Ajustar modelos exponenciales a los datos Objetivos de aprendizaje Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1) Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4) Objetivo 1: Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). (CA 4.3.1) Comprobación de vocabulario y conceptos Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Complete los espacios en blanco y haga coincidir la descripción con los gráficos a, b o c Una función ________ tiene la ecuación f x = m x + b y tiene una forma básica ________. Una función ________ tiene la ecuación f x = a x , a > 0 , a ≠ 1 y tiene una forma básica ________. Una función ________ tiene la ecuación f x = log a x , a > 0 , x > 0 y tiene una forma básica ________. Un diagrama de dispersión es un gráfico de puntos trazados que indica una relación entre las variables de un conjunto de datos. Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Usar un diagrama de dispersión para investigar los chirridos de los grillos La tabla siguiente muestra el número de chirridos de grillos en 15 segundos, para varias temperaturas de aire diferentes, en grados Fahrenheit Datos seleccionados de http://classic.globe.gov/fsl/scientistsblog/2007/10/. Recuperado el 3 de agosto de 2010 . Trace estos datos y determine si los datos parecen estar relacionados linealmente. Chirridos de grillos frente a la temperatura del aire Chirridos 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 Temperatura 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 El trazado de estos datos, como se representa a continuación, sugiere que puede haber una tendencia. Podemos ver en la tendencia de los datos que el número de chirridos aumenta a medida que aumenta la temperatura. La tendencia parece ser más o menos lineal, aunque ciertamente no es perfecta. La práctica hace la perfección Dibujar e interpretar diagramas de dispersión (lineales, exponenciales, logarítmicos). Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0 1,5 2,2 2,8 3,5 3,6 3,9 4,3 4,4 Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,3 5,6 9,1 15,1 24,4 40,2 66,2 108,4 180,1 Haga un diagrama de dispersión para la siguiente tabla. ¿Parece lineal? ¿Exponencial? ¿Logarítmico? x 1 2 3 4 5 6 y 3 5,5 7 10 12,1 14,9 Objetivo 2: Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. (CA 4.3.4) Podemos hallar una función lineal que se ajuste a los datos del problema anterior al “meterle el ojo” a una línea que parezca ajustarse. Sin embargo, aunque la estimación de una línea funciona relativamente bien, la tecnología puede ayudarnos a encontrar una línea que se ajuste a los datos de la forma más perfecta posible. Esta línea se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados o modelo de regresión lineal . La línea de regresión es aquella que más se aproxima a los datos en el diagrama de dispersión, lo que significa que es el mejor ajuste para los datos. Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. Cómo Dados los datos de entrada y las correspondientes salidas de una función lineal, calcular la línea de mejor ajuste con la regresión lineal. Introduzca la entrada en la Lista 1 (L1). Introduzca la salida en la Lista 2 (L2). En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. Halle la línea de regresión lineal con los datos de los grillos en el ejemplo anterior de esta sección, y calcule la temperatura si hay 30 chirridos en 15 segundos. Introduzca la entrada (chirridos) en la Lista 1. Introduzca la salida (temperatura) en la Lista 2 L1 44 35 20,4 33 31 35 18,5 37 26 L2 80,5 70,5 57 66 68 72 52 73,5 53 En una herramienta gráfica, seleccione Regresión lineal(LinReg). Mediante el empleo de los datos del chirrido del grillo, con la tecnología obtenemos la ecuación T(c)=30,281+1,143c Para hallar la temperatura para 30 chirridos en 15 segundos sustituimos 30 por x y calculamos T T ( 30 ) = 30 . 281 + 1 . 143 ( 30 ) = 64 . 571 ≈ 64 . 6 grados Se muestra el diagrama de dispersión con la línea de regresión de mejor ajuste. La práctica hace la perfección Ajustar una ecuación de regresión a un conjunto de datos y utilizar el modelo lineal (o exponencial) para hacer predicciones. El consumo de gasolina en Estados Unidos ha aumentado constantemente desde 1994 hasta 2004. Año 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 Consumo (miles de millones de galones) 113 116 118 119 123 125 126 128 131 133 136 Ⓐ Determine si la tendencia es lineal y, si es así, utilice su herramienta gráfica para hallar un modelo para los datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir el consumo en 2008. En el segundo problema de práctica, más arriba en esta sección, determinamos que los datos a continuación tienen una tendencia exponencial. Utilice su programa de gráficos para hallar el modelo exponencial que mejor se ajuste a los datos y escriba su modelo exponencial a continuación. (Pista: en lugar de elegir "regresión lineal”, elija "regresión exponencial”). x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3,3 5,6 9,1 15,1 24,4 40,2 66,2 108,4 180,1 En las secciones anteriores de este capítulo, se nos ha dado una función explícitamente para graficar o evaluar, o se nos ha dado un conjunto de puntos que se garantiza que se encuentran en la curva. Luego utilizamos el álgebra para hallar la ecuación que se ajusta a los puntos exactamente. En esta sección, utilizamos una técnica de modelado, denominada análisis de regresión , para hallar una curva que modele los datos recogidos en las observaciones del mundo real. Con el análisis de regresión , no esperamos que todos los puntos se sitúen perfectamente en la curva. La idea es hallar el modelo que mejor se ajuste a los datos. A continuación, utilizamos el modelo para hacer predicciones sobre acontecimientos futuros. No se deje confundir por la palabra modelo . En matemáticas, a menudo utilizamos los términos función , ecuación y modelo indistintamente, aunque cada uno tenga su propia definición formal. El término modelo suele utilizarse para indicar que la ecuación o función se aproxima a una situación del mundo real. En esta sección nos concentraremos en tres tipos de modelos de regresión: exponencial, logarítmica y logística. Haber trabajado ya con cada una de estas funciones nos da una ventaja. Conocer sus definiciones formales, el comportamiento de sus gráficos y algunas de sus aplicaciones en el mundo real nos brinda la oportunidad de profundizar en su comprensión. A medida que se presenta cada modelo de regresión, se incluyen las características clave y las definiciones de su función asociada para su revisión. Dedique un momento a repensar cada una de estas funciones, a reflexionar sobre el trabajo que hemos realizado hasta ahora y a explorar las formas en que se utiliza la regresión para modelar fenómenos del mundo real. Construir un modelo exponencial a partir de datos Como hemos aprendido, hay multitud de situaciones que pueden modelarse mediante funciones exponenciales, como el crecimiento de las inversiones, el decaimiento radiactivo, los cambios de presión atmosférica y las temperaturas de un objeto que se enfría. ¿Qué tienen en común estos fenómenos? Por un lado, todos los modelos aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Sin embargo, eso no es todo. Es la manera en que los datos aumentan o disminuyen lo que nos ayuda a determinar si es mejor modelar con una ecuación exponencial. Conocer el comportamiento de las funciones exponenciales en general nos permite reconocer cuándo utilizar la regresión exponencial, así que repasemos el crecimiento y el decaimiento exponencial. Recordemos que las funciones exponenciales tienen la forma y = a b x o y = A 0 e k x . Al realizar el análisis de regresión, utilizamos la forma más común en las utilidades gráficas, y = a b x . Dedique un momento a reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido acerca de la función exponencial y = a b x (suponiendo que a > 0 ) : b deberá ser mayor que cero y no igual a uno. El valor inicial del modelo es y = a . Si los valores de b > 1 , la función modela el crecimiento exponencial. Cuando x aumenta, las salidas del modelo aumentan lentamente al principio, pero luego aumentan cada vez más rápidamente, sin límite. Si los valores de 0 < b < 1 , la función modela el decaimiento exponencial . A medida que x aumenta, las salidas del modelo disminuyen rápidamente al principio y luego se nivelan para volverse asintóticas al eje x . En otras palabras, las salidas nunca son iguales o inferiores a cero. Como parte de los resultados, su calculadora mostrará un número conocido como el coeficiente de correlación , etiquetado por la variable r , o r 2 . (Es posible que tenga que cambiar la configuración de la calculadora para que se muestren). Los valores son una indicación de la "bondad de ajuste" de la ecuación de regresión a los datos. Lo más habitual es utilizar el valor de r 2 en vez de r , pero cuanto más se acerque cualquiera de los dos valores a 1, mejor se aproximará la ecuación de regresión a los datos. Regresión exponencial La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando " ExpReg " en una herramienta gráfica para ajustar una función exponencial a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma y = a b x Tenga en cuenta que: b deberá ser no negativo. cuando b > 1 , tenemos un modelo de crecimiento exponencial. cuando 0 < b < 1 , tenemos un modelo de decaimiento exponencial. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión exponencial con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón exponencial. Halle la ecuación que modela los datos. Seleccione " ExpReg " en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y = a b x . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión exponencial para ajustar un modelo a los datos En 2007 se publicó un estudio universitario en el que se investigaba el riesgo de colisión de la conducción bajo los efectos del alcohol. Se utilizaron datos de 2.871 accidentes para medir la asociación entre el nivel de alcoholemia (blood alcohol level, BAC) de una persona y el riesgo de sufrir un accidente. La muestra los resultados del estudio Fuente: Centro de Estudios de Derecho en Acción de la Universidad de Indiana, 2007 . El riesgo relativo es una medida de cuántas veces más probable es que una persona se estrelle. Así, por ejemplo, una persona con un nivel de alcoholemia de 0,09 tiene 3,54 veces más probabilidades de sufrir un accidente que una persona que no haya bebido alcohol. BAC 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 Riesgo relativo de colisión 1 1,03 1,06 1,38 2,09 3,54 BAC 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 Riesgo relativo de colisión 6,41 12,6 22,1 39,05 65,32 99,78 Supongamos que x representa el nivel de alcoholemia, mientras que y representa el riesgo relativo correspondiente. Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos. Después de 6 tragos, una persona que pesa 160 libras tendrá un BAC de aproximadamente 0,16. ¿Cuántas veces es más probable que alguien con este peso se estrelle si conduce después de haber tomado 6 cervezas? Redondee a la centésima más cercana. En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, liste los valores de BAC en L1 y los valores de riesgo relativo en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga el patrón exponencial que se muestra en la : Utilice el comando " ExpReg " del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo exponencial, y = 0,58304829 ( 2,20720213 E 10 ) x Si convertimos la notación científica, tenemos: y = 0,58304829 ( 22072021300 ) x Observe que r 2 ≈ 0,97 lo que indica que el modelo se ajusta bien a los datos. Para ver esto, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión con el objeto de verificar que se ajuste bien, como se muestra en la : Utilice el modelo para estimar el riesgo asociado a un nivel de alcoholemia de 0,16. Sustituya 0,16 por x en el modelo y resuelva para y . y = 0,58304829 ( 22072021300 ) x Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 0,58304829 ( 22072021300 ) 0,16 Sustituya 0 ,16 para x . ≈ 26 0,35 Redondee a la centésima más cercana . Si una persona de 160 libras conduce después de haber tomado 6 copas, tiene unas 26,35 veces más probabilidades de chocar que si conduce sobria. Ejercicio La muestra el saldo de la tarjeta de crédito de un recién graduado cada mes después de la graduación. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 Deuda ($) 620,00 761,88 899,80 1.039,93 1.270,63 1.589,04 1.851,31 2.154,92 Ⓐ Utilice la regresión exponencial para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, ¿cuál será la deuda de la tarjeta de crédito un año después de graduarse? Ⓐ El modelo de regresión exponencial que se ajusta a estos datos es y = 522,88585984 ( 1,19645256 ) x . Ⓑ Si el gasto continúa a este ritmo, la deuda de la tarjeta de crédito del graduado será de 4.499,38 dólares al cabo de un año. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es razonable suponer que un modelo de regresión exponencial representará una situación indefinidamente? No. Recuerde que los modelos se forman con datos del mundo real recogidos para la regresión. Es razonable realizar estimaciones dentro del intervalo de observación original (interpolación). Sin embargo, cuando un modelo se utiliza para hacer predicciones, es importante utilizar la capacidad de razonamiento para determinar si el modelo tiene sentido para entradas mucho más allá del intervalo de observación original (extrapolación). Construir un modelo logarítmico a partir de datos Al igual que con las funciones exponenciales, hay muchas aplicaciones en el mundo real para las funciones logarítmicas: la intensidad del sonido, el nivel de pH de las soluciones, los rendimientos de las reacciones químicas, la producción de bienes y el crecimiento de los bebés. Al igual que con los modelos exponenciales, los datos modelados por funciones logarítmicas son siempre crecientes o siempre decrecientes con el paso del tiempo. De nuevo, es la manera en que aumentan o disminuyen lo que nos permite determinar si un modelo logarítmico es el mejor. Recordemos que las funciones logarítmicas aumentan o disminuyen rápidamente al principio, pero luego desaceleran constantemente con el paso del tiempo. Al reflexionar sobre las características que ya hemos aprendido con respecto a esta función, podemos analizar mejor las situaciones del mundo real que reflejan este tipo de crecimiento o decaimiento. Al realizar el análisis de regresión logarítmica, utilizamos la forma de la función logarítmica más común en las herramientas gráficas, y = a + b ln ( x ) . Para esta función Todos los valores de entrada, x , deberán ser mayor que cero. El punto ( 1 , a ) está en el gráfico del modelo. Si los valores de b > 0 , el modelo es creciente. El crecimiento aumenta rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo. Si los valores de b < 0 , el modelo es decreciente. El decaimiento se produce rápidamente al principio y luego desacelera constantemente con el paso del tiempo. Regresión logarítmica La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función logarítmica a un conjunto de puntos de datos. Esto arroja una ecuación de la forma y = a + b ln ( x ) Observe que todos los valores de entrada, x , deberán ser no negativos. cuando b > 0 , el modelo es creciente. cuando b < 0 , el modelo es decreciente. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logarítmica con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón logarítmico. Halle la ecuación que modela los datos. Seleccione " LnReg " en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a y b para registrar el modelo, y = a + b ln ( x ) . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión logarítmica para ajustar un modelo a los datos Gracias a los avances de la medicina y al aumento del nivel de vida, la esperanza de vida ha aumentado en la mayoría de los países desarrollados desde principios del siglo XX. La muestra el promedio de expectativa de vida, en años, de los estadounidenses entre 1900 y 2010 Fuente: Centro de Control y Prevención de Enfermedades, 2013 . Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 Esperanza de vida (años) 47,3 50,0 54,1 59,7 62,9 68,2 Año 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Esperanza de vida (años) 69,7 70,8 73,7 75,4 76,8 78,7 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en décadas empezando por x = 1 para el año 1900, x = 2 para el año 1910, y así sucesivamente. Supongamos que y representa la correspondiente esperanza de vida. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir el promedio de esperanza de vida de los estadounidenses para el año 2030. Ⓐ En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años mediante el empleo de los valores 1-12 en L1 y la correspondiente esperanza de vida en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para comprobar que el diagrama de dispersión siga un patrón logarítmico, como se muestra en la : Utilice el comando " LnReg " del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logarítmico, y = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( x ) A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien, como se muestra en la : Ⓑ Para predecir la esperanza de vida de un estadounidense en el año 2030, sustituya x = 14 para el en el modelo y resuelva para y : y = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( x ) Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 42,52722583 + 13,85752327 ln ( 14 ) Sustituya 14 por x . ≈ 79 0,1 Redondee a la décima más cercana. Si la esperanza de vida sigue aumentando a este ritmo, el promedio para un estadounidense será de 79,1 años en 2030. Ejercicio Las ventas de un videojuego lanzado en el año 2000 despegaron al principio, pero luego desaceleraron de forma constante con el paso del tiempo. La muestra el número de juegos vendidos, en miles, entre los años 2000 y 2010. Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Número de ventas (miles) 142 149 154 155 159 161 Año 2006 2007 2008 2009 2010 Número de ventas (miles) 163 164 164 166 167 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 1 para el año 2000. Supongamos que y representa el número de juegos vendidos en miles. Utilice la regresión logarítmica para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Si los juegos siguen vendiéndose a este ritmo, ¿cuántos se venderán en 2015? Redondee a la milésima más cercana. Ⓐ El modelo de regresión logarítmica que se ajusta a estos datos es y = 141,91242949 + 10,45366573 ln ( x ) Ⓑ Si las ventas continúan a este ritmo, se venderán unos 171.000 juegos en el año 2015. Construir un modelo logístico a partir de datos Al igual que el crecimiento exponencial y logarítmico, el crecimiento logístico aumenta con el paso del tiempo. Una de las diferencias más notables con los modelos de crecimiento logístico es que, a partir de cierto punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se aproxima a un límite superior, o valor límite . Por ello, la regresión logística es lo mejor para modelar fenómenos en los que existen límites de expansión, como la disponibilidad de espacio vital o de nutrientes. Cabe señalar que las funciones logísticas en realidad modelan el crecimiento exponencial con recursos limitados. Hay muchos ejemplos de este tipo de crecimiento en situaciones del mundo real, como el crecimiento demográfico y la propagación de enfermedades, los rumores e incluso las manchas en la tela. Al realizar el análisis de regresión logística, utilizamos la forma más común en las herramientas gráficas: y = c 1 + a e - b x Recordemos que: c 1 + a es el valor inicial del modelo. cuando b > 0 , el modelo aumenta rápidamente al principio, hasta alcanzar su punto de máxima tasa de crecimiento, ( ln ( a ) b , c 2 ) . En ese punto, el crecimiento desacelera de forma constante y la función se vuelve asintótica al límite superior y = c . c es el valor límite, a veces llamado capacidad de carga , del modelo. Regresión logística La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante hasta un límite superior. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar la función logística a un conjunto de puntos de datos. Esto devuelve una ecuación de la forma y = c 1 + a e - b x Observe que El valor inicial del modelo es c 1 + a . Los valores de salida del modelo se acercan cada vez más a y = c con el paso del tiempo. Cómo Dado un conjunto de datos, efectuar una regresión logística con una herramienta gráfica. Utilice el menú STAT y luego EDIT para introducir los datos. Borre cualquier dato existente en las listas. Enumere los valores de entrada en la columna L1. Enumere los valores de salida en la columna L2. Grafique y observe un diagrama de dispersión de los datos con la función STATPLOT . Utilice ZOOM [ 9 ] para ajustar los ejes a los datos. Compruebe que los datos sigan un patrón logístico. Halle la ecuación que modele los datos. Seleccione " Logistic " en el menú STAT y luego CALC . Utilice los valores devueltos para a , b , y c para registrar el modelo, y = c 1 + a e - b x . Grafique el modelo en la misma ventana que el diagrama de dispersión para verificar que se ajuste bien a los datos. Usar la regresión logística para ajustar un modelo a los datos El servicio de telefonía móvil ha aumentado rápidamente en Estados Unidos desde mediados de la década de 1990. Hoy en día, casi todos los residentes tienen servicio de telefonía móvil. La muestra el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil entre los años 1995 y 2012. Fuente: Banco Mundial, 2013 . Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) Año Estadounidenses con servicio de telefonía móvil (%) 1995 12,69 2004 62,852 1996 16,35 2005 68,63 1997 20,29 2006 76,64 1998 25,08 2007 82,47 1999 30,81 2008 85,68 2000 38,75 2009 89,14 2001 45,00 2010 91,86 2002 49,16 2011 95,28 2003 55,15 2012 98,17 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 0 para el año 1995. Supongamos que y representa el porcentaje correspondiente de residentes con servicio de telefonía móvil. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para calcular el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013. Redondee a la décima porcentual más cercana. Ⓒ Comente sobre el valor arrojado para el límite superior, c . ¿Qué le dice esto sobre el modelo? ¿Cuál sería el valor límite si el modelo fuera exacto? Ⓐ En el menú STAT y luego EDIT en una herramienta gráfica, enumere los años con los valores 0-15 en L1 y el porcentaje correspondiente en L2. A continuación, utilice la función STATPLOT para verificar que el diagrama de dispersión siga un patrón logístico, como se muestra en la : Utilice el comando " Logistic " del menú STAT y luego CALC para obtener el modelo logístico, y = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 x A continuación, grafique el modelo en la misma ventana que se muestra en el diagrama de dispersión en la para verificar que se ajuste bien: Ⓑ Para calcular aproximadamente el porcentaje de estadounidenses con servicio de telefonía móvil en el año 2013, sustituya x = 18 para el en el modelo y resuelva para y : y = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 x Utilice el modelo de regresión encontrado en la parte (a) . = 105,7379526 1 + 6,88328979 e − 0,2595440013 ( 18 ) Sustituya 18 por x . ≈ 99 0,3 Redondee a la décima más cercana Según el modelo, alrededor del 99,3 % de los estadounidenses tenían servicio de telefonía móvil en 2013. Ⓒ El modelo da un valor límite de unos 105. Esto significa que el porcentaje máximo posible de estadounidenses con servicio de telefonía móvil sería del 105 %, lo cual es imposible. (¿Cómo es posible que más del 100 % de una población tenga servicio de telefonía móvil?). Si el modelo fuera exacto, el valor límite sería c = 100 y las salidas del modelo se acercarían mucho, pero nunca alcanzarían el 100 %. Al fin y al cabo, ¡siempre habrá alguien sin servicio de telefonía móvil! Ejercicio La muestra la población, en miles, de focas en el Mar de Wadden durante los años 1997 a 2012. Año Población de focas (miles) Año Población de focas (miles) 1997 3,493 2005 19,590 1998 5,282 2006 21,955 1999 6,357 2007 22,862 2000 9,201 2008 23,869 2001 11,224 2009 24,243 2002 12,964 2010 24,344 2003 16,226 2011 24,919 2004 18,137 2012 25,108 Ⓐ Supongamos que x representa el tiempo en años empezando por x = 0 para el año 1997. Supongamos que y representa el número de focas en miles. Utilice la regresión logística para ajustar un modelo a estos datos. Ⓑ Utilice el modelo para predecir la población de focas para el año 2020. Ⓒ ¿Cuál es el valor límite de este modelo, redondeado al número entero más cercano? Ⓐ El modelo de regresión logística que se ajusta a estos datos es y = 25,65665979 1 + 6,113686306 e − 0,3852149008 x . Ⓑ Si la población sigue creciendo a este ritmo, habrá unas 25.634 focas en 2020. Ⓒ Al número entero más cercano, la capacidad de carga es de 25.657. Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con los modelos de funciones exponenciales. Regresión exponencial en una calculadora Conceptos clave La regresión exponencial se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento comienza lentamente y luego se acelera rápidamente sin límite, o en las que el decaimiento comienza rápidamente y luego desacelera para acercarse cada vez más a cero. Utilizamos el comando "ExpReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = a b x a un conjunto de puntos de datos. Vea el . La regresión logarítmica se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento o el decaimiento se aceleran rápidamente al principio y luego desaceleran con el paso del tiempo. Utilizamos el comando "LnReg" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = a + b ln ( x ) a un conjunto de puntos de datos. Vea el . La regresión logística se utiliza para modelar situaciones en las que el crecimiento se acelera rápidamente al principio y luego desacelera de forma constante a medida que la función se acerca a un límite superior. Utilizamos el comando "Logistic" en una herramienta gráfica para ajustar una función de la forma y = c 1 + a e - b x a un conjunto de puntos de datos. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué situaciones se modelan mejor con una ecuación logística? Dé un ejemplo y arguméntelo. Los modelos logísticos se utilizan mejor en aquellas situaciones que tienen valores limitados. Por ejemplo, una población no crece indefinidamente, ya que los recursos como los alimentos, el agua y el espacio son limitados, por lo que un modelo logístico es el que mejor la describe. ¿Qué es la capacidad de carga? ¿Qué tipo de modelo tiene una capacidad de carga incorporada en su fórmula? ¿Por qué esto tiene sentido? ¿Qué es el análisis de regresión? Describa el proceso de realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica. El análisis de regresión es el proceso de hallar una ecuación que se ajuste lo mejor posible a un conjunto dado de puntos de datos. Para realizar un análisis de regresión en una herramienta gráfica, primero hay que listar los puntos dados en el menú STAT y luego EDIT. A continuación, grafique el diagrama de dispersión con la función STAT PLOT. La forma de los puntos de datos en el diagrama de dispersión sirve para determinar qué característica de regresión se debe utilizar. Una vez determinado esto, seleccione el comando de análisis de regresión apropiado en el menú STAT y luego CALC. ¿Qué aspecto podría tener un diagrama de dispersión de puntos de datos si se describiera mejor mediante un modelo logarítmico? ¿A qué corresponde la intersección en y del gráfico de una ecuación logística para una población modelada por dicha ecuación? La intersección en y del gráfico de una ecuación logística corresponde a la población inicial del modelo demográfico. Gráficos En los siguientes ejercicios, haga coincidir la función de mejor ajuste dada con el correspondiente diagrama de dispersión desde la hasta la . Responda con la letra que se encuentra debajo del gráfico correspondiente. y = 10,209 e − 0,294 x y = 5,598 − 1,912 ln ( x ) C y = 2,104 ( 1,479 ) x y = 4,607 + 2,733 ln ( x ) B y = 14,005 1 + 2,79 e − 0,812 x Numéricos Al número entero más cercano, ¿cuál es el valor inicial de una población modelada por la ecuación logística P ( t ) = 175 1 + 6,995 e − 0,68 t ? ¿Cuál es la capacidad de carga? P ( 0 ) = 22 ; 175 Reescriba el modelo exponencial A ( t ) = 1550 ( 1,085 ) x como un modelo equivalente con base e . Exprese el exponente con cuatro dígitos significativos. Un modelo logarítmico viene dado por la ecuación h ( p ) = 67,682 − 5,792 ln ( p ) . A la centésima más cercana, ¿para qué valor de p h ( p ) = 62 ? p ≈ 2,67 Un modelo logístico viene dado por la ecuación P ( t ) = 90 1 + 5 e − 0,42 t . A la centésima más cercana, ¿para qué valor de t P ( t ) = 45 ? ¿Cuál es la intersección en y en el gráfico del modelo logístico dado en el ejercicio anterior? intersección en y : ( 0 , 15 ) En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P en un estanque de carpas koi sobre x meses se modela mediante la función P ( x ) = 68 1 + 16 e − 0,28 x . Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 3 años. ¿Cuál era la población inicial de carpas koi? 4 koi ¿Cuántas carpas koi tendrá el estanque después de un año y medio? ¿Cuántos meses pasarán antes de que haya 20 carpas koi en el estanque? aproximadamente 6,8 meses. Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de meses que tardará la población del estanque en alcanzar la mitad de su capacidad de carga. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población P en un hábitat de una especie de lobos en peligro de extinción se modela mediante la función P ( x ) = 558 1 + 54,8 e − 0,462 x , donde x se da en años. Grafique el modelo de población para mostrar la población en un lapso de 10 años. ¿Cuál era la población inicial de lobos transportada al hábitat? ¿Cuántos lobos tendrá el hábitat después de 3 años? Unos 38 lobos ¿Cuántos años pasarán antes de que haya 100 lobos en el hábitat? Utilice la función de intersección para calcular aproximadamente la cantidad de años que tardará la población del hábitat en alcanzar la mitad de su capacidad de carga. Unos 8,7 años En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 1.125 1.495 2.310 3.294 4.650 6.361 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla. f ( x ) = 776,682 ( 1,426 ) x Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e . Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 4.000. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 555 383 307 210 158 122 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la función de regresión para calcular la función exponencial que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Escriba la función exponencial como una ecuación exponencial con base e . f ( x ) = 731,92 e -0,3038 x Grafique la ecuación exponencial en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 250. Cuando f ( x ) = 250 , x ≈ 3,6 En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 f(x) 5,1 6,3 7,3 7,7 8,1 8,6 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción LOGaritmo de la función REGresión para hallar una función logarítmica de la forma y = a + b ln ( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla. y = 5,063 + 1,934 log ( x ) Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x = 10. Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 7. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 7,5 6 5,2 4,3 3,9 3,4 3,1 2,9 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción LOG aritmo de la función REG resión para hallar una función logarítmica de la forma y = a + b ln ( x ) que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Utilice la función logarítmica para hallar el valor de la función cuando x = 10. Cuando f ( 10 ) ≈ 2,3 Grafique la ecuación logarítmica en el diagrama de dispersión. Utilice la función de intersección para hallar el valor de x en el que f ( x ) = 8. Cuando f ( x ) = 8 , x ≈ 0,82 En los siguientes ejercicios, consulte la . x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 8,7 12,3 15,4 18,5 20,7 22,5 23,3 24 24,6 24,8 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y = c 1 + a e - b x que mejor se ajuste a los datos de la tabla. f ( x ) = 25,081 1 + 3,182 e − 0,545 x Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano? Alrededor de 25 Utilice la función de intersección para hallar el valor de x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga. En los siguientes ejercicios, consulte la . x 0 2 4 5 7 8 10 11 15 17 f ( x ) 12 28,6 52,8 70,3 99,9 112,5 125,8 127,9 135,1 135,9 Utilice una calculadora gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la opción de regresión LOGÍSTICA para hallar un modelo de crecimiento logístico de la forma y = c 1 + a e - b x que mejor se ajuste a los datos de la tabla. Grafique la ecuación logística en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la capacidad de carga prevista para el modelo, redondeada al número entero más cercano? Utilice la función de intersección para hallar el valor de x para el que el modelo alcanza la mitad de su capacidad de carga. Cuando f ( x ) = 68 , x ≈ 4,9 Extensiones Recordemos que la forma general de una ecuación logística para una población viene dada por P ( t ) = c 1 + a e - b t , de manera que la población inicial en el momento t = 0 es P ( 0 ) = P 0 . Demuestre algebraicamente que c − P ( t ) P ( t ) = c − P 0 P 0 e - b t . Utilice una herramienta gráfica para hallar una fórmula de regresión exponencial f ( x ) y una fórmula de regresión logarítmica g ( x ) para los puntos ( 1,5 , 1,5 ) y ( 8,5 , 8,5 ) . Redondee todos los números a 6 decimales. Grafique los puntos y ambas fórmulas junto con la línea y = x en el mismo eje. Haga una conjetura sobre la relación de las fórmulas de regresión. f ( x ) = 1,034341 ( 1,281204 ) x g ( x ) = 4,035510 ; las curvas de regresión son simétricas respecto a y = x , por lo que parece que son funciones inversas. Verifique la conjetura realizada en el ejercicio anterior. Redondee todos los números a seis decimales cuando sea necesario. Halle la función inversa f − 1 ( x ) para la función logística f ( x ) = c 1 + a e - b x . Muestre todos los pasos. f − 1 ( x ) = ln ( a ) ln ( c x 1 ) b Utilice el resultado del ejercicio anterior para graficar el modelo logístico P ( t ) = 20 1 + 4 e − 0,5 t junto con su inversa en el mismo eje. ¿Cuáles son las intersecciones y las asíntotas de cada función? Ejercicios de repaso del capítulo Funciones exponenciales Determine si la función y = 156 ( 0,825 ) t representa el crecimiento exponencial, el decaimiento exponencial o ninguno de los dos. Explique decaimiento exponencial; el factor de crecimiento, 0,825 , está entre 0 y 1. La población de una manada de ciervos viene representada por la función A ( t ) = 205 ( 1,13 ) t , donde t se da en años. En el número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de 6 años? Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos (2, 2 ,25) y ( 5 , 60,75 ) . y = 0,25 ( 3 ) x Determine si la podría representar una función que es lineal, exponencial o ninguna de las dos. Si resulta ser exponencial, halle una función que pase por los puntos. x 1 2 3 4 f(x) 3 0,9 0,27 0,081 Se abre una cuenta de jubilación con un depósito inicial de 8.500 dólares y devenga 8,12 % intereses compuestos mensualmente. ¿Qué valor tendrá la cuenta en 20 años? $ 42 . 888,18 Hsu-Mei quiere ahorrar 5.000 dólares para el pago inicial de un automóvil. En el dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con 7,5 % APR, compuesto diariamente, para alcanzar su objetivo en 3 años? ¿La ecuación y = 2,294 e − 0,654 t representa el crecimiento continuo, el decaimiento continuo o ninguno de los dos? Explique. decaimiento continuo; la tasa de crecimiento es negativa. Supongamos que se abre una cuenta de inversión con un depósito inicial de 10.500 dólares devengando 6,25 % de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 25 años? Gráficos de funciones exponenciales Grafique la función f ( x ) = 3,5 ( 2 ) x . Indique el dominio y el rango y dé la intersección en y . dominio: todos los números reales; rango: todos los números reales estrictamente mayores que cero; intersección en y : (0; 3,5); Grafique la función f ( x ) = 4 ( 1 8 ) x y su reflexión respecto al eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y . El gráfico de f ( x ) = 6,5 x se refleja sobre el eje y y se estira verticalmente por un factor de 7. ¿Cuál es la ecuación de la nueva función? g ( x ) ? Indique su intersección en y , su dominio y su rango. g ( x ) = 7 ( 6,5 ) - x ; intersección en y : ( 0 , 7 ) ; Dominio: todos los números reales. Rango: todos los números reales mayores que 0 . El siguiente gráfico muestra las transformaciones del gráfico de f ( x ) = 2 x . ¿Cuál es la ecuación de la transformación? Funciones logarítmicas Reescriba log 17 ( 4.913 ) = x como una ecuación exponencial equivalente. 17 x = 4.913 Reescriba ln ( s ) = t como una ecuación exponencial equivalente. Reescriba a - 2 5 = b como una ecuación logarítmica equivalente. log a b = - 2 5 Reescriba e − 3,5 = h como una ecuación logarítmica equivalente. Resuelva para x si log 64 ( x ) = 1 3 al convertir la ecuación logarítmica log 64 ( x ) = 1 3 en la forma exponencial. x = 64 1 3 = 4 Evalúe log 5 ( 1 125 ) sin usar la calculadora. Evalúe log ( 0,000001 ) sin usar la calculadora. log ( 0 0,000001 ) = − 6 Evalúe log ( 4,005 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. Evalúe ln ( e − 0,8648 ) sin usar la calculadora. ln ( e − 0,8648 ) = − 0,8648 Evalúe ln ( 18 3 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. Gráficos de funciones logarítmicas Grafique la función g ( x ) = log ( 7 x + 21 ) − 4. Grafique la función h ( x ) = 2 ln ( 9 − 3 x ) + 1. Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función g ( x ) = ln ( 4 x + 20 ) − 17. Dominio: x > - 5 ; Asíntota vertical x = - 5 ; Comportamiento final: dado que x → − 5 + , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Propiedades logarítmicas Reescriba ln ( 7 r ⋅ 11 s t ) en forma ampliada. Reescriba log 8 ( x ) + log 8 ( 5 ) + log 8 ( y ) + log 8 ( 13 ) en forma compacta. log 8 ( 65 x y ) Reescriba log m ( 67 83 ) en forma ampliada. Reescriba ln ( z ) - ln ( x ) - ln ( y ) en forma compacta. ln ( z x y ) Reescriba ln ( 1 x 5 ) como producto. Reescriba − log y ( 1 12 ) como un solo logaritmo. log y ( 12 ) Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir log ( r 2 s 11 t 14 ) . Utilice las propiedades de los logaritmos para expandir ln ( 2 b b + 1 b - 1 ) . ln ( 2 ) + ln ( b ) + ln ( b + 1 ) - ln ( b - 1 ) 2 Condense la expresión 5 ln ( b ) + ln ( c ) + ln ( 4 − a ) 2 a un solo logaritmo. Condense la expresión 3 log 7 v + 6 log 7 w − log 7 u 3 a un solo logaritmo. log 7 ( v 3 w 6 u 3 ) Reescriba log 3 ( 12,75 ) a la base e . Reescriba 5 12 x − 17 = 125 como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver x utilizando el logaritmo común. Redondee a la milésima más cercana. x = log ( 125 ) log ( 5 ) + 17 12 = 5 3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Resuelva 216 3 x ⋅ 216 x = 36 3 x + 2 reescribiendo cada lado con una base común. Resuelva 125 ( 1 625 ) - x - 3 = 5 3 reescribiendo cada lado con una base común. x = - 3 Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 7 ⋅ 17 − 9 x - 7 = 49. Si no hay solución, escriba no hay solución . Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de 3 e 6 n – 2 + 1 = − 60. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 5 e 3 x - 4 = 6 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para 2 e 5 x - 2 - 9 = − 56. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 5 2 x - 3 = 7 x + 1 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para e 2 x - e x − 110 = 0 . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ln ( 11 ) Utilice la definición de logaritmo para resolver. − 5 log 7 ( 10 n ) = 5. Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de 9 + 6 ln ( a + 3 ) = 33. a = e 4 - 3 Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para log 8 ( 7 ) + log 8 ( - 4 x ) = log 8 ( 5 ) . Si no hay solución, escriba no hay solución . Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para ln ( 5 ) + ln ( 5 x 2 - 5 ) = ln ( 56 ) . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ± 9 5 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite una gran orquesta con una intensidad sonora de 6,3 ⋅ 10 – 3 vatios por metro cuadrado? La población de una ciudad se modela mediante la ecuación P ( t ) = 256 , 114 e 0,25 t donde t se mide en años. Si la ciudad sigue creciendo a este ritmo, ¿cuántos años tardará en alcanzar el millón de habitantes? alrededor de 5,45 años Halle la función inversa f − 1 para la función exponencial f ( x ) = 2 ⋅ e x + 1 − 5. Halle la función inversa f − 1 para la función logarítmica f ( x ) = 0,25 ⋅ log 2 ( x 3 + 1 ) . f − 1 ( x ) = 2 4 x – 1 3 Modelos exponenciales y logarítmicos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Un médico prescribe 300 miligramos de un fármaco que decae en un 17 % cada hora. ¿Cuál es semivida del fármaco, aproximada al minuto más cercano? Escriba un modelo exponencial que represente la cantidad de fármaco que queda en el organismo del paciente después de t horas. A continuación, utilice la fórmula para calcular la cantidad de fármaco que quedaría en el organismo del paciente después de 24 horas. Redondee a la centésima de gramo más cercana. f ( t ) = 300 ( 0,83 ) t ; f ( 24 ) ≈ 3,43 g En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Una sopa con una temperatura interna de 350 °F se sacó de la estufa para enfriar a una temperatura ambiente de 71 °F . Después de quince minutos, la temperatura interna de la sopa era 175 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. ¿Cuántos minutos tardará la sopa en enfriarse hasta 85 °F? aproximadamente 45 minutos En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La ecuación N ( t ) = 1.200 1 + 199 e − 0,625 t modela el número de personas de una escuela que han escuchado un rumor después de t días. ¿Cuántas personas iniciaron el rumor? A la décima más cercana, ¿cuántos días pasarán antes de que el rumor se extienda a la mitad de la capacidad de carga? aproximadamente 8,5 días ¿Cuál es la capacidad de carga? En los siguientes ejercicios, introduzca los datos de cada tabla en una calculadora gráfica y grafique los diagramas de dispersión resultantes. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica. x f(x) 1 3,05 2 4,42 3 6,4 4 9,28 5 13,46 6 19,52 7 28,3 8 41,04 9 59,5 10 86,28 exponencial x f(x) 0,5 18,05 1 17 3 15,33 5 14,55 7 14,04 10 13,5 12 13,22 13 13,1 15 12,88 17 12,69 20 12,45 Halle la fórmula de una ecuación exponencial que pase por los puntos ( – 2 , 100 ) y ( 0 , 4 ) . Entonces, exprese la fórmula como una ecuación equivalente con base e. y = 4 ( 0,2 ) x ; y = 4 e -1,609438 x Ajuste de modelos exponenciales a los datos ¿Cuál es la capacidad de carga de una población modelada por la ecuación logística P ( t ) = 250 , 000 1 + 499 e − 0,45 t ? ¿Cuál es la población inicial del modelo? La población de un cultivo de bacterias se modela mediante la ecuación logística P ( t ) = 14 , 250 1 + 29 e − 0,62 t , donde t está en días. A la décima más cercana, ¿cuántos días tardará el cultivo en alcanzar 75 % de su capacidad de carga? aproximadamente 7,2 días En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales. x f(x) 1 409,4 2 260,7 3 170,4 4 110,6 5 74 6 44,7 7 32,4 8 19,5 9 12,7 10 8,1 x f(x) 0,15 36,21 0,25 28,88 0,5 24,39 0,75 18,28 1 16,5 1,5 12,99 2 9,91 2,25 8,57 2,75 7,23 3 5,99 3,5 4,81 logarítmico; y = 16,68718 − 9,71860 ln ( x ) x f(x) 0 9 2 22,6 4 44,2 5 62,1 7 96,9 8 113,4 10 133,4 11 137,6 15 148,4 17 149,3 Prueba de práctica La población de una manada de delfines mulares se modela mediante la función A ( t ) = 8 ( 1,17 ) t , donde t se da en años. Al número entero más cercano, ¿cuál será la población de la manada después de 3 años? Unos 13 delfines. Halle una ecuación exponencial que pase por los puntos (0, 4) y (2, 9) . Drew quiere ahorrar 2.500 dólares para ir a la próxima Copa Mundial. Al dólar más cercano, ¿cuánto tendrá que invertir ahora en una cuenta con 6,25 % TAE, que se compone diariamente, para alcanzar su objetivo en 4 años? $ 1.947 Se abrió una cuenta de inversión con un depósito inicial de 9.600 dólares y gana 7,4 % de intereses, calculados continuamente. ¿Cuánto valdrá la cuenta después de 15 años? Grafique la función f ( x ) = 5 ( 0,5 ) - x y su reflexión a través del eje y en los mismos ejes, y dé la intersección en y . intersección en y : ( 0 , 5 ) El gráfico muestra las transformaciones del gráfico de f ( x ) = ( 1 2 ) x . ¿Cuál es la ecuación de la transformación? Reescriba log 8,5 ( 614,125 ) = a como una ecuación exponencial equivalente. 8,5 a = 614,125 Reescriba e 1 2 = m como una ecuación logarítmica equivalente. Resuelva para x al convertir la ecuación logarítmica l o g 1 7 ( x ) = 2 en la forma exponencial. x = ( 1 7 ) 2 = 1 49 Evalúe log ( 10.000.000 ) sin usar la calculadora. Evalúe ln ( 0,716 ) utilizando una calculadora. Redondee a la milésima más cercana. ln ( 0,716 ) ≈ − 0,334 Grafique la función g ( x ) = log ( 12 − 6 x ) + 3. Indique el dominio, la asíntota vertical y el comportamiento final de la función f ( x ) = log 5 ( 39 − 13 x ) + 7. Dominio: x < 3 ; Asíntota vertical x = 3 ; Comportamiento final: x → 3 - , f ( x ) → - ∞ y x → - ∞ , f ( x ) → ∞ Reescriba log ( 17 a ⋅ 2 b ) como una suma. Reescriba log t ( 96 ) - log t ( 8 ) en forma compacta. log t ( 12 ) Reescriba log 8 ( a 1 b ) como producto. Utilice las propiedades del logaritmo para expandir ln ( y 3 z 2 ⋅ x - 4 3 ) . 3 ln ( y ) + 2 ln ( z ) + ln ( x - 4 ) 3 Condense la expresión 4 ln ( c ) + ln ( d ) + ln ( a ) 3 + ln ( b + 3 ) 3 a un solo logaritmo. Reescriba 16 3 x - 5 = 1.000 como un logaritmo. A continuación, aplique la fórmula de cambio de base para resolver x con el logaritmo natural. Redondee a la milésima más cercana. x = ln ( 1.000 ) ln ( 16 ) + 5 3 ≈ 2,497 Resuelva ( 1 81 ) x ⋅ 1 243 = ( 1 9 ) - 3 x – 1 reescribiendo cada lado con una base común. Utilice los logaritmos para hallar la solución exacta de − 9 e 10 a − 8 − 5 = − 41 . Si no hay solución, escriba no hay solución . a = ln ( 4 ) + 8 10 Halle la solución exacta para 10 e 4 x + 2 + 5 = 56. Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para − 5 e − 4 x – 1 - 4 = 64. Si no hay solución, escriba no hay solución . no hay solución Halle la solución exacta para 2 x - 3 = 6 2 x – 1 . Si no hay solución, escriba no hay solución . Halle la solución exacta para e 2 x - e x − 72 = 0 . Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ln ( 9 ) Utilice la definición de logaritmo para hallar la solución exacta de 4 log ( 2 n ) - 7 = − 11 Utilice la propiedad biunívoca de los logaritmos para hallar una solución exacta para log ( 4 x 2 - 10 ) + log ( 3 ) = log ( 51 ) Si no hay solución, escriba no hay solución . x = ± 3 3 2 La fórmula para medir la intensidad del sonido en decibelios D se define por la ecuación D = 10 log ( I I 0 ) , donde I es la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado y I 0 = 10 – 12 es el nivel de sonido más bajo que puede oír una persona normal. ¿Cuántos decibelios emite un concierto de rock con una intensidad sonora de 4,7 ⋅ 10 - 1 vatios por metro cuadrado? Un funcionario de seguridad radiológica trabaja con 112 gramos de una sustancia radiactiva. Después de 17 días, la muestra ha decaído hasta 80 gramos. Redondeando a cinco dígitos significativos, escriba una ecuación exponencial que represente esta situación. ¿Cuál es la semivida de esta sustancia, aproximada a un día? f ( t ) = 112 e − 0,019792 t ; semivida: aproximadamente 35 días Escriba la fórmula determinada en el ejercicio anterior como una ecuación equivalente con base e . Exprese el exponente con cinco dígitos significativos. Una botella de gaseosa con una temperatura de 71 °F se sacó de un estante y se colocó en un refrigerador con una temperatura interna de 35 °F . Después de diez minutos, la temperatura interna de la gaseosa era 63 °F . Utilice la ley de enfriamiento de Newton para escribir una fórmula que modele esta situación. Al grado más cercano, ¿cuál será la temperatura de la gaseosa al cabo de una hora? T ( t ) = 36 e − 0,025131 t + 35 ; T ( 60 ) ≈ 43 i F La población de un hábitat silvestre se modela mediante la ecuación P ( t ) = 360 1 + 6,2 e − 0,35 t , donde t se da en años. ¿Cuántos animales se transportaron originalmente al hábitat? ¿Cuántos años pasarán antes de que el hábitat alcance la mitad de su capacidad? Introduzca los datos de la en una calculadora gráfica y dibuje el diagrama de dispersión resultante. Determine si los datos de la tabla representan probablemente una función lineal, exponencial o logarítmica. x f(x) 1 3 2 8,55 3 11,79 4 14,09 5 15,88 6 17,33 7 18,57 8 19,64 9 20,58 10 21,42 logarítmico La población de peces en un lago se modela mediante la ecuación logística P ( t ) = 16 , 120 1 + 25 e − 0,75 t , donde t es el tiempo en años. A la centésima más cercana, ¿cuántos años tardará el lago en alcanzar 80 % de su capacidad de carga? En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para crear un diagrama de dispersión de los datos en la tabla. Observe la forma del diagrama de dispersión para determinar si los datos se describen mejor mediante un modelo exponencial, logarítmico o logístico. A continuación, utilice la función de regresión adecuada para hallar una ecuación que modele los datos. Cuando sea necesario, redondee los valores a cinco decimales. x f(x) 1 20 2 21,6 3 29,2 4 36,4 5 46,6 6 55,7 7 72,6 8 87,1 9 107,2 10 138,1 exponencial; y = 15,10062 ( 1,24621 ) x x f(x) 3 13,98 4 17,84 5 20,01 6 22,7 7 24,1 8 26,15 9 27,37 10 28,38 11 29,97 12 31,07 13 31,43 x f(x) 0 2,2 0,5 2,9 1 3,9 1,5 4,8 2 6,4 3 9,3 4 12,3 5 15 6 16,2 7 17,3 8 17,9 logística; y = 18,41659 1 + 7,54644 e − 0,68375 x

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Introducción La marea sube y baja a intervalos regulares y predecibles. (Créditos: Andrea Schaffer, Flickr) La vida está llena de fenómenos que se repiten a intervalos regulares. Cada día, por ejemplo, las mareas suben y bajan en respuesta a la atracción gravitacional de la luna. Hamacher, D. W., Tapim, A., Passi, S. y Barsa, J. (2018). Dancing with the stars – astronomy and music in the Torres Strait. En Imagining Other Worlds: Explorations in Astronomy and Culture . Y como consecuencia del propio movimiento de la luna, las mareas se producen con distinta intensidad. A lo largo de la historia, muchos pueblos indígenas utilizaron esta regularidad para construir relatos culturales y dirigir actividades clave, como la agricultura, la caza y la pesca. Los aborígenes del área del estrecho de Torres (el extremo norte) de Australia utilizaban los picos de las mareas para determinar los mejores momentos para pescar. Sus ancianos explican que las fuertes mareas de primavera agitan los sedimentos y oscurecen la visión de los peces haciéndolos más proclives a atrapar los señuelos, lo que genera una mayor pesca. En matemáticas, la función que repite sus valores a intervalos regulares se conoce como función periódica. Los gráficos de estas funciones revelan una forma general que refleja un patrón que se repite. Esto significa que el gráfico de la función tiene la misma salida exactamente en el mismo lugar en cada ciclo. Esto se traduce en que todos los ciclos de la función tienen exactamente la misma longitud. Así, si conocemos todos los detalles de un ciclo completo de una función periódica verdadera, entonces conocemos el estado de las salidas de la función en todo momento: futuro y pasado. En este capítulo, investigaremos varios ejemplos de funciones periódicas.

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Ángulos Un golfista se balancea para golpear una bola por encima de una trampa de arena y llegar al green. Un piloto de aerolínea maniobra un avión hacia una pista estrecha. Un diseñador de vestidos crea la última moda. ¿Qué tienen todos ellos en común? Todos ellos trabajan con ángulos, al igual que todos nosotros en un momento u otro. A veces es necesario medir los ángulos con exactitud mediante instrumentos. Otras veces los estimamos o juzgamos a ojo. En cualquier caso, el ángulo adecuado puede marcar la diferencia entre el éxito y el fracaso en muchas empresas. En esta sección, examinaremos las propiedades de los ángulos. Dibujar ángulos en posición estándar Para definir correctamente un ángulo, primero hay que definir una raya. La raya consiste en un punto en una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto. El primer punto se denomina punto final de la raya. Podemos referirnos a una raya concreta al indicar su punto final y cualquier otro punto en esta. La raya en la puede denominarse EF, o indicarse en forma de símbolo E F →) . Un ángulo es la unión de dos rayas que tienen un punto final común. El punto final se denomina vértice , mientras que las dos rayas son los lados del ángulo. El ángulo en la se forma a partir de E D → y E F →) . Los ángulos pueden nombrarse al utilizar un punto en cada raya y el vértice, como el ángulo DEF , o en forma de símbolo ∠ D E F . Las letras griegas se utilizan a menudo como variables para la medida de un ángulo. La es una lista de letras griegas que se utilizan para representar ángulos. Además, un ejemplo de ángulo se muestra en la . θ φ o ϕ α β γ theta phi alfa beta gamma El ángulo theta, mostrado como ∠ θ La creación de ángulos es un proceso dinámico. Empezamos con dos rayas superpuestas. Dejamos una fija y rotamos la otra. La raya fija es el lado inicial , y la raya rotada es el lado terminal . Para identificar los diferentes lados, indicamos la rotación con un pequeño arco y una flecha cerca del vértice como en la . Como hemos comentado al principio de la sección, las aplicaciones de los ángulos son múltiples. Sin embargo, para poder utilizarlos correctamente, debemos estar en la capacidad de medirlos. La medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Probablemente, la unidad de medida de ángulos más conocida es el grado. Un grado es 1 360 de una rotación circular, por lo que una rotación circular completa contiene 360 grados. Un ángulo medido en grados debería incluir siempre la unidad "grados" después del número, o incluir el símbolo de grado º. Por ejemplo, 90 grados = 90º. Para formalizar nuestro trabajo, empezaremos dibujando ángulos en un plano de coordenadas de la x y de la y . Los ángulos pueden aparecer en cualquier posición del plano de coordenadas. Sin embargo, a efectos de comparación, la convención es ilustrarlos en la misma posición siempre que sea posible. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está situado en el origen, y su lado inicial se extiende a lo largo del eje positivo x . Vea la . Si el ángulo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial hasta el lado terminal, se dice que es positivo . Si el ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj, se dice que es negativo . Al dibujar un ángulo en posición estándar siempre comienza de la misma manera: se dibuja el lado inicial a lo largo del eje positivo x . Para situar el lado terminal del ángulo, debemos calcular la fracción de una rotación completa que representa el ángulo. Lo hacemos al dividir la medida del ángulo en grados entre 360º. Por ejemplo, para dibujar un ángulo de 90º, calculamos que 90° 360° = 1 4 . Por lo tanto, el lado terminal estará a una cuarta parte del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x . Para dibujar un ángulo de 360º, calculamos que 360° 360° = 1. Por lo tanto, el lado terminal dará una vuelta completa alrededor del círculo, en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje positivo x . En este caso, el lado inicial y el lado terminal se superponen. Vea la . Como definimos un ángulo en posición estándar por su lado inicial, tenemos un tipo especial de ángulo, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, un ángulo cuadrangular . Este tipo de ángulo puede tener una medida de 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Vea la . Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra a lo largo de un eje. Se muestran ejemplos. Ángulos cuadrangulares Los ángulos cuadrangulares son ángulos en posición estándar, cuyo lado terminal se encuentra en un eje, incluso 0°, 90°, 180°, 270° o 360°. Cómo Dada una medida de ángulo en grados, dibujar el ángulo en posición estándar. Exprese la medida del ángulo como una fracción de 360°. Reduzca la fracción a la forma más simple. Dibuje un ángulo que contenga esa misma fracción del círculo, comenzando en el eje x positivo y moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj en los ángulos positivos y en sentido de las agujas del reloj en los ángulos negativos. Dibujar un ángulo en posición estándar, medido en grados Ⓐ Trace un ángulo de 30° en posición estándar. Ⓑ Dibuje un ángulo de -135° en posición estándar. Ⓐ Divida la medida del ángulo entre 360°. 30° 360° = 1 12 Para reescribir la fracción en una fracción más familiar, podemos reconocer que 1 12 = 1 3 ( 1 4 ) Un doceavo es igual a un tercio de un cuarto, por lo que, si dividimos un cuarto de rotación en tercios, podemos trazar una línea a 30°, como en la . Ⓑ Divida la medida del ángulo entre 360°. − 135° 360° = - 3 8 En este caso, podemos reconocer que − 3 8 = - 3 2 ( 1 4 ) Los tres octavos negativos son una vez y media un cuarto, por lo que colocamos una línea en el sentido de las agujas del reloj un cuarto completo y la mitad de otro cuarto, como en la . Ejercicio Muestre un ángulo de 240° en un círculo en posición estándar. Convertir entre grados y radianes Dividir un círculo en 360 partes es una elección arbitraria, aunque crea la conocida medida de grados. Podemos elegir otras formas para dividir un círculo. Para calcular otra unidad, piense en el proceso de dibujar un círculo. Imagine que se detiene antes de completar el círculo. La parte que ha dibujado se denomina arco. Un arco puede ser una porción de un círculo completo, un círculo completo o más de un círculo completo, representado por más de una rotación completa. La longitud del arco alrededor de un círculo entero se denomina la circunferencia de ese círculo. La circunferencia de un círculo es C = 2 π r . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre r , creamos el cociente entre la circunferencia y el radio, que siempre es 2 π independientemente de la longitud del radio. Así que la circunferencia de cualquier círculo es 2 π ≈ 6,28 veces la longitud del radio. Esto significa que si tomáramos una cuerda tan larga como el radio y la utilizáramos para medir longitudes consecutivas alrededor de la circunferencia, habría espacio para seis longitudes de cuerda completas y un poco más de un cuarto de la séptima, como se muestra en la . Esto nos lleva a nuestra nueva medida de ángulo. Un radián es la medida de un ángulo central de un círculo que interseca un arco de longitud igual al radio de dicho círculo. Un ángulo central es un ángulo formado en el centro de un círculo por dos radios. Dado que la circunferencia total es igual a 2 π veces el radio, una rotación circular completa es 2 π radianes. Así que 2 π radianes = 360 ∘ π radianes = 360 ∘ 2 = 180 ∘ 1 radián = 180 ∘ π ≈ 57,3 ∘ Vea la . Observe que, cuando se describe un ángulo sin una unidad específica, se refiere a la medida del radián. Por ejemplo, una medida de ángulo de 3 indica 3 radianes. De hecho, la medida del radián es adimensional, ya que es el cociente de una longitud (circunferencia) dividido entre la longitud (radio) y las unidades de longitud se cancelan. El ángulo t recorre una medida de un radián. Observe que la longitud del arco interceptado es la misma que la longitud del radio del círculo. Relacionar las longitudes de los arcos con los radios La longitud de arco s es la longitud de la curva a lo largo del arco. Al igual que la circunferencia completa de un círculo siempre tiene una relación constante con el radio, la longitud de arco producida por un ángulo cualquiera también tiene una relación constante con el radio, independientemente de su longitud. Este cociente, denominado medición de radián , es el mismo, independientemente del radio del círculo (solo depende del ángulo). Esta propiedad nos permite definir la medida de cualquier ángulo como el cociente de la longitud de arco s al radio r . Vea la . s = r θ θ = s r Si los valores de s = r , entonces θ = r r = 1 radián . (a) En un ángulo de 1 radián, la longitud de arco s es igual al radio r . b) Un ángulo de 2 radianes tiene una longitud de arco s = 2 r . (c) Una revolución completa es 2 π o unos 6,28 radianes. Para profundizar en esta idea, consideremos dos círculos, uno con radio 2 y otro con radio 3. Recordemos que la circunferencia de un círculo es C = 2 π r , donde r es el radio. El círculo más pequeño tiene entonces la circunferencia 2 π ( 2 ) = 4 π y el más grande tiene circunferencia 2 π ( 3 ) = 6 π . Ahora trazamos un ángulo de 45° en los dos círculos, como en la . Un ángulo de 45° contiene un octavo de la circunferencia de un círculo, independientemente del radio. Observe lo que ocurre si calculamos el cociente de la longitud del arco dividido entre el radio del círculo. Círculo más pequeño: 1 2 π 2 = 1 4 π Círculo más grande: 3 4 π 3 = 1 4 π Dado que ambos ratios son 1 4 π , las medidas de los ángulos de ambos círculos son las mismas, aunque la longitud del arco y el radio sean diferentes. Radianes Un radián es la medida del ángulo central de un círculo tal que la longitud del arco entre el lado inicial y el lado terminal es igual al radio del círculo. Una revolución completa (360°) equivale a 2 π radianes. Una media revolución (180°) equivale a π radianes. La medición de radián de un ángulo es el cociente entre la longitud del arco subtendido por el ángulo y el radio del círculo. En otras palabras, si s es la longitud de un arco de círculo, y r es el radio del círculo, entonces el ángulo central que contiene ese arco mide s r radianes. En un círculo de radio 1, la medida del radián corresponde a la longitud del arco. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Una medida de 1 radián parece ser de unos 60°. ¿Es eso correcto? Sí. Es aproximadamente 57,3°. Dado que 2 π radianes es igual a 360°, 1 radián es igual a 360° 2 π ≈ 57,3° . Usar radianes Dado que la medición de radián es el cociente de dos longitudes, es una medida sin unidades. Por ejemplo, en la , supongamos que el radio fuera de 2 pulgadas y la distancia a lo largo del arco fuera también de 2 pulgadas. Cuando calculamos la medida del radián del ángulo, las "pulgadas" se cancelan, y tenemos un resultado sin unidades. Por lo tanto, no es necesario escribir la etiqueta "radianes" después de una medición de radián, y si vemos un ángulo que no está etiquetado con "grados" o el símbolo de grado, podemos asumir que es una medición de radián. Considerando el caso más básico, el círculo unitario (un círculo de radio 1), sabemos que 1 rotación equivale a 360 grados, 360°. También podemos seguir una rotación alrededor de un círculo al calcular la circunferencia, C = 2 π r , y para el círculo unitario C = 2 π . Estas dos formas diferentes de girar alrededor de un círculo nos dan una manera de convertir de grados a radianes. 1 rotación = 360° = 2 π radianes 1 2 rotación = 180° = π radianes 1 4 rotación = 90° = π 2 radianes Identificar ángulos especiales, medidos en radianes Además de conocer las medidas en grados y radianes de un cuarto de revolución, media revolución y revolución completa, hay otros ángulos que se encuentran con frecuencia en la revolución de un círculo con los que deberíamos estar familiarizados. Es habitual encontrar múltiplos de 30, 45, 60 y 90 grados. Estos valores se muestran en la . Será muy útil memorizar estos ángulos cuando estudiamos las propiedades asociadas a ellos. Ángulos habituales medidos en grados Ahora, podemos enumerar los valores de los radianes con respecto a las medidas comunes de un círculo correspondientes a las que se enumeran en la , y que se muestran en la . Verifique cada una de estas medidas. Ángulos habituales medidos en radianes Calcular una medición de radián Calcule la medición de radián de un tercio de una rotación completa. En cualquier círculo, la longitud de arco a lo largo de dicha rotación sería un tercio de la circunferencia. Sabemos que 1 rotación = 2 π r Así que, s = 1 3 ( 2 π r ) = 2 π r 3 La medición de radián sería la longitud del arco, dividida entre el radio. medición de radián = 2 π r 3 r = 2 π r 3 r = 2 π 3 Ejercicio Calcule la medición de radián de tres cuartos de una rotación completa. 3 π 2 Convertir radianes y grados Dado que tanto los grados como los radianes miden ángulos, tenemos que ser capaces de convertirlos. Podemos hacerlo fácilmente utilizando una proporción. θ 180 = θ R π Esta proporción muestra que la medida del ángulo θ en grados dividido entre 180 es igual a la medida del ángulo θ en radianes dividido entre π . Dicho de otra manera, los grados son a 180 como los radianes son a π . Grados 180 = Radianes π Convertir radianes y grados Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción θ 180 = θ R π Convertir de radianes a grados Convierta cada medida de radián a grados. Ⓐ π 6 Ⓑ 3 Como nos dan radianes y queremos grados, debemos establecer una proporción y resolverla. Ⓐ Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada. θ 180 = θ R π θ 180 = π 6 π θ = 180 6 θ = 30 ∘ Ⓑ Utilizamos la proporción, sustituyendo la información dada. θ 180 = θ R π θ 180 = 3 π θ = 3 ( 180 ) π θ ≈ 172 ∘ Ejercicio Convierta − 3 π 4 radianes a grados. −135° Convertir de grados a radianes Convierta 15 grados a radianes. En este ejemplo, empezamos con grados y queremos radianes, así que de nuevo establecemos una proporción y la resolvemos, pero sustituimos la información dada en una parte diferente de la proporción. θ 180 = θ R π 15 180 = θ R π 15 π 180 = θ R π 12 = θ R Análisis Otra forma de pensar en este problema es si recordamos que 30 ∘ = π 6 . Dado que 15 ∘ = 1 2 ( 30 ∘ ) , podemos hallar que 1 2 ( π 6 ) es π 12 . Ejercicio Convierta 126° a radianes. 7 π 10 Calcular ángulos coterminales La conversión entre grados y radianes puede facilitar el trabajo con ángulos en algunas aplicaciones. Para otras aplicaciones, quizá necesitemos otro tipo de conversión. Los ángulos negativos y los ángulos superiores a una revolución completa son más difíciles de trabajar que los que están en el rango de 0° a 360°, o de 0 a 2 π . Sería conveniente sustituir esos ángulos fuera de rango por un ángulo correspondiente dentro del rango de una sola revolución. Es posible que más de un ángulo tenga el mismo lado terminal. Observe la . El ángulo de 140° es un ángulo positivo , medido en sentido contrario a las agujas del reloj. El ángulo de -220° es un ángulo negativo , medido en el sentido de las agujas del reloj. No obstante, ambos ángulos tienen el mismo lado terminal. Si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son ángulos coterminales . Todo ángulo mayor que 360° o menor que 0° es coterminal con un ángulo entre 0° y 360°, y a menudo es más conveniente hallar el ángulo coterminal dentro del rango de 0° a 360° que trabajar con un ángulo que esté fuera de ese rango. Un ángulo de 140° y un ángulo de -220° son ángulos coterminales. Cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales porque cada vez que sumamos 360° a ese ángulo, o le restamos 360°, el valor resultante tiene un lado terminal en el mismo lugar. Por ejemplo, 100° y 460° son coterminales por esta razón, al igual que -260°. Reconocer que cualquier ángulo tiene infinitos ángulos coterminales explica la forma repetitiva en los gráficos de las funciones trigonométricas. El ángulo de referencia de un ángulo es la medida del menor ángulo agudo positivo t formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Por lo tanto, los ángulos de referencia positivos tienen lados terminales que se encuentran en el primer cuadrante y pueden utilizarse como modelos de ángulos en otros cuadrantes. Observe en la los ejemplos de ángulos de referencia para ángulos en diferentes cuadrantes. Ángulos coterminales y de referencia Los ángulos coterminales son dos ángulos en posición estándar que tienen el mismo lado terminal. El ángulo de referencia de un ángulo es el tamaño del ángulo agudo más pequeño, t ′ , formado por el lado terminal del ángulo t y el eje horizontal. Cómo Dado un ángulo mayor que 360°, hallar un ángulo coterminal entre 0° y 360°. Reste 360° del ángulo dado. Si el resultado sigue siendo mayor que 360°, vuelva a restar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Calcular un ángulo coterminal con un ángulo de medida mayor que 360° Halle el menor ángulo positivo θ que es coterminal con un ángulo que mide 800°, donde 0° ≤ θ < 360° . Un ángulo con medida 800° es coterminal con un ángulo con medida 800 - 360 = 440°, pero 440° sigue siendo mayor que 360°, así que volvemos a restar 360° para hallar otro ángulo coterminal: 440 − 360 = 80°. El ángulo θ = 80° es coterminal con 800°. Dicho de otro modo, 800° equivale a 80° más dos rotaciones completas, como se muestra en la . Ejercicio Calcule un ángulo α que es coterminal con un ángulo que mide 870°, donde 0° ≤ α < 360° . α = 150 ° Cómo Dado un ángulo con una medida menor que 0°, hallar un ángulo coterminal que tenga una medida entre 0° y 360°. Sume 360° al ángulo dado. Si el resultado sigue siendo inferior a 0°, vuelva a sumar 360° hasta que el resultado esté entre 0° y 360°. El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Hallar un ángulo coterminal con un ángulo que mida menos de 0° Muestre el ángulo con medida -45° en un círculo y halle un ángulo coterminal positivo α tal que 0° ≤ α < 360°. Dado que 45° es la mitad de 90°, podemos empezar en el eje horizontal positivo y medir en el sentido de las agujas del reloj la mitad de un ángulo de 90°. Ya que podemos calcular ángulos coterminales al sumar o restar una rotación completa de 360°, podemos calcular un ángulo coterminal positivo aquí, si sumamos 360°: − 45° + 360° = 315° Podemos entonces mostrar el ángulo en un círculo, como en la . Ejercicio Calcule un ángulo β que es coterminal con un ángulo que mide -300° tal que 0° ≤ β < 360° . β = 60 ° Calcular ángulos coterminales, medidos en radianes Podemos calcular los ángulos coterminales medidos en radianes de la misma manera que lo hemos hecho mediante el empleo de grados. En ambos casos, calculamos los ángulos coterminales al sumar o restar una o más rotaciones completas. Cómo Dado un ángulo mayor que. 2 π , hallar un ángulo coterminal entre 0 y 2 π . Reste 2 π desde el ángulo dado. Si el resultado sigue siendo mayor que 2 π , reste 2 π de nuevo hasta que el resultado esté entre 0 y 2 π . El ángulo resultante es coterminal con el ángulo original. Calcular ángulos coterminales con radianes Calcule un ángulo β que sea coterminal con 19 π 4 , donde 0 ≤ β < 2 π . Al trabajar en grados, hallamos los ángulos coterminales al sumar o restar 360 grados, una rotación completa. Igualmente, en radianes, podemos hallar ángulos coterminales al sumar o restar rotaciones completas de 2 π radianes: 19 π 4 – 2 π = 19 π 4 − 8 π 4 = 11 π 4 El ángulo 11 π 4 es coterminal, pero no menos que 2 π , por lo que restamos otra rotación: 11 π 4 – 2 π = 11 π 4 − 8 π 4 = 3 π 4 El ángulo 3 π 4 es coterminal con 19 π 4 , como se muestra en la . Ejercicio Calcular un ángulo de medida θ que sea coterminal con un ángulo de medida − 17 π 6 donde 0 ≤ θ < 2 π . 7 π 6 Determinar la longitud de un arco Recordemos que la medición de radián θ de un ángulo se definió como el cociente de la longitud de arco s de un arco circular al radio r del círculo, θ = s r . A partir de esta relación, podemos calcular la longitud de arco a lo largo de un círculo, dado un ángulo. Longitud de arco de un círculo En un círculo de radio r , la longitud de un arco s subtendido por un ángulo con medida θ en radianes, mostrado en la , es s = r θ Cómo Dado un círculo de radio. r , calcular la longitud s del arco subtendido por un ángulo de medida determinado θ . Si es necesario, convierta θ a radianes. Multiplique el radio r entre la medida del radián de θ : s = r θ . Calcular la longitud de un arco Supongamos que la órbita de Mercurio alrededor del Sol es un círculo perfecto. Mercurio se encuentra aproximadamente a 36 millones de millas del sol. Ⓐ En un día terrestre, Mercurio completa 0,0114 de su revolución total. ¿Cuántas millas recorre en un día? Ⓑ Utilice su respuesta de la parte (a) para determinar la medida del radián del movimiento de Mercurio en un día terrestre. Ⓐ Empecemos por calcular la circunferencia de la órbita de Mercurio. C = 2 π r = 2 π ( 36 millones de millas ) ≈ 226 millones de millas Dado que Mercurio completa 0,0114 de su revolución total en un día terrestre, ahora podemos calcular la distancia recorrida: ( 0,0114 ) 226 millones de millas = 2 ,58 millones de millas Ⓑ Ahora, convertimos a radianes: radián = longitud del arco radio = 2. 58 millones de millas 36 millones de millas = 0,0717 Ejercicio Determine la longitud de arco a lo largo de un círculo de radio 10 unidades subtendido por un ángulo de 215°. 215 π 18 = 37.525 al cuadrado Calcular el área de un sector de un círculo Además de la longitud de arco, también podemos utilizar los ángulos para hallar el área de un sector de un círculo . Un sector es una región de un círculo delimitado por dos radios y el arco intersecado, como una porción de pizza o pastel. Recordemos que el área de un círculo de radio r se puede hallar con la fórmula A = π r 2 . Si los dos radios forman un ángulo de θ , medido en radianes, entonces θ 2 π es la relación entre la medida del ángulo y la medida de una rotación completa y es también, por tanto, la relación entre el área del sector y el área del círculo. Así, el área de un sector es la fracción θ 2 π multiplicado por toda la superficie. (Recuerde siempre que esta fórmula solo procede si θ está en radianes). Área del sector = ( θ 2 π ) π r 2 = θ π r 2 2 π = 1 2 θ r 2 Área de un sector El área de un sector de un círculo de radio r subtendido por un ángulo θ , medido en radianes, es A = 1 2 θ r 2 Vea la . El área del sector es igual a la mitad del cuadrado del radio por el ángulo central medido en radianes. Cómo Dado un círculo de radio r , hallar el área de un sector definido por un ángulo dado θ . Si es necesario, convierta θ a radianes. Multiplique la mitad de la medida del radián de θ por el cuadrado del radio r :  A = 1 2 θ r 2 . Hallar el área de un sector Un aspersor automático de césped rocía una distancia de 20 pies mientras gira 30 grados, como se muestra en la . ¿Cuál es la superficie del sector de césped que riega el aspersor? El aspersor rocía 20 pies en un arco de 30°. En primer lugar, tenemos que convertir la medida del ángulo en radianes. Dado que 30 grados es uno de nuestros ángulos especiales, ya conocemos la medida del radián equivalente, pero también podemos convertir: 30 grados = 30 ⋅ π 180 = π 6 radianes El área del sector es entonces Área = 1 2 ( π 6 ) ( 20 ) 2 ≈ 104,72 Así que el área es de aproximadamente 104,72 pies 2 . Ejercicio En el riego por pivote central, una gran tubería de riego sobre ruedas gira alrededor de un punto central. Un agricultor tiene un sistema de pivote central con un radio de 400 metros. Si las restricciones de agua solo le permiten regar 150.000 metros cuadrados al día, ¿qué ángulo debe configurar para que cubra el sistema? Escriba la respuesta en medida de radianes con dos decimales. 1,88 Utilizar la velocidad lineal y angular para describir el movimiento en una trayectoria circular Además de calcular el área de un sector, podemos utilizar los ángulos para describir la velocidad de un objeto en movimiento. Un objeto que viaja en una trayectoria circular tiene dos tipos de velocidad. La velocidad lineal es la velocidad a lo largo de una trayectoria recta y se determina por la distancia que recorre (su desplazamiento ) en un intervalo determinado. Por ejemplo, si una rueda con un radio de 5 pulgadas gira una vez por segundo, un punto en el borde de la rueda se mueve una distancia igual a la circunferencia, o 10 π pulgadas, cada segundo. Así que la velocidad lineal del punto es 10 π in/s. La ecuación de la velocidad lineal es la siguiente, donde v es la velocidad lineal, s es el desplazamiento, y t es el tiempo. v = s t La velocidad angular es el resultado del movimiento circular y se determina por el ángulo por el que gira un punto en un intervalo determinado. En otras palabras, la velocidad angular es la rotación angular por unidad de tiempo. Así, por ejemplo, si un engranaje realiza una rotación completa cada 4 segundos, podemos calcular su velocidad angular como 360 grados 4 segundos = 90 grados por segundo. La velocidad angular puede indicarse en radianes por segundo, rotaciones por minuto o grados por hora, por ejemplo. La ecuación de la velocidad angular es la siguiente, donde ω (leído como omega) es la velocidad angular, θ es el ángulo recorrido, y t es el tiempo. ω = θ t Al combinar la definición de velocidad angular con la ecuación de la longitud de arco, s = r θ , hallamos una relación entre las velocidades angulares y lineales. La ecuación de la velocidad angular puede resolverse para θ , lo que arroja θ = ω t . Sustituyendo esto en la ecuación de la longitud de arco se obtiene: s = r θ = r ω t Sustituyendo esto en la ecuación de la velocidad lineal se obtiene: v = s t = r ω t t = r ω Velocidad angular y lineal Cuando un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r , su velocidad angular , ω , es la rotación angular θ por unidad de tiempo, t . ω = θ t La velocidad lineal , v , del punto se puede calcular como la distancia recorrida, la longitud del arco s , por unidad de tiempo, t . v = s t Cuando la velocidad angular se mide en radianes por unidad de tiempo, la velocidad lineal y la velocidad angular están relacionadas por la ecuación v = r ω Esta ecuación establece que la velocidad angular en radianes, ω , que representa la cantidad de rotación que se produce en una unidad de tiempo, puede multiplicarse por el radio r para calcular la longitud de arco total recorrida en una unidad de tiempo, que es la definición de velocidad lineal. Cómo Dada la cantidad de rotación angular y el tiempo transcurrido, calcular la velocidad angular. Si es necesario, convierta la medida del ángulo en radianes. Divida el ángulo en radianes entre el número de unidades de tiempo transcurrido ω = θ t . La velocidad resultante estará en radianes por unidad de tiempo. Las ruedas hidráulicas se utilizan desde hace miles de años para transferir la potencia del agua que fluye a otros dispositivos. La siguiente imagen muestra el diseño de la rueda hidráulica romana del siglo III en Hierápolis, una ciudad de la actual Turquía. El agua hacía girar la rueda, que a su vez hacía girar una manivela conectada a dos sierras utilizadas para cortar bloques. Estos elementos de diseño se utilizaron en aplicaciones de ruedas hidráulicas en todo el mundo, e incluso facilitaron el principio subyacente de la máquina de vapor, inventada unos 1.500 años más tarde. Calcular la velocidad angular Una rueda hidráulica, mostrada en la , completa 1 rotación cada 5 segundos. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo. La rueda completa 1 rotación o pasa por un ángulo de 2 π radianes en 5 segundos, por lo que la velocidad angular sería ω = 2 π 5 ≈ 1,257 radianes por segundo. Ejercicio Un viejo disco de vinilo se reproduce en un tocadiscos que gira en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad de 45 rotaciones por minuto. Calcule la velocidad angular en radianes por segundo. - 3 π 2 rad/s Cómo Dado el radio de un círculo, un ángulo de giro y una longitud de tiempo transcurrido, determinar la velocidad lineal. Convierta la rotación total a radianes si es necesario. Divida la rotación total en radianes entre el tiempo transcurrido para hallar la velocidad angular: aplique ω = θ t . Multiplique la velocidad angular por la longitud del radio para dar con la velocidad lineal, expresada en términos de la unidad de longitud utilizada para el radio y la unidad de tiempo utilizada para el tiempo transcurrido: aplique v = r ω. Calcular la velocidad lineal Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 RPM (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera. Aquí, tenemos una velocidad angular y necesitamos hallar la velocidad lineal correspondiente, ya que la velocidad lineal del exterior de los neumáticos es la velocidad a la que la bicicleta se desplaza por la carretera. Comenzamos por convertir de rotaciones por minuto a radianes por minuto. Valdría la pena utilizar las unidades para hacer esta conversión: 180 rotaciones minuto ⋅ 2 π radianes rotación = 360 π radianes minuto Utilizando la fórmula de arriba junto con el radio de las ruedas, podemos hallar la velocidad lineal: v = ( 14 pulgadas ) ( 360 π radianes minuto ) = 5040 π pulgadas minuto Recuerde que los radianes son una medida sin unidad, por lo que no es necesario incluirlos. Por último, es posible que queramos convertir esta velocidad lineal en una medida más familiar, como las millas por hora. 5040 π pulgadas minuto ⋅ 1 pies 12 pulgadas ⋅ 1 milla 5280 pies ⋅ 60 minutos 1 hora ≈ 14,99 millas por hora (mph) Ejercicio Un satélite gira alrededor de la Tierra a 0,25 radianes por hora a una altura de 242 km sobre la Tierra. Si el radio de la Tierra es de 6.378 kilómetros, calcule la velocidad lineal del satélite en kilómetros por hora. 1.655 kilómetros por hora Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con los ángulos, la longitud de los arcos y las áreas de los sectores. Ángulos en posición estándar Ángulo de rotación Ángulos coterminales Determinar los ángulos coterminales Ángulos coterminales positivos y negativos Medición de radián Ángulos coterminales en radianes Longitud del arco y área de un sector Ecuaciones clave longitud de arco s = r θ área de un sector A = 1 2 θ r 2 velocidad angular ω = θ t velocidad lineal v = s t velocidad lineal relacionada con la velocidad angular v = r ω Conceptos clave Un ángulo se forma a partir de la unión de dos rayas, al mantener fijo el lado inicial y rotar el lado terminal. La cantidad de rotación determina la medida del ángulo. Un ángulo está en posición estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial se encuentra a lo largo del eje positivo x . Un ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj desde el lado inicial y un ángulo negativo se mide en sentido de las agujas del reloj. Para dibujar un ángulo en posición estándar, dibuje el lado inicial a lo largo del eje positivo x y luego coloque el lado terminal de acuerdo con la fracción de una rotación completa que el ángulo representa. Vea el . Además de en grados, la medida de un ángulo puede describirse en radianes. Vea el . Para convertir entre grados y radianes, utilice la proporción θ 180 = θ R π . Vea el y el . Dos ángulos que tienen el mismo lado terminal reciben el nombre de ángulos coterminales. Podemos hallar ángulos coterminales si sumamos o restamos 360° o 2 π . Vea el y el . Los ángulos coterminales se pueden hallar mediante el empleo de radianes, al igual que se hace con los grados. Vea el . La longitud de un arco de círculo es una fracción de la circunferencia del círculo completo. Vea el . El área del sector es una fracción del área del círculo completo. Vea el . Un objeto que se mueve en una trayectoria circular tiene tanto velocidad lineal como angular. La velocidad angular de un objeto que se desplaza en una trayectoria circular es la medida del ángulo por el que gira en una unidad de tiempo. Vea el . La velocidad lineal de un objeto que recorre una trayectoria circular es la distancia que recorre en una unidad de tiempo. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Dibuje un ángulo en posición estándar. Etiquete el vértice, el lado inicial y el lado terminal. Explique por qué hay un número infinito de ángulos que son coterminales a un determinado ángulo. Indique qué significa un ángulo positivo o negativo y explique cómo se dibuja cada uno de ellos. El hecho de que el ángulo sea positivo o negativo determina la dirección. Un ángulo positivo se dibuja en el sentido contrario a las agujas del reloj, y un ángulo negativo se dibuja en el sentido de las agujas del reloj. ¿Cómo se compara la medición de radián de un ángulo con la medida del grado? Incluya una explicación de 1 radián en su párrafo. Explique las diferencias entre la velocidad lineal y la velocidad angular al describir el movimiento a lo largo de una trayectoria circular. La velocidad lineal es una medida que se obtiene al calcular la distancia de un arco en comparación con el tiempo. La velocidad angular es una medida que se obtiene al calcular el ángulo de un arco comparado con el tiempo. Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un ángulo en posición estándar con la medida dada. 30° 300° −80° 135° −150° 2 π 3 7 π 4 5 π 6 π 2 − π 10 415° −120° 240° −315° 22 π 3 4 π 3 − π 6 - 4 π 3 2 π 3 En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco. Calcule el área del sector. 7 π 2 ≈ 11,00 in 2 En los siguientes ejercicios, consulte la . Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco. Calcule el área del sector. 81 π 20 ≈ 12,72 cm 2 Algebraicos En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en radianes a grados. 3 π 4 radianes π 9 radianes 20° - 5 π 4 radianes π 3 radianes 60° − 7 π 3 radianes - 5 π 12 radianes −75° 11 π 6 radianes En los siguientes ejercicios, convierta los ángulos en grados a radianes. 90° π 2 radianes 100° −540° - 3 π radianes −120° 180° π radianes −315° 150° 5 π 6 radianes En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para determinar la longitud de un arco de un círculo. Redondee a dos decimales. Halle la longitud del arco de un círculo de radio 12 pulgadas subtendido por un ángulo central de π 4 radianes. Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5,02 millas subtendido por el ángulo central de π 3 . 5,02 π 3 ≈ 5,26 millas Determine la longitud del arco de un círculo de 14 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 5 π 6 . Determine la longitud del arco de un círculo de radio 10 centímetros subtendido por el ángulo central de 50°. 25 π 9 ≈ 8,73 centímetros Determine la longitud del arco de un círculo de radio 5 pulgadas subtendido por el ángulo central de 220°. Determine la longitud del arco de un círculo de 12 metros de diámetro subtendido por el ángulo central de 63°. 21 π 10 ≈ 6,60 metros En los siguientes ejercicios, utilice la información dada para calcular el área del sector. Redondee a cuatro decimales. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 45° y un radio de 6 cm. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 30° y un radio de 20 cm. 104,7198 cm 2 Un sector de un círculo con un diámetro de 10 pies y un ángulo de π 2 radianes. Un sector de un círculo con radio de 0,7 pulgadas y un ángulo de π radianes. 0,7697 in 2 En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0° y 360° que es coterminal al ángulo dado. −40° −110° 250° 700° 1400° 320° En los siguientes ejercicios, calcule el ángulo entre 0 y 2 π en radianes que es coterminal al ángulo dado. − π 9 10 π 3 4 π 3 13 π 6 44 π 9 8 π 9 Aplicaciones en el mundo real Un camión con ruedas de 32 pulgadas de diámetro se desplaza a 60 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas? Una bicicleta con ruedas de 24 pulgadas de diámetro se desplaza a 15 mi/h. Calcule la velocidad angular de las ruedas en rad/min. ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas? 1320 rad 210,085 rpm Una rueda de radio 8 pulgadas gira 15°/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v , la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en rad/s? Una rueda de radio 14 pulgadas gira 0,5 rad/s. ¿Cuál es la velocidad lineal v , la velocidad angular en rpm y la velocidad angular en deg/s? 7 in/s, 4,77 rpm, 28,65 deg/s Un disco duro de computadora tiene un diámetro de 120 milímetros. Cuando se reproduce audio, la velocidad angular varía para mantener constante la velocidad lineal donde se lee el disco. Al leer a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular es de unas 200 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal. Cuando se graba en una unidad de CD-R grabable, la velocidad angular de un CD varía para mantener constante la velocidad lineal en el lugar donde se escribe el disco. Al escribir a lo largo del borde exterior del disco, la velocidad angular de una unidad es de unas 4.800 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad lineal si el CD tiene un diámetro de 120 milímetros. 1.809.557,37 mm/min = 30,16 m/s Una persona se encuentra en el ecuador de la Tierra (radio 3.960 millas). ¿Cuáles son sus velocidades lineal y angular? Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 5 minutos ( 1 minuto = 1 60 grado ) . El radio de la Tierra es de 3.960 millas. 5,76 millas Calcule la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo central de 7 minutos ( 1 minuto = 1 60 grado ) . El radio de la Tierra es 3.960 millas. Piense en un reloj con una aguja de las horas y otra de los minutos. ¿Cuál es la medida del ángulo que traza el minutero en 20 minutos? 120 ° Extensiones Dos ciudades tienen la misma longitud. La latitud de la ciudad A es de 9,00 grados norte y la de la ciudad B es de 30,00 grados norte. Supongamos que el radio de la Tierra es de 3.960 millas. Calcule la distancia entre las dos ciudades. Una ciudad está situada a 40 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas. 794 millas por hora Una ciudad se encuentra a 75 grados de latitud norte. Supongamos que el radio de la tierra es de 3.960 millas y que la tierra gira una vez cada 24 horas. Calcule la velocidad lineal de una persona que reside en esta ciudad. Consulte el Círculo unitario: funciones seno y coseno para obtener información sobre las funciones trigonométricas. Calcule la velocidad lineal de la Luna si la distancia media entre la Tierra y la Luna es de 239.000 millas, suponiendo que la órbita de la Luna es circular y requiere unos 28 días. Exprese la respuesta en millas por hora. 2.234 millas por hora Una bicicleta tiene ruedas de 28 pulgadas de diámetro. Un tacómetro determina que las ruedas giran a 180 rpm (revoluciones por minuto). Calcule la velocidad a la que se desplaza la bicicleta por la carretera. Un automóvil recorre 3 millas. Sus neumáticos hacen 2.640 revoluciones. ¿Cuál es el radio de un neumático en pulgadas? 11,5 pulgadas La rueda de un tractor tiene un diámetro de 24 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones da la rueda si el tractor recorre 4 millas? ángulo la unión de dos rayas que tienen un punto final común velocidad angular el ángulo que recorre un objeto en rotación en una unidad de tiempo longitud del arco la longitud de la curva que forma un arco área de un sector área de una porción de círculo limitada por dos radios y el arco interceptado; la fracción θ 2 π multiplicada por el área del círculo completo ángulos coterminales descripción de los ángulos positivos y negativos en posición estándar que comparten el mismo lado del terminal grado unidad de medida que describe el tamaño de un ángulo como la 360.ª parte de una revolución completa de un círculo lado inicial el lado de un ángulo a partir del cual comienza la rotación velocidad lineal la distancia a lo largo de una trayectoria recta que recorre un objeto en rotación en una unidad de tiempo; determinada por la longitud de arco medida de un ángulo la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal ángulo negativo descripción de un ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj desde el eje positivo x ángulo positivo descripción de un ángulo medido en sentido contrario al de las agujas del reloj desde el eje positivo x ángulo cuadrangular un ángulo cuyo lado terminal se encuentra en un eje medición de radián el cociente de la longitud de arco que forma un ángulo, dividido entre el radio del círculo radián la medida de un ángulo central de un círculo que intercepta un arco de longitud igual al radio de dicho círculo raya un punto de una línea y todos los puntos que se extienden en una dirección desde ese punto; el lado de un ángulo ángulo de referencia la medida del ángulo agudo que forman el lado terminal del ángulo y el eje horizontal posición estándar la posición de un ángulo que tiene el vértice en el origen y el lado inicial a lo largo del eje positivo x lado terminal el lado de un ángulo en el que termina la rotación vértice el punto final común de dos rayas que forman un ángulo

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