Cuadros estadísticos Distribución F La entrada de la tabla para p es el valor crítico F* con la probabilidad p situada a su derecha. Valores críticos F Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0,100 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 0,050 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 0,025 647,79 799,50 864,16 899,58 921,85 937,11 948,22 956,66 963,28 0,010 4.052,2 4.999,5 5.403,4 5.624,6 5.763,6 5.859,0 5.928,4 5.981,1 6.022,5 0,001 405.284 500.000 540.379 562.500 576.405 585.937 592.873 598.144 602.284 2 0,100 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 0,050 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 0,025 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 0,010 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 0,001 998,50 999,00 999,17 999,25 999,30 999,33 999,36 999,37 999,39 3 0,100 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 0,050 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 0,025 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 0,010 34,12 30,82 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 0,001 167,03 148,50 141,11 137,10 134,58 132,85 131,58 130,62 129,86 4 0,100 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 0,050 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 0,025 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 0,010 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 0,001 74,14 61,25 56,18 53,44 51,71 50,53 49,66 49,00 48,47 5 0,100 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 0,050 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 0,025 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 0,010 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 0,001 47,18 37,12 33,20 31,09 29,75 28,83 28,16 27,65 27,24 6 0,100 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 0,050 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 0,025 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 0,010 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 0,001 35,51 27,00 23,70 21,92 20,80 20,03 19,46 19,03 18,69 7 0,100 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 0,050 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 0,025 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 0,010 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 0,001 29,25 21,69 18,77 17,20 16,21 15,52 15,02 14,63 14,33 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 1 0,100 60,19 60,71 61,22 61,74 62,05 62,26 62,53 62,69 62,79 63,06 63,30 0,050 241,88 243,91 245,95 248,01 249,26 250,10 251,14 251,77 252,20 253,25 254,19 0,025 968,63 976,71 984,87 993,10 998,08 1.001,4 1.005,6 1.008,1 1.009,8 1.014,0 1.017,7 0,010 6.055,8 6.106,3 6.157,3 6.208,7 6.239,8 6.260,6 6.286,8 6.302,5 6.313,0 6.339,4 6.362,7 0,001 605.621 610.668 615.764 620.908 624.017 626.099 628.712 630.285 631.337 633.972 636.301 2 0,100 9,39 9,41 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,47 9,48 9,49 0,050 19,40 19,41 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,48 19,49 19,49 0,025 39,40 39,41 39,43 39,45 39,46 39,46 39,47 39,48 39,48 39,49 39,50 0,010 99,40 99,42 99,43 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,48 99,49 99,50 0,001 999,40 999,42 999,43 999,45 999,46 999,47 999,47 999,48 999,48 999,49 999,50 3 0,100 5,23 5,22 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,15 5,14 5,13 0,050 8,79 8,74 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,58 8,57 8,55 8,53 0,025 14,42 14,34 14,25 14,17 14,12 14,08 14,04 14,01 13,99 13,95 13,91 0,010 27,23 27,05 26,87 26,69 26,58 26,50 26,41 26,35 26,32 26,22 26,14 0,001 129,25 128,32 127,37 126,42 125,84 125,45 124,96 124,66 124,47 123,97 123,53 4 0,100 3,92 3,90 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,80 3,79 3,78 3,76 0,050 5,96 5,91 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,70 5,69 5,66 5,63 0,025 8,84 8,75 8,66 8,56 8,50 8,46 8,41 8,38 8,36 8,31 8,26 0,010 14,55 14,37 14,20 14,02 13,91 13,84 13,75 13,69 13,65 13,56 13,47 0,001 48,05 47,41 46,76 46,10 45,70 45,43 45,09 44,88 44,75 44,40 44,09 5 0,100 3,30 3,27 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,15 3,14 3,12 3,11 0,050 4,74 4,68 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,44 4,43 4,40 4,37 0,025 6,62 6,52 6,43 6,33 6,27 6,23 6,18 6,14 6,12 6,07 6,02 0,010 10,05 9,89 9,72 9,55 9,45 9,38 9,29 9,24 9,20 9,11 9,03 0,001 26,92 26,42 25,91 25,39 25,08 24,87 24,60 24,44 24,33 24,06 23,82 6 0,100 2,94 2,90 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,77 2,76 2,74 2,72 0,050 4,06 4,00 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,75 3,74 3,70 3,67 0,025 5,46 5,37 5,27 5,17 5,11 5,07 5,01 4,98 4,96 4,90 4,86 0,010 7,87 7,72 7,56 7,40 7,30 7,23 7,14 7,09 7,06 6,97 6,89 0,001 18,41 17,99 17,56 17,12 16,85 16,67 16,44 16,31 16,21 15,98 15,77 7 0,100 2,70 2,67 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,52 2,51 2,49 2,47 0,050 3,64 3,57 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,32 3,30 3,27 3,23 0,025 4,76 4,67 4,57 4,47 4,40 4,36 4,31 4,28 4,25 4,20 4,15 0,010 6,62 6,47 6,31 6,16 6,06 5,99 5,91 5,86 5,82 5,74 5,66 0,001 14,08 13,71 13,32 12,93 12,69 12,53 12,33 12,20 12,12 11,91 11,72 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 0,100 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 0,050 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 0,025 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 0,010 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 0,001 25,41 18,49 15,83 14,39 13,48 12,86 12,40 12,05 11,77 9 0,100 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 0,050 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 0,010 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 0,001 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,70 10,37 10,11 10 0,100 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 0,050 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 0,025 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 0,010 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 0,001 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,93 9,52 9,20 8,96 11 0,100 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 0,050 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 0,025 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 0,010 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 0,001 19,69 13,81 11,56 10,35 9,58 9,05 8,66 8,35 8,12 12 0,100 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 0,050 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 0,025 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 0,010 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 0,001 18,64 12,97 10,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,71 7,48 13 0,100 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 0,050 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 0,025 6,41 4,97 4,35 4,00 3,77 3,60 3,48 3,39 3,31 0,010 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 0,001 17,82 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,49 7,21 6,98 14 0,100 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 0,050 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 0,025 6,30 4,86 4,24 3,89 3,66 3,50 3,38 3,29 3,21 0,010 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 0,001 17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,44 7,08 6,80 6,58 15 0,100 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 0,050 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 0,025 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 0,010 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 0,001 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,74 6,47 6,26 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 8 0,100 2,54 2,50 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,32 2,30 0,050 3,35 3,28 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,02 3,01 2,97 2,93 0,025 4,30 4,20 4,10 4,00 3,94 3,89 3,84 3,81 3,78 3,73 3,68 0,010 5,81 5,67 5,52 5,36 5,26 5,20 5,12 5,07 5,03 4,95 4,87 0,001 11,54 11,19 10,84 10,48 10,26 10,11 9,92 9,80 9,73 9,53 9,36 9 0,100 2,42 2,38 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,22 2,21 2,18 2,16 0,050 3,14 3,07 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,80 2,79 2,75 2,71 0,025 3,96 3,87 3,77 3,67 3,60 3,56 3,51 3,47 3,45 3,39 3,34 0,010 5,26 5,11 4,96 4,81 4,71 4,65 4,57 4,52 4,48 4,40 4,32 0,001 9,89 9,57 9,24 8,90 8,69 8,55 8,37 8,26 8,19 8,00 7,84 10 0,100 2,32 2,28 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,12 2,11 2,08 2,06 0,050 2,98 2,91 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,64 2,62 2,58 2,54 0,025 3,72 3,62 3,52 3,42 3,35 3,31 3,26 3,22 3,20 3,14 3,09 0,010 4,85 4,71 4,56 4,41 4,31 4,25 4,17 4,12 4,08 4,00 3,92 0,001 8,75 8,45 8,13 7,80 7,60 7,47 7,30 7,19 7,12 6,94 6,78 11 0,100 2,25 2,21 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,04 2,03 2,00 1,98 0,050 2,85 2,79 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,49 2,45 2,41 0,025 3,53 3,43 3,33 3,23 3,16 3,12 3,06 3,03 3,00 2,94 2,89 0,010 4,54 4,40 4,25 4,10 4,01 3,94 3,86 3,81 3,78 3,69 3,61 0,001 7,92 7,63 7,32 7,01 6,81 6,68 6,52 6,42 6,35 6,18 6,02 12 0,100 2,19 2,15 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,93 1,91 0,050 2,75 2,69 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,40 2,38 2,34 2,30 0,025 3,37 3,28 3,18 3,07 3,01 2,96 2,91 2,87 2,85 2,79 2,73 0,010 4,30 4,16 4,01 3,86 3,76 3,70 3,62 3,57 3,54 3,45 3,37 0,001 7,29 7,00 6,71 6,40 6,22 6,09 5,93 5,83 5,76 5,59 5,44 13 0,100 2,14 2,10 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,92 1,90 1,88 1,85 0,050 2,67 2,60 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,31 2,30 2,25 2,21 0,025 3,25 3,15 3,05 2,95 2,88 2,84 2,78 2,74 2,72 2,66 2,60 0,010 4,10 3,96 3,82 3,66 3,57 3,51 3,43 3,38 3,34 3,25 3,18 0,001 6,80 6,52 6,23 5,93 5,75 5,63 5,47 5,37 5,30 5,14 4,99 14 0,100 2,10 2,05 2,01 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,83 1,80 0,050 2,60 2,53 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,24 2,22 2,18 2,14 0,025 3,15 3,05 2,95 2,84 2,78 2,73 2,67 2,64 2,61 2,55 2,50 0,010 3,94 3,80 3,66 3,51 3,41 3,35 3,27 3,22 3,18 3,09 3,02 0,001 6,40 6,13 5,85 5,56 5,38 5,25 5,10 5,00 4,94 4,77 4,62 15 0,100 2,06 2,02 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,79 1,76 0,050 2,54 2,48 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,18 2,16 2,11 2,07 0,025 3,06 2,96 2,86 2,76 2,69 2,64 2,59 2,55 2,52 2,46 2,40 0,010 3,80 3,67 3,52 3,37 3,28 3,21 3,13 3,08 3,05 2,96 2,88 0,001 6,08 5,81 5,54 5,25 5,07 4,95 4,80 4,70 4,64 4,47 4,33 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 0,100 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 0,050 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 0,025 6,12 4,69 4,08 3,73 3,50 3,34 3,22 3,12 3,05 0,010 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 0,001 16,12 10,97 9,01 7,94 7,27 6,80 6,46 6,19 5,98 17 0,100 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 0,050 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 0,025 6,04 4,62 4,01 3,66 3,44 3,28 3,16 3,06 2,98 0,010 8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 0,001 15,72 10,66 8,73 7,68 7,02 6,56 6,22 5,96 5,75 18 0,100 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 0,050 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 0,025 5,98 4,56 3,95 3,61 3,38 3,22 3,10 3,01 2,93 0,010 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 0,001 15,38 10,39 8,49 7,46 6,81 6,35 6,02 5,76 5,56 19 0,100 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 0,050 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 0,025 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 0,010 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 0,001 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,70 10,37 10,11 20 0,100 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 0,050 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 0,025 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 0,010 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 0,001 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 21 0,100 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 0,050 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 0,025 5,83 4,42 3,82 3,48 3,25 3,09 2,97 2,87 2,80 0,010 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 0,001 14,59 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,56 5,31 5,11 22 0,100 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 0,050 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 0,025 5,79 4,38 3,78 3,44 3,22 3,05 2,93 2,84 2,76 0,010 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 0,001 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,44 5,19 4,99 23 0,100 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 0,050 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 0,025 5,75 4,35 3,75 3,41 3,18 3,02 2,90 2,81 2,73 0,010 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 0,001 14,20 9,47 7,67 6,70 6,08 5,65 5,33 5,09 4,89 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 16 0,100 2,03 1,99 1,94 1,89 1,86 1,84 1,81 1,79 1,78 1,75 1,72 0,050 2,49 2,42 2,35 2,28 2,23 2,19 2,15 2,12 2,11 2,06 2,02 0,025 2,99 2,89 2,79 2,68 2,61 2,57 2,51 2,47 2,45 2,38 2,32 0,010 3,69 3,55 3,41 3,26 3,16 3,10 3,02 2,97 2,93 2,84 2,76 0,001 5,81 5,55 5,27 4,99 4,82 4,70 4,54 4,45 4,39 4,23 4,08 17 0,100 2,00 1,96 1,91 1,86 1,83 1,81 1,78 1,76 1,75 1,72 1,69 0,050 2,45 2,38 2,31 2,23 2,18 2,15 2,10 2,08 2,06 2,01 1,97 0,025 2,92 2,82 2,72 2,62 2,55 2,50 2,44 2,41 2,38 2,32 2,26 0,010 3,59 3,46 3,31 3,16 3,07 3,00 2,92 2,87 2,83 2,75 2,66 0,001 5,58 5,32 5,05 4,78 4,60 4,48 4,33 4,24 4,18 4,02 3,87 18 0,100 1,98 1,93 1,89 1,84 1,80 1,78 1,75 1,74 1,72 1,69 1,66 0,050 2,41 2,34 2,27 2,19 2,14 2,11 2,06 2,04 2,02 1,97 1,92 0,025 2,87 2,77 2,67 2,56 2,49 2,44 2,38 2,35 2,32 2,26 2,20 0,010 3,51 3,37 3,23 3,08 2,98 2,92 2,84 2,78 2,75 2,66 2,58 0,001 5,39 5,13 4,87 4,59 4,42 4,30 4,15 4,06 4,00 3,84 3,69 19 0,100 1,96 1,91 1,86 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,70 1,67 1,64 0,050 2,38 2,31 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 2,00 1,98 1,93 1,88 0,025 2,82 2,72 2,62 2,51 2,44 2,39 2,33 2,30 2,27 2,20 2,14 0,010 3,43 3,30 3,15 3,00 2,91 2,84 2,76 2,71 2,67 2,58 2,50 0,001 5,22 4,97 4,70 4,43 4,26 4,14 3,99 3,90 3,84 3,68 3,53 20 0,100 1,94 1,89 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,69 1,68 1,64 1,61 0,050 2,35 2,28 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,97 1,95 1,90 1,85 0,025 2,77 2,68 2,57 2,46 2,40 2,35 2,29 2,25 2,22 2,16 2,09 0,010 3,37 3,23 3,09 2,94 2,84 2,78 2,69 2,64 2,61 2,52 2,43 0,001 5,08 4,82 4,56 4,29 4,12 4,00 3,86 3,77 3,70 3,54 3,40 21 0,100 1,92 1,87 1,83 1,78 1,74 1,72 1,69 1,67 1,66 1,62 1,59 0,050 2,32 2,25 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,94 1,92 1,87 1,82 0,025 2,73 2,64 2,53 2,42 2,36 2,31 2,25 2,21 2,18 2,11 2,05 0,010 3,31 3,17 3,03 2,88 2,79 2,72 2,64 2,58 2,55 2,46 2,37 0,001 4,95 4,70 4,44 4,17 4,00 3,88 3,74 3,64 3,58 3,42 3,28 22 0,100 1,90 1,86 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,65 1,64 1,60 1,57 0,050 2,30 2,23 2,15 2,07 2,02 1,98 1,94 1,91 1,89 1,84 1,79 0,025 2,70 2,60 2,50 2,39 2,32 2,27 2,21 2,17 2,14 2,08 2,01 0,010 3,26 3,12 2,98 2,83 2,73 2,67 2,58 2,53 2,50 2,40 2,32 0,001 4,83 4,58 4,33 4,06 3,89 3,78 3,63 3,54 3,48 3,32 3,17 23 0,100 1,89 1,84 1,80 1,74 1,71 1,69 1,66 1,64 1,62 1,59 1,55 0,050 2,27 2,20 2,13 2,05 2,00 1,96 1,91 1,88 1,86 1,81 1,76 0,025 2,67 2,57 2,47 2,36 2,29 2,24 2,18 2,14 2,11 2,04 1,98 0,010 3,21 3,07 2,93 2,78 2,69 2,62 2,54 2,48 2,45 2,35 2,27 0,001 4,73 4,48 4,23 3,96 3,79 3,68 3,53 3,44 3,38 3,22 3,08 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 0,100 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 0,050 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 0,025 5,72 4,32 3,72 3,38 3,15 2,99 2,87 2,78 2,70 0,010 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 0,001 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 5,23 4,99 4,80 25 0,100 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 0,050 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 0,025 5,69 4,29 3,69 3,35 3,13 2,97 2,85 2,75 2,68 0,010 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 0,001 13,88 9,22 7,45 6,49 5,89 5,46 5,15 4,91 4,71 26 0,100 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 0,050 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 0,025 5,66 4,27 3,67 3,33 3,10 2,94 2,82 2,73 2,65 0,010 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 0,001 13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 5,07 4,83 4,64 27 0,100 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 0,050 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 0,025 5,63 4,24 3,65 3,31 3,08 2,92 2,80 2,71 2,63 0,010 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 0,001 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 5,00 4,76 4,57 28 0,100 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 0,050 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 0,025 5,61 4,22 3,63 3,29 3,06 2,90 2,78 2,69 2,61 0,010 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 0,001 13,50 8,93 7,19 6,25 5,66 5,24 4,93 4,69 4,50 29 0,100 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 0,050 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 0,025 5,59 4,20 3,61 3,27 3,04 2,88 2,76 2,67 2,59 0,010 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 0,001 13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,87 4,64 4,45 30 0,100 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 0,050 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 0,025 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 0,010 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 0,001 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,82 4,58 4,39 40 0,100 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 0,050 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 0,025 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 0,010 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 0,001 12,61 8,25 6,59 5,70 5,13 4,73 4,44 4,21 4,02 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 24 0,100 1,88 1,83 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,62 1,61 1,57 1,54 0,050 2,25 2,18 2,11 2,03 1,97 1,94 1,89 1,86 1,84 1,79 1,74 0,025 2,64 2,54 2,44 2,33 2,26 2,21 2,15 2,11 2,08 2,01 1,94 0,010 3,17 3,03 2,89 2,74 2,64 2,58 2,49 2,44 2,40 2,31 2,22 0,001 4,64 4,39 4,14 3,87 3,71 3,59 3,45 3,36 3,29 3,14 2,99 25 0,100 1,87 1,82 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,61 1,59 1,56 1,52 0,050 2,24 2,16 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,82 1,77 1,72 0,025 2,61 2,51 2,41 2,30 2,23 2,18 2,12 2,08 2,05 1,98 1,91 0,010 3,13 2,99 2,85 2,70 2,60 2,54 2,45 2,40 2,36 2,27 2,18 0,001 4,56 4,31 4,06 3,79 3,63 3,52 3,37 3,28 3,22 3,06 2,91 26 0,100 1,86 1,81 1,76 1,71 1,67 1,65 1,61 1,59 1,58 1,54 1,51 0,050 2,22 2,15 2,07 1,99 1,94 1,90 1,85 1,82 1,80 1,75 1,70 0,025 2,59 2,49 2,39 2,28 2,21 2,16 2,09 2,05 2,03 1,95 1,89 0,010 3,09 2,96 2,81 2,66 2,57 2,50 2,42 2,36 2,33 2,23 2,14 0,001 4,48 4,24 3,99 3,72 3,56 3,44 3,30 3,21 3,15 2,99 2,84 27 0,100 1,85 1,80 1,75 1,70 1,66 1,64 1,60 1,58 1,57 1,53 1,50 0,050 2,20 2,13 2,06 1,97 1,92 1,88 1,84 1,81 1,79 1,73 1,68 0,025 2,57 2,47 2,36 2,25 2,18 2,13 2,07 2,03 2,00 1,93 1,86 0,010 3,06 2,93 2,78 2,63 2,54 2,47 2,38 2,33 2,29 2,20 2,11 0,001 4,41 4,17 3,92 3,66 3,49 3,38 3,23 3,14 3,08 2,92 2,78 28 0,100 1,84 1,79 1,74 1,69 1,65 1,63 1,59 1,57 1,56 1,52 1,48 0,050 2,19 2,12 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,79 1,77 1,71 1,66 0,025 2,55 2,45 2,34 2,23 2,16 2,11 2,05 2,01 1,98 1,91 1,84 0,010 3,03 2,90 2,75 2,60 2,51 2,44 2,35 2,30 2,26 2,17 2,08 0,001 4,35 4,11 3,86 3,60 3,43 3,32 3,18 3,09 3,02 2,86 2,72 29 0,100 1,83 1,78 1,73 1,68 1,64 1,62 1,58 1,56 1,55 1,51 1,47 0,050 2,18 2,10 2,03 1,94 1,89 1,85 1,81 1,77 1,75 1,70 1,65 0,025 2,53 2,43 2,32 2,21 2,14 2,09 2,03 1,99 1,96 1,89 1,82 0,010 3,00 2,87 2,73 2,57 2,48 2,41 2,33 2,27 2,23 2,14 2,05 0,001 4,29 4,05 3,80 3,54 3,38 3,27 3,12 3,03 2,97 2,81 2,66 30 0,100 1,82 1,77 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,55 1,54 1,50 1,46 0,050 2,16 2,09 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,76 1,74 1,68 1,63 0,025 2,51 2,41 2,31 2,20 2,12 2,07 2,01 1,97 1,94 1,87 1,80 0,010 2,98 2,84 2,70 2,55 2,45 2,39 2,30 2,25 2,21 2,11 2,02 0,001 4,24 4,00 3,75 3,49 3,33 3,22 3,07 2,98 2,92 2,76 2,61 40 0,100 1,76 1,71 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,48 1,47 1,42 1,38 0,050 2,08 2,00 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,66 1,64 1,58 1,52 0,025 2,39 2,29 2,18 2,07 1,99 1,94 1,88 1,83 1,80 1,72 1,65 0,010 2,80 2,66 2,52 2,37 2,27 2,20 2,11 2,06 2,02 1,92 1,82 0,001 3,87 3,64 3,40 3,14 2,98 2,87 2,73 2,64 2,57 2,41 2,25 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 1 2 3 4 5 6 7 8 9 50 0,100 2,81 2,41 2,20 2,06 1,97 1,90 1,84 1,80 1,76 0,050 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 0,025 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 0,010 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 0,001 12,22 7,96 6,34 5,46 4,90 4,51 4,22 4,00 3,82 60 0,100 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 0,050 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 0,025 5,29 3,93 3,34 3,01 2,79 2,63 2,51 2,41 2,33 0,010 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 0,001 11,97 7,77 6,17 5,31 4,76 4,37 4,09 3,86 3,69 100 0,100 2,76 2,36 2,14 2,00 1,91 1,83 1,78 1,73 1,69 0,050 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 0,025 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 0,010 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 0,001 11,50 7,41 5,86 5,02 4,48 4,11 3,83 3,61 3,44 200 0,100 2,73 2,33 2,11 1,97 1,88 1,80 1,75 1,70 1,66 0,050 3,89 3,04 2,65 2,42 2,26 2,14 2,06 1,98 1,93 0,025 5,10 3,76 3,18 2,85 2,63 2,47 2,35 2,26 2,18 0,010 6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 0,001 11,15 7,15 5,63 4,81 4,29 3,92 3,65 3,43 3,26 1.000 0,100 2,71 2,31 2,09 1,95 1,85 1,78 1,72 1,68 1,64 0,050 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 0,025 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 0,010 6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 0,001 10,89 6,96 5,46 4,65 4,14 3,78 3,51 3,30 3,13 Valores críticos F (continuos) Grados de libertad en el numerador Grados de libertad en el denominador p 10 12 15 20 25 30 40 50 60 120 1.000 50 0,100 1,73 1,68 1,63 1,57 1,53 1,50 1,46 1,44 1,42 1,38 1,33 0,050 2,03 1,95 1,87 1,78 1,73 1,69 1,63 1,60 1,58 1,51 1,45 0,025 2,32 2,22 2,11 1,99 1,92 1,87 1,80 1,75 1,72 1,64 1,56 0,010 2,70 2,56 2,42 2,27 2,17 2,10 2,01 1,95 1,91 1,80 1,70 0,001 3,67 3,44 3,20 2,95 2,79 2,68 2,53 2,44 2,38 2,21 2,05 60 0,100 1,71 1,66 1,60 1,54 1,50 1,48 1,44 1,41 1,40 1,35 1,30 0,050 1,99 1,92 1,84 1,75 1,69 1,65 1,59 1,56 1,53 1,47 1,40 0,025 2,27 2,17 2,06 1,94 1,87 1,82 1,74 1,70 1,67 1,58 1,49 0,010 2,63 2,50 2,35 2,20 2,10 2,03 1,94 1,88 1,84 1,73 1,62 0,001 3,54 3,32 3,08 2,83 2,67 2,55 2,41 2,32 2,25 2,08 1,92 100 0,100 1,66 1,61 1,56 1,49 1,45 1,42 1,38 1,35 1,34 1,28 1,22 0,050 1,93 1,85 1,77 1,68 1,62 1,57 1,52 1,48 1,45 1,38 1,30 0,025 2,18 2,08 1,97 1,85 1,77 1,71 1,64 1,59 1,56 1,46 1,36 0,010 2,50 2,37 2,22 2,07 1,97 1,89 1,80 1,74 1,69 1,57 1,45 0,001 3,30 3,07 2,84 2,59 2,43 2,32 2,17 2,08 2,01 1,83 1,64 200 0,100 1,63 1,58 1,52 1,46 1,41 1,38 1,34 1,31 1,29 1,23 1,16 0,050 1,88 1,80 1,72 1,62 1,56 1,52 1,46 1,41 1,39 1,30 1,21 0,025 2,11 2,01 1,90 1,78 1,70 1,64 1,56 1,51 1,47 1,37 1,25 0,010 2,41 2,27 2,13 1,97 1,87 1,79 1,69 1,63 1,58 1,45 1,30 0,001 3,12 2,90 2,67 2,42 2,26 2,15 2,00 1,90 1,83 1,64 1,43 1.000 0,100 1,61 1,55 1,49 1,43 1,38 1,35 1,30 1,27 1,25 1,18 1,08 0,050 1,84 1,76 1,68 1,58 1,52 1,47 1,41 1,36 1,33 1,24 1,11 0,025 2,06 1,96 1,85 1,72 1,64 1,58 1,50 1,45 1,41 1,29 1,13 0,010 2,34 2,20 2,06 1,90 1,79 1,72 1,61 1,54 1,50 1,35 1,16 0,001 2,99 2,77 2,54 2,30 2,14 2,02 1,87 1,77 1,69 1,49 1,22 Las entradas numéricas representan la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar esté entre 0 y z donde z = x – μ σ . Distribución de probabilidad normal estándar: tabla Z Distribución normal estándar z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 Distribución de la t de Student Valores críticos superiores de la distribución t de Student con v grados de libertad Para las probabilidades seleccionadas, a , la tabla muestra los valores t v, a tales que P ( t v > t v, a ) = a , donde t v es una variable aleatoria t de Student con v grados de libertad. Por ejemplo, la probabilidad es 0,10 de que una variable aleatoria t de Student con 10 grados de libertad supere 1,372. Probabilidad de superar el valor crítico v 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,313 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,782 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,499 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,296 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,143 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,024 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,929 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 26 1,315 1.706* 2,056 2,479 2,779 3,435 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 100 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/, septiembre de 2011. Distribución de la probabilidad χ 2 Área a la derecha del valor crítico de χ 2 df 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 1 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 5 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 8 1,344 1,646 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,042 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 20 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 27 11,808 12,879 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 60 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 70 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95,023 100,425 104,215 80 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96,578 101,879 106,629 112,329 116,321 90 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299 100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 118,498 124,342 129,561 135,807 140,169 Conjuntos de datos Tiempos de vuelta Las siguientes tablas proporcionan los tiempos de vuelta del libro de registro de Terri Vogel. Los tiempos se registran en segundos para las vueltas de 2,5 millas completadas en una serie de carreras y carreras de práctica. Tiempos de vuelta de carrera (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Carrera 1 135 130 131 132 130 131 133 Carrera 2 134 131 131 129 128 128 129 Carrera 3 129 128 127 127 130 127 129 Carrera 4 125 125 126 125 124 125 125 Carrera 5 133 132 132 132 131 130 132 Carrera 6 130 130 130 129 129 130 129 Carrera 7 132 131 133 131 134 134 131 Carrera 8 127 128 127 130 128 126 128 Carrera 9 132 130 127 128 126 127 124 Carrera 10 135 131 131 132 130 131 130 Carrera 11 132 131 132 131 130 129 129 Carrera 12 134 130 130 130 131 130 130 Carrera 13 128 127 128 128 128 129 128 Carrera 14 132 131 131 131 132 130 130 Carrera 15 136 129 129 129 129 129 129 Carrera 16 129 129 129 128 128 129 129 Carrera 17 134 131 132 131 132 132 132 Carrera 18 129 129 130 130 133 133 127 Carrera 19 130 129 129 129 129 129 128 Carrera 20 131 128 130 128 129 130 130 Tiempos de vuelta de práctica (en segundos) Vuelta 1 Vuelta 2 Vuelta 3 Vuelta 4 Vuelta 5 Vuelta 6 Vuelta 7 Práctica 1 142 143 180 137 134 134 172 Práctica 2 140 135 134 133 128 128 131 Práctica 3 130 133 130 128 135 133 133 Práctica 4 141 136 137 136 136 136 145 Práctica 5 140 138 136 137 135 134 134 Práctica 6 142 142 139 138 129 129 127 Práctica 7 139 137 135 135 137 134 135 Práctica 8 143 136 134 133 134 133 132 Práctica 9 135 134 133 133 132 132 133 Práctica 10 131 130 128 129 127 128 127 Práctica 11 143 139 139 138 138 137 138 Práctica 12 132 133 131 129 128 127 126 Práctica 13 149 144 144 139 138 138 137 Práctica 14 133 132 137 133 134 130 131 Práctica 15 138 136 133 133 132 131 131 Precios de las acciones La siguiente tabla recoge los precios de las acciones de la oferta pública inicial (OPI) de todos los valores de 1999 que al menos duplicaron su valor durante el primer día de cotización. Precios de oferta de la OPI $17,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $26,00 $20,00 $22,00 $14,00 $15,00 $22,00 $18,00 $18,00 $21,00 $21,00 $19,00 $15,00 $21,00 $18,00 $17,00 $15,00 $25,00 $14,00 $30,00 $16,00 $10,00 $20,00 $12,00 $16,00 $17,44 $16,00 $14,00 $15,00 $20,00 $20,00 $16,00 $17,00 $16,00 $15,00 $15,00 $19,00 $48,00 $16,00 $18,00 $9,00 $18,00 $18,00 $20,00 $8,00 $20,00 $17,00 $14,00 $11,00 $16,00 $19,00 $15,00 $21,00 $12,00 $8,00 $16,00 $13,00 $14,00 $15,00 $14,00 $13,41 $28,00 $21,00 $17,00 $28,00 $17,00 $19,00 $16,00 $17,00 $19,00 $18,00 $17,00 $15,00 $14,00 $21,00 $12,00 $18,00 $24,00 $15,00 $23,00 $14,00 $16,00 $12,00 $24,00 $20,00 $14,00 $14,00 $15,00 $14,00 $19,00 $16,00 $38,00 $20,00 $24,00 $16,00 $8,00 $18,00 $17,00 $16,00 $15,00 $7,00 $19,00 $12,00 $8,00 $23,00 $12,00 $18,00 $20,00 $21,00 $34,00 $16,00 $26,00 $14,00 Referencias Datos recopilados por Jay R. Ritter, de la Universidad de Florida, con datos de Securities Data Co. y Bloomberg .

Matemáticas


Oraciones, símbolos y fórmulas matemáticas Oraciones en español escritas matemáticamente Cuando en español dice: Interprete esto como: X es, al menos, 4. X ≥ 4 El mínimo de X es 4. X ≥ 4 X no es inferior a 4. X ≥ 4 X es mayor o igual a 4. X ≥ 4 X es como máximo 4. X ≤ 4 El máximo de X es 4. X ≤ 4 X no es más que 4. X ≤ 4 X es menor o igual a 4. X ≤ 4 X no excede de 4. X ≤ 4 X es mayor que 4. X > 4 X es más de 4. X > 4 X supera a 4. X > 4 X es inferior a 4. X < 4 Hay menos X que 4. X < 4 X es 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X es igual a 4. X = 4 X no es 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X no es igual a 4. X ≠ 4 X es diferente de 4. X ≠ 4 Símbolos y su significado Símbolos y su significado Capítulo (1 er uso) Símbolo Se pronuncia Significado Muestreo y datos La raíz cuadrada de igual Muestreo y datos π Pi 3,14159... (un número específico) Estadística descriptiva Q 1 Cuartil uno el primer cuartil Estadística descriptiva Q 2 Cuartil dos el segundo cuartil Estadística descriptiva Q 3 Cuartil tres el tercer cuartil Estadística descriptiva IQR rango intercuartil Q 3 – Q 1 = IQR Estadística descriptiva x – barra de x media muestral Estadística descriptiva μ mu media de la población Estadística descriptiva s s desviación típica de la muestra Estadística descriptiva s 2 s al cuadrado varianza de la muestra Estadística descriptiva σ sigma desviación típica de la población Estadística descriptiva σ 2 sigma al cuadrado varianza de la población Estadística descriptiva Σ sigma mayúscula suma Temas de probabilidad { } corchetes notación de conjunto Temas de probabilidad S S espacio muestral Temas de probabilidad A Evento A evento A Temas de probabilidad P ( A ) probabilidad de A probabilidad de que ocurra A Temas de probabilidad P ( A | B ) probabilidad de A dado que B probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B Temas de probabilidad P ( A ∪ B ) probabilidad de A o B probabilidad de que se produzca A o B o ambos Temas de probabilidad P ( A ∩ B ) probabilidad de A y B probabilidad de que ocurran tanto A como B (al mismo tiempo) Temas de probabilidad A ′ A prima, complemento de A complemento de A, no A Temas de probabilidad P ( A ') probabilidad de complemento de A igual Temas de probabilidad G 1 verde en la primera selección igual Temas de probabilidad P ( G 1 ) probabilidad de verde en la primera selección igual Variables aleatorias discretas PDF probabilidad de función de densidad igual Variables aleatorias discretas X X la variable aleatoria X Variables aleatorias discretas X ~ la distribución de X igual Variables aleatorias discretas ≥ mayor que o igual a igual Variables aleatorias discretas ≤ menor que o igual a igual Variables aleatorias discretas = igual a igual Variables aleatorias discretas ≠ no es igual a igual Variables aleatorias continuas f ( x ) f de x función de x Variables aleatorias continuas pdf probabilidad de función de densidad igual Variables aleatorias continuas U distribución uniforme igual Variables aleatorias continuas Exp distribución exponencial igual Variables aleatorias continuas f ( x ) = f de x es igual a igual Variables aleatorias continuas m m tasa de decaimiento (para la dist. exp.) La distribución normal N distribución normal igual La distribución normal z puntuación z igual La distribución normal Z dist. normal estándar igual El teorema del límite central X – Barra de X la variable aleatoria de la barra de X El teorema del límite central μ x – media de las barras X promedio de las barras X El teorema del límite central σ x – desviación típica de las barras X igual Intervalos de confianza CL nivel de confianza igual Intervalos de confianza CI intervalo de confianza igual Intervalos de confianza EBM límite de error para una media igual Intervalos de confianza EBP límite de error para una proporción igual Intervalos de confianza t Distribución t de Student igual Intervalos de confianza df grados de libertad igual Intervalos de confianza t α 2 t de Student con área α /2 en la cola derecha igual Intervalos de confianza p ′ p prima proporción de aciertos de la muestra Intervalos de confianza q ′ q prima proporción de fallos de la muestra Prueba de hipótesis H 0 H -nada, H -sub 0 hipótesis nula Prueba de hipótesis H a H-a , H -sub a hipótesis alterna Prueba de hipótesis H 1 H -1, H -sub 1 hipótesis alterna Prueba de hipótesis α alfa probabilidad de error tipo I Prueba de hipótesis β beta probabilidad de error tipo II Prueba de hipótesis X 1 – – X 2 ¯ Barra de X 1 menos barra de X 2 diferencia en las medias muestrales Prueba de hipótesis μ 1 – μ 2 mu -1 menos mu -2 diferencia de medias de la población Prueba de hipótesis P ′ 1 – P ′ 2 P 1-primo menos P 2-primo diferencia en las proporciones de la muestra Prueba de hipótesis p 1 – p 2 p 1 menos p 2 diferencia en las proporciones de la población Distribución chi-cuadrado Χ 2 Ky -cuadrado chi-cuadrado Distribución chi-cuadrado O Observado Frecuencia observada Distribución chi-cuadrado E Esperado Frecuencia esperada Regresión lineal y correlación y = a + bx y es igual a a más b–x ecuación de una línea recta Regresión y correlación lineal y ^ estimador de y valor estimado de y Regresión lineal y correlación r coeficiente de correlación de la muestra igual Regresión lineal y correlación ε término de error para una línea de regresión igual Regresión lineal y correlación SSE Suma de errores al cuadrado igual Distribución F y ANOVA F Cociente F Cociente F Fórmulas Símbolos que debe conocer Población Muestra N Tamaño n μ Media x _ σ 2 Varianza s 2 σ Desviación típica s p Proporción p ′ Fórmulas de conjuntos de datos individuales Población Muestra μ = E ( x ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i ) Media aritmética x – = 1 n ∑ i = 1 n ( x i ) Media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n X i ) 1 n Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 , Q 1 = ( n + 1 ) 4 Rango intercuartil I Q R = Q 3 – Q 1 Q 3 = 3 ( n + 1 ) 4 , Q 1 = ( n + 1 ) 4 σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( x i – μ ) 2 Varianza s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i – x _ ) 2 Fórmulas de conjuntos de datos individuales Población Muestra μ = E ( x ) = 1 N ∑ i = 1 N ( m i · f i ) Media aritmética x – = 1 n ∑ i = 1 n ( m i · f i ) Media geométrica x ~ = ( ∏ i = 1 n X i ) 1 n σ 2 = 1 N ∑ i = 1 N ( m i – μ ) 2 · f i Varianza s 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( m i – x _ ) 2 · f i C V = σ μ · 100 Coeficiente de variación C V = s x _ · 100 Reglas básicas de la probabilidad P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) · P ( B ) Regla de multiplicación P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Regla de adición P ( A ∩ B ) = P ( A ) · P ( B ) o P ( A | B ) = P ( A ) Prueba de independencia Fórmulas de distribución hipergeométrica n C x = ( n x ) = n ! x ! ( n – x ) ! Ecuación combinatoria P ( x ) = ( A x ) ( N – A n – x ) ( N n ) Ecuación de probabilidad E ( X ) = μ = n p Media σ 2 = ( N – n N – 1 ) n p ( q ) Varianza Fórmulas de distribución binomial P ( x ) = n ! x ! ( n – x ) ! p x ( q ) n – x Función de densidad de probabilidad E ( X ) = μ = n p Media aritmética σ 2 = n p ( q ) Varianza Fórmulas de distribución geométrica P ( X = x ) = ( 1 – p ) x – 1 ( p ) Probabilidad cuando x es el primer éxito. Probabilidad cuando x es el número de fracasos antes del primer éxito P ( X = x ) = ( 1 – p ) x ( p ) μ = 1 p Media Media μ = 1 – p p σ 2 = ( 1 – p ) p 2 Varianza Varianza σ 2 = ( 1 – p ) p 2 Fórmulas de la distribución de Poisson P ( x ) = e – μ μ x x ! Ecuación de probabilidad E ( X ) = μ Media σ 2 = μ Varianza Fórmulas de distribución uniforme f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b PDF E ( X ) = μ = a + b 2 Media σ 2 = ( b – a ) 2 12 Varianza Fórmulas de distribución exponencial P ( X ≤ x ) = 1 – e – m x Probabilidad acumulada E ( X ) = μ = 1 m o m = 1 μ Media y factor de decaimiento σ 2 = 1 m 2 = μ 2 Varianza La siguiente página de fórmulas requiere el uso de la tecla " Z ", " t ", " χ 2 " o " F " tablas. Z = x – μ σ Transformación Z para la distribución normal Z = x – n p ′ n p ′ ( q ′ ) Aproximación normal a la binomial Probabilidad (ignora los subíndices) Prueba de hipótesis Intervalos de confianza [los símbolos entre corchetes equivalen al margen de error] (los subíndices indican la ubicación en las respectivas tablas de distribución) Z c = x – – μ 0 σ n Intervalo para la media de la población cuando se conoce sigma x – ± [ Z ( α / 2 ) σ n ] Z c = x – – μ 0 s n Intervalo para la media de la población cuando se desconoce sigma, pero n > 30 x – ± [ Z ( α / 2 ) s n ] t c = x – – μ 0 s n Intervalo para la media de la población cuando se desconoce sigma, pero n < 30 x – ± [ t ( n – 1 ) , ( α / 2 ) s n ] Z c = p ′ - p 0 p 0 q 0 n Intervalo para la proporción de la población p ′ ± [ Z ( α / 2 ) p ′ q ′ n ] t c = d – - δ 0 s d n Intervalo de diferencia entre dos medias con pares emparejados d – ± [ t ( n – 1 ) , ( α / 2 ) s d n ] donde s d es la desviación de las diferencias Z c = ( x 1 – - x 2 – ) – δ 0 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 Intervalo para la diferencia entre dos medias cuando se conocen los sigmas ( x 1 – - x 2 – ) ± [ Z ( α / 2 ) σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 ] t c = ( x ¯ 1 - x ¯ 2 ) - δ 0 ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) Intervalo para la diferencia entre dos medias con varianzas iguales cuando los sigmas son desconocidos ( x ¯ 1 - x ¯ 2 ) ± [ t d f , ( α / 2 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) ] donde d f = ( ( s 1 ) 2 n 1 + ( s 2 ) 2 n 2 ) 2 ( 1 n 1 – 1 ) ( ( s 1 ) 2 n 1 ) + ( 1 n 2 – 1 ) ( ( s 2 ) 2 n 2 ) Z c = ( p ′ 1 - p ′ 2 ) – δ 0 p ′ 1 ( q ′ 1 ) n 1 + p ′ 2 ( q ′ 2 ) n 2 Intervalo de diferencia entre dos proporciones de población ( p ′ 1 - p ′ 2 ) ± [ Z ( α / 2 ) p ′ 1 ( q ′ 1 ) n 1 + p ′ 2 ( q ′ 2 ) n 2 ] χ c 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 0 2 Pruebas de GOF, independencia y homogeneidad χ c 2 = Σ ( O – E ) 2 E donde O = valores observados y E = valores esperados F c = s 1 2 s 2 2 Donde s 1 2 es la varianza de la muestra que es la mayor de las dos varianzas de la muestra Las 3 fórmulas siguientes sirven para determinar el tamaño de la muestra con intervalos de confianza. (nota: E representa el margen de error) n = Z ( a 2 ) 2 σ 2 E 2 Utilizar cuando se conoce sigma E = x ¯ – μ n = Z ( a 2 ) 2 ( 0,25 ) E 2 Utilizar cuando p ′ es desconocido E = p ′ – p n = Z ( a 2 ) 2 [ p ′ ( q ′ ) ] E 2 Utilizar cuando p ′ es desconocido E = p ′ – p Fórmulas de regresión lineal simple para y = a + b ( x ) r = Σ [ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) ] Σ ( x – x ¯ ) 2 * Σ ( y – y ¯ ) 2 = S x y S x S y = S S R S S T Coeficiente de correlación b = Σ [ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) ] Σ ( x – x ¯ ) 2 = S x y S S x = r y , x ( s y s x ) Coeficiente b (pendiente) a = y ¯ – b ( x ¯ ) intersección en y s a 2 = Σ ( y i – y ^ i ) 2 n – k = Σ i = 1 n e i 2 n – k Estimación de la varianza del error S b = s a 2 ( x i – x ¯ ) 2 = s a 2 ( n – 1 ) s x 2 Error estándar del coeficiente b t c = b – β 0 s b Prueba de hipótesis para el coeficiente β b ± [ t n – 2 , α / 2 S b ] Intervalo para el coeficiente β y ^ ± [ t α / 2 * s e ( 1 n + ( x p – x ¯ ) 2 s x ) ] Intervalo para el valor esperado de y y ^ ± [ t α / 2 * s e ( 1 + 1 n + ( x p – x ¯ ) 2 s x ) ] Intervalo de predicción para un individuo y Fórmulas de ANOVA S S R = Σ i = 1 n ( y ^ i – y ¯ ) 2 Regresión de la suma de los cuadrados S S E = Σ i = 1 n ( y ^ i – y ¯ i ) 2 Error de la suma de los cuadrados S S T = Σ i = 1 n ( y i – y ¯ ) 2 Suma de cuadrados total R 2 = S S R S S T Coeficiente de determinación A continuación se muestra el desglose de una tabla ANOVA de una vía para la regresión lineal. Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Medias cuadráticas Cociente F Regresión S S R 1 o k – 1 M S R = S S R d f R F = M S R M S E Error S S E n – k M S E = S S E d f E Total S S T n – 1

Introducción a la estadística empresarial

Matemáticas


Prefacio Acerca de OpenStax OpenStax forma parte de la Universidad de Rice, una empresa benéfica sin ánimo de lucro 501(c)(3). Como iniciativa educativa, nuestra misión es transformar el aprendizaje para que la educación funcione para todos los estudiantes. A través de nuestras asociaciones con organizaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras empresas de recursos educativos, estamos derribando las barreras más comunes para el aprendizaje, ya que creemos que todo el mundo debe y puede tener acceso al conocimiento. Acerca de OpenStax Resources Personalización Precálculo 2ed cuenta con una licencia internacional de Creative Commons Atribución 4.0 (CC BY 4.0)., lo que significa que puede distribuir, remezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada se puede poner a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en openstax.org para obtener más información. Atribución del contenido de arte En Precálculo 2ed , la mayoría de las fotos e ilustraciones de terceros contienen la atribución a su creador, al titular de los derechos, a la plataforma anfitriona o a la licencia dentro del pie de foto. Dado que el arte tiene una licencia abierta, cualquiera puede reutilizarlo siempre que proporcione la misma atribución a su fuente original. Para mayor legibilidad y fluidez del contenido, las expresiones matemáticas que se representan como arte no incluyen la atribución en el texto. Se asume OpenStax desarrolló este arte, el cual puede reutilizarse con la licencia CC-BY con atribución. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, al igual que cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en línea, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en openstax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en openstax.org. Formato Usted puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en vista web o en PDF a través de openstax.org, y por un bajo costo en versión impresa. Acerca de Precálculo 2ed Precálculo 2ed es adaptable y se ajusta a las necesidades de una variedad de cursos de precálculo. Se trata de un texto completo que cubre más terreno que un curso típico de precálculo de nivel universitario de uno o dos semestres. El contenido está organizado por objetivos de aprendizaje claramente definidos, e incluye ejemplos trabajados que demuestran enfoques de resolución de problemas de forma accesible. Cobertura y alcance Precálculo 2ed contiene doce capítulos, divididos a grandes rasgos en tres grupos. Los capítulos 1 a 4 analizan varios tipos de funciones que proporcionan una base para el resto del curso. Capítulo 1: Funciones Capítulo 2: Funciones lineales Capítulo 3: Funciones polinómicas y racionales Capítulo 4: Funciones exponenciales y logarítmicas Los capítulos 5 a 8 se centran en la Trigonometría. En Precálculo 2ed nos acercamos a la trigonometría al introducir los ángulos y el círculo unitario, a diferencia del enfoque del triángulo rectángulo, que se utiliza más comúnmente en los cursos de álgebra y trigonometría de la universidad. Capítulo 5: Funciones trigonométricas Capítulo 6: Funciones periódicas Capítulo 7: Identidades trigonométricas y ecuaciones Capítulo 8: Otras aplicaciones de la Trigonometría Los capítulos 9-12 presentan algunos temas avanzados de precálculo que se basan en los temas presentados en los capítulos 1-8. La mayoría de los programas de estudios de precálculo comprenden algunos de los temas de estos capítulos, pero pocos los incluyen todos. Los instructores pueden seleccionar el material que necesiten de este grupo de capítulos, ya que no son acumulativos. Capítulo 9: Sistemas de ecuaciones e inecuaciones Capítulo 10: Geometría analítica Capítulo 11: Secuencia, probabilidad y teoría del recuento Capítulo 12: Introducción a Cálculo Todos los capítulos están divididos en varias secciones, cuyos títulos se aprecian en el índice. Visión general del desarrollo Precálculo 2ed es el producto de un esfuerzo de colaboración de un grupo de autores, editores e instructores dedicados, cuya pasión colectiva por este proyecto ha dado lugar a un texto notablemente unificado en el propósito y la voz. Agradecemos especialmente a nuestro autor principal, Jay Abramson, de la Universidad Estatal de Arizona, quien aportó la visión general del libro y supervisó el desarrollo de todos y cada uno de los capítulos. Asimismo, elaboró el proyecto inicial, leyó numerosos borradores y asimiló las revisiones de campo en planes de revisión procesables para nuestros autores y editores. Los primeros ocho capítulos están construidos sobre la base de Precálculo: una investigación de las funciones que es obra de David Lippman y Melonie Rasmussen. La redacción y el desarrollo de los capítulos 9-12 estuvieron a cargo de nuestro experto y experimentado equipo de autores . Los doce capítulos siguen un diseño instructivo novedoso e innovador, y se ha tenido mucho cuidado en mantener una voz coherente de principio a fin. Se introdujeron nuevas características para dar cuerpo a la instrucción, todos los gráficos se rehicieron con un estilo más contemporáneo y gran parte del contenido se revisó, sustituyó o complementó para que el texto esté más en consonancia con los enfoques principales de la enseñanza del precálculo. Exactitud del contenido Entendemos que la precisión y la exactitud son imperativos en matemáticas, y emprendimos un programa dedicado a la exactitud dirigido por profesores experimentados. Los ejemplos, el arte, los problemas y las soluciones fueron objeto de revisión por el cuerpo docente, mientras que otro equipo evaluó la clave de respuestas y las soluciones. El texto también se beneficia de años de uso por parte de miles de profesores y estudiantes. Un aspecto fundamental en la revisión de la segunda edición fue consolidar y garantizar la coherencia con respecto a las erratas y correcciones que se han aplicado durante el amplio uso de la serie y su incorporación a los sistemas de tareas. Cambios a la segunda edición La revisión de Precálculo 2ed se centró en la claridad y la precisión matemática, así como en la inclusión. Varios expertos de la facultad revisaron los ejemplos, los ejercicios y las soluciones. Se tuvieron en cuenta todas las sugerencias de mejora y las actualizaciones de las erratas, impulsadas por el cuerpo docente y los estudiantes de varios miles de universidades. Todo esto se ha unificado en los distintos formatos del texto. OpenStax y nuestros autores son conscientes de las dificultades que plantea el cambio de número de problemas y ejercicios cuando se revisan los libros de texto. Para que la transición a la segunda edición sea lo más fluida posible, hemos minimizado los cambios en los números de los ejercicios. La revisión también se centró en apoyar experiencias de aprendizaje inclusivas e invitadoras. Las narrativas introductorias, los ejemplos y los contextos de los problemas, e incluso muchos de los nombres utilizados para los personajes ficticios en el texto se revisaron dentro de un marco de diversidad, equidad e inclusión. Varios cientos de revisiones resultantes mejoran el equilibrio y la pertinencia para los estudiantes que utilizan el texto, al tiempo que mantienen una variedad de aplicaciones a diversas carreras y campos académicos. En particular, las explicaciones sobre los aspectos científicos e históricos de las matemáticas se han ampliado para incluir a más colaboradores. Por ejemplo, los autores añadieron un contexto histórico y multicultural adicional en relación con lo que se conoce ampliamente como el triángulo de Pascal, y también incorporaron detalles sobre el proceso internacional de descifrado de la máquina Enigma (incluso el papel de los estudiantes universitarios polacos). Varias de las narraciones de apertura de los capítulos y sus referencias son completamente nuevas. Asimismo, se han revisado específicamente los contextos de todos los capítulos en busca de la equidad en la representación y la connotación de género. Fundamentos y características pedagógicas Objetivos de aprendizaje Cada capítulo está dividido en varias secciones (o módulos), cada una de las cuales está organizada en torno a un conjunto de objetivos de aprendizaje. Los objetivos de aprendizaje se enumeran explícitamente al principio de cada sección y son el punto focal de cada elemento didáctico. Texto narrativo El texto narrativo se utiliza para introducir conceptos, términos y definiciones clave a fin de proporcionar el contexto del mundo real y para proporcionar transiciones entre temas y ejemplos. A lo largo de este libro, nos basamos en algunas convenciones básicas para destacar las ideas más importantes: Los términos clave aparecen en negrita, normalmente cuando se introducen por primera vez o cuando se definen formalmente. Los conceptos y definiciones clave se indican en un recuadro azul para facilitar su consulta. Ejemplos Cada objetivo de aprendizaje se apoya en uno o más ejemplos trabajados, los cuales demuestran los enfoques de resolución de problemas que los estudiantes deben dominar. Por lo general, incluimos varios ejemplos para cada objetivo de aprendizaje con el fin de modelar diferentes enfoques para el mismo tipo de problema, o para introducir problemas similares de complejidad creciente. En total, hay más de 650 ejemplos, es decir, un promedio de unos 55 por capítulo. Todos los ejemplos siguen un formato sencillo de dos o tres partes. En primer lugar, planteamos un problema o una pregunta. A continuación, demostramos la solución, al explicar los pasos a lo largo del camino. Por último (en el caso de algunos ejemplos), concluimos con un análisis en el que se reflexiona sobre las implicaciones más amplias de la solución que acabamos de mostrar. Figuras Precálculo 2ed contiene más de 2.000 figuras e ilustraciones, la gran mayoría de las cuales son gráficos y diagramas. El arte en todo el texto se adhiere a un estilo claro y sobrio, atrayendo la mirada hacia la información más importante de cada figura y minimizando las distracciones visuales. El contraste de colores se emplea con discreción para distinguir las diferentes funciones o características de un gráfico. Características de apoyo Varios elementos, cada uno de ellos marcado por un ícono distintivo, sirven de apoyo a los ejemplos. El elemento Cómo es una lista de pasos necesarios para resolver un determinado tipo de problema. El "cómo" precede a un ejemplo, que pasa a demostrar los pasos en acción. El elemento Ejercicio sigue inmediatamente a uno o varios ejemplos relacionados, de manera tal que el estudiante tenga la oportunidad inmediata de resolver un problema similar. En la versión del texto en PDF y en la versión de la vista web, las respuestas a los ejercicios se encuentran en la clave de respuestas. Las preguntas y respuestas aparecen en cualquier parte del texto. Sin embarglo, lo más frecuente es que sigan a un ejemplo. Esta función se adelanta a los conceptos erróneos al plantear una pregunta común de sí o no, seguida de una respuesta y una explicación detalladas. El ícono Medios aparece en la conclusión de cada sección justo antes de los ejercicios de la sección. Este ícono marca una lista de enlaces a tutoriales de video en línea que refuerzan los conceptos y habilidades introducidos en la sección. Aunque hemos seleccionado tutoriales que se ajustan estrechamente a nuestros objetivos de aprendizaje, no los hemos producido, como tampoco se han producido ni adaptado específicamente para acompañar a Precálculo 2ed . Ejercicios de la sección Las secciones de cada capítulo concluyen con un conjunto de ejercicios muy completos que pueden asignarse como deberes o utilizarse selectivamente para la práctica guiada. Con más de 5.900 ejercicios a lo largo de los 12 capítulos, los profesores pueden tener mucho de donde elegir. Los ejercicios de la sección están organizados por tipo de pregunta, y generalmente aparecen en el siguiente orden: Las preguntas verbales evalúan la comprensión conceptual de los términos y conceptos clave. Los problemas algebraicos requieren que los estudiantes apliquen las manipulaciones algebraicas demostradas en la sección. Los problemas gráficos evalúan la capacidad de los estudiantes para interpretar o producir un gráfico. Los problemas numéricos requieren que el estudiante realice cálculos o computaciones. Los problemas tecnológicos fomentan la exploración mediante el uso de una herramienta gráfica, ya sea para visualizar o verificar los resultados algebraicos o para resolver los problemas mediante una alternativa a los métodos demostrados en la sección. Las extensiones plantean problemas más desafiantes que los ejemplos demostrados en la sección. Requieren que los estudiantes sinteticen múltiples objetivos de aprendizaje o apliquen el pensamiento crítico para resolver problemas complejos. Las aplicaciones en el mundo real presentan escenarios de problemas realistas de campos como la física, la geología, la biología, las finanzas y las ciencias sociales. Características del repaso del capítulo Cada capítulo concluye con un repaso de los aspectos más importantes, así como con problemas de práctica adicionales que los estudiantes pueden utilizar para preparar los exámenes. Los términos clave ofrecen una definición formal de cada término en negrita del capítulo. Las ecuaciones clave son una recopilación de fórmulas, teoremas y ecuaciones de forma estándar. Los conceptos clave resumen las ideas más importantes introducidas en cada sección, y se enlazan con los correspondientes ejemplos, en caso de que los estudiantes necesiten repasar. Los ejercicios de repaso del capítulo constan de 40 a 80 problemas prácticos que recuerdan los conceptos más importantes de cada sección. La prueba de práctica abarca entre 25 y 50 problemas que evalúan los objetivos de aprendizaje más importantes del capítulo. Tenga en cuenta que el examen práctico no está organizado por secciones, y puede estar más orientado a los objetivos acumulativos que a los objetivos fundamentales que se abordan en las secciones iniciales. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para los estudiantes como para los instructores, incluso las Guías de inicio, el manual de soluciones del instructor y las diapositivas en PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, que puede solicitarse en su inicio de sesión en openstax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asoció con el Instituto para el Estudio de la Gestión del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus propios cursos, incluyendo auxiliares adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para llegar a los Community Hubs, visite www.oercommons.org/hubs/openstax. Socios tecnológicos Como aliados que facilitan la disponibilidad de materiales de aprendizaje de alta calidad, nuestros socios tecnológicos ofrecen herramientas opcionales de bajo costo que se integran con los libros de OpenStax. Para acceder a las opciones tecnológicas de su texto, visite la página de su libro en openstax.org. Sobre los autores Autor principal Jay Abramson, Arizona State University (ASU) Jay Abramson lleva más de 35 años enseñando Precálculo, los últimos 20 en la Arizona State University, donde es profesor principal en la Escuela de Matemáticas y Estadística. Sus logros en la ASU abarcan la elaboración conjunta de los primeros cursos de matemáticas híbridos y en línea de la universidad, así como una amplia biblioteca de clases y tutoriales en video. Además, fue autor colaborador de dos de los programas de matemáticas de Pearson Education, NovaNet Precálculo y Trigonometría. Antes de incorporarse a la ASU, Jay dictó cátedra en el Texas State Technical College y en el Amarillo Collegeo. Recibió el premio al Profesor del Año en ambas instituciones. Autores colaboradores Valeree Falduto, Palm Beach State College Rachael Gross, Towson University David Lippman, Pierce College Melonie Rasmussen, Pierce College Rick Norwood, East Tennessee State University Nicholas Belloit, Florida State College Jacksonville Jean-Marie Magnier, Springfield Technical Community College Harold Whipple Christina Fernandez Revisores y consultores del profesorado Nina Alketa, Cecil College Kiran Bhutani, Catholic University of America Brandie Biddy, Cecil College Lisa Blank, Lyme Central School Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Jessica Bolz, The Bryn Mawr School Sheri Boyd, Rollins College Sarah Brewer, Alabama School of Math and Science Charles Buckley, St. Gregory's University Michael Cohen, Hofstra University Kenneth Crane, Texarkana College Rachel Cywinski, Alamo Colleges Nathan Czuba Srabasti Dutta, Ashford University Kristyanna Erickson, Notre Dame of Maryland Nicole Fernandez, Georgetown University / Kent State University David French, Tidewater Community College Douglas Furman, SUNY Ulster Lance Hemlow, Raritan Valley Community College Erinn Izzo, Nicaragua Christian Academy John Jaffe Jerry Jared, Blue Ridge School Stan Kopec, Mount Wachusett Community College Kathy Kovacs Cynthia Landrigan, Erie Community College Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Joanne Manville, Bunker Hill Community College Karla McCavit, Albion College Cynthia McGinnis, Northwest Florida State College Lana Neal, University of Texas at Austin Rhonda Porter, Albany State University Steven Purtee, Valencia College William Radulovich, Florida State College Jacksonville Alice Ramos, Bethel College Nick Reynolds, Montgomery Community College Amanda Ross, A. A. Ross Consulting and Research, LLC Erica Rutter, Arizona State University Sutandra Sarkar, Georgia State University Willy Schild, Wentworth Institute of Technology Todd Stephen, Cleveland State University Scott Sykes, University of West Georgia Linda Tansil, Southeast Missouri State University John Thomas, College of Lake County Diane Valade, Piedmont Virginia Community College Allen Wolmer, Atlanta Jewish Academy

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Introducción Índice Standard and Poor's con dividendos reinvertidos (créditos "toro": modificación del trabajo de Prayitno Hadinata; créditos “gráfico”: modificación del trabajo de MeasuringWorth). Hacia el final del siglo XX, el valor de las acciones de las empresas de Internet y tecnología aumentó de forma espectacular. En consecuencia, el promedio bursátil de Standard and Poor's también subió. El gráfico anterior muestra el valor de esa inversión inicial de algo menos de 100 dólares a lo largo de 40 años. Muestra que una inversión que valía menos de 500 dólares hasta aproximadamente 1995 se disparó hasta unos 1.100 dólares a principios de 2000. Ese periodo de cinco años se conoció como la "burbuja de las puntocom" porque se formaron muchas empresas de Internet. Sin embargo, como suelen hacer las burbujas, la burbuja de las puntocom acabó por explotar. Muchas empresas crecieron demasiado deprisa y de repente quebraron. El resultado provocó el fuerte descenso representado en el gráfico a partir de finales de 2000. Observe que, al considerar este ejemplo, existe una relación definida entre el año y la media bursátil. Para cualquier año que elijamos, podemos determinar el valor correspondiente de la media bursátil. En este capítulo, exploraremos estos tipos de relaciones y sus propiedades.

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