Funciones potencia y funciones polinómicas (Créditos: Jason Bay, Flickr) Supongamos que una determinada especie de ave prospera en una pequeña isla. Su población en los últimos años se muestra en la . Año 2009 2010 2011 2012 2013 Población de aves 800 897 992 1.083 1.169 La población puede estimarse mediante la función P ( t ) = – 0,3 t 3 + 97 t + 800 , donde P ( t ) representa la población de aves de la isla t años después de 2009. Podemos utilizar este modelo para estimar la población máxima de aves y cuándo se producirá. También podemos utilizar este modelo para predecir cuándo desaparecerá la población de aves de la isla. En esta sección, examinaremos las funciones que podemos utilizar para estimar y predecir este tipo de cambios. Identificar las funciones potencia Para entender mejor el problema de los pájaros, necesitamos comprender un tipo específico de función. La función potencia es aquella con un solo término que es el producto de un número real, un coeficiente y una variable elevada a un número real fijo. (El número que multiplica una variable elevada a un exponente se conoce como coeficiente). Como ejemplo, considere las funciones para el área o el volumen. La función para el área de un círculo con radio r se A ( r ) = π r 2 y la función para el volumen de una esfera con radio r se V ( r ) = 4 3 π r 3 Ambas son ejemplos de funciones potencia porque constan de un coeficiente, π o 4 3 π , multiplicado por una variable r elevado a una potencia. Función potencia La función potencia es aquella que puede representarse en la forma f ( x ) = k x p donde k y p son números reales, y k se conoce como el coeficiente . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es f ( x ) = 2 x una función potencia? No. La función potencia contiene una base variable elevada a una potencia fija. Esta función tiene una base constante elevada a una potencia variable. Se denomina función exponencial, no función potencia. Identificar las funciones potencia ¿Cuáles de las siguientes son funciones potencia? f ( x ) = 1 Función constante f ( x ) = x Función de identidad f ( x ) = x 2 Función  cuadrática f ( x ) = x 3 Función cúbica f ( x ) = 1 x Función recíproca f ( x ) = 1 x 2 Función recíproca al cuadrado f ( x ) = x Función de raíz cuadrada f ( x ) = x 3 Función de raíz cúbica Todas las funciones enumeradas son funciones potencia. Las funciones constante y de identidad son funciones potencia porque pueden escribirse como f ( x ) = x 0 y f ( x ) = x 1 respectivamente. Las funciones cuadrática y cúbica son funciones potencia con potencias de números enteros f ( x ) = x 2 y f ( x ) = x 3 . Las funciones recíproca y recíproca al cuadrado son funciones potencia con potencias de números enteros negativos porque pueden escribirse como f ( x ) = x – 1 y f ( x ) = x - 2 . Las funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica son funciones potencia con potencias fraccionarias porque se pueden escribir como f ( x ) = x 1/2 o f ( x ) = x 1/3 . Ejercicio ¿Cuáles funciones son de potencia? f ( x ) = 2 x 2 ⋅ 4 x 3 g ( x ) = - x 5 + 5 x 3 - 4 x h ( x ) = 2 x 5 - 1 3 x 2 + 4 f ( x ) es una función potencia porque se puede escribir como f ( x ) = 8 x 5 . Las demás funciones no son de potencia. Identificar el comportamiento final de las funciones potencia La muestra los gráficos de f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 4 y y h ( x ) = x 6 , que son todas funciones potencia con números pares y enteros. Observe que estos gráficos tienen formas semejantes, muy parecidas a la de la función cuadrática en la caja de herramientas. Sin embargo, a medida que se incrementa la potencia, los gráficos se aplanan un poco cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo. Funciones potencia par Para describir el comportamiento a medida que aumentan los números, utilizamos la idea del infinito. Utilizamos el símbolo ∞ para el infinito positivo y − ∞ para el infinito negativo. Cuando decimos que " x se acerca al infinito", que puede escribirse simbólicamente como x → ∞ , describimos un comportamiento; decimos que x aumenta sin límites. Con la función potencia par, a medida que la entrada aumenta o disminuye sin límite, los valores de salida se convierten en números positivos muy grandes. Por equivalencia, podríamos describir este comportamiento al afirmar que, a medida que x se acerca al infinito positivo o negativo, los valores f ( x ) aumentan sin límite. En forma simbólica, podríamos escribir dado que x → ± ∞ , f ( x ) → ∞ La muestra los gráficos de f ( x ) = x 3 , g ( x ) = x 5 , y h ( x ) = x 7 , que son todas funciones potencia con potencias de números impares y enteros. Observe que estos gráficos son semejantes a los de la función cúbica en la caja de herramientas. De nuevo, a medida que aumenta la potencia, los gráficos se aplanan cerca del origen y se vuelven más pronunciados lejos del mismo. Función potencia impar Estos ejemplos ilustran que las funciones de la forma f ( x ) = x n revelan simetría de un tipo u otro. En primer lugar, en la observamos que incluso las funciones de la forma f ( x ) = x n , n par, son simétricas con respecto al eje y . En la observamos que las funciones impares de la forma f ( x ) = x n , n impar, son simétricas respecto al origen. En estas funciones potencia con números impares, a medida que x se acerca al infinito negativo, f ( x ) disminuye sin límites. A medida que x se acerca al infinito positivo, f ( x ) aumenta sin límites. En forma simbólica escribimos dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ El comportamiento del gráfico de una función a medida que los valores de entrada disminuyen ( x → - ∞ ) y aumentan mucho ( x → ∞ ) se denomina comportamiento final de la función. Podemos utilizar palabras o símbolos para describir el comportamiento final. La muestra el comportamiento final de las funciones de potencia en la forma f ( x ) = k x n donde n es un número entero no negativo que depende de la potencia y de la constante. Cómo Dada una función potencia f ( x ) = k x n donde n es un número entero no negativo, identificar el comportamiento final. Determine si la potencia es par o impar. Determine si la constante es positiva o negativa. Utilice la para identificar el comportamiento final. Identificar el comportamiento final de una función potencia Describa el comportamiento final del gráfico de f ( x ) = x 8 . El coeficiente es 1 (positivo) y el exponente de la función potencia es 8 (número par). A medida que x se acerca al infinito, la salida (valor de f ( x ) ) aumenta sin límite. Lo escribimos como x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Dado que x se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, como x → - ∞ , f ( x ) → ∞ . Podemos representar gráficamente la función como se indica en la . Identificar el comportamiento final de una función potencia. Describa el comportamiento final del gráfico de f ( x ) = - x 9 . El exponente de la función de potencia es 9 (número impar). Dado que el coeficiente es -1 (negativo), el gráfico es la reflexión alrededor del eje x del gráfico de f ( x ) = x 9 . La muestra que, a medida que x se acerca al infinito, la salida disminuye sin límite. A medida que x se acerca al infinito negativo, la salida aumenta sin límite. En forma simbólica, escribiríamos dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con la función tabular en una herramienta gráfica. x f ( x ) -10 1.000.000.000 –5 1.953.125 0 0 5 –1.953.125 10 –1.000.000.000 Podemos observar a partir de la que, cuando sustituimos valores muy pequeños por x , la salida es muy grande, y cuando sustituimos valores muy grandes por x , la salida es muy pequeña (lo que significa que es un valor negativo muy grande). Ejercicio Describa con palabras y símbolos el comportamiento final de f ( x ) = - 5 x 4 . Dado que x se acerca al infinito positivo o negativo, f ( x ) disminuye sin límite: a medida que x → ± ∞ , f ( x ) → - ∞ debido al coeficiente negativo. Identificar funciones polinómicas Un oleoducto estalla en el golfo de México, lo que provoca un derrame de petróleo aproximadamente circular. La mancha tiene actualmente un radio de 24 millas, pero ese radio aumenta 8 millas cada semana. Queremos escribir una fórmula para la superficie cubierta por el derrame de petróleo al combinar dos funciones. El radio r del derrame de petróleo depende del número de semanas w que han pasado. Esta relación es lineal. r ( w ) = 24 + 8 w Podemos combinar esto con la fórmula del área A de un círculo. A ( r ) = π r 2 Al componer estas funciones se obtiene una fórmula para el área en términos de semanas. A ( w ) = A ( r ( w ) ) = A ( 24 + 8 w ) = π ( 24 + 8 w ) 2 Multiplicando se obtiene la fórmula. A ( w ) = 576 π + 384 π w + 64 π w 2 Esta fórmula es un ejemplo de función polinómica . Una función polinómica se compone de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es el producto de un número, llamado coeficiente del término, y una variable elevada a la potencia de un número entero no negativo. Funciones polinómicas Supongamos que n es un número entero no negativo. La función polinómica es aquella que se puede escribir en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Esto se denomina la forma general de una función polinómica. Cada a i es un coeficiente y puede ser cualquier número real, pero a n ≠ 0 . Cada producto a i x i es el término de una función polinómica . Identificar funciones polinómicas ¿Cuáles de las siguientes son funciones polinómicas? f ( x ) = 2 x 3 ⋅ 3 x + 4 g ( x ) = - x ( x 2 - 4 ) h ( x ) = 5 x + 2 Las dos primeras funciones son ejemplos de funciones polinómicas porque se pueden escribir en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 donde las potencias son números enteros no negativos y los coeficientes son números reales. f ( x ) puede escribirse como f ( x ) = 6 x 4 + 4. g ( x ) puede escribirse como g ( x ) = - x 3 + 4 x . h ( x ) no puede escribirse de esta forma y, por ende, no es una función polinómica. Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica Debido a la forma de una función polinómica, podemos ver una variedad infinita en el número de términos y la potencia de la variable. Aunque el orden de los términos de la función polinómica no es importante para realizar las operaciones, solemos ordenar los términos en orden descendente de potencia o en forma general. El grado del polinomio es la potencia más elevada de la variable que aparece en el polinomio; es la potencia de la primera variable si la función tiene forma general. El término principal es aquel que contiene la potencia más elevada de la variable o el término del grado más alto. El coeficiente principal es el coeficiente del término principal. Terminología de las funciones polinómicas A menudo reordenamos los polinomios para que las potencias sean descendentes. Cuando un polinomio se escribe de esta manera, decimos que está en forma general. Cómo Dada una función polinómica, identificar el grado y el coeficiente principal. Calcule la potencia más elevada de x para determinar el grado de la función. Identifique el término que contiene la potencia más elevada de x para hallar el término principal. Identifique el coeficiente del término principal. Identificar el grado y el coeficiente principal de una función polinómica Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal de las siguientes funciones polinómicas. f ( x ) = 3 + 2 x 2 - 4 x 3 g ( t ) = 5 t 5 - 2 t 3 + 7 t h ( p ) = 6 p − p 3 - 2 Para que la función f ( x ) , la máxima potencia de x es 3, por lo que el grado es 3. El término principal es el que contiene ese grado, -4 x 3 . El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −4. Para que la función g ( t ) , la máxima potencia de t es 5 , por lo que el grado es 5. El término principal es el que contiene ese grado, 5 t 5 . El coeficiente principal es el coeficiente de ese término, 5. Para la función h ( p ) , la máxima potencia de p es 3 , por lo que el grado es 3. El término principal es el que contiene ese grado, − p 3 ; el coeficiente principal es el coeficiente de ese término, −1. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Identifique el grado, el término principal y el coeficiente principal del polinomio f ( x ) = 4 x 2 - x 6 + 2 x − 6. El grado es 6. El término principal es − x 6 . El coeficiente principal es − 1. Identificar el comportamiento final de las funciones polinómicas Conocer el grado de una función polinómica nos sirve para predecir su comportamiento final. Para determinar su comportamiento final, preste atención al término principal de la función polinómica. Dado que la potencia del término principal es la más alta, ese término crecerá mucho más rápido que los demás términos, a medida que x aumenta o disminuye mucho, por lo que su comportamiento dominará el gráfico. En cualquier polinomio, su comportamiento final coincidirá con el del término del grado más alto. Vea el . Función polinómica Término principal Gráfico de la función polinómica f ( x ) = 5 x 4 + 2 x 3 - x - 4 5 x 4 f ( x ) = - 2 x 6 - x 5 + 3 x 4 + x 3 - 2 x 6 f ( x ) = 3 x 5 - 4 x 4 + 2 x 2 + 1 3 x 5 f ( x ) = − 6 x 3 + 7 x 2 + 3 x + 1 − 6 x 3 Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica Describa el comportamiento final y determine un posible grado de la función polinómica en la . Dado que los valores de entrada x son muy altos, los valores de salida f ( x ) aumentan sin límite. Dado que los valores de entrada x disminuyen mucho, los valores de salida f ( x ) disminuyen sin límite. Podemos describir el comportamiento final simbólicamente al escribir dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ En palabras, podríamos decir que, a medida que los valores de x se acercan al infinito, los valores de la función se acercan al infinito, y dado que los valores de x se acercan al infinito negativo, los valores de la función se acercan al infinito negativo. Podemos afirmar que este gráfico tiene la forma de una función potencia de grado impar que no ha sido reflejada, por lo que el grado del polinomio que crea este gráfico deberá ser impar y el coeficiente principal deberá ser positivo. Ejercicio Describa el comportamiento final, y determine un posible grado de la función polinómica en la . Dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ ; a s x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ . Tiene la forma de una función de potencia de grado par con un coeficiente negativo. Identificar el comportamiento final y el grado de una función polinómica Dada la función f ( x ) = - 3 x 2 ( x – 1 ) ( x + 4 ) , exprese la función como un polinomio en forma general, y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función. Obtenga la forma general al expandir la expresión dada para f ( x ) . f ( x ) = - 3 x 2 ( x – 1 ) ( x + 4 ) = - 3 x 2 ( x 2 + 3 x - 4 ) = - 3 x 4 - 9 x 3 + 12 x 2 La forma general es f ( x ) = - 3 x 4 - 9 x 3 + 12 x 2 . El término principal es − 3 x 4 ; por lo tanto, el grado del polinomio es 4. El grado es par (4) y el coeficiente principal es negativo (-3), por lo que el comportamiento final es dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ Ejercicio Dada la función f ( x ) = 0,2 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 5 ) , exprese la función como un polinomio en forma general y determine el término principal, el grado y el comportamiento final de la función. El término principal es 0,2 x 3 , por lo que es un polinomio de grado 3. A medida que x se acerca al infinito positivo, f ( x ) aumenta sin límites; a medida que x se acerca al infinito negativo, f ( x ) disminuye sin límites. Identificar el comportamiento local de las funciones polinómicas Además del comportamiento final de las funciones polinómicas, también nos interesa lo que ocurre en el "medio" de la función. En particular, nos interesan los lugares donde cambia el comportamiento del gráfico. El punto de inflexión es aquel donde los valores de la función pasan de ser crecientes a decrecientes o de decrecientes a crecientes. También nos interesan las intersecciones. Al igual que en todas las funciones, la intersección en y es el punto en el que el gráfico se cruza con el eje vertical. El punto corresponde al par de coordenadas donde el valor de entrada es cero. Ya que el polinomio es una función, solo un valor de salida corresponde a cada valor de entrada, por lo que únicamente puede haber una intersección en y ( 0 , a 0 ) . Las intersecciones en x se producen en los valores de entrada que corresponden a un valor de salida de cero. Puede haber más de una intersección en x . Vea la . Intersecciones y puntos de inflexión de las funciones polinómicas El punto de inflexión de un gráfico es aquel donde el gráfico cambia de dirección de creciente a decreciente o de decreciente a creciente. La intersección en y es el punto donde la función tiene un valor de entrada cero. Las intersecciones en x son los puntos donde el valor de salida es cero. Cómo Dada una función polinómica, determinar las intersecciones. Determine la intersección en y al establecer x = 0 y hallar el valor de salida correspondiente. Determine la intersección en x al resolver los valores de entrada que arrojan un valor de salida de cero. Determinar las intersecciones de una función polinómica Dada la función polinómica f ( x ) = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) , escrita en forma factorizada para su comodidad, determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . La intersección en y se produce cuando la entrada es cero, así que sustituya 0 por x . f ( 0 ) = ( 0 - 2 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 4 ) = ( – 2 ) ( 1 ) ( - 4 ) = 8 La intersección en y es (0, 8). Las intersecciones x se producen cuando la salida es cero. 0 = ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 4 ) x - 2 = 0 o x + 1 = 0 o x - 4 = 0 x = 2 o x = - 1 o x = 4 Las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) , ( – 1 , 0 ) , y ( 4 , 0 ) . Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la . Determinar las intersecciones de una función polinómica con factorización Dada la función polinómica f ( x ) = x 4 - 4 x 2 − 45 , determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . La intersección en y se produce cuando la entrada es cero. f ( 0 ) = ( 0 ) 4 - 4 ( 0 ) 2 − 45 = − 45 La intersección en y es ( 0 , − 45 ) . Las intersecciones en x se producen cuando la salida es cero. Para determinar cuándo la salida es cero, tendremos que factorizar el polinomio. f ( x ) = x 4 - 4 x 2 − 45 = ( x 2 - 9 ) ( x 2 + 5 ) = ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 5 ) 0 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x 2 + 5 ) x - 3 = 0 o x + 3 = 0 o x 2 + 5 = 0 x = 3 o x = - 3 o (sin solución real) Las intersecciones en x son ( 3 , 0 ) y ( – 3 , 0 ) . Podemos ver estas intersecciones en el gráfico de la función que se presenta en la . Podemos ver que la función es de número par porque f ( x ) = f ( - x ) . Ejercicio Dada la función polinómica f ( x ) = 2 x 3 - 6 x 2 − 20 x , determine las intersecciones en y así como las intersecciones en x . intersección en y ( 0 , 0 ) ; intersecciones en x ( 0 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) Comparar gráficos suaves y continuos El grado de una función polinómica nos permite determinar el número de intersecciones en x y el número de puntos de inflexión. Una función polinómica de grado n es el producto de n factores, por lo que tendrá como máximo n raíces o ceros, o bien intersecciones en x . El gráfico de la función polinómica de grado n deberá tener como máximo n – 1 puntos de inflexión. Esto significa que el gráfico tiene como máximo un punto de inflexión menos que el grado del polinomio o uno menos que el número de factores. La función continua no tiene interrupciones en su gráfico, el cual puede dibujarse sin levantar el bolígrafo del papel. La curva suave es un gráfico que no tiene aristas. Los puntos de inflexión de un gráfico suave deberán producirse siempre en curvas redondeadas. Los gráficos de las funciones polinómicas son continuos y suaves. Intersecciones y puntos de inflexión de los polinomios Un polinomio de grado n tendrá, a lo sumo, n intersecciones en x y n – 1 puntos de inflexión. Determinar el número de intersecciones y puntos de inflexión de un polinomio Sin graficar la función, determine el comportamiento local de la función al hallar el número máximo de intersecciones en x y puntos de inflexión para f ( x ) = - 3 x 10 + 4 x 7 - x 4 + 2 x 3 . El polinomio tiene un grado de 10 , por lo que hay, a lo sumo 10 x y como máximo 10 - 1 = 9 puntos de inflexión. Ejercicio Sin graficar la función, determine el número máximo de intersecciones en x y puntos de inflexión para f ( x ) = 108 − 13 x 9 − 8 x 4 + 14 x 12 + 2 x 3 Hay, a lo sumo, 12 intersecciones en x y como máximo 11 puntos de inflexión. Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir del gráfico ¿Qué podemos concluir en relación con el polinomio que se representa en el gráfico en la , con base en sus intersecciones y puntos de inflexión? El comportamiento final del gráfico nos indica que es el gráfico de un polinomio de grado par. Vea la . El gráfico tiene 2 intersecciones en x , lo que sugiere un grado 2 o superior, y 3 puntos de inflexión, lo que sugiere un grado 4 o superior. Con base en esto, sería razonable concluir que el grado es par y al menos 4. Ejercicio ¿Qué podemos concluir con respecto al polinomio que se representa en el gráfico en la , con base en sus intersecciones y puntos de inflexión? El comportamiento final indica una función polinómica de grado impar; hay 3 intersecciones en x y 2 puntos de inflexión, por lo que el grado es impar y al menos 3. Por el comportamiento final, sabemos que el coeficiente principal deberá ser negativo. Extraer conclusiones acerca de una función polinómica a partir de los factores Dada la función f ( x ) = – 4 x ( x + 3 ) ( x - 4 ) , determine el comportamiento local. Las intersecciones en y se hallan al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = – 4 ( 0 ) ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 ) = 0 La intersección en y es ( 0 , 0 ) . Las intersecciones en x se hallan al determinar los ceros de la función. 0 = – 4 x ( x + 3 ) ( x - 4 ) x = 0 o x + 3 = 0 o x - 4 = 0 x = 0 o x = - 3 o x = 4 Las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( – 3 , 0 ) , y ( 4 , 0 ) . El grado es 3, por lo que el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión. Ejercicio Dada la función f ( x ) = 0,2 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 5 ) , determine el comportamiento local. Las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) , la intersección en y es ( 0 , 2 ) , y el gráfico tiene como máximo 2 puntos de inflexión. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones potencia y polinómicas. Encontrar información clave acerca de una función polinómica dada Comportamiento final de una función polinómica Puntos de inflexión e intersecciones en x de funciones polinómicas Mínimo grado posible de una función polinómica Ecuaciones clave forma general de una función polinómica f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 Conceptos clave La función potencia es una base variable elevada a una potencia numérica. Vea el . El comportamiento de un gráfico cuando la entrada disminuye más allá del límite y aumenta más allá del límite se denomina comportamiento final. El comportamiento final depende de que la potencia sea par o impar. Vea el y el . La función polinómica es la suma de términos, cada uno de los cuales consiste en una función potencia transformada con número entero positivo. Vea el . El grado de una función polinómica es la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio. El término que contiene la potencia más elevada de la variable se denomina término principal. El coeficiente del término principal se denomina coeficiente principal. Vea el . El comportamiento final de una función polinómica es el mismo que el de la función potencia representada por el término principal de la función. Vea el y el . Un polinomio de grado n tendrá como máximo n intersecciones en x y a lo sumo n – 1 puntos de inflexión. Vea el , el , el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique la diferencia entre el coeficiente de una función potencia y su grado. El coeficiente de la función potencia es el número real que se multiplica por la variable elevada a una potencia. El grado es la potencia más elevada que aparece en la función. Si una función polinómica está en forma factorizada, ¿cuál sería el primer paso más conveniente para determinar el grado de la función? En general, explique el comportamiento final de una función de potencia de grado impar si el coeficiente principal es positivo. En la medida en que x disminuye sin límite, también lo hace f ( x ) . Dado que x aumenta sin límite, también lo hace f ( x ) . ¿Cuál es la relación entre el grado de una función polinómica y el número máximo de puntos de inflexión en su gráfico? ¿Qué podemos concluir si, en general, el gráfico de una función polinómica presenta el siguiente comportamiento final? Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ y dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La función polinómica es de grado par y el coeficiente principal es negativo. Algebraicos En los siguientes ejercicios, identifique la función como función potencia, función polinómica o ninguna de las dos. f ( x ) = x 5 f ( x ) = ( x 2 ) 3 f ( x ) es una función potencia porque contiene una base variable elevada a una potencia fija. También es un polinomio, donde todos los coeficientes, excepto uno, son iguales a cero. f ( x ) = x – x 4 f ( x ) = x 2 x 2 – 1 Ninguna de las dos f ( x ) = 2 x ( x + 2 ) ( x – 1 ) 2 f ( x ) = 3 x + 1 Ninguna de las dos En los siguientes ejercicios, halle el grado y el coeficiente principal del polinomio dado. - 3 x 4 7 - 2 x 2 Grado = 2, coeficiente = -2 - 2 x 2 - 3 x 5 + x - 6 x ( 4 - x 2 ) ( 2 x + 1 ) Grado =4, coeficiente = -2 x 2 ( 2 x - 3 ) 2 En los siguientes ejercicios, determine el comportamiento final de las funciones. f ( x ) = x 4 Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 f ( x ) = - x 4 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = - x 9 f ( x ) = - 2 x 4 - 3 x 2 + x – 1 Dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = 3 x 2 + x - 2 f ( x ) = x 2 ( 2 x 3 - x + 1 ) Dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = ( 2 - x ) 7 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones de las funciones. f ( t ) = 2 ( t - 1 ) ( t + 2 ) ( t - 3 ) la intersección en y es ( 0 , 12 ) , las intersecciones en t son ( 1 , 0 ) ; ( – 2 , 0 ) ; y ( 3 , 0 ) . g ( n ) = - 2 ( 3 n – 1 ) ( 2 n + 1 ) f ( x ) = x 4 − 16 la intersección en y es ( 0 , − 16 ) . las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( – 2 , 0 ) . f ( x ) = x 3 + 27 f ( x ) = x ( x 2 - 2 x - 8 ) la intersección en y es ( 0 , 0 ) . las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , y ( – 2 , 0 ) . f ( x ) = ( x + 3 ) ( 4 x 2 – 1 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, determine el menor grado posible de la función polinómica indicada. 3 5 3 5 En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico de la función proporcionada es la de una función polinómica. Si es así, determine el número de puntos de inflexión y el menor grado posible para la función. Sí. El número de puntos de inflexión es 2. El menor grado posible es el 3. Sí. El número de puntos de inflexión es 1. El menor grado posible es el 2. Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1. No. Sí. El número de puntos de inflexión es 0. El menor grado posible es el 1. Numéricos En los siguientes ejercicios, construya una tabla para confirmar el comportamiento final de la función. f ( x ) = - x 3 f ( x ) = x 4 − 5 x 2 x f ( x ) 10 9.500 100 99.950.000 -10 9.500 –100 99.950.000 dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 2 ( 1 - x ) 2 f ( x ) = ( x – 1 ) ( x - 2 ) ( 3 - x ) x f ( x ) 10 –504 100 –941.094 -10 1,716 –100 1.061.106 dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ f ( x ) = x 5 10 - x 4 En tecnología En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas con la ayuda de la calculadora. A partir del gráfico, determine las intersecciones y el comportamiento final. f ( x ) = x 3 ( x - 2 ) La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x ( x - 3 ) ( x + 3 ) f ( x ) = x ( 14 − 2 x ) ( 10 - 2 x ) La intersección en y es ( 0 , 0 ) . Las intersecciones en x son ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) , ( 7 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x ( 14 − 2 x ) ( 10 - 2 x ) 2 f ( x ) = x 3 − 16 x La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x es ( - 4 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 4 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 − 27 f ( x ) = x 4 − 81 La intersección en y es ( 0 , − 81 ) . La intersección en x son ( 3 , 0 ) , ( - 3 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = - x 3 + x 2 + 2 x f ( x ) = x 3 - 2 x 2 − 15 x La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( - 3 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , ( 5 , 0 ) . Dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ f ( x ) = x 3 − 0,01 x Extensiones En los siguientes ejercicios, disponga de la información acerca del gráfico de una función polinómica para determinar la función. Supongamos que el coeficiente principal es 1 o -1. Puede haber más de una respuesta correcta. La intersección en y es ( 0 , - 4 ) . La intersección en x son ( – 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . El grado es 2. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 2 - 4 La intersección en y es ( 0 , 9 ) . La intersección en x son ( - 3 , 0 ) , ( 3 , 0 ) . El grado es 2. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La intersección en y es ( 0 , 0 ) . La intersección en x son ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) . El grado es 3. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 3 - 4 x 2 + 4 x La intersección en y es ( 0 , 1 ) . La intersección en x es ( 1 , 0 ) . El grado es 3. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → - ∞ . La intersección en y es ( 0 , 1 ) . No hay intersección en x . El grado es 4. Comportamiento final: dado que x → - ∞ , f ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . f ( x ) = x 4 + 1 Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice los enunciados escritos para construir una función polinómica que represente la información requerida. Un derrame de petróleo se expande como un círculo. El radio del círculo aumenta a razón de 20 metros por día. Exprese el área del círculo como función de d , el número de días transcurridos. Un cubo tiene un borde de 3 pies. El borde aumenta a un ritmo de 2 pies por minuto. Exprese el volumen del cubo como función de m , el número de minutos transcurridos. V ( m ) = 8 m 3 + 36 m 2 + 54 m + 27 Un rectángulo tiene una longitud de 10 pulgadas y una anchura de 6 pulgadas. Si la longitud se incrementa en x pulgadas y la anchura aumentada en el doble de esa cantidad, exprese el área del rectángulo como función de x . Hay que construir una caja abierta al recortar esquinas cuadradas de lados de x pulgadas de un pedazo de cartón de 8 por 8 pulgadas y luego doblar los lados. Exprese el volumen de la caja como función de x . V ( x ) = 4 x 3 − 32 x 2 + 64 x Un rectángulo es el doble de largo que de ancho. Se cortan cuadrados de 2 pies de lado de cada esquina. A continuación, se doblan los lados para formar una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como función de la anchura ( x ). coeficiente número real no nulo multiplicado por una variable elevada a un exponente función continua función cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el bolígrafo del papel porque no hay interrupciones en el gráfico grado la potencia más elevada de la variable que aparece en un polinomio comportamiento final el comportamiento del gráfico de una función cuando la entrada disminuye y aumenta sin límite coeficiente principal el coeficiente del término principal término principal el término que contiene la potencia más elevada de la variable función polinómica función que consta de cero o de la suma de un número finito de términos distintos de cero, cada uno de los cuales es un producto de un número, denominado coeficiente del término, y una variable elevada a una potencia entera no negativa. función potencia función que puede representarse en la forma f ( x ) = k x p donde k es una constante, la base es una variable y el exponente, p , es una constante curva suave un gráfico sin ángulos agudos término de una función polinómica cualquier a i x i de una función polinómica en la forma f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ... + a 2 x 2 + a 1 x + a 1 punto de inflexión el lugar en el que el gráfico de una función cambia de dirección

Matemáticas


Gráfico de funciones polinómicas Los ingresos en millones de dólares desde 2006 hasta 2013 de una empresa de cable ficticia se muestran en la . Año 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Ingresos 52,4 52,8 51,2 49,5 48,6 48,6 48,7 47,1 Los ingresos pueden modelarse con la función polinómica R ( t ) = − 0,037 t 4 + 1,414 t 3 − 19,777 t 2 + 118,696 t − 205,332 donde R representa los ingresos en millones de dólares y t representa el año, con t = 6 correspondiente a 2006. ¿En qué intervalos aumentan los ingresos de la empresa? ¿En qué intervalos disminuyen los ingresos de la empresa? Estas preguntas, junto con muchas otras, pueden responderse al examinar el gráfico de la función polinómica. Ya hemos explorado el comportamiento local de las cuadráticas, que es un caso especial de los polinomios. En esta sección exploraremos el comportamiento local de los polinomios en general. Reconocer las características de los gráficos de las funciones polinómicas Las funciones polinómicas de grado 2 o más constan de gráficos que no tienen ángulos agudos; recuerde que estos gráficos se denominan curvas fluidas. Las funciones polinómicas también muestran gráficos que no tienen cortes. Las curvas sin cortes se denominan continuas. La muestra un gráfico que representa una función polinómica y un gráfico que representa una función que no es un polinomio. Reconocer las funciones polinómicas ¿Cuál de los gráficos en la representa una función polinómica? Los gráficos de f y h son de funciones polinómicas. Son fluidos y continuos . Los gráficos de g y k son de funciones que no son polinomios. El gráfico de la función g tiene una esquina aguda. El gráfico de la función k no es continuo. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones polinómicas tienen como dominio todos los números reales? Sí. Cualquier número real es una entrada válida para una función polinómica. Usar la factorización para hallar los ceros de las funciones polinómicas Recordemos que si f es una función polinómica, los valores de x en el que f ( x ) = 0 se llaman ceros de f . Si la ecuación de la función polinómica se puede factorizar, podemos poner cada factor igual a cero y resolver los ceros . Podemos utilizar este método para hallar las intersecciones en x porque en las intersecciones en x hallamos los valores de entrada cuando el valor de salida es cero. En los polinomios generales, esto puede ser un desafío. Mientras que las cuadráticas pueden resolverse mediante la fórmula cuadrática, relativamente sencilla, las fórmulas correspondientes para los polinomios cúbicos y de cuarto grado no son tan sencillas de recordar, y no existen fórmulas para los polinomios generales de grado superior. En consecuencia, en esta sección nos limitaremos a tres casos: El polinomio se puede factorizar con métodos conocidos: máximo común divisor y factorización de trinomios. El polinomio se da en forma factorizada. La tecnología se utiliza para determinar las intersecciones. Cómo Dada una función polinómica f , hallar las intersecciones en x mediante la factorización. Establezca f ( x ) = 0 . Si la función polinómica no está dada en forma factorizada: Factorizar cualquier factor monomial común. Factorizar cualquier binomio o trinomio factorizable. Llevar cada factor a cero y resolver para hallar las intersecciones en x . Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización Halle las intersecciones en x de f ( x ) = x 6 - 3 x 4 + 2 x 2 . Podemos intentar factorizar este polinomio con el objeto de hallar soluciones para f ( x ) = 0 . x 6 - 3 x 4 + 2 x 2 = 0 Factorizar el máximo común divisor . x 2 ( x 4 - 3 x 2 + 2 ) = 0 Factorizar el trinomio . x 2 ( x 2 – 1 ) ( x 2 - 2 ) = 0 Lleve cada factor a cero . ( x 2 – 1 ) = 0 ( x 2 - 2 ) = 0 x 2 = 0 o x 2 = 1 o x 2 = 2 x = 0 x = ± 1 x = ± 2 Esto nos da cinco intersecciones en x : ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , y ( – 2 , 0 ) . Vea la . Podemos ver que se trata de una función par. Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante la factorización Calcule las intersecciones en x de f ( x ) = x 3 - 5 x 2 - x + 5. Halle soluciones para f ( x ) = 0 mediante factorización x 3 - 5 x 2 - x + 5 = 0 Factorice por agrupación . x 2 ( x - 5 ) - ( x - 5 ) = 0 Factorice el factor común . ( x 2 – 1 ) ( x - 5 ) = 0 Factorice la diferencia de cuadrados . ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x - 5 ) = 0 Lleve cada factor a cero . x + 1 = 0 o x – 1 = 0 o x - 5 = 0 x = - 1 x = 1 x = 5 Hay tres intersecciones en x : ( - 1 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , y ( 5 , 0 ) . Vea la . Hallar las intersecciones en y , así como en x de un polinomio en forma factorizada Calcule las intersecciones en y así como las intersecciones en x de g ( x ) = ( x - 2 ) 2 ( 2 x + 3 ) . La intersección en y se halla al evaluar g ( 0 ) . g ( 0 ) = ( 0 - 2 ) 2 ( 2 ( 0 ) + 3 ) = 12 Así que la intersección en y es ( 0 , 12 ) . Las intersecciones en x se hallan al resolver g ( x ) = 0 . ( x - 2 ) 2 ( 2 x + 3 ) = 0 ( x - 2 ) 2 = 0 ( 2 x + 3 ) = 0 x - 2 = 0 o x = - 3 2 x = 2 Así que las intersecciones en x son ( 2 , 0 ) y ( - 3 2 , 0 ) . Análisis Siempre podemos comprobar que nuestras respuestas son razonables con una calculadora gráfica para graficar el polinomio como se muestra en la . Hallar las intersecciones en x de una función polinómica mediante un gráfico Calcule las intersecciones en x de h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x − 6. Este polinomio no está en forma factorizada, no tiene factores comunes y no parece ser factorizable con las técnicas mencionadas anteriormente. Afortunadamente, podemos utilizar la tecnología para hallar las intersecciones. Tenga en cuenta que algunos valores dificultan la elaboración de gráficos a mano. En estos casos, podemos aprovechar las herramientas gráficas. Observando el gráfico de esta función, como se muestra en la , parece que hay intersecciones en x en x = −3 , –2 , y 1. Podemos comprobar si son correctos al sustituir estos valores por x y verificar que h ( - 3 ) = h ( – 2 ) = h ( 1 ) = 0 Dado que h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x - 6 , tenemos: h ( - 3 ) = ( - 3 ) 3 + 4 ( - 3 ) 2 + ( - 3 ) - 6 = − 27 + 36 − 3 - 6 = 0 h ( – 2 ) = ( – 2 ) 3 + 4 ( – 2 ) 2 + ( – 2 ) - 6 = - 8 + 16 − 2 - 6 = 0 h ( 1 ) = ( 1 ) 3 + 4 ( 1 ) 2 + ( 1 ) - 6 = 1 + 4 + 1 − 6 = 0 Cada x corresponde a un cero de la función polinómica y cada cero arroja un factor, por lo que ahora podemos escribir el polinomio en forma factorizada. h ( x ) = x 3 + 4 x 2 + x - 6 = ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) Ejercicio Calcule las intersecciones en y y en x de la función f ( x ) = x 4 − 19 x 2 + 30 x . intersección en y ( 0 , 0 ) ; intersecciones en x ( 0 , 0 ) , ( – 5 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , y ( 3 , 0 ) Identificar los ceros y sus multiplicidades Los gráficos se comportan de manera diferente en diversas intersecciones en x . A veces, el gráfico cruza el eje horizontal en una intersección. Otras veces, el gráfico toca el eje horizontal y rebota. Supongamos, por ejemplo, que graficamos la función f ( x ) = ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x + 1 ) 3 . Observe que en la el comportamiento de la función en cada una de las intersecciones en x es diferente. Identificar el comportamiento del gráfico en una intersección en x al examinar la multiplicidad del cero. La intersección en x −3 es la solución de la ecuación ( x + 3 ) = 0 . El gráfico pasa directamente por la intersección en x en x = -3. El factor es lineal (tiene un grado de 1), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una línea: pasa directamente por la intersección. Llamamos a esto un solo cero porque el cero corresponde a un solo factor de la función. La intersección en x 2 es la solución repetida de la ecuación ( x - 2 ) 2 = 0 . El gráfico toca el eje en la intersección y cambia de dirección. El factor es cuadrático (grado 2), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de un cuadrático: rebota del eje horizontal en la intersección. ( x - 2 ) 2 = ( x - 2 ) ( x - 2 ) El factor se repite, es decir, el factor ( x - 2 ) aparece dos veces. El número de veces que aparece un factor determinado en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio se denomina multiplicidad . El cero asociado a este factor, x = 2 , tiene multiplicidad 2 porque el factor ( x - 2 ) ocurre dos veces. La intersección en x − 1 es la solución repetida del factor ( x + 1 ) 3 = 0 . El gráfico pasa por el eje en la intersección, pero se aplana un poco primero. Este factor es cúbico (grado 3), por lo que el comportamiento cerca de la intersección es como el de una cúbica, con la misma forma de S cerca de la intersección que la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 3 . A esto lo denominamos triple cero, o un cero con multiplicidad 3. En los ceros con multiplicidades pares, los gráficos tocan o son tangentes al eje x . En los ceros con multiplicidades impares, los gráficos cruzan o se intersecan con el eje x . Consulte en la ejemplos de gráficos de funciones polinómicas con multiplicidad 1, 2 y 3. Para potencias pares más altas, como 4, 6 y 8, el gráfico seguirá tocando y rebotando en el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia par creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x . En las potencias impares más altas, como 5, 7 y 9, el gráfico seguirá cruzando el eje horizontal. Sin embargo, por cada potencia impar creciente, el gráfico aparecerá más plano a medida que se acerque y abandone el eje x . Comportamiento gráfico de los polinomios en las intersecciones en x Si un polinomio contiene un factor de la forma ( x - h ) p , el comportamiento cerca de la intersección en x h se determina por la potencia p . Decimos que x = h es un cero de multiplicidad p . El gráfico de una función polinómica toca la intersección en x en ceros con multiplicidades pares. El gráfico cruza el eje x en los ceros con multiplicidades impares. La suma de las multiplicidades es el grado de la función polinómica. Cómo Dado un gráfico de una función polinómica de grado. n , identificar los ceros y sus multiplicidades. Si el gráfico cruza el eje x , por lo que parece casi lineal en la intersección, se trata de un único cero. Si el gráfico toca el eje x , para rebotar en el eje, es un cero con multiplicidad par. Si el gráfico cruza el eje x en un cero, es un cero con multiplicidad impar. La suma de las multiplicidades es n . Identificar los ceros y sus multiplicidades Utilice el gráfico de la función de grado 6 en la para identificar los ceros de la función y sus posibles multiplicidades. La función polinómica es de grado n . La suma de las multiplicidades deberá ser n . Empezando por la izquierda, el primer cero se produce en x = -3. El gráfico toca el eje x , por lo que la multiplicidad del cero deberá ser par. El cero de −3 tiene multiplicidad 2. El siguiente cero se produce en x = −1. El gráfico parece casi lineal en este punto. Se trata de un único cero de multiplicidad 1. El último cero se produce en x = 4. El gráfico cruza el eje x , por lo que la multiplicidad del cero deberá ser impar. Sabemos que la multiplicidad es probablemente 3 y que la suma de las multiplicidades es probablemente 6. Ejercicio Utilice el gráfico de la función de grado 7 en la para identificar los ceros de la función y sus multiplicidades. El gráfico tiene un cero de −5 con multiplicidad 3, un cero de −1 con multiplicidad 2 y un cero de 3 con multiplicidad 2. Determinar el comportamiento final Como ya hemos aprendido, el comportamiento del gráfico de una función polinómica de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a 1 x + a 0 al final sube o baja en la medida en que x aumenta sin límites, y sube o bajar a medida que x disminuye sin límites. Esto se debe a que, en el caso de las entradas muy grandes, por ejemplo 100 o 1.000, el término principal domina el tamaño de la salida. Lo mismo ocurre con entradas muy pequeñas, por ejemplo -100 o -1.000. Recordemos que llamamos a este comportamiento el comportamiento final de una función. Como señalamos al hablar de las ecuaciones cuadráticas, cuando el término principal de una función polinómica, a n x n , es una función potencia par, a medida que x aumenta o disminuye sin límites, f ( x ) aumenta sin límites. Cuando el término principal es una función potencia impar, a medida que x disminuye sin límites, f ( x ) también disminuye sin límite; a medida que x aumenta sin límites, f ( x ) también aumenta sin límites. Si el término principal es negativo, cambia la dirección del comportamiento final. La resume los cuatro casos. Comprender la relación entre el grado y los puntos de inflexión Además del comportamiento final, recordemos que podemos analizar el comportamiento local de una función polinómica. Puede tener un punto de inflexión en el que el gráfico pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Observe el gráfico de la función polinómica f ( x ) = x 4 - x 3 - 4 x 2 + 4 x en la . El gráfico tiene tres puntos de inflexión. Esta función f es una función polinómica de 4. º grado y tiene 3 puntos de inflexión. El número máximo de puntos de inflexión de una función polinómica es siempre uno menos que el grado de la función. Interpretar los puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto en el gráfico en el que este pasa de ser creciente a ser decreciente (de aumento a disminución) o de decreciente a creciente (de disminución a aumento). Un polinomio de grado n tendrá como máximo n – 1 puntos de inflexión. Hallar el número máximo de puntos de inflexión mediante el grado de una función polinómica Halle el número máximo de puntos de inflexión de cada función polinómica. Ⓐ f ( x ) = - x 3 + 4 x 5 - 3 x 2 + 1 Ⓑ f ( x ) = - ( x – 1 ) 2 ( 1 + 2 x 2 ) Ⓐ f ( x ) = - x + 3 4 x 5 - 3 x 2 + 1 Primero, reescriba la función polinómica en orden descendente f ( x ) = 4 x 5 - x 3 - 3 x 2 + 1 Identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 5. El número máximo de puntos de inflexión es 5 - 1 = 4. Ⓑ f ( x ) = - ( x – 1 ) 2 ( 1 + 2 x 2 ) En primer lugar, identifique el término principal de la función polinómica si la función se expandiera. A continuación, identifique el grado de la función polinómica. Esta función polinómica es de grado 4. El número máximo de puntos de inflexión es 4 - 1 = 3. Graficar funciones polinómicas Podemos utilizar lo que hemos aprendido acerca de las multiplicidades, el comportamiento final y los puntos de inflexión para trazar gráficos de funciones polinómicas. Pongamos todo esto en orden y veamos los pasos necesarios para graficar funciones polinómicas. Cómo Dada una función polinómica, dibujar el gráfico. Calcule las intersecciones. Compruebe la simetría. Si la función es una función par, su gráfico es simétrico con respecto al eje y , es decir, f ( - x ) = f ( x ) . Si una función es impar, su gráfico es simétrico con respecto al origen, es decir, f ( - x ) = - f ( x ) . Utilice las multiplicidades de los ceros para determinar el comportamiento del polinomio en las intersecciones en x . Determine el comportamiento final al examinar el término principal. Utilice el comportamiento final y el comportamiento en las intersecciones para trazar un gráfico. Verifique que el número de puntos de inflexión no sea superior a uno menos que el grado del polinomio. Opcionalmente, utilice la tecnología para comprobar el gráfico. Trazar el gráfico de una función polinómica Dibuje un gráfico de f ( x ) = −2 ( x + 3 ) 2 ( x - 5 ) . Este gráfico tiene dos intersecciones en x . A x = −3 , el factor se eleva al cuadrado, lo que indica una multiplicidad de 2. El gráfico rebota en esta intersección en x . A x = 5 , la función tiene una multiplicidad de uno, lo que indica que el gráfico cruza por el eje en esta intersección. La intersección en y se halla al evaluar f ( 0 ) . f ( 0 ) = - 2 ( 0 + 3 ) 2 ( 0 − 5 ) = - 2 ⋅ 9 ⋅ ( - 5 ) = 90 La intersección en y es ( 0 , 90 ) . Además, podemos ver que el término principal, si este polinomio se multiplicara, sería − 2 x 3 , por lo que el comportamiento final es el de una cúbica reflejada verticalmente, donde las salidas disminuyen a medida que las entradas se acercan al infinito, y las salidas aumentan a medida que las entradas se acercan al infinito negativo. Vea la . Para trazar esto, consideramos que: Dado que x → - ∞ la función f ( x ) → ∞ , por lo que sabemos que el gráfico comienza en el segundo cuadrante y es decreciente hacia el eje de la x . Dado que f ( - x ) = −2 ( - x + 3 ) 2 ( - x – 5 ) no es igual a f ( x ) , el gráfico no exhibe simetría. A ( - 3 , 0 ) , el gráfico rebota en el eje x , por lo que la función deberá comenzar a aumentar. A ( 0 , 90 ) , el gráfico cruza el eje y en la intersección en y . Vea la . En algún momento después de este punto, el gráfico deberá volver a bajar o empezar a disminuir hacia el eje horizontal porque pasa por la siguiente intersección en ( 5 , 0 ) . Vea la . Dado que x → ∞ la función f ( x ) → -∞ , por lo que sabemos que el gráfico sigue disminuyendo, y podemos dejar de dibujarlo en el cuarto cuadrante. Con la tecnología podemos crear el gráfico de la función polinómica, que se indica en la , y verificar que el gráfico resultante se parezca a nuestro trazado en la . El gráfico completo de la función polinómica f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) 2 ( x - 5 ) Ejercicio Dibuje un gráfico de f ( x ) = 1 4 x ( x – 1 ) 4 ( x + 3 ) 3 . Usar el teorema del valor intermedio En algunas situaciones, podemos conocer dos puntos de un gráfico, pero no los ceros. Si esos dos puntos están en lados opuestos del eje x , podemos confirmar que hay un cero entre ellos. Consideremos una función polinómica f cuyo gráfico es fluido y continuo. El teorema del valor intermedio establece que para dos números a y b en el dominio de f , si a < b y f ( a ) ≠ f ( b ) , entonces la función f adopta cualquier valor entre f ( a ) y f ( b ) . Podemos aplicar este teorema a un caso especial que sirva para graficar funciones polinómicas. Si un punto del gráfico de una función continua f en x = a se encuentra por encima del eje x y otro punto en x = b se encuentra por debajo del eje x , debe existir un tercer punto entre x = a y x = b donde el gráfico cruza el eje x . Llamemos a este punto ( c , f ( c ) ) . Esto significa que estamos seguros de que hay una solución c donde f ( c ) = 0 . En otras palabras, el teorema del valor intermedio nos señala que cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje x . La revela que hay un cero entre a y b . Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que existe un cero. Teorema del valor intermedio Supongamos que f es una función polinómica. El teorema del valor intermedio establece que, si f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor c entre a y b para los cuales f ( c ) = 0 . Usar el teorema del valor intermedio Demuestre que la función f ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 3 x + 6 tiene al menos dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Para empezar, evalúe f ( x ) en los valores enteros x = 1 , 2 , 3 , y 4 . Vea la . x 1 2 3 4 f ( x ) 5 0 -3 2 Vemos que se produce un cero en x = 2. Además, como f ( 3 ) es negativo y f ( 4 ) es positivo, por el teorema del valor intermedio, deberá haber al menos un cero real entre 3 y 4. Hemos demostrado que hay al menos dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Análisis También podemos ver en el gráfico de la función en la que hay dos ceros reales entre x = 1 y x = 4. Ejercicio Demuestre que la función f ( x ) = 7 x 5 − 9 x 4 - x 2 tiene al menos un cero real entre x = 1 y x = 2. Debido a que f es una función polinómica y dado que f ( 1 ) es negativo y f ( 2 ) es positivo, hay al menos un cero real entre x = 1 y x = 2. Escribir fórmulas para funciones polinómicas Ahora que sabemos cómo hallar los ceros de las funciones polinómicas, podemos utilizarlos para escribir fórmulas basadas en los gráficos. Debido a que una función polinómica escrita en forma factorizada tendrá una intersección en x , donde cada factor es igual a cero, podemos formar una función que pase por un conjunto de intersecciones en x al introducir el correspondiente conjunto de factores. Forma factorizada de los polinomios Si un polinomio de grado mínimo p tiene intersecciones horizontales en x = x 1 , x 2 , … , x n , entonces el polinomio se puede escribir en la forma factorizada: f ( x ) = a ( x – x 1 ) p 1 ( x – x 2 ) p 2 ⋯ ( x – x n ) p n donde las potencias p i en cada factor se determinan por el comportamiento del gráfico en la intersección correspondiente, y el factor de estiramiento a se determina dado un valor de la función distinto de la intersección en x . Cómo Dado el gráfico de una función polinómica, escribir una fórmula para la función. Identifique las intersecciones en x del gráfico para hallar los factores del polinomio. Examine el comportamiento del gráfico en las intersecciones en x para determinar la multiplicidad de cada factor. Halle el polinomio de grado mínimo que contenga todos los factores determinados en el paso anterior. Utilice cualquier otro punto en el gráfico (la intersección en y puede ser la más fácil) para determinar el factor de estiramiento. Escribir la fórmula para una función polinómica a partir del gráfico Escriba una fórmula para la función polinómica que se muestra en la . Este gráfico tiene tres intersecciones en x : x = −3 , 2 , y 5. La intersección en y se encuentra en ( 0 , - 2 ) . A x = −3 y x = 5 , el gráfico pasa por el eje linealmente, lo que sugiere que los factores correspondientes del polinomio serán lineales. A x = 2 , el gráfico rebota en la intersección, lo que sugiere que el factor correspondiente del polinomio será de segundo grado (cuadrático). En conjunto, esto nos da f ( x ) = a ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x - 5 ) Para determinar el factor de estiramiento, utilizamos otro punto en el gráfico. Utilizaremos la intersección en y ( 0 , – 2 ) , para resolver para a . f ( 0 ) = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 2 ) 2 ( 0 − 5 ) - 2 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 2 ) 2 ( 0 − 5 ) - 2 = − 60 a a = 1 30 El polinomio graficado parece representar la función f ( x ) = 1 30 ( x + 3 ) ( x - 2 ) 2 ( x - 5 ) . Ejercicio Dado el gráfico en la , escriba una fórmula para la función que se muestra. f ( x ) = - 1 8 ( x - 2 ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) Usar los extremos locales y globales Con las cuadráticas calculamos algebraicamente el valor máximo o mínimo de la función al hallar el vértice. En los polinomios generales, no es posible hallar estos puntos de inflexión sin técnicas más avanzadas de cálculo. Incluso entonces, hallar dónde se producen los extremos puede ser retador desde el punto de vista del álgebra. Por ahora, estimaremos las ubicaciones de los puntos de inflexión con la tecnología para generar un gráfico. Cada punto de inflexión representa un mínimo o un máximo local. A veces, el punto de inflexión es el punto más alto o más bajo de todo el gráfico. En estos casos, decimos que el punto de inflexión es un máximo global o un mínimo global . También se denominan valores máximos y mínimos absolutos de la función. Extremos locales y globales Un máximo local o mínimo local en x = a (a veces llamado máximo o mínimo relativo, respectivamente) es la salida en el punto más alto o más bajo del gráfico en un intervalo abierto alrededor de x = a . Si una función tiene un máximo local en a , entonces f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = a . Si una función tiene un mínimo local en a , entonces f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x en un intervalo abierto alrededor de x = a . Un máximo global o un mínimo global es la salida en el punto más alto o más bajo de la función. Si una función tiene un máximo global en a , entonces f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x . Si una función tiene un mínimo global en a , entonces f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x . Podemos ver la diferencia entre extremos locales y globales en la . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Todas las funciones polinómicas tienen un mínimo global o un máximo global? No. Solo las funciones polinómicas de grado par tienen un mínimo global o un máximo global. Por ejemplo, f ( x ) = x no tiene ni un máximo global ni un mínimo global. Usar extremos locales para resolver aplicaciones Para construir una caja abierta, se recortan cuadrados de cada esquina de una lámina de plástico de 14 cm por 20 cm y se doblan los lados. Halle el tamaño de los cuadrados que hay que recortar para maximizar el volumen que encierra la caja. Comenzaremos este problema al hacer un dibujo como el que aparece en la , y etiquetar el ancho de los cuadrados recortados con una variable, w . Observe que, después de cortar un cuadrado de cada extremo, deja un rectángulo de ( 14 − 2 w ) cm por ( 20 - 2 w ) cm para la base de la caja, y la caja tendrá w cm de altura. Esto da el volumen V ( w ) = ( 20 - 2 w ) ( 14 − 2 w ) w = 280 w − 68 w 2 + 4 w 3 Observe que, dado que los factores son w , 20 – 2 w y 14 – 2 w , los tres ceros son 10, 7 y 0, respectivamente. Ya que una altura de 0 cm no es razonable, consideramos únicamente los ceros 10 y 7. El lado más corto es 14 y estamos cortando dos cuadrados, por lo que los valores w que pueden tomarse son mayores que cero o menores que 7. Esto significa que restringiremos el dominio de esta función a 0 < w < 7. Al utilizar la tecnología para dibujar el gráfico de V ( w ) en este dominio razonable, obtenemos un gráfico como el de la . Podemos utilizar este gráfico para estimar el valor máximo del volumen, restringido a los valores de w que son razonables para este problema: valores de 0 a 7. A partir de este gráfico, nos centramos apenas en la parte del dominio razonable, [ 0 , 7 ] . Podemos estimar que el valor máximo es de unos 340 cm cúbicos, lo que ocurre cuando los cuadrados tienen unos 2,75 cm en cada lado. Para mejorar esta estimación, podríamos utilizar funciones avanzadas de nuestra tecnología, si están disponibles, o simplemente cambiar nuestra ventana para ampliar nuestro gráfico y producir la . A partir de esta vista ampliada, podemos afinar nuestra estimación del volumen máximo a unos 339 cm cúbicos, cuando los cuadrados miden aproximadamente 2,7 cm en cada lado. Ejercicio Utilice la tecnología para hallar los valores máximos y mínimos en el intervalo [ −1 , 4 ] de la función f ( x ) = − 0,2 ( x - 2 ) 3 ( x + 1 ) 2 ( x - 4 ) . El mínimo se produce aproximadamente en el punto ( 0 , − 6,5 ) , y el máximo se produce aproximadamente en el punto ( 3,5 , 7 ) . Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con la representación grafica de las funciones polinómicas. Teorema del valor intermedio Conceptos clave Las funciones polinómicas de grado 2 o más son fluidas y continuas. Vea el . Para hallar los ceros de una función polinómica, si se puede, factorice la función y lleve a cero cada factor. Vea el , el y el . Otra forma de hallar las intersecciones en x de una función polinómica es graficar la función e identificar los puntos en los que el gráfico cruza el eje x . Vea el . La multiplicidad de un cero determina cómo se comporta el gráfico en las intersecciones en x . Vea el . El gráfico de un polinomio cruza el eje horizontal en un cero con multiplicidad impar. El gráfico de un polinomio toca el eje horizontal en un cero con multiplicidad par. El comportamiento final de la función polinómica depende del término principal. El gráfico de una función polinómica cambia de dirección en sus puntos de inflexión. Una función polinómica de grado n tiene como máximo n – 1 puntos de inflexión. Vea el . Para graficar funciones polinómicas, halle los ceros y sus multiplicidades, determine el comportamiento final y verifique que el gráfico final tenga como máximo n – 1 puntos de inflexión. Vea el y el . Graficar una función polinómica ayuda a estimar los extremos locales y globales. Vea el . El teorema del valor intermedio nos indica que, si f ( a ) y f ( b ) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor c entre a y b para los cuales f ( c ) = 0 . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuál es la diferencia entre la intersección en x y el cero de una función polinómica f ? Las intersecciones en x es donde el gráfico de la función cruza el eje x , y el cero de la función es el valor de entrada para el que f ( x ) = 0 . Si una función polinómica de grado n tiene n ceros distintos, ¿qué sabe del gráfico de la función? Explique cómo el teorema del valor intermedio nos ayuda a determinar el cero de una función. Si evaluamos la función en a y en b y el signo del valor de la función cambia, entonces sabemos que existe un cero entre a y b . Explique cómo la forma factorizada del polinomio nos permite graficarlo. Si el gráfico de un polinomio solo toca el eje x y luego cambia de dirección, ¿qué podemos concluir sobre la forma factorizada del polinomio? Habrá un factor elevado a una potencia par. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x o las intersecciones en t de las funciones polinómicas. C ( t ) = 2 ( t - 4 ) ( t + 1 ) ( t − 6 ) C ( t ) = 3 ( t + 2 ) ( t - 3 ) ( t + 5 ) ( – 2 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) C ( t ) = 4 t ( t - 2 ) 2 ( t + 1 ) C ( t ) = 2 t ( t - 3 ) ( t + 1 ) 2 ( 3 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) C ( t ) = 2 t 4 − 8 t 3 + 6 t 2 C ( t ) = 4 t 4 + 12 t 3 − 40 t 2 ( 0 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) , ( 2 , 0 ) f ( x ) = x 4 - x 2 f ( x ) = x 3 + x 2 − 20 x ( 0 , 0 ) , ( - 5 , 0 ) , ( 4 , 0 ) f ( x ) = x 3 + 6 x 2 - 7 x f ( x ) = x 3 + x 2 - 4 x - 4 ( 2 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) f ( x ) = x 3 + 2 x 2 - 9 x − 18 f ( x ) = 2 x 3 - x 2 - 8 x + 4 ( – 2 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 1 2 , 0 ) f ( x ) = x 6 − 7 x 3 - 8 f ( x ) = 2 x 4 + 6 x 2 - 8 ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - x + 3 f ( x ) = x 6 - 2 x 4 - 3 x 2 ( 0 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( - 3 , 0 ) f ( x ) = x 6 - 3 x 4 - 4 x 2 f ( x ) = x 5 - 5 x 3 + 4 x ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( – 2 , 0 ) En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor intermedio para confirmar que el polinomio dado tiene al menos un cero dentro del intervalo dado. f ( x ) = x 3 - 9 x , entre x = – 4 y x = − 2. f ( x ) = x 3 - 9 x , entre x = 2 y x = 4. f ( 2 ) = – 10 y f ( 4 ) = 28. Se confirma el cambio de signo. f ( x ) = x 5 - 2 x , entre x = 1 y x = 2. f ( x ) = - x 4 + 4 , entre x = 1 y x = 3 . f ( 1 ) = 3 y f ( 3 ) = – 77. Se confirma el cambio de signo. f ( x ) = - 2 x 3 - x , entre x = – 1 y x = 1. f ( x ) = x 3 − 100 x + 2 , entre x = 0,01 y x = 0,1 f ( 0,01 ) = 1,000001 y f ( 0,1 ) = – 7,999. Se confirma el cambio de signo. En los siguientes ejercicios, halle los ceros y dé la multiplicidad de cada uno. f ( x ) = ( x + 2 ) 3 ( x - 3 ) 2 f ( x ) = x 2 ( 2 x + 3 ) 5 ( x - 4 ) 2 0 con multiplicidad 2, − 3 2 con multiplicidad 5, 4 con multiplicidad 2 f ( x ) = x 3 ( x – 1 ) 3 ( x + 2 ) f ( x ) = x 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) 0 con multiplicidad 2, –2 con multiplicidad 2 f ( x ) = ( 2 x + 1 ) 3 ( 9 x 2 - 6 x + 1 ) f ( x ) = ( 3 x + 2 ) 5 ( x 2 - 10 x + 25 ) - 2 3 con multiplicidad 5 , 5 con multiplicidad 2 f ( x ) = x ( 4 x 2 - 12 x + 9 ) ( x 2 + 8 x + 16 ) f ( x ) = x 6 - x 5 - 2 x 4 0 con multiplicidad 4 , 2 con multiplicidad 1 , – 1 con multiplicidad 1 f ( x ) = 3 x 4 + 6 x 3 + 3 x 2 f ( x ) = 4 x 5 - 12 x 4 + 9 x 3 3 2 con multiplicidad 2, 0 con multiplicidad 3 f ( x ) = 2 x 4 ( x 3 - 4 x 2 + 4 x ) f ( x ) = 4 x 4 ( 9 x 4 − 12 x 3 + 4 x 2 ) 0 con multiplicidad 6 , 2 3 con multiplicidad 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique las funciones polinómicas. Tome nota de las intersecciones en x y en y , la multiplicidad y el comportamiento final. f ( x ) = ( x + 3 ) 2 ( x - 2 ) g ( x ) = ( x + 4 ) ( x – 1 ) 2 intersecciones en x, ( 1, 0 ) con multiplicidad 2, con intersección en ( – 4, 0 ) con multiplicidad 1, intersección en y ( 0, 4 ) . Dado que x → - ∞ , g ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , g ( x ) → ∞ . h ( x ) = ( x – 1 ) 3 ( x + 3 ) 2 k ( x ) = ( x - 3 ) 3 ( x - 2 ) 2 intersecciones en x ( 3 , 0 ) con multiplicidad 3, ( 2 , 0 ) con multiplicidad 2, con intersección en y ( 0 , – 108 ) . Dado que x → - ∞ , k ( x ) → - ∞ , dado que x → ∞ , k ( x ) → ∞ . m ( x ) = - 2 x ( x – 1 ) ( x + 3 ) n ( x ) = - 3 x ( x + 2 ) ( x - 4 ) intersecciones en x ( 0, 0 ) , ( – 2, 0 ) , ( 4, 0 ) con multiplicidad 1, intersección en y ( 0, 0 ) . Dado que x → - ∞ , n ( x ) → ∞ , dado que x → ∞ , n ( x ) → - ∞ . En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir la fórmula de una función polinómica de grado mínimo. f ( x ) = - 2 9 ( x - 3 ) ( x + 1 ) ( x + 3 ) f ( x ) = 1 4 ( x + 2 ) 2 ( x - 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico para identificar los ceros y la multiplicidad. -4, -2, 1, 3 con multiplicidad 1 -2, 3 cada uno con multiplicidad 2 En los siguientes ejercicios, disponga de la información dada acerca del gráfico del polinomio para escribir la ecuación. Grado 3. Ceros en x = –2, x = 1, y x = 3. intersección en y , en ( 0 , – 4 ) . f ( x ) = - 2 3 ( x + 2 ) ( x – 1 ) ( x - 3 ) Grado 3. Ceros en x = –5, x = -2 , y x = 1. intersección en y en ( 0 , 6 ) Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x = 3 y x = 1 , y una raíz de multiplicidad 1 en x = –3. intersección en y en ( 0 , 9 ) f ( x ) = 1 3 ( x - 3 ) 2 ( x – 1 ) 2 ( x + 3 ) Grado 4. Raíz de multiplicidad 2 en x = 4, y una raíz de multiplicidad 1 en x = 1 y x = –2. intersección en y en ( 0 , – 3 ) . Grado 5. Doble cero en x = 1 , y el triple cero en x = 3. Pasa por el punto ( 2 , 15 ) . f ( x ) = −15 ( x – 1 ) 2 ( x - 3 ) 3 Grado 3. Ceros en x = 4 , x = 3 , y x = 2. intersección en y en ( 0 , −24 ) . Grado 3. Ceros en x = −3 , x = −2 y x = 1. intersección en y en ( 0 , 12 ) . f ( x ) = - 2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) ( x – 1 ) Grado 5. Raíces de multiplicidad 2 en x = −3 y x = 2 y una raíz de multiplicidad 1 en x = –2. intersección en y en ( 0 , 4 ) . Grado 4. Raíces de multiplicidad 2 en x = 1 2 y raíces de multiplicidad 1 en x = 6 y x = –2. intersección en y en ( 0, 18 ) . f ( x ) = - 3 2 ( 2 x – 1 ) 2 ( x - 6 ) ( x + 2 ) Doble cero en x = −3 y el triple cero en x = 0 . Pasa por el punto ( 1 , 32 ) . En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para estimar los mínimos y máximos locales o el mínimo y el máximo global. f ( x ) = x 3 - x – 1 máximo local ( – .58, – 0,62 ) , mínimo local ( .58, –1 0,38 ) f ( x ) = 2 x 3 - 3 x – 1 f ( x ) = x 4 + x mínimo global ( – .63, – 0,47 ) f ( x ) = - x 4 + 3 x - 2 f ( x ) = x 4 - x 3 + 1 mínimo global ( 0,75, 0,89) Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para escribir una función polinómica de grado mínimo. f ( x ) = ( x − 500 ) 2 ( x + 200 ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, escriba la función polinómica que modele la situación dada. Un rectángulo tiene una longitud de 10 unidades y una anchura de 8 unidades. Cuadrados de x por x se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función polinómica en términos de x . f ( x ) = 4 x 3 − 36 x 2 + 80 x Considere el mismo rectángulo del problema anterior. Cuadrados de 2 x entre 2 x unidades se recortan en cada esquina. Exprese el volumen de la caja como un polinomio en términos de x . Un cuadrado tiene lados de 12 unidades. Cuadrados x + 1 entre x + 1 se recortan unidades en cada esquina y luego se doblan los lados para crear una caja abierta. Exprese el volumen de la caja como una función en términos de x . f ( x ) = 4 x 3 − 36 x 2 + 60 x + 100 Un cilindro tiene un radio de x + 2 unidades y una altura de 3 unidades más. Exprese el volumen del cilindro como una función polinómica. Un cono circular recto tiene un radio de 3 x + 6 y una altura de 3 unidades menos. Exprese el volumen del cono como función polinómica. El volumen de un cono es V = 1 3 π r 2 h para el radio r y altura h . f ( x ) = 9 π ( x 3 + 5 x 2 + 8 x + 4 ) máximo global el punto de inflexión más alto en un gráfico f ( a ) donde f ( a ) ≥ f ( x ) para todo x . mínimo global el punto de inflexión más bajo en un gráfico f ( a ) donde f ( a ) ≤ f ( x ) para todo x . Teorema del valor intermedio para dos números a y b en el dominio de f , si a < b y f ( a ) ≠ f ( b ) , entonces la función f adopta cualquier valor entre f ( a ) y f ( b ) ; concretamente, cuando una función polinómica pasa de un valor negativo a un valor positivo, la función deberá cruzar el eje x multiplicidad el número de veces que un factor determinado aparece en la forma factorizada de la ecuación de un polinomio; si el polinomio contiene un factor de la forma ( x - h ) p , x = h es un cero de multiplicidad p .

Matemáticas


Dividir polinomios Lincoln Memorial, Washington, D.C. (créditos: Ron Cogswell, Flickr) El exterior del Monumento a Lincoln en Washington, D.C., es un gran sólido rectangular con 61,5 metros (m) de largo, 40 m de ancho y 30 m de alto. Servicio de Parques Nacionales. "Estadísticas del edificio Monumento a Lincoln". http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Consultado el 3 de abril de 2014 Podemos calcular fácilmente el volumen con la geometría elemental. V = l ⋅ w ⋅ h = 61 , 5 ⋅ 40 ⋅ 30 = 73.800 Así que el volumen es de 73.800 metros cúbicos ( m ³ ) . Supongamos que conocemos el volumen, la longitud y la anchura. Podríamos dividir para determinar la altura. h = V l ⋅ w = 73.800 61 , 5 ⋅ 40 = 30 Por lo que podemos confirmar a partir de las dimensiones anteriores, la altura es de 30 m. Podemos utilizar métodos similares para dar con cualquiera de las dimensiones que faltan. También podemos utilizar el mismo método si alguna o todas las medidas contienen expresiones variables. Por ejemplo, supongamos que el volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x . La longitud del sólido viene dada por 3 x ; la anchura viene dada por x − 2. Para hallar la altura del sólido, podemos utilizar la división polinómica, que es el objetivo de esta sección. Usar la división larga para dividir polinomios Conocemos el algoritmo de la división larga para la aritmética ordinaria. Comenzamos por dividir entre los dígitos del dividendo que tienen el mayor valor posicional. Dividimos, multiplicamos, restamos, incluimos el dígito en la siguiente posición de valor posicional y repetimos. Por ejemplo, dividamos 178 entre 3 mediante la división larga. Otra forma de ver la solución es como la suma de las partes. Esto debería resultarle familiar, ya que es el mismo método que se utiliza para comprobar la división en la aritmética elemental. dividendo = ( divisor ⋅ cociente ) + restante 178 = ( 3 ⋅ 59 ) + 1 = 177 + 1 = 178 Lo denominamos algoritmo de la división y lo analizaremos más formalmente después de ver un ejemplo. La división de polinomios que contienen más de un término tiene similitudes con la división larga de números enteros. Podemos escribir el dividendo de un polinomio como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. Los términos de la división polinómica corresponden a los dígitos (y valores posicionales) de la división de números enteros. Este método nos permite dividir dos polinomios. Por ejemplo, si dividimos 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 entre x + 2 mediante el algoritmo de la división larga, quedaría así: Hemos calculado 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 x + 2 = 2 x 2 - 7 x + 18 − 31 x + 2 o 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 = ( x + 2 ) ( 2 x 2 - 7 x + 18 ) − 31 Podemos identificar el dividendo , el divisor , el cociente y el restante . Escribir el resultado de esta manera ilustra el algoritmo de la división. El algoritmo de la división El algoritmo de la división establece que, dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) de manera que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) q ( x ) es el cociente y r ( x ) es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que d ( x ) . Si los valores de r ( x ) = 0 , entonces d ( x ) se divide uniformemente entre f ( x ) . Esto significa que, en este caso, tanto d ( x ) como q ( x ) son factores de f ( x ) . Cómo Dado un polinomio y un binomio, utilizar la división larga para dividir el polinomio entre el binomio. Establezca el problema de la división. Determine el primer término del cociente al dividir el término principal del dividendo entre el término principal del divisor. Multiplique la respuesta por el divisor y escríbala debajo de los términos semejantes del dividendo. Reste el binomio inferior del binomio superior. Baje el siguiente término del dividendo. Repita los pasos 2 al 5 hasta llegar al último término del dividendo. Si el restante es distinto de cero, expréselo como una fracción con el divisor como denominador. Usar la división larga para dividir un polinomio de segundo grado Divida 5 x 2 + 3 x - 2 entre x + 1. El cociente es 5 x − 2. El restante es 0. Escribimos el resultado como 5 x 2 + 3 x - 2 x + 1 = 5 x - 2 o 5 x 2 + 3 x - 2 = ( x + 1 ) ( 5 x - 2 ) Análisis Este problema de división tenía un restante de 0. Esto nos indica que el dividendo se divide en partes iguales entre el divisor, y que el divisor es un factor del dividendo. Usar la división larga para dividir un polinomio de tercer grado Divida 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 entre 3 x − 2. Hay un restante de 1. Podemos expresar el resultado como: 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 3 x - 2 = 2 x 2 + 5 x - 7 + 1 3 x - 2 Análisis Podemos comprobar nuestro trabajo con el algoritmo de la división para reescribir la solución. Luego multiplicamos. ( 3 x - 2 ) ( 2 x 2 + 5 x - 7 ) + 1 = 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 Observe que, al escribir nuestro resultado, el dividendo es 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 el divisor es 3 x - 2 el cociente es 2 x 2 + 5 x - 7 el restante es 1 Ejercicio Divida 16 x 3 - 12 x 2 + 20 x - 3 entre 4 x + 5. 4 x 2 - 8 x + 15 − 78 4 x + 5 Usar la división sintética para dividir polinomios Como hemos visto, la división larga de polinomios implica muchos pasos y puede resultar bastante engorrosa. La división sintética es un método abreviado de dividir polinomios para el caso especial de dividir entre un factor lineal cuyo coeficiente principal es 1. Para ilustrar el proceso, recuerde el ejemplo al principio de la sección. Divida 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x + 5 entre x + 2 con el algoritmo de la división larga. La forma final del proceso lucía así: Hay mucha repetición en la tabla. Si no escribimos las variables, sino que alineamos sus coeficientes en columnas bajo el signo de la división y además eliminamos los productos parciales, ya tenemos una versión simplificada de todo el problema. La división sintética lleva esta simplificación incluso unos cuantos pasos más. Colapse la tabla al mover cada una de las filas hacia arriba para llenar los espacios vacíos. Además, en lugar de dividir entre 2, como haríamos en la división de números enteros, y luego multiplicar y restar el producto medio, cambiamos el signo del "divisor" a –2, multiplicamos y sumamos. El proceso se inicia con la reducción del coeficiente principal. A continuación, lo multiplicamos por el "divisor" y sumamos, repitiendo este proceso columna a columna, hasta que no queden entradas. La fila inferior representa los coeficientes del cociente; la última entrada de la fila inferior es el restante. En este caso, el cociente es 2 x ² – 7 x + 18 y el restante es –31. El proceso se aclarará en el . División sintética La división sintética es un atajo que se utiliza cuando el divisor es un binomio en la forma x − k . En la división sintética , solamente se utilizan los coeficientes. Cómo Dados dos polinomios, utilizar la división sintética para dividirlos. Escriba k para el divisor. Escriba los coeficientes del dividendo. Baje el coeficiente principal. Multiplique el coeficiente principal entre k . Escriba el producto en la siguiente columna. Sume los términos de la segunda columna. Multiplique el resultado por k . Escriba el producto en la siguiente columna. Repita los pasos 5 y 6 para el resto de las columnas. Utilice los números inferiores para escribir el cociente. El número de la última columna es el restante y tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 0, el siguiente número de la derecha tiene grado 1, y así sucesivamente. Usar la división sintética para dividir un polinomio de segundo grado Utilice la división sintética para dividir 5 x 2 - 3 x − 36 entre x − 3, Comience por establecer la división sintética. Escriba k y los coeficientes. Baje el coeficiente principal. Multiplique el coeficiente principal entre k . Continúe sumando los números de la segunda columna. Multiplique el número resultante por k . Escriba el resultado en la siguiente columna. A continuación, sume los números de la tercera columna. El resultado es 5 x + 12. El restante es 0. Así que x - 3 es un factor del polinomio original. Análisis Al igual que con la división larga, podemos comprobar nuestro trabajo al multiplicar el cociente por el divisor y sumar el restante. ( x - 3 ) ( 5 x + 12 ) + 0 = 5 x 2 - 3 x − 36 Usar la división sintética para dividir un polinomio de tercer grado Utilice la división sintética para dividir 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x - 20 entre x + 2. El divisor binomial es x + 2 por lo que k = − 2. Sume cada columna, multiplique el resultado por -2 y repita hasta llegar a la última columna. El resultado es 4 x 2 + 2 x − 10. El restante es 0. Así, x + 2 es un factor de 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x − 20. Análisis El gráfico de la función polinómica f ( x ) = 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x - 20 en la muestra un cero en x = k = -2. Esto confirma que x + 2 es un factor de 4 x 3 + 10 x 2 - 6 x − 20. Usar la división sintética para dividir un polinomio de cuarto grado Utilice la división sintética para dividir − 9 x 4 + 10 x 3 + 7 x 2 - 6 entre x - 1. Observe que no hay ningún término x . Utilizaremos un cero como coeficiente para ese término El resultado es − 9 x 3 + x 2 + 8 x + 8 + 2 x – 1 . Ejercicio Utilice la división sintética para dividir 3 x 4 + 18 x 3 - 3 x + 40 entre x + 7. 3 x 3 - 3 x 2 + 21 x − 150 + 1 , 090 x + 7 Uso de la división polinómica para resolver problemas de aplicación La división polinómica se utiliza para resolver una variedad de problemas de aplicación que implican expresiones de área y volumen. Al principio de esta sección hemos visto una aplicación. Ahora resolveremos ese problema en el siguiente ejemplo. Usar la división de polinomios en un problema de aplicación El volumen de un sólido rectangular viene dado por el polinomio 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x . La longitud del sólido viene dada por 3 x y la anchura viene dada por x − 2. Calcule la altura del sólido. Hay unas cuantas maneras de abordar este problema. Tenemos que dividir la expresión del volumen del sólido entre las expresiones de la longitud y la anchura. Hagamos un esquema como en la . Ahora podemos escribir una ecuación al sustituir los valores conocidos en la fórmula del volumen de un sólido rectangular. V = l ⋅ w ⋅ h 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x = 3 x ⋅ ( x - 2 ) ⋅ h Para resolver h , divida primero ambos lados entre 3 x . 3 x ⋅ ( x - 2 ) ⋅ h 3 x = 3 x 4 - 3 x 3 − 33 x 2 + 54 x 3 x ( x - 2 ) h = x 3 - x 2 − 11 x + 18 Ahora resuelva para h mediante la división sintética. h = x 3 - x 2 − 11 x + 18 x - 2 2 1 - 1 − 11 18 2 2 − 18 1 1 - 9 0 El cociente es x 2 + x - 9 y el restante es 0. La altura del sólido es x 2 + x − 9. Ejercicio El área de un rectángulo viene dada por 3 x 3 + 14 x 2 − 23 x + 6. La anchura del rectángulo viene dada por x + 6. Halle una expresión para la longitud del rectángulo. 3 x 2 - 4 x + 1 Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con la división de polinomios. Dividir un trinomio entre un binomio con la división larga Dividir un polinomio entre un binomio con la división larga Ej. 2: Dividir un polinomio por un binomio con la división sintética Ej. 4: Dividir un polinomio por un binomio con la división sintética Ecuaciones clave Algoritmo de la división f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) donde q ( x ) ≠ 0 Conceptos clave La división larga de polinomios se utiliza para dividir un polinomio entre cualquier polinomio de grado igual o inferior. Vea el y el . El algoritmo de la división nos señala que un dividendo polinómico se puede escribir como el producto del divisor y el cociente sumado al restante. La división sintética es un atajo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio en la forma x − k . Vea el , el y el . La división polinómica se utiliza para resolver problemas de aplicación, como el área y el volumen. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Si la división de un polinomio entre un binomio da como resultado un restante de cero, ¿qué se puede concluir? El binomio es un factor del polinomio. Si un polinomio de grado n se divide entre un binomio de grado 1, ¿cuál es el grado del cociente? Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice la división larga. Especifique el cociente y el restante. ( x 2 + 5 x – 1 ) ÷ ( x – 1 ) x + 6 + 5 x 1 , cociente x + 6 , restante: 5 ( 2 x 2 - 9 x - 5 ) ÷ ( x - 5 ) ( 3 x 2 + 23 x + 14 ) ÷ ( x + 7 ) 3 x + 2 , cociente: 3 x + 2 , restante: 0 ( 4 x 2 - 10 x + 6 ) ÷ ( 4 x + 2 ) ( 6 x 2 - 25 x - 25 ) ÷ ( 6 x + 5 ) x - 5 , cociente x - 5 , restante: 0 ( - x 2 – 1 ) ÷ ( x + 1 ) ( 2 x 2 - 3 x + 2 ) ÷ ( x + 2 ) 2 x - 7 + 16 x + 2 , cociente 2 x - 7 , restante: 16 ( x 3 − 126 ) ÷ ( x - 5 ) ( 3 x 2 - 5 x + 4 ) ÷ ( 3 x + 1 ) x - 2 + 6 3 x + 1 , cociente x - 2 , restante: 6 ( x 3 - 3 x 2 + 5 x - 6 ) ÷ ( x - 2 ) ( 2 x 3 + 3 x 2 - 4 x + 15 ) ÷ ( x + 3 ) 2 x 2 - 3 x + 5 , cociente 2 x 2 - 3 x + 5 , restante: 0 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente. ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) ( 2 x 3 - 6 x 2 - 7 x + 6 ) ÷ ( x - 4 ) 2 x 2 + 2 x + 1 + 10 x - 4 ( 6 x 3 - 10 x 2 - 7 x - 15 ) ÷ ( x + 1 ) ( 4 x 3 - 12 x 2 - 5 x – 1 ) ÷ ( 2 x + 1 ) 2 x 2 - 7 x + 1 - 2 2 x + 1 ( 9 x 3 - 9 x 2 + 18 x + 5 ) ÷ ( 3 x – 1 ) ( 3 x 3 - 2 x 2 + x - 4 ) ÷ ( x + 3 ) 3 x 2 − 11 x + 34 − 106 x + 3 ( − 6 x 3 + x 2 - 4 ) ÷ ( 2 x - 3 ) ( 2 x 3 + 7 x 2 − 13 x - 3 ) ÷ ( 2 x - 3 ) x 2 + 5 x + 1 ( 3 x 3 - 5 x 2 + 2 x + 3 ) ÷ ( x + 2 ) ( 4 x 3 - 5 x 2 + 13 ) ÷ ( x + 4 ) 4 x 2 − 21 x + 84 − 323 x + 4 ( x 3 - 3 x + 2 ) ÷ ( x + 2 ) ( x 3 - 21 x 2 + 147 x − 343 ) ÷ ( x - 7 ) x 2 − 14 x + 49 ( x 3 − 15 x 2 + 75 x − 125 ) ÷ ( x - 5 ) ( 9 x 3 - x + 2 ) ÷ ( 3 x – 1 ) 3 x 2 + x + 2 3 x – 1 ( 6 x 3 - x 2 + 5 x + 2 ) ÷ ( 3 x + 1 ) ( x 4 + x 3 - 3 x 2 - 2 x + 1 ) ÷ ( x + 1 ) x 3 - 3 x + 1 ( x 4 - 3 x 2 + 1 ) ÷ ( x – 1 ) ( x 4 + 2 x 3 - 3 x 2 + 2 x + 6 ) ÷ ( x + 3 ) x 3 - x 2 + 2 ( x 4 - 10 x 3 + 37 x 2 − 60 x + 36 ) ÷ ( x - 2 ) ( x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 - 32 x + 16 ) ÷ ( x - 2 ) x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 ( x 4 + 5 x 3 - 3 x 2 − 13 x + 10 ) ÷ ( x + 5 ) ( x 4 − 12 x 3 + 54 x 2 − 108 x + 81 ) ÷ ( x - 3 ) x 3 - 9 x 2 + 27 x - 27 ( 4 x 4 – 2 x 3 - 4 x + 2 ) ÷ ( 2 x – 1 ) ( 4 x 4 + 2 x 3 - 4 x 2 + 2 x + 2 ) ÷ ( 2 x + 1 ) 2 x 3 - 2 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar si la primera expresión es un factor de la segunda. Si es así, indique la factorización. x - 2 , 4 x 3 - 3 x 2 - 8 x + 4 x - 2 , 3 x 4 − 6 x 3 - 5 x + 10 Sí ( x - 2 ) ( 3 x 3 - 5 ) x + 3 , - 4 x 3 + 5 x 2 + 8 x - 2 , 4 x 4 − 15 x 2 - 4 Sí ( x - 2 ) ( 4 x 3 + 8 x 2 + x + 2 ) x – 1 2 , 2 x 4 - x 3 + 2 x – 1 x + 1 3 , 3 x 4 + x 3 - 3 x + 1 No Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico del polinomio de tercer grado y un factor para escribir la forma factorizada del polinomio que se sugiere en el gráfico. El coeficiente principal es uno. El factor es x 2 - x + 3 El factor es x 2 + 2 x + 4 ( x – 1 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) El factor es x 2 + 2 x + 5 El factor es x 2 + x + 1 ( x - 5 ) ( x 2 + x + 1 ) El factor es x 2 + 2 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para calcular el cociente y el restante. 4 x 3 − 33 x - 2 Cociente: 4 x 2 + 8 x + 16 , restante: − 1 2 x 3 + 25 x + 3 3 x 3 + 2 x - 5 x – 1 Cociente: 3 x 2 + 3 x + 5 , restante: 0 - 4 x 3 - x 2 - 12 x + 4 x 4 − 22 x + 2 Cociente: x 3 - 2 x 2 + 4 x - 8 , restante: − 6 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora con sistema de álgebra computacional (Computer Algebra Systems, CAS)) para responder las preguntas. Considere que x k - 1 x – 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Considere que x k + 1 x + 1 para k = 1 , 3 , 5. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 7 ? x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 Considere que x 4 − k 4 x − k para k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Considere que x k x + 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? x 3 - x 2 + x – 1 + 1 x + 1 Considere que x k x – 1 con la k = 1 , 2 , 3. ¿Cuál espera que sea el resultado si k = 4 ? Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la división sintética para determinar el cociente que implica un número complejo. x + 1 x − i 1 + 1 + i x − i x 2 + 1 x − i x + 1 x + i 1 + 1 − i x + i x 2 + 1 x + i x 3 + 1 x − i x 2 − i x – 1 + 1 − i x − i Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, utilice la longitud y el área dadas de un rectángulo para expresar la anchura algebraicamente. La longitud es x + 5 , el área es 2 x 2 + 9 x − 5. La longitud es 2 x + 5 , el área es 4 x 3 + 10 x 2 + 6 x + 15 2 x 2 + 3 La longitud es 3 x – 4 , el área es 6 x 4 − 8 x 3 + 9 x 2 - 9 x - 4 En los siguientes ejercicios, utilice el volumen dado de una caja y su longitud y anchura para expresar algebraicamente la altura. El volumen es 12 x 3 + 20 x 2 − 21 x − 36 , la longitud es 2 x + 3 , la anchura es 3 x − 4. 2 x + 3 El volumen es 18 x 3 - 21 x 2 − 40 x + 48 , la longitud es 3 x – 4 , la anchura es 3 x – 4. El volumen es 10 x 3 + 27 x 2 + 2 x − 24 , la longitud es 5 x – 4 , la anchura es 2 x + 3. x + 2 El volumen es 10 x 3 + 30 x 2 - 8 x − 24 , la longitud es 2 , la anchura es x + 3. En los siguientes ejercicios, utilice el volumen y el radio dados de un cilindro para expresar algebraicamente su altura. El volumen es π ( 25 x 3 − 65 x 2 − 29 x - 3 ) , el radio es 5 x + 1. x - 3 El volumen es π ( 4 x 3 + 12 x 2 − 15 x − 50 ) , el radio es 2 x + 5. El volumen es π ( 3 x 4 + 24 x 3 + 46 x 2 - 16 x − 32 ) , el radio es x + 4. 3 x 2 - 2 Algoritmo de la división dado un dividendo polinómico f ( x ) y un divisor polinómico distinto de cero d ( x ) donde el grado de d ( x ) es menor o igual que el grado de f ( x ) , existen polinomios únicos q ( x ) y r ( x ) tal que f ( x ) = d ( x ) q ( x ) + r ( x ) donde q ( x ) es el cociente y r ( x ) es el restante. El restante es igual a cero o tiene un grado estrictamente menor que d ( x ) . división sintética método abreviado que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x − k

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