Resolver sistemas con eliminación de Gauss-Jordan Objetivos de aprendizaje Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2) Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3) Objetivo 1: Utilizar operaciones de fila en una matriz (IA 4.5.2) En la última sección, aprendimos a escribir la matriz aumentada para un sistema de ecuaciones. Una vez que un sistema de ecuaciones esté en su forma de matriz aumentada , resolveremos por eliminación realizando operaciones sobre las filas que nos lleven a la solución. Nuestro objetivo será obtener 1 en la diagonal de la matriz y todas las entradas por debajo de la diagonal deben ser ceros. Operaciones de fila En una matriz se pueden realizar las siguientes operaciones en cualquier fila, y la matriz resultante será equivalente a la matriz original. Intercambie dos filas cualesquiera. Multiplique una fila por cualquier número real excepto 0. Sume un múltiplo distinto de cero de una fila a otra fila. Estas acciones se denominan operaciones de fila y nos ayudarán a utilizar la matriz para resolver un sistema de ecuaciones. Utilice las operaciones de fila indicadas en la matriz aumentada: Ⓐ Intercambie las filas 2 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 2 por 5. Ⓒ Multiplique la fila 3 por -2 y súmela a la fila 1. [ 6 5 2 1 1 4 3 3 1 | 3 5 1 ] Ⓐ Intercambie las filas 2 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 2 por 5. Ⓒ Multiplique la fila 3 por -2 y súmela a la fila 1. Utilice las operaciones de fila indicadas en la matriz aumentada: Ⓐ Intercambie las filas 1 y 3. Ⓑ Multiplique la fila 3 por 3. Ⓒ Multiplique la fila 3 por 2 y súmela a la fila 2. 5 2 2 2 4 1 4 4 2 3 0 1 Utilice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada: [ 1 −1 4 −8 | 2 0 ] . Para que el 4 sea un 0, podríamos multiplicar la fila 1 por -4 y luego sumarla a la fila 2. La práctica hace la perfección Utilice la operación de fila necesaria que hará que la primera entrada de la fila 2 sea cero en la matriz aumentada 1 1 2 3 6 2 Objetivo 2: Resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices (IA 4.5.3) Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando matrices, transformamos la matriz aumentada en una matriz en forma escalonada por filas mediante operaciones de fila. En un sistema de ecuaciones consistente e independiente, la matriz aumentada está en forma escalonada por filas cuando a la izquierda de la línea vertical, cada entrada en la diagonal es un 1 y todas las entradas por debajo de la diagonal son ceros. Una vez que obtenemos la matriz aumentada en forma escalonada por filas , podemos escribir el sistema de ecuaciones equivalente y resolver al menos una variable. A continuación, sustituimos este valor en otra ecuación para seguir resolviendo las demás variables. Resolver un sistema de ecuaciones mediante matrices. Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. Al utilizar las operaciones de fila se consigue que la entrada de la fila 1, columna 1 sea 1. Al utilizar las operaciones de fila, se obtiene ceros en la columna 1 debajo del 1. Al utilizar las operaciones de fila, se logra que la entrada de la fila 2, columna 2 sea 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en la forma escalonada por filas. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilice la sustitución para hallar las variables restantes. Escriba la solución como un par o triple ordenado. Compruebe que la solución hace que las ecuaciones originales sean verdaderas. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando matrices { 3 x + 8 y + 2 z = −5 2 x + 5 y - 3 z = 0 x + 2 y - 2 z = –1 Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. Intercambie la fila 1 y la fila 3 para obtener un 1 en la primera fila y la primera columna. Al utilizar las operaciones de fila, obtenga ceros en la columna 1 debajo del 1 La entrada en la fila 2, columna 2 es ahora 1. Continúe el proceso hasta que la matriz esté en forma escalonada por filas. La matriz está ahora en forma escalonada por filas. Escriba el sistema de ecuaciones correspondiente. Utilice la sustitución para hallar las variables restantes. Escriba la solución como un par o triple ordenado. Compruebe que la solución hace que las ecuaciones originales sean verdaderas. La práctica hace la perfección Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando matrices x y – c = 1 x + 2 y 3 z = 4 3 x 2 y 7 z = 0 El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Carl Friedrich Gauss vivió a finales del siglo XVIII y principios del XIX, pero se lo sigue considerando uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus aportes a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de las matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos siglos pasados. La primera vez que estudiamos la eliminación de Gauss-Jordan fue en la sección Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables En esta sección volveremos a examinar esta técnica de resolver sistemas, esta vez mediante matrices. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y estas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada . Por ejemplo, consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 2 × 2 dado. 3 x + 4 y = 7 4 x −2 y = 5 Podemos escribir este sistema como una matriz aumentada: [ 3 4 4 −2 | 7 5 ] También podemos escribir una matriz que contenga solo los coeficientes. Esto se llama la matriz de coeficientes . [ 3 4 4 −2 ] Un sistema de ecuaciones de tres por tres como 3 x - y - z = 0 x + y = 5 2 x −3 c = 2 tiene una matriz de coeficientes [ 3 −1 −1 1 1 0 2 0 −3 ] y está representada por la matriz aumentada [ 3 −1 −1 1 1 0 2 0 −3 | 0 5 2 ] Tome en cuenta que la matriz está escrita de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: los términos x van en la primera columna, los términos y en la segunda columna y los términos z en la tercera columna. Es muy importante que cada ecuación se escriba en forma estándar a x + b y + c z = d para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es 0. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, escriba una matriz aumentada. Escriba los coeficientes de los términos x como los números de la primera columna. Escriba los coeficientes de los términos y como los números de la segunda columna. Si hay términos z , escriba los coeficientes como los números de la tercera columna. Dibuje una línea vertical y escriba las constantes a la derecha de la línea. Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones dado. x + 2 y - z = 3 2 x - y + 2 z = 6 x - 3 y + 3 z = 4 La matriz aumentada muestra los coeficientes de las variables y una columna adicional para las constantes. [ 1 2 −1 2 −1 2 1 −3 3 | 3 6 4 ] Ejercicio Escriba la matriz aumentada del sistema de ecuaciones dado. 4 x −3 y = 11 3 x + 2 y = 4 [ 4 −3 3 2 | 11 4 ] Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una matriz aumentada Podemos utilizar las matrices aumentadas para ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones porque simplifican las operaciones cuando los sistemas no están condicionados por las variables. Sin embargo, es importante saber cómo pasar de un formato a otro para que la búsqueda de soluciones sea más fácil e intuitiva. Aquí, utilizaremos la información de una matriz aumentada para escribir el sistema de ecuaciones en forma estándar. Escribir un sistema de ecuaciones a partir de una forma de matriz aumentada Halle el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada. [ 1 −3 −5 2 −5 -4 −3 5 4 | −2 5 6 ] Cuando las columnas representan las variables x , y , y z , [ 1 −3 −5 2 −5 -4 −3 5 4 | −2 5 6 ] → x - 3 y - 5 z = - 2 2 x - 5 y - 4 z = 5 −3 x + 5 y + 4 z = 6 Ejercicio Escriba el sistema de ecuaciones de la matriz aumentada. [ 1 −1 1 2 −1 3 0 1 1 | 5 1 −9 ] x - y + z = 5 2 x - y + 3 z = 1 y + z = −9 Realizar operaciones de fila en una matriz Ahora que podemos escribir sistemas de ecuaciones en forma de matriz aumentada, examinaremos las distintas operaciones de fila que se pueden realizar en una matriz, como adición, multiplicación por una constante e intercambio de filas. Realizar operaciones de fila en una matriz es el método que utilizamos para resolver un sistema de ecuaciones. Para resolver el sistema de ecuaciones, queremos convertir la matriz a la forma escalonada por filas , en la cual hay unos en la diagonal principal desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha y ceros en cada posición por debajo de la diagonal principal como se muestra. Forma escalonada por filas [ 1 a b 0 1 d 0 0 1 ] Utilizamos las operaciones de fila correspondientes a las operaciones de ecuación para obtener una nueva matriz que es una equivalencia de fila en una forma más simple. Estas son las directrices para obtener la forma escalonada por filas. En cualquier fila distinta de cero, el primer número distinto de cero es un 1. Se denomina 1 líder . Todas las filas con ceros se colocan en la parte inferior de la matriz. Cualquier 1 líder está por debajo y a la derecha de un 1 líder anterior. Cualquier columna que contenga un 1 líder tiene ceros en todas las demás posiciones de la columna. Para resolver un sistema de ecuaciones podemos realizar las siguientes operaciones de fila para convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por filas y volver a sustituir para hallar la solución. Filas de intercambio (notación: R i ↔ R j ). Multiplique una fila por una constante (notación: c R i ). Sume el producto de una fila multiplicado por una constante a otra fila (notación: R i + c R j ) Cada una de las operaciones de fila corresponde a las operaciones que ya hemos aprendido para resolver sistemas de ecuaciones con tres variables. Con estas operaciones, hay algunos movimientos clave que lograrán rápidamente el objetivo de escribir una matriz en forma escalonada por filas. Para obtener una matriz en forma escalonada por filas para hallar soluciones, utilizamos la eliminación de Gauss-Jordan, un método que utiliza las operaciones de fila para obtener un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se puede usar para convertir las filas restantes. Eliminación de Gauss-Jordan El método de eliminación de Gauss-Jordan se refiere a una estrategia utilizada para obtener la forma escalonada por filas de una matriz. El objetivo es escribir la matriz A con el número 1 como entrada en la diagonal principal y con todos los ceros debajo. A = [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] → Después de la eliminación de Gauss-Jordan A = [ 1 b 12 b 13 0 1 b 23 0 0 1 ] El primer paso de la estrategia de Gauss-Jordan incluye la obtención de un 1 como primera entrada, de modo que la fila 1 se pueda usar para modificar las filas siguientes. Cómo Dada una matriz aumentada, realice las operaciones de fila para conseguir la forma escalonada por filas. La primera ecuación debe tener un coeficiente principal de 1. Intercambie las filas o multiplique por una constante, si es necesario. Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la primera columna por debajo de la primera entrada de 1. Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 2, columna 2. Utilice las operaciones de fila para obtener ceros en la columna 2, debajo de la entrada de 1. Utilice las operaciones de fila para obtener un 1 en la fila 3, columna 3. Continúe este proceso para todas las filas hasta que haya un 1 en cada entrada de la diagonal principal y solo haya ceros debajo. Si algunas filas contienen todos los ceros, colóquelas al final. Resolver un sistema 2 × 2 por eliminación de Gauss-Jordan Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan. 2 x + 3 y = 6 x - y = 1 2 Primero, lo escribimos como una matriz aumentada. [ 2 3 1 −1 | 6 1 2 ] Queremos un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr intercambiando la fila 1 y la fila 2. R 1 ↔ R 2 → [ 1 −1 2 3 | 1 2 6 ] Ahora tenemos un 1 como primera entrada en la fila 1, columna 1. Ahora vamos a obtener un 0 en la fila 2, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la fila 1 por −2 , y luego se suma el resultado a la fila 2. −2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 −1 0 5 | 1 2 5 ] Solo nos queda un paso más, multiplicar la fila 2 por 1 5 . 1 5 R 2 = R 2 → [ 1 −1 0 1 | 1 2 1 ] Vuelva a sustituir. La segunda fila de la matriz representa y = 1. Vuelva a sustituir y = 1 en la primera ecuación. x - ( 1 ) = 1 2 x = 3 2 La solución es el punto ( 3 2 , 1 ) . Ejercicio Resuelva el sistema dado por eliminación de Gauss-Jordan. 4 x + 3 y = 11 x −3 y = –1 ( 2 , 1 ) Uso de la eliminación de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones Use la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema de ecuaciones 2 × 2 dado. 2 x + y = 1 4 x + 2 y = 6 Escriba el sistema como una matriz aumentada . [ 2 1 4 2 | 1 6 ] Obtenga un 1 en la fila 1, columna 1. Esto se puede lograr multiplicando la primera fila por 1 2 . 1 2 R 1 = R 1 → [ 1 1 2 4 2 | 1 2 6 ] A continuación, queremos un 0 en la fila 2, columna 1. Multiplique la fila 1 por -4 y sume la fila 1 a la fila 2. -4 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 1 2 0 0 | 1 2 4 ] La segunda fila representa la ecuación 0 = 4. Por lo tanto, el sistema es inconsistente y no tiene solución. Resolver un sistema dependiente Resuelva el sistema de ecuaciones. 3 x + 4 y = 12 6 x + 8 y = 24 Realice operaciones de fila en la matriz aumentada para intentar conseguir la forma escalonada por filas . A = [ 3 4 6 8 | 12 24 ] − 1 2 R 2 + R 1 = R 1 → [ 0 0 6 8 | 0 24 ] R 1 ↔ R 2 → [ 6 8 0 0 | 24 0 ] La matriz termina con todos los ceros en la última fila: 0 y = 0 . Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones y el sistema se clasifica como dependiente. Para hallar la solución genérica, vuelva a una de las ecuaciones originales y resuelva para y . 3 x + 4 y = 12 4 y = 12 −3 x y = 3 - 3 4 x Así que la solución a este sistema es ( x , 3 - 3 4 x ) . Realizar operaciones de fila en una matriz aumentada 3×3 para obtener la forma escalonada por filas Realice operaciones de fila en la matriz dada para obtener la forma escalonada por filas. [ 1 −3 4 2 −5 6 −3 3 4 | 3 6 6 ] La primera fila ya tiene un 1 en la fila 1, columna 1. El siguiente paso es multiplicar la fila 1 por −2 y sumarla a la fila 2. A continuación, sustituya la fila 2 por el resultado. −2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 −3 4 0 1 −2 −3 3 4 | 3 0 6 ] A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 1. 3 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 −6 16 | 3 0 15 ] A continuación, obtenga un cero en la fila 3, columna 2. 6 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 0 4 | 3 0 15 ] El último paso es obtener un 1 en la fila 3, columna 3. 1 4 R 3 = R 3 → [ 1 −3 4 0 1 −2 0 0 1 | 3 0 15 4 ] Ejercicio Escriba el sistema de ecuaciones en forma escalonada por filas. x - 2 y + 3 z = 9 - x + 3 y = – 4 2 x - 5 y + 5 z = 17 [ 1 - 5 2 5 2  0 1 5 0 0 1 | 17 2 9 2 ] Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices Hemos visto cómo escribir un sistema de ecuaciones con una matriz aumentada y, luego cómo utilizar las operaciones de fila y volver a sustituir para obtener la forma escalonada por filas . Ahora, llevaremos la forma escalonada por filas un paso más allá para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 por 3. La idea general es eliminar todas las variables menos una mediante operaciones de fila y luego volver a sustituir para resolver las otras variables. Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante matrices Resuelva el sistema de ecuaciones lineales mediante matrices. x - y + z = 8 2 x + 3 y - z = −2 3 x - 2 y − 9 z = 9 Primero, escribimos la matriz aumentada. [ 1 - 1 1 2 3 - 1 3 - 2 - 9 | 8 - 2 9 ] Luego, realizamos las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. − 2 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 - 1 1 0 5 - 3 3 - 2 - 9 | 8 − 18 9 ] − 3 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 - 1 1 0 5 - 3 0 1 − 12 | 8 − 18 − 15 ] La forma más fácil de obtener un 1 en la fila 2 de la columna 1 es intercambiar R 2 y R 3 . Intercambie la R 2 y R 3 → [ 1 −1 1 8 0 1 −12 −15 0 5 −3 -18 ] Entonces −5 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 −1 1 0 1 −12 0 0 57 | 8 −15 57 ] - 1 57 R 3 = R 3 → [ 1 −1 1 0 1 −12 0 0 1 | 8 −15 1 ] La última matriz representa el sistema equivalente. x - y + z = 8 y - 12 c = −15 c = 1 Al volver a sustituir, obtenemos la solución como ( 4 , −3 , 1 ) . Resolver un sistema dependiente de ecuaciones lineales mediante matrices Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante matrices. − x −2 y + z = −1 2 x + 3 y = 2 y −2 c = 0 Escriba la matriz aumentada. [ −1 −2 1 2 3 0 0 1 −2 | −1 2 0 ] Primero, multiplique la fila 1 por −1 para obtener un 1 en la fila 1, columna 1. A continuación, realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. − R 1 → [ 1 2 −1 2 3 0 0 1 −2 | 1 2 0 ] R 2 ↔ R 3 → [ 1 2 – 1 0 1 - 2 2 3 0 | 1 0 2 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 2 −1 0 1 −2 0 −1 2 | 1 0 0 ] R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 2 −1 0 1 −2 0 0 0 | 2 1 0 ] La última matriz representa el siguiente sistema. x + 2 y - z = 1 y - 2 z = 0 0 = 0 Vemos por la identidad 0 = 0 que se trata de un sistema dependiente con un número infinito de soluciones. Luego, calculamos la solución genérica. Al resolver la segunda ecuación para y y sustituyéndola en la primera ecuación podemos resolver c en términos de x . x + 2 y - z = 1 y = 2 z x + 2 ( 2 z ) − z = 1 x + 3 z = 1 z = 1 - x 3 Ahora, sustituimos la expresión de c en la segunda ecuación para resolver y en términos de x . y - 2 z = 0 z = 1 - x 3 y - 2 ( 1 - x 3 ) = 0 y = 2 - 2 x 3 La solución genérica es ( x , 2 −2 x 3 , 1 - x 3 ) . Ejercicio Resuelva el sistema mediante matrices. x + 4 y - z = 4 2 x + 5 y + 8 z = 15 x + 3 y −3 c = 1 ( 1 , 1 , 1 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales por eliminación de Gauss-Jordan? Sí, un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño se puede resolver por eliminación de Gauss-Jordan. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices utilizando una calculadora. Guardar la matriz aumentada como una variable de la matriz [ A ] , [ B ] , [ C ] , … . Utilice la función ref( en la calculadora, llamando a cada variable de la matriz según sea necesario. Resolver sistemas de ecuaciones con matrices utilizando una calculadora Resuelva el sistema de ecuaciones. 5 x + 3 y + 9 z = −1 −2 x + 3 y - z = −2 − x -4 y + 5 z = 1 Escriba la matriz aumentada para el sistema de ecuaciones. [ 5 3 9 −2 3 −1 −1 -4 5 | −1 −2 −1 ] En la página de la matriz de la calculadora, introduzca la matriz aumentada anterior como variable de la matriz [ A ] . [ A ] = [ 5 3 9 −1 −2 3 −1 −2 −1 -4 5 1 ] Use la función ref( en la calculadora, llamando a la variable matriz [ A ] . ref ( [ A ] ) Evalúe. [ 1 3 5 9 5 1 5 0 1 13 21 − 4 7 0 0 1 − 24 187 ] → x + 3 5 y + 9 5 z = - 1 5 y + 13 21 c = – 4 7 z = − 24 187 Al volver a sustituir, la solución es ( 61 187 , − 92 187 , − 24 187 ) . Aplicación de matrices 2 × 2 a las finanzas Carolyn invierte un total de 12.000 dólares en dos bonos municipales, uno de los cuales paga el 10,5 % de interés y el otro el 12 %. El interés anual obtenido por las dos inversiones el año pasado fue de 1.335 dólares. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa? Tenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables. Supongamos que x = la cantidad invertida a un interés del 10,5 %, y y = la cantidad invertida a un interés del 12 %. x + y = 12.000 0,105 x + 0,12 y = 1335 Como matriz, tenemos [ 1 1 0,105 0,12 | 12.000 1335 ] Multiplique la fila 1 por -0,105 y sume el resultado a la fila 2. [ 1 1 0 0,015 | 12.000 75 ] Entonces, 0,015 y = 75 y = 5.000 Así que 12.000 -5.000 = 7.000. Así, se invirtieron 5.000 dólares al 12 % de interés y 7.000 dólares al 10,5 % de interés. Aplicación de matrices 3 × 3 a las finanzas Ava invierte un total de 10.000 dólares en tres cuentas, una que paga el 5 % de interés, otra que paga el 8 % de interés y la tercera que paga el 9 % de interés. Los intereses anuales obtenidos por las tres inversiones el año pasado fueron de 770 dólares. La cantidad invertida al 9 % era el doble de la invertida al 5 %. ¿Cuánto se invirtió en cada tasa? Tenemos un sistema de tres ecuaciones en tres variables. Supongamos que x es la cantidad invertida al 5 % de interés, y y es la cantidad invertida al 8 % de interés, y que c es la cantidad invertida al 9 % de interés. Por lo tanto, x + y + z = 10 . 000 0,05 x + 0,08 y + 0,09 c = 770 2 x − z = 0 Como matriz, tenemos [ 1 1 1 0,05 0,08 0,09 2 0 −1 | 10 . 000 770 0 ] Ahora, realizamos la eliminación de Gauss-Jordan para conseguir la forma escalonada por filas. -0,05 R 1 + R 2 = R 2 → [ 1 1 1 0 0,03 0,04 2 0 −1 | 10.000 270 0 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 1 1 0 0,03 0,04 0 −2 −3 | 10.000 270 –20.000 ] 1 0,03 R 2 = R 2 → [ 0 1 1 0 1 4 3 0 −2 −3 | 10.000 9.000 –20.000 ] 2 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 1 1 0 1 4 3 0 0 - 1 3 | 10.000 9.000 -2.000 ] La tercera fila nos dice − 1 3 z = -2.000 ; por lo tanto c = 6.000. La segunda fila nos dice y + 4 3 z = 9.000. Al sustituir c = 6.000 , obtenemos y + 4 3 ( 6.000 ) = 9.000 y + 8.000 = 9.000 y = 1.000 La primera fila nos dice x + y + z = 10.000. Al sustituir y = 1.000 y z = 6.000 , obtenemos x + 1.000 + 6.000 = 10.000 x = 3.000 La respuesta es 3.000 dólares invertidos al 5 % de interés, 1.000 dólares invertidos al 8 % y 6.000 dólares invertidos al 9 % de interés. Ejercicio Una pequeña compañía de calzado pidió un préstamo de 1.500.000 dólares para ampliar su inventario. Una parte del dinero se prestó al 7 %, otra al 8 % y otra al 10 %. La cantidad prestada al 10 % era cuatro veces superior a la prestada al 7 %, y el interés anual de los tres préstamos era de 130.500 dólares. Utilice las matrices para calcular la cantidad prestada a cada tasa de interés. 150.000 dólares al 7 %, 750.000 dólares al 8 %, 600.000 dólares al 10 % Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante la eliminación de Gauss-Jordan. Resolver un sistema de dos ecuaciones mediante una matriz aumentada Resolver un sistema de tres ecuaciones mediante una matriz aumentada Matrices aumentadas en la calculadora Conceptos clave Una matriz aumentada es aquella que contiene los coeficientes y las constantes de un sistema de ecuaciones. Vea el . Una matriz aumentada con la columna constante se puede representar como el sistema de ecuaciones original. Vea el . Las operaciones con filas incluyen la multiplicación de una fila por una constante, la adición de una fila a otra fila y el intercambio de filas. Podemos utilizar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones. Vea el , el y el . Las operaciones de fila se realizan en las matrices para obtener la forma escalonada por filas. Vea el . Para resolver un sistema de ecuaciones, escríbalo en forma de matriz aumentada. Realice las operaciones de fila para obtener la forma escalonada por filas. Volver a sustituir para hallar las soluciones. Vea el y el . Se puede utilizar una calculadora para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices. Vea el . Muchos problemas del mundo real se pueden resolver con matrices aumentadas. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Se puede escribir cualquier sistema de ecuaciones lineales como una matriz aumentada? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir esa matriz aumentada. Sí. Para cada fila, se escriben los coeficientes de las variables a lo largo de la fila correspondiente y se coloca una barra vertical; a continuación, se colocan las constantes a la derecha de la barra vertical. ¿Se puede escribir cualquier matriz como un sistema de ecuaciones lineales? Explique por qué sí o por qué no. Explique cómo escribir ese sistema de ecuaciones. ¿Existe un único método correcto para utilizar las operaciones de fila en una matriz? Intente explicar dos operaciones de fila diferentes posibles para resolver la matriz aumentada [ 9 3 1 - 2 | 0 6 ] . No, existen numerosos métodos correctos para utilizar las operaciones de fila en una matriz. Dos posibles formas son las siguientes: (1) Intercambie las filas 1 y 2. Luego R 2 = R 2 −9 R 1 . (2) R 2 = R 1 −9 R 2 . Luego, divida la fila 1 entre 9. ¿Se puede resolver una matriz cuya entrada es 0 en la diagonal? Explique por qué sí o por qué no. ¿Qué haría usted para remediar la situación? ¿Una matriz que tiene 0 entradas para toda una fila puede tener una solución? Explique por qué sí o por qué no. No. Una matriz con 0 entradas para toda una fila tendría cero o infinitas soluciones. Algebraicos En los siguientes ejercicios, escriba la matriz aumentada del sistema lineal. 8 x -37 y = 8 2 x + 12 y = 3 16 y = 4 9 x - y = 2 [ 0 16 9 −1 | 4 2 ] 3 x + 2 y + 10 z = 3 −6 x + 2 y + 5 z = 13 4 x + z = 18 x + 5 y + 8 z = 19 12 x + 3 y = 4 3 x + 4 y + 9 z = −7 [ 1 5 8 12 3 0 3 4 9 | 16 4 −7 ] 6 x + 12 y + 16 c = 4 19 x −5 y + 3 z = –9 x + 2 y = −8 En los siguientes ejercicios, escriba el sistema lineal a partir de la matriz aumentada. [ −2 5 6 -18 | 5 26 ] −2 x + 5 y = 5 6 x -18 y = 26 [ 3 4 10 17 | 10 439 ] [ 3 2 0 −1 −9 4 8 5 7 | 3 −1 8 ] 3 x + 2 y = 3 - x −9 y + 4 z = −1 8 x + 5 y + 7 z = 8 [ 8 29 1 −1 7 5 0 0 3 | 43 38 10 ] [ 4 5 −2 0 1 58 8 7 −3 | 12 2 −5 ] 4 x + 5 y −2 c = 12 y + 58 c = 2 8 x + 7 y −3 c = −5 En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema por eliminación de Gauss-Jordan. [ 1 0 0 0 | 3 0 ] [ 1 0 1 0 | 1 2 ] No son soluciones. [ 1 2 4 5 | 3 6 ] [ −1 2 4 −5 | −3 6 ] ( –1 , –2 ) [ −2 0 0 2 | 1 −1 ] 2 x - 3 y = - 9 5 x + 4 y = 58 ( 6 , 7 ) 6 x + 2 y = -4 3 x + 4 y = -17 2 x + 3 y = 12 4 x + y = 14 ( 3 , 2 ) -4 x −3 y = −2 3 x −5 y = -13 −5 x + 8 y = 3 10 x + 6 y = 5 ( 1 5 , 1 2 ) 3 x + 4 y = 12 −6 x −8 y = −24 -60 x + 45 y = 12 20 x −15 y = –4 ( x , 4 15 ( 5 x + 1 ) ) 11 x + 10 y = 43 15 x + 20 y = 65 2 x - y = 2 3 x + 2 y = 17 ( 3 , 4 ) -1,06 x -2,25 y = 5,51 -5,03 x -1,08 y = 5,40 3 4 x - 3 5 y = 4 1 4 x + 2 3 y = 1 ( 196 39 , - 5 13 ) 1 4 x - 2 3 y = −1 1 2 x + 1 3 y = 3 [ 1 0 0 0 1 1 0 0 1 | 31 45 87 ] ( 31 , -42 , 87 ) [ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 | 50 20 −90 ] [ 1 2 3 0 5 6 0 0 8 | 4 7 9 ] ( 21 40 , 1 20 , 9 8 ) [ -0,1 0,3 -0,1 -0,4 0,2 0,1 0,6 0,1 0,7 | 0,2 0,8 -0,8 ] −2 x + 3 y - 2 z = 3 4 x + 2 y - z = 9 4 x - 8 y + 2 z = −6 ( 18 13 , 15 13 , − 15 13 ) x + y - 4 z = -4 5 x - 3 y - 2 z = 0 2 x + 6 y + 7 z = 30 2 x + 3 y + 2 z = 1 -4 x - 6 y - 4 z = −2 10 x + 15 y + 10 z = 5 ( x , y , 1 2 ( 1 −2 x −3 y ) ) x + 2 y - z = 1 - x - 2 y + 2 z = −2 3 x + 6 y - 3 z = 5 x + 2 y - z = 1 - x −2 y + 2 z = −2 3 x + 6 y −3 c = 3 ( x , − x 2 , –1 ) x + y = 2 x + z = 1 - y - z = −3 x + y + z = 100 x + 2 z = 125 − y + 2 z = 25 ( 125 , −25 , 0 ) 1 4 x - 2 3 z = - 1 2 1 5 x + 1 3 y = 4 7 1 5 y - 1 3 z = 2 9 - 1 2 x + 1 2 y + 1 7 z = − 53 14 1 2 x – 1 2 y + 1 4 z = 3 1 4 x + 1 5 y + 1 3 z = 23 15 ( 8 , 1 , –2 ) - 1 2 x – 1 3 y + 1 4 z = − 29 6 1 5 x + 1 6 y - 1 7 z = 431 210 − 1 8 x + 1 9 y + 1 10 z = − 49 45 Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema. x −1 7 + y −2 8 + c −3 4 = 0 x + y + z = 6 x + 2 3 + 2 y + c −3 3 = 5 ( 1 , 2 , 3 ) x −1 4 - y + 1 4 + 3 z = –1 x + 5 2 + y + 7 4 − z = 4 x + y - c −2 2 = 1 x −3 4 - y −1 3 + 2 z = –1 x + 5 2 + y + 5 2 + z + 5 2 = 8 x + y + z = 1 ( x , 31 28 − 3 x 4 , 1 28 ( −7 x −3 ) ) x −3 10 + y + 3 2 −2 c = 3 x + 5 4 - y −1 8 + z = 3 2 x −1 4 + y + 4 2 + 3 z = 3 2 x −3 4 - y −1 3 + 2 z = –1 x + 5 2 + y + 5 2 + z + 5 2 = 7 x + y + z = 1 No existe una solución. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, establezca la matriz aumentada que describe la situación y obtenga la solución deseada. Cada día, la tienda de magdalenas de Angeni vende 5.000 unidades de sabores de chocolate y vainilla. Si el sabor de chocolate es 3 veces más popular que el de vainilla, ¿cuántas magdalenas de cada sabor vende la tienda al día? En la tienda de la competencia de Bakari se venden diariamente 4.520 dólares. Los de chocolate cuestan 2,25 dólares y los de terciopelo rojo 1,75 dólares. Si el número total de cupcakes vendidos al día es de 2.200, ¿cuántos de cada sabor se venden cada día? 860 de red velvet y 1.340 de chocolate Ha invertido 10.000 dólares en dos cuentas: una con un interés simple del 3 % y otra con un interés del 2,5 % . Si el pago total de intereses al cabo de un año fue de 283,50 dólares, ¿cuánto había en cada cuenta una vez transcurrido el año? Ha invertido 2.300 dólares en la cuenta 1 y 2.700 dólares en la cuenta 2. Si el monto total de los intereses al cabo de un año es de 254 dólares y la cuenta 2 tiene 1,5 veces la tasa de interés de la cuenta 1, ¿cuáles son las tasas de interés? Supongamos que las tasas de interés son simples. El 4 % para la cuenta 1 y el 6 % para la cuenta 2 Bikes'R'Us fabrica bicicletas que se venden por 250 dólares. Al fabricante le cuesta 180 dólares cada bicicleta, más una tarifa de puesta en marcha de 3.500 dólares. ¿Después de cuántas bicicletas vendidas el fabricante alcanzará el punto de equilibrio? Una importante tienda de electrodomésticos accedió ordenar aspiradoras de una nueva empresa fundada por estudiantes universitarios de ingeniería. La tienda podría comprar las aspiradoras por 86 dólares cada una, con una tarifa de entrega de 9.200 dólares, independientemente del número de aspiradoras que se vendan. Si la tienda tiene que empezar a ver ganancias después de vender 230 unidades, ¿cuánto debería cobrar por las aspiradoras? 126 dólares Los tres sabores de helado más populares son chocolate, fresa y vainilla, que representan el 83 % de los sabores vendidos en una heladería. Si el de vainilla se vende el 1 % más que el doble de la fresa y el de chocolate se vende el 11 % más que el de vainilla, ¿qué porcentaje del consumo total de helados corresponde a los sabores vainilla, chocolate y fresa? En una heladería tres sabores aumentan su demanda. El año pasado, los helados de banana, calabaza y rocky road representaron el 12 % de las ventas totales de helados. Este año, los mismos tres helados representaron el 16,9 % de las ventas de helados. Las ventas de rocky road se duplicaron, las de banana aumentaron el 50 % y las de calabaza el 20 % . Si el helado rocky road tuvo menos porcentaje de ventas que el helado de banana, halle el porcentaje de ventas de cada helado el año pasado. Banana fue del 3 % , calabaza del 7 % y rocky road del 2 % Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Hay 1.000 frutos secos en total en la bolsa, y hay 100 almendras menos que pistachos. Los anacardos pesan 3 g, los pistachos 4 g y las almendras 5 g. Si la bolsa pesa 3,7 kg, calcule cuántos frutos secos de cada tipo hay en la bolsa. Una bolsa de frutos secos mixtos contiene anacardos, pistachos y almendras. Originalmente había 900 frutos secos en la bolsa. Se han comido el 30 % de las almendras, el 20 % de los anacardos y el 10 % de los pistachos, y ahora quedan 770 frutos secos en la bolsa. Originalmente, había 100 anacardos más que almendras. Calcule cuántos frutos secos de cada tipo había en la bolsa al principio. 100 almendras, 200 anacardos y 600 pistachos matriz aumentada una matriz de coeficientes con la columna de constantes adyacente, separada por una línea vertical dentro de los corchetes de la matriz matriz de coeficientes una matriz que contiene solo los coeficientes de un sistema de ecuaciones eliminación de Gauss-Jordan utilizar operaciones de fila elementales para obtener una matriz en forma escalonada por filas diagonal principal entradas desde la esquina superior izquierda en diagonal hasta la esquina inferior derecha de una matriz cuadrada forma escalonada por filas después de realizar las operaciones de fila, la forma de la matriz que contiene unos en la diagonal principal y ceros en cada espacio por debajo de la diagonal equivalencia de fila dos matrices A y B son equivalencias de fila si una puede obtenerse a partir de la otra realizando operaciones básicas de fila operaciones de fila sumar una fila a otra fila, multiplicar una fila por una constante, intercambiar filas, etc., con la meta de conseguir la forma escalonada por filas

Matemáticas


Resolver sistemas con inversas Objetivos de aprendizaje Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1) Evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 (IA 4.6.2) Objetivo 1: Evaluar el determinante de una matriz 2×2 (IA 4.6.1) Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la denominamos matriz cuadrada . Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante . Determinante El determinante de cualquier matriz cuadrada a b c d , donde a, b, c y d son números reales, es a b c d = a d b c Para obtener el valor numérico real del determinado restamos los productos de las diagonales, como se muestra. Halle el determinante de la matriz 2 x 2 4 2 3 1 Escriba el determinante Reste los productos de las diagonales 4 ( 1 ) 3 ( 2 ) Simplifique 4 + 6 2 La práctica hace la perfección Halle el determinante de las matrices 2 x 2. 6 2 3 1 4 8 3 5 Objetivo 2: Evalúe el determinante de una matriz 3×3 (IA 4.6.2) Para evaluar el determinante de una matriz 3 × 3, debemos ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el determinante 2×2 que se calcula al eliminar la fila y la columna en el determinante 3×3 que contiene la entrada. Por ejemplo, hallar el menor de la entrada a 1 , eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la primera fila y la primera columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda. Para calcular el menor de la entrada b 2 , eliminamos la fila y la columna que la contienen. Así, eliminamos la segunda fila y la segunda columna. Entonces escribimos el determinante 2×2 que queda. Para el determinante | 4 −2 3 1 0 −3 −2 -4 2 | , hallar y luego evaluar el menor de Ⓐ a 1 Ⓑ b 3 Ⓐ Elimine la fila y la columna que contiene a 1 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe. Simplifique. Ⓑ Elimine la fila y la columna que contiene b 3 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe. Simplifique. Para el siguiente determinante, calcule y evalúe el menor de c2 4 2 3 1 0 3 2 4 2 Elimine la fila y la columna que contiene c 2 . Escriba el determinante 2 × 2 que queda. Evalúe y simplifique. ________________________________________ Estrategia para evaluar el determinante de una matriz 3 x 3 Para evaluar un determinante 3 × 3 podemos expandir por menores utilizando cualquier fila o columna. La elección de una fila o columna distinta de la primera facilita a veces el trabajo. Cuando expandimos por cualquier fila o columna, debemos tener cuidado con el signo de los términos en la expansión. Para determinar el signo de los términos, utilizamos la siguiente tabla de patrones de signos. + + + + + Expandir por menores a lo largo de la primera fila para evaluar un determinante 3 x 3. Para evaluar un determinante 3 × 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila, utilizamos el siguiente patrón: NOTA: Podemos evaluar el determinante de una matriz expandiendo los menores a lo largo de cualquier fila o columna. Cuando una fila o una columna tiene una entrada cero, la expansión por esa fila o columna ocasiona menos cálculos. Evaluar el determinante de la matriz 3 x 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila 2 3 1 3 2 0 1 1 2 Expandir por menores a lo largo de la primera fila Evaluar cada determinante. Simplifique. Simplifique. Simplifique. La práctica hace la perfección Evaluar el determinante de la matriz 3 x 3 expandiendo por menores a lo largo de la primera fila 5 1 4 4 0 3 2 2 6 Soriya planea invertir 10.500 dólares en dos bonos diferentes para repartir su riesgo. El primer bono tiene una rentabilidad anual del 10 % , y el segundo bono tiene una rentabilidad anual del 6 % . Para recibir un rendimiento del 8,5 % de los dos bonos, ¿cuánto debería invertir Soriya en cada uno de ellos? ¿Cuál es el mejor método para resolver este problema? Hay varias maneras de resolver este problema. Como hemos visto en las secciones anteriores, los sistemas de ecuaciones y las matrices son útiles para resolver problemas del mundo real relacionados con las finanzas. Después de estudiar esta sección, tendremos las herramientas para resolver el problema de los bonos utilizando la inversa de una matriz. Hallar la inversa de una matriz Sabemos que el multiplicador inverso de un número real a es a −1 , y a a −1 = a −1 a = ( 1 a ) a = 1. Por ejemplo, 2 −1 = 1 2 y ( 1 2 ) 2 = 1. El multiplicador inverso de una matriz es similar en concepto, excepto que el producto de la matriz A y su inversa A −1 es igual a la matriz identidad . La matriz identidad es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Identificamos las matrices de identidad mediante I n donde n representa la dimensión de la matriz. Observe las siguientes ecuaciones. I 2 = [ 1 0 0 1 ] I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] La matriz identidad actúa como un 1 en el álgebra de la matriz. Por ejemplo, A I = I A = A . Una matriz que tiene un multiplicador inverso tiene las propiedades A A −1 = I A −1 A = I Una matriz que tiene un multiplicador inverso se llama matriz invertible . Solo una matriz cuadrada puede tener un multiplicador inverso, como la reversibilidad, A A −1 = A −1 A = I , es un requisito. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa, pero si A es invertible, entonces A −1 es único. Veremos dos métodos para hallar la inversa de una matriz 2 × 2 y un tercer método que se puede utilizar en ambas matrices 2 × 2 y 3 × 3 . La matriz identidad y el multiplicador inverso La matriz identidad , I n , es una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. I 2 = [ 1 0 0 1 ] I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] 2 × 2 3 × 3 Si A es una matriz n × n y B es una matriz n × n , tal que A B = B A = I n , entonces B = A −1 , el multiplicador inverso de una matriz A . Demostrar que la matriz identidad actúa como un 1 Dada la matriz A , demuestre que A I = I A = A . A = [ 3 4 −2 5 ] Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que el producto de A y la identidad es igual al producto de la identidad y A. A I = [ 3 4 −2 5 ] [ 1 0 0 1 ] = [ 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 −2 ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 −2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 1 ] = [ 3 4 −2 5 ] I A = [ 1 0 0 1 ] [ 3 4 −2 5 ] = [ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ ( −2 ) 1 ⋅ 4 + 0 ⋅ 5 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ ( −2 ) 0 ⋅ 4 + 1 ⋅ 5 ] = [ 3 4 −2 5 ] Cómo Dadas dos matrices, demuestre que una es el multiplicador inverso de la otra. Matriz dada A de orden n × n y la matriz B de orden n × n multiplique A B . Si A B = I , entonces halle el producto B A . Si B A = I , entonces B = A −1 y A = B −1 . Demostrar que la matriz A es el multiplicador inverso de la matriz B Demuestre que las matrices dadas son multiplicadores inversos entre sí. A = [ 1 5 −2 −9 ] , B = [ −9 −5 2 1 ] Multiplique A B y B A . Si ambos productos son iguales a la identidad, entonces las dos matrices son inversas entre sí. A B = [ 1 5 −2 −9 ] · [ −9 −5 2 1 ] = [ 1 ( −9 ) + 5 ( 2 ) 1 ( −5 ) + 5 ( 1 ) −2 ( −9 ) −9 ( 2 ) −2 ( −5 ) −9 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 1 ] B A = [ −9 −5 2 1 ] · [ 1 5 −2 −9 ] = [ −9 ( 1 ) −5 ( −2 ) −9 ( 5 ) −5 ( −9 ) 2 ( 1 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 5 ) + 1 ( −9 ) ] = [ 1 0 0 1 ] A y B son inversas entre sí. Ejercicio Demuestre que las dos matrices siguientes son inversas entre sí. A = [ 1 4 −1 −3 ] , B = [ −3 -4 1 1 ] A B = [ 1 4 −1 −3 ] [ −3 -4 1 1 ] = [ 1 ( −3 ) + 4 ( 1 ) 1 ( –4 ) + 4 ( 1 ) −1 ( −3 ) + −3 ( 1 ) −1 ( –4 ) + −3 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 1 ] B A = [ −3 -4 1 1 ] [ 1 4 −1 −3 ] = [ −3 ( 1 ) + -4 ( –1 ) −3 ( 4 ) + -4 ( −3 ) 1 ( 1 ) + 1 ( –1 ) 1 ( 4 ) + 1 ( −3 ) ] = [ 1 0 0 1 ] Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices Ahora podemos determinar si dos matrices son inversas, pero ¿cómo podríamos hallar la inversa de una matriz dada? Como sabemos que el producto de una matriz y su inversa es la matriz identidad, podemos hallar la inversa de una matriz planteando una ecuación mediante la multiplicación de matrices . Calcular el multiplicador inverso utilizando la multiplicación de matrices Utilice la multiplicación de matrices para hallar la inversa de la matriz dada. A = [ 1 −2 2 −3 ] Para este método, multiplicamos A por una matriz que contiene constantes desconocidas y la hace igual a la identidad. [ 1 −2 2 −3 ] [ a b c d ] = [ 1 0 0 1 ] Halle la multiplicación de las dos matrices del lado izquierdo del signo de igual. [ 1 −2 2 −3 ] [ a b c d ] = [ 1 a −2 c 1 b −2 d 2 a −3 c 2 b −3 d ] A continuación, establezca un sistema de ecuaciones con la entrada de la fila 1, columna 1 de la nueva matriz igual a la primera entrada de la identidad, 1. Establezca la entrada de la fila 2, columna 1 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, que es 0. 1 a −2 c = 1 R 1 2 a −3 c = 0 R 2 Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: ( −2 ) R 1 + R 2 → R 2 . Sume las ecuaciones y resuelva para c . 1 a - 2 c = 1 0 + 1 c = - 2 c = - 2 Vuelva a sustituir para resolver a . a −2 ( −2 ) = 1 a + 4 = 1 a = −3 Escriba otro sistema de ecuaciones estableciendo la entrada de la fila 1, columna 2 de la nueva matriz igual a la entrada correspondiente de la identidad, 0. Establezca la entrada de la fila 2, columna 2 igual a la entrada correspondiente de la identidad. 1 b −2 d = 0 R 1 2 b −3 d = 1 R 2 Utilizando las operaciones de fila, multiplique y sume de la siguiente forma: ( −2 ) R 1 + R 2 = R 2 . Sume las dos ecuaciones y resuelva para d . 1 b −2 d = 0 0 + 1 d = 1 d = 1 Una vez más, vuelva a sustituir y resuelva para b . b −2 ( 1 ) = 0 b −2 = 0 b = 2 A −1 = [ −3 2 −2 1 ] Hallar el multiplicador inverso al aumentar con la identidad Otra forma de hallar el multiplicador inverso es mediante el aumento de la identidad. Cuando la matriz A se transforma en I , la matriz aumentada I se transforma en A −1 . Por ejemplo, dado A = [ 2 1 5 3 ] aumente A con la identidad [ 2 1 5 3 | 1 0 0 1 ] Realice operaciones de fila con la meta de convertir A en la identidad. Cambie la fila 1 y la fila 2. [ 5 3 2 1 | 0 1 1 0 ] Multiplique la fila 2 por −2 y sume a la fila 1. [ 1 1 2 1 | −2 1 1 0 ] Multiplique la fila 1 por −2 y sume a la fila 2. [ 1 1 0 −1 | −2 1 5 −2 ] Sume la fila 2 a la fila 1. [ 1 0 0 −1 | 3 −1 5 −2 ] Multiplique la fila 2 por −1. [ 1 0 0 1 | 3 −1 −5 2 ] La matriz que hemos hallado es A −1 . A −1 = [ 3 −1 −5 2 ] Hallar el multiplicador inverso de las matrices de 2×2 utilizando una fórmula Cuando necesitemos hallar el multiplicador inverso de una matriz 2 × 2 , podemos utilizar una fórmula especial en vez de utilizar la multiplicación de matrices o aumentar con la identidad. Si los valores de A es una matriz 2 × 2 , de forma que A = [ a b c d ] el multiplicador inverso de A viene dado por la fórmula A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] donde a d − b c ≠ 0 . Si a d − b c = 0 , entonces A no tiene inversa. Usar la fórmula para hallar el multiplicador inverso de la matriz A Utilice la fórmula para hallar el multiplicador inverso de A = [ 1 −2 2 −3 ] Con la fórmula tenemos A −1 = 1 ( 1 ) ( −3 ) - ( −2 ) ( 2 ) [ −3 2 −2 1 ] = 1 −3 + 4 [ −3 2 −2 1 ] = [ −3 2 −2 1 ] Análisis Podemos comprobar que nuestra fórmula funciona utilizando uno de los otros métodos para calcular la inversa. Aumentemos A con la identidad. [ 1 −2 2 −3 | 1 0 0 1 ] Realice operaciones de fila con la meta de convertir A en la identidad. Multiplique la fila 1 por −2 y sume a la fila 2. [ 1 −2 0 1 | 1 0 −2 1 ] Multiplique la fila 1 por 2 y súmela a la fila 1. [ 1 0 0 1 | −3 2 −2 1 ] Así, hemos verificado nuestra solución original. A −1 = [ −3 2 −2 1 ] Ejercicio Utilice la fórmula para hallar la inversa de la matriz A . Verifique su respuesta mediante el aumento con la matriz identidad. A = [ 1 −1 2 3 ] A −1 = [ 3 5 1 5 - 2 5 1 5 ] Hallar la inversa de la matriz, si existe Halle la inversa de la matriz dada, si existe. A = [ 3 6 1 2 ] Utilizaremos el método de aumento con la identidad. [ 3 6 1 2 | 1 0 0 1 ] Cambie la fila 1 y la fila 2. [ 1 3 3 2 | 0 1 1 0 ] Multiplique la fila 1 por –3 y súmela a la fila 2. [ 1 2 0 0 | 1 0 −3 1 ] No hay nada más que podamos hacer. Los ceros de la fila 2 indican que esta matriz no tiene inversa. Hallar el multiplicador inverso de matrices 3 × 3 Lamentablemente, no disponemos de una fórmula similar a la de la matriz 2 × 2 para hallar la inversa de una matriz 3 × 3 . En vez de eso, aumentaremos la matriz original con la matriz identidad y utilizaremos operaciones de fila para obtener la inversa. Dada una matriz 3 × 3 A = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] aumente A con la matriz identidad A | I = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Para empezar, escribimos la matriz aumentada con la identidad a la derecha y A a la izquierda. Realizando operaciones de fila elementales para que la matriz identidad aparezca a la izquierda, obtendremos la matriz inversa a la derecha. Hallaremos la inversa de esta matriz en el ejemplo siguiente. Cómo Dada una matriz 3 × 3 , hallar la inversa. Escriba la matriz original aumentada con la matriz identidad a la derecha. Utilice las operaciones de fila elementales para que la identidad aparezca a la izquierda. Lo que se obtiene a la derecha es la inversa de la matriz original. Utilice la multiplicación de matrices para demostrar que A A −1 = I y A −1 A = I . Hallar la inversa de una matriz 3 × 3 Dada la matriz 3 × 3 A , halle la inversa. A = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] Aumente A con la matriz identidad, y luego comience las operaciones de fila hasta que la matriz identidad sustituya a A . La matriz de la derecha será la inversa de A . [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] → Intercambie la R 2 y R 1 [ 3 3 1 2 3 1 2 4 1 | 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] − R 2 + R 1 = R 1 → [ 1 0 0 2 3 1 2 4 1 | −1 1 0 1 0 0 0 0 1 ] − R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 2 3 1 0 1 0 | −1 1 0 1 0 0 −1 0 1 ] R 3 ↔ R 2 → [ 1 0 0 0 1 0 2 3 1 | −1 1 0 −1 0 1 1 0 0 ] −2 R 1 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 0 1 0 0 3 1 | −1 1 0 −1 0 1 3 −2 0 ] −3 R 2 + R 3 = R 3 → [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] Por lo tanto, A −1 = B = [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] Análisis Para demostrar que B = A −1 , multipliquemos las dos matrices para ver si el producto es igual a la identidad, si A A −1 = I y A −1 A = I . A A −1 = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 −3 ] = [ 2 ( –1 ) + 3 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 2 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 0 ) + 3 ( 1 ) + 1 ( −3 ) 3 ( –1 ) + 3 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 3 ( 1 ) + 3 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 3 ( 0 ) + 3 ( 1 ) + 1 ( −3 ) 2 ( –1 ) + 4 ( –1 ) + 1 ( 6 ) 2 ( 1 ) + 4 ( 0 ) + 1 ( −2 ) 2 ( 0 ) + 4 ( 1 ) + 1 ( −3 ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A −1 A = [ −1 1 0 −1 0 1 6 −2 − 3 ] [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] = [ −1 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 0 ( 2 ) −1 ( 3 ) + 1 ( 3 ) + 0 ( 4 ) −1 ( 1 ) + 1 ( 1 ) + 0 ( 1 ) −1 ( 2 ) + 0 ( 3 ) + 1 ( 2 ) −1 ( 3 ) + 0 ( 3 ) + 1 ( 4 ) −1 ( 1 ) + 0 ( 1 ) + 1 ( 1 ) 6 ( 2 ) + −2 ( 3 ) + −3 ( 2 ) 6 ( 3 ) + −2 ( 3 ) + −3 ( 4 ) 6 ( 1 ) + −2 ( 1 ) + −3 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Ejercicio Halle la inversa de la matriz 3 × 3 . A = [ 2 -17 11 −1 11 −7 0 3 −2 ] A −1 = [ 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 ] Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante la inversa de una matriz Resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la inversa de una matriz requiere la definición de dos nuevas matrices: X es la matriz que representa las variables del sistema y B es la matriz que representa las constantes. Utilizando la multiplicación de matrices , podemos definir un sistema de ecuaciones con el mismo número de ecuaciones que de variables como A X = B Para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando una matriz inversa , consideremos que A representa la matriz de coeficientes , consideremos que X representa la matriz variable y que B representa la matriz constante. Así, queremos resolver un sistema A X = B . Por ejemplo, observe el siguiente sistema de ecuaciones. a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 A partir de este sistema, la matriz de coeficientes es A = [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] La matriz variable es X = [ x y ] Y la matriz constante es B = [ c 1 c 2 ] Luego A X = B parece [ a 1 b 1 a 2 b 2 ] [ x y ] = [ c 1 c 2 ] Recordemos el análisis anterior en esta sección sobre la multiplicación de un número real por su inverso, ( 2 −1 ) 2 = ( 1 2 ) 2 = 1. Para resolver una sola ecuación lineal a x = b por x , simplemente multiplicaríamos ambos lados de la ecuación por el multiplicador inverso (recíproco) de a . Así, a x = b ( 1 a ) a x = ( 1 a ) b ( a −1 ) a x = ( a −1 ) b [ ( a −1 ) a ] x = ( a −1 ) b 1 x = ( a −1 ) b x = ( a −1 ) b La única diferencia entre resolver una ecuación lineal y un sistema de ecuaciones escrito en forma de matriz es que calcular la inversa de una matriz es más complicado, y la multiplicación de matrices es un proceso más largo. Sin embargo, el objetivo es el mismo: aislar la variable. Investigaremos sobre esta idea en detalle, pero es útil comenzar con un sistema 2 × 2 y luego pasar a un sistema 3 × 3 . Resolver un sistema de ecuaciones mediante la inversa de una matriz Dado un sistema de ecuaciones, escriba la matriz de coeficientes A , la matriz variable X y la matriz constante B . Entonces A X = B Multiplique ambos lados por la inversa de A para obtener la solución. ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ ( A −1 ) A ] X = ( A −1 ) B I X = ( A −1 ) B X = ( A −1 ) B PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si la matriz de coeficientes no tiene una inversa, ¿significa que el sistema no tiene solución? No, si la matriz de coeficientes no es invertible, el sistema podría ser inconsistente y no tener solución o ser dependiente y tener infinitas soluciones. Resolver un sistema 2 × 2 mediante la inversa de una matriz Resuelva el sistema de ecuaciones dado utilizando la inversa de una matriz. 3 x + 8 y = 5 4 x + 11 y = 7 Escriba el sistema en términos de una matriz de coeficientes, una matriz variable y una matriz constante. A = [ 3 8 4 11 ] , X = [ x y ] , B = [ 5 7 ] Entonces [ 3 8 4 11 ] [ x y ] = [ 5 7 ] Primero, tenemos que calcular A −1 . Mediante la fórmula para calcular la inversa de una matriz 2 por 2, tenemos: A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] = 1 3 ( 11 ) −8 ( 4 ) [ 11 −8 -4 3 ] = 1 1 [ 11 −8 -4 3 ] Así que, A −1 = [ 11 −8 -4   3 ] Ahora estamos listos para resolver. Multiplique ambos lados de la ecuación por A −1 . ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ 11 −8 -4 3 ] [ 3 8 4 11 ] [ x y ] = [ 11 −8 -4 3 ] [ 5 7 ] [ 1 0 0 1 ] [ x y ] = [ 11 ( 5 ) + ( −8 ) 7 -4 ( 5 ) + 3 ( 7 ) ] [ x y ] = [ −1 1 ] La solución es ( –1 , 1 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Podemos resolver para X hallando el producto B A −1 ? No, recuerde que la multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que A −1 B ≠ B A −1 . Considere nuestros pasos para resolver la ecuación de la matriz. ( A −1 ) A X = ( A −1 ) B [ ( A −1 ) A ] X = ( A −1 ) B I X = ( A −1 ) B X = ( A −1 ) B Observe que en el primer paso hemos multiplicado ambos lados de la ecuación por A −1 , pero el A −1 estaba a la izquierda de A en el lado izquierdo y a la izquierda de B en el lado derecho. Como la multiplicación de matrices no es conmutativa, el orden es importante. Resolver un sistema 3 × 3 mediante la inversa de una matriz Resuelva el siguiente sistema utilizando la inversa de una matriz. 5 x + 15 y + 56 c = 35 -4 x −11 y −41 c = -26 − x −3 y −11 c = −7 Escriba la ecuación A X = B . [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 ] [ x y z ] = [ 35 -26 −7 ] Primero, hallaremos la inversa de A aumentándola con la identidad. [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 | 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplique la fila 1 por 1 5 . [ 1 3 56 5 -4 −11 −41 −1 −3 −11 | 1 5 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplique la fila 1 por 4 y súmela a la fila 2. [ 1 3 56 5 0 1 19 5 −1 −3 −11 | 1 5 0 0 4 5 1 0 0 0 1 ] Sume la fila 1 a la fila 3. [ 1 3 56 5 0 1 19 5 0 0 1 5 | 1 5 0 0 4 5 1 0 1 5 0 1 ] Multiplique la fila 2 por –3 y súmela a la fila 1. [ 1 0 - 1 5 0 1 19 5 0 0 1 5 | − 11 5 −3 0 4 5 1 0 1 5 0 1 ] Multiplique la fila 3 por 5. [ 1 0 - 1 5 0 1 19 5 0 0 1 | − 11 5 −3 0 4 5 1 0 1 0 5 ] Multiplique la fila 3 por 1 5 y sume a la fila 1. [ 1 0 0 0 1 19 5 0 0 1 | −2 −3 1 4 5 1 0 1 0 5 ] Multiplique la fila 3 por − 19 5 y sume a la fila 2. [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 | −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] Así que, A −1 = [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] Multiplique ambos lados de la ecuación por A −1 . Queremos A −1 A X = A −1 B : [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] [ 5 15 56 -4 −11 −41 −1 −3 −11 ] [ x y z ] = [ −2 −3 1 −3 1 −19 1 0 5 ] [ 35 -26 −7 ] Por lo tanto, A −1 B = [ −70 + 78 −7 -105 -26 + 133 35 + 0 −35 ] = [ 1 2 0 ] La solución es ( 1 , 2 , 0 ) . Ejercicio Resuelva el sistema utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. 2 x − 17 y + 11 c = 0 - x + 11 y - 7 z = 8 3 y - 2 z = –2 X = [ 4 38 58 ] Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva con matrices inversas utilizando una calculadora. Guarde la matriz de coeficientes y la matriz constante como variables de la matriz [ A ] y [ B ] . Introduzca la multiplicación en la calculadora, y llame cada variable de la matriz según sea necesario. Si la matriz de coeficientes es invertible, la calculadora presentará la matriz solución; si la matriz de coeficientes no es invertible, la calculadora presentará un mensaje de error. Uso de la calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas Resuelva el sistema de ecuaciones con matrices inversas utilizando una calculadora 2 x + 3 y + z = 32 3 x + 3 y + z = −27 2 x + 4 y + z = –2 En la página de matrices de la calculadora, introduzca la matriz de coeficientes como variable de la matriz [ A ] , e introduzca la matriz constante como variable de la matriz [ B ] . [ A ] = [ 2 3 1 3 3 1 2 4 1 ] , [ B ] = [ 32 −27 −2 ] En la pantalla de inicio de la calculadora, escriba la multiplicación para resolver X , y llame cada variable de la matriz según sea necesario. [ A ] −1 × [ B ] Evaluar la expresión. [ −59 −34 252 ] Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la resolución de sistemas con inversos. La matriz identidad Determinar matrices inversas Usar una ecuación de la matriz para resolver un sistema de ecuaciones Ecuaciones clave Matriz identidad para una matriz 2 × 2 I 2 = [ 1 0 0 1 ] Matriz identidad para una matriz 3 × 3 I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] Multiplicador inverso de una matriz 2 × 2 A −1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] , donde a d − b c ≠ 0 Conceptos clave Una matriz identidad tiene la propiedad A I = I A = A . Vea el . Una matriz invertible tiene la propiedad A A −1 = A −1 A = I . Vea el . Utilice la multiplicación de matrices y la identidad para hallar la inversa de una matriz 2 × 2 . Vea el . El multiplicador inverso se puede hallar mediante una fórmula. Vea el . Otro método para hallar la inversa es aumentándola con la identidad. Vea el . Podemos aumentar una matriz 3 × 3 con la identidad a la derecha y utilizar las operaciones de fila para convertir la matriz original en la identidad, y la matriz de la derecha se convierte en la inversa. Vea el . Escriba el sistema de ecuaciones como A X = B , y multiplique ambos lados por la inversa de A : A −1 A X = A −1 B . Vea el y el . También podemos utilizar una calculadora para resolver un sistema de ecuaciones con matrices inversas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales En una sección anterior mostramos que la multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A B ≠ B A en la mayoría de los casos. ¿Puede explicar por qué la multiplicación de matrices es conmutativa para las matrices inversas, es decir, A −1 A = A A −1 ? Si A −1 es la inversa de A , entonces A A −1 = I , la matriz identidad. Dado que A es también la inversa de A −1 , A −1 A = I . También puede comprobarlo probando esto para una matriz 2 × 2 . ¿Todas las matrices 2 × 2 tienen una inversa? Explique por qué sí o por qué no. Explique qué condición es necesaria para que exista una inversa. ¿Puede explicar si una matriz 2 × 2 con una fila entera de ceros puede tener una inversa? No, porque a d y b c son ambos 0, por lo que a d − b c = 0 , lo que nos obliga a dividir entre 0 en la fórmula. ¿Una matriz con una columna entera de ceros puede tener una inversa? Explique por qué sí o por qué no. ¿Una matriz con ceros en la diagonal puede tener una inversa? Si es así, busque un ejemplo. Si no es así, demuestre por qué no. Para simplificar, supongamos una matriz 2 × 2 . Sí. Considere la matriz [ 0 1 1 0 ] . La inversa se despeja con el siguiente cálculo: A −1 = 1 0 ( 0 ) −1 ( 1 ) [ 0 −1 −1 0 ] = [ 0 1 1 0 ] . Algebraicos En los siguientes ejercicios, demuestre que la matriz A es la inversa de la matriz B . A = [ 1 0 −1 1 ] , B = [ 1 0 1 1 ] A = [ 1 2 3 4 ] , B = [ −2 1 3 2 – 1 2 ] A B = B A = [ 1 0 0 1 ] = I A = [ 4 5 7 0 ] , B = [ 0 1 7 1 5 - 4 35 ] A = [ −2 1 2 3 −1 ] , B = [ −2 −1 −6 -4 ] A B = B A = [ 1 0 0 1 ] = I A = [ 1 0 1 0 1 −1 0 1 1 ] , B = 1 2 [ 2 1 −1 0 1 1 0 −1 1 ] A = [ 1 2 3 4 0 2 1 6 9 ] , B = 1 4 [ 6 0 −2 17 −3 −5 −12 2 4 ] A B = B A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = I A = [ 3 8 2 1 1 1 5 6 12 ] , B = 1 36 [ −6 84 −6 7 -26 1 −1 −22 5 ] En los siguientes ejercicios, halle el multiplicador inverso de cada matriz, si existe. [ 3 −2 1 9 ] 1 29 [ 9 2 −1 3 ] [ −2 2 3 1 ] [ −3 7 9 2 ] 1 69 [ −2 7 9 3 ] [ -4 −3 −5 8 ] [ 1 1 2 2 ] No tiene inversa [ 0 1 1 0 ] [ 0,5 1,5 1 -0,5 ] 4 7 [ 0,5 1,5 1 -0,5 ] [ 1 0 6 −2 1 7 3 0 2 ] [ 0 1 −3 4 1 0 1 0 5 ] 1 17 [ −5 5 −3 20 −3 12 1 −1 4 ] [ 1 2 −1 −3 4 1 −2 -4 −5 ] [ 1 9 −3 2 5 6 4 −2 7 ] 1 209 [ 47 -57 69 10 19 −12 −24 38 -13 ] [ 1 −2 3 -4 8 −12 1 4 2 ] [ 1 2 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ] [ 18 60 −168 -56 −140 448 40 80 -280 ] [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz 2 × 2 . 5 x - 6 y = − 61 4 x + 3 y = - 2 ( −5 , 6 ) 8 x + 4 y = -100 3 x -4 y = 1 3 x −2 y = 6 - x + 5 y = –2 ( 2 , 0 ) 5 x -4 y = −5 4 x + y = 2,3 −3 x -4 y = 9 12 x + 4 y = −6 ( 1 3 , - 5 2 ) −2 x + 3 y = 3 10 - x + 5 y = 1 2 8 5 x - 4 5 y = 2 5 − 8 5 x + 1 5 y = 7 10 ( – 2 3 , − 11 6 ) 1 2 x + 1 5 y = - 1 4 1 2 x - 3 5 y = - 9 4 En los siguientes ejercicios, resuelva un sistema utilizando la inversa de una matriz 3 × 3 . 3 x −2 y + 5 z = 21 5 x + 4 y = 37 x −2 y −5 c = 5 ( 7 , 1 2 , 1 5 ) 4 x + 4 y + 4 z = 40 2 x - 3 y + 4 z = −12 − x + 3 y + 4 z = 9 6 x - 5 y - z = 31 − x + 2 y + z = –6 3 x + 3 y + 2 z = 13 ( 5 , 0 , –1 ) 6 x −5 y + 2 z = -4 2 x + 5 y - z = 12 2 x + 5 y + z = 12 4 x −2 y + 3 z = −12 2 x + 2 y −9 c = 33 6 y -4 c = 1 1 34 ( −35 , -97 , −154 ) 1 10 x – 1 5 y + 4 z = −41 2 1 5 x -20 y + 2 5 z = −101 3 10 x + 4 y - 3 10 z = 23 1 2 x – 1 5 y + 1 5 z = 31 100 − 3 4 x – 1 4 y + 1 2 z = 7 40 − 4 5 x – 1 2 y + 3 2 z = 1 4 1 690 ( 65 , –1.136 , −229 ) 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = −1,4 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 0,6 0,4 y + 0,9 c = –2 En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para resolver el sistema de ecuaciones con matrices inversas. 2 x - y = −3 − x + 2 y = 2,3 ( − 37 30 , 8 15 ) - 1 2 x - 3 2 y = − 43 20 5 2 x + 11 5 y = 31 4 12,3 x −2 y -2,5 c = 2 36,9 x + 7 y -7,5 c = −7 8 y −5 c = −10 ( 10 123 , –1 , 2 5 ) 0,5 x −3 y + 6 z = -0,8 0,7 x −2 y = -0,06 0,5 x + 4 y + 5 z = 0 Extensiones En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la matriz dada. [ 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 ] 1 2 [ 2 1 - 1 - 1 0 1 1 - 1 0 - 1 1 1 0 1 - 1 1 ] [ - 1 0 2 5 0 0 0 2 0 2 – 1 0 1 - 3 0 1 ] [ 1 - 2 3 0 0 1 0 2 1 4 – 2 3 - 5 0 1 1 ] 1 39 [ 3 2 1 - 7 18 − 53 32 10 24 − 36 21 9 − 9 46 − 16 - 5 ] [ 1 2 0 2 3 0 2 1 0 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 ] [ 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 1 ] Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, escriba un sistema de ecuaciones que represente la situación. Luego, resuelva el sistema utilizando la inversa de una matriz. Se vendieron 2.400 entradas para un partido de baloncesto. Si los precios de la zona 1 y de la zona 2 eran diferentes, y la cantidad total de dinero recaudado es de 64.000 dólares, ¿cuál era el precio de cada entrada? En el ejercicio anterior, si le dicen que se han vendido 400 entradas más para la zona 2 que para la zona 1, ¿cuál es el precio de cada entrada? Soluciones infinitas. Una colecta de alimentos recogió dos tipos diferentes de productos enlatados, judías verdes y frijoles rojos. El número total de latas recogidas fue de 350 y el peso total de todos los alimentos donados fue de 348 lb , 12 oz . Si las latas de judías verdes pesan 2 oz menos que las latas de frijoles rojos, ¿cuántas de cada lata se donaron? Se pidió a los estudiantes que trajeran a clase su fruta favorita. El 95 % de las frutas consistían en bananas, manzanas y naranjas. Si las naranjas son dos veces más populares que las bananas, y las manzanas son el 5 % menos populares que las bananas, ¿cuáles son los porcentajes de cada fruta? 50 % naranjas, 25 % plátanos, 20 % manzanas El club de enfermería organizó una venta de pasteles para recaudar fondos y vendió brownies y galletas de chocolate. El precio de los brownies es de 1 dólar y el de las galletas de chocolate de 0,75 dólares. Recaudaron 700 dólares y vendieron 850 artículos. ¿Cuántos brownies y cuántas galletas se vendieron? Una tienda de ropa necesita pedir un nuevo inventario. Tiene tres tipos de sombreros a la venta: sombreros de paja, gorros y sombreros de vaquero. El sombrero de paja tiene un precio de 13,99 dólares, el gorro de 7,99 dólares y el sombrero de vaquero de 14,49 dólares. Si el trimestre pasado se vendieron 100 sombreros, se recaudaron 1.119 dólares por las ventas, y la cantidad de gorros vendidos fue 10 más que la de sombreros de vaquero, ¿cuántos de cada uno debería pedir la tienda de ropa para reponer los ya vendidos? 10 sombreros de paja, 50 gorros, 40 sombreros de vaquero Anna, Percy y Morgan pesan conjuntamente 370 lb . Si Morgan pesa 20 lb más que Percy, y Anna pesa 1,5 veces más que Percy, ¿cuánto pesa cada persona? Tres compañeros de apartamento compartieron un paquete de 12 barritas de helado, pero nadie recuerda cuántas comió cada quien. Si Micah comió el doble de barritas de helado que Joe, y Albert comió tres menos que Micah, ¿cuántas barritas de helado comió cada compañero? Micah se comió 6, Joe 3 y Albert 3. Un granjero construyó un gallinero con malla metálica, madera y madera contrachapada. La malla metálica cuesta 2 dólares por pie cuadrado, la madera 10 dólares por pie cuadrado y el contrachapado 5 dólares por pie cuadrado. El agricultor gastó un total de 51 dólares, y la cantidad total de materiales utilizados fue 14 ft 2 . Utilizó 3 ft 2 más de alambre de gallinero que de madera contrachapada. ¿Qué cantidad de cada material utilizó el agricultor? Jay tiene limoneros, naranjos y granados en su patio trasero. Una naranja pesa 8 oz, un limón 5 oz y una granada 11 oz. Jay recogió 142 piezas de fruta con un peso total de 70 lb, 10 oz. Recogió 15,5 veces más naranjas que granadas. ¿Cuántas de cada fruta recogió Jay? 124 naranjas, 10 limones, 8 granadas matriz identidad una matriz cuadrada que contiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto; actúa como un 1 en el álgebra de la matriz multiplicador inverso de una matriz una matriz que, multiplicada por la original, es igual a la matriz identidad

Matemáticas