La hipérbola Objetivos de aprendizaje Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1) Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1) Objetivo 1: Utilizar la fórmula de distancia. (IA 11.1.1) Fórmula de distancia Fórmula de distancia : La distancia d entre dos puntos x 1 , y 1 y x 2 , y 2 es d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 . Utilice la fórmula de distancia Utilice la fórmula correspondiente para calcular la distancia entre los puntos (−5, −3) y (7,2). Escriba la fórmula de distancia. d = x 2 x 1 2 + y 2 y 1 2 Marque los puntos (–5, –3) como ( x 1 , y 1 ) y el punto (7, 2) como ( x 2 , y 2 ) y sustituya. d = 7 2 ( -5 ) 2 + 2 ( -3 ) 2 Simplifique. d = 12 2 + 5 2 = 144 + 55 = 169 d = 13 La práctica hace la perfección Utilizar la fórmula de distancia. Utilice la fórmula de distancia para hallar la distancia entre los puntos (–2,–5) y (–14,–10). Utilice la fórmula de distancia para hallar la distancia entre los puntos (10, –4) y (–1,5). Escriba la respuesta en forma exacta y luego halle la aproximación decimal, redondeada a la décima más cercana si es necesario. Objetivo 2: Graficar una hipérbola con centro en (0,0). (IA 11.4.1) La hipérbola son todos los puntos en un plano donde la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Cada uno de los puntos fijos recibe el nombre de foco de la hipérbola. La línea que pasa por los focos se denomina eje transversal . Los dos puntos donde el eje transversal interseca a la hipérbola son cada uno un vértice de la hipérbola. El punto medio del segmento que une los focos se llama centro de la hipérbola. La recta perpendicular al eje transversal que pasa por el centro se denomina eje conjugado . Cada parte del gráfico se llama rama de la hipérbola. La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0) Ecuación x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 y 2 a 2 x 2 b 2 = 1 Orientación El eje transversal es horizontal. Se abre a la derecha y a la izquierda. El eje transversal es vertical. Se abre hacia arriba y hacia abajo. Vértices (-a, 0), (a, 0) (0, -a), (0, a) intersección en x (-a, 0), (a, 0) ninguno intersección en y ninguno (0, -a), (0, a) Rectángulo Utilice (±a, 0), (0, ±b) Utilice (0, ±a), (±b, 0) Asíntotas ( y = ± b a x y = ± a b x Observe que, a diferencia de la ecuación de una elipse, el denominador de x 2 no siempre es a 2 y el denominador de y 2 no siempre es b 2 . Observe que cuando el término x 2 es positivo, el eje transversal está en el eje x. Cuando el término y 2 es positivo, el eje transversal está en el eje y. Cómo graficar una hipérbola con centro en (0, 0). Escriba la ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal es horizontal o vertical. Halle los vértices. Dibuje el rectángulo, introducido en el origen, que interseca un eje en ± a y el otro en ± b . Dibuje las asíntotas, las líneas que pasan por las diagonales del rectángulo. Dibuje las dos ramas de la hipérbola. Comience en el vértice y utilice las asíntotas como guía. Graficar una hipérbola con centro en (0,0). Grafique x 2 25 - y 2 4 = 1 . Grafique 4 y 2 - 16 x 2 = 64 . 4 y 2 - 16 x 2 = 64 Para escribir la ecuación en forma estándar, divida cada término entre 64 para que la ecuación sea igual a 1. 4 y 2 64 − 16 x 2 64 = 64 64 Simplifique. y 2 16 - x 2 4 = 1 Como el término y 2 es positivo, el eje transversal es vertical. Dado que a 2 = 16 entonces a = ± 4 . Los vértices están en el eje y , ( 0 , - a ) , ( 0 , a ) . Dado que b 2 = 4 entonces b = ± 2 . ( 0 , –4 ) , ( 0 , 4 ) Dibuje el rectángulo que interseca el eje x en ( –2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) y el eje y en los vértices. Dibuje las asíntotas que pasan por las diagonales del rectángulo. Dibuje las dos ramas de la hipérbola. La práctica hace la perfección Graficar una hipérbola con centro en (0,0). Grafique x 2 9 y 2 16 = 1 . Grafique 25 y 2 9 x 2 = 225 . ¿Qué tienen en común las trayectorias de los cometas, los estampidos supersónicos, los antiguos pilares griegos y las torres de refrigeración de tiro natural? Todos ellos pueden ser modelados por el mismo tipo de cónica . Por ejemplo, cuando algo se mueve más rápido que la velocidad del sonido, se crea una onda expansiva en forma de cono. Cuando la onda se interseca con el suelo, se forma una porción cónica que ocasiona una explosión sónica. Vea la . Una onda expansiva que se interseca con el suelo forma una parte de una sección cónica y ocasiona una explosión sónica. La mayoría de las personas están familiarizadas con la explosión sónica creada por los aviones supersónicos, pero el ser humano ya rompía la barrera del sonido mucho antes del primer vuelo supersónico. El chasquido de un látigo se produce porque la punta supera la velocidad del sonido. Las balas disparadas por muchas armas de fuego también rompen la barrera del sonido, aunque el estampido del arma suele superar el sonido de la explosión sónica. Localización de los vértices y focos de una hipérbola En geometría analítica, una hipérbola es una sección cónica formada por la intersección de un cono circular recto con un plano en un ángulo tal que ambas mitades del cono se intersecan. Esta intersección produce dos curvas separadas no limitadas que son imágenes especulares la una de la otra. Vea la . Una hipérbola Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y los focos es una constante positiva. Observe que la definición de una hipérbola es muy similar a la de una elipse. La distinción es que la hipérbola se define en términos de la diferencia de dos distancias, mientras que la elipse se define en términos de la suma de dos distancias. Al igual que la elipse, toda hipérbola tiene dos ejes de simetría . El eje transversal es un segmento de línea que pasa por el centro de la hipérbola y tiene como puntos extremos los vértices. Los focos se encuentran en la línea que contiene el eje transversal. El eje conjugado es perpendicular al eje transversal y tiene como puntos extremos los covértices. El centro de una hipérbola es el punto medio de los ejes transversal y conjugado, donde se intersecan. Toda hipérbola tiene también dos asíntotas que pasan por su centro. A medida que una hipérbola se aleja del centro, sus ramas se acercan a estas asíntotas. El rectángulo central de la hipérbola está centrado en el origen con lados que pasan por cada vértice y covértice; es una herramienta útil para graficar la hipérbola y sus asíntotas. Para dibujar las asíntotas de la hipérbola, basta con dibujar y extender las diagonales del rectángulo central. Vea la . Características principales de la hipérbola En esta sección limitaremos nuestra discusión a las hipérbolas que están posicionadas verticalmente u horizontalmente en el plano de coordenadas; los ejes estarán sobre o serán paralelos a los ejes x y y . Consideraremos dos casos: los que están centrados en el origen y los que están centrados en un punto distinto del origen. Derivar la ecuación de una hipérbola centrada en el origen Supongamos que ( - c , 0 ) y ( c , 0 ) son los focos de una hipérbola centrada en el origen. La hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) de manera que la diferencia de las distancias de ( x , y ) a los focos es constante. Vea la . Si los valores de ( a , 0 ) es un vértice de la hipérbola, la distancia de ( - c , 0 ) al ( a , 0 ) es a - ( - c ) = a + c . La distancia de ( c , 0 ) al ( a , 0 ) es c - a . La diferencia de las distancias de los focos al vértice es ( a + c ) - ( c - a ) = 2 a Si los valores de ( x , y ) es un punto de la hipérbola, podemos definir las siguientes variables: d 2 = la distancia de ( - c , 0 ) para ( x , y ) d 1 = la distancia de ( c , 0 ) para ( x , y ) Por definición de una hipérbola, d 2 − d 1 es constante para cualquier punto ( x , y ) en la hipérbola. Sabemos que la diferencia de estas distancias es 2 a para el vértice ( a , 0 ) . Se deduce que d 2 − d 1 = 2 a para cualquier punto de la hipérbola. Al igual que con la derivación de la ecuación de una elipse, comenzaremos aplicando la fórmula de distancia . El resto de la derivación es algebraica. Compare esta derivación con la de la sección anterior para las elipses. d 2 − d 1 = ( x - ( - c ) ) 2 + ( y - 0 ) 2 - ( x - c ) 2 + ( y - 0 ) 2 = 2 a Fórmula de distancia ( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 = 2 a Simplifique las expresiones . ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a + ( x - c ) 2 + y 2 Mueva el radical al lado opuesto . ( x + c ) 2 + y 2 = ( 2 a + ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 Expanda los cuadrados . x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 + x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 Expanda el cuadrado restante . 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x - c ) 2 + y 2 - 2 c x Combine términos similares . 4 c x - 4 a 2 = 4 a ( x - c ) 2 + y 2 Aísle el radical . c x – a 2 = a ( x - c ) 2 + y 2 Divida entre 4 . ( c x – a 2 ) 2 = a 2 ( ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 Eleve ambos lados al cuadrado . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 ( x 2 - 2 c x + c 2 + y 2 ) Expanda los cuadrados . c 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 4 = a 2 x 2 - 2 a 2 c x + a 2 c 2 + a 2 y 2 Distribuya a 2 . a 4 + c 2 x 2 = a 2 x 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2 Combine términos similares . c 2 x 2 - a 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 c 2 - a 4 Reordene los términos . x 2 ( c 2 - a 2 ) - a 2 y 2 = a 2 ( c 2 - a 2 ) Factorice los términos comunes . x 2 b 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 Establezca b 2 = c 2 - a 2 . x 2 b 2 a 2 b 2 - a 2 y 2 a 2 b 2 = a 2 b 2 a 2 b 2 Divida ambos lados entre a 2 b 2 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Esta ecuación define una hipérbola centrada en el origen con vértices ( ± a , 0 ) y covértices ( 0 ± b ) . Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro (0,0) La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( 0 , 0 ) y el eje transversal en el eje x es x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a x Vea la a . La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( 0 , 0 ) y el eje transversal en el eje y es y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x Vea la b . Observe que los vértices, covértices y focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Cuando nos dan la ecuación de una hipérbola, podemos utilizar esta relación para identificar sus vértices y focos. (a) Hipérbola horizontal con centro ( 0 , 0 ) (b) Hipérbola vertical con centro ( 0 , 0 ) Cómo Dada la ecuación de una hipérbola en forma estándar, ubique sus vértices y focos. Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y . Observe que a 2 está siempre debajo de la variable con el coeficiente positivo. Por lo tanto, si se establece la otra variable igual a cero, se pueden hallar fácilmente las intersecciones. En el caso de que la hipérbola esté centrada en el origen, las intersecciones coinciden con los vértices. Si la ecuación tiene la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal se encuentra en el eje x . Los vértices se encuentran en ( ± a , 0 ) , y los focos se encuentran en ( ± c , 0 ) . Si la ecuación tiene la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal se encuentra en el eje y . Los vértices se encuentran en ( 0 , ± a ) , y los focos se encuentran en ( 0, ± c ) . Resuelva para a utilizando la ecuación a = a 2 . Resuelva para c utilizando la ecuación c = a 2 + b 2 . Localización de los vértices y focos de una hipérbola Identifique los vértices y focos de la hipérbola con ecuación y 2 49 − x 2 32 = 1. La ecuación tiene la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , por lo que el eje transversal se encuentra en el eje y . La hipérbola está centrada en el origen, por lo que los vértices sirven como intersecciones en y del gráfico. Para hallar los vértices, establezca x = 0 , y resolver para y . 1 = y 2 49 − x 2 32 1 = y 2 49 − 0 2 32 1 = y 2 49 y 2 = 49 y = ± 49 = ± 7 Los focos se encuentran en ( 0, ± c ) . Al resolver c , c = a 2 + b 2 = 49 + 32 = 81 = 9 Por lo tanto, los vértices se encuentran en ( 0, ± 7 ) , y los focos se encuentran en ( 0 , 9 ) . Ejercicio Identificar los vértices y los focos de la hipérbola con la ecuación x 2 9 − y 2 25 = 1. Vértices: ( ± 3 , 0 ) ; Focos: ( ± 34 , 0 ) Escribir ecuaciones de hipérbolas en forma estándar Al igual que con las elipses, escribir la ecuación de una hipérbola en forma estándar nos permite calcular las características clave: centro, vértices, covértices, focos, asíntotas y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Por otra parte, se puede hallar una ecuación para una hipérbola dadas sus características principales. Empezamos por hallar las ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en el origen. Luego, nos centraremos en hallar ecuaciones estándar para hipérbolas centradas en algún punto distinto del origen. Hipérbolas centradas en el origen Si repasamos las formas estándar dadas para las hipérbolas centradas en ( 0 , 0 ) , vemos que los vértices, los covértices y los focos están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Observe que esta ecuación también se puede reescribir como b 2 = c 2 - a 2 . Esta relación se utiliza para escribir la ecuación de una hipérbola cuando se dan las coordenadas de sus focos y sus vértices. Cómo Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en ( 0 , 0 ) , escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal se encuentra en el eje x o en el eje y . Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( ± a , 0 ) y ( ± c , 0 ) , respectivamente, entonces el eje transversal es el eje x . Utilice la forma estándar x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. Si las coordenadas dadas de los vértices y focos tienen la forma ( 0, ± a ) y ( 0, ± c ) , respectivamente, entonces el eje transversal es el eje y . Utilice la forma estándar y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. Calcule b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 . Sustituya los valores de a 2 y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en (0,0) dados sus focos y vértices ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( ± 6 , 0 ) y focos ( ± 2 10 , 0 ) ? Los vértices y los focos están en el eje x . Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. Los vértices son ( ± 6 , 0 ) , así que a = 6 y a 2 = 36. Los focos son ( ± 2 10 , 0 ) , por lo que c = 2 10 y c 2 = 40. Al resolver para b 2 , tenemos b 2 = c 2 - a 2 b 2 = 40 − 36 Sustituya por c 2 y a 2 . b 2 = 4 Reste . Por último, sustituimos a 2 = 36 y b 2 = 4 en la forma estándar de la ecuación, x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. La ecuación de la hipérbola es x 2 36 − y 2 4 = 1 , como se muestra en la . Ejercicio Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( 0, ± 2 ) y focos ( 0, ± 2 5 ) ? y 2 4 - x 2 16 = 1 Hipérbolas no centradas en el origen Al igual que los gráficos de otras ecuaciones, el gráfico de una hipérbola se puede trasladar. Si se traslada una hipérbola h unidades en horizontal y k unidades en vertical, el centro de la hipérbola será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente, con x sustituido por ( x - h ) y de y sustituido por ( y - k ) . Formas estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) y el eje transversal paralelo al eje x es ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) Las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo central. La longitud del rectángulo es 2 a y su ancho es 2 b . Las pendientes de las diagonales son ± b a , y cada diagonal pasa por el centro ( h , k ) . Si utilizamos la fórmula punto-pendiente , es sencillo demostrar que las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k . Vea la a La forma estándar de la ecuación de una hipérbola con centro ( h , k ) y el eje transversal paralelo al eje y es ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 donde la longitud del eje transversal es 2 a las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) la longitud del eje conjugado es 2 b las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) la distancia entre los focos es 2 c , donde c 2 = a 2 + b 2 las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) Si utilizamos el razonamiento anterior, las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b ( x - h ) + k . Vea la b . (a) Hipérbola horizontal con centro ( h , k ) (b) Hipérbola vertical con centro ( h , k ) Al igual que las hipérbolas centradas en el origen, las hipérbolas centradas en un punto ( h , k ) tienen vértices, covértices y focos que están relacionados por la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Podemos utilizar esta relación junto con las fórmulas del punto medio y de distancia para hallar la ecuación estándar de una hipérbola cuando se dan los vértices y los focos. Cómo Dados los vértices y los focos de una hipérbola centrada en ( h , k ) , escriba su ecuación en forma estándar. Determine si el eje transversal es paralelo al eje x o al eje y . Si las coordenadas y de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje x . Utilice la forma estándar ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1. Si las coordenadas x de los vértices y los focos dados son iguales, entonces el eje transversal es paralelo al eje y . Utilice la forma estándar ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1. Identifique el centro de la hipérbola, ( h , k ) , utilizando la fórmula del punto medio y las coordenadas dadas para los vértices. Calcule a 2 resolviendo la longitud del eje transversal, 2 a , que es la distancia entre los vértices dados. Calcule c 2 utilizando h y k calculada en el paso 2 junto con las coordenadas dadas para los focos. Resuelva para b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 . Sustituya los valores de h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación determinada en el paso 1. Hallar la ecuación de una hipérbola centrada en ( h , k ) dados sus focos y vértices ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices en ( 0 , –2 ) y ( 6 , –2 ) y focos en ( –2 , –2 ) y ( 8 , –2 ) ? Las coordenadas y de los vértices y los focos son las mismas, por lo que el eje transversal es paralelo al eje x . Así, la ecuación de la hipérbola tendrá la forma ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 En primer lugar, identificamos el centro, ( h , k ) . El centro está a medio camino entre los vértices ( 0 , –2 ) y ( 6 , –2 ) . Al aplicar la fórmula del punto medio, tenemos ( h , k ) = ( 0 + 6 2 , −2 + ( −2 ) 2 ) = ( 3 , –2 ) Luego, hallamos a 2 . La longitud del eje transversal, 2 a , está delimitada por los vértices. Así, podemos hallar a 2 al calcular la distancia entre las coordenadas x de los vértices. 2 a = | 0 - 6 | 2 a = 6 a = 3 a 2 = 9 Ahora tenemos que hallar c 2 . Las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) . Así que ( h − c , k ) = ( – 2 , –2 ) y ( h + c , k ) = ( 8 , –2 ) . Podemos utilizar la coordenada x de cualquiera de estos puntos para resolver c . Al utilizar el punto ( 8 , –2 ) , y sustituir h = 3 , h + c = 8 3 + c = 8 c = 5 c 2 = 25 A continuación, resuelva b 2 utilizando la ecuación b 2 = c 2 - a 2 : b 2 = c 2 - a 2 = 25 − 9 = 16 Por último, sustituya los valores hallados para h , k , a 2 , y b 2 en la forma estándar de la ecuación. ( x - 3 ) 2 9 - ( y + 2 ) 2 16 = 1 Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la forma estándar de la hipérbola que tiene vértices ( 1 , –2 ) y ( 1 , 8 ) y focos ( 1 , –10 ) y ( 1 , 16 ) ? ( y - 3 ) 2 25 + ( x – 1 ) 2 144 = 1 Graficar hipérbolas centradas en el origen Cuando tenemos una ecuación en forma estándar para una hipérbola centrada en el origen, podemos interpretar sus partes para identificar las características clave de su gráfico: el centro, los vértices, los covértices, las asíntotas, los focos y las longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado. Para graficar las hipérbolas centradas en el origen, utilizamos la forma estándar x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 para las hipérbolas horizontales y la forma estándar y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 para las hipérbolas verticales. Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una hipérbola centrada en ( 0 , 0 ) , dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada. Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas de los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas. Si la ecuación es de la forma x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal está en el eje x las coordenadas de los vértices son ( ± a , 0 ) las coordenadas de los covértices son ( 0, ± b ) las coordenadas de los focos son ( ± c , 0 ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a x Si la ecuación es de la forma y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal está en el eje y las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación c = ± a 2 + b 2 . Trace los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola. Gráfico de una hipérbola centrada en (0, 0) dada una ecuación en forma estándar Grafique la hipérbola dada por la ecuación y 2 64 - x 2 36 = 1. Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. Por lo tanto, el eje transversal está en el eje y Las coordenadas de los vértices son ( 0, ± a ) = ( 0 , ± 64 ) = ( 0, ± 8 ) Las coordenadas de los covértices son ( ± b , 0 ) = ( ± 36 , 0 ) = ( ± 6 , 0 ) Las coordenadas de los focos son ( 0, ± c ) , donde c = ± a 2 + b 2 . Al resolver c , tenemos c = ± a 2 + b 2 = ± 64 + 36 = ± 100 = ± 10 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 0, ± 10 ) Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b x = ± 8 6 x = ± 4 3 x Trace e identifique los vértices y los covértices, y luego dibuje el rectángulo central. Los lados del rectángulo son paralelos a los ejes y pasan por los vértices y los covértices. Dibuje y extienda las diagonales del rectángulo central para mostrar las asíntotas. El rectángulo central y las asíntotas proporcionan el marco necesario para dibujar un gráfico preciso de la hipérbola. Identifique los focos y las asíntotas, y dibuje una curva suave para formar la hipérbola, como se muestra en la . Ejercicio Grafique la hipérbola dada por la ecuación x 2 144 − y 2 81 = 1. Identifique y marque los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. vértices: ( ± 12 , 0 ) ; covértices: ( 0 , ± 9 ) ; focos: ( ± 15 , 0 ) ; asíntotas: y = ± 3 4 x ; Graficar hipérbolas no centradas en el origen Graficar hipérbolas centradas en un punto ( h , k ) distinto del origen es similar a graficar elipses centradas en un punto distinto del origen. Utilizamos las formas estándar ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 para las hipérbolas horizontales y ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 para las hipérbolas verticales. A partir de estas ecuaciones de forma estándar podemos calcular y representar fácilmente las características clave del gráfico: las coordenadas de su centro, los vértices, los covértices y los focos; las ecuaciones de sus asíntotas; y las posiciones de los ejes transversales y conjugados. Cómo Dada una forma general para una hipérbola centrada en ( h , k ) , dibuje el gráfico. Convierta la forma general en esa forma estándar. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada. Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar la posición del eje transversal; las coordenadas del centro, los vértices, los covértices y los focos; y las ecuaciones de las asíntotas. Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal es paralelo al eje x el centro es ( h , k ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k Si la ecuación es de la forma ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 , entonces el eje transversal es paralelo al eje y el centro es ( h , k ) las coordenadas de los vértices son ( h , k ± a ) las coordenadas de los covértices son ( h ± b , k ) las coordenadas de los focos son ( h , k ± c ) las ecuaciones de las asíntotas son y = ± a b ( x - h ) + k Resuelva las coordenadas de los focos mediante la ecuación c = ± a 2 + b 2 . Trace el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas en el plano de coordenadas y dibuje una curva suave para formar la hipérbola. Gráfico de una hipérbola centrada en ( h , k ) dada una ecuación en forma general Grafique la hipérbola dada por la ecuación 9 x 2 - 4 y 2 - 36 x − 40 y − 388 = 0, Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. Primero, exprese la ecuación en forma estándar. Agrupe los términos que contengan la misma variable y mueva la constante al lado opuesto de la ecuación. ( 9 x 2 - 36 x ) - ( 4 y 2 + 40 y ) = 388 Factorice el coeficiente líder de cada expresión. 9 ( x 2 - 4 x ) - 4 ( y 2 + 10 y ) = 388 Complete el cuadrado dos veces. Recuerde equilibrar la ecuación sumando las mismas constantes a cada lado. 9 ( x 2 - 4 x + 4 ) - 4 ( y 2 + 10 y + 25 ) = 388 + 36 − 100 Reescriba como cuadrados perfectos. 9 ( x - 2 ) 2 - 4 ( y + 5 ) 2 = 324 Divida ambos lados entre el término constante para poner la ecuación en forma estándar. ( x - 2 ) 2 36 − ( y + 5 ) 2 81 = 1 La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 , donde a 2 = 36 y b 2 = 81 , o a = 6 y b = 9. Así, el eje transversal es paralelo al eje x . De ello se desprende que: el centro de la elipse es ( h , k ) = ( 2 , −5 ) las coordenadas de los vértices son ( h ± a , k ) = ( 2 ± 6 , −5 ) , o ( - 4 , −5 ) y ( 8 , −5 ) las coordenadas de los covértices son ( h , k ± b ) = ( 2 , - 5 ± 9 ) , o ( 2 , − 14 ) y ( 2 , 4 ) las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c = ± a 2 + b 2 . Al resolver c , tenemos c = ± 36 + 81 = ± 117 = ± 3 13 Por lo tanto, las coordenadas de los focos son ( 2 - 3 13 , −5 ) y ( 2 + 3 13 , −5 ) . Las ecuaciones de las asíntotas son y = ± b a ( x - h ) + k = ± 3 2 ( x - 2 ) − 5. A continuación, trazamos y marcamos el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas y dibujamos curvas suaves para formar la hipérbola, como se muestra en la . Ejercicio Representar gráficamente la hipérbola dada por la forma estándar de una ecuación ( y + 4 ) 2 100 − ( x - 3 ) 2 64 = 1. Identifique y marque el centro, los vértices, los covértices, los focos y las asíntotas. centro: ( 3 , - 4 ) ; vértices: ( 3 , − 14 ) y ( 3 , 6 ) ; covértices: ( - 5 , - 4 ) ; y ( 11 , - 4 ) ; focos: ( 3 , - 4 – 2 41 ) y ( 3 , - 4 + 2 41 ) ; asíntotas: y = ± 5 4 ( x - 3 ) - 4 Resolver problemas aplicados con hipérbolas Como hemos comentado al principio de esta sección, las hipérbolas tienen aplicaciones en el mundo real en muchos campos, como astronomía, física, ingeniería y arquitectura. La eficacia del diseño de torres de refrigeración hiperbólicas es especialmente interesante. Las torres de refrigeración se utilicen para transferir el calor residual a la atmósfera y, a menudo, se promocionan por su capacidad para generar energía de forma eficiente. Debido a su forma hiperbólica, estas estructuras son capaces de resistir vientos extremos y requieren menos material que otras formas de su tamaño y resistencia. Vea la . Por ejemplo, una torre de 500 pies puede estar hecha de un armazón de hormigón reforzado ¡de solo 6 u 8 pulgadas de ancho! Torres de refrigeración de la central eléctrica de Drax en North Yorkshire, Reino Unido (créditos: Les Haines, Flickr). Las primeras torres hiperbólicas se diseñaron en 1914 y tenían 35 metros de altura. En la actualidad, las torres de refrigeración más altas se encuentran en Francia, con la notable altura de 170 metros. En el utilizaremos el diseño de una torre de refrigeración para hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Resolver problemas aplicados con hipérbolas El diseño de una torre de refrigeración se muestra en la . La torre tiene 179,6 metros de altura. El diámetro de la cima es de 72 metros. En su punto más cercano, los lados de la torre están separados por 60 metros. Diseño del proyecto de una torre de refrigeración de tiro natural Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola , indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales. Suponemos que el centro de la torre está en el origen, por lo que podemos utilizar la forma estándar de una hipérbola horizontal centrada en el origen: x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , donde las ramas de la hipérbola forman los lados de la torre de refrigeración. Debemos hallar los valores de a 2 y b 2 para completar el modelo. Primero hallamos a 2 . Recordemos que la longitud del eje transversal de una hipérbola es 2 a . Esta longitud está representada por la distancia en la que los lados están más próximos, que viene dada por 60 metros. Así que, 2 a = 60. Por lo tanto, a = 30 y a 2 = 900. Para resolver b 2 , tenemos que sustituir por x como y en nuestra ecuación utilizando un punto conocido. Para ello, podemos utilizar las dimensiones de la torre para hallar algún punto ( x , y ) que se encuentra en la hipérbola. Utilizaremos la esquina superior derecha de la torre para representar ese punto. Dado que el eje y biseca la torre, nuestro valor x se puede representar por el radio de la cima, es decir, 36 metros. El valor y está representado por la distancia desde el origen hasta la cima, que se da como 79,6 metros. Por lo tanto, x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Forma estándar de la hipérbola horizontal . b 2 = y 2 x 2 a 2 – 1 Aísle b 2 = ( 79,6 ) 2 ( 36 ) 2 900 − 1 Sustituya por a 2 , x , y y ≈ 14.400,3636 Redondear a cuatro decimales Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica x 2 900 − y 2 14.400,3636 = 1 , o x 2 30 2 - y 2 120,0015 2 = 1 Ejercicio El diseño de un proyecto de torre de refrigeración se muestra en la . Halle la ecuación de la hipérbola que representa los lados de la torre de refrigeración. Supongamos que el centro de la hipérbola, indicado por la intersección de las líneas perpendiculares discontinuas en la figura, es el origen del plano de coordenadas. Redondee los valores finales a cuatro decimales. Los lados de la torre se pueden modelar mediante la ecuación hiperbólica. x 2 400 − y 2 3.600 = 1 o x 2 20 2 - y 2 60 2 = 1. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con hipérbolas. Secciones cónicas: la hipérbola, parte 1 de 2 Secciones cónicas: la hipérbola, parte 2 de 2 Graficar una hipérbola con centro en el origen Graficar una hipérbola no centrada en el origen Ecuaciones clave Hipérbola, centro en el origen, eje transversal en el eje de la x x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en el origen, eje transversal en el eje y y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en ( h , k ) , eje transversal paralelo al eje x ( x - h ) 2 a 2 - ( y - k ) 2 b 2 = 1 Hipérbola, centro en ( h , k ) , eje transversal paralelo al eje y ( y - k ) 2 a 2 - ( x - h ) 2 b 2 = 1 Conceptos clave Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y los focos es una constante positiva. La forma estándar de una hipérbola se puede usar para hallar sus vértices y sus focos. Vea el . Cuando se dan las coordenadas de los focos y los vértices de una hipérbola, podemos escribir la ecuación de la hipérbola en forma estándar. Vea el y el . Cuando se da una ecuación para una hipérbola, podemos identificar sus vértices, covértices, focos, asíntotas y longitudes y posiciones de los ejes transversal y conjugado para graficar la hipérbola. Vea el y el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar utilizando las ecuaciones estándar de las hipérbolas. Por ejemplo, dadas las dimensiones de una torre de refrigeración de tiro natural, podemos hallar una ecuación hiperbólica que modele sus lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una hipérbola en términos de sus focos. Una hipérbola es el conjunto de puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es una constante positiva. ¿Qué podemos concluir sobre una hipérbola si sus asíntotas se intersecan en el origen? ¿Qué debe ser cierto para los focos de una hipérbola? Los focos deben estar en el eje transversal y en el interior de la hipérbola. Si el eje transversal de una hipérbola es vertical, ¿qué sabemos del gráfico? ¿Dónde debe estar el centro de la hipérbola respecto a sus focos? El centro debe ser el punto medio del segmento de línea que une los focos. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si las siguientes ecuaciones representan hipérbolas. Si es así, escríbalo en la forma estándar. 3 y 2 + 2 x = 6 x 2 36 − y 2 9 = 1 sí x 2 6 2 - y 2 3 2 = 1 5 y 2 + 4 x 2 = 6 x 25 x 2 - 16 y 2 = 400 sí x 2 4 2 - y 2 5 2 = 1 − 9 x 2 + 18 x + y 2 + 4 y − 14 = 0 En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la hipérbola en forma estándar si no lo está ya, identifique los vértices y los focos y escriba las ecuaciones de las asíntotas. x 2 25 - y 2 36 = 1 x 2 5 2 - y 2 6 2 = 1 ; vértices: ( 5 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) ; focos: ( 61 , 0 ) , ( − 61 , 0 ) ; asíntotas: y = 6 5 x , y = − 6 5 x x 2 100 − y 2 9 = 1 y 2 4 - x 2 81 = 1 y 2 2 2 - x 2 9 2 = 1 ; vértices: ( 0 , 2 ) , ( 0 , - 2 ) ; focos: ( 0 , 85 ) , ( 0 , − 85 ) ; asíntotas: y = 2 9 x , y = - 2 9 x 9 y 2 - 4 x 2 = 1 ( x – 1 ) 2 9 - ( y - 2 ) 2 16 = 1 ( x – 1 ) 2 3 2 - ( y - 2 ) 2 4 2 = 1 ; vértices: ( 4 , 2 ) , ( – 2 , 2 ) ; focos: ( 6 , 2 ) , ( - 4 , 2 ) ; asíntotas: y = 4 3 ( x – 1 ) + 2 , y = – 4 3 ( x – 1 ) + 2 ( y - 6 ) 2 36 − ( x + 1 ) 2 16 = 1 ( x - 2 ) 2 49 - ( y + 7 ) 2 49 = 1 ( x - 2 ) 2 7 2 - ( y + 7 ) 2 7 2 = 1 ; vértices: ( 9 , - 7 ) , ( - 5 , - 7 ) ; focos: ( 2 + 7 2 , - 7 ) , ( 2 - 7 2 , - 7 ) ; asíntotas: y = x - 9 , y = - x - 5 4 x 2 - 8 x - 9 y 2 - 72 y + 112 = 0 − 9 x 2 − 54 x + 9 y 2 − 54 y + 81 = 0 ( x + 3 ) 2 3 2 - ( y - 3 ) 2 3 2 = 1 ; vértices: ( 0 , 3 ) , ( − 6 , 3 ) ; focos: ( - 3 + 3 2 , 1 ) , ( - 3 - 3 2 , 1 ) ; asíntotas: y = x + 6 , y = - x 4 x 2 - 24 x − 36 y 2 − 360 y + 864 = 0 - 4 x 2 + 24 x + 16 y 2 - 128 y + 156 = 0 ( y - 4 ) 2 2 2 - ( x - 3 ) 2 4 2 = 1 ; vértices: ( 3 , 6 ) , ( 3 , 2 ) ; focos: ( 3 , 4 + 2 5 ) , ( 3 , 4 – 2 5 ) ; asíntotas: y = 1 2 ( x - 3 ) + 4 , y = - 1 2 ( x - 3 ) + 4 - 4 x 2 + 40 x + 25 y 2 − 100 y + 100 = 0 x 2 + 2 x − 100 y 2 − 1.000 y + 2401 = 0 ( y + 5 ) 2 7 2 - ( x + 1 ) 2 70 2 = 1 ; vértices: ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , − 12 ) ; focos: ( - 1 , - 5 + 7 101 ) , ( - 1 , - 5 − 7 101 ) ; asíntotas: y = 1 10 ( x + 1 ) - 5 , y = - 1 10 ( x + 1 ) - 5 − 9 x 2 + 72 x + 16 y 2 + 16 y + 4 = 0 4 x 2 + 24 x - 25 y 2 + 200 y − 464 = 0 ( x + 3 ) 2 5 2 - ( y - 4 ) 2 2 2 = 1 ; vértices: ( 2 , 4 ) , ( − 8 , 4 ) ; focos: ( - 3 + 29 , 4 ) , ( - 3 − 29 , 4 ) ; asíntotas: y = 2 5 ( x + 3 ) + 4 , y = - 2 5 ( x + 3 ) + 4 En los siguientes ejercicios, halle las ecuaciones de las asíntotas de cada hipérbola. y 2 3 2 - x 2 3 2 = 1 ( x - 3 ) 2 5 2 - ( y + 4 ) 2 2 2 = 1 y = 2 5 ( x - 3 ) - 4 , y = - 2 5 ( x - 3 ) - 4 ( y - 3 ) 2 3 2 - ( x + 5 ) 2 6 2 = 1 9 x 2 − 18 x − 16 y 2 + 32 y − 151 = 0 y = 3 4 ( x – 1 ) + 1 , y = - 3 4 ( x – 1 ) + 1 16 y 2 + 96 y - 4 x 2 + 16 x + 112 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la hipérbola, donde marque los vértices y los focos. x 2 49 − y 2 16 = 1 x 2 64 − y 2 4 = 1 y 2 9 - x 2 25 = 1 81 x 2 - 9 y 2 = 1 ( y + 5 ) 2 9 - ( x - 4 ) 2 25 = 1 ( x - 2 ) 2 8 − ( y + 3 ) 2 27 = 1 ( y - 3 ) 2 9 - ( x - 3 ) 2 9 = 1 - 4 x 2 - 8 x + 16 y 2 - 32 y − 52 = 0 x 2 - 8 x - 25 y 2 − 100 y − 109 = 0 - x 2 + 8 x + 4 y 2 − 40 y + 88 = 0 64 x 2 + 128 x - 9 y 2 - 72 y − 656 = 0 16 x 2 + 64 x - 4 y 2 - 8 y - 4 = 0 − 100 x 2 + 1.000 x + y 2 - 10 y − 2575 = 0 4 x 2 + 16 x - 4 y 2 + 16 y + 16 = 0 En los siguientes ejercicios, dada la información sobre el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación. Vértices en ( 3 , 0 ) y ( −3 , 0 ) y un foco en ( 5 , 0 ) . x 2 9 − y 2 16 = 1 Vértices en ( 0 , 6 ) y ( 0 , –6 ) y un foco en ( 0 , −8 ) . Vértices en ( 1 , 1 ) y ( 11 , 1 ) y un foco en ( 12 , 1 ) . ( x - 6 ) 2 25 − ( y - 1 ) 2 11 = 1 Centro: ( 0 , 0 ) ; vértice: ( 0 , -13 ) ; un foco: ( 0 , 313 ) . Centro: ( 4 , 2 ) ; vértice: ( 9 , 2 ) ; un foco: ( 4 + 26 , 2 ) . ( x - 4 ) 2 25 − ( y - 2 ) 2 1 = 1 Centro: ( 3 , 5 ) ; vértice: ( 3 , 11 ) ; un foco: ( 3 , 5 + 2 10 ) . En los siguientes ejercicios, dado el gráfico de la hipérbola, halle su ecuación. y 2 16 - x 2 25 = 1 y 2 9 - ( x + 1 ) 2 9 = 1 ( x + 3 ) 2 25 − ( y + 3 ) 2 25 = 1 Extensiones En los siguientes ejercicios, exprese la ecuación de la hipérbola como dos funciones, con y en función de x . Exprese de la forma más sencilla posible. Use una calculadora gráfica para trazar el gráfico de las dos funciones en los mismos ejes. x 2 4 - y 2 9 = 1 y 2 9 - x 2 1 = 1 y ( x ) = 3 x 2 + 1 , y ( x ) = - 3 x 2 + 1 ( x - 2 ) 2 16 - ( y + 3 ) 2 25 = 1 - 4 x 2 - 16 x + y 2 - 2 y − 19 = 0 y ( x ) = 1 + 2 x 2 + 4 x + 5 , y ( x ) = 1 - 2 x 2 + 4 x + 5 4 x 2 - 24 x - y 2 - 4 y + 16 = 0 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios hay que construir un seto en forma de hipérbola cerca de una fuente en el centro del patio. Halle la ecuación de la hipérbola y dibuje el gráfico. El seto seguirá las asíntotas y = x y y = - x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 5 yardas. x 2 25 - y 2 25 = 1 El seto seguirá las asíntotas y = 2 x y y = –2 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 6 yardas. El seto seguirá las asíntotas y = 1 2 x como y = - 1 2 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 10 yardas. x 2 100 − y 2 25 = 1 El seto seguirá las asíntotas y = 2 3 x como y = - 2 3 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 12 yardas. El seto seguirá las asíntotas y = 3 4 x como y = - 3 4 x , y su distancia más cercana a la fuente central es de 20 yardas. x 2 400 − y 2 225 = 1 En los siguientes ejercicios, supongamos que un objeto entra en nuestro sistema solar y queremos graficar su trayectoria en un sistema de coordenadas con el Sol en el origen y el eje x como eje de simetría de la trayectoria del objeto. Dé la ecuación de la trayectoria de vuelo de cada objeto utilizando la información dada. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = x - 2 y pasa a menos de 1 UA (unidad astronómica) del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = - x + 2. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 2 x - 2 y pasa a 0,5 UA del Sol en su máxima aproximación, por lo que el Sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = –2 x + 2. 4 ( x 1 ) 2 y 2 2 = 16 El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 0,5 x + 2 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = -0,5 x − 2. El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 1 3 x – 1 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = - 1 3 x + 1. ( x - h ) 2 a 2 ( y k ) 2 b 2 = ( x 3 ) 2 9 y 2 = 4 El objeto entra por una trayectoria aproximada por la línea y = 3 x - 9 y pasa a menos de 1 ua del Sol en su máxima aproximación, por lo que el sol es un foco de la hipérbola. Luego sale del sistema solar por una trayectoria aproximada por la línea y = −3 x + 9. centro de una hipérbola el punto medio de los ejes transversal y conjugado de una hipérbola eje conjugado el eje de una hipérbola que es perpendicular al eje transversal y tiene los covértices como puntos extremos hipérbola el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano tal que la diferencia de las distancias entre ( x , y ) y el foco es una constante positiva eje transversal el eje de una hipérbola que incluye los focos y tiene los vértices como puntos extremos

Matemáticas


La parábola Objetivos de aprendizaje Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1) Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2) Objetivo 1: Representar gráficamente las parábolas verticales. (IA 11.2.1) Una parábola son todos los puntos de un plano que están a la misma distancia de un punto fijo y de una línea fija. El punto fijo se llama foco y la línea fija se llama directriz de la parábola. Anteriormente, aprendimos a graficar parábolas verticales a partir de la forma general o la forma estándar utilizando propiedades. Estos métodos también funcionan aquí. Parábolas verticales Forma general y = a x 2 + b x + c Forma estándar y = a ( x - h ) 2 + k Orientación a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo a > 0 hacia arriba; a < 0 hacia abajo Eje de simetría x = - b 2 a x = h Representar gráficamente las parábolas verticales. Determine si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en y (establezca x = 0). Halle el punto simétrico a la intersección y a través del eje de simetría. Halle las intersecciones en x (establezca y = 0). Grafique la parábola. Grafique y = - x 2 + 6 x - 8 . Dado que a es −1 , la parábola se abre hacia abajo. Para calcular el eje de simetría, halle x = - b 2 a . El eje de simetría es x = 3 . El vértice está en la línea x = 3 . Supongamos que x = 3 . El vértice es ( 3 , 1 ) . La intersección en y se produce cuando x = 0 . Sustituya x = 0 . Simplifique. La intersección en y es ( 0 , −8 ) . El punto ( 0 , −8 ) está tres unidades a la izquierda de la línea de simetría. El punto tres unidades a la derecha de la línea de simetría es ( 6 , −8 ) . El punto simétrico a la intersección en y es ( 6 , −8 ) . La intersección en x se produce cuando y = 0 . Supongamos que y = 0 . Factorice el máximo común divisor (MCD). Factorice el trinomio. Resuelva para x . Las intersecciones en x son ( 4 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . Grafique la parábola. La práctica hace la perfección Representar gráficamente las parábolas verticales. Grafique y = 2 x 2 + 4 x + 5 . Grafique y = – x 3 2 + 5 . Objetivo 2: Representar gráficamente las parábolas horizontales. (IA 11.2.2) Nuestro trabajo hasta ahora solo se ha ocupado de parábolas que se abren hacia arriba o hacia abajo. Ahora vamos a ver las parábolas horizontales. Estas parábolas se abren hacia la izquierda o hacia la derecha. Si intercambiamos la x y la y en nuestras ecuaciones anteriores para las parábolas, obtenemos las ecuaciones de las parábolas abiertas a la izquierda o a la derecha. Parábolas horizontales Forma general x = a y 2 + b y + c Forma estándar x = a ( y - k ) 2 + h Orientación a > 0 derecha; a < 0 izquierda a > 0 derecha; a < 0 izquierda Vértice Sustituya y = - b 2 a y resuelva para x . ( h , k ) Eje de simetría y = - b 2 a y = k Representar gráficamente las parábolas horizontales. Determine si la parábola se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Halle el eje de simetría. Halle el vértice. Halle la intersección en x . Halle el punto simétrico al de la intersección en x a través del eje de simetría. Halle las intersecciones y . Grafique la parábola. Representar gráficamente las parábolas horizontales. Grafique x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 . Identifique las constantes a, h, k . a = 2 , h = 1 , k = 2 Dado que a = 2 , la parábola se abre hacia la derecha. El eje de simetría es y = k . El eje de simetría es y = 2 . El vértice es ( h , k ) . El vértice es ( 1 , 2 ) . Halle la intersección en x sustituyendo y = 0 . x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 x = 2 ( 0 - 2 ) 2 + 1 x = 9 La intersección en x es ( 9 , 0 ) . Halle el punto simétrico a ( 9 , 0 ) a través del eje de simetría. ( 9 , 4 ) Halle las intersecciones y . Supongamos que x = 0 . x = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 0 = 2 ( y - 2 ) 2 + 1 −1 = 2 ( y - 2 ) 2 Un cuadrado no puede ser negativo, por lo que no existe una solución real. Por lo tanto, no hay intersecciones en y . Grafique la parábola. La práctica hace la perfección Grafique x = 2 y + 2 2 + 4 . Grafique x = y 2 + 2 y 3 . El trabajo matemático pionero de Katherine Johnson en el ámbito de los cálculos parabólicos y otros cálculos orbitales desempeñó un papel importante en el desarrollo de los vuelos espaciales estadounidenses. (Créditos: NASA). Katherine Johnson es la matemática pionera de la NASA que fue fundamental para el éxito y la seguridad del vuelo y el regreso de muchas misiones humanas, así como de los satélites. Antes del trabajo que aparece en la película Hidden Figures , ya había hecho importantes contribuciones al programa espacial. Realizó el análisis de la trayectoria de la misión Mercury, en la que Alan Shepard se convirtió en el primer estadounidense en llegar al espacio, y fue autora, junto con el ingeniero Ted Sopinski, de un monumental artículo sobre la colocación de un objeto en una posición orbital precisa y su regreso seguro a la Tierra. Muchas de las órbitas que determinó estaban formadas por parábolas, y su capacidad para combinar diferentes tipos de matemáticas permitió un nivel de precisión sin precedentes. Johnson manifestó: "Dígame cuándo y dónde quiere que aterrice, y yo lo haré al revés y le diré cuándo debe despegar". El trabajo de Johnson sobre las órbitas parabólicas y otras matemáticas complejas dio como resultado órbitas exitosas, alunizajes y el desarrollo del programa del transbordador espacial. Las aplicaciones de las parábolas también son fundamentales para otras áreas de la ciencia. Los espejos parabólicos (o reflectores) son capaces de captar la energía y concentrarla en un solo punto. Las ventajas de esta propiedad se ponen de manifiesto en la amplia lista de objetos parabólicos que utilizamos a diario: antenas parabólicas, puentes colgantes, telescopios, micrófonos, focos y faros de automóviles, por citar algunos. Los reflectores parabólicos también se utilizan en dispositivos de energía alternativa, como cocinas y calentadores de agua solares, porque son baratos de fabricar y necesitan poco mantenimiento. En esta sección exploraremos la parábola y sus usos, lo que incluye diseños solares de bajo costo y eficiencia energética. Graficar parábolas con vértices en el origen En la sección La elipse vimos que una elipse se forma cuando un plano corta a un cono circular recto. Si el plano es paralelo al borde del cono, se forma una curva ilimitada. Esta curva es una parábola . Vea la . Parábola Al igual que la elipse y la hipérbola , la parábola también se puede definir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una parábola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz , y un punto fijo (el foco ) que no está en la directriz. En Funciones cuadráticas , aprendimos sobre el vértice y el eje de simetría de una parábola. Ahora ampliamos la discusión para incluir otras características clave de la parábola. Vea la . Tenga en cuenta que el eje de simetría pasa por el foco, y el vértice y es perpendicular a la directriz. El vértice es el punto medio entre la directriz y el foco. El segmento de línea que pasa por el foco y es paralelo a la directriz se llama latus rectum . Los extremos del latus rectum se encuentran en la curva. Por definición, la distancia d del foco a cualquier punto P en la parábola es igual a la distancia de P a la directriz. Características principales de la parábola Para trabajar con parábolas en el plano de coordenadas , consideramos dos casos: las que tienen un vértice en el origen y las que tienen un vértice en un punto distinto del origen. Comenzamos con el primero. Supongamos que ( x , y ) sea un punto de la parábola con vértice ( 0 , 0 ) , foco ( 0 , p ) , y directriz y = − p como se muestra en la . La distancia d desde el punto ( x , y ) al punto ( x , − p ) en la directriz es la diferencia de los valores y : d = y + p . La distancia del foco ( 0 , p ) al punto ( x , y ) también es igual a d , y se puede expresar mediante la fórmula de distancia . d = ( x - 0 ) 2 + ( y − p ) 2 = x 2 + ( y − p ) 2 Establezca las dos expresiones para d iguales entre sí y resuelva para y para derivar la ecuación de la parábola. Lo hacemos porque la distancia de ( x , y ) al ( 0 , p ) es igual a la distancia de ( x , y ) al ( x , − p ) . x 2 + ( y − p ) 2 = y + p A continuación, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación, expandimos los términos elevados al cuadrado y simplificamos combinando términos similares. x 2 + ( y − p ) 2 = ( y + p ) 2 x 2 + y 2 - 2 p y + p 2 = y 2 + 2 p y + p 2 x 2 - 2 p y = 2 p y x 2 = 4 p y Las ecuaciones de las parábolas con vértice ( 0 , 0 ) son y 2 = 4 p x cuando el eje x es el eje de simetría y x 2 = 4 p y cuando el eje y es el eje de simetría. Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales. Formas estándar de parábolas con vértice (0, 0) La y la resumen las características estándar de las parábolas con un vértice en el origen. Eje de simetría Ecuación Foco Directriz Puntos extremos del latus rectum eje x y 2 = 4 p x ( valor , 0 ) x = - p ( valor , ±2, 2 p ) eje y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) y = - p ( ± 2 p , p ) (a) Cuando p > 0 y el eje de simetría es el eje x , la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando p < 0 y el eje de simetría es el eje x , la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando p > 0 y el eje de simetría es el eje y , la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando p < 0 y el eje de simetría es el eje y , la parábola se abre hacia abajo. Las características principales de una parábola son el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum. Vea la . Cuando se da una ecuación estándar para una parábola centrada en el origen, podemos identificar fácilmente las características clave para graficar la parábola. Se dice que una línea es tangente a una curva si la interseca exactamente en un punto. Si dibujamos líneas tangentes a la parábola en los puntos extremos del latus rectum, estas líneas se intersecan en el eje de simetría, como se muestra en la . Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en (0, 0), dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: y 2 = 4 p x o x 2 = 4 p y . Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum. Si la ecuación es de la forma y 2 = 4 p x , entonces el eje de simetría es el eje x , y = 0 establece 4 p igual al coeficiente de x en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. utilice p para hallar las coordenadas del foco, ( valor , 0 ) utilice p para hallar la ecuación de la directriz, x = - p utilice p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( valor , ±2, 2 p ) . Alternativamente, sustituya x = p en la ecuación original. Si la ecuación es de la forma x 2 = 4 p y , entonces el eje de simetría es el eje y , x = 0 establece 4 p igual al coeficiente de y en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. utilice p para hallar las coordenadas del foco, ( 0 , p ) utilice p para hallar la ecuación de la directriz, y = - p utilice p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( ± 2 p , p ) Dibuje el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola. Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje x como eje de simetría Grafique y 2 = 24 x . Identifique y marque el foco , la directriz y los puntos finales del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es y 2 = 4 p x . Así, el eje de simetría es el eje x . De ello se desprende que: 24 = 4 p , por lo que p = 6. Dado que p > 0 , la parábola se abre a la derecha las coordenadas del foco son ( valor , 0 ) = ( 6 , 0 ) la ecuación de la directriz es x = - p = − 6 los puntos extremos del lado recto tienen la misma coordenada x en el foco. Para hallar los puntos extremos, sustituya x = 6 en la ecuación original: ( 6, ± 12 ) A continuación dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola . Ejercicio Grafique y 2 = −16 x . Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Foco: ( - 4 , 0 ) ; Directriz: x = 4 ; Puntos finales del latus rectum: ( - 4 , ± 8 ) Gráfico de una parábola con vértice (0, 0) y el eje y como eje de simetría Grafique x 2 = –6 y . Identifique y marque el foco , la directriz y los puntos finales del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es x 2 = 4 p y . Por lo tanto, el eje de simetría es el eje y . De ello se desprende que: − 6 = 4 p , por lo que p = - 3 2 . Dado que p < 0 , la parábola se abre hacia abajo las coordenadas del foco son ( 0 , p ) = ( 0 , - 3 2 ) la ecuación de la directriz es y = - p = 3 2 los puntos extremos del latus rectum se pueden hallar sustituyendo y = 3 2 en la ecuación original, ( ± 3 , - 3 2 ) Luego, dibujamos el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola . Ejercicio Grafique x 2 = 8 y . Identifique y marque el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Foco: ( 0 , 2 ) ; Directriz: y = −2 ; Puntos finales del latus rectum: ( ± 4 , 2 ) . Escribir ecuaciones de parábolas en forma estándar En los ejemplos anteriores utilizamos la ecuación de la forma estándar de una parábola para calcular la ubicación de sus rasgos principales. También podemos utilizar los cálculos a la inversa para escribir una ecuación de una parábola cuando se dan sus características principales. Cómo Dados su foco y su directriz, escriba la ecuación de una parábola en forma estándar. Determine si el eje de simetría es el eje x o el eje y . Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma ( valor , 0 ) , entonces el eje de simetría es el eje x . Utilice la forma estándar y 2 = 4 p x . Si las coordenadas dadas del foco tienen la forma ( 0 , p ) , entonces el eje de simetría es el eje y . Utilice la forma estándar x 2 = 4 p y . Multiplique 4 p . Sustituya el valor del paso 2 en la ecuación determinada en el paso 1. Escribir la ecuación de una parábola en forma estándar dados su foco y directriz ¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco ( - 1 2 , 0 ) y directriz x = 1 2 ? El foco tiene la forma ( valor , 0 ) , por lo que la ecuación tendrá la forma y 2 = 4 p x . Al multiplicar 4 p , tenemos 4 p = 4 ( - 1 2 ) = –2. Al sustituir por 4 p , tenemos y 2 = 4 p x = –2 x . Por lo tanto, la ecuación de la parábola es y 2 = –2 x . Ejercicio ¿Cuál es la ecuación de la parábola con foco ( 0 , 7 2 ) y directriz y = - 7 2 ? x 2 = 14 y . Graficar parábolas con vértices que no están en el origen Al igual que otros gráficos con los que hemos trabajado, el gráfico de una parábola se puede trasladar. Si se traslada una parábola h unidades en horizontal y k unidades en vertical, el vértice será ( h , k ) . Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con x sustituido por ( x - h ) y de y sustituido por ( y - k ) . Para graficar parábolas con un vértice ( h , k ) que no sea el origen, utilizamos la forma estándar ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) para las parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x , y ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y . Estas formas estándar se indican a continuación, junto con sus gráficos generales y sus características principales. Formas estándar de parábolas con vértice ( h , k ) La y la resumen las características estándar de las parábolas con vértice en un punto ( h , k ) . Eje de simetría Ecuación Foco Directriz Puntos extremos del latus rectum y = k ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) ( h + p , k ) x = h − p ( h + p , k ± 2 p ) x = h ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) ( h , k + p ) y = k - p ( h ± 2 p , k + p ) (a) Cuando p > 0 , la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando p < 0 , la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando p > 0 , la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Cómo Dada una ecuación de forma estándar para una parábola centrada en ( h , k ), dibuje el gráfico. Determine cuál de las formas estándar se aplica a la ecuación dada: ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) o ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) . Utilice la forma estándar identificada en el paso 1 para determinar el vértice, el eje de simetría, el foco, la ecuación de la directriz y los puntos extremos del latus rectum. Si la ecuación es de la forma ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) , entonces: utilice la ecuación dada para identificar h y k para el vértice, ( h , k ) utilice el valor de k para determinar el eje de simetría, y = k establezca 4 p igual al coeficiente de ( x - h ) en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. utilice h , k , y p para hallar las coordenadas del foco, ( h + p , k ) utilice h y p para hallar la ecuación de la directriz, x = h − p utilice h , k , y p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( h + p , k ± 2 p ) Si la ecuación es de la forma ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) , entonces: utilice la ecuación dada para identificar h y k para el vértice, ( h , k ) utilice el valor de h para determinar el eje de simetría, x = h establezca 4 p igual al coeficiente de ( y - k ) en la ecuación dada para resolver p . Si p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. utilice h , k , y p para hallar las coordenadas del foco, ( h , k + p ) utilice k y p para hallar la ecuación de la directriz, y = k - p utilice h , k , y p para hallar los puntos finales del latus rectum, ( h ± 2 p , k + p ) Trace el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibuje una curva suave para formar la parábola. Gráfico de una parábola con vértice ( h , k ) y eje de simetría paralelo al eje x Grafique ( y - 1 ) 2 = −16 ( x + 3 ) . Identifique y marque el vértice , el eje de simetría , el foco , la directriz y los puntos extremos del latus rectum . La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) . Así, el eje de simetría es paralelo al eje x . De ello se desprende que: el vértice es ( h , k ) = ( - 3 , 1 ) el eje de simetría es y = k = 1 −16 = 4 p , por lo que p = −4. Dado que p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. las coordenadas del foco son ( h + p , k ) = ( −3 + ( –4 ) , 1 ) = ( –7 , 1 ) la ecuación de la directriz es x = h − p = −3 − ( –4 ) = 1 los puntos finales del latus rectum son ( h + p , k ± 2 p ) = ( −3 + ( –4 ) , 1 ± 2 ( –4 ) ) , o ( –7 , –7 ) y ( –7 , 9 ) A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la . Ejercicio Grafique ( y + 1 ) 2 = 4 ( x - 8 ) . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Vértice ( 8 , - 1 ) ; Eje de simetría: y = −1 ; Foco: ( 9 , - 1 ) ; Directriz: x = 7 ; Puntos finales del latus rectum: ( 9 , - 3 ) y ( 9 , 1 ) . Graficar una parábola a partir de una ecuación dada en forma general Grafique x 2 - 8 x − 28 y − 208 = 0 . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Empiece escribiendo la ecuación de la parábola en forma estándar. La forma estándar que se aplica a la ecuación dada es ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) . Por lo tanto, el eje de simetría es paralelo al eje y . Para expresar la ecuación de la parábola en esta forma, empezamos por aislar los términos que contienen la variable x para completar el cuadrado. x 2 - 8 x − 28 y − 208 = 0 x 2 - 8 x = 28 y + 208 x 2 - 8 x + 16 = 28 y + 208 + 16 ( x - 4 ) 2 = 28 y + 224 ( x - 4 ) 2 = 28 ( y + 8 ) ( x - 4 ) 2 = 4 ⋅ 7 ⋅ ( y + 8 ) De ello se desprende que: el vértice es ( h , k ) = ( 4 , −8 ) el eje de simetría es x = h = 4 dado que p = 7 , p > 0 y así la parábola se abre hacia arriba las coordenadas del foco son ( h , k + p ) = ( 4 , −8 + 7 ) = ( 4 , –1 ) la ecuación de la directriz es y = k - p = −8 − 7 = −15 los puntos finales del latus rectum son ( h ± 2 p , k + p ) = ( 4 ± 2 ( 7 ) , −8 + 7 ) , o ( –10 , –1 ) y ( 18 , –1 ) A continuación trazamos el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y el latus rectum, y dibujamos una curva suave para formar la parábola. Vea la . Ejercicio Grafique ( x + 2 ) 2 = -20 ( y - 3 ) . Identifique y marque el vértice, el eje de simetría, el foco, la directriz y los puntos finales del latus rectum. Vértice ( – 2 , 3 ) ; Eje de simetría: x = −2 ; Foco: ( – 2 , - 2 ) ; Directriz: y = 8 ; Puntos finales del latus rectum: ( − 12 , - 2 ) y ( 8 , - 2 ) . Resolver problemas aplicados con parábolas Como hemos mencionado al principio de la sección, las parábolas se utilizan para diseñar muchos objetos que utilizamos a diario, como telescopios, puentes colgantes, micrófonos y equipos de radar. Los espejos parabólicos, como el utilizado para iluminar la antorcha olímpica, tienen una propiedad reflectante muy singular. Cuando los rayos de luz paralelos al eje de simetría de la parábola se dirigen hacia cualquier superficie del espejo, la luz se refleja directamente en el foco. Vea la . Por ello, la antorcha olímpica se enciende cuando se sostiene en el foco del espejo parabólico. Propiedad de reflexión de las parábolas Los espejos parabólicos tienen la capacidad de concentrar la energía del sol en un solo punto, lo que eleva la temperatura cientos de grados en cuestión de segundos. Así, los espejos parabólicos aparecen en muchos productos solares de bajo costo y alta eficiencia energética, como cocinas y calentadores solares e incluso encendedores de tamaño de viaje. Resolver problemas aplicados con parábolas En la se muestra una sección transversal de un diseño para un encendedor solar de tamaño de viaje. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia un objeto unido al encendedor. Debido a que el encendedor está ubicado en el foco de la parábola, los rayos reflejados hacen que el objeto se queme en solo unos segundos. Ⓐ Halle la ecuación de la parábola que modela el encendedor. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas. Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte ⓐ para calcular la profundidad del encendedor. Sección transversal de un encendedor de fuego solar del tamaño de un viaje Ⓐ El vértice de la antena es el origen del plano de coordenadas, por lo que la parábola adoptará la forma estándar x 2 = 4 p y , donde p > 0 . El encendedor, que es el foco, está a 1,7 pulgadas por encima del vértice de la antena. Así, tenemos p = 1,7. x 2 = 4 p y Forma estándar de parábola orientada hacia arriba con vértice (0,0) x 2 = 4 ( 1,7 ) y Sustituya 1 ,7 para p . x 2 = 6,8 y Multiplique . Ⓑ La antena se extiende 4,5 2 = 2,25 pulgadas a cada lado del origen. Podemos sustituir 2,25 por x en la ecuación de la parte (a) para hallar la profundidad de la antena. x 2 = 6,8 y Ecuación hallada en la parte (a) . ( 2,25 ) 2 = 6,8 y Sustituya 2 ,25 por x . y ≈ 0,74 Resuelva para y . La antena tiene una profundidad de unas 0,74 pulgadas. Ejercicio Se han diseñado cocinas solares del tamaño de un balcón para familias que viven en la India. La parte superior de una antena tiene un diámetro de 1.600 mm. Los rayos del sol se reflejan en el espejo parabólico hacia la "cocina", situada a 320 mm de la base. Ⓐ Halle una ecuación que modele una sección transversal de la cocina solar. Supongamos que el vértice del espejo parabólico es el origen del plano de coordenadas, y que la parábola se abre hacia la derecha (es decir, tiene el eje x como eje de simetría). Ⓑ Utilice la ecuación hallada en la parte Ⓐ para calcular la profundidad de la cocina. Ⓐ y 2 = 1280 x Ⓑ La profundidad de la cocina es de 500 mm Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las parábolas. Secciones cónicas: la parábola, parte 1 de 2 Secciones cónicas: la parábola, parte 2 de 2 Parábola con eje vertical Parábola con eje horizontal Ecuaciones clave Parábola, vértice en el origen, eje de simetría en el eje de la x y 2 = 4 p x Parábola, vértice en el origen, eje de simetría en el eje y x 2 = 4 p y Parábola, vértice en ( h , k ) , eje de simetría en el eje x ( y - k ) 2 = 4 p ( x - h ) Parábola, vértice en ( h , k ) , eje de simetría en el eje y ( x - h ) 2 = 4 p ( y - k ) Conceptos clave Una parábola es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz. La forma estándar de una parábola con vértice ( 0 , 0 ) y el eje x como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( 0 , 0 ) y el eje y como su eje de simetría se puede utilizar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Vea el . Dados el foco y la directriz de una parábola, podemos escribir su ecuación en forma estándar. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( h , k ) y el eje de simetría paralelo al eje x se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre a la derecha. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre a la izquierda. Vea el . La forma estándar de una parábola con vértice ( h , k ) y el eje de simetría paralelo al eje y se pueden usar para graficar la parábola. Si los valores de p > 0 , la parábola se abre. Si los valores de p < 0 , la parábola se abre hacia abajo. Vea el . Las situaciones del mundo real se pueden modelar mediante ecuaciones estándar de parábolas. Por ejemplo, dados el diámetro y el foco de una sección transversal de un reflector parabólico, podemos hallar una ecuación que modele sus lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Defina una parábola en términos de su foco y su directriz. Una parábola es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una línea fija, la directriz. Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y p es positiva y la directriz es una línea vertical, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico? Si la ecuación de una parábola está escrita en forma estándar y p es negativo y la directriz es una línea horizontal, entonces ¿qué podemos concluir sobre su gráfico? El gráfico se abrirá hacia abajo. ¿Cuál es el efecto en el gráfico de una parábola si su ecuación en forma estándar tiene valores crecientes de p ? A medida que el gráfico de una parábola se hace más ancho, ¿qué ocurrirá con la distancia entre el foco y la directriz? La distancia entre el foco y la directriz aumentará. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación dada es una parábola. Si es así, reescriba la ecuación en forma estándar. y 2 = 4 - x 2 y = 4 x 2 sí x 2 = 4 ( 1 16 ) y 3 x 2 - 6 y 2 = 12 ( y - 3 ) 2 = 8 ( x - 2 ) sí ( y - 3 ) 2 = 4 ( 2 ) ( x - 2 ) y 2 + 12 x - 6 y − 51 = 0 En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación dada en forma estándar, y luego determine el vértice ( V ) , foco ( F ) , y directriz ( d ) de la parábola. x = 8 y 2 y 2 = 1 8 x , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 1 32 , 0 ) ; d : x = - 1 32 y = 1 4 x 2 y = -4 x 2 x 2 = - 1 4 y , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 0 , - 1 16 ) ; d : y = 1 16 x = 1 8 y 2 x = 36 y 2 y 2 = 1 36 x , V : ( 0 , 0 ) ; F : ( 1 144 , 0 ) ; d : x = - 1 144 x = 1 36 y 2 ( x – 1 ) 2 = 4 ( y - 1 ) ( x – 1 ) 2 = 4 ( y - 1 ) , V : ( 1 , 1 ) ; F : ( 1 , 2 ) ; d : y = 0 ( y - 2 ) 2 = 4 5 ( x + 4 ) ( y - 4 ) 2 = 2 ( x + 3 ) ( y - 4 ) 2 = 2 ( x + 3 ) , V : ( - 3 , 4 ) ; F : ( - 5 2 , 4 ) ; d : x = - 7 2 ( x + 1 ) 2 = 2 ( y + 4 ) ( x + 4 ) 2 = 24 ( y + 1 ) ( x + 4 ) 2 = 24 ( y + 1 ) , V : ( - 4 , - 1 ) ; F : ( - 4 , 5 ) ; d : y = −7 ( y + 4 ) 2 = 16 ( x + 4 ) y 2 + 12 x - 6 y + 21 = 0 ( y - 3 ) 2 = −12 ( x + 1 ) , V : ( - 1 , 3 ) ; F : ( - 4 , 3 ) ; d : x = 2 x 2 - 4 x − 24 y + 28 = 0 5 x 2 − 50 x - 4 y + 113 = 0 ( x - 5 ) 2 = 4 5 ( y + 3 ) , V : ( 5 , - 3 ) ; F : ( 5 , − 14 5 ) ; d : y = - 16 5 y 2 - 24 x + 4 y − 68 = 0 x 2 - 4 x + 2 y - 6 = 0 ( x - 2 ) 2 = −2 ( y - 5 ) , V : ( 2 , 5 ) ; F : ( 2 , 9 2 ) ; d : y = 11 2 y 2 - 6 y + 12 x - 3 = 0 3 y 2 - 4 x - 6 y + 23 = 0 ( y - 1 ) 2 = 4 3 ( x - 5 ) , V : ( 5 , 1 ) ; F : ( 16 3 , 1 ) ; d : x = 14 3 x 2 + 4 x + 8 y - 4 = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la parábola, identifique el foco y la directriz. x = 1 8 y 2 y = 36 x 2 y = 1 36 x 2 y = –9 x 2 ( y - 2 ) 2 = – 4 3 ( x + 2 ) −5 ( x + 5 ) 2 = 4 ( y + 5 ) −6 ( y + 5 ) 2 = 4 ( x - 4 ) y 2 - 6 y - 8 x + 1 = 0 x 2 + 8 x + 4 y + 20 = 0 3 x 2 + 30 x - 4 y + 95 = 0 y 2 - 8 x + 10 y + 9 = 0 x 2 + 4 x + 2 y + 2 = 0 y 2 + 2 y - 12 x + 61 = 0 - 2 x 2 + 8 x - 4 y − 24 = 0 En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la parábola dada la información sobre su gráfico. El vértice es ( 0 , 0 ) ; la directriz es y = 4 , el foco es ( 0 , –4 ) . x 2 = −16 y El vértice es ( 0 , 0 ) ; la directriz es x = 4 , el foco es ( -4 , 0 ) . El vértice es ( 2 , 2 ) ; la directriz es x = 2 - 2 , el foco es ( 2 + 2 , 2 ) . ( y - 2 ) 2 = 4 2 ( x - 2 ) El vértice es ( –2 , 3 ) ; la directriz es x = - 7 2 , el foco es ( - 1 2 , 3 ) . El vértice es ( 2 , - 3 ) ; la directriz es x = 2 2 , el foco es ( 0 , - 3 ) . ( y + 3 ) 2 = -4 2 ( x - 2 ) El vértice es ( 1 , 2 ) ; la directriz es y = 11 3 , el foco es ( 1 , 1 3 ) . En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola a partir de su gráfico. x 2 = y ( y - 2 ) 2 = 1 4 ( x + 2 ) ( y - 3 ) 2 = 4 5 ( x + 2 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, se da el vértice y los puntos extremos del latus rectum de una parábola. Halle la ecuación. V ( 0 , 0 ) , los puntos extremos ( 2 , 1 ) , ( –2 , 1 ) V ( 0 , 0 ) , puntos finales ( –2 , 4 ) , ( –2 , –4 ) y 2 = −8 x V ( 1 , 2 ) , puntos finales ( −5 , 5 ) , ( 7 , 5 ) V ( −3 , –1 ) , puntos finales ( 0 , 5 ) , ( 0 , –7 ) ( y + 1 ) 2 = 12 ( x + 3 ) V ( 4 , −3 ) , puntos finales ( 5 , - 7 2 ) , ( 3 , - 7 2 ) Aplicaciones en el mundo real El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por x 2 = 4 y . ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla? ( 0 , 1 ) Si queremos construir el espejo del ejercicio anterior de forma que el foco esté situado en ( 0 , 0,25 ) , ¿cuál debería ser la ecuación de la parábola? Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. Esto significa que se puede formar girando una parábola alrededor de su eje de simetría. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor? En el punto 2,25 pies por encima del vértice. Considere la antena parabólica del ejercicio anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor? El reflector de un faro tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad. 0,5625 pies Si el reflector del faro del ejercicio anterior tiene la fuente de luz situada a 6 pulgadas de la base a lo largo del eje de simetría y la abertura es de 4 pies, calcule la profundidad. Un arco tiene forma de parábola. Tiene una arcada de 100 pies y una altura máxima de 20 pies. Halle la ecuación de la parábola y determine la altura del arco a 40 pies del centro. x 2 = -125 ( y − 20 ) , la altura es de 7,2 pies Si el arco del ejercicio anterior tiene una arcada de 160 pies y una altura máxima de 40 pies, halle la ecuación de la parábola y determine la distancia desde el centro a la que la altura es de 20 pies. Un objeto se proyecta para seguir una trayectoria parabólica dada por y = - x 2 + 96 x , donde x es la distancia horizontal recorrida en pies y y es la altura. Determina la altura máxima que alcanza el objeto. 2.304 pies Para el objeto del ejercicio anterior, supongamos que la trayectoria seguida viene dada por y = -0,5 x 2 + 80 x . Determine qué distancia a lo largo de la horizontal recorrió el objeto para alcanzar la máxima altura. directriz una línea perpendicular al eje de simetría de una parábola; una línea tal que la relación de la distancia entre los puntos de la cónica y el foco y la distancia a la directriz es constante foco (de una parábola) un punto fijo en el interior de una parábola que se encuentra en el eje de simetría latus rectum el segmento de línea que pasa por el foco de una parábola paralela a la directriz, con puntos extremos en la parábola parábola el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en un plano que están a la misma distancia de una línea fija, llamada la directriz, y un punto fijo (el foco) que no está en la directriz

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