Funciones trigonométricas inversas Para cualquier triángulo rectángulo , dados otro ángulo y la longitud de un lado, podemos averiguar cuáles son los otros ángulos y lados. Sin embargo, ¿qué pasa si nos dan solo dos lados de un triángulo rectángulo? Necesitamos un procedimiento que nos lleve de un cociente de lados a un ángulo. Aquí es donde entra en juego la noción de inversa de la función trigonométrica. En esta sección, exploraremos las funciones trigonométricas inversas . Comprender y utilizar las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente Para utilizar las funciones trigonométricas inversas, debemos entender que estas "deshacen" lo que la función trigonométrica original "hace", como ocurre con cualquier otra función y su inversa. En otras palabras, el dominio de la función inversa es el rango de la función original, y viceversa, como se resume en la . Por ejemplo, si f ( x ) = sen x , entonces escribiríamos f − 1 ( x ) = sen − 1 x . Tenga en cuenta que sen − 1 x no significa 1 sen x . Los siguientes ejemplos ilustran las funciones trigonométricas inversas: Dado que sen ( π 6 ) = 1 2 , entonces π 6 = sen − 1 ( 1 2 ) . Dado que cos ( π ) = - 1 , entonces π = cos − 1 ( - 1 ) . Dado que tan ( π 4 ) = 1 , entonces π 4 = tan - 1 ( 1 ) . En las secciones anteriores, evaluamos las funciones trigonométricas en diversos ángulos, pero a veces necesitamos saber qué ángulo daría un valor específico de seno, coseno o tangente. Para ello, necesitamos funciones inversas. Recordemos que, para una función biunívoca , si f ( a ) = b , entonces una función inversa satisfaría f − 1 ( b ) = a . Tenga en cuenta que las funciones seno, coseno y tangente no son biunívocas. El gráfico de cada función no pasaría la prueba de la línea horizontal. De hecho, ninguna función periódica puede ser biunívoca porque cada salida en su rango corresponde al menos a una entrada en cada periodo, y hay un número infinito de periodos. Al igual que con otras funciones que no son biunívocas, tendremos que restringir el dominio de cada función para obtener una nueva función que sea biunívoca. Elegimos un dominio para cada función que incluya el número 0. La muestra el gráfico de la función seno limitada a [ - π 2 , π 2 ] y el gráfico de la función coseno limitada a [ 0 , π ] . (a) Función seno en un dominio restringido de [ - π 2 , π 2 ] ; (b) Función coseno en un dominio restringido de [ 0 , π ] La muestra el gráfico de la función tangente limitada a ( - π 2 , π 2 ) . Función tangente en un dominio restringido de ( - π 2 , π 2 ) Estas opciones convencionales para el dominio restringido son algo arbitrarias, pero tienen características importantes y útiles. Cada dominio incluye el origen y algunos valores positivos y, lo que es más importante, cada uno da lugar a una función biunívoca que puede invertirse. La elección convencional para el dominio restringido de la función tangente también tiene la útil propiedad de que se extiende de una asíntota vertical a la siguiente en lugar de estar dividida en dos partes por una asíntota. En estos dominios restringidos, podemos definir las funciones trigonométricas inversas . La función seno inversa y = sen − 1 x significa x = sen y . La función seno inversa se denomina a veces función arcoseno , y se anota arcsen x . y = sen − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ - π 2 , π 2 ] La función coseno inversa y = cos − 1 x significa x = cos y . La función coseno inversa se denomina a veces función arcocoseno , y se anota arccos x . y = cos − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ 0 , π ] La función tangente inversa y = tan - 1 x significa x = tan y . La función tangente inversa se denomina a veces función arcotangente , y se anota arctan x . y = tan - 1 x tiene dominio ( -∞ , ∞ ) y rango ( - π 2 , π 2 ) Los gráficos de las funciones inversas se muestran en la , la y la . Observe que la salida de cada una de estas funciones inversas es un número, un ángulo en medida de radianes. Vemos que sen − 1 x tiene dominio [ −1 , 1 ] y rango [ - π 2 , π 2 ] , cos − 1 x tiene dominio [ −1 ,1 ] y rango [ 0 , π ] , y tan - 1 x tiene el dominio de todos los números reales y el rango ( - π 2 , π 2 ) . Para hallar el dominio y el rango de las funciones trigonométricas inversas, cambie el dominio y el rango de las funciones originales. Cada gráfico de la función trigonométrica inversa es una reflexión del gráfico de la función original con respecto a la recta y = x . La función seno y la función seno inversa (o arcoseno). La función coseno y la función coseno inversa (o arcocoseno) La función tangente y la función tangente inversa (o arcotangente) Relaciones para las funciones inversas de seno, coseno y tangente Para ángulos en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , si sen y = x , entonces sen − 1 x = y . Para ángulos en el intervalo [ 0 , π ] , si cos y = x , entonces cos − 1 x = y . Para ángulos en el intervalo ( - π 2 , π 2 ) , si tan y = x , entonces tan - 1 x = y . Escribir una relación para una función inversa Dados sen ( 5 π 12 ) ≈ 0,96593 , escriba una relación que implique la función seno inversa. Utilice la relación para la función seno inversa. Si los valores de sen y = x , entonces sen − 1 x = y . En este problema, x = 0,96593 , y y = 5 π 12 . sen − 1 ( 0,96593 ) ≈ 5 π 12 Ejercicio Dados cos ( 0,5 ) ≈ 0,8776, escriba una relación que implique la función coseno inversa. arccos ( 0,8776 ) ≈ 0,5 Hallar el valor exacto de las expresiones que implican las funciones inversas de seno, coseno y tangente Ahora que podemos identificar las funciones inversas, aprenderemos a evaluarlas. Para la mayoría de los valores en sus dominios, debemos evaluar las funciones trigonométricas inversas utilizando una calculadora, interpolando a partir de una tabla o utilizando alguna otra técnica numérica. Al igual que hicimos con las funciones trigonométricas originales, podemos dar valores exactos de las funciones inversas cuando utilizamos los ángulos especiales, concretamente π 6 (30°), π 4 (45°) y π 3 (60°), y sus reflexiones en otros cuadrantes. Cómo Dado un valor de entrada "especial", evaluar una función trigonométrica inversa. Halle el ángulo x para el cual la función trigonométrica original tiene una salida igual a la entrada dada para la función trigonométrica inversa. Si los valores de x no está en el rango definido de la inversa, halle otro ángulo y que está en el rango definido y tiene el mismo seno, coseno o tangente que x , dependiendo de cuál corresponda a la función inversa dada. Evaluar funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales Evalúe cada uno de los siguientes aspectos. Ⓐ sen − 1 ( 1 2 ) Ⓑ sen − 1 ( – 2 2 ) Ⓒ cos − 1 ( - 3 2 ) Ⓓ tan - 1 ( 1 ) Ⓐ Al evaluar sen − 1 ( 1 2 ) es lo mismo que determinar el ángulo que tendría un valor de seno de 1 2 . En otras palabras, ¿qué ángulo x satisfaría sen ( x ) = 1 2 ? Existen múltiples valores que satisfacen esta relación, como por ejemplo π 6 y 5 π 6 , pero sabemos que necesitamos el ángulo en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , por lo que la respuesta será sen − 1 ( 1 2 ) = π 6 . Recuerde que la inversa es una función, por lo que para cada entrada, obtendremos exactamente una salida. Ⓑ Para evaluar sen − 1 ( – 2 2 ) , sabemos que 5 π 4 y 7 π 4 ambos tienen un valor de seno de − 2 2 , pero ninguno está en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] . Para ello, necesitamos el coterminal de ángulo negativo con 7 π 4 : sen − 1 ( – 2 2 ) = - π 4 . Ⓒ Para evaluar cos − 1 ( - 3 2 ) , buscamos un ángulo en el intervalo [ 0 , π ] con un valor de coseno de − 3 2 . El ángulo que satisface esto es cos − 1 ( - 3 2 ) = 5 π 6 . Ⓓ Al evaluar tan - 1 ( 1 ) , buscamos un ángulo en el intervalo ( - π 2 , π 2 ) con un valor tangente de 1. El ángulo correcto es tan - 1 ( 1 ) = π 4 . Ejercicio Evalúe cada uno de los siguientes aspectos. Ⓐ sen −1 ( –1 ) Ⓑ tan –1 ( –1 ) Ⓒ cos −1 ( –1 ) Ⓓ cos −1 ( 1 2 ) Ⓐ − π 2 ; Ⓑ − π 4 ; Ⓒ π ; Ⓓ π 3 Usar la calculadora para evaluar funciones trigonométricas inversas Para evaluar las funciones trigonométricas inversas que no involucran los ángulos especiales antes mencionados, necesitaremos una calculadora u otro tipo de tecnología. La mayoría de las calculadoras científicas y las aplicaciones que las emulan tienen teclas o botones específicos para las funciones inversas de seno, coseno y tangente. Estos pueden marcarse, por ejemplo, SIN −1 , ARCSIN o ASIN . En el capítulo anterior, trabajamos con la trigonometría en un triángulo rectángulo para resolver los lados de un triángulo dados un lado y un ángulo adicional. Al utilizar las funciones trigonométricas inversas, podemos resolver los ángulos de un triángulo rectángulo dados dos lados, y podemos utilizar una calculadora para hallar los valores con varios decimales. En estos ejemplos y ejercicios, las respuestas se interpretarán como ángulos y utilizaremos θ como la variable independiente. El valor que se muestra en la calculadora puede estar en grados o en radianes, por lo que hay que asegurarse de establecer el modo apropiado para la aplicación. Evaluar el seno inverso en una calculadora Evalúe sen − 1 ( 0,97 ) utilizando una calculadora. Debido a que la salida de la función inversa es un ángulo, la calculadora nos dará un valor en grados si está en modo de grados y un valor en radianes si está en modo de radianes. Las calculadoras también utilizan las mismas restricciones de dominio en los ángulos que nosotros. En modo de radián, sen − 1 ( 0,97 ) ≈ 1,3252. En modo de grado, sen − 1 ( 0,97 ) ≈ 75,93°. Tenga presente que en el cálculo y en adelante utilizaremos radianes en casi todos los casos. Ejercicio Evalúe cos − 1 ( − 0,4 ) utilizando una calculadora. 1,9823 o 113,578° Cómo Dados dos lados de un triángulo rectángulo como el que se muestra en la , hallar un ángulo Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h y el lado de la longitud a adyacente al ángulo deseado, utilice la ecuación θ = cos − 1 ( a h ) . Si un lado dado es la hipotenusa de longitud h y el lado de la longitud p opuesto al ángulo deseado, utilice la ecuación θ = sen − 1 ( p h ) . Si se dan los dos catetos (los lados adyacentes al ángulo recto), se utiliza la ecuación θ = tan - 1 ( p a ) . Aplicar el coseno inverso a un triángulo rectángulo Resuelva el triángulo en la para el ángulo θ . Ya que conocemos la hipotenusa y el lado adyacente al ángulo, tiene sentido que utilicemos la función coseno. cos θ = 9 12 θ = cos − 1 ( 9 12 ) Aplique la definición de la inversa . θ ≈ 0,7227 o alrededor de 41,4096° Evalúe . Ejercicio Resuelva el triángulo en la para el ángulo θ . sen −1 ( 0,6 ) = 36,87° = 0,6435 radianes Hallar los valores exactos de las funciones compuestas con funciones trigonométricas inversas A veces necesitamos componer una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa. En estos casos, normalmente podemos hallar valores exactos para las expresiones resultantes sin recurrir a la calculadora. Incluso cuando la entrada de la función compuesta es una variable o una expresión, a menudo podemos hallar una expresión para la salida. Para clasificar los diferentes casos, supongamos que f ( x ) y g ( x ) son dos funciones trigonométricas diferentes pertenecientes al conjunto { sen ( x ) , cos ( x ) , tan ( x ) } y supongamos que f − 1 ( y ) y g − 1 ( y ) son sus inversos. Evaluar composiciones de la forma f ( f −1 ( y )) and f −1 ( f ( x )) Para cualquier función trigonométrica, f ( f − 1 ( y ) ) = y para todos los y en el dominio adecuado para la función dada. Esto se deduce de la definición de la inversa y del hecho de que el rango de f se definió como idéntico al dominio de f − 1 . Sin embargo, tenemos que ser un poco más cuidadosos con las expresiones de la forma f − 1 ( f ( x ) ) . Composiciones de una función trigonométrica y su inversa sen ( sen − 1 x ) = x para − 1 ≤ x ≤ 1 cos ( cos − 1 x ) = x para − 1 ≤ x ≤ 1 tan ( tan - 1 x ) = x para − ∞ < x < ∞ sen − 1 ( sen x ) = x solo para − π 2 ≤ x ≤ π 2 cos − 1 ( cos x ) = x solo para 0 ≤ x ≤ π tan - 1 ( tan x ) = x solo para − π 2 < x < π 2 PREGUNTAS Y RESPUESTAS ¿Es correcto que sen − 1 ( sen x ) = x ? No. Esta ecuación es correcta si x pertenece al dominio restringido [ - π 2 , π 2 ] , pero el seno está definido para todos los valores reales de entrada, y para x fuera del intervalo restringido, la ecuación es incorrecta porque su inversa siempre devuelve un valor en [ - π 2 , π 2 ] . La situación es similar para el coseno y la tangente y sus inversos. Por ejemplo, sen − 1 ( sen ( 3 π 4 ) ) = π 4 . Cómo Dada una expresión de la forma f-1(f(θ)), donde f ( θ ) = sen θ , cos θ , o tan θ , evaluar. Si los valores de θ está en el dominio restringido de f , entonces f − 1 ( f ( θ ) ) = θ . Si no, hallar un ángulo ϕ dentro del dominio restringido de f tal que f ( ϕ ) = f ( θ ) . Entonces f − 1 ( f ( θ ) ) = ϕ . Usar las funciones trigonométricas inversas Evalúe lo siguiente: Ⓐ sen − 1 ( sen ( π 3 ) ) Ⓑ sen − 1 ( sen ( 2 π 3 ) ) Ⓒ cos − 1 ( cos ( 2 π 3 ) ) Ⓓ cos − 1 ( cos ( - π 3 ) ) Ⓐ π 3 está en [ - π 2 , π 2 ] , por lo que sen − 1 ( sen ( π 3 ) ) = π 3 . Ⓑ 2 π 3 no está en [ - π 2 , π 2 ] , pero sen ( 2 π 3 ) = sen ( π 3 ) , por lo que sen − 1 ( sen ( 2 π 3 ) ) = π 3 . Ⓒ 2 π 3 está en [ 0 , π ] , por lo que cos − 1 ( cos ( 2 π 3 ) ) = 2 π 3 . Ⓓ − π 3 no está en [ 0 , π ] , pero cos ( - π 3 ) = cos ( π 3 ) porque el coseno es una función par π 3 está en [ 0 , π ] , por lo que cos − 1 ( cos ( - π 3 ) ) = π 3 . Ejercicio Evalúe tan - 1 ( tan ( π 8 ) ) y tan - 1 ( tan ( 11 π 9 ) ) . π 8 ; 2 π 9 Evaluar composiciones de la forma f −1 ( g ( x )) Ahora que podemos componer una función trigonométrica con su inversa, podemos explorar cómo evaluar la composición de una función trigonométrica y la inversa de otra función trigonométrica. Comenzaremos con composiciones de la forma f − 1 ( g ( x ) ) . Para valores especiales de x , podemos evaluar exactamente la función interior y luego la exterior, la función inversa. Sin embargo, podemos encontrar un enfoque más general al considerar la relación entre los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, donde uno es θ , lo que hace que el otro sea π 2 - θ . Considere el seno y el coseno de cada ángulo del triángulo rectángulo en la . Triángulo rectángulo que ilustra las relaciones de cofunción Dado que cos θ = b c = sen ( π 2 - θ ) , tenemos sen − 1 ( cos θ ) = π 2 - θ si 0 ≤ θ ≤ π . Si θ no está en este dominio, entonces tenemos que encontrar otro ángulo que tenga el mismo coseno que θ y sí pertenece al dominio restringido; entonces restamos este ángulo de π 2 . De la misma manera, sen θ = a c = cos ( π 2 - θ ) , por lo que cos − 1 ( sen θ ) = π 2 - θ si − π 2 ≤ θ ≤ π 2 . Estas son apenas las relaciones función-cofunción presentadas de otra manera. Cómo Dadas las funciones de la forma sen − 1 ( cos x ) y cos − 1 ( sen x ) , evaluarlas. Si los valores de x está en [ 0 , π ] , entonces sen − 1 ( cos x ) = π 2 - x . Si los valores de x no está en [ 0 , π ] , entonces halle otro ángulo y in [ 0 , π ] de manera que cos y = cos x . sen − 1 ( cos x ) = π 2 - y Si los valores de x está en [ - π 2 , π 2 ] , entonces cos − 1 ( sen x ) = π 2 - x . Si los valores de x no está en [ - π 2 , π 2 ] , entonces halle otro ángulo y in [ - π 2 , π 2 ] de manera que sen y = sen x . cos − 1 ( sen x ) = π 2 - y Evaluar la composición de un seno inverso con un coseno Evalúe sen − 1 ( cos ( 13 π 6 ) ) Ⓐ por evaluación directa. Ⓑ por el método descrito anteriormente. Ⓐ Aquí podemos evaluar directamente el interior de la composición. cos ( 13 π 6 ) = cos ( π 6 + 2 π ) = cos ( π 6 ) = 3 2 Ahora, podemos evaluar la función inversa como hicimos anteriormente. sen − 1 ( 3 2 ) = π 3 Ⓑ Tenemos x = 13 π 6 , y = π 6 , y sen − 1 ( cos ( 13 π 6 ) ) = π 2 - π 6 = π 3 Ejercicio Evalúe cos − 1 ( sen ( − 11 π 4 ) ) . 3 π 4 Evaluar composiciones de la forma f ( g −1 ( x )) Para evaluar composiciones de la forma f ( g − 1 ( x ) ) , donde f y g son dos funciones cualesquiera de seno, coseno o tangente y x es cualquier entrada en el dominio de g − 1 , tenemos fórmulas exactas, como sen ( cos − 1 x ) = 1 - x 2 . Cuando necesitemos utilizarlas, podemos derivar estas fórmulas mediante el empleo de las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, junto con el uso de la relación de Pitágoras entre las longitudes de los lados. Podemos utilizar la identidad pitagórica, sen 2 x + cos 2 x = 1 , para resolver una cuando se le da la otra. También podemos utilizar las funciones trigonométricas inversas para hallar composiciones que impliquen expresiones algebraicas. Evaluar la composición de un seno con un coseno inverso Halle un valor exacto para sen ( cos − 1 ( 4 5 ) ) . Empezando por el interior, podemos afirmar que hay algún ángulo tal que θ = cos − 1 ( 4 5 ) , lo que significa cos θ = 4 5 , y buscamos sen θ . Para ello podemos utilizar la identidad pitagórica. sen 2 θ + cos 2 θ = 1 Use nuestro valor conocido para el coseno . sen 2 θ + ( 4 5 ) 2 = 1 Resuelva para el seno . sen 2 θ = 1 − 16 25 sen θ = ± 9 25 = ± 3 5 Dado que θ = cos − 1 ( 4 5 ) está en el cuadrante I, sen θ deberá ser positivo, por lo que la solución es 3 5 . Vea la . Triángulo rectángulo que ilustra que si cos θ = 4 5 , entonces sen θ = 3 5 Sabemos que el coseno inverso siempre da un ángulo en el intervalo [ 0 , π ] , por lo que sabemos que el seno de ese ángulo debe ser positivo; por lo tanto sen ( cos − 1 ( 4 5 ) ) = sen θ = 3 5 . Ejercicio Evalúe cos ( tan - 1 ( 5 12 ) ) . 12 13 Evaluar la composición de un seno con una tangente inversa Halle un valor exacto para sen ( tan - 1 ( 7 4 ) ) . Aunque podríamos utilizar una técnica semejante a la del , aquí demostraremos una técnica diferente. Desde el interior, sabemos que hay un ángulo tal que tan θ = 7 4 . Podemos imaginarlo como los lados opuestos y adyacentes de un triángulo rectángulo, como se muestra en la . Triángulo rectángulo con dos lados conocidos Con el teorema de Pitágoras podemos hallar la hipotenusa de este triángulo. 4 2 + 7 2 = hipotenusa 2 hipotenusa = 65 Ahora, podemos evaluar el seno del ángulo como el lado opuesto dividido entre la hipotenusa. sen θ = 7 65 Esto nos da la composición deseada. sen ( tan - 1 ( 7 4 ) ) = sen θ = 7 65 = 7 65 65 Ejercicio Evalúe cos ( sen − 1 ( 7 9 ) ) . 4 2 9 Hallar el coseno del seno inverso en una expresión algebraica Halle una expresión simplificada para cos ( sen − 1 ( x 3 ) ) por − 3 ≤ x ≤ 3. Sabemos que hay un ángulo θ de manera que sen θ = x 3 . sen 2 θ + cos 2 θ = 1 Utilice el teorema de Pitágoras . ( x 3 ) 2 + cos 2 θ = 1 Resuelva para el coseno . cos 2 θ = 1 - x 2 9 cos θ = ± 9 - x 2 9 = ± 9 - x 2 3 Ya que sabemos que el seno inverso debe dar un ángulo en el intervalo [ - π 2 , π 2 ] , podemos deducir que el coseno de ese ángulo deberá ser positivo. cos ( sen − 1 ( x 3 ) ) = 9 - x 2 3 Ejercicio Halle una expresión simplificada para sen ( tan - 1 ( 4 x ) ) por − 1 4 ≤ x ≤ 1 4 . 4 x 16 x 2 + 1 Media Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las funciones trigonométricas inversas. Evaluar expresiones que implican funciones trigonométricas inversas Conceptos clave La función inversa es aquella que "deshace" otra función. El dominio de la función inversa es el rango de la función original, mientras que el rango de la función inversa es el dominio de la función original. Dado que las funciones trigonométricas no son biunívocas en sus dominios naturales, las funciones trigonométricas inversas se definen para dominios restringidos. Para cualquier función trigonométrica f ( x ) , si x = f − 1 ( y ) , entonces f ( x ) = y . Sin embargo, el que f ( x ) = y solo implica x = f − 1 ( y ) si x está en el dominio restringido de f . Vea el . Los ángulos especiales son las salidas de las funciones trigonométricas inversas para valores de entrada especiales; por ejemplo, π 4 = tan - 1 ( 1 ) y π 6 = sen − 1 ( 1 2 ) . Vea el . Una calculadora devolverá un ángulo dentro del dominio restringido de la función trigonométrica original. Vea el . Las funciones inversas nos permiten hallar un ángulo cuando se dan dos lados de un triángulo rectángulo. Vea el . En la composición de funciones, si la función interior es una función trigonométrica inversa, existen expresiones exactas; por ejemplo sen ( cos − 1 ( x ) ) = 1 - x 2 . Vea el . Si la función interior es una función trigonométrica, las únicas combinaciones posibles son sen − 1 ( cos x ) = π 2 - x si 0 ≤ x ≤ π y cos − 1 ( sen x ) = π 2 - x si − π 2 ≤ x ≤ π 2 . Vea el y el . Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, dibuje un triángulo de referencia para determinar el cociente de lados que represente la salida de la función trigonométrica. Vea el . Al evaluar la composición de una función trigonométrica con una función trigonométrica inversa, puede utilizar las identidades trigonométricas para determinar el cociente de los lados. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Por qué las funciones f ( x ) = sen − 1 x y g ( x ) = cos − 1 x tienen diferentes rangos? La función y = sen x es biunívoca en [ - π 2 , π 2 ] ; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y = sen x , f ( x ) = sen − 1 x . La función y = cos x es biunívoca en [ 0 , π ] ; así, este intervalo es el rango de la función inversa de y = cos x , f ( x ) = cos − 1 x . Dado que las funciones y = cos x y y = cos − 1 x son funciones inversas, ¿por qué cos − 1 ( cos ( - π 6 ) ) no es igual a − π 6 ? Explique el significado de π 6 = arcsen ( 0,5 ) . π 6 es la medida del radián de un ángulo entre − π 2 y π 2 cuyo seno es 0,5. La mayoría de las calculadoras no tienen ninguna tecla para evaluar sec − 1 ( 2 ) . Explique cómo se puede hacer esto con la función coseno o la función coseno inversa. ¿Por qué el dominio de la función seno, sen x , debe restringirse a [ - π 2 , π 2 ] para que exista la función seno inversa? Para que cualquier función tenga una inversa, deberá ser biunívoca y pasar la prueba de la línea horizontal. La función seno regular no es biunívoca, a menos que su dominio esté restringido de alguna manera. Los matemáticos han acordado restringir la función seno al intervalo [ - π 2 , π 2 ] para que sea biunívoca y posea una inversa. Comente por qué este enunciado es incorrecto: arccos ( cos x ) = x para todos los valores x . Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y razone su respuesta arccos ( - x ) = π − arccos x . Verdadero. El ángulo, θ 1 que es igual a arccos ( - x ) , x > 0 , será un ángulo de segundo cuadrante con ángulo de referencia, θ 2 , donde θ 2 es igual a arccos x , x > 0 . Dado que θ 2 es el ángulo de referencia para θ 1 , θ 2 = π - θ 1 y arccos ( - x ) = π − arccos x - Algebraicos En los siguientes ejercicios, evalúe las expresiones. sen − 1 ( 2 2 ) sen − 1 ( - 1 2 ) − π 6 cos − 1 ( 1 2 ) cos − 1 ( – 2 2 ) 3 π 4 tan - 1 ( 1 ) tan - 1 ( - 3 ) − π 3 tan - 1 ( - 1 ) tan - 1 ( 3 ) π 3 tan - 1 ( - 1 3 ) En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para evaluar cada expresión. Exprese las respuestas a la centésima más cercana. cos − 1 ( − 0,4 ) 1,98 arcsen ( 0,23 ) arccos ( 3 5 ) 0,93 cos − 1 ( 0,8 ) tan - 1 ( 6 ) 1,41 En los siguientes ejercicios, halle el ángulo θ en el triángulo rectángulo dado. Redondee las respuestas a la centésima más cercana. 0,56 radianes En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto, si es posible, sin calculadora. Si no es posible, explique por qué. sen − 1 ( cos ( π ) ) tan - 1 ( sen ( π ) ) 0 cos − 1 ( sen ( π 3 ) ) tan - 1 ( sen ( π 3 ) ) 0,71 sen − 1 ( cos ( - π 2 ) ) tan - 1 ( sen ( 4 π 3 ) ) -0,71 sen − 1 ( sen ( 5 π 6 ) ) tan - 1 ( sen ( - 5 π 2 ) ) − π 4 cos ( sen − 1 ( 4 5 ) ) sen ( cos − 1 ( 3 5 ) ) 0,8 sen ( tan - 1 ( 4 3 ) ) cos ( tan - 1 ( 12 5 ) ) 5 13 cos ( sen − 1 ( 1 2 ) ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de la expresión en términos de x con la ayuda de un triángulo de referencia. tan ( sen − 1 ( x – 1 ) ) x – 1 - x 2 + 2 x sen ( cos − 1 ( 1 - x ) ) cos ( sen − 1 ( 1 x ) ) x 2 – 1 x cos ( tan - 1 ( 3 x – 1 ) ) tan ( sen − 1 ( x + 1 2 ) ) x + 0,5 − x 2 - x + 3 4 Extensiones En los siguientes ejercicios, evalúe la expresión sin utilizar la calculadora. Indique el valor exacto. sen − 1 ( 1 2 ) - cos − 1 ( 2 2 ) + sen − 1 ( 3 2 ) - cos − 1 ( 1 ) cos − 1 ( 3 2 ) - sen − 1 ( 2 2 ) + cos − 1 ( 1 2 ) - sen − 1 ( 0 ) En los siguientes ejercicios, halle la función si sen t = x x + 1 . cos t 2 x + 1 x + 1 sec t cot t 2 x + 1 x cos ( sen − 1 ( x x + 1 ) ) tan - 1 ( x 2 x + 1 ) t Gráficos Grafique y = sen − 1 x e indique el dominio y el rango de la función. Grafique y = arccos x e indique el dominio y el rango de la función. dominio [ - 1 , 1 ] ; rango [ 0 , π ] Grafique un ciclo de y = tan - 1 x e indique el dominio y el rango de la función. ¿Para qué valor de x sen x = sen − 1 x ? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta. aproximadamente x = 0,00 ¿Para qué valor de x cos x = cos − 1 x ? Utilice una calculadora gráfica para aproximar la respuesta. Aplicaciones en el mundo real Supongamos que una escalera de 13 pies se apoya en un edificio y llega hasta la parte inferior de una ventana de segundo piso a 12 pies de altura. ¿Qué ángulo, en radianes, forma la escalera con el edificio? 0,395 radianes Supongamos que conduce a 0,6 millas por una carretera de manera que la distancia vertical cambia de 0 a 150 pies. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la carretera? Un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes de 9 pulgadas de longitud. El lado restante tiene una longitud de 8 pulgadas. Halle el ángulo que forma un lado de 9 pulgadas con el lado de 8 pulgadas. 1,11 radianes Sin utilizar la calculadora, estime el valor de arctan ( 10 . 000 ) . Razone su respuesta. Un soporte (estructura de vigas interiores) para el tejado de una casa se construye con dos triángulos rectángulos idénticos. Cada uno tiene una base de 12 pies y una altura de 4 pies. Halle la medida del ángulo agudo adyacente al lado de 4 pies. 1,25 radianes La línea y = 3 5 x pasa por el origen en el plano x , y . ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje positivo x ? La línea y = - 3 7 x pasa por el origen en el plano x , y . ¿Cuál es la medida del ángulo que forma la recta con el eje negativo x ? 0,405 radianes ¿Qué porcentaje de pendiente debería tener una carretera si su ángulo de elevación es de 4 grados? (El porcentaje de pendiente se define como el cambio de altitud de la carretera en una distancia horizontal de 100 pies. Por ejemplo, una pendiente del 5 % significa que la carretera se eleva 5 pies por cada 100 pies de distancia horizontal). Una escalera de 20 pies se apoya en el lateral de un edificio de forma que el pie de la escalera está a 10 pies de la base del edificio. Si las especificaciones exigen que el ángulo de elevación de la escalera esté entre 35 y 45 grados, ¿la colocación de esta escalera satisface las especificaciones de seguridad? No. El ángulo que forma la escalera con la horizontal es de 60 grados. Supongamos que una escalera de 15 pies se apoya en el lateral de una casa de manera que el ángulo de elevación de la escalera es de 42 grados. ¿A qué distancia está el pie de la escalera del lado de la casa? Ejercicios de repaso del capítulo Gráficos de las funciones seno y coseno En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas. f ( x ) = - 3 cos x + 3 amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = 3 ; sin asíntotas f ( x ) = 1 4 sen x f ( x ) = 3 cos ( x + π 6 ) amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 ; sin asíntotas f ( x ) = - 2 sen ( x - 2 π 3 ) f ( x ) = 3 sen ( x - π 4 ) - 4 amplitud: 3; periodo: 2 π ; línea media: y = – 4 ; sin asíntotas f ( x ) = 2 ( cos ( x - 4 π 3 ) + 1 ) f ( x ) = 6 sen ( 3 x - π 6 ) - 1 amplitud: 6; periodo: 2 π 3 ; línea media: y = - 1 ; sin asíntotas f ( x ) = − 100 sen ( 50 x - 20 ) Gráficos de las demás funciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, grafique las funciones para dos periodos y determine la amplitud o factor de estiramiento, el periodo, la ecuación de la línea media y las asíntotas. f ( x ) = tan x - 4 factor de estiramiento: ninguno; periodo: π ; línea media: y = – 4 ; asíntotas: x = π 2 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = 2 tan ( x - π 6 ) f ( x ) = - 3 tan ( 4 x ) - 2 factor de estiramiento: 3; periodo: π 4 ; línea media: y = - 2 ; asíntotas: x = π 8 + π 4 k , donde k es un número entero f ( x ) = 0,2 cos ( 0,1 x ) + 0,3 En los siguientes ejercicios, grafique dos periodos completos. Identifique el periodo, el desplazamiento de fase, la amplitud y las asíntotas. f ( x ) = 1 3 sec x amplitud: ninguna; periodo: 2 π ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = π 2 k , donde k es un número entero impar f ( x ) = 3 cot x f ( x ) = 4 csc ( 5 x ) amplitud: ninguna; periodo: 2 π 5 ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = π 5 k , donde k es un número entero f ( x ) = 8 sec ( 1 4 x ) f ( x ) = 2 3 csc ( 1 2 x ) amplitud: ninguna; periodo: 4 π ; sin desplazamiento de fase; asíntotas: x = 2 π k , donde k es un número entero f ( x ) = - csc ( 2 x + π ) En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: La población de una ciudad ha subido y bajado en un intervalo de 20 años. Su población puede modelarse con la siguiente función y = 12 , 000 + 8 , 000 sen ( 0,628 x ), donde el dominio son los años desde 1980 y el rango es la población de la ciudad. ¿Cuál es la mayor y menor población que puede tener la ciudad? mayor: 20.000; menor: 4.000 Grafique la función en el dominio de [ 0 , 40 ] . ¿Cuáles son la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase de la función? amplitud: 8.000; periodo: 10; deslizamiento de fase: 0 Sobre este dominio, ¿cuándo alcanza la población los 18.000 habitantes? ¿Los 13.000 habitantes? ¿Cuál es la población prevista en 2007? ¿En 2010? En 2007, la población prevista es de 4.413 habitantes. En 2010, la población será de 11.924 habitantes. En los siguientes ejercicios, supongamos que un peso está unido a un resorte y se balancea hacia arriba y hacia abajo, en una demostración de simetría. Supongamos que el gráfico de la función de desplazamiento se muestra en la , donde los valores en el eje x representan el tiempo en segundos y en el eje y representa el desplazamiento en pulgadas. Determine la ecuación que modela el desplazamiento vertical del peso sobre el resorte. En el tiempo = 0, ¿cuál es el desplazamiento del peso? 5 pulgadas. ¿En qué momento el desplazamiento desde el punto de equilibrio es igual a cero? ¿Cuál es el tiempo necesario para que el peso vuelva a su altura inicial de 5 pulgadas? En otras palabras, ¿cuál es el periodo de la función de desplazamiento? 10 segundos Funciones trigonométricas inversas En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto sin ayuda de la calculadora. sen − 1 ( 1 ) cos − 1 ( 3 2 ) π 6 tan –1 ( –1 ) cos − 1 ( 1 2 ) π 4 sen − 1 ( - 3 2 ) sen − 1 ( cos ( π 6 ) ) π 3 cos − 1 ( tan ( 3 π 4 ) ) sen ( sec − 1 ( 3 5 ) ) No hay solución cot ( sen − 1 ( 3 5 ) ) tan ( cos − 1 ( 5 13 ) ) 12 5 sen ( cos − 1 ( x x + 1 ) ) Grafique f ( x ) = cos x y f ( x ) = sec x en el intervalo [ 0 , 2 π ) y explique las observaciones. Los gráficos no son simétricos con respecto a la línea y = x . Son simétricos con respecto al eje y . Grafique f ( x ) = sen x y f ( x ) = csc x y explique las observaciones. Grafique la función f ( x ) = x 1 - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! en el intervalo [ - 1 , 1 ] y compare este gráfico con el de f ( x ) = sen x en el mismo intervalo. Describa las observaciones. Los gráficos lucen idénticos. Prueba de práctica del capítulo En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada función para dos periodos completos. Determine la amplitud, el periodo y la ecuación de la línea media. f ( x ) = 0,5 sen x amplitud: 0,5; periodo: 2 π ; línea media y = 0 f ( x ) = 5 cos x f ( x ) = 5 sen x amplitud: 5; periodo: 2 π ; línea media: y = 0 f ( x ) = sen ( 3 x ) f ( x ) = - cos ( x + π 3 ) + 1 amplitud: 1; periodo: 2 π ; línea media: y = 1 f ( x ) = 5 sen ( 3 ( x - π 6 ) ) + 4 f ( x ) = 3 cos ( 1 3 x - 5 π 6 ) amplitud: 3; periodo: 6 π ; línea media: y = 0 f ( x ) = tan ( 4 x ) f ( x ) = - 2 tan ( x - 7 π 6 ) + 2 amplitud: ninguna; periodo: π ; línea media: y = 0 , asíntotas: x = 2 π 3 + π k , donde k es un número entero f ( x ) = π cos ( 3 x + π ) f ( x ) = 5 csc ( 3 x ) amplitud: ninguna; periodo: 2 π 3 ; línea media: y = 0 , asíntotas: x = π 3 k , donde k es un número entero f ( x ) = π sec ( π 2 x ) f ( x ) = 2 csc ( x + π 4 ) - 3 amplitud: ninguna; periodo: 2 π ; línea media: y = - 3 En los siguientes ejercicios, determine la amplitud, el periodo y la línea media del gráfico; luego halle una fórmula para la función. Indique en términos de una función seno. Indique en términos de una función seno. amplitud: 2; periodo: 2; línea media: y = 0 ; f ( x ) = 2 sen ( π ( x – 1 ) ) Indique en términos de una función tangente. En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, el periodo, el desplazamiento de fase y la línea media. y = sen ( π 6 x + π ) - 3 amplitud: 1; periodo: 12; desplazamiento de fase −6 ; línea media y = −3 y = 8 sen ( 7 π 6 x + 7 π 2 ) + 6 La temperatura exterior a lo largo de un día puede modelarse como una función sinusoidal. Suponga que sabe que la temperatura es de 68 °F a medianoche y que las temperaturas máxima y mínima durante el día son de 80 °F y 56 °F, respectivamente. Suponiendo que t es el número de horas transcurridas desde la medianoche, halle una función para la temperatura, D , en términos de t . D ( t ) = 68 − 12 sen ( π 12 x ) El agua se bombea a un recipiente de almacenamiento y se vacía según una tasa periódica. La profundidad del agua es de 3 pies en su punto más bajo a las 2:00 a. m. y de 71 pies en su punto más alto, lo cual ocurre cada 5 horas. Escriba una función coseno que modele la profundidad del agua en función del tiempo, y luego grafique la función para un periodo. En los siguientes ejercicios, halle el periodo y el desplazamiento horizontal de cada función. g ( x ) = 3 tan ( 6 x + 42 ) periodo: π 6 ; desplazamiento horizontal: −7 n ( x ) = 4 csc ( 5 π 3 x - 20 π 3 ) Escriba la ecuación del gráfico en la en términos de la función secante y defina el periodo y el desplazamiento de fase. f ( x ) = sec ( π x ) ; periodo: 2; desplazamiento de fase: 0 Si los valores de tan x = 3 , calcule tan ( - x ) . Si los valores de sec x = 4 , calcule sec ( - x ) . 4 En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en la ventana especificada y responda las preguntas. Grafique m ( x ) = sen ( 2 x ) + cos ( 3 x ) en la ventana de visualización [ − 10 , 10 ] entre [ − 3 , 3 ] . Calcule aproximadamente el periodo del gráfico. Grafique n ( x ) = 0,02 sen ( 50 π x ) en los siguientes dominios en x : [ 0 , 1 ] y [ 0 , 3 ] . Supongamos que esta función modela las ondas sonoras. ¿Por qué estas vistas son tan diferentes? Las vistas son diferentes porque el periodo de la onda es 1 25 . En un dominio más grande, habrá más ciclos del gráfico. Grafique f ( x ) = sen x x en [ − 0,5 , 0,5 ] y explique las observaciones. En los siguientes ejercicios, supongamos que f ( x ) = 3 5 cos ( 6 x ) . ¿Cuál es el mayor valor posible para f ( x ) ? 3 5 ¿Cuál es el menor valor posible para f ( x ) ? ¿Dónde es la función creciente en el intervalo [ 0 , 2 π ] ? En los intervalos aproximados ( 0,5 , 1 ) , ( 1,6 , 2,1 ) , ( 2,6 , 3,1 ) , ( 3,7 , 4,2 ) , ( 4,7 , 5,2 ) , ( 5,6 , 6,28 ) En los siguientes ejercicios, halle y grafique un periodo de la función periódica con la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase dados. Curva sinusoidal con amplitud 3, periodo π 3 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( π 4 , 2 ) Curva coseno con amplitud 2, periodo π 6 , y desplazamiento de fase ( h , k ) = ( - π 4 , 3 ) f ( x ) = 2 cos ( 12 ( x + π 4 ) ) + 3 En los siguientes ejercicios, grafique la función. Describa el gráfico y, en su caso, cualquier comportamiento periódico, amplitud, asíntotas o puntos indefinidos. f ( x ) = 5 cos ( 3 x ) + 4 sen ( 2 x ) f ( x ) = e sen t Este gráfico es periódico con un periodo de 2 π . En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. sen − 1 ( 3 2 ) tan - 1 ( 3 ) π 3 cos − 1 ( - 3 2 ) cos − 1 ( sen ( π ) ) π 2 cos − 1 ( tan ( 7 π 4 ) ) cos ( sen − 1 ( 1 - 2 x ) ) 1 - ( 1 - 2 x ) 2 cos − 1 ( − 0,4 ) cos ( tan - 1 ( x 2 ) ) 1 1 + x 4 En los siguientes ejercicios, supongamos sen t = x x + 1 . Evalúe las siguientes expresiones. tan t csc t x + 1 x Dada la , halle la medida del ángulo θ a tres decimales. Responda en radianes. En los siguientes ejercicios, determine si la ecuación es verdadera o falsa. arcsen ( sen ( 5 π 6 ) ) = 5 π 6 Falso arccos ( cos ( 5 π 6 ) ) = 5 π 6 La pendiente de una carretera es del 7 %. Esto significa que, por cada distancia horizontal de 100 pies en la carretera, la elevación vertical es de 7 pies. Halle el ángulo que forma la carretera con la horizontal en radianes. aproximadamente 0,07 radianes arcocoseno otro nombre para el coseno inverso arccos x = cos − 1 x arcoseno otro nombre para el seno inverso arcsen x = sen − 1 x arcotangente otro nombre para la tangente inversa arctan x = tan - 1 x función coseno inversa la función cos − 1 x , que es la inversa de la función coseno y el ángulo que tiene un coseno igual a un número dado función seno inversa la función sen − 1 x , que es la inversa de la función seno y el ángulo que tiene un seno igual a un número dado función tangente inversa la función tan - 1 x , que es la inversa de la función tangente y el ángulo que tiene una tangente igual a un número dado

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Introducción Una onda sinusoidal modela la perturbación. (Créditos: modificación del trabajo de Mikael Altemark, Flickr). Las matemáticas están en todas partes, incluso en lugares que no reconocemos inmediatamente. Por ejemplo, las relaciones matemáticas describen la transmisión de imágenes, luz y sonido. El gráfico sinusoidal de la figura anterior representa la música que se reproduce en el teléfono, la radio o la computadora. Estos gráficos se describen mediante ecuaciones y funciones trigonométricas. En este capítulo, abordamos cómo manipular ecuaciones trigonométricas algebraicamente mediante la aplicación de varias fórmulas e identidades trigonométricas. También investigaremos algunas de las formas en que se utilizan las ecuaciones trigonométricas para modelar fenómenos de la vida real.

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Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades Pasaportes y documentos de viaje internacionales En las películas de espionaje, vemos a espías internacionales con varios pasaportes, cada uno de los cuales declara una identidad diferente. Sin embargo, sabemos que cada uno de esos pasaportes representa a la misma persona. Las identidades trigonométricas actúan de forma similar a los pasaportes múltiples: hay muchas formas de representar la misma expresión trigonométrica. Al igual que un espía elige un pasaporte italiano cuando viaja a Italia, nosotros elegimos la identidad que se aplica al escenario dado cuando resolvemos una ecuación trigonométrica. En esta sección, comenzaremos un examen de las identidades trigonométricas fundamentales, incluso cómo podemos verificarlas y utilizarlas para simplificar expresiones trigonométricas. Verificar las identidades trigonométricas fundamentales Las identidades nos permiten simplificar expresiones complicadas. Son las herramientas básicas de la trigonometría que se utilizan para resolver ecuaciones trigonométricas, al igual que la factorización, la búsqueda de denominadores comunes y el uso de fórmulas especiales son las herramientas básicas para resolver ecuaciones algebraicas. De hecho, utilizamos constantemente técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. Las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados y la fórmula de los cuadrados perfectos, simplificarán el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Ya sabemos que todas las funciones trigonométricas están relacionadas porque todas están definidas en términos del círculo unitario. En consecuencia, cualquier identidad trigonométrica se escribe de muchas maneras. Para verificar las identidades trigonométricas, solemos empezar con el lado más complicado de la ecuación y esencialmente reescribimos la expresión hasta que se haya transformado en la misma expresión que el otro lado de la ecuación. A veces tenemos que factorizar expresiones, expandir expresiones, hallar denominadores comunes o utilizar otras estrategias algebraicas para obtener el resultado deseado. En esta primera sección, trabajaremos con las identidades fundamentales: las identidades pitagóricas , las identidades pares, las identidades recíprocas y las identidades de cociente. Comenzaremos con las identidades pitagóricas (vea la ), que son ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades de un triángulo rectángulo. Ya hemos visto y utilizado la primera de estas identificaciones. Esta vez también utilizaremos otras identidades. Identidades de Pitágoras sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ La segunda y tercera identidades se obtienen al manipular la primera. La identidad 1 + cot 2 θ = csc 2 θ se halla al reescribir el lado izquierdo de la ecuación en términos de seno y coseno. Compruebe: 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + cot 2 θ = ( 1 + cos 2 θ sen 2 θ ) Reescriba el lado izquierdo . = ( sen 2 θ sen 2 θ ) + ( cos 2 θ sen 2 θ ) Escriba ambos términos con el denominador común . = sen 2 θ + cos 2 θ sen 2 θ = 1 sen 2 θ = csc 2 θ De la misma manera, 1 + tan 2 θ = sec 2 θ se obtiene al reescribir el lado izquierdo de esta identidad en términos de seno y coseno. Esto da 1 + tan 2 θ = 1 + ( sen θ cos θ ) 2 Reescriba el lado izquierdo . = ( cos θ cos θ ) 2 + ( sen θ cos θ ) 2 Escriba ambos términos con el denominador común . = cos 2 θ + sen 2 θ cos 2 θ = 1 cos 2 θ = sec 2 θ El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el conjunto de identidades pares-impares. Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo dado con el valor de la función en el ángulo opuesto y determinan si la identidad es par o impar. (Vea la ). Identidades par-impar tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Recordemos que la función impar es aquella en la que f (− x ) = − f ( x ) para todo x en el dominio de f . La función seno es una función impar porque sen ( - θ ) = - sen θ . El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen. Por ejemplo, consideremos las entradas correspondientes de π 2 y − π 2 . La salida de sen ( π 2 ) es opuesta a la salida de sen ( - π 2 ) . Así, sen ( π 2 ) = 1 y sen ( - π 2 ) = - sen ( π 2 ) = - 1 Esto se muestra en la . Gráfico de y = sen θ Recordemos que la función par es aquella en la que f ( - x ) = f ( x ) para todos x en el ámbito de f El gráfico de la función par es simétrico con respecto al eje y . La función coseno es una función par porque cos ( - θ ) = cos θ . Por ejemplo, considere las entradas correspondientes π 4 y − π 4 . La salida de cos ( π 4 ) es la misma que la salida de cos ( - π 4 ) . Por lo tanto, cos ( - π 4 ) = cos ( π 4 ) ≈ 0,707 Vea la . Gráfico de y = cos θ Para todos θ en el dominio de las funciones seno y coseno, respectivamente, podemos afirmar lo siguiente: Dado que sen (− θ ) = - sen θ , seno es una función impar. Dado que, cos (− θ ) = cos θ , coseno es una función par. Las otras identidades pares-impares se derivan de la naturaleza par e impar de las funciones seno y coseno. Por ejemplo, consideremos la identidad tangente, tan (− θ ) = -tan θ . Podemos interpretar la tangente de un ángulo negativo como tan (− θ ) = sen ( - θ ) cos (− θ ) = - sen θ cos θ = - tan θ . La tangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que tan ( - θ ) = - tan ( θ ) para todos los θ en el dominio de la función tangente . La identidad cotangente, cot ( - θ ) = - cot θ , también se deduce de las identidades del seno y del coseno. Podemos interpretar la cotangente de un ángulo negativo como cot ( - θ ) = cos ( - θ ) sen ( - θ ) = cos θ - sen θ = - cot θ . La cotangente es, por tanto, una función impar, lo que significa que cot ( - θ ) = - cot ( θ ) para todos los θ en el dominio de la función cotangente . La función cosecante es la recíproca de la función seno, lo que significa que la cosecante de un ángulo negativo se interpretará como csc ( - θ ) = 1 sen ( - θ ) = 1 - sen θ = - csc θ . La función cosecante es, por tanto, impar. Por último, la función secante es la recíproca de la función coseno, y la secante de un ángulo negativo se interpreta como sec ( - θ ) = 1 cos ( - θ ) = 1 cos θ = sec θ . La función secante es, por tanto, par. En resumen, solo dos de las funciones trigonométricas, el coseno y la secante, son pares. Las otras cuatro funciones son impares, que verifican las identidades pares-impares. El siguiente conjunto de identidades fundamentales es el de identidades recíprocas , que, como su nombre lo indica, relacionan funciones trigonométricas que son recíprocas entre sí. Vea la . Identidades recíprocas sen θ = 1 csc θ csc θ = 1 sen θ cos θ = 1 sec θ sec θ = 1 cos θ tan θ = 1 cot θ cot θ = 1 tan θ El último conjunto de identidades es el de identidades de cociente , que definen relaciones entre ciertas funciones trigonométricas y sirven para verificar otras identidades. Vea la . Identidades del cociente tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Las identidades recíproca y de cociente se derivan de las definiciones de las funciones trigonométricas básicas. Resumir las identidades trigonométricas Las identidades pitagóricas se basan en las propiedades de un triángulo rectángulo. cos 2 θ + sen 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ Las identidades pares-impares relacionan el valor de una función trigonométrica en un ángulo determinado con el valor de la función en el ángulo opuesto. tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Las identidades recíprocas definen las recíprocas de las funciones trigonométricas. sen θ = 1 csc θ cos θ = 1 sec θ tan θ = 1 cot θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Las identidades de cociente definen la relación entre las funciones trigonométricas. tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Graficar las ecuaciones de una identidad Grafique ambos lados de la identidad cot θ = 1 tan θ . En otras palabras, en la calculadora gráfica, grafique y = cot θ y y = 1 tan θ . Vea la . Análisis Solo vemos un gráfico porque ambas expresiones generan la misma imagen. Una está encima de la otra. Esta es una buena manera de confirmar una identidad verificada con medios analíticos. Si ambas expresiones dan el mismo gráfico, lo más probable es que sean identidades. Cómo Dada una identidad trigonométrica, verificar que es verdadera. Trabaje en un lado de la ecuación. Es mejor empezar por el lado más complejo, ya que es más fácil simplificar que construir. Busque la manera de factorizar expresiones, elevar al cuadrado un binomio o sumar fracciones. Al observar qué funciones hay en la expresión final, busque la manera de utilizar las identidades y hacer las sustituciones adecuadas. Si estos pasos no dan el resultado deseado, intente convertir todos los términos en senos y cosenos. Verificar una identidad trigonométrica Verifique tan θ cos θ = sen θ . Empezaremos por el lado izquierdo, ya que es el más complicado: tan θ cos θ = ( sen θ cos θ ) cos θ = ( sen θ cos θ ) cos θ = sen θ Análisis Esta identidad era bastante sencilla de verificar, ya que solo había que escribir tan θ en términos de sen θ y cos θ . Ejercicio Verifique la identidad csc θ cos θ tan θ = 1. csc θ cos θ tan θ = ( 1 sen θ ) cos θ ( sen θ cos θ ) = cos θ sen θ ( sen θ cos θ ) = sen θ cos θ sen θ cos θ = 1 Verificar la equivalencia mediante las identidades pares-impares Verifique la siguiente equivalencia mediante las identidades pares-impares: ( 1 + sen x ) [ 1 + sen ( - x ) ] = cos 2 x Trabajando en el lado izquierdo de la ecuación, tenemos ( 1 + sen x ) [ 1 + sen (− x ) ] = ( 1 + sen x ) ( 1 - sen x ) Dado que sen(- x )= − sen x = 1 - sen 2 x Diferencia de cuadrados = cos 2 x cos 2 x = 1 - sen 2 x Verificar una identidad trigonométrica que implique sec 2 θ Verifique la identidad sec 2 θ - 1 sec 2 θ = sen 2 θ Dado que el lado izquierdo es más complicado, empecemos por ahí. sec 2 θ - 1 sec 2 θ = ( tan 2 θ + 1 ) - 1 sec 2 θ sec 2 θ = tan 2 θ + 1 = tan 2 θ sec 2 θ = tan 2 θ ( 1 sec 2 θ ) = tan 2 θ ( cos 2 θ ) cos 2 θ = 1 sec 2 θ = ( sen 2 θ cos 2 θ ) ( cos 2 θ ) tan 2 θ = sen 2 θ cos 2 θ = ( sen 2 θ cos 2 θ ) ( cos 2 θ ) = sen 2 θ Hay más de una forma de verificar una identidad. Aquí hay otra posibilidad. De nuevo, podemos empezar por el lado izquierdo. sec 2 θ - 1 sec 2 θ = sec 2 θ sec 2 θ - 1 sec 2 θ = 1 - cos 2 θ = sen 2 θ Análisis En el primer método, utilizamos la identidad sec 2 θ = tan 2 θ + 1 y continuamos simplificando. En el segundo método, dividimos la fracción, al colocar ambos términos en el numerador sobre el denominador común. Este problema ilustra que hay varias formas de verificar una identidad. Un poco de creatividad a veces simplifica un procedimiento. Siempre que las sustituciones sean correctas, la respuesta será la misma. Ejercicio Demuestre que cot θ csc θ = cos θ . cot θ csc θ = cos θ sen θ 1 sen θ = cos θ sen θ ⋅ sen θ 1 = cos θ Crear y verificar una identidad Cree una identidad para la expresión 2 tan θ sec θ al reescribir estrictamente en términos de seno. Hay varias formas de empezar, pero aquí utilizaremos las identidades de cociente y recíproca para reescribir la expresión: 2 tan θ sec θ = 2 ( sen θ cos θ ) ( 1 cos θ ) = 2 sen θ cos 2 θ = 2 sen θ 1 - sen 2 θ Sustituya 1 - sen 2 θ para cos 2 θ Por lo tanto, 2 tan θ sec θ = 2 sen θ 1 - sen 2 θ Verificar una identidad mediante el álgebra y las identidades pares-impares Verifique la identidad: sen 2 ( - θ ) - cos 2 ( - θ ) sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = cos θ - sen θ Empecemos por el lado izquierdo y simplifiquemos: sen 2 ( - θ ) - cos 2 ( - θ ) sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = [ sen ( - θ ) ] 2 - [ cos ( - θ ) ] 2 sen ( - θ ) - cos ( - θ ) = (− sen θ ) 2 - ( cos θ ) 2 - sen θ - cos θ sen ( - x ) = - sen x y cos ( - x ) = cos x = ( sen θ ) 2 - ( cos θ ) 2 - sen θ - cos θ Diferencia de cuadrados = ( sen θ - cos θ ) ( sen θ + cos θ ) - ( sen θ + cos θ ) = ( sen θ - cos θ ) ( sen θ + cos θ ) - ( sen θ + cos θ ) = cos θ - sen θ Ejercicio Verifique la identidad sen 2 θ - 1 tan θ sen θ – tan θ = sen θ + 1 tan θ . sen 2 θ - 1 tan θ sen θ – tan θ = ( sen θ + 1 ) ( sen θ - 1 ) tan θ ( sen θ - 1 ) = sen θ + 1 tan θ Verificar una identidad con coseno y cotangente Verifique la identidad: ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cot 2 x ) = 1. Trabajaremos en el lado izquierdo de la ecuación. ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cot 2 x ) = ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x sen 2 x ) = ( 1 - cos 2 x ) ( sen 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ) Halle el denominador común . = ( 1 - cos 2 x ) ( sen 2 x + cos 2 x sen 2 x ) = ( sen 2 x ) ( 1 sen 2 x ) = 1 Usar el álgebra para simplificar expresiones trigonométricas Hemos visto que el álgebra es muy importante para verificar las identidades trigonométricas, pero es igual de crítica para simplificar las expresiones trigonométricas antes de resolverlas. Estar familiarizado con las propiedades y fórmulas básicas del álgebra, como la fórmula de la diferencia de cuadrados, la fórmula del cuadrado perfecto o la sustitución, simplificará el trabajo con las expresiones y ecuaciones trigonométricas. Por ejemplo, la ecuación ( sen x + 1 ) ( sen x – 1 ) = 0 se parece a la ecuación ( x + 1 ) ( x – 1 ) = 0 , que utiliza la forma factorizada de la diferencia de cuadrados. El uso del álgebra hace que hallar una solución sea algo sencillo y familiar. Podemos llevar cada factor igual a cero y resolver. Este es un ejemplo de reconocimiento de patrones algebraicos en expresiones o ecuaciones trigonométricas. Otro ejemplo es la fórmula de la diferencia de cuadrados, a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) , que se utiliza ampliamente en muchas áreas distintas de las matemáticas, como la ingeniería, la arquitectura y la física. También podemos crear nuestras propias identidades al ampliar continuamente una expresión y realizar las sustituciones adecuadas. El uso de propiedades y fórmulas algebraicas facilita la comprensión y resolución de muchas ecuaciones trigonométricas. Escribir la expresión trigonométrica como expresión algebraica Escriba la siguiente expresión trigonométrica como expresión algebraica 2 cos 2 θ + cos θ − 1. Observe que el patrón mostrado tiene la misma forma que la típica expresión cuadrática, a x 2 + b x + c . Supongamos que cos θ = x , podemos reescribir la expresión como sigue: 2 x 2 + x – 1 Esta expresión se puede factorizar como ( 2 x – 1 ) ( x + 1 ) . Si se llevara igual a cero y quisiéramos resolver la ecuación, utilizaríamos la propiedad del factor cero y resolveríamos cada factor para x . En este punto, sustituimos x con la cos θ y resuelva para θ . Reescribir una expresión trigonométrica mediante la diferencia de cuadrados Reescriba la expresión trigonométrica 4 cos 2 θ − 1. Observe que tanto el coeficiente como la expresión trigonométrica del primer término están elevados al cuadrado, y el cuadrado del número 1 es 1. Esta es la diferencia de cuadrados. Por lo tanto, 4 cos 2 θ - 1 = ( 2 cos θ ) 2 – 1 = ( 2 cos θ - 1 ) ( 2 cos θ + 1 ) Análisis Si esta expresión se escribiera en forma de ecuación igual a cero, podríamos resolver cada factor con la propiedad del factor cero. También podríamos utilizar la sustitución como hicimos en el problema anterior. Así, supongamos que cos θ = x , reescribimos la expresión como 4 x 2 – 1 , y factorizamos ( 2 x – 1 ) ( 2 x + 1 ) . Entonces sustituimos x con la cos θ y resolvemos el ángulo. Ejercicio Reescriba la expresión trigonométrica 25 − 9 sen 2 θ . Esta es una fórmula de diferencia de cuadrados: 25 − 9 sen 2 θ = ( 5 - 3 sen θ ) ( 5 + 3 sen θ ) . Simplificar mediante la reescritura y la sustitución Simplifique la expresión al reescribir y utilizar las identidades: csc 2 θ - cot 2 θ Podemos empezar con la identidad pitagórica. 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Ahora podemos simplificar al sustituir 1 + cot 2 θ por csc 2 θ . Tenemos csc 2 θ - cot 2 θ = 1 + cot 2 θ - cot 2 θ = 1 Ejercicio Utilice técnicas algebraicas para verificar la identidad: cos θ 1 + sen θ = 1 - sen θ cos θ . (Pista: Multiplique el numerador y el denominador en el lado izquierdo por 1 - sen θ . ) cos θ 1 + sen θ ( 1 - sen θ 1 - sen θ ) = cos θ ( 1 - sen θ ) 1 - sen 2 θ = cos θ ( 1 - sen θ ) cos 2 θ = 1 - sen θ cos θ Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades trigonométricas fundamentales. Identidades trigonométricas fundamentales Verificar identidades trigonométricas Ecuaciones clave Identidades de Pitágoras sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + cot 2 θ = csc 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ Identidades pares-impares tan ( - θ ) = - tan θ cot ( - θ ) = - cot θ sen ( - θ ) = - sen θ csc ( - θ ) = - csc θ cos ( - θ ) = cos θ sec ( - θ ) = sec θ Identidades recíprocas sen θ = 1 csc θ cos θ = 1 sec θ tan θ = 1 cot θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ cot θ = 1 tan θ Identidades del cociente tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ Conceptos clave Hay varias maneras de representar una expresión trigonométrica. La verificación de las identidades ilustra cómo se pueden reescribir las expresiones para simplificar un problema. El gráfico de ambos lados de una identidad la verificará. Vea el . Simplificar un lado de la ecuación para que sea igual al otro lado es otro método para verificar una identidad. Vea el y el . El enfoque para verificar una identidad depende de su naturaleza. A menudo conviene empezar por el lado más complejo de la ecuación. Vea el . Podemos crear una identidad al simplificar una expresión y luego verificarla. Vea el . La verificación de una identidad implicaría el álgebra con las identidades fundamentales. Vea el y el . Se pueden utilizar técnicas algebraicas para simplificar las expresiones trigonométricas. A lo largo de este texto utilizamos técnicas algebraicas, ya que consisten en las reglas fundamentales de las matemáticas. Vea el , el y el . Ejercicios de la sección Verbales Sabemos que g ( x ) = cos x es una función par, y f ( x ) = sen x y h ( x ) = tan x son funciones impares. ¿Qué pasa con G ( x ) = cos 2 x , F ( x ) = sen 2 x , y H ( x ) = tan 2 x ? ¿Son pares, impares o ninguna de las dos? ¿Por qué? Las tres funciones, F , G y H , son pares. Esto se debe a que F ( - x ) = sen ( - x ) sen ( - x ) = ( - sen x ) ( - sen x ) = sen 2 x = F ( x ) , G ( - x ) = cos ( - x ) cos ( - x ) = cos x cos x = cos 2 x = G ( x ) y H ( - x ) = tan ( - x ) tan ( - x ) = ( − tan x ) ( − tan x ) = tan 2 x = H ( x ) . Examine el gráfico de f ( x ) = sec x en el intervalo [ - π , π ] . ¿Cómo podemos saber si la función es par o impar a partir únicamente del gráfico de f ( x ) = sec x ? Luego de examinar la identidad recíproca para sec t , explique por qué la función es indefinida en ciertos puntos. Cuando cos t = 0 , entonces sec t = 1 0 , que es indefinida. Todas las identidades pitagóricas están relacionadas. Describa cómo manipular las ecuaciones para pasar de sen 2 t + cos 2 t = 1 a las demás formas. Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice las identidades fundamentales para simplificar completamente la expresión. sen x cos x sec x sen x sen ( - x ) cos ( - x ) csc ( - x ) tan x sen x + sec x cos 2 x sec x csc x + cos x cot ( - x ) cot t + tan t sec ( − t ) csc t 3 sen 3 t csc t + cos 2 t + 2 cos ( − t ) cos t − tan ( - x ) cot ( - x ) −1 - sen ( - x ) cos x sec x csc x tan x cot x 1 + tan 2 θ csc 2 θ + sen 2 θ + 1 sec 2 θ sec 2 x ( tan x csc 2 x + tan x sec 2 x ) ( 1 + tan x 1 + cot x ) - 1 cos 2 x 1 - cos 2 x tan 2 x + 2 sen 2 x sen 2 x + 1 En los siguientes ejercicios, simplifique la primera expresión trigonométrica al escribir la forma simplificada en términos de la segunda expresión. tan x + cot x csc x ; cos x sec x + csc x 1 + tan x ; sen x 1 sen x cos x 1 + sen x + tan x ; cos x 1 sen x cos x − cot x ; cot x 1 cot x 1 1 - cos x - cos x 1 + cos x ; csc x ( sec x + csc x ) ( sen x + cos x ) - 2 − cot x ; tan x tan x 1 csc x - sen x ; sec x y tan x 1 - sen x 1 + sen x – 1 + sen x 1 - sen x ; sec x y tan x - 4 sec x tan x tan x ; sec x sec x ; cot x ± 1 cot 2 x + 1 sec x ; sen x cot x ; sen x ± 1 - sen 2 x sen x cot x ; csc x En los siguientes ejercicios, verifique la identidad. cos x - cos 3 x = cos x sen 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: cos x - cos 3 x = cos x ( 1 - cos 2 x ) = cos x sen 2 x cos x ( tan x − sec ( - x ) ) = sen x – 1 1 + sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = 1 + 2 tan 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: 1 + sen 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x + sen 2 x cos 2 x = sec 2 x + tan 2 x = tan 2 x + 1 + tan 2 x = 1 + 2 tan 2 x ( sen x + cos x ) 2 = 1 + 2 sen x cos x cos 2 x - tan 2 x = 2 - sen 2 x − sec 2 x Las respuestas variarán. Una prueba de ejemplo: cos 2 x - tan 2 x = 1 - sen 2 x - ( sec 2 x – 1 ) = 1 - sen 2 x − sec 2 x + 1 = 2 - sen 2 x − sec 2 x Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre o refute la identidad. 1 1 + cos x – 1 1 - cos ( - x ) = - 2 cot x csc x csc 2 x ( 1 + sen 2 x ) = cot 2 x Falso ( sec 2 ( - x ) - tan 2 x tan x ) ( 2 + 2 tan x 2 + 2 cot x ) - 2 sen 2 x = cos 2 x tan x sec x sen ( - x ) = cos 2 x Falso sec ( - x ) tan x + cot x = - sen ( - x ) 1 + sen x cos x = cos x 1 + sen ( - x ) Comprobado con identidades negativas y pitagóricas En los siguientes ejercicios, determine si la identidad es verdadera o falsa. Si es falso, halle una expresión equivalente apropiada. cos 2 θ - sen 2 θ 1 - tan 2 θ = sen 2 θ 3 sen 2 θ + 4 cos 2 θ = 3 + cos 2 θ Verdadera 3 sen 2 θ + 4 cos 2 θ = 3 sen 2 θ + 3 cos 2 θ + cos 2 θ = 3 ( sen 2 θ + cos 2 θ ) + cos 2 θ = 3 + cos 2 θ sec θ + tan θ cot θ + cos θ = sec 2 θ identidades pares-impares conjunto de ecuaciones que implican funciones trigonométricas tales que si f ( - x ) = - f ( x ) , la identidad es impar, y si f ( - x ) = f ( x ) , la identidad es par identidades pitagóricas conjunto de ecuaciones que implican funciones trigonométricas basadas en las propiedades del triángulo rectángulo identidades de cociente par de identidades basadas en el hecho de que la tangente es el cociente del seno y el coseno, y la cotangente es el cociente del coseno y el seno identidades recíprocas conjunto de ecuaciones que implican los recíprocos de las definiciones trigonométricas básicas

Matemáticas


Identidades de suma y resta Denali (anteriormente Monte McKinley, en el Parque Nacional de Denali (Alaska), se eleva a 20.237 pies (6.168 metros) sobre el nivel del mar. Es el pico más alto de América del Norte (créditos: Daniel A. Leifheit, Flickr) ¿Cómo se mide la altura de una montaña? ¿Cómo se mide la distancia de la Tierra al Sol? Al igual que muchos problemas aparentemente imposibles, nos basamos en fórmulas matemáticas para dar con las respuestas. Las identidades trigonométricas, que se utilizan comúnmente en las pruebas matemáticas, han tenido aplicaciones en el mundo real durante siglos, incluso para medir grandes distancias. Las identidades trigonométricas que examinaremos en esta sección se remontan a un astrónomo persa que vivió alrededor del año 950. Sin embargo, los antiguos griegos descubrieron estas mismas fórmulas mucho antes y las enunciaron en términos de cuerdas. Se trata de ecuaciones o postulados especiales, verdaderos para todos los valores introducidos en las ecuaciones, y con innumerables aplicaciones. En esta sección, aprenderemos técnicas que nos permitirán resolver problemas como los presentados anteriormente. Las fórmulas que siguen simplificarán muchas expresiones y ecuaciones trigonométricas. Tenga en cuenta que, a lo largo de esta sección, el término fórmula se utiliza como sinónimo de la palabra identidad . Usar las fórmulas de suma y diferencia para el coseno Hallar el valor exacto del seno, del coseno o de la tangente de un ángulo suele ser más fácil si reescribimos el ángulo dado en términos de dos ángulos que tienen valores trigonométricos conocidos. Podemos utilizar los ángulos especiales , que podemos repasar en el círculo unitario, el cual se muestra en la . El círculo unitario Comenzaremos con las fórmulas de suma y diferencia para el coseno , de forma de hallar el coseno de un ángulo dado si podemos descomponerlo en la suma o resta de dos de los ángulos especiales. Vea la . Fórmula de suma para el coseno cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β Fórmula de la diferencia para el coseno cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β En primer lugar, demostraremos la fórmula de la diferencia para el coseno. Consideremos dos puntos en el círculo unitario. Vea la . El punto P está en ángulo α desde el eje x positivo con coordenadas ( cos α , sen α ) y punto Q está en un ángulo de β desde el eje x positivo con coordenadas ( cos β , sen β ) . Observe la medida del ángulo P O Q es α - β . Marque dos puntos más: A en un ángulo de ( α - β ) desde el eje x positivo con coordenadas ( cos ( α - β ) , sen ( α - β ) ) ; y punto B con coordenadas ( 1 , 0 ) . El triángulo P O Q es una rotación del triángulo A O B y, por ende, la distancia de P con Q es la misma que la distancia de A hasta B . Podemos determinar la distancia de P con Q con la fórmula de la distancia . d P Q = ( cos α − cos β ) 2 + ( sen α − sen β ) 2 = cos 2 α − 2 cos α cos β + cos 2 β + sen 2 α − 2 sen α sen β + sen 2 β Luego aplicamos la identidad pitagórica y simplificamos. = ( cos 2 α + sen 2 α ) + ( cos 2 β + sen 2 β ) - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 1 + 1 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β Del mismo modo, con la fórmula de la distancia podemos medir la distancia de A hasta B . d A B = ( cos ( α - β ) - 1 ) 2 + ( sen ( α - β ) - 0 ) 2 = cos 2 ( α - β ) - 2 cos ( α - β ) + 1 + sen 2 ( α - β ) Aplicando la identidad pitagórica y simplificando obtenemos: = ( cos 2 ( α - β ) + sen 2 ( α - β ) ) - 2 cos ( α - β ) + 1 = 1 - 2 cos ( α - β ) + 1 = 2 - 2 cos ( α - β ) Dado que las dos distancias son las mismas, las igualamos y simplificamos. 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos ( α - β ) 2 - 2 cos α cos β − 2 sen α sen β = 2 - 2 cos ( α - β ) Por último, restamos 2 de ambos lados y dividimos ambos lados entre -2. cos α cos β + sen α sen β = cos ( α - β ) Así, tenemos la fórmula de diferencia para el coseno. Podemos utilizar métodos similares para derivar el coseno de la suma de dos ángulos. Fórmulas de suma y diferencia para el coseno Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el coseno de suma y diferencia de ángulos. cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β Cómo Dados dos ángulos, hallar el coseno de la diferencia entre estos. Escriba la fórmula de diferencia para el coseno. Sustituya los valores de los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Hallar el valor exacto con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos Con la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos, halle el valor exacto de cos ( 5 π 4 − π 6 ) . Utilice la fórmula para el coseno de la diferencia de dos ángulos. Tenemos cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β cos ( 5 π 4 − π 6 ) = cos ( 5 π 4 ) cos ( π 6 ) + sen ( 5 π 4 ) sen ( π 6 ) = ( – 2 2 ) ( 3 2 ) - ( 2 2 ) ( 1 2 ) = − 6 4 – 2 4 = − 6 - 2 4 Ejercicio Halle el valor exacto de cos ( π 3 − π 4 ) . 2 + 6 4 Hallar el valor exacto con la fórmula de la suma de dos ángulos para el coseno Halle el valor exacto de cos ( 75 ∘ ) . A medida que 75 ∘ = 45 ∘ + 30 ∘ , podemos evaluar cos ( 75 ∘ ) cuando cos ( 45 ∘ + 30 ∘ ) . Así, cos ( 45 ∘ + 30 ∘ ) = cos ( 45 ∘ ) cos ( 30 ∘ ) - sen ( 45 ∘ ) sen ( 30 ∘ ) = 2 2 ( 3 2 ) - 2 2 ( 1 2 ) = 6 4 – 2 4 = 6 - 2 4 Ejercicio Halle el valor exacto de cos ( 105 ∘ ) . 2 - 6 4 Usar las fórmulas de suma y diferencia para el seno Las fórmulas de suma y diferencia para el seno pueden derivarse de la misma manera que las del coseno, y se parecen a las fórmulas del coseno. Fórmulas de suma y diferencia para el seno Estas fórmulas pueden utilizarse para calcular el seno de la suma y diferencia de los ángulos. sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Cómo Dados dos ángulos, hallar el seno de la diferencia entre los ángulos. Escriba la fórmula de la diferencia para el seno. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Usar las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de ángulos Utilice las identidades de suma y diferencia para evaluar la diferencia de los ángulos y demostrar que la parte a es igual a la parte b. Ⓐ sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) Ⓑ sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) Ⓐ Empecemos por escribir la fórmula y sustituir los ángulos dados. sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = sen ( 45 ∘ ) cos ( 30 ∘ ) - cos ( 45 ∘ ) sen ( 30 ∘ ) A continuación, tenemos que hallar los valores de las expresiones trigonométricas. sen ( 45 ∘ ) = 2 2 , cos ( 30 ∘ ) = 3 2 , cos ( 45 ∘ ) = 2 2 , sen ( 30 ∘ ) = 1 2 Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar. sen ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 2 2 ( 3 2 ) - 2 2 ( 1 2 ) = 6 - 2 4 Ⓑ De nuevo, escribimos la fórmula y sustituimos los ángulos dados. sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = sen ( 135 ∘ ) cos ( 120 ∘ ) - cos ( 135 ∘ ) sen ( 120 ∘ ) A continuación, calculamos los valores de las expresiones trigonométricas. sen ( 135 ∘ ) = 2 2 , cos ( 120 ∘ ) = - 1 2 , cos ( 135 ∘ ) = - 2 2 , sen ( 120 ∘ ) = 3 2 Ahora podemos sustituir estos valores en la ecuación y simplificar. sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = 2 2 ( - 1 2 ) - ( – 2 2 ) ( 3 2 ) = - 2 + 6 4 = 6 - 2 4 sen ( 135 ∘ − 120 ∘ ) = 2 2 ( - 1 2 ) - ( – 2 2 ) ( 3 2 ) = - 2 + 6 4 = 6 - 2 4 Hallar el valor exacto de una expresión que implica una función trigonométrica inversa Halle el valor exacto de sen ( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ) . El patrón que se muestra en este problema es sen ( α + β ) . Supongamos que α = cos −1 1 2 y β = sen −1 3 5 . Entonces podemos escribir cos α = 1 2 , 0 ≤ α ≤ π sen β = 3 5 , - π 2 ≤ β ≤ π 2 Utilizaremos la identidad pitagórica para hallar sen α y cos β . sen α = 1 - cos 2 α = 1 - 1 4 = 3 4 = 3 2 cos β = 1 - sen 2 β = 1 - 9 25 = 16 25 = 4 5 Con la fórmula de suma para el seno, sen ( cos −1 1 2 + sen −1 3 5 ) = sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β = 3 2 ⋅ 4 5 + 1 2 ⋅ 3 5 = 4 3 + 3 10 Usar las fórmulas de suma y diferencia para la tangente Hallar los valores exactos de la tangente de la suma o diferencia de dos ángulos es un poco más complicado. No obstante, cabe recalcar que es cuestión de reconocer el patrón. Hallar la fórmula de la suma de dos ángulos para la tangente implica tomar el cociente de las fórmulas de la suma para el seno y el coseno y simplificar. Recuerde, tan x = sen x cos x , cos x ≠ 0 . Derivemos la fórmula de la suma para la tangente. tan ( α + β ) = sen ( α + β ) cos ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β cos α cos β − sen α sen β = sen α cos β + cos α sen β cos α cos β cos α cos β − sen α sen β cos α cos β Divida el numerador y el denominador entre cos α cos β = sen α cos β cos α cos β + cos α sen β cos α cos β cos α cos β cos α cos β − sen α sen β cos α cos β = sen α cos α + sen β cos β 1 - sen α sen β cos α cos β = tan α + tan β 1 - tan α tan β Podemos derivar la fórmula de la diferencia para la tangente de forma similar. Fórmulas de suma y diferencia para la tangente Las fórmulas de suma y diferencia para la tangente son: tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Cómo Dados dos ángulos, hallar la tangente de la suma de los ángulos. Escriba la fórmula de la suma para la tangente. Sustituya los ángulos dados en la fórmula. Simplifique. Hallar el valor exacto de una expresión que implica la tangente Halle el valor exacto de tan ( π 6 + π 4 ) . Primero escribamos la fórmula de la suma para la tangente y sustituyamos los ángulos dados en la fórmula. tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( π 6 + π 4 ) = tan ( π 6 ) + tan ( π 4 ) 1 - ( tan ( π 6 ) ) ( tan ( π 4 ) ) A continuación, determinamos cada una de las tangentes dentro de la fórmula: tan ( π 6 ) = 1 3 , tan ( π 4 ) = 1 Así que tenemos tan ( π 6 + π 4 ) = 1 3 + 1 1 - ( 1 3 ) ( 1 ) = 1 + 3 3 3 - 1 3 = 1 + 3 3 ( 3 3 - 1 ) = 3 + 1 3 - 1 Ejercicio Halle el valor exacto de tan ( 2 π 3 + π 4 ) . 1 - 3 1 + 3 Hallar varias sumas y diferencias de ángulos Dados sen α = 3 5 , 0 < α < π 2 , cos β = - 5 13 , π < β < 3 π 2 , halle Ⓐ sen ( α + β ) Ⓑ cos ( α + β ) Ⓒ tan ( α + β ) Ⓓ tan ( α - β ) Podemos utilizar las fórmulas de suma y diferencia para identificar la suma o diferencia de ángulos cuando se proporciona el cociente del seno, coseno o tangente para cada uno de los ángulos. Para ello, construimos el llamado triángulo de referencia que permita dar con cada elemento de las fórmulas de suma y diferencia. Ⓐ Para hallar sen ( α + β ) , comenzamos con sen α = 3 5 y 0 < α < π 2 . El lado opuesto α tiene una longitud de 3, la hipotenusa tiene una longitud de 5, y α está en el primer cuadrante. Vea la . Con el teorema de Pitágoras podemos medir la longitud del lado a : a 2 + 3 2 = 5 2 a 2 = 16 a = 4 Dado que cos β = - 5 13 y π < β < 3 π 2 , el lado adyacente a β es −5 , la hipotenusa es 13, y β está en el tercer cuadrante. Vea la . De nuevo, con el teorema de Pitágoras, obtenemos ( - 5 ) 2 + a 2 = 13 2 25 + a 2 = 169 a 2 = 144 a = ± 12 Dado que β está en el tercer cuadrante, a = –12. El siguiente paso es hallar el coseno de α y el seno de β . El coseno de α es el lado adyacente sobre la hipotenusa. Podemos hallarlo a partir del triángulo en la : cos α = 4 5 . También podemos hallar el seno de β del triángulo en la , como el lado opuesto sobre la hipotenusa: sen β = − 12 13 . Ahora estamos listos para evaluar sen ( α + β ) . sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β = ( 3 5 ) ( - 5 13 ) + ( 4 5 ) ( − 12 13 ) = - 15 65 − 48 65 = − 63 65 Ⓑ Podemos hallar cos ( α + β ) de manera semejante. Sustituimos los valores según la fórmula. cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β = ( 4 5 ) ( - 5 13 ) - ( 3 5 ) ( − 12 13 ) = − 20 65 + 36 65 = 16 65 Ⓒ Para tan ( α + β ) , si sen α = 3 5 y cos α = 4 5 , entonces tan α = 3 5 4 5 = 3 4 Si los valores de sen β = − 12 13 y cos β = - 5 13 , entonces tan β = − 12 13 - 5 13 = 12 5 Entonces, tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β = 3 4 + 12 5 1 - 3 4 ( 12 5 ) = 63 20 − 16 20 = − 63 16 Ⓓ Para hallar tan ( α - β ) , tenemos los valores que necesitamos. Podemos sustituirlos y evaluarlos. tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β = 3 4 − 12 5 1 + 3 4 ( 12 5 ) = − 33 20 56 20 = − 33 56 Análisis Un error común al abordar problemas como este es que podemos caer en la tentación de pensar que α y β son ángulos en el mismo triángulo. Por supuesto, no lo son. También hay que tener en cuenta que tan ( α + β ) = sen ( α + β ) cos ( α + β ) Usar las fórmulas de suma y diferencia para las cofunciones Ahora que hallamos las funciones seno, coseno y tangente para las sumas y diferencias de los ángulos, podemos utilizarlas para hacer lo mismo con sus cofunciones. Recordará de la Trigonometría de triángulos rectángulos que, si la suma de dos ángulos positivos es π 2 , esos dos ángulos son complementarios, y la suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es π 2 , por lo que también son complementos. En la , observe que, si uno de los ángulos agudos se marca como θ , entonces el otro ángulo agudo debe marcarse ( π 2 - θ ) . Observe también que sen θ = cos ( π 2 - θ ) : opuesto sobre la hipotenusa. Así, cuando dos ángulos son complementarios, podemos enunciar que el seno de θ es igual a la cofunción del complemento de θ . Del mismo modo, la tangente y la cotangente son cofunciones, y la secante y la cosecante son cofunciones. A partir de estas relaciones, se forman las identidades de cofunción . Identidades de la cofunción Las identidades de cofunción se resumen en la . sen θ = cos ( π 2 - θ ) cos θ = sen ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Observe que las fórmulas de la tabla también pueden justificarse algebraicamente mediante las fórmulas de suma y diferencia. Por ejemplo, utilizando cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β , podemos escribir cos ( π 2 - θ ) = cos π 2 cos θ + sen π 2 sen θ = ( 0 ) cos θ + ( 1 ) sen θ = sen θ Hallar una cofunción con el mismo valor que la expresión dada Escriba tan π 9 en términos de su cofunción. La cofunción de tan θ = cot ( π 2 - θ ) . Así, tan ( π 9 ) = cot ( π 2 - π 9 ) = cot ( 9 π 18 − 2 π 18 ) = cot ( 7 π 18 ) Ejercicio Escriba sen π 7 en términos de su cofunción. cos ( 5 π 14 ) Usar las fórmulas de suma y diferencia para verificar las identidades Verificar una identidad significa demostrar que la ecuación es válida para todos los valores de la variable. Ayuda estar bastante familiarizado con las identidades o tener una lista de ellas accesible mientras se trabajan los problemas. Repasar las reglas generales de Resolución de ecuaciones trigonométricas con identidades simplifica la verificación de identidad. Cómo Dada una identidad, verificarla con las fórmulas de suma y diferencia. Comience con la expresión del lado del signo igual que parezca más compleja. Reescriba esa expresión hasta que coincida con el otro lado del signo de igualdad. Ocasionalmente, es posible que tengamos que alterar ambos lados; sin embargo, trabajar en un solo lado es lo más eficiente. Busque oportunidades para utilizar las fórmulas de suma y diferencia. Reescriba sumas o diferencias de cocientes como cocientes simples. Si el proceso se vuelve engorroso, reescriba la expresión en términos de seno y coseno. Verificar una identidad que implique el seno Verifique la identidad sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = 2 sen α cos β . Vemos que el lado izquierdo de la ecuación incluye el seno de la suma y la diferencia de los ángulos. sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Podemos reescribir cada una de ellas con las fórmulas de suma y diferencia. sen ( α + β ) + sen ( α - β ) = sen α cos β + cos α sen β + sen α cos β − cos α sen β = 2 sen α cos β Vemos que la identidad se verifica. Verificar una identidad que implique la tangente Verifique la siguiente identidad. sen ( α - β ) cos α cos β = tan α − tan β Podemos empezar por reescribir el numerador en el lado izquierdo de la ecuación. sen ( α - β ) cos α cos β = sen α cos β − cos α sen β cos α cos β = sen α cos β cos α cos β − cos α sen β cos α cos β Reescribir con un denominador común . = sen α cos α − sen β cos β Cancele . = tan α − tan β Reescriba en términos de tangente . Vemos que la identidad se verifica. En muchos casos, se puede verificar exitosamente la identidad de la tangente al escribirla en términos de seno y coseno. Ejercicio Verifique la identidad: tan ( π - θ ) = - tan θ . tan ( π - θ ) = tan ( π ) - tan θ 1 + tan ( π ) tan θ = 0 - tan θ 1 + 0 ⋅ tan θ = - tan θ Usar las fórmulas de suma y diferencia para resolver un problema de aplicación Supongamos que L 1 y L 2 denotan dos líneas no verticales que se cruzan, y supongamos que θ denota el ángulo agudo entre L 1 y L 2 . Vea la . Demuestre que tan θ = m 2 − m 1 1 + m 1 m 2 donde m 1 y m 2 son las pendientes de L 1 y L 2 respectivamente. ( Pista: Utilice el hecho de que tan θ 1 = m 1 y tan θ 2 = m 2 . ). Con la fórmula de la diferencia para la tangente, este problema no luce tan desalentador. tan θ = tan ( θ 2 - θ 1 ) = tan θ 2 - tan θ 1 1 + tan θ 1 tan θ 2 = m 2 − m 1 1 + m 1 m 2 Investigación de un problema de cableado Para un muro de escalada, un cable de sujeción R está fijado a 47 pies de altura en un poste vertical. El soporte adicional lo proporciona otro cable de sujeción S , que está fijado a 40 pies del suelo en el mismo poste. Si los cables están fijados al suelo a 50 pies del poste, halle el ángulo α entre los cables. Vea la . Resumamos primero la información que podemos obtener del diagrama. Dado que apenas se conocen los lados adyacentes al ángulo recto, podemos utilizar la función tangente. Observe que tan β = 47 50 , y tan ( β - α ) = 40 50 = 4 5 . Podemos entonces utilizar la fórmula de la diferencia para la tangente. tan ( β - α ) = tan β − tan α 1 + tan β tan α Ahora, sustituyendo los valores que conocemos en la fórmula, tenemos 4 5 = 47 50 − tan α 1 + 47 50 tan α 4 ( 1 + 47 50 tan α ) = 5 ( 47 50 − tan α ) Utilice la propiedad distributiva y luego simplifique las funciones. 4 ( 1 ) + 4 ( 47 50 ) tan α = 5 ( 47 50 ) - 5 tan α 4 + 3,76 tan α = 4,7 − 5 tan α 5 tan α + 3,76 tan α = 0,7 8,76 tan α = 0,7 tan α ≈ 0,07991 tan - 1 ( 0,07991 ) ≈ 0,079741 Ahora podemos calcular el ángulo en grados. α ≈ 0,079741 ( 180 π ) ≈ 4,57 ∘ Análisis En ocasiones, cuando aparece una aplicación que incluye un triángulo rectángulo, podemos pensar que la resolución es cuestión de aplicar el teorema de Pitágoras. Eso puede ser parcialmente cierto, pero depende de lo que se pida en el problema y de la información que se dé. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las identidades de suma y diferencia. Identidades de suma y diferencia para el coseno Identidades de suma y diferencia para el seno Identidades de suma y diferencia para la tangente Ecuaciones clave Fórmula de la suma del coseno cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β Fórmula de la diferencia para el coseno cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β Fórmula de la suma para el seno sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β Fórmula de la diferencia para el seno sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β Fórmula de la suma para la tangente tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β Fórmula de la diferencia para la tangente tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Identidades de cofunción sen θ = cos ( π 2 - θ ) cos θ = sen ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Conceptos clave La fórmula de la suma para el coseno establece que el coseno de la suma de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos menos el producto del seno de los ángulos. La fórmula de la diferencia para el coseno establece que el coseno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del coseno de los ángulos más el producto del seno de los ángulos. Las fórmulas de suma y diferencia pueden utilizarse para determinar los valores exactos del seno, coseno o tangente de un ángulo. Vea el y el . La fórmula de la suma para el seno establece que el seno de la suma de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo más el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. La fórmula de la diferencia para el seno establece que el seno de la diferencia de dos ángulos es igual al producto del seno del primer ángulo y el coseno del segundo ángulo menos el producto del coseno del primer ángulo y el seno del segundo ángulo. Vea el . Las fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno también pueden utilizarse para las funciones trigonométricas inversas. Vea el . La fórmula de la suma para la tangente establece que la tangente de la suma de dos ángulos es igual a la suma de la tangente de los ángulos dividida entre 1 menos el producto de la tangente de los ángulos. La fórmula de la diferencia para la tangente establece que la tangente de la diferencia de dos ángulos es igual a la diferencia de las tangentes de los ángulos dividida entre 1 más el producto de la tangente de los ángulos. Vea el . El teorema de Pitágoras, junto con las fórmulas de suma y diferencia, se utiliza para hallar varias sumas y diferencias de ángulos. Vea el . Las identidades de cofunción se aplican a los ángulos complementarios y a los pares de funciones recíprocas. Vea el . Las fórmulas de suma y diferencia son útiles para verificar las identidades. Vea el y el . Los problemas de aplicación suelen ser más fáciles de resolver con las fórmulas de suma y diferencia. Vea el y el . Ejercicios de la sección Verbales Explique el fundamento de las identidades de cofunción y cuándo se aplican. Las identidades de la cofunción se aplican a los ángulos complementarios. Al ver los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si uno de esos ángulos mide x , el segundo ángulo mide π 2 - x . Entonces sen x = cos ( π 2 - x ) . Lo mismo ocurre con las demás identidades de cofunción. La clave es que los ángulos sean complementarios. ¿Existe una sola manera de evaluar cos ( 5 π 4 ) ? Explique cómo establecer la solución de dos maneras diferentes, y luego calcular para que den la misma respuesta. Explique a alguien que haya olvidado las propiedades pares-impares de las funciones sinusoidales cómo las fórmulas de suma y resta pueden determinar esta característica para f ( x ) = sen ( x ) y g ( x ) = cos ( x ) . (Pista: 0 - x = - x ). sen ( - x ) = - sen x , por lo que sen x es impar. cos ( - x ) = cos ( 0 - x ) = cos x , por lo que cos x es par. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( 7 π 12 ) cos ( π 12 ) 2 + 6 4 sen ( 5 π 12 ) sen ( 11 π 12 ) 6 - 2 4 tan ( - π 12 ) tan ( 19 π 12 ) - 2 - 3 En los siguientes ejercicios, reescriba en términos de sen x y cos x . sen ( x + 11 π 6 ) sen ( x - 3 π 4 ) - 2 2 sen x - 2 2 cos x cos ( x - 5 π 6 ) cos ( x + 2 π 3 ) - 1 2 cos x - 3 2 sen x En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. csc ( π 2 - t ) sec ( π 2 - θ ) csc θ cot ( π 2 - x ) tan ( π 2 - x ) cot x sen ( 2 x ) cos ( 5 x ) - sen ( 5 x ) cos ( 2 x ) tan ( 3 2 x ) - tan ( 7 5 x ) 1 + tan ( 3 2 x ) tan ( 7 5 x ) tan ( x 10 ) En los siguientes ejercicios, halle la información solicitada. Dado que sen a = 2 3 y cos b = - 1 4 , con la a y b ambos en el intervalo [ π 2 , π ) , calcule sen ( a + b ) y cos ( a - b ) . Dado que sen a = 4 5 , y cos b = 1 3 , con la a y b ambos en el intervalo [ 0 , π 2 ) , calcule sen ( a - b ) y cos ( a + b ) . sen ( a - b ) = ( 4 5 ) ( 1 3 ) - ( 3 5 ) ( 2 2 3 ) = 4 − 6 2 15 cos ( a + b ) = ( 3 5 ) ( 1 3 ) - ( 4 5 ) ( 2 2 3 ) = 3 - 8 2 15 En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto de cada expresión. sen ( cos − 1 ( 0 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) cos ( cos − 1 ( 2 2 ) + sen − 1 ( 3 2 ) ) 2 - 6 4 tan ( sen − 1 ( 1 2 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) Gráficos En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión y luego grafique ambas expresiones como funciones para verificar que los gráficos sean idénticos. cos ( π 2 - x ) sen x sen ( π − x ) tan ( π 3 + x ) cot ( π 6 - x ) sen ( π 3 + x ) tan ( π 4 - x ) cot ( π 4 + x ) cos ( 7 π 6 + x ) sen ( π 4 + x ) sen x 2 + cos x 2 cos ( 5 π 4 + x ) En los siguientes ejercicios, utilice un gráfico para determinar si las funciones son iguales o diferentes. Si son iguales, demuestre por qué. Si son diferentes, sustituya la segunda función por una idéntica a la primera. (Pista: piense en 2 x = x + x . ). f ( x ) = sen ( 4 x ) - sen ( 3 x ) cos x , g ( x ) = sen x cos ( 3 x ) Son iguales. f ( x ) = cos ( 4 x ) + sen x sen ( 3 x ) , g ( x ) = - cos x cos ( 3 x ) f ( x ) = sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) , g ( x ) = - sen ( 3 x ) cos ( 6 x ) Son los diferentes; pruebe g ( x ) = sen ( 9 x ) - cos ( 3 x ) sen ( 6 x ) . f ( x ) = sen ( 4 x ) , g ( x ) = sen ( 5 x ) cos x - cos ( 5 x ) sen x f ( x ) = sen ( 2 x ) , g ( x ) = 2 sen x cos x Son iguales. f ( θ ) = cos ( 2 θ ) , g ( θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ f ( θ ) = tan ( 2 θ ) , g ( θ ) = tan θ 1 + tan 2 θ Son los diferentes; pruebe g ( θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ . f ( x ) = sen ( 3 x ) sen x , g ( x ) = sen 2 ( 2 x ) cos 2 x - cos 2 ( 2 x ) sen 2 x f ( x ) = tan ( - x ) , g ( x ) = tan x - tan ( 2 x ) 1 - tan x tan ( 2 x ) Son diferentes; pruebe g ( x ) = tan x - tan ( 2 x ) 1 + tan x tan ( 2 x ) . En tecnología En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto algebraicamente y luego confirme la respuesta con una calculadora hasta el cuarto decimal. sen ( 75 ∘ ) sen ( 195 ∘ ) - 3 - 1 2 2 , o − 0,2588 cos ( 165 ∘ ) cos ( 345 ∘ ) 1 + 3 2 2 , o 0,9659 tan ( − 15 ∘ ) Extensiones En los siguientes ejercicios, demuestre las identidades proporcionadas. tan ( x + π 4 ) = tan x + 1 1 - tan x tan ( x + π 4 ) = tan x + tan ( π 4 ) 1 - tan x tan ( π 4 ) = tan x + 1 1 - tan x ( 1 ) = tan x + 1 1 - tan x tan ( a + b ) tan ( a - b ) = sen a cos a + sen b cos b sen a cos a − sen b cos b cos ( a + b ) cos a cos b = 1 - tan a tan b cos ( a + b ) cos a cos b = cos a cos b cos a cos b − sen a sen b cos a cos b = 1 - tan a tan b cos ( x + y ) cos ( x - y ) = cos 2 x - sen 2 y cos ( x + h ) - cos x h = cos x cos h - 1 h − sen x sen h h cos ( x + h ) - cos x h = cos x cosh − sen x senoh − cos x h = cos x ( cosh − 1 ) - sen x senoh h = cos x cos h - 1 h − sen x sen h h En los siguientes ejercicios, demuestre o refute los enunciados. tan ( u + v ) = tan u + tan v 1 - tan u tan v tan ( u - v ) = tan u − tan v 1 + tan u tan v Verdadero tan ( x + y ) 1 + tan x tan x = tan x + tan y 1 - tan 2 x tan 2 y Si los valores de α , β , y γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute sen ( α + β ) = sen γ . Verdadero. Observe que sen ( α + β ) = sen ( π − γ ) y expanda el lado derecho. Si los valores de α , β , y γ son ángulos en el mismo triángulo, entonces demuestre o refute tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ

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