Problemas de optimización aplicados Una aplicación común del cálculo es el cálculo del valor mínimo o máximo de una función. Por ejemplo, con frecuencia las empresas desean minimizar los costos de producción o maximizar los ingresos. En la fabricación, con frecuencia es conveniente minimizar la cantidad de material utilizado para envasar un producto con un determinado volumen. En esta sección, mostraremos cómo plantear estos tipos de problemas de minimización y maximización y resolverlos utilizando las herramientas desarrolladas en este capítulo. Resolución de problemas de optimización en un intervalo cerrado y acotado La idea básica de los problemas de optimización que siguen es la misma. Tenemos una cantidad concreta que nos interesa maximizar o minimizar. Sin embargo, también tenemos alguna condición adicional que debe satisfacerse. Por ejemplo, en el , estamos interesados en maximizar el área de un jardín rectangular. Ciertamente, si seguimos ampliando las longitudes laterales del jardín, la superficie seguirá siendo mayor. Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos alguna restricción en cuanto a la cantidad de vallas que podemos utilizar para el perímetro? En este caso, no podemos hacer el jardín tan grande como queremos. Veamos cómo podemos maximizar el área de un rectángulo sujeto a alguna restricción en el perímetro. Cómo maximizar la superficie de un jardín Se va a construir un jardín rectangular utilizando una pared de roca como un lado del jardín y vallas de alambre para los otros tres lados ( ). Dados 100 ft de alambrado, determine las dimensiones que crearían un jardín de máxima superficie. ¿Cuál es el área máxima? Queremos determinar las medidas x como y que crearán un jardín con una superficie máxima utilizando 100 pies de valla. Supongamos que x denota la longitud del lado del jardín perpendicular a la pared de roca y y denota la longitud del lado paralelo a la pared de roca. Entonces la superficie del jardín es A = x . y . Queremos hallar la máxima superficie posible sujeta a la condición de que el total del cercado sea de 100 pies . Según la , la cantidad total de alambrado utilizado será 2 x + y . Por lo tanto, la ecuación de restricción es 2 x + y = 100 . Resolviendo esta ecuación para y , tenemos y = 100 − 2 x . Así, podemos escribir el área como A ( x ) = x . ( 100 − 2 x ) = 100 x − 2 x 2 . Antes de intentar maximizar la función de área A ( x ) = 100 x − 2 x 2 , tenemos que determinar el dominio considerado. Para construir un jardín rectangular, ciertamente necesitamos que las longitudes de ambos lados sean positivas. Por lo tanto, necesitamos x > 0 y y > 0 . Dado que y = 100 − 2 x , si y > 0 , entonces x < 50 . Por lo tanto, estamos tratando de determinar el valor máximo de A ( x ) para x sobre el intervalo abierto ( 0 , 50 ) . No sabemos que una función tenga necesariamente un valor máximo en un intervalo abierto. Sin embargo, sabemos que una función continua tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en un intervalo cerrado. Por lo tanto, consideremos la función A ( x ) = 100 x − 2 x 2 sobre el intervalo cerrado [ 0 , 50 ] . Si el valor máximo se produce en un punto interior, entonces hemos encontrado el valor x en el intervalo abierto ( 0 , 50 ) que maximiza la superficie del jardín. Por lo tanto, analizaremos el siguiente problema: Maximice A ( x ) = 100 x − 2 x 2 en el intervalo [ 0 , 50 ] . Como se mencionó anteriormente, ya que A es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, según el teorema del valor extremo, tiene un máximo y un mínimo. Estos valores extremos se producen en los puntos extremos o en los puntos críticos. En los puntos extremos, A ( x ) = 0 . Dado que el área es positiva para todos las x en el intervalo abierto ( 0 , 50 ) , el máximo debe producirse en un punto crítico. Diferenciación de la función A ( x ) , obtenemos A ′ ( x ) = 100 − 4 x . Por lo tanto, el único punto crítico es x = 25 ( ). Llegamos a la conclusión de que el área máxima debe producirse cuando x = 25 . Entonces tenemos y = 100 − 2 x = 100 − 2 ( 25 ) = 50 . Para maximizar la superficie del jardín, supongamos que x = 25 ft y y = 50 pies . La superficie de este jardín es de 1.250 pies 2 . Para maximizar el área del jardín, necesitamos hallar el valor máximo de la función A ( x ) = 100 x − 2 x 2 . Determine el área máxima si queremos hacer el mismo jardín rectangular que en la , pero tenemos 200 pies de valla. La superficie máxima es 5.000 pies 2 . Pista Necesitamos maximizar la función A ( x ) = 200 x − 2 x 2 en el intervalo [ 0 , 100 ] . Veamos ahora una estrategia general para resolver problemas de optimización similares al . Estrategia para la resolución de problemas: Resolución de problemas de optimización Introduzca todas las variables. Si corresponde, dibuje una figura y marque todas las variables. Determine qué cantidad debe ser maximizada o minimizada, y para qué rango de valores de las otras variables (si se puede determinar en este momento). Escriba una fórmula para la cantidad a maximizar o minimizar en términos de las variables. Esta fórmula puede incluir más de una variable. Escriba cualquier ecuación que relacione las variables independientes en la fórmula del paso 3 . Utilice estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar en función de una variable. Identifique el dominio de consideración de la función en el paso 4 en función del problema físico que hay que resolver. Localice el valor máximo o mínimo de la función a partir del paso 4 . Este paso suele implicar la búsqueda de puntos críticos y la evaluación de una función en los puntos extremos. Ahora apliquemos esta estrategia para maximizar el volumen de una caja abierta dada una restricción en la cantidad de material a utilizar. Cómo maximizar el volumen de una caja La caja abierta se fabricará de 24 in por 36 in de cartón quitando un cuadrado de cada esquina de la caja y doblando las solapas de cada lado. ¿De qué tamaño es el cuadrado que hay que cortar en cada esquina para obtener una caja con el máximo volumen? Paso 1: Supongamos que x es la longitud del lado del cuadrado que hay que quitar de cada esquina ( ). A continuación, las cuatro solapas restantes pueden plegarse para formar una caja con tapa abierta. Supongamos que V es el volumen de la caja resultante. Se retira un cuadrado con longitud de lado de x in de cada esquina del trozo de cartón. Las solapas restantes se doblan para formar una caja con tapa abierta. Paso 2: Intentaremos maximizar el volumen de una caja. Por lo tanto, el problema es maximizar V . Paso 3: Como se menciona en el paso 2 , se intenta maximizar el volumen de una caja. El volumen de una caja es V = L . W . H , donde L , W , y H son la longitud, la anchura y la altura, respectivamente. Paso 4: En la , vemos que la altura de la caja es x in, la longitud es de 36 − 2 x in, y el ancho es 24 − 2 x pulgadas. Por lo tanto, el volumen de la caja es V ( x ) = ( 36 − 2 x ) ( 24 − 2 x ) x = 4 x 3 − 120 x 2 + 864 x . Paso 5: Para determinar el dominio de consideración, examinemos la . En efecto, necesitamos x > 0 . Además, la longitud del lado del cuadrado no puede ser mayor o igual que la mitad de la longitud del lado más corto, 24 in; de lo contrario, una de las solapas quedaría completamente cortada. Por lo tanto, estamos tratando de determinar si hay un volumen máximo de la caja para x sobre el intervalo abierto ( 0 , 12 ) . Dado que V es una función continua en el intervalo cerrado [ 0 , 12 ] , sabemos que V tendrá un máximo absoluto en el intervalo cerrado. Por lo tanto, consideramos V sobre el intervalo cerrado [ 0 , 12 ] y comprobar si el máximo absoluto se produce en un punto interior. Paso 6: Dado que V ( x ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 0 , 12 ] , V debe tener un máximo absoluto (y un mínimo absoluto). Dado que V ( x ) = 0 en los puntos extremos y V ( x ) > 0 por 0 < x < 12 , el máximo debe producirse en un punto crítico. La derivada es V ′ ( x ) = 12 x 2 − 240 x + 864 . Para hallar los puntos críticos, tenemos que resolver la ecuación 12 x 2 − 240 x + 864 = 0 . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre 12 , el problema se simplifica a la resolución de la ecuación x 2 − 20 x + 72 = 0 . Al utilizar la fórmula cuadrática, encontramos que los puntos críticos son x = 20 ± ( −20 ) 2 − 4 ( 1 ) ( 72 ) 2 = 20 ± 112 2 = 20 ± 4 7 2 = 10 ± 2 7 . Dado que 10 + 2 7 no está en el dominio de consideración, el único punto crítico que debemos considerar es 10 − 2 7 . Por lo tanto, el volumen se maximiza si dejamos que x = 10 − 2 7 in . El volumen máximo es V ( 10 − 2 7 ) = 640 + 448 7 ≈ 1.825 in . 3 como se muestra en el siguiente gráfico. Maximizar el volumen de la caja lleva a hallar el valor máximo de un polinomio cúbico. Vea un video sobre la optimización del volumen de una caja. Supongamos que las dimensiones del cartón en el son de 20 in por 30 in. Supongamos que x es la longitud de los lados de cada cuadrado y escriba el volumen de la caja abierta en función de x . Determine el dominio de consideración para x . V ( x ) = x ( 20 − 2 x ) ( 30 − 2 x ) . El dominio es [ 0 , 10 ] . Pista El volumen de la caja es L . W . H . Minimizar el tiempo de viaje Una isla está a 2 mi hacia el norte de su punto más cercano a lo largo de una línea de costa recta. Un visitante se aloja en una cabaña en la costa que está a 6 mi al oeste de ese punto. El visitante planea ir de la cabaña a la isla. Supongamos que el visitante corre a una tasa de 8 mph y nada a una tasa de 3 mph . ¿Qué distancia debe correr el visitante antes de nadar para minimizar el tiempo que tarda en llegar a la isla? Paso 1: Supongamos que x es la distancia que tiene que correr y que y es la distancia que tiene que nadar ( ). Supongamos que T es el tiempo que el visitante tarda en ir de la cabaña a la isla. ¿Cómo podemos elegir x como y para minimizar el tiempo de viaje desde la cabaña hasta la isla? Paso 2: El problema es minimizar T . Paso 3: Para hallar el tiempo empleado en ir de la cabaña a la isla, sume el tiempo empleado en correr y el tiempo empleado en nadar. Desde la distancia = Tasa × Tiempo ( D = R × T ) , el tiempo dedicado a correr es T corriendo = D corriendo R corriendo = x 8 , y el tiempo de natación es T nadando = D nadando R nadando = y 3 . Por lo tanto, el tiempo total de viaje es T = x 8 + y 3 . Paso 4: Según la , el segmento de línea de y millas forma la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 2 mi y 6 − x mi . Por lo tanto, según el teorema de Pitágoras, 2 2 + ( 6 − x ) 2 = y 2 , y obtenemos y = ( 6 − x ) 2 + 4 . Así, el tiempo total de viaje viene dado por la función T ( x ) = x 8 + ( 6 − x ) 2 + 4 3 . Paso 5: En la , vemos que 0 ≤ x ≤ 6 . Por lo tanto, [ 0 , 6 ] es el dominio de consideración. Paso 6: Dado que T ( x ) es una función continua en un intervalo cerrado y acotado, tiene un máximo y un mínimo. Empecemos por buscar los puntos críticos de T en el intervalo [ 0 , 6 ] . La derivada es T ′ ( x ) = 1 8 − 1 2 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] −1 / 2 3 . 2 ( 6 − x ) = 1 8 − ( 6 − x ) 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . Si los valores de T ′ ( x ) = 0 , entonces 1 8 = 6 − x 3 ( 6 − x ) 2 + 4 . Por lo tanto, 3 ( 6 − x ) 2 + 4 = 8 ( 6 − x ) . Elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación, vemos que si x satisface esta ecuación, entonces x debe satisfacer 9 [ ( 6 − x ) 2 + 4 ] = 64 ( 6 − x ) 2 , lo que implica 55 ( 6 − x ) 2 = 36 . Concluimos que si x es un punto crítico, entonces x satisface ( x − 6 ) 2 = 36 55 . Por lo tanto, las posibilidades de puntos críticos son x = 6 ± 6 55 . Dado que x = 6 + 6 / 55 no está en el dominio, esta no es una posibilidad para un punto crítico. Por otro lado, x = 6 − 6 / 55 está en el dominio. Como hemos elevado al cuadrado ambos lados de la para llegar a los posibles puntos críticos, queda por comprobar que x = 6 − 6 / 55 satisface la . Dado que x = 6 − 6 / 55 sí satisface esa ecuación, concluimos que x = 6 − 6 / 55 es un punto crítico, y es el único. Para justificar que el tiempo se minimiza para este valor de x , solo tenemos que comprobar los valores de T ( x ) en los puntos finales x = 0 y x = 6 , y compararlos con el valor de T ( x ) en el punto crítico x = 6 − 6 / 55 . Hallamos que T ( 0 ) ≈ 2,108 h y T ( 6 ) ≈ 1,417 h, mientras que T ( 6 − 6 / 55 ) ≈ 1,368 h . Por lo tanto, concluimos que T tiene un mínimo local en x ≈ 5,19 mi. Supongamos que la isla está a 1 mi desde la costa, y que la distancia desde la cabaña hasta el punto de la costa más cercano a la isla es de 15 mi . Supongamos que un visitante nada a la tasa de 2,5 mph y corre a una tasa de 6 mph . Supongamos que x denota la distancia que el visitante correrá antes de nadar, y halle una función para el tiempo que tarda el visitante en llegar de la cabaña a la isla. T ( x ) = x 6 + ( 15 − x ) 2 + 1 2,5 Pista El tiempo T = T corriendo + T nadando . En los negocios, las empresas están interesadas en maximizar los ingresos . En el siguiente ejemplo, analizamos un escenario en el que una empresa ha recopilado datos sobre el número de autos que puede alquilar, en función del precio que cobra a sus clientes por alquilárselos. Utilicemos estos datos para determinar el precio que debe cobrar la empresa para maximizar la cantidad de dinero que ingresa. Maximizando los ingresos Los propietarios de una empresa de alquiler de autos han determinado que si cobran a los clientes p dólares diarios por el alquiler un auto, donde 50 ≤ p ≤ 200 , el número de autos n que alquilan por día puede ser modelada por la función lineal n ( p ) = 1.000 − 5 p . Si cobran $ 50 por día o menos, alquilarán todos sus automóviles. Si cobran $ 200 por día o más, no alquilarán ningún automóvil. Suponiendo que los propietarios planeen cobrar a los clientes entre $50 diarios y $ 200 diarios por el alquiler de un auto, ¿cuánto deberían cobrar para maximizar sus ingresos? Paso 1: Supongamos que p es el precio que se cobra por auto y por día, y que n es el número de autos alquilados por día. Supongamos que R son los ingresos por día. Paso 2: El problema es maximizar R . Paso 3: Los ingresos (diarios) son iguales al número de autos alquilados por día multiplicado por el precio cobrado por auto por día, es decir, R = n × p . Paso 4: Dado que el número de autos alquilados diariamente se modela mediante la función lineal n ( p ) = 1.000 − 5 p , los ingresos R puede representarse mediante la función R ( p ) = n × p = ( 1.000 − 5 p ) p = −5 p 2 + 1.000 p . Paso 5: Dado que los propietarios planean cobrar entre $ 50 por automóvil por día y $ 200 por automóvil por día, el problema es hallar el máximo ingreso R ( p ) por p en el intervalo cerrado [ 50 , 200 ] . Paso 6: Dado que R es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 50 , 200 ] , tiene un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en ese intervalo. Para hallar el valor máximo, busque los puntos críticos. La derivada es R ′ ( p ) = −10 p + 1.000 . Por lo tanto, el punto crítico es p = 100 Cuando p = 100 , R ( 100 ) = $ 50 000 . Cuando p = 50 , R ( p ) = $ 37.500 . Cuando p = 200 , R ( p ) = $ 0 . Por lo tanto, el máximo absoluto se produce en p = $ 100 . La empresa de alquiler de autos debería cobrar $ 100 diarios por auto para maximizar los ingresos, como se muestra en la siguiente figura. Para maximizar los ingresos, una empresa de alquiler de autos tiene que equilibrar el precio del alquiler con el número de autos que se alquilarán a ese precio. Una empresa de alquiler de autos cobra a sus clientes p dólares por día, donde 60 ≤ p ≤ 150 . Se concluye que el número de autos que se alquilan por día puede modelarse mediante la función lineal n ( p ) = 750 − 5 p . ¿Cuánto debe cobrar la empresa a cada cliente para maximizar los ingresos? La empresa debe cobrar $ 75 por auto y por día. Pista R ( p ) = n × p , donde n es el número de autos alquilados y p es el precio que se cobra por cada uno. Cómo maximizar el área de un rectángulo inscrito Un rectángulo debe inscribirse en la elipse x 2 4 + y 2 = 1 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para maximizar su área? ¿Cuál es el área máxima? Paso 1: Para que un rectángulo se inscriba en la elipse, los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes. Supongamos que L es la longitud del rectángulo y que W es su anchura. Supongamos que A es el área del rectángulo. Queremos maximizar el área de un rectángulo inscrito en una elipse. Paso 2: El problema es maximizar A . Paso 3: El área del rectángulo es A = L W . Paso 4: Supongamos que ( x , y ) es la esquina del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como se muestra en la . Podemos escribir la longitud L = 2 x y la anchura W = 2 y . Dado que x 2 4 + y 2 = 1 y y > 0 , tenemos y = 1 − x 2 4 . Por lo tanto, el área es A = L W = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x 1 − x 2 4 = 2 x 4 − x 2 . Paso 5: En la , vemos que para inscribir un rectángulo en la elipse, la coordenada x de la esquina en el primer cuadrante debe satisfacer 0 < x < 2 . Por lo tanto, el problema se reduce a buscar el valor máximo de A ( x ) sobre el intervalo abierto ( 0 , 2 ) . Dado que A ( x ) tendrá un máximo absoluto (y un mínimo absoluto) en el intervalo cerrado [ 0 , 2 ] , consideramos A ( x ) = 2 x 4 − x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] . Si el máximo absoluto ocurre en un punto interior, entonces hemos encontrado un máximo absoluto en el intervalo abierto. Paso 6: Como se mencionó anteriormente, A ( x ) es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ 0 , 2 ] . Por lo tanto, tiene un máximo (y un mínimo) absoluto. En los puntos extremos x = 0 y x = 2 , A ( x ) = 0 . Para 0 < x < 2 , A ( x ) > 0 . Por lo tanto, el máximo debe producirse en un punto crítico. Tomando la derivada de A ( x ) , obtenemos A ′ ( x ) = 2 4 − x 2 + 2 x . 1 2 4 − x 2 ( −2 x ) = 2 4 − x 2 − 2 x 2 4 − x 2 = 8 − 4 x 2 4 − x 2 . Para hallar los puntos críticos, tenemos que encontrar dónde A ′ ( x ) = 0 . Podemos ver que si x es una solución de 8 − 4 x 2 4 − x 2 = 0 , entonces x debe satisfacer 8 − 4 x 2 = 0 . Por lo tanto, x 2 = 2 . Por lo tanto, x = ± 2 son las posibles soluciones de la . Dado que estamos considerando x en el intervalo [ 0 , 2 ] , x = 2 es una posibilidad para un punto crítico, pero x = − 2 no lo es. Por lo tanto, comprobamos si 2 es una solución de la . Dado que x = 2 es una solución de la , concluimos que 2 es el único punto crítico de A ( x ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Por lo tanto, A ( x ) debe tener un máximo absoluto en el punto crítico x = 2 . Para determinar las dimensiones del rectángulo, necesitamos hallar la longitud L y la anchura W . Si x = 2 entonces y = 1 − ( 2 ) 2 4 = 1 − 1 2 = 1 2 . Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son L = 2 x = 2 2 y W = 2 y = 2 2 = 2 . El área de este rectángulo es A = L W = ( 2 2 ) ( 2 ) = 4 . Modificar la función de área A si el rectángulo debe inscribirse en el círculo unitario x 2 + y 2 = 1 . ¿Cuál es el dominio de consideración? A ( x ) = 4 x 1 − x 2 . El dominio de consideración es [ 0 , 1 ] . Pista Si los valores de ( x , y ) es el vértice del cuadrado que se encuentra en el primer cuadrante, entonces el área del cuadrado es A = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x y . Resolución de problemas de optimización cuando el intervalo no es cerrado o no está acotado En los ejemplos anteriores, hemos considerado funciones sobre dominios cerrados y acotados. En consecuencia, por el teorema del valor extremo, teníamos la garantía de que las funciones tenían extremos absolutos. Consideremos ahora las funciones cuyo dominio no es ni cerrado ni acotado. Muchas funciones siguen teniendo al menos un extremo absoluto, incluso si el dominio no es cerrado o no está acotado. Por ejemplo, la función f ( x ) = x 2 + 4 en ( − ∞ , ∞ ) tiene un mínimo absoluto de 4 en x = 0 . Por lo tanto, todavía podemos considerar funciones sobre dominios no acotados o intervalos abiertos y determinar si tienen algún extremo absoluto. En el siguiente ejemplo, trataremos de minimizar una función sobre un dominio no acotado. Veremos que, aunque el dominio de consideración es ( 0 , ∞ ) , la función tiene un mínimo absoluto. En el siguiente ejemplo, veremos la construcción de una caja de mínima superficie con un volumen prescrito. No es difícil demostrar que para una caja de tapa cerrada, por simetría, entre todas las cajas con un volumen determinado, un cubo tendrá la menor área superficial. En consecuencia, consideraremos el problema modificado de determinar qué caja abierta con un volumen especificado tiene la menor área superficial. Minimizar el área superficial Se construirá una caja rectangular con una base cuadrada, una tapa abierta y un volumen de 216 in 3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja para minimizar su área superficial? ¿Cuál es el área superficial mínima? Paso 1: Dibuje una caja rectangular e introduzca la variable x para representar la longitud de cada lado de la base cuadrada; supongamos que y representa la altura de la caja. Supongamos que S denota el área superficial de la caja abierta. Queremos minimizar el área superficial de una caja de base cuadrada con un volumen determinado. Paso 2: Tenemos que minimizar el área superficial. Por lo tanto, tenemos que minimizar S . Paso 3: Como la caja tiene la parte superior abierta, solo tenemos que determinar el área de los cuatro lados verticales y la base. El área de cada uno de los cuatro lados verticales es x . y . El área de la base es x 2 . Por lo tanto, el área superficial de la caja es S = 4 x y + x 2 . Paso 4: Como el volumen de esta caja es x 2 y y el volumen viene dado por 216 in . 3 , la ecuación de restricción es x 2 y = 216 . Al resolver la ecuación de la restricción para y , tenemos y = 216 x 2 . Por lo tanto, podemos escribir el área superficial en función de x solamente: S ( x ) = 4 x ( 216 x 2 ) + x 2 . Por lo tanto, S ( x ) = 864 x + x 2 . Paso 5: Dado que requerimos que x 2 y = 216 , no podemos tener x = 0 . Por lo tanto, necesitamos x > 0 . Por otro lado, x puede tener cualquier valor positivo. Observe que, a medida que x se hace grande, la altura de la caja y se vuelve proporcionalmente pequeña, de modo que x 2 y = 216 . Del mismo modo, como x se hace pequeño, la altura de la caja se hace consecuentemente grande. Concluimos que el dominio es el intervalo abierto y no acotado ( 0 , ∞ ) . Observe que, a diferencia de los ejemplos anteriores, no podemos reducir nuestro problema a la búsqueda de un máximo o un mínimo absoluto en un intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, en el siguiente paso, descubrimos por qué esta función debe tener un mínimo absoluto en el intervalo ( 0 , ∞ ) . Paso 6: Observe que, a medida que x → 0 + , S ( x ) → ∞ . Además, como x → ∞ , S ( x ) → ∞ . Dado que S es una función continua que se acerca al infinito en los extremos, debe tener un mínimo absoluto en alguna x ∈ ( 0 , ∞ ) . Este mínimo debe producirse en un punto crítico de S . La derivada es S ′ ( x ) = − 864 x 2 + 2 x . Por lo tanto, S ′ ( x ) = 0 cuando 2 x = 864 x 2 . Al resolver esta ecuación para x , obtenemos x 3 = 432 , por lo que x = 432 3 = 6 2 3 . Dado que este es el único punto crítico de S , el mínimo absoluto debe producirse en x = 6 2 3 (vea la ). Cuando x = 6 2 3 , y = 216 ( 6 2 3 ) 2 = 3 2 3 in . Por lo tanto, las dimensiones de la caja deben ser x = 6 2 3 in . y y = 3 2 3 in . Con estas dimensiones, el área superficial es S ( 6 2 3 ) = 864 6 2 3 + ( 6 2 3 ) 2 = 108 4 3 in . 2 Podemos utilizar un gráfico para determinar las dimensiones de una caja con un volumen y área superficial mínima dados. Consideremos la misma caja abierta, que debe tener un volumen 216 in . 3 . Supongamos que el costo del material para la base es 20 ¢ / in . 2 y el costo del material para los laterales es 30 ¢ / in . 2 y estamos tratando de minimizar el costo de esta caja. Escriba el costo en función de las longitudes de los lados de la base. (Supongamos que x es la longitud del lado de la base y y es la altura de la caja) c ( x ) = 259,2 x + 0,2 x 2 dólares Pista Si el costo de uno de los lados es de 30 ¢ / in . 2 , el costo de ese lado es de 0,30 x y . Conceptos clave Para resolver un problema de optimización, hay que empezar por hacer un dibujo e introducir variables. Halle una ecuación que relacione las variables. Halle una función de una variable para describir la cantidad que se quiere minimizar o maximizar. Busque los puntos críticos para localizar los extremos locales. En los siguientes ejercicios, responda mediante una prueba, un contraejemplo o una explicación. Cuando halla el máximo de un problema de optimización, ¿por qué hay que comprobar el signo de la derivada alrededor de los puntos críticos? Los puntos críticos pueden ser los mínimos, los máximos o ninguno de ellos. ¿Por qué hay que comprobar los puntos extremos en los problemas de optimización? Verdadero o falso . Para toda función continua no lineal, se puede hallar el valor x que maximiza la función. Falso; y = − x 2 solo tiene un mínimo Verdadero o falso . En toda función continua no constante en un dominio cerrado y finito, existe al menos una x que minimiza o maximiza la función. En los siguientes ejercicios, establezca y evalúe cada problema de optimización. Para llevar una maleta en un avión, la longitud + ancho + altura de la caja debe ser menor o igual a 62 in . Suponiendo que la base de la maleta es cuadrada, demuestre que el volumen es V = h ( 31 − ( 1 2 ) h ) 2 . ¿Qué altura le permite tener el mayor volumen? h = 62 3 pulgadas Está construyendo una caja de cartón con dimensiones 2 m por 4 m . A continuación, corte cuadrados de igual tamaño de cada esquina para poder doblar los bordes. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja de mayor volumen? Calcule el número entero positivo que minimiza la suma del número y su recíproco. 1 Calcule dos números enteros positivos tales que su suma sea 10 , y minimice y maximice la suma de sus cuadrados. En los siguientes ejercicios, considere la construcción de un corral para encerrar un área. Usted tiene 400 pies de vallas para construir un corral rectangular para el ganado. ¿Cuáles son las dimensiones del corral para maximizar el área? 100 pies por 100 pies Usted tiene 800 pies de vallas para construir un corral para cerdos. Si tiene un río en un lado de su propiedad, ¿cuál es la dimensión del corral rectangular que maximiza la superficie? Es necesario construir una valla alrededor de una zona de 1.600 pies 2 . ¿Cuáles son las dimensiones del corral rectangular para minimizar la cantidad de material necesario? 40 pies por 40 pies Dos polos están conectados por un cable que también está conectado a la tierra. El primer polo tiene 20 pies de altura y el segundo poste tiene 10 pies de altura. Hay una distancia de 30 pies entre los dos polos. ¿Dónde debe anclarse el cable al suelo para minimizar la cantidad de cable necesaria? [T] Se está mudando a un nuevo apartamento y nota que hay una esquina donde el pasillo se estrecha de 8 ft a 6 ft . ¿Cuál es la longitud del artículo más largo que puede pasar horizontalmente por la esquina? 19,73 pies . El pulso de un paciente es de 70 lpm, 80 lpm, y luego de 120 lpm . Para determinar una medida precisa del pulso, el médico debe saber qué valor minimiza la expresión ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + ( x − 120 ) 2 ? ¿Qué valor lo minimiza? En el problema anterior, supongamos que el paciente estaba nervioso durante la tercera medición, por lo que solo ponderamos ese valor la mitad que los demás. ¿Cuál es el valor que minimiza ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + 1 2 ( x − 120 ) 2 ? 84 lpm Usted y sus amigos pueden correr a una velocidad de 6 mph y nadar a una velocidad de 3 mph y se encuentran en la orilla, 4 millas al este de una isla que está a 1 milla al norte de la costa. ¿A qué distancia deben correr hacia el oeste para minimizar el tiempo necesario para llegar a la isla? En los siguientes problemas, considere un socorrista en una piscina circular con diámetro de 40 m . Debe alcanzar a alguien que se está ahogando en el lado opuesto de la piscina, en la posición C . El socorrista nada con una velocidad v y corre alrededor de la piscina a una velocidad w = 3 v . Halle una función que mida el tiempo total que se tarda en llegar al ahogado en función del ángulo de nado, θ . T ( θ ) = 40 θ 3 v + 40 cos θ v Halle en qué ángulo θ el socorrista debe nadar para llegar al ahogado en el menor tiempo posible. Un camión utiliza la gasolina como g ( v ) = a v + b v , donde v representa la velocidad del camión y g representa los galones de combustible por milla. ¿A qué velocidad se minimiza el consumo de combustible? v = b a En los siguientes ejercicios, considere una limusina que logre m ( v ) = ( 120 − 2 v ) 5 mi/gal a velocidad v , los costos del chófer son de $15/h , y los de la gasolina son de $ 3,5 / gal . Halle el costo por milla a la velocidad v . Halle la velocidad de conducción más económica. aproximadamente 34,02 mph En los siguientes ejercicios, considere una pizzería que vende pizzas por un ingreso de R ( x ) = a x y costos C ( x ) = b + c x + d x 2 , donde x representa el número de pizzas. Halle la función de beneficio para el número de pizzas. ¿Cuántas pizzas dan el mayor beneficio por pizza? Supongamos que R ( x ) = 10 x y C ( x ) = 2 x + x 2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio? 4 Supongamos que R ( x ) = 15 x , y C ( x ) = 60 + 3 x + 1 2 x 2 . ¿Cuántas pizzas vendidas maximizan el beneficio? En los siguientes ejercicios, considere un cable de 4 pies de largo cortado en dos trozos. Una pieza forma un círculo de radio r y la otra forma un cuadrado de lado x . Elija x para maximizar la suma de sus áreas. 0 Elija x para minimizar la suma de sus áreas. En los siguientes ejercicios, considere dos números no negativos x como y de manera que x + y = 10 . Maximice y minimice las cantidades. x y Máximo: x = 5 , y = 5 ; mínimo: x = 0 , y = 10 y y = 0 , x = 10 x 2 y 2 y − 1 x Máximo: x = 1 , y = 9 ; mínimo: ninguno x 2 − y En los siguientes ejercicios, dibuje el problema de optimización dado y resuélvalo. Halle el volumen del cilindro circular recto más grande que quepa en una esfera de radio 1 . 4 π 3 3 Halle el volumen del cono recto más grande que quepa en una esfera de radio 1 . Halle el área del rectángulo más grande que quepa en un triángulo de lados x = 0 , y = 0 y x 4 + y 6 = 1 . 6 Halle el volumen más grande de un cilindro que quepa en un cono que tiene un radio de base R y altura h . Halle las dimensiones del volumen del cilindro cerrado V = 16 π que tenga la menor área superficial. r = 2 , h = 4 Halle las dimensiones de un cono recto con un área superficial S = 4 π que tenga el mayor volumen. En los siguientes ejercicios, considere los puntos de los gráficos dadas. Utilice una calculadora para representar gráficamente las funciones. [T] ¿Dónde está la línea y = 5 − 2 x más cercana al origen? ( 2 , 1 ) [T] ¿Dónde está la línea y = 5 − 2 x más cercano al punto ( 1 , 1 ) ? [T] ¿Dónde está la parábola y = x 2 más cercano al punto ( 2 , 0 ) ? ( 0,8351 , 0,6974 ) [T] ¿Dónde está la parábola y = x 2 más cercano al punto ( 0 , 3 ) ? En los siguientes ejercicios, establezca, pero no evalúe, cada problema de optimización. Una ventana se compone de un semicírculo colocado sobre un rectángulo. Si tiene 20 pies de materiales para el marco exterior de la ventana, ¿cuál es el tamaño máximo de la ventana que puede obtener? Utilice la sustitución en r para representar el radio del semicírculo. A = 20 r − 2 r 2 – 1 2 π r 2 Tiene una hilera en el jardín de 20 plantas de sandía que producen un promedio de 30 sandías cada una. Por cada planta de sandía adicional que se plante, la producción por planta de sandía disminuye en una sandía. ¿Cuántas plantas de sandía adicionales debe plantar? Está construyendo una caja para que su gato duerma. El material de felpa para el fondo cuadrado de la caja cuesta $ 5 / pies 2 y el material para los laterales cuesta $ 2 / pies 2 . Necesita una caja con un volumen de 4 pies 3 . Halle las dimensiones de la caja que minimicen el costo. Utilice la sustitución en x para representar la longitud del lado de la caja. C ( x ) = 5 x 2 + 32 x Al diferenciar, establecer la derivada en cero y resolver, obtenemos x = 16 5 3 y h = 25 4 3 . Está construyendo cinco corrales idénticos uno al lado del otro con una superficie total de 1.000 m 2 , como se muestra en la siguiente figura. ¿Qué dimensiones debe utilizar para minimizar la cantidad de vallas? Usted es el administrador de un complejo de apartamentos de 50 . Cuando fija el alquiler en $ 800 / mes, todos los apartamentos están alquilados. Cuando aumenta la renta en $ 25 / mes, alquila un apartamento menos. Los costos de mantenimiento son $ 50 / mes por cada unidad ocupada. ¿Cuál es el monto de alquiler que maximiza la cantidad total de beneficios? P ( x ) = ( 50 − x ) ( 800 + 25 x − 50 ) problemas de optimización problemas que se resuelven encontrando el valor máximo o mínimo de una función

Matemáticas


La regla de L'Hôpital En esta sección, examinaremos una poderosa herramienta para evaluar los límites. Esta herramienta, conocida como la regla de L'Hôpital, utiliza derivadas para calcular los límites. Con esta regla, podremos evaluar muchos límites que aún no hemos podido determinar. En vez de basarnos en pruebas numéricas para conjeturar que existe un límite, demostraremos definitivamente que existe un límite y determinaremos su valor exacto. Aplicación de la regla de L'Hôpital La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar límites que implican el cociente de dos funciones. Considere lím x → a f ( x ) g ( x ) . Si lím x → a f ( x ) = L 1 y lím x → a g ( x ) = L 2 ≠ 0 , entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = L 1 L 2 . Sin embargo, ¿qué ocurre si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 ? A esta la llamamos una de las formas indeterminadas , del tipo 0 0 . Se considera una forma indeterminada porque no podemos determinar el comportamiento exacto de f ( x ) g ( x ) cuando x → a sin mayor análisis. Ya hemos visto ejemplos de esto en el texto. Por ejemplo, considere lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 y lím x → 0 sen x x . En el primero de estos ejemplos, podemos evaluar el límite factorizando el numerador y escribiendo lím x → 2 x 2 − 4 x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) ( x − 2 ) x − 2 = lím x → 2 ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4 . Para lím x → 0 sen x x pudimos demostrar, mediante un argumento geométrico, que lím x → 0 sen x x = 1 . Aquí utilizamos una técnica diferente para evaluar este tipo de límites, que no solo proporciona una manera más fácil de evaluarlos, sino que también, y esto es lo más importante, nos brinda una manera de evaluar muchos otros límites que no podíamos calcular anteriormente. La idea que subyace a la regla de L'Hôpital puede explicarse mediante aproximaciones lineales locales. Consideremos dos funciones diferenciables f y g de manera que lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) y tal que g ′ ( a ) ≠ 0 Para x cerca de a , podemos escribir f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) y g ( x ) ≈ g ( a ) + g ′ ( a ) ( x – a ) . Por lo tanto, f ( x ) g ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x – a ) g ( a ) + g ′ ( a ) ( x – a ) . Si los valores de lím x → a f ( x ) = lím x → a g ( x ) , entonces la relación f ( x ) / g ( x ) es aproximadamente igual a la relación de sus aproximaciones lineales cerca de a . Dado que f es diferenciable en a , entonces f es continua en a , y por lo tanto f ( a ) = lím x → a f ( x ) = 0 . Del mismo modo, g ( a ) = lím x → a g ( x ) = 0 . Si además suponemos que f ′ y g ′ son continuas en x = a , entonces f ′ ( a ) = lím x → a f ′ ( x ) y g ′ ( a ) = lím x → a g ′ ( x ) . Al utilizar estas ideas, concluimos que lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) ( x – a ) g ′ ( x ) ( x – a ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . Tenga en cuenta que la suposición de que f ′ y g ′ son continuas en a y g ′ ( a ) ≠ 0 puede relajarse. Enunciamos la regla de L'Hôpital formalmente para la forma indeterminada 0 0 . También hay que tener en cuenta que la notación 0 0 no significa que estemos dividiendo realmente cero entre cero. Más bien, utilizamos la notación 0 0 para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es cero. Regla de L'Hôpital (Caso 0/0) Supongamos que f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en a . Si lím x → a f ( x ) = 0 y lím x → a g ( x ) = 0 , entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞ . Este resultado también es válido si consideramos límites unilaterales, o si a = ∞ y − ∞ . Prueba Proporcionamos una demostración de este teorema en el caso especial en el que f , g , f ′ , y g ′ son todos continuos en un intervalo abierto que contiene a . En ese caso, ya que lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) y f y g son continuas en a , se deduce que f ( a ) = 0 = g ( a ) . Por lo tanto, lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) g ( x ) − g ( a ) dado que f ( a ) = 0 = g ( a ) = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a g ( x ) − g ( a ) x – a álgebra = lím x → a f ( x ) − f ( a ) x – a lím x → a g ( x ) − g ( a ) x – a límite de un cociente = f ′ ( a ) g ′ ( a ) definición de la derivada = lím x → a f ′ ( x ) lím x → a g ′ ( x ) continuidad de f ′ y g ′ = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . límite de un cociente Observe que la regla de L'Hôpital establece que podemos calcular el límite de un cociente f g considerando el límite del cociente de las derivadas f ′ g ′ . Es importante percatarse de que no estamos calculando la derivada del cociente f g . □ Aplicación de la regla de L'Hôpital (caso 0/0) Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital. lím x → 0 1 − cos x x lím x → 1 sen ( π x ) ln x lím x → ∞ e 1 / x – 1 1 / x lím x → 0 sen x – x x 2 Dado que el numerador 1 − cos x → 0 y el denominador x → 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar este límite. Tenemos lím x → 0 1 − cos x x = lím x → 0 d d x ( 1 − cos x ) d d x ( x ) = lím x → 0 sen x 1 = lím x → 0 ( sen x ) lím x → 0 ( 1 ) = 0 1 = 0, Dado que x → 1 , el numerador sen ( π x ) → 0 y el denominador ln ( x ) → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → 1 sen ( π x ) ln x = lím x → 1 π cos ( π x ) 1 / x = lím x → 1 ( π x ) cos ( π x ) = ( π . 1 ) ( –1 ) = − π . Dado que x → ∞ , el numerador e 1 / x – 1 → 0 y el denominador ( 1 x ) → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → ∞ e 1 / x – 1 1 x = lím x → ∞ e 1 / x ( −1 x 2 ) ( −1 x 2 ) = lím x → ∞ e 1 / x = e 0 = 1 . Dado que x → 0 , tanto el numerador como el denominador se acercan a cero. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Obtenemos lím x → 0 sen x – x x 2 = lím x → 0 cos x – 1 2 x . Dado que el numerador y el denominador de este nuevo cociente se aproximan a cero a medida que x → 0 , volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Al hacerlo, vemos que lím x → 0 cos x – 1 2 x = lím x → 0 − sen x 2 = 0 . Por lo tanto, concluimos que lím x → 0 sen x – x x 2 = 0 . Evalúe lím x → 0 x tan x . 1 Pista d d x tan x = sec 2 x También podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites de los cocientes f ( x ) g ( x ) en la que f ( x ) → ± ∞ y g ( x ) → ± ∞ . Los límites de esta forma se clasifican como formas indeterminadas del tipo ∞ / ∞ . Note de nuevo que en realidad no estamos dividiendo ∞ entre ∞ . Dado que ∞ no es un número real, eso es imposible; más bien, ∞ / ∞ . se utiliza para representar un cociente de límites, cada uno de los cuales es ∞ o − ∞ . La regla de L'Hôpital ( ∞ / ∞ Caso) Supongamos que f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo abierto que contiene a , excepto posiblemente en a . Supongamos que lím x → a f ( x ) = ∞ (o − ∞ ) y lím x → a g ( x ) = ∞ (o − ∞ ) . Entonces, lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞ . Este resultado también es válido si el límite es infinito, si a = ∞ o − ∞ , o el límite es unilateral. Aplicación de la regla de L'Hôpital ( ∞ / ∞ Caso) Evalúe cada uno de los siguientes límites aplicando la regla de L'Hôpital. lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 lím x → 0 + ln x cot x Dado que 3 x + 5 y 2 x + 1 son polinomios de primer grado con coeficientes líderes positivos, lím x → ∞ ( 3 x + 5 ) = ∞ y lím x → ∞ ( 2 x + 1 ) = ∞ . Por lo tanto, aplicamos la regla de L'Hôpital y obtenemos lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 / x = lím x → ∞ 3 2 = 3 2 . Observe que este límite también puede calcularse sin recurrir a la regla de L'Hôpital. Anteriormente en el capítulo mostramos cómo evaluar dicho límite dividiendo el numerador y el denominador por la mayor potencia de x en el denominador. Al hacerlo, vimos que lím x → ∞ 3 x + 5 2 x + 1 = lím x → ∞ 3 + 5 / x 2 x + 1 / x = 3 2 . La regla de L'Hôpital nos proporciona un medio alternativo para evaluar este tipo de límite. Aquí, lím x → 0 + ln x = − ∞ y lím x → 0 + cot x = ∞ . Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener lím x → 0 + ln x cot x = lím x → 0 + 1 / x − csc 2 x = lím x → 0 + 1 − x csc 2 x . Ahora, dado que x → 0 + , csc 2 x → ∞ . Por lo tanto, el primer término del denominador se acerca a cero y el segundo término se hace muy grande. En ese caso, puede ocurrir cualquier cosa con el producto. Por lo tanto, todavía no podemos sacar ninguna conclusión. Para evaluar el límite, utilizamos la definición de csc x para escribir lím x → 0 + 1 − x csc 2 x = lím x → 0 + sen 2 x – x . Ahora lím x → 0 + sen 2 x = 0 y lím x → 0 + x = 0 , por lo que volvemos a aplicar la regla de L'Hôpital. Encontramos lím x → 0 + sen 2 x – x = lím x → 0 + 2 sen x cos x −1 = 0 −1 = 0 . Concluimos que lím x → 0 + ln x cot x = 0 . Evalúe lím x → ∞ ln x 5 x . 0 Pista d d x ln x = 1 x Como se ha dicho, la regla de L'Hôpital es una herramienta muy útil para evaluar los límites. Sin embargo, es importante recordar que para aplicar la regla de L'Hôpital a un cociente f ( x ) g ( x ) , es fundamental que el límite de f ( x ) g ( x ) sea de la forma 0 0 o ∞ / ∞ . Considere el siguiente ejemplo. Casos en que no se aplica la regla de L'Hôpital Considere que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 . Demuestre que el límite no se puede evaluar aplicando la regla de L'Hôpital. Como los límites del numerador y del denominador no son ambos cero y no son ambos infinitos, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Si intentamos hacerlo, obtendremos d d x ( x 2 + 5 ) = 2 x y d d x ( 3 x + 4 ) = 3 . En ese momento concluiríamos erróneamente que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = lím x → 1 2 x 3 = 2 3 . Sin embargo, como lím x → 1 ( x 2 + 5 ) = 6 y lím x → 1 ( 3 x + 4 ) = 7 , en realidad tenemos lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 = 6 7 . Podemos concluir que lím x → 1 x 2 + 5 3 x + 4 ≠ lím x → 1 d d x ( x 2 + 5 ) d d x ( 3 x + 4 ) . Explique por qué no podemos aplicar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → 0 + cos x x . Evalúe lím x → 0 + cos x x por otros medios. lím x → 0 + cos x = 1 . Por lo tanto, no podemos aplicar la regla de L'Hôpital. El límite del cociente es ∞ Pista Determine los límites del numerador y del denominador por separado. Otras formas indeterminadas La regla de L'Hôpital es muy útil para evaluar los límites que implican las formas indeterminadas 0 0 y ∞ / ∞ . Sin embargo, también podemos utilizar la regla de L'Hôpital para ayudar a evaluar los límites que involucran otras formas indeterminadas que surgen al evaluar los límites. Las expresiones 0 . ∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , ∞ 0 , y 0 0 se consideran formas indeterminadas. Estas expresiones no son números reales. Más bien, representan formas que surgen al intentar evaluar ciertos límites. A continuación nos daremos cuenta de por qué son formas indeterminadas y luego entenderemos cómo utilizar la regla de L'Hôpital en estos casos. La idea clave es que debemos reescribir las formas indeterminadas de tal manera que lleguemos a la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . Forma indeterminada del tipo 0 . ∞ Supongamos que queremos evaluar lím x → a ( f ( x ) . g ( x ) ) , donde f ( x ) → 0 y g ( x ) → ∞ (o − ∞ ) cuando x → a . Dado que un término del producto se aproxima a cero pero el otro término se hace arbitrariamente grande (en magnitud), al producto le puede pasar cualquier cosa. Utilizamos la notación 0 . ∞ para denotar la forma que surge en esta situación. La expresión 0 . ∞ se considera indeterminada porque sin más análisis no podemos determinar el comportamiento exacto del producto f ( x ) g ( x ) cuando x → a . Por ejemplo, supongamos que n es un número entero positivo y considere f ( x ) = 1 ( x n + 1 ) y g ( x ) = 3 x 2 . Dado que x → ∞ , f ( x ) → 0 y g ( x ) → ∞ . Sin embargo, el límite cuando x → ∞ de f ( x ) g ( x ) = 3 x 2 ( x n + 1 ) varía, dependiendo de n . Si n = 2 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 3 . Si n = 1 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = ∞ . Si n n = 3 , entonces lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 0 . Aquí consideramos otro límite que implica la forma indeterminada 0 . ∞ y mostramos cómo reescribir la función como cociente para utilizar la regla de L'Hôpital. Forma indeterminada del tipo 0 . ∞ Evalúe lím x → 0 + x ln x . En primer lugar, reescriba la función x ln x como cociente para aplicar la regla de L'Hôpital. Si escribimos x ln x = ln x 1 / x , vemos que ln x → − ∞ cuando x → 0 + y 1 x → ∞ cuando x → 0 + . Por tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital y obtener lím x → 0 + ln x 1 / x = lím x → 0 + d d x ( ln x ) d d x ( 1 / x ) = lím x → 0 + 1 / x −1 / x 2 = lím x → 0 + ( − x ) = 0 . Concluimos que lím x → 0 + x ln x = 0 . Encontrar el límite en x = 0 de la función f ( x ) = x ln x . Evalúe lím x → 0 x cot x . 1 Pista Escriba x cot x = x cos x sen x Forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ Otro tipo de forma indeterminada es ∞ − ∞ . Considere el siguiente ejemplo. Supongamos que n es un número entero positivo y que f ( x ) = 3 x n y g ( x ) = 3 x 2 + 5 . Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ y g ( x ) → ∞ . Estamos interesados en lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) . Dependiendo de si f ( x ) crece más rápido, g ( x ) crece más rápido, o crecen a la misma tasa, y como veremos a continuación, cualquier cosa puede suceder en este límite. Dado que f ( x ) → ∞ y g ( x ) → ∞ , escribimos ∞ − ∞ para denotar la forma de este límite. Al igual que con nuestras otras formas indeterminadas, ∞ − ∞ no tiene ningún significado por sí mismo y debemos hacer más análisis para determinar el valor del límite. Por ejemplo, supongamos que el exponente n en la función f ( x ) = 3 x n es n n = 3 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x 3 − 3 x 2 − 5 ) = ∞ . Por otro lado, si n = 2 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x 2 − 3 x 2 − 5 ) = −5 . Sin embargo, si n = 1 , entonces lím x → ∞ ( f ( x ) − g ( x ) ) = lím x → ∞ ( 3 x − 3 x 2 − 5 ) = − ∞ . Por lo tanto, el límite no puede determinarse considerando únicamente ∞ − ∞ . A continuación vemos cómo reescribir una expresión que implica la forma indeterminada ∞ − ∞ como fracción para aplicar la regla de L'Hôpital. Forma indeterminada del tipo ∞ − ∞ Evalúe lím x → 0 + ( 1 x 2 – 1 tan x ) . Al combinar las fracciones, podemos escribir la función como un cociente. Dado que el mínimo común denominador es x 2 tan x , tenemos 1 x 2 – 1 tan x = ( tan x ) − x 2 x 2 tan x . Dado que x → 0 + , el numerador tan x – x 2 → 0 y el denominador x 2 tan x → 0 . Por lo tanto, podemos aplicar la regla de L'Hôpital. Tomando las derivadas del numerador y del denominador, tenemos lím x → 0 + ( tan x ) − x 2 x 2 tan x = lím x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x . Dado que x → 0 + , ( sec 2 x ) − 2 x → 1 y x 2 sec 2 x + 2 x tan x → 0 . Dado que el denominador es positivo cuando x se acerca a cero por la derecha, concluimos que lím x → 0 + ( sec 2 x ) − 2 x x 2 sec 2 x + 2 x tan x = ∞ . Por lo tanto, lím x → 0 + ( 1 x 2 – 1 tan x ) = ∞ . Evalúe lím x → 0 + ( 1 x – 1 sen x ) . 0 Pista Reescriba la diferencia de fracciones como una sola fracción. Otro tipo de forma indeterminada que surge al evaluar límites involucra a los exponentes. Las expresiones 0 0 , ∞ 0 , y 1 ∞ son todas formas indeterminadas. Por sí solas, estas expresiones no tienen sentido porque no podemos evaluarlas como lo haríamos con una expresión que incluya números reales. Más bien, estas expresiones representan formas que surgen al encontrar los límites. Ahora examinaremos cómo podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar los límites que implican estas formas indeterminadas. Dado que la regla de L'Hôpital se aplica a los cocientes, utilizamos la función logarítmica natural y sus propiedades para reducir un problema que evalúa un límite que involucra exponentes a un problema relacionado que involucra un límite de un cociente. Por ejemplo, supongamos que queremos evaluar lím x → a f ( x ) g ( x ) y llegamos a la forma indeterminada ∞ 0 . (Las formas indeterminadas 0 0 y 1 ∞ se pueden manejar de manera similar) Procedamos de la siguiente manera. Supongamos que y = f ( x ) g ( x ) . Entonces, ln y = ln ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) ln ( f ( x ) ) . Por lo tanto, lím x → a [ ln ( y ) ] = lím x → a [ g ( x ) ln ( f ( x ) ) ] . Dado que lím x → a f ( x ) = ∞ , sabemos que lím x → a ln ( f ( x ) ) = ∞ . Por lo tanto, lím x → a g ( x ) ln ( f ( x ) ) es de la forma indeterminada 0 . ∞ , y podemos utilizar las técnicas discutidas anteriormente para reescribir la expresión g ( x ) ln ( f ( x ) ) de manera tal que podamos aplicar la regla de L'Hôpital. Supongamos que lím x → a g ( x ) ln ( f ( x ) ) = L , donde L puede ser ∞ o − ∞ . Entonces lím x → a [ ln ( y ) ] = L . Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que ln ( lím x → a y ) = L , que nos da lím x → a y = lím x → a f ( x ) g ( x ) = e L . Forma indeterminada del tipo ∞ 0 Evalúe lím x → ∞ x 1 / x . Supongamos que y = x 1 / x . Entonces, ln ( x 1 / x ) = 1 x ln x = ln x x . Tenemos que evaluar lím x → ∞ ln x x . Aplicando la regla de L'Hôpital, obtenemos lím x → ∞ ln y = lím x → ∞ ln x x = lím x → ∞ 1 / x 1 = 0 . Por lo tanto, lím x → ∞ ln y = 0 . Dado que la función logarítmica natural es continua, concluimos que ln ( lím x → ∞ y ) = 0 , lo que lleva a lím x → ∞ y = lím x → ∞ ln x x = e 0 = 1 . Por lo tanto, lím x → ∞ x 1 / x = 1 . Evalúe lím x → ∞ x 1 / ln ( x ) . e Pista Supongamos que y = x 1 / ln ( x ) y aplicamos el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación. Forma indeterminada del tipo 0 0 Evalúe lím x → 0 + x sen x . Supongamos que y = x sen x . Por lo tanto, ln y = ln ( x sen x ) = sen x ln x . Ahora evaluamos lím x → 0 + sen x ln x . Dado que lím x → 0 + sen x = 0 y lím x → 0 + ln x = − ∞ , tenemos la forma indeterminada 0 . ∞ . Para aplicar la regla de L'Hôpital, tenemos que reescribir sen x ln x como fracción. Podríamos escribir sen x ln x = sen x 1 / ln x o sen x ln x = ln x 1 / sen x = ln x csc x . Consideremos la primera opción. En este caso, al aplicar la regla de L'Hôpital, obtendríamos lím x → 0 + sen x ln x = lím x → 0 + sen x 1 / ln x = lím x → 0 + cos x −1 / ( x ( ln x ) 2 ) = lím x → 0 + ( − x ( ln x ) 2 cos x ) . Desafortunadamente, no solo tenemos otra expresión que implica la forma indeterminada 0 . ∞ , sino que el nuevo límite es aún más complicado de evaluar que aquel con el que empezamos. En su lugar, probamos la segunda opción. Al escribir sen x ln x = ln x 1 / sen x = ln x csc x , y aplicar la regla de L'Hôpital, obtenemos lím x → 0 + sen x ln x = lím x → 0 + ln x csc x = lím x → 0 + 1 / x − csc x cot x = lím x → 0 + −1 x csc x cot x . Si utilizamos el hecho de que csc x = 1 sen x y cot x = cos x sen x , podemos reescribir la expresión del lado derecho como lím x → 0 + − sen 2 x x cos x = lím x → 0 + [ sen x x . ( − tan x ) ] = ( lím x → 0 + sen x x ) . ( lím x → 0 + ( − tan x ) ) = 1 . 0 = 0 . Concluimos que lím x → 0 + ln y = 0 . Por lo tanto, ln ( lím x → 0 + y ) = 0 y tenemos lím x → 0 + y = lím x → 0 + x sen x = e 0 = 1 . Por lo tanto, lím x → 0 + x sen x = 1 . Evalúe lím x → 0 + x x . 1 Pista Supongamos que y = x x y tomemos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Tasas de crecimiento de las funciones Supongamos que las funciones f y g ambas se acercan al infinito como x → ∞ . Aunque los valores de ambas funciones se vuelven arbitrariamente grandes a medida que los valores de x se hacen lo suficientemente grandes, a veces una función crece más rápido que la otra. Por ejemplo, f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x 3 ambas se acercan al infinito como x → ∞ . Sin embargo, como se muestra en la siguiente tabla, los valores de x 3 crecen mucho más rápido que los valores de x 2 . Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 y x 3 x 10 100 1.000 10.000 f ( x ) = x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 g ( x ) = x 3 1.000 1.000.000 1.000.000.000 1.000.000.000.000 De hecho, lím x → ∞ x 3 x 2 = lím x → ∞ x = ∞ . o, de forma equivalente, lím x → ∞ x 2 x 3 = lím x → ∞ 1 x = 0 . En consecuencia, decimos que x 3 crece más rápidamente que x 2 cuando x → ∞ . Por otro lado, para f ( x ) = x 2 y g ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 , aunque los valores de g ( x ) son siempre mayores que los valores de f ( x ) para x > 0 , cada valor de g ( x ) es aproximadamente tres veces el valor correspondiente de f ( x ) cuando x → ∞ , como se muestra en la siguiente tabla. De hecho, lím x → ∞ x 2 3 x 2 + 4 x + 1 = 1 3 . Comparación de las tasas de crecimiento de x 2 y 3 x 2 + 4 x + 1 x 10 100 1.000 10.000 f ( x ) = x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 g ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 341 30.401 3004001 300.040.001 En este caso, decimos que x 2 y 3 x 2 + 4 x + 1 crecen a la misma tasa que x → ∞ . En términos más generales, supongamos que f y g son dos funciones que se aproximan al infinito dado que x → ∞ . Decimos g crece más rápidamente que f cuando x → ∞ si lím x → ∞ g ( x ) f ( x ) = ∞ ; o, de forma equivalente, lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = 0 . Por otro lado, si existe una constante M ≠ 0 tal que lím x → ∞ f ( x ) g ( x ) = M , decimos que f y g crecen a la misma tasa que x → ∞ . A continuación veremos cómo utilizar la regla de L'Hôpital para comparar las tasas de crecimiento de las funciones potencia, exponencial y logarítmica. Comparación de las tasas de crecimiento de ln ( x ) , x 2 , y e x Para cada uno de los siguientes pares de funciones, utilice la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ ( f ( x ) g ( x ) ) . f ( x ) = x 2 y g ( x ) = e x f ( x ) = ln ( x ) y g ( x ) = x 2 Dado que lím x → ∞ x 2 = ∞ y lím x → ∞ e x = ∞ , podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ [ x 2 e x ] . Obtenemos lím x → ∞ x 2 e x = lím x → ∞ 2 x e x . Dado que lím x → ∞ 2 x = ∞ y lím x → ∞ e x = ∞ , podemos aplicar de nuevo la regla de L'Hôpital. Dado que lím x → ∞ 2 x e x = lím x → ∞ 2 e x = 0 , concluimos que lím x → ∞ x 2 e x = 0 . Por lo tanto, e x crece más rápidamente que x 2 cuando x → ∞ (Vea la y la ) Una función exponencial crece más rápido que una función potencia. Tasas de crecimiento de una función potencia y una función exponencial. x 5 10 15 20 x 2 25 100 225 400 e x 148 22026 3269017 485165195 Dado que lím x → ∞ ln x = ∞ y lím x → ∞ x 2 = ∞ , podemos utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar lím x → ∞ ln x x 2 . Obtenemos lím x → ∞ ln x x 2 = lím x → ∞ 1 / x 2 x = lím x → ∞ 1 2 x 2 = 0 . Por lo tanto, x 2 crece más rápidamente que ln x a medida que x → ∞ (vea la y la ) Una función potencia crece más rápido que una función logarítmica. Tasas de crecimiento de una función potencia y de una función logarítmica x 10 100 1.000 10.000 ln ( x ) 2,303 4,605 6,908 9,210 x 2 100 10.000 1.000.000 100.000.000 Compare las tasas de crecimiento de x 100 y 2 x . La función 2 x crece más rápido que x 100 . Pista Aplique la regla de L'Hôpital a x 100 / 2 x Utilizando las mismas ideas que en el a. no es difícil demostrar que e x crece más rápidamente que x p para cualquier p > 0 . En la y la , comparamos e x con la x 3 y x 4 cuando x → ∞ . La función exponencial e x crece más rápido que x p para cualquier p > 0 . (a) Una comparación de e x con la x 3 . (b) Una comparación de e x con la x 4 . Una función exponencial crece más rápido que cualquier función potencia x 5 10 15 20 x 3 125 1.000 3375 8.000 x 4 625 10.000 50.625 160.000 e x 148 22026 3269017 485165195 Del mismo modo, no es difícil demostrar que x p crece más rápidamente que ln x para cualquier p > 0 . En la y la , comparamos ln x con la x 3 y x . La función y = ln ( x ) crece más lentamente que x p para cualquier p > 0 cuando x → ∞ . Una función logarítmica crece a un ritmo más lento que cualquier función raíz x 10 100 1.000 10.000 ln ( x ) 2,303 4,605 6,908 9,210 x 3 2,154 4,642 10 21,544 x 3,162 10 31,623 100 Conceptos clave La regla de L'Hôpital puede utilizarse para evaluar el límite de un cociente cuando aparece la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . La regla de L'Hôpital también se puede aplicar a otras formas indeterminadas si se pueden reescribir en términos de un límite que implique un cociente que tenga la forma indeterminada 0 0 o ∞ / ∞ . La función exponencial e x crece más rápido que cualquier función potencia x p , p > 0 . La función logarítmica ln x crece más lentamente que cualquier función potencia x p , p > 0 . En los siguientes ejercicios, evalúe el límite. Evalúe el límite lím x → ∞ e x x . Evalúe el límite lím x → ∞ e x x k . ∞ Evalúe el límite lím x → ∞ ln x x k . Evalúe el límite lím x → a x – a x 2 − a 2 , a ≠ 0 . 1 2 a Evalúe el límite lím x → a x – a x 3 − a 3 , a ≠ 0 . Evalúe el límite lím x → a x – a x n − a n , a ≠ 0 . 1 n a n – 1 En los siguientes ejercicios, determine si puede aplicar directamente la regla de L'Hôpital. Explique por qué sí o por qué no. A continuación, indique si hay alguna forma de modificar el límite para poder aplicar la regla de L'Hôpital. lím x → 0 + x 2 ln x lím x → ∞ x 1 / x No se puede aplicar directamente; hay que utilizar logaritmos lím x → 0 x 2 / x lím x → 0 x 2 1 / x No se puede aplicar directamente; reescriba como lím x → 0 x 3 lím x → ∞ e x x En los siguientes ejercicios, evalúe los límites con la regla de L'Hôpital o con los métodos previamente aprendidos. lím x → 3 x 2 − 9 x − 3 6 lím x → 3 x 2 − 9 x + 3 lím x → 0 ( 1 + x ) −2 − 1 x −2 lím x → π / 2 cos x π 2 − x lím x → π x − π sen x −1 lím x → 1 x – 1 sen x lím x → 0 ( 1 + x ) n – 1 x n lím x → 0 ( 1 + x ) n – 1 − n x x 2 lím x → 0 sen x − tan x x 3 − 1 2 lím x → 0 1 + x – 1 − x x lím x → 0 e x – x – 1 x 2 1 2 lím x → 0 + tan x x lím x → 1 x – 1 ln x 1 lím x → 0 ( x + 1 ) 1 / x lím x → 1 x – x 3 x – 1 1 6 lím x → 0 + x 2 x lím x → ∞ x sen ( 1 x ) grandes. 1 lím x → 0 sen x – x x 2 lím x → 0 + x ln ( x 4 ) grandes. 0 lím x → ∞ ( x − e x ) grandes. lím x → ∞ x 2 e – x 0 lím x → 0 3 x − 2 x x lím x → 0 1 + 1 / x 1 − 1 / x −1 lím x → π / 4 ( 1 − tan x ) cot x lím x → ∞ x e 1 / x ∞ lím x → 0 + x 1 / cos x lím x → 0 + x 1 / x 0 lím x → 0 – ( 1 − 1 x ) x lím x → ∞ ( 1 − 1 x ) x 1 e En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función y estimar el valor del límite, luego use la regla de L'Hôpital para encontrar el límite directamente. [T] lím x → 0 e x – 1 x [T] lím x → 0 x sen ( 1 x ) grandes. 0 [T] lím x → 1 x – 1 1 − cos ( π x ) [T] lím x → 1 e ( x – 1 ) − 1 x – 1 1 [T] lím x → 1 ( x – 1 ) 2 ln x [T] lím x → π 1 + cos x sen x 0 [T] lím x → 0 ( csc x – 1 x ) [T] lím x → 0 + tan ( x x ) grandes. tan ( 1 ) [T] lím x → 0 + ln x sen x [T] lím x → 0 e x − e – x x 2 formas indeterminadas al evaluar un límite, las formas 0 0 , ∞ / ∞ , 0 . ∞ , ∞ − ∞ , 0 0 , ∞ 0 , y 1 ∞ se consideran indeterminadas porque se requiere un análisis adicional para determinar si el límite existe y, en caso afirmativo, cuál es su valor La regla de L'Hôpital si f y g son funciones diferenciables sobre un intervalo a , excepto posiblemente en a , y lím x → a f ( x ) = 0 = lím x → a g ( x ) o lím x → a f ( x ) y lím x → a g ( x ) son infinitos, entonces lím x → a f ( x ) g ( x ) = lím x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) , asumiendo que el límite de la derecha existe o es ∞ o − ∞

Matemáticas


Método de Newton En muchas áreas de la matemática pura y aplicada, nos interesa encontrar soluciones a una ecuación de la forma f ( x ) = 0 . Para la mayoría de las funciones, sin embargo, es difícil (si no imposible) calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, echamos un vistazo a una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones . Esta técnica usa aproximaciones de rectas tangentes y está detrás del método utilizado a menudo por calculadoras y computadoras para encontrar ceros. Descripción del método de Newton Consideremos la tarea de encontrar las soluciones de f ( x ) = 0 . Si f es el polinomio de primer grado f ( x ) = a x + b , entonces la solución de f ( x ) = 0 está dado por la fórmula x = − b a . Si f es el polinomio de segundo grado f ( x ) = a x 2 + b x + c , las soluciones de f ( x ) = 0 pueden hallarse utilizando la fórmula cuadrática. Sin embargo, en los polinomios de grado 3 o más, hallar raíces de f es más complicado. Aunque existen fórmulas para los polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si f es un polinomio de grado 5 o mayor, sabemos que tales fórmulas no existen. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 5 + 8 x 4 + 4 x 3 − 2 x − 7 . No existe ninguna fórmula que nos permita encontrar las soluciones de f ( x ) = 0 . Existen dificultades similares para las funciones no polinómicas. Por ejemplo, consideremos la tarea de encontrar soluciones para tan ( x ) − x = 0 . No existe ninguna fórmula sencilla para las soluciones de esta ecuación. En estos casos, podemos utilizar el método de Newton para aproximar las raíces. El método de Newton utiliza la siguiente idea para aproximar las soluciones de f ( x ) = 0 . Trazando un gráfico de f , podemos estimar una raíz de f ( x ) = 0 . Llamemos a esta estimación x 0 . A continuación, trazamos la línea tangente a f en x 0 . Si f ′ ( x 0 ) ≠ 0 , esta línea tangente se cruza con el eje x en algún momento ( x 1 , 0 ) . Ahora supongamos que x 1 es la siguiente aproximación a la raíz real. Típicamente, x 1 está más cerca que x 0 a una raíz real. A continuación trazamos la línea tangente a f en x 1 . Si f ′ ( x 1 ) ≠ 0 , esta línea tangente también se interseca con el eje x , produciendo otra aproximación, x 2 . Continuamos así, derivando una lista de aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… . Normalmente, los números x 0 , x 1 , x 2 ,… se acercan rápidamente a una raíz real x * , como se muestra en la siguiente figura. Las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… se acercan a la raíz real x * . Las aproximaciones se obtienen mirando las rectas tangentes al gráfico de f . Veamos ahora cómo calcular las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… . Si x 0 es nuestra primera aproximación, la aproximación x 1 se define dejando que ( x 1 , 0 ) es la intersección en x de la línea tangente a f en x 0 . La ecuación de esta línea tangente viene dada por y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x – x 0 ) . Por lo tanto, x 1 deben satisfacer f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x 1 − x 0 ) = 0 . Resolviendo esta ecuación para x 1 , concluimos que x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) . Del mismo modo, el punto ( x 2 , 0 ) es la intersección en x de la línea tangente a f en x 1 . Por lo tanto, x 2 satisface la ecuación x 2 = x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) . En general, para n > 0 , x n satisface x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 ) . A continuación veremos cómo hacer uso de esta técnica para aproximar la raíz del polinomio f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 . Encontrar la raíz de un polinomio Utilice el método de Newton para aproximar una raíz de f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 en el intervalo [ 1 , 2 ] . Supongamos que x 0 = 2 y calculemos x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , y x 5 . En la , vemos que f tiene una raíz en el intervalo ( 1 , 2 ) . Por lo tanto x 0 = 2 parece una primera aproximación razonable. Para encontrar la siguiente aproximación, utilizamos la . Dado que f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 , la derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 . Utilizando la con n = 1 (y una calculadora que muestre 10 dígitos), obtenemos x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = 2 – f ( 2 ) f ′ ( 2 ) = 2 − 3 9 ≈ 1,666666667 . Para encontrar la siguiente aproximación, x 2 , utilizamos la con n = 2 y el valor de x 1 almacenado en la calculadora. Tenemos que x 2 = x 1 = f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) ≈ 1,548611111 . Al continuar de esta manera, obtenemos los siguientes resultados: x 1 ≈ 1,666666667 x 2 ≈ 1,548611111 x 3 ≈ 1,532390162 x 4 ≈ 1,532088989 x 5 ≈ 1,532088886 x 6 ≈ 1,532088886 . Observamos que obtuvimos el mismo valor para x 5 y x 6 . Por lo tanto, cualquier aplicación posterior del método de Newton dará muy probablemente el mismo valor para x n . La función f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 tiene una raíz en el intervalo [ 1 , 2 ] . Suponiendo que x 0 = 0 , utilizaremos el método de Newton para aproximar la raíz de f ( x ) = x 3 − 3 x + 1 en el intervalo [ 0 , 1 ] calculando x 1 y x 2 . x 1 ≈ 0,33333333 , x 2 ≈ 0,347222222 Pista Utilice la . El método de Newton también puede utilizarse para aproximar raíces cuadradas. Aquí mostramos cómo aproximar 2 . Este método puede ser modificado para aproximar la raíz cuadrada de cualquier número positivo. Encontrar una raíz cuadrada Utilice el método de Newton para aproximar 2 ( ). Supongamos que f ( x ) = x 2 − 2 , supongamos que x 0 = 2 , y calcule x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . (Observamos que como f ( x ) = x 2 − 2 tiene un cero en 2 , el valor inicial x 0 = 2 es una opción razonable para aproximar 2 . ) Para f ( x ) = x 2 − 2 , f ′ ( x ) = 2 x . Por la , sabemos que x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 ) = x n – 1 − x 2 n – 1 − 2 2 x n – 1 = 1 2 x n – 1 + 1 x n – 1 = 1 2 ( x n – 1 + 2 x n – 1 ) . Por lo tanto, x 1 = 1 2 ( x 0 + 2 x 0 ) = 1 2 ( 2 + 2 2 ) = 1,5 x 2 = 1 2 ( x 1 + 2 x 1 ) = 1 2 ( 1,5 + 2 1,5 ) ≈ 1,416666667. Al continuar de esta manera, hallamos que x 1 = 1,5 x 2 ≈ 1,416666667 x 3 ≈ 1,414215686 x 4 ≈ 1,414213562 x 5 ≈ 1,414213562. Como obtuvimos el mismo valor para x 4 y x 5 , es poco probable que el valor x n cambie en cualquier aplicación posterior del método de Newton. Concluimos que 2 ≈ 1,414213562 . Podemos utilizar el método de Newton para hallar 2 . Utilice el método de Newton para aproximar 3 suponiendo que f ( x ) = x 2 − 3 y x 0 = 3 . Halle x 1 y x 2 . x 1 = 2 , x 2 = 1,75 Pista Para f ( x ) = x 2 − 3 , La se reduce a x n = x n – 1 2 + 3 2 x n – 1 . Cuando se utiliza el método de Newton, cada aproximación después de la conjetura inicial se define en términos de la aproximación anterior utilizando la misma fórmula. En particular, al definir la función F ( x ) = x − [ f ( x ) f ′ ( x ) ] , podemos reescribir la como x n = F ( x n – 1 ) . Este tipo de proceso, en el que cada x n se define en términos de x n – 1 repitiendo la misma función, es un ejemplo de proceso iterativo . En breve, examinaremos otros procesos iterativos. En primer lugar, veamos las razones por las que el método de Newton podría no encontrar una raíz. Fallos del método de Newton Normalmente, el método de Newton se utiliza para hallar las raíces con bastante rapidez. Sin embargo, las cosas pueden salir mal. Algunas de las razones por las que el método de Newton puede fallar son las siguientes: En una de las aproximaciones x n , la derivada f ′ es cero en x n , pero f ( x n ) ≠ 0 . Como resultado, la línea tangente de f en x n no se interseca con el eje x . Por lo tanto, no podemos continuar el proceso iterativo. Las aproximaciones x 0 , x 1 , x 2 ,… puede acercarse a una raíz diferente. Si se grafica la función f tiene más de una raíz, es posible que nuestras aproximaciones no se acerquen a la que estamos buscando, sino que se acerquen a una raíz diferente (ver la ). Este hecho se produce con mayor frecuencia cuando no elegimos la aproximación x 0 lo suficientemente cerca de la raíz deseada. Las aproximaciones pueden no acercarse completamente a una raíz. En el , proporcionamos un ejemplo de una función y una conjetura inicial x 0 tal que las aproximaciones sucesivas nunca se acercan a una raíz porque las aproximaciones sucesivas siguen alternando entre dos valores. Si la suposición inicial x 0 está demasiado lejos de la raíz buscada, puede llevarnos a aproximaciones que se acerquen a una raíz diferente. Cuando el método de Newton falla Considere la función f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 . Supongamos que x 0 = 0 . Demuestre que la secuencia x 1 , x 2 ,… no se acerca a una raíz de f . Para f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 , la derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 2 . Por lo tanto, x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = 0 − f ( 0 ) f ′ ( 0 ) = − 2 −2 = 1 . En el siguiente paso, x 2 = x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) = 1 − f ( 1 ) f ′ ( 1 ) = 1 − 1 1 = 0 . En consecuencia, los números x 0 , x 1 , x 2 ,… siguen rebotando de un lado a otro entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de f que está en el intervalo [ −2 , −1 ] (vea la ). Afortunadamente, si elegimos una aproximación inicial x 0 más cerca de la raíz real, podemos evitar esta situación. Las aproximaciones siguen alternando entre 0 y 1 y nunca se acercan a la raíz de f . Para f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 , supongamos que x 0 = −1,5 y hallar x 1 y x 2 . x 1 ≈ − 1,842105263 , x 2 ≈ − 1,772826920 Pista Utilice la . En el , vemos que el método de Newton no siempre funciona. Sin embargo, cuando lo hace, la secuencia de aproximaciones se acerca a la raíz muy rápidamente. En los textos de análisis numérico se discute la rapidez con la que la secuencia de aproximaciones se acerca a una raíz encontrada mediante el método de Newton. Otros procesos iterativos Como se ha mencionado anteriormente, el método de Newton es un tipo de proceso iterativo. Ahora veremos un ejemplo de un tipo diferente de proceso iterativo. Considere una función F y un número inicial x 0 . Defina los números siguientes x n mediante la fórmula x n = F ( x n – 1 ) . Este proceso es un proceso iterativo que crea una lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… , x n ,… . Esta lista de números puede acercarse a un número finito x * a medida que n se hace más grande, o es posible que no lo haga. En el , vemos un ejemplo de función F y una conjetura inicial x 0 de manera que la lista de números resultante se aproxime a un valor finito. Encontrar un límite para un proceso iterativo Supongamos que F ( x ) = 1 2 x + 4 y supongamos que x 0 = 0 . Para todo n ≥ 1 , supongamos que x n = F ( x n – 1 ) . Halle los valores x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Haga una conjetura sobre lo que ocurre con esta lista de números x 1 , x 2 , x 3 … , x n ,… cuando n → ∞ . Si la lista de números x 1 , x 2 , x 3 ,… se acerca a un número finito x * , entonces x * satisface x * = F ( x * ) , y x * se llama punto fijo de F . Si los valores de x 0 = 0 , entonces x 1 = 1 2 ( 0 ) + 4 = 4 x 2 = 1 2 ( 4 ) + 4 = 6 x 3 = 1 2 ( 6 ) + 4 = 7 x 4 = 1 2 ( 7 ) + 4 = 7,5 x 5 = 1 2 ( 7,5 ) + 4 = 7,75 x 6 = 1 2 ( 7,75 ) + 4 = 7,875 x 7 = 1 2 ( 7,875 ) + 4 = 7,9375 x 8 = 1 2 ( 7,9375 ) + 4 = 7,96875 x 9 = 1 2 ( 7,96875 ) + 4 = 7,984375. A partir de esta lista, hacemos la conjetura de que los valores x n se acercan a 8 . La proporciona un argumento gráfico de que los valores se aproximan 8 cuando n → ∞ . A partir del punto ( x 0 , x 0 ) , trazamos una línea vertical hasta el punto ( x 0 , F ( x 0 ) ) . El siguiente número de nuestra lista es x 1 = F ( x 0 ) . Utilizamos x 1 para calcular x 2 . Por lo tanto, trazamos una línea horizontal que une ( x 0 , x 1 ) al punto ( x 1 , x 1 ) en la línea y = x , y luego dibujar una línea vertical que conecte ( x 1 , x 1 ) al punto ( x 1 , F ( x 1 ) ) . La salida F ( x 1 ) se convierte en x 2 . Si continuamos de esta manera, podríamos crear un número infinito de segmentos de línea. Estos segmentos de línea están atrapados entre las líneas F ( x ) = x 2 + 4 en tanto que y = x . Los segmentos de línea se acercan al punto de intersección de estas dos líneas, lo que ocurre cuando x = F ( x ) . Si resolvemos la ecuación x = x 2 + 4 , concluimos que se intersecan en x = 8 . Por lo tanto, nuestra evidencia gráfica concuerda con nuestra evidencia numérica de que la lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… se acerca a x * = 8 cuando n → ∞ . Este proceso iterativo se acerca al valor x * = 8 . Considere la función F ( x ) = 1 3 x + 6 . Supongamos que x 0 = 0 y supongamos que x n = F ( x n – 1 ) por n ≥ 2 . Halle x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Haga una conjetura sobre lo que ocurre con la lista de números x 1 , x 2 , x 3 ,… x n ,… cuando n → ∞ . x 1 = 6 , x 2 = 8 , x 3 = 26 3 , x 4 = 80 9 , x 5 = 242 27 ; x * = 9 Pista Considere el punto donde las rectas y = x como y = F ( x ) se intersecan. Procesos iterativos y caos Los procesos iterativos pueden tener un comportamiento muy interesante. En esta sección, hemos visto varios ejemplos de procesos iterativos que convergen en un punto fijo. También hemos visto en el que el proceso iterativo rebota entre dos valores. A este tipo de comportamiento lo llamamos 2 − ciclo . Los procesos iterativos pueden converger en ciclos con diversas periodicidades, como 2 − ciclos , 4 − ciclos (donde el proceso iterativo repite una secuencia de cuatro valores), 8 ciclos, etc. Algunos procesos iterativos dan lugar a lo que los matemáticos llaman caos . En este caso, el proceso iterativo salta de un valor a otro de forma aparentemente aleatoria y nunca converge ni se asienta en un ciclo. Aunque una exploración completa del caos está más allá del alcance de este texto, en este proyecto examinamos una de las propiedades clave de un proceso iterativo caótico: la dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esta propiedad se refiere al concepto de que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden generar un comportamiento drásticamente diferente en el proceso iterativo. Probablemente el ejemplo más conocido de caos es el conjunto de Mandelbrot (vea la ), llamado así por Benoit Mandelbrot (1924-2010), que investigó sus propiedades y ayudó a popularizar el campo de la teoría del caos. El conjunto de Mandelbrot suele generarse por computadora y muestra detalles fascinantes al ampliarse, incluida la autorreplicación del conjunto. Varias versiones coloreadas del conjunto se han expuesto en museos y pueden encontrarse en Internet y en libros populares sobre el tema. El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo bien conocido de un conjunto de puntos generados por el comportamiento caótico iterativo de una función relativamente simple. En este proyecto utilizamos el mapa logístico f ( x ) = r x ( 1 − x ) , donde x ∈ [ 0 , 1 ] y r > 0 como la función en nuestro proceso iterativo. El mapa logístico es una función aparentemente sencilla, pero dependiendo del valor de r , el proceso iterativo resultante muestra un comportamiento muy interesante. Puede conducir a puntos fijos, ciclos e incluso al caos. Para visualizar el comportamiento a largo plazo del proceso iterativo asociado al mapa logístico, utilizaremos una herramienta llamada diagrama de telaraña . Tal como hicimos con el proceso iterativo que examinamos anteriormente en esta sección, primero trazaremos una línea vertical desde el punto ( x 0 , 0 ) al punto ( x 0 , f ( x 0 ) ) = ( x 0 , x 1 ) . A continuación, trazamos una línea horizontal desde ese punto hasta el punto ( x 1 , x 1 ) , luego dibujamos una línea vertical a ( x 1 , f ( x 1 ) ) = ( x 1 , x 2 ) , y continuamos el proceso hasta que el comportamiento a largo plazo del sistema se haga evidente. La muestra el comportamiento a largo plazo del mapa logístico cuando r = 3,55 y x 0 = 0,2 . (Las primeras 100 iteraciones no están representadas). El comportamiento a largo plazo de este proceso iterativo es un 8 −ciclo. Un diagrama de telaraña para f ( x ) = 3,55 x ( 1 − x ) se presenta aquí. La secuencia de valores da lugar a un 8 −ciclo. Supongamos que r = 0,5 y elegir x 0 = 0,2 . Calcule, a mano o con una computadora, los primeros 10 valores en la secuencia. ¿Parece que la secuencia converge? Si es así, ¿a qué valor? ¿Resulta un ciclo? Si es así, ¿qué tipo de ciclo (por ejemplo, 2 − ciclo , 4 − ciclo . ) ? ¿Qué sucede cuando r = 2 ? Para r = 3,2 y r = 3,5 , calcule los primeros 100 valores de la secuencia. Genere un diagrama de telaraña para cada proceso iterativo. (Existen varias miniaplicaciones gratuitas en línea que generan diagramas de telaraña para el mapa logístico). ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en cada uno de estos casos? Ahora supongamos que r = 4 . Calcule los primeros 100 valores de la secuencia y genere un diagrama de telaraña. ¿Cuál es el comportamiento a largo plazo en este caso? Repita el proceso para r = 4 , pero suponga que x 0 = 0,201 . ¿Cómo se compara este comportamiento con el de x 0 = 0,2 ? Conceptos clave El método de Newton aproxima las raíces de f ( x ) = 0 partiendo de una aproximación inicial x 0 , utilice entonces las rectas tangentes al gráfico de f para crear una secuencia de aproximaciones x 1 , x 2 , x 3 ,… . Por lo general, el método de Newton es un método eficaz para encontrar una raíz determinada. En ciertos casos, el método de Newton no funciona porque la lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… no se aproxima a un valor finito o se aproxima a un valor distinto de la raíz buscada. Cualquier proceso en el que una lista de números x 0 , x 1 , x 2 ,… se genera definiendo un número inicial x 0 y definiendo los números siguientes por la ecuación x n = F ( x n – 1 ) para alguna función F es un proceso iterativo. El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, donde la función F ( x ) = x − [ f ( x ) f ′ ( x ) ] para una función determinada f . En los siguientes ejercicios, escriba la fórmula de Newton como x n + 1 = F ( x n ) para resolver f ( x ) = 0 . f ( x ) = x 2 + 1 f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 F ( x n ) = x n – x n 3 + 2 x n + 1 3 x n 2 + 2 f ( x ) = sen x f ( x ) = e x F ( x n ) = x n − e x n e x n f ( x ) = x 3 + 3 x e x En los siguientes ejercicios, resuelva f ( x ) = 0 utilizando la iteración x n + 1 = x n − c f ( x n ) , la cual difiere ligeramente del método de Newton. Halle una c que funcione y una c que no converja, con la excepción de c = 0 . f ( x ) = x 2 − 4 , con la x 0 = 0 | c | > 0,5 no funciona, | c | ≤ 0,5 funciona f ( x ) = x 2 − 4 x + 3 , con la x 0 = 2 ¿Cuál es el valor de “ c ” en el método de Newton? c = 1 f ′ ( x n ) En los siguientes ejercicios, comience en a. x 0 = 0,6 y b. x 0 = 2 . Calcule x 1 y x 2 utilizando el método iterativo especificado. x n + 1 = x n 2 – 1 2 x n + 1 = 2 x n ( 1 − x n ) a. x 1 = 12 25 , x 2 = 312 625 ; b. x 1 = −4 , x 2 = −40 x n + 1 = x n x n + 1 = 1 x n a. x 1 = 1,291 , x 2 = 0,8801 ; b. x 1 = 0,7071 , x 2 = 1,189 x n + 1 = 3 x n ( 1 − x n ) grandes. x n + 1 = x n 2 + x n – 2 a. x 1 = − 26 25 , x 2 = − 1224 625 ; b. x 1 = 4 , x 2 = 18 x n + 1 = 1 2 x n – 1 x n + 1 = | x n | a. x 1 = 6 10 , x 2 = 6 10 ; b. x 1 = 2 , x 2 = 2 En los siguientes ejercicios, resuelva con cuatro decimales utilizando el método de Newton y una computadora o calculadora. Elija cualquier conjetura inicial x 0 que no sea la raíz exacta. x 2 − 10 = 0 x 4 − 100 = 0 3,1623 o − 3,1623 x 2 − x = 0 x 3 − x = 0 0 , −1 o 1 x + 5 cos ( x ) = 0 x + tan ( x ) = 0 , elija x 0 ∈ ( − π 2 , π 2 ) grandes. 0 1 1 − x = 2 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 = 2 0,5188 o − 1,2906 x 3 + ( x + 1 ) 3 = 10 3 x = sen 2 ( x ) grandes. 0 En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar los puntos fijos de la función donde f ( x ) = x ; redondee a tres decimales. sen x tan ( x ) sobre x = ( π 2 , 3 π 2 ) grandes. 4,493 e x − 2 ln ( x ) + 2 0,159 , 3,146 El método de Newton puede utilizarse para encontrar los máximos y los mínimos de las funciones, además de las raíces. En este caso aplique el método de Newton a la función derivada f ′ ( x ) para encontrar sus raíces, en vez de la función original. En los siguientes ejercicios, considere la formulación del método. Para encontrar candidatos a máximos y mínimos, necesitamos encontrar los puntos críticos f ′ ( x ) = 0 . Demuestre que para resolver los puntos críticos de una función f ( x ) , El método de Newton viene dado por x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ″ ( x n ) . ¿Qué restricciones adicionales son necesarias en la función f ? Necesitamos f para ser dos veces continuamente diferenciable. En los siguientes ejercicios, utilice el método de Newton para encontrar la ubicación de los mínimos o máximos locales de las siguientes funciones; redondee a tres decimales. Un mínimo de f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 Un mínimo de f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 − 16 x = 0 Un mínimo de f ( x ) = x 2 e x Máximo de f ( x ) = x + 1 x x = –1 Máximo de f ( x ) = x 3 + 10 x 2 + 15 x − 2 Máximo de f ( x ) = x – x 3 x x = 5,619 Un mínimo de f ( x ) = x 2 sen x , mínimo diferente a cero más cercano a x = 0 Un mínimo de f ( x ) = x 4 + x 3 + 3 x 2 + 12 x + 6 x = −1,326 En los siguientes ejercicios, utilice el método especificado para resolver la ecuación. Si no funciona, explique por qué. Método de Newton, x 2 + 2 = 0 Método de Newton, 0 = e x La ecuación no tiene solución. Método de Newton, 0 = 1 + x 2 a partir de x 0 = 0 Resolver x n + 1 = − x n 3 a partir de x 0 = –1 Entra en un ciclo. En los siguientes ejercicios, utilice el método de la secante , un método iterativo alternativo al método de Newton. La fórmula viene dada por x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) x n – 1 − x n – 2 f ( x n – 1 ) − f ( x n – 2 ) . Halle una raíz para 0 = x 2 − x − 3 con una precisión de tres decimales. Halle una raíz para 0 = sen x + 3 x con una precisión de cuatro decimales. 0 Halle una raíz para 0 = e x − 2 con una precisión de cuatro decimales. Halle una raíz para ln ( x + 2 ) = 1 2 con una precisión de cuatro decimales. −0,3513 ¿Por qué utilizar el método de la secante en lugar del método de Newton? ¿Cuáles son las restricciones necesarias para f ? En los siguientes ejercicios, utilice tanto el método de Newton como el método de la secante para calcular la raíz de las siguientes ecuaciones. Utilice una calculadora o una computadora para calcular cuántas iteraciones de cada una son necesarias para llegar a tres decimales de la respuesta exacta. En el método de la secante, utilice la primera conjetura del método de Newton. f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x 0 = 1 Newton: 11 iteraciones, secante: 16 iteraciones f ( x ) = x 2 , x 0 = 1 f ( x ) = sen x , x 0 = 1 Newton: tres iteraciones, secante: seis iteraciones f ( x ) = e x – 1 , x 0 = 2 f ( x ) = x 3 + 2 x + 4 , x 0 = 0 Newton: cinco iteraciones, secante: ocho iteraciones En los siguientes ejercicios, considere la ecuación de Kepler relativa a las órbitas planetarias, M = E − ε sen ( E ) , donde M es la anomalía media, E es una anomalía excéntrica, y ε mide la excentricidad. Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica E cuando la anomalía media M = π 3 y la excentricidad de la órbita ε = 0,25 ; redondee a tres decimales. Utilice el método de Newton para resolver la anomalía excéntrica E cuando la anomalía media M = 3 π 2 y la excentricidad de la órbita ε = 0,8 ; redondee a tres decimales. E = 4,071 Los dos ejercicios siguientes consideran una inversión bancaria. La inversión inicial es de $ 10.000 . Después de 25 años, la inversión se triplicó hasta $ 30.000 . Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula anualmente. Utilice el método de Newton para determinar el tipo de interés si este se calcula continuamente. 4 . 394 % El costo de impresión de un libro expresarse mediante la ecuación C ( x ) = 1.000 + 12 x + ( 1 2 ) x 2 / 3 . Utilice el método de Newton para encontrar el punto de equilibrio si la imprenta vende cada libro por $ 2 0 . proceso iterativo proceso en el que una lista de números x 0 , x 1 , x 2 , x 3 … se genera empezando por un número x 0 y definiendo x n = F ( x n – 1 ) por n ≥ 1 método de Newton método de aproximación a las raíces de f ( x ) = 0 ; utilizando una conjetura inicial x 0 ; cada aproximación posterior se define por la ecuación x n = x n – 1 − f ( x n – 1 ) f ′ ( x n – 1 )

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