Datos mostrados Gráficos de tallo y hoja (gráfico de tallo), gráficos de líneas y gráficos de barras Un gráfico sencillo, el gráfico de tallo y hoja o gráfico de tallo , procede del campo del análisis exploratorio de datos. Es una buena opción cuando los conjuntos de datos son pequeños. Para crear el gráfico, divida cada observación de datos en un tallo y una hoja. La hoja consta de un último dígito significativo . Por ejemplo, 23 tiene el tallo dos y la hoja tres. El número 432 tiene el tallo 43 y la hoja dos. Asimismo, el número 5.432 tiene el tallo 543 y la hoja dos. El decimal 9,3 tiene el tallo nueve y la hoja tres. Escriba los tallos en una línea vertical de menor a mayor. Dibuje una línea vertical a la derecha de los tallos. Luego, escriba las hojas en orden creciente junto a su correspondiente tallo. En la clase de Precálculo de primavera de Susan Dean las calificaciones del primer examen fueron las siguientes (de menor a mayor): 33; 42; 49; 49; 53; 55; 55; 61; 63; 67; 68; 68; 69; 69; 72; 73; 74; 78; 80; 83; 88; 88; 88; 90; 92; 94; 94; 94; 94; 96; 100 Gráfico de tallo y hoja Tallo Hoja 3 3 4 2 9 9 5 3 5 5 6 1 3 7 8 8 9 9 7 2 3 4 8 8 0 3 8 8 8 9 0 2 4 4 4 4 6 10 0 El gráfico de tallo muestra que la mayoría de las calificaciones fueron de 60, 70, 80 y 90. Ocho de las 31 calificaciones, es decir, aproximadamente el 26 % ( 8 31 ) estaban en los 90 o 100, un número bastante alto de calificaciones con A. Ejercicio Para el equipo de baloncesto de Park City los resultados de los últimos 30 partidos fueron los siguientes (de menor a mayor): 32; 32; 33; 34; 38; 40; 42; 42; 43; 44; 46; 47; 47; 48; 48; 48; 49; 50; 50; 51; 52; 52; 52; 53; 54; 56; 57; 57; 60; 61 Construya un diagrama de tallo para los datos. Tallo Hoja 3 2 2 3 4 8 4 0 2 2 3 4 6 7 7 8 8 8 9 5 0 0 1 2 2 2 3 4 6 7 7 6 0 1 El diagrama de tallo es una forma rápida de representar datos gráficamente y ofrece una imagen exacta de la información. Hay que buscar un patrón general y los valores atípicos. Un valor atípico es una observación de datos que no se ajusta al resto de los datos. A veces se le llama valor extremo. Cuando grafique un valor atípico parecerá que no se ajusta al patrón del gráfico. Algunos valores atípicos se deben a errores (por ejemplo, anotar 50 en vez de 500), mientras que otros pueden indicar que está ocurriendo algo inusual. Para explicar los valores atípicos se necesita información de fondo, por lo que los trataremos con más detalle más adelante. Los datos son las distancias (en kilómetros) de un hogar a supermercados locales. Cree un diagrama de tallo con los datos: 1,1; 1,5; 2,3; 2,5; 2,7; 3,2; 3,3; 3,3; 3,5; 3,8; 4,0; 4,2; 4,5; 4,5; 4,7; 4,8; 5,5; 5,6; 6,5; 6,7; 12,3 ¿Los datos parecen tener alguna concentración de valores? NOTA Las hojas están a la derecha del decimal. El valor 12,3 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en los tres y cuatro kilómetros. Tallo Hoja 1 1 5 2 3 5 7 3 2 3 3 5 8 4 0 2 5 5 7 8 5 5 6 6 5 7 7 8 9 10 11 12 3 Ejercicio Los siguientes datos muestran las distancias (en millas) desde los hogares de los estudiantes de Estadística fuera del campus hasta el instituto universitario. Cree un diagrama de tallo con los datos e identifique los valores atípicos: 0,5; 0,7; 1,1; 1,2; 1,2; 1,3; 1,3; 1,5; 1,5; 1,7; 1,7; 1,8; 1,9; 2,0; 2,2; 2,5; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 3,5; 3,8; 4,4; 4,8; 4,9; 5,2; 5,5; 5,7; 5,8; 8,0 Tallo Hoja 0 5 7 1 1 2 2 3 3 5 5 7 7 8 9 2 0 2 5 6 8 8 8 3 5 8 4 4 8 9 5 2 5 7 8 6 7 8 0 El valor 8,0 puede ser un valor atípico. Los valores parecen concentrarse en una y dos millas. El diagrama de tallo y hoja bilateral permite comparar los dos conjuntos de datos en dos columnas. En el diagrama de tallo y hoja bilateral dos conjuntos de hojas comparten el mismo tallo. Las hojas están a la izquierda y a la derecha de los tallos. La y la muestran las edades de los presidentes en su investidura y al momento de su muerte. Construya un diagrama de tallo y hoja bilateral utilizando estos datos. Edades en la investidura Edades al momento de la muerte 9 9 8 7 7 7 6 3 2 4 6 9 8 7 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 0 5 3 6 6 7 7 8 9 8 5 4 4 2 1 1 1 0 6 0 0 3 3 4 4 5 6 7 7 7 8 7 0 0 1 1 1 4 7 8 8 9 8 0 1 3 5 8 9 0 0 3 3 Edades de los presidentes en su investidura Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 57 Lincoln 52 Hoover 54 J. Adams 61 A. Johnson 56 F. Roosevelt 51 Jefferson 57 Grant 46 Truman 60 Madison 57 Hayes 54 Eisenhower 62 Monroe 58 Garfield 49 Kennedy 43 J. Q. Adams 57 Arthur 51 L. Johnson 55 Jackson 61 Cleveland 47 Nixon 56 Van Buren 54 B. Harrison 55 Ford 61 W. H. Harrison 68 Cleveland 55 Carter 52 Tyler 51 McKinley 54 Reagan 69 Polk 49 T. Roosevelt 42 G. H. W. Bush 64 Taylor 64 Taft 51 Clinton 47 Fillmore 50 Wilson 56 G. W. Bush 54 Pierce 48 Harding 55 Obama 47 Buchanan 65 Coolidge 51 Edad del presidente al momento de su muerte Presidente Edad Presidente Edad Presidente Edad Washington 67 Lincoln 56 Hoover 90 J. Adams 90 A. Johnson 66 F. Roosevelt 63 Jefferson 83 Grant 63 Truman 88 Madison 85 Hayes 70 Eisenhower 78 Monroe 73 Garfield 49 Kennedy 46 J. Q. Adams 80 Arthur 56 L. Johnson 64 Jackson 78 Cleveland 71 Nixon 81 Van Buren 79 B. Harrison 67 Ford 93 W. H. Harrison 68 Cleveland 71 Reagan 93 Tyler 71 McKinley 58 Polk 53 T. Roosevelt 60 Taylor 65 Taft 72 Fillmore 74 Wilson 67 Pierce 64 Harding 57 Buchanan 77 Coolidge 60 Otro tipo de gráfico que resulta útil para valores de datos específicos es el gráfico de líneas . En el gráfico de líneas en particular que se muestra en el , el eje x (eje horizontal) está formado por los valores de los datos y el eje y (eje vertical) por puntos de frecuencia . Los puntos de frecuencia se conectan mediante segmentos de la línea. En una encuesta, se preguntó a 40 madres cuántas veces a la semana hay que recordarle a un adolescente que haga sus tareas. Los resultados se muestran en la y en la . Número de veces que se le recuerda al adolescente Frecuencia 0 2 1 5 2 8 3 14 4 7 5 4 Ejercicio En una encuesta, se preguntó a 40 personas cuántas veces al año llevaban su automóvil al taller para repararlo. Los resultados se muestran en la . Construya un gráfico de líneas. Número de veces en el taller Frecuencia 0 7 1 10 2 14 3 9 Los gráficos de barras están formados por barras separadas entre sí. Las barras pueden ser rectángulos o recuadros rectangulares (usados en representaciones tridimensionales), y pueden ser verticales u horizontales. El gráfico de barras que se muestra en el tiene los grupos de edad representados en el eje x y las proporciones en el eje y . A finales de 2011, Facebook tenía más de 146 millones de usuarios en Estados Unidos. La muestra tres grupos de edad, el número de usuarios en cada grupo de edad y la proporción (%) de usuarios en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras con estos datos. Grupos de edad Número de usuarios de Facebook Proporción (%) de usuarios de Facebook 13-25 65.082.280 45 % 26-44 53.300.200 36 % 45-64 27.885.100 19 % Ejercicio La población de Park City se compone de niños, adultos en edad de trabajar y jubilados. La muestra los tres grupos de edad, el número de personas de cada grupo en la ciudad y la proporción (%) de personas en cada grupo de edad. Construya un gráfico de barras que muestre las proporciones. Grupos de edad Número de personas Proporción de la población Niños 67.059 19 % Adultos en edad de trabajar 152.198 43 % Jubilados 131.662 38 % Las columnas de la contienen la raza o el origen étnico de los estudiantes de escuelas públicas de EE. UU. para la clase de 2011, los porcentajes para la población examinada de Colocación Avanzada para esa clase y los porcentajes para la población estudiantil en general. Cree un gráfico de barras con la raza o el origen étnico de los estudiantes (datos cualitativos) en el eje x y los porcentajes de la población de examinados de Colocación Avanzada en el eje y . Raza/etnia Población examinada de AP Población estudiantil total 1 = asiático, asiático americano o isleño del Pacífico 10,3 % 5,7 % 2 = negro o afroamericano 9,0 % 14,7 % 3 = hispano o latino 17,0 % 17,6 % 4 = amerindio o nativo de Alaska 0,6 % 1,1 % 5 = blanco 57,1 % 59,2 % 6 = no informado/otro 6,0 % 1,7% Ejercicio Park City se divide en seis distritos electorales. La tabla muestra el porcentaje de la población total de votantes registrados que vive en cada distrito, así como el porcentaje total de la población entera que vive en cada distrito. Construya un gráfico de barras que muestre la población de votantes registrados por distrito. Distrito Población de votantes registrados Población total de la ciudad 1 15,5 % 19,4 % 2 12,2 % 15,6 % 3 9,8 % 9,0 % 4 17,4 % 18,5 % 5 22,8 % 20,7 % 6 22,3 % 16,8 % A continuación, se presenta una tabla de dos vías que muestra los tipos de mascotas que poseen los hombres y las mujeres: Perros Gatos Peces Total Hombres 4 2 2 8 Mujeres 4 6 2 12 Total 8 8 4 20 Dados estos datos, calcule las distribuciones condicionales para la subpoblación de hombres que poseen cada tipo de mascota. Hombres que tienen perros = 4/8 = 0,5 Hombres que tienen gatos = 2/8 = 0,25 Hombres que tienen peces = 2/8 = 0,25 Nota: La suma de todas las distribuciones condicionales debe ser igual a uno. En este caso: 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1; por lo tanto, la solución "se comprueba". Histogramas, polígonos de frecuencia y gráficos de series temporales Para la mayor parte del trabajo que se realiza en este libro se utilizará un histograma para mostrar los datos. Una de las ventajas de un histograma es que puede mostrar fácilmente grandes conjuntos de datos. Una regla general es utilizar un histograma cuando el conjunto de datos consta de 100 valores o más. Un histograma está formado por recuadros contiguos (adyacentes). Tiene un eje horizontal y otro vertical. El eje horizontal está identificado con lo que representan los datos (por ejemplo, la distancia de su casa a la escuela). El eje vertical está identificado como frecuencia o frecuencia relativa (o porcentaje de frecuencia o probabilidad). El gráfico tendrá la misma forma con cualquiera de las dos etiquetas. El histograma (al igual que el diagrama de tallo) puede darle la forma de los datos, el centro y la dispersión de los datos. La frecuencia relativa es igual a la frecuencia de un valor observado de los datos dividida entre el número total de valores de los datos en la muestra. (Recuerde que la frecuencia se define como el número de veces que se produce una respuesta). Si: f = frecuencia n = número total de valores de datos (o la suma de las frecuencias individuales) y RF = frecuencia relativa, entonces: RF = e n Por ejemplo, si tres estudiantes de la clase de Inglés del Sr. Ahab compuesta por 40 estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %, entonces, f = 3, n = 40 y RF = e n = 3 40 = 0,075. El 7,5 % de los estudiantes obtuvieron del 90 % al 100 %. Del 90 % al 100 % son medidas cuantitativas. Para construir un histograma , primero hay que decidir cuántas barras o intervalos (también llamados clases) representan los datos. Muchos histogramas constan de cinco a 15 barras o clases para mayor claridad. Hay que elegir el número de barras. Elija un punto de partida para que el primer intervalo sea menor que el valor más pequeño de los datos. Un punto de partida conveniente es un valor inferior llevado a un decimal más que el valor con más decimales. Por ejemplo, si el valor con más decimales es 6,1 y este es el valor más pequeño, un punto de partida conveniente es 6,05 (6,1 – 0,05 = 6,05). Decimos que 6,05 tiene más precisión. Si el valor con más decimales es 2,23 y el valor más bajo es 1,5, un punto de partida conveniente es 1,495 (1,5 – 0,005 = 1,495). Si el valor con más decimales es 3,234 y el valor más bajo es 1,0, un punto de partida conveniente es 0,9995 (1,0 – 0,0005 = 0,9995). Si todos los datos son enteros y el valor más pequeño es dos, un punto de partida conveniente es 1,5 (2 – 0,5 = 1,5). Además, cuando el punto de partida y otros límites se llevan a un decimal adicional, ningún valor de los datos caerá en un límite. Los dos siguientes ejemplos detallan cómo construir un histograma utilizando datos continuos y cómo crear un histograma utilizando datos discretos. Los siguientes datos son las estaturas (en pulgadas con una aproximación de media pulgada) de 100 jugadores hombres de fútbol semiprofesional. Las alturas son datos continuos , ya que la altura se mide. 60; 60,5; 61; 61; 61,5 63,5; 63,5; 63,5 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5; 64,5 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 66,5; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5; 67,5 68; 68; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5; 69,5 70; 70; 70; 70; 70; 70; 70,5; 70,5; 70,5; 71; 71; 71 72; 72; 72; 72,5; 72,5; 73; 73,5 74 El valor de datos más pequeño es 60. Como los datos con más decimales tienen un decimal (por ejemplo, 61,5), queremos que nuestro punto de partida tenga dos decimales. Dado que los números 0,5, 0,05, 0,005, etc. son números convenientes, utilice 0,05 y réstelo a 60, el valor más pequeño, para el punto de partida conveniente. 60 – 0,05 = 59,95 que es más preciso que, por ejemplo, 61,5 por un decimal. El punto de partida es, pues, 59,95. El valor mayor es 74, por lo que 74 + 0,05 = 74,05 es el valor final. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Para calcular este ancho, reste el punto inicial del valor final y divídalo entre el número de barras (debe elegir el número de barras que desee). Suponga que elige ocho barras. 74,05 - 59,95 = 14,1 14,1 ÷ 8 = 1,76 NOTA Redondearemos a dos y haremos que cada barra o intervalo de clase tenga dos unidades de ancho. Redondear a dos es una forma de evitar que un valor caiga en un límite. El redondeo al número siguiente es a menudo necesario, incluso si va en contra de las reglas estándar de redondeo. Para este ejemplo, utilizar 1,76 como ancho también funcionaría. Una pauta que siguen algunos para el ancho de una barra o intervalo de clase es tomar la raíz cuadrada del número de valores de los datos y luego redondear al número entero más cercano, si es necesario. Por ejemplo, si hay 150 valores de datos, tome la raíz cuadrada de 150 y redondee a 12 barras o intervalos. Los límites son: 59,95 59,95 + 2 = 61,95 61,95 + 2 = 63,95 63,95 + 2 = 65,95 65,95 + 2 = 67,95 67,95 + 2 = 69,95 69,95 + 2 = 71,95 71,95 + 2 = 73,95 73,95 + 2 = 75,95 Las alturas de 60 a 61,5 pulgadas están en el intervalo de 59,95 a 61,95. Las alturas que son 63,5 están en el intervalo de 61,95 a 63,95. Las alturas que van de 64 a 64,5 están en el intervalo de 63,95 a 65,95. Las alturas de 66 a 67,5 están en el intervalo de 65,95 a 67,95. Las alturas de 68 a 69,5 están en el intervalo de 67,95 a 69,95. Las alturas de 70 a 71 están en el intervalo de 69,95 a 71,95. Las alturas de 72 a 73,5 están en el intervalo de 71,95 a 73,95. La altura 74 está en el intervalo de 73,95 a 75,95. El siguiente histograma muestra las alturas en el eje x y la frecuencia relativa en el eje y . Ejercicio Los siguientes datos son las tallas de los zapatos de 50 estudiantes hombres. Las tallas son datos continuos ya que se mide la talla de zapato. Construya un histograma y calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Suponga que elige seis barras. 9; 9; 9,5; 9,5; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5; 10,5 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5; 11,5 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12; 12,5; 12,5; 12,5; 12,5; 14 El valor más pequeño es: 9 El valor más grande es: 14 El valor inicial conveniente es: 9 – 0,05 = 8,95 El valor final conveniente es: 14 + 0,05 = 14,05 14,05 – 8,95 6 = 0,85 Los cálculos sugieren utilizar 0,85 para el ancho de cada barra o intervalo de clase. También puede utilizar un intervalo con un ancho igual a uno. Cree un histograma para los siguientes datos: el número de libros comprados por 50 estudiantes universitarios a tiempo parcial en el ABC College. El número de libros es un dato discreto , ya que los libros se cuentan. 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3 4; 4; 4; 4; 4; 4 5; 5; 5; 5; 5 6; 6 Once estudiantes compran un libro. Diez estudiantes compran dos libros. Dieciséis estudiantes compran tres libros. Seis estudiantes compran cuatro libros. Cinco estudiantes compran cinco libros. Dos estudiantes compran seis libros. Como los datos son enteros, reste 0,5 a 1, el valor más pequeño de los datos, y sume 0,5 a 6, el valor más grande de los datos. Entonces el punto de partida es 0,5 y el valor final es 6,5. Luego, calcule el ancho de cada barra o intervalo de clase. Si los datos son discretos y no hay demasiados valores diferentes, lo más conveniente es un ancho que sitúe los valores de los datos en el centro del intervalo de barras o clases. Dado que los datos consisten en los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, y el punto de partida es 0,5, un ancho de uno sitúa el 1 en el centro del intervalo de 0,5 a 1,5, el 2 en el centro del intervalo de 1,5 a 2,5, el 3 en el centro del intervalo de 2,5 a 3,5, el 4 en el centro del intervalo de _______ a _______, el 5 en el centro del intervalo de _______ a _______ y el _______ en el centro del intervalo de _______ a _______. de 3,5 a 4,5 de 4,5 a 5,5 6 de 5,5 a 6,5 Calcule el número de barras de la siguiente manera: 6,5 - 0,5 = 6 6 ÷ 1 = 6 donde 1 es el ancho de una barra. Por lo tanto, barras = 6. El siguiente histograma muestra el número de libros en el eje x y la frecuencia en el eje y . Con este conjunto de datos construya un histograma. Número de horas que mis compañeros de clase pasan jugando videojuegos los fines de semana 9,95 10 2,25 16,75 0 19,5 22,5 7,5 15 12,75 5,5 11 10 20,75 17,5 23 21,9 24 23,75 18 20 15 22,9 18,8 20,5 Algunos valores de este conjunto de datos caen en los límites de los intervalos de clase. Un valor se cuenta en un intervalo de clase si cae en el límite izquierdo, pero no si cae en el límite derecho. Diferentes investigadores pueden establecer histogramas para los mismos datos de diferentes maneras. Hay más de una forma correcta de configurar un histograma. Polígonos de frecuencia Los polígonos de frecuencias son análogos a los gráficos de líneas y, al igual que los gráficos de líneas facilitan la interpretación visual de los datos continuos, también lo hacen los polígonos de frecuencias. Para construir un polígono de frecuencias, primero hay que examinar los datos y decidir el número de intervalos, o intervalos de clase, que se van a utilizar en los ejes x y y . Después de elegir los rangos apropiados, comience a trazar los puntos de datos. Después de trazar todos los puntos, dibuje segmentos de línea para conectarlos. Se construyó un polígono de frecuencias a partir de la tabla de frecuencias que aparece a continuación. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 La primera etiqueta del eje x es 44,5. Esto representa un intervalo que va de 39,5 a 49,5. Dado que la calificación más baja de la prueba es 54,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto identificado como 54,5 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo “real” de la tabla, y contiene cinco calificaciones. Este razonamiento se sigue para cada uno de los intervalos restantes, con el punto 104,5 que representa el intervalo de 99,5 a 109,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Ejercicio Construya un polígono de frecuencias de las edades de los presidentes de EE. UU. en el momento de la investidura que se muestra en la . Edad en el momento de la investidura Frecuencia 41,5-46,5 4 46,5-51,5 11 51,5-56,5 14 56,5-61,5 9 61,5-66,5 4 66,5-71,5 2 La primera marca del eje x es 39. Esto representa un intervalo que va de 36,5 a 41,5. Dado que no hay edades inferiores a 41,5, este intervalo se utiliza solo para permitir que el gráfico toque el eje x . El punto marcado como 44 representa el siguiente intervalo, o el primer intervalo "real" de la tabla, y contiene cuatro puntuaciones. Este razonamiento se sigue en cada uno de los intervalos restantes, con el punto 74 que representa el intervalo de 71,5 a 76,5. De nuevo, este intervalo no contiene datos y solo se utiliza para que el gráfico toque el eje x . Observando el gráfico, decimos que esta distribución está distorsionada porque un lado del gráfico no es un espejo del otro. Los polígonos de frecuencia son útiles para comparar distribuciones. Esto se consigue superponiendo los polígonos de frecuencia dibujados para diferentes conjuntos de datos. Construiremos un polígono de frecuencias superpuestas comparando las calificaciones del con la nota numérica final de los estudiantes. Distribución de frecuencias de las calificaciones del examen final de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 5 5 59,5 69,5 10 15 69,5 79,5 30 45 79,5 89,5 40 85 89,5 99,5 15 100 Distribución de frecuencias de las notas finales de Cálculo Límite inferior Límite superior Frecuencia Frecuencia acumulada 49,5 59,5 10 10 59,5 69,5 10 20 69,5 79,5 30 50 79,5 89,5 45 95 89,5 99,5 5 100 Construcción de un gráfico de series temporales Supongamos que queremos estudiar el rango de temperaturas de una región durante todo un mes. Todos los días a mediodía anotamos la temperatura y la anotamos en un registro. Con estos datos se podrían realizar diversos estudios estadísticos. Podemos hallar la media o la mediana de la temperatura del mes. Podemos construir un histograma que muestre el número de días en que las temperaturas alcanzan un determinado rango de valores. Sin embargo, todos estos métodos ignoran una parte de los datos que hemos recopilado. Una característica de los datos que podemos considerar es la del tiempo. Dado que cada fecha se empareja con la lectura de la temperatura del día, no tenemos que pensar que los datos son aleatorios. En cambio, podemos utilizar los tiempos indicados para imponer un orden cronológico a los datos. Un gráfico que reconoce esta ordenación y muestra la evolución de la temperatura a medida que avanza el mes se denomina gráfico de series temporales. Para construir un gráfico de series temporales debemos observar las dos partes de nuestro conjunto de datos emparejados . Comenzamos con un sistema de coordenadas cartesianas estándar. El eje horizontal se utiliza para trazar la fecha o los incrementos de tiempo, y el eje vertical se utiliza para trazar los valores de la variable que estamos midiendo. De este modo, hacemos que cada punto del gráfico corresponda a una fecha y a una cantidad medida. Los puntos del gráfico suelen estar conectados por líneas rectas en el orden en que se producen. Los siguientes datos muestran el Índice de Precios del Consumidor (IPC) Anual, cada mes, durante diez años. Construya un gráfico de series temporales solo para los datos del Índice de Precios del Consumidor Anual. Año Ene Feb Mar Abr May Jun Jul 2003 181,7 183,1 184,2 183,8 183,5 183,7 183,9 2004 185,2 186,2 187,4 188,0 189,1 189,7 189,4 2005 190,7 191,8 193,3 194,6 194,4 194,5 195,4 2006 198,3 198,7 199,8 201,5 202,5 202,9 203,5 2007 202,416 203,499 205,352 206,686 207,949 208,352 208,299 2008 211,080 211,693 213,528 214,823 216,632 218,815 219,964 2009 211,143 212,193 212,709 213,240 213,856 215,693 215,351 2010 216,687 216,741 217,631 218,009 218,178 217,965 218,011 2011 220,223 221,309 223,467 224,906 225,964 225,722 225,922 2012 226,665 227,663 229,392 230,085 229,815 229,478 229,104 Año Ago Sep Oct Nov Dic Anual 2003 184,6 185,2 185,0 184,5 184,3 184,0 2004 189,5 189,9 190,9 191,0 190,3 188,9 2005 196,4 198,8 199,2 197,6 196,8 195,3 2006 203,9 202,9 201,8 201,5 201,8 201,6 2007 207,917 208,490 208,936 210,177 210,036 207,342 2008 219,086 218,783 216,573 212,425 210,228 215,303 2009 215,834 215,969 216,177 216,330 215,949 214,537 2010 218,312 218,439 218,711 218,803 219,179 218,056 2011 226,545 226,889 226,421 226,230 225,672 224,939 2012 230,379 231,407 231,317 230,221 229,601 229,594 Ejercicio La siguiente tabla es una parte de un conjunto de datos de www.worldbank.org. Utilice la tabla para construir un gráfico de la serie temporal de las emisiones de CO 2 de Estados Unidos. Emisiones de CO 2 Año Ucrania Reino Unido Estados Unidos 2003 352.259 540.640 5.681.664 2004 343.121 540.409 5.790.761 2005 339.029 541.990 5.826.394 2006 327.797 542.045 5.737.615 2007 328.357 528.631 5.828.697 2008 323.657 522.247 5.656.839 2009 272.176 474.579 5.299.563 Usos de un gráfico de series temporales Los gráficos de series temporales son herramientas importantes en diversas aplicaciones de la estadística. Cuando se registran los valores de una misma variable durante un largo periodo, a veces, es difícil discernir cualquier tendencia o patrón. Sin embargo, una vez que los mismos puntos de datos se muestran gráficamente, algunas características saltan a la vista. Los gráficos de series temporales facilitan la detección de tendencias. Cómo NO mentir con las estadísticas Es importante recordar que la razón por la que desarrollamos una variedad de métodos para presentar los datos es para comprender el tema de lo que las observaciones representan. Queremos tener una "sensación" de los datos. ¿Las observaciones son todas muy parecidas o están repartidas en un amplio rango de valores, están agrupadas en un extremo del espectro o están distribuidas uniformemente, etc.? Intentamos obtener una representación visual de los datos numéricos. En breve desarrollaremos medidas matemáticas formales de los datos, pero nuestra presentación gráfica visual puede decir mucho. Desgraciadamente, también puede decir muchas cosas que distraen, confunden y simplemente son erróneas en cuanto a la impresión que lo visual deja. Hace muchos años, Darrell Huff escribió el libro How to Lie with Statistics [Cómo mentir con estadísticas] . Ha tenido más de 25 ediciones y ha vendido más de un millón y medio de ejemplares. Su perspectiva era dura y utilizaba muchos ejemplos reales destinados a engañar. Quería hacer que la gente fuera consciente de ese engaño, pero quizás lo más importante era educar para que otros no cometieran los mismos errores inadvertidamente. De nuevo, el objetivo es ilustrar con imágenes que cuenten la historia de los datos. Los gráficos circulares tienen una serie de problemas comunes cuando se utilizan para transmitir el mensaje de los datos. Demasiados trozos del pastel abruman al lector. Más de quizás cinco o seis categorías deberían dar una idea de la importancia relativa de cada trozo. Al fin y al cabo, este es el objetivo de un gráfico circular: qué subconjunto importa más en relación con los demás. Si hay más componentes que esto, tal vez sea mejor un enfoque alternativo o tal vez algunos puedan consolidarse en una categoría "otros". Los gráficos circulares no pueden mostrar los cambios a lo largo del tiempo, aunque vemos que esto se intenta con demasiada frecuencia. En los documentos financieros federales, estatales y municipales se suelen presentar gráficos circulares para mostrar los componentes de los ingresos de los que dispone el órgano de gobierno para su consignación: impuesto sobre la renta, impuesto sobre las ventas, impuestos sobre los vehículos de motor, etc. En sí misma es una información interesante y se puede hacer muy bien con un gráfico circular. El error se produce cuando se ponen dos años uno al lado del otro. Como los ingresos totales cambian de un año a otro, pero el tamaño del pastel es fijo, no se proporciona ninguna información real y no se puede comparar de forma significativa el tamaño relativo de cada trozo del pastel. Los histogramas pueden ser muy útiles para entender los datos. Si se presentan correctamente, pueden ser una forma visual rápida de presentar las probabilidades de las diferentes categorías mediante la simple visualización de la comparación de las áreas relativas en cada categoría. Aquí el error, intencionado o no, es variar la amplitud de las categorías. Por supuesto, esto hace imposible la comparación con las demás categorías. Adorna la importancia de la categoría con un ancho ampliado porque tiene un área mayor, de forma inapropiada, y así "dice" visualmente que esa categoría tiene una mayor probabilidad de ocurrencia. Los gráficos de series temporales tal vez sean de los que más se abusa. Un gráfico de alguna variable a lo largo del tiempo nunca debe presentarse en ejes que cambien en parte de la página, ya sea en la dimensión vertical u horizontal. Tal vez se cambie el marco temporal de años a meses. Probablemente esto se haga para ahorrar espacio o porque los datos mensuales no estaban disponibles para los primeros años. En cualquier caso, esto confunde la presentación y destruye cualquier valor del gráfico. Si esto no se hace para confundir a propósito al lector, entonces ciertamente es un trabajo perezoso o descuidado. Cambiar las unidades de medida del eje puede suavizar o acentuar una caída. Si quiere mostrar grandes cambios, mida la variable en unidades pequeñas, centavos en lugar de miles de dólares. Y, por supuesto, para continuar con el fraude, asegúrese de que el eje no comienza en cero, cero. Si comienza en cero, cero entonces se hace evidente que el eje ha sido manipulado. Tal vez tenga un cliente al que le preocupa la volatilidad de la cartera que usted gestiona. Una forma fácil de presentar los datos es utilizar periodos largos en el gráfico de la serie temporal. Utilice meses o, mejor, trimestres en lugar de datos diarios o semanales. Si eso no consigue reducir la volatilidad, entonces separe el eje temporal en relación con el eje de la tasa de rendimiento o de la valoración de la cartera. Si quiere mostrar un crecimiento dramático "rápido", entonces reduzca el eje temporal. Cualquier crecimiento positivo mostrará tasas de crecimiento visualmente "altas". Tenga en cuenta que si el crecimiento es negativo, este truco mostrará que la cartera se está hundiendo a un ritmo dramático. Una vez más, el objetivo de la Estadística Descriptiva es transmitir imágenes significativas que cuenten la historia de los datos. La manipulación intencionada es un fraude y una falta de ética en el peor de los casos, pero incluso en el mejor, cometer este tipo de errores llevará a la confusión del análisis. Referencias Burbary, Ken. Facebook Demographics Revisited–2001 Statistics, 2011. Disponible en línea en http://www.kenburbary.com/2011/03/facebook-demographics-revisited-2011-statistics-2/ (consultado el 21 de agosto de 2013). “9th Annual AP Report to the Nation”. CollegeBoard, 2013. Disponible en línea en http://apreport.collegeboard.org/goals-and-findings/promoting-equity (consultado el 13 de septiembre de 2013). “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Datos sobre los homicidios anuales en Detroit, 1961-1973, extraídos del libro de Gunst & Mason: “Regression Analysis and its Application”, Marcel Dekker “Timeline: Guide to the U.S. Presidents: Information on every president’s birthplace, political party, term of office, and more”. Scholastic, 2013. Disponible en línea en http://www.scholastic.com/teachers/article/timeline-guide-us-presidents (consultado el 3 de abril de 2013). “Presidents”. Fact Monster. Pearson Education, 2007. Disponible en línea en http://www.factmonster.com/ipka/A0194030.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Food Security Statistics”. Food and Agriculture Organization of the United Nations. Disponible en línea en http://www.fao.org/economic/ess/ess-fs/en/ (consultado el 3 de abril de 2013). “Consumer Price Index”. United States Department of Labor: Bureau of Labor Statistics. Disponible en línea en http://data.bls.gov/pdq/SurveyOutputServlet (consultado el 3 de abril de 2013). “CO2 emissions (kt)”. The World Bank, 2013. Disponible en línea en http://databank.worldbank.org/data/home.aspx (consultado el 3 de abril de 2013). “Births Time Series Data”. General Register Office For Scotland, 2013. Disponible en línea en http://www.gro-scotland.gov.uk/statistics/theme/vital-events/births/time-series.html (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Children under the age of 5 years underweight”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2224&aml=en (consultado el 3 de abril de 2013). Gunst, Richard, Robert Mason. Regression Analysis and Its Application: A Data-Oriented Approach . CRC Press: 1980. “Overweight and Obesity: Adult Obesity Facts”. Centers for Disease Control and Prevention. Disponible en línea en http://www.cdc.gov/obesity/data/adult.html (consultado el 13 de septiembre de 2013). Repaso del capítulo Un gráfico de tallo y hoja es una forma de representar los datos y observar la distribución. En un gráfico de tallo y hoja todos los valores de los datos de una clase son visibles. La ventaja de un gráfico de tallo y hoja es que se enumeran todos los valores, a diferencia de un histograma, que da clases de valores de datos. Un gráfico de líneas se suele usar para representar un conjunto de valores de datos en los que una cantidad varía con el tiempo. Estos gráficos son útiles para hallar tendencias. Es decir, hallar un patrón general en conjuntos de datos que incluyan temperatura, ventas, empleo, ganancias o costos de la compañía durante un periodo. Un gráfico de barras es un gráfico que utiliza barras horizontales o verticales para mostrar comparaciones entre categorías. Un eje del gráfico muestra las categorías específicas que se comparan, y el otro eje representa un valor discreto. Algunos gráficos de barras presentan las barras agrupadas en grupos de más de uno (gráficos de barras agrupados), y otros muestran las barras divididas en subpartes para mostrar el efecto acumulativo (gráficos de barras apilados). Los gráficos de barras son especialmente útiles cuando se utilizan datos categóricos. Un histograma es una versión gráfica de una distribución de frecuencias. El gráfico consiste en barras de igual ancho dibujadas de forma adyacente. La escala horizontal representa clases de valores de datos cuantitativos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barras corresponden a valores de frecuencia. Los histogramas se suelen utilizar para conjuntos de datos cuantitativos, continuos y de gran tamaño. Un polígono de frecuencias también se puede usar cuando se grafican grandes conjuntos de datos con puntos de datos que se repiten. Los datos suelen ir en el eje y , y la frecuencia se representa en el eje x . Los gráficos de series temporales pueden ser útiles cuando se observan grandes cantidades de datos de una variable durante un periodo. Para los tres ejercicios siguientes utilice los datos para construir un gráfico de líneas. En una encuesta se preguntó a 40 personas cuántas veces habían visitado una tienda antes de hacer una compra importante. Los resultados se muestran en la . Número de veces en la tienda Frecuencia 1 4 2 10 3 16 4 6 5 4 En una encuesta se preguntó a varias personas cuántos años hacía que no compraban un colchón. Los resultados se muestran en la . Años desde la última compra Frecuencia 0 2 1 8 2 13 3 22 4 16 5 9 Se preguntó a varios niños cuántos programas de televisión ven al día. Los resultados de la encuesta se muestran en la . Número de programas de televisión Frecuencia 0 12 1 18 2 36 3 7 4 2 Los estudiantes de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez cumplen años en cada una de las cuatro estaciones. La muestra las cuatro estaciones, el número de estudiantes que cumplen años en cada estación y el porcentaje (%) de estudiantes en cada grupo. Construya un gráfico de barras que muestre el número de estudiantes. Estaciones Número de estudiantes Proporción de la población Primavera 8 24 % Verano 9 26 % Otoño 11 32 % Invierno 6 18 % Use los datos de la clase de Matemáticas de la Sra. Ramírez suministrados en el y construya un gráfico de barras que muestre los porcentajes. El condado de David tiene seis escuelas secundarias. Cada escuela envió a sus estudiantes a participar en un concurso de Ciencias de todo el condado. La muestra el desglose porcentual de los competidores de cada escuela y el porcentaje de toda la población estudiantil del condado que va a cada escuela. Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de los competidores de cada escuela. Escuela secundaria Población de la competición científica Población estudiantil total Alabaster 28,9 % 8,6 % Concordia 7,6 % 23,2 % Genoa 12,1 % 15,0 % Mocksville 18,5 % 14,3 % Tynneson 24,2 % 10,1 % West End 8,7 % 28,8 % Utilice los datos del concurso de Ciencias del condado de David que se facilitan en el . Construya un gráfico de barras que muestre el porcentaje de población de todo el condado de los estudiantes en cada escuela. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Rellene la tabla. Valor de los datos (n.º de vehículos) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia en la ? ¿Por qué? 65 ¿A cuánto asciende la columna de frecuencia relativa en la ? ¿Por qué? ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa y la frecuencia de cada valor de los datos en la ? La frecuencia relativa muestra la proporción de puntos de datos que tiene cada valor. La frecuencia indica el número de puntos de datos que tiene cada valor. ¿Cuál es la diferencia entre la frecuencia relativa acumulada y la frecuencia relativa de cada valor de los datos? Para construir el histograma de los datos en la , determine los valores mínimos y máximos de x y y y la escala. Dibuje el histograma. Identifique los ejes horizontal y vertical con palabras. Incluya la escala numérica. Las respuestas variarán. Se muestra un posible histograma: Construya un polígono de frecuencias para lo siguiente: Pulsaciones de las mujeres Frecuencia 60-69 12 70-79 14 80-89 11 90-99 1 100-109 1 110-119 0 120-129 1 Velocidad real en una zona de 30 millas por hora (mph) Frecuencia 42-45 25 46-49 14 50-53 7 54-57 3 58-61 1 Alquitrán (mg) en cigarrillos sin filtro Frecuencia 10-13 1 14-17 0 18-21 15 22-25 7 26-29 2 Construya un polígono de frecuencias a partir de la distribución de frecuencias para los 50 países con más puntos en cuanto a la magnitud del hambre. Magnitud del hambre Frecuencia 230-259 21 260-289 13 290-319 5 320-349 7 350-379 1 380-409 1 410-439 1 Calcule el punto medio de cada clase. Estos se graficarán en el eje x . Los valores de la frecuencia se graficarán en los valores del eje y . Utilice las dos tablas de frecuencia para comparar la esperanza de vida de hombres y mujeres de 20 países seleccionados al azar. Incluya un polígono de frecuencias superpuesto y analice las formas de las distribuciones, el centro, la dispersión y cualquier valor atípico. ¿Qué podemos concluir sobre la esperanza de vida de las mujeres en comparación con la de los hombres? Esperanza de vida al nacer: mujeres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 3 77-83 8 84-90 2 Esperanza de vida al nacer: hombres Frecuencia 49-55 3 56-62 3 63-69 1 70-76 1 77-83 7 84-90 5 Construya un gráfico de series temporales para (a) el número de nacimientos de hombres; (b) el número de nacimientos de mujeres; y (c) el número total de nacimientos. Sexo/Año 1855 1856 1857 1858 1859 1860 1861 Mujeres 45.545 49.582 50.257 50.324 51.915 51.220 52.403 Hombres 47.804 52.239 53.158 53.694 54.628 54.409 54.606 Total 93.349 101.821 103.415 104.018 106.543 105.629 107.009 Sexo/Año 1862 1863 1864 1865 1866 1867 1868 1869 Mujeres 51.812 53.115 54.959 54.850 55.307 55.527 56.292 55.033 Hombres 55.257 56.226 57.374 58.220 58.360 58.517 59.222 58.321 Total 107.069 109.341 112.333 113.070 113.667 114.044 115.514 113.354 Sexo/Año 1870 1871 1872 1873 1874 1875 Mujeres 56.431 56.099 57.472 58.233 60.109 60.146 Hombres 58.959 60.029 61.293 61.467 63.602 63.432 Total 115.390 116.128 118.765 119.700 123.711 123.578 Los siguientes conjuntos de datos enumeran los policías a tiempo completo por cada 100.000 ciudadanos junto con los homicidios por cada 100.000 ciudadanos para la ciudad de Detroit, Michigan, durante el periodo de 1961 a 1973. Año 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 Policía 260,35 269,8 272,04 272,96 272,51 261,34 268,89 Homicidios 8,6 8,9 8,52 8,89 13,07 14,57 21,36 Año 1968 1969 1970 1971 1972 1973 Policía 295,99 319,87 341,43 356,59 376,69 390,19 Homicidios 28,03 31,49 37,39 46,26 47,24 52,33 Construya un gráfico de serie temporal doble utilizando un eje x común para ambos conjuntos de datos. ¿Qué variable aumentó más rápido? Explique. ¿El aumento de policías en Detroit tuvo un efecto en la tasa de homicidios? Explique. Tarea para la casa La contiene las tasas de obesidad de 2010 en estados de EE. UU. y en Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Utilice un generador de números aleatorios para elegir al azar ocho estados. Construya un gráfico de barras con las tasas de obesidad de esos ocho estados. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “A”. Construya un gráfico de barras para todos los estados que comienzan con la letra “M”. Solución de ejemplo para utilizar el generador de números aleatorios de la calculadora TI-84+ para generar una muestra aleatoria simple de 8 estados. Las instrucciones son las siguientes. Numere las entradas de la tabla 1-51 (incluye Washington, DC; numeradas verticalmente) Pulse MATH Flecha hacia PRB Pulse 5:randInt( Introduzca 51,1,8) Se generan ocho números (utilice la tecla de flecha derecha para desplazarse por los números). Los números corresponden a los estados numerados (para este ejemplo: {47 21 9 23 51 13 25 4}. Si algún número se repite, genere un número diferente utilizando 5:randInt(51,1)). Aquí, los estados (y Washington, DC) son {Arkansas, Washington DC, Idaho, Maryland, Michigan, Misisipi, Virginia, Wyoming}. Los porcentajes correspondientes son {30,1; 22,2; 26,5; 27,1; 30,9; 34,0; 26,0; 25,1}. Supongamos que tres editoriales se interesan por el número de libros de ficción de tapa blanda que compran los consumidores adultos al mes. Cada editorial realizó una encuesta. En la encuesta se les preguntó a los consumidores adultos el número de libros de ficción de tapa blanda que compraron el mes anterior. Los resultados son los siguientes: Editorial A N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 10 1 12 2 16 3 12 4 8 5 6 6 2 8 2 Editorial B N.º de libros Frec. Frec. rel. 0 18 1 24 2 24 3 22 4 15 5 10 7 5 9 1 Editorial C N.º de libros Frec. Frec. rel. 0–1 20 2–3 35 4–5 12 6–7 2 8–9 1 Calcule las frecuencias relativas de cada encuesta. Escríbalas en las tablas. Utilice la columna de frecuencias para construir un histograma de la encuesta de cada editor. Para las editoriales A y B, haga el ancho de las barras de uno. Para la editorial C, haga las barras con un ancho de dos. En oraciones completas, indique dos razones por las que los gráficos de las editoriales A y B no son idénticos. ¿Habría esperado que el gráfico de la editorial C se pareciera a los otros dos gráficos? ¿Por qué sí o por qué no? Haga nuevos histogramas para la editorial A y la editorial B. Esta vez, haga barras con un ancho de dos. Ahora, compare el gráfico de la editorial C con los nuevos gráficos de las editoriales A y B. ¿los gráficos son más parecidos o más distintos? Explique su respuesta. A menudo, los cruceros realizan todas las transacciones a bordo sin dinero en efectivo, a excepción de los juegos de azar. Al final del crucero, los huéspedes pagan una sola factura que cubre todas las transacciones a bordo. Supongamos que se encuestaron 60 viajeros solteros y 70 parejas sobre sus facturas a bordo para un crucero de siete días desde Los Ángeles a la riviera mexicana. A continuación, un resumen de las facturas de cada grupo. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 101-150 10 151-200 15 201-250 15 251-300 10 301-350 5 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 201-250 5 251-300 5 301-350 5 351-400 10 401-450 10 451-500 10 501-550 10 551-600 5 601-650 5 Rellene la frecuencia relativa de cada grupo. Construya un histograma para el grupo de solteros. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Construya un histograma para el grupo de parejas. Escale el eje x a 50 dólares de ancho. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare los dos gráficos: Enumere dos similitudes entre los gráficos. Enumere dos diferencias entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? Construya un nuevo gráfico a mano para las parejas. Dado que cada pareja paga por dos personas, en vez de escalar el eje x a 50 dólares, escálelo a 100 dólares. Utilice la frecuencia relativa en el eje y . Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Enumere dos similitudes entre los gráficos. En general, ¿los gráficos son más parecidos o más diferentes? ¿Cómo ha cambiado la escala del gráfico de parejas en comparación con el gráfico de solteros? Basándose en los gráficos, ¿cree que las personas gastan la misma cantidad, más o menos como solteros que como pareja? Explique por qué en una o dos oraciones completas. Solteros Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 51-100 5 0,08 101-150 10 0,17 151-200 15 0,25 201-250 15 0,25 251-300 10 0,17 301-350 5 0,08 Parejas Monto (en dólares) Frecuencia Frecuencia relativa 100-150 5 0,07 201-250 5 0,07 251-300 5 0,07 301-350 5 0,07 351-400 10 0,14 401-450 10 0,14 451-500 10 0,14 501-550 10 0,14 551-600 5 0,07 601-650 5 0,07 Vea la y la . En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen ambos valores del límite). En el siguiente histograma los valores de los datos que caen en el límite de la derecha se cuentan en el intervalo de la clase, mientras que los valores que caen en el límite de la izquierda no se cuentan (con la excepción del primer intervalo en el que se incluyen los valores de ambos límites). Compare los dos gráficos: Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos utilizan intervalos de clase con un ancho igual a 50 dólares. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: El gráfico de parejas tiene un intervalo de clase sin valores. Se necesita casi el doble de intervalos de clase para mostrar los datos de las parejas. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Los gráficos son más similares que diferentes porque los patrones generales de los gráficos son iguales. Compruebe la solución del estudiante. Compare el gráfico de los solteros con el nuevo gráfico de las parejas: Ambos gráficos tienen un solo pico. Ambos gráficos muestran intervalos de 6 clases. Ambos gráficos muestran el mismo patrón general. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Aunque el ancho de los intervalos de clase de las parejas es el doble que la de los intervalos de clase de los solteros, los gráficos son más similares que diferentes. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Puede comparar los gráficos intervalo por intervalo. Es más fácil comparar los patrones generales con la nueva escala del gráfico de las parejas. Como una pareja representa a dos personas, la nueva escala permite una comparación más precisa. Las respuestas pueden variar. Las posibles respuestas son: Según los histogramas, parece que el gasto no varía mucho entre los solteros y las personas que forman parte de una pareja. Los patrones generales son iguales. El rango de gasto de las parejas es aproximadamente el doble que el de personas individuales. Se les preguntó a veinticinco estudiantes seleccionados al azar el número de películas que habían visto la semana anterior. Los resultados son los siguientes. N.º de películas Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 0 5 1 9 2 6 3 4 4 1 Construya un histograma de los datos. Rellene las columnas del cuadro. Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: supongamos que se les pregunta a ciento once personas que compran en una tienda especial de camisetas el número de camisetas que tienen y que cuestan más de 19 dólares cada una. El porcentaje de personas que tienen como máximo tres camisetas que cuestan más de 19 dólares cada una es aproximadamente: 21 59 41 No se puede determinar c Si los datos se recopilaron al preguntarles a las primeras 111 personas que entraron en la tienda, entonces el tipo de muestreo es: conglomerado simple aleatorio estratificado de conveniencia A continuación se muestran las tasas de obesidad de 2010 por estados de EE. UU. y Washington, DC. Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Estado Porcentaje (%) Alabama 32,2 Kentucky 31,3 Dakota del Norte 27,2 Alaska 24,5 Luisiana 31,0 Ohio 29,2 Arizona 24,3 Maine 26,8 Oklahoma 30,4 Arkansas 30,1 Maryland 27,1 Oregón 26,8 California 24,0 Massachusetts 23,0 Pensilvania 28,6 Colorado 21,0 Michigan 30,9 Rhode Island 25,5 Connecticut 22,5 Minnesota 24,8 Carolina del Sur 31,5 Delaware 28,0 Misisipi 34,0 Dakota del Sur 27,3 Washington, DC 22,2 Misuri 30,5 Tennessee 30,8 Florida 26,6 Montana 23,0 Texas 31,0 Georgia 29,6 Nebraska 26,9 Utah 22,5 Hawái 22,7 Nevada 22,4 Vermont 23,2 Idaho 26,5 Nuevo Hampshire 25,0 Virginia 26,0 Illinois 28,2 Nueva Jersey 23,8 Washington 25,5 Indiana 29,6 Nuevo México 25,1 Virginia Occidental 32,5 Iowa 28,4 Nueva York 23,9 Wisconsin 26,3 Kansas 29,4 Carolina del Norte 27,8 Wyoming 25,1 Construya un gráfico de barras de las tasas de obesidad de su estado y de los cuatro estados más cercanos al suyo. Pista: Identifique el eje x con los estados. Las respuestas variarán. Frecuencia el número de veces que se produce un valor de los datos Histograma una representación gráfica en forma de x - y de la distribución de los datos en un conjunto de datos; x representa los datos y y representa la frecuencia o la frecuencia relativa. El gráfico está formado por rectángulos contiguos. Frecuencia relativa el cociente entre el número de veces que un valor de los datos ocurre en el conjunto de todos los resultados y el número de todos los resultados

Matemáticas


Medidas de la ubicación de los datos Las medidas habituales de localización son cuartiles y percentiles Los cuartiles son percentiles especiales. El primer cuartil, Q 1 , es igual que el percentil 25 , y el tercer cuartil, Q 3 , es igual que el percentil 75 . La mediana, M , se denomina tanto el segundo cuartil como el percentil 50 . Para calcular cuartiles y percentiles, los datos se deben ordenar de menor a mayor. Los cuartiles dividen los datos ordenados en cuartos. Los percentiles dividen los datos ordenados en centésimas. Obtener una calificación en el percentil 90 de un examen no significa, necesariamente, que haya obtenido el 90 % en una prueba. Significa que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o inferiores a su calificación y el 10 % de las calificaciones de las pruebas son iguales o superiores a su calificación. Los percentiles son útiles para comparar valores. Por esta razón, universidades e institutos universitarios usan ampliamente los percentiles. Uno de los casos en los que institutos universitarios y universidades utilizan los percentiles es cuando los resultados del SAT se emplean para determinar una calificación mínima del examen que se utilizará como factor de aceptación. Por ejemplo, supongamos que Duke acepta calificaciones del SAT iguales o superiores al percentil 75 . Eso se traduce en una calificación de, al menos, 1.220. Los percentiles se utilizan sobre todo con poblaciones muy grandes. Por lo tanto, si se dijera que el 90 % de las calificaciones de las pruebas son menores (y no iguales o menores) que su calificación, sería aceptable porque eliminar un valor de datos particular no es significativo. La mediana es un número que mide el “centro” de los datos. Se puede pensar en la mediana como el “valor medio”, pero no tiene por qué ser uno de los valores observados. Es un número que separa los datos ordenados en mitades. La mitad de los valores son iguales o menores que la mediana, y la mitad de los valores son iguales o mayores. Por ejemplo, considere los siguientes datos. 1; 11,5; 6; 7,2; 4; 8; 9; 10; 6,8; 8,3; 2; 2; 10; 1 Ordenado de menor a mayor: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 Como hay 14 observaciones, la mediana está entre el séptimo valor, 6,8, y el octavo, 7,2. Para hallar la mediana, sume los dos valores y divídalos entre dos. 6,8 + 7,2 = 14 14 ÷ 2 = 7 La mediana es siete. La mitad de los valores son menores que siete y la mitad de los valores son mayores que siete. Los cuartiles son números que separan los datos en cuartos. Los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. Para hallar los cuartiles, primero hay que hallar la mediana o el segundo cuartil. El primer cuartil, Q 1 , es el valor central de la mitad inferior de los datos, y el tercer cuartil, Q 3 , es el valor central, o la mediana, de la mitad superior de los datos. Para hacerse una idea, considere el mismo conjunto de datos: 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8; 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5 La mediana o segundo cuartil es siete. La mitad inferior de los datos son 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8. El valor central de la mitad inferior es dos. 1; 1; 2; 2; 4; 6; 6,8 El número dos, que forma parte de los datos, es el primer cuartil . Una cuarta parte de los conjuntos de valores son iguales o inferiores a dos y tres cuartas partes de los valores son superiores a dos. La mitad superior de los datos es 7,2; 8; 8,3; 9; 10; 10; 11,5. El valor central de la mitad superior es nueve. El tercer cuartil , Q 3, es nueve. Tres cuartas partes (75 %) del conjunto de datos ordenados son menores de nueve. Una cuarta parte (25 %) del conjunto de datos ordenados son mayores de nueve. El tercer cuartil forma parte del conjunto de datos de este ejemplo. El rango intercuartil es un número que indica la dispersión de la mitad central o del 50 % central de los datos. Es la diferencia entre el tercer cuartil ( Q 3 ) y el primer cuartil ( Q 1 ). IQR = Q 3 – Q 1 El IQR puede ayudar a determinar posibles valores atípicos . Se sospecha que un valor es un posible valor atípico si está menos de (1,5)( IQR ) por debajo del primer cuartil o más de (1,5)( IQR ) por encima del tercer cuartil . Los posibles valores atípicos siempre requieren una investigación más profunda. NOTA Un valor atípico potencial es un punto de datos que es significativamente diferente de los otros puntos de datos. Estos puntos de datos especiales pueden ser errores o algún tipo de anormalidad o pueden ser una clave para entender los datos. Para los siguientes 13 precios de bienes raíces, calcule el IQR y determine si algún precio es un posible valor atípico. Los precios están en dólares. 389.950; 230.500; 158.000; 479.000; 639.000; 114.950; 5.500.000; 387.000; 659.000; 529.000; 575.000; 488.800; 1.095.000 Ordene los datos de menor a mayor. 114.950; 158.000; 230.500; 387.000; 389.950; 479.000; 488.800; 529.000; 575.000; 639.000; 659.000; 1.095.000; 5.500.000 M = 488.800 Q 1 = 230.500 + 387.000 2 = 308.750 Q 3 = 639.000 + 659.000 2 = 649.000 IQR = 649.000 – 308.750 = 340.250 (1,5)( IQR ) = (1,5)(340.250) = 510.375 Q 1 – (1,5)( IQR ) = 308.750 – 510.375 = –201.625 Q 3 + (1,5)( IQR ) = 649.000 + 510.375 = 1.159.375 Ningún precio de la vivienda es inferior a –201.625. Sin embargo, 5.500.000 son más que 1.159.375. Por lo tanto, 5.500.000 es un posible valor atípico . Para los dos conjuntos de datos del ejemplo de las calificaciones de los exámenes , halle lo siguiente: El rango intercuartil. Compare los dos rangos intercuartiles. Cualquier valor atípico en cualquier conjunto. El resumen de cinco números para las clases diurnas y nocturnas es Mínimo Q 1 Mediana Q 3 Máximo Día 32 56 74,5 82,5 99 Noche 25,5 78 81 89 98 El IQR para el grupo de día es Q 3 – Q 1 = 82,5 – 56 = 26,5 El IQR para el grupo nocturno es Q 3 – Q 1 = 89 – 78 = 11 El rango intercuartil (la dispersión o variabilidad) para la clase diurna es mayor que el IQR de la clase nocturna. Esto sugiere que se hallarán más variaciones en los resultados de las pruebas de la clase diurna. Los valores atípicos de la clase diurna se encuentran utilizando la regla del IQR por 1,5. Así que, Q 1 – IQR (1,5) = 56 – 26,5(1,5) = 16,25 Q 3 + IQR (1,5) = 82,5 + 26,5(1,5) = 122,25 Dado que los valores mínimos y máximos de la clase diurna son superiores a 16,25 e inferiores a 122,25, no hay valores atípicos. Los valores atípicos de la clase nocturna se calculan como: Q 1 – IQR (1,5) = 78 – 11(1,5) = 61,5 Q 3 + IQR(1,5) = 89 + 11(1,5) = 105,5 Para esta clase, cualquier calificación de la prueba inferior a 61,5 es un valor atípico. Por lo tanto, las calificaciones de 45 y 25,5 son valores atípicos. Dado que ninguna calificación de la prueba es superior a 105,5, no hay ningún valor atípico en el extremo superior. Se les preguntó a cincuenta estudiantes de Estadística cuánto dormían por noche de escuela (redondeado a la hora más cercana). Los resultados fueron: Cantidad de sueño por noche escolar (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 4 2 0,04 0,04 5 5 0,10 0,14 6 7 0,14 0,28 7 12 0,24 0,52 8 14 0,28 0,80 9 7 0,14 0,94 10 3 0,06 1,00 Calcule el percentil 28 . Fíjese en el 0,28 de la columna “frecuencia relativa acumulada”. El veintiocho por ciento de 50 valores de datos son 14 valores. Hay 14 valores inferiores al percentil 28 . Incluyen los dos 4, los cinco 5 y los siete 6. El percentil 28 está entre los seis últimos y los siete primeros. El percentil 28 es 6,5. Calcule la mediana . Observe de nuevo la columna de “frecuencia relativa acumulada” y halle 0,52. La mediana es el percentil 50 o el segundo cuartil. El 50 % de 50 es 25. Hay 25 valores inferiores a la mediana. Incluyen los dos 4, los cinco 5, los siete 6 y once de los 7. La mediana o el percentil 50 está entre los valores 25 , o siete, y 26 , o siete. La mediana es siete. Calcule el tercer cuartil . El tercer cuartil es lo mismo que el percentil 75 . Puede dar esta respuesta “al ojo”. Si observa la columna de “frecuencia relativa acumulada”, verá 0,52 y 0,80. Cuando tiene todos los cuatros, cincos, seises y sietes tiene el 52 % de los datos. Cuando incluye todos los 8, tiene el 80 % de los datos. El percentil 75 , entonces, debe ser un ocho . Otra forma de ver el problema es hallar el 75 % de 50, que es 37,5, y redondear a 38. El tercer cuartil, Q 3 , es el valor 38 , que es un ocho. Puede comprobar esta respuesta contando los valores (hay 37 valores por debajo del tercer cuartil y 12 valores por encima). Ejercicio Se les ha preguntado a cuarenta conductores de autobús cuántas horas dedican cada día a recorrer sus rutas (redondeadas a la hora más cercana). Calcule el percentil 65 . Cantidad de tiempo invertido en la ruta (horas) Frecuencia Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada 2 12 0,30 0,30 3 14 0,35 0,65 4 10 0,25 0,90 5 4 0,10 1,00 El percentil 65 está entre los tres últimos y los cuatro primeros. El percentil 65 es de 3,5. Mediante la : Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 90 . Calcule el primer cuartil. ¿Cuál es otro nombre para el primer cuartil? Al usar los datos de la tabla de frecuencias, tenemos: El percentil 80 está entre los ocho últimos y los nueve primeros de la tabla (entre los valores 40 y 41 ). Por lo tanto, tenemos que tomar la media de los valores 40 y 41 . El percentil 80 = 8 + 9 2 = 8,5 El percentil 90 será el valor del dato 45 (la ubicación es 0,90(50) = 45) y el valor del dato 45 es nueve. El Q 1 es también el percentil 25 . El cálculo de la ubicación del percentil 25 es: P 25 = 0,25(50) = 12,5 ≈ 13 el valor del dato 13 . Así, el percentil 25 es seis. Una fórmula para hallar el percentil k Si investiga un poco, hallará varias fórmulas para calcular el percentil k Aquí está una de ellas. k = el percentil k . Puede o no formar parte de los datos. i = el índice (clasificación o posición de un valor de datos) n = el número total de puntos de datos u observaciones Ordene los datos de menor a mayor. Calcule i = k 100 ( n + 1 ) Si i es un número entero, el percentil k es el valor de los datos en la posición i en el conjunto ordenado de datos. Si i no es un entero, entonces redondee i hacia arriba o redondee i hacia abajo a los enteros más cercanos. Promedia los dos valores de los datos en estas dos posiciones en el conjunto de datos ordenados. Esto es más fácil de entender con un ejemplo. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 70 . Calcule el percentil 83 . k = 70 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 70 100 )(29 + 1) = 21. Veintiuno es un número entero, y el valor de los datos en la posición 21 del conjunto de datos ordenados es 64. El percentil 70 es 64 años. k = percentil 83 i = el índice n = 29 i = k 100 ( n + 1) = ( 83 100 )(29 + 1) = 24,9, que NO es un número entero. Redondee a 24 hacia abajo y a 25 hacia arriba. La edad en el puesto 24 es de 71 años y la edad en el puesto 25 es de 72 años. Promedio 71 y 72. El percentil 83 es de 71,5 años. Ejercicio Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 20 y el percentil 55 . k = 20. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 20 100 (29 + 1) = 6. La edad en la sexta posición es de 27 años. El percentil 20 es de 27 años. k = 55. Índice = i = k 100 ( n + 1 ) = 55 100 (29 + 1) = 16,5. Redondee hacia abajo a 16 y hacia arriba a 17. La edad en el puesto 16 es de 52 años y la edad en el puesto 17 es de 55 años. El promedio de 52 y 55 es 53,5. El percentil 55 es de 53,5 años. Una fórmula para hallar el percentil de un valor en un conjunto de datos Ordene los datos de menor a mayor. x = el número de valores de datos contando desde la parte inferior de la lista de datos hasta, pero sin incluir, el valor de datos para el que se desea hallar el percentil. y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil. n = el número total de datos. Calcule x + 0,5 y n (100). Luego, redondee al número entero más cercano. Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 58. Calcule el percentil de 25. Contando desde el final de la lista hay 18 valores de datos inferiores a 58. Hay un valor de 58. x = 18 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 18 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 63,80. 58 es el percentil 64 . Contando desde el final de la lista hay tres valores de datos inferiores a 25. Hay un valor de 25. x = 3 y y = 1. x + 0,5 y n (100) = 3 + 0,5 ( 1 ) 29 (100) = 12,07. Veinticinco es el percentil 12 . Interpretación de percentiles, cuartiles y mediana Un percentil indica la posición relativa de un valor de datos cuando estos se ordenan numéricamente de menor a mayor. Los porcentajes de los valores de los datos son menores o iguales al percentil p. Por ejemplo, el 15 % de los valores de los datos son inferiores o iguales al percentil 15 . Los percentiles bajos corresponden siempre a valores de datos más bajos. Los percentiles altos corresponden siempre a valores de datos más altos. Un percentil puede corresponder o no a un juicio de valor sobre si es “bueno” o “deficiente”. La interpretación de si un determinado percentil es “bueno” o “deficiente” depende del contexto de la situación a la que se aplican los datos. En algunas situaciones, un percentil bajo se consideraría “bueno”; en otros contextos, un percentil alto podría considerarse “bueno”. En muchas situaciones no se aplica ningún juicio de valor. Entender cómo interpretar correctamente los percentiles es importante no solo a la hora de describir los datos, sino también a la hora de calcular las probabilidades en capítulos posteriores de este texto. NOTA Al escribir la interpretación de un percentil en el contexto de los datos dados, la oración debe contener la siguiente información. información sobre el contexto de la situación considerada. el valor del dato (valor de la variable) que representa el percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por debajo del percentil. el porcentaje de personas o elementos con valores de datos por encima del percentil. En un examen de Matemáticas cronometrado, el primer cuartil del tiempo que se tardó en terminar el examen fue de 35 minutos. Interprete el primer cuartil en el contexto de esta situación. El veinticinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o menos. El setenta y cinco por ciento de los estudiantes terminó el examen en 35 minutos o más. Un percentil bajo podría considerarse bueno, ya que es deseable terminar más rápido en un examen cronometrado (si tarda demasiado, es posible que no pueda terminar). En un examen de Matemáticas de 20 preguntas, el percentil 70 del número de respuestas correctas fue de 16. Interprete el percentil 70 en el contexto de esta situación. El setenta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o menos preguntas. El treinta por ciento de los estudiantes respondió correctamente 16 o más preguntas. Un percentil más alto podría considerarse bueno, ya que es deseable responder correctamente más preguntas. Ejercicio En una asignación escrita de 60 puntos, el percentil 80 del número de puntos obtenidos fue de 49. Interprete el percentil 80 en el contexto de esta situación. El 80 % de los estudiantes obtuvo 49 puntos o menos. El 20 % de los estudiantes obtuvo 49 o más puntos. Un percentil más alto es bueno porque obtener más puntos en una tarea es deseable. En un colegio comunitario se comprobó que el percentil 30 de unidades de crédito en las que se inscriben los estudiantes es de siete unidades. Interprete el percentil 30 en el contexto de esta situación. El treinta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o menos unidades de crédito. El setenta por ciento de los estudiantes están inscritos en siete o más unidades de crédito. En este ejemplo, no hay un juicio de valor "bueno" o "malo" asociado a un percentil más alto o más bajo. Los estudiantes acuden a los colegios comunitarios por razones y necesidades diversas y su carga lectiva varía según sus necesidades. La escuela intermedia Sharpe está solicitando una subvención que se utilizará para añadir equipos de acondicionamiento físico para el gimnasio. El director encuestó 15 estudiantes anónimos para determinar cuántos minutos al día dedican los estudiantes a hacer ejercicio. Se muestran los resultados de los 15 estudiantes anónimos. 0 minutos; 40 minutos; 60 minutos; 30 minutos; 60 minutos 10 minutos; 45 minutos; 30 minutos; 300 minutos; 90 minutos; 30 minutos; 120 minutos; 60 minutos; 0 minutos; 20 minutos Determine los cinco valores siguientes. Mín. = 0 Q 1 = 20 Med. = 40 Q 3 = 60 Máx. = 300 Si usted fuera el director, ¿se justificaría la compra de nuevos equipos de acondicionamiento físico? Dado que el 75 % de los estudiantes hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día, y que el IQR es de 40 minutos (60 – 20 = 40), sabemos que la mitad de los estudiantes encuestados hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Esto parece una cantidad razonable de tiempo de ejercicio, por lo que el director estaría justificado en la compra del nuevo equipamiento. Sin embargo, el director debe tener cuidado. El valor 300 parece ser un posible valor atípico. Q 3 + 1,5( IQR ) = 60 + (1,5)(40) = 120. El valor 300 es mayor que 120, por lo que es un posible valor atípico. Si lo eliminamos y calculamos los cinco valores, obtenemos los siguientes valores: Mín. = 0 Q 1 = 20 Q 3 = 60 Máx. = 120 Todavía tenemos un 75 % de los estudiantes que hacen ejercicio durante 60 minutos o menos al día y la mitad de los estudiantes que hacen ejercicio entre 20 y 60 minutos al día. Sin embargo, 15 estudiantes es una muestra pequeña y el director debería encuestar más estudiantes para estar seguro de los resultados de su encuesta. Referencias Cauchon, Dennis, Paul Overberg. “Census data shows minorities now a majority of U.S. births”. USA Today, 2012. Disponible en línea en http://usatoday30.usatoday.com/news/nation/story/2012-05-17/minority-birthscensus/55029100/1 (consultado el 3 de abril de 2013). Datos del Departamento de Comercio de Estados Unidos: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/ (consultado el 3 de abril de 2013). “1990 Census”. United States Department of Commerce: Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/main/www/cen1990.html (consultado el 3 de abril de 2013). Datos de The Mercury News de San José. Datos de la Revista Time ; encuesta de Yankelovich Partners, Inc. Repaso del capítulo Los valores que dividen un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales se llaman percentiles. Los percentiles se utilizan para comparar e interpretar datos. Por ejemplo, una observación en el percentil 50 sería mayor que el 50 % de las demás observaciones del conjunto. Los cuartiles dividen los datos en cuartos. El primer cuartil ( Q 1 ) es el percentil 25, el segundo cuartil ( Q 2 o mediana) es el percentil 50 y el tercer cuartil ( Q 3 ) es el percentil 75. El rango intercuartil, o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos. El IQR se encuentra restando Q 1 de Q 3 , y puede ayudar a determinar los valores atípicos utilizando las dos expresiones siguientes. Q 3 + IQR (1,5) Q 1 – IQR (1,5) Revisión de la fórmula i = ( k 100 ) ( n + 1 ) donde i = la clasificación o posición de un valor de datos, k = el percentil k, n = número total de datos. Expresión para hallar el percentil de un valor de datos: ( x + 0,5 y n ) (100) donde x = el número de valores contando desde el final de la lista de datos hasta el valor de los datos para el que se quiere hallar el percentil, pero sin incluirlo, y = el número de valores de datos iguales al valor de los datos para los que se quiere hallar el percentil, n = número total de datos Se enumeran 29 edades de los mejores actores ganadores del Oscar en orden de menor a mayor. 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil 40. Calcule el percentil 78. El percentil 40 es 37 años. El percentil 78 es 70 años. Se enumeran las 32 edades de los mejores actores ganadores de los Premios de la Academia (Oscar) en orden de menor a mayor. 18; 18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 31; 33; 36; 37; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77 Calcule el percentil de 37. Calcule el percentil de 72. Jesse ocupó el puesto 37 de su promoción de 180 estudiantes. ¿En qué percentil se encuentra Jesse? Jesse se graduó en el puesto 37 de una clase de 180 estudiantes. Hay 180 – 37 = 143 estudiantes clasificados por debajo de Jesse. Hay un rango de 37. x = 143 y y = 1 x + 0,5 y n (100) = 143 + 0,5 ( 1 ) 180 (100) = 79,72. El puesto 37 de Jesse le sitúa en el percentil 80 . Para los corredores en una carrera un tiempo bajo significa una carrera más rápida. Los ganadores de una carrera tienen los tiempos de carrera más cortos. ¿Es más deseable tener un tiempo de llegada con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 20 de los tiempos de carrera en una determinada carrera es de 5,2 minutos. Escriba una oración con la interpretación del percentil 20 en el contexto de la situación. Un ciclista en el percentil 90 de una carrera la terminó en 1 hora y 12 minutos. ¿Está entre los ciclistas más rápidos o más lentos de la carrera? Escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera una mayor velocidad significa una carrera más rápida. ¿Es más deseable tener una velocidad con un percentil alto o bajo cuando se corre una carrera? El percentil 40 de las velocidades en una carrera particular es de 7,5 millas por hora. Escriba una oración con la interpretación del percentil 40 en el contexto de la situación. Para los corredores en una carrera es más deseable tener un percentil alto de velocidad. Un percentil alto significa una mayor velocidad, lo cual es más rápida. El 40 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o menos (más lento). El 60 % de los corredores corrió a velocidades de 7,5 millas por hora o más (más rápido). En un examen, ¿sería más deseable obtener una calificación con un percentil alto o bajo? Explique. Mina está esperando en la fila del Departamento de Vehículos Motorizados (Department of Motor Vehicles, DMV). Su tiempo de espera de 32 minutos está en el percentil 85 de los tiempos de espera. ¿Es eso bueno o malo? Escriba una oración con la interpretación del percentil 85 en el contexto de esta situación. Cuando se espera en la fila del DMV, el percentil 85 sería un tiempo de espera largo en comparación con las demás personas que esperan. El 85 % de las personas tuvieron tiempos de espera más cortos que Mina. En este contexto, Mina preferiría un tiempo de espera correspondiente a un percentil inferior. El 85 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o menos. El 15 % de las personas en el DMV esperaron 32 minutos o más. En una encuesta en la que se recopilan datos sobre los salarios que ganan los recién graduados universitarios, Li descubrió que su sueldo estaba en el percentil 78 . ¿Li debe alegrarse o molestarse por este resultado? Explique. En un estudio en el que se recopilan datos sobre costos de reparación por daños sufridos por automóviles en un determinado tipo de pruebas de choque, un determinado modelo de automóvil sufrió daños por valor de 1.700 dólares y se situó en el percentil 90 . ¿El fabricante y el consumidor deben estar satisfechos o molestos por este resultado? Explique y escriba una oración con la interpretación del percentil 90 en el contexto de este problema. El fabricante y el consumidor estarían molestos. Este es un gran costo de reparación de daños en comparación con los otros automóviles de la muestra. INTERPRETACIÓN: El 90 % de los automóviles sometidos a pruebas de choque tuvieron costos de reparación de daños de 1.700 dólares o menos; solo el 10 % tuvo costos de reparación de daños de 1.700 dólares o más. La Universidad de California (UC) tiene dos criterios que se utilizan para establecer las normas de admisión de los estudiantes de primer año de educación superior en el sistema UC: Los GPA de los estudiantes y las calificaciones de los exámenes estandarizados (SAT y ACT) se introducen en una fórmula que calcula una calificación de “índice de admisión”. La calificación del índice de admisión se utiliza para establecer normas de elegibilidad destinadas a cumplir la meta de admitir el 12 % de los mejores estudiantes de escuela secundaria del estado. En este contexto, ¿qué percentil representa el 12 % superior? Los estudiantes cuyos GPA se sitúan en o sobre el percentil 96 de todos los estudiantes de su escuela secundaria son elegibles (denominados elegibles en el contexto local), aunque no se encuentren en el 12 % superior de todos los estudiantes del estado. ¿Qué porcentaje de estudiantes de cada escuela secundaria son “elegibles en el contexto local”? Supongamos que va a comprar una casa. Usted y su agente inmobiliario han determinado que la casa más costosa que puede permitirse es la del percentil 34 . El percentil 34 de los precios de la vivienda es de 240.000 dólares en la ciudad a la que quiere mudarse. En esta ciudad, ¿puede permitirse el 34 % de las casas o el 66 % de las casas? Puede permitirse el 34 % de las casas. El 66 % de las casas son demasiado costosas para su presupuesto. INTERPRETACIÓN: El 34 % de las casas cuestan 240.000 dólares o menos. El 66 % de las casas cuestan 240.000 dólares o más. Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios. se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Primer cuartil = _______ Segundo cuartil = mediana = percentil 50 = _______ 4 Tercer cuartil = _______ Rango intercuartil ( IQR ) = _____ – _____ = _____ 6 – 4 = 2 percentil 10 = _______ percentil 70 = _______ 6 Tarea para la casa La edad media de las personas negras en Estados Unidos es actualmente de 30,9 años; la de las personas blancas es de 42,3 años. Basándose en esta información, indique dos razones por las que la edad media de las personas negras podría ser inferior a la de las personas blancas. ¿La menor edad media de las personas negras significa necesariamente que estas mueren más jóvenes que las personas blancas? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo es posible que las personas negras y las blancas mueran aproximadamente a la misma edad, pero que la edad media de las personas blancas sea mayor? A seiscientos estadounidenses adultos se les preguntó mediante un sondeo telefónico: “¿Qué cree usted que constituye un ingreso de clase media?”. Los resultados están en la . Además, se incluye el extremo izquierdo, pero no el derecho. Salario (dólares) Frecuencia relativa < 20.000 0,02 20.000-25.000 0,09 25.000-30.000 0,19 30.000-40.000 0,26 40.000-50.000 0,18 50.000-75.000 0,17 75.000-99.999 0,02 100.000 o más 0,01 ¿Qué porcentaje de la encuesta respondió “no estoy seguro”? ¿Qué porcentaje cree que la clase media es de 25.000 a 50.000 dólares? Construya un histograma de los datos. ¿Según los datos, todas las barras deben tener el mismo ancho? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Cómo se deben tratar los intervalos <20.000 y más de 100.000? ¿Por qué? Calcule el percentil 40 y el percentil 80 Construya un gráfico de barras de los datos 1 – (0,02 + 0,09 + 0,19 + 0,26 + 0,18 + 0,17 + 0,02 + 0,01) = 0,06 0,19 + 0, 26 + 0,18 = 0,63 Compruebe la solución del estudiante. El percentil 40 se situará entre 30.000 y 40.000 El percentil 80 estará entre 50.000 y 75.000 Compruebe la solución del estudiante. Rango intercuartil o IQR , es el rango del 50 % del centro de los valores de los datos; el IQR se encuentra al restar el primer cuartil del tercer cuartil. Atípico una observación que no se ajusta al resto de los datos Percentil un número que divide los datos ordenados en centésimas; los percentiles pueden o no formar parte de los datos. La mediana de los datos es el segundo cuartil y el percentil 50 . El primer y tercer cuartil son el percentil 25 y el percentil 75 , respectivamente. Cuartiles los números que separan los datos en cuartos; los cuartiles pueden o no formar parte de los datos. El segundo cuartil es la mediana de los datos.

Introducción a la estadística empresarial

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Medidas del centro de los datos El “centro” de un conjunto de datos también es una forma de describir la ubicación. Las dos medidas más utilizadas del “centro” de los datos son la media (promedio) y la mediana . Para calcular el peso medio de 50 personas, sume los 50 pesos y los divide entre 50. Técnicamente es la media aritmética. Más adelante hablaremos de la media geométrica. Para hallar la mediana del peso de las 50 personas, ordene los datos y halle el número que divide los datos en dos partes iguales, lo que significa un número igual de observaciones en cada lado. El peso de 25 personas está por debajo de ese peso y 25 personas están por encima de ese peso. La mediana suele ser una mejor medida del centro cuando hay valores extremos o atípicos porque no se ve afectada por los valores numéricos precisos de los atípicos. La media es la medida más común del centro. NOTA Las palabras “media” y “promedio” se suelen usar indistintamente. La sustitución de una palabra por otra es una práctica habitual. El término técnico es “media aritmética” y “promedio” es técnicamente un lugar central. Formalmente, los matemáticos llaman a la media aritmética el primer momento de la distribución. Sin embargo, en la práctica, entre los no estadísticos, se suele aceptar “promedio” por “media aritmética”. Cuando cada valor del conjunto de datos no es único, la media se puede calcular multiplicando cada valor distinto por su frecuencia y dividiendo después la suma por el número total de valores de los datos. La letra utilizada para representar la media muestral es una x con una barra encima (se pronuncia “barra de x ”): x – . La letra griega μ (se pronuncia “mu”) representa la media de la población . Uno de los requisitos para que la media muestral sea una buena estimación de la media de la población es que la muestra tomada sea realmente aleatoria. Para ver que ambas formas de calcular la media son iguales, considere la muestra: 1; 1; 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 4; 4 x – = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 11 = 2,7 x – = 3 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 1 ( 3 ) + 5 ( 4 ) 11 = 2,7 En el segundo cálculo, las frecuencias son 3, 2, 1 y 5. Puede hallar rápidamente la ubicación de la mediana utilizando la expresión n + 1 2 . La letra n es el número total de valores de datos en la muestra. Si n es un número impar, la mediana es el valor del centro de los datos ordenados (ordenados de menor a mayor). Si n es un número par, la mediana es igual a los dos valores del centro sumados y divididos entre dos después de ordenar los datos. Por ejemplo, si el número total de valores de datos es de 97, entonces n + 1 2 = 97 + 1 2 = 49. La mediana es el 49. º valor de los datos ordenados. Si el número total de valores de datos es 100, entonces n + 1 2 = 100 + 1 2 = 50,5. La mediana está a medio camino entre los valores 50. º y 51. º . La ubicación de la mediana y el valor de la mediana no son lo mismo. La letra M mayúscula se utiliza a menudo para representar la mediana. El siguiente ejemplo ilustra la ubicación de la mediana y su valor. Los datos sobre el sida que indican el número de meses que vive un paciente con sida después de tomar un nuevo medicamento con anticuerpos son los siguientes (de menor a mayor): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; Calcule la media y la mediana. El cálculo de la media es: x – = [ 3 + 4 + ( 8 ) ( 2 ) + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + ( 15 ) ( 2 ) + ( 16 ) ( 2 ) + ... + 35 + 37 + 40 + ( 44 ) ( 2 ) + 47 ] 40 = 23,6 Para hallar la mediana, M , primero hay que utilizar la fórmula de la ubicación. La ubicación es: n + 1 2 = 40 + 1 2 = 20,5 A partir del valor más pequeño, la mediana se sitúa entre los valores 20. º y 21. º (los dos 24): 3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47; M = 24 + 24 2 = 24 Supongamos que en una pequeña ciudad de 50 personas una de ellas gana 5.000.000 de dólares al año y las otras 49 ganan 30.000 dólares cada una. ¿Cuál es la mejor medida del “centro”: la media o la mediana? x – = 5 , 000 , 000 + 49 ( 30 , 000 ) 50 = 129.400 M = 30.000 (Hay 49 personas que ganan 30.000 dólares y una persona que gana 5.000.000 de dólares). La mediana es una mejor medida del “centro” que la media porque 49 de los valores son 30.000 y uno es 5.000.000. El 5.000.000 es un valor atípico. Los 30.000 nos dan una mejor idea del centro de los datos. Otra medida del centro es la moda. La moda es el valor más frecuente. Puede haber más de una moda en un conjunto de datos siempre que esos valores tengan la misma frecuencia y esta sea la más alta. Un conjunto de datos con dos modas se denomina bimodal. Las calificaciones de los exámenes de Estadística de 20 estudiantes son las siguientes: 50 53 59 59 63 63 72 72 72 72 72 76 78 81 83 84 84 84 90 93 Calcule la moda. La calificación más frecuente es 72, que aparece cinco veces. Moda = 72. Las cinco calificaciones del examen sobre bienes raíces son 430, 430, 480, 480, 495. El conjunto de datos es bimodal porque las calificaciones 430 y 480 aparecen dos veces cada una. ¿Cuándo la moda es la mejor medida del “centro”? Piense en un programa de adelgazamiento que anuncia una pérdida media de peso de seis libras la primera semana del programa. La moda podría indicar que la mayoría de las personas pierden dos libras la primera semana, lo que hace que el programa sea menos atractivo. NOTA La moda puede calcularse tanto para datos cualitativos como para cuantitativos. Por ejemplo, si el conjunto de datos es: rojo, rojo, rojo, verde, verde, amarillo, púrpura, negro, azul, la moda es rojo. Cálculo de la media aritmética de tablas de frecuencias agrupadas Cuando solo se dispone de datos agrupados no se conocen los valores individuales de los datos (solo conocemos los intervalos y las frecuencias de los intervalos); por lo tanto, no se puede calcular una media exacta para el conjunto de datos. Lo que debemos hacer es estimar la media real calculando la media de una tabla de frecuencias. Una tabla de frecuencias es una representación de datos en la que se muestran datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes. Para calcular la media de una tabla de frecuencias agrupadas podemos aplicar la definición básica de media: media = suma de los datos n u m b e r o f d a t a v a l u e s Simplemente tenemos que modificar la definición para que se ajuste a las restricciones de una tabla de frecuencias. Como no conocemos los valores individuales de los datos podemos hallar el punto medio de cada intervalo. El punto medio es límite inferior + límite superior 2 . Ahora podemos modificar la definición de la media para que sea Tabla de media de la frecuencia = ∑ f m ∑ f donde f = la frecuencia del intervalo y m = el punto medio del intervalo. Se presenta una tabla de frecuencias que muestra la prueba estadística anterior del profesor Blount. Calcule la mejor estimación de la media de la clase. Intervalo de grado Número de estudiantes 50–56,5 1 56,5–62,5 0 62,5–68,5 4 68,5–74,5 4 74,5–80,5 2 80,5–86,5 3 86,5–92,5 4 92,5–98,5 1 Calcule los puntos medios de todos los intervalos Intervalo de grado Punto medio 50–56,5 53,25 56,5–62,5 59,5 62,5–68,5 65,5 68,5–74,5 71,5 74,5–80,5 77,5 80,5–86,5 83,5 86,5–92,5 89,5 92,5–98,5 95,5 Calcule la suma del producto de la frecuencia de cada intervalo y el punto medio. ∑  f m 53,25 ( 1 ) + 59,5 ( 0 ) + 65,5 ( 4 ) + 71,5 ( 4 ) + 77,5 ( 2 ) + 83,5 ( 3 ) + 89,5 ( 4 ) + 95,5 ( 1 ) = 1460,25 μ = ∑ f m ∑ f = 1460,25 19 = 76,86 Ejercicio Maris realizó un estudio sobre el efecto que tiene jugar videojuegos en el recuerdo. Como parte de su estudio recopiló los siguientes datos: Horas que los adolescentes dedican a los videojuegos Número de adolescentes 0–3,5 3 3,5–7,5 7 7,5–11,5 12 11,5–15,5 7 15,5–19,5 9 ¿Cuál es la mejor estimación del número medio de horas dedicadas a los videojuegos? Calcule el punto medio de cada intervalo, multiplíquelo por el número correspondiente de adolescentes, sume los resultados y luego divídalos entre el número total de adolescentes Los puntos medios son 1,75, 5,5, 9,5, 13,5, 17,5. Media = (1,75)(3) + (5,5)(7) + (9,5)(12) + (13,5)(7) + (17,5)(9) = 409,75/38 = 10,78 Referencias Datos del Banco Mundial, disponibles en línea en http://www.worldbank.org (consultado el 3 de abril de 2013). “Demographics: Obesity – adult prevalence rate”. Indexmundi. Disponible en línea en http://www.indexmundi.com/g/r.aspx?t=50&v=2228&l=en (consultado el 3 de abril de 2013). Repaso del capítulo La media y la mediana se pueden calcular para ayudar a hallar el “centro” de un conjunto de datos. La media es la mejor estimación para el conjunto de datos reales, pero la mediana es la mejor medida cuando un conjunto de datos contiene varios valores atípicos o extremos. La moda le indicará el dato (o los datos) que aparecen con más frecuencia en su conjunto de datos. La media, la mediana y la moda son extremadamente útiles cuando se necesita analizar datos, pero si el conjunto de datos está formado por rangos que carecen de valores específicos, la media puede parecer imposible de calcular. Sin embargo, la media se puede aproximar si se suma el límite inferior con el superior y se divide entre dos para hallar el punto medio de cada intervalo. Multiplique cada punto medio por el número de valores hallados en el rango correspondiente. Divida la suma de estos valores entre el número total de valores de datos del conjunto. Revisión de la fórmula μ = ∑ f m ∑ f Donde f = frecuencias de intervalo y m = puntos medios de intervalo. La media aritmética de una muestra (denominada x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra La media aritmética de una población (denominada μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población Calcule la media de las siguientes tablas de frecuencia. Grado Frecuencia 49,5-59,5 2 59,5-69,5 3 69,5-79,5 8 79,5-89,5 12 89,5-99,5 5 Temperatura mínima diaria Frecuencia 49,5-59,5 53 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 1 89,5-99,5 0 Puntos por partido Frecuencia 49,5-59,5 14 59,5-69,5 32 69,5-79,5 15 79,5-89,5 23 89,5-99,5 2 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: los siguientes datos muestran las esloras de barcos atracados en un puerto. Los datos están ordenados de menor a mayor: 16 17 19 20 20 21 23 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28 29 30 32 33 33 34 35 37 39 40 Calcule la media. Media: 16 + 17 + 19 + 20 + 20 + 21 + 23 + 24 + 25 + 25 + 25 + 26 + 26 + 27 + 27 + 27 + 28 + 29 + 30 + 32 + 33 + 33 + 34 + 35 + 37 + 39 + 40 = 738; 738 27 = 27,33 Identifique la mediana. Identifique la moda. Las esloras más frecuentes son 25 y 27, que aparecen tres veces. Moda = 25, 27 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: se preguntó a sesenta y cinco vendedores de automóviles seleccionados al azar el número de automóviles que suelen vender en una semana. Catorce personas respondieron que generalmente venden tres, diecinueve que venden cuatro, doce que venden cinco, nueve que venden seis y once que venden siete. Calcule lo siguiente: media muestral = x – = _______ mediana = _______ 4 moda = _______ Tarea para la casa Los países más obesos del mundo tienen tasas de obesidad que van del 11,4 % al 74,6 %. Estos datos se resumen en el siguiente cuadro. Porcentaje de población obesa Número de países 11,4-20,45 29 20,45-29,45 13 29,45-38,45 4 38,45-47,45 0 47,45-56,45 2 56,45-65,45 1 65,45-74,45 0 74,45-83,45 1 ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje promedio de obesidad en estos países? Estados Unidos tiene una tasa promedio de obesidad del 33,9 %. ¿Esta tasa está por encima o por debajo del promedio? ¿Cómo se compara Estados Unidos con otros países? La da el porcentaje de niños menores de cinco años considerados con bajo peso. ¿Cuál es la mejor estimación del porcentaje medio de niños con bajo peso? Porcentaje de niños con bajo peso Número de países 16-21,45 23 21,45-26,9 4 26,9-32,35 9 32,35-37,8 7 37,8-43,25 6 43,25-48,7 1 El porcentaje de la media, x – = 1.328,65 50 = 26,75 Resúmalo todo Javier y Ercilia son supervisores en un centro comercial. A cada uno se le encomendó la tarea de estimar la distancia media a la que viven los compradores del centro comercial. Cada uno de ellos encuestó al azar a 100 compradores. Las muestras arrojaron la siguiente información. Javier Ercilia x – 6,0 millas 6,0 millas s 4,0 millas 7,0 millas ¿Cómo se puede determinar cuál es la encuesta correcta? Explique qué implica la diferencia de los resultados de las encuestas sobre los datos. Si los dos histogramas representan la distribución de valores de cada supervisor, ¿cuál representa la muestra de Ercilia? ¿Cómo lo sabe? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios : estamos interesados en el número de años que han vivido en California los estudiantes de una determinada clase de Estadística Elemental. La información de la siguiente tabla es de toda la sección. Número de años Frecuencia Número de años Frecuencia 7 1 22 1 14 3 23 1 15 1 26 1 18 1 40 2 19 4 42 2 20 3 Total = 20 ¿Cuál es el rango intercuartil (InterQuartile Range, IQR) ? 8 11 15 35 a ¿Cuál es la moda? 19 19,5 14 y 20 22,65 ¿Se trata de una muestra o de toda la población? muestra toda la población ninguna b Tabla de frecuencias una representación de datos en la que se muestran los datos agrupados junto con las frecuencias correspondientes Media (aritmética) un número que mide la tendencia central de los datos; un nombre común para la media es 'promedio'. El término “media” es una forma abreviada de “media aritmética”. Por definición, la media de una muestra (denotada por x – ) es x – = Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra , y la media de una población (denotada por μ ) es μ = Suma de todos los valores de la población Número de valores en la población . Media (geométrica) medida de tendencia central que proporciona una medida de crecimiento geométrico promedio a lo largo de múltiples periodos. Mediana número que separa los datos ordenados en mitades; la mitad de los valores son del mismo número o menores que la mediana y la mitad de los valores son del mismo número o mayores que la mediana. La mediana puede o no formar parte de los datos. Punto medio la media de un intervalo en una tabla de frecuencia Moda el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos

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