Ajuste de modelos lineales a los datos Un profesor intenta identificar las tendencias entre las puntuaciones de los exámenes finales. En su clase hay una mezcla de alumnos, por lo que se pregunta si hay alguna relación entre la edad y las notas de los exámenes finales. Una forma de analizar las puntuaciones es crear un diagrama que relacione la edad de cada alumno con la puntuación recibida en el examen. En esta sección, examinaremos uno de estos diagramas, el cual se conoce como diagrama de dispersión. Dibujar e interpretar gráficos de dispersión El diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados capaz de mostrar una relación entre dos conjuntos de datos. Si la relación procede de un modelo lineal , o de un modelo casi lineal, el profesor puede sacar conclusiones por medio de su conocimiento acerca de funciones lineales. La muestra un ejemplo de gráfico de dispersión. Gráfico de dispersión de las variables de edad y puntuación del examen final Observe que este gráfico de dispersión no indica ninguna relación lineal . Los puntos no parecen seguir ninguna tendencia. En otras palabras, no parece haber ninguna relación entre la edad del estudiante y la puntuación en el examen final. Usar un diagrama de dispersión para investigar los chirridos de los grillos La tabla siguiente muestra el número de chirridos de grillos en 15 segundos, para varias temperaturas de aire diferentes, en grados Fahrenheit Datos seleccionados de http://classic.globe.gov/fsl/scientistsblog/2007/10/. Recuperado el 3 de agosto de 2010 . Trace estos datos y determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. Chirridos 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 Temperatura 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 El trazado de estos datos, tal y como se representa en la , sugiere que puede haber una tendencia. Podemos ver en la tendencia de los datos que el número de chirridos aumenta a medida que aumenta la temperatura. La tendencia parece ser más o menos lineal, aunque ciertamente no es perfecta. Hallar la línea de mejor ajuste Una vez que reconocemos la necesidad de una función lineal para modelar esos datos, la pregunta obvia que sigue es "¿cuál es esa función lineal?”. Una forma de aproximar nuestra función lineal es trazar la línea que parezca ajustarse mejor a los datos. Entonces podemos extender la línea hasta que podamos verificar la intersección en y . Podemos calcular la pendiente de la línea al extenderla hasta que podamos estimar la subida recorrido . Hallar la línea de mejor ajuste Halle una función lineal que se ajuste a los datos en la al “ojear" una línea que parezca ajustarse. En un gráfico, podríamos intentar trazar una línea. Utilizando los puntos inicial y final de nuestra línea dibujada a mano, los puntos (0, 30) y (50, 90), este gráfico tiene una pendiente de m = 60 50 = 1,2 y una intersección en y en 30. Esto da una ecuación de T ( c ) = 1,2 c + 30 donde c es el número de chirridos en 15 segundos, y T ( c ) es la temperatura en grados Fahrenheit. La ecuación resultante se representa en la . Análisis Esta ecuación lineal se puede utilizar para inferir las respuestas a varias preguntas que podríamos hacer sobre la tendencia. Reconocer la interpolación o la extrapolación Aunque los datos de la mayoría de los ejemplos no caen perfectamente sobre la línea, la ecuación es nuestra mejor conjetura sobre cómo se comportará la relación fuera de los valores para los que tenemos datos. Utilizamos un proceso conocido como interpolación cuando predecimos un valor dentro del dominio y el rango de los datos. La extrapolación se utiliza cuando predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos. La compara los dos procesos para los datos del chirrido de los grillos que se abordan en el . Podemos ver que la interpolación se produciría si utilizamos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos están entre 18,5 y 44. La extrapolación se produciría si utilizáramos nuestro modelo para predecir la temperatura cuando los valores de los chirridos fueran inferiores a 18,5 o superiores a 44. La interpolación se produce dentro del dominio y del rango de los datos proporcionados, mientras que la extrapolación se produce fuera. Hay una diferencia entre hacer predicciones dentro del dominio y del rango de valores para los que tenemos datos y fuera de ese dominio y rango. Predecir un valor fuera del dominio y del rango tiene sus limitaciones. Cuando nuestro modelo deja de ser válido a partir de cierto momento, a veces se denomina ruptura del modelo . Por ejemplo, la predicción de una función de costos para un periodo de dos años implicaría el examen de los datos en los que la entrada es el tiempo en años y la salida es el costo. Sin embargo, si intentamos extrapolar un costo cuando x = 50, que es dentro de 50 años, el modelo no se aplicaría porque no podríamos contabilizar factores a la vuelta de cincuenta años. Interpolación y extrapolación En el análisis de los datos se utilizan diferentes métodos para hacer predicciones. El método de interpolación consiste en predecir un valor dentro del dominio o rango de los datos. El método de extrapolación consiste en predecir un valor fuera del dominio o rango de los datos. La ruptura del modelo se produce en el momento en que este deja de ser aplicable. Entender la interpolación y la extrapolación Utilice los datos relativos a los grillos en la para responder las siguientes preguntas: Ⓐ ¿Predecir la temperatura cuando los grillos hacen 30 chirridos en 15 segundos sería interpolación o extrapolación? Haga la predicción y discuta si es razonable. Ⓑ ¿Predecir el número de chirridos que harán los grillos a 40 grados sería interpolación o extrapolación? Haga la predicción y discuta si es razonable. Ⓐ El número de chirridos en los datos proporcionados varía de 18,5 a 44. La predicción a 30 chirridos por 15 segundos está dentro del dominio de nuestros datos, por lo que sería una interpolación. Usando nuestro modelo: T ( 30 ) = 30 + 1,2 ( 30 ) = 66 grados Con base en los datos que tenemos, este valor parece razonable. Ⓑ Los valores de temperatura variaron de 52 a 80,5. Predecir el número de chirridos a 40 grados es una extrapolación porque 40 está fuera del rango de nuestros datos. Usando nuestro modelo: 40 = 30 + 1,2 c 10 = 1,2 c c ≈ 8,33 Podemos comparar las regiones de interpolación y extrapolación mediante la . Análisis Nuestro modelo predice que los grillos chirrían 8,33 veces en 15 segundos. Aunque esto sería posible, no tenemos ninguna razón para creer que nuestro modelo sea válido fuera del dominio y del rango. De hecho, generalmente los grillos dejan de chirriar por debajo de los 50 grados. Ejercicio Según los datos a partir de la , ¿qué temperatura podemos predecir si contamos 20 chirridos en 15 segundos? 54 ° F Hallar la línea de mejor ajuste con una herramienta gráfica Si bien es cierto que la observación de una línea funciona razonablemente bien, existen técnicas estadísticas para ajustar una línea a los datos que minimizan las diferencias entre la línea y los valores de los datos Técnicamente, el método minimiza la suma de las diferencias al cuadrado en la dirección vertical entre la línea y los valores de los datos. . Una de estas técnicas se denomina regresión de mínimos cuadrados y puede estimarse con muchas calculadoras gráficos, programas de hojas de cálculo, programas estadísticos y muchas calculadoras en línea Por ejemplo, http://www.shodor.org/unchem/math/lls/leastsq.html . La regresión de mínimos cuadrados es un medio para determinar la línea que mejor se ajusta a los datos, y aquí nos referiremos a este método como regresión lineal. Cómo Dados los datos de entrada y las correspondientes salidas de una función lineal, calcular la línea de mejor ajuste con la regresión lineal. Introduzca la entrada en la Lista 1 (L1 ). Introduzca la salida en la Lista 2 (L2 ). En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal (LinReg ). Hallar la línea de regresión de mínimos cuadrados Halle la línea de regresión de mínimos cuadrados con los datos de los grillos en la . Introduzca la entrada (chirridos) en la Lista 1 (L1). Introduzca la salida (temperatura) en la Lista 2 (L2). Vea la . L1 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 L2 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Utilizando los datos anteriores acerca de los chirridos de grillos, con la tecnología obtenemos la ecuación T ( c ) = 30,281 + 1,143 c Análisis Observe que esta línea es bastante similar a la ecuación que hemos "ojeado", pero debería ajustarse mejor a los datos. Observe también que el uso de esta ecuación cambiaría nuestra predicción para la temperatura al escuchar 30 chirridos en 15 segundos de 66 grados a: T ( 30 ) = 30,281 + 1,143 ( 30 ) = 64,571 ≈ 64,6 grados La representación del gráfico de dispersión con la línea de regresión de mínimos cuadrados se muestra en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Habrá alguna vez un caso en el que dos líneas diferentes sirvan como el mejor ajuste para los datos? No. Únicamente hay una línea de mejor ajuste. Distinguir entre modelos lineales y no lineales Como hemos visto anteriormente con el modelo de grillo-chirrido, algunos datos muestran fuertes tendencias lineales. Sin embargo, otros datos, como las puntuaciones de los exámenes finales representadas por la edad, son claramente no lineales. La mayoría de las calculadoras y los programas informáticos también pueden proporcionarnos el coeficiente de correlación , que es una medida del grado de ajuste de la línea a los datos. Muchas calculadoras gráficas requieren que el usuario active una selección de "diagnóstico" para determinar el coeficiente de correlación, que los matemáticos denominan r . El coeficiente de correlación es una forma sencilla de hacerse una idea de lo cerca que están los datos de una línea. Deberíamos calcular el coeficiente de correlación únicamente para los datos que siguen un patrón lineal o para determinar el grado en que un conjunto de datos es lineal. Si los datos presentan un patrón no lineal, el coeficiente de correlación de una regresión lineal no tiene sentido. Para tener una idea de la relación entre el valor de r y el gráfico de los datos, la muestra algunos grandes conjuntos de datos con sus coeficientes de correlación. Recuerde que, en todos los gráficos, el eje horizontal muestra la entrada y el eje vertical la salida. Datos graficados y coeficientes de correlación relacionados. (créditos: "DenisBoigelot", Wikimedia Commons) Coeficiente de correlación El coeficiente de correlación es un valor, r , entre -1 y 1. r > 0 sugiere una relación positiva (creciente) r < 0 sugiere una relación negativa (decreciente) Cuanto más cerca esté el valor de 0, más dispersos estarán los datos. Cuanto más cerca esté el valor de 1 o –1, menos dispersos estarán los datos. Hallar el coeficiente de correlación Calcule el coeficiente de correlación para los datos de grillo-chirrido en la . Debido a que los datos parecen seguir un patrón lineal, podemos utilizar la tecnología para calcular r . Introduzca las entradas y salidas correspondientes y seleccione la regresión lineal. La calculadora también le proporcionará el coeficiente de correlación, r = 0,9509. Este valor es muy cercano a 1, lo que sugiere una fuerte relación lineal creciente. Nota: En algunas calculadoras, el diagnóstico deberá estar "activado" para obtener el coeficiente de correlación cuando se realiza una regresión lineal: [2nd]>[0]>[alpha][ x -1], y luego desplácese hasta DIAGNOSTICSON . Predecir con la línea de regresión Una vez que determinamos que un conjunto de datos es lineal utilizando el coeficiente de correlación, podemos utilizar la línea de regresión para hacer predicciones. Como hemos aprendido anteriormente, la línea de regresión es la que más se acerca a los datos en el gráfico de dispersión, lo que significa que solo una de esas líneas es la que mejor se ajusta a los datos. Usar la línea de regresión para hacer predicciones El consumo de gasolina en Estados Unidos no ha dejado de aumentar. Los datos de consumo de 1994 a 2004 se revelan en la http://www.bts.gov/publications/national_transportation_statistics/2005/html/table_04_10.html . Determine si la tendencia es lineal y, de ser así, halle un modelo para los datos. Utilice el modelo para predecir el consumo en 2008. Año 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 Consumo (miles de millones de galones) 113 116 118 119 123 125 126 128 131 133 136 El gráfico de dispersión de los datos, incluida la línea de regresión de mínimos cuadrados, se muestra en la . Podemos introducir una nueva variable de entrada, t , que representa los años desde 1994. La ecuación de regresión de mínimos cuadrados es: C ( t ) = 113,318 + 2,209 t Utilizando la tecnología, el coeficiente de correlación se calculó en 0,9965, lo que sugiere una tendencia lineal creciente muy fuerte. Utilizando esto para predecir el consumo en 2008 ( t = 14 ) , C ( 14 ) = 113,318 + 2,209 ( 14 ) = 144,244 El modelo prevé un consumo de gasolina de 144,244 millones de galones en 2008. Ejercicio Utilice el modelo que hemos creado con la tecnología en el para predecir el consumo de gasolina en 2011. ¿Es interpolación o extrapolación? 150,871 mil millones de galones; extrapolación Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar el ajuste de modelos lineales a los datos. Introducción al análisis de regresión Regresión lineal Conceptos clave Los gráficos de dispersión muestran la relación entre dos conjuntos de datos. Vea el . Los gráficos de dispersión representan modelos lineales o no lineales. La línea de mejor ajuste puede estimarse o calcularse con una calculadora o un software estadístico. Vea el . La interpolación sirve para predecir valores dentro del dominio y del rango de los datos, mientras que la extrapolación sirve para predecir valores fuera del dominio y del rango de los datos. Vea el . El coeficiente de correlación, r , indica el grado de relación lineal entre los datos. Vea el . La línea de regresión es la que mejor se ajusta a los datos. Vea el . La línea de regresión de mínimos cuadrados se halla al minimizar los cuadrados de las distancias de los puntos a una línea que pasa por los datos y puede utilizarse para hacer predicciones sobre cualquiera de las variables. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa lo que significa que haya ruptura del modelo cuando se utiliza un modelo lineal. Cuando nuestro modelo ya no se aplica, después de algún valor en el dominio, el modelo en sí no se sostiene. ¿Qué es la interpolación cuando se utiliza un modelo lineal? ¿Qué es la extrapolación cuando se utiliza un modelo lineal? Predecimos un valor fuera del dominio y del rango de los datos. Explique la diferencia entre un coeficiente de correlación positivo y uno negativo. Explique cómo interpretar el valor absoluto de un coeficiente de correlación. Cuanto más se acerque el número a 1, menos dispersos estarán los datos; cuanto más se acerque el número a 0, más dispersos estarán los datos. Algebraicos Se realizó una regresión para determinar si existe alguna relación entre las horas que se pasan mirando televisión cada día ( x ) y el número de abdominales que puede hacer una persona ( y ) . Los resultados de la regresión se presentan a continuación. Utilice esto para predecir el número de abdominales que puede hacer una persona que mira la televisión durante 11 horas. y = a x + b a = -1,341 b = 32,234 r = -0,896 Se realizó una regresión para determinar si existe una relación entre el diámetro de un árbol ( x , en pulgadas) y la edad del árbol ( y , en años). Los resultados de la regresión se presentan a continuación. Utilice esto para predecir la edad de un árbol con un diámetro de 10 pulgadas. y = a x + b a = 6,301 b = -1,044 r = -0,970 61,966 años En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de dispersión para los datos proporcionados. ¿Parece que los datos están relacionados linealmente? 0 2 4 6 8 10 –22 -19 -15 –11 -6 -2 1 2 3 4 5 6 46 50 59 75 100 136 No. 100 250 300 450 600 750 12 12,6 13,1 14 14,5 15,2 1 3 5 7 9 11 1 9 28 65 125 216 No. Para los siguientes datos, dibuje un gráfico de dispersión. Si quisiéramos saber cuándo llegará la población a los 15.000 habitantes, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Observe la línea e infiera la respuesta. Año Población 1990 11.500 1995 12.100 2000 12.700 2005 13.000 2010 13.750 Para los siguientes datos, dibuje un gráfico de dispersión. Si quisiéramos saber cuándo la temperatura alcanzará los 28 °F, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Observe la línea e infiera la respuesta. Temperatura, °F 16 18 20 25 30 Tiempo, segundos 46 50 54 55 62 Interpolación. Alrededor de 60 °F . Gráficos En los siguientes ejercicios, haga coincidir cada gráfico de dispersión con una de las cuatro correlaciones especificadas en la y la . r = 0, 95 r = − 0, 89 C r = 0,26 r = − 0,39 B En los siguientes ejercicios, dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados. Numéricos El censo de Estados Unidos registra el porcentaje de personas de 25 años o más que tienen un título universitario. Estos datos de varios años se recogen en la http://www.census.gov/hhes/socdemo/education/data/cps/historical/index.html. Consultado el 1 de mayo de 2014. . Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año el porcentaje superará el 35 %? Año Porcentaje de graduados 1990 21,3 1992 21,4 1994 22,2 1996 23,6 1998 24,4 2000 25,6 2002 26,7 2004 27,7 2006 28 2008 29,4 La importación estadounidense de vino (en hectolitros) durante varios años se indica en la . Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año las importaciones superarán los 12.000 hectolitros? Año Importaciones 1992 2.665 1994 2.688 1996 3.565 1998 4.129 2000 4.584 2002 5.655 2004 6.549 2006 7.950 2008 8.487 2009 9.462 Sí, la tendencia parece lineal porque r = 0, 985 y superará los 12.000 hacia mediados de 2016, 24,6 años desde 1992. La muestra el año y el número de desempleados en una determinada ciudad durante varios años. Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia se mantenga, ¿en qué año el número de desempleados llegará a 5? Año Número de desempleados 1990 750 1992 670 1994 650 1996 605 1998 550 2000 510 2002 460 2004 420 2006 380 2008 320 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de datos para determinar la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación con una precisión de 3 decimales. x 8 15 26 31 56 y 23 41 53 72 103 y = 1 . 64 0 x + 13 . 8 00 , r = 0, 987 x 5 7 10 12 15 y 4 12 17 22 24 x y x y 3 21,9 11 15,76 4 22,22 12 13,68 5 22,74 13 14,1 6 22,26 14 14,02 7 20,78 15 11,94 8 17,6 16 12,76 9 16,52 17 11,28 10 18,54 18 9,1 y = − 0,962 x + 26,86 , r = − 0,965 x y 4 44,8 5 43,1 6 38,8 7 39 8 38 9 32,7 10 30,1 11 29,3 12 27 13 25,8 x 21 25 30 31 40 50 y 17 11 2 -1 -18 -40 y = - 1 . 981 x + 6 0, 197 ; r = − 0, 998 x 100 80 60 55 40 20 y 2.000 1.798 1.589 1.580 1.390 1.202 x 900 988 1.000 1.010 1.200 1.205 y 70 80 82 84 105 108 y = 0, 121 x − 38,841 , r = 0,998 Extensiones Grafique f ( x ) = 0,5 x + 10 . Elija un conjunto de 5 pares ordenados utilizando entradas x = –2 , 1 , 5 , 6 , 9 y emplee la regresión lineal para verificar que la función se ajuste bien a los datos. Grafique f ( x ) = - 2 x - 10 . Elija un conjunto de 5 pares ordenados utilizando entradas x = –2 , 1 , 5 , 6 , 9 y emplee la regresión lineal para verificar la función. ( –2 , –6 ) , ( 1 , −12 ) , ( 5 , −2 0 ) , ( 6 , −22 ) , ( 9 , −28 ) ; y = –2 x −10 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas, así como el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: ( 46 , 1.600 ) , ( 48 , 1.550 ) , ( 50 , 1.505 ) , ( 52 , 1.540 ) , ( 54 , 1.495 ) . Utilice la regresión lineal para determinar una función P donde el beneficio en miles de dólares depende del número de unidades vendidas en cientos. Halle hasta la décima más cercana e interprete la intersección en x . ( 189 . 8 , 0 ) Si se venden 18.980 unidades, la empresa tendrá un beneficio de cero dólares. Halle hasta la décima más cercana e interprete la intersección en y . Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año a lo largo de los diez años, (población, año) para determinados años registrados: (2500, 2000), (2650, 2001), (3000, 2003), (3500, 2006), (4200, 2010) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población. Redondee a tres decimales de exactitud. y = 0,00587 x + 19.850,41 Predecir cuándo la población llegará a los 8.000 habitantes. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa aumentó de forma constante durante un período de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles durante el periodo de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: ( 46 , 25 0 ) , ( 48 , 3 0 5 ) , ( 5 0 , 35 0 ) , ( 52 , 39 0 ) , ( 54 , 41 0 ) . Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el beneficio en miles de dólares depende del número de cientos de unidades vendidas. y = 20 , 25 x − 671 . 5 Predecir cuándo el beneficio superará el millón de dólares. En los siguientes ejercicios, considere este escenario: El beneficio de una empresa disminuyó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran los dólares y el número de unidades vendidas en centenas y el beneficio en miles de durante el período de diez años (número de unidades vendidas, beneficio) para determinados años registrados: (46, 250), (48, 225), (50, 205), (52, 180), (54, 165) . Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el beneficio en miles de dólares depende del número de cientos de unidades vendidas. y = - 1 0, 75 x + 742 . 5 0 Predecir cuándo el beneficio caerá por debajo del umbral de 25.000 dólares. Ejercicios de repaso del capítulo Funciones lineales Determine si la ecuación algebraica es lineal 2 x + 3 y = 7 Sí Determine si la ecuación algebraica es lineal 6 x 2 - y = 5 Determine si la función es creciente o decreciente. f ( x ) = 7 x - 2 Creciente. Determine si la función es creciente o decreciente. g ( x ) = - x + 2 Dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones dadas si es posible. Pasa por ( 7 , 5 ) y ( 3 , 17 ) y = - 3 x + 26 Dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones dadas si es posible. intersección en x en ( 6 , 0 ) e intersección en y en ( 0 , 1 0 ) Halle la pendiente de la línea que se muestra en el gráfico lineal. 3 Halle la pendiente de la recta graficada. Escriba una ecuación en forma de pendiente-intersección para la línea mostrada. y = 2 x - 2 ¿La siguiente tabla representa una función lineal? Si es así, halle la ecuación lineal que modela los datos. x -4 0 2 10 g ( x ) 18 -2 –12 –52 ¿La siguiente tabla representa una función lineal? Si es así, halle la ecuación lineal que modela los datos. x 6 8 12 26 g ( x ) –8 –12 –18 –46 No es lineal. El 1. o de junio, una empresa tiene 4.000.000 de dólares en beneficio. Si a partir de entonces la empresa pierde 150.000 dólares al día durante el mes de junio, ¿cuál es el beneficio de la empresa al enésimo día después del 1. o de junio? Gráficos de funciones lineales En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: 2 x - 6 y = 12 − x + 3 y = 1 paralelas y = 1 3 x - 2 3 x + y = - 9 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de la ecuación dada 7 x + 9 y = -63 ( -9 , 0 ) ; ( 0 , –7 ) f ( x ) = 2 x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice las descripciones de los pares de líneas para hallar las pendientes de la Línea 1 y la Línea 2. ¿Cada par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( 5 , 11 ) y ( 10 , 1 ) Línea 2: Pasa por ( –1 , 3 ) y ( −5 , 11 ) Línea 1: m = - 2 ; Línea 2: m = - 2 ; Paralela Línea 1: Pasa por ( 8 , –10 ) y ( 0 , -26 ) Línea 2: Pasa por ( 2 , 5 ) y ( 4 , 4 ) Escriba la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 5 x – 1 y que pasa por el punto (5, 20). y = − 0,2 x + 21 Halle la ecuación de una línea con intersección en y de ( 0 , 2 ) y pendiente − 1 2 . Dibuje un gráfico de la función lineal f ( t ) = 2 t − 5 . Halle el punto de intersección de las 2 funciones lineales: x = y + 6 2 x - y = 13 Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 25 dólares por día y 10 céntimos por milla. Plan B: 50 dólares por día con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? 250. Modelado con funciones lineales Calcule el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 10 - 2 x y la línea perpendicular a f que pasa por el origen. La población de una ciudad aumenta a un ritmo constante. En 2010 la población era de 55.000 habitantes. En 2012 la población había aumentado a 76.000 habitantes. Si esta tendencia se mantiene, haga un pronóstico de la población en 2016. 118.000. El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo en 50 cada año desde 2004 hasta 2010. En 2004, 875 personas fueron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . ¿Cuándo no se contagiará nadie? En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, x , donde x representa los años desde 1980. Halle la función lineal y , donde y depende de x , el número de años desde 1980. y = - 3 00 x + 11 , 5 00 Halle e interprete la intersección en y . En el siguiente ejercicio, considere esta situación: En 2004, la población escolar era de 1.700 personas. En 2012 la población había crecido hasta las 2.500 personas. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto creció la población entre el año 2004 y el año 2012? Ⓑ ¿Cuál es el crecimiento promedio de la población por año? Ⓒ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después de 2004. a) 800 b) 100 estudiantes por año c) P ( t ) = 100 t + 1.700 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: En el año 2000, la población de alces en el parque se midió en 6.500 ejemplares. En 2010, la población se contabilizó en 12.500 ejemplares. Supongamos que la población sigue cambiando linealmente. Halle una fórmula para la población de alces, P . ¿Cuál es la población de alces que su modelo predice para 2020? 18,500 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La mediana de los valores de las viviendas en las subdivisiones Pima Central y East Valley (ajustados a la inflación) se muestra en la . Supongamos que el valor de la vivienda cambia linealmente. Año Pima Central East Valley 1970 32.000 120.250 2010 85.000 150.000 ¿En qué subdivisión ha aumentado más el valor de la vivienda? Si estas tendencias se mantienen, ¿cuál sería la mediana del valor de la vivienda en Pima Central en 2015? $91.625 Ajuste de modelos lineales a los datos Dibuje un gráfico de dispersión para los datos en la . A continuación, determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. 0 2 4 6 8 10 –105 –50 1 55 105 160 Dibuje un gráfico de dispersión para los datos en la . Si quisiéramos saber cuándo llegará la población a los 15.000 habitantes, ¿la respuesta implicaría una interpolación o una extrapolación? Año Población 1990 5.600 1995 5.950 2000 6.300 2005 6.600 2010 6.900 Extrapolación. Se pidió a ocho estudiantes que estimaran su puntuación en un examen de 10 puntos. Sus puntuaciones estimadas y reales figuran en la . Trace los puntos y luego dibuje una línea que se ajuste a los datos. Predicción Real 6 6 7 7 7 8 8 8 7 9 9 10 10 10 10 9 Dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados En los siguientes ejercicios, considere los datos en la , donde se muestra el porcentaje de desempleados en una ciudad de residentes mayores de 25 años de edad que son graduados universitarios, y que se ofrece a continuación, por año. Año 2000 2002 2005 2007 2010 Porcentaje de graduados 6,5 7,0 7,4 8,2 9,0 Determine si la tendencia parece ser lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia continúa, halle un modelo de regresión lineal para predecir el porcentaje de desempleados en un año determinado, a tres decimales. ¿En qué año el porcentaje superará el 12 %? A mediados de 2024. Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación a tres decimales. x 17 20 23 26 29 y 15 25 31 37 40 Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación a tres decimales. x 10 12 15 18 20 y 36 34 30 28 22 y = − 1,294 x + 49,412 ; r = − 0,974 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población y el año en un período de diez años (población, año) para determinados años registrados: (3.600, 2000); (4.000, 2001); (4.700, 2003); (6.000, 2006) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población, a tres decimales de exactitud. Pronostique cuándo la población alcanzará los 12.000 habitantes. A principios de 2022 ¿Cuál es el coeficiente de correlación de este modelo a tres decimales de exactitud? Según el modelo, ¿cuál es la población en 2014? 7,660 Prueba de práctica Determine si la siguiente ecuación algebraica puede escribirse como una función lineal. 2 x + 3 y = 7 Sí. Determine si la siguiente función es creciente o decreciente f ( x ) = - 2 x + 5 Determine si la siguiente función es creciente o decreciente f ( x ) = 7 x + 9 Creciente Dada la siguiente información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. Pasa por (5, 1) y (3, –9) Dada la siguiente información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. intersección en x en (-4, 0) e intersección en y en (0, -6) y = -1,5 x - 6 Halle la pendiente de la línea en la . Escriba una ecuación para la línea en . y = - 2 x – 1 ¿La representa una función lineal? Si es así, halle una ecuación lineal que modele los datos. x -6 0 2 4 g ( x ) 14 32 38 44 ¿La representa una función lineal? Si es así, halle una ecuación lineal que modele los datos. x 1 3 7 11 g ( x ) 4 9 19 12 No. A las 6 de la mañana, una empresa online ha vendido 120 artículos ese día. Si la empresa vende un promedio de 30 artículos por hora durante el resto del día, escriba una expresión que represente el número de artículos vendidos n después de las 6 de la mañana. En los siguientes ejercicios, determine si las líneas dadas por las ecuaciones de abajo son paralelas, perpendiculares o no son ni paralelas ni perpendiculares: y = 3 4 x - 9 - 4 x - 3 y = 8 Perpendiculares - 2 x + y = 3 3 x + 3 2 y = 5 Halle las intersecciones en x y en y de la ecuación 2 x + 7 y = − 14. ( − 7 , 0 ) ; ( 0 , - 2 ) A continuación se describen dos líneas. Halle las pendientes de la Línea 1 y de la Línea 2. ¿El par de líneas es paralelo, perpendicular o ninguno de los dos? Línea 1: Pasa por ( –2 , –6 ) y ( 3 , 14 ) Línea 2: Pasa por ( 2 , 6 ) y ( 4 , 14 ) Escriba la ecuación de una línea perpendicular a f ( x ) = 4 x + 3 y que pasa por el punto ( 8 , 10 ) . y = − 0,25 x + 12 Dibuje una línea con una intersección en y de ( 0 , 5 ) y pendiente − 5 2 . Gráfico de la función lineal f ( x ) = −x + 6 . En las dos funciones lineales, halle el punto de intersección: x = y + 2 2 x - 3 y = –1 Una empresa de alquiler de vehículos ofrece dos planes. Plan A: 25 dólares por día y 0,10 dólares por milla. Plan B: 40 dólares al día con millaje ilimitado gratuito. ¿Cuántas millas tendría que recorrer para que el plan B le permitiera ahorrar dinero? 150 Calcule el área de un triángulo delimitado por el eje y , la línea f ( x ) = 12 - 4 x y la línea perpendicular a f que pasa por el origen. La población de una ciudad aumenta a un ritmo constante. En 2010 la población era de 65.000 habitantes. En 2012 la población había aumentado a 90.000 habitantes. Suponiendo que esta tendencia continúe, prediga la población en 2018. 165,000 El número de personas afectadas por el resfriado común en los meses de invierno se redujo constantemente en 25 cada año desde 2002 hasta 2012. En 2002, 8.040 personas fueron afectadas. Halle la función lineal que modela el número de personas afectadas por el resfriado común C en función del año, t . ¿Cuándo se contagiarán menos de 6.000 personas? En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la , que muestra el beneficio, y , en miles de dólares, de una empresa en un año determinado, x , donde x representa los años desde 1980. Calcule la función lineal y , donde y depende de x , el número de años desde 1980. y = 875 x + 10 , 675 Halle e interprete la intersección en y . En 2004, la población escolar era de 1.250 estudiantes. En 2012 la población había descendido a 875 estudiantes. Supongamos que la población cambia linealmente. Ⓐ ¿Cuánto descendió la población escolar entre el año 2004 y 2012? Ⓑ ¿Cuál es el descenso promedio de la población escolar por año? Ⓒ Halle una ecuación para la población, P , de la escuela t años después de 2004. a) 375 b) ha bajado un promedio de 46.875 estudiantes, es decir, unos 47 estudiantes al año c) y = − 46.875 t + 1.250 Dibuje un gráfico de dispersión para los datos que se suministran en la . A continuación, determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. 0 2 4 6 8 10 –450 –200 10 265 500 755 Dibuje una línea de mejor ajuste para los datos trazados En los siguientes ejercicios, utilice la , que muestra el porcentaje de desempleados mayores de 25 años que son graduados universitarios en una ciudad en particular, por año. Año 2000 2002 2005 2007 2010 Porcentaje de graduados 8,5 8,0 7,2 6,7 6,4 Determine si la tendencia parece lineal. Si es así, y suponiendo que la tendencia continúa, halle un modelo de regresión lineal para predecir el porcentaje de desempleados en un año determinado, a tres decimales. ¿En qué año caerá el porcentaje por debajo del 4 % ? A principios de 2018 Sobre la base del conjunto de datos que figuran en la , determine la línea de regresión con una calculadora u otra herramienta tecnológica, y determine el coeficiente de correlación. Redondee a tres decimales de exactitud. x 16 18 20 24 26 y 106 110 115 120 125 En los siguientes ejercicios, considere este escenario: La población de una ciudad aumentó de forma constante durante un periodo de diez años. Los siguientes pares ordenados muestran la población (en centenas) y el año en el lapso de diez años, (población, año) para determinados años registrados: (4.500, 2000); (4.700, 2001); (5.200, 2003); (5.800, 2006) Utilice la regresión lineal para determinar una función y , donde el año depende de la población. Redondee a tres decimales de exactitud. y = 0,00455 x + 1.979,5 Prediga cuándo llegará la población a los 20.000 habitantes. ¿Cuál es el coeficiente de correlación de este modelo? r = 0,999 coeficiente de correlación un valor, r , entre -1 y 1 que indica el grado de correlación lineal de las variables, o lo mucho que se ajusta una línea de regresión a un conjunto de datos. extrapolación predecir un valor fuera del dominio y del rango de los datos interpolación predecir un valor dentro del dominio y el rango de los datos regresión de mínimos cuadrados técnica estadística para ajustar una línea a los datos de manera que se minimicen las diferencias entre la línea y los valores de los datos ruptura del modelo cuando un modelo deja de aplicarse a partir de cierto momento

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Introducción Ya sea que lo piensen en términos matemáticos o no, los buceadores deben considerar el impacto de las relaciones funcionales para mantenerse seguros. Las leyes de los gases, que son una serie de relaciones y ecuaciones que describen el comportamiento de la mayoría de los gases, desempeñan un papel fundamental en el buceo. Este buceador, cerca de los restos de un transatlántico japonés de la Segunda Guerra Mundial convertido en transporte de tropas, debe permanecer atento a las leyes de los gases durante su inmersión y mientras asciende a la superficie (créditos: "Aikoku - Aft Gun": modificación del trabajo de montereydiver/flickr). No hace falta sumergirse mucho para sentir los efectos de la presión. Cuando una persona en la piscina de su vecindario se desplaza ocho, diez, veinte pies hacia abajo, suele sentir dolor en los oídos como consecuencia de las diferenciales de presión del agua y del aire. La presión desempeña un papel mucho más importante en las profundidades de buceo del océano. Los buceadores con escafandra autónoma y en apnea negocian constantemente los efectos de la presión para experimentar inmersiones agradables, seguras y productivas. Los gases del sistema respiratorio y del aparato de buceo de una persona interactúan según ciertas propiedades físicas, que al ser descubiertas y evaluadas se conocen colectivamente como las leyes de los gases. Algunas son conceptualmente sencillas, como la relación inversa entre presión y volumen, y otras son más complejas. Aunque sus fórmulas parecen más sencillas que muchas de las que se encontrarán en este capítulo, las leyes de los gases son generalmente expresiones polinómicas.

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Números complejos El estudio de las matemáticas se construye continuamente sobre sí mismo. Los números enteros negativos, por ejemplo, llenan el vacío dejado por el conjunto de números enteros positivos. El conjunto de los números racionales, a su vez, llena el vacío dejado por el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números reales llena el vacío dejado por el conjunto de los números racionales. No es de extrañar que el conjunto de los números reales también tenga vacíos. Por ejemplo, todavía no tenemos solución para ecuaciones como x 2 + 4 = 0 Nuestras mejores suposiciones podrían ser +2 o –2. Sin embargo, si probamos +2 en esta ecuación, no funciona. Si probamos –2, no funciona. Si queremos tener una solución para esta ecuación, tendremos que ir más lejos de lo que hemos hecho hasta ahora. Después de todo, hasta ahora hemos descrito la raíz cuadrada de un número negativo como indefinida. Afortunadamente, existe otro sistema de números que proporciona soluciones a tales problemas. En esta sección, exploraremos este sistema numérico y cómo trabajar dentro de él. Expresar raíces cuadradas de los números negativos como múltiplos de i Sabemos cómo hallar la raíz cuadrada de cualquier número real positivo. De forma similar, podemos hallar la raíz cuadrada de un número negativo. La diferencia es que la raíz no es real. Si el valor del radicando es negativo, se dice que la raíz es un número imaginario . El número imaginario i se define como la raíz cuadrada de 1 negativo. − 1 = i Entonces, con las propiedades de los radicales, i 2 = ( - 1 ) 2 = - 1 Podemos escribir la raíz cuadrada de cualquier número negativo como un múltiplo de i . Considere la raíz cuadrada de –25. − 25 = 25 ⋅ ( - 1 ) = 25 − 1 = 5 i Utilizamos 5 i y no − 5 i porque la raíz principal de 25 es la raíz positiva. Un número complejo es la suma de un número real y un número imaginario. Un número complejo se expresa en forma estándar cuando se escribe a + b i donde a es la parte real y b i es la parte imaginaria. Por ejemplo, 5 + 2 i es un número complejo. También lo es 3 + 4 3 i . Los números imaginarios se distinguen de los reales porque un número imaginario elevado al cuadrado produce un número real negativo. Recordemos que, cuando un número real positivo se eleva al cuadrado, el resultado es un número real positivo y cuando un número real negativo se eleva al cuadrado, de nuevo, el resultado es un número real positivo. Los números complejos son una combinación de números reales e imaginarios. Una etiqueta de nota general Números imaginarios y complejos Un número complejo es un número de la forma a + b i donde a es la parte real del número complejo. b i es la parte imaginaria del número complejo. Si los valores de b = 0 , entonces a + b i es un número real. Si los valores de a = 0 y b no es igual a 0, el número complejo recibe el nombre de número imaginario . Un número imaginario es la raíz par de un número negativo. Elemento Cómo Dado un número imaginario, expresarlo en forma estándar. Escriba − a cuando a - 1 . Exprese − 1 cuando i . Escriba a ⋅ i en la forma más sencilla. Expresar un número imaginario en forma estándar Exprese − 9 en forma estándar. − 9 = 9 - 1 = 3 i En forma estándar, esto es 0 + 3 i . Elemento Ejercicio Exprese − 24 en forma estándar. − 24 = 0 + 2 i 6 Trazar un número complejo en el plano complejo No podemos representar los números complejos en una línea numérica como lo haríamos con los números reales. Sin embargo, podemos representarlos gráficamente. Para representar un número complejo tenemos que abordar los dos componentes del número. Utilizamos el plano complejo , que es un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal representa la componente real y el eje vertical representa el componente imaginario. Los números complejos son los puntos del plano, expresados como pares ordenados ( a , b ) , donde a representa la coordenada del eje horizontal y b representa la coordenada del eje vertical. Consideremos el número −2 + 3 i . La parte real del número complejo es −2 y la parte imaginaria es 3 i . Trazamos el par ordenado ( –2 , 3 ) para representar el número complejo −2 + 3 i como se muestra en la . Una etiqueta de nota general Plano complejo En el plano complejo , el eje horizontal es el eje real, y el eje vertical es el eje imaginario, como se muestra en la . Elemento Cómo Dado un número complejo, representar sus componentes en el plano complejo. Determine la parte real y la parte imaginaria del número complejo. Muévase por el eje horizontal para mostrar la parte real del número. Muévase en paralelo al eje vertical para mostrar la parte imaginaria del número. Trace el punto. Trazar un número complejo en el plano complejo Trace el número complejo 3 - 4 i en el plano complejo. La parte real del número complejo es 3 , y la parte imaginaria es -4 i . Trazamos el par ordenado ( 3 , –4 ) como se muestra en la . Etiqueta Ejercicio Trace el número complejo -4 − i en el plano complejo. Sumar y restar números complejos Al igual que con los números reales, podemos realizar operaciones aritméticas con los números complejos. Para sumar o restar números complejos, combinamos las partes reales y las partes imaginarias. Una etiqueta de nota general Números complejos: suma y resta Sumar números complejos: ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Restar números complejos: ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b − d ) i Elemento Cómo Dados dos números complejos, hallar la suma o la diferencia. Identifique las partes real e imaginaria de cada número. Sume o reste las partes reales. Sume o reste las partes imaginarias. Sumar números complejos Añadir 3 - 4 i y 2 + 5 i . Sumamos las partes reales y las partes imaginarias. ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i ( 3 - 4 i ) + ( 2 + 5 i ) = ( 3 + 2 ) + ( - 4 + 5 ) i = 5 + i Elemento Ejercicio Reste 2 + 5 i a partir de 3 – 4 i . ( 3 - 4 i ) - ( 2 + 5 i ) = 1 - 9 i Multiplicar números complejos Multiplicar números complejos es muy parecido a multiplicar binomios. La principal diferencia es que trabajamos con las partes reales e imaginarias por separado. Multiplicar un número complejo por un número real Empecemos por multiplicar un número complejo por un número real. Distribuimos el número real igual que lo haríamos con un binomio. Así, por ejemplo, Elemento Cómo Dado un número complejo y un número real, multiplicar para hallar el producto. Utilice la propiedad distributiva. Simplifique. Multiplicar un número complejo por un número real Halle el producto 4 ( 2 + 5 i ) . Distribuya el 4. 4 ( 2 + 5 i ) = ( 4 ⋅ 2 ) + ( 4 ⋅ 5 i ) = 8 + 20 i Elemento Ejercicio Halle el producto − 4 ( 2 + 6 i ) . − 8 − 24 i Multiplicar números complejos juntos Ahora, multipliquemos dos números complejos. Podemos utilizar la propiedad distributiva o el método FOIL. Recordemos que FOIL es el acrónimo en inglés de multiplicar juntos los términos Primero, Exterior, Interior y Último. Utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL, obtenemos ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 Ya que i 2 = - 1 , tenemos ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i − b d Para simplificar, combinamos las partes reales y las partes imaginarias. ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i Elemento Cómo Dados dos números complejos, multiplicar para hallar el producto. Utilice la propiedad distributiva o el método FOIL. Simplifique. Multiplicar un número complejo por otro número complejo Multiplique ( 4 + 3 i ) ( 2 - 5 i ) . Utilice ( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ( 4 + 3 i ) ( 2 - 5 i ) = ( 4 ⋅ 2 - 3 ⋅ ( - 5 ) ) + ( 4 ⋅ ( - 5 ) + 3 ⋅ 2 ) i = ( 8 + 15 ) + ( − 20 + 6 ) i = 23 − 14 i Elemento Ejercicio Multiplique ( 3 - 4 i ) ( 2 + 3 i ) . 18 + i Dividir números complejos La división de dos números complejos es más complicada que la suma, la resta y la multiplicación porque no podemos dividir entre un número imaginario, lo que significa que cualquier fracción deberá tener un denominador de número real. Tenemos que hallar un término entre el cual podamos multiplicar el numerador y el denominador que elimine la parte imaginaria del denominador para que acabemos con un número real como denominador. Este término se llama conjugado complejo del denominador, que se encuentra al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. En otras palabras, el conjugado complejo de a + b i es a - b i . Observe que los conjugados complejos tienen una relación recíproca: El conjugado complejo de a + b i es a - b i , y el conjugado complejo de a - b i es a + b i . Además, cuando una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene soluciones complejas, las soluciones son siempre conjugadas complejas entre sí. Supongamos que queremos dividir c + d i entre a + b i , donde ni a ni b son iguales a cero. Primero escribimos la división como una fracción, luego hallamos el conjugado complejo del denominador y multiplicamos. c + d i a + b i donde a ≠ 0 y b ≠ 0 Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. ( c + d i ) ( a + b i ) ⋅ ( a - b i ) ( a - b i ) = ( c + d i ) ( a - b i ) ( a + b i ) ( a - b i ) Aplicamos la propiedad distributiva. = c a - c b i + a d i − b d i 2 a 2 - a b i + a b i − b 2 i 2 Simplificamos, recordando que i 2 = −1. = c a - c b i + a d i − b d ( - 1 ) a 2 - a b i + a b i − b 2 ( - 1 ) = ( c a + b d ) + ( a d − c b ) i a 2 + b 2 Una etiqueta de nota general El conjugado complejo El conjugado complejo de un número complejo a + b i es a - b i . Se halla al cambiar el signo de la parte imaginaria del número complejo. La parte real del número no se modifica. Cuando un número complejo se multiplica por su conjugado complejo, el resultado es un número real. Cuando un número complejo se suma a su conjugado complejo, el resultado es un número real. Hallar conjugados complejos Halle el conjugado complejo de cada número. Ⓐ 2 + i 5 Ⓑ - 1 2 i Ⓐ El número ya está en la forma a + b i . El conjugado complejo es a - b i , o 2 − i 5 . Ⓑ Podemos reescribir este número en la forma a + b i cuando 0 - 1 2 i . El conjugado complejo es a - b i , o 0 + 1 2 i . Esto se puede escribir sencillamente como 1 2 i . Análisis Aunque hemos visto que podemos hallar el conjugado complejo de un número imaginario, en la práctica generalmente lo hallamos únicamente de números complejos con una componente real y otra imaginaria. Para obtener un número real a partir de un número imaginario, basta con multiplicar por i . Elemento Cómo Dados dos números complejos, dividir uno entre el otro. Escriba el problema de división como una fracción. Determine el conjugado complejo del denominador. Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por el conjugado complejo del denominador. Simplifique. Dividir números complejos Divida ( 2 + 5 i ) entre ( 4 − i ) . Comenzamos por escribir el problema como una fracción. ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) Luego multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador. ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) ⋅ ( 4 + i ) ( 4 + i ) Para multiplicar dos números complejos, expandimos el producto como lo haríamos con los polinomios (el proceso llamado FOIL). ( 2 + 5 i ) ( 4 − i ) ⋅ ( 4 + i ) ( 4 + i ) = 8 + 2 i + 20 i + 5 i 2 16 + 4 i - 4 i − i 2 = 8 + 2 i + 20 i + 5 ( - 1 ) 16 + 4 i - 4 i - ( - 1 ) Ya que i 2 = - 1 = 3 + 22 i 17 = 3 17 + 22 17 i Separe las partes real e imaginaria . Observe que esto expresa el cociente en forma estándar. Sustituir un número complejo en una función polinómica Supongamos que f ( x ) = x 2 - 5 x + 2. Evalúe f ( 3 + i ) . Sustituya x = 3 + i en la función f ( x ) = x 2 - 5 x + 2 y simplifique. Análisis Escribimos f ( 3 + i ) = −5 + i . Observe que la entrada es 3 + i y la salida es −5 + i . Elemento Ejercicio Supongamos que f ( x ) = 2 x 2 - 3 x . Evalúe f ( 8 − i ) . 102 − 29 i Sustituir un número imaginario en una función racional Supongamos que f ( x ) = 2 + x x + 3 . Evalúe f ( 10 i ) . Sustituya x = 10 i y simplifique. 2 + 10 i 10 i + 3 Sustituya 10 i para x . 2 + 10 i 3 + 10 i Reescriba el denominador en forma estándar . 2 + 10 i 3 + 10 i ⋅ 3 – 10 i 3 – 10 i Prepárese para multiplicar el numerador y denominador por el conjugado complejo del denominador . 6 – 20 i + 30 i – 100 i 2 9 – 30 i + 30 i – 100 i 2 Multiplique utilizando la propiedad distributiva o el método FOIL . 6 – 20 i + 30 i – 100 ( – 1 ) 9 – 30 i + 30 i – 100 ( – 1 ) Sustituya –1 por i 2 . 106 + 10 i 109 Simplifique . 106 109 + 10 109 i Separe las partes real e imaginaria . Elemento Ejercicio Supongamos que f ( x ) = x + 1 x - 4 . Evalúe f ( - i ) . - 3 17 + 5 i 17 Simplificar las potencias de i Las potencias de i son cíclicas. Veamos qué ocurre cuando elevamos i a potencias crecientes. i 1 = i i 2 = - 1 i 3 = i 2 ⋅ i = - 1 ⋅ i = - i i 4 = i 3 ⋅ i = - i ⋅ i = - i 2 = - ( - 1 ) = 1 i 5 = i 4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i Podemos ver que, cuando llegamos a la quinta potencia de i , es igual a la primera potencia. Mientras seguimos multiplicando i por sí mismo para potencias crecientes, veremos un ciclo de 4. Examinemos las siguientes 4 potencias de i . i 6 = i 5 ⋅ i = i ⋅ i = i 2 = - 1 i 7 = i 6 ⋅ i = i 2 ⋅ i = i 3 = - i i 8 = i 7 ⋅ i = i 3 ⋅ i = i 4 = 1 i 9 = i 8 ⋅ i = i 4 ⋅ i = i 5 = i Simplificar las potencias de i Evalúe i 35 . Dado que i 4 = 1 , podemos simplificar el problema al factorizar tantos factores de i 4 como sea posible. Para ello, primero hay que determinar cuántas veces va 4 en 35 35 = 4 ⋅ 8 + 3. i 35 = i 4 ⋅ 8 + 3 = i 4 ⋅ 8 ⋅ i 3 = ( i 4 ) 8 ⋅ i 3 = 1 8 ⋅ i 3 = i 3 = - i Elemento Preguntas y respuestas ¿Podemos escribir i 35 en otras formas útiles? Como vimos en el , redujimos i 35 con i 3 al dividir el exponente entre 4 y utilizar el resto para dar con la forma simplificada. Quizás otra factorización de i 35 sería más conveniente. La muestra algunas otras factorizaciones posibles. Factorización de i 35 i 34 ⋅ i i 33 ⋅ i 2 i 31 ⋅ i 4 i 19 ⋅ i 16 Forma reducida ( i 2 ) 17 ⋅ i i 33 ⋅ ( - 1 ) i 31 ⋅ 1 i 19 ⋅ ( i 4 ) 4 Forma simplificada ( - 1 ) 17 ⋅ i - i 33 i 31 i 19 Cada uno de ellos acabará dando la respuesta que hemos obtenido anteriormente, pero puede que se necesiten varios pasos más que nuestro método anterior. Etiqueta de Recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los números complejos. Suma y resta de números complejos Multiplicación de números complejos Multiplicación de conjugados complejos Elevación de la i a las potencias Conceptos clave La raíz cuadrada de cualquier número negativo se puede escribir como múltiplo de i . Vea el . Para representar un número complejo, utilizamos dos líneas numéricas, cruzadas para formar el plano complejo. El eje horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje imaginario. Vea el . Los números complejos se pueden sumar y restar al combinar las partes reales y las partes imaginarias. Vea el . Los números complejos se pueden multiplicar y dividir. Para multiplicar números complejos, distribuya igual que con los polinomios. Vea el , el y el . Para dividir números complejos, multiplique tanto el numerador como el denominador por el conjugado complejo del denominador para eliminar el número complejo del denominador. Vea el , el y el . Las potencias de i son cíclicas, pues se repiten cada cuatro. Vea el . Verbales Explique cómo sumar números complejos. Sume las partes reales y las partes imaginarias. ¿Cuál es el principio básico de la multiplicación de los números complejos? Dé un ejemplo para demostrar que el producto de dos números imaginarios no siempre es imaginario. i veces i es igual a –1, que no es imaginario. (Las respuestas varían). ¿Cuál es la característica del trazado de un número real en el plano complejo? Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones algebraicas. Si f ( x ) = x 2 + x - 4 , evaluar f ( 2 i ) . − 8 + 2 i Si f ( x ) = x 3 - 2 , evaluar f ( i ) . Si f ( x ) = x 2 + 3 x + 5 , evaluar f ( 2 + i ) . 14 + 7 i Si f ( x ) = 2 x 2 + x - 3 , evaluar f ( 2 - 3 i ) . Si f ( x ) = x + 1 2 - x , evaluar f ( 5 i ) . − 23 29 + 15 29 i Si f ( x ) = 1 + 2 x x + 3 , evaluar f ( 4 i ) . Gráficos En los siguientes ejercicios, determine el número de soluciones reales y no reales de cada función cuadrática mostrada. 2 reales y 0 no reales En los siguientes ejercicios, trace los números complejos en el plano complejo. 1 - 2 i - 2 + 3 i i - 3 - 4 i Numéricos En los siguientes ejercicios, realice la operación indicada y exprese el resultado como un número complejo simplificado. ( 3 + 2 i ) + ( 5 - 3 i ) 8 − i ( – 2 - 4 i ) + ( 1 + 6 i ) ( - 5 + 3 i ) - ( 6 − i ) − 11 + 4 i ( 2 - 3 i ) - ( 3 + 2 i ) ( - 4 + 4 i ) - ( − 6 + 9 i ) 2 - 5 i ( 2 + 3 i ) ( 4 i ) ( 5 - 2 i ) ( 3 i ) 6 + 15 i ( 6 - 2 i ) ( 5 ) ( – 2 + 4 i ) ( 8 ) − 16 + 32 i ( 2 + 3 i ) ( 4 − i ) ( - 1 + 2 i ) ( – 2 + 3 i ) - 4 - 7 i ( 4 – 2 i ) ( 4 + 2 i ) ( 3 + 4 i ) ( 3 - 4 i ) 25 3 + 4 i 2 6 - 2 i 3 2 - 2 3 i - 5 + 3 i 2 i 6 + 4 i i 4 − 6 i 2 - 3 i 4 + 3 i 3 + 4 i 2 − i 2 5 + 11 5 i 2 + 3 i 2 - 3 i − 9 + 3 − 16 15 i − − 4 - 4 − 25 2 + − 12 2 1 + i 3 4 + − 20 2 i 8 1 i 15 i 22 - 1 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para responder las preguntas. Evalúe ( 1 + i ) k para k = 4, 8 y 12 . Prediga el valor si k = 16. Evalúe ( 1 − i ) k para k = 2, 6 y 10 . Prediga el valor si k = 14. 128i Evalúe ( 1 + i ) k - ( 1 − i ) k para k = 4, 8 y 12 . Prediga el valor de k = 16. Demuestre que una solución de x 6 + 1 = 0 es 3 2 + 1 2 i . ( 3 2 + 1 2 i ) 6 = - 1 Demuestre que una solución de x 8 - 1 = 0 es 2 2 + 2 2 i . Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones al escribir el resultado como un número complejo simplificado. 1 i + 4 i 3 3 i 1 i 11 - 1 i 21 i 7 ( 1 + i 2 ) 0 i −3 + 5 i 7 ( 2 + i ) ( 4 – 2 i ) ( 1 + i ) 5 – 5i ( 1 + 3 i ) ( 2 - 4 i ) ( 1 + 2 i ) ( 3 + i ) 2 ( 1 + 2 i ) 2 - 2 i 3 + 2 i 2 + i + ( 4 + 3 i ) 4 + i i + 3 - 4 i 1 − i 9 2 - 9 2 i 3 + 2 i 1 + 2 i - 2 - 3 i 3 + i conjugado complejo el número complejo en el que se cambia el signo de la parte imaginaria y se deja inalterada la parte real del número; cuando se suma o multiplica por el número complejo original, el resultado es un número real número complejo la suma de un número real y un número imaginario, escrita en la forma estándar a + b i , donde a es la parte real, y b i es la parte imaginaria plano complejo un sistema de coordenadas en el que el eje horizontal se utiliza para representar la parte real de un número complejo y el eje vertical se utiliza para representar la parte imaginaria número imaginario un número en la forma b i donde i = - 1

Matemáticas


Funciones cuadráticas Conjunto de antenas parabólicas (créditos: Matthew Colvin de Valle, Flickr) Las antenas curvas, como las que se muestran en la , se utilizan habitualmente para enfocar microondas y ondas de radio que transmiten señales de televisión y teléfono, así como para la comunicación por satélite y en naves espaciales. La sección transversal de la antena tiene forma de parábola, que se describe mediante una función cuadrática. En esta sección, investigaremos las funciones cuadráticas, que modelan problemas que implican el movimiento de áreas y proyectiles. Trabajar con funciones cuadráticas puede ser menos complejo que trabajar con funciones de mayor grado; de allí que brindan una excelente oportunidad para el estudio detallado del comportamiento de las funciones. Reconocer las características de las parábolas El gráfico de una función cuadrática es una curva en forma de U, denominada parábola . Una característica importante del gráfico es que tiene un punto extremo, denominado vértice . Si la parábola se abre, el vértice representa el punto más bajo en el gráfico o el valor mínimo de la función cuadrática. Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa el punto más alto en el gráfico o el valor máximo . En cualquier caso, el vértice es un punto de inflexión en el gráfico. El gráfico también es simétrico, con una línea vertical trazada a través del vértice, denominada eje de simetría . Estas características se ilustran en la . La intersección en y es el punto en el cual la parábola cruza el eje y . Las intersecciones en x son los puntos en los que la parábola cruza el eje x . Si existen, las intersecciones en x representan los ceros , o raíces , de la función cuadrática, los valores de x en los que y = 0 . Identificar las características de una parábola Determine el vértice, el eje de simetría, los ceros y la intersección en y de la parábola que se muestra en la . El vértice es el punto de inflexión del gráfico. Podemos ver que el vértice está en ( 3 , 1 ) . Como esta parábola se abre hacia arriba, el eje de simetría es la línea vertical que interseca la parábola en el vértice. Así que el eje de simetría es x = 3. Esta parábola no cruza el eje x , por lo que no tiene ceros. Atraviesa el eje y en ( 0 , 7 ) así que esta es la intersección y . Comprender cómo se relacionan los gráficos de las parábolas con sus funciones cuadráticas La forma general de una función cuadrática presenta la función en la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 . Si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Podemos utilizar la forma general de una parábola para hallar la ecuación del eje de simetría. El eje de simetría está definido por x = - b 2 a . Si utilizamos la fórmula cuadrática, x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a , para resolver a x 2 + b x + c = 0 para las intersecciones en x , o ceros, hallamos que el valor de x a mitad de camino siempre es x = - b 2 a , la ecuación del eje de simetría. La representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma general como y = x 2 + 4 x + 3. En esta forma, a = 1 , b = 4 , y c = 3. Dado que a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. El eje de simetría es x = – 4 2 ( 1 ) = − 2. Esto también tiene sentido porque podemos ver en el gráfico que la línea vertical x = - 2 divide el gráfico por la mitad. El vértice siempre se produce a lo largo del eje de simetría. Para una parábola que se abre hacia arriba, el vértice se encuentra en el punto más bajo del gráfico; en este caso, ( – 2 , - 1 ) . La intersección en x , aquellos puntos en los que la parábola cruza el eje x , se producen en ( - 3 , 0 ) y ( - 1 , 0 ) . La forma estándar de una función cuadrática presenta la función en la forma f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k donde ( h , k ) es el vértice. Dado que el vértice aparece en la forma estándar de la función cuadrática, esta forma también se conoce como la forma de vértice de una función cuadrática . Al igual que con la forma general, si a > 0 , la parábola se abre hacia arriba y el vértice es un mínimo. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo, y el vértice es un máximo. La representa el gráfico de la función cuadrática escrita en forma estándar como y = −3 ( x + 2 ) 2 + 4. Dado que x – h = x + 2 en este ejemplo, h = –2. En esta forma, a = −3 , h = –2 , y k = 4. Dado que a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. El vértice está en ( – 2 , 4 ) . La forma estándar sirve para determinar cómo se transforma el gráfico de y = x 2 . La es el gráfico de esta función básica. Si los valores de k > 0 , el gráfico se desplaza hacia arriba, mientras que si k < 0 , el gráfico se desplaza hacia abajo. En la , k > 0 , por lo que el gráfico se desplaza 4 unidades hacia arriba. Si los valores de h > 0 , el gráfico se desplaza hacia la derecha y si h < 0 , el gráfico se desplaza hacia la izquierda. En la , h < 0 , para que el gráfico se desplace 2 unidades a la izquierda. La magnitud de a indica el estiramiento del gráfico. Si los valores de | a | > 1 , el punto asociado a un determinado valor de x se desplaza más lejos del eje x , por lo que el gráfico parece estrecharse, y hay un estiramiento vertical. Pero si | a | < 1 , el punto asociado a un determinado valor de x se desplaza más cerca del eje x , por lo que el gráfico parece ampliarse, pero en realidad hay una compresión vertical. En la , | a | > 1 , por lo que el gráfico se estrecha. La forma estándar y la forma general son métodos equivalentes para describir la misma función. Podemos verlo al ampliar la forma general y hacerla igual a la forma estándar. a ( x - h ) 2 + k = a x 2 + b x + c a x 2 - 2 a h x + ( a h 2 + k ) = a x 2 + b x + c Para que los términos lineales sean iguales, los coeficientes deberán ser iguales. -2 a h = b , por lo que h = - b 2 a . Este es el eje de simetría que definimos antes. Al igualar los términos constantes: a h 2 + k = c k = c - a h 2 = c - a ( − b 2 a ) 2 = c − b 2 4 a En la práctica, sin embargo, suele ser más fácil recordar que k es el valor de salida de la función cuando la entrada es h , por lo que f ( h ) = k . Formas de las funciones cuadráticas La función cuadrática es una función de grado dos. El gráfico de la función cuadrática es una parábola. La forma general de la función cuadrática es f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 . La forma estándar de la función cuadrática es f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k . El vértice ( h , k ) está localizado en h = – b 2 a , k = f ( h ) = f ( − b 2 a ) . Cómo Dado el gráfico de una función cuadrática, escribir la ecuación de la función en forma general. Identifique el desplazamiento horizontal de la parábola; este valor es h . Identifique el desplazamiento vertical de la parábola; este valor es k . Sustituya los valores del desplazamiento horizontal y vertical por h y k . en la función f ( x ) = a ( x – h ) 2 + k . Sustituya los valores de cualquier punto, distinto del vértice, del gráfico de la parábola por x y f ( x ) . Resuelva el factor de estiramiento, | a | . Si la parábola se abre hacia arriba, a > 0 . Si la parábola se abre hacia abajo, a < 0 ya que esto significa que el gráfico se reflejó alrededor del eje x . Amplíe y simplifique para escribir en forma general. Escribir la ecuación de una función cuadrática a partir del gráfico Escriba una ecuación para la función cuadrática g en la como transformación de f ( x ) = x 2 , luego expanda la fórmula y simplifique los términos para escribir la ecuación en forma general. Podemos ver que el gráfico de g es el de f ( x ) = x 2 desplazado a la izquierda 2 y abajo 3, lo que lo que arroja una fórmula de la forma g ( x ) = a ( x + 2 ) 2 – 3. Sustituyendo las coordenadas de un punto de la curva, como ( 0 , –1 ) , podemos resolver el factor de estiramiento. − 1 = a ( 0 + 2 ) 2 - 3 2 = 4 a a = 1 2 En forma estándar, el modelo algebraico de este gráfico es g ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 – 3. Para escribir esto en forma polinómica general, podemos expandir la fórmula y simplificar los términos. g ( x ) = 1 2 ( x + 2 ) 2 - 3 = 1 2 ( x + 2 ) ( x + 2 ) - 3 = 1 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) - 3 = 1 2 x 2 + 2 x + 2 - 3 = 1 2 x 2 + 2 x – 1 Observe que los desplazamientos horizontal y vertical en el gráfico básico de la función cuadrática determinan la ubicación del vértice de la parábola; el vértice no resulta afectado por el estiramiento y la compresión. Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con la función de tabla en una herramienta gráfica. Primero ingrese Y1 = 1 2 ( x + 2 ) 2 - 3. Después, seleccione TBLSET, y luego utilice TblStart = – 6 y Δ Tbl = 2, y seleccione TABLE . Vea la . x -6 -4 -2 0 2 y 5 -1 -3 -1 5 Los pares ordenados en la tabla corresponden a los puntos del gráfico. Ejercicio Se ha superpuesto una cuadrícula de coordenadas sobre la trayectoria cuadrática de un balón de baloncesto en la . Halle una ecuación para la trayectoria del balón. ¿El lanzador encesta? (créditos: modificación de la obra de Dan Meyer) La trayectoria pasa por el origen y tiene el vértice en ( - 4 , 7 ) , tal que ( h ) x = – 7 16 ( x + 4 ) 2 + 7. Para hacer el lanzamiento, h ( − 7,5 ) tendría que ser de unos 4 pero h ( – 7,5 ) ≈ 1,64 ; no lo consigue. Cómo Dada una función cuadrática en forma general, hallar el vértice de la parábola. Identifique a , b , y c . Halle h , la coordenada de la x del vértice, al sustituir a y b en h = – b 2 a . Halle k , la coordenada de la y del vértice, al evaluar k = f ( h ) = f ( − b 2 a ) . Hallar el vértice de una función cuadrática Halle el vértice de la función cuadrática f ( x ) = 2 x 2 – 6 x + 7. Reescriba la cuadrática en forma estándar (forma de vértice). La coordenada horizontal del vértice estará en h = – b 2 a = – – 6 2 ( 2 ) = 6 4 = 3 2 La coordenada vertical del vértice estará en k = f ( h ) = f ( 3 2 ) = 2 ( 3 2 ) 2 - 6 ( 3 2 ) + 7 = 5 2 Al reescribir en forma estándar, el factor de estiramiento será el mismo que a en la cuadrática original. f ( x ) = a x 2 + b x + c f ( x ) = 2 x 2 - 6 x + 7 Utilizar el vértice para determinar el desplazamiento, f ( x ) = 2 ( x – 3 2 ) 2 + 5 2 Análisis Una de las razones por las que tal vez queramos identificar el vértice de la parábola es que este punto nos informará de dónde se produce el valor máximo o mínimo de la salida, ( k ), y dónde se produce, ( x ) . Ejercicio Dada la ecuación g ( x ) = 13 + x 2 - 6 x , escriba la ecuación en forma general y luego en forma estándar. g ( x ) = x 2 - 6 x + 13 en forma general; g ( x ) = ( x - 3 ) 2 + 4 en forma estándar Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática Cualquier número puede ser el valor de entrada de la función cuadrática. Por lo tanto, el dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. Dado que las parábolas tienen un punto máximo o mínimo, el rango está restringido. Dado que el vértice de una parábola será un máximo o un mínimo, el rango consistirá en todos los valores de y mayores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro o menores o iguales a la coordenada de la y en el punto de giro, dependiendo de si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Dominio y rango de la función cuadrática El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. El rango de una función cuadrática escrita en forma general f ( x ) = a x 2 + b x + c con un valor positivo a es f ( x ) ≥ f ( − b 2 a ) , o [ f ( − b 2 a ) , ∞ ) . El rango de una función cuadrática escrita en forma general con un valor negativo a es f ( x ) ≤ f ( − b 2 a ) , o ( - ∞ , f ( − b 2 a ) ] . El rango de una función cuadrática escrita en forma estándar f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k con un valor positivo a es f ( x ) ≥ k ; el rango de una función cuadrática escrita en forma estándar con un valor negativo a es f ( x ) ≤ k . Cómo Dada una función cuadrática, hallar el dominio y el rango. Identifique el dominio de cualquier función cuadrática como todos los números reales. Determine si a es positivo o negativo. Si los valores de a es positivo, la parábola tiene un mínimo. Si los valores de a es negativo, la parábola tiene un máximo. Determine el valor máximo o mínimo de la parábola, k . Si la parábola tiene un mínimo, el rango viene dado por f ( x ) ≥ k , o [ k , ∞ ) . Si la parábola tiene un máximo, el rango viene dado por f ( x ) ≤ k , o ( - ∞ , k ] . Hallar el dominio y el rango de una función cuadrática Halle el dominio y el rango de f ( x ) = - 5 x 2 + 9 x - 1. Como con cualquier función cuadrática, el dominio son todos los números reales. Dado que a es negativo, la parábola se abre hacia abajo y tiene un valor máximo. Tenemos que determinar el valor máximo. Podemos empezar por calcular el valor de la x del vértice. h = - b 2 a = - 9 2 ( - 5 ) = 9 10 El valor máximo viene dado por f ( h ) . f ( 9 10 ) = - 5 ( 9 10 ) 2 + 9 ( 9 10 ) - 1 = 61 20 El rango es f ( x ) ≤ 61 20 , o ( - ∞ , 61 20 ] . Ejercicio Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 ( x - 4 7 ) 2 + 8 11 . El dominio son todos los números reales. El rango es f ( x ) ≥ 8 11 , o [ 8 11 , ∞ ) . Determinar los valores máximos y mínimos de las funciones cuadráticas La salida de la función cuadrática en el vértice es el valor máximo o mínimo de la función, dependiendo de la orientación de la parábola . Podemos ver los valores máximos y mínimos en la . Hay muchas situaciones en el mundo real que implican calcular el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, como las aplicaciones que implican el área y los ingresos. Hallar el valor máximo de una función cuadrática Una granjera de jardín quiere delimitar un espacio rectangular para un nuevo jardín dentro de su patio trasero cercado. Ha comprado 80 pies de cerca de alambre para delimitar tres lados, y utilizará una sección de cerca del patio trasero como el cuarto lado. Ⓐ Halle una fórmula para el área cercada si los lados de la cerca perpendicular a la existente tienen longitud L . Ⓑ ¿Qué dimensiones debería tener su jardín para maximizar la superficie cerrada? Utilicemos un diagrama como en la para registrar la información dada. También valdría la pena introducir una variable temporal, W , para representar la anchura del jardín y la longitud de la sección de la cerca paralela a la del patio. Ⓐ Sabemos que únicamente tenemos 80 pies de cerca disponible, y L + W + L = 80 , o en términos más sencillos, 2 L + W = 80. Esto nos permite representar la anchura, W , en términos de L . W = 80 − 2 L Ahora estamos preparados para escribir una ecuación para el área que encierra la cerca. Sabemos que el área de un rectángulo es la longitud multiplicada por la anchura, así que A = L W = L ( 80 − 2 L ) A ( L ) = 80 L − 2 L 2 Esta fórmula representa el área de la cerca en función de la longitud variable L . La función, escrita en forma general, es A ( L ) = - 2 L 2 + 80 L . La cuadrática tiene un coeficiente principal negativo, por lo que el gráfico se abrirá hacia abajo, y el vértice será el valor máximo del área. Al determinar el vértice, debemos tener cuidado porque la ecuación no está escrita en forma de polinomio estándar con potencias decrecientes. Por eso hemos reestructurado la función en forma general más arriba. Dado que a es el coeficiente del término al cuadrado, a = –2 , b = 80 y c = 0 . Para determinar el vértice: h = − 80 2 ( – 2 ) k = A ( 20 ) = 20 y = 80 ( 20 ) - 2 ( 20 ) 2 = 800 El valor máximo de la función es un área de 800 pies cuadrados, que se produce cuando L = 20 pies. Cuando los lados más cortos tienen 20 pies, quedan 40 pies de cerca para el lado más largo. Para maximizar la superficie, debería cerrar el jardín de manera que los dos lados más cortos tengan una longitud de 20 pies y el lado más largo, paralelo a la cerca existente, tenga una longitud de 40 pies. Análisis Este problema también podría resolverse al graficar la función cuadrática. Podemos ver dónde se produce el área máxima en un gráfico de la función cuadrática en la . Cómo Dada una aplicación que implique ingresos, utilizar una ecuación cuadrática para calcular el máximo. Escriba una ecuación cuadrática para los ingresos. Halle el vértice de la ecuación cuadrática. Determine el valor de y del vértice. Determinar el máximo de ingresos El precio unitario de un artículo incide en su oferta y demanda. Es decir, si el precio unitario sube, la demanda del artículo suele disminuir. Por ejemplo, un periódico local tiene actualmente 84.000 suscriptores con una tarifa trimestral de 30 dólares. Los estudios de mercado sugieren que, si los propietarios suben el precio a 32 dólares, perderán 5.000 suscriptores. Suponiendo que las suscripciones estén relacionadas linealmente con el precio, ¿qué precio debería cobrar el periódico por una suscripción trimestral para maximizar sus ingresos? Los ingresos son la cantidad de dinero que percibe una empresa. En este caso, los ingresos se calculan al multiplicar el precio por suscripción por el número de suscriptores, o la cantidad. Podemos introducir variables, p para el precio por abono y Q para la cantidad, lo que nos da la ecuación Ingresos = p Q . Debido a que el número de suscriptores cambia con el precio, tenemos que hallar una relación entre las variables. Sabemos que actualmente p = 30 y Q = 84 , 000. También sabemos que, si el precio sube a 32 dólares, el periódico perdería 5.000 suscriptores, lo que da un segundo par de valores, p = 32 y Q = 79 , 000. A partir de esto podemos hallar una ecuación lineal que relacione las dos cantidades. La pendiente será m = 79 , 000 − 84 , 000 32 − 30 = - 5 , 000 2 = - 2 , 500 Esto nos indica que el periódico perderá 2.500 suscriptores por cada dólar que suba el precio. Entonces podemos resolver la intersección en y . Q = -2.500 p + b Sustituya en el punto Q = 84.000 y p = 30 84.000 = -2.500 ( 30 ) + b Resuelva para b b = 159.000 Esto nos da la ecuación lineal Q = -2.500 p + 159.000 al relacionar costo y suscriptores. Ahora volvemos a nuestra ecuación de ingresos. Ingresos = p Q Ingresos = p ( –2.500 p + 159.000 ) Ingresos = –2.500 p 2 + 159.000 p Ahora tenemos una función cuadrática para los ingresos en función de la cuota de suscripción. Para calcular el precio que maximice los ingresos del periódico, podemos hallar el vértice. h = − 159.000 2 ( – 2.500 ) = 31 , 8 El modelo nos indica que los ingresos máximos se producirán si el periódico cobra 31,80 dólares por suscripción. Para saber cuál es el ingreso máximo, evaluamos la función de ingresos. máximo de ingresos = –2.500 ( 31 , 8 ) 2 + 159.000 ( 31 , 8 ) = 2.528.100 Análisis Esto también podría resolverse al graficar la cuadrática como en la . Podemos ver los ingresos máximos en un gráfico de la función cuadrática. Hallar las intersecciones en x y en y de la función cuadrática Al igual que hicimos en los problemas de aplicación anteriores, también necesitamos hallar las intersecciones en las ecuaciones cuadráticas para graficar parábolas. Recordemos que hallamos la intersección en y de una cuadrática al evaluar la función en una entrada de cero, y hallamos la intersección en x en lugares donde la salida es cero. Observe en la que el número de intersecciones en x puede variar en función de la ubicación del gráfico. Número de intersecciones en x de una parábola Cómo Dada una función cuadrática f ( x ) , hallar las intersecciones en y y en x . Evalúe f ( 0 ) para hallar la intersección en y . Resuelva la ecuación cuadrática f ( x ) = 0 para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones tanto en y como en x de una parábola Halle las intersecciones tanto en y como en x de la cuadrática f ( x ) = 3 x 2 + 5 x − 2. Hallamos la intersección en y al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = 3 ( 0 ) 2 + 5 ( 0 ) - 2 = - 2 Así que la intersección en y está en ( 0 , –2 ) . Para las intersecciones en x , hallamos todas las soluciones de f ( x ) = 0, 0 = 3 x 2 + 5 x - 2 En este caso, la cuadrática puede factorizarse fácilmente, lo que proporciona el método más simple para la solución. 0 = ( 3 x – 1 ) ( x + 2 ) 0 = 3 x – 1 0 = x + 2 x = 1 3 o x = - 2 Así que las intersecciones en x están en ( 1 3 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . Análisis Al graficar la función, podemos confirmar que el gráfico cruza el eje y en ( 0 , –2 ) . También podemos confirmar que el gráfico cruza el eje x en ( 1 3 , 0 ) y ( –2 , 0 ) . Ver la Reescribir cuadráticas en forma estándar En el , la cuadrática se resolvió fácilmente mediante la factorización. Sin embargo, hay muchas cuadráticas que no se pueden factorizar. Podemos resolver estas cuadráticas al reescribirlas primero en forma estándar. Cómo Dada una función cuadrática, hallar la intersección en x al reescribir en forma estándar . Sustituya a y b en h = - b 2 a . Sustituya x = h en la forma general de la función cuadrática para hallar k . Reescriba la cuadrática en forma estándar con h y k . Resuelva cuándo la salida de la función será cero para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones en x de una parábola Halle las intersecciones en x de la función cuadrática f ( x ) = 2 x 2 + 4 x − 4. Comenzamos por resolver cuándo la salida será cero. 0 = 2 x 2 + 4 x - 4 Dado que la cuadrática no se factoriza fácilmente en este caso, resolvemos las intersecciones al reescribir primero la cuadrática en forma estándar. f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Sabemos que a = 2. Entonces resolvemos para h y k . h = - b 2 a k = f ( - 1 ) = – 4 2 ( 2 ) = 2 ( - 1 ) 2 + 4 ( - 1 ) - 4 = −1 = −6 Así que ahora podemos reescribir en forma estándar. f ( x ) = 2 ( x + 1 ) 2 - 6 Ahora podemos resolver cuándo la salida será cero. 0 = 2 ( x + 1 ) 2 - 6 6 = 2 ( x + 1 ) 2 3 = ( x + 1 ) 2 x + 1 = ± 3 x = - 1 ± 3 El gráfico tiene intersecciones en x en ( −1 - 3 , 0 ) y ( –1 + 3 , 0 ) . Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo al graficar la función dada en una herramienta gráfica y observar las intersecciones en x . Vea la . Ejercicio En otro Ejercicio , hallamos la forma estándar y general de la función g ( x ) = 13 + x 2 - 6 x . Ahora halle las intersecciones, tanto en y como en x (si las hay). Intersección en y en (0, 13). No hay intersecciones en x . Resolver una ecuación cuadrática con la fórmula cuadrática Resuelva x 2 + x + 2 = 0 . Empecemos por escribir la fórmula cuadrática: x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a . Al aplicar la fórmula cuadrática , identificamos los coeficientes a , b y c . Para la ecuación: x 2 + x + 2 = 0 , tenemos a = 1 , b = 1 , y c = 2. Al sustituir estos valores en la fórmula, tenemos: x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - 1 ± 1 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( 2 ) 2 ⋅ 1 = - 1 ± 1 - 8 2 = - 1 ± − 7 2 = - 1 ± i 7 2 Las soluciones de la ecuación son: − 1 + i 7 2 y - 1 − i 7 2 o − 1 2 + i 7 2 y - 1 2 − i 7 2 . Aplicar el vértice y las intersecciones en x de una parábola Una pelota es lanzada hacia arriba desde la parte alta de un edificio de 40 pies de altura a una velocidad de 80 pies por segundo. La altura de la pelota sobre el suelo puede modelarse con la ecuación H ( t ) = - 16 t 2 + 80 t + 40. Ⓐ ¿Cuándo alcanza la pelota la altura máxima? Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la pelota? Ⓒ ¿Cuándo llega la pelota al suelo? Ⓐ La pelota alcanza la altura máxima en el vértice de la parábola. h = − 80 2 ( − 16 ) = 80 32 = 5 2 = 2,5 La pelota alcanza una altura máxima después de 2,5 segundos. Ⓑ Para hallar la altura máxima, hay que determinar la coordenada de la y en el vértice de la parábola. k = H ( − b 2 a ) = H ( 2,5 ) = −16 ( 2,5 ) 2 + 80 ( 2,5 ) + 40 = 140 La pelota alcanza una altura máxima de 140 pies. Ⓒ Para calcular el momento en que la pelota toca el suelo, tenemos que determinar cuándo la altura es cero, H ( t ) = 0 . Utilizamos la fórmula cuadrática. t = − 80 ± 80 2 - 4 ( − 16 ) ( 40 ) 2 ( − 16 ) = − 80 ± 8.960 − 32 Dado que la raíz cuadrada no se simplifica bien, podemos utilizar una calculadora para estimar los valores de las soluciones. t = − 80 − 8.960 − 32 ≈ 5,458 o t = − 80 + 8.960 − 32 ≈ − 0,458 La segunda respuesta está fuera del dominio razonable de nuestro modelo, por lo que concluimos que la pelota llegará al suelo después de unos 5,458 segundos. Ver la Ejercicio Una roca es lanzada hacia arriba desde la cima de un acantilado de 112 pies de altura con vistas al océano, a una velocidad de 96 pies por segundo. La altura de la roca sobre el océano puede modelarse con la ecuación H ( t ) = - 16 t 2 + 96 t + 112. Ⓐ ¿Cuándo alcanza la roca la altura máxima? Ⓑ ¿Cuál es la altura máxima de la roca? Ⓒ ¿Cuándo llega la roca al océano? Ⓐ 3 segundos Ⓑ 256 pies Ⓒ 7 segundos Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las ecuaciones cuadráticas. Graficar funciones cuadráticas en forma general Graficar funciones cuadráticas en forma estándar Revisión de la función cuadrática Características de la función cuadrática Ecuaciones clave forma general de una función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c la fórmula cuadrática x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a forma estándar de una función cuadrática f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Conceptos clave La función polinómica de grado dos se denomina función cuadrática. El gráfico de una función cuadrática es una parábola. La parábola es una curva en forma de U que se abre hacia arriba o hacia abajo. El eje de simetría es la línea vertical que pasa por el vértice. Los ceros, o intersecciones en x , son los puntos en los que la parábola cruza el eje x . La intersección en y es el punto en el que la parábola cruza el eje y . Vea el , el y el . Las funciones cuadráticas suelen escribirse en forma general. La forma estándar o de vértice sirve para identificar fácilmente el vértice de una parábola. Cualquiera de las dos formas puede escribirse a partir de un gráfico. Vea el . El vértice se halla a partir de una ecuación que representa una función cuadrática. Vea el . El dominio de la función cuadrática son todos los números reales. La gama varía según la función. Vea el . El valor mínimo o máximo de la función cuadrática viene dado por el valor de y del vértice. El valor mínimo o máximo de la función cuadrática se utiliza para determinar el rango de la función y para resolver muchos tipos de problemas del mundo real, incluso de área e ingresos. Vea el y el . Algunas ecuaciones cuadráticas deberán resolverse con la fórmula cuadrática. Vea el . El vértice y las intersecciones pueden identificarse e interpretarse para resolver problemas del mundo real. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la ventaja de escribir una función cuadrática en forma estándar. Cuando se escribe de esa forma, el vértice se identifica fácilmente. ¿Cómo se utiliza el vértice de una parábola para resolver problemas del mundo real? Explique por qué la condición de a ≠ 0 se impone en la definición de la función cuadrática. Si los valores de a = 0 entonces la función se convierte en una función lineal. ¿Cuál es otro nombre para la forma estándar de la función cuadrática? ¿Qué dos métodos algebraicos se pueden utilizar para hallar las intersecciones horizontales de la función cuadrática? Si es posible, podemos utilizar la factorización. Si no, podemos utilizar la fórmula cuadrática. Algebraicos En los siguientes ejercicios, reescriba las funciones cuadráticas en forma estándar e indique el vértice. f ( x ) = x 2 - 12 x + 32 g ( x ) = x 2 + 2 x - 3 g ( x ) = ( x + 1 ) 2 - 4 , Vértice ( - 1 , - 4 ) f ( x ) = x 2 - x f ( x ) = x 2 + 5 x - 2 f ( x ) = ( x + 5 2 ) 2 − 33 4 , Vértice ( - 5 2 , − 33 4 ) h ( x ) = 2 x 2 + 8 x - 10 k ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 f ( x ) = 3 ( x – 1 ) 2 - 12 , Vértice ( 1 , − 12 ) f ( x ) = 2 x 2 - 6 x f ( x ) = 3 x 2 - 5 x – 1 f ( x ) = 3 ( x - 5 6 ) 2 − 37 12 , Vértice ( 5 6 , − 37 12 ) En los siguientes ejercicios, determine si existe un valor mínimo o máximo para cada función cuadrática. Halle el valor y el eje de simetría. y ( x ) = 2 x 2 + 10 x + 12 f ( x ) = 2 x 2 - 10 x + 4 El mínimo es − 17 2 y se produce en 5 2 . El eje de simetría es x = 5 2 . f ( x ) = - x 2 + 4 x + 3 f ( x ) = 4 x 2 + x – 1 El mínimo es − 17 16 y se produce en − 1 8 . El eje de simetría es x = - 1 8 . h ( t ) = – 4 t 2 + 6 t - 1 f ( x ) = 1 2 x 2 + 3 x + 1 El mínimo es − 7 2 y se produce en − 3. El eje de simetría es x = − 3, f ( x ) = - 1 3 x 2 - 2 x + 3 En los siguientes ejercicios, determine el dominio y el rango de la función cuadrática. f ( x ) = ( x - 3 ) 2 + 2 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ 2 , ∞ ) . f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) 2 - 6 f ( x ) = x 2 + 6 x + 4 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ − 5 , ∞ ) . f ( x ) = 2 x 2 - 4 x + 2 k ( x ) = 3 x 2 - 6 x - 9 El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ − 12 , ∞ ) . En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones en los números complejos. x 2 = − 25 x 2 = - 8 { 2 i 2 , - 2 i 2 } x 2 + 36 = 0 x 2 + 27 = 0 { 3 i 3 , - 3 i 3 } x 2 + 2 x + 5 = 0 x 2 - 4 x + 5 = 0 { 2 + i , 2 − i } x 2 + 8 x + 25 = 0 x 2 - 4 x + 13 = 0 { 2 + 3 i , 2 - 3 i } x 2 + 6 x + 25 = 0 x 2 - 10 x + 26 = 0 { 5 + i , 5 − i } x 2 - 6 x + 10 = 0 x ( x - 4 ) = 20 { 2 + 2 6 , 2 - 2 6 } x ( x - 2 ) = 10 2 x 2 + 2 x + 5 = 0 { - 1 2 + 3 2 i , - 1 2 - 3 2 i } 5 x 2 - 8 x + 5 = 0 5 x 2 + 6 x + 2 = 0 { − 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i } 2 x 2 - 6 x + 5 = 0 x 2 + x + 2 = 0 { - 1 2 + 1 2 i 7 , - 1 2 – 1 2 i 7 } x 2 - 2 x + 4 = 0 En los siguientes ejercicios, utilice el vértice ( h , k ) y un punto en el gráfico ( x , y ) para hallar la forma general de la ecuación de la función cuadrática. ( h , k ) = ( 2 , 0 ) , ( x , y ) = ( 4 , 4 ) f ( x ) = x 2 - 4 x + 4 ( h , k ) = ( –2 , –1 ) , ( x , y ) = ( -4 , 3 ) ( h , k ) = ( 0 , 1 ) , ( x , y ) = ( 2 , 5 ) f ( x ) = x 2 + 1 ( h , k ) = ( 2 , 3 ) , ( x , y ) = ( 5 , 12 ) ( h , k ) = ( - 5 , 3 ) , ( x , y ) = ( 2 , 9 ) f ( x ) = 6 49 x 2 + 60 49 x + 297 49 ( h , k ) = ( 3 , 2 ) , ( x , y ) = ( 10 , 1 ) ( h , k ) = ( 0 , 1 ) , ( x , y ) = ( 1 , 0 ) f ( x ) = - x 2 + 1 ( h , k ) = ( 1 , 0 ) , ( x , y ) = ( 0 , 1 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función cuadrática e indique el vértice, el eje de simetría y las intersecciones. f ( x ) = x 2 - 2 x Vértice ( 1 , - 1 ) . El eje de simetría es x = 1. Las intersecciones son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . f ( x ) = x 2 - 6 x – 1 f ( x ) = x 2 - 5 x - 6 Vértice ( 5 2 , − 49 4 ) . El eje de simetría es x = 5 2 , : ( 6 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) . f ( x ) = x 2 - 7 x + 3 f ( x ) = - 2 x 2 + 5 x - 8 Vértice ( 5 4 , − 39 8 ) . El eje de simetría es x = 5 4 . Las intersecciones son ( 0 , − 8 ) . f ( x ) = 4 x 2 - 12 x - 3 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función graficada. f ( x ) = x 2 - 4 x + 1 f ( x ) = - 2 x 2 + 8 x – 1 f ( x ) = 1 2 x 2 - 3 x + 7 2 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice la tabla de valores que representan puntos en el gráfico de la función cuadrática. Al determinar el vértice y el eje de simetría, halle la forma general de la ecuación de la función cuadrática. x -2 -1 0 1 2 y 5 2 1 2 5 f ( x ) = x 2 + 1 x -2 -1 0 1 2 y 1 0 1 4 9 x -2 -1 0 1 2 y -2 1 2 1 -2 f ( x ) = 2 - x 2 x -2 -1 0 1 2 y –8 -3 0 1 0 x -2 -1 0 1 2 y 8 2 0 2 8 f ( x ) = 2 x 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para hallar la respuesta. Grafique en el mismo conjunto de ejes las funciones f ( x ) = x 2 , f ( x ) = 2 x 2 , y f ( x ) = 1 3 x 2 . ¿Cuál parece ser el efecto de cambiar el coeficiente? Gráfico en el mismo conjunto de ejes f ( x ) = x 2 , f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 2 , f ( x ) = x 2 + 5 y f ( x ) = x 2 - 3. ¿Cuál parece ser el efecto de sumar una constante? El gráfico se desplaza hacia arriba o hacia abajo (desplazamiento vertical). Gráfico en el mismo conjunto de ejes f ( x ) = x 2 , f ( x ) = ( x - 2 ) 2 , f ( x - 3 ) 2 , y f ( x ) = ( x + 4 ) 2 . ¿Cuál parece ser el efecto de sumar o restar esos números? La trayectoria de un objeto proyectado en un ángulo de 45 grados, a una velocidad inicial de 80 pies por segundo, viene dada por la función h ( x ) = − 32 ( 80 ) 2 x 2 + x donde x es la distancia horizontal recorrida y h ( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para determinar la altura del objeto cuando se haya alejado 100 pies en horizontal. 50 pies Un puente colgante puede modelarse con la función cuadrática h ( x ) = 0,0001 x 2 con la − 2.000 ≤ x ≤ 2.000 donde | x | es el número de pies desde el centro y h ( x ) es la altura en pies. Utilice la función TRACE de su calculadora para estimar a qué distancia del centro tiene el puente una altura de 100 pies. Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice el vértice del gráfico de la función cuadrática y la dirección en que se abre el gráfico para hallar el dominio y el rango de la función. Vértice ( 1 , –2 ) , se abre hacia arriba. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) . El rango es [ - 2 , ∞ ) . Vértice ( –1 , 2 ) se abre hacia abajo. Vértice ( −5 , 11 ) , se abre hacia abajo. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) El rango es ( - ∞ , 11 ] . Vértice ( -100 , 100 ) , se abre hacia arriba. En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la función cuadrática que contiene el punto dado y tiene la misma forma que la función dada. Contiene ( 1 , 1 ) y tiene forma de f ( x ) = 2 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 2 x 2 – 1 Contiene ( –1 , 4 ) y tiene la forma de f ( x ) = 2 x 2 . El vértice está en el eje y . Contiene ( 2 , 3 ) y tiene la forma de f ( x ) = 3 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 3 x 2 - 9 Contiene ( 1 , −3 ) y tiene la forma de f ( x ) = - x 2 . El vértice está en el eje y . Contiene ( 4 , 3 ) y tiene la forma de f ( x ) = 5 x 2 . El vértice está en el eje y . f ( x ) = 5 x 2 − 77 Contiene ( 1 , –6 ) tiene la forma de f ( x ) = 3 x 2 . El vértice tiene una coordenada de la x de −1. Aplicaciones en el mundo real Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dados 200 pies de valla. 50 por 50 pies. Maximice f ( x ) = - x 2 + 100 x . Calcule las dimensiones del corral rectangular dividido en 2 corrales del mismo tamaño que produzcan la mayor área cerrada posible dados los 300 pies de cercado. Calcule las dimensiones del corral rectangular que produce la mayor área cerrada dividida en 3 corrales del mismo tamaño dados 500 pies de cercado. 125 por 62,5 pies. Maximice f ( x ) = - 2 x 2 + 250 x . Entre todos los pares de números cuya suma es 6, halle el par con el mayor producto. ¿Cuál es el producto? Entre todos los pares de números cuya diferencia es 12, halle el par con el menor producto. ¿Cuál es el producto? 6 y − 6 ; el producto es -36; maximice f ( x ) = x 2 + 12 x . Supongamos que el precio por unidad en dólares de la producción de un teléfono móvil está modelado por p = $ 45 − 0,0125 x , donde x está en miles de teléfonos producidos, y los ingresos en miles de dólares son R = x ⋅ p . Halle el nivel de producción que maximice los ingresos. Se lanza un cohete al aire. Su altura, en metros sobre el nivel del mar, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h ( t ) = − 4,9 t 2 + 229 t + 234. Halle la altura máxima que alcanza el cohete. 2.909,56 metros Se lanza una pelota al aire desde lo alto de un edificio. Su altura, en metros sobre el suelo, en función del tiempo, en segundos, viene dada por h ( t ) = − 4,9 t 2 + 24 t + 8. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar la altura máxima? Un estadio de fútbol tiene capacidad para 62.000 espectadores. Con un precio de entrada de 11 dólares, el promedio de asistencia ha sido de 26.000 personas. Cuando el precio bajó a 9 dólares, el promedio de asistencia aumentó a 31.000 personas. Suponiendo que la asistencia está relacionada linealmente con el precio de la entrada, ¿qué precio de la entrada maximizaría los ingresos? $10,70 Una agricultora descubre que si planta 75 árboles por acre, cada uno de ellos producirá 20 fanegas de fruta. Calcula que, por cada árbol adicional plantado por acre, el rendimiento de cada árbol disminuirá en 3 fanegas. ¿Cuántos árboles debería plantar por hectárea para maximizar su cosecha? eje de simetría línea vertical trazada a través del vértice de una parábola alrededor de la cual la parábola es simétrica; se define por x = - b 2 a . forma general de una función cuadrática la función que describe una parábola, escrita en la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c , donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0 forma estándar de una función cuadrática la función que describe una parábola, escrita en la forma f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k , donde ( h , k ) es el vértice. vértice el punto en el que una parábola cambia de dirección, correspondiente al valor mínimo o máximo de la función cuadrática forma de vértice de una función cuadrática otra designación para la forma estándar de la función cuadrática ceros en una función determinada, los valores de x en los que y = 0 , también se denominan raíces

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