Ecuaciones paramétricas Considere la trayectoria que sigue una luna al orbitar un planeta, que gira simultáneamente alrededor del sol, como se ve en la . En todo momento, la luna se encuentra en un punto determinado con respecto al planeta. Pero, ¿cómo escribimos y resolvemos la ecuación para la posición de la luna cuando la distancia del planeta, la velocidad de la órbita de la luna alrededor del planeta y la velocidad de rotación alrededor del Sol son todas incógnitas? Solo podemos resolver una variable a la vez. En esta sección consideraremos conjuntos de ecuaciones dadas por x ( t ) y y ( t ) donde t es la variable independiente del tiempo. Podemos utilizar estas ecuaciones paramétricas en un número de aplicaciones cuando buscamos no solo una posición concreta, sino también la dirección del movimiento. Al trazar los valores sucesivos de t , la orientación de la curva se hace evidente. Esta es una de las principales ventajas de utilizar ecuaciones paramétricas : podemos trazar el movimiento de un objeto a lo largo de una trayectoria en función del tiempo. Comenzamos esta sección con una mirada a los componentes básicos de las ecuaciones paramétricas y lo que significa parametrizar una curva. Luego, aprenderemos a eliminar el parámetro, a trasladar las ecuaciones de una curva definida paramétricamente en ecuaciones rectangulares y a hallar las ecuaciones paramétricas de las curvas definidas por ecuaciones rectangulares. Parametrizar una curva Cuando un objeto se desplaza a lo largo de una curva —o trayectoria curvilínea — en una dirección y un tiempo determinados, la posición del objeto en el plano viene dada por la coordenada x y la coordenada y . Sin embargo, ambos x y y varían con el tiempo y, por tanto, son funciones del tiempo. Por este motivo, añadimos otra variable, el parámetro , del que tanto x y y son funciones dependientes. En el ejemplo de principio de la sección, el parámetro es tiempo, t . La intersección en x posición de la luna en el tiempo, t , se representa como la función x ( t ) , y la intersección y posición de la luna en el tiempo, t , se representa como la función y ( t ) . Juntos, x ( t ) y y ( t ) se llaman ecuaciones paramétricas y generan un par ordenado ( x ( t ) , y ( t ) ) . Las ecuaciones paramétricas describen principalmente el movimiento y la dirección. Cuando parametrizamos una curva, estamos trasladando una única ecuación en dos variables, como por ejemplo x y y , en un par de ecuaciones equivalentes en tres variables, x , y , y t . Una de las razones por las que parametrizamos una curva es porque las ecuaciones paramétricas proporcionan más información: concretamente, la dirección del movimiento del objeto en el tiempo. Cuando graficamos ecuaciones paramétricas, podemos observar los comportamientos individuales de x y de y . Hay formas que no se pueden representar en la forma y = f ( x ) , lo que significa que no son funciones. Por ejemplo, consideremos el gráfico de un círculo, dado como r 2 = x 2 + y 2 . Al resolver y da como resultado y = ± r 2 - x 2 , o dos ecuaciones: y 1 = r 2 - x 2 y y 2 = - r 2 - x 2 . Si graficamos y 1 y y 2 juntos, el gráfico no pasará la prueba de la línea vertical, como se muestra en la . Por lo tanto, la ecuación del gráfico de un círculo no es una función. Sin embargo, si graficáramos cada ecuación por separado, cada una pasaría la prueba de la línea vertical y, por lo tanto, representaría una función. En algunos casos, el concepto de descomponer la ecuación de un círculo en dos funciones es similar al concepto de crear ecuaciones paramétricas, ya que utilizamos dos funciones para producir una no-función. Esto se aclarará a medida que avancemos. Ecuaciones paramétricas Supongamos que t es un número en un intervalo, I . El conjunto de pares ordenados, ( x ( t ) , y ( t ) ) , donde x = f ( t ) y y = g ( t ) , forma una curva plana basada en el parámetro t . Las ecuaciones x = f ( t ) y y = g ( t ) son las ecuaciones paramétricas. Parametrizar una curva Parametrizar la curva y = x 2 – 1 supongamos que x ( t ) = t . Grafique ambas ecuaciones. Si los valores de x ( t ) = t , entonces para hallar y ( t ) sustituimos la variable x con la expresión dada en x ( t ) . En otras palabras, y ( t ) = t 2 − 1. Haga una tabla de valores similar a la , y trace el gráfico. t x ( t ) y ( t ) - 4 - 4 y ( - 4 ) = ( - 4 ) 2 – 1 = 15 - 3 - 3 y ( - 3 ) = ( - 3 ) 2 – 1 = 8 - 2 - 2 y ( – 2 ) = ( – 2 ) 2 – 1 = 3 - 1 - 1 y ( - 1 ) = ( - 1 ) 2 – 1 = 0 0 0 y ( 0 ) = ( 0 ) 2 – 1 = - 1 1 1 y ( 1 ) = ( 1 ) 2 – 1 = 0 2 2 y ( 2 ) = ( 2 ) 2 – 1 = 3 3 3 y ( 3 ) = ( 3 ) 2 – 1 = 8 4 4 y ( 4 ) = ( 4 ) 2 – 1 = 15 Observe los gráficos en la . Puede ser útil utilizar la función TRACE de una calculadora gráfica para ver cómo se generan los puntos cuando t aumenta. (a) Paramétrica y ( t ) = t 2 – 1 (b) Rectangular y = x 2 – 1 Análisis Las flechas indican la dirección en la que se genera la curva. Observe que la curva es idéntica a la curva de y = x 2 − 1. Ejercicio Construya una tabla de valores y trace las ecuaciones paramétricas: x ( t ) = t - 3 , y ( t ) = 2 t + 4 ; − 1 ≤ t ≤ 2. t x ( t ) y ( t ) - 1 - 4 2 0 - 3 4 1 - 2 6 2 - 1 8 Hallar un par de ecuaciones paramétricas Halle un par de ecuaciones paramétricas que modelen el gráfico de y = 1 - x 2 , utilizando el parámetro x ( t ) = t . Trace algunos puntos y dibuje el gráfico. Si los valores de x ( t ) = t y sustituimos t por x en la ecuación y , entonces y ( t ) = 1 - t 2 . Nuestro par de ecuaciones paramétricas es x ( t ) = t y ( t ) = 1 - t 2 Para graficar las ecuaciones, primero construimos una tabla de valores como la que aparece en la . Podemos elegir valores de aproximadamente t = 0 , a partir de t = - 3 con t = 3. Los valores de x ( t ) serán los mismos que los de la columna t porque x ( t ) = t . Calcule los valores de la columna y ( t ) . t x ( t ) = t y ( t ) = 1 - t 2 - 3 - 3 y ( - 3 ) = 1 - ( - 3 ) 2 = - 8 - 2 - 2 y ( – 2 ) = 1 - ( – 2 ) 2 = - 3 - 1 - 1 y ( - 1 ) = 1 - ( - 1 ) 2 = 0 0 0 y ( 0 ) = 1 - 0 = 1 1 1 y ( 1 ) = 1 - ( 1 ) 2 = 0 2 2 y ( 2 ) = 1 - ( 2 ) 2 = - 3 3 3 y ( 3 ) = 1 - ( 3 ) 2 = - 8 el gráfico de y = 1 - t 2 es una parábola orientada hacia abajo, como se muestra en la . Hemos trazado la curva sobre el intervalo [ −3 , 3 ] , que se muestra como una línea sólida con flechas que indican la orientación de la curva según t . La orientación se refiere a la trayectoria trazada a lo largo de la curva en términos de valores crecientes de t . Como esta parábola es simétrica respecto a la línea x = 0 , los valores de x se reflejan a través del eje y . Ejercicio Parametrizar la curva dada por x = y 3 - 2 y . x ( t ) = t 3 - 2 t y ( t ) = t Hallar ecuaciones paramétricas que modelen criterios dados Un objeto se desplaza a una velocidad constante a lo largo de una trayectoria recta ( −5 , 3 ) al ( 3 , –1 ) en el mismo plano en cuatro segundos. Las coordenadas están medidas en metros. Halle ecuaciones paramétricas para la posición del objeto. Las ecuaciones paramétricas son expresiones lineales sencillas, pero tenemos que ver este problema paso a paso. El valor x del objeto comienza en −5 metros y va hasta 3 metros. Esto significa que la distancia x cambió 8 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de 8 m 4 s , o 2 m / s . Podemos escribir la coordenada x como una función lineal con respecto al tiempo como x ( t ) = 2 t − 5. En la plantilla de función lineal y = m x + b , 2 t = m x y − 5 = b . Del mismo modo, el valor y del objeto comienza en 3 y va hasta −1 , lo que supone un cambio en la distancia y de –4 metros en 4 segundos, lo que supone una proporción de − 4 m 4 s , o − 1 m / s . También podemos escribir la coordenada y como la función lineal y ( t ) = - t + 3. En conjunto, estas son las ecuaciones paramétricas para la posición del objeto, donde x y y se expresan en metros y t representa el tiempo: x ( t ) = 2 t − 5 y ( t ) = - t + 3 Si utilizamos estas ecuaciones, podemos construir una tabla de valores para t , x , y y (vea la ). En este ejemplo, limitamos los valores de t a números no negativos. En general, cualquier valor de t se puede utilizar. t x ( t ) = 2 t − 5 y ( t ) = - t + 3 0 x = 2 ( 0 ) - 5 = - 5 y = - ( 0 ) + 3 = 3 1 x = 2 ( 1 ) - 5 = - 3 y = - ( 1 ) + 3 = 2 2 x = 2 ( 2 ) - 5 = - 1 y = - ( 2 ) + 3 = 1 3 x = 2 ( 3 ) - 5 = 1 y = - ( 3 ) + 3 = 0 4 x = 2 ( 4 ) - 5 = 3 y = - ( 4 ) + 3 = - 1 A partir de esta tabla, podemos crear tres gráficos, como se muestra en la . (a) Un gráfico de x versus t , que representa la posición horizontal en el tiempo. (b) Un gráfico de y versus t , que representa la posición vertical en el tiempo. (c) Un gráfico de y versus x , que representa la posición del objeto en el plano en el tiempo t . Análisis De nuevo, vemos que, en la (c), cuando el parámetro representa el tiempo, podemos indicar el movimiento del objeto a lo largo de la trayectoria con flechas. Eliminar el parámetro En muchos casos, podemos tener un par de ecuaciones paramétricas, pero vemos que es más sencillo dibujar una curva si la ecuación involucra solo dos variables, como por ejemplo x y y . La eliminación del parámetro es un método que puede hacer más fácil hacer el gráfico de algunas curvas. Sin embargo, si se trata de la cartografía de la ecuación en función del tiempo, será necesario indicar también la orientación de la curva. Existen varios métodos para eliminar el parámetro t a partir de un conjunto de ecuaciones paramétricas; no todos los métodos funcionan para cada tipo de ecuación. Aquí revisaremos los métodos para los tipos de ecuaciones más comunes. Eliminación del parámetro de ecuaciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas Para ecuaciones polinómicas, exponenciales o logarítmicas expresadas como dos ecuaciones paramétricas, elegimos la ecuación que sea más fácil de manipular y resolvemos para t . Sustituimos la expresión resultante por t en la segunda ecuación. Esto da una ecuación en x y y . Eliminación del parámetro en polinomios Dados x ( t ) = t 2 + 1 y y ( t ) = 2 + t , elimine el parámetro y escriba las ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. Comenzaremos con la ecuación para y porque la ecuación lineal es más fácil de resolver para t . y = 2 + t y - 2 = t A continuación, sustituya y - 2 por t en x ( t ) . x = t 2 + 1 x = ( y - 2 ) 2 + 1 Sustituya la expresión de t en x . x = y 2 - 4 y + 4 + 1 x = y 2 - 4 y + 5 x = y 2 - 4 y + 5 La forma cartesiana es x = y 2 - 4 y + 5. Análisis Esta es una ecuación para una parábola en la que, en términos rectangulares, x depende de y . Desde el vértice de la curva en ( 1 , 2 ) , el gráfico se desplaza hacia la derecha. Vea el . En esta sección consideramos conjuntos de ecuaciones dadas por las funciones x ( t ) y y ( t ) , donde t es la variable independiente del tiempo. Observe que tanto x y y son funciones del tiempo; así que, en general, y no es una función de x . Ejercicio Dadas las ecuaciones siguientes, elimine el parámetro y escriba como ecuación rectangular para y en función de x . x ( t ) = 2 t 2 + 6 y ( t ) = 5 − t y = 5 - 1 2 x - 3 Eliminar el parámetro en ecuaciones exponenciales Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana x ( t ) = e - t y y ( t ) = 3 e t , t > 0, Aísle e t . x = e - t e t = 1 x Sustituya la expresión en y ( t ) . y = 3 e t y = 3 ( 1 x ) y = 3 x La forma cartesiana es y = 3 x . Análisis El gráfico de la ecuación paramétrica se muestra en la (a) . El dominio está restringido a t > 0, La ecuación cartesiana, y = 3 x se muestra en la (b) y solo tiene una restricción en el dominio, x ≠ 0, Eliminar el parámetro en ecuaciones logarítmicas Elimine el parámetro y escriba como una ecuación cartesiana x ( t ) = t + 2 y y ( t ) = log ( t ) . Resuelva la primera ecuación para t . x = t + 2 x - 2 = t ( x - 2 ) 2 = t Eleve ambos lados al cuadrado . A continuación, sustituya la expresión por t en la ecuación y . y = log ( t ) y = log ( x - 2 ) 2 La forma cartesiana es y = log ( x - 2 ) 2 . Análisis Para estar seguro de que las ecuaciones paramétricas son equivalentes a la ecuación cartesiana, compruebe los dominios. Las ecuaciones paramétricas limitan el dominio en x = t + 2 al t > 0 ; restringimos el dominio en x a x > 2. El dominio para la ecuación paramétrica y = log ( t ) se restringe a t > 0 ; limitamos el dominio en y = log ( x - 2 ) 2 hasta x > 2. Ejercicio Elimine el parámetro y escriba como una ecuación rectangular . x ( t ) = t 2 y ( t ) = ln t t > 0 y = ln x Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas Eliminar el parámetro de ecuaciones trigonométricas es una sustitución sencilla. Podemos utilizar algunas de las identidades trigonométricas conocidas y el teorema de Pitágoras. Primero, usamos las identidades: x ( t ) = a cos t y ( t ) = b sen t Resolvemos para cos t y sen t , tenemos x a = cos t y b = sen t Entonces, usamos el teorema de Pitágoras: cos 2 t + sen 2 t = 1 La sustitución da como resultado cos 2 t + sen 2 t = ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1 Eliminación del parámetro de un par de ecuaciones paramétricas trigonométricas Elimine el parámetro del par de ecuaciones trigonométricas dadas donde 0 ≤ t ≤ 2 π y dibujar el gráfico. x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 3 sen t Resolvemos para cos t y sen t , tenemos x = 4 cos t x 4 = cos t y = 3 sen t y 3 = sen t A continuación, utilice la identidad pitagórica y haga las sustituciones. cos 2 t + sen 2 t = 1 ( x 4 ) 2 + ( y 3 ) 2 = 1 x 2 16 + y 2 9 = 1 El gráfico de la ecuación se muestra en la . Análisis Al aplicar las ecuaciones generales de las secciones cónicas (introducidas en la sección Geometría analítica) , podemos identificar x 2 16 + y 2 9 = 1 como una elipse centrada en ( 0 , 0 ) . Observe que cuando t = 0 las coordenadas son ( 4 , 0 ) , y cuando t = π 2 las coordenadas son ( 0 , 3 ) . Esto muestra la orientación de la curva con valores crecientes de t . Ejercicio Elimine el parámetro del par de ecuaciones paramétricas dadas y escríbalo como una ecuación cartesiana: x ( t ) = 2 cos t y y ( t ) = 3 sen t . x 2 4 + y 2 9 = 1 Hallar ecuaciones cartesianas de curvas definidas paramétricamente Cuando nos dan un conjunto de ecuaciones paramétricas y necesitamos hallar una ecuación cartesiana equivalente, estamos esencialmente “eliminando el parámetro”. Sin embargo, hay varios métodos que podemos utilizar para reescribir un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana. El método más sencillo es establecer una ecuación igual al parámetro, como por ejemplo x ( t ) = t . En este caso, y ( t ) puede ser cualquier expresión. Por ejemplo, considere el siguiente par de ecuaciones. x ( t ) = t y ( t ) = t 2 - 3 Reescribir este conjunto de ecuaciones paramétricas es cuestión de sustituir x por t . Así, la ecuación cartesiana es y = x 2 - 3, Hallar una ecuación cartesiana utilizando métodos alternativos Utilice dos métodos diferentes para hallar la ecuación cartesiana equivalente al conjunto de ecuaciones paramétricas dadas. x ( t ) = 3 t - 2 y ( t ) = t + 1 Método 1 . Primero, vamos a resolver la ecuación x para t . Entonces podemos sustituir el resultado en la ecuación y . x = 3 t - 2 x + 2 = 3 t x + 2 3 = t Ahora, sustituya la expresión para t en la ecuación y . y = t + 1 y = ( x + 2 3 ) + 1 y = x 3 + 2 3 + 1 y = 1 3 x + 5 3 Método 2 . Resolver la ecuación y para t y sustituir esta expresión en la ecuación x . y = t + 1 y - 1 = t Haga la sustitución y luego resuelva para y . x = 3 ( y - 1 ) - 2 x = 3 y - 3 - 2 x = 3 y - 5 x + 5 = 3 y x + 5 3 = y y = 1 3 x + 5 3 Ejercicio Escriba las ecuaciones paramétricas dadas como una ecuación cartesiana: x ( t ) = t 3 y y ( t ) = t 6 . y = x 2 Hallar ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares Aunque acabamos de demostrar que solo hay una forma de interpretar un conjunto de ecuaciones paramétricas como una ecuación rectangular, hay varias formas de interpretar una ecuación rectangular como un conjunto de ecuaciones paramétricas. Cualquier estrategia que utilicemos para hallar las ecuaciones paramétricas es válida si produce una equivalencia. En otras palabras, si elegimos una expresión para representar x , y luego sustituirlo en la ecuación y , y produce el mismo gráfico sobre el mismo dominio que la ecuación rectangular, entonces el conjunto de ecuaciones paramétricas es válido. Si el dominio se limita en el conjunto de ecuaciones paramétricas y la función no permite los mismos valores para x como el dominio de la ecuación rectangular, entonces los gráficos serán diferentes. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para curvas definidas por ecuaciones rectangulares Halle un conjunto de ecuaciones paramétricas equivalentes para y = ( x + 3 ) 2 + 1. Una opción obvia sería dejar que x ( t ) = t . Entonces y ( t ) = ( t + 3 ) 2 + 1. Pero intentemos algo más interesante. ¿Y si dejamos que x = t + 3 ? Entonces tenemos y = ( x + 3 ) 2 + 1 y = ( ( t + 3 ) + 3 ) 2 + 1 y = ( t + 6 ) 2 + 1 El conjunto de ecuaciones paramétricas es x ( t ) = t + 3 y ( t ) = ( t + 6 ) 2 + 1 Vea la . Media Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar las ecuaciones paramétricas. Introducción a las ecuaciones paramétricas Convertir ecuaciones paramétricas a la forma rectangular Conceptos clave Parametrizar una curva implica trasladar una ecuación rectangular en dos variables, x y y , en dos ecuaciones en tres variables, x , y y t . A menudo, se obtiene más información de un conjunto de ecuaciones paramétricas. Vea el , el y el . A veces las ecuaciones son más sencillas de graficar cuando se escriben en forma rectangular. Al eliminar t , el resultado es una ecuación en x y y . Para eliminar t , se resuelve una de las ecuaciones para t , y se sustituye la expresión en la segunda ecuación. Vea el , el , el y el . Hallar la ecuación rectangular de una curva definida paramétricamente es básicamente lo mismo que eliminar el parámetro. Resuelva para t en una de las ecuaciones, y sustituya la expresión en la segunda ecuación. Vea el . Hay un número infinito de maneras de elegir un conjunto de ecuaciones paramétricas para una curva definida como una ecuación rectangular. Halle una expresión para x de manera que el dominio del conjunto de ecuaciones paramétricas siga siendo el mismo que la ecuación rectangular original. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Qué es un sistema de ecuaciones paramétricas? Un par de funciones que depende de un factor externo. Las dos funciones están escritas en términos del mismo parámetro. Por ejemplo, x = f ( t ) y y = f ( t ) . Algunos ejemplos de un tercer parámetro son el tiempo, la longitud, la velocidad y la escala. Explique cuándo se utiliza el tiempo como parámetro. Explique cómo eliminar un parámetro dado un conjunto de ecuaciones paramétricas. Elija una ecuación para resolver t , sustituya en la otra ecuación y simplifique. ¿Cuál es la ventaja de escribir un sistema de ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana? ¿Cuál es la ventaja de utilizar ecuaciones paramétricas? Algunas ecuaciones no se pueden escribir como funciones, como un círculo. Sin embargo, cuando se escriben como dos ecuaciones paramétricas, por separado, las ecuaciones son funciones. ¿Por qué hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas para representar una función cartesiana? Algebraicos En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro t para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana. { x ( t ) = 5 − t y ( t ) = 8 - 2 t y = - 2 + 2 x { x ( t ) = 6 - 3 t y ( t ) = 10 − t { x ( t ) = 2 t + 1 y ( t ) = 3 t y = 3 x – 1 2 { x ( t ) = 3 t - 1 y ( t ) = 2 t 2 { x ( t ) = 2 e t y ( t ) = 1 - 5 t x = 2 e 1 - y 5 o y = 1 - 5 l n ( x 2 ) { x ( t ) = e − 2 t y ( t ) = 2 e - t { x ( t ) = 4 log ( t ) y ( t ) = 3 + 2 t x = 4 log ( y - 3 2 ) { x ( t ) = log ( 2 t ) y ( t ) = t - 1 { x ( t ) = t 3 - t y ( t ) = 2 t x = ( y 2 ) 3 - y 2 { x ( t ) = t - t 4 y ( t ) = t + 2 { x ( t ) = e 2 t y ( t ) = e 6 t y = x 3 { x ( t ) = t 5 y ( t ) = t 10 { x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 5 sen t ( x 4 ) 2 + ( y 5 ) 2 = 1 { x ( t ) = 3 sen t y ( t ) = 6 cos t { x ( t ) = 2 cos 2 t y ( t ) = - sen t y 2 = 1 - 1 2 x { x ( t ) = cos t + 4 y ( t ) = 2 sen 2 t { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 y = x 2 + 2 x + 1 { x ( t ) = - t y ( t ) = t 3 + 1 { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = t 3 - 2 y = ( x + 1 2 ) 3 - 2 En los siguientes ejercicios, reescriba la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana y construya una tabla de x y . { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = t + 4 { x ( t ) = 4 - t y ( t ) = 3 t + 2 y = - 3 x + 14 { x ( t ) = 2 t - 1 y ( t ) = 5 t { x ( t ) = 4 t - 1 y ( t ) = 4 t + 2 y = x + 3 En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana y establezca x ( t ) = t o establezca y ( t ) = t . y ( x ) = 3 x 2 + 3 y ( x ) = 2 sen x + 1 { x ( t ) = t y ( t ) = 2 sen t + 1 x ( y ) = 3 log ( y ) + y x ( y ) = y + 2 y { x ( t ) = t + 2 t y ( t ) = t En los siguientes ejercicios, parametrice (escriba ecuaciones paramétricas) para cada ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t . Identifique la curva. x 2 4 + y 2 9 = 1 x 2 16 + y 2 36 = 1 { x ( t ) = 4 cos t y ( t ) = 6 sen t ; Elipse x 2 + y 2 = 16 x 2 + y 2 = 10 { x ( t ) = 10 cos t y ( t ) = 10 sen t ; Círculo Parametrice la línea de ( 3 , 0 ) al ( –2 , −5 ) para que la línea esté en ( 3 , 0 ) en t = 0 , y en ( –2 , −5 ) en t = 1. Parametrice la línea de ( –1 , 0 ) al ( 3 , –2 ) para que la línea esté en ( –1 , 0 ) en t = 0 , y en ( 3 , –2 ) en t = 1. { x ( t ) = - 1 + 4 t y ( t ) = - 2 t Parametrice la línea de ( –1 , 5 ) al ( 2 , 3 ) para que la línea esté en ( –1 , 5 ) en t = 0 , y en ( 2 , 3 ) en t = 1. Parametrice la línea de ( 4 , 1 ) al ( 6 , –2 ) para que la línea esté en ( 4 , 1 ) en t = 0 , y en ( 6 , –2 ) en t = 1. { x ( t ) = 4 + 2 t y ( t ) = 1 - 3 t En tecnología En los siguientes ejercicios, utilice la función de tabla de la calculadora gráfica para determinar si los gráficos se intersecan. { x 1 ( t ) = 3 t y 1 ( t ) = 2 t - 1 y { x 2 ( t ) = t + 3 y 2 ( t ) = 4 t - 4 { x 1 ( t ) = t 2 y 1 ( t ) = 2 t - 1 y { x 2 ( t ) = - t + 6 y 2 ( t ) = t + 1 sí, en t = 2 En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora gráfica para completar la tabla de valores de cada conjunto de ecuaciones paramétricas. { x 1 ( t ) = 3 t 2 - 3 t + 7 y 1 ( t ) = 2 t + 3 t x y -1 0 1 { x 1 ( t ) = t 2 - 4 y 1 ( t ) = 2 t 2 – 1 t x y 1 2 3 t x y 1 -3 1 2 0 7 3 5 17 { x 1 ( t ) = t 4 y 1 ( t ) = t 3 + 4 t x y -1 0 1 2 Extensiones Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = ( x + 1 ) 2 . las respuestas pueden variar { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 y { x ( t ) = t + 1 y ( t ) = ( t + 2 ) 2 Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = 3 x − 2. Halle dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para y = x 2 - 4 x + 4. las respuestas pueden variar: { x ( t ) = t y ( t ) = t 2 - 4 t + 4 y { x ( t ) = t + 2 y ( t ) = t 2 parámetro una variable, que suele representar el tiempo, sobre la que x y y son dependientes

Matemáticas


Ecuaciones paramétricas: gráficos Aunque no todos los aficionados (o directores de equipo) lo aprecian, el béisbol y muchos otros deportes se han vuelto dependientes de la analítica, que implica un complejo registro de datos y una evaluación cuantitativa utilizados para comprender y predecir el comportamiento. La primera influencia de la analítica fue sobre todo estadística; más recientemente, han entrado en juego la física y otras ciencias. El más importante es el enfoque en el ángulo de lanzamiento y la velocidad de salida, que cuando están en ciertos valores pueden casi garantizar un jonrón. Por otro lado, el énfasis en el ángulo de lanzamiento y la concentración en los jonrones en lugar de en el bateo en general da como resultado muchos más outs. Considere la siguiente situación: es la parte baja de la novena entrada, con dos outs y dos jugadores en base. El equipo local pierde por dos carreras. El bateador abanica y golpea la bola de béisbol a 140 pies por segundo y con un ángulo de aproximadamente 45° de la horizontal. ¿Qué distancia recorrerá la pelota? ¿Superará la cerca para conseguir un jonrón ganador del partido? El resultado puede depender en parte de otros factores (por ejemplo, el viento), pero los matemáticos pueden modelar la trayectoria de un proyectil y predecir aproximadamente la distancia que recorrerá mediante ecuaciones paramétricas . En esta sección, discutiremos las ecuaciones paramétricas y algunas aplicaciones comunes, como los problemas de movimiento de proyectiles. Las ecuaciones paramétricas pueden modelar la trayectoria de un proyectil (créditos: Paul Kreher, Flickr). Graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos En vez de una calculadora gráfica o un programa de gráficos de computadora, el método estándar es trazar puntos para representar el gráfico de una ecuación. Siempre que seamos cuidadosos al calcular los valores, el trazado de puntos es muy fiable. Cómo Dado un par de ecuaciones paramétricas, dibuje un gráfico mediante el trazado de puntos. Construya una tabla con tres columnas t , x ( t ) , y y ( t ) . Evalúe x y y para los valores de t sobre el intervalo para el que se definen las funciones. Trace los pares resultantes ( x , y ) . Elaboración del gráfico de un par de ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 + 1 , y ( t ) = 2 + t . Construya una tabla de valores para t , x ( t ) , y y ( t ) , como en la , y trace los puntos en un plano. t x ( t ) = t 2 + 1 y ( t ) = 2 + t - 5 26 - 3 - 4 17 - 2 - 3 10 - 1 - 2 5 0 - 1 2 1 0 1 2 1 2 3 2 5 4 3 10 5 4 17 6 5 26 7 El gráfico es una parábola con vértice en el punto ( 1 , 2 ) , que abre hacia la derecha. Vea la . Análisis Como los valores del avance de t en sentido positivo de 0 a 5, los puntos trazados trazan la mitad superior de la parábola. Como los valores de t se vuelven negativos, trazan la mitad inferior de la parábola. No hay restricciones en el dominio. Las flechas indican la dirección según los valores crecientes de t . El gráfico no representa una función, ya que no pasará la prueba de la línea vertical. El gráfico se dibuja en dos partes: los valores positivos de t , y los valores negativos de t . Ejercicio Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x = t , y = 2 t + 3 , 0 ≤ t ≤ 3. Trazar el gráfico de ecuaciones paramétricas trigonométricas Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas dadas y dibuje el gráfico: x = 2 cos t y = 4 sen t Construya una tabla como la de la utilizando la medida del ángulo en radianes como entradas para t , adecuados, y evaluando x y y . Utilizar ángulos con valores conocidos de seno y coseno para t facilita los cálculos. t x = 2 cos t y = 4 sen t 0 x = 2 cos ( 0 ) = 2 y = 4 sen ( 0 ) = 0 π 6 x = 2 cos ( π 6 ) = 3 y = 4 sen ( π 6 ) = 2 π 3 x = 2 cos ( π 3 ) = 1 y = 4 sen ( π 3 ) = 2 3 π 2 x = 2 cos ( π 2 ) = 0 y = 4 sen ( π 2 ) = 4 2 π 3 x = 2 cos ( 2 π 3 ) = - 1 y = 4 sen ( 2 π 3 ) = 2 3 5 π 6 x = 2 cos ( 5 π 6 ) = - 3 y = 4 sen ( 5 π 6 ) = 2 π x = 2 cos ( π ) = - 2 y = 4 sen ( π ) = 0 7 π 6 x = 2 cos ( 7 π 6 ) = - 3 y = 4 sen ( 7 π 6 ) = - 2 4 π 3 x = 2 cos ( 4 π 3 ) = - 1 y = 4 sen ( 4 π 3 ) = - 2 3 3 π 2 x = 2 cos ( 3 π 2 ) = 0 y = 4 sen ( 3 π 2 ) = – 4 5 π 3 x = 2 cos ( 5 π 3 ) = 1 y = 4 sen ( 5 π 3 ) = - 2 3 11 π 6 x = 2 cos ( 11 π 6 ) = 3 y = 4 sen ( 11 π 6 ) = - 2 2 π x = 2 cos ( 2 π ) = 2 y = 4 sen ( 2 π ) = 0 En la se muestra el gráfico. Por la simetría mostrada en los valores de x y y , vemos que las ecuaciones paramétricas representan una elipse . El elipse se mapea en sentido contrario a las agujas del reloj, como muestran las flechas que indican el aumento de t . Análisis Hemos visto que las ecuaciones paramétricas se pueden representar gráficamente mediante trazado de puntos. Sin embargo, una calculadora gráfica ahorrará tiempo y revelará matices en un gráfico que pueden ser demasiado tediosos de descubrir utilizando solo cálculos manuales. Asegúrese de cambiar el modo de la calculadora a paramétrico (PAR). Para confirmar, la ventana Y = debería aparecer X 1 T = Y 1 T = en vez de Y 1 = . Ejercicio Grafique las ecuaciones paramétricas: x = 5 cos t , y = 3 sen t . Graficar ecuaciones paramétricas y forma rectangular juntas Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x = 5 cos t y y = 2 sen t . En primer lugar, elabore el gráfico utilizando los puntos de datos generados a partir de la forma paramétrica . Luego grafique la forma rectangular de la ecuación. Compare los dos gráficos. Elabore una tabla de valores como la de la . t x = 5 cos t y = 2 sen t 0 x = 5 cos ( 0 ) = 5 y = 2 sen ( 0 ) = 0 1 x = 5 cos ( 1 ) ≈ 2,7 y = 2 sen ( 1 ) ≈ 1,7 2 x = 5 cos ( 2 ) ≈ −2,1 y = 2 sen ( 2 ) ≈ 1,8 3 x = 5 cos ( 3 ) ≈ -4,95 y = 2 sen ( 3 ) ≈ 0,28 4 x = 5 cos ( 4 ) ≈ -3,3 y = 2 sen ( 4 ) ≈ -1,5 5 x = 5 cos ( 5 ) ≈ 1,4 y = 2 sen ( 5 ) ≈ -1,9 −1 x = 5 cos ( –1 ) ≈ 2,7 y = 2 sen ( –1 ) ≈ -1,7 −2 x = 5 cos ( −2 ) ≈ −2,1 y = 2 sen ( −2 ) ≈ -1,8 −3 x = 5 cos ( −3 ) ≈ -4,95 y = 2 sen ( −3 ) ≈ -0,28 -4 x = 5 cos ( –4 ) ≈ -3,3 y = 2 sen ( –4 ) ≈ 1,5 −5 x = 5 cos ( −5 ) ≈ 1,4 y = 2 sen ( −5 ) ≈ 1,9 Trace los valores ( x , y ) de la tabla. Vea la . A continuación, traslade las ecuaciones paramétricas a la forma rectangular. Para ello, resolvemos t en x ( t ) o y ( t ) , y luego sustituimos la expresión por t en la otra ecuación. El resultado será una función y ( x ) si se resuelve para t en función de x , o x ( y ) si se resuelve para t en función de y . x = 5 cos t x 5 = cos t Resuelva para cos t . y = 2 sen t Resuelva para sen t . y 2 = sen t Entonces, utilice el teorema de Pitágoras . cos 2 t + sen 2 t = 1 ( x 5 ) 2 + ( y 2 ) 2 = 1 x 2 25 + y 2 4 = 1 Análisis En la , los datos de las ecuaciones paramétricas y de la ecuación rectangular se trazan juntos. Las ecuaciones paramétricas se trazan en azul; el gráfico de la ecuación rectangular se dibuja encima de la paramétrica en un estilo discontinuo coloreado en rojo. Evidentemente, ambas formas producen el mismo gráfico. Graficar ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares en el sistema de coordenadas Represente gráficamente las ecuaciones paramétricas x = t + 1 y y = t , t ≥ 0 , y el equivalente rectangular y = x – 1 en el mismo sistema de coordenadas. Construya una tabla de valores para las ecuaciones paramétricas, como hicimos en el ejemplo anterior, y grafique y = t , t ≥ 0 en la misma cuadrícula, como en la . Análisis Con el dominio en t restringido, solo trazamos valores positivos de t . Los datos paramétricos se grafican en azul y el gráfico de la ecuación rectangular está punteado en rojo. Una vez más, vemos que las dos formas se superponen. Ejercicio Dibuje el gráfico de las ecuaciones paramétricas x = 2 cos θ y y = 4 sen θ , junto con la ecuación rectangular en la misma cuadrícula. El gráfico de las ecuaciones paramétricas está en rojo y el gráfico de la ecuación rectangular está dibujado en puntos azules sobre las ecuaciones paramétricas. Aplicaciones de las ecuaciones paramétricas Muchas de las ventajas de las ecuaciones paramétricas se hacen evidentes cuando se aplican a resolver problemas del mundo real. Aunque las ecuaciones rectangulares en x y y ofrecen una imagen global de la trayectoria de un objeto, no revelan la posición de un objeto en un momento determinado. Las ecuaciones paramétricas, sin embargo, ilustran cómo los valores de x y y cambian en función de t , como la ubicación de un objeto en movimiento en un momento determinado. Una aplicación común de las ecuaciones paramétricas es resolver problemas relacionados con el movimiento de proyectil. En este tipo de movimiento, un objeto se impulsa hacia delante en dirección hacia arriba formando un ángulo de θ a la horizontal, con una velocidad inicial de v 0 , y a una altura h sobre la horizontal. La trayectoria de un objeto impulsado con una inclinación de θ a la horizontal, con rapidez inicial v 0 , y a una altura h sobre la horizontal, viene dada por x = ( v 0 cos θ ) t y = - 1 2 g t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h donde g tiene en cuenta los efectos de la gravedad y h es la altura inicial del objeto. De acuerdo con las unidades implicadas en el problema, utilice g = 32 pies / s 2 o g = 9,8 m / s 2 . La ecuación para x da la distancia horizontal, y la ecuación para y da la distancia vertical. Cómo Dado un problema de movimiento de proyectil, utilice ecuaciones paramétricas para resolverlo. La distancia horizontal viene dada por x = ( v 0 cos θ ) t . Sustituir la velocidad inicial del objeto por v 0 . La expresión cos θ indica el ángulo con el que se impulsa el objeto. Sustituya ese ángulo en grados por cos θ . La distancia vertical viene dada por la fórmula y = - 1 2 g t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h . El término − 1 2 g t 2 representa el efecto de la gravedad. De acuerdo con las unidades involucradas, utilice g = 32 pies/s 2 o g = 9,8 m/s 2 . De nuevo, sustituya la velocidad inicial por v 0 , y la altura a la que se impulsó el objeto para h . Proceda con el cálculo de cada término para resolver t . Hallar las ecuaciones paramétricas para describir el movimiento de una pelota de béisbol Resuelva el problema presentado al principio de esta sección. ¿El bateador batea el jonrón ganador del partido? Supongamos que la pelota se golpea con una velocidad inicial de 140 pies por segundo en un ángulo de 45° a la horizontal, y hace contacto a 3 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota de béisbol. Ⓑ ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? Ⓓ ¿Es un jonrón? Ⓐ Utilice las fórmulas para establecer las ecuaciones. La posición horizontal se halla utilizando la ecuación paramétrica para x . Así, x = ( v 0 cos θ ) t x = ( 140 cos ( 45° ) ) t La posición vertical se halla utilizando la ecuación paramétrica para y . Así, y = - 16 t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h y = - 16 t 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) t + 3 Ⓑ Sustituya el 2 en las ecuaciones para hallar las posiciones horizontal y vertical de la pelota. x = ( 140 cos ( 45° ) ) ( 2 ) x = 198 pies y = - 16 ( 2 ) 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) ( 2 ) + 3 y = 137 pies Después de 2 segundos, la pelota está a 198 pies de la caja de bateo y a 137 pies del suelo. Ⓒ Para calcular cuánto tiempo está la pelota en el aire, tenemos que averiguar cuándo va a tocar el suelo, o cuándo y = 0 . Por lo tanto, y = - 16 t 2 + ( 140 sen ( 45 ∘ ) ) t + 3 y = 0 Establezca y ( t ) = 0 y resuelva la cuadrática . t = 6,2173 Cuando t = 6,2173 segundos, la pelota ha tocado el suelo (la ecuación cuadrática se puede resolver de varias maneras, pero este problema se resolvió utilizando un programa matemático de computadora). Ⓓ No podemos confirmar que el golpe fue un jonrón sin tener en cuenta el tamaño del campo exterior, que varía de un campo a otro. Sin embargo, para simplificar, vamos a suponer que el muro del campo está a 400 pies de la base del bateador en la parte más profunda del parque. Supongamos también que el muro tiene 10 pies de altura. Para determinar si la pelota pasa por encima de la pared, tenemos que calcular a qué altura está la pelota cuando x = 400 pies. Así que fijaremos x = 400 pies, resolvemos para t , e introducimos t en y . x = ( 140 cos ( 45° ) ) t 400 = ( 140 cos ( 45° ) ) t t = 4,04 y = - 16 ( 4,04 ) 2 + ( 140 sen ( 45° ) ) ( 4,04 ) + 3 y = 141,8 La pelota está a 141,8 pies en el aire cuando sale disparada del estadio. Fue, efectivamente, un jonrón. Vea la . Media Acceda al siguiente recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con gráficos de ecuaciones paramétricas. Graficar ecuaciones paramétricas en la TI-84 Conceptos clave Se pueden utilizar ecuaciones paramétricas cuando hay una tercera variable, un tercer parámetro sobre el que x y y dependen. Para graficar ecuaciones paramétricas mediante el trazado de puntos, haga una tabla con tres columnas marcadas t , x ( t ) , y y ( t ) . Elija los valores para t en orden creciente. Trace las dos últimas columnas para x y y . Vea el y el . Al graficar una curva paramétrica mediante el trazado de puntos, anote los valores t asociados y muestre flechas en el gráfico que indiquen la orientación de la curva. Vea el y el . Las ecuaciones paramétricas permiten mostrar la dirección o la orientación de la curva en el gráfico. Las ecuaciones que no son funciones se pueden graficar y usar en muchas aplicaciones que implican movimiento. Vea el . El movimiento de proyectil depende de dos ecuaciones paramétricas x = ( v 0 cos θ ) t y y = - 16 t 2 + ( v 0 sen θ ) t + h . La velocidad inicial se simboliza como v 0 . θ representa el ángulo inicial del objeto al ser lanzado, y h representa la altura a la que se impulsa el objeto. Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuáles son los dos métodos utilizados para representar gráficamente ecuaciones paramétricas? trazar puntos con la flecha de orientación y una calculadora gráfica ¿Cuál es una diferencia en el trazado de ecuaciones paramétricas en comparación con las ecuaciones cartesianas? ¿Por qué algunos gráficos se dibujan con flechas? Las flechas muestran la orientación, la dirección del movimiento según los valores crecientes de t . Nombre algunos tipos comunes de gráficos de ecuaciones paramétricas. ¿Por qué son importantes los gráficos paramétricos para entender el movimiento de proyectil? Las ecuaciones paramétricas muestran los diferentes movimientos verticales y horizontales en el tiempo. Gráficos En los siguientes ejercicios, grafique cada conjunto de ecuaciones paramétricas y haga una tabla de valores. Incluya la orientación en el gráfico. { x ( t ) = t y ( t ) = t 2 – 1 t - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 x y { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = t 2 t - 3 - 2 - 1 0 1 2 x y { x ( t ) = 2 + t y ( t ) = 3 - 2 t t - 2 - 1 0 1 2 3 x y { x ( t ) = - 2 - 2 t y ( t ) = 3 + t t - 3 - 2 - 1 0 1 x y { x ( t ) = t 3 y ( t ) = t + 2 t - 2 - 1 0 1 2 x y { x ( t ) = t 2 y ( t ) = t + 3 t - 2 - 1 0 1 2 x y En los siguientes ejercicios, dibuje la curva e incluya la orientación. { x ( t ) = t y ( t ) = t { x ( t ) = - t y ( t ) = t { x ( t ) = 5 − | t | y ( t ) = t + 2 { x ( t ) = - t + 2 y ( t ) = 5 − | t | { x ( t ) = 4 sen t y ( t ) = 2 cos t { x ( t ) = 2 sen t y ( t ) = 4 cos t { x ( t ) = 3 cos 2 t y ( t ) = −3 sen t { x ( t ) = 3 cos 2 t y ( t ) = −3 sen 2 t { x ( t ) = sec t y ( t ) = tan t { x ( t ) = sec t y ( t ) = tan 2 t { x ( t ) = 1 e 2 t y ( t ) = e - t En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. Luego, escriba la ecuación cartesiana. { x ( t ) = t - 1 y ( t ) = - t 2 { x ( t ) = t 3 y ( t ) = t + 3 { x ( t ) = 2 cos t y ( t ) = - sen t { x ( t ) = 7 cos t y ( t ) = 7 sen t { x ( t ) = e 2 t y ( t ) = - e t En los siguientes ejercicios, grafique la ecuación e incluya la orientación. x = t 2 , y = 3 t , 0 ≤ t ≤ 5 x = 2 t , y = t 2 , - 5 ≤ t ≤ 5 x = t , y = 25 − t 2 , 0 < t ≤ 5 x ( t ) = - t , y ( t ) = t , t ≥ 0 x = - 2 cos t , y = 6 sen t , 0 ≤ t ≤ π x = − sec t , y = tan t , − π 2 < t < π 2 En los siguientes ejercicios, utilice las ecuaciones paramétricas para los enteros a y b : x ( t ) = a cos ( ( a + b ) t ) y ( t ) = a cos ( ( a - b ) t ) Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 2 y b = 1 , e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 3 y b = 2 e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 4 y b = 3 e incluya la orientación. Grafique en el dominio [ - π , 0 ] , donde a = 5 y b = 4 e incluya la orientación. Si los valores de a es 1 más que b , describa el efecto que los valores de a y b tienen en el gráfico de las ecuaciones paramétricas. Describa el gráfico si a = 100 y b = 99. Habrá 100 movimientos de ida y vuelta. ¿Qué pasa si b es 1 más que a ? Describa el gráfico. Si las ecuaciones paramétricas x ( t ) = t 2 y y ( t ) = 6 - 3 t tenemos el gráfico de una parábola horizontal que se abre hacia la derecha, ¿qué cambiaría la dirección de la curva? Tome lo contrario de la ecuación x ( t ) . En los siguientes ejercicios, describa el gráfico del conjunto de ecuaciones paramétricas. x ( t ) = - t 2 y y ( t ) es lineal y ( t ) = t 2 y x ( t ) es lineal La parábola se abre. y ( t ) = - t 2 y x ( t ) es lineal Escriba las ecuaciones paramétricas de un círculo con centro ( 0 , 0 ) , radio 5 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj. { x ( t ) = 5 cos t y ( t ) = 5 sen t Escriba las ecuaciones paramétricas de una elipse con centro ( 0 , 0 ) , eje mayor de longitud 10, eje menor de longitud 6 y una orientación en sentido contrario a las agujas del reloj. En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar en la ventana [ − 3 , 3 ] entre [ − 3 , 3 ] en el dominio [ 0 , 2 π ) para los siguientes valores de a y b e incluya la orientación. { x ( t ) = sen ( a t ) y ( t ) = sen ( b t ) a = 1 , b = 2 a = 2 , b = 1 a = 3 , b = 3 a = 5 , b = 5 a = 2 , b = 5 a = 5 , b = 2 En tecnología En los siguientes ejercicios, observe los gráficos creados por ecuaciones paramétricas de la forma { x ( t ) = a cos ( b t ) y ( t ) = c sen ( d t ) . Utilice el modo paramétrico de la calculadora gráfica para hallar los valores de a , b , c , y d para lograr cada gráfico. a = 4 , b = 3 , c = 6 , d = 1 a = 4 , b = 2 , c = 3 , d = 3 En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para graficar las ecuaciones paramétricas dadas. { x ( t ) = cos t - 1 y ( t ) = sen t + t { x ( t ) = cos t + t y ( t ) = sen t - 1 { x ( t ) = t - sen t y ( t ) = cos t - 1 Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 0 , 2 π ] . Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ 0 , 4 π ] . Grafique los tres conjuntos de ecuaciones paramétricas en el dominio [ − 4 π , 6 π ] . El gráfico de cada conjunto de ecuaciones paramétricas parece “desplazarse" por uno de los ejes. ¿Qué controla el eje por el que se desplaza el gráfico? Explique el efecto en el gráfico de la ecuación paramétrica cuando cambiamos sen t y cos t . La intersección en y cambia. Explique el efecto de la ecuación paramétrica en el gráfico cuando cambiamos el dominio. Extensiones Un objeto se lanza al aire con una velocidad vertical de 20 ft/s y una velocidad horizontal de 15 ft/s. Se puede describir la altura del objeto mediante la ecuación y ( t ) = - 16 t 2 + 20 t , mientras el objeto se mueve horizontalmente con una velocidad constante de 15 ft/s. Escriba ecuaciones paramétricas para la posición del objeto y luego elimine el tiempo para que escriba la altura en función de la posición horizontal. y ( x ) = - 16 ( x 15 ) 2 + 20 ( x 15 ) Un patinador que circula en patineta por una superficie plana a una velocidad constante de 9 ft/s lanza una pelota al aire, cuya altura se puede describir mediante la ecuación y ( t ) = - 16 t 2 + 10 t + 5 . Escriba ecuaciones paramétricas para la posición de la pelota y luego elimine el tiempo para escribir la altura en función de la posición horizontal. En los siguientes ejercicios, utilice este escenario: Se lanza un dardo hacia arriba con una velocidad inicial de 65 ft/s a un ángulo de elevación de 52°. Considere la posición del dardo en cualquier momento t . Ignore la resistencia del aire. Halle ecuaciones paramétricas que modelen la situación del problema. { x ( t ) = 64 t cos ( 52 ° ) y ( t ) = - 16 t 2 + 64 t sen ( 52 ° ) Halle todos los valores posibles de x que representan la situación. ¿Cuándo llegará el dardo al suelo? aproximadamente en 3,2 segundos Halle la altura máxima del dardo. ¿A qué hora alcanzará el dardo su máxima altura? 1,6 segundos En los siguientes ejercicios, observe los gráficos de cada una de las cuatro ecuaciones paramétricas. Aunque tienen un aspecto inusual y hermoso, son tan comunes que tienen nombres, como se indica en cada ejercicio. Utilice una herramienta gráfica para graficar cada una de ellas en el dominio indicado. Una epicicloide: { x ( t ) = 14 cos t − cos ( 14 t ) y ( t ) = 14 sen t + sen ( 14 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una hipocicloide: { x ( t ) = 6 sen t + 2 sen ( 6 t ) y ( t ) = 6 cos t - 2 cos ( 6 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una hipotrocoide: { x ( t ) = 2 sen t + 5 cos ( 6 t ) y ( t ) = 5 cos t - 2 sen ( 6 t ) en el dominio [ 0 , 2 π ] . Una rosa: { x ( t ) = 5 sen ( 2 t ) sen t y ( t ) = 5 sen ( 2 t ) cos t en el dominio [ 0 , 2 π ] .

Matemáticas


Vectores Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora, como se muestra en la . ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión? La velocidad con respecto al suelo se refiere a la velocidad de un avión que está en tierra. La velocidad aerodinámica se refiere a la velocidad que puede alcanzar un avión en relación con la masa de aire que lo rodea. Estas dos cantidades no son iguales debido al efecto del viento. En una sección anterior, utilizamos triángulos para resolver un problema similar relacionado con el movimiento de los barcos. Más adelante en esta sección hallaremos la velocidad con respecto al suelo y el rumbo del avión, mientras investigamos otro enfoque para problemas de este tipo. Sin embargo, primero vamos a examinar los fundamentos de los vectores. Visión geométrica de los vectores Un vector es una cantidad específica dibujada como un segmento de línea con una punta de flecha en un extremo. Tiene un punto inicial , donde comienza, y un punto terminal , donde termina. El vector se define por su magnitud , o la longitud de la línea, y su dirección, indicada por una punta de flecha en el punto terminal. Por lo tanto, el vector es un segmento rectilíneo dirigido. Hay varios símbolos que distinguen los vectores de otras cantidades: Letras minúsculas y en negrita, con o sin flecha en la parte superior, como por ejemplo v , u , w , v → , u → , w → . Dado el punto inicial P y punto terminal Q , un vector se puede representar como P Q → . La punta de flecha en la parte superior es lo que indica que no es solo una línea, sino un segmento rectilíneo dirigido. Dado un punto inicial de ( 0 , 0 ) y punto terminal ( a , b ) , un vector se puede representar como 〈 a , b 〉 . Este último símbolo 〈 a , b 〉 tiene un significado especial. Este se denomina posición estándar . El vector de posición tiene un punto inicial ( 0 , 0 ) y un punto terminal ( a , b ) . Para cambiar cualquier vector por el vector de posición, pensamos en el cambio de las coordenadas x y el cambio de las coordenadas y . Por lo tanto, si el punto inicial de un vector C D → es C ( x 1 , y 1 ) y el punto terminal es D ( x 2 , y 2 ) , entonces el vector de posición se halla calculando A b → = 〈 x 2 - x 1 , y 2 - y 1 〉 = 〈 a , b 〉 En la vemos el vector original C D → y el vector de posición A b → . una etiqueta de nota general Propiedades de los vectores Un vector es un segmento rectilíneo dirigido con un punto inicial y un punto terminal. Los vectores se identifican por la magnitud, o la longitud de la línea, y la dirección, representada por la punta de la flecha que apunta hacia el punto terminal. El vector de posición tiene un punto inicial en ( 0 , 0 ) y se identifica por su punto terminal ( a , b ) . Hallar el vector de posición Consideremos el vector cuyo punto inicial es P ( 2 , 3 ) y el punto terminal es Q ( 6 , 4 ) . Halle el vector de posición. El vector de posición se halla al restar una coordenada x de la otra coordenada x , y una coordenada y de la otra coordenada y . Así, v = 〈 6 - 2 , 4 - 3 〉 = 〈 4 , 1 〉 El vector de posición comienza en ( 0 , 0 ) y termina en ( 4 , 1 ) . Los gráficos de ambos vectores se muestran en la . Vemos que el vector de posición es 〈 4 , 1 〉 . Dibujar un vector con el criterio dado y su vector de posición equivalente Halle el vector de posición dado el vector v tiene un punto inicial en ( - 3 , 2 ) y un punto terminal en ( 4 , 5 ) , luego, grafique ambos vectores en el mismo plano. El vector de posición se halla utilizando el siguiente cálculo: v = 〈 4 - ( - 3 ) , 5 - 2 〉 = 〈 7 , 3 〉 Así, el vector de posición comienza en ( 0 , 0 ) y termina en ( 7 , 3 ) . Vea la . Dibuje un vector v que conecta desde el origen hasta el punto ( 3 , 5 ) . Hallar la magnitud y la dirección Para trabajar con un vector, tenemos que ser capaces de hallar su magnitud y su dirección. Hallamos su magnitud mediante el teorema de Pitágoras o la fórmula de distancia, y hallamos su dirección mediante la función tangente inversa. una etiqueta de nota general Magnitud y dirección de un vector Dado un vector de posición v = 〈 a , b 〉 , la magnitud se halla por | v | = a 2 + b 2 . La dirección es igual al ángulo formado con el eje x , o con el eje y , según la aplicación. Para un vector de posición, la dirección se halla mediante tan θ = ( b a ) ⇒ θ = tan - 1 ( b a ) , como se ilustra en la . Dos vectores v y u se consideran iguales si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Además, si ambos vectores tienen el mismo vector de posición, son iguales. Hallar la magnitud y la dirección de un vector Halle la magnitud y la dirección del vector con punto inicial P ( − 8 , 1 ) y punto terminal Q ( – 2 , - 5 ) . Dibuje el vector. Primero, halle el vector de posición . u = 〈 –2 , - ( −8 ) , −5 −1 〉 = 〈 6 , − 6 〉 Utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar la magnitud. | u | = ( 6 ) 2 + ( − 6 ) 2 = 72 = 6 2 La dirección está dada como tan θ = −6 6 = −1 ⇒ θ = tan –1 ( –1 ) = − 45° Sin embargo, el ángulo termina en el cuarto cuadrante, por lo que sumamos 360° para obtener un ángulo positivo. Así, − 45° + 360° = 315° . Vea la . Demostrar que dos vectores son iguales Demuestre que el vector v con punto inicial en ( 5 , −3 ) y punto terminal en ( –1 , 2 ) es igual al vector u con punto inicial en ( –1 , −3 ) y punto terminal en ( –7 , 2 ) . Dibuje el vector de posición en la misma cuadrícula que v y u . A continuación, calcule la magnitud and dirección de cada vector. Como se muestra en la , dibuje el vector v comenzando por el punto inicial ( 5 , −3 ) y punto terminal ( –1 , 2 ) . Dibuje el vector u con punto inicial ( –1 , −3 ) y punto terminal ( –7 , 2 ) . Calcule la posición estándar de cada uno. A continuación, halle y dibuje el vector de posición para v y u . Tenemos v = 〈 −1 - 5 , 2 - ( - 3 ) 〉 = 〈 –6 , 5 〉 u = 〈 −7 − ( –1 ) , 2 - ( −3 ) 〉 = 〈 –6 , 5 〉 Dado que los vectores de posición son los mismos v y u son iguales. Otra manera de comprobar la igualdad de los vectores es demostrar que la magnitud y la dirección son iguales para ambos vectores. Para demostrar que las magnitudes son iguales, utilice el teorema de Pitágoras. | v | = ( −1 - 5 ) 2 + ( 2 - ( −3 ) ) 2 = ( −6 ) 2 + ( 5 ) 2 = 36 + 25 = 61 | u | = ( −7 − ( –1 ) ) 2 + ( 2 - ( −3 ) ) 2 = ( −6 ) 2 + ( 5 ) 2 = 36 + 25 = 61 Como las magnitudes son iguales, ahora tenemos que verificar la dirección. Al utilizar la función tangente con el vector de posición se obtiene tan θ = - 5 6 ⇒ θ = tan - 1 ( - 5 6 ) = − 39,8° Sin embargo, podemos ver que el vector de posición termina en el segundo cuadrante, por lo que sumamos 180° . Así, la dirección es − 39,8° + 180° = 140,2 ° . Realizar suma de vectores y multiplicación escalar Ahora que entendemos las propiedades de los vectores, podemos realizar operaciones con ellos. Aunque es conveniente pensar en el vector u = 〈 x , y 〉 como una flecha o segmento rectilíneo dirigido desde el origen hasta el punto ( x , y ) , los vectores se sitúan en cualquier lugar del plano. La suma de dos vectores u y v , o suma de vectores , produce un tercer vector u + v , el vector resultante . Para calcular u + v , primero dibujamos el vector u , y desde el punto terminal de u , dibujamos el vector v . Es decir, tenemos que el punto inicial de v se encuentra con el punto terminal de u . Esta posición corresponde a la noción de que nos movemos a lo largo del primer vector y luego, desde su punto terminal, nos movemos a lo largo del segundo vector. La suma u + v es el vector resultante porque resulta de la suma o la resta de dos vectores. El vector resultante va directamente desde el principio de u hasta el final de v en una trayectoria recta, como se muestra en . La resta de vectores es similar a la suma de vectores. Para hallar u − v , véalo como u + (− v ). Para sumar - v se invierte el sentido de v para sumarlo al extremo de u . El nuevo vector comienza en el inicio de u y se detiene en el punto final de - v . Ver para una visual que compara la suma de vectores y la resta de vectores usando paralelogramos . Sumar y restar vectores Dado u = 〈 3 , - 2 〉 y v = 〈 –1 , 4 〉 , hallar dos nuevos vectores u + v y u − v . Para dar con la suma de dos vectores, sumamos sus componentes. Por lo tanto, u + v = 〈 3 , - 2 〉 + 〈 − 1 , 4 〉 = 〈 3 + ( - 1 ) , - 2 + 4 〉 = 〈 2 , 2 〉 Vea la (a) . Para hallar la diferencia de dos vectores, se suman los componentes negativos de v a u . Así, u + ( - v ) = 〈 3 , - 2 〉 + 〈 1 , - 4 〉 = 〈 3 + 1 , - 2 + ( - 4 ) 〉 = 〈 4 , − 6 〉 Vea la (b). (a) Suma de dos vectores (b) Diferencia de dos vectores Multiplicar por un escalar Mientras que la suma y la resta de vectores nos da un nuevo vector con una magnitud y una dirección diferentes, el proceso de multiplicar un vector por un escalar , una constante, solo cambia la magnitud del vector o la longitud de la línea. La multiplicación escalar no tiene efecto en la dirección a menos que el escalar sea negativo, en cuyo caso la dirección del vector resultante es opuesta a la del vector original. Una etiqueta de nota general Multiplicación escalar La multiplicación escalar implica el producto de un vector por un escalar. Cada componente del vector se multiplica por el escalar. Así, para multiplicar v = 〈 a , b 〉 entre k , tenemos k v = 〈 k a , k b 〉 Solo cambia la magnitud, a menos que k sea negativo, y entonces el vector invierte su dirección. Realizar multiplicación escalar Vector dado v = 〈 3 , 1 〉 , hallar 3 v , 1 2 v , y – v . Véase para una interpretación geométrica. Si v = 〈 3 , 1 〉 , entonces 3 v = 〈 3 ⋅ 3 , 3 ⋅ 1 〉 = 〈 9 , 3 〉 1 2 v = 〈 1 2 ⋅ 3 , 1 2 ⋅ 1 〉 = 〈 3 2 , 1 2 〉 − v = 〈 −3 , −1 〉 Análisis Observe que el vector 3 v es tres veces la longitud de v , 1 2 v es la mitad de la longitud de v , y – v es la misma longitud de v , pero en sentido contrario. Halle el múltiplo escalar 3 u dado u = 〈 5 , 4 〉 . 3 u = 〈 15 , 12 〉 Usar la suma de vectores y la multiplicación escalar para hallar un nuevo vector Dado u = 〈 3 , - 2 〉 y v = 〈 − 1 , 4 〉 , hallar un nuevo vector w = 3 u + 2 v . Primero, debemos multiplicar cada vector por el escalar. 3 u = 3 〈 3 , - 2 〉 = 〈 9 , − 6 〉 2 v = 2 〈 − 1 , 4 〉 = 〈 - 2 , 8 〉 Luego, sumar los dos elementos. w = 3 u + 2 v = 〈 9 , − 6 〉 + 〈 - 2 , 8 〉 = 〈 9 − 2 , − 6 + 8 〉 = 〈 7 , 2 〉 Así que, w = 〈 7 , 2 〉 . Hallar la forma en componentes En algunas aplicaciones en las que intervienen vectores, nos resulta útil poder descomponer un vector en sus componentes. Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal es la dirección x y el componente vertical es la dirección y . Por ejemplo, podemos ver en el gráfico de la que el vector de posición 〈 2 , 3 〉 resulta de sumar los vectores v 1 y v 2 . Tenemos v 1 con punto inicial ( 0 , 0 ) y punto terminal ( 2 , 0 ) . v 1 = 〈 2 - 0 , 0 - 0 〉 = 〈 2 , 0 〉 También tenemos v 2 con punto inicial ( 0 , 0 ) y punto terminal ( 0 , 3 ) . v 2 = 〈 0 - 0 , 3 - 0 〉 = 〈 0 , 3 〉 Por lo tanto, el vector de posición es v = 〈 2 + 0 , 3 + 0 〉 = 〈 2 , 3 〉 Con el teorema de Pitágoras, la magnitud de v 1 es 2, y la magnitud de v 2 es 3. Para hallar la magnitud de v , utilice la fórmula con el vector de posición. | v | = | v 1 | 2 + | v 2 | 2 = 2 2 + 3 2 = 13 La magnitud de v es 13 . Para hallar la dirección, utilizamos la función tangente tan θ = y x . tan θ = v 2 v 1 tan θ = 3 2 θ = tan - 1 ( 3 2 ) = 56,3° Así, la magnitud de v es 13 y la dirección es 56,3 ∘ de la horizontal. Hallar los componentes del vector Halle los componentes del vector v con punto inicial ( 3 , 2 ) y punto terminal ( 7 , 4 ) . Primero, halle la posición estándar. v = 〈 7 - 3 , 4 – 2 〉 = 〈 4 , 2 〉 Vea la ilustración en la . El componente horizontal es v 1 = 〈 4 , 0 〉 y el componente vertical es v 2 = 〈 0 , 2 〉. Hallar el vector unitario en la dirección de v Además de hallar los componentes de un vector, también sirve para resolver problemas hallar un vector en la misma dirección que el vector dado, pero de magnitud 1. Llamamos vector unitario a un vector con una magnitud de 1. Así podemos conservar la dirección del vector original y simplificar los cálculos. Los vectores unitarios se definen en términos de componentes. El vector unitario horizontal se escribe como i = 〈 1 , 0 〉 y se dirige a lo largo del eje horizontal positivo. El vector unitario vertical se escribe como j = 〈 0 , 1 〉 y se dirige a lo largo del eje vertical positivo. Vea la . una etiqueta de nota general Los vectores unitarios Si v es un vector distinto de cero, entonces v | v | es un vector unitario en la dirección de v . Cualquier vector dividido entre su magnitud es un vector unitario. Observe que la magnitud es siempre un escalar, y que dividir entre un escalar es lo mismo que multiplicar por el recíproco del escalar. Hallar el vector unitario en la dirección de v Halle un vector unitario en la misma dirección que v = 〈 −5 , 12 〉. Primero hallaremos la magnitud. | v | = ( - 5 ) 2 + ( 12 ) 2 = 25 + 144 = 169 = 13 A continuación, dividimos cada componente entre | v |, lo cual resulta en un vector unitario en la misma dirección que v : v | v | = - 5 13 i + 12 13 j o en forma de componente v | v | = 〈 − 5 13 , 12 13 〉 Vea la . Compruebe que la magnitud del vector unitario es igual a 1. La magnitud de − 5 13 i + 12 13 j se da como ( - 5 13 ) 2 + ( 12 13 ) 2 = 25 169 + 144 169 = 169 169 = 1 El vector u = 5 13 i + 12 13 j es el vector unitario en la misma dirección que v = 〈 − 5 , 12 〉 . Realizar operaciones con vectores en términos de i y j Hasta ahora hemos investigado los fundamentos de los vectores: magnitud y dirección, suma y resta de vectores, multiplicación escalar, las componentes de los vectores y la representación de los vectores geométricamente. Ahora que estamos familiarizados con las estrategias generales utilizadas en el trabajo con vectores, representaremos los vectores en coordenadas rectangulares en términos de i y j . una etiqueta de nota general Vectores en el plano rectangular Dado un vector v con punto inicial P = ( x 1 , y 1 ) y punto terminal Q = ( x 2 , y 2 ), v se escribe como v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j El vector de posición de ( 0 , 0 ) al ( a , b ) , donde ( x 2 - x 1 ) = a y ( y 2 - y 1 ) = b , se escribe como v = a i + b j . Esta suma vectorial se denomina a) combinación lineal de los vectores i y j . La magnitud de v = a i + b j viene dada como | v | = a 2 + b 2 . Vea la . Escribir un vector en términos de i y j Dado un vector v con punto inicial P = ( 2 , –6 ) y punto terminal Q = ( –6 , 6 ) , escriba el vector en términos de i y j . Comience escribiendo la forma general del vector. A continuación, sustituya las coordenadas por los valores dados. v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j = ( − 6 - 2 ) i + ( 6 − ( − 6 ) ) j = - 8 i + 12 j Escribir un vector en términos de i y j utilizando los puntos inicial y final Dado el punto inicial P 1 = ( - 1 , 3 ) y punto terminal P 2 = ( 2 , 7 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Comience escribiendo la forma general del vector. A continuación, sustituya las coordenadas por los valores dados. v = ( x 2 - x 1 ) i + ( y 2 - y 1 ) j v = ( 2 - ( - 1 ) ) i + ( 7 - 3 ) j = 3 i + 4 j Escriba el vector u con punto inicial P = ( - 1 , 6 ) y punto terminal Q = ( 7 , - 5 ) en términos de i y j . u = 8 i - 11 j Realizar operaciones con vectores en términos de i y j Cuando los vectores se escriben en términos de i y j , podemos realizar sumas, restas y multiplicaciones escalares con operaciones sobre los componentes correspondientes. una etiqueta de nota general Suma y resta de vectores en coordenadas rectangulares Dado v = a i + b j y u = c i + d j , entonces v + u = ( a + c ) i + ( b + d ) j v - u = ( a - c ) i + ( b − d ) j Hallar la suma de los vectores Calcule la suma de v 1 = 2 i - 3 j y v 2 = 4 i + 5 j . Según la fórmula, tenemos v 1 + v 2 = ( 2 + 4 ) i + ( - 3 + 5 ) j = 6 i + 2 j Calcular la forma en componentes de un vector: Dirección Hemos visto cómo dibujar vectores según sus puntos iniciales y terminales y cómo hallar el vector de posición. También hemos examinado la notación para vectores dibujados específicamente en el plano de coordenadas cartesianas utilizando i y j . Para cualquiera de estos vectores, podemos calcular la magnitud. Ahora queremos combinar los puntos clave y profundizar en las ideas de magnitud y dirección. El cálculo de la dirección sigue el mismo proceso directo que utilizamos para las coordenadas polares. Hallamos la dirección del vector al hallar el ángulo con la horizontal. Para ello utilizamos las identidades trigonométricas básicas, pero con | v | sustituyendo a r . una etiqueta de nota general Componentes vectoriales en términos de magnitud y dirección Dado un vector de posición v = 〈 x , y 〉 y un ángulo de dirección θ , cos θ = x | v | y sen θ = y | v | x = | v | cos θ y = | v | sen θ Por lo tanto, v = x i + y j = | v | cos θ i + | v | sen θ j , y la magnitud se expresa como | v | = x 2 + y 2 . Escribir un vector en términos de magnitud y dirección Escriba un vector de longitud 7 con un ángulo de 135º respecto al eje x positivo en términos de magnitud y dirección. Si utilizamos las fórmulas de conversión x = | v | cos θ y y = | v | sen θ , hallamos que x = 7 cos ( 135° ) = - 7 2 2 y = 7 sen ( 135° ) = 7 2 2 Este vector se puede escribir como v = 7 cos ( 135° ) + 7 sen ( 135° ) o simplificarse como v = - 7 2 2 + 7 2 2 función ejercicio Un vector se desplaza desde el origen hasta el punto ( 3 , 5 ) . Escriba el vector en términos de magnitud y dirección. v = 34 cos ( 59° ) i + 34 sen ( 59° ) j Magnitud = 34 θ = tan - 1 ( 5 3 ) = 59,04 ° Calcular el producto punto de dos vectores Como ya hemos comentado en esta sección, la multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por un escalar, y el resultado es un vector. Como hemos visto, multiplicar un vector por un número se llama multiplicación escalar. Si multiplicamos un vector por otro vector, existen dos posibilidades: el producto punto y el producto cruzado . Aquí solo examinaremos el producto punto; es posible que halle el producto cruzado en cursos de matemáticas más avanzados. El producto punto de dos vectores consiste en multiplicar dos vectores entre sí, y el resultado es un escalar. una etiqueta de nota general Producto escalar El producto punto de dos vectores v = 〈 a , b 〉 y u = 〈 c , d 〉 es la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales. v ⋅ u = a c + b d Para hallar el ángulo entre los dos vectores, utilice la siguiente fórmula. cos θ = v | v | ⋅ u | u | Calcular el producto punto de dos vectores Halle el producto punto de v = 〈 5 , 12 〉 y u = 〈 −3 , 4 〉 . Utilizando la fórmula, tenemos v ⋅ u = 〈 5 , 12 〉 ⋅ 〈 − 3 , 4 〉 = 5 ⋅ ( - 3 ) + 12 ⋅ 4 = - 15 + 48 = 33 Hallar el producto escalar de dos vectores y el ángulo entre ellos Halle el producto punto de v 1 = 5 i + 2 j y v 2 = 3 i + 7 j . Luego, halle el ángulo entre los dos vectores. Al hallar el producto punto, multiplicamos los componentes correspondientes. v 1 ⋅ v 2 = 〈 5 , 2 〉 ⋅ 〈 3 , 7 〉 = 5 ⋅ 3 + 2 ⋅ 7 = 15 + 14 = 29 Para hallar el ángulo entre ellos, utilizamos la fórmula cos θ = v | v | ⋅ u | u | . v | v | ⋅ u | u | = 〈 5 29 + 2 29 〉 ⋅ 〈 3 58 + 7 58 〉 = 5 29 ⋅ 3 58 + 2 29 ⋅ 7 58 = 15 1682 + 14 1682 = 29 1682 = 0,707107 cos − 1 ( 0,707107 ) = 45° Vea la . Calcular el ángulo entre dos vectores Calcule el ángulo entre u = 〈 − 3 , 4 〉 y v = 〈 5 , 12 〉 . Con la fórmula tenemos θ = cos − 1 ( u | u | ⋅ v | v | ) ( u | u | ⋅ v | v | ) = - 3 i + 4 j 5 ⋅ 5 i + 12 j 13 = ( - 3 5 ⋅ 5 13 ) + ( 4 5 ⋅ 12 13 ) = - 15 65 + 48 65 = 33 65 θ = cos − 1 ( 33 65 ) = 59,5 ∘ Vea la . Hallar la velocidad con respecto al suelo y el rumbo utilizando vectores Ahora tenemos las herramientas para resolver el problema que introdujimos en la apertura de la sección. Un avión vuela a una velocidad aerodinámica de 200 millas por hora y se dirige a un rumbo SE de 140°. Un viento del norte (de norte a sur) sopla a 16,2 millas por hora. ¿Cuál es la velocidad con respecto al suelo y el rumbo real del avión? Vea la . La velocidad con respecto al suelo está representada por x en el diagrama, y necesitamos hallar el ángulo α para calcular el rumbo ajustado, que será 140° + α . Observe que en la , el ángulo b C O debe ser igual al ángulo A O C por la regla de los ángulos interiores alternos, por lo que el ángulo b C O es de 140°. Podemos hallar x por la ley de cosenos: x 2 = ( 16,2 ) 2 + ( 200 ) 2 - 2 ( 16,2 ) ( 200 ) cos ( 140° ) x 2 = 45 , 226,41 x = 45 , 226,41 x = 212,7 La velocidad con respecto al suelo es de 213 millas por hora aproximadamente. Ahora podemos calcular el rumbo utilizando la ley de senos. sen α 16,2 = sen ( 140° ) 212,7 sen α = 16,2 sen ( 140° ) 212,7 = 0,04896 sen − 1 ( 0,04896 ) = 2,8 ° Por lo tanto, el avión tiene un rumbo SE de 140° + 2,8° = 142,8°. La velocidad con respecto al suelo es de 212,7 millas por hora. etiqueta de recursos multimedia Acceda a estos recursos en línea para obtener más información y practicar los vectores. Introducción a vectores Operaciones vectoriales El vector unitario Conceptos clave El vector de posición tiene su punto inicial en el origen. Vea el . Si el vector de posición es el mismo para dos vectores, son iguales. Vea el . Los vectores se definen por su magnitud y dirección. Vea el . Si dos vectores tienen la misma magnitud y dirección, son iguales. Vea el . La suma y la resta de vectores dan como resultado un nuevo vector que se halla al sumar o restar los elementos correspondientes. Vea el . La multiplicación escalar consiste en multiplicar un vector por una constante. Solo cambia la magnitud; la dirección sigue siendo la misma. Vea el y el . Los vectores están formados por dos componentes: el componente horizontal a lo largo del eje x positivo y el componente vertical a lo largo del eje y positivo. Vea el . El vector unitario en la misma dirección de cualquier vector distinto de cero se halla al dividir el vector entre su magnitud. La magnitud de un vector en el sistema de coordenadas rectangulares es | v | = a 2 + b 2 . Ver el . En el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores unitarios pueden representarse en términos de i y j donde i representa el componente horizontal y j representa el componente vertical. Entonces, v = a i + b j es un múltiplo escalar de v por números reales a y b . Vea el y el . Sumar y restar vectores en términos de i y j consiste en sumar o restar los coeficientes correspondientes de i y los coeficientes correspondientes de j . Vea el . Un vector v = a i + b j se escribe en términos de magnitud y dirección como v = | v | cos θ i + | v | sen θ j . Vea el . El producto punto de dos vectores es el producto de los términos i más el producto de los términos j . Vea el . Podemos utilizar el producto punto para hallar el ángulo entre dos vectores. y . Los productos punto son útiles para muchos tipos de aplicaciones físicas. Vea el . Ejercicios de la sección Verbales ¿Cuáles son las características de las letras que se suelen utilizar para representar vectores? letra minúscula, en negrita, generalmente u , v , w ¿Por qué un vector es más específico que un segmento de línea? ¿Qué son i y j , y qué representan? Son vectores unitarios. Se utilizan para representar los componentes horizontales y verticales de un vector. Cada uno de ellos tiene una magnitud de 1. ¿Qué es la forma de los componentes? Cuando un vector unitario se expresa como 〈 a , b 〉 , ¿cuál letra es el coeficiente de la i y cuál es la de la j ? El primer número representa siempre el coeficiente de la i , y el segundo representa el coeficiente de la j . Algebraicos Dado un vector con punto inicial ( 5 , 2 ) y punto terminal ( - 1 , - 3 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . Dado un vector con punto inicial ( - 4 , 2 ) y punto terminal ( 3 , - 3 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . 〈 7 , - 5 〉 Dado un vector con punto inicial ( 7 , - 1 ) y punto terminal ( - 1 , - 7 ) , halle un vector equivalente cuyo punto inicial es ( 0 , 0 ) . Escriba el vector en forma de componentes 〈 a , b 〉 . En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores u y v son iguales, donde u tiene un punto inicial P 1 y un punto terminal P 2 y v tiene un punto inicial P 3 y un punto terminal P 4 . P 1 = ( 5 , 1 ) , P 2 = ( 3 , - 2 ) , P 3 = ( - 1 , 3 ) , y P 4 = ( 9 , - 4 ) no es igual P 1 = ( 2 , - 3 ) , P 2 = ( 5 , 1 ) , P 3 = ( 6 , - 1 ) , y P 4 = ( 9 , 3 ) P 1 = ( - 1 , - 1 ) , P 2 = ( - 4 , 5 ) , P 3 = ( − 10 , 6 ) , y P 4 = ( − 13 , 12 ) igual P 1 = ( 3 , 7 ) , P 2 = ( 2 , 1 ) , P 3 = ( 1 , 2 ) , y P 4 = ( - 1 , - 4 ) P 1 = ( 8 , 3 ) , P 2 = ( 6 , 5 ) , P 3 = ( 11 , 8 ) , y P 4 = ( 9 , 10 ) igual Dado el punto inicial P 1 = ( - 3 , 1 ) y punto terminal P 2 = ( 5 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dado el punto inicial P 1 = ( 6 , 0 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , - 3 ) , escriba el vector v en términos de i y j . 7 i - 3 j En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = i + 5 j , v = −2 i − 3 j , y w = 4 i − j . Halle u + ( v − w ) Halle 4 v + 2 u − 6 i - 2 j En los siguientes ejercicios, utilice los vectores dados para calcular u + v , u − v y 2 u − 3 v . u = 〈 2 , - 3 〉 , v = 〈 1 , 5 〉 u = 〈 − 3 , 4 〉 , v = 〈 - 2 , 1 〉 u + v = 〈 − 5 , 5 〉 , u - v = 〈 − 1 , 3 〉 , 2 u - 3 v = 〈 0 , 5 〉 Supongamos que v = −4 i + 3 j . Halle un vector que tenga la mitad de la longitud y apunte en la misma dirección que v . Supongamos que v = 5 i + 2 j . Halle un vector que tenga el doble de longitud y apunte en la dirección opuesta a v . − 10 i – 4 j En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. a = 3 i + 4 j b = −2 i + 5 j - 2 29 29 i + 5 29 29 j c = 10 i – j d = - 1 3 i + 5 2 j - 2 229 229 i + 15 229 229 j u = 100 i + 200 j u = −14 i + 2 j − 7 2 10 i + 2 10 j En los siguientes ejercicios, halle la magnitud y la dirección del vector, 0 ≤ θ < 2 π . 〈 0 , 4 〉 〈 6 , 5 〉 | v | = 7,810 , θ = 39,806 ° 〈 2 , −5 〉 〈 –4 , −6 〉 | v | = 7,211 , θ = 236,310 ° Dado u = 3 i − 4 j y v = −2 i + 3 j , calcule u ⋅ v . Dado u = − i − j y v = i + 5 j , calcule u ⋅ v . − 6 Dados u = 〈 - 2 , 4 〉 y v = 〈 − 3 , 1 〉 , calcule u ⋅ v . Dado que u = 〈 − 1 , 6 〉 y v = 〈 6 , - 1 〉 , calcule u ⋅ v . − 12 Gráficos En los siguientes ejercicios, dados v , dibuje v , 3 v y 1 2 v . 〈 2 , −1 〉 〈 –1 , 4 〉 〈 −3 , −2 〉 En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para hacer un dibujo u + v , u − v y 2 u . En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar 2 u + v . En los siguientes ejercicios, utilice los vectores mostrados para dibujar u − 3 v . En los siguientes ejercicios, escriba el vector mostrado en forma de componentes. 〈 4 , 1 〉 Dado el punto inicial P 1 = ( 2 , 1 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j , y luego dibuje el vector en el gráfico. Dado el punto inicial P 1 = ( 4 , - 1 ) y punto terminal P 2 = ( - 3 , 2 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. v = - 7 i + 3 j Dado el punto inicial P 1 = ( 3 , 3 ) y punto terminal P 2 = ( - 3 , 3 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. Extensiones En los siguientes ejercicios, utilice la magnitud y la dirección dadas en posición estándar, escriba el vector en forma de componente. | v | = 6 , θ = 45 ° 3 2 i + 3 2 j | v | = 8 , θ = 220° | v | = 2 , θ = 300° i - 3 j | v | = 5 , θ = 135° Una caja de 60 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 12°. Redondeando a la décima más cercana, Ⓐ Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza. Ⓑ Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa. Ⓐ 58,7 Ⓑ 12,5 Una caja de 25 libras está apoyada en una rampa con una inclinación de 8°. Redondeando a la décima más cercana, Ⓐ Calcule la magnitud de la componente normal (perpendicular) de la fuerza. Ⓑ Calcule la magnitud de la componente de la fuerza que es paralela a la rampa. Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 8 libras que apunta en una dirección de 27° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. x = 7,13 libras, y = 3,63 libras Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 4 libras que apunta en una dirección de 127° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical de un vector de magnitud 5 libras que apunta en una dirección de 55° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. x = 2,87 libras, y = 4,10 libras Hallar la magnitud de los componentes horizontal y vertical del vector de magnitud 1 libra que apunta en una dirección de 8° sobre la horizontal. Redondee a la centésima más cercana. Aplicaciones en el mundo real Una mujer sale de su casa y camina 3 millas hacia el oeste y luego 2 millas hacia el suroeste. ¿A qué distancia está de su casa y en qué dirección debe caminar para dirigirse directamente a la casa? 4,635 millas, 17,764° N del E Un barco sale del puerto deportivo y navega 6 millas hacia el norte, luego 2 millas hacia el noreste. ¿A qué distancia del puerto deportivo está el barco y en qué dirección debe navegar para volver directamente al puerto? Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 2 millas al sureste, 5 millas al sur, 4 millas al suroeste y 2 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si regresara a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar? 17 millas. 10,318 millas. Una mujer empieza a caminar desde su casa y recorre 4 millas al este, 7 millas al sureste, 6 millas al sur, 5 millas al suroeste y 3 millas al este. ¿Cuánto ha caminado? Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar? Un hombre comienza a caminar desde su casa y recorre 3 millas a 20° al norte del oeste, luego 5 millas a 10° al oeste del sur, luego 4 millas a 15° al norte del este. Si volviera a casa en línea recta, ¿qué distancia tendría que recorrer y en qué dirección? Distancia: 4,62 Dirección: 86,474° al norte del oeste, o 3,526° al oeste del norte. Una mujer comienza a caminar desde su casa y recorre 6 millas a 40° al norte del este, luego 2 millas a 15° al este del sur y luego 5 millas a 30° al sur del oeste. Si volviera a casa en línea recta, ¿cuánto tendría que caminar y en qué dirección? Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 600 km/h, pero hay un viento que sopla del suroeste a 80 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo? 4,924°. 659 km/h Un avión se dirige al norte a una velocidad aerodinámica de 500 km/h, pero hay un viento que sopla del noroeste a 50 km/h. ¿Cuántos grados de desviación del rumbo terminará volando el avión y cuál es la velocidad del avión con respecto al suelo? Un avión tiene que dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del suroeste a 60 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 550 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión? 4,424° Un avión necesita dirigirse hacia el norte, pero hay un viento que sopla del noroeste a 80 km/h. El avión vuela con una velocidad aerodinámica de 500 km/h. Para acabar volando hacia el norte, ¿cuántos grados al oeste del norte necesitará el piloto para volar el avión? Como parte de un videojuego, el punto ( 5 , 7 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 35°. Halle las nuevas coordenadas de este punto. ( 0,081 , 8,602 ) Como parte de un videojuego, el punto ( 7 , 3 ) se gira en sentido contrario a las agujas del reloj en torno al origen con un ángulo de 40°. Halle las nuevas coordenadas de este punto. Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 10 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 25 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)? 21,801°, respecto a la dirección de avance del automóvil Dos niños se lanzan una pelota de un lado a otro del asiento trasero de un auto. La pelota se lanza a 8 mph en relación con el automóvil, y el automóvil está viajando a 45 mph por la carretera. Si uno de los niños no atrapa la pelota y esta sale volando por la ventana, ¿en qué dirección vuela la pelota (sin tener en cuenta la resistencia del viento)? Un objeto de 50 libras descansa en una rampa con una inclinación de 19°. Halle la magnitud de los componentes de la fuerza paralela y perpendicular (normal) a la rampa, con una precisión de una décima de una libra. paralelos: 16,28, perpendicular: 47,28 libras Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él hacia arriba y 5 libras que actúan sobre él a 45º de la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo? Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 10 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 25 libras que actúan sobre él ─135° desde la horizontal y 5 libras que actúan sobre él dirigidas 150° desde la horizontal. ¿Qué fuerza única es la resultante que actúa sobre el cuerpo? 19,35 libras, 231,54° de la horizontal La condición de equilibrio es cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es el vector cero. Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 2 libras que actúan sobre él hacia la derecha, 5 libras que actúan sobre él hacia arriba y 3 libras que actúan sobre él a 45° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo? Supongamos que un cuerpo tiene una fuerza de 3 libras que actúan sobre él hacia la izquierda, 4 libras que actúan sobre él hacia arriba y 2 libras que actúan sobre él a 30° de la horizontal. ¿Qué fuerza única se necesita para producir un estado de equilibrio en el cuerpo? Dibuje el vector. 5,1583 libras, 75,8° desde la horizontal Ejercicios de repaso del capítulo Triángulos no rectos: ley de senos En los siguientes ejercicios, supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva cada triángulo, si es posible. Redondee cada respuesta a la décima más cercana. β = 50° , a = 105 , b = 45 No es posible α = 43,1° , a = 184,2 , b = 242,8 Resuelva el triángulo. C = 120° , a = 23,1 , c = 34,1 Halle el área del triángulo. Un piloto vuela sobre una carretera recta. Él determina que los ángulos de depresión de dos hitos, separados por 2,1 km, son de 25° y 49°, como se muestra en la . Calcule la distancia del avión al punto A y la elevación del avión. distancia del avión al punto A : 2,2 km, elevación del avión: 1,6 km Triángulos no rectos: ley de cosenos Resuelva el triángulo, redondeando a la décima más cercana, suponiendo que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c : a = 4 , b = 6 , c = 8. Resuelva el triángulo de la , redondeando a la décima más cercana. b = 71,0° , C = 55,0° , a = 12,8 Halle el área de un triángulo con lados de longitud 8,3, 6,6 y 9,1. Para hallar la distancia entre dos ciudades, un satélite calcula las distancias y el ángulo que se muestran en la (no a escala). Halle la distancia entre las ciudades. Redondee las respuestas a la décima más cercana. 40,6 km Coordenadas polares Trace el punto con coordenadas polares ( 3 , π 6 ) . Trace el punto con coordenadas polares ( 5 , - 2 π 3 ) Convierta ( 6 , - 3 π 4 ) a coordenadas rectangulares. Convierta ( – 2 , 3 π 2 ) a coordenadas rectangulares. ( 0 , 2 ) Convierta ( 7 , - 2 ) a coordenadas polares. Convierta ( − 9 , - 4 ) a coordenadas polares. ( 9,8489 , 203,96° ) En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación cartesiana dada en una ecuación polar. x = - 2 x 2 + y 2 = 64 r = 8 x 2 + y 2 = - 2 y En los siguientes ejercicios, convierta la ecuación polar dada en una ecuación cartesiana. r = 7 cos θ x 2 + y 2 = 7 x r = - 2 4 cos θ + sen θ En los siguientes ejercicios, convierta a forma rectangular y grafique. θ = 3 π 4 y = - x r = 5 sec θ Coordenadas polares: gráficos En los siguientes ejercicios, compruebe la simetría de cada ecuación. r = 4 + 4 sen θ es simétrica con respecto a la línea θ = π 2 r = 7 Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 1 - 5 sen θ . Marcar las intersecciones del eje. Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 5 sen ( 7 θ ) . Dibuje un gráfico de la ecuación polar r = 3 - 3 cos θ Forma polar de números complejos En los siguientes ejercicios, halle el valor absoluto de cada número complejo. - 2 + 6 i 4 -  3 i 5 Escriba el número complejo en forma polar. 5 + 9 i 1 2 - 3 2  i cis ( - π 3 ) En los siguientes ejercicios, convierta el número complejo de forma polar a rectangular. z = 5 cis ( 5 π 6 ) z = 3 cis ( 40° ) 2,3 + 1,9 i En los siguientes ejercicios, halle el producto z 1 z 2 en forma polar. z 1 = 2 cis ( 89° ) z 2 = 5 cis ( 23° ) z 1 = 10 cis ( π 6 ) z 2 = 6 cis ( π 3 ) 60 cis ( π 2 ) En los siguientes ejercicios, halle el cociente z 1 z 2 en forma polar. z 1 = 12 cis ( 55° ) z 2 = 3 cis ( 18° ) z 1 = 27 cis ( 5 π 3 ) z 2 = 9 cis ( π 3 ) 3 cis ( 4 π 3 ) En los siguientes ejercicios, calcule las potencias de cada número complejo en forma polar. Calcule z 4 cuando z = 2 cis ( 70° ) Calcule z 2 cuando z = 5 cis ( 3 π 4 ) 25 cis ( 3 π 2 ) En los siguientes ejercicios, evalúe cada raíz. Evalúe la raíz cúbica de z cuando z = 64 cis ( 210° ) . Evalúe la raíz cuadrada de z cuando z = 25 cis ( 3 π 2 ) . 5 cis ( 3 π 4 ) , 5 cis ( 7 π 4 ) En los siguientes ejercicios, trace el número complejo en el plano complejo. 6 - 2 i - 1 + 3 i Ecuaciones paramétricas En los siguientes ejercicios, elimine el parámetro t para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana. { x ( t ) = 3 t - 1 y ( t ) = t { x ( t ) = - cos t y ( t ) = 2 sen 2 t x 2 + 1 2 y = 1 Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica) cada ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t por x 2 25 + y 2 16 = 1. Parametrice la línea de ( – 2 , 3 ) al ( 4 , 7 ) para que la línea esté en ( – 2 , 3 ) en t = 0 y ( 4 , 7 ) en t = 1. { x ( t ) = - 2 + 6 t y ( t ) = 3 + 4 t Ecuaciones paramétricas: gráficos En los siguientes ejercicios, haga una tabla de valores para cada conjunto de ecuaciones paramétricas, grafique las ecuaciones e incluya una orientación; luego escriba la ecuación cartesiana. { x ( t ) = 3 t 2 y ( t ) = 2 t - 1 { x ( t ) = e t y ( t ) = - 2 e 5 t y = - 2 x 5 { x ( t ) = 3 cos t y ( t ) = 2 sen t Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 80 pies por segundo con un ángulo de 40° respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 4 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota. Ⓑ ¿Dónde está el balón después de 3 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? { x ( t ) = ( 80 cos ( 40° ) ) t y ( t ) = - 16 t 2 + ( 80 sen ( 40° ) ) t + 4 La pelota tiene 14 pies de altura y 184 pies desde donde se lanzó. 3,3 segundos Vectores En los siguientes ejercicios, determine si los dos vectores, u y v , son iguales, donde u tiene un punto inicial P 1 y un punto terminal P 2 , y v tiene un punto inicial P 3 y un punto terminal P 4 . P 1 = ( - 1 , 4 ) , P 2 = ( 3 , 1 ) , P 3 = ( 5 , 5 ) y P 4 = ( 9 , 2 ) P 1 = ( 6 , 11 ) , P 2 = ( – 2 , 8 ) , P 3 = ( 0 , - 1 ) y P 4 = ( − 8 , 2 ) no es igual En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = 2 i - j , v = 4 i - 3 j , y w = - 2 i + 5 j para evaluar la expresión. u − v 2 v − u + w 4 i En los siguientes ejercicios, halle un vector unitario en la misma dirección que el vector dado. a = 8 i − 6 j b = −3 i − j - 3 10 10 i − 10 10 j En los siguientes ejercicios, calcule la magnitud y la dirección del vector. 〈 6 , −2 〉 〈 −3 , −3 〉 Magnitud: 3 2 , Dirección: 225° En los siguientes ejercicios, calcule u ⋅ v . u = −2 i + j y v = 3 i + 7 j u = i + 4 j y v = 4 i + 3 j 16 Dado que v = 〈 −3 , 4 〉 dibuje v , 2 v y 1 2 v . Dados los vectores que se muestran en la , dibuje u + v , u − v y 3 v Dado el punto inicial P 1 = ( 3 , 2 ) y punto terminal P 2 = ( - 5 , - 1 ) , escriba el vector v en términos de i y j . Dibuje los puntos y el vector en el gráfico. Prueba de práctica Supongamos que α es el lado opuesto a , β es el lado opuesto b , y γ es el lado opuesto c . Resuelva el triángulo, si es posible, y redondee cada respuesta a la décima más cercana, dado que β = 68° , b = 21 , c = 16. α = 67,1° , γ = 44,9° , a = 20,9 Halle el área del triángulo en la . Redondee cada respuesta a la décima más cercana. Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 2 horas. A continuación, realiza una corrección de rumbo, dirigiéndose 15° a la derecha de su rumbo original, y vuela 1 hora en la nueva dirección. Si mantiene una velocidad constante de 575 millas por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su posición inicial? 1.712 millas Convierta ( 2 , 2 ) a coordenadas polares y luego dibuje el punto. Convierta ( 2 , π 3 ) a coordenadas rectangulares. ( 1 , 3 ) Convierta la ecuación polar en una ecuación cartesiana: x 2 + y 2 = 5 y. Convierta a forma rectangular y grafique: r = - 3 csc θ . y = - 3 Pruebe la simetría de la ecuación: r = – 4 sen ( 2 θ ). Grafique r = 3 + 3 cos θ . Grafique r = 3 - 5 sen θ . Halle el valor absoluto del número complejo 5 − 9 i . 106 Escriba el número complejo en forma polar: 4 + i . Convierta el número complejo de forma polar a rectangular: z = 5 cis ( 2 π 3 ) . - 5 2 + i 5 3 2 Dados z 1 = 8 cis ( 36° ) y z 2 = 2 cis ( 15° ) , evalúe cada expresión. z 1 z 2 z 1 z 2 4 cis ( 21° ) ( z 2 ) 3 z 1 2 2 cis ( 18° ) , 2 2 cis ( 198° ) Trace el número complejo −5 − i en el plano complejo. Eliminar el parámetro t para reescribir las siguientes ecuaciones paramétricas como una ecuación cartesiana: { x ( t ) = t + 1 y ( t ) = 2 t 2 . y = 2 ( x – 1 ) 2 Parametrice (escriba una ecuación paramétrica) la siguiente ecuación cartesiana utilizando x ( t ) = a cos t y y ( t ) = b sen t : x 2 36 + y 2 100 = 1. Grafique el conjunto de ecuaciones paramétricas y halle la ecuación cartesiana: { x ( t ) = - 2 sen t y ( t ) = 5 cos t . Se lanza una pelota con una velocidad inicial de 95 pies por segundo a un ángulo de 52° con respecto a la horizontal. La pelota se suelta a una altura de 3,5 pies del suelo. Ⓐ Halle las ecuaciones paramétricas para modelar la trayectoria de la pelota. Ⓑ ¿Dónde está la pelota después de 2 segundos? Ⓒ ¿Cuánto tiempo está la pelota en el aire? En los siguientes ejercicios, utilice los vectores u = i − 3 j y v = 2 i + 3 j . Halle 2 u − 3 v . −4 i − 15 j Calcule u ⋅ v . Halle un vector unitario en la misma dirección que v . 2 13 13 i + 3 13 13 j Vector dado v tiene un punto inicial P 1 = ( 2 , 2 ) y punto terminal P 2 = ( - 1 , 0 ) , escriba el vector v en términos de i y j . En el gráfico, dibuje v , y − v . producto punto dados dos vectores, la suma del producto de los componentes horizontales y el producto de los componentes verticales punto inicial el origen de un vector magnitud la longitud de un vector; puede representar una cantidad como la velocidad, y se calcula utilizando el teorema de Pitágoras resultante un vector que resulta de la suma o la resta de dos vectores o de la multiplicación escalar escalar una cantidad asociada a la magnitud, pero no a la dirección; una constante multiplicación escalar el producto de una constante por cada componente de un vector posición estándar la colocación de un vector con el punto inicial en ( 0 , 0 ) y el punto terminal ( a , b ) , representado por el cambio en las coordenadas x y el cambio en las coordenadas y del vector original punto terminal el punto final de un vector, normalmente representado por una flecha que indica su dirección vector unitario un vector que comienza en el origen y tiene magnitud de 1; el vector unitario horizontal recorre el eje x y se define como v 1 = 〈 1 , 0 〉 el vector unitario vertical está a lo largo del eje y y se define como v 2 = 〈 0 , 1 〉 . vector una cantidad asociada tanto a la magnitud como a la dirección, representada como un segmento rectilíneo dirigido con un punto de partida (punto inicial) y un punto final (punto terminal) suma de vectores la suma de dos vectores que se halla al sumar los componentes correspondientes

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Introducción Máquinas Enigma como esta fueron utilizadas por funcionarios gubernamentales y militares para cifrar y descifrar comunicaciones de alto secreto durante la Segunda Guerra Mundial. Variando las combinaciones del tablero de conexiones y los ajustes de los rotores, los codificadores podían añadir un cifrado complejo a sus mensajes. Nótese que los tres rotores contienen 26 clavijas cada uno, una por cada letra del alfabeto; las versiones posteriores tenían cuatro y cinco rotores. (Créditos: modificación de la "Máquina Enigma" por la Escuela de Matemáticas de la Universidad de Manchester/flickr). Al comienzo de la Segunda Guerra Mundial, los oficiales militares y de inteligencia británicos reconocieron que para derrotar a la Alemania nazi era necesario que los aliados supieran lo que el enemigo estaba planeando. Esta tarea se complicó por el hecho de que los militares alemanes transmitían todas sus comunicaciones a través de un código presuntamente indescifrable, creado por una máquina llamada Enigma. Los alemanes llevaban codificando sus mensajes con esta máquina desde principios de la década de 1930, y confiaban tanto en su seguridad que la utilizaban tanto para las comunicaciones militares cotidianas como para los mensajes estratégicos de gran importancia. Preocupadas ante la creciente amenaza militar, otras naciones europeas comenzaron a trabajar para descifrar los códigos Enigma. Polonia fue el primer país en realizar avances significativos cuando formó y reclutó a un nuevo grupo de descifradores de códigos: los estudiantes de matemáticas de la Universidad de Poznań. Con la ayuda de la información obtenida por los espías franceses, los matemáticos polacos, dirigidos por Marian Rejewski, lograron descifrar los códigos iniciales y, más tarde, comprender el cableado de las máquinas; finalmente, crearon réplicas. Sin embargo, los militares alemanes acabaron por aumentar la complejidad de las máquinas añadiendo rotores adicionales, lo que requirió un nuevo método de descifrado. La máquina unía las letras de un teclado a tres, cuatro o cinco rotores (según la versión), cada uno con 26 posiciones iniciales que podían fijarse antes de la codificación; un código de descifrado (llamado clave de cifrado) transmitía esencialmente estas configuraciones al destinatario del mensaje, y permitía interpretar el mensaje utilizando otra máquina Enigma. Incluso con el codificador de tres rotores más sencillo, había 17.576 combinaciones diferentes de posiciones de salida (26 x 26 x 26); además, la máquina tenía otros numerosos métodos para introducir variaciones. Poco después del comienzo de la guerra, los británicos reclutaron un equipo de extraordinarios descifradores de códigos para descifrar el código Enigma. Los descifradores de códigos, dirigidos por Alan Turing, utilizaron lo que sabían sobre la máquina Enigma para construir una computadora mecánica que pudiera descifrar el código. Ese conocimiento de lo que los alemanes estaban planeando resultó ser una parte clave de la victoria final de los Aliados sobre la Alemania nazi en 1945. La máquina Enigma es quizás el dispositivo criptográfico más famoso que se conoce. Es un ejemplo del papel fundamental que ha desempeñado la criptografía en la sociedad. Ahora, la tecnología ha trasladado el criptoanálisis al mundo digital. Muchos cifrados se diseñan utilizando matrices invertibles como método de transferencia de mensajes, ya que calcular la inversa de una matriz suele formar parte del proceso de descodificación. Además de conocer la matriz y su inversa, el receptor debe conocer también la clave que, al utilizarla con la matriz inversa, permitirá leer el mensaje. En este capítulo investigaremos sobre las matrices y sus inversas, y varias formas de utilizar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones. Sin embargo, primero estudiaremos los sistemas de ecuaciones en sí mismos: lineales y no lineales, y luego las fracciones parciales. Aquí no vamos a descifrar ningún código secreto, pero sí vamos a sentar las bases para futuros cursos.

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