Uso de la distribución normal El área sombreada en el siguiente gráfico indica el área a la izquierda de x . Esta área está representada por la probabilidad P ( X < x ). Las tablas normales, las computadoras y las calculadoras proporcionan o calculan la probabilidad P ( X < x ). El área a la derecha es entonces P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ). Recuerde que P ( X < x ) = Área a la izquierda de la línea vertical que pasa por x . P ( X > x ) = 1 - P ( X < x ) = Área a la derecha de la línea vertical que pasa por x . P ( X < x ) es lo mismo que P ( X ≤ x ) y P ( X > x ) es lo mismo que P ( X ≥ x ) para distribuciones continuas. Cálculo de probabilidades Las probabilidades se calculan mediante la tecnología. Se dan las instrucciones necesarias para las calculadoras TI-83+ y TI-84. NOTA Para calcular la probabilidad, utilice las tablas de probabilidad proporcionadas en H - TABLAS sin utilizar la tecnología. Las tablas incluyen instrucciones para su uso. Si el área de la izquierda es 0,0228, el área de la derecha es 1 - 0,0228 = 0,9772. Ejercicio Si el área a la izquierda de x es 0,012, ¿cuál es el área a la derecha? Las calificaciones del examen final de una clase de estadística se distribuyeron normalmente, con una media de 63 y una desviación típica de cinco. a. Halle la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga más de 65 puntos en el examen. a. Supongamos que X = una calificación en el examen final. X ~ N (63, 5), donde μ = 63 y σ = 5. Dibuje un gráfico. Entonces, calcule P ( x > 65). P ( x > 65) = 0,3446 La probabilidad de que cualquier estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación superior a 65 es de 0,3446. Entra en 2nd DISTR . Después de pulsar 2nd DISTR , pulse 2:normalcdf . La sintaxis de las instrucciones es la siguiente: normalcdf(valor inferior, valor superior, media, desviación típica). Para este problema: normalcdf(65,1E99,63,5) = 0,3446. Se obtiene 1E99 (= 10 99 ) al pulsar 1 , la EE tecla (una segunda tecla) y luego 99 . O bien, puede ingresar 10^99 en su lugar. El número 10 99 está en la cola derecha de la curva normal. Estamos calculando el área entre 65 y 10 99 . En algunos casos, el número inferior del área puede ser -1E99 (= -10 99 ). El número -10 99 está en la cola izquierda de la curva normal. Nota histórica El programa de probabilidad de TI calcula una puntuación z y luego la probabilidad a partir de la puntuación z . Antes de la tecnología, la puntuación z se buscaba en una tabla de probabilidad normal (porque la matemática implicada es demasiado engorrosa) para calcular la probabilidad. En este ejemplo, se utilizó una tabla normal estándar con el área a la izquierda de la puntuación z . Se calcula la puntuación z y se busca el área a la izquierda. La probabilidad es el área de la derecha. z = 65 – 63 5 = 0,4 El área de la izquierda es 0,6554. P ( x > 65) = P ( z > 0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446 Calcule el percentil de un estudiante con una puntuación de 65: * Pulse 2nd Distr * Pulse 2:normalcdf ( * Ingrese el límite inferior, límite superior, media, desviación típica seguido de ) * Pulse ENTER . Para este ejemplo, los pasos son 2nd Distr 2:normalcdf (65,1,2nd EE,99,63,5) ENTER La probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65 es de 0,3446. Para hallar la probabilidad de que un estudiante seleccionado haya obtenido una puntuación superior a 65, reste el percentil a 1. b. Calcule la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar obtenga una calificación inferior a 85. b. Dibuje un gráfico. Luego calcule P ( x < 85), y sombree el gráfico. Con una computadora o una calculadora, calcule P ( x < 85) = 1. normalcdf(0,85,63,5) = 1 (redondee a uno) La probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación inferior a 85 es aproximadamente uno (o el 100 %). c. Calcule el percentil 90 (es decir, halle la puntuación k que tiene el 90 % de las puntuaciones por debajo de k y el 10 % de las puntuaciones por encima de k ). c. Calcule el percentil 90 . Para cada problema o parte de un problema, dibuje un nuevo gráfico. Dibuje el eje x . Sombree el área que corresponde al percentil 90 . Supongamos que k = el percentil 90 . La variable k se sitúa en el eje x . P ( x < k ) es el área a la izquierda de k . El percentil 90 k separa las puntuaciones del examen en las que son iguales o inferiores a k y las que son iguales o superiores. El noventa por ciento de los resultados de las pruebas son iguales o inferiores a k , y el diez por ciento son iguales o superiores. La variable k suele llamarse valor crítico . k = 69,4 El percentil 90 es de 69,4. Esto significa que el 90 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 69,4 y el 10 % en un nivel igual o superior. Para obtener esta respuesta en la calculadora, siga este paso: invNorm pulgada 2nd DISTR . invNorm(área a la izquierda, media, desviación típica) Para este problema, invNorm(0,90;63;5) = 69,4 d. Calcule el percentil 70 (es decir, halle la puntuación k tal que el 70 % de las puntuaciones esté por debajo de k y el 30 % de las puntuaciones esté por encima de k ). d. Calcule el percentil 70 . Dibuje un nuevo gráfico y márquelo adecuadamente. k = 65,6 El percentil 70 es de 65,6. Esto significa que el 70 % de las puntuaciones de las pruebas se sitúan en un nivel igual o inferior a 65,5 y el 30 % en un nivel igual o superior. invNorm(0,70;63;5) = 65,6 Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista seleccionado al azar obtenga una puntuación inferior a 65. Una computadora personal se utiliza para trabajo de oficina en casa, investigación, comunicación, finanzas personales, educación, entretenimiento, redes sociales y un sinfín de cosas más. Supongamos que el número promedio de horas que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento es de dos horas al día. Supongamos que los tiempos de entretenimiento se distribuyen normalmente y la desviación típica de los tiempos es de media hora. a. Calcule la probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice para el entretenimiento entre 1,8 y 2,75 horas al día. a. Supongamos que X = la cantidad de tiempo (en horas) que se utiliza una computadora personal en un hogar para el entretenimiento. X ~ N (2, 0,5) donde μ = 2 y σ = 0,5. Calcule P (1,8 < x < 2,75). La probabilidad que se busca es el área entre x = 1,8 y x = 2,75. P (1,8 < x < 2,75) = 0,5886 normalcdf(1,8;2,75;2;0,5) = 0,5886 La probabilidad de que una computadora personal en un hogar se utilice entre 1,8 y 2,75 horas al día para el entretenimiento es de 0,5886 b. Calcule el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse. b. Para hallar el número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse, calcule el percentil 25 , k , donde P ( x < k ) = 0,25. invNorm(0,25;2;0,5) = 1,66 El número máximo de horas al día que el cuartil inferior de los hogares utiliza una computadora personal para entretenerse es de 1,66 horas. Ejercicio Las puntuaciones de golf de un equipo escolar se distribuyen normalmente, con una media de 68 y una desviación típica de tres. Calcule la probabilidad de que un golfista obtenga una puntuación entre 66 y 70. En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. a. Determine la probabilidad de que un usuario aleatorio de teléfono inteligente en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga entre 23 y 64,7 años. b. Determine la probabilidad de que un usuario de teléfono inteligente seleccionado al azar en el rango de edad de 13 a 55 o más tenga como máximo 50,8 años. c. Calcule el percentil 80 de esta distribución e interprételo en una frase completa. a. normalcdf(23;64,7;36,9;13,9) = 0,8186 b. normalcdf(-10 99 ;50,8;36,9;13,9) = 0,8413 c. invNorm(0,80;36,9;13,9) = 48,6 El percentil 80 es de 48,6 años. El 80 % de los usuarios de teléfonos inteligentes en el rango de edad de 13 a 55+ años tienen 48,6 años o menos. Ejercicio Utilice la información del para responder las siguientes preguntas. Calcule el percentil 30 , e interprételo en una frase completa. ¿Cuál es la probabilidad de que la edad de un usuario de un teléfono inteligente seleccionado aleatoriamente en el rango de 13 a 55+ sea inferior a 27 años? En Estados Unidos los usuarios de teléfonos inteligentes con edades comprendidas entre los 13 y los 55 años siguen aproximadamente una distribución normal con una media y una desviación típica aproximadas de 36,9 años y 13,9 años, respectivamente. Con esta información, responda a las siguientes preguntas (redondee las respuestas a un decimal) a. Calcule el rango intercuartil ( IQR ). b. ¿Qué edad tiene el 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años? a. IQR = Q 3 – Q 1 Calcule el Q 3 = percentil 75 y Q 1 = percentil 25 . invNorm(0,75;36,9;13,9) = Q 3 = 46,2754 invNorm(0,25;36,9;13,9) = Q 1 = 27,5246 IQR = Q 3 – Q 1 = 18,8 b. Calcule k donde P ( x ≥ k ) = 0,40 ("al menos" se traduce en "mayor o igual que") 0,40 = la zona de la derecha. Área a la izquierda = 1 - 0,40 = 0,60. El área a la izquierda de k = 0,60. invNorm(0,60;36,9;13,9) = 40,4215. k = 40,4. El 40 % de los usuarios de teléfonos inteligentes de 13 a 55 años tienen al menos 40,4 años. Ejercicio Dos mil estudiantes hicieron un examen. Las puntuaciones del examen tienen una distribución normal aproximada con una media μ = 81 puntos y una desviación típica σ = 15 puntos. Calcule las puntuaciones del primer y tercer cuartil de este examen. ¿El 50 % de las puntuaciones del examen se encuentran entre qué dos valores? Un agricultor de cítricos que cultiva mandarinas comprueba que los diámetros de las mandarinas cosechadas en su finca siguen una distribución normal con un diámetro medio de 5,85 cm y una desviación típica de 0,24 cm. a. Calcule la probabilidad de que una mandarina seleccionada al azar de esta finca tenga un diámetro superior a 6,0 cm. Dibuje el gráfico. b. El 20 % de las mandarinas de esta finca tienen diámetros entre ______ y ______. c. Calcule el percentil 90 de los diámetros de las mandarinas e interprételo en una frase completa. a. normalcdf(6;10^99;5,85;0,24) = 0,2660 b. 1 – 0,20 = 0,80 Las colas del gráfico de la distribución normal tienen un área de 0,40 cada una. Calcule k1 , el percentil 40 , y k2 , el percentil 60 (0,40 + 0,20 = 0,60). k1 = invNorm(0,40;5,85;0,24) = 5,79 cm k2 = invNorm(0,60;5,85;0,24) = 5,91 cm c. 6,16: El 90 % del diámetro de las mandarinas es como máximo de 6,16 cm. Ejercicio Utilizando la información del , responda a lo siguiente: El 40 % medio de las mandarinas de esta finca está entre ______ y ______. Calcule el percentil 16 e interprételo en una frase completa. Referencias “Naegele’s rule”. Wikipedia. Disponible en línea en http://en.wikipedia.org/wiki/Naegele's_rule (consultado el 14 de mayo de 2013). “403: NUMMI”. Chicago Public Media & Ira Glass, 2013. Disponible en línea en http://www.thisamericanlife.org/radio-archives/episode/403/nummi (consultado el 14 de mayo de 2013). “Scratch-Off Lottery Ticket Playing Tips”. WinAtTheLottery.com, 2013. Disponible en línea en http://www.winatthelottery.com/public/department40.cfm (consultado el 14 de mayo de 2013). “Smart Phone Users, By The Numbers”. Visual.ly, 2013. Disponible en línea en http://visual.ly/smart-phone-users-numbers (consultado el 14 de mayo de 2013). “Facebook Statistics”. Statistics Brain. Disponible en línea en http://www.statisticbrain.com/facebook-statistics/ (consultado el 14 de mayo de 2013). Repaso del capítulo La distribución normal, que es continua, es la más importante de todas las distribuciones de probabilidad. Su gráfico tiene forma de campana. Esta curva en forma de campana se utiliza en casi todas las disciplinas. Al tratarse de una distribución continua, el área total debajo de la curva es uno. Los parámetros de la normal son la media µ y la desviación típica σ . Una distribución normal especial, llamada distribución normal estándar, es la distribución de las puntuaciones z . Su media es cero y su desviación típica es uno. Revisión de la fórmula Distribución normal: X ~ N ( µ , σ ) donde µ es la media y σ es la desviación típica. Distribución normal estándar: Z ~ N (0, 1). Función de cálculo de la probabilidad: normalcdf (valor x inferior del área, valor x superior del área, media, desviación típica) Función de cálculo del percentil k : k = invNorm (área a la izquierda de k , media, desviación típica) ¿Cómo representaría el área a la izquierda de uno en un enunciado de probabilidad? P ( x < 1) ¿Cuál es el área a la derecha de uno? ¿ P ( x < 1) es igual a P ( x ≤ 1)? ¿Por qué? Sí, porque son iguales en una distribución continua: P ( x = 1) = 0 ¿Cómo representaría el área a la izquierda de tres en un enunciado de probabilidad? ¿Cuál es el área a la derecha de tres? 1 – P ( x < 3) o P ( x > 3) Si el área a la izquierda de x en una distribución normal es 0,123, ¿cuál es el área a la derecha de x ? Si el área a la derecha de x en una distribución normal es 0,543, ¿cuál es el área a la izquierda de x ? 1 – 0,543 = 0,457 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: X ~ N (54, 8) Calcule la probabilidad de que x > 56. Calcule la probabilidad de que x < 30. 0,0013 Calcule el percentil 80 . Calcule el percentil 60 . 56,03 X ~ N (6, 2) Calcule la probabilidad de que x esté entre tres y nueve. X ~ N (–3, 4) Calcule la probabilidad de que x esté entre uno y cuatro. 0,1186 X ~ N (4, 5) Calcule el máximo de x en el cuartil inferior. Use la siguiente información para responder el próximo ejercicio: La vida de los reproductores de CD de Sunshine se distribuye normalmente, con una media de 4,1 años y una desviación típica de 1,3 años. El reproductor de CD tiene una garantía de tres años. Nos interesa la duración de un reproductor de CD. Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD se averíe durante el periodo de garantía. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (0 < x < ____________) = ___________ (use el cero para el valor mínimo de x .) Compruebe la solución del estudiante. 3; 0,1979 Calcule la probabilidad de que un reproductor de CD dure entre 2,8 y seis años. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (__________ < x < __________) = __________ Calcule el percentil 70 de la distribución para el tiempo que dura un reproductor de CD. Haga un esquema de la situación. Identifique y escale los ejes. Sombree la región correspondiente al 70 % inferior. P ( x < k ) = __________ Por lo tanto, k = _________ Compruebe la solución del estudiante. 0,70, 4,78 años Tarea para la casa Use la siguiente información para responder los dos próximos ejercicios: el tiempo de recuperación del paciente de un procedimiento quirúrgico en particular se distribuye normalmente, con una media de 5,3 días y una desviación típica de 2,1 días. ¿Cuál es la probabilidad de pasar más de dos días en recuperación? 0,0580 0,8447 0,0553 0,9420 ¿El percentil 90 de los tiempos de recuperación es? 8,89 7,07 7,99 4,32 c Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: El tiempo que se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento a las 9 a. m. sigue una distribución normal con una media de cinco minutos y una desviación típica de dos minutos. Con base en la información dada y justificada numéricamente, ¿le sorprendería que tardara menos de un minuto en encontrar un puesto de estacionamiento? Sí No No se puede determinar Calcule la probabilidad de que se tarde al menos ocho minutos en encontrar un puesto de estacionamiento. 0,0001 0,9270 0,1862 0,0668 d El setenta por ciento de las veces, ¿cuántos minutos se tarda en encontrar un puesto de estacionamiento? 1,24 2,41 3,95 6,05 Según un estudio realizado por estudiantes de De Anza, la altura de los hombres adultos asiáticos se distribuye normalmente, con un promedio de 66 pulgadas y una desviación típica de 2,5 pulgadas. Supongamos que se elige al azar un hombre adulto asiático. Supongamos que X = la altura de la persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga entre 65 y 69 pulgadas de alto. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. ¿Espera hallar muchos hombres adultos asiáticos de más de 72 pulgadas de alto? Explique por qué sí o por qué no, y justifique su respuesta numéricamente. X ~ N (66; 2,5) 0,5404 No, la probabilidad de que un hombre asiático mida más de 72 pulgadas es de 0,0082 El IQ se distribuye normalmente, con una media de 100 y una desviación típica de 15. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = IQ de una persona. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la persona tenga un IQ superior a 120. Incluya un esquema del gráfico y escriba una declaración de probabilidad. MENSA es una organización cuyos miembros tienen el 2 % más alto de todos los IQ. Calcule el IQ mínimo necesario para poder acceder a la organización MENSA. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿El 50 % de los coeficientes intelectuales se sitúan entre qué dos valores? Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. El porcentaje de calorías de grasa que consume una persona en Estados Unidos cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de 10. Supongamos que se elige una persona al azar. Supongamos que X = porcentaje de calorías de grasa. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de calorías de grasa que consume una persona sea superior a 40. Grafique la situación. Sombree en la zona por determinar. Calcule el número máximo para el cuarto inferior del porcentaje de calorías de grasa. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. X ~ N (36, 10) La probabilidad de que una persona consuma más del 40 % de sus calorías en forma de grasa es de 0,3446. Aproximadamente el 25 % de las personas consumen menos del 29,26 % de sus calorías en forma de grasa. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Si X = distancia en pies para un batazo de aire, entonces X ~ _____(_____,_____) Si se elige al azar un batazo de aire de esta distribución, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota haya volado menos de 220 pies? Dibuje el gráfico. Escale el eje horizontal X . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución de los batazos de aire. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. En China, los niños de cuatro años pasan un promedio de tres horas al día sin supervisión. La mayoría de los niños sin supervisión viven en zonas rurales, consideradas seguras. Supongamos que la desviación típica es de 1,5 horas y que la cantidad de tiempo que se pasa solo se distribuye normalmente. Seleccionamos al azar un niño chino de cuatro años que vive en una zona rural. Nos interesa la cantidad de tiempo que el niño pasa solo al día. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿Qué porcentaje de niños pasa más de diez horas al día sin supervisión? ¿Cuánto tiempo como mínimo pasan al día sin supervisión el setenta por ciento de los niños? X = número de horas que un niño chino de cuatro años en una zona rural está sin supervisión durante el día. X ~ N (3, 1,5) La probabilidad de que el niño pase menos de una hora al día sin supervisión es de 0,0918. La probabilidad de que un niño pase más de diez horas al día sin supervisión es inferior a 0,0001. 2,21 horas En las elecciones presidenciales de 1992, los 40 distritos electorales de Alaska obtuvieron un promedio de 1.956,8 votos por distrito para el presidente Clinton. La desviación típica fue de 572,3 (solo hay 40 distritos electorales en Alaska). La distribución de los votos por distrito para el presidente Clinton tuvo forma de campana. Supongamos que X = número de votos para el presidente Clinton para un distrito electoral. Indique la distribución aproximada de X . ¿1.956,8 es una media poblacional o una media muestral? ¿Cómo lo sabe? Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga menos de 1.600 votos para el presidente Clinton. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. Calcule la probabilidad de que un distrito seleccionado al azar tenga entre 1.800 y 2.000 votos para el presidente Clinton. Calcule el tercer cuartil de votos para el presidente Clinton. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal se distribuye normalmente, con una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Si uno de los juicios se elige al azar, calcule la probabilidad de que haya durado, al menos, 24 días. Dibuje el gráfico y escriba el enunciado de la probabilidad. ¿En cuántos días se completan el sesenta por ciento de los juicios de este tipo? X = la distribución del número de días que durará un determinado tipo de juicio penal X ~ N (21, 7) La probabilidad de que un juicio seleccionado al azar dure más de 24 días es de 0,3336. 22,77 Terri Vogel, una corredora de motos aficionada, tiene un promedio de 129,71 segundos por vuelta de 2,5 millas (en una carrera de siete vueltas) con una desviación típica de 2,28 segundos. La distribución de sus tiempos de carrera se distribuye normalmente. Estamos interesados en una de sus vueltas seleccionadas al azar. Defina la variable aleatoria X en palabras. X ~ _____(_____,_____) Calcule el porcentaje de sus vueltas que se completan en menos de 130 segundos. El 3 % de sus vueltas más rápidas están por debajo de _____. El 80 % de sus vueltas son de _______ segundos a _______ segundos. Thuy Dau, Ngoc Bui, Sam Su y Lan Voung realizaron una encuesta sobre el tiempo que los clientes de Lucky afirmaron que esperaban en la fila de la caja hasta que les llegaba su turno. Supongamos que X = tiempo en fila. La muestra los datos reales ordenados (en minutos): 0,50 4,25 5 6 7,25 1,75 4,25 5,25 6 7,25 2 4,25 5,25 6,25 7,25 2,25 4,25 5,5 6,25 7,75 2,25 4,5 5,5 6,5 8 2,5 4,75 5,5 6,5 8,25 2,75 4,75 5,75 6,5 9,5 3,25 4,75 5,75 6,75 9,5 3,75 5 6 6,75 9,75 3,75 5 6 6,75 10,75 Calcule la media y la desviación típica de la muestra. Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____) Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que una persona espere menos de 6,1 minutos. Determine la frecuencia relativa acumulada para esperar menos de 6,1 minutos. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? ¿Por qué las respuestas de las partes f y g son tan cercanas? Si solo se hubiera encuestado a diez clientes en vez de 50, ¿cree que las respuestas de las partes f y g habrían estado más cerca o más lejos? Explique su conclusión. media = 5,51, s = 2,15 Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. Compruebe la solución del estudiante. X ~ N (5,51; 2,15) 0,6029 La frecuencia acumulada para menos de 6,1 minutos es de 0,64. Las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales, ya que la distribución normal es solo una aproximación a la real. Las respuestas de las partes f y g son cercanas, ya que una distribución normal es una excelente aproximación cuando el tamaño de la muestra es superior a 30. La aproximación habría sido menos precisa porque el menor tamaño de la muestra hace que los datos no se ajusten tan bien a la curva normal. Supongamos que Ricardo y Anita asisten a institutos universitarios diferentes. El GPA de Ricardo es igual al GPA de su escuela. El GPA de Anita está 0,70 desviaciones típicas por encima del GPA de su escuela. En oraciones completas, explique por qué cada una de las siguientes afirmaciones puede ser falsa. El GPA real de Ricardo es menor que el de Anita. Ricardo no aprueba porque su puntuación z es cero. Anita está en el percentil 70 de los estudiantes de su instituto universitario. La muestra la capacidad máxima (número máximo de espectadores) de los estadios deportivos. La tabla no incluye los hipódromos de carreras de caballos o estadios de carrera de automóviles. 40.000 40.000 45.050 45.500 46.249 48.134 49.133 50.071 50.096 50.466 50.832 51.100 51.500 51.900 52.000 52.132 52.200 52.530 52.692 53.864 54.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.000 55.082 57.000 58.008 59.680 60.000 60.000 60.492 60.580 62.380 62.872 64.035 65.000 65.050 65.647 66.000 66.161 67.428 68.349 68.976 69.372 70.107 70.585 71.594 72.000 72.922 73.379 74.500 75.025 76.212 78.000 80.000 80.000 82.300 Calcule la media muestral y la desviación típica muestral de la capacidad máxima de los estadios deportivos (los datos). Construya un histograma. Dibuje una curva suave a través de los puntos medios de la parte superior de las barras del histograma. Describa la forma de su histograma y la curva suave en palabras. Supongamos que la media muestral se aproxime a μ y la desviación típica de la muestra se aproxime a σ . La distribución de X puede entonces ser aproximada por X ~ _____(_____,_____). Utilice la distribución de la parte e para calcular la probabilidad de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores. Determine la frecuencia relativa acumulada de que la capacidad máxima de los estadios deportivos sea inferior a 67.000 espectadores. Pista: Ordene los datos y cuente los estadios deportivos que tienen una capacidad máxima inferior a 67.000. Divida por el número total de estadios deportivos de la muestra. ¿Por qué las respuestas de las partes f y g no son exactamente iguales? media = 60.136 s = 10.468 Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. Las respuestas variarán. X ~ N (60136, 10468) 0,7440 La frecuencia relativa acumulada es 43/60 = 0,717. Las respuestas para la parte f y la parte g no son las mismas, porque la distribución normal es solo una aproximación. Un perito de una demanda de paternidad declara que la duración de un embarazo se distribuye normalmente, con una media de 280 días y una desviación típica de 13 días. El presunto padre estuvo fuera del país entre 240 y 306 días antes del nacimiento del niño, por lo que el embarazo habría durado menos de 240 días o más de 306 días si era el padre. El parto no tuvo complicaciones y el niño no necesitó ninguna intervención médica. ¿Cuál es la probabilidad de que NO sea el padre? ¿Cuál es la probabilidad de que pueda ser el padre? Calcule primero las puntuaciones z y luego utilícelas para calcular la probabilidad. La línea de montaje de NUMMI, que lleva funcionando desde 1984, ha construido un promedio de 6.000 automóviles y camiones a la semana. Por lo general, el 10 % de los automóviles salían defectuosos de la cadena de montaje. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de n = 100 automóviles. Supongamos que X el número de automóviles defectuosos de la muestra. ¿Qué podemos decir de X con respecto a la regla empírica 68-95-99,7 (se habla de una desviación típica, dos desviaciones típicas y tres desviaciones típicas de la media)? Supongamos una distribución normal para los automóviles defectuosos de la muestra. n = 100; p = 0,1; q = 0,9 μ = np = (100)(0,10) = 10 σ = n p q = (100)(0 0,1)(0 0,9) = 3 z = ±1: x 1 = µ + zσ = 10 + 1(3) = 13 y x 2 = µ – zσ = 10 – 1(3) = 7. El 68 % de los autos defectuosos estarán entre siete y 13. z = ±2: x 1 = µ + zσ = 10 + 2(3) = 16 and x 2 = µ – zσ = 10 – 2(3) = 4. El 95 % de los autos defectuosos estarán entre 4 y 16 z = ±3: x 1 = µ + zσ = 10 + 3(3) = 19 and x 2 = µ – zσ = 10 – 3(3) = 1. El 99,7 % de los coches defectuosos estarán entre uno y 19. Lanzamos una moneda 100 veces ( n = 100) y observamos que solo sale cara el 20 % ( p = 0,20) de las veces. La media y la desviación típica del número de veces que la moneda cae cara es µ = 20 y σ = 4 (verifica la media y la desviación típica). Resuelva lo siguiente: Hay un 68 % de posibilidades de que el número de caras esté entre ___ y ___. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre 12 y 28. Hay una probabilidad de ____ de que el número de caras esté entre ocho y 32. Un billete de lotería de 1 dólar resultará ganador una de cada cinco veces. De un cargamento de n = 190 billetes de lotería, calcule la probabilidad de que haya entre 34 y 54 premios. entre 54 y 64 premios. más de 64 premios. n = 190; p = 1 5 = 0,2; q = 0,8 μ = np = (190)(0,2) = 38 σ = n p q = (190)(0 0,2)(0 0,8) = 5,5136 Para este problema: P (34 < x < 54) = normalcdf(34;54;48;5,5136) = 0,7641 Para este problema: P (54 < x < 64) = normalcdf(54;64;48;5,5136) = 0,0018 Para este problema: P ( x > 64) = normalcdf(64,10 99 ,48,5.5136) = 0,0000012 (aproximadamente 0) Facebook ofrece una serie de estadísticas en su sitio web que detallan el crecimiento y la popularidad del sitio. En promedio, el 28 % de los jóvenes de 18 a 34 años consultan sus perfiles de Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana. Supongamos que este porcentaje sigue una distribución normal con una desviación típica del cinco por ciento. Calcule la probabilidad de que el porcentaje de personas de 18 a 34 años que revisan Facebook antes de levantarse de la cama por la mañana sea al menos del 30. Calcule el percentil 95 y expréselo en una frase.

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Distribución normal (tiempos de vuelta) Distribución normal (tiempos de vuelta) Hora de la clase: Nombres: Resultado de aprendizaje del estudiante El estudiante comparará y contrastará datos empíricos y una distribución teórica para determinar si los tiempos de vuelta de Terry Vogel se ajustan a una distribución continua. Instrucciones Redondee las frecuencias relativas y las probabilidades a cuatro decimales. Lleve todas las demás respuestas decimales a dos cifras. Recopilación de datos Utilice los datos del Apéndice C . Use un método de muestreo estratificado por vueltas (carreras 1 a 20) y un generador de números aleatorios para elegir seis tiempos de vuelta de cada estrato. Registre los tiempos de las vueltas dos a siete. _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente: x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras del histograma. Escriba una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. (No se complique. ¿El gráfico va en línea recta, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.?) Analice la distribución Utilizando la media muestral, la desviación típica muestral y el histograma como apoyo, ¿cuál es la distribución teórica aproximada de los datos? X ~ _____(_____,_____) ¿Cómo el histograma lo ayuda a llegar a la distribución aproximada? Describa los datos Utilice los datos que ha recopilado para completar los siguientes enunciados. El IQR va de __________ a __________. IQR = __________. ( IQR = Q 3 – Q 1 ) El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. La probabilidad empírica de que un tiempo de vuelta elegido al azar sea superior a 130 segundos es de _______. Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Distribución teórica Complete las siguientes afirmaciones con la distribución teórica. Debe utilizar una aproximación normal con base en los datos de la muestra. El IQR va de __________ a __________. IQR = _______. El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. La probabilidad de que un tiempo de vuelta elegido al azar sea superior a 130 segundos es de _______. Explique el significado del percentil 85 de esta distribución. Preguntas para el debate ¿Los datos de la sección titulada Recopilación de datos se aproximan a la distribución teórica en la sección titulada Análisis de la distribución ? En oraciones completas y comparando el resultado en las secciones tituladas Describir los datos y Distribución teórica , explique por qué sí o por qué no.

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Distribución normal (longitud del meñique) Distribución normal (longitud del meñique) Hora de la clase: Nombres: Resultados del aprendizaje de los estudiantes El estudiante comparará los datos empíricos y una distribución teórica para determinar si los datos del experimento siguen una distribución continua. Recopilación de datos Mida la longitud de su dedo meñique (en centímetros). Encueste aleatoriamente a 30 adultos para conocer la longitud de sus dedos meñiques. Redondee las longitudes a los 0,5 cm más cercanos. _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ _______ Construya un histograma. Haga de cinco a seis intervalos. Dibuje el gráfico con una regla y un lápiz. Escale los ejes. Calcule lo siguiente. x ¯ = _______ s = _______ Dibuje una curva suave a través de la parte superior de las barras superiores del histograma. Escriba una o dos oraciones completas para describir la forma general de la curva. (No se complique. ¿El gráfico va en línea recta, tiene forma de V, tiene una joroba en el centro o en los extremos, etc.?) Analice la distribución Utilizando la media de la muestra, la desviación típica de la muestra y el histograma, ¿cuál fue la distribución teórica aproximada de los datos que recogió? X ~ _____(_____,_____) ¿Cómo el histograma lo ayuda a llegar a la distribución aproximada? Describa los datos Con los datos que ha recogido, complete las siguientes afirmaciones. (Sugerencia: ordene los datos) Recuerde ( IQR = Q 3 – Q 1 ) IQR = _______ El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que la longitud de un meñique elegido al azar sea superior a 6,5 cm? Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Distribución teórica Complete las siguientes afirmaciones con la distribución teórica. Utilice una aproximación normal basada en la media y la desviación típica de la muestra. IQR = _______ El percentil 15 es _______. El percentil 85 es _______. La mediana es _______. ¿Cuál es la probabilidad teórica de que la longitud de un meñique elegido al azar sea superior a 6,5 cm? Explique el significado del percentil 85 de estos datos. Preguntas para el debate ¿Los datos que ha recogido ofrecen una aproximación a la distribución teórica? En oraciones completas y comparando los resultados en las secciones tituladas Describa los datos y Distribución teórica , explique por qué sí o por qué no.

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Introducción Si quiere determinar la distribución del cambio que la gente lleva en sus bolsillos, utilizando el teorema del límite central y suponiendo que su muestra es lo suficientemente grande, encontrará que la distribución es normal y tiene forma de campana (créditos: John Lodder). Objetivos del capítulo Al final de este capítulo el estudiante podrá: Reconocer los problemas del teorema central del límite. Clasificar los problemas de palabras continuas por sus distribuciones. Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las medias. Aplicar e interpretar el teorema del límite central para las sumas. ¿Por qué nos preocupan tanto las medias? Hay dos razones: nos dan un punto medio de comparación y son fáciles de calcular. En este capítulo estudiará las medias y el teorema del límite central . El teorema del límite central (central limit theorem, TLC) es una de las ideas más poderosas y útiles de toda la estadística. Hay dos formas alternativas del teorema, y ambas alternativas se refieren a la extracción de muestras finitas de tamaño n de una población con una media conocida, μ , y una desviación típica conocida, σ . La primera alternativa indica que si recogemos muestras de tamaño n con una " n suficientemente grande", calculamos la media de cada muestra y creamos un histograma de esas medias, entonces el histograma resultante tenderá a tener una forma de campana normal aproximada. La segunda alternativa indica que si volvemos a recoger muestras de tamaño n que sean "suficientemente grandes", calculamos la suma de cada muestra y creamos un histograma, entonces el histograma resultante volverá a tener una forma de campana normal. El tamaño de la muestra, n , que se requiere para ser “suficientemente grande” depende de la población original de la que se extraen las muestras (el tamaño de la muestra debe ser, al menos, 30 o los datos deben proceder de una distribución normal). Si la población original está lejos de ser normal, se necesitan más observaciones para que las medias o sumas de la muestra sean normales. El muestreo se realiza con sustitución. Sería difícil exagerar la importancia del teorema del límite central en la teoría estadística. Saber que los datos, aunque su distribución no sea normal, se comportan de forma predecible es una herramienta poderosa. Supongamos que ocho de ustedes tiran un dado justo diez veces, siete de ustedes tiran dos dados justos diez veces, nueve de ustedes tiran cinco dados justos diez veces y 11 de ustedes tiran diez dados justos diez veces. Cada vez que una persona tira más de un dado, calcule la media muestral de las caras que aparecen. Por ejemplo, una persona puede tirar cinco dados justos y obtener 2, 2, 3, 4, 6 en una tirada. La media es 2 + 2 + 3 + 4 + 6 5 = 3,4. El 3,4 es una media cuando se tiran cinco dados justos. Esta misma persona lanzaría los cinco dados nueve veces más y calcularía otras nueve medias para un total de diez medias. Su instructor repartirá los dados entre varias personas. Tire los dados diez veces. Para cada tiro, anote las caras y halle la media. Redondee al 0,5 más cercano. Su instructor (y posiblemente usted) dibujará un gráfico (puede ser un histograma) para un dado, un gráfico para dos dados, un gráfico para cinco dados y un gráfico para diez dados. Dado que la "media" al lanzar un dado es solo la cara de este, ¿qué distribución parecen representar estas medias ? Dibuje el gráfico de las medias utilizando dos dados. ¿Las medias de las muestras muestran algún tipo de patrón? Dibuje el gráfico de las medias utilizando cinco dados. ¿Ve algún patrón emergente? Por último, dibuje el gráfico de las medias utilizando diez dados. ¿Ve algún patrón en el gráfico? ¿Qué puede concluir al aumentar el número de dados? A medida que el número de dados lanzados aumenta de uno a dos y de cinco a diez, ocurre lo siguiente: La media de las medias de las muestras sigue siendo aproximadamente la misma. La dispersión de las medias muestrales (la desviación típica de las medias muestrales) se reduce. El gráfico parece más inclinado y delgado. Acaba de demostrar el teorema del límite central (TLC). El teorema del límite central indica que, a medida que aumenta el número de dados, las medias de las muestras tienden a una distribución normal (la distribución de muestreo). Distribución de muestreo dadas muestras aleatorias simples de tamaño n de una población determinada con una característica medida como la media, la proporción o la desviación típica para cada muestra, la distribución de probabilidad de todas las características medidas se llama distribución de muestreo.

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Teorema del límite central de medias muestrales (promedios) Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución). Utilizando un subíndice que coincida con la variable aleatoria, supongamos: μ X = la media de X σ X = la desviación típica de X Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , a medida que n aumenta, la variable aleatoria x ¯ que consiste en las medias muestrales, tiende a distribuirse normalmente y x ¯ ~ N ( μ x , σ X n ) . El teorema del límite central para las medias muestrales indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calculan sus medias, estas tienden a seguir una distribución normal (la distribución muestral). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene la misma media que la distribución original y una varianza que es igual a la varianza original dividida por el tamaño de la muestra. La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza, por lo que la desviación típica de la distribución muestral es la desviación típica de la distribución original dividida por la raíz cuadrada de n . La variable n es el número de valores que se promedian juntos, no el número de veces que se realiza el experimento. Para decirlo de manera más formal, si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , la distribución de la variable aleatoria x ¯ , que consiste en las medias muestrales, se denomina distribución muestral de la media . La distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta n , el tamaño de la muestra . La variable aleatoria x ¯ tiene asociada una puntuación z diferente a la de la variable aleatoria X . La media x ¯ es el valor de x ¯ en una muestra. z = x ¯ – μ x ( σ X n ) μ X es el promedio de X y x ¯ . σ x ¯ = σ X n = desviación típica de x ¯ y se denomina error estándar de la media. Para calcular las probabilidades de las medias en la calculadora, siga estos pasos. 2.º DISTR 2:normalcdf n o r m a l c d e ( valor más bajo del área, valor más alto del área, media, desviación típica tamaño de la muestra ) donde: la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación típica de 15. Las muestras de tamaño n = 25 se extraen aleatoriamente de la población. a. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92. a. Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de la muestra . Supongamos que x ¯ = la media de una muestra de tamaño 25. Dado que μ X = 90, σ X = 15 y n = 25, x ¯ ~ N ( 90 , 15 25 ) . Calcule P (85 < x ¯ < 92). Dibuje un gráfico. P (85 < x ¯ < 92) = 0,6997 La probabilidad de que la media de la muestra esté entre 85 y 92 es de 0,6997. normalcdf (valor inferior, valor superior, media, error estándar de la media) La lista de parámetros se abrevia (valor inferior, valor superior, μ , σ n ) normalcdf (85,92,90, 15 25 ) = 0,6997 b. Calcule el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado, 90, de la media de la muestra. b. Para calcular el valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado 90, utilice la fórmula: valor = μ x + (#deTSDEVs) ( σ x n ) valor = 90 + 2 ( 15 25 ) = 96 El valor que está dos desviaciones típicas por encima del valor esperado es 96. El error estándar de la media es σ x n = 15 25 = 3. Recordemos que el error estándar de la media es una descripción de la distancia (en promedio) que la media de la muestra estará de la media de la población en muestras aleatorias simples repetidas de tamaño n . Ejercicio Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación típica de ocho. Las muestras de tamaño n = 30 se extraen aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 42 y 50. El tiempo, en horas, que tarda un grupo de personas "mayores de 40 años" en jugar un partido de fútbol se distribuye normalmente con una media de dos horas y una desviación típica de 0,5 horas. Una muestra de tamaño n = 50 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 1,8 horas y 2,3 horas. Supongamos que X = el tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la media de tiempo de la muestra, en horas , que se necesita para jugar un partido de fútbol. Supongamos que x ¯ = la media de tiempo, en horas, que se necesita para jugar un partido de fútbol. Si μ X = _________, σ X = __________, y n = X ¯ ~ N (______, ______) por el teorema del límite central para las medias muestrales μ X = 2, σ X = 0,5, n = 50, y X ~ N ( 2, 0,5 50 ) Calcule P (1,8 < x ¯ < 2,3). Dibuje un gráfico. P (1,8 < x ¯ < 2,3) = 0,9977 normalcdf ( 1. 8,2 .3,2, 0,5 50 ) = 0,9977 La probabilidad de que la media de tiempo esté entre 1,8 horas y 2,3 horas es de 0,9977. Ejercicio La duración de la prueba SAT para un grupo de estudiantes se distribuye normalmente con una media de 2,5 horas y una desviación típica de 0,25 horas. Una muestra de tamaño n = 60 se extrae aleatoriamente de la población. Calcule la probabilidad de que la media muestral esté entre dos horas y tres horas. Para calcular los percentiles de las medias en la calculadora, siga estos pasos. 2 nd DIStR 3:invNorm k = invNorm ( área a la izquierda de k , media, s t a n d a t d d e v i a t i o n s a m p l e s i c e ) donde: k = el percentil k la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación típica es de 15 años. Tome una muestra de tamaño n = 100. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra de edades medias de los usuarios de tabletas? ¿Cómo es la distribución? Calcule la probabilidad de que la media de edad de la muestra sea superior a 30 años (la media de edad declarada de los usuarios de tabletas en este estudio en particular). Calcule el percentil 95 de la edad media de la muestra (con un decimal). Como la media muestral tiende a apuntar a la media poblacional, tenemos μ χ = μ = 34. La desviación típica de la muestra viene dada por σ χ = σ n = 15 100 = 15 10 = 1,5 El teorema del límite central establece que para tamaños de muestra grandes ( n ), la distribución de la muestra será aproximadamente normal. La probabilidad de que la edad media de la muestra sea superior a 30 años viene dada por P ( X ¯ > 30 ) = normalcdf (30,E99,34;1,5) = 0,9962 Supongamos que k = el percentil 95 . k = invNorm ( 0, 95,34, 15 100 ) = 36,5 Ejercicio En un artículo del blog de Flurry, se identifica una brecha en el mercadeo del juego para los hombres de entre 30 y 40 años. Investiga un juego de una empresa emergente dirigido al público de 35 años. Su idea es desarrollar un juego de estrategia que puedan jugar hombres de entre 20 y 30 años. Según los datos del artículo, la investigación del sector muestra que el jugador promedio de estrategia tiene 28 años, con una desviación típica de 4,8 años. Se toma una muestra de 100 jugadores seleccionados aleatoriamente. Si su mercado objetivo es de 29 a 35 años, ¿debe seguir con su estrategia de desarrollo? El número medio de minutos de participación en la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de 60. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la muestra del número de la media de participación en aplicaciones por parte de un usuario de tableta? ¿Cuál es el error estándar de la media? Calcule el percentil 90 para la media de tiempo de la muestra para la participación en la aplicación para un usuario de la tableta. Interprete este valor en una oración completa. Calcule la probabilidad de que la media de la muestra esté entre 8 minutos y 8,5 minutos. μ x ¯ = μ = 8,2 σ x ¯ = σ n = 1 60 = 0,13 Esto nos permite calcular la probabilidad de que las medias muestrales estén a una determinada distancia de la media, en muestras repetidas de tamaño 60. Supongamos que k = el percentil 90 k = invNorm ( 0, 90.8 0,2, 1 60 ) = 8.37. Estos valores indican que el 90 por ciento del tiempo promedio de interacción en la aplicación para los usuarios de la mesa es inferior a 8,37 minutos. P (X < 5) x ¯ < 8,5) = normalcdf ( 8.8 .5,8 0,2, 1 60 ) = 0,9293 Ejercicio Las latas de una bebida de cola dicen contener 16 onzas. Se miden las cantidades de una muestra y la estadística es n = 34, x ¯ = 16,01 onzas. Si las latas se llenan de forma que μ = 16,00 onzas (como se indica en la etiqueta) y σ = 0,143 onzas, halle la probabilidad de que una muestra de 34 latas tenga una cantidad promedio superior a 16,01 onzas. ¿Los resultados sugieren que las latas se llenan con una cantidad superior a las 16 onzas? Referencias Baran, Daya. “20 Percent of Americans Have Never Used Email.”WebGuild, 2010. Disponible en línea en http://www.webguild.org/20080519/20-percent-of-americans-have-never-used-email (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos de The Flurry Blog, 2013. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Datos del Departamento de Agricultura de Estados Unidos. Repaso del capítulo En una población cuya distribución puede ser conocida o desconocida, si el tamaño ( n ) de las muestras es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales será aproximadamente normal. La media de las medias muestrales será igual a la media poblacional. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, denominada error estándar de la media, es igual a la desviación típica de la población dividida entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra ( n ). Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las medias muestrales: x ¯ ~ N ( μ x , σ x n ) La media X ¯ : μ x Teorema del límite central para las medias muestrales con puntuación z y error estándar de la media: z = x ¯ – μ x ( σ x n ) Error estándar de la media (desviación típica ( X ¯ )): σ x n Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Yoonie es administrador de personal en una gran empresa. Cada mes debe revisar a 16 de los empleados. Por experiencia, ha comprobado que las revisiones le llevan aproximadamente cuatro horas cada una, con una desviación típica de la población de 1,2 horas. Supongamos que Χ sea la variable aleatoria que representa el tiempo que tarda en completar una revisión. Supongamos que Χ se distribuye normalmente. Supongamos que x ¯ es la variable aleatoria que representa la media de tiempo para completar las 16 revisiones. Supongamos que las 16 opiniones representan un conjunto aleatorio de opiniones. ¿Cuál es la media, la desviación típica y el tamaño de la muestra? media = 4 horas; desviación típica = 1,2 horas; tamaño de la muestra = 16 Complete las distribuciones. X ~ _____(_____,_____) X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que una revisión le lleve a Yoonie de 3,5 a 4,25 horas. Dibuje el gráfico, identifique y escale el eje horizontal. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (________ < x < ________) = _______ a. Compruebe la solución del estudiante. b. 3,5; 4,25; 0,2441 Calcule la probabilidad de que la media de las revisiones de un mes lleve a Yoonie de 3,5 a 4,25 horas. Dibuje el gráfico, identifique y escale el eje horizontal. Sombree la región correspondiente a la probabilidad. P (________________) = _______ ¿Qué hace que las probabilidades en el y el sean diferentes? El hecho de que las dos distribuciones sean diferentes explica las distintas probabilidades. Calcule el percentil 95 para la media de tiempo para completar las revisiones de un mes. Dibuje el gráfico. El percentil 95 =____________ Tarea para la casa Anteriormente, los estudiantes de Estadística de De Anza estimaron que la cantidad de cambio que llevan los estudiantes de Estadística durante el día se distribuye exponencialmente con una media de 0,88 dólares. Supongamos que elegimos al azar a 25 estudiantes diurnos de Estadística. En palabras, Χ = ____________ Χ ~ _____(_____,_____) En palabras, X ¯ = ____________ x ¯ ~ ______ (______, ______) Calcule la probabilidad de que una persona tenga entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Calcule la probabilidad de que el promedio de los 25 estudiantes esté entre 0,80 y 1,00 dólares. Grafique la situación, y sombree en la zona que se determine. Explique por qué hay una diferencia en la parte e y en la parte f. Χ = cantidad de cambio que llevan los estudiantes Χ ~ E (0,88; 0,88) x ¯ = cantidad promedio de cambio que lleva a cabo una muestra de 25 estudiantes. x ¯ ~ N (0,88; 0,176) 0,0819 0,1882 Las distribuciones son diferentes. La parte a es exponencial y la parte b es normal. Supongamos que la distancia de los batazos de aire lanzados al campo (en béisbol) se distribuye normalmente, con una media de 250 pies y una desviación típica de 50 pies. Tomamos una muestra aleatoria de 49 batazos de aire. Si los valores de x ¯ = distancia promedio en pies para 49 batazos de aire, entonces x ¯ ~ _______(_______,_______) ¿Cuál es la probabilidad de que las 49 pelotas hayan volado un promedio de menos de 240 pies? Dibuje el gráfico. Escala el eje horizontal para x ¯ . Sombree la región correspondiente a la probabilidad. Calcule la probabilidad. Calcule el percentil 80 de la distribución del promedio de 49 batazos de aire. Según el Servicio de Impuestos Internos, el tiempo promedio que tarda una persona en terminar (llevar un registro, aprender, preparar, copiar, recopilar y enviar) el formulario 1040 del IRS es de 10,53 horas (sin los anexos). La distribución es desconocida. Supongamos que la desviación típica es de dos horas. Supongamos que tomamos una muestra aleatoria de 36 contribuyentes. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) ¿Le sorprendería que los 36 contribuyentes terminaran su formulario 1040 en un promedio de más de 12 horas? Explique por qué sí o por qué no en oraciones completas. ¿Le sorprendería que un contribuyente terminara su formulario 1040 en más de 12 horas? Explique por qué en una oración completa. tiempo que tarda una persona en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. duración media de una muestra de 36 contribuyentes en terminar el formulario 1040 del IRS, en horas. N ( 10 0,53, 1 3 ) Sí. Me sorprendería, porque la probabilidad es casi 0. No. No me sorprendería del todo porque la probabilidad es de 0,2312 Supongamos que se sabe que una categoría de corredores de clase mundial corre un maratón (26 millas) en un promedio de 145 minutos con una desviación típica de 14 minutos. Considere 49 de las carreras. Supongamos que x ¯ el promedio de las 49 carreras. X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el corredor tenga un promedio entre 142 y 146 minutos en estos 49 maratones. Calcule el percentil 80 del promedio de estos 49 maratones. Calcule la mediana de los tiempos promedio de ejecución. La duración de las canciones en la colección de álbumes de iTunes de un coleccionista se distribuye uniformemente de dos a 3,5 minutos. Supongamos que elegimos al azar cinco álbumes de la colección. Hay un total de 43 canciones en los cinco álbumes. En palabras, Χ = _________ Χ ~ _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) Calcule el primer cuartil para la duración promedio de la canción, X ¯ . El IQR (rango intercuartil) para la longitud promedio de la canción, X ¯ , es de ___ - ___. la duración de una canción, en minutos, en la colección U (2, 3,5) la duración promedio, en minutos, de las canciones de una muestra de cinco álbumes de la colección N (2,75; 0,0660) 2,71 minutos 0,09 minutos En 1940, el tamaño promedio de una granja en EE. UU. era de 174 acres. Digamos que la desviación típica era de 55 acres. Supongamos que encuestamos al azar a 38 agricultores de 1940. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) El IQR para x ¯ es de _______ acres a _______ acres. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Luego, justifique sus respuestas con oraciones completas. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la media de X ¯ es aproximadamente igual a la media de Χ . Cuando el tamaño de la muestra es grande, x ¯ se distribuye aproximadamente normal. Cuando el tamaño de la muestra es grande, la desviación típica de x ¯ es aproximadamente igual a la desviación típica de Χ . Verdadero. La media de una distribución del muestreo de las medias es aproximadamente la media de la distribución de los datos. Verdadero. Según el teorema del límite central, cuanto mayor sea la muestra, más se aproxima a la normalidad la distribución del muestreo de las medias. La desviación típica de la distribución del muestreo de las medias disminuirá haciéndola aproximadamente igual a la desviación típica de X a medida que aumenta el tamaño de la muestra. El porcentaje de calorías de grasa que una persona en Estados Unidos consume cada día se distribuye normalmente, con una media de 36 aproximadamente y una desviación típica de diez aproximadamente. Supongamos que se eligen 16 personas al azar. Supongamos que x ¯ = porcentaje promedio de calorías de grasa. x ¯ ~ ______(______, ______) Para el grupo de 16, calcule la probabilidad de que el porcentaje promedio de calorías de grasa consumidas sea superior a cinco. Grafique la situación y sombree la zona a determinar. Calcule el primer cuartil para el porcentaje promedio de calorías de grasa. La distribución de los ingresos en algunos países del tercer mundo se considera en forma de cuña (mucha gente muy pobre, muy poca gente con ingresos medios y aún menos gente rica). Supongamos que elegimos un país con una distribución en forma de cuña. Supongamos que el salario promedio es de 2.000 dólares al año con una desviación típica de 8.000 dólares. Encuestamos al azar a 1.000 residentes de ese país. En palabras, Χ = _____________ En palabras, X ¯ = _____________ X ¯ ~ _____(_____,_____) ¿Cómo es posible que la desviación típica sea mayor que el promedio? ¿Por qué es más probable que el promedio de los 1.000 residentes sea de 2.000 a 2.100 dólares que de 2.100 a 2.200 dólares? X = los ingresos anuales de alguien en un país del tercer mundo el salario promedio de las muestras de 1.000 residentes de un país del tercer mundo X ¯ ∼ N ( 2000, 8000 1.000 ) Las diferencias muy amplias en los valores de los datos pueden tener promedios más pequeños que las desviaciones típicas. La distribución de la media muestral tendrá mayores probabilidades de acercarse a la media de la población. P (2.000 < x ¯ < 2.100) = 0,1537 P (2.100 < x ¯ < 2200) = 0,1317 ¿Cuál de las siguientes opciones NO ES CIERTA sobre la distribución de los promedios? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. El costo de la gasolina sin plomo en el Área de la Bahía seguía antes una distribución desconocida con una media de 4,59 dólares y una desviación típica de 0,10 dólares. Se eligen al azar dieciséis gasolineras del Área de la Bahía. Nos interesa el costo promedio de la gasolina en las 16 gasolineras. La distribución que se va a usar para el costo promedio de la gasolina para las 16 gasolineras es X ¯ ~ N (4,59; 0,10) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 0,10 16 ) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) X ¯ ~ N ( 4 0,59, 16 0,10 ) b Promedio un número que describe la tendencia central de los datos; existen varios promedios especializados, como la media aritmética, la media ponderada, la mediana, la moda y la media geométrica. Teorema del límite central dada una variable aleatoria (RV) con media conocida μ y desviación típica conocida, σ , estamos muestreando con tamaño n , y nos interesan dos nuevas RV: la media muestral, X ¯ , y la suma de la muestra, ΣΧ . Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, entonces X ¯ ~ N ( μ , σ n ) y ΣΧ ~ N ( nμ , ( n )( σ )). Si el tamaño ( n ) de la muestra es suficientemente grande, la distribución de las medias muestrales y la distribución de las sumas muestrales se aproximarán a una distribución normal, independientemente de la forma de la población. La media de las medias muestrales será igual a la media de la población, y la media de las sumas muestrales será igual a n veces la media de la población. La desviación típica de la distribución de las medias muestrales, σ n , se denomina error estándar de la media. Distribución normal una variable aleatoria (RV) continua con pdf e ( x ) = 1 σ 2 π e – ( x – μ ) 2 2 σ 2 , donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación típica; notación: Χ ~ N ( μ , σ ). Si μ = 0 y σ = 1, la RV se denomina distribución normal estándar . Error estándar de la media la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, o σ n .

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El teorema del límite central para las sumas Supongamos que X es una variable aleatoria con una distribución que puede ser conocida o desconocida (puede ser cualquier distribución) y supongamos que: μ X = la media de Χ σ Χ = la desviación típica de X Si se extraen muestras aleatorias de tamaño n , a medida que aumenta n , la variable aleatoria Σ X formada por sumas tiende a distribuirse normalmente y Σ Χ ~ N (( n )( μ Χ ), ( n )( σ Χ )). El teorema del límite central para las sumas indica que si se extraen repetidamente muestras de un tamaño determinado (como lanzar repetidamente diez dados) y se calcula la suma de cada muestra, estas sumas tienden a seguir una distribución normal. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de las medias se ajusta más a la distribución normal. La distribución normal tiene una media igual a la media original multiplicada por el tamaño de la muestra y una desviación típica igual a la desviación típica original multiplicada por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. La variable aleatoria Σ X tiene asociada la siguiente puntuación z : Σ x es una suma. z = Σ x – ( n ) ( μ X ) ( n ) ( σ X ) ( n )( μ X ) = la media de Σ X ( n ) ( σ X ) = desviación típica de Σ X Para calcular las probabilidades de las sumas en la calculadora, siga estos pasos. 2.º DISTR 2: normalcdf normalcdf (valor inferior del área, valor superior del área, ( n )(media), ( n )(desviación típica)) donde: la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original tamaño de la muestra = n Una distribución desconocida tiene una media de 90 y una desviación típica de 15. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 80 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 80 valores (o el total de los 80 valores) sea superior a 7.500. Calcule la suma que está 1,5 desviaciones típicas por encima de la media de las sumas. Supongamos que X = un valor de la población original desconocida. La pregunta de probabilidad le pide que calcule una probabilidad para la suma (o el total de) 80 valores. Σ X = la suma o el total de 80 valores. Como μ X = 90, σ X = 15, y n = 80, Σ X ~ N ((80)(90), ( 80 )(15)) media de las sumas =( n )( μ X ) = (80)(90) = 7.200 desviación típica de las sumas = ( n )( σ X ) = ( 80 ) (15) suma de 80 valores = Σx = 7.500 a. Calcule P (Σ x > 7.500) P (Σ x > 7.500) = 0,0127 normalcdf (valor inferior, valor superior, media de las sumas, stdev de sumas) La lista de parámetros se abrevia (inferior, superior, ( n )( μ X , ( n ) ( σ X )) normalcdf (7500,1E99,(80)(90), ( 80 ) (15)) = 0,0127 Recordatorio 1E99 = 10 99 . Pulse EE para E. b. Calcule Σ x donde z = 1,5. Σ x = ( n )( μ X ) + ( z ) ( n ) ( σ Χ ) = (80)(90) + (1,5)( 80 )(15) = 7.401,2 Ejercicio Una distribución desconocida tiene una media de 45 y una desviación típica de ocho. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 50 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 50 valores sea superior a 2.400. Para calcular los percentiles de las sumas en la calculadora, siga estos pasos. 2 nd DIStR 3:invNorm k = invNorm (área a la izquierda de k , ( n )(media), ( n ) (desviación típica)) donde: k es el percentil k la media es la media de la distribución original la desviación típica es la desviación típica de la distribución original el tamaño de la muestra = n En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas es de 34 años. Supongamos que la desviación típica es de 15 años. La muestra es de tamaño 50. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la suma de las edades de usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución? Calcule la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1.500 y 1.800 años. Calcule el percentil 80 para la suma de las edades de 50. μ Σx = nμ x = 50(34) = 1.700 y σ Σx = n σ x = ( 50 ) (15) = 106,07 La distribución es normal para las sumas por el teorema del límite central. P (1500 < Σ x < 1800) = normalcdf (1.500, 1.800, (50)(34), ( 50 ) (15)) = 0,7974 Supongamos que k = el percentil 80 . k = invNorm (0,80,(50)(34), ( 50 ) (15)) = 1.789,3 Ejercicio En un estudio reciente publicado el 29 de octubre de 2012 en el blog de Flurry, la edad media de los usuarios de tabletas era de 35 años. Supongamos que la desviación típica es de diez años. El tamaño de la muestra es de 39. ¿Cuál es la media y la desviación típica de la suma de las edades de usuarios de tabletas? ¿Cuál es la distribución? Calcule la probabilidad de que la suma de las edades esté entre 1.400 y 1.500 años. Calcule el percentil 90 para la suma de las edades de 39. El número medio de minutos de participación en la aplicación por parte de un usuario de tableta es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de tamaño 70. ¿Cuáles son la media y la desviación típica de las sumas? Calcule el percentil 95 para la suma de la muestra. Interprete este valor en una oración completa. Calcule la probabilidad de que la suma de la muestra sea de al menos diez horas. μ Σx = nμ x = 70(8,2) = 574 minutos y σ Σx = ( n ) ( σ x ) = ( 70 ) (1) = 8,37 minutos Supongamos que k = el percentil 95 . k = invNorm (0,95,(70)(8,2), ( 70 ) (1)) = 587,76 minutos El noventa y cinco por ciento de las sumas de los tiempos de participación en la aplicación son como máximo 587,76 minutos. diez horas = 600 minutos P (Σ x ≥ 600) = normalcdf (600,E99,(70)(8,2), ( 70 ) (1)) = 0,0009 El número de la media de minutos de participación en la aplicación por el uso de una mesa es de 8,2 minutos. Supongamos que la desviación típica es de un minuto. Tome una muestra de tamaño 70. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de la muestra esté entre siete y diez horas? ¿Qué significa esto en el contexto del problema? Calcule los percentiles 84 y 16 para la suma de la muestra. Interprete estos valores en su contexto. Referencias Farago, Peter. The Truth About Cats and Dogs: Smartphone vs Tablet Usage Differences [La verdad sobre los gatos y los perros: Diferencias entre el uso de smartphones vs tabletas]. The Flurry Blog, 2013. Publicado el 29 de octubre de 2012. Disponible en línea en http://blog.flurry.com (consultado el 17 de mayo de 2013). Repaso del capítulo El teorema del límite central nos indica que para una población con cualquier distribución, la distribución de las sumas de las medias muestrales se aproxima a una distribución normal a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En otras palabras, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las sumas puede aproximarse a una distribución normal aunque la población original no esté distribuida normalmente. Además, si la población original tiene una media de μ X y una desviación típica de σ x , la media de las sumas es nμ x y la desviación típica es ( n ) ( σ x ) donde n es el tamaño de la muestra. Revisión de la fórmula El teorema del límite central para las sumas: ∑X ~ N [( n )( μ x ),( n )( σ x )] Media de las sumas ( ∑X ): ( n )( μ x ) Teorema del límite central para las sumas de puntuación z y desviación típica para las sumas: z para la media de la muestra = Σ x – ( n ) ( μ X ) ( n ) ( σ X ) Desviación típica para las sumas ( ∑X ): ( n ) ( σ x ) Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 80 y una desviación típica de 12. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 95 de la población. Calcule la probabilidad de que la suma de los 95 valores sea superior a 7.650. 0,3345 Calcule la probabilidad de que la suma de los 95 valores sea menor a 7.400. Calcule la suma que está dos desviaciones típicas por encima de la media de las sumas. 7833.92 Calcule la suma que está a 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas. Use la siguiente información para responder los próximos cinco ejercicios: La distribución de los resultados de una prueba de colesterol tiene una media de 180 y una desviación típica de 20. Se extrae aleatoriamente una muestra de tamaño 40. Calcule la probabilidad de que la suma de los 40 valores sea superior a 7.500. 0,0089 Calcule la probabilidad de que la suma de los 40 valores sea menor a 7.000. Calcule la suma que está una desviación típica por encima de la media de las sumas. 7326.49 Calcule la suma que está a 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas. Calcule el porcentaje de sumas entre 1,5 desviaciones típicas por debajo de la media de las sumas y una desviación típica por encima de la media de las sumas. 77,45% Use la siguiente información para responder los próximos seis ejercicios: Un investigador mide la cantidad de azúcar en varias latas del mismo refresco. La media es de 39,01 con una desviación típica de 0,5. El investigador selecciona aleatoriamente una muestra de 100. Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores sea superior a 3.910. Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores sea menor a 3.900. 0,4207 Calcule la probabilidad de que la suma de los 100 valores esté entre los números que ha encontrado en el y el . Calcule la suma con una puntuación z de -2,5. 3888.5 Calcule la suma con una puntuación z de 0,5. Calcule la probabilidad de que las sumas estén entre las puntuaciones z -2 y 1. 0,8186 Use la siguiente información para responder los próximos cuatro ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 12 y una desviación típica de uno. Se toma una muestra de tamaño 25. Supongamos que X = el objeto de interés. ¿Cuál es la media de ΣX ? ¿Cuál es la desviación típica de ΣX ? 5 ¿Qué es P ( Σx = 290)? ¿Qué es P ( Σx > 290)? 0,9772 Verdadero o falso: solo las sumas de las distribuciones normales son también distribuciones normales. Para que las sumas de una distribución se aproximen a una distribución normal, ¿qué debe ser cierto? El tamaño de la muestra, n , aumenta. ¿Qué tres cosas debe saber sobre una distribución para calcular la probabilidad de las sumas? Una distribución desconocida tiene una media de 25 y una desviación típica de seis. Supongamos que X = un objeto de esta distribución. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si la desviación típica de ΣX es de 42? 49 Una distribución desconocida tiene una media de 19 y una desviación típica de 20. Supongamos que X = el objeto de interés. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si la media de ΣX es de 15.200? Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios. Un investigador de mercado analiza cuántos aparatos electrónicos compran los clientes en una sola compra. La distribución tiene una media de tres con una desviación típica de 0,7. Tome muestras de 400 clientes. ¿Cuál es la puntuación z para Σx = 840? 26,00 ¿Cuál es la puntuación z para Σx = 1.186? ¿Qué es P ( Σx < 1.186)? 0,1587 Use la siguiente información para responder los próximos tres ejercicios: Una distribución desconocida tiene una media de 100, una desviación típica de 100 y un tamaño de muestra de 100. Supongamos que X = un objeto de interés. ¿Cuál es la media de ΣX ? ¿Cuál es la desviación típica de ΣX ? 1.000 ¿Qué es P ( Σx > 9.000)? Tarea para la casa ¿Cuál de las siguientes afirmaciones NO ES VERDADERA sobre la distribución teórica de las sumas? La media, la mediana y la moda son iguales. El área debajo de la curva es uno. La curva nunca toca el eje x . La curva está distorsionada hacia la derecha. Supongamos que se sabe que la duración de un determinado tipo de juicio penal tiene una media de 21 días y una desviación típica de siete días. Tomamos una muestra aleatoria de nueve juicios. En palabras, ΣX = ______________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que la duración total de los nueve juicios sea de al menos 225 días. El noventa por ciento del total de nueve de estos tipos de juicios durará al menos ¿cuánto tiempo? la duración total de nueve juicios penales N (189, 21) 0,0432 162,09; el noventa por ciento del total de nueve juicios de este tipo durará 162 días o más. Supongamos que el peso de las cajas de cereales abiertas en un hogar con niños se distribuye uniformemente de dos a seis libras con una media de cuatro libras y una desviación típica de 1,1547. Encuestamos al azar a 64 hogares con niños. En palabras, X = _____________ La distribución es _______. En palabras, ΣX = _______________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que el peso total de las cajas abiertas sea inferior a 250 libras. Calcule el percentil 35 del peso total de las cajas de cereales abiertas. Los salarios de los maestros de un determinado distrito escolar de primaria se distribuyen normalmente, con una media de 44.000 dólares y una desviación típica de 6.500 dólares. Encuestamos al azar a diez maestros de ese distrito. En palabras, X = ______________ X ~ _____(_____,_____) En palabras, ΣX = _____________ ΣX ~ _____(_____,_____) Calcule la probabilidad de que los maestros ganen en total más de 400.000 dólares. Calcule el percentil 90 del salario de un solo maestro Calcule el percentil 90 de la suma de los salarios de diez maestros. Si encuestáramos a 70 maestros en lugar de diez, gráficamente, ¿cómo cambiaría la distribución de la parte d? Si cada uno de los 70 maestros recibiera un aumento de 3.000 dólares, gráficamente, ¿cómo cambiaría la distribución de la parte b? X = el salario de un maestro de primaria en el distrito X ~ N (44.000, 6.500) ΣX ~ suma de los salarios de diez maestros de primaria de la muestra ΣX ~ N (44000, 20554,80) 0,9742 $52.330,09 466342.04 El muestreo de 70 maestros en lugar de diez haría que la distribución estuviera más repartida. Sería una curva normal más simétrica. Si cada maestro recibiera un aumento de 3.000 dólares, la distribución de X se desplazaría hacia la derecha en 3.000 dólares. En otras palabras, tendría una media de 47.000 dólares.

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