 2 900 − y 2 14.400,3636 = 1 , o x 2 30 2 - y 2 120,0015 2 = 1 Ejercicio El diseño de un proyecto de torre de refrigeración se muestra en la . Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola, indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales. Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica. x 2 400 − y 2 3.600 = 1 o x 2 20 2 - y 2 60 2 = 1. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con hipérbolas. Secciones cónicas: la hipérbola, parte 1 de 2 Secciones cónicas: la hipérbola, parte 2 de 2 Graficar una hipérbola con centro en el origen Graficar una hipérbola no centrada en el origen Ecuaciones clave Hipérbola, centro en el origen, eje transversal en el eje de la x x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en el origen, eje transversal en el eje y y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en ( h , k ) , eje transversal paralelo al eje x ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en ( h , k ) , eje transversal paralelo al eje y ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 Conceptos clave Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y los focos es una constante positiva. La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el . Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el y el . Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una hipérbola en términos de sus focos. Una hipérbola es el conjunto de puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es una constante positiva. ¿Qué podemos concluir sobre una hipérbola si sus asíntotas se intersecan en el origen? ¿Qué debe ser cierto para los focos de una hipérbola? Los focos deben estar en el eje transversal y en el interior de la hipérbola. Si el eje transversal de una hipérbola es vertical, ¿qué sabemos del gráfico? ¿Dónde debe estar el centro de la hipérbola respecto a sus focos? El centro debe ser el punto medio del segmento de línea que une los focos. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar. 3 y 2 + 2 x = 6 x 2 36 − y 2 9 = 1 sí x 2 6 2 - y 2 3 2 = 1 5 y 2 + 4 x 2 = 6 x 25 x 2 - 16 y 2 = 400 sí x 2 4 2 - y 2 5 2 = 1 − 9 x 2 + 18 x + y 2 + 4 y − 14 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas. x 2 25 - y 2 36 = 1 x 2 5 2 - y 2 6 2 = 1 ; vértices: ( 5 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) ; focos: ( 61 , 0 ) , ( − 61 , 0 ) ; asíntotas: y = 6 5 x , y = − 6 5 x x 2 100 − y 2 9 = 1 y 2 4 - x 2 81 = 1 y 2 2 2 - x 2 9 2 = 1 ; vértices: ( 0 , 2 ) , ( 0 , - 2 ) ; focos: ( 0 , 85 ) , ( 0 , − 85 ) ; asíntotas: y = 2 9 x , y = - 2 9 x 9 y 2 - 4 x 2 = 1 ( x – 1 ) 2 9 - ( y - 2 ) 2 16 = 1 ( x – 1 ) 2 3 2 - ( y - 2 ) 2 4 2 = 1 ; vértices: ( 4 , 2 ) , ( – 2 , 2 ) ; focos: ( 6 , 2 ) , ( - 4 , 2 ) ; asíntotas: y = 4 3 ( x – 1 ) + 2 , y = – 4 3 ( x – 1 ) + 2 ( y - 6 ) 2 36 − ( x + 1 ) 2 16 = 1 ( x - 2 ) 2 49 - ( y + 7 ) 2 49 = 1 ( x - 2 ) 2 7 2 - ( y + 7 ) 2 7 2 = 1 ; vértices: ( 9 , - 7 ) , ( - 5 , - 7 ) ; focos: ( 2 + 7 2 , - 7 ) , ( 2 - 7 2 , - 7 ) ; asíntotas: y = x - 9 , y = - x - 5 4 x 2 - 8 x - 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 − 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 ( x + 3 ) 2 3 2 - ( y - 3 ) 2 3 2 = 1 ; vértices: ( 0 , 3 ) , ( − 6 , 3 ) ; focos: ( - 3 + 3 2 , 1 ) , ( - 3 - 3 2 , 1 ) ; asíntotas: y = x + 6 , y = - x 4 x 2 - 24 x − 36 y 2 − 360 y + 864 = 0 - 4 x 2 + 24 x + 16 y 2 - 128 y + 156 = 0 ( y - 4 ) 2 2 2 - ( x - 3 ) 2 4 2 = 1 ; vértices: ( 3 , 6 ) , ( 3 , 2 ) ; focos: ( 3 , 4 + 2 5 ) , ( 3 , 4 – 2 5 ) ; asíntotas: y = 1 2 ( x - 3 ) + 4 , y = - 1 2 ( x - 3 ) + 4 - 4 x 2 + 40 x + 25 y 2 − 100 y + 100 = 0 x 2 + 2 x − 100 y 2 − 1.000 y + 2401 = 0 ( y + 5 ) 2 7 2 - ( x + 1 ) 2 70 2 = 1 ; vértices: ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , − 12 ) ; focos: ( - 1 , - 5 + 7 101 ) , ( - 1 , - 5 − 7 101 ) ; asíntotas: y = 1 10 ( x + 1 ) - 5 , y = - 1 10 ( x + 1 ) - 5 − 9 x 2 + 72 x + 16 y 2 + 16 y + 4 = 0 4 x 2 + 24 x - 25 y 2 + 200 y − 464 = 0 ( x + 3 ) 2 5 2 - ( y - 4 ) 2 2 2 = 1 ; vértices: ( 2 , 4 ) , ( − 8 , 4 ) ; focos: ( - 3 + 29 , 4 ) , ( - 3 − 29 , 4 ) ; asíntotas: y = 2 5 ( x + 3 ) + 4 , y = - 2 5 ( x + 3 ) + 4 En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. y 2 3 2 - x 2 3 2 = 1 ( x - 3 ) 2 5 2 - ( y + 4 ) 2 2 2 = 1 y = 2 5 ( x - 3 ) - 4 , y = - 2 5 ( x - 3 ) - 4 ( y - 3 ) 2 3 2 - ( x + 5 ) 2 6 2 = 1 9 x 2 − 18 x − 16 y 2 + 32 y − 151 = 0 y = 3 4 ( x – 1 ) + 1 , y = - 3 4 ( x – 1 ) + 1 16 y 2 + 96 y - 4 x 2 + 16 x + 112 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos. x 2 49 − y 2 16 = 1 x 2 64 − y 2 4 = 1 y 2 9 - x 2 25 = 1 81 x 2 - 9 y 2 = 1 ( y + 5 ) 2 9 - ( x - 4 ) 2 25 = 1 ( x - 2 ) 2 8 − ( y + 3 ) 2 27 = 1 ( y - 3 ) 2 9 - ( x - 3 ) 2 9 = 1 - 4 x 2 - 8 x + 16 y 2 - 32 y − 52 = 0 x 2 - 8 x - 25 y 2 − 100 y − 109 = 0 - x 2 + 8 x + 4 y 2 − 40 y + 88 = 0 64 x 2 + 128 x - 9 y 2 - 72 y − 656 = 0 16 x 2 + 64 x - 4 y 2 - 8 y - 4 = 0 − 100 x 2 + 1.000 x + y 2 - 10 y − 2575 = 0 4 x 2 + 16 x - 4 y 2 + 16 y + 16 = 0 En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación. Vértices en ( 3 , 0 ) y ( −3 , 0 ) y un foco en ( 5 , 0 ) . x 2 9 − y 2 16 = 1 Vértices en ( 0 , 6 ) y ( 0 , –6 ) y un foco en ( 0 , −8 ) . Vértices en ( 1 , 1 ) y ( 11 , 1 ) y un foco en ( 12 , 1 ) . ( x - 6 ) 2 25 − ( y - 1 ) 2 11 = 1 Centro: ( 0 , 0 ) ; vértice: ( 0 , -13 ) ; un foco: ( 0 , 313 ) . Centro: ( 4 , 2 ) ; vértice: ( 9 , 2 ) ; un foco: ( 4 + 26 , 2 ) . ( x - 4 ) 2 25 − ( y - 2 ) 2 1 = 1 Centro: ( 3 , 5 ) ; vértice: ( 3 , 11 ) ; un foco: ( 3 , 5 + 2 10 ) . En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación. y 2 16 - x 2 25 = 1 y 2 9 - ( x + 1 ) 2 9 = 1 ( x + 3 ) 2 25 − ( y + 3 ) 2 25 = 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con y en función de x . Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes. x 2 4 - y 2 9 = 1 y 2 9 - x 2 1 = 1 y ( x ) = 3 x 2 + 1 , y ( x ) = - 3 x 2 + 1 ( x - 2 ) 2 16 - ( y + 3 ) 2 25 = 1 - 4 x 2 - 16 x + y 2 - 2 y − 19 = 0 y ( x ) = 1 + 2 x 2 + 4 x + 5 , y ( x ) = 1 - 2 x 2 + 4 x + 5 4 x 2 - 24 x - y 2 - 4 y + 16 = 0 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico. El seto seguirá las asíntotas y = x y y = - x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 5 yardas. x 2 25 - y 2 25 = 1 El seto seguirá las asíntotas y = 2 x y y = –2 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 6 yardas. El seto seguirá las asíntotas y = 1 2 x como y = - 1 2 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 10 yardas. x 2 100 − y 2 25 = 1 El seto seguirá las asíntotas y = 2 3 x como y = - 2 3 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 12 yardas. El seto seguirá las asíntotas y = 3 4 x como y = - 3 4 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 20 yardas. x 2 400 − y 2 225 = 1 En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = x - 2 y pasa a menos de 1 UA (unidad astronómica) del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = - x + 2. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 2 x - 2 y pasa a 0,5 UA del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = –2 x + 2. 4 ( x 1 ) 2 y 2 2 = 16 El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 0,5 x + 2 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = -0,5 x − 2. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 1 3 x – 1 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = - 1 3 x + 1. ( x - h ) 2 a 2 ( y k ) 2 b 2 = ( x 3 ) 2 9 y 2 = 4 El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 3 x - 9 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = −3 x + 9. centro de una hipérbola el punto medio de los ejes transversal y conjugado de una hipérbola eje conjugado el eje de una hipérbola que es perpendicular al eje transversal y tiene los covértices como puntos extremos hipérbola el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y el foco es una constante positiva eje transversal el eje de una hipérbola que incluye los focos y tiene los vértices como puntos extremos", "section": "La hipérbola", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "La parábola Objetivos de aprendizaje Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1) Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2) Objetivo 1: Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1) Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola. Anteriormente, aprendimos a graficar parábolas verticales a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Estos métodos también funcionan aquí. Parábolas verticales Forma general y = a x 2 + b x + c Forma estándar y = a ( x - h ) 2 + k Orientación a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo Eje de simetría x = - b 2 a x = h Representar gráficamente las parábolas verticales. Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en y (establezca x = 0). Halle el punto simétrico a la intersección y a través del eje de simetría. Halle las intersecciones en x (establezca y = 0). Grafique la parábola. Grafique y = - x 2 + 6 x - 8 . Dado que a es −1 , la parábola se abre hacia abajo. Para calcular el eje de simetría, halle x = - b 2 a . El eje de simetría es x = 3 . El vértice está en la línea x = 3 . Supongamos que x = 3 . El vértice es ( 3 , 1 ) . La intersección en y se produce cuando x = 0 . Sustituya x = 0 . Simplifique. La intersección en y es ( 0 , −8 ) . El punto ( 0 , −8 ) está tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es ( 6 , −8 ) . El punto simétrico a la intersección en y es ( 6 , −8 ) . La intersección en x se produce cuando y = 0 . Supongamos que y = 0 . Factorice el máximo común divisor (MCD). Factorice el trinomio. Resuelva para x . Las intersecciones en x son ( 4 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . Grafique la parábola. La práctica hace la perfección Representar gráficamente las parábolas verticales. Grafique y = 2 x 2 + 4 x + 5 . Grafique y = – x 3 2 + 5 . Objetivo 2: Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2) Nuestro trabajo hasta ahora solo se ha ocupado de parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones de las parábolas abiertas a la izquierda o a la derecha. Parábolas horizontales Forma general x = a y 2 + b y + c Forma estándar x = a ( y - k ) 2 + h Orientación a > 0 derecha; a < 0 izquierda a > 0 derecha; a < 0 izquierda Vértice Sustituya y = - b 2 a y resuelva para x . ( h , k ) Eje de simetría y = - b 2 a y = k Representar gráficamente las parábolas horizontales. Determine si la parábola se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en x . Halle el punto simétrico al de la intersección en x a través del eje de simetría. Halle las intersecciones y . Grafique la parábola. Representar gráficamente las parábolas horizontales. Grafique x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 . Identifique las constantes a, h, k . a = 2 , h = 1 , k = 2 Dado que a = 2 , la parábola se abre hacia la derecha. El eje de simetría es y = k . El eje de simetría es y = 2 . El vértice es ( h , k ) . El vértice es ( 1 , 2 ) . Halle la intersección en x sustituyendo y = 0 . x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 x = 2 ( 0 - 2 ) 2 + 1 x = 9 La intersección en x es ( 9 , 0 ) . Halle el punto simétrico a ( 9 , 0 ) a través del eje de simetría. ( 9 , 4 ) Halle las intersecciones y . Supongamos que x = 0 . x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 0 = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 −1 = 2 ( y - 2 ) 2 Un cuadrado no puede ser negativo, por lo que no existe una solución real. Por lo tanto, no hay intersecciones en y . Grafique la parábola. La práctica hace la perfección Grafique x = 2 y + 2 2 + 4 . Grafique x = y 2 + 2 y 3 . El trabajo matemático pionero de Katherine Johnson en el ámbito de los cálculos parabólicos y otros cálculos orbitales desempeñó un papel importante en el desarrollo de los vuelos espaciales estadounidenses. (Créditos: NASA). Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: \"Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar\". El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética. Graficar parábolas con vértices en el origen En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola . Vea la . Parábola Al igual que la elipse y la hipérbola , la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz , y un punto fijo (el foco ) que no está en la directriz. En Funciones cuadráticas , aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la . Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco. El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum . Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia d del foco a cualquier punto P en la parábola es igual a la distancia de P a la directriz. Características principales de la parábola Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas , consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero. Supongamos que ( x , y ) sea un punto de la parábola con vértice ( 0 , 0 ) , foco ( 0 , p ) , y directriz y = − p como se muestra en la . La distancia d desde el punto ( x , y ) al punto ( x , − p ) en la directriz es la diferencia de los valores y : d = y + p . La distancia del foco ( 0 , p ) al punto ( x , y ) también es igual a d , y se puede expresar mediante la fórmula de distancia . d = ( x - 0 ) 2 + ( y − p ) 2 = x 2 + ( y − p ) 2 Establezca las dos expresiones para d iguales entre sí y resuelva para y para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de ( x , y ) al ( 0 , p ) es igual a la distancia de ( x , y ) al ( x , − p ) . x 2 + ( y − p ) 2 = y + p A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares. x 2 + ( y − p ) 2 = ( y + p ) 2 x 2 + y 2 - 2 p y + p 2 = y 2 + 2 p y + p 2 x 2 - 2 p y = 2 p y x 2 = 4 p y Las ecuaciones de las parábolas con vértice ( 0 , 0 ) son y 2 = 4 p x cuando el eje x es el eje de simetría y x 2 = 4 p y cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales. Formas estándar de parábolas con vértice (0, 0) La y la resumen las características estándar de las parábolas con un vértice en el origen. Eje de simetría Ecuación Foco Directriz Puntos extremos del latus rectum eje x y 2 = 4 p x ( valor , 0 ) x = - p ( valor , ±2, 2 p ) eje y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) y = - p ( ± 2 p , p ) (a) Cuando p > 0 y el eje de simetría es el eje x , la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando p < 0 y el eje de simetría es el eje x , la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando p > 0 y el eje de simetría es el eje y , la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando p < 0 y el eje de simetría es el eje y , la parábola se abre hacia abajo. Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la . Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola. Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la . Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en (0, 0), dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: y 2 = 4 p x o x 2 = 4 p y . Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum. Si la ecuación es de la forma y 2 = 4 p x , entonces el eje de simetría es el eje x , y = 0 establece 4 p igual al coeficiente de x en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. utilice p para hallar las coordenadas del foco, ( valor , 0 ) utilice p para hallar la ecuación de la directriz, x = - p utilice p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( valor , ±2, 2 p ) . Alternativamente, sustituya x = p en la ecuación original. Si la ecuación es de la forma x 2 = 4 p y , entonces el eje de simetría es el eje y , x = 0 establece 4 p igual al coeficiente de y en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. utilice p para hallar las coordenadas del foco, ( 0 , p ) utilice p para hallar la ecuación de la directriz, y = - p utilice p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( ± 2 p , p ) Dibuje el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola. Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje x como eje de simetría Grafique y 2 = 24 x . Identifique y marque el foco , la directriz y los puntos finales del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es y 2 = 4 p x . Así, el eje de simetría es el eje x . De ello se desprende que: 24 = 4 p , por lo que p = 6. Dado que p > 0 , la parábola se abre a la derecha las coordenadas del foco son ( valor , 0 ) = ( 6 , 0 ) la ecuación de la directriz es x = - p = − 6 los puntos extremos del lado recto tienen la misma coordenada x en el foco. Para hallar los puntos extremos, sustituya x = 6 en la ecuación original: ( 6, ± 12 ) A continuación dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola . Ejercicio Grafique y 2 = −16 x . Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Foco: ( - 4 , 0 ) ; Directriz: x = 4 ; Puntos finales del latus rectum: ( - 4 , ± 8 ) Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje y como eje de simetría Grafique x 2 = –6 y . Identifique y marque el foco , la directriz y los puntos finales del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es x 2 = 4 p y . Por lo tanto, el eje de simetría es el eje y . De ello se desprende que: − 6 = 4 p , por lo que p = - 3 2 . Dado que p < 0 , la parábola se abre hacia abajo las coordenadas del foco son ( 0 , p ) = ( 0 , - 3 2 ) la ecuación de la directriz es y = - p = 3 2 los puntos extremos del latus rectum se pueden hallar sustituyendo y = 3 2 en la ecuación original, ( ± 3 , - 3 2 ) Luego, dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola . Ejercicio Grafique x 2 = 8 y . Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Foco: ( 0 , 2 ) ; Directriz: y = −2 ; Puntos finales del latus rectum: ( ± 4 , 2 ) . Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales. Cómo Dados su foco y su directriz, escriba la ecuación de una parábola en forma estándar. Determine si el eje de simetría es el eje x o el eje y . Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma ( valor , 0 ) , entonces el eje de simetría es el eje x . Utilice la forma estándar y 2 = 4 p x . Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma ( 0 , p ) , entonces el eje de simetría es el eje y . Utilice la forma estándar x 2 = 4 p y . Multiplique 4 p . Sustituya el valor del paso 2 en la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una parábola en forma estándar dados su foco y directriz ¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco ( - 1 2 , 0 ) y directriz x = 1 2 ? El foco tiene la forma ( valor , 0 ) , por lo que la ecuación tendrá la forma y 2 = 4 p x . Al multiplicar 4 p , tenemos 4 p = 4 ( - 1 2 ) = –2. Al sustituir por 4 p , tenemos y 2 = 4 p x = –2 x . Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = –2 x . Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco ( 0 , 7 2 ) y directriz y = - 7 2 ? x 2 = 14 y . Graficar parábolas con vértices que no están en el origen Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola h unidades en horizontal y k unidades en vertical, el vértice será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con x sustituido por ( x - h ) y de y sustituido por ( y - k ) . Para graficar parábolas con un vértice ( h , k ) que no sea el origen, utilizamos la forma estándar ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x , y ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y . Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales. Formas estándar de parábolas con vértice ( h , k ) La y la resumen las características estándar de las parábolas con vértice en un punto ( h , k ) . Eje de simetría Ecuación Foco Directriz Puntos extremos del latus rectum y = k ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) ( h + p , k ) x = h − p ( h + p , k ± 2 p ) x = h ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ( h , k + p ) y = k - p ( h ± 2 p , k + p ) (a) Cuando p > 0 , la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando p < 0 , la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando p > 0 , la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en ( h , k ), dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) o ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) . Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el vértice, el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum. Si la ecuación es de la forma ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) , entonces: utilice la ecuación dada para identificar h y k para el vértice, ( h , k ) utilice el valor de k para determinar el eje de simetría, y = k establezca 4 p igual al coeficiente de ( x - h ) en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. utilice h , k , y p para hallar las coordenadas del foco, ( h + p , k ) utilice h y p para hallar la ecuación de la directriz, x = h − p utilice h , k , y p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( h + p , k ± 2 p ) Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) , entonces: utilice la ecuación dada para identificar h y k para el vértice, ( h , k ) utilice el valor de h para determinar el eje de simetría, x = h establezca 4 p igual al coeficiente de ( y - k ) en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. utilice h , k , y p para hallar las coordenadas del foco, ( h , k + p ) utilice k y p para hallar la ecuación de la directriz, y = k - p utilice h , k , y p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( h ± 2 p , k + p ) Trace el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola. Gráfico de una parábola con vértice ( h , k ) y eje de simetría paralelo al eje x Grafique ( y - 1 ) 2 = −16 ( x + 3 ) . Identifique y marque el vértice , el eje de simetría , el foco , la directriz y los puntos extremos del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) . Así, el eje de simetría es paralelo al eje x . De ello se desprende que: el vértice es ( h , k ) = ( - 3 , 1 ) el eje de simetría es y = k = 1 −16 = 4 p , por lo que p = −4. Dado que p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. las coordenadas del foco son ( h + p , k ) = ( −3 + ( –4 ) , 1 ) = ( –7 , 1 ) la ecuación de la directriz es x = h − p = −3 − ( –4 ) = 1 los puntos finales del latus rectum son ( h + p , k ± 2 p ) = ( −3 + ( –4 ) , 1 ± 2 ( –4 ) ) , o ( –7 , –7 ) y ( –7 , 9 ) A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la . Ejercicio Grafique ( y + 1 ) 2 = 4 ( x - 8 ) . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Vértice ( 8 , - 1 ) ; Eje de simetría: y = −1 ; Foco: ( 9 , - 1 ) ; Directriz: x = 7 ; Puntos finales del latus rectum: ( 9 , - 3 ) y ( 9 , 1 ) . Graficar una parábola a partir de una ecuación dada en forma general Grafique x 2 - 8 x − 28 y − 208 = 0 . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Empiece escribiendo la ecuación de la parábola en forma estándar. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) . Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje y . Para expresar la ecuación de la parábola en esta forma, empezamos por aislar los términos que contienen la variable x para completar el cuadrado. x 2 - 8 x − 28 y − 208 = 0 x 2 - 8 x = 28 y + 208 x 2 - 8 x + 16 = 28 y + 208 + 16 ( x - 4 ) 2 = 28 y + 224 ( x - 4 ) 2 = 28 ( y + 8 ) ( x - 4 ) 2 = 4 ⋅ 7 ⋅ ( y + 8 ) De ello se desprende que: el vértice es ( h , k ) = ( 4 , −8 ) el eje de simetría es x = h = 4 dado que p = 7 , p > 0 y así la parábola se abre hacia arriba las coordenadas del foco son ( h , k + p ) = ( 4 , −8 + 7 ) = ( 4 , –1 ) la ecuación de la directriz es y = k - p = −8 − 7 = −15 los puntos finales del latus rectum son ( h ± 2 p , k + p ) = ( 4 ± 2 ( 7 ) , −8 + 7 ) , o ( –10 , –1 ) y ( 18 , –1 ) A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la . Ejercicio Grafique ( x + 2 ) 2 = -20 ( y - 3 ) . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Vértice ( – 2 , 3 ) ; Eje de simetría: x = −2 ; Foco: ( – 2 , - 2 ) ; Directriz: y = 8 ; Puntos finales del latus rectum: ( − 12 , - 2 ) y ( 8 , - 2 ) . Resolver problemas aplicados con parábolas Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la . Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico. Propiedad de reflexión de las parábolas Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje. Resolver problemas aplicados con parábolas En la se muestra una sección transversal de un diseño para un encendedor solar de tamaño de viaje. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia un objeto unido al encendedor. Debido a que el encendedor está ubicado en el foco de la parábola, los rayos reflejados hacen que el objeto se queme en solo unos segundos. Ⓐ Halle la ecuación de la parábola que modela el encendedor. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas. Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte ⓐ para calcular la profundidad del encendedor. Sección transversal de un encendedor de fuego solar del tamaño de un viaje Ⓐ El vértice de la antena es el origen del plano de coordenadas, por lo que la parábola adoptará la forma estándar x 2 = 4 p y , donde p > 0 . El encendedor, que es el foco, está a 1,7 pulgadas por encima del vértice de la antena. Así, tenemos p = 1,7. x 2 = 4 p y Forma estándar de parábola orientada hacia arriba con vértice (0,0) x 2 = 4 ( 1,7 ) y Sustituya 1 ,7 para p . x 2 = 6,8 y Multiplique . Ⓑ La antena se extiende 4,5 2 = 2,25 pulgadas a cada lado del origen. Podemos sustituir 2,25 por x en la ecuación de la parte (a) para hallar la profundidad de la antena. x 2 = 6,8 y Ecuación hallada en la parte (a) . ( 2,25 ) 2 = 6,8 y Sustituya 2 ,25 por x . y ≈ 0,74 Resuelva para y . La antena tiene una profundidad de unas 0,74 pulgadas. Ejercicio Se han diseñado cocinas solares del tamaño de un balcón para familias que viven en la India. La parte superior de una antena tiene un diámetro de 1.600 mm. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia la \"cocina\", situada a 320 mm de la base. Ⓐ Halle una ecuación que modele una sección transversal de la cocina solar. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas, y que la parábola se abre hacia la derecha (es decir, tiene el eje x como eje de simetría). Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte Ⓐ para calcular la profundidad de la cocina. Ⓐ y 2 = 1280 x Ⓑ La profundidad de la cocina es de 500 mm Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las parábolas. Secciones cónicas: la parábola, parte 1 de 2 Secciones cónicas: la parábola, parte 2 de 2 Parábola con eje vertical Parábola con eje horizontal Ecuaciones clave Parábola, vértice en el origen, eje de simetría en el eje de la x y 2 = 4 p x Parábola, vértice en el origen, eje de simetría en el eje y x 2 = 4 p y Parábola, vértice en ( h , k ) , eje de simetría en el eje x ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) Parábola, vértice en ( h , k ) , eje de simetría en el eje y ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) Conceptos clave Una parábola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz. La forma estándar de una parábola con vértice ( 0 , 0 ) y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( 0 , 0 ) y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Vea el . Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( h , k ) y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( h , k ) y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Vea el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una parábola en términos de su foco y su directriz. Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una línea fija, la directriz. Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y p es positiva y la directriz es una línea vertical, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico? Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y p es negativo y la directriz es una línea horizontal, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico? El gráfico se abrirá hacia abajo. ¿Cuál es el efecto en el gráfico de una parábola si su ecuación en forma estándar tiene valores crecientes de p ? A medida que el gráfico de una parábola se hace más ancho, ¿qué ocurrirá con la distancia entre el foco y la directriz? La distancia entre el foco y la directriz aumentará. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar. y 2 = 4 - x 2 y = 4 x 2 sí x 2 = 4 ( 1 16 ) y 3 x 2 - 6 y 2 = 12 ( y - 3 ) 2 = 8 ( x - 2 ) sí ( y - 3 ) 2 = 4 ( 2 ) ( x - 2 ) y 2 + 12 x - 6 y − 51 = 0 En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice ( V ) , foco ( F ) , y directriz ( d ) de la parábola. x = 8 y 2 y 2 = 1 8 x , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 1 32 , 0 ) ; d : x = - 1 32 y = 1 4 x 2 y = -4 x 2 x 2 = - 1 4 y , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 0 , - 1 16 ) ; d : y = 1 16 x = 1 8 y 2 x = 36 y 2 y 2 = 1 36 x , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 1 144 , 0 ) ; d : x = - 1 144 x = 1 36 y 2 ( x – 1 ) 2 = 4 ( y - 1 ) ( x – 1 ) 2 = 4 ( y - 1 ) , V : ( 1 , 1 ) ; F : ( 1 , 2 ) ; d : y = 0 ( y - 2 ) 2 = 4 5 ( x + 4 ) ( y - 4 ) 2 = 2 ( x + 3 ) ( y - 4 ) 2 = 2 ( x + 3 ) , V : ( - 3 , 4 ) ; F : ( - 5 2 , 4 ) ; d : x = - 7 2 ( x + 1 ) 2 = 2 ( y + 4 ) ( x + 4 ) 2 = 24 ( y + 1 ) ( x + 4 ) 2 = 24 ( y + 1 ) , V : ( - 4 , - 1 ) ; F : ( - 4 , 5 ) ; d : y = −7 ( y + 4 ) 2 = 16 ( x + 4 ) y 2 + 12 x - 6 y + 21 = 0 ( y - 3 ) 2 = −12 ( x + 1 ) , V : ( - 1 , 3 ) ; F : ( - 4 , 3 ) ; d : x = 2 x 2 - 4 x − 24 y + 28 = 0 5 x 2 − 50 x - 4 y + 113 = 0 ( x - 5 ) 2 = 4 5 ( y + 3 ) , V : ( 5 , - 3 ) ; F : ( 5 , − 14 5 ) ; d : y = - 16 5 y 2 - 24 x + 4 y − 68 = 0 x 2 - 4 x + 2 y - 6 = 0 ( x - 2 ) 2 = −2 ( y - 5 ) , V : ( 2 , 5 ) ; F : ( 2 , 9 2 ) ; d : y = 11 2 y 2 - 6 y + 12 x - 3 = 0 3 y 2 - 4 x - 6 y + 23 = 0 ( y - 1 ) 2 = 4 3 ( x - 5 ) , V : ( 5 , 1 ) ; F : ( 16 3 , 1 ) ; d : x = 14 3 x 2 + 4 x + 8 y - 4 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz. x = 1 8 y 2 y = 36 x 2 y = 1 36 x 2 y = –9 x 2 ( y - 2 ) 2 = – 4 3 ( x + 2 ) −5 ( x + 5 ) 2 = 4 ( y + 5 ) −6 ( y + 5 ) 2 = 4 ( x - 4 ) y 2 - 6 y - 8 x + 1 = 0 x 2 + 8 x + 4 y + 20 = 0 3 x 2 + 30 x - 4 y + 95 = 0 y 2 - 8 x + 10 y + 9 = 0 x 2 + 4 x + 2 y + 2 = 0 y 2 + 2 y - 12 x + 61 = 0 - 2 x 2 + 8 x - 4 y − 24 = 0 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico. El vértice es ( 0 , 0 ) ; la directriz es y = 4 , el foco es ( 0 , –4 ) . x 2 = −16 y El vértice es ( 0 , 0 ) ; la directriz es x = 4 , el foco es ( -4 , 0 ) . El vértice es ( 2 , 2 ) ; la directriz es x = 2 - 2 , el foco es ( 2 + 2 , 2 ) . ( y - 2 ) 2 = 4 2 ( x - 2 ) El vértice es ( –2 , 3 ) ; la directriz es x = - 7 2 , el foco es ( - 1 2 , 3 ) . El vértice es ( 2 , - 3 ) ; la directriz es x = 2 2 , el foco es ( 0 , - 3 ) . ( y + 3 ) 2 = -4 2 ( x - 2 ) El vértice es ( 1 , 2 ) ; la directriz es y = 11 3 , el foco es ( 1 , 1 3 ) . En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico. x 2 = y ( y - 2 ) 2 = 1 4 ( x + 2 ) ( y - 3 ) 2 = 4 5 ( x + 2 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación. V ( 0 , 0 ) , los puntos extremos ( 2 , 1 ) , ( –2 , 1 ) V ( 0 , 0 ) , puntos finales ( –2 , 4 ) , ( –2 , –4 ) y 2 = −8 x V ( 1 , 2 ) , puntos finales ( −5 , 5 ) , ( 7 , 5 ) V ( −3 , –1 ) , puntos finales ( 0 , 5 ) , ( 0 , –7 ) ( y + 1 ) 2 = 12 ( x + 3 ) V ( 4 , −3 ) , puntos finales ( 5 , - 7 2 ) , ( 3 , - 7 2 ) Aplicaciones en el mundo real El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por x 2 = 4 y . ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla? ( 0 , 1 ) Si queremos construir el espejo del ejercicio anterior de forma que el foco esté situado en ( 0 , 0,25 ) , ¿cuál debería ser la ecuación de la parábola? Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. Esto significa que se puede formar girando una parábola alrededor de su eje de simetría. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor? En el punto 2,25 pies por encima del vértice. Considere la antena parabólica del ejercicio anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor? El reflector de un faro tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad. 0,5625 pies Si el reflector del faro del ejercicio anterior tiene la fuente de luz situada a 6 pulgadas de la base a lo largo del eje de simetría y la abertura es de 4 pies, calcule la profundidad. Un arco tiene forma de parábola. Tiene una arcada de 100 pies y una altura máxima de 20 pies. Halle la ecuación de la parábola y determine la altura del arco a 40 pies del centro. x 2 = -125 ( y − 20 ) , la altura es de 7,2 pies Si el arco del ejercicio anterior tiene una arcada de 160 pies y una altura máxima de 40 pies, halle la ecuación de la parábola y determine la distancia desde el centro a la que la altura es de 20 pies. Un objeto se proyecta para seguir una trayectoria parabólica dada por y = - x 2 + 96 x , donde x es la distancia horizontal recorrida en pies y y es la altura. Determina la altura máxima que alcanza el objeto. 2.304 pies Para el objeto del ejercicio anterior, supongamos que la trayectoria seguida viene dada por y = -0,5 x 2 + 80 x . Determine qué distancia a lo largo de la horizontal recorrió el objeto para alcanzar la máxima altura. directriz una línea perpendicular al eje de simetría de una parábola; una línea tal que la relación de la distancia entre los puntos de la cónica y el foco y la distancia a la directriz es constante foco (de una parábola) un punto fijo en el interior de una parábola que se encuentra en el eje de simetría latus rectum el segmento de línea que pasa por el foco de una parábola paralela a la directriz, con puntos extremos en la parábola parábola el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz", "section": "La parábola", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Rotación de ejes Objetivos de aprendizaje Uso de fórmulas de rotación de ejes. Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3) Objetivo 1: Uso de fórmulas de rotación de ejes. Si un punto ( x , y ) en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo θ del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son ( x ′ , y ′ ) . Las siguientes fórmulas de rotación de ejes definen la relación entre ( x , y ) y ( x ’, y ’): x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, calcule una nueva representación después de girar un ángulo. Halle x y y donde x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada, luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. Uso de fórmulas de rotación de ejes. Calcule una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por el ángulo dado. 3 x 2 + x y + 3 y 2 5 = 0 , θ = 45 º Halle x y y usando las fórmulas de rotación de ejes, sustituya θ =45º. x = x ' cos θ y ' sen θ y = x ' sen θ + y ' cos θ x = x ' 1 2 y ' 1 2 x = x ' y ' 2 y = x ' 1 2 y ' 1 2 y = x ' y ' 2 Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y simplifique. 3 x 2 + x y + 3 y 2 5 = 0 3 x ' y ' 2 2 + x ' y ' 2 x ' y ' 2 + 3 x ' y ' 2 2 5 = 0 Utilice el método Primero, Exterior, Interior, Último [First, Outer, Inner, Last, FOIL] para cada término. 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 2 ) 2 + x ' 2 y ' 2 2 + 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 2 ) 5 = 0 Multiplique por 2 para eliminar la fracción. 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 ) 2 + x ' 2 y ' 2 + 3 ( x ' 2 2 x ' y ' + y ' 2 ) 10 = 0 Combine términos similares. 3 x ' 2 6 x ' y ' + 3 y ' 2 + x ' 2 y ' 2 + 3 x ' 2 + 6 x ' y ' + 3 y ' 2 10 = 0 7 x ' 2 + 5 y ' 2 10 = 0 7 x ' 2 + 5 y ' 2 = 10 Escriba las ecuaciones con x′ y y′ en forma estándar. Se igualan a 1. 7 x ' 2 10 + 5 y ' 2 10 = 1 x ' 2 10 7 + y ' 2 2 = 1 La práctica hace la perfección Uso de fórmulas de rotación de ejes: Calcule una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por el ángulo dado. Use los pasos indicados como ayuda en su trabajo. 4 x 2 – x y + 4 y 2 2 = 0 , θ = 45 º Halle x y y usando las fórmulas de rotación de ejes, sustituya θ =45º. Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y simplifique. Escriba las ecuaciones con x′ y y′ en forma estándar. Objetivo 2: Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. (IA 11.4.3) Podemos identificar una sección cónica a partir de sus ecuaciones al observar los signos y coeficientes de las variables que se elevan al cuadrado. Sección cónica Características de x 2 y y 2 Ejemplo Parábola O bien x 2 O y 2 . Solo se eleva al cuadrado una variable. x = 3 y 2 - 2 y + 1 Círculo x 2 y y 2 tienen los mismos coeficientes x 2 + y 2 = 49 Elipse x 2 y y 2 tienen el mismo signo con diferentes coeficientes 4 x 2 + 25 y 2 = 100 Hipérbola x 2 y y 2 tienen diferentes signos con diferentes coeficientes 25 y 2 - 4 x 2 = 100 Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. Ⓐ x = y 2 2 y + 3 Ⓑ 9 y 2 x 2 + 18 y 4 x 4 = 0 Ⓒ 9 x 2 + 25 y 2 = 225 Ⓓ x 2 + y 2 4 x + 10 y 7 = 0 Ⓐ x = y 2 2 y + 3 Parábola : solo se eleva al cuadrado una variable. Ⓑ 9 y 2 x 2 + 18 y 4 x 4 = 0 Hipérbola : x 2 y y 2 tienen diferentes signos y diferentes coeficientes. Ⓒ 9 x 2 + 25 y 2 = 225 Elipse : x 2 y y 2 tienen los mismos signos y diferentes coeficientes. Ⓓ x 2 + y 2 4 x + 10 y 7 = 0 Círculo : x 2 y y 2 tienen los mismos signos y los mismos coeficientes. La práctica hace la perfección Identifique las secciones cónicas por sus ecuaciones. x = 2 y 2 12 y 16 x 2 + y 2 = 9 16 x 2 4 y 2 + 64 x 24 y 36 = 0 16 x 2 + 36 y 2 = 576 Como hemos visto, las secciones cónicas se forman cuando un plano interseca dos conos circulares rectos alineados de punta a punta y que se extienden infinitamente en direcciones opuestas, lo que también llamamos cono . La forma en que cortemos el cono determinará el tipo de sección cónica formada en la intersección. Un círculo se forma al cortar un cono con un plano perpendicular al eje de simetría del cono. Una elipse se forma al cortar un cono único con un plano inclinado no perpendicular al eje de simetría. Una parábola se forma al cortar el plano por la parte superior o la inferior del doble cono, mientras que una hipérbola se forma cuando el plano corta tanto la parte superior como la inferior del cono. Vea la . Secciones cónicas no degeneradas Las elipses, los círculos, las hipérbolas y las parábolas se denominan, a veces, secciones cónicas no degeneradas , en contraste con las secciones cónicas degeneradas , que se muestran en la . La cónica degenerada resulta cuando un plano interseca el doble cono y pasa por el vértice. Según el ángulo del plano, son posibles tres tipos de secciones cónicas degeneradas: un punto, una línea o dos líneas que se intersecan. Secciones cónicas degeneradas Identificación de secciones cónicas no degeneradas en forma general En las secciones anteriores de este capítulo nos hemos centrado en las ecuaciones en la forma estándar para secciones cónicas no degeneradas. En esta sección nos centraremos en la ecuación de forma general, que se puede usar para cualquier sección cónica. La forma general se hace igual a cero, y los términos y coeficientes se dan en un orden particular, como se muestra a continuación. A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. Podemos utilizar los valores de los coeficientes para identificar qué tipo de sección cónica representa una ecuación determinada. Puede observar que la ecuación de forma general tiene un término x y que no hemos visto en ninguna de las ecuaciones de la forma estándar. Como veremos más adelante, el término x y rota la sección cónica siempre que B no sea igual a cero. Secciones cónicas Ejemplo elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 1 círculo 4 x 2 + 4 y 2 = 1 hipérbola 4 x 2 - 9 y 2 = 1 parábola 4 x 2 = 9 y o 4 y 2 = 9 x una línea 4 x + 9 y = 1 líneas de intersección ( x - 4 ) ( y + 4 ) = 0 líneas paralelas ( x - 4 ) ( x - 9 ) = 0 un punto 4 x 2 + 4 y 2 = 0 no hay gráfico 4 x 2 + 4 y 2 = - 1 Forma general de las secciones cónicas Una sección cónica tiene la forma general A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. En la se resumen las diferentes secciones cónicas en las que B = 0 , y A y C son números reales diferentes de cero. Esto indica que la cónica no se ha girado. elipse A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , A ≠ C y A C > 0 círculo A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , A = C hipérbola A x 2 - C y 2 + D x + E y + F = 0 o − A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 , donde A y C son positivos parábola A x 2 + D x + E y + F = 0 o C y 2 + D x + E y + F = 0 Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, identifique el tipo de sección cónica. Reescriba la ecuación en la forma general, A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 . Identifique los valores de A y C de la forma general Si A y C son distintos de cero, tienen el mismo signo y no son iguales entre sí, entonces el gráfico puede ser una elipse. Si los valores de A y C son iguales y distintos de cero y tienen el mismo signo, entonces el gráfico puede ser un círculo. Si los valores de A y C son distintos de cero y tienen signos opuestos, entonces el gráfico puede ser una hipérbola. Si cualquiera de A o C es cero, entonces el gráfico puede ser una parábola. Si B = 0, la sección cónica tendrá un eje vertical u horizontal. Si B no es igual a 0, como se muestra a continuación, la sección cónica se rota. Tome en cuenta la expresión \"puede ser\" en las definiciones. Esto se debe a que la ecuación puede no representar una sección cónica en absoluto, según los valores de A , B , C , D , E y F . Por ejemplo, el caso degenerado de un círculo o una elipse es un punto: A x 2 + B y 2 = 0 , cuando A y B tienen el mismo signo. El caso degenerado de una hipérbola son dos líneas que se intersecan: A x 2 + B y 2 = 0 , cuando A y B tienen signos opuestos. Por otro lado, la ecuación, A x 2 + B y 2 + 1 = 0 , cuando A y B son positivos no representa un gráfico en absoluto, ya que no hay pares reales ordenados que lo satisfagan. Identificación de una sección cónica a partir de su forma general Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas. Ⓐ 4 x 2 - 9 y 2 + 36 x + 36 y − 125 = 0 Ⓑ 9 y 2 + 16 x + 36 y - 10 = 0 Ⓒ 3 x 2 + 3 y 2 - 2 x - 6 y - 4 = 0 Ⓓ − 25 x 2 - 4 y 2 + 100 x + 16 y + 20 = 0 Ⓐ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 4 y C = −9 , por lo que observamos que A y C tienen signos opuestos. El gráfico de esta ecuación es una hipérbola. Ⓑ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 0 y C = 9. Podemos determinar que la ecuación es una parábola, ya que A es cero. Ⓒ Si reescribimos la forma general, tenemos A = 3 y C = 3. Dado que A = C , el gráfico de esta ecuación es un círculo. Ⓓ Si reescribimos la forma general, tenemos A = −25 y C = −4. Dado que A C > 0 y A ≠ C , el gráfico de esta ecuación es una elipse. Ejercicio Identifique el gráfico de cada una de las siguientes secciones cónicas no degeneradas. Ⓐ 16 y 2 - x 2 + x - 4 y − 9 = 0 Ⓑ 16 x 2 + 4 y 2 + 16 x + 49 y − 81 = 0 Ⓐ hipérbola Ⓑ elipse Calcular una nueva representación de la ecuación dada después de rotar por un ángulo dado Hasta ahora hemos examinado ecuaciones de secciones cónicas sin un término x y que alinee los gráficos con los ejes x y y . Cuando añadimos un término x y , rotamos la sección cónica alrededor del origen. Si los ejes x y y se giran en un ángulo, por ejemplo θ , entonces se puede pensar que cada punto del plano tiene dos representaciones: ( x , y ) en el plano cartesiano con los ejes x y y originales y ( x ′ , y ′ ) en el nuevo plano definido por los nuevos ejes rotados, denominados los ejes x' y y' . Vea la . El gráfico de la elipse rotada x 2 + y 2 – x y – 15 = 0 Hallaremos las relaciones entre x y y en el plano cartesiano con x ′ y y ′ en el nuevo plano rotado. Vea la . El plano cartesiano con los ejes x y y y los ejes x′ y y′ resultantes formados por una rotación de un ángulo θ . Los ejes de coordenadas x y y originales tienen vectores unitarios i y j . Los ejes de coordenadas rotados tienen vectores unitarios i ′ y j ′ . El ángulo θ se conoce como el ángulo de rotación . Vea la . Podemos escribir los nuevos vectores unitarios en términos de los originales. i ′ = cos θ i + sen θ j j ′ = - sen θ i + cos θ j Relación entre los planos de coordenadas anteriores y los nuevos. Considere un vector u en el nuevo plano de coordenadas. Se puede representar en términos de sus ejes de coordenadas. u = x ′ i ′ + y ′ j ′ u = x ′ ( i cos θ + j sen θ ) + y ′ ( - i sen θ + j cos θ ) Sustituya . u = i x ' cos θ + j x ' sen θ − i y ' sen θ + j y ' cos θ Distribuya . u = i x ' cos θ − i y ' sen θ + j x ' sen θ + j y ' cos θ Aplique la propiedad conmutativa . u = ( x ' cos θ − y ' sen θ ) i + ( x ' sen θ + y ' cos θ ) j Factorice por agrupación . Debido a que u = x ′ i ′ + y ′ j ′ , tenemos representaciones de x y y en términos del nuevo sistema de coordenadas. x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Ecuaciones de rotación Si un punto ( x , y ) en el plano cartesiano se representa en un nuevo plano de coordenadas en el que los ejes de rotación se forman girando un ángulo θ del eje x positivo, entonces las coordenadas del punto con respecto a los nuevos ejes son ( x ′ , y ′ ) . Podemos utilizar las siguientes ecuaciones de rotación para definir la relación entre ( x , y ) y ( x ′ , y ′ ) : x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Cómo Dada la ecuación de una sección cónica, calcule una nueva representación después de girar un ángulo. Calcule x y y donde x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada, luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. Calcular una nueva representación de una ecuación después de rotar por un ángulo dado Calcule una nueva representación de la ecuación 2 x 2 - x y + 2 y 2 − 30 = 0 después de rotar por un ángulo de θ = 45° . Calcule x y y , donde x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Dado que θ = 45° , x = x ′ cos ( 45° ) - y ′ sen ( 45° ) x = x ′ ( 1 2 ) - y ′ ( 1 2 ) x = x ′ - y ′ 2 y y = x ′ sen ( 45° ) + y ′ cos ( 45° ) y = x ′ ( 1 2 ) + y ′ ( 1 2 ) y = x ′ + y ′ 2 Sustituya x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ en 2 x 2 - x y + 2 y 2 − 30 = 0 . 2 ( x ′ - y ′ 2 ) 2 - ( x ′ - y ′ 2 ) ( x ′ + y ′ 2 ) + 2 ( x ′ + y ′ 2 ) 2 − 30 = 0 Simplifique. 2 ( x ′ - y ′ ) ( x ′ - y ′ ) 2 - ( x ′ - y ′ ) ( x ′ + y ′ ) 2 + 2 ( x ′ + y ′ ) ( x ′ + y ′ ) 2 − 30 = 0 Método FOIL x ′ 2 - 2 x ′ y ′ + y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 + x ′ 2 + 2 x ′ y ′ + y ′ 2 − 30 = 0 Combine términos similares . 2 x ′ 2 + 2 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 = 30 Combine términos similares . 2 ( 2 x ′ 2 + 2 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) 2 ) = 2 ( 30 ) Multiplique ambos lados por 2 . 4 x ′ 2 + 4 y ′ 2 - ( x ′ 2 - y ′ 2 ) = 60 Simplifique . 4 x ′ 2 + 4 y ′ 2 - x ′ 2 + y ′ 2 = 60 Distribuya . 3 x ′ 2 60 + 5 y ′ 2 60 = 60 60 Se igualan a 1 . Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar. x ′ 2 20 + y ′ 2 12 = 1 Esta ecuación es una elipse. La muestra el gráfico. Escritura de ecuaciones de secciones cónicas rotadas en la forma estándar Ahora que podemos calcular la forma estándar de una sección cónica cuando nos dan un ángulo de rotación, aprenderemos a transformar la ecuación de una sección cónica dada en la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 en la forma estándar rotando los ejes. Para ello, reescribiremos la forma general como una ecuación en el sistema de coordenadas de x ′ y y ′ sin x ′ y ′ , rotando los ejes en una medida de θ que satisfaga cot ( 2 θ ) = A - C B Ya hemos aprendido que cualquier sección cónica se puede representar con la ecuación de segundo grado A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B , y C no son todos cero. Sin embargo, si B ≠ 0 , entonces tenemos un término x y que nos impide reescribir la ecuación en forma estándar. Para eliminarlo, podemos rotar los ejes en un ángulo agudo θ donde cot ( 2 θ ) = A - C B . Si los valores de cot ( 2 θ ) > 0 , entonces 2 θ está en el primer cuadrante y θ está entre ( 0° , 45° ) . Si los valores de cot ( 2 θ ) < 0 , entonces 2 θ está en el segundo cuadrante y θ está entre ( 45° , 90° ) . Si A = C , entonces θ = 45° . Cómo Dada una ecuación para una sección cónica en el sistema x ′ y ′ , reescriba la ecuación sin el término x ′ y ′ en lo que respecta a x ′ y y ′ , donde x ′ y y ′ son rotaciones de los ejes estándar por grados θ . Calcule cot ( 2 θ ) . Halle sen θ y cos θ . Sustituya sen θ y cos θ en x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . Sustituya la expresión de x y y en la ecuación dada y luego simplifique. Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar con respecto a los ejes rotados. Reescriba una ecuación con respecto a los ejes x′ y y′ sin el término x′y′ Reescriba la ecuación 8 x 2 - 12 x y + 17 y 2 = 20 en el sistema x ′ y ′ sin un término x ′ y ′ . Primero hallamos cot ( 2 θ ) . Vea la . 8 x 2 - 12 x y + 17 y 2 = 20 ⇒ A = 8 , B = − 12 y C = 17 cot ( 2 θ ) = A - C B = 8 − 17 − 12 cot ( 2 θ ) = - 9 − 12 = 3 4 cot ( 2 θ ) = 3 4 = adyacente opuesto Entonces la hipotenusa es 3 2 + 4 2 = h 2 9 + 16 = h 2 25 = h 2 h = 5 Luego, hallamos sen θ y cos θ . sen θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 = 1 - 3 5 2 = 5 5 - 3 5 2 = 5 - 3 5 ⋅ 1 2 = 2 10 = 1 5 sen θ = 1 5 cos θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 = 1 + 3 5 2 = 5 5 + 3 5 2 = 5 + 3 5 ⋅ 1 2 = 8 10 = 4 5 cos θ = 2 5 Sustituya los valores de sen θ y cos θ en x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ . x = x ′ cos θ − y ′ sen θ x = x ′ ( 2 5 ) - y ′ ( 1 5 ) x = 2 x ′ - y ′ 5 y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ y = x ′ ( 1 5 ) + y ′ ( 2 5 ) y = x ′ + 2 y ′ 5 Sustituya las expresiones de x y y en la ecuación dada y luego simplifique. 8 ( 2 x ′ - y ′ 5 ) 2 - 12 ( 2 x ′ - y ′ 5 ) ( x ′ + 2 y ′ 5 ) + 17 ( x ′ + 2 y ′ 5 ) 2 = 20 8 ( ( 2 x ′ - y ′ ) ( 2 x ′ - y ′ ) 5 ) − 12 ( ( 2 x ′ - y ′ ) ( x ′ + 2 y ′ ) 5 ) + 17 ( ( x ′ + 2 y ′ ) ( x ′ + 2 y ′ ) 5 ) = 20 8 ( 4 x ′ 2 - 4 x ′ y ′ + y ′ 2 ) − 12 ( 2 x ′ 2 + 3 x ′ y ′ - 2 y ′ 2 ) + 17 ( x ′ 2 + 4 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 ) = 100 32 x ′ 2 - 32 x ′ y ′ + 8 y ′ 2 - 24 x ′ 2 - 36 x ′ y ′ + 24 y ′ 2 + 17 x ′ 2 + 68 x ′ y ′ + 68 y ′ 2 = 100 25 x ′ 2 + 100 y ′ 2 = 100 25 100 x ′ 2 + 100 100 y ′ 2 = 100 100 Escriba las ecuaciones con x ′ y y ′ en la forma estándar con respecto al nuevo sistema de coordenadas. x ′ 2 4 + y ′ 2 1 = 1 La muestra el gráfico de la elipse. Ejercicio Vuelva a escribir el 13 x 2 - 6 3 x y + 7 y 2 = 16 en el plano x ′ y ′ sin el término x ′ y ′ . x ′ 2 4 + y ′ 2 1 = 1 Graficar una ecuación que no tiene términos x′y′ Grafique la siguiente ecuación en relación con el sistema x ′ y ′ : x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 30 Primero hallamos cot ( 2 θ ) . x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 20 ⇒ A = 1 , B = 12 , y C = –4 cot ( 2 θ ) = A - C B cot ( 2 θ ) = 1 - ( –4 ) 12 cot ( 2 θ ) = 5 12 Dado que cot ( 2 θ ) = 5 12 , podemos dibujar un triángulo de referencia como en la . cot ( 2 θ ) = 5 12 = adyacente opuesto Así, la hipotenusa es 5 2 + 12 2 = h 2 25 + 144 = h 2 169 = h 2 h = 13 Luego, hallamos sen θ y cos θ . Utilizaremos identidades de ángulo medio. sen θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 = 1 - 5 13 2 = 13 13 - 5 13 2 = 8 13 ⋅ 1 2 = 2 13 cos θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 = 1 + 5 13 2 = 13 13 + 5 13 2 = 18 13 ⋅ 1 2 = 3 13 Ahora hallamos x y y . x = x ′ cos θ − y ′ sen θ x = x ′ ( 3 13 ) - y ′ ( 2 13 ) x = 3 x ′ - 2 y ′ 13 y y = x ′ sen θ + y ′ cos θ y = x ′ ( 2 13 ) + y ′ ( 3 13 ) y = 2 x ′ + 3 y ′ 13 Ahora sustituimos x = 3 x ′ - 2 y ′ 13 y y = 2 x ′ + 3 y ′ 13 en x 2 + 12 x y - 4 y 2 = 30. ( 3 x ′ - 2 y ′ 13 ) 2 + 12 ( 3 x ′ - 2 y ′ 13 ) ( 2 x ′ + 3 y ′ 13 ) - 4 ( 2 x ′ + 3 y ′ 13 ) 2 = 30 ( 1 13 ) [ ( 3 x ′ - 2 y ′ ) 2 + 12 ( 3 x ′ - 2 y ′ ) ( 2 x ′ + 3 y ′ ) - 4 ( 2 x ′ + 3 y ′ ) 2 ] = 30 Factorice . ( 1 13 ) [ 9 x ′ 2 - 12 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 + 12 ( 6 x ′ 2 + 5 x ′ y ′ − 6 y ′ 2 ) - 4 ( 4 x ′ 2 + 12 x ′ y ′ + 9 y ′ 2 ) ] = 30 Multiplique . ( 1 13 ) [ 9 x ′ 2 - 12 x ′ y ′ + 4 y ′ 2 + 72 x ′ 2 + 60 x ′ y ′ − 72 y ′ 2 - 16 x ′ 2 − 48 x ′ y ′ − 36 y ′ 2 ] = 30 Distribuya . ( 1 13 ) [ 65 x ′ 2 − 104 y ′ 2 ] = 30 Combine términos similares . 65 x ′ 2 − 104 y ′ 2 = 390 Multiplique . x ′ 2 6 - 4 y ′ 2 15 = 1 Divida entre 390 . La muestra el gráfico de la hipérbola x ′ 2 6 - 4 y ′ 2 15 = 1. Identificar secciones cónicas sin ejes de rotación Ahora hemos cerrado el círculo. ¿Cómo identificamos el tipo de sección cónica descrito por una ecuación? ¿Qué ocurre cuando se rotan los ejes? Recordemos que la forma general de una sección cónica es A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Si aplicamos las fórmulas de rotación a esta ecuación obtenemos la forma A ′ x ′ 2 + B ′ x ′ y ′ + C ′ y ′ 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0 Se puede demostrar que B 2 - 4 A C = B ′ 2 - 4 A ′ C ′ . La expresión no varía después de la rotación, por lo que llamamos a esta expresión invariante . El discriminante, B 2 - 4 A C , es invariable y permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante no cambia, la observación del discriminante nos permite identificar la sección cónica. Uso del discriminante para identificar una sección cónica Si la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 se transforma mediante la rotación de los ejes en la ecuación A ′ x ′ 2 + B ′ x ′ y ′ + C ′ y ′ 2 + D ′ x ′ + E ′ y ′ + F ′ = 0 , entonces B 2 - 4 A C = B ′ 2 - 4 A ′ C ′ . La ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 es una elipse, una parábola o una hipérbola o un caso degenerado de una de ellas. Si el discriminante, B 2 - 4 A C , es < 0 , la sección cónica es una elipse = 0 , la sección cónica es una parábola > 0 , la sección cónica es una hipérbola Identificar la sección cónica sin ejes de rotación Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes. Ⓐ 5 x 2 + 2 3 x y + 2 y 2 - 5 = 0 Ⓑ 5 x 2 + 2 3 x y + 12 y 2 - 5 = 0 Ⓐ Empecemos por determinar A , B , y C . 5 ︸ A x 2 + 2 3 ︸ B x y + 2 ︸ C y 2 - 5 = 0 Ahora, hallaremos el discriminante. B 2 - 4 A C = ( 2 3 ) 2 - 4 ( 5 ) ( 2 ) = 4 ( 3 ) − 40 = 12 − 40 = − 28 < 0 Por lo tanto, 5 x 2 + 2 3 x y + 2 y 2 - 5 = 0 representa una elipse. Ⓑ De nuevo, empecemos por determinar A , B , y C . 5 ︸ A x 2 + 2 3 ︸ B x y + 12 ︸ C y 2 - 5 = 0 Ahora, hallaremos el discriminante. B 2 - 4 A C = ( 2 3 ) 2 - 4 ( 5 ) ( 12 ) = 4 ( 3 ) − 240 = 12 − 240 = − 228 < 0 Por lo tanto, 5 x 2 + 2 3 x y + 12 y 2 - 5 = 0 representa una elipse. Ejercicio Identifique la sección cónica de cada una de las siguientes sin rotar los ejes. Ⓐ x 2 - 9 x y + 3 y 2 - 12 = 0 Ⓑ 10 x 2 - 9 x y + 4 y 2 - 4 = 0 Ⓐ hipérbola Ⓑ elipse Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar secciones cónicas y rotación de ejes. Introducción a las secciones cónicas Ecuaciones clave Ecuación de la forma general de una sección cónica A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Rotación de una sección cónica x = x ′ cos θ − y ′ sen θ y = x ′ sen θ + y ′ cos θ Ángulo de rotación θ , donde cot ( 2 θ ) = A - C B Conceptos clave Cuatro formas básicas pueden resultar de la intersección de un plano con un par de conos circulares rectos conectados cola con cola. Se trata de una elipse, un círculo, una hipérbola y una parábola. Una sección cónica no degenerada tiene la forma general A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 donde A , B y C no son todos cero. Los valores de A , B , y C determinan el tipo de sección cónica. Vea el . Las ecuaciones de secciones cónicas con un término x y se han girado alrededor del origen. Vea el . La forma general se puede transformar en una ecuación en el sistema de coordenadas x ′ y y ′ sin x ′ y ′ . Vea el y el . Una expresión se describe como invariante si permanece sin cambios después de la rotación. Como el discriminante es invariable, su observación nos permite identificar la sección cónica. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué efecto tiene el término x y en el gráfico de una sección cónica? El término x y hace que se produzca una rotación del gráfico. Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 y A B = 0 , ¿qué podemos concluir? Si la ecuación de una sección cónica se escribe en la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , y B 2 - 4 A C > 0 , ¿qué podemos concluir? La sección cónica es una hipérbola. Dada la ecuación a x 2 + 4 x + 3 y 2 - 12 = 0 , ¿qué podemos concluir si a > 0 ? Para la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , el valor de θ que satisface cot ( 2 θ ) = A - C B ¿qué información nos da? Da el ángulo de rotación de los ejes para eliminar el término x y . Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada a partir de la ecuación dada. 9 x 2 + 4 y 2 + 72 x + 36 y − 500 = 0 x 2 - 10 x + 4 y - 10 = 0 A B = 0 , parábola 2 x 2 - 2 y 2 + 4 x - 6 y - 2 = 0 4 x 2 - y 2 + 8 x – 1 = 0 A B = – 4 < 0 , hipérbola 4 y 2 - 5 x + 9 y + 1 = 0 2 x 2 + 3 y 2 - 8 x - 12 y + 2 = 0 A B = 6 > 0 , elipse 4 x 2 + 9 x y + 4 y 2 - 36 y − 125 = 0 3 x 2 + 6 x y + 3 y 2 - 36 y − 125 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola - 3 x 2 + 3 3 x y - 4 y 2 + 9 = 0 2 x 2 + 4 3 x y + 6 y 2 - 6 x - 3 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola - x 2 + 4 2 x y + 2 y 2 - 2 y + 1 = 0 8 x 2 + 4 2 x y + 4 y 2 - 10 x + 1 = 0 B 2 - 4 A C = − 96 < 0 , elipse En los siguientes ejercicios, halle una nueva representación de la ecuación dada después de rotar el ángulo dado. 3 x 2 + x y + 3 y 2 - 5 = 0 , θ = 45° 4 x 2 - x y + 4 y 2 - 2 = 0 , θ = 45° 7 x ′ 2 + 9 y ′ 2 - 4 = 0 2 x 2 + 8 x y - 1 = 0 , θ = 30° - 2 x 2 + 8 x y + 1 = 0 , θ = 45° 3 x ′ 2 + 2 x ′ y ′ − 5 y ′ 2 + 1 = 0 4 x 2 + 2 x y + 4 y 2 + y + 2 = 0 , θ = 45° En los siguientes ejercicios, determine el ángulo θ que eliminará el término x y y escriba la ecuación correspondiente sin el término x y . x 2 + 3 3 x y + 4 y 2 + y - 2 = 0 θ = 60 ∘ , 11 x ′ 2 - y ′ 2 + 3 x ′ + y ′ - 4 = 0 4 x 2 + 2 3 x y + 6 y 2 + y - 2 = 0 9 x 2 - 3 3 x y + 6 y 2 + 4 y - 3 = 0 θ = 150 ∘ , 21 x ′ 2 + 9 y ′ 2 + 4 x ′ - 4 3 y ′ − 6 = 0 −3 x 2 - 3 x y - 2 y 2 - x = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 6 x - 6 y + 2 = 0 θ ≈ 36,9 ∘ , 125 x ′ 2 + 6 x ′ − 42 y ′ + 10 = 0 x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 3 x - 2 = 0 x 2 + 4 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0 θ = 45 ∘ , 3 x ′ 2 - y ′ 2 - 2 x ′ + 2 y ′ + 1 = 0 4 x 2 - 2 3 x y + 6 y 2 – 1 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, gire el ángulo dado basándose en la ecuación dada. Obtenga la nueva ecuación y grafique la ecuación original y la rotada. y = - x 2 , θ = − 45 ∘ 2 2 ( x ′ + y ′ ) = 1 2 ( x ′ - y ′ ) 2 x = y 2 , θ = 45 ∘ x 2 4 + y 2 1 = 1 , θ = 45 ∘ ( x ′ - y ′ ) 2 8 + ( x ′ + y ′ ) 2 2 = 1 y 2 16 + x 2 9 = 1 , θ = 45 ∘ y 2 - x 2 = 1 , θ = 45 ∘ ( x ′ + y ′ ) 2 2 - ( x ′ - y ′ ) 2 2 = 1 y = x 2 2 , θ = 30 ∘ x = ( y - 1 ) 2 , θ = 30 ∘ 3 2 x ′ - 1 2 y ′ = ( 1 2 x ′ + 3 2 y ′ - 1 ) 2 x 2 9 + y 2 4 = 1 , θ = 30 ∘ En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema x ′ y ′ en el que la ecuación no tiene el término x ′ y ′ . x y = 9 x 2 + 10 x y + y 2 - 6 = 0 x 2 - 10 x y + y 2 - 24 = 0 4 x 2 - 3 3 x y + y 2 − 22 = 0 6 x 2 + 2 3 x y + 4 y 2 − 21 = 0 11 x 2 + 10 3 x y + y 2 − 64 = 0 21 x 2 + 2 3 x y + 19 y 2 − 18 = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 − 130 x + 90 y = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 − 60 x + 80 y = 0 13 x 2 - 6 3 x y + 7 y 2 - 16 = 0 4 x 2 - 4 x y + y 2 - 8 5 x − 16 5 y = 0 En los siguientes ejercicios, determine el ángulo de rotación para eliminar el término x y . A continuación, grafique el nuevo conjunto de ejes. 6 x 2 - 5 3 x y + y 2 + 10 x - 12 y = 0 6 x 2 - 5 x y + 6 y 2 + 20 x - y = 0 θ = 45 ∘ 6 x 2 - 8 3 x y + 14 y 2 + 10 x - 3 y = 0 4 x 2 + 6 3 x y + 10 y 2 + 20 x − 40 y = 0 θ = 60 ∘ 8 x 2 + 3 x y + 4 y 2 + 2 x - 4 = 0 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 20 x − 44 y = 0 θ ≈ 36,9 ∘ En los siguientes ejercicios, determine el valor de k con base en la ecuación dada. Dados 4 x 2 + k x y + 16 y 2 + 8 x + 24 y − 48 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una parábola. Dados 2 x 2 + k x y + 12 y 2 + 10 x − 16 y + 28 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una elipse. - 4 6 < k < 4 6 Dados 3 x 2 + k x y + 4 y 2 - 6 x + 20 y + 128 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una hipérbola. Dados k x 2 + 8 x y + 8 y 2 - 12 x + 16 y + 18 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una parábola. k = 2 Dados 6 x 2 + 12 x y + k y 2 + 16 x + 10 y + 4 = 0 , calcule k para que el gráfico sea una elipse. ángulo de rotación un ángulo agudo formado por un conjunto de ejes girados desde el plano cartesiano donde, si cot ( 2 θ ) > 0 , entonces θ está entre ( 0° , 45° ) ; si cot ( 2 θ ) < 0 , entonces θ está entre ( 45° , 90° ) ; y si cot ( 2 θ ) = 0 , entonces θ = 45° secciones cónicas degeneradas cualquiera de las posibles formas que se forman cuando un plano interseca un cono doble por el vértice. Los tipos de secciones cónicas degeneradas incluyen un punto, una línea y líneas de intersección. sección cónica no degenerada forma formada por la intersección de un plano con un doble cono recto de manera que el plano no pasa por el vértice; círculos, elipses, hipérbolas y parábolas son secciones cónicas no degeneradas", "section": "Rotación de ejes", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Secciones cónicas en coordenadas polares Los planetas que orbitan el sol siguen trayectorias elípticas. (Créditos: NASA Blueshift, Flickr). La mayoría de nosotros estamos familiarizados con el movimiento orbital, como el de un planeta alrededor del Sol o el de un electrón alrededor de un núcleo atómico. Dentro del sistema planetario, las órbitas de planetas, asteroides y cometas alrededor de un cuerpo celeste mayor suelen ser elípticas. Sin embargo, los cometas pueden adoptar una órbita parabólica o hiperbólica. Y, en realidad, las características de las órbitas de los planetas pueden variar con el tiempo. Cada órbita está ligada a la ubicación del cuerpo celeste que se orbita y a la distancia y dirección del planeta u otro objeto desde ese cuerpo. Por ello, tendemos a utilizar coordenadas polares para representar estas órbitas. En una órbita elíptica, el periapsis es el punto en el que los dos objetos están más cerca, y la apoapsis es el punto en el que están más alejados. En general, la velocidad del cuerpo en órbita tiende a aumentar a medida que se acerca a la periapsis y a disminuir cuando se acerca a la apoapsis. Algunos objetos alcanzan una velocidad de escape, lo que genera una órbita infinita. Estos cuerpos presentan una órbita parabólica o hiperbólica alrededor de un cuerpo; el cuerpo que orbita se libera de la atracción gravitatoria del cuerpo celeste y sale disparado al espacio. Cada una de estas órbitas se puede modelar mediante una sección cónica en el sistema de coordenadas polares. Identificar una sección cónica en forma polar. Cualquier sección cónica puede estar determinada por tres características: un único foco , una línea fija llamada directriz , y la relación de las distancias de cada una a un punto del gráfico. Considere la parábola x = 2 + y 2 que se muestra en la . En la sección La parábola aprendimos cómo una parábola está definida por el foco (un punto fijo) y la directriz (una línea fija). En esta sección aprenderemos a definir cualquier cónica en el sistema de coordenadas polares en términos de un punto fijo, el foco P ( r , θ ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar. Si los valores de F es un punto fijo, el foco, y D es una línea fija, la directriz, entonces podemos dejar que e sea un número fijo positivo, llamado excentricidad , que podemos definir como la relación de las distancias de un punto del gráfico al foco y del punto del gráfico a la directriz. Entonces el conjunto de todos los puntos P de manera que e = P F P D es una cónica. En otras palabras, podemos definir una cónica como el conjunto de todos los puntos P con la propiedad de que la relación de la distancia de P con F con la distancia de P con D es igual a la constante e . Para una cónica con excentricidad e , si 0 ≤ e < 1 , la cónica es una elipse si e = 1 , la cónica es una parábola si e > 1 , la cónica es una hipérbola Con esta definición, ahora podemos definir una cónica en términos de la directriz, x = ± p , la excentricidad e , y el ángulo θ . Así, cada cónica se puede escribir como una ecuación polar , una ecuación escrita en términos de r y θ . La ecuación polar de una cónica Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es x = ± p , donde p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e , la cónica tiene una ecuación polar r = e p 1 ± e cos θ Para una sección cónica con foco en el origen, si la directriz es y = ± p , donde p es un número real positivo, y la excentricidad es un número real positivo e , la cónica tiene una ecuación polar r = e p 1 ± e sen θ Cómo Dada la ecuación polar de una cónica, identifique el tipo de cónica, la directriz y la excentricidad. Multiplique el numerador y el denominador por el recíproco de la constante en el denominador para reescribir la ecuación en forma estándar. Identifique la excentricidad e como el coeficiente de la función trigonométrica en el denominador. Compare e con 1 para determinar la forma de la cónica. Determine la directriz como x = p si el coseno está en el denominador y y = p si el seno está en el denominador. Establezca e p igual al numerador en forma estándar para resolver x o y . Identificación de una sección cónica dada la forma polar Para cada una de las siguientes ecuaciones, identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad . r = 6 3 + 2 sen θ r = 12 4 + 5 cos θ r = 7 2 - 2 sen θ Para cada una de las tres cónicas reescribiremos la ecuación en forma estándar. La forma estándar tiene un 1 como constante en el denominador. Por lo tanto, en las tres partes, el primer paso será multiplicar el numerador y el denominador por el recíproco de la constante de la ecuación original, 1 c , donde c es esa constante. Multiplique el numerador y el denominador por 1 3 . r = 6 3 + 2 sen θ ⋅ ( 1 3 ) ( 1 3 ) = 6 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) + 2 ( 1 3 ) sen θ = 2 1 + 2 3 sen θ Dado que sen θ está en el denominador, la directriz es y = p . En comparación con la forma estándar, tenga en cuenta que e = 2 3 . Por lo tanto, desde el numerador, 2 = e p 2 = 2 3 p ( 3 2 ) 2 = ( 3 2 ) 2 3 p 3 = p Dado que e < 1 , la cónica es una elipse . La excentricidad es e = 2 3 y la directriz es y = 3. Multiplique el numerador y el denominador por 1 4 . r = 12 4 + 5 cos θ ⋅ ( 1 4 ) ( 1 4 ) r = 12 ( 1 4 ) 4 ( 1 4 ) + 5 ( 1 4 ) cos θ r = 3 1 + 5 4 cos θ Dado que cos θ está en el denominador, la directriz es x = p . Comparación con la forma estándar, e = 5 4 . Por lo tanto, desde el numerador, 3 = e p 3 = 5 4 p ( 4 5 ) 3 = ( 4 5 ) 5 4 p 12 5 = p Dado que e > 1 , la cónica es una hipérbola . La excentricidad es e = 5 4 y la directriz es x = 12 5 = 2,4. Multiplique el numerador y el denominador por 1 2 . r = 7 2 - 2 sen θ ⋅ ( 1 2 ) ( 1 2 ) r = 7 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) - 2 ( 1 2 ) sen θ r = 7 2 1 - sen θ Como el seno está en el denominador, la directriz es y = - p . Comparación con la forma estándar, e = 1. Por lo tanto, desde el numerador, 7 2 = e p 7 2 = ( 1 ) p 7 2 = p Dado que e = 1 , la cónica es una parábola . La excentricidad es e = 1 y la directriz es y = - 7 2 = -3,5. Ejercicio Identifique la cónica con foco en el origen, la directriz y la excentricidad para r = 2 3 − cos θ . elipse; e = 1 3 ; x = - 2 Graficar las ecuaciones polares de las cónicas Al graficar en coordenadas cartesianas, cada sección cónica tiene una ecuación única. Este no es el caso cuando se grafica en coordenadas polares. Debemos utilizar la excentricidad de una sección cónica para determinar el tipo de curva a graficar, y luego determinar sus características específicas. El primer paso es reescribir la cónica en forma estándar como hemos hecho en el ejemplo anterior. En otras palabras, tenemos que reescribir la ecuación para que el denominador empiece por 1. Esto nos permite determinar e y, por lo tanto, la forma de la curva. El siguiente paso es sustituir los valores de θ y resolver para r para trazar algunos puntos clave. Si establecemos que θ igual a 0 , π 2 , π , y 3 π 2 proporciona los vértices para que podamos crear un dibujo aproximado del gráfico. Graficar una parábola en forma polar Grafique r = 5 3 + 3 cos θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 3, que es 1 3 . r = 5 3 + 3 cos θ = 5 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) + 3 ( 1 3 ) cos θ r = 5 3 1 + cos θ Dado que e = 1 , graficaremos una parábola con foco en el origen. La función tiene un cos θ , y hay un signo de suma en el denominador, por lo que la directriz es x = p . 5 3 = e p 5 3 = ( 1 ) p 5 3 = p La directriz es x = 5 3 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 5 3 + 3 cos θ 5 6 ≈ 0,83 5 3 ≈ 1,67 indefinida 5 3 ≈ 1,67 Análisis Podemos comprobar nuestro resultado con una herramienta gráfica. Vea la . Graficar una hipérbola en forma polar Grafique r = 8 2 - 3 sen θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 2, que es 1 2 . r = 8 2 - 3 sen θ = 8 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) - 3 ( 1 2 ) sen θ r = 4 1 - 3 2 sen θ Dado que e = 3 2 , e > 1 , por lo que graficaremos una hipérbola con foco en el origen. La función tiene un sen θ y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es y = - p . 4 = e p 4 = ( 3 2 ) p 4 ( 2 3 ) = p 8 3 = p La directriz es y = - 8 3 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 8 2 - 3 sen θ 4 − 8 4 8 5 = 1,6 Graficar una elipse en forma polar Grafique r = 10 5 - 4 cos θ . Primero, reescribimos la cónica en forma estándar multiplicando el numerador y el denominador por el recíproco de 5, que es 1 5 . r = 10 5 - 4 cos θ = 10 ( 1 5 ) 5 ( 1 5 ) - 4 ( 1 5 ) cos θ r = 2 1 - 4 5 cos θ Dado que e = 4 5 , e < 1 , por lo que graficaremos una elipse con un foco en el origen. La función tiene un cos θ , y hay un signo de resta en el denominador, por lo que la directriz es x = - p . 2 = e p 2 = ( 4 5 ) p 2 ( 5 4 ) = p 5 2 = p La directriz es x = - 5 2 . Trazar algunos puntos clave como en la nos permitirá ver los vértices. Vea la . A B C D θ 0 π 2 π 3 π 2 r = 10 5 - 4 cos θ 10 2 10 9 ≈ 1,1 2 Análisis Podemos comprobar nuestro resultado utilizando una herramienta gráfica. Vea la . r = 10 5 - 4 cos θ graficado en una ventana de visualización de [ -3 , 12 , 1 ] entre [ – 4 , 4 , 1 ] , θ mín. = 0 y θ máx. = 2 π . Ejercicio Grafique r = 2 4 − cos θ . Definir cónicas en términos de un foco y una directriz Hasta ahora hemos utilizado ecuaciones polares de cónicas para describir y graficar la curva. Ahora, trabajaremos a la inversa; utilizaremos la información sobre el origen, la excentricidad y la directriz para determinar la ecuación polar. Cómo Dado el foco, la excentricidad y la directriz de una cónica, determine la ecuación polar. Determine si la directriz es horizontal o vertical. Si la directriz se da en términos de y , utilizamos la forma polar general en términos de seno. Si la directriz se da en términos de x , utilizamos la forma polar general en términos de coseno. Determine el signo del denominador. Si los valores de p < 0 , utilice la resta. Si los valores de p > 0 , utilice la adición. Escriba el coeficiente de la función trigonométrica como la excentricidad dada. Escriba el valor absoluto de p en el numerador y simplifique la ecuación. Hallar la forma polar de una sección cónica vertical dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e = 3 y directriz y = − 2. La directriz es y = - p , por lo que sabemos que la función trigonométrica en el denominador es el seno. Dado que y = –2 , -2 < 0 , por lo que sabemos que hay un signo de resta en el denominador. Utilizamos la forma estándar de r = e p 1 - e sen θ y e = 3 y | −2 | = 2 = p . Por lo tanto, r = ( 3 ) ( 2 ) 1 - 3 sen θ r = 6 1 - 3 sen θ Hallar la forma polar de una sección cónica horizontal dado un foco en el origen y la excentricidad y la directriz Halle la forma polar de una cónica dado un foco en el origen, e = 3 5 , y directriz x = 4. Como la directriz es x = p , sabemos que la función en el denominador es coseno. Dado que x = 4 , 4 > 0 , entonces sabemos que hay un signo de suma en el denominador. Utilizamos la forma estándar de r = e p 1 + e cos θ y e = 3 5 y | 4 | = 4 = p . Por lo tanto, r = ( 3 5 ) ( 4 ) 1 + 3 5 cos θ r = 12 5 1 + 3 5 cos θ r = 12 5 1 ( 5 5 ) + 3 5 cos θ r = 12 5 5 5 + 3 5 cos θ r = 12 5 ⋅ 5 5 + 3 cos θ r = 12 5 + 3 cos θ Ejercicio Halle la forma polar de la cónica dado un foco en el origen, e = 1 , y directriz x = −1. r = 1 1 - cos θ Convertir una cónica en forma polar a forma rectangular Convertir la sección cónica r = 1 5 - 5 sen θ a la forma rectangular. Reorganizaremos la fórmula para utilizar las identidades r = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y y = r sen θ . r = 1 5 - 5 sen θ r ⋅ ( 5 - 5 sen θ ) = 1 5 - 5 sen θ ⋅ ( 5 - 5 sen θ ) Eliminar la fracción . 5 r − 5 r sen θ = 1 Distribuya . 5 r = 1 + 5 r sen θ Aísle 5 r . 25 r 2 = ( 1 + 5 r sen θ ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . 25 ( x 2 + y 2 ) = ( 1 + 5 y ) 2 Sustituya r = x 2 + y 2 y y = r sen θ . 25 x 2 + 25 y 2 = 1 + 10 y + 25 y 2 Distribuya y use el método FOIL . 25 x 2 - 10 y = 1 Reordene los términos y establézcalos igual a 1 . Ejercicio Convertir la sección cónica r = 2 1 + 2 cos θ a la forma rectangular. 4 − 8 x + 3 x 2 - y 2 = 0 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las cónicas en coordenadas polares. Ecuaciones polares de secciones cónicas Gráficos de ecuaciones polares de cónicas 1 Gráficos de ecuaciones polares de cónicas 2 Conceptos clave Cualquier cónica puede estar determinada por un único foco, la excentricidad correspondiente y la directriz. También podemos definir una cónica en términos de un punto fijo, el foco P ( r , θ ) en el polo, y una línea, la directriz, que es perpendicular al eje polar. Una cónica es el conjunto de todos los puntos e = P F P D , donde la excentricidad e es un número real positivo. Cada cónica se puede escribir en términos de su ecuación polar. Vea el . Las ecuaciones polares de las cónicas se pueden graficar. Vea el , el y el . Las cónicas se pueden definir en términos de un foco, una directriz y una excentricidad. Vea el y el . Podemos utilizar las identidades r = x 2 + y 2 , x = r cos θ , y y = r sen θ para convertir la ecuación de una cónica de forma polar a rectangular. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cómo la excentricidad determina qué sección cónica se da. Si la excentricidad es menor que 1, es una elipse. Si la excentricidad es igual a 1, es una parábola. Si la excentricidad es mayor que 1, es una hipérbola. Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, ¿qué debe ser cierto para el denominador? Si una sección cónica se escribe como una ecuación polar, y el denominador implica sen θ , ¿qué conclusión se puede sacar sobre la directriz? La directriz será paralela al eje polar. Si la directriz de una sección cónica es perpendicular al eje polar, ¿qué sabemos de la ecuación del gráfico? ¿Qué sabemos sobre los focos de una sección cónica si se escribe como una ecuación polar? Uno de los focos se situará en el origen. Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad. r = 6 1 - 2 cos θ r = 3 4 - 4 sen θ Parábola con e = 1 y directriz 3 4 unidades por debajo del polo. r = 8 4 - 3 cos θ r = 5 1 + 2 sen θ Hipérbola con e = 2 y directriz 5 2 unidades por encima del polo. r = 16 4 + 3 cos θ r = 3 10 + 10 cos θ Parábola con e = 1 y directriz 3 10 unidades a la derecha del polo. r = 2 1 - cos θ r = 4 7 + 2 cos θ Elipse con e = 2 7 y directriz 2 unidades a la derecha del polo. r ( 1 - cos θ ) = 3 r ( 3 + 5 sen θ ) = 11 Hipérbola con e = 5 3 y directriz 11 5 unidades por encima del polo. r ( 4 − 5 sen θ ) = 1 r ( 7 + 8 cos θ ) = 7 Hipérbola con e = 8 7 y directriz 7 8 unidades a la derecha del polo. En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar de una sección cónica en una ecuación rectangular. r = 4 1 + 3 sen θ r = 2 5 - 3 sen θ 25 x 2 + 16 y 2 - 12 y - 4 = 0 r = 8 3 - 2 cos θ r = 3 2 + 5 cos θ 21 x 2 - 4 y 2 − 30 x + 9 = 0 r = 4 2 + 2 sen θ r = 3 8 − 8 cos θ 64 y 2 = 48 x + 9 r = 2 6 + 7 cos θ r = 5 5 − 11 sen θ 96 y 2 - 25 x 2 + 110 y + 25 = 0 r ( 5 + 2 cos θ ) = 6 r ( 2 - cos θ ) = 1 3 x 2 + 4 y 2 - 2 x – 1 = 0 r ( 2,5 − 2,5 sen θ ) = 5 r = 6 sec θ - 2 + 3 sec θ 5 x 2 + 9 y 2 - 24 x − 36 = 0 r = 6 csc θ 3 + 2 csc θ En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse, marque los vértices y los focos. Si es una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 5 2 + cos θ r = 2 3 + 3 sen θ r = 10 5 - 4 sen θ r = 3 1 + 2 cos θ r = 8 4 − 5 cos θ r = 3 4 - 4 cos θ r = 2 1 - sen θ r = 6 3 + 2 sen θ r ( 1 + cos θ ) = 5 r ( 3 - 4 sen θ ) = 9 r ( 3 - 2 sen θ ) = 6 r ( 6 - 4 cos θ ) = 5 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la cónica con foco en el origen y la excentricidad y la directriz dadas. Directriz: x = 4 ; e = 1 5 r = 4 5 + cos θ Directriz: x = – 4 ; e = 5 Directriz: y = 2 ; e = 2 r = 4 1 + 2 sen θ Directriz: y = - 2 ; e = 1 2 Directriz: x = 1 ; e = 1 r = 1 1 + cos θ Directriz: x = - 1 ; e = 1 Directriz: x = - 1 4 ; e = 7 2 r = 7 8 − 28 cos θ Directriz: y = 2 5 ; e = 7 2 Directriz: y = 4 ; e = 3 2 r = 12 2 + 3 sen θ Directriz: x = −2 ; e = 8 3 Directriz: x = −5 ; e = 3 4 r = 15 4 - 3 cos θ Directriz: y = 2 ; e = 2,5 Directriz: x = −3 ; e = 1 3 r = 3 3 - 3 cos θ Extensiones Recordemos que en la sección Rotación de ejes las ecuaciones de las cónicas con un término x y han girado los gráficos. En los siguientes ejercicios, exprese cada ecuación en forma polar con r en función de θ . x y = 2 x 2 + x y + y 2 = 4 r = ± 2 1 + sen θ cos θ 2 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 9 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 = 4 r = ± 2 4 cos θ + 3 sen θ 2 x y + y = 1 Ejercicios de repaso del capítulo La elipse En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la elipse en forma estándar. A continuación, identifique el centro, los vértices y los focos. x 2 25 + y 2 64 = 1 x 2 5 2 + y 2 8 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 5 , 0 ) , ( −5 , 0 ) , ( 0 , 8 ) , ( 0 , − 8 ) ; focos: ( 0 , 39 ) , ( 0 , − 39 ) ( x - 2 ) 2 100 + ( y + 3 ) 2 36 = 1 9 x 2 + y 2 + 54 x - 4 y + 76 = 0 ( x + 3 ) 2 1 2 + ( y - 2 ) 2 3 2 = 1 ( - 3 , 2 ) ; ( – 2 , 2 ) , ( - 4 , 2 ) , ( - 3 , 5 ) , ( - 3 , - 1 ) ; ( - 3 , 2 + 2 2 ) , ( - 3 , 2 - 2 2 ) 9 x 2 + 36 y 2 - 36 x + 72 y + 36 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la elipse, tomando en cuenta el centro, los vértices y los focos. x 2 36 + y 2 9 = 1 centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 6 , 0 ) , ( –6 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) ; focos: ( 3 3 , 0 ) , ( - 3 3 , 0 ) ( x - 4 ) 2 25 + ( y + 3 ) 2 49 = 1 4 x 2 + y 2 + 16 x + 4 y − 44 = 0 centro: ( –2 , –2 ) ; vértices: ( 2 , –2 ) , ( –6 , –2 ) , ( –2 , 6 ) , ( –2 , –10 ) ; focos: ( –2 , −2 + 4 3 , ) , ( –2 , −2 -4 3 ) 2 x 2 + 3 y 2 − 20 x + 12 y + 38 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para hallar la ecuación de la elipse. Centro en ( 0 , 0 ) , foco en ( 3 , 0 ) , vértice en ( −5 , 0 ) x 2 25 + y 2 16 = 1 Centro en ( 2 , –2 ) , vértice en ( 7 , –2 ) , foco en ( 4 , –2 ) Se construirá una galería de susurros de forma que los focos se sitúen a 35 pies del centro. Si la longitud de la galería es de 100 pies, ¿cuál debe ser la altura del techo? Aproximadamente 35,71 pies. La hipérbola En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar. A continuación, dé el centro, los vértices y los focos. x 2 81 − y 2 9 = 1 ( y + 1 ) 2 16 - ( x - 4 ) 2 36 = 1 ( y + 1 ) 2 4 2 - ( x - 4 ) 2 6 2 = 1 ; centro: ( 4 , –1 ) ; vértices: ( 4 , 3 ) , ( 4 , −5 ) ; focos: ( 4 , −1 + 2 13 ) , ( 4 , −1 - 2 13 ) 9 y 2 - 4 x 2 + 54 y − 16 x + 29 = 0 3 x 2 - y 2 - 12 x - 6 y − 9 = 0 ( x - 2 ) 2 2 2 - ( y + 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 = 1 ; centro: ( 2 , −3 ) ; vértices: ( 4 , −3 ) , ( 0 , −3 ) ; focos: ( 6 , −3 ) , ( –2 , −3 ) En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola e identifique los vértices y los focos. x 2 9 − y 2 16 = 1 ( y - 1 ) 2 49 - ( x + 1 ) 2 4 = 1 x 2 - 4 y 2 + 6 x + 32 y − 91 = 0 2 y 2 - x 2 - 12 y - 6 = 0 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la hipérbola. Centro en ( 0 , 0 ) , vértice en ( 0 , 4 ) , foco en ( 0 , –6 ) Focos en ( 3 , 7 ) y ( 7 , 7 ) , vértice en ( 6 , 7 ) ( x - 5 ) 2 1 - ( y - 7 ) 2 3 = 1 La parábola En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar. A continuación, dé el vértice, el foco y la directriz. y 2 = 12 x ( x + 2 ) 2 = 1 2 ( y - 1 ) ( x + 2 ) 2 = 1 2 ( y - 1 ) ; vértice: ( –2 , 1 ) ; foco: ( –2 , 9 8 ) ; directriz: y = 7 8 y 2 - 6 y - 6 x - 3 = 0 x 2 + 10 x - y + 23 = 0 ( x + 5 ) 2 = ( y + 2 ) ; vértice: ( - 5 , - 2 ) ; foco: ( - 5 , - 7 4 ) ; directriz: y = - 9 4 En los siguientes ejercicios, grafique la parábola e identifique el vértice, el foco y la directriz. x 2 + 4 y = 0 ( y - 1 ) 2 = 1 2 ( x + 3 ) x 2 - 8 x - 10 y + 46 = 0 2 y 2 + 12 y + 6 x + 15 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola utilizando la información dada. Foco en ( -4 , 0 ) ; la directriz es x = 4 Foco en ( 2 , 9 8 ) ; la directriz es y = 7 8 ( x - 2 ) 2 = ( 1 2 ) ( y - 1 ) Una antena receptora de televisión por cable tiene la forma de un paraboloide de revolución. Halle la ubicación del receptor, que se coloca en el foco, si la antena parabólica tiene 5 pies de diámetro en su apertura y 1,5 pies de profundidad. Rotación de ejes En los siguientes ejercicios, determine cuál de las secciones cónicas está representada. 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 + 24 x − 60 y − 60 = 0 B 2 - 4 A C = 0 , parábola 4 x 2 + 14 x y + 5 y 2 + 18 x - 6 y + 30 = 0 4 x 2 + x y + 2 y 2 + 8 x − 26 y + 9 = 0 B 2 - 4 A C = − 31 < 0 , elipse En los siguientes ejercicios, determine el ángulo θ que eliminará el término x y , y escriba la ecuación correspondiente sin el término x y . x 2 + 4 x y - 2 y 2 - 6 = 0 x 2 - x y + y 2 - 6 = 0 θ = 45 ∘ , x ′ 2 + 3 y ′ 2 - 12 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación relativa al sistema x ′ y ′ en el que la ecuación no tiene el término x ′ y ′ . 9 x 2 - 24 x y + 16 y 2 − 80 x − 60 y + 100 = 0 x 2 - x y + y 2 - 2 = 0 θ = 45 ∘ 6 x 2 + 24 x y – y 2 - 12 x + 26 y + 11 = 0 Secciones cónicas en coordenadas polares En los siguientes ejercicios, dada la ecuación polar de la cónica con foco en el origen, identifique la excentricidad y la directriz. r = 10 1 - 5 cos θ Hipérbola con e = 5 y directriz 2 unidades a la izquierda del polo. r = 6 3 + 2 cos θ r = 1 4 + 3 sen θ Elipse con e = 3 4 y directriz 1 3 unidad por encima del polo. r = 3 5 - 5 sen θ En los siguientes ejercicios, grafique la cónica dada en forma polar. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 3 1 - sen θ r = 8 4 + 3 sen θ r = 10 4 + 5 cos θ r = 9 3 - 6 cos θ En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de una cónica con foco en el origen, calcule la ecuación en forma polar. La directriz es x = 3 y excentricidad e = 1 r = 3 1 + cos θ La directriz es y = −2 y excentricidad e = 4 Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma estándar e indique el centro, los vértices y los focos. x 2 9 + y 2 4 = 1 x 2 3 2 + y 2 2 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices: ( 3 , 0 ) , ( -3 , 0 ) , ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) ; focos: ( 5 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) 9 y 2 + 16 x 2 - 36 y + 32 x − 92 = 0 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico e identifique el centro, los vértices y los focos. ( x - 3 ) 2 64 + ( y - 2 ) 2 36 = 1 centro: ( 3 , 2 ) ; vértices: ( 11 , 2 ) , ( −5 , 2 ) , ( 3 , 8 ) , ( 3 , –4 ) ; focos: ( 3 + 2 7 , 2 ) , ( 3 - 2 7 , 2 ) 2 x 2 + y 2 + 8 x - 6 y - 7 = 0 Escriba la ecuación en forma estándar de una elipse con centro en ( 1 , 2 ) , vértice en ( 7 , 2 ) , y el foco en ( 4 , 2 ). ( x – 1 ) 2 36 + ( y - 2 ) 2 27 = 1 Se va a construir una galería de susurros con una longitud de 150 pies. Si los focos deben situarse a 20 pies de la pared, ¿qué altura debe tener el techo? En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar y dé el centro, los vértices, los focos y las asíntotas. x 2 49 − y 2 81 = 1 x 2 7 2 - y 2 9 2 = 1 ; centro: ( 0 , 0 ) ; vértices ( 7 , 0 ) , ( –7 , 0 ) ; focos: ( 130 , 0 ) , ( − 130 , 0 ) ; asíntotas: y = ± 9 7 x 16 y 2 - 9 x 2 + 128 y + 112 = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la hipérbola y tome en cuenta su centro, los vértices y los focos. Indique las ecuaciones de las asíntotas. ( x - 3 ) 2 25 − ( y + 3 ) 2 1 = 1 centro: ( 3 , −3 ) ; vértices: ( 8 , −3 ) , ( –2 , −3 ) ; focos: ( 3 + 26 , −3 ) , ( 3 − 26 , −3 ) ; asíntotas: y = ± 1 5 ( x - 3 ) - 3 y 2 - x 2 + 4 y - 4 x − 18 = 0 Escriba la ecuación en forma estándar de una hipérbola con focos en ( 1 , 0 ) y ( 1 , 6 ) , y un vértice en ( 1 , 2 ) . ( y - 3 ) 2 1 - ( x – 1 ) 2 8 = 1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la parábola en forma estándar y dé el vértice, el foco y la ecuación de la directriz. y 2 + 10 x = 0 3 x 2 - 12 x - y + 11 = 0 ( x - 2 ) 2 = 1 3 ( y + 1 ) ; vértice: ( 2 , –1 ) ; foco: ( 2 , − 11 12 ) ; directriz: y = - 13 12 En los siguientes ejercicios, grafique la parábola y marque el vértice, el foco y la directriz. ( x – 1 ) 2 = -4 ( y + 3 ) y 2 + 8 x - 8 y + 40 = 0 Escriba la ecuación de una parábola con foco en ( 2 , 3 ) y directriz y = −1. Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Si la fuente de luz está situada a 1,5 pies de la base a lo largo del eje de simetría y la profundidad del reflector es de 3 pies, ¿cuál debería ser el ancho de la apertura? Aproximadamente 8,49 pies En los siguientes ejercicios, determine qué sección cónica está representada por la ecuación dada y, luego, determine el ángulo θ que eliminará el término x y . 3 x 2 - 2 x y + 3 y 2 = 4 x 2 + 4 x y + 4 y 2 + 6 x - 8 y = 0 parábola; θ ≈ 63,4 ∘ En los siguientes ejercicios, reescriba en el sistema x ′ y ′ sin el término x ′ y ′ , y exprese el gráfico rotado. 11 x 2 + 10 3 x y + y 2 = 4 16 x 2 + 24 x y + 9 y 2 - 125 x = 0 x ′ 2 - 4 x ′ + 3 y ′ = 0 En los siguientes ejercicios, identifique la cónica con foco en el origen, y luego dé la directriz y la excentricidad. r = 3 2 - sen θ r = 5 4 + 6 cos θ Hipérbola con e = 3 2 , y directriz 5 6 unidades a la derecha del polo. En los siguientes ejercicios, grafique la sección cónica dada. Si es una parábola, marque el vértice, el foco y la directriz. Si es una elipse o una hipérbola, marque los vértices y los focos. r = 12 4 − 8 sen θ r = 2 4 + 4 sen θ Halle una ecuación polar de la cónica con foco en el origen, excentricidad de e = 2 , y directriz: x = 3. excentricidad la relación de las distancias de un punto P en el gráfico al foco F y a la directriz D representado por e = P F P D , donde e es un número real positivo ecuación polar una ecuación de una curva en coordenadas polares r y θ", "section": "Secciones cónicas en coordenadas polares", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción (Créditos: Robert Couse-Baker, Flickr). Un ganador de la lotería tiene que tomar algunas decisiones importantes sobre qué hacer con las ganancias. ¿Comprar una casa nueva? ¿Un descapotable de lujo? ¿Un crucero alrededor del mundo? La probabilidad de ganar la lotería es escasa, pero a todos nos encanta fantasear con lo que podríamos comprar con las ganancias. Una de las primeras decisiones que tiene que tomar el ganador de la lotería es si va a recibir el premio en forma de pago único o en una serie de pagos regulares, llamados anualidades, durante un largo periodo. Esta decisión se basa en muchos factores, como las implicaciones fiscales, los tipos de interés y las estrategias de inversión. También hay que tener en cuenta los motivos personales a la hora de elegir, y se pueden dar muchos argumentos para cualquiera de las dos decisiones. Sin embargo, la mayoría de los ganadores de la lotería optan por el pago único. En este capítulo exploraremos las matemáticas que están detrás de este tipo de situaciones. Analizaremos en profundidad las anualidades. También veremos la rama de las matemáticas que nos permitiría calcular el número de formas de elegir los números de la lotería y la probabilidad de ganar.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Secuencias y sus notaciones Objetivos de aprendizaje Escribir los primeros términos de una secuencia (IA 12.1.1) Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2) Objetivo 1: Escribir los primeros términos de una secuencia (AI 12.1.1). Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de esa hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La dosis de 30 mg se toma en el momento t = 1 hora. ¿Qué cantidad de esta dosis queda al cabo de 1 hora? ¿2 horas? ¿3 horas? ¿4 horas? Tiempo t Dosis restante después del tiempo t 1 0,90(30) = 27mg 2 0,90(27) = 24,3mg 3 0,90(24,3) = 21,87mg 4 0,90(21,87)=19,68mg Esta lista ordenada de números 27, 24,3, 21,87, 19,68, ... es una secuencia . Cada número en la lista es un término . La secuencia es una función cuyo dominio son los números de conteo. La secuencia puede tener un número infinito de términos o un número finito de términos. Nuestra secuencia tiene tres puntos (elipsis) al final, lo que indica que la lista nunca termina. Si el dominio es el conjunto de todos los números que se cuentan, entonces la secuencia es una secuencia infinita . A menudo, al trabajar con secuencias no queremos escribir todos los términos. Queremos una forma más compacta de mostrar cómo se define cada término. Cuando trabajamos con funciones, escribimos f ( x ) = 2 x y dijimos que la expresión 2x era la regla que definía los valores en el rango. Aunque una secuencia es una función, no utilizamos la notación de función habitual. En vez de escribir la función como f ( x ) = 2 x , la escribiríamos como a n = 2 n . El a n es el enésimo término la secuencia , el término en la enésima posición donde n es un valor en el dominio. La fórmula para escribir el enésimo término de la secuencia se llama término general o fórmula de la secuencia. Los términos de la secuencia general se denotan de la siguiente forma: a 1 primer término a 2 segundo término a 3 tercer término . . . a n n t h término a n + 1 ( n + 1 ) término . . . Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n = 2 n 7 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 2 n 7 2 ( 1 ) 7 2 ( 2 ) 7 2 ( 3 ) 7 2 ( 4 ) 7 2 ( 5 ) 7 5 3 1 1 3 La práctica hace la perfección Escriba los primeros términos de una secuencia. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n = 4 n + 2 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 4 n + 2 Escriba los cinco primeros términos de la secuencia cuyo término general es a n n = 3 n – 1 . n 1 2 3 4 5 a n a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 n – 1 Objetivo 2: Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia (IA 12.1.2) A veces, tenemos unos cuantos términos de una secuencia y sería útil conocer el término general o enésimo término . Para hallar el término general, buscamos patrones en los términos . A menudo, los patrones involucran múltiplos o potencias. También buscamos un patrón en los signos de los términos. Halle una fórmula para el término general (enésimo término) de una secuencia. Ⓐ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran a continuación: 4, 8, 12, 16, 20... Ⓑ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran a continuación: 1 3 , 1 9 , 1 27 , 1 81 , 1 243 , . . . Ⓐ Busque un patrón en los términos Los números son todos múltiplos de 4 El término general de la secuencia: a n = 4 n . Ⓑ Busque un patrón en los términos. Los numeradores son todos 1 y los denominadores son potencias de 3 El término general de la secuencia: a n = 1 3 n La práctica hace la perfección Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran: 8, 16, 24, 32, 40, ... Busque un patrón en los términos Términos: ________________ El término general de la secuencia: ________________ Halle un término general para la secuencia cuyos primeros cinco términos se muestran: 1 4 , 1 16 , 1 64 , 1 256 , 1 1.024 , . . . Busque un patrón en los términos Términos: ________________ El término general de la secuencia: ________________ Una compañía de videojuegos lanza una nueva y emocionante campaña publicitaria. Prevén que el número de visitas en línea a su sitio web, o hits, se duplicará cada día. El modelo que utilizan muestra 2 visitas el primer día, 4 visitas el segundo día, 8 visitas el tercer día, y así sucesivamente. Vea la . Día 1 2 3 4 5 … Visitas 2 4 8 16 32 … Si su modelo continúa, ¿cuántas visitas habrá al final del mes? Para responder esta pregunta, primero tendremos que saber cómo determinar una lista de números escritos en un orden específico. En esta sección exploraremos estos tipos de listas ordenadas. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita Una forma de describir una lista ordenada de números es como una secuencia . La secuencia es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números del recuento. La secuencia establecida por el número de visitas al sitio web es { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … } . La elipsis (...) indica que la secuencia continúa indefinidamente. Cada uno de los números de la secuencia se denomina término . Los cinco primeros términos de esta secuencia son 2, 4, 8, 16 y 32. Enumerar todos los términos de una secuencia puede ser engorroso. Por ejemplo, para conocer el número de visitas al sitio web a final de mes habría que enumerar hasta 31 términos. La forma más eficaz de determinar un término específico es escribir una fórmula para definir la secuencia. Un tipo de fórmula es la fórmula explícita , que define los términos de una secuencia utilizando su posición en esta. Las fórmulas explícitas son útiles si queremos hallar un término específico de una secuencia sin hallar todos los términos anteriores. Podemos utilizar la fórmula para hallar el enésimo término de la secuencia , donde n es cualquier número positivo. En nuestro ejemplo, cada número de la secuencia es el doble del anterior, por lo que podemos utilizar potencias de 2 para escribir una fórmula para el enésimo término. El primer término de la secuencia es 2 1 = 2 , el segundo término es 2 2 = 4 , el tercer término es 2 3 = 8 , y así sucesivamente. El enésimo término de la secuencia se puede hallar elevando 2 a la n potencia. Una fórmula explícita para una secuencia se denomina con una letra minúscula a , b , c ... con el subíndice n . La fórmula explícita para esta secuencia es a n = 2 n . Ahora que tenemos una fórmula para el enésimo término de la secuencia, podemos responder la pregunta planteada al principio de esta sección. Se nos pidió que halláramos el número de visitas al final del mes, que tomaremos como 31 días. Para hallar el número de visitas en el último día del mes, tenemos que hallar el 31.º término de la secuencia. Sustituiremos 31 por n en la fórmula. a 31 = 2 31 = 2.147.483.648 Si la tendencia de duplicación continúa, la compañía obtendrá 2.147.483.648 visitas el último día del mes. ¡Son más de 2.100 millones de visitas! La enorme cifra es probablemente un poco irreal porque no tiene en cuenta el interés de los consumidores ni la competencia. No obstante, ofrece a la compañía un punto de partida desde el que considerar decisiones comerciales. Otra forma de representar la secuencia es mediante una tabla. Los cinco primeros términos de la secuencia y el enésimo término de la secuencia se muestran en la . n 1 2 3 4 5 n enésimo término de la secuencia, a n 2 4 8 16 32 2 n Los gráficos proporcionan una representación visual de la secuencia como un conjunto de puntos distintos. Podemos ver en el gráfico de la que el número de visitas aumenta a un ritmo exponencial. Esta secuencia particular forma una función exponencial. Por último, podemos escribir esta secuencia particular como { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … , 2 n , … } . Una secuencia que continúa indefinidamente se llama secuencia infinita . El dominio de una secuencia infinita es el conjunto de los números que se cuentan. Si consideramos solo los 10 primeros términos de la secuencia, podríamos escribir { 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , … , 2 n , … , 1.024 } . Esta secuencia se llama secuencia finita porque no continúa indefinidamente. Secuencia La secuencia es una función cuyo dominio son el conjunto de enteros positivos. La secuencia finita es una secuencia cuyo dominio se compone solamente de los primeros n enteros positivos. Los números de una secuencia se llaman términos . La variable a con un subíndice numérico se utiliza para representar los términos de una secuencia y para indicar la posición del término en la secuencia. a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … Llamamos a 1 el primer término de la secuencia, a 2 el segundo término de la secuencia, a 3 el tercer término de la secuencia, y así sucesivamente. El término a n se llama el enésimo término de la secuencia , o el término general de la secuencia. La fórmula explícita define el enésimo término de una secuencia utilizando la posición del término. Una secuencia que continúa indefinidamente es una secuencia infinita . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Una secuencia tiene que empezar siempre por a 1 ? No. En ciertos problemas, puede ser útil definir el término inicial como a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, el dominio de la función incluye 0. Cómo Dada una fórmula explícita, escriba el primer término. n de una secuencia. Sustituya cada valor de n en la fórmula. Comience con n = 1 para hallar el primer término, a 1 . Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula explícita Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = - 3 n + 8. Sustituya n = 1 en la fórmula. Repita con los valores de 2 a 5 para n . n = 1 a 1 = - 3 ( 1 ) + 8 = 5 n = 2 a 2 = - 3 ( 2 ) + 8 = 2 n n = 3 a 3 = - 3 ( 3 ) + 8 = - 1 n = 4 a 4 = - 3 ( 4 ) + 8 = – 4 n = 5 a 5 = - 3 ( 5 ) + 8 = - 7 Los cinco primeros términos son { 5 , 2 , –1 , -4 , −7 } . Análisis Los valores de la secuencia se pueden enumerar en una tabla. Una tabla, como la , es una forma cómoda de introducir la función en una herramienta gráfica. n 1 2 3 4 5 a n 5 2 -1 -4 –7 A partir de esta tabla de valores se puede hacer un gráfico. A partir del gráfico de la , podemos ver que esta secuencia representa una función lineal, pero observe que el gráfico no es continuo porque el dominio es solo sobre los enteros positivos. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita t n = 5 n − 4. Los cinco primeros términos son { 1 , 6 , 11 , 16 , 21 } . Investigar secuencias alternas A veces, las secuencias tienen términos que son alternativos. De hecho, los términos pueden alternarse en el signo. Los pasos para hallar los términos de la secuencia son los mismos que si los signos no se alternaran. Sin embargo, los términos resultantes no mostrarán aumento ni disminución como n aumenta. Veamos la siguiente secuencia. { 2 , -4 , 6 , −8 } Observe que el primer término es mayor que el segundo, el segundo es menor que el tercero y el tercero es mayor que el cuarto. Esta tendencia continúa para siempre. No reordene los términos en orden numérico para interpretar la secuencia. Cómo Dada una fórmula explícita con términos alternos, escriba el primer término n de una secuencia. Sustituya cada valor de n en la fórmula. Comience con n = 1 para hallar el primer término, a 1 . El signo del término viene dado por el ( - 1 ) n en la fórmula explícita. Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia alterna definida por una fórmula explícita Escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a n = ( - 1 ) n n 2 n + 1 Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula. n = 1 a 1 = ( - 1 ) 1 1 2 1 + 1 = - 1 2 n = 2 a 2 = ( - 1 ) 2 2 2 2 + 1 = 4 3 n n = 3 a 3 = ( - 1 ) 3 3 2 3 + 1 = - 9 4 n = 4 a 4 = ( - 1 ) 4 4 2 4 + 1 = 16 5 n = 5 a 5 = ( - 1 ) 5 5 2 5 + 1 = − 25 6 Los cinco primeros términos son { - 1 2 , 4 3 ,− 9 4 , 16 5 ,− 25 6 } . Análisis El gráfico de esta función que se muestra en la tiene un aspecto diferente a las que hemos visto anteriormente en esta sección porque los términos de la secuencia alternan entre valores positivos y negativos. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , ¿el (–1) elevado a la potencia de n explica las oscilaciones de los signos? Sí, la potencia puede ser n , n + 1 , n – 1 , y así sucesivamente, pero cualquier potencia impar generará un término negativo, y cualquier potencia par ocasionará un término positivo. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a n = 4 n ( – 2 ) n Los cinco primeros términos son { − 2 , 2 , - 3 2 , 1 , - 5 8 } . Investigación de fórmulas explícitas definidas por partes Hemos aprendido que las secuencias son funciones cuyo dominio está sobre los enteros positivos. Esto es cierto para otros tipos de funciones, incluidas algunas funciones definidas por partes . Recordemos que la función definida por partes es aquella definida por múltiples subsecciones. Una fórmula diferente podría representar cada subsección individual. Cómo Dada una fórmula explícita para una función definida por partes, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique la fórmula a la que n = 1 aplica. Para hallar el primer término, a 1 , utilice n = 1 en la fórmula correspondiente. Identifique la fórmula a la que n = 2 aplica. Para hallar el segundo término, a 2 , utilice n = 2 en la fórmula correspondiente. Continúe de la misma manera hasta que haya identificado todos los n términos. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula definida por partes explícita Escriba los seis primeros términos de la secuencia. a n = { n 2 si n no es divisible entre 3 n 3 si n es divisible entre 3 Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula correspondiente. Utilice n 2 cuando n no es un múltiplo de 3. Utilice n 3 cuando n es un múltiplo de 3. a 1 = 1 2 = 1 1 no es múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 2 = 2 2 = 4 2 no es múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 3 = 3 3 = 1 3 es un múltiplo de 3 . Uso n 3 . a 4 = 4 2 = 16 4 no es un múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 5 = 5 2 = 25 5 no es un múltiplo de 3 . Uso n 2 . a 6 = 6 3 = 2 6 es un múltiplo de 3 . Uso n 3 . Los seis primeros términos son { 1 , 4 , 1 , 16 , 25 , 2 } . Análisis Uno de cada tres puntos del gráfico que se muestra en la se distingue de los dos puntos cercanos. Esto ocurre porque la secuencia fue determinada por una función definida por partes. Ejercicio Escriba los seis primeros términos de la secuencia. a n = { 2 n 3 si n es impar 5 n 2 si n es par Los seis primeros términos son { 2 , 5 , 54 , 10 , 250 , 15 } . Hallar una fórmula explícita Hasta ahora, se nos ha dado la fórmula explícita y se nos ha pedido que calculemos un número de términos de la secuencia. A veces, la fórmula explícita del enésimo término de una secuencia no se da. En cambio, se nos dan varios términos de la secuencia. Cuando esto ocurre, podemos trabajar a la inversa para hallar una fórmula explícita a partir de los primeros términos de una secuencia. La clave para hallar una fórmula explícita es buscar un patrón en los términos. Tenga en cuenta que el patrón puede involucrar términos alternos, fórmulas para numeradores, fórmulas para denominadores, exponentes o bases. Cómo Dados los primeros términos de una secuencia, halle una fórmula explícita para la secuencia. Busque un patrón entre los términos. Si los términos son fracciones, busque un patrón separado entre los numeradores y los denominadores. Busque un patrón entre los signos de los términos. Escriba una fórmula para a n en términos de n . Pruebe su fórmula para n = 1 , n = 2 , y n = 3. Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de cada secuencia. Ⓐ { − 2 11 , 3 13 , - 4 15 , 5 17 , − 6 19 , … } Ⓑ { − 2 25 , - 2 125 , - 2 625 , - 2 3 , 125 , - 2 15 , 625 , … } Ⓒ { e 4 , e 5 , e 6 , e 7 , e 8 , … } Busque el patrón en cada secuencia. Ⓐ Los términos alternan entre positivo y negativo. Podemos utilizar ( - 1 ) n para que los términos se alternen. El numerador se puede representar mediante n + 1. El denominador se puede representar mediante 2 n + 9. a n = ( - 1 ) n ( n + 1 ) 2 n + 9 Ⓑ Los términos son todos negativos. Así, sabemos que la fracción es negativa, el numerador es 2 y el denominador se puede representar mediante 5 n + 1 . a n = - 2 5 n + 1 Ⓒ Los términos son potencias de e . Para n = 1 , el primer término es e 4 por lo que el exponente debe ser n + 3. a n = e n + 3 Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. {9, − 81, 729, − 6.561, 59.049, …} a n = ( - 1 ) n + 1 9 n Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. { − 3 4 , − 9 8 , - 27 12 , − 81 16 , − 243 20 , ... } a n = - 3 n 4 n Ejercicio Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la secuencia. { 1 e 2 , 1 e , 1 , e , e 2 , ... } a n = e n - 3 Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Las secuencias se dan de forma natural en los patrones de crecimiento de las conchas de los nautilos, las piñas, las ramas de los árboles y muchas otras estructuras naturales. Podemos ver la secuencia en la disposición de las hojas o las ramas, el número de pétalos de una flor o el patrón de las cámaras de una concha de un nautilo. Su crecimiento sigue la secuencia de Fibonacci, una famosa secuencia en la que cada término se puede hallar mediante la suma de los dos anteriores. Los números de la secuencia son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... Otros ejemplos del mundo natural que muestran la secuencia de Fibonacci son el lirio de cala, que tiene un solo pétalo, la Susana de ojos negros con 13 pétalos y diferentes variedades de margaritas que pueden tener 21 o 34 pétalos. Cada término de la secuencia de Fibonacci depende de los términos que le preceden. La secuencia de Fibonacci no se puede escribir fácilmente mediante una fórmula explícita. En cambio, describimos la secuencia utilizando una fórmula recursiva , una fórmula que define los términos de una secuencia utilizando términos anteriores. Una fórmula recursiva siempre tiene dos partes: el valor de un término inicial (o términos iniciales) y una ecuación que define a n según términos anteriores. Por ejemplo, supongamos que sabemos lo siguiente: a 1 = 3 a n = 2 a n – 1 - 1 para n ≥ 2 Podemos hallar los términos siguientes de la secuencia utilizando el primer término. a 1 = 3 a 2 = 2 a 1 - 1 = 2 ( 3 ) - 1 = 5 a 3 = 2 a 2 – 1 = 2 ( 5 ) - 1 = 9 a 4 = 2 a 3 - 1 = 2 ( 9 ) - 1 = 17 Así que los cuatro primeros términos de la secuencia son { 3 , 5 , 9 , 17 } . La fórmula recursiva de la secuencia de Fibonacci establece los dos primeros términos y define cada término sucesivo como la suma de los dos términos anteriores. a 1 = 1 a 2 = 1 a n = a n – 1 + a n – 2 para n ≥ 3 Para hallar el décimo término de la secuencia, por ejemplo, tendríamos que sumar el octavo y el noveno términos. Anteriormente se nos dijo que el octavo y el noveno términos son 21 y 34, por lo que a 10 = a 9 + a 8 = 34 + 21 = 55 Fórmula recursiva Una fórmula recursiva es una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando el término anterior (o términos anteriores). Las fórmulas recursivas deben indicar siempre el término o términos iniciales de la secuencia. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Siempre se deben dar los dos primeros términos en una fórmula recursiva? No. La secuencia de Fibonacci define cada término utilizando los dos términos anteriores, pero muchas fórmulas recursivas definen cada término utilizando solo un término anterior. Estas secuencias solo necesitan que se defina el primer término. Cómo Dada una fórmula recursiva con solo el primer término proporcionado, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique el término inicial, a 1 , que se da como parte de la fórmula. Este es el primer término. Para hallar el segundo término, a 2 , sustituya el término inicial en la fórmula de a n – 1 . Resuelva. Para hallar el tercer término, a 3 , sustituya el segundo término en la fórmula. Resuelva. Repita la operación hasta que haya resuelto el enésimo término. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 9 a n n = 3 a n – 1 − 20 , para n ≥ 2 El primer término es dado en la fórmula. Para cada término posterior, sustituimos a n – 1 con el valor del término anterior. n = 1 a 1 = 9 n = 2 a 2 = 3 a 1 − 20 = 3 ( 9 ) − 20 = 27 − 20 = 7 n n = 3 a 3 = 3 a 2 − 20 = 3 ( 7 ) − 20 = 21 − 20 = 1 n = 4 a 4 = 3 a 3 - 20 = 3 ( 1 ) − 20 = 3 - 20 = − 17 n = 5 a 5 = 3 a 4 − 20 = 3 ( − 17 ) − 20 = − 51 − 20 = − 71 Los cinco primeros términos son { 9 , 7 , 1 , – 17 , – 71 } . Vea la . Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 2 a n = 2 a n – 1 + 1 , para n ≥ 2 { 2 , 5 , 11 , 23 , 47 } Cómo Dada una fórmula recursiva con dos términos iniciales, escriba los primeros n términos de una secuencia. Identifique el término inicial, a 1 , que se da como parte de la fórmula. Identifique el segundo término, a 2 , que se da como parte de la fórmula. Para hallar el tercer término, sustituya el término inicial y el segundo término en la fórmula. Evalúe. Repita la operación hasta que haya evaluado el enésimo término. Escribir los términos de una secuencia definida por una fórmula recursiva Escriba los seis primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 1 a 2 = 2 a n n = 3 a n – 1 + 4 a n – 2 , para n ≥ 3 Se dan los dos primeros términos. Para cada término posterior, sustituimos a n – 1 y a n – 2 con los valores de los dos términos anteriores. n n = 3 a 3 = 3 a 2 + 4 a 1 = 3 ( 2 ) + 4 ( 1 ) = 10 n = 4 a 4 = 3 a 3 + 4 a 2 = 3 ( 10 ) + 4 ( 2 ) = 38 n = 5 a 5 = 3 a 4 + 4 a 3 = 3 ( 38 ) + 4 ( 10 ) = 154 n = 6 a 6 = 3 a 5 + 4 a 4 = 3 ( 154 ) + 4 ( 38 ) = 614 Los seis primeros términos son {1, 2, 10, 38, 154, 614} . Vea la . Ejercicio Escriba los 8 primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva. a 1 = 0 a 2 = 1 a 3 = 1 a n = a n – 1 a n – 2 + a n - 3 , para n ≥ 4 { 0 , 1 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 2 , 17 6 } . Usar notación factorial Las fórmulas de algunas secuencias incluyen productos de enteros positivos consecutivos. n factorial , escrito como n ! , es el producto de los enteros positivos de 1 a n . Por ejemplo, 4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 5 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 Un ejemplo de fórmula que contiene un factorial es a n = ( n + 1 ) ! . El sexto término de la secuencia se puede hallar al sustituir 6 por n . a 6 = ( 6 + 1 ) ! = 7 ! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 El factorial de cualquier número natural n es n ( n – 1 ) ! Por lo tanto, también podemos pensar en 5 ! cuando 5 ⋅ 4 ! . factorial n factorial n es una operación matemática que se puede definir mediante una fórmula recursiva. El factorial de n , denotado n ! , se define para un número entero positivo n como: 0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( 2 ) ( 1 ) , para n ≥ 2 El caso especial 0 ! se define como 0 ! = 1. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Siempre se pueden hallar los factoriales utilizando una calculadora? No. Los factoriales se hacen grandes muy rápidamente, ¡más rápido incluso que las funciones exponenciales! Si la salida es demasiado grande para la calculadora, esta no podrá calcular el factorial. Escribir términos de una secuencia mediante factoriales Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = 5 n ( n + 2 ) ! . Sustituya n = 1 , n = 2 , y así sucesivamente en la fórmula. n = 1 a 1 = 5 ( 1 ) ( 1 + 2 ) ! = 5 3 ! = 5 3 · 2 · 1 = 5 6 n = 2 a 2 = 5 ( 2 ) ( 2 + 2 ) ! = 10 4 ! = 10 4 · 3 · 2 · 1 = 5 12 n = 3 a 3 = 5 ( 3 ) ( 3 + 2 ) ! = 15 5 ! = 15 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 8 n = 4 a 4 = 5 ( 4 ) ( 4 + 2 ) ! = 20 6 ! = 20 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 1 36 n = 5 a 5 = 5 ( 5 ) ( 5 + 2 ) ! = 25 7 ! = 25 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5 1 , 008 Los cinco primeros términos son { 5 6 , 5 12 , 1 8 , 1 36 , 5 1.008 } . Análisis La muestra el gráfico de la secuencia. Tome en cuenta que, dado que los factoriales crecen muy rápidamente, la presencia del término factorial en el denominador hace que el denominador sea mucho mayor que el numerador cuando n aumenta. Esto significa que el cociente se hace más pequeño y, como muestra el gráfico de los términos, los términos disminuyen y se acercan a cero. Ejercicio Escriba los cinco primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = ( n + 1 ) ! 2 n . Los cinco primeros términos son { 1 , 3 2 , 4 , 15 , 72 } . Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias. Hallar términos en una secuencia Ecuaciones clave Fórmulas para un factorial 0 ! = 1 1 ! = 1 n ! = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( 2 ) ( 1 ) , para n ≥ 2 Conceptos clave Una secuencia es una lista de números, llamados términos, escritos en un orden específico. Las fórmulas explícitas definen cada término de una secuencia utilizando la posición del término. Vea el , el y el . Una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia se puede escribir analizando el patrón de varios términos. Vea el . Las fórmulas recursivas definen cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores. Las fórmulas recursivas deben indicar el término o los términos iniciales de una secuencia. Un conjunto de términos se puede escribir mediante una fórmula recursiva. Vea el y el . Un factorial es una operación matemática que se puede definir de forma recursiva. El factorial de n es el producto de todos los enteros de 1 a n Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Analizar el significado de una secuencia. Si una secuencia finita está definida por una fórmula, ¿cuál es su dominio? ¿Y una secuencia infinita? Una secuencia es una lista ordenada de números que puede ser finita o infinita. Cuando una secuencia finita está definida por una fórmula, su dominio es un subconjunto de los enteros no negativos. Cuando una secuencia infinita está definida por una fórmula, su dominio es todos los enteros positivos o todos los enteros no negativos. Describa tres formas de definir una secuencia. ¿El conjunto ordenado de números pares es una secuencia infinita? ¿Y el conjunto ordenado de números impares? Explique por qué sí o por qué no. Sí, ambos conjuntos continúan indefinidamente, por lo que ambos son secuencias infinitas. ¿Qué pasa con los términos a n de una secuencia cuando hay un factor negativo en la fórmula que se eleva a una potencia que incluye n ? ¿Cuál es el término utilizado para describir este fenómeno? ¿Qué es un factorial y cómo se denota? Utilice un ejemplo para ilustrar cómo la notación factorial puede ser beneficiosa. Un factorial es el producto de un entero positivo por todos los enteros positivos inferiores a él. Se utiliza un signo de exclamación para indicar la operación. Las respuestas pueden variar. Un ejemplo de la ventaja de utilizar la notación factorial es cuando se indica el producto. Es mucho más fácil de escribir que 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 . Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia. a n = 2 n – 2 a n = - 16 n + 1 Los cuatro primeros términos: − 8 , − 16 3 , - 4 , − 16 5 a n = - ( - 5 ) n – 1 a n = 2 n n 3 Los cuatro primeros términos: 2 , 1 2 , 8 27 , 1 4 . a n = 2 n + 1 n 3 a n = 1,25 ⋅ ( - 4 ) n – 1 Los cuatro primeros términos: 1,25 , - 5 , 20 , − 80 . a n = – 4 ⋅ ( − 6 ) n – 1 a n = n 2 2 n + 1 Los cuatro primeros términos: 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 . a n = ( − 10 ) n + 1 a n = - ( 4 ⋅ ( - 5 ) n – 1 5 ) Los cuatro primeros términos: − 4 5 , 4 , − 20 , 100 En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia definida por partes. a n = { ( – 2 ) n – 2 si n es par ( 3 ) n – 1 si n es impar a n = { n 2 2 n + 1 si n ≤ 5 n 2 - 5 si n >5 1 3 , 4 5 , 9 7 , 16 9 , 25 11 , 31 , 44 , 59 a n = { ( 2 n + 1 ) 2 si n es divisible entre 4 2 n si n no es divisible entre 4 a n = { − 0,6 ⋅ 5 n – 1 si n es primo o 1 2,5 ⋅ ( – 2 ) n – 1 si n es compuesto − 0,6 , - 3 , − 15 , − 20 , − 375 , − 80 , − 9375 , − 320 a n = { 4 ( n 2 - 2 ) si n ≤ 3 o n > 6 n 2 - 2 4 si 3 < n ≤ 6 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia. 4 , 7 , 12 , 19 , 28 , … a n = n 2 + 3 - 4 , 2 , - 10 , 14 , − 34 , … 1 , 1 , 4 3 , 2 , 16 5 , … a n = 2 n 2 n o 2 n – 1 n 0 , 1 - e 1 1 + e 2 , 1 - e 2 1 + e 3 , 1 - e 3 1 + e 4 , 1 - e 4 1 + e 5 , … 1 , - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , 1 16 , … a n = ( - 1 2 ) n – 1 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia. a 1 = 9 , a n = a n – 1 + n a 1 = 3 , a n = ( - 3 ) a n – 1 Los cinco primeros términos: 3 , − 9 , 27 , − 81 , 243 a 1 = – 4 , a n = a n – 1 + 2 n a n – 1 - 1 a 1 = - 1 , a n = ( - 3 ) n – 1 a n – 1 - 2 Los cinco primeros términos: − 1 , 1 , − 9 , 27 11 , 891 5 a 1 = − 30 , a n = ( 2 + a n – 1 ) ( 1 2 ) n En los siguientes ejercicios, escriba los ocho primeros términos de la secuencia. a 1 = 1 24 , a 2 = 1 , a n = ( 2 a n – 2 ) ( 3 a n – 1 ) 1 24 , 1, 1 4 , 3 2 , 9 4 , 81 4 , 2187 8 , 531 , 441 16 a 1 = - 1 , a 2 = 5 , a n = a n – 2 ( 3 − a n – 1 ) a 1 = 2 , a 2 = 10 , a n = 2 ( a n – 1 + 2 ) a n – 2 2 , 10 , 12 , 14 5 , 4 5 , 2 , 10 , 12 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia. − 2,5 , - 5 , - 10 , − 20 , - 40 , … − 8 , − 6 , - 3 , 1 , 6 , … a 1 = - 8 , a n = a n – 1 + n 2 , 4 , 12 , 48 , 240 , … 35 , 38 , 41 , 44 , 47 , … a 1 = 35 , a n = a n – 1 + 3 15 , 3 , 3 5 , 3 25 , 3 125 , ⋯ En los siguientes ejercicios, evalúe el factorial. 6 ! 720 ( 12 6 ) ! 12 ! 6 ! 665 , 280 100 ! 99 ! En los siguientes ejercicios, escriba los cuatro primeros términos de la secuencia. a n = n ! n 2 Los cuatro primeros términos: 1 , 1 2 , 2 3 , 3 2 a n n = 3 ⋅ n ! 4 ⋅ n ! a n = n ! n 2 - n – 1 Los cuatro primeros términos: − 1 , 2 , 6 5 , 24 11 a n = 100 ⋅ n n ( n – 1 ) ! Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique los cinco primeros términos de la secuencia indicada a n = ( - 1 ) n n + n a n = { 4 + n 2 n si n es par 3 + n si n es impar a 1 = 2 , a n = ( - a n – 1 + 1 ) 2 a 1 = 1 , a n = a n – 1 + 8 a n = ( n + 1 ) ! ( n – 1 ) ! En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico. a n = 2 n – 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia utilizando los cinco primeros puntos mostrados en el gráfico. a 1 = 6 , a n = 2 a n – 1 - 5 En tecnología Siga estos pasos para evaluar una secuencia definida recursivamente utilizando una calculadora gráfica: En la pantalla de inicio, introduzca el valor del término inicial a 1 y presione [ENTER] . Introduzca la fórmula recursiva tecleando todos los valores numéricos dados en la fórmula, al pulsar las teclas [2ND] ANS para el término anterior a n – 1 . Presione [ENTER] . Continúe pulsando [ENTER] para calcular los valores de cada término sucesivo. En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar el término indicado o los términos indicados para la secuencia. Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 = 87 111 , a n = 4 3 a n – 1 + 12 37 . Utilice la función > Frac para dar resultados fraccionados. Los cinco primeros términos: 29 37 , 152 111 , 716 333 , 3188 999 , 13724 2997 Halle el 15.º término de la secuencia a 1 = 625 , a n = 0,8 a n – 1 + 18. Halle los cinco primeros términos de la secuencia a 1 = 2 , a n = 2 [ ( a n – 1 ) - 1 ] + 1. Los cinco primeros términos: 2, 3, 5, 17, 65537 Halle los diez primeros términos de la secuencia a 1 = 8 , a n = ( a n – 1 + 1 ) ! a n – 1 ! . Halle el décimo término de la secuencia a 1 = 2 , a n = n a n – 1 a 10 = 7 , 257 , 600 Siga estos pasos para evaluar una secuencia finita definida por una fórmula explícita. Utilizando una TI-84, haga lo siguiente. En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST . Desplácese hasta OPS y elija \"seq(\" en la lista desplegable. Presione [ENTER] . En la línea titulada \"Expr:\" escriba la fórmula explícita, utilizando la tecla [ X,T , θ , n ] para n En la línea titulada \"Variable:\" introduzca la variable utilizada en el paso anterior. En la línea titulada \"start”: (inicio) introduzca el valor de n que inicia la secuencia. En la línea titulada \"end:\" (fin) introduzca el valor de n que termina la secuencia. Presione [ENTER] 3 veces para volver a la pantalla de inicio. Verá la sintaxis de la secuencia en la pantalla. Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos. Utilizando una TI-83, haga lo siguiente. En la pantalla de inicio, presione [2ND] LIST . Desplácese hasta OPS y elija \"seq(\" en la lista desplegable. Presione [ENTER] . Introduzca los elementos en el orden \"Expr\" , \"Variable\" , “start\" , “end\" separados por comas. Consulte las instrucciones anteriores para ver la descripción de cada elemento. Presione [ENTER] para ver la lista de términos de la secuencia finita definida. Utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por la lista de términos. En los siguientes ejercicios, utilice los pasos anteriores para hallar los términos indicados para la secuencia. Redondea a la milésima más cercana cuando sea necesario. Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = − 28 9 n + 5 3 . Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n 3 − 3,5 n 2 + 4,1 n − 1,5 2,4 n . Los seis primeros términos: 0,042, 0,146, 0,875, 2,385, 4,708 Enumere los cinco primeros términos de la secuencia a n = 15 n ⋅ ( – 2 ) n – 1 47 Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia a n = 5,7 n + 0,275 ( n – 1 ) ! Los cuatro primeros términos: 5,975, 2,765, 185,743, 1057,25, 6023,521 Enumere los seis primeros términos de la secuencia a n = n ! n . Extensiones Consideremos la secuencia definida por a n = − 6 − 8 n . ¿Es a n = − 421 un término de la secuencia? Compruebe el resultado. Si los valores de a n = − 421 es un término de la secuencia, entonces se resuelve la ecuación − 421 = − 6 − 8 n para n dará un número entero no negativo. Sin embargo, si − 421 = − 6 − 8 n , entonces n = 51,875 por lo que a n = − 421 no es un término de la secuencia. ¿Qué término de la secuencia a n = n 2 + 4 n + 4 2 ( n + 2 ) tiene el valor 41 ? Compruebe el resultado. Halle una fórmula recursiva para la secuencia 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, 0, –1, –1, 0, 1, 1, .... (Pista : busque un patrón para a n basado en los dos primeros términos). a 1 = 1 , a 2 = 0 , a n = a n – 1 - a n – 2 Calcule los ocho primeros términos de las secuencias a n = ( n + 2 ) ! ( n – 1 ) ! y b n = n 3 + 3 n 2 + 2 n , y luego haga una conjetura sobre la relación entre estas dos secuencias. Demuestre la conjetura hecha en el ejercicio anterior. ( n + 2 ) ! ( n – 1 ) ! = ( n + 2 ) · ( n + 1 ) · ( n ) · ( n – 1 ) · ... · 3 · 2 · 1 ( n – 1 ) · ... · 3 · 2 · 1 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) = n 3 + 3 n 2 + 2 n fórmula explícita una fórmula que define cada término de una secuencia en términos de su posición en la secuencia secuencia finita una función cuyo dominio consiste en un subconjunto finito de los enteros positivos { 1 , 2 , … n } para algún número entero positivo n secuencia infinita una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos factorial n el producto de todos los enteros positivos de 1 al enésimo término de una secuencia una fórmula para el término general de una secuencia fórmula recursiva una fórmula que define cada término de una secuencia utilizando los términos anteriores secuencia una función cuyo dominio es un subconjunto de los enteros positivos término un número en una secuencia", "section": "Secuencias y sus notaciones", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Secuencias aritméticas Objetivos de aprendizaje Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1) Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2) Objetivo 1: Determinar si una secuencia es aritmética (IA 12.2.1) La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. La diferencia entre términos consecutivos, d , y se denomina diferencia común , para n mayor o igual a dos. d = a n a n − 1 Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común. Ⓐ 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , … Ⓑ 4 , 9 , 12 , 17 , 20 , 25 , … Para determinar si la secuencia es aritmética, calculamos la diferencia de los términos consecutivos indicados. Ⓐ Calcule la diferencia de los términos consecutivos. 5 , 9 , 13 , 17 21 , 25 , … 9 − 5 13 − 9 17 − 13 21 − 17 25 – 21 4 4 4 4 4 La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 4 . Ⓑ Calcule la diferencia de los términos consecutivos. 4 , 9 , 12 , 17 20 , 25 , … 9 - 4 12 − 9 17 − 12 20 − 17 25 − 20 2 3 5 3 5 La secuencia no es aritmética, ya que todas las diferencias entre los términos consecutivos no son las mismas. No hay ninguna diferencia común. La práctica hace la perfección Determine si cada secuencia es aritmética. En caso afirmativo, indique la diferencia común. -4, 4, 2, 10, 8, 16, … Calcule la diferencia de términos consecutivos. -3, -1, 1, 3, 5, 7, … Calcule la diferencia de términos consecutivos. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 5 y la diferencia común es d = −6 . Empezamos con el primer término y sumamos la diferencia común. Luego, sumamos la diferencia común a ese resultado para obtener el siguiente término, y así sucesivamente. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 5 5 + ( −6 ) −1 + ( −6 ) −7 + ( −6 ) -13 + ( −6 ) −1 −7 -13 −19 La secuencia es 5 , –1 , –7 , -13 , −19 , … La práctica hace la perfección Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es –4 y la diferencia común es d = 7 . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 -4 La secuencia es: ________________________________________ Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética (IA 12.2.2) En la sección pasada hallamos una fórmula para el término general de una secuencia, también podemos hallar una fórmula para el término general de una secuencia aritmética. Escribamos los primeros términos de una secuencia donde el primer término es a 1 y la diferencia común es d . A continuación, buscaremos un patrón. Al buscar un patrón vemos que cada término comienza con a 1 . El primer término suma 0 d a a 1 , el segundo término suma 1 d , el tercer término suma 2 d , el cuarto término suma 3 d y el quinto término suma 4 d . El número de d que se sumaron a a 1 es uno menos que el número del término. Tenemos entonces la fórmula del término general de una secuencia aritmética. Término general (enésimo término) de una secuencia aritmética El término general de una secuencia aritmética con primer término a 1 y diferencia común d es a n = a 1 + ( n − 1 ) d Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética. Ⓐ Halle el vigésimo primer término de una secuencia donde el primer término es tres y la diferencia común es ocho. Ⓑ Halle el undécimo término de una secuencia en la que el tercer término es 19 y la diferencia común es cinco. Indique la fórmula del término general. Ⓐ Para hallar el 21.er término, utilice la fórmula con a 1 = 3 , d = 8 y n = 21 a n = a 1 + ( n − 1 ) d Sustituya a 21 = 3 + ( 21 1 ) ( 8 ) Simplifique a 21 = 3 + ( 20 ) ( 8 ) a 21 = 3 + 160 a 21 = 163 Ⓑ Primero calculemos a 1 . Utilice la fórmula con a 3 = 19 , d = 5 y n n = 3 . Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 3 = a 1 + ( 3 1 ) ( 5 ) 19 = a 1 + ( 2 ) ( 5 ) 19 = a 1 + 10 a 1 = 9 Para hallar el 11.º término, utilice la fórmula con a 3 = 9 , d = 5 y n = 11 Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 11 = 9 + ( 11 1 ) ( 5 ) a 11 = 9 + ( 10 ) ( 5 ) a 11 = 59 Para hallar el término general, sustituya a = 9 y d = 5 en la fórmula. a n = a 1 + ( n − 1 ) d a 11 = 9 + ( 11 1 ) ( 5 ) a 11 = 9 + ( 10 ) ( 5 ) a 11 = 59 La práctica hace la perfección Halle el término general (enésimo término) de una secuencia aritmética. Halle el decimosexto término de una secuencia donde el primer término es 11 y la diferencia común es -6. a n = a 1 + ( n – 1 ) d Halle el decimonoveno término de una secuencia en la que el 5.º término es 1 y la diferencia común es -4. Indique la fórmula del término general. Las empresas suelen hacer grandes compras, como computadoras y vehículos, para uso empresarial. El valor contable de estos suministros disminuye cada año a efectos fiscales. Esta disminución de valor se denomina depreciación. Un método para calcular la depreciación es la depreciación lineal, en la que el valor del activo disminuye en la misma cantidad cada año. Como ejemplo, consideremos a una mujer que inicia un pequeño negocio de contratación. Compra un camión nuevo por 25.000 dólares. Después de cinco años, calcula que podrá vender el camión por 8.000 dólares. Por lo tanto, la pérdida de valor del camión será de 17.000 dólares, lo que supone 3.400 dólares al año durante cinco años. El camión valdrá 21.600 dólares después del primer año, 18.200 dólares después de dos años, 14.800 dólares después de tres años, 11.400 dólares después de cuatro años y 8.000 dólares al final de cinco años. En esta sección, consideraremos tipos específicos de secuencias que nos permitirán calcular la depreciación, como el valor del camión. Hallar diferencias comunes Se dice que los valores del camión del ejemplo forman una secuencia aritmética porque cambian en una cantidad constante cada año. Cada término aumenta o disminuye en el mismo valor constante llamado diferencia común de la secuencia. Para esta secuencia, la diferencia común es de –3.400. La siguiente secuencia es otro ejemplo de secuencia aritmética. En este caso, la constante es 3. Puede elegir cualquier término de la secuencia y sumar 3 para calcular el término siguiente. Secuencia aritmética La secuencia aritmética es aquella en que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma. Esta constante se denomina la diferencia común . Si los valores de a 1 es el primer término de una secuencia aritmética y d es la diferencia común, la secuencia será: { a n } = { a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d , a 1 + 3 d , ... } Hallar diferencias comunes ¿Cada secuencia es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. Ⓐ { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ... } Ⓑ { − 3 , 1 , 5 , 9 , 13 , ... } Reste cada término del término siguiente para determinar si existe una diferencia común. Ⓐ La secuencia no es aritmética porque no hay diferencia común. Ⓑ La secuencia es aritmética porque hay una diferencia común. La diferencia común es 4. Análisis El gráfico de cada una de estas secuencias se muestra en la . Podemos ver en los gráficos que, aunque ambas secuencias muestran crecimiento, a no es lineal mientras que b es lineal. Las secuencias aritméticas tienen una tasa de cambio constante, por lo que sus gráficos serán siempre puntos sobre una línea. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si nos dicen que una secuencia es aritmética, ¿tenemos que restar cada término del siguiente para calcular la diferencia común? No. Si sabemos que la secuencia es aritmética, podemos elegir un término cualquiera de la secuencia y restarlo del término siguiente para calcular la diferencia común. Ejercicio ¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. { 18 , 16 , 14 , 12 , 10 , … } La secuencia es aritmética. La diferencia común es – 2. Ejercicio ¿La secuencia dada es aritmética? Si es así, halle la diferencia común. { 1 , 3 , 6 , 10 , 15 , … } La secuencia no es aritmética porque 3 - 1 ≠ 6 − 3, Escribir términos de secuencias aritméticas Ahora que podemos reconocer una secuencia aritmética, hallaremos los términos si nos dan el primer término y la diferencia común. Los términos se pueden hallar empezando por el primer término y sumando la diferencia común repetidamente. Además, cualquier término se puede hallar también introduciendo los valores de n y d en la siguiente fórmula. a n = a 1 + ( n – 1 ) d Dado el primer término y la diferencia común de una secuencia aritmética, halle los primeros términos. Sume la diferencia común al primer término para hallar el segundo término. Sume la diferencia común al segundo término para hallar el tercer término. Continúe hasta identificar todos los términos deseados. Escriba los términos separados por comas entre corchetes. Escribir términos de secuencias aritméticas Escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 = 17 y d = - 3 . Sumar − 3 es lo mismo que restar 3. Empezando por el primer término, reste 3 a cada término para hallar el siguiente. Los cinco primeros términos son { 17 , 14 , 11 , 8 , 5 } Análisis Como era de esperar, el gráfico de la secuencia consiste en puntos sobre una línea, como se muestra en la . Ejercicio Enumere los cinco primeros términos de la secuencia aritmética con a 1 = 1 y d = 5 . { 1 , 6 , 11 , 16 , 21 } Dado cualquier primer término y cualquier otro término de una secuencia aritmética, halle un término dado. Sustituya los valores dados por a 1 , a n , n en la fórmula a n = a 1 + ( n – 1 ) d para resolver para d . Halle un término dado sustituyendo los valores apropiados de a 1 , n , y d en la fórmula a n = a 1 + ( n – 1 ) d . Escribir términos de secuencias aritméticas Dados a 1 = 8 y a 4 = 14 , calcule a 5 . La secuencia se puede escribir en términos del término inicial 8 y de la diferencia común d . { 8 , 8 + d , 8 + 2 d , 8 + 3 d } Sabemos que el cuarto término es igual a 14 y que tiene la forma a 1 + 3 d = 8 + 3 d . Podemos calcular la diferencia común d . a n = a 1 + ( n – 1 ) d a 4 = a 1 + 3 d a 4 = 8 + 3 d Escriba el cuarto término de la secuencia en términos de a 1 y d . 14 = 8 + 3 d Sustituya 14 para a 4 . d = 2 Resolver la diferencia común . Halle el quinto término sumando la diferencia común al cuarto término. a 5 = a 4 + 2 = 16 Análisis Observe que la diferencia común se suma al primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercero, tres veces para hallar el cuarto, y así sucesivamente. El décimo término se podría hallar al sumar la diferencia común al primer término nueve veces o mediante la ecuación a n = a 1 + ( n – 1 ) d . Ejercicio Dados a 3 = 7 y a 5 = 17 , calcule a 2 . a 2 = 2 Usar fórmulas recursivas para secuencias aritméticas Algunas secuencias aritméticas se definen en términos del término anterior mediante una fórmula recursiva . La fórmula proporciona una regla algebraica para determinar los términos de la secuencia. Una fórmula recursiva nos permite hallar cualquier término de una secuencia aritmética utilizando una función del término anterior. Cada término es la suma del término anterior y la diferencia común. Por ejemplo, si la diferencia común es 5, entonces cada término es el término anterior más 5. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el primer término. a n = a n – 1 + d n ≥ 2 Fórmula recursiva para una secuencia aritmética La fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común d es: a n = a n – 1 + d n ≥ 2 Dada una secuencia aritmética, escriba su fórmula recursiva. Reste cualquier término del término siguiente para hallar la diferencia común. Indique el término inicial y sustituya la diferencia común en la fórmula recursiva de las secuencias aritméticas. Escribir una fórmula recursiva para una secuencia aritmética Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética . { − 18 , - 7 , 4 , 15 , 26 , … } El primer término está dado como -18 . La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. d = −7 − ( -18 ) = 11 Sustituya el término inicial y la diferencia común en la fórmula recursiva de las secuencias aritméticas. a 1 = − 18 a n = a n – 1 + 11 , para n ≥ 2 Análisis Vemos que la diferencia común es la pendiente de la línea que se forma cuando graficamos los términos de la secuencia, como se muestra en la . El patrón de crecimiento de la secuencia muestra la diferencia constante de 11 unidades. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Tenemos que restar el primer término del segundo para calcular la diferencia común? No. Podemos restar cualquier término de la secuencia al término siguiente. Sin embargo, lo más habitual es restar el primer término del segundo porque suele ser el método más sencillo para calcular la diferencia común. Ejercicio Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética. { 25 , 37 , 49 , 61 , … } a 1 = 25 a n = a n – 1 + 12 , para n ≥ 2 Usar fórmulas explícitas para secuencias aritméticas Podemos pensar en una secuencia aritmética como una función en el dominio de los números naturales; es una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante. La diferencia común es la tasa de cambio constante, o la pendiente de la función. Podemos construir la función lineal si conocemos la pendiente y la intersección vertical. a n = a 1 + d ( n – 1 ) Para calcular la intersección y de la función, podemos restar la diferencia común del primer término de la secuencia. Considere la siguiente secuencia. La diferencia común es − 50 , por lo que la secuencia representa una función lineal con una pendiente de − 50 . Para calcular la intersección en y , restamos − 50 a partir de 200 : 200 − ( − 50 ) = 200 + 50 = 250 . También puede calcular la intersección y al graficar la función y determinar dónde una línea que conecta los puntos intersecaría el eje vertical. El gráfico se muestra en la . Recordemos que la forma de intersección de la pendiente de una línea es y = m x + b . Cuando se trata de secuencias, utilizamos a n en vez de y y n en vez de x . Si conocemos la pendiente y la intersección vertical de la función, podemos sustituirlas por m y b en la forma de intersección de la pendiente de una línea. Al sustituir − 50 para la pendiente y 250 para la intersección vertical, obtenemos la siguiente ecuación: a n = - 50 n + 250 No necesitamos calcular la intersección vertical para escribir una fórmula explícita para una secuencia aritmética. Otra fórmula explícita para esta secuencia es a n = 200 − 50 ( n – 1 ) , que se simplifica en a n = - 50 n + 250. Fórmula explícita para una secuencia aritmética Una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética está dada por a n = a 1 + d ( n – 1 ) Dados los primeros términos de una secuencia aritmética, escriba una fórmula explícita. Halle la diferencia común, a 2 - a 1 . Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Escribir la fórmula explícita del enésimo término de una secuencia aritmética Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética. { 2 , 12 , 22 , 32 , 42 , … } La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. d = a 2 - a 1 = 12 – 2 = 10 La diferencia común es 10. Sustituya la diferencia común y el primer término de la secuencia en la fórmula y simplifique. a n = 2 + 10 ( n – 1 ) a n = 10 n − 8 Análisis El gráfico de esta secuencia, representado en la , muestra una pendiente de 10 y una intersección vertical de − 8 . Ejercicio Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia aritmética. { 50 , 47 , 44 , 41 , … } a n = 53 − 3 n Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita Se pueden utilizar fórmulas explícitas para determinar el número de términos de una secuencia aritmética finita. Tenemos que hallar la diferencia común y luego determinar cuántas veces hay que sumar la diferencia común al primer término para obtener el término final de la secuencia. Cómo Dados los tres primeros términos y el último término de una secuencia aritmética finita, halle el número total de términos. Halle la diferencia común d . Sustituya la diferencia común y el primer término en a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Sustituya el último término por a n y resuelva para n . Hallar el número de términos de una secuencia aritmética finita Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita . { 8 , 1 , -6 , ... , -41 } La diferencia común se puede hallar al restar el primer término del segundo. 1 - 8 = - 7 La diferencia común es − 7 . Sustituya la diferencia común y el término inicial de la secuencia en la fórmula del enésimo término y simplifique. a n = a 1 + d ( n – 1 ) a n = 8 + ( − 7 ) ( n – 1 ) a n = 15 − 7 n Sustituya − 41 por a n y resuelva para n − 41 = 15 − 7 n 8 = n Hay ocho términos en la secuencia. Ejercicio Halle el número de términos de la secuencia aritmética finita. { 6 , 11 , 16 , ... , 56 } Hay 11 términos en la secuencia. Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas En muchos problemas de aplicación, a menudo, tiene sentido utilizar un término inicial de a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, modificamos ligeramente la fórmula explícita para tener en cuenta la diferencia en los términos iniciales. Utilizamos la siguiente fórmula: a n = a 0 + d n Resolver problemas de aplicación con secuencias aritméticas Un niño de cinco años recibe una asignación de 1 dólar a la semana. Sus padres le prometen un aumento anual de 2 dólares a la semana. Ⓐ Escriba una fórmula para la asignación semanal del niño en un año determinado. Ⓑ ¿Cuál será la asignación del niño cuando tenga 16 años? Ⓐ La situación se puede modelar mediante una secuencia aritmética con un término inicial de 1 y una diferencia común de 2. Supongamos que A sea la cantidad de la asignación y n sea el número de años después de los 5 años. Utilizando la fórmula explícita modificada para una secuencia aritmética obtenemos: A n = 1 + 2 n Ⓑ Podemos calcular el número de años desde los 5 años mediante la resta. 16 - 5 = 11 Buscamos la asignación del niño después de 11 años. Sustituya 11 en la fórmula para hallar la asignación del niño a los 16 años. A 11 = 1 + 2 ( 11 ) = 23 La asignación del niño a los 16 años será de 23 dólares por semana. Ejercicio Una mujer decide salir a correr 10 minutos todos los días de esta semana y planea aumentar el tiempo de su carrera diaria en 4 minutos cada semana. Escriba una fórmula para el tiempo de su carrera después de n semanas. ¿Cuánto durará su carrera diaria dentro de 8 semanas? La fórmula es T n = 10 + 4 n , y le llevará 42 minutos. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar las secuencias aritméticas. Secuencias aritméticas Ecuaciones clave fórmula recursiva para el enésimo término de una secuencia aritmética a n = a n – 1 + d , n ≥ 2 fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia aritmética a n = a 1 + d ( n – 1 ) Conceptos clave Una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante. La constante entre dos términos consecutivos se llama diferencia común. La diferencia común es el número añadido a un término cualquiera de una secuencia aritmética que genera el término siguiente. Vea el . Los términos de una secuencia aritmética se pueden hallar empezando por el término inicial y luego sumar la diferencia común repetidamente. Vea el y el . Una fórmula recursiva para una secuencia aritmética con diferencia común d viene dada por a n = a n – 1 + d , n ≥ 2. Vea el . Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Una fórmula explícita para una secuencia aritmética con diferencia común d viene dada por a n = a 1 + d ( n – 1 ) . Vea el . Se puede usar una fórmula explícita para hallar el número de términos de una secuencia. Vea el . En los problemas de aplicación, a veces modificamos ligeramente la fórmula explícita por a n = a 0 + d n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una secuencia aritmética? Una secuencia en la que cada término sucesivo de la secuencia aumenta (o disminuye) en un valor constante. ¿Cómo se halla la diferencia común de una secuencia aritmética? ¿Cómo se determina si una secuencia es aritmética? Hallamos si la diferencia entre todos los términos consecutivos es la misma. Esto es lo mismo que decir que la secuencia tiene una diferencia común. ¿Cuáles son las principales diferencias entre utilizar una fórmula recursiva y utilizar una fórmula explícita para describir una secuencia aritmética? Describa en qué se parecen las funciones lineales y las secuencias aritméticas. ¿En qué se diferencian? Tanto las secuencias aritméticas como las funciones lineales tienen una tasa de cambio constante. Son diferentes porque sus dominios no son los mismos, las funciones lineales se definen para todos los números reales y las secuencias aritméticas se definen para los números naturales o un subconjunto de los números naturales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la diferencia común de la secuencia aritmética proporcionada. { 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , ... } { 0 , 1 2 , 1 , 3 2 , 2 , ... } La diferencia común es 1 2 En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es aritmética. Si es así, halle la diferencia común. { 11,4 , 9,3 , 7,2 , 5,1 , 3 , ... } { 4 , 16 , 64 , 256 , 1.024 , ... } La secuencia no es aritmética porque 16 − 4 ≠ 64 − 16. En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común. a 1 = −25 , d = −9 a 1 = 0 , d = 2 3 0 , 2 3 , 4 3 , 2 , 8 3 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la serie aritmética dados dos términos. a 1 = 17 , a 7 = − 31 a 13 = − 60 , a 33 = − 160 0 , - 5 , - 10 , − 15 , − 20 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia aritmética dado el primer término y la diferencia común. El primer término es 3, la diferencia común es 4, halle el 5.º término. El primer término es 4, la diferencia común es 5, halle el 4.º término. a 4 = 19 El primer término es 5, la diferencia común es 6, halle el 8.º término. El primer término es 6, la diferencia común es 7, halle el 6.º término. a 6 = 41 El primer término es 7, la diferencia común es 8, halle el 7.º término. En los siguientes ejercicios, halle el primer término dados dos términos de una secuencia aritmética. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 6 = 12 y a 14 = 28. a 1 = 2 Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 7 = 21 y a 15 = 42. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 8 = 40 y a 23 = 115. a 1 = 5 Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 9 = 54 y a 17 = 102. Halle el primer término o a 1 de una secuencia aritmética si a 11 = 11 y a 21 = 16. a 1 = 6 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado dados dos términos de una secuencia aritmética. a 1 = 33 y a 7 = − 15. Halle a 4 . a 3 = − 17,1 y a 10 = − 15,7 Halle a 21 . a 21 = − 13,5 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula recursiva para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética. a 1 = 39 ; a n = a n – 1 - 3 a 1 = − 19 ; a n = a n – 1 − 1,4 − 19 , − 20,4 , − 21,8 , − 23,2 , − 24,6 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia aritmética. a = { 40 , 60 , 80 , ... } a = { 17 , 26 , 35 , ... } a 1 = 17 ; a n = a n – 1 + 9 n ≥ 2 a = { - 1 , 2 , 5 , ... } a = { 12 , 17 , 22 , ... } a 1 = 12 ; a n = a n – 1 + 5 n ≥ 2 a = { − 15 , - 7 , 1 , ... } a = { 8,9 , 10,3 , 11,7 , ... } a 1 = 8,9 ; a n = a n – 1 + 1,4 n ≥ 2 a = { − 0,52 , − 1,02 , − 1,52 , ... } a = { 1 5 , 9 20 , 7 10 , ... } a 1 = 1 5 ; a n = a n – 1 + 1 4 n ≥ 2 a = { - 1 2 , - 5 4 , - 2 , ... } a = { 1 6 , − 11 12 , - 2 , ... } 1 = 1 6 ; a n = a n – 1 − 13 12 n ≥ 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética dada, y luego halle el término especificado. a = { 7 , 4 , 1 , ... } ; Halle el 17.º término. a = { 4 , 11 , 18 , ... } ; Halle el 14.º término. a 1 = 4 ; a n = a n – 1 + 7 ; a 14 = 95 a = { 2 , 6 , 10 , ... } ; Halle el 12.º término. En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula explícita para escribir los cinco primeros términos de la secuencia aritmética. a n = 24 − 4 n Los cinco primeros términos: 20 , 16 , 12 , 8 , 4. a n = 1 2 n – 1 2 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia aritmética. a = { 3 , 5 , 7 , ... } a n = 1 + 2 n a = { 32 , 24 , 16 , ... } a = { - 5 , 95 , 195 , ... } a n = − 105 + 100 n a = { -17 , –217 , –417 , ... } a = { 1,8 , 3,6 , 5,4 , ... } a n = 1,8 n a = { −18,1 , -16,2 , -14,3 , ... } a = { 15,8 , 18,5 , 21,2 , ... } a n = 13,1 + 2,7 n a = { 1 3 , - 4 3 , −3 , ... } a = { 0 , 1 3 , 2 3 , ... } a n = 1 3 n – 1 3 a = { - 5 , - 10 3 , - 5 3 , … } En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia aritmética finita dada. a = { 3 , - 4 , − 11 , ... , - 60 } Hay 10 términos en la secuencia. a = { 1,2 , 1,4 , 1,6 , ... , 3,8 } a = { 1 2 , 2 , 7 2 , ... , 8 } Hay 6 términos en la secuencia. Gráficos En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia aritmética. El gráfico no representa una secuencia aritmética. En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros 5 términos de la secuencia aritmética. a 1 = 0 , d = 4 a 1 = 9 ; a n = a n – 1 - 10 a n = − 12 + 5 n En tecnología En los siguientes ejercicios, siga los pasos para trabajar con la secuencia aritmética a n n = 3 n – 2 utilizando una calculadora gráfica: Presione [MODE] Seleccione SEQ en la cuarta línea Seleccione DOT en la quinta línea Presione [ENTER] Presione [Y=] n Mín. es el primer número de conteo de la secuencia. Establezca n Mín. = 1 u ( n ) es el patrón de la secuencia. Establezca u ( n ) = 3 n – 2 u ( n Mín.) es el primer número de la secuencia. Establezca u ( n Mín.) = 1 Presione [2ND] y luego [WINDOW] para ir a TBLSET Establezca TblStart = 1 Establezca Δ Tbl = 1 Configure Indpnt: Auto y Depend: Auto Presione [2ND] y luego [GRAPH] para ir a TABLE ¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u ( n ) ? 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 Utilice la flecha de desplazamiento hacia abajo para ir a n = 50. ¿Qué valor se da para u ( n ) ? Presione [WINDOW] . Establezca n Mín. = 1 , n Máx. = 5 , x Mín. = 0 , x Máx. = 6 , y Mín. = - 1 y y Máx. = 14. A continuación, presione [GRAPH] . Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora. En los siguientes ejercicios, siga los pasos dados anteriormente para trabajar con la secuencia aritmética a n = 1 2 n + 5 utilizando una calculadora gráfica. ¿Cuáles son los siete primeros términos que aparecen en la columna con el título u ( n ) en la función TABLE? Grafique la secuencia tal y como aparece en la calculadora graficadora. Asegúrese de ajustar la configuración de WINDOW según sea necesario. Extensiones Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 4.º términos sean 9. Dé dos ejemplos de secuencias aritméticas cuyos 10.º términos sean 206. Las respuestas variarán. Ejemplos: a n = 20,6 n y a n = 2 + 20,4 n. Halle el 5.º término de la secuencia aritmética { 9 b , 5 b , b , … } . Halle el 11.º término de la secuencia aritmética { 3 a - 2 b , a + 2 b , - a + 6 b … } . a 11 = − 17 a + 38 b ¿En qué término la secuencia { 5,4 , 14,5 , 23,6 , ... } supera 151? ¿En qué término la secuencia { 17 3 , 31 6 , 14 3 , ... } comienza a tener valores negativos? La secuencia comienza a tener valores negativos en el 13.º término, a 13 = - 1 3 ¿Para qué términos la secuencia aritmética finita { 5 2 , 19 8 , 9 4 , ... , 1 8 } tienen valores enteros? Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula recursiva. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 31. º término. Las respuestas variarán. Compruebe que la secuencia es aritmética. Ejemplo: Fórmula recursiva: a 1 = 3 , a n = a n – 1 − 3. Primeros 4 términos: 3 , 0 , - 3 , − 6 a 31 = − 87 Escriba una secuencia aritmética utilizando una fórmula explícita. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 28.º término. secuencia aritmética una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante diferencia común la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera de una secuencia aritmética", "section": "Secuencias aritméticas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Secuencias geométricas Objetivos de aprendizaje Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1). Hallar el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica (AI 12.3.2). Objetivo 1: Determinar si una secuencia es geométrica (AI 12.3.1) Se denomina secuencia geométrica si el cociente entre términos consecutivos es siempre igual. El cociente entre términos consecutivos en una secuencia geométrica es r , el cociente común , donde n es mayor o igual a dos. r = a n a n − 1 Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común. Ⓐ 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , … Ⓑ −2 , 6 , –12 , 36 , -72 , 216 , … Para determinar si la secuencia es geométrica, hallamos la razón de los términos consecutivos indicados. Ⓐ Halle la razón de los términos consecutivos. 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , … 8 4 16 8 32 16 64 32 128 64 2 2 2 2 2 La secuencia es geométrica. La razón común es r = 2 . Ⓑ Halle la razón de los términos consecutivos. −2 , 6 , –12 , 36 , -72 , 216 , … 6 −2 −12 6 36 −12 -72 36 216 -72 −3 −2 −3 −2 −3 La secuencia no es geométrica. No hay una razón común. La práctica hace la perfección Determine si cada secuencia es geométrica. En caso afirmativo, indique la razón común. −150 , −30 , −15 , −5 , – 5 2 , … Halle la razón de los términos consecutivos. 8, 4, 2, 1, 1 2 , 1 4 , … Halle la razón de los términos consecutivos. Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 3 y el cociente común es r = –2 . Empezamos por el primer término y lo multiplicamos por la razón común. Luego, multiplicamos ese resultado por la razón común para obtener el siguiente término, y así sucesivamente. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 3 · ( −2 ) −6 · ( −2 ) 12 · ( −2 ) −24 · ( −2 ) −6 12 −24 48 La secuencia es 3 , –6 , 12 , −24 , 48 , … La práctica hace la perfección Escriba los cinco primeros términos de la secuencia donde el primer término es 7 y la razón común es r = 3 . a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 7 La secuencia es: ________________________________________ Objetivo 2: Hallar el término general (enésimo término) de una sucesión geométrica (AI 12.3.2) Hallemos la fórmula del término general de una secuencia geométrica. Escribamos los primeros términos de la secuencia donde el primer término es a 1 y la razón común es r . A continuación, buscaremos un patrón. Término general (enésimo término) de una secuencia geométrica El término general de una secuencia geométrica con primer término a 1 y la razón común r es a n = a 1 r n − 1 Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Ⓐ Halle el decimotercer término de una secuencia en la que el primer término es 81 y la razón común es r=1/3. Ⓑ Halle el noveno término de la secuencia 6, 18, 54, 162, 486, 1458, ... Luego, halle el término general de la secuencia. Ⓐ Halle el decimotercer término de una secuencia en la que el primer término es 81 y la razón común es r=1/3. Para dar con el decimotercer término, utilice la fórmula con a 1 = 81 , r = 1 / 3 a n d n = 13 a n = a 1 r n − 1 Sustituya a 13 = 81 ( 1 3 ) 13 1 Simplifique a 13 = 81 ( 1 3 ) 13 1 a 13 = 81 ( 1 3 ) 12 a 13 = 1 729 Ⓑ Halle el noveno término de la secuencia 6, 18, 54, 162, 486, 1458, ... Luego, halle el término general de la secuencia. Determinemos en primer lugar a 1 y la razón común r La primer término es 6 , así que a 1 = 6 La razón es : 18 6 = 54 18 = 162 54 = 482 162 = 1458 486 = 3 Para hallar el 9.º término, utilice la fórmula con a 1 = 6 , r = 3 y n = 9. Sustituya estos valores y simplifique a n = a 1 r n − 1 a 9 = 6 ( 3 ) 9 1 a 9 = 6 ( 3 ) 8 a 9 = 39366 Para hallar el término general, sustituya a 1 = 6 y r = 3 en la fórmula a n = a 1 r n − 1 a n = 6 ( 3 ) n − 1 La práctica hace la perfección Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Halle el decimosexto término de una secuencia donde el primer término es 11 y la razón común es –6. Halle el 10.º término de la secuencia 9, 18, 36, 72, 144, 288, .... Luego, dé la fórmula del término general. Halle el término general (enésimo término) de una secuencia geométrica. Un paciente toma una cápsula de antibiótico de 30 mg. Al final de cualquier hora, la cantidad de antibiótico que queda en su cuerpo es solo el 90 % de la cantidad al principio de esa hora. La siguiente tabla muestra la cantidad de medicamento que queda en el cuerpo al principio de cada hora. Tiempo t Dosis restante después del tiempo t 1 30 mg 2 27 mg 3 24,3 mg 4 21,87 mg 5 19,68 mg Ⓐ Halle la razón de los términos consecutivos. ¿Es una secuencia geométrica? Ⓑ Halle una fórmula para el término general de esta secuencia. Ⓒ ¿Qué cantidad de medicamento queda al comienzo de la hora 7? ¿De la hora 12? ¿De la hora 24? Muchos puestos de trabajo ofrecen un aumento anual por el costo de vida para mantener los salarios en consonancia con la inflación. Supongamos, por ejemplo, que un recién graduado de educación superior encuentra un puesto de gerente de ventas con un salario anual de 26.000 dólares. Se le promete un aumento del 2 % por el costo de la vida cada año. Su salario anual en un año determinado se puede calcular al multiplicar su salario del año anterior por el 102 %. Su salario será de 26.520 dólares al cabo de un año, 27.050,40 dólares al cabo de dos años, 27.591,41 dólares al cabo de tres años, y así sucesivamente. Cuando un salario se incrementa en una tasa constante cada año, el salario crece en un factor constante. En esta sección veremos secuencias que crecen de esta manera. Hallar razones comunes Los valores salariales anuales descritos forman una secuencia geométrica porque cambian por un factor constante cada año. Cada término de una secuencia geométrica aumenta o disminuye en un factor constante llamado razón común . La siguiente secuencia es un ejemplo de secuencia geométrica porque cada término aumenta en un factor constante de 6. La multiplicación de cualquier término de la secuencia por la razón común 6 genera el término siguiente. Definición de secuencia geométrica La secuencia geométrica es aquella en la que cualquier término dividido entre el anterior es una constante. Esta constante se denomina cociente común de la secuencia. La razón común se puede calcular al dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Si los valores de a 1 es el término inicial de una secuencia geométrica y r es la razón común, la secuencia será { a 1 , a 1 r , a 1 r 2 , a 1 r 3 , ... } . Cómo Dado un conjunto de números, determine si representan una secuencia geométrica. Divida cada término entre el término anterior. Compare los cocientes. Si son iguales, existe una razón común y la secuencia es geométrica. Hallar razones comunes ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. Ⓐ 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ... Ⓑ 48 , 12 , 4 , 2 , ... Divida cada término entre el término anterior para determinar si existe una razón común. Ⓐ 2 1 = 2 4 2 = 2 8 4 = 2 16 8 = 2 La secuencia es geométrica porque hay una razón común. La razón común es de 2. Ⓑ 12 48 = 1 4 4 12 = 1 3 2 4 = 1 2 La secuencia no es geométrica porque no hay una razón común. Análisis El gráfico de cada secuencia se muestra en la . A partir de los gráficos parece que tanto (a) como (b) tienen la forma del gráfico de una función exponencial en esta ventana de visualización. Sin embargo, sabemos que (a) es geométrico y, por tanto, esta interpretación es válida, pero (b) no lo es. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si le dicen que una secuencia es geométrica, ¿tiene que dividir cada término entre el anterior para calcular la razón común? No. Si sabe que la secuencia es geométrica, puede elegir un término cualquiera de la secuencia y dividirlo entre el término anterior para hallar la razón común. Ejercicio ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. 5 , 10 , 15 , 20 , ... La secuencia no es geométrica porque 10 5 ≠ 15 10 . Ejercicio ¿La secuencia es geométrica? Si es así, halle la razón común. 100 , 20 , 4 , 4 5 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es 1 5 . Escribir términos de secuencias geométricas Ahora que podemos identificar una secuencia geométrica, aprenderemos a hallar los términos de una secuencia geométrica si nos dan el primer término y la razón común. Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular ao comenzar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Por ejemplo, si el primer término de una secuencia geométrica es a 1 = - 2 y la razón común es r = 4, podemos hallar los términos posteriores multiplicando − 2 ⋅ 4 para obtener − 8 y luego multiplicar el resultado − 8 ⋅ 4 para obtener − 32 y así sucesivamente. a 1 = - 2 a 2 = ( – 2 ⋅ 4 ) = - 8 a 3 = ( − 8 ⋅ 4 ) = − 32 a 4 = ( − 32 ⋅ 4 ) = − 128 Los cuatro primeros términos son { -2 , –8 , -32 , -128 } . Cómo Dado el primer término y el factor común, halle los cuatro primeros términos de una sucesión geométrica. Multiplique el término inicial, a 1 , por la razón común para hallar el siguiente término, a 2 . Repita el proceso, utilizando a n = a 2 para calcular a 3 y luego a 3 para calcular a 4, hasta que se hayan identificado los cuatro términos. Escriba los términos separados por comas entre corchetes. Escribir los términos de una secuencia geométrica Enumere los cuatro primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 = 5 y r = –2. Multiplique a 1 entre − 2 para calcular a 2 . Repita el proceso, utilizando a 2 para calcular a 3 , y así sucesivamente. a 1 = 5 a 2 = - 2 a 1 = − 10 a 3 = - 2 a 2 = 20 a 4 = - 2 a 3 = - 40 Los cuatro primeros términos son { 5 , -10 , 20 , –40 } . Ejercicio Enumere los cinco primeros términos de la secuencia geométrica con a 1 = 18 y r = 1 3 . { 18 , 6 , 2 , 2 3 , 2 9 } Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas Una fórmula recursiva nos permite calcular cualquier término de una secuencia geométrica utilizando el término anterior. Cada término es el producto del cociente común y del término anterior. Por ejemplo, supongamos que la razón común es 9. Entonces cada término es nueve veces el término anterior. Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial. Fórmula recursiva para una secuencia geométrica La fórmula recursiva de una secuencia geométrica con razón común r y primer término a 1 es a n = r a n – 1 , n ≥ 2 Cómo Dados los primeros términos de una secuencia geométrica, escriba su fórmula recursiva. Indique el término inicial. Halle la razón común dividiendo un término cualquiera entre el término anterior. Sustituya la razón común en la fórmula recursiva de una secuencia geométrica. Usar fórmulas recursivas para secuencias geométricas Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica. { 6 , 9 , 13,5 , 20,25 , ... } El primer término se da como 6. La razón común se puede calcular dividiendo el segundo término entre el primero. r = 9 6 = 1,5 Sustituya la razón común en la fórmula recursiva de las secuencias geométricas y defina a 1 . a n = r a n – 1 a n = 1,5 a n – 1 para n ≥ 2 a 1 = 6 Análisis La secuencia de puntos de datos sigue un patrón exponencial. La razón común es también la base de una función exponencial, como se muestra en la . ¿Tenemos que dividir el segundo término entre el primero para hallar la razón común? No. Podemos dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Sin embargo, lo más habitual es dividir el segundo término entre el primero porque suele ser el método más sencillo para hallar la razón común. Ejercicio Escriba una fórmula recursiva para la siguiente secuencia geométrica. { 2 , 4 3 , 8 9 , 16 27 , ... } a 1 = 2 a n = 2 3 a n – 1 para n ≥ 2 Usar fórmulas explícitas para secuencias geométricas Como una secuencia geométrica es una función exponencial cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos, y la razón común es la base de la función, podemos escribir fórmulas explícitas que nos permitan hallar términos particulares. a n = a 1 r n – 1 Veamos la secuencia { 18 , 36 , 72 , 144 , 288 , ... } . Se trata de una secuencia geométrica con una razón común de 2 y una función exponencial de base 2. Una fórmula explícita para esta secuencia es a n = 18 · 2 n – 1 El gráfico de la secuencia se muestra en la . Fórmula explícita para una secuencia geométrica El n término de una secuencia geométrica viene dado por la fórmula explícita : a n = a 1 r n – 1 Escribir términos de secuencias geométricas mediante la fórmula explícita Dada una secuencia geométrica con a 1 = 3 y a 4 = 24 , calcule a 2 . La secuencia puede escribirse en términos del término inicial y de la razón común r . 3 , 3 r , 3 r 2 , 3 r 3 , ... Halle la razón común utilizando el cuarto término dado. a n = a 1 r n – 1 a 4 = 3 r 3 Escriba el cuarto término de la secuencia en términos de α 1 y r 24 = 3 r 3 Sustituya 24 para a 4 8 = r 3 Divida r = 2 Resuelva para obtener la razón común Halle el segundo término multiplicando el primer término por la razón común. a 2 = 2 a 1 = 2 ( 3 ) = 6 Análisis La razón común se multiplica por el primer término una vez para hallar el segundo término, dos veces para hallar el tercer término, tres veces para hallar el cuarto término, y así sucesivamente. El décimo término podría hallarse multiplicando el primer término por la razón común nueve veces o multiplicando por la razón común elevada a la novena potencia. Ejercicio Dada una secuencia geométrica con a 2 = 4 y a 3 = 32 , calcule a 6 . a 6 = 16 , 384 Escribir una fórmula explícita para el enésimo término de una secuencia geométrica Escriba una fórmula explícita para el enésimo término de la siguiente secuencia geométrica. { 2 , 10 , 50 , 250 , ... } El primer término es 2. La razón común se puede calcular al dividir el segundo término entre el primero. 10 2 = 5 La razón común es 5. Sustituya la razón común y el primer término de la secuencia en la fórmula. a n = a 1 r ( n – 1 ) a n = 2 ⋅ 5 n – 1 El gráfico de esta secuencia en la muestra un patrón exponencial. Ejercicio Escriba una fórmula explícita para la siguiente secuencia geométrica. { -1 , 3 , -9 , 27 , ... } a n = - ( - 3 ) n – 1 Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas En escenarios del mundo real que involucran secuencias geométricas podemos necesitar usar un término inicial de a 0 en vez de a 1 . En estos problemas, podemos alterar ligeramente la fórmula explícita utilizando la siguiente fórmula: a n = a 0 r n Resolver problemas de aplicación con secuencias geométricas En 2013, el número de estudiantes de una escuela pequeña es de 284. Se calcula que la población estudiantil aumentará un 4 % cada año. Ⓐ Escriba una fórmula para la población estudiantil. Ⓑ Estime la población estudiantil en 2020. Ⓐ La situación puede modelarse mediante una secuencia geométrica con un término inicial de 284. La población estudiantil será el 104 % del año anterior, por lo que la razón común es de 1,04. Supongamos que P es la población estudiantil y n es el número de años después de 2013. Utilizando la fórmula explícita de una secuencia geométrica obtenemos P n = 284 ⋅ 1,04 n Ⓑ Podemos calcular el número de años desde 2013 mediante la resta. 2020 − 2013 = 7 Buscamos la población después de 7 años. Podemos sustituir 7 por n para estimar la población en 2020. P 7 = 284 ⋅ 1,04 7 ≈ 374 La población estudiantil será de unos 374 estudiantes en 2020. Ejercicio Una empresa pone en marcha un nuevo sitio web. Inicialmente el número de visitas es de 293 debido al factor curiosidad. La empresa estima que el número de visitas aumentará un 2,6 % por semana. Ⓐ Escriba una fórmula para el número de visitas. Ⓑ Calcule el número de visitas para dentro de 5 semanas. Ⓐ P n = 293 ⋅ 1,026 a n Ⓑ El número de visitas será de unas 333. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las secuencias geométricas. Secuencias geométricas Determinar el tipo de secuencia Hallar la fórmula de una secuencia Ecuaciones clave fórmula recursiva para n t h término de una secuencia geométrica a n = r a n – 1 , n ≥ 2 fórmula explícita para n t h término de una secuencia geométrica a n = a 1 r n – 1 Conceptos clave Una sucesión geométrica es una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es una constante. La razón constante entre dos términos consecutivos se llama razón común. La razón común se puede calcular la dividir cualquier término de la secuencia entre el término anterior. Vea el . Los términos de una secuencia geométrica se pueden calcular al empezar por el primer término y multiplicar por la razón común repetidamente. Vea el y el . Una fórmula recursiva para una secuencia geométrica con razón común r viene dada por a n = r a n – 1 para n ≥ 2 . Como en cualquier fórmula recursiva, hay que dar el término inicial de la secuencia. Vea el . Una fórmula explícita para una secuencia geométrica con razón común r viene dada por a n = a 1 r n – 1 . Vea el . En los problemas de aplicación, a veces alteramos ligeramente la fórmula explícita por a n = a 0 r n . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una secuencia geométrica? Una secuencia en la que la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante. ¿Cómo se calcula la razón común de una secuencia geométrica? ¿Cuál es el procedimiento para determinar si una secuencia es geométrica? Dividir cada término de una secuencia entre el término anterior. Si los cocientes resultantes son iguales, la secuencia es geométrica. ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una secuencia geométrica? Describa en qué se parecen las funciones exponenciales y las secuencias geométricas. ¿En qué se diferencian? Tanto las secuencias geométricas como las funciones exponenciales tienen una razón constante. Sin embargo, sus dominios no son los mismos. Las funciones exponenciales se definen para todos los números reales, y las secuencias geométricas se definen solo para los enteros positivos. Otra diferencia es que la base de una secuencia geométrica (la razón común) puede ser negativa, pero la base de una función exponencial debe ser positiva. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la razón común de la secuencia geométrica. 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , ... − 0,125 , 0,25 , − 0,5 , 1 , - 2 , ... La razón común es − 2 - 2 , - 1 2 , - 1 8 , - 1 32 , - 1 128 , ... En los siguientes ejercicios, determine si la secuencia es geométrica. Si es así, halle la razón común. − 6 , − 12 , − 24 , − 48 , − 96 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de 2. 5 , 5,2 , 5,4 , 5,6 , 5,8 , ... - 1 , 1 2 , - 1 4 , 1 8 , - 1 16 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de − 1 2 . 6 , 8 , 11 , 15 , 20 , ... 0,8 , 4 , 20 , 100 , 500 , ... La secuencia es geométrica. La razón común es de 5. En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dado el primer término y la razón común. a 1 = 8 , r = 0,3 a 1 = 5 , r = 1 5 5 , 1 , 1 5 , 1 25 , 1 125 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica, dados dos términos cualesquiera. a 7 = 64 , a 10 = 512 a 6 = 25 , a 8 = 6,25 800 , 400 , 200 , 100 , 50 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dado el primer término y la razón común. El primer término es 2, y la razón común es de 3. Halle el 5.º término. El primer término es 16 y la razón común es de − 1 3 . Halle el 4.º término. a 4 = - 16 27 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica, dados los cuatro primeros términos. a n = { - 1 , 2 , - 4 , 8 , ... } . Halle a 12 . a n = { − 2 , 2 3 , - 2 9 , 2 27 , ... } . Halle a 7 . a 7 = - 2 729 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica. a 1 = − 486 , a n = - 1 3 a n – 1 a 1 = 7 , a n = 0,2 a n – 1 7 , 1,4 , 0,28 , 0,056 , 0,0112 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula recursiva para cada secuencia geométrica. a n = { - 1 , 5 , − 25 , 125 , ... } a n = { − 32 , − 16 , − 8 , - 4 , ... } a = 1 - 32 , a n = 1 2 a n – 1 a n = { 14 , 56 , 224 , 896 , ... } a n = { 10 , - 3 , 0,9 , − 0,27 , ... } a 1 = 10 , a n = – 0,3 a n – 1 a n = { 0,61 , 1,83 , 5,49 , 16,47 , ... } a n = { 3 5 , 1 10 , 1 60 , 1 360 , ... } a 1 = 3 5 , a n = 1 6 a n – 1 a n = { − 2 , 4 3 , − 8 9 , 16 27 , ... } a n = { 1 512 , - 1 128 , 1 32 , - 1 8 , ... } a 1 = 1 512 , a n = – 4 a n – 1 En los siguientes ejercicios, escriba los cinco primeros términos de la sucesión geométrica. a n = – 4 ⋅ 5 n – 1 a n = 12 ⋅ ( - 1 2 ) n – 1 12 , − 6 , 3 , - 3 2 , 3 4 En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula explícita para cada secuencia geométrica. a n = { − 2 , - 4 , − 8 , − 16 , ... } a n = { 1 , 3 , 9 , 27 , ... } a n n = 3 n – 1 a n = { − 4 , − 12 , − 36 , − 108 , ... } a n = { 0,8 , - 4 , 20 , − 100 , ... } a n = 0,8 ⋅ ( - 5 ) n – 1 a n = { − 1,25 , - 5 , − 20 , − 80 , ... } a n = { - 1 , - 4 5 , − 16 25 , − 64 125 , ... } a n = - ( 4 5 ) n – 1 a n = { 2 , 1 3 , 1 18 , 1 108 , ... } a n = { 3 , - 1 , 1 3 , - 1 9 , ... } a n n = 3 ⋅ ( - 1 3 ) n – 1 En los siguientes ejercicios, halle el término especificado para la secuencia geométrica dada. Supongamos que a 1 = 4 , a n = - 3 a n – 1 . Halle a 8 . Supongamos que a n = - ( - 1 3 ) n – 1 . Halle a 12 . a 12 = 1 177 , 147 En los siguientes ejercicios, halle el número de términos de la secuencia geométrica finita dada. a n = { - 1 , 3 , − 9 , ... , 2187 } a n = { 2 , 1 , 1 2 , ... , 1 1.024 } Hay 12 términos en la secuencia. Gráficos En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico mostrado representa una secuencia geométrica. El gráfico no representa una secuencia geométrica. En los siguientes ejercicios, utilice la información proporcionada para graficar los primeros cinco términos de la secuencia geométrica. a 1 = 1 , r = 1 2 a 1 = 3 , a n = 2 a n – 1 a n = 27 ⋅ 0,3 n – 1 Extensiones Utilice fórmulas recursivas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 3.º términos son 200. Las respuestas variarán. Ejemplos: a 1 = 800 , a n = 0,5 a n – 1 y a 1 = 12,5 , a n = 4 a n – 1 Utilice fórmulas explícitas para dar dos ejemplos de secuencias geométricas cuyos 7.º términos son 1.024. Halle el 5.º término de la secuencia geométrica { b , 4 b , 16 b , ... } . a 5 = 256 b Halle el 7. º término de la secuencia geométrica { 64 a ( − b ) , 32 a ( - 3 b ) , 16 a ( − 9 b ) , ... } . ¿En qué término la secuencia { 10 , 12 , 14,4 , 17,28 , ... } supera el 100 ? La secuencia supera el 100 en el 14.º término, a 14 ≈ 107. ¿En qué término la secuencia { 1 2187 , 1 729 , 1 243 , 1 81 ... } comienza a tener valores enteros? ¿Para cuál término la secuencia geométrica a n = − 36 ( 2 3 ) n – 1 tiene el primer valor no entero? a 4 = − 32 3 es el primer valor no entero Utilice la fórmula recursiva para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número entero. Muestre los cuatro primeros términos, y luego halle el 10.º término. Utilice la fórmula explícita para escribir una secuencia geométrica cuya razón común sea un número decimal entre 0 y 1. Muestre los 4 primeros términos y luego halle el 8.º término. Las respuestas variarán. Ejemplo: Fórmula explícita con una razón común decimal: a n = 400 ⋅ 0,5 n – 1 ; Primeros 4 términos: 400 , 200 , 100 , 50 ; a 8 = 3,125 ¿Es posible que una secuencia sea a la vez aritmética y geométrica? Si es así, dé un ejemplo. razón común la razón entre dos términos consecutivos cualesquiera de una secuencia geométrica secuencia geométrica una secuencia en la que la razón entre un término y un término anterior es una constante", "section": "Secuencias geométricas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Series y sus notaciones Objetivos de aprendizaje Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5) Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3) Objetivo 1: Utilizar la notación de sumatoria para escribir una suma. (IA 12.1.5) Una serie es la suma de los términos de una secuencia. Por ejemplo, 1 + 6 + 11+ 16 + 21 + 26 + 31 es la suma de los siete primeros términos de la secuencia aritmética con término general, a n = 5 n 4 . Escribimos una serie utilizando la notación de sumatoria . Para escribir esa sumatoria, tenemos que dar con el término general de nuestra secuencia y la sumatoria se verá así: Para la serie 1 + 6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + .... la notación de sumatoria es ∑ n = 1 7 5 n 4 Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma. Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 n : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 Busque un patrón en los términos. Términos: 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 Los numeradores son todos uno. Los denominadores son los números de conteo del 1 al 5. Patrón: 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 Los términos generales son: 1 n La suma en notación de sumatoria es: ∑ n = 1 5 1 n La práctica hace la perfección Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma. Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 + 1 36 Escriba la suma utilizando la notación de sumatoria: 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + 1 243 Objetivo 2: Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. (IA 12.2.3) Suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética La suma, S n , de los primeros n términos de una secuencia aritmética es S n = n 2 ( a 1 + a n ) donde a 1 es el primer término y a n es el enésimo término. Calcular la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética. Ⓐ Calcule la suma de los 30 primeros términos de la secuencia aritmética: 0 0 0 0 0 Ⓑ Calcule la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n 5 . Ⓒ Calcule la suma ∑ i = 1 30 ( 6 i 4 ) Ⓐ Para calcular la suma de los 30 primeros términos, utilizamos la fórmula S n = n 2 ( a 1 + a n ) . Sabemos que a 1 = 7 , d = 3 , a n d n = 30 pero tenemos que hallar a 30 . Para hallar el 30.º término, utilice la fórmula con a 1 = 7 , d = 3 a n d n = 30 . a n = a 1 + ( n − 1 ) d Sustituya a 30 = 7 + ( 30 1 ) ( 3 ) Simplifique a 30 = 7 + ( 29 ) ( 8 ) a 30 = 7 + 232 a 30 = 239 Para hallar S 30 utilice la fórmula con a 1 = 7 , a 30 = 239 a n d n = 30 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 30 = 30 2 ( 7 + 239 ) S 30 = 15 ( 246 ) S 30 = 3690 Ⓑ Para la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n 5 . Debemos hallar a 1 y a 50 y sustituir en la fórmula. Calcule a 1 a n = 2 n 5 a 1 = 2 ( 1 ) 5 a 1 = 3 Calcule a 50 a n = 2 n 5 a 50 = 2 ( 50 ) 5 a 50 = 95 Luego calcule S 50 , utilice la fórmula con a 1 = 3 , a 50 = 95 y n = 50 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 50 = 50 2 ( 3 + 95 ) S 50 = 25 ( 92 ) S 50 = 2.300 Ⓒ ∑ i = 1 30 ( 6 i 4 ) significa calcular la suma de los 30 primeros términos de la secuencia cuyo término general es 6 i 4 . Debemos hallar a 1 y a 30 y sustituir en la fórmula. Calcule a 1 a i = 6 i 4 a 1 = 6 ( 1 ) 4 a 1 = 2 Calcule a 30 a i = 6 i 4 a 30 = 6 ( 30 ) 4 a 30 = 176 Luego calcule S 30 , utilice la fórmula con a 1 = 2 , a 30 = 176 a n d n = 30 . S n = n 2 ( a 1 + a n ) Sustituya y simplifique S 30 = 30 2 ( 2 + 176 ) S 30 = 15 ( 178 ) S 30 = 2630 La práctica hace la perfección Calcule la suma de los 30 primeros términos de la secuencia aritmética: 16, 10, 4, –2, –8, … Calcule la suma de los 50 primeros términos de la secuencia aritmética cuyo término general es a n = 2 n + 7 . Calcule la suma: ∑ i = 1 30 ( 7 i 5 ) Un padre decide crear un fondo universitario para su hija. Tiene previsto invertir 50 dólares en el fondo cada mes. El fondo paga el 6 % de interés anual calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero tendrán ahorrado cuando su hija esté lista para empezar la universidad dentro de 6 años? En esta sección aprenderemos cómo responder esta pregunta. Para ello, hay que tener en cuenta la cantidad de dinero invertida y el monto de los intereses obtenidos. Usar la notación de sumatoria Para calcular la cantidad total de dinero en el fondo universitario y la suma de las cantidades depositadas, tenemos que sumar las cantidades depositadas cada mes y las cantidades ganadas mensualmente. La suma de los términos de una secuencia se llama una serie . Consideremos, por ejemplo, la serie siguiente. 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... La suma parcial a la n de una serie es la suma de un número finito de términos consecutivos empezando por el primer término. La notación S n representa la suma parcial. S 1 = 3 S 2 = 3 + 7 = 10 S 3 = 3 + 7 + 11 = 21 S 4 = 3 + 7 + 11 + 15 = 36 La notación de sumatoria se usa para representar series. La notación de sumatoria se conoce, a menudo, como notación sigma porque utiliza la letra griega mayúscula sigma , Σ , para representar la suma. La notación de sumatoria incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie. A la derecha de sigma se da una fórmula explícita para cada término de la serie. Debajo de sigma se escribe una variable llamada índice de sumatoria . El índice de sumatoria se establece igual al límite inferior de sumatoria , que es el número utilizado para generar el primer término de la serie. El número por encima de sigma, llamado límite superior de sumatoria , es el número utilizado para generar el último término de una serie. Si interpretamos la notación dada, vemos que nos pide calcular la suma de los términos de la serie a k = 2 k para k = 1 hasta k = 5. Podemos empezar con la sustitución de los términos de k y enumerar los términos de esta serie. a 1 = 2 ( 1 ) = 2 a 2 = 2 ( 2 ) = 4 a 3 = 2 ( 3 ) = 6 a 4 = 2 ( 4 ) = 8 a 5 = 2 ( 5 ) = 10 Podemos calcular la suma de la serie y agregar los términos: ∑ k = 1 5 2 k = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 Notación de sumatoria La suma de los primeros n términos de una serie se puede expresar en notación de sumatoria de la siguiente forma: ∑ k = 1 n a k Esta notación nos dice que hay que calcular la suma de a k a partir de k = 1 con k = n . k se denomina índice de sumatoria , 1 es el límite inferior de sumatoria y n es el límite superior de sumatoria . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El límite inferior de sumatoria tiene que ser 1? No. El límite inferior de sumatoria puede ser cualquier número, pero con frecuencia se utiliza el 1. Veremos ejemplos con límites inferiores de sumatoria distintos de 1. Cómo Dada la notación de sumatoria de una serie, evalúe el valor. Identifique el límite inferior de sumatoria. Identifique el límite superior de sumatoria. Sustituya cada valor de k del límite inferior al superior en la fórmula. Sume para obtener la suma. Usar la notación de sumatoria Evalúe ∑ k = 3 7 k 2 . Según la notación, el límite inferior de sumatoria es 3 y el límite superior es 7. Así que tenemos que calcular la suma de k 2 a partir de k = 3 con k = 7. Hallamos los términos de la serie al sustituir k = 3 , 4 , 5 , 6 , y 7 en la función k 2 . Sumamos los términos para calcular la suma. ∑ k = 3 7 k 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135 Ejercicio Evalúe ∑ k = 2 5 ( 3 k – 1 ) . 38 Usar la fórmula de la serie aritmética Al igual que hemos estudiado los tipos especiales de secuencias, veremos los tipos especiales de series. Recordemos que una secuencia aritmética es una secuencia en la que la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es la diferencia común , d . La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética . Podemos escribir la suma de los primeros n términos de una serie aritmética como: S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ... + ( a n – d ) + a n . También podemos invertir el orden de los términos y escribir la suma como S n = a n + ( a n – d ) + ( a n – 2 d ) + ... + ( a 1 + d ) + a 1 . Si añadimos estas dos expresiones para la suma de los primeros n términos de una serie aritmética, podemos derivar una fórmula para la suma de los primeros n términos de cualquier serie aritmética. S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ... + ( a n – d ) + a n + S n = a n + ( a n – d ) + ( a n – 2 d ) + ... + ( a 1 + d ) + a 1 2 S n = ( a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) + ... + ( a 1 + a n ) Debido a que hay n términos en la serie, podemos simplificar esta suma a 2 S n = n ( a 1 + a n ) . Dividimos entre 2 para hallar la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética. S n = n ( a 1 + a n ) 2 Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética. Una serie aritmética es la suma de los términos de una secuencia aritmética. La fórmula de la suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética es S n = n ( a 1 + a n ) 2 Cómo Dados los términos de una serie aritmética, calcule la suma de los primeros n términos. Identifique a 1 y a n . Determine n . Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula S n = n ( a 1 + a n ) 2 . Simplifique para hallar S n . Hallar los primeros n términos de una serie aritmética Calcule la suma de cada serie aritmética. Ⓐ 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26 + 29 + 32 Ⓑ 20 + 15 + 10 +…+ −50 Ⓒ ∑ k = 1 12 3 k - 8 Ⓐ Se nos da a 1 = 5 y a n = 32. Cuente el número de términos de la secuencia para hallar n = 10. Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 10 = 10 ( 5 + 32 ) 2 = 185 Ⓑ Se nos da a 1 = 20 y a n = − 50. Utilice la fórmula del término general de una secuencia aritmética para hallar n . a n = a 1 + ( n – 1 ) d − 50 = 20 + ( n – 1 ) ( - 5 ) − 70 = ( n – 1 ) ( - 5 ) 14 = n – 1 15 = n Sustituya los valores de a 1 , a n , n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 15 = 15 ( 20 − 50 ) 2 = − 225 Ⓒ Para hallar a 1 , sustituya k = 1 en la fórmula explícita dada. a k = 3 k - 8 a 1 = 3 ( 1 ) - 8 = - 5 Se nos da que n = 12. Para hallar a 12 , sustituya k = 12 en la fórmula explícita dada. a k = 3 k - 8 a 12 = 3 ( 12 ) - 8 = 28 Sustituya los valores de a 1 , a n , y n en la fórmula y simplifique. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 12 = 12 ( - 5 + 28 ) 2 = 138 Utilice la fórmula para calcular la suma de cada serie aritmética. Ejercicio 1 0,4 + 1 0,6 + 1 0,8 + 2 0,0 + 2 0,2 + 2 0,4 + 2 0,6 + 2 0,8 + 3 0,0 + 3 0,2 + 3 0,4 26 0,4 Ejercicio 13 + 21 + 29 + … + 69 328 Ejercicio ∑ k = 1 10 5 − 6 k − 280 Resolver problemas de aplicación con serie aritmética El domingo después de una cirugía menor, una mujer es capaz de caminar media milla. Cada domingo, camina un cuarto de milla más. Después de 8 semanas, ¿cuál será el número total de millas que habrá caminado? Este problema se puede modelar mediante una serie aritmética con a 1 = 1 2 y d = 1 4 . Buscamos el número total de millas caminadas después de 8 semanas, por lo que sabemos que n = 8 , y buscamos S 8 . Para hallar a 8 , podemos utilizar la fórmula explícita de una secuencia aritmética. a n = a 1 + d ( n – 1 ) a 8 = 1 2 + 1 4 ( 8 - 1 ) = 9 4 Ahora podemos utilizar la fórmula de la serie aritmética. S n = n ( a 1 + a n ) 2 S 8 = 8 ( 1 2 + 9 4 ) 2 = 11 Habrá caminado un total de 11 millas. Ejercicio Un hombre gana 100 dólares en la primera semana de junio. Cada semana gana 12,50 dólares más que la semana anterior. Después de 12 semanas, ¿cuánto ha ganado? $ 2.025 Usar la fórmula de la serie geométrica Así como la suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética, la suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica . Recordemos que una secuencia geométrica es una sucesión en la que la razón de dos términos consecutivos cualesquiera es la razón común , r . Podemos escribir la suma de los primeros n términos de una serie geométrica como S n = a 1 + r a 1 + r 2 a 1 + ... + r n – 1 a 1 . Al igual que con las series aritméticas, podemos hacer algunas manipulaciones algebraicas para obtener una fórmula para la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. Comenzaremos multiplicando ambos lados de la ecuación por r . r S n = r a 1 + r 2 a 1 + r 3 a 1 + ... + r n a 1 Luego, restamos esta ecuación de la ecuación original. S n = a 1 + r a 1 + r 2 a 1 + ... + r n – 1 a 1 - r S n = - ( r a 1 + r 2 a 1 + r 3 a 1 + ... + r n a 1 ) ( 1 - r ) S n = a 1 - r n a 1 Observe que al restar, se anulan todos los términos de la ecuación superior menos el primero y el último de la ecuación inferior. Para obtener una fórmula para S n , divida ambos lados entre ( 1 - r ) . S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r r ≠ 1 Fórmula de la suma de los primeros términos n de una serie aritmética. Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. La fórmula de la suma de los primeros n términos de una secuencia geométrica se representa como S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r r ≠ 1 Cómo Dada una serie geométrica, calcule la suma de los primeros n términos. Identifique a 1 , r , y n . Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula S n = a 1 ( 1 – r n ) 1 – r . Simplifique para hallar S n . Hallar los primeros n términos de una serie geométrica Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica. Ⓐ S 11 para la serie 8 + –4 + 2 + … Ⓑ ∑ ​ k = 1 6 3 ⋅ 2 k Ⓐ a 1 = 8 , y se nos da que n = 11. Podemos hallar r al dividir el segundo término de la serie entre el primero. r = – 4 8 = - 1 2 Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 11 = 8 ( 1 - ( - 1 2 ) 11 ) 1 - ( - 1 2 ) ≈ 5,336 Ⓑ Calcule a 1 sustituyendo k = 1 en la fórmula explícita dada. a 1 = 3 ⋅ 2 1 = 6 De la fórmula explícita dada podemos ver que r = 2. El límite superior de sumatoria es 6, por lo que n = 6. Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 6 = 6 ( 1 - 2 6 ) 1 - 2 = 378 Utilice la fórmula para calcular la suma parcial indicada de cada serie geométrica. Ejercicio S 20 para la serie 1.000 + 500 + 250 + … ≈ 2 , 000,00 Ejercicio ∑ k = 1 8 3 k 9.840 Resolver un problema de aplicación con una serie geométrica En un nuevo trabajo, el salario inicial de un empleado es de 26.750 dólares. Recibe un aumento anual del 1,6 %. Calcule sus ganancias totales al cabo de 5 años. El problema se puede representar mediante una serie geométrica con a 1 = 26.750 ; n = 5 ; y r = 1.016. Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula y simplifique para calcular la cantidad total ganada al cabo de 5 años. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r S 5 = 26.750 ( 1 − 1.016 5 ) 1 − 1.016 ≈ 138.099,03 Al cabo de 5 años habrá ganado un total de 138.099,03 dólares. Ejercicio En un nuevo trabajo, el salario inicial de una empleada es de 32.100 dólares. Recibe un aumento anual del 2 %. ¿Cuánto habrá ganado al cabo de 8 años? $ 275.513,31 Usar la fórmula de la suma de una serie geométrica infinita Hasta ahora, solo hemos examinado las series finitas. Sin embargo, a veces, nos interesa la suma de los términos de una secuencia infinita en vez de la suma de solo los primeros n . Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita. Un ejemplo de series infinitas es 2 + 4 + 6 + 8 + ... Esta serie también se puede escribir en notación de sumatoria como ∑ k = 1 ∞ 2 k , donde el límite superior de sumatoria es infinito. Como los términos no tienden a cero, la suma de la serie aumenta sin límite a medida que añadimos más términos. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita no está definida. Cuando la suma no es un número real, decimos que la serie diverge . Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida Si los términos de una secuencia geométrica infinita se acercan a 0, se puede definir la suma de una serie geométrica infinita. Los términos de esta serie se acercan a 0. 1 + 0,2 + 0,04 + 0,008 + 0,0016 + ... La razón común r = 0 ,2 . A medida que n se hace muy grande, los valores de r n se hacen muy pequeños y se acercan a 0. Cada término sucesivo afecta la suma menos que el término anterior. A medida que cada término sucesivo se acerca a 0, la suma de los términos se acerca a un valor finito. Los términos de cualquier serie geométrica infinita con − 1 < r < 1 se acercan a 0; la suma de una serie geométrica se define cuando − 1 < r < 1. Determinar si la suma de una serie geométrica infinita está definida La suma de una serie infinita está definida si la serie es geométrica y − 1 < r < 1. Cómo Dados los primeros términos de una serie infinita, determine si la suma de la serie existe. Calcule la razón entre el segundo término y el primero. Calcule la razón entre el tercer término y el segundo. Continúe este proceso para asegurarse de que la razón entre un término y el anterior es constante en todo momento. Si es así, la serie es geométrica. Si una razón común, r , se calculó en el paso 3, compruebe si − 1 < r < 1 . Si es así, la suma está definida. Si no es así, la suma no está definida. Determinar si la suma de una serie infinita está definida Determine si la suma de cada serie infinita está definida. Ⓐ 12 + 8 + 4 + … Ⓑ 3 4 + 1 2 + 1 3 + ... Ⓒ ∑ k = 1 ∞ 27 ⋅ ( 1 3 ) k Ⓓ ∑ k = 1 ∞ 5 k Ⓐ La razón entre el segundo término y el primero es 2 3 , que no es lo mismo que la razón entre el tercer término y el segundo, 1 2 . La serie no es geométrica. Ⓑ La razón entre el segundo término y el primero es la misma que la razón entre el tercer término y el segundo. La serie es geométrica con una razón común de 2 3 . La suma de la serie infinita está definida. Ⓒ La fórmula dada es exponencial con una base de 1 3 ; la serie es geométrica con una razón común de 1 3 . La suma de la serie infinita está definida. Ⓓ La fórmula dada no es exponencial; la serie no es geométrica porque los términos son crecientes, por lo que no puede producir una suma finita. Determine si la suma de la serie infinita está definida. Ejercicio 1 3 + 1 2 + 3 4 + 9 8 + ... La suma no está definida. Ejercicio 24 + ( −12 ) + 6 + ( −3 ) + ... La suma de las series infinitas está definida. Ejercicio ∑ k = 1 ∞ 15 ⋅ ( – 0,3 ) k La suma de la serie infinita está definida. Calcular sumas de series infinitas Cuando existe la suma de una serie geométrica infinita, podemos calcular la suma. La fórmula de la suma de una serie infinita está relacionada con la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r Examinaremos una serie infinita con r = 1 2 . ¿Qué pasa con r n a medida que n aumenta? ( 1 2 ) 2 = 1 4 ( 1 2 ) 3 = 1 8 ( 1 2 ) 4 = 1 16 El valor de r n disminuye rápidamente. ¿Qué ocurre para valores mayores de n ? ( 1 2 ) 10 = 1 1 , 024 ( 1 2 ) 20 = 1 1 , 048 , 576 ( 1 2 ) 30 = 1 1 , 073 , 741 , 824 A medida que n se hace muy grande, r n se hace muy pequeño. Decimos que, a medida que n aumenta sin límites, r n se acerca a 0. A medida que r n se acerca a 0, 1 - r n se acerca a 1. Cuando esto ocurre, el numerador se acerca a a 1 . Esto nos da una fórmula para la suma de una serie geométrica infinita. Fórmula de la suma de una serie geométrica infinita La fórmula de la suma de una serie geométrica infinita con −1 < r < 1 es S = a 1 1 - r Cómo Dada una serie geométrica infinita, calcule su suma. Identifique a 1 y r . Confirme que – 1 < r < 1. Sustituya los valores de a 1 y r en la fórmula, S = a 1 1 - r . Simplifique para hallar S . Calcular la suma de una serie geométrica infinita Calcule la suma, si existe, para lo siguiente: Ⓐ 10 + 9 + 8 + 7 + … Ⓑ 248,6 + 99,44 + 39,776 + … Ⓒ ∑ k = 1 ∞ 4 , 374 ⋅ ( – 1 3 ) k – 1 Ⓓ ∑ k = 1 ∞ 1 9 ⋅ ( 4 3 ) k Ⓐ No hay una razón constante; la serie no es geométrica. Ⓑ Hay una razón constante; la serie es geométrica. a 1 = 248,6 y r = 99,44 248,6 = 0,4 , por lo que la suma existe. Sustituya a 1 = 248,6 y r = 0,4 en la fórmula y simplifique para calcular la suma: S = a 1 1 - r S = 248,6 1 − 0,4 = 414, 3 ¯ Ⓒ La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica con r = – 1 3 . Halle a 1 sustituyendo k = 1 en la fórmula explícita dada: a 1 = 4 , 374 ⋅ ( – 1 3 ) 1 – 1 = 4 , 374 Sustituya a 1 = 4 , 374 y r = - 1 3 en la fórmula y simplifique para calcular la suma: S = a 1 1 - r S = 4 , 374 1 - ( - 1 3 ) = 3 , 280,5 Ⓓ La fórmula es exponencial, por lo que la serie es geométrica, pero r > 1. La suma no existe. Hallar una fracción equivalente para un decimal repetido Halle una fracción equivalente para el decimal repetido 0, 3 ¯ Nos fijamos en la repetición del decimal 0, 3 ¯ = 0,333... por lo que podemos reescribir el decimal repetido como una suma de términos. 0, 3 ¯ = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... Para identificar un patrón, reescribimos la suma y observamos que vemos el primer término multiplicado por 0,1 en el segundo término, y el segundo término multiplicado por 0,1 en el tercer término. Observe el patrón; multiplicamos cada término consecutivo por una razón común de 0,1 empezando por el primer término de 0,3. Así que, al sustituir en nuestra fórmula para una suma geométrica infinita, tenemos S n = a 1 1 - r = 0,3 1 − 0,1 = 0,3 0,9 = 1 3 . Calcule la suma, si existe. Ejercicio 2 + 2 3 + 2 9 + ... 3 Ejercicio ∑ k = 1 ∞ 0,76 k + 1 La serie no es geométrica. Ejercicio ∑ k = 1 ∞ ( - 3 8 ) k - 3 11 Solución para problemas de anualidades Al principio de la sección, vimos un problema en el que un padre invertía una cantidad fija de dinero cada mes en un fondo para la universidad durante seis años. Una anualidad es una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales. Para calcular el importe de una anualidad, tenemos que hallar la suma de todos los pagos y los intereses devengados. En el ejemplo, el padre invierte 50 dólares cada mes. Ese es el valor del depósito inicial. La cuenta pagaba el 6 % de interés anual calculado mensualmente. Para calcular el tipo de interés por periodo de pago, tenemos que dividir la tasa anual equivalente (TAE) del 6 % entre 12. Por lo tanto, la tasa de interés mensual es del 0,5 %. Podemos multiplicar la cantidad en la cuenta cada mes por el 100,5 % para calcular el valor de la cuenta una vez añadidos los intereses. Podemos calcular el valor de la anualidad justo después del último depósito utilizando una serie geométrica con a 1 = 50 y r = 100,5 % = 1,005. Después del primer depósito, el valor de la anualidad será de 50 dólares. Veamos si podemos determinar la cantidad del fondo universitario y los intereses obtenidos. Podemos calcular el valor de la anualidad después de n depósitos mediante la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica. En 6 años hay 72 meses, así que n = 72. Podemos sustituir a 1 = 50 , r = 1,005 , y n = 72 en la fórmula y simplificar para calcular el valor de la anualidad después de 6 años. S 72 = 50 ( 1 − 1,005 72 ) 1 − 1,005 ≈ 4.320,44 Después del último depósito, el padre tendrá un total de 4.320,44 dólares en la cuenta. Nótese que el padre hizo 72 pagos de 50 dólares cada uno por un total de 72(50) = $3.600 . Esto significa que, gracias a la anualidad, el padre ganó 720,44 dólares de intereses en su fondo universitario. Cómo Dado un depósito inicial y una tasa de interés, calcule el valor de una anualidad. Determine a 1 , el valor del depósito inicial. Determine n , el número de depósitos. Determine r . Divida la tasa de interés anual entre el número de veces al año que se componen los intereses. Sume 1 a esta cantidad para hallar r . Sustituya los valores de a 1 , r , y n en la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica, S n = a 1 ( 1 – r n ) 1 – r . Simplifique para hallar S n , el valor de la anualidad después de n depósitos. Resolver un problema de anualidades Al principio de cada mes se depositan 100 dólares en un fondo universitario durante 10 años. El fondo gana el 9 % de interés anual calculado mensualmente y se paga a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta justo después del último depósito? El valor del depósito inicial es de 100 dólares, por lo que a 1 = 100. En total se realizan 120 depósitos mensuales durante los 10 años, por lo que n = 120. Para hallar r , divida la tasa de interés anual entre 12 para calcular la tasa de interés mensual y añada 1 para representar el nuevo depósito mensual. r = 1 + 0,09 12 = 1,0075 Sustituya a 1 = 100 , r = 1,0075 , y n = 120 en la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica y simplifique para calcular el valor de la anualidad. S 120 = 100 ( 1 − 1,0075 120 ) 1 − 1,0075 ≈ 19.351,43 Por lo que la cuenta tiene 19.351,43 dólares después de hacer el último depósito. Ejercicio Al principio de cada mes, se depositan 200 dólares en un fondo de jubilación. El fondo gana un interés anual del 6 % calculado mensualmente y se ingresa en la cuenta a final de mes. ¿Cuánto hay en la cuenta si se hacen depósitos durante 10 años? $ 32.775,87 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las series. Serie aritmética Serie geométrica Notación de sumatoria Ecuaciones clave suma de los primeros n términos de una serie aritmética S n = n ( a 1 + a n ) 2 suma de los primeros n términos de una serie geométrica S n = a 1 ( 1 - r n ) 1 - r , r ≠ 1 suma de una serie geométrica infinita con – 1 < r < 1 S n = a 1 1 - r , r ≠ 1 Conceptos clave La suma de los términos de una secuencia se llama serie. Una notación común para las series es la llamada notación de sumatoria, que utiliza la letra griega sigma para representar la suma. Vea el . La suma de los términos de una secuencia aritmética se llama serie aritmética. La suma de los primeros n términos de una serie aritmética se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el . La suma de los términos de una secuencia geométrica se llama serie geométrica. La suma de los primeros n términos de una serie geométrica se puede calcular utilizando una fórmula. Vea el y el . La suma de una serie infinita existe si la serie es geométrica con -1 < r < 1. Si la suma de una serie infinita existe, se puede calcular mediante una fórmula. Vea el , el y el . Una anualidad es una cuenta en la que el inversor realiza una serie de pagos periódicos. El valor de una anualidad se puede calcular mediante series geométricas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es una suma parcial a la n enésimo ? Una suma parcial a la n enésimo es la suma de los primeros n de una secuencia. ¿Cuál es la diferencia entre una secuencia aritmética y una serie aritmética? ¿Qué es una serie geométrica? Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. ¿En qué se diferencia calcular la suma de una serie geométrica infinita de calcular la suma parcial a la n enésimo ? ¿Qué es una anualidad? Una anualidad es una serie de pagos regulares iguales que ganan un interés compuesto constante. Algebraicos En los siguientes ejercicios, exprese cada descripción de una suma mediante notación de sumatoria. La suma de términos m 2 + 3 m a partir de m = 1 con m = 5 La suma de n = 0 a n = 4 de 5 n ∑ n = 0 4 5 n La suma de 6 k − 5 a partir de k = - 2 con k = 1 La suma que resulta de sumar el número 4 cinco veces ∑ k = 1 5 4 En los siguientes ejercicios, exprese cada suma aritmética mediante notación de sumatoria. 5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 10 + 18 + 26 + … + 162 ∑ k = 1 20 8 k + 2 1 2 + 1 + 3 2 + 2 + … + 4 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de cada secuencia aritmética. 3 2 + 2 + 5 2 + 3 + 7 2 S 5 = 5 ( 3 2 + 7 2 ) 2 19 + 25 + 31 + … + 73 3,2 + 3,4 + 3,6 + … + 5,6 S 13 = 13 ( 3,2 + 5,6 ) 2 En los siguientes ejercicios, exprese cada suma geométrica mediante notación de sumatoria. 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 + 2187 8 + 4 + 2 + … + 0,125 ∑ k = 1 7 8 ⋅ 0,5 k - 1 - 1 6 + 1 12 − 1 24 + … + 1 768 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de cada secuencia geométrica y luego enuncie la suma indicada. 9 + 3 + 1 + 1 3 + 1 9 S 5 = 9 ( 1 - ( 1 3 ) 5 ) 1 - 1 3 = 121 9 ≈ 13,44 ∑ n = 1 9 5 ⋅ 2 n – 1 ∑ a = 1 11 64 ⋅ 0,2 a - 1 S 11 = 64 ( 1 − 0,2 11 ) 1 − 0,2 = 781 , 249 , 984 9 , 765 , 625 ≈ 80 En los siguientes ejercicios, determine si la serie infinita tiene una suma. Si es así, escriba la fórmula de la suma. Si no es así, indique el motivo. 12 + 18 + 24 + 30 + ... 2 + 1,6 + 1,28 + 1,024 + ... La serie está definida. S = 2 1 - 0,8 ∑ m = 1 ∞ 4 m - 1 ∑ ​ ∞ k = 1 - ( - 1 2 ) k - 1 La serie está definida. S = - 1 1 - ( - 1 2 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el siguiente escenario. Javier hace depósitos mensuales en una cuenta de ahorros. Abrió la cuenta con un depósito inicial de 50 dólares. A partir de entonces, cada mes aumentó en 20 dólares la cantidad del depósito anterior. Grafique la secuencia aritmética que muestra un año de depósitos de Javier. Grafique la serie aritmética que muestra las sumas mensuales de un año de los depósitos de Javier. En los siguientes ejercicios, utilice la serie geométrica ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 ) k . Grafique las 7 primeras sumas parciales de la serie. ¿A qué número S n parece acercarse en el gráfico? Calcule la suma para explicar por qué esto tiene sentido. Ejemplo de respuesta: El gráfico de S n parece acercarse al 1. Esto tiene sentido porque ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 ) k es una serie geométrica infinita definida con S = 1 2 1 – ( 1 2 ) = 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, calcule la suma indicada. ∑ a = 1 14 a ∑ n = 1 6 n ( n – 2 ) 49 ∑ k = 1 17 k 2 ∑ k = 1 7 2 k 254 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética para calcular la suma. − 1,7 + − 0,4 + 0,9 + 2,2 + 3,5 + 4,8 6 + 15 2 + 9 + 21 2 + 12 + 27 2 + 15 S 7 = 147 2 - 1 + 3 + 7 + ... + 31 ∑ k = 1 11 ( k 2 – 1 2 ) S 11 = 55 2 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular la suma parcial. S 6 para la serie − 2 - 10 − 50 − 250 S 7 para la serie 0,4 − 2 + 10 − 50... S 7 = 5208,4 ∑ k = 1 9 2 k - 1 ∑ n = 1 10 - 2 ⋅ ( 1 2 ) n – 1 S 10 = − 1.023 256 En los siguientes ejercicios, calcule la suma de las series geométricas infinitas. 4 + 2 + 1 + 1 2 ... - 1 - 1 4 - 1 16 − 1 64 ... S = – 4 3 ∑ ​ ∞ k = 1 3 ⋅ ( 1 4 ) k - 1 ∑ n = 1 ∞ 4,6 ⋅ 0,5 n – 1 S = 9,2 En los siguientes ejercicios, determine el valor de la anualidad para la cantidad indicada del depósito mensual, el número de depósitos y la tasa de interés. Cantidad del depósito: $ 50 ; depósitos totales: 60 ; tasa de interés: 5 % , calculado mensualmente Cantidad del depósito: $ 150 ; depósitos totales: 24 ; tasa de interés: 3 % , calculado mensualmente $ 3.705,42 Cantidad del depósito: $ 450 ; depósitos totales: 60 ; tasa de interés: 4,5 % , calculado trimestralmente Cantidad del depósito: $ 100 ; depósitos totales: 120 ; tasa de interés: 10 % , calculado semestralmente $ 695.823,97 Extensiones La suma de términos 50 − k 2 a partir de k = x hasta 7 es 115. ¿Qué es x ? Escriba una fórmula explícita para a k de forma que ∑ k = 0 6 a k = 189. Supongamos que se trata de una serie aritmética. a k = 30 − k Calcule el menor valor de n de forma que ∑ k = 1 n ( 3 k – 5 ) > 100. ¿Cuántos términos hay que añadir para que la serie − 1 - 3 - 5 − 7 .... tenga una suma inferior a − 75 ? 9 términos Escriba 0, 65 ¯ como una serie geométrica infinita utilizando la notación de sumatoria. Luego, utilice la fórmula para calcular la suma de una serie geométrica infinita para convertir 0, 65 ¯ a una fracción. La suma de una serie geométrica infinita es cinco veces el valor del primer término. ¿Cuál es la razón común de la serie? r = 4 5 Para conseguir los mejores tipos de préstamo disponibles, la familia Coleman quiere ahorrar suficiente dinero para dar un 20 % de inicial para una casa de 160.000 dólares. Planean hacer depósitos mensuales de 125 dólares en una cuenta de inversión que ofrece un 8,5 % de interés anual calculado semestralmente. ¿Tendrán los Coleman lo suficiente para un 20 % de pago inicial después de cinco años de ahorro? ¿Cuánto dinero habrán ahorrado? Karl tiene dos años para ahorrar $ 10 . 000 para comprar un auto usado cuando se gradúe. Al dólar más cercano, ¿de cuánto tendrían que ser sus depósitos mensuales si invierte en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 4,2 % que se calcula mensualmente? 400 dólares al mes Aplicaciones en el mundo real Keisha ideó un plan de estudio de una semana para prepararse para los finales. El primer día, tiene previsto estudiar durante 1 hora, y cada día sucesivo aumentará su tiempo de estudio en 30 minutos. ¿Cuántas horas habrá estudiado Keisha después de una semana? Una roca rodó por una montaña y se movió 6 pies en el primer segundo. Cada segundo sucesivo su distancia aumentaba en 8 pies. ¿Qué distancia recorrió la roca después de 10 segundos? 420 pies Un científico coloca 50 células en una placa de Petri. Cada hora la población aumenta un 1,5 % . ¿Cuál será el recuento de células después de 1 día? Un péndulo recorre una distancia de 3 pies en su primera oscilación. En cada oscilación sucesiva recorre 3 4 de la distancia de la oscilación anterior. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el péndulo cuando deja de oscilar? 12 pies Rachael deposita cada año 1.500 dólares en un fondo de pensiones. El fondo gana el 8,2 % de interés anual calculado mensualmente. Si abrió su cuenta a los 19 años, ¿cuánto tendrá a los 55? ¿Qué parte de esa cantidad serán los intereses ganados? anualidad una inversión en la que el comprador realiza una secuencia de pagos periódicos e iguales serie aritmética la suma de los términos de una secuencia aritmética divergir se dice que una serie diverge si la suma no es un número real serie geométrica la suma de los términos de una secuencia geométrica índice de sumatoria en notación de sumatoria, la variable utilizada en la fórmula explícita de los términos de una serie y escrita debajo del sigma con el límite inferior de la sumatoria serie infinita la suma de los términos de una secuencia infinita límite inferior de sumatoria el número utilizado en la fórmula explícita para calcular el primer término de una serie suma parcial a la n la suma de los primeros n términos de una secuencia serie la suma de los términos de una secuencia notación de sumatoria una notación para series que utiliza la letra griega sigma; incluye una fórmula explícita y especifica el primer y el último término de la serie límite superior de sumatoria el número utilizado en la fórmula explícita para calcular el último término de una serie", "section": "Series y sus notaciones", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Principios de conteo Objetivos de aprendizaje Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. Objetivo 1: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. En la teoría de la probabilidad, el resultado es un posible resultado de un experimento o prueba. En la teoría de la probabilidad, un evento es un conjunto de resultados de un experimento. Los eventos inconexos no pueden ocurrir al mismo tiempo. En otras palabras, son mutuamente excluyentes . El principio de adición El principio de adición establece que si un evento puede ocurrir de A maneras (A resultados) y un segundo evento puede ocurrir de B maneras (B resultados) y ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo (A y B inconexos), entonces hay A + B maneras (A + B resultados) para que ocurra el primer evento o el segundo. El principio de adición se aplica cuando hacemos una sola selección . Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Ⓐ Se colocan siete canicas rojas y cinco verdes en una bolsa. ¿Cuántas canicas hay para elegir? Ⓑ Supongamos que el conjunto A = {-5,-3,-1,2,3,4,5,6}. ¿De cuántas maneras se puede elegir un número negativo o par de A? Ⓒ Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre 2 computadoras de escritorio y 3 portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora? Ⓐ Hay 7 formas de escoger una canica roja y 5 formas de escoger una canica verde, y no podemos escoger una roja y una verde al mismo tiempo. Por lo tanto, hay 7 + 5 = 12 maneras de escoger una canica. Ⓑ Hay 3 números negativos en A y 3 números pares en A y los números pares no son negativos. Por lo tanto, hay 3 + 3 = 6 maneras de elegir un número negativo o un número par de A. Ⓒ Hay 2 opciones para una computadora de escritorio y 3 para un portátil, y el estudiante busca comprar una computadora. Por lo tanto, no puede elegir ambas. Teniendo en cuenta lo anterior, hay 2 + 3 = 5 opciones totales de computadora. La práctica hace la perfección Resolver problemas de conteo utilizando el principio de adición. Se colocan diez canicas rojas y seis verdes en una bolsa. ¿Cuántas canicas hay para elegir? Supongamos que el conjunto A = {-5,-3,-1,2,3,4,5,6}. ¿Cuántas maneras hay de elegir un número positivo o impar de A? Un niño está decidiendo la merienda para la tarde. Está decidiendo entre 5 papas fritas diferentes, 3 frutas diferentes y 2 vegetales diferentes. ¿Cuál es el número total de opciones de merienda? Objetivo 2: Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. El principio de multiplicación El principio de multiplicación establece que si un evento puede ocurrir de A maneras (A resultados) y un segundo evento puede ocurrir de B maneras (B resultados) después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en A ⋅ B maneras. Esto también se conoce como el principio fundamental de conteo. El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección . Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. Ⓐ Diane empacó 2 faldas, 3 blusas y 2 suéteres para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada conjunto y decidir si se pone el suéter. Utilice el principio de multiplicación para hallar el número total de conjuntos posibles. Ⓑ Un restaurante ofrece un especial de almuerzo que incluye una entrada, un plato principal y una bebida. Hay 3 tipos de entradas, 4 opciones de platos principales y 5 opciones de bebidas. Halle el número total de especiales para el almuerzo posibles. Ⓒ El próximo semestre usted va a tomar una clase de Ciencias, una de Matemáticas, una de Historia y una de Inglés. Según el horario tiene 4 clases diferentes de ciencias, 3 clases diferentes de matemáticas, 2 clases diferentes de historia y 3 clases diferentes de inglés para elegir. Suponiendo que no haya conflictos de horario, ¿cuántas selecciones diferentes de cuatro cursos puede hacer? Ⓓ ¿Cuántas placas formadas por 2 letras seguidas de 4 dígitos son posibles? Ⓐ Hay 2 resultados para las faldas, 3 resultados para las blusas y 2 resultados para los suéteres. Entonces, el número total de conjuntos posibles es: 2 ⏟ · 3 ⏟ · 2 ⏟ = 12 Faldas Blusas Suéteres Ⓑ Hay 3 resultados para las entradas, 4 resultados para el plato principal y 5 resultados para las bebidas. El número total de especiales para el almuerzo es: 3 ⏟ · 4 ⏟ · 5 ⏟ = 60 Entradas Plato principal Bebidas Ⓒ Hay 4 resultados para la clase de Ciencias, 3 resultados para la clase de Matemáticas, 2 resultados para la clase de Historia y 3 resultados para la clase de Inglés. El número total de selecciones de las 4 asignaturas es: 4 ⏟ · 3 ⏟ · 2 ⏟ · 3 ⏟ = 72 Ciencias Matemáticas Inglés Historia Ⓓ Hay 26 resultados para la 1.ª letra, 26 resultados para la segunda letra, 10 resultados para el primer dígito, 10 resultados para el segundo dígito, 10 resultados para el tercer dígito y 10 resultados para el 4.º dígito. El número de placas es: 26 ⏟ · 26 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ · 10 ⏟ = 6 , 760 , 000 1 .ª letra 2 .ª letra 1 er dígito 2 .º dígito 3 er dígito 4 .º dígito La práctica hace la perfección Resolver problemas de conteo utilizando el principio de multiplicación. ¿Cuántas cadenas de dos letras, la primera letra del conjunto A y la segunda del conjunto B, se pueden formar a partir de los conjuntos A = {b, c, d} y B = {a, e, i, o, u}? Si tiene tres tipos de carne para hacer un sándwich (pavo, rosbif y jamón) y dos tipos de pan (de trigo y de centeno), ¿cuántos sándwiches diferentes con un solo tipo de carne se pueden hacer? El próximo semestre usted va a tomar una clase de Ciencias, una de Matemáticas, una de Historia y una de Inglés. Según el horario tiene 4 clases diferentes de ciencias, 3 clases diferentes de matemáticas, 2 clases diferentes de historia y 3 clases diferentes de inglés para elegir. Suponiendo que no haya conflictos de horario, ¿cuántas selecciones diferentes de cuatro cursos puede hacer? En Missouri, las placas tienen 3 letras y 3 números. ¿Cuántas placas formadas por 3 letras seguidas de 3 dígitos son posibles? Una nueva compañía vende fundas personalizables para tabletas y teléfonos inteligentes. Cada funda está disponible en varios colores y se puede personalizar por un precio adicional con imágenes o un monograma. El cliente puede elegir no personalizar o puede elegir una, dos o tres imágenes o un monograma. El cliente puede elegir el orden de las imágenes y las letras del monograma. La compañía está trabajando con una agencia para desarrollar una campaña de marketing centrada en el gran número de opciones que ofrecen. ¡Contar las posibilidades es un reto! Todos los días nos encontramos con una gran variedad de problemas de conteo. Existe una rama de las matemáticas dedicada al estudio de problemas de conteo como este. Otras aplicaciones del conteo son las contraseñas seguras, los resultados de las carreras de caballos y la elección de los horarios de las universidades. En esta sección examinaremos este tipo de matemáticas. Utilizar el principio de adición La compañía que vende fundas personalizables ofrece fundas para tabletas y teléfonos inteligentes. Hay 3 modelos de tabletas y 5 de teléfonos inteligentes compatibles. El principio de adición nos dice que podemos sumar el número de opciones de la tableta al número de opciones del teléfono inteligente para hallar el número total de opciones. Por el principio de adición, hay 8 opciones en total, como podemos ver en la . El principio de adición Según el principio de adición , si un evento puede ocurrir de m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras. Utilizar el principio de adición En el menú de la cena hay 2 opciones de plato principal vegetariano y 5 de carne. ¿Cuál es el número total de opciones de plato principal? Podemos sumar el número de opciones vegetarianas al número de opciones de carne para hallar el número total de opciones de platos principales. Hay 7 opciones en total. Ejercicio Un estudiante está comprando una computadora nueva. Está decidiendo entre 3 computadoras de escritorio y 4 portátiles. ¿Cuál es el número total de opciones de computadora? 7 Utilización del principio de multiplicación El principio de multiplicación se aplica cuando hacemos más de una selección. Supongamos que elegimos una entrada, un plato principal y un postre. Si hay 2 opciones de entradas, 3 opciones de plato principal y 2 opciones de postre en un menú de cena de precio fijo, hay un total de 12 opciones posibles de cada una, como se muestra en el diagrama de árbol en la . Las opciones posibles son: sopa, pollo, pastel sopa, pollo, pudín sopa, pescado, pastel sopa, pescado, pudín sopa, filete, pastel sopa, filete, pudín ensalada, pollo, pastel ensalada, pollo, pudín ensalada, pescado, pastel ensalada, pescado, pudín ensalada, filete, pastel ensalada, filete, pudín También podemos hallar el número total de cenas posibles mediante la multiplicación. También podríamos llegar a la conclusión de que hay 12 posibles opciones de cena simplemente aplicando el principio de multiplicación. N.º de de opciones de entradas × N.º de de opciones de platos principales × N.º de de opciones de postres 2 × 3 × 2 = 12 El principio de multiplicación Según el principio de multiplicación , si un evento puede ocurrir de m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras. Esto también se conoce como el principio fundamental de conteo . Utilización del principio de multiplicación Diane empacó 2 faldas, 4 blusas y un suéter para su viaje de negocios. Tendrá que elegir una falda y una blusa para cada conjunto y decidir si se pone el suéter. Utilice el principio de multiplicación para hallar el número total de conjuntos posibles. Para hallar el número total de conjuntos, calcule el producto del número de opciones de falda, el número de opciones de blusa y el número de opciones de suéter. Hay 16 conjuntos posibles. Ejercicio Un restaurante ofrece un desayuno especial que incluye un sándwich de desayuno, una guarnición y una bebida. Hay 3 tipos de sándwiches de desayuno, 4 opciones de guarniciones y 5 opciones de bebidas. Calcule el número total de desayunos especiales posibles. Hay 60 desayunos especiales posibles. Calcular el número de permutaciones de n objetos distintos El principio de multiplicación se puede usar para resolver diversos tipos de problemas. Un tipo de problema consiste en colocar objetos en orden. Ordenamos las letras en palabras y los dígitos en números, nos alineamos para las fotografías, decoramos las habitaciones y mucho más. Ordenar los objetos se llama una permutación . Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante el principio de multiplicación Para resolver problemas de permutación, suele ser útil dibujar segmentos de línea para cada opción. Eso nos permite determinar el número de cada opción para poder multiplicar. Por ejemplo, supongamos que tenemos cuatro cuadros y queremos hallar el número de maneras en que podemos colgar tres de los cuadros en orden en la pared. Podemos dibujar tres líneas para representar los tres lugares de la pared. Hay cuatro opciones para el primer lugar, así que escribimos un 4 en la primera línea. Una vez ocupado el primer lugar, hay tres opciones para el segundo lugar, así que escribimos un 3 en la segunda línea. Una vez ocupado el segundo lugar, hay dos opciones para el tercer lugar, así que escribimos un 2 en la tercera línea. Por último, calculamos el producto. Hay 24 permutaciones posibles de los cuadros. Cómo Dadas. n opciones distintas, determine cuántas permutaciones hay. Determine cuántas opciones hay para la primera situación. Determine cuántas opciones quedan para la segunda situación. Continúe hasta que todos los espacios estén llenos. Multiplique los números juntos. Hallar el número de permutaciones mediante el principio de multiplicación En una competencia de natación, nueve nadadores participan en una carrera. Ⓐ ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero? Ⓑ ¿De cuántas maneras se pueden ubicar de primero, segundo y tercero si un nadador llamado Ariel gana el primer puesto? (Supongamos que solo hay un participante llamado Ariel). Ⓒ ¿De cuántas maneras se pueden alinear los nueve nadadores para una foto? Ⓐ Dibuje líneas para cada lugar. Hay 9 opciones para el primer lugar. Una vez que alguien ha ganado el primer lugar, hay 8 opciones restantes para el segundo lugar. Una vez ganados el primer y el segundo puesto, quedan 7 opciones para el tercer lugar. Multiplique para hallar que hay 504 maneras en que los nadadores se pueden ubicar. Ⓑ Dibuje líneas para describir cada lugar. Sabemos que Ariel debe ganar el primer lugar, así que solo hay 1 opción para el primer lugar. Quedan 8 opciones para el segundo puesto y 7 para el tercero. Multiplique para hallar que hay 56 maneras en que los nadadores se pueden ubicar si Ariel gana el primer lugar. Ⓒ Dibuje líneas para describir cada lugar de la foto. Hay 9 opciones para el primer lugar, luego 8 para el segundo, 7 para el tercero, 6 para el cuarto, y así sucesivamente hasta que solo quede 1 persona para el último puesto. Hay 362.880 permutaciones posibles para que los nadadores se alineen. Análisis Observe que en la parte c, hallaremos que hay 9! maneras de que 9 personas se alineen. El número de permutaciones de n objetos distintos siempre puede ser calculado por n ! . Una familia de cinco personas se está retratando. Utilice el principio de multiplicación para hallar lo siguiente. Ejercicio ¿De cuántas maneras puede alinearse la familia para el retrato? 120 Ejercicio ¿De cuántas maneras el fotógrafo puede alinear a 3 miembros de la familia? 60 Ejercicio ¿De cuántas maneras se puede alinear la familia para el retrato si los padres deben situarse en cada extremo? 12 Hallar el número de permutaciones de n objetos distintos mediante una fórmula Para algunos problemas de permutación es inconveniente utilizar el principio de multiplicación porque hay muchos números que multiplicar. Afortunadamente, podemos resolver estos problemas mediante una fórmula. Antes de aprender la fórmula, veamos dos notaciones comunes para las permutaciones. Si tenemos un conjunto de n objetos y queremos elegir r objetos del conjunto en orden, escribimos P ( n , r ) . Otra forma de escribir esto es n P r , una notación comúnmente vista en computadoras y calculadoras. Para calcular P ( n , r ) , comenzamos por hallar n ! , el número de maneras de alinear todos los n objetos. A continuación, dividimos entre ( n – r ) ! para anular los elementos ( n – r ) que no deseamos alinear. Veamos cómo funciona con un ejemplo sencillo. Imagine un club de seis personas. Tienen que elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero. Seis personas pueden ser elegidas presidente, cualquiera de las cinco restantes puede ser elegida vicepresidente y cualquiera de las cuatro restantes podría ser elegida tesorero. El número de maneras en que esto se puede hacer es 6 × 5 × 4 = 120. Utilizando los factoriales, obtenemos el mismo resultado. 6 ! 3 ! = 6 · 5 · 4 · 3 ! 3 ! = 6 · 5 · 4 = 120 Hay 120 maneras de seleccionar 3 ejecutivos en orden de un club con 6 miembros. Nos referimos a esto como una permutación de 6 tomada de 3 en 3. La fórmula general es la siguiente. P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! Observe que la fórmula sigue funcionando si elegimos todos los n objetos y los colocamos en orden. En ese caso estaríamos dividiendo entre ( n - n ) ! o 0 ! , que dijimos antes es igual a 1. Por lo tanto, el número de permutaciones de n objetos tomados n a la vez es n ! 1 o simplemente n ! . Fórmula para permutaciones de n objetos distintos Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto en orden es P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! Cómo Dado un problema de palabras, evalúe las posibles permutaciones. Identifique n a partir de la información dada. Identifique r a partir de la información dada. Sustituya n y r en la fórmula con los valores dados. Evalúe. Calcular el número de permutaciones mediante la fórmula Una profesora está creando un examen de 9 preguntas a partir de un banco de pruebas de 12 preguntas. ¿De cuántas maneras puede seleccionar y ordenar las preguntas? Sustituya n = 12 y r = 9 en la fórmula de permutación y simplifique. P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! P ( 12 , 9 ) = 12 ! ( 12 − 9 ) ! = 12 ! 3 ! = 79.833.600 ¡Hay 79.833.600 permutaciones posibles de preguntas de examen! Análisis También podemos utilizar una calculadora para hallar permutaciones. Para este problema, introducimos 12, pulsamos la función n P r , introducimos 9 y luego pulsamos el signo de igual. La función n P r se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podríamos resolver el utilizando el principio de multiplicación? Sí. Podríamos multiplicar 1 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 0 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 para hallar la misma respuesta . Una obra de teatro tiene un elenco de 7 actores que se preparan para subir el telón. Use la fórmula de permutación para calcular lo siguiente. Ejercicio ¿De cuántas maneras se pueden alinear los 7 actores? P ( 7 , 7 ) = 5 , 040 Ejercicio ¿De cuántas maneras se puede elegir la alineación de 5 de los 7 actores? P ( 7 , 5 ) = 2 , 520 Calcular el número de combinaciones mediante la fórmula Hasta ahora, hemos visto problemas que nos piden que pongamos los objetos en orden. Hay muchos problemas en los que queremos seleccionar algunos objetos de un grupo de objetos, pero no nos importa el orden. Cuando estamos seleccionando objetos y el orden no importa, estamos tratando con combinaciones . Una selección de r objetos de un conjunto de n objetos en los que no importa el orden se puede escribir como C ( n , r ) . Al igual que con las permutaciones, C ( n , r ) también puede escribirse como n C r . En este caso, la fórmula general es la siguiente. C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! En un problema anterior se trataba de elegir 3 de 4 cuadros posibles para colgar en una pared. Hallamos que había 24 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros en orden. Pero, ¿y si no nos importa el orden? Esperaríamos un número menor porque seleccionar los cuadros 1, 2, 3 sería lo mismo que seleccionar los cuadros 2, 3, 1. Para hallar el número de maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros, sin tener en cuenta el orden, divida el número de permutaciones entre el número de maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 3 ! = 3 · 2 · 1 = 6 maneras de ordenar 3 cuadros. Hay 24 6 , o 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Este número tiene sentido porque cada vez que seleccionamos 3 cuadros, no estamos seleccionando 1 cuadro. Hay 4 cuadros que podríamos elegir no seleccionar, por lo que hay 4 maneras de seleccionar 3 de los 4 cuadros. Fórmula para combinaciones de n objetos distintos Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto es C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! Cómo Dado un número de opciones, determine el número posible de combinaciones. Identifique n a partir de la información dada. Identifique r a partir de la información dada. Sustituya n y r en la fórmula con los valores dados. Evalúe. Calcular el número de combinaciones utilizando la fórmula Un restaurante de comida rápida ofrece cinco opciones de guarniciones. Su comida viene con dos guarniciones. Ⓐ ¿De cuántas maneras puede seleccionar sus guarniciones? Ⓑ ¿De cuántas maneras puede seleccionar 3 guarniciones? Ⓐ Queremos elegir 2 guarniciones de entre 5 opciones. C ( 5 , 2 ) = 5 ! 2 ! ( 5 - 2 ) ! = 10 Ⓑ Queremos elegir 3 guarniciones de entre 5 opciones. C ( 5 , 3 ) = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! = 10 Análisis También podemos utilizar una calculadora gráfica para hallar combinaciones. Introduzca 5 y presione n C r , introduzca 3 y luego presione el signo de igual. La función n C r , se encuentra en el menú MATH con los comandos de probabilidad. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es una coincidencia que las partes (a) y (b) del tengan las mismas respuestas? No. Cuando elegimos r objetos entre n objetos, no estamos eligiendo ( n – r ) objetos. Por lo tanto, C ( n , r ) = C ( n , n – r ) . Ejercicio Una heladería ofrece 10 sabores de helado. ¿De cuántas maneras se pueden elegir 3 sabores para un banana split? C ( 10 , 3 ) = 120 Hallar el número de subconjuntos de un conjunto Solo hemos visto problemas de combinación en los que elegimos exactamente r objetos. En algunos problemas, queremos considerar la elección de todos los números posibles de objetos. Pensemos, por ejemplo, en una pizzería que ofrece 5 ingredientes. Se puede pedir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántas pizzas diferentes son posibles? Para responder esta pregunta tenemos que considerar las pizzas con cualquier número de ingredientes. Hay C ( 5 , 0 ) = 1 maneras de pedir una pizza sin ingredientes. Hay C ( 5 , 1 ) = 5 maneras de pedir una pizza con exactamente un ingrediente. Si continuamos este proceso, obtenemos C ( 5 , 0 ) + C ( 5 , 1 ) + C ( 5 , 2 ) + C ( 5 , 3 ) + C ( 5 , 4 ) + C ( 5 , 5 ) = 32 Hay 32 pizzas posibles. Este resultado es igual a 2 5 . Se nos presenta una secuencia de opciones. Para cada uno de los n objetos tenemos dos opciones: incluirlo en el subconjunto o no. Así que para todo el subconjunto hemos hecho n elecciones, cada una con dos opciones. Así que hay un total de 2 · 2 · 2 · … · 2 posibles subconjuntos resultantes, desde el subconjunto vacío, que obtenemos al decir \"no\" cada vez, hasta el propio conjunto original, que obtenemos al decir \"sí\" cada vez. Fórmula del número de subconjuntos de un conjunto Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene 2 n subconjuntos. Hallar el número de subconjuntos de un conjunto Un restaurante ofrece mantequilla, queso, cebolla de verdeo y crema agria como aderezos para una papa al horno. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pedir una papa? Buscamos el número de subconjuntos de un conjunto con 4 objetos. Sustituya n = 4 en la fórmula. 2 n = 2 4 = 16 Hay 16 maneras posibles de pedir una papa. Ejercicio Una barra de helados en una boda tiene 6 ingredientes para elegir. Se puede elegir cualquier número de ingredientes. ¿Cuántos helados diferentes son posibles? 64 helados Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Hemos estudiado permutaciones en las que todos los objetos implicados eran distintos. ¿Qué ocurre si algunos de los objetos no son diferentes? Por ejemplo, supongamos que hay una hoja de 12 pegatinas. Si todas las pegatinas fueran distintas, habría 12 ! maneras de ordenarlas. Sin embargo, 4 de las pegatinas son estrellas idénticas y 3 son lunas idénticas. Debido a que todos los objetos no son diferentes, muchas de las 12 ! permutaciones que hemos contado son duplicados. La fórmula general para esta situación es la siguiente. n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! En este ejemplo, tenemos que dividir entre el número de maneras de ordenar las 4 estrellas y las maneras de ordenar las 3 lunas para hallar el número de permutaciones únicas de las pegatinas. Hay 4 ! maneras de ordenar las estrellas y 3 ! maneras de ordenar las lunas. 12 ! 4 ! 3 ! = 3.326.400 Hay 3.326.400 maneras de ordenar la hoja de pegatinas. Fórmula para hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Si hay n elementos de un conjunto y r 1 son iguales, r 2 son iguales, r 3 son iguales, y así hasta r k , el número de permutaciones se puede calcular mediante n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! Hallar el número de permutaciones de n objetos no distintos Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra DISTINCT. Hay 8 letras. Tanto I como T se repiten 2 veces. Sustituya n = 8 , r 1 = 2 , y r 2 = 2 en la fórmula. 8 ! 2 ! 2 ! = 10.080 Hay 10.080 organizaciones. Ejercicio Calcule el número de reorganizaciones de las letras de la palabra CARRIER. 840 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar combinaciones y permutaciones. Combinaciones Permutaciones Ecuaciones clave número de permutaciones de n objetos distintos tomados r a la vez P ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! número de combinaciones de n objetos distintos tomados r a la vez C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! número de permutaciones de n objetos no distintos n ! r 1 ! r 2 ! … r k ! Conceptos clave Si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras. Vea el . Si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras. Vea el . Una permutación es una ordenación de n objetos. Si tenemos un conjunto de n objetos y queremos elegir r objetos del conjunto en orden, escribimos P ( n , r ) . Los problemas de permutación se pueden resolver utilizando el principio de multiplicación o la fórmula de P ( n , r ) . Vea el y el . Una selección de objetos cuyo orden no importa es una combinación. Dados n objetos distintos, el número de maneras de seleccionar r objetos del conjunto es C ( n , r ) y se puede calcular mediante una fórmula. Vea el . Un conjunto que contiene n objetos distintos tiene 2 n subconjuntos. Vea el . Para los problemas de conteo que implican objetos no distintos, necesitamos dividir para evitar contar permutaciones duplicadas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En los siguientes ejercicios, suponga que hay n maneras en las que un evento A puede ocurrir, m maneras en las que un evento B puede ocurrir, y que A y B no se superponen. Utilice el principio de adición del conteo para explicar de cuántas maneras el evento A o B pueden ocurrir. Hay m + n maneras para que ocurra tanto el evento A como el evento B . Utilice el principio de multiplicación de conteo para explicar de cuántas maneras el evento A y B pueden ocurrir. Responda las siguientes preguntas. Ante dos eventos distintos, ¿cómo sabemos si debemos aplicar el principio de adición o el de multiplicación al calcular los posibles resultados? ¿Qué conjunciones pueden ayudar a determinar qué operaciones hay que utilizar? El principio de adición se aplica para determinar el total de resultados posibles de cualquiera de los dos eventos. El principio de multiplicación se aplica para determinar el total de resultados posibles de que se produzcan ambos eventos. La palabra \"o\" suele implicar un problema de adición. La palabra \"y\" suele implicar un problema de multiplicación. Describa cómo la permutación de n objetos difiere de la permutación de elegir r objetos de un conjunto de n objetos. Incluya cómo se calcula cada una de ellas. ¿Cómo se denomina el ordenamiento que selecciona r objetos de un conjunto de n objetos cuando el orden de los r objetos no es importante? ¿Cuál es la fórmula para calcular el número de resultados posibles para este tipo de ordenamiento? Una combinación; C ( n , r ) = n ! ( n – r ) ! r ! Numéricos En los siguientes ejercicios, determine si debe utilizar el principio de adición o el principio de multiplicación. Luego, realice los cálculos. Supongamos que el conjunto A = { - 5 , - 3 , - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . ¿De cuántas maneras se puede elegir un número negativo o par de A? Supongamos que el conjunto B = { − 23 , − 16 , - 7 , - 2 , 20 , 36 , 48 , 72 } . ¿De cuántas maneras se puede elegir un número positivo o impar de A ? 4 + 2 = 6 ¿De cuántas maneras se puede elegir un as rojo o un trébol de una baraja de cartas estándar? ¿De cuántas maneras se puede elegir un color de pintura entre 5 tonos de verde, 4 tonos de azul o 7 tonos de amarillo? 5 + 4 + 7 = 16 ¿Cuántos resultados son posibles al lanzar un par de monedas? ¿Cuántos resultados son posibles al lanzar una moneda y un dado de 6 caras? 2 × 6 = 12 ¿Cuántas cadenas de dos letras —con la primera letra A y la segunda letra B — se pueden formar a partir de los conjuntos A = { b , c , d } y B = { a , e , i , i , u } ? ¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números se pueden repetir? 10 3 = 1.000 ¿De cuántas maneras se puede construir una cadena de 3 dígitos si los números no se pueden repetir? En los siguientes ejercicios, calcule el valor de la expresión. P ( 5 , 2 ) P ( 5 , 2 ) = 20 P ( 8 , 4 ) P ( 3 , 3 ) P ( 3 , 3 ) = 6 P ( 9 , 6 ) P ( 11 , 5 ) P ( 11 , 5 ) = 55 , 440 C ( 8 , 5 ) C ( 12 , 4 ) C ( 12 , 4 ) = 495 C ( 26 , 3 ) C ( 7 , 6 ) C ( 7 , 6 ) = 7 C ( 10 , 3 ) En los siguientes ejercicios, calcule el número de subconjuntos en cada conjunto dado. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } 2 10 = 1.024 { a , b , c , … , c } Un conjunto que contiene 5 números distintos, 4 letras distintas y 3 símbolos distintos 2 12 = 4096 El conjunto de números pares del 2 al 28 El conjunto de números de dos dígitos entre 1 y 100 que contienen el dígito 0 2 9 = 512 En los siguientes ejercicios, calcule el número distinto de ordenaciones. Las letras de la palabra \"juggernaut\" Las letras de la palabra \"academia\" 8 ! 3 ! = 6720 Las letras de la palabra \"academia\" que comienzan y terminan en \"a\" Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, $, %, %, % 12 ! 3 ! 2 ! 3 ! 4 ! Los símbolos de la cadena #, #, #, @, @, $, $, %, %, % que comienzan y terminan con \"%\" Extensiones El conjunto, S se compone de 900.000.000 números naturales, cada uno de los cuales tiene el mismo número de dígitos. ¿Cuántos dígitos tiene un número de S ? ( Pista: utilice el hecho de que un número natural no puede comenzar con el dígito 0). 9 El número de subconjuntos de 5 elementos de un conjunto que contiene n elementos es igual al número de subconjuntos de 6 elementos del mismo conjunto. ¿Cuál es el valor de n ? ( Pista: el orden en que se eligen los elementos para los subconjuntos no es importante). ¿Puede C ( n , r ) siempre igualar a P ( n , r ) ? Explique. Sí, para los casos triviales r = 0 y r = 1. Si r = 0 , entonces C ( n , r ) = P ( n , r ) = 1 . Si r = 1 , entonces r = 1 , C ( n , r ) = P ( n , r ) = n . Supongamos que un conjunto A tiene 2.048 subconjuntos. ¿Cuántos objetos distintos contiene A ? ¿Cuántas ordenaciones se pueden hacer con las letras de la palabra \"mountains\" si todas las vocales deben formar una cadena? 6 ! 2 ! × 4 ! = 8640 Aplicaciones en el mundo real Una familia compuesta por 2 padres y 3 hijos debe posar para una foto con 2 miembros de la familia en la parte delantera y 3 en la trasera. Ⓐ ¿Cuántas ordenaciones son posibles sin restricciones? Ⓑ ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben sentarse delante? Ⓒ ¿Cuántas ordenaciones son posibles si los padres deben estar uno al lado del otro? Una compañía de telefonía móvil ofrece 6 paquetes de voz y 8 de datos diferentes. De ellos, 3 paquetes incluyen tanto voz como datos. ¿De cuántas maneras se puede elegir la voz o los datos, pero no ambos? 6 - 3 + 8 - 3 = 8 En las carreras de caballos, se produce una \"trifecta\" cuando un apostante gana seleccionando a los tres primeros clasificados en el orden exacto (1. er lugar, 2.º lugar y 3. er lugar). ¿Cuántas trifectas diferentes son posibles si hay 14 caballos en una carrera? Una compañía de venta de camisetas al por mayor ofrece tallas pequeñas, medianas, grandes y extragrandes en algodón orgánico o no orgánico y colores blanco, negro, gris, azul y rojo. ¿Cuántas camisetas diferentes hay para elegir? 4 × 2 × 5 = 40 Héctor quiere publicar anuncios en vallas publicitarias por todo el condado para su nuevo negocio. ¿De cuántas maneras Héctor puede elegir 15 vecindarios para anunciarse si hay 30 vecindarios en el condado? Una tienda de arte tiene 4 marcas de rotuladores de 12 colores diferentes y 3 tipos de tinta. ¿Cuántos rotuladores hay para elegir? 4 × 12 × 3 = 144 ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de 3 estudiantes de primer año y 4 de tercer año a partir de un grupo de 8 estudiantes de primer año y 11 de tercer año? ¿De cuántas maneras un entrenador de béisbol puede organizar el orden de 9 bateadores si hay 15 jugadores en el equipo? P ( 15 , 9 ) = 1 , 816 , 214 , 400 Un director de orquesta necesita 5 violonchelistas y 5 violinistas para tocar en un evento diplomático. Para ello, clasifica a los 10 chelistas y a los 16 violinistas de la orquesta por orden de habilidad musical. ¿Cuál es la proporción entre la clasificación total de violonchelistas posible y la clasificación total de violinistas posible? Una tienda de motocicletas tiene 10 choppers, 6 bobbers y 5 café racers: diferentes tipos de motocicletas de época. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 3 choppers, 5 bobbers y 2 café racers para una exhibición de fin de semana? C ( 10 , 3 ) × C ( 6 , 5 ) × C ( 5 , 2 ) = 7 , 200 Una tienda de patinetas dispone de 10 tipos de tablas, 3 tipos de trucks y 4 tipos de ruedas. ¿Cuántas patinetas diferentes se pueden construir? Just-For-Kicks Sneaker Company ofrece un servicio de personalización en línea. ¿De cuántas maneras se puede diseñar un par de zapatos deportivos personalizados de Just-For-Kicks si un cliente puede elegir desde un zapato básico hasta 11 opciones personalizables? 2 11 = 2.048 Un autolavado ofrece los siguientes servicios opcionales al lavado básico: cera de capa transparente, pulido de triple espuma, lavado de carrocería inferior, inhibidor de óxido, abrillantador de ruedas, ambientador y champú para interiores. ¿Cuántos lavodas son posibles si se puede añadir cualquier número de opciones al lavado básico? Suni compró 20 plantas para colocarlas en el borde de su jardín. ¿Cuántos arreglos distintos puede hacer si las plantas están compuestas por 6 tulipanes, 6 rosas y 8 margaritas? 20 ! 6 ! 6 ! 8 ! = 116 , 396 , 280 ¿De cuántas maneras únicas se puede disponer una ristra de luces de Navidad con 9 bombillas rojas, 10 verdes, 6 blancas y 12 doradas? Principio de adición si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento sin resultados comunes puede ocurrir en n maneras, entonces el primer o el segundo evento puede ocurrir de m + n maneras combinación una selección de objetos en la que no importa el orden principio fundamental de conteo si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras; también conocido como el principio de multiplicación principio de multiplicación si un evento puede ocurrir en m maneras y un segundo evento puede ocurrir en n maneras después de que el primer evento haya ocurrido, entonces los dos eventos pueden ocurrir en m × n maneras; también conocido como el principio fundamental de conteo permutación una selección de objetos en la que el orden es importante", "section": "Principios de conteo", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Teorema del binomio Objetivos de aprendizaje Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1) Objetivo 1: Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. (IA 12.4.1) El triángulo de Pascal nos ayuda a calcular los coeficientes de los términos en la expansión de un binomio. Para hallar los coeficientes de los términos, escribimos de nuevo nuestra expansión centrándonos en los coeficientes. Reescribimos los coeficientes a la derecha formando una matriz de coeficientes. La matriz de la derecha se llama triángulo de Pascal . Observe que en cada expansión las potencias de a en cada término disminuyen de n a 0, y las potencias de b aumentan de 0 a n . Observe que cada número de la matriz es la suma de los dos números más cercanos de la fila anterior. Podemos hallar la siguiente fila empezando y terminando con uno y luego se suman dos números adyacentes. Para calcular los coeficientes de la expansión del binomio ( a + b ) n , vaya a la fila que tiene el valor n como segunda entrada. Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( x + y ) 6 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 6. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de x que disminuye de 6 a 0, y la potencia de y que aumenta de 0 a 6. Expansión binomial de ( x + y ) 6 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( x + 3 ) 5 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 5. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de x que disminuye de 5 a 0, y la potencia de 3 que aumenta de 0 a 5. Expansión binomial de ( x + 3 ) 5 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( 3 x 2 ) 4 . Vaya al triángulo de Pascal y lea los coeficientes de la fila cuya segunda entrada es 4. Escriba la expansión con los coeficientes. Complete la variable con la potencia de (3x) que disminuye de 4 a 0, y la potencia de (–2) que aumenta de 0 a 4. Expansión binomial de ( 3 x 2 ) 4 . La práctica hace la perfección Utilizar el triángulo de Pascal para expandir un binomio. Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( a + b ) 4 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( y + 3 ) 5 . Utilice el triángulo de Pascal para expandir ( 2 x 5 ) 3 . Un polinomio con dos términos se llama binomio. Ya hemos aprendido a multiplicar binomios y a elevar binomios a potencias, pero elevar un binomio a una potencia alta puede ser tedioso y llevar mucho tiempo. En esta sección hablaremos de un atajo que nos permitirá calcular ( x + y ) n sin multiplicar el binomio por sí mismo n veces. Identificación de coeficientes binomiales En la sección Principios de conteo , estudiamos las combinaciones . En el atajo para calcular ( x + y ) n , necesitaremos utilizar combinaciones para calcular los coeficientes que aparecerán en la expansión del binomio. En este caso, utilizamos la notación ( n r ) en vez de C ( n , r ) , pero se puede calcular de la misma manera. Así que ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! La combinación ( n r ) se llama coeficiente binomial . Un ejemplo de coeficiente binomial es ( 5 2 ) = C ( 5 , 2 ) = 10. Coeficientes binomiales Si los valores de n y r son enteros mayores que o iguales a 0 con n ≥ r , entonces el coeficiente binomial es ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Un coeficiente binomial es siempre un número natural? Sí. Al igual que el número de combinaciones debe ser siempre un número natural, el coeficiente binomial será siempre un número natural. Calcular coeficientes binomiales Calcule cada coeficiente binomial. Ⓐ ( 5 3 ) Ⓑ ( 9 2 ) Ⓒ ( 9 7 ) Utilice la fórmula para calcular cada coeficiente binomial. También puede utilizar la función n C r en su calculadora. ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! Ⓐ ( 5 3 ) = 5 ! 3 ! ( 5 - 3 ) ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ! 3 ! 2 ! = 10 Ⓑ ( 9 2 ) = 9 ! 2 ! ( 9 − 2 ) ! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ! 2 ! 7 ! = 36 Ⓒ ( 9 7 ) = 9 ! 7 ! ( 9 - 7 ) ! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ! 7 ! 2 ! = 36 Análisis Observe que hemos obtenido el mismo resultado para las partes (b) y (c). Si observa detenidamente la solución de estas dos partes, verá que acaba con los mismos dos factoriales en el denominador, pero el orden se invierte, igual que con las combinaciones. ( n r ) = ( n n – r ) Ejercicio Calcule cada coeficiente binomial. Ⓐ ( 7 3 ) Ⓑ ( 11 4 ) Ⓐ 35 Ⓑ 330 Usar el teorema del binomio Cuando expandimos ( x + y ) n multiplicando, el resultado se llama expansión binomial , e incluye coeficientes binomiales. Si quisiéramos expandir ( x + y ) 52 , podríamos multiplicar ( x + y ) por sí mismo cincuenta y dos veces. ¡Esto podría llevar horas! Si examinamos algunas expansiones binomiales simples, podemos hallar patrones que nos lleven a un atajo para calcular expansiones binomiales más complicadas. ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 Primero, examinemos los exponentes. Con cada término sucesivo, el exponente de x disminuye y el exponente de y aumenta. La suma de los dos exponentes es n para cada término. A continuación, examinemos los coeficientes. Observe que los coeficientes aumentan y luego disminuyen siguiendo un patrón simétrico. Los coeficientes siguen un patrón: ( n 0 ) , ( n 1 ) , ( n 2 ) , ... , ( n n ) . Estos patrones nos llevan al teorema del binomio , que se puede usar para expandir cualquier binomio. ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k = x n + ( n 1 ) x n – 1 y + ( n 2 ) x n – 2 y 2 + ... + ( n n – 1 ) x y n – 1 + y n Otra forma de ver los coeficientes es examinar la expansión de un binomio en forma general, x + y , a potencias sucesivas 1, 2, 3 y 4. ( x + y ) 1 = x + y ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 ¿Puede estimar la siguiente expansión del binomio ( x + y ) 5 ? Vea la , que ilustra lo siguiente: Hay n + 1 términos en la expansión de ( x + y ) n . El grado (o suma de los exponentes) de cada término es n . Las potencias en x comienzan con n y disminuyen a 0. Las potencias en y comienzan con 0 y aumentan hasta n . Los coeficientes son simétricos. Para determinar la expansión en ( x + y ) 5 , vemos que n = 5 , por lo tanto, habrá 5 + 1 = 6 términos. Cada término tiene un grado combinado de 5. En orden descendente para las potencias de x , el patrón es el siguiente: Introduzca x 5 , y luego para cada término sucesivo reduzca el exponente en x por 1 hasta que x 0 = 1 se alcance. Introduzca y 0 = 1 , y luego aumente el exponente en y por 1 hasta que y 5 se alcance. x 5 , x 4 y , x 3 y 2 , x 2 y 3 , x y 4 , y 5 La siguiente expansión sería ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 . ¿Pero de dónde salen esos coeficientes? Los coeficientes binomiales son simétricos. Observamos estos coeficientes en una matriz conocida como triángulo de Pascal , se muestra en la . Pascal no inventó el triángulo. Los principios subyacentes se habían desarrollado y escrito durante más de 1.500 años, primero por el matemático (y poeta) indio Pingala en el siglo II a.C. Otros en Asia y Europa trabajaron con los conceptos a lo largo del tiempo, y el triángulo fue publicado por primera vez en su forma gráfica por Omar Khayyam, un matemático y astrónomo iraní, en cuyo honor el triángulo recibe su nombre en Irán. El matemático francés Blaise Pascal la volvió a popularizar cuando la reeditó y la utilizó para resolver una serie de problemas de probabilidad. Para generar el triángulo de Pascal, empezamos escribiendo un 1. En la fila de abajo, la fila 2, escribimos dos 1. En la 3. a fila, flanquee los extremos de las filas con 1, y sume 1 + 1 para hallar el número del medio, el 2. En la enésima fila, flanquee los extremos de la fila con 1. Cada elemento del triángulo es la suma de los dos elementos inmediatamente superiores. Para ver la conexión entre el triángulo de Pascal y los coeficientes de los binomios, volvamos a ver la expansión de los binomios en forma general. El teorema del binomio El teorema del binomio es una fórmula que se puede utilizar para expandir cualquier binomio. ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k = x n + ( n 1 ) x n – 1 y + ( n 2 ) x n – 2 y 2 + ... + ( n n – 1 ) x y n – 1 + y n Cómo Dado un binomio, escríbalo en forma expandida. Determine el valor de la n según el exponente. Evalúe los términos k = 0 hasta k = n utilizando la fórmula del teorema del binomio. Simplifique. Expandir un binomio Escriba en forma expandida. Ⓐ ( x + y ) 5 Ⓑ ( 3 x - y ) 4 Ⓐ Sustituya n = 5 en la fórmula. Evalúe los términos k = 0 hasta k = 5 . Simplifique. ( x + y ) 5 = ( 5 0 ) x 5 y 0 + ( 5 1 ) x 4 y 1 + ( 5 2 ) x 3 y 2 + ( 5 3 ) x 2 y 3 + ( 5 4 ) x 1 y 4 + ( 5 5 ) x 0 y 5 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 Ⓑ Sustituya n = 4 en la fórmula. Evalúe los términos k = 0 hasta k = 4 . Observe que 3 x está en el lugar que ocupaba x y que – y está en el lugar que ocupaba y . Así que los sustituimos. Simplifique. ( 3 x - y ) 4 = ( 4 0 ) ( 3 x ) 4 ( − y ) 0 + ( 4 1 ) ( 3 x ) 3 ( − y ) 1 + ( 4 2 ) ( 3 x ) 2 ( − y ) 2 + ( 4 3 ) ( 3 x ) 1 ( − y ) 3 + ( 4 4 ) ( 3 x ) 0 ( − y ) 4 ( 3 x - y ) 4 = 81 x 4 − 108 x 3 y + 54 x 2 y 2 - 12 x y 3 + y 4 Análisis Observe los signos alternos de la parte b. Esto sucede porque ( − y ) elevado a potencias impares es negativo, pero ( − y ) elevado a potencias pares es positivo. Esto ocurrirá siempre que el binomio contenga un signo de resta. Ejercicio Escriba en forma expandida. Ⓐ ( x - y ) 5 Ⓑ ( 2 x + 5 y ) 3 Ⓐ x 5 - 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 - 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 - y 5 Ⓑ 8 x 3 + 60 x 2 y + 150 x y 2 + 125 y 3 Usar el teorema del binomio para hallar un solo término Expandir un binomio con un exponente alto como ( x + 2 y ) 16 puede ser un proceso largo. A veces nos interesa solo un término determinado de una expansión binomial. No necesitamos expandir completamente un binomio para hallar un solo término específico. Observe el patrón de coeficientes en la expansión de ( x + y ) 5 . ( x + y ) 5 = x 5 + ( 5 1 ) x 4 y + ( 5 2 ) x 3 y 2 + ( 5 3 ) x 2 y 3 + ( 5 4 ) x y 4 + y 5 El segundo término es ( 5 1 ) x 4 y . El tercer término es ( 5 2 ) x 3 y 2 . Podemos generalizar este resultado. ( n r ) x n – r y r El enésimo término (r + 1) de una expansión binomial El ( r + 1 ) enésimo término de la expansión binomial de ( x + y ) n es: ( n r ) x n – r y r Cómo Dado un binomio, escriba un término específico sin expandirlo completamente. Determine el valor de la n según el exponente. Determine ( r + 1 ) . Determine r . Sustituya r en la fórmula del ( r + 1 ) enésimo término de la expansión binomial. Escribir un término dado de una expansión binomial Hale el décimo término de ( x + 2 y ) 16 sin expandir completamente el binomio. Dado que buscamos el décimo término, r + 1 = 10 , utilizaremos r = 9 en nuestros cálculos. ( n r ) x n – r y r ( 16 9 ) x 16 - 9 ( 2 y ) 9 = 5 , 857 , 280 x 7 y 9 Ejercicio Halle el sexto término de ( 3 x - y ) 9 sin expandir completamente el binomio. − 10 , 206 x 4 y 5 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la expansión binomial. El teorema del binomio Ejemplo de teorema del binomio Ecuaciones clave Teorema del binomio ( x + y ) n = ∑ k – 0 n ( n k ) x n - k y k ( r + 1 ) ené simo término de una expansión binomial ( n r ) x n – r y r Conceptos clave ( n r ) se llama coeficiente binomial y es igual a C ( n , r ) . Vea el . El teorema del binomio nos permite expandir los binomios sin multiplicar. Vea el . Podemos hallar un término dado de una expansión binomial sin expandir completamente el binomio. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es un coeficiente binomial y cómo se calcula? Un coeficiente binomial es una forma alternativa de denotar la combinación C ( n , r ). Se define como ( n r ) = C ( n , r ) = n ! r ! ( n – r ) ! . ¿Qué papel desempeñan los coeficientes binomiales en una expansión binomial? ¿Están limitados a algún tipo de número? ¿Qué es el teorema del binomio y para qué sirve? El teorema del binomio se define como ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n - k y k y se puede usar para expandir cualquier binomio. ¿Cuándo es una ventaja utilizar el teorema del binomio? Explique. Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe el coeficiente binomial. ( 6 2 ) 15 ( 5 3 ) ( 7 4 ) 35 ( 9 7 ) ( 10 9 ) 10 ( 25 11 ) ( 17 6 ) 12.376 ( 200 199 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir cada binomio. ( 4 a - b ) 3 64 a 3 − 48 a 2 b + 12 a b 2 - b 3 ( 5 a + 2 ) 3 ( 3 a + 2 b ) 3 27 a 3 + 54 a 2 b + 36 a b 2 + 8 b 3 ( 2 x + 3 y ) 4 ( 4 x + 2 y ) 5 1.024 x 5 + 2.560 x 4 y + 2.560 x 3 y 2 + 1280 x 2 y 3 + 320 x y 4 + 32 y 5 ( 3 x - 2 y ) 4 ( 4 x - 3 y ) 5 1.024 x 5 − 3840 x 4 y + 5760 x 3 y 2 − 4320 x 2 y 3 + 1620 x y 4 − 243 y 5 ( 1 x + 3 y ) 5 ( x – 1 + 2 y - 1 ) 4 1 x 4 + 8 x 3 y + 24 x 2 y 2 + 32 x y 3 + 16 y 4 ( x - y ) 5 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de cada binomio. ( a + b ) 17 a 17 + 17 a 16 b + 136 a 15 b 2 ( x – 1 ) 18 ( a - 2 b ) 15 a 15 − 30 a 14 b + 420 a 13 b 2 ( x - 2 y ) 8 ( 3 a + b ) 20 3 , 486 , 784 , 401 a 20 + 23 , 245 , 229 , 340 a 19 b + 73 , 609 , 892 , 910 a 18 b 2 ( 2 a + 4 b ) 7 ( x 3 - y ) 8 x 24 − 8 x 21 y + 28 x 18 y En los siguientes ejercicios, halle el término indicado de cada binomio sin expandir completamente el binomio. El cuarto término de ( 2 x - 3 y ) 4 El cuarto término de ( 3 x - 2 y ) 5 − 720 x 2 y 3 El tercer término de ( 6 x - 3 y ) 7 El octavo término de ( 7 + 5 y ) 14 220 , 812 , 466 , 875 , 000 y 7 El séptimo término de ( a + b ) 11 El quinto término de ( x - y ) 7 35 x 3 y 4 El décimo término de ( x – 1 ) 12 El noveno término de ( a - 3 b 2 ) 11 1 , 082 , 565 a 3 b 16 El cuarto término de ( x 3 - 1 2 ) 10 El octavo término de ( y 2 + 2 x ) 9 1152 y 2 x 7 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del binomio para expandir el binomio f ( x ) = ( x + 3 ) 4 . Luego calcule y grafique cada suma indicada en un conjunto de ejes. Calcule y grafique f 1 ( x ) , de manera que f 1 ( x ) sea el primer término de la expansión. Calcule y grafique f 2 ( x ) , de manera que f 2 ( x ) sea la suma de los dos primeros términos de la expansión. f 2 ( x ) = x 4 + 12 x 3 Calcule y grafique f 3 ( x ) , de manera que f 3 ( x ) sea la suma de los tres primeros términos de la expansión. Calcule y grafique f 4 ( x ) , de manera que f 4 ( x ) sea la suma de los cuatro primeros términos de la expansión. f 4 ( x ) = x 4 + 12 x 3 + 54 x 2 + 108 x Calcule y grafique f 5 ( x ) , de manera que f 5 ( x ) sea la suma de los cinco primeros términos de la expansión. Extensiones En la expansión de ( 5 x + 3 y ) n , cada término tiene la forma ( n k ) a n – k b k , donde k toma sucesivamente el valor 0 , 1 , 2 , ... , n . Si ( n k ) = ( 7 2 ) , ¿cuál es el término correspondiente? 590 , 625 x 5 y 2 En la expansión de ( a + b ) n , ¿el coeficiente de a n - k b k es el mismo que el coeficiente de cuál otro término? Considere la expansión de ( x + b ) 40 . ¿Cuál es el exponente de b en el plano k enésimo término? k - 1 Halle ( n k - 1 ) + ( n k ) y escriba la respuesta como un coeficiente binomial en la forma ( n k ) . Pruébelo. Pista: Utilice el hecho de que para cualquier número entero p , de manera que p ≥ 1 , p ! = p ( p - 1 ) ! . ¿Qué expresión no se puede expandir utilizando el teorema del binomio? Explique. ( x 2 - 2 x + 1 ) ( a + 4 a − 5 ) 8 ( x 3 + 2 y 2 - z ) 5 ( 3 x 2 - 2 y 3 ) 12 La expresión ( x 3 + 2 y 2 - z ) 5 no se puede expandir utilizando el teorema del binomio porque no se puede reescribir como un binomio. coeficiente binomial el número de maneras de elegir r objetos de entre n objetos donde el orden no importa; equivalente a C ( n , r ) , denotado ( n r ) expansión binomial el resultado de expandir ( x + y ) n mediante multiplicación teorema del binomio una fórmula que se puede usar para expandir cualquier binomio", "section": "Teorema del binomio", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Probabilidad Objetivos de aprendizaje Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas. Objetivo 1: Introducción a los espacios muestrales y al cálculo de probabilidades básicas. Muchos acontecimientos de la vida son intrínsecamente inciertos: ¿va a nevar mañana? ¿Voy a sacar una ‘A’ en este curso? Ninguna de estas preguntas puede responderse con certeza. Sin embargo, diríamos que algunas son improbables y otras más probables. La probabilidad de un evento es una descripción de la probabilidad de que un evento ocurra. La probabilidad es un número entre 0 y 1 (es decir, entre el 0 % y el 100 %), donde las probabilidades más cercanas al 100 % son muy probables, y las más cercanas al 0 % son muy improbables. La probabilidad del 0 % significa que el suceso es imposible, y la probabilidad del 100 % significa que el evento ocurrirá con seguridad. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Se define por su espacio muestral, los sucesos dentro del espacio muestral y las probabilidades asociadas a cada evento. El espacio muestral S de un modelo de probabilidades es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para lanzar un dado es el conjunto 1,2,3,4,5,6. Esta notación se denomina notación de lista . El suceso A es un subconjunto del espacio muestral S. Por ejemplo, el suceso: \"Sacar un número par\", es el subconjunto 2,4,6. Para calcular la probabilidad de un evento, dividimos el número de resultados posibles del evento entre el número de resultados posibles del espacio muestral. P ( resultado ) = Número de maneras en que ese resultado puede ocurrir Número total de resultados Es importante señalar que para utilizar esta fórmula, todos los resultados deben tener la misma probabilidad de ocurrir . Por ejemplo, la probabilidad de sacar un número par con un dado estándar es: P ( números pares ) = 3 números pares 6 números totales = 3 6 = 1 2 Probabilidad básica (introducción simple a los espacios muestrales). Lanzar una moneda: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el espacio muestral de lanzar una moneda. Ⓑ Calcule la probabilidad de que “la moneda salga cara”. Lanzar un dado: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento “lanzar un número impar”. Ⓑ Calcule la probabilidad de “lanzar un número impar”. Sacar una carta: Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento “sacar un as”. Ⓑ Calcule la probabilidad de “sacar un as”. Lanzar una moneda: Ⓐ Cuando se lanza una moneda, hay dos resultados. El espacio muestral es: Cara, cruz. Ⓑ Solo hay un resultado para que en la moneda salga cara, por lo que P (sale cara) = 12. Lanzar un dado: Ⓐ Cuando se lanza un dado, hay seis resultados. El evento \"lanzar un número impar\" tiene tres resultados. El evento en notación de conjuntos es: 1, 3, 5. Ⓑ P (lanzar un número impar) = 36 = 12. Sacar una carta: Ⓐ Cuando saca una carta, hay 52 resultados. El evento \"sacar un as\" tiene cuatro resultados. El evento en notación de conjuntos es: as de corazones, as de diamantes, as de tréboles y as de picas. Ⓑ P (sacar un as) = 452 = 113. La práctica hace la perfección Girar un dial: Ⓐ Describa el espacio muestral en notación de conjuntos. Ⓑ Calcule la probabilidad de que el “dial se detenga en una rebanada amarilla”. Ⓒ Calcule la probabilidad de que el \"dial se detenga en una rebanada roja\". Ⓓ Calcule la probabilidad de que el \"dial se detenga en una rebanada azul\". Dibuje un diagrama que muestre el espacio muestral de una baraja estándar de 52 cartas. Empiece por distinguir entre las cartas rojas y las negras y muestre el número de cada una. Luego, muestre los palos: diamantes, corazones, tréboles y picas. Debajo de esto haga una lista del número o de la cara de la carta que aparece en cada palo. Utilice su diagrama como ayuda para hallar lo siguiente. Ⓐ Describa en notación de conjuntos el evento \"sacar un rey\". Ⓑ Calcule la probabilidad de \"sacar un rey\". Ⓒ Describa en notación de conjuntos el evento \"sacar un trébol\". Ⓓ Calcule la probabilidad de \"sacar un trébol\". Ⓔ Calcule la probabilidad de \"sacar un seis rojo\". Ⓕ Calcule la probabilidad de \"sacar una reina negra\". Un ejemplo de \"modelo de espagueti\", el cual se puede usar para predecir las posibles trayectorias de una tormenta tropical. La figura es solo a título ilustrativo y no representa ninguna tormenta en particular. Los habitantes del sureste de Estados Unidos están muy familiarizados con los gráficos, conocidos como modelos de espagueti, como el que aparece en la . Combinan una colección de datos meteorológicos para predecir la trayectoria más probable de un huracán. Cada línea de color representa un camino posible. El grupo de líneas onduladas puede empezar a parecerse a hebras de espaguetis, de ahí su nombre. En esta sección investigaremos sobre métodos para hacer este tipo de predicciones. Construir modelos de probabilidades Supongamos que lanzamos un cubo numérico de seis caras. Lanzar un cubo numérico es un ejemplo de un experimento , o una actividad con un resultado observable. Los números en el cubo son posibles resultados, o resultados , de este experimento. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se denomina espacio muestral del experimento. El espacio muestral de este experimento es { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . Un evento es cualquier subconjunto de un espacio muestral. La posibilidad de que se produzca un suceso se conoce como probabilidad . La probabilidad de un evento p es un número que siempre satisface 0 ≤ p ≤ 1 , donde 0 indica un suceso imposible y 1 indica un suceso seguro. Un modelo de probabilidades es una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas. Por ejemplo, si hay un 1 % de posibilidad de ganar una rifa y un 99 % de posibilidades de perderla, un modelo de probabilidades se parecería mucho a la . Resultado Probabilidad Ganar la rifa 1 % Perder la rifa 99 % La suma de las probabilidades enumeradas en un modelo de probabilidades debe ser igual a 1, es decir, al 100 %. Cómo Dado un evento de probabilidad en el que cada evento es igualmente posible, construya un modelo de probabilidades. Identifique cada resultado. Determine el número total de resultados posibles. Compare cada resultado con el número total de resultados posibles. Construir un modelo de probabilidades Construya un modelo de probabilidades para lanzar un único dado imparcial, siendo el evento el número que aparece en el dado. Comience haciendo una lista de todos los posibles resultados del experimento. Los posibles resultados son los números que se pueden lanzar: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Hay seis resultados posibles que conforman el espacio muestral. Asigne probabilidades a cada resultado en el espacio muestral determinando una relación entre el resultado y el número de resultados posibles. Hay uno de cada uno de los seis números en el cubo, y no hay ninguna razón para pensar que una cara en particular tenga más probabilidades de aparecer que cualquier otra, por lo que la probabilidad de lanzar cualquier número es 1 6 . Resultado Lanzamiento del 1 Lanzamiento del 2 Lanzamiento del 3 Lanzamiento del 4 Lanzamiento del 5 Lanzamiento del 6 Probabilidad 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay que expresar siempre las probabilidades en forma de fracciones? No. Las probabilidades se pueden expresar como fracciones, decimales o porcentajes. La probabilidad debe ser siempre un número entre 0 y 1, incluso 0 y 1. Ejercicio Construya un modelo de probabilidades para lanzar una moneda justa. Resultado Probabilidad Cara 1 2 Cruz 1 2 Calcular probabilidades de resultados igualmente probables Supongamos que S es un espacio muestral para un experimento. Al investigar la probabilidad, un evento es cualquier subconjunto de S . Cuando los resultados de un experimento son todos igual de posibles, podemos calcular la probabilidad de un evento al dividir el número de resultados del evento entre el número total de resultados en S . Supongamos que se lanza un cubo numérico, y nos interesa calcular la probabilidad del evento \"sacar un número menor que o igual a 4\". Hay 4 posibles resultados en el evento y 6 posibles resultados en S , por lo que la probabilidad del evento es 4 6 = 2 3 . Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables La probabilidad de un evento E en un experimento con espacio muestral S con resultados igualmente probables está dada por P ( E ) = número de elementos en E número de elementos en S = n ( E ) n ( S ) E es un subconjunto de S , por lo que siempre es cierto que 0 ≤ P ( E ) ≤ 1. Calcular la probabilidad de un evento con resultados igualmente probables Se lanza un cubo numérico de seis caras. Calcule la probabilidad de lanzar un número impar. El evento \"lanzar un número impar\" contiene tres resultados. Hay 6 resultados igualmente probables en el espacio muestral. Divida para calcular la probabilidad del evento. P ( E ) = 3 6 = 1 2 Ejercicio Se lanza un cubo numérico. Calcule la probabilidad de lanzar un número mayor que 2. 2 3 Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos A menudo nos interesa calcular la probabilidad de que ocurra uno de los múltiples eventos. Supongamos que estamos jugando un juego de cartas, y que ganaremos si la siguiente carta extraída es un corazón o un rey. Nos interesa calcular la probabilidad de que la siguiente carta sea un corazón o un rey. La unión de dos eventos E y F , escrita como E ∪ F , es el evento que se produce si se da uno de los dos eventos o ambos. P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) Supongamos que se hace girar la ruleta de la . Queremos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o girar a b . Hay un total de 6 secciones, y 3 de ellas son de color anaranjado. Así que la probabilidad de girar a anaranjado es 3 6 = 1 2 . Hay un total de 6 secciones, y 2 de ellas tienen una b . Así que la probabilidad de girar a b es 2 6 = 1 3 . Si sumamos estas dos probabilidades, estaríamos contando el sector que es a la vez anaranjado y b dos veces. Para calcular la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a b , tenemos que restar la probabilidad de que el sector sea a la vez anaranjado y b . 1 2 + 1 3 - 1 6 = 2 3 La probabilidad de girar a anaranjado o a b es 2 3 . Probabilidad de la unión de dos eventos La probabilidad de la unión de dos eventos E y F (escrita como E ∪ F ) es igual a la suma de la probabilidad de E y la probabilidad de F menos la probabilidad de que E y F ocurran juntos ( lo cual se llama la intersección de E y F y se escribe como E ∩ F ). P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) Calcular la probabilidad de la unión de dos eventos Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o un 7. Una baraja estándar contiene el mismo número de corazones, diamantes, tréboles y picas. Así que la probabilidad de sacar un corazón es 1 4 . Hay cuatro 7 en una baraja estándar, y hay un total de 52 cartas. Así que la probabilidad de sacar un 7 es 1 13 . La única carta de la baraja que es a la vez un corazón y un 7 es el 7 de corazones, por lo que la probabilidad de sacar tanto un corazón como un 7 es 1 52 . Sustituya P ( H ) = 1 4 , P ( 7 ) = 1 13 , y P ( H ∩ 7 ) = 1 52 en la fórmula. P ( E ∪ ​ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ ​ F ) = 1 4 + 1 13 - 1 52 = 4 13 La probabilidad de sacar un corazón o un 7 es 4 13 . Ejercicio Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar una carta roja o un as. 7 13 Calcular la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes Supongamos que se hace girar de nuevo la ruleta de la , pero esta vez nos interesa la probabilidad de hacer girar a anaranjado o a d . No hay sectores que sean a la vez de color anaranjado y que contengan una d , por lo que estos dos sucesos no tienen resultados en común. Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes cuando no tienen resultados en común. Ya que no hay superposición, no hay nada que restar, por lo que la fórmula general es P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) Observe que con eventos mutuamente excluyentes la intersección de E y F es el conjunto vacío. La probabilidad de hacer girar a anaranjado es 3 6 = 1 2 y la probabilidad de girar a d es 1 6 . Podemos calcular la probabilidad de girar a anaranjado o a d simplemente al sumar las dos probabilidades. P ( E ∪ ​ F ) = P ( E ) + P ( F ) = 1 2 + 1 6 = 2 3 La probabilidad de hacer girar a anaranjado o a d es 2 3 . Probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes La probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes E y F viene dada por P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) Cómo Dado un conjunto de eventos, calcule la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes. Determine el número total de resultados del primer evento. Calcule la probabilidad del primer evento. Determine el número total de resultados del segundo evento. Calcule la probabilidad del segundo evento. Sume las probabilidades. Calcular la probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un corazón o una pica. Los eventos \"sacar un corazón\" y \"sacar una pica\" son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo. La probabilidad de sacar un corazón es 1 4 , y la probabilidad de sacar una pica también es 1 4 , por lo que la probabilidad de sacar un corazón o una pica es 1 4 + 1 4 = 1 2 Ejercicio Se extrae una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de sacar un as o un rey. 2 13 Usar la regla del complemento para calcular probabilidades Hemos hablado de cómo calcular la probabilidad de que se produzca un evento. A veces, nos interesa calcular la probabilidad de que un evento no ocurra. El complemento de un evento E , denotado E ′ , es el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en E . Por ejemplo, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un caballo pierda una carrera. Si el evento W es que el caballo gane la carrera, entonces el complemento del evento W es que el caballo pierda la carrera. Para calcular la probabilidad de que el caballo pierda la carrera, tenemos que utilizar el hecho de que la suma de todas las probabilidades en un modelo de probabilidad debe ser 1. P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) La probabilidad de que el caballo gane sumada a la probabilidad de que pierda debe ser igual a 1. Por lo tanto, si la probabilidad de que el caballo gane la carrera es 1 9 , la probabilidad de que el caballo pierda la carrera es simplemente 1 - 1 9 = 8 9 La regla del complemento La probabilidad de que se produzca el complemento de un evento está dada por P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) Usar la regla del complemento para calcular probabilidades Se lanzan dos cubos numéricos de seis caras. Ⓐ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea menor que o igual a 3. Ⓑ Calcule la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3. El primer paso es identificar el espacio muestral, que consiste en todos los resultados posibles. Hay dos cubos numéricos, y cada cubo numérico tiene seis resultados posibles. Utilizando el principio de multiplicación, hallamos que hay 6 × 6 , o 36 resultados posibles totales. Así, por ejemplo, el 1-1 representa un 1 sacado en cada cubo numérico. 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de lanzar una suma de 3 o menos. Esto incluiría los siguientes resultados: 1-1, 1-2 y 2-1. Así que solo hay tres maneras de sacar una suma de 3 o menos. La probabilidad es 3 36 = 1 12 Ⓑ En vez de enumerar todas las posibilidades, podemos utilizar la regla del complemento. Como ya hemos calculado la probabilidad del complemento de este evento, podemos simplemente restar esa probabilidad de 1 para calcular la probabilidad de que la suma de los números lanzados sea mayor que 3. P ( E ′ ) = 1 – P ( E ) = 1 - 1 12 = 11 12 Ejercicio Se lanzan dos cubos numéricos. Utilice la regla del complemento para calcular la probabilidad de que la suma sea menor que 10. 5 6 Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo Muchos problemas interesantes de probabilidad implican principios de conteo, permutaciones y combinaciones. En estos problemas, utilizaremos permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en eventos y espacios muestrales. Estos problemas pueden ser complicados, pero pueden hacerse más fáciles si se dividen en problemas de conteo más pequeños. Supongamos, por ejemplo, que una tienda tiene 8 teléfonos móviles y que 3 de ellos están defectuosos. Podríamos querer calcular la probabilidad de que una pareja que compra 2 teléfonos reciba 2 teléfonos que no estén defectuosos. Para resolver este problema, tenemos que calcular todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos, así como todas las maneras de seleccionar 2 teléfonos. Hay 5 teléfonos que no están defectuosos, por lo que hay C ( 5 , 2 ) maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos. Hay 8 teléfonos, por lo que hay C ( 8 , 2 ) maneras de seleccionar 2 teléfonos. La probabilidad de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos es: maneras de seleccionar 2 teléfonos que no estén defectuosos maneras de seleccionar 2 teléfonos = C ( 5 , 2 ) C ( 8 , 2 ) = 10 28 = 5 14 Calcular la probabilidad mediante la teoría del conteo Un niño selecciona al azar 5 juguetes de una caja que contiene 3 conejos, 5 perros y 6 osos. Ⓐ Calcule la probabilidad de que solo se elijan osos. Ⓑ Calcule la probabilidad de que se elijan 2 osos y 3 perros. Ⓒ Calcule la probabilidad de que, al menos, se elijan 2 perros. Ⓐ Tenemos que contar el número de maneras de elegir solo osos y el número total de maneras posibles de seleccionar 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay C ( 6 , 5 ) maneras de elegir 5 osos. Hay 14 juguetes, por lo que hay C ( 14 , 5 ) maneras de elegir 5 juguetes cualesquiera. C ( 6 , 5 ) C ( 14 , 5 ) = 6 2.002 = 3 1.001 Ⓑ Tenemos que contar el número de maneras de elegir 2 osos y 3 perros y el número total de maneras posibles de elegir 5 juguetes. Hay 6 osos, así que hay C ( 6 , 2 ) maneras de elegir 2 osos. Hay 5 perros, así que hay C ( 5 , 3 ) maneras de elegir 3 perros. Como estamos eligiendo tanto osos como perros al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay C ( 6 , 2 ) ⋅ C ( 5 , 3 ) maneras de elegir 2 osos y 3 perros. Podemos utilizar este resultado para calcular la probabilidad. C ( 6 , 2 ) C ( 5 , 3 ) C ( 14 , 5 ) = 15 ⋅ 10 2.002 = 75 1.001 Ⓒ A menudo es más fácil resolver los problemas de \"al menos\" utilizando la regla del complemento. Empezaremos por calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros. Si se eligen menos de 2 perros, entonces o bien no se puede elegir ningún perro, o bien se puede elegir 1 perro. Cuando no se eligen perros, los 5 juguetes provienen de los 9 juguetes que no son perros. Hay C ( 9 , 5 ) maneras de elegir juguetes de los 9 juguetes que no son perros. Dado que hay 14 juguetes, hay C ( 14 , 5 ) maneras de elegir los 5 juguetes de entre todos los juguetes. C ( 9 , 5 ) C ( 14 , 5 ) = 63 1.001 Si se elige 1 perro, entonces 4 juguetes deben proceder de los 9 juguetes que no son perros, y 1 debe proceder de los 5 perros. Como estamos eligiendo tanto perros como otros juguetes al mismo tiempo, utilizaremos el principio de multiplicación. Hay C ( 5 , 1 ) ⋅ C ( 9 , 4 ) maneras de elegir 1 perro y 1 otro juguete. C ( 5 , 1 ) C ( 9 , 4 ) C ( 14 , 5 ) = 5 ⋅ 126 2.002 = 315 1.001 Dado que estos sucesos no ocurrirían juntos y, por tanto, son mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades para calcular la probabilidad de que se elijan menos de 2 perros. 63 1.001 + 315 1.001 = 378 1.001 A continuación, restamos esa probabilidad de 1 para hallar la probabilidad de que se elijan, al menos, 2 perros. 1 − 378 1.001 = 623 1.001 Ejercicio Un niño selecciona al azar 3 bolas de chicle de un recipiente que contiene 4 bolas de chicle moradas, 8 amarillas y 2 verdes. Ⓐ Calcule la probabilidad de que las 3 bolas de chicle seleccionadas sean moradas. Ⓑ Calcule la probabilidad de que no se seleccione ninguna bola de chicle amarilla. Ⓒ Calcule la probabilidad de que se seleccione, al menos, 1 bola de chicle amarilla. a . 1 91 ; b . 5 91 ; c . 86 91 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la probabilidad. Introducción a la probabilidad Determinar la probabilidad Ecuaciones clave probabilidad de un suceso con resultados igualmente probables P ( E ) = n ( E ) n ( S ) probabilidad de la unión de dos eventos P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) - P ( E ∩ F ) probabilidad de la unión de eventos mutuamente excluyentes P ( E ∪ F ) = P ( E ) + P ( F ) probabilidad del complemento de un evento P ( E ' ) = 1 – P ( E ) Conceptos clave La probabilidad es siempre un número entre 0 y 1, donde 0 significa que un evento es imposible y 1 significa que un evento es seguro. Las probabilidades de un modelo de probabilidad deben sumar 1. Vea el . Cuando los resultados de un experimento son todos igual de probables, podemos calcular la probabilidad de un suceso al dividir el número de resultados del suceso entre el número total de resultados en el espacio muestral del experimento. Vea el . Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, sumamos las probabilidades de los dos eventos y restamos la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente. Vea el . Para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos mutuamente excluyentes, sumamos las probabilidades de cada uno de los eventos. Vea el . La probabilidad del complemento de un evento es la diferencia entre 1 y la probabilidad de que el evento ocurra. Vea el . En algunos problemas de probabilidad, necesitamos utilizar permutaciones y combinaciones para hallar el número de elementos en los eventos y espacios muestrales. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué término se utiliza para expresar la posibilidad de que se produzca un evento? ¿Hay restricciones en sus valores? Si es así, ¿cuáles son? Si no es así, explique. probabilidad; la probabilidad de un evento se restringe a valores entre 0 y 1 , incluso 0 y 1. ¿Qué es un espacio muestral? ¿Qué es un experimento? Un experimento es una actividad con un resultado observable. ¿Cuál es la diferencia entre eventos y resultados? Dé un ejemplo de ambos utilizando el espacio muestral de lanzar una moneda 50 veces. La unión de dos conjuntos se define como un conjunto de elementos que están presentes en, al menos, uno de los conjuntos. ¿En qué se parece esto a la definición utilizada para la unión de dos eventos de un modelo de probabilidades? ¿En qué se diferencia? La probabilidad de que se produzca la unión de dos eventos es un número que describe la posibilidad de que se produzca, al menos, uno de los eventos de un modelo de probabilidades. En una unión de conjuntos A y B y una unión de eventos A y B , la unión incluye A o B o ambos. La diferencia es que una unión de conjuntos da como resultado otro conjunto, mientras que la unión de eventos es una probabilidad, por lo que siempre es un valor numérico entre 0 y 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, use la ruleta que se muestra en la para calcular las probabilidades indicadas. Cae en rojo Cae en una vocal 1 2 . No cae en azul Cae en morado o en una vocal 5 8 . Cae en azul o en una vocal Cae en verde o en azul 1 2 . Cae en amarillo o en una consonante No cae en amarillo ni en una consonante 3 8 . En los siguientes ejercicios, se lanzan dos monedas. ¿Cuál es el espacio muestral? Calcule la probabilidad de lanzar dos caras. 1 4 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente una cruz. Calcule la probabilidad de lanzar, al menos, una cruz. 3 4 . En los siguientes ejercicios, se lanzan cuatro monedas. ¿Cuál es el espacio muestral? Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras. 3 8 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente tres caras. Calcule la probabilidad de lanzar cuatro caras o cuatro cruces. 1 8 . Calcule la probabilidad de lanzar todas cruces. Calcule la probabilidad de lanzar no todas cruces. 15 16 . Calcule la probabilidad de lanzar exactamente dos caras o, al menos, dos cruces. Calcule la probabilidad de lanzar dos caras o tres caras. 5 8 . En los siguientes ejercicios, se extrae una carta de una baraja estándar de 52 cartas. Calcule la probabilidad de sacar lo siguiente: Un trébol Un dos 1 13 . Seis o siete Seis rojo 1 26 . Un as o un diamante Una carta que no sea as 12 13 . Un corazón o una carta que no sea jota En los siguientes ejercicios, se lanzan dos dados y se suman los resultados. Construya una tabla que muestre el espacio muestral de los resultados y las sumas. 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) 2 (1, 2) 3 (1, 3) 4 (1, 4) 5 (1, 5) 6 (1, 6) 7 2 (2, 1) 3 (2, 2) 4 (2, 3) 5 (2, 4) 6 (2, 5) 7 (2, 6) 8 3 (3, 1) 4 (3, 2) 5 (3, 3) 6 (3, 4) 7 (3, 5) 8 (3, 6) 9 4 (4, 1) 5 (4, 2) 6 (4, 3) 7 (4, 4) 8 (4, 5) 9 (4, 6) 10 5 (5, 1) 6 (5, 2) 7 (5, 3) 8 (5, 4) 9 (5, 5) 10 (5, 6) 11 6 (6, 1) 7 (6, 2) 8 (6, 3) 9 (6, 4) 10 (6, 5) 11 (6, 6) 12 Calcule la probabilidad de sacar una suma de 3. Calcule la probabilidad de sacar, al menos, un cuatro o una suma de 8. 5 12 . Calcule la probabilidad de sacar una suma impar menor que 9. Calcule la probabilidad de sacar una suma mayor que o igual a 15. 0 . Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que 15. Calcule la probabilidad de sacar una suma menor que 6 o mayor que 9. 4 9 . Calcule la probabilidad de sacar una suma entre 6 y 9 , , inclusive. Calcule la probabilidad de sacar una suma de 5 ni 6. 1 4 . Calcule la probabilidad de sacar cualquier suma que no sea 5 ni 6. En los siguientes ejercicios, se lanza una moneda y se saca una carta de una baraja estándar. Calcule la probabilidad de lo siguiente: Una cara en la moneda o un trébol 5 8 Una cruz en la moneda o un as rojo Una cara en la moneda o una carta con cara 8 13 No hay ases En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: una bolsa de M&M contiene 12 azules, 6 marrones, 10 anaranjados, 8 amarillos, 8 rojos y 4 M&M verdes. Una persona mete la mano en la bolsa y agarra 5 M&M. ¿Cuál es la probabilidad de obtener todos los M&M azules? C ( 12 , 5 ) C ( 48 , 5 ) = 1 2.162 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 M&M azules? ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 M&M azules? C ( 12 , 3 ) C ( 36 , 2 ) C ( 48 , 5 ) = 175 2.162 ¿Cuál es la probabilidad de no obtener M&M marrones? Extensiones Utilice el siguiente escenario para los próximos ejercicios: En el juego de Keno, un jugador comienza con la selección de 20 números de los números del 1 al 80. Después de que el jugador haga sus selecciones, 20 números ganadores se seleccionan al azar entre los números del 1 al 80. Hay una victoria si el jugador ha seleccionado correctamente 3 , 4 , o 5 de los 20 números ganadores (redondee todas las respuestas a la centésima de porcentaje más cercana). ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 3 números ganadores? C ( 20 , 3 ) C ( 60 , 17 ) C ( 80 , 20 ) ≈ 12,49 % ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione exactamente 4 números ganadores? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que un jugador seleccione los 5 números ganadores? C ( 20 , 5 ) C ( 60 , 15 ) C ( 80 , 20 ) ≈ 23,33 % ¿Cuál es el porcentaje de posibilidades de ganar? ¿Qué tan menor es la probabilidad de que un jugador seleccione 3 números ganadores comparada a la probabilidad de que seleccione 4 o 5 números ganadores? 20,50 + 23,33 − 12,49 = 31,34 % Aplicaciones en el mundo real Utilice estos datos para los próximos ejercicios: En 2013, había unos 317 millones de ciudadanos en Estados Unidos, y unos 40 millones eran de edad avanzada (mayores de 65 años). Oficina del Censo de Estados Unidos. http://www.census.gov Si conoce a un ciudadano estadounidense, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que esa persona sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente uno sea de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). C ( 40.000.000 , 1 ) C ( 277.000.000 , 4 ) C ( 317.000.000 , 5 ) = 36,78 % Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que tres sean de edad avanzada? (Redondee a la décima de porcentaje más cercana). Si conoce a cinco ciudadanos estadounidenses, ¿cuál es el porcentaje de probabilidad de que cuatro sean de edad avanzada? (Redondee a la milésima de porcentaje más cercana). C ( 40.000.000 , 4 ) C ( 277.000.000 , 1 ) C ( 317.000.000 , 5 ) = 0,11 % Se prevé que en 2030 uno de cada cinco ciudadanos estadounidenses será de edad avanzada. ¿Cuántas más posibilidades habrá de conocer a una persona de edad avanzada en ese momento? ¿Qué cambios políticos prevé si se cumplen estas estadísticas? Ejercicios de repaso del capítulo Secuencias y su notación Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva a 1 = 2 , a n = a n – 1 + n . 2 , 4 , 7 , 11 Evalúe 6 ! ( 5 - 3 ) ! 3 ! . Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = 10 n + 3. 13 , 103 , 1.003 , 10.003 Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = n ! n ( n + 1 ) . Secuencias aritméticas ¿Es la secuencia 4 7 , 47 21 , 82 21 , 39 7 , ... aritmética? Si es así, halle la diferencia común. La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 5 3 . ¿Es la secuencia 2 , 4 , 8 , 16 , ... aritmética? Si es así, halle la diferencia común. Una secuencia aritmética tiene el primer término a 1 = 18 y la diferencia común d = − 8. ¿Cuáles son los cinco primeros términos? 18 , 10 , 2 , − 6 , − 14 Una secuencia aritmética tiene términos a 3 = 11,7 y a 8 = − 14,6. ¿Cuál es el primer término? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética − 20 , - 10 , 0 , 10 ,… a 1 = − 20 , a n = a n – 1 + 10 Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética 0 , - 1 2 , - 1 , - 3 2 , … , y luego calcule el 31. º término. Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética 7 8 , 29 24 , 37 24 , 15 8 , … a n = 1 3 n + 13 24 ¿Cuántos términos hay en la secuencia aritmética finita 12 , 20 , 28 , … , 172 ? Secuencias geométricas Calcule la razón común de la secuencia geométrica 2,5 , 5 , 10 , 20 , … r = 2 ¿La secuencia 4, 16, 28, 40 ... es geométrica? Si es así, calcule la razón común. Si no es así, explique por qué. Una secuencia geométrica tiene términos a 7 = 16 , 384 y a 9 = 262 , 144 . ¿Cuáles son los cinco primeros términos? 4, 16, 64, 256, 1.024 Una secuencia geométrica tiene el primer término a 1 = - 3 y razón común r = 1 2 . ¿Cuál es el 8.º término? ¿Cuáles son los cinco primeros términos de la secuencia geométrica a 1 = 3 , a n = 4 ⋅ a n – 1 ? 3 , 12 , 48 , 192 , 768 Escriba una fórmula recursiva para la secuencia geométrica 1 , 1 3 , 1 9 , 1 27 , … Escriba una fórmula explícita para la secuencia geométrica − 1 5 , - 1 15 , - 1 45 , - 1 135 , … a n = - 1 5 ⋅ ( 1 3 ) n – 1 Cuántos términos hay en la secuencia geométrica finita − 5 , - 5 3 , - 5 9 , … , - 5 59 , 049 ? Las series y su notación Utilice la notación sumatoria para escribir la suma de términos 1 2 m + 5 a partir de m = 0, 0 con m = 5. ∑ m = 0, 0 5 ( 1 2 m + 5 ) . Utilice la notación de sumatoria para escribir la suma que resulta de sumar el número 13 veinte veces. Utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie aritmética para hallar la suma de los once primeros términos de la serie aritmética 2,5, 4, 5,5, ... . S 11 = 110 Una escalera tiene 15 peldaños cónicos, cuyas longitudes aumentan por una diferencia común. El primer peldaño mide 5 pulgadas y el último 20 pulgadas de largo. ¿Cuál es la suma de las longitudes de los peldaños? Use la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular S 9 para la serie 12 , 6 , 3 , 3 2 , … S 9 ≈ 23,95 Las cuotas de los tres primeros años de afiliación a un club de caza se indican en la . Si las cuotas siguen aumentando al mismo ritmo, ¿cuál será el costo total de los diez primeros años de afiliación? Año Cuotas de afiliación 1 $ 1.500 2 $ 1.950 3 $ 2.535 Calcule la suma de la serie geométrica infinita ∑ k = 1 ∞ 45 ⋅ ( - 1 3 ) k - 1 . S = 135 4 Una pelota tiene una razón de rebote de 3 5 la altura del rebote anterior. Escriba una serie que represente la distancia total recorrida por la pelota, suponiendo que se dejó caer inicialmente desde una altura de 5 pies. ¿Cuál es la distancia total? ( Pista : la distancia total que recorre la pelota en cada rebote es la suma de las alturas de la subida y la bajada). Alejandro deposita 80 dólares de sus ingresos mensuales en una anualidad que gana un interés anual del 6,25 %, calculado mensualmente. ¿Cuánto dinero habrá ahorrado después de 5 años? 5.617,61 dólares. Los gemelos Hoa y Binh abrieron cuentas de jubilación cuando cumplieron 21 años. Hoa deposita 4.800,00 dólares cada año, ganando un 5,5 % de interés anual, calculado mensualmente. Binh deposita 3.600,00 dólares cada año, ganando un 8,5 % de interés anual, calculado mensualmente. Qué gemelo ganará más intereses al momento en que tengan 55 años? ¿Cuánto más? Principios de conteo ¿Cuántas maneras hay de elegir un número del conjunto { − 10 , − 6 , 4 , 10 , 12 , 18 , 24 , 32 } que es divisible entre 4 o 6 ? 6 En un grupo de 20 músicos, 12 tocan el piano, 7 tocan la trompeta y 2 tocan tanto el piano como la trompeta. ¿Cuántos músicos tocan el piano o la trompeta? ¿De cuántas maneras se puede construir un código de 4 dígitos si los números se pueden repetir? 10 4 = 10 . 000 Una paleta de pinturas de acuarela tiene 3 tonos de verde, 3 tonos de azul, 2 tonos de rojo, 2 tonos de amarillo y 1 tono de negro. ¿De cuántas maneras se puede elegir un tono de cada color? Calcule P ( 18 , 4 ) . P ( 18 , 4 ) = 73 , 440 En un grupo de 5 del primer año, 10 del segundo año, 3 del tercer año, y 2 estudiantes del cuarto año, ¿de cuántas maneras se puede elegir al presidente, al vicepresidente y al tesorero? Calcule C ( 15 , 6 ) . C ( 15 , 6 ) = 5005 Una cafetería tiene 7 tostados guatemaltecos, 4 cubanos y 10 costarricenses. ¿De cuántas maneras puede la tienda elegir 2 tostados guatemaltecos, 2 cubanos y 3 costarricenses para una degustación de café? ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto { 1 , 3 , 5 , … , 99 } ? 2 50 = 1,13 × 10 15 Un spa cobra una tarifa básica por día que incluye el uso del sauna, de la piscina y de las duchas. Por un costo suplementario, los visitantes pueden elegir entre los siguientes servicios adicionales: masaje, exfoliación corporal, manicura, pedicura, tratamiento facial y afeitado con cuchilla. ¿De cuántas maneras se puede pedir servicios adicionales en el spa? ¿De cuántas maneras distintas se puede ordenar la palabra DEADWOOD? 8 ! 3 ! 2 ! = 3360 ¿Cuántas reorganizaciones distintas de las letras de la palabra DEADWOOD hay si la palabra debe comenzar y terminar con la letra D? Teorema del binomio Evalúe el coeficiente binomial ( 23 8 ) . 490 , 314 Utilice el teorema del binomio para expandir ( 3 x + 1 2 y ) 6 . Utilice el teorema del binomio para escribir los tres primeros términos de ( 2 a + b ) 17 . 131 , 072 a 17 + 1 , 114 , 112 a 16 b + 4 , 456 , 448 a 15 b 2 Halle el cuarto término de ( 3 a 2 - 2 b ) 11 sin expandir completamente el binomio. Probabilidad En los siguientes ejercicios, suponga que se lanzan dos dados. Construya una tabla que muestre el espacio muestral. 1 2 3 4 5 6 1 1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6 2 2;1 2;2 2;3 2;4 2;5 2;6 3 3;1 3;2 3;3 3;4 3;5 3;6 4 4;1 4;2 4;3 4;4 4;5 4;6 5 5;1 5;2 5;3 5;4 5;5 5;6 6 6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6 ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un 2 ? ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un par? 1 6 ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento incluya un 2 o resulte en un par? ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya un 2 o resulte en un par? 5 9 ¿Cuál es la probabilidad de lanzar un 5 o un 6? ¿Cuál es la probabilidad de que un lanzamiento no incluya ni un 5 ni un 6? 4 9 En los siguientes ejercicios, utilice estos datos: Una encuesta realizada en una escuela primaria reveló que 350 de los 500 estudiantes preferían las gaseosas a la leche. Supongamos que 8 niños de la escuela asisten a una fiesta de cumpleaños (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana). ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que todos los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que, al menos, uno de los niños que asisten a la fiesta prefiera leche? 1 - C ( 350 , 8 ) C ( 500 , 8 ) ≈ 94,4 % ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran gaseosas? ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 de los niños que asisten a la fiesta prefieran leche? C ( 150 , 3 ) C ( 350 , 5 ) C ( 500 , 8 ) ≈ 25,6 % Prueba de práctica Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula recursiva a = – 14 , a n = 2 + a n – 1 2 . − 14 , − 6 , - 2 , 0 Escriba los cuatro primeros términos de la secuencia definida por la fórmula explícita a n = n 2 – n – 1 n ! . ¿Es la secuencia 0,3 , 1,2 , 2,1 , 3 , … aritmética? Si es así, halle la diferencia común. La secuencia es aritmética. La diferencia común es d = 0,9. Una secuencia aritmética tiene el primer término a 1 = – 4 y la diferencia común d = – 4 3 . ¿Cuál es el 6.º término? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia aritmética − 2 , - 7 2 , - 5 , − 13 2 , … y luego halle el 22.º término. a 1 = - 2 , a n = a n – 1 - 3 2 ; a 22 = − 67 2 Escriba una fórmula explícita para la secuencia aritmética 15,6 , 15 , 14,4 , 13,8 , … y luego halle el 32.º término. ¿Es la secuencia − 2 , - 1 , - 1 2 , - 1 4 , … geométrica? Si es así, halle la razón común. Si no es así, explique por qué. La secuencia es geométrica. La razón común es r = 1 2 . ¿Cuál es el 11.º término de la secuencia geométrica − 1,5 , - 3 , − 6 , − 12 , … ? Escriba una fórmula recursiva para la secuencia geométrica 1 , - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , … a 1 = 1 , a n = - 1 2 ⋅ a n – 1 Escriba una fórmula explícita para la secuencia geométrica 4 , - 4 3 , 4 9 , - 4 27 , … Utilice la notación sumatoria para escribir la suma de términos 3 k 2 - 5 6 k a partir de k = - 3 con k = 15. ∑ k = - 3 15 ( 3 k 2 - 5 6 k ) Un estadio de béisbol comunitario tiene 10 asientos en la primera fila, 13 en la segunda, 16 en la tercera, y así sucesivamente. Hay 56 filas en total. ¿Cuál es el aforo del estadio? Utilice la fórmula de la suma de los primeros n términos de una serie geométrica para calcular ∑ k = 1 7 − 0,2 ⋅ ( - 5 ) k - 1 . S 7 = − 2.604,2 Calcule la suma de la serie geométrica infinita ∑ k = 1 ∞ 1 3 ⋅ ( - 1 5 ) k - 1 . Ramla deposita cada año 3.600 dólares en un fondo de jubilación. El fondo gana un 7,5 % de interés anual, compuesto mensualmente. Si abrió su cuenta a los 20 años, ¿cuánto tendrá a los 55? ¿Qué parte de esa cantidad era ganancia de intereses? Total en la cuenta: $ 140 , 355,75 ; Intereses ganados: $ 14 , 355,75 En una competencia de 50 bailarines de salón profesionales, 22 participan en la competencia de fox-trot, 18 en la de tango y 6 en ambas. ¿Cuántos bailarines participan en las competencias de fox-trot o tango? El comprador de un sedán nuevo puede encargar el auto a su gusto y tiene para elegir entre 5 colores exteriores diferentes, 3 colores interiores distintos, 2 sistemas de sonido, 3 diseños de motor y una transmisión manual o automática. ¿Cuántas opciones tiene el comprador? 5 × 3 × 2 × 3 × 2 = 180 Para asignar las primas anuales, un gerente debe elegir a sus cuatro mejores empleados y clasificarlos del primero al cuarto. ¿De cuántas maneras puede crear la lista de los \"cuatro mejores\" entre los 32 empleados? Un grupo musical tiene que elegir 3 canciones para tocar en la Guerra de Bandas anual. ¿De cuántas maneras pueden elegir su set si tienen 15 canciones para escoger? C ( 15 , 3 ) = 455 Una tienda de yogur helado de autoservicio tiene 8 ingredientes de dulces y 4 de fruta para elegir. ¿De cuántas maneras se pueden agregar ingredientes a un yogur helado? ¿De cuántas formas distintas se puede ordenar la palabra EVANESCENCE si el anagrama debe terminar con la letra E? 10 ! 2 ! 3 ! 2 ! = 151 , 200 Utilice el teorema del binomio para expandir ( 3 2 x – 1 2 y ) 5 . Halle el séptimo término de ( x 2 – 1 2 ) 13 sin expandir completamente el binomio. 429 x 14 16 En los siguientes ejercicios, utilice la ruleta de la . Construya un modelo de probabilidades que muestre cada resultado posible y su probabilidad asociada (Utilice la primera letra para los colores). ¿Cuál es la probabilidad de caer en un número impar? 4 7 ¿Cuál es la probabilidad de caer en el azul? ¿Cuál es la probabilidad de caer en el azul o en un número impar? 5 7 ¿Cuál es la probabilidad de caer en algo que no sea el azul ni un número impar? Un bol de dulces contiene 16 caramelos de menta, 14 de mantequilla y 10 de fresa. Supongamos que una persona toma un puñado de 7 caramelos. ¿Cuál es el porcentaje de probabilidad de que exactamente 3 sean de mantequilla? (Muestre los cálculos y redondee a la décima de porcentaje más cercana). C ( 14 , 3 ) C ( 26 , 4 ) C ( 40 , 7 ) ≈ 29,2 % complemento de un evento el conjunto de resultados en el espacio muestral que no están en el evento E evento cualquier subconjunto de un espacio muestral experimento una actividad con un resultado observable eventos mutuamente excluyentes eventos que no tienen resultados en común resultados los posibles resultados de un experimento probabilidad un número del 0 al 1 que indica la posibilidad de un evento modelo de probabilidades una descripción matemática de un experimento que enumera todos los resultados posibles y sus probabilidades asociadas espacio muestral el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento unión de dos eventos el evento que se produce si se produce uno o ambos eventos", "section": "Probabilidad", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Introducción La corredora holandesa Sifan Hassan pasa por delante de sus competidoras principales en su camino hacia la victoria. La holandesa oriunda de Etiopía Sifan Hassan ha dominado las carreras de distancia durante varios años. Fue la primera en ganar las carreras de 1.500 y 10.000 metros en un campeonato mundial. Durante los Juegos Olímpicos de Tokio, se unió a la única corredora en la historia al obtener una medalla en la rara vez intentada distancia del triple: ganó la medalla de oro en los 5.000 y 10.000 metros y el bronce en los 1.500. El estilo característico de Hassan es permanecer en la retaguardia durante gran parte de la carrera, para luego avanzar en las últimas vueltas. Hassan no corre a su máxima velocidad a cada instante. ¿Cómo podemos entonces calcular su velocidad en un instante dado? En este capítulo hallaremos la respuesta a esta y muchas otras preguntas semejantes.", "section": "Introducción", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos Intuitivamente, sabemos lo que es un límite . Un automóvil solo puede ir hasta cierta velocidad y no más rápido. Un cubo de basura puede contener 33 galones y no más. Es natural que las cantidades medidas tengan límites. ¿Cuál es, por ejemplo, el límite de la altura de una mujer? La mujer más alta de quien se tiene constancia es Jinlian Zeng, de China, que mide 8 ft, 1 in. https://en.wikipedia.org/wiki/Human_height y http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_tallest_people ¿Este es el límite de altura que pueden alcanzar las mujeres? Tal vez no, pero es probable que haya un límite que podríamos describir en pulgadas si fuéramos capaces de determinar cuál es. Por decirlo de forma matemática, la función cuya entrada es una mujer y cuya salida es una altura medida en pulgadas tiene un límite. En esta sección examinaremos enfoques numéricos y gráficos para identificar límites. Comprender la notación de límites Hemos visto cómo una secuencia puede tener un límite, un valor hacia el que se mueve la secuencia de términos a medida que aumenta el número de términos. Por ejemplo, los términos de la secuencia 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 ... se acercan cada vez más a 0. Una secuencia es un tipo de función, pero las funciones que no son secuencias también pueden tener límites. Podemos describir el comportamiento de la función a medida que los valores de entrada se acercan a un valor específico. Si el límite de una función f ( x ) = L , entonces a medida que la entrada x se acerca cada vez más a a , la coordenada y de salida se acerca cada vez más a L . Decimos que la salida \"se acerca a\" L . La proporciona una representación visual del concepto matemático de límite. A medida que el valor de entrada x se acerca a a , el valor de salida f ( x ) se acerca a L . La salida (coordenada y ) se acerca a L a medida que la entrada (coordenada x ) se acerca a a . Escribimos la ecuación de un límite como lím x → a f ( x ) = L . Esta notación indica que a medida que x se acerca a a tanto desde la izquierda de x = a y desde la derecha de x = a , el valor de salida se acerca a L . Considere la función f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x - 7 . Podemos factorizar la función como se muestra. f ( x ) = ( x - 7 ) ( x + 1 ) x - 7 Anule los factores similares en el numerador y el denominador. f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 Simplifique. Observe que x no puede ser 7, o estaríamos dividiendo entre 0, por lo que 7 no está en el dominio de la función original. Para no cambiar la función cuando simplificamos, ponemos la misma condición, x ≠ 7 , para la función simplificada. Podemos representar la función gráficamente como se muestra en la . Como el 7 no está permitido como entrada, no hay ningún punto en x = 7. Lo que sucede en x = 7 es completamente diferente de lo que ocurre en los puntos cercanos a x = 7 a cada lado. La notación lím x → 7 f ( x ) = 8 indica que a medida que la entrada x se acerca a 7 desde la izquierda o desde la derecha, la salida se acerca a 8. La salida puede acercarse tanto a 8 como queramos si la entrada está lo suficientemente cerca de 7. ¿Qué sucede en x = 7 ? Cuando x = 7 , no hay ninguna salida correspondiente. Lo escribimos como f ( 7 ) no existe. Esta notación indica que 7 no está en el dominio de la función. Ya lo habíamos indicado cuando escribimos la función como f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7. Observe que el límite de una función puede existir incluso cuando f ( x ) no está definida en x = a . Gran parte de nuestro trabajo posterior consistirá en determinar límites de funciones a medida que x se acerca a a , aunque la salida en x = a no existe. El límite de una función Una cantidad L es el límite de una función f ( x ) cuando x se acerca a a si, a medida que los valores de entrada de x se acercan a a (pero no son iguales a a ) , los valores de salida correspondientes de f ( x ) se acercan a L . Observe que el valor del límite no se ve afectado por el valor de salida de f ( x ) en a . Ambos a y L deben ser números reales. Lo escribimos como lím x → a f ( x ) = L Entender el límite de una función Para el siguiente límite, defina a , f ( x ) , y L . lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11 Primero, reconocemos la notación de un límite. Si el límite existe, a medida que x se acerca a a , escribimos lím x → a f ( x ) = L . Se nos da lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11. Esto significa que a = 2 , f ( x ) = 3 x + 5 , y L = 11. Análisis Recordemos que y = 3 x + 5 es una línea sin interrupciones. A medida que los valores de entrada se acerquen a 2, los valores de salida se acercarán a 11. Esto se puede expresar con la ecuación lím x → 2 ( 3 x + 5 ) = 11 , lo que significa que a medida que x se acerca a 2 (pero no es exactamente 2), la salida de la función f ( x ) = 3 x + 5 se acerca todo lo que queramos a 3 ( 2 ) + 5 , u 11, que es el límite L , al tomar valores de x suficientemente cerca de 2 pero no en x = 2. Ejercicio Para el siguiente límite, defina a , f ( x ) , y L . lím x → 5 ( 2 x 2 - 4 ) = 46 a = 5 , f ( x ) = 2 x 2 - 4 , y L = 46. Comprender los límites izquierdo y derecho Podemos acercarnos a la entrada de una función desde cualquier lado de un valor, desde la izquierda o la derecha. La muestra los valores de f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 como se han descrito anteriormente y se han representado en la . Los valores descritos como \"desde la izquierda\" son menores que el valor de entrada 7 y, por lo tanto, aparecerían a la izquierda del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la izquierda en la son 6,9 , 6,99 , y 6,999. Las salidas correspondientes son 7,9 , 7,99 , y 7,999. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca por la izquierda se conoce como el límite izquierdo. Para esta función, 8 es el límite izquierdo de la función f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 a medida que x se acerca a 7. Los valores descritos como \"desde la derecha\" son mayores que el valor de entrada 7 y, por tanto, aparecerían a la derecha del valor en una línea numérica. Los valores de entrada que se acercan a 7 desde la derecha en la son 7,1 , 7,01 , y 7,001. Las salidas correspondientes son 8,1 , 8,01 , y 8,001. Estos valores se acercan a 8. El límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca por la derecha se conoce como el límite derecho. Para esta función, 8 es también el límite derecho de la función f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7 a medida que x se acerca a 7. La muestra que podemos obtener la salida de la función a una distancia de 0,1 de 8 utilizando una entrada a una distancia de 0,1 de 7. En otras palabras, necesitamos una entrada de x dentro del intervalo 6,9 < x < 7,1 para producir un valor de salida de f ( x ) dentro del intervalo 7,9 < f ( x ) < 8,1. También vemos que podemos obtener valores de salida de f ( x ) sucesivamente más cerca de 8 al seleccionar valores de entrada más cercanos a 7. De hecho, podemos obtener valores de salida dentro de cualquier intervalo especificado si elegimos los valores de entrada adecuados. La proporciona una representación visual de los límites izquierdo y derecho de la función. A partir del gráfico de f ( x ) , observamos que la salida puede acercarse infinitesimalmente a L = 8 a medida que x se acerca a 7 por la izquierda y a medida que x se acerca a 7 por la derecha. Para indicar el límite izquierdo, escribimos lím x → 7 − f ( x ) = 8. Para indicar el límite derecho, escribimos lím x → 7 + f ( x ) = 8. Los límites izquierdo y derecho son los mismos para esta función. Límites izquierdo y derecho El límite izquierdo de una función f ( x ) cuando x se acerca a a desde la izquierda es igual a L , denotado por lím x → a − f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a de manera que x < a y x ≠ a . El límite derecho de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a desde la derecha, es igual a L , denotado por lím x → a + f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a pero mayores que a . Ambos a y L son números reales. Comprender los límites laterales En el ejemplo anterior, los límites izquierdo y derecho a medida que x se acerca a a son iguales. Si los límites izquierdo y derecho son iguales, decimos que la función f ( x ) tiene un límites laterales a medida que x se acerca a a . Más comúnmente, nos referimos a un límite lateral simplemente como un límite. Si el límite izquierdo no es igual al límite derecho, o si uno de ellos no existe, decimos que el límite no existe. Los límites laterales de la función a medida que x se acerca a a El límite de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a , es igual a L , es decir, lím x → a f ( x ) = L si y solo si lím x → a − f ( x ) = lím x → a + f ( x ) . En otras palabras, el límite izquierdo de una función f ( x ) cuando x se acerca a a es igual al límite derecho de la misma función a medida que x se acerca a a . Si existe tal límite, nos referimos al límite como límites laterales. En caso contrario, diremos que el límite no existe. Hallar un límite utilizando un gráfico Para determinar visualmente si existe un límite a medida que x se acerca a a , observamos el gráfico de la función cuando x está muy cerca de x = a . En la observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de a . Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de x = a , pero cerca de x = a . Aquí es donde x < a . Vemos que las salidas se acercan a algún número real L por lo que hay un límite izquierdo. Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de x = a , pero cerca de x = a . Aquí es donde x > a . Vemos que las salidas se acercan a algún número real L , por lo que hay un límite derecho. Si el límite izquierdo y el límite derecho son iguales, como ocurre en la , entonces sabemos que la función tiene límites laterales. Normalmente, cuando nos referimos a un \"límite\", nos referimos a límites laterales, a menos que lo llamemos límite de un lado. Por último, podemos buscar un valor de salida para la función f ( x ) cuando el valor de entrada x es igual a a . El par de coordenadas del punto sería ( a , f ( a ) ) . Si ese punto existe, entonces f ( a ) tiene un valor. Si el punto no existe, como en la , entonces decimos que f ( a ) no existe. Cómo Dada una función f ( x ) , utilice un gráfico para hallar los límites y el valor de una función a medida que x se acerca a a . Examine el gráfico para determinar si existe un límite izquierdo. Examine el gráfico para determinar si existe un límite derecho. Si los dos límites de un lado existen y son iguales, entonces hay límites laterales, lo que normalmente llamamos \"límite\". Si hay un punto en x = a , entonces f ( a ) es el valor de la función correspondiente. Hallar un límite utilizando un gráfico Determine los siguientes límites y el valor de la función f como se muestra en la . lím x → 2 – f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) f ( 2 ) Determine los siguientes límites y el valor de la función f como se muestra en la . lím x → 2 – f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) f ( 2 ) Si miramos la : lím x → 2 – f ( x ) = 8 ; cuando x < 2 , pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 + f ( x ) = 3 ; cuando x > 2 , pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 3. lím x → 2 f ( x ) no existe porque lím x → 2 – f ( x ) ≠ lím x → 2 + f ( x ) ; los límites izquierdo y derecho no son iguales. f ( 2 ) = 3 porque el gráfico de la función f pasa por el punto ( 2 , f ( 2 ) ) o ( 2 , 3 ) . Si miramos la : lím x → 2 – f ( x ) = 8 ; cuando x < 2 pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 + f ( x ) = 8 ; cuando x > 2 pero infinitesimalmente cerca de 2, los valores de salida se acercan a y = 8. lím x → 2 f ( x ) = 8 porque lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) = 8 ; los límites izquierdo y derecho son iguales. f ( 2 ) = 4 porque el gráfico de la función f pasa por el punto ( 2 , f ( 2 ) ) o ( 2 , 4 ) . Ejercicio Utilizando el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra en la , estime los siguientes límites. lím x → 0 f ( x ) lím x → 0 + f ( x ) lím x → 0 f ( x ) lím x → 2 f ( x ) lím x → 2 + f ( x ) lím x → 2 f ( x ) lím x → 4 f ( x ) lím x → 4 + f ( x ) lím x → 4 f ( x ) a. 0; b. 2; c. no existe; d. − 2 ; e. 0; f. no existe; g. 4; h. 4; i. 4 Hallar un límite utilizando una tabla La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de x se acercan a a de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite L . Veamos un ejemplo con la siguiente función: lím x → 5 ( x 3 − 125 x - 5 ) Para crear la tabla, evaluamos la función en valores cercanos a x = 5. Utilizamos algunos valores de entrada menores que 5 y otros mayores que 5 como en la . Los valores de la tabla muestran que cuando x > 5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente se acerca a 75. Cuando x > 5 pero acercándose a 5, la salida correspondiente también se acerca a 75. Dado que lím x → 5 − f ( x ) = 75 = lím x → 5 + f ( x ) , entonces lím x → 5 f ( x ) = 75. Recuerde que f ( 5 ) no existe. Cómo Dada una función f , utilice una tabla para hallar el límite a medida que x se acerca a a y el valor de f ( a ) , si existe. Elija varios valores de entrada que se acerquen a a tanto desde la izquierda como desde la derecha. Anótelos en una tabla. Evalúe la función en cada valor de entrada. Anótelos en la tabla. Determine si los valores de la tabla indican un límite izquierdo y un límite derecho. Si los límites izquierdo y derecho existen y son iguales, hay límites laterales. Sustituya x con la a para calcular el valor de f ( a ) . Hallar un límite utilizando una tabla Estime numéricamente el límite de la siguiente expresión mediante una tabla de valores a ambos lados del límite. lím x → 0 ( 5 sen ( x ) 3 x ) Podemos estimar el valor de un límite, si existe, evaluando la función en valores cercanos a x = 0, No podemos hallar un valor de la función para x = 0 directamente porque el resultado tendría un denominador igual a 0, y por lo tanto sería indefinido. f ( x ) = 5 sen ( x ) 3 x Para crear la elegimos varios valores de entrada cercanos a x = 0 , con la mitad de ellos menores que x = 0 y la mitad de ellos mayores que x = 0, Tenga en cuenta que tenemos que estar seguros de que estamos utilizando el modo radián. Evaluamos la función en cada valor de entrada para completar la tabla. Los valores de la tabla indican que cuando x < 0 pero acercándose a 0, la salida correspondiente se acerca a 5 3 . Cuando x > 0 pero acercándose a 0, la salida correspondiente también se acerca a 5 3 . Dado que lím x → 0 − f ( x ) = 5 3 = lím x → 0 + f ( x ) , entonces lím x → 0 f ( x ) = 5 3 . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es posible comprobar nuestra respuesta utilizando una herramienta gráfica? Sí. Anteriormente utilizamos una tabla para hallar un límite de 75 para la función f ( x ) = x 3 − 125 x - 5 a medida que x se acerca a 5. Para comprobarlo, graficamos la función en una ventana de visualización como se muestra en la . Una comprobación gráfica muestra que ambas ramas del gráfico de la función se acercan a la salida 75 a medida que x se acerca a 5. Además, podemos utilizar la función de \"trace\" de una calculadora gráfica. Al acercarse a x = 5 podemos observar numéricamente que las salidas correspondientes se acercan a 75. Ejercicio Estime numéricamente el límite de la siguiente función mediante una tabla: lím x → 0 ( 20 sen ( x ) 4 x ) lím x → 0 ( 20 sen ( x ) 4 x ) = 5 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay un método para determinar un límite mejor que el otro? No. Ambos métodos tienen ventajas. Los gráficos permiten una inspección rápida. Las tablas se pueden usar cuando no se dispone de herramientas gráficas, y se pueden calcular con una precisión mayor que la que podría verse a simple vista inspeccionando un gráfico. Usar una herramienta gráfica para determinar un límite Con el uso de una herramienta gráfica, si es posible, determine los límites izquierdo y derecho de la siguiente función a medida que x se acerca a 0. Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. f ( x ) = 3 sen ( π x ) Podemos utilizar una herramienta gráfica para investigar el comportamiento del gráfico cerca de x = 0, Centrándonos alrededor de x = 0 , elegimos dos ventanas de visualización de manera que la segunda se amplíe más cerca de x = 0 que la primera. El resultado se parecería a la para [ - 2 , 2 ] entre [ − 3 , 3 ] . El resultado se parecería a la para [ -0,1 , 0,1 ] entre [ −3 , 3 ] . Incluso más cerca de cero, somos aún menos capaces de distinguir cualquier límite. Cuanto más nos acerquemos a 0, mayores serán las oscilaciones de los valores de salida. Ese no es el comportamiento de una función con límite izquierdo o derecho. Y si no hay límite izquierdo ni derecho, ciertamente no hay límite para la función f ( x ) cuando x se acerca a 0. Escribimos lím x → 0 - ( 3 sen ( π x ) ) no existe . lím x → 0 + ( 3 sen ( π x ) ) no existe . lím x → 0 ( 3 sen ( π x ) ) no existe . Ejercicio Estime numéricamente el siguiente límite lím x → 0 ( sen ( 2 x ) ) . no existe Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el cálculo de límites. Introducción a los límites Definición formal de un límite Conceptos clave Una función tiene un límite si los valores de salida se acercan a algún valor L a medida que los valores de entrada se acercan a alguna cantidad a . Vea el . Se utiliza una notación abreviada para describir el límite de una función según la forma lím x → a f ( x ) = L , que indica que a medida que x se acerca a a , tanto desde la izquierda de x = a y desde la derecha de x = a , el valor de salida se acerca a L . Una función tiene un límite izquierdo si f ( x ) se acerca a L a medida que x se acerca a a donde x < a . Una función tiene un límite derecho si f ( x ) se acerca a L a medida que x se acerca a a donde x > a . Existen límites laterales si el límite izquierdo y el límite derecho de una función son iguales. Se dice que una función tiene un límite si tiene límites laterales. Un gráfico proporciona un método visual para determinar el límite de una función. Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , las ramas del gráfico se acercarán a la misma coordenada y cerca de x = a desde la izquierda y desde la derecha. Vea el . Se puede utilizar una tabla para determinar si una función tiene un límite. La tabla debe mostrar los valores de entrada que se acercan a a desde ambas direcciones para poder evaluar los valores de salida resultantes. Si los valores de salida se acercan a algún número, la función tiene un límite. Vea el . También se puede utilizar una herramienta gráfica para hallar un límite. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la diferencia entre un valor en x = a y el límite a medida que x se acerca a a . El valor de la función, la salida, en x = a es f ( a ) . Cuando el lím x → a f ( x ) se toma, los valores de x se acercan infinitamente a a pero nunca son iguales a a . A medida que los valores de x se acercan a a desde la izquierda y desde la derecha, el límite es el valor al que se acerca la función. Explique por qué decimos que una función no tiene límite a medida que x se acerca a a si, a medida que x se acerca a a , el límite izquierdo no es igual al límite derecho. Gráficos En los siguientes ejercicios, estime los valores funcionales y los límites a partir del gráfico de la función f proporcionado en la . lím x → - 2 – f ( x ) -4 lím x → - 2 + f ( x ) lím x → - 2 f ( x ) -4 f ( −2 ) lím x → 1 - f ( x ) 2 lím x → 1 + f ( x ) lím x → 1 f ( x ) no existe f ( 1 ) lím x → 4 − f ( x ) 4 lím x → 4 + f ( x ) lím x → 4 f ( x ) no existe f ( 4 ) En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función a partir de los valores funcionales y los límites proporcionados. lím x → 0 − f ( x ) = 2 , lím x → 0 + f ( x ) = – 3 , lím x → 2 f ( x ) = 2 , f ( 0 ) = 4 , f ( 2 ) = – 1 , f ( – 3 ) no existe . Las respuestas variarán. lím x → 2 – f ( x ) = 0 , lím x → 2 + = – 2 , lím x → 0 f ( x ) = 3 , f ( 2 ) = 5 , f ( 0 ) Las respuestas variarán. lím x → 2 – f ( x ) = 2 , lím x → 2 + f ( x ) = - 3 , lím x → 0 f ( x ) = 5 , f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = 0 Las respuestas variarán. lím x → 3 − f ( x ) = 0 , lím x → 3 + f ( x ) = 5 , lím x → 5 f ( x ) = 0 , f ( 5 ) = 4 , f ( 3 ) no existe . Las respuestas variarán. lím x → 4 f ( x ) = 6 , lím x → 6 + f ( x ) = - 1 , lím x → 0 f ( x ) = 5 , f ( 4 ) = 6 , f ( 2 ) = 6 Las respuestas variarán. lím x → − 3 f ( x ) = 2 , lím x → 1 + f ( x ) = - 2 , lím x → 3 f ( x ) = – 4 , f ( – 3 ) = 0 , f ( 0 ) = 0 Las respuestas variarán. lím x → π f ( x ) = π 2 , lím x → – π f ( x ) = π 2 , lím x → 1 – f ( x ) = 0 , f ( π ) = 2 , f ( 0 ) no existe . Las respuestas variarán. En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para determinar el límite con 5 decimales a medida que x se acerca a 0. f ( x ) = ( 1 + x ) 1 x g ( x ) = ( 1 + x ) 2 x 7,38906 h ( x ) = ( 1 + x ) 3 x i ( x ) = ( 1 + x ) 4 x 54,59815 j ( x ) = ( 1 + x ) 5 x Basándose en el patrón que ha observado en los ejercicios anteriores, haga una conjetura sobre el límite de f ( x ) = ( 1 + x ) 6 x , g ( x ) = ( 1 + x ) 7 x , y h ( x ) = ( 1 + x ) n x . e 6 ≈ 403,428794 , e 7 ≈ 1.096,633158 , e n En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. ( x ) = { | x | - 1 , si x ≠ 1 x 3 , si x = 1 a = 1 ( x ) = { 1 x + 1 , si x = - 2 ( x + 1 ) 2 , si x ≠ − 2 a = - 2 lím x → - 2 f ( x ) = 1 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en x = a . En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función cerca de x = a . Redondee las respuestas a dos decimales. f ( x ) = x 2 - 4 x 16 - x 2 ; a = 4 f ( x ) = x 2 - x - 6 x 2 - 9 ; a = 3 lím x → 3 ( x 2 - x - 6 x 2 - 9 ) = 5 6 ≈ 0,83 f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x 2 – 7 x ; a = 7 f ( x ) = x 2 - 1 x 2 – 3 x + 2 ; a = 1 lím x → 1 ( x 2 – 1 x 2 - 3 x + 2 ) = - 2,00 f ( x ) = 1 - x 2 x 2 - 3 x + 2 ; a = 1 f ( x ) = 10 – 10 x 2 x 2 - 3 x + 2 ; a = 1 lím x → 1 ( 10 – 10 x 2 x 2 - 3 x + 2 ) = 20,00 f ( x ) = x 6 x 2 - 5 x - 6 ; a = 3 2 f ( x ) = x 4 x 2 + 4 x + 1 ; a = - 1 2 lím x → - 1 2 ( x 4 x 2 + 4 x + 1 ) no existe. Los valores de la función disminuyen sin límite a medida que x se acerca a –0,5 desde la izquierda o desde la derecha. f ( x ) = 2 x - 4 ; a = 4 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar el límite preparando una tabla de valores. Si no hay límite, describa el comportamiento de la función a medida que x se acerca al valor dado. lím x → 0 7 tan x 3 x lím x → 0 7 tan x 3 x = 7 3 lím x → 4 x 2 x - 4 lím x → 0 2 sen x 4 tan x En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para hallar pruebas numéricas o gráficas para determinar los límites izquierdo y derecho de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. lím x → 0 e e 1 x lím x → 0 e e - 1 x 2 lím x → 0 e e - 1 x 2 = 1,0 lím x → 0 | x | x lím x → - 1 | x + 1 | x + 1 lím x → - 1 − | x + 1 | x + 1 = - ( x + 1 ) ( x + 1 ) = - 1 y lím x → - 1 + | x + 1 | x + 1 = ( x + 1 ) ( x + 1 ) = 1 ; ya que el límite derecho no es igual al límite izquierdo, lím x → - 1 | x + 1 | x + 1 no existe. lím x → 5 | x - 5 | 5 - x lím x → - 1 1 ( x + 1 ) 2 lím x → - 1 1 ( x + 1 ) 2 no existe. La función aumenta sin límite a medida que x se acerca a − 1 desde cualquier lado. lím x → 1 1 ( x – 1 ) 3 lím x → 0 5 1 - e 2 x lím x → 0 5 1 - e 2 x no existe. Los valores de la función se acercan a 5 por la izquierda y se acercan a 0 por la derecha. Utilice pruebas numéricas y gráficos para comparar y contrastar los límites de dos funciones cuyas fórmulas parecen similares: f ( x ) = | 1 - x x | y g ( x ) = | 1 + x x | a medida que x se acerca a 0. Utilice una herramienta gráfica, si es posible, para determinar los límites izquierdo y derecho de las funciones f ( x ) y g ( x ) cuando x se acerca a 0. Si las funciones tienen un límite a medida que x se acerca a 0, indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. Extensiones Según la teoría de la relatividad, la masa m de una partícula depende de su velocidad v . Es decir, m = m i 1 - ( v 2 / c 2 ) donde m i es la masa cuando la partícula está en reposo y c es la velocidad de la luz. Halle el límite de la masa, m , a medida que v se acerca a c − . Mediante el examen de los postulados y la comprensión de la física relativista, a medida que v → c , m → ∞ . Lleve esto un paso más allá de la solución, lím v → c − m = lím v → c − m i 1 - ( v 2 / c 2 ) = ∞ Permita que la velocidad de la luz, c , sea igual a 1,0. Si la masa, m , es 1, ¿qué ocurre con m a medida que v → c ? Utilizando los valores que aparecen en la , haga una conjetura sobre cuál es la masa a medida que v se acerca a 1,00. v m 0,5 1,15 0,9 2,29 0,95 3,20 0,99 7,09 0,999 22,36 0,99999 223,61 límite izquierdo el límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca a a desde la izquierda, denotado como lím x → a − f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a de manera que x < a y x ≠ a . Ambos a y L son números reales. límite cuando existe, el valor, L , al que la salida de una función f ( x ) se acerca a medida que la entrada x se acerca cada vez más a a pero no es igual a a . El valor de la salida, f ( x ) , puede acercarse tanto a L como decidamos hacerlo utilizando los valores de entrada de x suficientemente cerca de x = a , pero no necesariamente en x = a . Ambos a y L son números reales, y L se denota lím x → a f ( x ) = L . límite derecho el límite de los valores de f ( x ) cuando x se acerca a a desde la derecha, denotado como lím x → a + f ( x ) = L . Los valores de f ( x ) pueden acercarse al límite L tanto como queramos tomando valores de x lo suficientemente cerca de a donde x > a , y x ≠ a . Ambos a y L son números reales. límites laterales el límite de una función f ( x ) , a medida que x se acerca a a , es igual a L , es decir, lím x → a f ( x ) = L si y solo si lím x → a − f ( x ) = lím x → a + f ( x ) .", "section": "Hallar los límites: enfoques numéricos y gráficos", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Hallar los límites: propiedades de los límites Considere la función racional f ( x ) = x 2 - 6 x - 7 x - 7 La función se puede factorizar de la siguiente manera: f ( x ) = ( x - 7 ) ( x + 1 ) x - 7 , que nos da f ( x ) = x + 1 , x ≠ 7. ¿Esto significa que la función f es lo mismo que la función g ( x ) = x + 1 ? La respuesta es no. La función f no tiene x = 7 en su dominio, pero g sí lo tiene. Gráficamente, observamos que hay un agujero en el gráfico de f ( x ) en x = 7 , como se muestra en la y no hay tal agujero en el gráfico de g ( x ) , como se muestra en la . El gráfico de la función f contiene una interrupción en x = 7 y por lo tanto no es continuo en x = 7. El gráfico de la función g es continuo. Entonces, ¿estas dos funciones diferentes también tienen límites diferentes a medida que x se acerca a 7? No necesariamente. Recuerde que al determinar el límite de una función a medida que x se acerca a a , lo que importa es si la salida se acerca a un número real a medida que nos acercamos a x = a . La existencia de un límite no depende de lo que ocurra cuando x es igual a a . Mire de nuevo la y la . Observe que en ambos gráficos, a medida que x se acerca a 7, los valores de salida se acercan a 8. Esto significa que lím x → 7 f ( x ) = lím x → 7 g ( x ) . Recuerde que cuando se determina un límite, la preocupación es lo que ocurre cerca de x = a , no en x = a . En esta sección utilizaremos una variedad de métodos, como reescribir funciones por factorización, para evaluar el límite. Estos métodos nos permitirán verificar formalmente lo que antes conseguíamos por intuición. Hallar el límite de una suma, una diferencia y un producto Graficar una función o explorar una tabla de valores para determinar un límite puede ser engorroso y llevar mucho tiempo. Cuando es posible, es más eficiente utilizar las propiedades de los límites , lo cual es una colección de teoremas para hallar límites. Conocer las propiedades de los límites nos permite calcularlos directamente. Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir los límites de las funciones como si estuviéramos realizando las operaciones sobre las propias funciones para hallar el límite del resultado. Del mismo modo, podemos hallar el límite de una función elevada a una potencia llevando el límite a esa potencia. También podemos hallar el límite de la raíz de una función tomando la raíz del límite. Utilizando estas operaciones sobre los límites, podemos hallar los límites de funciones más complejas hallando los límites de sus funciones componentes más simples. Propiedades de los límites Supongamos que a , k , A , y B representan números reales, y f y g son funciones, de manera que lím x → a f ( x ) = A y lím x → a g ( x ) = B . Para los límites que existen y son finitos, las propiedades de los límites se resumen en la Constante k lím x → a k = k Constante por una función lím x → a [ k ⋅ f ( x ) ] = k lím x → a f ( x ) = k A Suma de funciones lím x → a [ f ( x ) + g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) + lím x → a g ( x ) = A + B Diferencia de funciones lím x → a [ f ( x ) - g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) - lím x → a g ( x ) = A - B Producto de funciones lím x → a [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lím x → a f ( x ) ⋅ lím x → a g ( x ) = A ⋅ B Cociente de funciones lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) lím x → a g ( x ) = A B , B ≠ 0 Función elevada a un exponente lím x → a [ f ( x ) ] n = [ lím x → a f ( x ) ] n = A n , donde n es un número entero positivo raíz enésima de una función, donde n es un número entero positivo lím x → a f ( x ) n = lím x → a [ f ( x ) ] n = A n Función polinómica lím x → a p ( x ) = p ( a ) Evaluar el límite de una función de forma algebraica Evalúe lím x → 3 ( 2 x + 5 ) . lím x → 3 ( 2 x + 5 ) = lím x → 3 ( 2 x ) + lím x → 3 ( 5 ) Propiedad de la suma de funciones = 2 lím x → 3 ( x ) + lím x → 3 ( 5 ) Constante por una propiedad de la función = 2 ( 3 ) + 5 Evalúe = 11 Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → − 12 ( – 2 x + 2 ) . 26 Hallar el límite de un polinomio No todas las funciones o sus límites implican una simple suma, resta o multiplicación. Algunos pueden incluir polinomios. Recordemos que un polinomio es una expresión que consiste en la suma de dos o más términos, cada uno de los cuales está formado por una constante y una variable elevada a una potencia entera no negativa. Para hallar el límite de una función polinómica, podemos encontrar los límites de cada uno de los términos de la función y luego sumarlos. Además, el límite de una función polinómica a medida que x se acerca a a equivale a evaluar simplemente la función para a . Cómo Dada una función que contiene un polinomio, halle su límite. Utilice las propiedades de los límites para descomponer el polinomio en términos individuales. Halle los límites de los términos individuales. Sume los límites. Alternativamente, evalúe la función para a . Evaluar el límite de una función de forma algebraica Evalúe lím x → 3 ( 5 x 2 ) . lím x → 3 ( 5 x 2 ) = 5 lím x → 3 ( x 2 ) Constante por una propiedad de la función = 5 ( 3 2 ) Función elevada a una propiedad de exponente = 45 Ejercicio Evalúe lím x → 4 ( x 3 - 5 ) . 59 Evaluar el límite de un polinomio de forma algebraica Evalúe lím x → 5 ( 2 x 3 - 3 x + 1 ) . lím x → 5 ( 2 x 3 - 3 x + 1 ) = lím x → 5 ( 2 x 3 ) - lím x → 5 ( 3 x ) + lím x → 5 ( 1 ) Suma de funciones = 2 lím x → 5 ( x 3 ) - 3 lím x → 5 ( x ) + lím x → 5 ( 1 ) Constante por una función = 2 ( 5 3 ) - 3 ( 5 ) + 1 Función elevada a un exponente = 236 Evalúe Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → - 1 ( x 4 - 4 x 3 + 5 ) . 10 Hallar el límite de una potencia o una raíz Cuando un límite incluye una potencia o una raíz, necesitamos otra propiedad que nos permita evaluarlo. El cuadrado del límite de una función es igual al límite del cuadrado de la función; lo mismo ocurre con las potencias superiores. Asimismo, la raíz cuadrada del límite de una función es igual al límite de la raíz cuadrada de la función; lo mismo ocurre con las raíces superiores. Evaluar el límite de una potencia Evalúe lím x → 2 ( 3 x + 1 ) 5 . Tomaremos el límite de la función a medida cuando x se acerca a 2 y elevaremos el resultado a la 5.ª potencia. lím x → 2 ( 3 x + 1 ) 5 = ( lím x → 2 ( 3 x + 1 ) ) 5 = ( 3 ( 2 ) + 1 ) 5 = 7 5 = 16.807 Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → − 4 ( 10 x + 36 ) 3 . − 64 PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si no podemos aplicar directamente las propiedades de un límite, por ejemplo en lím x → 2 ( x 2 + 6 x + 8 x - 2 ) , ¿podemos aún determinar el límite de la función a medida que x se acerca a a ? Sí. Algunas funciones se pueden reordenar algebraicamente de modo que se pueda evaluar el límite de una forma equivalente simplificada de la función. Hallar el límite de un cociente Hallar el límite de una función expresada como cociente puede ser más complicado. A menudo, tenemos que reescribir la función algebraicamente antes de aplicar las propiedades de un límite. Si el denominador se evalúa a 0 cuando aplicamos las propiedades de un límite directamente, debemos reescribir el cociente en una forma diferente. Un enfoque es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Cómo Dado el límite de una función en forma de cociente, utilice la factorización para evaluarla. Factorice completamente el numerador y el denominador. Simplifique dividiendo los factores comunes al numerador y al denominador. Evalúe el límite resultante, y recuerde utilizar el dominio correcto. Evaluar el límite de un cociente mediante factorización Evalúe lím x → 2 ( x 2 - 6 x + 8 x - 2 ) . Factorice cuando sea posible, y simplifique. lím x → 2 ( x 2 - 6 x + 8 x - 2 ) = lím x → 2 ( ( x - 2 ) ( x - 4 ) x - 2 ) Factorice el numerador . = lím x → 2 ( ( x - 2 ) ( x - 4 ) x - 2 ) Anule los factores comunes . = lím x → 2 ( x - 4 ) Evalúe . = 2 - 4 = - 2 Análisis Cuando el límite de una función racional no se puede evaluar directamente, las formas factorizadas del numerador y del denominador se pueden simplificar a un resultado que puede ser evaluado. Observe que la función f ( x ) = x 2 - 6 x + 8 x - 2 es equivalente a la función f ( x ) = x - 4 , x ≠ 2. Observe que el límite existe aunque la función no esté definida en x = 2 . Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → 7 ( x 2 − 11 x + 28 7 - x ) . - 3 Evaluar el límite de un cociente hallando el mínimo común denominador Evalúe lím x → 5 ( 1 x – 1 5 x - 5 ) . Halle el mínimo común denominador para los denominadores de los dos términos del numerador y convierta ambas fracciones para que tengan el mínimo común denominador como denominador. Análisis Cuando se determina el límite de una función racional que tiene términos sumados o restados en el numerador o en el denominador, el primer paso es hallar el denominador común de los términos sumados o restados; luego, convertir ambos términos para que tengan ese denominador o simplificar la función racional multiplicando numerador y denominador por el mínimo común denominador. Luego compruebe si el numerador y el denominador resultantes tienen algún factor común. Ejercicio Evalúe lím x → − 5 ( 1 5 + 1 x 10 + 2 x ) . - 1 50 Cómo Dado un límite de una función que contiene una raíz, utilice un conjugado para evaluar. Si el cociente dado no está en forma indeterminada ( 0 0 ) evalúe directamente. En caso contrario, reescriba la suma (o diferencia) de dos cocientes como un único cociente, utilizando el mínimo común denominador . Si el numerador incluye una raíz, racionalice el numerador; multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del numerador. Recordemos que a ± b son conjugados. Simplifique. Evalúe el límite resultante. Evaluar un límite que contiene una raíz mediante un conjugado Evalúe lím x → 0 ( 25 - x - 5 x ) . lím x → 0 ( 25 - x - 5 x ) = lím x → 0 ( ( 25 - x - 5 ) x ⋅ ( 25 - x + 5 ) ( 25 - x + 5 ) ) Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado . = lím x → 0 ( ( 25 - x ) − 25 x ( 25 - x + 5 ) ) Multiplique: ( 25 - x - 5 ) ⋅ ( 25 - x + 5 ) = ( 25 - x ) − 25. = lím x → 0 ( - x x ( 25 - x + 5 ) ) Combine términos similares . = lím x → 0 ( - x x ( 25 - x + 5 ) ) Simplifique − x x = − 1. = - 1 25 − 0 + 5 Evalúe . = - 1 5 + 5 = - 1 10 Análisis Al determinar un límite de una función con una raíz como uno de los dos términos en los que no podemos evaluar directamente, piense en multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de los términos. Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím h → 0 ( 16 − h − 4 h ) . - 1 8 Evaluar el límite de un cociente de una función mediante factorización Evalúe lím x → 4 ( 4 - x x - 2 ) . lím x → 4 ( 4 - x x - 2 ) = lím x → 4 ( ( 2 + x ) ( 2 - x ) x - 2 ) Factorice. = lím x → 4 ( ( 2 + x ) ( 2 - x ) - ( 2 - x ) ) Factorice −1 fuera del denominador . Simplifique . = lím x → 4 - ( 2 + x ) Evalúe . = - ( 2 + 4 ) = – 4 Análisis Multiplicar por un conjugado ampliaría el numerador; busque en cambio factores en el numerador. El cuatro es un cuadrado perfecto por lo que el numerador tiene la forma a 2 - b 2 y se puede factorizar como ( a + b ) ( a - b ) . Ejercicio Evalúe el siguiente límite: lím x → 3 ( x - 3 x - 3 ) . 2 3 Cómo Dado un cociente con valores absolutos, evalúe su límite. Intente factorizar o calcular el mínimo común denominador. Si no se puede hallar el límite , elija varios valores cercanos y a ambos lados de la entrada donde la función es indefinida. Utilice las pruebas numéricas para calcular los límites de ambos lados. Evaluar el límite de un cociente con valores absolutos Evalúe lím x → 7 | x - 7 | x - 7 . La función es indefinida en x = 7 , así que probaremos valores cercanos a 7 por la izquierda y por la derecha. Límite por la izquierda: | 6,9 − 7 | 6,9 − 7 = | 6,99 − 7 | 6,99 − 7 = | 6,999 − 7 | 6,999 − 7 = - 1 Límite por la derecha: | 7,1 − 7 | 7,1 − 7 = | 7,01 − 7 | 7,01 − 7 = | 7,001 − 7 | 7,001 − 7 = 1 Como los límites izquierdo y derecho no son iguales, no hay límite. Ejercicio Evalúe lím x → 6 + 6 - x | x - 6 | . −1 Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las propiedades de los límites. Determinar un límite de forma analítica Conceptos clave Las propiedades de los límites se pueden utilizar para realizar operaciones sobre los límites de las funciones en vez de las propias funciones. Vea el . El límite de una función polinómica puede hallarse calculando la suma de los límites de los términos individuales. Vea el y el . El límite de una función elevada a una potencia es igual a la misma potencia del límite de la función. Otro método es la sustitución directa. Vea el . El límite de la raíz de una función es igual a la raíz correspondiente del límite de la función. Una forma de hallar el límite de una función expresada como cociente es escribir el cociente en forma factorizada y simplificar. Vea el . Otro método para hallar el límite de una fracción compleja es hallar el mínimo común denominador. Vea el . Un límite que contenga una función que contenga una raíz se puede evaluar mediante un conjugado. Vea el . Los límites de algunas funciones expresadas como cocientes se pueden hallar mediante la factorización. Vea el . Una forma de evaluar el límite de un cociente que contenga valores absolutos es utilizando evidencias numéricas. También puede ser útil configurarlas por partes. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Dé un ejemplo de un tipo de función f cuyo límite, a medida que x se acerca a a , es f ( a ) . Si f es una función polinómica, el límite de una función polinómica a medida que x se acerca a a siempre será f ( a ) . Cuando se utiliza la sustitución directa para evaluar el límite de una función racional a medida que x se acerca a a y el resultado es f ( a ) = 0 0 , ¿esto significa que el límite de f no existe? ¿Qué significa decir el límite de f ( x ) , a medida que x se acerca a c , es indefinido? Puede significar (1) que los valores de la función aumentan o disminuyen sin límite a medida que x se acerca a c , o (2) los límites izquierdo y derecho no son iguales. Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe los límites algebraicamente. lím x → 0 ( 3 ) lím x → 2 ( - 5 x x 2 – 1 ) − 10 3 lím x → 2 ( x 2 - 5 x + 6 x + 2 ) lím x → 3 ( x 2 - 9 x - 3 ) 6 lím x → - 1 ( x 2 - 2 x - 3 x + 1 ) lím x → 3 2 ( 6 x 2 - 17 x + 12 2 x - 3 ) 1 2 lím x → − 7 2 ( 8 x 2 + 18 x − 35 2 x + 7 ) lím x → 3 ( x 2 - 9 x - 5 x + 6 ) 6 lím x → − 3 ( − 7 x 4 − 21 x 3 - 12 x 4 + 108 x 2 ) lím x → 3 ( x 2 + 2 x - 3 x - 3 ) no existe lím h → 0 ( ( 3 + h ) 3 − 27 h ) lím h → 0 ( ( 2 − h ) 3 - 8 h ) − 12 lím h → 0 ( ( h + 3 ) 2 - 9 h ) lím h → 0 ( 5 − h − 5 h ) - 5 10 lím x → 0 ( 3 - x - 3 x ) lím x → 9 ( x 2 − 81 3 - x ) − 108 lím x → 1 ( x – x 2 1 - x ) lím x → 0 ( x 1 + 2 x – 1 ) 1 lím x → 1 2 ( x 2 – 1 4 2 x – 1 ) lím x → 4 ( x 3 − 64 x 2 - 16 ) 6 lím x → 2 - ( | x - 2 | x - 2 ) lím x → 2 + ( | x - 2 | x - 2 ) 1 lím x → 2 ( | x - 2 | x - 2 ) lím x → 4 - ( | x - 4 | 4 - x ) 1 lím x → 4 + ( | x - 4 | 4 - x ) lím x → 4 ( | x - 4 | 4 - x ) no existe lím x → 2 ( − 8 + 6 x – x 2 x - 2 ) Para el siguiente ejercicio, utilice la información dada para evaluar los límites: lím x → c f ( x ) = 3 , lím x → c g ( x ) = 5 . lím x → c [ 2 f ( x ) + g ( x ) ] 6 + 5 lím x → c [ 3 f ( x ) + g ( x ) ] lím x → c f ( x ) g ( x ) 3 5 En los siguientes ejercicios, evalúe los siguientes límites. lím x → 2 cos ( π x ) lím x → 2 sen ( π x ) 0 lím x → 2 sen ( π x ) f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 + f ( x ) - 3 f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 − f ( x ) f ( x ) = { 2 x 2 + 2 x + 1 , x ≤ 0 x - 3 , x > 0 ; lím x → 0 f ( x ) no existe; el límite derecho no es el mismo que el límite izquierdo. lím x → 4 x + 5 - 3 x - 4 lím x → 2 + ( 2 x − [ x ] ) 2 lím x → 2 x + 7 - 3 x 2 - x - 2 lím x → 3 + x 2 x 2 - 9 El límite no existe; el límite se acerca al infinito. En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio f ( x + h ) - f ( x ) h . f ( x ) = x + 1 f ( x ) = 2 x 2 – 1 4 x + 2 h f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 f ( x ) = x 2 + 4 x − 100 2 x + h + 4 f ( x ) = 3 x 2 + 1 f ( x ) = cos ( x ) cos ( x + h ) - cos ( x ) h f ( x ) = 2 x 3 - 4 x f ( x ) = 1 x - 1 x ( x + h ) f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = x - 1 x + h + x Gráficos Halle una ecuación que se pueda representar por la . Halle una ecuación que se pueda representar por la . f ( x ) = x 2 + 5 x + 6 x + 3 En los siguientes ejercicios, consulte la . ¿Cuál es el límite derecho de la función a medida que x se acerca a 0? ¿Cuál es el límite izquierdo de la función a medida que x se acerca a 0? no existe Aplicaciones en el mundo real La función de posición s ( t ) = - 16 t 2 + 144 t da la posición de un proyectil como una función de tiempo. Halle la velocidad media (tasa media de cambio) en el intervalo [ 1 , 2 ] . La altura de un proyectil está dada por s ( t ) = − 64 t 2 + 192 t Halle la tasa media de cambio de la altura de t = 1 segundo a t = 1,5 segundos. 52 La cantidad de dinero en una cuenta después de t años calculada continuamente a un interés del 4,25 % está dada por la fórmula A = A 0 e 0,0425 t , donde A 0 es la cantidad inicial invertida. Halle la tasa media de cambio del saldo de la cuenta de t = 1 año a t = 2 años si la cantidad inicial invertida es de 1.000,00 dólares. propiedades de los límites una colección de teoremas para hallar los límites de las funciones mediante la realización de operaciones matemáticas en los límites", "section": "Hallar los límites: propiedades de los límites", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Continuidad Arizona es conocida por su calor seco. En un día determinado, la temperatura puede subir hasta 118 ∘ F y bajar solo rápidamente a 95 ∘ F . La muestra la función T , donde la salida de T ( x ) es la temperatura en grados Fahrenheit y la entrada x es la hora del día, utilizando un reloj de 24 horas en un día determinado de verano. La temperatura como una función de tiempo forma una función continua. Al analizar este gráfico, observamos una característica específica. No hay interrupciones en el gráfico. Podríamos trazar el gráfico sin levantar el lápiz. Esta única observación nos dice mucho sobre la función. En esta sección investigaremos funciones con y sin interrupciones. Determinar si una función es continua en un número Consideremos un ejemplo específico de temperatura en términos de fecha y ubicación, como el 27 de junio de 2013, en Phoenix, AZ. El gráfico en la indica que a las 2 a. m. la temperatura era 96 ∘ F . A las 2 p. m. , la temperatura había subido a 116 ∘ F, y para las 4 p. m. era de 118 ∘ F . En algún momento entre las 2 a. m. y las 4 p. m. , la temperatura exterior debió ser exactamente 110,5 ∘ F . De hecho, cualquier temperatura entre 96 ∘ F y 118 ∘ F se produjo en algún momento de ese día. Esto significa que todos los números reales en la salida entre 96 ∘ F y 118 ∘ F se generan en algún momento por la función según el teorema del valor intermedio, Mire de nuevo la . No hay interrupciones en el gráfico de la función para este periodo de 24 horas. En ningún momento la temperatura dejó de existir, ni hubo un punto en el que la temperatura saltara instantáneamente varios grados. Una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico se conoce como función continua . La temperatura en función del tiempo es un ejemplo de función continua. Si la temperatura representa una función continua, ¿qué tipo de función no sería continua? Consideremos un ejemplo de dólares expresados como función de horas de estacionamiento. Vamos a crear la función D , donde D ( x ) es el resultado que representa el costo en dólares del estacionamiento por x número de horas. Vea la . Supongamos que un estacionamiento tiene una tarifa de 4,00 dólares por hora o fracción de hora, con una tarifa máxima de 25 dólares por día. Si se estaciona durante dos horas y cinco minutos, la tarifa es de 12 dólares. Si se aparca una hora más, la tarifa es de 16 dólares. Nunca nos pueden cobrar 13, 14 o 15 dólares. Hay números reales entre el 12 y el 16 que la función nunca produce. En este periodo de 24 horas, el gráfico de la función presenta interrupciones, puntos en los cuales el precio del estacionamiento salta instantáneamente en varios dólares. Las tarifas de estacionamiento forman una función discontinua. Una función que permanece nivelada durante un intervalo y luego salta instantáneamente a un valor superior se llama función escalonada . Esta función es un ejemplo. Una función que tiene algún agujero o interrupción en su gráfico se conoce como función discontinua . La función escalonada, como las tarifas de estacionamiento en función de las horas utilizadas, es un ejemplo de función discontinua. Entonces, ¿cómo podemos decidir si una función es continua en un número determinado? Podemos comprobar tres condiciones diferentes. Utilicemos la función y = f ( x ) representada en la como ejemplo. Condición 1 Según la condición 1, la función f ( a ) definida en x = a debe existir. En otras palabras, hay una coordenada y en x = a como en la . Condición 2 Según la condición 2, en x = a el límite, escrito lím x → a f ( x ) , debe existir. Esto significa que en x = a el límite izquierdo debe ser igual al límite derecho. Observe como el gráfico de f en la se acerca a x = a desde la izquierda y la derecha, se acerca a la misma coordenada y . Por lo tanto, se cumple la condición 2. Sin embargo, todavía podría existir un agujero en el gráfico en x = a . Condición 3 Según la condición 3, la coordenada y coordenadas en x = a rellena el agujero en el gráfico de f . Esto se escribe lím x → a f ( x ) = f ( a ) . El cumplimiento de las tres condiciones significa que la función es continua. Las tres condiciones se cumplen para la función representada en la , por lo que la función es continua, ya que x = a . Se cumplen las tres condiciones. La función es continua en x = a . De la a la se ofrecen varios ejemplos de gráficos de funciones que no son continuas en x = a y la condición o condiciones que fallan. Se cumple la condición 2. Las condiciones 1 y 3 fallan. Se cumplen las condiciones 1 y 2. La condición 3 falla. Se cumple la condición 1. Las condiciones 2 y 3 fallan. Las condiciones 1, 2 y 3 fallan. Definición de continuidad Una función f ( x ) es continua en x = a siempre que se cumplan las tres condiciones siguientes: Condición 1: f ( a ) . Condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) Si una función f ( x ) no es continua en x = a , la función es discontinua en x = a . Identificar una discontinuidad de salto La discontinuidad se genera de diferentes maneras. Hemos visto en la sección anterior que una función puede tener un límite izquierdo y un límite derecho aunque no sean iguales. Si los límites por la izquierda y por la derecha existen pero son diferentes, el gráfico \"salta\" en x = a . Se dice que la función tiene una discontinuidad de salto. Como ejemplo, mire el gráfico de la función y = f ( x ) en la . Observe como x se acerca a a cómo la salida se acerca a diferentes valores desde la izquierda y desde la derecha. Gráfico de una función con una discontinuidad de salto. Discontinuidad de salto Una función f ( x ) tiene una discontinuidad de salto en x = a si los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales: lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) . Identificar discontinuidad removible Algunas funciones tienen una discontinuidad, pero es posible redefinir la función en ese punto para hacerla continua. Se dice que este tipo de función tiene una discontinuidad removible. Veamos la función y = f ( x ) representada por el gráfico en la . La función tiene un límite. Sin embargo, hay un agujero en x = a . El agujero se puede rellenar si se amplía el dominio para incluir la entrada x = a y se define la salida correspondiente de la función en ese valor como el límite de la función en x = a . Gráfico de la función f con una discontinuidad removible en x = a . Discontinuidad removible Una función f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = a si el límite, lím x → a f ( x ) , existe, pero ya sea que f ( a ) no existe o f ( a ) , el valor de la función en x = a no es igual al límite, f ( a ) ≠ lím x → a f ( x ) . Identificar discontinuidades Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible. Ⓐ f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 Ⓑ g ( x ) = { x + 1 , x < 2 - x , x ≥ 2 Ⓐ Observe que la función está definida en todas partes excepto en x = 5. Así, f ( 5 ) no existe, la condición 2 no se cumple. Dado que se cumple la condición 1, el límite cuando x se acerca a 5 es 8, y la condición 2 no se cumple. Esto significa que hay una discontinuidad removible en x = 5. Ⓑ La condición 2 se cumple porque g ( 2 ) = − 2. Observe que la función es una función definida por partes , y para cada parte, la función está definida en todas partes de su dominio. Examinemos la condición 1 determinando los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 2. Límite por la izquierda: lím x → 2 - ( x + 1 ) = 2 + 1 = 3. El límite izquierdo existe. Límite por la derecha: lím x → 2 + ( - x ) = − 2. El límite derecho existe. Pero lím x → 2 – f ( x ) ≠ lím x → 2 + f ( x ) . Así que, lím x → 2 f ( x ) no existe y la condición 2 falla: No hay ninguna discontinuidad removible. Sin embargo, como los límites izquierdo y derecho existen pero no son iguales, se cumplen las condiciones para una discontinuidad de salto en x = 2. Ejercicio Identifique todas las discontinuidades de las siguientes funciones como un salto o una discontinuidad removible. Ⓐ f ( x ) = x 2 - 6 x x - 6 Ⓑ g ( x ) = { x , 0 ≤ x < 4 2 x , x ≥ 4 Ⓐ discontinuidad removible en x = 6 ; Ⓑ discontinuidad de salto en x = 4 Reconocer funciones continuas y discontinuas de números reales Muchas de las funciones que hemos encontrado en capítulos anteriores son continuas en todas partes. Nunca tienen un agujero y nunca saltan de un valor a otro. Para todas estas funciones, el límite de f ( x ) cuando x se acerca a a es el mismo que el valor de f ( x ) cuando x = a . Así que lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Hay algunas funciones que son continuas en todas partes y otras que solo son continuas donde están definidas en su dominio porque no están definidas para todos los números reales. Ejemplos de funciones continuas Las siguientes funciones son continuas en todas partes: Funciones polinómicas Ej.: f ( x ) = x 4 - 9 x 2 Funciones exponenciales Ej.: f ( x ) = 4 x + 2 - 5 Funciones de seno Ej.: f ( x ) = sen ( 2 x ) - 4 Funciones de coseno Ej.: f ( x ) = - cos ( x + π 3 ) Las siguientes funciones son continuas en todos los lugares en los que están definidas en su dominio: Funciones logarítmicas Ej.: f ( x ) = 2 ln ( x ) , x > 0 Funciones tangentes Ej.: f ( x ) = tan ( x ) + 2 , x ≠ π 2 + k π , k es un número entero Funciones racionales Ej.: f ( x ) = x 2 - 25 x - 7 , x ≠ 7 Cómo Dada una función f ( x ) , determine si la función es continua en x = a . Compruebe la condición 1: f ( a ) . Compruebe la condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Compruebe la condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x = a . Si no se cumple alguna de las condiciones, la función no es continua en x = a . Determinar si una función definida por partes es continua en un número dado Determine si la función f ( x ) = { 4 x , x ≤ 3 8 + x , x > 3 es continua en Ⓐ x = 3 Ⓑ x = 8 3 Para determinar si la función f es continua en x = a , determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = a . Ⓐ Condición 1: ¿Existe f ( a ) ? f ( 3 ) = 4 ( 3 ) = 12 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: ¿Existe el lím x → 3 f ( x ) ? A la izquierda de x = 3 , f ( x ) = 4 x ; a la derecha de x = 3 , f ( x ) = 8 + x . Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 1. Límite por la izquierda: lím x → 3 − f ( x ) = lím x → 3 - 4 ( 3 ) = 12 Límite por la derecha: lím x → 3 + f ( x ) = lím x → 3 + ( 8 + x ) = 8 + 3 = 11 Dado que lím x → 3 − f ( x ) ≠ lím x → 3 + f ( x ) , lím x → 3 f ( x ) no existe. ⇒ La condición 2 no se cumple . No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en x = 3. Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en x = 3 , la función f ( x ) no es continua en x = 3. Ⓑ x = 8 3 Condición 1: ¿Existe f ( 8 3 ) ? f ( 8 3 ) = 4 ( 8 3 ) = 32 3 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: ¿Existe el lím x → 8 3 f ( x ) ? A la izquierda de x = 8 3 , f ( x ) = 4 x ; a la derecha de x = 8 3 , f ( x ) = 8 + x . Tenemos que evaluar los límites por la izquierda y por la derecha cuando x se acerca a 8 3 . Límite por la izquierda: lím x → 8 3 − f ( x ) = lím x → 8 3 - 4 ( 8 3 ) = 32 3 Límite por la derecha: lím x → 8 3 + f ( x ) = lím x → 8 3 + ( 8 + x ) = 8 + 8 3 = 32 3 Dado que lím x → 8 3 f ( x ) existe, ⇒ Se cumple la condición 2 . Condición 3: ¿Es f ( 8 3 ) = lím x → 8 3 f ( x ) ? f ( 32 3 ) = 32 3 = lím x → 8 3 f ( x ) ⇒ Se cumple la condición 3 . Dado que se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = 8 3 , la función f ( x ) es continua en x = 8 3 . Ejercicio Determine si la función f ( x ) = { 1 x , x ≤ 2 9 x − 11,5 , x > 2 es continua en x = 2. No. La función no es continua en x = 2 porque el límite izquierdo es 1 2 y el límite derecho es 6 . 5 . Determinar si una función racional es continua en un número dado Determine si la función f ( x ) = x 2 - 25 x - 5 es continua en x = 5. Para determinar si la función f es continua en x = 5 , determinaremos si se cumplen las tres condiciones de continuidad en x = 5. Condición 1: f ( 5 ) no existe . ⇒ La condición 1 no se cumple . No es necesario seguir adelante. La condición 2 no se cumple en x = 5. Si alguna de las condiciones de continuidad no se cumple en x = 5 , la función f no es continua en x = 5. Análisis Vea la . Observe que para la condición 2 tenemos lím x → 5 x 2 - 25 x - 5 = lím x → 3 ( x - 5 ) ( x + 5 ) x - 5 = lím x → 5 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 ⇒ Se cumple la condición 2 . A x = 5 , existe una discontinuidad removible. Vea la . Ejercicio Determine si la función f ( x ) = 9 - x 2 x 2 - 3 x es continua en x = 3. En caso contrario, indique el tipo de discontinuidad. No, la función no es continua en x = 3. Existe una discontinuidad removible en x = 3. Determinar los valores de entrada para los cuales una función es discontinua Ahora que podemos identificar funciones continuas, discontinuidades de salto y discontinuidades removibles veremos funciones más complejas para hallar discontinuidades. Aquí analizaremos una función definida por partes para determinar si existe algún número real en el que la función no sea continua. Una función definida por partes puede tener discontinuidades en los puntos límite de la función, así como dentro de las funciones que la componen. Para determinar los números reales para los que una función definida por partes compuesta por funciones polinómicas no es continua, recordemos que las propias funciones polinómicas son continuas en el conjunto de los números reales. Cualquier discontinuidad estaría en los puntos límite. Por lo tanto, tenemos que explorar las tres condiciones de continuidad en los puntos límite de la función definida por partes. Cómo Dada una función definida por partes, determinar si es continua en los puntos límite. Para cada punto límite a de la función definida por partes, determine los límites izquierdo y derecho cuando x se acerca a a , así como el valor de la función en a . Compruebe cada condición para cada valor para determinar si se cumplen las tres condiciones. Determine si cada valor satisface la condición 1: f ( a ) . Determine si cada valor satisface la condición 2: lím x → a f ( x ) . Determine si cada valor satisface la condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Si se cumplen las tres condiciones, la función es continua en x = a . Si falla alguna de las condiciones, la función no es continua en x = a . Determinar los valores de entrada para los cuales una función definida por partes es discontinua Determine si la función f es discontinua para cualquier número real. f ( x ) = { x + 1 , x < 2 3 , 2 ≤ x < 4 x 2 − 11 , x ≥ 4 La función definida por partes está definida por tres funciones, todas ellas polinómicas, f ( x ) = x + 1 sobre x < 2 , f ( x ) = 3 sobre 2 ≤ x < 4 , y f ( x ) = x 2 - 5 sobre x ≥ 4. Las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Las discontinuidades estarían en los puntos límite, x = 2 y x = 4. A x = 2 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 1: f ( 2 ) = 3 ⇒ Se cumple la condición 1 . Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de x = 2 , lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) ? Límite por la izquierda: lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 - ( x + 1 ) = 2 + 1 = 3 Límite por la derecha: lím x → 2 + f ( x ) = lím x → 2 + 3 = 3 Dado que 3 = 3 , lím x → 2 – f ( x ) = lím x → 2 + f ( x ) ⇒ Se cumple la condición 2 . Condición 3: lím x → 2 f ( x ) = 3 = f ( 2 ) ⇒ Se cumple la condición 3 . Dado que las tres condiciones se cumplen en x = 2 , la función f ( x ) es continua en x = 2. A x = 4 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 2: Dado que una función diferente define la salida a la izquierda y a la derecha de x = 4 , lím x → 4 − f ( x ) = lím x → 4 + f ( x ) ? Límite por la izquierda: lím x → 4 − f ( x ) = lím x → 4 - 3 = 3 Límite por la derecha: lím x → 4 + f ( x ) = lím x → 4 + ( x 2 − 11 ) = 4 2 − 11 = 5 Dado que 3 ≠ 5 , lím x → 4 − f ( x ) ≠ lím x → 4 + f ( x ) , por lo que lím x → 4 f ( x ) no existe. ⇒ La condición 2 no se cumple . Dado que una de las tres condiciones no se cumple en x = 4 , la función f ( x ) es discontinuo en x = 4. Análisis Vea la . A x = 4 , existe una discontinuidad de salto. Observe que la función es continua en x = 2. El gráfico es continuo en x = 2 pero muestra una discontinuidad de salto en x = 4. Ejercicio Determine dónde la función f ( x ) = { π x 4 , x < 2 π x , 2 ≤ x ≤ 6 2 π x , x > 6 es discontinua. x = 6 Cómo determinar si una función es continua Para determinar si una función definida por partes es continua o discontinua, además de comprobar los puntos límite, debemos comprobar si cada una de las funciones que componen la función definida por partes es continua. Cómo Dada una función definida por partes, determine si es continua. Determine si cada función componente de la función definida por partes es continua. Si hay discontinuidades, ¿se producen dentro del dominio donde se aplica esa función componente? Para cada punto límite x = a de la función definida por partes, determine si se cumple cada una de las tres condiciones. Determinar si una función definida por partes es continua Determine si la siguiente función es continua. Si no es así, indique la ubicación y el tipo de cada discontinuidad. f ( x ) = { sen ( x ) , x < 0 x 3 , x > 0 Las dos funciones que componen esta función definida por partes son f ( x ) = sen ( x ) sobre x < 0 y f ( x ) = x 3 sobre x > 0 . La función de seno y todas las funciones polinómicas son continuas en todas partes. Cualquier discontinuidad se produciría en el punto límite, A x = 0 , comprobemos las tres condiciones de continuidad. Condición 1: f ( 0 ) no existe . ⇒ La condición 1 no se cumple . Dado que las tres condiciones no se cumplen en x = 0 , la función f ( x ) es discontinuo en x = 0 . Análisis Vea la . Existe una discontinuidad removible en x = 0 ; lím x → 0 f ( x ) = 0 , por lo tanto el límite existe y es finito, pero f ( a ) no existe. La función tiene una discontinuidad removible en 0. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar con continuidad. Continuidad en un punto Continuidad en un punto: Comprobación de conceptos Conceptos clave Una función continua se puede representar mediante un gráfico sin agujeros ni interrupciones. Una función cuyo gráfico tiene agujeros es una función discontinua. Una función es continua en un número determinado si se cumplen tres condiciones: Condición 1: f ( a ) . Condición 2: lím x → a f ( x ) existe en x = a . Condición 3: lím x → a f ( x ) = f ( a ) . Una función tiene una discontinuidad de salto si los límites izquierdo y derecho son diferentes, lo que hace que el gráfico \"salte\". Una función tiene una discontinuidad removible si puede ser redefinida en su punto discontinuo para hacerla continua. Vea el . Algunas funciones, como las polinómicas, son continuas en todas partes. Otras funciones, como las logarítmicas, son continuas en su dominio. Vea el y el . Para que una función definida por partes sea continua, cada parte debe ser continua en su parte del dominio y la función en su conjunto debe ser continua en los límites. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Indique con sus propias palabras lo que significa para una función f ser continua en x = c . Informalmente, si una función es continua en x = c , entonces no hay interrupción en el gráfico de la función en f ( c ) , y f ( c ) está definida. Indique con sus propias palabras lo que significa que una función sea continua en el intervalo ( a , b ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine por qué la función f es discontinua en un punto determinado a en el gráfico. Indique cuál condición falla. f ( x ) = ln | x + 3 | , a = - 3 discontinua en a = - 3 ; f ( - 3 ) no existe f ( x ) = ln | 5 x - 2 | , a = 2 5 f ( x ) = x 2 - 16 x + 4 , a = – 4 discontinuidad removible en a = – 4 ; f ( - 4 ) no está definida f ( x ) = x 2 - 16 x x , a = 0 f ( x ) = { x , x ≠ 3 2 x , x = 3 a = 3 Discontinua en a = 3 ; lím x → 3 f ( x ) = 3 , pero f ( 3 ) = 6 , lo cual no es igual al límite. f ( x ) = { 5 , x ≠ 0 3 , x = 0 a = 0 f ( x ) = { 1 2 - x , x ≠ 2 3 , x = 2 a = 2 lím x → 2 f ( x ) no existe. f ( x ) = { 1 x + 6 , x = − 6 x 2 , x ≠ − 6 a = − 6 f ( x ) = { 3 + x , x < 1 x , x = 1 x 2 , x > 1 a = 1 lím x → 1 - f ( x ) = 4 ; lím x → 1 + f ( x ) = 1 . Por lo tanto, lím x → 1 f ( x ) no existe. f ( x ) = { 3 - x , x < 1 x , x = 1 2 x 2 , x > 1 a = 1 f ( x ) = { 3 + 2 x , x < 1 x , x = 1 - x 2 , x > 1 a = 1 lím x → 1 - f ( x ) = 5 ≠ lím x → 1 + f ( x ) = - 1 . Por lo tanto, lím x → 1 f ( x ) no existe. f ( x ) = { x 2 , x < − 2 2 x + 1 , x = - 2 x 3 , x > − 2 a = - 2 f ( x ) = { x 2 - 9 x + 3 , x < − 3 x - 9 , x = - 3 1 x , x > − 3 a = - 3 lím x → − 3 − f ( x ) = − 6 , lím x → − 3 + f ( x ) = - 1 3 Por lo tanto, lím x → − 3 f ( x ) no existe. f ( x ) = { x 2 - 9 x + 3 , x < − 3 x - 9 , x = - 3 - 6 , x > − 3 a = 3 f ( x ) = x 2 - 4 x - 2 , a = 2 f ( 2 ) no está definido. f ( x ) = 25 - x 2 x 2 - 10 x + 25 , a = 5 f ( x ) = x 3 - 9 x x 2 + 11 x + 24 , a = - 3 f ( - 3 ) no está definido. f ( x ) = x 3 − 27 x 2 - 3 x , a = 3 f ( x ) = x | x | , a = 0 f ( 0 ) no está definido. f ( x ) = 2 | x + 2 | x + 2 , a = - 2 En los siguientes ejercicios, determine si la función dada f es continua en todas partes. Si es continua en todos los lugares en los que está definida, indique para qué rango es continua. Si es discontinua, indique dónde lo es. f ( x ) = x 3 - 2 x - 15 Continua en ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 f ( x ) = 2 ⋅ 3 x + 4 Continua en ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = -sen ( 3 x ) f ( x ) = | x - 2 | x 2 - 2 x Discontinua en x = 0 y x = 2 f ( x ) = tan ( x ) + 2 f ( x ) = 2 x + 5 x Discontinua en x = 0 f ( x ) = log 2 ( x ) f ( x ) = ln x 2 Continua en ( 0 , ∞ ) f ( x ) = e 2 x f ( x ) = x - 4 Continua en [ 4 , ∞ ) f ( x ) = sec ( x ) - 3 . f ( x ) = x 2 + sen ( x ) Continua en ( - ∞ , ∞ ) . Determine los valores de b y c de manera tal que la siguiente función sea continua en toda la línea de los números reales. f ( x ) = { x + 1 , 1 < x < 3 x 2 + b x + c , | x - 2 | ≥ 1 Gráficos En los siguientes ejercicios, consulte la . Cada cuadrado representa una unidad cuadrada. Para cada valor de a , determine cuáles de las tres condiciones de continuidad se cumplen en x = a y cuáles no. x = - 3 1, pero no 2 ni 3 x = 2 x = 4 1 y 2, pero no 3 En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar la función f ( x ) = sen ( 12 π x ) como en la . Coloque el eje x a una corta distancia antes y después de 0 para ilustrar el punto de discontinuidad. ¿Cuáles condiciones de continuidad fallan en el punto de discontinuidad? Evalúe f ( 0 ) . f ( 0 ) es indefinida. Resuelva para x si f ( x ) = 0 . ¿Cuál es el dominio de f ( x ) ? ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, considere la función mostrada en la . ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Qué condición de continuidad se viola en estos puntos? A x = - 1 , el límite no existe. A x = 1 , f ( 1 ) no existe. A x = 2 , parece ser una asíntota vertical, y el límite no existe. Considere la función mostrada en la . ¿En qué coordenadas x es discontinua la función? ¿Cuáles condiciones de continuidad se han violado? Construya una función que pase por el origen con una pendiente constante de 1, con discontinuidades removibles en x = - 7 y x = 1. x 3 + 6 x 2 - 7 x ( x + 7 ) ( x – 1 ) La función f ( x ) = x 3 - 1 x – 1 se representa gráficamente en la . Parece ser continua en el intervalo [ − 3 , 3 ] , pero hay un valor x en ese intervalo en el cual la función es discontinua. Determine el valor de la x en el que la función es discontinua, y explique la dificultad de utilizar la tecnología al considerar la continuidad de una función al examinar su gráfico. Calcule el límite lím x → 1 f ( x ) y determine si la siguiente función es continua en x = 1 : f x = { x 2 + 4 x ≠ 1 2 x = 1 La función es discontinua en x = 1 porque el límite cuando x se acerca a 1 es 5 y f ( 1 ) = 2. El gráfico de f ( x ) = sen ( 2 x ) x se muestra en la . ¿La función f ( x ) continua en x = 0 ? ¿Por qué sí o por qué no? función continua una función que no tiene agujeros ni interrupciones en su gráfico función discontinua una función que no es continua en x = a discontinuidad de salto un punto de discontinuidad en una función f ( x ) en x = a donde existen los límites izquierdo y derecho, pero lím x → a − f ( x ) ≠ lím x → a + f ( x ) discontinuidad removible un punto de discontinuidad en una función f ( x ) donde la función es discontinua, pero se puede redefinir para hacerla continua", "section": "Continuidad", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Derivadas El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo. Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %. https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/ ¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo. Hallar la tasa media de cambio de una función Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos. Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto. representa la función f ( x ) = x 3 - 4 x . Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva. pendiente en x = −2 es 8 pendiente en x = −1 es –1 pendiente en x = 2 es 8 Gráfico que muestra las tangentes a la curva en –2, –1 y 2. Imaginemos un punto en la curva de la función f en x = a como se muestra en la . Las coordenadas del punto son ( a , f ( a ) ) . Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de x = a , con un valor x incrementado en algún pequeño número real h . Las coordenadas de este segundo punto son ( a + h , f ( a + h ) ) para algún valor positivo h . Punto de conexión a con un punto justo más allá nos permite medir una pendiente cercana a la de una línea tangente en x = a . Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) , llamada una línea secante , si aplicamos la fórmula de la pendiente, pendiente = cambio en y cambio en x Utilizamos la notación m sec para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos. m sec = f ( a + h ) - f ( a ) ( a + h ) - ( a ) = f ( a + h ) - f ( a ) a + h − a La pendiente m sec es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) . m sec = f ( a + h ) - f ( a ) h La tasa promedio de cambio entre dos puntos en una curva La tasa media de cambio (Average Rate of Change, AROC) entre dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) en la curva de f es la pendiente de la línea que conecta los dos puntos y está dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h Hallar la tasa media de cambio Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos ( 2 , –6 ) y ( –1 , 5 ) . Sabemos que la tasa media de cambio que conecta dos puntos puede estar dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h . Si un punto es ( 2 , − 6 ) , o ( 2 , f ( 2 ) ) , entonces f ( 2 ) = −6. El valor h es el desplazamiento desde 2 con − 1 , que es igual a − 1 - 2 = –3. Para el otro punto, f ( a + h ) es la coordenada y en a + h , que es 2 + ( −3 ) o −1 , por lo que f ( a + h ) = f ( –1 ) = 5. AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h = 5 − ( − 6 ) - 3 = 11 − 3 = − 11 3 Ejercicio Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos ( - 5 , 1,5 ) y ( − 2,5 , 9 ) . 3 Comprender la tasa instantánea de cambio Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos h en la cada vez más pequeño. Luego a + h se acercarán a a a medida que h se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto ( a + h , f ( a + h ) ) se acercará al primer punto, ( a , f ( a ) ) . Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en x = a , y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en x = a . Vea la . La línea de conexión entre dos puntos se acerca a ser una línea tangente en x = a . Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en x = a , podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función f en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio , o la derivada de la función en x = a . Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en x = a con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función f tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en x = a se escriben como f ' ( a ) , y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha. f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia . Definición de tasa instantánea de cambio y derivada La derivada , o tasa instantánea de cambio , de una función f en x = a , viene dada por f ' ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h La expresión f ( a + h ) - f ( a ) h se denomina cociente de diferencia. Utilizamos el cociente de diferencia para evaluar el límite de la tasa de cambio de la función a medida que h se acerca a 0. Derivadas: interpretaciones y notación La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función. La derivada de una función f ( x ) en un punto x = a es la pendiente de la línea tangente a la curva f ( x ) en x = a . La derivada de f ( x ) en x = a se escribe f ′ ( a ) . La derivada f ′ ( a ) mide cómo cambia la curva en el punto ( a , f ( a ) ) . La derivada f ′ ( a ) se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función f ( x ) en x = a . Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo t = a . Notaciones para la derivada La ecuación de la derivada de una función f ( x ) se escribe como y ′ = f ′ ( x ) , donde y = f ( x ) . La notación f ′ ( x ) se lee como \" f primo de x . \" . Las notaciones alternativas para la derivada son las siguientes: f ′ ( x ) = y ′ = d y d x = d f d x = d d x f ( x ) = D f ( x ) La expresión f ′ ( x ) es ahora una función de x ; esta función da la pendiente de la curva y = f ( x ) a cualquier valor de x . La derivada de una función f ( x ) en un punto x = a se denota f ′ ( a ) . Cómo Dada una función f , halle la derivada aplicando la definición de la derivada. Calcule f ( a + h ) . Calcule f ( a ) . Sustituya y simplifique f ( a + h ) - f ( a ) h . Evalúe el límite si existe: f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . Hallar la derivada de una función polinómica Halle la derivada de la función f ( x ) = x 2 - 3 x + 5 a las x = a . Tenemos: f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Definición de una derivada Sustituya f ( a + h ) = ( a + h ) 2 - 3 ( a + h ) + 5 y f ( a ) = a 2 - 3 a + 5. f ′ ( a ) = lím h → 0 ( a + h ) ( a + h ) - 3 ( a + h ) + 5 − ( a 2 - 3 a + 5 ) h = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 3 a - 3 h + 5 − a 2 + 3 a − 5 h Evalúe para eliminar los paréntesis . = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 3 a - 3 h + 5 − a 2 + 3 a − 5 h Simplifique . = lím h → 0 2 a h + h 2 - 3 h h = lím h → 0 h ( 2 a + h − 3 ) h Factorice un h . = 2 a + 0 - 3 Evalúe el límite . = 2 a - 3 Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 3 x 2 + 7 x en x = a . f ′ ( a ) = 6 a + 7 Hallar derivadas de funciones racionales Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido. Hallar la derivada de una función racional Halle la derivada de la función f ( x ) = 3 + x 2 - x en x = a . f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 3 + ( a + h ) 2 - ( a + h ) - ( 3 + a 2 - a ) h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) = lím h → 0 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) [ 3 + ( a + h ) 2 - ( a + h ) - ( 3 + a 2 - a ) ] ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Multiplique el numerador y el denominador por ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) = lím h → 0 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( 3 + ( a + h ) ( 2 - ( a + h ) ) ) - ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( 3 + a 2 - a ) ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Distribuya = lím h → 0 6 - 3 a + 2 a - a 2 + 2 h − a h − 6 + 3 a + 3 h − 2 a + a 2 + a h ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Multiplique = lím h → 0 5 h ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Combine términos similares = lím h → 0 5 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) Anule factores similares = 5 ( 2 - ( a + 0 ) ) ( 2 - a ) = 5 ( 2 - a ) ( 2 - a ) = 5 ( 2 - a ) 2 Evalúe el límite Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 10 x + 11 5 x + 4 en x = a . f ′ ( a ) = - 15 ( 5 a + 4 ) 2 Hallar derivadas de funciones con raíces Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado. Hallar la derivada de una función con una raíz Halle la derivada de la función f ( x ) = 4 x en x = 36. Tenemos f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 4 a + h − 4 a h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado: 4 a + h + 4 a 4 a + h + 4 a . f ′ ( a ) = lím h → 0 ( 4 a + h − 4 a h ) ⋅ ( 4 a + h + 4 a 4 a + h + 4 a ) = lím h → 0 ( 16 ( a + h ) - 16 a h 4 ( a + h + 4 a ) ) Multiplique . = lím h → 0 ( 16 a + 16 h − 16 a h 4 ( a + h + 4 a ) ) Distribuya y combine términos similares . = lím h → 0 ( 16 h h ( 4 a + h + 4 a ) ) Simplifique . = lím h → 0 ( 16 4 a + h + 4 a ) Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . = 16 8 a = 2 a f ′ ( 36 ) = 2 36 Evalúe la derivada en x = 36. = 2 6 = 1 3 Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 9 x en x = 9. 3 2 Hallar tasas instantáneas de cambio Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea . Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6 , donde t se mide en segundos y s ( t ) se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la como una función de tiempo. En física, lo llamamos \"gráfico s - t \". Hallar la tasa instantánea de cambio Utilizando la función anterior, s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6 , ¿cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los 1 y 3 segundos de su vuelo? La velocidad en t = 1 y t = 3 es la tasa instantánea de cambio de la distancia por el tiempo, o la velocidad. Observe que la altura inicial es de 6 pies. Para calcular la velocidad instantánea, hallamos la derivada y la evaluamos en t = 1 y t = 3 : f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 − 16 ( t + h ) 2 + 64 ( t + h ) + 6 − ( − 16 t 2 + 64 t + 6 ) h Sustituya s ( t + h ) y s ( t ) . = lím h → 0 − 16 t 2 - 32 h t − h 2 + 64 t + 64 h + 6 + 16 t 2 − 64 t − 6 h Distribuya . = lím h → 0 − 32 h t − h 2 + 64 h h Simplifique . = lím h → 0 h ( − 32 t − h + 64 ) h Factorice el numerador . = lím h → 0 − 32 t − h + 64 Anule el factor común h . s ′ ( t ) = − 32 t + 64 Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . Para cualquier valor de t , s ′ ( t ) nos dice la velocidad en ese valor de t . Evalúe t = 1 y t = 3. s ′ ( 1 ) = −32 ( 1 ) + 64 = 32 s ′ ( 3 ) = −32 ( 3 ) + 64 = −32 La velocidad de la pelota después de 1 segundo es de 32 pies por segundo, ya que va subiendo. La velocidad de la pelota después de 3 segundos es −32 pies por segundo, ya que va bajando. Ejercicio La posición de la pelota viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6. ¿Cuál es su velocidad a los 2 segundos de vuelo? 0 Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en x = a al observar la pendiente de la curva de la función f ( x ) en x = a . Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en x = a y al calcular su pendiente. Cómo Dado un gráfico de una función f ( x ) , halle la tasa instantánea de cambio de la función en x = a . Localice x = a en el gráfico de la función f ( x ) . Dibuje una línea tangente, una línea que pasa por x = a a las a y en ningún otro punto de esa sección de la curva. Extienda la línea lo suficiente para calcular su pendiente a medida que cambio en y cambio en x . Estimar la derivada en un punto del gráfico de una función A partir del gráfico de la función y = f ( x ) presentado en la , estime cada uno de los siguientes: Ⓐ f ( 0 ) Ⓑ f ( 2 ) Ⓒ f ' ( 0 ) Ⓓ f ' ( 2 ) Para calcular el valor funcional, f ( a ) , halle la coordenada y en x = a . Para hallar la derivada en x = a , f ′ ( a ) , dibuje una línea tangente en x = a , y estime la pendiente de esa línea tangente. Vea la . Ⓐ f ( 0 ) es la coordenada y en x = 0 . El punto tiene coordenadas ( 0 , 1 ) , por lo tanto f ( 0 ) = 1. Ⓑ f ( 2 ) es la coordenada y en x = 2. El punto tiene coordenadas ( 2 , 1 ) , por lo tanto f ( 2 ) = 1. Ⓒ f ′ ( 0 ) se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en x = 0 . La línea tangente a la curva en x = 0 aparece en horizontal. Las líneas horizontales tienen una pendiente de 0, por lo tanto f ′ ( 0 ) = 0 . Ⓓ f ′ ( 2 ) se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en x = 2. Observe la trayectoria de la línea tangente a la curva en x = 2. A medida que el valor x se desplaza una unidad a la derecha, el valor y se desplaza cuatro unidades a otro punto de la línea. Por lo tanto, la pendiente es 4, así que f ′ ( 2 ) = 4. Ejercicio Utilizando el gráfico de la función f ( x ) = x 3 - 3 x que se muestra en la , estime: f ( 1 ) , f ′ ( 1 ) , f ( 0 ) , y f ′ ( 0 ) . - 2 , 0, 0, − 3 Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en x = a es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función f ( x ) es unidades de salida unidad de entrada Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada. Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir x artículos viene dado por C ( x ) , en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de x en el dominio de la función. En otras palabras, C ′ ( x ) se interpreta como un costo marginal , el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando x artículos se han producido. Por ejemplo, C ′ ( 11 ) es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos. C ′ ( 11 ) = 2,50 significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares. Hallar un costo marginal El costo en dólares de producir x computadoras portátiles en dólares es f ( x ) = x 2 − 100 x . En el momento en que se han producido 200 computadoras, ¿cuál es el costo aproximado de producir la unidad 201.ª ? Si los valores de f ( x ) = x 2 − 100 x describe el costo de producción de x computadoras, f ′ ( x ) describirá el costo marginal. Tenemos que calcular la derivada. Para calcular la derivada, podemos utilizar las siguientes funciones: f ( a + b ) = ( x + h ) 2 − 100 ( x + h ) f ( a ) = a 2 − 100 a f ′ ( x ) = f ( a + h ) - f ( a ) h Fórmula de una derivada = ( x + h ) 2 − 100 ( x + h ) - ( x 2 − 100 x ) h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) . = x 2 + 2 x h + h 2 − 100 x − 100 h − x 2 + 100 x h Multiplique polinomios, distribuya . = 2 x h + h 2 − 100 h h Recopile términos similares . = h ( 2 x + h − 100 ) h Factorice y anule términos similares . = 2 x + h − 100 Simplifique . = 2 x − 100 Evalúe cuando h = 0 . f ′ ( x ) = 2 x − 100 Fórmula del costo marginal. f ′ ( 200 ) = 2 ( 200 ) − 100 = 300 Evalúe para 200 unidades . El costo marginal de producir la 201.ª unidad será de aproximadamente 300 dólares. Interpretar una derivada en su contexto Un auto sale de un cruce. La distancia que recorre en millas está dada por la función f ( t ) , donde t representa las horas. Explique las siguientes notaciones: Ⓐ f ( 0 ) = 0 Ⓑ f ′ ( 1 ) = 60 Ⓒ f ( 1 ) = 70 Ⓓ f ( 2,5 ) = 150 Primero tenemos que evaluar la función f ( t ) y la derivada de la función f ′ ( t ) , y distinguir entre ambas. Cuando evaluamos la función f ( t ) , estamos hallando la distancia que el auto ha recorrido en t horas. Cuando evaluamos la derivada f ′ ( t ) , estamos hallando la velocidad del auto después de t horas. Ⓐ f ( 0 ) = 0 significa que en cero horas, el auto ha recorrido cero millas. Ⓑ f ′ ( 1 ) = 60 significa que una hora después del viaje, el auto va a 60 millas por hora. Ⓒ f ( 1 ) = 70 significa que una hora después del viaje, el auto ha recorrido 70 millas. Por lo tanto, en algún momento de la primera hora, el auto debió viajar más rápido que en la marca de 1 hora. Ⓓ f ( 2,5 ) = 150 significa que a las dos horas y treinta minutos de viaje, el auto ha recorrido 150 millas. Ejercicio Una corredora corre por una carretera recta de este a oeste. La función f ( t ) da a cuántos pies hacia el este de su punto de partida se encuentra después de t segundos. Interprete cada uno de los siguientes puntos en relación con la corredora. Ⓐ f ( 0 ) = 0 Ⓑ f ( 10 ) = 150 Ⓒ f ′ ( 10 ) = 15 Ⓓ f ′ ( 20 ) = − 10 Ⓔ f ( 40 ) = -100 Ⓐ Después de cero segundos, se ha movido 0 pies. Ⓑ Después de 10 segundos, se ha movido 150 pies al este. Ⓒ Después de 10 segundos, se mueve hacia el este a una tasa de 15 ft/s. Ⓓ Después de 20 segundos, se mueve hacia el oeste a una tasa de 10 ft/s. Ⓔ Después de 40 segundos, está a 100 pies al oeste de su punto de partida. Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función f ( x ) tiene una derivada en x = a . Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en x = a . Si se grafica la función f ( x ) es diferenciable , es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad . Mire el gráfico en la . Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva. Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función f ( x ) = | x | , por ejemplo, es continua en x = 0 , pero no diferenciable en x = 0 . A medida que ampliamos en el 0 en la , el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo. Gráfico de la función f ( x ) = | x | , con el eje x de –0,1 a 0,1 y el eje y de –0,1 a 0,1. Ampliamos más al estrechar el rango para producir la y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en x = 0 . Gráfico de la función f ( x ) = | x | , con el eje x de –0,001 a 0,001 y el eje y de –0,001 a 0,001. ¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función f ( x ) no es diferenciable en x = a . En la , vemos el gráfico de f ( x ) = { x 2 , x ≤ 2 8 - x , x > 2 . Observe que, a medida que x se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que x se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en x = 2. El gráfico de f ( x ) tiene una discontinuidad en x = 2. En la , vemos el gráfico de f ( x ) = | x | . Vemos que el gráfico tiene un vértice en x = 0 . El gráfico de f ( x ) = | x | tiene un vértice en x = 0 . En la , vemos que el gráfico de f ( x ) = x 2 3 tiene una cúspide en x = 0 . Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que x se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva. El gráfico de f ( x ) = x 2 3 tiene una cúspide en x = 0 . En la , vemos que el gráfico de f ( x ) = x 1 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí. El gráfico de f ( x ) = x 1 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Diferenciabilidad Una función f ( x ) es diferenciable en x = a si la derivada existe en x = a , lo que significa que f ′ ( a ) . Hay cuatro casos en los que una función f ( x ) no es diferenciable en un punto x = a . Cuando hay una discontinuidad en x = a . Cuando hay un vértice en x = a . Cuando hay una cúspide en x = a . En cualquier otro momento en que haya una tangente vertical en x = a . Determinar si una función es continua y diferenciable a partir de un gráfico Utilizando la , determine en que parte la función es continua discontinua diferenciable no diferenciable En los puntos en los que el gráfico es discontinuo o no diferenciable, indique por qué. El gráfico de f ( x ) es continuo en ( −∞, −2 ) ∪ ( −2 , 1 ) ∪ ( 1, ∞ ). El gráfico de f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = −2 y una discontinuidad de salto en x = 1. Vea la . Tres intervalos en los que la función es continua El gráfico de f (x) es diferenciable en ( −∞, −2 ) ∪ ( –2, −1 ) ∪ ( −1, 1 ) ∪ ( 1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) . El gráfico de f ( x ) no es diferenciable en x = −2 porque es un punto de discontinuidad, en x = −1 a causa de un ángulo agudo, en x = 1 porque es un punto de discontinuidad, y en x = 2 a causa de un ángulo agudo. Vea la . Cinco intervalos en los que la función es diferenciable Ejercicio Determine en que parte la función y = f ( x ) mostrada en la es continua y diferenciable a partir del gráfico. El gráfico de f es continuo en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . El gráfico de f es discontinuo en x = 1 y x = 3. El gráfico de f es diferenciable en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . El gráfico de f no es diferenciable en x = 1 y x = 3. Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función La ecuación de una línea tangente a una curva de la función f ( x ) en x = a se deriva de la forma punto-pendiente de una línea, y = m ( x – x 1 ) + y 1 . La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en x = a y por lo tanto es igual a f ′ ( a ) , la derivada de f ( x ) en x = a . El par de coordenadas del punto de la línea en x = a es ( a , f ( a ) ) . Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos La ecuación de la línea tangente es y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) La ecuación de una línea tangente a una curva de la función f La ecuación de una línea tangente a la curva de una función f en un punto x = a es y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) Cómo Dada una función f , halle la ecuación de una línea tangente a la función en x = a . Calcule la derivada de f ( x ) en x = a utilizando f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . Evalúe la función en x = a . Esto es f ( a ) . Sustituya ( a , f ( a ) ) y f ′ ( a ) en y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) . Escriba la ecuación de la línea tangente en la forma y = m x + b . Hallar la ecuación de una línea tangente a una función en un punto Halle la ecuación de una línea tangente a la curva f ( x ) = x 2 - 4 x en x = 3. Utilizando: f ' ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Sustituya f ( a + h ) = ( a + h ) 2 - 4 ( a + h ) y f ( a ) = a 2 - 4 a . f ′ ( a ) = lím h → 0 ( a + h ) ( a + h ) - 4 ( a + h ) - ( a 2 - 4 a ) h = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 4 a - 4 h − a 2 + 4 a h Elimine los paréntesis . = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 4 a - 4 h − a 2 + 4 a h Combine términos similares . = lím h → 0 2 a h + h 2 - 4 h h = lím h → 0 h ( 2 a + h − 4 ) h Factorice h . = 2 a + 0 - 4 f ′ ( a ) = 2 a - 4 Evalúe el límite . f ′ ( 3 ) = 2 ( 3 ) - 4 = 2 Ecuación de la línea tangente en x = 3 y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) y = f ' ( 3 ) ( x - 3 ) + f ( 3 ) y = 2 ( x - 3 ) + ( - 3 ) y = 2 x - 9 Análisis Podemos utilizar una herramienta gráfica para graficar la función y la línea tangente. Al hacerlo, podemos observar el punto de tangencia en x = 3 como se muestra en la . El gráfico confirma el punto de tangencia en x = 3. Ejercicio Halle la ecuación de una línea tangente a la curva de la función f ( x ) = 5 x 2 - x + 4 en x = 2. y = 19 x − 16 Hallar la velocidad instantánea de una partícula Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como velocidad . La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea . Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada. Velocidad instantánea Supongamos que la función s ( t ) representa la posición de un objeto en el tiempo t . La velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo t = a viene dada por s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h Hallar la velocidad instantánea Una pelota se lanza hacia arriba desde una altura de 200 pies con una velocidad inicial de 36 ft/s. Si la altura de la pelota en pies después de t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 36 t + 200 , halle la velocidad instantánea de la pelota en t = 2. Primero debemos calcular la derivada s ′ ( t ) . Luego evaluamos la derivada en t = 2 , utilizando s ( a + h ) = - 16 ( a + h ) 2 + 36 ( a + h ) + 200 y s ( a ) = - 16 a 2 + 36 a + 200. s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h = lím h → 0 − 16 ( a + h ) 2 + 36 ( a + h ) + 200 − ( − 16 a 2 + 36 a + 200 ) h = lím h → 0 − 16 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) + 36 ( a + h ) + 200 − ( − 16 a 2 + 36 a + 200 ) h = lím h → 0 − 16 a 2 - 32 a h − 16 h 2 + 36 a + 36 h + 200 + 16 a 2 - 36 a − 200 h = lím h → 0 − 16 a 2 - 32 a h − 16 h 2 + 36 a + 36 h + 200 + 16 a 2 - 36 a − 200 h = lím h → 0 − 32 a h − 16 h 2 + 36 h h = lím h → 0 h ( − 32 a − 16 h + 36 ) h = lím h → 0 ( − 32 a − 16 h + 36 ) = − 32 a − 16 ⋅ 0 + 36 s ′ ( a ) = − 32 a + 36 s ′ ( 2 ) = − 32 ( 2 ) + 36 = − 28 Análisis Este resultado significa que en el tiempo t = 2 segundos, la pelota cae a una velocidad de 28 ft/s. Ejercicio Un cohete de fuegos artificiales es disparado hacia arriba desde un pozo a 12 ft bajo el suelo a una velocidad de 60 ft/s. Su altura en pies después de t segundos viene dada por s = - 16 t 2 + 60 t − 12. ¿Cuál es su velocidad instantánea después de 4 segundos? –68 ft/s, está cayendo a la Tierra a una velocidad de 68 ft/s. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las derivadas. Estimar la derivada Estimar la derivada Ex. 4 Ecuaciones clave tasa media de cambio AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h derivada de una función f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Conceptos clave La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el . La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el , el y el . El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio: f ( a + h ) - f ( a ) h Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el . La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el . Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el y el . Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el . La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el . La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo. El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿En qué se parece la pendiente de una función lineal a la derivada? La pendiente de una función lineal se mantiene igual. La derivada de una función general varía según x . Tanto la pendiente de una línea como la derivada en un punto miden la tasa de cambio de la función. ¿Cuál es la diferencia entre la tasa media de cambio de una función en el intervalo [ x , x + h ] y la derivada de la función en x ? Un auto recorrió 110 millas durante el periodo comprendido entre las 2:00 p. m. y las 4:00 p. m. ¿Cuál fue la velocidad media del auto? A las 2:30 p. m. exactamente, la velocidad del auto registró exactamente 62 millas por hora. ¿Cuál es otro nombre para la velocidad del auto a las 2:30 p. m. ? ¿Por qué esta velocidad difiere de la velocidad media? La velocidad media es de 55 millas por hora. La velocidad instantánea a las 2:30 p. m. es de 62 millas por hora. La velocidad instantánea mide la velocidad del auto en un instante de tiempo mientras que la velocidad media da la velocidad del auto a lo largo de un intervalo. Explique el concepto de pendiente de una curva en el punto x . Supongamos que el agua entra en un tanque a una tasa media de 45 galones por minuto. Traduzca este enunciado al lenguaje de las matemáticas. La tasa media de cambio de la cantidad de agua en el tanque es de 45 galones por minuto. Si los valores de f ( x ) es la función que da la cantidad de agua en el tanque en cualquier tiempo t , entonces la tasa media de cambio de f ( x ) entre t = a y t = b es f ( a ) + 45 ( b – a ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada lím h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h para calcular la derivada de cada función. f ( x ) = 3 x - 4 f ( x ) = - 2 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 f ( x ) = x 2 - 2 x + 1 f ( x ) = 2 x 2 + x - 3 f ′ ( x ) = 4 x + 1 f ( x ) = 2 x 2 + 5 f ( x ) = - 1 x - 2 f ′ ( x ) = 1 ( x - 2 ) 2 f ( x ) = 2 + x 1 - x f ( x ) = 5 - 2 x 3 + 2 x − 16 ( 3 + 2 x ) 2 f ( x ) = 1 + 3 x f ( x ) = 3 x 3 - x 2 + 2 x + 5 f ′ ( x ) = 9 x 2 - 2 x + 2 f ( x ) = 5 f ( x ) = 5 π f ′ ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos. ( –2 , 0 ) y ( -4 , 5 ) ( 4 , −3 ) y ( –2 , –1 ) - 1 3 ( 0 , 5 ) y ( 6 , 5 ) ( 7 , –2 ) y ( 7 , 10 ) indefinida En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas. f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = - 3 x 2 - 7 x = 6 f ′ ( x ) = − 6 x - 7 f ( x ) = 7 x 2 f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 + x − 26 f ′ ( x ) = 9 x 2 + 4 x + 1 En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado x en la curva. f ( x ) = 2 x 2 - 3 x x = 3 f ( x ) = x 3 + 1 x = 2 y = 12 x - 15 f ( x ) = x x = 9 En el siguiente ejercicio, halle k de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función. f ( x ) = x 2 - k x , y = 4 x - 9 k = − 10 o k = 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función f y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable. Discontinua en x = - 2 y x = 0 . No es diferenciable en –2, 0, 2. Discontinua en x = 5. No es diferenciable en –4, –2, 0, 1, 3, 4, 5. En los siguientes ejercicios, utilice la para estimar la función en un valor dado de x o la derivada a un valor determinado de x , según se indique. f ( - 1 ) f ( 0 ) f ( 0 ) = - 2 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 2 ) = − 6 f ( 3 ) f ′ ( - 1 ) f ′ ( - 1 ) = 9 f ′ ( 0 ) f ′ ( 1 ) f ′ ( 1 ) = - 3 f ′ ( 2 ) f ′ ( 3 ) f ′ ( 3 ) = 9 Dibuje la función a partir de la siguiente información: f ′ ( x ) = 2 x , f ( 2 ) = 4 En tecnología Evalúe numéricamente la derivada. Explore el comportamiento del gráfico de f ( x ) = x 2 alrededor de x = 1 y grafique la función en los siguientes dominios: [ 0,9 , 1,1 ] , [ 0,99 , 1,01 ] , [ 0,999 , 1,001 ] , y [ 0,9999 , 1,0001 ] . Podemos utilizar la función de nuestra calculadora que establece automáticamente Ymin y Ymax a los valores Xmin y Xmax que preestablezcamos (en algunas de las calculadoras gráficas más utilizadas, esta función puede llamarse ZOOM FIT o ZOOM AUTO). Examine los valores de rango correspondientes a esta ventana de visualización y aproxime cómo cambia la curva en x = 1 , es decir, aproxime la derivada en x = 1. Las respuestas varían. La pendiente de la línea tangente cerca de x = 1 es 2. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen f ( t ) de un tanque de gasolina, en galones, t minutos después del mediodía. f ( 0 ) = 600 f ' ( 30 ) = -20 A las 12:30 p. m. , la tasa de cambio del número de galones en el tanque es de –20 galones por minuto. Es decir, el tanque está perdiendo 20 galones por minuto. f ( 30 ) = 0 f ' ( 200 ) = 30 A los 200 minutos después del mediodía, el volumen de galones en el tanque está cambiando a una tasa de 30 galones por minuto. f ( 240 ) = 500 En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura, s , de un proyectil después de t segundos viene dada por s ( t ) = - 16 t 2 + 80 t . s ( 2 ) = 96 La altura del proyectil después de 2 segundos es de 96 pies. s ' ( 2 ) = 16 s ( 3 ) = 96 La altura del proyectil en t = 3 segundos son 96 pies. s ' ( 3 ) = −16 s ( 0 ) = 0 , s ( 5 ) = 0 . La altura del proyectil es cero en t = 0 y de nuevo en t = 5. En otras palabras, el proyectil comienza en el suelo y vuelve a caer a la Tierra después de 5 segundos. En los siguientes ejercicios, el volumen V de una esfera con respecto a su radio r viene dado por V = 4 3 π r 3 . Halle la tasa media de cambio de V a medida que r cambia de 1 a 2 cm. Halle la tasa instantánea de cambio de V cuando r = 3 cm . 36 π En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de x artículos vienen dados por R ( x ) = 2 x 2 + 10 x . Halle la tasa media de cambio de la función de ingresos a medida que x cambia de x = 10 con x = 20. Halle R ' ( 10 ) e interprete. 50,00 dólares por unidad, que es la tasa instantánea de cambio de los ingresos cuando se venden exactamente 10 unidades. Halle R ' ( 15 ) e interprete. Compare R ' ( 15 ) con R ' ( 10 ) , y explique la diferencia. En los siguientes ejercicios, el costo de producción de x teléfonos móviles se describe mediante la función C ( x ) = x 2 - 4 x + 1.000. Halle la tasa media de cambio del costo total a medida que x cambia de x = 10 para x = 15. 21 dólares por unidad Calcule el costo marginal aproximado de producir el 16.º teléfono móvil, cuando se han producido 15 teléfonos móviles. Calcule el costo marginal aproximado de producir el 21.º teléfono móvil, cuando se han producido 20 teléfonos móviles. $ 36 dólares Extensión En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto x = a , lím x → a f ( x ) - f ( a ) x – a , para hallar la derivada de las funciones. f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = 5 x 2 - x + 4 f ' ( x ) = 10 a - 1 f ( x ) = - x 2 + 4 x + 7 f ( x ) = – 4 3 - x 2 4 ( 3 - x ) 2 Ejercicios de repaso del capítulo Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico En los siguientes ejercicios, utilice la . lím x → −1 + f ( x ) 2 lím x → −1 − f ( x ) lím x → - 1 f ( x ) no existe lím x → 3 f ( x ) ¿En qué valores de x la función es discontinua? ¿Qué condición de continuidad se viola? Discontinua en x = - 1 ( lím x → a f ( x ) no existe ) , x = 3 ( discontinuidad de salto ) , y x = 7 ( lím x → a f ( x ) no existe ) . Utilizando la , estime lím x → 0 f ( x ) . x F ( x ) -0,1 2,875 -0,01 2,92 -0,001 2,998 0 Indefinida 0,001 2,9987 0,01 2,865 0,1 2,78145 0,15 2,678 En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. f ( x ) = { | x | - 1 , i f x ≠ 1 x 3 , i f x = 1 a = 1 lím x → - 2 f ( x ) = 0 f ( x ) = { 1 x + 1 , i f x = - 2 ( x + 1 ) 2 , i f x ≠ − 2 a = - 2 f ( x ) = { x + 3 , i f x < 1 - x 3 , i f x > 1 a = 1 No existe Hallar los límites: propiedades de los límites En los siguientes ejercicios, halle los límites si lím x → c f ( x ) = −3 y lím x → c g ( x ) = 5. lím x → c ( f ( x ) + g ( x ) ) lím x → c f ( x ) g ( x ) 3 5 lím x → c ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) lím x → 0 + f ( x ) , f ( x ) = { 3 x 2 + 2 x + 1 5 x + 3 x > 0 x < 0 1 lím x → 0 − f ( x ) , f ( x ) = { 3 x 2 + 2 x + 1 5 x + 3 x > 0 x < 0 lím x → 3 + ( 3 x − [ x ] ) 6 En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas. lím h → 0 ( ( h + 6 ) 2 - 36 h ) lím x → 25 ( x 2 − 625 x - 5 ) 500 lím x → 1 ( - x 2 - 9 x x ) lím x → 4 7 − 12 x + 1 x - 4 6 7 lím x → − 3 ( 1 3 + 1 x 3 + x ) Continuidad En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en x = a . En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en x = a . f ( x ) = - 2 x - 4 ; a = 4 A x = 4 , la función tiene una asíntota vertical. f ( x ) = - 2 ( x - 4 ) 2 ; a = 4 f ( x ) = - x x 2 - x - 6 ; a = 3 A x = 3 , la función tiene una asíntota vertical. f ( x ) = 6 x 2 + 23 x + 20 4 x 2 - 25 ; a = - 5 2 f ( x ) = x - 3 9 - x ; a = 9 Discontinuidad removible en a = 9 En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada f ( x ) es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades. f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 Discontinuidad removible en x = 5 f ( x ) = x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4 f ( x ) = x 3 − 125 2 x 2 - 12 x + 10 Discontinuidad removible en x = 5 , discontinuidad en x = 1 f ( x ) = x 2 – 1 x 2 - x f ( x ) = x + 2 x 2 - 3 x - 10 Discontinuidad removible en x = 2 , discontinuidad en x = 5 f ( x ) = x + 2 x 3 + 8 Derivados En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio f ( x + h ) - f ( x ) h . f ( x ) = 3 x + 2 3 f ( x ) = 5 f ( x ) = 1 x + 1 1 ( x + 1 ) ( x + h + 1 ) f ( x ) = ln ( x ) f ( x ) = e 2 x e 2 x + 2 h e 2 x h En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función. f ( x ) = 4 x - 6 f ( x ) = 5 x 2 - 3 x 10 x 3 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) en el valor x indicado. f ( x ) = - x 3 + 4 x ; x = 2. En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable. f ( x ) = x | x | La función no sería diferenciable en 0, sin embargo, 0 no está en su dominio. Por lo tanto, es diferenciable en todo su dominio. Dado que el volumen de un cono circular recto es V = 1 3 π r 2 h y que un cono dado tiene una altura fija de 9 cm y una longitud de radio variable, calcule la tasa instantánea de cambio del volumen con respecto a la longitud del radio cuando este es de 2 cm. Dé una respuesta exacta en términos de π Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f en la . f ( 1 ) 3 lím x → −1 + f ( x ) lím x → −1 − f ( x ) 0 lím x → −1 f ( x ) lím x → −2 f ( x ) −1 ¿En qué valores de x es f discontinua? ¿Qué propiedad de la continuidad se viola? En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite f ( x ) = { 1 x - 3 , i f x ≤ 2 x 3 + 1 , i f x > 2 a = 2 lím x → 2 – f ( x ) = - 5 2 a y lím x → 2 + f ( x ) = 9 Por lo tanto, el límite de la función a medida que x se acerca a 2 no existe. f ( x ) = { x 3 + 1 , i f x < 1 3 x 2 – 1 , i f x = 1 - x + 3 + 4 , i f x > 1 a = 1 En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas. lím x → −5 ( 1 5 + 1 x 10 + 2 x ) lím h → 0 ( h 2 + 25 − 5 h 2 ) 1 50 lím h → 0 ( 1 h - 1 h 2 + h ) En los siguientes ejercicios, determine si la función dada f es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan. f ( x ) = x 2 - 4 1 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 9 x + 36 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 6 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en x = a . f ( x ) = 3 5 + 2 x Discontinuidad removible en x = 3 f ( x ) = 3 x f ( x ) = 2 x 2 + 9 x f ' ( x ) = 3 2 a 3 2 Para el gráfico en la , determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable. En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable. f ( x ) = | x - 2 | − | x + 2 | Discontinua en –2, 0, no diferenciable en –2, 0, 2 f ( x ) = 2 1 + e 2 x En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies, s , es una función de tiempo t en segundos después del lanzamiento y está dada por la función s ( t ) . s ( 0 ) No es diferenciable en x = 0 (sin límite) s ( 2 ) s ' ( 2 ) La altura del proyectil en t = 2 Segundos s ( 2 ) - s ( 1 ) 2 – 1 s ( t ) = 0 La velocidad media de t = 1 t = 2 En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite. lím x → 0 sen ( x ) 3 x lím x → 0 tan 2 ( x ) 2 x 1 3 lím x → 0 sen ( x ) ( 1 - cos ( x ) ) 2 x 2 Evalúe el límite a mano. lím x → 1 f ( x ) , donde f ( x ) = { 4 x - 7 x ≠ 1 x 2 - 4 x = 1 ¿En qué valor(es) de x la siguiente función es discontinua? f ( x ) = { 4 x - 7 x ≠ 1 x 2 - 4 x = 1 0 En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la . Halle la tasa media de cambio de la función de x = 1 para x = 3. 2 Halle todos los valores de x en los que f ' ( x ) = 0 . x = 1 Halle todos los valores de x en los que f ' ( x ) no existe. Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f del punto indicado: f ( x ) = 3 x 2 - 2 x - 6 , x = - 2 y = − 14 x − 18 En los siguientes ejercicios, utilice la función f ( x ) = x ( 1 - x ) 2 5 . Grafique la función f ( x ) = x ( 1 - x ) 2 5 e introduzca f ( x ) = x ( ( 1 - x ) 2 ) 1 5 y luego introduzca f ( x ) = x ( ( 1 - x ) 1 5 ) 2 . Explore el comportamiento del gráfico de f ( x ) alrededor de x = 1 y haga un gráfico de la función en los siguientes dominios, [0,9, 1,1], [0,99, 1,01], [0,999, 1,001] y [0,9999, 1,0001]. Utilice esta información para determinar si la función parece ser diferenciable en x = 1. El gráfico no es diferenciable en x = 1 (cúspide). En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición: lím h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h f ( x ) = 2 x - 8 f ( x ) = 4 x 2 - 7 f ' ( x ) = 8 x f ( x ) = x – 1 2 x 2 f ( x ) = 1 x + 2 f ' ( x ) = - 1 ( 2 + x ) 2 f ( x ) = 3 x – 1 f ( x ) = - x 3 + 1 f ' ( x ) = - 3 x 2 f ( x ) = x 2 + x 3 f ( x ) = x – 1 f ' ( x ) = 1 2 x – 1 tasa media de cambio la pendiente de la línea que conecta los dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) en la curva de f ( x ) ; está dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h . derivada la pendiente de una función en un punto determinado; se denota f ′ ( a ) , en un punto x = a es f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h , siempre que el límite exista. diferenciable una función f ( x ) para la que existe la derivada en x = a . En otras palabras, si f ′ ( a ) . tasa instantánea de cambio la pendiente de una función en un punto determinado; en x = a está dada por f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . velocidad instantánea el cambio de velocidad o dirección en un instante dado; una función s ( t ) representa la posición de un objeto en el tiempo t , y la velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo t = a viene dada por s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h . línea secante una línea que interseca dos puntos de una curva línea tangente una línea que interseca una curva en un solo punto", "section": "Derivadas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}
{"text": "Funciones e identidades básicas Gráficos de funciones matriz Gráficos de las funciones trigonométricas Identidades trigonométricas Identidades de Pitágoras cos 2 θ + sen 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Identidades par-impar cos (− θ ) = cos θ sec (− θ ) = sec θ sen (− θ ) = - sen θ tan (− θ ) = - tan θ csc (− θ ) = - csc θ cot (− θ ) = - cot θ Identidades de la cofunción cos θ = sen ( π 2 - θ ) sen θ = cos ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Identidades fundamentales tan θ = sen θ cos θ sec θ = 1 cos θ csc θ = 1 sen θ cot θ = 1 tan θ = cos θ sen θ Identidades de suma y resta cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Fórmulas del ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas de medio ángulo sen α 2 = ± 1 - cos α 2 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α tan α 2 = sen α 1 + cos α tan α 2 = 1 - cos α sen α Fórmulas de reducción sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas producto a suma cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Fórmulas de suma a producto sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Ley de senos sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Ley de cosenos a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ", "section": "Funciones e identidades básicas", "book": "Precálculo 2ed", "subject": "Matemáticas", "source": "https://openstax.org/details/books/precálculo-2ed"}