Funciones inversas Una bomba de calor reversible es un sistema de climatización que es un acondicionador de aire y un calentador en un solo aparato. Si funciona en una dirección, bombea el calor de una casa para proporcionar refrigeración. Funcionando a la inversa, bombea calor al edificio desde el exterior, incluso en tiempo frío, para proporcionar calefacción. La bomba de calor es varias veces más eficiente que la calefacción por resistencia eléctrica convencional. Si algunas máquinas físicas pueden funcionar en dos direcciones, podríamos preguntarnos si algunas de las "máquinas" de funciones que hemos estado estudiando también pueden funcionar al revés. La ofrece una representación visual de esta cuestión. En esta sección, consideraremos la naturaleza inversa de las funciones. ¿Una "máquina" de funciones puede operar a la inversa? Comprobar que dos funciones son inversas Betty viaja a Milán para un desfile de modas y quiere saber cuál será la temperatura. No conoce la escala Celsius . Para hacerse una idea de cómo se relacionan las medidas de temperatura, Betty quiere convertir 75 grados Fahrenheit a grados Celsius, mediante la fórmula C = 5 9 ( F − 32 ) y sustituye 75 por F para calcular 5 9 ( 75 − 32 ) ≈ 24 °C . Sabiendo que una temperatura agradable de 75 grados Fahrenheit equivale a unos 24 grados Celsius, Betty obtiene la previsión meteorológica de la semana a partir de la para Milán, y quiere convertir todas las temperaturas a grados Fahrenheit. Al principio, Betty se plantea utilizar la fórmula que ya ha encontrado para efectuar las conversiones. Después de todo, conoce el álgebra y puede resolver fácilmente la ecuación para F después de sustituir un valor por C . Por ejemplo, para convertir 26 grados Celsius, podría escribir 26 = 5 9 ( F − 32 ) 26 ⋅ 9 5 = F − 32 F = 26 ⋅ 9 5 + 32 ≈ 79 Sin embargo, después de considerar esta opción por un momento, se da cuenta de que resolver la ecuación para cada una de las temperaturas será terriblemente tedioso. Se percata de que, dado que la evaluación es más fácil que la resolución, sería mucho más conveniente tener otra fórmula, que tome la temperatura Celsius y dé como resultado la temperatura Fahrenheit. La fórmula que busca Betty corresponde a la idea de función inversa , que es aquella para la que la entrada de la función original se convierte en la salida de la función inversa y la salida de la función original se convierte en la entrada de la función inversa. Dada una función f ( x ) , representamos su inversa como f − 1 ( x ) , que se lee como “ f inversa de x ” . El elevado −1 forma parte de la notación. No es un exponente; no implica una potencia de −1 . En otras palabras, f − 1 ( x ) no significa 1 f ( x ) porque 1 f ( x ) es el recíproco de f y no la inversa. La notación "exponencial" proviene de una analogía entre la composición de funciones y la multiplicación: al igual que a - 1 a = 1 (1 es el elemento de identidad para la multiplicación) para cualquier número no nulo a , por lo que f − 1 ∘ f es igual a la función de identidad, es decir: ( f − 1 ∘ f ) ( x ) = f − 1 ( f ( x ) ) = f − 1 ( y ) = x Esto es válido para todos los valores x en el dominio de f . Informalmente, esto significa que las funciones inversas se "deshacen" entre sí. Sin embargo, así como el cero no tiene recíproco , algunas funciones no tienen inversa. Dada una función f ( x ) , podemos verificar si alguna otra función g ( x ) es la inversa de f ( x ) al comprobar si g ( f ( x ) ) = x o f ( g ( x ) ) = x es verdadera. Podemos probar cualquier ecuación que sea más conveniente, porque son lógicamente equivalentes (es decir, si una es verdadera, entonces también lo es la otra). Por ejemplo, y = 4 x y y = 1 4 x son funciones inversas. ( f − 1 ∘ f ) ( x ) = f − 1 ( 4 x ) = 1 4 ( 4 x ) = x y ( f ∘ f − 1 ) ( x ) = f ( 1 4 x ) = 4 ( 1 4 x ) = x Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y = 4 x son (-2, -8), (0, 0) y (2, 8). Algunos pares de coordenadas del gráfico de la función y = 1 4 x son (-8, -2), (0, 0) y (8, 2). Si intercambiamos la entrada y la salida de cada par de coordenadas de una función, los pares de coordenadas intercambiados aparecerían en el gráfico de la función inversa. Función inversa Para cualquier función biunívoca f ( x ) = y , una función f − 1 ( x ) es la función inversa de f si f − 1 ( y ) = x . Esto también puede escribirse como f − 1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f . También se deduce que f ( f − 1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f − 1 si f − 1 es la inversa de f . La notación f − 1 se lee “ f inversa”. Como cualquier otra función, podemos utilizar cualquier nombre de variable como entrada para f − 1 , por lo que a menudo escribiremos f − 1 ( x ) , que leemos como “ f inversa de x ” . Tenga en cuenta que f − 1 ( x ) ≠ 1 f ( x ) y no todas las funciones tienen inversas. Identificar una función inversa para un determinado par de entrada-salida Si para una determinada función biunívoca f ( 2 ) = 4 y f ( 5 ) = 12 , ¿cuáles son los valores de entrada y salida correspondientes a la función inversa? La función inversa invierte las cantidades de entrada y salida, por lo que si f ( 2 ) = 4 , entonces f − 1 ( 4 ) = 2 ; f ( 5 ) = 12 , entonces f − 1 ( 12 ) = 5. Alternativamente, si queremos designar la función inversa g , entonces g ( 4 ) = 2 y g ( 12 ) = 5. Análisis Observe que, si mostramos los pares de coordenadas en forma tabular, la entrada y la salida están claramente invertidas. Vea la . ( x , f ( x ) ) ( x , g ( x ) ) ( 2 , 4 ) ( 4 , 2 ) ( 5 , 12 ) ( 12 , 5 ) Ejercicio Dado que h - 1 ( 6 ) = 2 , ¿cuáles son los valores correspondientes de entrada y salida de la función original h ? h ( 2 ) = 6 Cómo Dadas dos funciones f ( x ) y g ( x ) , compruebe si las funciones son inversas entre sí. Determine si f ( g ( x ) ) = x o g ( f ( x ) ) = x . Si ambos enunciados son verdaderos, entonces g = f − 1 y f = g − 1 . Si cualquiera de los dos enunciados es falso, entonces ambos son falsos, y g ≠ f − 1 y f ≠ g − 1 . Comprobar relaciones inversas de forma algebraica Si los valores de f ( x ) = 1 x + 2 y g ( x ) = 1 x - 2 , es g = f − 1 ? g ( f ( x ) ) = 1 ( 1 x + 2 ) - 2 = x + 2 - 2 = x por lo que g = f − 1 y f = g − 1 Esto basta para responder afirmativamente la pregunta, aunque también podemos verificar la otra fórmula. f ( g ( x ) ) = 1 1 x - 2 + 2 = 1 1 x = x Análisis Observe que las operaciones inversas están en orden inverso a las operaciones de la función original. Ejercicio Si los valores de f ( x ) = x 3 - 4 y g ( x ) = x + 4 3 , es g = f − 1 ? No Determinar las relaciones inversas para las funciones de potencia Si los valores de f ( x ) = x 3 (la función del cubo) y g ( x ) = 1 3 x , es g = f − 1 ? f ( g ( x ) ) = x 3 27 ≠ x No, las funciones no son inversas. Análisis La inversa correcta del cubo es, por supuesto, la raíz cúbica x 3 = x 1 3 , es decir: el tercio es un exponente, no un multiplicador. Ejercicio Si los valores de f ( x ) = ( x – 1 ) 3 y g ( x ) = x 3 + 1 , es g = f − 1 ? Sí Hallar el dominio y el rango de las funciones inversas Las salidas de la función f son las entradas a f − 1 , por lo que el rango de f es también el dominio de f − 1 . Asimismo, dado que las entradas a f son las salidas de f − 1 , el dominio de f es el rango de f − 1 . Podemos visualizar la situación como en la . Dominio y rango de una función y su inversa Cuando una función no tenga inversa, es posible crear una función en un dominio limitado donde sí la tenga. Por ejemplo, la inversa de f ( x ) = x es f − 1 ( x ) = x 2 , porque un cuadrado "deshace" una raíz cuadrada; pero el cuadrado es apenas la inversa de la raíz cuadrada en el dominio [ 0 , ∞ ) , ya que ese es el rango de f ( x ) = x . Podemos ver este problema desde el otro lado, comenzando con la función cuadrada (cuadrática de la caja de herramientas) f ( x ) = x 2 . Si queremos construir la inversa de esta función, nos encontramos con un problema, porque para cada salida dada de la función cuadrática, hay dos entradas correspondientes (excepto cuando la entrada es 0). Por ejemplo, la salida 9 de la función cuadrática corresponde a las entradas 3 y -3. Sin embargo, la salida de una función es la entrada para su inversa; si esta entrada inversa corresponde a más de una salida inversa (entrada de la función original), ¡entonces la "inversa" no es una función en absoluto! Por decirlo de otra manera, la función cuadrática no es una función biunívoca; no pasa la prueba de la línea horizontal, por lo que no tiene ninguna función inversa. Para que tenga una inversa, deberá ser una función biunívoca. En muchos casos, si la función no es biunívoca, podemos restringirla a una parte de su dominio en la que lo sea. Por ejemplo, podemos hacer una versión restringida de la función cuadrada f ( x ) = x 2 con su dominio limitado a [ 0 , ∞ ) , que es una función biunívoca (pasa la prueba de la línea horizontal) y que tiene una inversa (la función de raíz cuadrada). Si los valores de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 en [ 1 , ∞ ) , entonces la función inversa es f − 1 ( x ) = x + 1. El dominio de f = rango de f − 1 = [ 1 , ∞ ) . El dominio de f − 1 = rango de f = [ 0 , ∞ ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Una función puede tener más de una inversa? No. Si dos funciones supuestamente diferentes, digamos, g y h , cumplen la definición de ser inversas de otra función f , entonces, se puede demostrar que g = h . Acabamos de ver que algunas funciones tienen inversas únicamente si restringimos el dominio de la función original. En estos casos, puede que haya más de una manera de restringir el dominio, para dar lugar a diferentes inversas. Sin embargo, en cualquier dominio, la función original sigue teniendo una sola inversa. Dominio y rango de las funciones inversas El rango de una función f ( x ) es el dominio de la función inversa f − 1 ( x ) . El dominio de f ( x ) es el rango de f − 1 ( x ) . Cómo Dada una función, hallar el dominio y el rango de su inversa. Si la función es biunívoca, anote el rango de la función original como el dominio de la inversa, y anote el dominio de la función original como el rango de la inversa. Si hay que restringir el dominio de la función original para que sea biunívoca, entonces este dominio restringido se convierte en el rango de la función inversa. Hallar los inversos de las funciones de la caja de herramientas Identifique cuáles de las funciones de la caja de herramientas, además de la función cuadrática, no son biunívocas y halle un dominio restringido en el que cada función sea biunívoca, si es que lo hay. Las funciones de la caja de herramientas se repasan en la . Restringimos el dominio de tal manera que la función asume todos los valores y exactamente una vez. Constante Identidad Función Cúbico Recíproco f ( x ) = c f ( x ) = x f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 3 f ( x ) = 1 x Recíproco al cuadrado Raíz del cubo Raíz cuadrada Valor absoluto f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = x 3 f ( x ) = x f ( x ) = | x | La función constante no es biunívoca, y no hay ningún dominio (excepto un solo punto) en el que podría serlo, por lo que la función constante no tiene ninguna inversa significativa. La función de valor absoluto puede restringirse al dominio [ 0 , ∞ ) , donde es igual a la función de identidad. La función recíproca al cuadrado puede restringirse al dominio ( 0 , ∞ ) . Análisis Podemos ver que estas funciones (si no están restringidas) no son biunívocas al observar sus gráficos, los que se muestran en la . Ninguno de los dos pasarían la prueba de la línea horizontal. Sin embargo, si una función se restringe a un determinado dominio para que pase la prueba de la línea horizontal, entonces en ese dominio restringido, puede tener una inversa. (a) Valor absoluto (b) Recíproco al cuadrado Ejercicio El dominio de la función f es ( 1 , ∞ ) y el rango de la función f es ( -∞ , –2 ) . Halle el dominio y el rango de la función inversa. El dominio de la función f − 1 es ( - ∞ , - 2 ) y el rango de la función f − 1 es ( 1 , ∞ ) . Hallar y evaluar funciones inversas Una vez que tenemos una función biunívoca, podemos evaluar su inversa en entradas específicas de la función inversa o construir una representación completa de la función inversa en muchos casos. Invertir funciones tabulares Supongamos que queremos hallar la inversa de una función representada en forma tabular. Recuerde que el dominio de la función es el rango de la inversa y el rango de la función es el dominio de la inversa. Así que tenemos que intercambiar el dominio y el rango. Cada fila (o columna) de entradas se convierte en la fila (o columna) de salidas de la función inversa. Del mismo modo, cada fila (o columna) de salidas se convierte en la fila (o columna) de entradas para la función inversa. Interpretar la inversa de una función tabular Una función f ( t ) se da en la , donde se indica la distancia en millas que ha recorrido un automóvil en t minutos. Halle e interprete f − 1 ( 70 ) . t (minutos) 30 50 70 90 f ( t ) (millas) 20 40 60 70 La función inversa toma una salida de f y arroja una entrada para f . Así que, en la expresión f − 1 ( 70 ) , 70 es un valor de salida de la función original, que representa 70 millas. La inversa arrojará la entrada correspondiente de la función original f , 90 minutos, por lo que f − 1 ( 70 ) = 90. La interpretación de esto es que, para conducir 70 millas, se necesitaron 90 minutos. Alternativamente, recordemos que la definición de la inversa era que si f ( a ) = b , entonces f − 1 ( b ) = a . A la luz de esta definición, si nos dan f − 1 ( 70 ) = a , entonces buscamos un valor a para que f ( a ) = 70. En este caso, buscamos un valor t para que f ( t ) = 70 , que es cuando t = 90. Ejercicio Utilizando la , halle e interprete (a) f ( 60 ) , y (b) f − 1 ( 60 ) . t (minutos) 30 50 60 70 90 f ( t ) (millas) 20 40 50 60 70 f ( 60 ) = 50. En 60 minutos se recorren 50 millas. f − 1 ( 60 ) = 70. Para recorrer 60 millas, tardará 70 minutos. Evaluación de la inversa de una función, dado el gráfico de la función original Vimos en Funciones y notación de funciones que el dominio de una función puede leerse a partir de la extensión horizontal de su gráfico. Hallamos el dominio de la función inversa observando la extensión vertical del gráfico de la función original, ya que esta corresponde a la extensión horizontal de la función inversa. Del mismo modo, hallamos el rango de la función inversa a partir de la extensión horizontal del gráfico de la función original, ya que es la extensión vertical de la función inversa. Si queremos evaluar una función inversa, hallamos su entrada dentro de su dominio, que es todo o parte del eje vertical del gráfico de la función original. Cómo Dado el gráfico de una función, evaluar su inversa en determinados puntos. Halle la entrada deseada en el eje y del gráfico dado. Lea la salida de la función inversa desde el eje x del gráfico dado. Evaluar una función y su inversa a partir de un gráfico en determinados puntos Una función g ( x ) se da en la . Calcule g ( 3 ) y g − 1 ( 3 ) . Para evaluar g ( 3 ) , hallamos 3 en el eje x y calculamos el valor de salida correspondiente en el eje y . El punto ( 3 , 1 ) nos dice que g ( 3 ) = 1. Para evaluar g − 1 ( 3 ) , recuerde que, por definición, g − 1 ( 3 ) significa el valor de x para el que g ( x ) = 3. Al buscar el valor de salida 3 en el eje vertical, hallamos el punto ( 5 , 3 ) en el gráfico, lo que significa g ( 5 ) = 3 , así, por definición, g − 1 ( 3 ) = 5. Vea la . Ejercicio Con el gráfico de la , (a) halle g − 1 ( 1 ) , y (b) calcule g − 1 ( 4 ) . a. 3; b. 5,6 Hallar las inversas de las funciones representadas por fórmulas A veces necesitaremos conocer una función inversa para todos los elementos de su dominio, no solo para algunos. Si la función original viene dada como una fórmula —por ejemplo, y en función de x — a menudo podemos hallar la función inversa al resolver para obtener x en función de y . Cómo Dada una función representada por una fórmula, hallar la inversa. Asegúrese de que f sea una función biunívoca. Resuelva para x . Intercambie la x y y . Invertir la función Fahrenheit a Celsius Halle la fórmula de la función inversa que dé la temperatura Fahrenheit en función de la temperatura Celsius. C = 5 9 ( F − 32 ) C = 5 9 ( F − 32 ) C ⋅ 9 5 = F − 32 F = 9 5 C + 32 Al resolver en general, hemos descubierto la función inversa. Si C = h ( F ) = 5 9 ( F − 32 ) , entonces F = h - 1 ( C ) = 9 5 C + 32. En este caso, introducimos una función h para representar la conversión porque las variables de entrada y salida son descriptivas, y escribir C - 1 puede resultar confuso. Ejercicio Resuelva para x en términos de y dado y = 1 3 ( x - 5 ) x = 3 y + 5 Resolver para hallar la función inversa Halle la inversa de la función f ( x ) = 2 x - 3 + 4. y = 2 x - 3 + 4 Establezca una ecuación . y - 4 = 2 x - 3 Reste 4 de ambos lados . x - 3 = 2 y - 4 Multiplique ambos lados por x - 3 y divida entre y − 4. x = 2 y - 4 + 3 Sume 3 a ambos lados . Así que f − 1 ( y ) = 2 y - 4 + 3 o f − 1 ( x ) = 2 x - 4 + 3. Análisis El dominio y el rango de f excluyen los valores 3 y 4, respectivamente. f y f − 1 son iguales en dos puntos, pero no son la misma función, como podemos ver al crear la . x 1 2 5 f − 1 ( y ) f ( x ) 3 2 5 y Resolver para hallar la inversa con radicales Halle la inversa de la función f ( x ) = 2 + x - 4 . y = 2 + x - 4 ( y - 2 ) 2 = x - 4 x = ( y - 2 ) 2 + 4 Así que f − 1 ( x ) = ( x - 2 ) 2 + 4. El dominio de f es [ 4 , ∞ ) . Observe que el rango de f es [ 2 , ∞ ) . Esto significa que el dominio de la función inversa f − 1 también es [ 2 , ∞ ) . Análisis La fórmula que hallamos para f − 1 ( x ) luce válida para todos los valores reales de x . Sin embargo, el que f − 1 deberá tener una inversa (a saber, f ) por lo que tenemos que restringir el dominio de f − 1 con [ 2 , ∞ ) para hacer de f − 1 una función biunívoca. Este dominio de f − 1 es exactamente el rango de f . Ejercicio ¿Cuál es la inversa de la función f ( x ) = 2 - x ? Indique los dominios tanto de la función como de la función inversa. f − 1 ( x ) = ( 2 - x ) 2 ; dominio de f : [ 0 , ∞ ) ; dominio de f − 1 : ( - ∞ , 2 ] Hallar funciones inversas y sus gráficos Ahora que podemos hallar la inversa de una función, exploraremos los gráficos de las funciones y sus inversas. Volvamos a la función cuadrática f ( x ) = x 2 restringida al dominio [ 0 , ∞ ) , en el que esta función es biunívoca, y grafíquela como en la . Función cuadrática restringida al dominio [0, ∞). Restringir el dominio a [ 0 , ∞ ) hace que la función sea biunívoca (obviamente pasará la prueba de la línea horizontal), por lo que tiene una inversa en este dominio restringido. Ya sabemos que la inversa de la función cuadrática de la caja de herramientas es la función de raíz cuadrada, es decir, f − 1 ( x ) = x . ¿Qué sucede si graficamos tanto f y f − 1 en el mismo conjunto de ejes, donde utilizamos el eje x para la entrada, tanto para f como para f − 1 ? Observamos una clara relación: el gráfico de f − 1 ( x ) es el gráfico de f ( x ) reflejado sobre la línea diagonal y = x , que llamaremos línea de identidad, y que se indica en la . Funciones cuadradas y de raíz cuadrada en el dominio no negativo Esta relación se observará en todas las funciones biunívocas, porque es el resultado de que la función y su inversa intercambien entradas y salidas. Esto equivale a intercambiar los papeles de los ejes vertical y horizontal. Hallar la inversa de una función por medio de la reflexión sobre la línea de identidad Dado el gráfico de f ( x ) en la , dibuje un gráfico de f − 1 ( x ) . Se trata de una función biunívoca, por lo que podremos trazar la inversa. Observe que el gráfico mostrado tiene un dominio aparente de ( 0 , ∞ ) y el rango de ( - ∞ , ∞ ) , por lo que la inversa tendrá un dominio de ( - ∞ , ∞ ) y el rango de ( 0 , ∞ ) . Si reflejamos este gráfico sobre la línea y = x , el punto ( 1 , 0 ) refleja a ( 0 , 1 ) y el punto ( 4 , 2 ) refleja a ( 2 , 4 ) . Al dibujar la inversa en los mismos ejes que en el gráfico original se obtiene la . La función y su inversa, lo que muestra la reflexión sobre la línea de identidad Ejercicio Dibuje los gráficos de las funciones f y f − 1 a partir del . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Existe alguna función que sea igual a su propia inversa? Sí. Si los valores de f = f − 1 , entonces f ( f ( x ) ) = x , y podemos pensar en varias funciones que tienen esta propiedad. La función de identidad la tiene, y también la función recíproca, porque 1 1 x = x Cualquier función f ( x ) = c − x , donde c es una constante, también es igual a su propia inversa. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las funciones inversas. Funciones inversas Valores de la función inversa mediante el gráfico Restringir el dominio y hallar la inversa Conceptos clave Si los valores de g ( x ) es la inversa de f ( x ) , entonces g ( f ( x ) ) = f ( g ( x ) ) = x . Vea el , el y el . Cada una de las funciones de la caja de herramientas tiene una inversa. Vea el . Para que una función tenga una inversa, deberá ser biunívoca (pasar la prueba de la línea horizontal). Aquella función que no sea biunívoca en todo su dominio puede serlo en parte de su dominio. Para una función tabular, intercambie las filas de entrada y salida para obtener la inversa. Vea el . La inversa de la función puede determinarse en puntos específicos en su gráfico. Vea el . Para hallar la inversa de una fórmula, resuelva la ecuación y = f ( x ) para x en función de y . A continuación, intercambie las etiquetas x y y . Vea el , el y el . El gráfico de una función inversa es la reflexión del gráfico de la función original a través de la línea y = x . Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué la prueba de la línea horizontal es una forma eficaz de determinar si la función es biunívoca? Explique. Cada salida de una función debe tener exactamente una salida para que la función sea biunívoca. Si alguna línea horizontal cruza el gráfico de una función más de una vez, significa que los valores de y se repiten y la función no es biunívoca. Si ninguna línea horizontal cruza el gráfico de la función más de una vez, entonces ninguno de los valores de y se repiten y la función es biunívoca. ¿Por qué restringimos el dominio de la función f ( x ) = x 2 para dar con la inversa de la función? ¿Una función puede ser su propia inversa? Explique. Sí. Por ejemplo, f ( x ) = 1 x es su propia inversa. ¿Las funciones biunívocas son siempre crecientes o decrecientes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se halla la inversa de una función de forma algebraica? Dada una función y = f ( x ) , resolver para x en términos de y . Intercambie los valores de x y y . Resuelva la nueva ecuación para y . La expresión para y es la inversa, y = f − 1 ( x ) . Algebraicos Demuestre que la función f ( x ) = a − x es su propia inversa para todos los números reales a . En los siguientes ejercicios, calcule f − 1 ( x ) por cada función. f ( x ) = x + 3 f − 1 ( x ) = x - 3 f ( x ) = x + 5 f ( x ) = 2 - x f − 1 ( x ) = 2 - x f ( x ) = 3 - x f ( x ) = x x + 2 f − 1 ( x ) = - 2 x x – 1 f ( x ) = 2 x + 3 5 x + 4 En los siguientes ejercicios, halle un dominio en el que cada función f sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de f restringida a ese dominio. f ( x ) = ( x + 7 ) 2 dominio de f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) ; f − 1 ( x ) = x - 7 f ( x ) = ( x - 6 ) 2 f ( x ) = x 2 - 5 dominio de f ( x ) : [ 0 , ∞ ) ; f − 1 ( x ) = x + 5 Dado que f ( x ) = x 2 + x y g ( x ) = 2 x 1 - x : Ⓐ Halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . Ⓑ ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre f ( x ) y g ( x ) ? Ⓐ f ( g ( x ) ) = x y g ( f ( x ) ) = x . Ⓑ Esto nos dice que f y g son funciones inversas En los siguientes ejercicios, utilice la composición de funciones para verificar que f ( x ) y g ( x ) son funciones inversas. f ( x ) = x – 1 3 y g ( x ) = x 3 + 1 f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x f ( x ) = - 3 x + 5 y g ( x ) = x - 5 - 3 Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca. f ( x ) = x biunívoca f ( x ) = 3 x + 1 3 f ( x ) = −5 x + 1 biunívoca f ( x ) = x 3 − 27 En los siguientes ejercicios, determine si el gráfico representa una función biunívoca. no es biunívoca En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f que se muestra en la . Halle f ( 0 ) . 3 Resuelva f ( x ) = 0, Calcule f − 1 ( 0 ) . 2 Resuelva f − 1 ( x ) = 0, En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función biunívoca que se muestra en la . Dibuje el gráfico de f − 1 . Halle f ( 6 ) y f − 1 ( 2 ) . Si el gráfico completo de f se muestra, halle el dominio de f . [ 2 , 10 ] Si el gráfico completo de f se muestra, halle el rango de f . Numéricos En los siguientes ejercicios, evalúe o resuelva, suponiendo que la función f es biunívoca. Si los valores de f ( 6 ) = 7 , calcule f − 1 ( 7 ) . 6 Si f ( 3 ) = 2 , calcule f − 1 ( 2 ) . Si f − 1 ( - 4 ) = - 8 , calcule f ( − 8 ) . - 4 Si f − 1 ( – 2 ) = - 1 , calcule f ( - 1 ) . En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la para evaluar o resolver. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f ( x ) 8 0 7 4 2 6 5 3 9 1 Halle f ( 1 ) . 0 Resuelva f ( x ) = 3. Calcule f − 1 ( 0 ) . 1 Resuelva f − 1 ( x ) = 7. Utilice la representación tabular de f en la con el objeto de crear una tabla para f − 1 ( x ) . x 3 6 9 13 14 f ( x ) 1 4 7 12 16 x 1 4 7 12 16 f − 1 ( x ) 3 6 9 13 14 En tecnología En los siguientes ejercicios, halle la función inversa. A continuación, grafique la función y su inversa. f ( x ) = 3 x - 2 f ( x ) = x 3 - 1 f − 1 ( x ) = ( 1 + x ) 1 / 3 Calcule la función inversa de f ( x ) = 1 x – 1 . Utilice una herramienta gráfica para calcular su dominio y rango. Escriba el dominio y el rango en notación de intervalo. Aplicaciones en el mundo real Para convertir de x grados Celsius a y grados Fahrenheit, utilizamos la fórmula f ( x ) = 9 5 x + 32. Halle la función inversa, si existe, y explique su significado. f − 1 ( x ) = 5 9 ( x − 32 ) . Dada la temperatura Fahrenheit, x , esta fórmula permite calcular la temperatura en Celsius. La circunferencia C de un círculo es la función de su radio, dada por C ( r ) = 2 π r . Exprese el radio de un círculo en función de su circunferencia. Llame a esta función r ( C ) . Halle r ( 36 π ) e interprete su significado. Un automóvil viaja a una velocidad constante de 80 millas por hora. La distancia que recorre el automóvil en millas es una función del tiempo, t , en horas, dadas por d ( t ) = 50 t . Halle la función inversa al expresar el tiempo de viaje en términos de la distancia recorrida. Llame a esta función t ( d ) . Halle t ( 180 ) e interprete su significado. t ( d ) = d 50 , t ( 180 ) = 180 50 . El tiempo que tarda el automóvil en recorrer 180 millas es de 3,6 horas. Ejercicios de repaso del capítulo Funciones y notación de funciones En los siguientes ejercicios, determine si la relación es una función. { ( a , b ) , ( c , d ) , ( e , d ) } cuadrática { ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) , ( 6 , 2 ) , ( 4 , 8 ) } y 2 + 4 = x , para x es la variable independiente, mientras que y es la variable dependiente no es una función ¿El gráfico en la es una función? En los siguientes ejercicios, evalúe la función en los valores indicados: f ( - 3 ) ; f ( 2 ) ; f ( - a ) ; − f ( a ) ; f ( a + h ) . f ( x ) = - 2 x 2 + 3 x f ( - 3 ) = − 27 ; f ( 2 ) = - 2 ; f ( - a ) = - 2 a 2 - 3 a ; − f ( a ) = 2 a 2 - 3 a ; f ( a + h ) = - 2 a 2 + 3 a - 4 a h + 3 h − 2 h 2 f ( x ) = 2 | 3 x – 1 | En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son biunívocas. f ( x ) = - 3 x + 5 biunívoca f ( x ) = | x - 3 | En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea vertical para determinar si la relación cuyo gráfico se proporciona es una función. cuadrática cuadrática En los siguientes ejercicios, grafique las funciones. f ( x ) = | x + 1 | f ( x ) = x 2 - 2 En los siguientes ejercicios, utilice la para estimar los valores. f ( 2 ) f ( −2 ) 2 Si f ( x ) = –2 , y luego resolvemos para x . Si f ( x ) = 1 , y luego resolvemos para x . x = − 1,8 o o x = 1,8 En los siguientes ejercicios, utilice la función h ( t ) = - 16 t 2 + 80 t para estimar los valores. h ( 2 ) − h ( 1 ) 2 – 1 h ( a ) − h ( 1 ) a - 1 − 64 + 80 a − 16 a 2 – 1 + a = - 16 a + 64 Dominio y rango En los siguientes ejercicios, halle el dominio de cada función, y exprese las respuestas utilizando la notación intervalo. f ( x ) = 2 3 x + 2 f ( x ) = x - 3 x 2 - 4 x - 12 ( - ∞ , - 2 ) ∪ ( – 2 , 6 ) ∪ ( 6 , ∞ ) f ( x ) = x - 6 x - 4 Grafique esta función definida por partes f ( x ) = { x + 1 x < − 2 - 2 x - 3 x ≥ − 2 Tasas de variación y comportamiento de los gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la tasa promedio de cambio de las funciones a partir de x = 1 para x = 2. f ( x ) = 4 x - 3 f ( x ) = 10 x 2 + x 31 f ( x ) = - 2 x 2 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos para determinar los intervalos en los que las funciones son crecientes, decrecientes o constantes. creciente ( 2 , ∞ ) ; decreciente ( - ∞ , 2 ) creciente ( - 3 , 1 ) ; constante ( - ∞ , - 3 ) ∪ ( 1 , ∞ ) Halle el mínimo local de la función graficada en el . Halle los extremos locales de la función graficada en el . mínimo local ( – 2 , - 3 ) ; máximo local ( 1 , 3 ) Para el gráfico en la , el dominio de la función es [ − 3 , 3 ] . El rango es [ − 10 , 10 ] . Halle el mínimo absoluto de la función en este intervalo. Halle el máximo absoluto de la función graficada en la . Máximo absoluto: 10 Composición de las funciones En los siguientes ejercicios, calcule ( f ∘ g ) ( x ) y ( g ∘ f ) ( x ) por cada par de funciones. f ( x ) = 4 - x , g ( x ) = – 4 x f ( x ) = 3 x + 2 , g ( x ) = 5 − 6 x ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ; ( g ∘ f ) ( x ) = - 7 − 18 x f ( x ) = x 2 + 2 x , g ( x ) = 5 x + 1 f ( x ) = x + 2 , g ( x ) = 1 x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 x + 2 ; ( g ∘ f ) ( x ) = 1 x + 2 f ( x ) = x + 3 2 , g ( x ) = 1 - x En los siguientes ejercicios, calcule ( f ∘ g ) y el dominio para ( f ∘ g ) ( x ) por cada par de funciones. f ( x ) = x + 1 x + 4 , g ( x ) = 1 x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ - 1 4 f ( x ) = 1 x + 3 , g ( x ) = 1 x - 9 f ( x ) = 1 x , g ( x ) = x ( f ∘ g ) ( x ) = 1 x , x > 0 f ( x ) = 1 x 2 – 1 , g ( x ) = x + 1 En los siguientes ejercicios, exprese cada función H como una composición de dos funciones f y g donde H ( x ) = ( f ∘ g ) ( x ) . H ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 muestra: g ( x ) = 2 x – 1 3 x + 4 ; f ( x ) = x H ( x ) = 1 ( 3 x 2 - 4 ) - 3 Transformación de funciones En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función dada. f ( x ) = ( x - 3 ) 2 f ( x ) = ( x + 4 ) 3 f ( x ) = x + 5 f ( x ) = - x 3 f ( x ) = - x 3 f ( x ) = 5 - x - 4 f ( x ) = 4 [ | x - 2 | − 6 ] f ( x ) = - ( x + 2 ) 2 – 1 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de la función g si el gráfico de la función f se muestra en la . g ( x ) = f ( x – 1 ) g ( x ) = 3 f ( x ) En los siguientes ejercicios, anote la ecuación de la función estándar representada por cada uno de los gráficos que aparecen a continuación. f ( x ) = | x - 3 | En los siguientes ejercicios, determine si cada función de abajo es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = 3 x 4 números g ( x ) = x h ( x ) = 1 x + 3 x impar En los siguientes ejercicios, analice el gráfico y determine si la función graficada es par, impar o ninguna de las dos. números Funciones de valor absoluto En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para la transformación de f ( x ) = | x | . f ( x ) = 1 2 | x + 2 | + 1 f ( x ) = - 3 | x - 3 | + 3 En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. f ( x ) = | x - 5 | f ( x ) = - | x - 3 | f ( x ) = | 2 x - 4 | En los siguientes ejercicios, resuelva la ecuación de valor absoluto. | x + 4 | = 18 x = − 22 , x = 14 | 1 3 x + 5 | = | 3 4 x - 2 | En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación y exprese la solución con la notación de intervalo. | 3 x - 2 | < 7 ( - 5 3 , 3 ) | 1 3 x - 2 | ≤ 7 Funciones inversas En los siguientes ejercicios, calcule f − 1 ( x ) por cada función. f ( x ) = 9 + 10 x f − 1 ( x ) = x 1 f ( x ) = x x + 2 En el siguiente ejercicio, halle un dominio en el que la función f sea biunívoca y no decreciente. Escriba el dominio en notación de intervalo. Entonces calcule la inversa de f restringida a ese dominio. f ( x ) = x 2 + 1 Dado que f ( x ) = x 3 - 5 y g ( x ) = x + 5 3 : Halle f ( g ( x ) ) y g ( f ( x ) ) . ¿Qué nos dice la respuesta sobre la relación entre f ( x ) y g ( x ) ? En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para determinar si cada función es biunívoca. f ( x ) = 1 x La función es biunívoca. f ( x ) = - 3 x 2 + x La función no es biunívoca. Si los valores de f ( 5 ) = 2 , calcule f − 1 ( 2 ) . 5 Si f ( 1 ) = 4 , calcule f − 1 ( 4 ) . Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, determine si cada una de las siguientes relaciones es una función. y = 2 x + 8 La relación es una función. { ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 ) , ( - 1 , 1 ) , ( 0 , - 2 ) } En los siguientes ejercicios, evalúe la función f ( x ) = - 3 x 2 + 2 x en la entrada dada. f ( −2 ) −16 f ( a ) Demuestre que la función f ( x ) = - 2 ( x – 1 ) 2 + 3 no es biunívoca. El gráfico es una parábola y no pasa la prueba de la línea horizontal. Escriba el dominio de la función f ( x ) = 3 - x en notación de intervalo. Dados f ( x ) = 2 x 2 - 5 x , calcule f ( a + 1 ) - f ( 1 ) . 2 a 2 - a Grafique la función f ( x ) = { x + 1 si − 2 < x < 3 - x si x ≥ 3 Halle la tasa de cambio promedio de la función f ( x ) = 3 - 2 x 2 + x al calcular f ( b ) - f ( a ) b – a . - 2 ( a + b ) + 1 En los siguientes ejercicios, utilice las funciones f ( x ) = 3 - 2 x 2 + x y g ( x ) = x para hallar las funciones compuestas. ( g ∘ f ) ( x ) ( g ∘ f ) ( 1 ) 2 Exprese H ( x ) = 5 x 2 - 3 x 3 como una composición de dos funciones, f y g , donde ( f ∘ g ) ( x ) = H ( x ) . En los siguientes ejercicios, grafique las funciones al trasladar, estirar o comprimir una función de la caja de herramientas. f ( x ) = x + 6 - 1 f ( x ) = 1 x + 2 – 1 En los siguientes ejercicios, determine si las funciones son pares, impares o ninguna de las dos. f ( x ) = - 5 x 2 + 9 x 6 números f ( x ) = - 5 x 3 + 9 x 5 f ( x ) = 1 x impar Represente gráficamente la función de valor absoluto f ( x ) = - 2 | x – 1 | + 3. Resuelva | 2 x - 3 | = 17. x = - 7 y x = 10 Resuelva − | 1 3 x - 3 | ≥ 17. Exprese la solución en notación de intervalo. En los siguientes ejercicios, halle la inversa de la función. f ( x ) = 3 x - 5 f − 1 ( x ) = x + 5 3 f ( x ) = 4 x + 7 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de g que se muestra en la . ¿En qué intervalos es creciente la función? ( - ∞ , − 1,1 ) y ( 1,1 , ∞ ) ¿En qué intervalos es decreciente la función? Calcule aproximadamente el mínimo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado. ( 1,1 , − 0,9 ) Calcule aproximadamente el máximo local de la función. Exprese la respuesta como un par ordenado. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de la función definida por partes que se muestra en la . Halle f ( 2 ) . f ( 2 ) = 2 Calcule f ( −2 ) . Escriba una ecuación para la función definida por partes. f ( x ) = { | x | si x ≤ 2 3 si x > 2 En los siguientes ejercicios, utilice los valores que aparecen en la . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f ( x ) 1 3 5 7 9 11 13 15 17 Halle F ( 6 ) . Resuelva la ecuación F ( x ) = 5. x = 2 ¿El gráfico es creciente o decreciente en su dominio? ¿La función que representa el gráfico es biunívoca? sí Halle F − 1 ( 15 ) . Dado que f ( x ) = - 2 x + 11 , calcule f − 1 ( x ) . f − 1 ( x ) = - x − 11 2 función inversa para cualquier función biunívoca f ( x ) , la inversa es una función f − 1 ( x ) tal que f − 1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f ; esto también implica que f ( f − 1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f − 1

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Introducción Bosque de bambú en China (créditos: "JFXie”/Flickr). Imagínese que coloca una planta en el suelo un día y descubre que ha crecido el doble a los pocos días. Aunque parezca increíble, esto ocurre con ciertas especies de bambú. Estos miembros de la familia de las gramíneas son las plantas que más rápido crecen en el mundo. Se ha observado que una especie de bambú crece casi 1,5 pulgadas cada hora. http://www.guinnessworldrecords.com/records-3000/fastest-growing-plant/ En un lapso de veinticuatro horas, esta planta de bambú crece unas 36 pulgadas, es decir, ¡unos increíbles 3 pies! Una tasa de cambio constante, como el ciclo de crecimiento de esta planta de bambú, es una función lineal. Recordemos de Funciones y notación de funciones que una función es una relación que asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento en el rango. Las funciones lineales son un tipo específico de función que se utiliza para modelar muchas aplicaciones en el mundo real, como el crecimiento de las plantas en el tiempo. En este capítulo, exploraremos las funciones lineales, sus gráficos y cómo relacionarlas con los datos.

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Funciones lineales Tren MagLev de Shanghai (créditos: "kanegen"/Flickr) Al igual que el crecimiento de una planta de bambú, hay muchas situaciones que implican un cambio constante con el paso del tiempo. Pensemos, por ejemplo, en el primer tren comercial de levitación magnética del mundo, el Tren MagLev de Shaghai ( ). Transporta cómodamente a los pasajeros en un viaje de 30 kilómetros desde el aeropuerto hasta la estación de metro en apenas ocho minutos. http://www.chinahighlights.com/shanghai/transportation/maglev-train.htm Supongamos que un tren de levitación magnética recorre una larga distancia, a una velocidad constante de 83 metros por segundo durante un tiempo una vez que se aleja 250 metros de la estación. ¿Cómo analizaríamos la distancia del tren a la estación en función del tiempo? En esta sección, investigaremos un tipo de función que sirve para este propósito, y la utilizaremos para investigar situaciones del mundo real como la distancia del tren a la estación en un momento dado. Representar funciones lineales La función que describe el movimiento del tren es una función lineal , la cual se define como una función con una tasa de cambio constante, es decir, un polinomio de grado 1. Hay varias formas de representar una función lineal, entre ellas la forma verbal, la notación de funciones, la forma tabular y la forma gráfica. Describiremos el movimiento del tren como una función mediante el empleo de cada método. Representar una función lineal en forma verbal Empecemos por describir la función lineal con palabras. Para el problema del tren que acabamos de considerar, se puede utilizar la siguiente frase para describir la relación de funciones. La distancia entre el tren y la estación es una función del tiempo durante el cual el tren se mueve a una velocidad constante más su distancia original a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante. La velocidad es la tasa de cambio. Recordemos que la tasa de cambio es una medida de la rapidez con la que cambia la variable dependiente con respecto a la variable independiente. La tasa de cambio para este ejemplo es constante, lo que significa que es la misma para cada valor de entrada. A medida que el tiempo (entrada) aumenta en 1 segundo, la distancia correspondiente (salida) aumenta en 83 metros. El tren comenzó a moverse a esta velocidad constante a una distancia de 250 metros de la estación. Representar una función lineal en notación de funciones Otro enfoque para representar funciones lineales es utilizar la notación de funciones. Un ejemplo de notación de funciones es una ecuación escrita en lo que se conoce como forma pendiente-intersección de una línea, donde x es el valor de entrada, m es la tasa de cambio y b es el valor inicial de la variable dependiente. Forma de la ecuación y = m x + b Notación de la ecuación f ( x ) = m x + b En el ejemplo del tren, podríamos utilizar la notación D ( t ) en la que la distancia total D es una función del tiempo t . La tasa, m , es de 83 metros por segundo. El valor inicial de la variable dependiente b es la distancia original de la estación, 250 metros. Podemos escribir una ecuación generalizada para representar el movimiento del tren. D ( t ) = 83 t + 250 Representar una función lineal en forma tabular Un tercer método para representar una función lineal es mediante el uso de una tabla. La relación entre la distancia de la estación y el tiempo se representa en la . En la tabla, podemos ver que la distancia cambia en 83 metros por cada aumento de 1 segundo en el tiempo. Representación tabular de la función D con los valores de entrada y salida seleccionados PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿La entrada en el ejemplo anterior puede ser cualquier número real? No. La entrada representa el tiempo, por lo que, si bien los números racionales e irracionales no negativos son posibles, los números reales negativos no son posibles para este ejemplo. La entrada consiste en números reales no negativos. Representar una función lineal de forma gráfica Otra forma de representar las funciones lineales es visualmente, mediante un gráfico. Podemos utilizar la relación de funciones de arriba, D ( t ) = 83 t + 250 , para dibujar un gráfico, representado en la . Observe que el gráfico es una línea. Cuando trazamos una función lineal, el gráfico es siempre una recta. La tasa de cambio, que es constante, determina la inclinación o pendiente de la línea. El punto en el que el valor de entrada es cero es la intersección vertical, o intersección en y , de la línea. Podemos ver en el gráfico de la que la intersección en y en el ejemplo del tren que acabamos de ver es ( 0 , 250 ) y representa la distancia del tren a la estación cuando comenzó a moverse a velocidad constante. el gráfico de D ( t ) = 83 t + 250. Los gráficos de las funciones lineales son líneas porque la tasa de cambio es constante. Observe que el gráfico del ejemplo del tren está restringido, pero no siempre es así. Considere el gráfico de la línea f ( x ) = 2 x +1. Pregúntese qué números se pueden introducir en la función, es decir, cuál es el dominio de la función. El dominio está compuesto por todos los números reales porque cualquier número puede duplicarse, y luego sumar uno al producto. Función lineal La función lineal es aquella cuya representación gráfica es una línea. Las funciones lineales se escriben en la forma pendiente-intersección de una línea. f ( x ) = m x + b donde b es el valor inicial o de partida de la función (cuando se introduce, x = 0 ), y m es la tasa de cambio constante de la función, o pendiente de la función. Así que la intersección en y está en ( 0 , b ) . Usar una función lineal para hallar la presión en un buceador La presión, P , en libras por pulgada cuadrada (PSI) en el buceador en la depende de su profundidad bajo la superficie del agua, d , en pies. Esta relación puede modelarse mediante la ecuación P ( d ) = 0,434 d + 14,696. Repita esta función con palabras. (Créditos: Ilse Reijs y Jan-Noud Hutten) Para replantear la función en palabras tenemos que describir cada parte de la ecuación. La presión en función de la profundidad es igual a cuatrocientos treinta y cuatro milésimas de la profundidad más catorce y seiscientos noventa y seis milésimas. Análisis El valor inicial, 14,696, es la presión en PSI sobre el buceador a una profundidad de 0 pies, que es la superficie del agua. La tasa de cambio, o pendiente, es de 0,434 PSI por pie. Esto nos indica que la presión sobre el buceador aumenta 0,434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad. Determinar si una función lineal es creciente, decreciente o constante Las funciones lineales que hemos utilizado en los dos ejemplos anteriores aumentan con el tiempo, pero no todas lo hacen. La función lineal puede ser creciente, decreciente o constante. En el caso de una función creciente , como en el ejemplo del tren, los valores de salida aumentan a medida que aumentan los valores de entrada. El gráfico de la función creciente tiene una pendiente positiva. Una línea con pendiente positiva se inclina hacia arriba de izquierda a derecha como en (a) . En el caso de una función decreciente , la pendiente es negativa. Los valores de salida disminuyen a medida que aumentan los valores de entrada. Una línea con pendiente negativa se inclina hacia abajo de izquierda a derecha como en la (b) . Si la función es constante, los valores de salida son los mismos para todos los valores de entrada, por lo que la pendiente es cero. Una línea con pendiente cero es horizontal como en la (c) . Funciones crecientes y decrecientes La pendiente determina si la función es una función lineal creciente , una función lineal decreciente o una función constante. f ( x ) = m x + b es una función creciente si m > 0, f ( x ) = m x + b es una función decreciente si m < 0, f ( x ) = m x + b es una función constante si m = 0, Decidir si una función es creciente, decreciente o constante Los estudios de principios de la primera década del siglo XXI indicaban que los adolescentes enviaban unos 60 mensajes de texto al día, mientras que los datos más recientes indican tasas de mensajería mucho más elevadas entre todos los usuarios, sobre todo teniendo en cuenta las diversas aplicaciones con las que la gente puede comunicarse. Para cada una de las siguientes situaciones, halle la función lineal que describa la relación entre el valor de entrada y el valor de salida. A continuación, determine si el gráfico de la función es creciente, decreciente o constante. Ⓐ El número total de textos que envía un adolescente se considera en función del tiempo en días. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos enviados. Ⓑ Una persona tiene un límite de 500 mensajes de texto al mes en su plan de datos. La entrada es el número de días, y la salida es el número total de textos que quedan para el mes. Ⓒ Una persona tiene un número ilimitado de mensajes de texto en su plan de datos por un costo de 50 dólares al mes. La entrada es el número de días, y la salida es el costo total de los mensajes de texto cada mes. Analice cada función. Ⓐ La función puede representarse como f ( x ) = 60 x donde x es el número de días. La pendiente, 60, es positiva, por lo que la función es creciente. Esto tiene sentido porque el número total de textos aumenta cada día. Ⓑ La función puede representarse como f ( x ) = 500 − 60 x donde x es el número de días. En este caso, la pendiente es negativa, por lo que la función es decreciente. Esto tiene sentido porque el número de textos restantes disminuye cada día y esta función representa el número de textos restantes en el plan de datos después de x días. Ⓒ La función de costo puede representarse como f ( x ) = 50 porque el número de días no incide en el costo total. La pendiente es 0, por lo que la función es constante. Calcular e interpretar la pendiente En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, nos han proporcionado la pendiente. Sin embargo, a menudo necesitamos calcular la pendiente dados los valores de entrada y salida. Dados dos valores de entrada, x 1 y x 2 , y dos valores correspondientes para la salida, y 1 y y 2 , que puede representarse mediante un conjunto de puntos, ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) , podemos calcular la pendiente m , como sigue m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 donde Δ y es el desplazamiento vertical y Δ x es el desplazamiento horizontal. Observe en la notación de la función dos valores correspondientes a la salida y 1 y y 2 para la función f , y 1 = f ( x 1 ) y y 2 = f ( x 2 ) , por lo que podríamos escribir de forma equivalente m = f ( x 2 ) – f ( x 1 ) x 2 – x 1 la indica cómo se calcula la pendiente de la línea entre los puntos, ( x 1, y 1 ) y ( x 2, y 2 ) . Recordemos que la pendiente mide la inclinación. Cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente, más pronunciada será la línea. La pendiente de una función se calcula mediante el cambio en y dividido entre el cambio en x . Es indiferente la coordenada que se utilice como ( x 2 , y 2 ) y cuál es ( x 1 , y 1 ) , siempre que cada cálculo se inicie con los elementos del mismo par de coordenadas. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Las unidades de la pendiente son siempre unidades para la salida unidades para la entrada ? Sí. Piense en las unidades como el cambio del valor de salida por cada unidad de cambio en el valor de entrada. Un ejemplo de pendiente podría ser millas por hora o dólares por día. Observe que las unidades aparecen como el cociente de unidades para la salida por unidades para la entrada. Calcular la pendiente La pendiente, o tasa de cambio, de una función m puede calcularse de acuerdo con lo siguiente: m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 donde x 1 y x 2 son valores de entrada, y 1 y y 2 son valores de salida. Cómo Dados dos puntos a partir de una función lineal, calcule e interprete la pendiente. Determine las unidades relativas a los valores de salida y entrada. Calcule el cambio de los valores de salida y de entrada. Interprete la pendiente como el cambio en los valores de salida por unidad del valor de entrada. Hallar la pendiente de una función lineal Si los valores de f ( x ) es una función lineal, y ( 3, -2 ) y ( 8, 1 ) son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente? Los pares de coordenadas son ( 3, -2 ) y ( 8, 1 ) . Para calcular la tasa de cambio, dividimos el cambio en la producción entre el cambio en la entrada. m = cambio en la salida cambio en la entrada = 1 - ( – 2 ) 8 - 3 = 3 5 También podríamos escribir la pendiente como m = 0,6. La función es creciente porque m > 0 . Análisis Como se ha señalado anteriormente, el orden en el que escribimos los puntos no importa cuando calculamos la pendiente de la línea siempre que el primer valor de salida, o coordenada y , que se utilice se corresponda con el primer valor de entrada, o coordenada x , utilizado. Ejercicio Si los valores de f ( x ) es una función lineal, y ( 2 , 3 ) y ( 0 , 4 ) son puntos de la recta, calcule la pendiente. ¿Esta función es creciente o decreciente? m = 4 - 3 0 - 2 = 1 - 2 = - 1 2 ; decreciente porque m < 0, Determinar el cambio demográfico a partir de una función lineal La población de la ciudad aumentó de 23.400 a 27.800 habitantes entre 2008 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2008 hasta 2012. La tasa de cambio relaciona el cambio en la población con el cambio en el tiempo. La población aumentó en 27.800 − 23.400 = 4.400 habitantes en el intervalo de cuatro años. Para hallar la tasa de cambio, hay que dividir el cambio en el número de personas entre el número de años. 4.400 personas 4 años = 1.100 personas año Así que la población aumentó en 1.100 habitantes al año. Análisis Como se nos dice que la población aumentó, esperaríamos que la pendiente sea positiva. Por lo tanto, esta pendiente positiva que hemos calculado es razonable. Ejercicio La población de una pequeña ciudad aumentó de 1.442 a 1.868 habitantes entre 2009 y 2012. Halle la variación de la población por año si suponemos que el cambio fue constante desde 2009 hasta 2012. m = 1 , 868 − 1 , 442 2 , 012 − 2 , 009 = 426 3 = 142 personas al año Escribir la forma punto-pendiente de una ecuación lineal Hasta ahora, hemos utilizado la forma pendiente-intersección de la ecuación lineal para describir funciones lineales. Aquí aprenderemos otra forma de escribir una función lineal, la forma punto-pendiente . y – y 1 = m ( x – x 1 ) La forma punto-pendiente se deriva de la fórmula de la pendiente. m = y – y 1 x – x 1 suponiendo que x ≠ x 1 m ( x – x 1 ) = y – y 1 x – x 1 ( x – x 1 ) Multiplique ambos lados por ( x – x 1 ) . m ( x – x 1 ) = y – y 1 Simplifique . y – y 1 = m ( x – x 1 ) Reacomode . Tenga presente que la forma pendiente-intersección y la forma punto-pendiente pueden utilizarse para describir la misma función. Podemos pasar de una forma a otra con el álgebra básica. Por ejemplo, supongamos que nos dan una ecuación en forma de punto-pendiente, y - 4 = - 1 2 ( x - 6 ) . Podemos convertirla a la forma pendiente-intersección, como se indica. y - 4 = - 1 2 ( x - 6 ) y - 4 = - 1 2 x + 3 Distribuya el − 1 2 . y = - 1 2 x + 7 Sume 4 a cada lado . Por lo tanto, la misma línea puede describirse en forma de pendiente-intersección como y = - 1 2 x + 7. Forma punto-pendiente de una ecuación lineal La forma punto-pendiente de una ecuación lineal tiene la forma y – y 1 = m ( x – x 1 ) donde m es la pendiente, x 1 y y 1 son las coordenadas de la x y de la y de un punto concreto por el que pasa la línea. Escribir la ecuación de una recta mediante un punto y la pendiente La forma punto-pendiente es especialmente útil si conocemos un punto y la pendiente de una línea. Supongamos, por ejemplo, que nos dicen que una línea tiene una pendiente de 2 y pasa por el punto ( 4 , 1 ) . Sabemos que m = 2 y que x 1 = 4 y y 1 = 1. Podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 2 ( x - 4 ) Si quisiéramos reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, aplicaríamos técnicas algebraicas. y - 1 = 2 ( x - 4 ) y - 1 = 2 x - 8 Distribuya el 2. y = 2 x - 7 Sume 1 a cada lado . Ambas ecuaciones, y - 1 = 2 ( x - 4 ) y y = 2 x – 7 , describen la misma línea. Vea la . Escribir ecuaciones lineales mediante el empleo de un punto y la pendiente Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea con pendiente 3 que pasa por el punto ( 6 , -1 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. Averigüemos lo que sabemos a partir de la información dada. La pendiente es 3, por lo que m = 3. También conocemos un punto, por lo que sabemos que x 1 = 6 y y 1 = −1. Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación general de punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( - 1 ) = 3 ( x - 6 ) Sustituya los valores conocidos . y + 1 = 3 ( x - 6 ) Distribuya − 1 para hallar la forma punto-pendiente . Luego usamos el álgebra para hallar la forma pendiente-intersección. y + 1 = 3 ( x - 6 ) y + 1 = 3 x − 18 Distribuya 3 . y = 3 x − 19 Simplifique a la forma pendiente-intersección . Ejercicio Escriba la forma punto-pendiente de una ecuación de una línea con una pendiente de -2 que pasa por el punto ( -2 , 2 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. y - 2 = - 2 ( x + 2 ) ; y = - 2 x - 2 Escribir la ecuación de una línea con dos puntos La forma punto-pendiente de una ecuación también sirve si conocemos dos puntos cualesquiera por los que pasa una línea. Supongamos, por ejemplo, que sabemos que una línea pasa por los puntos ( 0 , 1 ) y ( 3 , 2 ) . Podemos utilizar las coordenadas de los dos puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 – 1 3 - 0 = 1 3 Ahora podemos utilizar la pendiente que hemos calculado y las coordenadas de uno de los puntos para hallar la ecuación de la línea. Utilicemos (0, 1) para nuestro punto. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 1 3 ( x - 0 ) Como antes, podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección. y - 1 = 1 3 ( x - 0 ) y - 1 = 1 3 x Distribuya el 1 3 . y = 1 3 x + 1 Sume 1 a cada lado . Ambas ecuaciones describen la línea mostrada en la . Escribir ecuaciones lineales con dos puntos Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos (5, 1) y (8, 7). Luego reescríbala en la forma pendiente-intersección. Empecemos por hallar la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 7 - 1 8 − 5 = 6 3 = 2 Así que m = 2. A continuación, sustituimos la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la ecuación general punto-pendiente. Podemos elegir cualquiera de los dos puntos, pero utilizaremos ( 5 , 1 ) . y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 1 = 2 ( x - 5 ) La ecuación punto-pendiente de la línea es y 2 - 1 = 2 ( x 2 – 5 ) . Para reescribir la ecuación en forma de pendiente-intersección, utilizamos el álgebra. y - 1 = 2 ( x - 5 ) y - 1 = 2 x - 10 y = 2 x - 9 La ecuación punto-intersección de la línea es y = 2 x – 9. Ejercicio Escriba la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea que pasa por los puntos ( -1 , 3 ) y ( 0 , 0 ) . Entonces, reescríbala en la forma pendiente-intersección. y - 0 = - 3 ( x - 0 ) ; y = - 3 x Escribir e interpretar una ecuación para una función lineal Ahora que hemos escrito las ecuaciones de las funciones lineales tanto en la forma pendiente-intersección como en la forma punto-pendiente, podemos elegir qué método utilizar en función de la información que nos brinden. Esa información puede proporcionarse en forma de gráfico, un punto y una pendiente, dos puntos, etc. Mire el gráfico de la función f en la . No se nos da la pendiente de la línea, pero podemos elegir dos puntos cualesquiera para determinar la pendiente. Elijamos ( 0 , 7 ) y ( 4 , 4 ) . Podemos utilizar estos puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 4 - 7 4 - 0 = - 3 4 Ahora podemos sustituir la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y - 4 = - 3 4 ( x - 4 ) Si queremos reescribir la ecuación en la forma pendiente-intersección, hallaríamos y - 4 = - 3 4 ( x - 4 ) y - 4 = - 3 4 x + 3 y = - 3 4 x + 7 Si quisiéramos determinar la forma pendiente-intersección sin escribir primero la forma punto-pendiente, podríamos haber reconocido que la línea cruza el eje y cuando el valor de salida es 7. Por lo tanto, b = 7. Ahora tenemos el valor inicial b y la pendiente m por lo que podemos sustituir m y b en la forma pendiente-intersección de una línea. Así que la función es f ( x ) = - 3 4 x + 7 , y la ecuación lineal sería y = - 3 4 x + 7. Cómo Dado el gráfico de una función lineal, escribir una ecuación que represente la función. Identifique dos puntos de la línea. Utilice los dos puntos para calcular la pendiente. Determine dónde la línea cruza el eje y para identificar la intersección en y mediante una inspección visual. Sustituya la pendiente y la intersección en y en la forma pendiente-intersección de una ecuación lineal. Escribir una ecuación para una función lineal Escriba una ecuación para una función lineal dado un gráfico de f , que se muestra en la . Identifique dos puntos en la línea, como ( 0 , 2 ) y ( – 2 , –4 ) . Utilice los puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = – 4 – 2 - 2 - 0 = − 6 - 2 = 3 Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( - 4 ) = 3 ( x - ( – 2 ) ) y + 4 = 3 ( x + 2 ) Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección. y + 4 = 3 ( x + 2 ) y + 4 = 3 x + 6 y = 3 x + 2 Análisis Esto tiene sentido porque podemos ver en la que la línea cruza el eje y en el punto ( 0 , 2 ) , que es la intersección en y , por lo tanto b = 2. Escribir una ecuación para una función de costo lineal Supongamos que Ben crea una empresa en la que incurre en un costo fijo de 1.250 dólares al mes por los gastos generales, que incluyen el alquiler de su oficina. Su costo de producción es de 37,50 dólares por artículo. Escriba una función lineal C donde C ( x ) es el costo de x artículos producidos en un mes determinado. El costo fijo está presente cada mes, 1.250 dólares. El costo variable abarca el costo de producción de cada artículo, que es de 37,50 dólares para Ben. El costo variable, denominado costo marginal, viene representado por 37,5. El costo en el que incurre Ben es la suma de estos dos costos, representados por C ( x ) = 1.250 + 37,5 x . Análisis Si Ben produce 100 artículos en un mes, su costo mensual viene representado por C ( 100 ) = 1.250 + 37,5 ( 100 ) = 5.000 Así que su costo mensual sería de 5.000 dólares. Escribir una ecuación para una función lineal dados dos puntos Si los valores de f es una función lineal, con f ( 3 ) = −2 y f ( 8 ) = 1 , halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección. Podemos escribir los puntos dados mediante el empleo de coordenadas. f ( 3 ) = −2 → ( 3 , –2 ) f ( 8 ) = 1 → ( 8 , 1 ) A continuación, podemos utilizar los puntos para calcular la pendiente. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 1 - ( – 2 ) 8 - 3 = 3 5 Sustituya la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma punto-pendiente. y – y 1 = m ( x – x 1 ) y − ( – 2 ) = 3 5 ( x - 3 ) Podemos utilizar el álgebra para reescribir la ecuación en la forma de pendiente-intersección. y + 2 = 3 5 ( x - 3 ) y + 2 = 3 5 x - 9 5 y = 3 5 x − 19 5 Ejercicio Si los valores de f ( x ) es una función lineal, con f ( 2 ) = – 11 , y f ( 4 ) = − 25 , halle una ecuación para la función en la forma pendiente-intersección. y = - 7 x + 3 Modelar problemas del mundo real con funciones lineales En el mundo real, los problemas no siempre se plantean explícitamente en términos de una función o se representan con un gráfico. Afortunadamente, podemos analizar el problema al representarlo primero como una función lineal y luego interpretar los componentes de la función. Siempre que conozcamos, o podamos averiguar, el valor inicial y la tasa de cambio de una función lineal, podremos resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Cómo Dada una función lineal f y el valor inicial y la tasa de cambio, evaluar f ( c ) . Determine el valor inicial y la tasa de cambio (pendiente). Sustituya los valores en f ( x ) = m x + b . Evalúe la función en x = c . Usar la función lineal para determinar el número de canciones en una colección musical Marcus tiene actualmente 200 canciones en su colección de música. Cada mes añade 15 canciones. Escriba una fórmula para el número de canciones, N , en su colección en función del tiempo, t , el número de meses. ¿Cuántas canciones tendrá en un año? El valor inicial de esta función es 200 porque actualmente posee 200 canciones, por lo que N ( 0 ) = 200 , lo que significa que b = 200. El número de canciones aumenta en 15 al mes, por lo que la tasa de cambio es de 15 canciones al mes. Por lo tanto, sabemos que m = 15. Podemos sustituir el valor inicial y la tasa de cambio en la forma pendiente-intersección de una línea. Podemos escribir la fórmula N ( t ) = 15 t + 200. Con esta fórmula, podemos predecir cuántas canciones tendrá Marcus en 1 año (12 meses). En otras palabras, podemos evaluar la función en t = 12. N ( 12 ) = 15 ( 12 ) + 200 = 180 + 200 = 380 Marcus tendrá 380 canciones en 12 meses. Análisis Observe que N es una función lineal creciente. A medida que aumenta la entrada (el número de meses), también aumenta la salida (el número de canciones). Usar una función lineal para calcular el salario más las comisiones Trabajando como vendedor de seguros, Ilya gana un salario base más una comisión por cada nueva póliza. Por lo tanto, el ingreso semanal de Ilya, I , depende del número de pólizas, n , que vende durante la semana. La semana pasada vendió 3 pólizas y ganó 760 dólares en la semana. La semana anterior, vendió 5 pólizas y ganó 920 dólares. Halle una ecuación para I ( n ) , e interprete el significado de los elementos de la ecuación. La información dada nos da dos pares de entrada-salida ( 3,760 ) y ( 5,920 ) . Empezamos por estimar la tasa de cambio. m = 920 − 760 5 - 3 = 160 dólares 2 pólizas = 80 dólares por cada póliza Llevar la cuenta de las unidades nos permite interpretar esta cantidad. Los ingresos aumentaron en 160 dólares cuando el número de pólizas aumentó en 2, por lo que la tasa de variación es de 80 dólares por cada póliza. Por lo tanto, Ilya gana una comisión de 80 dólares por cada póliza que venda durante la semana. Entonces podemos resolver el valor inicial. I ( n ) = 80 n + b 760 = 80 ( 3 ) + b cuando n n = 3 , I ( 3 ) = 760 760 − 80 ( 3 ) = b 520 = b El valor de b es el valor inicial de la función y representa los ingresos de Ilya cuando n = 0 , o cuando no se vendan nuevas pólizas. Podemos interpretarlo como el salario base de Ilya para la semana, que no depende del número de pólizas vendidas. Ahora podemos escribir la ecuación final. I ( n ) = 80 n + 520 Nuestra interpretación final es que el salario base de Ilya es de 520 dólares semanales y que gana una comisión adicional de 80 dólares por cada póliza que venda. Usar la forma tabular para escribir la ecuación de una función lineal La relaciona el número de ratas de una población con el tiempo, en semanas. Utilice la tabla para escribir la ecuación lineal. w , número de semanas 0 2 4 6 P(w) , número de ratas 1.000 1.080 1.160 1.240 Podemos ver en la tabla que el valor inicial del número de ratas es 1.000, por lo que b = 1.000. En lugar de resolver para m , podemos decir, a partir de la tabla, que la población aumenta en 80 por cada 2 semanas que pasan. Esto significa que la tasa de cambio es de 80 ratas cada 2 semanas, lo que puede simplificarse a 40 ratas por semana. P ( w ) = 40 w + 1.000 Si no nos fijamos en la tasa de cambio de la tabla, aún podemos resolver la pendiente con dos puntos cualesquiera de la tabla. Por ejemplo, al utilizar ( 2 , 1.080 ) y ( 6 , 1.240 ) m = 1.240 − 1.080 6 - 2 = 160 4 = 40 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿El valor inicial se proporciona siempre en una tabla de valores como en la ? No. A veces el valor inicial se proporciona en una tabla de valores, pero otras veces no. Si se ve una entrada de 0, entonces el valor inicial sería la salida correspondiente. Si no se proporciona el valor inicial porque no hay ningún valor de entrada en la tabla igual a 0, halle la pendiente, sustituya un par de coordenadas y la pendiente en f ( x ) = m x + b , y resuelva para b . Ejercicio Se introdujo un nuevo abono en un árbol joven para probar su efecto en la altura. La muestra la altura del árbol en pies, x meses desde que comenzaron las mediciones. Escriba una función lineal, H ( x ) , donde x es el número de meses transcurridos desde el inicio del experimento. x 0 2 4 8 12 H ( x ) 12,5 13,5 14,5 16,5 18,5 H ( x ) = 0,5 x + 12,5 Media Acceda a este recurso en línea para obtener más información y practicar con las funciones lineales. Funciones lineales Ecuaciones clave forma pendiente-intersección de la línea f ( x ) = m x + b pendiente m = cambio en la salida (subida) cambio en la entrada (recorrido) = Δ y Δ x = y 2 - y 1 x 2 - x 1 forma punto-pendiente de una línea y – y 1 = m ( x – x 1 ) Conceptos clave Los pares ordenados y dados por una función lineal representan los puntos en una línea. Las funciones lineales se representan con palabras, en notación de funciones, en forma tabular y en forma gráfica. Vea el . La tasa de cambio de una función lineal también se conoce como la pendiente. Una ecuación en la forma pendiente-intersección de una línea incluye la pendiente y el valor inicial de la función. El valor inicial, o intersección en y , es el valor de salida cuando la entrada de una función lineal es cero. Es el valor de y del punto en el que la línea cruza el eje de y . La función lineal creciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia arriba, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente positiva. La función lineal decreciente da lugar a un gráfico que se inclina hacia abajo, de izquierda a derecha, y tiene una pendiente negativa. La función lineal constante da lugar a un gráfico que es una línea horizontal. El análisis de la pendiente en el contexto de un problema indica si la función lineal es creciente, decreciente o constante. Vea el . La pendiente de una función lineal puede calcularse al dividir la diferencia entre los valores de y entre la diferencia de los correspondientes valores de x de dos puntos cualesquiera de la línea. Vea el y el . La pendiente y el valor inicial se pueden determinar dado un gráfico o dos puntos cualesquiera en la línea. Un tipo de notación de función es la forma pendiente-intersección de una ecuación. La forma punto-pendiente sirve para determinar una ecuación lineal cuando se da la pendiente de una línea y un punto. Vea el . La forma punto-pendiente también es conveniente para hallar una ecuación lineal cuando se dan dos puntos por los que pasa una línea. Vea el . La ecuación de una función lineal se puede escribir si la pendiente m y el valor inicial b son conocidas. Vea el , el , y el . La función lineal puede utilizarse para resolver problemas del mundo real. Vea el y el . La función lineal puede escribirse de forma tabular. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Terry esquía por una colina empinada. La elevación de Terry, E ( t ) , en pies después de que t segundos viene dada por E ( t ) = 3.000 − 70 t . Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de Terry y cómo cambia con el tiempo. Terry comienza a una elevación de 3.000 pies y desciende 70 pies por segundo. María escala una montaña. La elevación de María, E ( t ) , en pies después de que t minutos viene dada por E ( t ) = 1.200 + 40 t . Escriba una frase completa que describa la elevación inicial de María y cómo va cambiando con el tiempo. Jessica se dirige caminando a su casa desde la casa de un amigo. Después de 2 minutos está a 1,4 millas de su casa. Doce minutos después de salir, está a 0,9 millas de su casa. ¿Cuál es su velocidad en millas por hora? 3 millas por hora Sonya se encuentra actualmente a 10 millas de su casa y se aleja caminando a 2 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que le separa de su casa en t horas a partir de ahora. Un barco está a 100 millas de la marina y navega directamente hacia esta a 10 millas por hora. Escriba una ecuación para la distancia que separa el barco de la marina después de t horas. d ( t ) = 100 − 10 t Timmy va a la feria con 40 dólares. Cada atracción cuesta 2 dólares. ¿Cuánto dinero le quedará después de n atracciones? Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación de la curva puede escribirse como una función lineal. y = 1 4 x + 6 Sí. y = 3 x - 5 y = 3 x 2 - 2 No. 3 x + 5 y = 15 3 x 2 + 5 y = 15 No. 3 x + 5 y 2 = 15 - 2 x 2 + 3 y 2 = 6 No. - x - 3 5 = 2 y En los siguientes ejercicios, determine si cada función es creciente o decreciente. f ( x ) = 4 x + 3 Creciente. g ( x ) = 5 x + 6 a ( x ) = 5 - 2 x Decreciente. b ( x ) = 8 - 3 x h ( x ) = - 2 x + 4 Decreciente. k ( x ) = – 4 x + 1 j ( x ) = 1 2 x - 3 Creciente. p ( x ) = 1 4 x - 5 n ( x ) = - 1 3 x - 2 Decreciente. m ( x ) = - 3 8 x + 3 En los siguientes ejercicios, calcule la pendiente de la línea que pasa por los dos puntos dados. ( 2 , 4 ) y ( 4 , 10 ) 3 ( 1 , 5 ) y ( 4 , 11 ) ( –1 , 4 ) y ( 5 , 2 ) - 1 3 ( 8 , –2 ) y ( 4 , 6 ) ( 6 , 11 ) y ( - 4 , 3 ) 4 5 En los siguientes ejercicios, dado cada conjunto de información, halle una ecuación lineal que satisfaga las condiciones, si es posible. f ( - 5 ) = – 4 , y f ( 5 ) = 2 f ( –1 ) = 4 y f ( 5 ) = 1 f ( x ) = - 1 2 x + 7 2 ( 2 , 4 ) y ( 4 , 10 ) Pasa por ( 1 , 5 ) y ( 4 , 11 ) y = 2 x + 3 Pasa por ( - 1 , 4 ) y ( 5 , 2 ) Pasa por ( – 2 , 8 ) y ( 4 , 6 ) y = - 1 3 x + 22 3 intersección x en ( – 2 , 0 ) y la intersección y en ( 0 , −3 ) intersección x en ( - 5 , 0 ) y la intersección y en ( 0 , 4 ) y = 4 5 x + 4 Gráficos En los siguientes ejercicios, halle la pendiente de las líneas graficadas. - 5 4 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación para las líneas graficadas. y = 2 3 x + 1 y = - 2 x + 3 y = 3 Numéricos En los siguientes ejercicios, ¿cuál de las tablas podría representar una función lineal? Para cada uno de los que podrían ser lineales, halle una ecuación lineal que modele los datos. x 0 5 10 15 g ( x ) 5 -10 -25 –40 Lineal, g ( x ) = - 3 x + 5 x 0 5 10 15 h ( x ) 5 30 105 230 x 0 5 10 15 f ( x ) –5 20 45 70 Lineal, f ( x ) = 5 x - 5 x 5 10 20 25 k ( x ) 13 28 58 73 x 0 2 4 6 g ( x ) 6 -19 –44 -69 Lineal, g ( x ) = − 25 2 x + 6 x 2 4 6 8 f ( x ) -4 16 36 56 x 2 4 6 8 f ( x ) -4 16 36 56 Lineal, f ( x ) = 10 x − 24 x 0 2 6 8 k ( x ) 6 31 106 231 En tecnología Si los valores de f es una función lineal, f ( 0,1 ) = 11,5 , y f ( 0,4 ) = – 5,9 , hallar una ecuación para la función. f ( x ) = − 58 x + 17,3 Grafique la función f en un dominio de [ – 10 , 10 ] : f ( x ) = 0,02 x − 0,01. Introduzca la función en una herramienta gráfica. Para la ventana de visualización, establezca el valor mínimo de x para que sea − 10 y el valor máximo de x para que sea 10. Grafique la función f en un dominio de [ – 10 , 10 ] : f x ) = 2 , 500 x + 4 , 000 La muestra la entrada, w , y la salida, k , para una función lineal k . a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal k , redondee a 3 decimales. w -10 5,5 67,5 b k 30 -26 a –44 La muestra la entrada, p , y la salida, q , para una función lineal q . a. Rellene los valores que faltan en la tabla. b. Escriba la función lineal k . p 0,5 0,8 12 b q 400 700 a 1.000.000 a. a = 11 , 900 ; b = 1.000,1 b. q ( p ) = 1.000 p − 100 Represente gráficamente la función lineal f en un dominio de [ − 10 , 10 ] para la función cuya pendiente es 1 8 y la intersección en y es 31 16 . Marque los puntos para los valores de entrada de − 10 y 10. Represente gráficamente la función lineal f en un dominio de [ − 0,1 , 0,1 ] para la función cuya pendiente es 75 y la intersección en y es − 22,5 . Marque los puntos para los valores de entrada de − 0,1 y 0,1. Represente gráficamente la función lineal f donde f ( x ) = a x + b en el mismo conjunto de ejes en un dominio de [ − 4 , 4 ] para los siguientes valores de a y b . a = 2 ; b = 3 a = 2 ;  b = 4 a = 2 ; b = – 4 a = 2 ; b = – 5 Extensiones Calcule el valor de x si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: ( x , 2 ) , ( - 4 , 6 ) , m = 3 x = - 16 3 Calcule el valor de y si una función lineal pasa por los siguientes puntos y tiene la siguiente pendiente: ( 10 , y ) , ( 25 , 100 ) , m = - 5 Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( a , b ) y ( a , b + 1 ) x = a Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( 2 a , b ) y ( a , b + 1 ) Halle la ecuación de la línea que pasa por los siguientes puntos: ( a , 0 ) y ( c , d ) y = d c - a x – a d c - a Aplicaciones en el mundo real A mediodía, una camarera se da cuenta de que tienen 20 dólares en el tarro de las propinas. Si la camarera gana un promedio de 0,50 dólares de cada cliente, ¿cuánto tendrán en su tarro de propinas si atiende a n más clientes durante su turno? La suscripción al gimnasio con dos sesiones de entrenamiento personal cuesta 125 dólares, comparado con 260 dólares por cinco sesiones. ¿Cuál es el costo por sesión? 45 dólares por cada sesión de entrenamiento. Una empresa de confección descubre que existe una relación lineal entre el número de camisas, n , que puede vender y el precio, p , que puede cobrar por cada una. En concreto, los datos históricos muestran que se pueden vender 1.000 camisas a un precio de 30 dólares, mientras que 3.000 camisas pueden venderse a un precio de 22 dólares. Halle una ecuación lineal de la forma p ( n ) = m n + b que da el precio p que se puede cobrar por n camisas. Una compañía telefónica cobra el servicio según la fórmula C ( n ) = 24 + 0,1 n , donde n es el número de minutos de conversación telefónica, y C ( n ) es la tarifa mensual, en dólares. Halle e interprete la tasa de cambio y el valor inicial. La tasa de cambio es de 0,1. Por cada minuto adicional de conversación telefónica, la tarifa mensual aumenta en 0,1 dólares o 10 céntimos. El valor inicial es 24. Cuando no hay minutos de conversación telefónica, inicialmente el cargo es de 24 dólares. Un agricultor descubre que existe una relación lineal entre el número de tallos de judías, n , que planta y el rendimiento, y , que produce cada planta. Cuando siembra 30 tallos, cada planta produce 30 onzas de judías. Cuando siembra 34 tallos, cada planta produce 28 onzas de judías. Halle una relación lineal de la forma y = m n + b que da el rendimiento cuando se siembran n tallos. La población de una ciudad en el año 1960 era de 287.500 habitantes. En 1989 la población era de 275.900 habitantes. Calcule la tasa de crecimiento demográfico y formule un enunciado acerca de la tasa de cambio de la población en habitantes por año. La pendiente es − 400. Esto significa que, por cada año entre 1960 y 1989, la población disminuyó en 400 habitantes por año en la ciudad. La población de una ciudad ha crecido linealmente. En 2003, la población era de 45.000 habitantes, y ha ido creciendo en 1.700 habitantes cada año. Escriba una ecuación, P ( t ) , para la población t años después de 2003. Supongamos que el promedio de renta anual (en dólares) de los años 1990 a 1999 viene dado por la función lineal I ( x ) = 1054 x + 23 , 286 , donde x es el número de años posteriores a 1990. ¿Cuál de las siguientes opciones interpreta la pendiente en el contexto del problema? En 1990, el promedio de renta anual era de 23.286 dólares. En el periodo de diez años comprendido entre 1990 y 1999, el promedio de renta anual aumentó un total de 1.054 dólares. Cada año de la década de los 90, el promedio de renta anual aumentó en 1.054 dólares. El promedio de renta anual aumentó hasta un nivel de 23.286 dólares a finales de 1999. c. Cuando la temperatura es de 0 grados Celsius, la temperatura Fahrenheit es de 32. Cuando la temperatura Celsius es 100, la temperatura Fahrenheit correspondiente es 212. Exprese la temperatura Fahrenheit como una función lineal de C , la temperatura Celsius, F ( C ) . Calcule la tasa de cambio de temperatura Fahrenheit para cada unidad de cambio de temperatura Celsius. Halle e interprete F ( 28 ) . Halle e interprete F ( –40 ) . función lineal decreciente función con pendiente negativa: Si los valores de f ( x ) = m x + b , entonces m < 0, función lineal creciente función con pendiente positiva: Si los valores de f ( x ) = m x + b , entonces m > 0, función lineal una función con una tasa de cambio constante que es un polinomio de grado 1, y cuyo gráfico es una línea recta forma punto-pendiente la ecuación de una línea que representa una función lineal de la forma y – y 1 = m ( x – x 1 ) pendiente el cociente entre el cambio en los valores de salida y el cambio en los valores de entrada; una medida de la inclinación de una línea forma de pendiente-intersección la ecuación de una recta que representa una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b intersección en y el valor de una función cuando el valor de entrada es cero; también conocido como valor inicial

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