La integral definida En el apartado anterior definimos el área bajo una curva en términos de las sumas de Riemann: A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Sin embargo, esta definición tenía restricciones. Necesitábamos que f ( x ) fuera continua y no negativa. Desafortunadamente, los problemas del mundo real no siempre se ajustan a estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida. Definición y notación La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f ( x ) sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue. Definición Si f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , b ] , la integral definida de f de a a b viene dada por ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función f ( x ) se dice que es integrable en [ a , b ] , o que es una función integrable . El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas , donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida. La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz , a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, [ a , b ] . Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración ; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que n → ∞ . En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración . Llamamos a la función f ( x ) el integrando , y la dx indica que f ( x ) es una función con respecto a x , que se denomina variable de integración . Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia , y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( u ) d u Anteriormente, discutimos el hecho de que si f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces el límite lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas. Las funciones continuas son integrables Si los valores de f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces f es integrable en [ a , b ] . Funciones que no son continuas en [ a , b ] puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables. También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann. Evaluación de una integral mediante la definición Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 2 x 2 d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. Primero queremos establecer una suma de Riemann. Con base en los límites de integración, tenemos a = 0 y b = 2 . Para i = 0 , 1 , 2 ,…, n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ 0 , 2 ] . Entonces Δ x = b – a n = 2 n . Como estamos utilizando una aproximación al punto del extremo derecho para generar sumas de Riemann, para cada i , necesitamos calcular el valor de la función en el punto del extremo derecho del intervalo [ x i − 1 , x i ] . El punto del extremo derecho del intervalo es x i , y como P es una partición regular, x i = x 0 + i Δ x = 0 + i [ 2 n ] = 2 i n . Por lo tanto, el valor de la función en el extremo derecho del intervalo es f ( x i ) = x i 2 = ( 2 i n ) 2 = 4 i 2 n 2 . Entonces la suma de Riemann toma la forma ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = ∑ i = 1 n ( 4 i 2 n 2 ) 2 n = ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 . Utilizando la fórmula de la suma para ∑ i = 1 n i 2 , tenemos ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 8 n 3 [ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ] = 8 n 3 [ 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 ] = 16 n 3 + 24 n 2 + 8 n 6 n 3 = 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 . Ahora, para calcular la integral definida, necesitamos tomar el límite dado que n → ∞ . Obtenemos ∫ 0 2 x 2 d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lím n → ∞ ( 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 ) = lím n → ∞ ( 8 3 ) + lím n → ∞ ( 4 n ) + lím n → ∞ ( 8 6 n 2 ) = 8 3 + 0 + 0 = 8 3 . Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 3 ( 2 x – 1 ) d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. 6 Pista Utilice la estrategia de resolución de la . Evaluación de integrales definidas Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x . Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x . La función describe un semicírculo con radio 3. Para hallar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x , queremos hallar el área bajo la curva en el intervalo [ 3 , 6 ] . La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 . El área de un semicírculo es justo la mitad del área de un círculo, o A = ( 1 2 ) π r 2 . El área sombreada en la cubre la mitad del semicírculo, o A = ( 1 4 ) π r 2 . Por lo tanto, ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 = 1 4 π ( 3 ) 2 = 9 4 π ≈ 7,069. El valor de la integral de la función f ( x ) en el intervalo [ 3 , 6 ] es el área de la región sombreada. Utilice la fórmula del área de un trapecio para evaluar ∫ 2 4 ( 2 x + 3 ) d x . 18 unidades cuadradas Pista Grafique la función f ( x ) y calcule el área bajo la función en el intervalo [ 2 , 4 ] . El área y la integral definida Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que f ( x ) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando f ( x ) es negativo? Área neta señalada Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función f ( x ) = 2 − 2 x 2 (que se muestra en la ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Utilice n = 8 y elegir { x i * } como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura f ( x i * ) y de anchura Δ x . Cuando f ( x i * ) es positivo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando f ( x i * ) es negativo, sin embargo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en ∑ i = 1 8 f ( x i * ) Δ x = ( Área de los rectángulos sobre el eje x ) − ( Área de los rectángulos por debajo del eje x ) Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x . Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x , menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x , como se muestra en la . Entonces, ∫ 0 2 f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = A 1 − A 2 . La cantidad A 1 − A 2 se denomina área neta señalada . En el límite, la integral definida es igual al área A 1 menos el área A 2 , o el área neta señalada. Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero. Hallar el área neta señalada Calcule el área neta señalada entre la curva de la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . La función produce una línea recta que forma dos triángulos: uno de x = −3 al x = 0 y el otro de x = 0 hasta x = 3 ( ). Utilizando la fórmula geométrica del área de un triángulo, A = 1 2 b h , el área del triángulo A 1 , sobre el eje, es A 1 = 1 2 3 ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 2 ( 3 ) = 6 es la altura. El área del triángulo A 2 , por debajo del eje, es A 2 = 1 2 ( 3 ) ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 6 la altura. Así, el área neta es ∫ −3 3 2 x d x = A 1 − A 2 = 9 − 9 = 0 . El área por encima de la curva y por debajo del eje x es igual al área por debajo de la curva y por encima del eje x . Análisis Si A 1 es el área por encima del eje x y A 2 es el área por debajo del eje x , entonces el área neta es A 1 − A 2 . Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero. Halle el área neta señalada de f ( x ) = x − 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] , que se ilustra en la siguiente imagen. 6 Pista Utilice el método de resolución descrito en la . Área total Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de v ( t ) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes. Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original ( ). Utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 70 d t = 140 . El área bajo la curva v ( t ) = 75 nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado. En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial ( ). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 −40 d t = 120 − 120 = 0, En este caso el desplazamiento es cero. El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero. Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x , independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total . Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es ∫ 0 2 | 60 | d t + ∫ 2 5 | –40 | d t = ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 40 d t = 120 + 120 = 240. Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones. Definición Supongamos que f ( x ) es una función integrable definida en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que A 1 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A 2 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b f ( x ) d x = A 1 − A 2 . El área total entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b | f ( x ) | d x = A 1 + A 2 . Hallar el área total Halle el área total entre f ( x ) = x − 2 y el eje x en el intervalo [ 0 , 6 ] . Calcule la intersección x como ( 2 , 0 ) (establezca y = 0 , resuelva para x ). Para hallar el área total, tome el área bajo el eje x sobre el subintervalo [ 0 , 2 ] y añádalo al área sobre el eje x en el subintervalo [ 2 , 6 ] ( ). El área total entre la línea y el eje x sobre [ 0 , 6 ] es A 2 más A 1 . Tenemos ∫ 0 6 | ( x − 2 ) | d x = A 2 + A 1 . Entonces, utilizando la fórmula del área de un triángulo, obtenemos A 2 = 1 2 b h = 1 2 . 2 . 2 = 2 A 1 = 1 2 b h = 1 2 . 4 . 4 = 8 . El área total, entonces, es A 1 + A 2 = 8 + 2 = 10 . Halle el área total entre la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . 18 Pista Revise la estrategia de resolución en la . Propiedades de la integral definida Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas. Regla: propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una línea y no contiene área. ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x Si los límites se invierten, se coloca un signo negativo delante de la integral. ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x La integral de una suma es la suma de las integrales. ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales. ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c . La integral del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x Aunque esta fórmula se aplica normalmente cuando c está entre a y b , la fórmula es válida para todos los valores de a , b y c , siempre que f ( x ) sea integrable en el intervalo mayor. Usar las propiedades de la integral definida Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = −3 x 3 + 2 x + 2 en el intervalo [ −2 , 1 ] como la suma de tres integrales definidas. Utilizando la notación integral, tenemos ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x . Aplicamos las propiedades 3. y 5. para obtener ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x = ∫ –2 1 −3 x 3 d x + ∫ –2 1 2 x d x + ∫ –2 1 2 d x = −3 ∫ –2 1 x 3 d x + 2 ∫ –2 1 x d x + ∫ –2 1 2 d x . Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 3 en el intervalo [ 1 , 3 ] como la suma de cuatro integrales definidas. 6 ∫ 1 3 x 3 d x − 4 ∫ 1 3 x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x d x − ∫ 1 3 3 d x Pista Utilice la estrategia de resolución de la y las propiedades de las integrales definidas. Usar las propiedades de la integral definida Si se sabe que ∫ 0 8 f ( x ) d x = 10 y ∫ 0 5 f ( x ) d x = 5 , halle el valor de ∫ 5 8 f ( x ) d x . Por la propiedad 6., ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . Por lo tanto, ∫ 0 8 f ( x ) d x = ∫ 0 5 f ( x ) d x + ∫ 5 8 f ( x ) d x 10 = 5 + ∫ 5 8 f ( x ) d x 5 = ∫ 5 8 f ( x ) d x . Si se sabe que ∫ 1 5 f ( x ) d x = −3 y ∫ 2 5 f ( x ) d x = 4 , halle el valor de ∫ 1 2 f ( x ) d x . −7 Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las propiedades de las integrales definidas. Propiedades de comparación de las integrales A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f ( x ) está por encima de otra función g ( x ) , entonces el área entre f ( x ) y el eje x es mayor que el área entre g ( x ) y el eje x . Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a < b , a = b , o a > b . Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso a ≤ b , y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales. Teorema de comparación Si los valores de f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 . Si f ( x ) ≥ g ( x ) para a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x . Si m y M son constantes tales que m ≤ f ( x ) ≤ M por a ≤ x ≤ b , entonces m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Comparación de dos funciones en un intervalo dado Compare f ( x ) = 1 + x 2 y g ( x ) = 1 + x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Es necesario graficar estas funciones para entender cómo se comparan en el intervalo [ 0 , 1 ] . Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, f ( x ) parece estar por encima de g ( x ) en todas partes. Sin embargo, en el intervalo [ 0 , 1 ] , los gráficos parecen estar superpuestos. Tenemos que acercarnos para ver que, en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) está por encima de f ( x ) . Las dos funciones se intersecan en x = 0 y x = 1 ( ). (a) La función f ( x ) aparece sobre la función g ( x ) excepto en el intervalo [ 0 , 1 ] (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación lo muestra más claramente. Podemos ver en el gráfico que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) . Comparación de las integrales en el intervalo especificado [ 0 , 1 ] , también vemos que ∫ 0 1 g ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f ( x ) d x ( ). La zona delgada y sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales en el intervalo [ 0 , 1 ] . (a) El gráfico muestra que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) , donde la igualdad se mantiene solo en los puntos extremos del intervalo. (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación muestra esto más claramente. Valor promedio de una función A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto, 89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69 6 = 482 6 ≈ 80,33 . Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas. Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v ( t ) que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t , y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función v ( t ) adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta. Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos de anchura Δ x = ( b – a ) / n . Elija un representante x i * en cada subintervalo y calcule f ( x i * ) por i = 1 , 2 ,…, n . En otras palabras, considere cada f ( x i * ) como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n , que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos. Pero sabemos que Δ x = b – a n , por lo que n = b – a Δ x , y obtenemos f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n = f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) ( b – a ) Δ x . Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ∑ i = 1 n f ( x i * ) , y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por ∑ i = 1 n f ( x i * ) ( b – a ) Δ x = ( Δ x b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) = ( 1 b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto , se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por 1 b – a lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Definición Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] . Entonces, el valor promedio de la función f ( x ) (o f ave ) en [ a , b ] viene dada por f ave = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Hallar el valor promedio de una función lineal Calcule el valor promedio de f ( x ) = x + 1 en el intervalo [ 0 , 5 ] . En primer lugar, grafique la función en el intervalo indicado, como se muestra en la . El gráfico muestra el área bajo la función f ( x ) = x + 1 en [ 0 , 5 ] . La región es un trapecio recostado sobre su lado, por lo que podemos utilizar la fórmula del área de un trapecio A = 1 2 h ( a + b ) , donde h representa la altura, y a y b representan los dos lados paralelos. Entonces, ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 2 h ( a + b ) = 1 2 . 5 . ( 1 + 6 ) = 35 2 . Así, el valor promedio de la función es 1 5 − 0 ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 5 . 35 2 = 7 2 . Calcule el valor promedio de f ( x ) = 6 − 2 x en el intervalo [ 0 , 3 ] . 3 Pista Utilice la fórmula del valor promedio y use la geometría para evaluar la integral. Conceptos clave La integral definida puede utilizarse para calcular el área neta señalada, que es el área por encima del eje x menos el área por debajo del eje x . El área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Los componentes de la integral definida son el integrando, la variable de integración y los límites de integración. Las funciones continuas en un intervalo cerrado son integrables. Las funciones que no son continuas pueden seguir siendo integrables, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades. Las propiedades de las integrales definidas pueden utilizarse para evaluar integrales. El área bajo la curva de muchas funciones puede calcularse mediante fórmulas geométricas. El valor promedio de una función puede calcularse mediante integrales definidas. Ecuaciones clave Integral definida ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x Propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales. lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( x i * ) Δ x en [ 1 , 3 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 5 ( x i * ) 2 − 3 ( x i * ) 3 ) Δ x en [ 0 , 2 ] ∫ 0 2 ( 5 x 2 − 3 x 3 ) d x lím n → ∞ ∑ i = 1 n sen 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n cos 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 cos 2 ( 2 π x ) d x En los siguientes ejercicios, dados L n o R n como se indica, exprese sus límites dado que n → ∞ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos. L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n ∫ 0 1 x d x L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) grandes. R n n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) grandes. ∫ 3 6 x d x L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) grandes. R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) grandes. ∫ 1 2 x log ( x 2 ) d x En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo el eje x . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 = 14 1 − 4 + 9 = 6 1 − 2 π + 9 = 10 − 2 π En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando las fórmulas de área. ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x La integral es el área del triángulo, 1 2 ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x La integral es el área del triángulo, 9. ∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x La integral es el área 1 2 π r 2 = 2 π . ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x La integral es el área del triángulo "grande" menos el triángulo "perdido", 9 − 1 2 . En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos izquierdo ( L ) y derecho ( R ) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados. { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 8 , 3 ) } en [ 0 , 8 ] { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 5 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , ( 8 , 0 ) } en [ 0 , 8 ] L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21 , R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22 , L + R 2 = 21,5 { ( −4 , –4 ) , ( –2 , 0 ) , ( 0 , –2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) } en [ −4 , 4 ] { ( −4 , 0 ) , ( –2 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 0 ) } en [ −4 , 4 ] L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10 , R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10 , L + R 2 = 10 Supongamos que ∫ 0 4 f ( x ) d x = 5 y ∫ 0 2 f ( x ) d x = −3 , y ∫ 0 4 g ( x ) d x = –1 y ∫ 0 2 g ( x ) d x = 2 . En los siguientes ejercicios, calcule las integrales. ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x + ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 − 3 = 5 ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x − ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 + 3 = 11 ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x 4 ∫ 2 4 f ( x ) d x − 3 ∫ 2 4 g ( x ) d x = 32 + 9 = 41 En los siguientes ejercicios, utilice la identidad ∫ − A A f ( x ) d x = ∫ − A 0 f ( x ) d x + ∫ 0 A f ( x ) d x para calcular las integrales. ∫ − π π sen t 1 + t 2 d t ( Pista : sen ( − t ) = − sen ( t ) ). grandes. ∫ − π π t 1 + cos t d t El integrando es impar; la integral es cero. En los siguientes ejercicios, halle el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x. ∫ 1 3 ( 2 − x ) d x ( Pista: Mire el gráfico de f ). ∫ 2 4 ( x − 3 ) 3 d x ( Pista: Mire el gráfico de f .) El integrando es antisimétrico con respecto a x = 3 . La integral es cero. En los siguientes ejercicios, dado que ∫ 0 1 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 , y ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 , calcular las integrales. ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 7 12 ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 6 x + 12 x 2 − 8 x 3 ) d x = ( x – 3 x 2 + 4 x 3 – 2 x 4 ) = ( 1 – 3 + 4 – 2 ) ( 0 – 0 + 0 – 0 ) = 0 ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x 7 − 5 4 = 23 4 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de comparación . Demuestre que ∫ 0 3 ( x 2 − 6 x + 9 ) d x ≥ 0 . Demuestre que ∫ −2 3 ( x − 3 ) ( x + 2 ) d x ≤ 0 . El integrando es negativo sobre [ −2 , 3 ] . Demuestre que ∫ 0 1 1 + x 3 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x 2 d x . Demuestre que ∫ 1 2 1 + x d x ≤ ∫ 1 2 1 + x 2 d x . x ≤ x 2 en [ 1 , 2 ] , así que 1 + x ≤ 1 + x 2 en [ 1 , 2 ] . Demuestre que ∫ 0 π / 2 sen t d t ≥ π 4 . ( Pista: sen t ≥ 2 t π en [ 0 , π 2 ] ). Demuestre que ∫ − π / 4 π / 4 cos t d t ≥ π 2 / 4 . cos ( t ) ≥ 2 2 . Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad. En los siguientes ejercicios, halle el valor promedio f ave de f entre a y b , y halle un punto c , donde f ( c ) = f ave . f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ave = 0 ; c = 0 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 3 2 cuando c = ± 3 2 f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ave = 0 ; c = π 2 , 3 π 2 En los siguientes ejercicios, aproxime el valor promedio utilizando las sumas de Riemann L 100 and R 100 . ¿Cómo se compara su respuesta con la respuesta exacta dada? [T] y = ln ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] ; la solución exacta es ln ( 256 ) 3 − 1 . [T] y = e x / 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] ; la solución exacta es 2 ( e − 1 ) . L 100 = 1,294 , R 100 = 1,301 ; el promedio exacto está entre estos valores. [T] y = tan x en el intervalo [ 0 , π 4 ] ; la solución exacta es 2 ln ( 2 ) π . [T] y = x + 1 4 − x 2 en el intervalo [ −1 , 1 ] ; la solución exacta es π 6 . L 100 × ( 1 2 ) = 0,5178 , R 100 × ( 1 2 ) = 0,5294 En los siguientes ejercicios, calcule el valor promedio utilizando las sumas de Riemann izquierdas L N para N = 1 , 10 , 100 . ¿Cómo se compara la exactitud con el valor exacto dado? [T] y = x 2 − 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es − 8 3 . [T] y = x e x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es 1 4 ( e 4 − 1 ) . L 1 = 0 , L 10 × ( 1 2 ) = 8,743493 , L 100 × ( 1 2 ) = 12,861728 . La respuesta exacta ≈ 26,799 , por lo que L 100 no es exacta. [T] y = ( 1 2 ) x en el intervalo [ 0 , 4 ] ; la solución exacta es 15 64 ln ( 2 ) . [T] y = x sen ( x 2 ) en el intervalo [ − π , 0 ] ; la solución exacta es cos ( π 2 ) − 1 2 π . L 1 × ( 1 π ) = 1,352 , L 10 × ( 1 π ) = −0,1837 , L 100 × ( 1 π ) = −0,2956 . La respuesta exacta ≈ − 0,303 , por lo que L 100 no es exacto en el primer decimal. Supongamos que A = ∫ 0 2 π sen 2 t d t y B = ∫ 0 2 π cos 2 t d t . Demuestre que A + B = 2 π y A = B . Supongamos que A = ∫ − π / 4 π / 4 sec 2 t d t = π y B = ∫ − π / 4 π / 4 tan 2 t d t . Demuestre que A − B = π 2 . Utilice la sustitución en tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Entonces, B − A = ∫ − π / 4 π / 4 1 d x = π 2 . Demuestre que el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1/2. Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , π ] también es igual a 1/2. Demuestre que el valor promedio de cos 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1 / 2 . Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de cos 2 ( t ) en [ 0 , π ] también es igual a 1 / 2 . ∫ 0 2 π cos 2 t d t = π , así que divida por la longitud 2 π del intervalo. cos 2 t tiene periodo π , así que es cierto. Explique por qué los gráficos de una función cuadrática (parábola) p ( x ) y una función lineal ℓ ( x ) pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Supongamos que p ( a ) = ℓ ( a ) y p ( b ) = ℓ ( b ) , y que ∫ a b p ( t ) d t > ∫ a b ℓ ( t ) d t . Explique por qué ∫ c d p ( t ) > ∫ c d ℓ ( t ) d t siempre que a ≤ c < d ≤ b . Supongamos que la parábola p ( x ) = a x 2 + b x + c se abre hacia abajo ( a < 0 ) y tiene un vértice de y = − b 2 a > 0 . ¿Para qué intervalo [ A , B ] es ∫ A B ( a x 2 + b x + c ) d x lo más grande posible? La integral se maximiza cuando se utiliza el mayor intervalo en el que p es no negativo. Así, A = − b − b 2 − 4 a c 2 a y B = − b + b 2 − 4 a c 2 a . Supongamos que [ a , b ] se puede subdividir en subintervalos a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a N = b de manera que f ≥ 0 en [ a i − 1 , a i ] o f ≤ 0 en [ a i − 1 , a i ] . Establezca A i = ∫ a i − 1 a i f ( t ) d t . Explique por qué ∫ a b f ( t ) d t = A 1 + A 2 + ⋯ + A N . Luego, explique por qué | ∫ a b f ( t ) d t | ≤ ∫ a b | f ( t ) | d t . Supongamos que f y g son funciones continuas tales que ∫ c d f ( t ) d t ≤ ∫ c d g ( t ) d t para cada subintervalo [ c , d ] de [ a , b ] . Explique por qué f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los valores de x . Si los valores de f ( t 0 ) > g ( t 0 ) para algunos t 0 ∈ [ a , b ] , entonces ya que f − g es continua, existe un intervalo que contiene t 0 tal que f ( t ) > g ( t ) en el intervalo [ c , d ] , y luego ∫ d d f ( t ) d t > ∫ c d g ( t ) d t en este intervalo. Supongamos que el valor promedio de f sobre [ a , b ] es 1 y el valor promedio de f sobre [ b , c ] es 1 donde a < c < b . Demuestre que el valor promedio de f sobre [ a , c ] también es 1. Supongamos que [ a , b ] se puede dividir. Al tomar a = a 0 < a 1 < ⋯ < a N = b tal que el valor promedio de f en cada subintervalo [ a i − 1 , a i ] = 1 es igual a 1 por cada i = 1 ,…, N . Explique por qué el valor promedio de f sobre [ a , b ] también es igual a 1. La integral de f sobre un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Así, ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 f ( t ) d t + ∫ a 1 a 2 f ( t ) d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 1 d t + ∫ a 1 a 2 1 d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N 1 d t = ( a 1 − a 0 ) + ( a 2 − a 1 ) + ⋯ + ( a N − a N − 1 ) = a N − a 0 = b – a . Al dividir entre b – a resulta la identidad deseada. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) 2 . Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i 2 . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . ∫ 0 N f ( t ) d t = ∑ i = 1 N ∫ i − 1 i f ( t ) d t = ∑ i = 1 N i 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha L 10 y R 10 y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = t 2 en [ 0 , 1 ] . Dado que ∫ 0 1 t 2 d t = 0, 33 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 10 y R 10 , y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = ( 4 − t 2 ) en [ 1 , 2 ] . Dado que ∫ 1 2 ( 4 − t 2 ) d t = 1 66 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? L 10 = 1,815 , R 10 = 1,515 , L 10 + R 10 2 = 1,665 , para que la estimación sea precisa con dos decimales. Si los valores de ∫ 1 5 1 + t 4 d t = 41,7133.. . , ¿qué es ∫ 1 5 1 + u 4 d u ? Estime ∫ 0 1 t d t utilizando las sumas de los extremos izquierdo y derecho, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de los extremos izquierdo y derecho con el valor real ∫ 0 1 t d t ? El promedio es 1 / 2 , que en este caso es igual a la integral. Estime ∫ 0 1 t d t por comparación con el área de un único rectángulo con altura igual al valor de t en el punto medio t = 1 2 . ¿Cómo se compara esta estimación del punto medio con el valor real ∫ 0 1 t d t ? A partir del gráfico de sen ( 2 π x ) que se muestra: Explique por qué ∫ 0 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 . Explique por qué, en general, ∫ a a + 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 para cualquier valor de a . a. El gráfico es antisimétrico con respecto a t = 1 2 en [ 0 , 1 ] , para que el valor promedio sea cero. b. Para cualquier valor de a , el gráfico entre [ a , a + 1 ] es un desplazamiento del gráfico sobre [ 0 , 1 ] , para que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambien y el promedio siga siendo cero. Si f es 1-periódica ( f ( t + 1 ) = f ( t ) ) , impar, e integrable sobre [ 0 , 1 ] , ¿es siempre cierto que ∫ 0 1 f ( t ) d t = 0 ? Si f es 1-periódica y ∫ 0 1 f ( t ) d t = A , ¿es necesariamente cierto que ∫ a 1 + a f ( t ) d t = A para todos las A ? Sí, la integral sobre cualquier intervalo de longitud 1 es la misma. valor promedio de una función (o f ave ) el valor promedio de una función en un intervalo se puede hallar calculando la integral definida de la función y dividiendo ese valor por la longitud del intervalo integral definida una operación primaria del cálculo; el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado es una integral definida función integrable una función es integrable si el límite que define la integral existe; en otras palabras, si el límite de las sumas de Riemann a medida que n llega al infinito existe integrando la función a la derecha del símbolo de integración; el integrando incluye la función que se integra límites de integración valores que aparecen cerca de la parte superior e inferior del signo de la integral y definen el intervalo sobre el que debe integrarse la función área neta señalada el área entre una función y el eje x tal que el área por debajo del eje x se resta del área por encima del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida de la función área total el área total entre una función y el eje x se calcula sumando el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida del valor absoluto de la función variable de integración indica con respecto a qué variable se está integrando; si es x , entonces la función en el integrando va seguida de dx

Matemáticas


El teorema fundamental del cálculo En los dos apartados anteriores vimos la integral definida y su relación con el área bajo la curva de una función. Desafortunadamente, hasta ahora las únicas herramientas de que disponemos para calcular el valor de una integral definida son las fórmulas geométricas de área y los límites de las sumas de Riemann, y ambas aproximaciones son extremadamente engorrosas. En esta sección veremos algunas técnicas más potentes y útiles para evaluar integrales definidas. Estas nuevas técnicas se basan en la relación entre diferenciación e integración. Esta relación fue descubierta y explorada tanto por Sir Isaac Newton como por Gottfried Wilhelm Leibniz (entre otros) a finales de 1600 y principios de 1700, y está codificada en lo que ahora llamamos el teorema fundamental del cálculo , que tiene dos partes que examinamos en esta sección. Su propio nombre indica lo fundamental que es este teorema para todo el desarrollo del cálculo. Las aportaciones de Isaac Newton a las matemáticas y la física cambiaron nuestra forma de ver el mundo. Las relaciones que descubrió, codificadas como las leyes de Newton y la ley de la gravitación universal, se siguen enseñando como material fundamental en la física actual, y su cálculo ha dado lugar a ámbitos completos dentro de las matemáticas. Para saber más, lea una breve biografía de Newton con videos multimedia. Sin embargo, antes de llegar a este teorema crucial, vamos a examinar otro teorema importante, el teorema del valor medio para integrales, que es necesario para demostrar el teorema fundamental del cálculo. Teorema del valor medio para integrales El teorema del valor medio para integrales afirma que una función continua en un intervalo cerrado toma su valor medio en algún punto de ese intervalo. El teorema garantiza que si f ( x ) es continua, existe un punto c en un intervalo [ a , b ] tal que el valor de la función en c es igual al valor medio de f ( x ) en [ a , b ] . Enunciamos este teorema matemáticamente con la ayuda de la fórmula del valor medio de una función que presentamos al final del apartado anterior. Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Esta fórmula también puede expresarse como ∫ a b f ( x ) d x = f ( c ) ( b – a ) . Prueba Dado que f ( x ) es continua en [ a , b ] , por el teorema del valor extremo (consulte Máximos y mínimos ), asume valores mínimos y máximos — m y M , respectivamente— en [ a , b ] . Entonces, para toda x en [ a , b ] , tenemos m ≤ f ( x ) ≤ M . Por lo tanto, por el teorema de comparación (consulte La integral definida ), tenemos m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Al dividir entre b – a nos da m ≤ 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x ≤ M . Dado que 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x es un número entre m y M , y ya que f ( x ) es continua y asume los valores m y M en [ a , b ] , por el teorema del valor intermedio (consulte Continuidad ), existe un número c en [ a , b ] tal que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x , y la prueba está completa. □ Encontrar el valor medio de una función Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = 8 − 2 x en el intervalo [ 0 , 4 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 4 ] . La fórmula indica el valor medio de f ( x ) está dada por 1 4 − 0 ∫ 0 4 ( 8 − 2 x ) d x . Podemos ver en la que la función representa una línea recta y forma un triángulo rectángulo delimitado por los ejes x y y . El área del triángulo es A = 1 2 ( base ) ( altura ) . Tenemos A = 1 2 ( 4 ) ( 8 ) = 16 . El valor medio se obtiene multiplicando el área por 1 / ( 4 − 0 ) . Así, el valor medio de la función es 1 4 ( 16 ) = 4 . Establezca el valor medio igual a f ( c ) y resuelva para c . 8 − 2 c = 4 c = 2 A c = 2 , f ( 2 ) = 4 . Por el teorema del valor medio, la función continua f ( x ) toma su valor medio en c al menos una vez en un intervalo cerrado. Calcule el valor promedio de la función f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] y halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de la función sobre [ 0 , 6 ] . Valor medio = 1,5 ; c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Cómo encontrar el punto en el que una función toma su valor medio Dados ∫ 0 3 x 2 d x = 9 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = x 2 en [ 0 , 3 ] . Buscamos el valor de c tal que f ( c ) = 1 3 − 0 ∫ 0 3 x 2 d x = 1 3 ( 9 ) = 3 . Sustitución de f ( c ) con c 2 , tenemos c 2 = 3 c = ± 3 . Dado que − 3 está fuera del intervalo, toma solo el valor positivo. Así, c = 3 ( ). En el intervalo [ 0 , 3 ] , la función f ( x ) = x 2 adquiere su valor medio en c = 3 . Dados ∫ 0 3 ( 2 x 2 – 1 ) d x = 15 , halle c de modo que f ( c ) es igual al valor promedio de f ( x ) = 2 x 2 – 1 en [ 0 , 3 ] . c = 3 Pista Utilice los procedimientos de la para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 1: Integrales y antiderivadas Como se dijo anteriormente, el teorema fundamental del cálculo es un teorema extremadamente poderoso que establece la relación entre la diferenciación y la integración, y nos da una manera de evaluar integrales definidas sin usar sumas de Riemann o calcular áreas. El teorema consta de dos partes, la primera de las cuales, el teorema fundamental del cálculo, parte 1 , se enuncia aquí. La Parte 1 establece la relación entre diferenciación e integración. Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) en [ a , b ] . Antes de profundizar en la prueba, vale la pena mencionar un par de sutilezas. En primer lugar, un comentario sobre la notación. Observe que hemos definido una función, F ( x ) , como la integral definida de otra función, f ( t ) , desde el punto a hasta el punto x . A primera vista es confuso, porque hemos dicho varias veces que una integral definida es un número, y aquí parece que es una función. La clave aquí es darse cuenta que para cualquier valor particular de x , la integral definida es un número. Así que la función F ( x ) responde con un número (el valor de la integral definida) para cada valor de x . En segundo lugar, merece la pena comentar algunas de las implicaciones clave de este teorema. Por algo se llama teorema fundamental del cálculo. No solo establece una relación entre integración y diferenciación, sino que también garantiza que cualquier función integrable tiene una antiderivada. En concreto, garantiza que cualquier función continua tiene una antiderivada. Prueba Al aplicar la definición de la derivada, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 F ( x + h ) – F ( x ) h = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t − ∫ a x f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h [ ∫ a x + h f ( t ) d t + ∫ x a f ( t ) d t ] = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t . Si observamos atentamente esta última expresión, vemos 1 h ∫ x x + h f ( t ) d t es solo el valor medio de la función f ( x ) en el intervalo [ x , x + h ] . Por lo tanto, por el , hay algún número c en [ x , x + h ] tal que 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = f ( c ) . Además, como c está entre x y x + h , c se aproxima a x a medida que h se acerca a cero. Además, como f ( x ) es continua, tenemos lím h → 0 f ( c ) = lím c → x f ( c ) = f ( x ) . Uniendo todas estas piezas, tenemos F ′ ( x ) = lím h → 0 1 h ∫ x x + h f ( x ) d x = lím h → 0 f ( c ) = f ( x ) , y la prueba está completa. □ Halle una derivada con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para encontrar la derivada de g ( x ) = ∫ 1 x 1 t 3 + 1 d t . Según el teorema fundamental del cálculo, la derivada viene dada por g ′ ( x ) = 1 x 3 + 1 . Utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1 para encontrar la derivada de g ( r ) = ∫ 0 r x 2 + 4 d x . g ′ ( r ) = r 2 + 4 Pista Siga los procedimientos del para resolver el problema. Uso del teorema fundamental y la regla de la cadena para calcular derivadas Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x sen t d t . Calcule F ′ ( x ) . Suponiendo que u ( x ) = x , tenemos F ( x ) = ∫ 1 u ( x ) sen t d t . Así, por el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, F ′ ( x ) = sen ( u ( x ) ) d u d x = sen ( u ( x ) ) . ( 1 2 x −1 / 2 ) = sen x 2 x . Supongamos que F ( x ) = ∫ 1 x 3 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 3 x 2 cos x 3 Pista Utilice la regla de la cadena para resolver el problema. Uso del teorema fundamental del cálculo con los límites de integración de dos variables Supongamos que F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Calcule F ′ ( x ) . Tenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t . Ambos límites de integración son variables, por lo que necesitamos dividir esto en dos integrales. Obtenemos F ( x ) = ∫ x 2 x t 3 d t = ∫ x 0 t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t = − ∫ 0 x t 3 d t + ∫ 0 2 x t 3 d t . Al diferenciar el primer término, obtenemos d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] = − x 3 . A diferenciar el segundo término, primero suponemos que u ( x ) = 2 x . Entonces, d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = d d x [ ∫ 0 u ( x ) t 3 d t ] = ( u ( x ) ) 3 d u d x = ( 2 x ) 3 . 2 = 16 x 3 . Por lo tanto, F ′ ( x ) = d d x [ − ∫ 0 x t 3 d t ] + d d x [ ∫ 0 2 x t 3 d t ] = − x 3 + 16 x 3 = 15 x 3 . Supongamos que F ( x ) = ∫ x x 2 cos t d t . Calcule F ′ ( x ) . F ′ ( x ) = 2 x cos x 2 − cos x Pista Utilice los procedimientos del para resolver el problema. Teorema fundamental del cálculo, parte 2: El teorema de evaluación El teorema fundamental del cálculo, parte 2, es quizás el teorema más importante del cálculo. Tras los incansables esfuerzos de los matemáticos durante aproximadamente 500 años, surgieron nuevas técnicas que proporcionaron a los científicos las herramientas necesarias para explicar muchos fenómenos. Gracias al cálculo, los astrónomos al fin pudieron determinar las distancias en el espacio y trazar las órbitas planetarias. Los problemas financieros cotidianos, como el cálculo de los costos marginales o la predicción de los beneficios totales, podían ahora tratarse con sencillez y precisión. Los ingenieros podían calcular la resistencia a la flexión de los materiales o el movimiento tridimensional de los objetos. Nuestra visión del mundo cambió para siempre con el cálculo. Después de encontrar las áreas aproximadas sumando las áreas de rectángulos n , la aplicación de este teorema es sencilla por comparación. Casi parece demasiado sencillo que el área de toda una región curva pueda calcularse simplemente evaluando una antiderivada en el primer y último punto final de un intervalo. El teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . A menudo vemos la notación F ( x ) | a b para denotar la expresión F ( b ) – F ( a ) . Utilizamos esta barra vertical y los límites a y b asociados para indicar que debemos evaluar la función F ( x ) en el límite superior (en este caso, b ), y restar el valor de la función F ( x ) evaluado en el límite inferior (en este caso, a ). El teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también conocido como el teorema de evaluación ) establece que si podemos encontrar una antiderivada para el integrando, entonces podemos evaluar la integral definida evaluando la antiderivada en los puntos extremos del intervalo y restando. Prueba Supongamos que P = { x i } , i = 0 , 1 ,…, n es una partición regular de [ a , b ] . Entonces, podemos escribir F ( b ) – F ( a ) = F ( x n ) – F ( x 0 ) = [ F ( x n ) – F ( x n – 1 ) ] + [ F ( x n – 1 ) – F ( x n – 2 ) ] + … + [ F ( x 1 ) – F ( x 0 ) ] = ∑ i = 1 n [ F ( x i ) – F ( x i − 1 ) ] . Ahora, sabemos que F es una antiderivada de f en [ a , b ] , así que mediante el teorema del valor medio (consulte el teorema del valor medio ) para i = 0 , 1 ,…, n podemos encontrar c i en [ x i − 1 , x i ] tal que F ( x i ) – F ( x i − 1 ) = F ′ ( c i ) ( x i − x i − 1 ) = f ( c i ) Δ x . Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior, tenemos F ( b ) – F ( a ) = ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x . Tomando el límite de ambos lados cuando n → ∞ , obtenemos F ( b ) – F ( a ) = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = ∫ a b f ( x ) d x . □ Evaluación de una integral con el teorema fundamental del cálculo Utilice el para evaluar ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t . Recordemos la regla de la potencia para las antiderivadas : Si y = x n , ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C . Utilice esta regla para encontrar la antiderivada de la función y luego aplique el teorema. Tenemos ∫ −2 2 ( t 2 − 4 ) d t = t 3 3 − 4 t | −2 2 = [ ( 2 ) 3 3 − 4 ( 2 ) ] − [ ( −2 ) 3 3 − 4 ( −2 ) ] = ( 8 3 − 8 ) − ( − 8 3 + 8 ) = 8 3 − 8 + 8 3 − 8 = 16 3 − 16 = − 32 3 . Análisis Observe que no incluimos el término "+ C " cuando escribimos la antiderivada. La razón es que, según el teorema fundamental del cálculo, parte 2, cualquier antiderivada funciona. Así que, por comodidad, elegimos la antiderivada con C = 0 . Si hubiéramos elegido otra antiderivada, el término constante se habría anulado. Esto siempre ocurre al evaluar una integral definida. La región del área que acabamos de calcular se representa en la . Note que toda la región entre la curva y el eje x está por debajo del eje x . El área es siempre positiva, pero una integral definida puede producir un número negativo (un área neta con signo). Por ejemplo, si se tratara de una función de beneficios, un número negativo indica que la empresa está operando con pérdidas en el intervalo dado. La evaluación de una integral definida puede producir un valor negativo aunque el área sea siempre positiva. Evaluación de una integral definida mediante el teorema fundamental del cálculo, parte 2 Evalúe la siguiente integral utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2: ∫ 1 9 x – 1 x d x . Primero elimine el radical reescribiendo la integral usando exponentes racionales. Luego, separe los términos del numerador escribiendo cada uno sobre el denominador: ∫ 1 9 x – 1 x 1 / 2 d x = ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x . Utilice las propiedades de los exponentes para simplificar: ∫ 1 9 ( x x 1 / 2 – 1 x 1 / 2 ) d x = ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x −1 / 2 ) d x . Ahora, integre usando la regla de la potencia: ∫ 1 9 ( x 1 / 2 − x – 1 / 2 ) d x = ( x 3 / 2 3 2 − x 1 / 2 1 2 ) | 1 9 = [ ( 9 ) 3 / 2 3 2 − ( 9 ) 1 / 2 1 2 ] − [ ( 1 ) 3 / 2 3 2 − ( 1 ) 1 / 2 1 2 ] = [ 2 3 ( 27 ) − 2 ( 3 ) ] − [ 2 3 ( 1 ) − 2 ( 1 ) ] = 18 − 6 − 2 3 + 2 = 40 3 . Vea el . El área bajo la curva de x = 1 a x = 9 se puede calcular evaluando una integral definida. Utilice (teorema fundamental del cálculo) para evaluar ∫ 1 2 x −4 d x . 7 24 Pista Utilice la regla de la potencia. Una carrera de patinaje James y Kathy están patinando. Lo hacen a lo largo de una pista larga y recta, y quien llegue más lejos después de 5 segundos gana un premio. Si James puede patinar a una velocidad de f ( t ) = 5 + 2 t ft/s y Kathy puede patinar a una velocidad de g ( t ) = 10 + cos ( π 2 t ) ft/s, ¿quién va a ganar la carrera? Tenemos que integrar ambas funciones en el intervalo [ 0 , 5 ] y ver qué valor es mayor. Con respecto a James, queremos calcular ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t . Utilizando la regla de la potencia, tenemos ∫ 0 5 ( 5 + 2 t ) d t = ( 5 t + t 2 ) | 0 5 = ( 25 + 25 ) = 50. Así, James patinó 50 ft en 5 segundos. Volviendo a Kathy, queremos calcular ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t . Sabemos que sen t es una antiderivada de cos t , por lo que es razonable esperar que una antiderivada de cos ( π 2 t ) implicaría sen ( π 2 t ) . Sin embargo, cuando diferenciamos sen ( π 2 t ) , obtenemos π 2 cos ( π 2 t ) como resultado de la regla de la cadena, por lo que tenemos que tener en cuenta este coeficiente adicional cuando integramos. Obtenemos ∫ 0 5 10 + cos ( π 2 t ) d t = ( 10 t + 2 π sen ( π 2 t ) ) | 0 5 = ( 50 + 2 π ) − ( 0 − 2 π sen 0 ) ≈ 50,6. Kathy patinó aproximadamente 50,6 ft en 5 segundos. ¡Kathy gana, pero no por mucho! Supongamos que James y Kathy tienen una revancha, pero esta vez el árbitro detiene la contienda a solo 3 segundos. ¿Cambia esto el resultado? Kathy sigue ganando, pero por un margen mucho mayor: James patina 24 ft en 3 segundos, pero Kathy patina 29,3634 ft en 3 segundos. Pista Cambia los límites de integración de los que aparecen en la . Un paracaidista en caída libre Los paracaidistas pueden ajustar la velocidad de su inmersión cambiando la posición de su cuerpo durante la caída libre (créditos: Jeremy T. Lock). Julie es una paracaidista apasionada. Tiene más de 300 saltos en su haber y ha dominado el arte de cambiar la posición de su cuerpo en el aire para controlar la velocidad de caída. Si arquea la espalda y apunta su vientre hacia el suelo, alcanza una velocidad límite de aproximadamente 120 mph (176 ft/s). Si más bien orienta su cuerpo con la cabeza hacia abajo, cae más rápido, alcanzando una velocidad límite de 150 mph (220 ft/s). Como Julie se moverá (caerá) en dirección descendente, asumimos que la dirección descendente es positiva para simplificar nuestros cálculos. Julie ejecuta sus saltos desde una altitud de 12.500 ft. Al saltar de la aeronave, inmediatamente comienza a caer a una velocidad dada por v ( t ) = 32 t . Ella continúa acelerando según esta función de velocidad hasta que alcanza la velocidad límite. Cuando alcanza la velocidad límite, su velocidad se mantiene constante hasta que tira de la cuerda de seguridad y reduce la velocidad para aterrizar. En su primer salto del día, Julie se orienta en la posición más lenta "panza abajo" (la velocidad límite es de 176 ft/s). Con esta información, responda las siguientes preguntas. ¿Cuánto tiempo después de saltar del avión Julie alcanza la velocidad límite? Con base en su respuesta a la pregunta 1, establezca una expresión que implique una o más integrales que representen la distancia a la que cae Julie después de 30 segundos. Si Julie tira de su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre? Julie tira de su cuerda de seguridad a 3.000 ft. El paracaídas tarda 5 segundos en abrirse por completo y en frenar, tiempo durante el cual cae otros 400 ft. Después de que su casquete está completamente abierto, su velocidad se reduce a 16 ft/s. Halle el tiempo total que Julie pasa en el aire, desde que sale del avión hasta que sus pies tocan el suelo. En el segundo salto del día, Julie decide que quiere caer un poco más rápido y se orienta en la posición "cabeza abajo". Su velocidad límite en esta posición es de 220 ft/s. Responda a estas preguntas con base en esta velocidad: En este caso ¿cuánto tarda Julie en alcanzar la velocidad límite? Antes de tirar de la cuerda de seguridad, Julie reorienta su cuerpo en la posición "panza abajo" para no moverse tan rápido cuando se abra el paracaídas. Si comienza esta maniobra a una altitud de 4.000 ft, ¿cuánto tiempo pasa en caída libre antes de comenzar la reorientación? Algunos saltadores llevan " trajes de alas " (vea la ). Estos trajes tienen paneles de tela entre los brazos y las piernas y permiten al usuario deslizarse en caída libre, como una ardilla voladora. (De hecho, los trajes se llaman a veces "trajes de ardilla voladora"). Cuando se llevan estos trajes, la velocidad límite puede reducirse a unos 30 mph (44 ft/s), lo que permite a los usuarios un tiempo mucho más largo en el aire. Los pilotos de wingsuit (traje de alas) siguen utilizando paracaídas para aterrizar; aunque las velocidades verticales están dentro del margen de seguridad, las horizontales pueden superar las 70 mph, demasiado rápido para aterrizar con seguridad. Los paneles de tela de los brazos y las piernas de un wingsuit sirven para reducir la velocidad vertical de caída de un paracaidista (créditos: Richard Schneider). Responda la siguiente pregunta con base en la velocidad con un wingsuit. Si Julie se pone un wingsuit antes de su tercer salto del día y hala su cuerda de seguridad a una altitud de 3.000 ft, ¿cuánto tiempo puede pasar planeando en el aire? Conceptos clave El teorema del valor medio de las integrales afirma que para una función continua en un intervalo cerrado, existe un valor c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 1 muestra la relación entre la derivada y la integral. Vea el . El teorema fundamental del cálculo, parte 2 es una fórmula para evaluar una integral definida en términos de una antiderivada de su integrando. El área total bajo una curva se puede encontrar utilizando esta fórmula. Vea el . Ecuaciones clave Teorema del valor medio para integrales Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , entonces hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Teorema fundamental del cálculo, parte 1 Si los valores de f ( x ) es continua en un intervalo [ a , b ] , y la función F ( x ) se define por F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , entonces F ′ ( x ) = f ( x ) . Teorema fundamental del cálculo, parte 2 Si f es continua en el intervalo [ a , b ] y F ( x ) es cualquier antiderivada de f ( x ) , entonces ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) . Considere la posibilidad de que dos atletas corran a velocidades variables v 1 ( t ) y v 2 ( t ) . Los corredores comienzan y terminan una carrera exactamente a la misma hora. Explique por qué los dos corredores deben ir a la misma velocidad en algún momento. Dos alpinistas comienzan su ascenso en el campamento base y toman dos rutas diferentes, una más empinada que la otra, y llegan a la cima exactamente al mismo tiempo. ¿Es necesariamente cierto que, en algún momento, ambos escaladores aumentaron su altitud al mismo ritmo? Sí. Está implícito en el teorema del valor medio de las integrales. Para entrar en una determinada autopista de peaje, un conductor debe llevar una tarjeta en la que figura el punto de entrada de la milla. La tarjeta también tiene una marca de tiempo. Al dirigirse a la salida y pagar el peaje, el conductor se sorprende al recibir una multa por exceso de velocidad junto con el peaje. Explique cómo pudo ocurrir eso. Establezca F ( x ) = ∫ 1 x ( 1 − t ) d t . Calcule F ′ ( 2 ) y el valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] . F ′ ( 2 ) = −1 ; valor promedio de F ′ en [ 1 , 2 ] ¿es −1 / 2 . En los siguientes ejercicios, utilice el teorema fundamental del cálculo, parte 1, para encontrar cada derivada. d d x ∫ 1 x e − t 2 d t d d x ∫ 1 x e cos t d t e cos x d d x ∫ 3 x 9 − y 2 d y d d x ∫ 4 x d s 16 − s 2 1 16 − x 2 d d x ∫ x 2 x t d t d d x ∫ 0 x t d t x d d x x = 1 2 d d x ∫ 0 sen x 1 − t 2 d t d d x ∫ cos x 1 1 − t 2 d t − 1 − cos 2 x d d x cos x = | sen x | sen x d d x ∫ 1 x t 2 1 + t 4 d t d d x ∫ 1 x 2 t 1 + t d t 2 x | x | 1 + x 2 d d x ∫ 0 ln x e t d t d d x ∫ 1 e x ln u 2 d u ln ( e 2 x ) d d x e x = 2 x e x El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? El gráfico de y = ∫ 0 x f ( t ) d t , donde f es una función constante por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos f es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En qué intervalos, si los hay, es igual a cero? ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de f ? ¿Cuál es el valor promedio de f ? a. f es positiva en ( 1 , 2 ) y ( 5 , 6 ) , negativo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 4 ) , y cero en ( 2 , 3 ) y ( 4 , 5 ) . b. El valor máximo es 2 y el mínimo es -3. c. El valor medio es 0. El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal a trozos, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalo es constante, si es que lo es? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? El gráfico de y = ∫ 0 x ℓ ( t ) d t , donde ℓ es una función lineal por partes, se muestra aquí. ¿En qué intervalos ℓ es positiva? ¿En qué intervalos es negativa? ¿En cuáles, si hay alguno, es cero? ¿En qué intervalos es ℓ creciente? ¿En qué intervalos es decreciente? ¿En qué intervalos, si los hay, es constante? ¿Cuál es el valor promedio de ℓ ? a. ℓ es positivo en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 6 ) , y negativo en ( 1 , 3 ) . b. Aumenta en ( 0 , 1 ) y ( 3 , 5 ) , y es constante a lo largo de ( 1 , 3 ) y ( 5 , 6 ) . c. Su valor medio es 1 3 . En los siguientes ejercicios utilice una calculadora para estimar el área debajo de la curva calculando T 10 , el promedio de las sumas de Riemann de los extremos izquierdo y derecho utilizando rectángulos N = 10 . Luego, utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2, determine el área exacta. [T] y = x 2 en [ 0 , 4 ] [T] y = x 3 + 6 x 2 + x − 5 en [ −4 , 2 ] T 10 = 49,08 , ∫ −4 3 ( x 3 + 6 x 2 + x − 5 ) d x = 48 [T] y = x 3 en [ 0 , 6 ] [T] y = x + x 2 en [ 1 , 9 ] T 10 = 260,836 , ∫ 1 9 ( x + x 2 ) d x = 260 [T] ∫ ( cos x − sen x ) d x en [ 0 , π ] [T] ∫ 4 x 2 d x en [ 1 , 4 ] T 10 = 3,058 , ∫ 1 4 4 x 2 d x = 3 En los siguientes ejercicios, evalúe cada integral definida utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −1 2 ( x 2 − 3 x ) d x ∫ −2 3 ( x 2 + 3 x − 5 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 3 x 2 2 − 5 x , F ( 3 ) – F ( −2 ) = − 35 6 ∫ −2 3 ( t + 2 ) ( t − 3 ) d t ∫ 2 3 ( t 2 − 9 ) ( 4 − t 2 ) d t F ( x ) = − t 5 5 + 13 t 3 3 − 36 t , F ( 3 ) – F ( 2 ) = 62 15 ∫ 1 2 x 9 d x ∫ 0 1 x 99 d x F ( x ) = x 100 100 , F ( 1 ) – F ( 0 ) = 1 100 ∫ 4 8 ( 4 t 5 / 2 − 3 t 3 / 2 ) d t ∫ 1 / 4 4 ( x 2 – 1 x 2 ) d x F ( x ) = x 3 3 + 1 x , F ( 4 ) – F ( 1 4 ) = 1125 64 ∫ 1 2 2 x 3 d x ∫ 1 4 1 2 x d x F ( x ) = x , F ( 4 ) – F ( 1 ) = 1 ∫ 1 4 2 − t t 2 d t ∫ 1 16 d t t 1 / 4 F ( x ) = 4 3 t 3 / 4 , F ( 16 ) – F ( 1 ) = 28 3 ∫ 0 2 π cos θ d θ ∫ 0 π / 2 sen θ d θ F ( x ) = − cos x , F ( π 2 ) – F ( 0 ) = 1 ∫ 0 π / 4 sec 2 θ d θ ∫ 0 π / 4 sec θ tan θ d θ F ( x ) = sec x , F ( π 4 ) – F ( 0 ) = 2 – 1 ∫ π / 3 π / 4 csc θ cot θ d θ ∫ π / 4 π / 2 csc 2 θ d θ F ( x ) = − cot ( x ) , F ( π 2 ) – F ( π 4 ) = 1 ∫ 1 2 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t ∫ −2 −1 ( 1 t 2 – 1 t 3 ) d t F ( x ) = − 1 x + 1 2 x 2 , F ( –1 ) – F ( −2 ) = 7 8 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de evaluación para expresar la integral como una función F ( x ) . ∫ a x t 2 d t ∫ 1 x e t d t F ( x ) = e x − e ∫ 0 x cos t d t ∫ − x x sen t d t F ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, identifique las raíces del integrando para eliminar los valores absolutos, y luego evalúe utilizando el teorema fundamental del cálculo, parte 2. ∫ −2 3 | x | d x ∫ −2 4 | t 2 − 2 t − 3 | d t ∫ −2 −1 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t − ∫ –1 3 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t + ∫ 3 4 ( t 2 − 2 t − 3 ) d t = 46 3 ∫ 0 π | cos t | d t ∫ − π / 2 π / 2 | sen t | d t − ∫ − π / 2 0 sen t d t + ∫ 0 π / 2 sen t d t = 2 Supongamos que el número de horas de luz en un día determinado en Seattle se modela mediante la función −3,75 cos ( π t 6 ) + 12,25 , con t expresado en meses y t = 0 correspondiente al solsticio de invierno. ¿Cuál es el número medio de horas de luz al año? En qué momentos t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , ¿el número de horas de luz es igual al número promedio? Escriba una integral que exprese el número total de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 . Calcule la media de horas de luz en Seattle entre t 1 y t 2 , donde 0 ≤ t 1 < t 2 < 12 , y luego entre t 2 y t 1 , y demuestre que el promedio de las dos es igual a la duración promedio del día. Supongamos que la tasa de consumo de gasolina a lo largo de un año en Estados Unidos puede modelarse mediante una función sinusoidal de la forma ( 11,21 − cos ( π t 6 ) ) × 10 9 gal/mo. ¿Cuál es el consumo promedio mensual y para qué valores de t la tasa en el momento t es igual a la tasa promedio? ¿Cuál es el número de galones de gasolina que se consumen en Estados Unidos en un año? Escriba una integral que exprese el consumo medio mensual de gasolina en Estados Unidos en la parte del año comprendida entre el comienzo de abril ( t = 3 ) y el final de septiembre ( t = 9 ). a. El promedio es 11,21 × 10 9 dado que cos ( π t 6 ) tiene periodo 12 e integral 0 en cualquier periodo. El consumo es igual al promedio cuando cos ( π t 6 ) = 0 , cuando t = 3 , y cuando t = 9 . b. El consumo total es la tasa promedio por la duración: 11,21 × 12 × 10 9 = 1,35 × 10 11 c. 10 9 ( 11,21 − 1 6 ∫ 3 9 cos ( π t 6 ) d t ) = 10 9 ( 11,21 + 2 π ) = 11,84 x 10 9 Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] , hay al menos un punto c ∈ [ a , b ] de manera que f ( c ) = 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Explique por qué, si f es continua sobre [ a , b ] y no es igual a una constante, hay al menos un punto M ∈ [ a , b ] de manera que f ( M ) > 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t y al menos un punto m ∈ [ a , b ] de manera que f ( m ) < 1 b – a ∫ a b f ( t ) d t . Si f no es constante, su promedio es estrictamente menor que el máximo y mayor que el mínimo, que se alcanzan sobre [ a , b ] según el teorema del valor extremo. La primera ley de Kepler establece que los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en un foco. El punto más cercano de una órbita planetaria al Sol se llama perihelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 3 de enero) y el punto más alejado se denomina afelio (en el caso de la Tierra, se produce actualmente alrededor del 4 de julio). La segunda ley de Kepler establece que los planetas barren áreas iguales de sus órbitas elípticas en tiempos iguales. Así, los dos arcos indicados en la siguiente figura se barren en tiempos iguales. ¿En qué momento del año la Tierra se mueve más rápido en su órbita? ¿Cuándo se mueve más lentamente? Un punto de una elipse con eje mayor de longitud 2 a y eje menor de longitud 2 b tiene las coordenadas ( a cos θ , b sen θ ) , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Demuestre que la distancia de este punto al foco en ( − c , 0 ) ¿es d ( θ ) = a + c cos θ , donde c = a 2 − b 2 . Utilice estas coordenadas para demostrar que la distancia promedio d – desde un punto de la elipse hasta el foco en ( − c , 0 ) , con respecto al ángulo θ , es a . a. d 2 θ = ( a cos θ + c ) 2 + b 2 sen 2 θ = a 2 + c 2 cos 2 θ + 2 a c cos θ = ( a + c cos θ ) 2 ; b. d – = 1 2 π ∫ 0 2 π ( a + 2 c cos θ ) d θ = a Como se dijo antes, según las leyes de Kepler, la órbita de la Tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el Sol. El perihelio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es de 147.098.290 km y el afelio es de 152.098.232 km. Colocando el eje mayor a lo largo del eje x , halle la distancia promedio de la Tierra al Sol. La definición clásica de unidad astronómica (UA) es la distancia de la Tierra al Sol, y su valor se calculó como el promedio de las distancias del perihelio y del afelio. ¿Está justificada esta definición? La fuerza de atracción gravitatoria entre el Sol y un planeta es F ( θ ) = G m M r 2 ( θ ) , donde m es la masa del planeta, M es la masa del Sol, G es una constante universal y r ( θ ) es la distancia entre el Sol y el planeta cuando éste se halla en un ángulo θ con el eje mayor de su órbita. Suponiendo que M , m y los parámetros de la elipse a y b (semilongitudes de los ejes mayor y menor) están dados, establezca —pero no evalúe— una integral que exprese en términos de G , m , M , a , b la fuerza gravitatoria promedio entre el Sol y el planeta. Fuerza gravitacional media = G m M 2 π ∫ 0 2 π 1 ( a + 2 a 2 − b 2 cos θ ) 2 d θ . El desplazamiento desde el reposo de una masa unida a un resorte satisface la ecuación de movimiento armónico simple x ( t ) = A cos ( ω t − ϕ ) , donde ϕ es una constante de fase, ω es la frecuencia angular y A es la amplitud. Halle la velocidad media, la rapidez media (magnitud de la velocidad), el desplazamiento medio y la distancia media desde el reposo (magnitud del desplazamiento) de la masa. teorema fundamental del cálculo teorema central para todo el desarrollo del cálculo, que establece la relación entre la diferenciación y la integración teorema fundamental del cálculo, parte 1 utiliza una integral definida para definir una antiderivada de una función teorema fundamental del cálculo, parte 2 (también, teorema de evaluación ) podemos evaluar una integral definida evaluando la antiderivada del integrando en los puntos extremos del intervalo y restando teorema del valor medio para integrales garantiza que existe un punto c tal que f ( c ) es igual al valor medio de la función

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