Aproximación de áreas A Arquímedes le fascinaba calcular las áreas de diversas formas, es decir, la cantidad de espacio dentro de la forma. Utilizó un procedimiento que llegó a conocerse como el método de agotamiento que utilizaba formas cada vez más pequeñas, cuyas áreas podían calcularse con exactitud, para rellenar una región irregular y obtener así aproximaciones cada vez más cercanas al área total. En este proceso, un área delimitada por curvas se rellena con rectángulos, triángulos y formas con fórmulas de área exactas. Estas áreas se suman para hacer una aproximación del área de la región curva. En esta sección, desarrollaremos técnicas para aproximar el área entre una curva, definida por una función f ( x ) , y el eje x en un intervalo cerrado [ a , b ] . Al igual que Arquímedes, primero aproximamos el área bajo la curva utilizando formas de área conocida (es decir, rectángulos). Utilizando rectángulos cada vez más pequeños, conseguimos aproximaciones cada vez más cercanas al área. Tomar un límite nos permite calcular el área exacta bajo la curva. Empecemos por introducir algunas notaciones para facilitar los cálculos. A continuación, consideraremos el caso en el que f ( x ) es continua y no negativa. Más adelante en el capítulo, atenuaremos algunas de estas restricciones y desarrollaremos técnicas que se aplican en casos más generales. Notación sigma (notación de sumatoria) Como dijimos, utilizaremos formas de área conocida para aproximar el área de una región irregular limitada por curvas. Este proceso suele requerir la suma de largas cadenas de números. Para facilitar la escritura de estas largas sumas, aquí veremos una nueva notación, llamada notación sigma (también conocida como notación de sumatoria ). La letra mayúscula griega Σ , sigma, se utiliza para expresar sumas largas de valores de forma compacta. Por ejemplo, si queremos sumar todos los enteros del 1 al 20 sin notación sigma, tenemos que escribir 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 . Probablemente omitiríamos la escritura de un par de términos y escribiríamos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 19 + 20 , que es mejor, pero sigue siendo engorroso. Con la notación sigma, escribimos esta suma como ∑ i = 1 20 i , que es mucho más compacta. Normalmente, la notación sigma se presenta en la forma ∑ i = 1 n a i donde a i describe los términos a añadir, y la i se denomina índice . Se evalúa cada término y luego se suman todos los valores, empezando por el valor cuando i = 1 y terminando con el valor cuando i = n . Por ejemplo, una expresión como ∑ i = 2 7 s i se interpreta como s 2 + s 3 + s 4 + s 5 + s 6 + s 7 . Tenga en cuenta que el índice solo se utiliza para llevar la cuenta de los términos que se van a sumar; no entra en el cálculo de la suma en sí. Por lo tanto, el índice se denomina variable ficticia . Podemos utilizar la letra que queramos para el índice. Normalmente, los matemáticos utilizan i , j , k , m y n para los índices. Probemos un par de ejemplos de uso de la notación sigma. Uso de la notación sigma Escriba en notación sigma y evalúe la suma de términos 3 i por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Escriba la suma en notación sigma 1 + 1 4 + 1 9 + 1 16 + 1 25 . Escriba ∑ i = 1 5 3 i = 3 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5 = 363. El denominador de cada término es un cuadrado perfecto. Utilizando la notación sigma, esta suma puede escribirse como ∑ i = 1 5 1 i 2 . Escriba en notación sigma y evalúe la suma de los términos 2 i para i = 3 , 4 , 5 , 6 . ∑ i = 3 6 2 i = 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 = 120 Pista Utilice los pasos de resolución en la como guía. Las propiedades asociadas al proceso de suma se dan en la siguiente regla. Regla: propiedades de la notación sigma Supongamos que a 1 , a 2 ,…, a n y b 1 , b 2 ,…, b n representan dos secuencias de términos y supongamos c una constante. Las siguientes propiedades se cumplen para todos los enteros positivos n y para los enteros m , con 1 ≤ m ≤ n . ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Prueba Demostramos aquí las propiedades 2. y 3., y dejamos la demostración de las demás propiedades para los Ejercicios. 2. Tenemos ∑ i = 1 n c a i = c a 1 + c a 2 + c a 3 + ⋯ + c a n = c ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) = c ∑ i = 1 n a i . 3. Tenemos ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ( a 1 + b 1 ) + ( a 2 + b 2 ) + ( a 3 + b 3 ) + ⋯ + ( a n + b n ) = ( a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n ) + ( b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i . □ Unas cuantas fórmulas más para las funciones más frecuentes simplifican aún más el proceso de suma. Estas se muestran en la siguiente regla: sumas y potencias de números enteros , y las utilizamos en el siguiente conjunto de ejemplos. Regla: sumas de potencias de números enteros La suma de n números enteros viene dada por ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 . La suma de enteros consecutivos al cuadrado viene dada por ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 . La suma de enteros consecutivos elevada al cubo viene dada por ∑ i = 1 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 . Evaluación mediante la notación sigma Escriba utilizando la notación sigma y evalúe: La suma de los términos ( i − 3 ) 2 por i = 1 , 2 ,…, 200 . La suma de los términos ( i 3 − i 2 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicando ( i − 3 ) 2 , podemos descomponer la expresión en tres términos ∑ i = 1 200 ( i − 3 ) 2 = ∑ i = 1 200 ( i 2 − 6 i + 9 ) = ∑ i = 1 200 i 2 – ∑ i = 1 200 6 i + ∑ i = 1 200 9 = ∑ i = 1 200 i 2 − 6 ∑ i = 1 200 i + ∑ i = 1 200 9 = 200 ( 200 + 1 ) ( 400 + 1 ) 6 − 6 [ 200 ( 200 + 1 ) 2 ] + 9 ( 200 ) = 2686700 − 120.600 + 1800 = 2567900 Utilice la propiedad iv de la notación sigma y las reglas de la suma de términos al cuadrado y las de la suma de términos al cubo ∑ i = 1 6 ( i 3 − i 2 ) = ∑ i = 1 6 i 3 − ∑ i = 1 6 i 2 = 6 2 ( 6 + 1 ) 2 4 − 6 ( 6 + 1 ) ( 2 ( 6 ) + 1 ) 6 = 1764 4 − 546 6 = 350 Halle la suma de los valores de 4 + 3 i por i = 1 , 2 ,…, 100 . 15.550 Pista Utilice las propiedades de la notación sigma para resolver el problema. Hallar la suma de los valores de la función Halle la suma de los valores de f ( x ) = x 3 sobre los enteros 1 , 2 , 3 ,…, 10 . Con la fórmula tenemos ∑ i = 1 10 i 3 = ( 10 ) 2 ( 10 + 1 ) 2 4 = 100 ( 121 ) 4 = 3025. Evalúe la suma indicada por la notación ∑ k = 1 20 ( 2 k + 1 ) . 440 Pista Utilice la regla de la suma de potencias de números enteros. Aproximación del área Ahora que tenemos la notación necesaria, volvamos al problema que nos ocupa: aproximar el área bajo una curva. Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado [ a , b ] . Queremos aproximar el área A delimitada por f ( x ) arriba, el eje abajo, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha ( ). El área (región sombreada) delimitada por la curva f ( x ) en la parte superior, el eje x en la parte inferior, la línea x = a a la izquierda, y la línea x = b a la derecha. ¿Cómo podemos aproximar el área que está debajo esta curva? El enfoque es geométrico. Al dividir una región en muchas formas pequeñas que tienen fórmulas de área conocidas, podemos sumar estas áreas y obtener una estimación razonable del área verdadera. Comenzamos dividiendo el intervalo [ a , b ] en n subintervalos de anchos iguales, b – a n . Lo hacemos seleccionando puntos igualmente espaciados x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n con la x 0 = a , x n = b , y x i − x i − 1 = b – a n por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Denotamos la anchura de cada subintervalo con la notación Δ x , por lo que Δ x = b – a n y x i = x 0 + i Δ x por i = 1 , 2 , 3 ,…, n . Esta noción de dividir un intervalo [ a , b ] en subintervalos mediante la selección de puntos dentro del intervalo se utiliza con bastante frecuencia en la aproximación del área bajo una curva, así que vamos a definir alguna terminología relevante. Definición Un conjunto de puntos P = { x i } por i = 0 , 1 , 2 ,…, n con a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b , que divide el intervalo [ a , b ] en subintervalos de la forma [ x 0 , x 1 ] , [ x 1 , x 2 ] ,…, [ x n – 1 , x n ] se llama una partición de [ a , b ] . Si todos los subintervalos tienen la misma anchura, el conjunto de puntos forma una partición regular del intervalo [ a , b ] . Podemos utilizar esta partición regular como base de un método para estimar el área bajo la curva. A continuación examinamos dos métodos: aproximación en el punto del extremo izquierdo y la aproximación en el punto del extremo derecho. Regla: aproximación del extremo izquierdo En cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] (para i = 1 , 2 , 3 ,…, n ) , construya un rectángulo con anchura Δ x y altura igual a f ( x i − 1 ) , que es el valor de la función en el punto del extremo izquierdo del subintervalo. Entonces el área de este rectángulo es f ( x i − 1 ) Δ x . Al sumar las áreas de todos estos rectángulos, obtenemos un valor aproximado de A ( ). Utilizamos la notación L n para denotar que se trata de una aproximación del punto del extremo izquierdo de A utilizando n subintervalos. A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x En la aproximación del punto del extremo izquierdo del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la izquierda de cada subintervalo. El segundo método para aproximar el área bajo una curva es la aproximación del punto del extremo derecho. Es casi lo mismo que la aproximación del punto del extremo izquierdo, pero ahora las alturas de los rectángulos están determinadas por los valores de la función a la derecha de cada subintervalo. Regla: aproximación del extremo derecho Construir un rectángulo en cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] , solo que esta vez la altura del rectángulo está determinada por el valor de la función f ( x i ) en el punto del extremo derecho del subintervalo. Entonces, el área de cada rectángulo es f ( x i ) Δ x y la aproximación para A está dada por A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x . La notación R n indica que se trata de una aproximación en el punto del extremo derecho de A ( ). En la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo una curva, la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función a la derecha de cada subintervalo. Nótese que la aproximación del punto del extremo derecho difiere de la aproximación del punto del extremo izquierdo en la . Los gráficos de la representan la curva f ( x ) = x 2 2 . En el gráfico (a) dividimos la región representada por el intervalo [ 0 , 3 ] en seis subintervalos, cada uno de ellos con una anchura de 0,5. Así, Δ x = 0,5 . A continuación, formamos seis rectángulos trazando líneas verticales perpendiculares al x i − 1 , punto del extremo izquierdo de cada subintervalo. Determinamos la altura de cada rectángulo calculando f ( x i − 1 ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Los intervalos son [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] , [ 2 , 2,5 ] , [ 2,5 , 3 ] . Encontramos el área de cada rectángulo multiplicando la altura por la anchura. Entonces, la suma de las áreas rectangulares se aproxima al área entre f ( x ) y el eje x . Cuando se utilizan los puntos del extremo izquierdo para calcular la altura, tenemos una aproximación del punto del extremo izquierdo. Por lo tanto, A ≈ L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i − 1 ) Δ x = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x = f ( 0 ) 0,5 + f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 = ( 0 ) 0,5 + ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 = 0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 = 3,4375. Métodos de aproximación del área bajo una curva utilizando (a) los puntos extremos de la izquierda y (b) los puntos extremos de la derecha. En la (b), dibujamos líneas verticales perpendiculares a x i de manera que x i es el punto final derecho de cada subintervalo, y calculamos f ( x i ) por i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 . Multiplicamos cada f ( x i ) por Δ x para hallar las áreas rectangulares, y luego sumarlas. Se trata de una aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) . Por lo tanto, A ≈ R 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i ) Δ x = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x + f ( x 5 ) Δ x + f ( x 6 ) Δ x = f ( 0,5 ) 0,5 + f ( 1 ) 0,5 + f ( 1,5 ) 0,5 + f ( 2 ) 0,5 + f ( 2,5 ) 0,5 + f ( 3 ) 0,5 = ( 0,125 ) 0,5 + ( 0,5 ) 0,5 + ( 1,125 ) 0,5 + ( 2 ) 0,5 + ( 3,125 ) 0,5 + ( 4,5 ) 0,5 = 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 = 5,6875. Aproximación del área bajo una curva Utilice las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para aproximar el área bajo la curva de f ( x ) = x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; utilice n = 4 . En primer lugar, divida el intervalo [ 0 , 2 ] en n subintervalos iguales. Utilizando n = 4 , Δ x = ( 2 − 0 ) 4 = 0,5 . Esta es la anchura de cada rectángulo. Los intervalos [ 0 , 0,5 ] , [ 0,5 , 1 ] , [ 1 , 1,5 ] , [ 1,5 , 2 ] se muestran en la . Utilizando una aproximación al punto del extremo izquierdo, las alturas son f ( 0 ) = 0 , f ( 0,5 ) = 0,25 , f ( 1 ) = 1 , f ( 1,5 ) = 2,25 . Entonces, L 4 = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x = 0 ( 0,5 ) + 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) = 1,75. El gráfico muestra la aproximación de los puntos del extremo izquierdo del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del punto del extremo derecho se muestra en la . Los intervalos son los mismos, Δ x = 0,5 , pero ahora se utiliza el punto del extremo derecho para calcular la altura de los rectángulos. Tenemos R 4 = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + f ( x 3 ) Δ x + f ( x 4 ) Δ x = 0,25 ( 0,5 ) + 1 ( 0,5 ) + 2,25 ( 0,5 ) + 4 ( 0,5 ) = 3,75. El gráfico muestra la aproximación del punto del extremo derecho del área bajo f ( x ) = x 2 de 0 a 2. La aproximación del extremo izquierdo es 1,75; la aproximación del extremo derecho es 3,75. Esbozar las aproximaciones del punto del extremo izquierdo y del punto del extremo derecho para f ( x ) = 1 x en [ 1 , 2 ] ; utilice n = 4 . Aproxime el área utilizando ambos métodos. La aproximación del extremo izquierdo es de 0,7595. La aproximación del punto final derecho es 0,6345. Pista Siga la estrategia de resolución en la paso a paso. Al observar la y los gráficos en el , podemos ver que cuando utilizamos un número pequeño de intervalos, ni la aproximación del punto del extremo izquierdo ni la aproximación del punto del extremo derecho son una estimación especialmente precisa del área bajo la curva. Sin embargo, parece lógico que si aumentamos el número de puntos en nuestra partición, nuestra estimación de A mejorará. Tendremos más rectángulos, pero cada rectángulo será más fino, por lo que podremos ajustar los rectángulos a la curva con mayor precisión. Podemos demostrar la mejora de la aproximación obtenida mediante intervalos más pequeños con un ejemplo. Exploremos la idea de aumentar n , primero con una aproximación del punto del extremo izquierdo con cuatro rectángulos, luego con ocho rectángulos y finalmente con 32 rectángulos. A continuación, hagamos lo mismo en una aproximación del punto del extremo derecho, utilizando los mismos conjuntos de intervalos de la misma región curva. La muestra el área de la región bajo la curva f ( x ) = ( x – 1 ) 3 + 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] utilizando una aproximación del punto del extremo izquierdo donde n = 4 . La anchura de cada rectángulo es Δ x = 2 − 0 4 = 1 2 . El área se aproxima por la suma de las áreas de los rectángulos, o L 4 = f ( 0 ) ( 0,5 ) + f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) 0,5 = 7,5. Con una aproximación al extremo izquierdo y dividiendo la región de a a b en cuatro intervalos iguales, el área bajo la curva es aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos. La muestra la misma curva dividida en ocho subintervalos. Al comparar el gráfico con cuatro rectángulos en la con este gráfico con ocho rectángulos, observamos que aparentemente hay menos espacio en blanco bajo la curva cuando n = 8 . Este espacio en blanco es el área bajo la curva que no podemos incluir utilizando nuestra aproximación. El área de los rectángulos es L 8 = f ( 0 ) ( 0,25 ) + f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) = 7,75. La región bajo la curva se divide en áreas rectangulares n = 8 de igual anchura para una aproximación al extremo izquierdo. El gráfico en la muestra la misma función con 32 rectángulos inscritos bajo la curva. Parece que queda poco espacio en blanco. El área ocupada por los rectángulos es L 32 = f ( 0 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 1,9375 ) ( 0,0625 ) = 7,9375. En este caso, se inscriben 32 rectángulos bajo la curva para una aproximación al punto del extremo izquierdo. Podemos realizar un proceso similar para el método de aproximación del punto del extremo derecho. Una aproximación al extremo derecho de la misma curva, utilizando cuatro rectángulos ( ), produce un área R 4 = f ( 0,5 ) ( 0,5 ) + f ( 1 ) ( 0,5 ) + f ( 1,5 ) ( 0,5 ) + f ( 2 ) ( 0,5 ) = 8,5. Ahora dividimos el área bajo la curva en cuatro subintervalos iguales para una aproximación al punto del extremo derecho. Dividiendo la región en el intervalo [ 0 , 2 ] en ocho rectángulos da como resultado Δ x = 2 − 0 8 = 0,25 . El gráfico se muestra en la . El área es R 8 = f ( 0,25 ) ( 0,25 ) + f ( 0,5 ) ( 0,25 ) + f ( 0,75 ) ( 0,25 ) + f ( 1 ) ( 0,25 ) + f ( 1,25 ) ( 0,25 ) + f ( 1,5 ) ( 0,25 ) + f ( 1,75 ) ( 0,25 ) + f ( 2 ) ( 0,25 ) = 8,25. Aquí utilizamos la aproximación del punto del extremo derecho para un área dividida en ocho subintervalos iguales. Por último, la aproximación del punto del extremo derecho con n = 32 se acerca al área real ( ). El área es aproximadamente R 32 = f ( 0,0625 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,125 ) ( 0,0625 ) + f ( 0,1875 ) ( 0,0625 ) + ⋯ + f ( 2 ) ( 0,0625 ) = 8,0625. La región se divide en 32 subintervalos iguales para una aproximación al extremo derecho. Con base en estas cifras y cálculos, parece que vamos por buen camino; los rectángulos parecen aproximarse mejor al área bajo la curva a medida que n aumenta. Además, a medida que aumenta n , tanto la aproximación del punto del extremo izquierdo como la del derecho parecen acercarse a un área de 8 unidades cuadradas. La muestra una comparación numérica de los métodos del punto del extremo izquierdo y del derecho. La idea de que las aproximaciones del área bajo la curva son cada vez mejores a medida que n se hace más grande es muy importante, y exploraremos esa idea con más detalle. Valores convergentes de las aproximaciones de los puntos del extremo izquierdo y derecho cuando n aumenta. Los valores de n Área aproximada L n Área aproximada R n n = 4 7,5 8,5 n = 8 7,75 8,25 n = 32 7,94 8,06 Formulación de sumas de Riemann Hasta ahora utilizamos rectángulos para aproximar el área bajo una curva. Las alturas de estos rectángulos se determinaron evaluando la función en los extremos derecho o izquierdo del subintervalo [ x i − 1 , x i ] . En realidad, no hay ninguna razón para restringir la evaluación de la función solo a uno de estos dos puntos. Podríamos evaluar la función en cualquier punto x i del subintervalo [ x i − 1 , x i ] , y usamos f ( x i * ) como la altura de nuestro rectángulo. Esto nos da una estimación del área de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Una suma de esta forma se llama suma de Riemann, en honor al matemático del siglo XIX Bernhard Riemann, que desarrolló la idea. Definición Supongamos que f ( x ) se define en un intervalo cerrado [ a , b ] y que P sea una partición regular de [ a , b ] . Sea Δ x la anchura de cada subintervalo [ x i − 1 , x i ] y para cada i , supongamos que x i * es cualquier punto en [ x i − 1 , x i ] . Una suma de Riemann se define para f ( x ) como ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Recordemos que con las aproximaciones de los puntos extremos izquierdo y derecho, las estimaciones parecen ser cada vez mejores a medida que n se hace más grande. Lo mismo ocurre con las sumas de Riemann. Estas sumas dan mejores aproximaciones para valores mayores de n . Ahora estamos preparados para definir el área bajo una curva en términos de sumas de Riemann. Definición Supongamos que f ( x ) es una función continua y no negativa en un intervalo [ a , b ] , y supongamos que ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x es una suma de Riemann para f ( x ) . Entonces, el área bajo la curva y = f ( x ) sobre [ a , b ] viene dada por A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Vea una demostración gráfica de la construcción de una suma de Riemann. Vale la pena hablar sobre algunas sutilezas. En primer lugar, hay que tener en cuenta que tomar el límite de una suma difiere un poco de tomar el límite de una función f ( x ) a medida que x llega al infinito. Los límites de las sumas se analizan en detalle en el capítulo Secuencias y series ; pero por ahora podemos asumir que las técnicas computacionales que usamos para calcular límites de funciones también se pueden usar para calcular límites de sumas. En segundo lugar, debemos considerar qué hacer si la expresión converge a límites diferentes para distintas elecciones de { x i * } . Afortunadamente, esto no ocurre. Aunque la prueba está fuera del alcance de este texto, se puede demostrar que si f ( x ) es continua en el intervalo cerrado [ a , b ] , entonces lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único (es decir, no depende de la opción de { x i * } ). En breve veremos algunos ejemplos, pero antes dediquemos un momento para hablar de algunas opciones específicas para { x i * } . Aunque cualquier opción para { x i * } nos da una estimación del área bajo la curva, no sabremos necesariamente si esa estimación es demasiado alta (sobreestimación) o demasiado baja (subestimación). Si es importante saber si nuestra estimación es alta o baja, podemos seleccionar nuestro valor para { x i * } a fin de garantizar un resultado u otro. Si queremos una sobreestimación, por ejemplo, podemos elegir { x i * } tal que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) ≥ f ( x ) para todo x ∈ [ x i − 1 , x i ] . En otras palabras, elegimos { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor máximo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . Si seleccionamos { x i * } de esta manera, entonces la suma de Riemann ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x se denomina suma superior . Del mismo modo, si queremos una subestimación, podemos elegir { x i * } de manera que para i = 1 , 2 , 3 ,…, n , f ( x i * ) es el valor mínimo de la función en el intervalo [ x i − 1 , x i ] . En este caso, la suma de Riemann correspondiente se llama suma inferior . Observe que si f ( x ) aumenta o disminuye a lo largo del intervalo [ a , b ] , entonces los valores máximos y mínimos de la función se encuentran en los puntos de los extremos de los subintervalos, por lo que las sumas superiores e inferiores son iguales a las aproximaciones de los puntos de los extremos izquierdo y derecho. Hallar sumas inferiores y superiores Halle una suma inferior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 subintervalos. Con n = 4 en el intervalo [ 1 , 2 ] , Δ x = 1 4 . Podemos enumerar los intervalos como [ 1 , 1,25 ] , [ 1,25 , 1,5 ] , [ 1,5 , 1,75 ] , [ 1,75 , 2 ] . Ya que la función es decreciente en el intervalo [ 1 , 2 ] , la muestra que se obtiene una suma inferior utilizando los puntos del extremo derecho. El gráfico de f ( x ) = 10 − x 2 se establece para una aproximación del punto del extremo derecho del área limitada por la curva y el eje x en [ 1 , 2 ] , y muestra una suma inferior. La suma de Riemann es ∑ k = 1 4 ( 10 − x 2 ) ( 0,25 ) = 0,25 [ 10 − ( 1,25 ) 2 + 10 − ( 1,5 ) 2 + 10 − ( 1,75 ) 2 + 10 − ( 2 ) 2 ] = 0,25 [ 8,4375 + 7,75 + 6,9375 + 6 ] = 7,28. La superficie de 7,28 es una suma inferior y una subestimación. Halle una suma superior para f ( x ) = 10 − x 2 en [ 1 , 2 ] ; supongamos que n = 4 . Dibuje la aproximación. Suma superior = 8,0313 . Pista f ( x ) es decreciente en [ 1 , 2 ] , para que los valores máximos de la función se produzcan en los extremos izquierdos de los subintervalos. Halle sumas inferiores y superiores para f ( x ) = sen x Halle una suma inferior para f ( x ) = sen x en el intervalo [ a , b ] = [ 0 , π 2 ] ; supongamos que n = 6 . Veamos primero el gráfico en la para tener una mejor idea del área de interés. El gráfico de y = sen x se divide en seis regiones: Δ x = π / 2 6 = π 12 . Los intervalos son [ 0 , π 12 ] , [ π 12 , π 6 ] , [ π 6 , π 4 ] , [ π 4 , π 3 ] , [ π 3 , 5 π 12 ] , y [ 5 π 12 , π 2 ] . Observe que f ( x ) = sen x es creciente en el intervalo [ 0 , π 2 ] , por lo que una aproximación al extremo izquierdo nos da la suma inferior. Una aproximación al extremo izquierdo es la suma de Riemann ∑ i = 0 5 sen x i ( π 12 ) . Tenemos A ≈ sen ( 0 ) ( π 12 ) + sen ( π 12 ) ( π 12 ) + sen ( π 6 ) ( π 12 ) + sen ( π 4 ) ( π 12 ) + sen ( π 3 ) ( π 12 ) + sen ( 5 π 12 ) ( π 12 ) = 0,863. Al utilizar la función f ( x ) = sen x en el intervalo [ 0 , π 2 ] , halle una suma superior; supongamos que n = 6 . A ≈ 1,125 Pista Siga los pasos del . Conceptos clave El uso de la notación sigma (notación de sumatoria) de la forma ∑ i = 1 n a i es útil para expresar sumas largas de valores en forma compacta. Para una función continua definida en un intervalo [ a , b ] , el proceso de dividir el intervalo en n partes iguales, extender un rectángulo en el gráfico de la función, calcular las áreas de la serie de rectángulos y luego sumar las áreas da una aproximación del área de esa región. La anchura de cada rectángulo es Δ x = b – a n . La suma de Riemann es una expresión de la forma ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , y puede utilizarse para estimar el área bajo la curva y = f ( x ) . Las aproximaciones del punto de los extremos izquierdo y derecho son tipos especiales de sumas de Riemann donde los valores de { x i * } se eligen entre los extremos izquierdo o derecho de los subintervalos, respectivamente. Las sumas de Riemann permiten una gran flexibilidad a la hora de elegir el conjunto de puntos { x i * } en la que se evalúa la función, a menudo con el objetivo de obtener una suma inferior o una suma superior. Ecuaciones clave Propiedades de la notación sigma ∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i Sumas de potencias de números enteros ∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 ∑ i = 1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 Aproximación del punto del extremo izquierdo A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n – 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x Aproximación del punto del extremo derecho A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x Indique si las sumas dadas son iguales o desiguales. ∑ i = 1 10 i y ∑ k = 1 10 k ∑ i = 1 10 i y ∑ i = 6 15 ( i − 5 ) grandes. ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ j = 0 9 ( j + 1 ) j ∑ i = 1 10 i ( i − 1 ) y ∑ k = 1 10 ( k 2 − k ) a. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. b. Son iguales; ambas representan la suma de los 10 primeros números enteros. c. Son iguales sustituyendo j = i − 1 . d. Son iguales; la primera suma factoriza los términos de la segunda. En los siguientes ejercicios, utilice las reglas de las sumas de potencias de números enteros para calcular las sumas. ∑ i = 5 10 i ∑ i = 5 10 i 2 385 − 30 = 355 Supongamos que ∑ i = 1 100 a i = 15 y ∑ i = 1 100 b i = −12 . En los siguientes ejercicios, calcule las sumas. ∑ i = 1 100 ( a i + b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( a i − b i ) grandes. 15 − ( −12 ) = 27 ∑ i = 1 100 ( 3 a i − 4 b i ) grandes. ∑ i = 1 100 ( 5 a i + 4 b i ) grandes. 5 ( 15 ) + 4 ( −12 ) = 27 En los siguientes ejercicios, utilice las propiedades de la suma y las fórmulas para reescribir y evaluar las sumas. ∑ k = 1 20 100 ( k 2 − 5 k + 1 ) grandes. ∑ j = 1 50 ( j 2 − 2 j ) grandes. ∑ j = 1 50 j 2 − 2 ∑ j = 1 50 j = ( 50 ) ( 51 ) ( 101 ) 6 − 2 ( 50 ) ( 51 ) 2 = 40 ,  375 ∑ j = 11 20 ( j 2 − 10 j ) grandes. ∑ k = 1 25 [ ( 2 k ) 2 − 100 k ] 4 ∑ k = 1 25 k 2 − 100 ∑ k = 1 25 k = 4 ( 25 ) ( 26 ) ( 51 ) 6 − 50 ( 25 ) ( 26 ) = −10 ,  400 Supongamos que L n denota la suma del punto del extremo izquierdo utilizando n subintervalos y que R n denotan la suma correspondiente del punto del extremo derecho. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas a la izquierda y a la derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado. L 4 para f ( x ) = 1 x – 1 sobre [ 2 , 3 ] R 4 para g ( x ) = cos ( π x ) sobre [ 0 , 1 ] R 4 = −0,25 L 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 para f ( x ) = 1 x ( x – 1 ) sobre [ 2 , 5 ] R 6 = 0,372 R 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 para 1 x 2 + 1 sobre [ −2 , 2 ] L 4 = 2,20 R 4 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 para x 2 − 2 x + 1 sobre [ 0 , 2 ] L 8 = 0,6875 Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = ( 2 − | x | ) sobre [ −2 , 2 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = ( 3 − | 3 − x | ) sobre [ 0 , 6 ] . Calcule su valor promedio medio y compárelo con el área bajo el gráfico de f . L 6 = 9,000 = R 6 . El gráfico de f es un triángulo de área 9. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 4 y R 4 , respectivamente, para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] y compare sus valores. Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 6 y R 6 , respectivamente, para f ( x ) = 9 − ( x − 3 ) 2 en [ 0 , 6 ] y compare sus valores. L 6 = 13,12899 = R 6 . Son iguales. Exprese las siguientes sumas de puntos finales en notación sigma, pero no las evalúe. L 30 para f ( x ) = x 2 en [ 1 , 2 ] L 10 para f ( x ) = 4 − x 2 en [ −2 , 2 ] L 10 = 4 10 ∑ i = 1 10 4 − ( −2 + 4 ( i − 1 ) 10 ) 2 R 20 para f ( x ) = sen x en [ 0 , π ] R 100 para ln x en [ 1 , e ] R 100 = e − 1 100 ∑ i = 1 100 ln ( 1 + ( e − 1 ) i 100 ) En los siguientes ejercicios, grafique la función y luego utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las siguientes sumas de los extremos izquierdo y derecho. ¿El área bajo la curva en el intervalo dado se aproxima mejor mediante la suma de Riemann izquierda o la suma de Riemann derecha? Si los dos están de acuerdo, coloque "ninguno". [T] L 100 y R 100 para y = x 2 − 3 x + 1 en el intervalo [ −1 , 1 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] R 100 = 0,33835 , L 100 = 0,32835 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, la suma de Riemann derecha es una sobreestimación. El área se encuentra entre las sumas de Riemann izquierda y derecha. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. [T] L 50 y R 50 para y = x + 1 x 2 – 1 en el intervalo [ 2 , 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = x 3 en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = −0,02 , R 100 = 0,02 . La suma del extremo izquierdo es una subestimación porque la función es creciente. Del mismo modo, una aproximación al extremo derecho es una sobreestimación. El área se encuentra entre las estimaciones de los puntos finales izquierdo y derecho. [T] L 50 y R 50 para y = tan ( x ) en el intervalo [ 0 , π 4 ] [T] L 100 y R 100 para y = e 2 x en el intervalo [ −1 , 1 ] L 100 = 3,555 , R 100 = 3,670 . El gráfico muestra que la suma de Riemann de la izquierda es una subestimación porque la función es creciente. Se muestran diez rectángulos para mayor claridad visual. Este comportamiento persiste para más rectángulos. Sea t j el tiempo que tardó Tejay van Garteren en recorrer la etapa j del Tour de Francia en 2014. Si hubiera un total de 21 etapas, interprete ∑ j = 1 21 t j . Supongamos que r j denota la precipitación total en Portland en el día j del año en 2009. Interprete ∑ j = 1 31 r j . La suma representa las precipitaciones acumuladas en enero de 2009. Supongamos que d j denotan las horas de luz y δ j el aumento de las horas de luz desde el día j − 1 hasta el día j en Fargo, Dakota del Norte, en el día j del año. Interprete d 1 + ∑ j = 2 365 δ j . Para ponerse en forma, Joe recibe un nuevo par de zapatillas para correr. Si Joe corre 1 mi cada día en la semana 1 y añade 1 10 mi a su rutina diaria cada semana, ¿cuál es el millaje total de los zapatos de Joe después de 25 semanas? El kilometraje total es 7 × ∑ i = 1 25 ( 1 + ( i − 1 ) 10 ) = 7 × 25 + 7 10 × 12 × 25 = 385 mi . La siguiente tabla ofrece valores aproximados de la tasa promedio anual del aumento del dióxido de carbono (CO 2 ) en la atmósfera por cada década desde 1960, en partes por millón (ppm). Calcule el aumento total del CO 2 atmosférico entre 1964 y 2013. Aumento anual promedio del CO 2 atmosférico, 1964-2013 Década Ppm/año 1964-1973 1,07 1974-1983 1,34 1984-1993 1,40 1994-2003 1,87 2004-2013 2,07 Fuente : http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/. La siguiente tabla indica el aumento aproximado del nivel del mar en pulgadas a lo largo de 20 años a partir de un año determinado. Calcule el cambio neto en el nivel medio del mar desde 1870 hasta 2010. Aumentos aproximados del nivel del mar en 20 años, 1870-1990 Año de inicio Cambio en 20 años 1870 0,3 1890 1,5 1910 0,2 1930 2,8 1950 0,7 1970 1,1 1990 1,5 Fuente : http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs10712-011-9119-1 Sume los números para obtener un aumento neto de 8,1 in. La siguiente tabla muestra el aumento aproximado en dólares del precio promedio del galón de gasolina por década desde 1950. Si el precio promedio de un galón de gasolina en 2010 era de 2,60 dólares, ¿cuál era el precio promedio de un galón de gasolina en 1950? Aumentos aproximados del precio del gas en 10 años, 1950-2000 Año de inicio Cambio en 10 años 1950 0,03 1960 0,05 1970 0,86 1980 –0,03 1990 0,29 2000 1,12 Fuente : http://epb.lbl.gov/homepages/Rick_Diamond/docs/lbnl55011-trends.pdf. La siguiente tabla indica el porcentaje de crecimiento de la población estadounidense a partir de julio del año indicado. Si la población de Estados Unidos era de 281.421.906 habitantes en julio de 2000, calcule la población de Estados Unidos en julio de 2010. Crecimiento porcentual anual de la población estadounidense, 2000-2009 Año % de cambio/año 2000 1,12 2001 0,99 2002 0,93 2003 0,86 2004 0,93 2005 0,93 2006 0,97 2007 0,96 2008 0,95 2009 0,88 Fuente : http://www.census.gov/popest/data. ( Pista: Para obtener la población en julio de 2001, multiplique la población en julio de 2000 por 1,0112 para obtener 284.573.831). 309.389.957 En los siguientes ejercicios, estime las áreas bajo las curvas calculando las sumas de Riemann de la izquierda, L 8 . L 8 = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24 L 8 = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44 [T] Utiliza un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , por N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 − x 2 en [ −1 , 1 ] . [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = 1 1 + x 2 en [ −1 , 1 ] . L 10 ≈ 1,7604 , L 30 ≈ 1,7625 , L 50 ≈ 1,76265 [T] Utilice un sistema de álgebra computacional para calcular la suma de Riemann, L N , para N = 10 , 30 , 50 por f ( x ) = sen 2 x en [ 0 , 2 π ] . Compara estas estimaciones con π . En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de computadora para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . ¿Cómo se comparan estas estimaciones con las respuestas exactas que puede hallar mediante la geometría? [T] y = cos ( π x ) en el intervalo [ 0 , 1 ] R 1 = −1 , L 1 = 1 , R 10 = −0,1 , L 10 = 0,1 , L 100 = 0,01 , y R 100 = −0,1 . Por simetría del gráfico, el área exacta es cero. [T] y = 3 x + 2 en el intervalo [ 3 , 5 ] En los siguientes ejercicios, utilice una calculadora o un programa de ordenador para evaluar las sumas de los puntos finales R N y L N para N = 1,10,100 . [T] y = x 4 − 5 x 2 + 4 en el intervalo [ −2 , 2 ] , que tiene un área exacta de 32 15 R 1 = 0 , L 1 = 0 , R 10 = 2,4499 , L 10 = 2,4499 , R 100 = 2,1365 , L 100 = 2,1365 [T] y = ln x en el intervalo [ 1 , 2 ] , que tiene un área exacta de 2 ln ( 2 ) − 1 Explique por qué, si f ( a ) ≥ 0 y f es creciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite inferior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] bajo uno de los rectángulos de la suma del punto del extremo izquierdo, entonces el área del rectángulo que contribuye a la estimación del punto del extremo izquierdo es f ( c ) ( d − c ) . Pero, f ( c ) ≤ f ( x ) por c ≤ x ≤ d , por lo que el área bajo el gráfico de f entre c y d es f ( c ) ( d − c ) más el área por debajo del gráfico de f pero por encima del segmento de línea horizontal a la altura f ( c ) , que es positivo. Como esto se cumple en cada intervalo de suma del extremo izquierdo, se deduce que la suma de Riemann izquierda es menor o igual que el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Explique por qué, si f ( b ) ≥ 0 y f es decreciente en [ a , b ] , que la estimación del punto del extremo izquierdo es un límite superior para el área bajo el gráfico de f en [ a , b ] . Demuestre que, en general, R N − L N = ( b – a ) × f ( b ) − f ( a ) N . L N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i − 1 N ) = b – a N ∑ i = 0 N − 1 f ( a + ( b – a ) i N ) y R N = b – a N ∑ i = 1 N f ( a + ( b – a ) i N ) . La suma de la izquierda tiene un término correspondiente a i = 0 y la suma de la derecha tiene un término correspondiente a i = N . En R N − L N , cualquier término correspondiente a i = 1 , 2 ,…, N − 1 aparece una vez con el signo más y otra con el signo menos, por lo que cada uno de estos términos se anula y uno queda R N − L N = b – a N ( f ( a + ( b – a ) ) N N ) − ( f ( a ) + ( b – a ) 0 N ) = b – a N ( f ( b ) − f ( a ) ) . Explique por qué, si f es creciente en [ a , b ] , el error entre L N o R N y el área A bajo el gráfico de f es como máximo ( b – a ) f ( b ) − f ( a ) N . Para cada uno de los tres gráficos: Obtenga un límite inferior L ( A ) para el área encerrada por la curva sumando las áreas de los cuadrados encerrados completamente por la curva. Obtener un límite superior U ( A ) para el área añadiendo a L ( A ) las áreas B ( A ) de los cuadrados encerrados parcialmente por la curva . Gráfico 1: a. L ( A ) = 0 , B ( A ) = 20 ; b. U ( A ) = 20 . Gráfico 2: a. L ( A ) = 9 ; b. B ( A ) = 11 , U ( A ) = 20 . Gráfico 3: a. L ( A ) = 11,0 ; b. B ( A ) = 4,5 , U ( A ) = 15,5 . En el ejercicio anterior, explique por qué L ( A ) no se hace más pequeño mientras U ( A ) no se hace más grande al subdividir los cuadrados en cuatro casillas de áreas iguales. Un círculo unitario está formado por cuñas n equivalentes a la cuña interior de la figura. La base del triángulo interior es 1 unidad y su altura es sen ( 2 π n ) . La base del triángulo exterior es B = cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) y la altura es H = B sen ( 2 π n ) . Utiliza esta información para argumentar que el área de un círculo unitario es igual a π . Supongamos que A es el área del círculo unitario. El círculo encierra n triángulos congruentes de área sen ( 2 π n ) 2 , por lo que n 2 sen ( 2 π n ) ≤ A . De la misma manera, el círculo está contenido en n triángulos congruentes de área B H 2 = 1 2 ( cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) ) sen ( 2 π n ) , por lo que A ≤ n 2 sen ( 2 π n ) ( cos ( π n ) ) + sen ( π n ) tan ( π n ) . A medida que n → ∞ , n 2 sen ( 2 π n ) = π sen ( 2 π n ) ( 2 π n ) → π , por lo que concluimos π ≤ A . Además, como n → ∞ , cos ( π n ) + sen ( π n ) tan ( π n ) → 1 , por lo que también tenemos A ≤ π . Por el teorema del emparedado para los límites, concluimos que A = π . aproximación del punto del extremo izquierdo aproximación del área bajo una curva que se calcula utilizando el punto del extremo izquierdo de cada subintervalo para calcular la altura de los lados verticales de cada rectángulo suma inferior suma obtenida utilizando el valor mínimo de f ( x ) en cada subintervalo partición conjunto de puntos que divide un intervalo en subintervalos partición regular partición en la que los subintervalos tienen todos el mismo ancho suma de Riemann estimación del área bajo la curva de la forma A ≈ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x aproximación del punto del extremo derecho aproximación del punto del extremo derecho es una aproximación del área de los rectángulos bajo una curva utilizando el punto del extremo derecho de cada subintervalo para construir los lados verticales de cada rectángulo notación sigma (también, notación de sumatoria ) la letra griega sigma (Σ) indica la suma de los valores; los valores del índice por encima y por debajo de la sigma indican dónde empezar la suma y dónde terminarla suma superior suma obtenida utilizando el valor máximo de f ( x ) en cada subintervalo

Matemáticas


La integral definida En el apartado anterior definimos el área bajo una curva en términos de las sumas de Riemann: A = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Sin embargo, esta definición tenía restricciones. Necesitábamos que f ( x ) fuera continua y no negativa. Desafortunadamente, los problemas del mundo real no siempre se ajustan a estas restricciones. En esta sección, veremos cómo aplicar el concepto de área bajo la curva a un conjunto más amplio de funciones mediante el uso de la integral definida. Definición y notación La integral definida generaliza el concepto de área bajo una curva. Eliminamos los requisitos de que f ( x ) sea continua y no negativa, y definimos la integral definida como sigue. Definición Si f ( x ) es una función definida en un intervalo [ a , b ] , la integral definida de f de a a b viene dada por ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x , siempre que exista el límite. Si este límite existe, la función f ( x ) se dice que es integrable en [ a , b ] , o que es una función integrable . El símbolo de la integral en la definición anterior debería resultar familiar. Hemos visto una notación similar en el capítulo Aplicaciones de las derivadas , donde utilizamos el símbolo de integral indefinida (sin la a y la b arriba y abajo) para representar una antiderivada. Aunque la notación para las integrales indefinidas puede parecer similar a la notación para una integral definida, no son lo mismo. Una integral definida es un número. Una integral indefinida es una familia de funciones. Más adelante en este capítulo examinaremos cómo se relacionan estos conceptos. Sin embargo, siempre hay que prestar mucha atención a la notación para saber si estamos trabajando con una integral definida o con una indefinida. La notación integral se remonta a finales del siglo XVII y es una de las aportaciones de Gottfried Wilhelm Leibniz , a quien se suele considerar el codescubridor del cálculo, junto con Isaac Newton. El símbolo de integración ∫ es una S alargada, que indica sigma o suma. En una integral definida, por encima y por debajo del símbolo de la suma están los límites del intervalo, [ a , b ] . Los números a y b son valores de x y se denominan límites de integración ; específicamente, a es el límite inferior y b es el límite superior. Para precisar, estamos utilizando la palabra límite de dos maneras diferentes en el contexto de la integral definida. En primer lugar, hablamos del límite de una suma dado que n → ∞ . En segundo lugar, los límites de la región se denominan límites de integración . Llamamos a la función f ( x ) el integrando , y la dx indica que f ( x ) es una función con respecto a x , que se denomina variable de integración . Tenga en cuenta que, al igual que el índice en una suma, la variable de integración es una variable ficticia , y no tiene ninguna consecuencia en el cálculo de la integral. Podemos utilizar cualquier variable que queramos como variable de integración: ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a b f ( u ) d u Anteriormente, discutimos el hecho de que si f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces el límite lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x existe y es único. Esto nos conduce al siguiente teorema, que enunciamos sin pruebas. Las funciones continuas son integrables Si los valores de f ( x ) es continua en [ a , b ] , entonces f es integrable en [ a , b ] . Funciones que no son continuas en [ a , b ] puede seguir siendo integrable, lo que depende de la naturaleza de las discontinuidades. Por ejemplo, las funciones con un número finito de discontinuidades de salto en un intervalo cerrado son integrables. También cabe destacar aquí que hemos mantenido el uso de una partición regular en las sumas de Riemann. Esta restricción no es estrictamente necesaria. Puede utilizarse cualquier partición para formar una suma de Riemann. Sin embargo, si se utiliza una partición no regular para definir la integral definida, no basta con tomar el límite a medida que el número de subintervalos llega al infinito. En cambio, debemos tomar el límite a medida que la anchura del subintervalo más grande llega a cero. Esto introduce una notación un poco más compleja en nuestros límites y hace los cálculos más difíciles sin obtener realmente mucha información adicional, así que nos quedamos con las particiones regulares para las sumas de Riemann. Evaluación de una integral mediante la definición Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 2 x 2 d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. Primero queremos establecer una suma de Riemann. Con base en los límites de integración, tenemos a = 0 y b = 2 . Para i = 0 , 1 , 2 ,…, n , supongamos que P = { x i } es una partición regular de [ 0 , 2 ] . Entonces Δ x = b – a n = 2 n . Como estamos utilizando una aproximación al punto del extremo derecho para generar sumas de Riemann, para cada i , necesitamos calcular el valor de la función en el punto del extremo derecho del intervalo [ x i − 1 , x i ] . El punto del extremo derecho del intervalo es x i , y como P es una partición regular, x i = x 0 + i Δ x = 0 + i [ 2 n ] = 2 i n . Por lo tanto, el valor de la función en el extremo derecho del intervalo es f ( x i ) = x i 2 = ( 2 i n ) 2 = 4 i 2 n 2 . Entonces la suma de Riemann toma la forma ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = ∑ i = 1 n ( 4 i 2 n 2 ) 2 n = ∑ i = 1 n 8 i 2 n 3 = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 . Utilizando la fórmula de la suma para ∑ i = 1 n i 2 , tenemos ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 8 n 3 ∑ i = 1 n i 2 = 8 n 3 [ n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ] = 8 n 3 [ 2 n 3 + 3 n 2 + n 6 ] = 16 n 3 + 24 n 2 + 8 n 6 n 3 = 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 . Ahora, para calcular la integral definida, necesitamos tomar el límite dado que n → ∞ . Obtenemos ∫ 0 2 x 2 d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = lím n → ∞ ( 8 3 + 4 n + 8 6 n 2 ) = lím n → ∞ ( 8 3 ) + lím n → ∞ ( 4 n ) + lím n → ∞ ( 8 6 n 2 ) = 8 3 + 0 + 0 = 8 3 . Utilice la definición de la integral definida para evaluar ∫ 0 3 ( 2 x – 1 ) d x . Utilice una aproximación al extremo derecho para generar la suma de Riemann. 6 Pista Utilice la estrategia de resolución de la . Evaluación de integrales definidas Evaluar las integrales definidas de esta manera puede ser bastante tedioso debido a la complejidad de los cálculos. Más adelante en este capítulo desarrollaremos técnicas para evaluar integrales definidas sin tomar límites de las sumas de Riemann. Sin embargo, por ahora podemos confiar en el hecho de que las integrales definidas representan el área bajo la curva, y podemos evaluar las integrales definidas utilizando fórmulas geométricas para calcular esa área. Hacemos esto para confirmar que las integrales definidas representan en efecto áreas, de modo que podamos discutir qué hacer en el caso de una curva de una función que cae por debajo del eje x . Uso de fórmulas geométricas para calcular integrales definidas Utilice la fórmula del área de un círculo para evaluar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x . La función describe un semicírculo con radio 3. Para hallar ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 d x , queremos hallar el área bajo la curva en el intervalo [ 3 , 6 ] . La fórmula del área de un círculo es A = π r 2 . El área de un semicírculo es justo la mitad del área de un círculo, o A = ( 1 2 ) π r 2 . El área sombreada en la cubre la mitad del semicírculo, o A = ( 1 4 ) π r 2 . Por lo tanto, ∫ 3 6 9 − ( x − 3 ) 2 = 1 4 π ( 3 ) 2 = 9 4 π ≈ 7,069. El valor de la integral de la función f ( x ) en el intervalo [ 3 , 6 ] es el área de la región sombreada. Utilice la fórmula del área de un trapecio para evaluar ∫ 2 4 ( 2 x + 3 ) d x . 18 unidades cuadradas Pista Grafique la función f ( x ) y calcule el área bajo la función en el intervalo [ 2 , 4 ] . El área y la integral definida Cuando definimos la integral definida, eliminamos el requisito de que f ( x ) sea no negativo. Pero ¿cómo interpretamos "el área bajo la curva" cuando f ( x ) es negativo? Área neta señalada Volvamos a la suma de Riemann. Consideremos, por ejemplo, la función f ( x ) = 2 − 2 x 2 (que se muestra en la ) en el intervalo [ 0 , 2 ] . Utilice n = 8 y elegir { x i * } como punto del extremo izquierdo de cada intervalo. Construya un rectángulo en cada subintervalo de altura f ( x i * ) y de anchura Δ x . Cuando f ( x i * ) es positivo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el área del rectángulo, igual que antes. Cuando f ( x i * ) es negativo, sin embargo, el producto f ( x i * ) Δ x representa el negativo del área del rectángulo. La suma de Riemann se convierte entonces en ∑ i = 1 8 f ( x i * ) Δ x = ( Área de los rectángulos sobre el eje x ) − ( Área de los rectángulos por debajo del eje x ) Para una función que es parcialmente negativa, la suma de Riemann es el área de los rectángulos por encima del eje x menos el área de los rectángulos por debajo del eje x . Si tomamos el límite a medida que n → ∞ , la suma de Riemann se aproxima al área entre la curva por encima del eje x y el eje x , menos el área entre la curva por debajo del eje x y el eje x , como se muestra en la . Entonces, ∫ 0 2 f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( c i ) Δ x = A 1 − A 2 . La cantidad A 1 − A 2 se denomina área neta señalada . En el límite, la integral definida es igual al área A 1 menos el área A 2 , o el área neta señalada. Observe que el área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Si el área sobre el eje x es mayor, el área neta señalada es positiva. Si el área bajo el eje x es mayor, el área neta señalada es negativa. Si las áreas por encima y por debajo del eje x son iguales, el área neta señalada es cero. Hallar el área neta señalada Calcule el área neta señalada entre la curva de la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . La función produce una línea recta que forma dos triángulos: uno de x = −3 al x = 0 y el otro de x = 0 hasta x = 3 ( ). Utilizando la fórmula geométrica del área de un triángulo, A = 1 2 b h , el área del triángulo A 1 , sobre el eje, es A 1 = 1 2 3 ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 2 ( 3 ) = 6 es la altura. El área del triángulo A 2 , por debajo del eje, es A 2 = 1 2 ( 3 ) ( 6 ) = 9 , donde 3 es la base y 6 la altura. Así, el área neta es ∫ −3 3 2 x d x = A 1 − A 2 = 9 − 9 = 0 . El área por encima de la curva y por debajo del eje x es igual al área por debajo de la curva y por encima del eje x . Análisis Si A 1 es el área por encima del eje x y A 2 es el área por debajo del eje x , entonces el área neta es A 1 − A 2 . Como las áreas de los dos triángulos son iguales, el área neta es cero. Halle el área neta señalada de f ( x ) = x − 2 en el intervalo [ 0 , 6 ] , que se ilustra en la siguiente imagen. 6 Pista Utilice el método de resolución descrito en la . Área total Una aplicación de la integral definida es hallar el desplazamiento cuando se da una función de velocidad. Si los valores de v ( t ) represente la velocidad de un objeto en función del tiempo, donde el área bajo la curva nos dice lo lejos que está el objeto de su posición original. Esta es una aplicación muy importante de la integral definida, y más adelante en el capítulo la examinamos con más detalle. Por ahora, solo vamos a ver algunos aspectos básicos para tener una idea de cómo funciona esto al estudiar las velocidades constantes. Cuando la velocidad es una constante, el área bajo la curva es simplemente la velocidad por el tiempo. Esta idea es bastante conocida. Si un automóvil se aleja de su posición inicial en línea recta a una velocidad de 70 mph durante 2 horas, entonces se aleja 140 mi de su posición original ( ). Utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 70 d t = 140 . El área bajo la curva v ( t ) = 75 nos indica a qué distancia se encuentra el automóvil desde su punto de partida en un momento dado. En el contexto del desplazamiento, el área neta señalada nos permite tener en cuenta la dirección. Si un automóvil viaja en línea recta hacia el norte a una velocidad de 60 mph durante 2 horas, se encuentra a 120 millas al norte de su posición inicial. Si el automóvil da la vuelta y viaja hacia el sur a una velocidad de 40 mph durante 3 horas, volverá a su posición inicial ( ). De nuevo, utilizando la notación integral, tenemos ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 −40 d t = 120 − 120 = 0, En este caso el desplazamiento es cero. El área por encima del eje y el área por debajo del eje son iguales, por lo que el área neta señalada es cero. Supongamos que queremos saber qué distancia recorre el automóvil en total, sin importar su dirección. En este caso, queremos conocer el área entre la curva y el eje x , independientemente de que esa área esté por encima o por debajo del eje. Esto se denomina el área total . Gráficamente, es más fácil pensar en calcular el área total sumando las áreas por encima del eje y las áreas por debajo del eje (en vez de restar las áreas por debajo del eje, como hicimos con el área neta señalada). Para lograrlo matemáticamente, utilizamos la función de valor absoluto. Por lo tanto, la distancia total recorrida por el automóvil es ∫ 0 2 | 60 | d t + ∫ 2 5 | –40 | d t = ∫ 0 2 60 d t + ∫ 2 5 40 d t = 120 + 120 = 240. Integrando estas ideas formalmente, enunciamos las siguientes definiciones. Definición Supongamos que f ( x ) es una función integrable definida en un intervalo [ a , b ] . Supongamos que A 1 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra por encima del eje y que A 2 representa el área entre f ( x ) y el eje x que se encuentra debajo del eje. Entonces, el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b f ( x ) d x = A 1 − A 2 . El área total entre f ( x ) y el eje x viene dado por ∫ a b | f ( x ) | d x = A 1 + A 2 . Hallar el área total Halle el área total entre f ( x ) = x − 2 y el eje x en el intervalo [ 0 , 6 ] . Calcule la intersección x como ( 2 , 0 ) (establezca y = 0 , resuelva para x ). Para hallar el área total, tome el área bajo el eje x sobre el subintervalo [ 0 , 2 ] y añádalo al área sobre el eje x en el subintervalo [ 2 , 6 ] ( ). El área total entre la línea y el eje x sobre [ 0 , 6 ] es A 2 más A 1 . Tenemos ∫ 0 6 | ( x − 2 ) | d x = A 2 + A 1 . Entonces, utilizando la fórmula del área de un triángulo, obtenemos A 2 = 1 2 b h = 1 2 . 2 . 2 = 2 A 1 = 1 2 b h = 1 2 . 4 . 4 = 8 . El área total, entonces, es A 1 + A 2 = 8 + 2 = 10 . Halle el área total entre la función f ( x ) = 2 x y el eje x en el intervalo [ −3 , 3 ] . 18 Pista Revise la estrategia de resolución en la . Propiedades de la integral definida Las propiedades de las integrales indefinidas se aplican también a las integrales definidas. Las integrales definidas también tienen propiedades relacionadas con los límites de integración. Estas propiedades, junto con las reglas de integración que examinaremos más adelante en este capítulo, nos ayudan a manipular expresiones para evaluar integrales definidas. Regla: propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 Si los límites de integración son los mismos, la integral es solo una línea y no contiene área. ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x Si los límites se invierten, se coloca un signo negativo delante de la integral. ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x La integral de una suma es la suma de las integrales. ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x La integral de una diferencia es la diferencia de las integrales. ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c . La integral del producto de una constante y una función es igual a la constante multiplicada por la integral de la función. ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x Aunque esta fórmula se aplica normalmente cuando c está entre a y b , la fórmula es válida para todos los valores de a , b y c , siempre que f ( x ) sea integrable en el intervalo mayor. Usar las propiedades de la integral definida Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = −3 x 3 + 2 x + 2 en el intervalo [ −2 , 1 ] como la suma de tres integrales definidas. Utilizando la notación integral, tenemos ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x . Aplicamos las propiedades 3. y 5. para obtener ∫ –2 1 ( −3 x 3 + 2 x + 2 ) d x = ∫ –2 1 −3 x 3 d x + ∫ –2 1 2 x d x + ∫ –2 1 2 d x = −3 ∫ –2 1 x 3 d x + 2 ∫ –2 1 x d x + ∫ –2 1 2 d x . Utilice las propiedades de la integral definida para expresar la integral definida de f ( x ) = 6 x 3 − 4 x 2 + 2 x − 3 en el intervalo [ 1 , 3 ] como la suma de cuatro integrales definidas. 6 ∫ 1 3 x 3 d x − 4 ∫ 1 3 x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x d x − ∫ 1 3 3 d x Pista Utilice la estrategia de resolución de la y las propiedades de las integrales definidas. Usar las propiedades de la integral definida Si se sabe que ∫ 0 8 f ( x ) d x = 10 y ∫ 0 5 f ( x ) d x = 5 , halle el valor de ∫ 5 8 f ( x ) d x . Por la propiedad 6., ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x . Por lo tanto, ∫ 0 8 f ( x ) d x = ∫ 0 5 f ( x ) d x + ∫ 5 8 f ( x ) d x 10 = 5 + ∫ 5 8 f ( x ) d x 5 = ∫ 5 8 f ( x ) d x . Si se sabe que ∫ 1 5 f ( x ) d x = −3 y ∫ 2 5 f ( x ) d x = 4 , halle el valor de ∫ 1 2 f ( x ) d x . −7 Pista Utilice la estrategia de resolución de la y la regla de las propiedades de las integrales definidas. Propiedades de comparación de las integrales A veces, una imagen puede decirnos más sobre una función que los resultados de los cálculos. La comparación de las funciones por sus gráficos y sus expresiones algebraicas puede dar a menudo un nuevo enfoque del proceso de integración. Intuitivamente, podríamos decir que si una función f ( x ) está por encima de otra función g ( x ) , entonces el área entre f ( x ) y el eje x es mayor que el área entre g ( x ) y el eje x . Esto es cierto según el intervalo en el que se hace la comparación. Las propiedades de las integrales definidas son válidas si a < b , a = b , o a > b . Las siguientes propiedades, sin embargo, solo se refieren al caso a ≤ b , y se utilizan cuando queremos comparar los tamaños de las integrales. Teorema de comparación Si los valores de f ( x ) ≥ 0 por a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ 0 . Si f ( x ) ≥ g ( x ) para a ≤ x ≤ b , entonces ∫ a b f ( x ) d x ≥ ∫ a b g ( x ) d x . Si m y M son constantes tales que m ≤ f ( x ) ≤ M por a ≤ x ≤ b , entonces m ( b – a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b – a ) . Comparación de dos funciones en un intervalo dado Compare f ( x ) = 1 + x 2 y g ( x ) = 1 + x en el intervalo [ 0 , 1 ] . Es necesario graficar estas funciones para entender cómo se comparan en el intervalo [ 0 , 1 ] . Inicialmente, cuando se grafica en una calculadora gráfica, f ( x ) parece estar por encima de g ( x ) en todas partes. Sin embargo, en el intervalo [ 0 , 1 ] , los gráficos parecen estar superpuestos. Tenemos que acercarnos para ver que, en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) está por encima de f ( x ) . Las dos funciones se intersecan en x = 0 y x = 1 ( ). (a) La función f ( x ) aparece sobre la función g ( x ) excepto en el intervalo [ 0 , 1 ] (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación lo muestra más claramente. Podemos ver en el gráfico que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) . Comparación de las integrales en el intervalo especificado [ 0 , 1 ] , también vemos que ∫ 0 1 g ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f ( x ) d x ( ). La zona delgada y sombreada en rojo muestra cuánta diferencia hay entre estas dos integrales en el intervalo [ 0 , 1 ] . (a) El gráfico muestra que en el intervalo [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) , donde la igualdad se mantiene solo en los puntos extremos del intervalo. (b) La visualización del mismo gráfico con una mayor ampliación muestra esto más claramente. Valor promedio de una función A menudo necesitamos hallar el promedio de un conjunto de números, como la nota promedio de un examen. Supongamos que obtuvo las siguientes puntuaciones en su clase de álgebra: 89, 90, 56, 78, 100 y 69. La nota del semestre es el promedio de los resultados de los exámenes y quiere saber qué nota obtendrá. Podemos hallar el promedio sumando todas las puntuaciones y dividiendo por el número de puntuaciones. En este caso, hay seis resultados de pruebas. Por lo tanto, 89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69 6 = 482 6 ≈ 80,33 . Por lo tanto, la nota promedio del examen es de aproximadamente 80,33, lo que se traduce en una calificación notable en la mayoría de las escuelas. Supongamos, sin embargo, que tenemos una función v ( t ) que nos da la velocidad de un objeto en cualquier momento t , y queremos hallar la rapidez media del objeto. La función v ( t ) adopta un número infinito de valores, por lo que no podemos utilizar el proceso que acabamos de describir. Por fortuna, podemos utilizar una integral definida para hallar el valor promedio de una función como esta. Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] y supongamos que [ a , b ] se divide en n subintervalos de anchura Δ x = ( b – a ) / n . Elija un representante x i * en cada subintervalo y calcule f ( x i * ) por i = 1 , 2 ,…, n . En otras palabras, considere cada f ( x i * ) como un muestreo de la función en cada subintervalo. El valor promedio de la función puede entonces aproximarse como f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n , que es básicamente la misma expresión utilizada para calcular la media de los valores discretos. Pero sabemos que Δ x = b – a n , por lo que n = b – a Δ x , y obtenemos f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) n = f ( x 1 * ) + f ( x 2 * ) + ⋯ + f ( x n * ) ( b – a ) Δ x . Siguiendo con el álgebra, el numerador es una suma que se representa como ∑ i = 1 n f ( x i * ) , y estamos dividiendo por una fracción. Para dividir por una fracción, invierta el denominador y multiplique. Así, un valor aproximado del valor promedio de la función viene dado por ∑ i = 1 n f ( x i * ) ( b – a ) Δ x = ( Δ x b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) = ( 1 b – a ) ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x . Se trata de una suma de Riemann. Luego, para obtener el valor promedio exacto , se toma el límite a medida que n llega al infinito. Así, el valor promedio de una función viene dado por 1 b – a lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Definición Supongamos que f ( x ) es continua en el intervalo [ a , b ] . Entonces, el valor promedio de la función f ( x ) (o f ave ) en [ a , b ] viene dada por f ave = 1 b – a ∫ a b f ( x ) d x . Hallar el valor promedio de una función lineal Calcule el valor promedio de f ( x ) = x + 1 en el intervalo [ 0 , 5 ] . En primer lugar, grafique la función en el intervalo indicado, como se muestra en la . El gráfico muestra el área bajo la función f ( x ) = x + 1 en [ 0 , 5 ] . La región es un trapecio recostado sobre su lado, por lo que podemos utilizar la fórmula del área de un trapecio A = 1 2 h ( a + b ) , donde h representa la altura, y a y b representan los dos lados paralelos. Entonces, ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 2 h ( a + b ) = 1 2 . 5 . ( 1 + 6 ) = 35 2 . Así, el valor promedio de la función es 1 5 − 0 ∫ 0 5 x + 1 d x = 1 5 . 35 2 = 7 2 . Calcule el valor promedio de f ( x ) = 6 − 2 x en el intervalo [ 0 , 3 ] . 3 Pista Utilice la fórmula del valor promedio y use la geometría para evaluar la integral. Conceptos clave La integral definida puede utilizarse para calcular el área neta señalada, que es el área por encima del eje x menos el área por debajo del eje x . El área neta señalada puede ser positiva, negativa o cero. Los componentes de la integral definida son el integrando, la variable de integración y los límites de integración. Las funciones continuas en un intervalo cerrado son integrables. Las funciones que no son continuas pueden seguir siendo integrables, dependiendo de la naturaleza de las discontinuidades. Las propiedades de las integrales definidas pueden utilizarse para evaluar integrales. El área bajo la curva de muchas funciones puede calcularse mediante fórmulas geométricas. El valor promedio de una función puede calcularse mediante integrales definidas. Ecuaciones clave Integral definida ∫ a b f ( x ) d x = lím n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i * ) Δ x Propiedades de la integral definida ∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) para la constante c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x En los siguientes ejercicios, expresa los límites como integrales. lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( x i * ) Δ x en [ 1 , 3 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n ( 5 ( x i * ) 2 − 3 ( x i * ) 3 ) Δ x en [ 0 , 2 ] ∫ 0 2 ( 5 x 2 − 3 x 3 ) d x lím n → ∞ ∑ i = 1 n sen 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] lím n → ∞ ∑ i = 1 n cos 2 ( 2 π x i * ) Δ x en [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 cos 2 ( 2 π x ) d x En los siguientes ejercicios, dados L n o R n como se indica, exprese sus límites dado que n → ∞ como integrales definidas, identificando los intervalos correctos. L n = 1 n ∑ i = 1 n i − 1 n R n = 1 n ∑ i = 1 n i n ∫ 0 1 x d x L n = 2 n ∑ i = 1 n ( 1 + 2 i − 1 n ) grandes. R n n = 3 n ∑ i = 1 n ( 3 + 3 i n ) grandes. ∫ 3 6 x d x L n = 2 π n ∑ i = 1 n 2 π i − 1 n cos ( 2 π i − 1 n ) grandes. R n = 1 n ∑ i = 1 n ( 1 + i n ) log ( ( 1 + i n ) 2 ) grandes. ∫ 1 2 x log ( x 2 ) d x En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales de las funciones graficadas utilizando las fórmulas de áreas de triángulos y círculos, y restando las áreas bajo el eje x . 1 + 2 . 2 + 3 . 3 = 14 1 − 4 + 9 = 6 1 − 2 π + 9 = 10 − 2 π En los siguientes ejercicios, evalúe la integral utilizando las fórmulas de área. ∫ 0 3 ( 3 − x ) d x ∫ 2 3 ( 3 − x ) d x La integral es el área del triángulo, 1 2 ∫ −3 3 ( 3 − | x | ) d x ∫ 0 6 ( 3 − | x − 3 | ) d x La integral es el área del triángulo, 9. ∫ −2 2 4 − x 2 d x ∫ 1 5 4 − ( x − 3 ) 2 d x La integral es el área 1 2 π r 2 = 2 π . ∫ 0 12 36 − ( x − 6 ) 2 d x ∫ −2 3 ( 3 − | x | ) d x La integral es el área del triángulo "grande" menos el triángulo "perdido", 9 − 1 2 . En los siguientes ejercicios, utilice los promedios de los valores en los extremos izquierdo ( L ) y derecho ( R ) para calcular las integrales de las funciones lineales a trozos con gráficos que pasan por la lista de puntos dada en los intervalos indicados. { ( 0 , 0 ) , ( 2 , 1 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 0 ) , ( 6 , 0 ) , ( 8 , 3 ) } en [ 0 , 8 ] { ( 0 , 2 ) , ( 1 , 0 ) , ( 3 , 5 ) , ( 5 , 5 ) , ( 6 , 2 ) , ( 8 , 0 ) } en [ 0 , 8 ] L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21 , R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22 , L + R 2 = 21,5 { ( −4 , –4 ) , ( –2 , 0 ) , ( 0 , –2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 4 , 3 ) } en [ −4 , 4 ] { ( −4 , 0 ) , ( –2 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 0 ) } en [ −4 , 4 ] L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10 , R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10 , L + R 2 = 10 Supongamos que ∫ 0 4 f ( x ) d x = 5 y ∫ 0 2 f ( x ) d x = −3 , y ∫ 0 4 g ( x ) d x = –1 y ∫ 0 2 g ( x ) d x = 2 . En los siguientes ejercicios, calcule las integrales. ∫ 0 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) + g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x + ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 − 3 = 5 ∫ 0 2 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( f ( x ) − g ( x ) ) d x ∫ 2 4 f ( x ) d x − ∫ 2 4 g ( x ) d x = 8 + 3 = 11 ∫ 0 2 ( 3 f ( x ) − 4 g ( x ) ) d x ∫ 2 4 ( 4 f ( x ) − 3 g ( x ) ) d x 4 ∫ 2 4 f ( x ) d x − 3 ∫ 2 4 g ( x ) d x = 32 + 9 = 41 En los siguientes ejercicios, utilice la identidad ∫ − A A f ( x ) d x = ∫ − A 0 f ( x ) d x + ∫ 0 A f ( x ) d x para calcular las integrales. ∫ − π π sen t 1 + t 2 d t ( Pista : sen ( − t ) = − sen ( t ) ). grandes. ∫ − π π t 1 + cos t d t El integrando es impar; la integral es cero. En los siguientes ejercicios, halle el área neta señalada entre f ( x ) y el eje x. ∫ 1 3 ( 2 − x ) d x ( Pista: Mire el gráfico de f ). ∫ 2 4 ( x − 3 ) 3 d x ( Pista: Mire el gráfico de f .) El integrando es antisimétrico con respecto a x = 3 . La integral es cero. En los siguientes ejercicios, dado que ∫ 0 1 x d x = 1 2 , ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 , y ∫ 0 1 x 3 d x = 1 4 , calcular las integrales. ∫ 0 1 ( 1 + x + x 2 + x 3 ) d x ∫ 0 1 ( 1 − x + x 2 − x 3 ) d x 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 = 7 12 ∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 d x ∫ 0 1 ( 1 − 2 x ) 3 d x ∫ 0 1 ( 1 − 6 x + 12 x 2 − 8 x 3 ) d x = ( x – 3 x 2 + 4 x 3 – 2 x 4 ) = ( 1 – 3 + 4 – 2 ) ( 0 – 0 + 0 – 0 ) = 0 ∫ 0 1 ( 6 x − 4 3 x 2 ) d x ∫ 0 1 ( 7 − 5 x 3 ) d x 7 − 5 4 = 23 4 En los siguientes ejercicios, utilice el teorema de comparación . Demuestre que ∫ 0 3 ( x 2 − 6 x + 9 ) d x ≥ 0 . Demuestre que ∫ −2 3 ( x − 3 ) ( x + 2 ) d x ≤ 0 . El integrando es negativo sobre [ −2 , 3 ] . Demuestre que ∫ 0 1 1 + x 3 d x ≤ ∫ 0 1 1 + x 2 d x . Demuestre que ∫ 1 2 1 + x d x ≤ ∫ 1 2 1 + x 2 d x . x ≤ x 2 en [ 1 , 2 ] , así que 1 + x ≤ 1 + x 2 en [ 1 , 2 ] . Demuestre que ∫ 0 π / 2 sen t d t ≥ π 4 . ( Pista: sen t ≥ 2 t π en [ 0 , π 2 ] ). Demuestre que ∫ − π / 4 π / 4 cos t d t ≥ π 2 / 4 . cos ( t ) ≥ 2 2 . Multiplique por la longitud del intervalo para obtener la desigualdad. En los siguientes ejercicios, halle el valor promedio f ave de f entre a y b , y halle un punto c , donde f ( c ) = f ave . f ( x ) = x 2 , a = −1 , b = 1 f ( x ) = x 5 , a = −1 , b = 1 f ave = 0 ; c = 0 f ( x ) = 4 − x 2 , a = 0 , b = 2 f ( x ) = ( 3 − | x | ) , a = −3 , b = 3 3 2 cuando c = ± 3 2 f ( x ) = sen x , a = 0 , b = 2 π f ( x ) = cos x , a = 0 , b = 2 π f ave = 0 ; c = π 2 , 3 π 2 En los siguientes ejercicios, aproxime el valor promedio utilizando las sumas de Riemann L 100 and R 100 . ¿Cómo se compara su respuesta con la respuesta exacta dada? [T] y = ln ( x ) en el intervalo [ 1 , 4 ] ; la solución exacta es ln ( 256 ) 3 − 1 . [T] y = e x / 2 en el intervalo [ 0 , 1 ] ; la solución exacta es 2 ( e − 1 ) . L 100 = 1,294 , R 100 = 1,301 ; el promedio exacto está entre estos valores. [T] y = tan x en el intervalo [ 0 , π 4 ] ; la solución exacta es 2 ln ( 2 ) π . [T] y = x + 1 4 − x 2 en el intervalo [ −1 , 1 ] ; la solución exacta es π 6 . L 100 × ( 1 2 ) = 0,5178 , R 100 × ( 1 2 ) = 0,5294 En los siguientes ejercicios, calcule el valor promedio utilizando las sumas de Riemann izquierdas L N para N = 1 , 10 , 100 . ¿Cómo se compara la exactitud con el valor exacto dado? [T] y = x 2 − 4 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es − 8 3 . [T] y = x e x 2 en el intervalo [ 0 , 2 ] ; la solución exacta es 1 4 ( e 4 − 1 ) . L 1 = 0 , L 10 × ( 1 2 ) = 8,743493 , L 100 × ( 1 2 ) = 12,861728 . La respuesta exacta ≈ 26,799 , por lo que L 100 no es exacta. [T] y = ( 1 2 ) x en el intervalo [ 0 , 4 ] ; la solución exacta es 15 64 ln ( 2 ) . [T] y = x sen ( x 2 ) en el intervalo [ − π , 0 ] ; la solución exacta es cos ( π 2 ) − 1 2 π . L 1 × ( 1 π ) = 1,352 , L 10 × ( 1 π ) = −0,1837 , L 100 × ( 1 π ) = −0,2956 . La respuesta exacta ≈ − 0,303 , por lo que L 100 no es exacto en el primer decimal. Supongamos que A = ∫ 0 2 π sen 2 t d t y B = ∫ 0 2 π cos 2 t d t . Demuestre que A + B = 2 π y A = B . Supongamos que A = ∫ − π / 4 π / 4 sec 2 t d t = π y B = ∫ − π / 4 π / 4 tan 2 t d t . Demuestre que A − B = π 2 . Utilice la sustitución en tan 2 θ + 1 = sec 2 θ . Entonces, B − A = ∫ − π / 4 π / 4 1 d x = π 2 . Demuestre que el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1/2. Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de sen 2 t en [ 0 , π ] también es igual a 1/2. Demuestre que el valor promedio de cos 2 t en [ 0 , 2 π ] es igual a 1 / 2 . Sin hacer más cálculos, determine si el valor promedio de cos 2 ( t ) en [ 0 , π ] también es igual a 1 / 2 . ∫ 0 2 π cos 2 t d t = π , así que divida por la longitud 2 π del intervalo. cos 2 t tiene periodo π , así que es cierto. Explique por qué los gráficos de una función cuadrática (parábola) p ( x ) y una función lineal ℓ ( x ) pueden intersecarse como máximo en dos puntos. Supongamos que p ( a ) = ℓ ( a ) y p ( b ) = ℓ ( b ) , y que ∫ a b p ( t ) d t > ∫ a b ℓ ( t ) d t . Explique por qué ∫ c d p ( t ) > ∫ c d ℓ ( t ) d t siempre que a ≤ c < d ≤ b . Supongamos que la parábola p ( x ) = a x 2 + b x + c se abre hacia abajo ( a < 0 ) y tiene un vértice de y = − b 2 a > 0 . ¿Para qué intervalo [ A , B ] es ∫ A B ( a x 2 + b x + c ) d x lo más grande posible? La integral se maximiza cuando se utiliza el mayor intervalo en el que p es no negativo. Así, A = − b − b 2 − 4 a c 2 a y B = − b + b 2 − 4 a c 2 a . Supongamos que [ a , b ] se puede subdividir en subintervalos a = a 0 < a 1 < a 2 < ⋯ < a N = b de manera que f ≥ 0 en [ a i − 1 , a i ] o f ≤ 0 en [ a i − 1 , a i ] . Establezca A i = ∫ a i − 1 a i f ( t ) d t . Explique por qué ∫ a b f ( t ) d t = A 1 + A 2 + ⋯ + A N . Luego, explique por qué | ∫ a b f ( t ) d t | ≤ ∫ a b | f ( t ) | d t . Supongamos que f y g son funciones continuas tales que ∫ c d f ( t ) d t ≤ ∫ c d g ( t ) d t para cada subintervalo [ c , d ] de [ a , b ] . Explique por qué f ( x ) ≤ g ( x ) para todos los valores de x . Si los valores de f ( t 0 ) > g ( t 0 ) para algunos t 0 ∈ [ a , b ] , entonces ya que f − g es continua, existe un intervalo que contiene t 0 tal que f ( t ) > g ( t ) en el intervalo [ c , d ] , y luego ∫ d d f ( t ) d t > ∫ c d g ( t ) d t en este intervalo. Supongamos que el valor promedio de f sobre [ a , b ] es 1 y el valor promedio de f sobre [ b , c ] es 1 donde a < c < b . Demuestre que el valor promedio de f sobre [ a , c ] también es 1. Supongamos que [ a , b ] se puede dividir. Al tomar a = a 0 < a 1 < ⋯ < a N = b tal que el valor promedio de f en cada subintervalo [ a i − 1 , a i ] = 1 es igual a 1 por cada i = 1 ,…, N . Explique por qué el valor promedio de f sobre [ a , b ] también es igual a 1. La integral de f sobre un intervalo es la misma que la integral del promedio de f sobre ese intervalo. Así, ∫ a b f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 f ( t ) d t + ∫ a 1 a 2 f ( t ) d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N f ( t ) d t = ∫ a 0 a 1 1 d t + ∫ a 1 a 2 1 d t + ⋯ + ∫ a N + 1 a N 1 d t = ( a 1 − a 0 ) + ( a 2 − a 1 ) + ⋯ + ( a N − a N − 1 ) = a N − a 0 = b – a . Al dividir entre b – a resulta la identidad deseada. Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) 2 . Supongamos que para cada i tal que 1 ≤ i ≤ N se tiene ∫ i − 1 i f ( t ) d t = i 2 . Demuestre que ∫ 0 N f ( t ) d t = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 . ∫ 0 N f ( t ) d t = ∑ i = 1 N ∫ i − 1 i f ( t ) d t = ∑ i = 1 N i 2 = N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) 6 [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha L 10 y R 10 y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = t 2 en [ 0 , 1 ] . Dado que ∫ 0 1 t 2 d t = 0, 33 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? [T] Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha, L 10 y R 10 , y su promedio L 10 + R 10 2 por f ( t ) = ( 4 − t 2 ) en [ 1 , 2 ] . Dado que ∫ 1 2 ( 4 − t 2 ) d t = 1 66 – , ¿hasta cuántos decimales es L 10 + R 10 2 precisa? L 10 = 1,815 , R 10 = 1,515 , L 10 + R 10 2 = 1,665 , para que la estimación sea precisa con dos decimales. Si los valores de ∫ 1 5 1 + t 4 d t = 41,7133.. . , ¿qué es ∫ 1 5 1 + u 4 d u ? Estime ∫ 0 1 t d t utilizando las sumas de los extremos izquierdo y derecho, cada una con un solo rectángulo. ¿Cómo se compara el promedio de estas sumas de los extremos izquierdo y derecho con el valor real ∫ 0 1 t d t ? El promedio es 1 / 2 , que en este caso es igual a la integral. Estime ∫ 0 1 t d t por comparación con el área de un único rectángulo con altura igual al valor de t en el punto medio t = 1 2 . ¿Cómo se compara esta estimación del punto medio con el valor real ∫ 0 1 t d t ? A partir del gráfico de sen ( 2 π x ) que se muestra: Explique por qué ∫ 0 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 . Explique por qué, en general, ∫ a a + 1 sen ( 2 π t ) d t = 0 para cualquier valor de a . a. El gráfico es antisimétrico con respecto a t = 1 2 en [ 0 , 1 ] , para que el valor promedio sea cero. b. Para cualquier valor de a , el gráfico entre [ a , a + 1 ] es un desplazamiento del gráfico sobre [ 0 , 1 ] , para que las áreas netas por encima y por debajo del eje no cambien y el promedio siga siendo cero. Si f es 1-periódica ( f ( t + 1 ) = f ( t ) ) , impar, e integrable sobre [ 0 , 1 ] , ¿es siempre cierto que ∫ 0 1 f ( t ) d t = 0 ? Si f es 1-periódica y ∫ 0 1 f ( t ) d t = A , ¿es necesariamente cierto que ∫ a 1 + a f ( t ) d t = A para todos las A ? Sí, la integral sobre cualquier intervalo de longitud 1 es la misma. valor promedio de una función (o f ave ) el valor promedio de una función en un intervalo se puede hallar calculando la integral definida de la función y dividiendo ese valor por la longitud del intervalo integral definida una operación primaria del cálculo; el área entre la curva y el eje x en un intervalo dado es una integral definida función integrable una función es integrable si el límite que define la integral existe; en otras palabras, si el límite de las sumas de Riemann a medida que n llega al infinito existe integrando la función a la derecha del símbolo de integración; el integrando incluye la función que se integra límites de integración valores que aparecen cerca de la parte superior e inferior del signo de la integral y definen el intervalo sobre el que debe integrarse la función área neta señalada el área entre una función y el eje x tal que el área por debajo del eje x se resta del área por encima del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida de la función área total el área total entre una función y el eje x se calcula sumando el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x ; el resultado es el mismo que la integral definida del valor absoluto de la función variable de integración indica con respecto a qué variable se está integrando; si es x , entonces la función en el integrando va seguida de dx

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