Eventos mutuamente excluyentes e independientes Independiente y mutuamente excluyente no significan lo mismo. Eventos independientes Dos eventos son independientes si uno de los siguientes es cierto: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta la posibilidad de que ocurra el otro. Por ejemplo, los resultados de lanzar dos veces un dado imparcial son eventos independientes. El resultado de la primera lanzada no cambia la probabilidad del resultado de la segunda. Para demostrar que dos eventos son independientes, debe mostrar solo una de las condiciones anteriores. Si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes . El muestreo se puede hacer con reemplazo o sin reemplazo . Con reemplazo : si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Cuando el muestreo se hace con reemplazo, los eventos se consideran independientes, lo que significa que el resultado de la primera elección no cambiará las probabilidades de la segunda. Sin reemplazo : cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez. En este caso, las probabilidades de la segunda elección se ven afectadas por el resultado de la primera. Los eventos se consideran dependientes o no independientes. Si no se sabe si A y B son independientes o dependientes, suponga que son dependientes hasta que pueda demostrar lo contrario . Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. a. Muestreo con reemplazo: Supongamos que elige tres cartas con reemplazo. La primera carta que elige de las 52 cartas es la Q de picas. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una segunda carta del mazo de 52. Es el diez de tréboles. Vuelve a poner esta carta, baraja las cartas y saca una tercera carta del mazo de 52. Esta vez, la carta es la Q de picas de nuevo. Sus elecciones son { Q de picas, diez de tréboles, Q de picas}. Ha sacado la Q de picas dos veces. Saca cada carta del mazo de 52 cartas. b. Muestreo sin reemplazo: Supongamos que elige tres cartas sin reemplazo. La primera carta que saca de las 52 cartas es la K de corazones. Pone esta carta a un lado y saca la segunda carta de las 51 que quedan en el mazo. Es el tres de diamantes. Pone esta carta a un lado y saca la tercera carta de las 50 restantes del mazo. La tercera carta es la J de picas. Sus elecciones son { K de corazones, tres de diamantes, J de picas}. Como ha escogido las cartas sin reemplazo, no puede escoger la misma carta dos veces. La probabilidad de elegir el tres de diamantes se llama probabilidad condicional porque está condicionada a lo que se haya elegido primero. Esto es cierto también para la probabilidad de elegir la J de picas. La probabilidad de elegir la J de picas está realmente condicionada a las dos elecciones anteriores. Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina), K (rey) de ese palo. Se sacan tres cartas al azar. Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y Q de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Suponga que sabe que las cartas elegidas son Q de picas, K de corazones y J de picas. ¿Puede decidir si el muestreo fue con o sin reemplazo? Con reemplazo No Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que saca cuatro cartas, pero no vuelve a poner ninguna en el mazo. Sus cartas son QP , 1 D , 1 T , QD . Supongamos que toma cuatro cartas y devuelve cada una de ellas antes de tomar la siguiente. Sus cartas son KC , 7 D , 6 D , KC . ¿Cuál de a. o b. se muestreó con reemplazo y cuál se muestreó sin reemplazo? a. Sin reemplazo; b. Con reemplazo Ejercicio Tiene un mazo de cartas imparcial y bien mezclado de 52 cartas. Consta de cuatro palos. Los palos son tréboles, diamantes, corazones y picas. Hay 13 cartas en cada palo que consisten en 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J (sota), Q (reina) y K (rey) de ese palo. P = picas, C = corazones, D = diamantes T = tréboles. Supongamos que se muestrean cuatro cartas sin reemplazo. ¿Cuál de los siguientes resultados es posible? Responda la misma pregunta para el muestreo con reemplazo. QP , 1 D , 1 T , QD KC , 7 D , 6 D , KC QP , 7 D , 6 D , KP sin reemplazo: 1. Es posible; 2. Imposible, 3. Posible con reemplazo: 1. Es posible; 2. Es posible, 3. Posible Eventos mutuamente excluyentes A y B son eventos mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir al mismo tiempo. Dicho de otra manera, si A ocurrió entonces B no puede ocurrir y viceversa. Esto significa que A y B no comparten ningún resultado y P ( A ∩ B ) = 0 . Por ejemplo, supongamos que el espacio muestral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Supongamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, y C = {7, 9}. A ∩ B = {4, 5}. P ( A ∩ B ) = 2 10 y no es igual a cero. Por lo tanto, A y B no son mutuamente excluyentes. A y C no tienen ningún número en común por lo que P ( A ∩ C ) = 0 . Por lo tanto, A y C son mutuamente excluyentes. Si no se sabe si A y B son mutuamente excluyentes, suponga que no lo son hasta que pueda demostrar lo contrario . Los siguientes ejemplos ilustran estas definiciones y términos. Lance dos monedas imparciales (esto es un experimento). El espacio muestral es { HH , HT , TH , TT } donde T = cruces (tails) y H = caras (heads). Los resultados son HH , HT , TH y TT . Los resultados HT y TH son diferentes. La HT significa que la primera moneda salió cara y la segunda salió cruz. La TH significa que la primera moneda salió cruz y la segunda salió cara. Supongamos que A = el evento de obtener como máximo una cruz (como máximo una cruz significa cero o una cruz). Entonces A se puede escribir como { HH , HT , TH }. El resultado HH muestra cero cruces. HT y TH muestran una cruz cada uno. Supongamos que B = el evento de obtener siempre cruces. B se puede escribir como { TT }. B es el complemento de A , por lo que B = A′ . Además, P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Las probabilidades para A y para B son P ( A ) = 3 4 y P ( B ) = 1 4 . Supongamos que C = el evento de obtener siempre caras. C = { HH }. Dado que B = { TT }, P ( B ∩ C ) = 0 . B y C son mutuamente excluyentes. ( B y C no tienen miembros en común porque no se pueden tener siempre cruces y siempre caras al mismo tiempo). Supongamos que D = evento de obtener más de una cruz. D = { TT }. P ( D ) = 1 4 Supongamos que E = evento de obtener una cara en la primera lanzada (esto implica que puede obtener una cara o una cruz en la segunda lanzada). E = { HT , HH }. P ( E ) = 2 4 Calcule la probabilidad de obtener al menos una (una o dos) cruces en dos lanzadas. Supongamos que F = evento de obtener al menos una cruz en dos lanzadas. F = { HT , TH , TT }. P ( F ) = 3 4 Ejercicio Saque dos cartas de un mazo estándar de 52 cartas con reemplazo. Calcule la probabilidad de obtener una carta negra como mínimo. Ejercicio Soluciones El espacio muestral de tomar dos cartas con reemplazo de un mazo estándar de 52 cartas con respecto al color [B: black (negro) y R: red (rojo] es { BB , BR , RB , RR }. Evento A = Obtener al menos una carta negra = { BB , BR , RB } P ( A ) = 3 4 = 0,75 Lance dos monedas imparciales Calcule las probabilidades de los eventos. Supongamos que F = el evento de obtener como máximo una cruz (cero o una cruz). Supongamos que G = el evento de obtener dos caras iguales. Supongamos que H = el evento de obtener una cara en el primer lanzamiento seguido de una cara o una cruz en el segundo lanzamiento. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? Supongamos que J = el evento de obtener siempre cruces. ¿ J y H son mutuamente excluyentes? Observe el espacio muestral en el . Cero (0) o una (1) cruz se producen cuando aparecen los resultados HH , TH , HT . P ( F ) = 3 4 Dos lados son iguales si aparece HH o TT . P ( G ) = 2 4 Una cara en la primera lanzada seguida de una cara o cruz en la segunda lanzada ocurre cuando aparece HH o HT . P ( H ) = 2 4 F y G comparten HH así que P ( F ∩ G ) no es igual a cero (0). F y G no son mutuamente excluyentes. Obtener siempre cruces se produce cuando aparecen cruces en ambas monedas ( TT ). Los resultados de H son HH y HT . J y H no tienen nada en común así que P ( J ∩ H ) = 0. J y H son mutuamente excluyentes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Calcule la probabilidad de los siguientes eventos: Supongamos que F = el evento de obtener la pelota blanca dos veces. Supongamos que G = el evento de obtener dos pelotas de colores diferentes. Supongamos que H = el evento de obtener blanco en la primera elección. ¿ F y G son mutuamente excluyentes? ¿ G y H son mutuamente excluyentes? P ( F ) = 1 4 P ( G ) = 1 2 P ( H ) = 1 2 Sí No Lance un dado imparcial de seis caras. El espacio muestral es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Supongamos que el evento A = una cara es impar. Entonces A = {1, 3, 5}. Supongamos que el evento B = una cara es par. Entonces B = {2, 4, 6}. Calcule el complemento de A , A′ . El complemento de A , A′ , es B porque A y B juntos constituyen el espacio muestral. P ( A ) + P ( B ) = P ( A ) + P ( A′ ) = 1. Además, P ( A ) = 3 6 y P ( B ) = 3 6 . Supongamos que el evento C = caras impares mayores que dos. Entonces C = {3, 5}. Supongamos que el evento D = todas las caras pares menores que cinco. Entonces D = {2, 4} P ( C ∩ D ) = 0 porque no se puede tener una cara par y otra impar al mismo tiempo. Por lo tanto, C y D son eventos mutuamente excluyentes. Supongamos que el evento E = todas las caras menores de cinco. E = {1, 2, 3, 4}. ¿ C y E son eventos mutuamente excluyentes? (Responda sí o no). ¿Por qué sí o por qué no? No. C = {3, 5} y E = {1, 2, 3, 4}. P ( C ∩ E ) = 1 6 . Para poder ser mutuamente excluyentes, P ( C ∩ E ) debe ser cero. Halle P ( C | A ) . Se trata de una probabilidad condicional. Recordemos que el evento C es {3, 5} y el evento A es {1, 3, 5}. Para hallar P ( C | A ) , calcule la probabilidad de C utilizando el espacio muestral A . Ha reducido el espacio muestral del original espacio muestral {1, 2, 3, 4, 5, 6} a {1, 3, 5}. Así que, P ( C | A ) = 2 3 . Ejercicio Supongamos que el evento A = aprender español. Supongamos que el evento B = aprender alemán. Entonces A ∩ B = aprender español y alemán. Supongamos que P ( A ) = 0,4 y P ( B ) = 0,2 . P ( A ∩ B ) = 0,08 . ¿Los eventos A y B son independientes? Pista: Debe demostrar UNO de los siguientes aspectos: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 0, 08 0,2 = 0 0,4 = P ( A ) Los eventos son independientes porque P ( A | B ) = P ( A ). Supongamos que el evento G = tomar una clase de Matemáticas. Supongamos que el evento H = tomar una clase de Ciencias. Entonces, G ∩ H = tomar una clase de Matemáticas y otra de Ciencias. Supongamos que P ( G ) = 0,6 , P ( H ) = 0,5 y P ( G ∩ H ) = 0,3 . ¿ G y H son independientes? Si G y H son independientes, entonces debe demostrar UNA de las siguientes cosas: P ( G | H ) = P ( G ) P ( H | G ) = P ( H ) P ( G ∩ H ) = P ( G ) P ( H ) NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Puede elegir cualquiera de los métodos aquí porque tiene la información necesaria. a. Demuestre que P ( G | H ) = P ( G ) . P ( G | H ) = P ( G ∩ H ) P ( H ) = 0 0,3 0 0,5 = 0,6 = P ( G ) b. Demuestre que P ( G ∩ H ) = P ( G ) P ( H ) . P ( G ) P ( H ) = ( 0,6 ) ( 0,5 ) = 0,3 = P ( G ∩ H ) Dado que G y H son independientes, saber que una persona está tomando una clase de Ciencias no cambia la posibilidad de que esté tomando una clase de Matemáticas. Si los dos eventos no fueran independientes (es decir, son dependientes), entonces saber que una persona está tomando una clase de Ciencias cambiaría la probabilidad de que esté tomando la clase de Matemáticas. Para la práctica, demuestre que P ( H | G ) = P ( H ) para demostrar que G y H son eventos independientes. Ejercicio En una bolsa hay seis canicas rojas y cuatro verdes. Las canicas rojas están marcadas con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Las canicas verdes están marcadas con los números 1, 2, 3 y 4. R = una canica roja (red) G = una canica verde (green) O = una canica impar (odd) El espacio muestral es S = { R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, R 6, G 1, G 2, G 3, G 4}. S tiene diez resultados. ¿Cuál es el P ( G ∩ O ) ? Evento G y O = { G 1, G 3} P ( G ∩ O ) = 2 10 = 0,2 Supongamos que el evento C = tomar una clase de Inglés. Supongamos que el evento D = tomar una clase de oratoria. Supongamos que P ( C ) = 0,75 , P ( D ) = 0,3 , P ( C | D ) = 0,75 y P ( C ∩ D ) = 0,225 . Justifique numéricamente sus respuestas a las siguientes preguntas. ¿ C y D son independientes? ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Cuál es el P ( D | C ) ? Sí, porque P ( C | D ) = P ( C ) . No, porque P ( C ∩ D ) no sea igual a cero. P ( D | C ) = P ( C ∩ D ) P ( C ) = 0 0,225 0,75 = 0,3 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40 , P ( D ) = 0,30 y P ( B ∩ D ) = 0,20 . Halle P ( B | D ) . Calcule P ( D | B ) . ¿ B y D son independientes? ¿ B y D son mutuamente excluyentes? P ( B | D ) = 0,6667 P ( D | B ) = 0,5 No No En una caja hay tres tarjetas rojas y cinco azules. Las cartas rojas están marcadas con los números 1, 2 y 3, y las azules con los números 1, 2, 3, 4 y 5. Las cartas están bien barajadas. Usted mete la mano en la caja (no puede ver dentro de ella) y saca una carta. Supongamos que R = se saca la tarjeta roja (red), B = se saca la tarjeta azul (blue), E = se saca la tarjeta par (even). El espacio muestral S = R 1, R 2, R 3, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5. S tiene ocho resultados. P ( R ) = 3 8 . P ( B ) = 5 8 . P ( R ∩ B ) = 0 . (No puede sacar una tarjeta que sea roja y azul a la vez). P ( E ) = 3 8 . (Hay tres cartas con números pares, R 2, B 2 y B 4). P ( E | B ) = 2 5 . (Hay cinco tarjetas azules: B 1, B 2, B 3, B 4 y B 5. De las tarjetas azules, hay dos tarjetas pares; B 2 y B 4). P ( B | E ) = 2 3 . (Hay tres tarjetas con números pares: R 2, B 2 y B 4. De las tarjetas pares, dos son azules; B 2 y B 4). Los eventos R y B son mutuamente excluyentes porque P ( R ∩ B ) = 0 . Supongamos que G = tarjeta con un número mayor que 3. G = { B 4, B 5}. P ( G ) = 2 8 . Supongamos que H = tarjeta azul numerada entre el uno y el cuatro, ambos inclusive. H = { B 1, B 2, B 3, B 4}. P ( G | H ) = 1 4 . (La única carta de H que tiene un número mayor que tres es B 4). Dado que 2 8 = 1 4 , P ( G ) = P ( G | H ) , lo que significa que G y H son independientes. Ejercicio En un estadio de baloncesto, El 70 % de los aficionados apoyan al equipo local. El 25 % de los aficionados están vestidos de color azul. El 20 % de los aficionados están vestidos de color azul y animan al equipo visitante. El 67 % de los aficionados que apoyan al equipo visitante están vestidos de color azul. Supongamos que A es el evento en el que un aficionado apoya al equipo visitante. Supongamos que B es el evento en el que un aficionado esté vestido de color azul. ¿Los eventos de animar al equipo visitante y vestir de color azul son eventos independientes? ¿Son mutuamente excluyentes? P ( B | A ) = 0,67 P ( B ) = 0,25 Así que P ( B ) no es igual a P ( B | A ) lo que significa que B y A no son independientes (vestir de azul y animar al equipo visitante no son independientes). Tampoco son mutuamente excluyentes, porque P ( B ∩ A ) = 0,20 , diferente de 0. En una clase en el instituto universitario, el 60 % de los estudiantes son mujeres. El cincuenta por ciento de los estudiantes de la clase tienen el cabello largo. El cuarenta y cinco por ciento de los estudiantes son mujeres y tienen el cabello largo. De las estudiantes, el 75 % tiene el cabello largo. Supongamos que F es el evento en el que un estudiante es mujer. Supongamos que L es el evento en el que un estudiante tiene el cabello largo. Se elige un estudiante al azar. ¿Los hechos de ser mujer y tener el cabello largo son independientes? En este ejemplo se dan las siguientes probabilidades: P ( F ) = 0,60 ; P ( L ) = 0,50 P ( F ∩ L ) = 0,45 P ( L | F ) = 0,75 NOTA La elección que haga depende de la información que tenga. Para este ejemplo puede utilizar la primera o la última condición de la lista. Todavía no conoce P ( F | L ), por lo que no puede utilizar la segunda condición. Compruebe si P ( F ∩ L ) = P ( F ) P ( L ) . Dado que P ( F ∩ L ) = 0,45 , pero P ( F ) P ( L ) = ( 0,60 ) ( 0,50 ) = 0,30 . El hecho de ser mujer y tener el pelo largo no son independientes porque P ( F ∩ L ) no es igual a P ( F ) P ( L ) . Compruebe si P ( L | F ) es igual a P ( L ) . Dado que P ( L | F ) = 0,75 , pero P ( L ) = 0,50 ; no son iguales. Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes. Interpretación de los resultados Los eventos de ser mujer y tener el cabello largo no son independientes; saber que un estudiante es mujer cambia la probabilidad de que un estudiante tenga el cabello largo. Ejercicio Mark está decidiendo qué ruta tomar para ir al trabajo. Sus opciones son la I = Interestatal y la F = Fifth Street P ( I ) = 0,44 y P ( F ) = 0,56 P ( I ∩ F ) = 0 porque Mark solo tomará una ruta para ir al trabajo. ¿Cuál es la probabilidad de P ( I ∪ F ) ? Dado que P ( I ∩ F ) = 0 , P ( I ∪ F ) = P ( I ) + P ( F ) – P ( I ∩ F ) = 0,44 + 0,56 – 0 = 1 Lanza una moneda imparcial (la moneda tiene dos caras, H y T ). Los resultados son ________. Cuente los resultados. Hay ____ resultados. Lanza un dado imparcial de seis caras (el dado tiene 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos en una cara). Los resultados son ________________. Cuente los resultados. Hay ___ resultados. Multiplique los dos números de los resultados. La respuesta es _______. Si se lanza una moneda justa y se sigue con el lanzamiento de un dado justo de seis caras, la respuesta a c es el número de resultados (tamaño del espacio muestral). ¿Cuáles son los resultados? (Pista: dos de los resultados son H 1 y T 6). Evento A = cara ( H ) en la moneda seguida de un número par (2, 4, 6) en el dado. A = {_________________}. Calcule P ( A ). Evento B = cara en la moneda seguida de un tres en el dado. B = {________}. Calcule P ( B ). ¿ A y B son mutuamente excluyentes? (Pista: ¿Cuál es el P ( A ∩ B ) ? Si P ( A ∩ B ) = 0 , entonces A y B son mutuamente excluyentes). ¿ A y B son independientes? (Pista: ¿Es P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) ? Si P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , entonces A y B son independientes. Si no es así, entonces son dependientes). H y T ; 2 1, 2, 3, 4, 5, 6; 6 2(6) = 12 T 1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6, H 1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6 A = { H 2, H 4, H 6}; P ( A ) = 3 12 B = { H 3}; P ( B ) = 1 12 Sí, porque P ( A ∩ B ) = 0 P ( A ∩ B ) = 0 . P ( A ) P ( B ) = ( 3 12 ) . P ( A ∩ B ) no es igual a P ( A ) P ( B ) , así que A y B son dependientes. Ejercicio Una caja tiene dos pelotas, una blanca y otra roja. Seleccionamos una pelota, la devolvemos a la caja y seleccionamos una segunda pelota (muestreo con reemplazo). Supongamos que T es el evento de obtener la pelota blanca dos veces, F el evento de sacar la pelota blanca primero y S el evento de sacar la pelota blanca en la segunda extracción. Calcule P ( T ) . Calcule P ( T | F ) . ¿ T y F son independientes?. ¿ F y S son mutuamente excluyentes? ¿ F y S son independientes? P ( T ) = 1 4 P ( T | F ) = 1 2 No No Sí Referencias Lopez, Shane, Preety Sidhu. “U.S. Teachers Love Their Lives, but Struggle in the Workplace”. Gallup Wellbeing, 2013. http://www.gallup.com/poll/161516/teachers-love-lives-struggle-workplace.aspx (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Gallup. Disponible en línea en www.gallup.com/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Dos eventos A y B son independientes si el conocimiento de que uno ha ocurrido no afecta a la posibilidad de que ocurra el otro. Si dos eventos no son independientes, decimos que son dependientes. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de que lo seleccionen, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de que lo seleccionen más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. Cuando los eventos no comparten resultados, son mutuamente excluyentes. Revisión de la fórmula Si A y B son independientes, P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) , P ( A | B ) = P ( A ) y P ( B | A ) = P ( B ) . Si A y B son mutuamente excluyentes, P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) y P ( A ∩ B ) = 0 . E y F son eventos mutuamente excluyentes. P ( E ) = 0,4 ; P ( F ) = 0,5 . Calcule P ( E ∣ F ) . J y K son eventos independientes. P ( J | K ) = 0,3 . Calcule P ( J ) . P ( J ) = 0,3 U y V son eventos mutuamente excluyentes. P ( U ) = 0,26; P ( V ) = 0,37. Calcule: P ( U ∩ V ) = P ( U | V ) = P ( U ∪ V ) = Q y R son eventos independientes. P ( Q ) = 0,4 y P ( Q ∩ R ) = 0,1 . Calcule P ( R ) . P ( Q ∩ R ) = P ( Q ) P ( R ) 0,1 = (0,4) P ( R ) P ( R ) = 0,25 Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los próximos 12 ejercicios. Entre enero y diciembre de 2012, Gallup entrevistó a más de 170.000 estadounidenses de 18 años o más con empleo. El gráfico que se muestra está elaborado a partir de datos recogidos por Gallup. Las calificaciones del Índice de Salud Emocional son el espacio muestral. Tomamos una muestra aleatoria de la calificación del Índice de Salud Emocional. Calcule la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 82,7. Calcule la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 81,0. 0 Halle la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea superior a 81 Calcule la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada esté entre 80,5 y 82 0,3571 Si sabemos que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada es de 81,5 o más, ¿cuál es la probabilidad de que sea de 82,7? ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea 80,7 u 82,7? 0,2142 ¿Cuál es la probabilidad de que la Puntuación del Índice de Salud Emocional seleccionada sea inferior a 80,2 dado que ya es inferior a 81? ¿Qué ocupación tiene la calificación más alta del índice emocional? Médico (83,7) ¿Qué ocupación tiene la calificación más baja del índice emocional? ¿Cuál es el rango de los datos? 83,7 − 79,6 = 4,1 Calcule el promedio de la Calificación del Índice de Salud Emocional (Emotional Health Index Score, EHIS). Si todas las ocupaciones son igualmente probables para una determinada persona, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una ocupación con un EHIS inferior al promedio? P (ocupación < 81,3) = 0,5 Resúmalo todo Un año antes, los pesos de los miembros de los San Francisco 49ers y los Dallas Cowboys se publicaron en el The Mercury News de San José . Los datos fácticos se recopilan en la . N.º de camisa ≤ 210 211–250 251–290 290≤ 1–33 21 5 0 0 34–66 6 18 7 4 66–99 6 12 22 5 Para lo siguiente, suponga que selecciona al azar un jugador de los 49ers o de los Cowboys. Si tener un número de camisa del uno al 33 y pesar como máximo 210 libras fueran eventos independientes, entonces, ¿qué debería ser cierto sobre P (N.º de camisa 1–33|≤ 210 libras)? La probabilidad de que un hombre desarrolle algún tipo de cáncer a lo largo de su vida es de 0,4567. La probabilidad de que un hombre tenga, al menos, un resultado falso positivo (es decir, que la prueba arroje un resultado de cáncer cuando no lo tiene) es de 0,51. Algunas de las siguientes preguntas no tienen suficiente información para responderlas. Escriba “no hay suficiente información” en esas respuestas. Supongamos que C = un hombre desarrolla cáncer en su vida y P = el hombre tiene al menos un falso positivo. P ( C ) = ______ P ( P | C ) = ______ P ( P | C' ) = ______ Si una prueba da positivo, con base en los valores numéricos, ¿se puede asumir que ese hombre tiene cáncer? Justifique numéricamente y explique por qué sí o por qué no. P ( C ) = 0,4567 no hay suficiente información no hay suficiente información No, porque más de la mitad (0,51) de los hombres tienen, al menos, una prueba con resultado falso positivo. Dados los eventos G y H : P ( G ) = 0,43; P ( H ) = 0,26 P ( H ∩ G ) = 0,14 Halle P ( H ∪ G ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H ∩ G ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( H ∪ G ) . Dados los eventos J y K : P ( J ) = 0,18 ; P ( K ) = 0,37 ; P ( J ∪ K ) = 0,45 Halle P ( J ∩ K ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J ∩ K ) . Calcule la probabilidad del complemento del evento ( J ∩ K ) . ( J ∪ K ) = P ( J ) + P ( K ) – P ( J ∩ K ) ; 0,45 = 0,18 + 0,37 – P ( J ∩ K ) ; resuelva para hallar P ( J ∩ K ) = 0,10 P ( NO ( J ∩ K ) ) = 1 – P ( J ∩ K ) = 1 – 0,10 = 0,90 P ( NO ( J ∪ K ) ) = 1 – P ( J ∪ K ) = 1 – 0,45 = 0,55 Eventos dependientes si dos eventos NO son independientes, decimos que son dependientes Muestreo con reemplazo si cada miembro de una población es reemplazado después de ser elegido, entonces ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez. Muestreo sin reemplazo cuando el muestreo se hace sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez.

Matemáticas


Dos reglas básicas de la probabilidad Al calcular la probabilidad, hay que tener en cuenta dos reglas para determinar si dos eventos son independientes o dependientes y si son mutuamente excluyentes o no. La regla de multiplicación Si A y B son dos eventos definidos en un espacio muestral , entonces P ( A ∩ B ) = P ( B ) P ( A | B ) . Podemos pensar que el símbolo de intersección sustituye a la palabra "y". Esta regla también puede escribirse como: P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) Esta ecuación se lee como la probabilidad de A dado que B es igual a la probabilidad de A y B dividido entre la probabilidad de B . Si A y B son independientes , entonces P ( A | B ) = P ( A ) . Entonces P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) se convierte en P ( A ∩ B ) = P ( A ) ( B ) porque el P ( A | B ) = P ( A ) si A y B son independientes. Una forma fácil de recordar la regla de la multiplicación es que la palabra "y" significa que el evento tiene que satisfacer dos condiciones. Por ejemplo, el nombre extraído de la lista de la clase debe ser tanto una mujer como un estudiante de segundo año. Es más difícil satisfacer dos condiciones que una sola y, por supuesto, cuando multiplicamos fracciones el resultado es siempre menor. Esto refleja la creciente dificultad de satisfacer dos condiciones. La regla de adición Si A y B están definidos en un espacio muestral, entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) . Podemos pensar que el símbolo de la unión sustituye a la palabra "o". La razón por la que restamos la intersección de A y B es para no contar dos veces los elementos que están en A y B . Si A y B se excluyen mutuamente , entonces P ( A ∩ B ) = 0 . Entonces P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) se convierte en P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . Klaus está tratando de elegir dónde ir de vacaciones. Sus dos opciones son: A = Nueva Zelanda y B = Alaska Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. La probabilidad de que elija A es P ( A ) = 0,6 y la probabilidad de que elija B es P ( B ) = 0,35. P ( A ∩ B ) = 0 porque Klaus solo puede permitirse unas vacaciones. Por lo tanto, la probabilidad de que elija Nueva Zelanda o Alaska es P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 0,6 + 0,35 = 0,95 . Tenga en cuenta que la probabilidad de que no elija ir a ningún sitio de vacaciones debe ser de 0,05. Carlos juega fútbol universitario. Hace un gol el 65 % de las veces que chuta. Carlos va a intentar marcar dos goles seguidos en el próximo partido. A = el evento en el que Carlos acierta en su primer intento. P ( A ) = 0,65. B = el evento en el que Carlos acierta en su segundo intento. P ( B ) = 0,65. Carlos tiende a chutar en líneas. La probabilidad de que haga el segundo gol | que haga el primer gol es 0,90. ¿Cuál es la probabilidad de que anote ambos goles? ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos anote el primer gol o el segundo? ¿ A y B son independientes? ¿ A y B son mutuamente excluyentes? El problema le pide que halle P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ) . Dado que P (B | A ) = 0,90: P ( B ∩ A ) = P (B | A ) P (A ) = (0,90)(0,65) = 0,585 Carlos anota el primero y el segundo goles con una probabilidad de 0,585. El problema le pide que halle P (A ∪ B ). P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) = 0,65 + 0,65 - 0,585 = 0,715 Carlos anota el primer gol o el segundo con una probabilidad de 0,715. No, no lo son, porque P (B ∩ A ) = 0,585. P ( B ) P ( A ) = (0,65)(0,65) = 0,423 0,423 ≠ 0,585 = P (B ∩ A ) Por lo tanto, P ( B ∩ A ) no es igual a P ( B ) P ( A ). No, no lo son porque P ( A ∩ B ) = 0,585. Para que sean mutuamente excluyentes, P ( A ∩ B ) debe ser igual a cero. Ejercicio Helen juega baloncesto. En cuanto a los tiros libres, acierta el tiro el 75 % de las veces. Helen debe intentar ahora dos tiros libres. C = el evento en el que Helen anota el primer tiro. P ( C ) = 0,75. D = el evento en el que Helen anota el segundo tiro. P ( D ) = 0,75. La probabilidad de que Helen anote el segundo tiro libre dado que anotó el primero es de 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que Helen anote ambos tiros libres? P ( D | C ) = 0,85 P ( C ∩ D ) = P ( D ∩ C ) P ( D ∩ C ) = P ( D | C ) P ( C ) = (0,85)(0,75) = 0,6375 Helen lanza el primer y el segundo tiro libre con una probabilidad de 0,6375. Un equipo de natación comunitario tiene 150 miembros. Setenta y cinco de los miembros son nadadores avanzados. Cuarenta y siete son nadadores intermedios. El resto son nadadores principiantes. Cuarenta de los nadadores avanzados practican cuatro veces por semana. Treinta de los nadadores de nivel intermedio practican cuatro veces por semana. Diez de los nadadores principiantes practican cuatro veces por semana. Supongamos que un miembro del equipo de natación es elegido al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador principiante? ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro practique cuatro veces por semana? ¿Cuál es la probabilidad de que el miembro sea un nadador avanzado y practique cuatro veces por semana? ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro sea un nadador avanzado y un nadador intermedio? ¿Ser un nadador avanzado y un nadador intermedio son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿Ser un nadador principiante y practicar cuatro veces a la semana son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? 28 150 80 150 40 150 P (avanzado ∩ intermedio) = 0, por lo que son eventos mutuamente excluyentes. Un nadador no puede ser un nadador avanzado y un nadador intermedio al mismo tiempo. No, no son eventos independientes. P (novato ∩ practica cuatro veces por semana) = 0,0667 P (novato) P (practica cuatro veces por semana) = 0,0996 0,0667 ≠ 0,0996 Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año se tome un año sabático? P = 200 – 140 – 40 200 = 20 200 = 0,1 Felicity asiste a Modesto JC en Modesto, CA. La probabilidad de que Felicity se inscriba en una clase de Matemáticas es de 0,2 y la probabilidad de que lo haga en una clase de Oratoria es de 0,65. La probabilidad de que se inscriba en una clase de Matemáticas | que se inscriba en la clase de Oratoria es de 0,25. Supongamos que: M = clase de Matemáticas, S = clase de Oratoria, M | S = discurso matemático dado ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en Matemáticas y Oratoria? Calcule P ( M ∩ S ) = P ( M | S ) P ( S ). ¿Cuál es la probabilidad de que Felicity se inscriba en clases de Matemáticas o de Oratoria? Calcule P ( M ∪ S ) = P ( M ) + P ( S ) - P ( M ∩ S ). ¿ M y S son independientes? ¿Es P ( M | S ) = P ( M )? ¿ M y S son mutuamente excluyentes? ¿Es P ( M ∩ S ) = 0? a. 0,1625, b. 0,6875, c. No, d. No Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos los eventos B = el estudiante pide un libro prestado y D = el estudiante pide un DVD prestado. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B ∩ D ). Calcule P ( B ∪ D ). P ( B ∩ D ) = P ( D | B ) P ( B ) = (0,5)(0,4) = 0,20. P ( B ∪ D ) = P ( B ) + P ( D ) - P ( B ∩ D ) = 0,40 + 0,30 - 0,20 = 0,50 Los estudios demuestran que una de cada siete mujeres (aproximadamente el 14,3 %) que viven hasta los 90 años desarrollará cáncer de mama. Supongamos que de las mujeres que desarrollan cáncer de mama el resultado de la prueba es negativo en el 2 % de las ocasiones. Supongamos también que en la población general de mujeres, el resultado de la prueba de cáncer de mama es negativo en el 85 % de las ocasiones. Supongamos que B = la mujer desarrolla cáncer de mama y supongamos que N = el resultado de la prueba es negativo. Supongamos que se selecciona una mujer al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer desarrolle cáncer de mama? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer obtenga un resultado negativo? Dado que la mujer tiene cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea negativo? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama Y el resultado de la prueba sea negativo? ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer tenga cáncer de mama o de que el resultado de la prueba sea negativo? ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son eventos independientes? ¿Tener cáncer de mama y tener un resultado negativo en la prueba son mutuamente excluyentes? P ( B ) = 0,143; P ( N ) = 0,85 P ( N | B ) = 0,02 P ( B ∩ N ) = P ( B ) P ( N | B ) = (0,143)(0,02) = 0,0029 P ( B ∪ N ) = P ( B ) + P ( N ) - P ( B ∩ N ) = 0,143 + 0,85 - 0,0029 = 0,9901 No. P ( N ) = 0,85; P ( N | B ) = 0,02. Por lo tanto, P ( N | B ) no es igual a P ( N ). No. P ( B ∩ N ) = 0,0029. Para que B y N sean mutuamente excluyentes, P ( B ∩ N ) debe ser cero. Ejercicio Una escuela tiene 200 estudiantes de último año, de los cuales 140 irán al instituto universitario el año siguiente. Cuarenta irán directamente a trabajar. El resto se está tomando un año sabático. Cincuenta de los estudiantes de último año que van al instituto universitario practican deportes. Treinta de los estudiantes de último año que van directamente a trabajar practican deportes. Cinco de los estudiantes de último año que se toman un año sabático practican deportes. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último año vaya al instituto universitario y practique deportes? Supongamos que A = el estudiante está en el último año de la universidad. Supongamos que B = el estudiante hace deporte. P ( B ) = 140 200 P ( B | A ) = 50 140 P ( A ∩ B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( A ∩ B ) = ( 140 200 ) ( 50 140 ) = 1 4 Consulte la información en el . P = pruebas con resultado positivo. Dado que una mujer desarrolla cáncer de mama, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( P | B ) = 1 - P ( N | B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer desarrolle cáncer de mama y el resultado de la prueba sea positivo? Calcule P ( B ∩ P ) = P ( P | B ) P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer no desarrolle cáncer de mama? Calcule P ( B′ ) = 1 – P ( B ). ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga un resultado positivo en la prueba de cáncer de mama? Calcule P ( P ) = 1 – P ( N ). a. 0,98; b. 0,1401; c. 0,857; d. 0,15 Ejercicio Un estudiante va a la biblioteca. Supongamos que los eventos B = el estudiante pide prestado un libro y D = el estudiante pide prestado un DVD. Supongamos que P ( B ) = 0,40, P ( D ) = 0,30 y P ( D | B ) = 0,5. Calcule P ( B′ ). Calcule P ( D ∩ B ). Calcule P ( B | D ). Calcule P ( D ∩ B′ ). Calcule P ( D | B′ ). P ( B′ ) = 0,60 P ( D ∩ B ) = P ( D | B ) P ( B ) = 0,20 P ( B | D ) = P ( B ∩ D ) P ( D ) = ( 0,20 ) (0 0,30) = 0,66 P ( D ∩ B′ ) = P ( D ) - P ( D ∩ B ) = 0,30 - 0,20 = 0,10 P ( D | B′ ) = P ( D ∩ B′ ) P ( B′ ) = ( P ( D ) - P ( D ∩ B ))(0,60) = (0,10)(0,60) = 0,06 Referencias DiCamillo, Mark, Mervin Field. “The File Poll”. Field Research Corporation. Disponible en línea en http://www.field.com/fieldpollonline/subscribers/Rls2443.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Rider, David, “Ford support plumming, poll suggests”, The Star, 14 de septiembre de 2011. Disponible en línea en http://www.thestar.com/news/gta/2011/09/14/ford_support_plummeting_poll_suggests.html (consultado el 2 de mayo de 2013). “Mayor’s Approval Down”. News Release by Forum Research Inc. Disponible en línea en http://www.forumresearch.com/forms/News Archives/News Releases/74209_TO_Issues_-_Mayoral_Approval_%28Forum_Research%29 %2820130320 %29.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). “Roulette”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Roulette (consultado el 2 de mayo de 2013). Shin, Hyon B., Robert A. Kominski. “Language Use in the United States: 2007.” Oficina del Censo de Estados Unidos. Disponible en línea en http://www.census.gov/hhes/socdemo/language/data/acs/ACS-12.pdf (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos del Baseball-Almanac, 2013. Disponible en línea en www.baseball-almanac.com (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de la Oficina del Censo de EE. UU. Datos del Wall Street Journal. Datos The Roper Center: Public Opinion Archives at the University of Connecticut. Disponible en línea en http://www.ropercenter.uconn.edu/ (consultado el 2 de mayo de 2013). Datos de Field Research Corporation. Disponible en línea en www.field.com/fieldpollonline (consultado el 2 de mayo de 2013). Repaso del capítulo Las reglas de multiplicación y de adición se utilizan para calcular la probabilidad de A y B , así como la probabilidad de A o B para dos eventos dados A , B definidos en el espacio muestral. En el muestreo con reemplazo, cada miembro de una población se sustituye después de ser elegido, por lo que ese miembro tiene la posibilidad de ser elegido más de una vez, y los eventos se consideran independientes. En el muestreo sin reemplazo, cada miembro de una población solo lo pueden seleccionar una vez, y se considera que los eventos no son independientes. A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando no tienen ningún resultado en común. Revisión de la fórmula La regla de multiplicación: P ( A ∩ B ) = P ( A | B ) P ( B ) La regla de adición: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) Use la siguiente información para responder los próximos diez ejercicios. El cuarenta y ocho por ciento de todos los californianos votantes registrados prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. Entre los votantes latinos registrados en California, el 55 % prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. El 37,6 % de los californianos son latinos. En este problema supongamos que: C = californianos (votantes registrados) que prefieren la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. L = californianos latinos Supongamos que se selecciona al azar un californiano. Calcule P ( C ). Calcule P ( L ). 0,376 Calcule P ( C | L ). En palabras, ¿qué es C ? | L ? C | L significa que, dado que la persona elegida es un californiano latino, entonces es un votante registrado que prefiere la cadena perpetua sin libertad condicional para una persona condenada por asesinato en primer grado. Calcule P ( L ∩ C ). En palabras, ¿qué es L ∩ C ? L ∩ C es el caso de que la persona elegida sea un votante latino registrado en California que prefiera la cadena perpetua sin libertad condicional a la pena de muerte para una persona condenada por asesinato en primer grado. ¿ L y C son eventos independientes? Demuestre por qué sí o por qué no. Calcule P ( L ∪ C ). 0,6492 En palabras, ¿qué es L ∪ C ? ¿ L y C son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. No, porque P ( L ∩ C ) no es igual a 0. Tarea para la casa El 28 de febrero de 2013, una encuesta de Field Poll informó que el 61 % de los votantes registrados en California aprobaba que se les permitiera a dos personas del mismo sexo casarse y que rigieran las leyes regulares de matrimonio para ellos. Entre los jóvenes de 18 a 39 años (votantes registrados en California), el índice de aprobación fue del 78 %. Seis de cada diez votantes registrados en California dijeron que el próximo fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California era “muy importante” o “algo importante” para ellos. De los votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo, el 75 % dijeron que la sentencia es “importante” para ellos. En este problema, supongamos que: C = votantes registrados en California que apoyan el matrimonio entre personas del mismo sexo. B = votantes registrados en California que dicen que el fallo del Tribunal Supremo sobre la constitucionalidad de la Proposición 8 de California es “muy importante” o “algo importante” para ellos. A = Votantes registrados en California que tienen entre 18 y 39 años Calcule P ( C ). Calcule P ( B ). Calcule P ( C | A ). Calcule P ( B | C ). En palabras, ¿qué es C ? | ¿A ? En palabras, ¿qué es B | C ? Calcule P ( C ∩ B ). En palabras, ¿qué es C ∩ B ? Calcule P ( C ∪ B ). ¿ C y B son eventos mutuamente excluyentes? Demuestre por qué sí o por qué no. Después de que Rob Ford, el alcalde de Toronto, anunciara sus planes de recortar los gastos presupuestarios a finales de 2011, el Forum Research hizo un sondeo entre 1.046 personas para medir su popularidad. Todos los consultados expresaron su aprobación o desaprobación. Estos son los resultados de su sondeo: A principios de 2011, el 60 % de la población aprobaba la actuación del alcalde Ford en el cargo. A mediados de 2011, el 57 % de la población aprobaba sus acciones. A finales de 2011, el porcentaje de aprobación popular se medía en un 42 por ciento. ¿Cuál es el tamaño de la muestra de este estudio? ¿Qué proporción del sondeo desaprueba al alcalde Ford, según los resultados de finales de 2011? ¿Cuántas personas consultadas respondieron que aprobaban al alcalde Ford a finales de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a mediados de 2011? ¿Cuál es la probabilidad de que una persona apoye al alcalde Ford, según los datos recopilados a principios de 2011? Forum Research encuestó a 1.046 toronteses. 58% 42 % de 1.046 = 439 (redondeando al número entero más cercano) 0,57 0,60. Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. El juego de casino, la ruleta, le permite al jugador apostar sobre la probabilidad de que una bola que gira en la rueda de la ruleta caiga en un color, número o rango de números particulares. La tabla utilizada para realizar las apuestas contiene 38 números, y cada número se asigna a un color y a un rango. (créditos: film8ker/wikibooks). Enumere el espacio muestral de los 38 resultados posibles en la ruleta. Usted apuesta por el rojo. Calcule P (rojo). Apuesta por -1.º 12- (1.ª docena). Calcule P (-1.º 12-). Apuesta por un número par. Calcule P (número par). ¿Obtener un número impar es el complemento de obtener un número par? ¿Por qué? Halle dos eventos mutuamente excluyentes. ¿Los eventos par y 1.ª docena son independientes? Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a dos líneas que se tocan en la mesa como en 1-2-3-4-5-6 Apostar a tres números en una línea, como en 1-2-3 Apostar a un número Apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado, como en 10-11-13-14 Apostar a dos números que se tocan en la mesa, como 10-11 o 10-13 Apostar a 0-00-1-2-3 Apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3 P (apostar a dos líneas que se tocan en la mesa) = 6 38 P (apostar a tres números en una línea) = 3 38 P (apostar a un número) = 1 38 P (apostar a cuatro números que se tocan para formar un cuadrado) = 4 38 P (apostar a dos números que se tocan en la mesa) = 2 38 P (apostar a 0-00-1-2-3) = 5 38 P (apostar a 0-1-2; o 0-00-2; o 00-2-3) = 3 38 Calcule la probabilidad de ganar los siguientes tipos de apuestas: Apostar a un color Apostar a uno de los doce grupos Apostar al rango de números del 1 al 18 Apostar al rango de números del 19 al 36 Apostar a una de las columnas Apostar a un número par o impar (excluye el cero) Suponga que tiene ocho cartas. Cinco son verdes y tres amarillas. Las cinco cartas verdes están numeradas como 1, 2, 3, 4 y 5. Las tres cartas amarillas están numeradas como 1, 2 y 3. Las cartas están bien barajadas. Saca una carta al azar. G = la carta que sacó es verde E = la carta extraída es par Enumere el espacio muestral. P ( G ) = _____ P ( G | E ) = _____ P ( G ∩ E ) = _____ P ( G ∪ E ) = _____ ¿ G y E son mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente. { G 1, G 2, G 3, G 4, G 5, Y 1, Y 2, Y 3} 5 8 2 3 2 8 6 8 No, porque P ( G ∩ E ) no es igual a 0. Lanza dos dados imparciales por separado. Cada dado tiene seis caras. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de un número par. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que la suma de las dos lanzadas sea como máximo siete. Calcule P ( B ). En palabras, explique qué representa " P ( A | B )". Calcule P ( A | B ). ¿ A y B son eventos mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. ¿ A y B son eventos independientes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Un mazo especial tiene diez cartas. Cuatro son verdes, tres azules y tres rojas. Cuando se elige una carta se registra su color. El experimento consiste en elegir primero una carta y luego lanzar una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que se elija primero una carta azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que se elija una roja o una verde seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. Supongamos que C es el evento para que se elija una roja o una azul seguido de que salga cara en el lanzamiento de la moneda. ¿Los eventos A y C son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. NOTA El lanzamiento de la moneda es independiente de la carta que se sacó primero. {( G , H ) ( G , T ) ( B , H ) ( B , T ) ( R , H ) ( R , T )} P ( A ) = P (azul) P (cara) = ( 3 10 ) ( 1 2 ) = 3 20 Sí, A y B son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir al mismo tiempo; no puede elegir una carta que sea azul y también (roja o verde). P ( A ∩ B ) = 0 No, A y C no son mutuamente excluyentes porque pueden ocurrir al mismo tiempo. De hecho, C incluye todos los resultados de A ; si la carta que se sacó es azul, también lo es (roja o azul). P ( A ∩ C ) = P ( A ) = 3 20 El experimento consiste en lanzar primero un dado y luego una moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que salga primero un tres o un cuatro seguido de que salga una cara en el lanzamiento de la moneda. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta en una o tres oraciones completas incluida la justificación numérica. El experimento consiste en lanzar una moneda de cinco centavos, una de diez y una de veinticinco. Nos interesa el lado en el que cae la moneda. Enumere el espacio muestral. Supongamos que A es el evento para que haya dos cruces como mínimo. Calcule P ( A ). Supongamos que B es el evento para que en la primera y la segunda lanzada salgan caras. ¿Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? Explique su respuesta con una o tres oraciones completas incluida la justificación. S = {( HHH ), ( HHT ), ( HTH ), ( HTT ), ( THH ), ( THT ), ( TTH ), ( TTT )} 4 8 Sí, porque si se ha producido A , es imposible obtener dos cruces. En otras palabras, P ( A ∩ B ) = 0. Considere el siguiente escenario: Supongamos que P ( C ) = 0,4. Supongamos que P ( D ) = 0,5. Supongamos que P ( C | D ) = 0,6 Calcule P ( C ∩ D ). ¿ C y D son mutuamente excluyentes? ¿Por qué sí o por qué no? ¿ C y D son eventos independientes? ¿Por qué sí o por qué no? Calcule P ( C ∪ D ). Calcule P ( D | C ). Y y Z son eventos independientes. Reescriba la regla básica de adición P ( Y ∪ Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y ∩ Z ) utilizando la información de que Y y Z son eventos independientes. Utilice la regla reescrita para calcular P ( Z ) si P ( Y ∪ Z ) = 0,71 y P ( Y ) = 0,42. Si Y y Z son independientes, entonces P ( Y ∩ Z ) = P ( Y ) P ( Z ), por lo que P ( Y ∪ Z ) = P ( Y ) + P ( Z ) - P ( Y ) P ( Z ). 0,5 G y H son eventos mutuamente excluyentes. P ( G ) = 0,5 P ( H ) = 0,3 Explique por qué la siguiente afirmación DEBE ser falsa: P ( H | G ) = 0,4. Halle P ( H ∪ G ). ¿ G y H son eventos independientes o dependientes? Explique en una oración completa. En Estados Unidos viven 281.000.000 de personas mayores de cinco años aproximadamente. De estas personas, 55.000.000 hablan una lengua distinta del inglés en casa. De los que hablan otro idioma en casa, el 62,3 % habla español. Supongamos que: E = habla inglés en casa; E′ = habla otro idioma en casa; S = habla español; Termine cada enunciado de probabilidad y haga coincidir la respuesta correcta. Declaraciones de probabilidad Respuestas a. P ( E′ ) = i. 0,8043 b. P ( E ) = ii. 0,623 c. P ( S ∩ E′ ) = iii. 0,1957 d. P ( S | E′ ) = iv. 0,1219 iii i iv ii En 1994, el gobierno de EE. UU. convocó un sorteo para expedir 55.000 tarjetas verdes (permisos para que los que no son ciudadanos puedan trabajar legalmente en EE. UU.). Renate Deutsch, de Alemania, fue una de las aproximadamente 6,5 millones de personas que participaron en este sorteo. Supongamos que G = obtener la tarjeta verde. ¿Qué posibilidades tenía Renate de obtener la tarjeta verde? Escriba su respuesta en forma de declaración de probabilidad. En el verano de 1994, Renate recibió una carta en la que se le comunicaba que era una de las 110.000 finalistas elegidas. Una vez elegidos los finalistas, suponiendo que cada uno de ellos tuviera las mismas posibilidades de obtenerla, ¿cuál era la probabilidad de Renate de obtener una tarjeta verde? Escriba su respuesta como una declaración de probabilidad condicional. Supongamos que F = ser finalista. ¿ G y F son eventos independientes o dependientes? Justifique su respuesta numéricamente y explique también por qué. ¿ G y F son eventos mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta numéricamente y explique por qué. Tres profesores de la Universidad George Washington hicieron un experimento para determinar si los economistas son más interesados que otras personas. Dejaron caer 64 sobres con sello y dirección con 10 dólares en efectivo en diferentes aulas del campus de George Washington. Se devolvió el 44 % en total. De las clases de Economía se devolvió el 56 % de los sobres. De las clases de Negocios, Psicología e Historia se devolvió el 31 %. Supongamos que: R = dinero devuelto; E = clases de Economía; O = otras clases Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje global de dinero devuelto. Escriba un enunciado de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las clases de Economía. Escriba una declaración de probabilidad para el porcentaje de dinero devuelto de las otras clases. ¿La devolución del dinero es independientemente de la clase? Justifique su respuesta numéricamente y explíquela. Basándose en este estudio, ¿cree que los economistas son más interesados que otras personas? Explique por qué sí o por qué no. Incluya números para justificar su respuesta. P ( R ) = 0,44 P ( R | E ) = 0,56 P ( R | O ) = 0,31 No, el hecho de que se devuelva el dinero no es independiente de la clase en la que se haya colocado el dinero. Hay varias formas de justificar esto matemáticamente; una de ellas es que el dinero colocado en las clases de economía no se devuelve a la misma tasa global; P ( R | E ) ≠ P ( R ). No, este estudio definitivamente no apoya esa noción de hecho sino que sugiere lo contrario. El dinero colocado en las aulas de Economía se devolvió en una proporción mayor que el dinero colocado en todas las clases colectivamente; P ( R | E ) > P ( R ). La siguiente tabla de datos obtenida de www.baseball-almanac.com muestra la información de los batazos imparables de cuatro jugadores. Supongamos que se selecciona al azar un resultado de la tabla. Nombre Sencillo Doble Triple Jonrón Total de batazos imparables Babe Ruth 1.517 506 136 714 2.873 Jackie Robinson 1.054 273 54 137 1.518 Ty Cobb 3.603 174 295 114 4.189 Hank Aaron 2.294 624 98 755 3.771 Total 8.471 1.577 583 1.720 12.351 ¿Son eventos independientes “el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron” y “el batazo imparable que es un doble”? Sí, porque P (batazo imparable ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable ejecutado por Hank Aaron). No, porque P (el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) ≠ P (el batazo imparable es un doble) No, porque P (el batazo imparable es ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) ≠ P (el batazo imparable ejecutado por Hank Aaron). Sí, porque P (el batazo imparable es ejecutado por Hank Aaron | batazo imparable es un doble) = P (batazo imparable es un doble). United Blood Services es un banco de sangre que presta servicio a más de 500 hospitales en 18 estados. Según su sitio web, una persona con sangre del tipo O y factor Rh negativo (Rh–) puede donar sangre a cualquier persona con cualquier tipo de sangre. Sus datos muestran que el 43 % de las personas tienen sangre del tipo O y el 15 % del factor Rh–; el 52 % de las personas tienen el tipo O o el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona tenga tanto sangre del tipo O como el factor Rh–. Calcule la probabilidad de que una persona NO tenga ni sangre del tipo O ni el factor Rh–. P (tipo O ∪ Rh-) = P (tipo O) + P (Rh-) - P (tipo O ∩ Rh-) 0,52 = 0,43 + 0,15 - P (tipo O ∩ Rh–);resuelva para hallar P (tipo O ∩ Rh-) = 0,06 El 6 % de las personas tienen sangre del tipo O, Rh– P (NO (tipo O ∩ Rh-)) = 1 - P (tipo O ∩ Rh-) = 1 - 0,06 = 0,94 El 94 % de las personas no tienen sangre del tipo O, Rh– En un instituto universitario, el 72 % de los cursos tienen exámenes finales y el 46 % requieren trabajos de investigación. Supongamos que el 32 % de los cursos tienen un trabajo de investigación y un examen final. Supongamos que F es el evento en el que un curso tiene un examen final. Supongamos que R es el evento en el que un curso requiere un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso tenga un examen final o un trabajo de investigación. Calcule la probabilidad de que un curso no tenga NINGUNO de estos dos requisitos. En una caja de galletas variadas, el 36 % tiene chocolate y el 12 % tiene frutos secos. En la caja, el 8 % contiene tanto chocolate como frutos secos. Sean es alérgico al chocolate y a los frutos secos. Calcule la probabilidad de que una galleta contenga chocolate o frutos secos (no puede comerla). Calcule la probabilidad de que una galleta no contenga ni chocolate ni frutos secos (puede comerla). Supongamos que C = el evento en el que la galleta contiene chocolate. Supongamos que N = el evento en el que la galleta contiene frutos secos. P ( C ∪ N ) = P ( C ) + P ( N ) - P ( C ∩ N ) = 0,36 + 0,12 - 0,08 = 0,40 P (NI chocolate NI nueces) = 1 - P ( C ∪ N ) = 1 - 0,40 = 0,60 Un instituto universitario descubre que el 10 % de los estudiantes ha tomado una clase a distancia y que el 40 % de los estudiantes es a tiempo parcial. De los estudiantes a tiempo parcial, el 20 % ha tomado una clase a distancia. Supongamos que D = el evento en el que un estudiante tomó una clase a distancia y E = el evento en el que un estudiante es un estudiante a tiempo parcial Calcule P ( D ∩ E ). Calcule P ( E | D ). Calcule P ( D ∪ E ). Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son independientes. Mediante una prueba apropiada demuestre si D y E son mutuamente excluyentes. Eventos independientes la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de que ocurra otro evento. Los eventos A y B son independientes si una de las siguientes afirmaciones es cierta: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ) Mutuamente excluyente dos eventos son mutuamente excluyentes si la probabilidad de que ambos ocurran al mismo tiempo es cero Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P ( A ∩ B ) = 0.

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Tablas de contingencia y árboles de probabilidad Tablas de contingencia Una tabla de contingencia proporciona una forma de representar los datos que puede facilitar el cálculo de probabilidades. La tabla ayuda a determinar las probabilidades condicionales con bastante facilidad. La tabla muestra los valores de la muestra en relación con dos variables diferentes que pueden ser dependientes o contingentes entre sí. Más adelante volveremos a utilizar las tablas de contingencia, pero de otra manera. Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios: Infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Ninguna infracción por exceso de velocidad durante el año anterior Total Utiliza el teléfono móvil mientras conduce 25 280 305 No utiliza el teléfono móvil mientras conduce 45 405 450 Total 70 685 755 El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755. Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades. Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado ∩ era usuario de teléfonos móviles). Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil ∪ el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor es un usuario de teléfono móvil | el conductor tuvo una infracción durante el año pasado). Calcule P (el conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado | el conductor no era usuario de teléfono móvil) número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755 número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755 280 755 ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755 25 70 (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción). 405 450 (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles). Ejercicio La muestra el número de atletas que hacen estiramientos antes del ejercicio y cuántos tuvieron lesiones durante el año pasado. Lesión durante el año pasado Ninguna lesión durante el año pasado Total Hace estiramientos 55 295 350 No hace estiramientos 231 219 450 Total 286 514 800 ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio)? ¿Qué es P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio | ninguna lesión durante el año pasado)? P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio) = 350 800 = 0,4375 P (el atleta se estira antes de hacer ejercicio | ninguna lesión durante el año pasado) = 295 514 = 0,5739 La presenta una muestra aleatoria de 100 excursionistas y las zonas de excursión que prefieren. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 ___ 45 Hombres ___ ___ 14 55 Total ___ 41 ___ ___ a. Rellene la tabla. a. Preferencia de zona de excursión Sexo La costa Cerca de lagos y arroyos En los picos de las montañas Total Mujeres 18 16 11 45 Hombres 16 25 14 55 Total 34 41 25 100 b. ¿Los eventos “ser mujer” y “preferir la costa” son eventos independientes? Supongamos que F = ser mujer y supongamos que C = preferir la costa. Calcule P ( F ∩ C ) . Calcule P ( F ) P ( C ) ¿Estos dos números son iguales? Si lo son, entonces F y C son independientes. Si no lo son, entonces F y C no son independientes. b. P ( F ∩ C ) = 18 100 = 0,18 P ( F ) P ( C ) = ( 45 100 ) ( 34 100 ) = (0,45)(0,34) = 0,153 P ( F ∩ C ) ≠ P ( F ) P ( C ), por lo que los eventos F y C no son independientes. c. Calcule la probabilidad de que una persona sea hombre dado que prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. Supongamos que M = ser hombre, y supongamos que L = prefiere ir de excursión cerca de lagos y arroyos. ¿Qué palabra le dice que es un condicional? Rellene los espacios en blanco y calcule la probabilidad: P (___ | ___) = ___. ¿El espacio muestral para este problema son los 100 excursionistas? Si no es así, ¿qué es? c. La expresión “dado que” indica que se trata de una condición. P ( M | L ) = 25 41 No, el espacio muestral para este problema son los 41 excursionistas que prefieren lagos y arroyos. d. Calcule la probabilidad de que una persona sea mujer o prefiera ir de excursión en los picos de las montañas. Supongamos que F = ser mujer, y supongamos que P = prefiere los picos de las montañas. Calcule P ( F ). Calcule P ( P ). Calcule P ( F ∩ P ) . Calcule P ( F ∪ P ) . d. P ( F ) = 45 100 P ( P ) = 25 100 P ( F ∩ P ) = 11 100 P ( F ∪ P ) = 45 100 + 25 100 - 11 100 = 59 100 Ejercicio La presenta una muestra aleatoria de 200 ciclistas y las rutas que prefieren. Supongamos que M = hombres y H = camino de colinas. Sexo Camino del lago Sendero montañoso Camino arbolado Total Mujeres 45 38 27 110 Hombres 26 52 12 90 Total 71 90 39 200 Entre los hombres, ¿cuál es la probabilidad de que el ciclista prefiera un camino de colinas? ¿Los eventos “ser hombre” y “preferir el camino de colinas” son eventos independientes? P ( H | M ) = 52 90 = 0,5778 Para que M y H sean independientes, demuestre que P ( H | M ) = P ( H ) P ( H | M ) = 0,5778, P ( H ) = 90 200 = 0,45 P ( H | M ) no es igual a P ( H ) so M y H NO son independientes. El ratón Muddy vive en una jaula con tres puertas. Si Muddy sale por la primera puerta, la probabilidad de que sea atrapado por la gata Alissa es 1 5 y la probabilidad de que no sea atrapado es 4 5 . Si sale por la segunda puerta, la probabilidad de que sea atrapado por Alissa es 1 4 y la probabilidad de que no sea atrapado es 3 4 . La probabilidad de que Alissa atrape a Muddy saliendo por la tercera puerta es 1 2 y la probabilidad de que no atrape a Muddy es 1 2 . Es igualmente probable que Muddy elija cualquiera de las tres puertas por lo que la probabilidad de elegir cada puerta es 1 3 . Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 ____ No atrapado 4 15 3 12 1 6 ____ Total ____ ____ ____ 1 La primera entrada 1 15 = ( 1 5 ) ( 1 3 ) es P ( Puerta uno ∩ Atrapado ) La entrada 4 15 = ( 4 5 ) ( 1 3 ) es P ( Puerta uno ∩ No atrapado ) Verifique las entradas restantes. a. Rellene la tabla de contingencia de probabilidades. Calcule las entradas para los totales. Compruebe que la entrada de la esquina inferior derecha es 1. a. Elección de la puerta Atrapado o no Puerta uno Puerta dos Puerta tres Total Atrapado 1 15 1 12 1 6 19 60 No atrapado 4 15 3 12 1 6 41 60 Total 5 15 4 12 2 6 1 b. ¿Cuál es la probabilidad de que Alissa no atrape a Muddy? b. 41 60 c. ¿Cuál es la probabilidad de que Muddy elija la puerta uno ∪ Puerta Dos dado que Muddy es atrapado por Alissa? c. 9 19 La contiene el número de delitos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 en EE. UU. Índices de criminalidad en Estados Unidos por cada 100.000 habitantes de 2008 a 2011 Año Robo con violencia Robo Violación Vehículo Total 2008 145,7 732,1 29,7 314,7 2009 133,1 717,7 29,1 259,2 2010 119,3 701 27,7 239,1 2011 113,7 702,2 26,8 229,6 Total TOTAL de cada columna y cada fila. Datos totales = 4.520,7 Calcule P ( 2009 ∩ Robo con violencia ) . Calcule P ( 2010 ∩ Robo ) . Calcule P ( 2010 ∪ Robo ) . Calcule P (2011 | Violación). Calcule P (Vehículo | 2008). a. 0,0294, b. 0,1551, c. 0,7165, d. 0,2365, e. 0,2575 Ejercicio La relaciona los pesos y las alturas de un grupo de personas que participan en un estudio de observación. Peso/altura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 Normal 20 51 28 Bajo peso 12 25 9 Totales Calcule el total de cada fila y columna Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa y alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta dado que es obesa. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea obesa, dado que es alta. Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo sea alta y de bajo peso. ¿Los eventos obeso y alto son independientes? Peso/altura Alto Medio Bajo Totales Obeso 18 28 14 60 Normal 20 51 28 99 Bajo peso 12 25 9 46 Totales 50 104 51 205 Totales de las filas: 60, 99, 46. Total de las columnas: 50, 104, 51. P (Alto) = 50 205 = 0,244 P ( Obeso ∩ Alto ) = 18 205 = 0,088 P (Alto | Obeso) = 18 60 = 0,3 P (Obeso | Alto) = 18 50 = 0,36 P ( Alto ∩ Bajo peso ) = 12 205 = 0,0585 No. P (Alto) no es igual a P (Alto | Obeso). Diagramas de árbol A veces, cuando los problemas de probabilidad son complejos, puede ser útil hacer un gráfico de la situación. Los diagramas de árbol pueden utilizarse para visualizar y resolver las probabilidades condicionales. Diagramas de árbol Un diagrama de árbol es un tipo especial de gráfico utilizado para determinar los resultados de un experimento. Consta de “ramas” que se identifican con frecuencias o probabilidades. Los diagramas de árbol pueden hacer que algunos problemas de probabilidad sean más fáciles de visualizar y resolver. El siguiente ejemplo ilustra cómo utilizar un diagrama de árbol. En una urna hay 11 pelotas. Tres pelotas son rojas ( R ) y ocho azules( B ). Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo . “Con reemplazo” significa que se devuelve la primera pelota a la urna antes de seleccionar la segunda. Luego, el diagrama de árbol con frecuencias que muestra todos los resultados posibles. Total = 64 + 24 + 24 + 9 = 121 El primer conjunto de ramas representa la primera pelota que sacó. El segundo conjunto de ramas representa la segunda. Cada uno de los resultados es distinto. De hecho, podemos enumerar cada pelota roja como R 1, R 2 y R 3 y cada pelota azul como B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6, B 7 y B 8. Entonces, los nueve resultados de RR se pueden escribir como: R 1 R 1 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 R 1 R 2 R 2 R 2 R 3 R 3 R 1 R 3 R 2 R 3 R 3 Los demás resultados son similares. Hay un total de 11 pelotas en la urna. Saque dos pelotas, una a la vez, con reemplazo. Hay 11(11) = 121 resultados, el tamaño del espacio muestral . a. Enumere los 24 resultados de RB : B 1 R 1, B 1 R 2, B 1 R 3, ... a. B 1 R 1 B 1 R 2 B 1 R 3 B 2 R 1 B 2 R 2 B 2 R 3 B 3 R 1 B 3 R 2 B 3 R 3 B 4 R 1 B 4 R 2 B 4 R 3 B 5 R 1 B 5 R 2 B 5 R 3 B 6 R 1 B 6 R 2 B 6 R 3 B 7 R 1 B 7 R 2 B 7 R 3 B 8 R 1 B 8 R 2 B 8 R 3 b. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RR ). b. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 3 11 ) = 9 121 c. Use el diagrama de árbol y calcule P ( RB ∪ BR ) . c. P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) + ( 8 11 ) ( 3 11 ) = 48 121 d. Use el diagrama de árbol y calcule P ( R en la 1.ª extracción ∩ B en la 2.ª extracción ) . d. P ( R en la 1.ª extracción ∩ B en la 2.ª extracción ) = ( 3 11 ) ( 8 11 ) = 24 121 e. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P (R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª extracción). e. P (R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª extracción) = P ( R en la 2.ª extracción | B en la 1.ª) = 24 88 = 3 11 Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB ). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR . 24 88 = 3 11 . f. Use el diagrama de árbol y calcule P ( BB ). f. P ( BB ) = 64 121 g. Al utilizar el diagrama de árbol, calcule P (B en la 2.ª extracción | R en la primera extracción). g. P (B en la segunda extracción | R en la 1.ª extracción) = 8 11 Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB ). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces 24 33 . Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. 12 cartas son de figura (evento F ) y 40 cartas no lo son (evento N ). Saque dos cartas, una a la vez, con reemplazo. Todos los resultados posibles se muestran en el diagrama de árbol como frecuencias. Use el diagrama de árbol y calcule P ( FF ). El número total de resultados es 144 + 480 + 480 + 1600 = 2704. P ( FF ) = 144 144 + 480 + 480 + 1.600 = 144 2 , 704 = 9 169 En una urna hay tres canicas rojas y ocho azules. Saque dos canicas, una a la vez de la urna, esta vez sin reemplazo. “Sin reemplazo” significa que no se devuelve la primera canica antes de seleccionar la segunda. A continuación se muestra un diagrama de árbol para esta situación. Las ramas se identifican con probabilidades en vez de con frecuencias. Los números de los extremos de las ramas se calculan al multiplicar los números de las dos ramas correspondientes, por ejemplo, ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 . Total = 56 + 24 + 24 + 6 110 = 110 110 = 1 NOTA Si saca una roja en la primera extracción de las tres posibilidades rojas, quedan dos canicas rojas para sacar en la segunda extracción. No se vuelve a colocar o reemplazar la primera canica después de haberla sacado. Extraiga sin reemplazo , de modo que en la segunda extracción quedan diez canicas en la urna. Calcule las siguientes probabilidades y use el diagrama de árbol. a. P ( RR ) = ________ a. P ( RR ) = ( 3 11 ) ( 2 10 ) = 6 110 b. Rellene los espacios en blanco: P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + (___)(___) = 48 110 b. P ( RB ∪ BR ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) + ( 8 11 ) ( 3 10 ) = 48 110 c. P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) = c. P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) = 3 10 d. Complete los espacios en blanco. P ( R en la 1.ª ∩ B en la 2.ª ) = (___)(___) = 24 110 d. P ( R en la 1.ª ∩ B en la 2.ª ) = ( 3 11 ) ( 8 10 ) = 24 110 e. Calcule P ( BB ). e. P ( BB ) = ( 8 11 ) ( 7 10 ) f. Halle P ( B en la 2.ª extracción | R en la 1.ª). f. Utilizando el diagrama de árbol, P ( B en la 2.ª | R en la 1.ª) = P ( R | B ) = 8 10 . Si utilizamos probabilidades, podemos identificar el árbol de la siguiente manera general. P ( R | R ) significa aquí P ( R en la 2.ª | R en la 1.ª) P ( B | R ) significa aquí P ( B en la 2.ª | R en la 1.ª) P ( R | B ) significa aquí P ( R en la 2.ª | B en la 1.ª) P ( B | B ) significa aquí P ( B en la 2.ª| B en la 1.ª) Ejercicio En un mazo estándar hay 52 cartas. Doce cartas son de figura ( F ) y 40 cartas no lo son ( N ). Saque dos cartas, una a la vez, sin reemplazo. El diagrama de árbol está identificado con todas las probabilidades posibles. Calcule P ( FN ∪ NF ) . Calcule P ( N | F ). Calcule P (como máximo una carta de figura). Pista: “Como máximo una carta de figura” significa cero o una carta de figura. Calcule P (al menos una carta de figura). Pista: “Al menos una carta de figura” significa una o dos cartas de figura. P ( FN ∪ NF ) = 480 2.652 + 480 2.652 = 960 2.652 = 80 221 P ( N | F ) = 40 51 P (a lo sumo una carta de figura) = (480 + 480 + 1.560) 2.652 = 2 , 520 2 , 652 P (al menos una carta de figura) = (132 + 480 + 480) 2.652 = 1.092 2.652 Una camada de gatitos disponibles para su adopción en la Humane Society tiene cuatro gatitos atigrados y cinco negros. Una familia viene y selecciona al azar dos gatitos (sin reemplazo) para su adopción. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos gatitos sean atigrados? a. ( 1 2 ) ( 1 2 ) b. ( 4 9 ) ( 4 9 ) c. ( 4 9 ) ( 3 8 ) d. ( 4 9 ) ( 5 9 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un gatito de cada color? a. ( 4 9 ) ( 5 9 ) b. ( 4 9 ) ( 5 8 ) c. ( 4 9 ) ( 5 9 ) + ( 5 9 ) ( 4 9 ) d. ( 4 9 ) ( 5 8 ) + ( 5 9 ) ( 4 8 ) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija un gatito atigrado como segundo gatito cuando se ha elegido un gatito negro como primero? ¿Cuál es la probabilidad de elegir dos gatitos del mismo color? a. c, b. d, c. 4 8 , d. 32 72 Ejercicio Supongamos que en una caja hay cuatro pelotas rojas y tres amarillas. Se extraen dos pelotas de la caja sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota de cada color? ( 4 7 ) ( 3 6 ) + ( 3 7 ) ( 4 6 ) Referencias “Blood Types”. American Red Cross, 2013. Disponible en línea en http://www.redcrossblood.org/learn-about-blood/blood-types (consultado el 3 de mayo de 2013). Datos del Centro Nacional de Estadísticas de Salud, que forma parte del Departamento de Salud y Servicios Humanos de Estados Unidos. Datos del Senado de Estados Unidos. Disponible en línea en www.senate.gov (consultado el 2 de mayo de 2013). “Human Blood Types”. Unite Blood Services, 2011. 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Las tablas de contingencia ayudan a visualizar los datos y son especialmente útiles cuando se calculan probabilidades que tienen múltiples variables dependientes. Un diagrama de árbol utiliza ramas para mostrar los diferentes resultados de los experimentos y facilita la visualización de preguntas de probabilidad complejas. Diagrama de árbol la útil representación visual de un espacio muestral y de eventos en forma de “árbol” con ramas marcadas por los posibles resultados junto con las probabilidades asociadas (frecuencias, frecuencias relativas, etc.) Tabla de contingencia el método de mostrar una distribución de frecuencias como una tabla con filas y columnas para mostrar cómo dos variables pueden ser dependientes (contingentes) entre sí; la tabla proporciona una manera fácil de calcular probabilidades condicionales.

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