Funciones y notación de funciones Un avión de pasajeros cambia de altitud a medida que aumenta su distancia desde el punto de partida de un vuelo. El peso de un niño en crecimiento aumenta con el tiempo. En cada caso, una cantidad depende de otra. Existe una relación entre ambas cantidades que podemos describir, analizar y utilizar para hacer predicciones. En esta sección, analizaremos estas relaciones. Determinar si una relación representa una función La relación es un conjunto de pares ordenados. El conjunto de las primeras componentes de cada par ordenado se llama dominio y el conjunto de las segundas componentes de cada par ordenado se llama rango . Considere el siguiente conjunto de pares ordenados. Los primeros números de cada par son los cinco primeros números naturales. El segundo número de cada par es el doble del primero. { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , ( 4 , 8 ) , ( 5 , 10 ) } El dominio es { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . El rango es { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } . Observe que cada valor en el dominio también se conoce como un valor de entrada , o variable independiente , y se suele marcar con la letra minúscula x . Cada valor del rango se conoce también como valor de salida , o variable dependiente , y se suele marcar con letra minúscula y . Una función f es una relación que asigna un único valor del rango a cada valor del dominio . Es decir, no se repiten los valores x . Para nuestro ejemplo que relaciona los cinco primeros números naturales con los números del doble de sus valores, esta relación es una función porque cada elemento del dominio, { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } , está emparejado con exactamente un elemento del rango, { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 } . Consideremos ahora el conjunto de pares ordenados que relaciona los términos "par" e "impar" con los cinco primeros números naturales. Aparecerían como { ( impar , 1 ) , ( números , 2 ) , ( impar , 3 ) , ( números , 4 ) , ( impar , 5 ) } Observe que cada elemento en el dominio, { par, impar } no está emparejado con exactamente un elemento en el rango, { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Por ejemplo, el término "impar" corresponde a tres valores del rango, { 1 , 3 , 5 } y el término "par" corresponde a dos valores del rango, { 2 , 4 } . Esto viola la definición de una función, por lo que esta relación no es una función. La compara las relaciones que son funciones y las que no lo son. (a) Esta relación es una función porque cada entrada está asociada a una única salida. Observe que las entradas q y r producen una salida n . (b) Esta relación también es una función. En este caso, cada entrada está asociada a una única salida. (c) Esta relación no es una función porque la entrada q se asocia a dos salidas diferentes. Función Una función es una relación en la que cada valor de entrada posible conduce exactamente a un valor de salida. Decimos: "La salida es una función de la entrada". Los valores de entrada constituyen el dominio , y los de salida , el rango . Cómo Dada una relación entre dos cantidades, determine si la relación es una función. Identifique los valores de entrada. Identifique los valores de salida. Si cada valor de entrada conduce a un solo valor de salida, clasifique la relación como una función. Si cualquier valor de entrada conduce a dos o más salidas, no clasifique la relación como una función. Cómo determinar si las listas de precios de los menús son funciones El menú de la cafetería, que se muestra en la , consta de artículos y sus precios. Ⓐ ¿El precio está en función del artículo? Ⓑ ¿El artículo está en función del precio? Ⓐ Empecemos por considerar la entrada como los elementos del menú. Los valores de salida son entonces los precios. Vea la . Cada artículo del menú tiene un solo precio, por lo que el precio está en función del artículo. Ⓑ Dos artículos del menú tienen el mismo precio. Si consideramos que los precios son los valores de entrada y los artículos son la salida, entonces el mismo valor de entrada podría tener más de una salida asociada. Vea la . Por lo tanto, el artículo no está en función del precio. Cómo determinar si las reglas de calificación de la clase son funciones En una clase particular de Matemáticas, el porcentaje global de la calificación corresponde a un promedio de calificaciones. ¿El promedio de calificaciones está en función del porcentaje de calificaciones? ¿Es el porcentaje de calificación una función de la media de las calificaciones? La muestra una posible regla para asignar puntos de calificación. Porcentaje de calificaciones 0 a 56 57 a 61 62 a 66 67 a 71 72 a 77 78 a 86 87 a 91 92 a 100 Promedio de calificaciones 0,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Para cualquier porcentaje de calificación obtenido, existe un promedio de calificación asociado, por lo que el promedio de calificación es una función del porcentaje de calificación. En otras palabras, si introducimos el porcentaje de calificación, la salida es un promedio de calificaciones específico. En el sistema de calificaciones dado, hay un rango de porcentajes que corresponden al mismo promedio de calificaciones. Por ejemplo, los estudiantes que reciben un promedio de 3,0 pueden tener una variedad de porcentajes de calificaciones que van desde 78 hasta 86. Por lo tanto, el porcentaje de calificaciones no está en función del promedio de calificaciones. Ejercicio La http://www.baseball-almanac.com/legendary/lisn100.shtml. Consultado el 24 mar 2014. enumera los cinco mejores jugadores de béisbol de todos los tiempos por orden de clasificación. Jugador Clasificación Babe Ruth 1 Willie Mays 2 Ty Cobb 3 Walter Johnson 4 Hank Aaron 5 Ⓐ ¿La clasificación está en función del nombre del jugador? Ⓑ ¿El nombre del jugador está en función de la clasificación? Ⓐ sí Ⓑ sí. (Nota: Si dos jugadores hubieran estado empatados, por ejemplo, en el 4.º puesto, el nombre no habría estado en función de la clasificación) Uso de la notación de función Una vez que determinamos que una relación es una función, necesitamos mostrar y definir las relaciones funcionales para poder entenderlas y utilizarlas, y a veces también para poder programarlas en las computadoras. Hay varias formas de representar las funciones. La notación de función estándar es una representación que facilita el trabajo con las funciones. Para representar "la altura es una función de la edad", empezamos por identificar las variables descriptivas h para la altura y a para la edad. Las letras f , g , y h se utilizan a menudo para representar funciones al igual que utilizamos x , y , y c para representar números y A , B , y C para representar conjuntos. h es f de a Llamamos a la función f ; la altura es una función de la edad . h = f ( a ) Utilizamos paréntesis para indicar la entrada de la función . f ( a ) Llamamos a la función f ; la expresión se lee como " f de a .” Recuerde que podemos utilizar cualquier letra para designar la función; la notación h ( a ) nos muestra que h depende de a . El valor a debe introducirse en la función h para obtener un resultado. Los paréntesis indican que la edad es la entrada en la función; no indican la multiplicación. También podemos dar una expresión algebraica como entrada a una función. Por ejemplo f ( a + b ) significa “primero se suman a y b , y el resultado es la entrada para la función f ”. Las operaciones deben realizarse en este orden para obtener el resultado correcto. Notación de función La notación y = f ( x ) define una función llamada f . Esto se lee como “ y es una función de x ” . La letra x representa el valor de entrada, o variable independiente. La letra y , o f ( x ) , representa el valor de salida, o variable dependiente. Uso de la notación de función para los días de un mes Utilice la notación de función para representar una función cuya entrada es el nombre de un mes y la salida es el número de días de ese mes. Supongamos que el dominio no incluye los años bisiestos. El número de días de un mes es una función del nombre del mes, por lo que si nombramos la función f , escribimos días = f ( mes ) o d = f ( m ) . El nombre del mes es la entrada de una "regla" que asocia un número específico (la salida) con cada entrada. Por ejemplo, f ( marzo ) = 31 , porque marzo tiene 31 días. La notación d = f ( m ) nos recuerda que el número de días, d (la salida), depende del nombre del mes, m (la entrada). Análisis Observe que las entradas de una función no tienen por qué ser números; las entradas de la función pueden ser nombres de personas, etiquetas de objetos geométricos o cualquier otro elemento que determine algún tipo de salida. Sin embargo, la mayoría de las funciones con las que trabajaremos en este libro tendrán números como entradas y salidas. Interpretación de la notación de función Una función N = f ( y ) da el número de oficiales de policía, N , en una ciudad en el año y . ¿Qué representa f ( 2005 ) = 300 ? Cuando leemos f ( 2005 ) = 300 , vemos que el año de entrada es 2005. El valor de la salida, el número de policías ( N ) , es 300. Recuerde, N = f ( y ) . El enunciado f ( 2005 ) = 300 nos dice que en el año 2005 había 300 policías en la ciudad. Ejercicio Utilice la notación de función para expresar el peso de un cerdo en libras en función de su edad en días d . w = f ( d ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS En lugar de una notación como y = f ( x ), podríamos utilizar el mismo símbolo para la salida que para la función, como por ejemplo y = y ( x ), que significa “¿ y es una función de x ?" Sí, esto se hace a menudo, especialmente en las asignaturas aplicadas que utilizan matemáticas superiores, como la Física y la Ingeniería. Sin embargo, al explorar las matemáticas en sí nos gusta mantener una distinción entre una función como f , que es una regla o procedimiento, y la salida y que obtenemos al aplicar f a una entrada concreta x . Por eso solemos utilizar una notación como y = f ( x ) , P = W ( d ) , y así sucesivamente. Representación de funciones mediante tablas Un método habitual para representar las funciones es en forma de tabla. Las filas o columnas de la tabla muestran los valores de entrada y salida correspondientes. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación; otras veces, la tabla ofrece algunos ejemplos seleccionados de una relación más completa. La indica el número de entrada de cada mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) y el valor de salida del número de días de ese mes. Esta información representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (que no es bisiesto). Observe que, en esta tabla, definimos una función de días al mes f donde D = f ( m ) identifica los meses por un número entero en lugar de por su nombre. Número de mes, m (entrada) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Días del mes, D (salida) 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 La define una función Q = g ( n ) . Recuerde que esta notación nos dice que g es el nombre de la función que toma la entrada n y da como salida Q . n 1 2 3 4 5 Q 8 6 7 6 8 La muestra la edad de los niños en años y sus correspondientes alturas. Esta tabla muestra solo algunos de los datos disponibles sobre la altura y la edad de los niños. Observamos enseguida que esta tabla no representa una función porque el mismo valor de entrada, 5 años, tiene dos valores de salida diferentes, 40 in y 42 in. Edad en años, a (entrada) 5 5 6 7 8 9 10 Altura en pulgadas, h (salida) 40 42 44 47 50 52 54 Cómo Dada una tabla de valores de entrada y salida, determine si la tabla representa una función. Identifique los valores de entrada y salida. Compruebe si cada valor de entrada está emparejado con un solo valor de salida. Si es así, la tabla representa una función. Identificación de tablas que representan funciones ¿Cuál tabla, la , la o la , representa una función (si la hay)? Entrada Salida 2 1 5 3 8 6 Entrada Salida -3 5 0 1 4 5 Entrada Salida 1 0 5 2 5 4 La y la definen funciones. En ambas, cada valor de entrada corresponde exactamente a un valor de salida. La no define una función porque el valor de entrada de 5 corresponde a dos valores de salida diferentes. Cuando una tabla representa una función, los valores de entrada y salida correspondientes también pueden especificarse utilizando la notación de función. La función representada por la puede representarse escribiendo f ( 2 ) = 1 , f ( 5 ) = 3 , y f ( 8 ) = 6 Del mismo modo, los enunciados g ( - 3 ) = 5 , g ( 0 ) = 1 , y g ( 4 ) = 5 representan la función en la . La no puede expresarse de forma similar porque no representa una función. Ejercicio ¿La representa una función? Entrada Salida 1 10 2 100 3 1.000 sí Hallar los valores de entrada y salida de una función Cuando conocemos un valor de entrada y queremos determinar el correspondiente valor de salida de una función, evaluamos la función. La evaluación siempre producirá un resultado porque cada valor de entrada de una función corresponde exactamente a un valor de salida. Cuando conocemos un valor de salida y queremos determinar los valores de entrada que producirían ese valor de salida, establecemos la salida igual a la fórmula de la función y resolvemos la entrada. La resolución puede producir más de una solución porque diferentes valores de entrada pueden producir el mismo valor de salida. Evaluación de funciones en formas algebraicas Cuando tenemos una función en forma de fórmula, suele ser sencillo evaluar la función. Por ejemplo, la función f ( x ) = 5 - 3 x 2 se puede evaluar elevando al cuadrado el valor de entrada, multiplicando por 3 y restando el producto de 5. Cómo Dada la fórmula de una función, evalúe. Sustituya la variable de entrada en la fórmula por el valor proporcionado. Calcule el resultado. Evaluación de funciones en valores específicos Evalúe f ( x ) = x 2 + 3 x - 4 en: Ⓐ 2 Ⓑ a Ⓒ a + h Ⓓ Ahora evalúe f ( a + h ) - f ( a ) h Sustituya x en la función con cada valor especificado. Ⓐ Como el valor de entrada es un número, el 2, podemos utilizar el álgebra simple para simplificar. f ( 2 ) = 2 2 + 3 ( 2 ) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 Ⓑ En este caso, el valor de entrada es una letra, por lo que no podemos simplificar más la respuesta. f ( a ) = a 2 + 3 a - 4 Ⓒ Con un valor de entrada a + h , debemos utilizar la propiedad distributiva. f ( a + h ) = ( a + h ) 2 + 3 ( a + h ) - 4 = a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 Ⓓ En este caso, aplicamos los valores de entrada a la función más de una vez, y luego realizamos operaciones algebraicas sobre el resultado. Ya hemos comprobado que f ( a + h ) = a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 y sabemos que f ( a ) = a 2 + 3 a - 4 Ahora combinamos los resultados y los simplificamos. f ( a + h ) - f ( a ) h = ( a 2 + 2 a h + h 2 + 3 a + 3 h − 4 ) - ( a 2 + 3 a - 4 ) h = 2 a h + h 2 + 3 h h = h ( 2 a + h + 3 ) h Factorice h . = 2 a + h + 3 Simplifique . Evaluación de funciones Dada la función h ( p ) = p 2 + 2 p , evaluar h ( 4 ) . Para evaluar h ( 4 ) , sustituimos el valor 4 por la variable de entrada p en la función dada. h ( p ) = p 2 + 2 p h ( 4 ) = ( 4 ) 2 + 2 ( 4 ) = 16 + 8 = 24 Por lo tanto, para una entrada de 4, tenemos una salida de 24. Ejercicio Dada la función g ( m ) = m − 4 , evaluar g ( 5 ) . g ( 5 ) = 1 Resolución de funciones Dada la función h ( p ) = p 2 + 2 p , resolver para h ( p ) = 3. h ( p ) = 3 p 2 + 2 p = 3 Sustituya la función original h ( p ) = p 2 + 2 p . p 2 + 2 p − 3 = 0 Reste 3 de cada lado . ( p + 3 )( p - 1 ) = 0 Factorice . Si los valores de ( p + 3 ) ( p - 1 ) = 0 , o bien ( p + 3 ) = 0 o ( p - 1 ) = 0 (o ambos son iguales a 0). Estableceremos cada factor igual a 0 y resolveremos para p en cada caso. ( p + 3 ) = 0 , p = - 3 ( p - 1 ) = 0 , p = 1 Esto nos da dos soluciones. La salida h ( p ) = 3 cuando la entrada es p = 1 o p = − 3. También podemos comprobarlo graficando como en la . El gráfico verifica que h ( 1 ) = h ( - 3 ) = 3 y h ( 4 ) = 24. Ejercicio Dada la función g ( m ) = m − 4 , resuelva g ( m ) = 2. m = 8 Evaluación de funciones expresadas en fórmulas Algunas funciones se definen mediante reglas o procedimientos matemáticos expresados en forma de ecuación . Si es posible expresar la salida de la función con una fórmula que implique la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función en forma algebraica. Por ejemplo, la ecuación 2 n + 6 p = 12 expresa una relación funcional entre n y p . Podemos reescribirlo para decidir si p es una función de n . Cómo Dada una función en forma de ecuación, escriba su fórmula algebraica. Resuelva la ecuación para aislar la variable de salida en un lado del signo igual, con el otro lado como una expresión que involucra solo la variable de entrada. Utilice todos los métodos algebraicos habituales para resolver ecuaciones, como sumar o restar la misma cantidad a o desde ambos lados, o multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por la misma cantidad. Hallar la ecuación de una función Exprese la relación 2 n + 6 p = 12 como una función p = f ( n ) , si es posible. Para expresar la relación en esta forma, necesitamos poder escribir la relación donde p es una función de n , lo que significa escribirlo como p = [ expresión que involucra n ] . 2 n + 6 p = 12 6 p = 12 – 2 n Reste 2 n de ambos lados . p = 12 – 2 n 6 Divida ambos lados entre 6 y simplifique . p = 12 6 - 2 n 6 p = 2 – 1 3 n Por lo tanto, p en función de n se escribe como p = f ( n ) = 2 – 1 3 n Análisis Es importante tener en cuenta que no toda relación expresada por una ecuación puede expresarse también como una función con una fórmula. Expresión de la ecuación de un círculo como función ¿La ecuación x 2 + y 2 = 1 representan una función con x como entrada y y como salida? Si es así, exprese la relación como una función y = f ( x ) . Primero restamos x 2 de ambos lados. y 2 = 1 - x 2 Ahora tratamos de resolver para y en esta ecuación. y = ± 1 - x 2 = + 1 - x 2 y − 1 - x 2 Obtenemos dos salidas correspondientes a la misma entrada, por lo que esta relación no puede representarse como una única función y = f ( x ) . Ejercicio Si los valores de x - 8 y 3 = 0 , exprese y en función de x . y = f ( x ) = x 3 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existen relaciones expresadas por una ecuación que sí representan una función pero que todavía no pueden ser representadas por una fórmula algebraica? Sí, esto puede ocurrir. Por ejemplo, dada la ecuación x = y + 2 y , si queremos expresar y en función de x , no hay una fórmula algebraica simple que implique solo x que es igual a y . Sin embargo, cada x determina un valor único para y , y existen procedimientos matemáticos mediante los cuales y se puede hallar con la precisión deseada. En este caso, decimos que la ecuación da una regla implícita (tácita) para y en función de x , aunque la fórmula no pueda escribirse explícitamente. Evaluación de una función dada en forma de tabla Como hemos visto anteriormente, podemos representar funciones en tablas. A la inversa, podemos utilizar la información de las tablas para escribir funciones, y podemos evaluar funciones utilizando las tablas. Por ejemplo, ¿qué tan bien recuerdan nuestras mascotas los buenos recuerdos que compartimos con ellas? Hay una leyenda urbana que dice que un pez dorado tiene una memoria de 3 segundos, pero esto es solo un mito. El pez dorado puede recordar hasta 3 meses, mientras que el pez betta tiene una memoria de hasta 5 meses. Y mientras que la capacidad de memoria de un cachorro no supera los 30 segundos, el perro adulto puede recordar durante 5 minutos. Esto es escaso comparado con un gato, cuya memoria dura 16 horas. La función que relaciona el tipo de mascota con la duración de su memoria se visualiza más fácilmente con el uso de una tabla. Vea la . http://www.kgbanswers.com/how-long-is-a-dogs-memory-span/4221590. Consultado el 24 mar 2014. Mascota Duración de la memoria en horas Cachorro 0,008 Perro adulto 0,083 Gato 16 Pez dorado 2.160 Pez betta 3.600 A veces, evaluar una función en forma de tabla puede ser más útil que utilizar ecuaciones. Llamemos aquí a la función P . El dominio de la función es el tipo de mascota y el rango es un número real que representa el número de horas que dura la memoria de la mascota. Evaluamos la función P en el valor de entrada de “pez dorado”. Escribiríamos P ( pez dorado ) = 2.160. Observe que, para evaluar la función en forma de tabla, identificamos el valor de entrada y el correspondiente valor de salida de la fila pertinente de la tabla. La forma de tabla de la función P parece ideal para esta función, más que escribirla en forma de párrafo o función. Cómo Dada una función representada por una tabla, identifique los valores específicos de salida y entrada. Halle la entrada dada en la fila (o columna) de valores de entrada. Identifique el valor de salida correspondiente emparejado con ese valor de entrada. Halle los valores de salida dados en la fila (o columna) de valores de salida, anotando cada vez que aparece ese valor de salida. Identifique el valor o los valores de entrada que corresponden al valor de salida dado. Evaluación y resolución de una función de tabla Utilizando la , Ⓐ Evalúe g ( 3 ) . Ⓑ Resuelva g ( n ) = 6. n 1 2 3 4 5 g ( n ) 8 6 7 6 8 Ⓐ Al evaluar g ( 3 ) significa determinar el valor de salida de la función g para el valor de entrada de n = 3. El valor de salida de la tabla correspondiente a n n = 3 es 7, así que g ( 3 ) = 7. Ⓑ Al resolver g ( n ) = 6 significa identificar los valores de entrada, n , que producen un valor de salida de 6. La tabla a continuación muestra dos soluciones: 2 y 4. n 1 2 3 4 5 g ( n ) 8 6 7 6 8 Cuando introducimos 2 en la función g , nuestra salida es de 6. Cuando introducimos 4 en la función g , nuestra salida también es de 6. Ejercicio Con la tabla de Evaluación y resolución de una función tabular anterior, evalúe g ( 1 ) . g ( 1 ) = 8 Hallar los valores de una función a partir de un gráfico Evaluar una función mediante un gráfico también requiere encontrar el valor de salida correspondiente para un valor de entrada dado, solo que en este caso, encontramos el valor de salida mirando el gráfico. La resolución de una ecuación de función mediante un gráfico requiere encontrar todos los casos del valor de salida dados en el gráfico y observar el valor o valores de entrada correspondientes. Leer los valores de una función a partir de un gráfico Dado el gráfico en la , Ⓐ Evalúe f ( 2 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Ⓐ Para evaluar f ( 2 ) , ubique el punto de la curva donde x = 2 , y luego lea la coordenada y de ese punto. El punto tiene coordenadas ( 2 , 1 ) , por lo que f ( 2 ) = 1. Vea la . Ⓑ Para resolver f ( x ) = 4, encontramos el valor de salida 4 en el eje vertical. Al moverse horizontalmente a lo largo de la línea y = 4 , localizamos dos puntos de la curva con valor de salida 4: ( –1 , 4 ) y ( 3 , 4 ) . Estos puntos representan las dos soluciones de f ( x ) = 4: −1 o 3. Esto significa f ( –1 ) = 4 y f ( 3 ) = 4 , o cuando la entrada es −1 o 3, la salida es 4 . Vea la . Ejercicio Utilizando la , resuelva f ( x ) = 1. x = 0 o x = 2 Cómo determinar si una función es biunívoca Algunas funciones tienen un valor de salida determinado que corresponde a dos o más valores de entrada. Por ejemplo, en el gráfico de acciones que se muestra en la figura al principio de este capítulo, el precio de las acciones era de 1.000 dólares en cinco fechas diferentes, lo que significa que había cinco valores de entrada diferentes que daban como resultado el mismo valor de salida de 1.000 dólares. Sin embargo, algunas funciones solo tienen un valor de entrada para cada valor de salida, así como solo tienen una salida para cada entrada. A estas funciones las llamamos funciones biunívocas. A modo de ejemplo, considere una escuela que solo utiliza calificaciones con letras y equivalentes decimales, como se indica en la . Calificación en letras Promedio de calificaciones A 4,0 B 3,0 C 2,0 D 1,0 Este sistema de calificación representa una función biunívoca, ya que cada letra de entrada produce un promedio de calificación particular como salida y cada promedio de calificación corresponde a una letra de entrada. Para visualizar este concepto, veamos de nuevo las dos funciones simples esbozadas en la (a) y la (b) . La función de la parte (a) muestra una relación que no es una función biunívoca porque las entradas q y r producen una salida n . La función de la parte (b) muestra una relación que es una función biunívoca porque cada entrada está asociada a una única salida. Función biunívoca Una función biunívoca es una función en la que cada valor de salida corresponde exactamente a un valor de entrada. Determinar si una relación es una función biunívoca ¿El área de un círculo es una función de su radio? En caso afirmativo, ¿la función es biunívoca? Un círculo de radio r tiene una única medida de área dada por A = π r 2 , así que para cualquier entrada, r , solo hay una salida, A . El área es una función del radio r . Si la función es biunívoca, el valor de salida, el área, debe corresponder a un único valor de entrada, el radio. Cualquier medida de superficie A está dada por la fórmula A = π r 2 . Como las áreas y los radios son números positivos, hay exactamente una solución A π . Así pues, el área de un círculo es una función biunívoca del radio del círculo. Ejercicio Ⓐ ¿El saldo está en función del número de cuenta bancaria? Ⓑ ¿El número de una cuenta bancaria está en función del saldo? Ⓒ ¿El saldo es una función biunívoca del número de cuenta bancaria? Ⓐ sí, porque cada cuenta bancaria tiene un único saldo en cualquier momento Ⓑ no, porque varios números de cuenta bancaria pueden tener el mismo saldo Ⓒ no, porque la misma salida puede corresponder a más de una entrada. Ejercicio Calcule lo siguiente: Ⓐ Si cada calificación porcentual obtenida en un curso se traduce en una calificación en letras, ¿es la calificación en letras una función de la calificación porcentual? Ⓑ En ese caso, ¿la función es biunívoca? Ⓐ Sí, la calificación en letra está en función del porcentaje de calificación; Ⓑ No, no es biunívoca. Hay 100 números porcentuales diferentes que podríamos obtener, pero solo unas cinco posibles calificaciones de letras, por lo que no puede haber solo un número porcentual que corresponda a cada calificación en letras. Uso de la prueba de la línea vertical Como hemos visto en algunos ejemplos anteriores, podemos representar una función mediante un gráfico. Los gráficos muestran un gran número de pares de entrada-salida en un espacio reducido. La información visual que proporcionan suele facilitar la comprensión de las relaciones. Por convención, los gráficos se construyen normalmente con los valores de entrada en el eje horizontal y los valores de salida en el eje vertical. Los gráficos más comunes nombran el valor de entrada x y el valor de salida y , y decimos y es una función de x , o y = f ( x ) cuando la función se llama f . El gráfico de la función es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en el plano que satisface la ecuación y = f ( x ) . Si la función está definida solo para unos pocos valores de entrada, entonces el gráfico de la función son solo unos pocos puntos, donde la coordenada x de cada punto es un valor de entrada y la coordenada y de cada punto es el valor de salida correspondiente. Por ejemplo, los puntos negros del gráfico de la nos indican que f ( 0 ) = 2 y f ( 6 ) = 1. Sin embargo, el conjunto de todos los puntos ( x , y ) lo que cumple con y = f ( x ) es una curva. La curva mostrada incluye ( 0 , 2 ) y ( 6 , 1 ) porque la curva pasa por esos puntos. La prueba de la línea vertical puede utilizarse para determinar si un gráfico representa una función. Si podemos dibujar cualquier línea vertical que cruce un gráfico más de una vez, entonces el gráfico no define una función, porque una función solo tiene un valor de salida para cada valor de entrada. Vea la . Cómo Dado un gráfico, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si el gráfico representa una función. Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea vertical dibujada interseca la curva más de una vez. Si hay alguna línea de este tipo, determine que el gráfico no representa una función. Aplicación de la prueba de la línea vertical ¿Cuál de los gráficos de la representa una función y = f ( x ) ? Si alguna línea vertical cruza un gráfico más de una vez, la relación representada por el gráfico no es una función. Observe que cualquier línea vertical pasaría por un solo punto de los dos gráficos mostrados en las partes (a) y (b) de la . De esto podemos concluir que estos dos gráficos representan funciones. El tercer gráfico no representa una función porque, en la mayoría de los valores de x , una línea vertical intersecaría el gráfico en más de un punto, como se muestra en la . Ejercicio ¿El gráfico de la representa una función? sí Utilizar la prueba de la línea horizontal Una vez que hemos determinado que un gráfico define una función, una forma fácil de determinar si es una función biunívoca es utilizar la prueba de la línea horizontal . Dibuje líneas horizontales a través del gráfico. Si alguna línea horizontal lo cruza más de una vez, entonces el gráfico no representa una función biunívoca. Cómo Dado un gráfico de una función, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si el gráfico representa una función biunívica. Inspeccione el gráfico para ver si alguna línea horizontal dibujada interseca la curva más de una vez. Si hay alguna línea de este tipo, determine que la función no es biunívoca. Aplicación de la prueba de la línea horizontal Considere las funciones mostradas en la (a) y la (b) . ¿Alguna de las funciones es biunívoca? La función en la (a) no es biunívoca. La línea horizontal que se muestra en la interseca el gráfico de la función en dos puntos (e incluso podemos encontrar líneas horizontales que la intersecan en tres puntos). La función en la (b) es biunívoca. Cualquier línea horizontal se cruzará con una línea diagonal como máximo una vez. Ejercicio ¿El gráfico que se muestra en la es biunívoco? No, porque no pasa la prueba de la línea horizontal. Identificar las funciones básicas de la caja de herramientas En este texto, exploraremos las funciones: las formas de sus gráficos, sus características únicas, sus fórmulas algebraicas y cómo resolver problemas con ellas. Cuando aprendemos a leer, empezamos por el alfabeto. Cuando aprendemos a hacer aritmética, empezamos con los números. Cuando trabajamos con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos de construcción. Los llamamos "funciones de la caja de herramientas", que forman un conjunto de funciones básicas que conocemos con los nombres de gráfico, fórmula y propiedades especiales. Algunas de estas funciones están programadas en botones individuales de muchas calculadoras. Para estas definiciones utilizaremos x como variable de entrada y y = f ( x ) como variable de salida. A lo largo de este libro veremos con frecuencia estas funciones de la caja de herramientas, sus combinaciones de funciones, sus gráficos y sus transformaciones. Será muy útil si podemos reconocer rápidamente estas funciones de la caja de herramientas y sus características por su nombre, fórmula, gráfico y propiedades básicas de la tabla. Los gráficos y los valores de la tabla de muestra se incluyen con cada función mostrada en la . Funciones de la caja de herramientas Nombre Función Gráfico Constante f ( x ) = c , donde c es una constante Identidad f ( x ) = x Valor absoluto f ( x ) = | x | Función f ( x ) = x 2 Cúbico f ( x ) = x 3 Recíproco f ( x ) = 1 x Recíproco al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 Raíz cuadrada f ( x ) = x Raíz del cubo f ( x ) = x 3 Media Acceda a los siguientes recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones. Determinar si una relación es una función Prueba de la línea vertical Introducción a las funciones Prueba de la línea vertical en el gráfico Funciones biunívocas Gráficos como funciones biunívocas Ecuaciones clave Función constante f ( x ) = c , donde c es una constante Función de identidad f ( x ) = x Función de valor absoluto f ( x ) = | x | Función cuadrática f ( x ) = x 2 Función cúbica f ( x ) = x 3 Función recíproca f ( x ) = 1 x Función recíproca al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 Función de raíz cuadrada f ( x ) = x Función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 Conceptos clave Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo específico de relación en la que cada valor de dominio, o entrada, conduce exactamente a un valor de rango, o salida. Vea el y el . La notación de función es un método abreviado para relacionar la entrada con la salida de la forma y = f ( x ) . Vea el y el . En forma de tabla, una función puede representarse mediante filas o columnas que se refieren a los valores de entrada y salida. Vea el . Para evaluar una función, determinamos un valor de salida para un valor de entrada correspondiente. Las formas algebraicas de una función se pueden evaluar sustituyendo la variable de entrada por un valor determinado. Vea el y el . Para resolver el valor de una función específica, determinamos los valores de entrada que producen el valor de salida específico. Vea el . La forma algebraica de una función puede escribirse a partir de una ecuación. Vea el y el . Los valores de entrada y salida de una función pueden identificarse a partir de una tabla. Vea el . Relacionar los valores de entrada con los de salida en un gráfico es otra forma de evaluar una función. Vea el . Una función es biunívoca si cada valor de salida corresponde a un solo valor de entrada. Vea el . Un gráfico representa una función si cualquier línea vertical dibujada en él lo interseca en no más de un punto. Vea el . El gráfico de una función biunívoca pasa la prueba de la línea horizontal. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia entre una relación y una función? Una relación es un conjunto de pares ordenados. Una función es un tipo especial de relación en la que ningún par ordenado tiene la misma primera coordenada. ¿Cuál es la diferencia entre la entrada y la salida de una función? ¿Por qué la prueba de la línea vertical nos indica si el gráfico de una relación representa una función? Cuando una línea vertical cruza el gráfico de una relación más de una vez, indica que para esa entrada hay más de una salida. Para cualquier valor de entrada, solo puede haber una salida si la relación es una función. ¿Cómo se puede determinar si una relación es una función biunívoca? ¿Por qué la prueba de la línea horizontal nos indica si el gráfico de una función es biunívoco? Cuando una línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, indica que para esa salida hay más de una entrada. Una función es biunívoca si cada salida corresponde a una sola entrada. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función. { ( a , b ) , ( c , d ) , ( a , c ) } { ( a , b ) , ( b , c ) , ( c , c ) } cuadrática En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa a y en función de x . 5 x + 2 y = 10 y = x 2 cuadrática x = y 2 3 x 2 + y = 14 cuadrática 2 x + y 2 = 6 y = - 2 x 2 + 40 x cuadrática y = 1 x x = 3 y + 5 7 y - 1 cuadrática x = 1 - y 2 y = 3 x + 5 7 x – 1 cuadrática x 2 + y 2 = 9 2 x y = 1 cuadrática x = y 3 y = x 3 cuadrática y = 1 - x 2 x = ± 1 - y cuadrática y = ± 1 - x y 2 = x 2 no es una función y 3 = x 2 En los siguientes ejercicios, evalúe f a los valores indicados f ( −3 ) , f ( 2 ) , f ( - a ) , − f ( a ) , f ( a + h ) . f ( x ) = 2 x - 5 f ( - 3 ) = − 11 ; f ( 2 ) = - 1 ; f ( - a ) = - 2 a − 5 ; − f ( a ) = - 2 a + 5 ; f ( a + h ) = 2 a + 2 h − 5 f ( x ) = - 5 x 2 + 2 x – 1 f ( x ) = 2 - x + 5 f ( - 3 ) = 5 + 5 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( - a ) = 2 + a + 5 ; − f ( a ) = - 2 - a − 5 ; f ( a + h ) = 2 - a − h + 5 f ( x ) = 6 x – 1 5 x + 2 f ( x ) = | x – 1 | − | x + 1 | f ( - 3 ) = 2 ; f ( 2 ) = 1 - 3 = - 2 ; f ( - a ) = | - a - 1 | − | - a + 1 | ; − f ( a ) = - | a - 1 | + | a + 1 | ; f ( a + h ) = | a + h - 1 | − | a + h + 1 | Dada la función g ( x ) = 5 - x 2 , evaluar g ( x + h ) - g ( x ) h , h ≠ 0 . Dada la función g ( x ) = x 2 + 2 x , evaluar g ( x ) - g ( a ) x – a , x ≠ a . g ( x ) - g ( a ) x – a = x + a + 2 , x ≠ a Dada la función k ( t ) = 2 t - 1 : Ⓐ Evalúe k ( 2 ) . Ⓑ Resuelva k ( t ) = 7. Dada la función f ( x ) = 8 - 3 x : Ⓐ Evalúe f ( – 2 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = − 1. Ⓐ f ( – 2 ) = 14 ; Ⓑ x = 3 Dada la función p ( c ) = c 2 + c : Ⓐ Evalúe p ( - 3 ) . Ⓑ Resuelva p ( c ) = 2. Dada la función f ( x ) = x 2 - 3 x : Ⓐ Evalúe f ( 5 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Ⓐ f ( 5 ) = 10 ; Ⓑ x = - 1 o x = 4 Dada la función f ( x ) = x + 2 : Ⓐ Evalúe f ( 7 ) . Ⓑ Resuelva f ( x ) = 4. Considere la relación 3 r + 2 t = 18. Ⓐ Escriba la relación como una función r = f ( t ) . Ⓑ Evalúe f ( - 3 ) . Ⓒ Resuelva f ( t ) = 2. Ⓐ f ( t ) = 6 - 2 3 t ; Ⓑ f ( - 3 ) = 8 ; Ⓒ t = 6 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar qué gráficos muestran relaciones que son funciones. no es una función cuadrática cuadrática cuadrática cuadrática cuadrática Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( –1 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = 3. Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( 0 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = –3. Ⓐ f ( 0 ) = 1 ; Ⓑ f ( x ) = - 3 , x = - 2 o x = 2 Dado el siguiente gráfico, Ⓐ Evalúe f ( 4 ) . Ⓑ Resuelva para f ( x ) = 1. En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico dado es una función biunívoca. no es una función, por lo que tampoco es una función biunívoca función biunívoca función, pero no biunívoca Numéricos En los siguientes ejercicios, determine si la relación representa una función. { ( –1 , –1 ) , ( –2 , –2 ) , ( −3 , −3 ) } { ( 3 , 4 ) , ( 4 , 5 ) , ( 5 , 6 ) } cuadrática { ( 2 , 5 ) , ( 7 , 11 ) , ( 15 , 8 ) , ( 7 , 9 ) } En los siguientes ejercicios, determine si la relación representada en forma de tabla representa y en función de x . x 5 10 15 y 3 8 14 cuadrática x 5 10 15 y 3 8 8 x 5 10 10 y 3 8 14 no es una función En los siguientes ejercicios, utilice la función f representada en la . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) 74 28 1 53 56 3 36 45 14 47 Evalúe f ( 3 ) . Resuelva f ( x ) = 1. f ( x ) = 1 , x = 2 En los siguientes ejercicios, evalúe la función f en los valores f ( – 2 ) , f ( - 1 ) , f ( 0 ) , f ( 1 ) , y f ( 2 ) . f ( x ) = 4 – 2 x f ( x ) = 8 - 3 x f ( – 2 ) = 14 ; f ( - 1 ) = 11 ; f ( 0 ) = 8 ; f ( 1 ) = 5 ; f ( 2 ) = 2 f ( x ) = 8 x 2 - 7 x + 3 f ( x ) = 3 + x + 3 f ( – 2 ) = 4 ; f ( - 1 ) = 4,414 ; f ( 0 ) = 4,732 ; f ( 1 ) = 5 ; f ( 2 ) = 5,236 f ( x ) = x - 2 x + 3 f ( x ) = 3 x f ( – 2 ) = 1 9 ; f ( - 1 ) = 1 3 ; f ( 0 ) = 1 ; f ( 1 ) = 3 ; f ( 2 ) = 9 En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones, dadas las funciones f , g , y h : f ( x ) = 3 x - 2 g ( x ) = 5 - x 2 h ( x ) = - 2 x 2 + 3 x – 1 3 f ( 1 ) - 4 g ( – 2 ) f ( 7 3 ) − h ( – 2 ) 20 En tecnología En los siguientes ejercicios, grafique y = x 2 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ − 0,1 , 0,1 ] [ − 10 , 10 ] [ 0 , 100 ] [ − 100 , 100 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x 3 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ − 0,1 , 0 0,1 ] [ − 0,001 , 0 0,001 ] [ − 10 , 10 ] [ − 100 , 100 ] [ - 1.000.>000 , 1.000.000 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ 0 , 0 0,01 ] [ 0 , 100 ] [ 0 , 10 ] [ 0 , 10.000 ] En los siguientes ejercicios, grafique y = x 3 en el dominio dado. Determine el rango correspondiente. Muestre cada gráfico. [ -0,001 , 0,001 ] [ -0,1 , 0,1 ] [ -1.000 , 1.000 ] [ –1.000.000 , 1.000.000 ] [ − 100 , 100 ] Aplicaciones en el mundo real La cantidad de basura, G , producida por una ciudad con una población p viene dada por G = f ( p ) . G se mide en toneladas por semana, y p se mide en miles de personas. Ⓐ La ciudad de Tola tiene una población de 40.000 habitantes y produce 13 toneladas de basura a la semana. Exprese esta información en términos de la función f . Ⓑ Explique el significado de la afirmación f ( 5 ) = 2. El número de yardas cúbicas de tierra, D , necesario para cubrir un jardín con un área de a pies cuadrados viene dado por D = g ( a ) . Ⓐ Un jardín con una superficie de 5.000 pies 2 requiere 50 yardas 3 de tierra. Exprese esta información en términos de la función g . Ⓑ Explique el significado de la afirmación g ( 100 ) = 1. Ⓐ g ( 5.000 ) = 50 ; Ⓑ El número de yardas cúbicas de tierra que son necesarias para un jardín de 100 pies cuadrados es 1. Supongamos que f ( t ) es el número de patos en un lago t años después de 1990. Explique el significado de cada afirmación: Ⓐ f ( 5 ) = 30 Ⓑ f ( 10 ) = 40 Supongamos que h ( t ) es la altura sobre el suelo, en pies, de un cohete t segundos después del lanzamiento. Explique el significado de cada afirmación: h ( 1 ) = 200 h ( 2 ) = 350 Ⓐ La altura de un cohete sobre el suelo después de 1 segundo es de 200 pies. Ⓑ la altura de un cohete sobre el suelo después de 2 segundos es de 350 pies. Demuestre que la función f ( x ) = 3 ( x - 5 ) 2 + 7 no es biunívoca. variable dependiente una variable de salida dominio el conjunto de todos los posibles valores de entrada de una relación función una relación en la que cada valor de entrada produce un único valor de salida prueba de la línea horizontal un método para comprobar si una función es biunívoca determinando si alguna línea horizontal interseca el gráfico más de una vez variable independiente una variable de entrada entrada cada objeto o valor de un dominio que se relaciona con otro objeto o valor mediante una relación conocida como función función biunívoca una función para la que cada valor de salida está asociado a un único valor de entrada salida cada objeto o valor del rango que se produce cuando se introduce un valor de entrada en una función rango el conjunto de valores de salida que resultan de los valores de entrada en una relación relación un conjunto de pares ordenados prueba de la línea vertical un método para comprobar si un gráfico representa una función, determinando si una línea vertical interseca el gráfico no más de una vez

Matemáticas


Dominio y rango Las películas de terror y de suspenso son populares y, muy a menudo, muy rentables. Cuando se incluyen actores de gran presupuesto, lugares de rodaje y efectos especiales, los estudios cuentan con una audiencia aún mayor para tener éxito. Consideremos cinco grandes obras de suspenso/terror de principios del siglo XXI: Soy Leyenda , Hannibal , El Aro , La Maldición y El Conjuro . La muestra la cantidad en dólares que recaudó cada una de esas películas cuando se estrenaron, así como la venta de entradas para las películas de terror en general por año. Observe que podemos utilizar los datos para crear una función de la cantidad que ganó cada película o el total de ventas de entradas de todas las películas de terror por año. Al crear varias funciones utilizando los datos, podemos identificar diferentes variables dependientes e independientes, y podemos analizar los datos y las funciones para determinar el dominio y el rango. En esta sección, investigaremos métodos para determinar el dominio y el rango de funciones como estas. Basado en datos recopilados por www.the-numbers.com. The Numbers: Where Data and the Movie Business Meet. “Box Office History for Horror Movies.” http://www.the-numbers.com/market/genre/Horror. Consultado el 24 mar 2014. Hallar el dominio de una función definida por una ecuación En Funciones y notación de funciones , se introdujeron los conceptos de dominio y rango . En esta sección, practicaremos la determinación de dominios y rangos para funciones específicas. Tenga en cuenta que, al determinar los dominios y los rangos, tenemos que considerar lo que es físicamente posible o significativo en los ejemplos del mundo real, como la venta de entradas y el año en el ejemplo anterior de las películas de terror. También hay que tener en cuenta lo que está matemáticamente permitido. Por ejemplo, no podemos incluir ningún valor de entrada que nos lleve a tomar una raíz par de un número negativo si el dominio y el rango consisten en números reales. O en una función expresada como fórmula, no podemos incluir ningún valor de entrada en el dominio que nos lleve a dividir entre 0. Podemos visualizar el dominio como una "zona de espera" que contiene "materias primas" para una "máquina funcional" y el rango como otra "zona de espera" para los productos de la máquina. Vea la . Podemos escribir el dominio y el rango en notación intervalo , que utiliza valores entre paréntesis para describir un conjunto de números. En la notación intervalo, utilizamos un corchete “[“ cuando el conjunto incluye el punto final y un paréntesis “(“ para indicar que el punto final no está incluido o que el intervalo no está acotado. Por ejemplo, si una persona tiene 100 dólares para gastar, tendría que expresar el intervalo que es mayor que 0 y menor o igual que 100 y escribir ( 0 , 100 ] . Más adelante hablaremos con más detalle de la notación intervalo. Vamos a centrar nuestra atención en encontrar el dominio de una función de la que se proporciona una ecuación. A menudo, encontrar el dominio de tales funciones implica recordar tres formas diferentes. En primer lugar, si la función no tiene denominador o tiene una raíz impar, considere si el dominio podrían ser todos los números reales. En segundo lugar, si hay un denominador en la ecuación de la función, excluya los valores en el dominio que obligan al denominador a ser cero. En tercer lugar, si hay una raíz par, considere la posibilidad de excluir los valores que harían que el radicando fuera negativo. Antes de empezar, repasemos las convenciones de la notación intervalo: El término más pequeño del intervalo se escribe primero. El término más grande del intervalo se escribe en segundo lugar, tras una coma. Los paréntesis, “(“ o “)”, se utilizan para indicar que un punto final no está incluido, lo que se denomina exclusivo. Los corchetes, “[“ o “]”, se utilizan para indicar que un punto final está incluido, lo que se denomina inclusivo. Vea la para conocer un resumen de la notación intervalo. Hallar el dominio de una función como un conjunto de pares ordenados Halle el dominio de la siguiente función { ( 2 , 10 ) , ( 3 , 10 ) , ( 4 , 20 ) , ( 5 , 30 ) , ( 6 , 40 ) } . Primero identifique los valores de entrada. El valor de entrada es la primera coordenada de un par ordenado . No hay restricciones, ya que los pares ordenados simplemente se enumeran. El dominio es el conjunto de las primeras coordenadas de los pares ordenados. { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Ejercicio Halle el dominio de la función: { ( −5 , 4 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , –4 ) , ( 10 , −8 ) , ( 15 , −12 ) } { - 5 , 0 , 5 , 10 , 15 } Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Identifique cualquier restricción en la entrada y excluya esos valores del dominio. Escriba el dominio en forma de intervalo, si es posible. Hallar el dominio de una función Halle el dominio de la función f ( x ) = x 2 − 1. El valor de entrada, mostrado por la variable x en la ecuación, se eleva al cuadrado y luego el resultado se reduce en uno. Cualquier número real puede ser elevado al cuadrado y luego ser rebajado en uno, por lo que no hay restricciones en el dominio de esta función. El dominio es el conjunto de los números reales. En forma de intervalo, el dominio de f es ( - ∞ , ∞ ) . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 - x + x 3 . ( - ∞ , ∞ ) Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una fracción, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Identifique cualquier restricción en la entrada. Si hay un denominador en la fórmula de la función, ponga el denominador igual a cero y resuelva para x . Si la fórmula de la función contiene una raíz par, establezca el radicando mayor o igual a 0, y luego resuelva. Escriba el dominio en forma de intervalo, asegurándose de excluir cualquier valor restringido del dominio. Hallar el dominio de una función con denominador Halle el dominio de la función f ( x ) = x + 1 2 - x . Cuando hay un denominador, queremos incluir solo los valores de la entrada que no obligan al denominador a ser cero. Por lo tanto, pondremos el denominador igual a 0 y resolveremos para x . 2 - x = 0 - x = - 2 x = 2 Ahora, excluiremos el 2 del dominio. Las respuestas son todos los números reales donde x < 2 o x > 2. Podemos utilizar un símbolo conocido como la unión, ∪ , para combinar los dos conjuntos. En notación intervalo, escribimos la solución ( -∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) . En forma de intervalo, el dominio de f es ( - ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 1 + 4 x 2 x – 1 . ( - ∞ , 1 2 ) ∪ ( 1 2 , ∞ ) Cómo Dada una función escrita en forma de ecuación que incluye una raíz par, halle el dominio. Identifique los valores de entrada. Como hay una raíz par, excluya cualquier número real que dé lugar a un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual a cero y resuelva para x . Las soluciones son el dominio de la función. Si es posible, escriba la respuesta en forma de intervalo. Hallar el dominio de una función con una raíz par Halle el dominio de la función f ( x ) = 7 - x . Cuando hay una raíz par en la fórmula, excluimos cualquier número real que dé lugar a un número negativo en el radicando. Establezca el radicando mayor o igual a cero y resuelva para x . 7 - x ≥ 0 - x ≥ − 7 x ≤ 7 Ahora, excluiremos cualquier número mayor que 7 del dominio. Las respuestas son todos los números reales menores o iguales a 7 , o ( - ∞ , 7 ] . Ejercicio Halle el dominio de la función f ( x ) = 5 + 2 x . [ − 5 2 , ∞ ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Puede haber funciones en las que el dominio y el rango no se intersequen en absoluto? Sí. Por ejemplo, la función f ( x ) = - 1 x tiene como dominio el conjunto de todos los números reales positivos, pero tiene como rango el conjunto de todos los números reales negativos. Como ejemplo más extremo, las entradas y salidas de una función pueden ser categorías completamente diferentes (por ejemplo, nombres de días de la semana como entradas y números como salidas, como en un gráfico de asistencia), en estos casos el dominio y el rango no tienen elementos en común. Usar notaciones para especificar el dominio y el rango En los ejemplos anteriores, utilizamos inecuaciones y listas para describir el dominio de las funciones. También podemos utilizar desigualdades, u otros enunciados que puedan definir conjuntos de valores o datos, para describir el comportamiento de la variable en la notación del constructor de conjuntos . Por ejemplo, { x | 10 ≤ x < 30 } describe el comportamiento de x en la notación del constructor de conjuntos. Las llaves { } se leen como "el conjunto de", y la barra vertical | se lee como "tal que", por lo que leeríamos { x | 10 ≤ x < 30 } como "el conjunto de valores x tales que 10 es menor o igual que x , y x es menos de 30”. La compara la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalos. Para combinar dos intervalos utilizando la notación de inecuación o la notación del constructor de conjuntos, utilizamos la palabra “o”. Como hemos visto en los ejemplos anteriores, utilizamos el símbolo de unión, ∪ , para combinar dos intervalos no conectados. Por ejemplo, la unión de los conjuntos { 2 , 3 , 5 } y { 4 , 6 } es el conjunto { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } . Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno u otro (o a ambos) de los dos conjuntos originales. En el caso de conjuntos con un número finito de elementos como este, no es necesario enumerar los elementos en orden ascendente de valor numérico. Si los dos conjuntos originales tienen algunos elementos en común, esos elementos deben figurar solo una vez en el conjunto de unión. Para conjuntos de números reales en intervalos, otro ejemplo de unión es { x | | x | ≥ 3 } = ( - ∞ , - 3 ] ∪ [ 3 , ∞ ) Notación del constructor de conjuntos y notación intervalo La notación del constructor de conjuntos es un método para especificar un conjunto de elementos que satisfacen una determinada condición. Tiene la forma { x | enunciado de x } que se lee como "el conjunto de todos los x tales que el enunciado sobre x es cierto”. Por ejemplo, { x | 4 < x ≤ 12 } La notación intervalo es una forma de describir conjuntos que incluyen todos los números reales entre un límite inferior que puede o no incluirse y un límite superior que puede o no incluirse. Los valores de los puntos finales aparecen entre corchetes o paréntesis. Un corchete indica la inclusión en el conjunto, y un paréntesis indica la exclusión del conjunto. Por ejemplo, ( 4 , 12 ] Cómo Dado un gráfico de líneas, describa el conjunto de valores utilizando la notación intervalo. Identifique los intervalos que se incluirán en el conjunto determinando dónde se superpone la línea gruesa a la línea real. En el extremo izquierdo de cada intervalo, utilice “[“ con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto sólido) o “(“ para cada valor final excluido (punto abierto). En el extremo derecho de cada intervalo, utilice “]” con cada valor final que deba incluirse en el conjunto (punto relleno) o “)” para cada valor final excluido (punto abierto). Utilice el símbolo de unión ∪ para combinar todos los intervalos en un solo conjunto. Describir conjuntos en la línea de números reales Describa los intervalos de valores mostrados en la utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Para describir los valores, x , incluidos en los intervalos indicados, diríamos que " x es un número real mayor o igual que 1 y menor o igual que 3, o un número real mayor que 5". Inecuación 1 ≤ x ≤ 3 o x > 5 Notación del constructor de conjuntos { x | 1 ≤ x ≤ 3 o x > 5 } Notación intervalo [ 1 , 3 ] ∪ ( 5 , ∞ ) Recuerde que, al escribir o leer la notación intervalo, el uso de un corchete significa que el límite está incluido en el conjunto. El uso de un paréntesis significa que el límite no está incluido en el conjunto. Ejercicio Dada la , especifique el conjunto graficado en Ⓐ palabras Ⓑ notación del constructor de conjuntos Ⓒ notación de intervalos Ⓐ valores menores o iguales a -2, o valores mayores o iguales a -1 y menores a 3; Ⓑ { x | x ≤ − 2 o − 1 ≤ x < 3 } ; Ⓒ ( - ∞ , - 2 ] ∪ [ - 1 , 3 ) Hallar el dominio y el rango de los gráficos Otra forma de identificar el dominio y el rango de las funciones es mediante el uso de gráficos. Dado que el dominio se refiere al conjunto de posibles valores de entrada, el dominio de un gráfico consiste en todos los valores de entrada mostrados en el eje x . El rango es el conjunto de posibles valores de salida, que se muestran en el eje y . Tenga en cuenta que si el gráfico continúa más allá de la porción que podemos ver, el dominio y el rango pueden ser mayores que los valores visibles. Vea la . Podemos observar que el gráfico se extiende horizontalmente desde −5 a la derecha sin límite, por lo que el dominio es [ −5 , ∞ ) . La extensión vertical del gráfico son todos los valores del rango 5 y por debajo, por lo que el rango es ( -∞ , 5 ] . Observe que el dominio y el rango se escriben siempre de menor a mayor valor, o de izquierda a derecha, para el dominio, y de la parte inferior del gráfico a la superior para el rango. Encontrar el dominio y el rango de un gráfico Halle el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la . Podemos observar que la extensión horizontal del gráfico es de -3 a 1, por lo que el dominio de f es ( - 3 , 1 ] . La extensión vertical del gráfico es de 0 a -4, por lo que el rango es [ − 4 , 0 ] . Vea la . Hallar el dominio y el rango a partir de un gráfico de la producción de petróleo Calcule el dominio y el rango de la función f cuyo gráfico se muestra en la . (créditos: modificación del trabajo de la Administración de Información Energética de EE. UU.) http://www.eia.gov/dnav/pet/hist/LeafHandler.ashx?n=PET&s=MCRFPAK2&f=A. La cantidad de entrada en el eje horizontal es "años", que representamos con la variable t para el tiempo. La cantidad de salida es "miles de barriles de petróleo al día", que representamos con la variable b para barriles. El gráfico puede continuar a la izquierda y a la derecha más allá de lo que se ve, pero basándonos en la parte que es visible, podemos determinar el dominio como 1973 ≤ t ≤ 2008 y el rango como aproximadamente 180 ≤ b ≤ 2010. En notación intervalo, el dominio es [1973, 2008], y el rango es aproximadamente [180, 2010]. Para el dominio y el rango, aproximamos los valores más pequeños y más grandes, ya que no caen exactamente en las líneas de la cuadrícula. Ejercicio Dada la , identifique el dominio y el rango utilizando la notación intervalo. dominio =[1950,2002] rango = [47.000.000,89.000.000] PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El dominio y el rango de una función pueden coincidir? Sí. Por ejemplo, el dominio y el rango de la función de raíz cúbica son el conjunto de todos los números reales. Hallar dominios y rangos de las funciones de la caja de herramientas Ahora volveremos a nuestro conjunto de funciones de la caja de herramientas para determinar el dominio y el rango de cada una. Para la función constante f ( x ) = c , el dominio consiste en todos los números reales; no hay restricciones en la entrada. El único valor de salida es la constante c , por lo que el rango es el conjunto { c } que contiene este único elemento. En notación intervalo, esto se escribe como [ c , c ] , el intervalo que comienza y termina con c . Para la función de identidad f ( x ) = x , no hay ninguna restricción en x . Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales. Para la función de valor absoluto f ( x ) = | x | , no hay ninguna restricción en x . Sin embargo, como el valor absoluto se define como una distancia de 0, la salida solo puede ser mayor o igual a 0. Para la función cuadrática f ( x ) = x 2 , el dominio son todos los números reales, ya que la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Dado que el gráfico no incluye ningún valor negativo para el rango, este es solo números reales no negativos. Para la función cúbica f ( x ) = x 3 , el dominio son todos los números reales porque la extensión horizontal del gráfico es toda la recta de números reales. Lo mismo ocurre con la extensión vertical del gráfico, por lo que el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Para la función recíproca f ( x ) = 1 x , no podemos dividir entre 0, por lo que debemos excluir el 0 del dominio. Además, 1 dividido entre cualquier valor nunca puede ser 0, por lo que el rango tampoco incluirá 0. En la notación del constructor de conjuntos, también podríamos escribir { x | x ≠ 0 } , el conjunto de todos los números reales que no son cero. Para la función recíproca al cuadrado f ( x ) = 1 x 2 , no podemos dividir entre 0 , por lo que debemos excluir 0 del dominio. Tampoco hay x que puede dar una salida de 0, por lo que también se excluye el 0 del rango. Observe que la salida de esta función es siempre positiva debido al cuadrado en el denominador, por lo que el rango solo incluye números positivos. Para la función de raíz cuadrada f ( x ) = x , no podemos sacar la raíz cuadrada de un número real negativo, por lo que el dominio debe ser 0 o mayor. El rango también excluye los números negativos porque la raíz cuadrada de un número positivo x se define como positivo, aunque el cuadrado del número negativo − x también nos da x . Para la función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 , el dominio y el rango incluyen todos los números reales. Observe que no hay problema en tomar una raíz cúbica, o cualquier raíz entera impar, de un número negativo, y la salida resultante es negativa (es una función impar). Cómo Dada la fórmula de una función, determine el dominio y el rango. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que resulte en una división entre cero. Excluya del dominio cualquier valor de entrada que tenga salidas numéricas no reales (o indefinidas). Utilice los valores de entrada válidos para determinar el rango de los valores de salida. Observe el gráfico de la función y los valores de la tabla para confirmar el comportamiento real de la función. Encontrar el dominio y el rango usando las funciones de la caja de herramientas Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x 3 - x . No hay restricciones en cuanto al dominio, ya que cualquier número real puede ser elevado al cubo y luego restado del resultado. El dominio es ( - ∞ , ∞ ) y el rango también es ( - ∞ , ∞ ) . Hallar el dominio y el rango Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x + 1 . No podemos evaluar la función en −1 porque la división entre cero es indefinida. El dominio es ( - ∞ , –1 ) ∪ ( –1 , ∞ ) . Como la función nunca es cero, excluimos el 0 del rango. El rango es ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) . Hallar el dominio y el rango Halle el dominio y el rango de f ( x ) = 2 x + 4 . No podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que el valor dentro del radical debe ser no negativo. x + 4 ≥ 0 cuando x ≥ − 4 El dominio de f ( x ) es [ − 4 , ∞ ) . A continuación, encontramos el rango. Sabemos que f ( - 4 ) = 0 , y el valor de la función aumenta a medida que x aumenta sin límite superior. Concluimos que el rango de f es [ 0 , ∞ ) . Análisis La representa la función f . Ejercicio Halle el dominio y el rango de f ( x ) = - 2 - x . dominio: ( - ∞ , 2 ] ; rango: ( - ∞ , 0 ] Graficar funciones definidas por partes A veces, nos encontramos con una función que requiere más de una fórmula para obtener la salida dada. Por ejemplo, en las funciones de la caja de herramientas, introducimos la función de valor absoluto f ( x ) = | x | . Con un dominio de todos los números reales y un rango de valores mayor o igual a 0, el valor absoluto puede definirse como la magnitud , o módulo , de un valor de un número real sin importar el signo. Es la distancia desde el 0 en la línea numérica. Todas estas definiciones requieren que la salida sea mayor o igual a 0. Si introducimos 0, o un valor positivo, la salida es la misma que la entrada. f ( x ) = x si x ≥ 0 Si introducimos un valor negativo, la salida es la opuesta a la entrada. f ( x ) = - x si x < 0 Ya que esto requiere dos procesos o piezas diferentes, la función de valor absoluto es un ejemplo de función definida por partes. Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida sobre diferentes partes del dominio. Utilizamos funciones definidas por partes para describir situaciones en las que una regla o relación cambia cuando el valor de entrada cruza ciertos "límites". Por ejemplo, a menudo nos encontramos con situaciones en las que el costo por pieza de un determinado artículo se descuenta una vez que el número de pedidos supera un determinado valor. Las categorías impositivas son otro ejemplo real de funciones definidas por partes. Por ejemplo, consideremos un sistema fiscal simple en el que los ingresos hasta 10.000 dólares se gravan al 10 %, y cualquier ingreso adicional se grava al 20 %. El impuesto sobre una renta total S sería 0,1 S si S ≤ $ 10 . 000 y $ 1.000 + 0,2 ( S − $ 10 . 000 ) si S > $ 10 . 000. Función definida por partes Una función definida por partes es una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida. Cada fórmula tiene su propio dominio, y el dominio de la función es la unión de todos estos dominios más pequeños. Anotamos esta idea así: f ( x ) = { fórmula 1 si x está en el dominio 1 fórmula 2 si x está en el dominio 2 fórmula 3 si x está en el dominio 3 En notación definida por partes, la función de valor absoluto es | x | = { x si x ≥ 0 - x si x < 0 Cómo Dada una función definida por partes, escriba la fórmula e identifique el dominio de cada intervalo. Identifique los intervalos a los que se aplican las diferentes reglas. Determine las fórmulas que describan cómo calcular una salida a partir de una entrada en cada intervalo. Utilice llaves y enunciado “si” para escribir la función. Escribir una función definida por partes El museo cobra 5 dólares por persona por una visita guiada con un grupo de 1 a 9 personas o una tarifa fija de 50 dólares por un grupo de 10 o más personas. Escriba una función que relacione el número de personas, n , al costo, C . Se necesitarán dos fórmulas diferentes. Para valores n inferiores a 10, C = 5 n . Para los valores de n que son 10 o más, C = 50. C ( n ) = { 5 n si 0 < n < 10 50 si n ≥ 10 Análisis La función se representa en la . El gráfico es una línea diagonal desde n = 0 a n = 10 y una constante después. En este ejemplo, las dos fórmulas coinciden en el punto de encuentro donde n = 10 , pero no todas las funciones definidas por partes tienen esta propiedad. Trabajar con una función definida por partes Una empresa de telefonía móvil utiliza la siguiente función para determinar el costo, C , en dólares para g gigabytes de transferencia de datos. C ( g ) = { 25 si 0 < g < 2 25 + 10 ( g − 2 ) si g ≥ 2 Halle el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos y el costo de utilizar 4 gigabytes de datos. Para hallar el costo de utilizar 1,5 gigabytes de datos, C ( 1,5 ) , buscamos primero en qué parte del dominio se encuentra nuestra entrada. Como 1,5 es menor que 2, utilizamos la primera fórmula. C ( 1,5 ) = $ 25 Para hallar el costo de utilizar 4 gigabytes de datos, C ( 4 ) , vemos que nuestra entrada de 4 es mayor que 2, así que utilizamos la segunda fórmula. C ( 4 ) = 25 + 10 ( 4 – 2 ) = $ 45 Análisis La función se representa en la . Podemos ver dónde cambia la función de una constante a una identidad desplazada y estirada en g = 2. Trazamos los gráficos de las diferentes fórmulas en un conjunto común de ejes, asegurándonos de que cada fórmula se aplica en su propio dominio. Cómo Dada una función definida por partes, dibuje un gráfico. Indique en el eje x los límites definidos por los intervalos en cada parte del dominio. Para cada parte del dominio, grafique en ese intervalo usando la ecuación correspondiente a esa parte. No grafique dos funciones en un intervalo porque violaría el criterio de una función. Graficar una función definida por partes Dibuje un gráfico de la función. f ( x ) = { x 2 si x ≤ 1 3 si 1 < x ≤ 2 x si x > 2 Cada una de las funciones de los componentes es de nuestra biblioteca de funciones de la caja de herramientas, por lo que conocemos sus formas. Podemos imaginarnos el gráfico de cada función y luego limitarlo al dominio indicado. En los puntos finales del dominio, dibujamos círculos abiertos para indicar que el punto final no está incluido debido a una desigualdad menor que o mayor que; dibujamos un círculo cerrado donde el punto final está incluido debido a una desigualdad menor que o igual que o mayor que. La muestra los tres componentes de la función definida por partes graficados en sistemas de coordenadas separados. (a) f ( x ) = x 2 si x ≤ 1 ; (b) f ( x ) = 3 si 1< x ≤ 2 ; (c) f ( x ) = x si x > 2 Ahora que hemos dibujado cada pieza individualmente, las combinamos en el mismo plano de coordenadas. Vea la . Análisis Observe que el gráfico pasa la prueba de la línea vertical incluso en x = 1 y x = 2 porque los puntos ( 1 , 3 ) y ( 2 , 2 ) no forman parte del gráfico de la función, aunque ( 1 , 1 ) y ( 2 , 3 ) sí lo son. Ejercicio Grafique la siguiente función definida por partes. f ( x ) = { x 3 si x < - 1 - 2 si − 1 < x < 4 x si x > 4 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede aplicar más de una fórmula de una función definida por partes a un valor del dominio? No. Cada valor corresponde a una ecuación de una fórmula definida por partes. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el dominio y el rango. Dominio y rango de las funciones de raíz cuadrada Determinar el dominio y el rango Hallar el dominio y el rango dado el gráfico Hallar el dominio y el rango dada una tabla Hallar el dominio y el rango dados los puntos en un plano de coordenadas Conceptos clave El dominio de una función incluye todos los valores reales de entrada que no nos harían intentar una operación matemática indefinida, como dividir entre cero o sacar la raíz cuadrada de un número negativo. El dominio de una función puede determinarse enumerando los valores de entrada de un conjunto de pares ordenados. Vea el . El dominio de una función también puede determinarse identificando los valores de entrada de una función escrita como una ecuación. Vea el , el y el . Los valores de los intervalos representados en una recta numérica pueden describirse utilizando la notación de inecuación, la notación del constructor de conjuntos y la notación intervalo. Vea el . Para muchas funciones, el dominio y el rango se pueden determinar a partir de un gráfico. Vea el y el . La comprensión de las funciones de la caja de herramientas puede utilizarse para encontrar el dominio y el rango de las funciones relacionadas. Vea el , el y el . Una función definida por partes se describe con más de una fórmula. Vea el y el . Una función definida por partes se puede graficar utilizando cada fórmula algebraica en su subdominio asignado. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué el dominio difiere para las distintas funciones? El dominio de una función depende de qué valores de la variable independiente hacen que la función sea indefinida o imaginaria. ¿Cómo se determina el dominio de una función definida por una ecuación? Explique por qué el dominio de f ( x ) = x 3 es diferente del dominio de f ( x ) = x . No hay ninguna restricción para x por f ( x ) = x 3 porque se puede tomar la raíz cúbica de cualquier número real. Así que el dominio son todos los números reales, ( - ∞ , ∞ ) . Cuando se trata del conjunto de los números reales, no se puede sacar la raíz cuadrada de los números negativos. Así que los valores de x están restringidos para f ( x ) = x a números no negativos y el dominio es [ 0 , ∞ ) . Al describir conjuntos de números utilizando la notación intervalo, ¿cuándo se utiliza un paréntesis y cuándo un corchete? ¿Cómo se grafica una función definida por partes? Grafique cada fórmula de la función definida por partes sobre su correspondiente dominio. Utilice la misma escala para el eje x y para el eje y para cada gráfico. Indique los puntos finales inclusivos con un círculo sólido y los puntos finales exclusivos con un círculo abierto. Utilice una flecha para indicar − ∞ o ∞ . Combine los gráficos para encontrar el gráfico de la función definida por partes. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función utilizando la notación intervalo. f ( x ) = - 2 x ( x – 1 ) ( x - 2 ) f ( x ) = 5 - 2 x 2 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 3 x - 2 f ( x ) = 3 - 6 - 2 x ( - ∞ , 3 ] f ( x ) = 4 - 3 x f ( x ) = x 2 + 4 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 1 - 2 x 3 f ( x ) = x – 1 3 ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = 9 x - 6 f ( x ) = 3 x + 1 4 x + 2 ( - ∞ , - 1 2 ) ∪ ( - 1 2 , ∞ ) f ( x ) = x + 4 x - 4 f ( x ) = x - 3 x 2 + 9 x − 22 ( - ∞ , − 11 ) ∪ ( − 11 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) f ( x ) = 1 x 2 - x - 6 f ( x ) = 2 x 3 − 250 x 2 - 2 x - 15 ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( - 3 , 5 ) ∪ ( 5 , ∞ ) 5 x - 3 2 x + 1 5 - x ( - ∞ , 5 ) f ( x ) = x - 4 x - 6 f ( x ) = x - 6 x - 4 [ 6 , ∞ ) f ( x ) = x x f ( x ) = x 2 - 9 x x 2 − 81 ( - ∞ , − 9 ) ∪ ( − 9 , 9 ) ∪ ( 9 , ∞ ) Halle el dominio de la función f ( x ) = 2 x 3 − 50 x al: Ⓐ utilizar el álgebra. Ⓑ graficar la función en el radicando y determinar los intervalos en el eje x para los cuales el radicando es no negativo. Gráficos En los siguientes ejercicios, escriba el dominio y el rango de cada función utilizando la notación intervalo. dominio: ( 2 , 8 ] , rango [ 6 , 8 ) dominio: [ − 4 , 4], rango: [ 0 , 2] dominio: [ − 5 , 3 ) , rango: [ 0 , 2 ] dominio: ( - ∞ , 1 ] , rango: [ 0 , ∞ ) dominio: [ − 6 , - 1 6 ] ∪ [ 1 6 , 6 ] ; rango: [ − 6 , - 1 6 ] ∪ [ 1 6 , 6 ] dominio: [ − 3 , ∞ ) ; rango: [ 0 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función definida por partes. Escriba el dominio en notación intervalo. f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { 2 x – 1 si x < 1 1 + x si x ≥ 1 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x + 1 si x < 0 x – 1 si x > 0 f ( x ) = { 3 si x < 0 x si x ≥ 0 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x 2 si x < 0 1 - x si x > 0 f ( x ) = { x 2 x + 2 si x < 0 si x ≥ 0 dominio: ( - ∞ , ∞ ) f ( x ) = { x + 1 si x < 1 x 3 si x ≥ 1 f ( x ) = { | x | 1 si x < 2 si x ≥ 2 dominio: ( - ∞ , ∞ ) Numéricos En los siguientes ejercicios, dada cada función f , evaluar f ( −3 ) , f ( −2 ) , f ( –1 ) y f ( 0 ) . f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { 1 si x ≤ − 3 0 si x > − 3 f ( - 3 ) = 1 ; f ( – 2 ) = 0 ; f ( - 1 ) = 0 ; f ( 0 ) = 0 f ( x ) = { − 2 x 2 + 3 si x ≤ - 1 5 x - 7 si x > − 1 En los siguientes ejercicios, dada cada función f , evaluar f ( –1 ) , f ( 0 ) , f ( 2 ) y f ( 4 ) . f ( x ) = { 7 x + 3 si x < 0 7 x + 6 si x ≥ 0 f ( - 1 ) = – 4 ; f ( 0 ) = 6 ; f ( 2 ) = 20 ; f ( 4 ) = 34 f ( x ) = { x 2 - 2 si x < 2 4 + | x - 5 | si x ≥ 2 f ( x ) = { 5 x si x < 0 3 si 0 ≤ x ≤ 3 x 2 si x > 3 f ( - 1 ) = - 5 ; f ( 0 ) = 3 ; f ( 2 ) = 3 ; f ( 4 ) = 16 En los siguientes ejercicios, escriba el dominio de la función definida por partes en notación intervalo. f ( x ) = { x + 1 si x < − 2 - 2 x - 3 si x ≥ − 2 f ( x ) = { x 2 - 2 si x < 1 - x 2 + 2 si x > 1 dominio: ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , ∞ ) f ( x ) = { 2 x - 3 - 3 x 2 si x < 0 si x ≥ 2 En tecnología Grafique y = 1 x 2 en la ventana de visualización [ -0,5 , -0,1 ] y [ 0,1 , 0,5 ] . Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos. ventana: [ − 0,5 , − 0,1 ] ; rango: [ 4 , 100 ] ventana: [ 0,1 , 0,5 ] ; rango: [ 4 , 100 ] Grafique y = 1 x en la ventana de visualización [ -0,5 , -0,1 ] y [ 0,1 , 0,5 ] . Determine el rango correspondiente para la ventana de visualización. Muestre los gráficos. Extensión Supongamos que el rango de una función f es [ −5 , 8 ] . ¿Cuál es el rango de | f ( x ) | ? [ 0 , 8 ] Cree una función cuyo rango sean todos los números reales no negativos. Cree una función en la que el dominio sea x > 2. Muchas respuestas. Una función es f ( x ) = 1 x - 2 . Aplicaciones en el mundo real La altura h de un proyectil es una función del tiempo t que está en el aire. La altura en pies para t segundos viene dada por la función h ( t ) = –16 t 2 + 96 t . ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Qué significa el dominio en el contexto del problema? El costo en dólares de hacer x artículos viene dada por la función C ( x ) = 10 x + 500. Ⓐ El costo fijo se determina cuando se producen cero artículos. Halle el costo fijo de este artículo. Ⓑ ¿Cuál es el costo de fabricación de 25 artículos? Ⓒ Supongamos que el costo máximo permitido es de 1.500 dólares. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función de costos, C ( x ) ? notación intervalo un método para describir un conjunto que incluye todos los números entre un límite inferior y un límite superior; los valores inferior y superior se enumeran entre paréntesis o corchetes: un corchete que indica la inclusión en el conjunto y un paréntesis indica la exclusión función definida por partes una función en la que se utiliza más de una fórmula para definir la salida notación del constructor de conjuntos un método para describir un conjunto mediante una regla que todos sus miembros obedecen; tiene la forma { x | enunciado de x }

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