Datos, muestreo y variación de datos y muestreo Los datos pueden proceder de una población o de una muestra. Letras minúsculas como x o y se utilizan generalmente para representar valores de datos. La mayoría de los datos se pueden clasificar en las siguientes categorías: Cualitativa Cuantitativa Los datos cualitativos son el resultado de categorizar o describir los atributos de una población. Los datos cualitativos también suelen denominarse datos categóricos . El color del pelo, el tipo de sangre, el grupo étnico, el automóvil que conduce una persona y la calle en la que vive son ejemplos de datos cualitativos. Los datos cualitativos suelen describirse con palabras o letras. Por ejemplo, el color del cabello puede ser negro, castaño oscuro, castaño claro, rubio, gris o rojo. El tipo de sangre puede ser AB+, O– o B+. Los investigadores suelen preferir los datos cuantitativos a los cualitativos porque se prestan más al análisis matemático. Por ejemplo, no tiene sentido hallar un color de cabello o un tipo de sangre promedio. Los datos cuantitativos son siempre números. Los datos cuantitativos son el resultado de contar o medir los atributos de una población. La cantidad de dinero, la frecuencia del pulso, el peso, el número de personas que viven en su ciudad y el número de estudiantes que cursan Estadística son ejemplos de datos cuantitativos. Los datos cuantitativos pueden ser discretos o continuos . Todos los datos que son el resultado de contar se denominan datos discretos cuantitativos . Estos datos solo adoptan ciertos valores numéricos. Si cuenta el número de llamadas telefónicas que recibe cada día de la semana, puede obtener valores como cero, uno, dos o tres. Los datos que no solo se componen de números para contar, sino que pueden incluir fracciones, decimales o números irracionales, se denominan datos cuantitativos continuos . Los datos continuos suelen ser el resultado de mediciones como longitudes, pesos o tiempos. Una lista de la duración en minutos de todas las llamadas telefónicas que realiza en una semana, con números como 2,4; 7,5; u 11,0, sería un dato cuantitativo continuo. Muestra de datos cuantitativos discretos Los datos son el número de libros que los estudiantes llevan en sus mochilas. Usted toma una muestra de cinco estudiantes. Dos estudiantes llevan tres libros, un estudiante lleva cuatro, un estudiante lleva dos y un estudiante lleva uno. Los números de libros (tres, cuatro, dos y uno) son los datos cuantitativos discretos. Ejercicio Los datos son el número de máquinas de un gimnasio. Usted tiene muestras de cinco gimnasios. Un gimnasio tiene 12 máquinas, otro tiene 15, otro tiene diez, otro tiene 22 y el otro tiene 20. ¿De qué tipo de datos se trata? Muestra de datos cuantitativos continuos Los datos son los pesos de mochilas que contienen libros. La muestra es de los mismos cinco estudiantes. Los pesos (en libras) de sus mochilas son 6,2; 7; 6,8; 9,1 y 4,3. Tome en cuenta que las mochilas que llevan tres libros pueden tener pesos diferentes. Los pesos son datos cuantitativos continuos. Ejercicio Los datos son las superficies de césped en pies cuadrados. Su muestra es de cinco casas. Las superficies de los céspedes son 144, 160, 190, 180 y 210 pies cuadrados respectivamente. ¿De qué tipo de datos se trata? Va al supermercado y compra tres latas de sopa (19 onzas de sopa de tomate, 14,1 onzas de lentejas y 19 onzas de boda italiana), dos paquetes de frutos secos (nueces y cacahuetes), cuatro tipos de vegetales diferentes (brócoli, coliflor, espinacas y zanahorias) y dos postres (16 onzas de helado de pistacho y 32 onzas de galletas de chocolate). Nombre los conjuntos de datos que son cuantitativos discretos, cuantitativos continuos y cualitativos. Una posible solución: Las tres latas de sopa, los dos paquetes de frutos secos, las cuatro clases de vegetales y los dos postres son datos cuantitativos discretos porque usted los cuenta. Los pesos de las sopas (19 onzas, 14,1 onzas y 19 onzas) son datos cuantitativos continuos porque mide los pesos con la mayor precisión posible. Los tipos de sopas, frutos secos, vegetales y postres son datos cualitativos porque son categóricos. Intente identificar otros conjuntos de datos en este ejemplo. Los datos son los colores de las mochilas. Una vez más, la muestra son los mismos cinco estudiantes. Un estudiante tiene una mochila roja, las de dos estudiantes son negras, la de un estudiante es verde y la de otro es gris. Los colores rojo, negro, verde y gris son datos cualitativos. Ejercicio Los datos son los colores de las casas. Su muestra es de cinco casas. Los colores de las casas son blanco, amarillo, blanco, rojo y blanco. ¿De qué tipo de datos se trata? Nota Puede recopilar los datos en forma de números y presentarlos categóricamente. Por ejemplo, las calificaciones de los exámenes de cada estudiante se registran a lo largo del trimestre. Al final del trimestre, las calificaciones de los cuestionarios se presentan como A, B, C, D o F. Trabaje en colaboración para determinar el tipo de datos correcto (cuantitativo o cualitativo). Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Pista: Los datos que son discretos suelen empezar con las palabras "el número de". el número de pares de zapatos que tiene el tipo de automóvil que conduce la distancia que hay desde su casa hasta la tienda de comestibles más cercana el número de clases que se imparten por año escolar. el tipo de calculadora que utiliza pesos de luchadores de sumo número de respuestas correctas en un cuestionario Calificaciones de IQ (esto puede provocar alguna discusión). Los ítems a, d y g son cuantitativamente discretos; los ítems c, f y h son cuantitativamente continuos; los ítems b y e son cualitativos o categóricos. Ejercicio Determine el tipo de dato correcto (cuantitativo o cualitativo) para el número de automóviles en un estacionamiento. Indique si los datos cuantitativos son continuos o discretos. Una profesora de Estadística recopila información sobre la clasificación de sus estudiantes en primer y segundo años, júnior y sénior. Los datos que recopila se resumen en el gráfico circular . ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Este gráfico circular muestra los estudiantes de cada año, que son datos cualitativos (o categóricos) . Ejercicio El registrador de la universidad estatal mantiene un registro del número de horas de crédito que los estudiantes completan cada semestre. Los datos que recopila se resumen en el histograma. Los límites de las clases son de 10 a menos de 13, de 13 a menos de 16, de 16 a menos de 19, de 19 a menos de 22 y de 22 a menos de 25. ¿Qué tipo de datos muestra este gráfico? Discusión de datos cualitativos A continuación se muestran tablas que comparan el número de estudiantes a tiempo parcial y a tiempo completo en De Anza College y Foothill College inscritos para el trimestre de primavera de 2010. Las tablas muestran recuentos (frecuencias) y porcentajes o proporciones (frecuencias relativas). Las columnas de porcentajes facilitan la comparación de las mismas categorías en los institutos universitarios. Suele ser útil mostrar porcentajes junto con números, pero es especialmente importante cuando se comparan conjuntos de datos que no tienen los mismos totales, como las inscripciones totales de ambos institutos universitarios en este ejemplo. Observe que el porcentaje de estudiantes a tiempo parcial del Foothill College es mucho mayor que el del De Anza College. Otoño 2007 (día del censo) De Anza College Foothill College Número Porcentaje Número Porcentaje Tiempo completo 9.200 40,9% Tiempo completo 4.059 28,6% Tiempo parcial 13.296 59,1% Tiempo parcial 10.124 71,4% Total 22.496 100 % Total 14.183 100 % Las tablas son una buena forma de organizar y mostrar datos. Pero los gráficos pueden ser aun más útiles para entender los datos. No hay reglas estrictas en cuanto a los gráficos que hay que utilizar. Dos gráficos que se utilizan para mostrar datos cualitativos son los gráficos circulares y los de barras. En un gráfico circular las categorías de datos se representan mediante cuñas en un círculo y su tamaño es proporcional al porcentaje de personas de cada categoría. En un gráfico de barras la longitud de la barra para cada categoría es proporcional al número o porcentaje de personas en cada categoría. Las barras pueden ser verticales u horizontales. Un diagrama de Pareto está formado por barras que se ordenan por el tamaño de la categoría (de mayor a menor). Observe la y la y determine qué gráfico (circular o de barras) cree que muestra mejor las comparaciones. Es una buena idea observar una variedad de gráficos para ver cuál es el más útil para mostrar los datos. Según los datos y el contexto, podemos elegir el “mejor” gráfico. Nuestra elección también depende del uso que hagamos de los datos. Porcentajes que suman más (o menos) que el 100 % A veces, los porcentajes suman más del 100 % (o menos del 100 %). En el gráfico, los porcentajes suman más del 100 % porque los estudiantes pueden estar en más de una categoría. Un gráfico de barras es apropiado para comparar el tamaño relativo de las categorías. No se puede utilizar un gráfico circular. Tampoco podía utilizarse si los porcentajes sumaban menos del 100 %. De Anza College, primavera de 2010 Característica/Categoría Porcentaje Estudiantes a tiempo completo 40,9% Estudiantes que pretenden transferirse a una institución educativa de 4 años 48,6% Estudiantes menores de 25 años 61,0% TOTAL 150,5% Omisión de categorías/falta de datos La tabla muestra el origen étnico de los estudiantes pero falta la categoría “otros/desconocidos”. En esta categoría se ubican las personas que no se consideraron incluidas en ninguna de las categorías étnicas o que se negaron a responder. Observe que las frecuencias no suman el número total de estudiantes. En esta situación, cree un gráfico de barras y no un gráfico circular. Origen étnico de los estudiantes del De Anza College, otoño de 2007 (día del censo) Frecuencia Porcentaje Asiáticos 8.794 36,1% Negros 1.412 5,8% Filipinos 1.298 5,3% Hispanos 4.180 17,1% Nativos de Estados Unidos 146 0,6 % Isleños del Pacífico 236 1,0% Blancos 5.978 24,5% TOTAL 22.044 de 24.382 90,4 % del 100 % El siguiente gráfico es igual que el anterior, pero se ha incluido el porcentaje de “otros/desconocidos” (9,6 %). La categoría “otros/desconocidos” es grande en comparación con algunas de las otras categorías (nativos de Estados Unidos, 0,6 %, isleños del Pacífico, 1,0 %). Es importante saber esto cuando pensamos en lo que nos dicen los datos. Este gráfico de barras particular en la puede ser difícil de entender visualmente. El gráfico de la es un diagrama de Pareto. El diagrama de Pareto tiene las barras ordenadas de mayor a menor y es más fácil de leer e interpretar. Gráfico de barras con la categoría otros/desconocidos Diagrama de Pareto con barras ordenadas por tamaño Gráficos circulares: no faltan datos Los siguientes gráficos circulares incluyen la categoría “otros/desconocidos” (ya que los porcentajes deben sumar el 100 %). El gráfico en la (b) está organizado por el tamaño de cada porción, lo que lo convierte en un gráfico visualmente más informativo que el gráfico sin clasificar en la (a). Muestreo Recopilar información sobre toda una población suele ser demasiado costoso o prácticamente imposible. En cambio, utilizamos una muestra de la población. Una muestra debe tener las mismas características que la población que representa. La mayoría de los estadísticos utilizan varios métodos de muestreo aleatorio para intentar alcanzar esta meta. En esta sección se describen algunos de los métodos más comunes. Existen varios métodos de muestreo aleatorio . En cada forma de muestreo aleatorio, cada miembro de una población tiene inicialmente la misma probabilidad de que lo seleccionen para la muestra. Cada método tiene sus pros y sus contras. El método más fácil de describir se llama muestra aleatoria simple . Cualquier grupo de n personas tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen que cualquier otro grupo de n personas si se utiliza la técnica de muestreo aleatorio simple. En otras palabras, cada muestra del mismo tamaño tiene la misma probabilidad de que la seleccionen. Por ejemplo, supongamos que Lisa quiere formar un grupo de estudio de cuatro personas (ella y otras tres) de su clase de precálculo, que tiene 31 miembros sin incluir a Lisa. Para elegir una muestra aleatoria simple de tamaño tres entre los demás miembros de su clase, Lisa podría poner los 31 nombres en un sombrero, agitar el sombrero, cerrar los ojos y elegir tres nombres. Una forma más tecnológica es que Lisa enumere primero los apellidos de los miembros de su clase junto con un número de dos dígitos, como en la : Lista de clases ID Nombre ID Nombre ID Nombre 00 Anselmo 11 King 21 Roquero 01 Bautista 12 Legeny 22 Roth 02 Bayani 13 Lundquist 23 Rowell 03 Cheng 14 Macierz 24 Salangsang 04 Cuarismo 15 Motogawa 25 Slade 05 Cuningham 16 Okimoto 26 Stratcher 06 Fontecha 17 Patel 27 Tallai 07 Hong 18 Price 28 Tran 08 Hoobler 19 Quizon 29 Wai 09 Jiao 20 Reyes 30 Madera 10 Khan Lisa puede utilizar una tabla de números aleatorios (que se encuentra en muchos libros de estadística y manuales de matemáticas), una calculadora o una computadora para generar números aleatorios. Para este ejemplo, supongamos que Lisa elige generar números aleatorios con una calculadora. Los números generados son los siguientes: 0,94360 0,99832 0,14669 0,51470 0,40581 0,73381 0,04399 Lisa lee grupos de dos dígitos hasta que haya elegido tres miembros de la clase (es decir, lee 0,94360 como los grupos 94, 43, 36, 60). Cada número aleatorio solo puede aportar un miembro de la clase. De ser necesario, Lisa podría haber generado más números aleatorios. Los números aleatorios 0,94360 y 0,99832 no contienen números de dos dígitos adecuados. Sin embargo, el tercer número aleatorio, 0,14669, contiene 14 (el cuarto número aleatorio también contiene 14), el quinto número aleatorio contiene 05 y el séptimo número aleatorio contiene 04. El número de dos dígitos 14 corresponde a Macierz, el 05 a Cuningham y el 04 a Cuarismo. Aparte de ella, el grupo de Lisa estará formado por Marcierz, Cuningham y Cuarismo. Para generar números aleatorios: Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt(. Introduzca 0, 30). Pulse ENTER para el primer número aleatorio. Pulse ENTER dos veces más para los otros 2 números aleatorios. Si hay una repetición pulse de nuevo ENTER. Nota: randInt(0, 30, 3) generará 3 números aleatorios. Además del muestreo aleatorio simple, existen otras formas de muestreo que implican un proceso de azar para obtener la muestra. Otros métodos de muestreo aleatorio bien conocidos son la muestra estratificada, la muestra por conglomerados y la muestra sistemática. Para seleccionar una muestra estratificada , hay que dividir la población en grupos llamados estratos y, a continuación, tomar un número proporcional de cada estrato. Por ejemplo, podría estratificar (agrupar) la población de su instituto universitario por departamentos y luego seleccionar una muestra aleatoria simple proporcional de cada estrato (cada departamento) para obtener una muestra aleatoria estratificada. Para seleccionar una muestra aleatoria simple de cada departamento, numere cada miembro del primer departamento, numere cada miembro del segundo departamento y haga lo mismo con los departamentos restantes. Luego, utilice un muestreo aleatorio simple para seleccionar números proporcionales del primer departamento y haga lo mismo con cada uno de los departamentos restantes. Esos números seleccionados del primer departamento y del segundo departamento, y así sucesivamente, representan los miembros que componen la muestra estratificada. Para seleccionar una muestra por conglomerados hay que dividir la población en conglomerados (grupos) y luego seleccionar al azar algunos de los conglomerados. Todos los miembros de estos grupos están en la muestra por conglomerados. Por ejemplo, si toma una muestra aleatoria de cuatro departamentos de la población de su instituto universitario, los cuatro departamentos constituyen la muestra por conglomerados. Divida el profesorado de su instituto universitario por departamento. Los departamentos son los conglomerados. Numere cada departamento y, a continuación, elija cuatro números diferentes mediante un muestreo aleatorio simple. Todos los miembros de los cuatro departamentos con esos números son la muestra de conglomerado. Para seleccionar una muestra sistemática , seleccione al azar un punto de partida y tome cada n. ª (enésima) pieza de datos de una lista de la población. Por ejemplo, supongamos que tiene que hacer una encuesta telefónica. Su directorio telefónico contiene 20.000 listas de residencias. Debe seleccionar 400 nombres para la muestra. Numere la población de 1 a 20.000 y luego utilice una muestra aleatoria simple para seleccionar un número que represente el primer nombre de la muestra. Luego, elija cada quincuagésimo nombre hasta que tenga un total de 400 nombres (puede que tenga que volver al principio de su lista de teléfonos). El muestreo sistemático se elige con frecuencia porque es un método sencillo. Un tipo de muestreo que no es aleatorio es el muestreo de conveniencia. El muestreo de conveniencia implica el uso de resultados que están fácilmente disponibles. Por ejemplo, una tienda de softwares realiza un estudio de mercadeo mediante entrevistas con los clientes potenciales que se encuentran en la tienda mirando softwares disponibles. Los resultados del muestreo de conveniencia pueden ser muy buenos en algunos casos y muy sesgados (favorecer ciertos resultados) en otros. El muestreo de datos debe hacerse con mucho cuidado. Recolectar datos sin cuidado puede causar resultados devastadores. Las encuestas enviadas por correo a los hogares y luego devueltas pueden estar muy sesgadas (pueden favorecer a un determinado grupo). Es mejor que la persona que realiza la encuesta seleccione la muestra de encuestados. El muestreo aleatorio verdadero se realiza con reemplazo . Es decir, una vez que se selecciona un miembro, ese miembro vuelve a la población y, por tanto, lo pueden escoger más de una vez. Sin embargo, por razones prácticas, en la mayoría de las poblaciones el muestreo aleatorio simple se realiza sin reemplazo . Las encuestas suelen hacerse sin reemplazo. Es decir, un miembro de la población solo lo pueden seleccionar una vez. La mayoría de las muestras se toman de poblaciones grandes y la muestra tiende a ser pequeña en comparación con la población. En este caso, el muestreo sin reemplazo es, aproximadamente, igual al muestreo con reemplazo, ya que la probabilidad de seleccionar a la misma persona más de una vez con reemplazo es muy baja. En una población universitaria de 10.000 personas, supongamos que se quiere seleccionar una muestra de 1.000 al azar para una encuesta. Para cualquier muestra particular de 1.000 , si se hace un muestreo con reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente para esta muestra es de 999 entre 10.000 (0,0999); la probabilidad de volver a seleccionar a la misma persona es de 1 entre 10.000 (muy baja). Si se trata de un muestreo sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona para cualquier muestra específica es de 1.000 entre 10.000 (0,1000); la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de 999 entre 9.999 (0,0999); no se sustituye la primera persona antes de seleccionar la siguiente. Compare las fracciones 999/10.000 y 999/9.999. Para lograr más exactitud, lleve las respuestas decimales a cuatro cifras. Con cuatro decimales, estos números son equivalentes (0,0999). El muestreo sin reemplazo en vez del muestreo con reemplazo se convierte en una cuestión matemática solo cuando la población es pequeña. Por ejemplo, si la población es de 25 personas, la muestra es de diez y se realiza un muestreo con reemplazo para cualquier muestra particular , entonces la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar una segunda persona diferente es de nueve entre 25 (se reemplaza la primera persona). Si se hace una muestra sin reemplazo , la probabilidad de seleccionar la primera persona es de diez entre 25, y la probabilidad de seleccionar la segunda persona (que es diferente) es de nueve entre 24 (no se reemplaza la primera persona). Compare las fracciones 9/25 y 9/24. Con cuatro decimales, 9/25 = 0,3600 y 9/24 = 0,3750. Con cuatro decimales, estos números no son equivalentes. Al analizar los datos, es importante tener en cuenta los errores de muestreo y los errores ajenos al muestreo. El propio proceso de muestreo provoca errores de muestreo. Por ejemplo, la muestra puede no ser lo suficientemente grande. Los factores no relacionados con el proceso de muestreo provocan errores ajenos al muestreo . Un dispositivo de recuento defectuoso puede causar un error ajeno al muestreo. En realidad, una muestra nunca será exactamente representativa de la población, por lo que siempre habrá algún error de muestreo. Por regla general, cuanto mayor sea la muestra, menor será el error de muestreo. En estadística, se crea un sesgo de muestreo cuando se recopila una muestra de una población y algunos de sus miembros no tienen la misma probabilidad de que los seleccionen que otros (recuerde que cada miembro de la población debe tener la misma probabilidad de que lo seleccionen). Cuando se produce un sesgo de muestreo, se pueden extraer conclusiones incorrectas sobre la población que se está estudiando. Evaluación crítica Tenemos que evaluar los estudios estadísticos que leemos de forma crítica y analizarlos antes de aceptar sus resultados. Los problemas más comunes que hay que tener en cuenta son: Problemas con las muestras: una muestra debe ser representativa de la población. Una muestra que no es representativa de la población está sesgada. Las muestras sesgadas que no son representativas de la población dan resultados inexactos y no válidos. Muestras autoseleccionadas: las respuestas de las personas que deciden responder, como las encuestas telefónicas, suelen ser poco fiables. Problemas de tamaño de la muestra: las muestras demasiado pequeñas pueden ser poco fiables. Si es posible, las muestras más grandes son mejores. En algunas situaciones, es inevitable contar con muestras pequeñas y, aun así, se pueden usar para sacar conclusiones. Ejemplos: pruebas de choques de automóviles o pruebas médicas para detectar condiciones poco comunes. Influencia indebida: recopilar datos o hacer preguntas de forma que influyan en la respuesta. Falta de respuesta o negativa del sujeto a participar: las respuestas recogidas pueden dejar de ser representativas de la población. A menudo, personas con fuertes opiniones positivas o negativas pueden responder las encuestas, lo que puede afectar los resultados. Causalidad: una relación entre dos variables no significa que una cause la otra. Pueden estar relacionadas (correlacionadas) debido a su relación a través de una variable diferente. Estudios autofinanciados o de interés propio: estudio realizado por una persona u organización para respaldar su afirmación. ¿El estudio es imparcial? Lea atentamente el estudio para evaluar el trabajo. No asuma automáticamente que el estudio es bueno, pero tampoco asuma automáticamente que es deficiente. Valórelo por sus méritos y el trabajo realizado. Uso engañoso de datos: gráficos mal presentados, datos incompletos o falta de contexto. Confusión: cuando los efectos de múltiples factores sobre una respuesta no se pueden separar. Los factores de confusión dificultan o impiden sacar conclusiones válidas sobre el efecto de cada uno de ellos. En clase, determine si las siguientes muestras son representativas o no. Si no lo son, analice las razones. Para hallar el promedio de GPA de todos los estudiantes de una universidad, utilice todos los estudiantes de honor de la universidad como muestra. Para saber cuál es el cereal más popular entre los niños menores de diez años, sitúese en la puerta de un gran supermercado durante tres horas y hable con cada veinte niños menores de diez años que entren en él. Para hallar la renta promedio anual de todos los adultos de Estados Unidos, tome una muestra de congresistas estadounidenses. Cree una muestra por conglomerados considerando cada estado como un estrato (grupo). Mediante un muestreo aleatorio simple, se seleccionan los estados que formarán parte del conglomerado. Entonces, haga una encuesta a todos los congresistas del grupo. Para determinar la proporción de personas que utilizan el transporte público para ir al trabajo, haga una encuesta a 20 personas en la ciudad de Nueva York. Realice la encuesta sentándose en Central Park en un banco y entrevistando a todas las personas que se sienten a su lado. Para determinar el costo promedio de una estancia de dos días en un hospital de Massachusetts, se realiza una encuesta en 100 hospitales de todo el estado mediante un muestreo aleatorio simple. Se realiza un estudio para determinar la matrícula promedio que los estudiantes de educación superior del estado de San José pagan por semestre. En las siguientes muestras se pregunta a cada estudiante cuánto pagó de matrícula en el semestre de otoño. ¿Cuál es el tipo de muestreo en cada caso? Se toma una muestra de 100 estudiantes de educación superior del estado de San José y se organizan los nombres de los estudiantes por clasificación (primero y segundo años, júnior y sénior) y se seleccionan 25 estudiantes de cada uno. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar un estudiante de la lista alfabética de todos los estudiantes de pregrado en el semestre de otoño. A partir de ese estudiante, se elige cada 50 estudiantes hasta incluir 75 en la muestra. Se utiliza un método completamente aleatorio para seleccionar 75 estudiantes. Cada estudiante de educación superior del semestre de otoño tiene la misma probabilidad de que lo seleccionen en cualquier fase del proceso de muestreo. Los de primero, segundo, júnior y sénior años están numerados como uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Se utiliza un generador de números aleatorios para seleccionar dos de esos años. Todos los estudiantes de esos dos años están en la muestra. Se le pide a un asistente administrativo que se sitúe un miércoles frente a la biblioteca y les pregunte a los 100 primeros estudiantes de educación superior que calculen cuánto han pagado de matrícula en el semestre de otoño. Esos 100 estudiantes son la muestra. a. estratificado; b. sistemático; c. aleatoria simple; d. por conglomerados; e. de conveniencia Ejercicio Utilice el generador de números aleatorios para generar diferentes tipos de muestras a partir de los datos. Esta tabla muestra seis conjuntos de puntuaciones de pruebas (cada prueba cuenta con 10 puntos) para una clase de Estadística elemental. N.º 1 N.º 2 N.º 3 N.º 4 N.º 5 N.º 6 5 7 10 9 8 3 10 5 9 8 7 6 9 10 8 6 7 9 9 10 10 9 8 9 7 8 9 5 7 4 9 9 9 10 8 7 7 7 10 9 8 8 8 8 9 10 8 8 9 7 8 7 7 8 8 8 10 9 8 7 Instrucciones: Utilice el generador de números aleatorios para elegir las muestras. Cree una muestra estratificada por columna. Escoja tres puntuaciones de la prueba al azar de cada columna Numere cada fila del uno al diez. En su calculadora, pulse Math y la flecha encima de PRB. En la columna 1, pulse 5:randInt( e introduzca 1,10). Pulse ENTER. Anote el número. Pulse ENTER 2 veces más (incluso las repeticiones). Registre estos números. Anote en la columna 1 las tres puntuaciones del cuestionario que corresponden a estos tres números. Repita la operación para las columnas dos a seis. Estas 18 puntuaciones de las pruebas son una muestra estratificada. Cree una muestra de conglomerados eligiendo dos de las columnas. Utilice los números de la columna: del uno al seis. Pulse MATH y vaya a PRB. Pulse 5:randInt( e introduzca 1,6). Pulse ENTER. Anote el número. Pulse ENTER y registre ese número. Los dos números son para dos de las columnas. Las puntuaciones de las pruebas (20 de ellas) en estas 2 columnas son la muestra por conglomerados. Cree una muestra aleatoria simple de 15 puntuaciones de pruebas Utilice la numeración del uno al 60. Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt (e introduzca 1, 60). Pulsa ENTER 15 veces y anote los números. Anote las puntuaciones de las pruebas que corresponden a estos números. Estas 15 puntuaciones de las pruebas son la muestra sistemática. Cree una muestra sistemática de 12 puntuaciones de pruebas Utilice la numeración del uno al 60. Pulse MATH. Flecha hacia PRB. Pulse 5:randInt (e introduzca 1, 60). Pulse ENTER. Anote el número y la puntuación del primer examen. A partir de ese número, cuente diez puntuaciones de la prueba y anote esa puntuación de la prueba. Siga contando diez puntuaciones de pruebas y registrando su puntuación hasta que tenga una muestra de 12 puntuaciones de pruebas. Puede retomar todo (volver al principio). Determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). Un entrenador de fútbol selecciona seis jugadores de un grupo de niños entre ocho y diez años, siete jugadores de un grupo de niños entre 11 y 12 años y tres jugadores de un grupo de niños entre 13 y 14 años para formar un equipo de fútbol recreativo. Un encuestador entrevista a todo el personal de Recursos Humanos de cinco compañías diferentes de alta tecnología. Un investigador educativo de escuela secundaria entrevista a 50 maestras y a 50 maestros de escuela secundaria. Un investigador médico entrevista a uno de cada tres pacientes de cáncer de una lista de enfermos de cáncer de un hospital local. El consejero de una escuela secundaria utiliza una computadora para generar 50 números al azar y luego toma a los estudiantes cuyos nombres se corresponden con los números. Un estudiante entrevista a los compañeros de su clase de Álgebra para determinar cuántos jeans posee un estudiante, en promedio. a. estratificado; b. por conglomerados; c. estratificado; d. sistemático; e. aleatorio simple; f. de conveniencia Ejercicio Determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). El director de una escuela encuesta a 50 estudiantes de primer año, 50 de segundo, 50 en el año júnior y 50 del año sénior sobre los cambios en la política de actividades extraescolares. Si examinamos dos muestras que representen a la misma población, aunque utilicemos métodos de muestreo aleatorio para las muestras, no serán exactamente iguales. Al igual que hay variación en los datos, hay variación en las muestras. A medida que se acostumbre a la toma de muestras, la variabilidad empezará a parecer natural. Supongamos que el ABC College tiene 10.000 estudiantes a tiempo parcial (la población). Estamos interesados en la cantidad promedio de dinero que un estudiante a tiempo parcial gasta en libros en el trimestre de otoño. Preguntarles a los 10.000 estudiantes es una tarea casi imposible. Supongamos que tomamos dos muestras diferentes. En primer lugar, utilizamos un muestreo de conveniencia y encuestamos a diez estudiantes de una clase de Química Orgánica del primer trimestre. Muchos de estos estudiantes están cursando el primer trimestre de Cálculo además de la clase de Química Orgánica. Gastan la siguiente cantidad de dinero en libros: $128 $87 $173 $116 $130 $204 $147 $189 $93 $153 La segunda muestra se toma a partir de una lista de personas mayores que asisten a clases de Educación Física y se toma una de cada cinco personas mayores de la lista, lo que supone un total de diez personas mayores. Gastan: $50 $40 $36 $15 $50 $100 $40 $53 $22 $22 Es poco probable que algún estudiante esté en ambas muestras. a. ¿Cree que alguna de estas muestras es representativa de (o es característica de) toda la población de 10.000 estudiantes a tiempo parcial? a. No. La primera muestra se compone probablemente de estudiantes orientados a la ciencia. Además del curso de Química, algunos de ellos también están cursando el primer trimestre de Cálculo. Los libros para estas clases suelen ser costosos. Es más que probable que la mayoría de estos estudiantes estén pagando más por sus libros que el promedio de los estudiantes a tiempo parcial. La segunda muestra es un grupo de personas mayores que, muy probablemente, están tomando cursos por salud e interés. La cantidad de dinero que gastan en libros es probablemente mucho menor que la del estudiante promedio a tiempo parcial. Ambas muestras están sesgadas. Además, en ambos casos, no todos los estudiantes tienen la oportunidad de estar en una u otra muestra. b. Dado que estas muestras no son representativas de toda la población, ¿es prudente utilizar los resultados para describir a toda la población? b. No. En estas muestras, cada miembro de la población no tenía la misma probabilidad de que lo seleccionaran. Ahora, supongamos que tomamos una tercera muestra. Seleccionamos diez estudiantes diferentes a tiempo parcial de las disciplinas de Química, Matemáticas, Inglés, Psicología, Sociología, Historia, Enfermería, Educación Física, Arte y Desarrollo Infantil (suponemos que estas son las únicas disciplinas en las que están inscritos los estudiantes a tiempo parcial del ABC College y que hay un número igual de estudiantes a tiempo parcial en cada una de las disciplinas). Cada estudiante se selecciona mediante un muestreo aleatorio simple. Con una calculadora se generan números aleatorios y se selecciona un estudiante de una determinada disciplina si tiene el número correspondiente. Los estudiantes gastan las siguientes cantidades: $180 $50 $150 $85 $260 $75 $180 $200 $200 $150 c. ¿La muestra está sesgada? c. La muestra es sin sesgos, pero se recomendaría una muestra mayor para aumentar la probabilidad de que sea casi representativa de la población. Sin embargo, para una técnica de muestreo sesgada, incluso una muestra grande corre el riesgo de no ser representativa de la población. Los estudiantes suelen preguntar si es “suficiente” tomar una muestra, en vez de encuestar a toda la población. Si la encuesta está bien hecha, la respuesta es sí. Ejercicio Una emisora de radio local tiene una base de 20.000 oyentes. La emisora quiere saber si su audiencia prefiere más música o más programas de debate. Preguntarles a los 20.000 oyentes es una tarea casi imposible. La emisora utiliza un muestreo de conveniencia y encuesta a las primeras 200 personas que encuentra en uno de los conciertos musicales de la emisora. 24 personas dijeron que preferirían más programas de debate, y 176 personas dijeron que preferirían más música. ¿Cree que esta muestra es representativa (o característica) de toda la población de 20.000 oyentes? Variación de los datos La variación está presente en cualquier conjunto de datos. Por ejemplo, las latas de bebida de 16 onzas pueden contener más o menos de 16 onzas de líquido. En un estudio, se midieron ocho latas de 16 onzas y produjeron la siguiente cantidad (en onzas) de bebida: 15,8 16,1 15,2 14,8 15,8 15,9 16,0 15,5 Las medidas de la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas pueden variar porque diferentes personas hacen las mediciones o porque no se puso la cantidad exacta, 16 onzas de líquido, en las latas. Los fabricantes realizan regularmente pruebas para determinar si la cantidad de bebida en una lata de 16 onzas está dentro del rango deseado. Tenga en cuenta que, al tomar los datos, estos pueden variar en cierta medida con respecto a los datos que otra persona está tomando para el mismo fin. Esto es completamente natural. Sin embargo, si dos o más de ustedes toman los mismos datos y obtienen resultados muy diferentes, es hora de que usted y los demás reevalúen sus métodos de toma de datos y su exactitud. Variación en las muestras Ya se ha mencionado anteriormente que dos o más muestras de la misma población , tomadas al azar y que se aproximen a las mismas características de la población serán probablemente diferentes entre sí. Supongamos que Doreen y Jung deciden estudiar la cantidad promedio de tiempo que los estudiantes de su instituto universitario duermen cada noche. Doreen y Jung toman cada uno muestras de 500 estudiantes. Doreen utiliza el muestreo sistemático y Jung el muestreo por conglomerados. La muestra de Doreen será diferente a la de Jung. Aunque Doreen y Jung utilizaran el mismo método de muestreo, con toda probabilidad sus muestras serían diferentes. Sin embargo, ninguno de los dos estaría equivocado. Piense en lo que contribuye a que las muestras de Doreen y Jung sean diferentes. Si Doreen y Jung tomaran muestras más grandes (es decir, el número de valores de los datos se incrementa), los resultados de su muestra (la cantidad promedio de tiempo que duerme un estudiante) podrían estar más cerca del promedio real de la población. Pero aun así, sus muestras serían, con toda probabilidad, diferentes entre sí. Nunca se insistirá lo suficiente en esta variabilidad en las muestras . Tamaño de la muestra El tamaño de la muestra (a menudo llamado número de observaciones) es importante. Los ejemplos que ha visto en este libro hasta ahora han sido pequeños. Muestras de solo unos cientos de observaciones, o incluso más pequeñas, son suficientes para muchos propósitos. En los sondeos, las muestras que van de 1.200 a 1.500 observaciones se consideran suficientemente grandes y buenas si la encuesta es aleatoria y está bien hecha. Aprenderá por qué cuando estudie intervalos de confianza. Tenga en cuenta que muchas muestras grandes están sesgadas. Por ejemplo, las encuestas con llamadas están invariablemente sesgadas porque la gente decide responder o no. Divídanse en grupos de dos, tres o cuatro. El instructor dará a cada grupo un dado de seis caras. Pruebe este experimento dos veces. Tire un dado justo (de seis caras) 20 veces. Anote el número de unos, dos, tres, cuatro, cinco y seis que obtiene en la y la ("frecuencia" es el número de veces que aparece una cara concreta del dado): Primer experimento (20 tiradas) Cara del dado Frecuencia 1 2 3 4 5 6 Segundo experimento (20 tiradas) Cara del dado Frecuencia 1 2 3 4 5 6 ¿Los dos experimentos obtuvieron los mismos resultados? Probablemente no. Si hiciera el experimento por tercera vez, ¿espera que los resultados sean idénticos a los del primer o segundo experimento? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Qué experimento obtuvo los resultados correctos? Ambos. El trabajo del estadístico es ver a través de la variabilidad y sacar las conclusiones adecuadas. Referencias Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/default.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.well-beingindex.com/methodology.asp (consultado el 1.º de mayo de 2013). Gallup-Healthways Well-Being Index. http://www.gallup.com/poll/146822/gallup-healthways-index-questions.aspx (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de http://www.bookofodds.com/Relationships-Society/Articles/A0374-How-George-Gallup-Picked-the-President Dominic Lusinchi, “President’ Landon and the 1936 Literary Digest Poll: Were Automobile and Telephone Owners to Blame?” Social Science History 36, n.º 1: 23-54 (2012), http://ssh.dukejournals.org/content/36/1/23.abstract (consultado el 1.º de mayo de 2013). “The Literary Digest Poll,” Virtual Laboratories in Probability and Statistics http://www.math.uah.edu/stat/data/LiteraryDigest.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Gallup Presidential Election Trial-Heat Trends, 1936-2008”, Gallup Politics http://www.gallup.com/poll/110548/gallup-presidential-election-trialheat-trends-19362004.aspx#4 (consultado el 1.º de mayo de 2013). The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/USCrime.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). LBCC Distance Learning (DL) program data in 2010-2011, http://de.lbcc.edu/reports/2010-11/future/highlights.html#focus (consultado el 1.º de mayo de 2013). Datos de The Mercury News de San José Repaso del capítulo Los datos son elementos individuales de información que provienen de una población o muestra. Los datos se clasifican en cualitativos (categóricos), cuantitativos continuos o cuantitativos distintos. Como no es práctico medir toda la población en un estudio, los investigadores utilizan muestras para representar a la población. Una muestra aleatoria es un grupo representativo de la población elegido mediante un método que da a cada persona de la población la misma oportunidad de que la incluyan en la muestra. Los métodos de muestreo aleatorio incluyen muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados y muestreo sistemático. El muestreo de conveniencia es un método no aleatorio de elección de una muestra que suele producir datos sesgados. Las muestras que contienen personas diferentes generan datos diferentes. Esto es así incluso cuando las muestras están bien elegidas y son representativas de la población. Cuando se seleccionan adecuadamente, las muestras más grandes modelan la población con más precisión que las más pequeñas. Hay muchos problemas potenciales que pueden afectar la fiabilidad de una muestra. Los datos estadísticos se deben analizar críticamente, no simplemente aceptarlos. Practica “Número de veces por semana”, ¿qué tipo de datos son? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad, el número de veces por semana y la duración (cantidad de tiempo) de los residentes que utilizan un parque local en San Antonio, Texas. Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y, a continuación, se entrevistó al residente de una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque. El método de muestreo fue a. aleatorio simple b. sistemático c. estratificado d. por conglomerado b La “duración (cantidad de tiempo)”, ¿qué tipo de dato es? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo Los colores de las casas que rodean el parque, ¿qué tipo de datos son? a. cualitativo (categórico) b. cuantitativo discreto c. continuo cuantitativo a La población es ______________________ La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de los terremotos desde el 2000 hasta el 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Utilice la para responder las siguientes preguntas. ¿Cuál es la proporción de muertes entre el 2007 y el 2012? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo antes del 2001? ¿Cuál es el porcentaje de muertes ocurridas en el 2003 o después del 2010? ¿Cuál es la fracción de muertes ocurridas antes del 2012? ¿Qué tipo de datos es el número de muertes? Los terremotos se cuantifican según la cantidad de energía que producen (ejemplos: 2,1, 5,0, 6,7). ¿Qué tipo de datos son? ¿Qué contribuyó al gran número de muertes en el 2010? ¿En el 2004? Explique. 0,5242 0,03% 6,86% 823.088 823.856 cuantitativo discreto cuantitativo continuo En ambos años, los terremotos submarinos produjeron enormes tsunamis. Para los cuatro ejercicios siguientes, determine el tipo de muestreo utilizado (aleatorio simple, estratificado, sistemático, por conglomerados o de conveniencia). Un grupo de sujetos de prueba se divide en doce grupos; luego se eligen cuatro de los grupos al azar. Un investigador de mercado encuesta a una de cada diez personas que entran en una tienda. sistemático Se encuesta a las primeras 50 personas que entran en un evento deportivo sobre sus preferencias televisivas. Una computadora genera 100 números aleatorios y se eligen 100 personas cuyos nombres se corresponden con los números de la lista. simple aleatorio Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un grupo diferente de 40 pacientes con SIDA desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recopilan los siguientes datos (en meses) Investigador A: 3; 4; 11; 15; 16; 17; 22; 44; 37; 16; 14; 24; 25; 15; 26; 27; 33; 29; 35; 44; 13; 21; 22; 10; 12; 8; 40; 32; 26; 27; 31; 34; 29; 17; 8; 24; 18; 47; 33; 34 Investigador B: 3; 14; 11; 5; 16; 17; 28; 41; 31; 18; 14; 14; 26; 25; 21; 22; 31; 2; 35; 44; 23; 21; 21; 16; 12; 18; 41; 22; 16; 25; 33; 34; 29; 13; 18; 24; 23; 42; 33; 29 Complete las tablas con los datos proporcionados: Investigador A Duración de la supervivencia (en meses) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0,5–6,5 6,5–12,5 12,5–18,5 18.5–24.5 24,5–30,5 30,5–36,5 36.5–42.5 42.5–48.5 Investigador B Duración de la supervivencia (en meses) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0,5–6,5 6,5–12,5 12,5–18,5 18.5–24.5 24,5–30,5 30,5–36,5 36,5-45,5 Determine a qué se refiere el término clave datos en el ejemplo anterior para el investigador A. valores para X , como 3, 4, 11, etc. Enumere dos razones por las que los datos pueden discrepar. ¿Puede decir si un investigador está en lo correcto y el otro no? ¿Por qué? No, no tenemos suficiente información para hacer tal afirmación. ¿Espera que los datos sean idénticos? ¿Por qué sí o por qué no? Proponga al menos dos métodos que los investigadores podrían utilizar para recopilar datos aleatorios. Tome una muestra aleatoria simple de cada grupo. Una forma es asignar un número a cada paciente y utilizar un generador de números aleatorios para seleccionarlos al azar. Supongamos que el primer investigador realiza su encuesta eligiendo al azar un estado de la nación y luego escogiendo al azar 40 pacientes de ese estado. ¿Qué método de muestreo habría utilizado ese investigador? Supongamos que el segundo investigador realiza su encuesta eligiendo a 40 pacientes que conoce. ¿Qué método de muestreo habría utilizado ese investigador? ¿Qué preocupaciones tendría sobre este conjunto de datos, según el método de recopilación de datos? Esto sería un muestreo de conveniencia y no es aleatorio. Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Dos investigadores están recopilando datos sobre las horas de videojuegos que juegan los niños en edad escolar y los adultos jóvenes. Cada uno de ellos toma una muestra aleatoria de diferentes grupos de 150 estudiantes de la misma escuela. Recopilan los siguientes datos. Investigador A Horas jugadas por semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0–2 26 0,17 0,17 2–4 30 0,20 0,37 4–6 49 0,33 0,70 6–8 25 0,17 0,87 8–10 12 0,08 0,95 10–12 8 0,05 1 Investigador B Horas jugadas por semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0–2 48 0,32 0,32 2–4 51 0,34 0,66 4–6 24 0,16 0,82 6–8 12 0,08 0,90 8–10 11 0,07 0,97 10–12 4 0,03 1 Explique por qué los datos pueden ser diferentes. ¿El tamaño de la muestra sería lo suficientemente grande si los estudiantes de la escuela fueran la población? Sí, el tamaño de la muestra de 150 sería lo suficientemente grande como para reflejar una población de una escuela. ¿El tamaño de la muestra sería lo suficientemente grande si los niños en edad escolar y los adultos jóvenes de Estados Unidos fueran la población? El investigador A concluye que la mayoría de los estudiantes juegan a los videojuegos entre cuatro y seis horas a la semana. El investigador B concluye que la mayoría de los estudiantes juegan a los videojuegos entre dos y cuatro horas a la semana. ¿Quién tiene razón? Aunque los datos específicos apoyan las conclusiones de cada investigador, los diferentes resultados sugieren que es necesario recopilar más datos antes de que los investigadores puedan llegar a una conclusión. Como forma de recompensar a los estudiantes por participar en la encuesta, los investigadores dieron a cada uno de ellos una tarjeta regalo para una tienda de videojuegos. ¿Esto afectaría los datos si los estudiantes conocieran el premio antes del estudio? Use los siguientes datos para responder los próximos cinco ejercicios: Se han realizado un par de estudios para medir la eficacia de un nuevo software diseñado para ayudar a los pacientes que sufrieron un ictus a recuperar su capacidad de resolución de problemas. Se pidió a los pacientes que utilizaran el software dos veces al día, una por la mañana y otra por la noche. Los estudios observaron a 200 pacientes con ictus que se recuperaban durante un periodo de varias semanas. El primer estudio recopiló los datos en la . El segundo estudio recopiló los datos en la . Grupo Ha mostrado una mejora No hay mejora Deterioro Programa usado 142 43 15 No utilizó programa 72 110 18 Grupo Ha mostrado una mejora No hay mejora Deterioro Programa usado 105 74 19 No utilizó programa 89 99 12 Teniendo en cuenta lo que sabe, ¿qué estudio es el correcto? No se da suficiente información para juzgar si uno de los dos es correcto o incorrecto. El primer estudio lo realizó la compañía que diseñó el software. El segundo estudio lo realizó la Asociación Médica Americana. ¿Qué estudio es más fiable? Los dos grupos que realizaron el estudio concluyeron que el software funciona. ¿Es esto correcto? El software parece funcionar, ya que el segundo estudio muestra que hay más pacientes que mejoran cuando lo utilizan que cuando no lo hacen. Aunque la diferencia no es tan grande como la del primer estudio, los resultados del segundo son probablemente más fiables y siguen mostrando una mejora. La compañía considera los dos estudios como prueba de que su software causa una mejora mental en los pacientes con ictus. ¿Esta afirmación es correcta? Los pacientes que utilizaron el software también formaron parte de un programa de ejercicios, mientras que los que no lo utilizaron no lo hicieron. ¿Cambia esto la validez de las conclusiones del ? Sí, porque no podemos saber si la mejora se debe al software o al ejercicio; los datos están confundidos y no se puede sacar una conclusión fiable. Deberían realizarse nuevos estudios. ¿Un tamaño de muestra de 1000 es una medida fiable para una población de 5000? ¿Es una muestra de 500 voluntarios una medida fiable para una población de 2500? No, aunque la muestra sea lo suficientemente grande, el hecho de que la muestra esté formada por voluntarios la convierte en una muestra autoseleccionada, que no es confiable. Una pregunta de una encuesta dice: "¿Prefiere el delicioso sabor de la marca X o el de la marca Y?" ¿Es una pregunta correcta? ¿Una muestra de dos personas es representativa de una población de cinco? No, aunque la muestra sea una gran parte de la población, dos respuestas no son suficientes para justificar ninguna conclusión. Como la población es tan pequeña, sería mejor incluir a todos los habitantes para obtener los datos más precisos. ¿Es posible que dos experimentos bien realizados con tamaños de muestra similares obtengan datos diferentes? TAREA PARA LA CASA En los siguientes ejercicios identifique el tipo de datos que se utilizaría para describir una respuesta (cuantitativa discreta, cuantitativa continua o cualitativa) y dé un ejemplo de los datos. número de entradas vendidas para un concierto cuantitativa discreta, 150 porcentaje de grasa corporal equipo de béisbol favorito cualitativo, Oakland A’s tiempo en la fila para comprar alimentos número de estudiantes inscritos en el Evergreen Valley College cuantitativo discreto, 11.234 estudiantes programa de televisión más visto marca de pasta de dientes cualitativo, Crest distancia a la sala de cine más cercana edad de los ejecutivos de las compañías de la lista Fortune 500 cuantitativo continuo, 47,3 años número de paquetes de software de hojas de cálculo de la competencia Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada 8.ª casa del vecindario que rodea el parque. “Número de veces por semana”, ¿qué tipo de datos son? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo continuo b La “duración (cantidad de tiempo)”, ¿qué tipo de dato es? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo continuo Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. Supongamos que una compañía aérea realiza una encuesta. Durante el fin de semana de Acción de Gracias realiza una encuesta en seis vuelos de Boston a Salt Lake City para determinar el número de bebés que hay en los vuelos. Esto determina la cantidad de equipos de seguridad necesarios según el resultado de ese estudio. Use oraciones completas y enumere tres cosas que no funcionan en la forma en que se realizó la encuesta. Use oraciones completas y enumere tres formas en las que mejoraría la encuesta si se repitiera. La encuesta se realizó en seis vuelos similares. La encuesta no sería una representación real de toda la población de viajeros aéreos. Realizar la encuesta durante un fin de semana festivo no producirá resultados representativos. Realizar la encuesta en diferentes épocas del año. Llevar a cabo la encuesta en vuelos de ida y vuelta a varios lugares. Realizar la encuesta en diferentes días de la semana. Suponga que quiere determinar el número medio de estudiantes por clase de Estadística en su estado. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Suponga que quiere determinar el número medio de latas de gaseosas que beben cada mes los estudiantes de veinte años de su escuela. Describa un posible método de muestreo en tres o cinco oraciones completas. Haga una descripción detallada. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: podría utilizar un método de muestreo sistemático. Detenga a la décima persona al salir de uno de los edificios de la escuela a las 9:50 de la mañana. Luego, detenga a la décima persona cuando salga de otro edificio de la escuela a la 1:50 de la tarde. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta telefónica. Enumere algunas dificultades prácticas para obtener resultados precisos de una encuesta por correo. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: Muchas personas no responden a las encuestas por correo. Si lo hacen, no se puede estar seguro de quién responde. Además, las listas de correo pueden estar incompletas. Con sus compañeros de clase haga una lluvia de ideas sobre cómo podría superar estos problemas si tuviera que realizar una encuesta telefónica o por correo. La instructora toma su muestra recopilando datos de cinco estudiantes seleccionados al azar de cada clase de Matemáticas del colegio comunitario Lake Tahoe. El tipo de muestreo que utilizó es muestreo por conglomerados muestreo estratificado muestreo aleatorio simple muestreo de conveniencia b Se realizó un estudio para determinar la edad de los residentes que utilizan un parque local en San José y el número de veces por semana que van y la duración (cantidad de tiempo). Se seleccionó al azar la primera casa del vecindario que rodea el parque y luego se entrevistó a una de cada ocho casas del vecindario que rodea el parque. El método de muestreo fue: simple aleatorio sistemático estratificado conglomerado Nombre el método de muestreo utilizado en cada una de las siguientes situaciones: Una mujer en el aeropuerto está repartiendo cuestionarios a los viajeros pidiéndoles que evalúen el servicio del aeropuerto. No les pregunta a los viajeros que se apresuran a pasar por el aeropuerto con las manos llenas de equipaje, sino a todos los que están sentados cerca de las puertas de embarque y no toman una siesta mientras esperan. Una maestra quiere saber si sus estudiantes están haciendo sus tareas para la casa, así que selecciona al azar las filas dos y cinco y luego llama a todos los estudiantes de la fila dos y a todos los de la fila cinco para que presenten a la clase las soluciones de los problemas de las tareas para la casa. El gerente de mercadeo de una cadena de tiendas de electrónica quiere información sobre la edad de sus clientes. Durante las dos semanas siguientes, en cada establecimiento, se les entregan cuestionarios a 100 clientes seleccionados al azar para que los rellenen; se les pide información sobre la edad, así como sobre otras variables de interés. La bibliotecaria de una biblioteca pública quiere determinar qué proporción de sus usuarios son niños. La bibliotecaria tiene una hoja de registro en la que marca si los libros se prestan a adultos o a niños. Registra estos datos para uno de cada cuatro clientes que pide libros prestados. Un partido político quiere conocer la reacción de los votantes ante un debate entre los candidatos. El día después del debate, el personal de sondeos del partido llama a 1.200 números de teléfono seleccionados al azar. Si un votante registrado contesta el teléfono o está disponible para tomar la llamada, se le pregunta por quién piensa votar y si el debate ha cambiado su opinión sobre los candidatos. de conveniencia conglomerado estratificado sistemático simple aleatorio Se realizó una “encuesta aleatoria” a 3.274 personas de la “generación del microprocesador” (personas nacidas a partir de 1971, año en que se inventó el microprocesador). Se informó que el 48 % de los encuestados declararon que, si tuvieran 2.000 dólares para gastar, los utilizarían para equipos de computación. Además, el 66 % de los encuestados se consideran usuarios relativamente expertos en usar una computadora. ¿Considera que el tamaño de la muestra es suficiente para un estudio de este tipo? ¿Por qué sí o por qué no? Basándose en su “intuición”, ¿cree que los porcentajes reflejan con exactitud la población estadounidense de las personas que nacieron desde 1971? Si no es así, ¿cree que los porcentajes de la población son realmente mayores o menores que las estadísticas de la muestra? ¿Por qué? Información adicional: la encuesta, realizada por Intel Corporation, la contestaron personas que visitaron el Centro de Convenciones de Los Ángeles para ver la presentación itinerante del Smithsonian Institute llamada “America’s Smithsonian”. Con esta información adicional, ¿cree que todos los grupos demográficos y étnicos estuvieron representados por igual en el evento? ¿Por qué sí o por qué no? Con la información adicional, comente con qué precisión cree que las estadísticas de la muestra reflejan los parámetros de la población. El Índice de Bienestar es una encuesta que sigue periódicamente las tendencias de los residentes en EE. UU. La encuesta abarca seis áreas de salud y bienestar: evaluación de la vida, salud emocional, salud física, comportamiento saludable, ambiente laboral y acceso básico. A continuación se enumeran algunas de las preguntas utilizadas para medir el Índice. Identifique el tipo de datos obtenidos de cada pregunta utilizada en esta encuesta: cualitativos, cuantitativos discretos o cuantitativos continuos. ¿Tiene algún problema de salud que le impida hacer alguna de las cosas que la gente de su edad puede hacer normalmente? Durante los 30 días pasados, ¿cuántos días no pudo hacer sus actividades habituales debido a condiciones de salud deficientes? Durante los siete días pasados, ¿cuántos días hizo ejercicio por 30 minutos o más? ¿Tiene seguro médico? cualitativo cuantitativo discreto cuantitativo discreto cualitativo Antes de las elecciones presidenciales de 1936, una revista titulada Literary Digest publicó los resultados de un sondeo de opinión que predecía que el candidato republicano Alf Landon ganaría por un amplio margen. La revista envió tarjetas postales a unos 10.000.000 de posibles votantes. Estos posibles votantes se seleccionaron de la lista de suscriptores de la revista y de listas de registro de automóviles, telefónicas y de socios de clubes. Aproximadamente 2.300.000 personas enviaron sus respuestas. Piense en la situación de Estados Unidos en 1936. Explique por qué una muestra elegida a partir de listas de suscripción a revistas, de registro de automóviles, de directorios telefónicos y de socios de clubes no era representativa de la población de Estados Unidos en aquella época. ¿Qué efecto tiene la baja tasa de respuesta en la fiabilidad de la muestra? ¿Estos problemas son ejemplos de error de muestreo o de error ajeno al muestreo? Ese mismo año, George Gallup realizó su propio sondeo entre 30.000 posibles votantes. Estos investigadores utilizaron un método que denominaron “muestreo por cuotas” para obtener respuestas a la encuesta de subconjuntos específicos de la población. ¿El muestreo por cuotas es ejemplo de cuál método de muestreo de los que se describen en este módulo? Las estadísticas demográficas y relacionadas con la delincuencia de 47 estados de EE. UU. en 1960 se recopilaron de organismos gubernamentales, incluido el Informe Uniforme sobre Delincuencia del FBI. Un análisis de estos datos halló una fuerte conexión entre educación y delincuencia e indicó que los niveles más altos de educación en una comunidad se corresponden con índices de delincuencia más altos. ¿Cuál de los posibles problemas con las muestras que se comentan en la 1.2 Datos, muestreo y variación de datos y muestreo podría explicar esta conexión? Causalidad: El hecho de que dos variables estén relacionadas no garantiza que una de ellas influya en la otra. No podemos asumir que la tasa de criminalidad influye en el nivel de educación o que el nivel de educación influye en la tasa de criminalidad. Confusión: Hay muchos factores que definen una comunidad, además del nivel educativo y el índice de criminalidad. Las comunidades con altos índices de delincuencia y altos niveles de educación pueden tener otras variables ocultas que las distinguen de las comunidades con índices de delincuencia y niveles de educación más bajos. Como no podemos aislar estas variables de interés, no podemos sacar conclusiones válidas sobre la conexión entre educación y delincuencia. Entre las posibles variables ocultas se encuentran gastos policiales, niveles de desempleo, región, edad promedio y tamaño. YouPolls es un sitio web que permite a cualquiera crear y responder a sondeos. Una pregunta publicada el 15 de abril plantea: “¿Se siente complacido pagando sus impuestos cuando a miembros de la administración Obama se les permite ignorar sus obligaciones fiscales?” (lastbaldeagle. 2013. On Tax Day, House to Call for Firing Federal Workers Who Owe Back Taxes. Sondeo de opinión publicada en línea en: http://www.youpolls.com/details.aspx?id=12328 (consultada el 1.º de mayo de 2013) . Hasta el 25 de abril, 11 personas respondieron esta pregunta. Todos los participantes respondieron: “¡NO!”. ¿Cuál de los posibles problemas analizados con las muestras en este módulo podría explicar esta conexión? Un artículo académico sobre tasas de respuesta comienza con la siguiente cita: "El descenso de las tasas de contacto y cooperación en las encuestas telefónicas nacionales de marcación aleatoria (random digit dial, RDD) plantea serias dudas sobre la validez de las estimaciones extraídas de dichas investigaciones" (Scott Keeter et al., "Gauging the Impact of Growing Nonresponse on Estimates from a National RDD Telephone Survey", Public Opinion Quarterly 70 no. 5 (2006), http://poq.oxfordjournals.org/content/70/5/759.full (consultado el 1 de mayo de 2013) El Pew Research Center for People and the Press admite: “El porcentaje de personas que entrevistamos —de todas las que intentamos entrevistar— ha ido disminuyendo durante la década pasada o más” (Frequently Asked Questions, Pew Research Center for the People & the Press, http://www.people-press.org/methodology/frequently-asked-questions/#dont-you-have-trouble-getting-people-to-answer-your-polls (consultado el 1.º de mayo de 2013) . ¿Cuáles son algunos de los motivos de la disminución del índice de respuesta durante la década pasada? Explique por qué los investigadores están preocupados por el efecto de la disminución del índice de respuesta en los sondeos de opinión pública. Posibles motivos: aumento del uso del identificador de llamadas, disminución del uso de teléfonos fijos, aumento del uso de números privados, buzón de voz, administradores de privacidad, carácter agitado de las agendas personales, disminución de la disposición a ser entrevistado. Cuando un gran número de personas se niega a participar, la muestra puede no tener las mismas características de la población. Tal vez la mayoría de las personas que están dispuestas a participar lo hacen porque se sienten muy identificadas con el tema de la encuesta. Resúmalo todo Setecientos setenta y un estudiantes de educación a distancia del Long Beach City College respondieron a las encuestas en el año académico 2010-11. Los aspectos más destacados del informe de síntesis figuran en la . Resultados de la encuesta sobre el aprendizaje a distancia de Long Beach City College (LBCC) Tener computadora en casa 96% Imposibilidad de acudir al campus para asistir a las clases 65% Edad de 41 años o más 24 % Me gustaría que LBCC ofreciera más cursos de aprendizaje a distancia (distance learning, DL) 95 % Tomó clases de DL debido a una discapacidad 17 % Vive a un mínimo de 16 millas del campus 13 % Tomó cursos de DL para cumplir con los requisitos de transferencia 71 % ¿Qué porcentaje de los estudiantes encuestados no tiene computadora en casa? Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes de la encuesta viven a más de 16 millas del campus? Si la misma encuesta se realizara en el Great Basin College de Elko (Nevada), ¿cree que los porcentajes serían los mismos? ¿Por qué? Varios vendedores de libros de texto en línea anuncian que tienen precios más bajos que las librerías del campus. Sin embargo, un factor importante es si los minoristas de internet tienen realmente en stock los libros de texto que los estudiantes necesitan. Los estudiantes necesitan obtener los libros de texto con prontitud al comienzo del curso universitario. Si el libro no está disponible, el estudiante no podrá obtener el libro de texto en absoluto, o podría recibir una entrega retrasada si el libro tiene un pedido pendiente. Un reportero de un periódico universitario investiga la disponibilidad de los libros de texto en las tiendas online. Decide investigar un libro de texto para cada una de las siete asignaturas siguientes: Cálculo, Biología, Química, Física, Estadística, Geología e Ingeniería general. Consulta los datos de ventas de la industria de libros de texto y selecciona el libro de texto más popular a nivel nacional en cada una de estas asignaturas. Visita los sitios web de una muestra aleatoria de los principales vendedores de libros de texto en línea y busca cada uno de estos siete libros de texto para ver si están disponibles en stock para una entrega rápida a través de estos minoristas. Con base en su investigación, escribe un artículo en el que saca conclusiones sobre la disponibilidad general de todos los libros de texto universitarios a través de los minoristas de libros de texto en línea Escriba un análisis de su estudio que aborde las siguientes cuestiones: ¿Su muestra representativa de la población es de todos los libros de texto universitarios? Explique por qué sí o por qué no. Describa algunas posibles fuentes de sesgo en este estudio y cómo estas podrían afectar los resultados. Dé algunas sugerencias sobre lo que se podría hacer para mejorar el estudio. Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: La muestra no es representativa de la población de todos los libros de texto universitarios. Dos razones por las que no es representativo son que el investigador solo tomó una muestra de siete sujetos y que solo investigó un libro de texto en cada asignatura. Hay varias fuentes posibles de sesgo en el estudio. Las siete asignaturas que investigó son todas de Matemáticas y Ciencias; hay muchas asignaturas de Humanidades, Ciencias Sociales y otras áreas temáticas, (por ejemplo: Literatura, Arte, Historia, Psicología, Sociología o Negocios) que no investigó en absoluto. Puede ser que las diferentes áreas temáticas presenten diferentes patrones de disponibilidad de libros de texto, pero su muestra no detectaría tales resultados. También se fijó solo en el libro de texto más popular en cada una de las asignaturas que investigó. La disponibilidad de los libros de texto más populares puede discrepar de la disponibilidad de otros libros de texto de una de estas dos maneras: los libros de texto más populares pueden estar más disponibles en línea, porque se imprimen más copias nuevas y más estudiantes de todo el país están vendiendo sus copias usadas O los libros de texto más populares pueden ser más difíciles de encontrar en línea, porque la mayor demanda de los estudiantes agota la oferta más rápidamente. En realidad, muchos estudiantes universitarios no utilizan el libro de texto más popular de su asignatura y este estudio no ofrece información útil sobre la situación de los libros de texto menos populares. Para mejorar este estudio se podría: ampliar la selección de temas que investiga para que sea más representativa de todas las asignaturas que estudian los universitarios, y ampliar la selección de libros de texto que se investiga dentro de cada asignatura para incluir una representación mixta de los libros de texto más populares y menos populares. Muestreo por conglomerados un método para seleccionar una muestra aleatoria y dividir la población en grupos (conglomerados); usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un conjunto de conglomerados. Todas las personas de los grupos elegidos se incluyen en la muestra. Variable aleatoria continua una variable aleatoria (random variable, RV) cuyos resultados se miden; la altura de los árboles en el bosque es una RV continua. Muestreo de conveniencia un método no aleatorio de selección de una muestra; este método selecciona personas que son fácilmente accesibles y puede generar datos sesgados. Variable aleatoria discreta una variable aleatoria (RV) cuyos resultados se cuentan Error ajeno al muestreo un problema que afecta la fiabilidad de los datos del muestreo, aparte de la variación natural; incluye una variedad de errores humanos, como un diseño deficiente del estudio, métodos de muestreo sesgados, información inexacta proporcionada por los participantes en el estudio, errores de introducción de datos y un análisis deficiente. Datos cualitativos Consulte datos . Datos cuantitativos Consulte datos . Muestreo aleatorio un método de selección de una muestra que da a cada miembro de la población la misma oportunidad de que lo seleccionen. Sesgo de muestreo no todos los miembros de la población tienen la misma probabilidad de que los seleccionen. Error de muestreo la variación natural que resulta de la selección de una muestra para representar una población mayor; esta variación disminuye a medida que aumenta el tamaño de la muestra, por lo que la selección de muestras más grandes reduce el error de muestreo. Muestreo con reemplazo una vez que se selecciona un miembro de la población para incluirlo en una muestra, ese miembro se devuelve a la población para la selección de la siguiente persona. Muestreo sin reemplazo a un miembro de la población lo pueden elegir para incluirlo en una muestra solo una vez. Si se elige, el miembro no se devuelve a la población antes de la siguiente selección. Muestreo aleatorio simple un método sencillo para seleccionar una muestra aleatoria; dar a cada miembro de la población un número. Usa un generador de números aleatorios para seleccionar un conjunto de identificadores. Estos identificadores seleccionados al azar precisan los miembros de su muestra. Muestreo estratificado método de selección de una muestra aleatoria utilizado para garantizar que los subgrupos de la población estén representados adecuadamente; divide la población en grupos (estratos). Usa el muestreo aleatorio simple para identificar un número proporcional de personas de cada estrato. Muestreo sistemático un método para seleccionar una muestra aleatoria; enumera los miembros de la población. Usa el muestreo aleatorio simple para seleccionar un punto de partida en la población. Supongamos que k = (número de personas de la población)/(número de personas necesarios en la muestra). Elija cada “k-ésima” persona de la lista empezando por la que se seleccionó al azar. Si es necesario, vuelva al principio de la lista de población para completar su muestra.

Matemáticas


Frecuencia, tablas de frecuencia y niveles de medición Una vez que tenga un conjunto de datos, tendrá que organizarlos para poder analizar la frecuencia con la que aparece cada dato en el conjunto. Sin embargo, al calcular la frecuencia, es posible que tenga que redondear sus respuestas para que sean lo más precisas posible. Respuestas y redondeo Una forma sencilla de redondear las respuestas es llevar la respuesta final a un decimal más de los que aparecen en los datos originales. Redondee solo la respuesta final. Si es posible, no redondee los resultados intermedios. Si es necesario redondear los resultados intermedios, llévelos al menos al doble de decimales que la respuesta final. Por ejemplo, el promedio de las tres puntuaciones de un cuestionario que son cuatro, seis y nueve es 6,3, redondeada a la décima más cercana, porque los datos son números enteros. La mayoría de las respuestas se redondearán de esta manera. No es necesario reducir la mayoría de las fracciones en este curso. Especialmente en Temas de probabilidad , el capítulo sobre la probabilidad, es más útil dejar las respuestas como fracciones no reducidas. Niveles de medición La forma de medir un conjunto de datos se denomina nivel de medición . Los procedimientos estadísticos correctos dependen de que el investigador esté familiarizado con los niveles de medición. No todas las operaciones estadísticas se pueden usar con todos los conjuntos de datos. Los datos se pueden clasificar en cuatro niveles de medición. Son (de menor a mayor nivel): Nivel de escala nominal Nivel de escala ordinal Nivel de escala de intervalos Nivel de escala de cociente Los datos que se miden mediante una escala nominal son cualitativos (categóricos) . Categorías, colores, nombres, etiquetas y alimentos favoritos junto con las respuestas de sí o no son ejemplos de datos de nivel nominal. Los datos de escala nominal no están ordenados. Por ejemplo, intentar clasificar a las personas según su comida favorita no tiene ningún sentido. Poner la pizza en primer lugar y el sushi en segundo no tiene sentido. Las compañías de teléfonos inteligentes son otro ejemplo de datos de escala nominal. Los datos son los nombres de las compañías que fabrican teléfonos inteligentes, pero no hay un orden consensuado de estas marcas, aunque la gente pueda tener preferencias personales. Los datos de escala nominal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con una escala ordinal son similares a los datos de la escala nominal, pero hay una gran diferencia. Los datos de la escala ordinal se pueden ordenar. Un ejemplo de datos de escala ordinal es una lista de los cinco mejores parques nacionales de Estados Unidos. Los cinco principales parques nacionales de Estados Unidos se pueden clasificar del uno al cinco, pero no podemos medir las diferencias entre los datos. Otro ejemplo de uso de la escala ordinal es una encuesta sobre un crucero en la que las respuestas son “excelente”, “bueno”, “satisfactorio” e “insatisfactorio”. Estas respuestas están ordenadas de la respuesta más deseada a la menos deseada. Pero las diferencias entre dos datos no se pueden medir. Al igual que los datos de la escala nominal, los datos de la escala ordinal no se pueden usar en cálculos. Los datos que se miden con la escala de intervalos son similares a los datos de nivel ordinal porque tienen un orden definido, pero hay una diferencia entre los datos. Las diferencias entre los datos de la escala de intervalos se pueden medir aunque los datos no tengan un punto de partida. Las escalas de temperatura como Celsius (C) y Fahrenheit (F) se miden utilizando la escala de intervalos. En ambas medidas de temperatura, 40° es igual a 100° menos 60°. Las diferencias tienen sentido. Pero los 0 grados no porque, en ambas escalas, el 0 no es la temperatura mínima absoluta. Existen temperaturas como –10 °F y –15 °C que son más frías que el 0. Los datos a nivel de intervalo pueden utilizarse en cálculos, pero no se puede hacer un tipo de comparación. 80 °C no es cuatro veces más caliente que 20 °C (ni 80 °F es cuatro veces más caliente que 20 °F). El cociente de 80 a 20 (o de cuatro a uno) no tiene sentido. Los datos que se miden con la escala de cociente se encargan del problema de las proporciones y ofrecen más información. Los datos de la escala de cociente son como los datos de la escala de intervalos, pero tienen un punto 0 y se pueden calcular cocientes. Por ejemplo, las calificaciones de cuatro exámenes finales de Estadística de opción múltiple son 80, 68, 20 y 92 (sobre 100 puntos posibles). Los exámenes son calificados por máquina. Los datos se pueden ordenar de menor a mayor: 20, 68, 80, 92. Las diferencias entre los datos tienen un significado. La calificación de 92 es superior a la de 68 por 24 puntos. Se pueden calcular cocientes. La calificación más baja es 0. Así que 80 es cuatro veces 20. La calificación de 80 es cuatro veces mejor que la de 20. Frecuencia Se les preguntó a veinte estudiantes cuántas horas trabajaban al día. Sus respuestas, en horas, son las siguientes: 5 6 3 3 2 4 7 5 2 3 5 6 5 4 4 3 5 2 5 3 . La enumera los diferentes valores de los datos en orden ascendente y sus frecuencias. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA 2 3 3 5 4 3 5 6 6 2 7 1 Una frecuencia es el número de veces que se produce un valor de los datos. Según la , hay tres estudiantes que trabajan dos horas, cinco estudiantes que trabajan tres horas y así sucesivamente. La suma de los valores de la columna de frecuencia, 20, representa el número total de estudiantes incluidos en la muestra. Una frecuencia relativa es el cociente (fracción o proporción) entre el número de veces que se produce un valor de los datos en el conjunto de todos los resultados y el número total de resultados. Para hallar las frecuencias relativas, divida cada frecuencia entre el número total de estudiantes de la muestra, en este caso, 20. Las frecuencias relativas se pueden escribir como fracciones, porcentajes o decimales. Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA 2 3 3 20 o 0,15 3 5 5 20 o 0,25 4 3 3 20 o 0,15 5 6 6 20 o 0,30 6 2 2 20 o 0,10 7 1 1 20 o 0,05 La suma de los valores de la columna de frecuencia relativa de la es 20 20 , o 1. La frecuencia relativa acumulada es la acumulación de las frecuencias relativas anteriores. Para hallar las frecuencias relativas acumuladas se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual, como se muestra en la . Tabla de frecuencias de las horas de trabajo de los estudiantes con frecuencias relativas y acumuladas VALOR DE LOS DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 2 3 3 20 o 0,15 0,15 3 5 5 20 o 0,25 0,15 + 0,25 = 0,40 4 3 3 20 o 0,15 0,40 + 0,15 = 0,55 5 6 6 20 o 0,30 0,55 + 0,30 = 0,85 6 2 2 20 o 0,10 0,85 + 0,10 = 0,95 7 1 1 20 o 0,05 0,95 + 0,05 = 1,00 La última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada es uno, lo que indica que se ha acumulado el cien por ciento de los datos. NOTA Debido al redondeo, es posible que la columna de frecuencia relativa no sume siempre uno, y que la última entrada de la columna de frecuencia relativa acumulada no sea uno. Sin embargo, cada uno de ellos debería estar cerca de uno. La representa las alturas, en pulgadas, de una muestra de 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales. Tabla de frecuencias de la altura de los jugadores de fútbol ALTURAS (PULGADAS) FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 59.95–61.95 5 5 100 = 0,05 0,05 61.95–63.95 3 3 100 = 0,03 0,05 + 0,03 = 0,08 63.95–65.95 15 15 100 = 0,15 0,08 + 0,15 = 0,23 65.95–67.95 40 40 100 = 0,40 0,23 + 0,40 = 0,63 67.95–69.95 17 17 100 = 0,17 0,63 + 0,17 = 0,80 69.95–71.95 12 12 100 = 0,12 0,80 + 0,12 = 0,92 71.95–73.95 7 7 100 = 0,07 0,92 + 0,07 = 0,99 73.95–75.95 1 1 100 = 0,01 0,99 + 0,01 = 1,00 Total = 100 Total = 1,00 Los datos de esta tabla se han agrupado en los siguientes intervalos: de 59,95 a 61,95 pulgadas de 61,95 a 63,95 pulgadas de 63,95 a 65,95 pulgadas de 65,95 a 67,95 pulgadas de 67,95 a 69,95 pulgadas de 69,95 a 71,95 pulgadas de 71,95 a 73,95 pulgadas de 73,95 a 75,95 pulgadas Nota Este ejemplo se vuelve a utilizar en Estadística descriptiva , donde se explicará el método utilizado para calcular los intervalos. En esta muestra hay cinco jugadores cuyas alturas están dentro del intervalo de 59,95 a 61,95 pulgadas, tres dentro del intervalo de 61,95 a 63,95 pulgadas, 15 dentro del intervalo de 63,95 a 65,95 pulgadas, 40 dentro del intervalo de 65,95 a 67,95 pulgadas, 17 dentro del intervalo de 67,95 a 69,95 pulgadas, 12 jugadores dentro del intervalo de 69,95 a 71,95, siete dentro del intervalo de 71,95 a 73,95 y un jugador cuya altura está dentro del intervalo de 73,95 a 75,95. Todas las alturas caen entre los puntos finales de un intervalo y no en los puntos finales. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que son inferiores a 65,95 pulgadas. Si se observan la primera, la segunda y la tercera filas, las alturas son todas inferiores a 65,95 pulgadas. Hay 5 + 3 + 15 = 23 jugadores cuya altura es inferior a 65,95 pulgadas. El porcentaje de alturas inferiores a 65,95 pulgadas es entonces 23 100 o el 23 %. Este porcentaje es la entrada de frecuencia relativa acumulada en la tercera fila. Ejercicio La muestra la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. Precipitación (en pulgadas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2,95-4,97 6 6 50 = 0,12 0,12 4,97-6,99 7 7 50 = 0,14 0,12 + 0,14 = 0,26 6,99-9,01 15 15 50 = 0,30 0,26 + 0,30 = 0,56 9,01-11,03 8 8 50 = 0,16 0,56 + 0,16 = 0,72 11,03-13,05 9 9 50 = 0,18 0,72 + 0,18 = 0,90 13,05-15,07 5 5 50 = 0,10 0,90 + 0,10 = 1,00 Total = 50 Total = 1,00 A partir de la , calcule el porcentaje de precipitación que es inferior a 9,01 pulgadas. A partir de la , calcule el porcentaje de alturas que se encuentran entre 61,95 y 65,95 pulgadas. Sume las frecuencias relativas en la segunda y tercera filas: 0,03 + 0,15 = 0,18 o 18 %. Ejercicio A partir de la , calcule el porcentaje de precipitaciones que se encuentra entre 6,99 y 13,05 pulgadas. Utilice las alturas de los 100 hombres jugadores de fútbol semiprofesionales en la . Rellene los espacios en blanco y compruebe sus respuestas. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 71,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas que van de 67,95 a 73,95 pulgadas es: ____. El porcentaje de alturas superiores a 65,95 pulgadas es: ____. El número de jugadores de la muestra que miden entre 61,95 y 71,95 pulgadas es: ____. ¿Qué tipo de datos son las alturas? Describa cómo podría reunir estos datos (las alturas) para que los datos sean característicos de todos los jugadores hombres de fútbol semiprofesionales. Recuerde, usted cuentas frecuencias . Para hallar la frecuencia relativa, divida la frecuencia entre el número total de valores de datos. Para hallar la frecuencia relativa acumulada se suman todas las frecuencias relativas anteriores a la frecuencia relativa de la fila actual. 29 % 36 % 77 % 87 cuantitativo continuo obtener las listas de cada equipo y elegir una muestra aleatoria simple de cada uno Ejercicio A partir de la , halle el número de ciudades que tienen precipitaciones entre 2,95 y 9,01 pulgadas. En su clase, pida a alguien que realice una encuesta sobre el número de hermanos (mujeres y hombres) que tiene cada estudiante. Cree una tabla de frecuencias. Añada una columna de frecuencia relativa y otra de frecuencia relativa acumulada. Responda las siguientes preguntas: ¿Qué porcentaje de estudiantes de su clase no tiene hermanos? ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene de uno a tres hermanos? ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene menos de tres hermanos? Se les preguntó a diecinueve personas cuántas millas recorren cada día para ir al trabajo, con una aproximación de una milla. Los datos son los siguientes: 2 5 7 3 2 10 18 15 20 7 10 18 5 12 13 12 4 5 10 . Se produjo la : Frecuencia de las distancias de desplazamiento DATOS FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 3 3 3 19 0,1579 4 1 1 19 0,2105 5 3 3 19 0,1579 7 2 2 19 0,2632 10 3 4 19 0,4737 12 2 2 19 0,7895 13 1 1 19 0,8421 15 1 1 19 0,8948 18 1 1 19 0,9474 20 1 1 19 1,0000 ¿La tabla es correcta? Si no es correcta, ¿qué está errado? Verdadero o falso: El tres por ciento de los encuestados se desplazan tres millas. Si la afirmación es incorrecta, ¿cuál debería serlo? Si la tabla es incorrecta, haga las correcciones. ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza cinco o siete millas? ¿Qué fracción de las personas encuestadas se desplaza 12 millas o más? ¿Menos de 12 millas? ¿Entre cinco y 13 millas (sin incluir cinco y 13 millas)? No. La columna de frecuencia suma 18, no 19. No todas las frecuencias relativas acumuladas son correctas. Falso. La frecuencia para tres millas debería ser una; para dos millas (omitidas), dos. La columna de frecuencia relativa acumulada debe decir: 0,1052, 0,1579, 0,2105, 0,3684, 0,4737, 0,6316, 0,7368, 0,7895, 0,8421, 0,9474, 1,0000. 5 19 7 19 , 12 19 , 7 19 Ejercicio La representa la cantidad, en pulgadas, de precipitaciones anuales en una muestra de ciudades. ¿Qué fracción de las ciudades recibe entre 11,03 y 13,05 pulgadas de lluvia al año? La contiene el número total de muertes en todo el mundo a causa de terremotos en el periodo comprendido entre 2000 y 2012. Año Número total de muertes 2000 231 2001 21.357 2002 11.685 2003 33.819 2004 228.802 2005 88.003 2006 6.605 2007 712 2008 88.011 2009 1.790 2010 320.120 2011 21.953 2012 768 Total 823.856 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2006 hasta 2009? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2009? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2003 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2004? ¿Qué tipo de datos son los números de las muertes? La escala de Richter se utiliza para cuantificar la energía producida por un terremoto. Ejemplos de números de la escala de Richter son 2,3; 4,0; 6,1 y 7,0. ¿Qué tipo de datos son estas cifras? 97.118 (11,8 %) 41,6 % 67.092/823.356 o 0,081 o 8,1 % 27,8 % Discreto cuantitativo Cuantitativo continuo Ejercicio La contiene el número total de accidentes mortales de tráfico de vehículos de motor en Estados Unidos para el periodo de 1994 a 2011. Año Número total de accidentes Año Número total de accidentes 1994 36.254 2004 38.444 1995 37.241 2005 39.252 1996 37.494 2006 38.648 1997 37.324 2007 37.435 1998 37.107 2008 34.172 1999 37.140 2009 30.862 2000 37.526 2010 30.296 2001 37.862 2011 29.757 2002 38.491 Total 653.782 2003 38.477 Responda las siguientes preguntas. ¿Cuál es la frecuencia de las muertes medidas desde 2000 hasta 2004? ¿Qué porcentaje de muertes se produjo después de 2006? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las muertes ocurridas en 2000 o antes? ¿Cuál es el porcentaje de muertes que se produjeron en 2011? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada en 2006? Explique qué le dice este número sobre los datos. Referencias “State & County QuickFacts”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/download_data.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “State & County QuickFacts: Quick, easy access to facts about people, business, and geography”, U.S. Census Bureau. http://quickfacts.census.gov/qfd/index.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Table 5: Direct hits by mainland United States Hurricanes (1851-2004)”, National Hurricane Center, http://www.nhc.noaa.gov/gifs/table5.gif (consultado el 1.º de mayo de 2013). “Levels of Measurement”, http://infinity.cos.edu/faculty/woodbury/stats/tutorial/Data_Levels.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). Courtney Taylor, “Levels of Measurement”, about.com, http://statistics.about.com/od/HelpandTutorials/a/Levels-Of-Measurement.htm (consultado el 1.º de mayo de 2013). David Lane. “Levels of Measurement”, Connexions, http://cnx.org/content/m10809/latest/ (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo Algunos cálculos generan números que son artificialmente precisos. No es necesario informar de un valor con ocho decimales cuando las medidas que generaron ese valor solo eran precisas hasta la décima más cercana. Redondee su respuesta final con un decimal más de los que había en los datos originales. Esto significa que si tiene datos medidos a la décima más cercana de una unidad, presente la estadística final a la centésima más cercana. Además de redondear sus respuestas, puede medir sus datos utilizando los siguientes cuatro niveles de medición. Nivel de escala nominal: datos que no se pueden ordenar ni usar en cálculos Nivel de escala ordinal: datos que se pueden ordenar; las diferencias no se pueden medir Nivel de escala de intervalos: datos con un orden definido pero sin punto de partida; las diferencias se pueden medir, pero no como si fuera un cociente. Nivel de escala de cociente: datos con un punto de partida que se puede ordenar; las diferencias tienen significado y se pueden calcular cocientes. Al organizar los datos, es importante saber cuántas veces aparece un valor. ¿Cuántos estudiantes de Estadística estudian cinco horas o más para un examen? ¿Qué porcentaje de familias de nuestra manzana tiene dos mascotas? La frecuencia, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada son medidas que responden preguntas como estas. ¿Qué tipo de escala de medición se utiliza? Nominal, ordinal, de intervalo o de cociente. Los jugadores de fútbol de la escuela secundaria se clasifican por su capacidad atlética: Superior, promedio, por encima del promedio Las temperaturas de cocción para varios platos principales: 350, 400, 325, 250, 300 Los colores de los lápices de colores en una caja de 24 lápices Los números de la seguridad social Los ingresos medidos en dólares Una encuesta de satisfacción de un sitio web social por número: 1 = muy satisfecho, 2 = algo satisfecho, 3 = no satisfecho La perspectiva política: extrema izquierda, centro-izquierda, centro-derecha, extrema derecha La hora del día en un reloj analógico La distancia en millas a la tienda de comestibles más cercana Las fechas 1066, 1492, 1644, 1947 y 1944 La altura de las mujeres de 21 a 65 años Notas con letras comunes: A, B, C, D y F ordinal intervalo nominal nominal cociente ordinal nominal intervalo cociente intervalo cociente ordinal TAREA PARA LA CASA Se les preguntó a cincuenta estudiantes a tiempo parcial cuántos cursos estaban tomando este trimestre. Los resultados (incompletos) se muestran a continuación: Carga lectiva de los estudiantes a tiempo parcial Número de cursos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 30 0,6 2 15 3 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de estudiantes toman exactamente dos cursos? ¿Qué porcentaje de estudiantes toman uno o dos cursos? Antes de emitir el diagnóstico se les preguntó a sesenta adultos con enfermedades de las encías el número de veces por semana que utilizaban el hilo dental. Los resultados (incompletos) se muestran en la . Frecuencia de uso del hilo dental en adultos con enfermedades de las encías N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 1 18 3 0,9333 6 3 0,0500 7 1 0,0167 Llene los espacios en blanco en la . ¿Qué porcentaje de adultos utiliza el hilo dental seis veces por semana? ¿Qué porcentaje utiliza el hilo dental como máximo tres veces por semana? N.º de usos del hilo dental a la semana Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 27 0,4500 0,4500 1 18 0,3000 0,7500 3 11 0,1833 0,9333 6 3 0,0500 0,9833 7 1 0,0167 1 5,00 % 93,33 % Se les preguntó a diecinueve inmigrantes en EE. UU. cuántos años, con una aproximación de un año, han vivido en EE. UU. Los datos son los siguientes: 2 5 7 2 2 10 20 15 0 7 0 20 5 12 15 12 4 5 10 . Se produjo la . Frecuencia de las respuestas de los inmigrantes a la encuesta Datos Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 2 2 19 0,1053 2 3 3 19 0,2632 4 1 1 19 0,3158 5 3 3 19 0,4737 7 2 2 19 0,5789 10 2 2 19 0,6842 12 2 2 19 0,7895 15 1 1 19 0,8421 20 1 1 19 1,0000 Corrija los errores en la . Además, explique cómo alguien podría haber llegado a los números incorrectos. Explique qué está errado en esta afirmación: “El 47 % de los encuestados lleva 5 años viviendo en EE. UU.”. Corrija el enunciado en b para que sea correcto. ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. cinco o siete años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido como máximo 12 años en EE. UU.? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. menos de 12 años? ¿Qué fracción de las personas encuestadas ha vivido en EE. UU. de cinco a 20 años, ambos inclusive? ¿Cuánto tiempo se tarda en ir al trabajo? La muestra el tiempo medio de desplazamiento por estado para los trabajadores de, al menos, 16 años que no trabajan en casa. Calcule el tiempo medio de traslado, y redondee la respuesta correctamente. 24,0 24,3 25,9 18,9 27,5 17,9 21,8 20,9 16,7 27,3 18,2 24,7 20,0 22,6 23,9 18,0 31,4 22,3 24,0 25,5 24,7 24,6 28,1 24,9 22,6 23,6 23,4 25,7 24,8 25,5 21,2 25,7 23,1 23,0 23,9 26,0 16,3 23,1 21,4 21,5 27,0 27,0 18,6 31,7 23,3 30,1 22,9 23,3 21,7 18,6 La suma de los tiempos de viaje es de 1.173,1. Divida la suma entre 50 para calcular el valor medio: 23,462. Dado que el tiempo de viaje de cada estado se midió a la décima más cercana, redondee este cálculo a la centésima más cercana: 23,46. La revista Forbes publicó datos sobre las mejores pequeñas compañías en 2012. Se trata de compañías que cotizan en la bolsa desde hace al menos un año, con un precio de las acciones de al menos 5 dólares por acción y con unos ingresos anuales entre 5 millones de dólares y 1 mil millones de dólares. La muestra la edad de los directores generales de las primeras 60 compañías clasificadas. Edad Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 40-44 3 45-49 11 50-54 13 55-59 16 60-64 10 65-69 6 70-74 1 ¿Cuál es la frecuencia para los directores generales entre 54 y 65 años? ¿Qué porcentaje de directores generales tienen 65 años o más? ¿Cuál es la frecuencia relativa de las edades inferiores a 50 años? ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada de los directores generales menores de 55 años? ¿Qué gráfico muestra la frecuencia relativa y cuál la frecuencia relativa acumulada? Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: la contiene datos sobre los huracanes que han impactado directamente a EE. UU. entre 1851 y 2004. Un huracán recibe una categoría de fuerza basada en la velocidad mínima del viento generada por la tormenta. Frecuencia de los impactos directos de los huracanes Categoría Número de impactos directos Frecuencia relativa Frecuencia acumulada 1 109 0,3993 0,3993 2 72 0,2637 0,6630 3 71 0,2601 4 18 0,9890 5 3 0,0110 1,0000 Total = 273 ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron huracanes de categoría 4? 0,0768 0,0659 0,2601 No hay suficiente información para calcular b ¿Cuál es la frecuencia relativa de los impactos directos que fueron COMO MÁXIMO una tormenta de categoría 3? 0,3480 0,9231 0,2601 0,3370 Frecuencia relativa acumulada el término se aplica a un conjunto ordenado de observaciones de menor a mayor. La frecuencia relativa acumulada es la suma de las frecuencias relativas de todos los valores que son menores o iguales al valor dado. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados con el número total de resultados

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