Transformación de funciones (créditos: "Misko"/Flickr) Todos sabemos que un espejo plano nos permite ver una imagen exacta de nosotros mismos y de lo que hay detrás. Cuando inclinamos el espejo, las imágenes que vemos pueden desplazarse horizontal o verticalmente. Sin embargo, ¿qué ocurre cuando doblamos un espejo flexible? Como un espejo de feria, nos presenta una imagen distorsionada de nosotros mismos, estirada o comprimida horizontal o verticalmente. Del mismo modo, podemos distorsionar o transformar las funciones matemáticas para adaptarlas mejor a la descripción de objetos o procesos del mundo real. En esta sección, echaremos un vistazo a varios tipos de transformación. Graficar funciones con desplazamiento vertical y horizontal. A menudo, cuando se nos plantea un problema, intentamos modelar el escenario con las matemáticas en forma de palabras, tablas, gráficos y ecuaciones. Un método que podemos emplear es adaptar los gráficos básicos de las funciones del conjunto de herramientas para construir nuevos modelos en un escenario determinado. Hay formas sistemáticas de alterar las funciones para construir modelos adecuados a los problemas que intentamos resolver. Identificación del desplazamiento vertical Un tipo sencillo de transformación consiste en desplazar todo el gráfico de una función hacia arriba, hacia abajo, hacia la derecha o hacia la izquierda. El desplazamiento más sencillo es un desplazamiento vertical , moviendo el gráfico hacia arriba o hacia abajo, porque esta transformación implica añadir una constante positiva o negativa a la función. En otras palabras, sumamos la misma constante al valor de salida de la función, independientemente de la entrada. Para una función g ( x ) = f ( x ) + k , la función f ( x ) se desplaza verticalmente k unidades. Vea la a modo de ejemplo. Desplazamiento vertical en k = 1 de la función de raíz cúbica f ( x ) = x 3 . Para ayudarle con el concepto de desplazamiento vertical, considere que y = f ( x ) . Por lo tanto, f ( x ) + k equivale a y + k . Cada unidad de y se sustituye por y + k , por lo que el valor y valor aumenta o disminuye, dependiendo del valor de k . El resultado es un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo. Desplazamiento vertical Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( x ) + k , donde k es una constante, es un desplazamiento vertical de la función f ( x ) . Todos los valores de salida cambian en k unidades. Si los valores de k es positivo, el gráfico se desplazará hacia arriba. Si los valores de k es negativo, el gráfico se desplazará hacia abajo. Sumar una constante a una función Para regular la temperatura en un edificio ecológico, las rejillas de ventilación cercanas al tejado se abren y se cierran a lo largo del día. La muestra el área de las rejillas de ventilación abiertas V (en pies cuadrados) a lo largo del día en horas, pasada la medianoche, t . Durante el verano, el responsable de las instalaciones decide intentar regular mejor la temperatura al incrementar la cantidad de rejillas de ventilación abiertas en 20 pies cuadrados todo el día y toda la noche. Dibuje un gráfico de esta nueva función. Podemos dibujar un gráfico de esta nueva función al sumar 20 a cada uno de los valores de salida de la función original. Esto tendrá el efecto de desplazar el gráfico verticalmente hacia arriba, como se muestra en la . Observe que en la , por cada valor de entrada, el valor de salida se ha incrementado en 20, por lo que, si llamamos la nueva función S ( t ) , podríamos escribir S ( t ) = V ( t ) + 20 Esta notación nos indica que, para cualquier valor de t , S ( t ) puede hallarse al evaluar la función V a la misma entrada y luego sumar 20 hasta el resultado. Esto define S como transformación de la función V , en este caso, un desplazamiento vertical hacia arriba en 20 unidades. Observe que, con un desplazamiento vertical, los valores de entrada permanecen iguales y solo cambian los de salida. Vea la . t 0 8 10 17 19 24 V ( t ) 0 0 220 220 0 0 S ( t ) 20 20 240 240 20 20 Cómo Dada una función tabular, crear una nueva fila que represente el desplazamiento vertical. Identifique la fila o columna de salida. Determine la magnitud del desplazamiento. Añada el desplazamiento al valor de cada celda de salida. Sume un valor positivo hacia arriba o un valor negativo hacia abajo. Desplazar una función tabular verticalmente Una función f ( x ) se da en la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( x ) − 3, x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( x ) - 3 nos indica que podemos hallar los valores de salida de g al restar 3 de los valores de salida de f . Por ejemplo: f ( 2 ) = 1 Dado g ( x ) = f ( x ) - 3 Transformación dada g ( 2 ) = f ( 2 ) - 3 = 1 - 3 = - 2 Al restar 3 de cada valor, f ( x ) podemos construir una tabla de valores para g ( x ) como se muestra en la . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 g ( x ) −2 0 4 8 Análisis Al igual que con el desplazamiento vertical anterior, observe que los valores de entrada siguen siendo los mismos y solo cambian los valores de salida. Ejercicio La función h ( t ) = − 4,9 t 2 + 30 t da la altura h de una pelota (en metros) lanzada hacia arriba desde el suelo después de t segundos. Supongamos que la pelota se lanzó desde la parte superior de un edificio de 10 m. Relacione esta nueva función de altura b ( t ) con h ( t ) , y luego halle una fórmula para b ( t ) . b ( t ) = h ( t ) + 10 = − 4,9 t 2 + 30 t + 10 Identificar el desplazamiento horizontal Acabamos de ver que el desplazamiento vertical es un cambio en la salida, o fuera, de la función. Ahora veremos cómo los cambios en la entrada, en el interior de la función, cambian su gráfico y su significado. Un desplazamiento a la entrada provoca un movimiento del gráfico de la función a la izquierda o a la derecha, en lo que se conoce como desplazamiento horizontal , que se muestra en la . Desplazamiento horizontal de la función f ( x ) = x 3 . Observe que ( x + 1 ) significa h = 1 que desplaza el gráfico a la izquierda, esto es, hacia valores negativos de x . Por ejemplo, si f ( x ) = x 2 , entonces g ( x ) = ( x - 2 ) 2 es una nueva función. Cada entrada se reduce en 2 antes de elevar la función al cuadrado. El resultado es que el gráfico se desplaza 2 unidades a la derecha, porque tendríamos que aumentar la entrada anterior en 2 unidades para obtener el mismo valor de salida que se da en f . Desplazamiento horizontal Dada una función f , una nueva función g ( x ) = f ( x - h ) , donde h es una constante, es un desplazamiento horizontal de la función f . Si h es positiva, el gráfico se desplazará a la derecha. Si los valores de h es negativa, el gráfico se desplazará a la izquierda. Sumar una constante a una función Volviendo a nuestro ejemplo del flujo de aire en el edificio desde la , supongamos que en otoño el responsable de las instalaciones decide que el plan original de ventilación empieza demasiado tarde y quiere empezar todo el programa de ventilación 2 horas antes. Dibuje un gráfico de la nueva función. Podemos ajustar V ( t ) para que sea el programa original, y F ( t ) para que sea el programa revisado. V ( t ) = el plan original de ventilación F ( t ) = comenzar 2 horas antes En el nuevo gráfico, en cada tiempo, el flujo de aire es el mismo, ya que la función original V era 2 horas más tarde. Por ejemplo, en la función original V , el flujo de aire comienza a cambiar a las 8 a. m., mientras que para la función F , el flujo de aire comienza a cambiar a las 6 a. m. Los valores comparables de la función son V ( 8 ) = F ( 6 ) . Vea la . Observe igualmente que las rejillas de ventilación se abrieron por primera vez a 220 pies 2 a las 10 a. m., conforme al plan original, mientras que, con el nuevo plan, las rejillas de ventilación alcanzan 220 pies 2 a las 8 a. m., por lo que V ( 10 ) = F ( 8 ) . En ambos casos, vemos que, porque F ( t ) empieza 2 horas antes, h = − 2. Esto significa que se alcanzan los mismos valores de salida cuando F ( t ) = V ( t − ( – 2 ) ) = V ( t + 2 ) . Análisis Observe que V ( t + 2 ) tiene el efecto de desplazar el gráfico a la izquierda . Los cambios horizontales o "cambios interiores" afectan el dominio de una función (la entrada), en lugar del rango, y a menudo parecen contrarios a la intuición. La nueva función F ( t ) utiliza los mismos valores de entrada que V ( t ) , pero equipara esos valores de salida a los valores de entrada 2 horas antes que los de V ( t ) . Dicho de otro modo, debemos sumar 2 horas al valor de entrada de V para hallar el valor de salida correspondiente a F : F ( t ) = V ( t + 2 ) . Cómo Dada una función tabular, cree una nueva fila que represente el desplazamiento horizontal. Identifique la fila o columna de entrada. Determine la magnitud del desplazamiento. Sume el desplazamiento al valor en cada celda de entrada. Desplazar una función tabular horizontalmente Una función f ( x ) se da en la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( x - 3 ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( x - 3 ) nos dice que los valores de salida de g son los mismos que el valor de salida de f cuando el valor de entrada es 3 menos que el valor original. Por ejemplo, sabemos que f ( 2 ) = 1. Para obtener la misma salida a partir de la función g , necesitaremos un valor de entrada que sea 3 unidades más . Introducimos un valor de entrada que sea 3 unidades más para g ( x ) porque la función resta 3 antes de evaluar la función f . g ( 5 ) = f ( 5 - 3 ) = f ( 2 ) = 1 Continuamos con los demás valores para crear la . x 5 7 9 11 x - 3 2 4 6 8 f ( x - 3 ) 1 3 7 11 g ( x ) 1 3 7 11 El resultado es que la función g ( x ) se ha desplazado a la derecha por 3. Observe que los valores de salida para g ( x ) siguen siendo los mismos que los valores de salida para f ( x ) , pero los valores correspondientes de entrada, x , se han desplazado a la derecha por 3. En concreto, 2 pasó a 5, 4 a 7, 6 a 9 y 8 a 11. Análisis La representa ambas funciones. Podemos ver el desplazamiento horizontal en cada punto. Identificar el desplazamiento horizontal de una función de la caja de herramientas La representa la transformación de la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 . Relacione esta nueva función g ( x ) al f ( x ) , y luego halle una fórmula para g ( x ) . Observe que la forma del gráfico es idéntica a la función f ( x ) = x 2 , pero los valores de x se han desplazado a la derecha en 2 unidades. El vértice estaba en (0,0), pero ahora está en (2,0). El gráfico es la función cuadrática básica, desplazada en 2 unidades a la derecha, por lo que g ( x ) = f ( x - 2 ) Observe cómo ingresamos el valor x = 2 para obtener el valor de salida y = 0 ; los valores de x deberán ser 2 unidades más, debido al desplazamiento a la derecha en 2 unidades. Luego podemos utilizar la definición de la función f ( x ) para escribir una fórmula para g ( x ) evaluando f ( x - 2 ) . f ( x ) = x 2 g ( x ) = f ( x - 2 ) g ( x ) = f ( x - 2 ) = ( x - 2 ) 2 Análisis Para determinar si el desplazamiento es + 2 o − 2 , considere un solo punto de referencia en el gráfico. En una cuadrática, es conveniente mirar el punto del vértice. En la función original, f ( 0 ) = 0 . En nuestra función desplazada, g ( 2 ) = 0 . Para obtener el valor de salida de 0 a partir de la función f , tenemos que decidir si un signo de más o menos funcionará para satisfacer g ( 2 ) = f ( x - 2 ) = f ( 0 ) = 0 . Para este trabajo (w), tendremos que restar 2 unidades de nuestros valores de entrada. Interpretar el desplazamiento horizontal frente al desplazamiento vertical La función G ( m ) da como resultado el número de galones de gasolina que se necesitan para recorrer m millas. Interprete G ( m ) + 10 y G ( m + 10 ) . G ( m ) + 10 puede interpretarse como sumar 10 al valor de salida, galones. Esta es la cantidad de gasolina que se necesita para recorrer m millas, más otros 10 galones de gasolina. El gráfico indicaría un desplazamiento vertical. G ( m + 10 ) puede interpretarse como sumar 10 al valor de entrada, millas. Por lo que esta es la cantidad de galones de gasolina que se necesitan para recorrer 10 millas más que m millas. El gráfico indicaría un desplazamiento horizontal. Ejercicio Dada la función f ( x ) = x , represente gráficamente la función original f ( x ) y la transformación g ( x ) = f ( x + 2 ) en los mismos ejes. ¿Es un desplazamiento horizontal o vertical? ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico y en cuántas unidades? Los gráficos de f ( x ) y g ( x ) se muestran a continuación. La transformación es un desplazamiento horizontal. La función se desplaza hacia la izquierda en 2 unidades. Combinar el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal Ahora que tenemos dos transformaciones, podemos combinarlas. El desplazamiento vertical es un cambio externo que incide en los valores del eje de salida ( y ) y desplaza la función hacia arriba o hacia abajo. El desplazamiento horizontal es un cambio interno que incide en los valores del eje de entrada ( x ) y desplaza la función hacia la izquierda o hacia la derecha. La combinación de los dos tipos de desplazamiento hará que el gráfico de una función se desplace hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o la izquierda. Cómo Dada una función y tanto el desplazamiento vertical como el horizontal, dibuje el gráfico. Identifique los desplazamientos verticales y horizontales de la fórmula. El desplazamiento vertical resulta de una constante sumada a la salida. Mueva el gráfico hacia arriba para una constante positiva y hacia abajo para una constante negativa. El desplazamiento horizontal resulta de una constante sumada a la entrada. Mueva el gráfico hacia la izquierda para una constante positiva y hacia la derecha para una constante negativa. Aplique los desplazamientos al gráfico en cualquier orden. Graficar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal Dados f ( x ) = | x | , dibuje un gráfico de h ( x ) = f ( x + 1 ) − 3 . La función f es la función de valor absoluto de nuestra caja de herramientas. Sabemos que este gráfico tiene forma de V, con el punto en el origen. El gráfico de h ha transformado f de dos maneras: f ( x + 1 ) es un cambio en el interior de la función, lo que arroja un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 1, mientras que la sustracción por 3 en f ( x + 1 ) - 3 es un cambio hacia afuera de la función, lo que arroja un desplazamiento vertical hacia abajo en 3. La transformación del gráfico se ilustra en la . Sigamos un punto del gráfico de f ( x ) = | x | . El punto ( 0 , 0 ) se transforma primero al desplazar 1 unidad hacia la izquierda ( 0 , 0 ) → ( –1 , 0 ) El punto ( –1 , 0 ) luego se transforma al desplazar 3 unidades hacia abajo ( –1 , 0 ) → ( –1 , −3 ) La muestra el gráfico de h . Ejercicio Dados f ( x ) = | x | , dibuje un gráfico de h ( x ) = f ( x - 2 ) + 4. Identificar una combinación de desplazamiento vertical y horizontal Escriba una fórmula para el gráfico que se muestra en la , que es una transformación de la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas. El gráfico de la función de la caja de herramientas comienza en el origen, por lo que se ha desplazado 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. En notación de funciones, podríamos escribirlo como h ( x ) = f ( x – 1 ) + 2 Utilizando la fórmula para la función de raíz cuadrada, podemos escribir h ( x ) = x – 1 + 2 Análisis Observe que esta transformación ha cambiado el dominio y el rango de la función. Este nuevo gráfico tiene dominio [ 1 , ∞ ) y rango [ 2 , ∞ ) . Ejercicio Escriba una fórmula para una transformación de la función recíproca de la caja de herramientas f ( x ) = 1 x que desplace el gráfico de la función una unidad hacia la derecha y una unidad hacia arriba. g ( x ) = 1 x 1 + 1 Graficar funciones mediante reflexiones alrededor de los ejes Otra transformación que puede aplicarse a una función es una reflexión alrededor de los ejes x o y . La reflexión vertical refleja un gráfico verticalmente a través del eje x , mientras que la reflexión horizontal refleja un gráfico horizontalmente a través del eje y . Las reflexiones se muestran en la . Reflexión vertical y horizontal de una función. Observe que la reflexión vertical produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje x . La reflexión horizontal produce un nuevo gráfico, que es una imagen especular del gráfico base u original alrededor del eje y . Reflexiones Dada una función f ( x ), una nueva función g ( x ) = - f ( x ) es la reflexión vertical de la función f ( x ) , algunas veces denominada reflexión alrededor (por encima o a través) del eje x Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( - x ) es la reflexión horizontal de la función f ( x ) , a veces denominada reflexión alrededor del eje y . Cómo Dada una función, reflejar el gráfico tanto vertical como horizontalmente. Multiplique todas las salidas por -1 para una reflexión vertical. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje x . Multiplique todas las entradas por -1 para una reflexión horizontal. El nuevo gráfico es una reflexión del gráfico original sobre el eje y . Reflejar un gráfico horizontal y verticalmente Refleje el gráfico de s ( t ) = t (a) verticalmente y (b) horizontalmente. Ⓐ Reflejar el gráfico verticalmente significa que cada valor de salida se reflejará sobre el eje horizontal t , como se muestra en la . Reflexión vertical de la función de raíz cuadrada Dado que cada valor de salida es el opuesto al valor de salida original, podemos escribir V ( t ) = − s ( t ) o V ( t ) = - t Observe que esto es un cambio externo, o desplazamiento vertical, que incide en los valores de salida s ( t ) , por lo que el signo negativo va por afuera de la función. Ⓑ Reflejar horizontalmente significa que cada valor de entrada se reflejará sobre el eje vertical, como se muestra en la . Reflexión horizontal de la función de raíz cuadrada Dado que cada valor de entrada es el opuesto al valor de entrada original, podemos escribir H ( t ) = s ( − t ) o H ( t ) = - t Observe que este es un cambio interno u horizontal, que incide en los valores de entrada, por lo que el signo negativo está en el interior de la función. Observe que estas transformaciones pueden afectar el dominio y el rango de las funciones. Mientras que la función original de raíz cuadrada tiene el dominio [ 0 , ∞ ) y rango [ 0 , ∞ ) , la reflexión vertical da a la función V ( t ) el rango ( - ∞ , 0 ] y la reflexión horizontal da a la función H ( t ) el dominio ( - ∞ , 0 ] . Ejercicio Refleje el gráfico de f ( x ) = | x – 1 | (a) verticalmente y (b) horizontalmente. Reflejar una función tabular horizontalmente y verticalmente Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para las funciones siguientes. Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 Ⓐ Para g ( x ) , el signo negativo fuera de la función indica una reflexión vertical, por lo que los valores de x siguen siendo los mismos y cada valor de salida será lo opuesto del valor original. Vea la . x 2 4 6 8 g ( x ) -1 -3 –7 –11 Ⓑ Para h ( x ) , el signo negativo dentro de la función indica una reflexión horizontal, por lo que cada valor de entrada será lo opuesto del valor original, en tanto que los valores h ( x ) se mantienen los mismos valores que los valores f ( x ) . Vea la . x −2 -4 −6 −8 h ( x ) 1 3 7 11 Ejercicio Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para las funciones siguientes. Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x −2 0 2 4 f ( x ) 5 10 15 20 Ⓐ g ( x ) = - f ( x ) x -2 0 2 4 g ( x ) - 5 − 10 − 15 − 20 Ⓑ h ( x ) = f ( - x ) x -2 0 2 4 h ( x ) 15 10 5 desconocido Aplicar una ecuación de modelo de aprendizaje Un modelo común para el aprendizaje tiene una ecuación similar a k ( t ) = - 2 - t + 1 , donde k es el porcentaje de dominio que se puede alcanzar después de t sesiones de práctica. Se trata de una transformación de la función f ( t ) = 2 t que se muestra en la . Dibuje un gráfico de k ( t ) . Esta ecuación combina tres transformaciones en una sola ecuación. Una reflexión horizontal: f ( − t ) = 2 - t Una reflexión vertical: − f ( − t ) = - 2 - t Un desplazamiento vertical: − f ( − t ) + 1 = - 2 - t + 1 Podemos dibujar un gráfico al aplicar estas transformaciones, una a la vez, a la función original. Sigamos dos puntos a través de cada una de las tres transformaciones. Elegiremos los puntos (0, 1) y (1, 2). Primero, aplicamos una reflexión horizontal: (0, 1) (–1, 2). Luego, aplicamos una reflexión vertical: (0, −1) (-1, –2). Por último, aplicamos un desplazamiento vertical: (0, 0) (-1, -1). Esto significa que los puntos originales, (0,1) y (1,2) se convierten en (0,0) y (-1,-1) después de que aplicamos las transformaciones. En la , el primer gráfico resulta de una reflexión horizontal. El segundo resulta de una reflexión vertical. El tercero resulta del desplazamiento vertical hacia arriba en 1 unidad. Análisis Como modelo para el aprendizaje, esta función se limitaría a un dominio de t ≥ 0 , con el rango correspondiente [ 0 , 1 ) . Ejercicio Dada la función de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 , grafique g ( x ) = - f ( x ) y h ( x ) = f ( - x ) . Tome nota de cualquier comportamiento sorprendente de estas funciones. Observe que: g ( x ) = f ( - x ) tiene el mismo aspecto que f ( x ) . Determinar las funciones pares e impares Algunas funciones presentan simetría, de modo que las reflexiones dan lugar al gráfico original. Por ejemplo, reflejar horizontalmente las funciones de la caja de herramientas f ( x ) = x 2 o f ( x ) = | x | dará lugar al gráfico original. Decimos que este tipo de gráficos es simétrico con respecto al eje y . Las funciones cuyos gráficos son simétricos respecto al eje y se denominan funciones pares. Si los gráficos de f ( x ) = x 3 o f ( x ) = 1 x se reflejaran alrededor de ambos ejes, el resultado sería el gráfico original, como se muestra en la . (a) La función cúbica de la caja de herramientas. (b) La reflexión horizontal de la función cúbica de la caja de herramientas. (c) Las reflexiones horizontales y verticales reproducen la función cúbica original. Decimos que estos gráficos son simétricos respecto al origen. La función cuyo gráfico es simétrico con respecto al origen recibe el nombre de función impar . Nota: La función no puede ser ni par ni impar si no exhibe alguna simetría. Por ejemplo, f ( x ) = 2 x no es ni par ni impar. También, la única función que es tanto par como impar es la función constante f ( x ) = 0 . Funciones pares e impares Una función se define como función par si para cada entrada x f ( x ) = f ( - x ) El gráfico de función par es simétrico respecto al eje y . Una función se define como función impar si para cada entrada x f ( x ) = - f ( - x ) El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Cómo Dada la fórmula de una función, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos. Determine si la función satisface f ( x ) = f ( - x ) . En caso afirmativo, es par. Determine si la función satisface f ( x ) = - f ( - x ) . En caso afirmativo, es impar. Si la función no cumple ninguna de las dos reglas, no es ni par ni impar. Determinar si una función es par, impar o ninguna de las dos ¿La función f ( x ) = x 3 + 2 x es par, impar, o ninguna de las dos? Sin mirar ningún gráfico, podemos determinar si la función es par o impar al hallar las fórmulas para las reflexiones y determinar si nos devuelven a la función original. Empecemos con la regla correspondiente a las funciones pares. f ( - x ) = ( - x ) 3 + 2 ( - x ) = - x 3 - 2 x Esto no nos regresa a la función original, por lo que esta función es impar. Ahora podemos probar la regla para las funciones impares. − f ( - x ) = - ( - x 3 - 2 x ) = x 3 + 2 x Dado que − f ( - x ) = f ( x ) , esta es una función impar. Análisis Consideremos el gráfico de f en la . Observe que el gráfico es simétrico respecto al origen. Para cada punto ( x , y ) en el gráfico, el punto correspondiente ( - x , − y ) también está en el gráfico. Por ejemplo, (1, 3) está en el gráfico de f , y el punto correspondiente ( –1 , −3 ) también está en el gráfico. Ejercicio ¿La función f ( s ) = s 4 + 3 s 2 + 7 es par, impar, o ninguna de las dos? números Graficar funciones mediante estiramiento y compresión Sumar una constante a las entradas o salidas de una función cambia la posición de un gráfico con respecto a los ejes, pero no afecta la forma de un gráfico. Ahora exploramos los efectos de multiplicar los valores de entrada o de salida por alguna cantidad. Podemos transformar el interior (valores de entrada) de una función o podemos transformar el exterior (valores de salida) de una función. Cada cambio tiene un efecto específico que puede verse gráficamente. Estiramiento y compresión vertical Cuando multiplicamos una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime verticalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante es mayor a 1, obtenemos un estiramiento vertical ; si la constante está entre 0 y 1, obtenemos una compresión vertical . La muestra una función multiplicada por los factores constantes 2 y 0,5 y el estiramiento y la compresión vertical resultantes. Estiramiento y compresión vertical Estiramiento y compresión vertical Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = a f ( x ) , donde a es una constante, es un estiramiento vertical o compresión vertical de la función f ( x ) . Si los valores de a > 1 , entonces el gráfico se estirará. Si los valores de 0 < a < 1 , entonces el gráfico se comprimirá. Si los valores de a < 0 , entonces habrá la combinación de estiramiento o compresión vertical con reflexión vertical. Cómo Dada una función, graficar su tramo vertical. Identifique el valor de a . Multiplique todos los valores del rango por a . Si los valores de a > 1 , el gráfico se estira por un factor de a . Si los valores de 0 < a < 1 , el gráfico se comprime por un factor de a . Si los valores de a < 0 , el gráfico se estira o se comprime y también se refleja alrededor del eje x . Graficar el estiramiento vertical Una función P ( t ) modela la población de moscas de la fruta. El gráfico se muestra en la . Un científico compara esta población con otra, Q , cuyo crecimiento sigue el mismo patrón, pero es el doble de tamaño. Dibuje un gráfico de esta población. Dado que la población siempre es el doble de grande, los valores de salida de la nueva población serán siempre el doble de los valores de salida de la función original. Gráficamente, esto se muestra en la . Si elegimos cuatro puntos de referencia, (0, 1), (3, 3), (6, 2) y (7, 0) multiplicaremos por 2 todos los valores de salida. A continuación se muestra dónde se ubicarán los nuevos puntos del nuevo gráfico. ( 0 , 1 ) → ( 0 , 2 ) ( 3 , 3 ) → ( 3 , 6 ) ( 6 , 2 ) → ( 6 , 4 ) ( 7 , 0 ) → ( 7 , 0 ) Simbólicamente, la relación se escribe como Q ( t ) = 2 P ( t ) Esto significa que para cualquier valor de entrada t , el valor de la función Q es el doble del valor de la función P . Observe que el efecto en el gráfico es su estiramiento vertical, donde cada punto duplica su distancia desde el eje horizontal. Los valores de entrada, t , se mantienen iguales, mientras que los valores de salida son el doble de antes. Cómo Dada una función tabular, y asumiendo que la transformación sea un estiramiento o una compresión vertical, crear una tabla para la compresión vertical. Determine el valor de la a . Multiplique todos los valores de salida por a . Hallar la compresión vertical de una función tabular Una función f viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = 1 2 f ( x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = 1 2 f ( x ) nos dice que los valores de salida de g son la mitad de los valores de salida de f con los mismos valores de entrada. Por ejemplo, sabemos que f ( 4 ) = 3. Entonces g ( 4 ) = 1 2 f ( 4 ) = 1 2 ( 3 ) = 3 2 Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la . x 2 4 6 8 g ( x ) 1 2 3 2 7 2 11 2 Análisis El resultado es que la función g ( x ) se ha comprimido verticalmente por 1 2 . Cada valor de salida se divide a la mitad, por lo que el gráfico tiene la mitad de la altura original. Ejercicio Una función f viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = 3 4 f ( x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 12 16 20 0 x 2 4 6 8 g ( x ) 9 12 15 0 Reconocer el estiramiento vertical El gráfico en la es la transformación de la función de caja de herramientas f ( x ) = x 3 . Relacione esta nueva función g ( x ) al f ( x ) , y luego halle una fórmula para g ( x ) . Al tratar de determinar el estiramiento o desplazamiento vertical, es útil buscar un punto en el gráfico que sea relativamente claro. En este gráfico, parece que g ( 2 ) = 2. Con la función cúbica básica en la misma entrada, f ( 2 ) = 2 3 = 8. En función de esto, parece que las salidas de g son 1 4 de los valores de salida de la función f porque g ( 2 ) = 1 4 f ( 2 ) . De esto podemos concluir con bastante seguridad que g ( x ) = 1 4 f ( x ) . Podemos escribir una fórmula para g con la definición de la función f . g ( x ) = 1 4 f ( x ) = 1 4 x 3 Ejercicio Escriba la fórmula para la función que obtenemos cuando estiramos la función de identidad de la caja de herramientas por un factor de 3, y luego la desplazamos hacia abajo en 2 unidades. g ( x ) = 3 x 2 Estiramiento y compresión horizontal Ahora, consideramos los cambios en el interior de una función. Cuando multiplicamos la entrada de una función por una constante positiva, obtenemos una función cuyo gráfico se estira o comprime horizontalmente en relación con el gráfico de la función original. Si la constante se ubica entre 0 y 1, obtenemos un estiramiento horizontal ; si la constante es mayor que 1, obtenemos una compresión horizontal de la función. Dada una función y = f ( x ) , la forma y = f ( b x ) da como resultado el estiramiento o compresión horizontal. Considere la función y = x 2 . Observe la . El gráfico de y = ( 0,5 x ) 2 es el estiramiento horizontal del gráfico de la función y = x 2 por un factor de 2. El gráfico de y = ( 2 x ) 2 es la compresión horizontal del gráfico de la función y = x 2 por un factor de 1 2 . Estiramiento y compresión horizontal Dada una función f ( x ) , una nueva función g ( x ) = f ( b x ) , donde b es una constante, es un estiramiento horizontal o una compresión horizontal de la función f ( x ) . Si los valores de b > 1 , entonces el gráfico se comprimirá por 1 b . Si los valores de 0 < b < 1 , entonces el gráfico se estirará por 1 b . Si b < 0 , entonces habrá una combinación de estiramiento o compresión horizontal con reflexión horizontal. Cómo Dada la descripción de una función, dibujar una compresión o estiramiento horizontal. Escriba una fórmula que represente la función. Establezca g ( x ) = f ( b x ) donde b > 1 para una compresión o 0 < b < 1 para un estiramiento. Graficar una compresión horizontal Supongamos que un científico compara una población de moscas de la fruta con una población que progresa a lo largo de su vida el doble de rápido que la población original. En otras palabras, esta nueva población, R , progresará en 1 hora lo mismo que la población original en 2 horas, y en 2 horas, progresará lo mismo que la población original en 4 horas. Dibuje un gráfico de esta población. Simbólicamente, podríamos escribir R ( 1 ) = P ( 2 ) , R ( 2 ) = P ( 4 ) , y en general, R ( t ) = P ( 2 t ) . Consulte la con respecto a la comparación gráfica entre la población original y la población comprimida. (a) Gráfico de población original (b) Gráfico de población comprimida Análisis Observe que el efecto en el gráfico es la compresión horizontal, donde todos los valores de entrada son la mitad de la distancia original desde el eje vertical. Hallar el estiramiento horizontal de una función tabular Una función f ( x ) viene dada como la . Cree una tabla para la función g ( x ) = f ( 1 2 x ) . x 2 4 6 8 f ( x ) 1 3 7 11 La fórmula g ( x ) = f ( 1 2 x ) nos indica que los valores de salida para g son los mismos que los de la función f a una entrada de la mitad de tamaño. Observe que no tenemos suficiente información para determinar g ( 2 ) porque g ( 2 ) = f ( 1 2 ⋅ 2 ) = f ( 1 ) , y no tenemos un valor para f ( 1 ) en nuestra tabla. Nuestros valores de entrada a g deberán ser el doble con el fin de obtener valores de entrada para f que podamos evaluar. Por ejemplo, podemos determinar g ( 4 ) . g ( 4 ) = f ( 1 2 ⋅ 4 ) = f ( 2 ) = 1 Hacemos lo mismo con los demás valores para obtener la . x 4 8 12 16 g ( x ) 1 3 7 11 La muestra los gráficos de estos dos conjuntos de puntos. Análisis Dado que cada valor de entrada se ha duplicado, el resultado es que la función g ( x ) se ha estirado horizontalmente por un factor de 2. Reconocer la compresión horizontal en un gráfico Relacione la función g ( x ) al f ( x ) en la . El gráfico de g ( x ) se parece al gráfico de f ( x ) comprimido horizontalmente. Dado que f ( x ) termina en ( 6 , 4 ) y g ( x ) termina en ( 2 , 4 ) , podemos ver que los valores de x se han comprimido por 1 3 , porque 6 ( 1 3 ) = 2. También podríamos observar que g ( 2 ) = f ( 6 ) y g ( 1 ) = f ( 3 ) . En cualquier caso, podemos describir esta relación como g ( x ) = f ( 3 x ) . Se trata de una compresión horizontal por 1 3 . Análisis Observe que el coeficiente necesario para el estiramiento o compresión horizontal es la reciprocidad del estiramiento o compresión. Así, para estirar el gráfico horizontalmente en un factor de escala de 4, necesitamos un coeficiente de 1 4 en nuestra función: f ( 1 4 x ) . Esto significa que los valores de entrada deberán ser el cuádruple para generar el mismo resultado, lo que exige que la entrada sea mayor, y lo que da como resultado el estiramiento horizontal. Ejercicio Escriba una fórmula para la función de raíz cuadrada de la caja de herramientas, estirada horizontalmente por un factor de 3. g ( x ) = f ( 1 3 x ) así que, con la función de raíz cuadrada, obtenemos g ( x ) = 1 3 x Realizar una secuencia de transformaciones Al combinar las transformaciones, es muy importante tener en cuenta el orden de las mismas. Por ejemplo, desplazar verticalmente en 3 y luego estirar verticalmente en 2 no crea el mismo gráfico que estirar verticalmente en 2 y luego desplazar verticalmente en 3, porque cuando desplazamos primero, tanto la función original como el desplazamiento se estiran, mientras que solo se estira la función original cuando estiramos primero. Cuando vemos una expresión como 2 f ( x ) + 3 , ¿con cuál transformación deberíamos comenzar primero? La respuesta se desprende del orden de las operaciones. Dado el valor de salida de f ( x ) , multiplicamos primero por 2, lo que causa el estiramiento vertical, y luego sumamos 3, lo que causa el desplazamiento vertical. Es decir, la multiplicación antes que la suma. Las transformaciones horizontales son un poco más complicadas. Cuando escribimos g ( x ) = f ( 2 x + 3 ) , por ejemplo, tenemos que pensar de qué manera las entradas a la función g se relacionan con las entradas a la función f . Supongamos que sabemos f ( 7 ) = 12. ¿Qué entrada a g produciría este valor de salida? En otras palabras, ¿qué valor de x permitirá g ( x ) = f ( 2 x + 3 ) = 12 ? Necesitaríamos 2 x + 3 = 7. Para resolver x , primero restamos 3, lo que causa un desplazamiento horizontal, y luego dividimos entre 2, lo que causa una compresión horizontal. Este formato acaba siendo muy difícil de trabajar, porque suele ser mucho más fácil estirar horizontalmente un gráfico antes de desplazarlo. Podemos evitarlo al factorizar dentro de la función. f ( b x + p ) = f ( b ( x + p b ) ) Exploremos un ejemplo. f ( x ) = ( 2 x + 4 ) 2 Podemos sacar un factor común 2. f ( x ) = ( 2 ( x + 2 ) ) 2 Ahora podemos observar con mayor claridad un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 2 unidades, así como una compresión horizontal. La factorización de este modo nos permite estirar primero en sentido horizontal y luego desplazar en sentido horizontal. Combinar transformaciones Al combinar las transformaciones verticales escritas en la forma a f ( x ) + k , primero se estira verticalmente por a y luego se desplaza verticalmente por k . Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f ( b x h ) , primero se desplaza horizontalmente por h b y luego se estira horizontalmente por 1 b . Cuando se combinan las transformaciones horizontales escritas en la forma f ( b ( x h ) ) , primero se estira horizontalmente por 1 b y luego se desplaza horizontalmente por h . Las transformaciones horizontal y vertical son independientes. No importa si se realizan primero las transformaciones horizontales o las verticales. Hallar la triple transformación de una función tabular Dada la para la función f ( x ) , cree una tabla de valores para la función g ( x ) = 2 f ( 3 x ) + 1. x 6 12 18 24 f ( x ) 10 14 15 17 Hay tres pasos para esta transformación, y trabajaremos desde adentro hacia afuera. Empezando por las transformaciones horizontales, f ( 3 x ) es una compresión horizontal por 1 3 , lo que significa que multiplicamos cada valor de x por 1 3 . Vea la . x 2 4 6 8 f ( 3 x ) 10 14 15 17 Al mirar ahora la transformación vertical, comenzamos con el estiramiento vertical, en el que multiplicaremos los valores de salida por 2. Aplicamos esto a la transformación anterior. Vea la . x 2 4 6 8 2 f ( 3 x ) 20 28 30 34 Por último, podemos aplicar el desplazamiento vertical, que sumará 1 a todos los valores de salida. Vea la . x 2 4 6 8 g ( x ) = 2 f ( 3 x ) + 1 21 29 31 35 Hallar la triple transformación de un gráfico Utilice el gráfico de f ( x ) en la para dibujar un gráfico de k ( x ) = f ( 1 2 x + 1 ) − 3, Para simplificar, empecemos por factorizar el interior de la función. f ( 1 2 x + 1 ) - 3 = f ( 1 2 ( x + 2 ) ) - 3 Al factorizar el interior, primero podemos estirar horizontalmente por 2, como indica el 1 2 en el interior de la función. Recuerde que el doble de 0 sigue siendo 0, por lo que el punto (0,2) se mantiene en (0,2) mientras que el punto (2,0) se estirará hasta (4,0). Vea la . A continuación, nos desplazamos horizontalmente hacia la izquierda 2 unidades, como se indica en x + 2. Vea la . Por último, nos desplazamos verticalmente en 3 unidades hacia abajo para completar nuestro dibujo, como indica el − 3 en el exterior de la función. Vea la . Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar la transformación de funciones. Transformaciones de funciones Ecuaciones clave Desplazamiento vertical g ( x ) = f ( x ) + k (hasta para k > 0 ). Desplazamiento horizontal g ( x ) = f ( x - h ) (a la derecha para h > 0 ). Reflexión vertical g ( x ) = - f ( x ) Reflexión horizontal g ( x ) = f ( - x ) Estiramiento vertical g ( x ) = a f ( x ) ( a > 1 ). Compresión vertical g ( x ) = a f ( x ) ( 0 < a < 1 ) Estiramiento horizontal g ( x ) = f ( b x ) ( 0 < b < 1 ) Compresión horizontal g ( x ) = f ( b x ) ( b > 1 ). Conceptos clave Una función puede desplazarse verticalmente al sumar una constante a la salida. Vea el y el . Una función puede desplazarse horizontalmente al sumar una constante a la entrada. Vea el , el y el . Relacionar el desplazamiento con el contexto de un problema permite comparar e interpretar los desplazamientos verticales y horizontales. Vea el . A menudo se combina el desplazamiento vertical con el horizontal. Vea el y el . La reflexión vertical refleja un gráfico con respecto al eje x . Un gráfico puede reflejarse verticalmente al multiplicar la salida por -1. La reflexión horizontal refleja un gráfico con respecto al eje y . Un gráfico puede relejarse horizontalmente al multiplicar la entrada por -1. Un gráfico puede reflejarse tanto vertical como horizontalmente. El orden en que se aplican las reflexiones no afecta el gráfico final. Vea el . Una función presentada en forma tabular también puede reflejarse al multiplicar los valores de las filas o columnas de entrada y salida según corresponda. Vea el . La función presentada en forma de ecuación puede reflejarse al aplicar las transformaciones una a la vez. Vea el . Las funciones pares son simétricas con respecto al eje y , mientras que las funciones impares son simétricas respecto al origen. Las funciones pares satisfacen la condición f ( x ) = f ( - x ) . Las funciones impares cumplen la condición f ( x ) = - f ( - x ) . Una función puede ser impar, par o ninguna de las dos. Vea el . Una función puede comprimirse o estirarse verticalmente al multiplicar la salida por una constante. Vea el , el y el . Una función puede comprimirse o estirarse horizontalmente al multiplicar la entrada por una constante. Vea el , el y el . El orden en el que se apliquen las distintas transformaciones no afecta la función final. Las transformaciones verticales y horizontales deberán aplicarse en el orden indicado. Sin embargo, una transformación vertical puede combinarse con una transformación horizontal en cualquier orden. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el desplazamiento horizontal del desplazamiento vertical? Se produce un desplazamiento horizontal cuando se suma o se resta una constante a la entrada. Se produce un desplazamiento vertical cuando se suma o se resta una constante a la salida. Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue el estiramiento horizontal del estiramiento vertical? Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue la compresión horizontal de la compresión vertical? Se produce una compresión horizontal cuando una constante mayor a 1 se multiplica por la entrada. Se produce una compresión vertical cuando una constante entre 0 y 1 se multiplica por la salida. Cuando se examina la fórmula de una función que es el resultado de varias transformaciones, ¿cómo se distingue una reflexión con respecto al eje x de una reflexión con respecto al eje y ? ¿Cómo se determina si una función es par o impar a partir de la fórmula de la función? Para una función f , sustituya ( - x ) por ( x ) en f ( x ) . Simplificar. Si la función resultante es la misma que la función original, f ( - x ) = f ( x ) , entonces la función es par. Si la función resultante es lo opuesto a la función original, f ( - x ) = - f ( x ) , entonces la función original es impar. Si la función no es igual o contraria, entonces la función no es ni par ni impar. Algebraicos Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = x se desplaza hacia arriba 1 unidad y hacia la izquierda 2 unidades. Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = | x | se desplaza hacia abajo en 3 unidades y a la derecha en 1 unidad. g ( x ) = | x 1 | - 3 Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = 1 x se desplaza hacia abajo en 4 unidades y a la derecha en 3 unidades. Escriba una fórmula para la función que se obtiene cuando el gráfico de f ( x ) = 1 x 2 se desplaza hacia arriba en 2 unidades y a la izquierda en 4 unidades. g ( x ) = 1 ( x + 4 ) 2 + 2 En los siguientes ejercicios, describa en qué medida el gráfico de la función es la transformación del gráfico de la función original f . y = f ( x − 49 ) y = f ( x + 43 ) El gráfico de f ( x + 43 ) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 43 unidades del gráfico de f . y = f ( x + 3 ) y = f ( x - 4 ) El gráfico de f ( x 4 ) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en 4 unidades del gráfico de f . y = f ( x ) + 5 y = f ( x ) + 8 El gráfico de f ( x ) + 8 es un desplazamiento vertical hacia arriba en 8 unidades del gráfico de f . y = f ( x ) - 2 y = f ( x ) - 7 El gráfico de f ( x ) - 7 es un desplazamiento vertical hacia abajo en 7 unidades del gráfico de f . y = f ( x - 2 ) + 3 y = f ( x + 4 ) - 1 El gráfico de f ( x + 4 ) - 1 es el desplazamiento horizontal hacia la izquierda en 4 unidades y el desplazamiento vertical hacia abajo en 1 unidad del gráfico de f . En los siguientes ejercicios, determine los intervalos en los que la función es creciente y decreciente. f ( x ) = 4 ( x + 1 ) 2 - 5 g ( x ) = 5 ( x + 3 ) 2 - 2 decreciente en ( - ∞ , - 3 ) y creciente en ( - 3 , ∞ ) a ( x ) = - x + 4 k ( x ) = - 3 x – 1 decreciente en [ 0 , ∞ ) Gráficos En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = 2 x que se muestra en la para dibujar un gráfico de cada transformación de f ( x ) . g ( x ) = 2 x + 1 h ( x ) = 2 x - 3 w ( x ) = 2 x – 1 En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico de la función como transformación del gráfico de una de las funciones de la caja de herramientas. f ( t ) = ( t + 1 ) 2 - 3 h ( x ) = | x – 1 | + 4 k ( x ) = ( x - 2 ) 3 - 1 m ( t ) = 3 + t + 2 Numéricos Las representaciones tabulares de las funciones f , g , y h se indican a continuación. Escriba g ( x ) y h ( x ) como transformaciones de f ( x ) . x −2 −1 0 1 2 f ( x ) −2 −1 −3 1 2 x −1 0 1 2 3 g ( x ) −2 −1 −3 1 2 x −2 −1 0 1 2 h ( x ) −1 0 −2 2 3 g ( x ) = f ( x 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1 Las representaciones tabulares de las funciones f , g , y h se indican a continuación. Escriba g ( x ) y h ( x ) como transformaciones de f ( x ) . x −2 −1 0 1 2 f ( x ) −1 −3 4 2 1 x −3 −2 −1 0 1 g ( x ) −1 −3 4 2 1 x −2 −1 0 1 2 h ( x ) −2 -4 3 1 0 En los siguientes ejercicios, escriba una ecuación por cada función graficada mediante el empleo de las transformaciones de los gráficos de una de las funciones de la caja de herramientas. f ( x ) = | x 3 | - 2 f ( x ) = x + 3 - 1 f ( x ) = ( x 2 ) 2 f ( x ) = | x + 3 | - 2 En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las transformaciones de la función de raíz cuadrada para hallar una fórmula por cada una de las funciones. f ( x ) = - x En los siguientes ejercicios, utilice los gráficos de las funciones transformadas de la caja de herramientas para escribir una fórmula por cada una de las funciones resultantes. f ( x ) = - ( x + 1 ) 2 + 2 f ( x ) = - x + 1 En los siguientes ejercicios, determine si la función es par, impar o ninguna de las dos. f ( x ) = 3 x 4 números g ( x ) = x h ( x ) = 1 x + 3 x impar f ( x ) = ( x - 2 ) 2 g ( x ) = 2 x 4 números h ( x ) = 2 x – x 3 En los siguientes ejercicios, describa de qué manera el gráfico de cada función es la transformación del gráfico de la función original f . g ( x ) = - f ( x ) El gráfico de g es una reflexión vertical (a través del eje x ) del gráfico de f . g ( x ) = f ( - x ) g ( x ) = 4 f ( x ) El gráfico de g es un estiramiento vertical por un factor de 4 del gráfico de f . g ( x ) = 6 f ( x ) g ( x ) = f ( 5 x ) El gráfico de g es una compresión horizontal por un factor de 1 5 del gráfico de f . g ( x ) = f ( 2 x ) g ( x ) = f ( 1 3 x ) El gráfico de g es un estiramiento horizontal por un factor de 3 del gráfico de f . g ( x ) = f ( 1 5 x ) g ( x ) = 3 f ( - x ) El gráfico de g es una reflexión horizontal a través del eje y , así como el estiramiento vertical por un factor de 3 del gráfico de f . g ( x ) = - f ( 3 x ) En los siguientes ejercicios, escriba una fórmula para la función g que resulta cuando el gráfico de una determinada función de la caja de herramientas se transforma como se ha descrito. El gráfico de f ( x ) = | x | se refleja sobre el eje y , además de comprimirse horizontalmente por un factor de 1 4 . g ( x ) = | − 4 x | El gráfico de f ( x ) = x se refleja sobre el eje x , a la vez que se estira horizontalmente por un factor de 2. El gráfico de f ( x ) = 1 x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 3 , luego se desplaza 2 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo. g ( x ) = 1 3 ( x + 2 ) 2 - 3 El gráfico de f ( x ) = 1 x se estira verticalmente por un factor de 8, luego se desplaza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. El gráfico de f ( x ) = x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 , luego se desplaza 5 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba. g ( x ) = 1 2 ( x 5 ) 2 + 1 El gráfico de f ( x ) = x 2 se estira horizontalmente por un factor de 3, luego se desplaza 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo. En los siguientes ejercicios, describa cómo la fórmula es la transformación de una función de la caja de herramientas. Luego dibuje un gráfico de la transformación. g ( x ) = 4 ( x + 1 ) 2 - 5 El gráfico de la función f ( x ) = x 2 se desplaza hacia 1 unidad hacia la izquierda, se estira verticalmente por un factor de 4 y se desplaza 5 unidades hacia abajo. g ( x ) = 5 ( x + 3 ) 2 - 2 h ( x ) = - 2 | x - 4 | + 3 El gráfico de f ( x ) = | x | se estira verticalmente por un factor de 2, se desplaza horizontalmente 4 unidades hacia la derecha, se refleja a través del eje horizontal y luego se desplaza verticalmente 3 unidades hacia arriba. k ( x ) = - 3 x – 1 m ( x ) = 1 2 x 3 El gráfico de la función f ( x ) = x 3 se comprime verticalmente por un factor de 1 2 . n ( x ) = 1 3 | x - 2 | p ( x ) = ( 1 3 x ) 3 - 3 El gráfico de la función se estira horizontalmente por un factor de 3 y luego se desplaza verticalmente hacia abajo en 3 unidades. q ( x ) = ( 1 4 x ) 3 + 1 a ( x ) = - x + 4 El gráfico de f ( x ) = x se desplaza 4 unidades a la derecha y luego se refleja a través de la línea vertical x = 4. En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico en la para dibujar las transformaciones dadas. g ( x ) = f ( x ) - 2 g ( x ) = - f ( x ) g ( x ) = f ( x + 1 ) g ( x ) = f ( x - 2 ) función par aquella función cuyo gráfico permanece inalterado por la reflexión horizontal, f ( x ) = f ( - x ) , y es simétrica respecto al eje y compresión horizontal aquella transformación que comprime horizontalmente el gráfico de una función al multiplicar la entrada por una constante b > 1 reflexión horizontal aquella transformación que refleja el gráfico de una función a través del eje y al multiplicar la entrada por −1 desplazamiento horizontal aquella transformación que desplaza el gráfico de una función a la izquierda o a la derecha al sumar una constante positiva o negativa a la entrada estiramiento horizontal aquella transformación que estira horizontalmente el gráfico de una función al multiplicar la entrada por una constante 0 < b < 1 función impar aquella función cuyo gráfico se mantiene inalterado por la combinación de reflexión horizontal y reflexión vertical, f ( x ) = - f ( - x ) , y es simétrica respecto al origen compresión vertical la transformación de una función que se comprime o estira verticalmente al multiplicar la salida por una constante 0 < a < 1 reflexión vertical aquella transformación que refleja el gráfico de una función a través del eje x al multiplicar la salida por −1 desplazamiento vertical aquella transformación que desplaza el gráfico de una función hacia arriba o hacia abajo al sumar una constante positiva o negativa a la salida estiramiento vertical aquella transformación que estira el gráfico de una función verticalmente al multiplicar la salida por una constante a > 1

Matemáticas


Funciones de valor absoluto Las distancias en el espacio profundo pueden medirse en todas las direcciones. Por ello, es útil considerar la distancia en términos de valores absolutos (créditos: "s58y"/Flickr) Hasta la década de 1920, se creía que las llamadas nebulosas espirales eran nubes de polvo y gas en nuestra propia galaxia, a unas decenas de miles de años luz. Luego, el astrónomo Edwin Hubble demostró que estos objetos son galaxias en sí mismas, a distancias de millones de años luz. Hoy en día, los astrónomos pueden detectar galaxias que están a miles de millones de años luz. Las distancias en el universo se pueden medir en todas las direcciones. Por ello, vale la pena considerar la distancia como función de valor absoluto. En esta sección, investigaremos las funciones de valor absoluto . Comprensión del valor absoluto Recordemos que en su forma básica f ( x ) = | x | , la función de valor absoluto, es una de las funciones de nuestra caja de herramientas. La función de valor absoluto se considera comúnmente como la que proporciona la distancia del número a cero en una línea numérica. Algebraicamente, para cualquier valor de entrada, la salida es el valor sin importar el signo. Función de valor absoluto La función de valor absoluto se define como una función definida por partes f ( x ) = | x | = { x si x ≥ 0 - x si x < 0 Determinar un número dentro de una distancia prescrita Describa todos los valores x dentro de o que incluyan una distancia de 4 del número 5. Queremos que la distancia entre x y 5 sea menor o igual a 4. Podemos dibujar una línea numérica, como la que aparece en la , para representar la condición a satisfacer. La distancia de x a 5 se puede representar con el valor absoluto como | x - 5 | . Queremos los valores de x que cumplen la condición | x - 5 | ≤ 4. Análisis Observe que − 4 ≤ x - 5 x - 5 ≤ 4 1 ≤ x x ≤ 9 Así que | x - 5 | ≤ 4 equivale a 1 ≤ x ≤ 9. Sin embargo, los matemáticos suelen preferir la notación en valor absoluto. Ejercicio Describa todos los valores x a una distancia de 3 del número 2. | x - 2 | ≤ 3 Resistencia de un resistor Las piezas eléctricas, como los resistores y los condensadores, vienen con valores especificados de sus parámetros de funcionamiento: resistencia, capacitancia, etc. Sin embargo, debido a la imprecisión en la fabricación, los valores reales de estos parámetros varían un poco de una pieza a otra, incluso cuando se supone que sean los mismos. Lo mejor que pueden hacer los fabricantes es garantizar que las variaciones se mantengan dentro de un rango específico, a menudo ±1 %, ± 5 %, o ± 10% . Supongamos que tenemos un resistor de 680 ohmios, ± 5 % . Utilice la función de valor absoluto para expresar el rango de valores posibles de la resistencia real. El 5 % de 680 ohmios es 34 ohmios. El valor absoluto de la diferencia entre la resistencia real y la nominal no debería superar la variabilidad indicada, por lo que, con la resistencia R en ohmios, | R − 680 | ≤ 34 Ejercicio Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 20 puntos de 80 superarán la prueba. Escríbalo como una distancia de 80 con la notación de valor absoluto. al utilizar la variable p para aprobar, | p − 80 | ≤ 20 Graficar una función de valor absoluto La característica más significativa del gráfico de valor absoluto es el vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Este punto se muestra en el origen en la . La muestra el gráfico de y = 2 | x – 3 | + 4. El gráfico de y = | x | se ha desplazado 3 unidades a la derecha, se ha estirado verticalmente por un factor de 2 y se ha desplazado 4 unidades hacia arriba. Esto significa que el vértice se encuentra en ( 3 , 4 ) para esta función transformada. Escribir una ecuación para una función de valor absoluto Escriba una ecuación para la función graficada en la . La función básica de valor absoluto cambia de dirección en el origen, por lo que este gráfico se ha desplazado 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo desde la función básica de la caja de herramientas. Vea la . También observamos que el gráfico aparece estirado verticalmente, porque la anchura del gráfico final sobre una línea horizontal no es igual al doble de la distancia vertical desde la esquina a esta línea, como lo sería para una función de valor absoluto no estirada. En cambio, la anchura es igual a 1 vez la distancia vertical, como se indica en la . A partir de esta información escribimos la ecuación f ( x ) = 2 | x - 3 | - 2 , al tratar el estiramiento como vertical; o f ( x ) = | 2 ( x - 3 ) | - 2 , al tratar el estiramiento como compresión horizontal . Análisis Observe que estas ecuaciones son equivalentes desde el punto de vista algebraico: el estiramiento de una función de valor absoluto se escribe indistintamente como estiramiento o compresión vertical u horizontal. Nótese además que, si el factor de estiramiento vertical es negativo, también hay una reflexión sobre el eje de la x. PREGUNTAS Y RESPUESTAS Si no pudiéramos observar el estiramiento de la función a partir de los gráficos, ¿podríamos determinarlo algebraicamente? Sí. Si no podemos determinar el estiramiento con base en la anchura del gráfico, podemos resolver el factor de estiramiento al colocar un par de valores conocidos para x y f ( x ) . f ( x ) = a | x - 3 | - 2 Ahora, sustituyendo en el punto (1, 2) 2 = a | 1 - 3 | - 2 4 = 2 a a = 2 Ejercicio Escriba la ecuación de la función de valor absoluto que se desplaza horizontalmente 2 unidades a la izquierda, se invierte verticalmente y se desplaza verticalmente hacia arriba 3 unidades. f ( x ) = - | x + 2 | + 3 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Los gráficos de las funciones de valor absoluto siempre se cruzan con el eje vertical? ¿Con el eje horizontal? Sí, siempre se cruzan con el eje vertical. El gráfico de una función de valor absoluto intersecará el eje vertical cuando la entrada sea cero. No, no siempre se cruzan con el eje horizontal. El gráfico puede o no intersecar el eje horizontal, dependiendo de cómo se haya desplazado y reflejado el gráfico. Es posible que la función de valor absoluto se cruce con el eje horizontal en cero, uno o dos puntos (ver la ). (a) La función valor absoluto no interseca el eje horizontal. (b) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en un punto. (c) La función valor absoluto interseca el eje horizontal en dos puntos. Resolver una ecuación de valor absoluto Ahora que podemos graficar una función de valor absoluto, aprenderemos a resolver una ecuación de valor absoluto. Para resolver una ecuación como 8 = | 2 x - 6 | , observamos que el valor absoluto será igual a 8 si la cantidad dentro del valor absoluto es 8 o -8. Esto nos lleva a dos ecuaciones distintas que podemos resolver independientemente. 2 x - 6 = 8 o 2 x - 6 = - 8 2 x = 14 2 x = - 2 x = 7 x = - 1 Resulta útil saber cómo resolver problemas que impliquen funciones de valor absoluto . Por ejemplo, tendríamos que identificar números o puntos en una línea que están a una distancia determinada de un punto de referencia dado. La ecuación de valor absoluto es aquella en la que la variable desconocida aparece en barras de valor absoluto. Por ejemplo, | x | = 4 , | 2 x – 1 | = 3 | 5 x + 2 | − 4 = 9 Soluciones a las ecuaciones de valor absoluto Para los números reales A y B , una ecuación de la forma | A | = B , con la B ≥ 0 , tendrá soluciones cuando A = B o A = − B . Si B < 0 , la ecuación | A | = B no tiene solución. Cómo Dada la fórmula de una función de valor absoluto, hallar las intersecciones horizontales de su gráfico . Aísle el término de valor absoluto. Utilice | A | = B para escribir A = B o −A = B , asumiendo que B > 0 . Resuelva para x . Hallar los ceros de una función de valor absoluto Para la función f ( x ) = | 4 x + 1 | − 7 , halle los valores de x tales que f ( x ) = 0 . 0 = | 4 x + 1 | − 7 Sustituya f(x) por 0. 7 = | 4 x + 1 | Aísle el valor absoluto en un lado de la ecuación. 7 = 4 x + 1 o − 7 = 4 x + 1 6 = 4 x - 8 = 4 x x = 6 4 = 1,5 x = - 8 4 = - 2 Divida en dos ecuaciones y resuelva. La función da como resultado 0 cuando x = 1,5 o x = − 2. Vea la . Ejercicio Para la función f ( x ) = | 2 x – 1 | - 3 , calcule los valores de x tales que f ( x ) = 0 . x = - 1 o x = 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Debemos esperar siempre dos respuestas al resolver | A | = B ? No. Podemos encontrar una, dos o incluso ninguna respuesta. Por ejemplo, no hay solución para 2 + | 3 x - 5 | = 1. Cómo Dada una ecuación de valor absoluto, resolverla. Aísle el término de valor absoluto. Utilice | A | = B para escribir A = B o A = −B . Resuelva para x . Resolver una ecuación de valor absoluto Resuelva 1 = 4 | x - 2 | + 2. Aislando el valor absoluto en un lado de la ecuación se obtiene lo siguiente. 1 = 4 | x - 2 | + 2 – 1 = 4 | x - 2 | - 1 4 = | x - 2 | El valor absoluto siempre arroja un valor positivo, por lo que es imposible que sea igual a un valor negativo. En este punto, observamos que esta ecuación no tiene soluciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS En el , si f ( x ) = 1 y g ( x ) = 4 | x - 2 | + 2 se graficarán en el mismo conjunto de ejes, ¿se cruzarían los gráficos? No. Los gráficos de f y g no se cruzarían, como se muestra en la . Esto confirma gráficamente que la ecuación 1 = 4 | x - 2 | + 2 no tiene solución. Ejercicio Halle dónde el gráfico de la función f ( x ) = - | x + 2 | + 3 cruza los ejes horizontal y vertical. f ( 0 ) = 1 , para que el gráfico cruce el eje vertical en ( 0 , 1 ) . f ( x ) = 0 cuando x = - 5 y x = 1 de modo que el gráfico interseca el eje horizontal en ( - 5 , 0 ) y ( 1 , 0 ) . Resolver una inecuación de valor absoluto Las ecuaciones de valor absoluto no siempre implican igualdad. En cambio, quizá tengamos que resolver una ecuación dentro de un rango de valores. Utilizaríamos una inecuación de valor absoluto para resolver dicha ecuación. La inecuación de valor absoluto es una ecuación de la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B , donde la expresión A (y posiblemente, pero no usualmente B ) depende de una variable x . Resolver la inecuación significa hallar el conjunto de todos los valores x que satisfacen la inecuación. Normalmente este conjunto será un intervalo o la unión de dos intervalos. Hay dos enfoques básicos para resolver inecuaciones de valor absoluto: el gráfico y el algebraico. La ventaja del enfoque gráfico es que podemos leer la solución al interpretar los gráficos de dos funciones. La ventaja del enfoque algebraico es que produce soluciones que serían difíciles de leer en el gráfico. Por ejemplo, sabemos que todos los números dentro de las 200 unidades de 0 pueden expresarse como | x | < 200 o − 200 < x < 200 Supongamos que queremos conocer todo el rendimiento posible de una inversión si pudiéramos ganar alguna cantidad de dinero entre 200 y 600 dólares. Podemos resolver algebraicamente el conjunto de valores x tales que la distancia entre x y 600 es menos de 200. Representamos la distancia entre x y 600 como | x − 600 | . | x − 600 | < 200 o − 200 < x − 600 < 200 − 200 + 600 < x − 600 + 600 < 200 + 600 400 < x < 800 Esto significa que nuestro rendimiento estaría entre 400 y 800 dólares. A veces un problema de inecuación de valor absoluto se nos presentará en términos de una función de valor absoluto desplazada, estirada o comprimida, donde debemos determinar para qué valores de la entrada será la salida de la función negativa o positiva. Cómo Dada una inecuación de valor absoluto de la forma | x − A | ≤ B para números reales a y b donde b es positivo, resolver la inecuación de valor absoluto algebraicamente. Halle los puntos límite al resolver | x − A | = B . Pruebe los intervalos creados por los puntos límite para determinar dónde | x − A | ≤ B . Escriba el intervalo o la unión de intervalos que satisfagan la inecuación en notación de intervalo, inecuación o constructor de conjuntos. Resolver una inecuación de valor absoluto Resuelva | x - 5 | < 4. Con ambos enfoques, tendremos que saber primero dónde se cumple la igualdad correspondiente. En este caso, primero hallaremos dónde | x - 5 | = 4. Hacemos esto porque el valor absoluto es una función ininterrumpida, por lo que la única manera de que los valores de la función pasen de ser menores a 4 a ser mayores que 4 es pasando por donde los valores son iguales a 4. Resuelva | x - 5 | = 4. x - 5 = 4 x = 9 o x - 5 = – 4 x = 1 Tras determinar que el valor absoluto es igual a 4 en x = 1 y x = 9 , sabemos que el gráfico solo pasa de ser menor a mayor que 4 en estos valores. Esto divide la línea numérica en tres intervalos: x < 1 , 1 < x < 9 , y x > 9. Para determinar cuándo la función es menor que 4, podríamos elegir un valor en cada intervalo y ver si la salida es menor o mayor que 4, como se muestra en la . Prueba para los intervalos x f ( x ) < 4 o > 4 ? x < 1 0 | 0 − 5 | = 5 Mayor que 1 < x < 9 6 | 6 − 5 | = 1 Menor que x > 9 11 | 11 − 5 | = 6 Mayor que Ya que 1 < x < 9 es el único intervalo en el que la salida en el valor de prueba es menor que 4, podemos concluir que la solución de | x - 5 | < 4 es 1 < x < 9 , o ( 1 , 9 ) . Para utilizar un gráfico, podemos esbozar la función f ( x ) = | x - 5 | . Para ver dónde las salidas son 4, la línea g ( x ) = 4 también podría esbozarse como en la . Gráfico para hallar los puntos que satisfacen una inecuación de valor absoluto. Podemos ver lo siguiente: Los valores de salida del valor absoluto son iguales a 4 en x = 1 y x = 9. El gráfico de f está por debajo del gráfico de g sobre 1 < x < 9. Esto significa que los valores de salida de f ( x ) son menores que los de g ( x ) . El valor absoluto es menor o igual a 4 entre estos dos puntos, cuando 1 < x < 9. En notación de intervalo, este sería el intervalo ( 1 , 9 ) . Análisis Para inecuaciones de valor absoluto, | x − A | < C , | x − A | > C , − C < x − A < C , x − A < − C o x − A > C . Los símbolos < o > pueden sustituirse por ≤ o ≥ . Así que, para este ejemplo, podríamos utilizar este otro enfoque. | x - 5 | < 4 - 4 < x - 5 < 4 Reescriba al eliminar las barras de valor absoluto . − 4 + 5 < x - 5 + 5 < 4 + 5 Aísle x . 1 < x < 9 Ejercicio Resuelva | x + 2 | ≤ 6. 8 ≤ x ≤ 4 Cómo Dada una función de valor absoluto, resolver el conjunto de entradas donde la salida es positiva (o negativa) Iguale la función a cero y resuelva los puntos límite del conjunto de soluciones. Utilice puntos de prueba o un gráfico para determinar dónde la salida de la función es positiva o negativa. Usar el enfoque gráfico para resolver inecuaciones de valor absoluto Dada la función f ( x ) = - 1 2 | 4 x - 5 | + 3 , determine los valores x para los que los valores de la función son negativos. Tratamos de determinar dónde f ( x ) < 0 , que es cuando − 1 2 | 4 x - 5 | + 3 < 0 . Empezamos por aislar el valor absoluto. − 1 2 | 4 x - 5 | < − 3 Multiplique ambos lados por –2 e invierta la inecuación . | 4 x - 5 | > 6 A continuación, resolvemos la igualdad | 4 x - 5 | = 6. 4 x - 5 = 6 o 4 x - 5 = − 6 4 x - 5 = 6 4 x = - 1 x = 11 4 x = - 1 4 Ahora, examinamos el gráfico de f para observar dónde la salida es negativa. Observaremos dónde están las ramas por debajo del eje x . Observe que ni siquiera es importante el aspecto exacto del gráfico, siempre que sepamos que cruza el eje horizontal en x = - 1 4 y x = 11 4 y que el gráfico se ha reflejado verticalmente. Vea la . Observamos que el gráfico de la función está por debajo del eje x a la izquierda de x = - 1 4 y a la derecha de x = 11 4 . Esto significa que los valores de la función son negativos a la izquierda de la primera intersección horizontal en x = - 1 4 , y negativos a la derecha de la segunda intersección en x = 11 4 . Esto nos da la solución a la inecuación. x < - 1 4 o x > 11 4 En notación de intervalo, esto sería ( - ∞ , − 0,25 ) ∪ ( 2,75 , ∞ ) . Ejercicio Resuelva − 2 | k − 4 | ≤ − 6. k ≤ 1 o k ≥ 7 ; en notación de intervalo, esto sería ( - ∞ , 1 ] ∪ [ 7 , ∞ ) Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con el valor absoluto. Graficar funciones de valor absoluto Graficar funciones de valor absoluto 2 Ecuaciones de la función de valor absoluto Ecuaciones de la función de valor absoluto 2 Resolver ecuaciones de valor absoluto Conceptos clave La función de valor absoluto se utiliza habitualmente para medir las distancias entre los puntos. Vea el . Los problemas aplicados, como los rangos de valores posibles, también se resuelven con la función de valor absoluto. Vea el . El gráfico de la función valor absoluto se parece a una letra V. Tiene un vértice en el que el gráfico cambia de dirección. Vea el . En una ecuación de valor absoluto, una incógnita de la variable es la entrada de una función de valor absoluto. Si el valor absoluto de una expresión es igual a un número positivo, espere dos soluciones para la incógnita. Vea el . La ecuación de valor absoluto puede tener una solución, dos soluciones o ninguna solución. Vea el . La inecuación de valor absoluto es similar a una ecuación de valor absoluto, pero tiene la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B . Se resuelve al delimitar el conjunto de soluciones y luego probar cuáles segmentos están en el conjunto. Vea el . Las inecuaciones de valor absoluto se resuelven gráficamente. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cómo se resuelve la ecuación de valor absoluto? Aísle el término de valor absoluto para que la ecuación sea de la forma | A | = B . Forme una ecuación al igualar la expresión dentro del símbolo de valor absoluto, A , a la expresión del otro lado de la ecuación, B . Forme una segunda ecuación al igualar A al opuesto de la expresión del otro lado de la ecuación, − B . Resuelva cada ecuación para la variable. ¿Cómo sabe si una función de valor absoluto tiene dos intersecciones en x sin representar gráficamente la función? Al resolver una función de valor absoluto, el término de valor absoluto aislado es igual a un número negativo. ¿Qué le dice eso sobre el gráfico de la función de valor absoluto? El gráfico de la función de valor absoluto no cruza el eje x , por lo que está completamente por encima o por debajo del eje x . ¿Cómo utilizar el gráfico de una función de valor absoluto para determinar los valores x para los que los valores de la función son negativos? ¿Cómo se resuelve algebraicamente una inecuación de valor absoluto? En primer lugar, determine los límites al hallar la solución o las soluciones de la ecuación. Utilícelos para formar posibles intervalos de solución. Escoja un valor de prueba en cada intervalo para determinar cuál satisface la inecuación. Algebraicos Describa todos los números x que estén a una distancia de 4 del número 8. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. Describa todos los números x que estén a una distancia de 1 2 del número −4. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. | x + 4 | = 1 2 Describa la situación en la que la distancia en el punto x desde 10 es al menos 15 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. Halle todos los valores de la función f ( x ) tales que la distancia desde f ( x ) hasta el valor 8 sea inferior a 0,03 unidades. Exprese esto usando la notación de valor absoluto. | f ( x ) - 8 | < 0,03 En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones que aparecen a continuación y exprese la respuesta con la notación de conjuntos. | x + 3 | = 9 | 6 - x | = 5 { 1 , 11 } | 5 x - 2 | = 11 | 4 x - 2 | = 11 { 9 4 , 13 4 } 2 | 4 - x | = 7 3 | 5 - x | = 5 { 10 3 , 20 3 } 3 | x + 1 | − 4 = 5 5 | x - 4 | − 7 = 2 { 11 5 , 29 5 } 0 = - | x - 3 | + 2 2 | x - 3 | + 1 = 2 { 5 2 , 7 2 } | 3 x - 2 | = 7 | 3 x - 2 | = - 7 No hay solución | 1 2 x - 5 | = 11 | 1 3 x + 5 | = 14 { − 57 , 27 } − | 1 3 x + 5 | + 14 = 0 En los siguientes ejercicios, halle las intersecciones en x y en y de los gráficos de cada función. f ( x ) = 2 | x + 1 | − 10 ( 0 , − 8 ) ; ( − 6 , 0 ) , ( 4 , 0 ) f ( x ) = 4 | x - 3 | + 4 f ( x ) = - 3 | x - 2 | - 1 ( 0 , - 7 ) ; no hay intersecciones en x para f ( x ) = - 2 | x + 1 | + 6 En los siguientes ejercicios, resuelva cada inecuación y escriba la solución en notación de intervalo. | x - 2 | > 10 ( - ∞ , − 8 ) ∪ ( 12 , ∞ ) 2 | v − 7 | − 4 ≥ 42 | 3 x - 4 | ≤ 8 - 4 3 ≤ x ≤ 4 | x - 4 | ≥ 8 | 3 x - 5 | ≥ 13 ( - ∞ , − 8 3 ] ∪ [ 6 , ∞ ) | 3 x - 5 | ≥ − 13 | 3 4 x - 5 | ≥ 7 ( - ∞ , − 8 3 ] ∪ [ 16 , ∞ ) | 3 4 x - 5 | + 1 ≤ 16 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función de valor absoluto. Trace al menos cinco puntos a mano para cada gráfico. y = | x – 1 | y = | x + 1 | y = | x | + 1 En los siguientes ejercicios, grafique a mano las funciones dadas. y = | x | - 2 y = - | x | y = - | x | - 2 y = - | x - 3 | - 2 f ( x ) = - | x – 1 | - 2 f ( x ) = - | x + 3 | + 4 f ( x ) = 2 | x + 3 | + 1 f ( x ) = 3 | x - 2 | + 3 f ( x ) = | 2 x - 4 | - 3 f ( x ) = | 3 x + 9 | + 2 f ( x ) = - | x – 1 | - 3 f ( x ) = - | x + 4 | - 3 f ( x ) = 1 2 | x + 4 | - 3 En tecnología Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f ( x ) = 10 | x - 2 | en la ventana de visualización [ 0 , 4 ] . Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico. rango: [ 0 , 20 ] Utilice una herramienta gráfica para hacer un gráfico f ( x ) = − 100 | x | + 100 en la ventana de visualización [ − 5 , 5 ] . Identifique el rango correspondiente. Muestre el gráfico. En los siguientes ejercicios, grafique cada función con una herramienta gráfica. Especifique la ventana de visualización. f ( x ) = − 0,1 | 0,1 ( 0,2 − x ) | + 0,3 x : f ( x ) = 4 × 10 9 | x - ( 5 × 10 9 ) | + 2 × 10 9 Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva la inecuación. | - 2 x - 2 3 ( x + 1 ) | + 3 > −1 ( - ∞ , ∞ ) Si es posible, halle todos los valores de a tales que no haya x para f ( x ) = 2 | x + 1 | + a . Si es posible, halle todos los valores de a tales que no haya intersecciones en y para f ( x ) = 2 | x + 1 | + a . No hay solución para a que evitará que la función tenga una intersección en y . La función de valor absoluto siempre cruza la intersección en y cuando x = 0 Aplicaciones en el mundo real Las ciudades A y B están en la misma línea este-oeste. Supongamos que la ciudad A está situada en el origen. Si la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es de al menos 100 millas y x representa la distancia de la ciudad B a la ciudad A, expréselo con la notación de valor absoluto. La verdadera proporción p de personas que dan una calificación favorable al Congreso es del 8 % con un margen de error del 1,5 %. Describa esta afirmación mediante una ecuación de valor absoluto. | p − 0,08 | ≤ 0,015 Los alumnos que obtengan una puntuación inferior a 18 puntos del número 82 aprobarán un examen en particular. Escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto y utilice la variable x para la puntuación. Un maquinista debe producir un rodamiento que esté dentro de 0,01 pulgadas del diámetro correcto de 5,0 pulgadas. Utilizando x como el diámetro del rodamiento, escriba esta afirmación con la notación de valor absoluto. | x − 5,0 | ≤ 0,01 La tolerancia de un rodamiento de bolas es de 0,01. Si el diámetro real del rodamiento debe ser de 2,0 pulgadas y el valor medido del diámetro es x pulgadas, exprese la tolerancia con la notación de valor absoluto. ecuación del valor absoluto una ecuación de la forma | A | = B , con la B ≥ 0 ; tendrá soluciones cuando A = B o A = − B inecuación de valor absoluto una relación en la forma | A | < B , | A | ≤ B , | A | > B , o | A | ≥ B

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