Secciones cónicas Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos y se consideraban un concepto matemático importante. Ya en el año 320 a.C., matemáticos griegos como Menecmo, Apolonio y Arquímedes estaban fascinados por estas curvas. Apolonio escribió un tratado completo de ocho volúmenes sobre las secciones cónicas en el que, por ejemplo, fue capaz de derivar un método específico para identificar una sección cónica mediante el uso de la geometría. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antenas parabólicas e incluso en arquitectura. En esta sección discutimos las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones. Las secciones cónicas reciben su nombre porque pueden generarse mediante la intersección de un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica denominadas hojas . Una hoja es lo que la mayoría de la gente entiende por "cono", con forma de sombrero de fiesta. Se puede generar un cono circular recto haciendo girar una línea que pasa por el origen alrededor del eje y , como se muestra. Un cono generado al girar la línea y = 3 x alrededor del eje y . Las secciones cónicas se generan mediante la intersección de un plano con un cono ( ). Si el plano es paralelo al eje de revolución (el eje y ), la sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generatriz, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano interseca una hoja en un ángulo con el eje (que no sea 90 ° ) , entonces la sección cónica es una elipse. Las cuatro secciones cónicas. Cada sección cónica está determinada por el ángulo que forma el plano con el eje del cono. Parábolas Una parábola se genera cuando un plano interseca un cono paralelo en la línea generadora. En este caso, el plano interseca solo una de las hojas. Una parábola también puede definirse en términos de distancias. Definición Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia a un punto fijo, llamado foco , es igual a la distancia a una línea fija, llamada directriz . El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice de la parábola. El gráfico de una parábola típica aparece en la . Utilizando este diagrama junto con la fórmula de la distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola. Recordemos la fórmula de la distancia: Dado un punto P con coordenadas ( x 1 , y 1 ) y el punto Q con coordenadas ( x 2 , y 2 ) , la distancia entre ellos está dada por la fórmula d ( P , Q ) = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 . Entonces, a partir de la definición de parábola y de la , obtenemos d ( F , P ) = d ( P , Q ) ( 0 − x ) 2 + ( p − y ) 2 = ( x – x ) 2 + ( − p − y ) 2 . Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando se obtiene x 2 + ( p − y ) 2 = 0 2 + ( − p − y ) 2 x 2 + p 2 − 2 p y + y 2 = p 2 + 2 p y + y 2 x 2 − 2 p y = 2 p y x 2 = 4 p y . Una parábola típica en la que la distancia del foco al vértice está representada por la variable p . Ahora supongamos que queremos reubicar el vértice. Utilizamos las variables ( h , k ) para denotar las coordenadas del vértice. Entonces, si el foco está directamente sobre el vértice, tiene coordenadas ( h , k + p ) y la directriz tiene la ecuación y = k − p . Si se realiza la misma derivación se obtiene la fórmula ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) . Resolviendo esta ecuación para y se llega al siguiente teorema. Ecuaciones de las parábolas Dada una parábola que se abre hacia arriba con el vértice situado en ( h , k ) y foco situado en ( h , k + p ) , donde p es una constante, la ecuación de la parábola está dada por y = 1 4 p ( x − h ) 2 + k . Esta es la forma estándar de una parábola. También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha. La ecuación para cada uno de estos casos también puede escribirse en forma estándar como se muestra en los siguientes gráficos. Cuatro parábolas, que se abren en varias direcciones, junto con sus ecuaciones en forma estándar. Además, la ecuación de una parábola puede escribirse en la forma general , aunque en esta forma los valores de h , k y p no son inmediatamente reconocibles. La forma general de una parábola se escribe como a x 2 + b x + c y + d = 0 o a y 2 + b x + c y + d = 0 . La primera ecuación representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. La segunda ecuación representa una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Para poner la ecuación en forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Conversión de la ecuación de una parábola de la forma general a la forma estándar Escriba la ecuación x 2 − 4 x − 8 y + 12 = 0 en forma estándar y grafique la parábola resultante. Como y no está elevada al cuadrado en esta ecuación, sabemos que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, tenemos que resolver esta ecuación para y, lo que pondrá la ecuación en forma estándar. Para ello, sume primero 8 y a ambos lados de la ecuación: 8 y = x 2 − 4 x + 12 . El siguiente paso es completar el cuadrado del lado derecho. Empiece por agrupar los dos primeros términos del lado derecho utilizando paréntesis: 8 y = ( x 2 − 4 x ) + 12 . A continuación, determine la constante que, sumada dentro del paréntesis, hace que la cantidad dentro del paréntesis sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, se toma la mitad del coeficiente de x y se eleva al cuadrado. Esto da ( −4 2 ) 2 = 4 . Sume 4 dentro del paréntesis y reste 4 fuera del paréntesis, por lo que el valor de la ecuación no cambia: 8 y = ( x 2 − 4 x + 4 ) + 12 − 4 . Ahora combine los términos semejantes y factorice la cantidad dentro del paréntesis: 8 y = ( x − 2 ) 2 + 8 . Por último, divida entre 8: y = 1 8 ( x − 2 ) 2 + 1 . Esta ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = 2 , k = 1 , y p = 2 . La parábola se abre, con vértice en ( 2 , 1 ) , foco en ( 2 , 3 ) , y directriz y = −1 . El gráfico de esta parábola es el siguiente. La parábola en el . Escriba la ecuación 2 y 2 − x + 12 y + 16 = 0 en forma estándar y grafique la parábola resultante. x = 2 ( y + 3 ) 2 − 2 Pista Resuelva para x . Compruebe en qué dirección se abre la parábola. El eje de simetría de una parábola vertical (que se abre hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice. La parábola tiene una propiedad interesante de reflexión. Supongamos que tenemos una antena parabólica con una sección transversal parabólica. Si un haz de ondas electromagnéticas, como la luz o las ondas de radio, llega a la antena parabólica en línea recta desde un satélite (paralelo al eje de simetría), las ondas se reflejan en la antena y se acumulan en el foco de la parábola, como se muestra. Consideremos una antena parabólica diseñada para recoger las señales de un satélite en el espacio. La antena parabólica se orienta directamente hacia el satélite y un receptor se sitúa en el foco de la parábola. Las ondas de radio procedentes del satélite se reflejan en la superficie de la parábola hasta el receptor, que recoge y descodifica las señales digitales. Esto permite que un pequeño receptor recoja señales de un ángulo amplio del cielo. Las linternas y los faros de los automóviles funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de luz (es decir, la bombilla) está situada en el foco y la superficie reflectante del espejo parabólico enfoca el haz de luz hacia delante. Esto permite que una pequeña bombilla ilumine un ángulo amplio de espacio delante de la linterna o del automóvil. Elipses Una elipse también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos y dos directrices. Más adelante veremos las directrices con más detalle. Definición Una elipse es el conjunto de todos los puntos para los que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. Una elipse típica en la que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El gráfico de una elipse típica se muestra en la . En esta figura los focos están marcados como F y F ′ . Ambas están a la misma distancia fija del origen, y esta distancia se representa con la variable c . Por lo tanto, las coordenadas de F son ( c , 0 ) y las coordenadas de F ′ son ( − c , 0 ) . Los puntos P y P ′ están situados en los extremos del eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas ( a , 0 ) y ( − a , 0 ) , respectivamente. El eje mayor es siempre la distancia más larga de la elipse y puede ser horizontal o vertical. Por tanto, la longitud del eje mayor de esta elipse es 2 a. Además, P y P ′ se llaman los vértices de la elipse. Los puntos Q y Q ′ están situados en los extremos del eje menor de la elipse, y tienen coordenadas ( 0 , b ) y ( 0 , − b ) , respectivamente. El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse. El eje menor es perpendicular al eje mayor. Según la definición de la elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias de este punto a los dos focos es constante. Supongamos que elegimos el punto P. Como las coordenadas del punto P son ( a , 0 ) , la suma de las distancias es d ( P , F ) + d ( P , F ′ ) = ( a − c ) + ( a + c ) = 2 a . Por tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas ( x , y ) también es igual a 2 a. Utilizando la fórmula de la distancia, obtenemos d ( A , F ) + d ( A , F ′ ) = 2 a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a . Reste el segundo radical de ambos lados y eleve al cuadrado ambos lados: ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x + c ) 2 + y 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 x 2 − 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 − 2 c x = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x . Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado: − 2 c x = 4 a 2 − 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x 4 a ( x + c ) 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 c x ( x + c ) 2 + y 2 = a + c x a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + c 2 + y 2 = a 2 + c 2 x 2 a 2 . Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho: x 2 − c 2 x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 ( a 2 − c 2 ) x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 . Divida ambos lados entre a 2 − c 2 . Esto da la ecuación x 2 a 2 + y 2 a 2 − c 2 = 1 . Si volvemos a la , entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de la línea verde es igual a a . Esto es cierto porque la suma de las distancias del punto Q a los focos F y F ′ es igual a 2 a , y las longitudes de estos dos segmentos de línea son iguales. Este segmento de línea forma un triángulo rectángulo con longitud de hipotenusa a y longitudes de catetos b y c . A partir del teorema de Pitágoras, a 2 = b 2 = c 2 y b 2 + a 2 − c 2 . Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 . Por último, si el centro de la elipse se desplaza del origen a un punto ( h , k ) , tenemos la siguiente forma estándar de una elipse. Ecuación de una elipse en forma estándar Consideremos la elipse con centro ( h , k ) , un eje mayor horizontal de longitud 2 a y un eje menor vertical de longitud 2 b . Entonces la ecuación de esta elipse en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . Las ecuaciones de las directrices son x = h ± a 2 c . Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la elipse se convierte en ( x − h ) 2 b 2 + ( y − k ) 2 a 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . Las ecuaciones de las directrices en este caso son y = k ± a 2 c . Si el eje mayor es horizontal, la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la elipse se llama vertical. La ecuación de una elipse está en forma general si tiene la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , donde A y B son ambos positivos o ambos negativos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Hallar la forma estándar de una elipse Escriba la ecuación 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y + 36 = 0 en forma estándar y grafique la elipse resultante. Primero reste 36 a ambos lados de la ecuación: 9 x 2 + 4 y 2 − 36 x + 24 y = –36 . A continuación, agrupe los términos x y los términos y y factorice los factores comunes: ( 9 x 2 − 36 x ) + ( 4 y 2 + 24 y ) = −36 9 ( x 2 − 4 x ) + 4 ( y 2 + 6 y ) = −36. Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ( −4 2 ) 2 = 4 . En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ( 6 2 ) 2 = 9 . Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, sumamos 36 al segundo conjunto también. Por lo tanto, la ecuación se convierte en 9 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 4 ( y 2 + 6 y + 9 ) = −36 + 36 + 36 9 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 4 ( y 2 + 6 y + 9 ) = 36. Ahora factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 36: 9 ( x − 2 ) 2 + 4 ( y + 3 ) 2 = 36 9 ( x − 2 ) 2 36 + 4 ( y + 3 ) 2 36 = 1 ( x − 2 ) 2 4 + ( y + 3 ) 2 9 = 1 La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = 2 , k = −3 , a = 3 , y b = 2 . Se trata de una elipse vertical con centro en ( 2 , −3 ) , eje mayor 6 y eje menor 4. El gráfico de esta elipse es el siguiente. La elipse en el . Escriba la ecuación 9 x 2 + 16 y 2 + 18 x − 64 y − 71 = 0 en forma estándar y grafique la elipse resultante. ( x + 1 ) 2 16 + ( y − 2 ) 2 9 = 1 Pista Mueva la constante y complete el cuadrado. Según la primera ley de Kepler del movimiento planetario, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos, como se muestra en la (a). Como la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año. Una idea errónea muy extendida es que la Tierra está más cerca del Sol en verano. De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno. La diferencia de estación se debe a la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital. Los cometas que orbitan alrededor del Sol, como el cometa Halley, también tienen órbitas elípticas, al igual que las lunas que orbitan los planetas y los satélites que orbitan la Tierra. Las elipses también tienen propiedades interesantes de reflexión: Un rayo de luz que emana de un foco pasa por el otro foco después de la reflexión del espejo en la elipse. Lo mismo ocurre con una onda sonora. La Sala Nacional de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos en Washington, DC, es una famosa sala de forma elíptica, como se muestra en la (b). Esta sala sirvió como lugar de reunión de la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años. La ubicación de los dos focos de esta sala semielíptica están claramente identificados por marcas en el suelo, e incluso si la sala está llena de visitantes, cuando dos personas se sitúan en estos puntos y hablan entre sí, pueden oírse mutuamente con mucha más claridad de la que pueden oír a alguien que esté cerca. Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio situado en uno de los focos y podía escuchar a todos los demás en la Cámara sin necesidad de ponerse de pie. Aunque es una buena historia, es poco probable que sea cierta, porque el techo original producía tanto eco que hubo que poner alfombras en toda la sala para amortiguar el ruido. El techo fue reconstruido en 1902 y solo entonces surgió el ahora famoso efecto de susurro. Otro famoso gabinete de secretos, sitio de muchas propuestas de matrimonio, se encuentra en la estación Grand Central de Nueva York. (a) La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de sus focos. (b) La Sala de Estatuas del Capitolio de Estados Unidos es una galería de secretos con una sección transversal elíptica. Hipérbolas Una hipérbola también puede definirse en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas. Definición Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en los que la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante. El gráfico de una hipérbola típica es la siguiente. Una hipérbola típica en la que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante. El eje transversal también se llama eje mayor, y el eje conjugado también se llama eje menor. La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es prácticamente idéntica a la de una elipse. Un pequeño inconveniente radica en la definición: La diferencia entre dos números es siempre positiva. Supongamos que P es un punto de la hipérbola con coordenadas ( x , y ) . Entonces la definición de la hipérbola da | d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) | = constante . Para simplificar la derivación, se supone que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto se eliminan. Si está en la rama izquierda, la resta se invierte. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas ( a , 0 ) , así que d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) = ( c + a ) − ( c − a ) = 2 a . Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas ( x , y ) para P : d ( P , F 1 ) − d ( P , F 2 ) = 2 a ( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a . Sume el segundo radical de ambos lados y eleve ambos lados al cuadrado: ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a + ( x + c ) 2 + y 2 ( x − c ) 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + ( x + c ) 2 + y 2 x 2 − 2 c x + c 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 − 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x . Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a elevarlo al cuadrado: − 2 c x = 4 a 2 + 4 a ( x + c ) 2 + y 2 + 2 c x 4 a ( x + c ) 2 + y 2 = −4 a 2 − 4 c x ( x + c ) 2 + y 2 = − a − c x a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + 2 c x + c 2 + y 2 = a 2 + 2 c x + c 2 x 2 a 2 x 2 + c 2 + y 2 = a 2 + c 2 x 2 a 2 . Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho: x 2 − c 2 x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 ( a 2 − c 2 ) x 2 a 2 + y 2 = a 2 − c 2 . Finalmente, divida ambos lados entre a 2 − c 2 . Esto da la ecuación x 2 a 2 + y 2 a 2 − c 2 = 1 . Ahora definimos b de manera que b 2 = c 2 − a 2 . Esto es posible porque c > a . Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 . Por último, si el centro de la hipérbola se desplaza del origen al punto ( h , k ) , tenemos la siguiente forma estándar de una hipérbola. Ecuación de una hipérbola en forma estándar Consideremos la hipérbola con centro ( h , k ) , un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta elipse es ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± b a ( x − h ) . Las ecuaciones de las directrices son x = k ± a 2 a 2 + b 2 = h ± a 2 c . Si el eje mayor es vertical, la ecuación de la hipérbola se convierte en ( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 y los focos se encuentran en ( h , k ± c ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por y = k ± a b ( x − h ) . Las ecuaciones de las directrices son y = k ± a 2 a 2 + b 2 = k ± a 2 c . Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, la hipérbola se llama vertical. La ecuación de una hipérbola está en forma general si tiene la forma A x 2 + B y 2 + C x + D y + E = 0 , donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de la forma general a la forma estándar, utilice el método de completar el cuadrado. Hallar la forma estándar de una hipérbola Escriba la ecuación 9 x 2 − 16 y 2 + 36 x + 32 y − 124 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas? Primero sume 124 a ambos lados de la ecuación: 9 x 2 − 16 y 2 + 36 x + 32 y = 124 . A continuación, agrupe los términos x y los términos y y luego factorice los factores comunes: ( 9 x 2 + 36 x ) − ( 16 y 2 − 32 y ) = 124 9 ( x 2 + 4 x ) − 16 ( y 2 − 2 y ) = 124. Tenemos que determinar la constante que cuando se suma dentro de cada conjunto de paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de x y elévelo al cuadrado. Esto da ( 4 2 ) 2 = 4 . En el segundo paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y elévelo al cuadrado. Esto da ( −2 2 ) 2 = 1 . Sume esto dentro de cada par de paréntesis. Como el primer conjunto de paréntesis tiene un 9 delante, en realidad estamos sumando 36 al lado izquierdo. Del mismo modo, restamos 16 al segundo conjunto de paréntesis. Por lo tanto, la ecuación se convierte en 9 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 16 ( y 2 − 2 y + 1 ) = 124 + 36 − 16 9 ( x 2 + 4 x + 4 ) − 16 ( y 2 − 2 y + 1 ) = 144. A continuación, factorice ambos conjuntos de paréntesis y divida entre 144: 9 ( x + 2 ) 2 − 16 ( y − 1 ) 2 = 144 9 ( x + 2 ) 2 144 − 16 ( y − 1 ) 2 144 = 1 ( x + 2 ) 2 16 − ( y − 1 ) 2 9 = 1 La ecuación está ahora en forma estándar. Si se compara con la se obtiene h = –2 , k = 1 , a = 4 , y b = 3 . Se trata de una hipérbola horizontal con centro en ( –2 , 1 ) y las asíntotas dadas por las ecuaciones y = 1 ± 3 4 ( x + 2 ) . El gráfico de esta hipérbola aparece en la siguiente figura. Gráfico de la hipérbola en el . Escriba la ecuación 4 y 2 − 9 x 2 + 16 y + 18 x − 29 = 0 en forma estándar y grafique la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas? ( y + 2 ) 2 9 − ( x – 1 ) 2 4 = 1 . Se trata de una hipérbola vertical. Asíntotas y = −2 ± 3 2 ( x – 1 ) . Pista Mueva la constante y complete el cuadrado. Compruebe en qué dirección se abre la hipérbola. Las hipérbolas también tienen propiedades interesantes de reflexión. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la siguiente figura. Un espejo hiperbólico utilizado para recoger la luz de las estrellas lejanas. Esta propiedad de la hipérbola tiene aplicaciones importantes. Se utiliza en la radiogoniometría (ya que la diferencia de las señales de dos torres es constante a lo largo de las hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de los telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico hacia el ocular). Otro hecho interesante sobre las hipérbolas es que para un cometa que entra en el sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar de la atracción gravitatoria del Sol, entonces la trayectoria que toma el cometa a su paso por el sistema solar es hiperbólica. Excentricidad y directriz Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de forma única esa sección cónica. Definición La excentricidad e de una sección cónica se define como la distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco, dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana. Este valor es constante para cualquier sección cónica, y puede definir también la sección cónica: Si e = 1 , la sección cónica es una parábola. Si e < 1 , es una elipse. Si e > 1 , es una hipérbola. La excentricidad de un círculo es cero. La directriz de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica. Las hipérbolas y las elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas. Las parábolas tienen un foco y una directriz. Las tres secciones cónicas con sus directrices aparecen en la siguiente figura. Las tres secciones cónicas con sus focos y directrices. Recordemos de la definición de parábola que la distancia de cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia de ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1. Las ecuaciones de las directrices de una elipse horizontal son x = ± a 2 c . El vértice derecho de la elipse se encuentra en ( a , 0 ) y el foco derecho es ( c , 0 ) . Por tanto, la distancia del vértice al foco es a − c y la distancia del vértice a la directriz derecha es a 2 c − a . Esto da la excentricidad como e = a − c a 2 c − a = c ( a − c ) a 2 − a c = c ( a − c ) a ( a − c ) = c a . Dado que c < a , este paso demuestra que la excentricidad de una elipse es menor que 1. Las directrices de una hipérbola horizontal también se encuentran en x = ± a 2 c , y un cálculo similar muestra que la excentricidad de una hipérbola es también e = c a . Sin embargo, en este caso tenemos c > a , por lo que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. Determinación de la excentricidad de una sección cónica Determine la excentricidad de la elipse descrita por la ecuación ( x − 3 ) 2 16 + ( y + 2 ) 2 25 = 1 . De la ecuación vemos que a = 5 y b = 4 . El valor de c puede calcularse mediante la ecuación a 2 = b 2 + c 2 para una elipse. Sustituyendo los valores de a y b y resolviendo para c se obtiene c = 3 . Por lo tanto la excentricidad de la elipse es e = c a = 3 5 = 0,6 . Determine la excentricidad de la hipérbola descrita por la ecuación ( y − 3 ) 2 49 − ( x + 2 ) 2 25 = 1 . e = c a = 74 7 ≈ 1,229 Pista Primero halle los valores de a y b , luego determine c usando la ecuación c 2 = a 2 + b 2 . Ecuaciones polares de secciones cónicas A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para ello, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica p se define como la distancia de un foco a la directriz más cercana. En la siguiente tabla se indican los parámetros focales para los distintos tipos de secciones cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), c es la distancia del origen al foco y e es la excentricidad. En el caso de una parábola, a representa la distancia del vértice al foco. Excentricidades y parámetros focales de las secciones cónicas Sección cónica e p Elipse 0 < e < 1 a 2 − c 2 c = a 2 ( 1 − e 2 ) e Parábola e = 1 2 a Hipérbola e > 1 c 2 − a 2 c = a ( e 2 – 1 ) e Utilizando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, suponemos que uno de los focos de una sección cónica dada se encuentra en el polo. Entonces, utilizando la definición de las distintas secciones cónicas en términos de distancias, es posible demostrar el siguiente teorema. Ecuación polar de las secciones cónicas La ecuación polar de una sección cónica con parámetro focal p está dada por r = e p 1 ± e cos θ o r = e p 1 ± e sen θ . En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero hay que hacer que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción entre la constante que aparece delante del más o del menos en el denominador. Entonces el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la sección cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la sección cónica es horizontal. Si aparece el seno, entonces la sección cónica es vertical. Si aparecen ambos, los ejes se giran. El centro de sección cónica no está necesariamente en el origen. El centro está en el origen solo si la sección cónica es un círculo (es decir, e = 0 ) . Graficar una sección cónica en coordenadas polares Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación r = 3 1 + 2 cos θ . El término constante en el denominador es 1, por lo que la excentricidad de la sección cónica es 2. Esto es una hipérbola. El parámetro focal p puede calcularse mediante la ecuación e p = 3 . Dado que e = 2 , esto da p = 3 2 . La función coseno aparece en el denominador, por lo que la hipérbola es horizontal. Elija algunos valores para θ y cree una tabla de valores. Entonces podemos graficar la hipérbola ( ). θ r θ r 0 1 π −3 π 4 3 1 + 2 ≈ 1,2426 5 π 4 3 1 − 2 ≈ –7,2426 π 2 3 3 π 2 3 3 π 4 3 1 − 2 ≈ –7,2426 7 π 4 3 1 + 2 ≈ 1,2426 Gráfico de la hipérbola descrita en el . Identifique y cree un gráfico de la sección cónica descrita por la ecuación r = 4 1 − 0,8 sen θ . Aquí e = 0,8 y p = 5 . Esta sección cónica es una elipse Pista Primero halle los valores de e y p , y luego cree una tabla de valores. Ecuaciones generales de grado dos Una ecuación general de grado dos puede escribirse de la forma A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 . El gráfico de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si B ≠ 0 entonces los ejes de coordenadas se giran. Para identificar la sección cónica, utilizamos el discriminante de la sección cónica 4 A C − B 2 . Uno de los siguientes casos debe ser cierto: 4 A C − B 2 > 0 . Si es así, el gráfico es una elipse. 4 A C − B 2 = 0 . Si es así, el gráfico es una parábola. 4 A C − B 2 < 0 . Si es así, el gráfico es una hipérbola. El ejemplo más sencillo de una ecuación de segundo grado que incluye un término cruzado es x y = 1 . Esta ecuación puede ser resuelta para y para obtener y = 1 x . El gráfico de esta función se llama hipérbola rectangular , como se muestra. Gráfico de la ecuación x y = 1 ; Las líneas rojas indican los ejes girados. Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes de coordenadas x y y . Para determinar el ángulo θ de rotación de la sección cónica, utilizamos la fórmula cot 2 θ = A − C B . En este caso A = C = 0 y B = 1 , así que cot 2 θ = ( 0 − 0 ) / 1 = 0 y θ = 45 ° . El método para graficar una sección cónica con ejes rotados implica determinar los coeficientes de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado. Los nuevos coeficientes se marcan como A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ , y están dados por las fórmulas A ′ = A cos 2 θ + B cos θ sen θ + C sen 2 θ B ′ = 0 C ′ = A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos 2 θ D ′ = D cos θ + E sen θ E ′ = − D sen θ + E cos θ F ′ = F . El procedimiento para graficar una sección cónica girada es el siguiente: Identifique la sección cónica utilizando el discriminante 4 A C − B 2 . Determine θ utilizando la fórmula cot 2 θ = A − C B . Calcule A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ . Reescriba la ecuación original utilizando A ′ , B ′ , C ′ , D ′ , E ′ , y F ′ . Dibuje un gráfico utilizando la ecuación girada. Identificación de una sección cónica girada Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación 13 x 2 − 6 3 x y + 7 y 2 − 256 = 0 . En esta ecuación, A = 13 , B = –6 3 , C = 7 , D = 0 , E = 0 , y F = –256 . El discriminante de esta ecuación es 4 A C − B 2 = 4 ( 13 ) ( 7 ) − ( −6 3 ) 2 = 364 − 108 = 256 . Por lo tanto esta sección cónica es una elipse. Para calcular el ángulo de rotación de los ejes, utilice cot 2 θ = A − C B . Esto da cot 2 θ = A − C B = 13 − 7 −6 3 = − 3 3 . Por lo tanto, 2 θ = 120 o y θ = 60 o , que es el ángulo de rotación de los ejes. Para determinar los coeficientes rotados, utilice las fórmulas indicadas anteriormente: A ′ = A cos 2 θ + B cos θ sen θ + C sen 2 θ = 13 cos 2 60 + ( −6 3 ) cos 60 sen 60 + 7 sen 2 60 = 13 ( 1 2 ) 2 − 6 3 ( 1 2 ) ( 3 2 ) + 7 ( 3 2 ) 2 = 4, B ′ = 0 , C ′ = A sen 2 θ − B sen θ cos θ + C cos 2 θ = 13 sen 2 60 + ( −6 3 ) sen 60 cos 60 = 7 cos 2 60 = ( 3 2 ) 2 + 6 3 ( 3 2 ) ( 1 2 ) + 7 ( 1 2 ) 2 = 16, D ′ = D cos θ + E sen θ = ( 0 ) cos 60 + ( 0 ) sen 60 = 0, E ′ = − D sen θ + E cos θ = − ( 0 ) sen 60 + ( 0 ) cos 60 = 0, F ′ = F = –256. La ecuación de la sección cónica en el sistema de coordenadas rotado es 4 ( x ′ ) 2 + 16 ( y ′ ) 2 = 256 ( x ′ ) 2 64 + ( y ′ ) 2 16 = 1 Un gráfico de esta sección cónica es el siguiente. Gráfico de la elipse descrita por la ecuación 13 x 2 − 6 3 x y + 7 y 2 − 256 = 0 . Los ejes se rotan 60 ° . Las líneas rojas discontinuas indican los ejes rotados. Identifique la sección cónica y calcule el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación 3 x 2 + 5 x y − 2 y 2 − 125 = 0 . La sección cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es θ = 22,5 ° . Pista Siga los pasos 1 y 2 del método de cinco pasos descrito anteriormente. Conceptos clave La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es y = 1 4 p ( x − h ) 2 + k donde p es la distancia del vértice al foco y ( h , k ) son las coordenadas del vértice. La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 + ( y − k ) 2 b 2 = 1 donde el centro tiene coordenadas ( h , k ) , el eje mayor tiene longitud 2 a, el eje menor tiene longitud 2 b y las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 − b 2 . La ecuación de una hipérbola horizontal en forma estándar es ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 donde el centro tiene coordenadas ( h , k ) , los vértices se encuentran en ( h ± a , k ) , y las coordenadas de los focos son ( h ± c , k ) , donde c 2 = a 2 + b 2 . La excentricidad de una elipse es menor que 1, la excentricidad de una parábola es igual a 1 y la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1. La excentricidad de un círculo es 0. La ecuación polar de una sección cónica con excentricidad e es r = e p 1 ± e cos θ o r = e p 1 ± e sen θ , donde p representa el parámetro focal. Para identificar una sección cónica generada por la ecuación A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 , primero calcule el discriminante D = 4 A C − B 2 . Si D > 0 entonces la sección cónica es una elipse, si D = 0 entonces la cónica es una parábola, y si D < 0 entonces la cónica es una hipérbola. En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la parábola utilizando la información dada. Foco ( 4 , 0 ) y directriz x = –4 y 2 = 16 x Foco ( 0 , −3 ) y directriz y = 3 Foco ( 0 , 0,5 ) y directriz y = −0,5 x 2 = 2 y Foco ( 2 , 3 ) y directriz x = –2 Foco ( 0 , 2 ) y directriz y = 4 x 2 = −4 ( y − 3 ) Foco ( –1 , 4 ) y directriz x = 5 Foco ( −3 , 5 ) y directriz y = 1 ( x + 3 ) 2 = 8 ( y − 3 ) Foco ( 5 2 , –4 ) y directriz x = 7 2 En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la elipse utilizando la información dada. Puntos finales del eje mayor en ( 4 , 0 ) , ( −4 , 0 ) y focos situados en ( 2 , 0 ) , ( –2 , 0 ) grandes. x 2 16 + y 2 12 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( 0 , 5 ) , ( 0 , −5 ) y focos situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) Puntos finales del eje menor en ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) y focos situados en ( 3 , 0 ) , ( −3 , 0 ) grandes. x 2 13 + y 2 4 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( −3 , 3 ) , ( 7 , 3 ) y focos situados en ( –2 , 3 ) , ( 6 , 3 ) Puntos finales del eje mayor en ( −3 , 5 ) , ( −3 , −3 ) y focos situados en ( −3 , 3 ) , ( −3 , –1 ) grandes. ( y − 1 ) 2 16 + ( x + 3 ) 2 12 = 1 Puntos finales del eje mayor en ( 0 , 0 ) , ( 0 , 4 ) y focos situados en ( 5 , 2 ) , ( −5 , 2 ) Focos situados en ( 2 , 0 ) , ( –2 , 0 ) y excentricidad de 1 2 x 2 16 + y 2 12 = 1 Focos situados en ( 0 , −3 ) , ( 0 , 3 ) y excentricidad de 3 4 En los siguientes ejercicios, determine la ecuación de la hipérbola utilizando la información dada. Vértices situados en ( 5 , 0 ) , ( −5 , 0 ) y focos situados en ( 6 , 0 ) , ( –6 , 0 ) grandes. x 2 25 − y 2 11 = 1 Vértices situados en ( 0 , 2 ) , ( 0 , –2 ) y focos situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) Puntos finales del eje conjugado situados en ( 0 , 3 ) , ( 0 , −3 ) y focos situados en ( 4 , 0 ) , ( −4 , 0 ) grandes. x 2 7 − y 2 9 = 1 Vértices situados en ( 0 , 1 ) , ( 6 , 1 ) y foco situado en ( 8 , 1 ) Vértices situados en ( –2 , 0 ) , ( –2 , –4 ) y foco situado en ( –2 , −8 ) grandes. ( y + 2 ) 2 4 − ( x + 2 ) 2 32 = 1 Puntos finales del eje conjugado situados en ( 3 , 2 ) , ( 3 , 4 ) y foco situado en ( 3 , 7 ) Focos situados en ( 6 , –0 ) , ( 6 , 0 ) y excentricidad de 3 x 2 4 − y 2 32 = 1 ( 0 , 10 ) , ( 0 , –10 ) y excentricidad de 2,5 En los siguientes ejercicios, considere las siguientes ecuaciones polares de secciones cónicas. Determine la excentricidad e identifique la sección cónica. r = −1 1 + cos θ e = 1 , parábola r = 8 2 − sen θ r = 5 2 + sen θ e = 1 2 , elipse r = 5 −1 + 2 sen θ r = 3 2 − 6 sen θ e = 3 , hipérbola r = 3 −4 + 3 sen θ En los siguientes ejercicios, halle una ecuación polar de la sección cónica con foco en el origen y excentricidad y directriz dadas. Directriz: x = 4 ; e = 1 5 r = 4 5 + cos θ Directriz: x = −4 ; e = 5 Directriz: y = 2 ; e = 2 r = 4 1 + 2 sen θ Directriz: y = −2 ; e = 1 2 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de cada sección cónica. r = 1 1 + sen θ r = 1 1 − cos θ r = 4 1 + cos θ r = 10 5 + 4 sen θ r = 15 3 − 2 cos θ r = 32 3 + 5 sen θ r ( 2 + sen θ ) = 4 r = 3 2 + 6 sen θ r = 3 −4 + 2 sen θ x 2 9 + y 2 4 = 1 x 2 4 + y 2 16 = 1 4 x 2 + 9 y 2 = 36 25 x 2 − 4 y 2 = 100 x 2 16 − y 2 9 = 1 x 2 = 12 y y 2 = 20 x 12 x = 5 y 2 Para las siguientes ecuaciones, determine cuál de las secciones cónicas se describe. x y = 4 x 2 + 4 x y − 2 y 2 − 6 = 0 Hipérbola x 2 + 2 3 x y + 3 y 2 − 6 = 0 x 2 − x y + y 2 − 2 = 0 Elipse 34 x 2 − 24 x y + 41 y 2 − 25 = 0 52 x 2 − 72 x y + 73 y 2 + 40 x + 30 y − 75 = 0 Elipse El espejo de un faro de automóvil tiene una sección transversal parabólica, con la bombilla en el foco. En un esquema, la ecuación de la parábola viene dada por x 2 = 4 y . ¿En qué coordenadas debe colocar la bombilla? Una antena parabólica tiene forma de paraboloide de revolución. El receptor debe situarse en el foco. Si la antena parabólica tiene 12 pies de diámetro en la abertura y 4 pies de profundidad en su centro, ¿dónde debe colocarse el receptor? En el punto 2,25 pies por encima del vértice. Consideremos la antena parabólica del problema anterior. Si la antena parabólica tiene 8 pies de ancho en la abertura y 2 pies de profundidad, ¿dónde debemos colocar el receptor? Un reflector tiene forma de paraboloide de revolución. Una fuente de luz está situada a 1 pie de la base a lo largo del eje de simetría. Si la abertura del reflector es de 3 pies de ancho, halle la profundidad. 0,5625 pies Los gabinetes de secretos son habitaciones diseñadas con techos elípticos. Una persona situada en un foco puede susurrar y ser escuchada por una persona situada en el otro foco porque todas las ondas sonoras que llegan al techo se reflejan en la otra persona. Si un gabinete de secretos tiene una longitud de 120 pies y los focos están situados a 30 pies del centro, halle la altura del techo en el centro. Una persona está de pie a 8 pies de la pared más cercana en un gabinete de secretos. Si esa persona está en un foco y el otro foco está a 80 pies, ¿cuál es la longitud y la altura en el centro de la galería? La longitud es de 96 pies y la altura es de aproximadamente 26,53 pies. En los siguientes ejercicios, determine la forma de ecuación polar de la órbita dada la longitud del eje mayor y la excentricidad para las órbitas de los cometas o planetas. La distancia se indica en unidades astronómicas (UA). Cometa Halley: longitud del eje mayor = 35,88, excentricidad = 0,967 Cometa Hale-Bopp: longitud del eje mayor = 525,91, excentricidad = 0,995 r = 2,616 1 + 0,995 cos θ Marte: longitud del eje mayor = 3,049, excentricidad = 0,0934 Júpiter: longitud del eje mayor = 10,408, excentricidad = 0,0484 r = 5,192 1 + 0,0484 cos θ Ejercicios de repaso del capítulo ¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta con una prueba o un contraejemplo. Las coordenadas rectangulares del punto ( 4 , 5 π 6 ) son ( 2 3 , –2 ) . Las ecuaciones x = cosh ( 3 t ) , y = 2 senoh ( 3 t ) representan una hipérbola. Verdadero. La longitud de arco de la espiral dada por r = θ 2 para 0 ≤ θ ≤ 3 π es 9 4 π 3 . Dada x = f ( t ) y de y = g ( t ) , si d x d y = d y d x , entonces f ( t ) = g ( t ) + C, donde C es una constante. Falso. Imagine y = t + 1 , x = − t + 1 . En los siguientes ejercicios, dibuje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva. x = 1 + t , y = t 2 – 1 , −1 ≤ t ≤ 1 x = e t , y = 1 − e 3 t , 0 ≤ t ≤ 1 y = 1 − x 3 x = sen θ , y = 1 − csc θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π x = 4 cos ϕ , y = 1 − sen ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2 π x 2 16 + ( y − 1 ) 2 = 1 En los siguientes ejercicios, dibuje la curva polar y determine qué tipo de simetría existe, si es que existe. r = 4 sen ( θ 3 ) grandes. r = 5 cos ( 5 θ ) Simetría alrededor del eje polar En los siguientes ejercicios, halle la ecuación polar de la curva dada como ecuación cartesiana. x + y = 5 y 2 = 4 + x 2 r 2 = 4 sen 2 θ − cos 2 θ En los siguientes ejercicios, halle la ecuación de la línea tangente a la curva dada. Grafique la función y su línea tangente. x = ln ( t ) , y = t 2 – 1 , t = 1 r = 3 + cos ( 2 θ ) , θ = 3 π 4 y = 3 2 2 + 1 5 ( x + 3 2 2 ) Halle d y d x , d x d y , y d 2 x d y 2 de y = ( 2 + e − t ) , x = 1 − sen ( t ) En los siguientes ejercicios, halle el área de la región. x = t 2 , y = ln ( t ) , 0 ≤ t ≤ e e 2 2 r = 1 − sen θ en el primer cuadrante En los siguientes ejercicios, halle la longitud de arco de la curva en el intervalo dado. x = 3 t + 4 , y = 9 t − 2 , 0 ≤ t ≤ 3 9 10 r = 6 cos θ , 0 ≤ θ ≤ 2 π . Compruebe su respuesta utilizando la geometría. En los siguientes ejercicios, halle la ecuación cartesiana que describe las formas dadas. Una parábola con foco ( 2 , −5 ) y directriz x = 6 ( y + 5 ) 2 = −8 x + 32 Una elipse con una longitud de eje mayor de 10 y focos en ( –7 , 2 ) y ( 1 , 2 ) Una hipérbola con vértices en ( 3 , –2 ) y ( −5 , –2 ) y focos en ( –2 , –6 ) y ( –2 , 4 ) grandes. ( y + 1 ) 2 16 − ( x + 2 ) 2 9 = 1 En los siguientes ejercicios, determine la excentricidad e identifique la sección cónica. Dibuje la sección cónica. r = 6 1 + 3 cos ( θ ) grandes. r = 4 3 − 2 cos θ e = 2 3 , elipse r = 7 5 − 5 cos θ Determine la ecuación cartesiana que describe la órbita de Plutón, la más excéntrica alrededor del Sol. La longitud del eje mayor es de 39,26 UA y la del eje menor de 38,07 UA. ¿Cuál es la excentricidad? y 2 19,03 2 + x 2 19,63 2 = 1 , e = 0,2447 El cometa C/1980 E1 fue observado en 1980. Dada una excentricidad de 1,057 y un perihelio (punto de máxima aproximación al Sol) de 3,364 UA, halle las ecuaciones cartesianas que describen la trayectoria del cometa. ¿Está garantizado que volveremos a ver este cometa? ( Pista : Considere el Sol en el punto ( 0 , 0 ) . ) sección cónica cualquier curva formada por la intersección de un plano con un cono de dos hojas directriz línea utilizada para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene una directriz; las elipses y las hipérbolas tienen dos discriminante el valor 4 A C − B 2 , que se utiliza para identificar una sección cónica cuando la ecuación contiene un término que implica x y , se llama discriminante foco punto utilizado para construir y definir una sección cónica; una parábola tiene un foco; una elipse y una hipérbola tienen dos excentricidad distancia de cualquier punto de la sección cónica a su foco dividida entre la distancia perpendicular de ese punto a la directriz más cercana parámetro focal distancia de un foco de una sección cónica a la directriz más cercana forma general ecuación de una sección cónica escrita como una ecuación general de segundo grado eje mayor el eje mayor de una sección cónica pasa por el vértice en el caso de una parábola o por los dos vértices en el caso de una elipse o una hipérbola; también es un eje de simetría de la sección cónica; también se llama eje transversal eje menor el eje menor es perpendicular al eje mayor y corta al eje mayor en el centro de la sección cónica, o en el vértice en el caso de la parábola; también se llama eje conjugado hoja la mitad de un cono doble forma estándar una ecuación de una sección cónica que muestra sus propiedades, como la ubicación del vértice o las longitudes de los ejes mayor y menor vértice punto extremo de una sección cónica; una parábola tiene un vértice en su punto de inflexión. Una elipse tiene dos vértices, uno en cada extremo del eje mayor; una hipérbola tiene dos vértices, uno en el punto de inflexión de cada rama

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Tabla de integrales Integrales básicas 1. ∫ u n d u = u n + 1 n + 1 + C , n ≠ − 1 2. ∫ d u u = ln | u | + C 3. ∫ e u d u = e u + C 4. ∫ a u d u = a u ln a + C 5. ∫ sin u d u = −cos u + C 6. ∫ cos u d u = sen u + C 7. ∫ sec 2 u d u = tan u + C 8. ∫ csc 2 u d u = −cot u + C 9. ∫ sec u tan u d u = sec u + C 10. ∫ csc u cot u d u = −csc u + C 11. ∫ tan u d u = ln | sec u | + C 12. ∫ cot u d u = ln | sin u | + C 13. ∫ sec u d u = ln | sec u + tan u | + C 14. ∫ csc u d u = ln | csc u − cot u | + C 15. ∫ d u a 2 − u 2 = sen −1 u a + C 16. ∫ d u a 2 + u 2 = 1 a tan −1 u a + C 17. ∫ d u u u 2 − a 2 = 1 a sec −1 u a + C Integrales trigonométricas 18. ∫ sen 2 u d u = 1 2 u − 1 4 sen 2 u + C 19. ∫ cos 2 u d u = 1 2 u + 1 4 sen 2 u + C 20. ∫ tan 2 u d u = tan u − u + C 21. ∫ cot 2 u d u = − cot u − u + C 22. ∫ sen 3 u d u = − 1 3 ( 2 + sen 2 u ) cos u + C 23. ∫ cos 3 u d u = 1 3 ( 2 + cos 2 u ) sin u + C 24. ∫ tan 3 u d u = 1 2 tan 2 u + ln | cos u | + C 25. ∫ cot 3 u d u = − 1 2 cot 2 u − ln | sin u | + C 26. ∫ sec 3 u d u = 1 2 sec u tan u + 1 2 ln | sec u + tan u | + C 27. ∫ csc 3 u d u = − 1 2 csc u cot u + 1 2 ln | csc u − cot u | + C 28. ∫ sin n u d u = − 1 n sen n – 1 u cos u + n – 1 n ∫ sin n – 2 u d u 29. ∫ cos n u d u = 1 n cos n – 1 u sin u + n – 1 n ∫ cos n – 2 u d u 30. ∫ tan n u d u = 1 n – 1 tan n – 1 u − ∫ tan n – 2 u d u 31. ∫ cot n u d u = −1 n – 1 cot n – 1 u − ∫ cot n – 2 u d u 32. ∫ sec n u d u = 1 n – 1 tan u sec n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ sec n – 2 u d u 33. ∫ csc n u d u = −1 n – 1 cot u csc n – 2 u + n – 2 n – 1 ∫ csc n – 2 u d u 34. ∫ sen a u sin b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) − sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 35. ∫ cos a u cos b u d u = sen ( a − b ) u 2 ( a − b ) + sen ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 36. ∫ sen a u cos b u d u = − cos ( a − b ) u 2 ( a − b ) − cos ( a + b ) u 2 ( a + b ) + C 37. ∫ u sin u d u = sen u − u cos u + C 38. ∫ u cos u d u = cos u + u sin u + C 39. ∫ u n sin u d u = − u n cos u + n ∫ u n – 1 cos u d u 40. ∫ u n cos u d u = u n sin u − n ∫ u n – 1 sin u d u 41. ∫ sin n u cos m u d u = − sen n – 1 u cos m + 1 u n + m + n – 1 n + m ∫ sin n – 2 u cos m u d u = sen n + 1 u cos m − 1 u n + m + m − 1 n + m ∫ sin n u cos m − 2 u d u Integrales exponenciales y logarítmicas 42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 ( a u − 1 ) e a u + C 43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u − n a ∫ u n – 1 e a u d u 44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a sin b u − b cos b u ) + C 45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 ( a cos b u + b sin b u ) + C 46. ∫ ln u d u = u ln u − u + C 47. ∫ u n ln u d u = u n + 1 ( n + 1 ) 2 [ ( n + 1 ) ln u − 1 ] + C 48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C Integrales hiperbólicas 49. ∫ senoh u d u = cosh u + C 50. ∫ cosh u d u = senoh u + C 51. ∫ tanh u d u = ln cosh u + C 52. ∫ coth u d u = ln | senoh u | + C 53. ∫ sech u d u = tan −1 | senoh u | + C 54. ∫ csch u d u = ln | tanh 1 2 u | + C 55. ∫ sech 2 u d u = tanh u + C 56. ∫ csch 2 u d u = − coth u + C 57. ∫ sech u tanh u d u = − sech u + C 58. ∫ csch u coth u d u = − csch u + C Integrales trigonométricas inversas 59. ∫ sen −1 u d u = u sin −1 u + 1 − u 2 + C 60. ∫ cos −1 u d u = u cos −1 u − 1 − u 2 + C 61. ∫ tan −1 u d u = u tan −1 u − 1 2 ln ( 1 + u 2 ) + C 62. ∫ u sin −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 sin −1 u + u 1 − u 2 4 + C 63. ∫ u cos −1 u d u = 2 u 2 – 1 4 cos −1 u − u 1 − u 2 4 + C 64. ∫ u tan −1 u d u = u 2 + 1 2 tan −1 u − u 2 + C 65. ∫ u n sin −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 sin −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 66. ∫ u n cos −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 cos −1 u + ∫ u n + 1 d u 1 − u 2 ] , n ≠ − 1 67. ∫ u n tan −1 u d u = 1 n + 1 [ u n + 1 tan −1 u − ∫ u n + 1 d u 1 + u 2 ] , n ≠ − 1 Integrales que implican a 2 + u 2 , a > 0 68. ∫ a 2 + u 2 d u = u 2 a 2 + u 2 + a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 69. ∫ u 2 a 2 + u 2 d u = u 8 ( a 2 + 2 u 2 ) a 2 + u 2 − a 4 8 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 70. ∫ a 2 + u 2 u d u = a 2 + u 2 − a ln | a + a 2 + u 2 u | + C 71. ∫ a 2 + u 2 u 2 d u = − a 2 + u 2 u + ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 72. ∫ d u a 2 + u 2 = ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 73. ∫ u 2 d u a 2 + u 2 = u 2 ( a 2 + u 2 ) − a 2 2 ln ( u + a 2 + u 2 ) + C 74. ∫ d u u a 2 + u 2 = − 1 a ln | a 2 + u 2 + a u | + C 75. ∫ d u u 2 a 2 + u 2 = − a 2 + u 2 a 2 u + C 76. ∫ d u ( a 2 + u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 + u 2 + C Integrales que implican u 2 - a 2 , a > 0 77. ∫ u 2 − a 2 d u = u 2 u 2 − a 2 − a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 78. ∫ u 2 u 2 − a 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) u 2 − a 2 − a 4 8 ln | u + u 2 − a 2 | + C 79. ∫ u 2 − a 2 u d u = u 2 − a 2 − a cos −1 a | u | + C 80. ∫ u 2 − a 2 u 2 d u = − u 2 − a 2 u + ln | u + u 2 − a 2 | + C 81. ∫ d u u 2 − a 2 = ln | u + u 2 − a 2 | + C 82. ∫ u 2 d u u 2 − a 2 = u 2 u 2 − a 2 + a 2 2 ln | u + u 2 − a 2 | + C 83. ∫ d u u 2 u 2 − a 2 = u 2 − a 2 a 2 u + C 84a. ∫ d u ( u 2 − a 2 ) 3 / 2 = − u a 2 u 2 − a 2 + C 84b. ∫ d u u 2 − a 2 = 1 2 a ln u − a u + a + C Integrales que implican a 2 - u 2 , a > 0 85. ∫ a 2 − u 2 d u = u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 86. ∫ u 2 a 2 − u 2 d u = u 8 ( 2 u 2 − a 2 ) a 2 − u 2 + a 4 8 sin −1 u a + C 87. ∫ a 2 − u 2 u d u = a 2 − u 2 − a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 88. ∫ a 2 − u 2 u 2 d u = − 1 u a 2 − u 2 − sin −1 u a + C 89. ∫ u 2 d u a 2 − u 2 = − u 2 a 2 − u 2 + a 2 2 sen −1 u a + C 90. ∫ d u u a 2 − u 2 = − 1 a ln | a + a 2 − u 2 u | + C 91. ∫ d u u 2 a 2 − u 2 = − 1 a 2 u a 2 − u 2 + C 92. ∫ ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 d u = − u 8 ( 2 u 2 − 5 a 2 ) a 2 − u 2 + 3 a 4 8 sin −1 u a + C 93a. ∫ d u ( a 2 − u 2 ) 3 / 2 = u a 2 a 2 − u 2 + C 93b. ∫ d u a 2 − u 2 = 1 2 a ln u + a u − a + C Integrales que implican 2 au - u 2 , a > 0 94. ∫ 2 a u − u 2 d u = u − a 2 2 a u − u 2 + a 2 2 cos −1 ( a − u a ) + C 95. ∫ d u 2 a u − u 2 = cos −1 ( a − u a ) + C 96. ∫ u 2 a u − u 2 d u = 2 u 2 − a u − 3 a 2 6 2 a u − u 2 + a 3 2 cos −1 ( a − u a ) + C 97. ∫ d u u 2 a u − u 2 = − 2 a u − u 2 a u + C Integrales que implican a + bu , a ≠ 0 98. ∫ u d u a + b u = 1 b 2 ( a + b u − a ln | a + b u | ) + C 99. ∫ u 2 d u a + b u = 1 2 b 3 [ ( a + b u ) 2 − 4 a ( a + b u ) + 2 a 2 ln | a + b u | ] + C 100. ∫ d u u ( a + b u ) = 1 a ln | u a + b u | + C 101. ∫ d u u 2 ( a + b u ) = − 1 a u + b a 2 ln | a + b u u | + C 102. ∫ u d u ( a + b u ) 2 = a b 2 ( a + b u ) + 1 b 2 ln | a + b u | + C 103. ∫ u d u u ( a + b u ) 2 = 1 a ( a + b u ) − 1 a 2 ln | a + b u u | + C 104. ∫ u 2 d u ( a + b u ) 2 = 1 b 3 ( a + b u − a 2 a + b u − 2 a ln | a + b u | ) + C 105. ∫ u a + b u d u = 2 15 b 2 ( 3 b u − 2 a ) ( a + b u ) 3 / 2 + C 106. ∫ u d u a + b u = 2 3 b 2 ( b u − 2 a ) a + b u + C 107. ∫ u 2 d u a + b u = 2 15 b 3 ( 8 a 2 + 3 b 2 u 2 − 4 a b u ) a + b u + C 108. ∫ d u u a + b u = 1 a ln | a + b u − a a + b u + a | + C , si a > 0 = 2 − a tan − 1 a + b u − a + C , si a < 0 109. ∫ a + b u u d u = 2 a + b u + a ∫ d u u a + b u 110. ∫ a + b u u 2 d u = − a + b u u + b 2 ∫ d u u a + b u 111. ∫ u n a + b u d u = 2 b ( 2 n + 3 ) [ u n ( a + b u ) 3 / 2 − n a ∫ u n – 1 a + b u d u ] 112. ∫ u n d u a + b u = 2 u n a + b u b ( 2 n + 1 ) − 2 n a b ( 2 n + 1 ) ∫ u n – 1 d u a + b u 113. ∫ d u u n a + b u = − a + b u a ( n – 1 ) u n – 1 − b ( 2 n − 3 ) 2 a ( n – 1 ) ∫ d u u n – 1 a + b u

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Tabla de derivadas Fórmulas generales 1. d d x ( c ) = 0 2. d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) 3. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) 4. d d x ( x n ) = n x n – 1 , para los números reales n 5. d d x ( c f ( x ) ) = c f ′ ( x ) 6. d d x ( f ( x ) − g ( x ) ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) 7. d d x ( f ( x ) g ( x ) ) = g ( x ) f ′ ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) ( g ( x ) ) 2 8. d d x [ f ( g ( x ) ) ] = f ′ ( g ( x ) ) · g ′ ( x ) Funciones trigonométricas 9. d d x ( sen x ) = cos x 10. d d x ( tan x ) = sec 2 x 11. d d x ( sec x ) = sec x tan x 12. d d x ( cos x ) = − sen x 13. d d x ( cot x ) = − csc 2 x 14. d d x ( csc x ) = −csc x cot x Funciones trigonométricas inversas 15. d d x ( sin −1 x ) = 1 1 − x 2 16. d d x ( tan −1 x ) = 1 1 + x 2 17. d d x ( sec −1 x ) = 1 | x | x 2 – 1 18. d d x ( cos −1 x ) = − 1 1 − x 2 19. d d x ( cot −1 x ) = − 1 1 + x 2 20. d d x ( csc −1 x ) = − 1 | x | x 2 – 1 Funciones exponenciales y logarítmicas 21. d d x ( e x ) = e x 22. d d x ( ln | x | ) = 1 x 23. d d x ( b x ) = b x ln b 24. d d x ( log b x ) = 1 x ln b Funciones hiperbólicas 25. d d x ( senoh x ) = cosh x 26. d d x ( tanh x ) = sech 2 x 27. d d x ( sech x ) = −sech x tanh x 28. d d x ( cosh x ) = senh x 29. d d x ( coth x ) = − csch 2 x 30. d d x ( csch x ) = −csch x coth x Funciones hiperbólicas inversas 31. d d x ( senoh −1 x ) = 1 x 2 + 1 32. d d x ( tanh −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | < 1 ) 33. d d x ( sech −1 x ) = − 1 x 1 − x 2 ( 0 < x < 1 ) 34. d d x ( cosh −1 x ) = 1 x 2 – 1 ( x > 1 ) 35. d d x ( coth −1 x ) = 1 1 − x 2 ( | x | > 1 ) 36. d d x ( csch −1 x ) = − 1 | x | 1 + x 2 ( x ≠ 0 )

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Repaso de Precálculo Fórmulas de geometría Los términos A = área , V = Volumen , y S = área superficial lateral Fórmulas de álgebra Leyes de los exponentes Los términos x m x n = x m + n x m x n = x m − n ( x m ) n = x m n x − n = 1 x n ( x y ) n = x n y n ( x y ) n = x n y n x 1 / n = x n x y n = x n y n x y n = x n y n x m / n = x m n = ( x n ) m Factorizaciones especiales Los términos x 2 − y 2 = ( x + y ) ( x − y ) x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) Fórmula cuadrática Si los valores de a x 2 + b x + c = 0 , entonces x = − b ± b 2 − 4 c a 2 a . Teorema del binomio Los términos ( a + b ) n = a n + ( n 1 ) a n – 1 b + ( n 2 ) a n – 2 b 2 + ⋯ + ( n n – 1 ) a b n – 1 + b n , donde ( n k ) = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ( k − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n ! k ! ( n − k ) ! Fórmulas de trigonometría Trigonometría de ángulo recto Los términos sen θ = opp hyp csc θ = hyp opp cos θ = adj hyp sec θ = hyp adj tan θ = opp adj cot θ = adj opp Funciones trigonométricas de ángulos importantes Los términos θ Los términos Radianes Los términos sen θ Los términos cos θ Los términos tan θ Los términos 0 ° Los términos 0 Los términos 0 Los términos 1 Los términos 0 Los términos 30 ° Los términos π / 6 Los términos 1 / 2 Los términos 3 / 2 Los términos 3 / 3 Los términos 45 ° Los términos π / 4 Los términos 2 / 2 Los términos 2 / 2 Los términos 1 Los términos 60 ° Los términos π / 3 Los términos 3 / 2 Los términos 1 / 2 Los términos 3 Los términos 90 ° Los términos π / 2 Los términos 1 Los términos 0 — Identidades fundamentales Los términos sen 2 θ + cos 2 θ = 1 sen ( − θ ) = − sen θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ cos ( − θ ) = cos θ 1 + cot 2 θ = csc 2 θ tan ( − θ ) = − tan θ sin ( π 2 − θ ) = cos θ sin ( θ + 2 π ) = sen θ cos ( π 2 − θ ) = sen θ cos ( θ + 2 π ) = cos θ tan ( π 2 − θ ) = cot θ tan ( θ + π ) = tan θ Ley de senos Los términos sin A a = sin B b = sin C c Ley de los cosenos Los términos a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C Fórmulas de suma y resta Los términos sen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sin y sin ( x − y ) = sen x cos y − cos x sin y cos ( x + y ) = cos x cos y − sen x sin y cos ( x − y ) = cos x cos y + sen x sin y tan ( x + y ) = tan x + tan y 1 − tan x tan y tan ( x − y ) = tan x − tan y 1 + tan x tan y Fórmulas del ángulo doble Los términos sen 2 x = 2 sen x cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x = 2 cos 2 x – 1 = 1 − 2 sen 2 x tan 2 x = 2 tan x 1 − tan 2 x Fórmulas de ángulo mitad Los términos sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

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Prefacio Bienvenido a Introducción a la estadística , un recurso de OpenStax. Este libro de texto fue escrito para aumentar el acceso de los estudiantes a material de aprendizaje de alta calidad, a la vez que se mantienen los más altos estándares de rigor académico a bajo costo o sin costo. La base de este libro de texto es Collaborative Statistics [Estadística de colaboración] , de Barbara Illowsky y Susan Dean. Se han añadido temas adicionales, ejemplos e innovaciones en la terminología y las aplicaciones prácticas, todo ello con el objetivo de aumentar la relevancia y la accesibilidad para los estudiantes. Acerca de OpenStax OpenStax es una organización sin fines de lucro con sede en la Universidad de Rice. Nuestra misión es mejorar el acceso de los estudiantes a la educación. Nuestro primer libro de texto universitario con licencia abierta se publicó en 2012, y desde entonces nuestra biblioteca se ha ampliado a más de 25 libros para cursos universitarios y de Colocación Avanzada (Advanced Placement, AP ® ) utilizados por cientos de miles de estudiantes. OpenStax Tutor, nuestra herramienta de aprendizaje personalizado de bajo costo, se utiliza en cursos universitarios de todo el país. A través de nuestras asociaciones con fundaciones filantrópicas y nuestra alianza con otras organizaciones de recursos educativos, OpenStax rompe las barreras más comunes para el aprendizaje y otorga poder a los estudiantes e instructores para que triunfen. Sobre los recursos de OpenStax Personalización Introducción a la estadística está autorizado conforme a la licencia Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY), lo que significa que se puede distribuir, mezclar y construir sobre el contenido, siempre y cuando proporcione la atribución a OpenStax y sus colaboradores de contenido. Dado que nuestros libros tienen licencia abierta, usted es libre de utilizar todo el libro o de elegir las secciones que sean más relevantes para las necesidades de su curso. Siéntase libre de remezclar el contenido asignando a sus estudiantes determinados capítulos y secciones de su programa de estudios, en el orden que usted prefiera. Incluso puede proporcionar un enlace directo en su programa de estudios a las secciones en la vista web de su libro. Los instructores también tienen la opción de crear una versión personalizada de su libro de OpenStax. La versión personalizada puede ponerse a disposición de los estudiantes en formato impreso o digital de bajo costo a través de la librería de su campus. Visite la página de su libro en OpenStax.org para obtener más información. Errata Todos los libros de texto de OpenStax se someten a un riguroso proceso de revisión. Sin embargo, como cualquier libro de texto de nivel profesional, a veces se producen errores. Dado que nuestros libros están en la web, podemos hacer actualizaciones periódicas cuando se considere pedagógicamente necesario. Si tiene una corrección que sugerir, envíela a través del enlace de la página de su libro en OpenStax.org. Los expertos en la materia revisan todas las sugerencias de erratas. OpenStax se compromete a ser transparente en todas las actualizaciones, por lo que también encontrará una lista de los cambios de erratas anteriores en la página de su libro en OpenStax.org. Formato Puede acceder a este libro de texto de forma gratuita en la página web o en PDF a través de OpenStax.org, y en ediciones impresas de bajo costo y en iBooks. Acerca de Introducción a la estadística Introducción a la estadística sigue los requisitos de alcance y secuencia de un curso de Introducción a la estadística de un semestre y está orientado a los estudiantes que se especializan en campos distintos de las matemáticas o la ingeniería. El texto asume algunos conocimientos de álgebra intermedia y se centra en la aplicación de la estadística por encima de la teoría. Introducción a la estadística incluye innovadoras aplicaciones prácticas que hacen que el texto sea relevante y accesible, así como ejercicios de colaboración, problemas de integración tecnológica y laboratorios de Estadística. Cobertura y alcance Capítulo 1 Muestreo y datos Capítulo 2 Estadística descriptiva Capítulo 3 Temas de probabilidad Capítulo 4 Variables aleatorias discretas Capítulo 5 Variables aleatorias continuas Capítulo 6 La distribución normal Capítulo 7 El teorema del límite central Capítulo 8 Intervalos de confianza Capítulo 9 Pruebas de hipótesis con una muestra Capítulo 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras Capítulo 11 La distribución chi-cuadrado Capítulo 12 Regresión lineal y correlación Capítulo 13 Distribución F y ANOVA de una vía Secuencia alternativa Introducción a la estadística fue concebido y escrito para adaptarse a una secuencia temática concreta, pero puede utilizarse de forma flexible para acomodar otras estructuras de curso. A continuación, se presenta una de estas posibles estructuras, que se ajusta razonablemente bien al contenido del libro de texto. Sin embargo, hay que tener en cuenta que los capítulos no se escribieron para ser completamente independientes, y que la secuencia alternativa propuesta debe considerarse cuidadosamente para la preparación de los estudiantes y la coherencia del texto. Capítulo 1 Muestreo y datos Capítulo 2 Estadística descriptiva Capítulo 12 Regresión lineal y correlación Capítulo 3 Temas de probabilidad Capítulo 4 Variables aleatorias discretas Capítulo 5 Variables aleatorias continuas Capítulo 6 La distribución normal Capítulo 7 El teorema del límite central Capítulo 8 Intervalos de confianza Capítulo 9 Pruebas de hipótesis con una muestra Capítulo 10 Pruebas de hipótesis con dos muestras Capítulo 11 La distribución chi-cuadrado Capítulo 13 Distribución F y ANOVA de una vía Fundamentos y características pedagógicas Los ejemplos se ubican estratégicamente a lo largo del texto para mostrar a los estudiantes el proceso paso a paso de interpretación y resolución de problemas estadísticos. Para que el texto siga siendo relevante para los estudiantes, los ejemplos se extraen de un amplio espectro de temas prácticos, que incluyen ejemplos sobre la vida universitaria y el aprendizaje, la salud y la medicina, el comercio y los negocios, y los deportes y el entretenimiento. Los problemas de práctica de la sección Ejercicio siguen inmediatamente a muchos ejemplos y dan a los estudiantes la oportunidad de practicar mientras leen el texto. Suelen basarse en temas prácticos y familiares, como los propios Ejemplos . Los ejercicios de colaboración proporcionan un escenario en clase para que los estudiantes trabajen juntos para explorar los conceptos presentados. El uso de las calculadoras TI-83, 83+, 84 u 84+ muestra a los estudiantes instrucciones paso a paso para introducir problemas en su calculadora. El ícono de tecnología indica dónde se recomienda el uso de una calculadora TI o de un software de computadora. Los problemas de las secciones Práctica, Tarea para la casa y Resúmalo todo ofrecen al estudiante situaciones con distintos grados de dificultad, a la vez que incluyen escenarios del mundo real para atraerlos. Laboratorios de estadística Barbara Illowsky y Susan Dean desarrollaron estas innovadoras actividades para ofrecer a los estudiantes la experiencia de diseñar, aplicar e interpretar análisis estadísticos. Se basan en experimentos y procesos de recopilación de datos reales y ofrecen una experiencia práctica y colaborativa única. Los laboratorios proporcionan una base para el aprendizaje posterior y la interacción en el aula que producirá una aplicación significativa de la estadística. Los laboratorios de Estadística aparecen al final de cada capítulo y comienzan con los resultados de aprendizaje de los estudiantes, las estimaciones generales de tiempo en la tarea y cualquier nota de aplicación global. Luego, los estudiantes cuentan con una guía paso a paso, incluidas las tablas de datos de las muestras y las indicaciones de cálculo. La asistencia detallada ayudará a los estudiantes a aplicar con éxito los conceptos del texto y a sentar las bases para futuros trabajos colaborativos o individuales. Recursos adicionales Recursos para estudiantes e instructores Hemos recopilado recursos adicionales tanto para estudiantes como para instructores, lo que incluye guías de inicio, un manual de soluciones para el instructor y láminas de PowerPoint. Los recursos para instructores requieren una cuenta de instructor verificada, la cual puede solicitar al iniciar sesión o crear su cuenta en OpenStax.org. Aproveche estos recursos para complementar su libro de OpenStax. Centros comunitarios OpenStax se asocia con el Instituto para el Estudio de la Administración del Conocimiento en la Educación (Institute for the Study of Knowledge Management in Education, ISKME) para ofrecer centros comunitarios en OER Commons, una plataforma para que los instructores compartan recursos creados por la comunidad que apoyan los libros de OpenStax, de forma gratuita. A través de nuestros centros comunitarios, los instructores pueden cargar sus propios materiales o descargar recursos para utilizarlos en sus cursos, lo que incluye anexos adicionales, material didáctico, multimedia y contenido relevante del curso. Animamos a los instructores a que se unan a los centros de los temas más relevantes para su docencia e investigación como una oportunidad, tanto para enriquecer sus cursos como para relacionarse con otros profesores. Para comunicarse con los centros comunitarios (Community Hubs), visite www.oercommons.org/hubs/OpenStax . Recursos asociados Los socios de OpenStax son nuestros aliados en la misión de hacer asequible y accesible el material de aprendizaje de alta calidad a los estudiantes e instructores de todo el mundo. Sus herramientas se integran perfectamente con nuestros títulos de OpenStax a un bajo costo. Para acceder a los recursos asociados a su texto, visite la página de su libro en OpenStax.org. Sobre los autores Autores principales Barbara Illowsky, De Anza College Susan Dean, De Anza College Autores colaboradores Daniel Birmajer, Nazareth College Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College Sheri Boyd, Rollins College Matthew Einsohn, Prescott College James Helmreich, Marist College Lynette Kenyon, Collin County Community College Sheldon Lee, Viterbo University Jeff Taub, Maine Maritime Academy Revisores Birgit Aquilonius, West Valley College Charles Ashbacher, Upper Iowa University, Cedar Rapids Abraham Biggs, Broward Community College Roberta Bloom, De Anza College Ernest Bonat, Portland Community College Sarah Boslaugh, Kennesaw State University David Bosworth, Hutchinson Community College George Bratton, University of Central Arkansas Jing Chang, College of Saint Mary Laurel Chiappetta, University of Pittsburgh Lenore Desilets, De Anza College Ann Flanigan, Kapiolani Community College David French, Tidewater Community College Mo Geraghty, De Anza College Larry Green, Lake Tahoe Community College Michael Greenwich, College of Southern Nevada Inna Grushko, De Anza College Valier Hauber, De Anza College Janice Hector, De Anza College Robert Henderson, Stephen F. Austin State University Mel Jacobsen, Snow College Mary Jo Kane, De Anza College Charles Klein, De Anza College Alexander Kolovos Sara Lenhart, Christopher Newport University Wendy Lightheart, Lane Community College Vladimir Logvenenko, De Anza College Jim Lucas, De Anza College Lisa Markus, De Anza College Miriam Masullo, SUNY Purchase Diane Mathios, De Anza College Robert McDevitt, Germanna Community College Mark Mills, Central College Cindy Moss, Skyline College Nydia Nelson, St. Petersburg College Benjamin Ngwudike, Jackson State University Jonathan Oaks, Macomb Community College Carol Olmstead, De Anza College Adam Pennell, Greensboro College Kathy Plum, De Anza College Lisa Rosenberg, Elon University Sudipta Roy, Kankakee Community College Javier Rueda, De Anza College Yvonne Sandoval, Pima Community College Rupinder Sekhon, De Anza College Travis Short, St. Petersburg College Frank Snow, De Anza College Abdulhamid Sukar, Cameron University Mary Teegarden, San Diego Mesa College John Thomas, College of Lake County Philip J. Verrecchia, York College of Pennsylvania Dennis Walsh, Middle Tennessee State University Cheryl Wartman, University of Prince Edward Island Carol Weideman, St. Petersburg College Andrew Wiesner, Pennsylvania State University

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Introducción Nos encontramos con estadísticas en nuestra vida diaria más a menudo de lo que probablemente pensamos y de muchas fuentes diferentes, como las noticias (créditos: David Sim). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer y diferenciar los términos clave. Aplicar diversos tipos de métodos de muestreo a la recolección de datos. Crear e interpretar tablas de frecuencia. Probablemente se esté preguntando: “¿Cuándo y dónde voy a utilizar la estadística?”. Si lee cualquier periódico, ve la televisión o utiliza internet, verá información estadística. Hay estadísticas sobre delincuencia, deportes, educación, política y bienes raíces. Normalmente, cuando se lee un artículo de periódico o se ve un programa de noticias de televisión se da una información de muestra. Con esta información, puede tomar una decisión sobre la corrección de una declaración, afirmación o “hecho”. Los métodos estadísticos pueden ayudarlo a hacer una “mejor estimación”. Como sin duda recibirá información estadística en algún momento de su vida, necesita conocer algunas técnicas para analizar la información de forma reflexiva. Piense en la compra de una casa o en la gestión de un presupuesto. Piense en la profesión que ha elegido. Economía, Negocios, Psicología, Educación, Biología, Derecho, Informática, Política y Desarrollo de la Primera Infancia son campos de conocimiento que requieren, al menos, un curso de Estadística. En este capítulo se incluyen las ideas y palabras básicas de probabilidad y estadística. Pronto entenderá que la estadística y la probabilidad trabajan juntas. También aprenderá cómo se recopilan los datos y qué datos “buenos” pueden distinguirse de los “malos”.

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Definiciones de estadística, probabilidad y términos clave La ciencia de la Estadística se ocupa de la recopilación, del análisis, de la interpretación y de la presentación de datos . Vemos y utilizamos datos en nuestra vida cotidiana. Intente este ejercicio en clase. Pida a sus compañeros de clase que anoten el tiempo promedio (en horas, redondeado a la media hora más cercana) que duermen por noche. Su instructor registrará los datos. A continuación, cree un gráfico sencillo (llamado diagrama de puntos ) de los datos. Un diagrama de puntos consiste en una línea numérica y puntos (o pequeños círculos) colocados sobre la línea numérica. Por ejemplo, considere los siguientes datos: 5 5,5 6 6 6 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 8 8 9 El diagrama de puntos para estos datos sería el siguiente: ¿Su diagrama de puntos es igual o diferente al del ejemplo? ¿Por qué? Si realizara el mismo ejercicio en una clase de inglés con el mismo número de estudiantes, ¿cree que los resultados serían los mismos? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Dónde parecen conglomerarse sus datos? ¿Cómo podría interpretar el conglomerado? Las preguntas anteriores le piden que analice e interprete sus datos. Con este ejemplo, ha comenzado su estudio de la estadística. En este curso aprenderá a organizar y resumir datos. La organización y el resumen de los datos se denominan Estadística Descriptiva . Dos formas de resumir los datos son la elaboración de gráficos y el uso de números (por ejemplo, hallar un promedio). Después de haber estudiado la probabilidad y las distribuciones de probabilidad, utilizará métodos formales para sacar conclusiones de los datos “buenos”. Los métodos formales se denominan Estadística Inferencial . La inferencia estadística utiliza la probabilidad para determinar el grado de confianza que podemos tener en que nuestras conclusiones son correctas. La interpretación eficaz de los datos (inferencia) se basa en buenos procedimientos de producción de datos y en examinarlos de forma reflexiva. Se encontrará con lo que le parecerá un exceso de fórmulas matemáticas para interpretar los datos. La meta de la Estadística no es realizar numerosos cálculos con las fórmulas, sino comprender los datos. Los cálculos se pueden hacer con una calculadora o una computadora. La comprensión debe venir de usted. Si puede comprender a fondo los fundamentos de la Estadística, podrá tener más confianza en las decisiones que tome en la vida. Probabilidad La probabilidad es una herramienta matemática utilizada para estudiar el azar. Se trata de la oportunidad (la posibilidad) de que se produzca un evento. Por ejemplo, si se lanza una moneda imparcial cuatro veces, los resultados no pueden ser dos caras y dos cruces. Sin embargo, si se lanza la misma moneda 4.000 veces, los resultados se aproximarán a mitad cara y mitad cruz. La probabilidad teórica esperada de salir cara en cualquier lanzamiento es 1 2 o 0,5. Aunque los resultados de unas pocas repeticiones son inciertos, existe un patrón regular de resultados cuando hay muchas repeticiones. Tras leer sobre el estadístico inglés Karl Pearson , que lanzó una moneda 24.000 veces con un resultado de 12.012 caras, uno de los autores lanzó una moneda 2.000 veces. Los resultados fueron 996 caras. La fracción 996 2000 es igual a 0,498, que está muy cerca de 0,5, la probabilidad esperada. La teoría de la probabilidad comenzó con el estudio de los juegos de azar, como el póquer. Las predicciones adoptan la forma de probabilidades. Para predecir la probabilidad de que se produzca un terremoto, de que llueva o de que obtenga una A en este curso utilizamos las probabilidades. Los médicos utilizan la probabilidad para determinar la posibilidad de que una vacuna provoque la enfermedad que se supone que debe prevenir. Un agente de bolsa utiliza la probabilidad para determinar la tasa de rendimiento de las inversiones de un cliente. Puede utilizar la probabilidad para decidir si compra un billete de lotería o no. En su estudio de la Estadística, utilizará el poder de las Matemáticas a través de cálculos de probabilidad para analizar e interpretar sus datos. Términos clave En estadística, generalmente queremos estudiar una población . Se puede pensar en una población como un conjunto de personas, cosas u objetos en estudio. Para estudiar la población seleccionamos una muestra . La idea del muestreo es seleccionar una porción (o subconjunto) de la población mayor y estudiar esa porción (la muestra) para obtener información sobre la población. Los datos son el resultado de un muestreo de una población. Como se necesita mucho tiempo y dinero para examinar toda una población, el muestreo es una técnica muy práctica. Si desea calcular el promedio general de calificaciones de su escuela, tendría sentido seleccionar una muestra de estudiantes que asisten a la escuela. Los datos recopilados de la muestra serían los promedios de las calificaciones de los estudiantes. En las elecciones presidenciales se toman muestras de sondeos de opinión de 1.000 a 2.000 personas. Se supone que el sondeo de opinión representa el punto de vista de las personas de todo el país. Los fabricantes de bebidas carbonatadas en lata toman muestras para determinar si una lata de 16 onzas contiene 16 onzas de bebida carbonatada. A partir de los datos de la muestra podemos calcular un estadístico. Un estadístico es un número que representa una propiedad de la muestra. Por ejemplo, si consideramos que una clase de Matemáticas es una muestra de la población de todas las clases de Matemáticas, el número promedio de puntos obtenidos por los estudiantes de esa clase de Matemáticas al final del trimestre es un ejemplo de un estadístico. El estadístico es una estimación de un parámetro de población. Un parámetro es una característica numérica de toda la población que puede estimarse mediante un estadístico. Dado que consideramos que todas las clases de Matemáticas son la población, el número promedio de puntos obtenidos por estudiante en todas las clases de Matemáticas es un ejemplo de parámetro. Una de las principales preocupaciones en el campo de la Estadística es la precisión con la que un estadístico estima un parámetro. La precisión depende realmente de lo bien que la muestra represente a la población. La muestra debe contener las características de la población para ser una muestra representativa . En la Estadística Inferencial nos interesa tanto el estadístico de la muestra como el parámetro de la población. En un capítulo posterior utilizaremos el estadístico de la muestra para comprobar la validez del parámetro poblacional establecido. Una variable , generalmente anotada con letras mayúsculas como X e Y , es una característica o medida que puede determinarse para cada miembro de una población. Las variables pueden ser numéricas o categóricas . Las variables numéricas toman valores con unidades iguales, como el peso en libras y el tiempo en horas. Las variables categóricas sitúan a la persona o cosa en una categoría. Si suponemos que X equivale al número de puntos obtenidos por un estudiante de Matemáticas al final de un trimestre, entonces X es una variable numérica. Si suponemos que Y es la afiliación de una persona a un partido, entonces algunos ejemplos de Y incluyen republicano, demócrata e independiente. Y es una variable categórica. Podríamos hacer algunos cálculos con valores de X (calcular el promedio de puntos obtenidos, por ejemplo), pero no tiene sentido hacer cálculos con valores de Y (calcular un promedio de afiliación a un partido no tiene sentido). Los datos son los valores reales de la variable. Pueden ser números o palabras. El dato es un valor único. Dos palabras que aparecen a menudo en estadística son media y proporción . Si presenta tres exámenes de sus clases de Matemáticas y obtiene calificaciones de 86, 75 y 92, calcularía su calificación media sumando las tres calificaciones de los exámenes y dividiéndolas entre tres (su calificación media sería 84,3 con un decimal). Si en su clase de Matemáticas hay 40 estudiantes y 22 son hombres y 18 son mujeres, entonces la proporción de estudiantes hombres es 22 40 y la proporción de estudiantes mujeres es 18 40 . La media y la proporción se tratan con más detalle en capítulos posteriores. NOTA Las palabras “ media ” y “ promedio ” suelen utilizarse indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio (media) de dinero que gastan los estudiantes de primer año del ABC College en material escolar que no incluya libros. Encuestamos al azar a 100 estudiantes de primer año del ABC College. Tres de esos estudiantes gastaron 150, 200 y 225 dólares, respectivamente. La población está formada por todos los estudiantes de primer año que asisten al ABC College este trimestre. La muestra podría ser todos los estudiantes inscritos en una sección de un curso de Estadística para principiantes en el ABC College (aunque esta muestra podría no representar a toda la población). El parámetro es la cantidad promedio (media) de dinero (sin libros) que gastan los estudiantes de primer año del ABC College este trimestre. El estadístico es la cantidad promedio de dinero gastado (sin libros) por los estudiantes de primer año en la muestra. La variable podría ser la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año. Supongamos que X = la cantidad de dinero gastado (sin libros) por un estudiante de primer año que asiste al ABC College. Los datos son los montos en dólares gastados por los estudiantes de primer año. Los datos son, por ejemplo, 150, 200 y 225 dólares. Ejercicio Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Queremos saber la cantidad promedio de dinero que gastan cada año en uniformes escolares las familias con hijos en Knoll Academy. Encuestamos al azar a 100 familias con hijos en la escuela. Tres de las familias gastaron 65, 75 y 95 dólares, respectivamente. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Se ha realizado un estudio en un instituto universitario local para analizar el promedio de calificaciones (Grade Point Average, GPA) acumulado de los estudiantes que se graduaron el año pasado. Marque la letra de la oración que mejor describa cada uno de los elementos siguientes. 1. Población_____ 2. Estadística _____ 3. Parámetro _____ 4. Muestra _____ 5. Variable _____ 6. Datos _____ todos los estudiantes que cursaron educación superior el año pasado el GPA acumulado de un estudiante que se graduó de la educación superior el año pasado 3,65, 2,80, 1,50, 3,90 un grupo de estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado seleccionados al azar el GPA acumulado de los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado todos los estudiantes que se graduaron de la educación superior el año pasado el GPA acumulado de los estudiantes del estudio que se graduaron de la educación superior el año pasado 1. f 2. g 3. e 4. d 5. b 6. c Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Como parte de un estudio diseñado para probar la seguridad de los automóviles, la Junta Nacional de Seguridad del Transporte recopiló y revisó datos sobre los efectos de un choque de automóviles en maniquíes de prueba. Este es el criterio que utilizaron: Velocidad a la que chocan los autos Ubicación de los "conductores" (es decir, los maniquíes) 35 millas/hora Asiento delantero Los automóviles con maniquíes en los asientos delanteros se estrellaron contra un muro a una velocidad de 35 millas por hora. Queremos saber la proporción de maniquíes en el asiento del conductor que habrían tenido lesiones en la cabeza, si hubieran sido conductores reales. Empezamos con una muestra aleatoria simple de 75 automóviles. La población son todos los automóviles que contienen maniquíes en el asiento delantero. La muestra son los 75 automóviles seleccionados por muestreo aleatorio simple. El parámetro es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la población. El estadístico es la proporción de maniquíes conductores (si hubiesen sido personas reales) que habrían sufrido lesiones en la cabeza en la muestra. La variable X = si un maniquí conductor (si hubiese sido una persona real) habría sufrido lesiones en la cabeza. Los datos son: sí, tuvo una lesión en la cabeza, o no, no la tuvo. Determine a qué se refieren los términos clave en el siguiente estudio. Una compañía de seguros desea determinar la proporción de todos los médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia. La compañía selecciona 500 médicos al azar de un directorio profesional y determina el número de la muestra que se ha visto envuelto en una demanda por negligencia. La población son todos los médicos que figuran en el directorio profesional. El parámetro es la proporción de médicos que se han visto implicados en una o más demandas por negligencia en la población. La muestra son los 500 médicos seleccionados al azar del directorio profesional. El estadístico es la proporción de médicos que han estado implicados en una o más demandas por negligencia en la muestra. La variable X = si un médico individual ha estado involucrado en una demanda por negligencia. Los datos son: sí, estuvo involucrado en una o más demandas por negligencia, o no, no lo estuvo. Realice el siguiente ejercicio en colaboración con un máximo de cuatro personas por grupo. Halle una población, una muestra, el parámetro, la estadística, una variable y los datos para el siguiente estudio: Se quiere determinar el número promedio de vasos de leche que beben los estudiantes universitarios al día. Supongamos que ayer, en su clase de Inglés, les preguntó a cinco estudiantes cuántos vasos de leche bebieron el día anterior. Las respuestas fueron 1, 0, 1, 3 y 4 vasos de leche. Referencias The Data and Story Library, http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Stories/CrashTestDummies.html (consultado el 1.º de mayo de 2013). Repaso del capítulo La teoría matemática de la estadística es más fácil de aprender cuando se conoce el lenguaje. Este módulo presenta términos importantes que se utilizarán a lo largo del texto. Use la siguiente información para responder los siguientes cinco ejercicios. Las compañías farmacéuticas suelen realizar estudios para determinar la eficacia de un programa de tratamiento. Supongamos que se está estudiando un nuevo fármaco contra el sida. Se administra a los pacientes una vez que los síntomas del sida se han manifestado. Resulta interesante la duración promedio (media) de la vida de los pacientes, en meses, una vez iniciado el tratamiento. Dos investigadores siguen cada uno a un conjunto diferente de 40 pacientes con sida desde el inicio del tratamiento hasta su muerte. Se recogen los siguientes datos (en meses). Investigador A: 3 4 11 15 16 17 22 44 37 16 14 24 25 15 26 27 33 29 35 44 13 21 22 10 12 8 40 32 26 27 31 34 29 17 8 24 18 47 33 34 Investigador B: 3 14 11 5 16 17 28 41 31 18 14 14 26 25 21 22 31 2 35 44 23 21 21 16 12 18 41 22 16 25 33 34 29 13 18 24 23 42 33 29 Determine a qué se refieren los términos clave en el ejemplo del investigador A. población Pacientes con sida. muestra parámetro La duración promedio (en meses) de la vida de los pacientes con sida después del tratamiento. estadística variable X = el tiempo (en meses) que viven los pacientes con sida después del tratamiento. TAREA PARA LA CASA Para cada uno de los ocho ejercicios siguientes, identifique: a. la población, b. la muestra, c. el parámetro, d. el estadístico, e. la variable y f. los datos. Dé ejemplos cuando sea necesario. Un centro de acondicionamiento físico está interesado en la cantidad media de tiempo que un cliente hace ejercicio en el centro cada semana. Las estaciones de esquí se interesan por la edad media a la que los niños toman sus primeras clases de esquí y snowboard. Necesitan esta información para planificar sus clases de esquí de forma óptima. todos los niños que reciben clases de esquí o snowboard un grupo de estos niños la edad media de la población de los niños que toman su primera clase de snowboard la edad de la media muestral de los niños que toman su primera clase de snowboard X = la edad de un niño que toma su primera clase de esquí o snowboard valores para X , como 3, 7, etc. Una cardióloga está interesada en el periodo medio de recuperación de sus pacientes que han sufrido infartos. Las compañías de seguros se interesan por los costos sanitarios medios anuales de sus clientes para poder determinar los costos del seguro de enfermedad. los clientes de las compañías de seguros un grupo de los clientes los costos de salud medios de los clientes los costos de salud medios de la muestra X = los costos de salud de un cliente valores para X , como 34, 9, 82, etc. A un político le interesa la proporción de votantes de su distrito que piensan que está haciendo un buen trabajo. Una consejera matrimonial está interesada en la proporción de clientes a los que asesora que siguen casados. todos los clientes de esta consejera un grupo de clientes de esta consejera matrimonial la proporción de todos sus clientes que permanecen casados la proporción de la muestra de clientes de la consejera que permanecen casados X = el número de parejas que siguen casadas sí, no Los encuestadores políticos pueden estar interesados en la proporción de personas que votarán por una causa particular. Una compañía de mercadeo está interesada en la proporción de personas que comprarán un determinado producto. todas las personas (tal vez en una zona geográfica determinada, como Estados Unidos) un grupo de personas la proporción de personas que comprarán el producto la proporción de la muestra que comprará el producto X = el número de personas que lo comprarán comprar, no comprar Use la siguiente información para responder los tres próximos ejercicios: Una instructora del Lake Tahoe Community College está interesado en el número medio de días que los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College se ausentan de clase durante un trimestre. ¿Cuál es la población que le interesa? todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes de Inglés del Lake Tahoe Community College todos los estudiantes del Lake Tahoe Community College en sus clases todos los estudiantes de Matemáticas del Lake Tahoe Community College Considere lo siguiente: X = número de días de ausencia de un estudiante de Matemáticas del Lake Tahoe Community College En este caso, X es un ejemplo de a: variable. población. estadístico. datos. a La muestra de la instructora arroja una media de días de ausencia de 3,5 días. Este valor es un ejemplo de: parámetro. datos. estadístico. variable. Promedio también llamada media; número que describe la tendencia central de los datos Variable categórica variables que toman valores que son nombres o identificadores Datos un conjunto de observaciones (un conjunto de resultados posibles); la mayoría de los datos se pueden clasificar en dos grupos: cualitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un identificador) o cuantitativos (un atributo cuyo valor se indica mediante un número). Los datos cuantitativos se pueden dividir en dos subgrupos: discretos y continuos . Los datos son discretos si son el resultado de contar (como el número de estudiantes de un determinado grupo étnico en una clase o el número de libros en una estantería). Los datos son continuos si son el resultado de una medición (como la distancia recorrida o el peso del equipaje). Variable numérica variables que toman valores indicados por números Parámetro un número que se utiliza para representar una característica de la población y que generalmente no se puede determinar fácilmente Población todos las personas, objetos o medidas cuyas propiedades se estudian Probabilidad un número entre cero y uno, ambos inclusive, que da la probabilidad de que ocurra un evento específico Proporción el número de aciertos dividido entre el número total de la muestra Muestra representativa un subconjunto de la población que tiene las mismas características que la población Muestra un subconjunto de la población estudiada Estadístico una característica numérica de la muestra; un estadístico estima el parámetro poblacional correspondiente. Variable una característica de interés para cada persona u objeto de una población

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