Derivadas El uso de los dispositivos y los medios de comunicación cambia a ritmos diferentes según los grupos de personas. Las empresas de comunicación y tecnología, los comercializadores, los educadores y sus defensores mantienen una estrecha vigilancia sobre las tendencias y preferencias. Según datos del Pew Research Center, la posesión de teléfonos inteligentes por parte de los millennials solo aumentó un 1 % de 2018 a 2019 (del 92 % al 93 %). No obstante, en el caso de los mayores de 74 años, el número pasó del 30 % al 40 % en el mismo periodo. Las tendencias de propiedad y uso de otros dispositivos pueden ir en direcciones diferentes según la generación. De 2018 a 2019, la posesión de tabletas por parte de los millennials cayó del 64 % al 52 %. Sin embargo, durante el mismo periodo, la generación de los baby boom se mantuvo exactamente igual, con un 52 % de propietarios de tabletas. Además, el grupo de mayores de 74 años ha aumentado la posesión de tabletas del 25 % al 33 %. https://www.pewresearch.org/fact-tank/2019/09/09/us-generations-technology-use/ ¿Qué tienen en común estas situaciones? Las funciones que los representan han cambiado con el tiempo. En esta sección consideraremos métodos para calcular dichos cambios a lo largo del tiempo. Hallar la tasa media de cambio de una función Las funciones que describen los ejemplos anteriores implican un cambio en el tiempo. El cambio dividido entre el tiempo es un ejemplo de tasa. Las tasas de cambio en los ejemplos anteriores son diferentes. En otras palabras, algunos cambiaron más rápido que otros. Si hiciéramos un gráfico de las funciones, podríamos comparar las tasas determinando las pendientes de los gráficos. Una línea tangente a una curva es una línea que interseca la curva en un solo punto pero no la cruza en él (La línea tangente puede intersecar la curva en otro punto alejado del punto de interés). Si acercamos la curva en ese punto, la curva parece lineal, y la pendiente de la curva en ese punto es cercana a la pendiente de la línea tangente en ese punto. representa la función f ( x ) = x 3 - 4 x . Podemos ver la pendiente en varios puntos de la curva. pendiente en x = −2 es 8 pendiente en x = −1 es –1 pendiente en x = 2 es 8 Gráfico que muestra las tangentes a la curva en –2, –1 y 2. Imaginemos un punto en la curva de la función f en x = a como se muestra en la . Las coordenadas del punto son ( a , f ( a ) ) . Conecte este punto con un segundo punto de la curva un poco a la derecha de x = a , con un valor x incrementado en algún pequeño número real h . Las coordenadas de este segundo punto son ( a + h , f ( a + h ) ) para algún valor positivo h . Punto de conexión a con un punto justo más allá nos permite medir una pendiente cercana a la de una línea tangente en x = a . Podemos calcular la pendiente de la línea que conecta los dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) , llamada una línea secante , si aplicamos la fórmula de la pendiente, pendiente = cambio en y cambio en x Utilizamos la notación m sec para representar la pendiente de la línea secante que une dos puntos. m sec = f ( a + h ) - f ( a ) ( a + h ) - ( a ) = f ( a + h ) - f ( a ) a + h − a La pendiente m sec es igual a la tasa media de cambio entre dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) . m sec = f ( a + h ) - f ( a ) h La tasa promedio de cambio entre dos puntos en una curva La tasa media de cambio (Average Rate of Change, AROC) entre dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) en la curva de f es la pendiente de la línea que conecta los dos puntos y está dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h Hallar la tasa media de cambio Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos ( 2 , –6 ) y ( –1 , 5 ) . Sabemos que la tasa media de cambio que conecta dos puntos puede estar dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h . Si un punto es ( 2 , − 6 ) , o ( 2 , f ( 2 ) ) , entonces f ( 2 ) = −6. El valor h es el desplazamiento desde 2 con − 1 , que es igual a − 1 - 2 = –3. Para el otro punto, f ( a + h ) es la coordenada y en a + h , que es 2 + ( −3 ) o −1 , por lo que f ( a + h ) = f ( –1 ) = 5. AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h = 5 − ( − 6 ) - 3 = 11 − 3 = − 11 3 Ejercicio Halle la tasa media de cambio que conecta los puntos ( - 5 , 1,5 ) y ( − 2,5 , 9 ) . 3 Comprender la tasa instantánea de cambio Ahora que podemos hallar la tasa media de cambio, supongamos que hacemos h en la cada vez más pequeño. Luego a + h se acercarán a a a medida que h se hace más pequeño, acercándose cada vez más a 0. Asimismo, el segundo punto ( a + h , f ( a + h ) ) se acercará al primer punto, ( a , f ( a ) ) . Como consecuencia, la línea de conexión entre los dos puntos, llamada línea secante, se acercará cada vez más a ser una tangente a la función en x = a , y la pendiente de la línea secante se acercará cada vez más a la pendiente de la tangente en x = a . Vea la . La línea de conexión entre dos puntos se acerca a ser una línea tangente en x = a . Dado que estamos buscando la pendiente de la tangente en x = a , podemos pensar en la medida de la pendiente de la curva de una función f en un punto determinado como la tasa de cambio en un instante específico. Llamamos a esta pendiente la tasa instantánea de cambio , o la derivada de la función en x = a . Ambas se pueden hallar calculando el límite de la pendiente de una línea que conecta el punto en x = a con un segundo punto infinitesimalmente cercano a lo largo de la curva. Para una función f tanto la tasa instantánea de cambio de la función como la derivada de la función en x = a se escriben como f ' ( a ) , y podemos definirlas como límites laterales que tienen el mismo valor tanto si se acercan desde la izquierda como desde la derecha. f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h La expresión por la que se halla el límite se conoce como cociente de diferencia . Definición de tasa instantánea de cambio y derivada La derivada , o tasa instantánea de cambio , de una función f en x = a , viene dada por f ' ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h La expresión f ( a + h ) - f ( a ) h se denomina cociente de diferencia. Utilizamos el cociente de diferencia para evaluar el límite de la tasa de cambio de la función a medida que h se acerca a 0. Derivadas: interpretaciones y notación La derivada de una función se puede interpretar de diferentes maneras. Se observa como el comportamiento de un gráfico de la función o se calcula como una tasa de cambio numérica de la función. La derivada de una función f ( x ) en un punto x = a es la pendiente de la línea tangente a la curva f ( x ) en x = a . La derivada de f ( x ) en x = a se escribe f ′ ( a ) . La derivada f ′ ( a ) mide cómo cambia la curva en el punto ( a , f ( a ) ) . La derivada f ′ ( a ) se puede considerar como la tasa instantánea de cambio de la función f ( x ) en x = a . Si una función mide la distancia como una función de tiempo, la derivada mide la velocidad instantánea en el tiempo t = a . Notaciones para la derivada La ecuación de la derivada de una función f ( x ) se escribe como y ′ = f ′ ( x ) , donde y = f ( x ) . La notación f ′ ( x ) se lee como " f primo de x . " . Las notaciones alternativas para la derivada son las siguientes: f ′ ( x ) = y ′ = d y d x = d f d x = d d x f ( x ) = D f ( x ) La expresión f ′ ( x ) es ahora una función de x ; esta función da la pendiente de la curva y = f ( x ) a cualquier valor de x . La derivada de una función f ( x ) en un punto x = a se denota f ′ ( a ) . Cómo Dada una función f , halle la derivada aplicando la definición de la derivada. Calcule f ( a + h ) . Calcule f ( a ) . Sustituya y simplifique f ( a + h ) - f ( a ) h . Evalúe el límite si existe: f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . Hallar la derivada de una función polinómica Halle la derivada de la función f ( x ) = x 2 - 3 x + 5 a las x = a . Tenemos: f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Definición de una derivada Sustituya f ( a + h ) = ( a + h ) 2 - 3 ( a + h ) + 5 y f ( a ) = a 2 - 3 a + 5. f ′ ( a ) = lím h → 0 ( a + h ) ( a + h ) - 3 ( a + h ) + 5 − ( a 2 - 3 a + 5 ) h = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 3 a - 3 h + 5 − a 2 + 3 a − 5 h Evalúe para eliminar los paréntesis . = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 3 a - 3 h + 5 − a 2 + 3 a − 5 h Simplifique . = lím h → 0 2 a h + h 2 - 3 h h = lím h → 0 h ( 2 a + h − 3 ) h Factorice un h . = 2 a + 0 - 3 Evalúe el límite . = 2 a - 3 Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 3 x 2 + 7 x en x = a . f ′ ( a ) = 6 a + 7 Hallar derivadas de funciones racionales Para hallar la derivada de una función racional, a veces, simplificaremos la expresión utilizando técnicas algebraicas que ya hemos aprendido. Hallar la derivada de una función racional Halle la derivada de la función f ( x ) = 3 + x 2 - x en x = a . f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 3 + ( a + h ) 2 - ( a + h ) - ( 3 + a 2 - a ) h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) = lím h → 0 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) [ 3 + ( a + h ) 2 - ( a + h ) - ( 3 + a 2 - a ) ] ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Multiplique el numerador y el denominador por ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) = lím h → 0 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( 3 + ( a + h ) ( 2 - ( a + h ) ) ) - ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( 3 + a 2 - a ) ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Distribuya = lím h → 0 6 - 3 a + 2 a - a 2 + 2 h − a h − 6 + 3 a + 3 h − 2 a + a 2 + a h ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Multiplique = lím h → 0 5 h ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) ( h ) Combine términos similares = lím h → 0 5 ( 2 - ( a + h ) ) ( 2 - a ) Anule factores similares = 5 ( 2 - ( a + 0 ) ) ( 2 - a ) = 5 ( 2 - a ) ( 2 - a ) = 5 ( 2 - a ) 2 Evalúe el límite Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 10 x + 11 5 x + 4 en x = a . f ′ ( a ) = - 15 ( 5 a + 4 ) 2 Hallar derivadas de funciones con raíces Para hallar derivadas de funciones con raíces utilizamos los métodos que hemos aprendido para hallar límites de funciones con raíces, lo que incluye multiplicación por un conjugado. Hallar la derivada de una función con una raíz Halle la derivada de la función f ( x ) = 4 x en x = 36. Tenemos f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 4 a + h − 4 a h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) Multiplique el numerador y el denominador por el conjugado: 4 a + h + 4 a 4 a + h + 4 a . f ′ ( a ) = lím h → 0 ( 4 a + h − 4 a h ) ⋅ ( 4 a + h + 4 a 4 a + h + 4 a ) = lím h → 0 ( 16 ( a + h ) - 16 a h 4 ( a + h + 4 a ) ) Multiplique . = lím h → 0 ( 16 a + 16 h − 16 a h 4 ( a + h + 4 a ) ) Distribuya y combine términos similares . = lím h → 0 ( 16 h h ( 4 a + h + 4 a ) ) Simplifique . = lím h → 0 ( 16 4 a + h + 4 a ) Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . = 16 8 a = 2 a f ′ ( 36 ) = 2 36 Evalúe la derivada en x = 36. = 2 6 = 1 3 Ejercicio Halle la derivada de la función f ( x ) = 9 x en x = 9. 3 2 Hallar tasas instantáneas de cambio Muchas aplicaciones de la derivada implican la determinación de la tasa de cambio en un instante dado de una función con la variable independiente tiempo, por lo que se utiliza el término instantánea . Consideremos la altura de una pelota lanzada hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo, dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6 , donde t se mide en segundos y s ( t ) se mide en pies. Sabemos que la trayectoria es la de una parábola. La derivada nos dirá cómo está cambiando la altura en cualquier punto dado en el tiempo. La altura de la pelota se muestra en la como una función de tiempo. En física, lo llamamos "gráfico s - t ". Hallar la tasa instantánea de cambio Utilizando la función anterior, s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6 , ¿cuál es la velocidad instantánea de la pelota a los 1 y 3 segundos de su vuelo? La velocidad en t = 1 y t = 3 es la tasa instantánea de cambio de la distancia por el tiempo, o la velocidad. Observe que la altura inicial es de 6 pies. Para calcular la velocidad instantánea, hallamos la derivada y la evaluamos en t = 1 y t = 3 : f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h = lím h → 0 − 16 ( t + h ) 2 + 64 ( t + h ) + 6 − ( − 16 t 2 + 64 t + 6 ) h Sustituya s ( t + h ) y s ( t ) . = lím h → 0 − 16 t 2 - 32 h t − h 2 + 64 t + 64 h + 6 + 16 t 2 − 64 t − 6 h Distribuya . = lím h → 0 − 32 h t − h 2 + 64 h h Simplifique . = lím h → 0 h ( − 32 t − h + 64 ) h Factorice el numerador . = lím h → 0 − 32 t − h + 64 Anule el factor común h . s ′ ( t ) = − 32 t + 64 Evalúe el límite suponiendo que h = 0 . Para cualquier valor de t , s ′ ( t ) nos dice la velocidad en ese valor de t . Evalúe t = 1 y t = 3. s ′ ( 1 ) = −32 ( 1 ) + 64 = 32 s ′ ( 3 ) = −32 ( 3 ) + 64 = −32 La velocidad de la pelota después de 1 segundo es de 32 pies por segundo, ya que va subiendo. La velocidad de la pelota después de 3 segundos es −32 pies por segundo, ya que va bajando. Ejercicio La posición de la pelota viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 64 t + 6. ¿Cuál es su velocidad a los 2 segundos de vuelo? 0 Usar gráficos para hallar tasas instantáneas de cambio Podemos estimar una tasa instantánea de cambio en x = a al observar la pendiente de la curva de la función f ( x ) en x = a . Lo hacemos trazando una línea tangente a la función en x = a y al calcular su pendiente. Cómo Dado un gráfico de una función f ( x ) , halle la tasa instantánea de cambio de la función en x = a . Localice x = a en el gráfico de la función f ( x ) . Dibuje una línea tangente, una línea que pasa por x = a a las a y en ningún otro punto de esa sección de la curva. Extienda la línea lo suficiente para calcular su pendiente a medida que cambio en y cambio en x . Estimar la derivada en un punto del gráfico de una función A partir del gráfico de la función y = f ( x ) presentado en la , estime cada uno de los siguientes: Ⓐ f ( 0 ) Ⓑ f ( 2 ) Ⓒ f ' ( 0 ) Ⓓ f ' ( 2 ) Para calcular el valor funcional, f ( a ) , halle la coordenada y en x = a . Para hallar la derivada en x = a , f ′ ( a ) , dibuje una línea tangente en x = a , y estime la pendiente de esa línea tangente. Vea la . Ⓐ f ( 0 ) es la coordenada y en x = 0 . El punto tiene coordenadas ( 0 , 1 ) , por lo tanto f ( 0 ) = 1. Ⓑ f ( 2 ) es la coordenada y en x = 2. El punto tiene coordenadas ( 2 , 1 ) , por lo tanto f ( 2 ) = 1. Ⓒ f ′ ( 0 ) se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en x = 0 . La línea tangente a la curva en x = 0 aparece en horizontal. Las líneas horizontales tienen una pendiente de 0, por lo tanto f ′ ( 0 ) = 0 . Ⓓ f ′ ( 2 ) se halla estimando la pendiente de la línea tangente a la curva en x = 2. Observe la trayectoria de la línea tangente a la curva en x = 2. A medida que el valor x se desplaza una unidad a la derecha, el valor y se desplaza cuatro unidades a otro punto de la línea. Por lo tanto, la pendiente es 4, así que f ′ ( 2 ) = 4. Ejercicio Utilizando el gráfico de la función f ( x ) = x 3 - 3 x que se muestra en la , estime: f ( 1 ) , f ′ ( 1 ) , f ( 0 ) , y f ′ ( 0 ) . - 2 , 0, 0, − 3 Usar tasas instantáneas de cambio para resolver problemas del mundo real Otra forma de interpretar una tasa instantánea de cambio en x = a es observar la función en un contexto del mundo real. La unidad de la derivada de una función f ( x ) es unidades de salida unidad de entrada Esta unidad muestra en cuántas unidades cambia la salida por cada cambio de una unidad de entrada. La tasa instantánea de cambio en un instante dado muestra lo mismo: las unidades de cambio de salida por una unidad de cambio de entrada. Un ejemplo de tasa instantánea de cambio es el costo marginal. Por ejemplo, supongamos que el costo de producción de una compañía para producir x artículos viene dado por C ( x ) , en miles de dólares. La función derivada nos dice cómo cambia el costo para cualquier valor de x en el dominio de la función. En otras palabras, C ′ ( x ) se interpreta como un costo marginal , el costo adicional en miles de dólares de producir un artículo más cuando x artículos se han producido. Por ejemplo, C ′ ( 11 ) es el costo adicional aproximado, en miles de dólares, de producir el 12.º artículo después de producir 11 artículos. C ′ ( 11 ) = 2,50 significa que cuando se han producido 11 artículos, la producción del 12.º artículo aumentaría el costo total en aproximadamente $ 2.500,00 dólares. Hallar un costo marginal El costo en dólares de producir x computadoras portátiles en dólares es f ( x ) = x 2 − 100 x . En el momento en que se han producido 200 computadoras, ¿cuál es el costo aproximado de producir la unidad 201.ª ? Si los valores de f ( x ) = x 2 − 100 x describe el costo de producción de x computadoras, f ′ ( x ) describirá el costo marginal. Tenemos que calcular la derivada. Para calcular la derivada, podemos utilizar las siguientes funciones: f ( a + b ) = ( x + h ) 2 − 100 ( x + h ) f ( a ) = a 2 − 100 a f ′ ( x ) = f ( a + h ) - f ( a ) h Fórmula de una derivada = ( x + h ) 2 − 100 ( x + h ) - ( x 2 − 100 x ) h Sustituya f ( a + h ) y f ( a ) . = x 2 + 2 x h + h 2 − 100 x − 100 h − x 2 + 100 x h Multiplique polinomios, distribuya . = 2 x h + h 2 − 100 h h Recopile términos similares . = h ( 2 x + h − 100 ) h Factorice y anule términos similares . = 2 x + h − 100 Simplifique . = 2 x − 100 Evalúe cuando h = 0 . f ′ ( x ) = 2 x − 100 Fórmula del costo marginal. f ′ ( 200 ) = 2 ( 200 ) − 100 = 300 Evalúe para 200 unidades . El costo marginal de producir la 201.ª unidad será de aproximadamente 300 dólares. Interpretar una derivada en su contexto Un auto sale de un cruce. La distancia que recorre en millas está dada por la función f ( t ) , donde t representa las horas. Explique las siguientes notaciones: Ⓐ f ( 0 ) = 0 Ⓑ f ′ ( 1 ) = 60 Ⓒ f ( 1 ) = 70 Ⓓ f ( 2,5 ) = 150 Primero tenemos que evaluar la función f ( t ) y la derivada de la función f ′ ( t ) , y distinguir entre ambas. Cuando evaluamos la función f ( t ) , estamos hallando la distancia que el auto ha recorrido en t horas. Cuando evaluamos la derivada f ′ ( t ) , estamos hallando la velocidad del auto después de t horas. Ⓐ f ( 0 ) = 0 significa que en cero horas, el auto ha recorrido cero millas. Ⓑ f ′ ( 1 ) = 60 significa que una hora después del viaje, el auto va a 60 millas por hora. Ⓒ f ( 1 ) = 70 significa que una hora después del viaje, el auto ha recorrido 70 millas. Por lo tanto, en algún momento de la primera hora, el auto debió viajar más rápido que en la marca de 1 hora. Ⓓ f ( 2,5 ) = 150 significa que a las dos horas y treinta minutos de viaje, el auto ha recorrido 150 millas. Ejercicio Una corredora corre por una carretera recta de este a oeste. La función f ( t ) da a cuántos pies hacia el este de su punto de partida se encuentra después de t segundos. Interprete cada uno de los siguientes puntos en relación con la corredora. Ⓐ f ( 0 ) = 0 Ⓑ f ( 10 ) = 150 Ⓒ f ′ ( 10 ) = 15 Ⓓ f ′ ( 20 ) = − 10 Ⓔ f ( 40 ) = -100 Ⓐ Después de cero segundos, se ha movido 0 pies. Ⓑ Después de 10 segundos, se ha movido 150 pies al este. Ⓒ Después de 10 segundos, se mueve hacia el este a una tasa de 15 ft/s. Ⓓ Después de 20 segundos, se mueve hacia el oeste a una tasa de 10 ft/s. Ⓔ Después de 40 segundos, está a 100 pies al oeste de su punto de partida. Hallar puntos en los que no existe la derivada de una función Para entender dónde no existe la derivada de una función, tenemos que recordar lo que ocurre normalmente cuando una función f ( x ) tiene una derivada en x = a . Supongamos que utilizamos una herramienta gráfica para ampliar en x = a . Si se grafica la función f ( x ) es diferenciable , es decir, si se trata de una función que puede ser diferenciada, cuanto más amplíe uno, más se acercará el gráfico a una línea recta. Esta característica se llama linealidad . Mire el gráfico en la . Cuanto más ampliamos en el punto, más lineal parece la curva. Podríamos suponer que lo mismo ocurriría con cualquier función continua, pero no es así. La función f ( x ) = | x | , por ejemplo, es continua en x = 0 , pero no diferenciable en x = 0 . A medida que ampliamos en el 0 en la , el gráfico no se acerca a una línea recta. Por mucho que lo ampliemos, el gráfico mantiene su ángulo agudo. Gráfico de la función f ( x ) = | x | , con el eje x de –0,1 a 0,1 y el eje y de –0,1 a 0,1. Ampliamos más al estrechar el rango para producir la y seguimos observando la misma forma. Este gráfico no parece lineal en x = 0 . Gráfico de la función f ( x ) = | x | , con el eje x de –0,001 a 0,001 y el eje y de –0,001 a 0,001. ¿Cuáles son las características de un gráfico que no es diferenciable en un punto? Estos son algunos ejemplos en los que la función f ( x ) no es diferenciable en x = a . En la , vemos el gráfico de f ( x ) = { x 2 , x ≤ 2 8 - x , x > 2 . Observe que, a medida que x se acerca a 2 desde la izquierda, se puede observar que el límite izquierdo es 4, mientras que a medida que x se acerca a 2 desde la derecha, se puede observar que el límite derecho es 6. Vemos que tiene una discontinuidad en x = 2. El gráfico de f ( x ) tiene una discontinuidad en x = 2. En la , vemos el gráfico de f ( x ) = | x | . Vemos que el gráfico tiene un vértice en x = 0 . El gráfico de f ( x ) = | x | tiene un vértice en x = 0 . En la , vemos que el gráfico de f ( x ) = x 2 3 tiene una cúspide en x = 0 . Una cúspide tiene una característica única. Al alejarse de la cúspide, tanto el límite izquierdo como el derecho se acercan al infinito o al infinito negativo. Observe las líneas tangentes a medida que x se acerca a 0 tanto desde la izquierda como desde la derecha parece que se hacen cada vez más pronunciadas, pero una tiene una pendiente negativa, la otra tiene una pendiente positiva. El gráfico de f ( x ) = x 2 3 tiene una cúspide en x = 0 . En la , vemos que el gráfico de f ( x ) = x 1 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Recordemos que las tangentes verticales son líneas verticales, por lo que cuando existe una tangente vertical, la pendiente de la línea es indefinida. Por eso la derivada, que mide la pendiente, no existe allí. El gráfico de f ( x ) = x 1 3 tiene una tangente vertical en x = 0 . Diferenciabilidad Una función f ( x ) es diferenciable en x = a si la derivada existe en x = a , lo que significa que f ′ ( a ) . Hay cuatro casos en los que una función f ( x ) no es diferenciable en un punto x = a . Cuando hay una discontinuidad en x = a . Cuando hay un vértice en x = a . Cuando hay una cúspide en x = a . En cualquier otro momento en que haya una tangente vertical en x = a . Determinar si una función es continua y diferenciable a partir de un gráfico Utilizando la , determine en que parte la función es continua discontinua diferenciable no diferenciable En los puntos en los que el gráfico es discontinuo o no diferenciable, indique por qué. El gráfico de f ( x ) es continuo en ( −∞, −2 ) ∪ ( −2 , 1 ) ∪ ( 1, ∞ ). El gráfico de f ( x ) tiene una discontinuidad removible en x = −2 y una discontinuidad de salto en x = 1. Vea la . Tres intervalos en los que la función es continua El gráfico de f (x) es diferenciable en ( −∞, −2 ) ∪ ( –2, −1 ) ∪ ( −1, 1 ) ∪ ( 1, 2 ) ∪ ( 2, ∞ ) . El gráfico de f ( x ) no es diferenciable en x = −2 porque es un punto de discontinuidad, en x = −1 a causa de un ángulo agudo, en x = 1 porque es un punto de discontinuidad, y en x = 2 a causa de un ángulo agudo. Vea la . Cinco intervalos en los que la función es diferenciable Ejercicio Determine en que parte la función y = f ( x ) mostrada en la es continua y diferenciable a partir del gráfico. El gráfico de f es continuo en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . El gráfico de f es discontinuo en x = 1 y x = 3. El gráfico de f es diferenciable en ( - ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , 3 ) ∪ ( 3 , ∞ ) . El gráfico de f no es diferenciable en x = 1 y x = 3. Hallar la ecuación de una línea tangente al gráfico de una función La ecuación de una línea tangente a una curva de la función f ( x ) en x = a se deriva de la forma punto-pendiente de una línea, y = m ( x – x 1 ) + y 1 . La pendiente de la línea es la pendiente de la curva en x = a y por lo tanto es igual a f ′ ( a ) , la derivada de f ( x ) en x = a . El par de coordenadas del punto de la línea en x = a es ( a , f ( a ) ) . Si sustituimos en la forma punto-pendiente, tenemos La ecuación de la línea tangente es y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) La ecuación de una línea tangente a una curva de la función f La ecuación de una línea tangente a la curva de una función f en un punto x = a es y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) Cómo Dada una función f , halle la ecuación de una línea tangente a la función en x = a . Calcule la derivada de f ( x ) en x = a utilizando f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . Evalúe la función en x = a . Esto es f ( a ) . Sustituya ( a , f ( a ) ) y f ′ ( a ) en y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) . Escriba la ecuación de la línea tangente en la forma y = m x + b . Hallar la ecuación de una línea tangente a una función en un punto Halle la ecuación de una línea tangente a la curva f ( x ) = x 2 - 4 x en x = 3. Utilizando: f ' ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Sustituya f ( a + h ) = ( a + h ) 2 - 4 ( a + h ) y f ( a ) = a 2 - 4 a . f ′ ( a ) = lím h → 0 ( a + h ) ( a + h ) - 4 ( a + h ) - ( a 2 - 4 a ) h = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 4 a - 4 h − a 2 + 4 a h Elimine los paréntesis . = lím h → 0 a 2 + 2 a h + h 2 - 4 a - 4 h − a 2 + 4 a h Combine términos similares . = lím h → 0 2 a h + h 2 - 4 h h = lím h → 0 h ( 2 a + h − 4 ) h Factorice h . = 2 a + 0 - 4 f ′ ( a ) = 2 a - 4 Evalúe el límite . f ′ ( 3 ) = 2 ( 3 ) - 4 = 2 Ecuación de la línea tangente en x = 3 y = f ' ( a ) ( x – a ) + f ( a ) y = f ' ( 3 ) ( x - 3 ) + f ( 3 ) y = 2 ( x - 3 ) + ( - 3 ) y = 2 x - 9 Análisis Podemos utilizar una herramienta gráfica para graficar la función y la línea tangente. Al hacerlo, podemos observar el punto de tangencia en x = 3 como se muestra en la . El gráfico confirma el punto de tangencia en x = 3. Ejercicio Halle la ecuación de una línea tangente a la curva de la función f ( x ) = 5 x 2 - x + 4 en x = 2. y = 19 x − 16 Hallar la velocidad instantánea de una partícula Si una función mide la posición en función del tiempo, la derivada mide el desplazamiento en función del tiempo, o la velocidad del objeto. Un cambio en la velocidad o la dirección en relación con un cambio en el tiempo se conoce como velocidad . La velocidad en un instante determinado se conoce como velocidad instantánea . Al tratar de calcular la velocidad de un objeto en un instante dado, parece que nos encontramos con una contradicción. Normalmente definimos la velocidad como la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. Pero en un instante, no se recorre ninguna distancia ni transcurre ningún tiempo. ¿Cómo vamos a dividir cero entre cero? El uso de una derivada resuelve este problema. Una derivada nos permite decir que, aunque la velocidad del objeto cambia constantemente, tiene una velocidad determinada en un instante dado. Esto significa que si el objeto viajara a esa velocidad exacta durante una unidad de tiempo, recorrería la distancia especificada. Velocidad instantánea Supongamos que la función s ( t ) representa la posición de un objeto en el tiempo t . La velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo t = a viene dada por s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h Hallar la velocidad instantánea Una pelota se lanza hacia arriba desde una altura de 200 pies con una velocidad inicial de 36 ft/s. Si la altura de la pelota en pies después de t segundos viene dada por s ( t ) = –16 t 2 + 36 t + 200 , halle la velocidad instantánea de la pelota en t = 2. Primero debemos calcular la derivada s ′ ( t ) . Luego evaluamos la derivada en t = 2 , utilizando s ( a + h ) = - 16 ( a + h ) 2 + 36 ( a + h ) + 200 y s ( a ) = - 16 a 2 + 36 a + 200. s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h = lím h → 0 − 16 ( a + h ) 2 + 36 ( a + h ) + 200 − ( − 16 a 2 + 36 a + 200 ) h = lím h → 0 − 16 ( a 2 + 2 a h + h 2 ) + 36 ( a + h ) + 200 − ( − 16 a 2 + 36 a + 200 ) h = lím h → 0 − 16 a 2 - 32 a h − 16 h 2 + 36 a + 36 h + 200 + 16 a 2 - 36 a − 200 h = lím h → 0 − 16 a 2 - 32 a h − 16 h 2 + 36 a + 36 h + 200 + 16 a 2 - 36 a − 200 h = lím h → 0 − 32 a h − 16 h 2 + 36 h h = lím h → 0 h ( − 32 a − 16 h + 36 ) h = lím h → 0 ( − 32 a − 16 h + 36 ) = − 32 a − 16 ⋅ 0 + 36 s ′ ( a ) = − 32 a + 36 s ′ ( 2 ) = − 32 ( 2 ) + 36 = − 28 Análisis Este resultado significa que en el tiempo t = 2 segundos, la pelota cae a una velocidad de 28 ft/s. Ejercicio Un cohete de fuegos artificiales es disparado hacia arriba desde un pozo a 12 ft bajo el suelo a una velocidad de 60 ft/s. Su altura en pies después de t segundos viene dada por s = - 16 t 2 + 60 t − 12. ¿Cuál es su velocidad instantánea después de 4 segundos? –68 ft/s, está cayendo a la Tierra a una velocidad de 68 ft/s. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar con las derivadas. Estimar la derivada Estimar la derivada Ex. 4 Ecuaciones clave tasa media de cambio AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h derivada de una función f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h Conceptos clave La pendiente de la línea secante que une dos puntos es la tasa media de cambio de la función entre esos puntos. Vea el . La derivada, o tasa instantánea de cambio, es una medida de la pendiente de la curva de una función en un punto determinado, o la pendiente de la línea tangente a la curva en ese punto. Vea el , el y el . El cociente de diferencia es el cociente en la fórmula de la tasa instantánea de cambio: f ( a + h ) - f ( a ) h Las tasas instantáneas de cambio se pueden usar para hallar soluciones a muchos problemas del mundo real. Vea el . La tasa instantánea de cambio se puede hallar al observar la pendiente de una función en un punto de un gráfico y dibujar una línea tangente a la función en ese punto. Vea el . Las tasas instantáneas de cambio se pueden interpretar para describir situaciones del mundo real. Vea el y el . Algunas funciones no son diferenciables en un punto o puntos. Vea el . La forma punto-pendiente de una línea se puede usar para hallar la ecuación de una línea tangente a la curva de una función. Vea el . La velocidad es un cambio de posición en relación con el tiempo. La velocidad instantánea describe la velocidad de un objeto en un instante dado. La velocidad media describe la velocidad mantenida durante un intervalo de tiempo. El uso de la derivada permite calcular la velocidad instantánea aunque no haya tiempo transcurrido. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿En qué se parece la pendiente de una función lineal a la derivada? La pendiente de una función lineal se mantiene igual. La derivada de una función general varía según x . Tanto la pendiente de una línea como la derivada en un punto miden la tasa de cambio de la función. ¿Cuál es la diferencia entre la tasa media de cambio de una función en el intervalo [ x , x + h ] y la derivada de la función en x ? Un auto recorrió 110 millas durante el periodo comprendido entre las 2:00 p. m. y las 4:00 p. m. ¿Cuál fue la velocidad media del auto? A las 2:30 p. m. exactamente, la velocidad del auto registró exactamente 62 millas por hora. ¿Cuál es otro nombre para la velocidad del auto a las 2:30 p. m. ? ¿Por qué esta velocidad difiere de la velocidad media? La velocidad media es de 55 millas por hora. La velocidad instantánea a las 2:30 p. m. es de 62 millas por hora. La velocidad instantánea mide la velocidad del auto en un instante de tiempo mientras que la velocidad media da la velocidad del auto a lo largo de un intervalo. Explique el concepto de pendiente de una curva en el punto x . Supongamos que el agua entra en un tanque a una tasa media de 45 galones por minuto. Traduzca este enunciado al lenguaje de las matemáticas. La tasa media de cambio de la cantidad de agua en el tanque es de 45 galones por minuto. Si los valores de f ( x ) es la función que da la cantidad de agua en el tanque en cualquier tiempo t , entonces la tasa media de cambio de f ( x ) entre t = a y t = b es f ( a ) + 45 ( b – a ) . Algebraicos En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada lím h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h para calcular la derivada de cada función. f ( x ) = 3 x - 4 f ( x ) = - 2 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 f ( x ) = x 2 - 2 x + 1 f ( x ) = 2 x 2 + x - 3 f ′ ( x ) = 4 x + 1 f ( x ) = 2 x 2 + 5 f ( x ) = - 1 x - 2 f ′ ( x ) = 1 ( x - 2 ) 2 f ( x ) = 2 + x 1 - x f ( x ) = 5 - 2 x 3 + 2 x − 16 ( 3 + 2 x ) 2 f ( x ) = 1 + 3 x f ( x ) = 3 x 3 - x 2 + 2 x + 5 f ′ ( x ) = 9 x 2 - 2 x + 2 f ( x ) = 5 f ( x ) = 5 π f ′ ( x ) = 0 En los siguientes ejercicios, halle la tasa media de cambio entre los dos puntos. ( –2 , 0 ) y ( -4 , 5 ) ( 4 , −3 ) y ( –2 , –1 ) - 1 3 ( 0 , 5 ) y ( 6 , 5 ) ( 7 , –2 ) y ( 7 , 10 ) indefinida En las siguientes funciones polinómicas, halle las derivadas. f ( x ) = x 3 + 1 f ( x ) = - 3 x 2 - 7 x = 6 f ′ ( x ) = − 6 x - 7 f ( x ) = 7 x 2 f ( x ) = 3 x 3 + 2 x 2 + x − 26 f ′ ( x ) = 9 x 2 + 4 x + 1 En las siguientes funciones, halle la ecuación de la línea tangente a la curva en el punto dado x en la curva. f ( x ) = 2 x 2 - 3 x x = 3 f ( x ) = x 3 + 1 x = 2 y = 12 x - 15 f ( x ) = x x = 9 En el siguiente ejercicio, halle k de tal manera que la línea dada sea tangente al gráfico de la función. f ( x ) = x 2 - k x , y = 4 x - 9 k = − 10 o k = 2 Gráficos En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de la función f y determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable. Discontinua en x = - 2 y x = 0 . No es diferenciable en –2, 0, 2. Discontinua en x = 5. No es diferenciable en –4, –2, 0, 1, 3, 4, 5. En los siguientes ejercicios, utilice la para estimar la función en un valor dado de x o la derivada a un valor determinado de x , según se indique. f ( - 1 ) f ( 0 ) f ( 0 ) = - 2 f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 2 ) = − 6 f ( 3 ) f ′ ( - 1 ) f ′ ( - 1 ) = 9 f ′ ( 0 ) f ′ ( 1 ) f ′ ( 1 ) = - 3 f ′ ( 2 ) f ′ ( 3 ) f ′ ( 3 ) = 9 Dibuje la función a partir de la siguiente información: f ′ ( x ) = 2 x , f ( 2 ) = 4 En tecnología Evalúe numéricamente la derivada. Explore el comportamiento del gráfico de f ( x ) = x 2 alrededor de x = 1 y grafique la función en los siguientes dominios: [ 0,9 , 1,1 ] , [ 0,99 , 1,01 ] , [ 0,999 , 1,001 ] , y [ 0,9999 , 1,0001 ] . Podemos utilizar la función de nuestra calculadora que establece automáticamente Ymin y Ymax a los valores Xmin y Xmax que preestablezcamos (en algunas de las calculadoras gráficas más utilizadas, esta función puede llamarse ZOOM FIT o ZOOM AUTO). Examine los valores de rango correspondientes a esta ventana de visualización y aproxime cómo cambia la curva en x = 1 , es decir, aproxime la derivada en x = 1. Las respuestas varían. La pendiente de la línea tangente cerca de x = 1 es 2. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, explique la notación con palabras. El volumen f ( t ) de un tanque de gasolina, en galones, t minutos después del mediodía. f ( 0 ) = 600 f ' ( 30 ) = -20 A las 12:30 p. m. , la tasa de cambio del número de galones en el tanque es de –20 galones por minuto. Es decir, el tanque está perdiendo 20 galones por minuto. f ( 30 ) = 0 f ' ( 200 ) = 30 A los 200 minutos después del mediodía, el volumen de galones en el tanque está cambiando a una tasa de 30 galones por minuto. f ( 240 ) = 500 En los siguientes ejercicios, explique las funciones con palabras. La altura, s , de un proyectil después de t segundos viene dada por s ( t ) = - 16 t 2 + 80 t . s ( 2 ) = 96 La altura del proyectil después de 2 segundos es de 96 pies. s ' ( 2 ) = 16 s ( 3 ) = 96 La altura del proyectil en t = 3 segundos son 96 pies. s ' ( 3 ) = −16 s ( 0 ) = 0 , s ( 5 ) = 0 . La altura del proyectil es cero en t = 0 y de nuevo en t = 5. En otras palabras, el proyectil comienza en el suelo y vuelve a caer a la Tierra después de 5 segundos. En los siguientes ejercicios, el volumen V de una esfera con respecto a su radio r viene dado por V = 4 3 π r 3 . Halle la tasa media de cambio de V a medida que r cambia de 1 a 2 cm. Halle la tasa instantánea de cambio de V cuando r = 3 cm . 36 π En los siguientes ejercicios, los ingresos generados por la venta de x artículos vienen dados por R ( x ) = 2 x 2 + 10 x . Halle la tasa media de cambio de la función de ingresos a medida que x cambia de x = 10 con x = 20. Halle R ' ( 10 ) e interprete. 50,00 dólares por unidad, que es la tasa instantánea de cambio de los ingresos cuando se venden exactamente 10 unidades. Halle R ' ( 15 ) e interprete. Compare R ' ( 15 ) con R ' ( 10 ) , y explique la diferencia. En los siguientes ejercicios, el costo de producción de x teléfonos móviles se describe mediante la función C ( x ) = x 2 - 4 x + 1.000. Halle la tasa media de cambio del costo total a medida que x cambia de x = 10 para x = 15. 21 dólares por unidad Calcule el costo marginal aproximado de producir el 16.º teléfono móvil, cuando se han producido 15 teléfonos móviles. Calcule el costo marginal aproximado de producir el 21.º teléfono móvil, cuando se han producido 20 teléfonos móviles. $ 36 dólares Extensión En los siguientes ejercicios, utilice la definición de la derivada en un punto x = a , lím x → a f ( x ) - f ( a ) x – a , para hallar la derivada de las funciones. f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = 5 x 2 - x + 4 f ' ( x ) = 10 a - 1 f ( x ) = - x 2 + 4 x + 7 f ( x ) = – 4 3 - x 2 4 ( 3 - x ) 2 Ejercicios de repaso del capítulo Hallar los límites: enfoque numérico y gráfico En los siguientes ejercicios, utilice la . lím x → −1 + f ( x ) 2 lím x → −1 − f ( x ) lím x → - 1 f ( x ) no existe lím x → 3 f ( x ) ¿En qué valores de x la función es discontinua? ¿Qué condición de continuidad se viola? Discontinua en x = - 1 ( lím x → a f ( x ) no existe ) , x = 3 ( discontinuidad de salto ) , y x = 7 ( lím x → a f ( x ) no existe ) . Utilizando la , estime lím x → 0 f ( x ) . x F ( x ) -0,1 2,875 -0,01 2,92 -0,001 2,998 0 Indefinida 0,001 2,9987 0,01 2,865 0,1 2,78145 0,15 2,678 En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, discuta por qué no hay límite. f ( x ) = { | x | - 1 , i f x ≠ 1 x 3 , i f x = 1 a = 1 lím x → - 2 f ( x ) = 0 f ( x ) = { 1 x + 1 , i f x = - 2 ( x + 1 ) 2 , i f x ≠ − 2 a = - 2 f ( x ) = { x + 3 , i f x < 1 - x 3 , i f x > 1 a = 1 No existe Hallar los límites: propiedades de los límites En los siguientes ejercicios, halle los límites si lím x → c f ( x ) = −3 y lím x → c g ( x ) = 5. lím x → c ( f ( x ) + g ( x ) ) lím x → c f ( x ) g ( x ) 3 5 lím x → c ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) lím x → 0 + f ( x ) , f ( x ) = { 3 x 2 + 2 x + 1 5 x + 3 x > 0 x < 0 1 lím x → 0 − f ( x ) , f ( x ) = { 3 x 2 + 2 x + 1 5 x + 3 x > 0 x < 0 lím x → 3 + ( 3 x − [ x ] ) 6 En los siguientes ejercicios, evalúe los límites mediante técnicas algebraicas. lím h → 0 ( ( h + 6 ) 2 - 36 h ) lím x → 25 ( x 2 − 625 x - 5 ) 500 lím x → 1 ( - x 2 - 9 x x ) lím x → 4 7 − 12 x + 1 x - 4 6 7 lím x → − 3 ( 1 3 + 1 x 3 + x ) Continuidad En los siguientes ejercicios, utilice evidencias numéricas para determinar si el límite existe en x = a . En caso contrario, describa el comportamiento del gráfico de la función en x = a . f ( x ) = - 2 x - 4 ; a = 4 A x = 4 , la función tiene una asíntota vertical. f ( x ) = - 2 ( x - 4 ) 2 ; a = 4 f ( x ) = - x x 2 - x - 6 ; a = 3 A x = 3 , la función tiene una asíntota vertical. f ( x ) = 6 x 2 + 23 x + 20 4 x 2 - 25 ; a = - 5 2 f ( x ) = x - 3 9 - x ; a = 9 Discontinuidad removible en a = 9 En los siguientes ejercicios, determine en qué parte la función dada f ( x ) es continuo. Si no es continua, indique qué condiciones fallan y clasifique las discontinuidades. f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 f ( x ) = x 2 - 2 x - 15 x - 5 Discontinuidad removible en x = 5 f ( x ) = x 2 - 2 x x 2 - 4 x + 4 f ( x ) = x 3 − 125 2 x 2 - 12 x + 10 Discontinuidad removible en x = 5 , discontinuidad en x = 1 f ( x ) = x 2 – 1 x 2 - x f ( x ) = x + 2 x 2 - 3 x - 10 Discontinuidad removible en x = 2 , discontinuidad en x = 5 f ( x ) = x + 2 x 3 + 8 Derivados En los siguientes ejercicios, calcule la tasa media de cambio f ( x + h ) - f ( x ) h . f ( x ) = 3 x + 2 3 f ( x ) = 5 f ( x ) = 1 x + 1 1 ( x + 1 ) ( x + h + 1 ) f ( x ) = ln ( x ) f ( x ) = e 2 x e 2 x + 2 h e 2 x h En los siguientes ejercicios, halle la derivada de la función. f ( x ) = 4 x - 6 f ( x ) = 5 x 2 - 3 x 10 x 3 Halle la ecuación de la línea tangente al gráfico de f ( x ) en el valor x indicado. f ( x ) = - x 3 + 4 x ; x = 2. En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable. f ( x ) = x | x | La función no sería diferenciable en 0, sin embargo, 0 no está en su dominio. Por lo tanto, es diferenciable en todo su dominio. Dado que el volumen de un cono circular recto es V = 1 3 π r 2 h y que un cono dado tiene una altura fija de 9 cm y una longitud de radio variable, calcule la tasa instantánea de cambio del volumen con respecto a la longitud del radio cuando este es de 2 cm. Dé una respuesta exacta en términos de π Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de f en la . f ( 1 ) 3 lím x → −1 + f ( x ) lím x → −1 − f ( x ) 0 lím x → −1 f ( x ) lím x → −2 f ( x ) −1 ¿En qué valores de x es f discontinua? ¿Qué propiedad de la continuidad se viola? En los siguientes ejercicios, con el uso de una herramienta gráfica, utilice evidencias numéricas o gráficas para determinar los límites por la izquierda y por la derecha de la función dada a medida que x se acerca a a . Si la función tiene un límite a medida que x se acerca a a , indíquelo. Si no es así, analice por qué no hay límite f ( x ) = { 1 x - 3 , i f x ≤ 2 x 3 + 1 , i f x > 2 a = 2 lím x → 2 – f ( x ) = - 5 2 a y lím x → 2 + f ( x ) = 9 Por lo tanto, el límite de la función a medida que x se acerca a 2 no existe. f ( x ) = { x 3 + 1 , i f x < 1 3 x 2 – 1 , i f x = 1 - x + 3 + 4 , i f x > 1 a = 1 En los siguientes ejercicios, evalúe cada límite mediante técnicas algebraicas. lím x → −5 ( 1 5 + 1 x 10 + 2 x ) lím h → 0 ( h 2 + 25 − 5 h 2 ) 1 50 lím h → 0 ( 1 h - 1 h 2 + h ) En los siguientes ejercicios, determine si la función dada f es continua. Si es continua, demuestre por qué. Si no es continua, indique cuáles condiciones fallan. f ( x ) = x 2 - 4 1 f ( x ) = x 3 - 4 x 2 - 9 x + 36 x 3 - 3 x 2 + 2 x - 6 En los siguientes ejercicios, utilice la definición de derivada para hallar la derivada de la función dada en x = a . f ( x ) = 3 5 + 2 x Discontinuidad removible en x = 3 f ( x ) = 3 x f ( x ) = 2 x 2 + 9 x f ' ( x ) = 3 2 a 3 2 Para el gráfico en la , determine en qué parte la función es continua/discontinua y diferenciable/no diferenciable. En los siguientes ejercicios, con la ayuda de una herramienta gráfica, explique por qué la función no es diferenciable en todas partes de su dominio. Especifique los puntos en los que la función no es diferenciable. f ( x ) = | x - 2 | − | x + 2 | Discontinua en –2, 0, no diferenciable en –2, 0, 2 f ( x ) = 2 1 + e 2 x En los siguientes ejercicios, explique la notación en palabras cuando la altura de un proyectil en pies, s , es una función de tiempo t en segundos después del lanzamiento y está dada por la función s ( t ) . s ( 0 ) No es diferenciable en x = 0 (sin límite) s ( 2 ) s ' ( 2 ) La altura del proyectil en t = 2 Segundos s ( 2 ) - s ( 1 ) 2 – 1 s ( t ) = 0 La velocidad media de t = 1 t = 2 En los siguientes ejercicios, utilice la tecnología para evaluar el límite. lím x → 0 sen ( x ) 3 x lím x → 0 tan 2 ( x ) 2 x 1 3 lím x → 0 sen ( x ) ( 1 - cos ( x ) ) 2 x 2 Evalúe el límite a mano. lím x → 1 f ( x ) , donde f ( x ) = { 4 x - 7 x ≠ 1 x 2 - 4 x = 1 ¿En qué valor(es) de x la siguiente función es discontinua? f ( x ) = { 4 x - 7 x ≠ 1 x 2 - 4 x = 1 0 En los siguientes ejercicios, considere la función cuyo gráfico aparece en la . Halle la tasa media de cambio de la función de x = 1 para x = 3. 2 Halle todos los valores de x en los que f ' ( x ) = 0 . x = 1 Halle todos los valores de x en los que f ' ( x ) no existe. Halle una ecuación de la línea tangente al gráfico de f del punto indicado: f ( x ) = 3 x 2 - 2 x - 6 , x = - 2 y = − 14 x − 18 En los siguientes ejercicios, utilice la función f ( x ) = x ( 1 - x ) 2 5 . Grafique la función f ( x ) = x ( 1 - x ) 2 5 e introduzca f ( x ) = x ( ( 1 - x ) 2 ) 1 5 y luego introduzca f ( x ) = x ( ( 1 - x ) 1 5 ) 2 . Explore el comportamiento del gráfico de f ( x ) alrededor de x = 1 y haga un gráfico de la función en los siguientes dominios, [0,9, 1,1], [0,99, 1,01], [0,999, 1,001] y [0,9999, 1,0001]. Utilice esta información para determinar si la función parece ser diferenciable en x = 1. El gráfico no es diferenciable en x = 1 (cúspide). En los siguientes ejercicios, halle la derivada de cada una de las funciones utilizando la definición: lím h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h f ( x ) = 2 x - 8 f ( x ) = 4 x 2 - 7 f ' ( x ) = 8 x f ( x ) = x – 1 2 x 2 f ( x ) = 1 x + 2 f ' ( x ) = - 1 ( 2 + x ) 2 f ( x ) = 3 x – 1 f ( x ) = - x 3 + 1 f ' ( x ) = - 3 x 2 f ( x ) = x 2 + x 3 f ( x ) = x – 1 f ' ( x ) = 1 2 x – 1 tasa media de cambio la pendiente de la línea que conecta los dos puntos ( a , f ( a ) ) y ( a + h , f ( a + h ) ) en la curva de f ( x ) ; está dada por AROC = f ( a + h ) - f ( a ) h . derivada la pendiente de una función en un punto determinado; se denota f ′ ( a ) , en un punto x = a es f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h , siempre que el límite exista. diferenciable una función f ( x ) para la que existe la derivada en x = a . En otras palabras, si f ′ ( a ) . tasa instantánea de cambio la pendiente de una función en un punto determinado; en x = a está dada por f ′ ( a ) = lím h → 0 f ( a + h ) - f ( a ) h . velocidad instantánea el cambio de velocidad o dirección en un instante dado; una función s ( t ) representa la posición de un objeto en el tiempo t , y la velocidad instantánea o velocidad del objeto en el tiempo t = a viene dada por s ′ ( a ) = lím h → 0 s ( a + h ) - s ( a ) h . línea secante una línea que interseca dos puntos de una curva línea tangente una línea que interseca una curva en un solo punto

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Funciones e identidades básicas Gráficos de funciones matriz Gráficos de las funciones trigonométricas Identidades trigonométricas Identidades de Pitágoras cos 2 θ + sen 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = sec 2 θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ Identidades par-impar cos (− θ ) = cos θ sec (− θ ) = sec θ sen (− θ ) = - sen θ tan (− θ ) = - tan θ csc (− θ ) = - csc θ cot (− θ ) = - cot θ Identidades de la cofunción cos θ = sen ( π 2 - θ ) sen θ = cos ( π 2 - θ ) tan θ = cot ( π 2 - θ ) cot θ = tan ( π 2 - θ ) sec θ = csc ( π 2 - θ ) csc θ = sec ( π 2 - θ ) Identidades fundamentales tan θ = sen θ cos θ sec θ = 1 cos θ csc θ = 1 sen θ cot θ = 1 tan θ = cos θ sen θ Identidades de suma y resta cos ( α + β ) = cos α cos β − sen α sen β cos ( α - β ) = cos α cos β + sen α sen β sen ( α + β ) = sen α cos β + cos α sen β sen ( α - β ) = sen α cos β − cos α sen β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 - tan α tan β tan ( α - β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β Fórmulas del ángulo doble sen ( 2 θ ) = 2 sen θ cos θ cos ( 2 θ ) = cos 2 θ - sen 2 θ cos ( 2 θ ) = 1 - 2 sen 2 θ cos ( 2 θ ) = 2 cos 2 θ - 1 tan ( 2 θ ) = 2 tan θ 1 - tan 2 θ Fórmulas de medio ángulo sen α 2 = ± 1 - cos α 2 cos α 2 = ± 1 + cos α 2 tan α 2 = ± 1 - cos α 1 + cos α tan α 2 = sen α 1 + cos α tan α 2 = 1 - cos α sen α Fórmulas de reducción sen 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 2 cos 2 θ = 1 + cos ( 2 θ ) 2 tan 2 θ = 1 - cos ( 2 θ ) 1 + cos ( 2 θ ) Fórmulas producto a suma cos α cos β = 1 2 [ cos ( α - β ) + cos ( α + β ) ] sen α cos β = 1 2 [ sen ( α + β ) + sen ( α - β ) ] sen α sen β = 1 2 [ cos ( α - β ) - cos ( α + β ) ] cos α sen β = 1 2 [ sen ( α + β ) - sen ( α - β ) ] Fórmulas de suma a producto sen α + sen β = 2 sen ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) sen α − sen β = 2 sen ( α - β 2 ) cos ( α + β 2 ) cos α − cos β = - 2 sen ( α + β 2 ) sen ( α - β 2 ) cos α + cos β = 2 cos ( α + β 2 ) cos ( α - β 2 ) Ley de senos sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Ley de cosenos a 2 = b 2 + c 2 - 2 b c cos α b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c cos β c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cos γ

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