Modelado con funciones trigonométricas Las agujas del reloj son periódicas: repiten las posiciones cada doce horas. (Créditos: "zoutedrop"/Flickr) Supongamos que graficamos el promedio de temperaturas diarias en la ciudad de Nueva York en el transcurso de un año. Es de esperar que las temperaturas más bajas se den en enero y febrero y las más altas, en julio y agosto. Este ciclo familiar se repite año tras año, y si extendiéramos el gráfico a lo largo de varios años, se asemejaría a una función periódica. Muchos otros fenómenos naturales también son periódicos. Por ejemplo, las fases de la luna tienen un periodo de aproximadamente 28 días, y las aves migran hacia el sur más o menos en la misma época cada año. Entonces, ¿cómo podemos modelar una ecuación que refleje un comportamiento periódico? Primero, debemos recopilar y registrar datos. A continuación, hallamos una función que se asemeje a un patrón observado. Por último, realizamos las modificaciones necesarias en la función para obtener un modelo fiable. En esta sección, profundizaremos en tipos específicos de comportamiento periódico y en las ecuaciones de los modelos que se ajustan a los datos. Determinar la amplitud y el periodo de la función sinusoidal. Cualquier movimiento que se repita en un tiempo fijo se considera un movimiento periódico y puede modelarse mediante una función sinusoidal . La amplitud de una función sinusoidal es la distancia de la línea media al valor máximo, o de la línea media al valor mínimo. La línea media es el valor promedio. Las funciones sinusoidales oscilan por encima y por debajo de la línea media, son periódicas y repiten los valores en ciclos establecidos. Recuerde a partir de los gráficos de las funciones de seno y coseno que el periodo de las funciones de seno y de coseno es 2 π . En otras palabras, para cualquier valor de x , sen ( x ± 2 π k ) = sen x y cos ( x ± 2 π k ) = cos x donde k es un número entero Forma típica de las ecuaciones sinusoidales. Las formas generales de una ecuación sinusoidal vienen dadas por y = A sen ( B t - C ) + D o y = A cos ( B t - C ) + D donde amplitud = | A | , B guarda relación con el periodo tal que el periodo = 2 π B , C es el deslizamiento de fase tal que C B denota el desplazamiento horizontal, y D representa el desplazamiento vertical del gráfico matriz. Observe que los modelos a veces se escriben como y = a sen ( ω t ± C ) + D o y = a cos ( ω t ± C ) + D , y el periodo viene dado como 2 π ω . La diferencia entre los gráficos de seno y coseno es que el gráfico de seno comienza con el valor promedio de la función, mientras que el gráfico de coseno comienza con el valor máximo o mínimo de la función. Mostrar cómo las propiedades de una función trigonométrica pueden transformar un gráfico. Indique la transformación del gráfico de y = sen x en el gráfico de y = 2 sen ( 4 x - π 2 ) + 2. Tenga en cuenta la serie de gráficos en la y la manera en que cada cambio a la ecuación transforma la imagen. (a) El gráfico básico de y = sen x (b) Cambiar la amplitud de 1 a 2 genera el gráfico de y = 2 sen x . (c) El periodo de la función de seno cambia con el valor de B , de manera que periodo = 2 π B . Aquí tenemos B = 4 , lo que se traduce en un periodo de π 2 . El gráfico realiza un ciclo completo en π 2 unidades. (d) El gráfico exhibe un desplazamiento horizontal igual a C B , o π 2 4 = π 8 . (e) Finalmente, el gráfico se desplaza verticalmente en el valor de D . En este caso, el gráfico se desplaza en 2 unidades. Hallar la amplitud y el periodo de una función Halle la amplitud y el periodo de las siguientes funciones y grafique un ciclo. Ⓐ y = 2 sen ( 1 4 x ) Ⓑ y = −3 sen ( 2 x + π 2 ) Ⓒ y = cos x + 3 Resolveremos estos problemas de acuerdo con los modelos. Ⓐ y = 2 sen ( 1 4 x ) implica el seno, por lo que utilizamos la forma y = A sen ( B t + C ) + D Sabemos que | A | es la amplitud, por lo que la amplitud es 2. El periodo es 2 π B , por lo que el periodo es 2 π B = 2 π 1 4 = 8 π Observe el gráfico en la . Ⓑ y = −3 sen ( 2 x + π 2 ) implica el seno, por lo que utilizamos la forma y = A sen ( B t - C ) + D La amplitud es | A | , por lo que la amplitud es | - 3 | = 3. Dado que A es negativo, el gráfico se refleja en el eje x . El periodo es 2 π B , por lo que el periodo es 2 π B = 2 π 2 = π El gráfico se desplaza hacia la derecha en C B = π 2 2 = π 4 unidades. Vea la . Ⓒ y = cos x + 3 implica el coseno, por lo que utilizamos la forma y = A cos ( B t ± C ) + D La amplitud es | A | , por lo que la amplitud es 1. El periodo es 2 π . Vea la . Esta es la típica función coseno, desplazada a tres unidades. Ejercicio ¿Cuáles son la amplitud y el periodo de la función y = 3 cos ( 3 π x ) ? La amplitud es 3 , y el periodo es 2 3 . Hallar ecuaciones y graficar funciones sinusoidales Un método para graficar las funciones sinusoidales consiste en hallar cinco puntos clave. Estos puntos corresponderán a intervalos de igual longitud que representan 1 4 del periodo. Los puntos clave indicarán la ubicación de los valores máximos y mínimos. Si no hay desplazamiento vertical, también indicarán las intersecciones en x . Por ejemplo, supongamos que queremos graficar la función y = cos θ . Sabemos que el periodo es 2 π , por lo que hallamos el intervalo entre los puntos clave, de la siguiente manera. 2 π 4 = π 2 Comenzando por θ = 0 , calculamos el primer valor de y , sumamos la longitud del intervalo π 2 a 0, y calculamos el segundo valor de y . Luego sumamos π 2 varias veces hasta que se determinen los cinco puntos clave. El último valor debería ser igual al primero, ya que los cálculos abarcan un periodo entero. Al hacer una tabla parecida a la , podemos ver estos puntos clave claramente en el gráfico que se muestra en la . θ 0 π 2 π 3 π 2 2 π y = cos θ 1 0 −1 0 1 Graficar funciones sinusoidales con puntos clave Grafique la función y = -4 cos ( π x ) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los puntos clave. La amplitud es | − 4 | = 4. El periodo es 2 π ω = 2 π π = 2. (Recuerde que a veces nos referimos a B cuando ω ) . Puede trazarse un ciclo del gráfico a lo largo del intervalo [ 0 , 2 ] . Para hallar los puntos clave, dividimos el periodo entre 4. Haga una tabla parecida a la ; comience con x = 0 y luego sume 1 2 sucesivamente hasta x y calcule y . Observe el gráfico en la . x 0 1 2 1 3 2 2 y = -4 cos ( π x ) -4 0 4 0 -4 Ejercicio Grafique la función y = 3 sen ( 3 x ) mediante el empleo de la amplitud, el periodo y los cinco puntos clave. x 3 sen ( 3 x ) 0 0 π 6 3 π 3 0 π 2 −3 2 π 3 0 Modelar el comportamiento periódico Ahora aplicaremos estas ideas a los problemas que impliquen comportamiento periódico. Modelar una ecuación y dibujar un gráfico sinusoidal que se ajuste a los criterios El promedio de la temperatura mensual para un pueblito en Oregón se da en la . Halle la función sinusoidal de la forma y = A sen ( B t - C ) + D que se ajuste a los datos (redondee hasta la décima más próxima) y dibuje el gráfico. Mes Temperatura, i F Enero 42,5 Febrero 44,5 Marzo 48,5 Abril 52,5 Mayo 58 Junio 63 Julio 68,5 Agosto 69 Septiembre 64,5 Octubre 55,5 Noviembre 46,5 Diciembre 43,5 Recuerde que la amplitud se calcula con la fórmula A = el valor más alto − el valor más bajo 2 Así, la amplitud es | A | = 69 − 42,5 2 = 13,25 Los datos abarcan un periodo de 12 meses, por lo que 2 π B = 12 que da B = 2 π 12 = π 6 . El desplazamiento vertical se calcula con la siguiente ecuación. D = el valor más alto + el valor más bajo 2 Así, el desplazamiento vertical es D = 69 + 42,5 2 = 55,8 Hasta ahora, tenemos la ecuación y = 13,3 sen ( π 6 x − C ) + 55,8. Para calcular el desplazamiento horizontal, introducimos el valor de x y y del primer mes y resolvemos para C . 42,5 = 13,3 sen ( π 6 ( 1 ) - C ) + 55,8 − 13,3 = 13,3 sen ( π 6 − C ) - 1 = sen ( π 6 − C ) sen θ = - 1 → θ = - π 2 π 6 − C = - π 2 π 6 + π 2 = C = 2 π 3 Tenemos la ecuación y = 13,3 sen ( π 6 x - 2 π 3 ) + 55,8. Observe el gráfico en la . Describir el movimiento periódico La aguja que marca las horas del reloj que está en la pared en Union Station mide 24 pulgadas. A mediodía, el puntero de la aguja que marca las horas está a 30 pulgadas del techo. A las 3 p. m., el puntero está a 54 pulgadas del techo, y a las 6 p. m., a 78 pulgadas. A las 9 p. m., está nuevamente a 54 pulgadas del techo, y a la medianoche, la punta de la aguja que marca las horas regresa a su posición original: a 30 pulgadas del techo. Supongamos que y es igual a la distancia que va desde el puntero de la aguja que marca las horas hasta el techo x horas después del mediodía. Halle la ecuación que modele el movimiento del reloj y dibuje el gráfico. Empiece por hacer una tabla de los valores que se indican en la . x y Puntos a trazar Mediodía 30 in ( 0 , 30 ) 3 p. m. 54 in ( 3 , 54 ) 6 p. m. 78 in ( 6 , 78 ) 9 p. m. 54 in ( 9 , 54 ) Medianoche 30 in ( 12 , 30 ) Para modelar una ecuación, primero tenemos que hallar la amplitud. | A | = | 78 − 30 2 | = 24 El ciclo horario se repite cada 12 horas. Por lo tanto, B = 2 π 12 = π 6 El desplazamiento vertical es D = 78 + 30 2 = 54 No hay desplazamiento horizontal, por lo que C = 0 . Dado que la función comienza con el valor mínimo de y cuando x = 0 (en contraposición al valor máximo), utilizaremos la función coseno con el valor negativo para A . En la forma y = A cos ( B x ± C ) + D , la ecuación es y = −24 cos ( π 6 x ) + 54 Vea la . Determinar un modelo para las mareas La altura de la ola en un pueblito costero se mide a lo largo de un malecón. El nivel del agua oscila entre 7 pies en marea baja y 15 pies en marea alta. En un día en particular, hubo marea baja a las 6 a. m. y marea alta al mediodía. El ciclo se repite aproximadamente cada 12 horas. Halle una ecuación que modele el nivel del agua. Dado que el nivel del agua varía desde 7 pies hasta 15 pies, podemos calcular la amplitud como | A | = | ( 15 − 7 ) 2 | = 4 Se repite el ciclo cada 12 horas, por lo tanto, B es 2 π 12 = π 6 Hay una traslación vertical de ( 15 + 7 ) 2 = 11,5. Dado que el valor de la función está a un máximo en t = 0 , utilizaremos la función coseno, con el valor positivo para A . y = 4 cos ( π 6 ) t + 11 Vea la . Ejercicio La temperatura diaria en el mes de marzo en una determinada ciudad varía desde una baja de 24 °F hasta un alta de 40 °F . Halle una función sinusoidal para modelar la temperatura diaria y dibuje el gráfico. Calcule el tiempo aproximado cuando la temperatura alcanza el punto de congelación 32 °F . Supongamos que t = 0 corresponde al mediodía. y = 8 sen ( π 12 t ) + 32 La temperatura alcanza el punto de congelación al mediodía y a medianoche. Interpretar la ecuación del comportamiento periódico La presión arterial de una persona promedio se modela con la función f ( t ) = 20 sen ( 160 π t ) + 100 , donde f ( t ) representa la presión arterial en el tiempo t , medida en minutos. Interprete la función en términos de periodo y frecuencia. Trace el gráfico y halle la lectura de la presión arterial. El periodo viene dado por 2 π ω = 2 π 160 π = 1 80 En una función de presión arterial, la frecuencia representa el número de latidos por minuto. La frecuencia es la reciprocidad de periodo y viene dada por ω 2 π = 160 π 2 π = 80 Observe el gráfico en la . La lectura de la presión arterial en el gráfico es 120 80 ( máximo mínimo ) . Análisis La presión arterial en 120 80 se considera normal. La cifra de arriba es la lectura máxima o sístole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se contrae. La cifra de abajo es la lectura mínima o diástole, que mide la presión en las arterias cuando el corazón se relaja entre los latidos y se vuelve a llenar de sangre. Así, la presión arterial normal puede modelarse por una función periódica con un máximo de 120 y un mínimo de 80. Modelar las funciones del movimiento armónico El movimiento armónico es una forma de movimiento periódico, pero han de considerarse ciertos factores para diferenciar estos dos tipos. Mientras las aplicaciones del movimiento periódico en general recorren sus periodos sin interferencia externa, el movimiento armónico exige una fuerza restauradora. Algunos ejemplos del movimiento armónico son los resortes, la fuerza gravitacional y la fuerza magnética. Movimiento armónico simple El tipo de movimiento que se califica de movimiento armónico simple involucra una fuerza restauradora, pero asume que el movimiento continuará por siempre. Imagine un objeto lastrado que cuelga de un resorte. Cuando no se altera ese objeto, decimos que está en reposo o en equilibrio. Si el objeto se hala y luego se suelta, la fuerza del resorte lleva el objeto de vuelta al equilibrio y comienza el movimiento armónico. La fuerza restauradora es directamente proporcional al desplazamiento del objeto a partir de su punto de equilibrio. Cuando t = 0 , d = 0 . Movimiento armónico simple Observamos que las ecuaciones del movimiento armónico simple vienen dadas en términos de desplazamiento: d = a cos ( ω t ) o d = a sen ( ω t ) donde | a | es la amplitud, 2 π ω es el periodo, y ω 2 π es la frecuencia o el número de ciclos por unidad de fuerza. Calcular el desplazamiento, el periodo y la frecuencia, y graficar una función Para las funciones dadas: Calcule el desplazamiento máximo de un objeto. Calcule el periodo o el tiempo necesario para una vibración. Calcule la frecuencia. Dibuje el gráfico. Ⓐ y = 5 sen ( 3 t ) Ⓑ y = 6 cos ( π t ) Ⓒ y = 5 cos ( π 2 t ) Ⓐ y = 5 sen ( 3 t ) El desplazamiento máximo es igual a la amplitud, | a | , que es 5. El periodo es 2 π ω = 2 π 3 . La frecuencia viene dada como ω 2 π = 3 2 π . Vea la . El gráfico ilustra los cinco puntos clave Ⓑ y = 6 cos ( π t ) El desplazamiento máximo es 6. El periodo es 2 π ω = 2 π π = 2. La frecuencia es ω 2 π = π 2 π = 1 2 . Vea la . Ⓒ y = 5 cos ( π 2 ) t El desplazamiento máximo es 5. El periodo es 2 π ω = 2 π π 2 = 4. La frecuencia es 1 4 . Vea la . Movimiento armónico amortiguado En realidad, un péndulo no oscila de un lado a otro por siempre, como tampoco un objeto en un resorte rebota hacia arriba y hacia abajo. A la larga, el péndulo deja de oscilar y el objeto deja de rebotar y ambos vuelven al equilibrio. El movimiento periódico en el cual actúa una fuerza disipadora de energía, o factor de amortiguamiento, se conoce como movimiento armónico amortiguado . La fricción es típicamente el factor de amortiguamiento. En física se utilizan diversas fórmulas para representar el factor de amortiguamiento en el objeto móvil. Algunas de estas fórmulas se basan en el cálculo e integran derivadas. Para nuestros propósitos, utilizaremos fórmulas para modelos básicos de movimiento armónico amortiguado. Movimiento armónico amortiguado En el movimiento armónico amortiguado , el desplazamiento de un objeto oscilante desde su posición de reposo en tiempo t se da como f ( t ) = a e - c t sen ( ω t ) o f ( t ) = a e - c t cos ( ω t ) donde c es un factor de amortiguamiento, | a | es el desplazamiento inicial y 2 π ω es el periodo. Modelar el movimiento armónico amortiguado Modele las ecuaciones que se ajusten a las dos situaciones y utilice una herramienta para graficar las funciones: Dos sistemas de masa-resorte exhiben un movimiento armónico amortiguado a una frecuencia de 0,5 ciclos por segundo. Ambos tienen un desplazamiento inicial de 10 cm. El primero tiene un factor de amortiguamiento de 0,5 y el segundo tiene un factor de amortiguamiento de 0,1. En el tiempo t = 0 , el desplazamiento es el máximo de 10 cm, que aboga por la función coseno. Se aplicará la función coseno a ambos modelos. Nos dan la frecuencia f = ω 2 π de 0,5 ciclos por segundo. Por lo tanto, ω 2 π = 0,5 ω = ( 0,5 ) 2 π = π El primer sistema de resorte tiene un factor de amortiguamiento de c = 0,5. Siguiendo el modelo general para el movimiento armónico amortiguado, obtenemos f ( t ) = 10 e − 0,5 t cos ( π t ) La modela el movimiento del primer sistema de resorte. El segundo sistema de resorte consta de un factor de amortiguamiento de c = 0,1 y puede modelarse como f ( t ) = 10 e − 0,1 t cos ( π t ) La modela el movimiento del segundo sistema de resorte Análisis Observe los distintos efectos de la constante de amortiguamiento. Los valores locales máximo y mínimo de la función con el factor de amortiguamiento c = 0,5 desciende mucho más rápidamente que el de la función con c = 0,1. Hallar una función coseno que modele el movimiento armónico amortiguado Calcule y grafique una función de la forma y = a e - c t cos ( ω t ) que represente la información dada. Ⓐ a = 20 , c = 0,05 , p = 4 Ⓑ a = 2 , c = 1,5 , f = 3 Sustituya los valores dados en el modelo. Recuerde que el periodo es 2 π ω y la frecuencia es ω 2 π . Ⓐ y = 20 e − 0,05 t cos ( π 2 t ) . Vea la . Ⓑ y = 2 e − 1,5 t cos ( 6 π t ) . Vea la . Ejercicio La siguiente ecuación representa un modelo de movimiento armónico amortiguado: f ( t ) = 5 e − 6 t cos ( 4 t ) Halle el desplazamiento inicial, la constante de amortiguamiento y la frecuencia. desplazamiento inicial =6, constante de amortiguamiento = -6, frecuencia = 2 π Hallar una función de seno que modele el movimiento armónico amortiguado Calcule y grafique una función de la forma y = a e - c t sen ( ω t ) que represente la información dada. Ⓐ a = 7 , c = 10 , p = π 6 Ⓑ a = 0,3 , c = 0,2 , f = 20 Calcule el valor de ω y sustituya los valores conocidos en el modelo. Ⓐ Dado que el periodo es 2 π ω , tenemos π 6 = 2 π ω ω π = 6 ( 2 π ) ω = 12 El factor de amortiguamiento se da como 10 y la amplitud es 7. Así, el modelo es y = 7 e − 10 t sen ( 12 t ) . Vea la . Ⓑ Dado que la frecuencia es ω 2 π , tenemos 20 = ω 2 π 40 π = ω El factor de amortiguamiento viene dado como 0,2 y la amplitud es 0,3. El modelo es y = 0,3 e − 0,2 t sen ( 40 π t ) . Vea la . Análisis La comparación de los últimos dos ejemplos ilustra la manera en que escogemos entre la función de seno y la función coseno para modelar los criterios sinusoidales. Observamos que la función coseno se encuentra en el desplazamiento máximo cuando t = 0 , y la función de seno se encuentra en el punto de equilibrio cuando t = 0 . Por ejemplo, considere la ecuación y = 20 e − 0,05 t cos ( π 2 t ) desde el . Podemos ver a partir del gráfico que, cuando t = 0 , y = 20 , que es la amplitud inicial. Compruebe esto al ajustar t = 0 en la ecuación de coseno: y = 20 e − 0,05 ( 0 ) cos ( π 2 ) ( 0 ) = 20 ( 1 ) ( 1 ) = 20 Con la función de seno arroja y = 20 e − 0,05 ( 0 ) sen ( π 2 ) ( 0 ) = 20 ( 1 ) ( 0 ) = 0 Así, el coseno es la función correcta. Ejercicio Escriba la ecuación para el movimiento armónico amortiguado, dado a = 10 , c = 0,5 , y p = 2. y = 10 e − 0,5 t cos ( π t ) Modelar la oscilación de un resorte Un resorte que mide 10 pulgadas en su longitud natural se comprime en 5 pulgadas y se suelta. Oscila una vez cada 3 segundos, y su amplitud disminuye en 30 % cada segundo. Halle una ecuación que modele la posición del resorte t segundos después de ser liberado. La amplitud empieza a 5 in y disminuye 30 % cada segundo. Dado que el resorte está comprimido inicialmente, escribiremos A como valor negativo. Podemos escribir la parte de la amplitud de la función como A ( t ) = 5 ( 1 − 0,30 ) t Colocamos ( 1 − 0,30 ) t en la forma e c t de la siguiente forma: 0,7 = e c c = ln 0,7 c = − 0,357 Ahora, abordemos el periodo. El resorte recorre sus posiciones cada 3 segundos, este es el periodo, y podemos utilizar la fórmula para hallar el omega. 3 = 2 π ω ω = 2 π 3 La longitud natural de 10 pulgadas es la línea media. Utilizaremos la función coseno, ya que el resorte comienza en su desplazamiento máximo. Esta parte de la ecuación se representa como y = cos ( 2 π 3 t ) + 10 Finalmente, juntamos ambas funciones. El modelo para la posición del resorte en t segundos viene dado como y = - 5 e − 0,357 t cos ( 2 π 3 t ) + 10 Observe el gráfico en la . Ejercicio La masa suspendida de un resorte se eleva a una distancia de 5 cm por encima de su posición de reposo. La masa se suelta en el tiempo t = 0 y se deja oscilar. Después de 1 3 segundos, se observa que la masa retorna a su posición más elevada. Halle una función para modelar este movimiento con respecto a su posición inicial de reposo. y = 5 cos ( 6 π t ) Calcular el valor de la constante de amortiguamiento c conforme a los criterios aportados La cuerda de una guitarra se rasga y vibra en movimiento armónico amortiguado. Se pulsa la cuerda y se desplaza 2 cm desde su posición de reposo. A los 3 segundos, el desplazamiento de la cuerda mide 1 cm. Halle la constante de amortiguamiento. El factor de desplazamiento representa la amplitud y se determina por el coeficiente a e - c t en el modelo para el movimiento armónico amortiguado. La constate de amortiguamiento en el término e - c t . Se sabe que, después de 3 segundos, el valor local máximo mide la mitad de su valor original. Por lo tanto, tenemos la ecuación a e - c ( t + 3 ) = 1 2 a e - c t Utilice el álgebra y las leyes de los exponentes para resolver c . a e - c ( t + 3 ) = 1 2 a e - c t e - c t ⋅ e - 3 c = 1 2 e - c t Dividir a . e - 3 c = 1 2 Dividir e - c t . e 3 c = 2 Tome la reciprocidad . Luego, use las leyes de los logaritmos. e 3 c = 2 3 c = ln ( 2 ) c = ln ( 2 ) 3 La constante de amortiguamiento es ln ( 2 ) 3 . Delimitar curvas en movimiento armónico Los gráficos de movimiento armónico pueden estar encerrados por curvas delimitadoras. Cuando una función tiene una amplitud variable, que se eleva y cae varias veces dentro de un período, podemos determinar las curvas delimitadoras a partir de una parte de la función. Graficar una curva oscilante de coseno Grafique la función f ( x ) = cos ( 2 π x ) cos ( 16 π x ) . El gráfico que se genera de esta función se mostrará en dos partes. El primer gráfico será la función exacta f ( x ) (vea la ), y el segundo gráfico es la función exacta f ( x ) más una función delimitadora (vea la ). El gráfico se ve totalmente diferente. Análisis Las curvas y = cos ( 2 π x ) y y = - cos ( 2 π x ) son curvas delimitadoras: delimitan la función desde arriba y desde abajo, para trazar los puntos superiores e inferiores. El gráfico del movimiento armónico se sitúa dentro de las curvas delimitadoras. Este es un ejemplo de una función cuya amplitud no solamente disminuye con el tiempo, sino que realmente aumenta y disminuye varias veces en un periodo. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas. Resolver problemas con trigonometría Trigonometría de rueda de la fortuna Temperaturas diarias y trigonometría Movimiento armónico simple Ecuaciones clave Forma típica de ecuación sinusoidal y = A sen ( B t - C ) + D o y = A cos ( B t - C ) + D Movimiento armónico simple d = a cos ( ω t ) o d = a sen ( ω t ) Movimiento armónico amortiguado f ( t ) = a e - c t sen ( ω t ) o f ( t ) = a e - c t cos ( ω t ) Conceptos clave Las funciones sinusoidales están representadas por los gráficos de seno y coseno. En la forma típica, podemos hallar la amplitud, el período y los desplazamientos horizontal y vertical. Vea el y el . Utilice los puntos clave para graficar una función sinusoidal. Los cinco puntos clave comprenden los valores mínimo, máximo y de línea media. Vea el . Las funciones periódicas pueden modelar acontecimientos que ocurren en determinados ciclos, como las fases de la luna, las manecillas del reloj y las estaciones del año. Vea el , el , el y el . Las funciones de movimiento armónico se modelan a partir de determinados datos. Semejante a las aplicaciones de movimiento periódico, el movimiento periódico armónico requiere una fuerza restauradora. Algunos ejemplos son la fuerza gravitacional y el movimiento de resorte, activado por el peso. Vea el . El movimiento armónico amortiguado es una forma de comportamiento periódico que resulta afectado por un factor de amortiguamiento. Los factores que disipan la energía, como la fricción, hacen que el desplazamiento del objeto se contraiga. Vea el , el , el , el y el . Las curvas delimitadoras delinean el gráfico de movimiento armónico con valores máximos y mínimos variables. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Explique cuáles son los tipos de fenómenos físicos que se modelan mejor con las funciones sinusoidales. ¿Cuáles son las características necesarias? El comportamiento físico debería ser periódico o cíclico. ¿Cuál información hace falta para construir un modelo trigonométrico de la temperatura diaria? Dé ejemplos de dos distintos conjuntos de información que permitan el modelado con una ecuación. Si quisiéramos modelar el índice pluviométrico acumulado en el transcurso de un año, ¿la función sinusoidal sería un modelo apropiado? ¿Por qué sí o por qué no? Dado que el índice pluviométrico acumulado siempre va en ascenso, la función sinusoidal no sería lo ideal en este caso. Explique el efecto de un factor de amortiguamiento en los gráficos de las funciones de movimiento armónico. Algebraicos En los siguientes ejercicios, halle una posible fórmula para la función trigonométrica, que se representa con la tabla dada de valores. x y 0 - 4 3 - 1 6 2 9 - 1 12 - 4 15 - 1 18 2 y = - 3 cos ( π 6 x ) - 1 x y 0 5 2 1 4 - 3 6 1 8 5 10 1 12 - 3 x y 0 2 π 4 7 π 2 2 3 π 4 - 3 π 2 5 π 4 7 3 π 2 2 5 sen ( 2 x ) + 2 x y 0 1 1 - 3 2 − 7 3 - 3 4 1 5 - 3 6 − 7 y = 4 6 cos ( x π 2 ) x y 0 - 2 1 4 2 10 3 4 4 - 2 5 4 6 10 x y 0 5 1 - 3 2 5 3 13 4 5 5 - 3 6 5 y = tan ( x π 8 ) x y - 3 - 1 - 2 - 2 - 1 - 1 1 - 2 0 0 1 2 – 1 2 1 3 2 + 1 x y - 1 3 - 2 0 0 1 2 - 3 2 3 3 3 1 4 3 5 2 + 3 tan ( x π 12 ) Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique la función dada, luego halle un posible proceso físico que pueda modelar la ecuación. f ( x ) = − 30 cos ( x π 6 ) − 20 cos 2 ( x π 6 ) + 80 [ 0 , 12 ] f ( x ) = − 18 cos ( x π 12 ) - 5 sen ( x π 12 ) + 100 en el intervalo [ 0 , 24 ] f ( x ) = 10 − sen ( x π 6 ) + 24 tan ( x π 240 ) en el intervalo [ 0 , 80 ] En tecnología En el siguiente ejercicio, construya un comportamiento de modelado de función y utilice una calculadora para estimar los resultados deseados. El promedio anual del índice pluviométrico en una ciudad es actualmente de 20 pulgadas y varía de una estación a otra en 5 pulgadas. Debido a circunstancias imprevistas, el índice pluviométrico pareciera disminuir en 15 % cada año. ¿Cuántos años a partir de ahora se prevé que el índice pluviométrico llegue inicialmente a 0 pulgadas? Observe que el modelo es inválido una vez que predice el índice pluviométrico negativo, por lo que elija el primer punto en el cual va por debajo de 0. Aplicaciones en el mundo real En los siguientes ejercicios, construya una función sinusoidal con base en la información suministrada y luego resuelva la ecuación para los valores solicitados. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 105 °F ocurre a las 5 p. m. y la temperatura promedio del día es 85 °F . Calcule la temperatura, hasta el grado más próximo, a las 9 a. m. 75 °F La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura alta de 84 °F ocurre a las 6 p. m. y la temperatura promedio del día es 70 °F . Calcule la temperatura, al grado más próximo, a las 7 a. m. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 47 °F y 63 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre a las 10 a. m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 51 °F? 8 a. m. La temperatura exterior a lo largo de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que la temperatura varía entre 64 °F y 86 °F durante el día y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 12 m. ¿Cuántas horas después de la medianoche la temperatura alcanza por primera vez 70 °F? Una rueda de la fortuna tiene 20 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 2 metros del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa una revolución completa en 6 minutos. ¿Cuánto del recorrido, en minutos y segundos, tarda a un nivel por encima de los 13 metros sobre el suelo? 2:49 Una rueda de la fortuna tiene 45 metros de diámetro y se aborda desde una plataforma que está a 1 metro del suelo. La posición de las seis en punto de la rueda de la fortuna está al nivel de la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. ¿Cuántos minutos del recorrido tarda a un nivel por encima de 26 metros sobre el suelo? Redondee al segundo más próximo. La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 6 millones de kilómetros cuadrados el 1 de septiembre y 14 millones de kilómetros cuadrados el 1 de marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay menos de 9 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día. Desde el 15 de junio hasta el 16 de noviembre. La banquisa que circunda el Polo Norte fluctúa entre unos 18 millones de kilómetros cuadrados en septiembre y 3 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Suponiendo una fluctuación sinusoidal, ¿cuándo hay más de 15 millones de kilómetros cuadrados de banquisa? Indique su respuesta en forma de intervalo de fechas, con una aproximación de un día. Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Si el índice pluviométrico fluctúa entre una baja de 2 pulgadas el día 10 y 12 pulgadas el día 55, ¿durante cuál periodo el índice pluviométrico diario es superior a 10 pulgadas? Desde el día 31 hasta el día 58. Durante una estación monzónica de 90 días, las precipitaciones diarias se pueden modelar mediante funciones sinusoidales. Se registró una baja de 4 pulgadas en el índice pluviométrico el día 30, y en general el promedio diario para el índice pluviométrico fue de 8 pulgadas. ¿Durante cuál periodo el índice pluviométrico diario fue inferior a 5 pulgadas? En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 8 pulgadas el 1 de junio y cae a una baja de 1 pulgada el 1 de diciembre. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 7 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 2 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano. Temporada lluviosa: del 16 de abril al 15 de julio. Temporada seca: del 16 de octubre al 15 de enero. En una región determinada, la precipitación mensual repunta a 24 pulgadas en septiembre y cae a una baja de 4 pulgada en marzo. Identifique los periodos cuando la región está por debajo de condiciones de inundación (más de 22 pulgadas) y condiciones de sequía (menos de 5 pulgadas). Indique su respuesta en términos del día más cercano. En los siguientes ejercicios, calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de la función dada. El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 8 sen ( 6 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 8, periodo: 1 3 , frecuencia: 3 Hz El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 11 sen ( 12 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 4 cos ( π 2 t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 4, periodo: 4 , frecuencia: 1 4 Hz En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito. El desplazamiento h ( t ) , en centímetros, de una masa suspendida por un resorte se modela con la función h ( t ) = −5 cos ( 60 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. En los siguientes ejercicios, construya una ecuación que modele el comportamiento descrito. La población de ciervos oscila en 19 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 ciervos y aumenta en 160 cada año. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . P ( t ) = − 19 cos ( π 6 t ) + 800 + 160 12 t P ( t ) = − 19 cos ( π 6 t ) + 800 + 40 3 t La población de liebres oscila en 15 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 650 liebres y aumenta en 110 cada año. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . La población de ratas almizcleras oscila en 33 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 900 ratas almizcleras y aumenta en 7 % cada mes. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . P ( t ) = − 33 cos ( π 6 t ) + 900 + ( 1,07 ) t La población de peces oscila en 40 por encima y por debajo del promedio durante el año, hasta alcanzar el valor más bajo en enero. La población promedio comienza en 800 peces y aumenta en 4 % cada mes. Halle una función que modele la población, P , en términos de meses desde enero, t . Un resorte se hala del techo a 10 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 15 % cada segundo. El resorte oscila 18 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. D ( t ) = 10 ( 0,85 ) t cos ( 36 π t ) Un resorte se hala del techo a 7 cm del punto de equilibrio y se suelta. La amplitud disminuye en 11 % cada segundo. El resorte oscila 20 veces por segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. Un resorte se hala del techo a 17 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 3 segundos, la amplitud disminuye a 13 cm. El resorte oscila 14 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. D ( t ) = 17 ( 0,9145 ) t cos ( 28 π t ) Un resorte se hala del techo a 19 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 4 segundos, la amplitud disminuye a 14 cm. El resorte oscila 13 veces cada segundo. Halle una función que modele la distancia, D , el extremo del resorte se aleja del equilibrio en términos de segundos, t , desde que se liberó el resorte. En los siguientes ejercicios, cree una función que modele el comportamiento descrito. Luego calcule el resultado deseado con una calculadora. Un determinado lago tiene actualmente una población de truchas promedio de 20.000. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 2.000 cada año. Este año, se levantó la veda en el lago. Si los pescadores atrapan 3.000 peces cada año, ¿cuánto tardará para que el lago se quede sin truchas? 6 años La población actual de corégonos en un lago es de 500. La población oscila de forma natural por encima y por debajo del promedio en 25 cada año. De haber sobrepesca, al tomar 4 % de la población cada año, ¿cuántos años pasarán para que el lago tenga por primera vez menos de 200 corégonos? Un resorte se hala del techo a 11 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 2 segundos, la amplitud disminuye a 6 cm. El resorte oscila 8 veces cada segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre − 0,1 y 0,1 cm, efectivamente en reposo. 15,4 segundos Un resorte se hala del techo a 21 cm del punto de equilibrio y se suelta. A los 6 segundos, la amplitud disminuye a 4 cm. El resorte oscila 20 veces por segundo. Calcule cuándo el resorte llega primero entre − 0,1 y 0,1 cm, efectivamente en reposo. Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 8 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 32 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 50 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 18 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 15 cm de su punto de equilibrio, y a los 4 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a 0,1 cm . El resorte 2 entra en reposo después de 7,3 segundos. Dos resortes se halan del techo y se sueltan al mismo tiempo. El primer resorte, que oscila 14 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 2 cm de su punto de equilibrio, y la amplitud desciende en 8 % cada segundo. El segundo resorte, que oscila 22 veces por segundo, inicialmente se empujó hacia abajo 10 cm de su punto de equilibrio, y a los 3 segundos tiene una amplitud de 2 cm. ¿Cuál resorte se detiene primero y en qué momento? Considere el "reposo" como una amplitud inferior a 0,1 cm . Extensiones Un avión vuela 1 hora a 150 mph en 22 ∘ al este del norte, luego continúa volando durante 1,5 horas a 120 mph, esta vez a un rodamiento de 112 ∘ al este del norte. Halle la distancia total desde el punto de inicio y el ángulo directo en que se vuela al norte del este. 234,3 millas, a 72,2° Un avión vuela 2 horas a 200 mph, a un rodamiento de 60 ∘ , luego continúa volando durante 1,5 horas con la misma rapidez, esta vez a un rodamiento de 150 ∘ . Halle la distancia y el rodamiento desde el punto de inicio. Pista: el rodamiento se mide en el sentido contrario de las agujas del reloj desde el norte. En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y = a b x + c sen ( π 2 x ) que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 y 6 29 96 379 y = 6 ( 4 ) x + 5 sen ( π 2 x ) x 0 1 2 3 y 6 34 150 746 x 0 1 2 3 y 4 0 16 -40 y = 4 ( – 2 ) x + 8 sen ( π 2 x ) En los siguientes ejercicios, halle una función de la forma y = a b x cos ( π 2 x ) + c que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 y 11 3 1 3 x 0 1 2 3 y 4 1 −11 1 y = 3 ( 2 ) x cos ( π 2 x ) + 1 Ejercicios de repaso del capítulo Resolver ecuaciones trigonométricas con identidades En los siguientes ejercicios, halle exactamente lo que existe en el intervalo [ 0 , 2 π ) . csc 2 t = 3 sen − 1 ( 3 3 ) , π − sen − 1 ( 3 3 ) , π + sen − 1 ( 3 3 ) , 2 π − sen − 1 ( 3 3 ) cos 2 x = 1 4 2 sen θ = - 1 7 π 6 , 11 π 6 tan x sen x + sen ( - x ) = 0 9 sen ω − 2 = 4 sen 2 ω sen − 1 ( 1 4 ) , π − sen − 1 ( 1 4 ) 1 - 2 tan ( ω ) = tan 2 ( ω ) En los siguientes ejercicios, utilice las identidades básicas para simplificar la expresión. sec x cos x + cos x – 1 sec x 1 sen 3 x + cos 2 x sen x En los siguientes ejercicios, determine si las identidades dadas son equivalentes. sen 2 x + sec 2 x – 1 = ( 1 - cos 2 x ) ( 1 + cos 2 x ) cos 2 x Sí tan 3 x csc 2 x cot 2 x cos x sen x = 1 Identidades de suma y resta En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. tan ( 7 π 12 ) - 2 - 3 cos ( 25 π 12 ) sen ( 70 ∘ ) cos ( 25 ∘ ) - cos ( 70 ∘ ) sen ( 25 ∘ ) 2 2 cos ( 83 ∘ ) cos ( 23 ∘ ) + sen ( 83 ∘ ) sen ( 23 ∘ ) En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. cos ( 4 x ) - cos ( 3 x ) cos x = sen 2 x - 4 cos 2 x sen 2 x cos ( 4 x ) - cos ( 3 x ) cos x = cos ( 2 x + 2 x ) - cos ( x + 2 x ) cos x = cos ( 2 x ) cos ( 2 x ) - sen ( 2 x ) sen ( 2 x ) - cos x cos ( 2 x ) cos x + sen x sen ( 2 x ) cos x = ( cos 2 x - sen 2 x ) 2 - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 2 x ( cos 2 x - sen 2 x ) + sen x ( 2 ) sen x cos x cos x = ( cos 2 x - sen 2 x ) 2 - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 2 x ( cos 2 x - sen 2 x ) + 2 sen 2 x cos 2 x = cos 4 x - 2 cos 2 x sen 2 x + sen 4 x - 4 cos 2 x sen 2 x - cos 4 x + cos 2 x sen 2 x + 2 sen 2 x cos 2 x = sen 4 x - 4 cos 2 x sen 2 x + cos 2 x sen 2 x = sen 2 x ( sen 2 x + cos 2 x ) - 4 cos 2 x sen 2 x = sen 2 x - 4 cos 2 x sen 2 x cos ( 3 x ) - cos 3 x = - cos x sen 2 x - sen x sen ( 2 x ) En el siguiente ejercicio, simplifique la expresión. tan ( 1 2 x ) + tan ( 1 8 x ) 1 - tan ( 1 8 x ) tan ( 1 2 x ) tan ( 5 8 x ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( sen − 1 ( 0 ) - cos − 1 ( 1 2 ) ) tan ( sen − 1 ( 0 ) + sen − 1 ( 1 2 ) ) 3 3 Fórmulas del ángulo doble, del ángulo medio y de la reducción En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado cos θ = - 1 3 y θ está en el intervalo [ π 2 , π ] . Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado sec θ = - 5 3 y θ está en el intervalo [ π 2 , π ] . − 24 25 , - 7 25 , 24 7 sen ( 7 π 8 ) sec ( 3 π 8 ) 2 ( 2 + 2 ) En los siguientes ejercicios, utilice la para determinar las cantidades deseadas. sen ( 2 β ) , cos ( 2 β ) , tan ( 2 β ) , sen ( 2 α ) , cos ( 2 α ) , y tan ( 2 α ) sen ( β 2 ) , cos ( β 2 ) , tan ( β 2 ) , sen ( α 2 ) , cos ( α 2 ) , y tan ( α 2 ) 2 10 , 7 2 10 , 1 7 , 3 5 , 4 5 , 3 4 En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. 2 cos ( 2 x ) sen ( 2 x ) = cot x - tan x cot x cos ( 2 x ) = - sen ( 2 x ) + cot x cot x cos ( 2 x ) = cot x ( 1 - 2 sen 2 x ) = cot x - cos x sen x ( 2 ) sen 2 x = - 2 sen x cos x + cot x = - sen ( 2 x ) + cot x En los siguientes ejercicios, rescriba la expresión sin potencia. cos 2 x sen 4 ( 2 x ) tan 2 x sen 3 x 10 sen x - 5 sen ( 3 x ) + sen ( 5 x ) 8 ( cos ( 2 x ) + 1 ) Fórmulas de suma a producto y de producto a suma En los siguientes ejercicios, evalúe el producto para la expresión dada con la suma o resta de dos funciones. Escriba la respuesta exacta. cos ( π 3 ) sen ( π 4 ) 2 sen ( 2 π 3 ) sen ( 5 π 6 ) 3 2 2 cos ( π 5 ) cos ( π 3 ) En los siguientes ejercicios, evalúe la suma con una fórmula del producto. Escriba la respuesta exacta. sen ( π 12 ) - sen ( 7 π 12 ) - 2 2 cos ( 5 π 12 ) + cos ( 7 π 12 ) En los siguientes ejercicios, cambie las funciones de producto a suma o de suma a producto. sen ( 9 x ) cos ( 3 x ) 1 2 ( sen ( 6 x ) + sen ( 12 x ) ) cos ( 7 x ) cos ( 12 x ) sen ( 11 x ) + sen ( 2 x ) 2 sen ( 13 2 x ) cos ( 9 2 x ) cos ( 6 x ) + cos ( 5 x ) Resolver ecuaciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . tan x + 1 = 0 3 π 4 , 7 π 4 2 sen ( 2 x ) + 2 = 0 En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas en el intervalo [ 0 , 2 π ) . 2 sen 2 x - sen x = 0 0 , π 6 , 5 π 6 , π cos 2 x - cos x – 1 = 0 2 sen 2 x + 5 sen x + 3 = 0 3 π 2 cos x - 5 sen ( 2 x ) = 0 1 sec 2 x + 2 + sen 2 x + 4 cos 2 x = 0 No hay solución En los siguientes ejercicios, simplifique la ecuación algebraicamente tanto como sea posible. Luego utilice una calculadora para hallar las soluciones en el intervalo [ 0 , 2 π ) . Redondee a cuatro decimales. 3 cot 2 x + cot x = 1 csc 2 x - 3 csc x - 4 = 0 0,2527 , 2,8889 , 4,7124 En los siguientes ejercicios, grafique cada lado de la ecuación para hallar los ceros en el intervalo [ 0 , 2 π ) . 20 cos 2 x + 21 cos x + 1 = 0 sec 2 x - 2 sec x = 15 1,3694 , 1,9106 , 4,3726 , 4,9137 Modelar con ecuaciones trigonométricas En los siguientes ejercicios, grafique los puntos y halle una fórmula posible para los valores trigonométricos en la tabla dada. x y 0 1 1 6 2 11 3 − 6 4 - 1 5 6 x y 0 - 2 1 1 2 - 2 3 - 5 4 - 2 5 1 3 sen ( x π 2 ) - 2 x y - 3 3 + 2 2 - 2 3 - 1 2 2 – 1 0 1 1 3 - 2 2 2 - 1 3 −1 - 2 2 Un hombre con un nivel a la altura de sus ojos de 6 pies por encima del suelo está parado a 3 pies de la base de una escalera vertical de 15 pies. Si mira hacia el tope de la escalera, ¿en qué ángulo por encima de la horizontal está mirando? 71,6 ∘ Con la escalera del ejercicio anterior, si un trabajador de la construcción de 6 pies de alto que está parado en el tope de la escalera y mira hacia abajo, hacia los pies del hombre que está parado en la parte inferior, ¿en qué ángulo de la horizontal está mirando? En los siguientes ejercicios, construya funciones que modelen el comportamiento descrito. La población de leminos varía con una baja anual de 500 en marzo. Si el promedio anual de la población de leminos es 950, anote una función que modele la población con respecto a t , el mes. P ( t ) = 950 − 450 sen ( π 6 t ) Las temperaturas diurnas en el desierto pueden ser muy extremas. Si la temperatura varía desde 90 °F con 30 °F y la temperatura promedio del día ocurre por primera vez a las 10 a. m., escriba una función que modele este comportamiento. En los siguientes ejercicios, halle la amplitud, la frecuencia y el periodo de las ecuaciones dadas. y = 3 cos ( x π ) Amplitud: 3, periodo: 2, frecuencia: 1 2 Hz y = –2 sen ( 16 x π ) En los siguientes ejercicios, modele el comportamiento descrito y halle los valores que se piden. Una especie invasiva de carpa se introduce en el lago Freshwater. Al principio hay 100 carpas en el lago y la población varía en 20 peces estacionalmente. Si para el año 5, hay 625 carpas, halle una función que modele la población de carpas con respecto a t , el número de años desde ahora. C ( t ) = 20 sen ( 2 π t ) + 100 ( 1,4427 ) t La población de peces endémicos en el lago Freshwater es en promedio de 2.500, y varía en 100 peces estacionalmente. Debido a la competencia de la carpa invasiva por los recursos, se prevé un descenso de 5 % en la población de peces endémicos cada año. Halle una función que modele la población de peces endémicos con respecto a t , el número de años desde ahora. Asimismo, determine cuántos años tardará para que la carpa sobrepase la población de peces endémicos. Prueba de práctica En los siguientes ejercicios, simplifique la expresión dada. cos ( - x ) sen x cot x + sen 2 x 1 sen ( - x ) cos ( – 2 x ) - sen ( - x ) cos ( – 2 x ) En los siguientes ejercicios, halle el valor exacto. cos ( 7 π 12 ) 2 - 6 4 tan ( 3 π 8 ) tan ( sen − 1 ( 2 2 ) + tan - 1 3 ) - 2 - 3 2 sen ( π 4 ) sen ( π 6 ) En los siguientes ejercicios, halle todas las soluciones exactas a la ecuación en [ 0 , 2 π ) . cos 2 x - sen 2 x – 1 = 0 0 , π cos 2 x = cos x cos ( 2 x ) + sen 2 x = 0 π 2 , 3π 2 2 sen 2 x - sen x = 0 Rescriba la expresión como producto en vez de suma: cos ( 2 x ) + cos ( − 8 x ) . 2 cos ( 3 x ) cos ( 5 x ) Halle todas las soluciones de tan ( x ) - 3 = 0 . Halle las soluciones de sec 2 x - 2 sec x = 15 en el intervalo [ 0 , 2 π ) algebraicamente; luego grafique ambos lados de la ecuación para determinar la respuesta. x = cos -1 ( 1 5 ) Halle sen ( 2 θ ) , cos ( 2 θ ) , y tan ( 2 θ ) dado cot θ = - 3 4 y θ están en el intervalo [ π 2 , π ] . Halle sen ( θ 2 ) , cos ( θ 2 ) , y tan ( θ 2 ) dado cos θ = 7 25 y θ está en el cuadrante IV. 3 5 , - 4 5 , - 3 4 Rescriba la expresión sen 4 x sin potencia mayor a 1. En los siguientes ejercicios, demuestre la identidad. tan 3 x - tan x sec 2 x = tan ( - x ) tan 3 x – tan x sec 2 x = tan x ( tan 2 x – sec 2 x ) = tan x ( tan 2 x – ( 1 + tan 2 x ) ) = tan x ( tan 2 x - 1 – tan 2 x ) = – tan x = tan ( – x ) = tan – x ) sen ( 3 x ) - cos x sen ( 2 x ) = cos 2 x sen x - sen 3 x sen ( 2 x ) sen x - cos ( 2 x ) cos x = sec x sen ( 2 x ) sen x – cos ( 2 x ) cos x = 2 sen x cos x sen x – 2 cos 2 x - 1 cos x = 2 cos x – 2 cos x + 1 cos x = 1 cos x = sec x = sec x Grafique los puntos y halle una función de la forma y = A cos ( B x + C ) + D que se ajusta a los datos dados. x 0 1 2 3 4 5 y −2 2 −2 2 −2 2 El desplazamiento h ( t ) en centímetros de una masa suspendida por un resorte se modela mediante la función h ( t ) = 1 4 sen ( 120 π t ) , donde t se mide en segundos. Calcule la amplitud, el periodo y la frecuencia de este desplazamiento. Amplitud: 1 4 , periodo 1 60 , frecuencia: 60 Hz Una mujer está parada a 300 pies de un edificio de 2.000 pies. Si mira hacia la parte superior del edificio, ¿en qué ángulo sobre la horizontal está mirando? Un trabajador aburrido la observa desde el 15. o piso (1.500 pies por encima de ella). ¿En qué ángulo la está mirando? Redondee a la décima más próxima de un grado. Dos frecuencias de sonido se tocan en un instrumento que se rige por la ecuación n ( t ) = 8 cos ( 20 π t ) cos ( 1.000 π t ) . ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de las oscilaciones “rápida” y “lenta”? ¿Cuál es la amplitud? Amplitud: 8 , periodo rápido: 1 500 , frecuencia rápida: 500 Hz, periodo lento: 1 10 , frecuencia lenta: 10 Hz La nevada mensual promedio en una pequeña aldea en los Himalayas es de 6 pulgadas, donde la baja de 1 pulgada se produce en julio. Construya una función que modele este comportamiento. ¿En qué periodo hay más de 10 pulgadas de nevada? Un resorte se hala del techo a 20 cm. A los 3 segundos, cuando realiza 6 periodos completos, la amplitud es de apenas 15 cm. Halle la función al modelar la posición del resorte t segundos después de ser liberado. ¿En qué momento el resorte entra en reposo? En este caso, utilice 1 cm de amplitud en el reposo. D ( t ) = 20 ( 0,9086 ) t cos ( 4 π t ) , 31 segundos El promedio actual del nivel de agua cerca de un glaciar es de 9 pies, y varía estacionalmente en 2 pulgadas por encima y por debajo del promedio, para alcanzar su punto máximo en enero. A causa del calentamiento global, el glaciar ha empezado a derretirse más rápido de lo normal. Cada año, el nivel del agua experimenta un ascenso sostenido de 3 pulgadas. Halle una función que modele la profundidad del agua t meses a partir de ahora. Si los diques tienen 2 pies por encima del nivel actual del agua, ¿en qué punto se elevará el agua por primera vez por encima de los diques? movimiento armónico amortiguado movimiento oscilante que asemeja el movimiento periódico y el movimiento armónico simple, excepto que el gráfico resulta afectado por un factor de amortiguamiento, una energía que disipa la influencia en el movimiento periódico, tal como la fricción. movimiento armónico simple movimiento repetitivo que puede modelarse con la oscilación sinusoidal periódica.

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Introducción El General Sherman, el árbol vivo más grande del mundo. (Créditos: Mike Baird, Flickr). El árbol más grande del mundo por su volumen, llamado General Sherman, tiene una altura de 274,9 pies y está situado en el norte de California. Fuente: Servicio de Parques Nacionales. "El árbol General Sherman". http://www.nps.gov/seki/naturescience/sherman.htm. Consultado el 25 de abril de 2014. ¿Cómo saben los científicos su verdadera altura? Una forma habitual de medir la altura consiste en determinar el ángulo de elevación que forman el árbol y el suelo en un punto situado a cierta distancia de la base del árbol. Este método es mucho más práctico que subir al árbol y dejar caer una cinta métrica muy larga. En este capítulo, exploraremos aplicaciones de la trigonometría que nos permitirán resolver muchos tipos de problemas diferentes, entre ellos, calcular la altura de un árbol. Ampliamos los temas que introdujimos en Funciones trigonométricas e investigamos las aplicaciones de forma más profunda y significativa.

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Triángulos no rectángulos: ley de senos Para garantizar la seguridad de los más de 5.000 aviones estadounidenses que vuelan simultáneamente en horas punta, los controladores aéreos los supervisan y se comunican con ellos tras recibir los datos del robusto sistema de balizas de radar. Supongamos que dos estaciones de radar, situadas a 20 millas de distancia, detectan una aeronave entre ellas. El ángulo de elevación medido por la primera estación es de 35 grados, mientras que el ángulo de elevación medido por la segunda estación es de 15 grados. ¿Cómo podemos determinar la altitud de la aeronave? Vemos en la que el triángulo formado por la aeronave y las dos estaciones no es un triángulo rectángulo, por lo que no podemos utilizar lo que sabemos al respecto. En esta sección, descubriremos cómo resolver problemas que implican triángulos no rectángulos . Usar la ley de senos para resolver triángulos oblicuos En cualquier triángulo, podemos trazar una altitud , una línea perpendicular desde un vértice hasta el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos. Sin embargo, sería preferible tener métodos que podamos aplicar directamente a los triángulos no rectángulos sin tener que crear primero triángulos rectángulos. Cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo es un triángulo oblicuo . Resolver un triángulo oblicuo significa calcular las medidas de los tres ángulos y los tres lados. Para ello, tenemos que empezar con al menos tres de estos valores, incluso al menos uno de los lados. Investigaremos tres posibles situaciones de problemas de triángulos oblicuos: ALA (ángulo-lado-ángulo) . Conocemos las medidas de dos ángulos y el lado incluido. Vea la . AAL (ángulo-ángulo-lado). Conocemos las medidas de dos ángulos y un lado que no está entre los ángulos conocidos. Vea la . LLA (lado-lado-ángulo). Conocemos las medidas de dos lados y un ángulo que no está entre los lados conocidos. Vea la . Saber cómo enfocar cada una de estas situaciones nos permite resolver triángulos oblicuos sin tener que soltar una perpendicular para formar dos triángulos rectángulos. En su lugar, podemos utilizar el hecho de que la relación entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto será igual a las otras dos relaciones entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Veamos cómo se deriva esta afirmación considerando el triángulo que se muestra en la . Utilizando las relaciones del triángulo rectángulo, sabemos que sen α = h b y sen β = h a . Resolviendo ambas ecuaciones para h da dos expresiones diferentes para h . h = b sen α y h = a sen β A continuación, igualamos las expresiones. b sen α = a sen β ( 1 a b ) ( b sen α ) = ( a sen β ) ( 1 a b ) Multiplique ambos lados por 1 a b . sen α a = sen β b Del mismo modo, podemos comparar los otros cocientes. sen α a = sen γ c y sen β b = sen γ c En conjunto, estas relaciones reciben el nombre de ley de senos . sen α a = sen β b = sen γ c Observe la forma estándar de etiquetar los triángulos: el ángulo α (alfa) es el lado opuesto a ; el ángulo β (beta) es el lado opuesto b ; y el ángulo γ (gamma) es el lado opuesto c . Vea la . Al calcular los ángulos y los lados, lleve los valores exactos hasta la respuesta final. Por lo general, las respuestas finales se redondean a la décima más cercana, a menos que se especifique lo contrario. Ley de senos Dado un triángulo con ángulos y lados opuestos etiquetados como en la , el cociente entre la medida de un ángulo y la longitud de su lado opuesto será igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Todas las proporciones serán iguales. La ley de senos se basa en las proporciones y se presenta simbólicamente de dos maneras. sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Para resolver un triángulo oblicuo, utilice cualquier par de cocientes aplicables. Resolver dos lados y un ángulo desconocidos de un triángulo AAL Resuelva el triángulo que se muestra en la a la décima más cercana. Los tres ángulos deben sumar 180 grados. A partir de esto, podemos determinar que β = 180° − 50° − 30° = 100° Para hallar un lado desconocido, necesitamos conocer el ángulo correspondiente y un cociente conocido. Sabemos que el ángulo α = 50° y su lado correspondiente a = 10. Podemos utilizar la siguiente proporción de la ley de senos para determinar la longitud de c . sen ( 50° ) 10 = sen ( 30° ) c c sen ( 50° ) 10 = sen ( 30° ) Multiplique ambos lados por c . c = sen ( 30 ° ) 10 sen ( 50° ) Multiplique por el recíproco para aislar c . c ≈ 6,5 Del mismo modo, resuelva para b , establecemos otra proporción. sen ( 50° ) 10 = sen ( 100° ) b b sen ( 50° ) = 10 sen ( 100° ) Multiplique ambos lados por b . b = 10 sen ( 100° ) sen ( 50° ) Multiplique por el recíproco para aislar b . b ≈ 12,9 Por lo tanto, el conjunto completo de ángulos y lados es α = 50° a = 10 β = 100° b ≈ 12,9 γ = 30° c ≈ 6,5 Ejercicio Resuelva el triángulo que se muestra en la a la décima más cercana. α = 98 ∘ a = 34,6 β = 39 ∘ b = 22 γ = 43 ∘ c = 23,8 Usar la ley de senos para resolver triángulos LLA Podemos utilizar la ley de senos para resolver cualquier triángulo oblicuo, aunque algunas soluciones pueden no ser sencillas. En algunos casos, más de un triángulo puede satisfacer los criterios dados, lo que describimos como un caso ambiguo . Los triángulos clasificados como LLA, aquellos en los que conocemos las longitudes de dos lados y la medida del ángulo opuesto a uno de los lados dados, pueden dar lugar a una o dos soluciones, o incluso a ninguna solución. Posibles resultados de los triángulos LLA Los triángulos oblicuos de la categoría LLA pueden tener cuatro resultados diferentes. La ilustra las soluciones con los lados conocidos a y b y ángulo conocido α . Resolver un triángulo LLA oblicuo Resuelva el triángulo en la para el lado que falta y calcule las medidas de los ángulos que faltan a la décima más cercana. Utilice la ley de senos para hallar el ángulo β y el ángulo γ , y luego el lado c . Al resolver β , tenemos la proporción sen α a = sen β b sen ( 35° ) 6 = sen β 8 8 sen ( 35° ) 6 = sen β 0,7648 ≈ sen β sen − 1 ( 0,7648 ) ≈ 49,9° β ≈ 49,9° Sin embargo, en el diagrama, el ángulo β parece ser un ángulo obtuso y puede ser mayor de 90°. ¿Cómo conseguimos un ángulo agudo, y cómo calculamos la medida de β ? Investiguemos más a fondo. Al dejar caer una perpendicular desde γ y ver el triángulo desde una perspectiva de ángulo recto, tenemos la . Podría haber un segundo triángulo que se ajuste a los criterios dados. El ángulo complementario a β es aproximadamente igual a 49,9°, lo que significa que β = 180° − 49,9° = 130,1° . (Recuerde que la función seno es positiva tanto en el primero como en el segundo cuadrante). Al resolver para γ , tenemos γ = 180° − 35° − 130,1° ≈ 14,9° A continuación, podemos utilizar estas medidas para resolver el otro triángulo. Dado que γ ′ es complementario a la suma de α ′ y β ′ , tenemos γ ′ = 180° − 35° − 49,9° ≈ 95,1° Ahora tenemos que hallar c y c ′ . Tenemos c sen ( 14,9° ) = 6 sen ( 35° ) c = 6 sen ( 14,9° ) sen ( 35° ) ≈ 2,7 Finalmente, c ′ sen ( 95,1° ) = 6 sen ( 35° ) c ′ = 6 sen ( 95,1° ) sen ( 35° ) ≈ 10,4 En resumen, hay dos triángulos con un ángulo de 35°, un lado adyacente de 8 y un lado opuesto de 6, como se muestra en la . Sin embargo, estábamos buscando los valores para el triángulo con un ángulo obtuso β . Podemos verlos en el primer triángulo (a) en la . Ejercicio Dados α = 80° , a = 120 , y b = 121 , halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Solución 1 α = 80° a = 120 β ≈ 83,2° b = 121 γ ≈ 16,8° c ≈ 35,2 Solución 2 α ′ = 80° a ′ = 120 β ′ ≈ 96,8° b ′ = 121 γ ′ ≈ 3,2° c ′ ≈ 6,8 Resolver los lados y ángulos desconocidos de un triángulo LLA En el triángulo que se muestra en la , resuelva el lado y los ángulos desconocidos. Redondee sus respuestas a la décima más cercana. Al momento de elegir el par de proporciones de la ley de senos que vaya a utilizar, fíjese en la información que se da. En este caso, conocemos el ángulo γ = 85° , y su lado correspondiente c = 12 , y conocemos el lado b = 9. Utilizaremos esta proporción para resolver β . sen ( 85° ) 12 = sen β 9 Aísle la incógnita . 9 sen ( 85° ) 12 = sen β Para hallar β , aplique la función seno inversa. La función seno inversa arrojará un único resultado, pero tenga en cuenta que puede haber dos valores para β . Es importante verificar el resultado, ya que puede haber dos soluciones viables, una sola solución (el caso habitual) o ninguna. β = sen − 1 ( 9 sen ( 85° ) 12 ) β ≈ sen − 1 ( 0,7471 ) β ≈ 48,3° En este caso, si restamos β de 180°, hallamos que puede haber otra solución posible. Así, β = 180° − 48,3° ≈ 131,7° . Para comprobar la solución, reste ambos ángulos, 131,7° y 85°, de 180°. Esto da α = 180° − 85° − 131,7° ≈ − 36,7° , lo cual es imposible, y por lo tanto β ≈ 48,3° . Para hallar los valores que faltan, calculamos α = 180° − 85° − 48,3° ≈ 46,7° . Ahora, solo el lado a es necesario. Utilice la ley de senos para resolver a por una de las proporciones. sen ( 85 ° ) 12 = sen ( 46,7 ° ) a a sen ( 85 ° ) 12 = sen ( 46,7 ° ) a = 12 sen ( 46,7 ° ) sen ( 85 ° ) ≈ 8,8 El conjunto completo de soluciones para el triángulo dado es α ≈ 46,7° a ≈ 8,8 β ≈ 48,3° b = 9 γ = 85° c = 12 Ejercicio Dados α = 80° , a = 100 , b = 10 , halle el lado y los ángulos que faltan. Si hay más de una solución posible, muestre ambas. Redondee sus respuestas a la décima más cercana. β ≈ 5,7° , γ ≈ 94,3° , c ≈ 101,3 Hallar los triángulos que satisfagan los criterios dados Halle todos los triángulos posibles si un lado tiene longitud 4 frente a un ángulo de 50°, y el otro lado tiene longitud 10. Con la información dada, podemos resolver el ángulo opuesto al lado de longitud 10. Vea la . sen α 10 = sen ( 50° ) 4 sen α = 10 sen ( 50° ) 4 sen α ≈ 1,915 Podemos detenernos aquí sin hallar el valor de α . Debido a que el rango de la función seno es [ - 1 , 1 ] , es imposible que el valor del seno sea 1,915. De hecho, la introducción de sen − 1 ( 1,915 ) en una calculadora gráfica genera un DOMINIO DE ERROR. Por lo tanto, no se pueden dibujar triángulos con las dimensiones proporcionadas. Ejercicio Determine el número de triángulos posibles dado a = 31 , b = 26 , β = 48° . dos Calcular el área de un triángulo oblicuo mediante la función seno Ahora que podemos resolver un triángulo para los valores que faltan, podemos utilizar algunos de esos valores y la función seno para calcular el área de un triángulo oblicuo. Recordemos que la fórmula del área de un triángulo viene dada por Área = 1 2 b h , donde b es la base y h es la altura. En los triángulos oblicuos, debemos hallar h antes de poder utilizar la fórmula del área. Al observar los dos triángulos en la , uno agudo y otro obtuso, podemos dejar caer una perpendicular que represente la altura y luego aplicar la propiedad trigonométrica sen α = opuesto hipotenusa para escribir una ecuación del área en triángulos oblicuos. En el triángulo agudo, tenemos sen α = h c o c sen α = h . Sin embargo, en el triángulo obtuso, dejamos caer la perpendicular fuera del triángulo y extendemos la base b para formar un triángulo rectángulo. El ángulo utilizado en el cálculo es α ′ , o 180 − α . Por lo tanto, Área = 1 2 ( base ) ( altura ) = 1 2 b ( c sen α ) De la misma manera, Área = 1 2 a ( b sen γ ) = 1 2 a ( c sen β ) Área de un triángulo oblicuo La fórmula del área de un triángulo oblicuo viene dada por Área = 1 2 b c sen α = 1 2 a c sen β = 1 2 a b sen γ Esto equivale a la mitad del producto de dos lados y el seno de su ángulo incluido. Calcular el área de un triángulo oblicuo Calcule el área de un triángulo con lados a = 90 , b = 52 , y el ángulo γ = 102° . Redondee el área al número entero más cercano. Utilizando la fórmula, tenemos Área = 1 2 a b sen γ Área = 1 2 ( 90 ) ( 52 ) sen ( 102° ) Área ≈ 2289 unidades al cuadrado Ejercicio Calcule el área del triángulo dado β = 42° , a = 7,2 pies , c = 3,4 pies . Redondee el área a la décima más cercana. alrededor de 8,2 pies cuadrados Resolver problemas aplicados mediante la ley de senos Cuanto más estudiamos las aplicaciones trigonométricas, más descubrimos que son innumerables. Algunas son situaciones planas, tipo diagrama, pero muchas aplicaciones de cálculo, ingeniería y física implican tres dimensiones y movimiento. Calcular la altitud Calcule la altitud de la aeronave en el problema presentado al comienzo de esta sección, que se muestra en la . Redondee la altitud a la décima de milla más cercana. Para determinar la elevación de la aeronave, primero calculamos la distancia desde una estación hasta la aeronave, como el lado a , y luego utilizamos las relaciones de triángulo rectángulo para calcular la altura del avión, h . Debido a que los ángulos del triángulo suman 180 grados, el ángulo desconocido deberá ser 180°-15°-35°=130°. Este ángulo es opuesto al lado de longitud 20, lo que nos permite establecer una relación de la ley de senos. sen ( 130° ) 20 = sen ( 35° ) a a sen ( 130° ) = 20 sen ( 35° ) a = 20 sen ( 35° ) sen ( 130° ) a ≈ 14,98 La distancia entre una estación y la aeronave es de unas 14,98 millas. Ahora, que conocemos a , podemos utilizar las relaciones de triángulo rectángulo para resolver h . sen ( 15° ) = opuesto hipotenusa sen ( 15° ) = h a sen ( 15° ) = h 14,98 h = 14,98 sen ( 15° ) h ≈ 3,88 La aeronave está a una altitud de aproximadamente 3,9 millas. El diagrama que se muestra en la representa la altura de un dirigible que sobrevuela un estadio de fútbol. Calcule la altura del dirigible si el ángulo de elevación en la zona del extremo sur, punto A, es de 70°, el ángulo de elevación desde la zona del extremo norte, punto B , es de 62°, y la distancia entre los puntos de visión de las dos zonas de anotación es de 145 yardas. 161,9 yardas. Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las aplicaciones trigonométricas. Ley de senos: Nociones elementales Ley de senos: El caso ambiguo Ecuaciones clave Ley de senos sen α a = sen β b = sen γ c a sen α = b sen β = c sen γ Área para triángulos oblicuos Área = 1 2 b c sen α = 1 2 a c sen β = 1 2 a b sen γ Conceptos clave La ley de senos puede utilizarse para resolver triángulos oblicuos, que son triángulos no rectángulos. Según la ley de senos, el cociente entre la medida de uno de los ángulos y la longitud de su lado opuesto es igual a los otros dos cocientes entre la medida del ángulo y el lado opuesto. Hay tres casos posibles: ALA, AAL, LLA. En función de la información facilitada, podemos elegir la ecuación adecuada para dar con la solución solicitada. Vea el . El caso ambiguo surge cuando un triángulo oblicuo puede tener diferentes resultados. Hay tres casos posibles que surgen de la disposición de LLA: una solución única, dos soluciones posibles y ninguna solución. Vea el y el . La ley de senos se puede utilizar para resolver triángulos con criterios dados. Vea el . La fórmula general del área de los triángulos se traduce en triángulos oblicuos tras hallar primero el valor de la altura correspondiente. Vea el . Hay muchas aplicaciones trigonométricas. A menudo se pueden resolver al dibujar primero un diagrama de la información dada y utilizar después la ecuación apropiada. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales Describa la altitud de un triángulo. La altitud se extiende desde cualquier vértice hasta el lado opuesto o hasta la línea que contiene al lado opuesto en un ángulo de 90°. Compare los triángulos rectángulos y los oblicuos. ¿Cuándo utilizar la ley de senos para hallar el ángulo que falta? Cuando los valores conocidos son el lado opuesto al ángulo que falta y otro lado y su ángulo opuesto. En la ley de senos, ¿cuál es la relación entre el ángulo en el numerador y el lado en el denominador? ¿Qué tipo de triángulo da lugar a un caso ambiguo? Un triángulo con dos lados dados y un ángulo no incluido. Algebraicos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. α = 43° , γ = 69° , a = 20 α = 35° , γ = 73° , c = 20 β = 72° , a ≈ 12,0 , b ≈ 19,9 α = 60° , β = 60° , γ = 60° a = 4 , α = 60° , β = 100° γ = 20° , b ≈ 4,5 , c ≈ 1,6 b = 10 , β = 95° , γ = 30° En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver el lado que falta en cada triángulo oblicuo. Redondee cada respuesta a la centésima más cercana. Supongamos que el ángulo A es el lado opuesto a , el ángulo B es el lado opuesto b , y el ángulo C es el lado opuesto c . Halle el lado b cuando A = 37° , B = 49° , c = 5. b ≈ 3,78 Halle el lado a cuando A = 132° , C = 23° , b = 10. Halle el lado c cuando B = 37° , C = 21° , b = 23. c ≈ 13,70 En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Determine si no hay ningún triángulo, un triángulo o dos triángulos. A continuación, resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. α = 119° , a = 14 , b = 26 γ = 113° , b = 10 , c = 32 un triángulo, α ≈ 50,3° , β ≈ 16,7° , a ≈ 26,7 b = 3,5 , c = 5,3 , γ = 80° a = 12 , c = 17 , α = 35° dos triángulos, γ ≈ 54,3° , β ≈ 90,7° , b ≈ 20,9 o γ ′ ≈ 125,7° , β ′ ≈ 19,3° , b ′ ≈ 6,9 a = 20,5 , b = 35,0 , β = 25° a = 7 , c = 9 , α = 43° dos triángulos, β ≈ 75,7° , γ ≈ 61,3° , b ≈ 9,9 o β ′ ≈ 18,3° , γ ′ ≈ 118,7° , b ′ ≈ 3,2 a = 7 , b = 3 , β = 24° b = 13 , c = 5 , γ = 10° dos triángulos, α ≈ 143,2° , β ≈ 26,8° , a ≈ 17,3 o α ′ ≈ 16,8° , β ′ ≈ 153,2° , a ′ ≈ 8,3 a = 2,3 , c = 1,8 , γ = 28° β = 119° , b = 8,2 , a = 11,3 no hay triángulo posible. En los siguientes ejercicios, utilice la ley de senos para resolver, si es posible, el lado o ángulo que falta para cada triángulo o triángulos en el caso ambiguo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Halle el ángulo A cuando a = 24 , b = 5 , B = 22°. Halle el ángulo A cuando a = 13 , b = 6 , B = 20°. A ≈ 47,8° o A ′ ≈ 132,2° Halle el ángulo B cuando A = 12° , a = 2 , b = 9. En los siguientes ejercicios, calcule el área del triángulo con las medidas dadas. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. a = 5 , c = 6 , β = 35° 8,6 b = 11 , c = 8 , α = 28° a = 32 , b = 24 , γ = 75° 370,9 a = 7,2 , b = 4,5 , γ = 43° Gráficos En los siguientes ejercicios, calcule la longitud del lado x . Redondee a la décima más cercana. 12,3 12,2 16,0 En los siguientes ejercicios, calcule la medida del ángulo x , si es posible. Redondee a la décima más cercana. 29,7° x = 76,9° o x = 103,1° Observe que x es un ángulo obtuso. 110,6° En el siguiente ejercicio, resuelva el triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. A ≈ 39,4 , C ≈ 47,6 , B C ≈ 20,7 En los siguientes ejercicios, calcule el área de cada triángulo. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. 57,1 42,0 430,2 Extensiones Halle el radio del círculo en la . Redondee a la décima más cercana. Halle el diámetro del círculo en la . Redondee a la décima más cercana. 10,1 Halle m ∠ A D C en la . Redondee a la décima más cercana. Halle A D en la . Redondee a la décima más cercana. A D ≈ 13,8 Resuelva ambos triángulos en la . Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Halle A B en el paralelogramo que se muestra en la . A B ≈ 2,8 Resuelva el triángulo en la . (Pista: Dibuje una perpendicular desde H hasta J K ). Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Resuelva el triángulo en la . (Pista: Dibuje una perpendicular desde N hasta L M ). Redondee cada respuesta a la décima más cercana. L ≈ 49,7 , N ≈ 56,3 , L N ≈ 5,8 En la , A B C D no es un paralelogramo ∠ m es obtuso. Resuelva ambos triángulos. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Aplicaciones en el mundo real Un poste se aleja del sol en un ángulo de 7° a la vertical, como se muestra en la . Cuando la elevación del sol es 55° , el poste proyecta una sombra de 42 pies de largo en el suelo plano. ¿Qué longitud tiene el poste? Redondee la respuesta a la décima más cercana. 51,4 pies. Para determinar cuán lejos está un barco de la costa, dos estaciones de radar situadas a 500 pies de distancia determinan los ángulos hacia el barco, como se muestra en la . Determine la distancia del barco desde la estación A y la distancia del barco a la costa. Redondee sus respuestas al pie entero más cercano. La muestra un satélite en órbita alrededor de la Tierra. El satélite pasa directamente sobre dos estaciones rastreadoras A y B , que están a 69 millas de distancia. Cuando el satélite está en un lado de las dos estaciones, los ángulos de elevación en A y B se miden en 83,9° y 86,2° , respectivamente. ¿A qué distancia está el satélite de la estación A y a qué altura está el satélite sobre el suelo? Redondee las respuestas a la milla entera más cercana. La distancia del satélite a la estación A es de aproximadamente 1.716 millas. El satélite se encuentra a unas 1.706 millas del suelo. Una torre de comunicaciones está situada en la cima de una colina empinada, como se muestra en la . El ángulo de inclinación de la colina es 67° . Se debe fijar un cable de sujeción en la parte superior de la torre y en el suelo, 165 metros cuesta abajo desde la base de la torre. El ángulo formado por el cable de sujeción y la colina es de 16°. Calcule la longitud del cable necesario para el cable de sujeción con una precisión de un metro. El tejado de una casa está a un ángulo de 20° Se instalará un panel solar de 8 pies en el tejado y deberá estar en un ángulo de 38° respecto a la horizontal para obtener resultados óptimos. (Vea la ). ¿Qué longitud debe tener el soporte vertical que sostiene la parte trasera del panel? Redondee a la décima más cercana. 2,6 pies Al igual que el ángulo de elevación, el ángulo de depresión es el ángulo agudo formado por una línea horizontal y la línea de visión de un observador hacia un objeto situado por debajo de la horizontal. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 6,6 km, sean de 37° y 44° , como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A a la décima de kilómetro más cercana. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Determine que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 4,3 km, son de 32° y 56°, como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A a la décima de kilómetro más cercana. 5,6 km Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 39°. A continuación, se acercan 300 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 50°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie. Para estimar la altura de un edificio, dos estudiantes se sitúan a cierta distancia del edificio a nivel de la calle. Desde este punto, calculan que el ángulo de elevación desde la calle hasta la parte superior del edificio es de 35°. A continuación, se acercan 250 pies al edificio y descubren que el ángulo de elevación es de 53°. Suponiendo que la calle está nivelada, calcule la altura del edificio con una aproximación de un pie. 371 pies. Los puntos A y B están en lados opuestos de un lago. El punto C está a 97 metros de A . La medida del ángulo B A C se determina que es de 101°, mientras que la medida del ángulo A C B se determina que es de 53°. ¿Cuál es la distancia desde A hasta B , redondeada al metro entero más cercano? Un hombre y una mujer de pie 3 1 2 millas de distancia divisan un globo aerostático al mismo tiempo. Si el ángulo de elevación desde el hombre hasta el globo es de 27°, y el ángulo de elevación desde la mujer hasta el globo es de 41°, calcule la altitud del globo al pie más cercano. 5.936 pies. Dos equipos de búsqueda localizan a un escalador varado en una montaña. El primer equipo de búsqueda está a 0,5 millas del segundo equipo de búsqueda, y ambos están a una altura de 1 milla. El ángulo de elevación desde el primer equipo de búsqueda hasta el escalador varado es de 15°. El ángulo de elevación del segundo equipo de búsqueda al escalador es de 22°. ¿Cuál es la altitud del escalador? Redondee a la décima de milla más cercana. Una farola está montada en un poste. Un hombre de 6 pies de alto está de pie en la calle, a poca distancia del poste, proyectando una sombra. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra del hombre hasta la parte superior de su cabeza de 28°. Una mujer de 6 pies de alto se encuentra en la misma calle, en el lado opuesto del poste del hombre. El ángulo de elevación desde la punta de su sombra hasta la parte superior de su cabeza es de 28°. Si el hombre y la mujer están a 20 pies de distancia, ¿a qué distancia está la farola de la punta de la sombra de cada persona? Redondee la distancia a la décima de pie más cercana. 24,1 pies. Tres ciudades, A , B , y C , están situadas de manera que la ciudad A está al este de la ciudad B . Si la ciudad C se encuentra a 35° al oeste del norte de la ciudad B y está a 100 millas de la ciudad A y 70 millas de la ciudad B , a qué distancia se encuentra la ciudad A de la ciudad B ? Redondee la distancia a la décima de milla más cercana. Dos calles se encuentran en un ángulo de 80°. En la esquina se construye un parque en forma de triángulo. Calcule el área del parque si, a lo largo de una calle, el parque mide 180 pies, y a lo largo de la otra calle, el parque mide 215 pies. 19.056 pies cuadrados. La casa de Brian está en una esquina. Calcule el área del patio delantero si los bordes miden 40 y 56 pies, como se muestra en la . El triángulo de las Bermudas es una región del océano Atlántico que conecta las Bermudas, Florida y Puerto Rico. Calcule el área del triángulo de las Bermudas si la distancia de Florida a las Bermudas es de 1.030 millas, la distancia de Puerto Rico a las Bermudas es de 980 millas y el ángulo creado por las dos distancias es de 62°. 445.624 millas cuadradas Un cartel de ceda el paso mide 30 pulgadas en los tres lados. ¿Cuál es el área del cartel? Naomi compró una mesa de comedor cuyo tablero tiene forma triangular. Calcule el área del tablero de la mesa si dos de los lados miden 4 pies y 4,5 pies, y los ángulos menores miden 32° y 42°, como se muestra en la . 8,65 pies cuadrados. altitud línea perpendicular de un vértice de un triángulo al lado opuesto, o en el caso de un triángulo obtuso, a la línea que contiene el lado opuesto, para formar dos triángulos rectángulos caso ambiguo un escenario en el que más de un triángulo es una solución válida para un triángulo LLA oblicuo dado Ley de senos afirma que el cociente entre la medida de un ángulo de un triángulo y la longitud de su lado opuesto es igual a los dos cocientes restantes entre la medida del ángulo y el lado opuesto; cualquier par de proporciones puede utilizarse para resolver un ángulo o un lado que falte triángulo oblicuo cualquier triángulo que no sea un triángulo rectángulo

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