Series alternadas Hasta ahora en este capítulo, hemos hablado principalmente de series con términos positivos. En esta sección introducimos las series alternadas, es decir, aquellas series cuyos términos alternan su signo. En un capítulo posterior mostraremos que estas series surgen a menudo cuando se estudian las series de potencias. Después de definir las series alternadas, introducimos la prueba de las series alternadas para determinar si una serie de este tipo converge. La prueba de las series alternadas Una serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos es una serie alternada . Por ejemplo, las series ∑ n = 1 ∞ ( − 1 2 ) n = − 1 2 + 1 4 − 1 8 + 1 16 − ⋯ y ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ son ambas series alternadas. Definición Toda serie cuyos términos alternan entre valores positivos y negativos se denomina serie alternada. Una serie alternada puede escribirse de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n = − b 1 + b 2 − b 3 + b 4 − ⋯ Donde b n > 0 para todos los enteros positivos n . La serie (1), que se muestra en la , es una serie geométrica. Dado que | r | = | − 1 / 2 | < 1 , la serie converge. La serie (2), que se muestra en la , se denomina serie armónica alternada. Demostraremos que mientras la serie armónica diverge, la serie armónica alternada converge. Para demostrarlo, observamos la secuencia de sumas parciales { S k } ( ). Prueba Considere los términos impares S 2 k + 1 para k ≥ 0 . Dado que 1 / ( 2 k + 1 ) < 1 / 2 k , S 2 k + 1 = S 2 k − 1 − 1 2 k + 1 2 k + 1 < S 2 k − 1 . Por lo tanto, { S 2 k + 1 } es una secuencia decreciente. También, S 2 k + 1 = ( 1 − 1 2 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + ⋯ + ( 1 2 k − 1 − 1 2 k ) + 1 2 k + 1 > 0 . Por lo tanto, { S 2 k + 1 } está delimitada por debajo. Dado que { S 2 k + 1 } es una secuencia decreciente que está delimitada por debajo, por el teorema de convergencia monótona, { S 2 k + 1 } converge. Del mismo modo, los términos pares { S 2 k } forman una secuencia creciente que está delimitada por encima porque S 2 k = S 2 k − 2 + 1 2 k − 1 − 1 2 k > S 2 k − 2 y S 2 k = 1 + ( − 1 2 + 1 3 ) + ⋯ + ( − 1 2 k − 2 + 1 2 k − 1 ) − 1 2 k < 1 . Por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona, la secuencia { S 2 k } también converge. Dado que S 2 k + 1 = S 2 k + 1 2 k + 1 , sabemos que lím k → ∞ S 2 k + 1 = lím k → ∞ S 2 k + lím k → ∞ 1 2 k + 1 . Suponiendo que S = lím k → ∞ S 2 k + 1 y utilizando el hecho de que 1 / ( 2 k + 1 ) → 0 , concluimos que lím k → ∞ S 2 k = S . Dado que los términos pares e impares de la secuencia de sumas parciales convergen al mismo límite S , se puede demostrar que la secuencia de sumas parciales converge a S , y por tanto la serie armónica alternada converge a S . También se puede demostrar que S = ln 2 , y podemos escribir ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ = ln ( 2 ) . Para la serie armónica alternada, los términos impares S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k son crecientes y están delimitados por encima. □ De forma más general, cualquier serie alternada de la forma (3) ( ) o (4) ( ) converge siempre que b 1 ≥ b 2 ≥ b 3 ≥ ⋯ y b n → 0 ( ). La prueba es similar a la de la serie armónica alternada. Para una serie alternada b 1 − b 2 + b 3 − ⋯ en la que b 1 > b 2 > b 3 > ⋯ , los términos impares S 2 k + 1 en la secuencia de sumas parciales son decrecientes y están delimitados por debajo. Los términos pares S 2 k son crecientes y están delimitados por encima. Prueba de series alternadas Una serie alternada de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n converge si 0 < b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ 1 y lím n → ∞ b n = 0 . Esto se conoce como la prueba de series alternadas . Observamos que este teorema es cierto de forma más general siempre que exista algún número entero N tal que 0 < b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ N . Convergencia de las series alternadas Para cada una de las siguientes series alternadas, determine si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / ( n + 1 ) Dado que 1 ( n + 1 ) 2 < 1 n 2 y 1 n 2 → 0 , la serie converge. Dado que n / ( n + 1 ) ↛ 0 a medida que n → ∞ , no podemos aplicar la prueba de series alternadas. En su lugar, utilizamos la prueba del enésimo término para la divergencia. Dado que lím n → ∞ ( –1 ) n + 1 n n + 1 ≠ 0 , la serie diverge. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / 2 n converge o diverge. La serie converge. Pista ¿Es { n / 2 n } decreciente? ¿Cuál es el lím n → ∞ n / 2 n ? Resto de una serie alternada Es difícil calcular de manera explícita la suma de la mayoría de las series alternadas, por lo que normalmente la suma se aproxima utilizando una suma parcial. Al hacerlo, nos interesa la cantidad de error en nuestra aproximación. Considere una serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que S denota la suma de esta serie y { S k } sea la secuencia correspondiente de sumas parciales. En la vemos que para cualquier número entero N ≥ 1 , el resto R N satisface | R N | = | S − S N | ≤ | S N + 1 − S N | = b n + 1 . Resto de series alternadas Consideremos una serie alternada de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n que satisface las hipótesis de la prueba de series alternadas. Supongamos que S denota la suma de la serie y S N denota la ené −ésima suma parcial. Para cualquier número entero N ≥ 1 , el resto R N = S − S N satisface | R N | ≤ b N + 1 . En otras palabras, si se aplican las condiciones de la prueba de series alternadas, entonces el error de aproximación de la serie infinita por la ené −ésima suma parcial S N es, como máximo, del tamaño del siguiente término b N + 1 . Estimación del resto de una serie alternada Consideremos la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 2 . Utilice la estimación del resto para determinar un límite en el error R 10 si aproximamos la suma de la serie por la suma parcial S 10 . A partir del teorema anterior, | R 10 | ≤ b 11 = 1 11 2 ≈ 0,008265 . Halle un límite para R 20 cuando se aproxima ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n por S 20 . 0,04762 Pista | R 20 | ≤ b 21 Convergencia absoluta y condicional Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n y la serie relacionada ∑ n = 1 ∞ | a n | . Aquí hablamos sobre las posibilidades de la relación entre la convergencia de estas dos series. Por ejemplo, consideremos la serie armónica alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n . La serie cuyos términos son el valor absoluto de estos términos es la serie armónica, dado que ∑ n = 1 ∞ | ( –1 ) n + 1 / n | = ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Como la serie armónica alternada converge, pero la serie armónica diverge, decimos que la serie armónica alternada presenta una convergencia condicional. En comparación, considere la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 . La serie cuyos términos son los valores absolutos de los términos de esta serie es la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Como ambas series convergen, decimos que la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n 2 presenta una convergencia absoluta. Definición Una serie ∑ n = 1 ∞ a n presenta una convergencia absoluta si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Una serie ∑ n = 1 ∞ a n presenta una convergencia condicional si ∑ n = 1 ∞ a n converge, pero ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge. Como muestra la serie armónica alternada, una serie ∑ n = 1 ∞ a n puede converger, pero ∑ n = 1 ∞ | a n | puede divergir. En el siguiente teorema, sin embargo, demostramos que si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. La convergencia absoluta implica convergencia Si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Prueba Supongamos que ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Lo demostramos utilizando el hecho de que a n = | a n | o a n = − | a n | y por lo tanto | a n | + a n = 2 | a n | o | a n | + a n = 0 . Por lo tanto, 0 ≤ | a n | + a n ≤ 2 | a n | . En consecuencia, por la prueba de comparación, dado que 2 ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, la serie ∑ n = 1 ∞ ( | a n | + a n ) converge. Utilizando las propiedades algebraicas para las series convergentes, concluimos que ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ ( | a n | + a n ) − ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. □ Convergencia absoluta y condicional Para cada una de las siguientes series, determine si la serie converge absolutamente, condicionalmente o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / ( 3 n + 1 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ cos ( n ) / n 2 Podemos ver que ∑ n = 1 ∞ | ( –1 ) n + 1 3 n + 1 | = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 1 diverge utilizando la prueba de comparación de límites con la serie armónica. De hecho, lím n → ∞ 1 / ( 3 n + 1 ) 1 / n = 1 3 . Por lo tanto, la serie no converge absolutamente. Sin embargo, como 1 3 ( n + 1 ) + 1 < 1 3 n + 1 y 1 3 n + 1 → 0 , la serie converge. Podemos concluir que ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / ( 3 n + 1 ) converge condicionalmente. Si observamos que | cos n | ≤ 1 , para determinar si la serie converge absolutamente, compare ∑ n = 1 ∞ | cos n n 2 | con la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge, por la prueba de comparación, ∑ n = 1 ∞ | cos n / n 2 | converge, y por lo tanto ∑ n = 1 ∞ cos n / n 2 converge absolutamente. Determine si la serie ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n / ( 2 n 3 + 1 ) converge absolutamente, condicionalmente o diverge. La serie converge absolutamente. Pista Compruebe primero la convergencia absoluta. Para ver la diferencia entre la convergencia absoluta y la condicional, observe lo que ocurre cuando reordenamos los términos de la serie armónica alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 / n . Demostramos que podemos reordenar los términos para que la nueva serie sea divergente. Seguramente, si reordenamos los términos de una suma finita, la suma no cambia. Sin embargo, cuando trabajamos con una suma infinita, pueden ocurrir cosas interesantes. Comience sumando suficientes términos positivos para producir una suma que sea mayor que algún número real M > 0 . Por ejemplo, supongamos que M = 10 , y halle un número entero k tal que 1 + 1 3 + 1 5 + ⋯ + 1 2 k − 1 > 10 . (Podemos hacerlo porque la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / ( 2 n – 1 ) diverge hasta el infinito) A continuación, reste 1 / 2 . Luego, sume más términos positivos hasta que la suma llegue a 100. Es decir, halle otro número entero j > k tal que 1 + 1 3 + ⋯ + 1 2 k − 1 − 1 2 + 1 2 k + 1 + ⋯ + 1 2 j + 1 > 100 . A continuación, reste 1 / 4 . Continuando de esta manera, hemos encontrado una forma de reordenar los términos de la serie armónica alternada de manera que la secuencia de sumas parciales para la serie reordenada no está delimitada y por lo tanto es divergente. Los términos de la serie armónica alternada también pueden reordenarse para que la nueva serie converja a un valor diferente. En el , mostramos cómo reordenar los términos para crear una nueva serie que converja a 3 ln ( 2 ) / 2 . Señalamos que la serie armónica alternada puede reordenarse para crear una serie que converja a cualquier número real r ; sin embargo, la prueba de este hecho está fuera del alcance de este texto. En general, cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n que converge condicionalmente se puede reordenar para que la nueva serie diverja o converja a un número real diferente. Una serie que converge absolutamente no tiene esta propiedad. Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n que converge absolutamente, el valor de ∑ n = 1 ∞ a n es el mismo para cualquier reordenación de los términos. Este resultado se conoce como el de Riemann sobre la reordenación, que está fuera del alcance de este libro. Reorganización de la serie Utilice el hecho de que 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ = ln 2 para reordenar los términos de la serie armónica alternada de modo que la suma de la serie reordenada sea 3 ln ( 2 ) / 2 . Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 − 1 8 + ⋯ . Dado que ∑ n = 1 ∞ a n = ln ( 2 ) , por las propiedades algebraicas de las series convergentes, ∑ n = 1 ∞ 1 2 a n = 1 2 – 1 4 + 1 6 − 1 8 + ⋯ = 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n = ln 2 2 . Ahora introduzca la serie ∑ n = 1 ∞ b n tal que para todo n ≥ 1 , b 2 n – 1 = 0 y b 2 n = a n / 2 . Entonces ∑ n = 1 ∞ b n = 0 + 1 2 + 0 − 1 4 + 0 + 1 6 + 0 − 1 8 + ⋯ = ln 2 2 . Entonces, utilizando las propiedades del límite algebraico de las series convergentes, dado que ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n convergen, la serie ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) converge y ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ∑ n = 1 ∞ a n + ∑ n = 1 ∞ b n = ln 2 + ln 2 2 = 3 ln 2 2 . Ahora sumando los términos correspondientes, a n y b n , vemos que ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = ( 1 + 0 ) + ( − 1 2 + 1 2 ) + ( 1 3 + 0 ) + ( − 1 4 − 1 4 ) + ( 1 5 + 0 ) + ( − 1 6 + 1 6 ) + ( 1 7 + 0 ) + ( 1 8 − 1 8 ) + ⋯ = 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + ⋯ . Observamos que la serie a la derecha del signo de igualdad es una reordenación de la serie armónica alternada. Dado que ∑ n = 1 ∞ ( a n + b n ) = 3 ln ( 2 ) / 2 , concluimos que 1 + 1 3 − 1 2 + 1 5 + 1 7 − 1 4 + ⋯ = 3 ln ( 2 ) 2 . Por lo tanto, hemos encontrado un reordenamiento de la serie armónica alternada que tiene la propiedad deseada. Conceptos clave Para una serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n , si b k + 1 ≤ b k para todo k y b k → 0 a medida que k → ∞ , la serie alternada converge. Si ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Ecuaciones clave Series alternadas ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n = b 1 − b 2 + b 3 − b 4 + ⋯ o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n = − b 1 + b 2 − b 3 + b 4 − ⋯ Indique si cada una de las siguientes series converge absolutamente, condicionalmente o no converge. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n + 1 n + 3 No converge por la prueba de divergencia. Los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 1 n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n + 3 n Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas, dado que n + 3 / n es decreciente. No converge absolutamente por comparación con la serie p , p = 1 / 2 . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 1 n ! ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 3 n n ! Converge absolutamente por comparación de límites a 3 n / 4 n , por ejemplo. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n – 1 n ) n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 n ) n Diverge por la prueba de divergencia dado que lím n → ∞ | a n | = e . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 n No converge. Los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 ( 1 / n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 ( 1 / n ) grandes. lím n → ∞ cos 2 ( 1 / n ) = 1 . Diverge por la prueba de divergencia. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ln ( 1 / n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ln ( 1 + 1 n ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 2 1 + n 4 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n e 1 + n π Converge condicionalmente por la prueba de series alternadas. No converge absolutamente por comparación de límites con la serie p , p = π − e ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 2 1 / n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n 1 / n Diverge; los términos no tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ( 1 − n 1 / n ) ( Pista: n 1 / n ≈ 1 + ln ( n ) / n para n . ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n ( 1 − cos ( 1 n ) ) ( Pista: cos ( 1 / n ) ≈ 1 − 1 / n 2 para n . ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 − n ) ( Pista: racionalice el numerador). ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 1 n – 1 n + 1 ) ( Pista: halle el denominador común y luego racionalice el numerador). Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p , p = 3 / 2 , después de aplicar la pista. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( ln ( n + 1 ) − ln n ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 n ( tan –1 ( n + 1 ) − tan −1 n ) ( Pista: utilice el teorema de valor medio). Converge por la prueba de series alternadas ya que n ( tan –1 ( n + 1 ) − tan −1 n ) es decreciente hasta cero para n No converge absolutamente por comparación de límites con la serie armónica después de aplicar la pista. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( ( n + 1 ) 2 − n 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 1 n – 1 n + 1 ) Converge absolutamente, ya que a n = 1 n – 1 n + 1 son términos de una serie telescópica. ∑ n = 1 ∞ cos ( n π ) n ∑ n = 1 ∞ cos ( n π ) n 1 / n Los términos no tienden a cero. La serie diverge por la prueba de divergencia. ∑ n = 1 ∞ 1 n sen ( n π 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ sen ( n π / 2 ) sen ( 1 / n ) grandes. Converge por la prueba de series alternadas. No converge en absoluto por comparación de límites con la serie armónica. En cada uno de los siguientes problemas, utilice la estimación | R N | ≤ b N + 1 para hallar un valor de N que garantice que la suma de los primeros términos N de la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n difiera de la suma infinita como máximo en el error dado. Calcule la suma parcial S N para este N . [T] b n = 1 / n , error < 10 −5 [T] b n = 1 / ln ( n ) , n ≥ 2 , error < 10 −1 ln ( N + 1 ) > 10 , N + 1 > e 10 , N ≥ 22026 ; S 22026 = −0,9743 … [T] b n = 1 / n , error < 10 −3 [T] b n = 1 / 2 n , error < 10 −6 2 N + 1 > 10 6 o N + 1 > 6 ln ( 10 ) / ln ( 2 ) = 19,93 . o N ≥ 19 ; S 19 = 0,333333969 … [T] b n = ln ( 1 + 1 n ) , error < 10 −3 [T] b n = 1 / n 2 , error < 10 −6 ( N + 1 ) 2 > 10 6 o N > 999 ; S 1.000 ≈ 0,822466 . En los siguientes ejercicios, indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Si la afirmación es falsa, proporcione un ejemplo en el que lo sea. Si b n ≥ 0 es decreciente y lím n → ∞ b n = 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ ( b 2 n – 1 − b 2 n ) converge absolutamente. Si b n ≥ 0 es decreciente, entonces ∑ n = 1 ∞ ( b 2 n – 1 − b 2 n ) converge absolutamente. Verdadero. b n no necesita tender a cero ya que si c n = b n − lím b n , entonces c 2 n – 1 − c 2 n = b 2 n – 1 − b 2 n . Si b n ≥ 0 y lím n → ∞ b n = 0 entonces ∑ n = 1 ∞ ( 1 2 ( b 3 n – 2 + b 3 n – 1 ) − b 3 n ) converge. Si b n ≥ 0 es decreciente y ∑ n = 1 ∞ ( b 3 n – 2 + b 3 n – 1 − b 3 n ) converge, entonces ∑ n = 1 ∞ b 3 n – 2 converge. Verdadero. b 3 n – 1 − b 3 n ≥ 0 , por lo que la convergencia de ∑ b 3 n – 2 se deduce de la prueba de comparación. Si b n ≥ 0 es decreciente y ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 b n converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces b n no tiende a cero. Supongamos que a n + = a n si a n ≥ 0 y a n − = − a n si a n < 0 . (También, a n + = 0 si a n < 0 y a n − = 0 si a n ≥ 0 . ) Si ∑ n = 1 ∞ a n converge condicionalmente, pero no absolutamente, entonces ni ∑ n = 1 ∞ a n + ni ∑ n = 1 ∞ a n − convergen. Verdadero. Si una de ellas converge, la otro también debe hacerlo, lo que implica una convergencia absoluta. Supongamos que a n es una secuencia de números reales positivos y que ∑ n = 1 ∞ a n converge. Supongamos que b n es una secuencia arbitraria de unos y menos unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n b n converge necesariamente? Supongamos que a n es una secuencia tal que ∑ n = 1 ∞ a n b n converge para cualquier secuencia posible b n de ceros y unos. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente? Sí. Tome b n = 1 si a n ≥ 0 y b n = 0 si a n < 0 . Entonces ∑ n = 1 ∞ a n b n = ∑ n : a n ≥ 0 a n converge. Del mismo modo, se puede mostrar que ∑ n : a n < 0 a n converge. Como ambas series convergen, la serie debe converger absolutamente. Las siguientes series no satisfacen las hipótesis de la prueba de series alternadas, tal y como se indica. En cada caso, indique cuál hipótesis no se satisface. Indique si la serie converge absolutamente. ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 sen 2 n n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 cos 2 n n No disminuye. No converge absolutamente. 1 + 1 2 – 1 3 − 1 4 + 1 5 + 1 6 − 1 7 − 1 8 + ⋯ 1 + 1 2 – 1 3 + 1 4 + 1 5 − 1 6 + 1 7 + 1 8 − 1 9 + ⋯ No es alternada. Puede expresarse como ∑ n = 1 ∞ ( 1 3 n – 2 + 1 3 n – 1 − 1 3 n ) , que diverge en comparación con ∑ 1 3 n – 2 . Demuestre que la serie alternada 1 − 1 2 + 1 2 – 1 4 + 1 3 − 1 6 + 1 4 − 1 8 + ⋯ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple? Supongamos que ∑ a n converge absolutamente. Demuestre que la serie formada por los términos positivos a n también converge. Supongamos que a + n = a n si a n ≥ 0 y a + n = 0 si a n < 0 . Entonces a + n ≤ | a n | para todo n por lo que la secuencia de sumas parciales de a + n es creciente y está delimitada por encima por la secuencia de sumas parciales de | a n | , que converge; por esto, ∑ n = 1 ∞ a + n converge. Demuestre que la serie alternada 2 3 − 3 5 + 4 7 − 5 9 + ⋯ no converge. ¿Qué hipótesis de la prueba de series alternadas no se cumple? La fórmula cos θ = 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto | R N | ≤ b N + 1 para hallar un límite para el error de estimación cos θ por la quinta suma parcial 1 − θ 2 / 2 ! + θ 4 / 4 ! − θ 6 / 6 ! + θ 8 / 8 ! para θ = 1 , θ = π / 6 , y θ = π . Para N = 5 se tiene | R N | b 6 = θ 10 / 10 ! . Cuando θ = 1 , R 5 ≤ 1 / 10 ! ≈ 2,75 × 10 −7 . Cuando θ = π / 6 , R 5 ≤ ( π / 6 ) 10 / 10 ! ≈ 4,26 × 10 −10 . Cuando θ = π , R 5 ≤ π 10 / 10 ! = 0,0258 . La fórmula sen θ = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ se derivará en el próximo capítulo. Utilice el resto | R N | ≤ b N + 1 para hallar un límite para el error de estimación sen θ por la quinta suma parcial θ − θ 3 / 3 ! + θ 5 / 5 ! − θ 7 / 7 ! + θ 9 / 9 ! para θ = 1 , θ = π / 6 , y θ = π . ¿Cuántos términos en cos θ = 1 − θ 2 2 ! + θ 4 4 ! − θ 6 6 ! + ⋯ son necesarios para aproximar cos 1 con un error máximo de 0,00001 ? Supongamos que b n = 1 / ( 2 n – 2 ) ! . Entonces R N ≤ 1 / ( 2 N ) ! < 0,00001 cuando ( 2 N ) ! > 10 5 o N = 5 y 1 − 1 2 ! + 1 4 ! − 1 6 ! + 1 8 ! = 0,540325 … , mientras que cos 1 = 0,5403023 … ¿Cuántos términos en sen θ = θ − θ 3 3 ! + θ 5 5 ! − θ 7 7 ! + ⋯ son necesarios para aproximar sen 1 con un error máximo de 0,00001 ? A veces la serie alternada ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 b n converge a una determinada fracción de una serie absolutamente convergente ∑ n = 1 ∞ b n a una tasa más rápida. Dado que ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 , calcule 12 = 1 − 1 2 2 + 1 3 2 – 1 4 2 + ⋯ . ¿Cuál de las series 6 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 y S ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n 2 ofrece una mejor estimación de π 2 utilizando 1.000 términos? Supongamos que T = ∑ 1 n 2 . Entonces T − S = 1 2 T , así que S = T / 2 . 6 × ∑ n = 1 1.000 1 / n 2 = 3,140638 … ; 12 × ∑ n = 1 1.000 ( –1 ) n – 1 / n 2 = 3,141591 … ; π = 3,141592 … . Las series alternadas son más precisas para 1.000 términos. Las siguientes series alternadas convergen a múltiplos determinados de π . Halle el valor de N que se predice mediante la estimación del resto, de manera que la ené simo suma parcial de la serie se aproxime con precisión al lado izquierdo dentro del error dado. Halle el N mínimo para los que el límite de error se mantiene e indique el valor aproximado deseado en cada caso. Hasta 15 decimales, π = 3,141592653589793 … . [T] π 4 = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 n + 1 , error < 0,0001 [T] π 12 = ∑ k = 0 ∞ ( −3 ) − k 2 k + 1 , error < 0,0001 N = 6 , S N = 0,9068 [T] La serie ∑ n = 0 ∞ sen ( x + π n ) x + π n desempeña un papel importante en el procesamiento de señales. Demuestre que ∑ n = 0 ∞ sen ( x + π n ) x + π n converge siempre que 0 < x < π . ( Pista: utilice la fórmula del seno de una suma de ángulos). [T] Si ∑ n = 1 N ( –1 ) n – 1 1 n → ln 2 , ¿qué es 1 + 1 3 + 1 5 − 1 2 – 1 4 − 1 6 + 1 7 + 1 9 + 1 11 − 1 8 − 1 10 − 1 12 + ⋯ ? ln ( 2 ) . La 3 ené simo suma parcial es la misma que la de la serie armónica alternada. [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n para 0 ≤ x < 1 . Explique por qué ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n diverge cuando x = 0 , 1 . ¿Cómo se comporta la serie para otros x ? [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 sen ( 2 π n x ) n para 0 ≤ x < 1 y comente su comportamiento La serie salta rápidamente cerca de los puntos finales. Para x lejos de los puntos finales, el gráfico tiene el siguiente aspecto π ( 1 / 2 − x ) . [T] Grafique la serie ∑ n = 1 100 cos ( 2 π n x ) n 2 para 0 ≤ x < 1 y describa su gráfico. [T] La serie armónica alternada converge debido a la cancelación entre sus términos. Su suma se conoce porque la cancelación puede describirse de manera explícita. Una serie armónica aleatoria es una de la forma ∑ n = 1 ∞ S n n , donde s n es una secuencia generada aleatoriamente de ± 1 's en la que los valores ± 1 son igualmente probables. Utilice un generador de números aleatorios para producir 1.000 aleatorio ± 1 s y grafique las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N s n n de su secuencia armónica aleatoria para N = 1 a 1.000 . Compare con un gráfico de las primeras 1.000 sumas parciales de la serie armónica. Este es un resultado típico. La curva superior está formada por sumas parciales de las series armónicas. La curva inferior representa sumas parciales de una serie armónica aleatoria. [T] Las estimaciones de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 se pueden acelerar escribiendo sus sumas parciales como ∑ n = 1 N 1 n 2 = ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) + ∑ n = 1 N 1 n 2 ( n + 1 ) y recordando que ∑ n = 1 N 1 n ( n + 1 ) = 1 − 1 N + 1 converge a uno cuando N → ∞ . Compare la estimación de π 2 / 6 utilizando las sumas ∑ n = 1 1.000 1 n 2 con la estimación utilizando 1 + ∑ n = 1 1.000 1 n 2 ( n + 1 ) . [T] La transformada de Euler reescribe S = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n b n como S = ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n 2 − n – 1 ∑ m = 0, 0 n ( n m ) b n − m . Para la serie armónica alternada, toma la forma ln ( 2 ) = ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n – 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n . Calcule las sumas parciales de ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n hasta que se aproximen ln ( 2 ) con una precisión de 0,0001 . ¿Cuántos términos se necesitan? Compare esta respuesta con el número de términos de la serie armónica alternada que son necesarios para estimar ln ( 2 ) . Por la prueba de series alternadas, | S n − S | ≤ b n + 1 , por lo que se necesitan 10 4 términos de la serie armónica alternada para estimar ln ( 2 ) con una precisión de 0,0001 . Las primeras 10 sumas parciales de la serie ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n son (hasta cuatro decimales) 0,5000 , 0,6250 , 0,6667 , 0,6823 , 0,6885 , 0,6911 , 0,6923 , 0,6928 , 0,6930 , 0,6931 y la décima suma parcial está dentro de 0,0001 de ln ( 2 ) = 0,6931 … . [T] En el texto se dijo que una serie convergente condicionalmente se puede reordenar para converger a cualquier número. A continuación, presentamos un hecho algo más sencillo, pero similar. Si a n ≥ 0 es tal que a n → 0 a medida que n → ∞ pero ∑ n = 1 ∞ a n diverge, entonces, dado cualquier número A hay una secuencia s n de ± 1 's tal que ∑ n = 1 ∞ a n s n → A . Muestre esto para A > 0 de la siguiente forma. Defina de manera repetida s n por s n = 1 si S n – 1 = ∑ k = 1 n – 1 a k s k < A y s n = −1 por lo contrario. Explique por qué eventualmente S n ≥ A , y para cualquier m mayor que este n , A − a m ≤ S m ≤ A + a m . Explique por qué esto implica que S n → A a medida que n → ∞ . convergencia absoluta si la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, la serie ∑ n = 1 ∞ a n se dice que converge absolutamente series alternadas una serie de la forma ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n , donde b n ≥ 0 , se denomina serie alternada prueba de series alternadas para una serie alternada de cualquier forma, si b n + 1 ≤ b n para todos los enteros n ≥ 1 como de b n → 0 , entonces una serie alternada converge convergencia condicional si la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge, pero la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge, la serie ∑ n = 1 ∞ a n se dice que converge condicionalmente

Matemáticas


Criterios del cociente y la raíz En esta sección, demostramos las dos últimas pruebas de convergencia de las series: el criterio del cociente y el criterio de la raíz. Estas pruebas son especialmente agradables porque no requieren que encontremos una serie comparable. El criterio del cociente será especialmente útil en la discusión de las series de potencias en el próximo capítulo. A lo largo de este capítulo, hemos visto que ninguna prueba de convergencia funciona para todas las series. Por lo tanto, al final de esta sección discutimos una estrategia para elegir qué prueba de convergencia utilizar para una serie determinada. Criterio del cociente Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n . De nuestra discusión y ejemplos anteriores, sabemos que lím n → ∞ a n = 0 no es una condición suficiente para que la serie converja. No solo necesitamos a n → 0 , sino que necesitamos a n → 0 lo suficientemente rápido. Por ejemplo, considere la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n y la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Sabemos que 1 / n → 0 y 1 / n 2 → 0 . Sin embargo, solo la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 converge. La serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge porque los términos de la secuencia { 1 / n } no se acercan a cero lo suficientemente rápido a medida que n → ∞ . Aquí introducimos el criterio del cociente , que proporciona una forma de medir la rapidez con la que los términos de una serie se acercan a cero. Criterio del cociente Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos distintos de cero. Supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Prueba Supongamos que ∑ n = 1 ∞ a n es una serie con términos distintos de cero. Comenzamos con la prueba de la parte i. En este caso, ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | < 1 . Dado que 0 ≤ ρ < 1 , existe R tal que 0 ≤ ρ < R < 1 . Supongamos que ε = R − ρ > 0 . Por la definición de límite de una secuencia, existe algún número entero N tal que | | a n + 1 a n | − ρ | < ε para todo n ≥ N . Por lo tanto, | a n + 1 a n | < ρ + ε = R para todo n ≥ N y, por lo tanto, | a N + 1 | < R | a N | | a N + 2 | < R | a N + 1 | < R 2 | a N | | a N + 3 | < R | a N + 2 | < R 2 | a N + 1 | < R 3 | a N | | a N + 4 | < R | a N + 3 | < R 2 | a N + 2 | < R 3 | a N + 1 | < R 4 | a N | ⋮ . Dado que R < 1 , la serie geométrica R | a N | + R 2 | a N | + R 3 | a N | + ⋯ converge. Dadas las desigualdades anteriores, podemos aplicar la prueba de comparación y concluir que la serie | a N + 1 | + | a N + 2 | + | a N + 3 | + | a N + 4 | + ⋯ converge. Por lo tanto, ya que ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∑ n = 1 N | a n | + ∑ n = N + 1 ∞ | a n | donde ∑ n = 1 N | a n | es una suma finita y ∑ n = N + 1 ∞ | a n | converge, concluimos que ∑ n = 1 ∞ | a n | converge. Para la parte ii. ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | > 1 . Dado que ρ > 1 , existe R tal que ρ > R > 1 . Supongamos que ε = ρ − R > 0 . Por la definición de límite de una secuencia, existe un número entero N tal que | | a n + 1 a n | − ρ | < ε para todo n ≥ N . Por lo tanto, R = ρ − ε < | a n + 1 a n | para todo n ≥ N , y, por lo tanto, | a N + 1 | > R | a N | | a N + 2 | > R | a N + 1 | > R 2 | a N | | a N + 3 | > R | a N + 2 | > R 2 | a N + 1 | > R 3 | a N | | a N + 4 | > R | a N + 3 | > R 2 | a N + 2 | > R 3 | a N + 1 | > R 4 | a N | . Dado que R > 1 , la serie geométrica R | a N | + R 2 | a N | + R 3 | a N | + ⋯ diverge. Aplicando la prueba de comparación, concluimos que la serie | a N + 1 | + | a N + 2 | + | a N + 3 | + ⋯ diverge, y por lo tanto la serie ∑ n = 1 ∞ | a n | diverge. Para la parte iii. mostramos que la prueba no proporciona ninguna información si ρ = 1 considerando la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p . Para cualquier número real p , ρ = lím n → ∞ 1 / ( n + 1 ) p 1 / n p = lím n → ∞ n p ( n + 1 ) p = 1 . Sin embargo, sabemos que si p ≤ 1 , la serie p ∑ n = 1 ∞ 1 / n p diverge, mientras que ∑ n = 1 ∞ 1 / n p converge si p > 1 . □ El criterio del cociente es particularmente útil para las series cuyos términos contienen factoriales o exponenciales, donde el cociente de los términos simplifica la expresión. El criterio del cociente es conveniente porque no requiere que encontremos una serie comparativa. El inconveniente es que la prueba a veces no proporciona ninguna información sobre la convergencia. Utilización del criterio del cociente Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio del cociente para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ 2 n n ! ∑ n = 1 ∞ n n n ! ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! A partir del criterio del cociente, podemos ver que ρ = lím n → ∞ 2 n + 1 / ( n + 1 ) ! 2 n / n ! = lím n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! 2 n . Dado que ( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) . n ! , ρ = lím n → ∞ 2 n + 1 = 0 . Dado que ρ < 1 , la serie converge. Podemos ver que ρ = lím n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 / ( n + 1 ) ! n n / n ! = lím n → ∞ ( n + 1 ) n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! n n = lím n → ∞ ( n + 1 n ) n = lím n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e . Dado que ρ > 1 , la serie diverge. Dado que | ( –1 ) n + 1 ( ( n + 1 ) ! ) 2 / ( 2 ( n + 1 ) ) ! ( –1 ) n ( n ! ) 2 / ( 2 n ) ! | = ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) ! ( 2 n + 2 ) ! . ( 2 n ) ! n ! n ! = ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) vemos que ρ = lím n → ∞ ( n + 1 ) ( n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) = 1 4 . Dado que ρ < 1 , la serie converge. Utilice el criterio del cociente para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ n 3 3 n converge o diverge. La serie converge. Pista Evalúe lím n → ∞ ( n + 1 ) 3 3 n + 1 . 3 n n 3 . Criterio de la raíz El enfoque del criterio de la raíz es similar al del criterio del cociente. Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n tal que lím n → ∞ | a n | n = ρ para algún número real ρ . Entonces para N suficientemente grande, | a N | ≈ ρ N . Por lo tanto, podemos aproximar ∑ n = N ∞ | a n | escribiendo | a N | + | a N + 1 | + | a N + 2 | + ⋯ ≈ ρ N + ρ N + 1 + ρ N + 2 + ⋯ . La expresión del lado derecho es una serie geométrica. Al igual que en el criterio del cociente, la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente si 0 ≤ ρ < 1 y la serie diverge si ρ ≥ 1 . Si ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Por ejemplo, para cualquier serie p , ∑ n = 1 ∞ 1 / n p , vemos que ρ = lím n → ∞ | 1 n p | n = lím n → ∞ 1 n p / n . Para evaluar este límite, utilizamos la función del logaritmo natural. Al hacerlo, vemos que ln ρ = ln ( lím n → ∞ 1 n p / n ) = lím n → ∞ ln ( 1 n ) p / n = lím n → ∞ p n . ln ( 1 n ) = lím n → ∞ p ln ( 1 / n ) n . Utilizando la regla de L'Hôpital, se deduce que ln ρ = 0 , y por lo tanto ρ = 1 para todo p . Sin embargo, sabemos que la serie p solo converge si p > 1 y diverge si p < 1 . Criterio de la raíz Considere la serie ∑ n = 1 ∞ a n . Supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos incluyen exponenciales. En particular, para una serie cuyos términos a n satisfacen | a n | = b n n , entonces | a n | n = b n y solo tenemos que evaluar lím n → ∞ b n . Uso del criterio de la raíz Para cada una de las siguientes series, utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie converge o diverge. ∑ n = 1 ∞ ( n 2 + 3 n ) n ( 4 n 2 + 5 ) n ∑ n = 1 ∞ n n ( ln ( n ) ) n Para aplicar el criterio de la raíz, calculamos ρ = lím n → ∞ ( n 2 + 3 n ) n / ( 4 n 2 + 5 ) n n = lím n → ∞ n 2 + 3 n 4 n 2 + 5 = 1 4 . Dado que ρ < 1 , la serie converge absolutamente. Tenemos ρ = lím n → ∞ n n / ( ln n ) n n = lím n → ∞ n ln n = ∞ por la regla de L'Hôpital . Dado que ρ = ∞ , la serie diverge. Utilice el criterio de la raíz para determinar si la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n n converge o diverge. La serie converge. Pista Evalúe lím n → ∞ 1 / n n n utilizando la regla de L'Hôpital. Elegir una prueba de convergencia En este punto, tenemos una larga lista de pruebas de convergencia. Sin embargo, no todas las pruebas pueden utilizarse para todas las series. Ante una serie, debemos determinar qué prueba es mejor utilizar. He aquí una estrategia para encontrar la mejor prueba a aplicar. Estrategia para la resolución de problemas: Cómo elegir una prueba de convergencia para una serie Considere una serie ∑ n = 1 ∞ a n . En los siguientes pasos, esbozamos una estrategia para determinar si la serie converge. ¿ ∑ n = 1 ∞ a n es una serie conocida? Por ejemplo, ¿es la serie armónica (que diverge) o la serie armónica alternada (que converge)? ¿Es una serie p o una serie geométrica? Si es así, verifique la potencia p o el cociente r para determinar si la serie converge. ¿Es una serie alternada? ¿Nos interesa la convergencia absoluta o solo la convergencia? Si solo nos interesa saber si la serie converge, aplique la prueba de series alternadas. Si estamos interesados en la convergencia absoluta, procedemos al paso 3 , considerando la serie de valores absolutos ∑ n = 1 ∞ | a n | . ¿Es la serie similar a una serie p o a una serie geométrica? Si es así, intente la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites. ¿Los términos de la serie contienen un factorial o una potencia? Si los términos son potencias tales que a n = b n n , intente primero el criterio del raíz. Si no es así, intente primero el criterio del cociente. Utilice la prueba de divergencia. Si esta prueba no proporciona ninguna información, intente la prueba de la integral. Visite este sitio web para obtener más información sobre la comprobación de la convergencia de las series, además de información general sobre secuencias y series. Uso de las pruebas de convergencia Para cada una de las siguientes series, determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué. A continuación, determine si la serie converge o diverge. Si la serie es una serie alternada, determine si converge absolutamente, converge condicionalmente o diverge. ∑ n = 1 ∞ n 2 + 2 n n 3 + 3 n 2 + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( 3 n + 1 ) n ! ∑ n = 1 ∞ e n n 3 ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) n Paso 1. La serie no es una serie p ni una serie geométrica. Paso 2. La serie no es alternada. Paso 3. Para valores grandes de n , aproximamos la serie mediante la expresión n 2 + 2 n n 3 + 3 n 2 + 1 ≈ n 2 n 3 = 1 n . Por lo tanto, parece razonable aplicar la prueba de comparación o la prueba de comparación de límites utilizando la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Utilizando la prueba de comparación de límites, vemos que lím n → ∞ ( n 2 + 2 n ) / ( n 3 + 3 n 2 + 1 ) 1 / n = lím n → ∞ n 3 + 2 n 2 n 3 + 3 n 2 + 1 = 1 . Dado que la serie ∑ n = 1 ∞ 1 / n diverge, esta serie también diverge. Paso 1. La serie no es una serie conocida. Paso 2. La serie es alternada. Como nos interesa la convergencia absoluta, considere la serie ∑ n = 1 ∞ 3 n ( n + 1 ) ! . Paso 3. La serie no es similar a una serie p ni a una serie geométrica. Paso 4. Como cada término contiene un factorial, aplique el criterio del cociente. Vemos que lím n → ∞ ( 3 ( n + 1 ) ) / ( n + 1 ) ! ( 3 n + 1 ) / n ! = lím n → ∞ 3 n + 3 ( n + 1 ) ! . n ! 3 n + 1 = lím n → ∞ 3 n + 3 ( n + 1 ) ( 3 n + 1 ) = 0 . Por lo tanto, esta serie converge, y concluimos que la serie original converge absolutamente, y por lo tanto converge. Paso 1. Esta serie no es una serie conocida. Paso 2. No se trata de una serie alternada. Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie. Paso 4. No hay ningún factorial. Hay una potencia, pero no es una situación ideal para el criterio del cociente. Paso 5. Para aplicar la prueba de divergencia, calculamos que lím n → ∞ e n n 3 = ∞ . Por lo tanto, por la prueba de divergencia, la serie diverge. Paso 1. Esta serie no es una serie conocida. Paso 2. No se trata de una serie alternada. Paso 3. No hay ninguna serie obvia con la que comparar esta serie. Paso 4. Como cada término es una potencia de n , podemos aplicar el criterio del cociente. Dado que lím n → ∞ ( 3 n + 1 ) n n = lím n → ∞ 3 n + 1 = 0 , por el criterio del cociente, concluimos que la serie converge. Para la serie ∑ n = 1 ∞ 2 n 3 n + n , determine qué prueba de convergencia es la mejor para utilizar y explique por qué. La prueba de comparación porque 2 n / ( 3 n + n ) < 2 n / 3 n para todos los enteros positivos n . También podría utilizarse la prueba de comparación de límites. Pista La serie es similar a la serie geométrica ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n . En la , resumimos las pruebas de convergencia y cuándo puede aplicarse cada una de ellas. Observe que mientras la prueba de comparación, la prueba de comparación de límites y la prueba de la integral requieren que la serie ∑ n = 1 ∞ a n tenga términos no negativos, si ∑ n = 1 ∞ a n tiene términos negativos, estas pruebas pueden aplicarse a ∑ n = 1 ∞ | a n | para comprobar la convergencia absoluta. Resumen de las pruebas de convergencia Serie o prueba Conclusiones Comentarios Prueba de divergencia Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n , evalúe lím n → ∞ a n . Si lím n → ∞ a n = 0 , la prueba no es concluyente. Esta prueba no puede demostrar la convergencia de una serie. Si los valores de lím n → ∞ a n ≠ 0 , la serie diverge. Serie geométrica ∑ n = 1 ∞ a r n – 1 Si | r | < 1 , la serie converge a a / ( 1 − r ) . Se puede cambiar el índice de cualquier serie geométrica para escribirla en la forma a + a r + a r 2 + ⋯ , donde a es el término inicial y r es el cociente. Si los valores de | r | ≥ 1 , la serie diverge. Serie p ∑ n = 1 ∞ 1 n p Si p > 1 , la serie converge. Para p = 1 , tenemos la serie armónica ∑ n = 1 ∞ 1 / n . Si p ≤ 1 , la serie diverge. Prueba de comparación Para ∑ n = 1 ∞ a n con términos no negativos, compare con una serie conocida ∑ n = 1 ∞ b n . Si los valores de a n ≤ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie p . A veces puede ser difícil encontrar una serie adecuada. Si los valores de a n ≥ b n para todo n ≥ N y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba de comparación de límites Para ∑ n = 1 ∞ a n con términos positivos, compare con una serie ∑ n = 1 ∞ b n evaluando L = lím n → ∞ a n b n . Si los valores de L es un número real y L ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n y ∑ n = 1 ∞ b n ambas convergen o ambas divergen. Normalmente se utiliza para una serie similar a una geométrica o una serie p . A menudo es más fácil de aplicar que la prueba de comparación. Si los valores de L = 0 y ∑ n = 1 ∞ b n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. Si los valores de L = ∞ y ∑ n = 1 ∞ b n diverge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Prueba de la integral Si existe una función positiva, continua y decreciente f tal que a n = f ( n ) para todo n ≥ N , evalúe ∫ N ∞ f ( x ) d x . ∫ N ∞ f ( x ) d x y ∑ n = 1 ∞ a n ambas convergen o ambas divergen. Limitado a aquellas series para las que la función correspondiente f puede integrarse fácilmente. Series alternadas ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 b n o ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n b n Si b n + 1 ≤ b n para todo n ≥ 1 como de b n → 0 , entonces la serie converge. Solo se aplica a las series alternadas. Criterio del cociente Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos distintos de cero, supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente. A menudo se utiliza para series que implican factoriales o exponenciales. Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no es concluyente. Criterio de la raíz Para cualquier serie ∑ n = 1 ∞ a n , supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si los valores de 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente. A menudo se utiliza para series en las que | a n | = b n n . Si los valores de ρ > 1 o ρ = ∞ , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no es concluyente. Serie que converge a π y 1 / π Existen decenas de series que convergen a π o una expresión algebraica que contenga π . Aquí vemos varios ejemplos y comparamos sus órdenes de convergencia. Por orden de convergencia se entiende el número de términos necesarios para que una suma parcial se sitúe dentro de una determinada cantidad del valor real. Las representaciones en serie de π en los dos primeros ejemplos puede explicarse utilizando las series de Maclaurin, que se analizan en el siguiente capítulo. El tercer ejemplo se basa en material que va más allá del alcance de este texto. La serie π = 4 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 2 n – 1 = 4 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − ⋯ fue descubierta por Gregory y Leibniz a finales de 1.600 II . Este resultado se desprende de la serie de Maclaurin para f ( x ) = tan −1 x . Hablaremos de esta serie en el próximo capítulo. Demuestre que esta serie converge. Evalúe las sumas parciales S n para n = 10 , 20 , 50 , 100 . Utilice la estimación del resto de las series alternadas para obtener un límite en el error R n . ¿Cuál es el valor más pequeño de N que garantiza | R N | < 0,01 ? Evalúe S N . La serie π = 6 ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 2 4 n + 1 ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) = 6 ( 1 2 + 1 2 . 3 ( 1 2 ) 3 + 1 . 3 2 . 4 . 5 . ( 1 2 ) 5 + 1 . 3 . 5 2 . 4 . 6 . 7 ( 1 2 ) 7 + ⋯ ) se ha atribuido a Newton a finales del siglo XV II . La prueba de este resultado utiliza la serie de Maclaurin para f ( x ) = sen −1 x . Demuestra que la serie converge. Evalúe las sumas parciales S n para n = 5 , 10 , 20 . Compare S n a π para n = 5 , 10 , 20 y discuta el número de decimales correctos. La serie 1 π = 8 9801 ∑ n = 0 ∞ ( 4 n ) ! ( 1.103 + 26390 n ) ( n ! ) 4 396 4 n fue descubierta por Ramanujan a principios del siglo 1900 X . William Gosper, Jr., utilizó esta serie para calcular π con una exactitud de más de 17 millones de dígitos a mediados de 19 80 . En ese momento, eso era un récord mundial. Desde entonces, esta serie y otras de Ramanujan han llevado a los matemáticos a encontrar muchas otras representaciones en serie para π y 1 / π . Demuestre que esta serie converge. Evalúe el primer término de esta serie. Compare este número con el valor de π en una herramienta de cálculo. ¿Con cuántos decimales coinciden estos dos números? ¿Y si sumamos los dos primeros términos de la serie? Investigue sobre la vida de Srinivasa Ramanujan ( 1887 − 1920 ) y escriba un breve resumen. Ramanujan es una de las historias más fascinantes de la historia de las matemáticas. Fue básicamente autodidacta, sin educación formal en matemáticas, y sin embargo contribuyó de forma muy original a muchas áreas avanzadas de las matemáticas. Conceptos clave Para el criterio del cociente, consideramos ρ = lím n → ∞ | a n + 1 a n | . Si ρ < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. Esta prueba es útil para las series cuyos términos implican factoriales. Para el criterio de la raíz, consideramos ρ = lím n → ∞ | a n | n . Si ρ < 1 , la serie ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente. Si los valores de ρ > 1 , la serie diverge. Si los valores de ρ = 1 , la prueba no proporciona ninguna información. El criterio de la raíz es útil para las series cuyos términos implican potencias. Para una serie que es similar a una serie geométrica o una serie p, considere una de las pruebas de comparación. Utilice el criterio del cociente para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, donde a n en los siguientes problemas. Indique si el criterio del cociente no es concluyente. a n = 1 / n ! a n + 1 / a n → 0 . Converge. a n = 10 n / n ! a n = n 2 / 2 n a n + 1 a n = 1 2 ( n + 1 n ) 2 → 1 / 2 < 1 . Converge. a n = n 10 / 2 n ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! a n + 1 a n → 1 / 27 < 1 . Converge. ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n a n + 1 a n → 4 / e 2 < 1 . Converge. ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( 2 n ) n ∑ n = 1 ∞ n ! ( n / e ) n a n + 1 a n → 1 . El criterio del cociente no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! ( n / e ) 2 n ∑ n = 1 ∞ ( 2 n n ! ) 2 ( 2 n ) 2 n a n a n + 1 → 1 / e 2 . Converge. Utilice el criterio de la raíz para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, donde a n es el siguiente. a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k a k = ( 2 k 2 – 1 k 2 + 3 ) k ( a k ) 1 / k → 2 > 1 . Diverge. a n = ( ln n ) 2 n n n a n = n / 2 n ( a n ) 1 / n → 1 / 2 < 1 . Converge. a n = n / e n a k = k e e k ( a k ) 1 / k → 1 / e < 1 . Converge. a k = π k k π a n = ( 1 e + 1 n ) n a n 1 / n = 1 e + 1 n → 1 e < 1 . Converge. a k = 1 ( 1 + ln k ) k a n = ( ln ( 1 + ln n ) ) n ( ln n ) n a n 1 / n = ( ln ( 1 + ln n ) ) ( ln n ) → 0 por la regla de L'Hôpital. Converge. En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente o el criterio de la raíz, según corresponda, para determinar si la serie ∑ k = 1 ∞ a k con términos dados a k converge, o bien indique si la prueba no es concluyente. a k = k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) grandes. a k = 2 . 4 . 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! a k + 1 a k = 1 2 k + 1 → 0 . Converge por el criterio del cociente. a k = 1 . 4 . 7 ⋯ ( 3 k − 2 ) 3 k k ! a n = ( 1 − 1 n ) n 2 ( a n ) 1 / n → 1 / e . Converge por el criterio de la raíz. a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 2 k ) k ( Pista: Compare a k 1 / k a ∫ k 2 k d t t . ) grandes. a k = ( 1 k + 1 + 1 k + 2 + ⋯ + 1 3 k ) k a k 1 / k → ln ( 3 ) > 1 . Diverge por el criterio de la raíz. a n = ( n 1 / n – 1 ) n Utilice el criterio del cociente para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge, o bien indique si el criterio del cociente no es concluyente. ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 2 n 3 a n + 1 a n = 3 2 n + 1 2 3 n 2 + 3 n + 1 → 0 . Converge. ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n n n ! Utilice el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites para determinar si ∑ n = 1 ∞ a n converge. a n = 1 / x n n donde x n + 1 = 1 2 x n + 1 x n , x 1 = 1 ( Pista: Calcule el límite de { x n } . ) Converge por el criterio de la raíz y la prueba de comparación de límites ya que x n → 2 . En los siguientes ejercicios, utilice una prueba adecuada para determinar si la serie converge. ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) n 3 + n 2 + n + 1 ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n + 1 ( n + 1 ) n 3 + 3 n 2 + 3 n + 1 Converge absolutamente por comparación de límites con la serie p, p = 2 . ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 n 3 + ( 1,1 ) n ∑ n = 1 ∞ ( n – 1 ) n ( n + 1 ) n lím n → ∞ a n = 1 / e 2 ≠ 0 . La serie diverge. a n = ( 1 + 1 n 2 ) n ( Pista: ( 1 + 1 n 2 ) n 2 ≈ e . ) grandes. a k = 1 / 2 sen 2 k Los términos no tienden a cero: a k ≥ 1 / 2 , dado que sen 2 x ≤ 1 . a k = 2 − sen ( 1 / k ) grandes. a n = 1 / ( n + 2 n ) donde ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! a n = 2 ( n + 1 ) ( n + 2 ) , que converge por comparación con la serie p para p = 2 . a k = 1 / ( 2 k k ) grandes. a k = 2 k / ( 3 k k ) grandes. a k = 2 k 1 . 2 ⋯ k ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) ⋯ 3 k ≤ ( 2 / 3 ) k converge por comparación con la serie geométrica. a k = ( k k + ln k ) k ( Pista: a k = ( 1 + ln k k ) − ( k / ln k ) ln k ≈ e − ln k . ) grandes. a k = ( k k + ln k ) 2 k ( Pista: a k = ( 1 + ln k k ) − ( k / ln k ) ln k 2 . ) grandes. a k ≈ e − ln k 2 = 1 / k 2 . La serie converge por comparación de límites con la serie p, p = 2 . Las siguientes series convergen por el criterio del cociente. Utilice la suma por partes, ∑ k = 1 n a k ( b k + 1 − b k ) = [ a n + 1 b n + 1 − a 1 b 1 ] − ∑ k = 1 n b k + 1 ( a k + 1 − a k ) , para calcular la suma de la serie dada. ∑ k = 1 ∞ k 2 k ( Pista: Tome a k = k y b k = 2 1 − k . ) grandes. ∑ k = 1 ∞ k c k , donde c > 1 ( Pista: Tome a k = k y b k = c 1 − k / ( c − 1 ) . ) Si b k = c 1 − k / ( c − 1 ) y a k = k , entonces b k + 1 − b k = − c − k y ∑ n = 1 ∞ k c k = a 1 b 1 + 1 c − 1 ∑ k = 1 ∞ c − k = c ( c − 1 ) 2 . ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 2 n 6 + 4 + 1 = 11 El k −ésimo término de cada una de las siguientes series tiene un factor x k . Calcule el rango de x para los que el criterio del cociente implica que la serie converge. ∑ k = 1 ∞ x k k 2 ∑ k = 1 ∞ x 2 k k 2 | x | ≤ 1 ∑ k = 1 ∞ x 2 k 3 k ∑ k = 1 ∞ x k k ! | x | < ∞ ¿Existe un número p tal que ∑ n = 1 ∞ 2 n n p converja? Supongamos que 0 < r < 1 . ¿Para qué números reales p ∑ n = 1 ∞ n p r n converge? Todos los números reales p mediante el criterio del cociente. Supongamos que lím n → ∞ | a n + 1 a n | = p . ¿Para cuáles valores de p debe ∑ n = 1 ∞ 2 n a n converger? Supongamos que lím n → ∞ | a n + 1 a n | = p . ¿Para cuáles valores de r > 0 se garantiza la convergencia de ∑ n = 1 ∞ r n a n ? r < 1 / p Supongamos que | a n + 1 a n | ≤ ( n + 1 ) p para todo n = 1 , 2 ,… donde p es un número real fijo. ¿Para qué valores de p se garantiza la convergencia de ∑ n = 1 ∞ n ! a n ? ¿Para qué valores de r > 0 , si es que los hay, ∑ n = 1 ∞ r n converge? ( Pista: ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ k = 1 ∞ ∑ n = k 2 ( k + 1 ) 2 – 1 a n . ) grandes. 0 < r < 1 . Observe que los criterios del cociente y la raíz no son concluyentes. Utilizando la pista, hay 2 k términos r n para k 2 ≤ n < ( k + 1 ) 2 , y para r < 1 cada término es de al menos r k . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ r n = ∑ k = 1 ∞ ∑ n = k 2 ( k + 1 ) 2 – 1 r n ≥ ∑ k = 1 ∞ 2 k r k , que converge mediante el criterio del cociente para r < 1 . Para r ≥ 1 la serie diverge por la prueba de divergencia. Supongamos que | a n + 2 a n | ≤ r < 1 para todo n . ¿Puede concluir que ∑ n = 1 ∞ a n converge? Supongamos que a n = 2 − [ n / 2 ] donde [ x ] es el mayor número entero menor o igual a x . Determine si ∑ n = 1 ∞ a n converge y justifique su respuesta. Se tiene a 1 = 1 , a 2 = a 3 = 1 / 2 ,… a 2 n = a 2 n + 1 = 1 / 2 n . El criterio del cociente no aplica porque a n + 1 / a n = 1 si n es par. Sin embargo, a n + 2 / a n = 1 / 2 , por lo que la serie converge según el ejercicio anterior. Por supuesto, la serie es solo una serie geométrica duplicada. Los siguientes ejercicios avanzados utilizan un criterio del cociente generalizado para determinar la convergencia de algunas series que surgen en aplicaciones particulares cuando las pruebas de este capítulo, incluso los criterios del cociente y la raíz, no son lo suficientemente convincentes para determinar su convergencia. La prueba establece que si lím n → ∞ a 2 n a n < 1 / 2 , entonces ∑ a n converge, mientras que si lím n → ∞ a 2 n + 1 a n > 1 / 2 , entonces ∑ a n diverge. Supongamos que a n = 1 4 3 6 5 8 ⋯ 2 n – 1 2 n + 2 = 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 n – 1 ) 2 n ( n + 1 ) ! . Explique por qué el criterio del cociente no puede determinar la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n . Utilice el hecho de que 1 − 1 / ( 4 k ) está aumentando k para estimar lím n → ∞ a 2 n a n . Supongamos que a n = 1 1 + x 2 2 + x ⋯ n n + x 1 n = ( n – 1 ) ! ( 1 + x ) ( 2 + x ) ⋯ ( n + x ) . Demuestre que a 2 n / a n ≤ e – x / 2 / 2 . ¿Para cuál x > 0 el criterio del cociente generalizado implica la convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n ? ( Pista: Escriba 2 a 2 n / a n como producto de n factores cada vez más pequeños que 1 / ( 1 + x / ( 2 n ) ) . ) grandes. a 2 n / a n = 1 2 . n + 1 n + 1 + x n + 2 n + 2 + x ⋯ 2 n 2 n + x . La inversa del k −ésimo factor es ( n + k + x ) / ( n + k ) > 1 + x / ( 2 n ) para que el producto sea menor que ( 1 + x / ( 2 n ) ) − n ≈ e – x / 2 . Por lo tanto, para x > 0 , a 2 n a n ≤ 1 2 e – x / 2 . La serie converge para x > 0 . Supongamos que a n = n ln n ( ln n ) n . Demuestre que a 2 n a n → 0 a medida que n → ∞ . Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Si los valores de lím n → ∞ a n = 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. falso Si los valores de lím n → ∞ a n ≠ 0 , entonces ∑ n = 1 ∞ a n diverge. Si los valores de ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, entonces ∑ n = 1 ∞ a n converge. verdadero Si los valores de ∑ n = 1 ∞ 2 n a n converge, entonces ∑ n = 1 ∞ ( −2 ) n a n converge. ¿Es la secuencia delimitada, monótona y convergente o divergente? Si es convergente, calcule el límite. a n n = 3 + n 2 1 − n no delimitada, no monótona, divergente a n = ln ( 1 n ) grandes. a n = ln ( n + 1 ) n + 1 delimitada, monótona, convergente, 0 a n = 2 n + 1 5 n a n = ln ( cos n ) n no delimitada, no monótona, divergente ¿La serie es convergente o divergente? ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 5 n + 4 ∑ n = 1 ∞ ln ( n + 1 n ) diverge ∑ n = 1 ∞ 2 n n 4 ∑ n = 1 ∞ e n n ! converge ∑ n = 1 ∞ n − ( n + 1 / n ) ¿La serie es convergente o divergente? Si es convergente, ¿es absolutamente convergente? ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n converge, pero no absolutamente ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! 3 n ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n n ! n n converge absolutamente ∑ n = 1 ∞ sen ( n π 2 ) grandes. ∑ n = 1 ∞ cos ( π n ) e − n converge absolutamente Evalúe ∑ n = 1 ∞ 2 n + 4 7 n ∑ n = 1 ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) grandes. 1 2 Una leyenda de la India cuenta que un matemático inventó el ajedrez para un rey. El rey disfrutó tanto del juego que permitió al matemático exigir cualquier pago. El matemático pidió un grano de arroz para la primera casilla del tablero, dos granos de arroz para la segunda casilla del tablero, cuatro granos de arroz para la tercera casilla del tablero, y así sucesivamente. Halle una expresión exacta para el pago total (en granos de arroz) solicitado por el matemático. Suponiendo que haya 30,000 granos de arroz en 1 libra, y 2,000 libras en 1 tonelada, ¿cuántas toneladas de arroz intentó recibir el matemático? Los siguientes problemas consideran un modelo de población simple de la mosca doméstica, que puede ser exhibido mediante la fórmula recursiva x n + 1 = b x n , donde x n es la población de moscas domésticas en la generación n , y b es el número promedio de crías por mosca doméstica que sobreviven a la siguiente generación. Supongamos una población inicial x 0 . Halle lím n → ∞ x n si b > 1 , b < 1 , y b = 1 . ∞ , 0 , x 0 Halle una expresión para S n = ∑ i = 0 n x i en términos de b y x 0 . ¿Qué representa físicamente? Si los valores de b = 3 4 y x 0 = 100 , calcule S 10 y lím n → ∞ S n S 10 ≈ 383 , lím n → ∞ S n = 400 ¿Para qué valores de b la serie converge y diverge? ¿A qué converge la serie? criterio del cociente para una serie ∑ n = 1 ∞ a n con términos distintos de cero, supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n + 1 / a n | ; si 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente; si ρ > 1 , la serie diverge; si ρ = 1 , la prueba no es concluyente criterio de la raíz para una serie ∑ n = 1 ∞ a n , supongamos que ρ = lím n → ∞ | a n | n ; si 0 ≤ ρ < 1 , la serie converge absolutamente; si ρ > 1 , la serie diverge; si ρ = 1 , la prueba no es concluyente

Matemáticas


Introducción Si usted gana la lotería, ¿obtiene más dinero si acepta un pago único o si acepta pagos fijos a lo largo del tiempo? (créditos: modificación del trabajo de Robert Huffstutter, Flickr). Cuando se gana la lotería, a veces se tiene la opción de recibir las ganancias en un solo pago o de recibir pagos más pequeños en intervalos de tiempo fijos. Por ejemplo, puede tener la opción de recibir 20 millones de dólares hoy o recibir 1,5 millones de dólares cada año durante los próximos 20 años. ¿Cuál es la mejor oferta? Ciertamente, 1,5 millones de dólares en 20 años equivalen a 30 millones de dólares. Sin embargo, recibir los 20 millones de dólares hoy le permitiría invertir el dinero. Por otro lado, ¿qué pasaría si se le garantizara recibir 1 millón de dólares cada año de forma indefinida (extendiéndose a sus herederos) o recibir 20 millones de dólares hoy mismo? ¿Cuál sería la mejor oferta? Para responder estas preguntas, es necesario saber cómo utilizar las series infinitas para calcular el valor de los pagos periódicos a lo largo del tiempo en términos de dólares actuales (vea ). Una serie infinita de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n se conoce como una serie de potencias. Como los términos contienen la variable x, las series de potencias pueden utilizarse para definir funciones. Pueden utilizarse para representar funciones dadas, pero también son importantes porque nos permiten escribir funciones que no pueden expresarse de otra manera que como "polinomios infinitos" Además, las series de potencias se pueden diferenciar e integrar fácilmente, por lo que son útiles para resolver ecuaciones diferenciales e integrar funciones complicadas. Una serie infinita también se puede truncar, dando como resultado un polinomio finito que podemos utilizar para aproximar valores funcionales. Las series de potencias tienen aplicaciones en una variedad de campos, como la física, la química, la biología y la economía. Como veremos en este capítulo, la representación de funciones mediante series de potencias nos permite resolver problemas matemáticos que no se pueden resolver con otras técnicas.

Matemáticas


Series y funciones de potencia Una serie de potencias es un tipo de serie con términos que incluyen una variable. Más concretamente, si la variable es x , entonces todos los términos de la serie implican potencias de x . En consecuencia, una serie de potencias puede considerarse como un polinomio infinito. Las series de potencias se utilizan para representar funciones comunes y también para definir nuevas funciones. En esta sección definimos las series de potencias y mostramos cómo determinar cuándo una serie de potencias converge y cuándo diverge. También mostramos cómo representar ciertas funciones utilizando series de potencias. Forma de una serie de potencia Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ , donde x es una variable y los coeficientes c n son constantes, se conoce como una serie de potencias . La serie 1 + x + x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n es un ejemplo de serie de potencias. Dado que esta es una serie geométrica con cociente r = x , sabemos que converge si | x | < 1 y diverge si | x | ≥ 1 . Definición Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = 0 . Una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = a . Para precisar esta definición, estipulamos que x 0 = 1 y ( x – a ) 0 = 1 incluso cuando x = 0 y x = a , respectivamente. La serie ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ y ∑ n = 0 ∞ n ! x n = 1 + x + 2 ! x 2 + 3 ! x 3 + ⋯ son ambas series de potencias centradas en x = 0 . La serie ∑ n = 0 ∞ ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n = 1 + x − 2 2 . 3 + ( x − 2 ) 2 3 . 3 2 + ( x − 2 ) 3 4 . 3 3 + ⋯ es una serie de potencias centrada en x = 2 . Convergencia de una serie de potencias Como los términos de una serie de potencias implican una variable x , la serie puede converger para ciertos valores de x y divergir para otros valores de x . Para una serie de potencias centrada en x = a , el valor de la serie en x = a está dado por c 0 . Por lo tanto, una serie de potencias siempre converge en su centro. Algunas series de potencias convergen solo en ese valor de x . Sin embargo, la mayoría de las series de potencias convergen para más de un valor de x . En ese caso, la serie de potencias converge para todos los números reales x o converge para todo x en un intervalo finito. Por ejemplo, la serie geométrica ∑ n = 0 ∞ x n converge para todo x en el intervalo ( –1 , 1 ) , pero diverge para todo x fuera de ese intervalo. Ahora resumimos estas tres posibilidades para una serie de potencias general. Convergencia de una serie de potencias Consideremos la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n . La serie satisface exactamente una de las siguientes propiedades: La serie converge en x = a y diverge para todo x ≠ a . La serie converge para todos los números reales x . Existe un número real R > 0 tal que la serie converge si | x – a | < R y diverge si | x – a | > R . En los valores x donde | x – a | = R , la serie puede converger o divergir. Prueba Supongamos que la serie de potencias está centrada en a = 0 . (Para una serie centrada en un valor de a distinto de cero, el resultado se obtiene suponiendo que y = x – a y considerando la serie ∑ n = 1 ∞ c n y n . ) Primero debemos demostrar el siguiente hecho: Si existe un número real d ≠ 0 tal que ∑ n = 0 ∞ c n d n converge, entonces la serie ∑ n = 0 ∞ c n x n converge absolutamente para todo x tal que | x | < | d | . Dado que ∑ n = 0 ∞ c n d n converge, el enésimo término c n d n → 0 a medida que n → ∞ . Por lo tanto, existe un número entero N tal que | c n d n | ≤ 1 para todo n ≥ N . Escribiendo | c n x n | = | c n d n | | x d | n , concluimos que, para todo n ≥ N , | c n x n | ≤ | x d | n . La serie ∑ n = N ∞ | x d | n es una serie geométrica que converge si | x d | < 1 . Por lo tanto, mediante la prueba de comparación, concluimos que ∑ n = N ∞ c n x n también converge para | x | < | d | . Como podemos añadir un número finito de términos a una serie convergente, concluimos que ∑ n = 0 ∞ c n x n converge para | x | < | d | . Con este resultado, ahora podemos demostrar el teorema. Consideremos la serie ∑ n = 0 ∞ a n x n y supongamos que S es el conjunto de números reales para los que converge la serie. Supongamos que el conjunto S = { 0 } . Entonces la serie entra en el caso i. Supongamos que el conjunto S es el conjunto de todos los números reales. Entonces la serie entra en el caso ii. Supongamos que S ≠ { 0 } y S no es el conjunto de los números reales. Entonces existe un número real x * ≠ 0 tal que la serie no converge. Por lo tanto, la serie no puede converger para cualquier x tal que | x | > | x * | . Por tanto, el conjunto S debe ser un conjunto acotado, lo que significa que debe tener un límite superior mínimo. (Este hecho se desprende de la propiedad del límite superior mínimo para los números reales, que está más allá del alcance de este texto y se trata en los cursos de análisis real). Llamemos a ese límite superior más pequeño R . Dado que S ≠ { 0 } , el número R > 0 . Por lo tanto, la serie converge para todo x tal que | x | < R , y la serie entra en el caso iii. □ Si una serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n entra en el caso iii. de , entonces la serie converge para todo x tal que | x – a | < R para algunos R > 0 , y diverge para todo x tal que | x – a | > R . La serie puede converger o divergir en los valores x donde | x – a | = R . El conjunto de valores x para los que la serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n converge se conoce como el intervalo de convergencia . Dado que la serie diverge para todos los valores x donde | x – a | > R , la longitud del intervalo es 2 R , y por lo tanto, el radio del intervalo es R . El valor R se llama radio de convergencia . Por ejemplo, dado que la serie ∑ n = 0 ∞ x n converge para todos los valores x en el intervalo ( –1 , 1 ) y diverge para todos los valores x tales que | x | ≥ 1 , el intervalo de convergencia de esta serie es ( –1 , 1 ) . Como la longitud del intervalo es 2, el radio de convergencia es 1. Definición Consideremos la serie de potencias ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n . El conjunto de números reales x donde converge la serie es el intervalo de convergencia. Si existe un número real R > 0 tal que la serie converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R , entonces R es el radio de convergencia. Si la serie converge solo en x = a , decimos que el radio de convergencia es R = 0 . Si la serie converge para todos los números reales x , decimos que el radio de convergencia es R = ∞ ( ). Para una serie ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n el gráfico (a) muestra un radio de convergencia en R = 0 , el gráfico (b) muestra un radio de convergencia en R = ∞ , y el gráfico (c) muestra un radio de convergencia en R . Para el gráfico (c) observamos que la serie puede converger o no en los puntos finales x = a + R y x = a − R . Para determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias, solemos aplicar el criterio del cociente. En el , mostramos las tres posibilidades diferentes ilustradas en la . Hallar el intervalo y el radio de convergencia Para cada una de las siguientes series, halle el intervalo y el radio de convergencia. ∑ n = 0 ∞ x n n ! ∑ n = 0 ∞ n ! x n ∑ n = 0 ∞ ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n Para comprobar la convergencia, aplique el criterio del cociente. Tenemos ρ = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) ! x n n ! | = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) ! . n ! x n | = lím n → ∞ | x n + 1 ( n + 1 ) . n ! . n ! x n | = lím n → ∞ | x n + 1 | = | x | lím n → ∞ 1 n + 1 = 0 < 1 para todos los valores de x . Por lo tanto, la serie converge para todos los números reales x . El intervalo de convergencia es ( − ∞ , ∞ ) y el radio de convergencia es R = ∞ . Aplique el criterio del cociente. Para x ≠ 0 , vemos que ρ = lím n → ∞ | ( n + 1 ) ! x n + 1 n ! x n | = lím n → ∞ | ( n + 1 ) x | = | x | lím n → ∞ ( n + 1 ) = ∞ . Por lo tanto, la serie diverge para todo x ≠ 0 . Como la serie está centrada en x = 0 , debe converger allí, por lo que la serie converge solo para x = 0 . El intervalo de convergencia es el valor único x = 0 y el radio de convergencia es R = 0 . Para aplicar el criterio del cociente, considere ρ = lím n → ∞ | ( x − 2 ) n + 1 ( n + 2 ) 3 n + 1 ( x − 2 ) n ( n + 1 ) 3 n | = lím n → ∞ | ( x − 2 ) n + 1 ( n + 2 ) 3 n + 1 . ( n + 1 ) 3 n ( x − 2 ) n | = lím n → ∞ | ( x − 2 ) ( n + 1 ) 3 ( n + 2 ) | = | x − 2 | 3 . El cociente ρ < 1 si | x − 2 | < 3 . Dado que | x − 2 | < 3 implica que −3 < x − 2 < 3 , la serie converge absolutamente si −1 < x < 5 . El cociente ρ > 1 si | x − 2 | > 3 . Por lo tanto, la serie diverge si x < −1 o x > 5 . El criterio del cociente no es concluyente si ρ = 1 . El cociente ρ = 1 si y solo si x = −1 o x = 5 . Tenemos que probar estos valores de x por separado. Para x = −1 , la serie está dada por ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n n + 1 = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋯ . Como se trata de la serie armónica alternada, converge. Así, la serie converge en x = −1 . Para x = 5 , la serie está dada por ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . Esta es la serie armónica, que es divergente. Por lo tanto, la serie de potencias diverge en x = 5 . Concluimos que el intervalo de convergencia es [ −1 , 5 ) y el radio de convergencia es R = 3 . Halle el intervalo y el radio de convergencia de la serie ∑ n = 1 ∞ x n n . El intervalo de convergencia es [ −1 , 1 ) . El radio de convergencia es R = 1 . Pista Aplique el criterio del cociente para comprobar la convergencia absoluta. Representación de funciones como series de potencias Poder representar una función mediante un "polinomio infinito" es una herramienta poderosa. Las funciones polinómicas son las más fáciles de analizar, ya que solo implican las operaciones aritméticas básicas de suma, resta, multiplicación y división. Si podemos representar una función complicada mediante un polinomio infinito, podemos utilizar la representación polinómica para diferenciarla o integrarla. Además, podemos utilizar una versión truncada de la expresión polinómica para aproximar los valores de la función. Entonces, la pregunta es: ¿cuándo podemos representar una función mediante una serie de potencias? Consideremos de nuevo la serie geométrica 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n . Recordemos que la serie geométrica a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ converge si y solo si | r | < 1 . En ese caso, converge a a 1 − r . Por lo tanto, si | x | < 1 , la serie en el converge a 1 1 − x y escribimos 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = 1 1 − x para | x | < 1 . Como resultado, podemos representar la función f ( x ) = 1 1 − x mediante la serie de potencias 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ cuando | x | < 1 . Ahora mostramos gráficamente cómo esta serie proporciona una representación para la función f ( x ) = 1 1 − x comparando el gráfico de f con los gráficos de varias de las sumas parciales de esta serie infinita. Graficar una función y las sumas parciales de sus series de potencias Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 1 − x y los gráficos de las sumas parciales correspondientes S N ( x ) = ∑ n = 0 N x n para N = 2 , 4 , 6 en el intervalo ( –1 , 1 ) . Comente sobre la aproximación S N a medida que aumenta N . En el gráfico de la se ve que a medida que aumenta N , S N se convierte en una mejor aproximación para f ( x ) = 1 1 − x para x en el intervalo ( –1 , 1 ) . El gráfico muestra una función y tres aproximaciones de la misma mediante sumas parciales de una serie de potencias. Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 1 − x 2 y las sumas parciales correspondientes S N ( x ) = ∑ n = 0 N x 2 n para N = 2 , 4 , 6 en el intervalo ( –1 , 1 ) . Pista S N ( x ) = 1 + x 2 + ⋯ + x 2 N = 1 − x 2 ( N + 1 ) 1 − x 2 A continuación consideramos funciones que implican una expresión similar a la suma de una serie geométrica y mostramos cómo representar estas funciones utilizando series de potencias. Representar una función con una serie de potencias Utilice una serie de potencias para representar cada una de las siguientes funciones f . Halle el intervalo de convergencia. f ( x ) = 1 1 + x 3 f ( x ) = x 2 4 − x 2 Debe reconocer esta función f como la suma de una serie geométrica, porque 1 1 + x 3 = 1 1 − ( − x 3 ) . Utilizando el hecho de que, para | r | < 1 , a 1 − r es la suma de la serie geométrica ∑ n = 0 ∞ a r n = a + a r + a r 2 + ⋯ , vemos que, para | − x 3 | < 1 , 1 1 + x 3 = 1 1 − ( − x 3 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − x 3 ) n = 1 − x 3 + x 6 − x 9 + ⋯ . Dado que esta serie converge si y solo si | − x 3 | < 1 , el intervalo de convergencia es ( –1 , 1 ) , y tenemos 1 1 + x 3 = 1 − x 3 + x 6 − x 9 + ⋯ para | x | < 1 . Esta función no tiene la forma exacta de una suma de una serie geométrica. Sin embargo, con un poco de manipulación algebraica, podemos relacionar f con una serie geométrica. Factorizando 4 de los dos términos del denominador, obtenemos x 2 4 − x 2 = x 2 4 ( 1 − x 2 4 ) = x 2 4 ( 1 − ( x 2 ) 2 ) . Por lo tanto, tenemos x 2 4 − x 2 = x 2 4 ( 1 − ( x 2 ) 2 ) = x 2 4 1 − ( x 2 ) 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 4 ( x 2 ) 2 n . La serie converge siempre que | ( x 2 ) 2 | < 1 (tenga en cuenta que cuando | ( x 2 ) 2 | = 1 la serie no converge). Resolviendo esta inecuación, concluimos que el intervalo de convergencia es ( –2 , 2 ) y x 2 4 − x 2 = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 2 4 n + 1 = x 2 4 + x 4 4 2 + x 6 4 3 + ⋯ para | x | < 2 . Represente la función f ( x ) = x 3 2 − x utilizando una serie de potencias y halle el intervalo de convergencia. ∑ n = 0 ∞ x n + 3 2 n + 1 con intervalo de convergencia ( –2 , 2 ) Pista Reescriba f en la forma f ( x ) = g ( x ) 1 − h ( x ) para algunas funciones g y h . En las secciones restantes de este capítulo, mostraremos formas de derivar representaciones en series de potencias para muchas otras funciones, y cómo podemos hacer uso de estas representaciones para evaluar, diferenciar e integrar diversas funciones. Conceptos clave Para una serie de potencias centrada en x = a , se cumple una de las tres propiedades siguientes: La serie de potencias solo converge en x = a . En este caso, decimos que el radio de convergencia es R = 0 . La serie de potencias converge para todos los números reales x . En este caso, decimos que el radio de convergencia es R = ∞ . Existe un número real R tal que la serie converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R . En este caso, el radio de convergencia es R . Si una serie de potencias converge en un intervalo finito, la serie puede converger o no en los puntos finales. El criterio del cociente puede utilizarse a menudo para determinar el radio de convergencia. La serie geométrica ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x para | x | < 1 nos permite representar ciertas funciones mediante series geométricas. Ecuaciones clave Serie de potencias centrada en x = 0 ∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + ⋯ Serie de potencias centrada en x = a ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n = c 0 + c 1 ( x – a ) + c 2 ( x – a ) 2 + ⋯ En los siguientes ejercicios, indique si cada afirmación es verdadera o dé un ejemplo para demostrar que es falsa. Si los valores de ∑ n = 1 ∞ a n x n converge, entonces a n x n → 0 a medida que n → ∞ . Verdadero. Si una serie converge, sus términos tienden a cero. ∑ n = 1 ∞ a n x n converge en x = 0 para cualquier número real a n . Dada cualquier secuencia a n , siempre hay algún R > 0 , posiblemente muy pequeño, de manera que ∑ n = 1 ∞ a n x n converge en ( − R , R ) . Falso. Esto implicaría que a n x n → 0 para | x | < R . Si a n = n n , entonces a n x n = ( n x ) n no tiende a cero para cualquier x ≠ 0 . Si los valores de ∑ n = 1 ∞ a n x n tiene un radio de convergencia R > 0 y si | b n | ≤ | a n | para todo n , entonces el radio de convergencia de ∑ n = 1 ∞ b n x n es mayor o igual que R . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n ( x − 3 ) n converge en x = 6 . ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si ∑ a n ( x − c ) n converge en x , entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x . x = 1 x = 2 x = 3 x = 0 x = 5,99 x = 0,000001 Debe converger en ( 0 , 6 ] y por lo tanto en: a. x = 1 ; b. x = 2 ; c. x = 3 ; d. x = 0 ; e. x = 5,99 ; y f. x = 0,000001 . Supongamos que ∑ n = 0 ∞ a n ( x + 1 ) n converge en x = –2 . ¿En cuál de los siguientes puntos debe converger también la serie? Utilice el hecho de que si ∑ a n ( x − c ) n converge en x , entonces converge en cualquier punto más cercano a c que x . x = 2 x = –1 x = −3 x = 0 x = 0,99 x = 0,000001 En los siguientes ejercicios, supongamos que | a n + 1 a n | → 1 a medida que n → ∞ . Halle el radio de convergencia de cada serie. ∑ n = 0 ∞ a n 2 n x n | a n + 1 2 n + 1 x n + 1 a n 2 n x n | = 2 | x | | a n + 1 a n | → 2 | x | así que R = 1 2 ∑ n = 0 ∞ a n x n 2 n ∑ n = 0 ∞ a n π n x n e n | a n + 1 ( π e ) n + 1 x n + 1 a n ( π e ) n x n | = π | x | e | a n + 1 a n | → π | x | e así que R = e π ∑ n = 0 ∞ a n ( –1 ) n x n 10 n ∑ n = 0 ∞ a n ( –1 ) n x 2 n | a n + 1 ( –1 ) n + 1 x 2 n + 2 a n ( –1 ) n x 2 n | = | x 2 | | a n + 1 a n | → | x 2 | así que R = 1 ∑ n = 0 ∞ a n ( –4 ) n x 2 n En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia R y el intervalo de convergencia para ∑ a n x n con los coeficientes dados a n . ∑ n = 1 ∞ ( 2 x ) n n a n = 2 n n así que a n + 1 x a n → 2 x . así que R = 1 2 . Cuando x = 1 2 la serie es armónica y divergente. Cuando x = − 1 2 la serie es armónica alternada y converge. El intervalo de convergencia es I = [ − 1 2 , 1 2 ) . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n x n n ∑ n = 1 ∞ n x n 2 n a n = n 2 n así que a n + 1 x a n → x 2 así que R = 2 . Cuando x = ± 2 la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es I = ( –2 , 2 ) . ∑ n = 1 ∞ n x n e n ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 n a n = n 2 2 n así que R = 2 . Cuando x = ± 2 la serie diverge por la prueba de divergencia. El intervalo de convergencia es I = ( –2 , 2 ) . ∑ k = 1 ∞ k e x k e k ∑ k = 1 ∞ π k x k k π a k = π k k π así que R = 1 π . Cuando x = ± 1 π la serie es una serie p absolutamente convergente. El intervalo de convergencia es I = [ − 1 π , 1 π ] . ∑ n = 1 ∞ x n n ! ∑ n = 1 ∞ 10 n x n n ! a n = 10 n n ! , a n + 1 x a n = 10 x n + 1 → 0 < 1 por lo que la serie converge para todo x por el criterio del cociente e I = ( − ∞ , ∞ ) . ∑ n = 1 ∞ ( –1 ) n x n ln ( 2 n ) En los siguientes ejercicios, halle el radio de convergencia de cada serie. ∑ k = 1 ∞ ( k ! ) 2 x k ( 2 k ) ! a k = ( k ! ) 2 ( 2 k ) ! así que a k + 1 a k = ( k + 1 ) 2 ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) → 1 4 así que R = 4 ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! x n n 2 n ∑ k = 1 ∞ k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) x k a k = k ! 1 . 3 . 5 ⋯ ( 2 k − 1 ) así que a k + 1 a k = k + 1 2 k + 1 → 1 2 así que R = 2 ∑ k = 1 ∞ 2 . 4 . 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k ∑ n = 1 ∞ x n ( 2 n n ) donde ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! a n = 1 ( 2 n n ) así que a n + 1 a n = ( ( n + 1 ) ! ) 2 ( 2 n + 2 ) ! 2 n ! ( n ! ) 2 = ( n + 1 ) 2 ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) → 1 4 así que R = 4 ∑ n = 1 ∞ sen 2 n x n En los siguientes ejercicios, utilice el criterio del cociente para determinar el radio de convergencia de cada serie. ∑ n = 1 ∞ ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n a n + 1 a n = ( n + 1 ) 3 ( 3 n + 3 ) ( 3 n + 2 ) ( 3 n + 1 ) → 1 27 así que R = 27 ∑ n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n ∑ n = 1 ∞ n ! n n x n a n = n ! n n así que a n + 1 a n = ( n + 1 ) ! n ! n n ( n + 1 ) n + 1 = ( n n + 1 ) n → 1 e así que R = e ∑ n = 1 ∞ ( 2 n ) ! n 2 n x n En los siguientes ejercicios, dado que 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n con convergencia en ( –1 , 1 ) , calcule la serie de potencias para cada función con el centro a dado, e identifique su intervalo de convergencia. f ( x ) = 1 x ; a = 1 ( Pista: 1 x = 1 1 − ( 1 − x ) ) grandes. f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 1 − x ) n en I = ( 0 , 2 ) grandes. f ( x ) = 1 1 − x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 1 − x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 en I = ( –1 , 1 ) grandes. f ( x ) = 1 1 + x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 + x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ ( –1 ) n x 2 n + 2 en I = ( –1 , 1 ) grandes. f ( x ) = 1 2 − x ; a = 1 f ( x ) = 1 1 − 2 x ; a = 0 . ∑ n = 0 ∞ 2 n x n en ( − 1 2 , 1 2 ) grandes. f ( x ) = 1 1 − 4 x 2 ; a = 0 f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 ; a = 0 ∑ n = 0 ∞ 4 n x 2 n + 2 en ( − 1 2 , 1 2 ) grandes. f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 ; a = 2 Utilice el siguiente ejercicio para hallar el radio de convergencia de las series dadas en los ejercicios posteriores. Explique por qué, si | a n | 1 / n → r > 0 , entonces | a n x n | 1 / n → | x | r < 1 siempre que | x | < 1 r y, por tanto, el radio de convergencia de ∑ n = 1 ∞ a n x n es R = 1 r . | a n x n | 1 / n = | a n | 1 / n | x | → | x | r a medida que n → ∞ y | x | r < 1 cuando | x | < 1 r . Por lo tanto, ∑ n = 1 ∞ a n x n converge cuando | x | < 1 r por el criterio de la enésima raíz. ∑ n = 1 ∞ x n n n ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k a k = ( k − 1 2 k + 3 ) k así que ( a k ) 1 / k → 1 2 < 1 así que R = 2 ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 – 1 k 2 + 3 ) k x k ∑ n = 1 ∞ a n = ( n 1 / n – 1 ) n x n a n = ( n 1 / n – 1 ) n así que ( a n ) 1 / n → 0 así que R = ∞ Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n tal que a n = 0 si n es impar. Explique por qué p ( x ) = − p ( − x ) . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n tal que a n = 0 si n es par. Explique por qué p ( x ) = p ( − x ) . Podemos reescribir p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a 2 n + 1 x 2 n + 1 y p ( x ) = p ( − x ) dado que x 2 n + 1 = − ( − x ) 2 n + 1 . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n converge en ( –1 , 1 ] . Halle el intervalo de convergencia de p ( A x ) . Supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n converge en ( –1 , 1 ] . Halle el intervalo de convergencia de p ( 2 x – 1 ) . Si los valores de x ∈ [ 0 , 1 ] , entonces y = 2 x – 1 ∈ [ −1 , 1 ] así que p ( 2 x – 1 ) = p ( y ) = ∑ n = 0 ∞ a n y n converge. En los siguientes ejercicios, supongamos que p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n satisface lím n → ∞ a n + 1 a n = 1 donde a n ≥ 0 para cada n . Indique si cada serie converge en el intervalo completo ( –1 , 1 ) , o si no hay suficiente información para sacar una conclusión. Utilice la prueba de comparación cuando sea adecuado. ∑ n = 0 ∞ a n x 2 n ∑ n = 0 ∞ a 2 n x 2 n Converge en ( –1 , 1 ) por el criterio del cociente ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( Pista : x = ± x 2 ) grandes. ∑ n = 0 ∞ a n 2 x n 2 ( Pista: Supongamos que b k = a k si k = n 2 para algún n , en caso contrario b k = 0 . ) Considere la serie ∑ b k x k donde b k = a k si k = n 2 y b k = 0 por lo contrario. Entonces b k ≤ a k y así la serie converge en ( –1 , 1 ) por la prueba de comparación. Supongamos que p ( x ) es un polinomio de grado N . Halle el radio y el intervalo de convergencia de ∑ n = 1 ∞ p ( n ) x n . [T] Dibuje los gráficos de 1 1 − x y de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N x n para n = 10 , 20 , 30 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente sobre la aproximación de 1 1 − x por S N cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . La aproximación es más precisa cerca de x = −1 . Las sumas parciales siguen 1 1 − x más de cerca a medida que aumenta N , pero nunca son precisas cerca de x = 1 ya que la serie diverge allí. [T] Dibuje los gráficos de − ln ( 1 − x ) y de las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N x n n para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S n = ∑ n = 1 N x n n 2 para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . La aproximación parece estabilizarse rápidamente cerca de ambos x = ± 1 . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 1 N sen n x n para n = 10 , 50 , 100 en el intervalo [ −0,99 , 0,99 ] . Comente el comportamiento de las sumas cerca de x = −1 y cerca de x = 1 a medida que aumenta N . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N ( –1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! para n n = 3 , 5 , 10 en el intervalo [ −2 π , 2 π ] . Comente cómo se aproximan estos gráficos sen x a medida que aumenta N . Las curvas polinómicas tienen raíces cercanas a las de sen x hasta su grado y luego los polinomios divergen de sen x . [T] Dibuje los gráficos de las sumas parciales S N = ∑ n = 0 N ( –1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! para n n = 3 , 5 , 10 en el intervalo [ −2 π , 2 π ] . Comente cómo se aproximan estos gráficos cos x a medida que aumenta N . intervalo de convergencia conjunto de números reales x para los que converge una serie de potencias serie de potencias una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n x n es una serie de potencias centrada en x = 0 ; una serie de la forma ∑ n = 0 ∞ c n ( x – a ) n es una serie de potencias centrada en x = a radio de convergencia si existe un número real R > 0 tal que una serie de potencias centrada en x = a converge para | x – a | < R y diverge para | x – a | > R , entonces R es el radio de convergencia; si la serie de potencias solo converge en x = a , el radio de convergencia es R = 0 ; si la serie de potencias converge para todos los números reales x , el radio de convergencia es R = ∞

Matemáticas