El teorema del valor medio El teorema del valor medio es uno de los teoremas más importantes del cálculo. Al final de esta sección veremos algunas de sus implicaciones. En primer lugar, empezaremos con un caso especial del teorema del valor medio, llamado teorema de Rolle. Teorema de Rolle De manera informal, el teorema de Rolle afirma que si las salidas de una función diferenciable f son iguales en los puntos extremos de un intervalo, entonces debe haber un punto interior c donde f ′ ( c ) = 0 . La ilustra este teorema. Si una función diferenciable f satisface f ( a ) = f ( b ) , entonces su derivada debe ser cero en algún(os) punto(s) entre a y b . Teorema de Rolle Supongamos que f es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) tal que f ( a ) = f ( b ) . Entonces existe al menos una c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Prueba Supongamos que k = f ( a ) = f ( b ) . Consideramos tres casos: f ( x ) = k para todos los x ∈ ( a , b ) . Existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) > k . Existe x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) < k . Caso 1: Si los valores de f ( x ) = k para todos los x ∈ ( a , b ) , entonces f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ ( a , b ) . Caso 2: Dado que f es una función continua sobre el intervalo cerrado y delimitado [ a , b ] , por el teorema del valor extremo, tiene un máximo absoluto. Además, como hay un punto x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) > k , el máximo absoluto es mayor que k . Por lo tanto, el máximo absoluto no se produce en ninguno de los dos extremos. En consecuencia, el máximo absoluto debe producirse en un punto interior c ∈ ( a , b ) . Dado que f tiene un máximo en un punto interior c , y f es diferenciable en c , por el teorema de Fermat, f ′ ( c ) = 0 . Caso 3: El caso en el que existe un punto x ∈ ( a , b ) tal que f ( x ) < k es análogo al caso 2, con la sustitución del máximo por el mínimo. □ Un punto importante del teorema de Rolle es que la diferenciabilidad de la función f es fundamental. Si los valores de f no es diferenciable, incluso en un solo punto, el resultado puede no ser válido. Por ejemplo, la función f ( x ) = | x | − 1 es continua en [ −1 , 1 ] y f ( –1 ) = 0 = f ( 1 ) , pero f ′ ( c ) ≠ 0 para cualquier c ∈ ( –1 , 1 ) como se muestra en la siguiente figura. Dado que f ( x ) = | x | − 1 no es diferenciable en x = 0 , no se cumplen las condiciones del teorema de Rolle. De hecho, la conclusión no es válida en este caso; no hay c ∈ ( –1 , 1 ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Consideremos ahora las funciones que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle y calculemos explícitamente los puntos c donde f ′ ( c ) = 0 . Utilizando el Teorema de Rolle En cada una de las siguientes funciones, verifique que la función satisfaga los criterios establecidos en el teorema de Rolle y halle todos los valores c en el intervalo dado donde f ′ ( c ) = 0 . f ( x ) = x 2 + 2 x en [ −2 , 0 ] f ( x ) = x 3 − 4 x en [ −2 , 2 ] Dado que f es un polinomio, es continuo y diferenciable en todas partes. Además, f ( −2 ) = 0 = f ( 0 ) . Por lo tanto, f satisface los criterios del teorema de Rolle. Concluimos que existe al menos un valor c ∈ ( –2 , 0 ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Dado que f ′ ( x ) = 2 x + 2 = 2 ( x + 1 ) , vemos que f ′ ( c ) = 2 ( c + 1 ) = 0 implica c = −1 como se muestra en el siguiente gráfico. Esta función es continua y diferenciable en [ −2 , 0 ] , f ′ ( c ) = 0 cuando c = −1 . Como en la parte a. f es un polinomio y por lo tanto es continuo y diferenciable en todas partes. También, f ( −2 ) = 0 = f ( 2 ) . Dicho esto, f satisface los criterios del teorema de Rolle. Diferenciando, encontramos que f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 . Por lo tanto, f ′ ( c ) = 0 cuando x = ± 2 3 . Ambos puntos están en el intervalo [ −2 , 2 ] , y, por lo tanto, ambos puntos satisfacen la conclusión del teorema de Rolle, como se muestra en el siguiente gráfico. Para este polinomio en [ −2 , 2 ] , f ′ ( c ) = 0 a las x = ± 2 / 3 . Verifique que la función f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 6 definida en el intervalo [ 1 , 3 ] satisface las condiciones del teorema de Rolle. Halle todos los puntos c garantizados por el teorema de Rolle. c = 2 Pista Halle todos los valores c , donde f ′ ( c ) = 0 . El teorema del valor medio y su significado El teorema de Rolle es un caso especial del teorema del valor medio. En el teorema de Rolle, consideramos funciones diferenciables f definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] con f ( a ) = f ( b ) . El teorema del valor medio generaliza el teorema de Rolle al considerar funciones que no tienen necesariamente el mismo valor en los extremos. En consecuencia, podemos considerar el Teorema del Valor Medio como una versión inclinada del teorema de Rolle ( ). El teorema del valor medio establece que si f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) tal que la línea tangente al gráfico de f en c es paralela a la línea secante que une ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . El teorema del valor medio dice que para una función que cumple sus condiciones, en algún punto la línea tangente tiene la misma pendiente que la línea secante entre los extremos. Para esta función, hay dos valores c 1 y c 2 tal que la línea tangente a f en c 1 y c 2 tiene la misma pendiente que la línea secante. Teorema del valor medio Supongamos que f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) . Entonces, existe al menos un punto c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Prueba La prueba se desprende del teorema de Rolle, al presentar una función apropiada que satisface los criterios de este. Considere la línea que conecta ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . Como la pendiente de esa línea es f ( b ) − f ( a ) b – a y la línea pasa por el punto ( a , f ( a ) ) , la ecuación de esa línea se puede escribir como y = f ( b ) − f ( a ) b – a ( x – a ) + f ( a ) . Supongamos que g ( x ) denota la diferencia vertical entre el punto ( x , f ( x ) ) y el punto ( x , y ) en esa línea. Por lo tanto, g ( x ) = f ( x ) − [ f ( b ) − f ( a ) b – a ( x – a ) + f ( a ) ] . El valor g ( x ) es la diferencia vertical entre el punto ( x , f ( x ) ) y el punto ( x , y ) en la línea secante que conecta ( a , f ( a ) ) y ( b , f ( b ) ) . Dado que el gráfico de f interseca la línea secante cuando x = a y x = b , vemos que g ( a ) = 0 = g ( b ) . Dado que f es una función diferenciable sobre ( a , b ) , g es también una función diferenciable en ( a , b ) . Además, como f es continua en [ a , b ] , g también es continua en [ a , b ] . Por lo tanto, g satisface los criterios del teorema de Rolle. En consecuencia, existe un punto c ∈ ( a , b ) de manera que g ′ ( c ) = 0 . Dado que g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − f ( b ) − f ( a ) b – a , vemos que g ′ ( c ) = f ′ ( c ) − f ( b ) − f ( a ) b – a . Dado que g ′ ( c ) = 0 , concluimos que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . □ En el siguiente ejemplo, mostramos cómo se puede aplicar el teorema del valor medio a la función f ( x ) = x en el intervalo [ 0 , 9 ] . El método es el mismo para otras funciones, aunque a veces con consecuencias más interesantes. Verificación de la aplicación del teorema del valor medio Para f ( x ) = x en el intervalo [ 0 , 9 ] , demuestre que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio, y por tanto existe al menos un valor c ∈ ( 0 , 9 ) tal que f ′ ( c ) es igual a la pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) . Halle estos valores c garantizados por el teorema del valor medio. Sabemos que f ( x ) = x es continua en [ 0 , 9 ] y diferenciable sobre ( 0 , 9 ) . Por lo tanto, f satisface las hipótesis del teorema del valor medio, y debe existir al menos un valor c ∈ ( 0 , 9 ) tal que f ′ ( c ) es igual a la pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) ( ). Para determinar qué valor(es) de c están garantizados, primero hay que calcular la derivada de f . La derivada f ′ ( x ) = 1 ( 2 x ) . La pendiente de la línea que une ( 0 , f ( 0 ) ) y ( 9 , f ( 9 ) ) está dada por f ( 9 ) − f ( 0 ) 9 − 0 = 9 − 0 9 − 0 = 3 9 = 1 3 . Supongamos que se desea calcular c de manera que f ′ ( c ) = 1 3 . Es decir, queremos hallar c tal que 1 2 c = 1 3 . Resolviendo esta ecuación para c , obtenemos c = 9 4 . En este punto, la pendiente de la línea tangente es igual a la pendiente de la línea que une los puntos extremos. La pendiente de la línea tangente en c = 9 / 4 es la misma que la pendiente del segmento de línea que une ( 0 , 0 ) y ( 9 , 3 ) . Una aplicación que ayuda a ilustrar el teorema del valor medio involucra la velocidad. Por ejemplo, supongamos que conducimos un automóvil durante 1 h por una carretera recta con una velocidad media de 45 mph. Supongamos que s ( t ) y v ( t ) denotan la posición y la velocidad del auto, respectivamente, para 0 ≤ t ≤ 1 h. Suponiendo que la función de posición s ( t ) es diferenciable, podemos aplicar el teorema del valor medio para concluir que, en algún momento c ∈ ( 0 , 1 ) , la velocidad del auto era exactamente v ( c ) = s ′ ( c ) = s ( 1 ) − s ( 0 ) 1 − 0 = 45 mph . Teorema del valor medio y velocidad Si se deja caer una roca desde una altura de 100 ft, su posición t segundos después de su caída hasta que toque el suelo viene dada por la función s ( t ) = –16 t 2 + 100 . Determine el tiempo que tarda la roca en llegar al suelo. Halle la velocidad media v avg de la roca para cuando se suelta y para cuando llega al suelo. Halle el tiempo t garantizado por el teorema del valor medio cuando la velocidad instantánea de la roca es v avg . Cuando la roca toca el suelo, su posición es s ( t ) = 0 . Si resolvemos la ecuación −16 t 2 + 100 = 0 por t , tenemos que t = ± 5 2 sec . Dado que solo estamos considerando t ≥ 0 , la roca llegará al suelo 5 2 segundos después de su caída. La velocidad media viene dada por v avg = s ( 5 / 2 ) − s ( 0 ) 5 / 2 − 0 = 0 − 100 5 / 2 = −40 ft/s . La velocidad instantánea viene dada por la derivada de la función de posición. Por lo tanto, tenemos que encontrar un tiempo t de manera que v ( t ) = s ′ ( t ) = v avg = −40 ft/s . Dado que s ( t ) es continua en el intervalo [ 0 , 5 / 2 ] y diferenciable en el intervalo ( 0 , 5 / 2 ) , por el teorema del valor medio, se garantiza que hay un punto c ∈ ( 0 , 5 / 2 ) de manera que s ′ ( c ) = s ( 5 / 2 ) − s ( 0 ) 5 / 2 − 0 = −40 . Tomando la derivada de la función de posición s ( t ) , tenemos que s ′ ( t ) = −32 t . Por lo tanto, la ecuación se reduce a s ′ ( c ) = −32 c = −40 . Al resolver esta ecuación para c , tenemos c = 5 4 . Por lo tanto, 5 4 segundos después de la caída de la roca, la velocidad instantánea es igual a la velocidad media de la roca durante su caída libre: −40 ft/s En el tiempo t = 5 / 4 s, la velocidad de la roca es igual a su velocidad media desde que se deja caer hasta que toca el suelo. Supongamos que se deja caer una pelota desde una altura de 200 ft. Su posición en el tiempo t ¿es s ( t ) = –16 t 2 + 200 . Halle el tiempo t cuando la velocidad instantánea del balón es igual a su velocidad media. 5 2 2 s Pista En primer lugar, determine el tiempo que tarda el balón en llegar al suelo. A continuación, halle la velocidad media del balón desde que se deja caer hasta que toca el suelo. Corolarios del teorema del valor medio Veamos ahora tres corolarios del teorema del valor medio. Estos resultados tienen consecuencias sustanciales, que utilizaremos en las próximas secciones. En este punto, sabemos que la derivada de cualquier función constante es cero. El teorema del valor medio nos permite concluir que lo contrario también es cierto. En particular, si f ′ ( x ) = 0 para todo x en algún intervalo I , entonces f ( x ) es constante en ese intervalo. Este resultado puede parecer intuitivamente obvio, pero tiene importantes implicaciones que no son obvias, y las discutiremos en breve. Corolario 1: Funciones con una derivada de cero Supongamos que f sea diferenciable en un intervalo I . Si f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I , entonces f ( x ) = constante para todas las x ∈ I . Prueba Dado que f es diferenciable sobre I , f debe ser continua durante I . Supongamos que f ( x ) no es constante para todas las x en I . Entonces existe a , b ∈ I , donde a ≠ b y f ( a ) ≠ f ( b ) . Elija la notación para que a < b . Por lo tanto, f ( b ) − f ( a ) b – a ≠ 0 . Dado que f es una función diferenciable, por el teorema del valor medio, existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Por lo tanto, existe c ∈ I de manera que f ′ ( c ) ≠ 0 , lo que contradice la suposición de que f ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I . □ De , se deduce que si dos funciones tienen la misma derivada, difieren como máximo en una constante. Corolario 2: Teorema de la diferencia constante Si los valores de f y g son diferenciables en un intervalo I y f ′ ( x ) = g ′ ( x ) para todo x ∈ I , entonces f ( x ) = g ( x ) + C para alguna constante C . Prueba Supongamos que h ( x ) = f ( x ) − g ( x ) . Entonces, h ′ ( x ) = f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = 0 para todo x ∈ I . Según el Corolario 1, existe una constante C de manera que h ( x ) = C para todos los x ∈ I . Por lo tanto, f ( x ) = g ( x ) + C para todos los x ∈ I . □ El tercer corolario del teorema del valor medio analiza cuándo una función es creciente y cuándo es decreciente. Recordemos que una función f aumenta en I si f ( x 1 ) < f ( x 2 ) siempre que x 1 < x 2 , mientras que f disminuye en I si f ( x ) 1 > f ( x 2 ) siempre que x 1 < x 2 . Utilizando el teorema del valor medio, podemos demostrar que si la derivada de una función es positiva, entonces la función es creciente; si la derivada es negativa, entonces la función es decreciente ( ). Aprovecharemos este hecho en la siguiente sección, donde mostraremos cómo utilizar la derivada de una función para localizar los valores máximos y mínimos locales de la función, y cómo determinar la forma del gráfico. Este hecho es importante porque significa que para una función dada f , si existe una función F de manera que F ′ ( x ) = f ( x ) ; entonces, las únicas otras funciones que tienen una derivada igual a f son F ( x ) + C para alguna constante C . Más adelante, en este mismo capítulo, analizaremos este resultado con más detalle. Si una función tiene una derivada positiva en algún intervalo I , entonces la función aumenta en ese intervalo I ; si la derivada es negativa en algún intervalo I , entonces la función disminuye en ese intervalo I . Corolario 3: Funciones crecientes y decrecientes Supongamos que f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] y diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) . Si los valores de f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ ( a , b ) , entonces f es una función creciente sobre [ a , b ] . Si f ′ ( x ) < 0 para todo x ∈ ( a , b ) , entonces f es una función decreciente sobre [ a , b ] . Prueba Demostraremos i.; la prueba de ii. es similar. Supongamos que f no es una función creciente en I . Entonces existe a y b en I de manera que a < b , pero f ( a ) ≥ f ( b ) . Dado que f es una función diferenciable sobre I , según el teorema del valor medio existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Dado que f ( a ) ≥ f ( b ) , sabemos que f ( b ) − f ( a ) ≤ 0 . También, a < b nos dice que b – a > 0 . Concluimos que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a ≤ 0 . Sin embargo, f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ I . Esto es una contradicción, y por lo tanto f debe ser una función creciente en I . □ Conceptos clave Si los valores de f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) y f ( a ) = 0 = f ( b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0 . Este es el teorema de Rolle. Si los valores de f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , entonces existe un punto c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a . Este es el teorema del valor medio. Si los valores de f ′ ( x ) = 0 en un intervalo I , entonces f es constante en I . Si dos funciones diferenciables f y g satisfacen f ′ ( x ) = g ′ ( x ) en I , entonces f ( x ) = g ( x ) + C para alguna constante C . Si f ′ ( x ) > 0 en un intervalo I , entonces f aumenta en I . Si f ′ ( x ) < 0 en I , entonces f disminuye en I . ¿Por qué es necesaria la continuidad para aplicar el teorema del valor medio? Elabore un contraejemplo. ¿Por qué se necesita la diferenciabilidad para aplicar el teorema del valor medio? Halle un contraejemplo. Un ejemplo es f ( x ) = | x | + 3 , –2 ≤ x ≤ 2 ¿Cuándo el teorema de Rolle y el teorema del valor medio son equivalentes? Si se tiene una función con una discontinuidad, ¿aún es posible tener f ′ ( c ) ( b – a ) = f ( b ) − f ( a ) ? Dibuje un ejemplo de ello o demuestre por qué no. Sí, pero el teorema del valor medio sigue sin aplicarse. En los siguientes ejercicios determine en qué intervalos (si los hay) se aplica el teorema del valor medio. Justifique su respuesta. y = sen ( π x ) grandes. y = 1 x 3 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , ∞ ) grandes. y = 4 − x 2 y = x 2 − 4 ( − ∞ , –2 ) , ( 2 , ∞ ) grandes. y = ln ( 3 x − 5 ) En los siguientes ejercicios, grafique las funciones en una calculadora y dibuje la línea secante que une los puntos extremos. Estime el número de puntos c de manera que f ′ ( c ) ( b – a ) = f ( b ) − f ( a ) . [T] y = 3 x 3 + 2 x + 1 en [ −1 , 1 ] 2 puntos [T] y = tan ( π 4 x ) en [ − 3 2 , 3 2 ] [T] y = x 2 cos ( π x ) en [ −2 , 2 ] 5 puntos [T] y = x 6 − 3 4 x 5 − 9 8 x 4 + 15 16 x 3 + 3 32 x 2 + 3 16 x + 1 32 en [ −1 , 1 ] En los siguientes ejercicios, utilice el teorema del valor medio y halle todos los puntos 0 < c < 2 de manera que f ( 2 ) − f ( 0 ) = f ′ ( c ) ( 2 − 0 ) . f ( x ) = x 3 c = 2 3 3 f ( x ) = sen ( π x ) grandes. f ( x ) = cos ( 2 π x ) grandes. c = 1 2 , 1 , 3 2 f ( x ) = 1 + x + x 2 f ( x ) = ( x – 1 ) 10 c = 1 f ( x ) = ( x – 1 ) 9 En los siguientes ejercicios, demuestre que no existe c de manera que f ( 1 ) − f ( –1 ) = f ′ ( c ) ( 2 ) . Explique por qué el teorema del valor medio no se aplica en el intervalo [ −1 , 1 ] . f ( x ) = | x – 1 2 | No diferenciable f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = | x | No diferenciable f ( x ) = ⌊ x ⌋ ( Pista : Se denomina función suelo y se define de forma que f ( x ) es el mayor número entero menor o igual a x . ) En los siguientes ejercicios, determine si el teorema del valor medio se aplica a las funciones en el intervalo dado [ a , b ] . Justifique su respuesta. y = e x en [ 0 , 1 ] Sí y = ln ( 2 x + 3 ) en [ − 3 2 , 0 ] f ( x ) = tan ( 2 π x ) en [ 0 , 2 ] El teorema del valor medio no se aplica porque la función es discontinua en x = 1 4 , 3 4 , 5 4 , 7 4 . y = 9 − x 2 en [ −3 , 3 ] y = 1 | x + 1 | en [ 0 , 3 ] Sí y = x 3 + 2 x + 1 en [ 0 , 6 ] y = x 2 + 3 x + 2 x en [ −1 , 1 ] El teorema del valor medio no se aplica; discontinuo en x = 0 . y = x sen ( π x ) + 1 en [ 0 , 1 ] y = ln ( x + 1 ) en [ 0 , e − 1 ] Sí y = x sen ( π x ) en [ 0 , 2 ] y = 5 + | x | en [ −1 , 1 ] El teorema del valor medio no se aplica; no es diferenciable en x = 0 . En los siguientes ejercicios, tome en cuenta las raíces de la ecuación. Demuestre que la ecuación y = x 3 + 4 x + 16 tiene exactamente una raíz real. ¿De cuánto es? Halle las condiciones para que haya exactamente una raíz (raíz doble) para la ecuación y = x 2 + b x + c b = ± 2 c Halle las condiciones para que y = e x − b tenga una raíz. ¿Es posible tener más de una raíz? En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora para graficar la función durante el intervalo [ a , b ] y grafique la línea secante de a al b . Utilice la calculadora para estimar todos los valores de c como los garantiza el teorema del valor medio. A continuación, halle el valor exacto de c , si es posible, o escriba la ecuación final y utilice una calculadora para estimar a cuatro dígitos. [T] y = tan ( π x ) en [ − 1 4 , 1 4 ] c = ± 1 π cos −1 ( π 2 ) , c = ± 0,1533 [T] y = 1 x + 1 en [ 0 , 3 ] [T] y = | x 2 + 2 x − 4 | en [ −4 , 0 ] El teorema del valor medio no se aplica. [T] y = x + 1 x en [ 1 2 , 4 ] [T] y = x + 1 + 1 x 2 en [ 3 , 8 ] 1 2 c + 1 − 2 c 3 = 521 2880 ; c = 3,133 , 5,867 A las 10:17 a. m., pasa a un auto de la policía a 55 mph que está parado en la autopista. A las 10:53 a. m., pasa a un segundo auto de la policía a 55 mph, que se halla a 39 mi del primer auto. Si el límite de velocidad es de 60 mph, ¿la policía puede multarlo por exceso de velocidad? Dos automóviles van de un foco a otro, saliendo a la vez y llegando al mismo tiempo. ¿Hay algún momento en el que vayan a la misma velocidad? Demuéstrelo o refútelo. Sí Demuestre que y = sec 2 x como y = tan 2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y = sec 2 x − tan 2 x ? Demuestre que y = csc 2 x como y = cot 2 x tienen la misma derivada. ¿Qué puede decir sobre y = csc 2 x − cot 2 x ? Es constante. teorema del valor medio si f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , entonces existe c ∈ ( a , b ) de manera que f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b – a teorema de Rolle si f es continua en [ a , b ] y diferenciable sobre ( a , b ) , y si f ( a ) = f ( b ) , entonces existe c ∈ ( a , b ) tal que f ′ ( c ) = 0

Matemáticas


Las derivadas y la forma de un gráfico Anteriormente en este capítulo dijimos que si una función f tiene un extremo local en un punto c , entonces c debe ser un punto crítico de f . Sin embargo, no hay garantía de que una función tenga un extremo local en un punto crítico. Por ejemplo, f ( x ) = x 3 tiene un punto crítico en x = 0 dado que f ′ ( x ) = 3 x 2 es cero en x = 0 , pero f no tienen un extremo local en x = 0 . Utilizando los resultados de la sección anterior, podremos determinar si un punto crítico de una función corresponde realmente a un valor extremo local. En esta sección, también veremos cómo la segunda derivada proporciona información sobre la forma de un gráfico de una función si al describirlo este se curva hacia arriba o hacia abajo. La prueba de la primera derivada El corolario 3 del teorema del valor medio demostró que si la derivada de una función es positiva en un intervalo I entonces la función es creciente en I . Por otro lado, si la derivada de la función es negativa en un intervalo I , entonces la función es decreciente en I como se muestra en la siguiente figura. Ambas funciones son crecientes en el intervalo ( a , b ) . En cada punto x , la derivada f ′ ( x ) > 0 . Ambas funciones son decrecientes en el intervalo ( a , b ) . En cada punto x , la derivada f ′ ( x ) < 0 . Una función continua f tiene un máximo local en el punto c si y solo si f pasa de aumentar a disminuir en el punto c . Del mismo modo, f tiene un mínimo local en c si y solo si f pasa de disminuir a aumentar en c . Si f es una función continua en un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I , excepto posiblemente en c , la única manera f puede pasar de creciente a decreciente (o viceversa) en el punto c es si f ′ cambia de signo cuando x aumenta a través de c . Si f es diferenciable en c , la única manera de que f ′ . pueda cambiar de signo cuando x aumenta a través de c es si f ′ ( c ) = 0 . Por lo tanto, para una función f que es continua en un intervalo I que contiene c y diferenciable sobre I , excepto posiblemente en c , la única manera f pueda pasar de creciente a decreciente (o viceversa) es si f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. En consecuencia, para localizar los extremos locales de una función f , buscamos puntos c en el dominio de f tal que f ′ ( c ) = 0 o f ′ ( c ) es indefinida. Recordemos que estos puntos se denominan puntos críticos de f . Observe que f no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Solo los puntos críticos son candidatos a extremos locales. En la , demostramos que si una función continua f tiene un extremo local, debe ocurrir en un punto crítico, pero es posible que una función no tenga un extremo local en un punto crítico. Demostramos que si f tiene un extremo local en un punto crítico, entonces el signo de f ′ cambia cuando x aumenta a través de ese punto. La función f tiene cuatro puntos críticos: a , b , c , y d . La función f tiene máximos locales en a y d , y un mínimo local en b . La función f no tienen un extremo local en c . El signo de f ′ cambia en todos los extremos locales. Utilizando la , resumimos los principales resultados relativos a los extremos locales. Si una función continua f tiene un extremo local, este debe ocurrir en un punto crítico c . La función tiene un extremo local en el punto crítico c si y solo si la derivada f ′ cambia de signo cuando x aumenta a través de c . Por lo tanto, para comprobar si una función tiene un extremo local en un punto crítico c , debemos determinar el signo de f ′ ( x ) a la izquierda y a la derecha de c . Este resultado se conoce como la prueba de la primera derivada . Prueba de la primera derivada Supongamos que f es una función continua en un intervalo I que contiene un punto crítico c . Si f es diferenciable sobre I , excepto posiblemente en el punto c , entonces f ( c ) cumple una de los siguientes criterios: Si los valores de f ′ cambia el signo de positivo cuando x < c a negativo cuando x > c , entonces f ( c ) es un máximo local de f . Si f ′ cambia el signo de negativo cuando x < c a positivo cuando x > c , entonces f ( c ) es un mínimo local de f . Si f ′ tiene el mismo signo para x < c y x > c , entonces f ( c ) no es ni un máximo ni un mínimo local de f . Podemos resumir la prueba de la primera derivada como una estrategia para localizar los extremos locales. Estrategia para la resolución de problemas: Uso de la prueba de la primera derivada Considere una función f que es continua en un intervalo I . Halle todos los puntos críticos de f y dividimos el intervalo I en intervalos más pequeños utilizando los puntos críticos como puntos extremos. Analice el signo de f ′ en cada uno de los subintervalos. Si los valores de f ′ es continua a lo largo de un subintervalo dado (que es el caso típico), entonces el signo de f ′ en ese subintervalo no cambia y, por lo tanto, se puede determinar eligiendo un punto de prueba arbitrario x en ese subintervalo y evaluando el signo de f ′ en ese punto de prueba. Utilice el análisis de signos para determinar si f aumenta o disminuye en ese intervalo. Utilice la y los resultados del paso 2 para determinar si f tiene un máximo local, un mínimo local o ninguno en cada uno de los puntos críticos. Veamos ahora cómo utilizar esta estrategia para localizar todos los extremos locales de determinadas funciones. Uso de la prueba de la primera derivada para encontrar los extremos locales Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x – 1 . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Paso 1. La derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 . Para encontrar los puntos críticos, tenemos que encontrar dónde f ′ ( x ) = 0 . Al factorizar el polinomio, concluimos que los puntos críticos deben satisfacer 3 ( x 2 − 2 x − 3 ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) = 0 . Por lo tanto, los puntos críticos son x = 3 , −1 . Ahora divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 3 ) y ( 3 , ∞ ) . Paso 2. Dado que f ′ es una función continua, para determinar el signo de f ′ ( x ) sobre cada subintervalo, basta con elegir un punto sobre cada uno de los intervalos ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 3 ) y ( 3 , ∞ ) y determinar el signo de f ′ en cada uno de estos puntos. Por ejemplo, elijamos x = –2 , x = 0 , y x = 4 como puntos de prueba. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 3 ( x − 3 ) ( x + 1 ) en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) ( − ) = + f aumenta. ( –1 , 3 ) grandes. x = 0 ( + ) ( − ) ( + ) = − f decrece. ( 3 , ∞ ) grandes. x = 4 ( + ) ( + ) ( + ) = + f aumenta. Paso 3. Dado que f ′ cambia el signo de positivo a negativo cuando x aumenta a través de −1 , f tiene un máximo local en x = −1 . Dado que f ′ cambia el signo de negativo a positivo cuando x aumenta a través de 3 , f tiene un mínimo local en x = 3 . Estos resultados analíticos coinciden con el siguiente gráfico. La función f tiene un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 3 Utilice la prueba de la primera derivada para localizar todos los extremos locales para f ( x ) = − x 3 + 3 2 x 2 + 18 x . f tiene un mínimo local en −2 y un máximo local en 3 . Pista Halle todos los puntos críticos de f y determine los signos de f ′ ( x ) sobre los intervalos particulares determinados por los puntos críticos. Uso de la prueba de la primera derivada Utilice la prueba de la primera derivada para ubicar todos los extremos locales para f ( x ) = 5 x 1 / 3 − x 5 / 3 . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Paso 1. La derivada es f ′ ( x ) = 5 3 x −2 / 3 − 5 3 x 2 / 3 = 5 3 x 2 / 3 − 5 x 2 / 3 3 = 5 − 5 x 4 / 3 3 x 2 / 3 = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 . La derivada f ′ ( x ) = 0 cuando 1 − x 4 / 3 = 0 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 0 a las x = ± 1 . La derivada f ′ ( x ) es indefinida en x = 0 . Por lo tanto, tenemos tres puntos críticos x = 0 , x = 1 , y x = −1 . En consecuencia, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) . Paso 2: Dado que f ′ es continua en cada subintervalo, basta con elegir un punto de prueba x en cada uno de los intervalos del paso 1 y determinar el signo de f ′ en cada uno de estos puntos. Los puntos x = –2 , x = − 1 2 , x = 1 2 , y x = 2 son puntos de prueba para estos intervalos. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 5 ( 1 − x 4 / 3 ) 3 x 2 / 3 en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) + = − f decrece. ( –1 , 0 ) grandes. x = − 1 2 ( + ) ( + ) + = + f aumenta. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 2 ( + ) ( + ) + = + f aumenta. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 ( + ) ( − ) + = − f decrece. Paso 3: Dado que f es decreciente en el intervalo ( − ∞ , –1 ) y creciente en el intervalo ( –1 , 0 ) , f tiene un mínimo local en x = −1 . Dado que f es creciente en el intervalo ( –1 , 0 ) y el intervalo ( 0 , 1 ) , f no tienen un extremo local en x = 0 . Dado que f es creciente en el intervalo ( 0 , 1 ) y decreciente en el intervalo ( 1 , ∞ ) , f tiene un máximo local en x = 1 . Los resultados analíticos coinciden con el siguiente gráfico. La función f tiene un mínimo local en x = −1 y un máximo local en x = 1 . Utilice la prueba de la primera derivada para encontrar todos los extremos locales para f ( x ) = x – 1 3 . f no tiene extremos locales porque f ′ no cambia de signo en x = 1 . Pista El único punto crítico de f ¿es x = 1 . Concavidad y puntos de inflexión Ahora sabemos cómo determinar si una función es creciente o decreciente. Sin embargo, hay otra cuestión a tener en cuenta respecto a la forma del gráfico de una función. Si el gráfico se curva, ¿lo hace hacia arriba o hacia abajo? Esta noción se denomina concavidad de la función. La (a) muestra una función f con un gráfico que se curva hacia arriba. A medida que x aumenta, la pendiente de la línea tangente aumenta. Por lo tanto, dado que la derivada aumenta a medida que x aumenta, f ′ es una función creciente. Decimos que esta función f es cóncava hacia arriba. La (b) muestra una función f que se curva hacia abajo. A medida que x aumenta, la pendiente de la línea tangente disminuye. Dado que la derivada disminuye a medida que x aumenta, f ′ es una función decreciente. Decimos que esta función f es cóncava hacia abajo. Definición Supongamos que f es una función diferenciable en un intervalo abierto I . Si f ′ aumenta en I , decimos f es cóncava hacia arriba en I . Si f ′ disminuye en I , decimos f es cóncava hacia abajo en I . (a), (c) Ya que f ′ es creciente en el intervalo ( a , b ) , decimos f es cóncava hacia arriba en ( a , b ) . (b), (d) Ya que f ′ es decreciente en el intervalo ( a , b ) , decimos f es cóncava hacia abajo en ( a , b ) . En general, sin tener el gráfico de una función f , ¿cómo podemos determinar su concavidad? Por definición, una función f es cóncava hacia arriba si f ′ aumenta. Por el corolario 3 , sabemos que si f ′ es una función diferenciable, entonces f ′ es creciente si su derivada f ″ ( x ) > 0 . Por lo tanto, una función f que es dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba cuando f ″ ( x ) > 0 . Del mismo modo, una función f es cóncava hacia abajo si f ′ decrece. Sabemos que una función diferenciable f ′ es decreciente si su derivada f ″ ( x ) < 0 . Por lo tanto, una función dos veces diferenciable f es cóncava hacia abajo cuando f ″ ( x ) < 0 . La aplicación de esta lógica se conoce como la prueba de concavidad . Prueba de concavidad Supongamos que f es una función doblemente diferenciable en un intervalo I . Si los valores de f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . Si f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . Concluimos que podemos determinar la concavidad de una función f mirando la segunda derivada de f . Además, observamos que una función f puede cambiar de concavidad ( ). Sin embargo, una función continua puede cambiar de concavidad solo en un punto x si f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. En consecuencia, para determinar los intervalos en los que una función f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, buscamos aquellos valores de x donde f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Una vez determinados estos puntos, dividimos el dominio de f en intervalos más pequeños y determinamos el signo de f ″ en cada uno de estos intervalos más pequeños. Si los valores de f ″ cambia de signo al pasar por un punto x , entonces f cambia la concavidad. Es importante recordar que una función f no puede cambiar la concavidad en un punto x incluso si f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Sin embargo, si, f sí cambia la concavidad en un punto a y f es continua en a , decimos que el punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Definición Si f es continua en a y f cambia la concavidad en a , el punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Dado que f ″ ( x ) > 0 por x < a , la función f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − ∞ , a ) . Dado que f ″ ( x ) < 0 por x > a , la función f es cóncava hacia abajo en el intervalo ( a , ∞ ) . El punto ( a , f ( a ) ) es un punto de inflexión de f . Prueba de concavidad Para que la función f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 30 , determine todos los intervalos en los que f es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde f es cóncava hacia abajo. Enumere todos los puntos de inflexión para f . Utilice una herramienta gráfica para confirmar sus resultados. Para determinar la concavidad, necesitamos encontrar la segunda derivada f ″ ( x ) . La primera derivada es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9 , por lo que la segunda derivada es f ″ ( x ) = 6 x − 12 . Si la función cambia de concavidad, esto ocurre ya sea cuando f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Dado que f ″ se define para todos los números reales x , solo tenemos que encontrar dónde f ″ ( x ) = 0 . Si resolvemos la ecuación 6 x − 12 = 0 , vemos que x = 2 es el único lugar donde f puede cambiar la concavidad. Ahora probamos los puntos sobre los intervalos ( − ∞ , 2 ) y ( 2 , ∞ ) para determinar la concavidad de f . Los puntos x = 0 y x = 3 son puntos de prueba para estos intervalos. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x − 12 en el punto de prueba Conclusión ( − ∞ , 2 ) grandes. x = 0 − f es cóncava hacia abajo ( 2 , ∞ ) grandes. x = 3 + f es cóncava hacia arriba. Concluimos que f es cóncava hacia abajo en el intervalo ( − ∞ , 2 ) y cóncava hacia arriba en el intervalo ( 2 , ∞ ) . Dado que f cambia la concavidad en x = 2 , el punto ( 2 , f ( 2 ) ) = ( 2 , 32 ) es un punto de inflexión. La confirma los resultados analíticos. La función dada tiene un punto de inflexión en ( 2 , 32 ) donde el gráfico cambia de concavidad. Para f ( x ) = − x 3 + 3 2 x 2 + 18 x , halle todos los intervalos en los que f es cóncavo hacia arriba y todos los intervalos donde f es cóncava hacia abajo. f es cóncava hacia arriba en el intervalo ( − ∞ , 1 2 ) y cóncava hacia abajo en el intervalo ( 1 2 , ∞ ) Pista Halle el valor donde f ″ ( x ) = 0 . Ahora resumimos en la , la información que las derivadas primera y segunda de una función f proporcionan sobre el gráfico de f , e ilustramos esta información en la . Lo que las derivadas nos dicen sobre los gráficos Signo de f ′ Signo de f ″ ¿Es f ¿aumenta o disminuye? Concavidad Positivo Positivo Creciente Cóncava hacia arriba Positivo Negativo Creciente Cóncava hacia abajo Negativo Positivo Decreciente Cóncava hacia arriba Negativo Negativo Decreciente Cóncava hacia abajo Consideremos una función dos veces diferenciable f en un intervalo abierto I . Si f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , la función es creciente en I . Si f ′ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , la función es decreciente en I . Si f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I , la función es cóncava hacia arriba. Si los valores de f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I , la función es cóncava hacia abajo en I . La prueba de la segunda derivada La prueba de la primera derivada proporciona una herramienta analítica para encontrar los extremos locales, pero la segunda derivada también puede utilizarse para localizar los valores extremos. Utilizar la segunda derivada puede ser a veces un método más sencillo que utilizar la primera derivada. Sabemos que si una función continua tiene un extremo local, este debe producirse en un punto crítico. Sin embargo, una función no necesita tener un extremo local en un punto crítico. Aquí examinamos cómo se puede utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si una función tiene un extremo local en un punto crítico. Supongamos que f es una función dos veces diferenciable tal que f ′ ( a ) = 0 y f ″ es continua en un intervalo abierto I que contiene a . Supongamos que f ″ ( a ) < 0 . Dado que f ″ es continua en I , f ″ ( x ) < 0 para todo x ∈ I ( ). Entonces, por el corolario 3 , f ′ es una función decreciente sobre I . Dado que f ′ ( a ) = 0 , concluimos que para todo x ∈ I , f ′ ( x ) > 0 si x < a y f ′ ( x ) < 0 si x > a . Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, f tiene un máximo local en x = a . Por otro lado, supongamos que existe un punto b de manera que f ′ ( b ) = 0 pero f ″ ( b ) > 0 . Dado que f ″ es continua en un intervalo abierto I que contiene b , entonces f ″ ( x ) > 0 para todo x ∈ I ( ). Entonces, por el corolario 3 , f ′ es una función creciente sobre I . Dado que f ′ ( b ) = 0 , concluimos que para todo x ∈ I , f ′ ( x ) < 0 si x < b y f ′ ( x ) > 0 si x > b . Por lo tanto, mediante la prueba de la primera derivada, f tiene un mínimo local en x = b . Consideremos una función dos veces diferenciable f tal que f ″ es continuo. Dado que f ′ ( a ) = 0 y f ″ ( a ) < 0 , hay un intervalo I que contiene a tal que para todo x en I , f es creciente si x < a y f es decreciente si x > a . Como resultado, f tiene un máximo local en x = a . Dado que f ′ ( b ) = 0 y f ″ ( b ) > 0 , hay un intervalo I que contiene b tal que para todo x en I , f es decreciente si x < b y f es creciente si x > b . Como resultado, f tiene un mínimo local en x = b . Prueba de la segunda derivada Supongamos que f ′ ( c ) = 0 , f ″ es continua en un intervalo que contiene c . Si los valores de f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c . Si f ″ ( c ) = 0 , entonces la prueba no es concluyente. Note que en el caso iii., cuando f ″ ( c ) = 0 , entonces f puede tener un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos en c . Por ejemplo, las funciones f ( x ) = x 3 , f ( x ) = x 4 , y f ( x ) = − x 4 todas tienen puntos críticos en x = 0 . En cada caso, la segunda derivada es cero en x = 0 . Sin embargo, la función f ( x ) = x 4 tiene un mínimo local en x = 0 mientras que la función f ( x ) = − x 4 tiene un máximo local en x , y la función f ( x ) = x 3 no tienen un extremo local en x = 0 . Veamos ahora cómo utilizar la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo local o un mínimo local en un punto crítico c donde f ′ ( c ) = 0 . Usar la prueba de la segunda derivada Utilice la segunda derivada para encontrar la ubicación de todos los extremos locales para f ( x ) = x 5 − 5 x 3 . Para aplicar la prueba de la segunda derivada, primero tenemos que encontrar los puntos críticos c donde f ′ ( c ) = 0 . La derivada es f ′ ( x ) = 5 x 4 − 15 x 2 . Por lo tanto, f ′ ( x ) = 5 x 4 − 15 x 2 = 5 x 2 ( x 2 − 3 ) = 0 cuando x = 0 , ±3,... 3 . Para determinar si f tiene un extremo local en cualquiera de estos puntos, tenemos que evaluar el signo de f ″ en estos puntos. La segunda derivada es f ″ ( x ) = 20 x 3 − 30 x = 10 x ( 2 x 2 − 3 ) . En la siguiente tabla, evaluamos la segunda derivada en cada uno de los puntos críticos y utilizamos la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo local o un mínimo local en cualquiera de estos puntos. x f ″ ( x ) Conclusión − 3 −30 3 Máximo 0 0 La prueba de la segunda derivada no es concluyente 3 30 3 Mínimo Mediante la prueba de la segunda derivada, concluimos que f tiene un máximo local en x = − 3 y f tiene un mínimo local en x = 3 . La prueba de la segunda derivada no es concluyente en x = 0 . Para determinar si f tiene un extremo local en x = 0 , aplicamos la prueba de la primera derivada. Para evaluar el signo de f ′ ( x ) = 5 x 2 ( x 2 − 3 ) para x ∈ ( − 3 , 0 ) y x ∈ ( 0 , 3 ) , supongamos que x = –1 y x = 1 son los dos puntos de prueba. Dado que f ′ ( –1 ) < 0 y f ′ ( 1 ) < 0 , concluimos que f es decreciente en ambos intervalos y, por tanto, f no tiene un extremo local en x = 0 como se muestra en la siguiente gráfica. La función f tiene un máximo local en x = − 3 y un mínimo local en x = 3 Considere la función f ( x ) = x 3 − ( 3 2 ) x 2 − 18 x . Los puntos c = 3 , −2 satisfacen f ′ ( c ) = 0 . Utilice la prueba de la segunda derivada para determinar si f tiene un máximo o un mínimo local en esos puntos. f tiene un máximo local en −2 y un mínimo local en 3 . Pista f ″ ( x ) = 6 x − 3 Ahora hemos desarrollado las herramientas que necesitamos para determinar dónde una función es creciente y decreciente una, así como hemos adquirido una comprensión de la forma básica del gráfico. En la siguiente sección discutiremos lo que ocurre con una función cuando x → ± ∞ . En ese momento, tenemos suficientes herramientas para proporcionar gráficos precisos de una gran variedad de funciones. Conceptos clave Si los valores de c es un punto crítico de f como f ′ ( x ) > 0 por x < c como f ′ ( x ) < 0 por x > c , entonces f tiene un máximo local en c . Si los valores de c es un punto crítico de f como f ′ ( x ) < 0 por x < c como f ′ ( x ) > 0 por x > c , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ″ ( x ) > 0 en un intervalo I , entonces f es cóncava hacia arriba en I . Si f ″ ( x ) < 0 en un intervalo I , entonces f es cóncava hacia abajo en I . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c . Si f ′ ( c ) = 0 y f ″ ( c ) = 0 , evalúe entonces f ′ ( x ) en un punto de prueba x a la izquierda de c y en un punto de prueba x a la derecha de c , para determinar si f tiene un extremo local en c . Si los valores de c es un punto crítico de f ( x ) , ¿cuándo no hay un máximo o un mínimo local en c ? Explique. Para que la función y = x 3 , ¿es x x = 0 tanto un punto de inflexión como un máximo/mínimo local? No es un máximo/mínimo local porque f ′ no cambia de signo Para que la función y = x 3 , ¿es x x = 0 ¿un punto de inflexión? ¿Es posible que un punto c sea a la vez un punto de inflexión y un extremo local de una función dos veces diferenciable? No ¿Por qué se necesita continuidad para la prueba de la primera derivada? Proponga un ejemplo. Explique si una función cóncava hacia abajo tiene que cruzar y = 0 para algún valor de x . Falso; por ejemplo, y = x . Explique si un polinomio de grado 2 puede tener un punto de inflexión. Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que f es creciente o decreciente. Es creciente en −2 < x < −1 y x > 2 ; decreciente en x < −2 y −1 < x < 2 Decreciente para x < 1 , creciente para x > 1 Decreciente para −2 < x < −1 y 1 < x < 2 ; creciente para −1 < x < 1 y x < −2 y x > 2 Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, enumere todos los intervalos en los que f aumenta y disminuye y los mínimos y los máximos están localizados. a. Creciente en −2 < x < −1 , 0 < x < 1 , x > 2 , decreciente en x < −2 , −1 < x < 0 , 1 < x < 2 ; b. máximos en x = –1 y x = 1 , mínimos en x = −2 y x = 0 y x = 2 a. Creciente en x > 0 , decreciente en x < 0 ; b. Mínimo en x = 0 Para los siguientes ejercicios, analice los gráficos de f ′ , y, a continuación, haga una lista de todos los puntos de inflexión e intervalos f que son cóncavos hacia arriba y cóncavos hacia abajo. Cóncava hacia arriba en todo x , sin puntos de inflexión Cóncava hacia arriba en todo x , sin puntos de inflexión Cóncava hacia arriba para x < 0 y x > 1 , cóncavo hacia abajo para 0 < x < 1 , puntos de inflexión en x = 0 y x = 1 En los siguientes ejercicios, dibuje un gráfico que satisfaga las especificaciones dadas para el dominio x ϵ [ −3 , 3 ] . La función no tiene que ser continua ni diferenciable. f ( x ) > 0 , f ′ ( x ) > 0 en x > 1 , −3 < x < 0 , f ′ ( x ) = 0 en 0 < x < 1 f ′ ( x ) > 0 en x > 2 , −3 < x < −1 , f ′ ( x ) < 0 en −1 < x < 2 , f ″ ( x ) < 0 para todo x Las respuestas variarán f ″ ( x ) < 0 en −1 < x < 1 , f ″ ( x ) > 0 , −3 < x < −1 , 1 < x < 3 , máximo local en x = 0 , mínimos locales en x = ± 2 Hay un máximo local en x = 2 , mínimo local en x = 1 , y el gráfico no es cóncavo hacia arriba ni cóncavo hacia abajo. Las respuestas variarán Hay máximos locales en x = ± 1 , la función es cóncava hacia arriba para toda x , y la función sigue siendo positiva para toda x . Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f aumenta o disminuye y mínimos y máximos locales de f . f ( x ) = sen x + sen 3 x en − π < x < π a. Creciente en − π 2 < x < π 2 , decreciente en x < − π 2 , x > π 2 b. Máximo local en x = π 2 ; mínimo local en x = − π 2 f ( x ) = x 2 + cos x En los siguientes ejercicios, determine a. los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, y b. los puntos de inflexión de f . f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + x + 2 a. Cóncava hacia arriba para x > 4 3 , cóncavo hacia abajo para x < 4 3 b. Punto de inflexión en x = 4 3 Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f es creciente o decreciente. mínimos y máximos locales de f , intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión de f . f ( x ) = x 2 − 6 x f ( x ) = x 3 − 6 x 2 a. Creciente en x < 0 y x > 4 , decreciente en 0 < x < 4 b. Máximo en x = 0 , mínimo en x = 4 c. Cóncava hacia arriba para x > 2 , cóncavo hacia abajo para x < 2 d. Punto de inflexión en x = 2 f ( x ) = x 4 − 6 x 3 f ( x ) = x 11 − 6 x 10 a. Creciente en x < 0 y x > 60 11 , decreciente en 0 < x < 60 11 b. Mínimo en x = 60 11 , máximo local en x = 0 c. Cóncavo hacia abajo para x < 54 11 , cóncavo hacia arriba para x > 54 11 d. Punto de inflexión en x = 54 11 f ( x ) = x + x 2 − x 3 f ( x ) = x 2 + x + 1 a. Creciente en x > − 1 2 , decreciente en x < − 1 2 b. Mínimo en x = − 1 2 c. Cóncavo hacia arriba para toda x d. No hay puntos de inflexión f ( x ) = x 3 + x 4 Para los siguientes ejercicios, determine intervalos en los que f es creciente o decreciente. mínimos y máximos locales de f , intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión de f . Dibuje la curva y luego utilice una calculadora para comparar tu respuesta. Si no puede determinar la respuesta exacta de forma analítica, utilice una calculadora. [T] f ( x ) = sen ( π x ) − cos ( π x ) en x = [ −1 , 1 ] a. Es creciente en − 1 4 < x < 3 4 , decreciente a lo largo de x > 3 4 y x < − 1 4 b. Mínimo en x = − 1 4 , máximo en x = 3 4 c. Cóncava hacia arriba para − 3 4 < x < 1 4 , cóncavo hacia abajo para x < − 3 4 y x > 1 4 d. Puntos de inflexión en x = − 3 4 , x = 1 4 [T] f ( x ) = x + sen ( 2 x ) en x = [ − π 2 , π 2 ] [T] f ( x ) = sen x + tan x en ( − π 2 , π 2 ) a. Creciente para todo x b. No hay mínimo ni máximo local c. Cóncava hacia arriba para x > 0 , cóncavo hacia abajo para x < 0 d. Punto de inflexión en x = 0 [T] f ( x ) = ( x − 2 ) 2 ( x − 4 ) 2 [T] f ( x ) = 1 1 − x , x ≠ 1 a. Creciente para todo x donde se define b. No hay mínimos ni máximos locales c. Cóncava hacia arriba para x < 1 ; cóncavo hacia abajo para x > 1 d. No hay puntos de inflexión en el dominio [T] f ( x ) = sen x x en x = [ 2 π , 0 ) ∪ ( 0 , 2 π ] f ( x ) = sen ( x ) e x en x = [ − π , π ] a. Creciente en − π 4 < x < 3 π 4 , decreciente en x > 3 π 4 , x < − π 4 b. Mínimo en x = − π 4 , máximo en x = 3 π 4 c. Cóncava hacia arriba para − π 2 < x < π 2 , cóncavo hacia abajo para x < − π 2 , x > π 2 d. Puntos de inflexión en x = ± π 2 f ( x ) = ln x x , x > 0 f ( x ) = 1 4 x + 1 x , x > 0 a. Creciente en x > 4 , decreciente en 0 < x < 4 b. Mínimo en x = 4 c. Cóncava hacia arriba para 0 < x < 8 2 3 , cóncavo hacia abajo para x > 8 2 3 d. Punto de inflexión en x = 8 2 3 f ( x ) = e x x , x ≠ 0 En los siguientes ejercicios, interprete las frases en términos de f , f ′ , y f ″ . La población crece más lentamente. Aquí f es la población. f > 0 , f ′ > 0 , f ″ < 0 Una moto acelera más rápido, pero un automóvil va más rápido. Aquí f = Posición de la moto menos la posición del automóvil. El avión aterriza sin problemas. Aquí f es la altitud del avión. f > 0 , f ′ < 0 , f ″ > 0 Los precios de las acciones están en su punto más alto. Aquí f es el precio de las acciones. La economía se está acelerando. Aquí f es una medida de la economía, como el PIB. f > 0 , f ′ > 0 , f ″ > 0 En los siguientes ejercicios, considere un polinomio de tercer grado f ( x ) , que tiene las propiedades f ′ ( 1 ) = 0 , f ′ ( 3 ) = 0 . Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas . Justifique su respuesta. f ( x ) = 0 para algunos 1 ≤ x ≤ 3 f ″ ( x ) = 0 para algunos 1 ≤ x ≤ 3 Cierto, según el teorema del valor medio No hay un máximo absoluto en x = 3 Si f ( x ) tiene tres raíces, entonces tiene 1 punto de inflexión. Cierto, examine la derivada Si los valores de f ( x ) tiene un punto de inflexión, entonces tiene tres raíces reales. cóncava hacia abajo si f es diferenciable en un intervalo I y f ′ disminuye en I , entonces f es cóncava hacia abajo en I cóncavo hacia arriba si f es diferenciable en un intervalo I y f ′ aumenta en I , entonces f es cóncava hacia arriba en I concavidad la curva ascendente o descendente gráfico de una función prueba de concavidad supongamos que f es dos veces diferenciable en un intervalo I ; si f ″ > 0 en I , entonces f es cóncava hacia arriba en I ; si f ″ < 0 en I , entonces f es cóncava hacia abajo en I prueba de la primera derivada supongamos que f es una función continua en un intervalo I que contiene un punto crítico c de manera que f es diferenciable sobre I excepto posiblemente en c ; si f ′ cambia de signo de positivo a negativo a medida que x aumenta a través de c , entonces f tiene un máximo local en c ; si f ′ cambia el signo de negativo a positivo a medida que x aumenta a través de c , entonces f tiene un mínimo local en c ; si f ′ no cambia de signo cuando x aumenta a través de c , entonces f no tienen un extremo local en c punto de inflexión si f es continua en c como f cambia la concavidad en c , el punto ( c , f ( c ) ) es un punto de inflexión de f prueba de la segunda derivada supongamos que f ′ ( c ) = 0 y f ″ es continua en un intervalo que contiene c ; si f ″ ( c ) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en c ; si f ″ ( c ) < 0 , entonces f tiene un máximo local en c ; si f ″ ( c ) = 0 , entonces la prueba no es concluyente

Matemáticas


Límites al infinito y asíntotas Hemos mostrado cómo utilizar la primera y la segunda derivadas de una función para describir la forma de un gráfico. Para graficar una función f definida en un dominio no limitado, también necesitamos conocer el comportamiento de f cuando x → ± ∞ . En esta sección, definiremos los límites en el infinito y mostramos cómo estos límites afectan a el gráfico de una función. Al final de esta sección, describiremos una estrategia para graficar una función arbitraria f . Límites al infinito Comenzamos examinando qué significa que una función tenga un límite finito al infinito. A continuación, estudiamos la idea de una función con un límite infinito al infinito. Ya en la Introducción a funciones y gráficos vimos las asíntotas verticales; en esta sección tratamos las asíntotas horizontales y oblicuas. Límites al infinito y asíntotas horizontales Recordemos que lím x → a f ( x ) = L significa f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x esté lo suficientemente cerca de a . Podemos extender esta idea a los límites al infinito. Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = 2 + 1 x . Como se puede ver de manera gráfico en la y numéricamente en la , cuando los valores de x aumentan, los valores de f ( x ) se acercan a 2 . Decimos que el límite cuando x tiende a ∞ de f ( x ) ¿es 2 y se escribe lím x → ∞ f ( x ) = 2 . Del mismo modo, para x < 0 , cuando los valores | x | aumentan, los valores de f ( x ) se acerca a 2 . Decimos que el límite cuando x se acerca a − ∞ de f ( x ) ¿es 2 y se escribe lím x → – ∞ f ( x ) = 2 . La función se acerca a la asíntota y = 2 cuando x se aproxima a ± ∞ . Valores de una función f cuando x → ± ∞ x 10 100 1.000 10.000 2 + 1 x 2,1 2,01 2,001 2,0001 x −10 −100 −1000 −10000 2 + 1 x 1,9 1,99 1,999 1,9999 De forma más general, para cualquier función f , decimos que el límite, cuando x → ∞ de f ( x ) ¿es L si f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x es suficientemente grande. En ese caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = L . Del mismo modo, decimos que el límite cuando x → − ∞ de f ( x ) ¿es L si f ( x ) se acerca arbitrariamente a L siempre y cuando x < 0 y | x | es suficientemente grande. En ese caso, escribimos lím x → − ∞ f ( x ) = L . Ahora veremos la definición de una función que tiene un límite al infinito. Definición (Informal) Si los valores de f ( x ) se acercan arbitrariamente a L a medida que x se hace suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite al infinito y se escribe lím x → ∞ f ( x ) = L . Si los valores de f ( x ) se acerca arbitrariamente a L por x < 0 cuando | x | se hace suficientemente grande, decimos que la función f tiene un límite al infinito negativo y se escribe lím x → −∞ f ( x ) = L . Si los valores f ( x ) se acercan arbitrariamente a algún valor finito L a medida que x → ∞ o x → − ∞ , el gráfico de f se acerca a la línea y = L . En ese caso, la línea y = L es una asíntota horizontal de f ( ). Por ejemplo, en la función f ( x ) = 1 x , dado que lím x → ∞ f ( x ) = 0 , la línea y = 0 es una asíntota horizontal de f ( x ) = 1 x . Definición Si los valores de lím x → ∞ f ( x ) = L o lím x → − ∞ f ( x ) = L , decimos que la línea y = L es una asíntota horizontal de f . (a) Cuando x → ∞ , los valores de f se acercan arbitrariamente a L . La línea y = L es una asíntota horizontal de f . (b) Cuando x → − ∞ , los valores de f se acercan arbitrariamente a M . La línea y = M es una asíntota horizontal de f . Una función no puede cruzar una asíntota vertical porque el gráfico debe acercarse al infinito (o − ∞ ) desde al menos una dirección cuando x se acerca a la asíntota vertical. Sin embargo, una función puede intersecar una asíntota horizontal. De hecho, una función puede intersecar una asíntota horizontal un número ilimitado de veces. Por ejemplo, la función f ( x ) = ( cos x ) x + 1 que se muestra en la interseca la asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces al oscilar alrededor de la asíntota con una amplitud cada vez menor. El gráfico de f ( x ) = ( cos x ) / x + 1 interseca su asíntota horizontal y = 1 un número infinito de veces. Las leyes algebraicas de los límites y el teorema del emparedado que presentamos en la Introducción a los límites también se aplican a los límites al infinito. Ilustramos cómo utilizar estas leyes para calcular varios límites al infinito. Cálculo de los límites al infinito Para cada una de las siguientes funciones f , evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) . Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) de f . f ( x ) = 5 − 2 x 2 f ( x ) = sen x x f ( x ) = tan –1 ( x ) Utilizando las leyes algebraicas de los límites, tenemos lím x → ∞ ( 5 − 2 x 2 ) = lím x → ∞ 5 − 2 ( lím x → ∞ 1 x ) . ( lím x → ∞ 1 x ) = 5 − 2 . 0 = 5 . Del mismo modo, lím x → – ∞ f ( x ) = 5 . Por lo tanto, f ( x ) = 5 − 2 x 2 tiene una asíntota horizontal de y = 5 y f se acerca a esta asíntota horizontal cuando x → ± ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función se aproxima a una asíntota horizontal cuando x → ± ∞ . Dado que −1 ≤ sen x ≤ 1 para todo x , tenemos −1 x ≤ sen x x ≤ 1 x para todas las x ≠ 0 . Además, ya que lím x → ∞ −1 x = 0 = lím x → ∞ 1 x , podemos aplicar el teorema del emparedado para concluir que lím x → ∞ sen x x = 0 . Igualmente, lím x → − ∞ sen x x = 0 . Por lo tanto, f ( x ) = sen x x tiene una asíntota horizontal de y = 0 y f ( x ) se acerca a esta asíntota horizontal cuando x → ± ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función interseca su asíntota horizontal varias veces. Para evaluar lím x → ∞ tan –1 ( x ) y lím x → − ∞ tan –1 ( x ) , primero consideramos el gráfico de y = tan ( x ) en el intervalo ( − π / 2 , π / 2 ) como se muestra en la siguiente gráfica. El gráfico de tan x tiene asíntotas verticales en x = ± π 2 Dado que lím x → ( π / 2 ) − tan x = ∞ , se deduce que lím x → ∞ tan –1 ( x ) = π 2 . Del mismo modo, ya que lím x → ( –π / 2 ) + tan x = − ∞ , se deduce que lím x → − ∞ tan –1 ( x ) = − π 2 . Como resultado, y = π 2 y y = − π 2 son asíntotas horizontales de f ( x ) = tan –1 ( x ) como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene dos asíntotas horizontales. Evalúe lím x → − ∞ ( 3 + 4 x ) y lím x → ∞ ( 3 + 4 x ) . Determine las asíntotas horizontales de f ( x ) = 3 + 4 x , si las hay. Ambos límites son 3 . La línea y = 3 es una asíntota horizontal. Pista lím x → ± ∞ 1 / x = 0 Límites infinitos al infinito A veces los valores de una función f se vuelven arbitrariamente grandes a medida que x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) . En este caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ (o lím x → − ∞ f ( x ) = ∞ ) . Por otro lado, si los valores de f son negativos, pero su magnitud se vuelve arbitrariamente grande cuando x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) , escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ (o lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ ) . Por ejemplo, consideremos la función f ( x ) = x 3 . Como se ve en la y en la , cuando x → ∞ los valores f ( x ) se vuelven arbitrariamente grandes. Por lo tanto, lím x → ∞ x 3 = ∞ . Por otro lado, cuando x → − ∞ , los valores de f ( x ) = x 3 son negativos, pero su magnitud aumenta arbitrariamente. En consecuencia, lím x → − ∞ x 3 = − ∞ . Valores de una función potencia cuando x → ± ∞ x 10 20 50 100 1.000 x 3 1.000 8.000 125.000 1.000.000 1.000.000.000 x −10 −20 −50 −100 −1000 x 3 −1000 –8.000 –125.000 −1000000 −1.000.000.000 Para esta función, los valores funcionales tienden a infinito cuando x → ± ∞ . Definición (Informal) Decimos que una función f tiene un límite infinito al infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ . si f ( x ) se vuelve arbitrariamente grande para x suficientemente grande. Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ . si f ( x ) < 0 y | f ( x ) | se vuelve arbitrariamente grande para x suficientemente grande. Del mismo modo, podemos definir los límites infinitos cuando x → − ∞ . Definiciones formales Anteriormente, utilizamos los términos arbitrariamente cercano , arbitrariamente grande y suficientemente grande para definir los límites al infinito de manera informal. Aunque estos términos proporcionan descripciones precisas de los límites al infinito, no son precisos desde el punto de vista matemático. Aquí hay definiciones más formales de los límites al infinito. A continuación, veremos cómo utilizarlas para demostrar resultados que involucran límites al infinito. Definición (Formal) Decimos que una función f tiene un límite al infinito , si existe un número real L tal que para todo ε > 0 , existe N > 0 tal que | f ( x ) − L | < ε para todos los x > N . En ese caso, escribimos lím x → ∞ f ( x ) = L (vea la ). Decimos que una función f tiene un límite al infinito negativo si existe un número real L tal que para todo ε > 0 , existe N < 0 tal que | f ( x ) − L | < ε para todos los x < N . En ese caso, escribimos lím x → − ∞ f ( x ) = L . Para una función con límite al infinito, para toda x > N , | f ( x ) − L | < ε . Anteriormente en esta sección, utilizamos pruebas gráficas en la y pruebas numéricas en la para concluir que lím x → ∞ ( 2 + 1 x ) = 2 . Aquí utilizamos la definición formal de límite al infinito para demostrar este resultado de manera rigurosa. Ejemplo de límite finito al infinito Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que lím x → ∞ ( 2 + 1 x ) = 2 . Supongamos que ε > 0 . Supongamos que N = 1 ε . Por lo tanto, para todo x > N , tenemos | 2 + 1 x − 2 | = | 1 x | = 1 x < 1 N = ε . Utilice la definición formal de límite en el infinito para demostrar que lím x → ∞ ( 3 − 1 x 2 ) = 3 . Supongamos que ε > 0 . Supongamos que N = 1 ε . Por lo tanto, para todo x > N , tenemos | 3 − 1 x 2 − 3 | = 1 x 2 < 1 N 2 = ε Por lo tanto, lím x → ∞ ( 3 − 1 / x 2 ) = 3 . Pista Supongamos que N = 1 ε . Ahora nos centraremos en una definición más precisa para un límite infinito al infinito. Definición (Formal) Decimos que una función f tiene un límite infinito al infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = ∞ si para todo M > 0 , existe un N > 0 tal que f ( x ) > M para todos los x > N (vea la ). Decimos que una función tiene un límite infinito negativo en el infinito y escribimos lím x → ∞ f ( x ) = − ∞ si para todo M < 0 , existe un N > 0 tal que f ( x ) < M para todos los x > N . Del mismo modo, podemos definir los límites cuando x → − ∞ . Para una función con límite infinito al infinito, para toda x > N , f ( x ) > M . Anteriormente, utilizamos pruebas gráficas ( ) y numéricas ( ) para concluir que lím x → ∞ x 3 = ∞ . Aquí utilizamos la definición formal de límite infinito al infinito para demostrar ese resultado. Un límite infinito al infinito Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que lím x → ∞ x 3 = ∞ . Supongamos que M > 0 . Supongamos que N = M 3 . Entonces, para todos los x > N , tenemos x 3 > N 3 = ( M 3 ) 3 = M . Por lo tanto, lím x → ∞ x 3 = ∞ . Utilice la definición formal de límite infinito en el infinito para demostrar que lím x → ∞ 3 x 2 = ∞ . Supongamos que M > 0 . Supongamos que N = M 3 . Entonces, para todos los x > N , tenemos 3 x 2 > 3 N 2 = 3 ( M 3 ) 2 2 = 3 M 3 = M Pista Supongamos que N = M 3 . Comportamiento final El comportamiento de una función cuando x → ± ∞ se denomina comportamiento final de la función. En cada uno de sus extremos, la función podría demostrar uno de los siguientes tipos de comportamiento: La función f ( x ) se acerca a una asíntota horizontal y = L . La función f ( x ) → ∞ o f ( x ) → − ∞ . La función no se acerca a un límite finito, ni se acerca a ∞ o − ∞ . En este caso, la función puede tener un comportamiento oscilante. Consideremos varias clases de funciones y veamos los diferentes tipos de comportamientos finales de estas funciones. Comportamiento final de las funciones polinómicas Considere la función potencia f ( x ) = x n donde n es un número entero positivo. En la y la , vemos que lím x → ∞ x n = ∞ ; n = 1 , 2 , 3 ,… y lím x → − ∞ x n = { ∞ ; n = 2 , 4 , 6 ,… − ∞ ; n = 1 , 3 , 5 ,… . Para las funciones potencia con una potencia par de n , lím x → ∞ x n = ∞ = lím x → − ∞ x n . Para las funciones potencia con una potencia impar de n , lím x → ∞ x n = ∞ y lím x → − ∞ x n = − ∞ . Con estos datos, no es difícil evaluar lím x → ∞ c x n y lím x → − ∞ c x n , donde c es una constante cualquiera y n es un número entero positivo. Si los valores de c > 0 , el gráfico de y = c x n es un estiramiento o compresión vertical de y = x n , y por lo tanto lím x → ∞ c x n = lím x → ∞ x n y lím x → − ∞ c x n = lím x → − ∞ x n si c > 0 . Si los valores de c < 0 , el gráfico de y = c x n es un estiramiento o compresión vertical combinado con una reflexión sobre el eje x , y por lo tanto lím x → ∞ c x n = − lím x → ∞ x n y lím x → − ∞ c x n = − lím x → − ∞ x n si c < 0 . Si los valores de c = 0 , y = c x n = 0 , en cuyo caso lím x → ∞ c x n = 0 = lím x → − ∞ c x n . Límites al infinito para las funciones potencia Para cada función f , evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) . f ( x ) = −5 x 3 f ( x ) = 2 x 4 Dado que el coeficiente de x 3 ¿es −5 , el gráfico de f ( x ) = −5 x 3 implica un estiramiento vertical y una reflexión del gráfico de y = x 3 alrededor del eje x . Por lo tanto, lím x → ∞ ( −5 x 3 ) = − ∞ y lím x → − ∞ ( −5 x 3 ) = ∞ . Dado que el coeficiente de x 4 ¿es 2 , el gráfico de f ( x ) = 2 x 4 es un estiramiento vertical del gráfico de y = x 4 . Por lo tanto, lím x → ∞ 2 x 4 = ∞ y lím x → − ∞ 2 x 4 = ∞ . Supongamos que f ( x ) = −3 x 4 . Halle lím x → ∞ f ( x ) . – ∞ Pista El coeficiente −3 es negativo. Ahora veremos cómo los límites al infinito de las funciones potencia pueden utilizarse para determinar lím x → ± ∞ f ( x ) para cualquier función polinómica f . Considere una función polinómica f ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 de grado n ≥ 1 por lo que a n ≠ 0 . Factorizando, vemos que f ( x ) = a n x n ( 1 + a n – 1 a n 1 x + … + a 1 a n 1 x n – 1 + a 0 a n 1 x n ) . Dado que x → ± ∞ , todos los términos dentro de los paréntesis se aproximan a cero excepto el primer término. Concluimos que lím x → ± ∞ f ( x ) = lím x → ± ∞ a n x n . Por ejemplo, la función f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 se comporta como g ( x ) = 5 x 3 cuando x → ± ∞ como se muestra en la y la . El comportamiento final de un polinomio se determina por el comportamiento del término con mayor exponente. El comportamiento final de un polinomio se determina por el término de mayor exponente. x 10 100 1.000 f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 4704 4.970.004 4.997.000.004 g ( x ) = 5 x 3 5.000 5000000 5.000.000.000 x −10 −100 −1000 f ( x ) = 5 x 3 − 3 x 2 + 4 −5296 −5029996 −5002999996 g ( x ) = 5 x 3 –5.000 –5.000.000 –5.000.000.000 Comportamiento final de las funciones algebraicas El comportamiento final de las funciones racionales y de las funciones con radicales es un poco más complicado que el de los polinomios. En el , mostramos que los límites al infinito de una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) dependen de la relación entre el grado del numerador y el grado del denominador. Para evaluar los límites al infinito de una función racional, dividimos el numerador y el denominador por la mayor potencia de x que aparece en el denominador. Esto determina qué término de la expresión global domina el comportamiento de la función a grandes valores de x . Determinación del comportamiento final de las funciones racionales Para cada una de las siguientes funciones, determine los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ . A continuación, utilice esta información para describir el comportamiento final de la función. f ( x ) = 3 x – 1 2 x + 5 ( Nota: El grado del numerador y del denominador es el mismo). f ( x ) = 3 x 2 + 2 x 4 x 3 − 5 x + 7 ( Nota: El grado del numerador es menor que el grado del denominador). f ( x ) = 3 x 2 + 4 x x + 2 ( Nota: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador). La mayor potencia de x en el denominador es x . Por lo tanto, al dividir el numerador y el denominador por x y aplicando las leyes algebraicas de los límites, vemos que lím x → ± ∞ 3 x – 1 2 x + 5 = lím x → ± ∞ 3 − 1 / x 2 + 5 / x = lím x → ± ∞ ( 3 − 1 / x ) lím x → ± ∞ ( 2 + 5 / x ) = lím x → ± ∞ 3 − lím x → ± ∞ 1 / x lím x → ± ∞ 2 + lím x → ± ∞ 5 / x = 3 − 0 2 + 0 = 3 2 . Dado que lím x → ± ∞ f ( x ) = 3 2 , sabemos que y = 3 2 es una asíntota horizontal para esta función como se muestra en el siguiente gráfico El gráfico de esta función racional se aproxima a una asíntota horizontal cuando x → ± ∞ . Dado que la mayor potencia de x que aparece en el denominador es x 3 , divida el numerador y el denominador entre x 3 . Después de hacerlo y aplicando las leyes algebraicas de los límites, obtenemos lím x → ± ∞ 3 x 2 + 2 x 4 x 3 − 5 x + 7 = lím x → ± ∞ 3 / x + 2 / x 2 4 − 5 / x 2 + 7 / x 3 = 3 ( 0 ). + 2 ( 0 ). 4 − 5 ( 0 ). + 7 ( 0 ). = 0 . Por lo tanto f tiene una asíntota horizontal de y = 0 como se muestra en la siguiente gráfica. El gráfico de esta función racional se aproxima a la asíntota horizontal y = 0 cuando x → ± ∞ . Dividiendo el numerador y el denominador entre x , tenemos lím x → ± ∞ 3 x 2 + 4 x x + 2 = lím x → ± ∞ 3 x + 4 1 + 2 / x . Cuando x → ± ∞ , el denominador se acerca a 1 . Dado que x → ∞ , el numerador se acerca + ∞ . Dado que x → − ∞ , el numerador se acerca − ∞ . Por lo tanto lím x → ∞ f ( x ) = ∞ , mientras que lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ como se muestra en la siguiente figura. Cuando x → ∞ , los valores f ( x ) → ∞ . Dado que x → − ∞ , los valores f ( x ) → − ∞ . Evalúe lím x → ± ∞ 3 x 2 + 2 x – 1 5 x 2 − 4 x + 7 y utilice estos límites para determinar el comportamiento final de f ( x ) = 3 x 2 + 2 x – 1 5 x 2 − 4 x + 7 . 3 5 Pista Divida el numerador y el denominador entre x 2 . Antes de continuar, considere el gráfico de f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) ( x + 2 ) que se muestra en la . Cuando x → ∞ y x → − ∞ , el gráfico de f parece casi lineal. Aunque f no es ciertamente una función lineal, ahora investigamos por qué el gráfico de f parece acercarse a una función lineal. En primer lugar, utilizando la división larga de polinomios, podemos escribir f ( x ) = 3 x 2 + 4 x x + 2 = 3 x − 2 + 4 x + 2 . Dado que 4 ( x + 2 ) → 0 cuando x → ± ∞ , concluimos que lím x → ± ∞ ( f ( x ) − ( 3 x − 2 ) ) = lím x → ± ∞ 4 x + 2 = 0 . Por lo tanto, el gráfico de f se acerca a la línea y = 3 x − 2 cuando x → ± ∞ . Esta línea se conoce como asíntota oblicua para f ( ). El gráfico de la función racional f ( x ) = ( 3 x 2 + 4 x ) / ( x + 2 ) se acerca a la asíntota oblicua y = 3 x − 2 cuando x → ± ∞ . Podemos resumir los resultados del para llegar a la siguiente conclusión sobre el comportamiento final de las funciones racionales. Consideremos una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 + … + b 1 x + b 0 , donde a n ≠ 0 y b m ≠ 0 . Si el grado del numerador es igual al grado del denominador ( n = m ) , entonces f tiene una asíntota horizontal de y = a n / b m cuando x → ± ∞ . Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador ( n < m ) , entonces f tiene una asíntota horizontal de y = 0 cuando x → ± ∞ . Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador ( n > m ) , entonces f no tiene una asíntota horizontal. Los límites al infinito son infinitos positivos o negativos, dependiendo de los signos de los términos principales. Además, utilizando la división larga, la función puede reescribirse como f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = g ( x ) + r ( x ) q ( x ) , donde el grado de r ( x ) es menor que el grado de q ( x ) . Como resultado, lím x → ± ∞ r ( x ) / q ( x ) = 0 . Por lo tanto, los valores de [ f ( x ) − g ( x ) ] se acercan a cero a medida que x → ± ∞ . Si el grado de p ( x ) es exactamente un grado más que el grado de q ( x ) ( n = m + 1 ) , la función g ( x ) es una función lineal. En este caso, denominamos a g ( x ) como asíntota oblicua. Ahora vamos a considerar el comportamiento final de las funciones que implican un radical. Determinación del comportamiento final de una función que incluye un radical Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = 3 x − 2 4 x 2 + 5 y describa el comportamiento final de f . Utilicemos la misma estrategia que para las funciones racionales: dividir el numerador y el denominador por una potencia de x . Para determinar la potencia adecuada de x , considere la expresión 4 x 2 + 5 en el denominador. Dado que 4 x 2 + 5 ≈ 4 x 2 = 2 | x | para grandes valores de x , en efecto x aparece solo a la primera potencia en el denominador. Por lo tanto, dividimos el numerador y el denominador entre | x | . Entonces, utilizando el hecho de que | x | = x para x > 0 , | x | = − x para x < 0 , y | x | = x 2 para todas las x , calculamos los límites de la siguiente manera: lím x → ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lím x → ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lím x → ∞ ( 1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lím x → ∞ 3 − 2 / x 4 + 5 / x 2 = 3 4 = 3 2 lím x → − ∞ 3 x − 2 4 x 2 + 5 = lím x → − ∞ ( 1 / | x | ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / | x | ) 4 x 2 + 5 = lím x → − ∞ ( −1 / x ) ( 3 x − 2 ) ( 1 / x 2 ) ( 4 x 2 + 5 ) = lím x → − ∞ −3 + 2 / x 4 + 5 / x 2 = −3 4 = −3 2 . Por lo tanto, f ( x ) se acerca a la asíntota horizontal y = 3 2 cuando x → ∞ y la asíntota horizontal y = − 3 2 cuando x → − ∞ como se muestra en la siguiente gráfica. Esta función tiene dos asíntotas horizontales e interseca una de las asíntotas. Evalúe lím x → ∞ 3 x 2 + 4 x + 6 . ± 3 Pista Divida el numerador y el denominador entre | x | . Determinación del comportamiento final de las funciones trascendentales Las seis funciones trigonométricas básicas son periódicas y no se acercan a un límite finito como x → ± ∞ . Por ejemplo, sen x oscila entre 1 y −1 ( ). La función tangente x tiene un número infinito de asíntotas verticales cuando x → ± ∞ ; por lo tanto, no se acerca a un límite finito ni a ± ∞ cuando x → ± ∞ como se muestra en la . La función f ( x ) = sen x oscila entre 1 y −1 cuando x → ± ∞ La función f ( x ) = tan x no se acerca a un límite y no se acerca a ± ∞ cuando x → ± ∞ Recuerde que para cualquier base b > 0 , b ≠ 1 , la función y = b x es una función exponencial con dominio ( − ∞ , ∞ ) y rango ( 0 , ∞ ) . Si b > 1 , y = b x aumenta en ` ( − ∞ , ∞ ) . Si 0 < b < 1 , y = b x disminuye en ( − ∞ , ∞ ) . Para la función exponencial natural f ( x ) = e x , e ≈ 2,718 > 1 . Por lo tanto, f ( x ) = e x es creciente en ` ( − ∞ , ∞ ) y el rango es ` ( 0 , ∞ ) . La función exponencial f ( x ) = e x tiende a ∞ cuando x → ∞ y se acerca a 0 cuando x → − ∞ como se muestra en la y la . Comportamiento final de la función exponencial natural x −5 −2 0 2 5 e x 0,00674 0,135 1 7,389 148,413 La función exponencial se acerca a cero cuando x → − ∞ y se acerca a ∞ cuando x → ∞ . Recordemos que la función logaritmo natural f ( x ) = ln ( x ) es la inversa de la función exponencial natural y = e x . Por lo tanto, el dominio de f ( x ) = ln ( x ) es ( 0 , ∞ ) y el rango es ( − ∞ , ∞ ) . El gráfico de f ( x ) = ln ( x ) es el reflejo del gráfico de y = e x sobre la línea y = x . Por lo tanto, ln ( x ) → − ∞ cuando x → 0 + y ln ( x ) → ∞ cuando x → ∞ como se muestra en la y la . Comportamiento final de la función logaritmo natural x 0,01 0,1 1 10 100 ln ( x ) −4,605 −2,303 0 2,303 4,605 La función del logaritmo natural se acerca a ∞ cuando x → ∞ . Determinación del comportamiento final de una función trascendental Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = ( 2 + 3 e x ) ( 7 − 5 e x ) y describa el comportamiento final de f . Para hallar el límite cuando x → ∞ , divida el numerador y el denominador entre e x : lím x → ∞ f ( x ) = lím x → ∞ 2 + 3 e x 7 − 5 e x = lím x → ∞ ( 2 / e x ) + 3 ( 7 / e x ) − 5 . Como se muestra en la , e x → ∞ cuando x → ∞ . Por lo tanto, lím x → ∞ 2 e x = 0 = lím x → ∞ 7 e x . Concluimos que lím x → ∞ f ( x ) = − 3 5 , y el gráfico de f se acerca a la asíntota horizontal y = − 3 5 a medida que x → ∞ . Para hallar el límite cuando x → − ∞ , utilice el hecho de que e x → 0 cuando x → − ∞ para concluir que lím x → ∞ f ( x ) = 2 7 , y por tanto el gráfico se acerca a la asíntota horizontal y = 2 7 a medida que x → − ∞ . Calcule los límites cuando x → ∞ y x → − ∞ por f ( x ) = ( 3 e x − 4 ) ( 5 e x + 2 ) . lím x → ∞ f ( x ) = 3 5 , lím x → − ∞ f ( x ) = –2 Pista lím x → ∞ e x = ∞ y lím x → ∞ e x = 0 . Pautas para dibujar el gráfico de una función Ahora tenemos suficientes herramientas analíticas para dibujar los gráficos de una gran variedad de funciones algebraicas y trascendentales. Antes de mostrar cómo graficar funciones específicas, veamos una estrategia general cuando se grafica cualquier función. Estrategia para la resolución de problemas: Dibujar el gráfico de una función Dada una función f , utilice los siguientes pasos para dibujar un gráfico de f : Determine el dominio de la función. Localice el x y y . Evalúe lím x → ∞ f ( x ) y lím x → − ∞ f ( x ) para determinar el comportamiento final. Si cualquiera de estos límites es un número finito L , entonces y = L es una asíntota horizontal. Si alguno de estos límites es ∞ o − ∞ , determine si f tiene una asíntota oblicua. Si los valores de f es una función racional tal que f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces f puede escribirse como f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = g ( x ) + r ( x ) q ( x ) , donde el grado de r ( x ) es menor que el grado de q ( x ) . Los valores de f ( x ) se acercan a los valores de g ( x ) cuando x → ± ∞ . Si g ( x ) es una función lineal, se conoce como asíntota oblicua . Determine si f tiene alguna asíntota vertical. Calcule f ′ . Halle todos los puntos críticos y determine los intervalos en los que f aumenta y donde f decrece. Determine si f tiene algún extremo local. Calcule f ″ . Determine los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y donde f es cóncava hacia abajo. Utilice esta información para determinar si f tiene algún punto de inflexión. La segunda derivada también puede utilizarse como medio alternativo para determinar o verificar que f tiene un extremo local en un punto crítico. Ahora vamos a utilizar esta estrategia para graficar varias funciones diferentes. Comenzamos graficando una función polinómica. Trazado del gráfico de un polinomio Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) . Paso 1. Dado que f es un polinomio, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Paso 2. Cuando x = 0 , f ( x ) = 2 . Por lo tanto, la intersección en y es ( 0 , 2 ) . Para calcular la intersección en x −intercepciones, tenemos que resolver la ecuación ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) = 0 , nos da las intersecciones en x ( 1 , 0 ) y ( –2 , 0 ) Paso 3. Tenemos que evaluar el comportamiento final de f . Dado que x → ∞ , ( x – 1 ) 2 → ∞ y ( x + 2 ) → ∞ . Por lo tanto, lím x → ∞ f ( x ) = ∞ . Dado que x → − ∞ , ( x – 1 ) 2 → ∞ y ( x + 2 ) → − ∞ . Por lo tanto, lím x → − ∞ f ( x ) = − ∞ . Para obtener más información sobre el comportamiento final de f , podemos multiplicar los factores de f . Al hacerlo, vemos que f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) = x 3 − 3 x + 2 . Dado que el término principal de f ¿es x 3 , concluimos que f se comporta como y = x 3 cuando x → ± ∞ . Paso 4. Dado que f es una función polinómica, no tiene asíntotas verticales. Paso 5. La primera derivada de f es f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 . Por lo tanto, f tiene dos puntos críticos: x = 1 , −1 . Divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en tres intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) . A continuación, elija los puntos de prueba x = –2 , x = 0 , y x = 2 de estos intervalos y evalúe el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de derivada f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x – 1 ) ( x + 1 ) Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 ( + ) ( − ) ( − ) = + f aumenta. ( –1 , 1 ) grandes. x = 0 ( + ) ( − ) ( + ) = − f decrece. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 ( + ) ( + ) ( + ) = + f aumenta. En la tabla, vemos que f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 . Si evaluamos f ( x ) en esos dos puntos, encontramos que el valor máximo local es f ( –1 ) = 4 y el valor mínimo local es f ( 1 ) = 0 . Paso 6. La segunda derivada de f es f ″ ( x ) = 6 x . La segunda derivada es cero en x = 0 . Por lo tanto, para determinar la concavidad de f , dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 0 ) y ( 0 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba x = –1 y x = 1 para determinar la concavidad de f en cada uno de estos intervalos más pequeños, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x Conclusión ( − ∞ , 0 ) grandes. x = –1 − f es cóncava hacia abajo. ( 0 , ∞ ) grandes. x = 1 + f es cóncava hacia arriba. Observamos que la información del cuadro anterior confirma el hecho, que se confirma en el paso 5 , que f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 . Además, la información encontrada en el paso 5 , a saber, f tiene un máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1 , y f ′ ( x ) = 0 en esos puntos, combinado con el hecho de que f ″ cambia de signo solo en x = 0 , lo que confirma los resultados encontrados en el paso 6 en la concavidad de f . Combinando esta información, llegamos al gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( x + 2 ) que se muestra en el siguiente gráfico. Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 3 ( x + 2 ) . Pista f es un polinomio de cuarto grado. Trace una función racional Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 ( 1 − x 2 ) . Paso 1. La función f se define siempre que el denominador no sea cero. Por lo tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales x excepto x = ± 1 . Paso 2. Calcule las intersecciones. Si los valores de x = 0 , entonces f ( x ) = 0 , por lo que 0 es una intersección. Si los valores de y = 0 , entonces x 2 ( 1 − x 2 ) = 0 , lo que implica x = 0 . Por lo tanto, ( 0 , 0 ) es la única intersección. Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Dado que f es una función racional, divida el numerador y el denominador por la mayor potencia del denominador: x 2 . Obtenemos lím x → ± ∞ x 2 1 − x 2 = lím x → ± ∞ 1 1 x 2 – 1 = −1 . Por lo tanto, f tiene una asíntota horizontal de y = −1 cuando x → ∞ y x → − ∞ . Paso 4. Para determinar si f tiene alguna asíntota vertical, compruebe en primer lugar si el denominador tiene algún cero. Encontramos que el denominador es cero cuando x = ± 1 . Para determinar si las líneas x = 1 o x = −1 son asíntotas verticales de f , evalúe lím x → 1 f ( x ) y lím x → − 1 f ( x ) . Al considerar cada límite unilateral cuando x → 1 , vemos que lím x → 1 + x 2 1 − x 2 = − ∞ y lím x → 1 − x 2 1 − x 2 = ∞ . Además, al considerar cada límite unilateral cuando x → − 1 , hallamos que lím x → − 1 + x 2 1 − x 2 = ∞ y lím x → − 1 − x 2 1 − x 2 = − ∞ . Paso 5. Calcule la primera derivada: f ′ ( x ) = ( 1 − x 2 ) ( 2 x ) − x 2 ( −2 x ) ( 1 − x 2 ) 2 = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 . Los puntos críticos se producen en los puntos x donde f ′ ( x ) = 0 o f ′ ( x ) es indefinida. Vemos que f ′ ( x ) = 0 cuando x = 0 . La derivada f ′ no está indefinida en ningún punto del dominio de f . Sin embargo, el que x = ± 1 no son del dominio de f . Por lo tanto, para determinar dónde f aumenta y donde f decrece, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en cuatro intervalos más pequeños: ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , y ( 1 , ∞ ) , y elija un punto de prueba en cada intervalo para determinar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Los valores x = –2 , x = − 1 2 , x = 1 2 , y x = 2 son buenas opciones para los puntos de prueba, como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 2 x ( 1 − x 2 ) 2 Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 − / + = − f decrece. ( –1 , 0 ) grandes. x = −1 / 2 − / + = − f decrece. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 / 2 + / + = + f aumenta. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f aumenta. De este análisis, concluimos que f tiene un mínimo local en x = 0 y ningún máximo local. Paso 6. Calcule la segunda derivada: f ″ ( x ) = ( 1 − x 2 ) 2 ( 2 ) − 2 x ( 2 ( 1 − x 2 ) ( −2 x ) ) ( 1 − x 2 ) 4 = ( 1 − x 2 ) [ 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ] ( 1 − x 2 ) 4 = 2 ( 1 − x 2 ) + 8 x 2 ( 1 − x 2 ) 3 = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 . Para determinar los intervalos en los que f es cóncava hacia arriba y donde f es cóncava hacia abajo, primero tenemos que hallar todos los puntos x donde f ″ ( x ) = 0 o f ″ ( x ) es indefinida. Dado que el numerador 6 x 2 + 2 ≠ 0 para cualquier x , f ″ ( x ) nunca es cero. Además, f ″ no está indefinido para ninguna x en el dominio de f . Sin embargo, como se comentó anteriormente, x = ± 1 no son del dominio de f . Por lo tanto, para determinar la concavidad de f , dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en tres intervalos más pequeños ( − ∞ , –1 ) , ( –1 , –1 ) , y ( 1 , ∞ ) , y elegimos un punto de prueba en cada uno de estos intervalos para evaluar el signo de f ″ ( x ) . en cada uno de estos intervalos. Los valores x = –2 , x = 0 , y x = 2 son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 6 x 2 + 2 ( 1 − x 2 ) 3 Conclusión ( − ∞ , –1 ) grandes. x = –2 + / − = − f es cóncava hacia abajo. ( –1 , –1 ) grandes. x = 0 + / + = + f es cóncava hacia arriba. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / − = − f es cóncava hacia abajo. Combinando toda esta información, llegamos al gráfico de f que se muestra a continuación. Tenga en cuenta que, aunque f cambia la concavidad en x = –1 y x = 1 , no hay puntos de inflexión en ninguno de estos lugares ya que f no es continua en x = −1 o x = 1 . Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( 3 x + 5 ) ( 8 + 4 x ) . Pista Una línea y = L es una asíntota horizontal de f si el límite, dado que x → ∞ o el límite dado que x → − ∞ de f ( x ) ¿es L . La línea A x = a es una asíntota vertical si al menos uno de los límites unilaterales de f cuando x → a ¿es ∞ o − ∞ . Trazado de una función racional con asíntota oblicua Dibuje la gráfica de f ( x ) = x 2 ( x – 1 ) Paso 1. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales x excepto x = 1 . Paso 2. Calcule las intersecciones. Podemos ver que cuando x = 0 , f ( x ) = 0 , tal que ( 0 , 0 ) es la única intersección. Paso 3. Evalúe los límites en el infinito. Ya que el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, f debe tener una asíntota oblicua. Para hallar la asíntota oblicua, utilice la división larga de polinomios para escribir f ( x ) = x 2 x – 1 = x + 1 + 1 x – 1 . Dado que 1 / ( x – 1 ) → 0 cuando x → ± ∞ , f ( x ) se acerca a la línea y = x + 1 cuando x → ± ∞ . La línea y = x + 1 es una asíntota oblicua para f . Paso 4. Para comprobar la existencia de asíntotas verticales, observe dónde el denominador es cero. Aquí el denominador es cero en x = 1 . Observando los dos límites unilaterales cuando x → 1 , tenemos lím x → 1 + x 2 x – 1 = ∞ y lím x → 1 − x 2 x – 1 = − ∞ . Por lo tanto, x = 1 es una asíntota vertical, y determinamos el comportamiento de f cuando x se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda. Paso 5. Calcule la primera derivada: f ′ ( x ) = ( x – 1 ) ( 2 x ) − x 2 ( 1 ) ( x – 1 ) 2 = x 2 − 2 x ( x – 1 ) 2 . Tenemos f ′ ( x ) = 0 cuando x 2 − 2 x = x ( x − 2 ) = 0 . Por lo tanto, x = 0 y x = 2 son puntos críticos. Dado que f es indefinida en x = 1 , tenemos que dividir el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , y ( 2 , ∞ ) , y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Por ejemplo, supongamos que x = −1 , x = 1 2 , x = 3 2 , y x = 3 son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = x 2 − 2 x ( x – 1 ) 2 = x ( x − 2 ) ( x – 1 ) 2 Conclusión ( − ∞ , 0 ) grandes. x = –1 ( − ) ( − ) / + = + f aumenta. ( 0 , 1 ) grandes. x = 1 / 2 ( + ) ( − ) / + = − f decrece. ( 1 , 2 ) grandes. x = 3 / 2 ( + ) ( − ) / + = − f decrece. ( 2 , ∞ ) grandes. x = 3 ( + ) ( + ) / + = + f aumenta. En esta tabla, vemos que f tiene un máximo local en x = 0 y un mínimo local en x = 2 . El valor de f en el máximo local es f ( 0 ) = 0 y el valor de f en el mínimo local es f ( 2 ) = 4 . Por lo tanto, ( 0 , 0 ) y ( 2 , 4 ) son puntos importantes en el gráfico. Paso 6. Calcule la segunda derivada: f ″ ( x ) = ( x – 1 ) 2 ( 2 x − 2 ) − ( x 2 − 2 x ) ( 2 ( x – 1 ) ) ( x – 1 ) 4 = ( x – 1 ) [ ( x – 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ] ( x – 1 ) 4 = ( x – 1 ) ( 2 x − 2 ) − 2 ( x 2 − 2 x ) ( x – 1 ) 3 = 2 x 2 − 4 x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x ) ( x – 1 ) 3 = 2 ( x – 1 ) 3 . Vemos que f ″ ( x ) nunca es cero o indefinido para x en el dominio de f . Dado que f es indefinida en x = 1 , para comprobar la concavidad simplemente dividimos el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en dos intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija un punto de prueba de cada intervalo para evaluar el signo de f ″ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Los valores x = 0 y x = 2 son posibles puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = 2 ( x – 1 ) 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 + / − = − f es cóncava hacia abajo. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f es cóncava hacia arriba. A partir de la información recopilada, llegamos al siguiente gráfico para f . Halle la asíntota oblicua para f ( x ) = ( 3 x 3 − 2 x + 1 ) ( 2 x 2 − 4 ) . y = 3 2 x Pista Utilice la división larga de polinomios. Trazado del gráfico de una función con cúspide Dibuje un gráfico de f ( x ) = ( x – 1 ) 2 / 3 . Paso 1. Como la función raíz cúbica está definida para todos los números reales x y ( x – 1 ) 2 / 3 = ( x – 1 3 ) 2 , el dominio de f son todos números reales. Paso 2: Para calcular la intersección en y , evalúe f ( 0 ) . Dado que f ( 0 ) = 1 , la columna y es ( 0 , 1 ) . Para calcular la intersección en x resuelva ( x – 1 ) 2 / 3 = 0 . La solución de esta ecuación es x = 1 , por lo que la intersección en x es ( 1 , 0 ) . Paso 3: Dado que lím x → ± ∞ ( x – 1 ) 2 / 3 = ∞ , la función sigue creciendo sin límites cuando x → ∞ y x → − ∞ . Paso 4: La función no tiene asíntotas verticales. Paso 5: Para determinar dónde f aumenta o disminuye, calcule f ′ . Hallamos f ′ ( x ) = 2 3 ( x – 1 ) –1 / 3 = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 . Esta función no es cero en ningún sitio, pero es indefinida cuando x = 1 . Por lo tanto, el único punto crítico es x = 1 . Divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba en cada uno de estos intervalos para determinar el signo de f ′ ( x ) en cada uno de estos intervalos más pequeños. Supongamos que x = 0 y x = 2 son los puntos de prueba como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ′ ( x ) = 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 + / − = − f decrece. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 + / + = + f aumenta. Concluimos que f tiene un mínimo local en x = 1 . Si evaluamos f en x = 1 , encontramos que el valor de f en el mínimo local es cero. Observe que f ′ ( 1 ) es indefinido, por lo que para determinar el comportamiento de la función en este punto crítico, tenemos que examinar lím x → 1 f ′ ( x ) . Al observar los límites unilaterales tenemos lím x → 1 + 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 = ∞ y lím x → 1 − 2 3 ( x – 1 ) 1 / 3 = − ∞ . Por lo tanto, f tiene una cúspide en x = 1 . Paso 6: Para determinar la concavidad, calculamos la segunda derivada de f : f ″ ( x ) = − 2 9 ( x – 1 ) −4 / 3 = −2 9 ( x – 1 ) 4 / 3 . Tenemos que f ″ ( x ) se define para todos las x , pero es indefinido cuando x = 1 . Por lo tanto, divida el intervalo ( − ∞ , ∞ ) en los intervalos más pequeños ( − ∞ , 1 ) y ( 1 , ∞ ) , y elija los puntos de prueba para evaluar el signo de f ″ ( x ) en cada uno de estos intervalos. Como hicimos anteriormente, dejemos que x = 0 y x = 2 sean los puntos de prueba tal como se muestra en la siguiente tabla. Intervalo Punto de prueba Signo de f ″ ( x ) = −2 9 ( x – 1 ) 4 / 3 Conclusión ( − ∞ , 1 ) grandes. x = 0 − / + = − f es cóncava hacia abajo. ( 1 , ∞ ) grandes. x = 2 − / + = − f es cóncava hacia abajo. De este cuadro se deduce que f es cóncavo hacia abajo en todas partes. Combinando toda esta información, llegamos al siguiente gráfico para f . Considere la función f ( x ) = 5 − x 2 / 3 . Determine el punto de el gráfico donde se encuentra una cúspide. Determine el comportamiento final de f . La función f tiene una cúspide en ( 0 , 5 ) lím x → 0 − f ′ ( x ) = ∞ , lím x → 0 + f ′ ( x ) = − ∞ . Para el comportamiento final, lím x → ± ∞ f ( x ) = − ∞ . Pista Una función f tiene una cúspide en un punto a si f ( a ) existe, f ′ ( a ) es indefinido, uno de los límites unilaterales cuando x → a de f ′ ( x ) ¿es + ∞ , y el otro límite unilateral es − ∞ . Conceptos clave El límite de f ( x ) ¿es L a medida que x → ∞ (o cuando x → − ∞ ) si los valores f ( x ) se acercan arbitrariamente a L a medida que x aumenta lo suficiente. El límite de f ( x ) ¿es ∞ cuando x → ∞ si f ( x ) aumenta arbitrariamente a medida que la x aumenta lo suficiente. El límite de f ( x ) ¿es − ∞ cuando x → ∞ si f ( x ) < 0 y | f ( x ) | aumenta arbitrariamente a medida que x aumenta lo suficiente. Podemos definir el límite de f ( x ) cuando x se acerca a − ∞ de forma similar. Para una función polinómica p ( x ) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 , donde a n ≠ 0 , el comportamiento final está determinado por el término principal a n x n . Si n ≠ 0 , p ( x ) se acerca a ∞ o − ∞ en cada extremo. Para una función racional f ( x ) = p ( x ) q ( x ) , el comportamiento final está determinado por la relación entre el grado de p y el grado de q . Si el grado de p es menor que el grado de q , la línea y = 0 es una asíntota horizontal para f . Si el grado de p es igual al grado de q , entonces la línea y = a n b n es una asíntota horizontal, donde a n y b n son los coeficientes principales de p y q , respectivamente. Si el grado de p es mayor que el grado de q , entonces f se acerca a ∞ o − ∞ en cada extremo. Examine los gráficos en los siguientes ejercicios. Identifique dónde se encuentran las asíntotas verticales. x = 1 x = −1 , x = 2 x = 0 En las siguientes funciones f ( x ) , determine si existe una asíntota en x = a . Justifique su respuesta sin graficarla en una calculadora. f ( x ) = x + 1 x 2 + 5 x + 4 , a = –1 f ( x ) = x x − 2 , a = 2 Sí, hay una asíntota vertical f ( x ) = ( x + 2 ) 3 / 2 , a = –2 f ( x ) = ( x – 1 ) –1 / 3 , a = 1 Sí, hay asíntota vertical f ( x ) = 1 + x −2 / 5 , a = 1 En los siguientes ejercicios, evalúe el límite. lím x → ∞ 1 3 x + 6 0 lím x → ∞ 2 x − 5 4 x lím x → ∞ x 2 − 2 x + 5 x + 2 ∞ lím x → − ∞ 3 x 3 − 2 x x 2 + 2 x + 8 lím x → − ∞ x 4 − 4 x 3 + 1 2 − 2 x 2 − 7 x 4 − 1 7 lím x → ∞ 3 x x 2 + 1 lím x → − ∞ 4 x 2 – 1 x + 2 −2 lím x → ∞ 4 x x 2 – 1 lím x → − ∞ 4 x x 2 – 1 −4 lím x → ∞ 2 x x – x + 1 En los siguientes ejercicios, halle las asíntotas horizontales y verticales. f ( x ) = x − 9 x Horizontal: ninguno, vertical: x = 0 f ( x ) = 1 1 − x 2 f ( x ) = x 3 4 − x 2 Horizontal: ninguno, vertical: x = ± 2 f ( x ) = x 2 + 3 x 2 + 1 f ( x ) = sen ( x ) sen ( 2 x ) Horizontal: ninguno, vertical: ninguno f ( x ) = cos x + cos ( 3 x ) + cos ( 5 x ) grandes. f ( x ) = x sen ( x ) x 2 – 1 Horizontal y = 0 , vertical: x = ± 1 f ( x ) = x sen ( x ) grandes. f ( x ) = 1 x 3 + x 2 Horizontal y = 0 , vertical: x = 0 y x = –1 f ( x ) = 1 x – 1 − 2 x f ( x ) = x 3 + 1 x 3 − 1 Horizontal y = 1 , vertical: x = 1 f ( x ) = sen x + cos x sen x − cos x f ( x ) = x − sen x Horizontal: ninguno, vertical: ninguno f ( x ) = 1 x – x En los siguientes ejercicios, construya una función f ( x ) que tiene las asíntotas dadas. x = 1 y y = 2 Las respuestas variarán, por ejemplo: y = 2 x x – 1 x = 1 y y = 0 y = 4 , x = –1 Las respuestas variarán, por ejemplo: y = 4 x x + 1 x = 0 En los siguientes ejercicios, grafique la función en una calculadora gráfica en la ventana x = [ −5 , 5 ] y estime la asíntota horizontal o límite. A continuación, calcule la asíntota o límite horizontal real. [T] f ( x ) = 1 x + 10 y = 0 [T] f ( x ) = x + 1 x 2 + 7 x + 6 [T] lím x → − ∞ x 2 + 10 x + 25 ∞ [T] lím x → − ∞ x + 2 x 2 + 7 x + 6 [T] lím x → ∞ 3 x + 2 x + 5 y = 3 En los siguientes ejercicios, dibuje el gráfico de las funciones sin utilizar la calculadora. Asegúrese de observar todas las características importantes del gráfico: máximos y mínimos locales, puntos de inflexión y comportamiento asintótico. y = 3 x 2 + 2 x + 4 y = x 3 − 3 x 2 + 4 y = 2 x + 1 x 2 + 6 x + 5 y = x 3 + 4 x 2 + 3 x 3 x + 9 y = x 2 + x − 2 x 2 − 3 x − 4 y = x 2 − 5 x + 4 y = 2 x 16 − x 2 y = cos x x , sobre x = [ −2 π , 2 π ] y = e x – x 3 y = x tan x , x = [ − π , π ] y = x ln ( x ) , x > 0 y = x 2 sen ( x ) , x = [ −2 π , 2 π ] Para f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) para tener una asíntota en y = 2 entonces los polinomios P ( x ) y Q ( x ) ¿qué relación debe tener? Para f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) para tener una asíntota en x = 0 , entonces los polinomios P ( x ) y Q ( x ) . ¿qué relación debe tener? P ( 0 ) ≠ 0 y Q ( x ) = 0 Si f ′ ( x ) tiene asíntotas en y = 3 y x = 1 , entonces f ( x ) ¿qué asíntotas tiene? Tanto f ( x ) = 1 ( x – 1 ) y g ( x ) = 1 ( x – 1 ) 2 tienen asíntotas en x = 1 y y = 0 . ¿Cuál es la diferencia más evidente entre estas dos funciones? lím x → 1 − f ( x ) = −∞ y lím x → 1 − g ( x ) = ∞ Verdadero o falso: Todo cociente de un polinomio tiene asíntotas verticales. comportamiento final el comportamiento de una función cuando x → ∞ y x → − ∞ asíntota horizontal si lím x → ∞ f ( x ) = L o lím x → − ∞ f ( x ) = L , entonces y = L es una asíntota horizontal de f límite infinito al infinito una función que se hace arbitrariamente grande a medida que x se hace grande límite al infinito el valor límite, si existe, de una función cuando x → ∞ o x → − ∞ asíntota oblicua la línea y = m x + b si f ( x ) se acerca a ella cuando x → ∞ o x → − ∞

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