Uso del teorema del límite central Es importante que entienda cuándo utilizar el teorema del límite central . Si se le pide que halle la probabilidad de la media, utilice el TLC para la media. Si se le pide que halle la probabilidad de una suma o un total, utilice el TLC para sumas. Esto también se aplica a los percentiles para las medias y las sumas. NOTA Si se le pide que halle la probabilidad de un valor individual , no utilice el TLC. Utilice la distribución de su variable aleatoria. Ejemplos del teorema del límite central Ley de los grandes números La ley de los grandes números indica que si se toman muestras cada vez más grandes de cualquier población, entonces la media x ¯ de la muestra tiende a acercarse cada vez más a μ . Por el teorema del límite central, sabemos que a medida que n se hace más grande, las medias muestrales siguen una distribución normal. Cuanto mayor sea n , menor será la desviación típica (recuerde que la desviación típica para X ¯ es σ n ). Esto significa que la media muestral x ¯ debe estar cerca de la media poblacional μ . Podemos decir que μ es el valor al que se acercan las medias muestrales a medida que n es mayor. El teorema del límite central ilustra la ley de los grandes números. Teorema del límite central para los ejemplos de media y suma Se realiza un estudio sobre el estrés entre los estudiantes de un campus universitario. Las puntuaciones de estrés siguen una distribución uniforme con la puntuación de estrés más baja igual a uno y la más alta igual a cinco. Utilizando una muestra de 75 estudiantes, calcule: La probabilidad de que la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes sea inferior a dos. El percentil 90 de la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes. La probabilidad de que el total de las 75 puntuaciones de estrés sea inferior a 200. El percentil 90 de la puntuación total de estrés de los 75 estudiantes. Supongamos que X = una puntuación de estrés. En los problemas a y b se pide calcular una probabilidad o un percentil para una media . En los problemas c y d se pide calcular una probabilidad o un percentil para un total o una suma . El tamaño de la muestra, n , es igual a 75. Dado que las puntuaciones individuales de estrés siguen una distribución uniforme, X ~ U (1, 5) donde a = 1 y b = 5 (vea Variables aleatorias continuas para una explicación de la distribución uniforme). μ X = a + b 2 = 1 + 5 2 = 3 σ X = ( b – a ) 2 12 = ( 5 – 1) 2 12 = 1,15 Para los problemas a. y b., sea X ¯ = la puntuación media de estrés de los 75 estudiantes. Entonces, X ¯ ∼ N ( 3, 1 0,15 75 ) a. Halle P ( x ¯ < 2). Dibuje el gráfico. a. P ( x ¯ < 2) = 0 La probabilidad de que la puntuación media de estrés sea inferior a dos es aproximadamente cero. normalcdf ( 1,2,3, 1 0,15 75 ) = 0 Recordatorio La menor puntuación de estrés es uno. b. Calcule el percentil 90 para la media de 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico. b. Supongamos que k = el percentil 90 . Calcule k , donde P ( x ¯ < k ) = 0,90. k = 3,2 El percentil 90 de la media de las 75 puntuaciones es de aproximadamente 3,2. Esto nos indica que el 90 % de todas las medias de 75 puntuaciones de estrés son como máximo 3,2, y que el 10 % son como mínimo 3,2. invNorm ( 0 .90,3, 1,15 75 ) = 3,2 Para los problemas c y d, sea ΣX = la suma de las 75 puntuaciones de tensión. Entonces, ΣX ~ N [(75)(3), ( 75 ) (1,15)] c. Calcule P ( Σx < 200). Dibuje el gráfico. c. La media de la suma de las 75 puntuaciones de estrés es (75)(3) = 225 La desviación típica de la suma de 75 puntuaciones de estrés es ( 75 ) (1,15) = 9,96 P ( Σx < 200) = 0 La probabilidad de que el total de 75 puntuaciones sea inferior a 200 es aproximadamente cero. normalcdf (75.200,(75)(3), ( 75 ) (1,15)). Recordatorio El total más pequeño de 75 puntuaciones de estrés es 75, porque la puntuación individual más pequeña es uno. d. Calcule el percentil 90 para el total de las 75 puntuaciones de estrés. Dibuje un gráfico. d. Supongamos que k = el percentil 90 . Calcule k donde P (Σx < k ) = 0,90. k = 237,8 El percentil 90 de la suma de las 75 puntuaciones es de aproximadamente 237,8. Esto nos indica que el 90 % de todas las sumas de 75 puntuaciones no son superiores a 237,8 y el 10 % no son inferiores a 237,8. invNorm (0,90,(75)(3), ( 75 ) (1,15)) = 237,8 Ejercicio Utilice la información del , pero utilice un tamaño de muestra de 55 para responder las siguientes preguntas. Halle P ( x ¯ < 7). Calcule P ( Σx > 170). Calcule el percentil 80 para la media de 55 puntuaciones. Calcule el percentil 85 para la suma de 55 puntuaciones. Supongamos que un analista de investigación de mercado de una compañía de telefonía móvil realiza un estudio sobre sus clientes que superan el tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil; el analista descubre que, para las personas que superan el tiempo incluido en su contrato básico, el exceso de tiempo utilizado sigue una distribución exponencial con una media de 22 minutos. Consideremos una muestra aleatoria de 80 clientes que superan el límite de tiempo incluido en su contrato básico de telefonía móvil. Supongamos que X = el exceso de tiempo utilizado por un cliente de telefonía móvil INDIVIDUAL que supera su asignación de tiempo contratada. X ∼ Exp ( 1 22 ) . Por los capítulos anteriores, sabemos que μ = 22 y σ = 22. Supongamos que X ¯ = el exceso de la media de tiempo utilizado por una muestra de n = 80 clientes que superan el tiempo contratado. X ¯ ~ N ( 22, 22 80 ) por el teorema del límite central para las medias muestrales Utilice el TLC para calcular la probabilidad Calcule la probabilidad de que el exceso de la media de tiempo utilizado por los 80 clientes de la muestra sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P( x ¯ > 20). Dibuje el gráfico. Supongamos que se selecciona aleatoriamente un cliente que supera el límite de tiempo de su contrato de telefonía móvil. Calcule la probabilidad de que el exceso de tiempo de este cliente individual sea superior a 20 minutos. Esto nos pide calcular P (x > 20). Explique por qué las probabilidades de las partes a y b son diferentes. Calcule: P ( x ¯ > 20) P ( x ¯ > 20) = 0,79199 utilizando normalcdf ( 20,1E99,22, 22 80 ) La probabilidad de que el exceso de tiempo medio utilizado sea superior a 20 minutos es de 0,7919, para una muestra de 80 clientes que superan el tiempo contratado. Recordatorio 1E99 = 10 99 y –1E99 = –10 99 . Pulse EE la tecla para la E. O simplemente utilice 10 99 en lugar de 1E99. Calcule P (x > 20). Recuerde utilizar la distribución exponencial para un individuo: X ~ E x p ( 1 22 ) . P ( x > 20 ) = e ( – ( 1 22 ) ( 20 ) ) o e (-0,04545(20)) = 0,4029 P (x > 20) = 0,4029 pero P ( x ¯ > 20) = 0,7919 Las probabilidades no son iguales porque utilizamos diferentes distribuciones para calcular la probabilidad de los individuos y de las medias. Cuando se le pida que calcule la probabilidad de un valor individual, utilice la distribución indicada de su variable aleatoria; no utilice el TLC. Utilice el TLC con la distribución normal cuando le pidan calcular la probabilidad de una media. Uso del TLC para calcular percentiles Calcule el percentil 95 de la media muestral del exceso de tiempo para las muestras de 80 clientes que exceden sus asignaciones de tiempo de contrato básico. Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 95 . Calcule k donde P ( x ¯ < k ) = 0,95 k = 26,0 utilizando invNorm ( 0 .95,22 , 22 80 ) = 26,0 El percentil 95 de la media muestral del exceso de tiempo utilizado es de unos 26,0 minutos para muestras aleatorias de 80 clientes que superan su tiempo permitido por contrato. El noventa y cinco por ciento de esas muestras tendrían medias inferiores a 26 minutos; solo el cinco por ciento de esas muestras tendrían medias superiores a 26 minutos. Ejercicio Utilice la información del , pero cambie el tamaño de la muestra a 144. Calcule P (20 < x ¯ < 30). Calcule P ( Σx es al menos 3.000). Calcule el percentil 75 para la media muestral del exceso de tiempo de 144 clientes. Calcule el percentil 85 para la suma de los 144 excesos de tiempo utilizados por los clientes. En Estados Unidos, alguien sufre una agresión sexual cada dos minutos, en promedio, según varios estudios. Supongamos que la desviación típica es de 0,5 minutos y el tamaño de la muestra es de 100. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la media de tiempo de la muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos. Calcule la mediana, el primer cuartil y el tercer cuartil para la suma de los tiempos de muestra de las agresiones sexuales en Estados Unidos. Calcule la probabilidad de que una agresión sexual se produzca en un promedio de entre 1,75 y 1,85 minutos. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima de la media de la muestra. Calcule el IQR para la suma de los tiempos de la muestra. Tenemos, μ x = μ = 2 y σ x = σ n = 0,5 10 = 0,05. Por lo tanto: Percentil 50 = μ x = μ = 2 Percentil 25 = invNorm (0,25;2;0,05) = 1,97 Percentil 75 = invNorm (0,75;2;0,05) = 2,03 Tenemos μ Σx = n ( μ x ) = 100(2) = 200 y σ μx = n ( σ x ) = 10(0,5) = 5. Por lo tanto, Percentil 50 = μ Σx = n ( μ x ) = 100(2) = 200 Percentil 25 = invNorm(0,25;200;5) = 196,63 Percentil 75 = invNorm(0,75;200;5) = 203,37 P (1,75 < x ¯ < 1,85) = normalcdf (1.75,1.85,2,0.05) = 0,0013 Usando la ecuación de la puntuación z , z = x ¯ – μ x ¯ σ x ¯ , y resolver x , tenemos x = 2(0,05) + 2 = 2,1 El IQR es percentil 75 - percentil 25 = 203,37 - 196,63 = 6,74 Ejercicio Según los datos de la Encuesta Nacional de Salud, las mujeres de entre 18 y 24 años tienen una presión arterial sistólica promedio (en mm Hg) de 114,8 con una desviación típica de 13,1. La presión arterial sistólica de las mujeres de entre 18 y 24 años sigue una distribución normal. Si se selecciona aleatoriamente una mujer de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica sea superior a 120. Si se seleccionan aleatoriamente 40 mujeres de esta población, calcule la probabilidad de que su presión arterial sistólica media sea superior a 120. Si la muestra fuera de cuatro mujeres de entre 18 y 24 años y no conociéramos la distribución original, ¿se podría utilizar el teorema del límite central? Se realizó un estudio sobre la violencia contra las prostitutas y los síntomas del estrés postraumático que desarrollaron. El rango de edad de las prostitutas era de 14 a 61 años. La edad media era de 30,9 años, con una desviación típica de nueve años. En una muestra de 25 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de edad de las prostitutas sea inferior a 35 años? ¿Es probable que la media de edad del grupo de la muestra sea superior a 50 años? Interprete los resultados. En una muestra de 49 prostitutas, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las edades no sea inferior a 1.600? ¿Es probable que la suma de las edades de las 49 prostitutas sea como máximo 1.595? Interprete los resultados. Calcule el percentil 95 de la media de edad de la muestra de 65 prostitutas. Interprete los resultados. Calcule el percentil 90 de la suma de las edades de 65 prostitutas. Interprete los resultados. P ( x ¯ < 35) = normalcdf (- E 99,35,30.9,1.8) = 0,9886 P ( x ¯ > 50) = normalcdf (50, E 99,30.9,1.8) ≈ 0. Para este grupo de muestra es casi imposible que el promedio de edad del grupo sea superior a 50 años. Sin embargo, todavía es posible que un individuo de este grupo tenga una edad superior a los 50 años. P ( Σx ≥ 1.600) = normalcdf (1600,E99,1514.10,63) = 0,0864 P ( Σx ≤ 1.595) = normalcdf (-E99,1595,1514.10,63) = 0,9005. Esto significa que hay un 90 % de posibilidades de que la suma de las edades para el grupo de muestra n = 49 sea como máximo 1595. El percentil 95 = invNorm (0.95,30.9,1.1) = 32,7. Esto indica que el 95 % de las prostitutas de la muestra de 65 son menores de 32,7 años, en promedio. El percentil 90 = invNorm (0.90,2008.5,72.56) = 2101,5. Esto indica que el 90 % de las prostitutas de la muestra de 65 tienen una suma de edades inferior a 2.101,5 años. Ejercicio Según los datos de Boeing, el avión 757 transporta 200 pasajeros y tiene puertas con una altura de 72 pulgadas. Supongamos que para una determinada población de hombres tenemos una altura media de 69,0 pulgadas y una desviación típica de 2,8 pulgadas. ¿Qué altura de la puerta permitiría al 95 % de los hombres entrar en el avión sin agacharse? Supongamos que la mitad de los 200 pasajeros son hombres. ¿Qué altura media de la puerta satisface la condición de que existe una probabilidad de 0,95 de que esta altura sea mayor que la altura media de 100 hombres? Para los ingenieros que diseñan el 757, ¿qué resultado es más relevante: la altura de la parte a o la de la parte b? ¿Por qué? NOTA HISTÓRICA Aproximación normal a la binomial Históricamente, poder calcular las probabilidades binomiales era una de las aplicaciones más importantes del teorema del límite central. Las probabilidades binomiales con un valor pequeño para n (digamos, 20) se mostraban en una tabla en un libro. Para calcular las probabilidades con valores grandes de n , había que utilizar la fórmula binomial, que podía ser muy complicada. El uso de la aproximación normal a la distribución binomial simplificó el proceso. Para calcular la aproximación normal a la distribución binomial, tome una muestra aleatoria simple de una población. Debe cumplir las condiciones de una distribución binomial : hay un cierto número n de ensayos independientes los resultados de cualquier ensayo son aciertos o fallos cada ensayo tiene la misma probabilidad de un acierto p Recordemos que si X es la variable aleatoria binomial, entonces X ~ B ( n, p ). La forma de la distribución binomial debe ser similar a la de la distribución normal. Para ello, las cantidades np y nq deben ser mayores que cinco ( np > 5 y nq > 5; la aproximación es mejor si ambas son mayores o iguales a 10). Entonces la binomial puede ser aproximada por la distribución normal con media μ = np y desviación típica σ = n p q . Recuerde que q = 1 - p . Para obtener la mejor aproximación, sume 0,5 a x o reste 0,5 a x (utilice x + 0,5 o x - 0,5). El número 0,5 se denomina factor de corrección de continuidad y se utiliza en el siguiente ejemplo. Supongamos que en un distrito escolar local desde kínder hasta 12. º grado (K-12), el 53 % de la población está a favor de una escuela chárter de kínder a 5.º grado (K-5). Se realiza una encuesta con una muestra aleatoria simple de 300 personas. Calcule la probabilidad de que al menos 150 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que como máximo 160 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que más de 155 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que menos de 147 estén a favor de una escuela chárter. Calcule la probabilidad de que exactamente 175 estén a favor de una escuela chárter. Supongamos que X = el número de los que están a favor de una escuela chárter de K-5. X ~ B ( n, p ) donde n = 300 y p = 0,53. Como np > 5 y nq > 5, utilice la aproximación normal a la binomial. Las fórmulas para la media y la desviación típica son μ = np y σ = n p q . La media es de 159 desviación típica es de 8,6447. La variable aleatoria de la distribución normal es Y . Y ~ N (159; 8,6447). Consulte La distribución normal para obtener ayuda con las instrucciones de la calculadora. Para la parte a, se incluye 150 por lo que P ( X ≥ 150) tiene aproximación normal P (Y ≥ 149,5) = 0,8641. normalcdf (149,5,10^99,159,8.6447) = 0,8641. Para la parte b, se incluye 160 por lo que P ( X ≤ 160) tiene una aproximación normal P (Y ≤ 160,5) = 0,5689. normalcdf (0,160.5,159,8.6447) = 0,5689 Para la parte c, se excluye 155 por lo que P ( X > 155) tiene una aproximación normal P ( y > 155,5) = 0,6572. normalcdf (155,5,10^99,159,8.6447) = 0,6572. Para la parte d, se excluye 147 por lo que P ( X < 147) tiene una aproximación normal P ( Y < 146,5) = 0,0741. normalcdf (0,146.5,159,8.6447) = 0,0741 Para la parte e, P ( X = 175) tiene una aproximación normal P (174,5 < Y < 175,5) = 0,0083. normalcdf (174.5,175.5,159,8.6447) = 0,0083 Gracias a las calculadoras y a los softwares que permiten calcular fácilmente las probabilidades binomiales para grandes valores de n , no es necesario utilizar la aproximación normal a la distribución binomial, siempre que se tenga acceso a estas herramientas tecnológicas. La mayoría de los laboratorios escolares disponen de Microsoft Excel, un ejemplo de software que calcula probabilidades binomiales. Muchos estudiantes tienen acceso a las calculadoras de la serie TI-83 u 84, y calculan fácilmente las probabilidades de la distribución binomial. Si escribe "cálculo de la distribución de probabilidad binomial" en un navegador de internet, podrá encontrar al menos una calculadora en línea para la binomial. Para el , las probabilidades se calculan utilizando la siguiente distribución binomial: ( n = 300 y p = 0,53). Compare las respuestas de la distribución binomial y la normal. Vea Variables aleatorias discretas para ayudar con las instrucciones de la calculadora para la binomial. P ( X ≥ 150) : 1 – binomialcdf (300,0.53,149) = 0,8641 P ( X ≤ 160) : binomialcdf (300,0.53,160) = 0,5684 P ( X > 155) : 1 – binomialcdf (300,0.53,155) = 0,6576 P ( X < 147) : binomialcdf (300,0.53,146) = 0,0742 P (X = 175) : (Se utiliza la función de densidad de probabilidad [probability density function, pdf] binomial). binomialpdf (300,0.53,175) = 0,0083 Ejercicio En una ciudad, el 46 % de la población está a favor del titular, Dawn Morgan, para la alcaldía. Se toma una muestra aleatoria simple de 500 personas. Utilizando el factor de corrección de la continuidad, halle la probabilidad de que al menos 250 favorezcan a Dawn Morgan como alcaldesa. Referencias Datos del Wall Street Journal. “National Health and Nutrition Examination Survey”. Center for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/nchs/nhanes.htm (consultado el 17 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El teorema del límite central puede utilizarse para ilustrar la ley de los grandes números. La ley de los grandes números establece que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra que se tome de una población, más se acercará la media muestral x ¯ llega a μ . Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: un fabricante produce pesas de 25 libras. El peso real más bajo es de 24 libras, y el más alto de 26 libras. Cada pesa tiene la misma probabilidad, por lo que la distribución de los pesos es uniforme. Se toma una muestra de 100 pesas. ¿Cuál es la distribución de los pesos de una pesa de 25 libras? ¿Cuál es la media y la desviación estándar? ¿Cuál es la distribución del peso medio de 100 pesas de 25 libras? Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea inferior a 24,9. U (24, 26), 25, 0,5774 N (25, 0,0577) 0,0416 Dibuje el gráfico del Calcule la probabilidad de que la media del peso real de las 100 pesas sea mayor que 25,2. 0,0003 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso medio de las 100 pesas. 25,07 Dibuje el gráfico de la ¿Cuál es la distribución de la suma de los pesos de 100 pesas de 25 libras? Calcule P ( Σx < 2.450). N (2.500; 5,7735) 0 Dibuje el gráfico de la Calcule el percentil 90 para el peso total de las 100 pesas. 2.507,40 Dibuje el gráfico de la Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La duración de la batería de un determinado teléfono inteligente sigue una distribución exponencial con una media de diez meses. Se toma una muestra de 64 de estos teléfonos inteligentes. ¿Cuál es la desviación típica? ¿Cuál es el parámetro m ? 10 1 10 ¿Cuál es la distribución de la duración de una batería? ¿Cuál es la distribución de la duración media de 64 baterías? N ( 10, 10 8 ) ¿Cuál es la distribución de la duración total de 64 baterías? Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre siete y 11. 0,7799 Calcule el percentil 80 para la duración total de 64 baterías. Calcule el IQR para la media de tiempo que duran 64 baterías. 1,69 Calcule el 80 % del centro para el tiempo total de duración de 64 baterías. Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios: una distribución uniforme tiene un mínimo de seis y un máximo de diez. Se toma una muestra de 50 personas. Calcule P ( Σx > 420). 0,0072 Calcule el percentil 90 de las sumas. Calcule el percentil 15 de las sumas. 391,54 Calcule el primer cuartil de las sumas. Calcule el tercer cuartil para las sumas. 405,51 Calcule el percentil 80 de las sumas. Tarea para la casa La capacidad de atención de un niño de dos años se distribuye exponencialmente con una media de unos ocho minutos. Supongamos que encuestamos aleatoriamente a 60 niños de dos años. En palabras, Χ = _______ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X ¯ = ____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) Antes de hacer cálculos, ¿cuál cree que será más alta? Explique por qué. La probabilidad de que la capacidad de atención de un individuo sea inferior a diez minutos. ¿La probabilidad de que el promedio de atención de los 60 niños sea inferior a diez minutos? Calcule las probabilidades en la parte e. Explique por qué la distribución de X ¯ no es exponencial. Los precios de cierre de las acciones de 35 fabricantes de semiconductores de Estados Unidos son los siguientes. 8,625 30,25 27,625 46,75 32,875 18,25 5 0,125 2,9375 6,875 28,25 24,25 21 1,5 30,25 71 43,5 49,25 2,5625 31 16,5 9,5 18,5 18 9 10,5 16,625 1,25 18 12,87 7 12,875 2,875 60,25 29,25 En palabras, Χ = ______________ x ¯ = _____ s x = _____ n = _____ Construya un histograma de la distribución de los promedios. Comience en x = 0,0005. Utilice anchos de barra de diez. En palabras, describa la distribución de los precios de las acciones. Promedio aleatorio de los precios de cinco acciones (utilice un generador de números aleatorios). Continúe promediando cinco piezas juntas hasta que tenga diez promedios. Enumere esos diez promedios. Utilice los diez promedios de la parte e para calcular lo siguiente. x ¯ = _____ s x = _____ Construya un histograma de la distribución de los promedios. Comience en x = -0,0005. Utilice anchos de barra de diez. ¿Este histograma se parece al gráfico de la parte c? En una o dos frases completas, explique por qué los gráficos son iguales o diferentes Basado en la teoría del teorema central del límite , X ¯ ~ _____(_____,____) X = los precios de cierre de las acciones de los fabricantes de semiconductores de Estados Unidos i. 20,71 dólares; ii. 17,31 dólares; iii. 35 Distribución exponencial, Χ ~ Exp ( 1 20,71 ) Las respuestas variarán. i. 20,71 dólares; ii. 11,14 dólares Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. N ( 20 0,71, 17,31 5 ) Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Richard's Furniture Company entrega los muebles desde las 10 a. m. hasta las 2 p. m. de forma continua y uniforme. Nos interesa saber cuánto tiempo (en horas) después de la hora de inicio de las 10 a. m. las personas esperan su entrega. Χ ~ _____(_____,_____) U (0,4) U (10,2) Eχp (2) N (2,1) El tiempo promedio de espera es: una hora. dos horas. dos horas y media. cuatro horas. b Supongamos que es pasado el mediodía de un día de entrega. La probabilidad de que una persona deba esperar al menos una hora y media más es: 1 4 1 2 3 4 3 8 Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios: El tiempo de espera de un determinado autobús rural se distribuye uniformemente de cero a 75 minutos. Se toma una muestra aleatoria de cien ciclistas para saber cuánto tiempo han esperado. El tiempo promedio de espera de la muestra del percentil 90 (en minutos) para una muestra de 100 usuarios es: 315,0 40,3 38,5 65,2 b ¿Le sorprendería, basándose en cálculos numéricos, que el tiempo promedio de espera de la muestra (en minutos) para 100 pasajeros fuera inferior a 30 minutos? sí no No hay suficiente información. Utilice lo siguiente para responder los dos ejercicios siguientes: El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que el precio promedio de 16 gasolineras sea superior a 4,69 dólares? casi cero 0,1587 0,0943 desconocido a Calcule la probabilidad de que el precio promedio de 30 gasolineras sea inferior a 4,55 dólares. 0,6554 0,3446 0,0142 0,9858 0 Supongamos que en un distrito escolar local desde kínder hasta 12. º grado (K-12), el 53 % de la población está a favor de una escuela chárter de kínder a 5.º grado (K-5). Se realiza una encuesta con una muestra aleatoria simple de 300 personas. Calcule lo siguiente utilizando la aproximación normal a la distribución binomial. Calcule la probabilidad de que menos de 100 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que 170 o más estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que no más de 140 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que haya menos de 130 que estén a favor de una escuela chárter de K-5. Calcule la probabilidad de que exactamente 150 estén a favor de una escuela chárter de K-5. Si tiene acceso a una calculadora o a un software adecuado, intente calcular estas probabilidades con esta tecnología. 0 0,1123 0,0162 0,0003 0,0268 Cuatro amigas, Janice, Barbara, Kathy y Roberta, decidieron compartir el auto para ir a la escuela. Cada día se elegiría al conductor seleccionando al azar uno de los cuatro nombres. Comparten el auto para ir a la escuela durante 96 días. Utilice la aproximación normal a la binomial para calcular las siguientes probabilidades. Redondee la desviación típica a cuatro decimales. Calcule la probabilidad de que Janice sea la conductora como máximo 20 días. Calcule la probabilidad de que Roberta sea la conductora más de 16 días. Calcule la probabilidad de que Bárbara conduzca exactamente 24 de esos 96 días. X ~ N (60, 9). Supongamos que se forman muestras aleatorias de 25 de esta distribución. Supongamos que X ¯ sea la variable aleatoria de los promedios. Supongamos que ΣX sea la variable aleatoria de las sumas. Para las partes c a f, dibuje el gráfico, sombree la región, identifique y escale el eje horizontal para X ¯ , y calcule la probabilidad. Dibuje las distribuciones de X y X ¯ en el mismo gráfico. X ¯ ~ _____(_____,_____) P ( x ¯ < 60) = _____ Calcule el percentil 30 para la media. P (56 < x ¯ < 62) = _____ P (18 < x ¯ < 58) = _____ Σx ~ _____(_____,_____) Calcule el valor mínimo del cuartil superior de la suma. P (1.400 < Σx < 1.550) = _____ Compruebe la solución del estudiante. X ¯ ~ N ( 60, 9 25 ) 0,5000 59,06 0,8536 0,1333 N (1500, 45) 1530,35 0,6877 Supongamos que la longitud de los trabajos de investigación se distribuye uniformemente de diez a 25 páginas. Estudiamos una clase en la que se entregaron 55 trabajos de investigación a un profesor. Los 55 trabajos de investigación se consideran una colección aleatoria de todos los trabajos. Nos interesa la longitud promedio de los trabajos de investigación. En palabras, X = _____________ X ~ _____(_____,_____) μ x = _____ σ x = _____ En palabras, X ¯ = ______________ X ¯ ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _____________ ΣX ~ _____(_____,_____) Sin hacer ningún cálculo, ¿cree que es probable que el profesor tenga que leer un total de más de 1.050 páginas? ¿Por qué? Calcule la probabilidad de que el profesor tenga que leer un total de más de 1.050 páginas. ¿Por qué es tan improbable que la longitud promedio de los trabajos sea inferior a 12 páginas? Los salarios de los maestros de un determinado distrito escolar de primaria se distribuyen normalmente, con una media de 44.000 dólares y una desviación típica de 6.500 dólares. Encuestamos al azar a diez maestros de ese distrito. Calcule el percentil 90 del salario de un solo maestro. Calcule el percentil 90 del salario promedio de los maestros. $52.330 $46.634 Se dice que la duración promedio de la estancia por maternidad en un hospital estadounidense es de 2,4 días, con una desviación típica de 0,9 días. Encuestamos de forma aleatoria a 80 mujeres que habían dado a luz recientemente en un hospital de Estados Unidos. En palabras, X = _____________ En palabras, X ¯ = ___________________ X ¯ ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _______________ ΣX ~ _____(_____,_____) ¿Es probable que un individuo haya permanecido más de cinco días en el hospital? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Es probable que la estancia promedio de las 80 mujeres fuera de más de cinco días? ¿Por qué sí o por qué no? Lo que es más probable: Un individuo permaneció más de cinco días. la estancia promedio de 80 mujeres fue de más de cinco días. Si tuviéramos que resumir las estancias de las mujeres, ¿es probable que, en conjunto, hayan pasado más de un año en el hospital? ¿Por qué sí o por qué no? Para cada problema, siempre que sea posible, proporcione gráficos y utilice la calculadora. Las baterías NeverReady han diseñado una nueva batería AAA de mayor duración. La compañía afirma que esta batería tiene una duración promedio de 17 horas con una desviación típica de 0,8 horas. Su clase de estadística cuestiona esta afirmación. Como clase, selecciona aleatoriamente 30 baterías y descubre que la media de vida de la muestra es de 16,7 horas. Si el proceso funciona correctamente, ¿cuál es la probabilidad de obtener una muestra aleatoria de 30 baterías en la que la vida media de la muestra sea de 16,7 horas o menos? ¿Es razonable la reclamación de la compañía? Tenemos μ = 17, σ = 0,8, x ¯ = 16,7, y n = 30. Para calcular la probabilidad, utilizamos normalcdf (inferior, superior, μ , σ n ) = normalcdf ( E – 99,16 .7,17, 0, 8 30 ) = 0,0200. Si el proceso funciona correctamente, la probabilidad de que una muestra de 30 baterías tenga como máximo 16,7 horas de vida útil es solo del 2 %. Por lo tanto, estaba justificado que la clase cuestionara la reclamación. Los hombres tienen un peso promedio de 172 libras con una desviación típica de 29 libras. Calcule la probabilidad de que 20 hombres seleccionados aleatoriamente tengan una suma de peso superior a 3.600 lb. Si la suma de 20 hombres es superior a 3500 libras, su peso total supera los límites de seguridad para los taxis acuáticos. Basándose en (a), ¿es esto un problema de seguridad? Explique. Las bolsas grandes de caramelos M&M tienen un peso neto declarado de 396,9 g. La desviación típica del peso de cada caramelo es de 0,017 g. La siguiente tabla procede de un experimento estadístico realizado por una clase de estadística. Rojo Naranja Amarilla Marrón Azul Verde 0,751 0,735 0,883 0,696 0,881 0,925 0,841 0,895 0,769 0,876 0,863 0,914 0,856 0,865 0,859 0,855 0,775 0,881 0,799 0,864 0,784 0,806 0,854 0,865 0,966 0,852 0,824 0,840 0,810 0,865 0,859 0,866 0,858 0,868 0,858 1,015 0,857 0,859 0,848 0,859 0,818 0,876 0,942 0,838 0,851 0,982 0,868 0,809 0,873 0,863 0,803 0,865 0,809 0,888 0,932 0,848 0,890 0,925 0,842 0,940 0,878 0,793 0,832 0,833 0,905 0,977 0,807 0,845 0,850 0,841 0,852 0,830 0,932 0,778 0,856 0,833 0,814 0,842 0,881 0,791 0,778 0,818 0,810 0,786 0,864 0,881 0,853 0,825 0,864 0,855 0,873 0,942 0,880 0,825 0,882 0,869 0,931 0,912 0,887 La bolsa contenía 465 caramelos y los pesos de la tabla procedían de caramelos seleccionados aleatoriamente. Cuente los pesos. Calcule el peso de la media de la muestra y la desviación típica de los pesos de las muestras de caramelos en la tabla. Calcule la suma de los pesos de la muestra en la tabla y la desviación típica de la suma de los pesos. Si se seleccionan 465 M&M aleatoriamente, calcule la probabilidad de que sus pesos sumen al menos 396,9. ¿Es correcto el etiquetado de los M&M de la compañía Mars? Para la muestra, tenemos n = 100, x ¯ = 0,862, s = 0,05 Σ x ¯ = 85,65, Σs = 5,18 normalcdf (396,9 ,E 99,(465)(0,8565),(0,05)( 465 )) ≈ 1 Como la probabilidad de que una muestra de tamaño 465 tenga al menos una suma media de 396,9 es aproximadamente 1, podemos concluir que Mars está etiquetando correctamente sus paquetes de M&M. La compañía Screw Right afirma que sus tornillos de 3 4 pulgadas están dentro de ±0,23 del diámetro medio declarado de 0,750 pulgadas con una desviación típica de 0,115 pulgadas. Se registraron los siguientes datos. 0,757 0,723 0,754 0,737 0,757 0,741 0,722 0,741 0,743 0,742 0,740 0,758 0,724 0,739 0,736 0,735 0,760 0,750 0,759 0,754 0,744 0,758 0,765 0,756 0,738 0,742 0,758 0,757 0,724 0,757 0,744 0,738 0,763 0,756 0,760 0,768 0,761 0,742 0,734 0,754 0,758 0,735 0,740 0,743 0,737 0,737 0,725 0,761 0,758 0,756 Los tornillos se seleccionaron aleatoriamente en la tienda local de reparaciones domésticas. Calcule el diámetro de la media y la desviación típica de la muestra Calcule la probabilidad de que 50 tornillos seleccionados al azar estén dentro de los niveles de tolerancia establecidos. ¿Es creíble la afirmación del diámetro de la compañía? Su compañía tiene un contrato para realizar el mantenimiento preventivo de miles de aparatos de aire acondicionado en una gran ciudad. Según los registros de servicio de años anteriores, el tiempo que un técnico dedica a la revisión de una unidad en promedio es de una hora, con una desviación típica de una hora. En la próxima semana, su compañía prestará servicio a una muestra aleatoria simple de 70 unidades en la ciudad. Tiene previsto presupuestar un promedio de 1,1 horas por técnico para completar el trabajo. ¿Será suficiente tiempo? Utilice normalcdf ( E – 99,1 .1,1, 1 70 ) = 0,7986. Esto significa que hay un 80 % de posibilidades de que el tiempo de servicio sea inferior a 1,1 horas. Podría ser prudente programar más tiempo, ya que hay un 20 % de posibilidades asociadas de que el tiempo de mantenimiento sea superior a 1,1 horas. Un adulto típico tiene una puntuación promedio de IQ de 105 con una desviación típica de 20. Si se somete a 20 adultos seleccionados aleatoriamente a una prueba de IQ, ¿cuál es la probabilidad de que las puntuaciones medias de la muestra estén entre 85 y 125 puntos? Algunas monedas tienen un peso promedio de 5,201 gramos con una desviación típica de 0,065 g. Si una máquina expendedora está diseñada para aceptar monedas cuyo peso oscila entre 5,111 g y 5,291 g, ¿cuál es el número esperado de monedas rechazadas cuando se introducen en la máquina 280 monedas seleccionadas al azar? Suponemos que los pesos de las monedas se distribuyen normalmente en la población. Ya que tenemos normalcdf ( 5. 111,5 .291,5 0,201, 0, 065 280 ) ≈ 0,8338, esperamos que se rechacen (1 - 0,8338)280 ≈ 47 monedas. Distribución exponencial una variable aleatoria (Random Variable, RV) continua que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, el tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital, notación: X ~ Exp ( m ). La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me -mx , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 - e -mx . Media un número que mide la tendencia central; un nombre común para la media es “promedio”. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x ¯ ) es x ¯ = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: X ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la variable aleatoria (random variable, RV) se denomina distribución normal estándar . Distribución uniforme una variable aleatoria (RV) continua que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b ; a menudo se denomina Distribución rectangular porque el gráfico de la pdf tiene la forma de un rectángulo. Notación: X ~ U ( a , b ). La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es e ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a .

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Teorema del límite central (monedas en el bolsillo) Teorema del límite central (monedas en el bolsillo) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará y comparará las propiedades del teorema del límite central. Nota Este laboratorio funciona mejor cuando se toman muestras de varias clases y se combinan los datos. Recopilación de datos Cuente las monedas en su bolsillo (no incluya los billetes). Encuesta al azar a 30 compañeros de clase. Registre los valores de las monedas en la . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente ( n = 1; encuestando a una persona cada vez): x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Recopilación de promedios de pares Repita los pasos del uno al cinco de la sección Recopilación de datos con una excepción. En vez de registrar las monedas de 30 compañeros, registre el promedio de las monedas de 30 parejas. Encuesta aleatoria a 30 parejas de compañeros de clase. Registre los valores del promedio de sus monedas en la . __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Escale los ejes usando la misma escala que usó para la sección titulada Recopilación de datos . Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Calcule lo siguiente ( n = 2; encuestando a dos personas a la vez): x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de las barras superiores del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Recopilación de promedios de grupos de cinco Repita los pasos del uno al cinco (de la sección titulada Recopilación de datos ) con una excepción. En vez de registrar las monedas de 30 compañeros, registre el promedio de las monedas de 30 grupos de cinco. Encueste aleatoriamente a 30 grupos de cinco compañeros. Registre los valores del promedio de sus monedas __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma. Escale los ejes usando la misma escala que usó para la sección titulada Recopilación de datos . Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Calcule lo siguiente ( n = 5; encuestando a cinco personas a la vez) x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de las barras superiores del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Preguntas para el debate ¿Por qué cambió la forma de la distribución de los datos al cambiar n ? Utilice una o dos oraciones completas para explicar lo sucedido. En la sección titulada Recopilación de datos , ¿cuál fue la distribución aproximada de los datos? X ~ _____(_____,_____) En la sección titulada Recopilación de promedios de grupos de cinco , ¿cuál era la distribución aproximada de los promedios? X ¯ ~ _____(_____,_____) En una o dos frases completas, explique las diferencias en sus respuestas a las dos preguntas anteriores.

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Teorema del límite central (recetas de galletas) Teorema del límite central (recetas de galletas) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante demostrará y comparará las propiedades del teorema del límite central. Dado X = tiempo (en días) que duró una receta de galletas en el Olmstead Homestead. (Supongamos que cada una de las diferentes recetas resulta en la misma cantidad de galletas). N.º de receta X N.º de receta X N.º de receta X N.º de receta X 1 1 16 2 31 3 46 2 2 5 17 2 32 4 47 2 3 2 18 4 33 5 48 11 4 5 19 6 34 6 49 5 5 6 20 1 35 6 50 5 6 1 21 6 36 1 51 4 7 2 22 5 37 1 52 6 8 6 23 2 38 2 53 5 9 5 24 5 39 1 54 1 10 2 25 1 40 6 55 1 11 5 26 6 41 1 56 2 12 1 27 4 42 6 57 4 13 1 28 1 43 2 58 3 14 3 29 6 44 6 59 6 15 2 30 2 45 2 60 5 Calcule lo siguiente: μ x = _______ σ x = _______ Recopilación de datos Utilice un generador de números aleatorios para seleccionar al azar cuatro muestras de tamaño n = 5 de la población dada. Registre sus muestras en la . A continuación, para cada muestra, calcule la media a la décima más cercana. Anótelos en los espacios previstos. Anote las medias muestrales para el resto de la clase. Rellene la tabla: Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Medias muestrales de otros grupos: Medias: x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s x ¯ = _______ De nuevo, utilice un generador de números aleatorios para seleccionar al azar cuatro muestras de la población. Esta vez, haga las muestras de tamaño n = 10. Registre las muestras en la . Como ya lo hizo, calcule la media a la décima más cercana en cada ejemplo. Anótelos en los espacios previstos. Anote las medias muestrales para el resto de la clase. Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 Muestra 4 Medias muestrales de otros grupos Medias: x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ x ¯ = ____ Calcule lo siguiente: x ¯ = ______ s x ¯ = ______ Para la población original, construya un histograma. Haga intervalos con un ancho de barra que represente un día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Repita el procedimiento para n = 5 Para la muestra de n = 5 días promediados juntos, construya un histograma de los promedios (sus medias junto con las de los otros grupos). Haga intervalos con anchos de barra de 1 2 al día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Repita el procedimiento para n = 10 Para la muestra de n = 10 días promediados juntos, construya un histograma de los promedios (sus medias junto con las de los otros grupos). Haga intervalos con anchos de barra de 1 2 al día. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Use una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. Preguntas para el debate Compare los tres histogramas que ha hecho, el de la población y los dos de las medias muestrales. En tres o cinco oraciones, describa las similitudes y diferencias. Indique las distribuciones teóricas según el teorema del límite central (Central Limit Theorem, CLT) para las medias muestrales n = 5: x ¯ ~ _____(_____,_____) n = 10: x ¯ ~ _____(_____,_____) Las medias muestrales de n = 5 y n = 10, ¿están "próximas" a la media teórica, μ x ? Explique por qué sí o por qué no. ¿Cuál de las dos distribuciones de las medias muestrales tiene la menor desviación típica? ¿Por qué? Al cambiar n , ¿por qué cambió la forma de la distribución de los datos? Utilice una o dos oraciones completas para explicar lo sucedido.

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Introducción ¿Se ha preguntado alguna vez cuál es el promedio de M&M que hay en una bolsa en el supermercado? Puede usar los intervalos de confianza para responder esta pregunta (créditos: comedy_nose/flickr). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Calcular e interpretar los intervalos de confianza para estimar una media poblacional y una proporción poblacionales. Interpretar la distribución de probabilidad t de Student a medida que cambia el tamaño de la muestra. Discriminar los problemas aplicando la distribución normal y la t de Student. Calcular el tamaño de la muestra necesario para estimar una media poblacional y una proporción poblacional dado un nivel de confianza y un margen de error deseados. Supongamos que intenta determinar el alquiler medio de un apartamento de dos habitaciones en su ciudad. Puede buscar en la sección de anuncios del periódico, anotar varios alquileres que aparezcan y hacer un promedio entre ellos. Habría obtenido una estimación puntual de la media real. Si intenta determinar el porcentaje de veces que encesta cuando lanza una pelota de baloncesto, puede contar el número de tiros que lo logra y dividirlo entre el número de tiros que intenta. En este caso, se habría obtenido una estimación puntual de la proporción real. Utilizamos los datos de la muestra para hacer generalizaciones sobre una población desconocida. Esta parte de la Estadística se llama Estadística Inferencial . Los datos de la muestra nos ayudan a hacer una estimación de un parámetro de la población. Nos damos cuenta de que lo más probable es que la estimación puntual no sea el valor exacto del parámetro poblacional, sino que se acerque a él. Después de calcular las estimaciones puntuales, construimos las estimaciones de intervalo, llamadas intervalos de confianza. En este capítulo aprenderá a construir e interpretar intervalos de confianza. También aprenderá una nueva distribución, la t de Student, y cómo se utiliza con estos intervalos. A lo largo del capítulo es importante tener en cuenta que el intervalo de confianza es una variable aleatoria. Es el parámetro poblacional que se fija. Si usted trabajara en el departamento de mercadeo de una compañía de entretenimiento, podría interesarse por el número medio de canciones que un consumidor descarga al mes de iTunes. Si es así, puede hacer una encuesta y calcular la media muestral, x ¯ , y la desviación típica de la muestra, s . Usaría x ¯ para estimar la media de la población y s para estimar la desviación típica de la población. La media muestral, x ¯ , es la estimación puntual de la media de la población, μ . La desviación típica de la muestra, s , es la estimación puntual de la desviación típica de la población, σ . Cada uno de x ¯ Cada y s se llama estadística. Un intervalo de confianza es otro tipo de estimación pero, en vez de ser un solo número, es un intervalo de números. Proporciona un rango de valores razonables en el que esperamos que se ubique el parámetro de la población. No hay garantía de que un determinado intervalo de confianza capte el parámetro, pero hay una probabilidad de éxito predecible. Supongamos, para el ejemplo de iTunes, que no conocemos la media poblacional μ , pero sí sabemos que la desviación típica de la población es σ = 1 y que nuestro tamaño de muestra es 100. Entonces, por el teorema del límite central, la desviación típica para la media de la muestra es σ n = 1 100 = 0,1 . La regla empírica , que se aplica a las distribuciones en forma de campana, dice que en aproximadamente el 95 % de las muestras, la media muestral, x ¯ , estará dentro de las dos desviaciones típicas de la media poblacional μ . Para nuestro ejemplo de iTunes, dos desviaciones típicas son (2)(0,1) = 0,2. La media muestral x ¯ es probable que esté dentro de 0,2 unidades de μ . Dado que x ¯ está dentro de 0,2 unidades de μ , que es desconocido, entonces es probable que μ esté dentro de 0,2 unidades de x ¯ en el 95 % de las muestras. La media poblacional μ está contenida en un intervalo cuyo número inferior se calcula tomando la media muestral y restando dos desviaciones típicas (2)(0,1) y cuyo número superior se calcula tomando la media muestral y sumando dos desviaciones típicas. En otras palabras, μ está entre x ¯ – 0 0,2 y x ¯ + 0 0,2 en el 95 % de las muestras. Para el ejemplo de iTunes, supongamos que una muestra produce una media muestral x ¯ = 2 . Entonces la media poblacional desconocida μ está entre x ¯ – 0,2 = 2 – 0,2 = 1,8 y x ¯ + 0,2 = 2 + 0,2 = 2,2 Decimos que tenemos un 95 % de confianza en que la media de la población desconocida de canciones descargadas de iTunes al mes está entre 1,8 y 2,2. El intervalo de confianza del 95 % es (1,8; 2,2). El intervalo de confianza del 95 % implica dos posibilidades. O bien el intervalo (1,8, 2,2) contiene la verdadera media μ o nuestra muestra produjo un x ¯ que no esté a menos de 0,2 unidades de la media verdadera μ . La segunda posibilidad solo se da en el 5 % de las muestras (95 a 100 %). Recuerde que un intervalo de confianza se crea para un parámetro poblacional desconocido como la media poblacional, μ . Los intervalos de confianza para algunos parámetros tienen la forma: (estimación puntual - margen de error, estimación puntual + margen de error ) El margen de error depende del nivel o porcentaje de confianza y del error estándar de la media. Cuando lea los periódicos y revistas, algunos informes utilizarán la frase "margen de error". Otros informes no utilizan esa frase, sino que incluyen un intervalo de confianza como la estimación puntual más o menos el margen de error. Son dos formas de expresar el mismo concepto. Nota Aunque el texto solo contempla los intervalos de confianza simétricos, existen intervalos de confianza no simétricos (por ejemplo, un intervalo de confianza para la desviación típica). Haga que su instructor registre el número de comidas que cada estudiante de su clase come fuera en una semana. Supongamos que se sabe que la desviación típica es de tres comidas. Construya un intervalo de confianza aproximado del 95 % para el número de la media real de comidas que los estudiantes comen fuera de casa cada semana. Calcule la media muestral. Sea σ = 3 y n = el número de estudiantes encuestados. Construya el intervalo ( x ¯ – 2 ⋅ σ n , x ¯ + 2 ⋅ σ n ) . Decimos que tenemos aproximadamente un 95 % de confianza en que la media real del número de comidas que los estudiantes comen fuera de casa a la semana está entre __________ y ___________. Intervalo de confianza (IC) una estimación de intervalo para un parámetro poblacional desconocido. Esto depende de el nivel de confianza deseado, información que se conoce sobre la distribución (por ejemplo, la desviación típica conocida), la muestra y su tamaño. Estadística Inferencial también llamada inferencia estadística o estadística inductiva; esta faceta de la estadística se ocupa de estimar un parámetro poblacional a partir de un estadístico muestral. Por ejemplo, si cuatro de las 100 calculadoras muestreadas son defectuosas, podríamos deducir que el cuatro por ciento de la producción es defectuosa. Parámetro una característica numérica de una población Estimación puntual un número único calculado a partir de una muestra y utilizado para estimar un parámetro de la población

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La media de una población utilizando la distribución normal Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica poblacional conocida se basa en la conclusión del teorema del límite central de que la distribución muestral de las medias muestrales sigue una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x ¯ = 10 y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Cálculo del intervalo de confianza Para construir un intervalo de confianza para una única media poblacional desconocida μ , cuando se conoce la desviación típica de la población , necesitamos x ¯ como una estimación de μ y necesitamos el margen de error. Aquí, el margen de error ( EBM ) se denomina límite de error para una media poblacional (abreviado EBM ). La media muestral x ¯ es la estimación puntual de la media poblacional desconocida μ . La estimación del intervalo de confianza tendrá la forma: (estimación puntual – límite de error, estimación puntual + límite de error) o, en símbolos, ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) El margen de error ( EBM ) depende del nivel de confianza ( Confidence Level, CL ). El nivel de confianza suele considerarse la probabilidad de que la estimación del intervalo de confianza calculado contenga el verdadero parámetro poblacional. Sin embargo, es más preciso afirmar que el nivel de confianza es el porcentaje de intervalos de confianza que contienen el verdadero parámetro de la población cuando se toman muestras repetidas. La mayoría de las veces, la persona que construye el intervalo de confianza elige un nivel de confianza del 90 % o superior porque quiere estar razonablemente segura de sus conclusiones. Existe otra probabilidad llamada alfa ( α ). α está relacionada con el nivel de confianza, CL . α es la probabilidad de que el intervalo no contenga el parámetro poblacional desconocido. Matemáticamente, α + CL = 1. Supongamos que hemos recogido datos de una muestra. Conocemos la media de la muestra, pero no conocemos la media de toda la población. La media de la muestra es 7 y el límite de error de la media es 2,5. x ¯ = 7 y EBM = 2,5 El intervalo de confianza es (7 - 2,5; 7 + 2,5), y el cálculo de los valores da (4,5; 9,5). Si el nivel de confianza ( CL ) es del 95 %, entonces decimos que "estimamos con un 95 % de confianza que el verdadero valor de la media poblacional está entre 4,5 y 9,5". Ejercicio Supongamos que tenemos datos de una muestra. La media de la muestra es 15, y el límite de error para la media es 3,2. ¿Cuál es la estimación del intervalo de confianza para la media de la población? Un intervalo de confianza para una media poblacional con una desviación típica conocida se basa en el hecho de que las medias muestrales siguen una distribución aproximadamente normal. Supongamos que nuestra muestra tiene una media de x ¯ = 10, y hemos construido el intervalo de confianza del 90 % (5, 15) donde EBM = 5. Para obtener un intervalo de confianza del 90 %, debemos incluir el 90 % central de la probabilidad de la distribución normal. Si incluimos el 90 % central, dejamos fuera un total de α = 10 % en ambas colas, o 5 % en cada cola, de la distribución normal. Para captar el 90 % central, debemos salir 1,645 "desviaciones típicas" a cada lado de la media muestral calculada. El valor 1,645 es la puntuación z de una distribución de probabilidad normal estándar que sitúa un área de 0,90 en el centro, un área de 0,05 en la cola extrema izquierda y un área de 0,05 en la cola extrema derecha. Es importante que la "desviación típica" utilizada sea la adecuada para el parámetro que estamos estimando, por lo que en este apartado debemos utilizar la desviación típica que se aplica a las medias muestrales, que es σ n . La fracción σ n , se denomina comúnmente "error estándar de la media" para distinguir claramente desviación típica de una media de la desviación típica de la población σ . En resumen, como resultado del teorema del límite central: X ¯ se distribuye normalmente, es decir, X ¯ ~ N ( μ X , σ n ) . Cuando se conoce la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal para calcular el límite de error. Cálculo del intervalo de confianza Para construir una estimación de intervalo de confianza para una media poblacional desconocida necesitamos datos de una muestra aleatoria. Los pasos para construir e interpretar el intervalo de confianza son: Calcular la media muestral x ¯ de los datos de la muestra. Recuerde que en esta sección ya conocemos la desviación típica de la población σ . Calcule la puntuación z que corresponde al nivel de confianza. Calcular el límite de error EBM . Construir el intervalo de confianza. Escriba una oración que interprete la estimación en el contexto de la situación del problema. (Explique lo que significa el intervalo de confianza, en las palabras del problema). Primero examinaremos cada paso con más detalle y luego ilustraremos el proceso con algunos ejemplos. Calcular la puntuación z para el nivel de confianza declarado Cuando conocemos la desviación típica de la población σ , utilizamos una distribución normal estándar para calcular el EBM y construir el intervalo de confianza. Necesitamos hallar el valor de z que pone un área igual al nivel de confianza (en forma decimal) en el centro de la distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). El nivel de confianza, CL , es el área en el medio de la distribución normal estándar. CL = 1 – α , por lo que α es el área que se divide por igual entre las dos colas. Cada una de las colas contiene un área igual a α 2 . La puntuación z que tiene un área a la derecha de α 2 se denota por z α 2 . Por ejemplo, cuando CL = 0,95, α = 0,05 y α 2 = 0,025; escribimos z α 2 = z 0,025 . El área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. z α 2 = z 0, 025 = 1 0,96 , utilizando una calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad normal estándar. invNorm (0,975, 0, 1) = 1,96 Nota Recuerde utilizar el área a la IZQUIERDA de z α 2 ; en este capítulo las dos últimas entradas en el comando invNorm son 0, 1, porque se está utilizando una distribución normal estándar Z ~ N (0, 1). Cálculo del límite de error ( EBM ) La fórmula del límite de error para una media poblacional desconocida μ cuando se conoce la desviación típica poblacional σ es EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) Construcción del intervalo de confianza La estimación del intervalo de confianza tiene el formato ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) . El gráfico da una idea de toda la situación. CL + α 2 + α 2 = CL + α = 1. Redacción de la interpretación La interpretación debe indicar claramente el nivel de confianza ( CL ), explicar qué parámetro de la población se está estimando (en este caso, una media de la población ), e indicar el intervalo de confianza (ambos puntos finales). "Estimamos con un ___% de confianza que la verdadera media de la población (incluya el contexto del problema) está entre ___ y ___ (incluya las unidades adecuadas)". Supongamos que las puntuaciones de los exámenes de estadística se distribuyen normalmente con una media poblacional desconocida y una desviación típica de la población de tres puntos. Se toma una muestra aleatoria de 36 puntuaciones y se obtiene una media muestral (puntuación media de la muestra) de 68. Calcule una estimación del intervalo de confianza para la calificación media del examen de la población (la calificación media de todos los exámenes). Calcule un intervalo de confianza del 90 % para la media real (poblacional) de las calificaciones de los exámenes de Estadística. Puede utilizar la tecnología para calcular directamente el intervalo de confianza. La primera solución se muestra paso a paso. La segunda solución utiliza las calculadoras TI-83, 83+ y 84+ Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 90 % ( CL = 0,90) CL = 0,90 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,90 = 0,10 α 2 = 0,05 z α 2 = z 0,05 El área a la derecha de z 0,05 es 0,05 y el área a la izquierda de z 0,05 es 1 - 0,05 = 0,95. z α 2 = z 0,05 = 1 0,645 utilizando invNorm(0,95; 0, 1) en las calculadoras TI-83,83+ y 84+. Esto también se puede calcular utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar. EBM = (1,645) ( 3 36 ) = 0,8225 x ¯ – EBM = 68 – 0,8225 = 67,1775 x ¯ + EBM = 68 + 0,8225 = 68,8225 El intervalo de confianza del 90 % es (67,1775; 68,8225) Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 7:ZInterval . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo e introduzca tres para σ , 68 para x ¯ , 36 para n , y 0,90 para C-level . Desplace la flecha hacia abajo Calculate y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (con tres decimales) (67,178; 68,822). Interpretación Estimamos con un 90 % de confianza que la verdadera calificación media del examen de la población para todos los estudiantes de Estadística está entre 67,18 y 68,82. Explicación del nivel de confianza del 90 % El noventa por ciento de los intervalos de confianza construidos de este modo contienen la verdadera puntuación media del examen estadístico. Por ejemplo, si construyéramos 100 de estos intervalos de confianza, esperaríamos que 90 de ellos contuvieran la verdadera puntuación media del examen de la población. Ejercicio Supongamos que los tiempos promedio de entrega de las pizzas se distribuyen normalmente con una media poblacional desconocida y una desviación típica desviación típica de la población de seis minutos. Se toma una muestra aleatoria de 28 pizzerías y se obtiene una media de tiempo de entrega de 36 minutos. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de entrega de la población. (34,1347, 37,8653) La tasa de absorción específica (Specific Absorption Rate, SAR) de un teléfono móvil mide la cantidad de energía de radiofrecuencia (Radio Frequency, RF) que absorbe el cuerpo del usuario cuando utiliza el teléfono. Todos los teléfonos móviles emiten energía de radiofrecuencia. Los diferentes modelos de teléfono tienen diferentes medidas de SAR. Para recibir la certificación de la Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) para su venta en los Estados Unidos, el nivel de SAR de un teléfono móvil no debe ser superior a 1,6 vatios por kilogramo. La muestra el nivel SAR más alto de una selección aleatoria de modelos de teléfonos móviles según las mediciones de la FCC. Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR iPhone 4S de Apple 1,11 LG Ally 1,36 Pantech Laser 0,74 BlackBerry Pearl 8120 1,48 LG AX275 1,34 Samsung Character 0,5 BlackBerry Tour 9630 1,43 LG Cosmos 1,18 Samsung Epic 4G Touch 0,4 Cricket TXTM8 1.3 LG CU515 1.3 Samsung M240 0,867 HP/Palm Centro 1,09 LG Trax CU575 1,26 Samsung Messager III SCH-R750 0,68 HTC One V 0,455 Motorola Q9h 1,29 Samsung Nexus S 0,51 HTC Touch Pro 2 1,41 Motorola Razr2 V8 0,36 Samsung SGH-A227 1,13 Huawei M835 Ideos 0,82 Motorola Razr2 V9 0,52 SGH-a107 GoPhone 0,3 Kyocera DuraPlus 0,78 Motorola V195s 1,6 Sony W350a 1,48 Kyocera K127 Marbl 1,25 Nokia 1680 1,39 T-Mobile Concord 1,38 Calcule un intervalo de confianza del 98 % para la media verdadera (de la población) de las tasas de absorción específica (SAR) de los teléfonos celulares. Supongamos que la desviación típica de la población es σ = 0,337. Para hallar el intervalo de confianza, hay que empezar por calcular la estimación puntual: la media de la muestra. x ¯ = 1,024 A continuación, calcule el EBM . Como está creando un intervalo de confianza del 98 %, CL = 0,98. Se necesita calcular z 0,01 que tenga la propiedad de que el área bajo la curva de densidad normal a la derecha de z 0,01 es 0,01 y el área a la izquierda es 0,99. Utilice su calculadora, una computadora o una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar para calcular z 0,01 = 2,326. E B M = ( z 0,01 ) σ n = ( 2,326 ) 0,337 30 = 0,1431 Para calcular el intervalo de confianza del 98 %, calcule x ¯ ± E B M . x ¯ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 0,8809 x ¯ - EBM = 1,024 - 0,1431 = 1,1671 Estimamos con un 98 % de confianza que la verdadera media de SAR para la población de teléfonos móviles en Estados Unidos está entre 0,8809 y 1,1671 vatios por kilogramo. Pulse STAT y desplace la flecha hasta TESTS. Desplace la flecha hacia abajo hasta 7:ZInterval. Pulse ENTER. Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER. Desplace la flecha hacia abajo e introduzca los siguientes valores: σ : 0,337 x ¯ : 1,024 n : 30 Nivel C : 0,98 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER. El intervalo de confianza es (con tres decimales) (0,881; 1,167). Ejercicio La muestra un muestreo aleatorio de 20 modelos de teléfonos móviles. Utilice estos datos para calcular un intervalo de confianza del 93 % para la verdadera media de SAR de los teléfonos móviles certificados para su uso en Estados Unidos. Como en el caso anterior, supongamos que la desviación típica de la población es σ = 0,337. Modelo de teléfono SAR Modelo de teléfono SAR Blackberry Pearl 8120 1,48 Nokia E71x 1,53 HTC Evo Design 4G 0,8 Nokia N75 0,68 HTC Freestyle 1,15 Nokia N79 1,4 LG Ally 1,36 Sagem Puma 1,24 LG Fathom 0,77 Samsung Fascinate 0,57 LG Optimus Vu 0,462 Samsung Infuse 4G 0,2 Motorola Cliq XT 1,36 Samsung Nexus S 0,51 Motorola Droid Pro 1,39 Samsung Replenish 0,3 Motorola Droid Razr M 1.3 Sony W518a Walkman 0,73 Nokia 7705 Twist 0,7 ZTE C79 0,869 Observe la diferencia en los intervalos de confianza calculados en el y en el siguiente Ejercicio . Estos intervalos son diferentes por varias razones: se calcularon a partir de muestras diferentes, las muestras eran de distinto tamaño y los intervalos se calcularon para distintos niveles de confianza. Aunque los intervalos son diferentes, no aportan información contradictoria. Los efectos de este tipo de cambios son el tema de la siguiente sección de este capítulo. Modificación del nivel de confianza o del tamaño de la muestra Supongamos que cambiamos el problema original en el utilizando un nivel de confianza del 95 %. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la calificación media real (poblacional) del examen estadístico. Para hallar el intervalo de confianza se necesita la media muestral, x ¯ , y el EBM . x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; n = 36; el nivel de confianza es del 95 % ( CL = 0,95). CL = 0,95 por lo que α = 1 – CL = 1 – 0,95 = 0,05 α 2 = 0,025 z α 2 = z 0,025 El área a la derecha de z 0,025 es 0,025 y el área a la izquierda de z 0,025 es 1 – 0,025 = 0,975. z α 2 = z 0,025 = 1,96 cuando se utiliza invnorm(0,975,0,1) en las calculadoras TI-83, 83+ u 84+ (esto también se puede encontrar utilizando los comandos apropiados en otras calculadoras, utilizando una computadora o utilizando una tabla de probabilidad para la distribución normal estándar). EBM = (1,96) ( 3 36 ) = 0,98 x ¯ - EBM = 68 - 0,98 = 67,02 x ¯ + EBM = 68 + 0,98 = 68,98 Observe que el EBM es mayor para un nivel de confianza del 95 % en el problema original. Estimamos con un 95 % de confianza que la verdadera media poblacional de todas las puntuaciones de los exámenes de estadística está entre 67,02 y 68,98. Explicación del nivel de confianza del 95 %: El 95 % de todos los intervalos de confianza construidos de este modo contienen el verdadero valor de la puntuación media del examen estadístico de la población. Comparar los resultados: El intervalo de confianza del 90 % es (67,18; 68,82). El intervalo de confianza del 95 % es (67,02; 68,98). El intervalo de confianza del 95 % es más amplio. Si observa los gráficos, como el área 0,95 es mayor que el área 0,90, tiene sentido que el intervalo de confianza del 95 % sea más amplio. Para estar más seguro de que el intervalo de confianza contiene realmente el verdadero valor de la media de la población para todas las calificaciones de los exámenes de estadística, el intervalo de confianza tiene que ser necesariamente más amplio. Resumen: efecto de la modificación del nivel de confianza Al aumentar el nivel de confianza se incrementa el límite de error, lo que hace que el intervalo de confianza sea más amplio. La disminución del nivel de confianza reduce el límite de error, lo que hace que el intervalo de confianza sea más estrecho. Ejercicio Vuelva a consultar el Ejercicio de entrega de pizzas. La desviación típica de la población es de seis minutos y la media de la muestra del tiempo de entrega es de 36 minutos. Utilice un tamaño de muestra de 20. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 95 % para la media real del tiempo de entrega de la pizza. Supongamos que cambiamos el problema original en el para ver qué ocurre con el límite de error si se cambia el tamaño de la muestra. Deje todo igual excepto el tamaño de la muestra. Utilice el nivel de confianza original del 90 %. ¿Qué ocurre con el límite de error y el intervalo de confianza si aumentamos el tamaño de la muestra y utilizamos n = 100 en lugar de n = 36? ¿Qué ocurre si disminuimos el tamaño de la muestra a n = 25 en vez de n = 36? x ¯ = 68 EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) σ = 3; el nivel de confianza es del 90 % ( CL =0,90); z α 2 = z 0,05 = 1,645. Si aumentamos el tamaño de la muestra n a 100, disminuimos el límite de error. Cuando n = 100: EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) = (1,645) ( 3 100 ) = 0,4935. Si disminuimos el tamaño de la muestra n a 25, aumentamos el límite de error. Cuando n = 25: EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) = (1,645) ( 3 25 ) = 0,987. Resumen: efecto de la modificación del tamaño de la muestra El aumento del tamaño de la muestra hace que el límite de error disminuya, haciendo que el intervalo de confianza sea más estrecho. La disminución del tamaño de la muestra hace que el límite de error aumente, haciendo que el intervalo de confianza sea más amplio. Ejercicio Vuelva a consultar el Ejercicio de entrega de pizzas. La media de tiempo de entrega es de 36 minutos y la desviación típica de la población es de seis minutos. Supongamos que el tamaño de la muestra se cambia a 50 restaurantes con la misma media muestral. Calcule una estimación del intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de entrega de la población. Hacer el cálculo a la inversa para calcular el límite de error o la media de la muestra Cuando calculamos un intervalo de confianza, encontramos la media de la muestra, calculamos el límite de error y lo utilizamos para calcular el intervalo de confianza. Sin embargo, a veces, cuando leemos estudios estadísticos, el estudio puede indicar solo el intervalo de confianza. Si conocemos el intervalo de confianza, podemos hacer el cálculo a la inversa para hallar tanto el límite de error como la media de la muestra. Calcular el límite de error Del valor superior del intervalo, reste la media de la muestra. O, del valor superior del intervalo, reste el valor inferior. A continuación, divida la diferencia entre dos. Calcular la media de la muestra Reste el límite de error del valor superior del intervalo de confianza. O, promedie los puntos finales superior e inferior del intervalo de confianza. Observe que hay dos métodos para realizar cada cálculo. Puede elegir el método que sea más fácil de utilizar con la información que conoce. Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (67,18; 68,82) y queremos calcular el límite de error. Puede que sepamos que la media de la muestra es 68, o puede que nuestra fuente solo haya dado el intervalo de confianza y no nos haya dicho el valor de la media de la muestra. Calcule el límite de error: Si sabemos que la media de la muestra es de 68 EBM = 68,82 - 68 = 0,82. Si no conocemos la media de la muestra: EBM = ( 68,82 – 67,18 ) 2 = 0,82. Calcule la media de la muestra: Si conocemos el límite de error: x ¯ = 68,82 – 0,82 = 68 Si no conocemos el límite de error: x ¯ = ( 67,18 + 68,82 ) 2 = 68. Ejercicio Supongamos que sabemos que un intervalo de confianza es (42,12; 47,88). Encuentra el límite de error y la media muestral. Cálculo del tamaño de la muestra n Si los investigadores desean un margen de error específico, pueden utilizar la fórmula del límite de error para calcular el tamaño necesario de la muestra. La fórmula del límite de error para una media poblacional cuando se conoce la desviación típica de la población es EBM = ( z α 2 ) ( σ n ) . La fórmula del tamaño de la muestra es n = z 2 σ 2 E B M 2 , que se encuentra resolviendo la fórmula del límite de error para n . En esta fórmula, z es z α 2 , correspondiente al nivel de confianza deseado. Un investigador que planifique un estudio y desee un nivel de confianza y un límite de error específicos puede utilizar esta fórmula para calcular el tamaño de la muestra necesaria para el estudio. La desviación típica de la población para la edad de los estudiantes de Foothill College es de 15 años. Si queremos tener un 95 % de confianza en que la media de edad de la muestra está dentro de los dos años de la verdadera media de edad de la población de estudiantes de Foothill College, ¿cuántos estudiantes de Foothill College seleccionados al azar deben encuestarse? Por el problema, sabemos que σ = 15 y EBM = 2. z = z 0,025 = 1,96, porque el nivel de confianza es del 95 %. n = z 2 σ 2 E B M 2 = ( 1,96 ) 2 ( 15 ) 2 2 2 = 216,09 utilizando la ecuación del tamaño de la muestra. Utilice n = 217: Redondee siempre la respuesta al número entero superior para asegurarse de que el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande. Por lo tanto, habría que encuestar a 217 estudiantes de Foothill College para estar seguros en un 95 % de que estamos dentro de los dos años de la verdadera edad media de la población de estudiantes del Foothill College. Ejercicio La desviación típica de la población para la altura de los jugadores de baloncesto de la escuela secundaria es de tres pulgadas. Si queremos tener un 95 % de confianza en que la estatura media de la muestra está dentro de una pulgada de la estatura media real de la población, ¿cuántos estudiantes seleccionados al azar deben ser encuestados? Referencias “American Fact Finder”. U.S. Census Bureau. Disponible en línea en http://factfinder2.census.gov/faces/nav/jsf/pages/searchresults.xhtml?refresh=t (consultado el 2 de julio de 2013). “Disclosure Data Catalog: Candidate Summary Report 2012”. U.S. Federal Election Commission. Disponible en línea en http://www.fec.gov/data/index.jsp (consultado el 2 de julio de 2013). “Headcount Enrollment Trends by Student Demographics Ten-Year Fall Trends to Most Recently Completed Fall”. Foothill De Anza Community College District. Disponible en línea en http://research.fhda.edu/factbook/FH_Demo_Trends/FoothillDemographicTrends.htm (consultado el 30 de septiembre de 2013). Kuczmarski, Robert J., Cynthia L. Ogden, Shumei S. Guo, Laurence M. Grummer-Strawn, Katherine M. Flegal, Zuguo Mei, Rong Wei, Lester R. Curtin, Alex F. Roche, Clifford L. Johnson. “2000 CDC Growth Charts for the United States: Methods and Development”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/growthcharts/2000growthchart-us.pdf (consultado el 2 de julio de 2013). La, Lynn, Kent German. “Cell Phone Radiation Levels”. c|net parte de CBX Interactive Inc. 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Repaso del capítulo En este módulo hemos aprendido a calcular el intervalo de confianza para una media poblacional única cuando se conoce la desviación típica de la población. Al estimar una media poblacional, el margen de error se denomina límite de error para una media poblacional ( EBM ). Un intervalo de confianza tiene la forma general: (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM , estimación puntual + EBM ) El cálculo de EBM depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El nivel de confianza es el porcentaje de todas las muestras posibles que se puede esperar que incluyan el verdadero parámetro de la población. A medida que aumenta el nivel de confianza, aumenta también el EBM correspondiente. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, el EBM disminuye. Por el teorema del límite central, E B M = z σ n Dado un intervalo de confianza, se puede hacer el cálculo a la inversa para hallar el límite de error (EBM ) o la media de la muestra. Para calcular el límite de error, halle la diferencia del límite superior del intervalo y la media. Si no conoce la media de la muestra, puede hallar el límite de error calculando la mitad de la diferencia de los límites superior e inferior. Para hallar la media muestral dado un intervalo de confianza, calcule la diferencia del límite superior y el límite de error. Si se desconoce el límite de error, se promedian los límites superior e inferior del intervalo de confianza para hallar la media muestral. A veces, los investigadores saben de antemano que quieren estimar una media poblacional dentro de un margen de error específico para un nivel de confianza dado. En ese caso, resuelva la fórmula EBM para n para descubrir el tamaño de la muestra que se necesita para lograr este objetivo: n = z 2 σ 2 E B M 2 Revisión de la fórmula X ¯ ~ N ( μ X , σ n ) La distribución de las medias muestrales se distribuye normalmente con una media igual a la media de la población y una desviación típica dada por la desviación típica de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. La forma general de un intervalo de confianza para una media poblacional única, desviación típica conocida, distribución normal viene dada por (límite inferior, límite superior) = (estimación puntual - EBM , estimación puntual + EBM ) = ( x ¯ – E B M , x ¯ + E B M ) = ( x ¯ – z σ n , x ¯ + z σ n ) EBM = z σ n = el límite de error para la media, o el margen de error para una única media poblacional; esta fórmula se utiliza cuando se conoce la desviación típica de la población. CL = nivel de confianza, o la proporción de intervalos de confianza creados que se espera que contengan el verdadero parámetro poblacional α = 1 – CL = la proporción de intervalos de confianza que no contendrán el parámetro poblacional z α 2 = la puntuación z con la propiedad de que el área a la derecha de la puntuación z es ∝ 2 esta puntuación z utilizada en el cálculo de “EBM donde α = 1 – CL . n = z 2 σ 2 E B M 2 = fórmula utilizada para determinar el tamaño de la muestra ( n ) necesario para alcanzar un margen de error deseado con un nivel de confianza determinado Forma general de un intervalo de confianza (valor inferior, valor superior) = (estimación puntual-límite de error, estimación puntual + límite de error) Para calcular el límite de error cuando se conoce el intervalo de confianza límite de error = estimación del punto de valor superior O límite de error = valor superior – valor inferior 2 Media de una población, desviación típica conocida, distribución normal Utilice la distribución normal para las medias, la desviación típica de la población es conocida EBM = z α 2 ⋅ σ n El intervalo de confianza tiene el formato ( x ¯ - EBM , x ¯ + EBM ). Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: se sabe que la desviación típica del peso de los elefantes es de 15 libras aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de las crías de elefante recién nacidas. Se pesan cincuenta elefantes recién nacidos. La media muestral es de 244 libras. La desviación típica de la muestra es de 11 libras. Identifique lo siguiente: x ¯ = _____ σ = _____ n = _____ 244 15 50 En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? N ( 244 , 15 50 ) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio de la población de elefantes recién nacidos. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el intervalo de confianza obtenido si se pesan 500 elefantes recién nacidos en vez de 50? ¿Por qué? A medida que aumenta el tamaño de la muestra, habrá menos variabilidad en la media, por lo que el tamaño del intervalo disminuye. Use la siguiente información para responder los próximos siete ejercicios: la Oficina del Censo de EE. UU. realiza un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar el formulario corto. La oficina encuesta a 200 personas. La media muestral es de 8,2 minutos. Se conoce una desviación típica de 2,2 minutos. Se supone que la distribución de la población es normal. Identifique lo siguiente: x ¯ = _____ σ = _____ n = _____ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . X es el tiempo en minutos que se tarda en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. X ¯ es el tiempo medio que tardó una muestra de 200 personas en rellenar el formulario corto del Censo de EE. UU. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para rellenar los formularios. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. CI: (7,9441; 8,4559) EBM = 0,26 Si el censo quiere aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si el censo realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara solo a 50 personas en vez de 200, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? El nivel de confianza disminuiría porque la disminución de n hace que el intervalo de confianza sea más amplio, por lo que a igual límite de error, el nivel de confianza disminuye. Supongamos que el censo necesita tener un 98 % de confianza en la duración media de la población. ¿El censo tendría que encuestar a más personas? ¿Por qué sí o por qué no? Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios: se seleccionó una muestra de 20 cabezas de lechuga. Supongamos que la distribución poblacional del peso de la cabeza es normal. Luego se registró el peso de cada cabeza de lechuga. El peso medio era de 2,2 libras con una desviación típica de 0,1 libras. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,2 libras. Identifique lo siguiente: x ¯ = ______ σ = ______ n = ______ x ¯ = 2,2 σ = 0,2 n = 20 Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . X ¯ es el peso medio de una muestra de 20 cabezas de lechuga. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. EBM = 0,07 CI: (2,1264; 2,2736) Construya un intervalo de confianza del 95 % para el peso medio poblacional de las cabezas de lechuga. Indique el intervalo de confianza, dibuje el gráfico y calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza en el es mayor que en el . El intervalo es mayor porque el nivel de confianza aumentó. Si el único cambio realizado en el análisis es un cambio en el nivel de confianza, entonces todo lo que estamos haciendo es cambiar la cantidad de área que se calcula para la distribución normal. Por lo tanto, un nivel de confianza mayor genera áreas e intervalos más amplios. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo en el . ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el límite de error siguiera siendo el mismo? El nivel de confianza aumentaría. ¿Qué pasaría si se tomaran muestras de 40 cabezas de lechuga en vez de 20, y el nivel de confianza siguiera siendo el mismo? Utilice la siguiente información para responder a los siguientes 14 ejercicios: la edad media de todos los estudiantes del Foothill College en el trimestre de otoño pasado fue de 33,2 años. La desviación típica de la población ha sido bastante constante en 15. Supongamos que se seleccionan al azar veinticinco estudiantes del semestre de invierno. La edad media de la muestra era de 30,4 años. Estamos interesados en la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College. Supongamos que X = la edad de un estudiante del semestre de invierno del Foothill College. x ¯ = _____ 30,4 n = _____ ________ = 15 σ En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . ¿Cuál es el x ¯ estimado? μ ¿Es σ x conocido? Como resultado de su respuesta en el , indique la distribución exacta que se debe usar para calcular el intervalo de confianza. normal Construya un Intervalo de Confianza del 95 % para la edad media real de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College, elabore y responda los siguientes siete ejercicios . ¿Cuánta superficie hay en ambas cruces (combinadas)? α =________ ¿Cuánta superficie hay en cada cola? α 2 =________ 0,025 Identifique las siguientes especificaciones límite inferior límite superior límite de error El intervalo de confianza del 95 % es: __________________. (24,52;36,28) Rellene los espacios en blanco del gráfico con las áreas, los límites superior e inferior del intervalo de confianza y la media muestral. Explique el significado del intervalo en una oración completa. Tenemos el 95 % de confianza en que la verdadera edad media de los estudiantes del semestre de invierno del Foothill College está entre 24,52 y 36,28. Utilizando las mismas media, desviación típica y nivel de confianza, supongamos que n fuera 69 en vez de 25. ¿El límite de error sería mayor o menor? ¿Cómo lo sabe? Utilizando las mismas media, desviación típica y tamaño de la muestra, ¿cómo cambiaría el límite de error si el nivel de confianza se redujera al 90 %? ¿Por qué? El límite de error para la media disminuiría porque a medida que el nivel de confianza (Confidence Level, CL) disminuye, se necesita menos área debajo de la curva normal (lo que se traduce en un intervalo más pequeño) para capturar la verdadera media de la población. Tarea para la casa Se sabe que la desviación típica de las alturas entre los distintos grupos étnicos es de tres pulgadas aproximadamente. Queremos construir un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de los hombres suecos. Se encuestaron cuarenta y ocho hombres suecos. La media muestral es de 71 pulgadas. La desviación típica de la muestra es de 2,8 pulgadas. x ¯ =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la altura media de la población de hombres suecos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué pasará con el nivel de confianza obtenido si se encuestan 1.000 hombres suecos en vez de 48? ¿Por qué? 71 3 48 X es la altura de un hombre suizo, y es la altura media de una muestra de 48 hombres suizos. Normal. Conocemos la desviación típica de la población y el tamaño de la muestra es superior a 30. CI: (70,151; 71,49) EBM = 0,849 El intervalo de confianza disminuirá en tamaño porque el tamaño de la muestra aumentó. Recordemos que cuando todos los factores permanecen inalterados, un aumento del tamaño de la muestra disminuye la variabilidad. Por lo tanto, no necesitamos un intervalo tan grande para capturar la verdadera media de la población. Los anuncios de las 84 próximas conferencias de ingeniería se eligieron al azar de una pila de revistas IEEE Spectrum. La duración media de las conferencias fue de 3,94 días, con una desviación típica de 1,28 días. Supongamos que la población subyacente es normal. En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de la duración de las conferencias de ingeniería Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Supongamos que una compañía de contabilidad hace un estudio para determinar el tiempo necesario para rellenar los formularios de impuestos de una persona. Encuesta al azar a 100 personas. La media muestral es de 23,6 horas. Existe una desviación típica conocida de 7,0 horas. Se supone que la distribución de la población es normal. x ¯ =________ σ =________ n =________ En palabras, defina las variables aleatorias X y X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el tiempo medio de la población para completar los formularios de impuestos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Si la compañía quisiera aumentar su nivel de confianza y mantener el límite de error igual realizando otra encuesta, ¿qué cambios debería hacer? Si la compañía realizara otra encuesta, mantuviera el límite de error igual y encuestara 49 personas solamente, ¿qué pasaría con el nivel de confianza? ¿Por qué? Supongamos que la compañía decide que necesita tener, al menos, el 96 % de confianza de la media de la población que se tarda una hora. ¿Cómo cambiaría el número de personas que la compañía encuesta? ¿Por qué? x ¯ = 23,6 σ = 7 n = 100 X es el tiempo necesario para rellenar un formulario de impuestos individual. X ¯ es el tiempo medio para rellenar los formularios de impuestos de una muestra de 100 clientes. N ( 23,6 , 7 100 ) porque conocemos sigma. (22,228; 24,972) EBM = 1,372 Tendrá que cambiar el tamaño de la muestra. La compañía debe determinar cuál debe ser el nivel de confianza y, a continuación, aplicar la fórmula del límite de error para determinar el tamaño de la muestra necesario. El nivel de confianza aumentaría como consecuencia de un intervalo mayor. Muestras de menor tamaño generan mayor variabilidad. Para capturar la verdadera media de la población necesitamos un intervalo mayor. Según la fórmula del límite de error, la compañía necesita encuestar 206 personas. Dado que aumentamos el nivel de confianza, tenemos que aumentar nuestro límite de error o el tamaño de la muestra. Se seleccionó una muestra de 16 bolsas pequeñas de caramelos de la misma marca. Supongamos que la distribución poblacional de los pesos de las bolsas es normal. Luego se registró el peso de cada bolsa. El peso medio fue de dos onzas, con una desviación típica de 0,12 onzas. Se sabe que la desviación típica de la población es de 0,1 onzas. x ¯ =________ σ =________ s x =________ Defina la variable aleatoria X en palabras. En palabras, defina la variable aleatoria X ¯ . ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para el peso medio poblacional de los caramelos Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Construya un intervalo de confianza del 98 % para el peso medio poblacional de los caramelos. Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. Explique en oraciones completas por qué el intervalo de confianza de la parte f es mayor que el de la parte e. Interprete en oraciones completas lo que significa el intervalo de la parte f. El director de un campamento está interesado en el número medio de cartas que envía cada niño durante su sesión de campamento. Se conoce que la desviación típica de la población es de 2,5. Se realiza una encuesta entre 20 campistas. La media muestral es de 7,9, con una desviación típica de la muestra de 2,8. x ¯ =________ σ =________ n =________ Defina las variables aleatorias X y X ¯ en palabras. ¿Qué distribución debería utilizar para este problema? Explique su elección. Construya un intervalo de confianza del 90 % para la media poblacional del número de cartas que los campistas envían a casa Indique el intervalo de confianza. Dibuje el gráfico. Calcule el límite de error. ¿Qué ocurrirá con el límite de error y el intervalo de confianza si se encuestan 500 campistas? ¿Por qué? 7,9 2,5 20 X es el número de cartas que un solo campista enviará a casa. X ¯ es el número medio de cartas enviadas a casa de una muestra de 20 campistas. N 7,9 ( 2,5 20 ) CI: (6,98; 8,82) EBM : 0,92 El límite de error y el intervalo de confianza disminuirán. ¿Qué significa el término “90 % de confianza” cuando se construye un intervalo de confianza para una media? Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de las muestras producirían el mismo intervalo de confianza. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían la media muestral. Si tomáramos muestras repetidas, aproximadamente el 90 % de los intervalos de confianza calculados a partir de esas muestras contendrían el verdadero valor de la media poblacional. Si tomáramos muestras repetidas, la media muestral sería igual a la media de la población en el 90 % de las muestras aproximadamente. La Comisión Federal de Elecciones recopila información sobre los aportes y los desembolsos para la campaña de los candidatos y los comités políticos en cada ciclo electoral. Durante la temporada de campaña de 2012, hubo 1.619 candidatos a la Cámara de Representantes en Estados Unidos que recibieron aportes de particulares. La muestra el total de ingresos procedentes de particulares para una selección aleatoria de 40 candidatos a la Cámara de Representantes, redondeado a los 100 dólares más cercanos. La desviación típica de estos datos a la centena más cercana es σ = 909.200 dólares. $3.600 $1.243.900 $10.900 $385.200 $581.500 $7.400 $2.900 $400 $3.714.500 $632.500 $391.000 $467.400 $56.800 $5.800 $405.200 $733.200 $8.000 $468.700 $75.200 $41.000 $13.300 $9.500 $953.800 $1.113.500 $1.109.300 $353.900 $986.100 $88.600 $378.200 $13.200 $3.800 $745.100 $5.800 $3.072.100 $1.626.700 $512.900 $2.309.200 $6.600 $202.400 $15.800 Calcule la estimación puntual de la media de la población. Use el 95 % de confianza y calcule el límite de error. Cree un intervalo de confianza del 95 % para la media de los aportes individuales totales. Interprete el intervalo de confianza en el contexto del problema. x ¯ = $568.873 CL = 0,95 α = 1 – 0,95 = 0,05 z α 2 = 1,96 EBM = z 0,025 σ n = 1,96 909200 40 = $281.764 x ¯ – EBM = 568.873 – 281.764 = 287.109 x ¯ + EBM = 568.873 + 281.764 = 850.637 Solución alternativa: Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Desplace la flecha hacia abajo 7:ZInterval . Pulse ENTER . Desplace la flecha hacia STATS y pulse ENTER . Desplace la flecha hacia abajo e introduzca los siguientes valores: σ : 909.200 x ¯ : 568.873 n : 40 CL : 0,95 Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate (Calcular) y pulse ENTER . El intervalo de confianza es (287.114 dólares, 850.632 dólares). Observe la pequeña diferencia entre las dos soluciones: estas diferencias se deben simplemente al error de redondeo en los cálculos manuales. Estimamos con el 95 % de confianza que la media de los aportes que recibieron los candidatos a la Cámara de Representantes de parte de todas las personas está entre 287.109 dólares y 850.637 dólares. La Encuesta sobre la Comunidad Estadounidense (American Community Survey, ACS), que forma parte de la Oficina del Censo de Estados Unidos, realiza un censo anual similar al que se hace cada diez años, pero con un porcentaje de participantes menor. La encuesta más reciente estima, con el 90 % de confianza, que los ingresos medios de los hogares en EE. UU. se sitúa entre 69.720 y 69.922 dólares. Calcule la estimación puntual de los ingresos medios de los hogares de EE. UU. y su límite de error. La estatura promedio de los hombres adultos jóvenes tiene una distribución normal, con una desviación típica de 2,5 pulgadas. Quiere estimar la altura media de los estudiantes de su instituto universitario o universidad con un margen de una pulgada, con el 93 % de confianza. ¿Cuántos estudiantes hombres hay que medir? Utilice la fórmula del EBM , resuelta para n : n = z 2 σ 2 E B M 2 Por el enunciado del problema, se sabe que σ = 2,5, y se necesita EBM = 1. z = z 0,035 = 1,812 (Este es el valor de z para el que el área bajo la curva de densidad a la derecha de z es 0,035) n = z 2 σ 2 E B M 2 = 1,812 2 2,5 2 1 2 ≈ 20,52 Es necesario medir al menos 21 estudiantes hombres para lograr su objetivo. Nivel de confianza (CL) la expresión porcentual de la probabilidad de que el intervalo de confianza contenga el verdadero parámetro poblacional; por ejemplo, si el CL = 90 %, entonces en 90 de cada 100 muestras la estimación del intervalo encerrará el verdadero parámetro poblacional. Límite de error para una media poblacional ( EBM ) el margen de error; depende del nivel de confianza, del tamaño de la muestra y de la desviación típica de la población conocida o estimada.

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