Distribución de Poisson Hay dos características principales de un experimento de Poisson. La distribución de probabilidad de Poisson da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio si estos eventos se producen con una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. Por ejemplo, un editor de libros podría estar interesado en el número de palabras escritas incorrectamente en un libro en particular. Puede ser que, en promedio, haya cinco palabras mal escritas en 100 páginas. El intervalo son las 100 páginas. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial si la probabilidad de éxito es "pequeña" (del orden de 0,01) y el número de intentos es "grande" (del orden de 1000). Comprobará la relación en los ejercicios de los deberes. n es el número de intentos, y p es la probabilidad de un “acierto". La variable aleatoria X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. El número promedio de panes colocados en un estante de una panadería en un periodo de media hora es de 12. Es interesante el número de panes que se ponen en la estantería en cinco minutos. El intervalo de tiempo de interés es de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de panes, seleccionados al azar, puestos en la estantería en cinco minutos sea tres? Supongamos que X = el número de barras de pan puestas en la estantería en cinco minutos. Si el número promedio de panes colocados en el estante en 30 minutos (media hora) es 12, entonces el número promedio de panes colocados en el estante en cinco minutos es ( 5 30 ) (12) = 2 panes. La pregunta de probabilidad le pide que halle P ( x = 3). Ejercicio El número promedio de peces capturados en una hora es de ocho. Es interesante el número de peces capturados en 15 minutos. El intervalo de tiempo de interés es de 15 minutos. ¿Cuál es el número promedio de peces capturados en 15 minutos? Un banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba menos de cinco cheques sin fondos en un día determinado? El interés es el número de cheques que el banco recibe en un día, por lo que el intervalo de tiempo del interés es un día. Supongamos que X = el número de cheques sin fondos que recibe el banco en un día. Si el banco espera recibir seis cheques sin fondos al día, el promedio es de seis cheques al día. Escriba un enunciado matemático para la pregunta de probabilidad. P ( x < 5) Ejercicio Una tienda de electrónica espera tener un promedio de diez devoluciones al día. El administrador quiere saber la probabilidad de que la tienda reciba menos de ocho devoluciones en un día determinado. Plantee la pregunta de la probabilidad de forma matemática. Se da cuenta de que un reportero de noticias dice “uh”, en promedio, dos veces por emisión. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista diga “uh” más de dos veces por emisión? Se trata de un problema de Poisson porque le interesa saber el número de veces que el reportero de las noticias dice “uh” durante una emisión. a. ¿Cuál es el intervalo de interés? b. ¿Cuál es el número promedio de veces que el reportero de noticias dice “uh” durante una emisión? c. Supongamos que X = ____________. ¿Qué valores toma X ? d. La pregunta de probabilidad es P (______). a. una emisión b. 2 c. Supongamos que X = el número de veces que el reportero de noticias dice “eh" durante una emisión. x = 0, 1, 2, 3, ... d. P ( x > 2) Ejercicio La sala de urgencias de un determinado hospital recibe un promedio de cinco pacientes por hora. Un médico quiere saber la probabilidad de que Urgencias reciba más de cinco pacientes por hora. Indique la razón por la que se trata de una distribución de Poisson. Notación para el Poisson: P = Función de distribución de probabilidad de Poisson X ~ P ( μ ) Se lee como “ X es una variable aleatoria con una distribución de Poisson”. El parámetro es μ (o λ ); μ (o λ ) = la media del intervalo de interés. La desviación típica de la distribución de Poisson con media µ es Σ =√ μ El contestador automático de Leah recibe unas seis llamadas telefónicas entre las 8 y las 10 a. m. ¿Cuál es la probabilidad de que Leah reciba más de una llamada durante los próximos 15 minutos? Supongamos que X = el número de llamadas que recibe Leah durante 15 minutos (el intervalo de interés es de 15 minutos o 1 4 hora) x = 0, 1, 2, 3, ... Si Leah recibe, en promedio, seis llamadas telefónicas en dos horas, y hay ocho intervalos de 15 minutos en dos horas, entonces Leah recibe ( 1 8 ) (6) = 0,75 llamadas durante 15 minutos, en promedio. Por tanto, μ = 0,75 para este problema. X ~ P (0,75) Calcule P ( x > 1). P ( x > 1) = 0,1734 (calculadora o computadora) Pulse 1 y luego pulse 2. º DISTR. Pulse la flecha hacia abajo y seleccione poissoncdf. Pulse ENTER. Introduzca (0,75,1). El resultado es P ( x > 1) = 0,1734. Nota Las calculadoras de TI utilizan λ (lambda) para la media. La probabilidad de que Leah reciba más de una llamada telefónica en los próximos 15 minutos es de 0,1734: P ( x > 1) = 1 - poissoncdf(0,75, 1). El gráfico de X ~ P (0,75) es: El eje y contiene la probabilidad de x , donde X = el número de llamadas durante 15 minutos. Ejercicio Un centro de atención al cliente recibe unos diez correos electrónicos cada media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que el centro de atención al cliente reciba más de cuatro correos electrónicos en los próximos seis minutos? Utilice la calculadora TI-83+ o TI-84 para hallar la respuesta. Según Baydin, una compañía de gestión de correo electrónico, un usuario de correo electrónico recibe, en promedio, 147 correos electrónicos al día. Supongamos que X = el número de correos electrónicos que recibe un usuario por día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (147). La media es de 147 correos electrónicos. ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba exactamente 160 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de correo electrónico reciba como máximo 160 correos electrónicos al día? ¿Cuál es la desviación típica? P ( x = 160) = poissonpdf(147, 160) ≈ 0,0180 P ( x ≤ 160) = poissoncdf(147, 160) ≈ 0,8666 Desviación típica = σ = μ = 147 ≈ 12,1244 Ejercicio Según una encuesta reciente del Pew Internet Project, las chicas de entre 14 y 17 años envían un promedio de 187 mensajes de texto al día. Supongamos que X = el número de mensajes de texto que una chica de 14 a 17 años envía al día. La variable aleatoria discreta X toma los valores x = 0, 1, 2 ... La variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson: X ~ P (187). La media es de 187 mensajes de texto. ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe exactamente 175 mensajes de texto al día? ¿Cuál es la probabilidad de que una adolescente envíe como máximo 150 mensajes de texto al día? ¿Cuál es la desviación típica? Los usuarios de mensajes de texto reciben o envían un promedio de 41,5 mensajes de texto al día. ¿Cuántos mensajes de texto recibe o envía un usuario por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe dos mensajes por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que un usuario de mensajes de texto reciba o envíe más de dos mensajes por hora? Supongamos que X = el número de mensajes de texto que un usuario envía o recibe en una hora. El número promedio de mensajes de texto recibidos por hora es 41,5 24 ≈ 1,7292. X ~ P (1,7292), por lo que P ( x = 2) = poissonpdf(1,7292, 2) ≈ 0,2653 P ( x > 2) = 1 – P ( x ≤ 2) = 1 – poissoncdf(1,7292, 2) ≈ 1 - 0,7495 = 0,2505 Ejercicio El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más concurrido del mundo. En promedio, cada día hay 2.500 llegadas y salidas. ¿Cuántos aviones llegan y salen del aeropuerto por hora? ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 100 llegadas y salidas en una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que haya como máximo 100 llegadas y salidas en una hora? El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó que la probabilidad de actividad sísmica baja para las próximas 48 horas en Alaska era de 1,02 % aproximadamente. Utilice esta información para los próximos 200 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en diez de los próximos 200 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Supongamos que X = el número de días con actividad sísmica baja. Mediante la distribución binomial: P ( x = 10) = binompdf(200, 0,0102, 10) ≈ 0,000039 Mediante la distribución de Poisson: Calcule μ = np = 200(0,0102) ≈ 2,04 P ( x = 10) = poissonpdf(2,04, 10) ≈ 0,000045 Esperamos que la aproximación sea buena porque n es grande (más de 20) y p es pequeño (menos de 0,05). Los resultados son muy parecidos: ambas probabilidades son casi 0. Ejercicio El 13 de mayo de 2013, a partir de las 4:30 p. m., se informó de que la probabilidad de actividad sísmica moderada para las próximas 48 horas en las islas Kuriles, frente a la costa de Japón, era de alrededor del 1,43 %. Utilice esta información para los próximos 100 días para hallar la probabilidad de que haya una actividad sísmica baja en cinco de los próximos 100 días. Utilice las distribuciones binomial y de Poisson para calcular las probabilidades. ¿Están cerca? Referencias “ATL Fact Sheet,” Department of Aviation at the Hartsfield-Jackson Atlanta International Airport, 2013. Disponible en línea en http://www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (consultado el 18 de febrero de 2019). Center for Disease Control and Prevention. “Teen Drivers: Fact Sheet,” Injury Prevention & Control: Motor Vehicle Safety, 2 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafety/Teen_Drivers/teendrivers_factsheet.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Children and Childrearing,” Ministry of Health, Labour, and Welfare. Disponible en línea en http://www.mhlw.go.jp/english/policy/children/children-childrearing/index.html (consultado el 15 de mayo de 2013). “Eating Disorder Statistics,” South Carolina Department of Mental Health, 2006. Disponible en línea en http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (consultado el 15 de mayo de 2013). “Giving Birth in Manila: The maternity ward at the Dr Jose Fabella Memorial Hospital in Manila, the busiest in the Philippines, where there is an average of 60 births a day”, theguardian, 2013. Disponible en línea en http://www.theguardian.com/world/gallery/2011/jun/08/philippines-health#/?picture=375471900&index=2 (consultado el 15 de mayo de 2013). “How Americans Use Text Messaging,” Pew Internet, 2013. Disponible en línea en http://pewinternet.org/Reports/2011/Cell-Phone-Texting-2011/Main-Report.aspx (consultado el 15 de mayo de 2013). Lenhart, Amanda. “Teens, Smartphones & Testing: Texting volum is up while the frequency of voice calling is down. About one in four teens say they own smartphones,” Pew Internet, 2012. Disponible en línea en http://www.pewinternet.org/~/media/Files/Reports/2012/PIP_Teens_Smartphones_and_Texting.pdf (consultado el 15 de mayo de 2013). “One born every minute: the maternity unit where mothers are THREE to a bed”, MailOnline. Disponible en línea en http://www.dailymail.co.uk/news/article-2001422/Busiest-maternity-ward-planet-averages-60-babies-day-mothers-bed.html (consultado el 15 de mayo de 2013). Vanderkam, Laura. “Stop Checking Your Email, Now”. CNNMoney, 2013. Disponible en línea en http://management.fortune.cnn.com/2012/10/08/stop-checking-your-email-now/ (consultado el 15 de mayo de 2013). “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. http://www.world-earthquakes.com/index.php?option=ethq_prediction (consultado el 15 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Una distribución de probabilidad de Poisson de una variable aleatoria discreta da la probabilidad de que se produzca un número de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio, si estos eventos se producen a una tasa promedio conocida y con independencia del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución de Poisson puede utilizarse para aproximarse a la binomial, si la probabilidad de éxito es "pequeña" (menor o igual a 0,05) y el número de intentos es "grande" (mayor o igual a 20). Revisión de la fórmula X ~ P ( μ ) significa que X tiene una distribución de probabilidad de Poisson donde X = el número de ocurrencias en el intervalo de interés. X toma los valores x = 0, 1, 2, 3, ... La media μ normalmente está dada. La varianza es σ 2 = μ , y la desviación típica es σ = μ . Cuando se utiliza P ( μ ) para aproximar una distribución binomial, μ = np donde n representa el número de ensayos independientes y p representa la probabilidad de aciertos en un solo ensayo. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en promedio, una tienda de ropa recibe 120 clientes al día. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X . ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, … ¿Cuál es la probabilidad de recibir 150 clientes en un día? ¿Cuál es la probabilidad de recibir 35 clientes en las primeras cuatro horas? Supongamos que la tienda está abierta 12 horas al día. 0,0485 ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba más de 12 clientes en la primera hora? ¿Cuál es la probabilidad de que la tienda reciba menos de 12 clientes en las dos primeras horas? 0,0214 ¿Qué tipo de distribución se puede utilizar para aproximar el modelo de Poisson? ¿Cuándo lo haría? Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: en EE. UU. mueren un promedio de ocho adolescentes al día por accidentes de tráfico. Como consecuencia, los estados de todo el país están debatiendo el aumento de la edad para conducir. Supongamos que el evento se produce de forma independiente en un día determinado. Defina la variable aleatoria X en palabras. X = el número de adolescentes estadounidenses que mueren por lesiones en vehículos de motor al día. X ~ _____(_____,_____) ¿Qué valores toma X ? 0, 1, 2, 3, 4, ... Para los valores dados de la variable aleatoria X , rellene las probabilidades correspondientes. ¿Es probable que no haya ningún adolescente muerto por accidente de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. No ¿Es probable que haya más de 20 adolescentes muertos por accidentes de tráfico en un día determinado en EE. UU.? Justifique su respuesta numéricamente. TAREA PARA LA CASA La central de llamadas de un despacho de abogados de Minneapolis recibe un promedio de 5,5 llamadas telefónicas durante el mediodía de los lunes. La experiencia demuestra que el personal actual puede atender hasta seis llamadas en una hora. Supongamos que X = el número de llamadas recibidas a mediodía. Calcule la media y la desviación típica de X . ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba como máximo seis llamadas el lunes a mediodía? Calcule la probabilidad de que el despacho de abogados reciba seis llamadas a mediodía. ¿Qué significa esto para el personal del despacho de abogados que recibe, en promedio, 5,5 llamadas telefónicas al mediodía? ¿Cuál es la probabilidad de que el despacho reciba más de ocho llamadas al mediodía? X ~ P (5,5); μ = 5,5; σ = 5,5 ≈ 2,3452 P ( x ≤ 6) = poissoncdf(5,5, 6) ≈ 0,6860 Hay un 15,7 % de probabilidad de que el personal jurídico reciba más llamadas de las que puede atender. P ( x > 8) = 1 – P ( x ≤ 8) = 1 – poissoncdf(5,5, 8) ≈ 1 - 0,8944 = 0,1056 La maternidad del Dr. José Fabella Memorial Hospital de Manila, Filipinas es una de las más concurridas del mundo, con un promedio de 60 nacimientos diarios. Supongamos que X = el número de nacimientos en una hora. Calcule la media y la desviación típica de X . Dibuje un gráfico de la distribución de probabilidad de X . ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan como máximo tres bebés durante una hora? ¿Cuál es la probabilidad de que en la maternidad nazcan más de cinco bebés durante una hora? Un fabricante de bombillas para árboles de navidad sabe que el 3 % de sus bombillas son defectuosas. Calcule la probabilidad de que una cadena de 100 luces contenga como máximo cuatro bombillas defectuosas mediante las distribuciones binomial y de Poisson. Supongamos que X = el número de bombillas defectuosas en una cadena. Mediante la distribución de Poisson: μ = np = 100(0,03) = 3 X ~ P (3) P ( x ≤ 4) = poissoncdf(3, 4) ≈ 0,8153 Mediante la distribución binomial: X ~ B (100, 0,03) P ( x ≤ 4) = binomcdf(100, 0,03, 4) ≈ 0,8179 La aproximación de Poisson es muy buena: la diferencia entre las probabilidades es de solo 0,0026. El número promedio de hijos que tiene una japonesa a lo largo de su vida es de 1,37. Supongamos que se elige una japonesa al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de japonesas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de japonesas. El promedio de hijos que tiene una española a lo largo de su vida es de 1,47. Supongamos que se elige al azar una española. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que no tenga hijos. Calcule la probabilidad de que tenga menos hijos que el promedio de españolas. Calcule la probabilidad de que tenga más hijos que el promedio de españolas. X = el número de hijos de una española 0, 1, 2, 3,... X ~ P (1,47) 0,2299 0,5679 0,4321 Las gatas fértiles producen un promedio de tres camadas al año. Supongamos que se elige al azar una gata fértil. En un año, halla la probabilidad de que produzca: Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Demuestre la distribución de X . X ~ _______ Calcule la probabilidad de que no tenga camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga, al menos, dos camadas en un año. Calcule la probabilidad de que tenga exactamente tres camadas en un año. La probabilidad de tener suerte adicional debido a una galleta de la fortuna es de un 3 % aproximadamente. Dada una bolsa de 144 galletas de la fortuna, nos interesa saber el número de galletas con suerte adicional. Se pueden utilizar dos distribuciones para resolver este problema, pero solo use una. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas galletas esperamos que tengan suerte adicional? Calcule la probabilidad de que ninguna de las galletas tenga suerte adicional. Calcule la probabilidad de que más de tres tengan suerte adicional. A medida que aumenta n , ¿qué ocurre con las probabilidades si usa las dos distribuciones? Explique con oraciones completas. X = el número de galletas de la fortuna que tienen suerte adicional 0, 1, 2, 3,... 144 X ~ B (144, 0,03) o P (4,32) 4,32 0,0124 o 0,0133 0,6300 o 0,6264 A medida que n aumenta, las probabilidades se acercan. Según el sitio web del Departamento de Salud Mental de Carolina del Sur, por cada 200 mujeres de EE. UU., en promedio, una padece anorexia. De un grupo de 600 mujeres de EE. UU. elegidas al azar, determine lo siguiente. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Dada la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántas se espera que sufran anorexia? Calcule la probabilidad de que ninguna sufra anorexia. Calcule la probabilidad de que más de cuatro sufran anorexia. La posibilidad de una auditoría del Servicio de Impuestos Internos (Internal Revenue Service, IRS) para una declaración de impuestos con más de 25.000 dólares de ingresos es de alrededor del 2 % al año. Supongamos que se eligen al azar 100 personas con declaraciones de impuestos superiores a 25.000 dólares. Nos interesa el número de personas auditadas en un año. Use una distribución de Poisson para responder las siguientes preguntas. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos se espera que se hayan auditado? Calcule la probabilidad de que nadie haya sido auditado. Calcule la probabilidad de que, al menos, tres hayan sido auditados. X = número de personas auditadas en un año 0, 1, 2, ..., 100 X ~ P (2) 2 0,1353 0,3233 Aproximadamente el 8 % de los estudiantes de una escuela secundaria local participan en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Se elige al azar un grupo de 60 estudiantes de último año. Nos interesa el número de los que participaron en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) ¿Cuántos estudiantes de último año se espera que hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Basándose en los valores numéricos, ¿le sorprendería que ninguno de los estudiantes del último año participara en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. Basándose en los valores numéricos, ¿es más probable que cuatro o que cinco de los estudiantes del último año hayan participado en deportes extraescolares durante los cuatro años de escuela secundaria? Justifique su respuesta numéricamente. En promedio, Pierre, cocinero aficionado, deja caer tres trozos de cáscara de huevo en cada dos mezclas de pastel que hace. Supongamos que usted compra uno de sus pasteles. Defina la variable aleatoria X en palabras. Enumere los valores que puede tomar X . Describa la distribución de X . X ~ _____(_____,_____) En promedio, ¿cuántos trozos de cáscara de huevo espera que haya en el pastel? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún trozo de cáscara de huevo en el pastel? Supongamos que compra uno de los pasteles de Pierre cada semana durante seis semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna cáscara de huevo en ninguno de los pasteles? Basándose en el promedio dado por Pierre, ¿es posible que haya siete trozos de cáscara en el pastel? ¿Por qué? X = el número de trozos de cáscara en un pastel 0, 1, 2, 3,... X ~ P (1,5) 1,5 0,2231 0,0001 Sí Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: los gatos de la señora Plum la despiertan por la noche porque quieren jugar un promedio de diez veces a la semana. Nos interesa saber el número de veces que sus gatos la despiertan cada semana. En palabras, la variable aleatoria X = _________________ el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada semana. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada hora. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan cada noche. el número de veces que los gatos de la Sra. Plum la despiertan. Calcule la probabilidad de que sus gatos la despierten no más de cinco veces la próxima semana. 0,5000 0,9329 0,0378 0,0671 d Distribución de probabilidad de Poisson una variable aleatoria (RV) discreta que cuenta el número de veces que se producirá un determinado evento en un intervalo específico; características de la variable La probabilidad de que el evento ocurra en un intervalo determinado es la misma para todos los intervalos. Los eventos ocurren con una media conocida e independientemente del tiempo transcurrido desde el último evento. La distribución está definida por la media μ del evento en el intervalo. Notación: X ~ P ( μ ). La media es μ = np . La desviación típica es σ = μ . La probabilidad de tener exactamente x aciertos en r intentos es P ( X = x ) = ( e – μ ) μ x x ! . La distribución de Poisson se utiliza a menudo para aproximar la distribución binomial, cuando n es "grande" y p es "pequeña" (una regla general es que n debe ser mayor o igual a 20 y p debe ser menor o igual a 0,05).

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Distribución discreta (experimento con cartas) Distribución discreta (experimento con cartas) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si un experimento cotidiano se ajusta a una distribución discreta. El estudiante comparará la simulación generada por la tecnología y una distribución teórica. El estudiante demostrará que comprende las probabilidades a largo plazo. Suministros Una baraja completa de cartas Una calculadora de programación Procedimiento El procedimiento experimental para los datos empíricos consiste en elegir una carta de una baraja. La probabilidad teórica de escoger un diamante de una baraja es _________. Baraje un mazo de cartas. Elija una carta. Anote si era o no un diamante. Vuelva a poner la carta en su sitio y baraje de nuevo. Haga esto un total de diez veces. Anote el número de diamantes extraídos. Supongamos que X = número de diamantes. Teóricamente, X ~ B (_____,_____) Organice los datos Registre el número de diamantes extraídos para su clase con las cartas en la . A continuación, calcule la frecuencia relativa. x Frecuencia Frecuencia relativa 0 __________ __________ 1 __________ __________ 2 __________ __________ 3 __________ __________ 4 __________ __________ 5 __________ __________ 6 __________ __________ 7 __________ __________ 8 __________ __________ 9 __________ __________ 10 __________ __________ Calcule lo siguiente: x ¯ = ________ s = ________ Construya un histograma de los datos empíricos. Distribución teórica Construya el gráfico PDF teórico basado en la distribución de la sección Procedimiento . x P ( x ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Calcule lo siguiente: μ = ____________ σ = ____________ Construya un histograma de la distribución teórica. Uso de los datos NOTA RF = frecuencia relativa (relative frequency, RF) Utilice la tabla de la sección Distribución teórica para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales. P ( x = 3) = _______________________ P (1 < x < 4) = _______________________ P ( x ≥ 8) = _______________________ Utilice los datos de la sección Organizar los datos para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales RF ( x = 3) = _______________________ RF (1 < x < 4) = _______________________ RF ( x ≥ 8) = _______________________ Preguntas para el debate Para las preguntas 1 y 2, piense en las formas de los dos gráficos, las probabilidades, las frecuencias relativas, las medias y las desviaciones típicas. Sabiendo que los datos varían, describa tres similitudes entre los gráficos y las distribuciones teóricas, empíricas y de simulación. Utilice oraciones completas. Describa las tres diferencias más significativas entre los gráficos o las distribuciones teórica, empírica y de simulación. Utilizando sus respuestas a las preguntas 1 y 2, ¿le parece que los dos conjuntos de datos se ajustan a la distribución teórica? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. Supongamos que el experimento se ha repetido 500 veces. ¿Espera que la o la cambien, y cómo lo harían? ¿Por qué? ¿Por qué no cambiarían la(s) otra(s) tabla(s)?

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Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte) Distribución discreta (experimento de los dados de la suerte) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si un juego de azar Tet se ajusta a una distribución discreta. El estudiante demostrará que comprende las probabilidades a largo plazo. Suministros un juego de “Dados de la Suerte” o tres dados normales Procedimiento Redondee las respuestas a los problemas de frecuencia relativa y probabilidad con cuatro decimales. El procedimiento experimental consiste en apostar por un objeto. A continuación, lance los tres Dados de la Suerte y cuente el número de aciertos. Según el número de aciertos se decidirá su ganancia. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que un dado coincida con el objeto? Elija un objeto para hacer una apuesta. Lance los tres dados de la suerte. Cuente el número de coincidencias. Supongamos que X = número de aciertos. Teóricamente, X ~ B (______,______) Supongamos que Y = ganancia por juego. Organice los datos En la , rellene el valor de y que corresponde a cada valor de x . A continuación, anote el número de juegos elegidos para su clase. A continuación, calcule la frecuencia relativa. Rellene la tabla. x y Frecuencia Frecuencia relativa 0 1 2 3 Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s x = ________ y ¯ = _______ s y = _______ Explique qué representa la x ¯ . Explique qué representa la y ¯ . Con base en el experimento, ¿Cuál fue la ganancia promedio por juego? ¿Representa esto una promedio de victorias o derrotas por juego? ¿Cómo lo sabe? Responda con oraciones completas. Construya un histograma de los datos empíricos. Distribución teórica Construya el gráfico de la PDF teórica para x y “y” basándose en la distribución de la sección Procedimiento . x y P ( x ) = P ( y ) 0 1 2 3 Calcule lo siguiente: μ x = _______ σ x = _______ μ x = _______ Explique lo que μ x representa. Explique lo que μ y representa. Con base en la teoría, ¿Cuál era la ganancia esperada por juego? ¿La ganancia esperada representó un promedio de juegos que ganó o perdió? ¿Cómo lo sabe? Responda con oraciones completas. Construya un histograma de la distribución teórica. Utilizar los datos Nota RF = frecuencia relativa (relative frequency, RF) Utilice los datos de la sección Distribución teórica para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales P ( x = 3) = _________________ P (0 < x < 3) = _________________ P ( x ≥ 2) = _________________ Utilice los datos de la sección Organizar los datos para calcular las siguientes respuestas. Redondee sus respuestas a cuatro decimales. RF (x = 3) = _________________ RF (0 < x < 3) = _________________ RF ( x ≥ 2) = _________________ Pregunta de debate Para las preguntas 1 y 2, considere los gráficos, las probabilidades, las frecuencias relativas, las medias y las desviaciones típicas. Sabiendo como los datos varían, describa tres similitudes entre los gráficos de las distribuciones teóricas y empíricas. Utilice oraciones completas. Describa las tres diferencias más significativas entre los gráficos de las distribuciones teóricas y empíricas. Pensando en sus respuestas a las preguntas 1 y 2, ¿parece que los datos se ajustan a la distribución teórica? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. Supongamos que el experimento se ha repetido 500 veces. ¿Espera que la o la cambien, y cómo lo harían? ¿Por qué? ¿Por qué la otra mesa no cambiaría?

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Introducción Las alturas de estas plantas de rábano son variables aleatorias continuas. (créditos: Rev Stan). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y comprender las funciones de densidad de probabilidad continuas en general. Reconocer la distribución de probabilidad uniforme y aplicarla adecuadamente. Reconocer la distribución de probabilidad exponencial y aplicarla adecuadamente. Las variables aleatorias continuas tienen muchas aplicaciones. Los promedios de bateo en béisbol, las puntuaciones de CI (coeficiente intelectual), el tiempo que dura una llamada telefónica de larga distancia, la cantidad de dinero que lleva una persona, el tiempo que dura un chip de computadora y las puntuaciones de la prueba de aptitud académica (Scholastic Aptitude Test, SAT) son solo algunos de ellos. El campo de la fiabilidad depende de una serie de variables aleatorias continuas. Nota Los valores de las variables aleatorias discretas y continuas pueden ser ambiguos. Por ejemplo, si X es igual al número de millas (a la milla más cercana) que conduce al trabajo, entonces X es una variable aleatoria discreta. Puede contar las millas. Si X es la distancia que se recorre en automóvil hasta el trabajo, entonces se miden valores de X y X es una variable aleatoria continua. Para un segundo ejemplo, si X es igual al número de libros que hay en una mochila, entonces X es una variable aleatoria discreta. Si X es el peso de un libro, entonces X es una variable aleatoria continua porque el peso se mide. La forma de definir la variable aleatoria es muy importante. Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas El gráfico de una distribución de probabilidad continua es una curva. La probabilidad se representa mediante el área que está debajo de la curva. La curva se denomina función de densidad de probabilidad (abreviada como pdf ). Utilizamos el símbolo f ( x ) para representar la curva. f ( x ) es la función que corresponde al gráfico; utilizamos la función de densidad f ( x ) para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área debajo de la curva viene dada por una función diferente llamada función de distribución acumulativa ( cdf ). La función de distribución acumulativa se utiliza para evaluar la probabilidad como área. Los resultados se miden, no se cuentan. Toda el área debajo de la curva y sobre el eje x es igual a uno. La probabilidad se calcula para intervalos de valores de x en vez de para valores individuales de x . P(c < x < d) es la probabilidad de que la variable aleatoria X se calcule en el intervalo entre los valores c y d . P(c < x < d) es el área debajo de la curva, por encima del eje x , a la derecha de c y a la izquierda de d . P(x = c) = 0 significa que es la probabilidad de que x tome cualquier valor individual es cero. El área por debajo de la curva, por encima del eje x y entre x = c y x = c no tiene ancho, y por tanto no tiene área (área = 0). Como la probabilidad es igual al área, la probabilidad también es cero. P(c < x < d) es lo mismo que P(c ≤ x ≤ d) porque la probabilidad es igual al área. Hallaremos el área que representa la probabilidad mediante geometría, fórmulas, tecnología o tablas de probabilidad. En general, es necesario el cálculo para hallar el área bajo la curva de muchas funciones de densidad de probabilidad. Cuando usamos fórmulas para hallar el área en este libro de texto, las fórmulas fueron halladas mediante técnicas del cálculo integral. Sin embargo, debido a que la mayoría de los estudiantes que toman este curso no han estudiado cálculo, no utilizaremos el cálculo en este libro de texto. Hay muchas distribuciones de probabilidad continuas. Cuando se utiliza una distribución de probabilidad continua para modelar la probabilidad, la distribución utilizada se selecciona para modelar y ajustarse a la situación particular de la mejor manera. En este capítulo y en el siguiente estudiaremos la distribución uniforme, la exponencial y la normal. Los siguientes gráficos ilustran estas distribuciones. El gráfico muestra una distribución uniforme con el área entre x = 3 y x = 6 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre tres y seis. El gráfico muestra una Distribución Exponencial con el área entre x = 2 y x = 4 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre dos y cuatro. El gráfico muestra la distribución normal estándar con el área entre x = 1 y x = 2 sombreada para representar la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria X esté en el intervalo entre uno y dos. Distribución uniforme una variable aleatoria continua (RV) que tiene resultados igualmente probables sobre el dominio, a < x < b . Notación: X ~ U ( a , b ). La media es μ = a + b 2 y la desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a < x < b o a ≤ x ≤ b . La distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . Distribución exponencial variable aleatoria continua (RV) que aparece cuando nos interesamos por los intervalos de tiempo entre algunos eventos aleatorios, por ejemplo, la duración del tiempo entre las llegadas de emergencia a un hospital; la notación es X ~ Exp (m ). La media es μ = 1 m y la desviación típica es σ = 1 m . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = me −mx , x ≥ 0 y la función de distribución acumulativa es P ( X ≤ x ) = 1 - e −mx

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Funciones de probabilidad continuas Comenzamos definiendo una función de densidad de probabilidad continua. Utilizamos la notación de función f ( x ). El álgebra intermedia puede haber sido su primera introducción formal a las funciones. En el estudio de la probabilidad, las funciones que estudiamos son especiales. Definimos la función f ( x ) de forma que el área entre ella y el eje x sea igual a una probabilidad. Como la probabilidad máxima es uno, el área máxima también es uno. Para distribuciones de probabilidad continuas, PROBABILIDAD = ÁREA. Consideremos la función f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. x = un número real. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es una línea horizontal. Sin embargo, como 0 ≤ x ≤ 20, f ( x ) se restringe a la porción entre x = 0 y x = 20, inclusive. f ( x ) = 1 20 para 0 ≤ x ≤ 20. El gráfico de f ( x ) = 1 20 es un segmento de línea horizontal cuando 0 ≤ x ≤ 20. El área entre f ( x ) = 1 20 donde 0 ≤ x ≤ 20 y el eje x es el área de un rectángulo con base = 20 y altura = 1 20 . ÁREA = 20 ( 1 20 ) = 1 Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 0 < x < 2. ÁREA = ( 2 – 0 ) ( 1 20 ) = 0,1 ( 2 – 0 ) = 2 = base de un rectángulo Recordatorio área de un rectángulo = (base)(altura). El área corresponde a una probabilidad. La probabilidad de que x esté entre cero y dos es 0,1, lo que se puede escribir matemáticamente como P (0 < x < 2) = P ( x < 2) = 0,1. Supongamos que queremos hallar el área entre f ( x ) = 1 20 y el eje x donde 4 < x < 15. ÁREA = ( 15 – 4 ) ( 1 20 ) = 0,55 ( 15 – 4 ) = 11 = la base de un rectángulo El área corresponde a la probabilidad P (4 < x < 15) = 0,55. Supongamos que queremos hallar P ( x = 15). En un gráfico x-y, x = 15 es una línea vertical. Una línea vertical no tiene ancho (o tiene ancho cero). Por lo tanto, P ( x = 15) = (base)(altura) = (0) ( 1 20 ) = 0 P ( X ≤ x ), que también se puede escribir como P ( X < x ) para distribuciones continuas, se denomina función de distribución acumulativa o cdf. Fíjese en el símbolo “menor que o igual a”. También podemos utilizar la cdf para calcular P ( X > x ). La cdf da el “área a la izquierda” y P ( X > x ) da el “área a la derecha”. Calculamos P ( X > x ) para distribuciones continuas de la siguiente manera: P ( X > x ) = 1 – P ( X < x ). Identifique el gráfico con f ( x ) y x . Escale los ejes x y y con los valores máximos de x y y . f ( x ) = 1 20 , 0 ≤ x ≤ 20. Para calcular la probabilidad de que x esté entre dos valores, observe el siguiente gráfico. Sombree la región entre x = 2,3 y x = 12,7. Luego, calcule el área sombreada de un rectángulo. P ( 2,3 < x < 12,7 ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,7 – 2,3 ) ( 1 20 ) = 0,52 Ejercicio Consideremos la función f ( x ) = 1 8 para 0 ≤ x ≤ 8. Dibuje el gráfico de f ( x ) y calcule P (2,5 < x < 7,5). Repaso del capítulo La función de densidad de probabilidad (pdf) se utiliza para describir probabilidades de variables aleatorias continuas. El área debajo de la curva de densidad entre dos puntos corresponde a la probabilidad de que la variable se sitúe entre esos dos valores. En otras palabras, el área debajo de la curva de densidad entre los puntos a y b es igual a P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) da la probabilidad como un área. Si X es una variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad (pdf), f ( x ) se utiliza para dibujar el gráfico de la distribución de probabilidad. El área total debajo del gráfico de f ( x ) es uno. El área debajo del gráfico de f ( x ) y entre los valores a y b da la probabilidad P ( a < x < b ). La función de distribución acumulativa (cdf) de X se define por P ( X ≤ x ). Es una función de x que da la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x . Revisión de la fórmula Función de densidad de probabilidad (pdf) f ( x ): f ( x ) ≥ 0 El área total debajo de la curva f ( x ) es uno. Función de distribución acumulativa (cdf): P ( X ≤ x ) ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución uniforme ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? ¿Qué tipo de distribución ilustra el gráfico? Distribución normal ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) ¿Qué representa el área sombreada? P (___< x < ___) P (6 < x < 7) Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 15. ¿Qué es P ( x > 15)? ¿Cuál es el área debajo de f ( x ) si la función es una función de densidad de probabilidad continua? uno Para una distribución de probabilidad continua, 0 ≤ x ≤ 10. ¿Qué es P ( x = 7)? Una función de probabilidad continua se restringe a la parte comprendida entre x = 0 y 7. ¿Qué es P ( x = 10)? cero f ( x ) para una función de probabilidad continua es 1 5 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 5. ¿Qué es P ( x < 0)? f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 12 , y la función se restringe a 0 ≤ x ≤ 12. ¿Qué es P (0 < x < 12)? uno Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. 0,625 Calcule la probabilidad de que x caiga en la zona sombreada. f ( x ), una función de probabilidad continua, es igual a 1 3 y la función se restringe a 1 ≤ x ≤ 4. Describa P ( x > 3 2 ) . La probabilidad es igual al área desde x = 3 2 hasta x = 4 por encima del eje x y hasta f ( x ) = 1 3 . Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Considere el siguiente experimento. Usted es una de las 100 personas reclutadas para participar en un estudio para determinar el porcentaje de enfermeros en Estados Unidos con un título de enfermero registrado (registered nurse, RN). Les pregunta a los enfermeros si tienen un título de RN. Los enfermeros responden “sí” o “no”. Luego, calcula el porcentaje de enfermeros con un título de RN. Le da ese porcentaje a su supervisor. ¿Qué parte del experimento producirá datos discretos? ¿Qué parte del experimento producirá datos continuos? Cuando se redondea la edad al año más cercano, ¿los datos siguen siendo continuos o se convierten en discretos? ¿Por qué? La edad es una medida, independientemente de la exactitud utilizada.

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La distribución uniforme La distribución uniforme es una distribución de probabilidad continua y se refiere a eventos que tienen la misma probabilidad de ocurrir. Cuando se resuelven problemas que tienen una distribución uniforme, hay que tener en cuenta si los datos son inclusivos o exclusivos de los extremos. Los datos en la son 55 tiempos de sonrisa, en segundos, de un bebé de ocho semanas. 10,4 19,6 18,8 13,9 17,8 16,8 21,6 17,9 12,5 11,1 4,9 12,8 14,8 22,8 20,0 15,9 16,3 13,4 17,1 14,5 19,0 22,8 1.3 0,7 8,9 11,9 10,9 7,3 5,9 3,7 17,9 19,2 9,8 5,8 6,9 2,6 5,8 21,7 11,8 3,4 2,1 4,5 6,3 10,7 8,9 9,4 9,4 7,6 10,0 3,3 6,7 7,8 11,6 13,8 18,6 La media muestral = 11,49 y la desviación típica de la muestra = 6,23. Supondremos que los tiempos de sonrisa, en segundos, siguen una distribución uniforme entre cero y 23 segundos, ambos inclusive. Esto significa que cualquier tiempo de sonrisa desde cero hasta 23 segundos inclusive es igualmente probable . El histograma que se construyó a partir de la muestra es una distribución empírica que se acerca mucho a la distribución uniforme teórica. Supongamos que X = la duración, en segundos, de la sonrisa de un bebé de ocho semanas. La notación para la distribución uniforme es X ~ U ( a , b ) donde a = el menor valor de x y b = el mayor valor de x . La función de densidad de probabilidad es f ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . En este ejemplo, X ~ U (0, 23) y f ( x ) = 1 23 – 0 para 0 ≤ X ≤ 23. Las fórmulas para la media teórica y la desviación típica son μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 En este problema, la media teórica y la desviación típica son μ = 0 + 23 2 = 11,50 segundos y σ = ( 23 – 0 ) 2 12 = 6,64 segundos. Observe que en este ejemplo la media teórica y la desviación típica se aproximan a la media muestral y a la desviación típica. Ejercicio Los datos que siguen son el número de pasajeros de 35 barcos de pesca contratados. La media muestral = 7,9 y la desviación típica de la muestra = 4,33. Los datos siguen una distribución uniforme en la que todos los valores entre el cero y el 14, ambos incluidos, son igualmente probables. Indique los valores de a y b . Escriba la distribución en la notación adecuada y calcule la media teórica y la desviación típica. 1 12 4 10 4 14 11 7 11 4 13 2 4 6 3 10 0 12 6 9 10 5 13 4 10 14 12 11 6 10 11 0 11 13 2 a. Consulte el . ¿Cuál es la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría entre dos y 18 segundos? P (2 < x < 18) = (base)(altura) = (18 - 2) ( 1 23 ) = 16 23 . b. Halle el percentil 90 para el tiempo de sonrisa de un bebé de ocho semanas. b. El noventa por ciento de los tiempos de sonrisa están por debajo del percentil 90 , k , por lo que P ( x < k ) = 0,90. P ( x < k ) = 0,90 ( base ) ( altura ) = 0,90 ( k – 0 ) ( 1 23 ) = 0,90 k = ( 23 ) ( 0,90 ) = 20,7 c. Halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas elegido al azar sonría más de 12 segundos SABIENDO que el bebé sonríe MÁS DE OCHO SEGUNDOS . c. Esta pregunta de probabilidad es un condicional . Se le pide que halle la probabilidad de que un bebé de ocho semanas sonría más de 12 segundos cuando ya sabe que el bebé ha sonreído durante más de ocho segundos. Halle P ( x > 12| x > 8) Hay dos maneras de efectuar el problema. En la primera forma , utilice el hecho de que se trata de un condicional y esto cambia el espacio muestral. El gráfico ilustra el nuevo espacio muestral. Ya sabe que el bebé sonrió más de ocho segundos. Escriba una nueva f ( x ): f ( x ) = 1 23 – 8 = 1 15 para 8 < x < 23 P ( x > 12| X > 8) = (23 - 12) ( 1 15 ) = 11 15 En la segunda forma , utilice la fórmula condicional de Temas de probabilidad con la distribución original X ~ U (0, 23): P ( A | B ) = P ( A Y B ) P ( B ) En este problema, A es ( x > 12) y B es ( x > 8). Así, P ( x > 12 | x > 8) = ( x > 12 Y x > 8 ) P ( x > 8 ) = P ( x > 12 ) P ( x > 8 ) = 11 23 15 23 = 11 15 El área sombreada más oscura representa P(x > 12). Toda el área sombreada muestra P(x > 8). Ejercicio Una distribución está dada como X ~ U (0, 20). ¿Cuál es la P (2 < X < 18)? Calcule el percentil 90 . La cantidad de tiempo, en minutos, que una persona debe esperar un autobús se distribuye uniformemente entre cero y 15 minutos, ambos inclusive. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos? b. En promedio, ¿cuánto tiempo debe esperar una persona? Calcule la media, μ , y la desviación típica, σ . c. ¿A qué valor es inferior el tiempo que debe esperar una persona el noventa por ciento de las veces? Esto pide calcular el percentil 90 . a. Supongamos que X = el número de minutos que una persona debe esperar el autobús. a = 0 y b = 15. X ~ U (0, 15). Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 15 – 0 = 1 15 para 0 ≤ x ≤ 15. Calcule P ( x < 12,5). Dibuje un gráfico. P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( 12,5 – 0 ) ( 1 15 ) = 0,8333 La probabilidad de que una persona espere menos de 12,5 minutos es de 0,8333. b. μ = a + b 2 = 15 + 0 2 = 7,5. En promedio, una persona debe esperar 7,5 minutos. σ = ( b – a ) 2 12 = ( 15 – 0 ) 2 12 = 4,3. La desviación típica es de 4,3 minutos. c. Calcule el percentil 90 . Dibuje un gráfico. Supongamos que k = el percentil 90 . P ( x < k ) = ( base ) ( altura ) = ( k – 0 ) ( 1 15 ) 0,90 = ( k ) ( 1 15 ) k = ( 0,90 ) ( 15 ) = 13,5 k se denomina a veces valor crítico. El percentil 90 es de 13,5 minutos. El noventa por ciento de las veces una persona debe esperar como máximo 13,5 minutos. Ejercicio La duración total de los partidos de béisbol en las grandes ligas en la temporada 2011 se distribuye uniformemente entre 447 horas y 521 horas, ambas inclusive. Calcule a y b y describa lo que representan. Escriba la distribución. Calcule la media y la desviación típica. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011 esté entre 480 y 500 horas? ¿Cuál es el percentil 65 de la duración de los partidos de un equipo en la temporada 2011? Supongamos que el tiempo que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla está entre 0,5 y 4 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un niño de nueve años en comerse una rosquilla. Entonces X ~ U (0,5, 4). a. La probabilidad de que un niño de nueve años seleccionado al azar se coma una rosquilla en al menos dos minutos es _______. a. 0,5714 b. Halle la probabilidad de que otro niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos. La segunda pregunta tiene una probabilidad condicional . Se le pide que halle la probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya lleva comiendo la rosquilla más de 1,5 minutos. Resuelva el problema de dos formas diferentes (vea el ). Debe reducir el espacio de la muestra. Primera forma : Como sabe que el niño ya ha estado comiéndose la rosquilla durante más de 1,5 minutos, ya no empieza en a = 0,5 minutos. Su punto de partida es 1,5 minutos. Escriba una nueva f ( x ): f ( x ) = 1 4 – 1,5 = 2 5 para 1,5 ≤ x ≤ 4. Halle P ( X > 2| x > 1,5). Dibuje un gráfico. P ( X > 2 | x > 1,5) = (base)(nueva altura) = (4 - 2) ( 2 5 ) = 4 5 b. 4 5 La probabilidad de que un niño de nueve años se coma una rosquilla en más de dos minutos, dado que el niño ya ha estado comiendo la rosquilla durante más de 1,5 minutos, es 4 5 . Segunda forma: Dibuje el gráfico original para X ~ U (0,5, 4). Utilice la fórmula condicional P ( x > 2| x > 1,5) = P ( x > 2 Y x > 1,5 ) P ( x > 1 0,5 ) = P ( x > 2 ) P ( x > 1,5 ) = 2 3,5 2,5 3,5 = 0 0,8 = 4 5 Ejercicio Supongamos que el tiempo que tarda un estudiante en terminar un examen se distribuye uniformemente entre 6 y 15 minutos, ambos inclusive. Supongamos que X = el tiempo, en minutos, que tarda un estudiante en terminar un examen. Entonces X ~ U (6, 15). Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar necesite al menos ocho minutos para completar la prueba. A continuación, halle la probabilidad de que otro estudiante necesite al menos ocho minutos para terminar el cuestionario, dado que ya se ha tomado más de siete minutos. La compañía Ace Heating and Air Conditioning Service considera que el tiempo que necesita un técnico para arreglar un horno se distribuye uniformemente entre 1,5 y 4 horas. Supongamos que x = el tiempo necesario para arreglar un horno. Entonces X ~ U (1,5, 4). Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera más de dos horas. Halle la probabilidad de que una reparación de horno seleccionada al azar requiera menos de tres horas. Halle el percentil 30 de los tiempos de reparación de hornos. El 25 % de los tiempos más largos de reparación de hornos ¿cuánto tiempo toma al menos? (En otras palabras: halle el tiempo mínimo para el 25 % más largo de los tiempos de reparación). ¿Qué percentil representa esto? Halle la desviación media y la típica a. Para hallar f ( x ): f ( x ) = 1 4 – 1,5 = 1 2,5 por lo que f ( x ) = 0,4 P ( x > 2) = (base)(altura) = (4 - 2)(0,4) = 0,8 Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre dos y cuatro que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea superior a dos b. P ( x < 3) = (base)(altura) = (3 - 1,5)(0,4) = 0,6 El gráfico del rectángulo que muestra toda la distribución seguiría siendo el mismo. Sin embargo, el gráfico debe estar sombreado entre x = 1,5 y x = 3. Observe que la zona sombreada comienza en x = 1,5 y no en x = 0; como X ~ U (1,5, 4), x no puede ser menor que 1,5. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área sombreada entre 1,5 y 3 que representa la probabilidad de que el tiempo de reparación x sea inferior a tres. c. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,30 sombreada a la izquierda, que representa el 30 % más corto de los tiempos de reparación. P ( x < k ) = 0,30 P ( x < k ) = (base)(altura) = ( k – 1,5)(0,4) 0,3 = ( k – 1,5) (0,4) ; resuelva para hallar k : 0,75 = k - 1,5, que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4 k = 2,25 , que se obtuvo sumando 1,5 a ambos lados El percentil 30 de los tiempos de reparación es de 2,25 horas. El 30 % de los tiempos de reparación es de 2,25 horas o menos. d. Distribución uniforme entre 1,5 y 4 con un área de 0,25 sombreada a la derecha que representa el 25 % más largo de los tiempos de reparación. P ( x > k ) = 0,25 P ( x > k ) = (base)(altura) = (4 – k )(0,4) 0,25 = (4 – k )(0,4) ; resuelva para k : 0,625 = 4 − k , que se obtuvo dividiendo ambos lados entre 0,4 −3,375 = − k , que se obtuvo restando cuatro a ambos lados: k = 3,375 El 25 % de las reparaciones de hornos más largas tardan al menos 3,375 horas (3,375 horas o más). Nota: Dado que el 25 % de los tiempos de reparación es de 3,375 horas o más, eso significa que el 75 % de los tiempos de reparación son de 3,375 horas o menos. 3,375 horas es el percentil 75 de los tiempos de reparación de hornos. e. μ = a + b 2 y σ = ( b – a ) 2 12 μ = 1,5 + 4 2 = 2,75 horas y σ = ( 4 – 1,5 ) 2 12 = 0,7217 horas Ejercicio El tiempo que necesita un técnico de servicio para cambiar el aceite de un auto se distribuye uniformemente entre 11 y 21 minutos. Supongamos que X = el tiempo necesario para cambiar el aceite de un auto. Escriba en palabras la variable aleatoria X . X = __________________. Escriba la distribución. Grafique la distribución. Halle P ( x > 19). Calcule el percentil 50 . Repaso del capítulo Si X tiene una distribución uniforme donde a < x < b o a ≤ x ≤ b , entonces X toma valores entre a y b (puede incluir a y b ). Todos los valores x son igualmente probables. Escribimos X ∼ U ( a , b ). La media de X es μ = a + b 2 . La desviación típica de X es σ = ( b – a ) 2 12 . La función de densidad de probabilidad de X es e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b . La función de distribución acumulativa de X es P ( X ≤ x ) = x – a b – a . X es continua. La probabilidad de P ( c < X < d ) se puede hallar calculando el área bajo f ( x ), entre c y d . Dado que el área correspondiente es un rectángulo, el área se puede hallar simplemente multiplicando el ancho y la altura. Revisión de la fórmula X = un número real entre a y b (en algunos casos, X puede tomar los valores a y b ). a = X más pequeño; b = X más grande X ~ U (a, b) La media es μ = a + b 2 La desviación típica es σ = ( b – a ) 2 12 Función de densidad de probabilidad: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ X ≤ b Área a la izquierda de x : P ( X < x ) = ( x – a ) ( 1 b – a ) Área a la derecha de x : P ( X > x ) = ( b – x ) ( 1 b – a ) Área entre c y d : P ( c < x < d ) = (base)(altura) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Uniforme: X ~ U ( a , b ) donde a < x < b pdf: e ( x ) = 1 b – a para a ≤ x ≤ b cdf: P ( X ≤ x ) = x – a b – a media µ = a + b 2 desviación típica σ = ( b – a ) 2 12 P ( c < X < d ) = ( d – c ) ( 1 b – a ) Referencias McDougall, John A. The McDougall Program for Maximum Weight Loss. Plume, 1995. Use la siguiente información para responder las próximas diez preguntas. Los datos que siguen son los pies cuadrados (en 1.000 pies cuadrados) de 28 viviendas. 1,5 2,4 3,6 2,6 1,6 2,4 2,0 3,5 2,5 1,8 2,4 2,5 3,5 4,0 2,6 1,6 2,2 1,8 3,8 2,5 1,5 2,8 1,8 4,5 1,9 1,9 3,1 1,6 La media muestral = 2,50 y la desviación típica de la muestra = 0,8302. La distribución se puede escribir como X ~ U (1,5, 4,5). ¿Qué tipo de distribución es esta? En esta distribución, los resultados son igualmente probables. ¿Qué significa esto? Significa que el valor de x tiene la misma probabilidad de ser cualquier número entre 1,5 y 4,5. ¿Cuál es la altura de f ( x ) para la distribución de probabilidad continua? ¿Cuáles son las limitaciones para los valores de x ? 1,5 ≤ x ≤ 4,5 Gráfico de P (2 < x < 3). ¿Qué es P (2 < x < 3)? 0,3333 ¿Qué es P (x < 3,5| x < 4)? ¿Qué es P ( x = 1,5)? cero ¿Cuál es el percentil 90 de los pies cuadrados de las viviendas? Calcule la probabilidad de que una casa seleccionada al azar tenga más de 3.000 pies cuadrados dado que ya se sabe que la casa tiene más de 2.000 pies cuadrados. 0,6 Use la siguiente información para responder los próximos ocho ejercicios. Una distribución está dada como X ~ U (0, 12). ¿Qué es a ? ¿Qué representa? ¿Qué es b ? ¿Qué representa? b es 12, y representa el valor más alto de x . ¿Qué es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuál es la media teórica? seis ¿Cuál es la desviación típica teórica? Dibuje el gráfico de la distribución para P ( x > 9). Calcule P ( x > 9). Calcule el percentil 40. 4,8 Use la siguiente información para responder los próximos once ejercicios. La edad de los automóviles en el estacionamiento del personal de un instituto universitario suburbano se distribuye uniformemente desde los seis meses (0,5 años) hasta los 9,5 años. ¿Qué se mide aquí? Defina la variable aleatoria X en palabras. X = La edad (en años) de los automóviles en el estacionamiento del personal ¿Los datos son discretos o continuos? El intervalo de valores de x es ______. de 0,5 a 9,5 La distribución de X es ______. Escriba la función de densidad de probabilidad. f ( x ) = 1 9 donde x está entre 0,5 y 9,5, ambos inclusive. Grafique la distribución de probabilidad. Dibuje el gráfico de la distribución de probabilidad. Identifique los siguientes valores: El valor más bajo para x ¯ : _______ El valor más alto para x ¯ : _______ Altura del rectángulo: _______ Identifique para el eje x (en palabras): _______ Identifique para el eje y (en palabras): _______ Calcule la edad promedio de los automóviles en el estacionamiento. μ = 5 Calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4) = _______ Considerando solo los automóviles de menos de 7,5 años, calcule la probabilidad de que un automóvil elegido al azar en el estacionamiento tenga menos de cuatro años. Dibuje el gráfico, sombree el área de interés. Calcule la probabilidad. P ( x < 4| x < 7,5) = _______ Compruebe la solución del estudiante. 3,5 7 ¿Qué ha cambiado en los dos problemas anteriores para que las soluciones sean diferentes? Calcule el tercer cuartil de edades de los automóviles en el estacionamiento. Esto significa que tendrá que hallar el valor tal que 3 4 , o el 75 %, de los automóviles tienen como máximo (menos o igual) esa edad. Dibuje el gráfico y sombree el área de interés. Calcule el valor k tal que P ( x < k ) = 0,75. El tercer cuartil es _______ Compruebe la solución del estudiante. k = 7,25 7,25 Tarea para la casa Para cada problema de probabilidad y percentil, haga el dibujo. Los nacimientos se distribuyen de forma aproximadamente uniforme a lo largo del año. Se puede decir que siguen una distribución uniforme de 0 a 2 (extensión de 52 semanas). X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca en el momento exacto en que termina la semana 19. Es decir, calcule P ( x = 19) = _________ P (2 < x < 31) = _________ Calcule la probabilidad de que una persona nazca después de la semana 40. P (12 < x | x < 28) = _________ Calcule el percentil 70 . Halle el mínimo para el cuarto superior. Un generador de números aleatorios elige un número del uno al nueve de manera uniforme. X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ P (3,5 < x < 7,25) = _________ P ( x > 5,67) P ( x > 5| x > 3) = _________ Calcule el percentil 90 . X ~ U (1, 9) Compruebe la solución del estudiante. e ( x ) = 1 8 donde 1 ≤ x ≤ 9 cinco 2,3 15 32 333 800 2 3 8,2 Según un estudio realizado por el Dr. John McDougall sobre su programa en vivo de pérdida de peso, las personas que siguen su programa pierden entre seis y 15 libras al mes hasta acercarse al peso corporal ideal. Supongamos que la pérdida de peso se distribuye uniformemente. Nos interesa la pérdida de peso de una persona seleccionada al azar que sigue el programa durante un mes. Defina la variable aleatoria. X = _________ X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que la persona haya perdido más de diez libras en un mes. Supongamos que se sabe que la persona ha perdido más de diez libras en un mes. Calcule la probabilidad de que haya perdido menos de 12 libras en el mes. P (7 < x < 13| x > 9) = __________. Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Un tren del metro llega cada ocho minutos en la hora pico. Nos interesa el tiempo que debe esperar un viajero para que llegue el tren. El tiempo sigue una distribución uniforme. Defina la variable aleatoria. X = _______ X ~ _______ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _______ μ = _______ σ = _______ Calcule la probabilidad de que el viajero espere menos de un minuto. Calcule la probabilidad de que el viajero espere entre tres y cuatro minutos. ¿Cuál es el tiempo máximo que el sesenta por ciento de los viajeros espera a que llegue el tren? Plantee esto en una pregunta de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. La X representa el tiempo que un viajero debe esperar a que llegue un tren en la línea roja. X ~ U (0, 8) Grafique la distribución de probabilidad. e ( x ) = 1 8 donde 0 ≤ x ≤ 8 cuatro 2,31 1 8 1 8 3,2 La edad de los estudiantes de primer grado el 1.º de septiembre en la escuela primaria Garden se distribuye uniformemente de 5,8 a 6,8 años. Seleccionamos al azar un estudiante de primer grado de la clase. Defina la variable aleatoria. X = _________ X ~ _________ Grafique la distribución de probabilidad. f ( x ) = _________ μ = _________ σ = _________ Calcule la probabilidad de que tenga más de 6,5 años. Calcule la probabilidad de que tenga entre cuatro y seis años. Halle el percentil 70 para la edad de los estudiantes de primer grado el 1 de septiembre en la escuela primaria Garden. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Se supone que el Sky Train llega cada ocho minutos desde la terminal hasta el centro de alquiler de automóviles y el estacionamiento de larga duración. Se sabe que los tiempos de espera del tren siguen una distribución uniforme. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera (en minutos)? cero dos tres cuatro d Halle el percentil 30 de los tiempos de espera (en minutos). dos 2,4 2,75 tres ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de siete minutos dado que una persona ha esperado más de cuatro minutos? 0,125 0,25 0,5 0,75 b El tiempo (en minutos) que transcurre hasta que el siguiente autobús sale de una estación de autobuses importante sigue una distribución con f ( x ) = 1 20 donde x va de 25 a 45 minutos. Defina la variable aleatoria. X = ________ X ~ ________ Grafique la distribución de probabilidad. La distribución es ______________ (nombre de la distribución). Es _____________ (discreta o continua). μ = ________ σ = ________ Calcule la probabilidad de que el tiempo sea como máximo de 30 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. Calcule la probabilidad de que el tiempo esté entre 30 y 40 minutos. Dibuje e identifique un gráfico de la distribución. Sombree la zona de interés. Escriba la respuesta en un enunciado de probabilidad. P (25 < x < 55) = _________. Exponga esto en un enunciado de probabilidad, de forma similar a las partes g y h, haga el dibujo y calcule la probabilidad. Calcule el percentil 90 . Esto significa que el 90 % de las veces, el tiempo es inferior a _____ minutos. Halle el percentil 75 . Exponga en una frase completa lo que esto significa. (Consulte la parte j.) Calcule la probabilidad de que el tiempo sea superior a 40 minutos dado (o sabiendo que) es de al menos 30 minutos. Suponga que el valor de una acción varía cada día de 16 a 25 dólares con una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea superior a 19 dólares. Calcule la probabilidad de que el valor de la acción esté entre 19 y 22 dólares. Halle el cuartil superior (el 25 % de todos los días que la acción está por encima de ¿qué valor?). Dibuje el gráfico. Dado que el valor de la acción es mayor de 18 dólares, calcule la probabilidad de que el valor de la acción sea mayor de 21 dólares. La función de densidad de probabilidad de X es 1 25 – 16 = 1 9 . P ( X > 19) = (25 – 19) ( 1 9 ) = 6 9 = 2 3 . P (19 < X < 22) = (22 – 19) ( 1 9 ) = 3 9 = 1 3 . Esta debe ser 0,25, y 0,25 = (ancho) ( 1 9 ) , por lo que la anchura = (0,25)(9) = 2,25. Así, el valor es 25 - 2,25 = 22,75. Esta es una pregunta de probabilidad condicional. P(x > 21| X > 18). Puede responderla de dos maneras: Dibuje el gráfico donde a es ahora 18 y b sigue siendo 25. La altura es 1 ( 25 – 18 ) = 1 7 Entonces, P ( x > 21| x > 18) = (25 - 21) ( 1 7 ) = 4/7. Utilice la fórmula: P ( x > 21| x > 18) = P ( x > 21 Y x > 18 ) P ( x > 18 ) = P ( x > 21 ) P ( x > 18 ) = ( 25 – 21 ) ( 25 – 18 ) = 4 7 . Un espectáculo de fuegos artificiales está diseñado para que el tiempo entre los fuegos artificiales esté entre uno y cinco segundos, y sigue una distribución uniforme. Calcule el tiempo promedio entre los fuegos artificiales. Calcule la probabilidad de que el tiempo entre los fuegos artificiales sea mayor de cuatro segundos. El número de millas recorridas por un camionero oscila entre 300 y 700, y sigue una distribución uniforme. Calcule la probabilidad de que el camionero recorra más de 650 millas en un día. Calcule la probabilidad de que los camioneros recorran entre 400 y 650 millas en un día. Al menos, ¿cuántas millas recorre el camionero en el 10 % de los días con recorridos más lejanos? P ( X > 650) = 700 – 650 700 – 300 = 50 400 = 1 8 = 0,125. P (400 < X < 650) = 650 – 400 700 – 300 = 250 400 = 0,625 0,10 = ancho 700 – 300 , por lo que la anchura = 400(0,10) = 40. Como 700 - 40 = 660, los conductores recorren al menos 660 millas en el 10 % de los días de recorridos más lejanos. Probabilidad condicional la probabilidad de que se produzca un evento, dado que ya se ha producido otro.

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