Tasas de variación y comportamiento de los gráficos Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La http://www.eia.gov/totalenergy/data/annual/showtext.cfm?t=ptb0524. Consultado el 5 mar 2014. muestra el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina entre los años 2005 a 2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año. y 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 C ( y ) 2,31 2,62 2,84 3,30 2,41 2,84 3,58 3,68 Si solo nos interesara la evolución de los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón ha pasado de 2,31 a 3,68 dólares, lo que supone un aumento de 1,37 dólares. Aunque esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto ha cambiado el precio por año . En esta sección, investigaremos cambios como estos. Hallar la tasa media de cambio de una función La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada. Tasa de cambio promedio = Cambio en la salida Cambio en la entrada = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 La letra griega Δ (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos el cociente como “delta y sobre delta x " o "el cambio en y dividido entre el cambio en x . De vez en cuando escribimos Δ f en vez de Δ y , que sigue representando el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estemos cambiando la función por otra. En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó 1,37 dólares de 2005 a 2012. A lo largo de 7 años, la tasa de cambio promedio fue Δ y Δ x = $ 1,37 7 años ≈ 0,196 dólares al año En promedio, el precio de la gasolina aumentó unos 19,6 céntimos cada año. Otros ejemplos de tasas de cambio son: Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana Un automóvil que viaja a 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia en 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo) Un automóvil que recorre 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón) La corriente que atraviesa un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de aumento de voltaje La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en 4.000 dólares por trimestre Tasa de cambio Una tasa de cambio describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Las unidades de una tasa de cambio son "unidades de salida por unidades de entrada”. La tasa de cambio promedio entre dos valores de entrada es el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido entre el cambio de los valores de entrada. Δ y Δ x = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 Cómo Dado el valor de una función en diferentes puntos, calcule la tasa de cambio promedio de una función para el intervalo entre dos valores x 1 y x 2 . Calcule la diferencia y 2 - y 1 = Δ y . Calcule la diferencia x 2 - x 1 = Δ x . Halle el cociente Δ y Δ x . Calcular la tasa de cambio promedio Utilizando los datos de la , halle la tasa de cambio promedio del precio de la gasolina entre 2007 y 2009. En 2007, el precio de la gasolina era de 2,84 dólares. En 2009, el costo fue de 2,41 dólares. La tasa de cambio promedio es Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = $ 2,41 − $ 2,84 2009 − 2007 = − $ 0,43 2 años = − $ 0,22 por año Análisis Observe que una disminución se expresa con un cambio negativo o "aumento negativo”. Una tasa de cambio es negativa cuando la producción disminuye mientras que la entrada aumenta o cuando la producción aumenta mientras que la entrada disminuye. Ejercicio Utilizando los datos de la , halle la tasa de cambio promedio entre 2005 y 2010. $ 2,84 − $ 2,31 5 años = $ 0,53 5 años = $ 0,106 por año. Calcular la tasa de cambio promedio a partir de un gráfico Dada la función g ( t ) que se muestra en la , halle la tasa de cambio promedio en el intervalo [ - 1 , 2 ] . A t = - 1 , la muestra g ( –1 ) = 4. En t = 2 , el gráfico muestra g ( 2 ) = 1. El cambio horizontal Δ t = 3 se muestra con la flecha roja, y el cambio vertical Δ g ( t ) = - 3 se muestra con la flecha turquesa. La salida cambia en -3 mientras que la entrada cambia en 3, lo que da una tasa de cambio promedio de 1 - 4 2 - ( - 1 ) = - 3 3 = –1 Análisis Observe que el orden que elegimos es muy importante. Si, por ejemplo, utilizamos y 2 - y 1 x 1 - x 2 , no obtendremos la respuesta correcta. Decida qué punto será el 1 y qué punto será el 2, y mantenga las coordenadas fijas como ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) . Calcular la tasa de cambio promedio a partir de una tabla Después de recoger a una amiga que vive a 10 millas de distancia, Anna registra la distancia que le separa de su casa a lo largo del tiempo. Los valores se muestran en la . Calcule la rapidez promedio durante las primeras 6 horas. t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 D (t ) (millas) 10 55 90 153 214 240 292 300 En este caso, la rapidez media es la tasa de cambio promedio. Recorrió 282 millas en 6 horas, para una rapidez media de 292 − 10 6 - 0 = 282 6 = 47 La rapidez media es de 47 millas por hora. Análisis Como la rapidez no es constante, la rapidez media depende del intervalo elegido. Para el intervalo [2,3], la rapidez media es de 63 millas por hora. Calcular la tasa de cambio promedio de una función expresada como fórmula Calcule la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x 2 – 1 x en el intervalo [2, 4]. Podemos empezar calculando los valores de la función en cada punto final del intervalo. f ( 2 ) = 2 2 – 1 2 f ( 4 ) = 4 2 – 1 4 = 4 - 1 2 = 16 − 1 4 = 7 2 = 63 4 Ahora calculamos la tasa de cambio promedio. Tasa de cambio promedio = f ( 4 ) - f ( 2 ) 4 – 2 = 63 4 - 7 2 4 – 2 = 49 4 2 = 49 8 Ejercicio Halle la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x - 2 x en el intervalo [ 1 , 9 ] . 1 2 Hallar la tasa promedio de cambio de una fuerza La fuerza electrostática F , medida en newtons, entre dos partículas cargadas puede relacionarse con la distancia entre las partículas d , en centímetros, mediante la fórmula F ( d ) = 2 d 2 . Halle la tasa de cambio promedio de la fuerza si la distancia entre las partículas se incrementa de 2 cm a 6 cm. Estamos calculando la tasa de cambio promedio de F ( d ) = 2 d 2 en el intervalo [ 2 , 6 ] . Tasa de cambio promedio = F ( 6 ) – F ( 2 ) 6 - 2 = 2 6 2 - 2 2 2 6 - 2 Simplifique . = 2 36 − 2 4 4 = - 16 36 4 Combine los términos del numerador . = - 1 9 Simplifique La tasa de cambio promedio es − 1 9 newton por centímetro. Hallar una tasa de cambio promedio como expresión Halle la tasa media de cambio de g ( t ) = t 2 + 3 t + 1 en el intervalo [ 0 , a ] . La respuesta será una expresión que incluya a . Utilizamos la fórmula de la tasa de cambio promedio. Tasa de cambio promedio = g ( a ) - g ( 0 ) a − 0 Evalúe . = ( a 2 + 3 a + 1 ) - ( 0 2 + 3 ( 0 ) + 1 ) a − 0 Simplifique . = a 2 + 3 a + 1 - 1 a Simplifique y factorice . = a ( a + 3 ) a Dividir entre el factor común a . = a + 3 Este resultado nos indica la tasa de cambio promedio en términos de a entre t = 0 y cualquier otro punto t = a . Por ejemplo, en el intervalo [ 0 , 5 ] , la tasa de cambio promedio sería 5 + 3 = 8. Ejercicio Halle la tasa de cambio promedio de f ( x ) = x 2 + 2 x - 8 en el intervalo [ 5 , a ] . a + 7 Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función. La función f ( x ) = x 3 - 12 x es creciente en ( - ∞ , - 2 ) ∪   ( 2 , ∞ ) y decreciente en ( – 2 , 2 ) . Mientras que algunas funciones son crecientes (o decrecientes) en todo su dominio, muchas otras no lo son. Un valor de la entrada en el que una función pasa de ser creciente a decreciente (al ir de izquierda a derecha, es decir, al aumentar la variable de entrada) es la ubicación de un máximo local . El valor de la función en ese punto es el máximo local. Si una función tiene más de uno, decimos que tiene máximos locales. Del mismo modo, un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que la variable de entrada aumenta es la ubicación de un mínimo local . El valor de la función en ese punto es el mínimo local. La forma plural es "mínimos locales". En conjunto, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales , o valores extremos locales, de la función (la forma singular es “extremo”). A menudo, el término local se sustituye por el término relativo . En este texto, utilizaremos el término local . Es evidente que una función no es creciente ni decreciente en un intervalo en el que es constante. Una función tampoco es creciente ni decreciente en los extremos. Observe que tenemos que hablar de extremos locales , porque cualquier extremo local dado, tal como se define aquí, no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función. Para la función cuyo gráfico se muestra en la , el máximo local es 16, y se produce en x = -2. El mínimo local es −16 y se produce en x = 2. Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Como la cima de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en los puntos cercanos de ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La ilustra estas ideas para un máximo local. Definición de un máximo local Estas observaciones nos llevan a una definición formal de los extremos locales. Mínimos y máximos locales Una función f es una función creciente en un intervalo abierto si f ( b ) > f ( a ) para cada dos valores de entrada a y b en el intervalo donde b > a . Una función f es una función decreciente en un intervalo abierto si f ( b ) < f ( a ) para cada dos valores de entrada a y b en el intervalo donde b > a . Una función f tiene un máximo local en un punto b en un intervalo abierto ( a , c ) si f ( b ) ≥ f ( x ) para cada punto x ( x no es igual a b ) en el intervalo. f tiene un mínimo local en un punto b en ( a , c ) si f ( b ) ≤ f ( x ) para cada punto x ( x no es igual a b ) en el intervalo. Hallar intervalos crecientes y decrecientes en un gráfico Dada la función p ( t ) en la , identifique los intervalos en los que la función parece ser creciente. Vemos que la función no es constante en ningún intervalo. La función es creciente cuando se inclina hacia arriba a medida que nos movemos hacia la derecha y decreciente cuando se inclina hacia abajo a medida que nos movemos hacia la derecha. La función parece aumentar de t = 1 con t = 3 y de t = 4 en adelante. En notación intervalo , diríamos que la función parece ser creciente en el intervalo (1, 3) y el intervalo ( 4 , ∞ ) . Análisis Observe que en este ejemplo hemos utilizado intervalos abiertos (intervalos que no incluyen los puntos finales), porque la función no es ni creciente ni decreciente en t = 1 , t = 3 y t = 4 . Estos puntos son los extremos locales (dos mínimos y un máximo). Hallar los extremos locales de un gráfico Grafique la función f ( x ) = 2 x + x 3 . A continuación, utilice el gráfico para estimar los extremos locales de la función y para determinar los intervalos en los que la función es creciente. Utilizando la tecnología, encontramos que el gráfico de la función se parece al que aparece en la . Parece que hay un punto bajo, o mínimo local, entre x = 2 y x = 3 , y un punto alto reflejado, o máximo local, en algún lugar entre x = −3 y x = –2. Análisis La mayoría de las calculadoras y utilidades para graficar pueden estimar la ubicación de los máximos y los mínimos. La proporciona imágenes de pantalla de dos tecnologías diferentes que muestran la estimación del máximo y el mínimo locales. Según estas estimaciones, la función es creciente en el intervalo ( - ∞ , - 2 ,449) y ( 2,449 , ∞ ) . Observe que, aunque se espera que los extremos sean simétricos, las dos tecnologías diferentes solo coinciden hasta cuatro decimales debido a los diferentes algoritmos de aproximación utilizados por cada una (la ubicación exacta de los extremos se encuentra en ± 6 , pero para determinarlo hay que hacer cálculos). Ejercicio Grafique la función f ( x ) = x 3 - 6 x 2 − 15 x + 20 para estimar los extremos locales de la función. Utilícelos para determinar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. Parece que el máximo local se produce en ( - 1 , 28 ) , y el mínimo local se produce en ( 5 , − 80 ) . La función es creciente en ( - ∞ , - 1 ) ∪ ( 5 , ∞ ) y decreciente en ( - 1 , 5 ) . Encontrar los máximos y mínimos locales de un gráfico Para la función f cuyo gráfico se muestra en la , halle todos los máximos y mínimos locales. Observe el gráfico de f . El gráfico alcanza un máximo local en x = 1 porque es el punto más alto en un intervalo abierto alrededor de x = 1. El máximo local es la coordenada y en x = 1 , que es 2. El gráfico alcanza un mínimo local en x = −1 porque es el punto más bajo de un intervalo abierto alrededor de x = −1. El mínimo local es la coordenada y en x = −1 , que es -2. Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la , la y la . Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas y (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto , respectivamente. Para localizar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos en el dominio de la función. Vea la . No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función de la caja de herramientas f ( x ) = x 3 es una de esas funciones. Máximos y mínimos absolutos El máximo absoluto de f en x = c es f ( c ) donde f ( c ) ≥ f ( x ) para todo x en el dominio de f . El mínimo absoluto de f en x = d es f ( d ) donde f ( d ) ≤ f ( x ) para todo x en el dominio de f . Encontrar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico Para la función f que se muestra en la , halle todos los máximos y mínimos absolutos. Observe el gráfico de f . El gráfico alcanza un máximo absoluto en dos lugares, x = −2 y x = 2 , porque en estos lugares, el gráfico alcanza su punto más alto en el dominio de la función. El máximo absoluto es la coordenada y en x = −2 y x = 2 , que es 16. El gráfico alcanza un mínimo absoluto en x = 3 , porque es el punto más bajo del dominio del gráfico de la función. El mínimo absoluto es la coordenada y en x = 3 , que es −10. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las tasas de cambio. Tasa de cambio promedio Ecuaciones clave Tasa promedio de cambio Δ y Δ x = f ( x 2 ) - f ( x 1 ) x 2 - x 1 Conceptos clave La tasa de cambio relaciona el cambio de una cantidad de salida con el de una cantidad de entrada. La tasa de cambio promedio se determina utilizando solo los datos iniciales y finales. Vea el . La identificación de los puntos que marcan el intervalo en un gráfico puede utilizarse para hallar la tasa de cambio promedio. Vea el . La comparación de pares de valores de entrada y salida en una tabla también puede utilizarse para encontrar la tasa de cambio promedio. Vea el . Una tasa de cambio promedio también se puede calcular determinando los valores de la función en los puntos finales de un intervalo descrito por una fórmula. Vea el y el . A veces, la tasa de cambio promedio puede determinarse como una expresión. Vea el . Una función es creciente cuando su tasa de cambio es positiva y decreciente cuando su tasa de cambio es negativa. Vea el . Un máximo local es cuando una función pasa de ser creciente a decreciente y tiene un valor de salida mayor (más positivo o menos negativo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos. Un mínimo local es cuando la función pasa de ser decreciente a creciente (a medida que aumenta la entrada) y tiene un valor de salida menor (más negativo o menos positivo) que los valores de salida en los valores de entrada vecinos. Los mínimos y los máximos también se llaman extremos. Podemos encontrar los extremos locales de un gráfico. Vea el y el . Los puntos más altos y más bajos de un gráfico indican los máximos y los mínimos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿La tasa de cambio promedio de una función puede ser constante? Sí, la tasa de cambio promedio de todas las funciones lineales es constante. Si una función f es creciente en ( a , b ) y decreciente en ( b , c ) , entonces qué se puede decir del extremo local de f sobre ( a , c ) ? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian el máximo y el mínimo absolutos de los extremos locales? El máximo y el mínimo absolutos se refieren a todo el gráfico, mientras que los extremos locales se refieren solo a una región específica alrededor de un intervalo abierto. ¿Cómo se compara el gráfico de la función de valor absoluto con el gráfico de la función cuadrática y = x 2 , en términos de intervalos crecientes y decrecientes? Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado para los números reales b o h . f ( x ) = 4 x 2 - 7 en [ 1 , b ] 4 ( b + 1 ) g ( x ) = 2 x 2 - 9 en [ 4 , b ] p ( x ) = 3 x + 4 en [ 2 , 2 + h ] 3 k ( x ) = 4 x - 2 en [ 3 , 3 + h ] f ( x ) = 2 x 2 + 1 en [ x , x + h ] 4 x + 2 h g ( x ) = 3 x 2 - 2 en [ x , x + h ] a ( t ) = 1 t + 4 en [ 9 , 9 + h ] - 1 13 ( 13 + h ) b ( x ) = 1 x + 3 en [ 1 , 1 + h ] j ( x ) = 3 x 3 en [ 1 , 1 + h ] 3 h 2 + 9 h + 9 r ( t ) = 4 t 3 en [ 2 , 2 + h ] f ( x ) = 2 x 2 - 3 x en [ x , x + h ] 4 x + 2 h − 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de f que se muestra en la . Estime la tasa de cambio promedio de x = 1 a x = 4. Estime la tasa promedio de cambio de x = 2 hasta x = 5. 4 3 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de cada función para estimar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. creciente en ( - ∞ , − 2,5 ) ∪ ( 1 , ∞ ) , decreciente en ( − 2,5 , 1 ) creciente en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 3 , 4 ) , decreciente en ( 1 , 3 ) ∪ ( 4 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico mostrado en la . Estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Estime el punto o puntos en los que el gráfico de f tiene un máximo o un mínimo local. máximo local: ( - 3 , 50 ) , mínimo local: ( 3 , − 50 ) En los siguientes ejercicios, considere el gráfico en la . Si se muestra el gráfico completo de la función, estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente. Si se muestra el gráfico completo de la función, estime el máximo absoluto y el mínimo absoluto. máximo absoluto a aproximadamente ( 7 , 150 ) , mínimo absoluto a aproximadamente ( -7,5 , -220 ) Numéricos La da las ventas anuales (en millones de dólares) de un producto desde 1998 hasta 2006. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de las ventas anuales (a) entre 2001 y 2002, y (b) entre 2001 y 2004? Año Ventas (millones de dólares) 1998 201 1999 219 2000 233 2001 243 2002 249 2003 251 2004 249 2005 243 2006 233 La da la población de una ciudad (en miles) de 2000 a 2008. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de la población (a) entre 2002 y 2004, y (b) entre 2002 y 2006? Año Población (miles) 2000 87 2001 84 2002 83 2003 80 2004 77 2005 76 2006 78 2007 81 2008 85 a. –3000; b. –1250 En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado. f ( x ) = x 2 en [ 1 , 5 ] h ( x ) = 5 - 2 x 2 en [ −2 , 4 ] -4 q ( x ) = x 3 en [ -4 , 2 ] g ( x ) = 3 x 3 - 1 en [ −3 , 3 ] 27 y = 1 x en [ 1 , 3 ] p ( t ) = ( t 2 - 4 ) ( t + 1 ) t 2 + 3 en [ −3 , 1 ] -0,167 k ( t ) = 6 t 2 + 4 t 3 en [ −1 , 3 ] En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para estimar los extremos locales de cada función y para estimar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. f ( x ) = x 4 - 4 x 3 + 5 Mínimo local en ( 3 , − 22 ) , decreciente en ( - ∞ , 3 ) , creciente en ( 3 , ∞ ) h ( x ) = x 5 + 5 x 4 + 10 x 3 + 10 x 2 – 1 g ( t ) = t t + 3 Mínimo local en ( – 2 , - 2 ) , decreciente en ( - 3 , - 2 ) , creciente en ( – 2 , ∞ ) k ( t ) = 3 t 2 3 - t m ( x ) = x 4 + 2 x 3 - 12 x 2 - 10 x + 4 Máximo local en ( − 0,39 , 5,98 ) , mínimos locales en ( − 3,15 , − 47,62 ) y ( 2,04 , 32,04 ) , decreciente en ( - ∞ , − 3,15 ) ∪ ( − 0,39 , 2,04 ) , creciente en ( − 3,15 , − 0,39 ) ∪ ( 2,04 , ∞ ) n ( x ) = x 4 − 8 x 3 + 18 x 2 - 6 x + 2 Extensión El gráfico de la función f se muestra en la . Según la captura de pantalla de la calculadora, el punto ( 1,333 , 5,185 ) es ¿cuál de los siguientes? Ⓐ un máximo relativo (local) de la función Ⓑ el vértice de la función Ⓒ el máximo absoluto de la función Ⓓ un cero de la función A Supongamos que f ( x ) = 1 x . Halle un número c tal que la tasa de cambio promedio de la función f en el intervalo ( 1 , c ) es - 1 4 . Supongamos que f ( x ) = 1 x . Halle el número b tal que la tasa de cambio promedio de f en el intervalo ( 2 , b ) es - 1 10 . b = 5 Aplicaciones en el mundo real Al inicio de un viaje, el odómetro de un automóvil marcaba 21.395. Al final del viaje, 13,5 horas después, el odómetro marcaba 22.125. Supongamos que la escala del odómetro está en millas. ¿Cuál es la rapidez media a la que viajó el automóvil durante este viaje? Un conductor de un automóvil se detuvo en una gasolinera para llenar el tanque de gasolina. Miró su reloj y la hora marcaba exactamente las 3:40 p. m. En ese momento, empezó a echar gasolina al tanque. A las 3:44 exactamente, el tanque estaba lleno y se dio cuenta de que bombeó 10,7 galones. ¿Cuál es la tasa promedio de flujo de la gasolina en el tanque? 2,7 galones por minuto Cerca de la superficie de la luna, la distancia a la que cae un objeto es una función del tiempo. Viene dado por d ( t ) = 2,6667 t 2 , donde t está en segundos y d ( t ) está en pies. Si se deja caer un objeto desde cierta altura, halle la rapidez media del objeto desde t = 1 con t = 2. El gráfico de la ilustra la desintegración de una sustancia radiactiva a lo largo de t días. Utilice el gráfico para estimar la tasa de cambio promedio de desintegración de t = 5 al t = 15. aproximadamente -0,6 miligramos por día máximo absoluto el mayor valor de una función en un intervalo mínimo absoluto el valor más bajo de una función en un intervalo tasa de cambio promedio la diferencia de los valores de salida de una función encontrada para dos valores de la entrada dividida entre la diferencia entre las entradas función decreciente una función es decreciente en algún intervalo abierto si f ( b ) < f ( a ) para dos valores de entrada cualesquiera a y b en el intervalo dado donde b > a función creciente una función es creciente en algún intervalo abierto si f ( b ) > f ( a ) para dos valores de entrada cualesquiera a y b en el intervalo dado donde b > a extremos locales colectivamente, todos los máximos y mínimos locales de una función máximo local un valor de la entrada en el que una función cambia de creciente a decreciente a medida que aumenta el valor de la entrada. mínimo local un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que aumenta el valor de la entrada. tasa de cambio el cambio de una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada

Matemáticas


Composición de las funciones Supongamos que queremos calcular cuánto cuesta calentar una casa en un día particular del año. El costo de calentar una casa dependerá de la temperatura promedio diaria y, a su vez, la temperatura promedio diaria depende del día particular del año. Observe que acabamos de definir dos relaciones: el costo depende de la temperatura, y la temperatura depende del día. Utilizando variables descriptivas, podemos anotar estas dos funciones. La función C ( T ) da el costo C de calentar una casa para una determinada temperatura promedio diaria en T grados Celsius. La función T ( d ) da la temperatura promedio diaria en el día d del año. Para un día cualquiera, Costo = C ( T ( d ) ) significa que el costo depende de la temperatura, que a su vez depende del día del año. Así, podemos evaluar la función de costos a la temperatura T ( d ) . Por ejemplo, podríamos evaluar T ( 5 ) para determinar la temperatura media diaria del 5.º día del año. Entonces, podríamos evaluar la función de costos a esa temperatura. Escribiríamos C ( T ( 5 ) ) . Al combinar estas dos relaciones en una sola función, hemos realizado la composición de las funciones, que es el objetivo de esta sección. Combinar funciones mediante operaciones algebraicas La composición de las funciones es solo una forma de combinar funciones existentes. Otra forma es realizar las operaciones algebraicas habituales sobre las funciones, como la suma, la resta, la multiplicación y la división. Para ello, realizamos las operaciones con las salidas de las funciones, definiendo el resultado como la salida de nuestra nueva función. Supongamos que tenemos que sumar dos columnas de números que representan los ingresos anuales por separado de una pareja durante un periodo de años, y el resultado es el total de los ingresos de la familia. Queremos hacer esto para cada año, añadiendo solo los ingresos de ese año y recogiendo luego todos los datos en una nueva columna. Si los valores de w ( y ) es el ingreso de la esposa y h ( y ) es el ingreso del esposo en el año y , y queremos que T represente los ingresos totales, entonces podemos definir una nueva función. T ( y ) = h ( y ) + w ( y ) Si esto es cierto para todos los años, entonces podemos centrarnos en la relación entre las funciones sin referencia a un año y escribir T = h + w Al igual que para esta suma de dos funciones, podemos definir funciones de diferencia, producto y cociente para cualquier par de funciones que tengan el mismo tipo de entradas (no necesariamente números) y también el mismo tipo de salidas (que sí tienen que ser números para que se les puedan aplicar las operaciones habituales del álgebra, y que además deben tener las mismas unidades o ninguna cuando sumamos y restamos). De este modo, podemos pensar en funciones de suma, resta, multiplicación y división. Para dos funciones f ( x ) y g ( x ) con salidas de números reales, definimos nuevas funciones f + g , f − g , f g , y f g por las relaciones ( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( f − g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) Realizar operaciones algebraicas con funciones Halle y simplifique las funciones ( g − f ) ( x ) y ( g f ) ( x ) , dado f ( x ) = x – 1 y g ( x ) = x 2 − 1. ¿Son estas la misma función? Comience escribiendo la forma general y luego sustituya las funciones dadas. ( g − f ) ( x ) = g ( x ) - f ( x ) ( g − f ) ( x ) = x 2 – 1 - ( x – 1 ) ( g − f ) ( x ) = x 2 - x ( g − f ) ( x ) = x ( x – 1 ) ( g f ) ( x ) = g ( x ) f ( x ) ( g f ) ( x ) = x 2 – 1 x – 1 ( g f ) ( x ) = ( x + 1 ) ( x – 1 ) x – 1 donde x ≠ 1 ( g f ) ( x ) = x + 1 No, las funciones no son las mismas. Nota: Para ( g f ) ( x ) , la condición x ≠ 1 es necesaria porque cuando x = 1 , el denominador es igual a 0, lo que hace que la función sea indefinida. Ejercicio Halle y simplifique las funciones ( f g ) ( x ) y ( f − g ) ( x ) . f ( x ) = x – 1 y g ( x ) = x 2 – 1 ¿Son estas la misma función? ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x – 1 ) ( x 2 – 1 ) = x 3 - x 2 - x + 1 ( f − g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) = ( x – 1 ) - ( x 2 – 1 ) = x – x 2 No, las funciones no son las mismas. Crear una función por composición de las funciones Realizar operaciones algebraicas sobre las funciones las combina en una nueva función, pero también podemos crear funciones componiéndolas. Cuando queremos calcular el costo de la calefacción a partir de un día del año, creamos una nueva función que toma un día como entrada y da un costo como salida. El proceso de la combinación de funciones para que la salida de una función se convierta en la entrada de otra se conoce como composición de las funciones . El resultado se conoce como función compuesta . Representamos esta combinación mediante la siguiente notación: ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) Leemos el lado izquierdo como “ f compuesto con g a las x ” , y el lado derecho como “ f de g de x ” . Los dos lados de la ecuación tienen el mismo significado matemático y son iguales. El símbolo del círculo abierto ∘ se denomina operador de composición. Utilizamos este operador principalmente cuando queremos destacar la relación entre las propias funciones sin referirnos a ningún valor de entrada en particular. La composición es una operación binaria que toma dos funciones y forma una nueva función, al igual que la suma o la multiplicación toma dos números y da un nuevo número. Sin embargo, es importante no confundir la composición de las funciones con la multiplicación porque, como hemos aprendido anteriormente, en la mayoría de los casos f ( g ( x ) ) ≠ f ( x ) g ( x ) . También es importante entender el orden de las operaciones al evaluar una función compuesta. Seguimos la convención habitual con los paréntesis, comenzando por los más internos y luego trabajando hacia el exterior. En la ecuación anterior, la función g toma la entrada x primero y da una salida g ( x ) . Entonces la función f toma g ( x ) como entrada y produce una salida f ( g ( x ) ) . En general, f ∘ g y g ∘ f son funciones diferentes. En otras palabras, en muchos casos f ( g ( x ) ) ≠ g ( f ( x ) ) para todo x . También veremos que a veces dos funciones solo pueden componerse en un orden concreto. Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x + 2 , entonces f ( g ( x ) ) = f ( x + 2 ) = ( x + 2 ) 2 = x 2 + 4 x + 4 pero g ( f ( x ) ) = g ( x 2 ) = x 2 + 2 Estas expresiones no son iguales para todos los valores de x , por lo que las dos funciones no son iguales. Es irrelevante que las expresiones sean iguales para el único valor de entrada x = - 1 2 . Observe que el rango de la función interior (la primera función a evaluar) tiene que estar dentro del dominio de la función exterior. De manera menos formal, la composición tiene que tener sentido en términos de entradas y salidas. Composición de las funciones Cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra, llamamos a la operación completa composición de las funciones. Para cualquier entrada x y funciones f y g , esta acción define una función compuesta , que escribimos como f ∘ g tal que ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) El dominio de la función compuesta f ∘ g es toda x tal que x está en el dominio de g y g ( x ) está en el dominio de f . Es importante observar que el producto de las funciones f g no es lo mismo que la composición de la función f ( g ( x ) ) , porque, en general, f ( x ) g ( x ) ≠ f ( g ( x ) ) . Determinar si la composición de las funciones es conmutativa Utilizando las funciones proporcionadas, halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Determine si la composición de las funciones es conmutativa . f ( x ) = 2 x + 1 g ( x ) = 3 - x Empecemos por sustituir g ( x ) en f ( x ) . f ( g ( x ) ) = 2 ( 3 - x ) + 1 = 6 - 2 x + 1 = 7 - 2 x Ahora podemos sustituir f ( x ) en g ( x ) . g ( f ( x ) ) = 3 - ( 2 x + 1 ) = 3 - 2 x – 1 = - 2 x + 2 Tenemos que g ( f ( x ) ) ≠ f ( g ( x ) ) , por lo que la operación de composición de las funciones no es conmutativa. Interpretar las funciones compuestas La función c ( s ) da el número de calorías quemadas completando s abdominales, y s ( t ) da el número de abdominales que una persona puede completar en t minutos. Interprete c ( s ( 3 ) ) . La expresión interior de la composición es s ( 3 ) . Ya que la entrada de la función s es el tiempo, t = 3 representa 3 minutos, y s ( 3 ) es el número de sentadillas completadas en 3 minutos. Utilizando s ( 3 ) como entrada a la función c ( s ) nos da el número de calorías quemadas durante el número de sentadillas que se pueden completar en 3 minutos, o simplemente el número de calorías quemadas en 3 minutos (haciendo sentadillas). Investigar el orden de composición de las funciones Supongamos que f ( x ) da las millas que se pueden conducir en x horas y g ( y ) da los galones de gasolina utilizados al conducir y millas. ¿Cuál de estas expresiones tiene sentido f ( g ( y ) ) o g ( f ( x ) ) ? La función y = f ( x ) es una función cuya salida es el número de millas recorridas correspondientes al número de horas recorridas. número de millas = f ( número de horas ) La función g ( y ) es una función cuya salida es el número de galones utilizados correspondientes al número de millas recorridas. Esto significa: número de galones = g ( número de millas ) La expresión g ( y ) toma las millas como entrada y un número de galones como salida. La función f ( x ) requiere un número de horas como entrada. Intentar introducir un número de galones no tiene sentido. La expresión f ( g ( y ) ) no tiene sentido. La expresión f ( x ) toma las horas como entrada y un número de millas recorridas como salida. La función g ( y ) requiere un número de millas como entrada. Utilizando f ( x ) (millas recorridas) como valor de entrada para g ( y ) , en el que los galones de gasolina dependen de las millas recorridas, sí tiene sentido. La expresión g ( f ( x ) ) tiene sentido, y dará el número de galones de gasolina utilizados, g , al conducir un determinado número de millas, f ( x ) , en x horas. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existen situaciones en las que f ( g ( y ) ) y g ( f ( x ) ) serían ambas expresiones significativas o útiles? Sí. Para muchas funciones matemáticas puras, ambas composiciones tienen sentido, aunque suelen producir nuevas funciones diferentes. En los problemas del mundo real, las funciones cuyas entradas y salidas tienen las mismas unidades también pueden dar composiciones que tienen sentido en cualquier orden. Ejercicio La fuerza gravitacional sobre un planeta a una distancia r del sol viene dada por la función G ( r ) . La aceleración de un planeta sometido a una fuerza cualquiera F viene dada por la función a ( F ) . Forme una composición significativa de estas dos funciones y explique su significado. Una fuerza gravitacional sigue siendo una fuerza, así que a ( G ( r ) ) tiene sentido como la aceleración de un planeta a una distancia r del Sol (debido a la gravedad), pero G ( a ( F ) ) no tiene sentido. Evaluar funciones compuestas Una vez que componemos una nueva función a partir de dos funciones existentes, tenemos que ser capaces de evaluarla para cualquier entrada en su dominio. Lo haremos con entradas numéricas específicas para funciones expresadas como tablas, gráficos y fórmulas, y con variables como entradas de funciones expresadas como fórmulas. En cada caso, evaluamos la función interna utilizando la entrada inicial y luego utilizamos la salida de la función interna como entrada para la función externa. Evaluar funciones compuestas mediante tablas Cuando se trabaja con funciones dadas como tablas, se leen los valores de entrada y salida de las entradas de la tabla y se trabaja siempre de adentro hacia fuera. Primero evaluamos la función interior y luego utilizamos la salida de la función interior como entrada de la función exterior. Usar una tabla para evaluar una función compuesta Usando la , evalúe f ( g ( 3 ) ) y g ( f ( 3 ) ) . x f ( x ) g ( x ) 1 6 3 2 8 5 3 3 2 4 1 7 Para evaluar f ( g ( 3 ) ), comenzamos desde el interior con el valor de entrada 3. A continuación, evaluamos la expresión interior g ( 3 ) utilizando la tabla que define la función g : g ( 3 ) = 2. Podemos entonces utilizar ese resultado como entrada a la función f , por lo que g ( 3 ) se sustituye por 2 y obtenemos f ( 2 ) . Entonces, utilizando la tabla que define la función f , tenemos que f ( 2 ) = 8. g ( 3 ) = 2 f ( g ( 3 ) ) = f ( 2 ) = 8 Para evaluar g ( f ( 3 ) ), primero evaluamos la expresión interior f ( 3 ) utilizando la primera tabla: f ( 3 ) = 3. Entonces, utilizando la tabla para g , podemos evaluar g ( f ( 3 ) ) = g ( 3 ) = 2 La muestra las funciones compuestas f ∘ g y g ∘ f como tablas. x g ( x ) f ( g ( x ) ) f ( x ) g ( f ( x ) ) 3 2 8 3 2 Ejercicio Si utilizamos la , evalúe f ( g ( 1 ) ) y g ( f ( 4 ) ) . f ( g ( 1 ) ) = f ( 3 ) = 3 y g ( f ( 4 ) ) = g ( 1 ) = 3 Evaluar funciones compuestas mediante gráficos Cuando se nos dan funciones individuales como gráficos, el procedimiento para evaluar las funciones compuestas es similar al proceso que utilizamos para evaluar las tablas. Leemos los valores de entrada y salida, pero esta vez, desde los ejes x y y de los gráficos. Cómo Dada una función compuesta y los gráficos de sus funciones individuales, evalúela utilizando la información proporcionada por los gráficos. Localice la entrada dada a la función interna en el eje x de su gráfico. Lea la salida de la función interna del eje y de su gráfico. Ubique la salida de la función interna en el eje x del gráfico de la función exterior. Lea la salida de la función externa del eje y de su gráfico. Esta es la salida de la función compuesta. Usar un gráfico para evaluar una función compuesta Usando la , evalúe f ( g ( 1 ) ) . Para evaluar f ( g ( 1 ) ) , comenzamos con la evaluación interna. Vea la . Evaluamos g ( 1 ) utilizando el gráfico de g ( x ) , hallando la entrada de 1 en el eje x y hallando el valor de salida del gráfico en esa entrada. Aquí, g ( 1 ) = 3. Utilizamos este valor como entrada a la función f . f ( g ( 1 ) ) = f ( 3 ) Podemos entonces evaluar la función compuesta mirando el gráfico de f ( x ) , hallando la entrada de 3 en el eje x y leyendo el valor de salida del gráfico en esta entrada. Aquí, f ( 3 ) = 6 , por lo que f ( g ( 1 ) ) = 6. Análisis La muestra cómo podemos marcar los gráficos con flechas para trazar el camino desde el valor de entrada hasta el de salida. Ejercicio Si utilizamos la , evalúe g ( f ( 2 ) ) . g ( f ( 2 ) ) = g ( 5 ) = 3 Evaluar funciones compuestas mediante fórmulas Cuando se evalúa una función compuesta en la que hemos creado o nos han dado fórmulas, la regla de trabajar de adentro hacia afuera sigue siendo la misma. El valor de entrada a la función externa será la salida de la función interna, que puede ser un valor numérico, un nombre de variable o una expresión más complicada. Aunque podemos componer las funciones para cada valor de entrada individual, a veces es útil encontrar una única fórmula que calcule el resultado de una composición f ( g ( x ) ) . Para ello, ampliaremos nuestra idea de evaluación de funciones. Recordemos que, cuando evaluamos una función como f ( t ) = t 2 - t , sustituimos el valor dentro de los paréntesis en la fórmula siempre que veamos la variable de entrada. Cómo Dada la fórmula de una función compuesta, evalúe la función. Evalúe la función interior utilizando el valor de entrada o la variable proporcionada. Utilice la salida resultante como entrada a la función exterior. Evaluar una composición de las funciones expresadas como fórmulas con una entrada numérica Dado que f ( t ) = t 2 - t y h ( x ) = 3 x + 2 , evaluar f ( h ( 1 ) ) . Como la expresión interior es h ( 1 ) , comenzamos evaluando h ( x ) en 1. h ( 1 ) = 3 ( 1 ) + 2 h ( 1 ) = 5 Entonces f ( h ( 1 ) ) = f ( 5 ) , por lo que evaluamos f ( t ) a una entrada de 5. f ( h ( 1 ) ) = f ( 5 ) f ( h ( 1 ) ) = 5 2 - 5 f ( h ( 1 ) ) = 20 Análisis No importa cuáles sean las variables de entrada, se llama a t y x en este problema porque evaluamos para valores numéricos específicos. Ejercicio Dados f ( t ) = t 2 - t y h ( x ) = 3 x + 2 , evalúe Ⓐ h ( f ( 2 ) ) Ⓑ h ( f ( – 2 ) ) Ⓐ 8 Ⓑ 20 Halle el dominio de una función compuesta Como hemos comentado anteriormente, el dominio de una función compuesta como f ∘ g depende del dominio de g y el dominio de f . Es importante saber cuándo podemos aplicar una función compuesta y cuándo no; es decir, conocer el dominio de una función como f ∘ g . Supongamos que conocemos los dominios de las funciones f y g por separado. Si escribimos la función compuesta para una entrada x cuando f ( g ( x ) ) , podemos ver de inmediato que x debe ser miembro del dominio de g para que la expresión tenga sentido, porque de lo contrario no podemos completar la evaluación de la función interna. Sin embargo, también vemos que g ( x ) debe ser miembro del dominio de f , de lo contrario la segunda evaluación de la función en f ( g ( x ) ) no se puede completar, y la expresión sigue siendo indefinida. Así, el dominio de f ∘ g se compone únicamente de las entradas en el dominio de g que producen resultados de g pertenecientes al dominio de f . Observe que el dominio de f compuesto con g es el conjunto de todas las x tal que x está en el dominio de g y g ( x ) está en el dominio de f . Dominio de una función compuesta El dominio de una función compuesta f ( g ( x ) ) es el conjunto de esas entradas x en el dominio de g para la cual g ( x ) está en el dominio de f . Cómo Dada una composición de funciones f ( g ( x ) ) , determine su dominio. Halle el dominio de g . Halle el dominio de f . Halle esas entradas x en el dominio de g para la cual g ( x ) está en el dominio de f . Es decir, excluya aquellas entradas x del dominio de g para la cual g ( x ) no es del dominio de f . El conjunto resultante es el dominio de f ∘ g . Hallar el dominio de una función compuesta Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = 5 x – 1 y g ( x ) = 4 3 x - 2 El dominio de g ( x ) consiste en todos los números reales excepto x = 2 3 , ya que ese valor de entrada nos haría dividir entre 0. Asimismo, el dominio de f consiste en todos los números reales excepto el 1. Así que tenemos que excluir del dominio de g ( x ) ese valor de x para los cuales g ( x ) = 1. 4 3 x - 2 = 1 4 = 3 x - 2 6 = 3 x x = 2 Así que el dominio de f ∘ g es el conjunto de todos los números reales excepto 2 3 y 2. Esto significa que x ≠ 2 3 o x ≠ 2 Podemos escribirlo en notación de intervalo como ( - ∞ , 2 3 ) ∪ ( 2 3 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) Hallar el dominio de una función compuesta con radicales Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = x + 2 y g ( x ) = 3 - x Como no podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, el dominio de g es ( - ∞ , 3 ] . Ahora comprobamos el dominio de la función compuesta ( f ∘ g ) ( x ) = 3 - x + 2 Para ( f ∘ g ) ( x ) = 3 - x + 2 , 3 - x + 2 ≥ 0 , ya que el radicando de una raíz cuadrada debe ser positivo. Como las raíces cuadradas son positivas, 3 - x ≥ 0 , o, 3 - x ≥ 0 , lo que da un dominio de ( -∞ , 3 ] . Análisis Este ejemplo muestra que el conocimiento del rango de las funciones (específicamente la función interna) también puede ser útil para encontrar el dominio de una función compuesta. También muestra que el dominio de f ∘ g puede contener valores que no están en el dominio de f , aunque deben estar en el dominio de g . Ejercicio Halle el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) donde f ( x ) = 1 x - 2 y g ( x ) = x + 4 [ − 4 , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Descomponer una función compuesta en sus funciones componentes En algunos casos, es necesario descomponer una función complicada. En otras palabras, la escribimos como una composición de dos funciones más simples. Puede haber más de una forma de descomponer una función compuesta , por lo que podemos elegir la descomposición que nos parezca más conveniente. Descomposición de una función Escriba f ( x ) = 5 - x 2 como la composición de dos funciones. Buscamos dos funciones, g y h , por lo que f ( x ) = g ( h ( x ) ) . Para ello, buscamos una función dentro de otra en la fórmula de f ( x ) . Como una posibilidad, podemos notar que la expresión 5 - x 2 es el interior de la raíz cuadrada. Podríamos entonces descomponer la función como h ( x ) = 5 - x 2 y g ( x ) = x Podemos comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones. g ( h ( x ) ) = g ( 5 - x 2 ) = 5 - x 2 Ejercicio Escriba f ( x ) = 4 3 - 4 + x 2 como la composición de dos funciones. Posible respuesta g ( x ) = 4 + x 2 h ( x ) = 4 3 - x f = h ∘ g Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones compuestas. Funciones compuestas Aplicación de la notación de funciones compuestas Funciones compuestas mediante gráficos Descomposición de funciones Valores de la función compuesta Ecuación clave Función compuesta ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) Conceptos clave Podemos realizar operaciones algebraicas con funciones. Vea el . Cuando las funciones se combinan, la salida de la primera función (interna) se convierte en la entrada de la segunda función (externa). La función producida al combinar dos funciones es una función compuesta. Vea el y el . Al interpretar el significado de las funciones compuestas hay que tener en cuenta el orden de composición de las mismas. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta evaluando la función interna utilizando el valor de entrada dado y luego evaluando la función externa tomando como entrada la salida de la función interna. Se puede evaluar una función compuesta a partir de una tabla. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta a partir de un gráfico. Vea el . Se puede evaluar una función compuesta a partir de una fórmula. Vea el . El dominio de una función compuesta consiste en aquellas entradas en el dominio de la función interna que corresponden a salidas de la función interna que están en el dominio de la función externa. Vea el y el . Al igual que las funciones pueden combinarse para formar una función compuesta, las funciones compuestas pueden descomponerse en funciones más simples. A menudo, las funciones pueden descomponerse de más de una manera. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se calcula el dominio del cociente de dos funciones, f g ? Halle los números que hacen la función en el denominador g igual a cero, y compruebe cualquier otra restricción de dominio en f y g , como una raíz par o ceros en el denominador. ¿Cuál es la composición de dos funciones, f ∘ g ? Si se invierte el orden al componer dos funciones, ¿el resultado puede ser siempre el mismo que la respuesta en el orden original de la composición? En caso afirmativo, dé un ejemplo. Si no, explique por qué no. Sí. Ejemplo de respuesta: Supongamos que f ( x ) = x + 1 y g ( x ) = x - 1. Entonces f ( g ( x ) ) = f ( x – 1 ) = ( x – 1 ) + 1 = x y g ( f ( x ) ) = g ( x + 1 ) = ( x + 1 ) - 1 = x . Así que f ∘ g = g ∘ f . ¿Cómo se calcula el dominio para la composición de dos funciones, f ∘ g ? Algebraicos Dados f ( x ) = x 2 + 2 x y g ( x ) = 6 - x 2 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 2 x + 6 , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 2 x 2 + 2 x - 6 , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f g ) ( x ) = - x 4 – 2 x 3 + 6 x 2 + 12 x , dominio: ( - ∞ , ∞ ) ( f g ) ( x ) = x 2 + 2 x 6 - x 2 , dominio: ( - ∞ , − 6 ) ∪ ( − 6 , 6 ) ∪ ( 6 , ∞ ) Dado que f ( x ) = - 3 x 2 + x y g ( x ) = 5 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 + 4 x y g ( x ) = 1 2 x , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 + 1 2 x , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 – 1 2 x , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = x + 2 , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 4 x 3 + 8 x 2 , dominio: ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , ∞ ) Dado que f ( x ) = 1 x - 4 y g ( x ) = 1 6 - x , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 3 x 2 y g ( x ) = x - 5 , calcule f + g , f − g , f g , y f g . Determine el dominio de cada función en notación intervalo. ( f + g ) ( x ) = 3 x 2 + x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f − g ) ( x ) = 3 x 2 - x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 3 x 2 x - 5 , dominio: [ 5 , ∞ ) ( f g ) ( x ) = 3 x 2 x - 5 , dominio: ( 5 , ∞ ) Dado que f ( x ) = x y g ( x ) = | x - 3 | , calcule g f . Determine el dominio de la función en notación intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 + 1 y g ( x ) = 3 x - 5 , calcule lo siguiente: Ⓐ f ( g ( 2 ) ) Ⓑ f ( g ( x ) ) Ⓒ g ( f ( x ) ) Ⓓ ( g ∘ g ) ( x ) Ⓔ ( f ∘ f ) ( – 2 ) Ⓐ 3 Ⓑ f ( g ( x ) ) = 2 ( 3 x - 5 ) 2 + 1 ; Ⓒ g ( f ) ( x ) ) = 6 x 2 - 2 ; Ⓓ ( g ∘ g ) ( x ) = 3 ( 3 x - 5 ) - 5 = 9 x - 20 ; Ⓔ ( f ∘ f ) ( – 2 ) = 163 En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Simplifique sus respuestas. f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = x + 2 f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = x 2 + 3 f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2 , g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7 f ( x ) = | x | , g ( x ) = 5 x + 1 f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x + 1 x 3 f ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x , g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 x f ( x ) = 1 x - 6 , g ( x ) = 7 x + 6 f ( x ) = 1 x - 4 , g ( x ) = 2 x + 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 2 x + 4 - 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x - 4 En los siguientes ejercicios, utilice cada conjunto de funciones para hallar f ( g ( h ( x ) ) ) . Simplifique sus respuestas. f ( x ) = x 4 + 6 , g ( x ) = x - 6 , y h ( x ) = x f ( x ) = x 2 + 1 , g ( x ) = 1 x , y h ( x ) = x + 3 f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1 Dado que f ( x ) = 1 x y g ( x ) = x - 3 , calcule lo siguiente: Ⓐ ( f ∘ g ) ( x ) Ⓑ el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) en notación intervalo Ⓒ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓓ el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) Ⓔ ( f g ) x Dados f ( x ) = 2 - 4 x y g ( x ) = - 3 x , calcule lo siguiente: Ⓐ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓑ el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) en notación de intervalo Ⓐ Texto ( g ∘ f ) ( x ) = - 3 2 - 4 x ; Ⓑ ( - ∞ , 1 2 ) Dadas las funciones f ( x ) = 1 - x x y g ( x ) = 1 1 + x 2 , calcule lo siguiente: Ⓐ ( g ∘ f ) ( x ) Ⓑ ( g ∘ f ) ( 2 ) Dadas las funciones p ( x ) = 1 x y m ( x ) = x 2 - 4 , indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo: Ⓐ p ( x ) m ( x ) Ⓑ p ( m ( x ) ) Ⓒ m ( p ( x ) ) Ⓐ ( 0 , 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) ; Ⓑ ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) ; c. ( 0 , ∞ ) Funciones dadas q ( x ) = 1 x y h ( x ) = x 2 - 9 , indique el dominio de cada una de las siguientes funciones utilizando la notación intervalo. Ⓐ q ( x ) h ( x ) Ⓑ q ( h ( x ) ) Ⓒ h ( q ( x ) ) Para f ( x ) = 1 x y g ( x ) = x – 1 , escriba el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) en notación de intervalo. ( 1 , ∞ ) En los siguientes ejercicios, halle las funciones f ( x ) y g ( x ) para que la función dada pueda expresarse como h ( x ) = f ( g ( x ) ) . h ( x ) = ( x + 2 ) 2 h ( x ) = ( x - 5 ) 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = x - 5 h ( x ) = 3 x - 5 h ( x ) = 4 ( x + 2 ) 2 muestra: f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2 h ( x ) = 4 + x 3 h ( x ) = 1 2 x - 3 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x - 3 h ( x ) = 1 ( 3 x 2 - 4 ) - 3 h ( x ) = 3 x - 2 x + 5 4 muestra: f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x - 2 x + 5 h ( x ) = ( 8 + x 3 8 - x 3 ) 4 h ( x ) = 2 x + 6 muestra: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x + 6 h ( x ) = ( 5 x – 1 ) 3 h ( x ) = x – 1 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = ( x – 1 ) h ( x ) = | x 2 + 7 | h ( x ) = 1 ( x - 2 ) 3 muestra: f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 x - 2 h ( x ) = ( 1 2 x - 3 ) 2 h ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 muestra: f ( x ) = x g ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de f , que se muestra en la , y g , que se muestra en la , para evaluar las expresiones. f ( g ( 3 ) ) f ( g ( 1 ) ) 2 g ( f ( 1 ) ) g ( f ( 0 ) ) 5 f ( f ( 5 ) ) f ( f ( 4 ) ) 4 g ( g ( 2 ) ) g ( g ( 0 ) ) 0 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de f ( x ) , que se muestra en la , g ( x ) , que se muestra en la , y h ( x ) , que se muestra en la , para evaluar las expresiones. g ( f ( 1 ) ) g ( f ( 2 ) ) 2 f ( g ( 4 ) ) f ( g ( 1 ) ) 1 f ( h ( 2 ) ) h ( f ( 2 ) ) 4 f ( g ( h ( 4 ) ) ) f ( g ( f ( – 2 ) ) ) 4 Numéricos En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para f y g que se muestra la para evaluar cada expresión. x f ( x ) g ( x ) 0 7 9 1 6 5 2 5 6 3 8 2 4 4 1 5 0 8 6 2 7 7 1 3 8 9 4 9 3 0 f ( g ( 8 ) ) f ( g ( 5 ) ) 9 g ( f ( 5 ) ) g ( f ( 3 ) ) 4 f ( f ( 4 ) ) f ( f ( 1 ) ) 2 g ( g ( 2 ) ) g ( g ( 6 ) ) 3 En los siguientes ejercicios, utilice los valores de la función para f y g que se muestra en la para evaluar las expresiones. x f ( x ) g ( x ) -3 11 -8 -2 9 -3 -1 7 0 0 5 1 1 3 0 2 1 -3 3 -1 -8 ( f ∘ g ) ( 1 ) ( f ∘ g ) ( 2 ) 11 ( g ∘ f ) ( 2 ) ( g ∘ f ) ( 3 ) 0 ( g ∘ g ) ( 1 ) ( f ∘ f ) ( 3 ) 7 En los siguientes ejercicios, utilice cada par de funciones para calcular f ( g ( 0 ) ) y g ( f ( 0 ) ) . f ( x ) = 4 x + 8 , g ( x ) = 7 - x 2 f ( x ) = 5 x + 7 , g ( x ) = 4 – 2 x 2 f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = − 94 f ( x ) = x + 4 , g ( x ) = 12 − x 3 f ( x ) = 1 x + 2 , g ( x ) = 4 x + 3 f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = 2 x 2 + 1 y g ( x ) = 3 x + 5 para evaluar o encontrar la función compuesta como se indica. f ( g ( 2 ) ) f ( g ( x ) ) 18 x 2 + 60 x + 51 g ( f ( - 3 ) ) ( g ∘ g ) ( x ) g ∘ g ( x ) = 9 x + 20 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice f ( x ) = x 3 + 1 y g ( x ) = x – 1 3 . Halle ( f ∘ g ) ( x ) y ( g ∘ f ) ( x ) . Compare las dos respuestas. Calcule ( f ∘ g ) ( 2 ) y ( g ∘ f ) ( 2 ) . 2 ¿Cuál es el dominio de ( g ∘ f ) ( x ) ? ¿Cuál es el dominio de ( f ∘ g ) ( x ) ? ( - ∞ , ∞ ) Supongamos que f ( x ) = 1 x . Ⓐ Halle ( f ∘ f ) ( x ) . Ⓑ ¿Es ( f ∘ f ) ( x ) para cualquier función f el mismo resultado que la respuesta a la parte (a) para cualquier función? Explique. En los siguientes ejercicios, supongamos que F ( x ) = ( x + 1 ) 5 , f ( x ) = x 5 , y g ( x ) = x + 1. Verdadero o falso: ( g ∘ f ) ( x ) = F ( x ) . Falso Verdadero o falso: ( f ∘ g ) ( x ) = F ( x ) . En los siguientes ejercicios, halle la composición cuando f ( x ) = x 2 + 2 para todas las x ≥ 0 y g ( x ) = x - 2 . ( f ∘ g ) ( 6 ) ; ( g ∘ f ) ( 6 ) ( f ∘ g ) ( 6 ) = 6 ; ( g ∘ f ) ( 6 ) = 6 ( g ∘ f ) ( a ) ; ( f ∘ g ) ( a ) ( f ∘ g ) ( 11 ) ; ( g ∘ f ) ( 11 ) ( f ∘ g ) ( 11 ) = 11 , ( g ∘ f ) ( 11 ) = 11 Aplicaciones en el mundo real La función D ( p ) da el número de artículos que se demandarán cuando el precio sea p . El costo de producción C ( x ) es el costo de producción de x artículos. Para determinar el costo de producción cuando el precio es de 6 dólares, ¿cuál de las siguientes acciones realizaría? Ⓐ Evalúe D ( C ( 6 ) ) . Ⓑ Evalúe C ( D ( 6 ) ) . Ⓒ Resuelva D ( C ( x ) ) = 6. Ⓓ Resuelva C ( D ( p ) ) = 6. La función A ( d ) da el nivel de dolor en una escala de 0 a 10 experimentado por un paciente con d miligramos de un analgésico en su organismo. Los miligramos del medicamento en el sistema del paciente después de t minutos está modelado por m ( t ) . ¿Cuál de las siguientes acciones realizaría para determinar cuándo el paciente estará en un nivel 4 de dolor? Ⓐ Evalúe A ( m ( 4 ) ) . Ⓑ Evalúe m ( A ( 4 ) ) . Ⓒ Resuelva A ( m ( t ) ) = 4. Ⓓ Resuelva m ( A ( d ) ) = 4. c Una tienda ofrece a los clientes un descuento del 30 % sobre el precio de x artículos seleccionados. Luego, la tienda descuenta un 15 % adicional en la caja registradora. Escriba una función de precio P ( x ) que calcula el precio final del artículo en función del precio original x . (Pista: Utilice la composición de funciones para encontrar la respuesta). Una gota de lluvia que golpea un lago produce una onda circular. Si el radio, en pulgadas, crece en función del tiempo en minutos según r ( t ) = 25 t + 2 , halle el área de la onda en función del tiempo. Halle el área de la onda en t = 2. A ( t ) = π ( 25 t + 2 ) 2 y A ( 2 ) = π ( 25 4 ) 2 = 2.500 π pulgadas cuadradas Un incendio forestal deja a su paso una zona de hierba quemada en un patrón circular en expansión. Si el radio del círculo de hierba ardiente aumenta con el tiempo según la fórmula r ( t ) = 2 t + 1 , exprese la superficie quemada en función del tiempo, t (minutos). Utilice la función que halló en el ejercicio anterior para calcular el área total quemada después de 5 minutos. A ( 5 ) = π ( 2 ( 5 ) + 1 ) 2 = 121 π unidades cuadradas El radio r , en pulgadas, de un globo esférico está relacionado con el volumen, V , entre r ( V ) = 3 V 4 π 3 . Se bombea aire en el globo, por lo que el volumen después de t segundos viene dado por V ( t ) = 10 + 20 t . Ⓐ Halle la función compuesta r ( V ( t ) ) . Ⓑ Halle el momento exacto en que el radio alcanza las 10 pulgadas. El número de bacterias en un producto alimenticio refrigerado viene dado por N ( T ) = 23 T 2 − 56 T + 1 , 3 < T < 33 , donde T es la temperatura del alimento. Cuando este se saca del refrigerador, la temperatura viene dada por T ( t ) = 5 t + 1,5 , donde t es el tiempo en horas. Ⓐ Halle la función compuesta N ( T ( t ) ) . Ⓑ Halle el momento (redondee a dos decimales) en que el recuento de bacterias llega a 6.752. Ⓐ N ( T ( t ) ) = 23 ( 5 t + 1,5 ) 2 − 56 ( 5 t + 1,5 ) + 1 ; Ⓑ 3,38 horas función compuesta la nueva función formada por la composición de las funciones, cuando la salida de una función se utiliza como entrada de otra

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