Clases básicas de funciones Ya estudiamos las características generales de las funciones, así que ahora vamos a examinar algunas clases específicas de funciones. Comenzaremos revisando las propiedades básicas de las funciones lineales y cuadráticas, y luego las generalizamos para incluir los polinomios de mayor grado. Al combinar las funciones raíz con los polinomios, podremos definir las funciones algebraicas generales y distinguirlas de las funciones trascendentales que examinaremos más adelante en este capítulo. Terminaremos la sección con ejemplos de funciones definidas a trozos y echaremos un vistazo a cómo dibujar el gráfico de una función que ha sido desplazada, estirada o reflejada desde su forma inicial. Funciones lineales y pendiente El tipo de función más fácil de considerar es una función lineal . Las funciones lineales tienen la forma f ( x ) = a x + b , donde a y b son constantes. En la , vemos ejemplos de funciones lineales cuando a es positivo, negativo y cero. Note que si a > 0 , el gráfico de la línea sube a medida que x aumenta. En otras palabras, f ( x ) = a x + b aumenta en (−∞, ∞) . Si a < 0 , el gráfico de la línea cae a medida que x aumenta. En este caso, f ( x ) = a x + b disminuye en (−∞, ∞) . Si a = 0 , la línea es horizontal. Estas funciones lineales son crecientes o decrecientes en (∞, ∞) y una función es una línea horizontal. Como sugiere la , el gráfico de cualquier función lineal es una línea. Uno de los rasgos distintivos de una línea es su pendiente. La pendiente es el cambio en y por cada cambio de unidad en x . La pendiente mide tanto la inclinación como la dirección de una línea. Si la pendiente es positiva, la línea apunta hacia arriba cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es negativa, la línea apunta hacia abajo cuando se mueve de izquierda a derecha. Si la pendiente es cero, la línea es horizontal. Para calcular la pendiente de una línea, necesitamos determinar la relación del cambio en y en función del cambio en x . Para ello, elegimos dos puntos cualesquiera ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la línea y calculamos y 2 − y 1 x 2 − x 1 . En la , vemos que esta relación es independiente de los puntos elegidos. Para cualquier función lineal, la pendiente ( y 2 − y 1 ) / ( x 2 − x 1 ) es independiente de la elección de los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la línea. Definición Considere la línea L que pasa por los puntos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) . Supongamos que Δ y = y 2 − y 1 y Δ x = x 2 − x 1 denotan los cambios en y y x , respectivamente. La pendiente de la línea es m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = Δ y Δ x . Ahora examinamos la relación entre la pendiente y la fórmula de una función lineal. Consideremos la función lineal dada por la fórmula f ( x ) = a x + b . Como lo comentamos, sabemos que el gráfico de una función lineal viene dado por una línea. Podemos utilizar nuestra definición de pendiente para calcular la pendiente de esta línea. Como se muestra, podemos determinar la pendiente calculando ( y 2 − y 1 ) / ( x 2 − x 1 ) para cualquier punto ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) en la recta. Al evaluar la función f en x = 0 , vemos que ( 0 , b ) es un punto en esta línea. Al evaluar esta función en x = 1 , vemos que ( 1 , a + b ) también es un punto en esta línea. Por lo tanto, la pendiente de esta línea es ( a + b ) − b 1 − 0 = a . Hemos demostrado que el coeficiente a es la pendiente de la línea. Podemos concluir que la fórmula f ( x ) = a x + b describe una línea con pendiente a . Además, como esta línea interseca con el eje y en el punto ( 0 , b ) , vemos que la intersección y para esta función lineal es ( 0 , b ) . Concluimos que la fórmula f ( x ) = a x + b nos indica la pendiente, a , y la intersección y , ( 0 , b ) , para esta línea. Dado que a menudo utilizamos el símbolo m para denotar la pendiente de una línea, podemos escribir f ( x ) = m x + b para denotar la forma pendiente-intersección de una función lineal. A veces conviene expresar una función lineal de diferentes maneras. Por ejemplo, supongamos que el gráfico de una función lineal pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) y la pendiente de la línea es m . Puesto que cualquier otro punto ( x , f ( x ) ) en el gráfico de f debe satisfacer la ecuación m = f ( x ) − y 1 x – x 1 , esta función lineal puede expresarse escribiendo f ( x ) − y 1 = m ( x – x 1 ) . Llamamos a esta ecuación la ecuación punto-pendiente de esa función lineal. Como toda línea no vertical es el gráfico de una función lineal, los puntos de esa línea pueden describirse mediante las ecuaciones en su forma pendiente-intersección o punto-pendiente. Sin embargo, una línea vertical no representa el gráfico de una función y no puede expresarse de ninguna de estas formas. En cambio, una línea vertical se describe mediante la ecuación x = k para alguna constante k . Dado que ni la forma pendiente-intersección ni la forma punto-pendiente permiten líneas verticales, utilizamos la notación a x + b y = c , donde a , b son diferentes a cero, para denotar la forma estándar de una línea . Definición Consideremos una línea que pasa por el punto ( x 1 , y 1 ) con pendiente m . La ecuación y – y 1 = m ( x – x 1 ) es la ecuación punto-pendiente de esa línea. Consideremos una línea con pendiente m y la intersección y ( 0 , b ) . La ecuación y = m x + b es una ecuación para esa línea en la forma pendiente-intersección . La forma estándar de una línea viene dada por la ecuación a x + b y = c , donde a y b no son ambos cero. Esta forma es más general porque permite una línea vertical, x = k . Hallar la pendiente y las ecuaciones de las rectas Consideremos la línea que pasa por los puntos ( 11 , –4 ) y ( −4 , 5 ) , como se muestra en la . Hallar la ecuación de una función lineal con un gráfico que es una línea entre dos puntos dados. Halle la pendiente de la línea. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma punto-pendiente. Halle una ecuación para esta función lineal en la forma pendiente-intersección. La pendiente de la línea es m = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 5 − ( –4 ) −4 − 11 = − 9 15 = − 3 5 . Para hallar una ecuación para la función lineal en su forma punto-pendiente, utilice la pendiente m = −3 / 5 y elija cualquier punto de la línea. Si elegimos el punto ( 11 , –4 ) , obtenemos la ecuación f ( x ) + 4 = − 3 5 ( x − 11 ) . Para hallar una ecuación de la función lineal en la forma pendiente-intersección, resuelva la ecuación de la parte b. para f ( x ) . Cuando hacemos esto, obtenemos la ecuación f ( x ) = − 3 5 x + 13 5 . Consideremos la línea que pasa por los puntos ( −3 , 2 ) y ( 1 , 4 ) . Halle la pendiente de la línea. Halle una ecuación de esa línea en su forma punto-pendiente. Halle una ecuación de esa línea en su forma pendiente-intersección. m = 1 / 2 . La forma punto pendiente es y − 4 = 1 2 ( x – 1 ) . La forma pendiente-intersección es y = 1 2 x + 7 2 . Pista La pendiente m = Δ y / Δ x . Una función de distancia lineal Jessica sale de su casa a las 5:50 a. m. y recorre 9 millas. Regresa a su casa a las 7:08 a. m. Responda las siguientes preguntas, suponiendo que Jessica corre a un ritmo constante. Describa la distancia D (en millas) que Jessica corre como una función lineal de su tiempo de carrera t (en minutos). Dibuje un gráfico de D . Interprete el significado de la pendiente. En el momento t = 0 , Jessica está en su casa, así que D ( 0 ) = 0 . En el momento t = 78 minutos, Jessica finalizó el recorrido de 9 millas, así que D ( 78 ) = 9 . La pendiente de la función lineal es m = 9 − 0 78 − 0 = 3 26 . La intersección y es ( 0 , 0 ) , por lo que la ecuación de esta función lineal es D ( t ) = 3 26 t . Para graficar D , tenga en cuenta el hecho de que el gráfico pasa por el origen y tiene pendiente m = 3 / 26 . La pendiente m = 3 / 26 ≈ 0,115 describe la distancia (en millas) que Jessica corre por minuto, o su velocidad media. Polinomios Una función lineal es un tipo especial de una clase más general de funciones: los polinomios. Una función polinómica es cualquier función que pueda escribirse de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 para algún número entero n ≥ 0 y las constantes a n , a n – 1 ,…, a 0 , donde a n ≠ 0 . En el caso de que n = 0 , permitimos a 0 = 0 ; si a 0 = 0 , la función f ( x ) = 0 se denomina función cero . El valor n se denomina grado del polinomio; la constante a n se denomina coeficiente líder . Una función lineal de la forma f ( x ) = m x + b es un polinomio de grado 1 si m ≠ 0 y de grado 0 si m = 0, 0 . Un polinomio de grado 0 también se llama función constante . Una función polinómica de grado 2 se llama función cuadrática . En particular, una función cuadrática tiene la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c , donde a ≠ 0 . Una función polinómica de grado 3 se denomina función cúbica . Funciones potencia Algunas funciones polinómicas son funciones potencia. Una función potencia es cualquier función de la forma f ( x ) = a x b , donde a y b son números reales. El exponente en una función potencia puede ser cualquier número real, pero aquí consideramos el caso en que el exponente es un número entero positivo. (Más adelante estudiaremos otros casos). Si el exponente es un entero positivo, entonces f ( x ) = a x n es un polinomio. Si n es par, entonces f ( x ) = a x n es una función par ya que f ( − x ) = a ( − x ) n = a x n si n es par. Si los valores de n es impar, entonces f ( x ) = a x n es una función impar porque f ( − x ) = a ( − x ) n = − a x n si n es impar ( ). (a) Para cualquier número entero par n , f ( x ) = a x n es una función par. (b) Para cualquier número entero impar n , f ( x ) = a x n es una función impar. Comportamiento en el infinito Para determinar el comportamiento de una función f a medida que sus valores de entrada se acercan al infinito, observamos los valores f ( x ) a medida que las entradas, x , se hacen más grandes. Para algunas funciones, los valores de f ( x ) se acercan a un número finito. Por ejemplo, en la función f ( x ) = 2 + 1 / x , los valores 1 / x se acercan cada vez más a cero para todos los valores de x a medida que se hacen más y más grandes. De esta función, decimos “ f ( x ) se acerca a dos como x va al infinito", y escribimos f ( x ) → 2 cuando x → ∞ . La línea y = 2 es una asíntota horizontal para la función f ( x ) = 2 + 1 / x porque el gráfico de la función se aproxima a la línea a medida que x se hace más grande. En otras funciones, los valores f ( x ) pueden no acercarse a un número finito, sino que pueden hacerse más grandes para todos los valores de x a medida que se van haciendo más grandes. En ese caso, decimos que “ f ( x ) se acerca al infinito cuando x se acerca al infinito", y escribimos f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ . Por ejemplo, para la función f ( x ) = 3 x 2 , las salidas f ( x ) se hacen más grandes a medida que los valores de entrada x se hacen más grandes. Podemos concluir que la función f ( x ) = 3 x 2 se acerca al infinito cuando x se acerca al infinito, y escribimos 3 x 2 → ∞ cuando x → ∞ . El comportamiento mientras x → − ∞ y el significado de f ( x ) → − ∞ cuando x → ∞ o x → − ∞ pueden definirse de forma similar. Podemos describir lo que ocurre con los valores de f ( x ) cuando x → ∞ y dado que x → − ∞ como el comportamiento final de la función. Para entender el comportamiento final de las funciones polinómicas, podemos centrarnos en las funciones cuadráticas y cúbicas. El comportamiento de los polinomios de mayor grado puede analizarse de forma similar. Consideremos una función cuadrática f ( x ) = a x 2 + b x + c . Si a > 0 , los valores f ( x ) → ∞ cuando x → ± ∞ . Si a < 0 , los valores f ( x ) → −∞ como x → ± ∞ . Como el gráfico de una función cuadrática es una parábola, la parábola se abre hacia arriba si a > 0 ; la parábola se abre hacia abajo si a < 0 . (Vea la (a)). Consideremos ahora una función cúbica f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d . Si a > 0 , entonces f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ y f ( x ) → −∞ como x → −∞ . Si a < 0 , entonces f ( x ) → −∞ como x → ∞ y f ( x ) → ∞ cuando x → −∞ . Como podemos ver en ambos gráficos, el término principal del polinomio determina el comportamiento final (vea la (b)). (a) En una función cuadrática, si el coeficiente líder a > 0 , la parábola se abre hacia arriba. Si los valores de a < 0 , la parábola se abre hacia abajo. (b) En una función cúbica f , si el coeficiente líder a > 0 , los valores f ( x ) → ∞ cuando x → ∞ y los valores f ( x ) → −∞ como x → −∞ . Si el coeficiente líder a < 0 , lo opuesto es verdadero. Ceros de funciones polinómicas Otra característica del gráfico de una función polinómica es el punto de intersección con el eje x . Para determinar el punto donde una función f interseca con el eje x , necesitamos resolver la ecuación f ( x ) = 0 para x . En el caso de la función lineal f ( x ) = m x + b , la intersección x está dada por la resolución de la ecuación m x + b = 0 . En este caso, vemos que la intersección x viene dada por ( − b / m , 0 ) . En el caso de una función cuadrática, para hallar la(s) intersección(es) en x se necesita hallar los ceros de una ecuación cuadrática: a x 2 + b x + c = 0 . En algunos casos, es fácil factorizar el polinomio a x 2 + b x + c para hallar los ceros. Si no es así, utilizamos la fórmula cuadrática. Regla: la fórmula cuadrática Consideremos la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0 , donde a ≠ 0 . Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por la fórmula cuadrática x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . Si el discriminante b 2 − 4 a c > 0 , esta fórmula nos dice que hay dos números reales que satisfacen la ecuación cuadrática. Si los valores de b 2 − 4 a c = 0 , esta fórmula nos dice que solo hay una solución, y es un número real. Si los valores de b 2 − 4 a c < 0 , ningún número real satisface la ecuación cuadrática. En el caso de los polinomios de mayor grado, puede ser más complicado determinar dónde el gráfico interseca el eje x . En algunos casos, es posible hallar la intersección x mediante la factorización del polinomio para hallar sus ceros. En otros casos, es imposible calcular los valores exactos de las intersecciones x . Sin embargo, como veremos más adelante, en casos como este podemos utilizar herramientas analíticas para aproximar (en un grado muy alto) dónde se encuentran las intersecciones x . Aquí nos centramos en los gráficos de los polinomios en los que podemos calcular sus ceros explícitamente. Graficar funciones polinómicas Para las siguientes funciones a. y b., i. describa el comportamiento de f ( x ) cuando x → ± ∞ , ii. halle todos los ceros de f , y iii. dibuje un gráfico de f . f ( x ) = –2 x 2 + 4 x – 1 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x La función f ( x ) = –2 x 2 + 4 x – 1 es una función cuadrática. Porque a = −2 < 0 , dado que x → ± ∞ , f ( x ) → −∞. Para hallar los ceros de f , use la fórmula cuadrática. Los ceros son x = –4 ± 4 2 − 4 ( −2 ) ( –1 ) 2 ( −2 ) = –4 ± 8 −4 = –4 ± 2 2 −4 = 2 ± 2 2 . Para dibujar el gráfico de f , utilice la información de sus respuestas anteriores y combínela con el hecho de que el gráfico es una parábola que se abre hacia abajo. La función f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 4 x es una función cúbica. Dado que a = 1 > 0 , dado que x → ∞ , f ( x ) → ∞ . Dado que x → −∞ , f ( x ) → −∞ . Para hallar los ceros de f , necesitamos factorizar el polinomio. En primer lugar, cuando factorizamos x en todos los términos, hallamos f ( x ) = x ( x 2 − 3 x − 4 ) . Entonces, cuando factorizamos la función cuadrática x 2 − 3 x − 4 , tenemos f ( x ) = x ( x − 4 ) ( x + 1 ) . Por lo tanto, los ceros de f son x = 0 , 4 , −1 . Combinando los resultados de las partes i. y ii., realice un bosquejo general de f . Consideremos la función cuadrática f ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 2 . Halle los ceros de f . ¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo? Los ceros son x = 1 ± 3 / 3 . La parábola se abre hacia arriba. Pista Utiliza la fórmula cuadrática. Modelos matemáticos Una gran variedad de situaciones del mundo real puede describirse mediante modelos matemáticos . Un modelo matemático es aquel que simula situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. Físicos, ingenieros, economistas y otros investigadores desarrollan modelos combinando la observación con datos cuantitativos para elaborar ecuaciones, funciones, gráficos y otras herramientas matemáticas que describen con precisión el comportamiento de diversos sistemas. Los modelos matemáticos son útiles porque ayudan a predecir resultados futuros. Algunos ejemplos de estos modelos son el estudio de la dinámica de la población, la investigación de los patrones climáticos y la predicción de las ventas de productos. Como ejemplo, consideremos un modelo matemático que una empresa podría utilizar para describir sus ingresos por la venta de un artículo concreto. El importe de los ingresos R que una empresa recibe por la venta de n artículos vendidos a un precio de p dólares por artículo se describe mediante la ecuación R = p . n . La empresa quiere saber cómo cambian las ventas al variar el precio del artículo. Supongamos que los datos de la muestran el número de unidades que vende una empresa en función del precio por artículo. Número de unidades vendidas n (en miles) en función del precio por unidad p (en dólares) p 6 8 10 12 14 n 19,4 18,5 16,2 13,8 12,2 En la , vemos el gráfico del número de unidades vendidas (en miles) en función del precio (en dólares). De la forma del gráfico se desprende que el número de unidades vendidas es probablemente una función lineal del precio por artículo, y los datos pueden aproximarse por la función lineal n = −1,04 p + 26 para 0 ≤ p ≤ 25 , donde n predice el número de unidades vendidas en miles. Utilizando esta función lineal, los ingresos (en miles de dólares) pueden estimarse mediante la función cuadrática R ( p ) = p . ( −1,04 p + 26 ) = −1,04 p 2 + 26 p para 0 ≤ p ≤ 25 . En el , utilizamos esta función cuadrática para predecir la cantidad de ingresos que recibe la empresa en función del precio que cobra por artículo. Obsérvese que no podemos concluir definitivamente el número real de unidades vendidas para valores de p , para los que no se recogen datos. Sin embargo, teniendo en cuenta los otros valores de los datos y el gráfico mostrado, parece razonable que el número de unidades vendidas (en miles) si el precio cobrado es p dólares puede acercarse a los valores predichos por la función lineal n = −1,04 p + 26 . Los datos recogidos sobre el número de artículos vendidos en función del precio son aproximadamente lineales. Utilizamos la función lineal n = −1,04 p + 26 para estimar esta función. Maximizando los ingresos A una empresa le interesa predecir los ingresos que percibirá en función del precio que cobre por un determinado artículo. Utilizando los datos de la , la empresa utiliza la siguiente función cuadrática para modelar los ingresos R (en miles de dólares) en función del precio por artículo p : R ( p ) = p . ( −1,04 p + 26 ) = −1,04 p 2 + 26 p para 0 ≤ p ≤ 25 . Prediga los ingresos si la empresa vende el artículo a un precio de p = $ 5 y p = $ 17 . Halle los ceros de esta función e interprete el significado de los mismos. Dibuje un gráfico de R . Utilice el gráfico para determinar el valor de p que maximiza los ingresos. Halle el máximo de ingresos. Al evaluar la función de los ingresos en p = 5 y p = 17 , podemos concluir que R ( 5 ) = −1,04 ( 5 ) 2 + 26 ( 5 ) = 104 , por lo que los ingresos = $104.000; R ( 17 ) = −1,04 ( 17 ) 2 + 26 ( 17 ) = 141,44 , por lo que los ingresos = $141.440. Los ceros de esta función se pueden hallar resolviendo la ecuación −1,04 p 2 + 26 p = 0 . Al factorizar la expresión cuadrática, obtenemos p ( −1,04 p + 26 ) = 0 . Las soluciones de esta ecuación vienen dadas por p = 0 , 25 . Para estos valores de p , los ingresos son nulos. Cuando p = $ 0 , los ingresos son nulos porque la empresa está regalando su mercancía. Cuando p = $ 25 , los ingresos son nulos porque el precio es demasiado alto, y nadie comprará ningún artículo. Al saber que la función es cuadrática, sabremos que el gráfico es una parábola. Como el coeficiente líder es negativo, la parábola se abre hacia abajo. Una propiedad de las parábolas es que son simétricas respecto al eje, por lo que como los ceros están en p = 0 y p = 25 , la parábola debe ser simétrica con respecto a la línea intermedia, o p = 12,5 . La función es una parábola con ceros en p = 0 y p = 25 , y es simétrica respecto a la línea p = 12,5 , por lo que el máximo ingreso tiene lugar a un precio de p = $ 12,50 por artículo. A ese precio, los ingresos son R ( p ) = −1,04 ( 12,5 ) 2 + 26 ( 12,5 ) = $ 162 , 500 . Funciones algebraicas Al permitir cocientes y potencias fraccionarias en las funciones polinómicas, creamos una clase más amplia de funciones. Una función algebraica es aquella que implica suma, resta, multiplicación, división, potencias racionales y raíces. Dos tipos de funciones algebraicas son las funciones racionales y las funciones raíz. Al igual que los números racionales son cocientes de los enteros, las funciones racionales son cocientes de los polinomios. En particular, una función racional es cualquier función de la forma f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son polinomios. Por ejemplo, f ( x ) = 3 x – 1 5 x + 2 y g ( x ) = 4 x 2 + 1 son funciones racionales. Una función raíz es una función potencia de la forma f ( x ) = x 1 / n , donde n es un número entero positivo mayor que uno. Por ejemplo, f ( x ) = x 1 / 2 = x es la función raíz cuadrada y g ( x ) = x 1 / 3 = x 3 es la función raíz cúbica. Al posibilitar composiciones de funciones raíz y funciones racionales, podemos crear otras funciones algebraicas. Por ejemplo, f ( x ) = 4 − x 2 es una función algebraica. Hallar el dominio y el rango de las funciones algebraicas En cada una de las siguientes funciones, halle el dominio y el rango. f ( x ) = 3 x – 1 5 x + 2 f ( x ) = 4 – x 2 No es posible dividir entre cero, por lo que el dominio es el conjunto de los números reales x tal que x ≠ − 2 / 5 . Para hallar el rango, necesitamos hallar los valores y para el que existe un número real x de manera que y = 3 x – 1 5 x + 2 . Cuando multiplicamos ambos lados de esta ecuación por 5 x + 2 , vemos que x debe satisfacer la ecuación 5 x y + 2 y = 3 x – 1 . A partir de esta ecuación, podemos ver que x debe satisfacer 2 y + 1 = x ( 3 − 5 y ) . Si y = 3 / 5 , esta ecuación no tiene solución. Por otro lado, mientras y ≠ 3 / 5 , x = 2 y + 1 3 − 5 y satisface esta ecuación. Podemos concluir que el rango de f es { y | y ≠ 3 / 5 } . Para hallar el dominio de f , necesitamos 4 − x 2 ≥ 0 . Al factorizar, escribimos 4 − x 2 = ( 2 − x ) ( 2 + x ) ≥ 0 . Esta inecuación se cumple si y solo si ambos términos son positivos o ambos términos son negativos. Para que ambos términos sean positivos, tenemos que hallar x de manera que 2 − x ≥ 0 y 2 + x ≥ 0 . Estas dos desigualdades se reducen a 2 ≥ x y x ≥ −2 . Por lo tanto, el conjunto { x | − 2 ≤ x ≤ 2 } debe formar parte del dominio. Para que ambos términos sean negativos, necesitamos 2 − x ≤ 0 y 2 + x ≥ 0 . Estas dos desigualdades también se reducen a 2 ≤ x y x ≥ −2 . No hay valores de x que satisfagan ambas desigualdades. Así, podemos concluir que el dominio de esta función es { x | − 2 ≤ x ≤ 2 } . Si −2 ≤ x ≤ 2 , entonces 0 ≤ 4 − x 2 ≤ 4 . Por lo tanto, 0 ≤ 4 − x 2 ≤ 2 , y el rango de f es { y | 0 ≤ y ≤ 2 } . Halle el dominio y el rango de la función f ( x ) = ( 5 x + 2 ) / ( 2 x – 1 ) . El dominio es el conjunto de los números reales x tal que x ≠ 1 / 2 . El rango es el conjunto { y | y ≠ 5 / 2 } . Pista El denominador no puede ser cero. Resuelva la ecuación y = ( 5 x + 2 ) / ( 2 x – 1 ) para x a fin de hallar el rango. Las funciones raíz f ( x ) = x 1 / n tienen características determinantes en función de si n es par o impar. Para todos los enteros pares n ≥ 2 , el dominio de f ( x ) = x 1 / n es el intervalo [ 0 , ∞ ) . Para todos los enteros impares n ≥ 1 , el dominio de f ( x ) = x 1 / n es el conjunto de todos los números reales. Ya que x 1 / n = – ( − x ) 1 / n para los enteros impares n , f ( x ) = x 1 / n es una función impar si n es impar. Observe los gráficos de las funciones raíz para diferentes valores de n en la . (a) Si n es uniforme, el dominio de f ( x ) = x n ¿es [ 0 , ∞ ) . (b) Si n es impar, el dominio de f ( x ) = x n ¿es ( −∞ , ∞ ) y la función f ( x ) = x n es una función impar. Encontrar dominios para funciones algebraicas En cada una de las siguientes funciones, determine el dominio de la función. f ( x ) = 3 x 2 – 1 f ( x ) = 2 x + 5 3 x 2 + 4 f ( x ) = 4 − 3 x f ( x ) = 2 x – 1 3 No se puede dividir entre cero, por lo que el dominio es el conjunto de valores x tal que x 2 – 1 ≠ 0 . Por lo tanto, el dominio es { x | x ≠ ± 1 } . Es necesario determinar los valores de x cuyo denominador es cero. Ya que 3 x 2 + 4 ≥ 4 para todos los números reales x , el denominador nunca es cero. Por lo tanto, el dominio es ( −∞ , ∞ ) . Como la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real, el dominio es el conjunto de valores x para lo cual 4 − 3 x ≥ 0 . Por lo tanto, el dominio es { x | x ≤ 4 / 3 } . La raíz cúbica se encuentra definida para todos los números reales, por lo que el dominio es el intervalo (−∞, ∞). Halle el dominio de cada una de las siguientes funciones: f ( x ) = ( 5 − 2 x ) / ( x 2 + 2 ) y g ( x ) = 5 x – 1 . El dominio de f ¿es (−∞, ∞). El dominio de g ¿es { x | x ≥ 1 / 5 } . Pista Determinar los valores de x cuando la expresión en el denominador de f es diferente a cero, y hallar los valores de x cuando la expresión dentro del radical de g no es negativo. Funciones trascendentales Hasta ahora hemos hablado de las funciones algebraicas. Sin embargo, algunas funciones no pueden describirse mediante las operaciones algebraicas básicas. Estas funciones se conocen como funciones trascendentales porque se dice que "trascienden" o van más allá del álgebra. Las funciones trascendentales más comunes son las trigonométricas, las exponenciales y las logarítmicas. La función trigonométrica relaciona las razones de dos lados de un triángulo rectángulo. Son sen x , cos x , tan x , cot x , sec x , y csc x (Más adelante hablaremos de las funciones trigonométricas). Una función exponencial es la función de la forma f ( x ) = b x , donde la base b > 0 , b ≠ 1 . Una función logarítmica es la función de la forma f ( x ) = log b ( x ) para alguna constante b > 0 , b ≠ 1 , donde log b ( x ) = y si y solo si b y = x . (Más adelante en el capítulo también hablaremos de las funciones exponenciales y logarítmicas). Clasificación de las funciones algebraicas y trascendentales Clasifique cada una de las siguientes funciones, de la a. hasta la c., como algebraicas o trascendentales. f ( x ) = x 3 + 1 4 x + 2 f ( x ) = 2 x 2 f ( x ) = sen ( 2 x ) Ya que esta función solo implica operaciones algebraicas básicas, es una función algebraica. Esta función no puede escribirse como una fórmula que implique solo operaciones algebraicas básicas, por lo que es trascendental. (Tenga en cuenta que las funciones algebraicas solo pueden tener potencias que sean números racionales) Como en la parte b., esta función no puede escribirse mediante una fórmula que implique únicamente operaciones algebraicas básicas; por tanto, esta función es trascendental. Es f ( x ) = x / 2 una función algebraica o trascendental? Algebraica Funciones definidas a trozos A veces, una función está definida por diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio. Una función con esta propiedad se conoce como función definida a trozos . La función de valor absoluto es un ejemplo de función definida a trozos porque la fórmula cambia con el signo de x : f ( x ) = { − x , x < 0 x , x ≥ 0 . Otras funciones definidas a trozos pueden representarse con fórmulas completamente diferentes, según la parte del dominio en la que cae un punto. Para graficar una función definida a trozos, graficamos cada parte de la función en su respectivo dominio en el mismo sistema de coordenadas. Si la fórmula de una función es diferente para x < a y x > a , debemos prestar especial atención a lo que ocurre en x = a cuando grafiquemos la función. A veces, el gráfico debe incluir un círculo abierto o cerrado para indicar el valor de la función en x = a . Lo examinamos en el siguiente ejemplo. Graficar una función definida a trozos Dibuje el gráfico de la siguiente función definida a trozos: f ( x ) = { x + 3 , x < 1 ( x − 2 ) 2 , x ≥ 1 . Represente gráficamente la función lineal y = x + 3 en el intervalo ( −∞ , 1 ) y grafique la función cuadrática y = ( x − 2 ) 2 en el intervalo [ 1 , ∞ ) . Dado que el valor de la función en x = 1 viene dada por la fórmula f ( x ) = ( x − 2 ) 2 , vemos que f ( 1 ) = 1 . Para indicar esto en el gráfico, dibujamos un círculo cerrado en el punto ( 1 , 1 ) . El valor de la función viene dado por f ( x ) = x + 3 para todos los x < 1 , pero no en la x = 1 . Para indicar esto en el gráfico, dibujamos un círculo abierto en ( 1 , 4 ) . Esta función definida a trozos es lineal para x < 1 y cuadrática para x ≥ 1 . Dibuje un gráfico de la función f ( x ) = { 2 − x , x ≤ 2 x + 2 , x > 2 . Pista Grafique una función lineal para x ≤ 2 y luego grafique una función lineal diferente para x > 2 . Tarifas de estacionamiento descritas por una función definida a trozos En una gran ciudad, a los conductores se les cobra una tarifa variable por aparcar en un garaje. Se les cobra 10 dólares por la primera hora o cualquier parte de la primera hora y 2 dólares adicionales por cada hora o parte de la misma hasta un máximo de 30 dólares por día. El estacionamiento está abierto desde las 6 a. m. hasta las 12 a. m. Escriba una función definida a trozos que describa cuánto cuesta C estacionar en el garaje en función de las horas de estacionamiento x . Dibuje un gráfico de esta función C ( x ) . Como el estacionamiento está abierto 18 horas al día, el dominio en esta función es { x | 0 < x ≤ 18 } . El costo del uso de este estacionamiento puede describirse a trozos mediante la función C ( x ) = { 10 , 0 < x ≤ 1 12 , 1 < x ≤ 2 14 , 2 < x ≤ 3 16 , 3 < x ≤ 4 ⋮ 30 , 10 < x ≤ 18 . El gráfico de la función está formado por varios segmentos de rectas horizontales El costo del envío de una carta está en función de su peso. Supongamos que el costo del envío de una carta es de 49 ¢ para la primera onza y 21 ¢ por cada onza adicional. Escriba una función definida a trozos que describa el costo C en función del peso x por 0 < x ≤ 3 , donde C se mide en céntimos y x se mide en onzas. C ( x ) = { 49 , 0 < x ≤ 1 70 , 1 < x ≤ 2 91 , 2 < x ≤ 3 Pista La función definida a trozos es constante en los intervalos ( 0 , 1 ] , ( 1 , 2 ] ,…. Transformaciones de funciones Hemos visto varios casos en los que hemos sumado, restado o multiplicado constantes para formar variaciones de funciones simples. En el ejemplo anterior, por ejemplo, hemos restado 2 al argumento de la función y = x 2 para obtener la función f ( x ) = ( x − 2 ) 2 . Esta sustracción representa un desplazamiento de la función y = x 2 en dos unidades a la derecha. Un desplazamiento, horizontal o vertical, es un tipo de transformación de una función . Otras transformaciones incluyen escalas horizontales y verticales, y reflexiones sobre los ejes. El desplazamiento vertical de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada salida y . Para c > 0 , el gráfico de f ( x ) + c es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) que sube en unidades c , mientras que el gráfico de f ( x ) − c es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) que baja en unidades c . Por ejemplo, el gráfico de la función f ( x ) = x 2 + 4 es el gráfico de y = x 2 que se desplazó hacia arriba en 4 unidades; el gráfico de la función f ( x ) = x 2 − 4 es el gráfico de y = x 2 que se desplaza hacia abajo en 4 unidades ( ). (a) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) + c es un desplazamiento vertical hacia arriba en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x ) − c es un desplazamiento vertical hacia abajo en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . El desplazamiento horizontal de una función se produce si sumamos o restamos la misma constante a cada entrada x . Para c > 0 , el gráfico de f ( x + c ) es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) a la izquierda en unidades c ; el gráfico de f ( x − c ) es un desplazamiento del gráfico de f ( x ) a la derecha en c . ¿Por qué el gráfico se desplaza a la izquierda cuando se suma una constante y se desplaza a la derecha cuando se resta una constante? Para responder esta pregunta, veamos un ejemplo. Considere la función f ( x ) = | x + 3 | y evalúe esta función en x − 3 . Dado que f ( x − 3 ) = | x | y x − 3 < x , el gráfico de f ( x ) = | x + 3 | es el gráfico de y = | x | desplazado a la izquierda en 3 unidades. Del mismo modo, el gráfico de f ( x ) = | x − 3 | es el gráfico de y = | x | desplazado a la derecha en 3 unidades ( ). (a) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x + c ) es un desplazamiento horizontal hacia la izquierda en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . (b) Para c > 0 , el gráfico de y = f ( x − c ) es un desplazamiento horizontal hacia la derecha en unidades c del gráfico de y = f ( x ) . Se produce un escalado vertical de un gráfico si multiplicamos todas las salidas y de una función por la misma constante positiva. Para c > 0 , el gráfico de la función c f ( x ) es el gráfico de f ( x ) escalado verticalmente por un factor de c . Si c > 1 , los valores de salida de la función c f ( x ) son mayores que los valores de salida de la función f ( x ) ; por lo tanto, el gráfico se ha estirado verticalmente. Si los valores de 0 < c < 1 , entonces los valores de salida de la función c f ( x ) son más pequeños, por lo que el gráfico se ha comprimido. Por ejemplo, el gráfico de la función f ( x ) = 3 x 2 es el gráfico de y = x 2 estirado verticalmente por un factor de 3, mientras que el gráfico de f ( x ) = x 2 / 3 es el gráfico de y = x 2 comprimido verticalmente por un factor de 3 ( ). (a) Si c > 1 , el gráfico de y = c f ( x ) es un estiramiento vertical del gráfico de y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , el gráfico de y = c f ( x ) es una compresión vertical del gráfico de y = f ( x ) . El escalado horizontal de una función se produce si multiplicamos las entradas x por la misma constante positiva. Para c > 0 , el gráfico de la función f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) escalado horizontalmente por un factor de c . Si c > 1 , el gráfico de f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) comprimido horizontalmente. Si los valores de 0 < c < 1 , el gráfico de f ( c x ) es el gráfico de f ( x ) estirado horizontalmente. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 2 x y evaluar f en x / 2 . Dado que f ( x / 2 ) = x , el gráfico de f ( x ) = 2 x es el gráfico de y = x comprimido horizontalmente. El gráfico de y = x / 2 es un estiramiento horizontal del gráfico de y = x ( ). (a) Si c > 1 , el gráfico de y = f ( c x ) es una compresión horizontal del gráfico de y = f ( x ) . (b) Si 0 < c < 1 , el gráfico de y = f ( c x ) es un estiramiento horizontal del gráfico de y = f ( x ) . Hemos explorado lo que ocurre con el gráfico de una función f cuando multiplicamos f por una constante c > 0 para obtener una nueva función c f ( x ) . También hemos hablado de lo que ocurre con el gráfico de una función f cuando multiplicamos la variable independiente x por c > 0 para obtener una nueva función f ( c x ) . Sin embargo, no hemos abordado qué ocurre con el gráfico de la función si la constante c es negativa. Si tenemos una constante c < 0 , podemos escribir c como un número positivo multiplicado por −1 ; pero, ¿qué tipo de transformación obtenemos cuando multiplicamos la función o su argumento por −1 ? Cuando multiplicamos todas las salidas por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje x . Cuando multiplicamos todas las entradas por −1 , obtenemos una reflexión sobre el eje y . Por ejemplo, el gráfico de f ( x ) = − ( x 3 + 1 ) es el gráfico de y = ( x 3 + 1 ) reflejado sobre el eje x . El gráfico de f ( x ) = ( − x ) 3 + 1 es el gráfico de y = x 3 + 1 reflejado sobre el eje y ( ). (a) El gráfico de y = − f ( x ) es el gráfico de y = f ( x ) reflejado sobre el eje x . (b) El gráfico de y = f ( − x ) es el gráfico de y = f ( x ) reflejado sobre el eje y . Si el gráfico de una función consiste en más de una transformación de otro gráfico, es importante transformar el gráfico en el orden correcto. Dada una función f ( x ) , el gráfico de la función relacionada y = c f ( a ( x + b ) ) + d puede obtenerse del gráfico de y = f ( x ) realizando las transformaciones en el orden siguiente. El escalado horizontal del gráfico de y = f ( x + b ) por un factor de | a | . Si a < 0 , el gráfico se refleja sobre el eje y . Desplazamiento horizontal del gráfico de y = f ( x ) . Si b > 0 , el desplazamiento es hacia la izquierda. Si los valores de b < 0 , el desplazamiento es hacia la derecha. El escalado vertical del gráfico de y = f ( a ( x + b ) ) por un factor de | c | . Si c < 0 , el gráfico se refleja sobre el eje x . Desplazamiento vertical del gráfico de y = c f ( a ( x + b ) ) . Si d > 0 , se desplaza hacia arriba. Si los valores de d < 0 , se desplaza hacia abajo. En la siguiente tabla podemos resumir las diferentes transformaciones y sus efectos relacionados en el gráfico de una función. Transformaciones de funciones Transformación de f ( c > 0 ) Efecto en el gráfico de f f ( x ) + c Desplazamiento vertical hacia arriba en c unidades f ( x ) − c Desplazamiento vertical hacia abajo en c unidades f ( x + c ) Desplazamiento a la izquierda por c unidades f ( x − c ) Desplazamiento a la derecha en c unidades c f ( x ) Estiramiento vertical si c > 1 ; compresión vertical si 0 < c < 1 f ( c x ) Estiramiento horizontal si 0 < c < 1 ; compresión horizontal si c > 1 − f ( x ) Reflexión sobre el eje x f ( − x ) Reflexión sobre el eje y Transformación de una función Para cada una de las siguientes funciones, a. y b., dibuje un gráfico utilizando una secuencia de transformaciones de una función conocida. f ( x ) = − | x + 2 | − 3 f ( x ) = 3 − x + 1 A partir del gráfico de y = | x | , se desplazan 2 unidades a la izquierda, se refleja sobre el eje x , y luego se desplaza hacia abajo 3 unidades La función f ( x ) = − | x + 2 | − 3 puede verse como una secuencia de tres transformaciones de la función y = | x | . A partir del gráfico de y = x , se refleja sobre el eje y , se estira el gráfico verticalmente por un factor de 3, y se mueve hacia arriba 1 unidad La función f ( x ) = 3 − x + 1 puede verse como una secuencia de tres transformaciones de la función y = x . Describa cómo la función f ( x ) = − ( x + 1 ) 2 − 4 se puede graficar utilizando el gráfico de y = x 2 y una secuencia de transformaciones. Desplace el gráfico y = x 2 1 unidad hacia la izquierda, refleje sobre el eje x y luego desplace hacia abajo 4 unidades. Pista Utilice . Conceptos clave La función potencia f ( x ) = x n es una función par si n es uniforme y n ≠ 0 , y es una función impar si n es impar. La función raíz f ( x ) = x 1 / n tiene el dominio [ 0 , ∞ ) si n es par y el dominio ( −∞ , ∞ ) si n es impar. Si los valores de n es impar, entonces f ( x ) = x 1 / n es una función impar. El dominio de la función racional f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son funciones polinómicas; es el conjunto de x de manera que q ( x ) ≠ 0 . Las funciones que implican las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división y potencias son funciones algebraicas. Todas las demás funciones son trascendentales. Las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales. Una función polinómica f de grado n ≥ 1 satisface f ( x ) → ± ∞ cuando x → ± ∞ . El signo del valor de salida cuando x → ∞ depende únicamente del signo del coeficiente líder y de si n es par o impar. Los desplazamientos verticales y horizontales, escalados verticales y horizontales, y reflexiones sobre los ejes x y y son ejemplos de transformaciones de funciones. Ecuaciones clave Ecuación punto-pendiente de una línea y – y 1 = m ( x – x 1 ) Forma pendiente-intersección de una línea y = m x + b Forma estándar de una línea a x + b y = c Función polinómica f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 En los siguientes ejercicios, para cada par de puntos, a. halle la pendiente de la línea que pasa por los puntos y b. indique si la línea es creciente, decreciente, horizontal o vertical. ( –2 , 4 ) y ( 1 , 1 ) a. -1 b. Decreciente ( –1 , 4 ) y ( 3 , –1 ) grandes. ( 3 , 5 ) y ( –1 , 2 ) a. 3/4 b. Creciente ( 6 , 4 ) y ( 4 , −3 ) grandes. ( 2 , 3 ) y ( 5 , 7 ) a. 4/3 b. Creciente ( 1 , 9 ) y ( –8 , 5 ) grandes. ( 2 , 4 ) y ( 1 , 4 ) a. 0 b. Horizontal ( 1 , 4 ) y ( 1 , 0 ) En los siguientes ejercicios, escriba la ecuación de la línea que satisface las condiciones dadas en la forma pendiente-intersección. La pendiente = –6 , pasa por ( 1 , 3 ) grandes. y = −6 x + 9 La pendiente de intersección = 3 , pasa por ( −3 , 2 ) La pendiente de intersección = 1 3 , pasa por ( 0 , 4 ) grandes. y = 1 3 x + 4 La pendiente de intersección = 2 5 , x = 8 Pasa por la intersección ( 2 , 1 ) y ( –2 , –1 ) grandes. y = 1 2 x Pasa por la intersección ( −3 , 7 ) y ( 1 , 2 ) grandes. x = 5 y la intersección y = −3 y = 3 5 x − 3 x = –6 y y = 9 En los siguientes ejercicios, para cada ecuación lineal, a. indique la pendiente m y la intersección y b , si la hay, y b. grafique la línea. y = 2 x − 3 a. ( m = 2 , b = −3 ) b. y = − 1 7 x + 1 f ( x ) = −6 x a. ( m = –6 , b = 0 ) b. f ( x ) = −5 x + 4 4 y + 24 = 0 a. ( m = 0, 0 , b = −6 ) b. 8 x − 4 = 0 2 x + 3 y = 6 a. ( m = − 2 3 , b = 2 ) b. 6 x − 5 y + 15 = 0 En los siguientes ejercicios, para cada polinomio, a. halle el grado; b. halle los ceros, si los hay; c. halle la(s) intersección(es) y , si la(s) hay; d. utilice el coeficiente líder para determinar el comportamiento final del gráfico; y e. determine algebraicamente si el polinomio es par, impar o ninguno de los dos. f ( x ) = 2 x 2 − 3 x − 5 a. 2 b. 5 2 , −1 ; c. -5 d. Ambos extremos se elevan e. Ninguno. f ( x ) = −3 x 2 + 6 x f ( x ) = 1 2 x 2 – 1 a. 2 b. ± 2 c. -1 d. Ambos extremos se elevan e. Par f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − x − 3 f ( x ) = 3 x – x 3 a. 3 b. 0, ± 3 c. 0 d. El extremo izquierdo sube, el derecho baja e. Impar Para los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = x 2 para graficar cada función transformada g . g ( x ) = x 2 – 1 g ( x ) = ( x + 3 ) 2 + 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f ( x ) = x para graficar cada función transformada g . g ( x ) = x + 2 g ( x ) = − x – 1 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de y = f ( x ) para graficar cada función transformada g . g ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x – 1 ) + 2 En los siguientes ejercicios, para cada una de las funciones definidas a trozos, a. considere los valores dados de la variable independiente y b. dibuje el gráfico. f ( x ) = { 4 x + 3 , x ≤ 0 − x + 1 , x > 0 ; f ( −3 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 ) grandes. f ( x ) = { x 2 − 3 , x < 0 4 x − 3 , x ≥ 0 ; f ( –4 ) ; f ( 0 ) ; f ( 2 ) a. 13 , −3 , 5 b. h ( x ) = { x + 1 , x ≤ 5 4 , x > 5 ; h ( 0 ) ; h ( π ) ; h ( 5 ) grandes. g ( x ) = { 3 x − 2 , x ≠ 2 4 , x = 2 ; g ( 0 ) ; g ( –4 ) ; g ( 2 ) a. −3 2 , −1 2 , 4 b. En los siguientes ejercicios, determine si la afirmación es verdadera o falsa . Explique por qué. f ( x ) = ( 4 x + 1 ) / ( 7 x − 2 ) es una función trascendental. g ( x ) = x 3 es una función raíz impar Verdadero; n n = 3 Una función logarítmica es una función algebraica. Una función de la forma f ( x ) = x b , donde b es una constante de valor real, es una función exponencial. Falso; f ( x ) = x b , donde b es una constante de valor real, es una función potencia El dominio de una función raíz par son todos los números reales. [T] Una compañía compra un equipo informático por 20.500 dólares. Al final de un periodo de 3 años, el valor del equipo ha disminuido linealmente a 12.300 dólares. Halle una función y = V ( t ) que determine el valor V del equipo al cabo de t años. Halle e interprete el significado de las intersecciones x y y para esta situación. ¿Cuál es el valor del equipo al cabo de 5 años? ¿Cuándo el valor del equipo será de 3.000 dólares? a. V ( t ) = −2733 t + 20500 b. ( 0 , 20 , 500 ) significa que el precio de compra inicial del equipo es de 20.500 dólares ( 7,5 , 0 ) significa que en 7,5 años el equipo informático no tendrá valor. c. 6.835 dólares d. En aproximadamente 6,4 años [T] El total de las compras en línea durante las fiestas navideñas ha aumentado considerablemente en los últimos 5 años. En 2012 ( t = 0 ), las ventas navideñas totales en línea fueron de 42.300 millones de dólares, mientras que en 2013 fueron de 48.100 millones de dólares. Halle una función lineal S que estime el total de las ventas navideñas en línea en el año t . Interprete la pendiente del gráfico de S . Utilice la parte a. para predecir el año en que las compras en línea de la Navidad alcanzarán los 60.000 millones de dólares. [T] Una panadería familiar hace cupcakes y los vende en festivales locales al aire libre. Para un festival de música, hay un costo fijo de 125 dólares para montar un puesto de cupcakes. La propietaria calcula que hacer cada uno cuesta 0,75 dólares, y está interesada en determinar el costo total C en función del número de cupcakes elaborados. Halle una función lineal que relacione el costo C con x , el número de cupcakes hechos. Halle el costo de hornear 160 cupcakes. Si la propietaria vende los cupcakes a 1,50 dólares cada uno, ¿cuántos necesita vender para empezar a obtener beneficios? (Pista : Utiliza la función INTERSECCIÓN en una calculadora para encontrar este número). a. C = 0,75 x + 125 b. 245 dólares c. 167 cupcakes [T] Se espera que una casa que costó 250.000 dólares valga el doble de su precio de compra en 18 años. Halle una función lineal que modele el precio P de la casa frente al número de años t desde la compra original. Interpreta la pendiente del gráfico de P . Halle el precio de la casa 15 años después de su compra. [T] Alguien compró un automóvil por 26.000 dólares. El valor del auto se deprecia 1.500 dólares al año. Halle una función lineal que modele el valor V del automóvil después de t años. Halle e interprete V ( 4 ) . a. V ( t ) = −1500 t + 26.000 b. En 4 años, el valor del auto será de 20.000 dólares. [T] Se compró un condominio en una zona exclusiva de la ciudad por 432.000 dólares. En 35 años valdrá 60.500 dólares. Halle la tasa de depreciación. [T] El costo total C para producir un determinado artículo se modela mediante la función C ( x ) = 10,50 x + 28.500 , donde x es el número de artículos producidos. Determine el costo de producción de 175 artículos. 30.337,50 dólares. [T] Un profesor le pide a su clase que informe la cantidad de tiempo t que han dedicado a escribir dos tareas. La mayoría de los estudiantes afirman que les toma unos 45 minutos teclear un trabajo de cuatro páginas y 1,5 horas teclear uno de nueve. Halle la función lineal y = N ( t ) que modela esta situación, donde N es el número de páginas escritas y t es el tiempo en minutos. Utilice la parte a. para determinar cuántas páginas se pueden escribir en 2 horas. Utilice la parte a. para determinar el tiempo que se tarda en escribir una tarea de 20 páginas. [T] El rendimiento (como porcentaje de la capacidad total) de las centrales nucleares de Estados Unidos puede modelarse mediante la función P ( t ) = 1,8576 t + 68,052 , donde t es el tiempo en años y t = 0 corresponde a principios del año 2000. Utilice el modelo para predecir el porcentaje de rendimiento en 2015. 96 % de la capacidad total [T] La oficina de admisiones de una universidad pública estima que el 65 % de los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019 se matricularán realmente. Halle la función lineal y = N ( x ) , donde N es el número de estudiantes que realmente se matriculan y x es el número de todos los estudiantes a los que se les ofreció la admisión en la clase de 2019. Si la universidad quiere que el tamaño de la clase de primer año de 2019 sea de 1350, determine cuántos estudiantes deben admitirse. función algebraica una función que implica cualquier combinación de solo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces aplicadas a una variable de entrada x función cúbica un polinomio de grado 3; es decir, una función de la forma f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d , donde a ≠ 0 grado en una función polinómica, el valor del mayor exponente de cualquier término. función lineal una función que se puede escribir de la forma f ( x ) = m x + b función logarítmica una función de la forma f ( x ) = log b ( x ) para alguna base b > 0 , b ≠ 1 de manera que y = log b ( x ) si y solo si b y = x modelo matemático Un método para simular situaciones de la vida real con ecuaciones matemáticas. función definida a trozos función que se define de forma diferente en las distintas partes de su dominio. ecuación punto-pendiente ecuación de una función lineal donde se indica su pendiente y un punto del gráfico de la función función polinómica una función de la forma f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 función potencia una función de la forma f ( x ) = x n para cualquier número entero positivo n ≥ 1 función cuadrática polinomio de grado 2; es decir, una función de la forma f ( x ) = a x 2 + b x + c donde a ≠ 0 función racional una función de la forma f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) , donde p ( x ) como q ( x ) son polinomios función raíz una función de la forma f ( x ) = x 1 / n para cualquier número entero n ≥ 2 pendiente cambio en y por cada unidad de cambio en x forma pendiente-intersección ecuación de una función lineal que indica su pendiente y su intersección y función trascendental una función que no puede expresarse mediante una combinación de operaciones aritméticas básicas. transformación de una función desplazamiento, escalado o reflexión de una función.

Matemáticas


Funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas se utilizan para modelar muchos fenómenos, como las ondas sonoras, las vibraciones de las cuerdas, la corriente eléctrica alterna y el movimiento de los péndulos. De hecho, casi cualquier movimiento repetitivo o cíclico puede modelarse mediante alguna combinación de funciones trigonométricas. En este apartado definiremos las seis funciones trigonométricas básicas y veremos algunas de las principales identidades relacionadas con estas funciones. Medición de radianes Para utilizar las funciones trigonométricas, primero debemos entender cómo se miden los ángulos. Aunque podemos utilizar tanto los radianes como los grados, los radianes son una medida más natural porque están relacionados directamente con el círculo unitario, un círculo de radio 1. La medida del radián de un ángulo se define como sigue. Dado un ángulo θ , supongamos que s es la longitud del arco correspondiente en el círculo unitario ( ). Decimos que el ángulo correspondiente al arco de longitud 1 tiene medida de radián 1. La medida del radián de un ángulo θ es la longitud del arco s del arco asociado en el círculo unitario. Dado que un ángulo de 360 ° corresponde a la circunferencia de un círculo, o a un arco de longitud 2 π , concluimos que un ángulo con una medida de grado de 360 ° tiene una medida del radián de 2 π . Del mismo modo, vemos que 180 ° equivale a π radianes. La muestra la relación entre los valores comunes de los grados y los radianes. Ángulos comunes expresados en grados y radianes Grados Radianes Grados Radianes 0 0 120 2 π / 3 30 π / 6 135 3 π / 4 45 π / 4 150 5 π / 6 60 π / 3 180 π 90 π / 2 Convertir radianes y grados Exprese 225 ° utilizando radianes. Exprese 5 π / 3 rad utilizando grados. Utilice el hecho de que 180 ° equivale a π radianes como factor de conversión: 1 = π rad 180 ° = 180 ° π rad . 225 ° = 225 ° . π 180 ° = 5 π 4 rad 5 π 3 rad = 5 π 3 . 180 ° π = 300 ° Exprese 210 ° utilizando radianes. Exprese 11 π / 6 rad utilizando grados. 7 π / 6 ; 330° Pista π radianes es igual a 180 ° . Las seis funciones trigonométricas básicas Las funciones trigonométricas nos permiten utilizar las medidas de los ángulos, en radianes o grados, para encontrar las coordenadas de un punto en cualquier círculo —no solo en un círculo unitario— o para encontrar un ángulo dado un punto en un círculo. También definen la relación entre los lados y los ángulos de un triángulo. Para definir las funciones trigonométricas, consideremos primero el círculo unitario centrado en el origen y un punto P = ( x , y ) en el círculo de la unidad. Supongamos que θ es un ángulo con un lado inicial que se halla a lo largo del eje positivo x y con un lado terminal que es el segmento de línea O P . Un ángulo en esta posición se dice que está en posición estándar ( ). Podemos entonces definir los valores de las seis funciones trigonométricas para θ en términos de las coordenadas x como y . El ángulo θ está en posición estándar. Los valores de las funciones trigonométricas para θ se definen en términos de las coordenadas x como y . Definición Supongamos que P = ( x , y ) es un punto del círculo unitario centrado en el origen O . Supongamos que θ es un ángulo con un lado inicial a lo largo del eje positivo x y un lado terminal dado por el segmento de línea O P . Las funciones trigonométricas se definen entonces como sen θ = y csc θ = 1 y cos θ = x sec θ = 1 x tan θ = y x cot θ = x y Si los valores de x = 0 , sec θ y tan θ son indefinidos. Si los valores de y = 0 , entonces cot θ y csc θ son indefinidos. Podemos ver que para un punto P = ( x , y ) en un círculo de radio r con un ángulo correspondiente θ , las coordenadas x como y satisfacen cos θ = x r x = r cos θ sen θ = y r y = r sen θ . Los valores de las demás funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de x , y , y r ( ). Para un punto P = ( x , y ) en un círculo de radio r , las coordenadas x como y satisfacen x = r cos θ y y = r sen θ . La muestra los valores del seno y del coseno en los ángulos mayores del primer cuadrante. A partir de esta tabla, podemos determinar los valores del seno y del coseno en los ángulos correspondientes de los otros cuadrantes. Los valores de las demás funciones trigonométricas se calculan fácilmente a partir de los valores de sen θ y cos θ . Los valores de sen θ y cos θ en los ángulos principales θ en el primer cuadrante θ s i n θ c o s θ 0 0 1 π 6 1 2 3 2 π 4 2 2 2 2 π 3 3 2 1 2 π 2 1 0 Evaluación de funciones trigonométricas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. sen ( 2 π 3 ) grandes. cos ( − 5 π 6 ) grandes. tan ( 15 π 4 ) En el círculo unitario, el ángulo θ = 2 π 3 corresponde al punto ( − 1 2 , 3 2 ) . Por lo tanto, sen ( 2 π 3 ) = y = 3 2 . Un ángulo θ = − 5 π 6 corresponde a una revolución en sentido negativo, como se muestra. Por lo tanto, cos ( − 5 π 6 ) = x = − 3 2 . Un ángulo θ = 15 π 4 = 2 π + 7 π 4 . Por lo tanto, este ángulo corresponde a más de una revolución, como se muestra. Sabiendo que un ángulo de 7 π 4 corresponde al punto ( 2 2 , − 2 2 ) , podemos concluir que tan ( 15 π 4 ) = y x = −1 . Evalúe cos ( 3 π / 4 ) y sen ( − π / 6 ) . cos ( 3 π / 4 ) = − 2 / 2 ; sen ( − π / 6 ) = −1 / 2 Pista Observe los ángulos del círculo unitario. Como se mencionó anteriormente, las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se pueden expresar en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en cualquiera de los ángulos agudos del triángulo. Supongamos que θ es uno de los ángulos agudos. Supongamos que A es la longitud del cateto adyacente, O es la longitud del cateto opuesto, y H es la longitud de la hipotenusa. Inscribiendo el triángulo en un círculo de radio H , como se muestra en la , vemos que A , H , y O satisfacen las siguientes relaciones con θ : sen θ = O H csc θ = H O cos θ = A H sec θ = H A tan θ = O A cot θ = A O Al inscribir un triángulo rectángulo en una circunferencia, podemos expresar las relaciones de las longitudes de los lados en términos de las funciones trigonométricas evaluadas en θ . Construir una rampa de madera Se construirá una rampa de madera con un extremo en el suelo y el otro en la parte superior de una corta escalera. Si la parte superior de la escalera es de 4 ft desde el suelo y el ángulo entre el suelo y la rampa debe ser de 10 ° , ¿qué longitud debe tener la rampa? Supongamos que x denota la longitud de la rampa. En la siguiente imagen, vemos que x tiene que satisfacer la ecuación sen ( 10 ° ) = 4 / x . Al resolver esta ecuación para x , vemos que x = 4 / sen ( 10 ° ) ≈ 23,035 pies. Un pintor de casas quiere inclinar una escalera de 20 contra una casa. Si el ángulo entre la base de la escalera y el suelo debe ser 60 ° , ¿A qué distancia de la casa debe colocar la base de la escalera? 10 pies Pista Dibuje un triángulo rectángulo con hipotenusa de 20 . Identidades trigonométricas Una identidad trigonométrica es una ecuación en la que intervienen funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θ para el que se definen las funciones. Podemos utilizar esas identidades para ayudarnos a resolver o simplificar ecuaciones. A continuación se enumeran las principales identidades trigonométricas. Regla: identidades trigonométricas Identidades recíprocas tan θ = sen θ cos θ cot θ = cos θ sen θ csc θ = 1 sen θ sec θ = 1 cos θ Identidades pitagóricas sen 2 θ + cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Fórmulas de adición y sustracción sen ( α ± β ) = sen α cos β ± cos α sen β cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sen α sen β Fórmulas de ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sen 2 θ = cos 2 θ − sen 2 θ Resolver ecuaciones trigonométricas Para cada una de las siguientes ecuaciones, utilice una identidad trigonométrica para encontrar todas las soluciones. 1 + cos ( 2 θ ) = cos θ sen ( 2 θ ) = tan θ Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para cos ( 2 θ ) , vemos que θ es una solución de 1 + cos ( 2 θ ) = cos θ si y solo si 1 + 2 cos 2 θ − 1 = cos θ , que es verdadera si y solo si 2 cos 2 θ − cos θ = 0 . Para resolver esta ecuación, es importante tener en cuenta que tenemos que factorizar el lado izquierdo y no dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . El problema de dividir por cos θ es que es posible que cos θ es cero. De hecho, si dividiéramos ambos lados de la ecuación por cos θ , nos perderíamos algunas de las soluciones de la ecuación original. Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, vemos que θ es una solución de esta ecuación si y solo si cos θ ( 2 cos θ − 1 ) = 0 . Dado que cos θ = 0 cuando θ = π 2 , π 2 ± π , π 2 ± 2 π ,…, y cos θ = 1 / 2 cuando θ = π 3 , π 3 ± 2 π ,… o θ = − π 3 , − π 3 ± 2 π ,…, concluimos que el conjunto de soluciones de esta ecuación es θ = π 2 + n π , θ = π 3 + 2 n π , y θ = − π 3 + 2 n π , n = 0 , ±1, 1 , ± 2, … . Si utilizamos la fórmula del doble ángulo para sen ( 2 θ ) y la identidad recíproca para tan ( θ ) , la ecuación se puede escribir como 2 sen θ cos θ = sen θ cos θ . Para resolver esta ecuación, multiplicamos ambos lados por cos θ para eliminar el denominador, y decimos que si θ satisface esta ecuación, entonces θ satisface la ecuación 2 sen θ cos 2 θ − sen θ = 0 . Sin embargo, en este punto tenemos que ser cuidadosos. Incluso si θ satisface esta nueva ecuación, puede no satisfacer la ecuación original porque para hacerlo, necesitaríamos poder dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . Sin embargo, si cos θ = 0 , no podemos dividir ambos lados de la ecuación por cos θ . Por lo tanto, es posible que lleguemos a soluciones extrañas. Por lo tanto, al final, es importante comprobar si hay ese tipo de soluciones. Volviendo a la ecuación, es importante que tengamos en cuenta sen θ de ambos términos del lado izquierdo en vez de dividir ambos lados de la ecuación por sen θ . Factorizando el lado izquierdo de la ecuación, podemos reescribir esta ecuación como sen θ ( 2 cos 2 θ − 1 ) = 0 . Por tanto, las soluciones vienen dadas por los ángulos θ de manera que sen θ = 0 o cos 2 θ = 1 / 2 . Las soluciones de la primera ecuación son θ = 0 , ± π , ±2, 2 π ,…. Las soluciones de la segunda ecuación son θ = π / 4 , ( π / 4 ) ± ( π / 2 ) , ( π / 4 ) ± π ,…. Tras comprobar que no hay soluciones extrañas, el conjunto de soluciones de la ecuación es θ = n π y θ = π 4 + n π 2 , n = 0 , ±1, 1 , ± 2, … . Halle todas las soluciones a la ecuación cos ( 2 θ ) = sen θ . θ = 3 π 2 + 2 n π , π 6 + 2 n π , 5 π 6 + 2 n π para n = 0 , ±1, 1 , ±2, 2 ,… Pista Utilice la fórmula del ángulo doble para el coseno. Demostrar la una identidad trigonométrica Demuestre la identidad trigonométrica 1 + tan 2 θ = sec 2 θ . Comencemos con la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1 . Si dividimos ambos lados de esta ecuación entre cos 2 θ , obtenemos sen 2 θ cos 2 θ + 1 = 1 cos 2 θ . Dado que sen θ / cos θ = tan θ y 1 / cos θ = sec θ , concluimos que tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Demuestre la identidad trigonométrica 1 + cot 2 θ = csc 2 θ . Pista Divida ambos lados de la identidad sen 2 θ + cos 2 θ = 1 entre sen 2 θ . Gráficos y periodos de las funciones trigonométricas Hemos visto que al recorrer el círculo unitario, los valores de las funciones trigonométricas se repiten. Podemos ver este patrón en los gráficos de las funciones. Supongamos que P = ( x , y ) es un punto del círculo unitario y que θ es el ángulo correspondiente . Dado que los ángulos θ y θ + 2 π corresponden al mismo punto P , los valores de las funciones trigonométricas en θ y en θ + 2 π son los mismos. En consecuencia, las funciones trigonométricas son funciones periódicas. El periodo de una función f se define como el menor valor positivo p de manera que f ( x + p ) = f ( x ) para todos los valores x en el dominio de f . Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen un periodo de 2 π . Como las funciones tangente y cotangente se repiten en un intervalo de longitud π , su periodo es π ( ). Las seis funciones trigonométricas son periódicas. Al igual que con las funciones algebraicas, podemos aplicar transformaciones a las funciones trigonométricas. En particular, considere la siguiente función: f ( x ) = A cos ( B ( x − α ) ) + C . En la , la constante α provoca un desplazamiento horizontal o de fase. El factor B cambia el periodo. Esta función seno transformada tendrá un periodo 2 π / | B | . El factor A resulta en un estiramiento vertical por un factor de | A | . Decimos | A | es la "amplitud de f . " La constante C ocasiona un desplazamiento vertical. Gráfico de una función coseno general. Observe en la que el gráfico de y = cos x es el gráfico de y = sen x desplazado a la izquierda π / 2 . Por lo tanto, podemos escribir cos x = sen ( x + π / 2 ) . Del mismo modo, podemos ver el gráfico de y = sen x como el gráfico de y = cos x desplazado a la derecha en π / 2 unidades, y afirma que sen x = cos ( x − π / 2 ) . Una curva sinusoidal desplazada surge de forma natural al graficar el número de horas de luz en un lugar determinado en función del día del año. Por ejemplo, supongamos que una ciudad informa que el 21 de junio es el día más largo del año con 15,7 horas y que el 21 de diciembre es el día más corto del año con 8,3 horas. Se puede demostrar que la función h ( t ) = 3,7 sen ( 2 π 365 ( t − 80,5 ) ) + 12 es un modelo para el número de horas de luz del día h en función del día del año t ( ). Las horas de luz en función del día del año pueden modelarse mediante una curva sinusoidal desplazada. Trazado del gráfico de una curva senoidal transformada Dibuje un gráfico de f ( x ) = 3 sen ( 2 ( x − π 4 ) ) + 1 . Este gráfico es una compresión horizontal por un factor de 2, un desplazamiento de fase a la derecha de π/4 unidades, seguido de un estiramiento vertical por un factor de 3 y luego un desplazamiento vertical de 1 unidad. El periodo de f ¿es π . Describa la relación entre el gráfico de f ( x ) = 3 sen ( 4 x ) − 5 y el gráfico de y = sen ( x ) . Para graficar f ( x ) = 3 sen ( 4 x ) − 5 , el gráfico de y = sen ( x ) necesita ser comprimido horizontalmente por un factor de 4, luego estirado verticalmente por un factor de 3, y luego desplazado hacia abajo 5 unidades. La función f tendrá un periodo de π / 2 y una amplitud de 3. Pista El gráfico de f se puede esbozar utilizando el gráfico de y = sen ( x ) y una secuencia de tres transformaciones. Conceptos clave La medida en radianes se define de forma que el ángulo asociado al arco de longitud 1 en el círculo unitario tiene medida de radián 1. Un ángulo con una medida de grado de 180 ° tiene una medida del radián de π rad. En los ángulos agudos θ , los valores de las funciones trigonométricas se definen como las relaciones de dos lados de un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos agudos es θ . Para un ángulo general θ , supongamos que ( x , y ) es un punto en un círculo de radio r correspondiente a este ángulo θ . Las funciones trigonométricas pueden escribirse como razones que implican x , y , y r . Las funciones trigonométricas son periódicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante tienen periodo 2 π . Las funciones tangente y cotangente tienen periodo π . Ecuaciones clave Función sinusoidal generalizada f ( x ) = A sen ( B ( x − α ) ) + C En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de grados a radianes. Escriba la respuesta como un múltiplo de π . 240 ° 4 π 3 rad 15 ° −60 ° − π 3 −225 ° 330 ° 11 π 6 rad En los siguientes ejercicios, convierta cada ángulo de radianes a grados. π 2 rad 7 π 6 rad 210 ° 11 π 2 rad −3 π rad −540 ° 5 π 12 rad Evalúe los siguientes valores funcionales. cos ( 4 π 3 ) grandes. −0,5 tan ( 19 π 4 ) grandes. sen ( − 3 π 4 ) grandes. − 2 2 sec ( π 6 ) grandes. sen ( π 12 ) grandes. 3 − 1 2 2 cos ( 5 π 12 ) En los siguientes ejercicios, considere el triángulo ABC , un triángulo rectángulo con un ángulo recto en C. a. Halle el lado que falta en el triángulo. b. Halle los seis valores de la función trigonométrica para el ángulo en A . Si es necesario, simplifique a una fracción o redondee a tres decimales. a = 4 , c = 7 a. b = 5,7 b. sen A = 4 7 , cos A = 5,7 7 , tan A = 4 5,7 , csc A = 7 4 , sec A = 7 5,7 , cot A = 5,7 4 a = 21 , c = 29 a = 85,3 , b = 125,5 a. c = 151,7 b. sen A = 0,5623 , cos A = 0,8273 , tan A = 0,6797 , csc A = 1,778 , sec A = 1,209 , cot A = 1,471 b = 40 , c = 41 a = 84 , b = 13 a. c = 85 b. sen A = 84 85 , cos A = 13 85 , tan A = 84 13 , csc A = 85 84 , sec A = 85 13 , cot A = 13 84 b = 28 , c = 35 En los siguientes ejercicios, P es un punto del círculo unitario. a. Halle el valor (exacto) de la coordenada que falta en cada punto y b. halle los valores de las seis funciones trigonométricas para el ángulo θ con un lado terminal que pasa por el punto P . Racionalice los denominadores. P ( 7 25 , y ) , y > 0 a. y = 24 25 b. sen θ = 24 25 , cos θ = 7 25 , tan θ = 24 7 , csc θ = 25 24 , sec θ = 25 7 , cot θ = 7 24 P ( −15 17 , y ) , y < 0 P ( x , 7 3 ) , x < 0 a. x = − 2 3 b. sen θ = 7 3 , cos θ = − 2 3 , tan θ = − 14 2 , csc θ = 3 7 7 , sec θ = −3 2 2 , cot θ = − 14 7 P ( x , − 15 4 ) , x > 0 En los siguientes ejercicios, simplifique cada expresión escribiéndola en términos de senos y cosenos, y luego simplifique. La respuesta final no tiene que ser solo en términos de seno y coseno. tan 2 x + sen x csc x sec 2 x sec x sen x cot x tan 2 x sec 2 x sen 2 x sec x − cos x ( 1 + tan θ ) 2 − 2 tan θ sec 2 θ sen x ( csc x − sen x ) grandes. cos t sen t + sen t 1 + cos t 1 sen t ( = csc t ) grandes. 1 + tan 2 α 1 + cot 2 α En los siguientes ejercicios, verifique que cada ecuación sea una identidad. tan θ cot θ csc θ = sen θ sec 2 θ tan θ = sec θ csc θ sen t csc t + cos t sec t = 1 sen x cos x + 1 + cos x – 1 sen x = 0 cot γ + tan γ = sec γ csc γ sen 2 β + tan 2 β + cos 2 β = sec 2 β 1 1 − sen α + 1 1 + sen α = 2 sec 2 α tan θ − cot θ sen θ cos θ = sec 2 θ − csc 2 θ En los siguientes ejercicios, resuelva las ecuaciones trigonométricas en el intervalo 0 ≤ θ < 2 π . 2 sen θ − 1 = 0 { π 6 , 5 π 6 } 1 + cos θ = 1 2 2 tan 2 θ = 2 { π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 } 4 sen 2 θ − 2 = 0 3 cot θ + 1 = 0 { 2 π 3 , 5 π 3 } 3 sec θ − 2 3 = 0 2 cos θ sen θ = sen θ { 0 , π , π 3 , 5 π 3 } csc 2 θ + 2 csc θ + 1 = 0 En los siguientes ejercicios, cada gráfico es de la forma y = A sen B x o y = A cos B x , donde B > 0 . Escriba la ecuación del gráfico. y = 4 sen ( π 4 x ) y = cos ( 2 π x ) En los siguientes ejercicios, halle a. la amplitud, b. el periodo, y c. el desplazamiento de fase con dirección para cada función. y = sen ( x − π 4 ) a. 1 b. 2 π c. π 4 unidades a la derecha y = 3 cos ( 2 x + 3 ) grandes. y = −1 2 sen ( 1 4 x ) a. 1 2 b. 8 π c. Sin desplazamiento de fase y = 2 cos ( x − π 3 ) grandes. y = −3 sen ( π x + 2 ) a. 3 b. 2 c. 2 π unidades a la izquierda y = 4 cos ( 2 x − π 2 ) [T] El diámetro de una rueda que da vueltas sobre el suelo es de 40 in. Si la rueda gira en un ángulo de 120 ° , ¿cuántas pulgadas se desplaza? Aproximación a la pulgada entera más cercana. Aproximadamente 42 in. [T] Halle la longitud del arco intersecado por el ángulo central θ en un círculo de radio r . Redondee a la centésima más cercana. a. r = 12,8 cm, θ = 5 π 6 rad b. r = 4,378 cm, θ = 7 π 6 rad c. r = 0,964 cm, θ = 50 ° d. r = 8,55 cm, θ = 325 ° [T] A medida que un punto P se mueve alrededor de un círculo, la medida del ángulo cambia. La medida de la rapidez con la que cambia el ángulo se llama velocidad angular , ω , y viene dada por ω = θ / t , donde θ está en radianes y t es el tiempo. Halle la velocidad angular para los datos dados. Redondee a la milésima más cercana. a. θ = 7 π 4 rad , t = 10 s b. θ = 3 π 5 rad , t = 8 sec c. θ = 2 π 9 rad , t = 1 min d. θ = 23,76 rad, t = 14 min a. 0,550 rad/seg b. 0,236 rad/s c. 0,698 rad/min d. 1,697 rad/min [T] Se necesita un total de 250.000 m 2 de terreno para construir una central nuclear. Supongamos que se decide que la zona en la que se va a construir la central eléctrica será circular. Halle el radio de la zona circular de terreno. Si la superficie del terreno va a formar un sector de 45 ° de una circunferencia en vez de una circunferencia entera, halle la longitud del lado curvo. [T] El área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud x es 1 2 x 2 sen θ , donde θ es el ángulo que forman los dos lados. Halle el área de un triángulo isósceles con lados iguales de longitud 8 pulgadas y ángulo θ = 5 π / 12 rad. ≈ 30,9 in 2 [T] Una partícula se desplaza en una trayectoria circular con una velocidad angular constante ω . La velocidad angular se modela mediante la función ω = 9 | cos ( π t – π / 12 ) | . Determine la velocidad angular en t = 9 seg. [T] La corriente alterna para las tomas de corriente de una casa tiene un voltaje dado por la función V ( t ) = 150 cos 368 t , donde V es el voltaje en un tiempo de t segundos. Halle el periodo de la función e interprete su significado. Determine el número de periodos que se producen al pasar 1 segundo. a. π/184; el voltaje se repite cada π/184 s. b. Aproximadamente 59 periodos [T] El número de horas de luz diurna en una ciudad del noreste se modela mediante la función N ( t ) = 12 + 3 sen [ 2 π 365 ( t − 79 ) ] , donde t es el número de días después del 1 de enero. Halle la amplitud y el periodo. Determine el número de horas de luz diurna del día más largo del año. Determine el número de horas de luz diurna del día más corto del año. Determine el número de horas de luz diurna 90 días después del 1 de enero. Grafique la función para un periodo que comienza el 1 de enero. [T] Supongamos que T = 50 + 10 sen [ π 12 ( t − 8 ) ] es un modelo matemático de la temperatura (en grados Fahrenheit) a las t horas después de la medianoche de un determinado día de la semana. Determine la amplitud y el periodo. Halle la temperatura 7 horas después de la medianoche. ¿A qué hora T = 60 ° ? Dibuje el gráfico de T en 0 ≤ t ≤ 24 . a. Amplitud = 10 ; periodo = 24 b. 47,4 ° F c. 14 horas más tarde, o 2 p.m. d. [T] La función H ( t ) = 8 sen ( π 6 t ) modela la altura H (en pies) de la marea t horas después de la medianoche. Supongamos que t = 0 es medianoche. Encuentre la amplitud y el periodo. Grafique la función en un periodo. ¿Cuál es la altura de la marea a las 4:30 a. m.? función periódica una función es periódica si tiene un patrón de repetición a medida que los valores de x se mueven de izquierda a derecha radianes para un arco circular de longitud s en un círculo de radio 1, la medida del radián del ángulo asociado θ ¿es s funciones trigonométricas funciones de un ángulo definidas como las relaciones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo identidad trigonométrica ecuación con funciones trigonométricas que es verdadera para todos los ángulos θ para la que se definen las funciones de la ecuación

Matemáticas


Funciones inversas Una función inversa invierte la operación realizada por una determinada función. En otras palabras, lo que hace una función, lo deshace la función inversa. En esta sección, definiremos formalmente una función inversa y estableceremos las condiciones necesarias para que exista. Examinaremos cómo encontrar una función inversa y estudiaremos la relación entre el gráfico de una función y el gráfico de su inversa. A continuación, aplicaremos estas ideas para definir y discutir las propiedades de las funciones trigonométricas inversas. Existencia de una función inversa Comencemos con un ejemplo. Dada una función f y una salida y = f ( x ) , a menudo nos interesa encontrar qué valor o valores x se asignaron a y entre f . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 + 4 . Dado que cualquier salida y = x 3 + 4 , podemos resolver esta ecuación para x y hallar que la entrada es x = y − 4 3 . Esta ecuación define x en función de y . Denotando esta función como f −1 , y escribiendo x = f −1 ( y ) = y − 4 3 , vemos que para cualquier x en el dominio de f , f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( x 3 + 4 ) = x . Así, esta nueva función, f −1 , "deshizo" lo que la función original f hizo. Una función con esta propiedad se denomina función inversa de la función original. Definición Dada una función f con dominio D y rango R , su función inversa (si la hay) es la función f −1 con dominio R y rango D de manera que f −1 ( y ) = x si f ( x ) = y . En otras palabras, para una función f y su inversa f −1 , f −1 ( f ( x ) ) = x para todo x in D , y f ( f −1 ( y ) ) = y para todo y in R . Observe que f −1 se lee como "f inversa" Aquí, el −1 no se utiliza como exponente y f −1 ( x ) ≠ 1 / f ( x ) . La muestra la relación entre el dominio y el rango de f y el dominio y el rango de f −1 . Dada una función f y su inversa f −1 , f −1 ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y . El rango de f se convierte en el dominio de f −1 y el dominio de f se convierte en el rango de f −1 . Recordemos que una función tiene exactamente una salida para cada entrada. Por lo tanto, para definir una función inversa, necesitamos asignar cada entrada a una sola salida. Por ejemplo, intentemos encontrar la función inversa de f ( x ) = x 2 . Si resolvemos la ecuación y = x 2 por x , llegamos a la ecuación x = ± y . Esta ecuación no describe x en función de y porque hay dos soluciones a esta ecuación para cada y > 0 . El problema de intentar encontrar una función inversa para f ( x ) = x 2 es que se envían dos entradas a una sola salida en cada salida y > 0 . La función f ( x ) = x 3 + 4 que se comentó anteriormente no presentaba ese problema. En esa función, cada entrada se enviaba a una salida diferente. Una función que envía cada entrada a una salida diferente se llama función biunívoca. Definición Decimos que f es una función biunívoca si f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) cuando x 1 ≠ x 2 . Una forma de determinar si una función es biunívoca es observando su gráfico. Si una función es biunívoca, entonces no se pueden enviar dos entradas a la misma salida. Entonces, si dibujamos una línea horizontal en cualquier parte del plano x y según la prueba de la línea horizontal , esta no puede intersecar el gráfico más de una vez. Podemos notar que la prueba de la línea horizontal es diferente de la prueba de la línea vertical. La prueba de la línea vertical determina si un gráfico es el de una función. La prueba de la línea horizontal determina si una función es biunívoca ( ). Regla: prueba de la línea horizontal Una función f es biunívoca si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico de f solo una vez. (a) La función f ( x ) = x 2 no es biunívoca porque falla la prueba de la línea horizontal. (b) La función f ( x ) = x 3 es biunívoca porque pasa la prueba de la línea horizontal. Cómo determinar si una función es biunívoca En cada una de las siguientes funciones, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si son biunívocas. Dado que la línea horizontal y = n para cualquier número entero n ≥ 0 interseca el gráfico más de una vez, esta función no es unívoca Dado que cada línea horizontal interseca el gráfico una vez (como máximo), esta función es biunívoca ¿La función f graficada biunívoca en la siguiente imagen? No. Pista Utilice la prueba de la línea horizontal. Encontrar la inversa de una función Ahora podemos considerar las funciones biunívocas y mostrar cómo encontrar sus inversas. Recordemos que una función asigna elementos en el dominio de f a elementos en el rango de f . La función inversa asigna cada elemento del rango de f a su elemento correspondiente del dominio de f . Por lo tanto, para encontrar la función inversa de una función biunívoca f , dada cualquier y en el rango de f , tenemos que determinar cuál x en el dominio de f satisface f ( x ) = y . Dado que f es biunívoca, hay exactamente un valor de este tipo x . Podemos encontrar ese valor x resolviendo la ecuación f ( x ) = y para x . Al hacer esto, podemos escribir x en función de y donde el dominio de esta función es el rango de f y el rango de esta nueva función es el dominio de f . En consecuencia, esta función es la inversa de f , y escribimos x = f −1 ( y ) . Dado que normalmente utilizamos la variable x para denotar la variable independiente y y para denotar la variable dependiente, a menudo intercambiamos los papeles de x como y , y se escribe y = f −1 ( x ) . Representar la función inversa de esta manera también es útil más adelante cuando grafiquemos una función f y su inversa f −1 en los mismos ejes. Estrategia para la resolución de problemas: hallar una función inversa Resuelva la ecuación y = f ( x ) para x . Intercambie las variables de x como y y escriba y = f −1 ( x ) . Hallar una función inversa Halle la inversa de la función f ( x ) = 3 x − 4 . Indique el dominio y el rango de la función inversa. Verifique que f −1 ( f ( x ) ) = x . Siga los pasos indicados en la estrategia. Paso 1. Si los valores de y = 3 x − 4 , entonces 3 x = y + 4 y x = 1 3 y + 4 3 . Paso 2. Reescriba como y = 1 3 x + 4 3 y supongamos que y = f −1 ( x ) . Por lo tanto, f −1 ( x ) = 1 3 x + 4 3 . Dado que el dominio de f ¿es ( − ∞ , ∞ ) , el rango de f −1 ¿es ( − ∞ , ∞ ) . Dado que el rango de f ¿es ( − ∞ , ∞ ) , el dominio de f −1 ¿es ( − ∞ , ∞ ) . Puede comprobar que f −1 ( f ( x ) ) = x escribiendo f −1 ( f ( x ) ) = f −1 ( 3 x − 4 ) = 1 3 ( 3 x − 4 ) + 4 3 = x − 4 3 + 4 3 = x . Tenga en cuenta que para que f −1 ( x ) sea la inversa de f ( x ) , ambos f −1 ( f ( x ) ) = x y f ( f −1 ( x ) ) = x para todo x en el dominio de la función interior. Halle la inversa de la función f ( x ) = 3 x / ( x − 2 ) . Indique el dominio y el rango de la función inversa. f −1 ( x ) = 2 x x − 3 . El dominio de f −1 ¿es { x | x ≠ 3 } . El rango de f −1 ¿es { y | y ≠ 2 } . Pista Utilice la para encontrar funciones inversas. Gráficos de funciones inversas Consideremos la relación entre el gráfico de una función f y el gráfico de su inversa. Consideremos el gráfico de f que se muestra en la y un punto ( a , b ) en el gráfico. Dado que b = f ( a ) , entonces f −1 ( b ) = a . Por lo tanto, cuando graficamos f −1 , el punto ( b , a ) está en el gráfico. Como resultado, el gráfico de f −1 es un reflejo del gráfico de f sobre la línea y = x . (a) El gráfico de esta función f muestra el punto ( a , b ) en el gráfico de f . (b) Ya que ( a , b ) está en el gráfico de f , el punto ( b , a ) está en el gráfico de f −1 . El gráfico de f −1 es un reflejo del gráfico de f sobre la línea y = x . Trazado de gráficos de funciones inversas En el gráfico de f en la siguiente imagen dibuje un gráfico de f −1 trazando la línea y = x y utilizando la simetría. Identifique el dominio y el rango de f −1 . Refleje el gráfico sobre la línea y = x . El dominio de f −1 ¿es [ 0 , ∞ ) . El rango de f −1 ¿es [ −2 , ∞ ) . Utilizando la estrategia anterior para encontrar funciones inversas, podemos comprobar que la función inversa es f −1 ( x ) = x 2 − 2 , como se muestra en el gráfico. Dibuje la gráfica de f ( x ) = 2 x + 3 y el gráfico de su inversa utilizando la propiedad de simetría de las funciones inversas. Pista Los gráficos son simétricos respecto a la línea y = x . Restricciones de dominio Como hemos visto, f ( x ) = x 2 no tiene una función inversa porque no es biunívoca. Sin embargo, podemos elegir un subconjunto del dominio de f tal que la función es biunívoca. Este subconjunto se denomina dominio restringido . Al restringir el dominio de f , podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g es el dominio restringido de f y g ( x ) = f ( x ) para todo x en el dominio de g . Entonces podemos definir una función inversa para g en ese dominio. Por ejemplo, ya que f ( x ) = x 2 es biunívoca en el intervalo [ 0 , ∞ ) , podemos definir una nueva función g tal que el dominio de g ¿es [ 0 , ∞ ) y g ( x ) = x 2 para todas las x en su dominio. Dado que g es una función biunívoca, tiene una función inversa, dada por la fórmula g −1 ( x ) = x . Por otro lado, la función f ( x ) = x 2 también es biunívoca en el dominio ( − ∞ , 0 ] . Por lo tanto, también podríamos definir una nueva función h tal que el dominio de h ¿es ( − ∞ , 0 ] y h ( x ) = x 2 para todas las x en el dominio de h . Entonces h es una función biunívoca y también debe tener una inversa. Su inversa viene dada por la fórmula h −1 ( x ) = − x ( ). (a) Para g ( x ) = x 2 limitada a [ 0 , ∞ ) , g −1 ( x ) = x . (b) Para h ( x ) = x 2 limitada a ( − ∞ , 0 ] , h −1 ( x ) = − x . Restringir el dominio Considere la función f ( x ) = ( x + 1 ) 2 . Dibuje la gráfica de f y utilice la prueba de la línea horizontal para demostrar que f no es biunívoca. Demuestre que f es biunívoca en el dominio restringido [ −1 , ∞ ) . Determine el dominio y el rango de la inversa de f en este dominio restringido y halle una fórmula para f −1 . El gráfico de f es el gráfico de y = x 2 desplazado a la izquierda en 1 unidad. Dado que existe una línea horizontal que interseca el gráfico más de una vez, f no es biunívoca. En el intervalo [ −1 , ∞ ) , f es biunívoca. El dominio y el rango de f −1 vienen dados por el rango y el dominio de f , respectivamente. Por lo tanto, el dominio de f −1 ¿es [ 0 , ∞ ) y el rango de f −1 ¿es [ −1 , ∞ ) . Para encontrar una fórmula para f −1 , resuelva la ecuación y = ( x + 1 ) 2 por x . Si y = ( x + 1 ) 2 , entonces x = –1 ± y . Como estamos restringiendo el dominio al intervalo donde x ≥ −1 , necesitamos ± y ≥ 0 . Por lo tanto, x = −1 + y . Al intercambiar x como y , escribimos y = −1 + x y concluimos que f −1 ( x ) = −1 + x . Considere f ( x ) = 1 / x 2 restringida al dominio ( − ∞ , 0 ) . Verifique que f es biunívoca en este dominio. Determine el dominio y el rango de la inversa de f y halle una fórmula para f −1 . El dominio de f −1 ¿es ( 0 , ∞ ) . El rango de f −1 ¿es ( − ∞ , 0 ) . La función inversa viene dada por la fórmula f −1 ( x ) = −1 / x . Pista El dominio y el rango de f −1 vienen dados por el rango y el dominio de f , respectivamente. Para hallar f −1 , resuelva y = 1 / x 2 por x . Funciones trigonométricas inversas Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y, por tanto, no son biunívocas. Sin embargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica a un intervalo en el que es biunívoca, podemos definir su inversa. Consideremos la función seno ( ). La función seno es biunívoca en un número infinito de intervalos, pero la convención estándar es restringir el dominio al intervalo [ − π 2 , π 2 ] . Al hacerlo, definimos la función seno inversa en el dominio [ −1 , 1 ] tal que para cualquier x en el intervalo [ −1 , 1 ] , la función seno inversa nos dice qué ángulo θ en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] satisface sen θ = x . Del mismo modo, podemos restringir los dominios de las otras funciones trigonométricas para definir las funciones trigonométricas inversas , que son funciones que nos dicen qué ángulo en un determinado intervalo tiene un valor trigonométrico específico. Definición La función seno inversa, denotada sen −1 o arcsen, y la función coseno inversa, denotada cos −1 o arccos, se definen en el dominio D = { x | − 1 ≤ x ≤ 1 } de la siguiente forma: sen −1 ( x ) = y si y solo si sen ( y ) = x y − π 2 ≤ y ≤ π 2 ; cos −1 ( x ) = y si y solo si cos ( y ) = x y 0 ≤ y ≤ π . La función tangente inversa, denotada tan −1 o arctan, y la función cotangente inversa, denotada cot −1 o arccot, se definen en el dominio D = { x | − ∞ < x < ∞ } de la siguiente forma: tan –1 ( x ) = y si y solo si tan ( y ) = x y − π 2 < y < π 2 ; cot −1 ( x ) = y si y solo si cot ( y ) = x y 0 < y < π . La función cosecante inversa, denotada csc −1 o arccsc, y la función secante inversa, denotada sec −1 o arcsec, se definen en el dominio D = { x | | x | ≥ 1 } de la siguiente forma: csc −1 ( x ) = y si y solo si csc ( y ) = x y − π 2 ≤ y ≤ π 2 , y ≠ 0 ; sec −1 ( x ) = y si y solo si sec ( y ) = x y 0 ≤ y ≤ π , y ≠ π / 2 . Para graficar las funciones trigonométricas inversas utilizamos los gráficos de las funciones trigonométricas restringidas a los dominios definidos anteriormente y reflejamos los gráficos sobre la línea y = x ( ). El gráfico de cada una de las funciones trigonométricas inversas es una reflexión sobre la línea y = x de la correspondiente función trigonométrica restringida. Visite el siguiente sitio para ver más comparaciones de funciones y sus inversas. Al evaluar una función trigonométrica inversa, la salida es un ángulo. Por ejemplo, para evaluar cos −1 ( 1 2 ) , necesitamos encontrar un ángulo θ de manera que cos θ = 1 2 . Evidentemente, muchos ángulos tienen esta propiedad. Sin embargo, dada la definición de cos −1 , necesitamos el ángulo θ que no solo resuelve esta ecuación, sino que se encuentra en el intervalo [ 0 , π ] . Concluimos que cos −1 ( 1 2 ) = π 3 . Ahora consideraremos una composición de una función trigonométrica y su inversa. Por ejemplo, veamos las dos expresiones sen ( sen −1 ( 2 2 ) ) y sen −1 ( sen ( π ) ) . En la primera, simplificamos como sigue: sen ( sen −1 ( 2 2 ) ) = sen ( π 4 ) = 2 2 . En la segunda, tenemos sen −1 ( sen ( π ) ) = sen −1 ( 0 ) = 0 . La función inversa se supone que "deshace" la función original, así que ¿por qué no es sen −1 ( sen ( π ) ) = π ? Recordando nuestra definición de funciones inversas, una función f y su inversa f −1 cumplen las condiciones f ( f −1 ( y ) ) = y para todos los y en el dominio de f −1 y f −1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f , ¿Qué pasó aquí? La cuestión es que la función inversa del seno, sen −1 , es la inversa de la función seno restringida definida en el dominio [ − π 2 , π 2 ] . Por lo tanto, para x en el intervalo [ − π 2 , π 2 ] , es cierto que sen −1 ( sen x ) = x . Sin embargo, para valores de x fuera de este intervalo, la ecuación no se cumple, aunque sen −1 ( sen x ) se define para todos los números reales x . ¿Qué pasa con sen ( sen −1 y ) ? ¿Presenta un problema similar? La respuesta es no . Dado que el dominio de sen −1 es el intervalo [ −1 , 1 ] , concluimos que sen ( sen −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y la expresión no está definida para otros valores de y . En resumen, sen ( sen −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y sen −1 ( sen x ) = x si − π 2 ≤ x ≤ π 2 . Del mismo modo, para la función coseno, cos ( cos −1 y ) = y si −1 ≤ y ≤ 1 y cos −1 ( cos x ) = x si 0 ≤ x ≤ π . Propiedades similares son válidas para las demás funciones trigonométricas y sus inversas. Evaluación de expresiones que implican funciones trigonométricas inversas Evalúe cada una de las siguientes expresiones. sen −1 ( − 3 2 ) grandes. tan ( tan –1 ( − 1 3 ) ) grandes. cos −1 ( cos ( 5 π 4 ) ) grandes. sen −1 ( cos ( 2 π 3 ) ) Al evaluar sen −1 ( − 3 / 2 ) equivale a encontrar el ángulo θ de manera que sen θ = − 3 / 2 y − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 . El ángulo θ = − π / 3 satisface estas dos condiciones. Por lo tanto, sen −1 ( − 3 / 2 ) = − π / 3 . Primero utilizamos el hecho de que tan –1 ( −1 / 3 ) = − π / 6 . Entonces tan ( −π / 6 ) = −1 / 3 . Por lo tanto, tan ( tan –1 ( −1 / 3 ) ) = −1 / 3 . Para evaluar cos −1 ( cos ( 5 π / 4 ) ) , utiliza primero el hecho de que cos ( 5 π / 4 ) = − 2 / 2 . Entonces tenemos que encontrar el ángulo θ de manera que cos ( θ ) = − 2 / 2 y 0 ≤ θ ≤ π . Dado que 3 π / 4 satisface estas dos condiciones, tenemos cos ( cos −1 ( 5 π / 4 ) ) = cos ( cos −1 ( – 2 / 2 ) ) = 3 π / 4 . Dado que cos ( 2 π / 3 ) = −1 / 2 , tenemos que evaluar sen −1 ( −1 / 2 ) . Es decir, necesitamos encontrar el ángulo θ de manera que sen ( θ ) = −1 / 2 y − π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 . Dado que − π / 6 satisface estas dos condiciones, podemos concluir que sen −1 ( cos ( 2 π / 3 ) ) = sen −1 ( −1 / 2 ) = − π / 6 . Valor máximo de una función En muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas es útil conocer el valor máximo que puede obtener una función, aunque no conozcamos su valor exacto en un instante determinado. Por ejemplo, si tenemos una función que describe la resistencia de una viga del tejado, querremos saber el peso máximo que puede soportar la viga sin romperse. Si tenemos una función que describe la velocidad de un tren, nos gustaría saber su velocidad máxima antes de que salte de los raíles. El diseño seguro depende a menudo de conocer los valores máximos. Este proyecto describe un ejemplo sencillo de una función con un valor máximo dependiente de los coeficientes de dos ecuaciones. Veremos que los valores máximos pueden depender de varios factores distintos de la variable independiente x . Consideremos el gráfico en la de la función y = sen x + cos x . Describa su forma general. ¿Es periódico? ¿Cómo lo sabe? El gráfico de y = sen x + cos x . Utilizando una calculadora gráfica u otro dispositivo para graficar estime los valores x y y del punto máximo del gráfico (el primer punto de este tipo donde x > 0). Puede ser útil expresar el valor de x como múltiplo de π. Consideremos ahora otros gráficos de la forma y = A sen x + B cos x para varios valores de A y B . Dibuje el gráfico cuando A = 2 y B = 1, y halle los valores x y los y para el punto máximo (recuerde expresar el valor x como un múltiplo de π, si es posible). ¿Se movió? Repita para A = 1, B = 2. ¿Hay alguna relación con lo que encontró en la parte (2)? Complete la siguiente tabla añadiendo algunas opciones propias para A y B : A B x y A B x y 0 1 3 1 1 0 1 3 1 1 12 5 1 2 5 12 2 1 2 2 3 4 4 3 Trate de averiguar la fórmula de los valores y . La fórmula de los valores x es un poco más difícil. Los puntos más útiles de la tabla son ( 1 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) . ( Pista : Considere las funciones trigonométricas inversas) Si halló fórmulas para las partes (5) y (6), demuestre que funcionan juntas. Es decir, sustituya la fórmula de valor x que encontró en y = A sen x + B cos x y simplifíquela para llegar a la fórmula de valor y que encontró. Conceptos clave Para que una función tenga una inversa, la función debe ser biunívoca. Dado el gráfico de una función, podemos determinar si esta es biunívoca utilizando la prueba de la línea horizontal. Si una función no es biunívoca, podemos restringir el dominio a otro más pequeño en el que la función lo sea, y a continuación, definimos la inversa de la función en el dominio más pequeño. Para una función f y su inversa f −1 , f ( f −1 ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f −1 y f −1 ( f ( x ) ) = x para todos los valores x en el dominio de f . Como las funciones trigonométricas son periódicas, necesitamos restringir sus dominios para definir las funciones trigonométricas inversas. El gráfico de una función f y su inversa f −1 son simétricos respecto a la línea y = x . Ecuaciones clave Funciones inversas f −1 ( f ( x ) ) = x para todo x in D , y f ( f −1 ( y ) ) = y para todo y in R . En los siguientes ejercicios, utilice la prueba de la línea horizontal para determinar si las funciones en cada uno de los gráficos dados son biunívocas. No biunívoca No biunívoca Biunívoca En los siguientes ejercicios, a. halle la función inversa, y b. halle el dominio y el rango de la función inversa. f ( x ) = x 2 − 4 , x ≥ 0 a. f −1 ( x ) = x + 4 b. Dominio : x ≥ −4 , rango : y ≥ 0 f ( x ) = x − 4 3 f ( x ) = x 3 + 1 a. f −1 ( x ) = x – 1 3 b. Dominio: todos los números reales, rango: todos los números reales f ( x ) = ( x – 1 ) 2 , x ≤ 1 f ( x ) = x – 1 a. f −1 ( x ) = x 2 + 1 , b. Dominio: x ≥ 0 , rango: y ≥ 1 f ( x ) = 1 x + 2 En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f para dibujar el gráfico de su función inversa. En los siguientes ejercicios, utilice la composición para determinar qué pares de funciones son inversas. f ( x ) = 8 x , g ( x ) = x 8 Son inversas. f ( x ) = 8 x + 3 , g ( x ) = x − 3 8 f ( x ) = 5 x − 7 , g ( x ) = x + 5 7 No son inversas. f ( x ) = 2 3 x + 2 , g ( x ) = 3 2 x + 3 f ( x ) = 1 x – 1 , x ≠ 1 , g ( x ) = 1 x + 1 , x ≠ 0 Son inversas. f ( x ) = x 3 + 1 , g ( x ) = ( x – 1 ) 1 / 3 f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 , x ≥ −1 , g ( x ) = −1 + x , x ≥ 0 Son inversas. f ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 , g ( x ) = 4 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 2 En los siguientes ejercicios, evalúe las funciones. Indique el valor exacto. tan –1 ( 3 3 ) grandes. π 6 cos −1 ( – 2 2 ) grandes. cot −1 ( 1 ) grandes. π 4 sen −1 ( –1 ) grandes. cos −1 ( 3 2 ) grandes. π 6 cos ( tan –1 ( 3 ) ) grandes. sen ( cos −1 ( 2 2 ) ) grandes. 2 2 sen −1 ( sen ( π 3 ) ) grandes. tan –1 ( tan ( − π 6 ) ) grandes. − π 6 La función C = T ( F ) = ( 5 / 9 ) ( F − 32 ) convierte los grados Fahrenheit en grados Celsius. Halle la función inversa F = T −1 ( C ) ¿Para qué sirve la función inversa? [T] La velocidad V (en centímetros por segundo) de la sangre en una arteria a una distancia x cm del centro de esta puede modelarse por la función V = f ( x ) = 500 ( 0,04 − x 2 ) para 0 ≤ x ≤ 0,2 . Calcule x = f −1 ( V ) . Interprete para qué sirve la función inversa. Halle la distancia del centro de una arteria con una velocidad de 15 cm/s, 10 cm/s y 5 cm/s. a. x = f −1 ( V ) = 0,04 − V 500 b. La función inversa determina la distancia desde el centro de la arteria, en la que la sangre fluye con velocidad V . c. 0,1 cm; 0,14 cm; 0,17 cm Una función que convierte las tallas de los vestidos en Estados Unidos a las de Europa viene dada por D ( x ) = 2 x + 24 . Calcule las tallas europeas de vestidos que corresponden a las tallas 6, 8, 10 y 12 en Estados Unidos. Halle la función que convierte las tallas de vestidos europeas en tallas estadounidenses de vestidos. Utilice la parte b. para encontrar las tallas de vestido en Estados Unidos que corresponden a la 46, 52, 62 y 70. [T] El costo de eliminar una toxina de un lago se modela mediante la función C ( p ) = 75 p / ( 85 − p ) , donde C es el costo (en miles de dólares) y p es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medida en partes por mil millones [parts per billion, ppb]). Este modelo solo es válido cuando la cantidad de toxina es inferior a 85 ppb. Calcule el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de la toxina del lago. Halle la función inversa. c. Utilice la parte b. para determinar qué cantidad de toxina se elimina por 50.000 dólares. a. 31.250 dólares, 66.667 dólares, 107.143 dólares b. ( p = 85 C C + 75 ) c. 34 ppb [T] Un automóvil de carreras acelera a una velocidad dada por v ( t ) = 25 4 t + 54 , donde v es la velocidad (en pies por segundo) en el tiempo t . Halle la velocidad del automóvil a los 10 s. Halle la función inversa. Utilice la parte b. para determinar el tiempo que tarda el automóvil en alcanzar una velocidad de 150 ft/s. [T] El número Mach M de un avión es la relación entre su velocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión vuela a una altitud constante, su ángulo de Mach viene dado por μ = 2 sen −1 ( 1 M ) . Halle el ángulo de Mach (al grado más cercano) para los siguientes números Mach. M = 1,4 M = 2,8 M = 4,3 a. ~ 92 ° b. ~ 42 ° c. ~ 27 ° [T] Usando μ = 2 sen −1 ( 1 M ) , halle el número Mach M para los siguientes ángulos. μ = π 6 μ = 2 π 7 μ = 3 π 8 [T] La temperatura promedio (en grados Celsius) de una ciudad del norte de Estados Unidos se puede modelar mediante la función T ( x ) = 5 + 18 sen [ π 6 ( x − 4,6 ) ] , donde x es el tiempo en meses y x = 1,00 corresponde al 1 de enero. Determine el/los día(s) (mes y día) en que la temperatura promedio es 21 ° C . Utilice la parte entera de su(s) respuesta(s) como el mes y calcule el día del mes a partir de la parte decimal. x ≈ 6,69 , 8,51 ; así, la temperatura tiene lugar el 21 de junio y el 15 de agosto. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia con la subida y bajada de las mareas. Se modela mediante la función D ( t ) = 5 sen ( π 6 t − 7 π 6 ) + 8 , donde t es el número de horas después de la medianoche. Determine el primer momento después de medianoche cuando la profundidad es de 11,75 ft. [T] Un objeto que se mueve con movimiento armónico simple se modela mediante la función s ( t ) = −6 cos ( π t 2 ) , donde s se mide en pulgadas y t se mide en segundos. Determine el primer tiempo cuando la distancia recorrida es de 4,5 in ~ 1,5 s [T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 ft de altura que está colgado a 2,5 ft por encima del nivel de los ojos de una persona de estatura promedio. El ángulo de visión θ se puede modelar mediante la función θ = tan −1 5,5 x − tan −1 2,5 x , donde x es la distancia (en pies) desde el retrato. Halle el ángulo de visión de una persona que está a 4 ft del retrato. [T] Utilice una calculadora para evaluar tan –1 ( tan ( 2,1 ) ) y cos −1 ( cos ( 2,1 ) ) . Explique los resultados de cada uno. tan –1 ( tan ( 2,1 ) ) ≈ − 1,0416 ; la expresión no es igual a 2,1 ya que 2,1 > 1,57 = π 2 ; en otras palabras, no está en el dominio restringido de tan x . cos −1 ( cos ( 2,1 ) ) = 2,1 , ya que 2,1 está en el dominio restringido de cos x . [T] Utilice una calculadora para evaluar sen ( sen −1 ( −2 ) ) y tan ( tan –1 ( −2 ) ) . Explique los resultados de cada uno. prueba de la línea horizontal una función f es biunívoca si y solo si cada línea horizontal interseca el gráfico de f , como máximo, una vez función inversa para una función f , la función inversa f −1 satisface f −1 ( y ) = x si f ( x ) = y funciones trigonométricas inversas las inversas de las funciones trigonométricas están definidas en dominios restringidos donde son funciones biunívocas función biunívoca una función f es biunívoca si f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) si x 1 ≠ x 2 dominio restringido subconjunto del dominio de una función f

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