Funciones exponenciales y logarítmicas En esta sección examinamos las funciones exponenciales y logarítmicas. Utilizamos las propiedades de estas funciones para resolver ecuaciones que implican términos exponenciales o logarítmicos, y estudiamos el significado y la importancia del número e . También definimos las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas, que implican combinaciones de funciones exponenciales y logarítmicas. (Tenga en cuenta que presentamos definiciones alternativas de las funciones exponenciales y logarítmicas en el capítulo Aplicaciones de las integraciones , y demostramos que las funciones tienen las mismas propiedades con cualquiera de las dos definiciones) Funciones exponenciales Las funciones exponenciales aparecen en muchas aplicaciones. Un ejemplo común es el crecimiento de la población . Por ejemplo, si una población comienza con P 0 individuos y luego crece a una tasa anual de 2 % , su población después de 1 año es P ( 1 ) = P 0 + 0,02 P 0 = P 0 ( 1 + 0,02 ) = P 0 ( 1,02 ) . Su población después de 2 años es P ( 2 ) = P ( 1 ) + 0,02 P ( 1 ) = P ( 1 ) ( 1,02 ) = P 0 ( 1,02 ) 2 . En general, su población después de t años es P ( t ) = P 0 ( 1,02 ) t , que es una función exponencial. De forma más general, cualquier función de la forma f ( x ) = b x , donde b > 0 , b ≠ 1 , es una función exponencial con base b y exponente x . Las funciones exponenciales tienen bases constantes y exponentes variables. Observe que una función de la forma f ( x ) = x b para alguna constante b no es una función exponencial sino una función potencia. Para ver la diferencia entre una función exponencial y una función potencia, comparamos las funciones y = x 2 y y = 2 x . En la , vemos que tanto 2 x y x 2 se acercan al infinito a medida que x → ∞ . Sin embargo, con el tiempo, 2 x se hace más grande que x 2 y crece más rápidamente a medida que x → ∞ . En la dirección opuesta, a medida que x → − ∞ , x 2 → ∞ , mientras que 2 x → 0 . La línea y = 0 es una asíntota horizontal para y = 2 x . Los valores de x 2 y 2 x x −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 x 2 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 2 x 1 / 8 1 / 4 1 / 2 1 2 4 8 16 32 64 En la , graficamos ambas y = x 2 y y = 2 x para mostrar las diferencias entre los gráficos. Tanto 2 x y x 2 se acercan al infinito a medida que x → ∞ , pero 2 x crece más rápidamente que x 2 . Dado que x → − ∞ , x 2 → ∞ , mientras que 2 x → 0 . Evaluación de funciones exponenciales Recuerde las propiedades de los exponentes: si los valores de x es un número entero positivo, entonces definimos b x = b . b ⋯ b (con x factores de b ) . Si x es un número entero negativo, entonces x = − y para algún número entero positivo y , y definimos b x = b − y = 1 / b y . También, b 0 se define como 1 . Si x es un número racional, entonces x = p / q , donde p y q son números enteros y b x = b p / q = b p q . Por ejemplo, 9 3 / 2 = 9 3 = 27 . Sin embargo, ¿cómo se define b x si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué entendemos por 2 2 ? Esta es una pregunta demasiado compleja para que podamos responderla completamente en este momento; sin embargo, podemos hacer una aproximación. En la , enumeramos algunos números racionales que se acercan a 2 , y los valores de 2 x para cada número racional x también se presentan. Afirmamos que si elegimos números racionales x cada vez más cerca de 2 , los valores de 2 x se acercan cada vez más a algún número L . Definimos que ese número L para que sea 2 2 . Los valores de 2 x para una lista de números racionales que se aproximan a 2 x 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421 1,414213 2 x 2,639 2,65737 2,66475 2,665119 2,665138 2,665143 Crecimiento bacteriano Supongamos que se sabe que una determinada población de bacterias duplica su tamaño cada 4 horas. Si un cultivo comienza con 1.000 bacterias, el número de bacterias después de 4 horas es n ( 4 ) = 1.000 . 2 . El número de bacterias después de 8 horas es n ( 8 ) = n ( 4 ) . 2 = 1.000 . 2 2 . En general, el número de bacterias después de 4 m horas es n ( 4 m ) = 1.000 . 2 m . Supongamos que t = 4 m , vemos que el número de bacterias después de t horas es n ( t ) = 1.000 . 2 t / 4 . Calcule el número de bacterias después de 6 horas, 10 horas, y 24 horas. El número de bacterias después de 6 horas está dado por n ( 6 ) = 1.000 . 2 6 / 4 ≈ 2828 bacterias. El número de bacterias después de 10 horas está dado por n ( 10 ) = 1.000 . 2 10 / 4 ≈ 5657 bacterias. El número de bacterias después de 24 horas está dado por n ( 24 ) = 1.000 . 2 6 = 64.000 bacterias. Dada la función exponencial f ( x ) = 100 . 3 x / 2 , evaluar f ( 4 ) y f ( 10 ) . f ( 4 ) = 900 ; f ( 10 ) = 24 , 300 . Visite World Population Balance (balance de la población mundial) para ver otro ejemplo de crecimiento exponencial de la población. Gráficos de funciones exponenciales Para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función exponencial f ( x ) = b x se define para todos los números reales x y b x > 0 . Por lo tanto, el dominio de f ( x ) = b x es ( − ∞ , ∞ ) y el rango es ( 0 , ∞ ) . Para graficar b x , observamos que para b > 1 , b x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) y b x → ∞ cuando x → ∞ , mientras que b x → 0 cuando x → − ∞ . Por otro lado, si 0 < b < 1 , f ( x ) = b x es decreciente en ( − ∞ , ∞ ) y b x → 0 cuando x → ∞ mientras que b x → ∞ cuando x → − ∞ ( ). Si los valores de b > 1 , entonces b x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) . Si 0 < b < 1 , entonces b x es decreciente en ( − ∞ , ∞ ) . Visite este sitio para explorar más los gráficos de las funciones exponenciales. Observe que las funciones exponenciales cumplen las leyes generales de los exponentes. Para recordar estas leyes, las exponemos como reglas. Regla: leyes de los exponentes Para cualquier constante a > 0 , b > 0 , y para todo x y y , b x . b y = b x + y b x b y = b x − y ( b x ) y = b x y ( a b ) x = a x b x a x b x = ( a b ) x Uso de las leyes de los exponentes Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de las siguientes expresiones. ( 2 x 2 / 3 ) 3 ( 4 x −1 / 3 ) 2 ( x 3 y −1 ) 2 ( x y 2 ) −2 Podemos simplificar de la siguiente manera: ( 2 x 2 / 3 ) 3 ( 4 x −1 / 3 ) 2 = 2 3 ( x 2 / 3 ) 3 4 2 ( x −1 / 3 ) 2 = 8 x 2 16 x −2 / 3 = x 2 x 2 / 3 2 = x 8 / 3 2 . Podemos simplificar de la siguiente manera: ( x 3 y −1 ) 2 ( x y 2 ) −2 = ( x 3 ) 2 ( y −1 ) 2 x −2 ( y 2 ) −2 = x 6 y −2 x −2 y −4 = x 6 x 2 y −2 y 4 = x 8 y 2 . Utilice las leyes de los exponentes para simplificar ( 6 x −3 y 2 ) / ( 12 x −4 y 5 ) . x / ( 2 y 3 ) Pista x a / x b = x a − b El número e Un tipo especial de función exponencial aparece con frecuencia en aplicaciones del mundo real. Para describirlo, consideremos el siguiente ejemplo de crecimiento exponencial, que surge del interés compuesto en una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte P dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual r , calculada anualmente. La cantidad de dinero después de 1 año es A ( 1 ) = P + r P = P ( 1 + r ) . La cantidad de dinero después de 2 años es A ( 2 ) = A ( 1 ) + r A ( 1 ) = P ( 1 + r ) + r P ( 1 + r ) = P ( 1 + r ) 2 . En general, la cantidad después de t años es A ( t ) = P ( 1 + r ) t . Si el dinero se calcula 2 veces al año, la cantidad de dinero después de medio año es A ( 1 2 ) = P + ( r 2 ) P = P ( 1 + ( r 2 ) ) . La cantidad de dinero después de 1 año es A ( 1 ) = A ( 1 2 ) + ( r 2 ) A ( 1 2 ) = P ( 1 + r 2 ) + r 2 ( P ( 1 + r 2 ) ) = P ( 1 + r 2 ) 2 . Después de t años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( t ) = P ( 1 + r 2 ) 2 t . En general, si el dinero se calcula n veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después de t años está dada por la función A ( t ) = P ( 1 + r n ) n t . ¿Qué sucede a medida que n → ∞ ? Para responder esta pregunta, suponemos que m = n / r y escribimos ( 1 + r n ) n t = ( 1 + 1 m ) m r t , y examinamos el comportamiento de ( 1 + 1 / m ) m a medida que m → ∞ , utilizando una tabla de valores ( ). Los valores de ( 1 + 1 m ) m a medida que m → ∞ m 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ( 1 + 1 m ). m 2,5937 2,7048 2,71692 2,71815 2,718268 2,718280 De esta tabla se desprende que ( 1 + 1 / m ) m se acerca a un número entre 2,7 y 2,8 a medida que m → ∞ . De hecho, ( 1 + 1 / m ) m se acerca a algún número a medida que m → ∞ . Llamamos a este número e . Con seis decimales de exactitud, e ≈ 2,718282 . La letra e fue utilizada por primera vez para representar este número por el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720. Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexiones importantes entre e y las funciones logarítmicas. Seguimos utilizando la notación e hoy para honrar el trabajo de Euler porque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porque podemos utilizarla en muchas aplicaciones prácticas. Volviendo a nuestro ejemplo de la cuenta de ahorros, podemos concluir que si una persona pone P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r , calculada continuamente, entonces A ( t ) = P e r t . Esta función puede resultar familiar. Dado que las funciones que involucran a la base e surgen a menudo en aplicaciones, llamamos a la función f ( x ) = e x la función exponencial natural . Esta función no solo es interesante por la definición del número e , pero además, como se verá a continuación, su gráfico tiene una propiedad importante. Dado que e > 1 , sabemos que e x es creciente en ( − ∞ , ∞ ) . En la , mostramos un gráfico de f ( x ) = e x junto con una línea tangente al gráfico de en x = 0 . Damos una definición precisa de línea tangente en el próximo capítulo; pero, de manera informal, decimos que una línea tangente a un gráfico de f en x = a es una línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) y tiene la misma "pendiente" que f en ese punto . La función f ( x ) = e x es la única función exponencial b x con la línea tangente en x = 0 que tiene una pendiente de 1. Como veremos más adelante en el texto, tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea la función exponencial más sencilla de utilizar en muchos casos. El gráfico de f ( x ) = e x tiene una línea tangente con pendiente 1 en x = 0 . Interés compuesto Supongamos que se invierten $ 500 en una cuenta con una tasa de interés anual de r = 5,5 % , calculada continuamente. Supongamos que t denota el número de años después de la inversión inicial y A ( t ) denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo t . Halle una fórmula para A ( t ) . Calcule la cantidad de dinero en la cuenta después de 10 años y después de 20 años. Si se invierten P dólares en una cuenta con una tasa de interés anual r , calculada continuamente, entonces A ( t ) = P e r t . Aquí P = $ 500 dólares y r = 0,055 . Por lo tanto, A ( t ) = 500 e 0,055 t . Después de 10 años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( 10 ) = 500 e 0,055 . 10 = 500 e 0,55 ≈ $ 866,63 . Después de 20 años, la cantidad de dinero en la cuenta es A ( 20 ) = 500 e 0,055 . 20 = 500 e 1,1 ≈ $ 1 . 502,08 . Si se invierten $ 750 dólares en una cuenta con una tasa de interés anual de 4 % , calculada continuamente, halle una fórmula para la cantidad de dinero en la cuenta después de t años. Calcule la cantidad de dinero después de 30 años. A ( t ) = 750 e 0,04 t . Después de 30 años, habrá aproximadamente $ 2 . 490,09 . Pista A ( t ) = P e r t . Funciones logarítmicas Utilizando nuestra comprensión de las funciones exponenciales, podemos discutir sus inversas, que son las funciones logarítmicas. Resultan útiles cuando tenemos que considerar cualquier fenómeno que varía en un amplio rango de valores, como el pH en química o los decibeles en niveles de sonido. La función exponencial f ( x ) = b x es biunívoca, con dominio ( − ∞ , ∞ ) y rango ( 0 , ∞ ) . Por lo tanto, tiene una función inversa, llamada función logarítmica con base b . Para cualquier b > 0 , b ≠ 1 , la función logarítmica con base b , denotada log b , tiene dominio ( 0 , ∞ ) y rango ( − ∞ , ∞ ) , y satisface log b ( x ) = y si y solo si b y = x . Por ejemplo, log 2 ( 8 ) = 3 dado que 2 3 = 8 , log 10 ( 1 100 ) = −2 dado que 10 −2 = 1 10 2 = 1 100 , log b ( 1 ) = 0 dado que b 0 = 1 para cualquier base b > 0 . Además, como y = log b ( x ) y de y = b x son funciones inversas, log b ( b x ) = x y b log b ( x ) = x . La función logarítmica más utilizada es la función log e . Dado que esta función utiliza e natural como base, se llama logaritmo natural . Aquí utilizamos la notación ln ( x ) o ln x con el significado de log e ( x ) . Por ejemplo, ln ( e ) = log e ( e ) = 1 , ln ( e 3 ) = log e ( e 3 ) = 3 , ln ( 1 ) = log e ( 1 ) = 0 . Dado que las funciones f ( x ) = e x y g ( x ) = ln ( x ) son inversas entre sí, ln ( e x ) = x y e ln x = x , y sus gráficos son simétricos respecto a la línea y = x ( ). Las funciones y = e x como y = ln ( x ) son inversas entre sí, por lo que sus gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . En este sitio puede ver un ejemplo de escala logarítmica de base 10. En general, para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función g ( x ) = log b ( x ) es simétrica respecto a la línea y = x con la función f ( x ) = b x . Utilizando este hecho y los gráficos de las funciones exponenciales, graficamos las funciones log b para varios valores de b > 1 ( ). Gráficos de y = log b ( x ) se representan para b = 2 , e , 10 . Antes de resolver algunas ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas, vamos a repasar las propiedades básicas de los logaritmos. Regla: propiedades de los logaritmos Si los valores de a , b , c > 0 , b ≠ 1 , y r es un número real cualquiera, entonces 1 log b ( a c ) = log b ( a ) + log b ( c ) (Propiedad del producto) 2. log b ( a c ) = log b ( a ) − log b ( c ) (Propiedad del cociente) 3. log b ( a r ) = r log b ( a ) (Propiedad de la potencia) Resolución de ecuaciones con funciones exponenciales Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x . 5 x = 2 e x + 6 e – x = 5 Aplicando la función de logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, tenemos ln 5 x = ln 2 . Utilizando la propiedad de la potencia de los logaritmos, x ln 5 = ln 2 . Por lo tanto, x = ln 2 / ln 5 . Multiplicando ambos lados de la ecuación por e x , llegamos a la ecuación e 2 x + 6 = 5 e x . Reescribiendo esta ecuación como e 2 x − 5 e x + 6 = 0 , podemos entonces reescribirla como una ecuación cuadrática en e x : ( e x ) 2 − 5 ( e x ) + 6 = 0 . Ahora podemos resolver la ecuación cuadrática. Factorizando esta ecuación, obtenemos ( e x − 3 ) ( e x − 2 ) = 0 . Por lo tanto, las soluciones satisfacen e x = 3 y e x = 2 . Tomando el logaritmo natural de ambos lados nos da las soluciones x = ln 3 , ln 2 . Resuelva e 2 x / ( 3 + e 2 x ) = 1 / 2 . x = ln 3 2 Pista Primero resuelva la ecuación para e 2 x . Resolución de ecuaciones con funciones logarítmicas Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x . ln ( 1 x ) = 4 log 10 x + log 10 x = 2 ln ( 2 x ) − 3 ln ( x 2 ) = 0 Por la definición de la función de logaritmo natural, ln ( 1 x ) = 4 si y solo si e 4 = 1 x . Por lo tanto, la solución es x = 1 / e 4 . Utilizando las propiedades del producto y la potencia de las funciones logarítmicas, reescriba el lado izquierdo de la ecuación como log 10 x + log 10 x = log 10 x x = log 10 x 3 / 2 = 3 2 log 10 x . Por lo tanto, la ecuación puede reescribirse como 3 2 log 10 x = 2 o log 10 x = 4 3 . La solución es x = 10 4 / 3 = 10 10 3 . Utilizando la propiedad de la potencia de las funciones logarítmicas, podemos reescribir la ecuación como ln ( 2 x ) − ln ( x 6 ) = 0 . Utilizando la propiedad del cociente, esto se convierte en ln ( 2 x 5 ) = 0 . Por lo tanto, 2 / x 5 = 1 , lo que implica x = 2 5 . A continuación, debemos comprobar si hay soluciones extrañas. Resuelva ln ( x 3 ) − 4 ln ( x ) = 1 . x = 1 e Pista Primero utilice la propiedad de la potencia, luego utilice la propiedad del producto de los logaritmos. Cuando se evalúa una función logarítmica con una calculadora, es posible que haya notado que las únicas opciones son log 10 o log, llamado el logaritmo común o ln , que es el logaritmo natural. Sin embargo, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas pueden expresarse en términos de cualquier base deseada b . Si necesita usar una calculadora para evaluar una expresión con una base diferente, puede aplicar primero las fórmulas de cambio de base. Utilizando este cambio de base, solemos escribir una función exponencial o logarítmica dada en términos de las funciones exponencial natural y de logaritmo natural. Regla: fórmulas de cambio de base Supongamos que a > 0 , b > 0 , y a ≠ 1 , b ≠ 1 . a x = b x log b a para cualquier número real x . Si b = e , esta ecuación se reduce a a x = e x log e a = e x ln a . log a x = log b x log b a para cualquier número real x > 0 . Si b = e , esta ecuación se reduce a log a x = ln x ln a . Prueba Para la primera fórmula de cambio de base, comenzamos haciendo uso de la propiedad de potencia de las funciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , log b ( a x ) = x log b a . Por lo tanto, b log b ( a x ) = b x log b a . Además, sabemos que b x y log b ( x ) son funciones inversas. Por lo tanto, b log b ( a x ) = a x . Combinando estas dos últimas igualdades, concluimos que a x = b x log b a . Para demostrar la segunda propiedad, demostramos que ( log b a ) . ( log a x ) = log b x . Supongamos que u = log b a , v = log a x , y w = log b x . Demostraremos que u . v = w . Por la definición de las funciones logarítmicas, sabemos que b u = a , a v = x , y b w = x . De las ecuaciones anteriores, vemos que b u v = ( b u ) v = a v = x = b w . Por lo tanto, b u v = b w . Como las funciones exponenciales son biunívocas, podemos concluir que u . v = w . □ Cambio de bases Utilice una calculadora para evaluar log 3 7 con la fórmula de cambio de base presentada anteriormente. Utilice la segunda ecuación con a = 3 y e = 3 : log 3 7 = ln 7 ln 3 ≈ 1,77124 . Utilice la fórmula de cambio de base y una calculadora para evaluar log 4 6 . 1,29248 Pista Utilice el cambio de base para reescribir esta expresión en términos de expresiones que impliquen la función de logaritmo natural. Inicio del capítulo: La escala de Richter para los terremotos (créditos: modificación del trabajo de Robb Hannawacker, NPS). En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocida como escala de Richter ) para medir la magnitud de un terremoto . La escala es una escala logarítmica de base 10, y puede describirse de la siguiente forma: consideremos un terremoto de magnitud R 1 en la escala de Richter y un segundo terremoto de magnitud R 2 en la escala de Richter. Supongamos que R 1 > R 2 , lo que significa que el terremoto de magnitud R 1 es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte es que el otro terremoto? Una forma de medir la intensidad de un terremoto es utilizar un sismógrafo para medir la amplitud de las ondas sísmicas. Si los valores de A 1 es la amplitud medida para el primer terremoto y A 2 es la amplitud medida para el segundo terremoto, entonces las amplitudes y magnitudes de los dos terremotos satisfacen la siguiente ecuación: R 1 − R 2 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Considere un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y un terremoto de magnitud 7 en la escala de Richter. Entonces, 8 − 7 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Por lo tanto, log 10 ( A 1 A 2 ) = 1 , lo que implica A 1 / A 2 = 10 o A 1 = 10 A 2 . Dado que A 1 es 10 veces más grande que A 2 , decimos que el primer terremoto es 10 veces más intenso que el segundo. Por otro lado, si un terremoto de magnitud 8 en la escala de Richter y otro de magnitud 6, entonces la intensidad relativa de los dos terremotos satisface la ecuación log 10 ( A 1 A 2 ) = 8 − 6 = 2 . Por lo tanto, A 1 = 100 A 2 . Es decir, el primer terremoto es 100 veces más intenso que el segundo. ¿Cómo podemos utilizar las funciones logarítmicas para comparar la gravedad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en 2011 con el terremoto de magnitud 7,3 en Haití en 2010? Para comparar los terremotos de Japón y Haití, podemos utilizar una ecuación presentada anteriormente: 9 − 7,3 = log 10 ( A 1 A 2 ) . Por lo tanto, A 1 / A 2 = 10 1,7 , y concluimos que el terremoto de Japón fue aproximadamente 50 veces más intenso que el terremoto de Haití. Compare la gravedad relativa de un terremoto de magnitud 8,4 con uno de magnitud 7,4 . El terremoto de magnitud 8,4 es aproximadamente 10 veces más grave que el de magnitud 7,4 . Pista R 1 − R 2 = log 10 ( A 1 / A 2 ) . Funciones hiperbólicas Las funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertas combinaciones de e x y e – x . Estas funciones surgen de forma natural en diversas aplicaciones de ingeniería y física, como el estudio de las ondas de agua y las vibraciones de las membranas elásticas. Otro uso común de una función hiperbólica es la representación de una cadena o cable colgante, también conocida como catenaria ( ). Si introducimos un sistema de coordenadas para que el punto bajo de la cadena se encuentre a lo largo del eje y , podemos describir la altura de la cadena en términos de una función hiperbólica. En primer lugar, definimos las funciones hiperbólicas . La forma de una hebra de seda en una tela de araña puede describirse en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplica a una cadena o cable que cuelga de dos soportes solo con su propio peso (créditos: "Mtpaley", Wikimedia Commons). Definición Coseno hiperbólico cosh x = e x + e – x 2 Seno hiperbólico senoh x = e x − e – x 2 Tangente hiperbólica tanh x = senoh x cosh x = e x − e – x e x + e – x Cosecante hiperbólica csch x = 1 senoh x = 2 e x − e – x Secante hiperbólica sech x = 1 cosh x = 2 e x + e – x Cotangente hiperbólica coth x = cosh x senoh x = e x + e – x e x − e – x El nombre cosh rima con "gosh", mientras que el nombre senh se pronuncia “cench". Tanh , sech , csch y coth se pronuncian "tanch", "seech", "coseech" y "cotanch", respectivamente. Utilizando la definición de cosh ( x ) y los principios de la física, se puede demostrar que la altura de una cadena colgante, como la que aparece en la , se puede describir mediante la función h ( x ) = a cosh ( x / a ) + c para ciertas constantes a y c . Pero, ¿por qué estas funciones se llaman funciones hiperbólicas ? Para responder esta pregunta, consideremos la cantidad cosh 2 t − senoh 2 t . Utilizando la definición de cosh y senoh , vemos que cosh 2 t − senoh 2 t = e 2 t + 2 + e −2 t 4 − e 2 t − 2 + e −2 t 4 = 1 . Esta identidad es el análogo de la identidad trigonométrica cos 2 t + sen 2 t = 1 . Aquí, dado un valor t , el punto ( x , y ) = ( cosh t , senoh t ) se encuentra en la hipérbola unitaria x 2 − y 2 = 1 ( ). La hipérbola unitaria cosh 2 t − senoh 2 t = 1 . Gráficos de funciones hiperbólicas Para graficar cosh x y senoh x , aprovechamos el hecho de que ambas funciones se acercan a ( 1 / 2 ) e x a medida que x → ∞ , dado que e – x → 0 cuando x → ∞ . Dado que x → − ∞ , cosh x se acerca a 1 / 2 e – x , mientras que senoh x se acerca a −1 / 2 e – x . Por lo tanto, utilizando los gráficos de 1 / 2 e x , 1 / 2 e – x , y − 1 / 2 e – x como guías, graficamos cosh x y senoh x . Para graficar tanh x , utilizamos el hecho de que tanh ( 0 ) = 0 , −1 < tanh ( x ) < 1 para todo x , tanh x → 1 cuando x → ∞ , y tanh x → − 1 cuando x → − ∞ . Los gráficos de las otras tres funciones hiperbólicas se pueden dibujar utilizando los gráficos de cosh x , senoh x , y tanh x ( ). Las funciones hiperbólicas son combinaciones de e x y e – x . Identidades que involucran funciones hiperbólicas La identidad cosh 2 t − senoh 2 t , mostrada en la , es una de las varias identidades que involucran funciones hiperbólicas, algunas de las cuales se enumeran a continuación. Las cuatro primeras propiedades se deducen fácilmente de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Salvo algunas diferencias de signo, la mayoría de estas propiedades son análogas a las identidades de las funciones trigonométricas. Regla: identidades que involucran funciones hiperbólicas cosh ( − x ) = cosh x senoh ( − x ) = − senoh x cosh x + senoh x = e x cosh x − senoh x = e – x cosh 2 x − senoh 2 x = 1 1 − tanh 2 x = sech 2 x coth 2 x – 1 = csch 2 x senoh ( x ± y ) = senoh x cosh y ± cosh x senoh y cosh ( x ± y ) = cosh x cosh y ± senoh x senoh y Evaluación de funciones hiperbólicas Simplifique senoh ( 5 ln x ) . Si los valores de senoh x = 3 / 4 , calcule los valores de las cinco funciones hiperbólicas restantes. Utilizando la definición del senoh , escribimos senoh ( 5 ln x ) = e 5 ln x − e −5 ln x 2 = e ln ( x 5 ) − e ln ( x −5 ) 2 = x 5 − x −5 2 . Utilizando la identidad cosh 2 x − senoh 2 x = 1 , vemos que cosh 2 x = 1 + ( 3 4 ) 2 = 25 16 . Dado que cosh x ≥ 1 para todo x , debemos tener cosh x = 5 / 4 . Entonces, utilizando las definiciones para las otras funciones hiperbólicas, concluimos que tanh x = 3 / 5 , csch x = 4 / 3 , sech x = 4 / 5 , y coth x = 5 / 3 . Simplifique cosh ( 2 ln x ) . ( x 2 + x −2 ) / 2 Pista Utilice la definición de la función cosh y la propiedad de la potencia de las funciones logarítmicas. Funciones hiperbólicas inversas A partir de los gráficos de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellas son biunívocas excepto cosh x y sech x . Si restringimos los dominios de estas dos funciones al intervalo [ 0 , ∞ ) , entonces todas las funciones hiperbólicas son biunívocas, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas . Dado que las funciones hiperbólicas propiamente dichas implican funciones exponenciales, las funciones hiperbólicas inversas implican funciones logarítmicas. Definición Funciones hiperbólicas inversas senoh −1 x = arcsenh x = ln ( x + x 2 + 1 ) cosh −1 x = arccosh x = ln ( x + x 2 – 1 ) tanh −1 x = arctanh x = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) coth −1 x = arccot x = 1 2 ln ( x + 1 x – 1 ) sech −1 x = arcsech x = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) csch −1 x = arccsch x = ln ( 1 x + 1 + x 2 | x | ) Veamos cómo derivar la primera ecuación. Las demás siguen el mismo camino. Supongamos que y = senoh −1 x . Entonces, x = senoh y y, por la definición de la función de seno hiperbólico, x = e y − e − y 2 . Por lo tanto, e y − 2 x − e − y = 0 . Multiplicando esta ecuación por e y , obtenemos e 2 y − 2 x e y − 1 = 0 . Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la solución e y = 2 x ± 4 x 2 + 4 2 = x ± x 2 + 1 . Dado que e y > 0 , la única solución es la del signo positivo. Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, concluimos que y = ln ( x + x 2 + 1 ) . Evaluación de funciones hiperbólicas inversas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. senoh −1 ( 2 ) grandes. tanh −1 ( 1 / 4 ) grandes. senoh −1 ( 2 ) = ln ( 2 + 2 2 + 1 ) = ln ( 2 + 5 ) ≈ 1,4436 tanh −1 ( 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 1 + 1 / 4 1 − 1 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 / 4 3 / 4 ) = 1 2 ln ( 5 3 ) ≈ 0,2554 Evalúe tanh −1 ( 1 / 2 ) . 1 2 ln ( 3 ) ≈ 0,5493 . Pista Use la definición de tanh −1 x y simplifique. Conceptos clave La función exponencial y = b x es creciente si b > 1 y decreciente si 0 < b < 1 . Su dominio es ( − ∞ , ∞ ) y su rango es ( 0 , ∞ ) . La función logarítmica y = log b ( x ) es la inversa de y = b x . Su dominio es ( 0 , ∞ ) y su rango es ( − ∞ , ∞ ) . La función exponencial natural es y = e x y la función de logaritmo natural es y = ln x = log e x . Dada una función exponencial o logarítmica en base a , podemos hacer un cambio de base para convertir esta función a cualquier base b > 0 , b ≠ 1 . Solemos convertir a base e . Las funciones hiperbólicas son combinaciones de las funciones exponenciales e x y e – x . Como resultado, las funciones hiperbólicas inversas implican el logaritmo natural. En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones exponenciales dadas como se indica, con precisión de dos dígitos significativos después del decimal. f ( x ) = 5 x a. x = 3 b. x = 1 2 c. x = 2 a. 125 b. 2,24 c. 9,74 f ( x ) = ( 0,3 ) x a. x = −1 b. x = 4 c. x = −1,5 f ( x ) = 10 x a. x = −2 b. x = 4 c. x = 5 3 a. 0,01 b. 10.000 c. 46,42 f ( x ) = e x a. x = 2 b. x = −3,2 c. x = π En los siguientes ejercicios, relacione la ecuación exponencial con el gráfico correcto. y = 4 − x y = 3 x – 1 y = 2 x + 1 y = ( 1 2 ) x + 2 y = − 3 − x y = 1 − 5 x d b e En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función exponencial. Determine el dominio, el rango y la asíntota horizontal. f ( x ) = e x + 2 Dominio: todos los números reales, rango: ( 2 , ∞ ) , y = 2 f ( x ) = − 2 x f ( x ) = 3 x + 1 Dominio: todos los números reales, rango: ( 0 , ∞ ) , y = 0 f ( x ) = 4 x – 1 f ( x ) = 1 − 2 − x Dominio: todos los números reales, rango: ( − ∞ , 1 ) , y = 1 f ( x ) = 5 x + 1 + 2 f ( x ) = e – x – 1 Dominio: todos los números reales, rango: ( –1 , ∞ ) , y = –1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma exponencial equivalente. log 3 81 = 4 log 8 2 = 1 3 8 1 / 3 = 2 log 5 1 = 0 log 5 25 = 2 5 2 = 25 log 0,1 = –1 ln ( 1 e 3 ) = −3 e −3 = 1 e 3 log 9 3 = 0,5 ln 1 = 0 e 0 = 1 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación en forma logarítmica equivalente. 2 3 = 8 4 −2 = 1 16 log 4 ( 1 16 ) = –2 10 2 = 100 9 0 = 1 log 9 1 = 0 ( 1 3 ) 3 = 1 27 64 3 = 4 log 64 4 = 1 3 e x = y 9 y = 150 log 9 150 = y b 3 = 45 4 −3 / 2 = 0,125 log 4 0,125 = − 3 2 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función logarítmica. Determine el dominio, el rango y la asíntota vertical. f ( x ) = 3 + ln x f ( x ) = ln ( x – 1 ) Dominio: ( 1 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = 1 f ( x ) = ln ( − x ) grandes. f ( x ) = 1 − ln x Dominio: ( 0 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = 0 f ( x ) = log x – 1 f ( x ) = ln ( x + 1 ) Dominio: ( –1 , ∞ ) , rango: ( − ∞ , ∞ ) , x = –1 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de los logaritmos para escribir las expresiones como suma, diferencia o producto de logaritmos. log x 4 y log 3 9 a 3 b 2 + 3 log 3 a − log 3 b ln a b 3 log 5 125 x y 3 3 2 + 1 2 log 5 x + 3 2 log 5 y log 4 x y 3 64 ln ( 6 e 3 ) grandes. − 3 2 + ln 6 En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación exponencial de manera exacta. 5 x = 125 e 3 x − 15 = 0 ln 15 3 8 x = 4 4 x + 1 − 32 = 0 3 2 3 x / 14 = 1 10 10 x = 7,21 log 7,21 4 . 2 3 x − 20 = 0 7 3 x − 2 = 11 2 3 + log 11 3 log 7 En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación logarítmica de manera exacta, si es posible. log 3 x = 0 log 5 x = –2 x = 1 25 log 4 ( x + 5 ) = 0 log ( 2 x − 7 ) = 0 x = 4 ln x + 3 = 2 log 6 ( x + 9 ) + log 6 x = 2 x = 3 log 4 ( x + 2 ) − log 4 ( x – 1 ) = 0 ln x + ln ( x − 2 ) = ln 4 1 + 5 En los siguientes ejercicios, utilice la fórmula de cambio de base y la base 10 o la base e para evaluar las expresiones dadas. Responda en forma exacta y en forma aproximada, redondeando a cuatro decimales. log 5 47 log 7 82 ( log 82 log 7 ≈ 2,2646 ) grandes. log 6 103 log 0,5 211 ( log 211 log 0,5 ≈ − 7,7211 ) grandes. log 2 π log 0,2 0,452 ( log 0,452 log 0,2 ≈ 0,4934 ) Reescriba las siguientes expresiones en términos de exponenciales y simplifique. a. 2 cosh ( ln x ) b. cosh 4 x + senoh 4 x c. cosh 2 x − senoh 2 x d. ln ( cosh x + senoh x ) + ln ( cosh x − senoh x ) [T] El número de bacterias N en un cultivo después de t días puede modelarse mediante la función N ( t ) = 1300 . ( 2 ) t / 4 . Calcule el número de bacterias presentes después de 15 días. ~ 17 , 491 [T] La demanda D (en millones de barriles) de petróleo en un país rico en petróleo viene dada por la función D ( p ) = 150 . ( 2,7 ) −0,25 p , donde p es el precio (en dólares) del barril de petróleo. Calcule la cantidad de petróleo demandada (al millón de barriles más cercano) cuando el precio está entre 15 y 20 dólares. [T] El monto A de una inversión de 100.000 dólares que se paga de forma continua y compuesta durante t años está dado por A ( t ) = 100.000 . e 0,055 t . Calcule el monto A acumulado en 5 años. Se acumulan aproximadamente 131.653 dólares en 5 años. [T] Una inversión se calcula mensual, trimestral o anualmente y está dada por la función A = P ( 1 + j n ) n t , donde A es el valor de la inversión en el tiempo t , P es el capital inicial que se invirtió, j es la tasa de interés anual y n es el número de veces que se calculan los intereses al año. Dada una tasa de interés anual del 3,5 % y un capital inicial de 100.000 dólares, calcule el monto A acumulado en 5 años para los intereses que se calculan a. diariamente, b., mensualmente, c. trimestralmente y d. anualmente. [T] La concentración de iones de hidrógeno en una sustancia se denota mediante [ H + ] , medida en moles por litro. El pH de una sustancia se define mediante la función logarítmica pH = − log [ H + ] . Esta función se utiliza para medir la acidez de una sustancia. El pH del agua es de 7. Una sustancia con un pH inferior a 7 es un ácido, mientras que la que tiene un pH superior a 7 es una base. Calcule el pH de las siguientes sustancias. Redondee las respuestas a un dígito. Determine si la sustancia es un ácido o una base. Huevos: [ H + ] = 1,6 × 10 −8 mol/L Cerveza: [ H + ] = 3,16 × 10 −3 mol/L Jugo de tomate: [ H + ] = 7,94 × 10 −5 mol/L i. a. pH = 8 b. Base ii. a. pH = 3 b. Ácido iii. a. pH = 4 b. Ácido [T] El yodo-131 es una sustancia radiactiva que se descompone según la función Q ( t ) = Q 0 . e −0,08664 t , donde Q 0 es la cantidad inicial de una muestra de la sustancia y t está en días. Determine el tiempo que tarda (al día más cercano) en descomponerse el 95 % de una cantidad. [T] Según el Banco Mundial, a finales de 2013 ( t = 0 ) la población de EE. UU. era de 316 millones de habitantes y aumentaba de acuerdo con el siguiente modelo: P ( t ) = 316 e 0,0074 t , donde P se mide en millones de personas y t se mide en años después de 2013. Según este modelo, ¿cuál será la población de Estados Unidos en 2020? Determine cuándo la población de Estados Unidos será el doble que en 2013. a. ~ 333 millones b. 94 años a partir de 2013, o en 2107 [T] El monto A acumulado después de invertir 1.000 dólares durante t años a una tasa de interés del 4 % se modela mediante la función A ( t ) = 1.000 ( 1,04 ) t . Calcule el monto acumulado después de 5 años y 10 años. Determine el tiempo que tarda en triplicarse la inversión original. [T] Se sabe que una colonia bacteriana cultivada en un laboratorio duplica su número en 12 horas. Supongamos que, inicialmente, hay 1.000 bacterias presentes. Utilice la función exponencial Q = Q 0 e k t para determinar el valor k , que es la tasa de crecimiento de la bacteria. Redondee a cuatro decimales. Determine aproximadamente el tiempo que tardan en crecer 200.000 bacterias. a. k ≈ 0,0578 b. ≈ 92 horas [T] La población de conejos en una reserva de caza se duplica cada 6 meses. Supongamos que hay 120 conejos inicialmente. Utilice la función exponencial P = P 0 a t para determinar la tasa de crecimiento constante a . Redondee a cuatro decimales. Utilice la función de la parte a. para determinar aproximadamente el tiempo que tarda la población de conejos en llegar a 3500. [T] El terremoto de 1906 en San Francisco tuvo una magnitud de 8,3 en la escala de Richter. Al mismo tiempo, en Japón, un terremoto de magnitud 4,9 solo causó daños menores. ¿Aproximadamente cuánta más energía liberó el terremoto de San Francisco que el de Japón? Consulte la definición de la escala de Richter en el de esta sección. El terremoto de San Francisco tuvo 10 3,4 o ~ 2.512 veces más energía que el terremoto de Japón. Ejercicios de repaso del capítulo ¿ Verdadero o falso ? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Una función es siempre biunívoca. f ∘ g = g ∘ f , asumiendo que f y g son funciones. Falso Una relación que supera las pruebas de línea horizontal y vertical es una función biunívoca. Una relación que pasa la prueba de la línea horizontal es una función. Falso En los siguientes problemas, indique el dominio y el rango de las funciones dadas: f = x 2 + 2 x − 3 , g = ln ( x − 5 ) , h = 1 x + 4 h g Dominio: x > 5 , rango: todos los números reales h ∘ f g ∘ f Dominio: x > 2 y x < − 4 , rango: todos los números reales Calcule el grado, la intersección y y los ceros de las siguientes funciones polinómicas. f ( x ) = 2 x 2 + 9 x − 5 f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − 2 x Grado de 3, intersección en y : 0, ceros: 0, 3 − 1 , −1 − 3 Simplifique las siguientes expresiones trigonométricas. tan 2 x sec 2 x + cos 2 x cos 2 x – sen 2 x cos 2 x − sen 2 x = cos 2 x o = 1 − 2 sen 2 x 2 o = 2 cos 2 x − 1 2 Resuelva las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo θ = [ −2 π , 2 π ] de manera exacta. 6 cos 2 x − 3 = 0 sec 2 x − 2 sec x + 1 = 0 0 , ±2, 2 π Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas. 5 x = 16 log 2 ( x + 4 ) = 3 4 ¿Son las siguientes funciones biunívocas sobre su dominio de existencia? ¿Tiene la función una inversa? Si es así, halle la inversa f −1 ( x ) de la función. Justifique su respuesta. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f ( x ) = 1 x Biunívoca; sí, la función tiene una inversa; inversa: f −1 ( x ) = 1 y En los siguientes problemas, determine el mayor dominio en el que la función es biunívoca y halle la inversa en ese dominio. f ( x ) = 9 − x f ( x ) = x 2 + 3 x + 4 x ≥ − 3 2 , f −1 ( x ) = − 3 2 + 1 2 4 y − 7 Un automóvil corre a lo largo de una pista circular con un diámetro de 1 milla. Un entrenador situado en el centro del círculo marca su progreso cada 5 segundos. Después de 5 segundos, el entrenador tiene que girar 55° para seguir el ritmo del automóvil. ¿A qué velocidad viaja el automóvil? En los siguientes problemas, piense en el propietario de un restaurante que quiere vender camisetas que anuncien su marca. Él recuerda que hay un costo fijo y un costo variable, aunque no recuerda los valores. Sí sabe que la compañía de impresión de camisetas cobra 440 dólares por 20 camisetas y 1.000 dólares por 100 camisetas. a. Halle la ecuación C = f ( x ) que describa el costo total en función del número de camisetas y b. determine cuántas camisetas debe vender para alcanzar el punto de equilibrio si vende las camisetas a 10 dólares cada una. a. C ( x ) = 300 + 7 x b. 100 camisetas a. Halle la función inversa x = f −1 ( C ) y describa el significado de esta función. b. Determine cuántas camisas puede comprar el propietario si tiene 8000 dólares para gastar. En los siguientes problemas, considere la población de Ocean City, Nueva Jersey, que es cíclica por temporada. La población puede ser modelada mediante P ( t ) = 82,5 − 67,5 cos [ ( π / 6 ) t ] , donde t es el tiempo en meses ( t = 0 representa el 1.º de enero) y P es la población (en miles). Durante un año, ¿en qué intervalos la población es inferior a 20.000 habitantes? ¿En qué intervalos la población supera los 140.000 habitantes? La población es inferior a 20.000 habitantes desde el 8 de diciembre hasta el 23 de enero y superior a 140.000 desde el 29 de mayo hasta el 2 de agosto En realidad, lo más probable es que la población global aumente o disminuya a lo largo de cada año. Reformulemos el modelo como P ( t ) = 82,5 − 67,5 cos [ ( π / 6 ) t ] + t , donde t es el tiempo en meses ( t = 0 representa el 1.º de enero) y P es la población (en miles). ¿Cuándo es la primera vez que la población alcanza los 200.000 habitantes? En los siguientes problemas, considere la datación radiométrica. Se encuentra un esqueleto humano en una excavación arqueológica. Se aplica la datación por carbono para determinar la antigüedad del esqueleto mediante la ecuación y = e r t , donde y es la proporción de radiocarbono aún presente en el material, t es el número de años transcurridos y r = −0,0001210 es la tasa de decaimiento del radiocarbono. Si se espera que el esqueleto tenga 2.000 años de antigüedad, ¿qué porcentaje de radiocarbono debería estar presente? 78,51 % Halle la inversa de la ecuación de datación del carbono. ¿Qué significa? Si hay un 25 % de radiocarbono, ¿qué edad tiene el esqueleto? base el número b en la función exponencial f ( x ) = b x y la función logarítmica f ( x ) = log b x exponente el valor x en la expresión b x funciones hiperbólicas las funciones denotadas senoh , cosh , tanh , csch , sech , y coth , que implican ciertas combinaciones de e x y e – x funciones hiperbólicas inversas las inversas de las funciones hiperbólicas donde cosh y sech están restringidas al dominio [ 0 , ∞ ) ; cada una de estas funciones puede expresarse en términos de una composición de la función de logaritmo natural y una función algebraica función exponencial natural la función f ( x ) = e x logaritmo natural la función ln x = log e x número e a medida que m se hace más grande, la cantidad ( 1 + ( 1 / m ) ) m se acerca a algún número real; definimos ese número real como e ; el valor de e es, aproximadamente, 2,718282

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Introducción La visión de la exploración humana por parte de la Administración Nacional de Aeronáutica y del Espacio (National Aeronautics and Space Administration, NASA) a lugares lejanos del universo ilustra la idea de los viajes espaciales a gran velocidad. Pero, ¿hay un límite para la velocidad de una nave espacial? (créditos: NASA). Los escritores de ciencia ficción suelen imaginar naves espaciales que pueden viajar a planetas lejanos en galaxias distantes. Sin embargo, en 1905, Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede alcanzar cualquier objeto. El problema es que cuanto más rápido se mueve un objeto, más masa alcanza (en forma de energía), según la ecuación m = m 0 1 − v 2 c 2 , donde m 0 es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. ¿Cuál es el límite de velocidad? (Analizamos este problema con más detalle en el ). La idea de límite es fundamental para todo el cálculo. Comenzamos este capítulo examinando por qué los límites son tan importantes. A continuación, pasamos a describir cómo calcular el límite de una función en un punto determinado. No todas las funciones tienen límites en todos los puntos, y discutimos lo que esto significa y cómo podemos saber si una función tiene o no un límite en un valor particular. Este capítulo se ha creado de manera informal e intuitiva, pero esto no siempre es suficiente si necesitamos demostrar un enunciado matemático que implique límites. La última sección de este capítulo presenta la definición más precisa de un límite y muestra cómo demostrar si una función tiene un límite.

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Un repaso previo del cálculo A medida que nos embarcamos en el estudio del cálculo, veremos cómo su desarrollo surgió a partir de soluciones comunes a problemas prácticos en áreas como la física de la ingeniería, como el problema del viaje espacial planteado en el inicio del capítulo. Dos problemas clave condujeron a la formulación inicial del cálculo: (1) el problema de la tangente, o cómo determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto; y (2) el problema del área, o cómo determinar el área bajo una curva. El problema de la tangente y el cálculo diferencial La tasa de cambio es uno de los conceptos más importantes del cálculo. Comenzamos nuestra investigación de las tasas de cambio observando los gráficos de las tres líneas f ( x ) = –2 x − 3 , g ( x ) = 1 2 x + 1 , y h ( x ) = 2 , se muestra en la . La tasa de cambio de una función lineal es constante en cada una de estos tres gráficos, con la constante determinada por la pendiente. A medida que nos movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico de f ( x ) = –2 x − 3 , vemos que el gráfico disminuye a una tasa constante. Por cada 1 unidad que nos movemos hacia la derecha a lo largo del eje x , la coordenada y disminuye en 2 unidades. Esta tasa de cambio está determinada por la pendiente (-2) de la línea. Del mismo modo, la pendiente de 1/2 en la función g ( x ) nos dice que por cada cambio en x de 1 unidad hay un cambio correspondiente en y de 1/2 unidad. La función h ( x ) = 2 tiene una pendiente de cero, lo que indica que los valores de la función permanecen constantes. Vemos que la pendiente de cada función lineal indica la tasa de cambio de la función. Compare los gráficos de estas tres funciones con el gráfico de k ( x ) = x 2 ( ). El gráfico de k ( x ) = x 2 empieza por la izquierda disminuyendo rápidamente, luego empieza a disminuir más lentamente y a nivelarse finalmente empieza a aumentar; lentamente al principio, seguido por una tasa de aumento creciente a medida que se mueve hacia la derecha. A diferencia de una función lineal, ningún número representa la tasa de cambio de esta función. Preguntamos con toda naturalidad: ¿cómo se mide la tasa de cambio de una función no lineal? La función k ( x ) = x 2 no tiene una tasa de cambio constante. Podemos aproximar la tasa de cambio de una función f ( x ) en un punto ( a , f ( a ) ) en su gráfico tomando otro punto ( x , f ( x ) ) en el gráfico de f ( x ) , dibujando una línea a través de los dos puntos y calculando la pendiente de la línea resultante. Tal línea se llama línea secante . La muestra una línea secante a una función f ( x ) en un punto ( a , f ( a ) ) . La pendiente de una línea secante que pasa por un punto ( a , f ( a ) ) estima la tasa de cambio de la función en el punto ( a , f ( a ) ) . Definimos formalmente una línea secante como sigue: Definición La secante de la función f ( x ) que pasa por los puntos ( a , f ( a ) ) y ( x , f ( x ) ) es la línea que pasa por estos puntos. Su pendiente está dada por m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a . La exactitud de la aproximación de la tasa de cambio de la función con una línea secante depende de lo cerca que esté x de a . Como vemos en la , si x está más cerca de a , la pendiente de la línea secante es una mejor medida de la tasa de cambio de f ( x ) en a . A medida que x se acerca a a , la pendiente de la línea secante se convierte en una mejor aproximación a la tasa de cambio de la función f ( x ) en a . Las propias líneas secantes se acercan a una línea que se llama tangente a la función f ( x ) en a ( ). La pendiente de la línea tangente al gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a . Este valor también representa la derivada de la función f ( x ) en a , o la tasa de cambio de la función en a . Esta derivada se denomina f ′ ( a ) . El cálculo diferencial es el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones. Para ver una demostración interactiva de la pendiente de una línea secante que puede manipular usted mismo, visite esta miniaplicación ( Nota: Este sitio requiere un plugin de Java para el navegador): Visión de las matemáticas . Resolver el problema de la tangente : a medida que x se acerca a a , las líneas secantes se acercan a la línea tangente. El ilustra cómo calcular las pendientes de las líneas secantes. Estas pendientes estiman la pendiente de la línea tangente o, lo que es lo mismo, la tasa de cambio de la función en el punto en el que se calculan las pendientes. Cálculo de las pendientes de las líneas secantes Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a f ( x ) = x 2 en x = 1 calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por ( 1 , 1 ) y cada uno de los siguientes puntos del gráfico de f ( x ) = x 2 . ( 2 , 4 ) grandes. ( 3 2 , 9 4 ) Utilice la fórmula de la pendiente de una línea secante a partir de la definición. m sec = 4 − 1 2 – 1 = 3 m sec = 9 4 − 1 3 2 – 1 = 5 2 = 2,5 El punto de la parte b. está más cerca del punto ( 1 , 1 ) , por lo que la pendiente de 2,5 está más cerca de la pendiente de la línea tangente. Una buena estimación de la pendiente de la tangente estaría en el rango de 2 a 2,5 ( ). Las líneas secantes a f ( x ) = x 2 en ( 1 , 1 ) hasta (a) ( 2 , 4 ) y (b) ( 3 2 , 9 4 ) proporcionan aproximaciones sucesivas a la línea tangente a f ( x ) = x 2 en ( 1 , 1 ) . Estime la pendiente de la línea tangente (tasa de cambio) a f ( x ) = x 2 en x = 1 calculando las pendientes de las líneas secantes que pasan por ( 1 , 1 ) y el punto ( 5 4 , 25 16 ) en el gráfico de f ( x ) = x 2 . 2,25 Pista Utilice y como guía de resolución. Continuamos nuestra investigación explorando una pregunta relacionada. Teniendo en cuenta que la velocidad puede ser considerada como la tasa de cambio de posición, supongamos que tenemos una función s ( t ) , que da la posición de un objeto a lo largo de un eje de coordenadas en un tiempo dado t . ¿Podemos utilizar estas mismas ideas para crear una definición razonable de la velocidad instantánea en un momento dado t = a ? Comenzamos aproximando la velocidad instantánea con una velocidad media. En primer lugar, recuerde que la velocidad de un objeto que se desplaza a una velocidad constante es el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo que ha recorrido. Definimos la velocidad media de un objeto durante un periodo como el cambio de su posición dividido entre la duración del periodo. Definición Supongamos que s ( t ) es la posición de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas en el tiempo t . La velocidad media del objeto en un intervalo de tiempo [ a , t ] donde a < t (o [ t , a ] si t < a ) es v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a . A medida que t se elige más cerca de a , la velocidad media se acerca más a la velocidad instantánea. Observe que calcular la velocidad media de una función de posición en un intervalo de tiempo es esencialmente lo mismo que calcular la pendiente de una línea secante a una función. Además, para calcular la pendiente de una línea tangente en un punto a , dejamos que los valores de x se acerquen a a en la pendiente de la línea secante. Del mismo modo, para calcular la velocidad instantánea en el tiempo a , dejamos que los valores de t se acerquen a a en la velocidad media. Este proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión se llama tomar un límite . Por lo tanto, podemos definir la velocidad instantánea de la siguiente manera. Definición Para una función de posición s ( t ) , la velocidad instantánea en un tiempo t = a es el valor al que se acercan las velocidades promedio en intervalos de la forma [ a , t ] y [ t , a ] a medida que los valores de t se acercan a a , siempre que dicho valor exista. El ilustra este concepto de límites y velocidad media. Cálculo de la velocidad media Se deja caer una roca desde una altura de 64 pies. Se determina que su altura (en pies) sobre el suelo t segundos después (para 0 ≤ t ≤ 2 ) está dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 . Calcule la velocidad media de la roca en cada uno de los intervalos de tiempo dados. Utilice esta información para adivinar la velocidad instantánea de la roca en el tiempo t = 0,5 . [ 0,49 , 0,5 ] [ 0,5 , 0,51 ] Sustituya los datos en la fórmula para la definición de la velocidad media. v ave = s ( 0,5 ) − s ( 0,49 ) 0,5 − 0,49 = −15,84 v ave = s ( 0,51 ) − s ( 0,5 ) 0,51 − 0,5 = −16,16 La velocidad instantánea está entre -15,84 y -16,16 ft/s. Una buena estimación podría ser -16 ft/s. Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de manera que su posición en el tiempo t está dada por s ( t ) = t 3 . Estime su velocidad instantánea en el tiempo t = 2 calculando su velocidad media en el intervalo de tiempo [ 2 , 2,001 ] . 12,006001 Pista Utilice la sustitución en v ave = s ( 2,001 ) − s ( 2 ) 2,001 − 2 . El problema del área y el cálculo integral Ahora nos centramos en una pregunta clásica del cálculo. Muchas cantidades en física, por ejemplo, las cantidades de trabajo, pueden interpretarse como el área bajo una curva. Esto nos lleva a plantear la pregunta: ¿cómo podemos calcular el área entre el gráfico de una función y el eje x en un intervalo ( )? El problema del área : ¿cómo calculamos el área de la región sombreada? Al igual que en la respuesta a nuestras preguntas anteriores sobre la velocidad, primero intentamos aproximar la solución. Aproximamos el área dividiendo el intervalo [ a , b ] en intervalos más pequeños en forma de rectángulo. La aproximación del área proviene de la suma de las áreas de estos rectángulos ( ). El área de la región bajo la curva se aproxima sumando las áreas de los rectángulos delgados. A medida que los anchos de los rectángulos se hacen más pequeños (se acercan a cero), las sumas de las áreas de los rectángulos se acercan al área entre el gráfico de f ( x ) y el eje x en el intervalo [ a , b ] . Una vez más, nos encontramos con un límite. Los límites de este tipo sirven de base para la definición de la integral definida. El cálculo integral es el estudio de las integrales y sus aplicaciones. Estimación mediante rectángulos Estime el área entre el eje x y el gráfico de f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [ 0 , 3 ] utilizando los tres rectángulos que se muestran en la . El área de la región bajo la curva de f ( x ) = x 2 + 1 se puede estimar mediante rectángulos. Las áreas de los tres rectángulos son 1 unidad 2 , 2 unidad 2 y 5 unidad 2 . Utilizando estos rectángulos, nuestra estimación de área es de 8 unidades 2 . Estime el área entre el eje x y el gráfico de f ( x ) = x 2 + 1 en el intervalo [ 0 , 3 ] utilizando los tres rectángulos que se muestran aquí: 16 unidad 2 Pista Utilice como guía. Otros aspectos del cálculo Hasta ahora, hemos estudiado funciones de una sola variable. Estas funciones pueden representarse visualmente mediante gráficos en dos dimensiones; sin embargo, no hay ninguna razón de peso para restringir nuestra investigación a dos dimensiones. Supongamos, por ejemplo, que en vez de determinar la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de un eje de coordenadas queremos determinar la velocidad de una roca disparada desde una catapulta en un momento dado, o de un avión que se mueve en tres dimensiones. Tal vez queramos graficar funciones de valor real de dos variables o determinar volúmenes de sólidos del tipo que se muestra en la . Estos son solo algunos de los tipos de preguntas que pueden plantearse y responderse utilizando el cálculo multivariable . Informalmente, el cálculo multivariable puede caracterizarse como el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables. Sin embargo, antes de explorar estas y otras ideas, primero debemos sentar las bases para el estudio del cálculo en una variable explorando el concepto de límite. Podemos utilizar el cálculo multivariable para calcular el volumen entre una superficie definida por una función de dos variables y un plano. Conceptos clave El cálculo diferencial surgió al tratar de resolver el problema de determinar la pendiente de una línea tangente a una curva en un punto. La pendiente de la línea tangente indica la tasa de cambio de la función, también llamada derivada . El cálculo de una derivada requiere calcular un límite. El cálculo integral surgió al tratar de resolver el problema de calcular el área de una región entre el gráfico de una función y el eje x . Podemos aproximar el área dividiéndola en rectángulos finos y sumando las áreas de estos rectángulos. Esta suma conduce al valor de una función llamada integral . La integral también se calcula hallando un límite y, de hecho, está relacionada con la derivada de una función. El cálculo multivariable nos permite resolver problemas en el espacio tridimensional, lo que incluye la determinación del movimiento en el espacio y la búsqueda de volúmenes de sólidos. Ecuaciones clave Pendiente de una línea secante m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a Velocidad media en el intervalo [ a , t ] v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1 , 2 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x 2 + 1 . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 1,1 a. e. i. 1,01 b. f. j. 1,001 c. g. k. 1,0001 d. h. l. a. 2,2100000; b. 2,0201000; c. 2,0020010; d. 2,0002000; e. (1,1000000, 2,2100000); f. (1,0100000, 2,0201000); g. (1,0010000, 2,0020010); h. (1,0001000, 2,0002000); i. 2,1000000; j. 2,0100000; k. 2,0010000; l. 2,0001000 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 1 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . Grafique f ( x ) y la línea tangente. y = 2 x En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1 , 1 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x 3 . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 1,1 a. e. i. 1,01 b. f. j. 1,001 c. g. k. 1,0001 d. h. l. Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 1 . 3 Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . Grafique f ( x ) y la línea tangente. En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 4 , 2 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = x . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec 4,1 a. e. i. 4,01 b. f. j. 4,001 c. g. k. 4,0001 d. h. l. a. 2,0248457; b. 2,0024984; c. 2,0002500; d. 2,0000250; e. (4,1000000,2,0248457); f. (4,0100000,2,0024984); g. (4,0010000,2,0002500); h. (4,00010000,2,0000250); i. 0,24845673; j. 0,24984395; k. 0,24998438; l. 0,24999844 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = 4 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . y = x 4 + 1 En los siguientes ejercicios, los puntos P ( 1,5 , 0 ) y Q ( ϕ , y ) están en el gráfico de la función f ( ϕ ) = cos ( π ϕ ) . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( φ , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( ϕ , y ) m sec 1,4 a. e. i. 1,49 b. f. j. 1,499 c. g. k. 1,4999 d. h. l. Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en φ = 1,5 . π Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . En los siguientes ejercicios, los puntos P ( –1 , –1 ) y Q ( x , y ) están en el gráfico de la función f ( x ) = 1 x . [T] Complete la siguiente tabla con los valores adecuados: coordenada y de Q , el punto Q ( x , y ) , y la pendiente de la línea secante que pasa por los puntos P y Q . Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. x y Q ( x , y ) m sec −1,05 a. e. i. −1,01 b. f. j. −1,005 c. g. k. −1,001 d. h. l. a. –0,95238095; b. –0,99009901; c. –0,99502488; d. –0,99900100; e. (–1;.0500000,–0;.95238095); f. (–1;.0100000,–0;.9909901); g. (–1;.0050000,–0;.99502488); h. (1,0010000,–0;.99900100); i. –0,95238095; j. –0,99009901; k. –0,99502488; l. –0,99900100 Utilice los valores de la columna derecha de la tabla del ejercicio anterior para estimar el valor de la pendiente de la línea tangente a f en x = −1 . Utilice el valor del ejercicio anterior para hallar la ecuación de la línea tangente en el punto P . y = − x − 2 En los siguientes ejercicios, la función de posición de una bola lanzada desde lo alto de un edificio de 200 metros de altura está dada por s ( t ) = 200 − 4,9 t 2 , donde la posición s se mide en metros y el tiempo t se mide en segundos. Redondee su respuesta a ocho dígitos significativos. [T] Calcule la velocidad media de la pelota en los intervalos de tiempo dados. [ 4,99 , 5 ] [ 5 , 5,01 ] [ 4,999 , 5 ] [ 5 , 5,001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la pelota en t = 5 seg. −49 m/s (la velocidad de la pelota es de 49 m/s hacia abajo) En los siguientes ejercicios, considere una piedra lanzada al aire desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 15 m/s. Su altura en metros en el tiempo t segundos es h ( t ) = 15 t − 4,9 t 2 . [T] Calcule la velocidad media de la piedra en los intervalos de tiempo dados. [ 1 , 1,05 ] [ 1 , 1,01 ] [ 1 , 1,005 ] [ 1 , 1,001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea de la piedra en t = 1 seg. 5,2 m/s En los siguientes ejercicios, considere un cohete lanzado al aire que luego regresa a la Tierra. La altura del cohete en metros está dada por h ( t ) = 600 + 78,4 t − 4,9 t 2 , donde t se mide en segundos. [T] Calcule la velocidad media del cohete en los intervalos de tiempo dados. [ 9 , 9,01 ] [ 8,99 , 9 ] [ 9 , 9,001 ] [ 8,999 , 9 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del cohete en t = 9 seg. −9,8 m/s En los siguientes ejercicios, considere que un atleta corre los 40 metros planos. La posición del atleta está dada por d ( t ) = t 3 6 + 4 t , donde d es la posición en metros y t es el tiempo transcurrido, medido en segundos. [T] Calcule la velocidad media del corredor en los intervalos de tiempo dados. [ 1,95 , 2,05 ] [ 1,995 , 2,005 ] [ 1,9995 , 2,0005 ] [ 2 , 2,00001 ] Utilice el ejercicio anterior para adivinar la velocidad instantánea del corredor en t = 2 seg. 6 m/s En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = | x | . Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 2 ] y sombree la región por encima del eje x . Utilice el ejercicio anterior para calcular el valor aproximado del área entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 2 ] utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice las unidades cuadradas y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta. Por debajo, 1 unidad 2 ; por encima: 4 unidad 2 . El área exacta de los dos triángulos es 1 2 ( 1 ) ( 1 ) + 1 2 ( 2 ) ( 2 ) = 2,5 unidades 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = 1 − x 2 . ( Pista : Se trata de la mitad superior de un círculo de radio 1 situado en ( 0 , 0 ) ). Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Utilice el ejercicio anterior para calcular el área aproximada entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] utilizando rectángulos. Para los rectángulos, utilice cuadrados de 0,4 por 0,4 unidades y aproxime tanto por encima como por debajo de las líneas. Utilice la geometría para hallar la respuesta exacta. Por debajo, 0,96 unidad 2 ; por encima, 1,92 unidad 2 . El área exacta del semicírculo de radio 1 es π ( 1 ) 2 2 = π 2 unidad 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = − x 2 + 1 . Dibuje el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Aproxime el área de la región entre el eje x y el gráfico de f en el intervalo [ −1 , 1 ] . Aproximadamente 1,3333333 unidad 2 velocidad media el cambio en la posición de un objeto dividido entre la duración de un periodo; la velocidad media de un objeto en un intervalo de tiempo [ t , a ] (si t < a o [ a , t ] si t > a ) , con una posición dada por s ( t ) , que es v ave = s ( t ) − s ( a ) t − a cálculo diferencial el campo del cálculo que se ocupa del estudio de las derivadas y sus aplicaciones velocidad instantánea la velocidad instantánea de un objeto con una función de posición que viene dada por s ( t ) es el valor que tienen las velocidades medias en intervalos de la forma [ t , a ] y [ a , t ] se acercan a medida que los valores de t se acercan a a , siempre que exista tal valor cálculo integral el estudio de las integrales y sus aplicaciones límite el proceso de dejar que x o t se acerquen a a en una expresión; el límite de una función f ( x ) a medida que x se acerca a a es el valor al que se acerca f ( x ) a medida que x se acerca a a cálculo multivariable el estudio del cálculo de funciones de dos o más variables secante una línea secante a una función f ( x ) en a es una línea que pasa por el punto ( a , f ( a ) ) y otro punto de la función; la pendiente de la línea secante está dada por m sec = f ( x ) − f ( a ) x – a tangente una línea tangente al gráfico de una función en un punto ( a , f ( a ) ) es la línea a la que se aproximan las líneas secantes a través de ( a , f ( a ) ) a medida que pasan por puntos de la función con valores de x que se aproximan a a ; la pendiente de la línea tangente a un gráfico en a mide la tasa de cambio de la función en a

Matemáticas


El límite de una función El concepto de límite o proceso de límite, esencial para la comprensión del cálculo, existe desde hace miles de años. De hecho, los primeros matemáticos utilizaron un proceso de límite para obtener aproximaciones cada vez mejores de las áreas de los círculos. Sin embargo, la definición formal de límite, tal como la conocemos y entendemos hoy, no apareció sino hasta finales del siglo XIX. Por lo tanto, comenzamos nuestra búsqueda para entender los límites, como hicieron nuestros antepasados matemáticos, utilizando un enfoque intuitivo. Al final de este capítulo, dotados de una comprensión conceptual de los límites, examinaremos la definición formal de un límite. Comenzaremos nuestra exploración de los límites echando un vistazo a los gráficos de las funciones f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 , g ( x ) = | x − 2 | x − 2 , y h ( x ) = 1 ( x − 2 ) 2 , que se muestran en la . En particular, vamos a centrarnos en el comportamiento de cada gráfico en y alrededor de x = 2 . Estos gráficos muestran el comportamiento de tres funciones diferentes en torno a x = 2 . Cada una de las tres funciones está indefinida en x = 2 , pero si hacemos solo esta afirmación, damos una imagen muy incompleta de cómo se comporta cada función en las proximidades de x = 2 . Para expresar de forma más completa el comportamiento de cada gráfico en la vecindad de 2, necesitamos introducir el concepto de límite. Definición intuitiva de un límite Veamos primero cómo la función f ( x ) = ( x 2 − 4 ) / ( x − 2 ) se comporta alrededor de x = 2 en la . A medida que los valores de x se acercan a 2 desde cualquier lado de 2, los valores de y = f ( x ) se acercan a 4. Matemáticamente, decimos que el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a 2 es 4. Simbólicamente, expresamos este límite como lím x → 2 f ( x ) = 4 . A partir de esta brevísima mirada informal a un límite, empecemos a desarrollar una definición intuitiva del límite . Podemos pensar que el límite de una función en un número a es el único número real L al que se acercan los valores de la función a medida que los valores de x se acercan a a, siempre que dicho número real L exista. Tenemos la siguiente definición que se expresa con más detalle: Definición Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a , con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Si todos los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x ( ≠ a ) se acercan al número a , entonces decimos que el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a es L (más conciso, a medida que x se acerca a a , f ( x ) se acerca y se mantiene cerca de L ). Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a f ( x ) = L . Podemos estimar los límites construyendo tablas de valores funcionales y observando sus gráficos. Este proceso se describe en la siguiente estrategia de resolución de problemas. Estrategia para la resolución de problemas: Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales Para evaluar lím x → a f ( x ) , comenzamos completando una tabla de valores funcionales. Debemos elegir dos conjuntos de valores x : un conjunto de valores que se aproximan a a y son menores que a , y otro conjunto de valores que se aproximan a a y son mayores que a . La demuestra cómo podrían ser sus tablas Tabla de valores funcionales para lím x → a f ( x ) x f ( x ) x f ( x ) grandes. a − 0,1 f ( a − 0,1 ) grandes. a + 0,1 f ( a + 0,1 ) grandes. a − 0,01 f ( a − 0,01 ) grandes. a + 0,01 f ( a + 0,01 ) grandes. a − 0,001 f ( a − 0,001 ) grandes. a + 0,001 f ( a + 0,001 ) grandes. a − 0,0001 f ( a − 0,0001 ) grandes. a + 0,0001 f ( a + 0,0001 ) Utilice los valores adicionales que sean necesarios. Utilice los valores adicionales que sean necesarios. A continuación, veamos los valores de cada una de las columnas f ( x ) y determinemos si los valores parecen acercarse a un único valor a medida que bajamos por cada columna. En las columnas, observamos la secuencia f ( a − 0,1 ) , f ( a − 0,01 ) , f ( a − 0,001 ) . , f ( a − 0,0001 ) , , etc., y f ( a + 0,1 ) , f ( a + 0,01 ) , f ( a + 0,001 ) , f ( a + 0,0001 ) , y así sucesivamente. ( Nota : Aunque elegimos los valores x a ± 0,1 , a ± 0,01 , a ± 0,001 , a ± 0,0001 , y así sucesivamente, y estos valores probablemente funcionarán casi siempre, en muy raras ocasiones necesitaremos modificar nuestras elecciones. Si ambas columnas se acercan a un valor común de y L , afirmamos que lím x → a f ( x ) = L . Podemos utilizar la siguiente estrategia para confirmar el resultado obtenido en la tabla o como método alternativo para estimar un límite. Utilizando una calculadora gráfica o un programa de computadora que nos permita graficar funciones, podemos trazar la función f ( x ) , asegurándonos de que los valores funcionales de f ( x ) para los valores x cerca de a estén en nuestra ventana. Podemos utilizar la función de rastreo para movernos a lo largo del gráfico de la función y observar la lectura del valor y a medida que los valores x se acercan a a . Si los valores y se acercan a L a medida que nuestros valores x se acercan a a desde ambas direcciones, entonces lím x → a f ( x ) = L . Es posible que tengamos que ampliar nuestro gráfico y repetir este proceso varias veces. Aplicamos esta estrategia de resolución de problemas para calcular un límite en el . Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 1 Evalúe lím x → 0 sen x x utilizando una tabla de valores funcionales. Hemos calculado los valores de f ( x ) = ( sen x ) / x para los valores de x que figuran en la . Tabla de valores funcionales para lím x → 0 sen x x x sen x x x sen x x −0,1 0,998334166468 0,1 0,998334166468 −0,01 0,999983333417 0,01 0,999983333417 −0,001 0,999999833333 0,001 0,999999833333 −0,0001 0,999999998333 0,0001 0,999999998333 Nota : Los valores de esta tabla se obtuvieron con una calculadora y se utilizaron todos los lugares indicados en la salida de la calculadora. Al leer cada ( sen x ) x , vemos que los valores de cada columna parecen acercarse a uno. Por lo tanto, es bastante razonable concluir que lím x → 0 sen x x = 1 . Una calculadora o un gráfico generado por computadora de f ( x ) = ( sen x ) x sería similar a la mostrada en la , y confirma nuestra estimación. El gráfico de f ( x ) = ( sen x ) / x confirma la estimación de la . Evaluación de un límite mediante una tabla de valores funcionales 2 Evalúe lím x → 4 x − 2 x − 4 utilizando una tabla de valores funcionales. Como antes, utilizamos una tabla (en este caso, la ) para enumerar los valores de la función para los valores dados de x . Tabla de valores funcionales para lím x → 4 x − 2 x − 4 x x − 2 x − 4 x x − 2 x − 4 3,9 0,251582341869 4,1 0,248456731317 3,99 0,25015644562 4,01 0,24984394501 3,999 0,250015627 4,001 0,249984377 3,9999 0,250001563 4,0001 0,249998438 3,99999 0,25000016 4,00001 0,24999984 Después de revisar esta tabla, vemos que los valores funcionales inferiores a 4 parecen disminuir hacia 0,25 mientras que los valores funcionales superiores a 4 parecen aumentar hacia 0,25. Concluimos que lím x → 4 x − 2 x − 4 = 0,25 . Confirmamos esta estimación utilizando el gráfico de f ( x ) = x − 2 x − 4 se muestra en la . El gráfico de f ( x ) = x − 2 x − 4 confirma la estimación de la . Estime lím x → 1 1 x – 1 x – 1 utilizando una tabla de valores funcionales. Utilice un gráfico para confirmar su estimación. lím x → 1 1 x – 1 x – 1 = –1 Pista Utilice 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999, 0,99999 y 1,1, 1,01, 1,001, 1,0001, 1,00001 como valores de la tabla. En este punto, vemos en el y el que puede ser tan fácil, si no más, estimar un límite de una función revisando su gráfico como estimarlo utilizando una tabla de valores funcionales. En el , evaluamos un límite únicamente observando un gráfico en vez de utilizar una tabla de valores funcionales. Evaluación de un límite mediante un gráfico Para g ( x ) que se muestra en la , evalúe lím x → −1 g ( x ) . El gráfico de g ( x ) incluye un valor que no está en una curva suave. A pesar de que g ( –1 ) = 4 , a medida que los valores x se acercan a –1 desde cualquier lado, los valores g ( x ) se acercan a 3. Por lo tanto, lím x → −1 g ( x ) = 3 . Note que podemos determinar este límite sin conocer siquiera la expresión algebraica de la función. Con base en el , hacemos la siguiente observación: Es posible que el límite de una función exista en un punto, y que la función esté definida en él, pero el límite de la función y el valor de la función en el punto pueden ser diferentes. Utilice el gráfico de h ( x ) en la para evaluar lím x → 2 h ( x ) , si es posible. lím x → 2 h ( x ) = −1 . Pista ¿A qué valor y se aproxima la función cuando los valores x se acercan a 2? Observar una tabla de valores funcionales o el gráfico de una función nos proporciona una visión útil del valor del límite de una función en un punto determinado. Sin embargo, estas técnicas se basan demasiado en conjeturas. En algún momento tendremos que desarrollar métodos alternativos de evaluación de los límites. Estos nuevos métodos son de naturaleza más algebraica y los exploramos en la siguiente sección; sin embargo, en este punto introduciremos dos límites especiales que son esenciales para las técnicas que vienen. Dos límites importantes Supongamos que a es un número real y c una constante. lím x → a x = a lím x → a c = c Podemos hacer las siguientes observaciones sobre estos dos límites. En el primer límite, observe que a medida que x se acerca a a , también lo hace f ( x ) , porque f ( x ) = x . En consecuencia, lím x → a x = a . En el segundo límite, tome en cuenta la . Tabla de valores funcionales para lím x → a c = c x f ( x ) = c x f ( x ) = c a − 0,1 c a + 0,1 c a − 0,01 c a + 0,01 c a − 0,001 c a + 0,001 c a − 0,0001 c a + 0,0001 c Observe que para todos los valores de x (independientemente de que se acerquen a a ), los valores f ( x ) permanecen constantes en c . No tenemos otra opción que concluir lím x → a c = c . Existencia de un límite Cuando consideremos el límite en el siguiente ejemplo, tenga en cuenta que para que exista el límite de una función en un punto, los valores de la función deben acercarse a un único valor de número real en ese punto. Si los valores funcionales no se aproximan a un único valor, entonces el límite no existe. Evaluación de un límite que no existe Evalúe lím x → 0 sen ( 1 / x ) utilizando una tabla de valores. La enumera los valores de la función sen ( 1 / x ) para los valores dados de x . Tabla de valores funcionales para lím x → 0 sen ( 1 x ) x sen ( 1 x ) x sen ( 1 x ) −0,1 0,544021110889 0,1 −0,544021110889 −0,01 0,50636564111 0,01 −0,50636564111 −0,001 −0,8268795405312 0,001 0,826879540532 −0,0001 0,305614388888 0,0001 −0,305614388888 –0,00001 −0,035748797987 0,00001 0,035748797987 –0,000001 0,349993504187 0,000001 −0,349993504187 Tras examinar la tabla de valores funcionales, podemos ver que los valores y no parecen acercarse a un único valor. Parece que el límite no existe. Antes de sacar esta conclusión, adoptemos un enfoque más sistemático. Tomemos la siguiente secuencia de valores de x que se acercan a 0: 2 π , 2 3 π , 2 5 π , 2 7 π , 2 9 π , 2 11 π ,…. Los valores y correspondientes son 1 , –1 , 1 , –1 , 1 , −1 ,…. Llegados a este punto, realmente podemos concluir que lím x → 0 sen ( 1 / x ) no existe (los matemáticos suelen abreviar "no existe" como DNE (does not exist). Así, escribiríamos lím x → 0 sen ( 1 / x ) DNE). El gráfico de f ( x ) = sen ( 1 / x ) se muestra en la y ofrece una imagen más clara del comportamiento de sen ( 1 / x ) a medida que x se acerca a 0. Puede notar que sen ( 1 / x ) oscila cada vez más entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0. El gráfico de f ( x ) = sen ( 1 / x ) oscila rápidamente entre -1 y 1 a medida que x se acerca a 0. Utilice una tabla de valores funcionales para evaluar lím x → 2 | x 2 − 4 | x − 2 , si es posible. lím x → 2 | x 2 − 4 | x − 2 no existe. Pista Utilice los valores x 1,9, 1,99, 1,999, 1,9999, 1,9999 y 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001 en su tabla. Límites unilaterales A veces, indicar que el límite de una función no existe en un punto no nos proporciona suficiente información sobre el comportamiento de la función en ese punto concreto. Para ver esto, volvamos a revisar la función g ( x ) = | x − 2 | / ( x − 2 ) introducido al principio de la sección (vea la (b)). Como elegimos valores de x cercanos a 2, g ( x ) no se aproxima a un único valor, por lo que el límite a medida que x se aproxima a 2 no existe, es decir, lím x → 2 g ( x ) DNE. Sin embargo, esta afirmación por sí sola no nos da una imagen completa del comportamiento de la función en torno al valor x de 2. Para proporcionar una descripción más precisa, introducimos la idea de un límite unilateral . Para todos los valores a la izquierda de 2 (o el lado negativo de 2), g ( x ) = −1 . Por lo tanto, a medida que x se acerca a 2 por la izquierda, g ( x ) se acerca a -1. Matemáticamente, decimos que el límite es -1 a medida que x se acerca a 2 por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 − g ( x ) = −1 . Del mismo modo, a medida que x se acerca a 2 por la derecha (o desde el lado positivo ), g ( x ) se acerca a 1. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 + g ( x ) = 1 . Ahora podemos presentar una definición informal de los límites unilaterales. Definición Definamos dos tipos de límites unilaterales . Límite por la izquierda: Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( c , a ), y que L es un número real. Si los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x < a ). se acercan al número a , entonces decimos que L es el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a por la izquierda. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a − f ( x ) = L . Límite por la derecha: Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( a , c ) , y que L es un número real. Si los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x (donde x > a ). se acercan al número a , entonces decimos que L es el límite de f ( x ) a medida que x se acerca a a por la derecha. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → a + f ( x ) = L . Evaluación de los límites unilaterales Para que la función f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 , evalúe cada uno de los siguientes límites. lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) Podemos volver a utilizar las tablas de valores funcionales en la . Nótese que para los valores de x inferiores a 2, utilizamos f ( x ) = x + 1 y para valores de x superiores a 2, utilizamos f ( x ) = x 2 − 4 . Tabla de valores funcionales para f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 x f ( x ) = x + 1 x f ( x ) = x 2 −4 1,9 2,9 2,1 0,41 1,99 2,99 2,01 0,0401 1,999 2,999 2,001 0,004001 1,9999 2,9999 2,0001 0,00040001 1,99999 2,99999 2,00001 0,0000400001 Con base en esta tabla, podemos concluir que a lím x → 2 – f ( x ) = 3 y b. lím x → 2 + f ( x ) = 0 . Por lo tanto, el límite (bilateral) de f ( x ) no existe en x = 2 . La muestra un gráfico de f ( x ) y refuerza nuestra conclusión sobre estos límites. El gráfico de f ( x ) = { x + 1 si x < 2 x 2 − 4 si x ≥ 2 tiene una pausa en x = 2 . Utilice una tabla de valores funcionales para estimar los siguientes límites, si es posible. lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 a. lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 = −4 ; b. lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 = 4 Pista Utilice los valores de x 1,9, 1,99, 1,999, 1,9999, 1,9999 para estimar lím x → 2 − | x 2 − 4 | x − 2 . Utilice los valores de x 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001, 2,00001 para estimar lím x → 2 + | x 2 − 4 | x − 2 . (Estas tablas están disponibles en un problema del punto de control anterior). Consideremos ahora la relación entre el límite de una función en un punto y los límites por la derecha y por la izquierda en ese punto. Parece claro que si el límite por la derecha y el límite por la izquierda tienen un valor común, entonces ese valor común es el límite de la función en ese punto. Del mismo modo, si el límite por la izquierda y el límite por la derecha toman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estas conclusiones se resumen en . Relacionar los límites unilaterales y bilaterales Supongamos que f ( x ) es una función definida en todos los valores de un intervalo abierto que contiene a , con la posible excepción de la propia a y que L es un número real. Entonces, lím x → a f ( x ) = L . si y solo si lím x → a − f ( x ) = L y lím x → a + f ( x ) = L . Límites infinitos Evaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de una función por la derecha y por la izquierda en un punto nos ayuda a caracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valor dado. Como veremos, también podemos describir el comportamiento de las funciones que no tienen límites finitos. Ahora nos centramos en h ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 2 , la tercera y última función introducida al principio de esta sección (vea la (c)). En su gráfico vemos que a medida que los valores de x se acercan a 2, los valores de h ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 2 se hacen cada vez más grandes y, de hecho, se vuelven infinitos. Matemáticamente, decimos que el límite de h ( x ) a medida que x se acerca a 2 es el infinito positivo. Simbólicamente, expresamos esta idea como lím x → 2 h ( x ) = + ∞ . De forma más general, definimos los límites infinitos como sigue: Definición Definamos tres tipos de límites infinitos . Límites infinitos por la izquierda: Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( b , a ) . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x < a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito positivo y escribimos lím x → a − f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x < a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la izquierda es el infinito negativo y escribimos lím x → a − f ( x ) = − ∞ . Límites infinitos por la derecha : Supongamos que f ( x ) sea una función definida en todos los valores de un intervalo abierto de la forma ( a , c ) . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x > a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito positivo y escribimos lím x → a + f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x > a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a por la derecha es el infinito negativo y escribimos lím x → a + f ( x ) = − ∞ . Límite infinito bilateral: Supongamos que f ( x ) se define para todos los x ≠ a en un intervalo abierto que contiene a . Si los valores de f ( x ) aumentan sin límite a medida que los valores de x (donde x ≠ a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito positivo y escribimos lím x → a f ( x ) = + ∞ . Si los valores de f ( x ) disminuyen sin límite a medida que los valores de x (donde x ≠ a ). se acerca al número a , entonces decimos que el límite a medida que x se acerca a a es el infinito negativo y escribimos lím x → a f ( x ) = − ∞ . Es importante entender que cuando escribimos afirmaciones como lím x → a f ( x ) = + ∞ o lím x → a f ( x ) = − ∞ estamos describiendo el comportamiento de la función, tal y como la acabamos de definir. No afirmamos que exista un límite. Para el límite de una función f ( x ) exista en a , debe acercarse a un número real L a medida que x se acerca a a . Dicho esto, si, por ejemplo, lím x → a f ( x ) = + ∞ , siempre escribimos lím x → a f ( x ) = + ∞ en vez de lím x → a f ( x ) (does not exist, DNE). Reconocer un límite infinito Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f ( x ) = 1 / x para confirmar su conclusión. lím x → 0 − 1 x lím x → 0 + 1 x lím x → 0 1 x Empiece por construir una tabla de valores funcionales. Tabla de valores funcionales para f ( x ) = 1 x x 1 x x 1 x −0,1 −10 0,1 10 −0,01 −100 0,01 100 −0,001 –1.000 0,001 1.000 −0,0001 –10.000 0,0001 10.000 −0,00001 –100.000 0,00001 100.000 −0,000001 –1.000.000 0,000001 1.000.000 Los valores de 1 / x disminuyen sin límite a medida que x se acerca a 0 por la izquierda. Concluimos que lím x → 0 − 1 x = − ∞ . Los valores de 1 / x aumentan sin límite a medida que x se acerca a 0 por la derecha. Concluimos que lím x → 0 + 1 x = + ∞ . Dado que lím x → 0 − 1 x = − ∞ y lím x → 0 + 1 x = + ∞ tienen valores diferentes, concluimos que lím x → 0 1 x No existe (DNE). El gráfico de f ( x ) = 1 / x en la confirma estas conclusiones. El gráfico de f ( x ) = 1 / x confirma que el límite a medida que x se acerca a 0 no existe. Evalúe cada uno de los siguientes límites, si es posible. Utilice una tabla de valores funcionales y un gráfico f ( x ) = 1 / x 2 para confirmar su conclusión. lím x → 0 − 1 x 2 lím x → 0 + 1 x 2 lím x → 0 1 x 2 a. lím x → 0 − 1 x 2 = + ∞ ; b. lím x → 0 + 1 x 2 = + ∞ ; c. lím x → 0 1 x 2 = + ∞ Pista Siga los procedimientos de la . Es útil señalar que las funciones de la forma f ( x ) = 1 / ( x – a ) n , donde n es un número entero positivo, tienen límites infinitos a medida que x se acerca a a por la izquierda o la derecha ( ). Estos límites se resumen en . La función f ( x ) = 1 / ( x – a ) n tiene límites infinitos en a . Límites infinitos a partir de números enteros positivos Si n es un número entero positivo par, entonces lím x → a 1 ( x – a ) n = + ∞ . Si n es un número entero positivo impar, entonces lím x → a + 1 ( x – a ) n = + ∞ y lím x → a − 1 ( x – a ) n = − ∞ . También debemos señalar que en los gráficos de f ( x ) = 1 / ( x – a ) n , los puntos del gráfico que tienen coordenadas x muy cercanas a a están muy cerca de la línea vertical x = a . Es decir, a medida que x se acerca a a , los puntos del gráfico de f ( x ) están más cerca de la línea x = a . La línea x = a se denomina asíntota vertical del gráfico. Definimos formalmente una asíntota vertical como sigue: Definición Supongamos que f ( x ) es una función. Si se cumple alguna de las siguientes condiciones, la línea x = a es una asíntota vertical de f ( x ) . lím x → a − f ( x ) = + ∞ o −∞ lím x → a + f ( x ) = + ∞ o −∞ o lím x → a f ( x ) = + ∞ o −∞ Hallar una asíntota vertical Evalúe cada uno de los siguientes límites utilizando . Identifique las asíntotas verticales de la función f ( x ) = 1 / ( x + 3 ) 4 . lím x → −3 − 1 ( x + 3 ) 4 lím x → −3 + 1 ( x + 3 ) 4 lím x → −3 1 ( x + 3 ) 4 Podemos utilizar directamente . lím x → −3 − 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ lím x → −3 + 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ lím x → −3 1 ( x + 3 ) 4 = + ∞ La función f ( x ) = 1 / ( x + 3 ) 4 tiene una asíntota vertical de x = −3 . Evalúe cada uno de los siguientes límites. Identifique las asíntotas verticales de la función f ( x ) = 1 ( x − 2 ) 3 . lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 3 lím x → 2 + 1 ( x − 2 ) 3 lím x → 2 1 ( x − 2 ) 3 a. lím x → 2 – 1 ( x − 2 ) 3 = − ∞ ; b. lím x → 2 + 1 ( x − 2 ) 3 = + ∞ ; c. lím x → 2 1 ( x − 2 ) 3 (does not exist, DNE). La línea x = 2 es la asíntota vertical de f ( x ) = 1 / ( x − 2 ) 3 . Pista Utilice la . En el siguiente ejemplo ponemos en práctica nuestros conocimientos sobre los distintos tipos de límites para analizar el comportamiento de una función en diferentes puntos. Comportamiento de una función en diferentes puntos Utilice el gráfico de f ( x ) en la para determinar cada uno de los siguientes valores: lím x → −4 − f ( x ) ; lím x → −4 + f ( x ) ; lím x → −4 f ( x ) ; f ( –4 ) grandes. lím x → −2 − f ( x ) ; lím x → −2 + f ( x ) ; lím x → −2 f ( x ) ; f ( −2 ) grandes. lím x → 1 − f ( x ) ; lím x → 1 + f ( x ) ; lím x → 1 f ( x ) ; f ( 1 ) grandes. lím x → 3 − f ( x ) ; lím x → 3 + f ( x ) ; lím x → 3 f ( x ) ; f ( 3 ) El gráfico muestra f ( x ) . Utilizando y el gráfico como referencia, llegamos a los siguientes valores: lím x → −4 − f ( x ) = 0 ; lím x → −4 + f ( x ) = 0 ; lím x → −4 f ( x ) = 0 ; f ( –4 ) = 0 lím x → −2 − f ( x ) = 3 . ; lím x → −2 + f ( x ) = 3 ; lím x → −2 f ( x ) = 3 ; f ( −2 ) es indefinida lím x → 1 − f ( x ) = 6 ; lím x → 1 + f ( x ) = 3 ; lím x → 1 f ( x ) DNE; f ( 1 ) = 6 lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ ; lím x → 3 + f ( x ) = − ∞ ; lím x → 3 f ( x ) = − ∞ ; f ( 3 ) es indefinida Evalúe lím x → 1 f ( x ) por f ( x ) se muestra aquí: No existe. Pista Compare el límite por la derecha con el límite por la izquierda. Inicio del capítulo: La ecuación de Einstein (créditos: NASA). En la introducción del capítulo mencionamos brevemente cómo Albert Einstein demostró que existe un límite a la velocidad que puede viajar cualquier objeto. Dada la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento, ¿cuál es el valor de este límite? Nuestro punto de partida es la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento, m = m 0 1 − v 2 c 2 , donde m 0 es la masa del objeto en reposo, v es su velocidad y c es la velocidad de la luz. Para ver cómo cambia la masa a altas velocidades, podemos graficar la relación de masas m / m 0 en función de la relación de las velocidades, v / c ( ). Este gráfico muestra la relación de masas en función de la relación de velocidades en la ecuación de Einstein para la masa de un objeto en movimiento. Podemos ver que a medida que la relación de velocidades se acerca a 1 —es decir, a medida que la velocidad del objeto se acerca a la velocidad de la luz— la relación de masas aumenta sin límite. Es decir, la función tiene una asíntota vertical en v / c = 1 . Podemos probar algunos valores de esta relación para comprobar esta idea. Relación de masas y velocidades para un objeto en movimiento v c 1 − v 2 c 2 m m 0 0,99 0,1411 7,089 0,999 0,0447 22,37 0,9999 0,0141 70,71 Así, según la , si un objeto con masa 100 kg viaja a 0,9999 c , su masa se convierte en 7071 kg. Como ningún objeto puede tener una masa infinita, concluimos que ningún objeto puede viajar a la velocidad de la luz o más. Conceptos clave Se puede utilizar una tabla de valores o un gráfico para estimar un límite. Si el límite de una función en un punto no existe, todavía es posible que existan los límites por la izquierda y por la derecha en ese punto. Si los límites de una función por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite de la función es ese valor común. Podemos utilizar los límites para describir el comportamiento infinito de una función en un punto. Ecuaciones clave Definición intuitiva del límite lím x → a f ( x ) = L Dos límites importantes lím x → a x = a lím x → a c = c Límites unilaterales lím x → a − f ( x ) = L lím x → a + f ( x ) = L Límites infinitos por la izquierda lím x → a − f ( x ) = + ∞ lím x → a − f ( x ) = − ∞ Límites infinitos por la derecha lím x → a + f ( x ) = + ∞ lím x → a + f ( x ) = − ∞ Límites infinitos bilaterales lím x → a f ( x ) = + ∞ : lím x → a − f ( x ) = + ∞ y lím x → a + f ( x ) = + ∞ lím x → a f ( x ) = − ∞ : lím x → a − f ( x ) = − ∞ y lím x → a + f ( x ) = − ∞ En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = x 2 – 1 | x – 1 | . [T] Complete la siguiente tabla para la función. Redondee sus soluciones a cuatro decimales. x f ( x ) x f ( x ) 0,9 a. 1,1 e. 0,99 b. 1,01 f. 0,999 c. 1,001 g. 0,9999 d. 1,0001 h. ¿Qué indican sus resultados en el ejercicio anterior sobre el límite bilateral lím x → 1 f ( x ) ? Razone su respuesta. lím x → 1 f ( x ) no existe porque lím x → 1 − f ( x ) = −2 ≠ lím x → 1 + f ( x ) = 2 . En los siguientes ejercicios, considere la función f ( x ) = ( 1 + x ) 1 / x . [T] Haga una tabla con los valores de f para x = −0,01 , −0,001 , −0,0001 , −0,00001 y para x = 0,01 , 0,001 , 0,0001 , 0,00001 . Redondee sus soluciones a cinco decimales. x f ( x ) x f ( x ) −0,01 a. 0,01 e. −0,001 b. 0,001 f. −0,0001 c. 0,0001 g. −0,00001 d. 0,00001 h. ¿Qué indica la tabla de valores del ejercicio anterior sobre la función f ( x ) = ( 1 + x ) 1 / x ? lím x → 0 ( 1 + x ) 1 / x = 2,7183 ¿A qué constante matemática parece acercarse el límite del ejercicio anterior? En los siguientes ejercicios, utilice los valores dados a fin de establecer una tabla para evaluar los límites. Redondee sus soluciones a ocho decimales. [T] lím x → 0 sen 2 x x ; ±0,1 , ±0,01 , ±0,001 , ±0,0001 x sen 2 x x x sen 2 x x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. a. 1,98669331; b. 1,99986667; c. 1,99999867; d. 1,99999999; e. 1,98669331; f. 1,99986667; g. 1,99999867; h. 1,99999999 lím x → 0 sen 2 x x = 2 [T] lím x → 0 sen 3 x x ±0,1, ±0,01, ±0,001, ±0,0001 X sen 3 x x x sen 3 x x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. Utilice los dos ejercicios anteriores para conjeturar (suponer) el valor del siguiente límite lím x → 0 sen a x x para a , un valor real positivo. lím x → 0 sen a x x = a [T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores para hallar el límite indicado. Redondee a ocho dígitos. lím x → 2 x 2 − 4 x 2 + x − 6 x x 2 − 4 x 2 + x − 6 x x 2 − 4 x 2 + x − 6 1,9 a. 2,1 e. 1,99 b. 2,01 f. 1,999 c. 2,001 g. 1,9999 d. 2,0001 h. lím x → 1 ( 1 − 2 x ) x 1 − 2 x x 1 − 2 x 0,9 a. 1,1 e. 0,99 b. 1,01 f. 0,999 c. 1,001 g. 0,9999 d. 1,0001 h. a. –0,80000000; b. –0,98000000; c. –0,99800000; d. –0,99980000; e. –1,2000000; f. –1,0200000; g. –1,0020000; h. –1,0002000 lím x → 1 ( 1 − 2 x ) = –1 lím x → 0 5 1 − e 1 / x x 5 1 − e 1 / x x 5 1 − e 1 / x −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. lím z → 0 z – 1 z 2 ( z + 3 ) z z – 1 z 2 ( z + 3 ) z z – 1 z 2 ( z + 3 ) −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. a. -37,931934; b. -3377,9264; c. -333.777,93; d. -33.337.778; e. -29,032258; f. -3289,0365; g. -332.889,04; h. -33.328.889 lím x → 0 z – 1 z 2 ( z + 3 ) = − ∞ lím t → 0 + cos t t t cos t t 0,1 a. 0,01 b. 0,001 c. 0,0001 d. lím x → 2 1 − 2 x x 2 − 4 x 1 − 2 x x 2 − 4 x 1 − 2 x x 2 − 4 1,9 a. 2,1 e. 1,99 b. 2,01 f. 1,999 c. 2,001 g. 1,9999 d. 2,0001 h. a. 0,13495277; b. 0,12594300; c. 0,12509381; d. 0,12500938; e. 0,11614402; f. 0,12406794; g. 0,12490631; h. 0,12499063 ∴ lím x → 2 1 − 2 x x 2 − 4 = 0,1250 = 1 8 [T] En los siguientes ejercicios, establezca una tabla de valores y redondee a ocho dígitos significativos. Con base en la tabla de valores, haga una conjetura sobre cuál es el límite. A continuación, utilice una calculadora para representar gráficamente la función y determinar el límite. ¿Su conjetura fue correcta? Si no, ¿por qué falla el método de las tablas? lím θ → 0 sen ( π θ ) θ sen ( π θ ) θ sen ( π θ ) −0,1 a. 0,1 e. −0,01 b. 0,01 f. −0,001 c. 0,001 g. −0,0001 d. 0,0001 h. lím α → 0 + 1 α cos ( π α ) a 1 α cos ( π α ) 0,1 a. 0,01 b. 0,001 c. 0,0001 d. a. 10,00000; b. 100,00000; c. 1.000,0000; d. 10.000,000; estimación: lím α → 0 + 1 α cos ( π α ) = ∞ , resultado: DNE En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí. ¿Cuáles afirmaciones sobre y = f ( x ) son verdaderas y cuáles son falsas? Explique por qué una afirmación es falsa. lím x → 10 f ( x ) = 0 lím x → −2 + f ( x ) = 3 Falso; lím x → −2 + f ( x ) = + ∞ lím x → −8 f ( x ) = f ( −8 ) grandes. lím x → 6 f ( x ) = 5 Falso; lím x → 6 f ( x ) DNE ya que lím x → 6 − f ( x ) = 2 y lím x → 6 + f ( x ) = 5 . En los siguientes ejercicios, utiliza el siguiente gráfico de la función y = f ( x ) para hallar los valores, si es posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 1 − f ( x ) grandes. lím x → 1 + f ( x ) 2 lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) 1 f ( 1 ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − f ( x ) 1 lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 0 f ( x ) DNE lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → −2 − f ( x ) 0 lím x → −2 + f ( x ) grandes. lím x → −2 f ( x ) DNE lím x → 2 – f ( x ) grandes. lím x → 2 + f ( x ) 2 lím x → 2 f ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = g ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − g ( x ) 3 lím x → 0 + g ( x ) grandes. lím x → 0 g ( x ) DNE En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = h ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − h ( x ) grandes. lím x → 0 + h ( x ) 0 lím x → 0 h ( x ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función y = f ( x ) que se muestra aquí para hallar los valores de ser posible. Estime cuando sea necesario. lím x → 0 − f ( x ) −2 lím x → 0 + f ( x ) grandes. lím x → 0 f ( x ) DNE lím x → 1 f ( x ) grandes. lím x → 2 f ( x ) 0 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de una función con las propiedades dadas. lím x → 2 f ( x ) = 1 , lím x → 4 − f ( x ) = 3 , lím x → 4 + f ( x ) = 6 , f ( 4 ) no está definido. A s x → − ∞ , f ( x ) → 0 , lím x → −1 − f ( x ) = − ∞ , lím x → −1 + f ( x ) = ∞ , lím x → 0 f ( x ) = f ( 0 ) , f ( 0 ) = 1 , A s x → ∞ , f ( x ) → − ∞ Las respuestas pueden variar. A s x → − ∞ , f ( x ) → 2 , lím x → 3 − f ( x ) = − ∞ , lím x → 3 + f ( x ) = ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 2 , f ( 0 ) = −1 3 A s x → − ∞ , f ( x ) → 2 , lím x → −2 f ( x ) = − ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 2 , f ( 0 ) = 0 Las respuestas pueden variar. A s x → − ∞ , f ( x ) → 0 , lím x → −1 − f ( x ) = ∞ , lím x → −1 + f ( x ) = − ∞ , f ( 0 ) = −1 , lím x → 1 − f ( x ) = − ∞ , lím x → 1 + f ( x ) = ∞ , A s x → ∞ , f ( x ) → 0 Las ondas expansivas aparecen en muchas aplicaciones físicas, desde las supernovas hasta las ondas generadas por una detonación. Se muestra un gráfico de la densidad de una onda expansiva con respecto a la distancia, x . Nos interesa principalmente la ubicación de la parte delantera del amortiguador, marcada x SF en el diagrama. Evalúe lím x → x S F + ρ ( x ) . Evalúe lím x → x S F − ρ ( x ) . Evalúe lím x → x S F ρ ( x ) . Explique el significado físico de sus respuestas. a. ρ 2 b. ρ 1 c. DNE a menos que ρ 1 = ρ 2 . Cuando se acerca a x SF desde la izquierda, se encuentra en la zona de alta densidad de la onda expansiva. Cuando se acerca por la derecha, aún no ha experimentado el "choque" y está en una densidad más baja. Un entrenador de pista utiliza una cámara con un obturador rápido para estimar la posición de un corredor con respecto al tiempo. Aquí se ofrece una tabla de los valores de posición del atleta en función del tiempo, donde x es la posición en metros del corredor y t es el tiempo en segundos. ¿Cuál es el valor de lím t → 2 x ( t ) ? ¿Qué significa en términos físicos? t (s) x (m) 1,75 4,5 1,95 6,1 1,99 6,42 2,01 6,58 2,05 6,9 2,25 8,5 límite infinito una función tiene un límite infinito en un punto a si aumenta o disminuye sin límite al acercarse a a definición intuitiva del límite si todos los valores de la función f ( x ) se acercan al número real L a medida que los valores de x ( ≠ a ) se acercan a a , f ( x ) se acerca a L límite unilateral un límite unilateral de una función es un límite tomado por la izquierda o por la derecha asíntota vertical una función tiene una asíntota vertical en x = a si el límite a medida que x se acerca a a desde la derecha o la izquierda es infinito

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