Datos sobre la distribución F Estos son algunos datos sobre la distribución F . La curva no es simétrica, sino que está distorsionada hacia la derecha. Hay una curva diferente para cada conjunto de df . El estadístico F es mayor o igual a cero. A medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador, la curva se normaliza. Otros usos de la distribución F incluyen la comparación de dos varianzas y el análisis de varianza bidireccional. El análisis bidireccional queda fuera del alcance de este capítulo. Volvamos al ejercicio de los tomates bola en la sección INTÉNTELO 13.1 . Las medias de los rendimientos de los tomates en las cinco condiciones de cubierta están representadas por μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 , μ 5 . Realizaremos una prueba de hipótesis para determinar si todas las medias son iguales o al menos una es diferente. Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencia en los rendimientos medios entre los cinco grupos contra la hipótesis alternativa de que, al menos, una media es diferente del resto. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 = μ 5 H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j Los resultados del ANOVA de una vía se muestran en la Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 36.648.561 5 – 1 = 4 36.648.561 4 = 9.162.140 9.162.140 2.044.672 0,6 = 4 0,4810 Error (dentro) 20.446.726 15 – 5 = 10 20.446.726 10 = 2.044.672 0,6 Total 57.095.287 15 – 1 = 14 Distribución para la prueba: F 4, 10 df ( num ) = 5 – 1 = 4 df ( denom ) = 15 – 5 = 10 Estadístico de prueba: F = 4,4810 Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 4,481) = 0,0248. Compare α y el valor p : α = 0,05, valor p = 0,0248 Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechazamos H 0 . Conclusión: Al nivel de significación del 5 % tenemos pruebas razonablemente sólidas de que las diferencias en los rendimientos medios de las plantas de tomate de corte cultivadas en diferentes condiciones de cubierta de suelo es poco probable que se deban únicamente al azar. Podemos concluir que, al menos, algunas de las cubiertas produjeron diferentes rendimientos medios. Para calcular estos resultados en la calculadora: Pulse STAT. Pulse 1:EDIT. Introduzca los datos en las listas L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 . Pulse STAT, y la flecha hacia TESTS, y la flecha abajo hacia ANOVA. Pulse ENTER, y a continuación introduzca L 1 , L 2 , L 3 , L 4 , L 5 ). Pulse ENTER. Verá que la calculadora arroja fácilmente los valores de la tabla ANOVA anterior, incluso el estadístico de prueba y el valor p . La calculadora muestra: F = 4,4810 p = 0,0248 (valor p ) Factor df = 4 SS = 36648560,9 MS = 9162140,23 Error df = 10 SS = 20446726 MS = 2044672,6 Ejercicio El SARM, o Staphylococcus aureus resistente a la meticilina , puede causar una grave infección bacteriana en pacientes del hospital. La muestra varios recuentos de colonias de diferentes pacientes que pueden o no tener SARM. Los datos de la tabla se representan en la Figura 13.5. Conc. = 0,6 Conc. = 0,8 Conc. = 1,0 Conc. = 1,2 Conc. = 1,4 9 16 22 30 27 66 93 147 199 168 98 82 120 148 132 Gráfico de los datos para las diferentes concentraciones: Compruebe si el número medio de colonias es igual o es diferente. Construya la tabla de ANOVA (a mano o con las calculadoras TI-83, 83+ u 84+), calcule el valor p y exponga su conclusión. Utilice un nivel de significación del 5 %. Cuatro hermandades de mujeres tomaron una muestra aleatoria de hermanas en relación con su media de calificaciones para el último trimestre. Los resultados se indican en la . NOTAS MEDIAS DE CUATRO HERMANDADES DE MUJERES Hermandad 1 Hermandad 2 Hermandad 3 Hermandad 4 2,17 2,63 2,63 3,79 1,85 1,77 3,78 3,45 2,83 3,25 4,00 3,08 1,69 1,86 2,55 2,26 3,33 2,21 2,45 3,18 Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿existe una diferencia en las notas medias entre las hermandades? Supongamos que μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son las medias poblacionales de las hermandades de mujeres. Recuerde que la hipótesis nula afirma que los grupos de hermandades de mujeres proceden de la misma distribución normal. La hipótesis alternativa dice que, al menos, dos de los grupos de hermandades de mujeres proceden de poblaciones con distribuciones normales diferentes. Observe que los cuatro tamaños de muestra son cinco cada uno. Nota Este es un ejemplo de diseño equilibrado , ya que cada factor (es decir, la hermandad) tiene el mismo número de observaciones. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 = μ 4 H a : No todas las medias μ 1 , μ 2 , μ 3 , μ 4 son iguales. Distribución para la prueba: F 3,16 donde k = 4 grupos y n = 20 muestras en total df ( num )= k – 1 = 4 – 1 = 3 df ( denom ) = n – k = 20 – 4 = 16 Calcule el estadístico de prueba: F = 2,23 Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( F > 2,23) = 0,1241 Compare α y el valor p : α = 0,01 valor p = 0,1241 α < valor p Tome una decisión: Como α < valor p , no se puede rechazar H 0 . Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que existe una diferencia entre las notas medias de las hermandades de mujeres. Introduzca los datos en las listas L 1 , L 2 , L 3 , and L 4 . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo F:ANOVA . Pulse ENTER e introduzca ( L1,L2,L3,L4 ). La calculadora muestra la estadística F, el valor p y los valores de la tabla ANOVA de una vía: F = 2,2303 p = 0,1241 (valor p ) Factor df = 3 SS = 2,88732 MS = 0,96244 Error df = 16 SS = 6,9044 MS = 0,431525 Ejercicio Cuatro equipos deportivos tomaron una muestra aleatoria de jugadores en relación con su GPA del año pasado. Los resultados se indican en la . GPA PARA CUATRO EQUIPOS DEPORTIVOS Baloncesto Béisbol Hockey Lacrosse 3,6 2,1 4,0 2,0 2,9 2,6 2,0 3,6 2,5 3,9 2,6 3,9 3,3 3,1 3,2 2,7 3,8 3,4 3,2 2,5 Use un nivel de significación del 5 % y determine si existe una diferencia en el GPA entre los equipos. Una clase de cuarto grado está estudiando el ambiente. Una de las tareas consiste en cultivar plantas de judías en diferentes suelos. Tommy eligió cultivar sus plantas de judías en la tierra que encontró fuera de su aula mezclada con pelusa de secadora. Tara decidió cultivar sus plantas de judías en tierra para macetas comprada en el vivero local. Nick decidió cultivar sus plantas de judías en la tierra del jardín de su madre. No se utilizó ningún producto químico en las plantas, solo agua. Se cultivaron en el interior del aula junto a un gran ventanal. Cada niño cultivó cinco plantas. Al final del periodo de crecimiento se midió cada planta y se obtuvieron los datos (en pulgadas) que están en la . Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick 24 25 23 21 31 27 23 23 22 30 20 30 23 28 20 ¿Parece que los tres medios en los que se cultivaron las plantas de judías producen la misma altura media? Pruebe con un nivel de significación del 3 %. Esta vez, realizaremos los cálculos que conducen al estadístico F' . Observe que cada grupo tiene el mismo número de plantas, por lo que utilizaremos la fórmula F' = n ⋅ s x ¯ 2 s 2 combinada . Primero, calcule la media muestral y la varianza de cada grupo. Plantas de Tommy Plantas de Tara Plantas de Nick Media muestral 24,2 25,4 24,4 Varianza de la muestra 11,7 18,3 16,3 Luego, calcule la varianza de las medias de los tres grupos (calcule la varianza de 24,2, 25,4 y 24,4). Varianza de las medias de los grupos = 0,413 = s x ¯ 2 Entonces MS entre = n s x ¯ 2 = (5)(0,413) donde n = 5 es el tamaño de la muestra (número de plantas que cultivó cada niño). Calcule la media de las tres varianzas de la muestra (calcule la media de 11,7, 18,3 y 16,3). Media de las varianzas de la muestra = 15,433 = s 2 combinada Entonces MS dentro = s 2 combinado = 15,433. El estadístico F (o cociente F ) es F = M S entre M S dentro = n s x ¯ 2 s 2 p o o l e d = ( 5 ) ( 0,413 ) 15,433 = 0,134 Los dfs para el numerador = el número de grupos – 1 = 3 – 1 = 2. El dfs para el denominador = el número total de muestras – el número de grupos = 15 – 3 = 12 La distribución de la prueba es F 2, 12 y el estadístico F es F = 0,134 El valor p es P ( F > 0,134) = 0,8759. Decisión: Dado que α = 0,03 y el valor p = 0,8759, no se rechaza H 0 . (¿Por qué?) Conclusión: Con un nivel de significación del 3 %, a partir de los datos de la muestra, las pruebas no son suficientes para concluir que las alturas medias de las plantas de judías son diferentes. Para calcular el valor p : * Pulse 2nd DISTR *Flecha hacia abajo a Fcdf (y pulse ENTER . *Introduzca 0,134, E99 , 2, 12) * Pulse ENTER El valor p es de 0,8759. Ejercicio Otro estudiante de cuarto grado también cultivó plantas de judías, pero esta vez en una masa gelatinosa. Las alturas fueron (en pulgadas) 24, 28, 25, 30 y 32. Haga una prueba de ANOVA de una vía en los cuatro grupos. ¿Son diferentes las alturas de las plantas de judías? Utilice el mismo método que se muestra en el . A partir de la clase, cree cuatro grupos del mismo tamaño como sigue: hombres menores de 22 años, hombres de al menos 22 años, mujeres menores de 22 años, mujeres de al menos 22 años. Haga que cada miembro de cada grupo registre el número de estados de Estados Unidos que ha visitado. Realice un ANOVA para determinar si el promedio de estados visitados en los cuatro grupos es el mismo. Pruebe con un nivel de significación del 1 %. Utilice una de las hojas de solución en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . Referencias Datos de un aula de cuarto grado en 1994 en una escuela privada de kínder a 12.º grado en San José, CA. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets: Data for Fruitfly Fecundity. Londres: Chapman & Hall, 1994. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 50. Hand, D. J., F. Daly, A. D. Lunn, K. J. McConway y E. Ostrowski. A Handbook of Small Datasets. Londres: Chapman & Hall, 1994, pág. 118. “MLB Standings – 2012”. Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012. Mackowiak, P. A., Wasserman, S. S. y Levine, M. M. (1992), “A Critical Appraisal of 98,6 Degrees F, the Upper Limit of the Normal Body Temperature, and Other Legacies of Carl Reinhold August Wunderlich”, Journal of the American Medical Association , 268, 1578-1580. Repaso del capítulo El gráfico de la distribución F es siempre positivo y es asimétrico hacia la derecha, aunque la forma puede ser redondeada o exponencial dependiendo de la combinación de grados de libertad del numerador y del denominador. El estadístico F es el cociente entre una medida de la variación de las medias de los grupos y una medida similar de la variación dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es correcta, el numerador debe ser pequeño en comparación con el denominador. El resultado será un estadístico F pequeño y el área debajo de la curva F a la derecha será grande, lo que representa un valor p grande. Cuando la hipótesis nula de la igualdad de las medias de los grupos es incorrecta, el numerador debe ser grande comparado con el denominador, lo que da un estadístico F grande y un área pequeña (valor p pequeño) a la derecha del estadístico debajo de la curva F . Cuando los datos tienen tamaños de grupo desiguales (datos no equilibrados), hay que utilizar las técnicas de la 13.2 La distribución F y el cociente de F para los cálculos manuales. Sin embargo, en el caso de datos equilibrados (los grupos tienen el mismo tamaño), se pueden utilizar cálculos simplificados basados en las medias y varianzas de los grupos. En la práctica, por supuesto, se suelen emplear softwares en el análisis. Como en cualquier análisis, se deben usar gráficos de diversa índole junto con técnicas numéricas. ¡Mire siempre con cuidado sus datos! ¿Qué valores puede tener un estadístico F ? ¿Qué ocurre con las curvas a medida que aumentan los grados de libertad del numerador y del denominador? Las curvas se aproximan a la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Cuatro equipos de baloncesto tomaron una muestra aleatoria de jugadores con respecto a la altura que cada uno de ellos puede saltar (en pulgadas). Los resultados se muestran en la . Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5 36 32 48 38 41 42 35 50 44 39 51 38 39 46 40 ¿Cuál es el df(num) ? ¿Cuál es el df(denom) ? diez ¿Cuáles son los factores de la suma de los cuadrados y de las medias cuadráticas? ¿Cuáles son la suma de los cuadrados y los errores de la media cuadrática? SS = 237,33; MS = 23,73 ¿Cuál es el estadístico F ? ¿Cuál es el valor p ? 0,1614 Al nivel de significación del 5 %, ¿hay una diferencia en la altura media de los saltos entre los equipos? Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios. Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo juego en tres grupos diferentes. Cada grupo representa un mercado objetivo diferente para el juego. El desarrollador recopila las calificaciones de una muestra aleatoria de cada grupo. Los resultados se muestran en la Grupo A Grupo B Grupo C 101 151 101 108 149 109 98 160 198 107 112 186 111 126 160 ¿Cuál es el df(num) ? dos ¿Cuál es el df(denom) ? ¿Cuáles son la SS entre y la MS entre ? SS = 5.700,4; MS = 2.850,2 ¿Cuáles son la SS dentro y la MS dentro ? ¿Cuál es el estadístico F ? 3,6101 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 10 %, ¿las puntuaciones entre los distintos grupos son diferentes? Sí, hay pruebas suficientes para demostrar que las calificaciones entre los grupos son estadísticamente significativas al nivel del 10 %. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Supongamos que un grupo está interesado en determinar si los adolescentes obtienen su licencia de conducir alrededor de la misma edad promedio en todo el país. Supongamos que se recopilan al azar los siguientes datos de cinco adolescentes de cada región del país. Los números representan la edad a la que los adolescentes obtuvieron la licencia de conducir. Noreste Sur Oeste Centro Este 16,3 16,9 16,4 16,2 17,1 16,1 16,5 16,5 16,6 17,2 16,4 16,4 16,6 16,5 16,6 16,5 16,2 16,1 16,4 16,8 x ¯ = ________ ________ ________ ________ ________ s 2 = ________ ________ ________ ________ ________ Introduzca los datos en su calculadora o computadora. valor p = ______ Indique las decisiones y conclusiones (en oraciones completas) para los siguientes niveles preconcebidos de α . α = 0,05 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ α = 0,01 a. Decisión: ____________________________ b. Conclusión: ____________________________ Tarea para la casa INSTRUCCIONES Utilice una hoja de soluciones para realizar las siguientes pruebas de hipótesis. La hoja de soluciones se encuentra en el E - HOJAS DE SOLUCIONES . Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta las suyas con la fórmula B y Javier con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Use un nivel de significación del 10 % y pruebe la hipótesis de que las tres fórmulas producen el mismo aumento de peso medio. Peso de las ratas de laboratorio de los estudiantes Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 H 0 : µ L = µ T = µ J H a : al menos dos de las medias son diferentes df ( num ) = 2; df ( denom ) = 12 Distribución F 0,67 0,5305 Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No rechazar la hipótesis nula; conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las medias son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados están en la . Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que las tres medias de las millas de desplazamiento son iguales. clase trabajadora profesionales (ingresos medios) profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. La recopila el número de páginas de cuatro tipos diferentes de revistas. decoración del hogar noticias salud computadoras 172 87 82 104 286 94 153 136 163 123 87 98 205 106 103 207 197 101 96 146 Use un nivel de significación del 5 % y pruebe la hipótesis de que los cuatro tipos de revistas tienen la misma extensión media. Elimine un tipo de revista que ahora considere que tiene una extensión media diferente a las demás. Vuelva a realizar la prueba de hipótesis para probar que las tres medias restantes son estadísticamente iguales. Use una nueva hoja de soluciones. Según esta prueba, ¿las extensiones medias de las tres revistas restantes son estadísticamente iguales? H a : µ c = µ n = µ h Al menos dos de las revistas tienen extensiones medias diferentes. df ( num ) = 2, df ( denom ) = 12 Distribución F F = 15,28 valor p = 0,0005 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: Rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que las longitudes medias de las revistas son diferentes. Un investigador quiere saber si los tiempos medios (en minutos) que las personas ven su canal de noticias favorito son iguales. Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. CNN FOX Local 45 15 72 12 43 37 18 68 56 38 50 60 23 31 51 35 22 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Las medias de los exámenes finales son iguales para todos los tipos de clases de Estadística? La muestra las calificaciones de los exámenes finales de varias clases seleccionadas al azar que utilizaron los diferentes tipos de entrega. En línea Híbrido En persona 72 83 80 84 73 78 77 84 84 80 81 81 81 86 79 82 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ o = μ h = μ f Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 13 F 2,13 0,64 0,5437 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Las calificaciones medias de la entrega de las distintas clases no son diferentes. ¿El número medio de veces al mes que una persona come fuera es el mismo para personas blancas, negras, hispanas y asiáticas? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Blancos Negros Hispanos Asiáticos 6 4 7 8 8 1 3 3 2 5 5 5 4 2 4 1 6 6 7 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. ¿Los números medios de visitantes diarios a una estación de esquí son iguales para los tres tipos de condiciones de nieve? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. En polvo De máquina Comprimida 1.210 2.107 2.846 1.080 1.149 1.638 1.537 862 2.019 941 1.870 1.178 1.528 2.233 1.382 Supongamos que todas las distribuciones son normales, que las cuatro desviaciones típicas de la población son aproximadamente iguales y que los datos se recogieron de forma independiente y aleatoria. Utilice un nivel de significación de 0,05. H 0 : μ p = μ m = μ h Al menos dos de las medias son diferentes. df ( n ) = 2, df ( d ) = 12 F 2,12 3,13 0,0807 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que el número medio de visitantes diarios sea diferente. Sanjay hizo aviones de papel idénticos con tres pesos diferentes de papel: ligero, medio y pesado. Hizo cuatro aviones con cada uno de los pesos y los lanzó él mismo por la habitación. Aquí están las distancias (en metros) que volaron sus aviones. Tipo de papel / ensayo Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 Ensayo 4 Pesado 5,1 metros 3,1 metros 4,7 metros 5,3 metros Medio 4 metros 3,5 metros 4,5 metros 6,1 metros Ligero 3,1 metros 3,3 metros 2,1 metros 1,9 metros Observe los datos del gráfico. Observe la dispersión de los datos para cada grupo (ligero, medio y pesado). ¿Parece razonable suponer una distribución normal con la misma varianza para cada grupo? Sí o no. ¿Por qué es un diseño equilibrado? Calcule la media muestral y la desviación típica de la muestra para cada grupo. ¿El peso del papel influye en la distancia que recorrerá el avión? Use un nivel de significación del 1 %. Complete la prueba utilizando el método mostrado en el ejemplo de la planta de judías en el . varianza de las medias de los grupos __________ MS entre = ___________ media de las tres varianzas de la muestra ___________ MS dentro = _____________ estadístico F = ____________ df(num) = __________, df(denom) = ___________ número de grupos _______ número de observaciones _______ valor p = __________ ( P ( F > _______) = __________) Grafique el valor p . decisión: _______________________ conclusión: _______________________________________________________________ El dicloro difenil tricloroetano (DDT) es un pesticida cuyo uso se ha prohibido en Estados Unidos y en la mayoría de las zonas del mundo. Es bastante eficaz, pero persiste en el medio ambiente y, con el tiempo, se considera perjudicial para los organismos superiores. Se cree que las cáscaras de los huevos de las águilas y otras aves rapaces son más finas y propensas a romperse en el nido debido a la ingestión de DDT en la cadena alimentaria de las aves. Se realizó un experimento sobre el número de huevos (fecundidad) puestos por las hembras de la mosca de la fruta. Hay tres grupos de moscas. Un grupo fue criado para ser resistente al DDT (el grupo RS). Otro fue criado para ser especialmente susceptible al DDT (SS). Por último, había una línea de control de moscas de la fruta no seleccionadas o típicas (NS). Aquí están los datos: RS SS NS RS SS NS 12,8 38,4 35,4 22,4 23,1 22,6 21,6 32,9 27,4 27,5 29,4 40,4 14,8 48,5 19,3 20,3 16 34,4 23,1 20,9 41,8 38,7 20,1 30,4 34,6 11,6 20,3 26,4 23,3 14,9 19,7 22,3 37,6 23,7 22,9 51,8 22,6 30,2 36,9 26,1 22,5 33,8 29,6 33,4 37,3 29,5 15,1 37,9 16,4 26,7 28,2 38,6 31 29,5 20,3 39 23,4 44,4 16,9 42,4 29,3 12,8 33,7 23,2 16,1 36,6 14,9 14,6 29,2 23,6 10,8 47,4 27,3 12,2 41,7 Los valores son el número promedio de huevos puestos diariamente por cada una de las 75 moscas (25 en cada grupo) durante los primeros 14 días de su vida. Utilizando un nivel de significación del 1 %, ¿son diferentes las tasas medias de selección de huevos para las tres cepas de mosca de la fruta? Si es así, ¿de qué manera? Específicamente, los investigadores estaban interesados en saber si las cepas criadas selectivamente eran diferentes de la línea no seleccionada, y si las dos líneas seleccionadas eran diferentes entre sí. A continuación se muestra un gráfico de los tres grupos: Los datos parecen normalmente distribuidos en el gráfico y una dispersión similar. No parece haber ningún valor atípico grave, por lo que podemos seguir con nuestros cálculos de ANOVA, para ver si tenemos buenas pruebas de una diferencia entre los tres grupos. H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 ; H a : μ i ≠ μ j alguna i ≠ j . Defina μ 1 , μ 2 , μ 3 , como la media poblacional del número de huevos puestos por los tres grupos de moscas de la fruta. estadístico F = 8,6657; valor p = 0,0004 Decisión: como el valor p es inferior al nivel de significación de 0,01, rechazamos la hipótesis nula. Conclusión: tenemos buenas pruebas de que el número promedio de huevos puestos durante los primeros 14 días de vida de estas tres cepas de moscas de la fruta son diferentes. Curiosamente, si se realiza una prueba t de dos muestras para comparar los grupos RS y NS, son significativamente diferentes ( p = 0,0013). Asimismo, SS y NS son significativamente diferentes ( p = 0,0006). Sin embargo, los dos grupos seleccionados, RS y SS, no son significativamente diferentes ( p = 0,5176). Por lo tanto, parece que tenemos buenas pruebas de que la selección para la resistencia o para la susceptibilidad implica una tasa reducida de producción de huevos (para estas cepas específicas) en comparación con las moscas que no fueron seleccionadas para la resistencia o la susceptibilidad al DDT. Aquí, la selección genética ha implicado aparentemente una pérdida de fecundidad. Los datos que se muestran son las temperaturas corporales registradas de 130 sujetos estimadas a partir de histogramas disponibles. Tradicionalmente se nos enseña que la temperatura normal del cuerpo humano es de 98,6 °F. Esto no es del todo correcto para todos. ¿Las temperaturas medias son diferentes entre los cuatro grupos? Calcule los intervalos de confianza del 95 % para la temperatura corporal media en cada grupo y comente los intervalos de confianza. FL FH ML MH FL FH ML MH 96,4 96,8 96,3 96,9 98,4 98,6 98,1 98,6 96,7 97,7 96,7 97 98,7 98,6 98,1 98,6 97,2 97,8 97,1 97,1 98,7 98,6 98,2 98,7 97,2 97,9 97,2 97,1 98,7 98,7 98,2 98,8 97,4 98 97,3 97,4 98,7 98,7 98,2 98,8 97,6 98 97,4 97,5 98,8 98,8 98,2 98,8 97,7 98 97,4 97,6 98,8 98,8 98,3 98,9 97,8 98 97,4 97,7 98,8 98,8 98,4 99 97,8 98,1 97,5 97,8 98,8 98,9 98,4 99 97,9 98,3 97,6 97,9 99,2 99 98,5 99 97,9 98,3 97,6 98 99,3 99 98,5 99,2 98 98,3 97,8 98 99,1 98,6 99,5 98,2 98,4 97,8 98 99,1 98,6 98,2 98,4 97,8 98,3 99,2 98,7 98,2 98,4 97,9 98,4 99,4 99,1 98,2 98,4 98 98,4 99,9 99,3 98,2 98,5 98 98,6 100 99,4 98,2 98,6 98 98,6 100,8

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Prueba de dos varianzas Otro uso de la distribución F es la prueba de dos varianzas. A menudo es conveniente comparar dos varianzas en vez de dos promedios. Por ejemplo, a los administradores del instituto universitario les gustaría que dos profesores que califiquen exámenes tengan la misma variación en su calificación. Para que una tapa se adapte a un recipiente, la variación de la tapa y del recipiente debe ser la misma. Un supermercado podría estar interesado en la variabilidad de los tiempos para procesar una compra en dos de sus cajas. Para realizar una prueba F de dos varianzas, es importante que se cumplan estas condiciones: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. A diferencia de la mayoría de otras pruebas de este libro, la prueba F para la igualdad de dos varianzas es muy sensible a las desviaciones de la normalidad. Si las dos distribuciones no son normales, la prueba puede dar valores p más altos o más bajos de lo debido de forma imprevisible. Muchos textos sugieren a los estudiantes que no utilicen esta prueba en absoluto, pero en aras de la exhaustividad la incluimos aquí. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de dos poblaciones normales independientes. Supongamos que σ 1 2 y σ 2 2 son las varianzas de la población y s 1 2 y s 2 2 sean las varianzas de la muestra. Supongamos que los tamaños de las muestras son n 1 y n 2 . Como nos interesa comparar las dos varianzas de la muestra, utilizamos el cociente F : F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) donde n 1 – 1 son los grados de libertad del numerador y n 2 – 1 son los grados de libertad del denominador. Si la hipótesis nula es σ 1 2 = σ 2 2 , entonces el cociente F se convierte en F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 . Nota El cociente F también podría ser ( s 2 ) 2 ( s 1 ) 2 . Depende de H a y de qué varianza de la muestra es mayor. Si las dos poblaciones tienen varianzas iguales, entonces s 1 2 y s 2 2 tienen valores cercanos y F = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 está cerca de uno. Pero si las dos variantes de la población son muy diferentes, s 1 2 y s 2 2 también suelen ser muy diferentes. Al elegir s 1 2 ya que la mayor varianza de la muestra hace que el cociente ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 sea mayor que uno. Si s 1 2 y s 2 2 están muy separados, entonces F = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 es un número grande. Por lo tanto, si F es cercano a uno, la evidencia favorece la hipótesis nula (las dos varianzas de la población son iguales). Pero si F es mucho mayor que uno, entonces la evidencia es contraria a la hipótesis nula. Una prueba de dos varianzas puede ser de cola izquierda, derecha o de dos colas. Dos instructores de institutos universitarios están interesados en saber si existe alguna variación en la forma de calificar los exámenes de Matemáticas. Cada uno de ellos califica el mismo conjunto de 30 exámenes. Las notas del primer instructor tienen una varianza de 52,3. Las notas del segundo instructor tienen una varianza de 89,9. Pruebe la afirmación de que la varianza del primer instructor es menor (en la mayoría de los institutos universitarios es deseable que las varianzas de las notas de los exámenes sean casi iguales entre los instructores). El nivel de significación es del 10 %. Supongamos que 1 y 2 son los subíndices que indican el primer y el segundo instructor, respectivamente. n 1 = n 2 = 30. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 y H a : σ 1 2 < σ 2 2 Calcule el estadístico de prueba: Según la hipótesis nula ( σ 1 2 = σ 2 2 ) , el estadístico F es: F = [ ( s 1 ) 2 ( σ 1 ) 2 ] [ ( s 2 ) 2 ( σ 2 ) 2 ] = ( s 1 ) 2 ( s 2 ) 2 = 52,3 89,9 = 0,5818 Distribución para la prueba: F 29,29 donde n 1 – 1 = 29 y n 2 – 1 = 29. Gráfico: Esta prueba es de cola izquierda. Dibuje el gráfico marcando y sombreando adecuadamente. Enunciado de probabilidad: valor p = P ( F < 0,5818) = 0,0753 Compare α y el valor p : α = 0,10 α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Conclusión: Con un nivel de significación del 10 %, a partir de los datos hay pruebas suficientes para concluir que la varianza de las notas del primer instructor es menor. Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo D:2-SampFTest . Pulse ENTER . Mueva la flecha hasta STATS y pulse ENTER . Para Sx1 , n1 , Sx2 , y n2 , introduzca ( 52,3 ) , 30 , ( 89,9 ) , y 30 . Pulse ENTER después de cada uno. Mueva la flecha hasta σ1: y σ2 . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate y pulse ENTER . F = 0,5818 y valor p = 0,0753. Vuelva a realizar el procedimiento y pruebe con Dibujar en vez de Calculate . Ejercicio La Sociedad Coral de Nueva York divide a los cantantes hombres en cuatro categorías, desde las voces más altas hasta las más bajas: tenor 1, tenor 2, bajo 1, bajo 2. En la tabla están las estaturas de los hombres de los grupos tenor 1 y bajo 2. Uno sospecha que los hombres más altos tendrán voces más graves, y que la varianza de la altura puede subir también con las voces más graves. ¿Tenemos pruebas fehacientes de que la varianza de las alturas de los cantantes en cada uno de estos dos grupos (tenor 1 y bajo 2) es diferente? Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 Tenor 1 Bajo 2 69 72 67 72 68 67 72 75 70 74 67 70 71 67 65 70 64 70 66 75 72 66 69 76 74 70 68 72 74 72 68 75 71 71 72 64 68 74 66 74 73 70 75 68 72 66 72 Referencias “MLB Vs. Division Standings – 2012” (MLB versus Clasificación de la División-2012) Disponible en línea en http://espn.go.com/mlb/standings/_/year/2012/type/vs-division/order/true. Repaso del capítulo La prueba F para la igualdad de dos varianzas se basa en gran medida en el supuesto de distribuciones normales. La prueba no es fiable si no se cumple este supuesto. Si ambas distribuciones son normales, el cociente de las dos varianzas muestrales se distribuye como un estadístico F , con grados de libertad en el numerador y el denominador que son uno menos que los tamaños de las muestras de los dos grupos correspondientes. Una prueba de hipótesis de prueba de dos varianzas determina si dos varianzas son iguales. La distribución para la prueba de hipótesis es la distribución F con dos grados de libertad diferentes. Supuestos: Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. Las dos poblaciones son independientes entre sí. Revisión de la fórmula F tiene la distribución F ~ F ( n 1 – 1, n 2 – 1) F = s 1 2 σ 1 2 s 2 2 σ 2 2 Si σ 1 = σ 2 , entonces F = s 1 2 s 2 2 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios. Hay dos supuestos que deben ser ciertos para hacer una prueba F de dos varianzas. Nombre un supuesto que deba ser cierto. Las poblaciones de las que se extraen las dos muestras se distribuyen normalmente. ¿Cuál es el otro supuesto que debe ser verdadero? Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Dos compañeros de trabajo se desplazan desde el mismo edificio. Les interesa saber si hay alguna variación en el tiempo que tardan en ir al trabajo conduciendo un vehículo. Cada uno de ellos registra sus tiempos durante 20 trayectos. Los tiempos del primer trabajador tienen una varianza de 12,1. Los tiempos del segundo trabajador tienen una varianza de 16,9. El primer trabajador cree que es más coherente con sus tiempos de desplazamiento. Pruebe la afirmación al nivel del 10 %. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 1 = σ 2 H a : σ 1 < σ 2 o H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 < σ 2 2 ¿Cuál es s 1 en este problema? ¿Cuál es s 2 en este problema? 4,11 ¿Cuál es n ? ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7159 ¿Cuál es el valor p ? ¿La afirmación es correcta? No, al nivel de significación del 10 %, no rechazamos la hipótesis nula y afirmamos que los datos no muestran que la variación de los tiempos de conducción del primer trabajador sea menor que la variación de los tiempos de conducción del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios. Dos estudiantes están interesados en saber si hay o no variación en los resultados de sus exámenes en la clase de Matemáticas. En total son 15 los exámenes de Matemáticas que han presentado hasta ahora. Las notas del primer estudiante tienen una desviación típica de 38,1. Las notas del segundo estudiante tienen una desviación típica de 22,5. El segundo estudiante cree que sus resultados son más coherentes. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 2,8674 ¿Cuál es el valor p ? Al nivel de significación del 5 %, ¿rechazamos la hipótesis nula? rechaza la hipótesis nula. Hay pruebas suficientes para decir que la varianza de las notas del primer estudiante es mayor que la del segundo. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Dos ciclistas comparan las varianzas de sus ritmos globales en subidas. Cada ciclista registra su velocidad al subir 35 colinas. El primer ciclista tiene una varianza de 23,8 y el segundo de 32,1. Los ciclistas quieren ver si sus varianzas son iguales o diferentes. Supongamos que los tiempos de desplazamiento se distribuyen normalmente. Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Cuál es el estadístico F ? 0,7414 Al nivel de significación del 5 %, ¿qué podemos decir sobre las varianzas de los ciclistas? Tarea para la casa Tres estudiantes, Linda, Tuan y Javier, reciben cinco ratas de laboratorio cada uno para un experimento nutricional. El peso de cada rata se registra en gramos. Linda alimenta a sus ratas con la fórmula A, Tuan alimenta a las suyas con la fórmula B y Javier lo hace con la fórmula C. Al final de un periodo determinado se pesa de nuevo a cada rata y se registra el aumento neto en gramos. Ratas de Linda Ratas de Tuan Ratas de Javier 43,5 47,0 51,2 39,4 40,5 40,9 41,3 38,9 37,9 46,0 46,3 45,0 38,2 44,2 48,6 Determine si la varianza en el aumento de peso es estadísticamente igual entre las ratas de Javier y las de Linda. Pruebe con un nivel de significación del 10 %. H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( num ) = 4; df ( denom ) = 4 F 4, 4 3,00 2(0,1563) = 0,3126. Utilizando la función 2-SampFtest en la TI-83+/84+ se obtiene el estadístico de prueba como 2,9986 y el valor p directamente como 0,3127. Si se introducen las listas en un orden diferente, se obtiene un estadístico de prueba de 0,3335, pero el valor p permanece igual porque se trata de una prueba de dos colas. Compruebe la solución del estudiante. Decisión: No se rechaza la hipótesis nula; conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. Un grupo de base que se opone a la propuesta de aumentar el impuesto sobre la gasolina afirma que el aumento perjudicaría sobre todo a la clase trabajadora, ya que es la que se desplaza más lejos para ir a trabajar. Supongamos que el grupo encuestó aleatoriamente a 24 personas y les preguntó cuál es su millaje diario en un solo sentido. Los resultados son los siguientes. clase trabajadora profesionales (ingresos medios) profesionales (ricos) 17,8 16,5 8,5 26,7 17,4 6,3 49,4 22,0 4,6 9,4 7,4 12,6 65,4 9,4 11,0 47,1 2,1 28,6 19,5 6,4 15,4 51,2 13,9 9,3 Determine si la varianza del millaje conducido es estadísticamente igual entre los grupos de clase trabajadora y los de profesionales (ingresos medios). Utilice un nivel de significación del 5 %. ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen la misma varianza de longitud? ¿Cuáles dos tipos de revistas cree que tienen diferentes varianzas de longitud? Las respuestas pueden variar. Ejemplo de respuesta: Las revistas de decoración del hogar y las de noticias tienen diferentes varianzas. ¿La varianza de la cantidad de dinero, en dólares, que los compradores gastan los sábados en el centro comercial es igual a la que gastan los domingos en el centro comercial? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Sábado Domingo Sábado Domingo 75 44 62 137 18 58 0 82 150 61 124 39 94 19 50 127 62 99 31 141 73 60 118 73 89 ¿Las varianzas de los ingresos en la costa este y en la costa oeste son iguales? Supongamos que la muestra los resultados de un estudio. Los ingresos se indican en miles de dólares. Supongamos que ambas distribuciones son normales. Utilice un nivel de significación de 0,05. Este Oeste 38 71 47 126 30 42 82 51 75 44 52 90 115 88 67 H 0 : = σ 1 2 = σ 2 2 H a : σ 1 2 ≠ σ 1 2 df ( n ) = 7, df ( d ) = 6 F 7,6 0,8117 0,7825 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que las varianzas son diferentes. A treinta hombres universitarios se les enseñó un método de golpeteo con los dedos. Se les asignó aleatoriamente a tres grupos de diez, y cada uno recibió una de las tres dosis de cafeína: 0 mg, 100 mg, 200 mg. Una taza de café puede contener 100 mg y dos tazas de café, 200 mg. Dos horas después de ingerir la cafeína, se registró el ritmo de golpeteo de los dedos por minuto de los hombres. El experimento era de doble ciego, por lo que ni los que anotaban ni los estudiantes sabían en qué grupo estaban. ¿La cafeína afecta a la velocidad de golpeteo? y, si es así, ¿cómo? Aquí están los datos: 0 mg 100 mg 200 mg 0 mg 100 mg 200 mg 242 248 246 245 246 248 244 245 250 248 247 252 247 248 248 248 250 250 242 247 246 244 246 248 246 243 245 242 244 250 El rey Manuel I Komnenus gobernó el Imperio Bizantino desde Constantinopla (Estambul) desde el año 1145 hasta el año 1180 d.C. El imperio fue muy poderoso durante su reinado, pero decayó considerablemente después. Las monedas acuñadas durante su época se encontraron en Chipre, una isla del mar Mediterráneo oriental. Nueve monedas eran de su primera acuñación, siete de la segunda, cuatro de la tercera y siete de una cuarta. Abarcaban la mayor parte de su reinado. Tenemos datos sobre el contenido de plata de las monedas: Primera acuñación Segunda acuñación Tercera acuñación Cuarta acuñación 5,9 6,9 4,9 5,3 6,8 9,0 5,5 5,6 6,4 6,6 4,6 5,5 7,0 8,1 4,5 5,1 6,6 9,3 6,2 7,7 9,2 5,8 7,2 8,6 5,8 6,9 6,2 ¿El contenido de plata de las monedas cambió a lo largo del reinado de Manuel? Aquí están las medias y las varianzas de cada acuñación. Los datos están desequilibrados. Nombre Segunda Tercera Cuarta Media 6,7444 8,2429 4,875 5,6143 Varianza 0,2953 1,2095 0,2025 0,1314 Se muestra un gráfico de bandas del contenido de plata de las monedas: Aunque hay diferencias en la dispersión, no es descabellado utilizar técnicas del ANOVA. Aquí está la tabla de ANOVA completa: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 37,748 4 – 1 = 3 12,5825 26,272 Error (dentro) 11,015 27 – 4 = 23 0,4789 Total 48,763 27 – 1 = 26 P ( F > 26,272) = 0; Rechazar la hipótesis nula para toda alfa. Hay pruebas suficientes para concluir que el contenido medio de plata entre las cuatro acuñaciones es diferente. Del gráfico de bandas se desprende que las primeras y segundas acuñaciones tenían mayor contenido de plata que las terceras y cuartas. La Liga Americana y la Liga Nacional del Béisbol de Grandes Ligas (Major League Baseball, MLB) están segmentadas en tres divisiones cada una: Este, Centro y Oeste. En muchos años los aficionados hablan de que algunas divisiones son más fuertes (tienen mejores equipos) que otras. Esto puede tener consecuencias para la postemporada. Por ejemplo, en 2012 Tampa Bay ganó 90 partidos y no jugó la postemporada, mientras que Detroit solo ganó 88 y sí jugó la postemporada. Puede que haya sido una rareza, pero ¿hay pruebas fehacientes de que en la temporada 2012 las divisiones de la Liga Americana fueran significativamente diferentes en cuanto a registros generales? Use los siguientes datos para comprobar si el número medio de victorias por equipo en las tres divisiones de la Liga Americana es igual o no. Tenga en cuenta que los datos no están equilibrados, ya que dos divisiones tenían cinco equipos, mientras que una tenía cuatro solamente. División Equipo Victorias Este NY Yankees 95 Este Baltimore 93 Este Tampa Bay 90 Este Toronto 73 Este Boston 69 División Equipo Victorias Centro Detroit 88 Centro Chicago Sox 85 Centro Kansas City 72 Centro Cleveland 68 Centro Minnesota 66 División Equipo Victorias Oeste Oakland 94 Oeste Texas 93 Oeste LA Angels 89 Oeste Seattle 75 Se muestra un gráfico de bandas con el número de victorias de los 14 equipos de la Liga Americana para la temporada 2012. Aunque la dispersión parece similar, puede haber alguna duda sobre la normalidad de los datos, dadas las grandes diferencias en el medio cerca de la marca de 0,500 de 82 partidos (los equipos juegan 162 partidos cada temporada en el MLB). Sin embargo, el ANOVA de una vía es robusto. Aquí está la tabla de ANOVA para los datos: Fuente de variación Suma de los cuadrados ( SS ) Grados de libertad ( df ) Media cuadrática (Mean Square, MS ) F Factor (entre) 344,16 3 – 1 = 2 172,08 Error (dentro) 1.219,55 14 – 3 = 11 110,87 1,5521 Total 1.563,71 14 – 1 = 13 P ( F > 1,5521) = 0,2548. Ya que el valor p es tan grande, no hay una buena evidencia contra la hipótesis nula de igualdad de medias. No rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, para 2012, no hay ninguna buena evidencia de una diferencia significativa en el número medio de victorias entre las divisiones de la Liga Americana.

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Laboratorio: ANOVA de una vía ANOVA de una vía Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante llevará a cabo una prueba simple de ANOVA de una vía que incluya tres variables. Recopilación de datos Anote el precio por libra de ocho frutas, ocho vegetales y ocho panes en su supermercado local. Frutas Vegetales Panes Explique de qué manera podría recopilar los datos de forma aleatoria. Analice los datos y compruebe la hipótesis Indique la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Calcule lo siguiente: Frutas: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Vegetales: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Panes: x ¯ = ______ s x = ______ n = ______ Calcule lo siguiente: df ( num ) = ______ df ( denom ) = ______ Indique la distribución aproximada de la prueba. Estadístico de prueba: F = ______ Dibuje un gráfico de esta situación. DE FORMA CLARA, identifique y escale el eje horizontal y sombree la(s) región(es) correspondiente(s) al valor p . valor p = ______ Pruebe para α = 0,05. Exponga su decisión y su conclusión. Decisión: ¿Por qué ha tomado esta decisión? Conclusión (escriba una frase completa). Según los resultados de su estudio, ¿es necesario investigar los precios de alguno de los grupos alimenticios? ¿Por qué sí o por qué no?

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Ejercicios de repaso (caps. 3-13) Estos ejercicios de repaso están diseñados para proporcionar una práctica adicional sobre los conceptos aprendidos antes de un capítulo en particular. Por ejemplo, los ejercicios de repaso del Capítulo 3, cubren el material aprendido en los capítulos 1 y 2. Capítulo 3 Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: En un estudio de 100 acciones del NASDAQ, el porcentaje promedio de aumento del año pasado fue del 9 % para las acciones del NASDAQ. 1 . El “incremento promedio" de todas las acciones del NASDAQ es la: población estadística parámetro muestra variable 2. Todas las acciones del NASDAQ son la: población estadística parámetro muestra variable 3. El 9 % es la: población estadística parámetro muestra variable 4. Las 100 acciones del NASDAQ incluidas en la encuesta son la: población estadística parámetro muestra variable 5. El porcentaje de aumento de una acción en la encuesta es la: población estadística parámetro muestra variable 6. ¿Los datos recogidos serán cualitativos, cuantitativos discretos o cuantitativos continuos? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Treinta personas pasaron dos semanas en el Mardi Gras en Nueva Orleans. Su aumento de peso en dos semanas es el siguiente. (Nota: la pérdida de peso se muestra con un aumento de peso negativo). Aumento de peso Frecuencia -2 3 -1 5 0 2 1 4 4 13 6 2 11 1 7. Calcule los siguientes valores: el promedio de aumento de peso durante las dos semanas la desviación típica los cuartiles primero, segundo y tercero 8. Construya un histograma y un diagrama de caja y bigotes de los datos. Capítulo 4 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Una encuesta reciente sobre tarjetas de crédito reveló que el 35 % de los encuestados utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan. El 30 % de los encuestados cobra más de 2.000 dólares al mes. De los encuestados que cargan más de 2.000 dólares, el 80 % utiliza una tarjeta de crédito que les da una milla de viaje en avión por cada dólar que cargan. 9. ¿Cuál es la probabilidad de que un encuestado seleccionado al azar gaste más de 2.000 dólares Y utilice una tarjeta de crédito que le dé una milla de viaje en avión por cada dólar que cargue? (0,30)(0,35) (0,80)(0,35) (0,80)(0,30) (0,80) 10. ¿Utiliza una tarjeta de crédito que da una milla de viaje en avión por cada dólar gastado Y carga más de 2.000 dólares al mes en eventos independientes? Sí No, y tampoco son mutuamente excluyentes. No, pero son mutuamente excluyentes. No se da suficiente información para determinar la respuesta. 11. Una socióloga quiere conocer la opinión de las mujeres adultas empleadas sobre la financiación gubernamental de las guarderías. Obtiene una lista de 520 miembros de un club local de mujeres empresarias y profesionales y envía un cuestionario a 100 de estas mujeres seleccionadas al azar. Se han devuelto 68 cuestionarios. ¿Cuál es la población de este estudio? todas las mujeres adultas empleadas todas las integrantes de un club local de mujeres de negocios y profesionales las 100 mujeres que recibieron el cuestionario todas las mujeres empleadas con hijos Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Las dos siguientes preguntas se refieren a lo siguiente: Un artículo de The Mercury News de San José se preocupaba por el mestizaje racial de los 1.500 estudiantes de la escuela secundaria Prospect en Saratoga (California). El cuadro resume los resultados. (Los valores de hombres y mujeres son aproximados). Supongamos que se selecciona al azar un estudiante de la escuela secundaria Prospect. Sexo / grupo étnico Blancos Asiáticos Hispanos Negros Nativos estadounidenses Hombres 400 468 115 35 16 Mujeres 440 132 140 40 14 12. Halle la probabilidad de que un estudiante sea asiático u hombre. 13. Halle la probabilidad de que una estudiante sea negra, dado que es mujer. 14. Una muestra de los libras perdidas, en un mes determinado, por cada uno de los integrantes de una clínica de reducción de peso arrojó las siguientes estadísticas: Media = 5 lb. Mediana = 4,5 lb. Moda = 4 lb. Desviación típica = 3,8 lb. Primer cuartil = 2 lb. Tercer cuartil = 8,5 lb. La afirmación correcta es: Una cuarta parte de los integrantes rebajó exactamente dos libras. El 50 % de los integrantes rebajó de 2 a 8,5 lb. La mayoría rebajó entre 3,5 y 4,5 lb. Todas las opciones anteriores son correctas. 15. ¿Qué significa que un conjunto de datos tenga una desviación típica igual a cero? Todos los valores de los datos aparecen con la misma frecuencia. La media de los datos también es cero. Todos los datos tienen el mismo valor. Para empezar, no hay datos. 16. El enunciado que describe la ilustración es: la media es igual a la mediana. No hay un primer cuartil. El valor más bajo de los datos es la mediana. La mediana es igual a Q 1 + Q 3 2 . 17. Según un artículo reciente en The Mercury News de San José, el promedio de recién nacidos con una pérdida de audición significativa (sordera) es de aproximadamente 2 por cada 1.000 en la sala de bebés sanos. El número asciende a un promedio de 30 por cada 1.000 bebés en la sala de cuidados intensivos. Supongamos que se estudian al azar 1.000 bebés de salas de cuidados sanas. Calcule la probabilidad de que exactamente dos bebés hayan nacido sordos. 18. Un “amigo” le ofrece el siguiente “trato”. Por una tarifa de 10 dólares, puede elegir un sobre de una caja que contiene 100 sobres aparentemente idénticos. Sin embargo, cada sobre contiene un cupón para un regalo. Diez de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 6 dólares. Ochenta de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 8 dólares. Seis de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 12 dólares. Cuatro de los cupones son para un regalo que tiene un valor de 40 dólares. Según la ganancia o la pérdida financiera a largo plazo, ¿debería jugar el juego? Sí, espero ganar dinero. No, espero perder dinero. No importa. Espero llegar a un punto de equilibrio. Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Recientemente, un enfermero comentó que, cuando un paciente llama a la línea de asesoramiento médico para decir que tiene gripe, la probabilidad de que realmente la tenga (y no solo un molesto resfriado) es solo del 4 %. De los siguientes 25 pacientes que llaman para decir que tienen gripe, nos interesa saber cuántos realmente la tienen. 19. Defina la variable aleatoria y enumere sus posibles valores. 20. Indique la distribución de X . 21. Calcule la probabilidad de que, al menos, cuatro de los 25 pacientes tengan realmente gripe. 22. En promedio, por cada 25 pacientes que llaman, ¿cuántos espera que tengan gripe? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Los distintos tipos de escritura se distinguen a veces por el número de letras de las palabras utilizadas. Un estudiante interesado en este hecho quiere estudiar el número de letras de las palabras que utiliza Tom Clancy en sus novelas. Abre una novela de Clancy al azar y anota el número de letras de las primeras 250 palabras de la página. 23. ¿Qué tipo de datos se recopilaron? cualitativo continuo cuantitativo cuantitativo discreto 24. ¿Cuál es la población objeto de estudio? Capítulo 5 Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: Un estudio reciente sobre las madres de estudiantes de secundaria júnior en el condado de Santa Clara informó de que el 76 % de ellas están empleadas en puestos remunerados. De las madres que trabajan, el 64 % lo hace a tiempo completo (más de 35 horas semanales) y el 36 % a tiempo parcial. Sin embargo, de todas las madres de la población, el 49 % trabaja a tiempo completo. La población objeto de estudio está formada por las madres de estudiantes de escuela secundaria júnior en el condado de Santa Clara. Sea que E = empleado y F = empleo a tiempo completo. 25. Calcule el porcentaje de todas las madres de la población que NO están empleadas. Calcule el porcentaje de madres de la población que están empleadas a tiempo parcial. 26. ¿Qué clase de datos se considera "tipo de empleo"? 27. Calcule la probabilidad de que una madre seleccionada al azar trabaje a tiempo parcial, dado que está empleada. 28. Calcule la probabilidad de que una persona seleccionada al azar de la población esté empleada o trabaje a tiempo completo. 29. Estar empleado y trabajar a tiempo parcial: ¿eventos mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información adicional para responder los próximos dos ejercicios. Elegimos al azar diez madres de la población anterior. Nos interesa conocer el número de madres que están empleadas. Suponga que X = número de madres empleadas. 30. Indique la distribución de X . 31. Calcule la probabilidad de que al menos seis estén empleadas. 32. Esperamos que el tablero de discusión de estadísticas tenga, en promedio, 14 preguntas publicadas por semana. Nos interesa el número de preguntas publicadas al día. Defina X . ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable aleatoria? Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que de 10 a 14 (inclusive) preguntas se envíen al listserv en un día elegido al azar. 33. Una persona invierte 1.000 dólares en acciones de una compañía que espera incursionar en el mercado bursátil en un año. La probabilidad de que la persona pierda todo su dinero al cabo de un año (es decir, que sus acciones no valgan nada) es del 35 %. La probabilidad de que las acciones de esta persona sigan teniendo un valor de 1.000 dólares al cabo de un año (es decir, sin ganancias ni pérdidas) es del 60 %. La probabilidad de que las acciones de la persona aumenten su valor en 10.000 dólares al cabo de un año (es decir, que valgan 11.000 dólares) es del 5 %. Halle la ganancia esperado al cabo de un año. 34. El piano de Rachel costó 3.000 dólares. El costo promedio de un piano es de 4.000 dólares, con una desviación típica de 2.500 dólares. La guitarra de Becca costó 550 dólares. El costo promedio de una guitarra es de 500 dólares, con una desviación típica de 200 dólares. La batería de Matt costó 600 dólares. El costo promedio de una batería es de 700 dólares, con una desviación típica de 100 dólares. ¿Cuál es el costo más bajo en comparación con su propio instrumento? 35. Explique por qué cada afirmación es verdadera o falsa, teniendo en cuenta el diagrama de caja y bigotes de la . El 25 % de los datos es como máximo cinco. Hay la misma cantidad de datos de 4 a 5 que de 5 a 7. No hay valores de datos de tres. El cincuenta por ciento de los datos son cuatro. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: Se preguntó a 64 miembros de la facultad el número de automóviles que poseían (incluidos los del cónyuge y los de los hijos). Los resultados se recopilan en el siguiente gráfico: 36. Calcule el número aproximado de respuestas que fueron tres. 37. Halle los cuartiles primero, segundo y tercero. Utilícelos para construir un diagrama de caja y bigotes de los datos. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: la muestra los datos recogidos de 15 chicas del equipo de fútbol Snow Leopard cuando se les preguntó cómo les gustaba llevar el cabello. Suponga que una chica del equipo es seleccionada al azar. Estilo de cabello / color de cabello Rubio Marrón Negros Cola de caballo 3 2 5 Liso 2 2 1 38. Calcule la probabilidad de que la chica tenga el cabello negro, dado que lleva una cola de caballo. 39. Calcule la probabilidad de que la chica lleve el cabelo liso O tenga el cabello castaño. 40. Calcule la probabilidad de que la chica tenga el cabello rubio Y que lleve el cabello liso. Capítulo 6 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: X ~ U (3, 13) 41. Explique cuáles de los siguientes enunciados son falsos y cuáles son verdaderos. f ( x ) = 1 10 , 3 ≤ x ≤ 13 No tiene moda. La mediana es menor que la media. P ( x > 10) = P ( x ≤ 6) 42. Calcule: la media. la mediana. el percentil 65 . 43. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para el gráfico de caja y bigotes en la ? El 25 % de los datos son como máximo cinco. Hay más o menos la misma cantidad de datos de 4 a 5 que de 5 a 7. No hay valores de datos de tres. El cincuenta por ciento de los datos son cuatro. 44. Si P ( G | H ) = P ( G ), ¿cuál de las siguientes opciones es correcta? G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = P ( H ) Saber que H ha ocurrido afectará la posibilidad de que G ocurra. G y H son eventos independientes. 45. Si P ( J ) = 0,3, P ( K ) = 0,63, y J y K son eventos independientes, explique cuáles son correctos y cuáles incorrectos. P ( J Y K ) = 0 P ( J O K ) = 0,9 P (J O K ) = 0,72 P ( J ) ≠ P ( J | K ) 46. En promedio, cinco estudiantes de cada clase de la escuela secundaria obtienen becas completas para institutos universitarios de cuatro años. Supongamos que la mayoría de las clases de la escuela secundaria tienen unos 500 estudiantes. X = el número de estudiantes de una clase de bachillerato que obtienen becas completas en escuelas de cuatro años. ¿Cuál de las siguientes es la distribución de X ? P (5) B (500, 5) Exp ( 1 5 ) N ( 5 , ( 0,01 ) ( 0,99 ) 500 ) Capítulo 7 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega. 47. X ~ _________ U (0, 4) U (10, 20) Exp (2) N (2, 1) 48. El tiempo promedio de espera es: 1 hora. 2 horas. 2,5 horas. 4 horas. 49. Supongamos que es pasado el mediodía de un día de entrega. La probabilidad de que una persona deba esperar al menos 1,5 horas más es: 1 4 1 2 3 4 3 8 50. Dada: X ~ Exp ( 1 3 ) Calcule P ( x > 1). Calcule el valor mínimo del cuartil superior. Calcule P ( x = 1 3 ) 51. El 40 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 4 años en graduarse. El 30 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 5 años en graduarse. El 20 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 6 años en graduarse. El 10 % de los estudiantes a tiempo completo tardaron 7 años en graduarse. El tiempo previsto para que los estudiantes a tiempo completo se gradúen es: 4 años 4,5 años 5 años 5,5 años 52. ¿Cuál de las siguientes distribuciones se describe con el siguiente ejemplo? Muchas personas pueden correr una distancia corta de menos de dos millas. Sin embargo, a medida que la distancia aumenta, menos personas pueden correr esa distancia. binomial uniforme exponencial normal 53. En general, se considera que el tiempo que se tarda en cepillarse los dientes tiene una distribución exponencial con una media de 3 4 minutos. Halle la probabilidad de que una persona seleccionada al azar se cepille los dientes menos de 3 4 minutos. 0,5 3 4 0,43 0,63 54. ¿Qué distribución describe con exactitud la siguiente situación? La probabilidad de que un adolescente dé regularmente un beso de buenas noches a su madre es de un 20 %. Se encuesta a 14 adolescentes al azar. Sea que X = el número de adolescentes que dan regularmente un beso de buenas noches a su madre B (14; 0,20) P (2,8) N (2,8; 2,24) Exp ( 1 0,20 ) 55. Un informe de 2008 sobre el uso de la tecnología afirma que aproximadamente el 20 % de los hogares estadounidenses no han enviado nunca un correo electrónico. Supongamos que seleccionamos una muestra aleatoria de catorce hogares estadounidenses. Sea que X = el número de hogares de una muestra de 2008 de 14 hogares que nunca han enviado un correo electrónico B (14; 0,20) P (2,8) N (2,8; 2,24) Exp ( 1 0,20 ) Capítulo 8 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Supongamos que una muestra de 15 personas elegidas al azar se somete a una dieta especial para bajar de peso. La cantidad de peso rebajado, en libras, sigue una distribución desconocida con media igual a 12 libras y desviación típica igual a tres libras. Supongamos que la distribución de la pérdida de peso es normal. 56. Para calcular la probabilidad de que la cantidad media de peso que rebajen 15 personas no sea superior a 14 libras, la variable aleatoria debe ser: número de personas que han rebajado con la dieta especial para bajar de peso. el número de personas que seguían la dieta. la cantidad media del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. la cantidad total del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. 57. Calcule la probabilidad que se pide en la pregunta 56 . 58. Calcule el 90. o de la media de pérdida de peso de 15 personas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El momento en que se produce el primer accidente durante la hora pico de tráfico en una intersección importante se distribuye uniformemente entre el intervalo de tres horas que va de las 4:00 p. m. a las 7:00 p. m. Sea que X = la cantidad de tiempo (horas) que tarda en producirse el primer accidente. 59. ¿Cuál es la probabilidad de que la hora de ocurrencia se encuentre dentro de la primera media hora o de la última hora del periodo comprendido entre las 4:00 p. m. y las 7:00 p. m.? no se puede determinar a partir de la información dada 1 6 1 2 1 3 60. ¿El 20. o percentil se produce después de cuántas horas? 0,20 0,60 0,50 1 61. Supongamos que Ramón ha llevado la cuenta de las horas en que se producen los primeros accidentes durante 40 días diferentes. Sea que C = el tiempo total acumulado. Entonces, ¿a qué distribución se ajusta C ? U (0,3) Exp (13) N (60; 5,477) N (1,5, 0,01875) 62. Utilizando la información de la pregunta 61 , calcule la probabilidad de que el tiempo total para que se produzcan todos los primeros accidentes sea superior a 43 horas. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: El tiempo que los padres deben esperar a que sus hijos limpien su habitación se distribuye uniformemente en el intervalo de tiempo de uno a 15 días. 63. ¿Cuánto tiempo deben esperar los padres para que sus hijos limpien su habitación? ocho días tres días 14 días seis días 64. ¿Cuál es la probabilidad de que los padres esperen más de seis días, dado que ya han pasado más de tres días? 0,5174 0,0174 0,7500 0,2143 Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: El 20 % de los estudiantes de un colegio comunitario local viven en un radio de cinco millas del campus. El 30 % de los estudiantes del mismo colegio comunitario reciben algún tipo de ayuda financiera. De los que viven a menos de cinco millas del campus, el 75 % recibe algún tipo de ayuda financiera. 65. Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar en el colegio comunitario local no viva a menos de cinco millas del campus. 80% 20% 30% no se puede determinar 66. Calcule la probabilidad de que un estudiante elegido al azar en el colegio comunitario local viva a menos de cinco millas del campus o reciba algún tipo de ayuda económica. 50% 35% 27,5% 75% 67. ¿Vivir en una vivienda estudiantil a menos de cinco millas del campus y recibir algún tipo de ayuda financiera son dos elementos que se excluyen mutuamente? sí no no se puede determinar 68. El tipo de interés que se aplica a la ayuda financiera es un dato _______. cuantitativo discreto continuo cuantitativo cualitativo discreto cualitativo 69. La siguiente información se refiere a los estudiantes que reciben ayuda financiera en el colegio comunitario local. 1.º cuartil = 250 dólares 2.º cuartil = 700 dólares 3.º cuartil = 1.200 dólares Estas cantidades son para el año escolar. Si se toma una muestra de 200 estudiantes, ¿cuántos se espera que reciban 250 dólares o más? 50 250 150 no se puede determinar Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: P ( A ) = 0,2, P ( B ) = 0,3; A y B son acontecimientos independientes. 70. P ( A Y B ) = ______ 0,5 0,6 0 0,06 71. P ( A O B ) = _______ 0,56 0,5 0,44 1 72. Si H y D son eventos mutuamente excluyentes, P ( H ) = 0,25, P ( D ) = 0,15, entonces P ( H | D ). 1 0 0,40 0,0375 Capítulo 9 73. Rebecca y Matt son gemelos de 14 años. La altura de Matt está dos desviaciones típicas por debajo de la media de la altura de los chicos de 14 años. La estatura de Rebeca está 0,10 desviaciones típicas por encima de la media de la estatura de las chicas de 14 años. Interprete esto. Matt es 2,1 pulgadas más bajo que Rebecca. Rebecca es muy alta en comparación con otras chicas de 14 años. Rebecca es más alta que Matt. Matt es más bajo que el promedio de los niños de 14 años. 74. Construya un histograma de los datos de la OPI (vea el C - CONJUNTOS DE DATOS ). Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se preguntó a 90 propietarios de viviendas el número de presupuestos que obtuvieron antes de fumigar sus casas. Suponga que X = el número de presupuestos. x Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 0,3 2 0,2 4 0,4 5 0,1 75. Complete la columna de frecuencia acumulada. 76. Calcule la media de la muestra (a), la desviación típica de la muestra (b) y el porcentaje de los presupuestos que están por debajo de cuatro (c). 77. Calcule la mediana, M , el primer cuartil, Q 1 , el tercer cuartil, Q 3 . A continuación, construya un gráfico de caja y bigotes de los datos. 78. El 50 % de los datos están entre _____ y _____. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se preguntó a 70 estudiantes de 5. o y 6. o grado cuál era su cena favorita. Pizza Hamburguesas Espaguetis Camarones fritos Estudiantes de 5.º grado 15 6 9 0 Estudiantes de 6.º grado 15 7 10 8 79. Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar curse el sexto grado y prefiera los camarones fritos. 32 70 8 32 8 8 8 70 80. Calcule la probabilidad de que un niño no prefiera la pizza. 30 70 30 40 40 70 1 81. Calcule la probabilidad de que un niño esté en el 5. o grado, dado que prefiere los espaguetis. 9 19 9 70 9 30 19 70 82. Una muestra de conveniencia es una muestra aleatoria. verdadero falso 83. Una estadística es un número que es una propiedad de la población. verdadero falso 84. Siempre hay que descartar los datos que son atípicos. verdadero falso 85. Lee hace tartas para un pequeño restaurante en Felton, California. Hornea un promedio de 20 tartas al día. Nos interesa el número de tartas que hornea cada día. Defina la variable aleatoria X . Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que Lee hornee más de 25 tartas en un día determinado. 86. Se seleccionaron al azar seis marcas diferentes de aderezo italiano para ensaladas en un supermercado. Los gramos de grasa por porción son 7, 7, 9, 6, 8, 5. Supongamos que la distribución subyacente es normal. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de gramos de grasa por porción de aderezo para ensalada italiana que se vende en los supermercados. 87. Dadas: distribuciones uniforme, exponencial y normal. Relacione cada una de ellas con una de las siguientes afirmaciones. media = mediana ≠ moda media > mediana > moda media = mediana = moda Capítulo 10 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: En una encuesta realizada en la estación de esquí de Kirkwood se registró la siguiente información: 0–10 11-20 21–40 más de 40 años Esquí 10 12 30 8 Tabla sobre nieve 6 17 12 5 Supongamos que se selecciona al azar una persona de la . 88. Calcule la probabilidad de que la persona sea esquiadora o tenga entre 11 y 20 años. 89. Calcule la probabilidad de que la persona sea tablista sobre nieve, dado que tiene entre 21 y 40 años. 90. Explique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. El deporte y la edad son eventos independientes. El esquí y la edad de 11 a 20 años son eventos mutuamente excluyentes. P (Esquí Y edad 21-40) < P (Esquí | edad 21-40) P (Snowboard O edad 0-10) < P (Snowboard | edad 0-10) 91. El tiempo promedio que una persona con una pierna fracturada lleva un yeso es de aproximadamente seis semanas. La desviación típica es de unas tres semanas. Se entrevistó a 30 personas que se habían curado recientemente de una fractura de pierna. Indique la distribución que refleje con mayor exactitud el tiempo total de curación de las 30 personas. 92. La distribución de X es uniforme. ¿Qué podemos decir con certeza sobre la distribución para X ¯ cuando n = 1? La distribución para X ¯ sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con una media y una desviación típica diferentes a las de la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con la misma media pero con una desviación típica mayor que la distribución de X . La distribución para X ¯ es normal con la misma media pero con una desviación típica menor que la distribución de X . 93. La distribución de X es uniforme. ¿Qué podemos decir con certeza sobre la distribución para ∑ X cuando n = 50? La distribución para ∑ X sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con la misma media, pero una desviación típica mayor que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con una media y una desviación típica mayores que la distribución de X . La distribución para ∑ X es normal con la misma media pero con una desviación típica menor que la distribución de X . Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Un grupo de estudiantes midió la longitud de todas las zanahorias de una bolsa de 5 libras de zanahorias bebé. Calcularon que la longitud promedio de las zanahorias bebé era de 2,0 pulgadas, con una desviación típica de 0,25 pulgadas. Supongamos que encuestamos al azar 16 bolsas de zanahorias bebé de 5 libras. 94. Indique la distribución aproximada para X ¯ , la distribución de las longitudes promedio de las zanahorias bebé en 16 bolsas de 5 libras. X ¯ ~ ______ 95. Explique por qué no podemos hallar la probabilidad de que una zanahoria individual elegida al azar sea mayor que 2,25 pulgadas. 96. Calcule la probabilidad de que x ¯ esté entre dos y 2,25 pulgadas. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Al principio del curso, el tiempo que un estudiante espera en la fila de la tienda del campus se distribuye normalmente con una media de 5 minutos y una desviación típica de 2 minutos. 97. Calcule el percentil 90 del tiempo de espera en minutos. 98. Calcule la mediana del tiempo de espera para un estudiante. 99. Calcule la probabilidad de que el tiempo promedio de espera de 40 estudiantes sea de al menos 4,5 minutos. Capítulo 11 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Supongamos que el tiempo que los propietarios conservan sus automóviles (comprados nuevos) se distribuye normalmente con una media de 7 años y una desviación típica de 2 años. Nos interesa saber cuánto tiempo conserva una persona su automóvil (comprado nuevo). Nuestra población está conformada por personas que compran sus automóviles nuevos. 100. ¿El 60 % de las personas conserva su automóvil cuántos años como máximo ? 101. Supongamos que encuestamos al azar a una persona. Calcule la probabilidad de que una persona conserve su automóvil menos de 2,5 años. 102. Si elegimos a las personas de diez en diez, calcule la distribución para la media del tiempo de propiedad del automóvil. 103. Si elegimos a 10 personas, calcule la probabilidad de que la suma de su tiempo de propiedad sea superior a 55 años. 104. ¿En qué distribución la mediana no es igual a la media? Uniforme Exponencial Normal t de Student 105. Compare la distribución normal estándar con la distribución t de Student, centrada en cero. Explique cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. A medida que aumenta el número de encuestados, el área a la izquierda de -1 de la distribución t de Student se aproxima al área de la distribución normal estándar. A medida que disminuyen los grados de libertad, el gráfico de la distribución t de Student se parece más al gráfico de la distribución normal estándar. Si el número de encuestados es 15, no se debe utilizar nunca la distribución normal. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: Nos interesa el saldo en cuenta corriente de los estudiantes universitarios de veinte años. Encuestamos al azar a 16 estudiantes universitarios de 20 años. Obtenemos una media muestral de 640 dólares y una desviación típica muestral de 150 dólares. Sea que X = el saldo de la cuenta corriente de un estudiante universitario de 20 años. 106. Explique por qué no podemos determinar la distribución de X . 107. Si tuviera que crear un intervalo de confianza o comprobar una hipótesis para el saldo medio en cuenta corriente de la población de estudiantes universitarios de veinte años, ¿qué distribución utilizaría? 108. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la media real del saldo en cuenta corriente de un estudiante universitario de 20 años. 109. ¿Qué tipo de datos se considera el saldo en cuenta corriente? 110. ¿Qué tipo de datos se considera el número de estudiantes de 20 años? 111. En promedio, un servicio de urgencias muy concurrido atiende a un paciente con una herida de escopeta aproximadamente una vez a la semana. Nos interesa el número de pacientes con una herida de escopeta que atiende el servicio de urgencias cada 28 días. Defina la variable aleatoria X . Indique la distribución de X . Calcule la probabilidad de que la sala de emergencias no atienda a ningún paciente con heridas de escopeta en los próximos 28 días. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: La probabilidad de que una determinada máquina tragaperras devuelva el dinero cuando se introduce una moneda de 25 centavos es de 0,30. Supongamos que cada jugada de la máquina tragaperras es independiente de las demás. Una persona pone 15 cuartos de dólar para 15 jugadas. 112. ¿El número esperado de jugadas de la máquina tragaperras que devolverá el dinero es mayor, menor o igual que la mediana? Explique su respuesta. 113. ¿Es probable que exactamente ocho de las 15 jugadas devuelvan el dinero? Justifique su respuesta numéricamente. 114. Se juega una partida con las siguientes reglas: cuesta 10 dólares participar. una moneda imparcial se lanza cuatro veces. si no obtiene cuatro caras o cuatro cruces, pierde sus 10 dólares. si saca cuatro caras o cuatro cruces, recupera sus 10 dólares, más 30 dólares más. A largo plazo de jugar a este juego, ¿cuáles son sus ganancias esperadas? 115. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Raquel fue de 74, con una desviación típica de cinco. Rachel obtuvo un 80. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Becca fue de 47, con una desviación típica de dos. Becca obtuvo un 51. La nota media de un examen de Matemáticas en la clase de Matt fue de 70, con una desviación típica de ocho. Matt obtuvo un 83. Calcule la mejor puntuación en comparación con su propia clase. Justifique su respuesta numéricamente. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Se preguntó a una muestra aleatoria de 70 jugadores compulsivos el número de días que van a los casinos a la semana. Los resultados se recopilan en el siguiente gráfico: 116. Calcule el número de respuestas que fueron 5. 117. Calcule la media, la desviación típica, la mediana, el primer cuartil, el tercer cuartil y el rango intercuartil (Interquartile Range, IQR) . 118. Según las investigaciones realizadas en el De Anza College, se cree que alrededor del 19 % de la población estudiantil habla un idioma distinto del inglés en casa. Supongamos que este año se realiza un estudio para ver si ese porcentaje ha disminuido. Se encuestó aleatoriamente a 98 estudiantes con los siguientes resultados. Catorce respondieron que hablan un idioma distinto del inglés en casa. Plantee una hipótesis nula adecuada. Plantee una hipótesis alternativa adecuada. Defina la variable aleatoria P ′. Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Con un nivel de decisión del 5 %, ¿cuál es su decisión sobre la hipótesis nula? ¿Qué es el error tipo I? ¿Qué es el error tipo II? 119. Suponga que es usted un paramédico de emergencias llamado a rescatar a las víctimas de un accidente. Tiene que ayudar a un paciente que sangra profusamente. También se considera que el paciente tiene un alto riesgo de contraer SIDA. Supongamos que la hipótesis nula es que el paciente no tiene el virus del VIH. ¿Cuál es un error de tipo I? 120. Se dice que los californianos son más despreocupados que el resto de los estadounidenses. Supongamos que se realiza una encuesta para ver si la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo es mayor que la proporción de profesionales no californianos. Se encuestaron 50 de cada uno con los siguientes resultados. Quince californianos van en jeans al trabajo y seis no californianos lo hacen. Supongamos que C = profesional californiano; NC = profesional no californiano Plantee las hipótesis nula y alternativa adecuadas. Defina la variable aleatoria. Calcule el estadístico de prueba y el valor p . Con un nivel de significación del 5 %, ¿cuál es su decisión? ¿Qué es el error tipo I? ¿Qué es el error tipo II? Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Un grupo de estudiantes de Estadística ha desarrollado una técnica que, según ellos, reduce su nivel de ansiedad en los exámenes. Midieron su nivel de ansiedad al principio del trimestre y de nuevo al final. Se registran los datos emparejados en ese orden: (1.000, 900); (1.200, 1.050); (600, 700); (1.300, 1.100); (1.000, 900); (900, 900). 121. Esta es una prueba de (elija la mejor respuesta): muestras grandes, medias independientes muestras pequeñas, medias independientes medias dependientes 122. Indique la distribución que se utilizará para la prueba. Capítulo 12 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Una encuesta reciente sobre el embarazo precoz en Estados Unidos fue contestada por 720 chicas de entre 12 y 19 años. El 6 % de las chicas encuestadas dijeron que habían estado embarazadas. Nos interesa conocer la verdadera proporción de chicas estadounidenses, de 12 a 19 años, que han estado embarazadas. 123. Calcule el intervalo de confianza del 95 % para la verdadera proporción de niñas estadounidenses, de 12 a 19 años, que han estado embarazadas. 124. El informe también indica que los resultados de la encuesta tienen una precisión de ±3,7 % con un nivel de confianza del 95 %. Supongamos que se va a realizar otro estudio. Se desea una precisión del 2 % del nivel de confianza del 95 %. ¿Cuál es el número mínimo de personas que deberían encuestarse? 125. Dada: X ~ Exp ( 1 3 ) . Dibuje el gráfico que representa: P ( x > 1). Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se sabe que la cantidad de dinero que un cliente gasta cuando va al supermercado tiene una distribución exponencial. Supongamos que la cantidad media de dinero que gasta un cliente en un viaje al supermercado es de 72 dólares. 126. Calcule la probabilidad de que un cliente gaste menos de 72 dólares en un viaje al supermercado. 127. Supongamos que cinco clientes ponen en común su dinero. ¿Cuánto dinero en total espera que gasten los cinco clientes en un solo viaje al supermercado (en dólares)? 128. Indique la distribución que debe utilizar si quiere calcular la probabilidad de que la cantidad media que gastan cinco clientes en un viaje al supermercado sea inferior a 60 dólares. Capítulo 13 Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que se produzca una sequía en cualquier año independiente es del 20 %. De los años en los que se produce una sequía, la probabilidad de racionamiento de agua es del 10 %. Sin embargo, en cualquier año, la probabilidad de racionamiento de agua es del 5 %. 129. ¿Cuál es la probabilidad de que se produzca tanto una sequía como racionamiento de agua? 130. De los años con racionamiento de agua, calcule la probabilidad de que haya una sequía. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Manzana Calabaza Pecanas Mujeres 40 10 30 Hombres 20 30 10 131. Supongamos que se elige una persona al azar. Calcule la probabilidad de que la tarta favorita de la persona sea de manzana o de que la persona sea hombre. 132. Supongamos que se elige a un hombre al azar. Calcule la probabilidad de que su tarta favorita sea la de pecanas. 133. Realice una comprobación de hipótesis para determinar si el tipo de tarta favorita y el sexo son independientes. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: Supongamos que la probabilidad de que un adulto vea las noticias, al menos, una vez a la semana sea de 0,60. 134. Encuestamos 14 personas al azar. En promedio, ¿cuántas personas esperamos que vean las noticias al menos una vez a la semana? 135. Encuestamos 14 personas al azar. Nos interesa el número de personas que ven las noticias al menos una vez a la semana. Indique la distribución de X . X ~ _____ 136. ¿Qué distribución de muestreo es probable que haya generado el siguiente histograma? Chi-cuadrado Geométrica Uniforme Binomial 137. Se sabe que la edad de los estudiantes nocturnos de De Anza se distribuye normalmente con una media poblacional de 40 y una desviación típica poblacional de seis. Una muestra de seis estudiantes nocturnos de De Anza declararon sus edades (en años) como: 28; 35; 47; 45; 30; 50. Calcule la probabilidad de que la media de seis edades de estudiantes elegidos al azar sea inferior a 35 años. Sugerencia: Calcule la media de la muestra. 138. Se realizó un examen de Matemáticas a todos los niños de quinto grado que asisten a Country School. Se tomaron dos muestras aleatorias de calificaciones. La hipótesis nula es que las puntuaciones medias en Matemáticas de niños y niñas en quinto grado son iguales. Realice una prueba de hipótesis. n x ¯ s 2 Niños 55 82 29 Niñas 60 86 46 139. En una encuesta realizada a 80 hombres, 55 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. De las 70 mujeres encuestadas, 25 habían practicado un deporte organizado durante su infancia. Nos interesa saber si la proporción de hombres es mayor que la de mujeres. Realice una prueba de hipótesis. 140. ¿Cuál de las siguientes opciones es preferible a la hora de diseñar una prueba de hipótesis? Maximizar α y minimizar β Minimizar α y maximizar β Maximizar α y β Minimizar α y β Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Se encuestó a 120 personas sobre su bebida favorita (sin alcohol). Los resultados son los siguientes. Bebida / edad 0–9 10–19 20–29 más de 30 años Totales Leche 14 10 6 0 30 Gaseosa 3 8 26 15 52 Jugo 7 12 12 7 38 Totales 24 330 44 22 120 141. Son los elementos leche y más de 30 años: ¿eventos independientes? Justifique su respuesta. ¿eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta. 142. Supongamos que se elige a una persona al azar. Calcule la probabilidad de que la persona tenga de 10 a 19 años, dado que prefiere el jugo. 143. ¿Son eventos independientes la "bebida preferida" y la "edad"? Realice una prueba de hipótesis. 144. Dado el siguiente histograma, ¿de qué distribución es más probable que procedan los datos? uniforme exponencial normal chi-cuadrado Soluciones Capítulo 3 1. c. parámetro 2. a. población 3. b. estadística 4. d. muestra 5. e. variable 6. cuantitativo continuo 7. 2,27 3,04 -1, 4, 4 8. Las respuestas variarán. Capítulo 4 9. c. (0,80)(0,30) 10. b. No, y tampoco son mutuamente excluyentes. 11. a. todas las mujeres adultas empleadas 12. 0,5773 13. 0,0522 14. b. El 50 % de los integrantes rebajó de 2 a 8,5 lb. 15. c. Todos los datos tienen el mismo valor. 16. c. El valor más bajo de los datos es la mediana. 17. 0,279 18. b. No, espero perder dinero. 19. X = el número de pacientes que llaman para decir que tienen gripe y que realmente la tienen. X = 0, 1, 2, …25 20. B (25, 0,04) 21. 0,0165 22. 1 23. c. cuantitativo discreto 24. todas las palabras utilizadas por Tom Clancy en sus novelas Capítulo 5 25. 24 % 27% 26. cualitativo 27. 0,36 28. 0,7636 29. No No 30. B (10, 0,76) 31. 0,9330 32. X = el número de preguntas enviadas al día a listserv de estadísticas. X = 0, 1, 2,… X ~ P (2) 0 33. $150 34. Matt 35. falso verdadero falso falso 36. 16 37. primer cuartil: 2 segundo cuartil: 2 tercer cuartil: 3 38. 0,5 39. 7 15 40. 2 15 Capítulo 6 41. verdadero verdadero Falso; la mediana y la media son iguales para esta distribución simétrica. verdadero 42. 8 8 P ( x < k ) = 0,65 = ( k - 3) ( 1 10 ) . k = 9,5 43. Falso; 3 4 de los datos son como máximo cinco. Verdadero; cada cuartil tiene el 25 % de los datos. Falso; eso es desconocido. Falso; el 50 % de los datos son cuatro o menos. 44. d. G y H son eventos independientes. 45. Falso; J y K son independientes, por lo que no son mutuamente excluyentes, lo que implicaría dependencia (lo que significa que P ( J Y K ) no es 0). Falso; ver respuesta c. Verdadero; P ( J O K ) = P ( J ) + P ( K ) - P ( J Y K ) = P ( J ) + P ( K ) - P ( J ) P ( K ) = 0,3 + 0,6 - (0,3)(0,6) = 0,72. Observe que P ( J Y K ) = P ( J ) P ( K ) porque J y K son independientes. Falso; J y K son independientes por lo que P ( J ) = P ( J | K ) 46. a. P (5) Capítulo 7 47. a. U (0, 4) 48. b. 2 horas 49. a. 1 4 50. 0,7165 4,16 0 51. c. 5 años 52. c. exponencial 53. 0,63 54. B (14; 0,20) 55. B (14; 0,20) Capítulo 8 56. c. la cantidad media del peso que rebajan 15 personas con la dieta especial para bajar de peso. 57. 0,9951 58. 12,99 59. c. 1 2 60. b. 0,60 61. c. N (60; 5,477) 62. 0,9990 63. a. ocho días 64. c. 0,7500 65. a. 80% 66. b. 35% 67. b. no 68. b. cuantitativo continuo 69. c. 150 70. d. 0,06 71. c. 0,44 72. b. 0 Capítulo 9 73. d. Matt es más bajo que el promedio de los niños de 14 años. 74. Las respuestas variarán. 75. x Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 1 0,3 0,3 2 0,2 0,2 4 0,4 0,4 5 0,1 0,1 76. 2,8 1,48 90% 77. M = 3; Q 1 = 1; Q 3 = 4 78. 1 y 4 79. d. 8 70 80. c. 40 70 81. a. 9 19 82. b. falso 83. b. falso 84. b. falso 85. X = el número de tartas que Lee hornea cada día. P (20) 0,1122 86. CI: (5,25, 8,48) 87. uniforme exponencial normal Capítulo 10 88. 77 100 89. 12 42 90. falso falso verdadero falso 91. N (180, 16,43) 92. a. La distribución para X ¯ sigue siendo uniforme con las mismas media y desviación típica que la distribución de X . 93. c. La distribución para ∑ X es normal con una media y una desviación típica mayores que la distribución de X . 94. N ( 2 , 0,25 16 ) 95. Las respuestas variarán. 96. 0,5000 97. 7,6 98. 5 99. 0,9431 Capítulo 11 100. 7,5 101. 0,0122 102. N (7, 0,63) 103. 0,9911 104. b. Exponencial 105. verdadero falso falso 106. Las respuestas variarán. 107. t de Student con df = 15 108. (560,07, 719,93) 109. datos cuantitativos continuos 110. datos cuantitativos discretos 111. X = número de pacientes con heridas de escopeta que atiende el servicio de urgencias cada 28 días P (4) 0,0183 112. mayor que 113. No; P ( x = 8) = 0,0348 114. Perderá 5 dólares. 115. Becca 116. 14 117. Media de la muestra = 3,2 Desviación típica de la muestra = 1,85 Mediana = 3 Q 1 = 2 Q 3 = 5 IQR = 3 118. d. z = -1,19 e. 0,1171 f. no rechazar la hipótesis nula. 119. Llegamos a la conclusión de que el paciente tiene el virus del VIH cuando, en realidad, no lo tiene. 120. c. z = 2,21; p = 0,0136 d. Rechazar la hipótesis nula. e. Llegamos a la conclusión de que la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo es mayor que la proporción de profesionales no californianos cuando, en realidad, no es mayor. f. No podemos concluir que la proporción de profesionales californianos que llevan jeans al trabajo sea mayor que la proporción de profesionales no californianos cuando, de hecho, es mayor. 121. c. medias dependientes 122. t 5 Capítulo 12 123. (0,0424, 0,0770) 124. 2.401 125. Compruebe la solución del estudiante. 126. 0,6321 127. $360 128. N ( 72 , 72 5 ) Capítulo 13 129. 0,02 130. 0,40 131. 100 140 132. 10 60 133. valor p = 0; rechazar la hipótesis nula; concluir que son eventos dependientes 134. 8,4 135. B (14, 0,60) 136. d. Binomial 137. 0,3669 138. valor p = 0,0006; rechazar la hipótesis nula; concluir que los promedios no son iguales 139. valor p = 0; rechazar la hipótesis nula; concluir que la proporción de hombres es mayor 140. Minimizar α y β 141. No Sí, P ( M Y más de 30 años) = 0 142. 12 38 143. No; valor p = 0 144. a. uniforme Referencias Datos de The Mercury News de San José. Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email” (El 20 % de los estadounidenses nunca ha utilizado el correo electrónico). Webguild.org, 2010. Disponible en línea en: http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de octubre de 2013). Datos de la Revista Parade .

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