Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Objetivos de aprendizaje Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2) Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4) Objetivo 1: Resolver ecuaciones exponenciales. (IA 10.2.2) Las ecuaciones que incluyen una expresión exponencial a x se denominan ecuaciones exponenciales . Hay dos tipos de ecuaciones exponenciales: las que tienen la base común en cada lado y las que no tienen base común. Tipo 1 : Posible base común en cada lado: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado con una base común. Utilice la propiedad base-exponente para igualar los exponentes y resolver para x. Propiedad del exponente base Para cualquier a > 0 , a ≠ 1 , si a x = a y entonces x = y Tipo 2 : No hay base común posible: Utilice las propiedades de los exponentes para reescribir cada lado en términos de una expresión exponencial. Tome el logaritmo o ln de cada lado y utilice la regla de la potencia para bajar la potencia. Resuelva la ecuación restante para x. Propiedad de la igualdad logarítmica: Para cualquier M > 0 , N > 0 , a > 0 , a n d a ≠ 1 Si log a M = log b N entonces M = N . Resolver ecuaciones exponenciales. Resuelva: 3 2 x - 5 = 27 . ¿Hay aquí una base común? Sí, tanto 3 como 27 pueden reescribirse como potencias de 3. Escriba ambos lados de la ecuación con la misma base. 3 2 x 5 = 3 3 Ya que las bases son iguales, los exponentes deberán ser iguales. Escriba una nueva ecuación al igualar los exponentes. 2 x 5 = 3 Resuelva la ecuación. 2 x = 8 x = 4 Compruebe la solución al sustituir x=4 en la ecuación original. 3 2 ( 4 ) 5 = 27 27 = 27 , Verdadero Resuelva 3 e x + 2 = 24 . Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales. No es posible reescribir con una base común. Aísle la exponencial al dividir ambos lados entre 3. e x + 2 = 8 Tome el logaritmo natural de ambos lados. ln e x + 2 = ln 8 Utilice la propiedad de la potencia para obtener la x como factor, no como exponente. ( x + 2 ) ln e = ln 8 Utilice la propiedad ln e = 1 para simplificar. x + 2 = ln 8 Resuelva la ecuación. Halle la respuesta exacta. x = ln 8 -2 Dé la respuesta aproximada. x = 0,079 Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. ¿Hay una base común? Aísle primero el término variable para determinarlo. Resuelva 2 ( 5 x ) = 12 . Aísle el término exponencial en un lado. Tome ln o log de cada lado. Utilice la propiedad de la potencia para obtener la x como factor, no como exponente. Resuelva para x. Dé una respuesta exacta y otra aproximada. Compruebe. Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva 2 3 x 4 = 8 x . ¿Hay aquí una base común? Sí, tanto 2 como 8 pueden reescribirse como potencias de 2. Reescriba cada lado con base 2 utilizando las propiedades de los exponentes. Iguale los exponentes, ya que las bases son iguales. Resuelva para x. Dé una respuesta exacta y otra aproximada. Compruebe. La práctica hace la perfección Resuelva. Halle la respuesta exacta y luego aproxímela con tres decimales. 4 2 x 3 = 1 16 5 ( 3 x ) = 20 Objetivo 2: Resolver ecuaciones logarítmicas. (IA 10.3.4) Hay dos tipos de ecuaciones logarítmicas: las que tienen términos logarítmicos en un solo lado de la ecuación o las que tienen términos logarítmicos en cada lado de la ecuación. Ya que el dominio de las funciones logarítmicas consiste únicamente en números positivos, compruebe bien las soluciones. Tipo 1 : Términos logarítmicos en un lado de la ecuación: Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir un lado con un solo término logarítmico. Convierta a notación exponencial y resuelva para x. Si los valores de log a x = y entonces x = a y . Tipo 2 : Términos logarítmicos en ambos lados de la ecuación: En primer lugar, utilice las propiedades del logaritmo para reescribir cada lado en términos de una única expresión logarítmica, si es necesario. Utilice la propiedad biunívoca de la igualdad logarítmica para que los argumentos sean iguales entre sí. Resuelva la ecuación resultante para x. Propiedad biunívoca de las ecuaciones logarítmicas Para cualquier M > 0 , N > 0 , a > 0 , y a ≠ 1 es un número real cualquiera: Si log a M = log a N , entonces M = N . Resolver ecuaciones logarítmicas. Resuelva: log 2 ( 3 x 5 ) = 4 Reescriba en forma exponencial. 2 4 = 3 x 5 Simplifique. 16 = 3 x 5 Resuelva para x. x = 7 Compruebe. log 2 ( 3 ( 7 ) 5 ) = 4 4 = 4 , verdadero Resuelva log 4 ( x + 6 ) log 4 ( 2 x + 5 ) = log 4 x Utilice la propiedad de cociente en el lado izquierdo y la propiedad de potencia en el derecho. log 4 x + 6 2 x + 5 = log 4 x 1 Reescriba x -1 cuando 1 x . log 4 x + 6 2 x + 5 = log 4 1 x Utilice la propiedad biunívoca. x + 6 2 x + 5 = 1 x Resuelva la ecuación racional. x ( x + 6 ) = 2 x + 5 Distribuya y escriba en forma estándar. x 2 + 4 x 5 = 0 Factorice y resuelva para x. ( x + 5 ) ( x 1 ) = 0 , x = -5 , x = 1 Compruebe: x=-5 es una solución extraña porque 2 ( -5 ) + 5 < 0 por lo que x=1 es la única solución. Ejercicio Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva log ( x + 2 ) log 3 = 1 Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir el lado izquierdo como un único término logarítmico. Convierta en forma exponencial. Resuelva para x. Compruebe. Ejercicio Utilice los siguientes pasos para resolver la ecuación de abajo. Resuelva log x + log ( x + 1 ) = 2 Utilice las propiedades de los logaritmos para reescribir el lado izquierdo como un único término logarítmico. Utilice la propiedad biunívoca. Resuelva la ecuación cuadrática. Compruebe. La práctica hace la perfección No olvide comprobar sus soluciones. log 3 x = 5 log 2 ( x + 1 ) + log 2 ( x 1 ) = 3 log ( x 2 ) log ( 4 x + 16 ) = log 1 x Conejos silvestres en Australia. La población de conejos creció tan rápidamente en Australia que el hecho se conoció como la "plaga de conejos" (créditos: Richard Taylor, Flickr) En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones. El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales. Usar bases semejantes para resolver ecuaciones exponenciales La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales nos señala que, para cualesquiera números reales b , S , y T , donde b > 0 , b ≠ 1 , b S = b T si y solo si S = T . En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita. Por ejemplo, considere la ecuación 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 . Para resolver x , utilizamos la propiedad de división de los exponentes con el objeto de reescribir el lado derecho, de manera que ambos lados tengan la base común, 3. A continuación, aplicamos la propiedad biunívoca de los exponentes al igualarlos y resolver para x : 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 3 4 x - 7 = 3 2 x 3 1 Reescribir 3 como 3 1 . 3 4 x - 7 = 3 2 x – 1 Utilice la propiedad de división de los exponentes . 4 x - 7 = 2 x – 1 Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . 2 x = 6 Reste 2 x y sume 7 a ambos lados . x = 3 Divida entre 3 . Usar la propiedad biunívoca de las funciones exponenciales para resolver ecuaciones exponenciales Para cualquier expresión algebraica S y T , y cualquier número real positivo b ≠ 1 , b S = b T si y solo si S = T Cómo Dada una ecuación exponencial con la forma b S = b T , donde S y T son expresiones algebraicas con una incógnita, resolver la incógnita. Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma b S = b T . Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver una ecuación exponencial con base común Resuelva 2 x – 1 = 2 2 x - 4 . 2 x – 1 = 2 2 x - 4 La base común es 2. x – 1 = 2 x - 4 Por la propiedad biunívoca los exponentes deberán ser iguales . x = 3 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 2 x = 5 3 x + 2 . x = - 2 Reescribir las ecuaciones para que todas las potencias tengan la misma base A veces la base común de una ecuación exponencial no es explícita. En estos casos, simplemente reescribimos los términos de la ecuación como potencias con base común y resolvemos con la propiedad biunívoca. Por ejemplo, considere la ecuación 256 = 4 x - 5 . Podemos reescribir ambos lados de esta ecuación como potencia de 2. Entonces aplicamos las reglas de los exponentes, junto con la propiedad biunívoca, para resolver x : 256 = 4 x - 5 2 8 = ( 2 2 ) x - 5 Reescriba cada lado como potencia con base 2 . 2 8 = 2 2 x - 10 Utilice la propiedad biunívoca de los exponentes . 8 = 2 x - 10 Aplique la propiedad biunívoca de los exponentes . 18 = 2 x Sume 10 a ambos lados . x = 9 Divida entre 2 . Cómo Dada una ecuación exponencial con bases distintas, utilizar la propiedad biunívoca para resolverla. Reescriba cada lado de la ecuación como potencia con base común. Utilice las reglas de los exponentes para simplificar, si es necesario, de manera que la ecuación resultante tenga la forma b S = b T . Aplique la propiedad biunívoca para igualar los exponentes. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver ecuaciones al reescribirlas para que tengan una base común Resuelva 8 x + 2 = 16 x + 1 . 8 x + 2 = 16 x + 1 ( 2 3 ) x + 2 = ( 2 4 ) x + 1 Escriba 8 y 16 como potencias de 2. 2 3 x + 6 = 2 4 x + 4 Para tomar la potencia de una potencia, multiplique los exponentes . 3 x + 6 = 4 x + 4 Utilice la propiedad biunívoca para igualar los exponentes . x = 2 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 2 x = 25 3 x + 2 . x = - 1 Resolver ecuaciones al reescribir raíces con exponentes fraccionarios para que tengan una base común Resuelva 2 5 x = 2 . 2 5 x = 2 1 2 Escriba la raíz cuadrada de 2 como potencia de 2. x = 1 2 Utilice la propiedad biunívoca . x = 1 10 Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 5 x = 5 . x = 1 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las ecuaciones exponenciales tienen solución? Si no es así, ¿cómo podemos saber si hay una solución durante la resolución de problemas? No. Recordemos que el rango de una función exponencial es siempre positivo. Al resolver la ecuación, podemos obtener una expresión indefinida. Resolver una ecuación con potencias positivas y negativas Resuelva 3 x + 1 = –2. Esta ecuación no tiene solución. No hay ningún valor real de x que haga que la ecuación sea un enunciado verdadero porque cualquier potencia de un número positivo es positiva. Análisis La muestra que los dos gráficos no se cruzan, por lo que el lado izquierdo nunca es igual al lado derecho. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. Ejercicio Resuelva 2 x = −100. La ecuación no tiene solución. Resolver ecuaciones exponenciales mediante logaritmos A veces los términos de una ecuación exponencial no pueden reescribirse con una base común. En estos casos, resolvemos al tomar el logaritmo de cada lado. Recordemos que, dado que log ( a ) = log ( b ) equivale a a = b , podemos aplicar logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación exponencial. Cómo Dada una ecuación exponencial en la que no se halla ninguna base común, resolver la incógnita. Aplique el logaritmo de ambos lados de la ecuación. Si uno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo común. Si ninguno de los términos de la ecuación tiene base 10, utilice el logaritmo natural. Utilice las reglas de los logaritmos para resolver la incógnita. Resolver una ecuación que contiene potencias de diferentes bases Resuelva 5 x + 2 = 4 x . 5 x + 2 = 4 x No hay una manera fácil de hacer que las potencias tengan la misma base . ln 5 x + 2 = ln 4 x Tome el ln de ambos lados . ( x + 2 ) ln 5 = x ln 4 Utilice las leyes de los logaritmos . x ln 5 + 2 ln 5 = x ln 4 Utilice la ley distributiva . x ln 5 - x ln 4 = - 2 ln 5 Obtenga términos que contengan x por un lado y términos sin x por el otro lado . x ( ln 5 − ln 4 ) = - 2 ln 5 En el lado izquierdo, saque un factor común x . x ln ( 5 4 ) = ln ( 1 25 ) Utilice las leyes de los logaritmos. x = ln ( 1 25 ) ln ( 5 4 ) Divida entre el coeficiente de x . Ejercicio Resuelva 2 x = 3 x + 1 . x = ln 3 ln ( 2 3 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Hay alguna manera de resolver 2 x = 3 x ? Sí. La solución es 0 . Ecuaciones que contienen e Un tipo común de ecuaciones exponenciales son las de base e . Esta constante se repite una y otra vez en la naturaleza, en las matemáticas, en la ciencia, en la ingeniería y en las finanzas. Cuando tenemos una ecuación con una base e en cualquier lado, podemos utilizar el logaritmo natural para resolverla. Cómo Dada una ecuación de la forma y = A e k t , resolver para t . Divida ambos lados de la ecuación entre A . Aplique el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Divida ambos lados de la ecuación entre k . Resolver una ecuación de la forma y = Ae kt Resuelva 100 = 20 e 2 t . 100 = 20 e 2 t 5 = e 2 t Divida entre el coeficiente de la potencia. ln 5 = 2 t Tome el ln de ambos lados . Utilice el hecho de que ln ( x ) y e x son funciones inversas . t = ln 5 2 Divida entre el coeficiente de t . Análisis Con las leyes de los logaritmos también podemos escribir esta respuesta en la forma t = ln 5 . Si queremos una aproximación decimal de la respuesta, utilizamos una calculadora. Ejercicio Resuelva 3 e 0,5 t = 11. t = 2 ln ( 11 3 ) o ln ( 11 3 ) 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Cualquier ecuación de la forma y = A e k t tiene una solución? No. Hay solución cuando k ≠ 0 , y cuando y y A son ambos 0 o ninguno, y tienen el mismo signo. Un ejemplo de ecuación con esta forma que no tiene solución es 2 = −3 e t . Resolver una ecuación que puede simplificarse a la forma y = Ae kt Resuelva 4 e 2 x + 5 = 12. 4 e 2 x + 5 = 12 4 e 2 x = 7 Combine términos similares . e 2 x = 7 4 Divida entre el coeficiente de la potencia . 2 x = ln ( 7 4 ) Tome el ln de ambos lados . x = 1 2 ln ( 7 4 ) Resuelva para x . Ejercicio Resuelva 3 + e 2 t = 7 e 2 t . t = ln ( 1 2 ) = - 1 2 ln ( 2 ) Soluciones extrañas A veces, los métodos utilizados para resolver una ecuación introducen una solución extraña , que es una solución correcta desde el punto de vista algebraico pero que no satisface las condiciones de la ecuación original. Una de estas situaciones surge al resolver cuando se toma el logaritmo en ambos lados de la ecuación. En estos casos, recuerde que el argumento del logaritmo deberá ser positivo. Si el número que evaluamos en una función de logaritmo es negativo, no hay salida. Resolver funciones exponenciales en forma cuadrática Resuelva e 2 x - e x = 56. e 2 x - e x = 56 e 2 x - e x − 56 = 0 Iguale a cero un lado de la ecuación . ( e x + 7 ) ( e x - 8 ) = 0 Factorice por el método FOIL . e x + 7 = 0 o e x - 8 = 0 Si el producto es cero, entonces el factor uno deberá ser cero . e x = - 7 o e x = 8 Aísle los exponenciales . e x = 8 Rechace la ecuación en la que la potencia equivalga a un número negativo . x = ln 8 Resuelva la ecuación en la que la potencia equivalga a un número positivo . Análisis Cuando planeamos utilizar la factorización para resolver un problema, siempre llevamos a cero un lado de la ecuación, porque el cero tiene la propiedad única de que, cuando un producto es cero, uno o ambos factores deberán ser cero. Rechazamos la ecuación e x = −7 porque un número positivo nunca equivale a un número negativo. La solución ln ( −7 ) no es un número real y, en el sistema de números reales, esto se rechaza por ser una solución extraña. Ejercicio Resuelva e 2 x = e x + 2. x = ln 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las ecuaciones logarítmicas tienen solución? No. Tenga presente que solo podemos aplicar el logaritmo a un número positivo. Compruebe siempre si hay soluciones extrañas. Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas Ya hemos visto que toda ecuación logarítmica log b ( x ) = y es equivalente a la ecuación exponencial b y = x . Podemos utilizar este hecho, junto con las reglas de los logaritmos, para resolver ecuaciones logarítmicas donde el argumento sea una expresión algebraica. Por ejemplo, considere la ecuación log 2 ( 2 ) + log 2 ( 3 x - 5 ) = 3. Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo en forma compacta y luego aplicar la definición de logaritmos para resolver x : log 2 ( 2 ) + log 2 ( 3 x - 5 ) = 3 log 2 ( 2 ( 3 x - 5 ) ) = 3 Aplique la regla del producto para los logaritmos. log 2 ( 6 x - 10 ) = 3 Distribuya . 2 3 = 6 x - 10 Aplique la definición de logaritmo . 8 = 6 x - 10 Calcule 2 3 . 18 = 6 x Sume 10 a ambos lados . x = 3 Divida entre 6 . Usar la definición de un logaritmo para resolver ecuaciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y los números reales b y c , donde b > 0 , b ≠ 1 , log b ( S ) = c si y solo si b c = S Usar el álgebra para resolver una ecuación logarítmica Resuelva 2 ln x + 3 = 7. 2 ln x + 3 = 7 2 ln x = 4 Reste 3 . ln x = 2 Divida entre 2 . x = e 2 Reescriba en forma exponencial . Ejercicio Resuelva 6 + ln x = 10. x = e 4 Usar el álgebra antes y después de emplear la definición del logaritmo natural Resuelva 2 ln ( 6 x ) = 7. 2 ln ( 6 x ) = 7 ln ( 6 x ) = 7 2 Divida entre 2 . 6 x = e ( 7 2 ) Utilice la definición de ln . x = 1 6 e ( 7 2 ) Divida entre 6 . Ejercicio Resuelva 2 ln ( x + 1 ) = 10. x = e 5 - 1 Usar un gráfico para entender la solución a una ecuación logarítmica Resuelva ln x = 3. ln x = 3 x = e 3 Utilice la definición del logaritmo natural . La representa el gráfico de la ecuación. En el gráfico, la coordenada de la x del punto de intersección de los dos gráficos es cercana a 20. En otras palabras e 3 ≈ 20. La calculadora da una mejor aproximación: e 3 ≈ 20,0855. Los gráficos de y = ln x como y = 3 se cruzan en el punto (e 3 , 3 ) , que es aproximadamente (20,0855, 3). Ejercicio Utilice una calculadora gráfica para estimar la solución aproximada de la ecuación logarítmica 2 x = 1.000 a 2 decimales. x ≈ 9,97 Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas Al igual que con las ecuaciones exponenciales, podemos utilizar la propiedad biunívoca para resolver ecuaciones logarítmicas. La propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas nos señala que, para cualquier número real x > 0 , S > 0 , T > 0 y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T . Por ejemplo, Si log 2 ( x – 1 ) = log 2 ( 8 ) , entonces x – 1 = 8. Por lo tanto, si x – 1 = 8 , entonces podemos resolver para x , y obtenemos x = 9. Para comprobarlo, podemos sustituir x = 9 en la ecuación original: log 2 ( 9 - 1 ) = log 2 ( 8 ) = 3. En otras palabras, cuando una ecuación logarítmica tiene la misma base en cada lado, los argumentos deberán ser iguales. Esto también se aplica cuando los argumentos son expresiones algebraicas. Por lo tanto, cuando se da una ecuación con logaritmos de la misma base en cada lado, podemos utilizar las reglas de los logaritmos para reescribir cada lado como un único logaritmo. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones logarítmicas son biunívocas para igualar los argumentos y resolver la incógnita. Por ejemplo, considere la ecuación log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) . Para resolver esta ecuación, podemos utilizar las reglas de los logaritmos con el objeto de reescribir el lado izquierdo como un solo logaritmo, y luego aplicar la propiedad biunívoca para resolver x : log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) log ( 3 x - 2 2 ) = log ( x + 4 ) Aplique la regla del cociente de logaritmos . 3 x - 2 2 = x + 4 Aplique la propiedad biunívoca de un logaritmo . 3 x - 2 = 2 x + 8 Multiplique ambos lados de la ecuación por 2. x = 10 Reste 2 x y sume 2 . Para comprobar el resultado, sustituya x = 10 en log ( 3 x - 2 ) - log ( 2 ) = log ( x + 4 ) . log ( 3 ( 10 ) - 2 ) - log ( 2 ) = log ( ( 10 ) + 4 ) log ( 28 ) - log ( 2 ) = log ( 14 ) log ( 28 2 ) = log ( 14 ) La solución comprueba . Usar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver ecuaciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T Al momento de resolver una ecuación que implique logaritmos, compruebe siempre si la respuesta es correcta o si se trata de una solución extraña. Cómo Dada una ecuación que contiene logaritmos, resolverla con la propiedad biunívoca. Utilice las reglas de los logaritmos para combinar los términos semejantes, si es necesario, de modo que la ecuación resultante tenga la forma log b S = log b T . Utilice la propiedad biunívoca para igualar los argumentos. Resuelva la ecuación resultante, S = T , para la incógnita. Resolver una ecuación con la propiedad biunívoca de los logaritmos Resuelva ln ( x 2 ) = ln ( 2 x + 3 ) . ln ( x 2 ) = ln ( 2 x + 3 ) x 2 = 2 x + 3 Utilice la propiedad biunívoca del logaritmo . x 2 - 2 x - 3 = 0 Lleve un lado a cero antes de la factorización . ( x - 3 ) ( x + 1 ) = 0 Factorice por medio de FOIL . x - 3 = 0 o x + 1 = 0 Si un producto es cero, uno de los factores deberá ser cero . x = 3 o x = - 1 Resuelva para x . Análisis Hay dos soluciones: 3 o −1. La solución −1 es negativa, aunque se comprueba cuando se sustituye en la ecuación original porque el argumento de las funciones logarítmicas sigue siendo positivo. Ejercicio Resuelva ln ( x 2 ) = ln 1. x = 1 o x = - 1 Resolver problemas aplicados mediante ecuaciones exponenciales y logarítmicas En las secciones anteriores, hemos aprendido las propiedades y las reglas de las funciones exponenciales y logarítmicas. Hemos visto que cualquier función exponencial puede escribirse como una función logarítmica y viceversa. Hemos utilizado los exponentes para resolver ecuaciones logarítmicas y los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Ahora estamos preparados para combinar nuestras habilidades para resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Una de estas aplicaciones se encuentra en la ciencia, al calcular el tiempo que tarda en decaer la mitad del material inestable de la muestra de una sustancia radiactiva, lo que se denomina su semivida . La enumera la semivida de varias de las sustancias radiactivas más comunes. Sustancia Uso Semivida galio 67 medicina nuclear 80 horas cobalto 60 fabricación 5,3 años tecnecio 99m medicina nuclear 6 horas americio 241 construcción 432 años carbono 14 datación arqueológica 5.715 años uranio 235 energía atómica 703.800.000 años Podemos ver lo mucho que varían las semividas de estas sustancias. Conocer la vida media de una sustancia nos permite calcular la cantidad que queda después de un tiempo determinado. Podemos emplear la fórmula para el decaimiento radiactivo: A ( t ) = A 0 e ln ( 0,5 ) T t A ( t ) = A 0 e ln ( 0,5 ) t T A ( t ) = A 0 ( e ln ( 0,5 ) ) t T A ( t ) = A 0 ( 1 2 ) t T donde A 0 es la cantidad inicial presente T es la semivida de la sustancia t es el tiempo en el que se estudia la sustancia A ( t ) es la cantidad de la sustancia presente después del tiempo t Usar la fórmula del decaimiento radiactivo para hallar la cantidad de una sustancia ¿Cuánto tiempo tarda en decaer el diez por ciento de una muestra de 1.000 gramos de uranio 235? y = 1.000 e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t 900 = 1.000 e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t Después de un 10 % de decaimiento, quedan 900 gramos . 0,9 = e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t Divida entre 1.000 . ln ( 0,9 ) = ln ( e ln ( 0,5 ) 703.800.000 t ) Tome el ln de ambos lados . ln ( 0,9 ) = ln ( 0,5 ) 703.800.000 t ln ( e M ) = M t = 703.800.000 × ln ( 0,9 ) ln ( 0,5 ) años Resuelva para t . t ≈ 106.979.777 años Análisis El diez por ciento de 1.000 gramos son 100 gramos. Si 100 gramos decaen, la cantidad de uranio-235 que queda es de 900 gramos. Ejercicio ¿Cuánto tiempo pasará antes de que el veinte por ciento de nuestra muestra de 1.000 gramos de uranio-235 decaiga? t = 703 , 800 , 000 × ln ( 0,8 ) ln ( 0,5 ) años ≈ 226 , 572 , 993 años . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Resolver ecuaciones logarítmicas Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos Ecuaciones clave Propiedad biunívoca de las funciones exponenciales Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b S = b T si y solo si S = T . Definición de logaritmo Para cualquier expresión algebraica S y números reales positivos b y c , donde b ≠ 1 , log b ( S ) = c si y solo si b c = S . Propiedad biunívoca de las funciones logarítmicas Para cualquier expresión algebraica S y T y cualquier número real positivo b , donde b ≠ 1 , log b S = log b T si y solo si S = T . Conceptos clave Podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales con las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son biunívocas para igualar los exponentes y resolver la incógnita. Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases se muestran explícitamente iguales, igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el . Cuando se nos da una ecuación exponencial en la que las bases no se muestran explícitamente iguales, reescribimos cada lado de la ecuación como potencias de la misma base, luego igualamos los exponentes y resolvemos la incógnita. Vea el , el y el . Cuando una ecuación exponencial no pueda reescribirse con una base común, resuélvela al tomar el logaritmo de cada lado. Vea el . Podemos resolver ecuaciones exponenciales con base e , al aplicar el logaritmo natural de ambos lados porque las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Vea el y el . Después de resolver una ecuación exponencial, compruebe cada solución en la ecuación original para detectar y eliminar cualquier solución extraña. Vea el . Cuando se da una ecuación de la forma log b ( S ) = c , donde S es una expresión algebraica, podemos utilizar la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como la ecuación exponencial equivalente b c = S , y resolver la incógnita. Vea el y el . También podemos utilizar la representación gráfica para resolver ecuaciones con la forma log b ( S ) = c . Graficamos ambas ecuaciones y = log b ( S ) y de y = c en el mismo plano de coordenadas e identificamos la solución como el valor de x del punto de intersección. Vea el . Cuando se da una ecuación de la forma log b S = log b T , donde S y T son expresiones algebraicas, podemos utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver la ecuación S = T para la incógnita. Vea el . Al combinar las habilidades aprendidas en esta sección y en las anteriores, podemos resolver ecuaciones que modelen situaciones del mundo real, tanto si la incógnita está en un exponente como en el argumento de un logaritmo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se resuelve una ecuación exponencial? Determine primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden igualarse. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base, entonces aplique el logaritmo a cada lado y utilice las propiedades de los logaritmos para resolver. ¿Cuándo se produce una solución extraña? ¿Cómo se reconoce una solución extraña? ¿Cuándo se puede utilizar la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver una ecuación? ¿Cuándo no se puede utilizar? La propiedad biunívoca se utiliza si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad biunívoca no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice bases semejantes para resolver la ecuación exponencial. 4 - 3 v - 2 = 4 − v 64 ⋅ 4 3 x = 16 x = - 1 3 3 2 x + 1 ⋅ 3 x = 243 2 - 3 n ⋅ 1 4 = 2 n + 2 n = - 1 625 ⋅ 5 3 x + 3 = 125 36 3 b 36 2 b = 216 2 - b b = 6 5 ( 1 64 ) 3 n ⋅ 8 = 2 6 En los siguientes ejercicios, utilice logaritmos para resolver. 9 x - 10 = 1 x = 10 2 e 6 x = 13 e r + 10 – 10 = -42 No hay solución 2 ⋅ 10 9 a = 29 − 8 ⋅ 10 p + 7 − 7 = −24 p = log ( 17 8 ) - 7 7 e 3 n - 5 + 5 = -89 e - 3 k + 6 = 44 k = - ln ( 38 ) 3 - 5 e 9 x - 8 − 8 = –62 − 6 e 9 x + 8 + 2 = -74 x = ln ( 38 3 ) - 8 9 2 x + 1 = 5 2 x – 1 e 2 x - e x − 132 = 0 x = ln 12 7 e 8 x + 8 − 5 = –95 10 e 8 x + 3 + 2 = 8 x = ln ( 3 5 ) - 3 8 4 e 3 x + 3 - 7 = 53 8 e - 5 x - 2 - 4 = −90 no hay solución 3 2 x + 1 = 7 x - 2 e 2 x - e x - 6 = 0 x = ln ( 3 ) 3 e 3 - 3 x + 6 = −31 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para reescribir la ecuación como exponencial. log ( 1 100 ) = –2 10 - 2 = 1 100 log 324 ( 18 ) = 1 2 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de logaritmo para resolver la ecuación. 5 log 7 n = 10 n = 49 − 8 log 9 x = 16 4 + log 2 ( 9 k ) = 2 k = 1 36 2 log ( 8 n + 4 ) + 6 = 10 10 – 4 ln ( 9 − 8 x ) = 6 x = 9 − e 8 En los siguientes ejercicios, utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para resolver. ln ( 10 – 3 x ) = ln ( - 4 x ) log 13 ( 5 n – 2 ) = log 13 ( 8 − 5 n ) n = 1 log ( x + 3 ) - log ( x ) = log ( 74 ) ln ( - 3 x ) = ln ( x 2 - 6 x ) No hay solución log 4 ( 6 − m ) = log 4 3 m ln ( x - 2 ) - ln ( x ) = ln ( 54 ) No hay solución log 9 ( 2 n 2 − 14 n ) = log 9 ( − 45 + n 2 ) ln ( x 2 - 10 ) + ln ( 9 ) = ln ( 10 ) x = ± 10 3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación para x . log ( x + 12 ) = log ( x ) + log ( 12 ) ln ( x ) + ln ( x - 3 ) = ln ( 7 x ) x = 10 log 2 ( 7 x + 6 ) = 3 ln ( 7 ) + ln ( 2 - 4 x 2 ) = ln ( 14 ) x = 0 log 8 ( x + 6 ) - log 8 ( x ) = log 8 ( 58 ) ln ( 3 ) - ln ( 3 - 3 x ) = ln ( 4 ) x = 3 4 log 3 ( 3 x ) - log 3 ( 6 ) = log 3 ( 77 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación para x , si hay una solución . A continuación, grafique ambos lados de la ecuación y preste atención al punto de intersección (si existe) para verificar la solución. log 9 ( x ) - 5 = –4 x = 9 log 3 ( x ) + 3 = 2 ln ( 3 x ) = 2 x = e 2 3 ≈ 2,5 ln ( x - 5 ) = 1 log ( 4 ) + log ( - 5 x ) = 2 x = - 5 − 7 + log 3 ( 4 - x ) = −6 ln ( 4 x - 10 ) - 6 = - 5 x = e + 10 4 ≈ 3,2 log ( 4 – 2 x ) = log ( - 4 x ) log 11 ( – 2 x 2 - 7 x ) = log 11 ( x - 2 ) No hay solución ln ( 2 x + 9 ) = ln ( - 5 x ) log 9 ( 3 - x ) = log 9 ( 4 x - 8 ) x = 11 5 ≈ 2,2 log ( x 2 + 13 ) = log ( 7 x + 3 ) 3 log 2 ( 10 ) - log ( x - 9 ) = log ( 44 ) x = 101 11 ≈ 9,2 ln ( x ) - ln ( x + 3 ) = ln ( 6 ) En los siguientes ejercicios, resuelva el valor indicado y grafique la situación mostrando el punto de solución. Una cuenta con un depósito inicial de 6.500 dólares gana 7,25 % de interés anual, compuesto continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 20 años? aproximadamente $ 27 . 710,24 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un avión a reacción con una intensidad sonora de 8,3 ⋅ 10 2 vatios por metro cuadrado? La población de una pequeña ciudad se modela mediante la ecuación P = 1650 e 0,5 t donde t se mide en años. ¿En cuántos años aproximadamente la población de la ciudad alcanzará los 20.000 habitantes? unos 5 años En tecnología En los siguientes ejercicios, resuelva cada ecuación al reescribir la expresión exponencial con el logaritmo indicado. A continuación, utilice la calculadora para estimar la variable a 3 decimales. 1.000 ( 1,03 ) t = 5.000 utilizando el logaritmo común. e 5 x = 17 utilizando el logaritmo natural ln ( 17 ) 5 ≈ 0,567 3 ( 1,04 ) 3 t = 8 utilizando el logaritmo común 3 4 x - 5 = 38 utilizando el logaritmo común x = log ( 38 ) + 5 log ( 3 ) 4 log ( 3 ) ≈ 2,078 50 e − 0,12 t = 10 utilizando el logaritmo natural En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver la ecuación. A menos que se indique lo contrario, redondee todas las respuestas a la diezmilésima más cercana. 7 e 3 x - 5 + 7,9 = 47 x ≈ 2,2401 ln ( 3 ) + ln ( 4,4 x + 6,8 ) = 2 log ( − 0,7 x - 9 ) = 1 + 5 log ( 5 ) x ≈ − 44655 , 7143 La presión atmosférica P en libras por pulgada cuadrada se representa con la fórmula P = 14,7 e − 0,21 x , donde x es el número de millas sobre el nivel del mar. Al pie más cercano, ¿qué altura tiene el pico de una montaña con una presión atmosférica de 8,369 libras por pulgada cuadrada? (Pista : una milla equivale a 5.280 pies). La magnitud M de un terremoto se representa mediante la ecuación M = 2 3 log ( E E 0 ) donde E es la cantidad de energía liberada por el terremoto en julios y E 0 = 10 4,4 es la medida mínima asignada liberada por un terremoto. A la centésima más cercana, ¿cuál sería la magnitud de un terremoto que libera 1,4 ⋅ 10 13 julios de energía? aproximadamente 5,83 Extensiones Utilice la definición de logaritmo junto con la propiedad biunívoca de los logaritmos para demostrar que b log b x = x . Recordemos la fórmula del interés continuamente compuesto, y = A e k t . Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t de manera que t es igual a un solo logaritmo. t = ln ( ( y A ) 1 k ) Recordemos la fórmula del interés compuesto A = a ( 1 + r k ) k t . Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t . La ley de enfriamiento de Newton establece que la temperatura T de un objeto en cualquier momento t puede describirse mediante la ecuación T = T s + ( T 0 − T s ) e - k t , donde T s es la temperatura del entorno, T 0 es la temperatura inicial del objeto, y k es la velocidad de enfriamiento. Utilice la definición de logaritmo junto con las propiedades de los logaritmos para resolver la fórmula del tiempo t de manera que t es igual a un solo logaritmo. t = ln ( ( T - T s T 0 − T s ) - 1 k ) solución extraña solución que se introduce al resolver una ecuación y que no satisface las condiciones de la ecuación original

Matemáticas


Modelos exponenciales y logarítmicos Objetivos de aprendizaje Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3) Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5) Objetivo 1: Utilizar modelos exponenciales en aplicaciones. (IA 10.2.3) Vocabulario Complete los espacios en blanco. La función exponencial es la función de la forma f ( x ) = _________, donde a > _________. La función exponencial natural es aquella cuya base es _________. Este número irracional_________ es aproximadamente igual a _________. Usar modelos exponenciales Las funciones exponenciales modelan muchas situaciones. Si tiene una cuenta de ahorros, habrá experimentado el uso de una función exponencial. Hay dos fórmulas que se utilizan para determinar el saldo de la cuenta cuando se devengan los intereses. Si se invierte un capital, P , a un tipo de interés, r , durante t años, el nuevo saldo, A , dependerá de la frecuencia con que se capitalicen los intereses. Interés compuesto Para un capital, P , invertido a una tasa de interés, r , durante t años, el nuevo saldo, A , es: A = P ( 1 + r n ) n t cuando se capitaliza n veces al año. A = P e r t cuando se capitaliza de forma continua. Un total de $ 10.000 se invirtió en un fondo universitario para un nieto. Ⓐ Si el tipo de interés es 5 % , ¿cuánto habrá en la cuenta dentro de 18 años con cada método de capitalización? Ⓑ calculado trimestralmente Ⓒ calculado mensualmente Ⓓ calculado continuamente Ⓐ A = ? Identifique los valores de cada variable en las fórmulas. P = $ 10.000 Recuerde expresar el porcentaje en decimales. r = 0,05 t = 18 años Ⓑ Para la capitalización trimestral, n = 4 . Hay 4 trimestres en un año. A = P ( 1 + r n ) n e Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 ( 1 + 0,05 4 ) 4 · 18 Calcule el monto. Tenga en cuenta el orden de las operaciones al introducir la expresión en la calculadora. A = $ 24.459,20 Ⓒ Para la capitalización mensual, n = 12 . Hay 12 meses en un año. A = P ( 1 + r n ) n e Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 ( 1 + 0,05 12 ) 12 · 18 Calcule el monto. A = $ 24.550,08 Ⓓ Para la capitalización de forma continua, A = P e r t Sustituya los valores en la fórmula. A = 10.000 e 0,05 · 18 Calcule el monto. A = $ 24.596,03 Crecimiento y decaimiento exponencial Otros temas que se modelan mediante funciones exponenciales son el crecimiento y el decaimiento. Ambos utilizan también la fórmula A = P e r t que empleamos para el crecimiento del dinero. Para el crecimiento y el decaimiento, generalmente utilizamos A 0 , como la cantidad original en lugar de llamarla P , el capital. Vemos que el crecimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento positiva y el decaimiento exponencial tiene una tasa de crecimiento negativa. Crecimiento y decaimiento exponencial Por un importe original, A 0 , que crece o decae a una tasa, r , durante un tiempo determinado, t , el importe final, A , es: A = A 0 e r t Chris es un investigador en el Centro de Control y Prevención de Enfermedades que trata de entender el comportamiento de un virus nuevo y peligroso. Comienza su experimento con 100 del virus que crece a una tasa de 25 % por hora. Comprobará el virus en 24 horas. ¿Cuántos virus encontrará? Identifique los valores de cada variable en las fórmulas. A = ? Coloque el porcentaje en forma decimal. A 0 = 100 Verifique que las unidades coincidan: la tasa es por hora y el tiempo está en horas. r = 0,25 /hora t = 24 horas Sustituya los valores en la fórmula: A = A 0 e r t . A = 100 e 0,25 · 24 Calcule el monto. A = 40.342,88 Redondee al virus entero más cercano. A = 40.343 El investigador encontrará 40.343 virus. La práctica hace la perfección Ángela invirtió $ 15.000 en una cuenta de ahorros. Si el tipo de interés es 4 % , ¿cuánto habrá en la cuenta dentro de 10 años con cada método de capitalización? Ⓐ calculado trimestralmente Ⓑ calculado mensualmente Ⓒ calculado continuamente Otra investigadora en el Centro de Control y Prevención de Enfermedades, Lisa, estudia el crecimiento de una bacteria. Comienza su experimento con 50 de las bacterias que crecen a una tasa de 15 % por hora. Comprobará las bacterias cada 8 horas. ¿Cuántas bacterias encontrará en 8 horas? Objetivo 2: Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. (IA 10.3.5) Vocabulario Complete los espacios en blanco. Una función logarítmica es la función de la forma f ( x ) = ________, donde a > ________, x > ________, y a ≠ ________. La función logarítmica f ( x ) = l n x se denomina ________ y tiene una base ________. Nivel de decibelios del sonido Hay muchas aplicaciones que se modelan mediante ecuaciones logarítmicas. Primero veremos la ecuación logarítmica que da el nivel de decibelios (dB) del sonido. Los decibelios oscilan entre 0, que apenas es audible, y 160, que puede romper un tímpano. El 10-12 de la fórmula representa la intensidad del sonido apenas audible. El nivel de sonoridad, D , medido en decibelios, de un sonido de intensidad, I , medido en vatios por pulgada cuadrada es D = 10 log ( I 10 −12 ) Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. La exposición prolongada a un ruido de 85 dB puede causar daños permanentes en el oído interno, lo que provocará la pérdida de la audición. ¿Cuál es el nivel de decibelios de la música que entra por los auriculares con intensidad 10 -2 vatios por pulgada cuadrada? Sustituya el nivel de intensidad, I. D = 10 log ( 10 2 10 12 ) Simplifique. D = 10 log ( 10 10 ) Dado que log 10 10 = 10 D = 10 × 10 Multiplique. D = 100 La magnitud R de un terremoto se mide mediante una escala logarítmica, denominada escala de Richter. El modelo es R = log I , donde I es la intensidad de la onda de choque. Este modelo mide la intensidad de los terremotos . Intensidad del terremoto La magnitud R de un terremoto se mide por R = log I , donde I es la intensidad de su onda de choque. En 1906, San Francisco sufrió un intenso terremoto con una magnitud de 7,8 en la escala de Richter. Más del 80 % de la ciudad fue destruida por los incendios resultantes. En 2014, Los Ángeles sufrió un terremoto moderado de 5,1 grados en la escala de Richter que causó daños por un valor de 108 millones de dólares. Compare las intensidades de los dos terremotos. Para comparar las intensidades, primero tenemos que convertir las magnitudes en intensidades mediante la fórmula logarítmica. A continuación, estableceremos un cociente para comparar las intensidades. Convierta las magnitudes en intensidades. R = log I Terremoto de 1906 7,8 = log I Convierta en forma exponencial. I = 10 7,8 Terremoto de 2014 5,1 = log I Convierta en forma exponencial. I = 10 5,1 Forme un cociente de las intensidades. Intensidad para 1906 Intensidad para 2014 Sustituya los valores. 10 7,8 10 5,1 Divida al restar los exponentes. 10 2,7 Evalúe. 501 Respuesta: La intensidad del terremoto de 1906 fue aproximadamente 501 veces superior a la del terremoto de 2014. La práctica hace la perfección Utilizar modelos logarítmicos en aplicaciones. ¿Cuál es el nivel de decibelios de uno de los nuevos lavavajillas silenciosos con intensidad 10 −7 vatios por pulgada cuadrada? En 1906, San Francisco sufrió un intenso terremoto con una magnitud de 7,8 en la escala de Richter. En 1989, el terremoto de Loma Prieta también afectó la zona de San Francisco y fue de 6,9 grados en la escala de Richter. Compare las intensidades de los dos terremotos. Reactor de investigación nuclear dentro del Centro de Investigación Nuclear Neely en el campus del Instituto de Tecnología de Georgia (créditos: Instituto de Investigación de Georgia Tech). Ya hemos explorado algunas aplicaciones básicas de las funciones exponenciales y logarítmicas. En esta sección, profundizamos en algunas aplicaciones importantes, incluso los isótopos radiactivos y la ley de enfriamiento de Newton. Modelar el crecimiento y el decaimiento exponencial En las aplicaciones del mundo real, necesitamos modelar el comportamiento de una función. En el modelado matemático, elegimos una función general conocida con propiedades que sugieren que modelará el fenómeno del mundo real que deseamos analizar. En el caso de un crecimiento rápido, podemos elegir la función de crecimiento exponencial: y = A 0 e k t donde A 0 es igual al valor en el tiempo cero, e es la constante de Euler, y k es una constante positiva que determina la tasa (porcentaje) de crecimiento. Podemos utilizar la función de crecimiento exponencial en las aplicaciones que implican el tiempo de duplicación , el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Fenómenos como la fauna, las inversiones financieras, las muestras biológicas y los recursos naturales pueden exhibir un crecimiento basado en un tiempo de duplicación. Sin embargo, en algunas aplicaciones, como veremos cuando hablemos de la ecuación logística, el modelo logístico a veces se ajusta mejor a los datos que el modelo exponencial. Por otro lado, si una cantidad cae rápidamente hacia cero, sin llegar nunca a cero, entonces probablemente deberíamos elegir el modelo de decaimiento exponencial . De nuevo, tenemos la forma y = A 0 e k t donde A 0 es el valor inicial, y e es la constante de Euler. Ahora k es una constante negativa que determina la tasa de decaimiento. Podemos utilizar el modelo de decaimiento exponencial cuando calculamos la semivida , o el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original. Utilizamos la semivida en las aplicaciones relacionadas con los isótopos radiactivos. A la hora de elegir una función que sirva de modelo matemático, a menudo utilizamos puntos de datos recogidos mediante una cuidadosa observación y medición para construir puntos en un gráfico y esperamos poder reconocer su forma. Los gráficos de crecimiento y decaimiento exponencial tienen una forma distintiva, como podemos ver en la y la . Es importante recordar que, aunque partes de cada uno de los dos gráficos parecen estar en el eje x , en realidad están a una distancia mínima por encima del eje x . Gráfico que muestra el crecimiento exponencial. La ecuación es y = 2 e 3 x . Gráfico que muestra el decaimiento exponencial. La ecuación es y = 3 e − 2 x . El crecimiento y el decaimiento exponencial suelen implicar números muy grandes o muy pequeños. Para describir estas cifras, solemos utilizar órdenes de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de diez, cuando el número se expresa en notación científica, con un dígito a la izquierda del decimal. Por ejemplo, la distancia a la estrella más cercana, Próxima Centauri , medida en kilómetros, es de 40.113.497.200.000 kilómetros. Expresado en notación científica, esto es 4,01134972 × 10 13 . Así, podríamos describir esta cifra como de orden de magnitud 10 13 . Características de la función exponencial, y = A 0 e k t Una función exponencial con la forma y = A 0 e k t tiene las siguientes características: función biunívoca asíntota horizontal: y = 0 dominio: ( – ∞ , ∞ ) rango: ( 0 , ∞ ) intersección en x: ninguna intersección en y: ( 0 , A 0 ) creciente si k > 0 (vea la ) decreciente si k < 0 (vea la ) Una función exponencial modela el crecimiento exponencial cuando k > 0 y el decaimiento exponencial cuando k < 0 . Graficar el crecimiento exponencial Una población de bacterias se duplica cada hora. Si el cultivo comenzó con 10 bacterias, grafique la población en función del tiempo. Cuando una cantidad crece a un porcentaje fijo por unidad de tiempo, el crecimiento es exponencial. Para hallar A 0 utilizamos el hecho de que A 0 es la cantidad en el tiempo cero, por lo que A 0 = 10. Para hallar k , considere el hecho de que después de una hora ( t = 1 ) la población se duplica de 10 con 20. La fórmula se deriva como sigue 20 = 10 e k ⋅ 1 2 = e k Divida entre 10 ln 2 = k Tome el logaritmo natural por lo que k = ln ( 2 ) . Así, la ecuación que queremos graficar es y = 10 e ( ln 2 ) t = 10 ( e ln 2 ) t = 10 · 2 t . El gráfico se muestra en la . El gráfico de y = 10 e ( ln 2 ) t Análisis La población de bacterias después de diez horas es de 10.240. Podríamos decir que esta cantidad es del orden de magnitud 10 4 . La población de bacterias después de veinte horas es de 10.485.760, que es del orden de magnitud 10 7 , por lo que podríamos decir que la población ha aumentado en tres órdenes de magnitud en diez horas. Semivida Ahora pasemos al decaimiento exponencial . Uno de los términos más comunes que se asocian al decaimiento exponencial, como ya se ha indicado arriba, es la semivida , el tiempo que tarda una cantidad que decae exponencialmente en disminuir hasta la mitad de su cantidad original. Cada isótopo radiactivo tiene una semivida, y el proceso que describe el decaimiento exponencial de un isótopo se denomina decaimiento radiactivo. Para hallar la semivida de una función que describe el decaimiento exponencial, resuelva la siguiente ecuación: 1 2 A 0 = A i e k t Vemos que la semivida depende solo de la constante k y no en la cantidad inicial A 0 . La fórmula se deriva de la siguiente manera 1 2 A 0 = A i e k t 1 2 = e k t Divida entre A 0 . ln ( 1 2 ) = k t Tome el logaritmo natural . − ln ( 2 ) = k t Aplique las leyes de los logaritmos . − ln ( 2 ) k = t Divida entre k . Dado que t , el tiempo, es positivo, k debe, como es de esperar, ser negativo. Esto nos da la fórmula de la semivida t = - ln ( 2 ) k Cómo Dada la semivida, calcule la tasa de decaimiento. Escriba A = A i e k t . Sustituya A entre 1 2 A 0 y reemplace t por la semivida dada. Resuelva para hallar k . Exprese k como valor exacto (no redondee). Nota: También es posible hallar la tasa de decaimiento con k = - ln ( 2 ) t . Hallar la función que describe el decaimiento radiactivo La semivida del carbono 14 es de 5.730 años. Exprese la cantidad restante de carbono 14 en función del tiempo, t . Esta fórmula se deriva de la siguiente manera. A = A 0 e k t La fórmula del crecimiento continuo . 0,5 A 0 = A 0 e k ⋅ 5.730 Sustituya la semivida por t y 0,5 A 0 para f ( t ) . 0,5 = e 5.730 k Divida entre A 0 . ln ( 0,5 ) = 5.730 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 0,5 ) 5.730 Divida entre el coeficiente de k . A = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t Sustituya por r en la fórmula de crecimiento continuo . La función que describe este decaimiento continuo es f ( t ) = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t . Observamos que el coeficiente de t , ln ( 0,5 ) 5.730 ≈ − 1,2097 × 10 -4 es negativo, como es de esperar en el caso del decaimiento exponencial. Ejercicio La semivida del plutonio-244 es de 80.000.000 de años. Halle una función que dé la cantidad restante de plutonio-244 en función del tiempo, medido en años. f ( t ) = A 0 e − 0,0000000087 t Datación por radiocarbono La fórmula del decaimiento radiactivo es importante en la datación por radiocarbono , que se utiliza para calcular la fecha aproximada de la muerte de una planta o de un animal. La datación por radiocarbono fue descubierta en 1949 por Willard Libby, que ganó el Premio Nobel por su descubrimiento. Compare la diferencia entre el cociente de dos isótopos de carbono en un artefacto orgánico o fósil con la proporción de esos dos isótopos en el aire. Se cree que tiene una precisión de alrededor del 1 % de error para las plantas o animales que murieron en los últimos 60.000 años. El carbono 14 es un isótopo radiactivo del carbono que tiene una semivida de 5.730 años. Se encuentra en pequeñas cantidades en el dióxido de carbono del aire que respiramos. La mayor parte del carbono de la Tierra es carbono 12, que tiene un peso atómico de 12 y no es radiactivo. Los científicos han determinado el cociente entre el carbono 14 y el carbono 12 en el aire durante los últimos 60.000 años, mediante el empleo de anillos de árboles y otras muestras orgánicas de fechas conocidas, aunque la relación ha cambiado ligeramente a lo largo de los siglos. Mientras una planta o un animal esté vivo, la proporción de los dos isótopos del carbono en su cuerpo se acerca a la proporción en la atmósfera. Cuando muere, el carbono 14 de su cuerpo se descompone y no se reemplaza. Al comparar la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en una muestra en descomposición con la proporción conocida en la atmósfera, se puede calcular aproximadamente la fecha en que murió la planta o el animal. Dado que la semivida del carbono 14 es de 5.730 años, la fórmula para la cantidad restante después de t años es A ≈ A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t donde A es la cantidad restante de carbono 14 A 0 es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal comenzó a descomponerse. Esta fórmula se deriva de la siguiente manera: A = A 0 e k t La fórmula del crecimiento continuo . 0,5 A 0 = A 0 e k ⋅ 5.730 Sustituya la semivida por t y 0,5 A 0 para f ( t ) . 0,5 = e 5.730 k Divida entre A 0 . ln ( 0,5 ) = 5.730 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 0,5 ) 5.730 Divida entre el coeficiente de k . A = A 0 e ( ln ( 0,5 ) 5.730 ) t Sustituya por k en la fórmula de crecimiento continuo . Para calcular la edad de un objeto, resolvemos esta ecuación para t : t = ln ( A A 0 ) − 0,000121 Por necesidad, dejamos de lado aquí los muchos detalles que un científico tiene en cuenta al realizar la datación por carbono 14, y solo nos fijamos en la fórmula básica. La proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en la atmósfera es de aproximadamente 0,0000000001%. Supongamos que r es la proporción entre el carbono 14 y el carbono 12 en el artefacto orgánico o fósil sujeto a la datación, determinada por un método que recibe el nombre de centelleo líquido. A partir de la ecuación A ≈ A 0 e − 0,000121 t sabemos que la relación entre el porcentaje de carbono-14 en el objeto que estamos datando y la cantidad inicial de carbono-14 en el objeto cuando se formó es r = A A 0 ≈ e − 0,000121 t . Resolvemos esta ecuación para t , para obtener t = ln ( r ) − 0,000121 Cómo Dado el porcentaje de carbono 14 en un objeto, determine su edad. Exprese el porcentaje dado de carbono 14 como un decimal equivalente, k . Sustituya k en la ecuación t = ln ( r ) − 0,000121 y resuelva para la edad, t . Calcular la edad de un hueso Se encuentra un fragmento de hueso que contiene el 20 % de su carbono 14 original. Con una aproximación de un año, ¿cuál es la edad del hueso? Sustituimos 20 % = 0,20 por r en la ecuación y resuelva para t : t = ln ( r ) − 0,000121 Utilice la forma general de la ecuación . = ln ( 0,20 ) − 0,000121 Sustituya por r . ≈ 13301 Redondee al año más cercano . El fragmento de hueso tiene unos 13.301 años de antigüedad. Análisis Los instrumentos que miden el porcentaje de carbono 14 son extremadamente sensibles y, como mencionamos anteriormente, un científico tendrá que hacer mucho más trabajo del que hicimos para estar satisfecho. Aun así, la datación por carbono solo tiene una precisión del 1 %, por lo que esta edad debería darse como 13.301 años ± 1 % o 13.301 años ± 133 años . Ejercicio El cesio 137 tiene una semivida de aproximadamente 30 años. Si empezamos con 200 mg de cesio 137, ¿tardaremos más o menos de 230 años hasta que solo quede un miligramo? menos de 230 años, 229,3157 para ser exactos Calcular el tiempo de duplicación Para las cantidades en decaimiento, determinamos el tiempo que tarda en decaer la mitad de una sustancia. En el caso de las cantidades crecientes, es posible que queramos averiguar el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse. Como ya lo hemos mencionado, el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse recibe el nombre de tiempo de duplicación . Dada la ecuación básica de crecimiento exponencial A = A 0 e k t , el tiempo de duplicación se puede calcular al resolver para cuando la cantidad original se ha duplicado, es decir, al resolver 2 A 0 = A 0 e k t . La fórmula se deriva de la siguiente manera: 2 A 0 = A 0 e k t 2 = e k t Divida entre A 0 . ln 2 = k t Tome el logaritmo natural . t = ln 2 k Divida entre el coeficiente de t . Así, el tiempo de duplicación es t = ln 2 k Hallar una función que describa el crecimiento exponencial Según la ley de Moore, el tiempo de duplicación del número de transistores que se pueden poner en un chip de computadora es de aproximadamente dos años. Dé una función que describa este comportamiento. La fórmula se deriva de la siguiente manera: t = ln 2 k La fórmula del tiempo de duplicación . 2 = ln 2 k Utilice un tiempo de duplicación de dos años . k = ln 2 2 Multiplique por k y divida entre 2 . A = A 0 e ln 2 2 t Sustituya k en la fórmula de crecimiento continuo . La función es A 0 e ln 2 2 t . Ejercicio Datos recientes sugieren que, a partir de 2013, la tasa de crecimiento que se prevé en la ley de Moore ya no se mantiene. El crecimiento se ha ralentizado hasta un tiempo de duplicación de aproximadamente tres años. Halle la nueva función que tenga en cuenta ese mayor tiempo de duplicación. f ( t ) = A 0 e ln 2 3 t Utilizar la ley de enfriamiento de Newton El decaimiento exponencial también puede aplicarse a la temperatura. Cuando un objeto caliente se deja en el aire circundante, que está a una temperatura más baja, la temperatura del objeto disminuirá exponencialmente, para nivelarse a la temperatura del aire circundante. En un gráfico de la función de temperatura, la nivelación corresponderá a una asíntota horizontal a la temperatura del aire circulante. A menos que la temperatura ambiente sea cero, esto corresponderá a un desplazamiento vertical de la función genérica de decaimiento exponencial . Esta traslación nos lleva a la ley del enfriamiento de Newton , la fórmula científica de la temperatura en función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala a la temperatura ambiente T ( t ) = a e k t + T s Esta fórmula se deriva de la siguiente manera: T ( t ) = A b c t + T s T ( t ) = A e ln ( b c t ) + T s Leyes de los logaritmos . T ( t ) = A e c t ln b + T s Leyes de los logaritmos . T ( t ) = A e k t + T s Redefina la constante c ln b , al llamarla k . Ley de enfriamiento de Newton La temperatura de un objeto, T , en el aire circundante con la temperatura T s se comportará según la fórmula T ( t ) = A e k t + T s donde t es el tiempo A es la diferencia entre la temperatura inicial del objeto y la del entorno k es una constante, la tasa continua de enfriamiento del objeto Cómo Dada una serie de condiciones, aplicar la ley de enfriamiento de Newton. Establezca T s igual a la coordenada de la y de la asíntota horizontal (normalmente la temperatura ambiente). Sustituya los valores dados en la fórmula de crecimiento continuo T ( t ) = A e k t + T s para hallar los parámetros A y k . Sustituya el tiempo deseado para hallar la temperatura o la temperatura deseada y así calcular el tiempo. Utilizar la ley de enfriamiento de Newton Una tarta de queso se saca del horno a una temperatura interna ideal de 165 °F, y se coloca en un refrigerador a 35 °F . Después de 10 minutos, la tarta de queso se ha enfriado a 150 °F . Si hay que esperar a que la tarta de queso se enfríe a 70 °F antes de comerla, ¿cuánto tiempo tendremos que esperar? Puesto que la temperatura del aire circundante en el refrigerador es de 35 grados, la temperatura de la tarta de queso decaerá exponencialmente hacia 35, siguiendo la ecuación T ( t ) = A e k t + 35 Sabemos que la temperatura inicial era de 165 grados, por lo que T ( 0 ) = 1 6 5 . 165 = A e k 0 + 35 Sustituya ( 0 , 165 ) . A = 130 Resuelva para A . Nos dieron otro dato, T ( 1 0 ) = 1 5 0 , que podemos utilizar para resolver k . 150 = 130 e k 10 + 35 Sustituya (10, 150) . 115 = 130 e k 10 Reste 35 . 115 130 = e 10 k Divida entre 130 . ln ( 115 130 ) = 10 k Tome el logaritmo natural de ambos lados . k = ln ( 115 130 ) 10 ≈ − 0,0123 Divida entre el coeficiente de k . Esto nos da la ecuación para el enfriamiento de la tarta de queso T ( t ) = 1 3 0 e – 0 . 0 1 2 3 t + 3 5 . Ahora podemos resolver el tiempo que tardará la temperatura en enfriarse hasta los 70 grados. 70 = 130 e − 0,0123 t + 35 Sustituya en 70 para T ( t ) . 35 = 130 e − 0,0123 t Reste 35 . 35 130 = e − 0,0123 t Divida entre 130 . ln ( 35 130 ) = − 0,0123 t Tome el logaritmo natural de ambos lados t = ln ( 35 130 ) − 0,0123 ≈ 106,68 Divida entre el coeficiente de t . La tarta de queso tardará unos 107 minutos, o una hora y 47 minutos, en enfriarse hasta 70 °F . Ejercicio Se coloca una jarra de agua a 40 grados Fahrenheit en una habitación a 70 grados. Una hora después, la temperatura ha subido a 45 grados. ¿Cuánto tiempo tardará la temperatura en subir a 60 grados? 6,026 horas Uso de modelos de crecimiento logístico El crecimiento exponencial no puede continuar para siempre. Los modelos exponenciales, aunque pueden ser útiles a corto plazo, tienden a desmoronarse cuanto más tiempo se prolongan. Piense en una aspirante a escritor que escribe una sola línea el primer día y se propone duplicar el número de líneas que escribe cada día durante un mes. Antes de que acabe el mes, deberá escribir más de 17.000 millones de líneas, es decir, 500 millones de páginas. No es práctico, por no decir imposible, que alguien escriba tanto en tan poco tiempo. Con el tiempo, deberá aplicarse un modelo exponencial que se aproxime a algún valor límite, y entonces el crecimiento se ve obligado a ralentizarse. Por esta razón, a menudo es mejor utilizar un modelo con un límite superior, en lugar de un modelo de crecimiento exponencial , aunque el modelo de crecimiento exponencial sigue siendo útil a corto plazo, antes de acercarse al valor límite. El modelo de crecimiento logístico es aproximadamente exponencial al principio, pero tiene una tasa de crecimiento reducida a medida que la producción se acerca al límite superior del modelo, denominada capacidad de carga . Para las constantes a, b, y c, el crecimiento logístico de una población en el tiempo t viene representado por el modelo f ( t ) = c 1 + a e - b t El gráfico en la muestra la evolución de la tasa de crecimiento con el paso del tiempo. El gráfico aumenta de izquierda a derecha, pero la tasa de crecimiento aumenta únicamente hasta que alcanza su punto máximo, momento en el que disminuye. Crecimiento logístico El modelo de crecimiento logístico es f ( t ) = c 1 + a e - b t donde c 1 + a es el valor inicial c es la capacidad de carga o valor límite b es una constante determinada por la tasa de crecimiento. Usar el modelo de crecimiento logístico Una epidemia de gripe se extiende rápidamente por una población, a un ritmo que depende de dos factores: Cuantas más personas tengan la gripe, más rápidamente se propagará, y también cuantas más personas no contagiadas haya, más rápidamente se propagará. Estos dos factores hacen que el modelo logístico sea apropiado para estudiar la propagación de las enfermedades transmisibles. Evidentemente, hay un valor máximo para el número de personas contagiadas: toda la población. Por ejemplo, en el tiempo t = 0 hay una persona en una comunidad de 1.000 habitantes que tiene la gripe. Por lo tanto, en esa comunidad, como máximo 1.000 personas pueden tener la gripe. Los investigadores detectan que, en esta cepa particular de la gripe, la constante de crecimiento logístico es b = 0,6030. Calcule el número de personas de esta comunidad que habrán tenido la gripe después de diez días. Pronostique cuántas personas de esta comunidad habrán tenido la gripe después de un largo tiempo. Sustituimos los datos dados en el modelo de crecimiento logístico f ( t ) = c 1 + a e - b t Dado que como máximo 1.000 personas, toda la población de la comunidad, pueden contraer la gripe, sabemos que el valor límite es c = 1.000. Para hallar a , utilizamos la fórmula de que el número de casos en el tiempo t = 0 es c 1 + a = 1 , de lo que se deduce que a = 999. Este modelo predice que, después de diez días, el número de personas que han tenido la gripe es f ( t ) = 1.000 1 + 999 e − 0,6030 x ≈ 293,8. Puesto que el número real deberá ser un número entero (una persona ha tenido la gripe o no), redondeamos a 294. A largo plazo, el número de personas que contraerán la gripe es el valor límite, c = 1.000. Análisis Recuerde que, al tratarse de un virus, no podemos predecir con certeza el número de personas contagiadas. El modelo únicamente es un aproximado del número de personas contagiadas y no nos dará valores exactos o reales. El gráfico en la ofrece una buena imagen de cómo este modelo se ajusta a los datos. El gráfico de f ( t ) = 1.000 1 + 999 e − 0,6030 x Ejercicio Con el modelo que se muestra en el , calcule el número de casos de gripe en el día 15. 895 casos en el día 15 Elegir un modelo adecuado para los datos Ahora, que hemos hablado de varios modelos matemáticos, tenemos que aprender a elegir el modelo adecuado para los datos brutos de los que disponemos. Son muchos los factores que influyen en la elección de un modelo matemático, entre ellos la experiencia, las leyes científicas y los patrones de los propios datos. No todos los datos pueden describirse mediante funciones elementales. A veces, se elige una función que se aproxima a los datos en un intervalo determinado. Por ejemplo, supongamos que se recogen datos sobre el número de viviendas compradas en Estados Unidos entre los años 1960 y 2013. Tras representar estos datos en un gráfico de dispersión, observamos que la forma de los datos de los años 2000 a 2013 sigue una curva logarítmica. Podríamos restringir el intervalo de 2000 a 2010, aplicar el análisis de regresión mediante un modelo logarítmico y utilizarlo para predecir el número de compradores de viviendas para el año 2015. Tres tipos de funciones que suelen ser útiles en los modelos matemáticos son las lineales, las exponenciales y las logarítmicas. Si los datos se encuentran en una línea recta, o parecen encontrarse aproximadamente a lo largo de una línea recta, un modelo lineal sería lo mejor. Si los datos no son lineales, se suele considerar un modelo exponencial o logarítmico, aunque también se pueden considerar otros modelos, como los cuadráticos. Al momento de elegir entre un modelo exponencial y uno logarítmico, nos fijamos en la forma en que se curvan los datos. Esto se denomina concavidad. Si trazamos una línea entre dos puntos de datos, y todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos se encuentran por encima de esa línea, decimos que la curva es cóncava hacia abajo. Podemos pensar que es un cuenco que se dobla hacia abajo y que, por tanto, no puede retener el agua. Si todos (o la mayoría) de los datos entre esos dos puntos están por debajo de la línea, decimos que la curva es cóncava hacia arriba. En este caso, podemos pensar en un cuenco que se dobla hacia arriba y que, por ende, puede contener agua. Una curva exponencial, ya sea ascendente o descendente, ya sea que represente el crecimiento o el decaimiento, siempre es cóncava hacia arriba y se aleja de su asíntota horizontal. Una curva logarítmica siempre es cóncava respecto a su asíntota vertical. En el caso de los datos positivos, que es el más común, la curva exponencial siempre es cóncava hacia arriba, a la vez que la curva logarítmica siempre es cóncava hacia abajo. Una curva logística cambia la concavidad. Comienza por ser cóncava hacia arriba y luego pasa a ser cóncava hacia abajo, más allá de un punto determinado, denominado punto de inflexión. Después de usar el gráfico para elegir un tipo de función como modelo, sustituimos los puntos y resolvemos para hallar los parámetros. Reducimos el error de redondeo al elegir puntos lo más alejados posible. Elegir un modelo matemático ¿Es un modelo lineal, exponencial, logarítmico o logístico el que mejor se ajusta a los valores indicados en la ? Halle el modelo y utilice un gráfico para comprobar su elección. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1,386 2,197 2,773 3,219 3,584 3,892 4,159 4,394 En primer lugar, represente los datos en un gráfico como en la . A los efectos del gráfico, redondee los datos a dos decimales. Obviamente, los puntos no se encuentran en una línea recta, por lo que rechazamos el modelo lineal. Si trazamos una línea entre dos puntos cualesquiera, la mayoría o todos los puntos entre esos dos se sitúan por encima de la línea, por lo que el gráfico es cóncavo hacia abajo, lo que sugiere un modelo logarítmico. Podemos intentar y = a ln ( b x ) . Al conectar el primer punto, ( 1.0 ) , da como resultado 0 = a ln b . Rechazamos el caso de que a = 0 (si lo fuera, todas las salidas serían 0), por lo que sabemos ln ( b ) = 0 . Así que b = 1 y y = a ln ( x ) . A continuación, podemos utilizar el punto ( 9.4 ,394 ) para resolver para a : y = a ln ( x ) 4,394 = a ln ( 9 ) a = 4,394 ln ( 9 ) Dado que a = 4,394 ln ( 9 ) ≈ 2 , un modelo apropiado para los datos es y = 2 ln ( x ) . Para comprobar la exactitud del modelo, graficamos la función junto con los puntos dados como en la . El gráfico de y = 2 ln x . Podemos concluir que el modelo se ajusta bien a los datos. Compare la con el gráfico de y = ln ( x 2 ) se muestra en la . El gráfico de y = ln ( x 2 ) Los gráficos parecen ser idénticos cuando x > 0 . Una rápida comprobación confirma esta conclusión: y = ln ( x 2 ) = 2 ln ( x ) para x > 0 . Sin embargo, si x < 0 , el gráfico de y = ln ( x 2 ) incluye una rama "extra", como se muestra en la . Esto ocurre porque, mientras y = 2 ln ( x ) no puede tener valores negativos en el dominio (ya que tales valores forzarían a que el argumento fuera negativo), la función y = ln ( x 2 ) puede tener valores de dominio negativos. Ejercicio ¿Se ajusta mejor a los datos un modelo lineal, exponencial o logarítmico en la ? Determine el modelo. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,297 5,437 8,963 14,778 24,365 40,172 66,231 109,196 180,034 Exponencial y = 2 e 0,5 x . Expresar un modelo exponencial con base e Aunque se pueden utilizar potencias y logaritmos de cualquier base en el modelado, las dos bases más comunes son 10 y e . En ciencia y matemáticas, la base e se prefiere a menudo. Podemos utilizar las leyes de los exponentes y de los logaritmos para cambiar cualquier base a base e . Cómo Dado un modelo con la forma y = a b x , cambiarlo a la forma y = A 0 e k x . Reescriba y = a b x cuando y = a e ln ( b x ) . Utilice la regla de la potencia de los logaritmos para reescribir y como y = a e x ln ( b ) = a e ln ( b ) x . Tenga en cuenta que a = A 0 y k = ln ( b ) en la ecuación y = A 0 e k x . Cambiar a la base e Cambie la función y = 2,5 ( 3,1 ) x para que esta misma función se escriba en la forma y = A 0 e k x . La fórmula se deriva de la siguiente manera y = 2,5 ( 3,1 ) x = 2,5 e ln ( 3,1 x ) Inserte exponencial y su inversa . = 2,5 e x ln 3,1 Leyes de logaritmos . = 2,5 e ( ln 3,1 ) x Ley conmutativa de la multiplicación Ejercicio Cambie la función y = 3 ( 0,5 ) x a una que tenga e como base. y = 3 e ( ln 0,5 ) x Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los modelos exponenciales y logarítmicos. Aplicación del logaritmo - pH Modelo exponencial - Edad con semivida Ley de enfriamiento de Newton Crecimiento exponencial dado el tiempo de duplicación Crecimiento exponencial - Hallar la cantidad inicial dado el tiempo de duplicación Ecuaciones clave Fórmula de semivida Si los valores de A = A 0 e k t , k < 0 , la semivida es t = - ln ( 2 ) k . Datación por carbono 14 t = ln ( A A 0 ) − 0,000121 . A 0 es la cantidad de carbono 14 cuando la planta o el animal murió A es la cantidad de carbono 14 que queda en la actualidad t es la edad del fósil en años Fórmula del tiempo de duplicación Si los valores de A = A 0 e k t , k > 0 , el tiempo de duplicación es t = ln 2 k Ley de enfriamiento de Newton T ( t ) = A e k t + T s , donde T s es la temperatura ambiente, A = T ( 0 ) - T s , y k es la tasa continua de enfriamiento. Conceptos clave La función exponencial básica es f ( x ) = a b x . Si b > 1 , tenemos un crecimiento exponencial; si 0 < b < 1 , tenemos un decaimiento exponencial. También podemos escribir esta fórmula en términos de crecimiento continuo como A = A 0 e k x , donde A 0 es el valor inicial. Si los valores de A 0 es positivo, entonces tenemos un crecimiento exponencial cuando k > 0 y el decaimiento exponencial cuando k < 0 . Vea el . En general, resolvemos los problemas que implican crecimiento o decaimiento exponencial en dos pasos. En primer lugar, establecemos un modelo y lo utilizamos para calcular los parámetros. A continuación, utilizamos la fórmula con estos parámetros para predecir el crecimiento y el decaimiento. Vea el . Podemos calcular la edad, t , de un artefacto orgánico al medir la cantidad, k , de carbono 14 que queda en el artefacto y utilizar la fórmula t = ln ( k ) − 0,000121 para resolver para t . Vea el . Dado el tiempo de duplicación o el tiempo medio de una sustancia, podemos hallar una función que represente su crecimiento o decaimiento exponencial. Vea el . Podemos utilizar la ley de enfriamiento de Newton para calcular el tiempo que tardará un objeto en enfriarse hasta alcanzar una temperatura deseada, o para calcular qué temperatura tendrá un objeto después de un tiempo determinado. Vea el . Podemos utilizar las funciones de crecimiento logístico para modelar situaciones del mundo real en las que la tasa de crecimiento cambia con el tiempo, como el crecimiento demográfico, la propagación de enfermedades y la difusión de rumores. Vea el . Podemos utilizar los datos del mundo real, recabados a lo largo del tiempo, para observar las tendencias. El conocimiento de los gráficos lineales, exponenciales, logarítmicos y logísticos permite elaborar los modelos que mejor se ajusten a nuestros datos. Vea el . Cualquier función exponencial con la forma y = a b x puede reescribirse como una función exponencial equivalente con la forma y = A 0 e k x donde k = ln b . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Con qué tipo de modelo exponencial se asociaría la semivida ? ¿Qué papel desempeña la semivida en estos modelos? La semivida es una medida del decaimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de decaimiento exponencial. La semivida de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda en decaer la mitad de dicha substancia o cantidad inicial. ¿Qué es la datación por carbono? ¿Por qué funciona? Dé un ejemplo en el que la datación por carbono sea útil. ¿A qué tipo de modelo exponencial se asociaría el tiempo de duplicación ? ¿Qué papel desempeña el tiempo de duplicación en estos modelos? El tiempo de duplicación es una medida de crecimiento y, por lo tanto, se asocia a los modelos de crecimiento exponencial. El tiempo de duplicación de una sustancia o cantidad es el tiempo que tarda dicha sustancia o cantidad inicial en duplicarse. Defina la ley de enfriamiento de Newton. A continuación, nombre al menos tres situaciones del mundo real en las que se aplicaría la ley de enfriamiento de Newton. ¿Qué es un orden de magnitud? ¿Por qué son útiles los órdenes de magnitud? Explique con un ejemplo. Un orden de magnitud es la potencia de diez más cercana en la que crece exponencialmente una cantidad. También es una posición aproximada en una escala logarítmica; respuesta de muestra: Los órdenes de magnitud son útiles cuando se hacen comparaciones entre números que difieren en gran medida. Por ejemplo, la masa de Saturno es 95 veces mayor que la de la Tierra. Esto es lo mismo que decir que la masa de Saturno es de aproximadamente 10 2 veces, es decir, 2 órdenes de magnitud mayor que la masa de la Tierra. Numéricos La temperatura de un objeto en grados Fahrenheit después de t minutos se representa mediante la ecuación T ( t ) = 68 e − 0,0174 t + 72. Al grado más cercano ¿cuál es la temperatura del objeto al cabo de una hora y media? En los siguientes ejercicios, utilice el modelo de crecimiento logístico f ( x ) = 150 1 + 8 e − 2 x . Halle e interprete f ( 0 ) . Redondee a la décima más cercana. f ( 0 ) ≈ 16,7 . La cantidad presente inicialmente es de unas 16,7 unidades. Halle e interprete f ( 4 ) . Redondee a la décima más cercana. Halle la capacidad de carga. 150 Grafique el modelo. Determine si los datos de la tabla pueden representarse mejor como una función lineal, exponencial o logarítmica. A continuación, escriba una fórmula para un modelo que represente los datos. x f ( x ) -2 0,694 -1 0,833 0 1 1 1,2 2 1,44 3 1,728 4 2,074 5 2,488 exponencial; f ( x ) = 1,2 x Reescriba f ( x ) = 1,68 ( 0,65 ) x como una ecuación exponencial con base e con cinco decimales. En tecnología En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla pueden representar una función lineal, exponencial o logarítmica. x f ( x ) 1 2 2 4,079 3 5,296 4 6,159 5 6,828 6 7,375 7 7,838 8 8,238 9 8,592 10 8,908 logarítmico x f ( x ) 1 2,4 2 2,88 3 3,456 4 4,147 5 4,977 6 5,972 7 7,166 8 8,6 9 10,32 10 12,383 x f ( x ) 4 9,429 5 9,972 6 10,415 7 10,79 8 11,115 9 11,401 10 11,657 11 11,889 12 12,101 13 12,295 logarítmico x f ( x ) 1,25 5,75 2,25 8,75 3,56 12,68 4,2 14,6 5,65 18,95 6,75 22,25 7,25 23,75 8,6 27,8 9,25 29,75 10,5 33,5 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica y este escenario: la población de una piscifactoría en t años se modela mediante la ecuación P ( t ) = 1.000 1 + 9 e − 0,6 t . Grafique la función. ¿Cuál es la población inicial de peces? ¿Cuál es el tiempo de duplicación de la población de peces, redondeado a la décima más cercana? alrededor de 1,4 años Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de peces después de 2 años? A la décima más cercana, ¿cuánto tiempo tardará la población en alcanzar 900 ? alrededor de 7,3 años ¿Cuál es la capacidad de carga de la población de peces? Justifique su respuesta con el gráfico de P . Extensiones Una sustancia tiene una semivida de 2,045 minutos. Si la cantidad inicial de la sustancia era de 132,8 gramos, ¿cuántas semividas habrán transcurrido antes de que la sustancia decaiga a 8,3 gramos? ¿Cuál es el tiempo total de decaimiento? 4 semividas; 8,18 minutos La fórmula para una población creciente viene dada por P ( t ) = P 0 e r t donde P 0 es la población inicial y r > 0 . Deduzca una fórmula general para el tiempo t que tarda la población en aumentar en un factor M . Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, M = 2 3 log ( S S 0 ) . Muestre cada paso para resolver esta ecuación algebraicamente para el momento sísmico S . M = 2 3 log ( S S 0 ) log ( S S 0 ) = 3 2 M S S 0 = 10 3 M 2 S = S 0 10 3 M 2 ¿Cuál es la intersección en y del modelo de crecimiento logístico y = c 1 + a e - r x ? Muestre los pasos para el cálculo. ¿Qué nos indica este punto acerca de la población? Compruebe que b x = e x ln ( b ) para los positivos b ≠ 1. Supongamos que y = b x para algún número real no negativo b de manera que b ≠ 1. Entonces, ln ( y ) = ln ( b x ) ln ( y ) = x ln ( b ) e ln ( y ) = e x ln ( b ) y = e x ln ( b ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 125 miligramos de un fármaco que decae aproximadamente 30 % cada hora. ¿Cuál es la semivida del fármaco, aproximada a una hora? Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de t horas. A continuación, utilice la fórmula para hallar la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 3 horas. Redondee al miligramo más cercano. A = 125 e ( − 0,3567 t ) ; A ≈ 43 mg Con el modelo encontrado en el ejercicio anterior, calcule f ( 10 ) e interprete el resultado. Redondee a la centésima más cercana. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se inyectan a un tumor 0,5 gramos de yodo 125, que tiene una tasa de decaimiento de 1,15 % por día. Con una aproximación de un día, ¿cuánto tiempo tardará la mitad del yodo 125 en decaer? aproximadamente 60 días Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de yodo 125 que queda en el tumor después de t días. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de yodo 125 que quedaría en el tumor después de 60 días. Redondee a la décima de gramo más cercana. Un científico comienza con 250 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 250 minutos, la muestra ha decaído hasta 32 gramos. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada al minuto más cercano? A ( t ) = 250 e ( − 0,00822 t ) ; semivida: aproximadamente 84 minutos La semivida del radio 226 es 1.590 años. ¿Cuál es la tasa anual de decaimiento? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales. La semivida del erbio 165 es 10 ,4 horas. ¿Cuál es la tasa de decaimiento por hora? Exprese el resultado decimal con cuatro cifras y el porcentaje con dos cifras decimales. r ≈ − 0,0667 , Por lo tanto, la tasa de decaimiento por hora es de aproximadamente 6,67 % Un artefacto de madera procedente de una excavación arqueológica contiene el 60 % del carbono 14 presente en los árboles vivos. Con una aproximación de un año, ¿cuántos años tiene el artefacto? (La semivida del carbono-14 es 5.730 años). Un estudiante de investigación trabaja con un cultivo de bacterias que duplica su tamaño cada veinte minutos. El recuento inicial de la población era 1.350 bacterias. Redondeando a cinco decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al número entero más cercano, ¿cuál es el tamaño de la población después de 3 horas? f ( t ) = 1.350 e ( 0,03466 t ) ; después de 3 horas P ( 180 ) ≈ 691 , 200 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un biólogo registró un recuento de 360 bacterias presentes en un cultivo después de 5 minutos y 1.000 bacterias presentes después de 20 minutos. Al número entero más cercano, ¿cuál era la población inicial en el cultivo? Redondeando a seis decimales, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardó la población en duplicarse? f ( t ) = 256 e ( 0,068110 t ) ; tiempo de duplicación: aproximadamente 10 minutos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una olla de sopa caliente con una temperatura interna de 100 °F se sacó de la estufa para enfriar a 69 °F en una habitación. Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 95 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. Al minuto más cercano, ¿cuánto tardará la sopa en enfriarse a 80 °F? aproximadamente 88 minutos Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura después de 2 horas y media? En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un pavo se saca del horno con una temperatura interna de 165 °F y se deja enfriar a 75 °F en una habitación. Después de media hora, la temperatura interna del pavo es 145 °F . Escriba una fórmula que modele esta situación. T ( t ) = 90 e ( − 0,008377 t ) + 75 , donde t está en minutos. Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura a los 50 minutos? Al minuto más cercano, ¿cuánto tiempo tardará el pavo en enfriarse a 110 °F? aproximadamente 113 minutos En los siguientes ejercicios, halle el valor del número que aparece en cada escala logarítmica. Redondee todas las respuestas a la milésima más cercana. log ( x ) = 1,5 ; x ≈ 31,623 Trace cada conjunto de valores aproximados de intensidad de los sonidos en una escala logarítmica: Susurro: 10 – 10 W m 2 , Aspiradora: 10 – 4 W m 2 , Jet: 10 2 W m 2 Recuerde la fórmula para calcular la magnitud de un terremoto, M = 2 3 log ( S S 0 ) . Un terremoto tiene una magnitud 3 . 9 en la escala MMS. Si un segundo terremoto tiene 75 0 veces más energía que el primero, calcule la magnitud del segundo terremoto. Redondee a la centésima más cercana. Magnitud de MMS 5,82 En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación N ( t ) = 500 1 + 49 e − 0,7 t modela el número de personas de una ciudad que han escuchado un rumor al cabo de t días. ¿Cuántas personas iniciaron el rumor? Al número entero más cercano, ¿cuántas personas habrán escuchado el rumor después de 3 días? N ( 3 ) ≈ 71 Dado que t aumenta sin límite, ¿qué valor tiene el enfoque N ( t ) ? Interprete su respuesta. En el siguiente ejercicio, elija la opción correcta. Un médico inyecta a un paciente 13 miligramos de colorante radiactivo que decae exponencialmente. Después de 12 minutos, quedan 4,75 miligramos de tinte en el organismo del paciente. ¿Cuál es el modelo adecuado para esta situación? Ⓐ f ( t ) = 13 ( 0,0805 ) t Ⓑ f ( t ) = 13 e 0,9195 t Ⓒ f ( t ) = 13 e ( − 0,0839 t ) Ⓓ f ( t ) = 4,75 1 + 13 e − 0,83925 t C capacidad de carga en un modelo logístico, el valor límite de la salida tiempo de duplicación el tiempo que tarda una cantidad en duplicarse semivida el tiempo que tarda una sustancia en decaer exponencialmente hasta la mitad de su cantidad original modelo de crecimiento logístico una función de la forma f ( x ) = c 1 + a e - b x donde c 1 + a es el valor inicial, c es la capacidad de carga, o valor límite, y b es una constante determinada por la tasa de crecimiento Ley de enfriamiento de Newton la fórmula científica de la temperatura como función del tiempo cuando la temperatura de un objeto se iguala con la temperatura ambiente orden de magnitud la potencia de diez, cuando un número se expresa en notación científica, con una cifra distinta de cero a la izquierda del decimal

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