Prueba de homogeneidad La prueba de bondad de ajuste se puede usar para decidir si una población se ajusta a una distribución determinada, pero no bastará para decidir si dos poblaciones siguen la misma distribución desconocida. Una prueba diferente, llamada prueba de homogeneidad , se puede usar para sacar una conclusión sobre si dos poblaciones tienen la misma distribución. Para calcular el estadístico de prueba de homogeneidad siga el mismo procedimiento que con la prueba de independencia. Nota El valor esperado de cada celda debe ser, al menos, cinco para poder utilizar esta prueba. Hipótesis H 0 : Las distribuciones de las dos poblaciones son iguales. H a : Las distribuciones de las dos poblaciones no son iguales. Estadístico de prueba Utilice un χ 2 estadístico de prueba. Se calcula de la misma manera que la prueba de independencia. Grados de libertad ( df ) df = número de columnas – 1 Requisitos Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Usos comunes Comparación de dos poblaciones. Por ejemplo: hombres versus mujeres, antes versus después, este versus oeste. La variable es categórica con más de dos valores de respuesta posibles. ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 250 estudiantes universitarios y a 300 estudiantes universitarias seleccionados al azar por su tipo de vivienda: residencia universitaria, apartamento, con los padres, otra. Los resultados se muestran en la . ¿Los estudiantes de institutos universitarios hombres y mujeres tienen la misma distribución en cuanto a viviendas? Distribución de la situación de vivienda de hombres y mujeres universitarios Dormitorio Apartamento Con los padres Otra Hombres 72 84 49 45 Mujeres 91 86 88 35 H 0 : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios es igual que la de las estudiantes universitarias. H a : La distribución de la vivienda de los estudiantes universitarios no es igual que la de las estudiantes universitarias. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas – 1 = 4 – 1 = 3 Distribución de la prueba: χ 3 2 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = 10,1287 (calculadora o computadora) Enunciado de probabilidad: valor p = P ( χ 2 >10,1287) = 0,0175 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 2 ENTER 4 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 10,1287 y el valor p = 0,0175. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Compare α y el valor p : Como no se da α , suponga que α = 0,05. Valor p = 0,0175. α > valor p . Tome una decisión: Dado que α > valor p , rechaza H 0 . Esto significa que las distribuciones no son iguales. Conclusión: a un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que las distribuciones de los tipos de vivienda de los estudiantes universitarios hombres y mujeres no son iguales. Observe que la conclusión es solo que las distribuciones no son iguales. No podemos utilizar la prueba de homogeneidad para obtener conclusiones sobre sus diferencias. Ejercicio ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Utilice un nivel de significación de 0,05. Supongamos que se les pregunta a 100 familias y a 200 solteros seleccionados al azar qué tipo de automóvil conducen: deportivo, sedán, utilitario, camioneta, van/suv. Los resultados se muestran en la . ¿Las familias y los solteros tienen la misma distribución de automóviles? Pruebe con un nivel de significación de 0,05. Deporte Sedán Utilitario Camioneta Van/suv Familia 5 15 35 17 28 Sencillo 45 65 37 46 7 Tanto antes como después de un reciente terremoto, se realizaron encuestas en las que se preguntaba a los votantes por cuál de los tres candidatos pensaban votar en las próximas elecciones al ayuntamiento. ¿Hubo algún cambio después del terremoto? Utilice un nivel de significación de 0,05. La muestra los resultados de la encuesta. ¿Ha habido un cambio en la distribución de las preferencias de los votantes desde el terremoto? Pérez Chung Stevens Antes 167 128 135 Después 214 197 225 H 0 : La distribución de las preferencias de los votantes fue la misma antes y después del terremoto. H a : La distribución de las preferencias de los votantes no fue la misma antes y después del terremoto. Grados de libertad ( df ): df = número de columnas - 1 = 3 - 1 = 2 Distribución para la prueba: χ 2 2 Calcule el estadístico de prueba : χ 2 = 3,2603 (calculadora o computadora) Enunciado de probabilidad: valor p = P ( χ 2 > 3,2603) = 0,1959 Pulse MATRX y flecha hacia EDIT . Pulse 1:[A] . Pulse 2 ENTER 3 ENTER . Introduzca los valores de la tabla por fila. Pulse ENTER después de cada uno. Pulse 2nd QUIT . Pulse STAT y flecha hacia TESTS . Flecha hacia abajo C:χ2-TEST . Pulse ENTER . Debería ver Observed:[A] y Expected:[B] . Desplace la flecha hacia abajo hasta Calculate . Pulse ENTER . El estadístico de prueba es 3,2603 y el valor p = 0,1959. Realice el procedimiento por segunda vez pero desplace la flecha hacia abajo hasta Dibujar en vez de calcular . Compare α y el valor p : α = 0,05 y el valor p = 0,1959. α < valor p . Tome una decisión: Como α < valor p , no se rechaza H o . Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos no hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de las preferencias de los votantes no era la misma antes y después del terremoto. Ejercicio Las escuelas Ivy League reciben muchas solicitudes, pero solo algunas pueden ser aceptadas. En las escuelas que aparecen en la se aceptan dos tipos de solicitudes: regulares y de decisión anticipada. Tipo de solicitud aceptada Brown Columbia Cornell Dartmouth Penn Yale Regular 2.115 1.792 5.306 1.734 2.685 1.245 Decisión anticipada 577 627 1.228 444 1.195 761 Queremos saber si el número de solicitudes regulares aceptadas sigue la misma distribución que el número de solicitudes anticipadas aceptadas. Indique las hipótesis nula y alternativa, los grados de libertad y el estadístico de la prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión sobre la prueba de homogeneidad. Referencias Datos del Insurance Institute for Highway Safety, 2013. Disponible en línea en www.iihs.org/iihs/ratings (consultado el 24 de mayo de 2013). “Energy use (kg of oil equivalent per capita)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://data.worldbank.org/indicator/EG.USE.PCAP.KG.OE/countries (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubsearch/pubsinfo.asp?pubid=2009030 (consultado el 24 de mayo de 2013). “Parent and Family Involvement Survey of 2007 National Household Education Survey Program (NHES)”, U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics. Disponible en línea en http://nces.ed.gov/pubs2009/2009030_sup.pdf (consultado el 24 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Para evaluar si dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución, que no es necesario conocer, puede aplicar la prueba de homogeneidad que utiliza la distribución chi-cuadrado. La hipótesis nula de esta prueba establece que las poblaciones de los dos conjuntos de datos proceden de la misma distribución. La prueba compara los valores observados con los valores esperados si las dos poblaciones siguieran la misma distribución. La prueba es de cola derecha. Cada observación o categoría de celda debe tener un valor esperado de, al menos, cinco. Revisión de la fórmula ∑ i ⋅ j ( O – E ) 2 E Estadístico de prueba de homogeneidad donde: O = valores observados E = valores esperados i = número de filas en la tabla de contingencia de datos j = número de columnas en la tabla de contingencia de datos df = ( i −1)( j −1) Grados de libertad Una maestra de Matemáticas quiere ver si dos de sus clases tienen la misma distribución de resultados en los exámenes. ¿Qué prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad ¿Cuáles son las hipótesis nula y alternativa para el ? Un investigador de mercado quiere ver si dos tiendas diferentes tienen la misma distribución de ventas a lo largo del año. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? prueba de homogeneidad Una meteoróloga quiere saber si el este y el oeste de Australia tienen la misma distribución de tormentas. ¿Qué tipo de prueba debe utilizar? ¿Qué condición debe cumplirse para utilizar la prueba de homogeneidad? Todos los valores de la tabla deben ser mayores o iguales a cinco. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: ¿Los médicos de consulta privada y los de hospital tienen la misma distribución de horas de trabajo? Supongamos que se selecciona al azar una muestra de 100 médicos de consultas privadas y 150 de hospitales y se les pregunta por el número de horas semanales que trabajan. Los resultados se muestran en la . 20–30 30–40 40–50 50–60 Práctica privada 16 40 38 6 Hospital 8 44 59 39 Indique las hipótesis nula y alternativa. df = _______ 3 ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,00005 ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. Un psicólogo está interesado en comprobar si existe una diferencia en la distribución de los tipos de personalidad de los estudiantes de Negocios y de Ciencias Sociales. Los resultados del estudio se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad. Pruebe con un nivel de significación del 5 %. Abierto Meticuloso Extrovertido Agradable Neurótico Negocios 41 52 46 61 58 Ciencias Sociales 72 75 63 80 65 H 0 : La distribución de los tipos de personalidad es la misma para ambas especialidades. H a : La distribución de los tipos de personalidad no es la misma para ambas especialidades. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 3,01 valor p = 0,5568 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: No hay pruebas suficientes para concluir que la distribución de los tipos de personalidad es diferente para las especialidades de Negocios y Ciencias Sociales. ¿Los hombres y las mujeres seleccionan desayunos diferentes? Los desayunos pedidos por hombres y mujeres seleccionados al azar en un lugar popular de desayunos se muestran en la . Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. Tostadas francesas Panqueques Waffles Tortillas Hombres 47 35 28 53 Mujeres 65 59 55 60 Un pescador está interesado en saber si la distribución de los peces capturados en el lago Green Valley es la misma que la de los peces capturados en el lago Echo. De los 191 peces capturados al azar en el lago Green Valley, 105 eran truchas arco iris, 27 otras truchas, 35 lubinas y 24 bagres. De los 293 peces capturados al azar en el lago Echo, 115 eran truchas arco iris, 58 otras truchas, 67 lubinas y 53 bagres. Realice una prueba de homogeneidad con un nivel de significación del 5 %. H 0 : La distribución de los peces capturados es igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. H a : La distribución de los peces capturados no igual en el lago Green Valley y en el lago Echo. 3 chi-cuadrado con df = 3 11,75 valor p = 0,0083 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas para concluir que la distribución de los peces capturados es diferente en el lago Green Valley y en el lago Echo En 2007, EE. UU. contaba con 1,5 millones de estudiantes educados en casa, según el Centro Nacional de Estadísticas Educativas de EE. UU. En la se puede ver que los padres deciden educar a sus hijos en casa por diferentes razones, y algunas razones son clasificadas por los padres como más importantes que otras. Según los resultados de la encuesta que se muestran en la tabla, ¿la distribución de las razones aplicables es la misma que la distribución de la razón más importante? Proporcione su evaluación con un nivel de significación del 5 %. ¿Esperaba el resultado que ha obtenido? Razones para educar en casa Razón aplicable (en miles de encuestados) Razón más importante (en miles de encuestados) Total de la fila Preocupación por el ambiente de otras escuelas 1.321 309 1.630 Insatisfacción con la enseñanza académica en otras escuelas 1.096 258 1.354 Proporcionar instrucción religiosa o moral 1.257 540 1.797 El niño tiene necesidades especiales, aparte de las físicas o mentales 315 55 370 Enfoque no tradicional de la educación de los niños 984 99 1.083 Otras razones (p. ej., finanzas, viajes, tiempo en familia, etc.) 485 216 701 Total de la columna 5.458 1.477 6.935 Al examinar el consumo de energía, a menudo nos interesa detectar las tendencias a lo largo del tiempo y su correlación entre los distintos países. La información de la muestra el uso promedio de energía (en unidades de kg de equivalente de petróleo per cápita) en EE. UU. y los países conjuntos de la Unión Europea (UE) para el periodo de seis años de 2005 a 2010. ¿Los valores de uso de energía en estas dos áreas provienen de la misma distribución? Haga el análisis al nivel de significación del 5 %. Año Unión Europea Estados Unidos Total de la fila 2010 3.413 7.164 10.557 2009 3.302 7.057 10.359 2008 3.505 7.488 10.993 2007 3.537 7.758 11.295 2006 3.595 7.697 11.292 2005 3.613 7.847 11.460 Total de la columna 20.965 45.011 65.976 H 0 : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos es igual que en Europa entre 2005 y 2010. H a : La distribución del uso promedio de la energía en Estados Unidos no es igual que en Europa entre 2005 y 2010. df = 4 chi-cuadrado con df = 4 estadístico de prueba = 2,7434 valor p = 0,7395 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: No rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: Al nivel de significación del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que los valores medios de uso de energía en EE. UU. y la UE no proceden de distribuciones diferentes para el periodo de 2005 a 2010. El Instituto de Seguros para la Seguridad en las Carreteras recopila cada año información sobre la seguridad de todo tipo de automóviles y publica un informe de los Mejores Selecciones de Seguridad entre todos los automóviles, marcas y modelos. La presenta el número de Mejores Selecciones de Seguridad en seis categorías de automóviles para los años 2009 y 2013. Analice los datos de la tabla para concluir si la distribución de los automóviles que obtuvieron el premio de seguridad de Mejores Selecciones de Seguridad se ha mantenido igual entre 2009 y 2013. Derive sus resultados al nivel de significación del 5 %. Año \ Tipo de auto Pequeño Mediano Grande SUV pequeña SUV mediana SUV grande Total de la fila 2009 12 22 10 10 27 6 87 2013 31 30 19 11 29 4 124 Total de la columna 43 52 29 21 56 10 211

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Comparación de las pruebas chi-cuadrado Ha visto el estadístico de prueba χ 2 utilizado en tres circunstancias diferentes. La siguiente lista con viñetas es un resumen que le ayudará a decidir qué prueba χ 2 es la adecuada. Bondad de ajuste: use la prueba de bondad de ajuste para decidir si una población con una distribución desconocida se “ajusta” a una distribución conocida. En este caso habrá una única pregunta de encuesta cualitativa o un único resultado de un experimento de una única población. La bondad de ajuste se utiliza normalmente para ver si la población es uniforme (todos los resultados se producen con la misma frecuencia), si la población es normal o si la población es la misma que otra población con una distribución conocida. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : La población se ajusta a la distribución dada. H a : La población no se ajusta a la distribución dada. Independencia: use la prueba de independencia para decidir si dos variables (factores) son independientes o dependientes. En este caso habrá dos preguntas o experimentos de encuesta cualitativa y se construirá una tabla de contingencia. La meta es ver si las dos variables no están relacionadas (independientes) o están relacionadas (dependientes). Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos variables (factores) son independientes. H a : Las dos variables (factores) son dependientes. Homogeneidad: use la prueba de homogeneidad para decidir si dos poblaciones con distribuciones desconocidas tienen la misma distribución entre sí. En este caso, habrá una única pregunta o experimento de encuesta cualitativa que se aplicará a dos poblaciones diferentes. Las hipótesis nula y alternativa son: H 0 : Las dos poblaciones siguen la misma distribución. H a : Las dos poblaciones tienen distribuciones diferentes. Repaso del capítulo La prueba de bondad de ajuste se suele usar para determinar si los datos se ajustan a una determinada distribución. La prueba de independencia usa una tabla de contingencia para determinar la independencia de dos factores. La prueba de homogeneidad determina si dos poblaciones proceden de la misma distribución, aunque esta sea desconocida. ¿Qué prueba se usa para decidir si una distribución observada es la misma que una distribución esperada? una prueba de bondad de ajuste ¿Cuál es la hipótesis nula para el tipo de prueba de ? ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos factores tienen una relación? una prueba de independencia ¿Qué prueba utilizaría para decidir si dos poblaciones tienen la misma distribución? ¿En qué se parecen las pruebas de independencia a las pruebas de homogeneidad? Las respuestas variarán. Ejemplo de respuesta: tanto las pruebas de independencia como las de homogeneidad calculan el estadístico de prueba de la misma manera ∑ ( i j ) ( O – E ) 2 E . Además, todos los valores deben ser mayores o iguales a cinco. ¿En qué se diferencian las pruebas de independencia de las pruebas de homogeneidad? Tarea para la casa Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. ¿Existe una diferencia entre la distribución de los estudiantes de Estadística de colegios comunitarios y la distribución de los estudiantes de Estadística de universidades en cuanto a la tecnología que utilizan en sus tareas para la casa? De algunos estudiantes de colegios universitarios comunitarios seleccionados al azar, 43 utilizaron una computadora, 102 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 65 una tabla de libro de texto. De algunos estudiantes de universidades seleccionados al azar, 28 utilizaron una computadora, 33 una calculadora con funciones estadísticas incorporadas y 40 una tabla de libro de texto. Haga una prueba de hipótesis adecuada utilizando un nivel de significación de 0,05. H 0 : La distribución del uso de la tecnología es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios y para los estudiantes universitarios. H a : La distribución del uso de la tecnología no es igual para los estudiantes de colegios universitarios comunitarios que para los estudiantes universitarios. 2 chi-cuadrado con df = 2 7,05 valor p = 0,0294 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la distribución del uso de la tecnología para las tareas en casa de Estadística no es la misma para los estudiantes de Estadística en colegios universitarios comunitarios y en universidades. Lea la afirmación y decida si es verdadera o falsa. Si df = 2, la distribución chi-cuadrado tiene una forma que recuerda a la exponencial. Resúmalo todo Explique por qué una prueba de bondad de ajuste y una prueba de independencia suelen ser pruebas de cola derecha. Si hiciera una prueba de cola izquierda, ¿qué estaría probando? El estadístico de prueba siempre es positivo y si los valores esperados y observados no están próximos, el estadístico de prueba es grande y se rechazará la hipótesis nula. Comprobación para verificar si los datos se ajustan a la distribución “demasiado bien” o son demasiado perfectos.

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Prueba de una sola varianza Una prueba de una sola varianza supone que la distribución subyacente es normal . Las hipótesis nula y alternativa se plantean en términos de la varianza de la población (o desviación típica de la población). El estadístico de prueba es: ( n – 1 ) s 2 σ 2 donde: n = el número total de datos s 2 = varianza de la muestra σ 2 = varianza de la población Puede pensar en s como la variable aleatoria en esta prueba. El número de grados de libertad es df = n – 1. Una prueba de una sola varianza puede ser de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas. El le mostrará cómo establecer las hipótesis nula y alternativa. Las hipótesis nula y alternativa contienen afirmaciones sobre la varianza de la población. A los instructores de Matemáticas no solo les interesa saber cómo les va a sus estudiantes en los exámenes, en promedio, sino cómo varían las calificaciones. Para muchos instructores, la varianza (o desviación típica) puede ser más importante que el promedio. Supongamos que un instructor de Matemáticas cree que la desviación típica de su examen final es de cinco puntos. Uno de sus mejores estudiantes piensa otra cosa. El estudiante afirma que la desviación típica es superior a cinco puntos. Si el estudiante tuviera que realizar una prueba de hipótesis, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Aunque se nos da la desviación típica de la población podemos establecer la prueba utilizando la varianza de la población de la siguiente manera. H 0 : σ 2 = 5 2 H a : σ 2 > 5 2 Ejercicio Un instructor de buceo quiere registrar las profundidades colectivas a las que se sumerge cada uno de sus estudiantes durante su entrenamiento. Se interesa por cómo varían las profundidades, aunque todos deberían estar a la misma profundidad. Cree que la desviación típica es de tres pies. Su asistente cree que la desviación típica es de menos de tres pies. Si el instructor tuviera que realizar una prueba, ¿cuáles serían las hipótesis nula y alternativa? Con filas individuales en sus distintas ventanillas, una oficina de correos descubre que la desviación típica de los tiempos de espera de los clientes distribuidos normalmente el viernes por la tarde es de 7,2 minutos. La oficina de correos experimenta con una única fila principal de espera y descubre que, para una muestra aleatoria de 25 clientes, los tiempos de espera de los clientes tienen una desviación típica de 3,5 minutos. Con un nivel de significación del 5 %, pruebe la afirmación de que una fila única provoca una menor variación entre los tiempos de espera (tiempos de espera más cortos) para los clientes . Dado que la afirmación es que una sola fila causa menos variación, esta es una prueba de una sola varianza. El parámetro es la varianza de la población, σ 2 , o la desviación típica de la población, σ . Variable aleatoria: La desviación típica de la muestra, s , es la variable aleatoria. Supongamos que s = desviación típica de los tiempos de espera. H 0 : σ 2 = 7,2 2 H a : σ 2 < 7,2 2 La palabra “menos” indica que se trata de una prueba de cola izquierda. Distribución para la prueba: χ 24 2 , donde: n = el número de clientes muestreados df = n – 1 = 25 – 1 = 24 Calcule el estadístico de prueba: χ 2 = ( n – 1 ) s 2 σ 2 = ( 25 – 1 ) ( 3,5 ) 2 7,2 2 = 5,67 donde n = 25, s = 3,5 y σ = 7,2. Gráfico: Declaración de probabilidad: valor p = P ( χ 2 < 5,67) = 0,000042 Compare α y el valor p : α = 0,05 valor p = 0,000042 α > valor p Tome una decisión: Dado el valor de α > p , se rechaza H 0 . Esto significa que rechaza σ 2 = 7,2 2 . En otras palabras, no cree que la variación de los tiempos de espera sea de 7,2 minutos; cree que la variación de los tiempos de espera es menor. Conclusión: A un nivel de significación del 5 %, a partir de los datos, hay pruebas suficientes para concluir que una sola fila provoca una menor variación entre los tiempos de espera o que con una sola fila, los tiempos de espera de los clientes varían menos de 7,2 minutos. En 2nd DISTR Utilice 7:χ2cdf . La sintaxis es (inferior, superior, df) para la lista de parámetros. Para el , χ2cdf(-1E99,5,67,24) . El valor p = 0,000042. Ejercicio La Comisión Federal de Comunicaciones (Federal Communications Commission, FCC) hace pruebas de velocidad de banda ancha para medir cuántos datos por segundo pasan entre la computadora de un consumidor e internet. En agosto de 2012, la desviación típica de las velocidades de internet entre los proveedores de servicios de internet (PSI) era del 12,2 %. Supongamos que se toma una muestra de 15 PSI y que la desviación típica es de 13,2. Un analista afirma que la desviación típica de las velocidades es mayor que la comunicada. Plantee las hipótesis nula y alternativa, calcule los grados de libertad, el estadístico de prueba, dibuje el gráfico del valor p y saque una conclusión. Prueba al nivel de significación del 1 %. Referencias “AppleInsider Price Guides”. Apple Insider, 2013. Disponible en línea en http://appleinsider.com/mac_price_guide (consultado el 14 de mayo de 2013). Datos del Banco Mundial, 5 de junio de 2012. Repaso del capítulo Para comprobar la variabilidad, utilice la prueba de chi-cuadrado de una sola varianza. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble, y sus hipótesis se expresan siempre en términos de varianza (o desviación típica). Revisión de la fórmula χ 2 = ( n – 1 ) ⋅ s 2 σ 2 Prueba de una estadística de varianza única, donde: n : tamaño de la muestra s : desviación típica de la muestra σ : desviación típica de la población df = n – 1 grado de libertad Prueba de una sola varianza Utilice la prueba para determinar la variación. Los grados de libertad son el número de muestras – 1. El estadístico de prueba es ( n – 1 ) ⋅ s 2 σ 2 , donde n = el número total de datos, s 2 = la varianza de la muestra y σ 2 = la varianza de la población. La prueba puede ser de cola izquierda, derecha o doble. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de un arquero para los disparos a meta es de seis (los datos se miden en distancia desde el centro del blanco). Un observador afirma que la desviación típica es menor. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza Indique las hipótesis nula y alternativa. ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? una prueba de cola izquierda Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: La desviación típica de las alturas de los estudiantes de una escuela es de 0,81. Se toma una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la desviación típica de las alturas de la muestra es de 0,96. Un investigador encargado del estudio cree que la desviación típica de las alturas de la escuela es superior a 0,81. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? Indique las hipótesis nula y alternativa. H 0 : σ 2 = 0,81 2 ; H a : σ 2 > 0,81 2 df = ________ Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: El tiempo promedio de espera en la consulta del médico varía. La desviación típica de los tiempos de espera en una consulta médica es de 3,4 minutos. Una muestra aleatoria de 30 pacientes en la consulta del médico tiene una desviación típica de los tiempos de espera de 4,1 minutos. Un médico cree que la varianza de los tiempos de espera es mayor de lo que se pensaba en un principio. ¿Qué tipo de prueba se debe utilizar? una prueba de una sola varianza ¿Cuál es el estadístico de prueba? ¿Cuál es el valor p ? 0,0542 ¿Qué puede concluir con un nivel de significación del 5 %? Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos doce ejercicios: Supongamos que una compañía aérea afirma que sus vuelos son siempre puntuales, con un retraso promedio de 15 minutos como máximo. Afirma que el retraso promedio es tan constante que la varianza no supera los 150 minutos. Dudando de la coherencia de la afirmación, un viajero descontento calcula los retrasos de sus próximos 25 vuelos. El retraso promedio de esos 25 vuelos es de 22 minutos, con una desviación típica de 15 minutos. ¿El viajero está discutiendo el reclamo sobre el promedio o sobre la varianza? Una desviación típica de la muestra de 15 minutos es lo mismo que una varianza de la muestra de __________ minutos. 225 ¿Es una prueba de cola derecha, de cola izquierda o de dos colas? H 0 : __________ H 0 : σ 2 ≤ 150 df = ________ estadístico de prueba chi-cuadrado = ________ 36 valor p = ________ Grafique la situación. Identifique y escale el eje horizontal. Marque la media y el estadístico de prueba. Sombree el valor p . Compruebe la solución del estudiante. Supongamos que α = 0,05 Decisión: ________ Conclusión (escribir en una oración completa.): ________ ¿Cómo supo que debía analizar la varianza en vez de la media? La afirmación es que la varianza no es superior a 150 minutos. Si se realizara una prueba adicional sobre la reclamación del retraso promedio, ¿qué distribución utilizaría? Si se hiciera una prueba adicional sobre la afirmación del retraso promedio, pero se encuestaran 45 vuelos, ¿qué distribución utilizaría? una distribución t de Student o normal Para cada problema de palabras use una hoja de soluciones para resolver el problema de la prueba de hipótesis. Vaya al E - HOJAS DE SOLUCIONES para ver la hoja de soluciones de chi-cuadrado. Redondee la frecuencia esperada a dos decimales. A la gerente de una planta le preocupa que su equipo necesite recalibración. Parece que el peso real de las cajas de cereales de 15 oz que llena ha estado fluctuando. La desviación típica debe ser como máximo de 0,5 oz. Para determinar si es necesario recalibrar la máquina, se pesaron 84 cajas de cereales seleccionadas al azar de la producción del día siguiente. La desviación típica de las 84 cajas fue de 0,54. ¿Es necesario recalibrar la máquina? Los consumidores pueden estar interesados en saber si el costo de una calculadora particular varía de una tienda a otra. Sobre la base de una encuesta realizada en 43 tiendas, que arrojó una media muestral de 84 dólares y una desviación típica de la muestra de 12 dólares, pruebe la afirmación de que la desviación típica es mayor de 15 dólares. H 0 : σ = 15 H a : σ > 15 df = 42 chi-cuadrado con df = 42 estadístico de prueba = 26,88 valor p = 0,9663 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: no rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: no hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a 15. Isabella, una consumada corredora de Bay to Breakers , afirma que la desviación típica de su tiempo para correr las 7,5 millas es de tres minutos como máximo. Para probar su afirmación, Rupinder ve cinco de sus tiempos de carrera. Son 55 minutos, 61 minutos, 58 minutos, 63 minutos y 57 minutos. Las compañías aéreas están interesadas en la coherencia del número de bebés en cada vuelo para tener un equipo de seguridad adecuado. También se interesan por la variación del número de bebés. Supongamos que un ejecutivo de una compañía aérea cree que el número promedio de bebés en los vuelos es de seis, con una varianza de nueve como máximo. La compañía aérea recopila los datos. Los resultados de los 18 vuelos investigados dan un promedio muestral de 6,4 con una desviación típica de la muestra de 3,9. Realice una prueba de hipótesis sobre la creencia del ejecutivo de la aerolínea. H 0 : σ ≤ 3 H a : σ > 3 df = 17 distribución chi-cuadrado con df = 17 estadístico de prueba = 28,73 valor p = 0,0371 Compruebe la solución del estudiante. Alfa: 0,05 Decisión: rechaza la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es superior a tres. El número de nacimientos por mujer en China es de 1,6, versus los 5,91 de 1966. Esta tasa de fecundidad se ha atribuido a la ley aprobada en 1979 que restringe los nacimientos a uno por mujer. Supongamos que un grupo de estudiantes estudia si la desviación típica de los nacimientos por mujer es o no superior a 0,75. Les preguntaron a 50 mujeres de toda China el número de partos que habían tenido. Los resultados se muestran en la . ¿La encuesta de los estudiantes indica que la desviación típica es superior a 0,75? N.º de nacimientos Frecuencia 0 5 1 30 2 10 3 5 Según un ávido piscicultor, el número promedio de peces en un tanque de 20 galones es de 10, con una desviación típica de dos. Su amigo, también piscicultor, no cree que la desviación típica sea de dos. Cuenta el número de peces en otras 15 peceras de 20 galones. Basándose en los siguientes resultados, ¿cree que la desviación típica es diferente de dos? Datos: 11; 10; 9; 10; 10; 11; 11; 10; 12; 9; 7; 9; 11; 10; 11 H 0 : σ = 2 H a : σ ≠ 2 df = 14 distribución chi-cuadrado con df = 14 estadístico de prueba chi-cuadrado = 5,2094 valor p = 0,0346 Compruebe la solución del estudiante. Alfa = 0,05 Decisión: Rechace la hipótesis nula Motivo de la decisión: valor p < alfa Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que la desviación típica es diferente de 2. Al gerente de Frenchies le preocupa que los clientes no reciban siempre la misma cantidad de papas fritas con cada orden. El chef afirma que la desviación típica de una orden de diez onzas de papas fritas es como máximo de 1,5 oz, pero el gerente cree que puede ser mayor. Pesa aleatoriamente 49 órdenes de papas fritas, lo que arroja una media de 11 onzas y una desviación típica de dos onzas. Quiere comprar una computadora específica. Un representante de ventas del fabricante afirma que las tiendas minoristas venden esta computadora a un precio promedio de 1.249 dólares con una desviación típica muy estrecha de 25 dólares. Encuentra un sitio web que tiene una comparación de precios para la misma computadora en una serie de tiendas de la siguiente manera: 1.299; 1.229,99; 1.193,08; 1.279; 1.224,95; 1.229,99; 1.269,95; y 1.249 dólares. ¿Puede argumentar que los precios tienen una desviación típica mayor que la que afirma el fabricante? Utilice el nivel de significación del 5 %. Como comprador potencial, ¿cuál sería la conclusión práctica de su análisis? La desviación típica de la muestra es de 34,29 dólares. H 0 : σ 2 = 25 2 H a : σ 2 > 25 2 df = n – 1 = 7. estadístico de prueba: x 2 = x 7 2 = ( n – 1 ) s 2 25 2 = ( 8 – 1 ) ( 34,29 ) 2 25 2 = 13,169 ; valor p : P ( x 7 2 > 13,169 ) = 1 – P ( x 7 2 ≤ 13,169 ) = 0,0681 Alfa: 0,05 Decisión: No rechazar la hipótesis nula. Motivo de la decisión: valor p > alfa Conclusión: al nivel del 5 % no hay pruebas suficientes para concluir que la varianza es superior a 625. Una compañía empaqueta manzanas por peso. Uno de los grados de peso es el de las manzanas de clase A. Las manzanas de clase A tienen un peso medio de 150 g, y existe una tolerancia de peso máxima permitida del 5 % por encima o por debajo de la media para las manzanas del mismo paquete de consumo. Se selecciona un lote de manzanas para incluirlo en un paquete de manzanas de clase A. Teniendo en cuenta los siguientes pesos de las manzanas del lote, ¿la fruta cumple con los requisitos de tolerancia de peso de la clase A? Realice una prueba de hipótesis adecuada. (a) al nivel de significación del 5 % (b) al nivel de significación del 1 % Pesos en el lote de manzanas seleccionado (en gramos): 158; 167; 149; 169; 164; 139; 154; 150; 157; 171; 152; 161; 141; 166; 172;

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Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado Laboratorio 1: Bondad de ajuste de chi-cuadrado Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante evaluará los datos recogidos para determinar si se ajustan a las distribuciones uniforme o exponencial. Recopilación de datos Vaya a su supermercado local. Pregunte a 30 personas al salir por el monto total de sus recibos de compra. (O bien, pregunte a tres cajeros por los últimos diez montos. Incluya la caja rápida, si está abierta). Nota Es posible que tenga que combinar dos categorías para que cada celda tenga un valor esperado de al menos cinco. Anote los valores. __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ __________ Construya un histograma de los datos. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente: x ¯ = ________ s = ________ s 2 = ________ Distribución uniforme Compruebe si los recibos de la compra siguen la distribución uniforme. Con sus valores más bajos y más altos, X ~ U (_______, _______) Divida la distribución en quintos. Calcule lo siguiente: valor más bajo = _________ percentil 20 = _________ percentil 40 = _________ percentil 60 = _________ percentil 80 = _________ valor más alto = _________ Para cada quinto, cuente el número observado de recibos y anótelo. Luego, determine el número previsto de recibos y anótelo. Quinto Observado Esperado 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Distribución exponencial Comprobación para determinar si los recibos de caja siguen la distribución exponencial con parámetro de decaimiento 1 x ¯ . Utilizando 1 x ¯ como parámetro de decaimiento, X ~ Exp (_________). Calcule lo siguiente: valor más bajo = ________ primer cuartil = ________ percentil 37 = ________ mediana = ________ percentil 63 = ________ cuartil 3 = ________ valor más alto = ________ Para cada celda, cuente el número observado de recibos y anótelo. Luego, determine el número previsto de recibos y anótelo. Celda Observado Esperado 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Preguntas para el debate ¿Se ajustan sus datos a alguna de las dos distribuciones? Si es así, ¿a cuál? En general, ¿cree que sea probable que los datos se ajusten a más de una distribución? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas.

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Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado Laboratorio 2: prueba de independencia de chi-cuadrado Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante evaluará si existe una relación significativa entre el tipo de merienda favorita y el género. Recopilación de datos Utilizando su clase como muestra, complete el siguiente cuadro. Pregúntense mutuamente cuál es su merienda favorita y sume los resultados. Nota Es posible que tenga que combinar dos categorías de alimentos para que cada celda tenga un valor esperado de al menos cinco. Tipo de merienda favorita dulces (caramelos y productos de pastelería) helado papas fritas y pretzels frutas y vegetales Total hombre mujer Total Al observar la , ¿le parece que hay una dependencia entre el género y el tipo de merienda favorita? ¿Por qué sí o por qué no? Prueba de hipótesis Realice una prueba de hipótesis para determinar si los factores son independientes: H 0 : ________ H a : ________ ¿Qué distribución debe utilizar para una prueba de hipótesis? ¿Por qué ha elegido esta distribución? Calcule el estadístico de prueba. Calcule el valor p . Dibuje un gráfico de la situación. Identifique y escale el eje x . Sombree el área correspondiente al valor p . Exponga su decisión. Exponga su conclusión en una oración completa. Preguntas para el debate ¿La conclusión de su estudio es igual o diferente a su respuesta a la segunda pregunta de la sección Recopilación de datos ? ¿Por qué cree que es así?

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Introducción La regresión lineal y la correlación pueden ayudarlo a determinar si el salario de un mecánico de automóviles está relacionado con su experiencia laboral (créditos: Joshua Rothhaas). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Debatir sobre las ideas básicas de la regresión lineal y la correlación. Crear e interpretar la línea de mejor ajuste. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación. Calcular e interpretar los valores atípicos. Los profesionales a menudo quieren saber cómo se relacionan dos o más variables numéricas. Por ejemplo, ¿existe una relación entre la calificación del segundo examen de Matemáticas que toma un estudiante y la calificación del examen final? Si hay una relación, ¿cuál es la relación y cuán fuerte es? En otro ejemplo, puede que sus ingresos los determinen su educación, su profesión, sus años de experiencia y su capacidad. La cantidad que se paga a un reparador por la mano de obra suele estar determinada por una cantidad inicial más una tarifa por hora. Los datos que se describen en los ejemplos son bivariados : "bi" de dos variables. En realidad, los estadísticos utilizan datos multivariantes , es decir, muchas variables. En este capítulo, se estudiará la forma más sencilla de regresión: la "regresión lineal" con una variable independiente ( x ). Se trata de datos que se ajustan a una línea en dos dimensiones. También estudiará la correlación, que mide la fuerza de la relación.

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Ecuaciones lineales La regresión lineal para dos variables se basa en una ecuación lineal con una variable independiente. La ecuación tiene la forma y = a + bx donde a y b son números constantes. La variable x es la variable independiente, y y es la variable dependiente. Normalmente, se elige un valor para sustituir la variable independiente y luego se resuelve la variable dependiente. Los siguientes ejemplos son ecuaciones lineales. y = 3 + 2x y = -0,01 + 1,2x Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? y = –0,125 – 3,5 x El gráfico de una ecuación lineal de la forma y = a + bx es una línea recta . Cualquier línea que no sea vertical puede ser descrita por esta ecuación. Grafique la ecuación y = –1 + 2 x . Ejercicio ¿El siguiente es un ejemplo de ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? Aaron's Word Processing Service (AWPS) se encarga del procesamiento de textos. La tarifa de los servicios es de 32 dólares por hora, más un cargo único de 31,50 dólares. El costo total para un cliente depende del número de horas que se tarda en realizar el trabajo. Calcule la ecuación que expresa el costo total en términos del número de horas necesarias para completar el trabajo. Supongamos que x = el número de horas que se necesita para realizar el trabajo. Supongamos que y = el costo total para el cliente. Los 31,50 dólares son un costo fijo. Si se tarda x horas en completar el trabajo, entonces (32)( x ) es el costo del procesamiento de textos solamente. El costo total es: y = 31,50 + 32 x Ejercicio Emma's Extreme Sports contrata a los instructores de ala delta y les paga una cuota de 50 dólares por clase, así como 20 dólares por estudiante en la clase. El costo total que paga Emma depende del número de estudiantes de una clase. Halle la ecuación que exprese el costo total en función del número de estudiantes de una clase. Pendiente e intersección en Y de una ecuación lineal Para la ecuación lineal y = a + bx , b = pendiente y a = intersección en y . De Álgebra recuerde que la pendiente es un número que describe la inclinación de una línea, y la intersección en y es la coordenada y del punto (0, a ) donde la línea cruza el eje y . Tres posibles gráficos de y = a + bx . (a) Si b > 0, la línea tiene pendiente ascendente hacia la derecha. (b) Si b = 0, la línea es horizontal. (c) Si b < 0, la línea tiene pendiente descendente hacia la derecha. Svetlana da clases particulares para ganar dinero adicional para sus estudios superiores. Por cada sesión de tutoría cobra una cuota única de 25 dólares más 15 dólares por hora de tutoría. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Svetlana por cada sesión de tutoría es y = 25 + 15 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La variable independiente ( x ) es el número de horas que Svetlana da sesiones de tutoría. La variable dependiente ( y ) es la cantidad, en dólares, que gana Svetlana por cada sesión. La intersección en y es 25 ( a = 25). Al inicio de la sesión de tutoría, Svetlana cobra una cuota única de 25 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 15 ( b = 15). En cada sesión, Svetlana gana 15 dólares por cada hora de tutoría. Ejercicio Ethan repara electrodomésticos como lavavajillas y frigoríficos. Por cada visita, cobra 25 dólares más 20 dólares por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de dinero que gana Ethan por visita es y = 25 + 20 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. Referencias Datos de los Centros para el Control y la Prevención de Enfermedades. Datos del Centro Nacional de notificación de casos de gripe y prevención de TB de la agencia. Repaso del capítulo El tipo más básico de asociación es la asociación lineal. Este tipo de relación se puede definir algebraicamente mediante las ecuaciones usadas, numéricamente con los valores de los datos reales o previstos o gráficamente a partir de una curva trazada (las líneas se clasifican como curvas rectas). Algebraicamente, una ecuación lineal suele tener la forma y = mx + b , donde m y b son constantes, x es la variable independiente y es la variable dependiente. En un contexto estadístico, una ecuación lineal se escribe de la forma y = a + bx , donde a y b son las constantes. Esta forma se utiliza para ayudar a los lectores a distinguir el contexto estadístico del contexto algebraico. En la ecuación y = a + bx , la constante b , llamada coeficiente, representa la pendiente . La constante a recibe el nombre de intersección en y . La pendiente de una línea es un valor que describe la tasa de cambio entre las variables independiente y dependiente. La pendiente nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ) , en promedio. La intersección en y se utiliza para describir la variable dependiente cuando la variable independiente es igual a cero. Revisión de la fórmula y = a + bx donde a es la intersección en y y b es la pendiente. La variable x es la variable independiente, a la vez que la y es la variable dependiente. Utilice la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios . Un centro vacacional alquila equipos de buceo a buceadores certificados. El complejo cobra una tarifa inicial de 25 dólares y otra de 12,50 dólares por hora. ¿Cuáles son las variables dependientes e independientes? variable dependiente: monto de la tarifa; variable independiente: tiempo Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de horas de alquiler del equipo. Grafique la ecuación del . Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . Una compañía de tarjetas de crédito cobra 10 dólares por cada pago retrasado y 5 dólares por cada día de mora. Halle la ecuación que expresa la tarifa total en función del número de días de retraso en el pago. Grafique la ecuación del . ¿Es lineal la ecuación y = 10 + 5 x - 3 x 2 ? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? a. y = 6 x + 8 b. y + 7 = 3 x c. y - x = 8 x 2 d. 4 y = 8 y = 6 x + 8, 4 y = 8, and y + 7 = 3 x son todas ecuaciones lineales. ¿Muestra el gráfico una ecuación lineal? ¿Por qué sí o por qué no? La contiene datos reales de las dos primeras décadas de presentación de informes sobre la gripe. Solo adultos y adolescentes, Estados Unidos Año N.º casos de gripe diagnosticados N.º muertes por gripe Antes de 1981 91 29 1981 319 121 1982 1.170 453 1983 3.076 1.482 1984 6.240 3.466 1985 11.776 6.878 1986 19.032 11.987 1987 28.564 16.162 1988 35.447 20.868 1989 42.674 27.591 1990 48.634 31.335 1991 59.660 36.560 1992 78.530 41.055 1993 78.834 44.730 1994 71.874 49.095 1995 68.505 49.456 1996 59.347 38.510 1997 47.149 20.736 1998 38.393 19.005 1999 25.174 18.454 2000 25.522 17.347 2001 25.643 17.402 2002 26.464 16.371 Total 802.118 489.093 Utilice las columnas "año" y "N.º casos diagnosticados de gripe". ¿Por qué el "año" es la variable independiente y el "N.º de casos diagnosticados de gripe" la variable dependiente (en lugar de la inversa)? El número de casos de gripe depende del año. Por lo tanto, el año se convierte en la variable independiente y el número de casos de gripe es la variable dependiente. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . Una compañía de limpieza especializada cobra una tarifa por el equipo y una tarifa por hora de trabajo. Una ecuación lineal que expresa el monto total de la tarifa que la compañía cobra por cada sesión es y = 50 + 100 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuál es la intersección en y y cuál es la pendiente? Interprételos utilizando oraciones completas. La intersección em y es 50 ( a = 50). Al comienzo de la limpieza, la compañía cobra una tarifa única de 50 dólares (esto es cuando x = 0). La pendiente es 100 ( b = 100). Por cada sesión, la compañía cobra 100 dólares por cada hora de limpieza. Use la siguiente información para responder las próximas tres preguntas . Debido a la erosión, la orilla de un río pierde varios miles de libras de suelo cada año. Una ecuación lineal que expresa la cantidad total de suelo perdido por año es y = 12.000 x . ¿Cuáles son las variables independientes y dependientes? ¿Cuántas libras de suelo pierde la costa en un año? 12.000 libras de suelo ¿Cuál es la intersección en y ? Interprete su significado. Use la siguiente información para responder los próximos dos ejercicios . El precio de una sola emisión de acciones puede fluctuar a lo largo del día. Una ecuación lineal que representa el precio de las acciones de Shipment Express es y = 15 - 1,5 x donde x es el número de horas transcurridas en un día de ocho horas de negociación. ¿Cuáles son la pendiente y la intersección en y ? Interprete su significado. La pendiente es –1,5 ( b = –1,5). Esto significa que las acciones se desvalorizan a un ritmo de 1,50 dólares por hora. La intersección en y es de 15 dólares ( a = 15). Esto significa que el precio de las acciones antes del día de negociación era de 15 dólares. Si tuviera esta acción, ¿querría una pendiente positiva o negativa? ¿Por qué? Tarea para la casa Para cada una de las siguientes situaciones, indique la variable independiente y la variable dependiente. Se realiza un estudio para determinar si los conductores de edad avanzada están implicados en más accidentes de tráfico que otros conductores. El número de víctimas mortales por cada 100.000 conductores se compara con la edad de los conductores. Se realiza un estudio para determinar si la factura semanal de la compra de comestibles cambia en función del número de integrantes de la familia. Las compañías de seguros basan las primas de los seguros de vida parcialmente en la edad del solicitante. Las facturas de los servicios públicos varían según el consumo de energía. Se realiza un estudio para determinar si la educación superior reduce el índice de delincuencia en una población. variable independiente: edad; variable dependiente: víctimas mortales variable independiente: número de integrantes de la familia; variable dependiente: factura de compra de comestibles variable independiente: edad del solicitante; variable dependiente: prima de seguro variable independiente: consumo de energía; variable dependiente: factura de servicio variable independiente: educación superior (años); variable dependiente: índices de delincuencia Los sistemas de pago a destajo son planes de pago de incentivos ampliamente debatidos. En un estudio reciente sobre la eficacia de los agentes de crédito, se examinó el siguiente sistema de pago a destajo: % alcanzado de la meta < 80 80 100 120 Incentivo n/a 4.000 dólares, con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual entre el 81 y el 99 % 6.500 dólares, con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual entre el 101 y el 119 % 9.500 dólares con 125 dólares adicionales por cada punto porcentual a partir del 121 % Si un agente de crédito alcanza el 95 % de su meta, escriba la función lineal que se aplica en función de la tabla del plan de incentivos. En el contexto, explique la intersección en y , así como la pendiente.

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Diagramas de dispersión Antes de retomar el análisis de la regresión lineal y la correlación, necesitamos examinar una forma de mostrar la relación entre dos variables de la x y de la y . La forma más común y sencilla es el diagrama de dispersión . El siguiente ejemplo ilustra un diagrama de dispersión. En Europa y Asia, el comercio móvil es muy popular. Los usuarios del comercio móvil disponen de teléfonos móviles especiales que funcionan como monederos electrónicos y ofrecen servicios de telefonía e internet. Los usuarios pueden hacer de todo: desde pagar el estacionamiento hasta comprar un televisor o una gaseosa en una máquina, pasando por realizar operaciones bancarias o consultar los resultados deportivos en internet. En el periodo que va desde 2000 hasta 2004, ¿existe alguna relación entre el año y el número de usuarios de comercio móvil? Construya un diagrama de dispersión. Supongamos que la x = el año y la y = el número de usuarios de comercio móvil, en millones. x (año) y (número de usuarios) 2000 0,5 2002 20,0 2003 33,0 2004 47,0 Tabla que muestra el número de usuarios de comercio móvil (en millones) por año. Diagrama de dispersión que muestra el número de usuarios de comercio móvil (en millones) por año. Para crear un diagrama de dispersión: Introduzca sus datos X en la lista L1 y sus datos Y en la lista L2. Pulse 2nd STATPLOT ENTER para utilizar Plot 1. En la pantalla de entrada de PLOT 1, resalte On y pulse ENTER. (Asegúrese de que los otros gráficos estén deshabilitados). Para TYPE: resalte el primer ícono, que es el diagrama de dispersión, y pulse ENTER. Para Xlist:, introduzca L1 ENTER y para Ylist: L2 ENTER. Para Mark: no importa qué símbolo resalte, aunque el cuadrado es el más visible. Pulse ENTER. Verifique que no haya otras ecuaciones que puedan trazarse. Pulse Y = y borre las ecuaciones. Pulse la tecla ZOOM y luego el número 9 (para la opción de menú "ZoomStat"); la calculadora ajustará la ventana a los datos. Puede pulsar WINDOW para ver la escala de los ejes. Ejercicio Amelia juega baloncesto en su escuela secundaria. Quiere mejorar para jugar a nivel universitario. Se da cuenta de que el número de puntos que anota en un partido aumenta en respuesta al número de horas que practica su lanzamiento en suspensión cada semana. Ella anota los siguientes datos: X (horas practicando el lanzamiento en suspensión) Y (puntos anotados en un partido) 5 15 7 22 9 28 10 31 11 33 12 36 Construya un diagrama de dispersión e indique si lo que piensa Amelia sería cierto. El diagrama de dispersión muestra la dirección de una relación entre las variables. Una dirección clara ocurre cuando hay: Valores altos de una variable que se producen con valores altos de la otra variable o valores bajos de una variable que se producen con valores bajos de la otra variable. Valores altos de una variable que se producen con valores bajos de la otra variable. Puede determinar la fuerza de la relación al observar en diagrama de dispersión lo cerca que están los puntos de una línea, una función de potencia, una función exponencial o algún otro tipo de función. Para la relación lineal hay una excepción. Considere un diagrama de dispersión en el que todos los puntos caen sobre una línea horizontal que proporciona un "ajuste perfecto". De hecho, la línea horizontal no mostraría ninguna relación. Cuando se observa un diagrama de dispersión, hay que fijarse en el patrón general y en las desviaciones del patrón. Los siguientes ejemplos de diagramas de dispersión ilustran estos conceptos. En este capítulo, nos interesan los diagramas de dispersión que muestran un patrón lineal. Los patrones lineales son bastante comunes. La relación lineal es fuerte si los puntos se acercan a una línea recta, excepto en el caso de una línea horizontal donde no hay relación. Si pensamos que los puntos muestran una relación lineal, nos gustaría dibujar una línea en el diagrama de dispersión. Esta línea se calcula mediante un proceso denominado regresión lineal . Sin embargo, solo calculamos una línea de regresión si una de las variables explica o predice la otra variable. Si la x es la variable independiente, mientras que la y es la variable dependiente, podemos utilizar una línea de regresión para predecir la y para un valor dado de la x Repaso del capítulo Los diagramas de dispersión son especialmente útiles cuando queremos ver si existe una relación lineal entre los puntos de datos. Indican tanto la dirección de la relación entre las variables x y las variables y , como la fuerza de la relación. Calculamos la fuerza de la relación entre una variable independiente y una variable dependiente mediante una regresión lineal. ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? Los datos parecen ser lineales con una fuerte correlación positiva. ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? ¿El diagrama de dispersión parece lineal? ¿Fuerte o débil? ¿Positiva o negativa? Los datos parecen no tener correlación. Tarea para la casa La Paridad de Poder Adquisitivo (PPA) del Producto Interno Bruto (PIB) es una indicación del valor de la moneda de un país en comparación con otro. La muestra la PPA del PIB de Cuba en comparación con los dólares estadounidenses. Construya un diagrama de dispersión de los datos. Año PPA de Cuba Año PPA de Cuba 1999 1.700 2006 4.000 2000 1.700 2007 11.000 2002 2.300 2008 9.500 2003 2.900 2009 9.700 2004 3.000 2010 9.900 2005 3.500 Compruebe la solución del estudiante. La siguiente tabla muestra los índices de pobreza y el uso del teléfono móvil en Estados Unidos. Construya un diagrama de dispersión de los datos Año Índice de pobreza Uso del teléfono móvil per cápita 2003 12,7 54,67 2005 12,6 74,19 2007 12 84,86 2009 12 90,82 ¿El mayor costo de la matrícula se traduce en empleos mejor pagados? La tabla muestra las diez mejores universidades en función del salario de mitad de carrera y los costos asociados de matrícula anual. Construya un diagrama de dispersión de los datos. Escuela Salario a mitad de carrera (en miles) Matrícula anual Princeton 137 28.540 Harvey Mudd 135 40.133 CalTech 127 39.900 Academia Naval de EE. UU. 122 0 West Point 120 0 MIT 118 42.050 Universidad de Lehigh 118 43.220 NYU-Poly 117 39.565 Babson College 117 40.400 Stanford 114 54.506 Para el gráfico: compruebe la solución del estudiante. Tenga en cuenta que la matrícula es la variable independiente y el salario es la variable dependiente. Si el nivel de significación es 0,05 y el valor p es 0,06, ¿a qué conclusión llega? Si hay 15 puntos de datos en un conjunto de datos, ¿cuál es el número de grados de libertad? 13

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La ecuación de regresión Los datos rara vez se ajustan exactamente a una línea recta. Por lo general, hay que conformarse con predicciones aproximadas. Normalmente, se tiene un conjunto de datos cuyo diagrama de dispersión parece "ajustarse" a una línea recta. Esto se llama línea de mejor ajuste o línea de mínimos cuadrados . Si conoce la longitud del dedo meñique (el más pequeño) de una persona, ¿cree que podría predecir su altura? Recopile los datos de su clase (longitud del dedo meñique, en pulgadas). La variable independiente, x , es la longitud del dedo meñique y la variable dependiente, y , es la altura. Para cada conjunto de datos, trace los puntos en papel cuadriculado. Haga su gráfico lo suficientemente grande y utilice una regla . Luego, "a ojo", dibuja una línea que parezca "ajustarse" a los datos. Para su línea, elija dos puntos convenientes y utilícelos para calcular la pendiente de la línea. Halle la intersección y de la línea extendiendo su línea para que cruce el eje y . Con las pendientes y las intersecciones en y , escriba su ecuación de "mejor ajuste". ¿Cree que todos tendrán la misma ecuación? ¿Por qué sí o por qué no? Según su ecuación, ¿cuál es la altura prevista para una longitud del meñique de 2,5 pulgadas? Una muestra aleatoria de 11 estudiantes de Estadística produjo los siguientes datos, donde x es la calificación del tercer examen sobre 80, y y es la calificación del examen final sobre 200. ¿Puede predecir la nota del examen final de un estudiante al azar si conoce la nota del tercer examen? x (calificación del tercer examen) y (calificación del examen final) 65 175 67 133 71 185 71 163 66 126 75 198 67 153 70 163 71 159 69 151 69 159 Tabla que muestra las calificaciones del examen final basadas en las calificaciones del tercer examen. Diagrama de dispersión que muestra las calificaciones del examen final con base en las del tercer examen. Ejercicio Los buceadores tienen tiempos máximos de inmersión que no pueden superar cuando van a diferentes profundidades. Los datos en la muestran diferentes profundidades con los tiempos máximos de inmersión en minutos. Use su calculadora para hallar la línea de regresión de mínimos cuadrados y predecir el tiempo máximo de inmersión para 110 pies. X (profundidad en pies) Y (tiempo máximo de inmersión) 50 80 60 55 70 45 80 35 90 25 100 22 La puntuación del tercer examen, x , es la variable independiente y la puntuación del examen final, y , es la variable dependiente. Trazaremos la línea de regresión que mejor se "ajuste" a los datos. Si cada uno de ustedes ajustara una línea "a ojo", trazarían líneas diferentes. Podemos utilizar lo que se llama una línea de regresión por mínimos cuadrados para obtener la línea de mejor ajuste. Considere el siguiente diagrama. Cada punto de los datos tiene la forma ( x , y ) y cada punto de la línea de mejor ajuste utilizando la regresión lineal por mínimos cuadrados tiene la forma ( x , ŷ ). La ŷ se lee "estimador de y " , a la vez que es el valor estimado de y . Es el valor de y obtenido mediante la línea de regresión. Generalmente no es igual a la y de los datos. El término y 0 – ŷ 0 = ε 0 se denomina "error" o residual . No es un error en el sentido de una equivocación. El valor absoluto del residual mide la distancia vertical entre el valor real de y , además del valor estimado de y . En otras palabras, mide la distancia vertical entre el punto de datos real y el punto previsto en la línea. Si el punto de datos observado se encuentra por encima de la línea, el residuo es positivo y la línea subestima el valor real de los datos para y . Si el punto de datos observado se encuentra por debajo de la línea, el residuo es negativo y la línea sobreestima ese valor de datos real para y . En el diagrama de la , y 0 - ŷ 0 = ε 0 es el residual del punto mostrado. Aquí el punto está por encima de la línea y el residuo es positivo. ε = la letra griega épsilon Para cada punto de datos, puede calcular los residuales o errores, y i - ŷ i = ε i para i = 1, 2, 3, ..., 11. Cada | ε | es una distancia vertical. Para el ejemplo de las puntuaciones del tercer examen y del examen final de los 11 estudiantes de Estadística, hay 11 puntos de datos. Por lo tanto, hay 11 valores ε . Si se eleva al cuadrado cada ε y se suma, se obtiene ( ε 1 ) 2 + ( ε 2 ) 2 + ... + ( ε 11 ) 2 = Σ i = 1 11 ε 2 Esto se denomina suma de errores al cuadrado (Sum of Squared Errors, SSE) . Utilizando el cálculo, puede determinar los valores de a y b que hacen que la SSE sea un mínimo. Cuando hace la SSE un mínimo, ha determinado los puntos que están en la línea de mejor ajuste. Resulta que la línea de mejor ajuste tiene la ecuación: y ^ = a + b x donde a = y ¯ – b x ¯ y b = Σ ( x – x ¯ ) ( y – y ¯ ) Σ ( x – x ¯ ) 2 . Las medias muestrales de los valores x y los valores y son x ¯ y y ¯ , respectivamente. La línea de mejor ajuste siempre pasa por el punto ( x ¯ , y ¯ ) . La pendiente b puede escribirse como b = r ( s y s x ) donde s y = la desviación típica de los valores de y y s x = la desviación típica de los valores x . r es el coeficiente de correlación, que se analiza en la siguiente sección. Criterio de mínimos cuadrados para el mejor ajuste El proceso de ajuste de la línea de mejor ajuste se denomina regresión lineal . La idea de hallar la línea de mejor ajuste se basa en la suposición de que los datos están dispersos alrededor de una línea recta. El criterio para la línea de mejor ajuste es que la suma de errores al cuadrado (SSE) se minimice, es decir, que sea lo más pequeña posible. Cualquier otra línea que se elija tendrá una SSE mayor que la línea de mejor ajuste. Esta línea de mejor ajuste se denomina línea de regresión por mínimos cuadrados . Nota Las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente la línea de mejor ajuste y crear los gráficos. Los cálculos suelen ser tediosos si se hacen a mano. Al final de esta sección se muestran las instrucciones para utilizar las calculadoras TI-83, TI-83+ y TI-84+ para hallar la línea de mejor ajuste y crear un diagrama de dispersión. EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL: El gráfico de la línea de mejor ajuste para el ejemplo del tercer examen o examen final es el siguiente: La línea de regresión de mínimos cuadrados (línea de mejor ajuste) para el ejemplo del tercer examen o examen final viene dada por la ecuación: y ^ = – 173,51 + 4,83 x Recordatorio Recuerde que siempre es importante trazar primero un diagrama de dispersión. Si el diagrama de dispersión indica que existe una relación lineal entre las variables, entonces es razonable utilizar una línea de mejor ajuste para hacer predicciones para y dada x dentro del dominio de los valores de x en los datos de la muestra, pero no necesariamente para los valores de x fuera de ese dominio . Podría utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final de un estudiante que obtuvo una puntuación de 73 en el tercer examen. NO debería utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final de un estudiante que obtuvo una puntuación de 50 en el tercer examen, porque 50 no está dentro del dominio de los valores de x de los datos de la muestra, que están entre 65 y 75. ENTENDER LA PENDIENTE La pendiente de la línea, b , describe cómo se relacionan los cambios en las variables. Es importante interpretar la pendiente de la línea en el contexto de la situación representada por los datos. Debería ser capaz de escribir una frase interpretando la pendiente en inglés sencillo. INTERPRETACIÓN DE LA PENDIENTE: La pendiente de la línea de mejor ajuste nos indica cómo cambia la variable dependiente ( y ) por cada incremento unitario de la variable independiente ( x ), en promedio. EJEMPLO DEL TERCER EXAMEN versus el EXAMEN FINAL Pendiente: La pendiente de la línea es b = 4,83. Interpretación: Por un aumento de un punto en la puntuación del tercer examen, la puntuación del examen final aumenta en 4,83 puntos, en promedio. Uso de la prueba T de regresión lineal: LinRegTTest En el editor de listas STAT introduzca los datos X en la lista L1 y los datos Y en la lista L2 emparejados de forma que los valores ( x , y ) correspondientes estén uno al lado del otro en las listas (si un par de valores concreto se repite, introdúzcalo tantas veces como aparezca en los datos). En el menú STAT TESTS, desplácese hacia abajo con el cursor para seleccionar LinRegTTest (tenga cuidado al seleccionar LinRegTTest, ya que algunas calculadoras pueden tener también un elemento diferente llamado LinRegTInt). En la pantalla de entrada de LinRegTTest introduzca: Xlist: L1 ; Ylist: L2 ; Freq: 1 En la línea siguiente, en la indicación β o ρ , resalte "≠ 0" y pulse ENTER. Deje en blanco la línea "RegEq:" Resalte Calculate (Calcular) y pulse ENTER. La pantalla de salida contiene mucha información. Por ahora nos centraremos en algunos elementos de la salida, y volveremos más tarde a los demás elementos. La segunda línea señala y = a + bx . Desplácese hacia abajo para hallar los valores a = –173,513, y b = 4,8273; la ecuación de la línea de mejor ajuste es ŷ = –173,51 + 4,83 x Los dos elementos de la parte inferior son r 2 = 0,43969 y r = 0,663. Por ahora, basta con observar dónde hallar estos valores; los analizaremos en las dos próximas secciones. Graficar el diagrama de dispersión y la línea de regresión Suponemos que sus datos X ya están introducidos en la lista L1 y sus datos Y están en la lista L2 Pulse 2nd STATPLOT ENTER para utilizar Plot 1 En la pantalla de entrada de PLOT 1, resalte On , y pulse ENTER Para TYPE: resalte el primer ícono que es el diagrama de dispersión y pulse ENTER. Indique Xlist: L1 y Ylist: L2 Para Mark: no importa el símbolo que resalte. Pulse la tecla ZOOM y luego el número 9 (para la opción de menú "ZoomStat"); la calculadora ajustará la ventana a los datos Para graficar la línea de mejor ajuste, presione la tecla "Y=" y escriba la ecuación –173,5 + 4,83X en la ecuación Y1 (la tecla X está inmediatamente a la izquierda de la tecla STAT). Vuelva a pulsar ZOOM 9 para graficarla. Opcional: Si desea cambiar la ventana de visualización, pulse la tecla WINDOW. Introduzca la ventana deseada mediante Xmin, Xmax, Ymin, Ymax NOTA Otra forma de graficar la línea después de crear un diagrama de dispersión es utilizar LinRegTTest Asegúrese de haber hecho el diagrama de dispersión. Compruébelo en su pantalla. Vaya a LinRegTTest e introduzca las listas. En RegEq: pulse VARS y la flecha hacia Y-VARS. Pulse 1 para 1:Function. Pulse 1 para 1:Y1. A continuación, use la fecha hacia abajo a Calculate y haga el cálculo de la línea de mejor ajuste. Pulse Y = (verá la ecuación de regresión). Pulse GRAPH. Se trazará la línea". El coeficiente de correlación r Además de mirar el diagrama de dispersión y ver que una línea parece razonable, ¿cómo se puede saber si la línea es un buen predictor? Utilice el coeficiente de correlación como otro indicador (además del diagrama de dispersión) de la fuerza de la relación entre x y y . El coeficiente de correlación, r , desarrollado por Karl Pearson a principios del siglo XX, es numérico y proporciona una medida de la fuerza y la dirección de la asociación lineal entre la variable independiente x y la variable dependiente y . El coeficiente de correlación se calcula como r = n Σ ( x y ) – ( Σ x ) ( Σ y ) [ n Σ x 2 – ( Σ x ) 2 ] [ n Σ y 2 – ( Σ y ) 2 ] donde n = el número de puntos de datos. Si se sospecha que existe una relación lineal entre x y y , entonces r puede medir la fuerza de la relación lineal. Lo que nos dice el VALOR de r : El valor de r está siempre entre -1 y +1: -1 ≤ r ≤ 1. El tamaño de la correlación r indica la fuerza de la relación lineal entre x y y . Los valores de r cercanos a -1 o a +1 indican una relación lineal más fuerte entre x y y . Si r = 0 es probable que no haya correlación lineal. Sin embargo, es importante ver el diagrama de dispersión, porque los datos que muestran un patrón curvo u horizontal pueden tener una correlación de 0. Si r = 1, hay una correlación positiva perfecta. Si r = –1, hay una correlación negativa perfecta. En ambos casos, todos los puntos de datos originales se encuentran en una línea recta. Por supuesto, en el mundo real, esto no suele ocurrir. Lo que nos dice el SIGNO de r Un valor positivo de r significa que cuando x aumenta, y tiende a aumentar y cuando x disminuye, y tiende a disminuir (correlación positiva) . Un valor negativo de r significa que cuando x aumenta, y tiende a disminuir y cuando x disminuye, y tiende a aumentar (correlación negativa) . El signo de r es el mismo que el de la pendiente, b , de la línea de mejor ajuste. Nota Una fuerte correlación no sugiere que x sea la causa de y o que y sea la causa de x . Decimos que “la correlación no implica causalidad”. (a) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación positiva. 0 < r < 1 (b) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación negativa. -1 < r < 0 (c) Un diagrama de dispersión que muestra datos con una correlación cero. r = 0 La fórmula de r parece formidable. Sin embargo, las hojas de cálculo, los softwares estadísticos y muchas calculadoras pueden calcular rápidamente r . El coeficiente de correlación r es el elemento inferior de las pantallas de salida de LinRegTTest en las calculadoras TI-83, TI-83+ o TI-84+ (vea la sección anterior para las instrucciones). El coeficiente de determinación La variable r 2 se denomina el coeficiente de determinación y es el cuadrado del coeficiente de correlación, pero suele indicarse en porcentaje, en lugar de en forma decimal. Tiene una interpretación en el contexto de los datos: r 2 , cuando se expresa en porcentaje, representa el porcentaje de variación de la variable dependiente (predicha) y que puede explicarse por la variación de la variable independiente (explicativa) x utilizando la línea de regresión (de mejor ajuste). 1 – r 2 , cuando se expresa como porcentaje, representa el porcentaje de variación en y que NO se explica por la variación en x utilizando la línea de regresión. Esto puede verse como la dispersión de los puntos de datos observados en torno a la línea de regresión. Considere el ejemplo del tercer examen o examen final introducido en la sección anterior La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83x El coeficiente de correlación es r = 0,6631 El coeficiente de determinación es r 2 = 0,6631 2 = 0,4397 Interpretación de r 2 en el contexto de este ejemplo: Aproximadamente el 44 % de la variación (0,4397 es aproximadamente 0,44) en las notas del examen final puede explicarse por la variación en las notas del tercer examen, utilizando la línea de regresión de mejor ajuste. Por lo tanto, aproximadamente el 56 % de la variación (1 – 0,44 = 0,56) en las notas del examen final NO puede explicarse por la variación en las notas del tercer examen, utilizando la línea de regresión de mejor ajuste. (Esto se ve como la dispersión de los puntos alrededor de la línea). Repaso del capítulo Una línea de regresión, o una línea de mejor ajuste, puede trazarse en un diagrama de dispersión y utilizarse para predecir los resultados de las variables x y y en un conjunto de datos dado o datos de muestra. Hay varias formas de hallar una línea de regresión, pero normalmente se utiliza la línea de regresión por mínimos cuadrados porque crea una línea uniforme. Los residuos, también llamados "errores", miden la distancia entre el valor real de y y el valor estimado de y . La suma de errores al cuadrado, cuando se ajusta a su mínimo, calcula los puntos de la línea de mejor ajuste. Las líneas de regresión pueden utilizarse para predecir valores dentro del conjunto de datos dado, pero no deben utilizarse para hacer predicciones de valores fuera del conjunto de datos. El coeficiente de correlación r mide la fuerza de la asociación lineal entre x y y . La variable r tiene que estar entre -1 y +1. Cuando r es positivo, la x y la y tenderán a aumentar y disminuir juntas. Cuando r es negativo, x aumentará y y disminuirá, o lo contrario, x disminuirá y y aumentará. El coeficiente de determinación r 2 , es igual al cuadrado del coeficiente de correlación. Cuando se expresa en porcentaje, r 2 representa el porcentaje de variación de la variable dependiente y que puede explicarse por la variación de la variable independiente x mediante la línea de regresión. Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios . Una muestra aleatoria de 10 deportistas profesionales arrojó los siguientes datos, donde la x es el número de patrocinadores que tiene el jugador, mientras que la y es la cantidad de dinero que gana (en millones de dólares). x y x y 0 2 5 12 3 8 4 9 2 7 3 9 1 3 0 3 5 13 4 10 Dibuje un diagrama de dispersión de los datos. Utilice la regresión para hallar la ecuación de la línea de mejor ajuste. ŷ = 2,23 + 1,99 x Dibuje la línea de mejor ajuste en el diagrama de dispersión. ¿Cuál es la pendiente de la línea de mejor ajuste? ¿Qué representa? La pendiente es de 1,99 ( b = 1,99). Significa que por cada contrato de patrocinio que consigue un jugador profesional, obtiene un promedio de otros 1,99 millones de dólares de sueldo cada año. ¿Cuál es la intersección en y de la línea de mejor ajuste? ¿Qué representa? ¿Qué significa un valor r de cero? Significa que no hay correlación entre los conjuntos de datos. Cuando n = 2 y r = 1, ¿son los datos significativos? Explique. Cuando n = 100 y r = -0,89, ¿existe una correlación significativa? Explique. Sí, hay suficientes puntos de datos y el valor de r es lo suficientemente fuerte como para mostrar que hay una fuerte correlación negativa entre los conjuntos de datos. Tarea para la casa ¿Cuál es el proceso mediante el cual podemos calcular una línea que atraviesa un diagrama de dispersión con un patrón lineal? Explique qué significa que una correlación tenga un r 2 de 0,72. Significa que el 72 % de la variación de la variable dependiente ( y ) puede explicarse por la variación de la variable independiente ( x ). ¿Puede un coeficiente de determinación ser negativo? ¿Por qué sí o por qué no? Coeficiente de correlación medida desarrollada por Karl Pearson (a principios del siglo XX), que da la fuerza de asociación entre la variable independiente y la variable dependiente; la fórmula es: r = n Σ ( x y ) – ( Σ x ) ( Σ y ) [ n Σ x 2 – ( Σ x ) 2 ] [ n Σ y 2 – ( Σ y ) 2 ] donde n es el número de puntos de datos. El coeficiente no puede ser mayor que 1 ni menor que -1. Cuanto más se acerque el coeficiente a ±1, mayor será la evidencia de una relación lineal significativa entre x y y .

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Comprobación de la importancia del coeficiente de correlación El coeficiente de correlación, r , nos indica la fuerza y la dirección de la relación lineal entre la x y la y . Sin embargo, la fiabilidad del modelo lineal también depende del número de puntos de datos observados en la muestra. Tenemos que observar tanto el valor del coeficiente de correlación r como el tamaño de la muestra n , conjuntamente. Realizamos una prueba de hipótesis de la "significación del coeficiente de correlación" para decidir si la relación lineal en los datos de la muestra es lo suficientemente fuerte como para utilizarla para modelar la relación en la población. Los datos de la muestra se utilizan para calcular r , el coeficiente de correlación de la muestra. Si tuviéramos los datos de toda la población, podríamos hallar el coeficiente de correlación de la población. Pero como solo tenemos datos de la muestra, no podemos calcular el coeficiente de correlación de la población. El coeficiente de correlación de la muestra, r , es nuestra estimación del coeficiente de correlación de la población desconocido. El símbolo del coeficiente de correlación de la población es ρ , la letra griega "rho". ρ = coeficiente de correlación de la población (desconocido) r = coeficiente de correlación de la muestra (conocido; calculado a partir de los datos de la muestra) La prueba de hipótesis nos permite decidir si el valor del coeficiente de correlación de la población ρ es “cercano a cero” o “significativamente diferente de cero”. Lo decidimos en función del coeficiente de correlación de la muestra r y del tamaño de la muestra n . Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero, decimos que el coeficiente de correlación es "significativo". Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Lo que significa la conclusión: Existe una relación lineal significativa entre la x y la y . Podemos utilizar la línea de regresión para modelar la relación lineal entre la x y la y en la población. Si la prueba concluye que el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero (está cerca de cero), decimos que el coeficiente de correlación es “no significativo”. Conclusión: "No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación no es significativamente diferente de cero". Lo que significa la conclusión: No existe una relación lineal significativa entre la x y la y . Por lo tanto, NO podemos utilizar la línea de regresión para modelar una relación lineal entre la x y la y en la población. Nota Si r es significativo y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea puede utilizarse para predecir el valor de la y para los valores de la x que están dentro del dominio de los valores observados de la x . Si r es despreciable O si el diagrama de dispersión no muestra ninguna tendencia lineal, la línea no debería utilizarse para la predicción. Si r es significativo y si el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, puede que la línea NO sea apropiada o fiable para la predicción FUERA del dominio de los valores de la x observados en los datos. COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS Hipótesis nula: H 0 : ρ = 0 Hipótesis alternativa: H a : ρ ≠ 0 SIGNIFICADO DE LAS HIPÓTESIS EN PALABRAS: Hipótesis nula H 0 : El coeficiente de correlación de la población NO ES significativamente diferente de cero. NO HAY ninguna relación lineal significativa (correlación) entre la x y la y en la población. Hipótesis alternativa H a : El coeficiente de correlación de la población ES significativamente DIFERENTE de cero. EXISTE UNA RELACIÓN LINEAL SIGNIFICATIVA (correlación) entre la x y la y en la población. SACAR UNA CONCLUSIÓN: Hay dos métodos para tomar la decisión. Los dos métodos son equivalentes y dan el mismo resultado. Método 1: Utilizar el valor p Método 2: Utilizar una tabla de valores críticos En este capítulo de este libro de texto, utilizaremos siempre un nivel de significación del 5 %, α = 0,05 Nota Con el método del valor p , puede elegir cualquier nivel de significación apropiado que desee; no está limitado a utilizar α = 0,05. Sin embargo, la tabla de valores críticos proporcionada en este libro de texto supone que estamos utilizando un nivel de significación del 5 %, α = 0,05. (Si quisiéramos utilizar un nivel de significación diferente al 5 % con el método del valor crítico, necesitaríamos diferentes tablas de valores críticos que no se proporcionan en este libro de texto). MÉTODO 1: Utilizar un valor p para tomar una decisión Para calcular el valor p con la función LinRegTTEST: En la pantalla de entrada de LinRegTTEST, en la línea que pide β o ρ , resalte " ≠ 0 " La pantalla de salida muestra el valor p en la línea que dice "p =". (La mayoría de los softwares de estadística pueden calcular el valor p ). Si el valor p es inferior al nivel de significación( α = 0,05): Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: "Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero". Si el valor p NO es inferior al nivel de significación ( α = 0,05) Decisión: NO RECHAZAR la hipótesis nula. Conclusión: "No hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la x y la y porque el coeficiente de correlación NO es significativamente diferente de cero". Notas de cálculo: Utilizará la tecnología para calcular el valor p . A continuación se describen los cálculos para estimar los estadísticos de prueba y el valor p : El valor p se calcula mediante una distribución t con n – 2 grados de libertad. La fórmula para el estadístico de prueba es t = r n – 2 1 – r 2 . El valor del estadístico de prueba, t , se muestra en la salida de la computadora o de la calculadora junto con el valor p . El estadístico de prueba t tiene el mismo signo que el coeficiente de correlación r . El valor p es el área combinada en ambas colas. Otra manera de calcular el valor p (p) dado por LinRegTTest es el comando 2*tcdf(abs(t),10^99, n-2) en 2nd DISTR. EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor p Considere el ejemplo del tercer examen/examen final . La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51 + 4,83 x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen (valor x ), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor y predicho)? H 0 : ρ = 0 H a : ρ ≠ 0 α = 0,05 El valor p es de 0,026 (a partir de la prueba LinRegTT en su calculadora o del software). El valor p , 0,026, es inferior al nivel de significación de α = 0,05. Decisión: Rechazar la hipótesis nula H 0 Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la nota del tercer examen ( x ) y la nota del examen final ( y ) porque el coeficiente de correlación es significativamente diferente de cero. Como r es significativa y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea de regresión se puede usar para predecir calificaciones del examen final. MÉTODO 2: Utilizar una tabla de valores críticos para tomar una decisión. Los valores críticos al 95 % de la tabla de coeficientes de correlación de la muestra pueden utilizarse para dar una buena idea de si el valor calculado de r es significativo o no lo es . Compare r con el valor crítico apropiado de la tabla. Si r no está entre los valores críticos positivos y negativos, el coeficiente de correlación es significativo. Si r es significativo, entonces puede utilizar la línea para la predicción. Suponga que ha calculado r = 0,801 utilizando n = 10 puntos de datos. df = n - 2 = 10 - 2 = 8. Los valores críticos asociados a df = 8 son -0,632 y + 0,632. Si r < valor crítico negativo o r > valor crítico positivo, entonces r es significativo. Como r = 0,801 y 0,801 > 0,632, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción. Si ve este ejemplo en una línea numérica, le ayudará. r es despreciable entre -0,632 y +0,632. r = 0,801 > +0,632. Por lo tanto, r es significativo. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, ha calculado que r = 0,6501 utilizando n = 12 puntos de datos y el valor crítico es 0,576. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Suponga que ha calculado r = -0,624 con 14 puntos de datos. df = 14 - 2 = 12. Los valores críticos son -0,532 y 0,532. Dado que -0,624 < -0,532, r es significativo y la línea puede utilizarse para la predicción. r = -0,624 < -0,532. Por lo tanto, r es significativo. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = 0,5204 utilizando n = 9 puntos de datos, y el valor crítico es 0,666. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Suponga que ha calculado r = 0,776 y n = 6. df = 6 - 2 = 4. Los valores críticos son −0,811 y 0,811. Dado que -0,811 < 0,776 < 0,811, r es despreciable, por lo que la línea no debería utilizarse para la predicción. -0,811 < r = 0,776 < 0,811. Por lo tanto, r es despreciable. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = -0,7204 utilizando n = 8 puntos de datos, y el valor crítico es = 0,707. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? EJEMPLO DE TERCER EXAMEN vs. EXAMEN FINAL: método del valor crítico Considere el ejemplo del tercer examen/examen final . La línea de mejor ajuste es: ŷ = -173,51+4,83 x con r = 0,6631 y hay n = 11 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea de regresión para la predicción? Dada la puntuación del tercer examen ( valor x ), ¿podemos utilizar la línea para predecir la puntuación del examen final (valor y predicho)? H 0 : ρ = 0 H a : ρ ≠ 0 α = 0,05 Utilice la tabla del "valor crítico al 95 %" para r con df = n - 2 = 11 - 2 = 9. Los valores críticos son -0,602 y +0,602 Dado que 0,6631 > 0,602, r es significativo. Decisión: rechazar la hipótesis nula. Conclusión: Hay pruebas suficientes para concluir que existe una relación lineal significativa entre la calificación del tercer examen ( x ) y la calificación del examen final ( y ) porque el coeficiente de correlación es significativamente distinto de cero. Como r es significativo y el diagrama de dispersión muestra una tendencia lineal, la línea de regresión se puede usar para predecir calificaciones del examen final. Supongamos que ha calculado los siguientes coeficientes de correlación. Con la tabla del final del capítulo, determine si r es significativo y la línea de mejor ajuste asociada a cada r puede utilizarse para predecir un valor de y . Si le sirve, dibuje una línea numérica. r = -0,567 y el tamaño de la muestra, n , es 19. Los df = n - 2 = 17. El valor crítico es -0,456. -0,567 < -0,456 por lo que r es significativo. r = 0,708 y el tamaño de la muestra, n , es nueve. Los df = n - 2 = 7. El valor crítico es 0,666. 0,708 > 0,666 por lo que r es significativo. r = 0,134 y el tamaño de la muestra, n , es 14. Los df = 14 - 2 = 12. El valor crítico es 0,532. 0,134 está entre -0,532 y 0,532 por lo que r es despreciable. r = 0 y el tamaño de la muestra, n , es cinco. No importa cuáles sean los dfs, r = 0 está entre los dos valores críticos, por lo que r es despreciable. Ejercicio Para una línea de mejor ajuste dada, se calcula que r = 0 utilizando n = 100 puntos de datos. ¿Se puede utilizar la línea para la predicción? ¿Por qué sí o por qué no? Supuestos para comprobar la significación del coeficiente de correlación La comprobación de la significación del coeficiente de correlación requiere que se cumplan ciertos supuestos sobre los datos. La premisa de esta prueba es que los datos son una muestra de puntos observados tomados de una población mayor. No hemos examinado a toda la población porque no es posible ni factible hacerlo. Estamos examinando la muestra para sacar una conclusión sobre si la relación lineal que vemos entre x y y en los datos de la muestra proporciona una evidencia lo suficientemente contundente como para que podamos concluir que existe una relación lineal entre x y y en la población. La ecuación de la línea de regresión que calculamos a partir de los datos de la muestra da la línea de mejor ajuste para nuestra muestra particular. Queremos utilizar esta línea de mejor ajuste para la muestra como una estimación de la línea de mejor ajuste para la población. Examinar el diagrama de dispersión y comprobar la importancia del coeficiente de correlación nos permite Los supuestos en los que se basa la prueba de significación son: Existe una relación lineal en la población que modela el valor promedio de la y para valores variables de la x . En otras palabras, el valor esperado de la y para cada valor en particular se encuentra en una línea recta en la población. (No conocemos la ecuación para la línea en la población. Nuestra línea de regresión de la muestra es nuestra mejor estimación de esta línea en la población). Los valores de la y para cualquier valor en particular de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea. Esto implica que hay más valores de la y dispersos cerca de la línea que los que están más lejos. El supuesto (1) implica que estas distribuciones normales están centradas en la línea: las medias de estas distribuciones normales de los valores de la y se encuentran en la línea. Las desviaciones típicas de los valores de la y de la población en torno a la línea son iguales para cada valor de la x . En otras palabras, cada una de estas distribuciones normales de los valores de la y tiene la misma forma y dispersión sobre la línea. Los errores residuales son mutuamente independientes (sin patrón). Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio. Los valores de la y para cada valor de la x se distribuyen normalmente alrededor de la línea con la misma desviación típica. Para cada valor de la x , la media de los valores de la y se encuentra en la línea de regresión. Hay más valores de la y cerca de la línea que los que están dispersos más lejos. Repaso del capítulo La regresión lineal es un procedimiento para ajustar una línea recta de la forma ŷ = a + bx a los datos. Las condiciones para la regresión son: Lineal En la población, existe una relación lineal que modela el valor promedio de la y para distintos valores de la x . Independiente Se supone que los residuales son independientes. Normal Los valores de la y se distribuyen normalmente para cualquier valor de la x . Varianza igual La desviación típica de los valores de la y es igual para cada valor de la x . Aleatoria Los datos proceden de una muestra aleatoria bien diseñada o de un experimento aleatorio. La pendiente b y la intersección a de la línea de mínimos cuadrados estiman la pendiente β y la intersección α de la línea de regresión de la población (verdadera). Para estimar la desviación típica de la población de y , σ , utilice la desviación típica de los residuales, s . s = S E E n – 2 . La variable ρ (rho) es el coeficiente de correlación de la población. Para comprobar la hipótesis nula H 0 : ρ = valor hipotetizado , utilice una prueba t de regresión lineal. La hipótesis nula más común es H 0 : ρ = 0, que indica que no existe una relación lineal entre la x y la y en la población. La función LinRegTTest de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ puede realizar esta prueba (STATS TESTS LinRegTTest). Revisión de la fórmula Línea de mínimos cuadrados o línea de mejor ajuste: y ^ = a + b x donde a = intersección en y b = pendiente Desviación típica de los residuales: s = S E E n – 2 . donde SSE = suma de errores al cuadrado n = el número de puntos de datos Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis nula? Al comprobar la significación del coeficiente de correlación, ¿cuál es la hipótesis alternativa? H a : ρ ≠ 0 Si el nivel de significación es 0,05 y el valor p es 0,04, ¿qué conclusión puede sacar?

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