Sistemas de ecuaciones lineales: dos variables Objetivos de aprendizaje Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2) Objetivo: Determinar si un par ordenado es solución de un sistema de ecuaciones (IA 4.1.1) Un sistema de ecuaciones lineales es un grupo de dos o más ecuaciones lineales. Por ejemplo, y = 2 x + 5 y = 2 x + 7 es un sistema de ecuaciones lineales Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un par ordenado x,y que es una solución para cada ecuación del sistema. Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 2 x 6 y = 0 3 x y = 5 en ( 3 , 1 ) y ( 3 , 4 ) Sustituimos (3, 1) en ambas ecuaciones: 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 2 ( 3 ) 6 ( 1 ) = 0 6 6 = 0 0 = 0 Verdadero 3 ( 3 ) 4 ( 1 ) = 5 9 4 = 5 5 = 5 Verdadero ( 3 , 1 ) es una solución para 2 x 6 y = 0 ( 3 , 1 ) es una solución para 3 x 4 y = 5 Conclusión: ya que ( 3 , 1 ) es una solución de ambas ecuaciones, entonces es una solución del sistema 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 A continuación sustituimos (-3, -1) en ambas ecuaciones: 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 2 ( 3 ) 6 ( 1 ) = 0 6 + 6 = 0 0 = 0 Verdadero 3 ( 3 ) 4 ( 1 ) = 5 9 + 4 = 5 5 = 5 Falso ( 3 , 1 ) es una solución para 2 x 6 y = 0 ( 3 , 1 ) no es una solución para 3 x 4 y = 5 Conclusión: Dado que ( 3 , 1 ) no es una solución de una de las ecuaciones, entonces no es una solución del sistema 2 x 6 y = 0 3 x 4 y = 5 La práctica hace la perfección Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 3 x + y = 0 x + 2 y = – 5 en ( 0 , 0 ) y ( 1 , 3 ) En (0, 0) 3 x + y = 0 x + 2 y = –5 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ En (1, -3) 3 x + y = 0 x + 2 y = –5 ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico (IA 4.1.2) Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico Haga un gráfico de la primera ecuación. Haga un gráfico de la segunda ecuación en el mismo sistema de coordenadas rectangulares. Determine si las líneas se intersecan, son paralelas o son la misma línea. Identifique la solución del sistema. Compruebe la solución en ambas ecuaciones. Si las líneas se intersecan, identifique el punto de intersección. Esta es la solución del sistema. Si las líneas son paralelas, el sistema no tiene soluciones. Si las líneas son iguales, el sistema tiene un número infinito de soluciones. Resuelva el sistema mediante un gráfico. Resuelva el sistema mediante un gráfico. x + y = 1 2 x + y = 10 Paso 1 Grafique x + y = 1 Podemos utilizar la forma de intersección de la pendiente: y = x + 1 Pendiente = 1 intersección en y: (0, 1) Paso 2 Grafique 2 x + y = 10 Podemos utilizar la forma de intersección de la pendiente: y = 2 x + 10 Pendiente = –2 intersección en y: (0, 10) Paso 3 Las líneas se intersecan Paso 4 La solución es el punto (3, 4) Paso 5 Comprobemos la solución: x + y = 1 2 x + y = 10 3 + 4 = 1 2 ( 3 ) + 4 = 10 1 = 1 10 = 10 Dado que (3, 4) es una solución de ambas ecuaciones, entonces es una solución del sistema x + y = 1 2 x + y = 10 Resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante un gráfico y = 2 x + 4 4 x + 2 y = 6 Paso 1 Grafique y = 2 x + 4 Pendiente = ________ intersección en y = ________ Paso 2 Grafique 4 x + 2 y = 6 Pendiente = ________ intersección en y = ________ Paso 3 ¿Las líneas se intersecan? ________ Paso 4 Lea en el gráfico el punto de intersección. ________ Paso 5 Compruebe la solución en ambas ecuaciones. ________ La práctica hace la perfección Determine si el par ordenado es una solución del sistema dado x 3 y = 8 3 x y = 4 Resuelva el siguiente sistema mediante un gráfico. y = 1 4 x + 2 x + 4 y = 8 (Créditos: Thomas Sørenes). Un fabricante de patinetas presenta una nueva línea de sus productos. El fabricante hace seguimiento de sus costos, lo cual es la cantidad que gasta para producir las patinetas, y de sus ingresos, lo cual es la cantidad que gana con su venta. ¿Cómo la compañía puede determinar si obtiene ganancias con su nueva línea? ¿Cuántas patinetas se deben producir y vender para obtener ganancias? En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder estas y otras preguntas similares. Introducción a los sistemas de ecuaciones Para investigar situaciones como la del fabricante de patinetas, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para dar con la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos hallar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber, al menos, tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única. En esta sección veremos los sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, lo cual consiste en dos ecuaciones que contienen dos variables diferentes. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos variables. 2 x + y = 15 3 x – y = 5 La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. En este ejemplo, el par ordenado (4, 7) es la solución del sistema de ecuaciones lineales. Podemos verificar la solución sustituyendo los valores en cada ecuación para ver si el par ordenado satisface ambas ecuaciones. En breve, investigaremos métodos para hallar esa solución, si es que existe. 2 ( 4 ) + ( 7 ) = 15 Verdadero 3 ( 4 ) - ( 7 ) = 5 Verdadero Además de considerar el número de ecuaciones y variables, clasificamos los sistemas de ecuaciones lineales por el número de soluciones. Un sistema consistente de ecuaciones tiene, al menos, una solución. Se considera que un sistema consistente es un sistema independiente si tiene una única solución, como el ejemplo que acabamos de explorar. Las dos líneas tienen pendientes diferentes y se intersecan en un punto del plano. Se considera que un sistema consistente es un sistema dependiente si las ecuaciones tienen la misma pendiente y las mismas intersecciones en y . En otras palabras, las líneas coinciden, por lo que las ecuaciones representan la misma línea. Cada punto de la línea representa un par de coordenadas que satisface el sistema. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones. Otro tipo de sistema de ecuaciones lineales es un sistema inconsistente , que es aquel en el que las ecuaciones representan dos líneas paralelas. Las líneas tienen la misma pendiente y diferentes intersecciones en y . No hay puntos comunes a ambas líneas; por lo tanto, no hay solución al sistema. Tipos de sistemas lineales Hay tres tipos de sistemas de ecuaciones lineales en dos variables, y tres tipos de soluciones. Un sistema independiente tiene exactamente un par de soluciones ( x , y ) . El punto de intersección de las dos líneas es la única solución. Un sistema inconsistente no tiene solución. Observe que las dos líneas son paralelas y nunca se intersecan. Un sistema dependiente tiene infinitas soluciones. Las líneas son coincidentes. Son la misma línea, por lo que cada par de coordenadas de la línea es una solución de ambas ecuaciones. En la se comparan las representaciones gráficas de cada tipo de sistema. Cómo Dado un sistema de ecuaciones lineales y un par ordenado, determine si el par ordenado es una solución. Sustituya el par ordenado en cada ecuación del sistema. Determine si los enunciados verdaderos resultan de la sustitución en ambas ecuaciones; si es así, el par ordenado es una solución. Cómo determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de ecuaciones Determine si el par ordenado ( 5 , 1 ) es una solución del sistema de ecuaciones dado. x + 3 y = 8 2 x - 9 = y Sustituya el par ordenado ( 5 , 1 ) en ambas ecuaciones. ( 5 ) + 3 ( 1 ) = 8 8 = 8 Verdadero 2 ( 5 ) - 9 = ( 1 ) 1 = 1 Verdadero El par ordenado ( 5 , 1 ) satisface ambas ecuaciones, por lo que es la solución del sistema. Análisis Podemos ver claramente la solución al trazar el gráfico de cada ecuación. Como la solución es un par ordenado que satisface ambas ecuaciones, es un punto en ambas líneas y, por tanto, el punto de intersección de las dos líneas. Vea la . Ejercicio Determine si el par ordenado ( 8 , 5 ) es una solución al siguiente sistema. 5 x -4 y = 20 2 x + 1 = 3 y No es una solución. Resolver sistemas de ecuaciones mediante un gráfico Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para un sistema de ecuaciones lineales en dos variables, podemos determinar tanto el tipo de sistema como la solución al graficar el sistema de ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Resolución de un sistema de ecuaciones de dos variables mediante un gráfico Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. Identifique el tipo de sistema. 2 x + y = −8 x - y = –1 Resuelva la primera ecuación para y . 2 x + y = −8 y = –2 x −8 Resuelva la segunda ecuación para y . x - y = −1 y = x + 1 Grafique ambas ecuaciones en el mismo conjunto de ejes que en la . Las líneas parecen intersecarse en el punto ( −3, −2 ) . Podemos comprobar que esta es la solución del sistema al sustituir el par ordenado en ambas ecuaciones. 2 ( −3 ) + ( −2 ) = −8 −8 = −8 Verdadero ( −3 ) - ( −2 ) = −1 −1 = −1 Verdadero La solución del sistema es el par ordenado ( −3, −2 ) , para que el sistema sea independiente. Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones mediante un gráfico. 2 x - 5 y = −25 − 4 x + 5 y = 35 La solución del sistema es el par ordenado ( −5 , 3 ) . PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede utilizar el gráfico si el sistema es inconsistente o dependiente? Sí, en ambos casos podemos graficar el sistema para determinar el tipo de sistema y la solución. Si las dos líneas son paralelas, el sistema no tiene solución y es inconsistente. Si las dos líneas son idénticas, el sistema tiene infinitas soluciones y es un sistema dependiente. Resolver sistemas de ecuaciones por sustitución Resolver un sistema lineal de dos variables mediante un gráfico funciona cuando la solución está formada por valores enteros. Sin embargo, si nuestra solución contiene decimales o fracciones, no es el método más preciso. Consideraremos dos métodos más para resolver un sistema de ecuaciones lineales que son más precisos que el gráfico. Uno de estos métodos es la resolución de un sistema de ecuaciones por el método de método de sustitución , en el que resolvemos una de las ecuaciones para una variable y luego sustituimos el resultado en la segunda ecuación para resolver la segunda variable. Recordemos que solo podemos resolver para una variable a la vez, que es la razón por la que el método de sustitución es valioso y práctico. Cómo Dado un sistema de dos ecuaciones en dos variables, resuelva mediante el método de sustitución. Resuelva una de las dos ecuaciones para una de las variables en términos de la otra. Sustituya la expresión de esta variable en la segunda ecuación y luego resuelva para la variable restante. Sustituya esa solución en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular el valor de la primera variable. Si es posible, escriba la solución como un par ordenado. Compruebe la solución en ambas ecuaciones. Resolver un sistema de ecuaciones en dos variables por sustitución Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución. − x + y = −5 2 x - 5 y = 1 Primero, resolveremos la primera ecuación para y . − x + y = −5 y = x −5 Ahora, podemos sustituir la expresión x −5 por y en la segunda ecuación. 2 x - 5 y = 1 2 x - 5 ( x - 5 ) = 1 2 x - 5 x + 25 = 1 - 3 x = −24 x = 8 Ahora, sustituimos x = 8 en la primera ecuación y resolvemos para y . − ( 8 ) + y = −5 y = 3 Nuestra solución es ( 8 , 3 ) . Compruebe la solución sustituyendo ( 8 , 3 ) en ambas ecuaciones. − x + y = - 5 − ( 8 ) + ( 3 ) = - 5 Verdadero 2 x - 5 y = 1 2 ( 8 ) - 5 ( 3 ) = 1 Verdadero Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución. x = y + 3 4 = 3 x −2 y ( –2 , −5 ) PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Se puede usar el método de sustitución para resolver cualquier sistema lineal en dos variables? Sí, pero el método funciona mejor si una de las ecuaciones contiene un coeficiente de 1 o –1 para no tener que lidiar con fracciones. Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables por el método de la suma Un tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales es el método de adición . En este método, sumamos dos términos con la misma variable, pero con coeficientes opuestos, para que la suma sea cero. Por supuesto, no todos los sistemas se establecen con los dos términos de una variable con coeficientes opuestos. A menudo, debemos ajustar una o las dos ecuaciones mediante multiplicación para que una de las variables se elimine con adición. Cómo Dado un sistema de ecuaciones, resuelva utilizando el método de adición. Escriba ambas ecuaciones con las variables x y y a la izquierda del signo de igual y las constantes a la derecha. Escriba una ecuación sobre la otra, y alinee las variables correspondientes. Si una de las variables de la ecuación superior tiene el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, sume las ecuaciones y elimine una variable. Si no es así, utilice la multiplicación por un número distinto de cero para que una de las variables de la ecuación superior tenga el coeficiente opuesto de la misma variable en la ecuación inferior, y luego sume las ecuaciones para eliminar la variable. Resuelva la ecuación resultante para la variable restante. Sustituya ese valor en una de las ecuaciones originales y resuelva para la segunda variable. Compruebe la solución sustituyendo los valores en la otra ecuación. Resolver un sistema por el método de adición Resuelva el sistema de ecuaciones dado por adición. x + 2 y = −1 - x + y = 3 Ambas ecuaciones ya están ajustadas a una constante. Observe que el coeficiente de x en la segunda ecuación, –1, es el opuesto al coeficiente de x en la primera ecuación, 1. Podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar x sin necesidad de multiplicar por una constante. x + 2 y = - 1 - x + y = 3 3 y = 2 Ahora que hemos eliminado x , podemos resolver la ecuación resultante para y . 3 y = 2 y = 2 3 A continuación, sustituya este valor por y en una de las ecuaciones originales y resuelva para x . − x + y = 3 - x + 2 3 = 3 - x = 3 - 2 3 - x = 7 3 x = - 7 3 La solución a este sistema es ( − 7 3 , 2 3 ) . Compruebe la solución en la primera ecuación. x + 2 y = −1 ( − 7 3 ) + 2 ( 2 3 ) = - 7 3 + 4 3 = - 3 3 = −1 = −1 Verdadero Análisis La representación gráfica de los sistemas de ecuaciones nos ofrece una perspectiva importante. Vea la para calcular que las ecuaciones se intersecan en la solución. No necesitamos preguntarnos si puede haber una segunda solución porque la observación del gráfico confirma que el sistema tiene exactamente una solución. Uso del método de adición cuando se requiere la multiplicación de una ecuación Resuelva el sistema de ecuaciones dado por el método de adición . 3 x + 5 y = −11 x - 2 y = 11 La adición de estas ecuaciones, tal y como se presentan, no eliminará ninguna variable. Sin embargo, vemos que la primera ecuación tiene 3 x en ella y la segunda ecuación tiene x . Así que si multiplicamos la segunda ecuación por −3 , los términos x se sumarán a cero. x −2 y = 11 −3 ( x −2 y ) = −3 ( 11 ) Multiplique ambos lados por -3. −3 x + 6 y = −33 Utilice la propiedad distributiva . Ahora, vamos a sumarlos. 3 x + 5 y = −11 −3 x + 6 y = −33 _______________ 11 y = -44 y = –4 Para el último paso, sustituya y = -4 en una de las ecuaciones originales y resuelva para x . 3 x + 5 y = − 11 3 x + 5 ( - 4 ) = − 11 3 x - 20 = − 11 3 x = 9 x = 3 Nuestra solución es el par ordenado ( 3 , –4 ) . Vea la . Compruebe la solución en la segunda ecuación original. x - 2 y = 11 ( 3 ) - 2 ( - 4 ) = 3 + 8 11 = 11 Verdadero Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones por adición. 2 x −7 y = 2 3 x + y = -20 ( –6 , –2 ) Usar el método de adición cuando se requiere la multiplicación de ambas ecuaciones Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición. 2 x + 3 y = −16 5 x −10 y = 30 Una ecuación tiene 2 x y el otro tiene 5 x . El mínimo común múltiplo es 10 x por lo que tendremos que multiplicar ambas ecuaciones por una constante para eliminar una variable. Eliminemos x multiplicando la primera ecuación por −5 y la segunda ecuación por 2. − 5 ( 2 x + 3 y ) = - 5 ( −16 ) − 10 x - 15 y = 80 2 ( 5 x - 10 y ) = 2 ( 30 ) 10 x - 20 y = 60 A continuación, sumamos las dos ecuaciones. −10 x −15 y = 80 10 x -20 y = 60 ________________ −35 y = 140 y = –4 Sustituya y = -4 en la primera ecuación original. 2 x + 3 ( –4 ) = −16 2 x - 12 = −16 2 x = -4 x = –2 La solución es ( –2 , –4 ) . Compruébelo en la otra ecuación. 5 x −10 y = 30 5 ( −2 ) −10 ( –4 ) = 30 −10 + 40 = 30 30 = 30 Vea la . Usar el método de adición en sistemas de ecuaciones que contienen fracciones Resuelva el sistema de ecuaciones en dos variables dado por adición. x 3 + y 6 = 3 x 2 - y 4 =  1 Primero despeje cada ecuación de fracciones y multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador. 6 ( x 3 + y 6 ) = 6 ( 3 ) 2 x + y = 18 4 ( x 2 - y 4 ) = 4 ( 1 ) 2 x - y = 4 Ahora, multiplique la segunda ecuación por −1 para poder eliminar la variable x . −1 ( 2 x - y ) = −1 ( 4 ) −2 x + y = –4 Sume las dos ecuaciones para eliminar la variable x y resuelva la ecuación resultante. 2 x + y = 18 −2 x + y = -4 _____________ 2 y = 14 y = 7 Sustituya y = 7 en la primera ecuación. 2 x + ( 7 ) = 18 2 x = 11 x = 11 2 = 5,5 La solución es ( 11 2 , 7 ) . Compruébelo en la otra ecuación. x 2 - y 4 = 1 11 2 2 - 7 4 = 1 11 4 - 7 4 = 1 4 4 = 1 Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones por adición. 2 x + 3 y = 8 3 x + 5 y = 10 ( 10 , –4 ) Identificar sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen dos variables Ahora que tenemos varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones, podemos usar los métodos para identificar sistemas inconsistentes. Recordemos que un sistema inconsistente está formado por líneas paralelas que tienen la misma pendiente, pero diferente intersección y . Nunca se intersecarán. Al buscar una solución a un sistema inconsistente, llegaremos a un enunciado falso, como 12 = 0, Resolver un sistema inconsistente de ecuaciones Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones. x = 9 −2 y x + 2 y = 13 Podemos abordar este problema de dos maneras. Debido a que una ecuación ya está resuelta para x , el paso más obvio es utilizar sustitución. x + 2 y = 13 ( 9 − 2 y ) + 2 y = 13 9 + 0 y = 13 9 = 13 Es evidente que este enunciado es una contradicción porque 9 ≠ 13. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. El segundo enfoque sería manipular primero las ecuaciones para que ambas estén en forma de intersección de pendientes. Manipulamos la primera ecuación de la siguiente manera. x = 9 −2 y 2 y = - x + 9 y = - 1 2 x + 9 2 A continuación, convertimos la segunda ecuación expresada en forma de intersección de pendiente. x + 2 y = 13 2 y = - x + 13 y = - 1 2 x + 13 2 Al comparar las ecuaciones, vemos que tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones en y . Por lo tanto, las líneas son paralelas y no se intersecan. y = - 1 2 x + 9 2 y = - 1 2 x + 13 2 Análisis Al escribir las ecuaciones en forma de intersección de pendientes se confirma que el sistema es inconsistente porque todas las líneas finalmente se intersecan, a menos que sean paralelas. Las líneas paralelas nunca se intersecan; por lo tanto, las dos líneas no tienen puntos en común. Los gráficos de las ecuaciones de este ejemplo se muestran en la . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables. 2 y −2 x = 2 2 y −2 x = 6 No hay solución. Es un sistema inconsistente. Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene dos variables Recordemos que un sistema dependiente de ecuaciones en dos variables es un sistema en el cual las dos ecuaciones representan la misma línea. Los sistemas dependientes tienen un número infinito de soluciones porque todos los puntos de una recta están también en la otra. Después de utilizar la sustitución o la adición, la ecuación resultante será una identidad, como 0 = 0, Hallar la solución a un sistema dependiente de ecuaciones lineales Halle una solución al sistema de ecuaciones mediante el método de adición . x + 3 y = 2 3 x + 9 y = 6 Con el método de adición queremos eliminar una de las variables sumando las ecuaciones. En este caso, vamos a centrarnos en eliminar x . Si multiplicamos ambos lados de la primera ecuación por −3 , entonces podremos eliminar la variable x . x + 3 y = 2 ( −3 ) ( x + 3 y ) = ( −3 ) ( 2 ) −3 x - 9 y = − 6 Ahora sume las ecuaciones. − 3 x - 9 y = −6 + 3 x + 9 y = 6 ______________ 0 = 0 Podemos ver que habrá un número infinito de soluciones que satisfagan ambas ecuaciones. Análisis Si reescribimos ambas ecuaciones en la forma pendiente-intersección, podríamos saber cómo sería la solución antes de sumar. Veamos lo que ocurre cuando convertimos el sistema a la forma pendiente-intersección. x + 3 y = 2 3 y = - x + 2 y = - 1 3 x + 2 3 3 x + 9 y = 6 9 y = −3 x + 6 y = - 3 9 x + 6 9 y = - 1 3 x + 2 3 Vea la . Observe que los resultados son los mismos. La solución general del sistema es ( x , − 1 3 x + 2 3 ) . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en dos variables. y −2 x = 5 −3 y + 6 x = −15 El sistema es dependiente, por lo que existen infinitas soluciones de la forma ( x , 2 x + 5 ) . Usar sistemas de ecuaciones para investigar ganancias Con base en lo que hemos aprendido sobre los sistemas de ecuaciones, podemos volver al problema de fabricación de patinetas del principio de la sección. La función de ingresos del fabricante de patinetas es la función utilizada para calcular la cantidad de dinero que entra al negocio. Se puede representar mediante la ecuación R = x p , donde x = cantidad y p = precio. La función de ingresos se muestra en naranja en la . La función de costo es la función utilizada para calcular los costos de la actividad comercial. Incluye los costos fijos, como el alquiler y los salarios, y los costos variables, como los servicios públicos. La función de costo se muestra en azul en la . El eje x representa la cantidad en cientos de unidades. El eje y representa los costos o los ingresos en cientos de dólares. El punto de intersección de las dos líneas se denomina punto de equilibrio . Observamos en el gráfico que, si se producen 700 unidades, el costo es de 3.300 dólares y los ingresos también son de 3.300 dólares. En otras palabras, la compañía alcanza el equilibrio si produce y vende 700 unidades. No ganan ni pierden dinero. La región sombreada a la derecha del punto de equilibrio representa las cantidades por las cuales la compañía obtiene ganancias. La región sombreada de la izquierda representa las cantidades por las que la empresa sufre pérdidas. La función de ganancias es la función de ingresos menos la función de costo, escrita como P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) . Está claro que conocer la cantidad para la cual el costo es igual a los ingresos es de gran importancia para los negocios. Hallar el punto de equilibrio y la función de ganancias mediante sustitución Dada la función de costo C ( x ) = 0,85 x + 35.000 y la función de ingresos R ( x ) = 1,55 x , calcule el punto de equilibrio y la función de ganancias. Escriba el sistema de ecuaciones y use y para sustituir la notación de función. y = 0,85 x + 35.000 y = 1,55 x Sustituya la expresión 0,85 x + 35.000 de la primera ecuación en la segunda ecuación y resuelva para x . 0,85 x + 35.000 = 1,55 x 35.000 = 0,7 x 50.000 = x Entonces, sustituimos x = 50.000 en la función de costo o en la función de ingresos. 1,55 ( 50.000 ) = 77.500 El punto de equilibrio es ( 50.000 , 77.500 ) . La función de ganancias se obtiene mediante la fórmula P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) . P ( x ) = 1,55 x - ( 0,85 x + 35 . 000 ) = 0,7 x − 35 . 000 La función de ganancias es P ( x ) = 0,7 x -35.000. Análisis El costo de producción de 50.000 unidades es de 77.500 dólares y los ingresos por la venta de 50.000 unidades son también de 77.500 dólares. Para obtener ganancias, el negocio debe producir y vender más de 50.000 unidades. Vea la . Vemos en el gráfico de la que la función de ganancias tiene un valor negativo hasta x = 50.000 , cuando el gráfico cruza el eje x . A continuación, el gráfico emerge en valores y positivos y continúa en esta trayectoria, ya que la función de ganancias es una línea recta. Esto ilustra que el punto de equilibrio de los negocios se produce cuando la función de ganancias es 0. El área a la izquierda del punto de equilibrio representa el funcionamiento con pérdidas. Escribir y resolver un sistema de ecuaciones en dos variables El costo de una entrada al circo es 25,00 dólares para niños y 50,00 dólares para adultos. En un día determinado, la asistencia al circo es 2.000 y los ingresos totales de taquilla son 70.000 dólares. ¿Cuántos niños y cuántos adultos compraron entradas? Si c = el número de niños y a = el número de adultos asistentes. El número total de personas es 2.000. Podemos usar esto para escribir una ecuación para el número de personas en el circo ese día. c + a = 2.000 Los ingresos de todos los niños se pueden hallar al multiplicar 25,00 dólares por el número de niños, 25 c . Los ingresos de todos los adultos se pueden hallar al multiplicar 50,00 dólares por el número de adultos, 50 a . Los ingresos totales son 70.000 dólares. Podemos usar esto para escribir una ecuación para los ingresos. 25 c + 50 a = 70.000 Ahora tenemos un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. c + a = 2.000 25 c + 50 a = 70.000 En la primera ecuación, el coeficiente de ambas variables es 1. Podemos resolver rápidamente la primera ecuación para c o a . Resolveremos para a . c + a = 2.000 a = 2.000 − c Sustituya la expresión 2.000 − c en la segunda ecuación para a y resolver para c . 25 c + 50 ( 2.000 − c ) = 70.000 25 c + 100.000 − 50 c = 70.000 − 25 c = -30.000 c = 1.200 Sustituya c = 1.200 en la primera ecuación para resolver a . 1.200 + a = 2.000 a = 800 Tenemos que 1.200 niños y 800 adultos compraron entradas para el circo ese día. Ejercicio Los boletos de comida en el circo cuestan 4,00 dólares para niños y 12,00 dólares para adultos. Si se compraron 1.650 boletos de comida por un total de 14.200 dólares, ¿cuántos niños y cuántos adultos compraron boletos de comida? 700 niños y 950 adultos Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con sistemas de ecuaciones lineales. Resolver sistemas de ecuaciones mediante sustitución Resolver sistemas de ecuaciones mediante eliminación Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones Conceptos clave Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. La solución de un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es cualquier par ordenado que satisface cada ecuación de forma independiente. Vea el . Los sistemas de ecuaciones se clasifican en independientes con una solución, dependientes con un número infinito de soluciones o inconsistentes sin solución. Un método para resolver un sistema de ecuaciones lineales en dos variables es utilizar un gráfico. En este método, graficamos las ecuaciones en el mismo conjunto de ejes. Vea el . Otro método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la sustitución. Con este método, resolvemos una variable en una ecuación y sustituimos el resultado en la segunda ecuación. Vea el . Un tercer método para resolver un sistema de ecuaciones lineales es la adición, con el cual podemos eliminar una variable sumando coeficientes opuestos de variables correspondientes. Vea el . A menudo es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por una constante para facilitar la eliminación de una variable al sumar las dos ecuaciones. Vea el , el y el . Cualquiera de los dos métodos para resolver un sistema de ecuaciones da como resultado un enunciado falso para los sistemas inconsistentes porque están formados por líneas paralelas que nunca se intersecan. Vea el . La solución de un sistema de ecuaciones dependientes siempre será verdadera porque ambas ecuaciones describen la misma línea. Vea el . Los sistemas de ecuaciones se pueden usar para resolver problemas del mundo real en los que interviene más de una variable, como los relacionados con ingresos, costos y ganancias. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Un sistema de ecuaciones lineales puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no. No, puede tener cero, uno o infinitos. Examine los gráficos. Si está realizando un análisis de equilibrio para una actividad comercial y sus ecuaciones de costos e ingresos son dependientes, explique qué significa esto para los márgenes de ganancias de la compañía. Si está resolviendo un análisis de equilibrio y obtiene un punto de equilibrio negativo, explique qué significa esto para la compañía. Esto significa que no hay un punto de equilibrio realista. En el momento en que la compañía produce una unidad ya está obteniendo ganancias. Si está resolviendo un análisis de equilibrio y no hay punto de equilibrio, explique qué significa esto para la compañía. ¿Cómo deben asegurarse de que haya un punto de equilibrio? Dado un sistema de ecuaciones, explique dos métodos diferentes para resolver ese sistema, como mínimo. Se puede resolver por sustitución (aísle x o y ), gráficamente o por adición. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si el par ordenado dado es una solución del sistema de ecuaciones. 5 x - y = 4 x + 6 y = 2 y ( 4 , 0 ) −3 x - 5 y = 13 − x + 4 y = 10 y ( –6 , 1 ) Sí 3 x + 7 y = 1 2 x + 4 y = 0 y ( 2 , 3 ) −2 x + 5 y = 7 2 x + 9 y = 7 y ( –1 , 1 ) Sí x + 8 y = 43 3 x −2 y = –1 y ( 3 , 5 ) En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por sustitución. x + 3 y = 5 2 x + 3 y = 4 ( –1 , 2 ) 3 x −2 y = 18 5 x + 10 y = −10 4 x + 2 y = −10 3 x + 9 y = 0 ( −3 , 1 ) 2 x + 4 y = -3,8 9 x −5 y = 1.3 - 2 x + 3 y = 1,2 − 3 x - 6 y = 1,8 ( - 3 5 , 0 ) x -0,2 y = 1 −10 x + 2 y = 5 3 x + 5 y = 9 30 x + 50 y = −90 No existe una solución. −3 x + y = 2 12 x -4 y = −8 1 2 x + 1 3 y = 16 1 6 x + 1 4 y = 9 ( 72 5 , 132 5 ) - 1 4 x + 3 2 y = 11 - 1 8 x + 1 3 y = 3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por adición. −2 x + 5 y = -42 7 x + 2 y = 30 ( 6 , –6 ) 6 x −5 y = −34 2 x + 6 y = 4 5 x - y = -2,6 -4 x −6 y = 1,4 ( - 1 2 , 1 10 ) 7 x −2 y = 3 4 x + 5 y = 3,25 −x + 2 y = −1 5 x −10 y = 6 No existe una solución. 7 x + 6 y = 2 −28 x −24 y = −8 5 6 x + 1 4 y = 0 1 8 x – 1 2 y = − 43 120 ( - 1 5 , 2 3 ) 1 3 x + 1 9 y = 2 9 - 1 2 x + 4 5 y = - 1 3 -0,2 x + 0,4 y = 0,6 x −2 y = −3 ( x , x + 3 2 ) -0,1 x + 0,2 y = 0,6 5 x −10 y = 1 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por cualquier método. 5 x + 9 y = 16 x + 2 y = 4 ( -4 , 4 ) 6 x −8 y = -0,6 3 x + 2 y = 0,9 5 x −2 y = 2,25 7 x -4 y = 3 ( 1 2 , 1 8 ) x - 5 12 y = − 55 12 −6 x + 5 2 y = 55 2 7 x -4 y = 7 6 2 x + 4 y = 1 3 ( 1 6 , 0 ) 3 x + 6 y = 11 2 x + 4 y = 9 7 3 x – 1 6 y = 2 − 21 6 x + 3 12 y = −3 ( x , 2 ( 7 x −6 ) ) 1 2 x + 1 3 y = 1 3 3 2 x + 1 4 y = - 1 8 2,2 x + 1.3 y = -0,1 4,2 x + 4,2 y = 2,1 ( - 5 6 , 4 3 ) 0,1 x + 0,2 y = 2 0,35 x -0,3 y = 0 Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique el sistema de ecuaciones y diga si el sistema es consistente, inconsistente o dependiente y si tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones. 3 x - y = 0,6 x −2 y = 1.3 Consistente con una solución - x + 2 y = 4 2 x -4 y = 1 x + 2 y = 7 2 x + 6 y = 12 Consistente con una solución 3 x −5 y = 7 x −2 y = 3 3 x −2 y = 5 −9 x + 6 y = −15 Dependiente con infinitas soluciones En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función de intersección en un dispositivo gráfico para resolver cada sistema. Redondee todas las respuestas a la centésima más cercana. 0,1 x + 0,2 y = 0,3 -0,3 x + 0,5 y = 1 -0,01 x + 0,12 y = 0,62 0,15 x + 0,20 y = 0,52 ( -3,08 , 4,91 ) 0,5 x + 0,3 y = 4 0,25 x -0,9 y = 0,46 0,15 x + 0,27 y = 0,39 -0,34 x + 0,56 y = 1,8 ( -1,52 , 2,29 ) -0,71 x + 0,92 y = 0,13 0,83 x + 0,05 y = 2,1 Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema en términos de A , B , C , D , E y F donde A – F son números distintos de cero. Observe que A ≠ B y A E ≠ B D . x + y = A x - y = B ( A + B 2 , A - B 2 ) x + A y = 1 x + B y = 1 A x + y = 0 B x + y = 1 ( −1 A - B , A A - B ) A x + B y = C x + y = 1 A x + B y = C D x + E y = F ( C E − B F B D − A E , A F − C D B D − A E ) Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, resuelva la cantidad deseada. Un negocio de peluches tiene un costo total de producción C = 12 x + 30 y una función de ingresos R = 20 x . Halle el punto de equilibrio. Un restaurante etíope tiene un costo de producción C ( x ) = 11 x + 120 y una función de ingresos R ( x ) = 5 x . ¿Cuándo la compañía empieza a dar ganancias? Nunca obtienen ganancias. Una fábrica de teléfonos móviles tiene un costo de producción C ( x ) = 150 x + 10 . 000 y una función de ingresos R ( x ) = 200 x . ¿Cuál es el punto de equilibrio? Un músico cobra C ( x ) = 64 x + 20.000 donde x es el número total de asistentes al concierto. El local cobra 80 dólares por entrada. ¿Después de cuántas entradas vendidas el local alcanza el punto de equilibrio y cuál es el valor del total de entradas vendidas en ese momento? ( 1 , 250 , 100 , 000 ) Una fábrica de guitarras tiene un costo de producción C ( x ) = 75 x + 50.000. Si la compañía necesita alcanzar el punto de equilibrio después de vender 150 unidades, ¿a qué precio debería vender cada guitarra? Redondee al dólar más cercano y escriba la función de ingresos. En los siguientes ejercicios, utilice un sistema de ecuaciones lineales con dos variables y dos ecuaciones para resolver. Halle dos números cuya suma es 28 y la diferencia es 13. Los números son 7,5 y 20,5. Un número es 9 veces mayor que otro número. El doble de la suma de los dos números es 10. Halle los dos números. El costo de puesta en marcha de un restaurante es de 120.000 dólares y hacer cada comida le cuesta 10 dólares al restaurante. Si cada comida se vende por 15 dólares, ¿después de cuántas comidas el restaurante alcanza el punto de equilibrio? 24.000 Una compañía de mudanzas cobra una tarifa plana de 150 dólares y 5 dólares más por cada caja. Si un servicio de taxi cobra 20 dólares por cada caja, ¿cuántas cajas necesitaría para que le saliera más barato utilizar la compañía de mudanzas y cuál sería el costo total? Un total de 1.595 estudiantes de primer y segundo año de la universidad se reunieron en una concentración motivacional. El número de estudiantes de primer año superó en 15 al de segundo. ¿Cuántos estudiantes de cada curso asistieron? 790 estudiantes de segundo año, 805 estudiantes de primer año 276 estudiantes matriculados en una clase de introducción a la química. Al final del semestre, el número de estudiantes que aprobaron es 5 veces mayor que el de los que suspendieron. Calcule el número de estudiantes que aprobaron y el número de estudiantes que aplazaron. Había 130 profesores en una conferencia. Si asistieron 18 mujeres más que hombres, ¿cuántos de cada sexo asistieron a la conferencia? 56 hombres, 74 mujeres Un jeep y una camioneta entran en una autopista que va de este a oeste en la misma salida dirigiéndose en direcciones opuestas. El jeep entró en la autopista 30 minutos antes que la camioneta, y viajaba 7 mph más lento que la camioneta. Después de 2 horas desde que la camioneta entró en la autopista, los autos estaban a 306,5 millas de distancia. Calcule la velocidad de cada auto, suponiendo que se condujera con control de crucero y se mantuviera la misma velocidad. Si un científico mezcla una solución salina al 10 % con una solución salina al 60 % para obtener 25 galones de solución salina al 40 %, ¿cuántos galones de soluciones al 10 % y al 60 % se mezclaron? 10 galones de solución al 10 %, 15 galones de solución al 60 % Un inversor obtuvo el triple de beneficios que el año pasado. Si ganaron 500.000,48 dólares en total en ambos años, ¿cuánto ganó el inversor en beneficios cada año? Una inversora invirtió 1,1 millones de dólares en dos inversiones en terrenos. En la primera inversión, Swan Peak, su rendimiento fue un aumento del 110 % del dinero invertido. En la segunda inversión, Riverside Community, ganó el 50 % sobre lo invertido. Si obtuvo 1 millón de dólares de ganancias, ¿cuánto invirtió en cada uno de los negocios de los terrenos? Swan Peak: 750.000 dólares, Riverside: 350.000 dólares. Si un inversionista invierte un total de 25.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 3 % de interés simple y otro que paga el 2 7 8 % de interés, y el inversionista gana 737,50 dólares de interés anual, ¿cuánto se invirtió en cada cuenta? Si un inversionista invierte 23.000 dólares en dos bonos, uno que paga el 4 % de interés simple y otro que paga el 2 % de interés simple, y el inversionista gana 710,00 dólares de interés anual, ¿cuánto ha invertido en cada cuenta? 12.500 dólares en la primera cuenta, 10.500 dólares en la segunda. Los blu-rays cuestan 5,96 dólares más que los DVD normales en All Bets Are Off Electronics. ¿Cuánto costarían 6 blu-rays y 2 DVDs si 5 blu-rays y 2 DVD cuestan 127,73 dólares? El empleado de una tienda vendió 60 pares de calzados deportivos. Los zapatos de caña alta se vendieron a 98,99 dólares y los de corte bajo a 129,99 dólares. Si los ingresos de los dos tipos de ventas ascendieron a 6.404,40 dólares, ¿cuántos zapatos se vendieron de cada tipo? Los zapatos de caña alta: 45, los de corte bajo: 15 Un administrador de conciertos contó 350 recibos de entradas el día después de un concierto. El precio de la entrada de estudiante era de 12,50 dólares y el de la entrada de adulto, de 16 dólares. El registro confirma que ingresaron 5.075 dólares. ¿Cuántas entradas de estudiantes y cuántas de adultos se vendieron? La entrada al parque de atracciones para 4 niños y 2 adultos cuesta 116,90 dólares. Para 6 niños y 3 adultos, cuesta 175,35 dólares. Suponiendo un precio diferente para niños y adultos, ¿cuál es el precio de la entrada de niño y el de la entrada de adulto? Infinitas soluciones. Necesitamos más información. método de adición técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la cual las ecuaciones se suman de forma que se elimina una variable, lo que permite resolver la ecuación resultante para la variable restante; la sustitución se usa entonces para resolver la primera variable punto de equilibrio el punto en el cual una función de costo se interseca con una función de ingresos; donde la ganancia es cero sistema consistente sistema para el cual hay una única solución para todas las ecuaciones del sistema y es un sistema independiente, o si hay un número infinito de soluciones y es un sistema dependiente función de costo función que se usa para calcular los costos de la actividad comercial; suele tener dos partes: costos fijos y costos variables sistema dependiente sistema de ecuaciones lineales en el que las dos ecuaciones representan la misma línea; hay un número infinito de soluciones para un sistema dependiente sistema inconsistente sistema de ecuaciones lineales sin solución común porque representan líneas paralelas, las cuales no tienen ningún punto ni línea en común sistema independiente un sistema de ecuaciones lineales con exactamente un par de soluciones ( x , y ) función de ganancias la función de ganancias se escribe como P ( x ) = R ( x ) - C ( x ) , ingresos menos costos función de ingresos función que se utiliza para calcular ingresos, simplemente escrita como R = x p , donde x = cantidad y p = precio método de sustitución técnica algebraica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales en la que una de las dos ecuaciones se resuelve para una variable y luego se sustituye en la segunda ecuación para resolver la segunda variable sistema de ecuaciones lineales conjunto de dos o más ecuaciones en dos o más variables que deben ser consideradas simultáneamente.

Matemáticas


Sistemas de ecuaciones lineales: tres variables Objetivos de aprendizaje Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1) Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2) Objetivo 1: Determinar si un triple ordenado es una solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.1) Una ecuación lineal con tres variables donde a , b , c y d son números reales y a , b y c no son todos 0, es de la forma a x + b y + c z = d . El gráfico de una ecuación lineal con tres variables es un plano . Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables es un conjunto de ecuaciones lineales con tres variables. Por ejemplo, 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 es un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las variables que hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. La solución está representada por un triple ordenado ( x,y,z ). Determine si los triples ordenados son soluciones del sistema dado. 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 a las ( 1 , 3 , 2 ) y en ( 4 , 1 , 5 ) Sustituimos 1, -3, 2 en las tres ecuaciones: 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 3 ( 1 ) + ( 3 ) + 2 = 2 2 = 2 Verdadero 1 + 2 ( 3 ) + 2 = 3 3 = 3 Verdadero 3 ( 1 ) + ( 3 ) + 2 ( 2 ) = 4 4 = 4 Verdadero Conclusión: Como (1, –3, 2) es una solución de las tres ecuaciones, entonces es una solución del sistema 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 A continuación, sustituimos (4, -1, -5) en las tres ecuaciones: 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 3 ( 4 ) + ( 1 ) + ( 5 ) = 2 6 = 2 Falso 4 + 2 ( 1 ) + ( 5 ) = 3 3 = 3 Verdadero 3 ( 4 ) + ( 1 ) + 2 ( 5 ) = 4 1 = 4 Falso Conclusión: Como (4, –1, –5) no es una solución de las tres ecuaciones, entonces no es una solución del sistema 3 x + y + z = 2 x + 2 y + z = 3 3 x + y + 2 z = 4 La práctica hace la perfección Determine si los pares ordenados son soluciones del sistema dado. 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 a ( 3 , 1 , 3 ) y en ( 4 , 3 , 7 ) 2 x + y – 2 z = 3 En (3, 1, 3): 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 2 x + 3 y – 2 z = 3 ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ En (4, 3, 7): 2 x – 6 y + z = 3 3 x – 4 y – 3 z = 2 2 x + 3 y – 2 z = 3 ________________________ ________________________ ________________________ Conclusión: ________________________ Objetivo 2: Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables (IA 4.4.2) Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales con tres variables tenemos muchas soluciones posibles. Las soluciones se resumen en la siguiente tabla. Una solución Los tres planos se intersecan en un punto común No hay solución Los planos son paralelos; no tienen puntos en común. Dos planos son iguales y son paralelos al tercer plano. No tienen puntos en común Dos planos son paralelos y cada uno de ellos interseca al tercer plano. No tienen puntos en común Cada plano interseca a los otros dos, pero no tienen puntos en común. Infinitas soluciones Los tres planos se intersecan en una línea. Tienen muchos puntos en común en esa línea Dos planos son iguales y se intersecan con el tercero en una línea. Tienen muchos puntos en común en esa línea. Los tres planos son exactamente iguales. Tienen muchos puntos en común. Resolver un sistema de ecuaciones lineales con tres variables. Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. Elimine la misma variable de dos ecuaciones. Decida cuál variable va a eliminar. Trabaje con un par de ecuaciones para eliminar la variable elegida. Multiplique una o ambas ecuaciones para que los coeficientes de esa variable sean opuestos. Sume las ecuaciones resultantes del paso 2 para eliminar una variable. Repita el paso 2 con otras dos ecuaciones y elimine la misma variable que en el paso 2. Las dos nuevas ecuaciones forman un sistema de dos ecuaciones con dos variables. Resuelva este sistema. Utilice los valores de las dos variables halladas en el paso 4 para calcular la tercera variable. Escriba la solución como un triple ordenado. Compruebe que el triple ordenado es una solución de las tres ecuaciones originales Resuelva el sistema de ecuaciones: { x + 2 y - z = 1 2 x + 7 y + 4 z = 11 x + 3 y + z = 4 . { x + 2 y - z = 1 ( 1 ) 2 x + 7 y + 4 z = 11 ( 2 ) x + 3 y + z = 4 ( 3 ) Utilice las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x . Utilice las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x de nuevo. Utilice las ecuaciones (4) y (5) para eliminar y . Hay infinitas soluciones. Resuelva la ecuación (4) para y . Represente la solución mostrando cómo x y y dependen de z . y + 2 z = 3 y = −2 c + 3 Utilice la ecuación (1) para resolver x . x + 2 y - z = 1 Sustituya y = −2 c + 3 . x + 2 ( −2 c + 3 ) − z = 1 x - 4 z + 6 − z = 1 x - 5 z + 6 = 1 x = 5 c - 5 El enunciado verdadero 0 = 0 nos dice que se trata de un sistema dependiente que tiene infinitas soluciones. Las soluciones son de la forma ( x , y , z ) donde x = 5 c - 5 ; y = −2 c + 3 y z es cualquier número real. Resuelva el sistema de ecuaciones lineales con tres variables. x + 2 y 3 z = 1 x 3 y + z = 1 2 x y 2 z = 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) Paso 1 Escriba las ecuaciones en forma estándar. Si algún coeficiente es una fracción, elimínelo. ________________________________________ Paso 2 Utilicemos las ecuaciones (1) y (2) para eliminar x ________________________________________ Paso 3 Utilicemos las ecuaciones (1) y (3) para eliminar x ________________________________________ Paso 4 Utilicemos ahora las nuevas ecuaciones (4) y (5) para eliminar y ________________________________________ Paso 5 Paso 6 La práctica hace la perfección Determine si el par ordenado es una solución del sistema dado y 10 z = 8 2 x y = 2 x 5 z = 3 a ( 7 , 12 , 2 ) y en ( 2 , 2 , 1 ) (Créditos: "Elembis", Wikimedia Commons). Jordi recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4 % de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7 % de interés anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Jordi en cada tipo de fondo? Comprender el enfoque correcto para plantear problemas como este hace que hallar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos este y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas parecidas a las que se emplean para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Sin embargo, dar con las soluciones a los sistemas de tres ecuaciones exige un poco más de organización y un toque de visualización. Resolución de sistemas de tres ecuaciones de tres variables Para resolver sistemas de ecuaciones de tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación de Gauss-Jordan , que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss . Aunque no existe ningún orden definitivo para realizar las operaciones, sí hay directrices específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden realizar. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. La meta es eliminar una variable a la vez para lograr la forma triangular superior , la forma ideal para un sistema de tres por tres porque permite volver a sustituir de forma directa para hallar una solución ( x , y , z ) , lo cual llamamos un triple ordenado . Un sistema en forma de triángulo superior tiene el siguiente aspecto: A x + B y + C c = D E y + F c = G H c = K La tercera ecuación se puede resolver para c , y luego volvemos a sustituir para hallar y y x . Para escribir el sistema en forma triangular superior, podemos realizar las siguientes operaciones: Intercambie el orden de dos ecuaciones cualesquiera. Multiplique ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero. Sume un múltiplo distinto de cero de una ecuación a otra ecuación. El conjunto de soluciones de un sistema de tres por tres es un triple ordenado { ( x , y , z ) } . Gráficamente, el triple ordenado define el punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Puede visualizar dicha intersección imaginando cualquier esquina de una habitación rectangular. Una esquina está definida por tres planos: dos paredes contiguas y el piso (o el techo). Cualquier punto de encuentro entre dos paredes y el piso representa la intersección de tres planos. Número de soluciones posibles La y la ilustran posibles escenarios de solución para sistemas de tres por tres. Los sistemas que tienen una única solución son aquellos que, tras la eliminación, dan como resultado un conjunto de soluciones formado por un triple ordenado { ( x , y , z ) } . Gráficamente, el triple ordenado define un punto que es la intersección de tres planos en el espacio. Los sistemas que tienen un número infinito de soluciones son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado una expresión que siempre es verdadera, como por ejemplo 0 = 0 . Gráficamente, un número infinito de soluciones representa una línea o plano coincidente que sirve de intersección de tres planos en el espacio. Los sistemas que no tienen solución son aquellos que, tras su eliminación, dan como resultado un enunciado que es una contradicción, como por ejemplo 3 = 0 . Gráficamente, un sistema sin solución se representa mediante tres planos sin ningún punto en común. (a) Tres planos se intersecan en un único punto, y representan un sistema de tres por tres con una única solución. (b) Tres planos se intersecan en una línea, y representan un sistema de tres por tres con infinitas soluciones. Las tres figuras representan sistemas de tres por tres sin solución. (a) Los tres planos se intersecan entre sí, pero no en un punto común. (b) Dos de los planos son paralelos y se intersecan con el tercer plano, pero no entre sí. (c) Los tres planos son paralelos, por lo que no hay punto de intersección. Determinar si un triple ordenado es una solución para un sistema Determinar si el triple ordenado ( 3 , –2 , 1 ) es una solución del sistema. x + y + z = 2 6 x - 4 y + 5 z = 31 5 x + 2 y + 2 z = 13 Comprobaremos cada ecuación sustituyendo los valores del triple ordenado por x , y , y z . x + y + z = 2 ( 3 ) + ( −2 ) + ( 1 ) = 2 Verdadero 6 x -4 y + 5 z = 31 6 ( 3 ) -4 ( −2 ) + 5 ( 1 ) = 31 18 + 8 + 5 = 31 Verdadero 5 x + 2 y + 2 z = 13 5 ( 3 ) + 2 ( −2 ) + 2 ( 1 ) = 13 15 -4 + 2 = 13 Verdadero El triple ordenado ( 3 , –2 , 1 ) es, en efecto, una solución para el sistema. Cómo Dado un sistema lineal de tres ecuaciones, resuelva las tres incógnitas. Escoja cualquier par de ecuaciones y resuelva para una variable. Elija otro par de ecuaciones y resuelva para la misma variable. Ha creado un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. Resuelva el sistema resultante de dos en dos. Vuelva a sustituir las variables conocidas en cualquiera de las ecuaciones originales y resuelva la variable que falta. Resolver un sistema de tres ecuaciones de tres variables por eliminación Halle una solución al siguiente sistema: x −2 y + 3 z = 9 (1) − x + 3 y - z = −6 (2) 2 x −5 y + 5 z = 17 (3) Siempre habrá varias opciones por dónde empezar, pero el primer paso más obvio aquí es eliminar x sumando las ecuaciones (1) y (2). x - 2 y + 3 z = 9 (1) − x + 3 y - z = −6 (2) y + 2 z = 3 (3) El segundo paso es multiplicar la ecuación (1) por −2 y añadir el resultado a la ecuación (3). Estos dos pasos eliminarán la variable x . −2 x + 4 y - 6 z = -18 ( 1 ) multiplicado por − 2 2 x - 5 y + 5 z = 17 ( 3 ) ____________________________________ − y - z = −1 ( 5 ) En las ecuaciones (4) y (5) hemos creado un nuevo sistema de dos por dos. Podemos resolver para c sumando las dos ecuaciones. y + 2 z = 3 ( 4 ) - y - z = - 1 ( 5 ) z = 2 ( 6 ) Al elegir una ecuación de cada nuevo sistema, obtenemos la forma triangular superior: x −2 y + 3 z = 9 ( 1 ) y + 2 z = 3 ( 4 ) z = 2 ( 6 ) A continuación, volvemos a sustituir c = 2 en la ecuación (4) y resolver para y . y + 2 ( 2 ) = 3 y + 4 = 3 y = –1 Por último, podemos volver a sustituir c = 2 y y = −1 en la ecuación (1). Esto dará la solución para x . x −2 ( –1 ) + 3 ( 2 ) = 9 x + 2 + 6 = 9 x = 1 La solución es el triple ordenado ( 1 , –1 , 2 ) . Vea la . Resolución de un problema del mundo real mediante un sistema de tres ecuaciones en tres variables En el problema planteado al principio de la sección, Jordi invirtió su herencia de 12.000 dólares en tres fondos diferentes: una parte en un fondo del mercado monetario que paga un 3 % de interés anual; otra parte en bonos municipales que pagan un 4 % anual; y el resto en fondos de inversión que pagan un 7 % anual. Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. El interés total obtenido en un año fue de 670 dólares. ¿Cuánto invirtió en cada tipo de fondo? Para resolver este problema, utilizamos toda la información dada y establecemos tres ecuaciones. Primero, asignamos una variable a cada uno de los tres montos de inversión: x = cantidad invertida en un fondo del mercado monetario y = cantidad invertida en bonos municipales c = cantidad invertida en fondos de inversión La primera ecuación indica que la suma de los tres montos principales es de 12.000 dólares. x + y + z = 12.000 Formamos la segunda ecuación según la información de que Jordi invirtió 4.000 dólares más en fondos de inversión que en bonos municipales. z = y + 4.000 La tercera ecuación muestra que el monto total de los intereses obtenidos de cada fondo es igual a 670 dólares. 0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670 Entonces, escribimos las tres ecuaciones como un sistema. x + y + z = 12.000 − y + z = 4.000 0,03 x + 0,04 y + 0,07 c = 670 Para simplificar los cálculos, podemos multiplicar la tercera ecuación por 100. Por lo tanto, x + y + z = 12.000 ( 1 ) - y + z = 4.000 ( 2 ) 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 ( 3 ) Paso 1. Intercambie la ecuación (2) y la ecuación (3) para que las dos ecuaciones de tres variables se alineen. x + y + z = 12.000 3 x + 4 y + 7 z = 67.000 − y + z = 4.000 Paso 2. Multiplique la ecuación (1) por −3 y súmela a la ecuación (2). Escriba el resultado como fila 2. x + y + z = 12.000 y + 4 z = 31.000 − y + z = 4.000 Paso 3. Sume la ecuación (2) a la ecuación (3) y escriba el resultado como ecuación (3). x + y + z = 12.000 y + 4 z = 31.000 5 z = 35.000 Paso 4. Resuelva para c en la ecuación (3). Vuelva a sustituir ese valor en la ecuación (2) y resuelva y . A continuación, vuelva a sustituir los valores de c y y en la ecuación (1) y resuelva para x . 5 z = 35.000 c = 7.000 y + 4 ( 7.000 ) = 31.000 y = 3.000 x + 3.000 + 7.000 = 12.000 x = 2.000 Jordi invirtió 2.000 dólares en un fondo del mercado monetario, 3.000 en bonos municipales y 7.000 en fondos de inversión. Ejercicio Resuelva el sistema de ecuaciones de tres variables. 2 x + y −2 c = −1 3 x −3 y - z = 5 x −2 y + 3 z = 6 ( 1 , –1 , 1 ) Identificación de sistemas inconsistentes de ecuaciones que contienen tres variables Al igual que con los sistemas de ecuaciones en dos variables, podemos encontrarnos con un sistema de ecuaciones inconsistente en tres variables, lo que significa que no tiene una solución que satisfaga las tres ecuaciones. Las ecuaciones pueden representar tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección, o tres planos que se cruzan con los otros dos pero no en el mismo lugar. El proceso de eliminación dará como resultado un enunciado falso, como por ejemplo 3 = 7 o alguna otra contradicción. Resolver un sistema inconsistente de tres ecuaciones de tres variables Resuelva el siguiente sistema. x −3 y + z = 4 ( 1 ) - x + 2 y −5 c = 3 ( 2 ) 5 x -13 y + 13 c = 8 ( 3 ) Al observar los coeficientes de x , podemos ver que podemos eliminar la x sumando la ecuación (1) a la ecuación (2). x −3 y + z = 4 ( 1 ) - x + 2 y −5 c = 3 ( 2 ) - y -4 c = 7 ( 4 ) A continuación, multiplicamos la ecuación (1) por −5 y la sumamos a la ecuación (3). − 5 x + 15 y - 5 z = -20 ( 1 ) multiplicado por −5 5 x − 13 y + 13 c = 8 ( 3 ) ______________________________________ 2 y + 8 z = −12 ( 5 ) A continuación, multiplicamos la ecuación (4) por 2 y la sumamos a la ecuación (5). −2 y - 8 z = 14 ( 4 ) multiplicado por 2 2 y + 8 z = − 12 ( 5 ) _______________________________________ 0 = 2 La ecuación final 0 = 2 es una contradicción, por lo que concluimos que el sistema de ecuaciones en inconsistente y, por tanto, no tiene solución. Análisis En este sistema, cada plano se interseca con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Por lo tanto, el sistema es inconsistente. Ejercicio Resuelva el sistema de tres ecuaciones de tres variables. x + y + z = 2 y −3 c = 1 2 x + y + 5 z = 0 No hay solución. Expresión de la solución de un sistema de ecuaciones dependientes que contiene tres variables Sabemos por haber trabajado con sistemas de ecuaciones con dos variables que un sistema de ecuaciones dependiente tiene un número infinito de soluciones. Lo mismo ocurre con los sistemas dependientes de ecuaciones de tres variables. De varias situaciones puede resultar un número infinito de soluciones. Los tres planos pueden ser iguales, de modo que la solución de una ecuación será la solución de las otras dos ecuaciones. Las tres ecuaciones podrían ser diferentes, pero se intersecan en una línea, lo cual tiene infinitas soluciones. O bien, dos de las ecuaciones podrían ser iguales e intersecar a la tercera en una línea. Hallar la solución de un sistema de ecuaciones dependiente Halle la solución del sistema de tres ecuaciones de tres variables dado. 2 x + y −3 c = 0 ( 1 ) 4 x + 2 y −6 c = 0 ( 2 ) x - y + z = 0 ( 3 ) Primero, podemos multiplicar la ecuación (1) por −2 y sumarla a la ecuación (2). -4 x −2 y + 6 z = 0 ecuación ( 1 ) multiplicado por −2     4 x + 2 y −6 c = 0 ( 2 ) ____________________________________________ 0 = 0 No es necesario seguir adelante. El resultado que obtenemos es una identidad, 0 = 0 , lo que nos dice que este sistema tiene un número infinito de soluciones. Hay otras formas de empezar a resolver este sistema, como multiplicar la ecuación (3) por −2 , y sumarla a la ecuación (1). A continuación, realizamos los mismos pasos que en el caso anterior y hallamos el mismo resultado, 0 = 0 . Cuando un sistema es dependiente, podemos hallar expresiones generales para las soluciones. Al sumar las ecuaciones (1) y (3), tenemos 2 x + y −3 c = 0 x - y + z = 0 _____________ 3 x −2 c = 0 A continuación, resolvemos la ecuación resultante para c . 3 x −2 c = 0 z = 3 2 x Volvemos a sustituir la expresión de c en una de las ecuaciones y resolvemos para y . 2 x + y - 3 ( 3 2 x ) = 0 2 x + y − 9 2 x = 0 y = 9 2 x - 2 x y = 5 2 x Así que la solución general es ( x , 5 2 x , 3 2 x ) . En esta solución, x puede ser cualquier número real. Los valores de y y de c dependen del valor seleccionado para x . Análisis Como se muestra en la , dos de los planos son iguales y se intersecan con el tercer plano en una línea. El conjunto de soluciones es infinito, ya que todos los puntos a lo largo de la línea de intersección satisfacen las tres ecuaciones. PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿La solución genérica de un sistema dependiente se debe escribir siempre en términos de x ? No, se puede escribir la solución genérica en términos de cualquiera de las variables, pero es común escribirla en términos de x, y si es necesario x como y . Ejercicio Resuelva el siguiente sistema. x + y + z = 7 3 x - 2 y - z = 4 x + 6 y + 5 z = 24 Número infinito de soluciones de la forma ( x , 4 x −11 , −5 x + 18 ) . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción adicional y practicar sistemas de ecuaciones de tres variables. Ej. 1: Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando la eliminación Ej. 2: Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando la eliminación Conceptos clave Un conjunto de soluciones es un triple ordenado { ( x , y , z ) } que representa la intersección de tres planos en el espacio. Vea el . Un sistema de tres ecuaciones de tres variables se puede resolver mediante una serie de pasos que obligan a eliminar una variable. Los pasos incluyen intercambiar el orden de las ecuaciones, multiplicar ambos lados de una ecuación por una constante distinta de cero y sumar un múltiplo que no sea cero de una ecuación a otra ecuación. Vea el . Los sistemas de tres ecuaciones de tres variables son útiles para resolver muchos tipos de problemas del mundo real. Vea el . Un sistema de ecuaciones de tres variables es inconsistente si no existe solución. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una contradicción. Vea el . Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son inconsistentes pueden ser el resultado de tres planos paralelos, dos planos paralelos y un plano de intersección o tres planos que se intersecan con los otros dos, pero no en el mismo lugar. Un sistema de ecuaciones de tres variables es dependiente si tiene un número infinito de soluciones. Tras realizar las operaciones de eliminación, el resultado es una identidad. Vea el . Los sistemas de ecuaciones de tres variables que son dependientes pueden ser el resultado de tres planos idénticos, tres planos que se intersecan en una línea o dos planos idénticos que se intersecan con el tercero en una línea. Ejercicios de la sección Verbales ¿Un sistema lineal de tres ecuaciones puede tener exactamente dos soluciones? Explique por qué sí o por qué no No, solo puede haber una, cero o infinitas soluciones. Si un triple ordenado resuelve el sistema de ecuaciones, ¿es esa solución única? Si es así, explique por qué. Si no es así, ponga un ejemplo en el que no sea único. Si un triple ordenado dado no resuelve el sistema de ecuaciones, ¿no hay solución? Si es así, explique por qué. Si no es así, dé un ejemplo. No necesariamente. Puede haber cero, una o infinitas soluciones. Por ejemplo, ( 0 , 0 , 0 ) no es una solución al sistema que está a continuación, pero eso no significa que no tenga solución. 2 x + 3 y −6 c = 1 -4 x −6 y + 12 c = –2 x + 2 y + 5 z = 10 Al utilizar el método de la adición, ¿hay una sola forma de resolver el sistema? ¿Puede explicar si solo puede haber un método para resolver un sistema lineal de ecuaciones? Si la respuesta es afirmativa, dé un ejemplo de un sistema de ecuaciones de este tipo. Si no, explique por qué no. Todo sistema de ecuaciones se puede resolver gráficamente, por sustitución y por adición. Sin embargo, los sistemas de tres ecuaciones se vuelven muy complejos de resolver gráficamente, por lo que se suelen preferir otros métodos. Algebraicos En los siguientes ejercicios, determine si el triple ordenado dado es la solución del sistema de ecuaciones. 2 x −6 y + 6 z = −12 x + 4 y + 5 z = −1 - x + 2 y + 3 z = –1 y ( 0 , 1 , –1 ) 6 x - y + 3 z = 6 3 x + 5 y + 2 z = 0 x + y = 0 y ( 3 , −3 , −5 ) No 6 x −7 y + z = 2 - x - y + 3 z = 4 2 x + y - z = 1 y ( 4 , 2 , –6 ) x - y = 0 x − z = 5 x - y + z = –1 y ( 4 , 4 , –1 ) Sí x - y + 2 z = 3 5 x + 8 y −3 c = 4 – x + 3 y −5 c = −5 y ( 4 , 1 , –7 ) En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación. 3 x -4 y + 2 z = −15 2 x + 4 y + z = 16 2 x + 3 y + 5 z = 20 ( –1 , 4 , 2 ) 5 x −2 y + 3 z = 20 2 x -4 y −3 c = –9 x + 6 y −8 c = 21 5 x + 2 y + 4 z = 9 −3 x + 2 y + z = 10 4 x −3 y + 5 z = −3 ( − 85 107 , 312 107 , 191 107 ) 4 x −3 y + 5 z = 31 − x + 2 y + 4 z = 20 x + 5 y −2 c = −29 5 x −2 y + 3 z = 4 -4 x + 6 y −7 c = −1 3 x + 2 y - z = 4 ( 1 , 1 2 , 0 ) 4 x + 6 y + 9 z = 0 −5 x + 2 y −6 c = 3 7 x -4 y + 3 z = −3 En los siguientes ejercicios, resuelva cada sistema por eliminación de Gauss-Jordan. 2 x - y + 3 z = 17 −5 x + 4 y −2 c = -46 2 y + 5 z = −7 ( 4 , –6 , 1 ) 5 x −6 y + 3 z = 50 − x + 4 y = 10 2 x − z = 10 2 x + 3 y −6 c = 1 -4 x −6 y + 12 c = –2 x + 2 y + 5 z = 10 ( x , 1 27 ( 65 −16 x ) , x + 28 27 ) 4 x + 6 y −2 c = 8 6 x + 9 y −3 c = 12 −2 x −3 y + z = –4 2 x + 3 y -4 c = 5 −3 x + 2 y + z = 11 − x + 5 y + 3 z = 4 ( − 45 13 , 17 13 , –2 ) 10 x + 2 y −14 c = 8 −x −2 y -4 c = −1 −12 x −6 y + 6 z = −12 x + y + z = 14 2 y + 3 z = −14 −16 y −24 c = –112 No existen soluciones 5 x −3 y + 4 z = −1 -4 x + 2 y −3 c = 0 −x + 5 y + 7 z = −11 x + y + z = 0 2 x - y + 3 z = 0 x − z = 0 ( 0 , 0 , 0 ) 3 x + 2 y −5 c = 6 5 x -4 y + 3 z = −12 4 x + 5 y −2 c = 15 x + y + z = 0 2 x - y + 3 z = 0 x − z = 1 ( 4 7 , - 1 7 , - 3 7 ) 3 x – 1 2 y - z = - 1 2 4 x + z = 3 - x + 3 2 y = 5 2 6 x −5 y + 6 z = 38 1 5 x – 1 2 y + 3 5 z = 1 -4 x - 3 2 y - z = -74 ( 7 , 20 , 16 ) 1 2 x – 1 5 y + 2 5 z = - 13 10 1 4 x - 2 5 y - 1 5 z = - 7 20 – 1 2 x - 3 4 y - 1 2 z = - 5 4 - 1 3 x – 1 2 y - 1 4 z = 3 4 - 1 2 x – 1 4 y - 1 2 z = 2 – 1 4 x - 3 4 y - 1 2 z = - 1 2 ( –6 , 2 , 1 ) 1 2 x – 1 4 y + 3 4 z = 0 1 4 x – 1 10 y + 2 5 z = −2 1 8 x + 1 5 y - 1 8 z = 2 4 5 x - 7 8 y + 1 2 z = 1 - 4 5 x - 3 4 y + 1 3 z = −8 − 2 5 x - 7 8 y + 1 2 z = −5 ( 5 , 12 , 15 ) - 1 3 x – 1 8 y + 1 6 z = – 4 3 - 2 3 x - 7 8 y + 1 3 z = − 23 3 - 1 3 x - 5 8 y + 5 6 z = 0 - 1 4 x - 5 4 y + 5 2 z = −5 - 1 2 x - 5 3 y + 5 4 z = 55 12 − 1 3 x – 1 3 y + 1 3 z = 5 3 ( −5 , −5 , −5 ) 1 40 x + 1 60 y + 1 80 c = 1 100 − 1 2 x – 1 3 y - 1 4 z = - 1 5 3 8 x + 3 12 y + 3 16 c = 3 20 0,1 x -0,2 y + 0,3 c = 2 0,5 x -0,1 y + 0,4 c = 8 0,7 x -0,2 y + 0,3 c = 8 ( 10 , 10 , 10 ) 0,2 x + 0,1 y -0,3 c = 0,2 0,8 x + 0,4 y -1,2 c = 0,1 1,6 x + 0,8 y −2,4 c = 0,2 1,1 x + 0,7 y -3,1 c = -1,79 2,1 x + 0,5 y -1,6 c = -0,13 0,5 x + 0,4 y -0,5 c = -0,07 ( 1 2 , 1 5 , 4 5 ) 0,5 x -0,5 y + 0,5 c = 10 0,2 x -0,2 y + 0,2 c = 4 0,1 x -0,1 y + 0,1 c = 2 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,37 0,1 x -0,2 y -0,3 c = -0,27 0,5 x -0,1 y -0,3 c = -0,03 ( 1 2 , 2 5 , 4 5 ) 0,5 x -0,5 y -0,3 c = 0,13 0,4 x -0,1 y -0,3 c = 0,11 0,2 x -0,8 y -0,9 c = -0,32 0,5 x + 0,2 y -0,3 c = 1 0,4 x -0,6 y + 0,7 c = 0,8 0,3 x -0,1 y -0,9 c = 0,6 ( 2 , 0 , 0 ) 0,3 x + 0,3 y + 0,5 c = 0,6 0,4 x + 0,4 y + 0,4 c = 1,8 0,4 x + 0,2 y + 0,1 c = 1,6 0,8 x + 0,8 y + 0,8 c = 2,4 0,3 x -0,5 y + 0,2 c = 0 0,1 x + 0,2 y + 0,3 c = 0,6 ( 1 , 1 , 1 ) Extensiones En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema para x , y , y z . x + y + z = 3 x −1 2 + y −3 2 + z + 1 2 = 0 x −2 3 + y + 4 3 + c −3 3 = 2 3 5 x −3 y - z + 1 2 = 1 2 6 x + y −9 2 + 2 z = −3 x + 8 2 -4 y + z = 4 ( 128 557 , 23 557 , 28 557 ) x + 4 7 - y −1 6 + z + 2 3 = 1 x −2 4 + y + 1 8 − z + 8 12 = 0 x + 6 3 - y + 2 3 + z + 4 2 = 3 x −3 6 + y + 2 2 - c −3 3 = 2 x + 2 4 + y −5 2 + z + 4 2 = 1 x + 6 2 - y −3 2 + z + 1 = 9 ( 6 , –1 , 0 ) x −1 3 + y + 3 4 + z + 2 6 = 1 4 x + 3 y −2 c = 11 0,02 x + 0,015 y -0,01 c = 0,065 Aplicaciones en el mundo real Tres números pares suman 108. El menor es la mitad del mayor y el número del medio es 3 4 del número mayor. ¿Cuáles son los tres números? 24, 36, 48 Tres números suman 147. El número más pequeño es la mitad del número medio, el cual es la mitad del número más grande. ¿Cuáles son los tres números? En una reunión familiar, solo asistieron parientes de sangre, compuestos por hijos, padres y abuelos. Había 400 personas en total. Había el doble de padres que de abuelos y 50 niños más que padres. ¿Cuántos niños, padres y abuelos asistieron? 70 abuelos, 140 padres, 190 niños Un refugio de animales tiene un total de 350 animales entre gatos, perros y conejos. Si el número de conejos es 5 menos que la mitad del número de gatos, y hay 20 gatos más que perros, ¿cuántos de cada animal hay en el refugio? Su compañera de cuarto, Shani, se ofreció a comprar alimentos para usted y su otro compañero de cuarto. La factura total fue de 82 dólares. Se olvidó de guardar los recibos individuales, pero se acordó de que los alimentos de usted eran 0,05 dólares más baratos que la mitad de los de ella, y que los de su otro compañero de vivienda eran 2,10 dólares más que los de usted. ¿A cuánto asciende la parte de la compra de cada uno? Su parte era de 19,95 dólares, la de Shani de 40 dólares y la de su otro compañero de piso de 22,05 dólares. Su compañero de piso, John, se ofreció a comprar material doméstico para usted y su otro compañero. Usted vive cerca de la frontera de tres estados, cada uno de los cuales tiene un impuesto sobre las ventas diferente. La cantidad total de dinero gastada fue de 100,75 dólares. Sus suministros se compraron con el 5 % de impuestos, los de John con el 8 % y los de su tercer compañero con el 9 % de impuestos. La cantidad total de dinero gastada sin impuestos es de 93,50 dólares. Si sus provisiones antes de impuestos fueron de 1 dólar más de la mitad de lo que fueron las provisiones de su tercer compañero antes de impuestos, ¿cuánto gastaron cada uno de ustedes? Responda con y sin impuestos. Tres compañeros trabajan en la misma compañía. Sus puestos de trabajo son los de administrador de almacén, gerente de oficina y conductor de camión. La suma de los salarios anuales del administrador de almacén y del gerente de oficina es de 82.000 dólares. El gerente de la oficina gana 4.000 dólares más que el conductor del camión al año. Los salarios anuales del administrador de almacén y del conductor del camión ascienden a 78.000 dólares. ¿Cuál es el salario anual de cada uno de los compañeros de trabajo? Hay infinitas soluciones; necesitamos más información En una feria se recaudaron 2.914,25 dólares al final del día. El costo de la entrada de niño era de 20,50 dólares, la de adulto de 29,75 dólares y la de personas mayores de 15,25 dólares. Asistieron el doble de personas mayores que de adultos y 20 niños más que personas mayores. ¿Cuántas entradas para niños, adultos y personas mayores se vendieron? Una banda local agota las entradas para su concierto. Venden las 1.175 entradas para una bolsa total de 28.112,50 dólares. Las entradas tenían un precio de 20 dólares para estudiantes, 22,50 dólares para niños y 29 dólares para adultos. Si la banda vendió el doble de entradas para adultos que para niños, ¿cuántas se vendieron de cada tipo? 500 de estudiantes, 225 de niños y 450 de adultos Un niño tiene 325 monedas en una bolsa, con un valor de 19,50 dólares. Había tres tipos de monedas: de un centavo, de cinco centavos y de diez centavos. Si la bolsa contenía el mismo número de monedas de cinco centavos que de diez, ¿cuántas de cada tipo de moneda había en la bolsa? El año pasado, en el concesionario Haven's Pond Car Dealership, para modelos específicos de BMW, Jeep y Toyota, uno podía comprar los tres automóviles por un total de 140.000 dólares. Este año, debido a la inflación, los mismos vehículos costarían 151.830 dólares. El costo del BMW aumentó el 8 %, el del Jeep el 5 % y el del Toyota el 12 %. Si el precio del Jeep del año pasado era 7.000 dólares menos que el precio del BMW del año pasado, ¿cuál era el precio de cada uno de los tres automóviles el año pasado? El BMW costaba 49.636 dólares, el jeep 42.636 dólares y el Toyota 47.727 dólares. Cuando su hijo menor se mudó, Deandre vendió su casa e hizo tres inversiones con las ganancias de la venta. Invirtió 80.500 dólares en tres cuentas, una que pagaba un 4 % de interés simple, otra que pagaba 3 1 8 % de interés simple y una que pagaba el 2 1 2 % de interés simple. Ganó 2.670 dólares de intereses al cabo de un año. Si la cantidad de dinero invertida en la segunda cuenta era cuatro veces superior a la invertida en la tercera, ¿cuánto invirtió en cada cuenta? Usted hereda un millón de dólares. Lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga el 3 % compuesto anualmente, la segunda cuenta paga el 4 % compuesto anualmente y la tercera cuenta paga el 2 % compuesto anualmente. Al cabo de un año, gana 34.000 dólares en intereses. Si invierte cuatro veces más dinero en la cuenta que paga el 3 % en comparación con el 3 % , ¿cuánto ha invertido en cada cuenta? 400.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés, 500.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés y 100.000 dólares en la cuenta que paga el 3 % de interés. Un empresario vende una parte de su negocio por cien mil dólares y lo invierte todo en tres cuentas durante un año. La primera cuenta paga un 4 % calculado anualmente, la segunda cuenta paga un 3 % calculado anualmente y la tercera cuenta paga un 2 % calculado anualmente. Al cabo de un año, el empresario gana 3.650 dólares en intereses. Si invirtió cinco veces más dinero en la cuenta que paga el 4 % en comparación con el 3 % , ¿cuánto invirtió en cada cuenta? Los tres primeros países en consumo de petróleo en un año determinado son los siguientes: Estados Unidos, Japón y China. En millones de barriles diarios, los tres primeros países consumieron el 39,8 % del petróleo consumido en el mundo. Estados Unidos consumió el 0,7 % más que cuatro veces el consumo de China. Estados Unidos consumió el 5 % más que el triple que Japón. ¿Qué porcentaje del consumo mundial de petróleo fue de Estados Unidos, Japón y China? "Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Estados Unidos consumió el 26,3 % , Japón el 7,1 % y China el 6,4 % del petróleo mundial. Los tres primeros países en producción de petróleo en el mismo año son Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia. En millones de barriles diarios, los tres primeros países produjeron el 31, 4 % del petróleo producido en el mundo. Arabia Saudita y Estados Unidos sumaron el 22,1 % de la producción mundial, y Arabia Saudita produjo un 2 % más de petróleo que Rusia. ¿Qué porcentaje de la producción mundial de petróleo produjeron Arabia Saudita, Estados Unidos y Rusia? "Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Las tres principales fuentes de importación de petróleo para Estados Unidos en el mismo año fueron Arabia Saudita, México y Canadá. Los tres primeros países representan el 47 % de las importaciones de petróleo. Estados Unidos importó de Arabia Saudita un 1,8 % más de lo que importó de México y un 1,7 % más de lo que importó de Canadá. ¿Qué porcentaje de las importaciones de petróleo de Estados Unidos procedían de estos tres países? "Reservas, producción y consumo de petróleo en 2001", consultado el 6 de abril de 2014, http://scaruffi.com/politics/oil.html. Arabia Saudita importó el 16,8 % , Canadá el 15,1 % y México el 15,0 % . Los tres principales productores de petróleo de Estados Unidos en un año determinado son el golfo de México, Texas y Alaska. Las tres regiones son responsables del 64 % de la producción de petróleo de Estados Unidos. El golfo de México y Texas combinan el 47 % de la producción de petróleo. Texas produjo el 3 % más que Alaska. ¿Qué porcentaje de la producción de petróleo de Estados Unidos procede de estas regiones? “USA: The coming global oil crisis” (EE. UU.: la próxima crisis mundial del petróleo), consultado el 6 de abril de 2014, http://www.oilcrisis.com/us/. En un momento dado, en Estados Unidos, 398 especies de animales estaban en la lista de especies en peligro. Los grupos más importantes son los mamíferos, las aves y los peces, lo cuales representan el 55 % de las especies amenazadas. Las aves representan el 0,7 % más que los peces, y estos el 1,5 % más que los mamíferos. ¿Qué porcentaje de las especies en peligro de extinción proceden de mamíferos, aves y peces? Las aves representan el 19,3 % , los peces el 18,6 % y los mamíferos el 17,1 % de las especies en peligro. El consumo de carne en Estados Unidos se puede dividir en tres categorías: carne roja, aves de corral y pescado. Si el pescado representa el 4 % menos de la cuarta parte del consumo de aves de corral y el consumo de carne roja es el 18,2 % mayor que el de aves de corral, ¿cuáles son los porcentajes de consumo de carne? “The United States Meat Industry at a Glance”, consultado el 6 de abril de 2014, http://www.meatami.com/ht/d/sp/i/47465/pid/47465. conjunto de soluciones el conjunto de todos los pares o triples ordenados que satisfacen todas las ecuaciones de un sistema de ecuaciones

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